Основы алгебры матриц и векторов. Линейное программирование: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И.А. БУНИНА

Е. В. Игонина, О. Н. Прокуратова Основы алгебры матриц и векторов. Линейное программирование.

Елец – 2008 г.

Данное пособие содержит краткие теоретические сведения из теории матриц и определителей, и систем линейных уравнений, 30 вариантов семестровых заданий, которые предназначены для выполнения студентам физико-математического, экономического факультетов, перечень контрольных вопросов, рекомендации по оформлению к отчёту семестровой работы. Пособие составлено с учётом требований государственного образовательного стандарта и содержания учебных программ дисциплин “Алгебра” (2 семестр), “Математика” (1 семестр) для физико-математического и экономического факультетов соответственно.

2

Содержание: Введение…………………………………………………………..4 Раздел I. Краткие теоретические сведения. Тема 1. Матрицы и определители. §1. Определители матриц второго и третьего порядка………….6 §2. Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца……………………………………………………………...7 §3. Свойства определителей n-го порядка……………………….8 §4. Вычисление определителей…………………………………...9 §5. Действия с матрицами………………………………………..11 §6. Обратная матрица…………………………………………….13 §7. Ранг матрицы………………………………………………….16 Тема 2. Решение систем линейных уравнений. §1. Формулы Крамера…………………………………………….20 §2. Общее решение системы линейных уравнений…………….21 §3. Системы векторов и уравнений…………………………….. 26 §4. Разложение вектора по системе векторов…………………..27 §5. Линейная зависимость………………………………………..29 §6. Базис и ранг системы векторов………………………………30 §7. Системы линейных уравнений………………………………33 Тема 3.Собственные значения и собственные векторы матрицы. §1. Собственные значения и собственные векторы матрицы….36 §2. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду….38 Тема 4. Линейное программирование. §1. Математическая модель задачи математического программирования…………………………………………………………39 §2. Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме……………………………………….….….41 §3. Симплексный метод решения задач линейного программирования…………………………………………………………….43 §4. Опорное решение задачи линейного программирования….44 §5. Первая теорема двойственности……………………………………..47 §6. Вторая теорема двойственности……………………………………..49 Раздел II. Семестровые задания. Раздел III. Контрольные вопросы…..….……………………………...74 Список рекомендуемой литературы……………………………….........................75

3

ВВЕДЕНИЕ Профессиональный уровень любого специалиста (экономиста, информатика-программиста и естественно физика, и математика) во многом зависит от того, освоил ли он математический аппарат и умеет ли использовать его при анализе сложных реальных процессов и принятии решений. Поэтому в подготовке специалистов естественного профиля изучение математики занимает значительное место. Как известно, матрицы, определители и системы линейных уравнений являются основополагающими элементами высшей математики. Эти разделы линейной алгебры широко используются в таких математических курсах, как теория вероятностей и математическая статистика, исследование операций, системы дифференциальных уравнений. При изучении некоторых разделов физики, математического моделирования, теории операторов, линейного программирования, теории оптимизации (для экономистов) требуются также знания основ линейной алгебры: матричного аппарата и систем линейных уравнений. Целью данного учебно-методического пособия является закрепление знаний по основным разделам линейной алгебры, а также оценка этих полученных студентами знаний. Это пособие может служить итоговой или даже промежуточной формой контроля знаний. Содержание материала книги составлено с учётом требований государственного стандарта и в ней на доступном уровне изложены основные вопросы теории матриц и определителей, системы линейных уравнений, вошедшие в учебные программы дисциплин “Алгебра” для студентов физикоматематического факультета и “Математика” для студентов экономических специальностей. Материал книги разбит на три раздела. Первый раздел содержит краткие теоретические сведения, подкреплённые решёнными примерами, опираясь на которые студент может с лёгкостью выполнить предложенные ему практические задания из второго раздела. Второй (основной) раздел представляет собой перечень заданий: 30 вариантов на каждые из 11 заданий, что обеспечивает самостоятельное выполнение студентами номеров работы. Третий раздел “Контрольные вопросы” содержит список вопросов, знание ответов на которые позволит определить уровень теоретического усвое4

ния материала. В конце пособия предлагается список рекомендуемой литературы, опираясь на которую студент может углубить свои знания по теории матриц и определителей, систем линейных уравнений или получить дополнительную информацию по интересующим его вопросам. Данное пособие рекомендовано студентам физикоматематичес- кого факультета, изучающим алгебру во 2 семестре, а также студентам экономического факультета при изучении дисциплины “Математика” в 1 семестре. Естественно, что это пособие можно использовать и как справочник по основным разделам линейной алгебры и его можно рекомендовать и студентам – гуманитариям, а также преподавателям для проведения проверочных срезов, контрольных работ.

Рекомендации по выполнению семестровых заданий. Семестровая работа выполняется в отдельной тетради по вариантам, разбиение на которые происходит согласно порядкового номера студента в списке (журнале) группы. Работа включает в себя теоретическую часть – письменные ответы на контрольные вопросы, и практическую часть – решение упражнений, согласно номеру варианта из перечня семестровых заданий. В ходе отчёта семестровой работы студент должен показать преподавателю тетрадь, с выполненной теоретической и практической частью, должен знать ответы на контрольные вопросы, уметь объяснить решение любого номера практической части. Оценивание работы происходит на усмотрение преподавателя (“зачёт”, “незачёт”, проставление оценок по пятибалльной шкале).

5

Раздел I. Краткие теоретические сведения Тема 1. Матрицы и определители.

6

7

§3.

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Тема 2. Решение систем линейных уравнений.

18

19

20

21

22

23

24

25

Системы векторов и уравнений.

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

Тема 3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

36

37

§2.

38

Тема 4. Линейное программирование.

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Раздел II. Семестровые задания.

50

8. Найти матрицу Т, которая приводит матрицу к диагональному виду и матрицу В = Т -1 АТ (табл.8). 9. Решись системы уравнений (стр.65). 10. Решить матричные уравнения (стр.68). 11. Решить симплексным методом задачи (табл.9).

51

52

Продолжение табл. 1

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

№9.

65

66

16

17

18

19

20

21

4х1 - 2х2 = 4х3 - 3х1 + х2 = -2х3 24

х1 + 2х2 + 3х3 = 9х4 2х1 + х2 - 2х3 = 0 2х1 – 2х2 +х3 =0

24

25

67

3х1 + 4х2 = 6х3 5х1 + 7х2 = 8х3

х1 – 3х2 – х3 = -4х4 -2х1 + 7х2 + 2х3 = 10х4 3х1 + 2х2 - 4х3 = 9х4

26

-2х1 + 3х2 + х3 = 2х4 3х1 + 6х2 + 2х3 = 11х4 х1 + 2х2 + х3 = 4х4

28

2х1 + 2х2 – х3 = 0 2х1 – х2 + 2х3 = 0 -х1 + 2х2 + 2х3 = 0

27

x1 + x2 – 4x3 = 1 x1 +2x2 – 3x3 =5 3x1 – 2x2 + 4x3 = 4

30

68

2х1 + 2х2 – х3 = 7х4 2х1 – х2 + 2х3 = х4 -х1 + 2х2 + 2х3 = х4

4x1 – 3x2 + 2x3 = 9 2x1 + 5x2 – 3x3 = 4 5x1 + 6x2 – 2x3 = 18

69

70

71

72

73

Раздел III. Контрольные вопросы. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Матрица (квадратная, диагональная, единичная, транспонированная). Размер (порядок) матрицы. Операции над матрицами с примерами. Определитель. Свойства определителя. Алгебраическое дополнение элемента. Минор. Вырожденная, невырожденная матрица. Обратная матрица. Способы вычисления обратной матрицы. Системы линейных уравнений (однородные, неоднородные, совместная, несовместная, определённая, неопределённая). Расширенная, основная матрица. Теорема Кронекер-Капелли. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Матричное решение систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Системы векторов и уравнений. Базис и ранг системы векторов. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Теоремы двойственности.

74

Список рекомендуемой литературы. 1.

Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник./ Под общ. ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2007 – 656с. 2. Сборник задач по высшей математики для экономистов: Учебное пособие./ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРАМ, 2006 – 575с. 3. Воеводин В.В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ./ В.В. Воеводин, Вл.В. Воеводин – СПб.: БХВ – Петербург, 2006. 4. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре: Учебник. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. 5. Беклемищев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. – 10-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 6. Беклемищева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие./ Под ред. Д.В. Беклемищева 2-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 7. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учеб. пособие. 4-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. 8. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре: Учеб. пособие. 15-е., стер. – СПб. Издательство «Лань», 2005. 9. Кострикин А.И. Линейная алгебра [Текст]: Учебник для вузов – М.: Физико-математическая литература, 2000. 10. Кострикин А.И. Основные структуры алгебы [Текст]: Учебник для вузов. – М.: Физико-математическая литература, 2001. 11. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., Высшая школа, 1979.

75