Математика: Пособие к изучению дисциплины и варианты заданий для контрольных работ для студентов второго курса заочного обучения

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РФ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики В.С. Козлова, Г.Н. Радковский, А.А. Савченко, В.А.Ухова

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ к изучению дисциплины и варианты заданий для контрольных работ

для студентов второго курса специальностей 160901, 160903, 160905 заочного обучения

Москва – 2008

2

Рецензент доц. кафедры высшей математики к.ф.м.н. Дементьев Ю.И. В.С. Козлова, Г.Н. Радковский, А.А. Савченко, В.А. Ухова. Математика. Пособие к изучению дисциплины и варианты заданий для контрольных работ. – М.: МГТУ ГА, 2008.- 48 с. Данное пособие издаётся в соответствии с учебной программой для студентов второго курса специальности 160901, 160903, 160905 заочного обучения. Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры высшей математики 30.08.2007 г. и методического совета г.

3

Введение Пособие содержит рабочую программу по высшей математике, разбитую на разделы, которые изучают на втором курсе, список рекомендуемой литературы, методические указания по темам курса, задачи контрольных работ (десять вариантов) и примеры решения контрольных заданий. На втором курсе студенты должны изучить следующие разделы курса высшей математики: 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 2. Ряды. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. Указанные разделы определяют содержание трёх контрольных работ (№5, №6, №7), которые нужно выполнить на втором курсе. Каждый студент должен решить задачи своего варианта. Номер варианта совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента.

4

Программа курса «Математика»

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Частное и общее решения. 2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные и линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. 3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. 4. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Структура общего решения. 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. 2. Числовые ряды 6. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. 7. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 3. Функциональные ряды 9. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. 10. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближённым вычислениям. 4. Ряды Фурье 11. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости функции в ряд Фурье. 5. Теория вероятностей 12. Случайные события. Пространство элементарных событий. Операции над событиями. Классическое и статистическое определение вероятности.

5

13. Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 14. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. 15. Определение случайной величины. Функция распределения и её свойства. Непрерывные и дискретные случайные величины. Примеры распределений: биномиальное, пуассоновское, нормальное, равномерное, показательное. 16. Числовые характеристики случайных величин. Их свойства. 17. Законы распределения и числовые характеристики системы случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции. 18. Закон больших чисел. 6. Математическая статистика 19. Выборка и способы её записи. Графическое представление выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещённости оценок. Доверительные интервалы. 20. Статистическая проверка гипотез. Литература 1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. М.: АЙРИС ПРЕСС, 2007г. 2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. М.: АЙРИС ПРЕСС, 2006г. 3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов; под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 2002г. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998г. 5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1998г. Следующие пособия, изданные кафедрой высшей математики МГТУ ГА, помогут Вам выполнить контрольные работы: 6. Жулёва Л.Д., Лёвина С.Н., Шуринов Ю.А. Методические указания по выполнению контрольных работ №5 и №6. М.: МГТУ ГА, 1998г. 7. Савченко А.А., Илларионова О.Г., Ухова В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Пособие к выполнению контрольных работ по высшей математике. М.: МГТУ ГА, 2000г.

6

Методические указания к выполнению контрольной работы №5 «Дифференциальные уравнения» 1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнение, в котором содержится независимая переменная, искомая функция и её производные или дифференциалы, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: F ( x, y , y ′) = 0 (уравнение первого порядка в неявной форме), или y ′ = f ( x, y ) ( уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной), или P ( x, y ) ⋅ dx + Q( x, y ) ⋅ dy = 0 (дифференциальная форма). Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в уравнение получается тождество. Решение дифференциального уравнения называется общим решением, если оно содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка имеет вид y = ϕ ( x, C ) , оно зависит от одной произвольной постоянной С и является решением уравнения при любом допустимом С. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение, получаемое из общего решения при каком – либо определённом значении произвольной постоянной С. Соотношение вида Φ (x, y, C)=0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка. Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной С, называется частным интегралом дифференциального уравнения. Задача нахождения частного решения по начальным условиям называется задачей Коши. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка ставится следующим образом: Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y ( x 0 ) = y 0 , где x 0 , y 0 заданные значения независимой переменной x и искомой функции y. График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Графиком общего решения является семейство интегральных кривых.

7

2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2.1. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде: y ′ = f ( x ) ⋅ g ( y ) или M ( x) ⋅ N ( y ) ⋅ dx + P ( x) ⋅ Q( y ) ⋅ dy = 0 . Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только x, а в другую только y и затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее x и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль. Пример1. Найти частное решение уравнения x ⋅ dx + y ⋅ dy = 0 , удовлетворяющее начальному условию y (1) = 0 . Выделить интегральную кривую, проходящую через точку М (1,0). Решение. Разделим переменные: x ⋅ dx = − y ⋅ dy . Интегрируем:

∫

x ⋅ dx = −

∫

y ⋅ dy , получаем

x2 y 2 + = C1 , или, обозначив 2 C1 2 2

через C 2 , будем иметь x 2 + y 2 = C 2 - общий интеграл. Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиуса С. Для решения задачи Коши подставим в общий интеграл начальные условия x = 1, y = 0 : 12 + 0 2 = C 2 ,откуда C 2 = 1 , а тогда искомое частное решение x 2 + y 2 = 1 (частный интеграл)- окружность с центром в начале координат радиуса 1. Это интегральная кривая, проходящая через точку М (1,0).

2.2.ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Однородные уравнения могут быть записаны в виде: ⎛ y⎞ y′ = f ⎜ ⎟ . ⎝x⎠ Для решения однородного дифференциального уравнения примеy няется подстановка u = или y = u ⋅ x , где u – функция от x, подлежаx щая определению; при этом y ′ = u ′x + u . Пример 2. Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения: x 2 + y 2 dx − xy dy = 0 .

(

)

8

Решение. Разделив обе части уравнения на dx, приведём его к виду dy x 2 + y 2 dy x y = или = + . dx xy dx y x Применив подстановку y = ux ⇒ y ′ = u ′x + u , найдём: 1 u ′x + u = u + . u Разделяем переменные и интегрируем: u2 dx = ln x + C . u ⋅ du = ; x 2 y2 y = ln x + C . Это – общий интеграл. Учитывая, что u = , получим: x 2x 2 Кроме того, x = 0 – интеграл данного уравнения. y2 = ln x + C ; x = 0 . Ответ: 2 2x

∫

∫

2.3 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Общий вид линейного уравнения y ′ + P ( x) ⋅ y = Q ( x) . Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию y заменить произведением двух вспомогательных функций. Полагаем y=u(x)·v(x), где u(x) и v(x) – неизвестные функции от x, одна из которых, например v(x), может быть выбрана произвольно. Подставляя в уравнение y = u ⋅ v, y ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ , после преобразования получаем (*) u ′ ⋅ v + u ⋅ (v ′ + P ( x ) ⋅ v ) = Q ( x ) . Определяем v(x) из условия v ′ + P ( x) ⋅ v = 0 , выбирая в качестве v(x) одно из частных решений этого уравнения. Затем из уравнения (*) находим функцию u(x, С) и общее решение линейного уравнения y=u(x, С)·v(x). Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 1 y ′ − y ⋅ ctg x = sin x Решение. Ищем общее решение уравнения в виде y = u ⋅ v , тогда y ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ и данное уравнение примет вид

9

u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ − u ⋅ v ⋅ ctg x = u ′ ⋅ v + u ⋅ (v ′ − v ⋅ ctg x) =

1 или sin x

1 . sin x

(**)

dv dv = v ⋅ ctg x , = ctg x ⋅ dx . v dx Интегрируя последнее уравнение, получаем v=sin x. Подставляя v=sin x в уравнение (**), получим уравнение относительно u(x): 1 du 1 u ′ ⋅ sin x = . Разделяя переменные, находим ⋅ sin x = sin x dx sin x 1 dx . Интегрируя это уравнение, получаем u= - ctg x или du = 2 sin x +C. Итак, общее решение заданного уравнения имеет вид y=u v= =( - ctg x+C) sin x= - cos x+C sin x. Ответ: y= - cos x+C sin x. Полагаем

v ′ − v ⋅ ctg x = 0 , откуда

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков называются дифференциальными уравнениями высших порядков. Рассмотрим эти уравнения на примере уравнений второго порядка. Общий вид уравнения второго порядка F ( x, y, y ′, y ′′) = 0 или в виде, разрешённом относительно старшей производной, y ′′ = f ( x, y , y ′) . Общее решение (общий интеграл) этого уравнения имеет вид ( Φ ( x, y, C1 , C 2 ) = 0 ). y = ϕ ( x, C1 , C 2 ) Задача Коши для уравнения второго порядка: найти частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее начальным условиям y ( x 0 ) = a 0 , y ′( x 0 ) = a1 . Подставляя начальные условия в общее решение, получим систему уравнений для определения значений произвольных постоянных C1 и C 2 . Если затем найденные значения произвольных постоянных подставить в общее решение, получим искомое частное решение. 3.1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Укажем некоторые виды дифференциальных уравнений второго порядка, допускающие понижение порядка. А) Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции, то есть уравнение вида F ( x, y ′, y ′′) = 0 , с помощью

10

подстановки y ′ = p( x) (откуда

y ′′ =

dp ) , преобразуется в уравнение dx

первого порядка F ( x, p, p ′ ) = 0 . Б) Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной x, то есть уравнение вида F ( y , y ′, y ′′) = 0 , с помоdp dp щью подстановки y ′ = p( y ) (откуда y ′′ = = p ⋅ ) сводится к dx dy dp уравнению первого порядка F ( y, p, p ⋅ ) = 0 . dy Пример 4. Решить дифференциальные уравнения А) x ⋅ y ′′ + y ′ = 0 ; Б) tg y ⋅ y ′′ = 2 ⋅ ( y ′) 2 . Решение. А) Данное уравнение не содержит искомой функции y. Полоdp dp жим y ′ = p (x ) , тогда y ′′ = + p = 0. и уравнение примет вид x ⋅ dx dx Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: dp dx = − , откуда получаем ln | p |= − ln | x | + ln C1 , p x C C то есть p = 1 или y ′ = 1 . Разделяя переменные в последнем x x C уравнении, получим dy = 1 dx . Интегрируя, находим общее решение x y = C1 ln | x | +C 2 . Решая уравнение, мы делили его на p, поэтому могли потерять решение p( x) = 0 , то есть y ′ = 0, y = C . Но это решение может быть включено в общее решение, если считать, что C1 может принимать значение 0. Ответ: y = C1 ln | x | +C 2 . Б) Это уравнение не содержит независимой переменной x. Положим dp , и данное уравнение преобразуется к виду y ′ = p ( y ) , тогда y ′′ = p dy dp dy dp =2 (где p ≠ 0 ). Интегрируя полученное p tg y = 2 p 2 или p tg y dy уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, находим: ln p = 2 ln sin y + ln C1 , или p = C1sin 2 y . dy dy dy , имеем: Заменяя p на = C1sin 2 y или = C1 dx , dx dx sin 2 y откуда находим общий интеграл данного уравнения: − ctg y = C1 x + C 2 .

11

При p = 0 получаем особое решение y = C . Ответ: − ctg y = C1 x + C 2 ; y = C . 3.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (1) Уравнение y ′′ + p ⋅ y ′ + q ⋅ y = f (x) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, где p и q действительные числа. При f(x)=0 уравнение (1) называется однородным. Общее решение y о.н. неоднородного уравнения (1) есть сумма общего решения y о.о. соответствующего однородного уравнения и какого – либо частного решения y ч.н. данного неоднородного уравнения, то есть (2) y о.н. = y о.о. + y ч.н. . Однородные линейные уравнения Однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение (3) y ′′ + p ⋅ y ′ + q ⋅ y = 0 . Общее решение этого уравнения имеет вид y о.о. = С1 ⋅ y1 ( х ) + С 2 ⋅ y 2 ( х ) , где y1 ( х ) и y 2 ( х) - линейно независимые частные решения этого уравнения, а С1 , С 2 - произвольные постоянные. Для отыскания общего решения уравнения (3) составляется алгебраическое уравнение k2 + p ⋅k + q = 0, (4) которое называется характеристическим уравнением. Это алгебраическое уравнение получается из уравнения (3) заменой в нём производных искомой функции соответствующими степенями k, причём сама функция y заменяется единицей. В зависимости от вида корней характеристического уравнения общее решение уравнения (3) будет иметь разный вид. Возможны три случая: 1. Если корни характеристического уравнения k1 , k 2 действительные и различные, то частными решениями уравнения (3) будут функции y1 ( х) = e k1⋅ x и y 2 ( х) = e k2 ⋅ x . Общее решение уравнения (3) имеет вид y o.o. = C1 ⋅ e k1⋅ x + C 2 ⋅ e k2 ⋅ x .

12

2.

Если

y1 ( х) = e k ⋅ x ,

k1 = k 2 = k

действительные

и

равные,

то

y 2 ( х ) = x ⋅ e k ⋅ x . Общее решение уравнения (3) имеет вид y o.o. = C1e k ⋅ x + C 2 ⋅ x ⋅ e k ⋅ x .

3. Если корни характеристического уравнения комплексно – сопряжённые числа k1 = α + i ⋅ β , k 2 = α − i ⋅ β , тогда частными решениями уравнения (3) будут y1 ( х ) = e α ⋅ x ⋅ cos ( β ⋅ x), y 2 ( х) = e α ⋅ x ⋅ sin( β ⋅ x) . Общее решение уравнения (3) имеет вид y o.o. = C1 ⋅ e α ⋅ x ⋅ cos ( β ⋅ x) + C 2 ⋅ e α ⋅ x ⋅ sin ( β ⋅ x ) . Неоднородные линейные уравнения Неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид (1). Общее решение этого уравнения задаётся формулой (2), в которой способ получения функции y o.o. уже описан. Теперь задача сводится к отысканию частного решения y ч.н. неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование уравнения (1) можно осуществить методом вариации произвольных постоянных. Если же правая часть уравнения (1) имеет специальный вид, то y ч.н. находят методом неопределённых коэффициентов. Укажем вид частного решения y ч.н. для некоторых частных случаев правой части f(x). 1. Пусть f ( x) = Pn ( x ) , где Pn (x) - некоторый многочлен степени n, тогда а) если корни характеристического уравнения k1 ≠ 0, k 2 ≠ 0 , то частное решение ищется в виде y ч.н. = Q n ( x ) . Здесь Q n (x ) - многочлен с неопределёнными коэффициентами той же степени, что и многочлен Pn (x) . б) если один из корней характеристического уравнения равен нулю, например, k1 = 0, k 2 ≠ 0 , то y ч .н . = x ⋅ Q n ( x ) . в) если оба корня характеристического уравнения равны нулю k1 = k 2 = 0 , то y ч .н . = x 2 ⋅ Q n ( x ) . Для того чтобы определить коэффициенты многочлена Q n (x ) , частное решение подставляют в дифференциальное уравнение (1) и уравнивают

13

коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. 2. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид f ( x) = Pn ( x) ⋅ e a⋅ x . Тогда а) если а не является корнем характеристического уравнения, то есть k1 ≠ a, k 2 ≠ a , то частное решение ищется в виде y ч .н . = Q n ( x ) ⋅ e a ⋅ x . б) если один из корней характеристического уравнения равен а, например, k1 = a, k 2 ≠ a , то y ч .н . = x ⋅ Q n ( x ) ⋅ e a ⋅ x . в) если оба корня характеристического уравнения равны а, то есть k1 = k 2 = a , то y ч .н . = x 2 ⋅ Q n ( x ) ⋅ e a ⋅ x .

3. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид f ( x ) = Pn ( x ) ⋅ cos bx + Tm ( x ) ⋅ sin bx , где Pn ( x ), Tm ( x ) - многочлены степени n и m. Тогда а) если корни характеристического уравнения не равны ± bi , то частное решение ищется в виде y ч.н. = Q s ( x) ⋅ cos bx + R s ( x) ⋅ sin bx , где Q s ( x), R s ( x) - многочлены s степени с неопределёнными коэффициентами (s наибольшая из степеней n и m ). б) если корни характеристического уравнения k1, 2 = ± bi , то частное решение имеет вид y ч.н. = x ⋅ (Q s ( x ) ⋅ cos bx + R s ( x ) ⋅ sin bx ) . Пример 5. Найти частное решение уравнения, y ′′ − 5 y ′ + 6 y = −78 sin 3 x , удовлетворяющее начальным условиям y (0) = 0, y ′(0) = 0 . Решение. Решим соответствующее однородное уравнение y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 0 . Для его решения составим характеристическое урав-

нение k 2 − 5k + 6 = 0 . Его корни k1 = 2, k 2 = 3 , следовательно, y o.o. = C1 ⋅ e 2⋅ x + C 2 ⋅ e 3⋅ x . Частное решение исходного уравнения согласно П. 3. а) ищем в виде

Находим

так как k1, 2 ≠ ±3 ⋅ i . y ч.н. = A cos 3 x + B sin 3 x , y ч′ .н. = −3 A sin 3 x + 3B cos 3 x ,

14

y ч′′.н. = −9 A cos 3 x − 9 B sin 3 x . Подставляя y ч.н. , y ч′ .н. , у ч′′.н. в исходное уравнение, получим (−3 A − 15 B) cos 3 x + (15 A − 3B ) sin 3 x = −78 sin 3 x . Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений:

- 3А - 15В=0, 15А - 3В= - 78. Решая систему, найдём: А= -5, В=1, то есть частное решение имеет вид y ч.н. = −5 cos 3 x + sin 3 x . Значит, общее решение заданного уравнения будет иметь вид y о.н. = y о.о. + y ч.н. = C1 ⋅ e 2⋅ x + C 2 ⋅ e 3⋅ x − 5 cos 3 x + sin 3 x . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, найдём производную y о′ .н. = 2C1 ⋅ e 2⋅ x + 3C 2 ⋅ e 3⋅ x + 3 cos 3 x + 15 sin 3 x . Подставим начальные условия y (0) = 0, y ′(0) = 0 в общее решение и в его производную: y (0) = C1 + C 2 - 5=0 y ′(0) = 2C1 + 3C 2 +3=0. Откуда получаем C1 = 18, C 2 = −13 . Таким образом, искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, получится из общего решения при найденных значениях произвольных постоянных:

Ответ:

y = 18 ⋅ e 2⋅ x − 13 ⋅ e 3⋅ x − 5 cos 3 x + sin 3 x .

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих независимую переменную, искомые функции и их производные. Например, в системе двух дифференциальных уравнений ⎧ a1 x ′ + b1 y ′ + c1 x + d1 y = f 1 (t ) (1) ⎨ ′ ′ + + + = ( ) a x b y c x d y f t ⎩ 2 2 2 2 2 dy dx x = x(t ), y = y (t ) искомые функции; x ′ = , y ′ = - производные dt dt этих функций по независимой переменной t, t – независимая переменная. Решить систему – значит найти функции x = x(t ), y = y (t ) , удовлетворяющие каждому уравнению системы. Система (1) называется линейной неоднородной системой первого порядка. Если в ней

15

f 1 (t ) = 0, f 2 (t ) = 0 , то система называется линейной однородной системой первого порядка. Если каждое уравнение системы содержит только одну производную, искомые функции и независимую переменную, то такая система называется нормальной. Она имеет вид:

⎧ x ′ + c1 x + d 1 y = f 1 (t ) (2) ⎨ ⎩ y ′ + c 2 x + d 2 y = f 2 (t ) Решение системы (2) сводится к решению одного дифференциального уравнения второго порядка относительно одной неизвестной функции. Покажем на примере, как это делается. Пример 6. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 1, y (0) = 1:

⎧ x′ + y ′ − 2x − y = 0 (3) ⎨ ′ ′ x 2 y 4 x 5 y 0 − + + = ⎩ Решение. Сначала систему (3) приведём к виду (2), т. е. к нормальной форме. Для этого нужно поочерёдно исключить из уравнений системы x ′ и y ′ . Умножив обе части 1-го уравнения на (–1) и сложив со вторым, исключим x ′ . Затем, умножая 1-ое уравнение на 2 и прибавляя ко 2-му, исключим y ′ . Получим: ⎧ − 3y′ + 6x + 6 y = 0 ⎨ ⎩ 3x ′ + 3 y = 0 ⎧ y′ − 2x − 2 y = 0 (4) или ⎨ ′ x y 0 + = ⎩ Выразим далее, например, y из 2-го уравнения системы (4): (5) y = − x′ , отсюда y ′ = − x ′′ . Подставим y, y ′ в 1-ое уравнение системы, будем иметь: x ′′ − 2 x ′ + 2 x = 0 . Решая это уравнение, получим: x = C1 ⋅ e t ⋅ cos t + C 2 ⋅ e t ⋅ sin t . Тем самым, одна из неизвестных функций найдена. Продифференцируем её: x ′ = e t ⋅ ((C1 + C 2 ) ⋅ cos t + (C 2 − C1 ) ⋅ sin t ) . Затем подставим x ′ в (5), откуда найдём y: y = − e t ⋅ ((C1 + C 2 ) ⋅ cos t + (C 2 − C1 ) ⋅ sin t ) .

16

Таким образом, пара функций x = C1 ⋅ e t ⋅ cos t + C 2 ⋅ e t ⋅ sin t , y = − e t ⋅ ((C1 + C 2 ) ⋅ cos t + (C 2 − C1 ) ⋅ sin t ) есть общее решение данной системы. Учитывая начальные условия, подставим в общее решение t = 0 , x = 1 , y = 1 . Получим систему алгебраических уравнений для определения C1 , C 2 : 1 = C1 ⎧ , ⎨ 1 = − ( + ) C C ⎩ 1 2 откуда C1 = 1 , C 2 = −2 . Таким образом, искомое частное решение: x = e t ⋅ cos t − 2e t ⋅ sin t , y = e t ⋅ (cos t − 3 ⋅ sin t ) .

5. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Будем называть функцию f (t ) действительной переменной t оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям: а) f (t ) и её производная на любом конечном интервале оси t имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода; б) f (t ) = 0 при t < 0; в) существуют такие положительные числа M и s 0 , что для всех t выполняется неравенство: | f (t ) |< Me s0t . Изображением функции-оригинала f (t ) будем называть функцию F ( p) комплексного переменного p = s + iτ , определяемую интегралом ∞

F ( p) =

∫ f (t ) ⋅ e

− pt

dt .

0

Операцию перехода от оригинала f (t ) к изображению F ( p) называют преобразованием Лапласа функции f (t ) и обозначают символически f (t ) = F ( p) или f (t ) ← F ( p ) , или F ( p) = L{ f (t ) }. Если функция f (t ) является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится при s > s 0 . В дальнейшем при записи функции–оригинала f (t ) будем иметь в виду, что эта запись соответствует t ≥ 0 , а при t<0 функция равна нулю. Необходимо выучить следующие основные формулы соответствия:

17

1) 1 =

1 , p

3) t n =

2) t = n!

p2

4) e λ ⋅t =

p n +1

ω

5) sin (ω ⋅ t ) =

7) sh (ω ⋅ t ) =

1

p2 + ω 2

ω p2 − ω 2

1 p−λ

6) cos (ω ⋅ t ) =

8) ch (ω ⋅ t ) =

p p2 + ω 2 p p2 − ω 2

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Пусть f (t ) = F ( p) , f 1 (t ) = F1 ( p ) , f 2 (t ) = F2 ( p ) . Тогда Теорема 1) линейности 2) подобия 3) смещения 4) запаздывания 5)дифференцирование изображения 6)дифференцирование оригинала 7)дифференцирование оригинала

Оригинал Af 1 (t ) + Bf 2 (t ) A, B=const f (λ t ), λ = const λt

e ⋅ f (t ), λ = const f ( t − τ ), τ – положит. число

Изображение AF1 ( p) + BF2 ( p)

1

λ

p F( )

λ

F ( p − λ) e − p τ ⋅ F ( p)

t n ⋅ f ( t)

( −1) n ⋅ F ( n ) ( p )

f ′(t )

p ⋅ F ( p ) − f ( 0)

f ′′(t )

p 2 F ( p ) − pf (0) − f ′(0)

Пример 7. Найти изображение функции f (t ) = e 2 t sin 5t − 4t 2 + 5 .

18

Решение.

Так

как

sin 5t =

5 p 2 + 25

,

то

по

теореме

смещения

1 . Используя теореp p3 ( p − 2) 2 + 25 5 8 5 му линейности, получаем: e 2t sin 5t − 4t 2 + 5 = . − + ( p − 2) 2 + 25 p 3 p 5

e 2t sin 5t =

. Кроме того, t 2 =

2!

, 1=

8. Найти оригинал по его изображению 2p − 4p + 8 . F ( p) = ( p − 2) 2 ( p 2 + 4) Решение. Разложив рациональную дробь F(p) на простейшие дроби и применяя затем формулы 3), 5), теорему линейности и теорему смещения, найдём 2p2 − 4p + 8 1 1 1 1 2 F ( p) = = + = + ⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 p + 4 ( p − 2) p +4 ( p − 2) ( p + 4) ( p − 2) Пример

2

= t e 2t +

1 sin 2t 2

1 ⋅ sin 2t . 2 Пример 9. Найти частное решение системы из примера 6 методом операционного исчисления. Ответ: f (t ) = t ⋅ e 2 t +

Решение. Так же, как описано в решении примера 6, приводим систему к нормальному виду: ⎧ y′ − 2x − 2 y = 0 ⎨ ⎩ x′ + y = 0 Будем предполагать, что искомые функции x(t) , y(t) и их производные являются оригиналами. Пусть x(t)=X(p); y(t)=Y(p). По теореме о дифференцировании оригинала будем иметь x ′(t ) = p ⋅ X − x (0); y ′(t ) = p ⋅ Y ( p ) − y (0) . Пользуясь свойством линейности изображений, перейдём в уравнениях системы к изображениям: ⎧ ( p ⋅ Y − 1) − 2 X − 2Y = 0 . ⎨ ⎩ ( p ⋅ X − 1) + Y = 0 Это алгебраическая система линейных уравнений, из которой найдём X и Y:

19

⎧ ( p − 2) ⋅ Y − 2 X = 1 , ⎨ ⎩ Y + p ⋅ X =1 p−3 p+2 , , или X = 2 Y= 2 p − 2p + 2 p − 2p + 2 Y=

p −1 ( p − 1) 2 + 1

+ 3⋅

1 ( p − 1) 2 + 1

,

X=

p −1 ( p − 1) 2 + 1

− 2⋅

1 ( p − 1) 2 + 1

.

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомое частное решение: Y ( p ) = y (t ) = e t ⋅ cos t − 3 ⋅ e t ⋅ sin t ; X ( p ) = x (t ) = e t ⋅ cos t − 2e t ⋅ sin t .

Ответ: y (t ) = e t ⋅ cos t − 3 ⋅ e t ⋅ sin t ;

x(t ) = e t ⋅ cos t − 2e t ⋅ sin t .

Методические указания к выполнению контрольной работы №6 по теме «Ряды»

1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел a1 , a 2 , a 3 , … a n , … Тогда выражение ∞

∑a

n

= a1 + a 2 + a 3 + … + a n + …

(1)

n =1

называется числовым рядом, а сами числа a1 , a 2 , a 3 , … a n , … членами ряда. Чтобы задать ряд, надо задать формулу n-го (общего) члена ряда a n = f (n) . Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается S n . n

Sn =

∑a

k

= a1 + a 2 + a 3 + … + a n

(2)

k =1

2. Если существует предел S бесконечной последовательности чисел S1 , S 2 , S 3 , … S n , … , то есть lim S n = S , (3) n→∞

20

то этот предел называется суммой ряда (1), а сам ряд (1) в этом случае называют сходящимся. Если же предел lim S n не существует, то ряд n→∞

(1) называют расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Однако, если lim S n = ±∞ , то иногда говорят, что ряд (1) имеет бесконечn →∞

ную сумму. 3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии ∞

∑a ⋅q

n

= a + aq + aq 2 + … + aq n −1 + …

(4)

n =0

есть сходящийся числовой ряд, если |q|<1. Сумма ряда (4) равна в этом случае a S= . 1− q В случае | q |≥ 1 ряд (4) расходится. 4. Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при n → ∞ , то есть lim a n = 0 . n →∞

5. Обратное утверждение неверно. Из того, что lim a n = 0 , сходимость n →∞

ряда (1) не следует. Для сходимости ряда общий член ряда должен не просто стремиться к нулю, но делать это достаточно быстро. Например, ряд ∞ 1 1 1 1 = 1 + + + … + + …, (5) n n 2 3 n =1

∑

называемый гармоническим, расходится, в то время как lim a n = 0 . n →∞

6. Если для ряда (1) lim a n ≠ 0 , то ряд (1) расходится. (Это следствие n →∞

из необходимого признака сходимости). 2. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ Рассмотрим числовые ряды с положительными членами: ∞

∑a n =1

n

= a1 + a 2 + a 3 + … + a n + …

(6)

21 ∞

∑b

n

= b1 + b2 + b3 + … + bn + …

(7)

n =1

7. Первый признак сравнения. Если, начиная с некоторого N для всех n ≥ N выполняется неравенство a n ≤ bn , то 1) ряд (6) сходится, если сходится ряд (7). 2) ряд (7) расходится, если расходится ряд (6). 8. Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел a lim n = A ≠ 0 , n →∞ bn то ряды (6) и (7) или оба сходятся или оба расходятся. При использовании признаков сравнения исследуемый ряд часто сравнивают или с бесконечной геометрической прогрессией или с гармоническим рядом. Можно сравнивать и с другими известными рядами. 9. Признак Даламбера. Пусть для ряда (6) с положительными членами существует конечный предел a lim n +1 = q . n →∞ a n Тогда: 1) ряд (6) сходится, если q<1; 2) ряд (6) расходится, если q>1; 3) в случае q=1 ряд (6) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым. 10. Признак Коши. Пусть для ряда (6) с положительными членами существует конечный предел

lim n a n = q

n →∞

Тогда: 1) ряд (6) сходится, если q<1; 2) ряд (6) расходится, если q>1; 3) в случае q=1 ряд (6) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым. 11. Интегральный признак . Если f(x) непрерывная невозрастающая функция при x>0, причём f ( n) = a n , то ряд (6) сходится или расходится одновременно с интегралом

22 ∞

∫ f ( x) ⋅ dx . 1

Замечание 1. Нижним пределом интегрирования может быть не 1, а любое другое положительное число α >1. Замечание 2. С помощью интегрального признака легко доказывается, ∞ 1 , называемый рядом Дирихле, сходится при p>1 и расчто ряд p n n =1 ходится при p≤1. Примеры Выяснить, сходятся или расходятся следующие ряды: 1 ∞ ∞ ∞ sin ln 2 n 3n n а) , в) , б) . n n n 2 n ! n =1 n =2 n =1

∑

∑

∑

∑

∞

Решение. а) Сравним данный ряд с рядом

∑n n =1

1 3/ 2

, который является

рядом Дирихле при p=3/2>1. Такой ряд сходится (см. Замечание 2). Применяем второй признак сравнения и используем первый замечательный предел sin α ~α при α→0:

1 1 a n : 1 ) = lim ( n : 1 ) = 1 . lim n = lim ( n → ∞ bn n →∞ n →∞ n n3/ 2 n n3/ 2 По второму признаку сравнения из сходимости ряда Дирихле следует сходимость данного ряда. ∞ ln 2 n исследуем с помощью интегрального признака. Соб) Ряд n n =2 sin

∑

ln 2 x ставим функцию f ( x) = и вычислим интеграл x ∞

∫ 2

∞

∞

2

2

ln 2 x ln 3 x ∞ ln 3 x ln 3 2 2 f ( x) ⋅ dx = ⋅ dx = ln x ⋅ d (ln x) = = lim − =∞ x 3 2 x →∞ 3 3

∫

∫

Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.

23 ∞

∑2

в) Ряд an =

3n

3

n =1 n

2 n n!

n

n!

исследуем с помощью признака Даламбера.

, a n +1 =

3 n +1 2 n +1 (n + 1)!

. Применяем признак Даламбера:

a n +1 1 3 n +1 ⋅ 2 n n! 3 = lim n +1 = ⋅ = 0. lim lim n →∞ a n n →∞ 2 (n + 1)! ⋅ 3 n 2 n→∞ n + 1 Получили q=0<1. По признаку Даламбера ряд сходится. 3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Числовой ряд, содержащий как положительные так и отрицательные члены, называется знакопеременным. ∞

12. Пусть ряд

∑a

n

= a1 + a 2 + a 3 + … + a n + …

(8)

n =1

является знакопеременным. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: ∞

∑| a

n

|=| a1 | + | a 2 | + | a 3 | + … + | a n | + …

(9)

n =1

Если ряд (9) сходится, то и ряд (8) тоже сходится. Ряд (8) при этом называется абсолютно сходящимся. 13. Если ряд (9) расходится, то из этого не следует, что и (8) расходится, ряд (8) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Возможен случай, когда ряд (8) сходится, а (9) расходится. Тогда ряд (8) называется условно (неабсолютно) сходящимся. 14. Знакопеременный ряд вида ∞

∑ (−1)

n +1

a n = a1 − a 2 + a 3 − … + (−1) n +1 a n + … ,

( a n > 0)

n =1

называется знакочередующимся. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, начиная с некоторого номера N, 1)монотонно убывают по абсолютной величине a N > a N +1 > a N + 2 > …… и 2) стремятся к нулю lim a n = 0 , n →∞

24

то ряд сходится, сумма его положительна и не превышает первого члена ряда. 15. При замене суммы S ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, суммой его первых n членов ( S n ) абсолютная величина совершённой ошибки | rn |=| S − S n | не превышает абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда: | rn |=| S − S n |≤ a n +1 .

Пример. Ряд ∞ (−1) n +1 (−1) n +1 1 1 =1− + −…+ + … , называемый рядом Лейбница, 2 3 n n n =1 сходится по признаку Лейбница. В то же время, ряд, составленный из абсолютных величин его членов, ∞ 1 1 1 1 = 1 + + + … + + … расходится (гармонический ряд). n n 2 3 n =1 Таким образом, ряд Лейбница - условно (неабсолютно) сходящийся ряд.

∑ ∑

4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 16. Ряд ∞

∑u

n ( x)

= u1 ( x) + u 2 ( x) + … + u n ( x) + ...

n =1

называется функциональным, если его члены являются функциями от x. Совокупность всех значений х, при которых этот ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости сумма функционального ряда S(x) есть функция от х. 17. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ∞

∑u

∞

n ( x)

=

n =0

∑a

n (x

− a ) n = a 0 + a1 ( x − a ) + ... + a n ( x − a ) n + ... ,

(1)

n =0

где a n (n = 0, 1, …) – числа, называемые коэффициентами ряда. При a = 0 ряд принимает вид ∞

∑a

nx

n

= a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n + ...

(2)

n =0

18. Область сходимости степенного ряда (2) есть симметричный относительно начала координат O интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости ряда (2). Число R (0 ≤ R < +∞) называется радиусом сходимости ряда (2).

25

Радиус сходимости может быть вычислен по формулам a R = lim n n →∞ a n +1

(3)

или

R = lim

1

(4) | an | Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (2) расходится. При x = –R или x = R ряд (2) может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно. n →∞ n

19. Степенной ряд (1) сходится абсолютно на интервале (a–R; a+R). 20. Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда есть непрерывная функция. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда. Пример. Найти интервал сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда в концах интервала: ∞ 3n x n . n n =1 Решение. Применим формулу (3) для нахождения радиуса сходимости. 3 n +1 3n a n +1 = При этом a n = , . n +1 n an 3 n (n + 1) 1 = = lim . R = lim n →∞ n 3 n +1 n →∞ a n +1 3

∑

1 1 Таким образом, ряд сходится абсолютно внутри интервала (− ; ) и 3 3 1 1 расходится вне этого интервала. Исследуем точки x = и x = − : 3 3 ∞ ∞ 1 1 3n . Это гармонический ряд, При x = ряд принимает вид = n 3 n n =1 n 3 n =1 известно, что он расходится. ∞ ∞ 3 n (−1) n (−1) n 1 . Это ряд ЛейбПри x = − ряд принимает вид = n 3 n n 3 n =1 n =1 ница, он сходится условно (см. 15.).

∑

∑

∑

∑

26

1 1 Следовательно, область сходимости данного ряда [− ; ) . 3 3 5. РЯД ТЕЙЛОРА 21. Формула Тейлора. Пусть функция f (x) имеет на некотором отрезке непрерывные производные до (n+1)-го порядка включительно, а точка a находится внутри этого отрезка. Тогда для любого x из этого отрезка имеет место формула Тейлора: f ′(a ) f ( n) (a) f ( x) = f (a) + ( x − a) + ... + ( x − a ) n + R n ( x) , (1) 1! n! где остаточный член Rn (x) может быть записан в виде f ( n +1) (c) Rn ( x) = ( x − a ) n +1 (2) (n + 1) ! (форма Лагранжа), причём c лежит между a и x. 22. Если функция f (x) имеет производные всех порядков на некотором отрезке, содержащем внутри себя точку x = a, и выполняется условие lim Rn ( x) = 0 (3) n →∞

для всех x из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является суммой степенного ряда: f ′(a ) f ( n) (a) f ( x) = f (a ) + ( x − a ) + ... + ( x − a ) n + ... (4) 1! n! Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции. Говорят, что функция разложена в ряд Тейлора на этом отрезке. В случае a = 0 ряд Тейлора принимает вид f ′(0) f ( n ) ( 0) n f ( x ) = f ( 0) + x + ... + x + ... (5) 1! n! Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции. 23. При разложении функций в степенные ряды часто используются разложения в ряд Маклорена следующих функций: ∞ xn x x2 xn x (−∞ < x < +∞) e = =1+ + + ... + + ... (6) n n ! 1 ! 2 ! ! n =0

∑

∞

sin x =

∑ (−1) n =1

n +1

x 2 n −1 x3 x5 =x− + − ... (2n − 1) ! 3! 5 !

(−∞ < x < +∞)

(7)

27 ∞

x 2n x2 x4 cos x = (−1) =1− + − ... ( 2 ) ! 2 ! 4 ! n n =0

∑

n

∞

(−∞ < x < +∞)

(8)

xn x2 x3 ln (1 + x) = (−1) =x− + − ... (9) (−1 < x ≤ 1) 2 3 n n =1 m(m − 1) 2 m(m − 1)...(m − n + 1) n m (1 + x) m = 1 + x + x + ... + x + ... 1! 2! n! (10) (−1 < x < 1) 1 = 1 + x + x 2 + ... + x n + ... (−1 < x < 1) (11) 1− x 1 = 1 − x + x 2 − ... + (−1) n x n + ... (−1 < x < 1) (12) 1+ x В скобках указаны промежутки, на которых верны указанные разложения.

∑

n −1

1/ 4

Пример 1. Вычислить интеграл

∫

2

e − x ⋅ dx с точностью 10 −4 .

0

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в основное разложение (6) подставим ( − x 2 ) вместо x: 2 x2 x4 x 2n e −x = 1 − + − ... + (−1) n + ... (−∞ < x < ∞) . n! 1! 2 ! Этот ряд можно интегрировать в любых конечных пределах, т. е. 1/ 4

∫e 0 ∞

− x2

1/ 4 ∞

⋅ dx

x 2n (−1) ⋅ dx ! n n =0

∫∑

=

0

n

∞

=

(−1) n n! n=0

∑

1/ 4

∫x

2n

⋅ dx

=

0

⎛x ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟= − + − ... ⎜ 2n + 1 ⎟ 4 1!⋅ 3 ⋅ 4 3 2 !⋅ 5 ⋅ 4 5 0 ⎠ ⎝ Полученный числовой ряд есть ряд знакочередующийся, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Следовательно, чтобы вычислить интеграл с точностью 10 −4 , достаточно взять всего два члена ряда, при этом ошибка будет меньше 3-го члена: 1 1 = < 10 − 4 . 5 10240 2 !⋅ 5 ⋅ 4 Таким образом, с требуемой точностью (−1) n! n =0

∑

n

2 n +1 1 / 4

1/ 4

∫ 0

2

e − x ⋅ dx ≈

1 1 1 1 − − ≈ 0,2448. = 4 192 4 1!⋅ 3 ⋅ 4 3

28

Пример 2. Найти первые 4 члена разложения в ряд решения уравнения y ′ = x 2 + y 2 , удовлетворяющее начальному условию y=1/2 при x=0. Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена y ′(0) y ′′(0) 2 y ′′′(0) 3 y ( x) = y (0) + x+ x + x + …. 1! 2! 3! Найдём выражения для трёх последовательных производных, дифференцируя данное уравнение: y′ = x 2 + y 2 , y ′′′ = 2 + 2 ( y ′) 2 + 2 y y ′′ . y ′′ = 2 x + 2 y y ′ , Вычислим значения этих производных при x=0, принимая во внимание начальное условие: 2 1 1 1 1⎞ 1 ⎛ 2 y ′′(0) = 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ ⋅ = , y ′(0) = 0 + ⎜ ⎟ = , 2 4 4 4 ⎝2⎠ 2

1 1 19 ⎛1⎞ y ′′′(0) = 2 + 2 ⎜ ⎟ + 2 ⋅ ⋅ = . 2 4 8 ⎝4⎠ Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем ответ

y ( x) =

1 1 1 19 3 x + …. + x + x2 + 2 4 8 48 6. РЯДЫ ФУРЬЕ

24. Рядом Фурье функции f(x), определённой на отрезке [-l, l], называется ряд ∞ a0 π nx π nx + (a n cos + bn sin ), (1) l l 2 n =1 коэффициенты которого определяются по формулам:

∑

1 a0 = l bn =

1 l

l

∫

f ( x) ⋅ dx ;

∫

f ( x) ⋅ sin

−l l

−l

1 an = l

π nx l

dx ;

a При этом пишут f ( x) ~ 0 + 2

l

∫

f ( x) ⋅ cos

−l

(n=1,2,3,……..) ∞

∑ (a n =1

n

cos

π nx l

+ bn sin

π nx l (2)

π nx l

)

(3)

dx ;

29

В формуле (3) вместо знака соответствия ~ ставят знак равенства, если функция f(x) удовлетворяет определённым условиям (см. 25). 25. Теорема Дирихле. Если функция f(x) на отрезке [-l, l] имеет конечное число экстремумов и является непрерывной, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, то её ряд Фурье сходится во всех точках отрезка [-l, l]. Если S(x) – сумма ряда Фурье функции f(x), то во всех точках непрерывности этой функции S(x)=f(x), а во всех точках разрыва 1 S(x)= ( f ( x − 0) + f ( x + 0)) . 2 26. Нетрудно видеть, что сумма ряда Фурье есть периодическая функция с периодом 2l. Пример. Разложить в ряд Фурье в интервале (-π‚π) функцию π −x f ( x) = . 2 Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на отрезке [-π‚π]. Формула (3) при l=π принимает вид ∞ a0 f ( x) = + (a n cos nx + bn sin nx) , 2 n =1 где коэффициенты a 0 , a n , bn вычисляются по формулам (2) при l=π:

∑

a0 =

an =

1

π 1

π

⎡ (π ⎢ ⎢ ⎣ 1 ⎡ (π ⎢ 2π ⎣⎢

1 2π

π

1

π

∫π f ( x) ⋅ dx = π ∫π

−

π −x

−

π

∫π

f ( x) ⋅ cos nx dx =

−

2 1

π

π

∫π

−

⎛ x x2 ⎞ π ⎟ ⋅ dx = ⎜⎜ − ⎟−π =π . 2 4 π ⎝ ⎠

π −x 2

⋅ cos nx dx =

⎤ 1 sin nx ⋅ dx ⎥ = n ⎥ −π ⎦ π π ⎤ − x) 1 − 2 cos nx sin nx ⎥ =0, т.к. sin πx=0, cos πx=cos (-πx). −π n − π ⎦⎥ n

π − x) + sin nx −π n

π

∫

Теперь вычислим коэффициенты bn =

1

π

π

∫π f ( x) ⋅ sin nxdx =

−

30

=

1

π

π

∫

−π

π −x 2

1 ⋅ sin nx dx = 2π

π ⎡ − (π − x) ⎤ π 1 ⎢ cos nx cos nx dx ⎥ = − −π n n ⎢⎣ ⎥⎦ −π

∫

π π ⎤ 1 ⎡ 2π 1 ⎡ − (π − x ) 1 ⎤ cos ( − n ) = π − cos nx sin nx ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ = − π n2 − π ⎦ 2π ⎣ n 2π ⎣ n n ⎡1 ⎤ (−1) . = ⎢ cos (πn)⎥ = n ⎣n ⎦ Ответ: f ( x) =

π 2

∞

+

∑ n =1

(−1) n sin nx . n

Методические указания к выполнению контрольной работы №7 по теме теория вероятностей и математическая статистика.

В учебнике [2] списка литературы содержатся необходимые указания по изучению темы «Теория вероятностей и математическая статистика». См. также подробное решение примерного варианта контрольной работы по теории вероятностей и математической статистике.

31

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5 Дифференциальные уравнения Внимание Студенты специальности 160903 (М) должны выполнить задания 1, 2, 3, 4, 5. Студенты специальности 160901 (РС) и 160905 (АК) должны выполнить задания 1, 2, 3, 4, 5, 6. Замечание. Перед решением задач 1-6 контрольной работы №5 полезно воспользоваться теоретическими и практическими рекомендациями, приведенными в книге [1]. Задание 1. стр.330-332; Задание 2. стр.332-337; Задание 3. стр.346-349; Задание 4. стр.354-362; Задание 5. стр. 367-369 (спец. М) и стр. 594-598 (спец. РС и АК) Задание 6. стр. 572-590 (спец. РС и АК)

ЗАДАНИЕ 1 Решить дифференциальное уравнение, построить интегральные кривые, выделить на рисунке кривую, проходящую через точку М (0; -1), записать уравнение этой кривой. 1.1

( x + 4) ⋅ dy − ( y − 2) ⋅ dx = 0

1.2 ( x − 1) ⋅ dy − 2( y − 2) ⋅ dx = 0 1.3 dy − 3( x − 1) 2 ⋅ dx = 0 1.4 3( y + 1) ⋅ dx − (1 + x) ⋅ dy = 0 1.5 dy − 2( x + 1) ⋅ dx = 0 1.6 ( y − 1) ⋅ dy + ( x + 2) ⋅ dx = 0 1.7 y ⋅ dy − x ⋅ dx = 0 1.8 ctg x ⋅ dy + y ⋅ dx = 0

32

1.9 ( y + 3) ⋅ dx − ( x − 2) ⋅ dy = 0 1.10 y ⋅ dy + 2 x ⋅ dx = 0 ЗАДАНИЕ 2 Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциальных уравнений а) и б): 2.1 а) x ⋅ y ′ − y = x ⋅ tg

y x

б) y ′ ⋅ cos x + y ⋅ sin x = 1

2.2 а) x ⋅ dy − y ⋅ dx = y ⋅ dy

б) x ⋅ y ′ + ( x + 1) ⋅ y = 3 x 2 ⋅ e − x

2.3 а) x ⋅ y ⋅ y ′ = y 2 + x 2

б) y ′ − y ⋅ ctg x = sin 2 x

2.4 а) x ⋅ y ′ = y +

y x⋅ex

2.5 а) x ⋅ y ′ = 3 y (ln y − ln x)

2.6 а) y ′ =

y x + x 4y

б) y ′ + 2 ⋅ x ⋅ y = x ⋅ e − x б) x 2 ⋅ y ′ = 2 ⋅ x ⋅ y + 3

б) x ⋅ ( y ′ − y ) = e x

2

2.7 а) y 2 = 2 ⋅ x ⋅ y − x 2 ⋅ y ′

б) x ⋅ y ′ − 2 y = x 4 ⋅ e x

2.8 а) x ⋅ y ′ = y ⋅ (1 + ln y − ln x)

б) y ′ + y ⋅ ctg x = cos x

2.9 а) 2 x 2 ⋅ y ′ = x 2 + y 2

б) y ′ − 2 ⋅ x ⋅ y = 2 x ⋅ e x

2.10 а) (4 x − 3 y ) dx + (2 y − 3 x) dy = 0

2

б) x ⋅ y ′ − y = x ⋅ ln x

2

33

ЗАДАНИЕ 3 Найти общее решение дифференциального уравнения: 3.1 а) x ⋅ y ′′ + 7 y ′ + x = 0

б) 2 ⋅ ( y ′) 2 = y ′′( y − 1)

3.2 а) x ⋅ y ′′ + y ′ = 0

б) (1 + y ) ⋅ y ′′ = ( y ′) 2

3.3 а) (1 + x 2 ) ⋅ y ′′ − 2 ⋅ x ⋅ y ′ = 2 x

б) y ⋅ y ′′ + ( y ′) 2 = ( y ′) 3

3.4 а) x ⋅ y ′′ + 2 y ′ = x 2

б) 3 y ′(1 + ( y ′) 2 ) = y ′′

3.5 а) x ⋅ y ′′ ⋅ ln x = y ′

б) y ⋅ y ′′ + 3( y ′) 2 = 0

3.6 а) x ⋅ y ′′ = 2 y ′ + x 3

б) y ′′ = −2 ⋅ y ⋅ ( y ′) 3

3.7 а) x 3 ⋅ y ′′ + x 2 y ′ = 1

б) y 3 ⋅ y ′′ = −2

3.8 а) x 2 ⋅ y ′′ − ( y ′) 2 = 0

б) y ⋅ y ′′ = y 2 y ′ + ( y ′) 2

3.9 а) x ⋅ y ′′ − y ′ − x 2 = 0

б) y ⋅ y ′′ + ( y ′) 2 = 1

3.10 а) x ⋅ y ′′ + y ′ = 4 x x

б) y ′′ = y

ЗАДАНИЕ 4 Найти частное решение дифференциального уравнения y ′′ + p ⋅ y ′ + q ⋅ y = f (x) , удовлетворяющее начальным условиям y (0) = a 0 ; y ′(0) = a1 . 4.1 y ′′ + y = 4 ⋅ e x ;

y (0) = 4,

4.2 y ′′ − 2 ⋅ y ′ = 2 ⋅ e x ;

y (0) = −1,

4.3 y ′′ + 2 ⋅ y ′ + 2 y = x ⋅ e − x ; 4.4 y ′′ − 4 ⋅ y ′ = 8 ⋅ x + 4;

y ′(0) = −3. y ′(0) = 4 ,

y (0) = 0,

y (0) = 2,

y ′(0) = 0 ,

y ′(0) = 0 ,

34

4.5 y ′′ − 4 ⋅ y ′ + 4 y = 5 ⋅ e −3 x ;

4.6 y ′′ − 4 ⋅ y = sin 2 x − 2 ⋅ cos 2 x; 4.7 y ′′ + 3 ⋅ y ′ − 4 y = 5 ⋅ e 2 x ;

y ′(0) = 0 ,

y (0) = 2,

y (0) = 0,

y ′(0) = 0 ,

1 y ( 0) = − , 6

1 y ′(0) = − , 3

y (0) = 0,

y ′(0) = 0,75 ,

4.8 y ′′ + 4 ⋅ y = (6 x + 5) ⋅ e −2 x ;

4.9 y ′′ − 2 ⋅ y ′ + 10 y = 74 ⋅ sin 3 x; 4.10 y ′′ − 3 ⋅ y ′ + 2 y = 10 ⋅ sin x;

y (0) = 6,

y ′(0) = 3 ,

y ′(0) = 4 .

y (0) = 5,

ЗАДАНИЕ 5 Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Внимание. Студентам специальности 160903 (М) решить систему методом исключения. Студентам специальностей 160901 (РС) и 160905 (АК) решить систему методом операционного исчисления.

⎧ dy dx ⎪ dt + dt − 2 x = 0 x(0) = 0; 5.1 ⎨ dy dx ⎪ − − 2 y − 8x = 0 ⎩ dt dt ⎧ dy dx ⎪ dt + dt + x + 4 y = 0 5.2 ⎨ dy dx ⎪ − 2 + 4 y − 2x = 0 dt ⎩ dt ⎧ dy dx ⎪5 dt + dt + 37 y = 0 5.3 ⎨ dy dx ⎪ 2 − 7 − 37 x = 0 dt ⎩ dt

y (0) = 1

x(0) = 2;

x(0) = 3;

y (0) = 1

y (0) = 2

35

⎧ dy dx ⎪ dt − dt + 4 y = 0 5.4 ⎨ dy dx ⎪ + 3 + 4x = 0 dt ⎩ dt

x(0) = 2;

y (0) = 3

dx ⎧ dy − 2 + x − 3y = 0 ⎪ dt dt 5.5 ⎨ dy dx ⎪ + 2 − 3x + 5 y = 0 dt ⎩ dt

x(0) = 2;

y (0) = −1

⎧ dx dy ⎪ dt + dt + 4 y + 4 x = 0 5.6 ⎨ dy dx ⎪ + 5 + 28 y = 0 dt ⎩ dt

x(0) = 1;

y (0) = 2

⎧ dx dy ⎪ dt + dt + 3x = 0 5.7 ⎨ dy dx ⎪ + 3 + 11x − 2 y = 0 dt ⎩ dt

x(0) = −1;

⎧ dx dy ⎪4 dt − dt − 5 x = 0 5.8 ⎨ dx dy ⎪ + − 5x − 5 y = 0 ⎩ dt dt

x(0) = 3;

y (0) = 5

y (0) = 1

⎧ dx dy ⎪ dt + dt − 9 y = 0 5.9 ⎨ dy dx ⎪ + 2 − x − 10 y = 0 dt ⎩ dt

x(0) = 2;

y (0) = 1

⎧ dx dy ⎪2 dt + dt − 5 y = 0 5.10 ⎨ dy dx ⎪ − 3 + 5x = 0 dt ⎩ dt

x(0) = 1;

y (0) = 1

36

ЗАДАНИЕ 6 Задание а): Найти изображение по данному оригиналу. Задание б): Найти оригинал по данному изображению. 7.1 а) f (t ) = 3t ⋅ cos 2t − e 2t ⋅ sh 3t

б) F ( p ) =

7.2 а) f (t ) = 5 t 5 − e 3t ⋅ sin 6 t

б) F ( p) =

7.3 а) f (t ) = e 5t ⋅ sin 7t − 3e −t ⋅ t 2

б) F ( p) =

7.5 а) f (t ) = (t 3 − 3) ⋅ e 2t + 2e −t ⋅ sin 3 t

б) F ( p ) =

б) F ( p) =

( p 2 + 1) ( p 2 + 4)

p ( p 3 + 1)

1 p3 + p2 + p

( p − 1) ( p 2 − 4 p + 5)

б) F ( p) =

7.8 а) f (t ) = t ⋅ e t − t 2 + 3 e −2t ⋅ sin 3t

б) F ( p ) =

б) F ( p) =

б) F ( p) =

1

2− p

7.7 а) f (t ) = (t 4 + 1) ⋅ e 3t + e −t ⋅ cos 2 t

7.10 а) f (t ) = sh 2 t − 2 + 5t ⋅ cos 2 t

p

( p + 1) ( p 2 − 2 p + 5)

б) F ( p ) =

7.9 а) f (t ) = (t 3 − 3) ⋅ e 2t + 5e 3t ⋅ sin 3t

p3 − 8

p+5

7.4 а) f (t ) = 3 e 2t ⋅ cos 3 t + 3 t 3 + 2 t 2 + 1

t 7.6 а) f (t ) = ⋅ ch 3 t + e 5t ⋅ sin t 3

2

2p ( p 2 + 1) ( p 2 +2) 2− p p3 − 2 p2 + 5 p

2 ( p + 1) ( p 2 + 2 p + 2) 3p − 2

( p − 1) ( p 2 − 6 p + 10)

37

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6 Ряды ЗАДАНИЕ 1

∞

∑a

Исследовать сходимость числового ряда 1 n

б) a n = 1 − cos

en 3n + 1

1.3 а) a n =

1.4 а) a n =

б) a n = tg

n3

1.2 a) a n =

б) a n =

n ⋅ 2n

n!⋅ n

б) a n =

3n

б) a n =

(1,01) n (n + 1) 2

1⎞ ⎛ 1.7 а) a n = ⎜1 − ⎟ n⎠ ⎝

(3n)! n!

1.10 а) a n =

3n ⋅ n ! nn

б) a n =

n

б) a n =

б) a n =

n

(n + 1) ⋅ ln 2 (n + 1)

1 (n 2 + 1) 2 / 3

n +1 2n 2 + 3n + 2 1 2

n ⋅ arctg n

n2

2n − 1 ⎛ 3 ⎞ 1.8 а) a n = ⋅⎜ ⎟ 3n + 1 ⎝ 2 ⎠

1.9 а) a n =

б) a n =

1

1

2

en 1.5 а) a n = n! 1.6 а) a n =

.

n =1

n + 1 −n ⋅2 n

1.1 a) a n =

n

1 (n 2 + 1) ⋅ arctg 1 n ⋅ ln(n + 1)

n 2 + 2n n 3 + 3n 2 + 1

б) a n = cos

1 n2 + 1

1 n

38

ЗАДАНИЕ 2 Найти интервал сходимости степенного ряда

∞

∑a

nx

n

. Исследовать

n =1

сходимость на концах интервала.

3n

2.1

an =

2.3

an =

2.5

a n = sin 2

2.7

2.9

an =

an =

n n +1 ln (n + 2) n 1 n

9n n2 + 1 1

2.2

(−1) n an = (2n − 1)(n + 1)!

2.4

an =

2.6

an =

2.8

⎛π ⎞ a n = 2 n ⋅ tg ⎜ ⎟ ⎝ 3n ⎠

2.10 a n =

2

n ln( n + 1)

n! (2n)! (−1) n (2n + 3) n + 1

5n 2n

ЗАДАНИЕ 3 b

Вычислить определённый интеграл

∫ f ( x) dx

с точностью до 0,001,

0

разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и затем интегрируя его почленно. 3.1 3.2 3.3

f ( x) = x 2 ⋅ e − x ,

b = 0,5.

ln (1 + x 2 ) , b = 0,5. f ( x) = x sin x , b = 0,5. f ( x) = x

3.4

f ( x) = x ⋅ cos x ,

3.5

f ( x) = ln (1 + x) ,

b = 1.

b = 0,25.

39

−

x2 2

3.6

f ( x) = e

b = 1.

3.7

f ( x) =

3.8

f ( x) = x ⋅ arctg

3.9

f ( x) =

,

1 1+ x

2

,

b = 0,5.

x , 2

b = 0,5.

1 x ⋅ arctg , x 4

b = 0,5.

3.10 f ( x ) = x ⋅ ln (1 + x 2 ),

b = 0,5.

ЗАДАНИЕ 4 Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд частного решения y = y (x) дифференциального уравнения y ′ = f ( x; y ) , удовлетворяющего начальному условию y (0) = y 0 . 4.1

y ′ = 2 cos x − xy 2 ;

4.3 y ′ = xy + e y ;

4.9 y ′ = sin x +

y ( 0) = 0.

y ( 0) = 0.

1 2 y ; 2

4.2 y ′ = x + x 2 + y 2 ; 4.4 y ′ = 2 x + cos y;

y ( 0) = 0.

4.5 y ′ = 3 + x − sin y; 4.7 y ′ = e x − 2 y 2 ;

y ( 0) = 1 .

y (0) = −1.

2

4.6 y ′ = 4 y 2 + e x ;

y ( 0) = 1 . y ( 0) = 0.

y ( 0) = 1.

4.8 y ′ = 3 y − xy 2 ;

y ( 0) = 1.

4.10 y ′ = 5e x + x y;

y ( 0) = 0.

ЗАДАНИЕ 5 Разложить данную функцию f (x) в ряд Фурье в указанном интервале (a; b). 5.1 f ( x) =| x | −1

в интервале (-1; 1).

40

5.2 f ( x) = x + 4

в интервале (-2; 2).

⎧0, − 3 < x < 0, 5.3 f ( x) = ⎨ ⎩ x, 0 ≤ x < 3.

в интервале (-3; 3).

5.4 f ( x) = x 2

в интервале (-π;π).

⎧− x, − 1 < x < 0, 5.5 f ( x) = ⎨ 0 ≤ x < 1. ⎩ 0,

в интервале (-1; 1).

5.6 f ( x) = 2 x + 3

в интервале (-π;π).

− π < x < 0, ⎧ π, 5.7 f ( x) = ⎨ ⎩π − x, 0 ≤ x < π .

в интервале (-π;π).

5.8 f ( x) =| x | +1

в интервале (-π;π).

⎧1, − π < x < 0, 5.9 f ( x) = ⎨ ⎩3, 0 ≤ x < π .

в интервале (-2;2).

− π < x < 0, ⎧⎪ 0, 5.10 f ( x) = ⎨ 1 ⎪⎩ 4 π x, 0 ≤ x < π .

в интервале (-π;π).

41

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №6 1. Исследовать сходимость числового ряда: ∞

2n ; ∑ n +1 (n + 1) n =1 5

a)

b)

∞

∑ n =1

2. Найти интервала сходимости степенного ряда

n n +n+2 n 4 + 2n + 2 (−1) n

∞

∑3 n =1

n

n +4 3

x n . Ис-

следовать сходимость на концах интервала. 0,5

sin x dx с точностью до 0,001, x 0

∫

3. Вычислить определенный интеграл

разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и затем интегрируя его почленно. 4. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд частного решения y = y (x) дифференциального уравнения y ′ = x 2 y + y 3 , удовлетворяющего начальному условию y (0) = 1. ⎧− 2 x; − π < x ≤ 0 в ряд Фурье в 0< x<π ⎩ 3x;

5. Разложить данную функцию f ( x) = ⎨ промежутке (-π: π).

ПРИВЕДЕМ РЕШЕНИЕ ЭТИХ ЗАДАЧ ЗАДАНИЕ 1 Для решения задания надо знать: понятие числового ряда, определение сходящегося и расходящегося числового ряда, достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов [1; гл.13, § 59, 60]. В данном пособии см. стр. 19 –23. Решение. а) Исследуем ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Преобразуем выражение: an +1 n + 1 2n +1 5n +1 2 ⎛ 1 + 1 n ⎞ 2n +1 2n ⎟. : n +1 = ( n +1) +1 = ⋅ ⋅ = ⋅⎜ an 5 ⋅ ((n + 1) + 1) 5 (n + 1) n + 2 2n 5n + 2 5 ⎜⎝ 1 + 2 n ⎟⎠

Так как

2 ⎛ 1+1 n ⎞ 2 1 2 a ⎟⎟ = < 1, т.е. lim n +1 < 1. → 0 и → 0 при n → ∞, то lim ⎜⎜ n → ∞ → ∞ n 5 ⎝1+ 2 n ⎠ 5 an n n

Значит, исходный ряд сходится о признаку Даламбера.

42

b) Исследуем ряд на сходимость, применяя второй признак сравнения рядов. Числитель n n + n + 2 ~ n n при n → ∞, т.к. lim n →∞

1 2 n n +n+2 = lim(1 + + ) =1 n → ∞ n n n n n

Знаменатель n 4 + 2n + 3 ~ n 4 = n 2 при n → ∞, т.к. lim n →∞

n 4 + 2n + 3 n

4

= lim 1 + n →∞

2 3 + 4 = 1. 3 n n

Таким образом, (n n + n + 2) : n n n n +n+2 n n : 2 = lim = 1, т.е. 4 n →∞ n + 2n + 3 n n 4 + 2n + 3 : n 2

lim n →∞

n n +n+2 n + 2n + 3 4

~

n n 1 = 1 2 при n → ∞. 2 n n

По второму признаку сравнения исходный ряд и ряд

∞

n =1

или расходятся одновременно. Ряд

∞

1

∑n n =1

12

1

∑n

12

сходятся

является рядом Дирихле при

p = 0,5 < 1. Такой ряд расходится, а значит расходится и исходный ряд.

ЗАДАНИЕ 2 Для решения задания надо знать: понятие степенного ряда; его интервала, области и радиуса сходимости; достаточные условия сходимости знакопостоянных рядов; признак Лейбница [1; гл. 14, § 60, 61]. В данном пособии см. стр. 24-26. Решение. Применим формулу R = lim n →∞ степенного ряда

∞

∑a x n =0

При этом an =

n

n

(−1) n 3n n 3 + 4

an для определения радиуса сходимости an+1

.

; an+1 =

(−1) n+1 3n+1 (n + 1) 3 + 4

;

43

(−1) n

R = lim

(−1) n +1

:

3n n3 + 4 3n +1 (n + 1)3 + 4

n→∞

= lim 3 ⋅ n →∞

(n + 1)3 + 4 (1 + 1 n)3 + 4 n3 = 3 lim = 3. n →∞ 1 + 4 n3 n3 + 4

Таким образом, ряд сходится абсолютно внутри интервала (-3; 3) и расходится вне этого интервала. Исследуем точки x=-3 и x=3. При x=-3 ряд принимает вид: ∞

(−1) n (−3) n

∑3

n

n =0

⋅ n3 + 4

∞

(−1) 2 n 3n

n =0

3n n 3 + 4

=∑

∞

=∑ n =0

1 n3 + 4

.

Это знакоположительный ряд. Сравним его со сходящимся рядом Ди∞

1

∑n

рихле

n =0

32

. Применяем второй признак сравнения:

1 1 n3 = = lim = 1. lim 3 2 3 n ←∞ n + 4 n→∞ 1 + 4 n 3 n3 + 4 n 1

lim n→∞

:

Из сходимости ряда Дирихле следует сходимость данного ряда. При x=3 ряд принимает вид: ∞

∑3

(−1) n ⋅ 3n

n =0

n

⋅ n3 + 4

(−1) n

∞

=∑

n3 + 4

n =0

.

Это знакочередующийся ряд. Можно доказать его сходимость, воспользовавшись признаком Лейбница. Но проще рассмотреть ряд из модулей: ∞

∑ n =0

(−1) n n +4 3

∞

=∑ n =0

1 n +4 3

.

Сходимость этого ряда уже доказана. А тогда и ряд

∞

∑ n =0

(−1) n n3 + 4

сходится.

Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда – отрезок [-3; 3]. ЗАДАНИЕ 3 Для решения задания надо знать: разложение функции в степенные ряды; оценка остатка ряда Лейбница; свойство почленного интегрирования степенного ряда [1; гл. 14, § 64, 65.2, 63.3, гл.13. § 61.1]. В данном пособии см. стр. 26-28.

44

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, используя основное разложение в ряд функции y = sin x : ∞ sin x 1 (−1) n x 2 n x3 x5 x7 x2 x4 x6 . = ( x − + − + …) = 1 − + − + … = ∑ 3! 5! 7! 3! 5! 7! x x n =0 ( 2n + 1)!

Этот ряд сходится на всей числовой оси и его можно интегрировать в любых конечных пределах, т.е. 0?5

∫ 0

sin x dx = x

1

∞ ⎛ 0,5 2 ⎛ ∞ (−1) n x 2 n ⎞ (−1) n x 2 n ⎞ ∞ (−1) n x 2 n +1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = dx = dx = ∑ ∫0 ⎜⎝ ∑ ⎟ ⎜∫ ⎟ ∑ n = 0 ( 2n + 1)! ⎠ n = 0 ⎝ 0 ( 2n + 1)! ⎠ n =0 (2n + 1)!(2n + 1) 0

0 ,5

(−1) n 1 1 1 = − 3 + 5 − …. = ∑ 2 n +1 ⋅ (2n + 1)!(2n + 1) 2 2 3!⋅3 2 5!⋅5 n =0 2 ∞

Полученный числовой ряд есть знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. Следовательно, чтобы вычислить интеграл с точностью до 0,001 достаточно взять всего два члена ряда, при этом ошибка будет меньше третьего члена: 1 1 = < 0,001. 32 ⋅ 120 ⋅ 5 160 ⋅ 120

Таким образом, с требуемой точностью 0,5

sin x 1 1 dx ≈ − 3 ≈ 0,493. x 2 2 3!⋅3 0

∫

ЗАДАНИЕ 4 Для решения задания надо знать: разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена; способ последовательного дифференцирования для приближенного решения дифференциального уравнения [1; гл.14, § 64.1, 65.3]. В данном пособии см. стр. 28. Решение. Будем искать решение уравнения в виде разложения в ряд Маклорена: По условию y (0) = 1.

45

Из исходного уравнения: y ′ = x 2 y + y 3 находим y ′(0) = 0 2 ⋅ y (0) + y 3 (0) = 0 2 ⋅ 1 + 13 = 1. Далее, дифференцируя исходное уравнение, находим y ′′(x) : y ′′( x) = ( x 2 ⋅ y + y 3 )′ = ( x 2 y )′ + ( y 3 )′ = 2 xy + x 2 y ′ + 3 y 2 y ′.

Затем находим y ′′(0) : y ′′(0) = 2 ⋅ 0 ⋅ y (0) + 0 2 ⋅ y ′(0) + 3 y 2 (0) y ′(0) = 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 3. Итак, y(0) = 1 ≠ 0; y ′(0) = 1 ≠ 0; y ′′(0) ≠ 0. По условию нужно найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд, поэтому искать следующую производную y ′′′(0) не нужно. Подставляем найденные значения y(0) = 1, y ′(0) = 1, y ′′(0) = 3 1 1!

в ряд Маклорена y ( x) = 1 + x +

3 2 x + …. . 2!

Получаем ответ: y ( x) ≈ 1 + x +

3 2 x . 2

ЗАДАНИЕ 5 Для решения задания надо знать: понятие тригонометрического ряда Фурье; теорему Дирихле; формулы для коэффициентов Фурье [1; гл.15, § 66.2, 67.1-67.4]. В данном пособии см. стр. 29-30. Решение. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на отрезке [-π; π], значит, она разложима в ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда: π 0 ⎞ 1 ⎛ − 2x 2 1⎛ ⎜ a 0 = ∫ f ( x)dx = ⎜ ∫ ( − 2 x)dx + ∫ 3xdx ⎟⎟ = ⎜ π −π π ⎝ −π 0 ⎠ π ⎜⎝ 2

1

an =

1

π

π

π

∫

−π

f ( x) cos nxdx =

0

−π

3x 2 + 2

0 π ⎞ 1⎛ ⎜ ∫ ( − 2 x) cos nxdx + ∫ 3 x cos nxdx ⎟ = ⎟ π ⎜⎝ −π 0 ⎠

du = dx ⎤ ⎥) 1 ⎢dv = cos nxdx; v = sin nx ⎥ n ⎦ ⎣ ⎡

(интегрируем по частям: ⎢

u = x;

π

0

⎞ 1 ⎟ = (π 2 + 3 π 2 ) = 5π . ⎟ π 2 2 ⎠

46

0

π

0

π

=−

2 x 1 3 x 1 ( sin nx + 2 cos nx ) + ( sin nx + 2 cos nx ) = π n π n n n −π −π 0 0

=−

2 3 5 (1 − cos nπ ) + 2 (cos nπ − 1) = − 2 (1 − (−1) n ). 2 πn πn πn

Аналогично находим bn =

1

π

π

∫

f ( x) sin nxdx =

−π

0 π ⎞ 1⎛ ⎜ ∫ ( − 2 x) sin nxdx + ∫ 3 x sin nxdx ⎟ = ⎟ π ⎜⎝ −π 0 ⎠

du = dx ⎤ ⎥) 1 ⎢dv = sin nxdx; v = − cos nx ⎥ n ⎦ ⎣ ⎡

(интегрируем по частям: ⎢ 2

0

0

u = x;

π

π

x 1 3 x 1 2 3 = − (− cos nx + 2 sin nx ) + (− cos nx + 2 sin nx ) = − cos(−nπ ) − cos nπ = π n π n n n n n −π −π 0 0

=

(−1) n+1 . n

Исходной функции соответствует ряд Фурье: f ( x) ~ S ( x) =

∞ 5π 5 1 + ∑ (− 2 (1 − (−1) n ) cos nx + (−1) n sin nx ). 4 n =1 πn n

Функция непрерывна во всех точках интервала (-π; π), поэтому согласно теореме Дирихле для всех этих точек имеет место равенство f ( x ) = S ( x ) , т.е. f ( x) = S ( x) =

5π 10 ⎛ cos x cos 3 x cos 5 x ⎞ ⎛ sin x sin 2 x sin 3 x ⎞ − ⎜ + + + …⎟ + ⎜ − + − …⎟. 4 π ⎝ 1! 3! 5! 2 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠

47

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №7 Теория вероятностей и математическая статистика Замечание. Ниже приведены условия десяти заданий и данные конкретных вариантов. Перед решением задания перепишите условия задач, включив в них данные своего варианта (см. решение примерного варианта).

ЗАДАНИЯ 1-10. 1. В коробке лежат девять карточек, на которых написаны цифры от 1 до 9. Последовательно наугад вынимают две карточки и кладут их рядом – получают двухзначное число. Например, вынули карточки 1 и 3 и получили число 13 (вынули 3 и 1 – получили 31). Найдите вероятность события А. 2. Из колоды, содержащей 36 карт (все масти от шестерки до туза), наугад вынимают 5 карт. Используя формулы комбинаторики запишите и вычислите вероятности событий А и В. 3. В урне лежат шары двух цветов – а черных и b белых шара. Наугад вынимают два шара. Используя формулы вероятности суммы и произведения событий, найдите вероятности событий: А – «вынули два белых шара», В - «вынули хотя бы один белый шар», С - «вынули ровно один белый шар». 4. Из шести вероятностей событий: p(A), p(B), p(A|B), p(B|A), p(A+B) и p(AB) заданы три. Найдите три оставшиеся вероятности и определите, зависимы ли события А и В. 5. В большой партии изделий r% изделий высшего качества и b% бракованных. Наугад отобрали m изделий. Найдите вероятности событий: А – «среди отобранных изделий ровно два высшего качества», В – «не более двух высшего качества», С – «хотя бы одно изделие высшего качества». Магазин взял на реализацию 500 изделий. Найдите вероятности событий: количество изделий высшего качества лежит в промежутке [5r –20, 5r +10]; среди этих изделий не более двух бракованных. Обоснуйте применение формул МуавраЛапласа и Пуассона. 6. В коробке лежат купюры трех номиналов: K купюр по 1$, M - 5$ и N - 10$. Наугад вынимают две купюры. Случайная величина S – это вынутая сумма. Найдите ряд распределения этой случайной величи-

48

ны, постройте график функции распределения и найдите математическое ожидание и дисперсию S. 7. Случайная величины X задана функцией распределения F(x). Найдите плотность f(x). Постройте графики функции распределения и плотности. Найдите математическое ожидание M и дисперсию D случайной величины X. Найдите вероятность события {X > M}. 8. X ~N (m, σ) – нормальная с.в. с параметрами m и σ. Найдите характеристики и плотность распределения с.в. Y = aX+b, постройте эскиз графика плотности. 9. Задано совместное распределение двух случайных величин Х и Y. Найдите: (1) вероятность события X>Y; (2) распределение компонент X и Y и условный закон распределения с.в. X при условии, что Y=0; (3) корреляционный момент KXY и коэффициент корреляции rXY. 10. Данные наблюдений с.в. X представлены в виде интервального статистического ряда. Первая строка таблицы – интервалы наблюдавшихся значений с.в. X, вторая – соответствующие им частоты. Требуется: (1) Построить гистограмму и полигон относительных частот. (2) Вычислить численные характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение. (3) Предполагая, что исследуемая с.в. X распределена по нормальному закону, найти параметры нормального закона, записать плотность X и построить ее график на одном чертеже с гистограммой (график выравнивающей кривой). (4) Найти теоретические частоты нормального закона распределения и при уровне значимости α=0,05 проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении с.в. X. (5) Найти с надежностью (доверительной вероятностью) γ=0,95 интервальную оценку параметра a=M[X] случайной величины X.

49

ДАННЫЕ К ВАРИАНТАМ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №7 ВАРИАНТ 1 1. 2. 3. 4. 5. 6.

А – «Число является полным квадратом» А – «Среди вынутых карт две пики и три черви», В – «Среди этих карт нет тузов». а = 5, b = 4. p(A+B) = 0,6; p(A) = 0,5; p(B|A) = 0,7 r =40% (=0,4), b = 0,2% (=0,002), m = 5. K = 1, M = 3 и N = 4.

⎧0, x ≤ −π ⎪ 7. F ( x) = ⎨(1 + cos x) / 2, − π < x < 0 ⎪1, x ≥ 0 ⎩ 8.

X ~ N (2;1) - нормальная с.в. с параметрами m = 2 и σ = 1. Y = -2X –1 X\Y -2 2

9.

0 0,2 0,1

1 0,15 0,05

2 0,35 0,15

10. Интервалы Частоты

(5; 12) 2

(12; 19) 9

(19; 26) 27

(26; 33) 49

(33; 40) 55

(40; 47) 37

(47; 54) 16

(54; 61) 5

ВАРИАНТ 2 1. 2. 3. 4. 5. 6.

А – «Число делится на пять» А – «Среди вынутых карт ровно два короля», В – «Все карты черной масти». а = 4, b = 6. p(A) = 0,3; p(AB) = 0,1; p(A+B) = 0,8 r =50% (=0,5), b = 0,4% (=0,004), m = 4. K = 2, M = 5 и N = 1.

x ≤1 ⎧⎪ 0 1 F ( x) = ⎨ 1− x >1 ⎪⎩ x 2 8. X ~ N ( −2;2) - нормальная с.в. с параметрами m = -2 и σ = 2.

7.

Y = 2X +1 9.

X\Y 0 2

-1 0,25 0,15

1 0,05 0,15

2 0,1 0,3

10. Интервалы Частоты

(3; 8) 1

(8; 13) 4

(13; 18) 20

(18; 23) 53

(23; 28) 66

(28; 33) 41

(33; 38) 13

(38; 43) 2

50

ВАРИАНТ 3 1. А – «Число меньше 45» 2. А – «Среди вынутых карт нет ни дам ни королей», В – «Среди этих карт ровно три семерки». 3. а = 2, b = 7. 4. p(A+B) = 0,6; p(AB) = 0,3; p(B|A) = 0,6 5. r =60% (=0,6), b = 0,3% (=0,003), m = 6. 6. K = 4, M = 1 и N = 3.

⎧0, x < 0 ⎪ 7. F ( x) = ⎨2 x − x 2 , 0 ≤ 0 < 1 ⎪1, x ≥ 1 ⎩ 8.

X ~ N (1;0,5) - нормальная с.в. с параметрами m = 1 и σ = 0,5. Y = 2X –1 X\Y 1 2

9.

-2 0,3 0,1

0 0,25 0,15

2 0,15 0,05

10. Интервалы Частоты

(10; 20) 1

(20; 30) 3

(30; 40) 22

(40; 50) 59

(50; 60) 70

(60; 70) 36

(70; 80) 8

(80; 90) 1

ВАРИАНТ 4 1. 2. 3. 4. 5. 6.

А –«Сумма цифр числа равна восьми» А – «Среди вынутых карт ровно две пики», В – «Нет карт черной масти». а = 3, b = 5. p(A) = 0,5; p(A+B) = 0,8; p(A/B) = 0,7 r =70% (=0,7), b = 0,2% (=0,002), m = 4. K = 1, M = 6 и N = 3.

⎧1 ⎪ , x ≤ −1 7. F ( x) = ⎨ x 2 ⎪⎩ 1, x > −1 8. X ~ N (3;0,25) - нормальная с.в. с параметрами m = 3 и σ = 0,25. Y = 2X -5 9.

X\Y 2 3

1 0,05 0,35

2 0,1 0,1

4 0,15 0,25

10. Интервалы Частоты

(1; 5) 1

(5; 9) 4

(9; 13) 21

(13; 17) 50

(17; 21) 63

(21; 25) 42

(25; 29) 15

(29; 33) 4

51

ВАРИАНТ 5 1. А –«Число не содержит четных цифр» 2. А – «Среди вынутых карт две пики и три карты красной масти», В – «Среди этих карт нет карт старше десятки». 3. а = 6, b = 2. 4. p(AB) = 0,4; p(A+B) = 0,7; p(B|A) = 0,8 5. r =80% (=0,8), b = 0,2% (=0,002), m = 5. 6. K = 6, M = 1 и N = 1.

⎧0, x < −1 ⎪ 7. F ( x) = ⎨1 − x 2 , − 1 ≤ 0 < 0 ⎪1, x ≥ 0 ⎩ 8.

X ~ N ( 2;2) - нормальная с.в. с параметрами m = 2 и σ = 2. Y = ½ X +3 X\Y -1 2

9.

0 0,25 0,05

1 0,1 0,4

2 0,05 0,15

10. Интервалы Частоты

(2; 8) 3

(8; 14) 8

(14; 20) 30

(20; 26) 51

(26; 32) 56

(32; 38) 24

(38; 44) 22

(44; 50) 6

ВАРИАНТ 6 1. А –«Цифры числа различаются на единицу» 2. А – «Среди вынутых карт два короля и три дамы», В – «Среди карт нет шестерок и семерок». 3. а = 4, b = 7. 4. p(A) = 0,6; p(A+B) = 0,9; p(A/B) = 0,4 5. r =40% (=0,4), b = 0,2% (=0,002), m = 6. 6. K = 3, M = 1 и N = 4.

⎧0, x ≤ 0 ⎪ 7. F ( x) = ⎨sin 2 x, 0 < x < π 4 ⎪1, x ≥ π 4 ⎩ 8.

X ~ N ( −1;0,25) - нормальная с.в. с параметрами m = -1 и σ = 0,25. Y = -4X -3

9.

X\Y 1 3

-1 0,1 0,1

1 0,35 0,15

2 0,05 0,25

10. Интервалы Частоты

(5; 9) 3

(9; 13) 12

(13; 17) 33

(17; 21) 55

(21; 25) 53

(25; 29) 31

(29; 33) 10

(33; 37) 3

52

ВАРИАНТ 7 1. 2. 3. 4. 5. 6.

А –«Сумма цифр числа больше 12» А – «Все пять карт одной масти», В – «Среди этих карт есть хотя бы один туз». а = 5, b = 6. p(A) = 0,8; p(AB) = 0,5; p(A|B) = 0,8 r =50% (=0,5), b = 0,2% (=0,002), m = 5. K = 1, M = 4 и N = 3.

⎧0, x ≤ −1 ⎪ 3 7. F ( x) = ⎨ x + 1, − 1 < x < 0 ⎪1, x ≥ 0 ⎩ 8. X ~ N ( −3;1) - нормальная с.в. с параметрами m = -3 и σ = 1. Y = 2X +4 X\Y -1 1

9.

-2 0,15 0,15

-1 0,2 0,1

1 0,35 0,05

10. Интервалы Частоты

(4; 7) 4

(7; 10) 18

(10; 13) 43

(13; 16) 59

(16; 19) 48

(19; 22) 21

(22; 25) 5

(25; 28) 1

ВАРИАНТ 8 1. 2. 3. 4. 5. 6.

А –«Одна из цифр числа равна единице» А – «Среди вынутых карт есть ровно три черви», В – «Среди карт нет шестерок». а = 7, b = 5. p(B) = 0,1; p(A+B) = 0,4; p(B/A) = 0,1 r =60% (=0,6), b = 0,1% (=0,001), m = 5. K = 5, M = 2 и N = 1.

⎧0, x ≤ 1 ⎪ 2 7. F ( x) = ⎨( x − 1) , 1 < x < 2 ⎪1, x ≥ 2 ⎩ 8. X ~ N ( 2;4) - нормальная с.в. с параметрами m = 2 и σ = 4. Y = -¼ X + ½ 9.

X\Y 2 4

1 0,05 0,35

3 0,15 0,25

5 0,1 0,1

10. Интервалы Частоты

(20; 26) 1

(26; 32) 4

(32; 38) 20

(38; 44) 45

(44; 50) 60

(50; 56) 44

(56; 62) 21

(62; 68) 5

53

ВАРИАНТ 9 1. 2. 3. 4. 5. 6.

А –«Первая цифра числа больше второй» А – «Среди этих карт ровно один туз и нет шестерок», В – «Среди этих карт нет червей». а = 6, b = 4. p(A) = 0,4; p(AB) = 0,32; p(B) = 0,8 r =70% (=0,7), b = 0,2% (=0,002), m = 6. K = 4, M = 1 и N = 2.

⎧0, x ≤ − π 6 ⎪ 7. F ( x) = ⎨1 2 + sin x, − π 6 < x < π 6 ⎪1, x ≥ π 6 ⎩ 8. X ~ N ( −2;0,6) - нормальная с.в. с параметрами m = -2 и σ = 0,6. Y = 3X +3 9.

X\Y 1 4

-1 0,3 0,2

1 0,15 0,05

4 0,05 0,25

10. Интервалы Частоты

(3; 7) 1

(7; 11) 5

(11; 15) 25

(15; 19) 53

(19; 23) 62

(23; 27) 39

(27; 31) 12

(31; 35) 3

ВАРИАНТ 10 1. 2. 3. 4. 5. 6.

А – «Число делится на девять» А – «Среди вынутых карт ровно три туза», В – «Среди карт есть хотя бы одна шестерка». а = 3, b = 7 p(AB) = 0,4; p(A+B) = 0,8; p(A/B) = 0,6 r =55% (=0,55), b = 0,2% (=0,002), m = 5. K = 2, M = 1 и N = 5.

⎧0, x ≤ 0 ⎪ 7. F ( x) = ⎨2 sin x, 0 < x < π 6 ⎪1, x ≥ π 6 ⎩ 8. X ~ N ( −1;2) - нормальная с.в. с параметрами m = -1 и σ = 2. Y=2X+3 9.

X\Y 2 3

0 0,1 0,2

1 0,05 0,25

4 0,25 0,15

10. Интервалы Частоты

(2; 6) 1

(6; 10) 8

(10; 14) 26

(14; 18) 50

(18; 22) 58

(22; 26) 38

(26; 30) 15

(30; 34) 4

54

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №7 1. А –«Первая цифра числа в два раза больше второй» 2. А – «Среди вынутых карт нет семерок и восьмерок», В – «Ровно две карты младше восьмерки». 3. а = 8, b = 4. 4. p(A+B) = 0,8; p(AB) = 0,2; p(A|B) = 0,5 5. r =80% (=0,8), b = 0,2% (=0,002), m = 6 6. M = 6, N = 2 и K = 1 ⎧e 2 x

x≤0

⎩1

x>0

7. F ( x) = ⎨

8. X ~ N (−0,5;1) - нормальная с.в. с параметрами m = -0,5 и σ = 1 Y = 2X –1 9. -1 0 1 X\Y 1 0,15 0,3 0,25 2 0,05 0,1 0,15 10. Интервалы Частоты

(6; 10) 4

(10; 14) 15

(14; 18) 38

(18; 22) 58

(22; 26) 50

(26; 30) 26

(30; 34) 8

(34; 38) 1

ПЕРЕФОРМУЛИРУЕМ ЗАДАЧИ С УЧЕТОМ КОНКРЕТНЫХ ДАННЫХ ВАРИАНТА. ПРИВЕДЕМ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. ЗАДАНИЕ 1 В коробке лежат девять карточек, на которых написаны цифры от 1 до 9. Последовательно наугад вынимают две карточки и кладут их рядом – получают двухзначное число. Найдите вероятность события А – «Первая цифра числа в два раза меньше второй». Для решения задачи надо знать: пространство элементарных исходов, формулу классической вероятности и условия ее применения [2; гл.1.7, стр.18-19]. Решение. Все числа (исходы), которые могут быть получены в результате такого испытания, образуют множество Ω = {12, 13, …, 19, 21, 23, …, 29, …, 91, 92, …, 98} - пространство элементарных исходов. Множество Ω содержит 72 числа. Так как появление всех этих чисел равновозможно,

55

то для вычисления вероятности события можно применить формулу m n

классической вероятности p(A)= , где n – число всех исходов, а m – число благоприятных исходов события (исходов, при которых наступает событие А). Благоприятные исходы в нашем случае – это числа 12, 24, 36, 48. Таким образом, всего исходов n = 72, благоприятных исходов m = 4, и, следовательно, вероятность события A равна p ( A) =

m 4 1 = = . n 72 18

ЗАДАНИЕ 2 Из колоды, содержащей 36 карт (все масти от шестерки до туза), наугад вынимают 5 карт. Используя формулы комбинаторики, запишите и вычислите вероятности событий: А – «Среди вынутых карт нет семерок и восьмерок» и В – «Ровно две карты младше восьмерки». Надо знать: формулу классической вероятности, основные формулы и правила комбинаторики [2; гл.1.8-1.9, стр.20-30]. Решение. Для нахождения вероятности этих событий также можно применить формулу классической вероятности p =

m , где n – число всех исходов, n

а m – число благоприятных исходов. Число всех исходов (различных «пятерок» карт) равно n = C 365 =

36 ⋅ 35 ⋅ 34 ⋅ 33 ⋅ 32 – это число способов, ко5!

торыми можно выбрать пять карт из колоды, содержащей 36 карт. (1) Число благоприятных исходов события A («пятерок», не содержащих карт номиналом 7 и 8) равно m A = C 285 =

28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 - это 5!

число способов выбрать 5 карт из 28 (все карты за исключением m A C 365 = 5 . семерок и восьмерок). Следовательно, вероятность p( A) = n C 28

После преобразования получаем p ( A) =

28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ≈ 0,26 36 ⋅ 35 ⋅ 34 ⋅ 33 ⋅ 32

(2) Благоприятный исход события В можно рассматривать как пару вида (X, Y), где X – две карты младше восьмерки, т.е. шестерки или семерки (таких карт 8), а Y – три карты, отличные от шестерок и семерок (таких карт 28). Компоненту X можно выбрать C 82 способами, Y - C 283 способами. Следовательно, по Правилу произведения, число благоприятных исходов события B равно m B = C 82 ⋅ C 283 .

56

Вероятность p( B) =

3 C 82 ⋅ C 28

C

5 36

=

91 ≈ 0,30 . 308

ЗАДАНИЕ 3 В урне лежат шары двух цветов – 8 черных и 4 белых шара. Наугад вынимают два шара. Используя формулы вероятности суммы и произведения событий, найдите вероятности событий: А - «Вынули два белых шара», В - «Вынули хотя бы один белый шар», С - «Вынули ровно один белый шар». Надо знать: операции над событиями, виды событий, формулы вероятности суммы и произведения двух событий [2; гл.1.3; 1.14-1.16]. Решение. Сведем вычисление вероятностей событий А, В и С к вычислению вероятностей более простых событий. При решении задачи можно считать, что шары вынимают из урны последовательно. Рассмотрим следующие события: IБ, IЧ, IIБ, IIЧ – первый вынутый шар – белый, первый вынутый шар – черный, второй вынутый шар – белый, второй вынутый шар – черный. Заметим, что события IБ и IЧ,, а также события IIБ и IIЧ, являются взаимно противоположными, т.е. I Б = I Ч и II Б = II Ч . События A, B и C легко выразить через эти события. А именно: A = IБIIБ, B = IБIIЧ+IЧIIБ, C = IБ+IIБ. (1) По теореме о вероятности произведения событий p(A)=p(IБIIБ,)=p(IБ)p(IIБ|IБ). Вероятность p(IБ) можно считать по формуле классической вероятности. Всего имеется n=12 равновозможных исходов (можем вынуть любой из двенадцати шаров) и m=4 благоприятных исходов (вынимаем любой из четырех белых шаров). Следовательно, p(IБ) =

4 1 = . Условная вероятность 12 3

p(IIБ|IБ) - это вероятность события IIБ, вычисленная в предположении, что наступило событие IБ , т.е. первый вынутый шар был белым. Следовательно, перед выниманием второго шара в урне осталось 11 шаров, из которых 3 белых. В этой ситуации вероятность вынуть белый шар равна p(A) =

3 3 . Таким образом, p(IIБ|IБ)= и 11 11

4 3 1 ⋅ = . 12 11 11

(2) События IБIIЧ и IЧIIБ несовместны, поэтому p(B) = p( IБIIЧ+IЧIIБ) = p( IБIIЧ) + p(IЧIIБ). Вероятности p( I Б II Ч ) = p( I Б ) p( II Ч I Б ) =

4 8 8 ⋅ = 12 11 33

57

и p( I Ч II Б ) = p( I Ч ) p( II Б I Ч ) =

8 4 8 вычисляем как в пункте (1). ⋅ = 12 11 33

Окончательно получаем p( B) =

8 8 16 + = . 33 33 33

(3) Вероятность события C легче всего вычислить, рассмотрев противоположное событие C Событие C можно сформулировать следующим образом - «Вынули два черных шара». Следовательно, 8 7 14 ⋅ = . 12 11 33 14 19 p (C ) = 1 − p (C ) = 1 − = . 33 33

C = I Ч II Ч и p (C ) =

ЗАДАНИЕ 4 Заданы вероятности событий: p(A+B) = 0,8; p(AB) = 0,2; p(A|B) = 0,5. Найдите вероятности событий: p(A), p(B) и p(B|A). Определите, зависимы ли события А и В. Надо знать: основные формулы теории вероятностей, зависимость/независимость событий [2; гл. 1.14 – 1.16]. Решение. Запишем формулу вероятности произведения событий в виде p(AB) =p(BA) = p(B)p(A|B). Подставляя в формулу известные значения p(AB) = 0,2 и p(A|B) = 0,5, получим 0,2 = p(B)⋅0,5. Откуда находим p(B) = 0,4. Из формулы p(A + B) = p(A) + p(B) – p(AB) следует, что 0,8 = p(A) + 0,4 – 0,2 и p(A) = 0,8 –0,4 +0,2 = 0,6. Подставляя в формулу p(AB) = p(A)p(B|A) известные вероятности, получим 0,2 = 0,6⋅p(B|A). Откуда находим p(B|A)=1/3. Так как p(A) ≠ p(A|B) ( p(B) ≠ p(B|A)), то события A и B зависимы. ЗАДАНИЕ 5 В большой партии изделий 80% изделий высшего качества и 0,2% бракованных. Наугад отобрали 6 изделий. Найдите вероятности событий: А – «Среди отобранных изделий ровно два высшего качества», В – «Не более двух высшего качества», С – «Хотя бы одно изделие высшего качества» Магазин взял на реализацию 500 изделий. Найдите вероятности событий: количество изделий высшего качества лежит в промежутке [380, 410] (r=80 и 5r-20=5⋅80-20 = 380; 5r+10 = 410);

58

среди этих изделий не более двух бракованных. Обоснуйте применение формул Муавра-Лапласа и Пуассона. Надо знать: независимые испытания (испытания Бернулли), формулы Бернулли и свойства вероятностей Бернулли, приближенные формулы для вероятностей Бернулли (формулы Муавра-Лапласа и Пуассона) и условия их применения [2; гл.1.19-1.21, стр.47-59]. Надо уметь пользоваться таблицей значений функции Лапласа. Решение. (1) Проверка изделий на высшее качество – это независимые испытания с вероятностью успеха p =0,8 (80% всех изделий имеют высшее качество). Поэтому для вычисления вероятностей событий A, B и C можно применить формулу Бернулли. Обозначим Sn число успешных испытаний (количество изделий высшего качества) в серии из n независимых испытаний. Вероятность p{Sn = k} того, что среди n изделий равно k имеют высшее качество, обозначают Pn(k) и вычисляют по формуле p{Sn = k} = Pn (k ) = C nk ⋅ p k (1 − p ) n − k - это и есть формула Бернулли. Следовательно: p ( A) = P6 ( 2) = C 62 ⋅ 0,8 2 (1 − 0,8) 6 − 2 = 21 ⋅ 0,8 2 0,2 4 ≈ 0,0215 ; p ( B ) = p{S 6 < 3} = P6 (0) + P6 (1) + P6 ( 2) = 0,8 0 0,2 6 + 6 ⋅ 0,81 0,2 5 + 21 ⋅ 0,8 2 0,2 4 ≈ 0,0231 p (C ) = 1 − P6 (0) = 1 − 0,2 6 = 0,999936 .

(2) Использование формулы Бернулли для вычисления вероятности p{380 ≤ S500 ≤ 410} очень трудоемко. В этом случае применяют приближенную формулу Муавра-Лапласа (интегральную): p{k1 ≤ Sn ≤ k2} ≈ Φ 0 ( x2 ) − Φ 0 ( x1 ) , где Φ 0 ( x) =

1 2π

∫

x

0

e

−

t2 2

dt - функция Лапласа, x1 =

k1 − np npq

, x2 =

k 2 − np npq

.

Для функции Лапласа составлены таблицы значений [2; Приложение 2]. Пользуясь таблицей, необходимо учитывать, что: а) Φ0(x) нечетная функция, т.е. Φ 0 (− x) = −Φ 0 ( x) ; в) Φ0(x) возрастает; c) Φ 0 (−∞) = −0,5, Φ 0 (∞) = 0,5; d) при x ≥ 4 можно считать, что Φ ( x) = 0,5. Формулу Муавра-Лапласа применяют, если выполнено неравенство npq ≥ 10. В нашей задаче n = 500, p=0,8, q = 1-p = 0,2 и npq = 500⋅0,8⋅0,2 = 80. Следовательно, x1 =

380 − 500 ⋅ 0,8 500 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2

=−

20 80

≈ 2,24 ,

59

x2 =

410 − 500 ⋅ 0,8 500 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2

=

10 80

≈ 1,12 и p{380 ≤ S500 ≤ 410} ≈

Φ 0 (1,12) − Φ 0 (−2,24) = 0,3686 + 0,4872 ≈ 0,86 .

(3) В следующем вопросе речь идет о бракованных изделиях, вероятность появления которых очень мала и равна p=0,002. Выражение npq = ⋅500⋅0,002⋅0,998= 0,998 < 10 и применение формулы Муавра-Лапласа не обосновано. В этой ситуации для вычисления вероятностей Бернулли используют формулы Пуассона, а именно Pn (m) ≈

a m e −a , где a= np, m= 0, 1, 2…. m!

В нашем случае a = 500⋅0,002 = 1 и

p{S 500 ≤ 2} = p{S 500 = 0} + p{S 500 = 1} + p{S 500

e −1 e −1 = 2} ≈ e + + ≈ 0,92 1! 2! −1

ЗАДАНИЕ 6 В коробке лежат купюры трех номиналов: 6 купюр по 1 доллару, две – по 5 долларов и одна - 10 долларов. Наугад вынимают две купюры. Случайная величина S – это вынутая сумма. Найдите ряд распределения этой случайной величины, постройте график функции распределения и найдите математическое ожидание и дисперсию S. Надо знать: дискретная случайная величина (с.в.), законы распределения с.в., ряд распределения и функция распределения с.в., математическое ожидание и дисперсия дискретной с.в. – определение, смысл и свойства [2; гл.2.1-2.3; гл. 2.5, стр. 73-79]. Решение. Для получения ряда распределения с.в. S надо определить ее возможные значения и вероятности этих значений. Возможные значения S (суммы, которые можно получить, вынимая две купюры) - это: 2$ (вынули две купюры по одному доллару), 6 (вынули 1 и 5 долларов или 5, а затем 1); 10; 11 и 15. Найдем вероятности этих значений. Рассмотрим события: I1, II1, I5, II5, I10, II10 - первая вынутая купюра равна 1$, вторая – 1$, и т.д. Тогда 6 5 9 8

p{S = 2} = p{I1II1) = p(I1)p(II1|I1) = ⋅ =

5 (см. решение задачи 3). Ана12

логично вычисляем остальные вероятности: 1 6

1 6

1 3

p{S = 6} = p{I1II5 + I5II1) = + = , p{S = 10} = p{I5II5) =

1 , 36

p{S = 11} = p{I1II10 +I10II1) =

1 1 1 + = , 12 12 6

60

p{S = 15} = p{I5II10 + I10II5) =

1 1 1 + = . 36 36 18

Результаты вычислений сведем в таблицу – таблица (ряд) распределения с.в. S. S

2

6

10

11

15

P

5 12

1 3

1 36

1 6

1 18

Проверка (сумма вероятностей должна равняться единице):

5 1 1 1 1 15 + 12 + 1 + 6 + 2 + + + + = =1 12 3 36 6 18 36 5 1 1 1 1 208 M [ S ] = 2 ⋅ + 6 ⋅ + 10 ⋅ + 11 ⋅ + 15 ⋅ = ≈ 5,78 12 3 36 6 18 36 2 5 1 1 ⎛ 208 ⎞ 2 2 1 2 2 1 2 D[ S ] = 2 ⋅ + 6 ⋅ + 10 ⋅ + 11 ⋅ + 15 ⋅ − ⎜ ⎟ ≈ 13,73 12 3 36 6 18 ⎝ 36 ⎠

Функция распределения F(x) случайной величины S равна ⎧ ⎪ 0; x ≤ 2 ⎪ 5 ⎪ ; x ∈ (2;6] 12 ⎪ ⎪ 5 + 1 = 3 ; x ∈ (6;10] ⎪ F ( x) = ⎨ 12 3 4 3 1 7 ⎪ + = ; x ∈ (10;11] ⎪ 4 36 9 ⎪ 7 1 17 ⎪ 9 + 6 = 18 ; x ∈ (11;15] ⎪ 17 1 ⎪ + = 1; x > 15 ⎩ 18 18

ЗАДАНИЕ 7 ⎧e 2 x Случайная величина X задана функцией распределения F ( x) = ⎨ ⎩1

x≤0 x>0

.

Найдите плотность f(x). Постройте графики функции распределения и плотности. Найдите математическое ожидание M и дисперсию D случайной величины X. Найдите вероятность события p{X > M}.

61

Надо знать: функция распределения и плотность непрерывных случайных величин и их свойства; характеристики непрерывных случайных величин [2; гл. 2.3-2.5] Решение. ⎧(e 2 x ) ′; x < 0 ⎧2e 2 x ; x < 0 ′ =⎨ . Плотность f ( x) = F ( x) = ⎨ x>0 ⎩ (1) ′; x > 0 ⎩ 0;

Ниже приведены графики функции распределения и плотности случайной величины X.

0

⎛ 2x e 2x ⎞ 1 ⎟⎟ = − (применили формулу инM [ X ] = ∫ xf ( x)dx = 2∫ xe dx =⎜⎜ xe − −∞ −∞ 2 ⎠ −∞ 2 ⎝ ∞

0

2x

тегрирования по частям). x2 1 D[ X ] = ∫ x f ( x)dx −M [ X ] = 2 ∫ x e d x − = 2( e 2 x −∞ −∞ 4 2 ∞

2

0

2

∞

0

2

. p{ X > M } = ∫M f ( x)dx = ∫ 2e 2 x dx = e 2 x −

1 2

0

2x

0 −

1 2

−∞

0

− ∫ xe 2 x dx) − −∞

1 1 1 1 = − = 4 2 4 4

= 1 − e −1 ≈ 0,63 .

ЗАДАНИЕ 8 X ~N (-0,5; 1) – нормальная с.в. с параметрами a = -0,5 и σ = 1. Найдите характеристики и плотность распределения с.в. Y = 2X-1, постройте эскиз графика плотности. Надо знать: определение нормального распределения и смысл его параметров; график плотности нормального распределения; свойства нормального распределения, правило трех сигм [2; гл. 2.7, стр.96-103]. Решение. Случайная величина Y = 2X –1 также распределена по нормальному закону. Найдем ее параметры. Математическое ожидание M[Y] = 2 M[X] –1 = 2⋅(-0,5)-1=-2; дисперсия D[Y] = 22D[X] = 4⋅1=4. Среднее квадратическое отклонение Y равно σ = D[Y ] = 2. Следовательно, Y - нормальная с.в. с параметрами a= -2 и σ = 2, т.е. Y ~ N(-2; 2). Плотность случайной величины Y имеет вид f Y ( x) =

1 2 2π

e

−

( x + 2) 2 8

.

График плотности распределения нормального закона называется нормальной кривой или кривой Гаусса. При построении графика нормаль-

62

− 1 e ной кривой f ( x) = σ 2π

( x−a )2 2σ 2

надо учитывать следующие свойства:

a) прямая x = a является осью симметрии кривой; b) max f ( x) = f (a) =

1 ; σ 2π

c) точки a ±σ - это абсциссы точек перегиба графика; d) вне отрезка [a -3σ; a +3σ] функция f(x) практически равна нулю.

ЗАДАНИЕ 9 Задано совместное распределение двух случайных величин Х и Y (распределение системы случайных величин (X, Y)). Найдите: a) вероятность события X>Y; b) распределение компонент X и Y и условный закон распределения с.в. X при условии, что Y=0; c) корреляционный момент KXY и коэффициент корреляции rXY . X\Y 1 2

0 0,15 0,05

1 0,3 0,1

2 0,25 0,15

Надо знать: [2; гл. 3.1; 3.5 – 3.8; примеры 3.6 и 3.8]. Решение. a) Событие X > Y наступает, если случайные величины принимают следующие значения: {X=1; Y=0}, {X=2; Y=0} и {X=2; Y=1}. Следовательно, вероятность события p{X>Y} = p{X=1;Y=0}+p{X=2;Y=0}+ p{X=2;Y=1} = 0,15 + 0,05 +0,1 =0,3. b) Зная совместное распределение, можно получить распределение каждой из компонент X и Y. Возможные значения случайной величины X – это числа 1 и 2 (первый столбец таблицы). Вероятность p{X=1} = p{X=1;Y=0}+p{X=1;Y=1}+p{X=1;Y=2} = 0,15+0,3+0,25=0,7 – получают суммированием вероятностей из строки, соответствующей значению X=1. Вероятность p{X=2} = 0,05+0,1+0,15=0,3. Для случайной величины X получаем распределение

63

X P

1 0,7

2 0,3

Ряд распределения компоненты Y получаем аналогично. Возможные значения случайной величины Y – это 0, 1 и 2. Соответствующие им вероятности равны: p{Y=0} = 0,15+0,05=0,2; p{Y=1} = 0,3+01=0,4; p{Y=2} = 0,25+0,15=0,4 - получают суммированием вероятностей из столбцов таблицы. Окончательно получаем следующую таблицу Y P

0 0,2

1 0,4

2 0,4

Для получения условного закона распределения случайной величины X при условии, что Y приняла значение 0, надо в таблице распределения X безусловные вероятности p{X=1}=0,7 и p{X=2}=0,3 заменить условными вероятностями p{X=1|Y=0} и p{X=2|Y=0}. Для вычисления условной вероятности воспользуемся формулой p( A | B) =

p( AB) . p( B)

Получаем

p{ X = 1; Y = 0} 0,15 3 = = и 0,2 4 p{Y = 0} p{ X = 2; Y = 0} 0,05 1 p{ X = 2 | Y = 0} = = = . p{Y = 0} 0,2 4 p{ X = 1 | Y = 0} =

X

1

2

P|Y=0

3 4

1 4

с) Корреляционный момент двух случайных величин X и Y удобно вычислять по формуле K XY = M [ XY ] − M [ X ] ⋅ M [Y ] . Коэффициент корреляции равен rXY =

K XY

σ XσY

.

Из таблиц распределения случайных величин X и Y находим. 2 2 2 M [ X ] = 1 ⋅ 0,7 + 2 ⋅ 0,3 = 1,3 ; D[ X ] = 1 ⋅ 0,7 + 2 ⋅ 0,3 − 1,3 = 0,21 ; σ X = D[ X ] ≈ 0,46 . 2 2 2 M [Y ] = 0 ⋅ 0,2 + 1 ⋅ 0,4 + 2 ⋅ 0,4 = 1,2 ; D[Y ] = 1 ⋅ 0,4 + 2 ⋅ 0,4 − 1,2 = 0,56 ; σ Y = D[Y ] ≈ 0,75 . Найдем ряд распределения случайной величины XY. Возможные значений XY – это 0, 1, 2 и 4. Вероятности: p{ XY = 0} = p{Y = 0} = 0,2 ; p{ XY = 1} = p{ X = 1; Y = 1} = 0,3 ; p{ XY = 2} = p{ X = 1; Y = 2} + p{ X = 2; Y = 1} = 0,25 + 0,1 = 0,35 ;

64

p{ XY = 4} = p{ X = 2; Y = 2} = 0,15 .

В итоге получаем таблицу XY P

0 0,2

1 0,3

2 4 0,35 0,15

Откуда M [ XY ] = 0 ⋅ 0,2 + 1 ⋅ 0,3 + 2 ⋅ 0,35 + 4 ⋅ 0,15 = 1,6 . K XY = M [ XY ] − M [ X ] ⋅ M [Y ] = 1,6 − 1,3 ⋅1,2 = 0,04 ; rXY =

K XY

σ XσY

=

0,04 = 0,12. 0,46 ⋅ 0,75

ЗАДАНИЕ 10 Данные наблюдений с.в. X (выборка) представлены в виде интервального статистического ряда. Первая строка таблицы – интервалы наблюдавшихся значений с.в. X, вторая – соответствующие им частоты. Интервалы Частоты

(6; 10)

(10; 14)

(14; 18)

(18; 22)

(22; 26)

(26; 30)

(30; 34)

(34; 38)

4

15

38

58

50

26

8

1

Требуется: (1) Построить гистограмму и полигон относительных частот [2; пример 7.6]. (2) Вычислить численные характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение [2; гл.7.5, пример 7.7]. (3) Предполагая, что исследуемая с.в. X распределена по нормальному закону, найти параметры нормального закона, записать плотность X и построить ее график на одном чертеже с гистограммой (график выравнивающей кривой) [2; гл. 8.1]. (4) Найти теоретические частоты нормального закона распределения и при уровне значимости α=0,05 проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении с.в. X [2; гл. 8.6, пример 8.8]. (5) Найти с надежностью (доверительной вероятностью) γ=0,95 интервальную оценку математического ожидания случайной величины X [2; гл. 8.3, 8.4]

65

Надо знать: графическое изображение выборки (гистограмма), точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии, доверительные интервалы для параметров нормального распределения, проверка гипотезы о законе распределения (критерий χ2) [2, главы 7.4, 7.5, 8.1, 8.4, 8.6]. Решение. (1) Объем выборки, по которой построен статистический ряд, равен n

= 4+15+38+58+50+26+8+1= 200 - получают суммированием частот из второй строки таблицы. Относительные частоты вычисляем по формуле ω i =

ni , i = 1,2,...,8. n

Внесем полученные данные в таблицу (третья строка Таблицы). Интервалы ∆i Частоты ni Относ.част. ωi Середины

xi*

(6; 10)

(10; 14) (14; 18) (18; 22) (22; 26) (26; 30) (30; 34) (34; 38)

4 0,02 8

15 0,075 12

38 0,19 16

58 0,29 20

50 0,25 24

26 0,13 28

8 0,04 32

1 0,005 36

Сумма относительных частот должна равняться единице. Для построения гистограммы надо над каждым интервалом статистического ряда построить прямоугольник, площадь которого равна соответствующей относительной частоте. Высоты этих прямоугольников определяем по формуле hi =

ωi ∆

, где

∆=4 – длина интервала в стати-

стической таблице. С точностью до третьего знака после запятой получаем: h1=0,005, h2=0,019, h3=0,048, h4=0,068, h5=0,073, h6=0,032, h7=0,01, h8=0,001. .

Стандартными точечными оценками математического ожидания M[X] и дисперсии D[X] изучаемой с.в. X, являются выборочное среднее и выборочная дисперсия. При вычислении этих оценок по выборке, заданной интервальным статистическим рядом, предполагают, что все наблюдаемые значения выборки, попавшие в i-ый ин-

66

тервал, совпадают с его серединой xi* (четвертая строка таблицы). В итоге получаем выборочное среднее xв =

∑x n

* i i

200

=

8 ⋅ 4 + 12 ⋅ 15 + 16 ⋅ 38 + 20 ⋅ 58 + 24 ⋅ 50 + 28 ⋅ 26 + 32 ⋅ 8 + 36 ⋅ 1 = 21 200

Выборочная дисперсия Dв

∑ (x =

* 2 i

) ni

− (xв )2 =

200 8 ⋅ 4 + 12 2 ⋅ 15 + 16 2 ⋅ 38 + 20 2 ⋅ 58 + 24 2 ⋅ 50 + 28 2 ⋅ 26 + 32 2 ⋅ 8 + 36 2 ⋅ 1 = − 212 ≈ 29 200 2

Исправленная выборочная дисперсия S2 =

n 200 Dв = ⋅ 29 ≈ 29,1 n −1 199

(2) Параметрами нормальной случайной величины являются математи-

ческое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Оценки для них - это выборочное среднее x = 21 и выборочное среднее квадратическое отклонение σ в = Dв = 29 ≈ 5,4. Таким образом, если исследуемая с.в. X распределена по нормальному закону, то это закон с параметрами a = 21 и σ = 5,4 т.е. X~N(21; 5.4). В этом случае − 1 плотность X имеет вид f ( x) = e 5,4 ⋅ 2π

( x − 21) 2 2⋅5, 4 2

. Для построения гра-

фика плотности (см. задание 8) найдем значения f(x) в точках xi* , i = 1,2,...,8 и x=21 – точка максимума f(x). При вычислении восx2

1 −2 [2, Прилопользуемся таблицей значений функции ϕ ( x) = e 2π 1 x−m жение 1]. Очевидно, что f ( x) = ϕ (u ), где u = . В итоге получа-

σ σ x −m 13 ϕ (2,41) 0,0220 =− ≈ −2,67; f ( x1* ) = = = 0,004 (воспользоваем 5,4 5,4 5,4 σ лись четностью функции ϕ(x) (ϕ ( x) = ϕ (− x)). * 1

Аналогично находим остальные значения: x 2* − m

σ

x −m * 3

σ x −m * 4

σ

x −m * 5

σ x −m * 6

σ

= −1,67;

f ( x 2* ) =

0,0989 = 0,018; 5,4

= −0,93;

f ( x3* ) =

0,2589 = 0,048; 5,4

= −0,19;

f ( x 4* ) =

0,3918 = 0,073; 5,4

= 0,56;

f ( x5* ) =

0,3411 = 0,063; 5,4

= 1,30;

f ( x6* ) =

0,1714 = 0,032; 5,4

67

x7* − m

σ x −m * 8

σ

= 2,04;

f ( x7* ) =

0,0498 = 0,009; 5,4

= 2,78;

f ( x7* ) =

0,0084 = 0,002; 5,4

f (21) =

0,3989 = 0,074. 5,4

Все вычисления проведены с точностью до третьего знака после запятой. Нанесем полученные точки на чертеж с гистограммой и соединим их гладкой кривой. Получили график плотности X (график выравнивающей кривой). Видно, что график выравнивающей кривой хорошо согласуются с гистограммой, что подтверждает предположение о нормальном законе распределения X. (3) Проверим гипотезу о нормальном распределении X по критерию

Пирсона [2, гл. 8.6, пример 8.8]. Вернемся к Таблице из пункта (1) решения. Частоты (эмпирические) в крайних интервалах таблицы меньше 5, поэтому крайние интервалы надо объединить с соседними (см. [2, стр. 250]). Получим ряд распределения: [xi, xi+1)

[6; 14)

ni

19

[14; 18) [18; 22) [22; 26) [26; 30) [30; 38) 38

58

50

26

9

Всего осталось m=6 маленьких интервалов. Для каждого интервала найдем теоретические частоты ni' (сколько наблюдений должно было бы попасть в i-ый интервал, если верно, что случайная величина X ~ N (21, 5,4)). Сначала вычисляем вероятности pi попадания случайной величины X на интервал [xi; xi+1]. Так как X ~ N(21; 5,4), то ⎛ x − 21 ⎞ ⎛ x − 21 ⎞ pi = p{xi ≤ X ≤ xi +1 } = Φ 0 ⎜ i +1 ⎟ − Φ0 ⎜ i ⎟ , где Φ0(x) – функция ⎝ 5,4 ⎠ ⎝ 5,4 ⎠

Лапласа и ее значения представлены в Приложении 2 учебника (см. стр. 101). Для первого и последнего интервалов вероятности вычисляют иначе: ⎛ 14 − 21 ⎞ p1 = p{−∞ < X ≤ 14} = Φ 0 ⎜ ⎟ − Φ 0 (−∞) = 0,5 − Φ 0 (1,30) = 0,5 − 0,4032 = 0,0968; ⎝ 5,4 ⎠ ⎛ 30 − 21 ⎞ p 6 = p{30 ≤ X < ∞} = Φ 0 (∞ ) − Φ 0 ⎜ ⎟ = 0,5 − Φ 0 (1,67) = 0,5 − 0,4525 = 0,0475. ⎝ 5,4 ⎠

Оставшиеся вероятности равны:

68

⎛ 18 − 21 ⎞ ⎛ 14 − 21 ⎞ p2 = Φ 0 ⎜ ⎟ − Φ0⎜ ⎟ = Φ 0 (−0,56) − Φ 0 (−1,30) = −0,2123 + 0,4032 = 0,1909 ⎝ 5,4 ⎠ ⎝ 5,4 ⎠ ⎛ 18 − 21 ⎞ ⎛ 22 − 21 ⎞ p3 = Φ 0 ⎜ ⎟ = Φ 0 (0,19) − Φ 0 (−0,56) = 0,0754 + 0,2123 = 0,2877 ⎟ − Φ0⎜ ⎝ 5,4 ⎠ ⎝ 5,4 ⎠ ⎛ 22 − 21 ⎞ ⎛ 26 − 21 ⎞ p4 = Φ 0 ⎜ ⎟ = Φ 0 (0,93) − Φ 0 (0,19) = 0,3238 − 0,0754 = 0,2484 ⎟ − Φ0⎜ ⎝ 5,4 ⎠ ⎝ 5,4 ⎠ ⎛ 26 − 21 ⎞ ⎛ 30 − 21 ⎞ p5 = Φ 0 ⎜ ⎟ = Φ 0 (1,67) − Φ 0 (0,93) = 0,4525 − 0,3238 = 0,1287 ⎟ − Φ0⎜ ⎝ 5,4 ⎠ ⎝ 5,4 ⎠

После чего находим теоретические частоты по формуле ni' = 200 ⋅ p i . Полученные результаты сведем в таблицу:

[xi, xi+1)

(-∞; 14)

ni

19

38

58

50

26

9

ni’

19,36

38,18

57,54

49,68

25,74

9,5

[14; 18) [18; 22) [22; 26) [26; 30)

[30; ∞)

(4) Применение критерия χ 2 включает следующие шаги.

Вычисляем наблюдаемое значение величиныχ2: χ

2 набл

⎛ 19 2 ni2 38 2 58 2 50 2 26 2 92 ⎞ ⎟⎟ − 200 ≈ 200,04=∑ − n = ⎜⎜ + + + + + i =1 npi ⎝ 19,36 38,18 57,54 49,68 25,74 9,5 ⎠ m

200=0.04. Находим число степеней свободы по формуле k = m–r-1, где m=6 – число интервалов в уточненной таблице распределения, а r=2 – количество оцениваемых параметров распределения X – у нас это x и Dв . Получаем k=6–2–1=3. По заданному уровню значимости α=0,05 и k=3 находим в Таблице 2 = 7,8 . 3 [2, Приложение 3] критическое значение χ крит Сравниваем наблюдаемое и критическое значение величины χ2. У 2 2 = 0,04 < χ крит = 7,8. Это означает, что гипотеза не противонас χ набл речит опытным данным. Следовательно, нет основания отвергать проверяемую гипотезу, и мы принимаем гипотезу о нормальном распределении случайной величины X. (5) После пункта (4) мы вправе считать, что наша выборка произведена

из случайной величины X, распределенной по нормальному закону, параметры которого (M[X] и σ = D[ X ] ) неизвестны. В этом случае доверительный интервал для математического ожидания имеет вид [2, гл.8.4, формула (8.9)]

69

( x − tγ

S S ; x + tγ ) , где x - выборочное среднее, S = S 2 - исправn n

ленное среднее квадратическое отклонение, tγ - критическая точка (квантиль) распределения Стьюдента [2, Приложение 4], найденное по уровню значимости α = 1-λ = 1-0,95=0,5 и числу степеней свободы k=n-1=200-1=199. В нашем случае: x = 21; S = 29,1 ≈ 5,4; t γ = 1,98;

tγ

S 5,4 = 1,98 ≈ 0,76. n 200

Следовательно, доверительный интервал для математического ожидания M[X] равен (21-0,76; 21+0,76) = (20,24; 21,76). Это означает, что с надежностью (доверительной вероятностью) γ=0,95 можно утверждать, что M[X] принадлежит интервалу (20,24; 21,76). Замечание 1. Критическую точку tγ=1,98 из Приложении 4 мы взяли для k=120. Видно, что для больших k критические значения практически не изменяются (изменяются от 1,98 до 1,96). Замечание 2. При больших n (n>30) доверительный интервал можно искать по более простой формуле [2, гл.8.4, формула 8.5]. В этой формуле σ заменяем оценкой S, а критическую точку находим из условия Φ 0 (t γ ) =

γ

2

= 0,475 . Получаем tγ=1,96 и интервал (20,25;

21,75), который практически не отличается от интервала, найденного по точной формуле.

70

СОДЕРЖАНИЕ Введение …………………………………………………………….. 3 Программа курса «Высшая математика» ………………………….. 4 Литература …………………………………………………………… 5 Методические указания к выполнению контрольной работы №5 «Дифференциальные уравнения» ………………………………….. 6 1. Дифференциальные уравнения первого порядка…………….6 2. Основные типы уравнений первого порядка………………... 7 2.1 Уравнения с разделяющимися переменными…………… 7 2.2 Однородные уравнения…………………………………… 7 2.3 Линейные уравнения первого порядка………………….. 8 3. Дифференциальные уравнения высших порядков………….. 9 3.1 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка……………………….. 9 3.2 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами………………………… 11 4.Системы дифференциальных уравнений…………………….. 14 5. Операционное исчисление……………………………………. 16 Методические указания к выполнению контрольной работы №6 по теме «Ряды»……………………………………………………...…………. 19 1. Числовые ряды………………………………………………… 19 2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости…………………………………………………… 20 3. Знакопеременные ряды……………………………………….. 23 4. Степенные ряды……………………………………………….. 24 5. Ряд Тейлора……………………………………………………. 26 6. Ряды Фурье…………………………………………………….. 29 Методические указания к выполнению контрольной работы №7 по теме «Теория вероятностей и математическая статистика»………. 30 ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ………………………….. 31 Контрольная работа №5………………………………………... 31 Контрольная работа №6……………………………………….. 37 Примерный вариант контрольной работы №6……………….. 41 Контрольная работа №7………………………………………... 43 Примерный вариант контрольной работы №7…………………59