Физика твердого тела: Письменные лекции

Министерство образования Российской Федерации Северо-Западный государственный заочный технический университет

А.И. Шерстюк

Физика твердого тела

письменные лекции

Санкт-Петербург 2001

Предисловие Предлагаемый курс лекций предназначен в первую очередь для студентов и аспирантов Северо-Западного технического университета, обучающихся на факультете радиоэлектроники и на энергетическом факультете по специальности 2004 «Промышленная электроника». Пособие составлено в соответствии с программой и тематическим планом курса физики твердого тела по этим специальностям. Основная цель курса - ознакомление студентов с важнейшими понятиями и положениями современной физики твердого тела, что позволит им свободно ориентироваться в обширнейшей литературе по данному предмету и поможет в дальнейшей самостоятельной работе по избранной специальности. Основное внимание в данном курсе уделено электрическим и магнитным свойствам кристаллических твердых тел, и прежде всего вопросам полупроводниковой электроники, а также оптическим явлениям в полупроводниковых структурах. На основе рассмотрения фундаментальных физических явлений, происходящих в твердых телах под действием внешнего поля и электромагнитного излучения, дается описание основных физических принципов работы важнейших приборов и устройств, составляющих элементную базу современных информационных технологий и телекоммуникационных систем. В частности, в данном курсе впервые в учебной литературе излагаются особенности использования гетеропереходов в полупроводниковых структурах и принципы работы приборов и устройств на основе гетероструктур – транзисторов, тиристоров, фотоэлектрических приемников и преобразователей излучения, полупроводниковых гетеролазеров и т.д. Все эти приборы и устройства получили в настоящее время самое широкое распространение и являются предметом исследований большинства ученых и конструкторов, работающих в области физики полупроводников. Огромный вклад в это направление исследований внесла Санкт-петербургская школа физиков во главе с академиком Ж.И. Алферовым, удостоенным за эти работы Нобелевской премии за 2000 год. При написании текста лекций основное внимание было направлено на сочетание простоты и доступности с достаточной физической строгостью изложения механизма явлений и процессов в твердых телах на микроскопическом уровне. В то же время, тематическая направленность книги и ограниченность ее объема привели к неизбежному ограничению круга рассмотренных в ней вопросов. Вопросы структуры и симметрии

кристаллов, колебаний кристаллической решетки и тепловых свойств твердых тел, дифракции волн на кристаллической решетке излагаются лишь в объеме, необходимом для понимания дальнейших глав, посвященных электронным свойствам кристаллов. В книге не рассматриваются механические свойства кристаллов, аморфные твердые тела и полимеры. Данный курс в основном рассчитан на самостоятельное изучение и для усвоения содержащегося в нем материала не требуется обращения к другим литературным источникам. В то же время предполагается знакомство студентов с основами квантовой механики и статистической физики в объеме, изучаемом в III части курса общей физики СЗТУ. Наряду с этим, он может быть использован аспирантами и преподавателями в качестве справочного пособия.

1. СТРУКТУРА И СИММЕТРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1.1 Конденсированное состояние вещества. Дальний и ближний порядок. Кристаллические и аморфные тела. Анизотропия кристаллов. Поликристаллы. Полимеры. При сближении атомов и молекул силы взаимодействия между ними возрастают, что приводит к образованию веществ в конденсированном состоянии – твердых тел и жидкостей. Взаимодействие атомов имеет электромагнитную природу и описывается на основе законов квантовой механики. Простейшей формой конденсированного состояния является кристалл. Подавляющее большинство твердых тел в природе имеет кристаллическое строение. Характерным свойством идеального кристалла является регулярное расположение в нем атомов, при котором центры атомов (атомные ядра) в трехмерном пространстве образуют периодическую структуру, называемую кристаллической решеткой. Точки, в которых расположены центры атомов, называются узлами решетки. Идеальный кристалл образуется посредством многократного повторения в пространстве одного и того же структурного элемента, называемого элементарной ячейкой. Элементарная ячейка электрически нейтральна и может содержать один или несколько атомов или ионов. Таким образом, правильное периодически повторяющееся размещение частиц в кристалле можно описать с помощью операции параллельного перемещения (или трансляции) одного и того же фрагмента – элементарной ячейки. Это означает, что кристалл совместится сам с собой при таких перемещениях, т.е. обладает трансляционной симметрией. Регулярный характер расположения частиц в одиночном кристалле (монокристалле) проявляется в правильной геометрической форме таких кристаллов и их анизотропии, т.е. зависимости ряда физических свойств (механических, электрических, оптических) от направления в пространстве. У большинства твердых тел, однако, анизотропия не проявляется в макроскопических масштабах по той причине, что такие тела (как правило, металлы) состоят из беспорядочно ориентированных мелких кристалликов, образующих цельный конгломерат – поликристалл. Только специальные условия кристаллизации позволяют получать

большие монокристаллы. Обычно их выращивают из расплавов или растворов. Регулярное расположение атомов в кристалле соответствует минимуму потенциальной энергии, когда силы отталкивания между частицами уравновешиваются силами притяжения. В рамках классической механики предполагается, что при нулевой температуре все атомы фиксированы в положении равновесия. При температурах выше абсолютного нуля атомы испытывают колебания около положений равновесия, амплитуда которых возрастает с увеличением температуры. При дальнейшем повышении температуры кристаллическая структура перестает быть устойчивой, и возникает жидкая фаза вещества. Для жидкостей характерен ближний порядок в расположении частиц, при котором по отношению к любой частице расположение ближайших соседей является упорядоченным. Однако по мере удаления такой порядок постепенно исчезает, и расположение частиц становится хаотическим. Вследствие отсутствия дальнего порядка жидкости легко меняют свою форму и принимают форму сосуда, в котором они находятся. К конденсированным веществам относятся также аморфные твердые тела, не имеющие кристаллической структуры. Их можно рассматривать как переохлажденные жидкости, частицы которой в силу высокой вязкости имеют меньшую подвижность. Аморфное состояние является метастабильным, а не устойчивым, и со временем переходит в кристаллическое состояние. К числу аморфных тел относятся стекла, смолы, битумы. Некоторая часть твердых тел (каучук, пластмассы, растительные и животные ткани) относится к классу полимеров. Полимеры являются веществами, образованными из очень больших (макроскопических) молекул, массы которых могут составлять десятки и сотни тысяч атомных единиц. Такие макромолекулы состоят из повторяющихся групп обычных молекул (мономеров). Макромолекулы бывают линейными и разветвленными и могут закручиваться, образуя клубки. Например, молекула полиэтилена состоит из 20000 звеньев (СН - групп). Ее относительная масса равна ~ 280000. 1.2. Структура кристаллической решетки. В данном курсе мы будем рассматривать в основном твердые тела, имеющие кристаллическую структуру, поскольку они представляют наибольший интерес с точки зрения создания различного рода

электронных приборов. Вследствие трансляционной симметрии кристаллической решетки каждой точке элементарной ячейки кристалла можно сопоставить эквивалентную точку другой ячейки. (Рис. 1) Обычно в качестве таких точек выбираются определенные атомы (узлы) кристаллической решетки. Положения эквивалентных точек относительно некоторого произвольно выбранного основного узла характеризуются векторами решетки: an = n1a1+ n2a2 + n3a3

(1)

где ni (i = 1, 2, 3) – положительные и отрицательные целые числа, аi некомпланарные векторы, называемые векторами основных трансляций, а их модули, а1, а2, а3 являются основными периодами решетки. Совокупность всех векторов решетки называют трансляционной решеткой или решеткой Браве. Концы векторов решетки определяют положения узловых точек решетки Браве. С каждой такой точкой связана некоторая группа атомов разного типа, называемая базисом. Положение каждого из этих атомов в пределах элементарной ячейки задается базисным вектором (2) ρα = xαa1 + yαa2 + zαa3 , где 0 < xα, yα, zα < 1, 1 < α < N, где N – число атомов базиса. Базис повторяется в пространстве и вместе с векторами решетки задает положение всех атомов кристалла и тем самым определяет кристаллическую структуру. Наименьший параллелепипед, построенный на векторах а1, а2, а3 называют примитивной ячейкой кристалла. Ее объем, очевидно, равен Vc = (a1[a2 a3])

(3)

На рис. 2 изображен параллелепипед, последовательным перемещением которого вдоль трех своих осей может быть построен весь кристалл и, следовательно, его можно рассматривать в качестве элементарной ячейки кристалла. В общем случае выбор векторов основных трансляций неоднозначен, и соответственно выбор элементарной ячейки также неоднозначен. В простейшем случае в качестве элементарной ячейки выбирают примитивную. В этом случае решетка называется простой (Р). В простой решетке на одну ячейку приходится один узел. (Z = 1).

Симметрия примитивной ячейки часто не полностью отражает симметрию решетки Браве в целом. В этих случаях обычно рассматривают более сложные элементарные ячейки, отражающие симметрию кристаллической структуры, но содержащие не один, а несколько узлов. Так, в объемноцентрированных решетках (I – типа) узлы расположены в вершинах и в центре параллелепипеда, и на каждую элементарную ячейку приходится по два узла (Z = 2). В гранецентрированных (F – типа) узлы расположены в вершинах и в центрах всех граней параллелепипеда и Z=4. В базоцентрированных (C – типа) узлы расположены в вершинах параллелепипеда и в центрах двух противоположных граней и Z = 2. На рис. 3 изображены все три вида ячеек для решетки ромбической симметрии. Форма элементарной ячейки определяется шестью величинами: тремя сторонами параллелепипеда, а1 = а, а2 = b, a3 = c, и углами: α между b и с, β между а и с,γ между a и b. (рис. 2). Они определяют точечную симметрию решетки Браве. По типу симметрии решетки подразделяются на семь кристаллических систем или сингоний : 1) Триклинная ( Р ): a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90o (косоугольный параллелепипед); 2) моноклинная (Р,С): a ≠ b ≠ c, α = γ = 90o, β ≠ 90o (прямая призма, в ее основании параллелограмм); 3) ромбическая (или ортогональная) (P,C,I,F): a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90o (прямоугольный параллелепипед); 4) ромбоэдрическая (или тригональная) (P): a = b = c, α = β = γ ≠ 90o (ромбоэдр); 5) тетрагональная (P,I): a = b ≠ c, α = β = γ = 90o (квадратная призма); 6) гексагональная (P): a = b ≠ c, α = β = 90о , γ = 120o (прямая призма, в ее основании – ромб); 7) кубическая (P,I,F): a = b = c, α = β = γ = 90o (куб). В скобках указаны символы ячеек, P,C,I,F. Каждой сингонии, как указано выше, соответствует одна или несколько решеток Браве, а всего существует 14 различных решеток Браве, которые разделяются на 7 сингоний. Рассмотрим для примера кубическую решетку. В этом случае а1= а2= а3 = а, где а – постоянная решетки. Для простой кубической решетки расстояние d между ближайшими соседними одинаковыми атомами равно а(d=a). Для объемноцентрированной: d = a √ 3/2. Для гранецентрированной: d = a√2/2. Вычислим плотность кристалла, состоящего из атомов одного сорта. Масса, приходящаяся на одну элементарную ячейку, равна: mэл = m0Z, где m0 = µ/NA-масса одного атома, µ - молекулярная масса, NA - число Авогадро. Число элементарных ячеек в единице объема, очевидно, равно:

NV = ρ /mэл = ρ/(m0Z) = ρNA/(µZ), где ρ - плотность кристалла. Объем одной элементарной ячейки: Vc = 1/NV. С другой стороны, для решетки кубической сингонии Vc = a3, где а – параметр решетки. Следовательно, a = 3√ µZ/(ρNA) или ρ = µZ/(NAa3)

(4)

1.3. Геометрические элементы кристалла. Вектор обратной решетки. Если заданы основные векторы решетки, а1, a2, а3 , то положение любого узла решетки, согласно формуле (1), определяется заданием трех целых чисел, n1, n2,n3, которые называются индексами узла и записываются в виде: [[n1,n2,n3]]. Направление в кристалле – прямая, проходящая через начало координат и один из узлов. Оно однозначно определяется индексами ближайшего к началу координат узла, через который проходит эта прямая, и обозначается: [n1,n2,n3]. Плотность атомов (число узлов на единицу длины) в разных направлениях может быть различной, что и определяет анизотропию кристалла. Любые три узла решетки, не лежащие на одной прямой, определяют кристаллическую плоскость. Эта плоскость, очевидно, содержит бесчисленное множество узлов. Уравнение любой плоскости, в том числе и кристаллической, можно записать в виде: (r b) = 1, (5) где r (x,y,z) – текущие координаты точки плоскости, b – постоянный вектор, перпендикулярный данной плоскости. Расстояние плоскости от начала координат: D = 1/|b|. В случае кристаллической плоскости (а только такая плоскость представляет интерес) вектор b удобно выбирать в виде разложения b = q1b1 + q2b2 + q3b3 (6)

по основным векторам обратной решетки bi (i = 1, 2, 3), определяемым соотношениями: b1 = Vc-1[a2 a3], b2 = Vc-1[a3a1], b3 = Vc-1[a1a2]

(7)

Из (7) и (3), очевидно, следует: (аibi) = 1, (i = 1, 2, 3). В частности, при α = β = γ = 90o (кубическая, тетрагональная, ромбическая системы) bi = ai- 1 и каждая пара векторов, ai и bi , направлена в одну и ту же сторону, соответственно вдоль осей x, y, z. Координаты любого узла решетки записываются в виде: x = n1a1, y = n2a2 , z = n3a3 , (8) где ni(i = 1, 2, 3) –целые числа. Подставляя (6) и (8) в (5) с учетом (7), получаем: n1q1 + n2q2 + n3q3 = 1

(9)

Поскольку ni - целые числа, равенство (9) возможно лишь при условии, что qi - рациональные числа, q1 = h/q, q2 = k/q, q3 = l/q (10) где h, k, l – взаимно простые (не имеющие общего делителя) целые числа, называемые индексами Миллера. Они записываются в виде (hkl) и определяют направление вектора b и, следовательно, систему перпендикулярных этому вектору и параллельных между собой плоскостей, каждая из которых характеризуется определенным значением q = 1, 2, 3,… Умножая (9) на q, получаем: n1h + n2k + n3l = q

(9a)

Таким образом, любая кристаллическая плоскость задается совокупностью индексов: {(hkl), q}. При q = 0 соответствующая плоскость проходит через начало координат. Если система плоскостей параллельна какой-либо из осей координат, то соответствующий индекс Миллера равен нулю. Так, плоскость (110) параллельна оси z, а плоскость (100) параллельна координатной плоскости (yz). Индексы Миллера наиболее важных плоскостей в кубическом кристалле показаны на рис. 4. Расстояние D плоскости с индексом q от начала координат согласно (6) равно:

D = 1/b = q/b0

(11)

где b0 = hb1 + kb2 + lb3, b =|b|, b0 = |b0|. Из (11) следует, что расстояния d между соседними плоскостями ( ∆q =1) равны между собой: d = 1/b0 = (h2b12 + k2b22 + l2b32) –1/2

(12)

Кристаллические плоскости отсекают на осях координат отрезки, равные: xq = a1q/h,

yq = a2q/k,

zq = a3q/l.

(13)

Очевидно, что если q/h, q/k и q/l – целые числа, то соответствующая плоскость пересекает координатные оси в узловых точках. 1.4. Дифракция волн в кристалле. Обычно для исследования структуры кристаллов используют дифракцию волн, которые взаимодействуют с атомами. С помощью дифракции можно определить размеры элементарных ячеек и положения ядер в ячейках. При этом обычно используется дифракция рентгеновских лучей (электромагнитных волн) или нейтронов с длинами волн, λ, сравнимыми с постоянной решетки, а. Для исследования кристаллов требуется рентгеновское излучение с энергией квантов от 10 до 50 КэВ. Длина волны де-Бройля нейтронов сравнима с постоянной решетки при энергиях нейтронов порядка 0,08 эВ. Лучи (или частицы) отражаются от кристаллических плоскостей, задаваемых индексами Миллера (hkl). Из геометрических соображений вытекают условия Вульфа – Брэгга для дифракционных максимумов n – го порядка: 2d sinθ = nλ

(14)

где n = 1,2,3,…- порядок дифракции, d = d(h,k,l) – расстояние между плоскостями, θ - угол между падающим лучом и плоскостью кристалла (Рис. 5). Условие (14) удобно записать в виде соотношения между

волновыми векторами k и k` падающего и отраженного луча соответственно. Пусть k` - k = G (15) При упругом рассеянии: | k` | = | k | = 2π/λ. (16) Возводя (15) в квадрат, с учетом (16) получаем: 2kG + G2 = 0. (17) C другой стороны, из рис. 5 видно, что (18) G = 2k sinθ . Но, согласно (14), sinθ = nλ/2d. Следовательно, с учетом (16) соотношение (18) запишется в виде: G = 2πn/d, Или, пользуясь (12), будем иметь: _________________ (19) G = 2πn b0 = 2πn√h2 b12 + k2 b22 + l2 b32 . Поскольку вектор G ортогонален системе плоскостей (hkl), то он коллинеарен b, и можно написать: G = 2πn b0 = n g (20) где g = 2π b0. Вектор g также называют вектором обратной решетки. Так как (aibi) = 1, то c учетом (9) и (10) для любого узла решетки: (аn g) = 2π(an b0) = 2π(n1h + n2k + n3l) = 2πq

(21)

где q = 1,2,3,… Следовательно, (22) exp (igan) = exp(2πiq) = 1 Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке используется для экспериментального определения структуры кристаллов. Вместо рентгеновских лучей можно применять также пучки ускоренных электронов, медленных нейтронов и других частиц. В методе Лауэ узкий немонохроматический пучок рентгеновских лучей с набором длин волн в широком интервале значений направляют на монокристаллический образец К, закрепленный в специальном держателе (Рис. 6). Из этого пучка дифракцию испытывают лишь лучи с теми длинами волн λ, которые падают на соответствующие атомные плоскости ММ под углом θ, удовлетворяющим закону Вульфа-Брэгга (14). На

рентгеновской пленке А возникает дифракционная картина, состоящая из серии пятен (рефлексов). Метод Лауэ широко применяется для быстрого определения симметрии кристалла и его ориентации, но неудобен для определения его структуры вследствие наложения пятен, образовавшихся в результате отражений различных порядков от различных атомных плоскостей. В методе порошков Дебая пучок монохроматического (с фиксированной длиной волны λ) излучения направляют на образец О в виде мелкого порошка или поликристаллического материала (Рис. 7). В таком образце присутствуют почти все ориентации кристалликов. Среди них всегда найдутся такие, атомные плоскости которых образуют с падающим лучом брэгговские углы. Эти плоскости в общем случае имеют различные индексы (hkl). Отраженные лучи выходят из образца вдоль семейства коаксиальных конусов, общая ось которых совпадает с направлением падающего луча, а углы между образующими и направлением падающего луча равны 2θ, где θ - угол брэгговского отражения. Таким образом можно определить углы отражения от различных атомных плоскостей и с помощью уравнения Вульфа-Брэгга вычислить соответствующие межплоскостные расстояния и постоянные решетки. 1.5. Классификация кристаллов по типам связи. В зависимости от природы частиц, образующих кристалл, и сил взаимодействия между ними различают четыре типа кристаллов: ионные, ковалентные, металлические и молекулярные. Рассмотрим кратко эти основные виды связи. Ионные кристаллы состоят из положительных и отрицательных ионов двух типов атомов. Они образуют кристаллическую решетку за счет электростатического (кулоновского) взаимодействия противоположно заряженных ионов. Такую связь называют ионной или гетерополярной. Типичным представителем таких кристаллов является кристалл поваренной соли (NaCl), состоящий из положительных ионов натрия и отрицательных ионов хлора, образующих кубическую решетку, занимая в ней соседние узлы. В ионных кристаллах (NaCl, KCl, CaF2) не существует отдельных молекул: каждый положительно заряженный ион окружен соответствующим числом отрицательно заряженных ионов, а отрицательно заряженный ион – таким же количеством положительных ионов. Число ближайших соседей, окружающих ион (атом) в решетке называют координационным числом. Ионная связь – это сильная связь с энергией от сотен до десятков тысяч килоджоуль на моль. Поэтому твердые тела с ионной связью имеют высокие теплоты сублимации и

высокие точки плавления. Ионные кристаллы – в основном диэлектрики. Многие из них прозрачны в широком диапазоне частот. Ковалентные кристаллы. Ковалентная (гомеополярная) связь возникает между нейтральными атомами за счет перекрытия электронных облаков двух соседних атомов. Обычно она осуществляется двумя электронами с противоположными спинами, по одному от каждого атома, которые создают состояния с повышенной электронной плотностью в межъядерном пространстве. Образовавшийся таким образом отрицательный заряд между атомами стягивает их между собой, стремясь максимально приблизить друг к другу. Энергию связи, возникающую в результате попарного обобществления электронов, часто называют обменной. Характерными особенностями ковалентной связи являются ее насыщаемость и направленность. Насыщаемость состоит в том, что каждый атом способен образовывать ковалентную связь лишь с определенным числом соседей. Ковалентная связь образуется в том направлении, в котором расположена наибольшая часть электронного облака. Это и означает, что ковалентная связь носит направленный характер. Типичным примером кристаллов с ковалентной связью являются кристаллы углерода, кремния и германия, имеющие структуры типа алмаза. Энергия ковалентной связи составляет сотни килоджоулей на моль, т.е. сравнима с энергией ионной связи. Ковалентные кристаллы – в основном полупроводники и диэлектрики. Металлические кристаллы. Металлическая связь возникает вследствие взаимодействия положительных ионов решетки с электронным газом: электроны, находящиеся между ионами, “стягивают’ их между собой, уравновешивая силы отталкивания. Энергия металлической связи сравнима с энергией ковалентной связи. Металлы обладают высокой электро- и теплопроводностью, вызванной наличием свободных электронов. Этим же объясняется также непрозрачность и высокая отражательная способность металлов. Молекулярные кристаллы. В узлах решетки находятся определенным образом ориентированные нейтральные молекулы, связанные между собой слабыми дисперсионными (ван-дер-ваальсовыми) силами. В чистом виде они проявляются между молекулами с насыщенными химическими связями и между атомами инертных газов. Дисперсионная связь является наиболее универсальной и вместе с тем наиболее слабой связью с энергией порядка нескольких килоджоулей на моль. Типичными кристаллами такого типа являются CO2, H2O,O2,N2 в твердом состоянии

(при низких температурах). В электрическом отношении молекулярные кристаллы являются диэлектриками. Следует отметить, что в реальных кристаллах каждая из рассмотренных связей в чистом виде встречается редко. Практически всегда имеет место наложение двух и более типов связи. Одна из них имеет, как, правило, превалирующее значение, определяя структуру и свойства тела. 1.6. Симметрия атомов и типы образуемых ими простейших структур. Рассмотрим простейшие периодические структуры, возникающие при соединении друг с другом одинаковых атомов. При гомеополярной связи следует различать два случая: атомы с направленными и насыщенными связями (ковалентная связь) и атомы с ненаправленными и ненасыщенными связями (металлическая связь). Число ближайших соседей у каждого атома называется координационным числом структуры. Структуры, образованные частицами с насыщенными связями, характеризуются низкими значениями координационных чисел. Частицы с ненаправленными связями можно моделировать в виде несжимаемых шаров радиуса R, притягивающихся друг к другу, что приводит к образованию структур с максимально большими координационными числами. Пространственную плотную шаровую упаковку можно построить компактным сочетанием плотных плоских шаровых слоев. Важнейшими из них являются двухслойная упаковка, относящаяся к гексагональной системе и трехслойная упаковка, относящаяся к кубической системе. Гексагональная плотная упаковка, подобно структурам графита и алмаза, не может быть получена одними трансляциями. На элементарную ячейку__этой упаковки, имеющую отношение осей с/a = 2 √2/3 = 1,633…, приходится две частицы с координатами [[000]] и [[1/3, 2/3, ½]]. Объем элементарной ячейки равен: V = √3/2 a2c. Такую структуру имеют кристаллы Be, Mg, Zn, Cd. Трехслойная плотная упаковка имеет структуру гранецентрированного куба. К ней относятся кристаллы Cu, Ag, Au, Ni. Координационное число наиболее плотных упаковок равно 12.

2. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ 2.1.Теплоемкость кристаллов. Тепловые свойства кристаллов обусловлены в основном колебаниями кристаллической решетки. При температуре Т = 0 согласно классической теории атомы можно считать неподвижно “закрепленными” в узлах кристаллической решетки. При Т > 0 они совершают колебания относительно положений равновесия. Амплитуда таких колебаний при обычных температурах составляет незначительную часть расстояния между атомами ( ~ 0,05 a0). В классической теории твердое тело рассматривается как совокупность независимых друг от друга частиц, каждая из которых обладает тремя степенями свободы. С учетом кинетической и потенциальной энергии на каждую степень свободы приходится средняя энергия кТ. Таким образом внутренняя энергия одного моля кристалла составляет: Eµ = 3NAkT = 3RT Соответственно молярная теплоемкость (количество тепла, необходимое для нагревания одного моля вещества на 1К) равна: Cµ = dEµ/dT = 3R = 25 Дж/К моль

(1)

Этот закон был установлен экспериментально Дюлонгом и Пти в 1819 г. и ему удовлетворяет большинство твердых тел при обычных температурах (несколько сотен К). Он остается справедливым и в том случае, если учитывается взаимная связь атомов в решетке. Однако при понижении температуры теплоемкость быстро уменьшается и стремится к нулю при Т - 0. Такая зависимость может быть объяснена только на основе представлений о квантовании колебаний кристаллической решетки. Согласно квантовой теории, колебания кристаллической решетки могут возбуждаться и поглощаться только порциями (квантами). Кванты колебательной энергии называются фононами. Фононы можно рассматривать как квазичастицы с энергией ЕФ =hω и импульсом p = hk,

где |k| = ω/u, u – скорость распространения колебаний в кристалле. Согласно статистике Бозе – Эйнштейна, в термодинамическом равновесии среднее число, n, фононов частоты ω на каждую степень свободы равно: n = (e hω/kT - 1) - 1

(2)

Следовательно, энергия одного моля кристалла равна: _ Eµ = 3NA nhω = 3NA hω /(ehω/kT - 1) (3) и Cµ = dEµ/dT = 3NAk(hω /kT)2 ehω/kT/(exp(hω/kT) - 1)2

(4)

Эта формула впервые была получена Эйнштейном в 1907 г. Она качественно правильно учитывает ход теплоемкости при низких температурах (kT << hω ) и переходит в формулу (1) при высоких температурах (kT>> hω ). Однако характер зависимости теплоемкости от температуры при Т – 0: С ~ T -2exp[- hω /(kT)],

(5)

противоречит опытным данным: Сµ~T3. Это противоречие обусловлено предположением, что все атомы твердого тела совершают колебания с одной и той же частотой и независимо друг от друга. Однако в твердом теле нельзя рассматривать атомы как независимые, поскольку само удержание атомов около положений равновесия есть результат взаимодействия атомов между собой. Количественное согласие с опытом было достигнуто Дебаем в 1912 г. Он учел коллективное движение атомов, приводящее к распространению звуковых волн в твердом теле. В системе из N атомов возникает в общем случае 3N колебаний (стоячих волн) с тремя различными поляризациями и различными частотами ωi, называемых нормальными колебаниями или модами. Каждое из 3N нормальных колебаний (осцилляторов) играет роль степени свободы кристалла. Для вычисления полной энергии колебаний требуется ввести функцию плотности распределения мод по частотам, g( ω ). Значение величины dN = g( ω )dω равно числу мод в интервале частот от ω до ω + dω, а значение g(ω ) – числу мод на единичный интервал частот. Для вычисления g( ω ) нужно учесть, что в кристалле

возникают стоячие волны, вследствие чего волновой вектор к может принимать только дискретный ряд значений. В кристалле в виде куба объемом V = L3 возникают стоячие волны, удовлетворяющие периодическим граничным условиям, вследствие чего длина волны принимает значения: λ = L, L/2, L/3,… По определению, для каждой компоненты волнового вектора, кx, кy, кz = + 2π/λ, вследствие чего кx, кy, кz = 0, +2π/L, +4π/L,…. Таким образом, на каждое разрешенное значения волнового вектора, k, приходится объем в к – пространстве, равный V0k = соответствует (2π/L)3 = 8π3/V. С другой стороны, интервалу частот dω интервал волновых чисел dk – сферический слой в трехмерном к – пространстве, объем которого равен: dVk = 4πk2dk, (6) Число различных значений к, попадающих в этот слой, можно получить, поделив объем этого слоя, dVk, на элементарный объем, V0k, (7) dN(k) = V k2dk/(2π2) Учитывая связь ω и k, k = ω /v, где v – скорость распространения упругих (звуковых) волн в кристалле, получим: dN`( ω ) = Vω2dω/(2π2v3).

(8)

Каждая волна частоты ω , распространяющаяся в упругой среде, имеет три типа поляризаций – две поперечные и одну продольную. В изотропном случае скорости распространения обеих поперечных волн одинаковы, v = v1. Скорость, v||, распространения продольной волны, как правило, несколько выше, v|| > v1.Таким образом, полное число колебаний на интервал dω будет равно: (9) dN( ω ) = V ω2dω (1/v3|| + 2/v13)/(2π2) Умножая (9) на среднюю энергию нормального колебания при температуре Т: ε(ω,Т) = hω (e hω/kT – 1) -1 ,

(10)

получим выражение для энергии, приходящейся на интервал частот (ω, ω + dω): dE( ω ) = hω3 V(e hω/kT - 1) -1(1/v||3 + 2/v13)/(2π2) dω. (11)

Для вычисления полной энергии колебаний кристалла необходимо проинтегрировать выражение (11) по всем частотам. Из физических соображений вытекает, что для дискретной цепочки атомов длина волны колебаний не может быть меньше удвоенного значения расстояния между атомами. Соответственно существует максимальная частота, ωmax, по порядку величины равная отношению среднего значения скорости звука, , к среднему значению постоянной решетки, . Величина ωmax называется частотой Дебая и обозначается ωmax = ωD. Для более точного определения ωD проинтегрируем (9) по всем частотам вплоть до ωD. В результате мы должны получить полное число колебаний, которое равно 3N, где N – полное число атомов кристалла. Таким образом, имеем: ωD ωD 2 3 2 3N =∫dN( ω ) =3V/(2π )∫ω dω =ωD3V/(2π23) (12) 0 0 откуда ______ ____ 3 2 3 ωD = √6π N/V = √6π2n (13) где n = N/V – концентрация атомов, - средняя скорость звука, определяемая соотношением 3/3 = 2/v13 + 1/v||3 Интегрируя (11) по всем частотам вплоть до ωD и полагая N = NA, получим полную энергию колебаний решетки для одного моля: ωD 3 Eµ = 9h NA/ωD ∫ ω3(e hω/kT – 1) –1 dω (14) 0 Теплоемкость кристалла получим, продифференцировав (14) по температуре: Сµ = dEµ /dT. xD 3 Cµ (T) = 9R (T/θ) ∫ ex x4 (ex - 1) -2 dx (15) 0 где R = NAk = 8,31 Дж/K моль – универсальная постоянная, Θ = hωD/k – характеристическая температура Дебая, хD = Θ/T. Температуру Дебая для разных веществ определяют экспериментально из измерений теплоемкости в области низких температур. Так, для Al: Θ = 396 K, для Cu: Θ =309 K. При T<< Θ xD -- ∞ , и из (15) получаем:

Cµ (T) = 12π4 R/5 (T/Θ)3 = 234R (T/Θ)3

(16)

т.е. в этом случае в соответствии с экспериментальными данными теплоемкость пропорциональна кубу температуры. Эта зависимость известна как закон Т3 Дебая. При T>> Θ интеграл в (15) равен хD3/3 и Cµ = 3R согласно классическому закону Дюлонга и Пти. Типичный график зависимости Сµ от Т представлен на рисунке 8. Для тел с простыми кристаллическими решетками формула Дебая (15) хорошо согласуется с экспериментом как в области высоких, так и в области низких температур. В случае металлов к теплоемкости за счет колебаний кристаллической решетки добавляется теплоемкость за счет свободных электронов. При обычной температуре она составляет ничтожную часть решеточной теплоемкости. Однако при достаточно низкой температуре она убывает пропорционально первой степени Т, а не Т3, и играет главную роль по сравнению с решеточной. 2.2. Решеточная теплопроводность твердых тел. Если в кристалле создать разность температур, то перенос тепла от более нагретого конца к менее нагретому обусловлен диффузией фононов. Поток тепловой энергии, Q, проходящей через поперечное сечение стержня в единицу времени в направлении оси х равен: Q = λ dT/dx, (13) где λ - коэффициент теплопроводности, при расчете которого необходимо учитывать взаимодействие между фононами, т.е. рассеяние их друг на друге, обусловленное ангармонизмом колебаний решетки. По аналогии с кинетической теорией газов можно показать, что λ = vФ lCV /3

(14)

где vФ – групповая скорость фононов, l – средняя длина свободного пробега фононов между двумя последовательными столкновениями, СV теплоемкость единицы объема. В области высоких температур, как показано выше, СV практически не зависит от температуры, а длина свободного пробега должна быть обратно пропорциональна их концентрации, n, которая, согласно статистике Бозе-Эйнштейна, (2), при высоких температурах

пропорциональна Т: n ~ T. Следовательно, коэффициент теплопроводности должен быть обратно пропорционален температуре, что качественно согласуется с опытом. При температурах ниже дебаевской l практически не зависит от Т, и теплопроводность целиком определяется зависимостью от Т теплоемкости кристалла СV~ T3. Поэтому . Характерная зависимость при низких температурах λ ~ T3 теплопроводности от температуры представлена на рисунке 9. В металлах помимо решеточной теплопроводности необходимо учитывать также и теплопроводность за счет переноса теплоты свободными электронами. Именно ею объясняется высокая теплопроводность металлов по сравнению неметаллами.

3. Электронная структура кристаллов. 3.1.Движение электронов в периодическом поле. Зонная структура энергетического спектра электронов в кристалле. Функции Блоха. Дисперсионные кривые. Эффективная масса. В твердом теле расстояния между атомами сравнимы с их размерами. Поэтому электронные оболочки соседних атомов частично перекрываются между собой и по крайней мере валентные электроны каждого атома оказываются в достаточно сильном поле соседних атомов. Точное описание движения всех электронов с учетом кулоновского взаимодействия электронов друг с другом и с атомными ядрами представляет собой чрезвычайно сложную задачу даже для отдельного атома. Поэтому обычно используется метод самосогласованного поля, в котором задача сводится к описанию движения каждого отдельного электрона в поле эффективного потенциала, создаваемого атомными ядрами и усредненным полем остальных электронов. Рассмотрим вначале структуру энергетических уровней кристалла, исходя из приближения сильной связи, в котором предполагается, что энергия связи электрона со своим атомом значительно превышает кинетическую энергию его перемещения от атома к атому. При больших расстояниях между атомами каждый из них обладает системой узких энергетических уровней, соответствующих связанным состояниям электрона с ионом. При сближении атомов ширина и высота потенциальных барьеров между ними уменьшается, и благодаря туннельному эффекту электроны получают возможность переходить от

одного атома к другому, что сопровождается расширением энергетических уровней и превращением их в энергетические зоны.(Рис. 10). В особенности это касается слабо связанных валентных электронов, которые получают возможность легко перемещаться по кристаллу от атома к атому, и в определенной степени становятся похожими на свободные электроны. Электроны более глубоких энергетических уровней значительно сильнее связаны каждый со своим атомом. Они образуют узкие энергетические зоны с широкими интервалами запрещенных энергий. На рис. 10 условно представлены потенциальные кривые и энергетические уровни для кристалла Na. Общий характер энергетического спектра электронов в зависимости от межъядерного расстояния, d, представлен на рисунке 11. В ряде случаев верхние уровни уширяются настолько сильно, что соседние энергетические зоны перекрываются между собой. На рис. 11 это имеет место при d = d1 . Исходя из соотношения неопределенностей Гейзенберга – Бора, ширина энергетической зоны, ∆ε, связана с временем τ пребывания электрона в определенном узле решетки соотношением: ∆ε τ > h. Вследствие туннельного эффекта электрон может просачиваться сквозь потенциальный барьер. Согласно оценке, при межатомном расстоянии d ~ 1A τ ~ 10 -15 c, и следовательно ∆ε ~ h/τ ~ 10 -19 Дж ~ 1 эВ, т.е. ширина запрещенной зоны составляет порядка одного или нескольких эВ. Если кристалл состоит из N атомов, то каждая энергетическая зона состоит из N подуровней. В кристалле размером 1 см3 содержится N~ 10 22 атомов. Следовательно, при ширине зоны ~ 1 эВ расстояние между подуровнями составляет ~ 10 -22 эВ, что значительно меньше энергии теплового движения в нормальных условиях. Это расстояние столь ничтожно, что в большинстве случаев зоны можно считать практически непрерывными. В идеальном кристалле ядра атомов расположены в узлах кристаллической решетки, образуя строго периодическую структуру. В соответствии с этим, потенциальная энергия электрона, V(r), также периодически зависит от пространственных координат, т.е. обладает трансляционной симметрией: V( r ) = V(r + an )

(1)

где r – радиус-вектор электрона, an = n1a1 + n2 a2 + n3 a3 - вектор решетки, ai (i = 1,2,3,…) – векторы основных трансляций. Волновые функции и уровни энергии в периодическом поле (1) определяются посредством решения уравнения Шредингера

∆ψ(r) = 2m/h 2 [E – V(r)]ψ(r).

(2)

Согласно теореме Блоха, решения уравнения (2) с потенциалом (1) всегда могут быть представлены в виде модифицированных (модулированных) плоских волн: ψκ( r ) = uk (r ) e ikr

(3)

представляющих собой произведение уравнения плоской бегущей волны, eikr на периодический множитель, uk(r ) = uk(r + an), с периодом решетки. Функции (3) называются функциями Блоха. При V(r ) = 0 уравнение (2) имеет решение в виде плоской волны: ψκ( r ) = A e ikr ,

(4)

где А – нормировочный множитель, к – волновой вектор. Волновая функция (4) описывает движение свободной частицы с импульсом p = hk и энергией: E = Eкин = p2 /2m = h 2k2/2m,

(5)

где m – масса частицы. Зависимость энергии E от волнового числа к изображается дисперсионной кривой. Согласно (5), в случае свободного электрона – это парабола. По аналогии со свободным движением, вектор k в уравнении (3) называется волновым вектором, а p =h k – квазиимпульсом. В приближении слабой связи рассматривается движение почти свободных электронов, на которые действует возмущающее поле периодического потенциала ионных остовов. В отличие от свободного движения, в периодическом поле V(r ) уравнение (2) имеет решения не при всех значениях Е. Области разрешенных энергий чередуются с зонами запрещенных энергий. В модели слабой связи это объясняется брэгговским отражением электронных волн в кристалле. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Условие максимального отражения электронных волн в кристалле (условие Вульфа – Брэгга) определяется формулой (17) ч.I. Учитывая, что G = n g, отсюда получим: 2k g = -n g2

(6)

где n – порядок дифракции, g = 2π b0 , b0 - вектор обратной решетки. Вектор g также иногда называется вектором обратной решетки. Если векторы k и g - коллинеарны ( k g = + k g ), то электронная волна отражается от системы кристаллических плоскоcтей, перпендикулярных g , в обратном направлении ( k = - k ). В этом случае условие (6) запишется в виде: k = + n g/2

(7)

Рассмотрим систему конечных интервалов, не содержащих значений k, удовлетворяющих соотношению (7): { -n g/2 < k < - (n – 1) g/2, (n – 1) g/2 < k < n g/2 } (8) Область изменения к в трехмерном k –пространстве, даваемая формулой (8) для всех возможных направлений, определяет границы n – ой зоны Бриллюэна. В пределах каждой зоны Бриллюэна (n= 1,2,3,…) энергия электрона является непрерывной функцией k, а на границах зон она терпит разрыв. Действительно, при выполнении условия (7) амплитуды падающей, ψk (r) = uk( r ) e ikr и отраженной, ψ-k (r) = u-k( r ) e -ikr волн будут одинаковы, uk ( r ) = u-k ( r ). Эти волны дают два решения уравнения Шредингера: (9a) ψ1 (r) = 2 uk ( r ) cos (k r), (9b) ψ2 (r) = 2i uk( r ) sin (k r) Здесь k = g/2. Согласно квантовой механике, плотность вероятности нахождения частицы в точке r равна квадрату модуля волновой функции. Следовательно, плотность распределения заряда в первом случае, согласно формуле (9а), равна: ρ1(r)=|ψ1(r)|2=4ug/22(r)cos2(gr/2)

(10а)

Эта функция описывает скопление отрицательного заряда на положительных ионах, где потенциальная энергия – наименьшая. Аналогично, из формулы (9b) получаем: ρ2 (r) = |ψ2 (r)|2 = 4 ug/22 (r) sin2 (gr/2)

(10b)

Эта функция описывает такое распределение электронов, при котором они располагаются преимущественно в областях, соответствующих серединам расстояний между ионами. При этом потенциальная энергия будет больше. Функции ψ2 будет соответствовать энергия Е2 > E1. Таким образом, одному и тому же значению k на границе зон Бриллюэна соответствует два значения энергии, т.е. на границах зон энергия терпит разрыв Eg = E2 – E`1, приводящий к образованию запрещенных зон шириной Eg. Энергия Е`1 определяет верхнюю границу первой зоны, а энергия Е2 – нижнюю границу второй зоны. Это означает, что при распространении электронных волн в кристаллах возникают области значений энергии, для которых не существует решений уравнения Шредингера, имеющих волновой характер. Поскольку характер зависимости энергии от волнового вектора существенным образом влияет на динамику электронов в кристалле, представляет интерес рассмотреть для примера простейший случай линейной цепочки атомов, расположенных на расстоянии а один от другого вдоль оси x. В этом случае g = 2π/a. На рисунке 12 представлены дисперсионные кривые для трех первых одномерных зон Бриллюена: ( π/a < k < π/a), ( -2π/a < k < -π/a; π/a < k < 2π/a), ( -3π/a < k < -2π/a; 2π/a < k < 3π/a). К запрещенным зонам относятся области энергии Е`1 < E < E2, E`2 < E < E3 и т.д. На рис. 12 представлена расширенная зонная схема, в которой различные энергетические зоны размещены в к – пространстве в различных зонах Бриллюена. Однако, всегда возможно, а часто и удобно, выбрать волновой вектор к так, чтобы конец его оказался лежащим внутри первой зоны Бриллюена. Запишем функцию Блоха в виде: ψκ (r) = uk (r) e ik r (11) где к лежит в n + 1 зоне Бриллюена. Тогда вектор к=к - n g будет лежать в первой зоне Бриллюена. Подставляя к в формулу (11), получим: ψκ = uk + ng (r) e ingr e ikr = uk,n (r) eikr

(12)

где

uk,n (r) = uk + ng (r) e ingr

(13)

Поскольку оба сомножителя в правой части формулы (13) являются периодическими функциями с периодом решетки, то функция uk,n (r) также является периодической с тем же периодиом. Следовательно, функция ψκ = ψk,n(r) = uk,n (r) e ikr

(14)

имеет вид функции Блоха с блоховским множителем (13). Индекс n теперь указывает номер энергетической зоны, к которой принадлежит данная функция. Процедура приведения произвольного волнового вектора к первой зоне Бриллюена получила название схемы приведенных зон. В этой схеме вектор к принимает значения -g/2 < k < g/2, но одному и тому же значению к будут отвечать различные значения энергии, каждое из которых будет соответствовать одной из зон. На рисунке 13 представлена схема приведенных зон для одномерной решетки, соответствующая расширенной зонной схеме на рисунке 12. Таким образом, существование энергетических запрещенных зон обусловлено брэгговским отражением электронных волн де Бройля от кристаллических плоскостей. Точки разрыва определяются условиями максимального отражения волн. Согласно законам квантовой механики, поступательное движение электрона рассматривается как движение волнового пакета с волновыми векторами, близкими к вектору к. Групповая скорость волнового пакета, v, определяется выражением: v = dω/dk = 1/h (dE/dk)

(15)

Влияние кристалла на движение электрона целиком определяется дисперсионным законом, E(k), (рис. 13). При наличии внешней силы, F, электрон приобретает ускорение,w, равное: w = dv/dt = d/dt(dE/dk)/h = (d 2E/dk2) (dk/dt)/h.

(16)

Поскольку импульс p = hk, то dk/dt = (dp/dt)/h = F/ h

(17)

Здесь использован второй закон Ньютона: F = dp/dt. Таким образом, из (16) и (17) вытекает: w = F (d2E/dk2)/ h2

(18)

Для свободной частицы w и F связаны соотношением: mw = F, где m = F/w – масса частицы. Поэтому, согласно (18), величина m* = h2 /(d2E/dk2)

(19)

играет для кристалла ту же роль, что и масса свободной частицы во втором законе Ньютона. Величину m*, определяемую из (19), называют эффективной массой электрона. Она определяет характер его движения в кристаллической решетке. Как следует из рис. 13, зависимость E(k) существенно отличается от параболы; поэтому эффективная масса может сильно отличаться от истинной массы электрона. Вблизи дна зоны ( в окрестности точек А, А`, А`` ) кривая мало отличается от параболы и m* = const > 0. В точках перегиба, В, В`,В`` , m* = ∞. Это означает, что вся работа внешней силы переходит в потенциальную энергию взаимодействия электрона с решеткой, и приращения кинетической энергии и скорости электрона не происходит. В точках перегиба эффективная масса меняет знак, она становится отрицательной. Таким образом, в точках С, С`,С`` (вблизи вершины зоны) m* < 0, т.е. электрон благодаря брэгговскому отражению получает ускорение, противоположное направлению действующей силы. Проведенное рассмотрение показывает, что эффективная масса существенным образом зависит от положения электрона в зоне. Эффективная масса постоянна, если энергия электрона является квадратичной функцией волнового числа, k, что имеет место вблизи дна или вершины энергетической зоны. 3.2. Заполнение зон электронами и деление тел на металлы, диэлектрики и полупроводники. Полное число различных значений k в зоне равно числу N атомов в кристалле. Каждому значению k соответствует два состояния, различающиеся спином электрона. Таким образом, в каждой энергетической зоне содержится в общей сложности 2N состояний. Следовательно, согласно принципу Паули, в зоне может находиться не более 2N электронов. Если, например, на каждую элементарную ячейку приходится один атом одновалентного элемента (например, атом

щелочного металла), то в энергетической зоне будет занята ровно половина возможных состояний (уровней). При ограниченном числе электронов, содержащихся в твердом теле, заполненными при Т =0 окажутся лишь несколько наиболее низких энергетических зон, между которыми находятся запрещенные зоны. По характеру заполнения зон электронами все тела можно разделить на две большие группы. К первой группе относятся тела, в которых над целиком заполненной зоной находится зона, заполненная лишь частично (рис. 14а). Такая зона возникает в том случае, когда атомный уровень, из которого она образуется, заполнен в атоме не полностью, как это имеет место, например, у щелочных металлов. Частично заполненная зона может образоваться также и вследствие наложения заполненных зон на пустые или частично заполненные, как это имеет место у бериллия и других щелочно-земельных элементов (рис. 14б). Наличие зоны, заполненной лишь частично, присуще металлам. Ко второй группе относятся тела, у которых над целиком заполненными зонами расположены пустые зоны (рис. 14, в,г). Типичным примером таких тел являются химические элементы IV группы таблицы Менделеева – углерод в модификации алмаза, кремний, германий и многие химические соединения. Характер заполнения зон оказывает решающее влияние на электропроводность веществ. При наложении внешнего поля Ε возникает ускоренное движение электронов в направлении силы F = - eΕ, что связано с переходом на более высокие уровни энергии. Такие переходы возможны лишь в том случае, если в энергетической зоне, к которой принадлежат данные электроны, имеются незанятые состояния, т.е. если зона укомплектована не полностью. В этом случае даже слабое электрическое поле способно сообщить электронам достаточный добавочный импульс, чтобы перевести их на близлежащие свободные уровни. В теле появится преимущественное движение электронов против поля, т.е. появится электрический ток. Такая ситуация характерна для металлов, удельная электро-проводность которых составляет σ ~ 107 Ом -1 м -1. Если верхняя из заполненных электронами зон (валентная зона) заполнена целиком, то вследствие наличия запрещенной зоны шириной Eg, внешнее поле не способно перевести электрон в вышележащую свободную зону (зону проводимости) и, следовательно, изменить характер их распределения по скоростям. Внутри же самой валентной зоны, не содержащей ни одного свободного уровня, внешнее поле может

вызвать лишь перестановку электронов местами. Поэтому в таких телах не возникает направленного движения электронов, вследствие чего они должны обладать практически нулевой электропроводностью. У хороших диэлектриков σ < 10 -11 Ом -1 м -1. Таким образом достаточным условием появления у тел высокой проводимости является наличие в их энергетическом спектре энергетических зон, укомплектованных электронами лишь частично. Отсутствие же таких зон в спектре твердых тел второй группы делает их непроводниками. По ширине запрещенной зоны тела второй группы условно делят на диэлектрики и полупроводники. К диэлектрикам относят тела, имеющие относительно широкую запрещенную зону (рис. 14в). У типичных диэлектриков Еg > ~ 3 эВ (у алмаза: Еg = 5,2 эВ, у корунда (Al2 O3): Eg = 7 эВ). К полупроводникам относят тела, имеющие сравнительно узкую запрещенную зону (рис. 14г). У типичных полупроводников Еg < 2эВ. Так, у германия Еg ~ 0,66 эВ, у кремния Еg ~ 1,08 эВ и т.д. 3.3 Температурная зависимость функции распределения электронов по энергетическим состояниям – функция распределения Ферми – Ди-рака. Описанное выше заполнение электронами наиболее низколежащих энергетических уровней имеет место лишь при равной нулю абсолютной температуре. При повышении температуры кинетическая энергия электронного газа увеличивается; при этом вероятность заполнения электронами любого квантового состояния, вообще говоря, отлична от нуля. Для описания распределения электронов по различным квантовым состояниям используются методы квантовой статистики. Рассмотрим систему, состоящую из N частиц (например, электронов), каждый из которых может находиться в одном из одночастичных квантовых состояний и пусть энергия i –го состояния равняется εi , причем некоторые из значений энергии могут быть вырожденными, т.е. одному и тому же значению энергии могут соответствовать несколько одночастичных состояний. Если система находится в равновесном состоянии, то распределение частиц по состояниям характеризуется средним числом частиц, ni, находящихся в данном состоянии. В соответствии с каноническим распределением Гиббса, вероятность того, что при температуре Т в i – ом состоянии находится ni частиц, равна,

Pni = A e n

(µ − ε )/κΤ

(20)

где А – нормировочный множитель, к - постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, µ − хими-ческий потенциал системы в целом. Химический потенциал численно равен работе, которую нужно совершить над системой, чтобы увеличить число частиц в системе на одну. Он определяется из условия постоянства полного числа, N, электронов в системе. Поскольку электроны являются фермионами и подчиняются принципу Паули, то в каждом одночастичном состоянии может находиться не более одной частицы, т.е. должно быть ni = 0, 1. Средняя заселенность одночастичного состояния, очевидно, равна: ni = (0 P0i + 1 P1i)/(P0i + P1i)

(21)

откуда, подставляя (20) в (21), получаем: ni = 1/ ( e (ε

−µ)/κΤ

+ 1)

(22)

Поскольку Σni = N, то в неявном виде µ(Τ,Ν) можно определить из условия Σ (e (ε

− µ)/kT

+ ) –1 = N.

Для произвольного ε = εi введем общепринятые обозначения __________1__________ = f( ε ) = exp [(ε - µ)/kT] + 1

(23)

Эта формула известна как функция распределения Ферми – Дирака, 0 < f( ε )< 1. Более строгий вывод выражений (20) и (23) приведен в Приложении. На рисунке 15 представлена функция f(ε ) при различных значениях температуры Т. Как следует из (23), при абсолютном нуле (Т = 0) все состояния с энергией ε < µ однократно заняты, f( ε ) = 1, а состояния с ε > µ - свободны, f(ε) = 0, т. е. функция f( ε ) меняется скачкообразно. При ε = µ и при любой температуре из (23) вытекает: f( ε ) = ½. С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на все более высокие уровни, ε > µ . В

результате вблизи ε = µ происходит размытие распределения на глубину ~ kT. При ε − µ >> kT f( ε ) ~ exp[(µ - ε)/kT], т.е. эта функция практически близка к классической функции распределения Больцмана. 3.4. Электронный газ в металлах. В металлах верхняя энергетическая зона укомплектована не полностью, т.е. является зоной проводимости. Электроны в зоне проводимости ведут себя подобно частицам свободного идеального газа, масса которых равна эффективной массе электронов, m*, а энергия отсчитывается от дна (наинизшего уровня) зоны проводимости. Такие электроны называются квазисвободными. Для квазисвободных электронов допустимы любые значения энергии ε в пределах зоны проводимости, в том числе и вблизи значения ε = µ . Поэтому при абсолютном нуле (Т = 0) химический потенциал совпадает с энергией электронов на высшем из занятых уровней. Этот уровень называется уровнем Ферми. Для вычисления среднего числа электронов, dN( ε ), имеющих энергию в промежутке ( ε , ε +dε), нужно умножить число состояний в этом промежутке, dg(ε) = g(ε) dε, где g(ε) – функция плотности состояний, на вероятность, f(ε), заполнения этих состояний электронами. Для вычисления функции g(ε) рассмотрим число различных значений волнового вектора k в сферическом слое объемом 4π k2 dk в k – пространстве. В одномерном случае, исходя из граничных условий на краях образца длиной L, длина волны де Бройля, λ , может принимать значения: λ = L, L/2, L/3,…L/n,… где n – целые числа. Поскольку k = 2 π/λ , то соответствующее условие для к будет: k = +2π/L; + 4 π/L;…, + 2πn/L;

(24)

В трехмерном случае условия (24) должны соблюдаться для каждой компоненты вектора k: kx, ky, kz . Следовательно, каждому разрешенному набору этих чисел соответствует элемент объема в k – пространстве: ∆Vk = ∆k∆ky∆kz=2π/Lx2π/Ly2π/Lz = (2π)3 /V

(25)

где Lx, Ly, Lz - размеры кристалла по осям x, y, z; V – объем кристалла. Число различных значений k в сферическом слое объемом dUk = 4πk2dk (радиуса k и толщиной dk) равно:

dN(k)=dUk/(∆Vk)=4πκ2/(8π3)Vdk=k2dk/(2π2)V

(26)

Каждому разрешенному состоянию с импульсом k соответствует два состояния электрона с противоположными спинами: dg = 2dN( k ) = V k2dk/π2

(27)

Импульс электрона в металле вблизи дна зоны проводимости связан с ее энергией соотношением: p = √ 2m*ε . Поэтому k = √ 2m*ε / h

(28)

С учетом (28), пользуясь (27), получим dg = V √2m*3ε /(2π2h 3) dε т.е. __ g( ε ) = V (2m*) √ε (2π2h3) –1 3/2

(29)

Среднее число электронов с энергией ( ε , ε + dε ) таким образом равно: dN( ε ) = N( ε) dε = f( ε ) g( ε ) dε

(30)

Следовательно, N( ε ) = V (2m*)3/2 (2π2h3) -1√ε (e (ε − µ)/kT + 1) –1 (31) Функция N(ε ) при различных температурах представлена на рисунке 16. Полное число электронов равно: ∞ ∞ N= ∫ N(ε)dε = ∫ f(ε)g(ε)dε (32) 0 0 Вычислим концентрацию электронов, n = N/V. Как следует из (23),при Т = 0 f(ε ) = 1 при 0 < ε < µ и f( ε ) = 0 при ε > µ. Таким образом, µ µ –1 3/2 2 3 -1 n = V ∫g(ε)dε = (2m*) (2π h ) ∫√ε dε = 0 0

= (2m*µ)3/2(3π2h3)–1

(33)

откуда при Т = 0: µ =h 2/2m* (3π2n)2/3

(34)

можно найти также среднюю энергию электронов µ –1 <ε> = N ∫f(ε)g(ε)εdε 0 При Т = 0: µ –1 (35) <ε> = N ∫ g(ε)εdε = 3/5 µ 0 В общем случае µ зависит от температуры, µ=µ(Т). Оценим В металлах обычно n = 1028 – значение µ(0) = εF по формуле (34). ε F = 5 эВ, <ε> = 3 эВ. Чтобы сообщить 1029м-3 . При n = 5 1028 м-3 классическому электрону такую энергию, его нужно нагреть до температуры 25000 К. Таким образом, в случае металлов электронный газ является вырожденным. Величина ТF = εF/к называется температурой Ферми. В данном случае ТF = 60000 К. При Т > 0 интеграл в (32) ∞ __ 3/2 2 3 –1 (ε − µ)/kT + 1) –1 dε (36) n = N/V = (2m*) (2π h ) ∫√ε (e 0 не может быть вычислен точно. Однако, при кТ << µ (Т << TF) имеет место приближенная формула: µ(T) = εF [1 - π2/12 (kT/εF)2]

(37)

т.е. химический потенциал слабо понижается с температурой. Так, при Т = 300 К µ отличается от εF на 0,002 %. При Т<< TF электронный газ называется вырожденным. При Т>>TF электронный газ невырожденный. (Рис. 15, Т = Т3 ). Как следует из приведенных формул, электронный газ в металлах остается вырожденным вплоть до температур порядка десятков тысяч градусов. Поэтому для не слишком высоких температур доля возбужденных электронов составляет величину, равную кТ/µ. Средняя

энергия поступательного движения одного электрона равна 3кТ/2. Поэтому суммарная энергия электронного газа при температуре Т равна: Eэл = 3N(kT)2 /2µ

(38)

Следовательно, молярная теплоемкость электронного газа равна: (39) Cµ эл = 3NAk (kT/µ) = 3R(kT/µ) что значительно меньше, чем по классической теории, согласно которой Cµ кл=3R/2, т.е. составляет 50 % от теплоемкости кристаллической решетки. С учетом (39) получаем: Сµ

ЭЛ

/Сµ КЛ = KT/µ << 1

Учитывая, что для металлов µ измеряется единицами электрон-вольт, а кТ = 0,025 эВ при Т = 300 К, получаем Сµ эл ~ 0,01Cµ реш. 3.5.

Электропроводность металлов.

Решение квантовомеханической задачи о движении электронов в кристалле приводит к выводу, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы сопротивления, и электропроводность металла была бы бесконечно большой. Однако идеальных кристаллов не существует. Нарушение строгой периодичности обусловлено наличием примесей и вакансий, а также тепловыми колебаниями решетки. Рассеяние электронов на атомах примеси и на фононах приводит к возникновению электрического сопротивления металлов. Согласно правилу Матиссена об аддитивности сопротивления, удельное сопротивление можно представить в виде, ρ = ρкол + ρприм (40) где ρкол - удельное сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки ( ρкол = 0 при Т = 0), ρприм - сопротивление, обусловленное атомами примеси. Оно не зависит от температуры и образует остаточное сопротивление металла. Под действием внешнего электрического поля электроны проводимости приходят в направленное движение, средняя скорость которого называется дрейфовой скоростью

vдр = Σ vi /n

(41)

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего электрического поля E дрейфовая скорость становится отличной от нуля – в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной внешней силе -eE. Наряду с этим, на направленно движущиеся электроны со стороны кристаллической решетки действует сила сопротивления, среднее значение которой пропорционально дрейфовой скорости и направлено в противоположную сторону. Fтр = - r vдр

(42)

где r – коэффициент пропорциональности. Уравнение движения для “среднего” электрона имеет вид: m*dvдр/dt = - eE - r vдр. (43) Если после установления стационарного состояния выключить внешнее поле, дрейфовая скорость начнет убывать. Решение уравнения (43) при E = 0 имеет вид: vдр (t) = vдр (0) exp( - r t/ m*)

(44)

где vдр(0) – значение дрейфовой скорости в момент выключения поля. Из уравнения (44) следует, что за время τ = m* /r

(45)

значение дрейфовой скорости уменьшается в e раз. Таким образом, величина (45) представляет собой время релаксации, характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой после выключения внешнего поля. Установившееся значение дрейфовой скорости определяется из условия: dvдр/dt = 0. Cогласно (43), eЕ + m*vдр/τ = 0

(46)

Отсюда vдр = - eЕτ/m*.

(47)

Установившееся значение плотности тока j можно получить, умножив это значение на заряд электрона - е и концентрацию электронов n: j = ne2τ/m*E

(48)

Величину, равную отношению скорости дрейфа к напряженности поля, называют подвижностью носителей: u = vдр/Е = eτ/m*

(49)

Иными словами, подвижность – это дрейфовая скорость, приобретаемая электронами в поле единичной напряженности. Так, для меди τ ~ 2 10-14 с, а подвижность электронов, вычисленная по формуле (49), u ~ 3 10 -3 м2/ (В с). Скорость дрейфа в полях обычной напряженности (E = 10 -2 В/м) составляет vдр ~ 0,3 м/c . Эта величина на много порядков ниже скорости хаотического теплового движения электронов в отсутствие поля = 1,6 106 м/с. C учетом (49) выражение (48) можно записать в виде: j = enuE = σΕ.

(48a)

Формула (48а) выражает закон Ома в дифференциальной форме. В результате получим удельную электропроводность металла: σ = ne2 τ/m* = enu

(50)

Таким образом, для вычисления электропроводности σ необходимо знать подвижность носителей u, которая в свою очередь определяется временем релаксации τ. Из кинетического уравнения Больцмана следует, что по порядку величины это время сравнимо с временем, < τ >, свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями с квантами колебательной энергии решетки – фононами. Время < τ > определяется средней длиной, < λ >, свободного пробега электрона и скоростью, < v >, хаотического теплового движения электронов. Эти величины связаны очевидным соотношением

<τ> = <λ>/.

(51)

Cогласно классической статистике для невырожденного идеального газа будем иметь: = н, где н

= √ 8kT/ (πm*) .

(52)

Иная картина наблюдается для вырожденного электронного газа, что имеет место в случае металлов. В таком газе основная масса электронов, энергия которых меньше энергии Ферми εF хотя бы на 0,1 эВ, не может принимать участие в процессах переноса заряда и рассеяния на колебаниях решетки, поскольку энергия фононов в этом случае не достаточна для возбуждения электронов на вышележащие свободные уровни. Поэтому при наличии вырождения в процессах участвуют только электроны с энергией, близкой к εF (фермиевские электроны), средние скорости которых, vF , практически не зависят от температуры. Следовательно, σ = n e2 /m* λF/vF

(53)

где λF - средняя длина свободного пробега фермиевских электронов. В области высоких температур (выше дебаевской температуры) сопротивление обусловлено в основном рассеянием на тепловых колебаниях решетки – фононах. Длина свободного пробега при этом обратно пропорциональна концентрации фононов, nф, которая, в свою очередь, пропорциональна абсолютной температуре, nф ~ T. Поэтому λ = α /T (54) где α - постоянная, не зависящая от Т. Согласно (49) и (53), для вырожденного электронного газа имеем: u = e α /(m*vF T) σ = ne2 α / (m* vFT)

(55a) (55b)

Так как в металлах концентрация n электронного газа не зависит от температуры, то согласно последней формуле σ обратно пропорционально абсолютной температуре Т.

По определению, удельное сопротивление ρ равно: ρ= 1/σ. Поэтому для удельного сопротивления, обусловленного колебаниями решетки, будем иметь: ρкол = m vF T/ (ne2 α)

(56)

т.е. удельное сопротивление растет пропорционально температуре, что и наблюдается экспериментально. Для невырожденного электронного газа, согласно (52), имеем: u = αe √ π /(8m*kT3)

(57)

т.е. подвижность носителей невырожденного электронного газа обратно пропорциональна T3/2. В области низких температур (ниже дебаевской) концентрация фононов быстро уменьшается, вследствие чего резко уменьшается удельное сопротивление, обусловленное колебаниями решетки: при Т - 0 ρ ~ T5. В этом случае основной вклад в сопротивление дает рассеяние на примесных атомах, всегда содержащихся в небольших количествах даже в самых чистых металлах. При рассеянии на примесных атомах длина свободного пробега, согласно формуле Резерфорда, пропорциональна четвертой степени скорости электронов, λ ~ < v > 4. Поэтому для вырожденного электронного газа u и σ не зависят от температуры, а для проводников с невырожденным электронным газом: u ~ 3 ~ T3/2. Проведенное рассмотрение показывает, что электропроводность металлов определяется формулой (40), где ρприм не зависит от Т и называется остаточным удельным сопротивлением ρост , а ρкол при высоких температурах возрастает линейно с ростом Т. Схематически зависимость удельного сопротивления металла от температуры представлена на Рисунке 17. (кривая 1). 3.6.

Явление сверхпроводимости.

В 1911 году голландский физик Х. Камерлинг-Оннес обнаружил, что при температуре 4,15 К сопротивление ртути почти скачком падало до нуля, т.е. ртуть перестала оказывать сопротивление электрическому току. Это явление, названное сверхпроводимостью, было обнаружено впоследствии у ряда чистых металлов: олово, свинец, индий, алюминий, ниобий и т.д. Сверхпроводниками оказались и многие сплавы.

Температура, при которой происходит переход в сверхпроводящее состояние, называется критической температурой перехода и обозначается Тк. График зависимости удельного сопротивления сверхпроводящего материала от абсолютной температуры представлен на рисунке 17 (кривая 2). Наиболее высокой температурой Тк из чистых металлов обладает ниобий (9,46 К), а из сплавов – Nb3Ge (23 K). В 1986 1987 гг. был обнаружен ряд высокотемпературных сверхпроводников с критической температурой 100 К и выше. Такая температура достигается с помощью жидкого азота. В отличие от гелия, жидкий азот получают в промышленном масштабе. Все открытые до сих пор высокотемпературные сверхпроводники принадлежат к группе металлооксидной керамики. Огромный интерес к таким сверхпроводникам обусловлен, в частности, тем, что использование сверхпроводящих линий электропередач полностью устранит потери мощности в проводах. Сверхпроводимость не исчерпывается только обращением в нуль электрического сопротивления проводника (идеальной проводимостью). Для сверхпроводящего состояния характерно также то, что магнитное поле не проникает а толщу сверхпроводника, поскольку во внешнем магнитном поле В0 в нем возникают индукционные токи, которые по закону Ленца создают магнитную индукцию B = µH, компенсирующую внешнюю индукцию. В результате магнитная индукция внутри тела будет: B = B0 + B = 0. Линии индукции выталкиваются из тела и огибают его (Рисунок 18). В результате сверхпроводник обладает нулевой магнитной проницаемостью, (µ = 0) т.е. является идеальным диамагнетиком. Это явление получило название эффекта Мейсснера. Достаточно сильное внешнее магнитное поле разрушает сверхпроводящее состояние. Значение магнитной индукции, при котором это происходит, называется критическим полем и обозначается Вк. Величина Вк зависит от температуры образца: Bk(T) = Bk0[1 – (T/Tk)2]

(58)

При критической температуре Вк = 0. С понижением температуры Вк возрастает, приближаясь в величине Вк0 - значению критического поля при нулевой температуре. Примерный ход этой зависимости представлен на рисунке 19. В обычных сверхпроводниках Вк0 меньше 0,1 Тл. Состояние сверхпроводимости разрушается также магнитным полем самого тока в сверхпроводнике. Это происходит при таком значении силы тока Ik (критический ток), что магнитное поле у поверхности образца

достигает критического значения, при котором исчезает сверхпроводимость. Зависимость Ik от температуры аналогична зависимости Вк от Т (рис. 19). Сила критического тока при фиксированной температуре прямо пропорциональна диаметру провода, поскольку в обычных сверхпроводниках токи текут в тонком приповерхностном слое толщиной от 10 до 100 нм. В сверхпроводниках второго рода возникающие во внешнем магнитном поле токи текут не только по поверхности, но и в толще проводника. В результате в таких сверхпроводниках критическое поле возрастает до 20 Тл и более. Сверхпроводимость представляет собой явление, в котором квантовомеханические эффекты проявляются в макроскопических масштабах. Теория этого явления весьма сложна и была создана только в 1957 г. американскими физиками Бардиным, Купером и Шриффером и независимо от них в 1958г. Н.Н. Боголюбовым. Возникновение этого явления обусловлено взаимодействием электронной подсистемы с кристаллической решеткой, благодаря которому на электроны в металле действуют силы взаимного притяжения, которые в сверхпроводящем состоянии превышают силы кулоновского отталкивания. Притяжение возникает вследствие деформации (поляризации) кристаллической решетки, в результате чего электрон оказывается окруженным облаком положительного заряда, к которому будет притягиваться другой электрон. В результате электроны проводимости объединяются в так называемые куперовские пары. На квантовомеханическом языке такое притяжение возникает как результат обмена квантами возбуждения решетки – фононами. При низких температурах это притяжение у веществ, являющихся сверхпроводниками, превышает кулоновское отталкивание. Наиболее эффективно образование пар происходит в тех металлах, у которых имеет место сильное взаимодействие электронов с кристаллической решеткой, приводящее в обычных условиях к относительно низкой электропроводности. И действительно, из чистых металлов лучшими сверхпроводниками оказались наиболее высокоомные – свинец, ниобий, олово, ртуть и др. В то же время у хороших проводников (медь, серебро) сверхпроводимости не наблюдается. Расстояние между электронами пары может достигать примерно 10-4см, т.е. на четыре порядка превышает межатомные расстояния в кристалле. Следовательно, внутри области, занимаемой любой парой, окажутся центры очень многих ( от 105 до 1011) пар, т.е. пары сильно перекрываются, что весьма существенно для стабильности состояния. Взаимодействие, обусловленное обменом фононами, наиболее сильно проявляется у электронов, обладающих противоположными спинами и

импульсами. Поскольку полный спин пары равен нулю, то такие частицы подчиняются квантовой статистике Бозе-Эйнштейна, т.е. являются бозонами. Бозоны накапливаются в основном энергетическом состоянии, образуя “бозе-конденсат”, из которого их сравнительно трудно перевести в возбужденное состояние. Следовательно, куперовские пары, придя в согласованное движение (под действием, например, электрического поля), остаются в этом состоянии неограниченно долго. Такое согласованное движение пар и есть ток проводимости. В куперовские пары объединяются не все электроны проводимости, поскольку в вырожденном газе фермионов взаимодействовать между собой могут лишь те частицы, вблизи уровней которых имеются свободные состояния, т.е. фермиевские электроны. При Т > 0 имеется некоторая вероятность разрушения пары. Поэтому наряду с такими парами имеются “нормальные” электроны. Чем ближе Т к Тк, тем доля нормальных электронов становится больше. При Т = Тк все электроны становятся нормальными, и сверхпроводящее состояние разрушается. Образование куперовских пар приводит к перестройке энергетического спектра металла. Для возбуждения электронной системы, находящейся в сверхпроводящем состоянии, надо разрушить хотя бы одну пару. Для этого требуется энергия, равная энергии связи, 2∆ , электронов в паре (по ∆ на каждый электрон). Эта энергия представляет собой минимальное количество энергии, которое может воспринять система электронов сверхпроводника. Следовательно, при T < Tk в энергетическом спектре электронов образуется энергетическая щель ширины 2∆, расположенная в области уровня Ферми. Значения энергии, принадлежащие этой щели, запрещены. Существование щели было доказано экспериментально. Благодаря наличию энергетической щели, при малых скоростях своего движения (I < Ik) электронная система не возбуждается фононами, что означает движение без трения, т.е. без электрического сопротивления. Ширина щели зависит от количества неспаренных электронов, уменьшаясь с ростом концентрации последних, а следовательно, с ростом температуры. Из теории сверхпроводимости известна формула: ∆(T) = kTk ( 1 – T/Tk)1/2

(59)

При Т = Тк все куперовские пары разрушаются и вещество переходит в нормальное (несверхпроводящее) состояние. Для типичных -3 сверхпроводников ∆ (0) ~ 10 эВ.

Микроскопическая теория сверхпроводимости дает: Тк ~ hω, где ω средняя частота фононов. Поскольку ω ~ M– ½ , где М – масса иона, то Тк М1/2 = const (60) т.е. критическая температура уменьшается с ростом массы изотопа, что соответствует экспериментальным данным по изотопическому эффекту. Действительно, с ростом массы ионы решетки становятся менее подвижными и хуже экранируют заряд электрона. Из теории сверхпроводимости следует также, что сила тока в сверхпроводящем кольце (или цилиндре) квантуется, т.е. принимает только дискретный ряд значений. Поскольку сверхпроводящий ток связан с магнитным полем, то его напряженность, а значит и магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим кольцом, будут квантоваться,т.е. Ф = n Ф0, где n – целое число, Ф0 = h /q (61) где q – заряд носителя тока. Формула (61) подтверждена в 1961 г. экспериментально. Измеренное значение Ф оказалось кратным Ф0 при q, равным удвоенному заряду электрона (q = - 2e). Это служит дополнительным подтверждением теории, согласно которой носителями тока в сверхпроводнике являются куперовские пары, заряд которых равен суммарному заряду двух электронов. Эффекты Джозефсона. В 1962 г. Джозефсон предсказал на основе теории сверхпроводимости существование двух необычных эффектов: стационарного (обнаружен экспериментально в 1963 г.) и нестационарного (1965 г.). Эти эффекты наблюдаются при протекании сверхпроводящего тока через туннельный контакт, образованный двумя сверхпроводниками, разделенными слоем диэлектрика толщиной порядка 1 нм, называемый контактом Джозефсона. При этом возникает туннелирование электронных пар через контакт. Сила тока через контакт зависит от разности фаз, ϕ1 и ϕ2 , волновых функций, описывающих куперовские пары по обе стороны барьера, (62) I = I0 sin ( ϕ1 -ϕ2 ) где I0 - максимальный ток через барьер, пропорциональный площади туннельного перехода и прозрачности барьера. Стационарный эффект наблюдается при условии, что ток через контакт Джозефсона не превышает определенного значения, называемого критическим током контакта. При стационарном эффекте напряжение на контакте отсутствует. Если ток на контакте превышает критическое значение, наблюдается нестационарный эффект Джозефсона. В этом случае на контакте

возникает падение напряжения U и при прохождении через контакт электронная пара приобретает энергию 2eU, которая является избыточной по отношению к энергии основного состояния сверхпроводника. Возвращаясь в исходное состояние, электронная пара испускает квант электромагнитного излучения с частотой ω = 2eU/ h (63) При U = 1мВ она составляет 485 ГГц, что соответствует длине волны 0,6 мм. В эффекте Джозефсона проявляется важнейшее свойство сверхпроводника – согласованное движение его электронов. Эффект Джозефсона нашел применение для создания сверхточных приборов для измерения малых токов (до 10-10 А), напряжений (до 10-15 В), магнитных полей (до 10-18 Тл), низкотемпературных термометров для диапазона 10-6 – 10 К. С помощью эффекта Джозефсона установлен новый, более точный эталон Вольта. Ведутся разработки новых поколений ЭВМ на основе явления сверхпроводимости. Сверхпроводящие линии связи на основе керамики позволят повысить плотность передаваемой информации до 1012 бит в секунду.

4. ПОЛУПРОВОДНИКОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 4.1.

Природа носителей тока в полупроводниках. Собственные полупроводники.

Полупроводниками являются кристаллические вещества, у которых при абсолютном нуле температуры (Т = 0) валентная зона полностью заполнена электронами, а ширина запрещенной зоны невелика. По электропроводности они занимают промежуточное положение между металлами и диэлектриками. С точки зрения электрических, оптических и других физических свойств полупроводники представляют особый интерес. Наиболее важным свойством полупроводников является активационная природа их электропроводности, т.е. чувствительность к воздействию температуры, облучения светом, потоками электронов или других частиц высоких энергий. Фундаментальные физические исследования полупроводников

служат основой для многочисленных технических применений в микроэлектронике, оптоэлектронике, лазерной, криогенной технике и др. Особенности физических свойств полупроводников определяются структурой энергетического спектра электронов и характером заполнения энергетических зон. Если энергия Ферми совпадает с верхней границей одной из энергетических зон, а следующая пустая разрешенная зона отделена от нее энергетическим интервалом Еg, то при абсолютном нуле такое тело является диэлектриком. В этом случае без поглощения энергии, равной или большей интервалу запрещенных энергий, электроны не могут изменить состояния своего движения. Запрещенная область энергий в каждом кристалле имеет свою характерную величину. К полупроводникам относятся тела, имеющие сравнительно узкую запрещенную зону. У типичных полупроводников Еg < ~ 1 эВ. Химически чистые полупроводники называются собственными полупроводниками. К ним относят ряд чистых химических элементов (германий, кремний, селен, теллур, относящиеся к IV группе таблицы Менделеева) и многие химические соединения, такие, например, как арсенид галлия GaAs, арсенид индия InAs, антимонид индия InSb , карбид кремния SiC и т. д. На рис. 20а показана упрощенная схема зонной структуры собственного полупроводника. С повышением температуры вследствие термического возбуждения часть электронов переходит из валентной зоны (V) в ближайшую свободную зону, которая становится зоной проводимости (С). Так, у Ge при комнатной температуре (Т = 300К) концентрация электронов в зоне С достигает n ~ 1019 м –3. В валентной зоне (V) появляются свободные энергетические уровни, на которые могут переходить электроны этой зоны (Рис. 20б). Освободившиеся состояния в почти заполненной зоне называются дырками. При наложении внешнего электрического поля возникает электрический ток, обусловленный направленным движением электронов в зонах С и V. При наличии вакантных уровней поведение электронов в валентной зоне можно представить как движение сравнительно небольшого числа положительно заряженных квазичастиц – дырок.. Переход электрона из занятого состояния k` зоны V в свободное состояние k зоны С можно рассматривать теперь как рождение пары квазичастиц: электрона в состоянии k и дырки в состоянии k`. Вклад в плотность тока одного электрона, движущегося со скоростью vi в проводнике единичного объема, составляет

ji = -evi где е – заряд электрона. Все электроны валентной зоны создают плотность тока j = - e Σ vi

(1)

где суммирование проводится по всем состояниям, занятым электронами. В полностью заполненной валентной зоне все направления скоростей электронов равновероятны. Таким образом, согласно формуле (1),сила тока, создаваемого электронами полностью укомплектованной зоны, равна нулю – j = 0. При отсутствии в зоне электрона в к–ом состоянии суммарная плотность тока равна j = - eΣ

VI

= e vk

(2)

Таким образом, суммарный ток всех электронов зоны, имеющей одно вакантное состояние, эквивалентен току, обусловленному движением одной частицы с положительным зарядом +е, т.е. дырки, имеющей скорость по модулю равную скорости отсутствующего электрона. Вакантные уровни образуются у потолка валентной зоны, где эффективная масса отрицательна. Отсутствие частицы с отрицательной эффективной массой m* < 0, эквивалентно наличию частицы с положительной массой mp = |m*|. Вблизи вершины валентной зоны и дна зоны проводимости дисперсионную кривую можно представить в виде параболы, и эффективная масса, m* = h2(d2E/dk2)- 1

(3)

в этом случае сохраняет постоянное значение. Таким образом, валентная зона с небольшим числом вакансий эквивалентна почти пустой зоне, содержащей небольшое количество квазичастиц (дырок). Рассмотрим собственные полупроводники. Отсчет энергии будем производить от дна зоны проводимости, Ес, т.е. положим Ес = 0. Эффективную массу электрона в зоне С обозначим: mn (m* = mn). Тогда E(k) = h2k2/(2mn)

(4)

а функция плотности состояний, согласно формуле (29) части 3, равна

g(E) = V (2mn)3/2 E ½ /(2π2 h 3) Аналогично у потолка валентной зоны, EV, Ε(κ) = ΕV – h2 k 2/2mp

(5) (6)

где ЕV = - Eg,, а g( E ) = V (2mp)3/2 (EV – E)1/2 /(2πh 3 )

(7)

Зависимость g от Е для зоны проводимости и валентной зоны представлена на рисунке 21а.Полная статистическая функция распределения частиц системы по энергиям, N(E), определяется выражением: N(E) = g(E) f(E)

(8)

Таким образом, число частиц с энергией (Е, Е + dЕ) равно: dN(E) = N(E) dE = g(E) f(E) dE

(9)

где функция распределения , f(E), определяется согласно формуле (23) части 3: f(E) = 1/ ( e(E - µ )/kT + 1) (10) Здесь к – постоянная Больцмана. Функции f(E) и N(E) представлены на рисунках 21б и 21в. Отсюда для концентрации электронов в зоне проводимости получаем ∞ -1 n = N/V = V ∫g(E) f(E)dE = (11) (2mn)3/2/(2π2h3) ∫ ε1/2 (e(ε − µ)/kT+1)-1dε 0 Интеграл в формуле (11) в общем случае не берется в аналитическом виде. Однако, при комнатной температуре электроны в зоне проводимости полупроводника далеки от вырождения. При этом химический потенциал лежит значительно ниже дна зоны проводимости (EC − µ >> κΤ). При EC = 0 µ < 0 . Поскольку в зоне проводимости E > 0, то единицей в знаменателе формулы (10) можно пренебречь и

f(E) ~ eµ/kT e- E/kT (12) Условие (12) справедливо для случая невырожденного электронного газа, что имеет место для большинства полупроводников. Если условие невырожденности для электронного газа в зоне проводимости или дырочного в валентной зоне не выполняется, то вычисление интегралов типа (11) следует производить численно или пользоваться таблицами. Подставляя (12) в (11), получаем 3/2

2 3 –1 µ/kT

n = (2mn) (2π h ) e

∫e

−ε/kT 1/2

ε dε

∞ (13)

0 Интеграл в формуле (13) легко вычисляется. и равен √π /2(kT)3/2 . В результате получаем: где

n = NC e µ/kT

(14)

(15) NC = 2(2πmnkT)3/2 h- 3 называется эффективным числом состояний, приведенным ко дну зоны проводимости. По порядку величины оно близко к числу состояний в интервале ~ kT от дна зоны, NC ~ 1025 – 1026 м –3. Аналогично, для концентрации дырок, р, в валентной зоне получаем: p = NV e- (µ + Ε

)/κΤ

(16)

где Eg – ширина запрещенной зоны, NV = 2(2πmpkT)3/2 h – 3 .

(16а)

Здесь NV - эффективное число состояний валентной зоны, приведенное к потолку зоны. Произведение np не зависит от µ: np = NCNV e – E

/kT

(17)

Формула (17) выражает закон действующих масс. Он справедлив не только для собственных полупроводников. В собственном полупроводнике обозначим: n = ni, p = pi, причем ni = p i . Следовательно, для собственного полупроводника согласно (14) и (16) получаем:

NC e µ/kT = NV e − µ/kT e - E

/kT

(18)

Из формулы (18) вытекает выражение для µ: µ = - Eg/2 + ¾ kT ln(mp/mn)

(19)

µ = - Eg/2. При Отсюда вытекает, что при Т = 0, а также при mp = mn T > 0 значение химического потенциала смещается к той зоне, где m* меньше. С учетом (17) для собственных полупроводников также получаем: ni = pi = (NC NV)1/2 e – E

/2kT

(20)

Следовательно, равновесная концентрация носителей тока определяется шириной запрещенной зоны и температурой полупроводника. Из формулы (17) следует также, что для любого полупроводника pn = ni2 ( T ) = pi2 ( T ) 4.2.

(21)

Примесные полупроводники.

При наличии в полупроводнике некоторого количества примесных центров в энергетическом спектре возникают дополнительные уровни, которые могут располагаться как в разрешенных, так и в запрещенных зонах. Если валентность атомов примеси на единицу больше валентности основных образующих решетку атомов, то примесь легко отдает дополнительный электрон, который переходит в зону проводимости и может свободно перемещаться по кристаллу. В результате появляются дополнительные свободные носители тока и следовательно электропроводность кристалла возрастает. Соответствующие примесные атомы называются донорами, а полупроводник называется донорным. Уровни доноров расположены в запрещенной зоне вблизи дна зоны проводимости на расстоянии Ed, которое значительно меньше ширины запрещенной зоны (Рисунок 22а). Обычно Ed ~ 0, 01 эВ. Донором является, например, пятивалентный мышьяк (As) в решетке германия. Носителями заряда в донорных полупроводниках являются

отрицательные частицы – электроны. Такие полупроводники называются также полупроводниками n – типа, так как для них n>> p. Если валентность примесных атомов на единицу меньше валентности основных атомов решетки, (In в Ge, B в Si ), то такие примеси могут захватить электрон, что приводит к возникновению дырки в валентной зоне. Соответствующие примесные атомы называются акцепторами, а полупроводник называется акцепторным или полупроводником р – типа, поскольку носителями заряда в этом случае являются положительные квазичастицы – дырки, причем концентрация дырок на много порядков выше концентрации электронов: p>> n. Уровень примеси в таких полупроводниках находится в запрещенной зоне вблизи потолка валентной зоны; обычно на расстоянии Еа ~ 0,01 эВ.(Рисунок 22б). Рассмотрим теперь зависимость концентрации электронов на примесных уровнях от температуры. В примесном полупроводнике электроны могут переходить в зону проводимости не только из валентной зоны, но и с донорных уровней, дырки же могут возникать при переходах электронов из валентной зоны на акцепторные уровни. При этом следует учесть , что нахождение двух электронов на одном примесном донорном уровне невозможно вследствие сильного межэлектронного отталкивания. В результате донорный уровень может быть заселен не более чем однократно. По той же причине акцепторный уровень не может быть пустым, т.е. может быть заселен одно- или двукратно. С учетом этого обстоятельства для вычисления вероятности нахождения электрона на примесном уровне в функцию распределения Ферми – Дирака вводится так называемый фактор вырождения g. Для мелких доноров g = ½, для мелких акцепторных уровней: g = 2. Таким образом, выражение для концентрации электронов на примесном уровне можно получить, если концентрацию примесных атомов N* умножить на функцию, аналогичную (10): f(E*) = (1 + g e(E* -µ)/kT) – 1

(22)

где E* - энергия примесного уровня. При низких температурах, kT << Eg, число электронов, попавших в зону проводимости с донорных уровней, может на много порядков превышать число электронов, возбужденных из валентной зоны. В этом случае концентрация n электронов в зоне проводимости примерно равна числу свободных мест на донорных уровнях, Nd+. Полагая в формуле (22) E* = - Ed, получим:

Nd+ = Nd[1 – f( - Ed)] = Nd(1 + 2 e(E

+ µ)/kT

), – 1

(23)

где Nd – концентрация атомов донорной примеси. Обычно Nd ~ 1022 – 1023 м-3. Приравняв n из формулы (14) и Nd+ из формулы (23), получим уравнение для определения химического потенциала µ: NC e µ/kT = Nd (1 + 2 eµ/kT eE

/kT – 1

)

(24)

При очень низких температурах, Ed >> kT, доноры ионизированы слабо, и знаменатель в правой части выражения (24) много больше единицы. Следовательно, из (24) получаем: µ = − Ed/2 + ½ kT ln(Nd/2NC) ______ n =√NC Nd/2 e –E

/2kT

(25) (26)

Таким образом, при Т – 0 химический потенциал стремится к середине между дном зоны проводимости и донорным уровнем (Рис.22а). При увеличении температуры он сначала повышается, достигает максимума, после чего начинает понижаться и при некоторой температуре Т = Тs пересекает уровень доноров - Ed. Температура Ts = Ed [k ln(3NC/Nd)] – 1

(27)

называется температурой истощения примеси. Например, в Ge для примеси c Ed ~ 0,01 эВ и Nd = 1022 м- 3 согласно (27) получим: Ts = 30 K. При небольшом повышении температуры над Ts практически все электроны переходят с примесных атомов в зону проводимости и тогда n = Nd. В этой области температур µ = kT ln(Nd/NC)

(28)

В конце концов, при kT ~ Eg заметный вклад в концентрацию электронов в зоне проводимости начнут давать электроны, перешедшие непосредственно из валентной зоны. Концентрация электронов вновь начнет расти и станет почти равной концентрации ni в собственном полупроводнике. За температуру перехода к собственной проводимости

принимают температуру Ti, при которой концентрация носителей в собственном полупроводнике совпадает с концентрацией носителей в донорном полупроводнике в области истощения примеси, ni (Ti) = Nd: Ti = Eg [ k ln(NCNV/Nd2)] – 1

(29)

Согласно этому уравнению, чем шире запрещенная зона полупроводника и чем выше концентрация примеси, тем выше температура перехода к собственной проводимости. При Nd = 1022 м – 3, что составляет ~ 0,001% от основных атомов, Ti в германии равна 480 К, а в кремнии она же составляет 650 К. Значение Ti определяет предельную температуру работы большинства электронных приборов. Формулы для акцепторного полупроводника имеют тот же вид, что и для донорного полупроводника при замене NC на NV и Ed на Еа. Зависимость химического потенциала от температуры для акцепторного полупроводника представлена на рисунке 22б. В донорном полупроводнике электроны являются основными носителями. В то же время, при температурах выше абсолютного нуля имеется некоторое количество дырок, которые в данном случае являются неосновными носителями. В акцепторном полупроводнике основными носителями являются дырки, а неосновными – электроны. Соотношение между концентрациями основных и неосновных носителей определяется законом действующих масс согласно формулам (17) и (21). Его можно сформулировать так: произведение концентрации электронов и дырок в полупроводнике не зависит от его легирования, а зависит только от температуры; это произведение равно квадрату концентрации носителей в собственном полупроводнике.Отсюда вытекает, что в области примесной проводимости концентрация неосновных носителей оказывается намного меньшей, чем в собственном полупроводнике при той же температуре. 4.3.

Электропроводность полупроводников.

Из формулы (50) части 3 видно, что электропроводность вещества определяется концентрацией носителей заряда и их подвижностью. В то время как в металлах носителями заряда являются квазисвободные электроны, удельная электрическая проводимость полупроводников в общем случае определяется как электронами (n), как и дырками (р):

σ = σ n + σp = enun + epup (30) где е – заряд частицы, n - концентрация электронов, un – их подвижность. p и up – соответственно концентрация и подвижность дырок. Поскольку электронный (и дырочный) газ в полупроводниках не вырожден, температурная зависимость подвижности определяется формулой (57) части 3: ______ u = AT – 3/2 (31) где А =eα√π/8m*k – не зависящий от температуры коэффициент пропорциональности, различный для электронов, A = An, и дырок, A = Ap. В отличие от металлов, однако, концентрация носителей в полупроводниках сильно зависит от температуры. Концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике определяется формулой (20). Подставляя (31) и (20) в выражение (30) с учетом (15) и (16а) получаем: где

σ = σi = σ0 e- E

/2kT

_____ σ0 = 2e(2πk√mnmp )3/2 h –3 (An + Ap)

(32) (33)

Зависимость σ от Т удобно представить в полулогарифмических координатах: lnσi = lnσ0 – Eg/2kT

(34)

Если отложить по оси абсцисс величину (2кТ) – 1, а по оси ординат lnσi, то на графике получится прямая, отсекающая на оси ординат отрезок, равный lnσ0, (Рисунок 23). При этом тангенс угла наклона прямой равен по величине ширине запрещенной зоны: tg α = Eg. В случае примесных полупроводников в области температур ниже температуры перехода к собственной проводимости, Ts < T < Ti, концентрация носителей одного знака (основных) значительно выше концентрации носителей противоположного знака (неосновных). Имеем: n>>p для донорных полупроводников или p>>n для акцепторных полупроводников. В этом случае в формуле (30) имеет смысл оставлять только одно слагаемое, соответствующее основным носителям. При температурах ниже температуры истощения примеси (T < Ts) или выше температуры перехода к собственной проводимости (T > Ti) проводимость, как и в собственных полупроводниках, очень резко

(экспоненциально) зависит от температуры. В области истощения примеси (Ts < T < Ti), что соответствует рабочей температуре многих полупроводниковых приборов, концентрация носителей остается неизменной и равной концентрации примесных атомов.(Рис. 24). В этой области температур электропроводность, как и в металлах, уменьшается с ростом температуры благодаря рассеянию на фононах. В сильно легированных полупроводниках (с высокой концентрацией носителей) в области истощения примесей значительную роль будет играть также рассеяние на атомах ионизированной примеси. Обычно относительное количество примеси в полупроводниках составляет ~0,01%, что соответствует концентрации примеси N* ~ 1023 – 1024м –3. В сильно легированных полупроводниках относительное количество примеси ~ 0,1% и N* ~ 1024 – 1025 м – 3. 4.4.

Эффект Холла.

Наличием в твердых телах свободных носителей тока обусловлено важное явление, открытое в 1879 г. американским физиком Холлом. Эффектом Холла называется явление, состоящее в том, что при пропускании тока вдоль проводящей пластинки, помещенной перпендикулярно линиям магнитного поля, в ней возникает поперечная разность потенциалов вследствие взаимодействия носителей заряда с магнитным полем. Пусть по проводнику, имеющему форму прямоугольной пластины шириной а и толщиной b протекает электрический ток J. (Рисунок 25). В отсутствие магнитного поля разность потенциалов между боковыми поверхностями С и D равна нулю. При наличии магнитного поля, индукция которого В перпендикулярна направлению тока и плоскости образца, между боковыми поверхностями возникает разность потенциалов Vx, называемая холловской ЭДС. В металлах и полупроводниках n –типа основными носителями являются электроны, т.е. отрицательно заряженные частицы. Если носители заряда отрицательны, то под действием силы Лоренца, Fл = - e [v B], они отклоняются к внешней грани пластины (D), заряжая ее отрицательно. На противоположной грани накапливаются нескомпенсированные положительные заряды. Это приводит к появлению электрического поля Ex = Vx/a, направленного от С к D (рис.25а), где Vх – разность потенциалов между С и D ( ЭДС Холла). Поле Ex действует на электроны с силой F = - e Fx, направленной против силы Лоренца. При F = Fл поперечное электрическое поле

уравновешивает силу Лоренца и дальнейшее накопление электрических зарядов на боковых гранях пластины прекращается. Из условия равновесия находим: Ex = v B

(35)

Где v – дрейфовая скорость электронов, связанная с плотностью тока j соотношением: v = j/en (36) где е – заряд электрона, n – концентрация электронов в образце. Подставляя (36) в (35), получаем: Vx = Ex a = Bj a/en

(37)

Поперечное сечение пластины S = ab. Следовательно, полный ток, протекающий через пластину, равен J = jab, и с учетом (37) получаем: Vx = (en)- 1BJ/b

(38)

Экспериментально было установлено, что при не слишком сильных полях ЭДС Холла пропорциональна индукции поля и силе тока и обратно пропорциональна толщине пластины b: Vx = Rx BJ/b

(39)

Коэффициент пропорциональности Rx является константой, зависящей от свойств материала. Она называется постоянной Холла и в системе СИ выражается в единицах м3/ Кл. Таким образом, теоретическое выражение (38) согласуется с экспериментальным (39), если положить Rx = 1/(en) (40) При выводе формулы (35) предполагалось, что все носители тока обладают одной и той же дрейфовой скоростью. Такое допущение оправдано для металлов, в которых ток переносится электронами, обладающими одной и той же энергией (фермиевской), но не применимо к невырожденным полупроводникам, в которых носители, имеющие различную энергию, могут обладать различной скоростью дрейфа из-за зависимости их подвижности от времени свободного пробега. Более строгий расчет, учитывающий распределение носителей по скоростям, приводит к следующему выражению для постоянной Холла:

Rx = A/(en),

(41)

где постоянная А зависит от механизма рассеяния носителей. При рассеянии на тепловых колебаниях решетки А = 3π/8 = 1,17. Если основное значение имеет рассеяние на ионизированных атомах примеси, то А = 1,95. Если основная часть носителей тока обладает положительным зарядом (дырки в полупроводниках р – типа), то направление дрейфа носителей совпадает с направлением тока. В этом случае носители также отклоняются к внешней грани, D, которая заряжается положительно, а поле будет направлено от D к С, а не от С к D, как в случае отрицательно заряженных носителей (Рис.25а). Следовательно, по знаку ЭДС Холла можно определить знак носителей тока. Знак постоянной Холла Rx считается положительным, когда ток переносится дырками, и отрицательным, когда он переносится электронами. Таким образом, для полупроводников р – типа с концентрацией дырок, равной р: Rx = A/(ep)

(42)

А для полупроводников n – типа с концентрацией электронов, равной n: Rx = - A/(en)

(43)

Для полупроводников со смешанной проводимостью, когда концентрация электронов и дырок сравнимы друг с другом, постоянная Холла вычисляется из следующего соотношения: Rx = (A/e) (up2 p – un2 n)/(pup + nun)2

(44)

где up и un – подвижности дырок и электронов. Формула (44) переходит в (42) при p >> n и в (43) при n >> p. Для собственных полупроводников, в которых n = p = ni (44) приобретает вид: Rx = (A/eni) (up – un)/(up + un) (45) Измерив постоянную Холла Rx, можно определить концентрацию носителей, а по направлению ЭДС Холла определить их знак. Если известна удельная электропроводность σ, то зная постоянную Холла можно вычислить подвижность носителей:

un = σ Rx/A

(46)

Формулы (37) и (39) справедливы в случае магнитных полей не очень высокой напряженности. В сильных полях носители не просто отклоняются от направления своего движения, но и “закручиваются” вокруг линий магнитного поля. Критерием применимости формул (37) и (39) является требование: B << 2π/u

(47)

где u – подвижность носителей. 4.5.

Контактные явления в металлах и полупроводниках.

Работа выхода. Положительные ионы, образующие решетку кристалла, создают внутри кристалла электрическое поле с положительным потенциалом V0. Поэтому электроны в кристалле находятся в потенциальной яме глубины U0 = - eV0, выход из которой требует затраты работы. Для металлов эта работа равна высоте потенциального барьера, отсчитанной от дна зоны проводимости, и называется внешней работой выхода χ или электронным сродством (Рисунок 26), причем χ = - U0. Выйти из кристалла могут лишь те электроны, которые обладают энергией, достаточной для преодоления барьера χ. При абсолютном нуле температуры (Т = 0) наибольшую энергию имеют электроны, расположенные на уровне Ферми. Высоту барьера, отсчитанную от уровня Ферми, εF = µ, называют термодинамической работой выхода χ0, (48) χ0 = χ − µ Величина ϕ = χ0 /e называется потенциалом выхода электронов. Большое влияние на работу выхода оказывают мономолекулярные адсорбционные слои. Например, при покрытии вольфрама слоем цезия возникает двойной электрический слой, внешняя сторона которого заряжена положительно, поскольку атомы цезия отдают вольфраму свои валентные электроны и превращаются в положительно заряженные ионы. Поле двойного слоя помогает выходу электронов из вольфрама, поэтому в присутствии слоя цезия работа выхода электронов из вольфрама уменьшается с 4,52 до 1,36 эВ. При Т>0 часть электронов приобретает кинетическую энергию, превышающую высоту потенциального барьера. Такие электроны

способны выходить из металла. Поэтому нагретый металл испускает электроны. Это явление получило название термоэлектронной эмиссии. Плотность тока эмиссии определяется формулой Ричардсона – Дешмена: j = AT2 exp ( - χ0/κΤ)

(49)

где А = 4πemnk2/h3 - постоянная Ричардсона. Здесь к - постоянная Больцмана, е и m - заряд и масса электрона, h – постоянная Планка. Согласно формуле (49), плотность тока эмиссии сильно зависит от температуры. Так, при повышении температуры вольфрамового катода от 1000 до 2500 К плотность тока эмиссии возрастает примерно на 16 порядков. Внешнее ускоряющее электрическое поле вызывает не только понижение потенциального барьера, но и уменьшение его толщины, что делает барьер достаточно прозрачным для туннельного просачивание электронов и выхода их из твердого тела. Это явление получило название холодной эмиссии электронов Плотность тока холодной эмиссии резко возрастает с увеличением напряженности ускоряющего поля: j = C Ε2 e – α/Ε

(50)

где С и α − постоянные, характеризующие потенциальный барьер. Контактная разность потенциалов. Если привести два проводника, например, два разных металла в соприкосновение, между ними возникает разность потенциалов, которая называется контактной. Контактная разность потенциалов обусловлена тем, что при соприкосновении металлов часть электронов из одного металла переходит в другой. В изолированном состоянии электронный газ в этих проводниках характеризуется химическими потенциалами µ1 и µ2 и работами выхода χ1 и χ2 (Рисунок 27а). Если в первом металле уровень Ферми лежит выше, чем во втором, то при возникновении контакта электроны с самых высоких уровней в первом металле станут переходить на более низкие свободные уровни второго металла, пока уровни Ферми не окажутся на одной высоте (µ 1 = µ2).(Рис. 27б). При этом между проводниками установится равновесие, которому отвечает равновесная разность потенциалов между ними: ϕ12 = ϕ2 − ϕ1 = χ02/e − χ01/e

(51)

Величина ϕ12 контактной разностью потенциалов между металлами. Согласно (51) она равна разности потенциалов выхода для второго и первого металлов. В большинстве случаев ее значение составляет ~ 1 эВ. Для электронов, переходящих в проводник с большей работой выхода, она создает потенциальный барьер высотой eϕ12. Контактная разность потенциалов возникает также на границе между металлом и полупроводником и на границе между двумя полупроводниками. Контактные электродвижущие силы (ЭДС) не могут привести к возникновению тока в замкнутой цепи, если все ее элементы находятся при одной и той же температуре. Рассмотрим, например, цепь, состоящую из трех разных материалов. (Рисунок 28). Обозначим потенциалы выхода электронов из материалов 1, 2. 3: ϕ1, ϕ2, ϕ3. Тогда: (52) ϕ12 = ϕ2 − ϕ1; ϕ31 = ϕ1 − ϕ3; ϕ23= ϕ3 − ϕ2. Суммарная ЭДС: ε = ϕ12 + ϕ31 + ϕ23 = 0

(53)

Таким образом, если все спаи поддерживать при одинаковой температуре, ЭДС и, следовательно, ток в цепи возникнуть не может. Однако если контакты разнородных металлов, образующих замкнутую цепь, имеют неодинаковую температуру, то вследствие зависимости химического потенциала от температуры (формула (37) части 3) скачок потенциала при переходе из одного металла в другой для спаев, находящихся при разных температурах, будет неодинаков и сумма скачков потенциала будет отлична от нуля, т.е. в цепи возникает результирующая ЭДС, называемая термоэлектродвижущей силой и следовательно в цепи потечет электрический ток. Это явление было открыто Зеебеком в 1821 г. и получило название эффект Зеебека. Другой причиной возникновения термо- ЭДС является диффузия более быстрых электронов к холодному концу проводника, в результате чего вблизи холодного конца образуется избыток электронов, а вблизи горячего – их недостаток. Во многих случаях термо-ЭДС линейно зависит от разности температур. Для разных спаев, находящихся при температурах Т2 И Т1, то ε = (α1 − α2) (Τ2 − Τ1)

(54)

Коэффициенты α1 и α2 зависят от параметров материалов 1 и 2 соответственно. Из называют дифференциальными термо-ЭДС. Для

большинства пар металлов: α12 = 10 − 5 − 10 − 4 В/K, для полупроводников: α12 ∼ 1,5 10 − 3 B/K. Эффект Зеебека используется для измерения температуры. Соответствующее устройство называется термопарой. Один спай термопары поддерживают при постоянной температуре (например, при 0оС), другой помещают в ту среду, температуру которой хотят измерить. В качестве источников тока используют термопары из полупроводниковых материалов, имеющие КПД порядка 15%.Они нашли применение в качестве небольших генераторов для питания радиоаппаратуры. Эффект Пельтье состоит в том, что при протекании тока через цепь, составленную из двух разнородных металлов или полупроводников, в дополнение к джоулевой теплоте в контакте выделяется или поглощается теплота, количество которой QAB пропорционально заряду q = It, прошедшему через контакт: QAB = ПАВ It (55) Легко видеть, что эффект Пельтье является обратным эффекту Зеебека. Индексы в (55) указывают, что ток течет от звена А к звену В. Коэффициент пропорциональности ПАВ называется коэффициентом Пельтье. В отличие от теплоты Джоуля-Ленца, теплота Пельтье пропорциональна не квадрату, а первой степени силы тока. При перемене направления тока Q меняет знак, т.е. вместо выделения (поглощения) теплоты наблюдается поглощение (выделение) такого же количества теплоты (при том же q). Следовательно, ПАВ = - ПВА. Явление охлаждения контакта при прохождении тока позволяет создавать термоэлектрические холодильные устройства. 4.6.

Контакт металла с полупроводником.

Пусть металл М, имеющий работу выхода χ0M, приведен в контакт с электронным полупроводником П, имеющим работу выхода χ0П (рис.29). Условием термодинамического равновесия системы при наличии контакта является равенство химических потенциалов металла и полупроводника. Если µП > µM, то электроны будут перетекать из полупроводника в металл, в результате чего в прикатодной области возникнет разность потенциалов Vk = (χ0Μ − χ0П)/e. Потенциальный

барьер, возникший в контакте полупроводника с металлом, называется барьером Шоттки. Вследствие значительно меньшей концентрации электронов в полупроводнике практически вся разность потенциалов приходится на прикатодную область полупроводника, в которой возникает положительно заряженный слой толщины d, обедненный свободными электронами и, следовательно, обладающий высоким сопротивлением. Этот слой называется запирающим (или блокирующим) слоем. Энергетическая диаграмма контакта в равновесии показана на рис. 29 в. Для определения характера изменения потенциала в запирающем слое воспользуемся уравнением Пуассона, связывающим изменение потенциала ϕ (x) вдоль направления х, перпендикулярного плоскости контакта, и объемную плотность заряда ρ(x): d2ϕ/dx2 = - ρ(x)/ε0ε

(56)

Поскольку из обедненного слоя практически все электроны ушли в металл, а при обычных температурах (Т > Ts) все атомы примеси ионизированы, то ρ = eNd. При x > d контактное поле в полупроводнике отсутствует. Отсюда вытекатют граничные условия: ϕ(d) = 0, (dϕ/dx)x=d = 0. Интегрируя уравнение (56) с таким граничным условием, получаем: ϕ(x) = e2Nd (d – x)/ε0ε,

(57)

где е –заряд электрона. При х = 0 ϕ равно контактной разности потенциалов Vk. Следовательно ___________ (58) d = √2ε0ε Vk/(e2Nd) d ~ 10 –6 м = 1 мкм Для Ge (Nd ~ 1021 м – 3, ε = 10, Vk = 1 B ) получим: = 1000 нм. Таким образом, число «оголенных» слоев полупроводника N0 ~ 1000. В состоянии равновесия поток электронов, переходящих из полупроводника в металл, равен встречному потоку электронов, переходящих из металла в полупроводник. Равновесная плотность потока (is) определяется выражением: is = ¼ en, где n ~ Nd концентрация электронов в полупроводнике, - средняя скорость теплового движения электронов в полупроводнике.

Если приложить к контакту внешнюю разность потенциалов V в направлении, совпадающим с контактной разностью потенциалов Vk, (такое направление называется обратным), то высота потенциального барьера возрастет, а толщина запирающего слоя увеличится: _________________ (59) dобр = √2εε0(V + Vk)/(e 2Nd) В результате сопротивление слоя увеличится, а плотность потока электронов из полупроводника в металл уменьшится в e e|V|/kT раз. Полный ток, текущий в обратном направлении, таким образом равен: iобр = is(1 – e –e|V|/kT) ~ is

(60)

Если внешняя разность потенциалов приложена в прямом направлении, толщина слоя объемного заряда уменьшится: ________________ dпр = √2εε0(Vk – V)/(e2Nd) (61) В результате понижения потенциального барьера плотность потока электронов, текущих из полупроводника в металл, увеличится. Поэтому в прямом направлении (из металла в полупроводник) протечет ток плотностью: iпр = is (e eV/kT – 1) >> is

(62)

Формула (62) представляет собой уравнение вольт-амперной характеристики (ВАХ) выпрямляющего контакта полупроводника с металлом, представленной на рисунке 30. Отношение силы тока, текущего в прямом направлении, к силе тока, текущего в обратном направлении, отвечающее одной и той же разности потенциалов, называется коэффициентом выпрямления, (63) κ = e eV/kT – 1 Для хороших выпрямляющих контактов он достигает десятков и сотен тысяч. Диоды, работающие на основе выпрямляющего контакта полупроводника с металлом, называются диодами Шоттки. Если работа выхода у полупроводника больше, чем у металла (χ0П >χ0M), то электроны переходят из металла в полупроводник и образуют в

его контактном слое отрицательный объемный заряд. Такой слой называется обогащенным. 4.7.

Контакт электронного и дырочного полупроводников. p – n переходы.

Важнейшим классом твердотельных электронных приборов являются полупроводниковые диоды, предназначенные не только для выпрямления электрических сигналов, но также для преобразования электрической энергии в излучение, излучения в электрическую энергию и многих других функций. Подавляющее большинство диодов используют контакт двух дырочных полупроводников с различным типом проводимости. Такой контакт называют электронно-дырочным переходом или p n переходом. Практически p – n -переход осуществляется на одном и том же монокристалле посредством диффузии акцепторной примеси в полупроводник n – типа или донорной примеси в полупроводник р – типа, а также эпитаксильным методом, т.е. осаждением на полупроводник одного типа полупроводниковой пленки другого типа. В р – области основными носителями являются дырки, образовавшиеся в результате захвата электронов атомами примеси. Кроме того, в р – области имеется небольшое количество неосновных носителей (электронов), возникающих посредством перевода части электронов из валентной зоны в зону проводимости, обусловленного тепловыми колебаниями кристаллической решетки. В n – области основными носителями тока являются электроны, а неосновными носителями – дырки. Концентрация основных носителей практически равна концентрации примесных атомов, n0 ~ Nd , p0 ~ Na. Концентрация неосновных носителей, nн и рн, можно определить, пользуясь законом действующих масс: n0 pн = p0 nн = ni2

(64)

где ni - концентрация носителей в собственном полупроводнике. Так, в германиевом полупроводнике n – типа при n0 = 1022 м –3 и ni = 1019 м –3 получаем: рн = 1016 м –3 , т.е. на шесть порядков ниже, чем основных носителей. В р – области количество основных и неосновных носителей также может различаться примерно на шесть порядков. Такое различие в концентрации однотипных носителей в контактирующих областях приводит к возникновению диффузионных потоков электронов из n –

области в р – область, а дырок из р – области в n – область. Диффундируя во встречных направлениях, дырки и электроны рекомбинируют между собой. Поэтому р – n – переход оказывается сильно обедненным носителями тока. Одновременно в приконтактном слое n – области формируется неподвижный объемный положительный заряд ионизированных доноров, а в р – области – объемный отрицательный заряд ионизированных акцепторов. Эти объемные заряды создают в р – n – переходе контактное электрическое поле, которое противодействует дальнейшему переходу через слой основных носителей. Равновесие достигается при такой высоте потенциального барьера, Uк ,при которой энергии Ферми обеих областей, µn и µp , располагаются на одинаковой высоте. Схема энергетических зон в области р – n – перехода представлена на рисунке 31. Как видно из рисунка, Uk = µn − µ p

(65)

Контактное электрическое поле с разностью потенциалов ϕk = Uk /e , где е заряд электрона, локализованное в области перехода, вызывает поток электронов (неосновных носителей) из р – области в n – область. В сотоянии равновесия этот поток компенсируется обратным потоком основных носителей, кинетическая энергия которых достаточна для преодоления контактной разности потенциалов. Точно так же равны друг другу потоки дырок, идущих из р – области в n – область и из n- в р область. Таким образом, при отсутствии внешнего поля, V = 0, диффузионный ток основных носителей Jo(0), равен по величине и противоположен по направлению дрейфовому току неосновных носителей, Jн , т.е. J0(0) = - Jн и полный ток через переход равен нулю: J(0) = J0(0) + Jн = 0

(66)

Неосновные носители (например, электроны в р – области) возникают вследствие тепловой генерации электронно-дырочных пар. Величина Jн определяется числом рождающихся в единицу времени неосновных носителей: Jн = eS[nн (Dn/τn )1/2 + pн (Dp/τp )1/2 ]

(67)

где S – площадь р–n – перехода, Dn = kTun/e и Dp = kTup/e коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно, τn и τp − их времена жизни. Поскольку, по закону действующих масс nн = ni2/Nа ~ e – E

/kT

,

pн = ni2/Nd ~ e – E

/kT

(68)

то с повышением температуры обратный ток резко растет и выпрямляющие свойства р – n – перехода ухудшаются. При температуре Тi переход исчезнет совсем. В то же время, Jн от высоты потенциального барьера практически не зависит. Величина J0, напротив, сильно зависит от высоты барьера. Если подать на кристалл внешнее напряжение величины V в направлении, противоположном направлению контактной разности потенциалов, т.е. так, чтобы плюс источника ЭДС был подключен к р – области, а минус – к n – области ( такое напряжение называется прямым) (рис. 32а), то это приведет к понижению потенциального барьера на величину eV и, соответственно, к возрастанию тока основных носителей: Jo(V) = Jo(0) e eV/kT

(69)

или, с учетом (66), полный ток в этом случае равен J(V) = Jн ( e eV/kT - 1) (70) Область перехода при этом сужается – сопротивление уменьшается. При изменении полярности приложенного напряжения (рис. 32б) высота потенциального барьера на р–n – переходе увеличивается, что приводит к уменьшению тока основных носителей. В этом случае: J(V) = Jн ( e –e|V|/kT – 1)

(71)

Область перехода при этом сужается – сопротивление увеличивается. Формулы (70) и (71) представляют собой уравнение вольт-амперной характеристики (ВАХ) р–n – перехода, график которой представлен на рисунке 33. Так как концентрация неосновных носителей тока при обычных температурах невысока, то Jн оказывается очень небольшим. Это означает, что в запорном направлении р–n – переход практически не пропускает электрического тока. На этом основано выпрямляющее действие перехода: он пропускает ток в прямом направлении и почти не пропускает в обратном. Отношение силы тока, текущего в прямом

направлении к силе тока, текущего в обратном направлении при той же разности потенциалов, называется коэффициентом выпрямления. При определенном, предельном значении обратного напряжения, V = Vпроб, наблюдается пробой перехода, т.е. резкое увеличение обратного тока. Тепловой пробой обусловлен повышением температуры диода при протекании тока. Увеличение температуры вызывает генерацию неосновных носителей, что в свою очередь приводит к росту обратного тока и дальнейшему увеличению температуры. Лавинный пробой обусловлен ударной ионизацией полупроводника неосновными носителями, которые могут приобретать очень большую кинетическую энергию в поле перехода, достаточную для генерации новой электроннодырочной пары. Образовавшиеся носители также производят ионизацию, т.е. происходит лавинообразное образование носителей. Этот эффект используется для стабилизации напряжения. Туннельный пробой возникает в том случае, когда при достаточно высоком обратном напряжении заполненные уровни валентной зоны р – области располагаются против незаполненных уровней зоны проводимости в n – области, в результате чего возможно туннелирование электронов из р – области в n – область. Значение Vпроб уменьшается с ростом концентрации примеси. Для Ge Εпроб ~ 3 10 7 В/м, для Si : Eпроб = 108 В/м. 4.8.

Полупроводниковые триоды (транзисторы). Тиристоры.

Важным элементом полупроводниковой электроники является полупроводниковый триод или транзистор - твердотельный прибор, предназначенный для усиления электрических сигналов, преобразования энергии источника питания в энергию электромагнитных колебаний и выполнения многих других важных функций. В основе работы полупроводниковых триодов лежит инжекция носителей тока. Биполярный транзистор состоит из двух близко расположенных друг к другу р–n –переходов. В зависимости от чередования переходов существуют транзисторы p-n-p и n–p–n типов. Центральная часть транзистора называется базой (Б), а прилегающие к базе области с противоположным базе типом проводимости образуют эмиттер (Э) и коллектор (К) (Рис. 34). На рисунке 34 представлена принципиальная схема n – p – n и кривые потенциальной энергии для электронов (n) и дырок (р) в отсутствие внешнего напряжения. При включении прибора в цепь на эмиттерный переход подается внешнее напряжение в прямом направлении, а на коллекторный – в обратном

направлении.(Рисунок 35). Это приводит к понижению потенциального барьера на эмиттерном переходе и повышению – на коллекторном. В результате электроны из эмиттерной области инжектируются (впрыскиваются) через понизившийся потенциальный барьер эмиттерного перехода в базовую область, где они являются неосновными носителями. В результате концентрация электронов у эмиттерного перехода превышает равновесную в exp[eVэ/(kT)] раз, а у коллекторного перехода она практически равна нулю. Поэтому инжектированные в базовую область электроны в результате диффузии достигают коллекторного перехода, практически не рекомбинируя в базе, и в нем ускоряются электрическим полем. Таким образом электронный ток эмиттерного перехода транзистора течет не через базовый его вывод, а через коллектор и далее через сопротивление нагрузки. Ток эмиттера Iэ складывается из электронной, I nэ ,и дырочной части, I рэ , компонент (I э = I nэ + I рэ ). В n – p – n транзисторе эффект усиления достигается только за счет электронной составляющей. Поэтому эффективность эмиттера (коэффициент инжекции) γ определяется соотношением: (72) γ = Inэ /Iэ = Inэ /(Inэ + Ipэ) Поскольку плотность тока пропорциональна концентрации носителей, для того чтобы повысить эффективность эмиттера необходимо легировать эмиттер намного сильнее, чем базу ( Nd >> Na ). Далее инжектированные в базу электроны диффундируют в сторону коллекторного перехода. Вследствие рекомбинации с дырками в базовой области только часть электронов достигает коллектора. Отношение β = Jк/Jnэ ~ 1 – 0,5 (a/L n)2 (73) называется коэффициентом переноса. Здесь а – толщина базы, Ln – диффузионная длина для электронов, Ln = (Dn τ) ½ , Dn – коэффициент диффузии, τ -время жизни. Если толщина базы невелика ( a<< L), β ∼ 1. Так, при а = 10 – 5 м, L = 10 – 3 м, β = 0,999.Это означает, что в реальных транзисторах почти все электроны, инжектированные в базовую р – область, достигают коллектора. Основным параметром транзистора является коэффициент усиления по току α, который выражает отношение изменения тока коллектора к вызвавшему его изменению тока эмиттера при постоянном напряжении на коллекторном переходе, (74) α = Ik/Iэ = γβ

Согласно проведенному рассмотрению, α < ~ 1, т.е. при работе транзистора в схеме с общей базой усиления по току не происходит. В то же время, даже небольшое переменное напряжение в эмиттерной цепи существенно изменяет ток, в exp[eVвх/ kT] раз. Этот ток, пройдя через сопротивление нагрузки Rн, если оно выбрано достаточно большим, вызывает появление на нем напряжения, гораздо большего Vвх . Uн = Rн Jк = Rн Jэ .

(75)

Таким образом, с помощью транзистора можно получить значительное усиление (в несколько тысяч раз) напряжения Uн = Rн Jо eeU

/kT

(76)

Соответственно увеличивается и мощность, снимаемая с нагрузки, W = Jк.Uн. Таким образом с помощью транзистора удается получить значительное усиление (в несколько тысяч раз) напряжения и мощности за счет энергии источника тока Vk,которая должна быть достаточно велика, чтобы поддерживать коллекторный переход под обратным смещением при протекании через него достаточно сильных токов. Для р- n – p транзистора аналогичным образом описывается движение дырок. Большое место в схемах автоматики и вычислительной техники занимают приборы с двумя устойчивыми состояниями – с более высоким и менее высоким сопротивлением. К ним относятся прежде всего многослойные полупроводниковые структуры динисторы и тиристоры. Прибор имеет три p-n – перехода (рисунок 36). Крайние переходы называются эмиттерными, а центральный – коллекторным. Средние области, n1 и р2, называемые базовыми, сравнительно слабо легированы. Крайние (эмиттерные) области имеют более высокую концентрацию примесей. При включении прибора в цепь плюс источника напряжения подсоединяют к крайней р1 – области, а минус – к области n2. При этом переходы p1 – n1 и p2 – n2 оказываются подключенными в прямом направлении, а центральный переход n1-p2 – в обратном. Вольт-амперная характеристика этого перехода в случае неуправляемого тиристора (динистора) представлена на рисунке 37. Так как сопротивление обратно-смещенного коллекторного перехода велико, то практически все приложенное к прибору напряжение падает на этом переходе, а прямое смещение на эмиттерных переходах невелико. В

соответствии с этим мал и ток через прибор – выключенное состояние (кривая 1 на рис. 35). Ток через обратный n1-p2 - переход переносится неосновными носителями. Часть из них возникает в результате тепловой генерации, а часть – инжектируется в области n1 и р2 через переходы р1 – n1 и р2 –n2. Таким образом, ток коллекторного перехода Ik складывается из тока термогенерации Iks, тока дырок Ikp, и тока электронов Ikn, инжектированных через эмиттерные переходы и дошедших до коллектора. Согласно формуле (72), ток дырок, инжектированных через переход р1-n1, составляет часть полного тока I1, текущего через этот переход, Ikp = β1γ1Ι1, где γ1 – коэффициент инжекции эмиттерного перехода, β1- коэффициент переноса дырок через область n1. Ток электронов, инжектированных через переход p2-n2, и дошедших до коллектора, равен: Ikn = β2γ2I2. Полный ток коллектора Ik = Iks + Ikp + Ikn = Iks + β1γ1I1 + β2γ2I2

(77)

Система находится в устойчивом состоянии, когда полные токи через все три p-n перехода равны друг другу, I1 = Ik = I2 = I. Тогда I = Iks + (β1γ1 + β2γ2)I, откуда получаем: I = Iks/(1 - β1γ1 − β2γ2 )

(78) (79)

Динистор изготовляют таким образом, чтобы параметр (β1γ1 + β2γ2) был меньше единицы. Однако по мере увеличения напряжения на динисторе и, следовательно, на коллекторном переходе уменьшаются расстояния а1 и а2, которые должны проходить инжектированные через эмиттерные переходы неосновные носители. Следовательно, согласно формуле (73), растут коэффициенты переноса β1 и β2, что, в соответствии с (79), приводит к увеличению тока и последующему росту коэффициентов инжекции γ. В результате процесс становится неустойчивым, поскольку вблизи коллекторного перехода начинают накапливаться нескомпенсированные носителями противоположного знака избыточные электроны и дырки, которые сужают область объемного заряда этого перехода. Неустойчивый переходный процесс продолжается до тех пор, пока высота потенциального барьера коллекторного перехода не станет

близкой к равновесной, а затем и меньше равновесной. В результате переход окажется под прямым смещением, а в областях n1 и р2 начнут накапливаться неосновные носители, что приведет к уменьшению коэффициентов эмиссии γ1 и γ2. Сумма (β1γ1 + β2γ2) теперь опять меньше единицы и тиристор переходит во включенное состояние (рис. 37, кривая 2), в котором сопротивление прибора мало, а ток через прибор велик и определяется напряжением источника смещения и сопротивлением нагрузки. Если ток, протекающий через включенный динистор, уменьшать, то будет уменьшаться и количество неосновных носителей, инжектируемых через эмиттеры, сопротивление коллекторного перехода возрастет и он вновь окажется под обратным смещением. Следовательно, прибор перейдет в исходное выключенное состояние. Напряжением включения тиристора можно управлять с помощью дополнительного, третьего вывода – управляющего электрода (клемма упр. на рис.37). Смещение на управляющий электрод подают в такой полярности, чтобы увеличить ток инжекции ближайшего эмиттерного перехода и, следовательно, увеличить ток тиристора в целом. Ток через закрытый тиристор можно увеличить и заставить прибор включиться, освещая базовые области тиристора. Такой прибор называется фототиристором. 4.9.

Гетеропереходы в полупроводниках.

В предыдущих разделах были рассмотрены p-n переходы в виде внутренних границ между двумя областями в одном и том же полупроводниковом кристалле, одна из областей которого легирована донорными, а другая – акцепторными примесями. Такого рода переходы можно отнести к классу гомопереходов в отличие от гетеропереходов, образуемых посредством контакта двух разных по химическому составу полупроводников. В настоящее время гетеропереходы приобретают все возрастающее значение в технике в связи с тем, что полупроводниковые приборы на их основе обладают значительно более высокими параметрами, чем p-n – переходы в гомогенных по составу полупроводниках. Комбинация нескольких гетеропереходов в одной монокристаллической структуре, обычно составляющей часть полупроводникового прибора, называется гетероструктурой. Сейчас трудно представить современную физику твердого тела без полупроводниковых гетероструктур. Согласно оценке академика Ж.И.

Алферова, они являются сегодня предметом исследований подавляющего большинства групп ученых, работающих в области физики полупроводников. Характерной особенностью гетеропереходов является изменение ширины запрещенной зоны в области контакта двух различных полупроводников. Наряду с этим происходит изменение эффективной массы и подвижности носителей, а также диэлектрической постоянной вещества. В случае резких гетеропереходов свойства материалов меняются почти скачкообразно – на протяжении 4 – 5 постоянных решетки, т.е. ~ 2 нм. Для практического изготовления гетероперехода необходимо, чтобы параметры кристаллических решеток контактирующих материалов не слишком сильно отличались друг от друга. Близость постоянных решетки является первым и важнейшим критерием «совместимости» материалов при создании гетеропереходов. Отличие постоянных решетки обычно составляет не более 0,1 %. Существует два различных типа гетеропереходов. Изотипные переходы образуются при контакте веществ с одинаковым типом проводимости (или n, или р). Такие переходы обозначаются n – N или p – P (большая буква отвечает материалу с более широкой запрещенной зоной). Анизотипные переходы образуются при контакте веществ с разным типом проводимости и обозначаются p–N или P–n в зависимости от относительных ширин запрещенных зон контактирующих полупроводников. Гетеропереходные полупроводниковые пары создаются как на основе одноатомных кристаллов из атомов IV группы таблицы Менделеева (Ge,Si), так и полупроводниковых соединений AIIIBV атомов III и IV групп, легированных донорными или акцепторными примесями. На рисунке 38 представлена диаграмма энергетических зон гетероперехода pN в предположении, что объемные свойства полупроводников сохраняются вплоть до границы раздела, где имеет место резкий переход от одного материала к другому. Например, это может быть p-Ge – NGaAs. Ширины запрещенных зон в Ge и GaAs равны примерно 0,7 эВ и1,45 эВ. Близкими к идеальному с точки зрения практического применения являются гетеропереходы, образованные композицией полупроводниковых материалов: AlxGa1-xAs – GaAs при x < 0,8. Наиболее часто используется переход Al0,3Ga0,7As (Eg = 1,8 эВ) – GaAs (Eg = 1,4эВ). Работа выхода, ϕ, определяется, как и для металла, разностью энергии электрона в вакууме у поверхности материала и энергией Ферми. Поскольку она меняется при легировании, удобнее пользоваться

электронным сродством, χ, определяемым как энергия, необходимая для перевода электрона с края зоны проводимости на «уровень вакуума». Она представляет собой свойство материала, не зависящее от легирования. В нашем случае χ1 = 4,13 эВ, χ2 = 4,07 эВ. На рис. 38 пунктирной линией изображен уровень вакуума (0) при отсутствии контакта между полупроводниками (рис 38а), а штриховой линией – соответствующий уровень при наличии контакта, V(z). Индексом «1» обозначены величины, относящиеся к Ge, а индексом «2» – к GaAs. При идеально резком переходе V(z) – непрерывная функция, которая терпит излом на границе вследствие скачкообразного изменения диэлектрической проницаемости и, следовательно, напряженности электрического поля. Вследствие различия в ширинах запрещенной зоны и работы выхода контактирующих полупроводников возникают разрывы энергий ∆EC и ∆EV, что является наиболее характерной особенностью зонных диаграмм идеальных гетеропереходов. При наличии контакта часть электронов диффундирует из n-GaAs в pGe, в результате чего возникает изгиб уровней V(z) такой, что ∆V = V1 + V2 = µ 2 − µ 1 (80) В то же время, используя уравнение Пуассона и закон сохранения заряда, можно показать, что V1/V2 = ε2N2/ε1N1

(81)

Где ε1, ε2 - диэлектрические проницаемости веществ 1 и 2. В нашем случае ε1 = 16, ε2 = 11,5, N1 = NA =~ 3 1022 м –3,- концентрация нескомпенсированных акцепторов в Ge, N2 = ND = 1022 м –3 - концентрация нескомпенсированных доноров в GaAs. Из (80) и (81) вытекает: V1 = (82)

N2ε2(µ2 − µ1)/(ε1N1

+

ε2N2);

V2

=

N1ε1(µ2 − µ1)/(ε1N1 + ε2N2)

В нашем примере: ∆V = 0,52 эВ, V1 = 0,42 эВ, V2 = 0,10эВ. Как видно из рисунка 38, диаграмме гетероперехода несколько сложнее, чем в случае гомоперехода за счет разрывов энергии ∆EC = Е С2 – ЕС1 и ∆EV.= ЕV2 – EV1 на границе раздела, как уже отмечалось, эти разрывы обусловлены различием в величине ширины запрещенной зоны и работы выхода контактирующих полупроводников. Как видно из рисунка 38,

∆ΕC = χ1 − χ2; ∆EV = χ1 + Eg1 - χ2 -Eg2 = ∆EC + Eg1 - Eg2

(83)

В нашем случае: ∆EC = 0,06 эВ, ∆EV = 0,69 эВ. Благодаря различию в разрывах ∆EC и ∆EV высоты потенциальных барьеров для электронов, Vn, и дырок, Vp, различны: (84) Vp – Vn = ∆EC + ∆EV = Eg2 – Eg1 = ∆Eg Таким образом, в гетеропереходе в отличие от обычного p-n –перехода потенциальные барьеры для электронов и дырок могут значительно отличаться, что существенным образом скажется на их инжекторных свойствах. Как видно из (84), высота дополнительного барьера равна разности ширин запрещенных зон двух полупроводников. Наложение внешнего потенциала в прямом направлении (прямого смещения) к гетеропереходу будет обеспечивать одностороннюю эффективную инжекцию из более широкозонного полупроводника (эмиттера) в узкозонный. В рассмотренном нами случае p-N -перехода наличие разрыва ∆EV будет препятствовать инжекции дырок в широкозонный полупроводник. Наличие разрыва в зоне проводимости ∆EC уменьшает барьер для инжектируемых электронов. В результате токи инжектированных электронов и дырок отличаются на множитель: λ = eхр(∆Εg/kT) (85) Этот множитель обычно весьма значителен. Например, если ∆Εg = 0,2 эВ, а кТ = 0,026 эВ (Т = 300 К) λ ∼ 2200, т.е. в гетеропереходах легко достигается режим односторонней инжекции. Следовательно, применение гетеропереходов позволяет значительно увеличить коэффициент усиления по току в транзисторах со слабо легированной базой при больших уровнях инжекции. При некотором значении приложенного напряжения плотность инжектированных в узкозонный полупроводник носителей превосходит плотность равновесных носителей в эмиттере (сверхинжекция). Например, в р-N –переходе наличие разрыва ∆ΕC уменьшает барьер для электронов, и максимально достижимое соотношение плотности инжектированных электронов и равновесной концентрации электронов в эмиттере определяется выражением: nP/ND = exp(∆EC/kT)

Полученные значения ∆EC и ∆EV и их суммы существенны при всех рассмотрениях гетеропереходов. В первом приближении они справедливы при любом уровне легирования. Особенности зонных диаграмм гетеропереходов и связанная с ними односторонняя инжекция, сверхинжекция и т.д. делают гетеропереходы мощным средством управления потоками носителей в полупроводниках. Благодаря этому энергетические характеристики транзисторов, тиристоров и других полупроводниковых приборов лучше, чем на основе обычных p-n переходов. Типичным примером простейшей гетероструктуры является транзистор с двумя гетеропереходами N-p-n. На рисунке 39 представлена зонная диаграмма такого транзистора. Ширина запрещенной зоны материала эмиттера больше, чем у материала базы и коллектора. Согласно формуле (72), в n-p-n – транзисторе эффект усиления достигается только за счет электронной составляющей тока эмиттера. Для получения высоких коэффициентов усиления по току желательно уменьшить относительную величину дырочной составляющей. В случае транзистора с гомопереходами это может быть достигнуто за счет того, что базу легируют по крайней мере в 100 раз слабее, чем эмиттер. В результате база находится под высоким напряжением, что создает ряд проблем технического характера, связанных, в частности, с возможностью возникновения «вторичного пробоя». В гетеропереходном транзисторе широкозонный эмиттер создает дополнительный барьер для обратной инжекции из базы, величина которого определяется формулой (84), т.е. равна разности запрещенных зон двух полупроводников. В этом случае допустимая концентрация примесей в базе может достигать значения порядка 10 25 м –3.Поэтому применение гетеропереходов позволяет значительно увеличить коэффициент усиления транзистора по току. Особенности зонных диаграмм гетеропереходов и связанные с ними односторонняя инжекция, сверхинжекция и т.д. делают гетеропереходы мощным средством управления потоками носителей в полупроводниках. В следующей главе будет рассмотрено применение гетероструктур для создания полупроводниковых оптоэлектронных приборов. Дальнейшие исследования в этой области привели к рассмотрению систем с низкоразмерным электронным газом – квантовых ям, квантовых проволок и квантовых точек. Квантовые ямы являются аналогом двойных гетероструктур, в которых средний узкозонный слой имеет толщину порядка нескольких сотен ангстрем, что приводит к расщеплению электронных уровней вследствие эффектов размерного квантования.

Использование короткопериодических сверхрешеток с квантовыми ямами привело к значительному снижению порогового тока гетеролазеров. Квантовые точки – это кластеры атомов в полупроводниковой матрице, содержащие от 20 до 1000 атомов. Они представляют собой своеобразные искусственные атомы, носители заряда в которых ограничены во всех трех измерениях и обладают полностью дискретным энергетическим спектром. Использование таких структур открывают принципиально новые возможности создания все более совершенных полупроводниковых приборов. 5.

ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУ-ПРОВОДНИКАХ

5.1. Механизм поглощения света в кристаллах. Фотопроводимость полупроводников. Перераспределение электронов по энергетическим уровням в полупроводниках может происходить не только вследствие теплового движения, но и под действием электромагнитного излучения. Оптические эффекты в полупроводниках используют в разнообразных фотоприемниках, преобразователях солнечной энергии в электрическую и в ряде других оптоэлектронных приборов. Под воздействием светового излучения нарушается термодинамическое равновесие и возникают неравновесные носители тока. Если энергия фотона превышает ширину запрещенной зоны (hω >Eg), то поглотивший фотон электрон переходит из валентной зоны в зону проводимости и появляется дополнительная электронно-дырочная пара (Рис. 40). Это явление называется внутренним фотоэффектом. Добавочная проводимость, возникающая при облучении полупроводника светом, называется фотопроводимостью. Основная проводимость, обусловленная тепловым возбуждением носителей, называется темновой проводимостью. В собственных полупроводниках поглощение света происходит лишь в случае, если (1) ω > Eg/ h Соответственно максимальная длина волны определяется соотношением: (2) λmax = hc/Eg Например, для кремния ( Е = 1,1 эВ) λmax = 1,13 мкм, т.е. лежит в ИК – области.

Если на поверхность полупроводника падает свет с частотой, удовлетворяющей соотношению (1), то возникающие на поверхности неравновесные носители диффундируют в глубь полупроводника и по пути рекомбинируют. Для невырожденных газов носителей коэффициенты диффузии электронов и дырок определяются соотношениями Эйнштейна: Dn = kTun/e и Dp = kTup/e, где un и up подвижности носителей (обычно un > up ). Однако вследствие электростатического притяжения носителей разного знака происходит их совместная (амбиполярная) диффузия с некоторым одинаковым эффективным коэффициентом диффузии Dэфф. В общем случае: Dэфф = (n + p)/(n/Dр + p/Dn)

(3)

Для собственного полупроводника (n = p): Dэфф = 2Dn Dp /(Dn + Dp), т.е. является промежуточным между коэффициентами диффузии для электронов и дырок. В полупроводниках же с ярко выраженным типом проводимости эффективный коэффициент диффузии равен коэффициенту диффузии неосновных носителей. Так, Dэфф = Dр при n>>p и Dэфф = Dn при p>>n. Соотношение (2) выражает лишь необходимое условие возникновения фотопроводимости. Однако возможно также наличие фотоэлектрически неактивного поглощения. Оно возникает, например, когда возбужденный электрон не разрывает связи с дыркой, возникающей в валентной зоне, а образует с ней единую связанную систему. Такая система называется экситоном. Впервые он был предсказан Я.И. Френкелем и наблюдался Е.Ф. Гроссом в кристалле закиси меди (Cu 2 O). Экситон сходен с атомом водорода. Уровни энергии экситона располагаются у дна зоны проводимости (рис. 40в). Так как экситоны являются электрически нейтральными системами, то их возникновение в полупроводнике не приводит к появлению дополнительных носителей заряда, вследствие чего поглощение света не сопровождается увеличением проводимости полупроводника. При столкновении с фононами, примесными атомами и другими дефектами решетки экситоны или рекомбинируют, или «разрываются». В первом случае возбужденный электрон переходит в валентную зону, а энергия возбуждения передается решетке или излучается в виде квантов света (люминесценция). Во втором случае образуется пара носителей – электрон и дырка, которые обуславливают повышение электропроводности полупроводника. Поэтому спектр экситонного поглощения наблюдается при очень низких температурах.

Если в веществе имеются примеси, электроны могут переходить с донорных уровней в зону проводимости и из валентной зоны на акцепторные уровни.(Рис.40 б). Такое поглощение света называется примесным. Поскольку Еприм <<Eg,, граница примесного поглощения сдвинута в сторону длинных волн. Кроме того, если примесные атомы уже ионизированы, примесное поглощение отсутствует. Поэтому длинноволновое примесное поглощение будет наблюдаться при достаточно низких температурах, меньших температуры истощения примеси (Т < Ts). Обычно она составляет несколько десятков градусов Кельвина. Так, для Ge, легированного золотом, спектр примесного поглощения наблюдается при температуре жидкого азота (77К), а при легировании сурьмой поглощение можно наблюдать лишь при гелиевых температурах (4К). На внутреннем фотоэффекте основано действие фотосопротивлений (фоторезисторов). Чувствительный элемент прибора представляет собой брусок или пленку полупроводника с двумя контактами, К1 и К2 (Рис. 41). Его подключают к источнику напряжения через нагрузочное сопротивление Rн . При освещении находящегося под напряжением полупроводника в нем течет ток J. Разность между полным током J и темновым током Jт дает значений фототока : Jф = J – Jт

(4)

Величина фотопроводимости G определяется как: G = Jф /V0 (5) где V0 - разность потенциалов на полупроводнике. Вольт-амперной характеристикой фотосопротивле-ния называется зависимость Jф от V0 .Световая характеристика представляет собой зависимость Jф от светового потока Ф при V0 = const. Удельной чувствительностью γ называется величина: γ0= G/Ф = Jф /(V0Ф).

(6)

Поскольку количество образующихся носителей пропорционально световому потоку Ф, фотосопротивления применяют в фотометрии. Наиболее чувствительные фотосопротивления изготавливаются из сернистого кадмия (CdS), у которого фотопроводимость в 105 - 10 6 раз превышают темновую проводимость в видимой области.

Фотосопротивления из полупроводников PbS, PbSe, PbTe, InSb используются в качестве детекторов инфракрасного (ИК) излучения. 5.2. Люминесценция твердых тел Термин люминесценция означает все виды излучения, за исключением теплового. Люминесцентное свечение является неравновесным. Тела могут люминесцировать при любой температуре. Поэтому люминесценцию часто называют холодным свечением. Люминесценция может вызываться различными причинами: под действием видимого света (фотолюминесценция), УФ излучения, бомбардировкой электронами или ионами, механическими деформациями, или химическими процессами. Характерной особенностью люминесценции является длительность, значительно превышающая период световых колебаний. В зависимости от длительности свечения, τ, принято различать флюоресценцию ( τ < 10 −6 c) и фосфоресценцию (τ > 10 −5 c). Для придания люминесцентных свойств в основное вещество вводят активаторы в виде соответствующим образом подобранных чужеродных атомов, относительное количество которых не превышает сотых долей процента (n/n0 ~ 0,01 %). Вещества, способные люминесцировать, называются люминофорами. Кристаллическими люминофорами (кристал-лофосфорами) могут быть диэлектрики и полупроводники (металлы люминесцировать не могут). Схема энергетических уровней кристаллофосфора представлена на рисунке 42. Уровни активатора (А) располагаются между зонами C и V. Для возникновения длительного свечения люминофор должен содержать также мелкие локальные уровни другой примеси, называемые ловушками (Л). В невозбужденном состоянии все уровни активатора заполнены электронами, все уровни ловушек свободны. Под действием света с частотой ω или других факторов атомы активатора возбуждаются: электроны с уровня А могут перейти в зону проводимости и странствуют по кристаллу до тех пор, пока либо встретится с ионом активатора и рекомбинируют с ним, либо будут захвачены ловушкой. Рекомбинация, т.е. возвращение на уровень А, сопровождается испусканием фотона люминесценции c частотой ω`. Захват ловушкой не сопровождается свечением. Выделяемая при этом энергия расходуется на возбуждение колебаний решетки, т.е. на образование фононов. Захваченный ловушкой электрон теряет подвижность и не может рекомбинировать с ионом А. Однако через

некоторое время (τ ∼ e E /kT) под действием тепловых колебаний решетки электрон может освободиться из ловушки и снова перейти в зону С, после чего вновь будет захвачен ловушкой, либо встретится с активатором и рекомбинирует с ним. При наличии ловушек период послесвечения может составлять от 1 мкс до нескольких часов. Обычно при фотолюминесценции послесвечение имеет меньшую частоту, чем возбуждающее излучение, поскольку часть энергии поглощенного кванта передается кристаллу (ω` < ω, λ` > λ). Другими словами: свет люминесценции сдвинут по отношению к возбуждающему свету в красную сторону. Этот вывод носит название правила Стокса. Энергетический выход или КПД люминесценции η − это отношение излученной энергии к поглощенной энергии. Вавиловым было установлено, что η растет пропорционально длине волны λ возбуждающего света, точнее η = λ /λ ` - закон Вавилова. Кристаллофосфоры применяются в электронно-лучевых (в частности, телевизионных) трубках, в люминесцентных лампах (лампах дневного света), для изготовления светящихся экранов в рентгеновских установках, в сцинтилляционных счетчиках заряженных частиц и для других целей.

5.3. Фотоэлектрические явления в р – n – переходе. При освещении р – n –перехода или прилегающих к нему областей светом, вызывающим генерацию электронно-дырочных пар, через переход потечет ток, называемый первичным фототоком (Рис. 43). Возникающие при этом в n – области дырки и в р– области электроны являются неосновными носителями. Вследствие высокой концентрации основных носителей ее возрастанием за счет неравновесных носителей можно пренебречь. На рисунке 43 показан диод, р– область которого освещается световым потоком, вызывающим генерацию электронно-дырочных пар. Поскольку свет поглощается в основном в узком слое у поверхности, носители диффундируют вглубь полупроводника. Если p-n –переход расположен на глубине b < L = (Dэффτ)1/2 = (Dn τ)1/2 , где L – диффузионная длина, то значительная часть носителей дойдет до области объемного заряда перехода. Возникшие при этом в р– области электроны и в n – области дырки подхватываются в области перехода контактным полем и перебрасываются в соседнюю область.

Фототок пропорционален числу носителей, генерируемых светом в едиицу времени, а значит и величине светового потока Ф0: Jф = g Ф0,

(7)

где g = η(1 – r)/hω − удельная чувствительность. Здесь η - квантовый выход внутреннего фотоэффекта, r - коэффициент отражения. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) фотоэлемента на р-n – переходе представлена на рис. 45. Если цепь p-n – перехода разомкнута, на его границах будут накапливаться обьемные заряды, поле которых направлено противоположно контактной разности потенциалов. Вследствие этого на переходе возникает фото – ЭДС Vф , которая будет увеличиваться до значения VФ0, при котором прямой ток уравновесит фототок Jф . В результате полный ток J через переход будет равен нулю: J = J0 - Jн - Jф =0, где Jн - темновой ток неосновных носителей, J0 = Jн eeV основных носителей (рис. 44). Следовательно, Jн eeV

/kT

– J н - Jф = 0

откуда Vф0 = kT/e ln(Jф/Jн + 1) = kT/e ln(gФ0/Jн + 1)

/KT

– ток

(8) (9)

Vф0 иногда называют напряжением холостого хода, Vф0 = Vхх (точка В, рис.45).Vxx ~ 1эВ. При включении фотоэлемента в цепь с нагрузочным сопротивлением Rн только часть неосновных носителей, возбужденных светом, идет на понижение потенциального барьера (точка С, рис.45). Другая часть создает ток – J, протекающий по замкнутой цепи: - J = Jн (eeV

/kT

– 1) - Jф,

(10)

откуда Vф = kT/e ln[(Jф - J)/Jн + 1]

(11)

При коротком замыкании р-n – перехода (Rн = 0) практически все носители, генерируемые светом, поступают во внешнюю цепь, J = Jф , и следовательно Vф = 0 При этом ток в цепи J = Jф (точка А, рис. 45). Работа освещаемого р-n – перехода при отсутствии внешнего источника называется вентильным режимом работы фотоэлемента. Ему соответствует участок АСВ на рис. 45. Этот режим используется для прямого преобразования световой энергии в электрическую, например, в солнечных батареях. КПД таких преобразователей достигает 17%, напряжение -–десятков вольт, а мощность, Wф = JVф – десятков киловатт (кВт). Она зависит от нагрузочного сопротивления Rн и при некотором его значении достигает максимального значения. Отношение этой мощности к мощности падающего излучения представляет собой КПД преобразователя. Основными полупроводниковыми элементами, применяемыми промышленностью для изготовления солнечных батарей, являются в настоящее время кремний (Si) и арсенид галлия (GaAs). Из соотношений (10) и (11) вытекает, что при заданном Jф как J,так и VФ зависят от тока неосновных носителей Jн , который, согласно формулам (67) и (68) гл.IV, в свою очередь определяется шириной запрещенной зоны Eg. Характеристики фотоэлемента улучшаются с уменьшением Jн и, следовательно, с увеличением ширины запрещенной зоны полупроводника. В обычных фотоэлементах поглощение света и генерация электроннодырочных пар происходит на освещенной поверхности полупроводника, а не непосредственно в области перехода, из-за чего возникают значительные потери, обусловленные поверхностной рекомбинацией и сопротивлением поверхностного слоя. Для улучшения эффективности прибора необходимо уменьшить толщину диффузионного (приповерхностного) слоя, что приводит к уменьшению выходной мощности, которую можно получить с фотоэлемента. Поэтому в последнее время все большее значение приобретают гетеропереходные фотоэлементы, свободные от указанных недостатков. Если свет падает на гетеропереход со стороны полупроводника с более широкой запрещенной зоной, Eg2 > Eg1, то фотоны с частотой ν, удовлетворяющей неравенству Eg1/h < ν < Εg2/h, свободно проходят через широкозонный материал и поглощаются в узкозонном материале в непосредственной близости от перехода. Этот эффект, известный как эффект окна в гетеропереходах, дает возможность существенно повысить эффективность и быстродействие фотоэлементов. В настоящее время на основе n-p-P фототранзистора созданы солнечные батареи, работающие в

спектральной области λ∼ 0,4 – 0,9 мкм. КПД таких приборов достигает 25% и более. Большинство фотоэлектрических приборов с гетероструктурами создано на основе различным образом легированных кристаллов типа AlxGa 1-xAs. Режим, при котором к фотоэлементу прикладывается внешнее напряжение V0 обратном направлении, называется фотодиодным. Ток в цепи в этом случае определяется формулой (10) при замене Vф на IRн – V0 < 0, где V0 выбирается таким образом, чтобы экспонента в этой формуле была значительно меньше единицы, что легко достигается при обычных температурах. Тогда J = Jф + Jн и на наружном сопротивлении появляется сигнал ∆V = Jф Rн. Фотодиод имеет линейную световую характеристику и используется при создании чувствительных датчиков для измерения интенсивности световых потоков. Кроме того, он обладает высокими частотными свойствами:у современных фотодиодов быстродействие доведено до ~ 10 –9 c. 5.4.

Светодиоды.

При пропускании через фотоэлемент прямого тока концентрация неосновных носителей у границ р-n – перехода резко повышается и становится значительно выше равновесной. Повышается и концентрация основных носителей. Диффундируя вглубь полупроводника, неравновесные носители рекомбинируют. Рекомбинация - это процесс, при котором электрон из зоны проводимости, теряя энергию переходит в валентную зону, где соединяется с дыркой (процесс, обратный процессу образования пары электрон – дырка). Если при этом существенная доля актов рекомбинации происходит с излучением света (излучательная рекомбинация), то, создав условия для выхода этого света наружу, полупроводниковый диод можно использовать как источник излучения. Такой прибор называется светодиодом. Эффективность светодиода определяется его внутренним квантовым выходом ηвн, представляющим собой отношение числа испускаемых при рекомбинации квантов к числу инжектированных неосновных носителей: ηвн = Ризл/(Ризл + Рбезызл)

(12)

где Ризл и Рбезызл – вероятности излучательной и безызлучательной рекомбинации в единицу времени. Если бы рекомбинация была только

излучательной, то η = 1. Однако наряду с излучательной рекомбинацией всегда протекает процесс безызлучательной рекомбинации, которую можно уменьшить только очистив полупроводник от глубоких рекомбинационных центров. Серьезной технической проблемой является вывод излучения наружу, поскольку из-за высокого показателя преломления полупроводников у них мал угол полного внутреннего отражения, и только незначительная часть излучения выходит наружу. Поэтому мощность излучения светодиода в непрерывном режиме невелика – порядка нескольких милливатт. Повышение эффективности работы светодиодов и фотопреобразователей в различных спектральных диапазонах достигается с использованием гетероструктур. Существенные преимущества гетеропереходов как основы фотоэлектронных приборов вытекают из возможности использования широкозонной части гетероперехода в качестве «окна», прозрачного для света, поглощаемого в узкозонной части, что обеспечивает выход рекомбинационного излучения без самопоглощения в материале полупроводника. Светодиоды используются в качестве источников излучения в оптиковолоконных линиях связи, для направленной оптической связи в пределах прямой видимости, а также в качестве малогабаритных световых индикаторов. Выбирая для светодиода полупроводники с различной шириной запрещенной зоны, можно получать различные цвета свечения диода. 5.5.

Преобразование инфракрасного излучения в видимое.

Важным свойством гетеропереходов является возможность преобразования инфракрасного (ИК) излучения в видимый свет. Такие преобразователи используются в приборах «ночного видения», которые получают все большее распространение в различных областях техники. Техническое решение этой проблемы ранее осуществлялось на основе так называемых электронно-оптических преобразователей, основанных на внешнем фотоэффекте, в которых электроны, эмиттируемые с чувствительного к инфракрасному излучению катода, ускоряются внешним полем и бомбардируют люминесцентный экран. Большие габариты, малая ударная и вибростойкость, необходимость высокого вакуума и высоких напряжений – это далеко не полный перечень недостатков таких приборов. Кроме того, их чувствительность ограничена областью достаточно коротких длин волн: λ < 1,2 − 1,3 мкм.

Использование структур с резкими гетеропереходами или же кристаллов с переменной шириной запрещенной зоны – плавных гетеропереходов – открыло возможность создания твердотельных преобразователей ИК излучения в видимое. На рисунке 46 представлена зонная энергетическая диаграмма плавного изотипного n-N перехода в равновесии (46а) и с приложенным внешним электрическим полем напряженности ε (46б). При освещении такого перехода со стороны узкозонной части ИК излучением с энергией фотона hν1 генерируются электронно-дырочные пары. Под действием внешнего поля неосновные неравновесные носители заряда (дырки) «протягиваются» в широкозонную часть, где рекомбинируют, излучая кванты видимого света hν2 (ν2 > ν1). Эффективность подоюных преобразователей невелика, так как в соответствии с принципом работы в них отсутствует механизм усиления света. Значительно более эффективным преобразователем света является четырехслойная N-P1- n0-P2 – гетероструктура, работающая в режиме фототиристора, зонная диаграмма которой представлена на рисунке 47. Она включает в себя широкозонную часть N, легированную донорной примесью, две широкозонных части, легированных акцепторными примесями, и высокоомную слабо легированную полуизолирующую область n0. При отсутствии смещения энергетическая диаграмма имеет вид 47а. При подаче положительного смещения V (плюсом к Р2 – области) крайние N-P1 и n0-P2 – переходы оказываются включенными в пропускном направлении, а средний – Р1-n0 – в запорном направлении (рис.47б). Ток через этот переход переносится неосновными носителями, накопление которых в области n0 частично компенсирует отрицательное смещение на P1-n0 переходе. Освещение базовой n0 – области ИК излучением (сбоку или через широкозонные эмиттеры) с энергией квантов hν1 вызывает образование неравновесных электронно-дырочных пар в этой области, что приводит к дальнейшему накоплению носителей. В результате средний переход «заливается» инжектированными носителями заряда и переходит из непроводящего состояния в проводящее (рис. 47в). Это приводит к резкому возрастанию концентрации неосновных носителей (электронов) в широкозонной Р1 области, рекомбинация которых с основными носителями (дырками) происходит с излучением фотонов с энергией hν2 в видимой области спектра. При использовании в качестве широкозонных слоев AlxGa1-xAs, а узкозонной – SiGaAs длинноволновая граница преобразования составляет 1,65 мкм. Огромную ценность таким приборам придает наличие

значительных коэффициентов усиления (102 - 103) при преобразовании. Пороговая чувствительность превышает 10 –8 Вт. Легирование полуизолирующего слоя GaAs другими примесями (например, железом) позволяет продвинуться значительно дальше в ИК область, вплоть до 3,5 – 4,0 мкм. 5.6.

Полупроводниковые лазеры.

В лазерах – приборах для генерации монохроматического узкополосного направленного электромагнитного излучения используется явление вынужденного испускания, при котором происходит усиление света. В отличие от самопроизвольного, спонтанного, излучения, которое наблюдается в обычных, близких к тепловому равновесию условиях, вынужденное излучение состоит в переходе электрона с верхнего энергетического уровня ЕВ на свободный нижний уровень ЕН под действием световой волны с частотой ν = (EВ – EН)/h. При этом происходит излучение еще одного фотона с той же частотой и в том же направлении, в котором распространялся падающий фотон. Если система первоначально находится на нижнем уровне ЕН, то происходит поглощение фотона частоты ν. В условиях теплового равновесия заселенность нижнего энергетического состояния всегда выше, чем верхнего, и такими системами свет поглощается. Для усиления света необходимо создать условия, при которых заселенность верхних уровней превышает заселенность нижних, т.е. создать инверсную заселенность. Среда, в которой достигнута инверсная заселенность, называется активной. В лазерах световая волна многократно проходит через среду, отражаясь от полупрозрачных зеркал. Если световая волна теряет при отражении меньше энергии, чем приобретает при прохождении через активную область, то ее интенсивность будет непрерывно возрастать. Происходит лавинообразное увеличение интенсивности света, т.е. возникает генерация. Так как при каждом отражении часть света проходит через зеркало, то растет и интенсивность света, выходящего наружу. В полупроводниковых лазерах индуцированное излучение возникает при излучательной рекомбинации электронно-дырочных пар. Наиболее широкое применение получили инжекционные лазеры на арсениде галлия (GaAs), а также InAs, InP, в которых инверсная заселенность достигается инжекцией неосновных носителей через р-n – переход между двумя вырожденными областями полупроводника.

Рассмотрим вначале лазер на гомопереходах, т.е. случай, когда ширины запрещенных зон в контактирующих полупроводниках одинаковы. Для достижения инверсной заселенности необходимо, чтобы разность энергиями Ферми была больше энергии кванта генерируемого излучения. Поэтому в лазере на основе обычного p-n –перехода необходимо использовать «вырожденный» переход, когда степень легирования р- и nчастей перехода настолько велика, что уровень Ферми находится в разрешенных зонах. На рисунке 50а представлен р-n –переход между вырожденными областями полупроводника в равновесии. Уровень Ферми в р-области (µ ) расположен ниже вершины верхней валентной зоны, а в n-области µ выше дна зоны проводимости ЕС . Это означает, что все состояния ниже уровней Ферми в р- и n- областях заняты электронами, а выше уровня Ферми – свободны (заполнены дырками). Если к такому р-n- переходу приложить прямое смещение V, резко снижающее потенциальный барьер, то в нем появится область А с инверсным заселением зон: над практически свободными уровнями валентной зоны будут находиться полностью заполненные уровни зоны проводимости (рис.50 б). В этих условиях спонтанно возникшие кванты вследствие рекомбинации электронно-дырочных пар вызывают стимулированное излучение. Этот принцип и положен в основу работы гомопереходных полупроводниковых лазеров, схема устройства которых показана на рисунке 51. Кристалл с p-n – переходом имеет форму параллелепипеда или неправильной пирамиды, две противоположные грани которого делают строго параллельными друг другу и перпендикулярными плоскости p-n – перехода. Они выполняют роль резонатора, через одну из граней которого выводится когерентное излучение. Для возникновения генерации необходимо создание такой инверсной заселенности, при которой усиление света в активной области перекрывало бы все его потери, связанные с прохождением через диод и малым отражением от его зеркальных граней. Ток Jпор, при котором выполняется это условие, называется пороговым. При J < Jпор лазер работает как обычный светодиод, испуская спонтанное излучение с равномерной плотностью во всех направлениях. Значительные внутренние потери связаны с прохождением света через пассивные области диода и его поглощением в активной области на свободных носителях и дефектах. В результате из светодиода выходит только около 2% излучения, возникающего в нем в результате излучательной рекомбинации.

Благодаря большим потерям требуется значительный коэффициент усиления для их компенсации и достижения генерации, т.е. высокая пороговая плотность тока (Jпор.= 3 - 5 104 А/см2 ), что приводит к сильному разогреву диода. С увеличением температуры Jпор еще более возрастает вследствие размытия распределения носителей по энергиям на величину порядка кТ. В результате сильного разогрева прибора его долговечность оказалась низкой: через несколько часов работы начиналась деградация рабочих параметров. Сильная температурная зависимость параметров гомопереходных лазеров привела к необходимости применять громоздкие системы охлаждения и использовать питание короткими импульсами. Применение структур с гетеропереходами качественно меняет положение. Основная идея состоит в том, что благодаря гетеропереходным барьерам инжектированные носители удерживаются в активной области, так что инверсная заселенность достигается легче и усиление лазера больше. Осуществление таких лазеров оказалось особенно эффективным при использовании двойных гетероструктур (ДГС) типа P-i-N, где средним активным слоем, i, служит материал с меньшей шириной запрещенной зоны и большей диэлектрической постоянной, а эмиттерами - P и N – материалы с большей шириной запрещенной зоны и меньшей диэлектрической постоянной. Энергетическая зонная диаграмма инжекционного гетеролазера в тепловом равновесии (а) и с приложенным в пропускном направлении напряжением (б) представлена на рисунке 50. При наложении внешнего напряжения V ((+) к Р –обрасти, ( - ) к N – области) высота барьеров ∆EC1 для электронов и ∆EV2 для дырок уменьшается, и электроны инжектируются в средний i – слой из N – области, а дырки – из Р – области. В то же время, достаточно высокие барьеры ∆EC2 и ∆EV1 удерживают инжектированные носители в среднем слое толщиной d.Области излучательной рекомбинации и инверсии населенности таким образом полностью совпадают, так как сосредоточены в среднем слое и для достижения инверсии не требуется высокого уровня легирования и тем более вырождения. Благодаря потенциальным барьерам на границах гетеропереходов отсутствуют рекомбинационные потери в пассивных областях (эмиттерах), а вследствие заметной разницы в диэлектрических постоянных средний слой играет роль высококачественного волновода, и потери светового излучения в пассивных областях пренебрежимо малы. В результате удается значительно снизить пороговую плотность тока до 500 А/см 2 при полном КПД, равном 25%, и обеспечить осуществление непрерывного режима работы лазера при комнатной температуре, что

было невозможно при использовании инжекционных лазеров на обычных р-n – переходах, для которых КПД не превышало 1 – 2 %. При J > Jпор все излучение сосредоточено в области среднего слоя, распространяясь перпендикулярно отражающим граням. Кроме того, при J > Jпор вследствие роста вероятности вынужденных оптических переходов увеличивается отношение вероятностей излучательной рекомбинации к безызлучательной. Спектральный состав генерируемого излучения определяется шириной запрещенной зоны узкозонного полупроводника. В большинстве случаев ДГС – лазеры создаются на основе сплавов Alx Ga1-x As, причем энергия когерентного излучения определяется составом вещества (значением х) в среднем слое и может быть задана в диапазоне длин волн 690 – 900 нм. Долговечность работы ДГС – лазеров в непрерывном режиме при комнатной температуре составляет в настоящее время 10 тыс. часов. Впервые в мире такой лазер был создан в 1970 году и в настоящее время получил широкое распространение, в частности, в волоконно-оптической связи, позволяющей передавать сотни тысяч телефонных разговоров по одному кабелю. Лазер с ДГС часто используется и в других целях. В частности, он широко применяется в лазерных принтерах и проигрывателях компакт-дисков в качестве «иголки», которая списывает информацию с диска. Полупроводниковые гетероструктуры составляют основу элементной базы всех современных информационных технологий. В последнее время основное внимание уделяется использованию глубоких квантовомеханических закономерностей при создании гетероструктур нового поколения – структур с квантовыми ямами, сверхрешетками, квантовыми проволоками и квантовыми точками. Развитие методов получения гетеропереходов, исследование их физических свойств и создание на этой основе современных полупроводниковых приборов в значительной степени обязано трудам академика Ж.И. Алферова и его сотрудников, проводящимся в Физико-техническом институте. 6.

МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

6.1. Классификация твердых тел по их магнитным свойствам. Использование магнитных явлений в твердых телах получило широкое распространение в различных областях электроники: при создании элементов магнитной памяти и запоминающих устройств для компьютеров, парамагнитных усилителей, криогенных магнитных

устройств, магнитных интегрирующих элементов и др. Для понимания основных физических принципов работы таких устройств необходимо изучить физическую природу магнитных явлений в твердых телах. Магнетизм - существенно квантовомеханическое свойство, так как чисто классическая система не может обладать магнитным моментом даже при наличии внешнего магнитного поля. Всякое тело является магнетиком, т.е. способно под действием внешнего магнитного поля приобретать магнитный момент М (намагничиваться). Отношение этого момента к объему V тела называется намагниченностью Jm: Jm = M/V

(1)

Намагниченность является векторной величиной. В изотропных магнетиках она направлена параллельно или антипараллельно вектору напряженности магнитного поля .Н. В однородном магнитном поле с индукцией В0 = µ0H имеем: (2) Jm = χH где χ - магнитная восприимчивость вещества. [M] = [A м2], [Jm] = A/м, [H] = A/м. Поэтому χ - безразмерная величина. Собственное магнитное поле, создаваемое телом, Bi = µ0Jm = χµ0H =χB0. Результирующее поле в магнетиках: B = B0 + Bi = (1 + χ)B0

(3)

Величина µ=1+χ называется относительной магнитной проницаемостью. Таким образом (4) B = µB0 = µ0µH По значению и знаку магнитной восприимчивости все тела можно разделить на три группы: диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные. У диамагнитных тел магнитная восприимчивость отрицательна и по модулю значительно меньше единицы: χ ~ 10 –6 - 10 –4. Она не зависит о напряженности внешнего поля и температуры. Такие тела намагничиваются в направлении, противоположном полю, вследствие чего они выталкиваются из областей с более сильным полем. У парамагнетиков восприимчивость положительна и по величине также значительно меньше единицы: χ ∼ 10 –4 – 10 –2. Она уменьшается с температурой по закону Кюри:

χ = C/T (5) где С – постоянная Кюри. Парамагнетики намагничиваются параллельно полю, вследствие чего они втягиваются в области с более сильным полем. У диамагнетиков и парамагнетиков магнитная восприимчивость практически не зависит от внешнего поля. Однако в очень слабых полях у парамагнетиков она стремится к нулю. У ферромагнитных тел, типичным представителем которых является железо, восприимчивость положительна, но она значительно больше, чем у парамагнетиков χ ~ 10 2 - 10 3 и зависит от Н. В эту группу входят также кобальт, никель, гадолиний и некоторые сплавы. 6.2.

Природа диамагнетизма.

Диамагнетизм является универсальным свойством, присущим всем телам. Однако благодаря малости диамагнитных эффектов они могут быть обнаружены только в том случае, если нет других, более сильных магнитных эффектов. Это, в частности, относится к парамагнетикам, диамагнетизм которых перекрывается значительно большим по величине парамагнетизмом. Поэтому в чистом виде диамагнетизм встречается у веществ, результирующий магнитный момент которых равен нулю, т.е. магнитные моменты всех атомов скомпенсированы. Диамагнетизм обусловлен стремлением электрических зарядов экранировать внутреннюю часть объема тела от действия внешнего магнитного поля и возникает вследствие изменения орбитального движения электронов под действием поля. Магнитный момент одного электрона, движущегося по орбите радиуса r c угловой скоростью ω0, равен: (6) рм = IS = eω0r2/2 При наложении магнитного поля Н, перпендикулярного плоскости орбиты, на электрон действует сила Лоренца ∆f =-evB =-eω0Br, направленная по радиусу. Она вызывает изменение центростремительной силы: f = f0 + ∆f = mω02r – eω0Br, откуда

ω02 − ω2 = − 2ω0∆ω = ω0eB/m. Следовательно: ∆ω = − eB/2m

(7)

Если в общем случае орбита наклонена к полю, то действие магнитного поля вызовет прецессию орбиты, т.е. нормаль к плоскости орбиты будет описывать конус вокруг вектора магнитного поля с постоянной угловой скоростью прецессии ∆ω, описываемой формулой (7). Частота ∆ω называется ларморовой частотой. В случае атомов и молекул с замкнутыми элентронными оболочками магнитные моменты всех электронов скомпенсированы и в отсутствие внешнего магнитного поля намагниченность вещества равна нулю. Прецессионное движение орбиты в магнитном поле вызывает появление добавочного магнитного момента, величина которого определяется формулой (6) при введении ∆ω из (7): ∆pm = - e2r2B/4m

(8)

Знак минус показывает, что индуцированный магнитный момент во всех случаях направлен против поля. Для сферически симметричного атома средний квадрат расстояния электронов от ядра: = !,5 r2. Применяя формулу (8) ко всем электронам атома, нетрудно определить магнитный момент единицы объема вещества: ∆M = nZ∆pm где n – концентрация атомов (количество атомов в единице объема), Z число электронов в атоме, равное заряду ядра. Учитывая, что, согласно (1), в данном случае Jm = ∆M, получаем с учетом (8): χ = − µ0e2nZ/6m,

(9)

Это и есть классический результат Ланжевена. Таким образом задача вычисления диамагнитной восприимчивости сводится к 2 квантовомеханическому расчету величины для распределения электронов. Приближенная оценка дает: ~ 10 –20 м2. Зависимость Jm от Н для диамагнетиков представлена на рис.51, кривая 1.

В диэлектрических твердых телах диамагнетизм хорошо описывается формулой Ланжевена. Однако металлы помимо электронов, связанных с атомами, содержат также квазисвободные электроны, образующие электронный газ. Диамагнетизм свободных носителей заряда называется диамагнетизмом Ландау. По порядку величины он сравним с диамагнетизмом электронных оболочек атомов. Магнитная восприимчивость, обусловленная диамагнетизмом свободных электронов, определяется формулой: χсв = - e2h2n/(12µ0m2εF).

(10)

Как видно из формулы (10), диамагнетизм Ландау является чисто квантовым эффектом. 6.3.

Природа парамагнетизма.

Парамагнетизм наблюдается у веществ, атомы которых обладают отличным от нуля постоянным магнитным моментом, т.е. представляют собой постоянные магнитные диполи. Это прежде всего кристаллы, содержащие атомы с незаполненной внутренней электронной оболочкой (переходные элементы группы железа и редких земель), органические свободные радикалы и ряд других веществ. Предполагается также, что взаимодействие между элементарными магнитными диполями пренебрежимо мало. Магнитный момент электрона, обусловленный орбитальным движением его вокруг ядра, называется орбитальным магнитным моментом. Он пропорционален механическому моменту импульса и, в соответствии с законами квантовой механики, может принимать только следующие значения: µl = - µΒ √ l(l + 1) где l = 0,1,2,3,..-азимутальное квантовое число, µΒ = eh/(2m) = 9,27 10-24 A м2 − магнетон Бора. Помимо этого, электрон обладает также собственным механическим (спиновым) и магнитным моментом µs = + µB. Зная орбитальные и спиновые моменты отдельных электронов и используя правила пространственного квантования, можно определить результирующий магнитный момент атома в целом: MJ = gµB √ l(l + 1)

(11)

где J – внутреннее квантовое число, g - множитель Ланде, равный 1 для чисто орбитального магнетизма и 2 для чисто спинового магнетизма. Проекция µJ на направление магнитного поля: MJH = - mJgµB

(12)

где mJ = - J, -(J – 1), …, 0,1,2,…, J представляет собой магнитное квантовое число. Оно принимает 2J + 1 значений. Энергетические уровни системы в магнитном поле B = µ0Η определяются соотношением: Um = MJH B = - µ0mJgµBH

(13)

Наименьшее значение Um достигается, если магнитный момент атома ориентируется в направлении поля (mJ = J). Результирующий магнитный момент вещества складывается из проекций магнитных моментов отдельных атомов на направление поля. Согласно квантовой статистике, вероятность реализации каждой ориентации магнитного момента определяется законом Больцмана: w = Cexp(Um./kT). Среднее значение MJH равно: <MJH> = Σ ΜJH exp[MJHµ0H/(kT)] /{Σexp[MJHµ0H/(kT)]} (14) Геометрические прогрессии в (14) легко суммируются. В результате имеем: <MJH> = gJµΒΒJ(β)

(15)

где β = µ0µBJgH/(kT). Входящая в (15) функция BJ(β) = (1 + 1/(2J)) cth [(1 + 1/(2J))β] – 1/(2J) cth [β/(2J)] называется функцией Бриллюена. Намагниченность определяется соотношением: Jm = <MJH>n где n – концентрация атомов. Следовательно

(16)

χ = µBngJBJ(β)/H

(17)

Следует отметить, что при обычных температурах и магнитных полях выполняется условие: β << 1. В этом случае BJ(β) ~ (1 + 1/J)β/3 В этом случае, согласно (17), получаем χ = C/T

(18) (19)

Изменение восприимчивости, обратно пропорциональное температуре, называется законом Кюри. Согласно (17) и (18), постоянная Кюри определяется выражением: С = n(gµΒ)2µ0J(J + 1)/(3k)

(20)

Только в очень сильных полях и при низких температурах β >> 1, BJ 1, и намагничение достигает насыщения: Jm = Js = ngJµB

(21)

В этом случае моменты всех ионов оказываются выстроенными точно по полю. Зависимость Jm от напряженности поля Н при температуре Т и Т`> T представлена на рис. 51 (кривые 2 и 2`). Было обнаружено, что для диэлектрических кристаллов закон Кюри (19) очень хорошо выполняется. Однако для ряда металлов был обнаружен парамагнетизм, не зависящий от температуры. В 1927 г. Паули показал, что он вызывается магнитными моментами, связанными со спинами электронов проводимости. Поэтому его назвали парамагнетизм свободных электронов. Обусловленная этим парамагнитная восприимчивость определяется соотношением: (22) χсв = nµB2/(µ0εF) где εF -энергия Ферми. Если на парамагнетик, находящийся в постоянном магнитном поле Н0, воздействовать переменным электромагнитным полем, то можно вызвать переходы атомов с низких уровней на более высокие. При этом магнитное квантовое число меняется на единицу и, в соответствии с (13), энергия меняется на величину:

∆Um = µ0µBg H0 (23) При выполнении условия (23) наблюдается интенсивное поглощение излучения на частоте (24) ω = ∆Um/h. Это явление называется электронным парамагнитным резонансом (ЭПР). ν = 15 Ггц, что При индукции магнитного поля В0 ~ 1 Тл и g = 1 соответствует длине волны λ = 0,016 м. ЭПР широко используется в различного рода исследованиях тел, содержащих атомы и молекулы с неспаренными электронами, в частности, для изучения механизма химических реакций, для исследования влияния ионизирующего излучения на вещество и живые ткани и во многих других областях науки и техники. Аналогично электронному можно наблюдать ядерный магнитный резонанс(ЯМР), обусловленный магнитными моментами ядер. Поскольку массы ядер в несколько тысяч раз больше массы электрона, ядерный магнетон во столько же раз меньше магнетона Бора. Например, для В0=1 Тл ЯМР наблюдается при длине волны электромагнитного излучения λ ∼ 10 м. ЯМР является наиболее точным методом измерения магнитных моментов атомных ядер и основным методом исследования структуры органических молекул. 6.4.

Ферромагнетики.

Ферромагнетики отличаются от других веществ большим значением магнитной восприимчивости и ее зависимостью от величины напряженности внешнего магнитного поля Н. Характерной особенностью строения ферромагнетиков является наличие в них отдельных микроскопических областей, обладающих спонтанной намагниченностью. Это означает, что элементарные магнитные моменты ориентированы в них упорядоченным образом даже при отсутствии внешнего магнитного поля. Такие области спонтанной намагниченности называются доменами. Исследования показали, что ферромагнетизм обусловлен спиновыми магнитными моментами неспаренных электронов в атомах, т.е. именно спиновые магнитные моменты являются элементарными носителями ферромагнетизма. Так как магнитные моменты внешних заполненных валентных оболочек атомов равны нулю, то ферромагнетизмом могут обладать лишь переходные элементы, имеющие недостроенные внутренние оболочки. Такими элементами являются переходные металлы

группы железа с недостроенной 3d – оболочкой и редкоземельные элементы с недостроенной 4f –оболочкой. Наличие незаполненных внутренних электронных оболочек является необходимым, но не достаточным условием возникновения ферромагнетизма. Необходимо еще наличие достаточно сильного внутреннего молекулярного поля, приводящего к параллельному выстраиванию спиновых магнитных моментов. В 1928 г. Френкелем было показано, что молекулярное поле имеет электростатическую природу и возникает в результате обменного взаимодействия электронов внутренних оболочек атомов. Это взаимодействие является следствием квантовой природы частиц и принципа Паули. Оно связано с симметрией волновой функции многоэлектронной системы по отношению к перестановке электронов. Согласно принципу Паули, полная волновая функция должна быть антисимметричной, т.е. изменять знак при перестановке электронов. При параллельной ориентации спинов спиновая часть волновой функции симметрична. Поэтому координатная часть должна менять знак при перестановке координат электронов, что уменьшает вероятность сближения электронов на малые расстояния и тем самым способствует уменьшению энергии электростатического отталкивания, что и определяет энергетическую выгодность параллельной ориентации спинов по сравнению с антипараллельной. С другой стороны, параллельная ориентация спинов в областях спонтанной намагниченности заставляет электроны занимать более высокие уровни энергетической зоны, что сопровождается увеличением их кинетической энергии. Таким образом, электростатическая энергия системы будет зависеть от относительной ориентации спинов. Разность энергий, отвечающих двум этим ситуациям, определяет обменную энергию. Обменную энергию двух электронов можно записать в виде: - 2J s1s2, где J – обменный интеграл, величина которого зависит от степени перекрывания распределения зарядов электронов. Изменение энергии всей системы атомов и ионов при изменении взаимной ориентации их спиновых моментов может быть теперь записано следующим образом: Uобм = - 2ΣJij SiSj

(25)

где Jij - обменные интегралы, Si, Sj – результирующие спиновые моменты взаимодействующих атомов. Суммирование ведется по всем парам атомов или ионов. Модель ферромагнетика, в которой исходят из выражения для энергии вида (25), называется моделью Гейзенберга.

Обменные интегралы в (25) могут быть как положительными, так и отрицательными. Это зависит от соотношения размера d электронных оболочек, участвующих в образовании обменной связи, и расстояний а между атомами (постоянной решетки). Для кристаллов, у которых a/d > 1,5 (Fe,Co,Ni,Gd), обменный интеграл положительный. У кристаллов с a/d < 1,5 (Mn,Cr) обменный интеграл отрицательный, причем он тем больше по модулю, чем меньше отношение a/d. Знак обменного интеграла определяет, какая ориентация спинов электронов, участвующих в образовании обменной связи, является выгодной – параллельная или антипараллельная. При положительном знаке обменного интеграла обменная энергия отрицательна и энергия системы в целом уменьшается в том случае, когда спины атомов параллельны друг другу. Это должно иметь место у железа, кобальта и никеля. Спинам электронов недостроенных 3d - оболочек этих атомов энергетически выгодно выстраиваться параллельно друг другу, вызывая предельное магнитное насыщение домена. Поэтому Fe, Co, Ni являются ферромагнетиками. У Mn и Cr J< 0, вследствие чего выгодным является антипараллельное расположение спинов у соседних атомов решетки. Поэтому Mn и Cr не обладают ферромагнитными свойствами. Однако при увеличении постоянной решетки эти вещества могут переходить в ферромагнитное состояние. Таким образом, наличие в атомах внутренних недостроенных оболочек и положительный знак обменного интеграла являются теми условиями, при которых возникает ферромагнетизм. Как уже отмечалось, ферромагнетик самопроизвольно (спонтанно) разбивается на домены, намагниченные до насыщения вследствие параллельной ориентации в них спиновых магнитных моментов, происходящей под действием обменных сил. Магнитная энергия кристалла уменьшается при увеличении количества доменов. Однако это уменьшение компенсируется увеличением обменной энергии границ раздела между доменами. Поэтому при определенном размере доменов свободная (магнитная) энергия оказывается минимальной. Как показывает расчет и эксперимент, для железа поперечный размер доменов составляет ~ 0,01 – 0,1 мкм. При отсутствии внешнего магнитного поля домены ориентируются так, что магнитный момент ферромагнетика в целом равен нулю. При наложении поля ферромагнетик намагничивается, приобретая отличный от нуля магнитный момент. По характеру физических явлений процесс намагничения можно разделить на три стадии. При сравнительно небольших полях она происходит за счет роста доменов, вектор

намагниченности Jm которых составляет наименьший угол с напряженностью поля. Н. Этот процесс происходит плавно и обратимо. При дальнейшем увеличении поля начинается поворот вектора спонтанной намагниченности по полю и завершается тогда, когда намагниченность достигает технического насыщения. Дальнейший рост намагниченности с увеличением Н резко уменьшается и происходит лишь за счет уменьшения дезориентирующего действия теплового движения. Это состояние Столетов назвал магнитным насыщением. Кривая намагничения ферромагнетика представлена на рисунке 52а, а магнитной восприимчивости в зависимости от Н - на рисунке 52б. Индукция В = µ0(H + Jm) после достижения магнитного насыщения растет пропорционально Н. Кривая полного цикла перемагничения ферромагнетика представлена на рисунке 53, где кривая ОА описывает первичное намагничение. Из рисунка видно, что изменение В отстает от изменения Н. При уменьшении магнитного поля от точки насыщения до нуля В оказывается равным не нулю, в Вr. Явление такого отставания В от Н называется магнитным гистерезисом, а индукцию Вr – остаточной индукцией или остаточным магнетизмом. Для ее компенсации необходимо приложить размагничивающее поле Нс, называемое коэрцитивной силой. Замкнутая петля, описывающая весь цикл перемагничения, называется петлей гистерезиса. Площадь петли пропорциональна работе перемагничения ферромагнетика. В процессе перемагничения эта работа целиком переходит в теплоту. Поэтому в переменных магнитных полях повышенной частоты ферромагнетики могут сильно нагреваться. В зависимости от формы и площади петли гистерезиса ферромагнетики разделяют на магнитомягкие и магнитотвердые. Магнитомягкие материалы обладают низкой коэрцитивной силой (Нс ~ 0,3 А/м) и высокой проницаемостью (µ ∼ 105). Магнитотвердые материалы характеризуются высокой коэрцитивной силой (Нс ~ 104 – 105 A/м) и, как правило, большим остаточным магнетизмом (Br ~ 1,5 Тл). При нагревании ферромагнитных тел их магнитные свойства изменяются – уменьшаются χ , µ, Jm. Для каждого ферромагнетика существует такая температура Тс, при которой он утрачивает свои ферромагнитные свойства. Эта температура называется ферромагнитной точкой Кюри или критической температурой. Выше Тс ферромагнетики

становятся парамагнетиками с характерной для них линейной зависимостью 1/χ от Т. Построение количественной теории магнитного упорядочения в переходной области температур вблизи критической точки является трудной задачей. Наиболее ранняя попытка построения такой теории была предпринята Вейссом Построенная им теория носит название приближения среднего молекулярного поля или обменного поля, которое стремится расположить магнитные моменты атомов параллельно друг другу. Ориентирующему действию обменного поля противостоит дезориентирующее влияние теплового возбуждения. При повышении температуры наступает момент, когда тепловое возбуждение разрушает спиновое упорядочение. В приближении Вейсса обменное поле, действующее на спин, заменяется на эффективное магнитное поле, Нэфф. Предполагается, что это поле пропорционально намагниченности, т.е. (26) Нэфф = λJm , где λ − постоянная величина, не зависящая от температуры. В области неупорядоченной парамагнитной фазы намагниченность можно записать как произведение постоянной парамагнитной восприимчивости χp на поле (формула (2)): Jm = χp(H + Нэфф) = χp(H + λJm),

(27)

откуда: Jm = χpH/(1 - λχp).

(28)

Согласно (19), в области парамагнитной фазы восприимчивость описывается законом Кюри: χp = C/T. Подставляя это выражение в (28), получаем: χ = Jm/H = C/(T – Tc),

(29)

где Тс = Сλ – критическая температура. Согласно (20): (30) Tc = λn(gµΒ)2µ0J(J + 1)/(3k) 0 0 Для железа Тс = 770 С, для кобальта: Тс = 1150 С, для никеля: Тс = 3600С. Соотношение (29) выражает закон Кюри-Вейсса. Этот закон хорошо описывает температурную зависимость восприимчивости в

парамагнитной области, т.е. выше точки Кюри (T>Tc). В этой области энергия теплового движения превышает энергию обменного взаимодействия, приводящую к упорядоченной ориентации спинов. При подходе к критической температуре снизу спонтанная намагниченность непрерывным образом спадает до нуля: Jm сп = (Тс – Т)β , где типичное значение β лежит между 0,33 и 0,37.

6.5.

Антиферромагнетизм. Ферриты.

При отрицательном знаке обменного потенциала в формуле (25) (Jij < 0) энергетически выгодной становится антипараллельная ориентация спинов соседних атомов решетки. В этом случае расположение спинов может быть также упорядоченным, но спонтанная намагниченность не возникает, так как спиновые магнитные моменты соседних атомов направлены антипараллельно и компенсируют друг друга. Вещества с такого рода магнитной структурой называются антиферромагнетиками. Кристаллическую структуру таких веществ можно рассматривать как сложную структуру, состоящую из двух подрешеток, намагниченных противоположно друг другу. Типичным представителем антиферромагнетика является кристалл MnO, имеющий кубическую решетку. Схематически характер спинового упорядочения в ферромагнетике и антиферромагнетике представлен на рисунке 54а и 54b. Как и в случае ферромагнетиков, антиферромагнитная структура возникает лишь ниже некоторой критической температуры, называемой антиферромагнитной температурой Кюри или температурой (точкой) Нееля TN. Конкретные значения TN зависят от природы вещества. Так, для MnO TN = 116 K, для FeO TN = 198 K, для NiO TN = 525 K. При Т = 0 К магнитные моменты подрешеток компенсируют друг друга и результирующий магнитный момент антиферромагнетика в магнитном поле, направленном вдоль магнитных моментов подрешеток, равен нулю. При повышении температуры антипараллельное расположение спинов постепенно разрушается и намагниченность антиферромагнетика повышается. Максимального значения она достигает в точке Нееля, в которой упорядоченное расположение спинов полностью утрачивается и антиферромагнетик становится парамагнетиком. С дальнейшим

повышением температуры намагниченность уменьшается, как и для любого парамагнетика. Возможны случаи, когда магнитные моменты подрешеток противоположны по направлению, но не равны по абсолютной величине, вследствие чего появляется отличная от нуля разность магнитных моментов подрешеток, приводящая к спонтанному намагничению кристалла. Такой нескомпенсированный антиферромагнетизм называется ферримагнетизмом. Ферримагнетик ведет себя внешне подобно ферромагнетику, но температурная зависимость намагниченности у них может быть совершенно различной. Cхема расположения магнитных моментов в ферримагнетиках представлена на рисунке 54с. Примером ферримагнетика может служить магнетит FeO Fe2O3. Отрицательные ионы кислорода образуют кубическую гранцентрированную решетку, в которой на каждую молекулу FeO Fe2O3 приходится один двухвалентный и два трехвалентных ионов железа. Двухвалентные ионы железа могут быть замещены ионами других двухвалентных металлов, например, Mg, Ni, Co, Mn, Cu, Zn и т.д., так что общей формулой веществ этого класса, получивших название ферритов, является MeO Fe2O3, где Ме означает двухвалентный металл. Одна из подрешеток сложной решетки феррита образуется половиной трехвалентных ионов железа, другая – второй половиной трехвалентных ионов железа и двухвалентными ионами железа или замещающего его металла. Магнитные моменты подрешеток направлены антипараллельно. Поэтому магнитные моменты трехвалентных ионов железа компенсируются, и спонтанное намагничение вызывается магнитными моментами двухвалентных ионов металла (рис. 55). Изменяя природу этих металлов, можно в широких пределах изменять магнитные и другие свойства ферритов. Важной особенностью ферритов, отличающей их от чистых металлов и сплавов, является их высокое электрическое сопротивление, превышающее сопротивление металлических ферромагнетиков в 105 – 1015 раз. Именно сочетание замечательных магнитных свойств ферромагнетиков с электрическими свойствами диэлектриков делают ферриты незаменимыми при использовании их в ВЧ- и СВЧ- электронике в качестве сердечников катушек, трансформаторов, дросселей. Благодаря высокому электрическому сопротивлению в таких сердечниках отсутствуют потери энергии, связанные с нагреванием сердечников сильными вихревыми токами Фуко, индуцируемыми быстропеременным

электромагнитным полем. Поэтому в технике высоких и сверхвысоких частот ферриты являются незаменимым магнитным материалом. Для изготовления сердечников катушек, трансформаторов, магнитных антенн и различного рода магнитопроводов используются магнитомягкие ферриты, обладающие высокой магнитной проницаемостью и остаточной индукцией, а также низкой коэрцитивной силой. К таким ферритам относятся марганцево-цинковые, никель-цинковые, литий-цинковые и др. Магнитожесткие ферриты (железокобальтовые, бариевые и др.), имеющие большую коэрцитивную силу Нс и остаточную намагниченность Br, применяют для изготовления постоянных магнитов. Высокое электрическое сопротивление таких магнитов позволяет применять их в СВЧ – технике для подмагничивающих систем. Ферриты с прямоугольной петлей гистерезиса (Рис. 56) используются при конструировании магнитных запоминающих устройств ЭВМ, магнитных усилителей, линий задержки и т.д. Физический принцип, лежащий в основе магнитной «памяти», состоит в способности ферромагнетиков сохрянять информацию о направлении поля, вызвавшего намагничение магнетика. При выключении и дальнейшем изменении направления магнитного поля вплоть до Н = - Нс магнитная индукция остается неизменной и для прямоугольной петли гистерезиса (Рис.56) равной остаточной индукции (B = Br = Bmax). При Н = - Нс индукция скачкообразно меняет знак на обратный (B = - Br = - Bmax) и мало меняется при последующем росте |Н|. Таким образом, при отсутствии внешнего поля феррит может находиться в двух устойчивых состояниях: с B = Brи B = - Br в зависимости от «предыстории» своего намагничения. На рисунке 57 показана принципиальная схема ячейки памяти на ферритовом сердечнике. На сердечник надеты три обмотки: записи 1, опроса 2 и считывания 3. Запись ведется в двоичной системе: «1» и «0». При записи «1» на обмотку 1 посылают импульс тока, способный намагнитить сердечник в положительном направлении. После прекращения действия импульса индукция сердечника будет равной + Br При записи «0» через обмотку 1 пропускают импульс тока в противоположном направлении, после прекращения действия которого остаточная индукция сердечника оказывается равной – Br. Для считывания записанной информации через обмотку 2 пропускают импульс тока, который создает магнитное поле Нопр > Нс в направлении, переводящем сердечник в состояние «0».Если в элементе была записана информация, отвечающая «1», то опрашивающий импульс, перемагничивая сердечник из состояния +Br в состояние –Br, создает в

нем переменный ток магнитной индукции, наводящий в обмотке считывания 3 импульс тока. Чем дальше отстоят точки +Br и – Br друг от друга и чем круче переход от +Br к – Br т.е. чем ярче выражена прямоугольность петли гистерезиса, тем больший импульс тока возникает в обмотке 3 при перемагничении. Поэтому для ячеек памяти используют ферриты лишь с прямоугольной петлей гистерезиса. Если в элементе был записан «0», то перемагничения сердечника опрашивающим током не происходит, и в обмотке считывания сигнал не появляется. Каждая ячейка памяти заключает один элемент информации (бит), содержащий одно утверждение из двух возможных: «да» («1») или («нет») («0»). Возможны и другие схемы ячеек памяти. Из отдельных ячеек составляют запоминающие устройства, представляющие собой матрицы, в которых можно записывать достаточно большой объем информации. Размер ферритовых сердечников у современных запоминающих устройств ЭВМ составляет 0,3 мм для внешнего диаметра и 0,15 мм для внутреннего диаметра. В последнее время широко распространены запоминающие устройства на основе тонких магнитных пленок. Такие пленки представляют собой слои магнитного вещества толщиной ~ 0,1 мкм, нанесенные на немагнитную подложку. Наибольшее распространение получили пленки пермаллоя, содержащие ~20% Ni и 80% Fe. Запоминающие устройства на тонких пленках имеют ряд преимуществ перед запоминающими устройствами на ферритовых сердечниках. Перемагничение пленок требует гораздо меньшей энергии, чем перемагничение сердечников; трудоемкая операция «нанизывания» отдельных сердечников заменяется напылением одновременно большого числа ячеек со всеми необходимыми шинами и соединениями. Кроме того, использование магнитных пленок позволяет заметно увеличить быстродействие запоминающего устройства. ПРИЛОЖЕНИЕ Квантовая статистика частиц. Пусть система из N частиц обладает полной энергией Е. Каждая из частиц может иметь энергию, равную Е1, Е2,…, Еi, (i = 1,2,…), причем число частиц с энергией Еi будет Ni . Тогда N = Σ Ni,

E = Σ NiEi

(A1)

Требуется узнать, какое распределение частиц является наиболее вероятным. Вероятность некоторой конфигурации пропорциональна числу способов, которым могут быть распределены частицы по уровням энергии, т.е. вероятность макросостояния пропорциональна числу микросостояний, которым оно может быть реализовано. Пусть энергии Ei соответствует gi элементарных состояний, т.е. уровень энергии Ei является gi – кратно вырожденным. Согласно принципу Паули, случае фермионов (частиц с полуцелым спином) в каждом из gi состояний может находиться не более одной частицы. Следовательно, на уровне Ei может находиться не более gi частиц. Число способов, которыми можно разместить Ni частиц по gi cостояниям, равно: Wi = gi!/(Ni!(gi – Ni)!

(A2)

Общее число способов, которыми можно осуществить распределение по энергиям, равно: W = ΠWi = Π gi!/(Ni!(gi – Ni)!)

(A3)

Требуется найти такую совокупность чисел Ni, которая обеспечивала бы минимум термодинамической вероятности W или, что то же самое, максимум энтропии состояния. S = klnW

(A4)

при условиях (А1). Нахождение условного экстремума проводится методом множителей Лагранжа, т.е. требуется найти экстремум функции F: F = S + αN - βE

(A5)

C учетом (А3) и (А4) запишем F в виде: F = kΣ[ lngi! – lnNi – ln(gi – Ni)!] + αΣ Ni - βΣEiNi

(A6)

Экстремум функции F достигается в случае, когда все частные производные этой функции по Ni равны нулю,т.е. дF/дNi = 0 (i = 1,2,…)

(A7)

Преобразуем первую сумму в формуле (А6) к более удобному виду, воспользовавшись формулой Стирлинга: при больших значениях X: lnX! ~ XlnX – X Тогда: ln W = Σ [gilngi – NilnNi – (gi – Ni)ln(gi – Ni)] При учете, что все gi – постоянные величины, получаем: д lnW/дNi = ln((gi – Ni)/Ni)

(A8)

С учетом (А8) и (А6) находим: дF/дNi = k ln((gi – Ni )/Ni ) + α − βEi

(A9)

Приравнивая, согласно (А7), выражение (А9) к нулю, получаем: gi/Ni = exp[(βΕι - α)/k] + 1 или окончательно: Ni = gi [exp((βΕi - α)/k) + 1] –1

(A10)

Далее требуется определить постоянные α и β в формуле (А10). Значение множителя β можно найти, воспользовавшись тем, что равенство всех частных производных по Ni функции F (формула (А7)) равнозначно равенству нулю полного дифференциала этой функции. Согласно (А5): dF = dS - βdE = 0 (A11) (число частиц остается постоянным, поэтому dN = 0). Следовательно, β = dS/dE (A12) Если система получает обратимо количество теплоты dQ, то согласно формуле Клаузиуса, dS = dQ/T,

причем dQ = dE + pdV. Поскольку объем системы остается постоянным, dV = 0, то dQ = dE, т.е. dS = dE/T, откуда dS/dE = 1/T, или, учитывая (А12), β = 1/T (A13) Далее, согласно (А10) и (А13), e −α/k = (gi/Ni – 1)e – E

/kT

(A14)

Выражение в правой части (А14) не зависит от i. Чтобы показать это, рассмотрим случай статистики Больцмана, в которую переходит статистика Ферми-Дирака при Ni << gi. В этом случае единицей в скобках формулы (А14) можно пренебречь. Тогда: Ni e −α/k = gie – E

/kT

Просуммировав это выражение по всем i, получаем: e −α/k = G(T)/N где

G(T) = Σgie –E

(A15) /kT

(A16)

Выражение (А16) называется суммой по состояниям или статистической суммой. Представив множитель α в виде: α = µ/kT, преобразуем формулу (А10) к виду: Ni = gi [exp((Ei − µ)/kT) + 1]

(A17)

Параметр разделения µ = µ(N,T) называется химическим потенциалом. Определим среднее число частиц в i – ом квантовом состоянии в условиях равновесия: = Ni/gi

(A18)

Тогда: f(E) = = 1/(e (E - µ)/kT + 1)

(A19)

Функция f(E) называется функцией распределения Ферми-Дирака.

Литература 1. Епифанов Г.И., Мома Ю.А. Твердотельная электроника. М.: ВШ, 1986. 2. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. М.: Мир, 1988. 3. Верещагин И.К. Физика твердого тела. М.: МГУ, 1998. 4. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1990. 5. Смит Р. Полупроводники. М.: Мир, 1982. 6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 7. Павинский П.П. Введение в теорию твердого тела Л.: ЛГУ, 1979. 8. Давыдов А.С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. 9. Алферов Ж.И. Физика и жизнь. Санкт-Петербург: Наука, 2000. 10. Милнс А., Фойхт Д. Гетеропереходы и переходы металл – полупроводник. М.: Мир, 1975. 11. Епифанов Г.И. Физика твердого тела. М.: ВШ, 1965. 12. Жданов Г.С. Физика твердого тела. М.: МГУ, 1962. 13. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. М.: Мир, 1979.

Предметный указатель Акцептор Анизотропия кристаллов Антиферромагнетизм База динистора - транзистора Вектор обратной решетки - трансляции Взаимодействие дисперсионное - обменное Волны в кристалле Вольт-амперная характеристика динистора - - p-n - перехода - - тиристора -- фотодиода Восприимчивость магнитная Время жизни Генерация Гетеролазеры Гетеропереходы анизотипные - идеальные - изотипные - резкие Гетероструктуры Гистерезис магнитный Гомопереходы Диаграмма энергетическая - - зонная Диамагнетизм - сверхпроводников Динистор Коэффициент диффузии

Диоды полупроводниковые - Шоттки Дифракция волн в кристалле Диффузия носителей Длина диффузии Домены магнитные Доноры Дырки Закон Вульфа-Брэгга - действующих масс - Дюлонга и Пти - Кюри - Кюри-Вейсса Заселенность инверсная Заполнение зон электронами Зона Бриллюена - валентная - запрещенная - проводимости - энергетическая Излучение рекомбинационное Индексы Миллера - направления - плоскости - узла Инжекция носителей - односторонняя Колебания атомов тепловые Контакт двух металлов - металла и полупроводника Координационное число

- Пельтье - теплопроводности - усиления транзистора по току Кривые дисперсионные для свободного электрона - для электрона в кристалле Кристалл - атомный (ковалентный) - ионный - металлический - молекулярный Лазеры полупроводниковые - инжекционные Ловушки Масса эффективная дырок - электронов Намагниченность Носители заряда неравновесные Область инверсии - обеднения Окна эффект Основные векторы решетки Парамагнетизм Параметры кристаллической ячейки Пары куперовские Переход электронно-дырочный (p – n) Поглощение света примесное - собственное Подвижность носителей заряда Полупроводник акцепторный (дырочный) - вырожденный - донорный (электронный) - компенсированный - собственный - узкозонный

- широкозонный Постоянная Кюри - Холла Принцип Паули Пробой p-n – перехода лавинный - - тепловой - - туннельный Проводимость примесная Проницаемость магнитная Работа выхода Разность потенциалов контактная Расстояние межплоскостное Рекомбинация носителей заряда - излучательная и безызлучательная Решетка Браве кристаллическая - обратная - с базисом Сверхинжекция Сверхпроводимость Светодиод Связь ионная - ковалентная - металлическая Сингония Сопротивление остаточное Соотношение дисперсионное Сродство электронное Стенка доменная Схема диода - транзистора Температура Дебая - истощения примеси - критическая сверхпровродника - Кюри - Нееля - перехода к собственной проводимости Теорема Блоха

Теория парамагнетизма Бриллюэна - теплоемкости решетки Дебая - - - Эйнштейна - - - классическая Теплоемкость решетки - электронного газа Теплопроводность решеточная Термогенератор Тиристор Ток насыщения Точки квантовые Транзисторы Трансляция Узлы кристаллической решетки Упаковка плотная гексагональная - трехслойная кубическая Уравнение Пуассона - Шредингера Уровень Ферми в металле - - в примесном полупроводнике - - в собственном полупроводнике - вакуума Уровни акцепторные - донорные - ловушек - примесные Ферримагнетизм Ферромагнетизм Фононы Фотодиод Фотопроводимость Фоторезистор Фототиристор Фототок Фотоэлемент Фотоэффект внутренний Формула Ричардсона-Дешмена Функция волновая

- распределения для фермионов (Ферми-Дирака) Частота дебаевская характеристическая - ларморова Число координационное - состояний в зоне Ширина запрещенной зоны Щель энергетическая в сверхпроводнике Экситон Электропроводность удельная - - диэлектриков - - металлов - - полупроводников Эмиссия термоэлектронная Эмиттер Энергия связи ионной - - ковалентной - - металлической - Ферми Эффект Мейсснера - Пельтье - термо – ЭДС (Зеебека) - Холла Эффекты Джозефсона Ямы квантовые Ячейка памяти - примитивная - элементарная

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 1. СТРУКТУРА И СИММЕТРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1.1 Конденсированное состояние вещества. Дальний и ближний порядок. Кристаллические и аморфные тела. Анизотропия кристаллов. Поликристаллы. Полимеры. 1.2 Структура кристаллической решетки. 1.3 Геометрические элементы кристалла. Вектор обратной решетки. 1.4 Дифракция волн в кристалле. 1.5 Классификация кристаллов по типам связи. 2. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ 2.1. Теплоемкость кристаллов. 2.2. Решеточная теплопроводность твердых тел. 3. ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУКТУРА КРИСТАЛЛОВ 3.1. Движение электронов в периодическом поле. Зонная структура энергетического спектра электронов в кристалле. Функции Блоха. Дисперсионные кривые. Эффективная масса. 3.2. Заполнение зон электронами и деление тел на металлы, диэлектрики и полупроводники. 3.3. Температурная зависимость функции распределения электронов по энергетическим состояниям – функция распределения Ферми-Дирака. 3.4. Электронный газ в металлах. 3.5. Электропроводность металлов. 3.6. Явление сверхпроводимости. 4. ПОЛУПРОВОДНИКОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 4.1. Природа носителей тока в полупроводниках. Собственные полупроводники. 4.2. Примесные полупроводники. 4.3. Электропроводность полупроводников. 4.4. Эффект Холла. 4.5. Контактные явления в металлах. 4.6. Контакт металла с полупроводником. 4.7. Контакт электронного и дырочного полупроводников. p – n – переходы. 4.8. Полупроводниковые триоды (транзисторы). Тиристоры. 4.9. Гетеропереходы в полупроводниках. 5. ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ.

5.1. Механизм поглощения света в кристаллах. Фотопроводимость полупроводников. 5.2. Люминесценция твердых тел. 5.3. Фотоэлектрические явления в p – n – переходе. 5.4. Светодиоды. 5.5. Преобразование инфракрасного излучения в видимое. 5.6. Полупроводниковые лазеры. 6. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ 6.1. Классификация твердых тел по их магнитным свойствам. 6.2. Природа диамагнетизма. 6.3. Природа парамагнетизма. 6.4. Ферромагнетики. 6.5. Антиферромагнетизм. Ферриты. ПРИЛОЖЕНИЕ Квантовая статистика частиц. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ