Алгебра и логика, 43, N 5 (2004), 565—581
УДК 512.5
КРИТЕРИЙ ОБРАТИМОСТИ ЭНДОМОРФИЗМОВ И ТЕСТОВЫЙ РАНГ МЕТАБЕЛЕВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП∗) Ч. К. ГУПТА, Е. И. ТИМОШЕНКО Введение
Пусть G — некоторая группа. Для g, h ∈ G произведение ghg −1 h−1 обозначим через [g, h], а hgh−1 — через g h . Как обычно, G′ — коммутант группы G, AutG — группа всех автоморфизмов группы G, EndG — полугруппа всех эндоморфизмов группы G. Автоморфизм группы G называют IA-автоморфизмом, если он индуцирует тождественное отображение на группе Gab = G/G′ . Аналогично, эндоморфизм группы G будем называть IA-эндоморфизмом, если он действует тождественно на группе Gab . Обозначим через IAutG группу всех IA-автоморфизмов группы G, a посредством IEndG — полугруппу всех IA-эндоморфизмов группы G. Пусть G = Π∗ Ai — свободное произведение нетривиальных абелевых групп A1 , . . . , An . Заметим, что группа A = G/G′′ изоморфна метабелеву n Q ∗ A групп A , . . . , A . произведению 1 n σι2 i i=1
Пусть Fn — свободная группа с базисом {x1 , . . . , xn }, ∂i обозначает
i-ую левую производную Фокса, i = 1, . . . , n, которая однозначно определена на целочисленном групповом кольце ZFn группы Fn следующими ∗)
Исследования второго автора выполнены при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований, проект N 02-01-00293, и программы ”Университеты России — фундаментальные исследования“, проект N 04.01.053.
c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005
566
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко
условиями: ∂i xj = 0, ∂i xi = 1, ∂i (uv) = u · ∂i v + ε(v)∂i u, ∂i (u + v) = ∂i u + ∂i v, где i 6= j, u, v ∈ ZFn и ε : ZFn → Z — операция тривиализации. Более подробные сведения о производных Фокса имеются в [1]. Элемент g из группы G называется тестовым, если любой эндоморфизм со свойством ϕ(g) = g является автоморфизмом. Пусть N — нормальная абелева подгруппа группы G. Она является Z(G/N )-модулем, если действие элементов из G определено как сопряжение ag , a ∈ N , g ∈ G. Обозначим через ∂i v(~y ) значение производной ∂i v в точке {g1 , . . . . . . , gn } ∈ G . . × G}. Аналогично, v(~g ) = v(g1 , . . . , gn ). Индукцией по | × .{z n
длине элемента v(x1 , . . . , xn ) ∈ Fn легко получить формулу ∂ v(~g )
v(a1 g1 , . . . , an gn ) = a11
. . . an∂n v(~g) v(~g )
(1)
для любых g1 , . . . , gn ∈ G и a1 , . . . , an ∈ N . Пусть G = Π∗ Gi — свободное произведение нетривиальных групп. Обобщенным дифференцированием, соответствующим i = 1, . . . , n, называется отображение Di : ZG → ZG, удовлетворяющее аксиомам Di (gi ) = gi − 1, Di (gj ) = 0, Di (u · v) = uDi (v) + ε(v)Di u, Di (u + v) = Di (u) + Di (v), при i = 1, . . . , n, gi ∈ Gi , j 6= i, u, v ∈ ZG. Легко видеть, что для любых m > 1 и g ∈ G имеют место равенства Di g m = (1 + g + . . . + g m−1 )Di g, Di g −1 = −g −1 Di g. Если Gi — абелевы группы, то Di [g, h] = (g − 1)Di h + (1 − h)Di g.
(2)
Напомним определение вложения Шмелькина. Пусть R — нормальn Q ∗ G , R ∩ G = 1 для i = 1, . . . , n. Обозначим ная подгруппа группы G = i i i=1
Критерий обратимости эндоморфизмов
567
через T свободный левый Z(G/R)-модуль с базисом {t1 , . . . , tn }. Рассмотрим группу матриц M (G/R) вида
M (G/R) =
Отображение
gi →
G/R T 0
gi ti (gi − 1) 0
1
1
.
, gi ∈ Gi ,
определяет вложение групп Gi в группу M (G/R). Его можно продолжить до гомоморфизма Шмелькина σ : G → M (G/R) c ядром R′ . Вложение группы G/R′ в группу M (G/R) называют вложением Шмелькина. Как показано в [2], для любого g ∈ G выполняется ¯ 1 (g) · t1 + . . . + D ¯ n (g) · tn g¯ D . σ(g) = 0 1
Здесь черта над элементом из кольца Z(G/R′ ) используется для значения этого элемента в кольце Z(G/R). Более полная информация о вложении Шмелькина содержится в [2—4]. n Q ∗ A — метабелево произведение нетривиальных абелевых Пусть σι2 i i=1
групп Ai , а G =
n Q ∗
Ai . Ядро гомоморфизма Шмелькина σ : G → M (G/G′ )
i=1
¯ i (g) = 0, i = 1, . . . , n, тогда и только совпадает с G′′ . Таким образом, D ¯ i (g) фактогда, когда g ∈ G′′ . Следовательно, обобщенные производные D ¯ i (g) обозначим через Di (g) тически определены в кольце ZA. Поэтому D для элементов g ∈ A. Индукцией по длине слова v ∈ Fm легко получить следующее свойство дифференцирования ”сложной функции“: для любого v(x1 , . . . , xm ) ∈ Fm и всех g1 , . . . , gm ∈ A =
n Q
i=1
ведливо равенство Di (v(g1 , . . . , gm )) =
m X
∗ A σι2 i
спра-
Di (gj )∂j v(~g ),
(3)
j=1
где ∂j v(~g ) — значение производной ∂j v в точке {¯ g1 , . . . , g¯m }
∈
∈ Aab × . . . × Aab , причем с помошью черты обозначается образ элемен{z } | m
та из группы A в группе Aab .
568
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко Пусть G — некоторая n-порожденная группа. Множество элементов
{g1 , . . . , gm }, m 6 n, называется тестовым, если любой эндоморфизм ϕ группы G со свойством ϕ(gj ) = gj для j = 1, . . . , m является автоморфизмом. В частности, элемент g из группы G называется тестовым, если любой эндоморфизм со свойством ϕ(g) = g является автоморфизмом. Тестовым рангом tr(G) группы G называется минимум мощностей тестовых множеств. Первый нетривиальный пример тестового элемента был указан Ниль-
сеном. В [5] (см. также [6]), он рассмотрел свободную группу F2 с базисом x1 , x2 и доказал, что элементы y1 , y2 порождают ее тогда и только тогда, когда коммутатор [x1 , x2 ] сопряжен с коммутаторами [y1 , y2 ] или [y2 , y1 ]. Таким образом, [x1 , x2 ] является тестовым элементом для группы F2 . Из результатов Цишанга, Рипса, Розенбергера следует, что свободная группа конечного ранга Fr обладает тестовыми элементами и, следовательно, ее тестовый ранг tr(Fr ) равен 1 (см., напр., [7, 8]). В [9] доказано, что тестовыми элементами группы Fr являются те и только те элементы, которые не лежат в собственных ретрактах группы Fr . В [10] показано, что тестовый ранг свободной метабелевой группы Mr равен r − 1, а также, что множество тестовых элементов группы M2 совпадает с множеством неединичных элементов из коммутанта M2′ . В [11] указан тестовый элемент в свободной разрешимой группе S23 ранга 2 и ступени 3. В [12] получена теорема о возможных значениях тестовых рангов для групп вида Fr /R′ . Из этих результатов следует, что тестовый ранг свободной полинильпотентной группы Fr (ANc1 . . . Ncm ) равен r−1 или r для всех r > 2 и всех наборов классов (c1 , . . . , cm ). Более того, tr(Fr (ANc )) = r − 1 для r, c > 2. В [13] найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы заданные элементы порождали группу вида G/R′ , где G — свободное произведение. ТЕОРЕМА 1 [13]. Пусть g1 , . . . , gm — элементы из группы G = = G1 ∗. . .∗Gn ; R — нормальная подгруппа из G, R∩Gi = 1 для i = 1, . . . , n; H = G/R; T = ZHt1 + . . . + ZHtr — свободный левый ZH-модуль с ба-
Критерий обратимости эндоморфизмов
569
зой t1 , . . . , tn ; τj = D1 (gj )t1 + . . . + Dn (gj )tn ; L = ZH∆1 t1 + . . . + ZH∆n tn , где ∆i — разностный идеал кольца ZGi . Элементы g1 , . . . , gm порождают группу F/R′ тогда и только тогда, когда элементы τ1 , . . . , τm порождают левый ZH-модуль L. В [14] изучены IA-автоморфизмы метабелевых произведений абелевых групп, получено вложение группы IAutA в группу матриц над некоторым кольцом для метабелева произведения A абелевых групп без кручения. Этот результат можно рассматривать как обобщение хорошо известного вложения Бахмута [15]. Результаты из [14] влекут, что IAэндоморфизм ϕ принадлежит группе IAutA тогда и только тогда, когда определитель матрицы (Di aj ) над кольцом ZAab представим в виде det(Di aj ) = ±g(a1 − 1) · . . . · (an − 1), где g — некоторый элемент из Aab , а Bi — некоторый базис группы Ai , ai ∈ Bi . Чтобы избежать громоздких обозначений, в тех случаях, когда не возникает двусмысленности, элемент g из группы A и его образ в группе Aab под действием естественного гомоморфизма будут обозначаться одной и той же буквой. Теорема 1 позволяет установить несколько более общий результат. В § 1 доказывается ТЕОРЕМА 2. Пусть A =
n Q
i=1
∗ A σι2 i
— метабелево произведение абе-
левых групп без кручения конечных рангов; Bi — некоторый базис группы Ai ; ai — некоторые фиксированные элементы из Bi ; ϕ — эндоморфизм группы A и ϕ(ai ) = yi . Предположим, что группы A1 , . . . , Am , 0 6 m 6 n, не являются циклическими, а остальные группы — циклические, кроме того, yr ∈ Ar A′ для r = 1, . . . , m. Эндоморфизм ϕ принадлежит группе AutA тогда и только тогда, когда 1) образы элементов ϕ(b), где b ∈ эту группу;
n S
i=1
Bi , в группе Aab порождают
570
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко 2) определитель матрицы Jn×n = (Di yj ) над кольцом ZAab можно
представить в виде detJ = ±g(y1 − 1) · . . . · (ym − 1)(am+1 − 1) · . . . · (an − 1) для некоторого g ∈ Aab . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G — некоторая n-порожденная группа, m 6 6 n, g1 , . . . , gn ∈ G. Множество элементов {g1 , . . . , gm } обладает свойством (∗), если любой IA-эндоморфизм ϕ группы G такой, что ϕ(gi ) = gi , i = 1, . . . , m, является автоморфизмом группы G. В § 2 доказаваются теоремы 3 и 4. n Q ∗ A — метабелево произведение своТЕОРЕМА 3. Пусть A = σι2 i i=1
бодных абелевых групп конечных рангов, n > 2. Тогда
1) существует система элементов {g1 , . . . , gn−1 } группы A со свойством (∗); 2) никакая система элементов {g1 , . . . , gn−2 } не обладает свойством (∗); 3) система элементов {g1 , . . . , gn−1 } группы A обладает свойством (∗) в том и только том случае, если все элементы принадлежат коммутанту A′ и независимы над кольцом ZAab . n Q ∗ A — метабелево произведение абеТЕОРЕМА 4. Пусть A = σι2 i i=1
левых групп без кручения конечных рангов, n > 2. Тогда тестовый ранг группы A равен n − 1.
§ 1. Доказательство теоремы 2 В этом параграфе переменные i, j, r, s принимают следующие значения: i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n; r = 1, . . . , m; s = m + 1, . . . , n. n S Bi . Группа A хопфова, следовательно, ϕ ∈ AutA тогда Пусть B = i=1
и только тогда, когда грhϕ(b) | b ∈ Bi совпадает с A. По теореме 1 элементы ϕ(b) порождают группу A тогда и только тогда, когда элементы τb = D1 (ϕ(b))t1 + . . . + Dn (ϕ(b))tn
Критерий обратимости эндоморфизмов
571
порождают ZAab -модуль L = ZAab ∆1 t1 + . . . + ZAab ∆n tn . При m = 0, A является свободной метабелевой группой с базисом a1 , . . . , an . В этом случае Di (yj ) = (ai −1)∂i yj . Как следует из [16] элементы y1 , . . . , yn порождают свободную метабелеву группу тогда и только тогда, когда матрица (∂i yj ) обратима. Другими словами, ϕ ∈ AutA тогда и только тогда, когда det(∂i yj ) ∈ ±Aab . Будем считать, что m > 1. Пусть b ∈ Br . Обозначим через y образ ϕ(b), b 6= bj . Заметим, что [y, yr ] = 1. Используя (2), получим (yr − 1)Di y = (y − 1)Di yr .
(4)
τr = D1 (yr )t1 + . . . + Dn (yr )tn
(5)
Значит, элементы τb и
зависимы над кольцом ZAab . Пусть P — поле частных кольца ZAab . Из (4) и (5) следует τb =
y−1 τr . yr − 1
(6)
Эндоморфизм ϕ принадлежит AutA тогда и только тогда, когда для любого v ∈ L существуют элементы p1 , . . . , pn ∈ ZAab такие, что v = τ1
p1 pm + . . . + τm + τm+1 pm+1 + . . . + τn pn y1 − 1 ym − 1
(7)
и pr ∈ ∆r ZAab . Ясно, что условие ϕ ∈ AutA равносильно тому, что для любого элемента (b − 1)ti , b ∈ Bi , i = 1, . . . , n, существует представление вида (7). Пусть {dr,lr | lr = 1, . . . , qr } — множество порождающих группы Ar . Значит, ϕ ∈ AutA тогда и только тогда, когда для любой матрицы
C=
d1,l1 − 1 0 . . . ...
0
.
.
.
0
0 . . . an − 1
найдется матрица P = (pij ), где pij ∈ ZAab , prj ∈ ∆r ZAab и такая, что
(8)
572
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко
D1 (y1 ) . . . D1 (yn )
p′11
. · p′ . ... . m1 . pn1 Dn (y1 ) . . . Dn (yn )
причем p′rj = prj /(yr − 1).
...
p′1n
...
.
. . . p′mn ...
.
...
pnn
= C,
(9)
Предположим, что условие 1 теоремы выполняется. Опишем в этом случае структуру матрицы J. Заметим, что элементы Di (yr ) делятся на элементы yr − 1. Действительно, элементы yr − 1 и y − 1 взаимно просты. Из (4) получаем Di (yr ) = (yr − 1)αir и αi,r ∈ ∆i ZAab при i 6= r. Кроме того, Ds (yj ) = (as − 1)αsj для некоторых αsj ∈ ZAab , поскольку Ds (yj ) ∈ (As − 1)ZAab и As = грhas i. Следовательно, матрица J имеет вид α1,1 (y1 − 1) . α1,m (ym − 1) . . . αm,1 (y1 − 1) . αm,m (ym − 1) αm+1,1 (y1 − 1)(am+1 − 1) . αm+1,m (ym − 1)(am+1 − 1) . . . αn,1 (y1 − 1)(an − 1) . αn,m (ym − 1)(an − 1) D1 (ym+1 ) . D1 (yn ) . . . Dm (ym+1 ) . Dm (yn ) . αm+1,m+1 (am+1 − 1) . αm+1,n (an − 1) . . . αn,m+1 (am+1 − 1) . αn,n (an − 1)
(10)
Пусть выполняются условия 1 и 2 теоремы. Тогда матрица J пред-
ставима в виде (10). Разделив r-ую строку матрицы J на элемент yr − 1, получим матрицу J′ . Как следует из (9), ϕ ∈ AutA тогда и только тогда, ˜ = (˜ когда для любой матрицы C вида (8) найдется матрица P pij ), где p˜ij ∈ ZAab , p˜rj ∈ ∆r ZAab и такая, что ˜ = C. J′ · P
(11)
Критерий обратимости эндоморфизмов
573
По предположению det(J′ ) = ±g(am+1 − 1) . . . (an − 1). Пусть
C′ =
d1,l1 − 1 . . . .
...
0
...
0
...
.
...
0
...
0
0 ... 0
dm,lm − 1 0 . . . 0 . 0 1 ... 0 . ... 0 0 ... 1 .
...
Разделим s-ый столбец матрицы J′ на элемент as − 1, обозначим полученную матрицу через J′′ . Так как условие 2 справедливо, то det(J′′ ) ∈ ∈ ±Aab . Уравнение (11) эквивалентно уравнению ˜ = C′ . J′′ P
(12)
В силу det(J′′ ) ∈ ±Aab , уравнение (12) имеет решение, а используя строение матрицы J, нетрудно убедиться в том, что p˜rj ∈ ∆r ZAab Таким образом, достаточность условий доказана. Обратно, предположим, что ϕ является автоморфизмом группы A. Понятно, что условие 2 теоремы выполняется. Следовательно, матрицу J можно представить в виде (10). Для каждой матрицы C вида (8) существует решение P = (pij ), pij ∈ ZAab , уравнения (12). Отсюда, det(J′′ ) делит det(C′ ) для любых dr,lr ∈ Br . Ясно, что элементы (b1 − 1) . . . (bm − 1) и (b′1 − 1) . . . (b′m − 1) взаимно просты, как только b′r ∈ Br и b′r 6= br . Следовательно, det(J) = (y1 − 1) . . . (ym − 1)(am+1 − 1) . . . (an − 1) · det(J′′ ) = ±g(y1 − 1) . . . (ym − 1)(am+1 − 1) . . . (an − 1) для некоторого g ∈ Aab . Теорема доказана. § 2. Доказательства теорем 3 и 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A — метабелево произведение абелевых групп Ai , i = 1, . . . , n, Bi — множество порождающих группы Ai , c —
574
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко
некоторый элемент из коммутанта A′ , а µ1 , . . . , µn — элементы из кольца ZAab . Эндоморфизм ϕ = ϕ(c, µ1 , . . . , µn ) ϕ = {b → c−µi bcµi | b ∈ Bi , i = 1, . . . , n} группы A будем называть S-эндоморфизмом, соответствующим µi и c. ЛЕММА 1. Пусть A =
n Q
i=1
∗ A σι2 i
— метабелево произведение абеле-
вых групп без кручения конечных рангов, ϕ — некоторый S-эндоморфизм группы A, соответствующий c ∈ A′ и µ1 , . . . , µn . Эндоморфизм ϕ принадлежит AutA тогда и только тогда, когда элемент 1 + µ1 D1 (c) + . . . + µn Dn (c) из кольца ZAab обратим. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко проверить, что Di (c−µj aj cµj ) = Di (aj ) + (aj − 1)µj Di (c). Следовательно,
(a1 − 1)(1 + µ1 D1 (c))
(a1 − 1)µ1 D2 (c)
...
(a1 − 1)µ1 Dn (c)
.
.
...
.
(an − 1)µn D1 (c)
(an − 1)µn D2 (c)
...
(an − 1)(1 + µn Dn (c))
(Di yj ) =
.
Напомним, что D1 g + . . . + Dn g = g − 1 для любого элемента g ∈ A. Следовательно, D1 c + . . . + Dn c = 0.
(13)
Используя (13), получим det(Di (yj )) = (1 + µ1 D1 c + . . . + µn Dn c)(a1 − 1) . . . (an − 1). По теореме 2, ϕ ∈ AutA тогда и только тогда, когда det(Di (yj )) = ±g(a1 − −1) . . . (an − 1). Лемма доказана. ЛЕММА 2. Пусть A =
n Q
i=1
∗ A σι2 i
— метабелево произведение абе-
левых групп без кручения конечных рангов, {c1 , . . . , cm } — элементы из коммутанта A′ , λ ∈ ZAab . Преобразования T 1, T 2, T 3 сохраняют свойство (∗), где
Критерий обратимости эндоморфизмов
575
T 1: замена ci на ci cλj , i 6= j; T 2: замена ci на cλi , λ 6= 0; T 3: замена cλi на ci , λ 6= 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ZAab — кольцо без делителей нуля. Используя вложение Шмелькина группы A в группу матриц, легко проверить, что ZAab -модуль A′ не имеет кручения. Отсюда следует требуемое. ЛЕММА 3. Пусть A =
n Q
i=1
∗ A σι2 i
— метабелево произведение
абелевых групп без кручения конечных рангов, а система элементов {g1 , . . . , gm } обладает свойством (∗). Тогда для любых элемента c ∈ A′ и решения µ1 , . . . , µn ∈ ZAab системы уравнений µ1 D1 (gj ) + . . . + µn Dn (gj ) = 0, j = 1, . . . , m,
(14)
выполняется равенство µ1 D1 (c) + . . . + µn Dn (c) = 0.
(15)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть µ1 , . . . , µn — решение системы уравнений (14), c — некоторый элемент из A′ . Рассмотрим S-эндоморфизм ϕ группы A, соответствующий µ1 , . . . , µn и c. Пусть ai1 , . . . , airi — базис группы Ai , r = r1 + . . . + rn , g = g(a11 , . . . , anrn ) — элемент из группы A. Используя (1) и (3), найдем образ элемента g: ϕ(g) = g(c−µ1 a11 cµ1 , . . . , c−µn anrn cµn ) = c(a11 −1)µ1 ∂1 g+...+(anrn −1)µn ∂r g · g = cµ1 D1 (g)+...+µn Dn (g) · g. Значит, ϕ(gj ) = gj для всех j = 1, . . . , m. Напомним, что ϕ ∈ IEndA и система элементов {g1 , . . . , gm } обладает свойством (∗). Следовательно, ϕ ∈ AutA. Из леммы 1 следует, что для любого элемента c ∈ A′ выполняется условие 1 + µ1 D1 (c) + . . . + µn Dn (c) ∈ ±Aab . Так как элементы Di (c) принадлежат фундаментальному идеалу кольца ZAab , то найдется элемент gc ∈ Aab такой, что µ1 D1 (c) + . . . + µn Dn (c) = gc − 1.
576
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко
Предположим, что для некоторого c ∈ A′ , элемент gc отличен от единицы. Пусть t ∈ ZAab . Элементы µ1 t, . . . , µn t удовлетворяют равенству (14) для любого t. Следовательно, условие (µ1 D1 (c) + . . . + µn Dn (c)) · t = h − 1 должно выполняться для любых c ∈ A′ и h ∈ Aab . Значит, (gc −1)t+1 ∈ Aab для всех t ∈ ZAab , что невозможно (например, для t = gc − 1). Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 3. Пусть Bi — базис группы Ai , ai — некоторые фиксированные элементы из Bi , i = 1, . . . , n. 1. Проверим, что множество элементов [a1 , a2 ], . . . , [a1 , an ] обладает свойством (∗). Пусть ϕ ∈ IEndA и ϕ([a1 , ai ]) = [a1 , ai ] для i = 2, . . . , n. Каждый элемент c ∈ A′ можно представить в виде Y c= [bi , bj ]γij , 16i6j6n
где be ∈ Be , γij ∈ ZAab . Для всех элементов x, y, z метабелевой группы выполняется равенство [x, y]1−z [x, z]y−1 [y, z]1−x = 1. Следовательно, для любых bi ∈ Bi и bj , b′j ∈ Bj имеет место соотношение ′
[bi , bj ]1−bj [bi , b′j ]1−bj = 1. Значит, существует элемент 0 6= γ ∈ ZAab такой, что n Y [a1 , ai ]δi c = γ
i=2
для некоторого δi ∈ ZAab . Таким образом, эндоморфизм ϕ действует тождественно на коммутанте A′ . Легко проверить, что ϕ ∈ AutA. Действительно, пусть g =c·
Y
bα(b) ,
b∈B
где c ∈
A′ ,
α(b) ∈ Z — некоторый элемент из группы A. Пусть ! Y Y α(b) bα(b) , b =d· ϕ b∈B
b∈B
Критерий обратимости эндоморфизмов
577
d ∈ A′ . Положим c′ = cd−1 . Тогда ! Y Y Y α(b) ′ bα(b) = g. bα(b) = c b = cd−1 d · ϕ c b∈B
b∈B
b∈B
Следовательно, ϕ(A) = A, т. е. ϕ ∈ IAut(A). 2. Проверим, что любая система элементов {g1 , . . . , gn−2 } группы A не обладает свойством (∗). Предположим противное, т. е. для некоторой системы {g1 , . . . , gn−2 } выполняется свойство (∗). Рассмотрим систему уравнений µ1 D1 (gj )+, . . . , +µn Dn (gj ) = 0, j = 1, . . . , n − 2,
(16)
над кольцом ZAab . Эта система имеет по крайней мере два линейно независимых решения. По лемме 3 для каждого c ∈ A′ справедливо µ1 D1 (c) + . . . + µn Dn (c) = 0.
(17)
Пусть c пробегает множество коммутаторов [a1 , a2 ], . . . , [a1 , an ]. Тогда каждое решение системы (16) должно удовлетворять уравнениям µ1 D1 ([a1 , ai ]) + . . . + µn Dn ([a1 , ai ]) = 0, i = 1, . . . , n.
(18)
Элементы D1 ([a1 , ai ])t1 + . . . + Dn ([a1 , ai ])tn свободного ZAab -модуля T независимы. Следовательно, система (16) не может обладать двумя независимыми решениями и ϕ ∈ /AutA. 3. Предположим, что множество элементов {g1 , . . . , gn−1 } обладает свойством (∗). Пусть µ1 , . . . , µn — ненулевое решение системы уравнений µ1 D1 (gj ) + . . . + µn Dn (gj ) = 0, j = 1, . . . , n − 1.
(19)
По лемме 3 для каждого cj = [a1 , aj ], ai ∈ Bi , i = 1, . . . , n, имеют место равенства µ1 D1 (cj ) + . . . + µn Dn (cj ) = 0. Вычислим производные D1 (cj ) = (a1 − 1)(1 − aj ), Dj (cj ) = (a1 − 1)(aj − 1).
(20)
578
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко
Из (20) получаем µ1 = µ2 = . . . = µn = µ 6= 0. Учитывая (19), имеем D1 (gj ) + . . . + Dn (gj ) = 0.
(21)
С другой стороны, элемент g ∈ A удовлетворяет условию (21) тогда и только тогда, когда g ∈ A′ . Покажем теперь, что элементы {g1 , . . . , gn−1 } независимы над кольцом ZAab . Предположим обратное и пусть, например, λ
n−1 g1λ1 = g2λ2 . . . gn−1
для некоторых λ1 , . . . , λn−1 ∈ ZAab и λ1 6= 0. Как было показано выше, для множества {g2 , . . . , gn−1 } найдется S-эндоморфизм, фиксирующий эти элементы, но не являющийся автоморфизмом. Тогда λ
λ
n−1 n−1 = g1λ1 . ) = g2λ2 . . . gn−1 ϕ(g1λ1 ) = ϕ(g2λ2 . . . gn−1
С другой стороны, ϕ(g1λ1 ) = ϕ(g1 )λ1 , следовательно, ϕ(g1 ) = g1 . Таким образом, эндоморфизм ϕ оставляет неподвижными все элементы g1 , . . . , gn−1 , но не является автоморфизмом. Обратно, предположим, что свойство 3 теоремы выполняется для системы элементов {g1 , . . . , gn−1 }. Выберем λj 6= 0, j = 1, . . . , n − 1, так, чтобы λ
gj j =
Y
[a1 , al ]λlj
1
для некоторых λlj ∈ ZAab . Рассмотрим матрицу λ(n−1)×(n−1) = (λlj ). Элементы g1 , . . . , gn−1 независимы. Следовательно, матрица λ невырождена. Тогда существует цепочка преобразований T 1, T 2, T 3, переводящая множество элементов {g1 , . . . , gn−1 } во множество {[a1 , a2 ], . . . , [a1 , an ]}. Поскольку система элементов {[a1 , a2 ], . . . , [a1 , an ]} обладает свойством (∗), для завершения доказательства теоремы достаточно сослаться на лемму 2. СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть A = A1 ∗σι2 A2 — метабелево произведение двух нетривиальных абелевых групп без кручения конечных рангов. Элемент g ∈ A обладает свойством (∗) тогда и только тогда, когда 1 6= g ∈ A′ .
Критерий обратимости эндоморфизмов
579
Очевидно, если хотя бы один из сомножителей метабелева произведения является бесконечно порожденной абелевой группой, то группа A не обладает системами элементов со свойством (∗). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 4. Напомним, что Bi — базис группы n S Bi . Выберем порядок на множестве B: положим bi < bj , если Ai , B = i=1
bi ∈ Bi , bj ∈ Bj , i < j. Внутри множества Bi при i = 1, . . . , n выберем произвольный порядок. Пусть ai — первый элемент из множества Bi , N — множество положительных целых чисел. Определим отображение m : B → → N, удовлетворяющее условию m(b) > m(b′ ) + 1 для всех b > b′ ∈ B. Положим vi =
Y
(1 − b)m(b) , i = 1, . . . , n,
b∈Bi
cj = [a1 , aj ]v1 vj , j = 2, . . . , n. Элемент ϕ(b) обозначим через y, ϕ(ai ) — через yi , а множество {ϕ(b) | b ∈ ∈ B} — через Y . Проверим, что {c2 , . . . , cn } является тестовым множеством. Пусть [a1 , aj ]v1 vj = [y1 , yj ]v1 (y)vj (y) ,
(22)
где j = 2, . . . , n и vj (y) означает результат подстановки y вместо b в слове vi . Вычисляя обобщенную производную D1 от левой и правой частей (22), получим (a1 − 1)(1 − aj )v1 vj = D1 ([y1 , y2 ])v1 (y)vj (y).
(23)
Элементы ϕ(b) примитивны в группе Aab . Действительно, предположим, что существуют элементы b ∈ B и w ∈ Aab такие, что ϕ(b) = wl , l > 1. Тогда элемент 1 + w + . . . + wl−1 делит левую часть (23). Все делители левой части равенства (23) принадлежат к разностному идеалу кольца ZAab . Кроме того, ε(1 + w + . . . + wl−1 ) = l 6= 0. Следовательно, элементы 1 − y неразложимы для всех y ∈ Y . Таким образом, из (23) следует, что каждый элемент y равен некоторому b или b−1 , b ∈ B. Пусть m(b0 ) — наибольшее из чисел {m(b) | b ∈ B}. Тогда правая часть (23) содержит множитель (y0 − 1)m(b0 ) . Этот же множитель должен
580
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко
входить в левую часть (23). С другой стороны, только элемент (b0 −1) входит в левую часть с наибольшим показателем. Другими словами, ϕ(b0 ) = 2 2 b0 или ϕ(b0 ) = b−1 0 в группе Aab . Итак, ϕ ∈ IEndA. Заметим, что ϕ остав-
ляет неподвижными все элементы {c2 , . . . , cn }. По теореме 3, ϕ2 ∈ AutA, следовательно, ϕ ∈ AutA. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ 2 [11]. Тестовый ранг свободной метабелевой группы ранга n > 2 равен n − 1. ЗАМЕЧАНИЕ. В [17] поставлен следующий вопрос: для данных 1 6 6 m 6 n привести пример группы G ранга n и тестового ранга m, отличный от группы Fr × Gl . Теорема 3 позволяет решить эту задачу. Пусть A =
m+1 Q i=1
∗ A , σι2 i
где
Aj = haj i, j = 1, . . . , m, Am+1 = ham+1 , . . . , an i — свободные абелевы группы. Тогда ранг группы A равен n, а тестовый ранг равен m.
ЛИТЕРАТУРА 1. К. Кроуэлл, Р. Фокс, Введение в теорию узлов, М., Мир, 1967. 2. Н. С. Романовский, О вложении Шмелькина для абстрактных и проконечных групп, Алгебра и логика, 38, N 5 (1999), 598—612. 3. А. Л. Шмелькин, О свободных произведениях групп, Матем. сб., 79, N 4 (1969), 616—620. 4. А. Л. Шмелькин, О некоторых фактор-группах свободного произведения, Тр. семинара им. Петровского, N 5 (1979), 209—216. 5. J. Nielsen, Die Isomorphismen der allgemeinen unendlishen Gruppe mit zwei Erzeugenden, Math. Ann., 78 (1918), 269—272. 6. Р. Линдон, П. Шупп, Комбинаторная теория групп, М., Мир, 1980. 7. V. Shpilrain, Recognizing automorphisms of the free groups, Arch. Math., 62, N 5 (1994), 385—392. 8. V. Shpilrain, Test elements for endomorphisms of free groups and algebras, Isr. J. Math., 92, N 1-3 (1995), 307—316. 9. E. Turner, Test words for automorphisms of free groups, Bull. Lond. Math. Soc., 28, N 3 (1996), 255—263.
Критерий обратимости эндоморфизмов
581
10. Е. И. Тимошенко, Тестовые элементы и тестовый ранг свободной метабелевой группы, Сиб. матем. ж., 41, N 6 (2000), 1451—1456. 11. В. А. Романьков, О тестовых элементах свободных разрешимых групп ранга 2, Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 192—201. 12. Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко, О тестовом ранге некоторых свободных полинильпотентных групп, Алгебра и логика, 42, N 1 (2003), 20—28. 13. Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко, О порождающих элементах групп вида F/R′ , Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 137—143. 14. P. V. Ushakov, On embeddings of Bachmuth type, Comm. Algebra, 31, N 3 (2003), 1059—1085. 15. S. Bachmuth, Automorphisms of free metabelian groups, Trans. Am. Math. Soc., 118 (1965), 93—104. 16. J. S. Berman, An inverse function theorem for free groups, Proc. Am. Math. Soc., 41, N 2 (1973), 634—638. 17. B. Fine, G. Rosenberger, D. Spellman, M. Stille, Test words, generic elements and almost primitivity, Pac. J. Math., 190, N 2 (1999), 277—297.
Поступило 30 сентября 2003 г. Окончательный вариант 9 апреля 2004 г. Адреса авторов: GUPTA Chander Kanta, Department of Mathematics, University of Manitoba, Winnipeg R3T 2N2, CANADA. ТИМОШЕНКО Евгений Иосифович, ул. Никитина, д. 62, кв. 29. г. Новосибирск, 630008, РОССИЯ. Тел.: (3832) 66-20-31. e-mail:
[email protected]
