Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии: Учебное пособие

Пензенский государственный университет Кафедра математики и математического моделирования

А.И. Долгарев Краткий курс

ЕВКЛИДОВОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ПЕНЗА 2005

Удк 514 Д

Долгарев А.И. Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии: учебное пособие. – Пенза, ПГУ, 2005. – 112с. Учебное пособие содержит следующие разделы: (1) Основные понятия геометрии – векторную аксиоматику Г. Вейля аффинной геометрии, основные свойства прямых и плоскостей; скалярное произведение векторов и пространства со скалярным произведением, в основе их лежит аффинное пространство: евклидово, псевдоевклидово, галилеево; понятие многообразий – евклидова, псевдоевклидова, галилеева; понятие метрического пространства. (2) Евклидова дифференциальная геометрия и топология – геометрия кривых и поверхностей, элементы внутренней геометрии поверхностей, первые понятия топологии. (3) Элементы собственной геометрии поверхностей – вводится понятие одуля Ли геометрических преобразований; геодезические рассматриваются как траектории преобразований, линии постоянных кривизн как траектории движений; поверхности траекторий как аналог аффинных плоскостей; геодезические координаты на поверхностях. Учебное пособие предназначено студентам второго курса университета, содержит весь материал, предусмотренный программой. Изложение сжато и оригинально. Понятия невклидовых многообразий в разделе (1) и раздел (3) в учебной литературе рассматриваются впервые.

© Долгарев А.И. 2005.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ЧАСТЬ I АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Глава 1. Основные

аффинные понятия

§ 1. Аффинное пространство 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

ТОЧКИ И ВЕКТОРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 ВЕКТОРНАЯ АКСИОМАТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 9 КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 10 ПОДПРОСТРАНСТВА, ОБОЛОЧКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 КООРДИНАТЫ ТОЧЕК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..13

§ 2. Прямые и плоскости. 2.1. 2.2.

ПРЯМЫЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ПЛОСКОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

§ 3. Преобразования аффинного пространства 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

ГРУППА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ГРУППА ЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОЖЕСТВ . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 КОЛЛИНЕАЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА . .21 МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ 2-МЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА . . ... 24

Глава 2. Основные

понятия евклидовой геометрии

§ 4. Пространства со скалярным произведением 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 НОРМА ВЕКТОРОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 ЕВКЛИДОВО (СОБСТВЕННО ЕВКЛИДОВО) СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ПСЕВДОЕВКЛИДОВО СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ . . . . . . .29 ГАЛИЛЕЕВО СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ . . . . . . . . . .. . . . . .30 ГАЛИЛЕЕВА НОРМА ВЕКТОРОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .32 НОРМА (МЕТРИКА) НА МНОЖЕСТВЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

§ 5. Векторные функции. 5.1. 5.2.

ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

§ 6. Евклидовы точечные пространства 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

ПОЛУЧЕНИЕ ЕВКЛИДОВЫХ ТОЧЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ . . . . . . . . . . . . . 35 СОБСТВЕННО ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 36 ПСЕВЛОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..40 ГАЛИЛЕЕВО ПРОСТРАНСТВО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .41 ПОЛУЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

§ 7. Многообразия. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 МНОГООБРАЗИЕ . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..45 ПСЕВДОЕВКЛИДОВО МНОГООБРАЗИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..45 ГАЛИЛЕЕВО МНОГООБРАЗИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Ч А С Т Ь II ЕВКЛИДОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

Глава 3. Евклидова

дифференциальная геометрия

§ 8. Кривые евклидова пространства. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6.

РЕГУЛЯРНАЯ КРИВАЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 ДЛИНА ДУГИ. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ПАРАМЕТР КРИВОЙ . .. .. . . . . . . . . . . . . . 49 КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ И НОРМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ КРИВОЙ . . . . . 50 КАСАТЕЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ И КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ . . . . . .51 СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 51 СОПРОВОЖДАЮЩИЙ РЕПЕР КРИВОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

§ 9. Кривизна и кручение кривой 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9.

КРИВИЗНА КРИВОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 КРКУЧЕНИЕ КРИВОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 53 ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 УПЛОЩЕНИЕ КРИВОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ КРИВОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ПРЯМАЯ, ОКРУЖНОСТЬ, ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. 57 ЗАДАНИЕ КРИВОЙ ФУНКЦИЯМИ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ . . . . . . . . . . 57 ЛИНИИ ПОСТОЯННЫХ КРИВИЗН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОБЫКНОВЕННОЙ ТОЧКИ . . . . . . .. . . . . . . .. 58

4

§ 10. Поверхности евклидова пространства 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5.

РЕГУЛЯРНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ ПОВЕРХНОСТИ. . . . . . . . . . . . 61 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . 62 МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 62

§ 11. Кривизна поверхности. 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6.

КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ИНДИКАТРИСА КРИВИЗНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 КЛАССФИКАЦИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ТОЧЕК ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . . .66 ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛНОЙ И СРЕДНЕЙ КРИВИЗН ПОВЕРХНОСТИ .. . . . . . 68 ПЛОСКОСТЬ, СФЕРА, ПСЕВДОСФЕРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Глава 4. Основные

понятия внутренней геометрии поверхности

§ 12. Об определяемости поверхности. 12.1. 12.2. 12.3.

О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . 73

§ 13. Геодезическая кривизна поверхности. 13.1. 13.2.

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ .. .. . . . . . . . . . 74 ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

Глава 5. Элементы

топологии

§ 14. Основные понятия топологического пространства. 14.1. 14.2. 14.3.

МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . .76 НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГОМЕОМОРФИЗМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 ОТДЕЛИМОСТЬ. КОМПАКТНОСТЬ. СВЯЗНОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..79

§ 15. О замкнутых поверхностях. 15.1. 15.2.

РАЗРЕЗАНИЕ И СКЛЕИВАНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССФИКАЦИИ ЗАМКНУТЫХ КОМПАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ БЕЗ ГРАНИЦЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

5

Ч А С Т Ь III ОДУЛИ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Глава 6.

Одули Ли преобразований.

§ 16. Разрешимые 3-мерные одули Ли 16.1. 16.2. 16.3. 16.4. 16.5. 16.6. 16.7. 16.8. 16.9.

ОДУЛИ . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ОДУЛИ ЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2-МЕРНЫЕ ОДУЛИ ЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .83 3-МЕРНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ОДУЛИ ЛИ . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 ГЕНЕТИЧЕСКИЙ КОД ОДУЛЯ ЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . 87 ПОДОДУЛИ ОДУЛЕЙ ЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..88 ПОРОЖДАЕМОСТЬ ОДУЛЕЙ ЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..90 ПОДОДУЛИ АФФИННОГО ОДУЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 ОДУЛИ ЛИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . 93

§ 17. Вейлевские одулярные пространства 17.1. 17.2. 17.3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙЛЕВСКОГО ОДУЛЯРНОГО ПРОСТРАНСТВА . . . . . .94 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ ВО-ПРОСТРАНСТВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..95 ВО-ПРОСТРАНСТВА С ГАЛИЛЕЕВОЙ МЕТРИКОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Глава 7. Траектории

и пoверхности траекторий.

§ 18. Траектории преобразований 18.1. 18.2. 18.3.

УРАВНЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 ПРИМЕРЫ ТРАЕКТОРИЙ . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .99 СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .101 18.4. ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 102

§ 19. Поверхности траекторий 19.1 19.2 19.3 19.4

ОДУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 103 ПРИМЕРЫ ОДУЛЯРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТРАЕКТОРИЙ . .. . . . . . . . . . . 104 СОБСТЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОДУЛЯРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 ПОВЕРХНОСТИ С ОДУЛЕМ РАЗМЕРНОСТИ БОЛЬШЕ 2 . . . . . . . . . .. . . . . 109

Цитированная литература

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6

ПРЕДИСЛОВИЕ Дифференциальная геометрия заложена в работах К. Гаусса, Л. Эйлера, Ж. Френе и других математиков. Её методы есть развитие методов дифференциального исчисления применительно к геометрическим исследованиям. Изучает дифференциальная геометрия свойства кривых и поверхностей евклидова пространства, которые рассматриваются локально. Возможно распространение методов евклидовой геометрии на псевдоевклидову и галилееву геометрии, в связи с чем указываем основные понятия этих геометрий. Обобщением дифференциальной геометрии является риманова геометрия, но это направление мы не рассматриваем. Приводится обзор внутренней геометрии поверхности и указывается альтернативный подход к изучению геометрии поверхности, основанный на преобразованиях. Мы четко указываем используемую аксиоматику. Геометрию строим в векторной аксиоматике Г. Вейля. Основным является аффинное простран-ство, по нему строятся евклидовы пространства. Для обобщения евклидова пространства – топологического простран-ства, приводятся только основные понятия. Часть I является вводной, необходима как база геометрии; многие ее вопросы предназначены для самостоятельного изучения. На лекциях изучаются: векторная аксиоматика, свойства прямых и плоскостей, евклидово скалярное произведение векторов, понятие евклидова простран-ства. Часть II представляет собой основное содержание курса, подробно излагается и комментируется на лекциях, служит базой для специализации в одулярной галилеевой геометрии. Часть III реализует одулярный подход в изучении кривых и поверхностей, завершает лекционный курс и вводит в одулярную специолизацию. Литература по дифференциальной геометрии. 1. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. – М.: изд-во МГУ, 1990. – 384с. 2. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Наука, 1987. – 432с. 3. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Изд. 4. – М., 1958. – 420с.

7

ЧАСТЬ I АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА __________________________________________________________________________

Глава 1

Основные аффинные понятия § 1. Аффинное пространство 1.1. ТОЧКИ И ВЕКТОРЫ. Геометрия впервые была аксиоматезирована Евклидом, в ее основу Евклид положил понятия точки, прямой и плоскости; их основные свойства описаны аксиомами. Системы аксиом геометрии со временем менялись. В настоящее время общепринята векторная аксиоматика, и основными понятиями геометрии теперь являются точка и вектор. Точка никак не определяется. Рассматривается некоторое непустое множество W, его элементы называются точками и обозначаются: A, B, K , M , K. Под векторами понимаются элементы линейного пространства, часто, но не всегда, со скалярным произведением. Векторы могут иметь различную природу, но важны их свойства, которые описываются аксиомами линейного пространства и аксиомами скалярного произведения векторов, т.е. важны свойства векторов относительно операций над ними. Между точками и векторами устанавливается зависимость, описываемая векторной аксиоматикой – аксиоматикой Г.Вейля. Скалярное произведение векторов задает метрические свойства пространства, состоящего из точек, геометрия которого изучается с помощью векторов. r r r Векторы обозначаются o , a , b ,... , линейное пространство обозначается L , векторное пространство, т.е. линейное пространство со скалярным произведением, обозначается V . Множество точек W с некоторыми свойствами, обусловленными векторами, называется пространством. Свойства пространства изучает геометрия. Линейное (соответственно векторное) пространство, определяющее геометрию пространства W , называется линейным (векторным) пространством пространства точек W . Размерностью пространства W называется размерность его линейного (векторного) пространства L . Рассматриваем пространства размерности n, n ≥ 3 . Основой всех пространств с векторной аксиоматикой является пространство точек с линейным пространством, т.е. с пространством, для которого не определено скалярное произведение векторов, и, следовательно, не введены метрические понятия. Такое пространство называется аффинным, его обозначение A или A n , n - размерность, линейное пространство аффин-

8

ного пространства обозначается Ln . Прямые, плоскости и вообще, k плоскости аффинного пространства ( k − мерные подпространства) остаются прямыми, плоскостями, k -плоскостями всякого пространства после введения метрики. 1.2. ВЕКТОРНАЯ АКСИОМАТИКА. Заданы: множество точек A и линейное пространство Ln над полем Π . Поле Π может быть любым, мы рассматриваем поле R действительных чисел. Также задано отображение

λ : A × A → Ln пар точек в линейное пространство Ln , т.е. всякой упорядоченной паре ( A, B ) точек соответствует единстr r венный вектор v , пишем: AB = v ; отображение λ удовлетворяет аксиомам Г.Вейля: r (в.1) для всякой точки А rи всякого вектора v существует единственная точка В, что AB = v ; r r r r (в.2) для любых трех точек А, В, С, если AB = v , AC = u , то AC = v + u . Множество A называется аффинным пространством; векторы из Ln называются векторами аффинного пространства A . Справедливо 1.2.1.СВОЙСТВО. Для любых трех r точек А,В,С: r r АВ+ВС=АС; если AB = v , то BA = −v ; AA = o . Различные варианты векторной аксиоматики геометрии можно найти в [1 - 4]. Г. Вейль впервые опубликовал свою аксиоматику в 1918 году в книге «Пространство, время, материя» – это его лекции по общей теории относительности А. Эйнштейна, [5]. 1.3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Множество L , элементы которого называются векторами, называется линейным пространством над полем R , если определены линейные операции (а) сложения векторов и (б) умножения векторов на числа, удовлетворяющие аксиомам: r r (L.1) a + b вектор; r r r r r r (L.2) ( a + b ) + c = a + (b + c ) ; r r r r r (L.3) существует нулевой вектор o : a + o = a для всех векторов a ; r r a существует противоположный вектор − a , (L.4) для всякого вектора r r r a + (−a ) = o ;

9

r

r r

r

r

r

(L.5) br+ a = a + b ; (L.6) ta rвектор, r t ∈rR ; r r r (L.7) 1 ⋅ a = a , ( −1) a = − a , 0a = o ; r r r (L.8) (t + s )a = ta + sa ;

r

r

(L.9) t ( a + b ) = ta + tb ; r r (L.10) s (ta ) = ( st )a . Операция + сложения векторов является внутренней; операция умножения векторов на числа является внешней, ее обозначение ω R (+ ) , в котором учитывается, что свойства внешней операции связаны со свойствами внутренней операции. Обозначение линейного пространства: L = (L,+, ω R (+ )) . Относительно внутренней операции линейное пространство является абелевой, т.е. коммутативной группой, таким образом, (L,+) – абелева группа. (Аксиомы (L.1) – (L.5) определяют группу.)

r r

r

Пусть a1 , a2 ,..., am векторы, t1 , t 2 ,..., t m числа. Применяем линейные операции: r r r t1a1 + t 2 a2 + ... + t m am , результатом операций является вектор, обозначим его: r r r r t1a1 + t 2 a2 + ... + t m am = b .

r

Вектор b называется линейной комбинацией данного множества векторов r r r a1 , a2 ,..., am , числа t1 , t 2 ,..., t m называются коэффициентами линейной

r

r

комбинации. Если b = o и существуют коэффициенты ti , i = 1,2,..., m , отr r r личные от нуля, то векторы a1 , a2 ,..., am называются линейно зависимыми.

r

r

Если из равенства b = o следует ti = 0 для всех i , то векторы r r r a1 , a2 ,..., am называются линейно независимыми. Возможно, что для линейного пространства L выполняются еще аксиомы размерности: (L.11) в линейном пространстве существует n линейно независимых векторов; (L.12) всякие n + 1 векторов линейного пространства являются линейно зависимыми. В этом случае линейное пространство L называется n − мерным и обозначается Ln . Число n называется размерностью линейного пространства.

r r

r

1.4. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ. Пусть e1 , e2 ,..., en n − мерные r линейно независимые векторы, a произвольный вектор. Множество n + 1

10

r r

r r

векторов e1 , e2 ,..., en , a является линейно зависимым, значит, имеется лиr r r r r нейная комбинация t1e1 + t 2 e2 + ... + t n en + ta = o , в которой t ≠ 0 ; получаем разложение

r r r r a = x1e1 + x 2e2 + ...x n en ,

коэффициенты которого определяются однозначно. Упорядоченное множество векторов r r r Б =( e1 , e2 ,..., en ) называется

базисом

линейного пространства Ln , числа кортежа

r ( x1 , x 2 ,..., x n ) называются координатами вектора a в базисе Б , обозна-

чение координат вектора

r a = ( x1 , x 2 ,..., x n ) .

Координаты векторов базиса: r r r e1 = (1,0,...,0) , e2 = (0,1,...,0) ,…, en = (0,0,...,1) . Линейные операции над векторами в координатах таковы:

( x1 , x 2 ,..., x n ) + ( y1 , y 2 ,..., y n ) = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n ) ;

t ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ( x1t , x 2t ,..., x nt ) , t ∈ R . Линейное пространство Ln обладает бесконечным множеством баr r r зисов. Пусть Б′ =( e1′, e2′ ,..., en′ ) еще один базис. Обозначим координаты r векторов e ′j , j = 1,2,..., n , в базисе Б :

r e ′j = (c1j , c 2j ,..., c nj ) = (c ij ) , i = 1,2,..., n . r Запишем координаты векторов e ′j в виде столбцов матрицы

⎛ c11 ⎜ ⎜ c2 C =⎜ 1 ⎜ ... ⎜ n ⎝ c1

... c1n ⎞⎟ c22 ... cn2 ⎟ ⎟. ... ... ... ⎟ c2n ... cnn ⎟⎠ Это матрица перехода от базиса Б к базису Б′ , матрица замены базиса. Векторы базиса Б′ линейно независимы, поэтому det C ≠ 0 . Обозначим r r координаты вектора a в базисе Б : a = ( x1 , x 2 ,..., x n ) и в базисе Б′ : r a = ( x′1 , x′2 ,..., x′ n ) . Тогда c12

11

⎛ x1 ⎞ ⎛ x′1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ x′ 2 ⎟ = C ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. ... ⎜ ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ xn ⎟ ⎜ x′ n ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Это формулы замены координат векторов при переходе от базиса Б к базису Б′ . Обратной замене соответствует равенство

⎛ x′1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ x′ 2 ⎟ −1 ⎜ x ⎟ = C ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. ... ⎜ ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ x′ n ⎟ ⎜ xn ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1.5. ПОДПРОСТРАНСТВА, ОБОЛОЧКИ. Подмножество L1 векторов из L называется подпространством линейного пространства L , если относительно операций на L подмножество L1 является линейным пространством. Обозначение L1 ≤ L указывает, что L1 есть подпростран-

r r

r

r

r

ство пространства L . Если a , b ∈ L1 , то a + b ∈ L1 и ta ∈ L1 , t ∈ R . Для

r r

r

r

r

r

r

векторов a1 , a2 ,..., am из L1 также вектор t1a1 + t 2 a2 + ... + t m am = b соr держится в L1 . Нулевое подпространство состоит из нулевого вектора o . Тривиальными подпространствами всякого линейного пространства являются: нулевое пространство и само пространство. r r r Пусть векторы фиксированы в a1 , a2 ,..., am L, r r r t1a1 + t 2 a2 + ... + t m am всевозможные линейные комбинации данных векторов. Множество указанных линейных комбинаций является подпространством линейного пространства L , оно называется оболочкой или r r r линейной оболочкой векторов a1 , a2 ,..., am ; обозначение оболочки векторов r r r a1 , a2 ,..., am . Размерность оболочки не превосходит m ; если данные векторы линейно независимы, то размерность их оболочки равна m . r Всякий ненулевой вектор a порождает 1-мерную оболочку. Имеем: r r a = {ta | t ∈ R},

r

r

r

т.е. оболочка a вектора a состоит из векторов ta для всех t ∈ R ; затем

12

{

}

r r r r a , b = ua + vb | (u , v) ∈ R 2 ,

r r a , b линейно независимы; и так далее. Для любого ненулевого вектора r r c ∈ a выполняется r r c = a ; r r r r для любых линейно независимых векторов c , d из a , b верно r r r r c , d = a, b . Если L1 и L 2 подпространства линейного пространства L , то L1 I L 2 и L1 U L 2 подпространства линейного пространства L . Если r L1 I L 2 = {o} , то L1 U L 2 = L1 + L 2 – прямая сумма подпространств. Вся-

r

кий вектор c из

r r a ∈ L1 , b ∈ L 2 .

r r L1 + L 2 однозначно записывается в виде a + b , где

Подпространство L1 пространства L является подгруппой в (L,+ ) . r Множества векторов x + L1 – смежные классы группы (L,+ ) по подгруппе L1 , называются линейными многообразиями линейного пространства L. 1.6. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК. Множество, состоящее из точки аффинноn n

го пространства A и базиса его линейного пространства L , называется

репером аффинного пространства A n . Точку обозначаем O и называем r r r началом репера, базис – Б =( e1 , e2 ,..., en ), тогда репер есть r r r B = (O, e1 , e2 ,..., en ) . Согласно аксиоматике Г. Вейля, п. 1.2, паре точек (O, M ) соответствует r r единственный вектор m . Точка O и вектор m определяют единственную

r

r

точку M . Пусть m = ( x1 , x 2 ,..., x n ) в базисе Б , OM = m . Координатами точки M в репере B называются координаты вектора OM в базисе Б . Обозначение координат точек:

M ( x1 , x 2 ,..., x n ) или M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) . Если A = (a1 , a 2 ,..., a n ) и B = (b1 , b 2 ,..., b n ) две точки аффинного пространства, то на основании векторного равенства AB = AO + OB = − OA + OB и операций над векторами получаем

AB = (b1 − a1 ,b 2 − a 2 ,..., b n − a n ) .

13

Зная, как заменяются координаты векторов при переходе от одного базиса к другому, п. 1.4, можно получить формулы замены координат точек при переходе от одного репера к другому. Если в репере B :

M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) и в репере B′ : M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , то

⎛ x′1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x′ 2 ⎟ ⎜ b 2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ C = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ... ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x′ n ⎟ ⎜ b n ⎟ ⎜ xn ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ где C матрица замены базиса, O′ = (b1 , b 2 ,..., b n ) координаты в репере B начала O′ репера B′ . § 2. Прямые и плоскости. 2.1. ПРЯМЫЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА. Прямая аффинного пространства определяется точкой и ненулевым вектором. Пусть A r пространства. Они задают пряточка и m ненулевой вектор аффинного r мую, которая обозначается < A, m > . Точка M принадлежит прямой r r < A, m > , если и только если вектор AM коллинеарен вектору m , а в этом r есть множество точек случае AM = tm . Значит, прямая r r < A, m > = {m | AM = tm, t ∈ R}. r r Оболочка < m > называется линейным пространством прямой < A, m > r или направлением прямой, векторы из < m > называются векторами пряr мой < A, m > . Прямая является 1-мерным аффинным пространством – 1мерным подпространством аффинного пространства. Справедливы следующие свойства. r r r r r 2.1.1. СВОЙСТВО. Если B ∈ < A, m > и p ∈ < m > , p ≠ o , то r r < B, p > = < A, m > . # 2.1.2. СВОЙСТВО. Всякие две различные точки определяют единственную прямую. # Если это точки A и B то имеется прямая 〈 A, AB〉 . Прямые, имеющие общие ненулевые векторы, называются паралr r лельными. Параллельны прямые < A, m > и < B, m > . 2.1.3. СВОЙСТВО. Через всякуюrточку B аффинного пространства r проходит единственная прямая < B, m > , параллельная прямой < A, m > . # r Прямая < A, m > описывается линейными параметрическими уравнениями

14

x1 = m1t + a1 , x 2 = m 2t + a 2 ,…, x n = m n t + a n , r где A = (a1 , a 2 ,..., a n ) , m = (m1 , m 2 ,..., m n ) и M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) – произвольная точка аффинного пространства. Всякие уравнения такого вида задают прямую. 2.2. ПЛОСКОСТИ. Аффинная плоскость определяется точкой и двумя неколлинеарными векторами. такой плоскости, определяемой r r Обозначение r r точкой A и векторами m, p : < A, m, p > . Точка M принадлежит плоско-

r r

r

r

сти < A, m, p > , если и только если AM = um + vp, (u , v) ∈ R 2 . Множество точек плоскости таково:

r r r r < A, m, p > = {M | AM = um + vp, (u , v) ∈ R 2 }. r r Оболочка < m, p > называется линейным пространством плоскости r r r r < A, m, p > , векторы из < m, p > называются векторами плоскости r r < A, m, p > . Плоскость является 2-мерным аффинным пространством, 2-

мерным подпространством аффинного пространства. Выполняются следующие свойства.r r r r r r 2.2.1. СВОЙСТВО. Если B ∈ < A, m, p > ; r , s ∈ < m, p > и векторы r r r r r r r , s не коллинеарны, то < B, r , s > = < A, m, p > .# 2.2.2. СВОЙСТВО. Всякие две прямые плоскости либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо совпадают. # r r r 2.2.3. СВОЙСТВО. Если B ∉ 〈 A, m〉 и c ∉ 〈 m〉 , то в плоскости r r r r 〈 A, m, c 〉 прямые < A, m > и 〈 B, c 〉 имеют единственную общую точку. # r 2.2.4. СВОЙСТВО. В плоскости 〈 A, m, AB〉 существует единственr r ная прямая 〈 B, m〉 , не пересекающая прямой < A, m > . # Плоскости, имеющие общее линейноеr пространство, r r rназываются параллельными. Параллельны плоскости < A, m, p > и < B, m, p > . 2.2.5. СВОЙСТВО. Через всякую точку аффинного пространства проходит единственная плоскость, параллельная данной плоскости. # 2.2.6.СВОЙСТВО. В 3-мерном аффинном пространстве непараллельные плоскости имеют общую прямую. # 2.2.7. СВОЙСТВО. Через всякую прямую и точку вне ее проходит единственная плоскость. # r r 2.2.8. СВОЙСТВО. Пусть < A, m, p > произвольная плоскость, r r r r r r B ∈ < A, m, p > , q ∈ < m, p > . Прямая < B, q > аффинного пространства r r лежит в плоскости < A, m, p > . # 2.2.9. СВОЙСТВО. Через всякую точку C плоскости, содержащей r r прямую < B, q > в плоскости проходит единственная прямая < C , q > ,

15

r

r

параллельная прямой < B, q > . Все остальные прямые < C , r > плоскости, r r r r ∉< q > , пересекают прямую < C , q > . # По взаимному расположению прямых аффинная плоскость является параболической. r r Если < A, m > и < B, m > различные параллельные прямые аффинr r ного пространства, то AB = p ∉< m > . 2.2.10. СВОЙСТВО. Через всякие две различные параллельные прямые проходит единственная плоскость. # r r r Для прямых < A, m > и < B, m > это плоскость < A, m, AB > . r r Если прямая < B, q > не параллельна прямой < A, m > , то эти пряr r мые пересекаются при условии, что векторы m, q , AB линейно зависимы; r r прямые скрещиваются, если векторы m, q , AB линейно независимы. Суr r ществует плоскость < A, m, q > , содержащая обе пересекающиеся прямые, r r и существуют плоскости < C , m, q > , параллельная каждой из двух скреr r щивающихся прямых < A, m > и < B, q > .

r

r

Если A = (a1 , a 2 ,..., a n ) , m = (m1 , m 2 ,..., m n ) , p = ( p1 , p 2 ,..., p n ) и

M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) любая точка аффинного пространства, то параметричеr r ские уравнения плоскости < A, m, p > таковы x1 = m1u + p1v + a1 , x 2 = m 2u + p 2v + a 2 ,…, x n = m nu + p n v + a n ; уравнения линейны. r r r Пусть m1 , m1 ,..., mk линейно независимые векторы, k < n . Множество точек r r r < A, m1 , m2 ,..., mn > =

r

r

r

= {M | AM = u1m1 + u 2 m2 + ... + u k mk , (u1 , u 2 ,..., u k ) ∈ R k } называется k -плоскостью аффинного пространства. k -плоскость при k = n − 1 называется гиперплоскостью. Свойства гиперплоскостей соединяют свойства прямых плоскости и плоскостей 3-мерного пространства. например, всякие две непараллельные гиперплоскости пересекаются, их пересечением является (n − 2) -плоскость. § 3. Преобразования аффинного пространства 3.1. ГРУППА. На множестве Ω с элементами α , β ,..., ω ,... задана бинарная операция, которую называем сложением и обозначаем +. Это означает, что для любых элементов α , β ∈ Ω элемент α + β ∈ Ω . Операция + есть отображение

16

+ : Ω×Ω → Ω. Требуется выполнение следующих аксиом: (г.1) операция + ассоциативна: (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) ; (г.2) во множестве Ω существует элемент ϑ , что ω + ϑ = ω для всех ω ∈ Ω . Элемент ϑ называется нулевым, он единственный в Ω ; (г.3) для всякого элемента ω в Ω существует элемент υ , что ω + υ = ϑ . Элемент υ называется противоположным для ω и обозначается − ω . Пишем ω + (−υ ) = ω − υ . Множество Ω , на котором определена бинарная операция и выполняются аксиомы (г.1) - (г.3), называется группой. Обозначение группы: Ω = (Ω,+) или гр Ω = (Ω,+ ) . Если выполняется еще аксиома (г.4) α + β = β + α , то группа (Ω,+ ) называется абелевой (коммутативной). 3.2. ГРУППА ЛИ. Рассматривается дифференцируемое многообразие Ω вместе с дифференцируемым класса C k отображением Ω × Ω → Ω, для которого выполняются аксиомы группы (г.1) – (г.3). Такое многообразие называется группой Ли. 3.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОЖЕСТВ. Пусть W произвольное непустое множество, его элементы обозначаем A, B,..., M ,... . Взаимно однозначное отображение множества W самого на себя называется преобразованием множества W . Обозначаем преобразования: α , β ,..., ω ,... . Преобразование ω множества W можно представить в виде множества пар элементов множества W : если ω : A → B ( A отображается на B в преобразовании ω ), то ( A, B ) ∈ ω . Множество пар ω обладает свойствами (а) на первых местах в парах встречаются по одному разу все элементы множества W ; (б) на вторых местах в парах встречаются по одному разу все элементы из множества W ; (в) если ( A, B), ( A, C ) ∈ ω , то B = C ; (г) если ( A, B), ( A, C ) ∈ ω , то A = C . Последовательное выполнение преобразований множества W называется их композицией, т.е. на множестве S (W ) всех преобразований множества W задана операция – композиция преобразований. Компози-

17

цию преобразований будем записывать в виде суммы. Если α : A → B , то пишем Aα = B . В сумме преобразований α + β сначала выполняется преобразование α , затем преобразование β . 3.3.1. ТЕОРЕМА. Множество S (W ) преобразований множества W является группой S (W ) =( S (W ) ,+). # Множество W обладает тождественным преобразованием ϑ , состоящем из пар ( A, A) для всех A ∈ W . Если α произвольное преобразование и ( A, A' ) ∈ α , то α + ϑ : A → A′ → A′ , т.е. A(α + ϑ ) = A′ и α +ϑ = ϑ +α = α . Для всякого преобразования α существует обратное. (Сохраняем этот термин для группы преобразований, употребляя его вместо термина противоположное преобразование.) Если преобразование α состоит из пар ( A, A′) , то преобразование − α состоит из пар ( A′, A) . Имеем α + (−α ) : A → A′ → A , т.е. α + (−α ) = ϑ . Композиция преобразований ассоциативна. # В группе преобразований S (W ) могут существовать подгруппы преобразований – подмножества преобразований, также являющиеся группами относительно композиции преобразований. 3.4. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Пусть B и B′ два репера аффинного пространства A n . Преобразование α , отображающее всякую точку M , имеющую в репере B координаты ( x1 , x 2 ,..., x n ) , на точку M ′ , имеющую координаты ( x1 , x 2 ,..., x n ) в репере B′ , называется аффинным преобразованием аффинного пространства A n . Координаты точки M ′ в репере B обозначим M ′ = ( x′1 , x′2 ,..., x′n ) . Выполняется Mα = M ′ . Формулы преобразования α в репере B имеют вид:

(3.4.1)

⎧ x′1 = a11 x1 + a12 x 2 + a1n x n + a1 , ⎪ 2 ⎪ x′ = a12 x1 + a22 x 2 + an2 x n + a 2 , ⎨ ⎪................................................ ⎪ x′n = a n x1 + a n x 2 + a n x n + a n . n 1 2 ⎩

Коэффициенты a ij ∈ R , они составляют матрицу (a i j ) аффинного преобразования, det(a ij ) ≠ 0 , это неособые матрицы. Формулы аффинного преобразования линейны. Матрица аффинного преобразования записывается так:

18

⎛1 ⎜ 1 ⎜a A = ⎜ a2 ⎜ ⎜ ... ⎜ an ⎝

0

0

0

a11 a12

a12 a22

...

...

...

...

a1n

a2n ...

...

0⎞ ⎟ a1n ⎟ an2 ⎟ , ⎟ ... ⎟ ann ⎟⎠

это, так называемая галилеева матрица. Всякая матрица такого вида определяет в репере B аффинное преобразование. Аффинные преобразования аффинного пространства рассматриваем в фиксированном репере B , их можно задать в любом репере. Аффинные преобразования аффинного пространства составляют группу относительно композиции преобразований. Она называется аффинной группой и обозначается

A ( A n ). Понятно, что аффинная группа

не совпадает с S ( A n ) – группой всех преобразований аффинного пространства. Композиции аффинных преобразований α и β соответствует произведение их матриц α + β ↔ BA . Матрицы аффинных преобразований пространства A n составляют дифференцируемое многообразие размерности (n + 1)n , операция на этом многообразии есть умножение матриц. Аффинная группа является группой Ли. Аффинные преобразования это коллинеации аффинного пространства: каждое из них всякую прямую отображает на прямую, плоскость на плоскость, k − плоскость на k − плоскость. Аффинная группа богата подгруппами. Преобразования (3.4.1) при a i =0 для всех i оставляют неподвижным начало репера. Эти преобразования составляют группу. Матрицы (a i j ) указанных преобразований составляют полную линейную группу, ее обозначение GL(n, R ) . В аффинной группе A ( A n ) выделяется подгруппа преобразований, не изменяющих ориентации пространства. Определители преобразований этой группы положительны. Если в формулах (3.4.1) aii = 1 и a ij = 0 при i ≠ j , то получаем параллельные переносы аффинного пространства, они составляют подгруппу в аффинной группе. Матрица параллельного переноса такова

19

⎛ 1 0 0 ... 0 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ a 1 0 ... 0 ⎟ ⎜ a 2 0 1 ... 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ a n 0 0 ... 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 n ей соответствует вектор (a , a ,..., a ) . Т. е. Матрицы-векторы составляют n -мерное линейное пространство. Матрица ⎛ k 0 0 ... 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 k 0 ... 0 ⎟ ⎜ 0 0 k ... 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ 0 0 0 ... k ⎟ ⎝ ⎠

соответствует аффинному преобразованию x ′1 = kx1 , x ′ 2 = kx 2 ,..., x ′ n = kx n , k ≠ 0, k ≠ 1 ,

которое называется гомотетией. Такие матрицы называются скалярными. Преобразования x′1 = kx1 + a1 , x′ 2 = kx 2 + a 2 ,..., x ′ n = kx n + a n

образуют группу гомотетий и параллельных переносов аффинного пространства. Эта группа называется основной аффинной. Матрицы этих преобразований ⎛1 ⎜ 1 ⎜a ⎜ a2 ⎜ ⎜ ... ⎜ an ⎝

0 ... 0 ⎞ ⎟ k 0 ... 0 ⎟ 0 k ... 0 ⎟ . ⎟ ... ... ... ... ⎟ 0 0 ... k ⎟⎠ 0

3.5. КОЛЛИНЕАЦИИ. Существует другой подход к определению аффинного преобразования аффинного пространства; подход, эквивалентный рассмотренному. Аффинным преобразованием аффинного пространства называется его коллинеация, т.е. преобразование, в котором всякие три коллинеарные точки (точки одной прямой) отображаются на три коллинеарные точки одной прямой. Следовательно, в аффинном преобразовании всякая прямая отображается на прямую, различные прямые отображаются на различные прямые. Аффинное преобразование параллельный перенос отображает на параллельный перенос. Это означает следующее. Пусть параллельный пе-

20

ренос π отображает A → A1 , B → B1 и аффинное преобразование α отображает A → A′, A1 → A1′, B → B′, B1 → B1′ . Тогда пары точек ( A′, A1′ ) , ( B′, B1′ ) определяют один и тот параллельный перенос τ аффинного пространства. Здесь выполняется равенство: τ = −α + π + α . Учитывая, что параллельный перенос аффинного пространства является вектором, приведенное утверждение можно сформулировать иначе: аффинное преобразование вектор отображает на вектор. Теперь легко получить определение аффинного преобразования, использованное выше, а из него следует определение в настоящем пункте. 3.6. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА. Аксиоматика Г. Вейля задает преобразования аффинного пространства, которые называются каноническими. r (1) Пусть A, B точки; существует вектор AB = a . Для любой точки r M и вектора a , по аксиоме (в.1), существуетr единственная точка N , что r MN = a r. Для любой точки P и вектора − a существует точка H , что r PH = − a , по свойству 1.2.1, HP = a . Таким образом, по паре точек ( A, B ) r вектором AB = a определяется множество пар точек, обладающее свойствами (а) – (г), и, тем самым, определено каноническое преобразование аффинного пространства; обозначим это преобразование через τ a . r Пусть Aτ a = B и Mτ a = N , т.е. AB = MN . Прямые < A, a > и r < M , a > параллельны. Выполняются равенства: AB + BN = AN и AM + MN = AN , т.е. AB + BN = AM + MN , отсюда AM = BN , т.е. и прямые < A, AM > и < B, BN > параллельны. Это означает, что преобразование τ a является параллельным переносом аффинного пространства. Значит, смысл вектора AB из линейного пространства Ln аффинного пространства A n для аффинного пространства A n состоит в том, что вектор есть параллельный перенос аффинного пространства, [6]. От каждой точки H аффинного пространства откладывается один и r тот же вектор Пусть a = (a1 , a 2 ,..., a n ) . H = (h1 , h 2 ,..., h n ) ,

r P = ( p1 , p 2 ,..., p n ) , паре ( H , P ) соответствует вектор a = (a1 , a 2 ,..., a n ) , т.е. преобразование τ a , в котором P = Hτ a . Тогда

p1 = h1 + a1 , p 2 = h 2 + a 2 , ..., p n = h n + a n . Если M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) и Mτ a = M ′ , M ′ = ( x′1 , x′2 ,..., x′n ) , то

x′1 = x1 + a1 , x′2 = x 2 + a 2 , ..., x′ n = x n + a n .

21

Преобразование τ a есть множество пар точек ( M , M ′) , удовлетворя.щих условию r MM ′ = a . Матрицу этого преобразования запишем в блочном виде ⎛1 ⎜ 1 ⎜a ⎜ a2 ⎜ ⎜ ... ⎜ an ⎝

0 1 0 ... 0

0 ... 0 ⎞ ⎟ 0 ... 0 ⎟ ⎛1 1 ... 0 ⎟ = ⎜⎜ ⎟ a ... ... ... ⎟ ⎝ 0 ... 1 ⎟⎠

0⎞ ⎟. E ⎟⎠

Сумма преобразований τ a + τ b есть преобразование τ a + b ,

0⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝a E ⎠ ⎝b E ⎠ ⎝a + b E ⎠

и по аксиоме (В.2), τ a + b соответствует этой сумме. Множество T всех

r

преобразований τ a , a ∈ Ln , составляет группу (T ,+ ) , изоморфную группе

(Ln ,+ ) . (2) Зафиксируем r точку A и число k ≠ 0 . Пусть M любая точка. Существует вектор a = AM и существует точка M ′ , что AM ′ = kAM . k аффинного пространства, в котором Определено преобразование γ A M → M ′ , точка A неподвижна и M ′ ∈< A, AM > . Это гомотетия аффинного пространства с центром A и коэффициентом k – каноническое

преобразование аффинного пространства A n . Канонические преобразования, т.е. параллельные переносы и гомотетии аффинного пространства являются аффинными преобразованиями. k есть множество пар точек ( M , M ′) , для которых Гомотетия γ A AM ′ = kAM . Формулы гомотетии x′1 = kx1 , x′ 2 = kx 2 ,..., x′ n = kx n , k ≠ 0, k ≠ 1 , матрица:

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜ ... ⎜0 ⎝

0 ... 0 ⎞ ⎟ k 0 ... 0 ⎟ ⎛1 0⎞ ⎟. 0 k ... 0 ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 0 k ⎟⎠ ... ... ... ...⎟ 0 0 ... k ⎟⎠ 0

k + γ Am есть гомотетия γ Akm : Сумма гомотетий γ A

22

⎛1 0⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎝ 0 k ⎠ ⎝ 0 m ⎠ ⎝ 0 km ⎠ k Применим гомотетию γ A к параллельному переносу τ a : k + τa + γ A =

−γ (3.6.1) или в матричной записи: k A

1 k A

γ + τ a + γ Ak = k τ a = τ ka ,

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛⎜ 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ 0 k ⎠ ⎝ a E ⎠ ⎜⎝ 0

0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ 1 ⎟ = ⎜⎜ ⎟. ⎟ ⎝ 0 ka ⎟⎠ k⎠

k Преобразования аффинного пространства τ a и γ A порождают групk , это пу P = ΓAΤ , она состоит из аффинных преобразований вида τ a + γ A гомотетии аффинного пространства, матрицы этих гомотетий

⎛ 1 0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝a k⎠ Сумма таких преобразований определяется матрицей (3.6.2)

0 ⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ a k ⎠ ⎝ b m ⎠ ⎝ a + kb km ⎠

k и является преобразованием вида τ a + γ A . Тем самым, канонические преобразования аффинного пространства не составляют, но образуют группу (P,+ ) относительно композиции преобразований – это группа параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства – она называется основной аффинной группой. Согласно равенствам (3.5.1), подгруппа Τ параллельных переносов является инвариантной в группе канонических преобразований P , более того, имеем полупрямую сумму P = Τ ┤ ΓA . Равенства (3.6.1) определяют произведение параллельного переноса τ a на число k . Определим произведение гомотетии на число t

t γ Ak = γ Ak .

Мы получили 1-мерное линейное пространство гомотетий ΓA = (ΓA ,+, ω R (+ )) . Доказана 3.6.1. ТЕРЕМА. Множество канонических преобразований аффинного пространства A n является полупрямой суммой P = Τ ┤ ΓA n мерного линейного пространства Τ параллельных переносов и 1-мерного линейного пространства гомотетий ΓA . #

23

Группа, на которой определена внешняя операция умножения на действительные числа, называется одулем. Более точно это понятие определено ниже, в п. 16.1. Линейное пространство является частным случаем одуля. Матрица A аффинного преобразования (3.4.1), см. п. 3.4, имеет блочную запись

0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ ⎜ a (a ) ⎟ . ij ⎠ ⎝ Для композиции преобразований получаем

0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛1 1 0 ⎞ ⎛1 ⎟=⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ a (a ) ⎟ ⎜ a (b ) ⎟ ⎜ a + (a )b (a )(b ) ⎟ . ij ij ij ij ij ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Вторая строка в полученном произведении имеет такой же вид, как и вторая строка в произведении (3.6.2). Поэтому группа P = Τ ┤ ΓA и аффинная группа имеют одинаковое строение, групповые операции похожи, но группы не изоморфны. 3.7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ 2-МЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Рассмотрим аффинные преобразования аффинной плоскости. Выберем некоторый репер плоскости и пусть аффинное преобразование α точку M ( x, y ) отображает на точку M ′( x′, y ′) . Формулы преобразования α :

⎧ x′ = a11 x + a12 y + b1 , ⎨ 2 2 2 ⎩ y ′ = a1 x + a2 y + b .

Матрица преобразования α

⎛1 ⎜ 1 ⎜b ⎜ b2 ⎝

0 a11 a12

0⎞ ⎟ a12 ⎟ a22 ⎟⎠

содержит основной блок

⎛ a11 a = ⎜⎜ 2 ⎝ a1

a12 ⎞ ⎟ , det a ≠ 0 , 2⎟ a2 ⎠

который определяет вид преобразования. Матрица того же преобразования, рассмотренного в другом репере плоскости, такова c −1ac ,

24

подобна матрице a , здесь c матрица замены базиса линейного пространства плоскости. Матрица a может иметь 0,1 или 2 собственных значений и поэтому эквивалентна одной из матриц o

Эти

⎛ cos ϕ a = r ⎜⎜ ⎝ sin ϕ

sin ϕ ⎞ 1 ⎛1 h⎞ ⎟⎟ , a = r ⎜⎜ ⎟⎟ , cos ϕ ⎠ ⎝0 1⎠

2

⎛ chϕ a = r ⎜⎜ ⎝ shϕ

shϕ ⎞ ⎟. chϕ ⎟⎠

матрицы

представляют соответственно комплексные числа z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , i 2 = −1, дуальные числа z = r (1 + ih) , i 2 = 0 , двой-

ные числа z = r (chϕ + ishϕ ) , i 2 = 1. Рассмотрим 2-мерные числа, модуль которых равен 1: r = 1 . По умножению числа каждого вида составляют абелеву группу – это мультипликативные группы соответственно комплексных чисел −1 C1 , дуальных чисел 0 C1 , двойных чисел 1 C1 . Указанные группы не содержат делителей нуля. Определим на этих группах внешние операции возведения в действительную степень: z t = cos ϕt + i sin ϕt , z t = 1 + iht , z t = chϕt + ishϕt ; t ∈ R . Для этой операции выполняются аксиомы (L.5) – (L.10) линейного пространства (п. 1.3) и мы имеем мультипликативные линейные пространства комплексных чисел ( −1 C1 , ⋅,ω R (⋅) ), дуальных чисел ( 0 C1 , ⋅,ω R (⋅) ), двойных чисел ( 1 C1 , ⋅,ω R (⋅) ), модуль которых равен 1, [8, 9]. Линейное пространство −1

C1 компактно, линейное пространство 1 C1 некомпактно, это 2-мерные

линейные пространства над полем R, они не изоморфны, вопреки распространенному мнению, что линейные пространства одной размерности над одним полем изоморфны, см., например, [10], а также [11]. Преобразования, матрицы которых содержат основной блок вида 0 a , r = 1 , являются движениями евклидовой плоскости; если содержат блок вида 1 a , r = 1 , то являются движениями галилеевой плоскости; если содержат 2 a , r = 1 , то являются движениями псевдоевклидовой плоскости; причем, последние преобразования содержат и преобразования из основной аффинной группы, их матрицы

⎛1 ⎜ 1 ⎜b ⎜ b2 ⎝

0 0⎞ ⎟ k 0⎟. 0 k ⎟⎠

25

Глава 2.

Основные понятия евклидовой геометрии § 4. Пространства со скалярным произведением 4.1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Рассматривается линейное пространство Ln над полем R и задано отображение μ : Ln × Ln → R .

r r

r

r

В этом отображении каждой паре (a , b ) векторов a и b ставится в соот-

rr

ветствие действительное число, обозначаемое ab r r rr μ : (a , b ) → ab ,

r

r

называемое скалярным произведением векторов a и b , если выполняются аксиомы rr rr (с.1) ab = b a ; r r rr (c.2) (ta )b = t (ab ) ;

r

r r

rr

rr

(c.3) ( a + b )c = ac + b c . Линейное пространство Ln со скалярным произведением векторов называется векторным или евклидовым пространством и обозначается V n . r r r В Vn выбираем базис Б = (e1 , e2 ,..., en ) , обозначим

r r a = (a1 , a 2 ,..., a n ) , b = (b1 , b 2 ,..., b n ) . На основании аксиом скалярного rr rr n rr произведения векторов получаем ab = ∑ a i b j ei e j . Обозначим: ei e j = g ij , i =1

тогда

rr n ab = ∑ g ij a i b j = g ij a i b j . i =1

Числа

g ij

составляют симметричную матрицу Грамма

G = ( g ij ) ,

g ij = g ji . Таким образом, скалярное произведение векторов представлено симметрической билинейной формой. Скалярное произведение векторов из V n записываем в виде ( V n , V n ) = ( g ij ).

26

Всякая симметрическая билинейная форма в некотором базисе определяет скалярное произведение векторов пространства V n . Заменяя базис векторного пространства, получаем, в некотором базисе, скалярное произведение векторов в виде произведения соответствующих координат rr (4.1.1) ab = a1b1 + a 2b 2 + ... + a p b p − a p +1b p +1 − ... − a p + q b p + q , p > 0, p + q ≤ n . Сигнатура ( p, q) скалярного произведения не зависит от выбора базиса. Число d = n − p − q называется дефектом скалярного произведения векторов. (1) Если p = n , то пространство V n называется евклидовым или собственно евклидовым; (2) если p + q = n, q ≠ 0, то пространство V n называется псевдоевклидовым индекса q ; (3) если 0 < d < n , то V n есть пространство с дефектом или полуевклидово пространство дефекта d . Скалярное произведение векторов пространства Ln может быть задано в некотором базисе матрицей Грамма или равенством (4.1.1). r r Векторы a , b называются перпендикулярными (ортогональными),

rr

r

r

если ab = 0 . Обозначение перпендикулярности векторов a ⊥ b . 4.2. НОРМА ВЕКТОРОВ. Если в скалярном произведении векторов сомножители совпадают, то имеется скалярный квадрат вектора r r r μ : (a , a ) → a 2 . В подходящем базисе пространства V n :

r a 2 = (a1 ) 2 + (a 2 ) 2 + ... + (a p ) 2 − (a p +1 ) 2 − ... − (a p + q ) 2 . r r Нормой a вектора a называется r r a = a 2 = (a1 ) 2 + (a 2 ) 2 + ... + (a p ) 2 − (a p +1 ) 2 − ... − (a p + q ) 2 . Этим на векторном пространстве V n введена норма или метрика. Норма векторов называется евклидовой при n = p . Она обладает свойствами r (1) число a является действительным неотрицательным для всякого

r a ∈ Vn , r r (2) a + b ≤

r r r a =0 если и только если a = o . r r a + b – неравенство треугольника.

27

r

r

r

r

Вектор a называется изотропным, если a ≠ o и a =0. Евклидово пространство не содержит изотропных векторов. Норма векторов псевдоевклидова пространства называется псевдоевклидовой или лоренцевой. В псевдоевклидовом пространстве содержатся изотропные векторы, это ненулевые векторы со свойством (a1 ) 2 + (a 2 ) 2 + ... + (a p ) 2 = (a p +1 ) 2 + ... + (a p + q ) 2 . Неравенство треугольника здесь не выполняется. Для пространства с полуевклидовой нормой свойства (1) и (2) евклидовой нормы не выполняются. Некоторые нормы на векторах рассмотрены немного подробнее ниже. 4.3. ЕВКЛИДОВО (СОБСТВЕННО ЕВКЛИДОВО) СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. В n − мерном линейном пространстве r Ln , совпадающем с Rn рассматриваем векторы a = (a1 , a 2 ,..., a n ) и

r b = (b1 , b 2 ,..., b n ) . В базисе, в котором заданы векторы, определим скаляр-

ное произведение векторов равенством

rr ab = a1b1 + a 2 b 2 + ... + a n b n . Это скалярное произведение векторов сигнатуры (n,0) дефекта 0. После

введения скалярного произведения векторов линейное пространство Ln превратилось в векторное пространство V n . Согласно п. 4.2, оно называется евклидовым или собственно евклидовым. r r Евклидов скалярный квадрат x 2 вектора x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) равен

r x 2 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ... + ( x n ) 2 .

Свойства евклидова скалярного квадрата векторов: r r (а) для всякого вектора x скалярный квадрат неотрицателен: x 2 ≥ 0 ; приr r r чем x 2 = 0, если и только если xr = or. (б) для любых векторов x , y выполняется неравенство КошиБуняковского rr r r ( xy) 2 ≤ x 2 y 2 .

r

r

Евклидовой нормой x вектора x называется

r x =

r x2 =

Свойство (б) превращается в

( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ... + ( x n ) 2 .

rr r r | xy |≤ x y .

На его основе определяется угол между векторами

28

rr xy ϕ = arccos r r . x y Справедливо неравенство треугольника

r || x + r для произвольных векторов x и r r няется, если и только если x ⊥y .

r r r y || ≤ x + y r r r y . Равенство x + y

2

r2 r = x + y

2

выпол-

4.4. ПСЕВДОЕВКЛИДОВО СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Рассматривается 4-мерное линейное пространство L4 , совпадающее с R 4 , т.е. векторами являются четверки действительных чисел. Записываем векторы в виде r x = ( x , x1 , x 2 , x 3 ) . r r r r Псевдоевклидовым скалярным произведением x y векторов x и y называется число r r x y = xy − x1 y1 − x 2 y 2 − x 3 y 3 . Это скалярное произведение векторов сигнатуры (1,3) дефекта 0, здесь одно слагаемое – первое, взято со своим знаком, остальные три слагаемых взято с противоположными знаками. Например, для векторов r r rr a = (−1,2,−3,1) и b = (1,1,1,−2) по определению имеем ab = −1− 2 + 3 + 2 = 2 . После введения скалярного произведения векторов линейное пространство превратилось в векторное пространство. При таком определении скалярного произведения векторов, векторное пространство называется псевдоевклидовым сигнатуры (1,3); его обозначение V(41,3) .

r

r

Псевдоевклидов скалярный квадрат x 2 вектора x равен r x 2 = x 2 − ( x1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 . Свойства псевдоевклидова скалярного квадрата векторов: (а) существуют векторы, скалярный квадрат которых положителен; например, векторы (a,0,0,0) ; (б) существуют векторы, скалярный квадрат которых отрицателен; например, векторы (0, a,0,0) ; (в) существуют ненулевые векторы, скалярный квадрат которых равен нулю; например, векторы (a,0, a,0) . Ненулевые векторы, скалярный квадрат которых равен нулю, называется изотропными или световыми. Сумма изотропных векторов не

29

всегда изотропный вектор, например (a, a,0,0) + (b,0, b,0) = (a + b, a, b,0) ,

r

здесь (a + b) 2 − a 2 − b 2 ≠ 0 . 1-мерная оболочка 〈a 〉 изотропного вектора состоит из изотропных векторов. Векторы (x,0,0,0) называются времениподобными, векторы

(0, x1 , x 2 , x 3 ) называются пространственноподобными. Псевдоевклидов вектор распадается на времениподобную и пространственноподобную составляющие ( x, x1 , x 2 , x 3 ) = ( x,0,0,0) + (0, x1 , x 2 , x 3 ) . Псевдоевклидово пространство является прямой суммой двух евклидовых пространств V(41,3) = V 1 + V 3 , первое слагаемое времениподобное, второе – пространственноподобное. r r Псевдоевклидовой нормой x вектора x называется

r x =

r x2 =

x 2 − ( x1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 .

Согласно свойствам псевдоевклидова скалярного квадрата векторов, существуют векторы: (а) имеющие действительную норму, т.е. векторы, нормой которых являются положительные действительные числа; (б) имеющие мнимую норму; (в) ненулевые векторы, имеющие нулевую норму. Неравенство треугольника в псевдоевклидовом пространстве не выr r полняется. Например, для векторов a1 = (a, a,0,0) и a 2 = (a,− a,0,0) при

r r r r r r a ≠ 0 : a1 = 0 , a 2 = 0 ; a1 + a2 = (2a,0,0,0) и a1 + a 2 = 2 | a |≠ 0 . Полуr r r r чаем a1 + a 2 > a2 + a2 .

Псевдоевклидово векторное пространство используется в теории относительности А. Эйнштейна. 4.5. ГАЛИЛЕЕВО СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. На линейном пространстве Ln над R может быть введено и скалярное произведение векторов, отличное от рассмотренных выше, в п. 4.1. Рассмотрим прямое разложение линейного пространства

Ln = L1 + Ln −1 , n > 1 . В каждом из пространств L1 , Ln −1 задано евклидово скалярное произведеr r r r r r r r ние векторов: a o b o для a o , b o ∈ L1 и a1b 1 для a1 , b 1 ∈ Ln −1 . Пусть r r r r r r r r r r a , b ∈ Ln , a = a o + a1 , b = b o + b 1 . Скалярное произведение векторов a , b определим следующим образом:

30

r rr r r r r r ab = a o b o , если a o ≠ o или b o ≠ o (по крайней мере один из векторов

r r a o , b o ненулевой); r r r rr r r r r ab = a1b 1 , если a o = b o = o (оба вектора a o , b o нулевые).

Определенное так скалярное произведение векторов пространства Ln называется галилеевым. Оно задается скалярными произведениями векторов в каждом из подпространств L1 и Ln −1 . r r r r r r r Если u ∈ L1 , u ≠ o и v ∈ Ln −1 , то имеем векторы x = u + o ,

r r r y = o + v пространства Ln . Согласно определению галилеева скалярного

произведения

rr r r r r xy = (u + o )(o + v ) = 0 ,

ноr

можно ли раскрывать скобки в произведении rнеизвестно, r r (u + o )(o + v ) , это никак не оговорено в определении. Таким образом, скаr r лярное произведение векторов u и v не определено. То же самое галилеево скалярное произведение векторов из Ln при-

ведем в другой форме записи. В записях векторов выделяется одна из координат, например, первая. r Координаты векторов записываются в виде: a = (a, a1 ,..., a n −1 ) ,

r r r b = (b, b1 ,..., b n ) . Галилеевым скалярным произведением векторов a и b

называется число rr abr = ab , если a ≠ 0 , или b ≠ 0 ; r ab = a1b1 + a 2b 2 + ... + a n −1b n −1 , если a = b = 0 . Векторное пространство с галилеевым скалярным произведением векторов называется галилеевым пространством и обозначается VΓn . Векторы базиса галилеева пространства VΓn обозначаем r r r e , e1 ,..., en −1 . rr Определены скалярные произведения векторов e e = 1 ,

rr ei e j = g ij , r r i, j = 1,..., n − 1; не определены скалярные произведения векторов e , ei . Га-

лилеево скалярное произведение векторов определено на пере (V1 , V n −1 )

r

r

r

подпространств V1 = < e > и V n −1 = < e1 ,..., en −1 > и не определено на векторах из VΓn , не вошедших в подпространства V1 и V n −1 . Это скалярное произведение векторов не задается матрицей Грама или равенством вида (4.1.1). Оно задается двумя матрицами Грама

31

( VΓn , VΓn ) = (( g ij ), ( g ij′ )); где g11 = 1 , g ij = 0 , i, j > 1; g ii = 1, g ij = 0, i ≠ j ; и двумя равенствами вида (4.1.1): первое дефекта n − 1 , второе – дефекта 1. По определению галилеева скалярного произведения на VΓn , на каж-

r

r

r

дом из подпространств V1 = < e > и V n −1 = < e1 ,..., en −1 > задано собственно евклидово скалярное произведение векторов. Галилеево скалярное произведение векторов тоже принято относить к евклидовым. В книге В.И. Арнольда [12] по классической механике рассматривается галилеево векторное пространство и точечное галилеево пространство, построенное на основе аффинного пространства. Определена галилеева норма векторов и галилеево расстояние между точками, но не определено галилеево скалярное произведение векторов, как и во всех работах, где говорится о галилеевом расстоянии между точками. Галилеево скалярное произведение векторов определено в [13], но основа галилеева скалярного произведения выявлена выше, в настоящем пункте. И эта основа состоит в том, что галилеево скалярное произведение векторов задается двумя матрицами Грама, а не одной, как все другие евклидовы скалярные произведения векторов. Галилеево расстояние между точками определяется через скалярное произведение векторов. В [12, с. 17] установлена изотропность галилеева пространства; изотропность понимается в смысле однородности пространства; в пространстве не выделяется никакого направления: свойства галилеева пространства во всех направлениях одинаковы. Имеется и другой смысл термина «изотропность»: вектор называется изотропным, если он не нулевой, но модуль его равен нулю (об этом в следующем пункте). Отсутствие изотропных векторов в галилеевом пространстве говорит об однородности этого пространства. 4.6. ГАЛИЛЕЕВА НОРМА ВЕКТОРОВ. Если в галилеевом скаr r лярном произведении векторов a = b , то имеем галилеев скалярный квадрат вектора r r a 2 = a 2 , если a ≠ 0 ; a 2 = (a1 ) 2 + (a 2 ) 2 + ... + (a n −1 ) 2 , если a = 0 . r Галилеевой нормой вектора a называется

r r a = a2 ;

r r r a = a , если a ≠ 0 ; a = a 2 = (a1 ) 2 + ( a 2 ) 2 + ... + (a n −1 ) 2 , если a = 0 .

32

Для галилеевой нормы выполняется свойство (1) из п. 3.2, галилеево пространство не содержит изотропных векторов. Неравенство треугольника для галилеева скалярного квадрата векторов не выполняется. r Вектор a = (a, a1 ,..., a n −1 ) галилеева пространства называется гали-

r

леевым, вектор a = (0, a1 ,..., a n −1 ) называется евклидовым. Евклидовы векторы составляют (n − 1) − мерное собственноевклидово пространство

V n −1 . Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Галилеево пространство VΓn распадается в прямую сумму 1-мерного и (n − 1) − мерного евклидовых пространств:

VΓn = V1 + V n −1 . Евклидово пространство V n имеет такое же разложение V n = V1 + V n −1 , но в галилеевом случае разложение инвариантно относительно галилеева скалярного произведения векторов п. 4.5, а в евклидовом случае – не инвариантно. r Всякий вектор v из VΓn = V1 + V n −1 записывается в виде разложения

r r r r r r r v = t + r = te + r 1e1 + r 2 e2 + ... + r n −1en −1 ; r первое слагаемое t времениподобно, второе – пространственноподобно.

Учитывая равномерность r r течения времени, можно считать, что для изменяющегося вектора v = v (t ) всегда времениподобная составляющая есть r r r t = te , где e задает масштаб измерения времени. Но возможно рассматривать и некоторую функцию времени, т.е. выбирать некоторые моменты времени через некоторые промежутки времени, не обязательно одинаковые. Этот выбор может быть дискретным или непрерывным. Например, в физике такой прием не используется в описании движений реальных объектов; но наблюдения за объектами можно вести в различных режимах времени. Размерность пространственноподобной составляющей не обязательна равна 3, в приложениях рассматриваются и другие размерности, см., например, [12, c. 26 и далее]. 4.7. НОРМА (МЕТРИКА) НА МНОЖЕСТВЕ. На произвольном множестве М действительная норма (метрика) определяется заданием отображения

M×M → R

с указанием его свойств, [14]. Еще до недавнего времени под нормой понималась только евклидова норма или близкая к ней, т.е. метрики со свойствами, обобщающими (1) и (2) из п. 4.2; сейчас отношение к этому понятию изменилось. На множествах (возможно с некоторой структурой – ал-

33

гебраической, геометрической и др.) рассматриваются нормы с различными свойствами: евклидовы нормы, псевдоевклидовы, галилеевы и другие. Известен большой класс римановых метрик, по свойствам близким к евклидовой метрике. § 5. Векторные функции. 5.1. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ. Отображение класса C k числового интервала I в векторное пространство V n называется векторной функцией класса C k одного параметра, векторная функция имеет вид r r (t ) = ( x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t )) , t ∈ I . Всякий упорядоченный набор функций x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t ) с общей облаr стью определения I определяет векторную функцию r (t ) =

( x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t )) в векторном пространстве V n . В галилеевом пространстве векторную функцию записываем в виде: r r (t ) = ( x(t ), x1 (t ),..., x n −1 (t )) , t ∈ I . Аналогично определяются векторные функции двух и более параметров. В частности, векторная функция двух параметров есть: r r (u , v) = ( x1 (u , v), x 2 (u , v),..., x n (u , v)) , (u , v) ∈ D , где D область евклидовой плоскости. 5.2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ. Во всех евклидовых пространствах, в том числе и галилеевом, предел векторной функции можно определить равенством r r a = lim r (t ) = ( lim x1 (t ), lim x 2 (t ),..., lim x n (t )) . t →t o

t →to

t →to

t →to

В собственно евклидовом пространстве возможно и другое определение: r r вектор a называется пределом вектора r (t ) в точке t o , если для всякого

ε > 0 существует δ > 0 , что как только t − to < δ , выполняется неравенr r ство r (t ) − a < ε . Из этого определения предела в собственно евклидовом

пространстве следует предыдущее определение. В других рассматриваемых векторных пространствах это неверно. Обе линейные операции над векторами позволяют распространить на векторные функции определение производной функции y ′ = f ′( x) для

34

r Δr 1 r = Δr получается в резульфункции y = f ( x) , где x, y ∈ R . Вектор Δ t Δt r r r тате двух операций: Δr есть разность r (t + Δt ) − r (t ) , и производится ум1 r . Во всех рассматриваемых векторных ножение вектора Δr на число Δt

пространствах определяем

1 r r r ′(t ) = lim Δr , Δt → 0 Δt

предел вектора

1 r Δr вычисляется покомпонентно. Δt

Для функций нескольких параметров аналогично определяются ча-

r r r ∂r (u , v) r ∂r (u , v) стные производные ru = , rv = ; а также производные ∂u ∂v высших порядков. Оказывается, что совпадают смешанные частные производные

r r ∂ 2 r (u , v) ∂ 2 r (u , v) r r = , т.е. ruv = rvu , ∂v∂u ∂u∂v

и вообще результат дифференцирования по различным параметрам не зависит от порядка нахождения производных по этим параметрам. § 6. Евклидовы точечные пространства 6.1. ПОЛУЧЕНИЕ ЕВКЛИДОВЫХ ТОЧЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ. В линейном пространстве Ln аффинного пространства A n может быть введено скалярное произведение векторов. Аффинное пространство A n при этом превращается в евклидово пространство; получается собственно евклидово пространство E n , псевдоевклидово пространство E nq и т.д.; галилеево пространство Γ n . Расстояние между точками

| AB | определяется через скалярный квадрат вектора

| AB | = AB 2 . Прямые, плоскости, k − плоскости аффинного пространства становятся прямыми, плоскостями, k − плоскостями евклидовых пространств. В псевдоевклидовых пространствах существуют изотропные прямые, расстояния между любыми точками которых равны нулю. В псевдоевклидо-

35

вом, галилеевом пространствах существуют собственно евклидовы плоскости, k − плоскости. Коллинеации аффинного пространства являются коллинеациями евклидовых пространств. Среди них выделяются движения – коллинеации, сохраняющие расстояния между точками. Определители движений евклидовых пространств равны 1. Движения собственно евклидова, псевдоевклидова, галилеева пространств имеют матрицы, основные блоки которых есть o a , 1 a , 2 a , п. 3.7. Значит, группы движений этих плоскостей содержат подгуппы движений с неподвижной точкой, на которых определяются мультипликативные линейные пространства, п. 3.7. А группы движений являются двухступенно разрешимыми группами – расширениями групп −1 C1 , 0 C1 , 1 C1 группой параллельных переносов прямой. 6.2. СОБСТВЕННО ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. Рассматривается аффинное пространство A 3 в линейном пространстве L3 которого определено евклидово (точнее – собственно евклидово) скалярное произведение векторов. Тем самым, мы имеем евклидово (собственно евклидово) пространство, оно обозначается E 3 . Все понятия аффинного пространства становятся понятиями евклидова пространства. В частности, в евклидовом пространстве мы имеем прямые, плоскости, коллинеации, реперы и т.д. Взаимное расположение прямых и плоскостей в евклидовом пространстве осталось таким же, как в аффинном пространстве, см. пп. 2.1 и 2.2, но добавились метрические свойства, т.е. свойства, связанные с возможностью измерять расстояния между точками и углы между линиями. Из реперов аффинного пространства выделяются те, которые имеют еще и метрическую характеризацию. r r r Пусть (O, e1 , e2 , e3 ) репер евклидова пространства, являющийся репером аффинного пространства, это аффинный репер евклидова пространства. Считаем, что векторы репера удовлетворяют условиям r r r (а) длины векторов равны единице: e1 = e2 = e3 = 1; (б) углы между всякими двумя векторами равны

π r r 2

r r

r

r

: e1⊥e2 , e1⊥e3 , e2 ⊥e3 .

Такой репер называется ортонормированным. Обозначение ортонормироr r r ванного репера (O, i , j , k ) . Существуют процедуры, они изучаются в алгебре векторных пространств, позволяющие переходить от всякого аффинного репера к ортонормированному. Далее в E 3 рассматриваются ортонормированные реперы.

36

r

r

Скалярное произведение векторов x = ( x1 , x 2 , x 3 ) , y = ( y1 , y 2 , y 3 ) определяем равенством, п. 4.3, r r x y = x1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , r скалярный квадрат вектора x равен r x 2 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 r и длина вектора x есть

r x =

( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 . r r r r Вектор векторного произведения x × y векторов x и y перпендикуr r r r лярен векторам сомножителям, y × x = − x × y и r r r i j k r r x × y = x1 x 2 x 3 .

r r r r

y1

y2

y3

r r

Тройка векторов x , y , x × y является правой. Векторы x , y коллинеарны

r r r r r r r r r = x y sin α , где α угол между векторами x и y . Площадь параллелоr r r r грамма, построенного на векторах x , y , равна x × y . r rr r r r r r r Смешанное произведение x y z = ( x × y ) z векторов x , y , z равно

(линейно зависимы), если и только если x × y = o . Выполняется x × y =

x1

r rr x y z = y1 z1

x2

x3

y2

y3 .

z2

z3

Выполняются свойства: r rr r r r rr r rrr rrr x y z = z x y = y z x, y x z = − y x z. r r r Векторы x , y , z компланарны (линейно зависимы), если и только если r rr r r r верно x y z = 0. Если векторы x , y , z составляют правую тройку, то r rr r r r x y z >0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах x , y , z , раr rr вен | x y z |. Если A = (a1 , a 2 , a 3 ) и B = (b1 , b 2 , b 3 ) точки из E 3 , то, как известно, п.1.6, координаты вектора AB таковы AB = (b1 − a1 , b 2 − a 2 , b 3 − a 3 ) . Расстоянием AB между точками A и B называется AB =

AB =

(b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 + (b 3 − a 3 ) 2 .

37

AB 2 ;

Пусть C = (c1 , c 2 , c 3 ) еще одна точка. Величину угла α между прямыми AB и AC можно найти как угол между векторами AB и AC : cosα =

(b1 − a1 )(c1 − a1 ) + (b 2 −a 2 )(c 2 − a 2 ) + (b 3 − a 3 )(c 3 − a 3 ) (b1 − a1 ) 2 + (b 2 −a 2 ) 2 + (b 3 − a 3 ) 2 (c1 − a1 ) 2 + (c 2 −a 2 ) 2 + (c 3 − a 3 ) 2 Площадь ΔABC равна 1 b2 − a2 S= 2 c2 − a2

b3 − a 3

2

+

c3 − a3

b1 − a1 b 3 − a 3 c1 − a 1

c3 − a3

2

+

b1 − a 1 b 2 − a 2 c1 − a 1

c2 − a2

.

2

.

Объём параллелепипеда с диагональю AD′ , если D = (d 1 , d 2 , d 3 ) , равен смешанному произведению векторов V = AB AC AD , или в координатах:

b1 − a1 V = c1 − a 1 d 1 − a1

b2 − a2 c2 − a2 d 2 − a2

b3 − a3 c3 − a3 . d 3 − a3

Прямая на плоскости определяется точкой P ( x0 , y 0 ) и нормальным r вектором n = ( A, B ) : A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 . Три точки A, B, C коллинеарны (лежат на одной прямой), если и только если AC = tAB , для коллинеарных точек плоскости выполняется условие

c1 − a 1 c 2 − a 2 , = b1 − a1 b 2 − a 2

для коллинеарных точек пространства выполняется

c1 − a 1 c 2 − a 2 c 3 − a 3 . = = b1 − a1 b 2 − a 2 b 3 − a 3 Четыре точки A, B, C , D компланарны (лежат в одной плоскости), если и только если смешанное произведение векторов AB, AC , AD равно нулю b1 − a1 b 2 − a 2 b 3 − a 3 c1 − a 1

c2 − a2

d 1 − a1

d 2 − a2

c3 − a3 = 0 .

d 3 − a3 r Через точку P ( x0 , y0 , z 0 ) нормально вектору n = ( A, B, C ) проходит единственная плоскость

A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 ,

она нормальна прямой

38

x − x0 y − y 0 z − z 0 . = = A B C

Если плоскости A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 не паралr r лельны, т.е. их нормальные векторы n1 = ( A1 , B1 , C1 ) и n 2 = ( A2 , B2 , C 2 ) не r r коллинеарны n 2 ≠ tn1 , и P их общая точка, линия пересечения плоскостей описывается уравнениями x − x0 y − y0 z − z0 , = = B1 C1 C1 A1 A1 B1

B2

C2

C2

A2

A2

A2

и перпендикулярная данным плоскостям плоскость есть B1 B2

C1 C ( x − x0 ) + 1 C2 C2

A1 A ( y − y0 ) + 1 A2 A2

B1 ( z − z0 ) = 0 . B2

Движением евклидова пространства называется его преобразование, в котором расстояния между точками инвариантны. Если в движении δ : A → A′, B → B ′ , то | A′B ′ |=| AB | . Принято говорить, что движение сохраняет расстояния между точками. Точки A, B, C прямой обладают свойством: AB + BC = AC . Отсюда следует: в движении прямая отображается на прямую, различные прямые отображаются на различные прямые. Следовательно, движение является коллинеацией евклидова пространства. Верно и обратное утверждение – коллинеация евклидова пространства, в которой сохраняются расстояния между точками, является его движением. Евклидово пространство является аффинным пространством, удовлетворяющем дополнительным условиям. Движения евклидова пространства можно определить как его аффинные коллинеации, сохраняющие расстояния между точками. Поэтому движение отображает ортонормированный репер евклидова пространства на ортонормированный репер. Если заданы репер P = r r r r r r r r r (O, i , j , k ) и движение δ и δ : O → O ′ , i → i ′ , j → j ′ , k → k ′ , то P ′ = r r r (O ′, i ′, j ′, k ′) – ортонормированный репер евклидова пространства. Пусть M = ( x, y, z ) произвольная точка, заданная в репере P и Mδ = M ′ . Тогда в репере P ′ точка M ′ имеет те же координаты, как точка M в репере P , т.е. в репере P ′ : M ′ = ( x, y, z ) . Теперь зададим два ортормированных репера евклидова пространства P и P ′ и отображение δ , в котором точке М, имеющей координаты ( x, y, z ) в репере P соответствует точка M ′ , имеющая координаты ( x, y, z ) в репере P ′ . Отображение δ сохраняет координаты точек. Оно является движением евклидова пространства.

39

Обозначим координаты точки M ′ в репере P через ( x ′, y ′, z ′) . Координаты ( x ′, y ′, z ′) образа M ′ точки M = ( x, y, z ) в движении δ в репере P выражаются через x, y, z формулами ⎧ x ′ = a11 x + a 12 y + a 13 z + c1 , ⎪⎪ 2 2 2 2 ⎨ y ′ = a1 x + a 2 y + a 3 z + c , ⎪ ′ 3 3 3 3 ⎪⎩ z = a1 x + a 2 y + a 3 z + c ;

определитель движения равен ± 1 . Существуют ДР1 – движения рода 1, сохраняющие ориентацию пространства, их определители равны 1; и ДР2 – рода 2, изменяющие ориентацию пространства, их определители равны -1. ДР1 составляют группу, ДР2 – не составляют. Матрицы ДР1 составляют специальную линейную группу, обозначаемую SL(n,R). ДР1 плоскости: тождественное преобразование, параллельный перенос и поворот; в частности, центральная симметрия есть поворот на 90о; ДР2: осевая симметрия и скользящая симметрия. Формулы ДР1 и их матрицы: ⎧ x ′ = x cos α − y sin α + a, ⎛ cos α − sin α ⎞ ⎟⎟ ; ⎜⎜ ⎨ ⎩ y ′ = x sin α + y cos α + b; ⎝ sin α cos α ⎠ формулы ДР2 и матрицы: ⎧ x ′ = x cos α + y sin α + a, ⎛ cos α sin α ⎞ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎨ ⎩ y ′ = x sin α − y cos α + b; ⎝ sin α − cos α ⎠ Матрицы движений плоскости ортогональны: скалярные квадраты строк и столбцов матриц равны 1, скалярные произведения разных строк и разных столбцов равны 0. Эти матрицы составляют ортогональную группу О(2), матрицы ДР1 составляют специальную ортогональную группу SO(2). Матрица кругового поворота евклидовой плоскости не имеет собственных направлений, поэтому в повороте нет инвариантных направлений. Существуют гиперболические и параболические повороты евклидовой плоскости, не являющиеся евклидовыми движениями, но в этих преобразованиях определяются инвариантные направления на плоскости. ДР1 пространства: тождественное преобразование, параллельный перенос, вращение вокруг прямой, в частности, симметрия относительно прямой есть поворот на 90о, винтовое движение; ДР2: центральная симметрия, симметрия относительно плоскости, перенос вдоль плоскости в сумме с отражением от плоскости. В дальнейшем мы немного подробнее изучим евклидову геометрию, рассмотрим кривые и поверхности и некоторые их свойства. Замечательные кривые можно получить как траектории точек в преобразованиях евклидова пространства. Многие поверхности оказываются составленными из

40

траекторий преобразований. Такой подход открывает характерные свойства кривых и поверхностей. Полезно рассматривать преобразования евклидова пространства, обладающие замечательными свойствами в других пространствах. Например, гиперболические повороты евклидова пространства, траектории точек в которых задают в псевдоевклидовом пространстве кривые постоянной кривизны. 6.3. ПСЕВЛОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. В линейном пространстве L4 аффинного пространства A 4 задается псевдоевклидово скалярное произведение векторов, получается псевдоевклидово векторное r r r r пространство V14 . Пусть (e , e1 , e2 , e3 ) базис псевдоевклидова пространства,

r

в котором всякий вектор x = ( x, x1 , x 2 , x 3 ) имеет длину

r x =

x 2 − ( x1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 .

Векторы, для которых x 2 > ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 , имеют действительную

r

r

r

r

длину. Выполняются: e = 1, e 1 = i , e 2 = i , e 3 = i , i 2 = −1 ; все векторы базиса попарно взаимно перпендикулярны. Если A = (a, a1 , a 2 , a 3 ) и B = (b, b1 , b 2 , b 3 ) две точки псевдоевклидова пространства E14 , то расстояние AB между ними равно

AB =

(b − a ) 2 − (b1 − a1 ) 2 − (b 2 − a 2 ) 2 − (b 3 − a 3 ) 2 .

В псевдоевклидовом пространстве неравенство треугольника не выполняется. Имеется конус x 2 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 , на образующих которого расстояния между точками равны нулю. Этот конус называется изотропным или световым. Расстояния между точками внутри конуса являются положительными действительными числами, а между точками вне конуса являются мнимыми. Изотропный конус существует в каждой точке псевдоевклидова пространства E14 , его ось параллельr на координатной оси Ox = 〈O, e 〉 , т.е. в каждой точке псевдоевклидова пространства существуют направления с действительными положительными направлениями. Пространство E14 есть пространство-время специальной теории относительности А. Эйнштейна, называемом еще пространством Г. Минковского. В различных системах отсчета в пространстве Минковского время течет с разными скоростями. Но скорость света постоянна. Это наиболее возможная скорость всевозможных движений.

41

Движения псевдоевклидова пространства E14 называются еще преобразованиями Г. Лоренца. Движения пространства E14 – его преобразования, r r сохраняющие расстояния между точками. Движения плоскости 〈O, e , e1 〉 в которых точка (t , x) отображается на точку (t ′, x ′) , записываются формулами

v x+t 2 x − vt c ′ ′ x = , t = , v2 v2 1− 2 1− 2 c c r r где c скорость света, v скорость движения репера (O ′, e ′, e1′) относительно r r репера (O, e , e1 ) . Скорости движений складываются по особому правилу. −

Матрицы псевдоевклидовых движений могут быть записаны с использованием гиперболических функций, в частности

⎛ chϕ ⎜⎜ ⎝ shϕ

shϕ ⎞ ⎟. chϕ ⎟⎠

Это матрица гиперболического поворота. Она имеет два собственных значения, которые определяют два инвариантных направления на псевдоевклидовой плоскости. Свойства псевдоевклидова пространства можно изучаются в [15 - 17]. 6.4. ГАЛИЛЕЕВО ПРОСТРАНСТВО. Определяя в линейном пространстве L4 аффинного пространства A 4 галилеево скалярное произведение векторов, п. 4.5, получаем пространство-время Галилея, его обознаr чение Γ 4 . Вектор x = ( x, x1 , x 2 , x 3 ) имеет норму, п. 4.6:

r r x = x , если x ≠ 0 ; x =

( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 , если x = 0 .

Галилеево векторное пространство VΓ4 является прямой суммой евклидовых пространств VΓ4 = V1 + V 3 . Вектор ( x, x1 , x 2 , x 3 ) при x ≠ 0 называется галилеевым, вектор (0, x1 , x 2 , x 3 ) называется евклидовым, п. 4.6. Из евклидовых векторов состоит пространство V 3 . Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Расстояние между точками A и B по определению равно AB = = AB 2 . Имеем

AB = b − a , если b ≠ a ;

42

AB =

(b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 + (b 3 − a 3 ) 2 , если b = a .

Расстояния между точками (a, x1 , x 2 , x 3 ) и (b, y1 , y 2 , y 3 ) , b ≠ a , при любых x i , y i равны b − a . Но в пространстве Галилея нет изотропных направлений. Неравенство треугольника в пространстве Галилея не выполняется. Через всякую точку пространства Γ 4 проходит единственное 3мерное евклидово пространство. Касательные векторы к линии в пространстве Галилея могут быть евклидовыми или галилеевыми. Если в некоторой точке P касательный вектор к линии является евклидовым, то в окрестности точки P эта линия лежит в евклидовом подпространстве пространства Галилея. Свойства такой линии изучаются евклидовой геометрией. В пространстве Γ 4 интересно изучать линии в окрестности таких точек, в которых эти линии имеют галилеевы касательные векторы. Также интерес представляют поверхности, имеющие галилеевы касательные плоскости. С геометрией 3-мерного пространства Галилея можно познакомиться в [13, 18], геометрии галилеевой плоскости посвящена книга [19]. 6.5. ПОЛУЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ. Скалярное произведение векторов в общем случае определяется билинейной формой (4.1.1). Для 2мерного пространства имеем rr ab = ga1b1 + ha 2 b 2 , где коэффициенты g, h принимают значения ± 1 или 0. Принципиально различны и значимы следующие возможности: rr rr rr ab = a1b1 + a 2 b 2 , ab = a1b1 − a 2 b 2 , ab = a 2 b 2 . В первом случае плоскость является евклидовой, во втором случае – псевдоевклидовой, в третьем – полуевклидовой. Галилеевой плоскости здесь не оказалось, т.к. галилеево скалярное произведение векторов задается парой билинейных форм на паре пространств ( L1 , L1 ), см. п. 4.5. Если пространство V 2 полуевклидово, его дефект d = 1, то векторы (a1 ,0) изотропные, они определяют изотропное направление на полуевклидовой плоскости. Через каждую точку плоскости проходит единственная изотропная прямая. Другие свойства полуевклидовой плоскости см. в [16]. Увеличивая размерность аффинного пространства, в линейном пространстве которого задано скалярное произведение векторов, имеющее дефект d ≥ 1, получаем пространства с неполным евклидовым скалярным произведением векторов с различными свойствами, в зависимости от значения дефекта d .

43

Содержание пп. 6.2 – 6.5 дает некоторое представление о разнообразии евклидовых пространств и их геометрий. Наиболее изученной является собственно евклидова геометрия. Началам дифференциальной геометрии евклидова пространства посвящено настоящее пособие. Рассматриваются некоторые начальные классические понятия и вопросы и классические методы дифференциальной геометрии. Это связано с малым объемом курса геометрии. § 7. Многообразия. Каждое из рассмотренных евклидовых пространств обладает одним замечательным свойством: координаты точек введены во всем пространстве заданием репера пространства. Рассмотрим обобщения евклидовых пространств, в которых координаты введены в окрестностях его точек; в разных окрестностях могут оказаться разные координаты. 7.1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО. Пусть М некоторое множество, U 1 его подмножество. Элементы множества М называются точками. Точка A называется внутренней точкой множества U 1 , если в U 1 существует подмножество U A , содержащее точку A . Множество U 1 называется открытым, если каждая его точка является внутренней. Множество U 1 , содержащее точку A , называется окрестностью точки A . Пусть T = {U α } система подмножеств множества M , удовлетворяющая условиям: (а) множество индексов {α } не более чем счетно; (б) UU α = M ; α

(в) M ∈ T , ∅∈ T ; (г) U α ∩ U β ⊂ T ; (д) объединение любого числа множеств из T принадлежит T . Система множеств T называется покрытием множества M . Пара (M, T ) называется топологией на множестве M или топологическим пространством. Разные системы множеств {U α } задают на M разные топологии. Топологическое пространство (M, T ) называется хаусдорфовым, если для любых двух его точек в T существуют непересекающиеся подмножества, содержащие эти точки. Отображение f множества M во множество S называется непрерывным в точке A множества M , если для любой окрестности V точки

44

f ( A) в S существует в M окрестность U , что f (U ) ⊆ V . Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке множества M . Непрерывное отображение f : M → S называется гомеоморфным, если оба отображения f и f −1 :S → M непрерывны. В этом случае множества M и S называются гомеоморфными. 7.2. МНОГООБРАЗИЕ. Считаем, что на множестве M задано хаусдорфово топологическое пространство (M, T ) , T = {U α }, UU α = M и α

каждое множество U α из T гомеоморфно отображается в R n . Под R n понимается n − мерное евклидово пространство. M называется многообразием размерности n . Пусть U α отображается в R n гомеоморфизмом

hα . Каждой точке M из U α соответствует точка ( x1 , x 2 ,..., x n ) в R n . Набор чисел ( x1 , x 2 ,..., x n ) называется координатами точки M . Пара (U α , hα ) называется локальной картой. Множество всех локальных карт называется атласом многообразия M . Расстояние между точками M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) и N = ( y1 , y 2 ,..., y n ) множества M равно

MN =

( y1 − x1 ) 2 + ( y 2 − x 2 ) 2 + ... + ( y n − x n ) 2 .

Оно обладает всеми свойствами евклидова расстояния между точками. Многообразие M называется дифференцируемым, если существует атлас, удовлетворяющий условиям: (а) карты атласа покрывают множество M ; (б) если для карт (U α , hα ) и (U β , hβ ) : U α ∩ U β ≠ ∅ и P ∈ U α ∩ U β , то функции, выражающие координаты точки P в одной карте через координаты точки P в другой карте дифференцируемы и определитель замены координат отличен от нуля. Подмножества в R n , на которые отображаются подмножества U α , можно считать открытыми n − мерными параллелепипедами. Часто такие подмножества считаются открытыми n − мерными шарами. Параллелепипеды и шары гомеоморфны. Говоря точнее, M называется евклидовым многообразием. Мы определяем ниже и другие многообразия. 7.3. ПСЕВДОЕВКЛИДОВО МНОГООБРАЗИЕ. Рассматривается множество M и хаусдорфово топологическое пространство (M, T ) , T = {U α }, U α ∈ M . На каждом множестве U α задано гомеоморфное отобра-

45

жение hα : U α → R 4 и имеется атлас карт (U α , hα ) . Всякая точка M из

U α в hα отображается на точку ( x, x1 , x 2 , x 3 ) в R 4 . Точка M имеет координаты ( x, x1 , x 2 , x 3 ) . Считаем, что в R 4 определено псевдоевклидово расстояние между точками, тогда во множестве M , если M = ( x, x1 , x 2 , x 3 ) и N = ( y , y1 , y 2 , y 3 ) , то

MN =

( y − x ) 2 − ( y 1 − x1 ) 2 − ( y 2 − x 2 ) 2 − ( y 3 − x 3 ) 2 .

Многообразие M называется псевдоевклидовым. Открытые области в R 4 , на которые отображаются U α из T , могут быть ограничены гиперплоскостями, параллельными координатным, гиперболоидами вида ( x − a) 2 − ( x1 − a1 ) 2 − ( x 2 − a 2 ) 2 − ( x 3 − a 3 ) 2 = 1; а могут быть ограничены только координатными гиперплоскостями, т.е. состоять из внутренних точек 4-мерных параллелепипедов. 7.4. ГАЛИЛЕЕВО МНОГООБРАЗИЕ. Пусть M хаусдорфово топологическое пространство с заданными T = {U α }, U α ∈ M . Считаем, что задано гомеоморфное отображение каждого открытого множества U α из

M во множество R n . На множестве R n могут быть определены различные расстояния между точками – евклидово, псевдоевклидово, галилеево и другие. Считаем, что на R n определена галилеева метрика. В кортежах, составляющих R n , выделим первую компоненту и кортежи записываем в виде X = ( x, x1 , x 2 ,..., x n −1 ) . Пусть

Y = ( y, y1, y 2 ,..., y n −1 ) еще одна точка. Галилеевым расстоянием XY между точками Х и Y называется XY = y − x , если y ≠ x ,

XY = ( y1 − x1 ) 2 + ... + ( y n −1 − x n −1 ) 2 , если y = x . Тем самым имеем галилеево многообразие R n . Открытыми множествами D 2 в R 2 являются множества пар ( x, x1 ) , где a < x < b , a1 < x1 < b1 и (a, b) , ( a1 , b1 ) интервалы из R. Открытые множества D3 в R 3 есть множества троек ( x, x1 , x 2 ) , где

a < x < b,

( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 < c 2 . Множество D3 есть внутренность цилиндра радиуса c

46

и высоты b − a . Открытое множество D n в R n есть внутренность n мерного цилиндра радиуса c и высоты b − a , для точек ( x, x1 , x 2 ,..., x n −1 ) открытого цилиндра выполняются неравенства a < x < b, 1 2 n −1 2 2 ( x ) + ... + ( x ) < c . Итак, для каждого открытого множества U α , из хаусдорфова топологического пространства M задано гомеоморфное отображение hα в галилеево многообразие R n . Тем самым, в пространстве M локально ведены координаты, в которых определено галилеево расстояние между точками. Имеем атлас {(U α , hα )}. Выполняются условия (а)

UU α

= M,

α

(б) hα o hβ

−1

класса C k , как и hα , hβ ,

(в) семейство {U α } максимально. Теперь и хаусдорфово пространство M является галилеевым многообразием.

47

Ч А С Т Ь II ЕВКЛИДОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ ________________________________________________________________ Глава 3

Евклидова дифференциальная геометрия § 8. Кривые евклидова пространства. 8.1. РЕГУЛЯРНАЯ КРИВАЯ. Задано отображение ρ : I → E3 интервала I действительной оси R в 3-мерное евклидово пространство. Интервал I может совпадать с R . Требуется, чтобы отображение ρ было взаимно однозначным и взаимно непрерывным, т.е. ρ – гомеоморфизм. В отображении ρ всякому значению t ∈ I соответствует точка M ∈ E3 . В

r r r

пространстве E 3 введен ортонормированный репер B = (O, i , j , k ) , точка M имеет координаты в репере B : M = ( x, y, z ) . С изменением значения t на интервале I изменяются координаты точки M , они являются функциями параметра t : M (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) . Три функции координат точки M (t ) в рассматриваемом порядке составляют векторную функцию r r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) , t ∈ I . Образ отрезка I в отображении ρ называется кривой евклидова пространства. Кривая есть множество точекr l = {M | OM = r (t ), t ∈ I} . Указанное множество точек M называется еще годографом векторной r r функции r = r (t ) . r r r Если r ′(t ) непрерывна и r ′(t ) ≠ 0 , то кривая r (t ) называется гладкой в окрестности точки to . Если кроме того, существуют производные r векторной функции r (t ) до порядка n включительно, то кривая в окрестности точки t o называется регулярной класса C n , n ≥ 2 . Точка кривой, в окрестности которой кривая регулярная, называется обыкновенной. Далее рассматриваем регулярные класса C 3 кривые, интервал I счиr r таем окрестностью точки t o этого интервала, r ′(t ) ≠ 0 , существуют r ′′ , r r r r ′′′ , векторы r ′ , r ′′ неколлинеарны.

48

8.2. ДЛИНА ДУГИ. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ПАРАМЕТР КРИВОЙ. r Из анализа известно, что длина дуги кривой r (t ) на интервале [to , t1 ] равна t1

s=

∫

x′ + y ′ + z ′ dt = 2

2

2

t1

r

∫ r ′ dt .

t0

t0

Зафиксируем точку t o , точку t считаем изменяющейся. Имеем функцию t

s (t ) =

r

∫ r ′ dt ,

t0

r это функция положительная, т.к. r ′ > 0 , и монотонно возрастающая. Подинтегральное выражение есть дифференциал дуги r (8.2.1) ds = r ′(t ) dt . Функция s = s (t ) непрерывна и монотонна, поэтому она обратима. Существует функция t = t ( s ) , тоже непрерывная и монотонная. Обе функции s (t ) и t (s ) дифференцируемы одинаковое число раз. 8.2.1. ЛЕММА. Вектор производной векторной функции по длине дуги этой функции является единичным. # Равенство (8.2.1.) записываем в виде

ds r = st′ = r ′(t ) . dt r Рассматриваем сложную функцию r (t ( s )) . Ее производная такова: r r r 1 r 1 rs′ = r ′t s′ = r ′ = r ′ r . st′ r′ (8.2.2)

Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования обратной функ-

1 r и равенством (8.2.2). Теперь найдем модуль вектора rs′ . st′ r r 1 rs′ = r ′ r = 1 , r′ r dr следовательно = 1. # ds r Заменим параметризацию кривой r (t ) , вместо параметра t подставим его функцию от s r r r (t ( s )) = r (s ) = ( x(t ( s )), y (t ( s)), x(t ( s))) = ( x( s ), y ( s ), z ( s )) . r Интервал задания функции r ( s ) обозначаем I , хотя он отличается от интервала значений параметра t . Параметризация векторной функции, зации: t s′ =

49

дающей кривую в E3 , длиной дуги этой кривой называется естественной, это параметризация r r (s ) = ( x( s ), y ( s ), z ( s )) , s ∈ I , s называется естественным параметром кривой. Обозначения произ-

r r dr r& r r водных по параметру s : rs′ = = r , rss′′ = &r& и т.д. ds

Лемму 8.2.1. сформулируем в следующем виде. 8.2.2. ЛЕММА. Вектор первой производной векторной функции в естественной параметризации имеет постоянную единичную длину: r r& = 1.

8.2.3. ЛЕММА. Вектор производной вектора постоянного модуля перпендикулярен этому вектору.

r

r

r2

# Выполняется r 2 = r . Продифференцируем равенство r 2 = C : rr r r 2r r ′ = 0 . А это означает r ′⊥r . # 8.3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ И НОРМАЛЬНАЯ ПЛОСr КОСТЬ КРИВОЙ. Вектор r ′(to ) является вектором касательной кривой r r r (t ) в точке to . Обозначим точку кривой r (t ) , соответствующую значению параметра to , через P , т.е. P = P (to ) . Плоскость, проходящая через r точку P (to ) кривой и перпендикулярная вектору r ′(to ) , называется норr мальной плоскостью кривой в точке t o . По вектору r ′(t o ) = ( x′(to ), y′(to ), z ′(to )) и точке P (to ) = ( x(to ), y (to ), z (to )) запишем уравнеr ния касательной прямой и нормальной плоскости кривой r (t ) :

x − x(to ) y − y (to ) z − z (to ) ; = = x′(to ) y ′(to ) z ′(to ) x′(to )( x − x(to )) + y′(to )( y − y (to )) + z ′(to )( z − z (to )) = 0 .

r

8.3.1. ТЕОРЕМА. Положение касательной прямой кривой r (t ) в каждой ее точке r не зависит от параметризации кривой. r # Пусть r (t ) произвольная параметризация кривой, r ( s ) есть естест-

r

r

r

r

венная параметризация и пусть s = s (t ) . Тогда rt ′ = (r ( s (t )))′t = rs′st′ = r&s′ ,

r

r

т.е. векторы r ′ и r& коллинеарны. Обозначим so = s (t o ) . Прямые

r r < P, r ′(t ) > , < P, r& ( s ) > совпадают. #

r

Единичный вектор касательной обозначается через t .

50

8.4. КАСАТЕЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ И КАСАТЕЛЬНОЕ r r РАССЛОЕНИЕ. При движении точки M (t ) по кривой r (t ) вектор r (t ) изменяется. Имеем отображение точек кривой в векторное пространство при каждом значении t : r M (t ) → r ′(t ) . r Это касательное отображение вдоль кривой r (t ) . Рассмотрев всевозможные кривые евклидова пространства E3 , проходящие через точку P , и касательные отображения вдоль этих кривых, имеем касательное отображение евклидова пространства E 3 в его векторное пространство V 3 в точке P . Множество касательных отображений E 3 → V 3 во всех точках P называется касательным расслоением. 8.5. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ. Рассмотрим плоскоr сти, проходящие через касательную кривой r (t ) в точке P = P(to ) кривой. r При изменении параметра t получаем вектор r ′(t o + Δt ) . Для вектора r r ′(to + Δt ) имеет место формула Тейлора r r r r r ′(to + Δt ) = r ′(to ) + r ′′(to )Δt + o (Δt ) , r o (Δt ) бесконечно малое векторное слагаемое, более высокого порядка, чем r Δt . Точка M (to + Δt ) кривой и касательная 〈 P, r ′(to )〉 определяют плосr r кость Π = 〈 P, r ′(t o ) , r ′(to + Δt )〉 . Нормальный вектор этой плоскости есть r r r ′(to ) × r ′(to + Δt ) . Найдем нормаль плоскости Π при M → P , т.е. при Δt → 0 . Имеем r r r r r r r ′(to ) × r ′(to + Δt ) = r ′(to ) × ( r ′(to ) + r ′′(to )Δt + o (Δt ) ) = r r r r = r ′(to ) × r ′′(t o ) Δt + r ′(to ) × o (Δt ) . r При Δt → 0 второе слагаемое стремится к o быстрее, чем Δt → 0 . Следовательно, нормали рассматриваемых плоскостей незначительно отличаютr r ся от вектора r ′(to ) × r ′′(to ) . (Мы рассматриваем регулярные кривые, этот вектор существует.) С уменьшением Δt уменьшается длина вектора нормали, направление ее стремится к неизменному направлению r r r ′(to ) × r ′′(to ) . r r Плоскость 〈 P, r ′(t o ), r ′′(to )〉 называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке t0 . Уравнение соприкасающейся плоскости

x − x (t o ) x′(to ) x′′(to )

y − y (to ) z − z (to ) y′(to ) z ′(to ) = 0. y′′(to ) z ′′(to )

51

8.5.1. ТЕОРЕМА. Положение соприкасающейся плоскости не зависит от параметризации кривой. r # Рассматриваем кривую в произвольной параметризации r (t ) и в

r r s = s (t ) . Имеем r ′ = r&s′ , r r r r r r r r ′′ = &r&s′ 2 + r&s′′ . Линейные пространства 〈 r ′, r ′′〉 и 〈 r& , &r&〉 совпадают, следоr r r r вательно, совпадают и плоскости 〈 P, r ′, r ′′〉 , 〈 P, r& , &r&〉 . #

естественной

параметризации

r r (s) ,

Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость называются еще соответственно первой и второй соприкасающимися плоскостями кривой. Соединяем теоремы 8.3.1 и 8.5.1: 8.5.2. ТЕОРЕМА. Соприкасающиеся плоскости регулярной кривой существуют, их положение не зависит от параметризации кривой. # 8.6. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ РЕПЕР КРИВОЙ. Пусть r r ( s ) = ( x( s ), y ( s ), z ( s )) , s ∈ I , регулярная класса C 3 кривая. Во всякой ее обыкновенной точке P сущеr r r ствует касательная < P, r& ( s ) > , r& = t единичный вектор касательной, см.

r

r r

r r

r

r

пп. 8.2 и 8.3. Имеем t& = &r& и по лемме 8.2.3, &r&⊥r& , т.е. t&⊥r& . Вектор &r& опреr r деляет нормаль 〈 P, &r&〉 кривой r (s ) в точке P , она называется главной r нормалью кривой r (s ) в точке P . Кривая в любой своей точке имеет бесконечно много нормалей, составляющих нормальную плоскость кривой.

&rr& r Вектор n = r называется единичным вектором главной нормали кривой. &r&

Вектором бинормали называется вектор, перпендикулярный соприкасаюr щейся плоскости кривой, единичный вектор бинормали обозначается b , r r r r r r b = t × n , имеем b || r& × &r& , точнее,

r rr& × &rr& b= r r , r& × &r&

r r r r r r& × &r& есть векторное произведение векторов r& , &r& . Прямая 〈 P, b 〉 называется бинормалью кривой. r r r С кривой связан сопровождающий репер ( P, t , n , b ) , P точка дви-

r

r

r

жется по кривой. Координатные оси: < P, r& > = 〈 P, t 〉 касательная, 〈 P, n 〉

r

r r

главная нормаль, 〈 P, b 〉 бинормаль. Координатные плоскости: 〈 P, r& , &r&〉 =

r r r r r r 〈 P, t , n 〉 соприкасающаяся, 〈 P, n , b 〉 нормальная, 〈 P, t , b 〉 спрямляющая.

52

§ 9. Кривизна и кручение кривой

r

9.1. КРИВИЗНА КРИВОЙ. На регулярной кривой r ( s ) возьмем точку P = P( so ) и точку M = M (to + Δs ) . Угол между касательными

r r < P, r& > и 〈 M , r& ( so + Δs )〉 обозначим через ϕ . Изменению Δs параметра s соответствует изменение Δϕ угла между касательными. Обозначим: dϕ k1 = lim . ds r Имеем: k = t& , это скорость вращения единичного вектора касательной; 1

r k1 = &r& . Таким образом, справедливо равенство r r r r t& = k1n и &r& = k1n . r Во всякой точке кривой r (s ) : &rr&( s ) = k ( s )nr и k ( s ) = &rr&( s ) . 1 1

r

Величина k1 называется кривизной или первой кривизной кривой r ( s ) в r точке P ; функция k1 = k1 ( s ) называется функцией кривизны кривой r ( s ) ,

1 r r k1 ≥ 0 , &r&(s ) – вектор кривизны кривой r (s ) . Величина R = называется k1 r радиусом кривизны кривой r ( s ) в точке P . В направлении вектора криr визны n откладывается отрезок PQ = R . Окружность ω (Q, R ) с центром Q и радиусом R называется окружностью кривизны в точке P или соприr касающейся окружностью кривой r (s ) в токе P . Она касается кривой r r ( s ) и ее касательной в точке P . 9.2. КРКУЧЕНИЕ КРИВОЙ. Отметим уже известные соотношения r r& r r n n , n ⊥t . (9.2.1) r ⊥ r r Продифференцируем равенство b = t × n :

r& r r r r r r b = t& × n + t × n& = t × n& ,

r r r r r так как t& || n , то t& × n = o . Значит,

r& r r& r b ⊥t , b ⊥n& .

Отсюда и из (9.2.1) следует

r& r b || n .

Положим

53

r&

r

(9.2.2) b = −k 2 n . r Величина k 2 называется кручением кривой r (s ) или второй кривизной

r&

r

кривой r ( s ) в точке P . Вектор b называется вектором кручения. При r движении точки P по кривой r (s ) , т.е. с изменением параметра s имеем функцию k 2 = k 2 ( s ) – функцию кручения. Знак величины k 2 может быть и положительным и отрицательным. r Кривизна кривой равна скорости вращения единичного вектора t касательной кривой. Кручение кривой равно скорости вращения единичноr го вектора b бинормали кривой.

r r& b r n&

9.3. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ. Ранее найдены разложения векторов t& , r r r по векторам подвижного репера ( P, t , n , b ) кривой. Найдем разложение в том же базисе:

r r r r& r r r r r r r r r n = b × t , n& = b × t + b × t& = − k 2 n × t + b × k1n = k 2b − k1t ,

или окончательно

r r r n& = − k1t + k 2b .

Полученные разложения

r r& r r r r r t& = k1n , n& = − k1t + k 2b , b = − k 2 n

называются формулами Френе. Им соответствует матрица

⎛ 0 ⎜ ⎜ − k1 ⎜ 0 ⎝

k1 0 − k2

0⎞ ⎟ k2 ⎟ , 0 ⎟⎠

являющаяся кососимметрической. 9.4. УПЛОЩЕНИЕ КРИВОЙ. Определим вид кривой, имеющей нулевое кручение, нулевую кривизну.

r&

r

r

Пусть k 2 = 0 . Согласно (9.1.1), b = o . Следовательно, b постоянный вектор. Это нормальный вектор соприкасающейся плоскости. Вектор не изменяется, значит, перпендикулярная ему плоскость параллельна сама сеr r бе. Вектор t касательной остается перпендикулярным вектору b , это вектор соприкасающейся плоскости, т.е. соприкасающаяся плоскость не изменяет своего положения при движении r точки по кривой, она скользит сама по себе. Это означает, что кривая r ( s ) лежит в своей соприкасающейся плоскости.

54

r

Обратно, если кривая r (s ) плоская, то векторами ее плоскости яв-

r

r

r

ляются t и n , вектор b имеет постоянное направление, перпендикуляр-

r&

r

ное плоскости кривой, и длина его постоянна, следовательно, b = o и кручение кривой равно нулю. Получена r 9.4.1. ТЕОРЕМА. Кручение k 2 кривой r (s ) равно нулю, если и тольr ко если кривая r ( s ) плоская. #

Кроме того, выполняется 9.4.2. СВОЙСТВО. Плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости. # Плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости, вектор r ее нормали b в этом случае постоянен, скорость его вращения равна нулю, поэтому кручение плоской кривой равно нулю. Пусть теперь k1 = 0 . Используем определение кривизны кривой, п.

r

r

r

9.1: t& = k1n . При k1 = 0 вектор касательной t имеет неизменное направr ление, тогда r ( s ) – прямая линия. Верно и обратное. Справедлива r 9.4.3. ТЕОРЕМА. Кривизна k1 линии r ( s ) равна нулю, если и только r если r (s ) прямая линия. #

r

r

r r

r

Если k1 = 0 , то t& = &r& = o и о векторах n , b ничего сказать нельзя. Точки кривой, в которых k1 = 0 , называются точками распремления. 9.5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ r r КРИВОЙ. Если кривая задана в естественной параметризации r = r (s ) , то согласно п. 9.1, по определению кривизны кривой,

r k1 = &r& , следовательно,

k1 = &x&2 + &y&2 + &z&2 r есть формула для вычисления кривизны k1 кривой r ( s ) в естественной параметризации. Для вычисления кручения k 2 воспользуемся векторами проr r r изводных r& , &r&, &r&& . Имеем: r r r r r r r r r r r r r r& = t , &r& = k1n , &r&& = k&1n + k1n& = k&1n + k1 (− k1t + k 2b ) = − k&1t + k&1n + k1k 2b . Здесь мы взяли вторую формулу Френе. Вычислим смешанное произведеr r r ние векторов r& , &r&, &r&& , учитывая (9.5.1)

r r r r& × &r& = k1b . r r r r rrr r r r r r& &r&&r&& = (r& × &r&)&r&& = k1b ( − k&1t + k&1n + k1k 2b ) = k12 k 2b 2 = k12 k 2 .

55

Таким образом,

rrr r& &r&&r&& = k12 k 2 .

(9.5.2) Отсюда

k2 =

rrr r& &r&&r&& k12

rrr r& &r&&r&& = r2 . &r&

Выражение в координатах:

x& &x& k2 =

y& &y&

z& &z&

&x&& &y&& &z&& &x&2 + &y&2 + &z&2

=

( y&&z& − &y&z& )&x&& − ( x&&z& − &x&z& )&y&& + ( x&&y& − &x&y& )&z&& . &x&2 + &y&2 + &z&2

r r

Пусть теперь кривая задана в произвольной параметризации r = r (t ) .

r r r

dt r = r ′ , см. (8.2.2). ds r r r& dr r dt &r& d 2 r r dt 2 r d 2t r= = r ′ , r = 2 = r ′′( ) + r ′ 2 , ds ds ds ds ds 2 3 &rr&& = rr ′′′( dt )3 + 3rr ′′ dt d t + rr ′ d t . ds ds ds 2 ds 3 r r r

Выразим r& , &r&, &r&& через r ′, r ′′, r ′′′ , учитывая t = t ( s ) и

Имеем:

По (9.5.1),

r r r r dt r r r r r r dt r& × &r& = r ′ × r ′′( ) 3 , r& &r&&r&& = r ′ r ′′ r ′′′ ( ) 6 . ds ds r r r dt 3 rr ′ × rr ′′ k1b = r ′ × r ′′( ) = r 3 . ds r′

Переходя к модулям векторов, получаем

r r | r ′ × r ′′ | k1 = r 3 . r′ r r r r r r r ′ r ′′ r ′′′ r ′ r ′′ r ′′′ 2 2 По (9.5.2), k1 k 2 = r 6 = r r 2 k1 , значит, | r′ | | r ′ × r ′′ | r r r r ′ r ′′ r ′′′ k2 = r r 2 . | r ′ × r ′′ | Запишем формулы для k1 и k 2 в координатах:

56

( y ′z ′′ − y ′′z ′) 2 − ( x′z ′′ − x′′z ′) 2 + ( x′y ′′ − x′′y ′) 2 , k1 = ( x′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 2 ( y ′z ′′ − y ′′z ′) x′′′ − ( x′z ′′ − x′′z ′) y′′′ + ( x′y ′′ − x′′y ′) z ′′′ . k2 = ( y ′′z ′ − y ′′z ′) 2 − ( x′z ′′ − x′′z ′) 2 + ( x′y ′′ − x′′y ′) 2 r r Если кривая r (t ) задана в плоскости Oxy , т.е. r (t ) = ( x(t ), y (t )) , то k2 = 0 , и | x′y ′′ − x′′y ′ | . k1 = 2 ( x′ + y ′ 2 ) 3 2 9.6. ПРЯМАЯ, ОКРУЖНОСТЬ, ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ. Выше, в п. 9.1, установлено, что кривизна прямой линии равна нулю, также и кручение ее равно нулю: k1 = 0 , k 2 = 0 . Рассмотрим окружность радиуса a : x = a cos t , y = a sin t . Находим: y ′ = a cos t ; y ′′ = − a sin t ; x′ = −a sin t , x′′ = −a cos t ,

x′2 + y ′ 2 = a 2 , x′y ′′ − y ′x′′ = a 2 ,

k1 =

1 . a

Кривизна окружности постоянна и обратна ее радиусу. Кручение k 2 = 0 , т.к. линия плоская, п. 9.1. Винтовая линия задается уравнениями x = a cos t , y = a sin t , z = bt . Она намотана на круглый цилиндр радиуса a и шаг линии равен b . Вычисления дают: x′ = −a sin t , y ′ = a cos t , z ′ = b ; x′′ = −a cos t ,

r y ′′ = − a sin t , z ′′ = 0 ; x′′′ = a sin t , y ′′′ = −a cos t , z ′′′ = 0 . r ′ = a 2 + b 2 , r r r r r r ′ × r ′′ = = a a 2 + b 2 , r ′ r ′′ r ′′′ = a 2b . r r r r r r ′ × r ′′ r ′ r ′′ r ′′′ a b ; k2 = r r 2 = 2 . k1 = r 3 = 2 2 (r ′ × r ′′) a +b a + b2 r′ Кривизны винтовой линии постоянны. 9.7. ЗАДАНИЕ КРИВОЙ ФУНКЦИЯМИ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ. Оказывается, имея функции кривизны и кручения k1 = k1 ( s ) >0 и k 2 = k 2 ( s )

57

иr формулы Френе,

п. 9.3, можно получить векторное задание кривой r ( s ) = ( x( s ), y ( s ), z ( s )) в некотором репере пространства. Функции кривизны и кручения называются натуральными уравнениями кривой. Этих функций две, а определяются три функции x( s ), y ( s ), z ( s ) . Зависимости между векторами подвижного репера кривой и производными этих вектоr ров позволяет найти компоненты функции r (s ) по функциям k1 ( s ) и k 2 ( s ) , см. [2, 20]. Кривая натуральными уравнениями определяется с точностью до положения в пространстве. 9.8. ЛИНИИ ПОСТОЯННЫХ КРИВИЗН. Евклидово пространство обладает только следующими линиями, имеющими постоянную кривизну k и постоянное кручение m : r (1) прямая r (t ) = ( a1t + b1 , a 2t + b 2 , a 3t + b 3 ) , k = m = 0 ;

r

(2) окружность r (t ) = ( R cos t , R sin t ,0), k = (3) винтовая

r r (t ) = (a cos t , a sin t , bt ), a =

1 , m = 0; R

линия

k m , = . b k 2 + m2 k 2 + m2

9.9. СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОБЫКНОВЕННОЙ ТОЧr КИ. Пусть P точка регулярной плоской кривой r (s ) . Если кривизна криr вой в точке P равна нулю, то в малой окрестности этой точки линия r (s ) есть отрезок прямой. Если в точке P кривизна k1 = a ≠ 0 , то в малой окре-

r

стности этой точки r (s ) есть дуга окружности радиуса

r

1 . a

Рассмотрим пространственную кривую r ( s ) в сопровождающем ре-

r r r

пере ( P, t , n , b ) . Если в точке P кривой k 2 = 0 , то кривая плоская и она описана выше, п. 9.4. Пусть k1 ≠ 0 , k 2 ≠ 0 в точке P = P (s ) и пусть M = r M ( s + Δs ) близкая к точке P точка кривой r (s ) . Для малого Δs дугу r PM можно заменить вектором Δr . Имеется разложение в ряд Тейлора

1r 1r r r r Δr = r&Δs + &r&Δs 2 + &r&&Δs 3 + ... + o (Δs 3 ) , 2 6 r& &r& &r&& r производные r , r , r вычислены в точке P , o ( Δs 3 ) – слагаемое более высокого порядка малости, чем Δs 3 . В п. 9.5 выписаны выражения векторов производных в сопровождающем репере кривой r r r r r r r r r& = t , &r& = k1n , &r&& = − k&1t + k&1n + k1k 2b .

58

r

r

Подставим эти выражения в разложение Δr и напишем разложение Δr в r r r базисе (t , n , b ) :

r r 1 r r 1 Δr = (Δs + ...)t + ( k1Δs 2 + ...)n + ( k1k 2 Δs 3 + ...)b . 6 2

r

В таблицах ниже показано, как изменяются знаки проекций вектора Δr на r r r векторы репера ( P, t , n , b ) при переходе точки M через точку P , т.е. при изменении знака Δs с – на +.

k2 < 0 r − + t − + r + + n + + r − + b + − r Кривая r (s ) в окрестности точки P при k 2 > 0 проектируется сначала на r r r вектор − t , затем на вектор + t ; проектируется только на вектор + n и r r проектируется сначала на вектор − b , затем на вектор + b . Значит, при k 2 > 0 кривая в окрестности точки P закручивается правым винтом. При k 2 < 0 кривая в окрестности точки P закручивается левым винтом. r t r n r b

k2 > 0

§ 10. Поверхности евклидова пространства 10.1. РЕГУЛЯРНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. На евклидовой плоскости E выбрана некоторая область D , гомеоморфная прямоугольнику. Можно считать, что D прямоугольник. Он состоит из точек H (u , v) , D = 2

[a, b] × [c, d ] , т.е. a ≤ u ≤ b , c ≤ v ≤ d и (u , v) ∈ D ⊆ R 2 , область D может совпадать с R 2 . Плоскость E 2 есть пара ( R 2 , μ ) , где μ евклидова метрика на R 2 . Задано отображение

π : D → E3 плоской области D в евклидово пространство E 3 = ( R 3 , μ ) , в котором точке H (u , v) из D соответствует точка P ( x, y, z ) из E 3 , в π : H → P . Отображение π является гомеоморфным – взаимно однозначным и взаимr r r но непрерывным. В E 3 выбран ортонормированный репер (O, i , j , k ) . При изменении точки H в области D изменяется точка P в пространстве E 3 . Координаты x, y, z точки P являются функциями координат точки H :

59

x = x(u , v) , y = (u , v) , z = z (u, v) , (u, v) ∈ D .

Эти функции непрерывны, ввиду того, что отображение π гомеоморфно. Таким образом, векторная функция двух параметров r имеется r r = r (u , v) = ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) , (u, v) ∈ D . Отображение π и образ области D в отображении π называется поверхностью. Поверхность есть множество точек Π = {P | OP = ( x(u , v), y (u, v), z (u , v)) , (u , v) ∈ D . Задается поверхность векторной r r функцией r = r (u , v) . r , поэтому поверхность Поверхность Π составляют концы векторов OP = r r Π называется годографом функции r (u , v) . r r Наложим на функцию r = r (u, v) условия

r

(1) r (u , v) есть функция класса C 3 , т.е. существуют непрерывные частные производные этой функции до третьего порядка включительно. (2)

r r ∂r r ∂r r Векторы ru = , rv = неколлинеарны в точках области D . Не∂u ∂v

коллинеарность векторов означает, в частности, что они ненулевые, а также означает, что ранг следующей матрицы равен 2

⎛ xu ⎜⎜ ⎝ xv

yu yv

zu ⎞ ⎟. z v ⎟⎠

Поверхность, заданная векторной функцией с указанными условиями, называется регулярной класса C 3 . Область D задания поверхности можно считать окрестностью всякой ее внутренней точки H (u , v) , a ≤ u ≤ b , c ≤ v ≤ d . Всякая точка регулярной поверхности называется обыкновенной. Мы изучаем поверхности в окрестности обыкновенной точки. 10.2. ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ. Фиксируя на поверхности r r (u, v) один из параметров, получаем на поверхности регулярную кривую, см. п. 8.1. Имеем следующие линии: r u -линии поверхности, это линии r (u , vo ) , v = vo const ; r v -линии r (u o , v) , u = u o const . Всякие две u − линии и всякие две v − линии поверхности не пересекаются. Чрез каждую точку поверхности проходит единственная u − линия и единственная v − линия. Таким образом, на поверхности имеется криволинейная координатная сеть. С каждой точкой P поверхности связан репер r r r r r r ( P, ru , rv , ru × rv ) ; производные ru , rv вычислены в точке P ,

60

r i

r k

r j yu yv

r r ru × rv = xu

xv

zu . zv

Если в области D заданы функции u = u (t ) , v = v(t ) , то на поверхности r r (u, v) определяется линия r r r (t ) = r (u (t ), v(t )) = ( x(u (t ), v(t )), y (u (t ), v(t )), z (u (t ), v(t ))) , t ∈ I ⊂ D . Это произвольная линия на поверхности. 10.3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ ПОВЕРХr r НОСТИ. Пусть P точка регулярной поверхности r = r (u, v) . В этой точr r r ке имеем неколлинеарные векторы ru , rv . Для любой линии r (t ) = r r (u (t ), v(t )) выполняется r r r r ′(t ) = ru ut′ + rv vt′ , r r т.е. вектор касательной r ′(t ) всякой линии поверхности r (u , v) , проходяr r щей через точку P , является линейной комбинацией векторов ru , rv – r векторов касательных u − линии и v − линии; вектор r ′(t ) принадлежит r r r r оболочке 〈 ru , rv 〉 . Касательная прямая 〈 P, r ′(t )〉 всякой кривой r (t ) = r r r r r (u (t ), v(t )) поверхности r (u, v) лежит в плоскости 〈 P, ru , rv 〉 . Касательr ные всех линий поверхности r (u , v) , проходящих через точку P , образуют плоскость. Получена следующая r 10.3.1. ТЕОРЕМА. Регулярная поверхность r (u , v) в каждой своей r r точке P обладает касательной плоскостью 〈 P, ru , rv 〉 . # r r Пусть P = ( xo , y o , z o ) и производные ru , rv вычислены в точке P . Тогда уравнение касательной плоскости таково

yu

zu

zu

xu

yv

zv

( y − yo ) +

xu

yu

( z − zo ) = 0 . xv y v z v xv zv r r r Прямая 〈 P, ru × rv 〉 называется нормалью поверхности r (u , v) в точке P . Ее уравнения: x − xo y − yo z − zo . = = yu z u z u xu xu y u yv

( x − xo ) +

zv

xv

61

xv

yv

10.4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ r ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ. В произвольной точке P поверхности r (u , v) зададим направление, выбрав u = u (t ) , v = v(t ) . Отношение дифференциалов

du u ′(t ) = dv v′(t ) определяет направление на поверхности, имеем r r r dr = ru du + rv dv . r Производная от r (u , v) по направлению du : dv имеет вид

r dr r du r dv = ru + rv . ds r ds ds Малое смещение ds по кривой r (u (t ), v(t )) на поверхности вычисляется на основании равенств Отсюда

получаем,

r r r ds = dr = ru du + rv dv .

вычисляя

r r 2 ru du + rv dv (10.4.1) Введем обозначения:

скалярный

квадрат

r r ( ru du + rv dv) 2

=

r rr r ds 2 = ru 2 du 2 + 2ru rv dudv + rv 2 dv 2 .

r2

r2

rr

(10.4.2) ru = E (u , v) = E , ru rv = F (u , v) = F , rv = G (u , v) = G . Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки P поверхности. Выражение (10.4.2) I = ds 2 = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 r называется первой основной квадратичной формой поверхности r (u , v) . 10.5. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ. Малое расстояние ds на r поверхности r (u , v) в направлении du : dv может быть найдено по первой квадратичной форме

ds =

Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 .

На этом основании первая квадратичная форма поверхности определяет метрику на поверхности. Матрица Грама этой метрики:

⎛E F⎞ ⎟⎟ , ( g ij ) = ⎜⎜ ⎝ F G⎠ ds 2 = g11du 2 + 2 g12 dudv + g 22 dv 2 , см. пп. 4.1, 4.2. Детерминант метрической формы равен g ij = EG − F 2 .

62

r r r r r r rr r r a × b = a b sin α , a b = a b cosα ,

Для любых векторов a и b , угол между которыми равен α , имеем поэтому верно соотношение

r r rr r r (a × b ) 2 + (ab ) 2 = a 2 b 2 . r r Перепишем это равенство для ru , rv : r r r r r r ( ru × rv ) 2 + ( ru rv ) 2 = ru 2 rv 2 . Отсюда, используя обозначения (10.4.2), находим

r

r2 r2

r

r r

r

r

(10.5.1) ( ru × rv ) 2 = ru rv - ( ru rv ) 2 = EG − F 2 , | ru × rv | = Вместе с тем, получено

EG − F 2 .

g ij = EG − F 2 > 0 и детерминант первой квадратичной формы есть ее дискриминант. Длину дуги кривой, проходящей через точку P в направлении du : dv можно вычислить на основании дифференциала дуги ds (10.4.1): t1

t1

du 2 du dv dv ) + 2F + G ( ) 2 dt . dt dt dt dt t0 t0 r Если через точку P проходит еще одна линия r (u1 (t ), v1 (t )) в направлении r r du1 : dv1 , то угол ϕ между кривыми r (u (t ), v(t )) и r (u1 (t ), v1 (t )) есть угол r r r r r r между векторами dr = ru du + rv dv и d1r = ru du1 + rv dv1 и может быть

l=

∫

2

2

Edu + 2 Fdudv + Gdv =

∫

E(

найден из формулы

r r dr d1 r cos ϕ = r r = dr d1r Edudu1 + F (dudv1 + du1dv) + Gdvdv1

.

Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 Edu12 + 2 Fdu1dv1 + Gdv12 Если первое направление есть направление u − линии: du > 0 , dv = 0 , второе направление есть направление v − линии: du1 = 0 , dv1 > 0 , и ϑ угол между u − линией и v − линией, то Fdudv1 F = . cosϑ = E du G dv1 EG Выполняется: ϑ = 90 o ⇔ F = 0 . Элемент площади фигуры на поверхности равен

r r dσ = ru × rv

и по (10.5.1):

63

2

dσ = EG − F 2 dudv . r Теперь площадь фигуры Q , лежащей на поверхности r (u , v) , вычисляется по формуле

S =

∫∫

EG − F 2 dudv .

Q

Итак, на основании первой квадратичной формы I (10.4.3) поверхr ности r (u , v) на поверхности вычисляются длины линий между заданными точками, углы между линиями и площади фигур, лежащих на поверхности, т.е. могут быть произведены все измерения. Форма I действительно является метрической. § 11. Кривизна поверхности. 11.1. КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ. На поверхности r r (u, v) рассматриваем линию u = u ( s ) , v = v( s ) в естественной параметризации

r r r ( s ) = r (u ( s ), v( s )) . r Согласно п. 9.1, кривизна кривой r (s ) определяется из равенства &rr& = k nr , 1 r где k1 кривизна кривой, n единичный вектор главной нормали кривой. r r Обозначим m единичный вектор нормали поверхности r (u , v) , это вектор r r ru × rv r (11.1.1) m= r r , ru × rv r&& r см. п. 10.3. Умножим скалярно r и m : r rr &rr& m = k1n m = k1 cosϑ , r r если ϑ угол между n и m . Величина k1 cosϑ = k n r r называется нормальной кривизной кривой r ( s ) на поверхности r (u , v) или нормальной кривизной поверхности: r r (11.1.2) k n = &r& m = k1 cosϑ . Вычислим k n в окрестности точки P = ( xo , yo , z o ) . Находим:

r r du r dv + rv , r& ( s ) = ru ds ds

64

2 2 &rr& = rr ( du ) 2 + rr d u + rr du dv + rr dv du + rr ( dv ) 2 + rr d v , uu u uv vu vv v ds ds ds ds ds ds ds 2 ds 2 r r r r du r r du dv r r dv 2 k n = &r& m = ruu m( ) 2 + 2ruv m + rvv m( ) , ds ds ds ds r r r r r r r здесь ru m = 0 и rv m = 0 , так как m⊥ ru , rv . Обозначим: r r r r r r ruu m = L , ruv m = M , rvv m = N .

На основании (11.1.1) и (10.5.1) имеем

L=

rrr ru rv ruu

rrr ru rv ruv

rrr ru rv rvv

; M = ; N= . EG − F 2 EG − F 2 EG − F 2 Коэффициенты L, M , N вычислены в точке P поверхности. Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково (11.1.3) Отсюда получаем

k n = L(

du 2 du dv dv ) + 2M + N ( )2 . ds ds ds ds

Ldu 2 + 2 Mdudv + Ndv 2 kn = . ds 2 Воспользуемся значением ds 2 из первой квадратичной формы (10.4.3) поверхности (11.1.4) Квадратичная форма

Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2 . kn = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 II = Ldu 2 + 2 Mdudv + Ndv 2

называется второй квадратичной формой поверхности. Таким образом, нормальная кривизна поверхности есть отношение второй и первой квадратичных форм поверхности. Рассмотрим наr поверхности кривые, проходящие через точку P и имеющие с кривой r (s ) общую соприкасающуюся плоскость. У этих кри-

r

r

вых общий вектор касательной r& и общий вектор кривизны &r& . Среди этих кривых находится плоская кривая, лежащая в соприкасающейся плоскости r r r 〈 P, r& , &r&〉 , эта плоскость содержит и нормаль m поверхности. Следовательно, выполняется 11.1.1. ТЕОРЕМА. Нормальная кривизна поверхности в точке P есть кривизна нормального сечения поверхности. # 11.2. ИНДИКАТРИСА КРИВИЗНЫ. В точке P поверхности Π r r r r (u, v) рассматриваем касательную плоскость π 〈 P, ru , rv 〉 . Во всех на-

65

r

правлениях в точке P в du : dv и в dv = 0 к линиям r (s ) на Π проводим

r

касательную прямую 〈 P, r& ( s )〉 , она лежит в плоскости π . Вектор касательной

r r du r dv + rv r& ( s ) = ru ds ds

выписан выше, в п. 11.1. В каждом направлении от точки P откладывается отрезок

PM = ± r r

1 . kn

В репере ( P, ru , rv ) касательной плоскости π обозначим M = ( x, y ) . Тогда

1 r du r dv r r xru + yrv = ± ( ru + rv ). ds ds kn r r Так как векторы ru , rv неколлинеарны, то 1 du 1 dv , y=± . (11.2.1) x=± k n ds k n ds du du и через x и y подставим в формулу (11.1.3) нормальВыражения ds ds

ной кривизны поверхности: ± k n = Lk n x 2 + 2 Mk n xy + Nk n y 2 , откуда получаем Lx 2 + 2 Mxy + Ny 2 = ±1 . Линия, определяемая этим уравнением, называется индикатрисой кривизны в точке P или индикатрисой Дюпена, и является центральной линией второго порядка – это либо эллипс, либо две сопряженные гиперболы, либо пара параллельных прямых. Значение детерминанта индикатрисы

L M

M определяет вид индикатрисы. N

11.3. КЛАССФИКАЦИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ТОЧЕК ПОВЕРХr НОСТИ. Точки регулярной поверхности r (u, v) различаются по виду индикатрисы кривизны поверхности в этих точках. Возможны следующие случаи. (а) LN − M 2 > 0 . Детерминант индикатрисы положителен, индикатриса является эллипсом. Точка P называется эллиптической. Касательная плоскость в точке P имеет с поверхностью одну общую точку – точку P .

66

(б) LN − M 2 < 0 . Индикатриса есть пара гипербол. Точка P называется гиперболической. Касательная плоскость π пересекается с поверхностью Π по двум прямым – асимптотам гипербол. (в) LN − M 2 = 0 . Индикатриса есть две параллельные прямые. Точка P называется параболической. Касательная плоскость π пересекает поверхность Π по прямой. (г) L = M = N = 0 . Индикатриса превращается в точку. P называется точкой уплощения. В этой точке по всем направлениям k n = 0 . Если Π – плоскость, то всякая ее точка есть точка уплощения. Направление на поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю: k n = 0 . В асимптотическом направлении касательная плоскость к поверхности пересекается с поверхностью по прямой. Из предыдущего видно, что в эллиптической точке асимптотических точек нет (а), в гиперболической точке имеется два асимптотических направления (б), в параболической точке – одно асимптотическое направление (в); в точке уплощения всякое направление является асимптотическим (г). 11.4. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ. Относительно линий второго порядка на плоскости определены сопряженные направления. У эллипса (гиперболы, параболы, пары прямых) середины семейства параллельных хорд коллинеарны. Направления на плоскости, определяемые хордами и серединами параллельных хорд называются сопряженными. Взаимно перпендикулярные сопряженные направления называются главными. Относительно всякой линии второго порядка на плоскости существует или единственная пара главных направлений, или для любого направления имеется перпендикулярное сопряженное направление – как относительно окружности. Индикатриса Дюпена в касательной плоскости поверхности в точке касания определяет главные направления. Кривизны нормальных сечений поверхности в главных направлениях называются главными кривизнами. Их обозначение: k n1 , k n2 . Произведение

K = k n1 k n2 называется полной или гауссовой кривизной поверхности в данной точке P – в точке, где вычисляются коэффициенты квадратичных форм поверхности и рассматривается касательная плоскость. Полусумма

1 H = (k n1 + k n2 ) 2

67

называется средней кривизной поверхности в точке P . 11.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛНОЙ И СРЕДНЕЙ КРИВИЗН ПОr ВЕРХНОСТИ. Рассматриваем регулярную поверхность r (u , v) в окрестности точки P . Дифференциалы du, dv из (11.2.1) подставим в выражение (11.1.4) для нормальной кривизны поверхности. После сокращение на k n ds 2 приходим к равенству

kn =

Lx 2 + 2 Mxy + Ny 2 . Ex 2 + 2 Fxy + Gy 2

Отсюда получаем

( L − k n E ) x 2 + 2( M − k n F ) xy + ( N + k n G ) y 2 = 0 . Дифференцируем это равенство по x и по y : ⎧( L − k n F ) x + ( M − k n F ) y = 0, ⎨ ⎩( M − k n F ) x + ( N − k n G ) y = 0. Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае Δ = 0 .

Δ=

L − kn E M − kn F

M − kn F = 0. N − knG

Значение определителя

k n 2 (TG − F 2 ) − k n ( EN − 2 FM + GL) + LN − M 2 = 0 . Главные кривизны k n1 , k n2 есть корни выписанного уравнения. Воспользуемся теоремой Виетта:

K = k n1 k n 2 =

LN − M 2 1 1 EN − FM + GL 2 , . = ( + ) = H k k n n 2 EG − F 2 EG − F 2

Полная и средняя кривизны поверхности найдены без вычисления главных кривизн. 11.6. ПЛОСКОСТЬ, СФЕРА, ПСЕВДОСФЕРА. Проведем вычисления кривизн для указанных поверхностей. (а) Плоскость. Ее задание r r (u , v) = ( p1u + q1v + a1 , p 2 u + q 2 v + a 2 , p 3u + q 3 v + a 3 ) . Находим частные производные: r r r r r ru = ( p1 , p 2 , p 3 ) , rv = (q1 , q 2 , q 3 ) , ruu = ruv = rvv = 0 . По вычислительным формулам для L, M , N , п. 11.1, имеем: L = M = N = 0 . Значит, см. формулы для K и H в п. 11.5,

68

K = 0, H = 0. Полная и средняя кривизны плоскости равны нулю. (б) Сфера. Поверхность задается функцией r r (u , v) = (a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u ) . Находим частные производные: r r = (− a sin u cos v,− a sin u sin v, a cos u ) , ru rv (−a cos u sin v, a cos u cos v,0) , r ruu = (− a cos u cos v,− a cos u sin v,− a sin u ) , r r ruv = (a sin u sin v,− a sin u cos v,0) , rvv = (− a cos u cos v,− a cos u sin v,0) . Вычисляем коэффициенты первой квадратичной формы сферы, см. (10.4.2):

=

r r r r E = ru 2 = a 2 , F = ru rv = 0, rv 2 = a 2 cos 2 u .

Детерминант первой квадратичной формы: EG − F 2 = a 4 cos 2 u . Вычисляем коэффициенты второй квадратичной формы, п. 11.1: r r ru × rv = (− a 2 cos 2 u cos v,− a 2 cos 2 u sin v,− a 2 sin u cos u ) ,

r r r r r r r r r ru rv ruu = a 3 cos u , ru rv ruv = 0, ru rv rvv = a 3 cos 3 u . rrr rrr rrr ru rv ruu ru rv ruv ru rv rvv = a; M = = 0; N = = a cos 2 u . L= EG − F 2 EG − F 2 EG − F 2

Наконец, вычисляем полную и среднюю кривизну, п. 11.5:

K=

LN − M 2 1 1 EN − FM + GL 1 = , = . = H a 2 EG − F 2 a2 EG − F 2

Полная и средняя кривизны сферы постоянны и положительны. (в) Псевдосфера. Это поверхность, полученная в результате вращения трактрисы

u r r (u ) = (a sin u ,0, a(cos u + ln tg )) 2

вокруг оси Oz . Поверхность задается функцией

u r r (u, v) = (a sin u cos v, a sin u cos v, a (cos u + ln tg )) . 2

Находим частные производные

r ru

=

(a cos u cos v, a cos u sin v, a

(− a sin u sin v, a sin u cos v,0) ,

69

cos 2 u ), sin u

r rv

=

1 + sin 2 u r ruu = (− a sin u cos v,− a sin u sin v,− a cos u ), sin 2 u r r ruv = (− a cos u sin v, a cos u cos v,0) , rvv = (− a sin u cos v,− a sin u sin v,0) . Коэффициенты первой квадратичной формы псевдосферы:

r r r r E = ru 2 = a 2 ctg 2 u , F = ru rv = 0, rv 2 = a 2 sin 2 u . EG − F 2 = a 4 cos 2 u .

Находим произведения векторов и коэффициенты второй квадратичной формы поверхности: r r ru × rv = (− a 2 cos 2 u cos v,− a 2 cos 2 u sin v,− a 2 sin u cos u ) ,

cos 2 u r r r r r r r r r , ru rv ruv = 0, ru rv rvv = a 3 sin u cos 2 u . ru rv ruu = − a 3 sin u L = − actgu ; M = 0; N = a sin u cos u . Вычисляем полную и среднюю кривизну, п. 10.5:

K =−

1 1 , H = ctg 2u . a a2

Полная кривизна псевдосферы отрицательна и постоянна. За это свойство рассматриваемая поверхность названа псевдосферой. Каждая точка плоскости есть точка уплощения, п. 11.3. Существуют и другие поверхности, имеющие нулевую полную кривизну. Например, r цилиндр r (u , v) = (u , u 2 , v ) – поверхность нулевой полной кривизны.

70

Глава 4.

Основные понятия внутренней геометрии поверхности В евклидовой геометрии есть самостоятельный раздел, называемый планиметрией. Свойства плоскости изучаются на основе взаимного расположения прямых плоскости, на свойствах расстояний между точками плоскости и углов между плоскими линиями. Также можно изучать свойства поверхностей, рассматривая ее геодезические линии и метрические соотношения на основе метрики на поверхности. Этот раздел дифференциальной геометрии называется внутренней геометрии поверхности. Дадим обзор некоторых свойств поверхностей и ее внутренней геометрии. § 12. Об определяемости поверхности. 12.1. О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ. Свойства поверхности, основанные на ее метрической форме, составляют внутреннюю геометрию поверхности. А эти свойства, в свою очередь, основаны на свойствах первой квадратичной формы поверхности. Внутренняя геометрия поверхности является аналогом метрической геометрии плоскости – расстояния между точками измеряются отрезками прямых. Длины отрезков кривых выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности; через эти коэффициенты вычисляются величины углов между линиями, площади участков поверхности. К внутренней геометрии поверхности относится полная кривизна поверхности, символы Кристоффеля, геодезическая кривизна поверхности и геодезические линии на поверхности. Внутренняя геометрия поверхности аналогична евклидовой планиметрии – геометрии плоскости. 12.2. ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ПОВЕРХНОСТИ. Регулярная поверхность класса C 3 задается 2-параметрической векторной функцией на некоторой связной r r области евклидовой плоскости: r = r (u, v) , (u , v) ∈ D .

71

В каждой точке поверхности вычисляются коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности I = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 , II = Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2 ;

r r rr r r r r r r E = ru 2 , F = ru rv , G = rv 2 ; L = ruu n , M = ruv n , N = rvv n . В каждой точке P регулярной поверхности сущестует репер r r r r ( P, ru , rv , n ) , где n единичный вектор нормали поверхности r r r ru × rv n= r r . ru × rv

В этом репере имеется разложение векторов

r r r r r ruu , ruv , rvv , nu , nv .

Коэффициенты разложений характеризуют поверхность. Выпишем разложения r r r 1 r ruu = Γ11 ru + Γ112 rv + A1n ,

r r r 1 r ruv = Γ12 ru + Γ122 rv + A2 n , r r 1 r 2 r rvv = Γ22 ru + Γ22 rv + A3 n , r r r r nu = B11ru + B12 rv + C1n , r r r r nv = B21ru + B22 rv + C2 n .

Это деривационные формулы поверхности. Коэффициенты Γijk называются символами Кристоффеля, они выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности E , F , G и их первые производные.

1 1 1 1 1 1 ( Eu G − Fu F + Ev F ) , Γ112 = (− Eu F + Fu E − Ev E ) , 2 2 2 W 2 W 1 1 1 1 1 1 1 = ( Ev G − Gv F ) , Γ112 = ( Gu E − Ev F ) , Γ12 2 2 W 2 W 2 1 1 1 1 1 1 1 = Γ22 (− Gu G + Fv G − Gv F ) , Γ112 = ( Gv E − Fv F + Gv F ) , 2 2 2 W W 2 2 где W = EG − F > 0 дискриминант первой квадратичной формы. Осталь1 Γ11 =

ные коэффициенты:

A1 = L , A2 = M , A3 = N , C1 = C 2 = 0 , 1 1 B11 = ( NF − MG) , B12 = ( LF − ME ) , W W 1 1 B21 = ( NF − MG ) , B22 = ( MF − NE ) . W W

72

12.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. r r r r r Дифференцируем векторы ruu , ruv , rvv , nu , nv . Исходя из разложения векторов

r r r ruuv , ruvv , nuv r r r по подвижному базису (ru , rv , n ) , на основе деривационных формул по-

верхности получаем: формулу Гаусса

E Eu 1 K= F Fu 4W 2 G Gu

Ev E − Fu F − Gu 1 Fv − (( v )v − ( v )u ) , 2 W W W Gv

две формулы Петерсона-Кодацци

E 2W ( Lv − M u ) − ( EN − FM + GL)( Ev − Fu ) + F G E 2W ( M v − N u ) − ( EN − FM + GL)( Fv − Gu ) + F G

Eu L Fu M = 0 , Gu N Ev L Fv M = 0 . Gv N

Эти три формулы называются основными уравнениями поверхности. Согласно формуле Гаусса, справедлива 12.3.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА. Полная кривизна поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности и их производные. Следовательно, полная кривизна поверхности является объектом внутренней геометрии поверхности. Выполняется и следующее утверждение. 12.3.2. ТЕОРЕМА БОННЕ. Существует регулярная поверхность, для которой заданные квадратичные формы I и II являются первой и второй квадратичными формами. Поверхность определяется однозначно с точностью до положения в пространстве. В доказательстве теоремы используются функции E = E (u , v), F = F (u , v), G = G (u , v) , L = L(u , v), M = M (u , v), N = N (u , v) , заданные на области D евклидовой плоскости и формулы Гаусса – Петерсона – Кодацци.

73

§ 13. Геодезическая кривизна поверхности. 13.1. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОr r СТИ. Пусть r = r (u , v) , (u , v) ∈ D ⊆ E 2 , регулярная поверхность класса

r r r C 3 и r = r (s ) = r (u ( s), v( s)) линия на поверхности в естественной параr метризации. Для линии r ( s ) определены линейно независимые векторы r r r r& r ru × rv t = r – единичный вектор касательной, n = r r – единичный вектор ru × rv r r r r r& d 2 r & нормали к поверхности и вектор b = n × t . Вектор r = 2 разлагается по ds r r r векторам t , n , b : r &rr& = atr + bnr + cb . r Коэффициент b при векторе n равен rr b = &r&n = k n r и называется нормальной кривизной линии r (s ) на поверхности. Коэффиr r циент c при векторе b называется геодезической кривизной линии r ( s ) r r на поверхности. Если n 0 единичный вектор главной нормали кривой r ( s ) r и k кривизна кривой, то геодезическая кривизна линии r ( s ) вычисляется как смешанное произведение векторов

r rr k g = kn 0 t n .

r

Если u = u (t ), v = v(t ) произвольная параметризация линии r (t ) на поr верхности r (u , v) , то имеем следующую формулу для вычисления геодезической кривизны линии

kg =

EG − F 2 Eu ′ + 2 Fu ′v′ + Gv′ 2

2

1 1 1 ((u ′′ + Γ11 u ′ 2 + Γ12 u ′v′ + Γ22 v ′ 2 )v ′ – 2 – (v′′ + Γ112 u ′ 2 + Γ122 u ′v′ + Γ22 v′ 2 )u ′) .

Символы Кристоффеля Γijk выражаются только через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности и их производные, п. 12.1, следовательно, имеет место 13.1.1. ТЕОРЕМА. Геодезическая кривизна линий на поверхности является объектом внутренней геометрии поверхности.

74

13.2. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. Линия на поверхности называется геодезической, если геодезическая кривизна этой линии в каждой ее точке равна нулю: k g =0. Выполняются следующие утверждения. 13.2.1. ТЕОРЕМА. Кривая на поверхности является геодезической, если и только если ее главная нормаль в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью к поверхности. 13.2.2. ТЕОРЕМА. Через любую точку регулярной поверхности в любом направлении проходит геодезическая и только одна. 13.2.3. ТЕОРЕМА. Геодезические на поверхности обладают экстремальным свойством; если A и B две точки на поверхности, то длина геодезической не больше, чем длина всякой линии на поверхности, проходящей через точки A и B . Геодезическая на поверхности определяется уравнением k g = 0, значение k g выписано в предыдущем п. 13.1. Геодезическая кривизна линий на поверхности выражена через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности и через символы Кристоффеля. Поэтому геодезические являются объектом внутренней геометрии поверхности. На регулярной поверхности могут быть введены полугеодезические координаты – координатные линии одного семейства являются геодезическими, а линии другого семейства являются ортогональными траекториями к геодезическим, но не геодезические.

75

Глава 5

Элементы топологии § 14. Основные понятия топологического пространства. 14.1. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. Топологическое пространство определено выше, в п. 7.1. Напомним это определение. Рассматривается множество X и задана система подмножеств T = {U α } множества X . Система подмножеств T обладает свойствами: (а) X ∈ T , ∅∈ T ; (б) объединение любого количества множеств из T принадлежит T ; (в) пересечение конечного количества множеств из T принадлежит T . Тем самым на множестве X задана топологическая структура или топология. Пара ( X, T ) называется топологическим пространством. Разные системы подмножеств T задают разные топологии на множестве X . Элементы множества X называются точками. Примеры топологических пространств. X некоторое множество, T = ℘( X ) множество всех подмножеств множества X . ( X , ℘( X )) называется дискретным топологическим пространством. Пусть T = { X , ∅} – только два подмножества. ( X , T ) называется антидискретным топологическим пространством. Подмножества U α из T называются открытыми множествами в топологии ( X, T ) . Дополнения X \ U α = U α называются замкнутыми множествами в топологическом пространстве. Открытые подмножества можно определить и иначе. Точка A называется внутренней точкой пространства X , если существует подмножество U в X , содержащее точку A . Подмножество Y называется открытым в X , если оно состоит из внутренних точек. Для каждого конкретного множества X можно указать описание его открытых подмножеств. Например, пусть X есть множество кортежей ( x1 , x 2 ,..., x n ) действительных чисел. Подмножество M кортежей называется открытым, если для каж-

76

дой компоненты x i , i = 1, n , указана пара чисел a i , b i , a i < b i , что

a i < x i < bi . Подмножество U α из T , содержащее точку A из X , называется окрестностью точки A . Множество U является окрестностью каждой своей точки, если и только если оно открыто. Семейство B из T называется базой топологии T , если для всякого A ∈ X существует B A , что A ∈ B A ⊆ U α . Всякое множество из T является объединением множеств из базы. Пространство ( X, T ) называется пространством со счетной базой, если оно обладает хотя бы одной базой, состоящей из не более чем счетного подмножества множеств X . Пространство X называется хаусдорфовым, если для любых двух точек A, B из X в X существуют окрестности U A и U B , что U A ∩ U B = ∅. Множество X называется метрическим пространством, если существует отображение ρ : X × X → R + пар точек из X во множество неотрицательных действительных чисел R + , удовлетворяющее условиям (а) ρ ( A, B ) = 0 , если и только если A = B ; (б) ρ ( A, B) = ρ ( B, A) ; (в) ρ ( A, B) + ρ ( B, C ) ≥ ρ ( A, C ) . Это определение евклидова метрического пространства, см. п. 7.2. Точнее, под метрическим пространством понимается пара ( X, ρ ) . Неотрицательное число, соответствующее паре точек A, B , называется расстоянием между точками A и B . Разные отображения ρ определяют на X различные метрические пространства. Примеры метрических пространств. 1. Во всяком множестве ρ ( A, B) =1, если A ≠ B ; ρ ( A, B) = 0, если A = B . 2. Во множестве R n кортежей действительных чисел, A = (a1 , a 2 ,..., a n ) ,

B = (b1 , b 2 ,..., b n ) ; ρ ( A, B) =

(b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 + ... + (b n − a n ) 2 . Открытым шаром в метрическом пространстве X с центром в точке A и радиусом r называется множество точек M , удовлетворяющих условию ρ ( A, M ) < r . Для метрического пространства X можно рассматривать множество R всех открытых шаров с центрами во всех точках и произвольными радиусами и пересечения и объединения этих шаров. Получаем топологическое пространство ( X, R ) .

77

Понятия метрического пространства и топологического пространства независимы. В аффинном пространстве не введено расстояние между точками, поэтому оно не является метрическим. Открытыми множествами в аффинном пространстве считаются открытые параллелепипеды. Поэтому аффинное пространство является топологическим пространством, не являясь метрическим. Точка B называется внешней точкой подмножества V из X , если существует окрестность точки B , не содержащая точек из V . Точка B называется граничной точкой подмножества V , если существует окрестность точки B , содержащая как внутренние точки множества V , так и внешние точки множества V . Объединение всех граничных точек множества V называется его границей и обозначается ∂V . Замыканием множества V называется объединение V ∪ ∂V = V . Множество V называется ограниченным, если существует открытый шар, содержащий множество V . Топологическое пространство метризуемо, если в нем можно ввести метрику. Семейство открытых множеств T обычно состоит из открытых шаров. Возможно, что семейство T открытых множеств топологического пространства состоит из открытых параллелепипедов. Это естественная топология. 14.2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГОМЕОМОРФИЗМ. Непрерывные отображения множеств рассмотрены ранее, в п. 7.1. Напомним основные понятия. Пусть ( X, T ) и (Y, S ) топологические пространства. Отображение f : X → Y называется непрерывным в точке x ∈ X , если для любой окрестности V точки f ( x) в Y существует окрестность U точки x в X , что f (U ) ⊆ V . Отображение f непрерывно, если оно непрерывно в каждой точке x ∈ X . Выполняется следующий критерий: отображение f топологического пространства ( X, T ) в топологическое пространство (Y, S ) непрерывно, если и только если прообраз любого открытого множества из Y является открытым в X . Отображение f : X → Y называется гомеоморфным или топологическим, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно, т.е. f и

f −1 однозначны и непрерывны. Если f гомеоморфизм, то топологические пространства ( X, T ) и (Y, S ) называются гомеоморфными; обозначение: X∼Y.

78

На классе топологических пространств, где определены гомеоморфные отображения, отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Элементы фактор-множества по отношению гомеоморфности называются топологическими типами. Топология изучает свойства топологических пространств, инвариантных в гомеоморфизмах. Гомеоморфны: (а) открытый отрезок и прямая; (б) отрезок с концами A, B и полуокружность с концами C , D ; (в) луч и полуоткрытый интервал; (г) открытый круг и открытый параллелограмм; (д) открытый круг и плоскость; (е) полусфера без границы и открытый круг и т.д. 14.3. ОТДЕЛИМОСТЬ. КОМПАКТНОСТЬ. СВЯЗНОСТЬ. Хаусдорфово топологическое пространство, п. 7.1, называется еще отделимым. Отделимы, например, все метрические пространства; аффинное пространство; пространство с дискретной топологией, содержащее не менее двух точек. Неотделимо пространство с антидискретной топологией, содержащее не двух точек. Семейство {U α } подмножеств множества X называется покрытием множества X , если X ⊆ UU α . Покрытие {U α } называется открытым,

если все множества семейства {U α } открыты. Подпокрытием покрытия {U α } называется такое подсемейство, которое само является покрытием. Топологическое пространство ( X, T ) называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Множество A пространства ( X, T ) называется компактным, если подпространство A компактно. Компактны: отрезок, окружность, сфера. Некомпактны: плоскость, 3-мерное пространство и т.д. Выполняется критерий: подмножество A в евклидовом пространстве компактно, если и только если оно замкнуто и ограничено. Например, открытый шар некомпактен – он ограничен но не замкнут. Покрытие множества X называется его разбиением, если элементы покрытия непустые множества и всякие два элемента покрытия имеют пустое пересечение. Топологическое пространство ( X, T ) называется связным, если не существует его разбиения на два открытых множества. Связны: прямая, окружность, плоскость. Несвязна гипербола.

79

§ 15. О замкнутых поверхностях. 15.1. РАЗРЕЗАНИЕ И СКЛЕИВАНИЕ. Рассматриваем 2-мерные замкнутые многообразия. Пусть ABC...M и EHF ...N два многоугольника, они ограничены замкнутыми ломаными линиями. Ребра AB и EH также ограничены их концами. Всякие два отрезка гомеоморфны. Установим гомеоморфизм h между отрезками AB и EH и отождествим точки отрезков, соответствующие друг другу в гомеморфизме h : если K ∈ AB, L ∈ EH и h : K ↔ L , то две точки K и L считаем за одну точку. Такое отождествление отрезков называем их склеиванием. Это склеивание многоугольников ABC...M и EHF...N по их ребрам AB и EH . Имея четыре треугольника, можно, склеивая стороны разных треугольников, получить тетраэдр. Если ABCD прямоугольник, то склеивая стороны AB и DC так, чтобы совпали точки A и D , B и C соответственно, получаем цилиндр. Склеивая стороны AB и CD так, чтобы совпали точки A и C , B и D , получаем ленту Мёбиуса. У цилиндра имеется граница, состоящая из двух несвязных линий, гомеоморфных окружности. Цилиндр имеет две стороны. У ленты Мёбиуса – граница есть одна непрерывная линия, гомеоморфная окружности. Лента Мёбиуса – односторонняя поверхность: это хорошо видно при покраске ленты. Пусть теперь F плоская фигура с границей ∂ и A, B две точки на границе. Соединим точки A, B некоторой линией l , лежащей в фигуре. Каждую точку M линии l считаем двумя точками M 1 и M 2 . Тем самым фигура F разрезается по линии l . Возможно, что получится две фигуры, а возможно одна с границей ∂ плюс удвоенная l . Например, цилиндр можно разрезать, получив прямоугольник; или от цилиндра можно отрезать полукруг. Можно из фигуры F вырезать часть, взяв на F замкнутую линию и произведя по ней разрез. Линия разреза не имеет с границей фигуры общих точек. Получится новая фигура Fo с дыркой, ее граница несвязна и состоит из линии разреза и границы ∂ ; и новая фигура F1 – вырезанная часть, ограниченная разрезом. 15.2. ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССФИКАЦИИ ЗАМКНУТЫХ КОМПАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ БЕЗ ГРАНИЦЫ. Простейшей компактной поверхностью, замкнутой и не имеющей границы, является сфера. Это двухсторонняя поверхность. Вырежем на сфере две дырки. Имеем поверхность, граница которой состоит из двух несвязных замкнутых линий, гомеоморфных окружности. Цилиндр также имеет границу, состоящую из двух замкнутых несвязных

80

линий, гомеоморфных окружности. Приклеим цилиндр к сфере так, чтобы граница цилиндра с одной стороны склеилась с границей сферы по одной дырке, а граница цилиндра с другой стороны склеилась с границей сферы по другой дырке. Получаем сферу с ручкой – двухстороннюю поверхность, гомеоморфную тору. Вырежем на сфере одну дырку. Граница полученной поверхности гомеоморфна окружности. Лента Мёбиуса также имеет границу, гомеоморфную окружности. Заклеим дырку на сфере лентой Мёбиуса, склеивая их границы. (Выполнить такое склеивание практически невозможно, но абстрактное отождествление границ возможно.) Лента Мёбиуса имеет одну сторону, значит, полученная в результате склеивания поверхность тоже односторонняя. Две сферы, дырки на которых заклеены разным количеством ручек и разным количеством листов (лент) Мёбиуса, принадлежат к разным топологическим типам поверхностей. Всякая компактная замкнутая ограниченная поверхность без границы гомеоморфна сфере с некоторым числом ручек и с некоторым числом дырок, заклеенных листами Мёбиуса.

81

Ч А С Т Ь III ОДУЛИ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ________________________________________________________________

Глава 6

Одули Ли преобразований.

§ 16. Разрешимые 3-мерные одули Ли

16.1. ОДУЛИ. Структура одуля есть алгебраическая структура на множестве Ω с внутренней операцией, которую называем сложением и обозначаем +, и связанной с ней внешней операцией умножения элементов множества Ω на скаляры из заданного кольца K , обозначаем операцию υ K (+ ) . Результат операции примененной к элементу ω ∈ Ω и скаляру t ∈ K , записывается в виде: tω и tω ∈ Ω . Структура (Ω,+) произвольна – квазигруппа, лупа и т.д. Внешняя операция удовлетворяет следующим аксиомам для всех ω ∈ Ω и t , s ∈ K : (ω .1) sω + tω = ( s + t )ω ; (ω .2) s (tω ) = ( st )ω . Обозначение структуры: Ω = (Ω,+,υ K (+ )) она называется одулем над кольцом K или K – одулем или одулем. Элементы одуля называются одулярами и обозначаютя α , β ,..., ω . Возможно, что структура (Ω,+ ) обладает нейтральным элементом ϑ относительно сложения, т.е. для всякого ω ∈ Ω : ω + ϑ = ϑ + ω = ω . Если при этом выполняется еще аксиома (ω .3) tϑ = ϑ , t ∈ K ; то K -одуль Ω называется унитарным. Если 0 и 1 соответственно нуль и единица кольца K , то требуется выполнение аксиомы (ω .4) 0ω = ϑ , 1ω = ω , (− 1)ω = −ω , где − ω одуляр, противоположный одуляру ω в операции сложения. K -одули – это обобщение K -модулей. Введены K -одули Л.В. Сабининым в 1977 году, [21].

82

16.2. ОДУЛИ ЛИ. Если (Ω,+ ) группа Ли и K поле действительных чисел R или комплексных чисел C , то одули Ω = (Ω,+,υ R (+ )) , Ω = (Ω,+,υ C (+)) называются одулями Ли. Мы рассматриваем действительные одули Ли Ω = (Ω,+,υ R (+ )) . Абелев одуль Ли является линейным пространством. Подгруппа, порожденная одулярами α , β ,..., γ , обозначается 〈α , β ,..., γ 〉 . Подмножество 〈α , β ,..., γ 〉 из Ω замкнуто относительно внешней операции на одуле Ли, поэтому 〈α , β ,..., γ 〉 является одулем Ли – пододулем одуля Ли Ω . Пододуль 〈α , β ,..., γ 〉 называется оболочкой одуляров α , β ,..., γ . Оболочка 〈α , β ,..., γ 〉 содержит всевозможные комбинации μ = tα + sβ + ... + vγ , а также комбинации одуляров α , β ,..., γ , μ и т.д. 16.3. 2-МЕРНЫЕ ОДУЛИ ЛИ. Имеется только две 2-мерные группы Ли. Одна из них абелева, другая – неабелева. Алгебры Ли 2-мерных групп Ли приведены в [18, 22]. Эти группы Ли могут быть определены на парах действительных чисел R 2 . Пары записываем в виде ( x, x1 ) . Приведем групповые операции и внешние операции, превращающие группы Ли в одули Ли. (1) Линейное пространство L2 . Операции: ( x, x1 ) + ( y, y1 ) = ( x + y, x1 + y1 ) ; t ( x, x1 ) = ( xt , x1t ) , t ∈ R . (2) Растран P 2 . Операции: ( x, x1 ) + ( y, y1 ) = ( x + y, x1e y + y1 ) ;

t ( x, x1 ) = ( xt , x1

e xt − 1 ) , x ≠ 0 ; t (0, x1 ) = (0, x1t ) t ∈ R . x e −1

Растран – неабелев одуль Ли. Элементы растрана называются растами. Противоположным для раста ρ = ( x, x1 ) является раст − ρ =

(− x,− x1e − x ) . Пододуль растрана, состоящий из пар ( x,0) , и подоуль, состоящий из пар (0, x1 ) , являются 1-мерными подрастранами, каждый из них есть 1мерное линейное пространство, обозначаемые соответственно L и L1 . Для всякого раста ρ = ( x, x1 ) имеется однозначное разложение

ρ = ( x, x1 ) = x (0,1) + x1 (0,1) ,

83

получаемое на основании операций над растами. Обозначим (0,1) = α , (0,1) = β . Всякий раст ρ однозначно представляется как комбинация растов α , β , следовательно, упорядоченное множество растов Б = (α , β ) является базисом растрана P 2 . Линейное пространство L есть оболочка раста α : L = 〈α 〉 и L1 = 〈 β 〉 . Так как коммутатор [ β ,α ] =

− β −α + β +α

в группе Ли P 2 равен

[ β ,α ] = (e − 1) β , 1

то взаимный коммутант [ L , L ] лежит в L1 и растран P 2 является полупрямой суммой линейных пространств P 2 = L1 ┤ L , L1 есть инвариантный подрастран растрана P 2 . Ступень разрешимости растрана равна 2. Таким образом, оба 2-мерных одуля Ли разрешимы. Генетический код растрана P 2 : P 2 = 〈α , β | [ β ,α ] = (e − 1) β 〉 . Внутренние автоморфизмы растрана, производимые растами базиса, таковы: − α + ρ + α = x1 (e − 1) β , − β + ρ + β = (1 − e x ) β ; здесь ρ = ( x, x1 ) . Сужение первого из них на подрастран L1 есть

− α + y1 β + α = ey1 β , тогда

− xα + y1 β + xα = e x y1 β и на L1 раст ρ , x ≠ 0 , производит гомотетию с коэффициентом e x :

ρ : y1 β → e x ( y1 β ) . Укажем представления 2-мерных одулей Ли матрицами. Векторы из L представляются матрицами 2

⎛ 1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ( x, x 1 ) ↔ ⎜ x 1 0 ⎟ . ⎜ x1 0 1 ⎟ ⎠ ⎝ 1 1 1 Сумме векторов ( x, x ) + ( y, y ) = ( x + y , x + y1 ) соответствует произведение матриц

84

0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x 1 0⎟ ⎜ y 1 0⎟ = ⎜ x + y 1 0⎟ ; ⎜ x1 0 1 ⎟ ⎜ y 1 0 1 ⎟ ⎜ x1 + y 1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ в данном случае умножение матриц коммутативно. Произведению вектора на число соответствует возведение матрицы в степень t

⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = 1 0 x xt 1 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟. 1 1 ⎜ x 0 1⎟ ⎜ x t 0 1⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Расты могут быть представлены матрицами

⎛ e x 0⎞ ⎟. ( x, x ) ↔ ⎜⎜ 1 ⎟ x 1 ⎝ ⎠ 1 1 1 y Сумме растов ( x, x ) + ( y, y ) = ( x + y, x e + y1 ) соответствует произве1

дение матриц

⎛ex ⎜ ⎜ x1 ⎝

0 ⎞ ⎛ e x+ y 0⎞ ⎟=⎜ ⎟. 1 ⎟⎠ ⎜⎝ x1e y + y1 1 ⎟⎠

0⎞ ⎛ e y ⎟⎜ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ y1

Произведению раста на число соответствует возведение матрицы в степень

⎛ex ⎜ ⎜ x1 ⎝

t

0 ⎞ ⎛ e xt ⎟ =⎜ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ z 1

0 ⎞ 1 e xt − 1 1 ⎟, z = x . e x −1 1 ⎟⎠

16.4. 3-МЕРНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ОДУЛИ ЛИ. Существует пять видов 3-мерных разрешимых действительных одулей Ли. Групповые операции на многообразии R 3 выписаны в [23] и других работах о действительных группах Ли. Внешние операции на некоммутативных действительных разрешимых группах Ли определены автором, [18]. Укажем определения рассматриваемых одулей Ли операциями на R 3 . Записываем кортежи чисел в виде ( x, x i ) , i = 1,2 . (1) Линейное пространство. Обозначение L3 , операции: ( x, x i ) + ( y, y i ) = ( x + y, x i + y i ) ; t ( x, x i ) = ( xt , x i t ) , t ∈ R . Элементы линейного пространства называются векторами. Используется r обычное обозначение векторов. Нулевой вектор есть: o = (0,0,...,0) , век-

r

r

тор, противоположный вектору x = ( x, x i ) , равен − x = − ( x, x i ) = (− x,− x i ) .

85

(2) Растран общего вида (размерности n ). Обозначение: P n q. Операции: ( x, x i ) + ( y , y i ) = ( x + y , x i e q i y + y i ) ;

e qi xt − 1 ) , x ≠ 0 ; t (0, x i ) = (0, x i t ) , t ∈ R ; qi x e −1 где q1 = 1 и qi ≠ 0 для i = 2,3,..., n − 1. Нулевой раст: ϑ = (0,0,...,0) ; раст, t ( x, x i ) = ( xt , x i

− qi x

противоположный расту ρ = ( x, x i ) , равен − ρ = − ( x, x i ) = ( − x,− x i e При n = 3 имеем многообразие Sol (термин из [14]). Операции: ( x , y , z) + ( u, v, w) = ( x + y , ye − u + v , ze u + w) , [14, c. 127];

).

e − xt − 1 e xt − 1 t ( x , y, z) = ( xt , y x ,z x ), x ≠ 0 ; t (0, y, z) = (0, yt , zt ) , t ∈ R . e −1 e −1 Здесь q1 = −1, q2 = 1 , − ( x , y , z) = ( − x ,− ye − x ,− ze − x ) . Растран однородный. Обозначение P n , операции: ( x, x i ) + ( y , y i ) = ( x + y , x i e y + y i ) ;

e xt − 1 t ( x, x ) = ( xt , x x ) , x ≠ 0 ; t (0, x i ) = (0, x i t ) , t ∈ R ; e −1 все qi = 1 . Внутренняя операция определяется по разному в разных рабоi

i

тах. (3) Сибсон. Обозначение Σ 3 , операции: ( x, x1 , x 2 ) + ( y, y1 , y 2 ) = ( x + y, x1 + y1 , x 2 + y 2 + x1 y ) ;

t (t − 1) 1 xx ) , t ∈ R . 2 Элементы сибсона называются сибсами; ϑ = (0,0,...,0) ; − σ = − ( x, x i ) = t ( x, x1 , x 2 ) = ( xt , x1t , x 2t +

(− x,− x1 ,− x 2 + xx1 ) . Имеется много видов внутренней операции. (4) Диссон. Обозначение Δ3 . Операции: ( x, x1 , x 2 ) + ( y, y1 , y 2 ) = ( x + y, x1e y + y1 + x 2 ye y , x 2 e y + y 2 ) ; xt e xt − 1 e xt − 1 x 2 e xt − 1 2 te + xx ( x − e ), x x ), x ≠ 0 ; t ( x, x , x ) = ( xt , x x e −1 e − 1 (e x − 1) 2 e −1 1

2

1

t (0, x1 , x 2 ) = (0, x1t , x 2t ) , t ∈ R .

ϑ = (0,0,0) ; − δ = − ( x, x1 , x 2 ) = (− x,− x 2 e − x + xx 2 e − x ,− x 2 e − x ) . Элементы диссона называются диссами. (5) Осцилляторный одуль. Обозначение Ω 3 , операции

86

( x, x1 , x 2 ) + ( y, y1 , y 2 ) = ( x + y, y1 + x1 cos y − x 2 sin y, y 2 + x1 sin y + x 2 cos y ) t −1 x sin 2 ( x1 cos xt − x 2 sin xt ), t ( x, x1 , x 2 ) = ( xt , x1 + x 2 2 sin 2 t −1 sin 2 ( x1 sin xt + x 2 sin xt )) , x ≠ 2πk ; x2 + x 2 2 sin 2 1 2 1 2 t (2πk , x , x ) = (2πkt , x t , x t ) , t ∈ R , k = 0,±1,±2,... .

ϑ = (0,0,0) ; 1

− ω = − ( x, x1 , x 2 ) 2

1

=

2

(− x,− x cos x − x sin x, x sin x − x cos x) . Произвольный одуль Ли обозначаем Ω . Все вычисления в одулях Ли производятся на основании операций на них. Во всех некоммутативных одулях первая компонента троек ( x , y , z ) из R 3 является ведущей – от первой компоненты зависят вторая и третья компоненты всех операций на одулях. В сибсоне ведущие компоненты первая и вторая. Существуют и коммутативные операции на кортежах с ведущей компонентой, [18]. Например, ( x, x1 ) + ( y, y1 ) =

( x + y, x1 + y1 + xy ) . 16.5. ГЕНЕТИЧЕСКИЙ КОД ОДУЛЯ ЛИ. Каждый одуляр ω = ( x, x1 , x 2 ) всякого из рассмотренных одулей может быть представлен в виде разложения ω = ( x, x1 , x 2 ) = x(1,0,0) + x1 (0,1,0) + x 2 (0,0,1) . Обозначим: (1,0,0) = α , (0,01) = β , (0,0,1) = γ . Одуляры α , β ,γ составляют базис одуля; для всякого одуляра

ω = xα + x1 β + x 2γ . Базис одуля обозначаем

Б = ( α , β ,γ ).

Числа x, x1 , x 2 называются координатами одуляра ω в базисе Б . Коммутатор одуляров вычисляем как коммутатор элементов группы:

87

[ω ,υ ] = −ω − υ + ω + υ . Найдем коммутаторы базисных одуляров каждого одуля и запишем генетические коды одулей. L 3 = < α , β , γ | [ β , α ] = [γ , α ] = [γ , β ] = ϑ > ; P 3 q= < α , β , γ | [ β , α ] = (e − 1) β ,[γ , α ] = (e −1 − 1)γ ,[γ , β ] = ϑ > ;

P 3 = < α , β , γ |[ β ,α ] = (e − 1) β , [γ ,α ] = (e − 1)γ , [γ , β ] = ϑ > ;

Σ 3 = < α , β , γ |[ β ,α ] = γ ,[γ ,α ] = [γ , β ] = ϑ > ; Δ3 = < α , β , γ |[ β ,α ] = (e − 1) β ,[γ ,α ] = eβ + (e − 1)γ ,[γ , β ] = ϑ > ; Ω 3 = < α , β , γ |[ β ,α ] = β ( −1 + cos1) + γ sin 1, [γ ,α ] = − β sin 1 + γ (1 + cos1) , [γ , β ] = ϑ >. 16.6. ПОДОДУЛИ ОДУЛЕЙ ЛИ. Для любого ненулевого одуляра

ω во всяком одуле Ли содержится 1-параметрический пододуль < ω > ={tω | t ∈ R} . Это оболочка одуляра ω , п. 16.2, и это 1-мерное линейное пространство. Одуляры ρ , σ называются независимыми, если σ ∉< ρ > . Одуляры ρ , σ , τ независимы, если τ ∉< ρ , σ > и т.д. Возможно

[ ρ , σ ] = tρ + sσ , или [ ρ , σ ] ≠ tρ + sσ .

Первым из этих свойств обладают линейное пространство и растран; вторым обладает, например, сибсон. Подгруппа < ρ , σ > , порожденная независимыми одулярами ρ , σ , является не менее чем 2-мерным пододулем одуля Ли, это 2-параметрический пододуль одуля Ли. 16.6.1. СВОЙСТВО. Если [ ρ , σ ] = tρ + sσ , то оболочка < ρ , σ > является 2-мерной. # Оболочка < ρ , σ > состоит из комбинаций tρ + sσ , из комбинаций этих комбинаций и т.д. Если одуляры ρ , σ коммутируют, т.е. [ ρ , σ ] = ϑ , или [ ρ , σ ] = tρ + sσ , то < ρ , σ > состоит только из одуляров tρ + sσ для любых s, t .# 16.6.2. СВОЙСТВО. Оболочка < ρ , σ > 2-мерна, если и только если она является линейным пространством или растраном. # Используя генетические коды одулей Ли, получаем 16.6.3. СВОЙСТВО. Пододуль 〈 β , γ 〉 всякого из рассмотренных 3мерных одулей Ли является линейным пространством. #

88

16.6.4. СВОЙСТВО. Каждый из рассмотренных 3-мерных одулей Ли является полупрямой суммой Ω = 〈 β , γ 〉 ┤ 〈α 〉 линейных пространств 〈 β , γ 〉 и 〈α 〉 , в случае Ω = L превращающейся в прямую сумму. Рассмотренные некоммутативные 3-мерные одули Ли двухступенно разрешимы. # 16.6.5. СВОЙСТВО. В растранах P 3 q , P 3 подрастраны 〈α , β 〉 ,

〈α , γ 〉 есть 2-мерные растраны. Поддиссон 〈α , β 〉 диссона Δ3 есть 2мерный растран. # Указанные пододули этих одулей таковы, что [ β , α ] ∈ < α , β > , [γ , α ] ∈ < α , γ > . Значит, пододули < α , β > , < α , γ > состоят соответственно из комбинаций xα + yβ , xα + yγ . На основании операций на растране

имеем

2-мерные

растраны

P 2 =< α , β | [ β , α ] = (e − 1) β > ,

P 2 =< α , γ | [γ , α ] = (e − 1)γ > . Растраны < α , β > , < α , γ > изоморфны. В растране P 3 q для растов tα и sγ получаем [ sγ , tα ] = s (e −t − 1)γ . Возьмем

s = 1, t = −1. Обозначим δ = −α . Выполняется < α , γ > = < δ , γ > и P 2 q = < δ , γ | [γ , δ ] = (e − 1)γ > – это растран, изоморфный растрану

P 2 = < α , β > . По генетическому коду диссона, он содержит поддиссон < α , β | [ β , α ] = (e − 1) β > , являющийся 2-мерным растран. # 16.6.6. СВОЙСТВО. В растранах P 3 , P 2 q для любых растов ρ , σ подрастран ρ , σ является 2-мерным. # 16.6.7. СВОЙСТВО. Всякий 2-мерный пододуль сибсона Σ 3 является линейным пространством. # 2-мерный одуль Ли это растран или линейное пространство, п. 16.3. Если оболочка 〈σ ,τ 〉 2-мерна, то при [σ ,τ ] ≠ ϑ должно быть [σ ,τ ] ∈ 〈σ 〉 или [σ ,τ ] ∈ 〈τ 〉 ; или же [σ ,τ ] = ϑ . Для любых сибсов

σ = ( x, x1 , x 2 ) , τ = ( y, y1 , y 2 ) имеем [σ ,τ ] = (0,0, x1 y − xy1 ) = ( x1 y − xy1 )γ . Следовательно, соотношения [σ ,τ ] ≠ ϑ и [σ ,τ ] ∈ 〈σ 〉 влекут σ ∈ 〈γ 〉 , но тогда [σ ,τ ] = ϑ , что противоречит условию [σ ,τ ] ≠ ϑ . Также невозможно [σ ,τ ] ≠ ϑ и [σ ,τ ] ∈ 〈σ 〉 . Это означает, что сибсон не содержит 2-мерных растранов. А отсюда следует, что всякий 2-мерный подсибсон есть линейное пространство. #

89

Подсибсоны α , γ и β , γ являются 2-мерными линейными пространствами. Для любых сибсов ρ , σ подсибсон ρ , σ либо совпадает с Σ 3 , либо есть 2-мерное линейное пространство.

Пододуль C (Ω) одуля Ли Ω , порожденный коммутаторами одуляров, называется коммутантом одуля Ли Ω . Центром Z (Ω) одуля Ω называется его пододуль, состоящий из одуляров, перестановочных со всеми со всеми одулярами из Ω . 16.6.6. СВОЙСТВО. Коммутант C (Ω) и центр Z (Ω) каждого из рассматриваемых некоммутативных одулей Ли есть пододуль, содержащаяся в пододуле 〈 β , γ 〉 . # Коммутант C (Σ 3 ) сибсона совпадает с его центром Z (Σ 3 ) и является оболочкой сибса γ : C (Σ 3 ) = C (Σ 3 ) = 〈γ 〉 . Сибсон нильпотентен ступени 2. Коммутанты остальных одулей есть 〈 β , γ 〉 , это 2-мерные линейные пространства. Центр каждого из них тривиален, эти одули не нильпотентны. Для линейного пространства: C (L3 ) = 〈ϑ 〉 , Z (L3 ) = L3 . 16.7. ПОРОЖДАЕМОСТЬ ОДУЛЕЙ ЛИ. Порождаемость одуля Ли понимаем как порождаемость группы, на которой одуль определен. Согласно генетическим кодам всякие два одуляра базиса линейного пространства и растрана порождают 2-мерный одуль Ли, а это либо линейное пространство, либо растран. Для получения 3-мерного одуля надо задействовать третий одуляр базиса. Выполняется 16.7.1.СВОЙСТВО. Только 2-мерное линейное пространство и 2мерный растран порождаются двумя одулярами. 2-мерный растран являются единственным некоммутативным 2-мерным одулем Ли. # 16.7.2. ТЕОРЕМА. 3-мерные линейное пространство и растраны порождаются каждый тремя одулярами. 3-мерные сибсон, диссон и осцилляторный одуль каждый порождаются двумя одулярами. # На основании операций на растране имеем, что расты α , β порождают 2-мерный подрастран, раст γ в этот подрастран не входит; значит, растран порождается тремя независимыми растами. Для сибсона выполняется [ β , α ] = γ , т.е. β + α = α + β + γ , значит, 3мерный сибсон Σ 3 порождается двумя сибсами Σ 3 = < α , β > . В диссоне справедливо равенство γ + α = α + eβ + γ , поэтому β ∈< α , γ > и диссон

90

порождается двумя диссами: Δ3 = < α , γ > . Из генетического кода осцилляторного одуля, п. 16.5, следует Ω 3 = < α , β > = < α , γ > . # 16.8. ПОДОДУЛИ АФФИННОГО ОДУЛЯ. В [8] установлено, что аффинные преобразования плоскости составляют растран. Его строение сложнее строения 3-мерного действительного однородного растрана P 3 , определенного в п. 16.4. Аффинные преобразования 3-мерного аффинного пространства также составляют растран. Поэтому рассматриваемые ниже одули преобразований являются подрастранами аффинного растрана. 16.8.1. ТЕОРЕМА. Каждый из 3-мерных разрешимых действительных одулей Ли представляется преобразованиями из аффинного одуля, т.е. является пододулем аффинного одуля. # Пусть (x , y , z ) точка аффинного пространства. Через (x ', y ', z ') обозначаем образ точки (x , y , z ) в аффинном преобразовании. Однородный растран P 3 в [24] определен на основной аффинной группе, состоящей из параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства, пп. 3.6. Также растран P 3 может быть составлен из аффинных преобразований, формулы которых, согласно [9]:

⎧ x' = x + a, ⎪ a ⎨ y ' = e y + b, ⎪ z ' = e a z + c. ⎩

Матрицы этих преобразований

⎛1 ⎜ ⎜a ⎜b ⎜ ⎝c

0

0

1 0 0 ea 0

0

0⎞ ⎟ 0⎟ , 0⎟ ⎟ ea ⎠

имеются и матрицы другого вида, представляющие расты, [9] и п. 16.3. Указанные преобразования составляют пододуль аффинного одуля. Движения 3-мерного псевдоевклидова пространства также составляют однородный растран, [8]. Растран общий Pq3 представляется аффинными преобразованиями

⎧ x′ = x + a, ⎪ a ⎨ y ' = e y + b, ⎪ z ' = e aq z + c; ⎩ матрицы этих преобразований:

91

⎛1 ⎜ ⎜a ⎜b ⎜⎜ ⎝c

0 1

0 0

0 ea 0

0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ . 0 ⎟ ⎟ e aq ⎟⎠

Преобразования составляют пододуль аффинного одуля. Сибсон представляется унитреугольными матрицами

⎛1 a c⎞ ⎜ ⎟ b 0 1 ⎜ ⎟ ↔ (a, b, c) , или ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ см. [14]. Формулы

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ a 1 0 ⎜ ⎟ ↔ (a, b, c) ; ⎜ c b 1⎟ ⎝ ⎠

⎧x' = x + a, ⎨ ⎩ y ' = bx + y + c;

описывают движения галилеевой плоскости, которые составляют пододуль аффинного одуля. Рассмотрим аффинные преобразования плоскости:

⎧ x′ = é a x + ae a y + b, ⎨ a ⎩ y ′ = e y + c; матрицы преобразований есть

⎛1 0 ⎜ a ⎜b e ⎜c 0 ⎝

Такой

⎛1 ⎜ ⎜b ⎜c ⎝

0 ⎞ ⎟ ae a ⎟ . e a ⎟⎠ матрице соответствует тройка (a , b , c) . Так как 0 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛1 0 a a⎟⎜ p p⎟ ⎜ a a e ae ⎟ ⎜ q e pe ⎟ = ⎜ b + qe + rae e p + a 0 e a ⎟⎠ ⎜⎝ r 0 e p ⎟⎠ ⎜⎝ c + re a 0

0 ( p + a )e e p+a

p+a

⎞ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

то операция на тройках имеет вид:

(a , b , c) + ( p, q , r ) = (a + p, q + be p + cpe p , r + ce p ) , а это внутренняя операция на диссоне Δ . Значит, диссон определен на одной из подгрупп аффинной группы. Преобразования

⎧ x ' = x cosα − y sin α + a , ⎨ ⎩ y ' = x sin α + y cosα + b

92

являются движениями евклидовой плоскости, составляют группу – подгруппу аффинной группы. Движению соответствует тройка (α , a , b ) . Пусть тройка (β , p , q ) определяет еще одно движение. Композиция движений есть движение

⎧ x ' = x cos(α + β ) − y sin(α + β ) + a cos β − b sin β + p, ⎨ ⎩ y ' = x sin(α + β ) + y cos(α + β ) + a sin β + b cos β + q .

Операция на тройках имеет вид (α , a , b ) + (β , p , q ) = (α + β , p + a cos β − b sin β , q + a sin β + b cos β ) , это внутренняя операция на осцилляторном одуле Ω 3 и осцилляторный одуль определен на подгруппе аффинной группы. # 16.9. ОДУЛИ ЛИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Мультипликативные пространства 2-мерных чисел рассмотрены в п. 3.7. Выполняются следующие свойства. 16.9.1.СВОЙСТВО. Сибсон и диссон являются расширениями одуля дуальных чисел. # Дуальное число модуля 1 имеет вид z = 1 + iu , i 2 = 0 . Эти числа представляются матрицами

⎛1 u ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0 1⎠ и составляют коммутативный одуль – мультипликативное линейное пространство, [8, 18], п. 3.7. Преобразования из диссона при b = c = 0 , определяемые матрицами

⎛ ea ⎜ ⎜0 ⎝

ae a ⎞ a ⎛ 1 a ⎞ ⎟ = e ⎜⎜ ⎟⎟ , 0 1 e a ⎟⎠ ⎝ ⎠

см. доказательство теоремы 16.8.1, и галилеевы движения при b = c = 0 , см. там же, составляют пододуль в сибсоне и диссоне; этот пододуль является нормальным делителем (как нормальный делитель в соответствующей группе Ли). Тем самым сибсон и диссон есть различные расширения мультипликативного пространства дуальных чисел 1-мерным линейным пространством. # 16.9.2.СВОЙСТВО. Центроаффинные преобразования, входящие в диссон аффинных преобразований, составляют пододуль центроаффинных преобразований, изоморфный сибсону. # Основной блок

93

⎛ ea ⎜ ⎜0 ⎝

ae a ⎞ ⎟ e a ⎟⎠

матриц, составляющих диссон, см. доказательство теоремы 16.8.1, определяет центроаффинное преобразование и является блоком следующей матрицы (при m = a ):

⎛ ea ⎜ ⎜0 ⎜⎜ ⎝0

me a ea 0

ne a ⎞ ⎛1 m n⎞ ⎟ ⎟ a⎜ a ke ⎟ = e ⎜ 0 1 k ⎟ . ⎟ ⎜0 0 1⎟ e a ⎟⎠ ⎝ ⎠

Это блок матрицы центроаффинных преобразований аффинного пространства размерности 4 и составляют одуль, изоморфный сибсону. #

§ 17. Вейлевские одулярные пространства

17.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙЛЕВСКОГО ОДУЛЯРНОГО ПРОСТРАНСТВА. Аффинное пространство и основные аффинные понятия рассмотрены в выше в §§ 1,2. В общей аксиоматике с аффинным пространством строятся одулярные пространства, в их основе лежат одули Ли. Геометрия этих пространств некоммутативна Заменяя линейное пространство одулем Ли в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, п. 1.2, получаем вейлевское одулярное пространство, кратко ВО-пространство. Пусть W непустое множество, его элементы называются точками, обозначение точек: A, B, K , M , K. Считаем, что задано отображение W×W → Ω

пар точек в одуль Ли Ω , т.е. всякой паре ( A, B ) точек соответствует единственный одуляр ω , пишем: AB = ω ; и выполняются аксиомы Г.Вейля (в.1) для всякой точки А и всякого одуляра ω существует единственная точка В, что AB = ω ; пишем: Aω = B ; (в.2) для любых трех точек А, В, С, если AB = ω , AC = χ , то AC = ω + χ . Множество W называется вейлевским одулярным пространством или ВОпространством; одуль Ли Ω называется одулем ВО-пространства W. Одуляры из Ω называются одулярами ВО-пространства W. Простейшие следствия из аксиом таковы:

94

17.1.1.СВОЙСТВО. Для любых трех точек А,В,С: АВ+ВС=АС; если AB = ω , то BA = −ω ; AA = ϑ .# ВО-пространство определено в [18, 24] и является частным случаем одулярных пространств Л.В. Сабинина, определенных в [21]. Частным случаем ВО-пространства является аффинное пространство. Первым из ВО-пространств определено ЛМ-пространство, [24], одулем его является растран. Пусть W1 есть подмножество точек из W. Подмножество W1 множества W, являющееся ВО-пространством с одулем Ω1 – пододулем одуля Ω , называется подпространством ВО-пространства. Получить подпространства ВО-пространства можно следующим образом. Для любой точки А и пододуля Ω1 рассмотрим множество М точек М таких, что AM ∈ Ω1 . Очевидно, множество М является подпространством в W. ВО-пространство с некоммутативным одулем и аффинное пространство имеют общую аксиоматику, но одуль ВО-пространства некоммутативен, а одуль аффинного пространства коммутативен. Основные понятия ВО-пространства определяем так, чтобы в случае коммутативного одуля они превращались в понятия аффинного пространства. На основе аксиом Г.Вейля будем строить геометрию ВО-пространств. Интересно выяснить, в чем будет совпадение с геометрией аффинного и евклидова пространств и каковы различия. Пусть Б= (α , β , γ ) базис одуля Ли Ω , O точка ВО-пространства W. Множество B = (O, α , β , γ ) называется репером ВО-пространства. Координатами точки M в репере В называются координаты одуляра OM в базисе Б. Если OM = ( x, y, z ) , то и M = ( x, y, z ) . По свойству 17.1.1, для точек О, А, В ВО-пространства выполняется равенство OA + AB = OB , откуда получаем AB = −OA + OB . Выражение координат одуляра АВ через координаты точек А, В в каждом ВОпространстве свое. Пусть A = (a, a1 , a 2 ), B = (b, b1 , b 2 ) произвольные точки в ВО-пространстве W. Если W аффинное пространство, то AB = (b − a, b1 − a1 , b 2 − a 2 ) . В ЛМ-пространстве, т.е. в ВО-пространстве с однородным растраном, имеем AB = (b − a, b1 − a1e b−a , b 2 − a 2 e b−a ) . 17.2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ ВО-ПРОСТРАНСТВ. Определяем прямые и плоскости как подмножества точек ВО-пространств, [18], по аналогии с определением прямых и плоскостей аффинного пространства,

95

см. пп. 2.1 и 2.2. Возьмем в Ω пододуль α для α ≠ ϑ , см. п. 16.6, и в ВО-пространстве W точку А. Пусть α = АМ . Множество точек

p = {M | AM = tα , t ∈ R}

называется прямой ВО-пространства W, это 1-мерное подпространство ВО-пространства W, 1-мерное ВО-пространство. Прямая р определяется точкой А и одуляром α , записываем это в виде p = A, α . Если B ∈ p и β ∈ α , то прямая B, β совпадает с прямой A, α . Поэтому прямая A, AB при B ≠ A совпадает с р и прямая р определяется двумя точками. 17.2.1.СВОЙСТВО. Всякие две различные точки определяют в ВОпространстве единственную прямую. # Оболочка α называется одулем прямой р, одуляры из α называются одулярами прямой р. Прямые p = A, α и q = B, α , имеющие общий ненулевой одуляр, называются ко-параллельными. Пусть одуляр β неперестановочен с одуляром α . Тогда одуляры α и γ = − β + α + β независимы, т.е. γ ∉ α . Прямые p = A, α и r = B, γ называются тран-параллельными. Копараллельные и тран-параллельные прямые называются параллельными. В аффинном пространстве оба вида параллельности прямых совпадают, т.к. не существует неперестановочных векторов. Если одуляры α , β независимы и оболочка α , β 2-мерна (оболочка α , β может иметь и большую размерность, см. п. 16.7), то множество точек π = A, α , β = {M | AM ∈ α , β } называется плоскостью ВО-пространства W. Одуль α , β

называется

одулем плоскости π , одуляры из α , β называются одулярами плоскости

π . Плоскость A, α , β порождается любой своей точкой В и любыми двумя своими независимыми одулярами γ , δ , т.е. A, α , β = B, γ , δ . Если B = Aα , C = Aβ , понятно, что B ∉ A, α , то A, α , β = A, AB, AC , т.е. плоскость определяется тремя неколлинеарными точками; но не во всяком ВО-пространстве три неколлинеарные точки определяют плоскость. Имеем:

96

17.2.2.СВОЙСТВО. Плоскость определяется тремя неколлинеарными точками А, В, С, если и только если одуляры АВ и АС порождают 2-мерный одуль. # Если одуляры α , β порождают 3-мерный одуль, см. п. 16.7, то вместе с любой точкой они порождают все 3-мерное ВО-пространство. Плоскости A, α , β и B, α , β с общим одулем называются копараллельными. Всякая плоскость ВО-пространства является 2-мерным подпространством ВО-пространства. Прямые O, α = Ox , O, β = Oy и O, γ = Oz , определяемые началом координат О и базисными одулярами, называются координатными осями. В каждом из ВО-пространств W существует аффинная плоскость

А 2 = 〈 A, β , γ 〉 , А любая точка из W , т.к. пододуль L2 = β , γ абелев. Это максимальная аффинная плоскость ВО-пространства W с некоммутатив-

ным одулем. Если оболочка одуляров ρ и σ 2-мерна, то в ВОпространстве существует плоскость A, ρ , σ . Согласно п. 16.7, в ВОпространстве с растраном существуют плоскости, одуль которых есть 2мерный растран, т.е. ВО-плоскости, отличные от аффинных плоскостей. По свойству 17.2.1, все 2-мерные подсибсоны сибсона Σ 3 являются линейными пространствами, поэтому все плоскости ВО-пространства с сибсоном есть аффинные плоскости. 17.3. ВО-ПРОСТРАНСТВА С ГАЛИЛЕЕВОЙ МЕТРИКОЙ. В одуле Ли Ω вводим галилеево скалярное произведение одуляров и определяем галилееву норму одуляров, пп. 4.5 и 4.6. Расстоянием AB между точками А и В называется норма одуляра АВ . Пусть

A = (a, a1 , a 2 ), B = (b, b1 , b 2 ) произвольные точки в ВО-пространстве W. В каждом из изучаемых ВО-пространств:

AB = b − a , если b ≠ a ; AB = (b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 , если b = a . Это галилеево расстояние между точками ВО-пространства. В каждом из ВО-пространств W существует евклидова плоскость

E 2 = A, β , γ , А любая точка из W , т.к. пододуль V 2 = β , γ абелев. Это единственная евклидова плоскость ВО-пространства W , проходящая через точку А .

97

Глава 7

Траектории и пoверхности траекторий.

§ 18. Траектории преобразований

18.1. УРАВНЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Рассматриваем 3-мерное пространство W (аффинное, евклидово, риманово и т.д.) в котором введены координаты – локально или глобально. Ограничение размерности несущественно. Пусть α преобразование пространства W , в котором точка M ( x1 , x 2 , x 3 ) отображается на точку

M ′( x′1 , x′ 2 , x′3 ) , и преобразование α задано формулами

α : x i = f i ( x1 , x 2 , x 3 ) , i = 1,2,3 . Предполагается, что α входит в некоторый одуль Ли преобразований пространства W . Значит, определены преобразования tα , t ∈ R , считаем, что заданы формулы преобразования tα , M (tα ) = M ′ , tα : x′i = h i (t , x1 , x 2 , x 3 ) , i = 1,2,3 . При фиксированной точке M = ( m1 , m 2 , m 3 ) и меняющемся параметре t имеем изменяющуюся точку M ′ x′i = h i (t , x1 , x 2 , x 3 ) , i = 1,2,3 . Точка M ′ описывает некоторую линию в пространстве W – траекторию точки M в преобразовании α . 18.1.1. ТЕОРЕМА. Если преобразование α пространства W входит в некоторый одуль Ли преобразований пространства W , то параметрическими уравнениями траектории точки M в преобразовании α являются формулы преобразования tα , t ∈ I ⊆ R . # Имеется другой способ получения уравнений траекторий преобразований по формулам преобразований. Рассматриваются инфинитезимальные преобразования, что позволяет получить системы дифференциальных уравнений преобразования. Решения этой системы дифференциальных уравнений и являются уравнениями траекторий, [25]. В [26] одулярными методами найдены траектории аффинных преобразований плоскости. Результаты совпали с результатами из [25].

98

18.2. ПРИМЕРЫ ТРАЕКТОРИЙ. Рассмотрим следующие примеры.

r

1) Траектория точки A = ( a1 , a 2 , a 3 ) в параллельном переносе m =

r (m1 , m 2 , m 3 ) описывается параллельным переносом tm = (m1t , m 2 t , m 3t ) , r это прямая 〈 A, m〉 , параметрические уравнения траектории x = m1t + a1 , y = m 2 t + a 2 , z = m 3t + a 3 .

2) В повороте β евклидовой плоскости вокруг начала координат на угол ϕ точка A = (a,0) отображается на точку M = ( x, y ) : x = a cos ϕ , y = a sin ϕ . Формулы поворота tβ : x = a cos ϕt , y = a sin ϕt – это уравнения траектории точки A в повороте β . Считаем угол ϕ равным 1 радиану. Уравнения траектории: x = a cos t , y = a sin t . 3) Винтовые траектории. Точка A = (a,0,0) движется в повороте вокруг координатной оси Oz и параллельном переносе вдоль оси Oz . Поворот tβ на изменяющийся угол t описывается формулами x = a cos t ,

r y = a sin t . Перенос b = (0,0, b) , повторенный t раз есть x′ = x, y ′ = y, z ′ = bt . Траектория точки A = (a,0,0) в сумме движений tβ r + tb : x = a cos t , y = a sin t , z = bt .

4) Траектории галилеевых движений. Формулы движения галилеевой плоскости имеют вид:

⎧ x ′ = x + a, ⎩ y ′ = cx + y + b;

γ: ⎨ матрица движения есть

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 1 0⎟ . ⎜ c b 1⎟ ⎝ ⎠

t − кратное движение описывается формулами

⎧ x′ = x + at , ⎪ tγ : ⎨ t (t − 1) ⎪⎩ y ′ = ctx + y + bt + bc 2 ;

его матрица:

99

⎛ ⎞ 1 0 0⎟ ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜ at 1 0⎟ = ⎜ a ⎜ t (t − 1) ⎟ ⎜ ab bt 1 ⎟ ⎜⎝ c ⎝ 2 ⎠

t

0 0⎞ ⎟ 1 0⎟ , b 1 ⎟⎠

см. [9]. Формулы преобразований tγ – это параметрические уравнения траекторий точек в преобразовании γ , теорема 18.1.1. формулы преобразования tγ есть параметрические уравнения параболы. Преобразование γ является параболическим поворотом аффинной плоскости. Выберем параметры параболического поворота γ : a = 1, b = 2, c = 1 и рассмотрим поворот

⎧ x′ = x + 1, γo: ⎨ ⎩ y ′ = 2 x + y + 1.

⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ . ⎜1 2 1 ⎟ ⎝ ⎠

Найдем траекторию точки H (h1 , h 2 ) в этом повороте, считаем, что текущая точка траектории есть M = ( x, y ) . Уравнения траектории точки H : ⎛1 ⎜ ⎧ x = h1 + t , tγ o : ⎨ ⎜t 1 2 2 ⎩ y = 2h t + t + h . ⎜ t 2 ⎝

0⎞ ⎟ 1 0⎟ . 2t 1 ⎟⎠ 0

Проследим, как преобразование γ o отображает точку O (0,0) ; сначала находим A1 = O γ o , затем A2 = A1 γ o , A3 = A2 γ o , и т.д. Вычисляем по формулам преобразования γ o : (0,0) → (1,1) → (2,4) → (3,9) → K . Эти точки лежат на параболе y = x 2 . Подставим в уравнения траектории

h1 = 0 , h2 = 0 , имеем: x = t , y = t 2 . Это параметрические уравнения параболы y = x 2 . 5) Преобразование аффинной плоскости

⎧⎪ x′ = xe a + a1 , ρ: ⎨ ⎪⎩ y ′ = ye a + a 2 ; матрица которого

⎛1 ⎜ 1 ⎜a ⎜ a2 ⎝

0 a

e 0

100

0⎞ ⎟ 0 ⎟, e a ⎟⎠

и которому соответствует тройка (a, a1 , a 2 ) , входит в однородный 3мерный растран преобразований. По тройке ( a, a1 , a 2 ) , см. п. 16.4, имеем формулы преобразования tρ и траекторию точки H ( h1 , h 2 ) :

x = h1e at + a1

at e at − 1 2 at 2 e −1 , . y h e a = + ea −1 ea −1

Исключая параметр t , приходим к уравнению вида y = kx + b ; следовательно, траектории точек в преобразовании ρ прямолинейны. 6) Преобразования аффинной плоскости следующего вида

⎧⎪ x′ = xe −a + a1 , τ: ⎨ ⎪⎩ y ′ = ye a + a 2 ; матрицы которых

⎛1 ⎜ 1 ⎜a ⎜ a2 ⎝

0 e −a 0

0⎞ ⎟ 0 ⎟, e a ⎟⎠

и которые определяются тройками (a, a1 , a 2 ) , составляют растран общего вида, что определяется операциями над матрицами, п. 16.4. По тройке (a, a1 , a 2 ) записываем уравнения траектории точки H (h1 , h 2 ) в преобразовании 1 − at

x=h e Отсюда получаем

at e − at − 1 2 at 2 e −1 , y =h e +a a . + a −a e −1 e −1 1

y= Траектории точек – гиперболы.

k +b. x

18.3. СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ. Пусть α преобразование пространства W и определены преобразования tα , t ∈ R . Легко проверить выполнимость следующих свойств. 18.3.1. СВОЙСТВО. 1-параметрический одуль Ли преобразований 〈α 〉 = {tα | t ∈ R} является 1-мерным линейным пространством. # 18.3.2. СВОЙСТВО. Линейное пространство преобразований 〈α 〉 является оболочкой любого своего нетождественного преобразования: если β ∈ 〈α 〉 и β ≠ ϑ , то 〈 β 〉 = 〈α 〉 . #

101

18.3.3. СВОЙСТВО. Траектория точки H в преобразовании α есть множество точек l = 〈 H ,α 〉 = {M | HM = tα , t ∈ R . Это 1-мерное аффинное пространство. # Траектория точки H в преобразовании α в пространстве W определяется также, как прямая аффинного пространства, п. 2.1. 18.3.4. СВОЙСТВО. Траектории точек пространства W в преобразованиях пространства W , входящих в некоторый одуль Ли преобразований обладают такими же свойствами, как прямые аффинного пространства.# Свойства аффинных прямых приведены в п. 2.1. 18.3.5. СВОЙСТВО. Если P ∈ 〈 H ,α 〉 и Pα = Q , то Q ∈ 〈 H ,α 〉 . # 18.3.6. СВОЙСТВО. При применении любого преобразования tα к траектории 〈 H ,α 〉 , траектория 〈 H ,α 〉 скользит сама по себе, т.е. образ траектории 〈 H ,α 〉 в преобразованиях tα совпадает с траекторией 〈 H ,α 〉 и tα есть преобразования траектории 〈 H ,α 〉 . # 18.3.7. СВОЙСТВО. Преобразование β из одуля 〈α 〉 траектории 〈 H ,α 〉 , β остается преобразованием траектории. #Перенесение преобразования β вдоль траектории 〈 H ,α 〉 означает, что β применяется к точкам P траектории. Свойство утверждает, что образы точек P в преобразовании β лежат на траектории 〈 H ,α 〉 . Свойство 18.3.7 означает, что траектории преобразований пространства W являются кривыми постоянного направления в пространстве W , т.е. геодезическими пространства W , см. [27]. 18.4. ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЙ. Рассматривается ВОпространство W , в котором введена метрика. Преобразование δ пространства W называется движением этого пространства W , если метрика инвариантна в преобразовании δ . 18.4.1. ТЕОРЕМА. Траектории движений являются кривыми постоянных кривизн пространства W . # Пусть l траектория движения δ пространства W , P точка кривой l , k1 , k 2 ,..., k n кривизны кривой l в точке P ( n кривизн имеет кривая n + 1-мерного пространства). Пусть Q любая точка кривой l . Существует движение π ∈ 〈δ 〉 , что Q = Pπ . Значит, кривизны кривой l в точке Q равны k1 , k 2 ,..., k n , т.е. во всех точках кривой l ее кривизны постоянны. # Существуют траектории точек только в движениях, не изменяющих ориентации пространства. Движения евклидовой плоскости, не изменяющие ее ориентации (ДРI) – параллельные переносы и повороты. Их траектории – прямые и ок-

102

ружности, это плоские евклидовы линии постоянной кривизны. В евклидовом пространстве существует еще винтовое движение. Его траектории – винтовые линии. См. примеры траекторий 1) - 3) в п. 18.2. Параболический поворот галилеевой плоскости есть ее движение, пример 4) в п. 18.2. Траектории параболического поворота называются циклами галилеевой плоскости. Прямые линии и циклы – линии постоянной кривизны галилеевой плоскости. Гиперболический поворот, пример 6) в п. 18.2, есть движение псевдоевклидовой плоскости. Кривые постоянной кривизны псевдоевклидовой плоскости – это прямые и гиперболы. § 19. Поверхности траекторий

19.1 ОДУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ. Считаем как и выше, что в пространстве W введены координаты и что некоторые преобразования пространства W образуют одуль Ли. Пусть α , β преобразования W и оболочка 〈α , β 〉 2-мерна. По п. 16.3, 〈α , β 〉 есть либо линейное пространство, либо растран. Рассматриваем множество точек

Π = {M | HM = uα + vβ , (u , v) ∈ R 2 }, оно состоит из образов точки H во всех преобразованиях uα + vβ из одуля Ли 〈α , β 〉 . Уравнения траектории 〈 H ,α 〉 точки H (h1 , h 2 ) в расматриваемом преобразовании α : x i = f i (u , h1 , h 2 , h 3 ) , u ∈ R , i = 1,2,3 ; а уравнения траекторий точек, лежащих на траектории 〈 H ,α 〉 , в преобразовании β :

x i = g i (u , v, h1 , h 2 , h 3 ) , (u , v) ∈ R 2 , i = 1,2,3 ; Последними уравнениями определена поверхность Π . Она называется одулярной поверхностью траекторий. Обозначаем ее 〈 H ,α , β 〉 . 19.1.1. ТЕОРЕМА. Одулярная поверхность траекторий является 2мерным ВО-пространством. # Пусть P ∈ Π . Для любого преобразования uα + vβ из 〈α , β 〉 обозначим P (uα + vβ ) = Q , т.е. PQ = uα + vβ . Так как P ∈ Π , то существует преобразование tα + sβ , что HP = tα + sβ . В композиции преобразований ( tα + sβ ) + ( uα + vβ ) имеем преобразование вида kα + mβ . В линейном пространстве 〈α , β 〉 : k = t + u , m = s + v . В 2-мерном растране выражение чисел k и m через t , s, u , v несколько сложнее, но оно существует. Значит, точка Q , как образ точки H в преобразовании kα + mβ , лежит

103

на поверхности Π . Для любых точек P, Q, R поверхности Π : и QR = QH + HR , PQ = PH + HQ , тогда PQ + QR = PH + HR PR = PH + HR , значит, PQ + QR = PR . Аксиомы ВО-пространства выполняются, см. п. 17.1. # 19.2. ПРИМЕРЫ ОДУЛЯРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТРАЕКТОРИЙ. Рассмотрим следующие r r примеры. 1) Плоскость 〈 A, m, n 〉 аффинного пространства – это множество образов точки A( a1 , a 2 ) в параллельных переносах из линейного простран-

r r

r

r

ства 〈 m, n 〉 , m = ( m1 , m 2 , m 3 ) , n = ( n1 , n 2 , n 3 ) ; параметрические уравнения плоскости x = m1u + n1 + a1 , y = m 2 u + n 2 + a 2 , z = m 3u + n 3 + a 3 . 2) Линейное пространство параболических поворотов. Параболоиды. Параболический поворот вокруг координатной оси Ox (его сужение на плоскость Oyz есть параболический поворот этой плоскости; см. пример 4) в п. 18.2):

⎧ ⎪ x ′ = x, ⎪ α : ⎨ y ′ = y + 1, ⎪ 1 ⎪z′ = z − y − ; ⎩ 2 матрица этого поворота:

⎛ 1 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 1 ⎜ 1 ⎜− ⎝ 2

0⎞ ⎟ 0⎟ 0 1 0⎟ . ⎟ 0 −1 1⎟ ⎠

0 1

0 0

Параболический поворот пространства вокруг координатной оси Oy и его матрица:

⎧ ⎪ x′ = x + 1, ⎪ β : ⎨ y ′ = y, ⎪ 1 ⎪z′ = z + x + ; ⎩ 2

104

⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎜1 ⎜ ⎝2

0 0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 0 1 0⎟ . ⎟ 1 0 1⎟ ⎠

Находим суммы преобразований

⎧ x ′ = x + 1, ⎪ α + β : ⎨ y ′ = y + 1, β + α: ⎪ z ′ = z + x − y; ⎩

⎧ x′ = x + 1, ⎪ ⎨ y ′ = y + 1, ⎪ z ′ = z + x − y. ⎩

Получилось совпадение α + β = β + α . Преобразования α , β перестановочны, поэтому одуль преобразований 〈α , β 〉 является линейным пространством. Имеем

⎧ ⎪ x ′ = x, ⎪⎪ uα : ⎨ y ′ = y + u , u ∈ R ; vβ : ⎪ 2 ⎪ z ′ = z − yu − u ; ⎪⎩ 2

⎧ ⎪ x ′ = x + v, ⎪⎪ v∈R. ⎨ y ′ = y, ⎪ 2 ⎪ z ′ = z + xv + v ; ⎪⎩ 2

Формулы композиции преобразований

⎧ ⎪ x ′ = x + v, ⎪⎪ ⎨ y ′ = y + u, ⎪ 2 2 ⎪ z ′ = z + xv + v − yu − u . ⎪⎩ 2 2 (Для этого формулы преобразования vβ , в котором точка ( x' , y ' ) отображается на точку ( x" , y" ) : x" = x'+ v, y" = y ' , z" = z '+ x' v +

v2 . 2

Затем подставляем сюда формулы преобразования uα .) Траектория точки H (h1 , h 2 , h 3 ) в преобразовании uα + vβ

⎧ ⎪ x = v + h1 , ⎪⎪ 2 ⎨y = u + h , ⎪ 2 2 ⎪ z = v − u + h1v − h 2 u + h 3 . ⎪⎩ 2 2 Это параметрические уравнения одулярной поверхности траекторий 〈 H ,α , β 〉 . Она заполняется траекториями точки (h1 , h 2 , h 3 ) в преобразо-

105

ваниях uα + vβ . Выполняется равенство для любого образа ( x, y , z ) точки

(h1 , h 2 , h 3 ) в преобразованиях uα + vβ : 2 z − x 2 + y 2 = 2h 3 − ( h1 ) 2 + ( h 2 ) 2 .

Число 2h 3 − (h1 ) 2 + (h 2 ) 2 постоянно для рассматриваемой одулярной поверхности траекторий, проходящей через точку H , следовательно, полученная поверхность является гиперболическим параболоидом. Возьмем еще преобразование

⎧ ⎪ x ′ = x, ⎪ γ : ⎨ y ′ = y + 1, ⎪ 1 ⎪z′ = z + y + ; ⎩ 2 его матрица

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎜1 ⎜ ⎝2

0 0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 0 1 0⎟ . ⎟ 0 1 1⎟ ⎠

Имеем линейное пространство параболических поворотов 〈α , γ 〉 и одулярную поверхность траекторий

⎧ ⎪ x = v + h1 , ⎪⎪ 2 ⎨y = u + h , ⎪ 2 2 ⎪ z = v + u + h1v + h 2 u + h 3 ⎪⎩ 2 2 эта поверхность – эллиптический параболоид 2 z = x 2 + y 2 . 3) Поверхность с растраном. Преобразование аффинного пространства

⎧ x′ = x + 1, ⎪ ρ : ⎨ y ′ = ey + a, ⎪ z ′ = z; ⎩

с матрицей

106

⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜a ⎜⎜ ⎝0

0 0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 0 e 0⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟⎠

представляет раст. Поэтому

⎧ x ′ = x + v, ⎪ ev −1 ⎪ vρ : ⎨ y ′ = e v y + a , 1 − e ⎪ ⎪⎩ z ′ = z;

Преобразование, обратное к ρ , есть

⎧ x′ = x − 1, ⎪ − ρ : ⎨ y ′ = e −1 y − ae −1 , ⎪ z ′ = z. ⎩ Рассмотрим еще параллельный перенос

⎧ x ′ = x, ⎪ π : ⎨ y ′ = y, ⎪ z ′ = z + p. ⎩ Находим: − ρ + π + ρ = eπ , имеем растран 〈 ρ ,π 〉 . Сумма преобразований

vρ + uπ при всех (u , v) ∈ R 2 задает поверхность 〈 H , ρ ,π 〉 , как одулярную поверхность траекторий точки H , уравнения поверхности ⎧ x = v + h1 , ⎪ ev −1 ⎪ v 2 ′ = + , y e h a ⎨ − 1 e ⎪ ⎪ z ′ = pu + h 3 . ⎩ Полученная поверхность является ЛМ-плоскостью (2-мерным ВОпространством с растраном) некоммутативным 2-мерным одулярным подпространством аффинного пространства A 3 . В плоскостях, параллельных координатной плоскости Oxy , лежат v − линии поверхности

107

⎧ x = v + h1 , ⎪ ev −1 ⎪ v 2 , ⎨ y′ = e h + a − 1 e ⎪ ⎪ z ′ = pu o + h 3 . ⎩ Это экспоненциальные кривые; u − линии поверхности – прямые x = c , y = c , z = pu + h 3 ; параллельные координатной оси Oz . Поверхность является цилиндрической с образующей, параллельной оси Oz и экспоненциальной направляющей в плоскости Oxy . 19.3. СОБСТЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОДУЛЯРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ. Определенные выше, в п. 19.1, одулярные поверхности траекторий Π есть 2-мерные одулярные подпространства того пространства W , преобразованиями которых они определены, теорема 19.1.1. Геометрия поверхности Π изучается методами геометрии пространства W . Но одулярная поверхность траекторий обладает и собственной геометрией – геометрией этой поверхности, как одулярного пространства. Собственная геометрия поверхности – геометрия поверхности как 2-мерного одулярного пространства, построенного в аксиоматике Г.Вейля на основе свойств одуля Ли преобразований объемлющего пространства и являющегося одулем Ли этой поверхности. Например, для аффинного пространства это одулярная геометрия его поверхностей и обобщение афинной геометрии. 19.3.1. ТЕОРЕМА. Одуляры одулярной поверхности траекторий обладают свойством абсолютного параллелелизма. # Пусть 〈 H ,α , β 〉 , одулярная поверхность траекторий в некотором пространстве. Пусть γ , δ два одуляра из 〈α , β 〉 . В линейном пространстве: − δ + γ + δ = γ , в растране − δ + γ + δ = kγ , k ≠ 0 . Таким образом, в параллельном перенесении всякого одуляра γ всяким одуляром δ получается или тот же одуляр γ , или ненулевой одуляр kγ ; направление одуляров γ , kγ одно и тоже. Это и есть свойство абсолютного параллелелизма одуляров из 〈α , β 〉 . # 19.3.2. ТЕОРЕМА. Траектории всякой точки поверхности 〈 H ,α , β 〉 в преобразованиях uα + vβ являются геодезическими линиями поверхности 〈 H ,α , β 〉 в ее собственной геометрии.

108

# 1-параметрический одуль Ли 〈γ 〉 = 〈uα + vβ 〉 есть одуль Ли траектории 〈 A, uα + vβ 〉 точки A одулярной поверхности траекторий. По теореме 19.3.1, одуляр γ = uα + vβ обладает абсолютным параллелелизмом, следовательно, 〈 A, γ 〉 есть геодезическая поверхности 〈 H ,α , β 〉 . # 19.3.3. СВОЙСТВО. Если A ∈ 〈 H ,α , β 〉 и γ , δ ∈ 〈 H ,α , β 〉 ∉ 〈γ 〉 , то 〈 A, γ , δ 〉 = 〈 H ,α , β 〉 : одулярная поверхность траекторий определяется любой своей точкой и любыми своими двумя независимыми одулярами. 19.3.4. ТЕОРЕМА. На одулярной поверхности траекторий 〈 H ,α , β 〉 через каждую точку во всяком направлении проходит единственная геодезическая. # Пусть A ∈ 〈 H ,α , β 〉 . Поверхность 〈 H ,α , β 〉 является ВОпространством, п. 19.1. Согласно аксиомам Г.Вейля, от любой точки A поверхности можно отложить любой одуляр из 〈α , β 〉 и образ точки A в любом преобразовании uα + vβ лежит на поверхности. Всякие две точки поверхности A и P определяют единстенный одуляр из 〈α , β 〉 . Точка A и одуляр uα + vβ определяют единстенную траекторию 〈 A, uα + vβ 〉 , она лежит на поверхности. # Свойства одулярной поверхности траекторий повторяют свойства аффинных плоскостей, так как определяются одним и тем же определением. Но на метрические свойства одулярной поверхности траекторий влияют метрические свойства из одуля поверхности, т.е. свойства окружающего поверхность пространства. Это не удивительно, а хорошо известно. Например, геодезические линии на плоскости евклидова пространства – прямые, линии нулевой кривизны; геодезичесие линии одулярной поверхности с лиенйным пространством параболических поворотов – параболы, кривизна параблы отлична от нуля. Точно также кривизна одулярной поверхности траекторий в евклидовом пространстве может иметь ненулевую кривизну. Указанная только что поверхность, пример 2 в п. 19.2, имеет гауссову кривизну

K=

1 1+ u 2 + v2

.

19.4. ПОВЕРХНОСТИ С ОДУЛЕМ РАЗМЕРНОСТИ БОЛЬШЕ 2. Взяв любые два независимых нетождественных преобразования, необязательно получаем поверхность, как одулярную поверхность. Пусть α , β преобразования пространства W , β ∈ 〈α 〉 и пусть их оболочка не 2-мерна. Записывая формулы композиции преобразований uα + vβ , получаем 2параметрические уравнения (с параметрами u, v ) они в пространстве W

109

определяют поверхность. Например, рассмотрим вращения евклидова пространства вокруг координатной оси Oz и вокруг оси Oy . В повороте вокруг оси Oy точка A(a,0,0) описывает траекторию x = a cos u , y = a sin u ; точки этой траектории в повороте вокруг оси Oz описывают траектории x′ = x cos v , y ′ = x sin v , z ′ = z . В композиции поворотов сначала вокруг оси Oy а затем вокгуг оси Oz имеем сферу, заполненную траекториями точки A в указанных поворотах, уравнения сферы x = a cos u cos v , y = a sin u cos v , z = a sin v . Взяв повороты в обратной посдедовательности, получаем уравнения сферы x = a cos u cos v , y = a cos v , z = a sin u cos v . Рассматриваемые повороты не перестановочны. Известно, что повороту евклидова пространства соответствует кватернион единичного модуля, [28], композиции поворотов – произведение кватернионов. Мультипликативная группа кватернионов не 2-мерна. Поэтому сфера не является 2-мерным одулярным пространством, она не имеет собственной геометрии; не всякая из рассмотренных траекторий – геодезическая на сфере.

Собственная геометрия поверхности является аналогом планиметрии, методы изучения ее неметрических свойств – аффинные методы исследований свойств аффинной плоскости. Для изучения поверхностей, одуль которых имеет размерность большую двух, аффинных методов недостаточно.

110

Цитированная литература

1. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1970. – 528с. 2. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. -664с. 3. Берже М. Геометрия. – М.: Мир, 1984. – Т. 1. – 560с. 4. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. – 2-ое изд. – М.: Гостехиздат, 1965. – 744с. 5. Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 456с. 6. Долгарев А.И. О векторах в курсе геометрии пединститута// Профессионально-педаг. направл. матем. подгот. учителя в пед-те. Вологда, 1990. С. 55 – 61. 7. Долгарев А.И. ЛМ-пространство //Римановы пространства и методы эллиптических дифференциальных уравнений. Л.: ЛГПИ, 1986. - С.8-25. 8. Долгарев А.И. Одулярное описание аффинных преобразований плоскости. Деп. в ВИНИТИ 07.02.97, № 369 - В97. - 59 с. 9. Долгарев А.И. Растраны на различных структурах.- Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1996.- 106 с. 10. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия, изд. 2 – М.: Наука, 1989. – 303с. 11. Долгарев А.И. Сетевые уравнения двумерных линейных пространств над R.// Движения в обобщенных пространствах. Межвуз.сб.научн.тр. – Пенза: ПГПУ, 2000. – С. 117 – 124. 12. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1989. – 472с. 13. Долгарев А.И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований. – Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003, препринт 63. – 116с. 14. Скотт П. Геометрии на трёхмерных многообразиях. - М.: Мир, 1986.168с. 15. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. - 560с.

111

16. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – 4-ое изд. – М.: 1985. – 392с. 17. Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. – М.: Мир, 1985. – 416с. 18. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2004.- 306c. 19. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М., Наука, 1969. с.304 20. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 384с. 21. Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связностью // ДАН СССР. 1977. N5. C.800-803. 22. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. – М.: Наука, 1961. – 464с. 23. Левичев А.В. Однородная хроногеометрия. I. - Новосибирск: НГУ, 1991. - 52 с. 24. Долгарев А.И. ЕМ-пространства. Дис... канд. физ.-мат. наук, Красноярск: КГПИ, 1991.-95 с. 25. Широков П.А. и Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия. – М., 1959. – 319с. 26. Долгарев А.И. Одулярное описание траекторий аффинных преобразований плоскости. Деп. в ВИНИТИ 03.08.98, № 2473 - В98. - 19с. 27. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, 1.- М: Наука, 1981. - 292 с. 28. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука, 1973. – 144с.

112