Хемометрика. Методы построения детерминированных моделей химико-технологических систем: Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО КУЛЬТУРЕ И КИНЕМАТОГРАФИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ – ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ»

С.П. Гнатюк, А.Б. Лихачев ХЕМОМЕТРИКА МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ МОДЕЛЕЙ ХИМИКО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ Учебное пособие для студентов очного, вечернего и заочного отделения факультета фотографии и технологии регистрирующих материалов (специальность 240504 Технология кинофотоматериалов и магнитных носителей)

САНКТ – ПЕТЕРБУРГ 2007

3

ВВЕДЕНИЕ Основой любого производственного процесса является технологический процесс. Технология есть его содержание, а техника (оборудование) — форма. Ее конкретная технологическая реализация, которая является материальным носителем определенной технологии, обуславливает многообразие технических подходов к решению одной и той же технологической задачи и может рассматриваться как система (химико-технологическая система, ХТС). ХТС представляет собой совокупность взаимосвязанных технологическими потоками и действующих как единое целое элементов (подсистем). Каждый элемент осуществляет определенную последовательность технологических операций, может функционировать самостоятельно, либо в составе подсистемы. Подсистемы соответствуют различным уровням сложности и взаимодействуют с другими подсистемами (элементами) согласно иерархии. Обмен информацией, тепло- массообмен и др. происходит как по горизонтали, с подсистемами, либо элементами, которые находятся на той же или аналогичной ступени иерархии, так и вертикально, с подсистемами высших (низших) иерархических ступеней. При проектировании и эксплуатации ХТС следует руководствоваться принципами ее оптимального функционирования. Это отнюдь не простая задача, так как критерии оценки эффективности работы ХТС в целом и ее подсистем либо элементов подчас существенно различаются. Обычно оценку состояния ХТС в процессе ее функционирования проводят с целью мониторинга, текущего контроля значений основных параметров системы и поддержания их на определенном уровне либо в заданных пределах, не превышающих критических значений. Активный мониторинг ХТС невозможен без учета таких ее свойств, как:  чувствительность к внешним и внутренним возмущениям (желательно, чтобы система была малочувствительной к данному типу воздействий);  управляемость (свойство системы достигать цели управления; для обеспечения требуемой управляемости необходимо осуществлять совместное проектирование ХТС и соответствующей системы управления);  надежность (сохранение работоспособности ХТС в течение заданного времени функционирования);  помехозащищенность (эффективное противодействие внутренним и внешним возмущениям);  устойчивость (способность возвращаться в исходное стационарное состояние после устранения возмущений, вызвавших выход системы из этого состояния).

4

Кроме того, должно прогнозироваться взаимное влияние элементов, объединенных в ХТС (это свойство называется интерэктность), а также возможное появление свойств, которыми не обладают элементы и подсистемы в отдельности (эмерджентность) [1, 2, 3]. Получение информации о поведении ХТС и ее элементов в новых условиях, надкритических (закритических) режимах, на действующем объекте с одной стороны дорого, с другой - может привести к аварийным, подчас катастрофическим ситуациям. Более оправдано проведение таких исследований на этапе проектирования, методом моделирования - изучения объектов, при котором вместо оригинала (интересующий нас объект) эксперимент проводят на его аналоге, модели (например, другой объект), а результаты количественно либо качественно распространяют на оригинал [4,5]. В этом пособии излагаются принципы построения детерминированных математических моделей химико - технологических систем.

5

МОДЕЛИРОВАНИЕ И МОДЕЛИ Моделирование - метод изучения объекта, при котором вместо оригинала эксперимент проводят на его аналоге, модели, а результаты качественно либо количественно распространяют на оригинал. Процесс моделирования должен удовлетворять двум основным требованиям:  эксперимент на модели должен быть проще, быстрее, экономичнее либо безопаснее, чем эксперимент на оригинале;  должно быть известно правило, по которому результаты, полученные на модели, приводятся в соответствие с параметрами оригинала (проблемы, связанные с возможностью количественного переноса результатов опыта с модели на оригинал решаются с помощью теории подобия [6 - 10]). Собственно моделирование начинается с определения границ объекта, подлежащего моделированию, или как говорят, - с выделения объекта из внешней среды. (Во многих случаях этот этап превращается в самостоятельную исследовательскую задачу, которая носит итеративный характер, так как уточнение границ объекта происходит в процессе построения модели). Следующий этап - установление связей изучаемого объекта с внешней средой. Связи типа "среда - объект" называют входными (входами), а связи "объект - среда" - выходными (выходами). Достаточно полный учет связей объекта с внешней средой очень важен на этой стадии построения модели. С одной стороны, каждая упущенная существенная связь создает угрозу того, что параметры выделенного объекта уже не будут соответствовать реальной действительности (т.е. модель окажется неадекватной); с другой - с увеличением числа связей растет сложность и увеличивается громоздкость модели, что является не меньшим недостатком, чем ее неполнота [11]. Поэтому при построении мысленного или материального аналога изучаемого объекта желательно найти компромисс между сложной картиной функционирования ХТС в реальных условиях и достаточной простотой ее отражения в модели. Модель, которая включает представление всех характеристик и особенностей, теоретически присущих данной реальной системе, называется изоморфной. Очевидно, что в тех случаях, когда исследуемая реальная система сложна, создание изоморфной модели невозможно. Тогда прибегают к изучению объектов с помощью неизоморфных (гомоморфных) моделей, которые несколько упрощенно отражают наиболее существенные характеристики процесса функционирования системы. Здесь важно выбрать такой уровень гомоморфизма, при котором еще можно достигнуть достоверных результатов. Этим и вызвано многократное возвращение к этапу выделения объекта из внешней среды при создании модели [11,12]. Если исключить из рассмотрения физические модели, то при изучении сложных объектов (ХТС и их элементы) применяют модели двух классов обобщенные и математические.

6

Обобщенные модели - это качественные модели, используемые для получения общего представления о процессе функционирования ХТС в виде некоторого графического изображения (например, чертежа), либо в форме последовательного словесного описания различных процессов, происходящих в системе в целом и в ее элементах (к этому типу моделей можно отнести технологические регламенты, другую проектно - эксплутационную документацию). Математическая модель является абстрактным и формальным представлением ХТС, изучение которой возможно математическими методами, и представляет собой совокупность математических соотношений в виде формул, уравнений, операторов, логических условий или неравенств, которые определяют характеристики состояния ХТС в зависимости от ее конструкционных и технологических параметров, параметров состояния элементов системы, параметров технологических потоков. Данный тип моделей может быть представлен и в виде графических отображений таких качественных свойств ХТС, по которым можно определить количественные характеристики системы, или графического отображения функциональных соотношений между параметрами и переменными ХТС, которые являются по сути чисто математическими. Существуют два различных подхода к построению математических моделей ХТС. Первый основан на глубоком изучении физико - математической сущности технологических процессов функционирования ХТС и ее элементов и объединяет большой класс детерминированных моделей (и объектов). Определение "детерминированные" означает лишь тот факт, что по условиям решаемой задачи и применительно к свойствам конкретного объекта случайными факторами в данном конкретном случае можно пренебречь. В основе второго – формально - эмпирические математические зависимости в виде регрессионных и корреляционных соотношений между параметрами входных и выходных потоков ХТС, полученные в результате статистического обследования действующего объекта. Математические модели второго типа называются статистическими или стохастическими и базируются на методах теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов. Выбор метода моделирования и соответствующего математического описания зависит от свойств каждой конкретной ХТС. На рис. 1 представлена классификация объектов моделирования в соответствии с их попарно противоположными свойствами, которые влияют на выбор методов моделирования и соответствующего математического аппарата [13]. Непрерывными (континуальными) считаются объекты, выходные переменные (параметры) которых являются непрерывными величинами. Подавляющее большинство реальных ХТС, состояние которых характеризуется макроскопическими физическими величинами (температура, концентрация, давление и т. д.), обладает свойствами непрерывности.

7

Классы моделей и объектов моделирования

В зависимости от внутренних свойств объекта

В зависимости от внутренних свойств объекта и задачи

Непрерывные

В зависимости от метода исследования Аналитические

Детерминированные Дискретные

Идентифицируемые Стохастические

Стационарные

Смешанные Динамические

Нестационарные Статические С сосредоточенными параметрами

С распределенными параметрами

Линейные

Нелинейные

Одномерные

Многомерные

Рис. 1. Классификация моделей и объектов моделирования При математическом описании непрерывных объектов используется главным образом аппарат дифференциальных и интегро - дифференциальных уравнений. Дискретные объекты имеют выходные переменные, которые могут принимать некоторое конечное число известных значений. К таким объектам

8

можно отнести системы клапанов в распределительных устройствах, которые осуществляют коммутацию материальных потоков ХТС и характеризуются двумя состояниями - "открыто" / "закрыто" ("да" / "нет"). Для математического описания таких объектов используют аппарат математической логики и так называемую теорию автоматов [14,15]. С помощью дискретных методов иногда описывают работу непрерывных объектов, создавая непрерывные дискретизованные модели. Свойства стационарности – нестационарности характеризуют степень изменчивости объектов во времени. Свойства сосредоточенности или распределенности параметров (количественных характеристик внутренних свойств системы, например, концентрации, температуры, влажности, изменение ее геометрических размеров и др.) характеризуют объекты с позиции роли, которую играет в их модельном описании пространственная протяженность и скорость распространения в пространстве физических процессов. Если пространственной протяженностью элементов системы можно пренебречь и считать, что независимой переменной, характерной для объекта, является только время, то говорят об объекте с сосредоточенными параметрами (например, процессы, которые протекают в условиях, близких к условиям, создаваемым в аппаратах полного идеального смешения). В пространственно протяженных объектах (например, воспринимающие слои носителей информации, полный объем насадки в адсорберах, абсорберах, ректификационных колоннах и т.д.) необходимо учитывать зависимость характеристик от координат. С математической точки зрения, такие объекты с распределенными параметрами представляют собой поля скоростей, концентраций, температур и т.д., которые существуют в пространственно временном континууме той или иной мерности. Выходные переменные соответствующих моделей являются функциями времени и пространственных координат с их производными. Одним из важнейших признаков, определяющих возможные методы описания, а также выбор подходящего (адекватного) математического аппарата, является деление объектов на детерминированные и стохастические (случайные). Определение "детерминированные" означает лишь тот факт, что по условиям решаемой задачи и применительно к свойствам конкретной ХТС случайными факторами можно пренебречь. Детерминированная (жесткая) модель может быть построена в том случае, когда исходные данные включают только фиксированные значения параметров и функциональную зависимость входящих величин. Обычно "жесткие" модели приводят к системам уравнений в частных производных при описании объектов с распределенными параметрами. Наиболее распространенным типом задач, для решения которых используются детерминированные модели, являются задачи на максимум и

9

минимум. В этих задачах ставится цель нахождения оптимальных характеристик объекта. Поведение жесткой модели можно предсказать однозначно, однако, ввиду сложности некоторых детерминированных моделей могут привлекаться и статистические методы. Для всех реально существующих ХТС объективно присуще свойство стохастичности, и весьма вероятно, что при другой постановке задачи "детерминированный" объект придется рассматривать как "стохастический". Иными словами здесь предполагается, что случайная (при непосредственном наблюдении) изменчивость рассматриваемого объекта обладает свойствами статистической устойчивости (т.е. такие характеристики, как законы распределения случайных величин, их моменты и др. не случайны для данного объекта [16, 17]). Именно эти свойства являются необходимыми условиями адекватного (тождественного) описания стохастического объекта в форме стохастической модели. Понятие динамики связывается с условиями процессов, при которых проявляются инерционные эффекты, определяемые конечной скоростью изменения запасов энергии и вещества, аккумулируемых ХТС, естественным следствием которых является свойство последействия. Если свойство объекта, характер действующих на него переменных и особенности решаемой задачи таковы, что эффектами последействия можно пренебречь, то говорят о статическом состоянии объекта (статистический режим). Деление объектов на линейные и нелинейные заключается в том, что для первых справедлив принцип суперпозиции (наложения), когда каждый из выходов объекта характеризуется линейной зависимостью от соответствующих входных переменных. (Линейность объекта относительно переменных означает, что среди коэффициентов, входящих в его математическое описание, отсутствуют величины, зависящие от переменных, их производных и интегралов; если эти коэффициенты не зависят от времени, то имеют дело с наиболее распространенным случаем - линейной стационарной моделью.) Существенно деление объектов на одномерные (с одним выходом) и многомерные (со многими выходами). Каждый из выходов многомерного объекта зависит от значений нескольких переменных, и таким образом многомерный объект, как правило, является еще и многосвязанным. Классифицировать ХТС и их модели можно как аналитические, основанные на ранее изученных и представленных в математической форме закономерностях объекта, либо идентифицируемые, которые создаются на основе специального экспериментального исследования, связанного главным образом со степенью изученности объекта. Довольно часто (когда аналитических моделей "не хватает") применяют смешанные модели. Объект рассматривают как "черный ящик", внутрь которого заглянуть невозможно, и недостающую информацию извлекают из анализа реакции выходных параметров на изменение входных параметров.

10

Исследователь практически всегда обладает какой - либо информацией об объекте, поэтому ситуация "черного ящика" представляет собой предельный случай. На деле проблема сводится к рассмотрению "серого" или отчасти "прозрачного ящика", что и определяет различные классы постановки задач идентификации объектов [13]. В завершение рассмотрим более подробно вопрос идеализации реальных объектов, непосредственно связанный с построением модели. Под идеализацией понимается выделение определяющих и отбрасывание второстепенных (в условиях данной задачи) черт или характеристик какого либо объекта реальной действительности. Обычно руководствуются тремя следующими приемами:  разделением данной сложной системы на совокупность более простых систем (декомпозиция);  переходом к иной идеализации (от системы с распределенными параметрами к системе с сосредоточенными параметрами и наоборот);  сокращением числа переменных за счет использования безразмерных комплексов [18, 19]. Кроме того, можно попробовать воспользоваться:  снижением размерности задачи (например, от трехмерной к двумерной и т. д.);  использованием свойств детерминированности вместо стохастичности;  заменой переменных константами;  идеализацией свойств среды (переход к свойствам идеального газа, идеальной жидкости и т. п.);  усреднением свойств по объему (идеальное перемешивание) и по направлению (идеальное вытеснение, использование концепции плоских сечений и т. п.);  линеаризацией (использованием линейных зависимостей вместо нелинейных) [11]. С проблемой идеализации тесно связан вопрос о целесообразности уровня математической строгости исследования объектов. Если идеализация все равно не отражает всех деталей объекта, то не имеет смысла стремиться к большой строгости математического описания. Математическая строгость должна соответствовать принятой степени идеализации. Следует иметь в виду, что нестрогое решение и неверное решение - принципиально разные вещи. Теперь дадим одно из возможных определений математической модели: математической моделью реального объекта называется такое его отображение, которое позволяет описать существенные стороны объекта языком математической логики и математических формул.

11

При построении математической модели исходными являются только те свойства объекта, которые могут быть описаны количественно, и только те связи между свойствами, которые поддаются описанию языком математики. Пользуясь данным определением, можно попытаться описать поведение простейших ХТС: например, это может быть аппарат, в котором протекает химико - технологический процесс, качественно (или) и количественно преобразующий физические переменные входных материальных и энергетических потоков x1, x2, …xn в физические переменные выходных материальных и энергетических потоков y1, y2,…ym. Число входных и выходных технологических потоков может быть произвольным - m ≠ n; для любых m и n число физических параметров входных и выходных технологических потоков также может быть неодинаковым. Кроме входных и выходных, различают конструктивные и технологические параметры (переменные), посредством которых осуществляют управление процессом - управляющие переменные u1, u2,…uр, (рис. 2). Х = (x1, x2, …, xm) и Y = (y1, y2, …, yn) - векторы параметров состояния входных и выходных потоков, U = (u1, u2, …, up) - вектор управлений (будем считать, что возмущения v1,, v2, …vq носят чисто случайный характер, поэтому вектор возмущений V = (v1,, v2, …, vq) в дальнейшем включать в рассмотрение не будем). Таким образом, данная простейшая ХТС осуществляет преобразование, которое может быть представлено функциональной зависимостью:

Y  f ( X ,U )

(1)

На практике элементы ХТС редко работают изолированно, обычно они функционируют в составе системы (подсистемы) из нескольких элементов. Для ХТС характерны следующие типы технологических связей между элементами:  последовательная, когда выходящий поток одного элемента является входящим для следующего и все технологические потоки проходят через каждый элемент системы не более одного раза;  параллельная, когда поток, выходящий из i - го элемента ХТС, разбивается на несколько параллельных потоков;  последовательно - обводная (байпас), при реализации которой часть потока минует некоторые элементы системы в последовательной цепи аппаратов, а затем снова объединяется с основным потоком;  обратная технологическая связь (рецикл), связывающая выход последующего элемента с входом предыдущего. По особенностям технологической структуры ХТС подразделяют на разомкнутые, в которых технологические потоки проходят через любой элемент системы только один раз, и замкнутые, содержащие по крайней мере одну циклическую технологическую связь по потокам массы, энергии и т.д., а

12

по особенностям взаимодействия с внешней средой - на открытые и изолированные [2,12]. Рассмотрим ХТС, структура которой отображена на рис. 3. Три ее элемента соединены последовательно. Кроме того, между первым и третьим элементами существует последовательно - обводная технологическая связь (байпас) и два рецикла между вторым и первым, третьим и вторым элементами. На функционирование второго элемента оказывает влияние одно, а на третий два управляющих воздействия. Мы ранее условились, что потоки ХТС будем характеризовать векторными величинами, указывающими расход, температуру, давление, состав среды и т. д. Тогда

X1  ( x11, x21, x31) Y1  ( y11, y21, y31) U1  0 X 2  ( x21, x22 , x23 ) Y2  ( y21, y22 , y23 )

(2)

U 2  (u21)

X 3  ( x31, x32 , x33) Y3  ( y31, y32 , y33 ) , U 3  (u31, u32 ) где Xi Yi Ui представляют собой векторы параметров состояния входных, выходных переменных и уравнений i - го элемента ХТС (1 < i < 3).

13

u1

u2

up

x1

y1

x2

y2

xm

yn

v1

v2

vq

Рис. 2. Элемент ХТС и его характеристики

x31

y22

x11

y11

x12

y21

x22

1

u12

x42

y31

y13 y12 x13

2

x21

y31

y41

u23

3

x32

y23

x32

u13

Рис. 3. Структура абстрактной ХТС из трех элементов, объединенных различными типами технологических связей

14

Можно выделить три типа переменных, которые объединяют элементы в систему:  входные переменные ХТС - это такие входные переменные элементов ХТС, которые не являются выходными переменными любого другого элемента (x11, x12);  выходные переменные ХТС - выходные переменные элементов ХТС, которые не являются входными переменными никаких других элементов (y31, y32);  промежуточные переменные - все остальные. Каждая промежуточная переменная является, с одной стороны, i - й выходной переменной р - го элемента и j - й входной переменной q - го элемента ХТС, с другой стороны. Такие связи задаются соотношением:

x pi  yqj

(3)

Именно эти уравнения описывают структуру ХТС. Например, структура ХТС, представленная на рис. 3, выглядит следующим образом:

x13  y 22 x21  y11; x22  y12 ; x23  y13 ; x24  y33;

(4)

x31  y21; x32  y14 ; Математическое описание выходной переменной k – го элемента любой ХТС согласно (1) должно иметь вид:

yk  f k ( xk1....xkm , uk1....ukp )

(5)

Для ХТС, схема которой изображена на рис. 3, математические описания ее элементов будут выглядеть следующим образом: - для первого элемента:

Y11  f11( X11, X12, X13) Y12  f12 ( X 11, X 12 , X 13 )

Y13  f13 ( X 11, X 12 , X 13 ) Y14  f14 ( X 11, X 12 , X 13 )

15

- для второго элемента:

Y21  f 21 ( X 21, X 22 , X 23 , X 24 ,U 21 )

Y22  f 22 ( X 21, X 22 , X 23 , X 24 ,U 21 )

(6)

- для третьего элемента:

Y31  f 31 ( X 31, X 32 ,U 31,U 32 )

Y32  f 32 ( X 31, X 32 ,U 31,U 32 )

Y33  f 33 ( X 31, X 32 ,U 31,U 32 ) Таким образом, математическая модель ХТС представляет собой систему уравнений технологических связей элементов ХТС (4), рассмотренную совместно с математическими описаниями отдельных ее элементов (6). Условимся далее в рамках настоящего пособия рассматривать примеры разомкнутых ХТС, элементы которых соединены друг с другом лишь последовательными технологическими связями. РЕАКТОРЫ Сущностью или основой любого производственного процесса является технологический процесс. Технология есть содержание, а техника (оборудование, конкретное воплощение технологии) — форма; они составляют диалектическое единство всякого производства. Техника является материальным носителем определенной технологии. Этим обусловлено многообразие технических подходов к решению одной и той же технологической задачи [20]. Роль математического моделирования - в выборе оптимального, наиболее обоснованного технического решения, позволяющего достигнуть высокой эффективности функционирования оборудования в каждом конкретном случае. Этот выбор можно осуществить посредством анализа результатов, полученных на моделях, в управляющих переменных которых "прошиты", заложены, запрограммированы конструкционные и технологические изменения, которые соответствуют анализируемым техническим подходам. Целью настоящего пособия не являлось рассмотрение всего многообразия типов устройств, которые используются в различных областях химической технологии, поэтому ограничимся процессами, протекающими в наиболее представительном классе химических аппаратов, — химических реакторах.

16

Любой химический реактор в зависмости от метода его использования может являться либо открытой системой (открытой называется система, которая обменивается веществом с окружающей средой), либо изолированной системой (в которой обмен веществом с окружающей средой отсутствует). Существуют два основных режима работы химических реакторов периодический и непрерывный (в ряде случаев осуществляются промежуточные, полунепрерывные режимы). Аппарат, работающий в периодическом режиме, может быть и замкнутой, и открытой системой. Непрерывно работающий реактор - обязательно открытая система, важнейшей особенностью которой является наличие в ней потоков. С этим связан ряд особенностей, чрезвычайно сильно влияющих на протекание реакций. Это и неодинаковость времени пребывания частиц реагентов и продуктов в реакторе (одни находятся в зоне реакции дольше, другие — меньше), это и различие значений температуры, концентраций, а, следовательно, и скоростей реакций в различных частях реактора. Реактор непрерывного действия может работать либо в стационарном, либо в нестационарном режимах. Стационарным называется режим, все параметры которого не изменяются во времени; в любой точке все скорости, концентрации и температура остаются постоянными. В нестационарном режиме хотя бы часть параметров меняется во времени. В непрерывно действующих аппаратах нестационарными являются переходные процессы, возникающие при изменении параметров работы реактора (при возникновении случайных возмущений либо в целях управления). Одним из важнейших показателей оптимальности реактора является его интенсивность, которая характеризуется количеством целевого продукта, получаемого в единицу времени при заданных условиях с единицы объема (площади поверхности) аппарата. Поэтому главной задачей при изучении процессов, протекающих в реакторах любого типа, является установление функциональной зависимости времени пребывания реагентов в объеме реактора от различных факторов:

  f ( x, y, r ) , где

τ — время пребывания реагентов (продуктов) в объеме реактора; x — заданная степень превращения реагента; c — начальная концентрация реагента; r — скорость химической реакции. Уравнение (7) называется характеристическим уравнением реактора.

(7)

17

Исходным уравнением для получения характеристического уравнения реактора любого типа является уравнение материального баланса:

G

i

0 ,

(8)

где Gi — массовый расход вещества i-того потока. Составим материальный баланс по исходному веществу (реагенту) при условии, что в изучаемой ХТС протекает простейшая необратимая реакция

A B Тогда уравнение материального баланса по веществу А запишется согласно (8) следующим образом:

GAп р и х  GAр а сх , где

Gприх. —массовый расход А, поступающего в единицу времени в реактор; Gрасх. —массовый расход А, "исчезающего" из реактора. Поступающее в реактор вещество расходуется в трех направлениях:

Gприх  G реакт  Gвых  Gнак , где

(9)

(10)

G реакт — количество вещества А, вступающее в химическую реакцию в

объеме реактора в единицу времени; Gвых — количество вещества А, выходящее из реакционного объема в единицу времени (которое не успело прореагировать и унесено потоком); Gнак — количество вещества А, которое остается (накапливается) в реакционном объеме в единицу времени. В каждом конкретном случае уравнение материального баланса принимает различную форму. Оно может составляться для единицы объема реакционной массы либо для реактора в целом. Материальные потоки рассчитывают, относя их к единице времени, к единичному количеству (например, к одному молю) одного из веществ, вступающих в реакцию, либо образованных в результате ее протекания и т.д. Когда состав, температура и другие параметры не постоянны в различных точках реактора или не постоянны во времени, материальный баланс составляют в дифференциальной форме для элементарного объема реактора. В результате получают уравнение конвективного массообмена [21], дополненное составляющей, которая учитывает протекание химической реакции.

18

Составленное по веществу А (необратимая реакция протекает по схеме A  B ), оно имеет вид:

C A C A C A C A  Wx  Wy  Wz   x y z  D(

 CA  CA  CA   )  rA x 2 y 2 z 2 2

2

2

(11)

где

СA — концентрация А в реакционной смеси; x, y, z — пространственные координаты; Wx, Wy, Wz — составляющие скорости потока вдоль осей координат; D — коэффициент молекулярной и турбулентной диффузии; rA — скорость химической реакции по компоненту А. Первая группа членов правой части уравнения (11), которая представлена произведениями составляющих скорости потока вдоль осей координат на градиенты концентраций, отражает изменение концентрации А в элементарном объеме вследствие его переноса вместе со средой в направлении движения общего потока (например, в результате перемешивания реакционной массы). Вторая группа членов отражает изменение концентрации А в элементарном объеме в результате переноса его путем диффузии. И, наконец, составляющая rA учитывает изменение концентрации А за счет химической реакции. В зависимости от типа реактора и режима его работы уравнение (11) может иметь различную форму. Например, если при нестационарном режиме данное уравнение необходимо рассматривать в неизмененном виде, то в стационарных условиях:

C A 0 

(12)

Уравнение материального баланса является исходным для составления математической модели реактора любого типа, однако оно не позволяет учитывать тепловой режим в аппарате и влияние температуры на статику и динамику процесса. Поэтому при моделировании работы реакторов и многих других видов химического оборудования материальный баланс должен рассматриваться совместно с тепловым балансом. Для упрощения изложения дальнейшего материала условимся, что все рассматриваемые процессы протекают в условиях, когда тепловой баланс можно не учитывать (например, когда процесс протекает без поглощения или выделения тепла). В основу деления аппаратов на различные типы положен анализ структуры материальных потоков в их рабочих объемах. Выделение наиболее

19

характерных черт их поведения привело к введению понятия об идеальных аппаратах. Идеальные аппараты, как и любая идеализация, — это абстракция, которую бывает весьма сложно осуществить на практике. Однако ясность физической картины и простота математического описания идеальных аппаратов чрезвычайно удобны для анализа протекания химических процессов в потоке. Обычно рассматривают два типа идеальных реакторов. Первый характеризуется тем, что поток в нем движется совершенно равномерно. Все частицы жидкости имеют одинаковую скорость и, следовательно, одинаковое время пребывания в объеме реактора. Фронт потока движется как твердый поршень. Это аппарат идеального вытеснения, или аппарат с ―поршневым‖ течением. Конструктивно реактор идеального вытеснения представляет собой трубу с большим отношением длины L к ее диаметру D:

L  20 D

(13)

Исходные реагенты превращаются в продукты реакции по мере их перемещения вдоль реактора (рис. 4). Гидродинамический режим такой ХТС характеризуется тем, что любая частица движется только в направлении основного потока в реакторе; обратное перемешивание отсутствует, отсутствует также перенос вещества по сечению, перпендикулярному (радиальному) направлению основного потока. Следствием такого режима движения реакционной массы является одинаковое время пребывания ее частиц в объеме реактора. Поскольку в реакторе идеального вытеснения реакционная смесь движется только в одном направлении (вдоль оси реактора), то для первой аддитивной составляющей уравнения (11), которая представляет собой группу членов, учитывающих изменение концентрации реагентов вследствие переноса вместе со средой в направлении движения общего потока (при условии, что поток движется вдоль оси Х), можно записать:

20

G

D

G

CA

C A0 L

CA0

CA L Рис. 4. Схема реактора идеального вытеснения и изменение концентрации реагента А по его длине. (G — расход реагента А)

C A 0 y C A  Wz 0 z  Wy

(14)

Так как каждый элемент объема реакционной смеси в реакторе не смешивается ни с предыдущими, ни с последующими объемами, а также отсутствует радиальное перемешивание, т.е. нет ни продольной, ни радиальной диффузии, то

 2C A  2C A  2C A D(   )0 x 2 y 2 z 2

(15)

Тогда уравнение (11) для реактора идеального вытеснения примет вид:

C A C A  Wx  rA  x

(16)

Это уравнение материального баланса является математическим описанием поведения потока реагента в реакторе идеального вытеснения при

21

нестационарном режиме. Такой режим характерен для периода пуска и остановки реактора, в присутствии возмущений и управляющих воздействий. C A Составляющая характеризует изменение концентрации реагента А  во времени для данной точки реактора. Оно зависит как от конвективного переноса вещества, так и от изменения его количества в ходе химической реакции (rА). Стационарный режим характеризуется тем, что параметры в данной точке реакционного объема не меняются во времени. Тогда с учетом (12) уравнение (16) примет вид:

Wx

CC  rA , x

(17)

т.е. при стационарном режиме изменение массового потока вещества в данной точке реактора равно скорости его изменения в химической реакции. Согласно классификации объектов и их моделей, которая была представлена в главе 1, рассматриваемую модель можно отнести к классу аналитических, детерминированных, непрерывных, с распределенными параметрами. Реакторы идеального вытеснения — аппараты непрерывного действия. Другой полярный тип идеального реактора - это аппарат идеального смешения. Такой реактор может функционировать как периодически, так и непрерывно. Реактор идеального смешения периодического действия представляет собой емкость с мешалкой. Мощность мешалки обеспечивает такую интенсивность перемешивания, что в каждый данный момент времени концентрация реагентов одинакова по всему объему реактора и меняется лишь во времени, по мере протекания химической реакции (рис. 5). Так как реакционная смесь интенсивно перемешивается, все параметры в реакторе данного типа одинаковы по всему его объему в любой момент времени. Это означает равенство нулю производных любого порядка от концентрации, т.е.

C A C A C A  Wy  Wz 0 x y z

(18)

 2C A  2C A  2C A D(   )0 2 2 2 x y z

(19)

 Wx

22

N A ,CA

N A0 , CA0

Рис. 5. Схема реактора идеального перемешивания периодического действия. N A0 , C A0 — начальное количество и исходная концентрация реагента А в реакционной смеси (при загрузке в реактор); N A , C A — то же в момент времени τ С учетом (18,19) уравнение (11) упрощается и может быть записано не в частных производных, а в виде обыкновенного дифференциального уравнения:

dC A  rA d

(20)

Уравнение (20) справедливо для реакций, идущих при постоянном объеме в замкнутой системе. В самом деле: скорость химической реакции есть изменение количества (числа молей) реагентов в результате химического взаимодействия в единицу времени в единице объема (для гомогенных реакций) или на единицу поверхности (массы) для гетерогенных процессов. В соответствии с этим определением скорость гомогенных химических реакций равна:

r

1 dN V d

(21)

,

где

V — объем реактора; dN — изменение количества реагента (продукта). Эффективное количество вещества, присутствующее реакционной смеси на момент времени τ, есть:

в

объеме

23

N i  CiVi ,

(22)

поэтому

r

1 d (CV ) 1 VdC  CdV  V d V d

(23)

dC C dV  d V d

(24)

или

r

Для реакций, протекающих в реакторе идеального перемешивания периодического действия (система замкнутая, объем постоянен), последнее слагаемое в уравнении (24) обращается в нуль, что приводит к уравнению (20) [9]. В отличие от реактора идеального перемешивания периодического действия реактор идеального перемешивания непрерывного действия – система открытая, т.е. подвод реагентов и отбор продуктов происходит непрерывно (рис. 6). Благодаря интенсивному перемешиванию потоков мгновенно устанавливается одинаковая по всему объему реактора концентрация исходных реагентов (Сi), равная их концентрации на выходе из реактора. Резкое изменение концентрации при попадании реагентов в реактор происходит за счет мгновенного смешения с реакционной массой, где их концентрация значительно ниже, чем в питающем потоке. Величина перепада между начальными и конечными концентрациями исходных реагентов ( Сiвх , Ciвых ) зависит при прочих равных условиях от скорости химической реакции. Чем она выше, тем меньше концентрация реагентов в реакторе и больше перепад их концентраций относительно входного потока ( Сiвх  Ciвых ). С другой стороны, при одной и той же скорости реакции величина перепада зависит от среднего времени пребывания реагентов в реакторе θ; если в реакторе периодического действия можно задать либо измерить продолжительность реакции, то в реакторе непрерывного действия это сделать невозможно (так как при установившемся режиме параметры не меняются со временем).

24

Сiвх , Giвх

Ciвых , Giвых

Ci

V

Рис. 6. Схема реактора идеального перемешивания непрерывного действия: Сiвх , Ciвых — концентрации веществ в потоках на входе в реактор и на выходе из реактора на время τ; Giвх , Giвых — их расходы во входном и выходном потоках; V — объем реактора (реакционной смеси)

Поэтому для непрерывных реакторов принято пользоваться понятием условного, либо среднего времени пребывания реагентов в системе (времени контакта), которое определяется следующим отношением:



V , G

(25)

где

θ — среднее время пребывания; V — объем реактора; G — объемный расход реагентов. Чем больше θ, тем полнее происходит реакция и тем ниже концентрация реагентов в реакционной смеси. Рассмотрим материальный баланс веществ в реакторе идеального перемешивания непрерывного действия, схема которого представлена на рис. 6. Пусть в реакторе протекает необратимая мономолекулярная реакция первого порядка согласно схеме: k A  B

Тогда изменение количеств веществ в реакторе за время dτ будет равно:

25

VdC A  Gвх C A0 d  GвыхC A d  q Axp d VdC B  Gвх C B 0 d  GвыхC B d  q Bxp d

(26)

Первое слагаемое в правых частях уравнений (26) учитывает поступление веществ (реагентов и продуктов) в аппарат (в данном конкретном случае C B 0 = 0), второе - их выведение из зоны реакции совместно с продуктами (так как не все вещество успевает прореагировать). Третье слагаемое позволяет описать изменение их количеств за счет химической реакции (qAxp и qBxp – количества реагента и продукта, которые поглощаются либо выделяются за счет протекания химической реакции в единицу времени). Если реакция протекает при постоянном объеме, то

Gвх  Gвых  G

(27)

В аппаратах идеального перемешивания область химических превращений веществ ограничена объемом реактора, а концентрации реагентов в любой его точке равны, поэтому

C A  C Aвых , C B  C Bвых

(28)

Тогда изменение количеств веществ в реакторе за время τ будет равно:

VdC A  (C Aвх  С A )G  q Axp d VdC B ,  (CBвх  СB )G  qBxp d

(29)

а с учетом (25)

dC A (C Aвх  С A )   rA d  dC B (C Bвх  С B ) ,   rB d 

(30)

26

где

ri 

qi V

- скорость химической реакции по i – му компоненту.

СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Аналитические методы составления математического описания базируются на изучении характера изменения и количественной оценке скоростей физико - химических процессов, протекающих в исследуемом объѐме. К числу основных процессов в типовых ХТС и их элементах относятся:  перемещение вещества (гидродинамика);  перенос тепла и массы (тепло- и массопередача);  химические превращения. Изучением закономерностей протекания последних во времени занимается химическая кинетика [22 - 26]. В самом общем случае процесс расходования исходных веществ (реагентов) и образования новых веществ (продуктов) можно описать следующим уравнением:

ri  f i (C1 ( ), C2 ( ),...C4 ( ), , P, T ) , где

(31)

ri — скорость химической реакции по i-тому компоненту (реагенту либо продукту); Ci ( ) — концентрация (количество) i-того вещества в момент времени τ; Р, Т - давление и температура, при которых проводится реакция. Полагают, что наблюдаемая химическая реакция состоит из ряда элементарных актов взаимодействия, в результате которых образуются неустойчивые промежуточные вещества (интермедиаты). Последовательность таких элементарных актов называется механизмом реакции. Установление механизма реакций является исключительно сложной задачей из - за трудностей измерения концентраций промежуточных продуктов, которые образуются в довольно малых количествах. Поэтому уравнения (31) чаще всего не отражают истинного механизма реакции, а учитывают изменение концентраций (количеств) только тех веществ, которые образуются в заметных, измеримых количествах ( т.е. в механизм реакции включают лишь те акты взаимодействия, в результате которых образуются устойчивые вещества). В зависимости от степени изоморфизма наших представлений об изучаемых реакциях, в современном учении о химической кинетике можно выделить ряд разделов. Классификация основных разделов кинетики приведена на рис. 7.

27

Кинетика элементарных химических актов (теория абсолютных скоростей) изучает механизмы реакций и взаимодействие реагентов на атомно молекулярном уровне [24, 27] и базируется на использовании методов квантовой и статистической механики. К настоящему времени изучены механизмы довольно узкого круга химических превращений. Хорошей иллюстрацией этому может служить механизм радиолиза воды (до конца не установленный), который насчитывает более двадцати элементарных стадий [28]. Макроскопическая кинетика изучает процессы образования веществ, в которых наряду с химическими реакциями учитываются явления диффузии. К этому кругу явлений относятся такие, которые учитывают закономерности проникновения молекул реагентов в поры твердого вещества (внутренняя диффузия), выравнивания концентраций по объему жидкости или газа (внешняя диффузия) и влияние скорости диффузии на скорость химического превращения. Это диффузионная кинетика. Другим объектом исследований данного раздела является адсорбционная кинетика, которая изучает скорости изменения количества вещества с учетом физико - химического процесса адсорбции (десорбции). Иначе говоря, в макроскопической кинетике рассматриваются многостадийные гетерогенные процессы, у которых скорости диффузионных или адсорбционных явлений и скорости химических превращений соизмеримы [5]. И, наконец, экспериментальная, феноменологическая кинетика. Это направление кинетики базируется на экспериментальном изучении реакции. Одной из основных задач данного раздела является подбор вида функций fi в уравнениях (31), которые удовлетворительно аппроксимируют результаты опытов при различных концентрациях реагентов, давлениях, температурах и т.д. В уравнениях (31) фигурируют только те переменные, которые можно наблюдать (измерять) при проведении эксперимента. Термин "феноменологический" можно трактовать как "наблюдательный", "эмпирический".

28

Химическая кинетика

Экспериментальная (феноменологическая, эмпирическая, формальная) кинетика

Кинетика элементарных актов

Кинетика химических реакций

Макроскопическая кинетика

Кинетика простых реакций

Диффузионная кинетика

Кинетика сложных реакций

Адсорбционная кинетика

Рис. 7. Классификация основных разделов кинетики Механизм реакции обычно считается известным (принятый механизм), формально протекающим по заданной схеме, поэтому синонимом определения этого раздела кинетики как экспериментальной, феноменологической, может служить определение ―формальная кинетика”. Кинетический эксперимент начинают с анализа кинетических кривых, графического представления зависимостей изменения концентраций (количеств) реагентов (продуктов) от времени. Обычно они строятся в координатах концентрация – время. Предметом изучения могут выступать и

29

уравнения кинетических кривых — математические выражения, которые представляют собой описание поведения исследуемого вещества во времени, выраженное в аналитической форме. Для эмпирического описания этих зависимостей можно использовать следующие функции [25,29]:

C  C0  a1  a2 2  a3 3  ... lg C  lg C0  a1  a2 2  ... 1 1   a1  a2 2  ... C C0

(32)

C  a1  e  a2 C  (a1  a2 2  ...)  e a3 , где

С0, С - начальная и текущая концентрации компонента; τ — время; а1, а2, а3 — эмпирические коэффициенты. Изучение формы кинетических кривых, зависимостей их первой и второй производных от времени приводит к уточнению принятого механизма реакции, выявлению его лимитирующих стадий, позволяет выбрать наиболее адекватный вид кинетического уравнения (32), оценить скорости расходования реагентов и скорости образования продуктов, определить ряд других кинетических параметров. Рассмотрим процесс, который состоит из n реакций (стадий). Скорость j-той реакции rkj можно измерить по изменению массы k-го компонента за единицу времени. Скорость гомогенных реакций относят к единице объема V реакционной среды и определяют как количество компонента, прореагировавшее или образовавшееся за единицу времени в единице объема.

rkj

dmkj  Vd 

(33)

В случае гетерогенных реакций, которые протекают на поверхности раздела фаз, скорость относится не к единице объема, а к единице поверхности F

rkj 

dmkj Fd

(34)

30

Эти определения справедливы для любых реакционных устройств, но их количественная аналитическая запись зависит от условий проведения реакции. Так, для реактора идеального перемешивания периодического действия согласно (33):

rkj  где

dmkj Vd



d (mkj / V ) d



dCkj d

,

(35)

dmkj — изменение массы k-того вещества в ходе j-ой реакции; dCkj — изменение его концентрации в ходе j-ой реакции. dmkj отрицательно для реагента и положительно для продукта, поэтому

dC kj d dC kj d

 rkj

— для k - го реагента в ходе j-ой реакции;

  rkj

— для k - го продукта в ходе j-ой реакции.

Химические реакции условно можно разделить на простые и сложные. Реакцию будем называть простой, если скорость образования (расходования) i-того вещества зависит от концентрации только исходных веществ. Принятые или истинные механизмы простых реакций учитывают только один путь химического превращения (одностадийные реакции). В случае сложных реакций их скорость зависит от концентрации исходных, а также промежуточных или образующихся веществ, а механизм учитывает несколько путей химических превращений (обратимые, последовательные, параллельные, разветвленные реакции и т.д.). Скорость j - ой простой реакции, которая протекает по стехиометрическому уравнению:

1 R1  ...   k Rk  ...  1P1  ...   p Pp  ...

(36)

можно выразить по разным компонентам. Изменения масс компонентов связаны стехиометрическим уравнением посредством соотношений:

31



dm p



rp

dmk

k

(37)

p

и, следовательно,

rk

k

p

,

(38)

где  k ,  p — стехиометрические коэффициенты. То есть, если измерена скорость простой реакции по k - тому компоненту, легко рассчитать скорость реакции по любому другому p - тому компоненту. Например, для реакции гидродеалкилирования ксилола, которая протекает по схеме:

C6 H 4 (CH 3 )2  2H 2  C6 H 6  2CH 4

(39)

rCH4  2rC6H4 (CH3 )2  rH2  2rC6H6 Следует отметить, что для любой реакции например такой, которая описывается стехиометрическим уравнением (36), существует бесконечное число наборов υi , удовлетворяющих условию ее материального баланса n

 C i 1

i

i

0

(40)

Поэтому в качестве стехиометрических коэффициентов принято рассматривать наименьшие целочисленные значения υi. Кинетические исследования показали, что на величину rkj влияют различные факторы. Основными из них являются температура, давление, концентрации реагирующих веществ, наличие и количество катализатора в единице объема реактора (насыпная плотность), его удельная поверхность и активность.

концентрация, усл. ед.

32

2,0 Са (1)

1,5

Св (1) Са (2)

1,0

Св (2)

0,5

Са (3) Св (3)

0,0 0

5

10

15

время, усл.ед.

Рис. 8. Влияние соотношения стехиометрических коэффициентов на форму кинетических кривых реагента (Са) и продукта (Св) (реакция протекает по схеме: 1 - А→В; 2 - А→2В; 3 - 2А→В) Вид зависимости скорости химических реакций от перечисленных аргументов (31) называют кинетическим уравнением. В большинстве случаев кинетические уравнения автономны (т.е. в их правую часть не входят время и параметры, определяющие геометрические размеры реактора):

dC j d

 k (T )  f j (C1 , C2 ,...Cn )

(41)

Обычно вид правых частей уравнений (41) выбирается исследователем; обоснованность выбора доказывается возможностью применения этих уравнений при обработке экспериментальных данных. Часто функция fj в уравнениях (41) носит характер степенной зависимости n

f j (C1, C2 ,...Cn )   Ci i 1

i

,

(42)

в основе которой лежит основной постулат химической кинетики — закон действующих масс. Закон действующих масс утверждает, что скорость простой гомогенной химической реакции прямо пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ. Показатели степеней μi называют порядками реакций по веществам Ri, а

33

n

 i 1

i

 j

— общим порядком j - й реакции. Если реакция протекает в идеальных условиях и истинный механизм ее состоит из одного элементарного акта превращения, то выражение (42) строго описывает зависимость скорости реакции от концентраций реагентов. В этом случае порядки реакции μj равны стехиометрическим коэффициентам υi веществ и определяют, сколько молекул реагентов должно столкнуться одновременно для осуществления элементарного акта превращения (молекулярность реакции). Вероятность одновременного столкновения четырех молекул близка нулю, поэтому общий порядок реакции μj обычно удовлетворяет неравенству: 0 < μi < 3 Большинство реакций может быть разбито на ряд стадий, которые являются или мономолекулярными реакциями (в которых отдельная молекула распадается на части, либо претерпевает различные структурные изменения), или би – три - молекулярными реакциями. К числу таких реакций относится большинство гомогенных и все гетерогенные химические процессы. Для данного типа химических превращений применение основного постулата химической кинетики строго не обосновано, а уравнение (42) следует рассматривать как аппроксимирующее выражение, посредством которого пытаются удовлетворительно описать экспериментальные данные. Это уравнение, естественно, не учитывает истинного механизма реакции, и поэтому называется уравнением формальной кинетики. При его составлении используется принятый механизм реакции. (В этом случае порядок реакции будет отличаться от молекулярности отдельных стадий: порядок является величиной эмпирической и получается из закона скорости, молекулярность же характеризует предложенный механизм). Так как в уравнениях формальной кинетики величины порядков реакций не имеют физического объяснения и подбираются из опытных данных выражением типа (42), величины μi могут быть дробными числами и 0 < μi < 3, 0 < μj < 3 (рис. 9).

Концентрация, усл.ед.

34

1.0 Ca (p1)

0.8

Cb (p1) Ca (p2)

0.6

Cb (p2) Ca (p3)

0.4

Cb (p3) Ca (p4)

0.2

Cb (p4)

0.0 0

5

10

15

Время, усл.ед.

Рис. 9. Влияние порядка реакции на форму кинетических кривых реагента (Са) и продукта (Св). (реакция протекает по схеме А→В в предположении, что порядок по реагенту: p1 – 0,5; p2 – 1; p3 – 1,5; p4 - 2) Скорости большинства реакций с повышением температуры увеличиваются (рис. 10). В среднем скорость увеличивается в 2 – 4 раза на каждые 100 увеличения температуры (правило Вант - Гофа). Имеются исключения, но большинство простых реакций подчиняется этому правилу. В уравнении (41) концентрации веществ, вступающих в реакцию, не зависят от температуры в явном виде; их порядки также, как правило, остаются неизменными. Учет температурной зависимости скорости реакции возлагается на функцию к(Т), которая определяет значение константы скорости реакции. Чаще всего она задается уравнением Арреннуса:

 E  k (T )  A0  exp  a ,  RT  где

(43)

A0 -предэкспоненциальный множитель; Еa- энергия активации; R- универсальная газовая постоянная; Т- абсолютная температура.

Величины A0 и Еa зависят от свойств веществ, вступающих в реакцию, от наличия в реакционной смеси катализаторов (промоторов и ингибиторов).

35

Кроме того, они зависят от температуры, но эта связь ощутима только при больших значениях Т и учитывается крайне редко. Замечания:  хотя формальная кинетика не занимается объяснением физического смысла величин A0 и Еa, однако следует помнить, что к(Т) определяется их совокупностью, поэтому чем больше энергия активации, тем сильнее скорость реакции зависит от температуры;  равнение (43) справедливо для реакций, протекающих в идеальных условиях, механизм которых состоит из одного элементарного акта превращения;  опытным путем было установлено, что уравнение Аррениуса также удовлетворительно аппроксимирует зависимость скорости реакции от температуры для реакций с более сложными механизмами. Ca (T1)

1.0

Cb (Т1)

Концентрация, усл. ед.

Ca (T2) 0.8

Cb (Т2) Ca (T3) Cb (Т3)

0.5

Ca (T4) Cb (Т4)

0.3

Ca (T4) Cb (Т4)

0.0

Ca (T5) 0

2

4

6

8

10

Cb (Т5)

Время, усл. ед.

Рис. 10. Влияние температуры на форму кинетических кривых (реакция протекает по схеме А→В, T1
 Ea  n  A0* exp  * Ciμi  dτ  R*T  i 1

dC j

(44)

При протекании сложной химической реакции между n веществами может происходить m простых реакций. Тогда ее материальный баланс должен задаваться системой из m стехиометрических соотношений.

36

В отличие от простых реакций для всех типов формально сложных реакций понятие общей скорости реакции не имеет смысла. Реакция состоит из ряда стадий. Каждая из них имеет свою скорость, и нельзя достаточно естественным образом определить, что такое скорость всей сложной реакции в целом. В то же время любое из участвующих в реакции веществ образуется или расходуется с определенной скоростью. Поэтому скорость сложной реакции по любому веществу j равна алгебраической сумме скоростей всех стадий по этому веществу (с учетом его стехиометрического коэффициента в i – й стадии): m

rj  ij ri i 1

(44)

,

где νij — стехиометрические коэффициенты j – го компонента в i – й стадии. Тогда с учетом (42), (43): pi  Eai  ki rj  ij * A0i * exp  * C  ki  R * T  k 1 i 1 m

где

,

(45)

νij — стехиометрические коэффициенты j – го компонента в i – й стадии; A0i - предэкспоненциальный множитель и Еai - энергия активации (параметры уравнения Аррениуса, которое описывает зависимость скорости i – й стадии от температуры); Cki, μki – концентрации и порядки реакции k – го компонента в i – й стадии; pi – общее число компонентов, которые оказывают влияние на скорость i – й стадии химической реакции R- универсальная газовая постоянная; Т- абсолютная температура.

37

ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Система ‘МatLab’. Назначение системы ‘МatLab’ Созданная в середине семидесятых годов система Matlab предназначалась для решения задач в матричном виде. На сегодняшний день области применения среды существенно расширились:  разработка и тестирование алгоритмов;  математическое моделирование;  анализ данных;  разработка интерфейса пользователя. Matlab – это одновременно и операционная среда, и язык программирования, позволяющие создавать специализированные функции, оформленные в виде m-файлов. Основной сферой применения системы является математическое моделирование, для проведения которого в среде Matlab реализованы два известных подхода – статистический и детерминированный [30]. Работа с системой ‘МatLab’ при построении детерминированных моделей ХТС Рассмотрим принципы математического моделирования ХТС на примере простой мономолекулярной необратимой реакции термического распада димера двуокиси азота – азотноватой окиси (N2O4), протекающей по схеме: 140 C N 2O4 t   2 NO2 0

Для постановки задачи Коши необходимо задаться начальными условиями, которые в нашем случае будут иметь следующий вид:  начальная (на время t=0 с) концентрация реагента – N2O4 = 1 моль/л;  продукта – NO2 = 0 моль/л;  константа скорости реакции k = 0.25 с-1. Реакция проводится в реакторе идеального перемешивания периодического действия, тогда согласно уравнениям 18 – 20 математическое описание процесса в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть следующим образом:

38

 dCN2O41 0 .25С1N O 2 4  dCNOdτ21 0 . 252С 1 N 2O4  dτ

(46)

Знание упрощенной схемы химического процесса и условий его прохождения позволяет окончательно сформулировать задачу Коши. Решение систем дифференциальных уравнений в системе Matlab осуществляется с помощью стандартных внутренних функций, основанных на следующих методах:  ode23 – алгоритм, реализующий формулы Рунге Кутта 2-го и 3-го порядка (используется для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений умеренной жесткости и при низких требованиях к точности решения);  ode45 –метод, реализующий формулы Рунге Кутта 4-го и 5-го порядка (классический метод решения систем дифференциальных уравнений, рекомендуемый для начальной пробы решения);  ode113 – многошаговый метод, реализующий формулы Адамса – Башворда – Мултона переменного порядка (применяется при необходимости высокой точности решения);  ode15s – многошаговый метод, реализующий формулы численного дифференцирования переменного порядка (от 1 до 5);  ode23s – одношаговый метод, реализующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка (обеспечивает высокую скорость вычислений при низкой точности);  ode23t – метод трапеций с интерполяцией;  ode23tb – неявный метод Рунге Кутта в начале решения и метод, использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка. Представленные методы реализованы в программе ODE_solution (приложение 1), позволяющей моделировать поведение динамических систем, заданных системами дифференциальных уравнений. Текст программы ODE_solution можно разбить на следующие блоки: а) определение начальных условий для постановки задачи Коши: %1 Xl = 0;2 1 2

Символ % является началом строки комментария и не обрабатывается интерпретатором как командная строка. Символ ; является символом окончания командной строки.

39

step = 0.5; Xh = 15; Xb = [0]; Yb(1) = 1; Yb(2) = 0; В данном случае зависимые переменные – Yb(1) и Yb(2) являются концентрациями реагента и продукта соответственно на время t=0, а независимая переменная - время, изменяется в диапазоне от 0 до 15 с шагом 0.5, что задается с помощью переменных Хl, Xh и step соответственно. В программе реализована возможность получения результатов моделирования на заданные отсчеты времени, для этого необходимо задать соответствующий вектор значений в переменной «Xb», присвоив переменной Xh значение ноль. б) определение правых частей системы дифференциальных уравнений: dy = zeros(2,1); dy(1,1) = -0.25*y(1,1); dy(2,1) = 0.25*y(1,1); Данный блок находится в подфункции equationsystem, которой после определения параметров решателя передаются начальные условия задачи Коши. Как следует из записи для размерности матрицы решения – dy = zeros(2,1), соответствующие значения концентраций записываются в неѐ в виде вектора – столбца, поэтому необходимо, чтобы еѐ размерность соответствовала количеству дифференциальных уравнений системы. в) выбор типа решателя и передача ему начальных условий: S = 2; [X1, Y1] = ODE_solution (Yb, Xb, Xl, step, Xh, S); Переменная S назначает в функции ODE_solution тип решателя, соответствующий номеру переключателя (блок команд switch-case-otherwiseend) (см. приложение 1, определение подфункции ODE_solution), например, присвоение данной переменной значения равного двум означает выбор решателя ode45, который соответствует методу Рунге-Кутта 4-го 5-го порядков, также функции ODE_solution необходимо передать следующие значения:  Yb – вектор начальных условий для системы дифференциальных уравнений;

40

 Xl, step, Xh – параметры дифференцирования;  Xb – вектор отсчетов (при необходимости). Результатом работы функции являются: X1 – вектор времени и Y1 – матрица решений системы дифференциальных уравнений, полученные на заданные значения времени. Размерность матрицы Y1 зависит от длины вектора отсчетов времени и количества уравнений, которые описывают моделируемую систему, и, следовательно, и от длины вектора начальных условий Yb. г) визуализация решения системы уравнений: X = [X1]; Y = [Y1]; figure, plot(X,Y(:,1),'k-',X,Y(:,2),'k-.'), legend('Ca','Cb'); Операторы блока расположены в логически обусловленной последовательности: первой вызывается функция рисования формы для вывода графической информации – figure. Во вторую очередь - функция рисования линий plot, которой в качестве аргументов передаются векторы одинаковой длины (в данном случае – времени X, концентраций реагента – Y(:,1) и продукта – Y(:,2), а в выражении, заключенном в апострофы, определяется тип линии: ‘k’ черного цвета (black), ‘-’ непрерывная и ‘-.’ – штрих пунктирная. Функция legend ставит в соответствие построенным кинетическим кривым названия переменных. д) запись результатов решения в текстовый файл: fid(1) = fopen('название файла.txt', 'w'); Result = [rot90(X,1); rot90(Y(:,1),1); rot90(Y(:,2),1)]; fprintf(fid(1),'%6.4E %6.4E %6.4E \n',Result); fclose(fid(1)); Устойчивость работы программы во многом зависит от грамотного использования операторов данного блока команд и заключается:  в своевременном назначении имени файла в операторе fopen;  в соответствии количества векторов, сохраняемых в матрице Result, количеству полей записи в функции fprintf, в данном случае матрица Result состоит из трех столбцов – времена (X), концентрации реагента (Y(:,1)) и продукта (Y(:,2)), поэтому в функции fprintf необходимо

41

указать три поля записи, так как это сделано в данном примере - '%6.4E %6.4E %6.4E \n';  в правильности выбора формата числа и точности его записи, в программе ODE_solution по умолчанию относительная погрешность вычислений составляет четыре знака после запятой, а для записи решения в файл выбран экспоненциальный формат числа. В имени текстового файла следует избегать символов кириллицы или пробелов между словами, вместо последнего можно использовать символ нижнего подчеркивания. Таким образом, результатом работы программы являются:  график, который показывает динамику изменения зависимых переменных исследуемой системы;  текстовый файл, который содержит матрицу решений дифференциальных уравнений и вектор независимой переменной. При работе с программой необходимо помнить, что текстовый файл с результатами моделирования будет записан в директорию, из которой программа ODE_solution была загружена в систему MATLAB. ПАКЕТ РАСШИРЕНИЯ ‘SIMULINK’ Назначение пакета ‘Simulink’ В состав расширений для системы 'МatLab' входит пакет моделирования динамических систем — ‘Simulink’, так, в 'МatLab R12' используется версия этого пакета — ‘Simulink’ 3.1'. Она за редкими исключениями совместима с предшествующими версиями 1.0, 1.3 и 2.0. Пакет ‘Simulink’ является ядром интерактивного программного комплекса, предназначенного для математического моделирования линейных и нелинейных динамических систем и устройств, представленных своей функциональной блок–схемой, именуемой S–моделъю или просто моделью. При этом возможны различные варианты моделирования: во временной области, в частотной области, с событийным управлением, на основе спектральных преобразований Фурье, с использованием метода Монте–Карло и т. д. [30]. Для построения функциональной блок – схемы моделируемых устройств ‘Simulink’ имеет обширную библиотеку компонент и удобный редактор блок– схем (рис.1). Он основан на графическом интерфейсе пользователя и по существу является типичным средством визуального программирования. Используя палитры (наборы) компонентов блок – схем, пользователь с помощью мыши переносит нужные компоненты с палитр на рабочий стол пакета ‘Simulink’ и соединяет линиями входы и выходы блоков. Таким образом, создается блок – схема системы или устройства. ‘Simulink’ автоматизирует наиболее трудоемкий этап моделирования. Пакет составляет и решает сложные системы алгебраических и

42

дифференциальных уравнений, описывающих заданную функциональную схему (модель), обеспечивает удобный и наглядный визуальный контроль за поведением созданного пользователем виртуального устройства, для этого достаточно уточнить (если нужно) вид анализа и запустить ‘Simulink’ в режиме симуляции (откуда и название пакета — ‘Simulink’) созданной модели системы или устройства.

Рис. 11. Общий вид ‘Simulink’ при запуске ‘Simulink’ практически мгновенно меняет математическое описание модели по мере ввода ее новых блоков даже в том случае, когда этот процесс сопровождается сменой порядка системы уравнений и ведет к существенному качественному изменению поведения системы (это следует отнести к одной из главных целей пакета ‗Simulink‘). Ценность ‘Simulink’ заключается и в обширной, открытой для изучения и модификации библиотеке компонентов, которая включает в себя источники сигналов с практически любыми временными зависимостями, масштабирующие, линейные и нелинейные преобразователи с разнообразными формами передаточных характеристик, квантующее устройство, интегрирующие и дифференцирующие блоки и т. д. В библиотеке имеется целый набор виртуальных регистрирующих; устройств – от простых измерителей типа вольтметра или амперметра до универсальных осциллографов, позволяющих просматривать временные зависимости выходных параметров моделируемых систем — например, токов и

43

напряжений, перемещений, давлений и т. п. Имеется даже графопостроитель для построения фигур в полярной системе координат, например, фигур Лиссажу и фазовых портретов колебаний. Интеграция системы — MATLAB — с пакетом ‘Simulink’ открыла новые возможности использования самых современных математических методов для решения задач динамического и ситуационного моделирования сложных систем и устройств. Возможности ‘Simulink’ охватывают задачи математического моделирования сложных динамических систем в физике, электро– и радиотехнике, в биологии и химии, т.е. практически, во всех областях науки и техники. И, наконец, важным достоинством пакета является возможность задания в блоках произвольных математических выражений, что позволяет решать типовые задачи, пользуясь примерами пакета ‘Simulink’ или же просто задавая новые выражения, которые описывают работу моделируемых пользователем систем и устройств. Необходимо отметить также возможность моделирования устройств и систем в реальном масштабе времени. На всех этапах работы, особенно при подготовке моделей схем, пользователь практически не имеет дела с обычным программированием. Программа автоматически генерируется в процессе ввода выбранных блоков компонентов, их соединений и задания параметров компонентов [30, 31]. Решатели систем дифференциальных уравнений Для решения составленной системы линейных или нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (ODE) ‘Simulink’ использует решатель дифференциальных уравнений, построенный в виде программного цифрового интегратора. Решатель работает в двух основных режимах:  Variable–step solvers — решение с переменным шагом;  Fixed–step solvers — решение с фиксированным шагом. Как правило, лучшие результаты дает решение с переменным шагом, при установке режима ‘auto’ для шага моделирования (рис. 12). В этом случае шаг автоматически уменьшается, если скорость изменения результатов в процессе решения возрастает. И напротив, если результаты меняются слабо, шаг решения автоматически увеличивается. Это исключает (как правило) возможность возникновения неудовлетворительных условий сходимости к решению, которые нередко случаются при фиксированном шаге. Метод с фиксированным шагом стоит применять только тогда, когда он обусловлен спецификой решения задачи, например, если ее цель заключается в получении таблицы результатов на заданный диапазон времени, взятый с определенным интервалом. Этот метод дает неплохие результаты, если поведение системы описывается почти монотонными функциями.

44

Параметры решателя устанавливаются с помощью окна, которое появляется при выборе пункта Parameters меню Simulation окна моделирования пакета ‘Simulink’ (рис. 12). Шаг дифференцирования устанавливается индивидуально, при этом значение в поле «Min step size» должно быть меньше, чем значение, введенное в поле «Max step size», а значения в «Initial step size» и «Max step size» равны. Там же можно осуществить выбор конкретного численного метода решения дифференциальных уравнений:  ode45, ode23, rk45 (методы Рунгe—Кутта);  odellB (метод Адамса);  odelS и odel (метод Эйлера). Одним из важных параметров моделирования является время работы модели. Данный параметр также устанавливается в окне «Simulation Parameters», показанном на рис. 12. Для этого необходимо изменить соответствующие значения в полях «Start time» и «Stop time».

Рис. 12. Вид окна Simulation Parameters

45

Особенности интерфейса ‘Simulink’ Интерфейс версии ‘Simulink’ 2.0 полностью соответствует стилю интерфейса типовых приложений Windows 95/98/2000, в том числе интерфейсу системы 'MATLAB'. Главное меню системы имеет следующие позиции:  File — работа с файлами моделей и библиотек (их создание, сохранение, считывание и печать).  Edit — операции редактирования, работа с буфером обмена и создание подсистем.  View — вывод или удаление панели инструментов и строки состояния.  Simulation — управление процессом моделирования (старт, пауза, вывод окна настройки параметров моделирования).  Format — операции форматирования модели (смена шрифтов, редактирование надписей, повороты блоков, использование тени от блоков, операции с цветами линий блоков, их фоном и общим фоном.  Tools — управление видом анализа (в линейной области и режиме реального времени 'RTW'). Как уже отмечалось, вместе с рабочим окном ‘Simulink’ выводится окно с перечнем разделов основной библиотеки компонентов. Это окно — важная часть интерфейса ‘Simulink’. Оно открывает доступ к множеству других подобных окон для новых пакетов компонентов ('Blocksets & Toolboxes') и примеров их применения ('Demos'). Это дает пользователю возможность постепенно знакомиться с новыми областями применения ‘Simulink’ [31]. Работа с решателем и редактором дифференциальных уравнений при построении моделей идеальных реакторов Приведенный ниже пример является характерным для ситуации, когда моделируется система или устройство, поведение которого описывается дифференциальными уравнениями известного вида (в нашем случае уравнениями кинетики мономолекулярной реакции 1–го порядка). ‘Simulink’ имеет специальный редактор дифференциальных уравнений, с помощью которого можно задать систему дифференциальных уравнений и тут же начать ее решение. Для получения доступа к решателю необходимо набрать в командной строке окна Command Window служебное слово – dee, при выполнении которого загрузится файл 'dee'. В результате будет выведена панель редактора дифференциальных уравнений с примерами применения, показанная на рис. 13 . Для моделирования необходим блок ‘Differential Equation Editor’, который нужно перенести в окно моделирования. Для этого надо навести указатель мыши на значок блока, захватить его нажатием левой кнопки и, не отпуская кнопки, перенести в окно моделирования. Остальные блоки в данном окне являются демонстрационными примерами.

46

Рис. 13. Вид редактора дифференциальных уравнений и окна файла dee Пример 'R1_period_easy' (рис. 14). В данной модели описан реактор идеального перемешивания периодического действия. Для его загрузки необходимо в окне ‗Current Directory’ (главное окно ‘MatLab’) навести курсор на название файла и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. В окне загрузившейся модели находится пять блоков:  блок 'DEE';  блок ‘Mux’;  блок ‘To Workspace’;  осциллограф 'Scope';  блок ‘Save result’. Блоки, непосредственно участвующие в расчете модели, отображении результатов моделирования и сохранении их в рабочей области, должны быть соединены линиями передачи данных. Этими линиями соединяется выход одного блока с входом другого (при этом курсор удваивается). У блока ‘Save result’ отсутствует связь с другими блоками в окне моделирования, так как он сохраняет данные из рабочей области.

47

Рис. 14. Общий вид S—модели для мономолекулярной реакции, проходящей в реакторе идеального перемешивания периодического действия Блок 'DEE' (рис. 13 и рис. 14), решает заданную систему уравнений. При описании правых частей дифференциальных уравнений используются символы ‘x()’ и ‘u()’, причем ‘x()’ служит для обозначения дифференцируемой переменной, а ‘u()’ – для констант, вводимых из главного окна модели (константы можно вводить и непосредственно в уравнения, как это показано на рис. 14). В скобках переменным назначаются индексы, соответствующие номеру переменной в векторе данных (как в случае для ‘u()’), либо индекс дифференцируемой переменной (для ‘x()’). В поле ‘x0’ вводятся начальные условия для каждого уравнения. В поле ‘# of inputs’ определяется число переменных, вводимых из главного окна моделирования (например, из блока ‘Constant’), при этом на значке блока ‘DEE’ появятся входы, число которых будет соответствовать количеству переменных. В поле ‘Output Equations’ определяется, по каким переменным дифференцирования будет осуществляться вывод решений в главное окно модели, при этом число переменных определяет число выходов на значке блока ‘DEE’.

48

Блок ‘Mux’ (рис. 15) из набора ’Signals & Systems’ позволяет преобразовать несколько векторов на входах блока, но не менее двух, в один вектор, что полезно для отображения результатов решения на одной плоскости в блоке ‘Scope’. Блок ‘To Workspace’ из набора ‘Sinks’ сохраняет результаты расчетов в рабочей области, причем при работе с этим блоком следует помнить о необходимости изменять название переменной в рабочей области при изменении условий моделирования, а также следить за тем, чтобы данные сохранялись в формате ‘Array’ (рис. 16).

Рис. 15. Вид блока ‘Mux’ с окном параметров

49

Рис. 16. Вид блока ‗To Workspace’ с окном параметров Осциллограф ‘Scope’ из набора ‘Sinks’ графически отображает результаты расчетов в виде графиков (рис. 17) временных зависимостей. Кнопка автомасштабирования позволяет автоматически изменять масштаб осей, и делается это по наиболее ‗крупному‘ графику.

Рис. 17. Вид блока ‘Scope’

50

При вызове окна свойств ‘Scope’ выводится меню, состоящее из двух закладок – ‘General’ и ‘Data history’ (рис. 18). Первое из них позволяет менять количество плоскостей построения графиков (поле ‘Number of axes’), временной промежуток отображения (поле ‘Time range’) и другие свойства блока.

Рис. 18. Вид блока ‘Scope’ при изменении числа строящихся графиков и окна свойств

Причем при изменении числа плоскостей построения графиков на значке блока появляются дополнительные входы, число которых равно числу плоскостей. При вызове закладки ‘Data history’ (рис. 18а) появляется меню для работы с данными, для сохранения результатов моделирования в рабочей области (‘Save data to workspace’). В ряде случаев использование возможностей блока ‘Scope’ для сохранения данных в рабочей области предпочтительней, чем блока ‘To workspace’, так как сохраняется временная зависимость, что особенно полезно при установке шага моделирования в окне ‘Simulation Parameters’ в положение ‘auto’. В стандартной конфигурации блок ‘Scope’ не позволяет редактировать свойства области построения (‗Axes‘) и линий. Для получения доступа к этой группе параметров необходимо выделить блок ‘Scope’ в окне модели и ввести в командном окне системы следующую группу операторов: scopeBlk = gcb;

51

scopeFig = get_param(scopeBlk, 'Figure'); set(scopeFig,'MenuBar','figure'); При успешном завершении операции у блока ‘Scope’ должно появиться стандартное меню окна системы MATLAB, которое дает доступ не только к его свойствам, но и позволяет сохранять графическую информацию в файле или буфере обмена WINDOWS. Блок с именем 'save result' (рис. 18b) предназначен для сохранения результата моделирования из рабочей области в файл с именем 'my' (‗My‘). Для этого при окончании моделирования или изменении параметров моделирования необходимо дважды щелкнуть левой кнопкой ‗мыши‘, предварительно наведя указатель на данный блок (поэтому необходимо сохранять результаты моделирования до окончания использования ‘Simulink’).

Рис. 18а. Вид блока ‘Scope’ при изменении числа строящихся графиков и окна свойств

Данные в файле 'my' (‘My’) сохраняются ‗в столбец‘, т.е. результаты моделирования находятся ‗друг под другом‘. Данный блок вызывает функцию ‘MATLAB’ – ‘result’, которая является программой, состоящей из одной строки: ‘save 'my' resultat -ascii;’. Командная строка сохраняет данные, находящиеся в рабочей области с именем ‘resultat’ в файл с именем ‘my’, - ascii указывает формат данных для сохранения в файле. Аналогичного результата можно

52

добиться, если ввести данную строку в окне ‘Command Window’, таким образом, появляется возможность самостоятельно изменять имя файла. Помимо использования перечисленных блоков, при необходимости можно использовать и другие блоки из наборов ‘Sinks’ (приемники) и ‘Sources’ (источники), например, как это показано на рис. 19. Все выделенные блоки однотипны, находятся в наборе ‘Sources’ и называются ‘Constant’. Данный блок предназначен для ввода в систему аргументов, не изменяющихся за время моделирования, например: константа и порядок реакции, стехиометрические коэффициенты и т.д. Название блока можно изменить двойным щелчком левой кнопкой ‗мыши‘ на подписи под блоком и введя в выделенное окно новое имя.

Рис. 18b. Вид блока 'save result' и окна свойств

53

Рис. 19. Общий вид S —модели для бимолекулярной реакции, проходящей в реакторе идеального перемешивания периодического действия Построение S — модели для реактора идеального перемешивания непрерывного действия ничем не отличается от аналогичных схем для реакторов периодического действия (рис. 20). Изменения претерпевает только вид дифференциальных уравнений, которые задаются в блоке ‘DEE’.

Рис. 20. Общий вид S—модели для мономолекулярной реакции, проходящей в реакторе идеального перемешивания непрерывного действия

54

В системе ‘Simulink’ существует возможность самостоятельного построения решателя дифференциальных уравнений с помощью блоков, находящихся в наборах: ‘Functions & Tables’, ’Continuous’, ’Math’, ’Signals & Systems’, ’Nonlinear’. Пример такого использования ‘Simulink’ находится в файле ‘Reactor_Ideal_oust’ и представлен на рис. 21. Система позволяет моделировать процессы, происходящие в реакторе идеального вытеснения при прохождении в нем мономолекулярной реакции с возможностью задания как начальных условий, так и градиента изменения температуры по длине реактора. Ниже приводится описание основных блоков ‘Simulink’ позволяющих решать подобные задачи (блок ‘Mux’ описан выше).

Рис. 21. Общий вид S—модели для реактора идеального вытеснения (мономолекулярная реакция) В подсистеме №1 (‘Subsystem’) используется блок ‘Fcn’ (рис. 22), в котором задается вид функции из набора ‘Functions & Tables’. При этом для переменных используется символ ‘u()’, где в скобках ставится индекс, соответствующий номеру переменной в векторе данных. Блок ‘Integrator’ (рис. 23) из набора ‘Continuous’ осуществляет интегрирование переданной на его вход функции. В окне параметров блока существует меню, позволяющее менять порядок ввода начальных условий и

55

наиболее удобно осуществлять ввод из окна моделирования. Для этого значение в поле ‘Initial condition source’ необходимо изменить на ‘external’, при этом на значке блока появляется вход с обозначением ‘x0’. (При задании вида функции в блоке ‘Fcn’ переменной, по которой будет осуществляться интегрирование, присваивается номер входа блока ‘Mux’, на который отправляется решение из блока ‘Integrator’, а для ввода решения из подсистемы используется блок ‘Fcn’. В качестве функции записывается ‘u()’ с индексом переменной интегрирования).

Рис. 22. Вид блока ‘Fcn’ с окном параметров В ‘Subsystem1’ используется блок ‘Manual Switch’ (рис. 21) из набора ‘Nonlinear’, который позволяет осуществлять ‗ручное‘ переключение температурных режимов работы реактора. Переключение осуществляется двойным нажатием левой кнопки ‗мыши‘, при этом верхнее положение переключателя соответствует линейному закону изменения температуры по длине реактора, а нижнее – экспоненциальному. Если в основном окне моделирования в блоке ‘GRAD’ задать значение ‘0’, то температура по длине реактора изменяться не будет. Помимо перечисленных на рисунке блоков, при построении систем полезно использовать блок ‘Subsystem’ (рис. 21) из набора ’Signals & Systems’, данный блок позволяет не загромождать рабочее поле окна моделирования используемыми блоками, т.е. блок ‘Subsystem’ является моделью внутри модели. Обмен данными между блоком ‘Subsystem’ и внешними блоками осуществляется посредством блоков ‘In’ и ’Out’ из набора ’Signals & Systems’, причем при помещении этих блоков в окно ‘Subsystem’ на боковых стенках значка блока ‘Subsystem’ появляются обозначения для входа и выхода. (Описания других блоков из перечисленных выше наборов можно просмотреть в окне свойств после нажатия кнопки ‘Help’).

56

Рис. 23. Вид блока ‘Integrator’ с окном параметров

57

ЛИТЕРАТУРА 1. ОПТНЕР С. Л. Системный анализ для решения деловых и промышленных проблем / Пер. с англ. и вступит. статья С. П. Никанорова. - М.: Сов. радио, 1969. 2. Методы и средства автоматизированного расчета химико технологических систем: Учебн. пособ. для вузов / Н. В. Кузичкин, С. Н. Саутин, А. Е. Пунин и др. — Л.: Химия, 1987. — 152 с., ил. 3. КАФАРОВ В. В., МЕШАЛКИН В. П., ПЕРОВ В. Л. Математические основы автоматизированного проектирования химических производств. — М.: Химия, 1979. — 320 с. 4. АРНОЛЬД В. И. Теория катастроф. — 3-е изд., доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1990. - 128 с. 5. ЗАКГЕЙМ А. Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов. Математическое описание процессов. - М.: Химия, 1973. - 224 с., ил. 6. ГУХМАН А. А. Введение в теорию подобия. - Изд. 2-е. - М.: Высш. школа, 1973. - 295 с., ил. 7. ГУХМАН А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепло - массообмена. - М.: Высш. Школа, 1967. – 303 с., ил. 8. ПЛАНОВСКИЙ А. Н., НИКОЛАЕВ П. И. Процессы и аппараты химической и нефтехимической технологии: Учебник для вузов. - 3-е изд., перераб.и доп. - М.: Химия, 1987. - 496 с. 9. КАФАРОВ В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии: Учебн. для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Химия, 1985. - 448 с., ил. 10. Химико-технологические системы. Синтез. Оптимизация. Управление. Под ред. Мухленова И. П. - Л.: Химия, 1986. -424 с. 11. ПРУДКОВСКИЙ Б.А. Зачем металлургу математические модели? М.: Наука, 1989. - 192 с. - (Наука и технический прогресс). 12. КАФАРОВ В. В., МЕШАЛКИН В. П., ПЕРОВ В. Л. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (Введение в системотехнику химических производств). - М.: Химия, 1974. - 344 с., ил. 13. НЕУЙМИН Я. Г. Модели в науке и технике. - Л.: Наука, 1984. 14. БУСЛЕНКО Н. П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука,1968. 15. СОВЕТОВ Б. Я., ЯКОВЛЕВ С. А. Моделирование систем. - М.: Высш. шк., 1985. 16. ТЕЙЛОР ДЖ. Введение в теорию ошибок / Пер. с англ. - М.: Мир.1985. - 272 с., ил. 17. ЛЬВОВСКИЙ Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учебн. пособие для втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1988. - 239 с., ил.

58

18. АКОФ Р. САСИЕНИ М. Основы исследования операций / Пер. с англ. и предисл. В.Я.Алтаева. - М.: Мир, 1971. 19. МАРКОВ Б. Л. КИРСАНОВ А. А. Физическое моделирование в металлургии. - М.: Металлургия, 1984. 20. БОНДАРЕНКО А. Д. Современная технология: теория и практика. Киев; Донецк: Вища шк., 1985. 21. КАСАТКИН А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. Изд. 9-е, испр. /Учебник для студентов химико-технол. спец. вузов/. М.:Химия, 1973. – 750 с. 22. ДЖЕКСОН Р. А. Введение в изучение механизма органических реакций / Пер. с англ. - М.: Химия, 1978. - 191 с. 23. ЭВЕРИ Г. Основы кинетики и механизмы химических реакций: Пер. с англ. - М.: Мир, 1978. - 214 с. 24. ЭЙРИИГ Г., ЛИН С. Г., ЛИН С. М. Основы химической кинетики / Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 528 с., ил. 25. ДЕНИСОВ Е. Т. Кинетика гомогенных химических реакций: Учебн. пособие для хим. спец. вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш.шк., 1988. 391 с., ил. 26. ЖОРОВ Ю.М. Кинетика промышленных органических реакций: Справ. изд. - М.: Химия, 1989. - 384 с., ил. 27. РОБИНСОН П., ХОЛБРУК. К. Мономолекулярные реакции / Пер. с англ. - М.: Мир, 1975. - 380 с., ил. 28. БУГАЕНКО Л. Т., КУЗЬМИН М. Г., ПОЛАК Л. С. Химия высоких энергий. - М.: Химия, 1988. - 368 с., ил. 29. КАФАРОВ В. В., МАКАРОВ В. В. Гибкие автоматизированные производственные системы в химической промышленности: Учебник для вузов. - М.: Химия, 1990. - 320 с., ил. 30. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB.Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2000. –480с. 31. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2001. –480с.

59

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

function ODE_solution % clc % ОЧИЩАЕТ ОКНО Command Window СИСТЕМЫ MATLAB ОТ %ЗАПИСЕЙ И РАЗМЕЩАЕТ КУРСОР В ЕГО ЛЕВОМ ВЕРХНЕМ УГЛУ % fid(1) = fopen('A.txt','w'); % СОЗДАНИЕ И ОТКРЫТИЕ ДЛЯ ЗАПИСИ ('w') %ТЕКСТОВОГО ФАЙЛА (' A.txt'), С СОХРАНЕНИЕМ СВЕДЕНИЙ О НЕМ В %УКАЗАТЕЛЕ fid(1) global ValuKonst Order R A0 Ea % ОПИСАНИЕ ГЛОБАЛЬНЫХ %ПЕРЕМЕННЫХ % %ЗАДАНИЕ НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ R=8.31; A0 = 1.3e12; Ea = 207.8E3; T_Kelvin=800; % %ValuKonst(1)= ArreniusEquation(A0, Ea, T_Kelvin, R);% ВЫЗОВ %ФУНКЦИИ, РАССЧИТЫВАЮЩЕЙ КОЭФФИЦИЕНТ СКОРОСТИ %РЕАКЦИИ % %ЗАДАНИЕ ПОРЯДКОВ РЕАКЦИЙ %Order(1) = 1; %Order(2) = 1; % % ФОРМИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ: % %ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ (НАЧАЛО, %ШАГ, ДИАПАЗОН) % Xl = 0; step = 0.5; Xh = 15; % %ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ КАК %ВЕКТОРА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ% Xb = [0]; % % ЗАДАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ: %

60

Yb(1) = 1; Yb(2) = 0; % S = 2; %ЗАДАНИЕ ТИПА РЕШАТЕЛЯ % % ОБРАЩЕНИЕ К ВЫБРАННОМУ ТИПУ РЕШАТЕЛЯ % [X1,Y1] = ODE_solution (Yb, Xb, Xl, step, Xh, S); % % СОХРАНЕНИЕ ТЕКУЩИХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ %ПЕРЕМЕННЫХ % X = [X1]; Y = [Y1]; % ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ figure(1), plot( X,Y(:,1),'k-',X,Y(:,2),'k-.'), legend('Ca','Cb'); % % КОМАНДА plot СЛУЖИТ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ % В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КОРДИНАТ. % ЭТА КОМАНДА ИМЕЕТ РЯД ПАРАМЕТРОВ. % plot(X,Y)- СТРОИТ ГРАФИК ФУНКЦИИ y(x), % КОРДИНАТЫ ТОЧЕК (x,y) КОТОРОЙ БЕРУТСЯ % ИЗ ВЕКТОРОВ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА Y И X. % % КОМAДА legend ПОЗВОЛЯЕТ ВЫВЕСТИ ОБОЗНАЧЕНИЯ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ГРАФИКОВ % Result = [rot90(X, 1); rot90(Y(:, 1), 1); rot90(Y(:, 2), 1)]; % % Result – ПЕРЕМЕННАЯ, КОТОРОЙ ПЕРЕДАЮТСЯ РЕЗУЛЬТАТЫ % РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ % В ВИДЕ МАТРИЦЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ТРЕХ СТОЛБЦОВ % ПРОЦЕДУРА rot90 ПРЕОБРАЗУЕТ ВЕКТОР СТОЛБЕЦ В ВЕКТОР %СТРОКУ И ОБРАТНО, ДЛЯ БОЛЕЕ УДОБНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ %ДАННЫХ ПРИ ИХ ЗАПИСИ В ФАЙЛ % fprintf(fid(1),'%6.4E %6.4E %6.4E \n',Result); % % fprintf СОХРАНЯЕТ ЗНАЧЕНИЯ, ПОМЕЩЕННЫЕ В МАТРИЦУ Result, % В ФАЙЛЕ С ИДЕНТИФИКАТОРОМ, % КОТОРЫЙ ОПРЕДЕЛЕН В ПЕРЕМЕННОЙ fid(1). % В ВЫРАЖЕНИИ, КОТОРОЕ ЗАКЛЮЧЕНО В АПОСТРОФЫ, % УКАЗЫВАЕТСЯ ФОРМАТ ПЕРЕМЕННЫХ. % СИМВОЛ % ЯВЛЯЕТСЯ РАЗДЕЛИТЕЛЕМ ДЛЯ ПОЛЕЙ ЗАПИСИ.

61

% РАЗРЯДНОСТЬ ЗАПИСИ ДЛЯ КАЖДОГО ЧИСЛА % ШЕСТЬ ЗНАКОВ ДЛЯ ЦЕЛОЙ ЧАСТИ % И ЧЕТЫРЕ ЗНАКА ДЛЯ ДРОБНОЙ. % ФОРМАТ ЗАПИСИ - Е - ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ. % ЗНАК \n ОЗНАЧАЕТ ПЕРЕВОД КАРЕТКИ НА СЛЕДУЮЩУЮ СТРОКУ % % fclose(fid(1)); % ЗАКРЫТИЕ ФАЙЛА ПРИ ОКОНЧАНИИ ЗАПИСИ end

function [X,Y] = ODE_solution (Y0, X, Xl, s, Xh, g)

if s ~= 0 & X == 0, X = Xl:s:Xh; end % % ОПЕРАТОР УСЛОВИЯ if .... end % ВЫЧИСЛЯЕТ НЕКОТОРОЕ ЛОГИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ % И В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЗНАЧЕНИЯ ЭТОГО ВЫРАЖЕНИЯ %ВЫПОЛНЯЕТ % СООТВЕТСТВУЮЩУЮ ГРУППУ ИНСТРУКЦИЙ. % ЕСЛИ ЛОГИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ИСТИННО, ТО MATLAB %ВЫПОЛНИТ ВСЕ ИНСТРУКЦИИ % МЕЖДУ if И end, А ЗАТЕМ ПРОДОЛЖИТ ВЫПОЛНЕНИЕ ПРОГРАММЫ % В СТРОКЕ ПОСЛЕ end. % ЕСЛИ УСЛОВИЕ ЛОЖНО, ТО MATLAB ПРОПУСКАЕТ ВСЕ %ОПЕРАТОРЫ МЕЖДУ if И end % И ПРОДОЛЖИТ ВЫПОЛНЕНИЕ В СТРОКЕ ПОСЛЕ end. % options = odeset('RelTol',1e-4); % ЗАДАНИЕ ВЕЛИЧИНЫ % ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ % ДЛЯ ВСЕХ КОМПОНЕНТОВ % ВЕКТОРА РЕШЕНИЯ switch g % % ВЫЗОВ РЕШАТЕЛЯ ode23 (g=1) % case 1 % [X,Y] = ode23(@equationsystem,X,Y0,options); % % РЕШАТЕЛЬ ODE23-ОДНОШАГОВЫЕ ЯВНЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТА % 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА

62

% ДЛЯ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ % УРАВНЕНИЙ % УМЕРЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ % И ПРИ НИЗКИХ ТРЕБОВАНИЯХ К ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ. % % ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ODE23: % ТИП ЗАДАЧИ – НЕ ЖЕСТКАЯ % СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ – НИЗКАЯ % КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ: % ПРИ ДОПУСТИМОЙ ГРУБОЙ ПОГРЕШНОСТИ % ИЛИ ПРИ РЕШЕНИИ УМЕРЕННО ЖЕСТКИХ ЗАДАЧ % case 2 % % ВЫЗОВ РЕШАТЕЛЯ ode45 (g=2) % [X,Y] = ode45(@equationsystem,X,Y0,options); % % РЕШАТЕЛЬ ODE45-ОДНОШАГОВЫЕ ЯВНЫЕ МЕТОДЫ, % РЕАЛИЗУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ РУНГЕ-КУТТА 4-ГО И 5-ГО ПОРЯДКА. % ЭТО КЛАСИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ, % РЕКОМЕНДУЕМЫЙ ДЛЯ НАЧАЛЬНОЙ ПРОБЫ РЕШЕНИЯ. % ВО МНОГИХ СЛУЧАЯХ ОН ДАЕТ ХОРОШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. % %ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ODE45: %ТИП ЗАДАЧИ – НЕ ЖЕСТКАЯ %СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ – СРЕДНЯЯ %КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ: % В БОЛЬШИНСТВЕ СЛУЧАЕВ % case 3 % % ВЫЗОВ РЕШАТЕЛЯ ode113 (g=3) % [X,Y] = ode113(@equationsystem,X,Y0,options); % %РЕШАТЕЛЬ ODE113 - МНОГОШАГОВЫЙ МЕТОД, % РЕАЛИЗУЮЩИЙ ФОРМУЛЫ АДАМСА-БАШВОРТА-МУЛТОНА %ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА. % ЭТО АДАПТИВНЫЙ МЕТОД, % КОТОРЫЙ МОЖЕТ ОБЕСПЕЧИТЬ ВЫСОКУЮ ТОЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ. % %ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ODE113: % ТИП ЗАДАЧИ – НЕ ЖЕСТКАЯ

63

% СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ – ОТ НИЗКОЙ ДО ВЫСОКОЙ %КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ: % ПРИ НЕОБХОДИМОСТИ ОБЕСПЕЧЕНИЯ % ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ % ИЛИ ПРИ РЕШЕНИИ СЛОЖНЫХ % В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ ОТНОШЕНИИ ЗАДАЧ. % case 4 % % ВЫЗОВ РЕШАТЕЛЯ ode15s (g=4) % [X,Y] = ode15s(@equationsystem,X,Y0,options); % % РЕШАТЕЛЬ ODE15s – МНОГОШАГОВЫЙ МЕТОД ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА % (ОТ 1 ДО 5 ПО УМОЛЧАНИЮ), % ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. % ЭТО АДАПТИВНЫЙ МЕТОД, ЕГО СТОИТ ПРИМЕНЯТЬ, % ЕСЛИ РЕШАТЕЛЬ ODE45 НЕ ОБЕСПЕЧИВАЕТ РЕШЕНИЕ. % % ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ODE15s: % ТИП ЗАДАЧИ – ЖЕСТКАЯ % СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ % – ОТ НИЗКОЙ ДО СРЕДНЕЙ %КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ: % ЕСЛИ ODE45 ВЫЧИСЛЯЕТ МЕДЛЕННО, % ИЛИ ЕСТЬ МАТРИЦА МАСС. % case 5 % % ВЫЗОВ РЕШАТЕЛЯ ode23s (g=5) % [X,Y] = ode23s(@equationsystem,X,Y0,options); % % РЕШАТЕЛЬ ODE23s-ОДНОШАГОВЫЙ МЕТОД, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ % МОДИФИЦИРОВАННУЮ ФОРМУЛУ РОЗЕНБРОКА 2-ГО ПОРЯДКА. % МОЖЕТ ОБЕСПЕЧИТЬ ВЫСОКУЮ СКОРОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ %НИЗКОЙ ТОЧНОСТИ. % %ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ODE23s: %ТИП ЗАДАЧИ – ЖЕСТКАЯ %СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ – НИЗКАЯ %КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ:

64

% ПРИ ДОПУСТИМОЙ ГРУБОЙ ПОГРЕШНОСТИ % ПРИ РЕШЕНИИ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ, % ИЛИ КОГДА ЕСТЬ МАТРИЦА ПОСТОЯННЫХ МАСС. % case 6 % % ВЫЗОВ РЕШАТЕЛЯ ode23t (g=6) % [X,Y] = ode23t(@equationsystem,X,Y0,options); % % РЕШАТЕЛЬ ODE23t- МЕТОД ТРАПЕЦИЙ С ИНТЕРПОЛЯЦИЕЙ. % ЭТОТ МЕТОД ДАЕТ ХОРОШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ, % ОПИСЫВАЮЩИХ ОСЦИЛЯТОРЫ С ПОЧТИ ГАРМОНИЧЕСКИМ %ВЫХОДНЫМ СИГНАЛОМ. % %ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ODE23t: %ТИП ЗАДАЧИ – ЖЕСТКАЯ %СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ – СРЕДНЯЯ %КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ: % ПРИ РЕШЕНИИ, БЛИЗКОМ К ГАРМОНИЧЕСКИМ КОЛЕБАНИЯМ, % И ПРИ УМЕРЕННО ЖЕСТКИХ ЗАДАЧАХ. % case 7 % % ВЫЗОВ РЕШАТЕЛЯ ode23tb (g=7) % [X,Y] = ode23tb(@equationsystem,X,Y0,options); % %РЕШАТЕЛЬ ODE23tb – НЕЯВНЫЙ МЕТОД РУНГЕ-КУТА В НАЧАЛЕ %РЕШЕНИЯ И МЕТОД, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ ФОРМУЛЫ ОБРАТНОГО %ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА В ПОСЛЕДУЮЩЕМ. % ПРИ НИЗКОЙ ТОЧНОСТИ ЭТОТ МЕТОД МОЖЕТ ОКАЗАТЬСЯ БОЛЕЕ %ЭФЕКТИВНЫМ, ЧЕМ ODE15s. % %ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ODE23tb: % ТИП ЗАДАЧИ – ЖЕСТКАЯ % СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ – НИЗКАЯ % КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ: % ПРИ УРАВНЕНИЯХ, % ЗАДАННЫХ В НЕЯВНОЙ ФОРМЕ КОШИ % otherwise %ОБРАБОТКА ЗНАЧЕНИЙ g ВЫХОДЯЩИХ ЗА ИНТЕРВАЛ ОТ 1 ДО 7 error ('Недопустимое значение S')

65

end end % function dy = equationsystem(x,y) % ФУНКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ % СИТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ global ValuKonst Order R A0 Ea dy = zeros(2,1);% СОЗДАНИЕ МАТРИЦЫ % ДЛЯ ЗАПИСИ РЕЗУЛЬТАТА РЕШЕНИЯ % НА КАЖДОМ ШАГЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ dy(1,1) = -0.5*y(1,1); dy(2,1) = 0.5*y(1,1); end % function [K] = ArreniusEquation(A0,Ea,T,R) % ФУНКЦИЯ, РАССЧИТЫВАЮЩАЯ ЗАВИСИМОСТЬ % КОНСТАНТЫ СКОРОСТИ РЕАКЦИИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ % % K=A0*exp(-Ea/(R*T)); % УРАВНЕНИЕ АРРЕНИУСА end

66

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3 МОДЕЛИРОВАНИЕ И МОДЕЛИ 5 РЕАКТОРЫ 15 СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ 26 ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 37 Система ‗МatLab‘. 37 Назначение системы ‗МatLab‘. 37 Работа с системой ‗МatLab‘ при построении детерминированных моделей ХТС. 37 ПАКЕТ РАСШИРЕНИЯ ‗SIMULINK‘. 41 Назначение пакета ‗Simulink‘. 41 Решатели систем дифференциальных уравнений. 43 Особенности интерфейса ‗Simulink‘. 45 Работа с решателем и редактором дифференциальных уравнений при построении моделей идеальных реакторов. 45 ЛИТЕРАТУРА 57 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 59