Компьютерное моделирование в стохастических задачах хрупкого разрушения: Пособие к курсу и лабораторному практикуму ''Алгоритмы стохастических задач хрупкого разрушения''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

К омпью тер ноемоделир ованиевстохастических задачах хр упкого р азр уш ения П особ иеккур су и лаб ор атор номупр актикуму «А лгор итмы стохастических задач хр упког ор азр уш ения » Д ля студентови магистр овпоспециальностя м пр икладная математика и инф ор матика 010200 и механика 510300,010500

В ор онеж 2003

2 У твер ж денонаучно-методическим советом ф акультета пр икладной математики, инф ор матики и механики от 26 мая 2003 г., пр отокол№ 6.

СоставительИ ванищ ева О .И .

П особ ие подг отовлено на каф едр е теор етической и пр икладной механики ф акультета П М М В ор онеж скогогосудар ственногоунивер ситета. Рекомендуется для студентов и магистр ов4,5 кур са.

3 П особ ие демонстр ир ует пр икладное значение методов теор ии вер оя тностей и пр едназначено для кур са «А лг ор итмы стохастических задач хр упкого р азр уш ения ». О но содер ж ит полож ения теор ии хр упкого р азр уш ения микр онеоднор одны х тел, основанны е на статистическом подходе и использующ ие аппар ат теор ии вер оя тностей. П р и э том демонстр ир уется комплексны й подход, основанны й на сочетании детер минир ованны х кр итер иевхр упкогор азр уш ения и случайном хар актер едеф ектов. В пособ ии пр едставлены подр об ны е методические указания кпостр оению алгор итмов р асчета вер оя тностны х хар актер истик пр очности тел с пр оизвольны м стохастическим р аспр еделением деф ектов, снаб ж енны е пр имер ами. К р оме того, р азр аб отан пор я док вы полнения лаб ор атор ны х р аб от по пр оведению численногоэ кспер имента на основе р еализации р ассмотр енны х алгор итмови вар ианты заданий клаб ор атор ны м р аб отам. В заклю чение пр иводится кр аткий об зор моногр аф ий и статей, котор ы е мог ли б ы б ы ть полезны для дальнейш ег о знакомства с механикой р азр уш ения и получения самостоя тельны х р езультатов.

4 Содер ж ание 1. К омпью тер ное моделир ование в задаче оценки пр едельны х напр я ж ений пластинесостохастической системой тр ещ ин 5 1.1 Стохастическая модельматер иала 5 1.2.О пр еделениер азр уш аю щ их нагр узок 5 1.3. Н екотор ы екр итер ии р азр уш ения телс одним деф ектом 6 1.4. Схема опр еделения вер оя тностир азр уш ения пр и заданном нагр уж ении 7 1.5.П остановка задачи о р азр уш ении пластины со стохастической системой тр ещ ин 8 1.6.А лгор итм постр оения ф ункции р аспр еделения пр едельны х наг р узок 9 1.7.П ор я док вы полнения численного э кспер имента по анализу ф ункции р аспр еделения пр едельны х напр я ж ений 11 1.8.В ар ианты заданий 12 2.К омпью тер ноемоделир ованиезакона р аспр еделения пр едельны х напр я ж ений впластинесостохастической системой тр ещ ин 13 2.1. П остановка задачи 13 2.2. П ор я докпостр оения закона р аспр еделения пр едельны х нагр узок 13 2.3. В ы б ор пар аметр овицелей моделир ования 13 2.4. П р имер одноосногонагр уж ения 14 2.5. В ар ианты заданий 15 3. К омпью тер ное моделир ование пр едельного состоя ния в пластине с р ассея нны ми тр ещ инами огр аниченной длины 16 3.1. П остановка задачи 16 3.2. П ор я докпостр оения кр ивы х ср едних р азр уш аю щ их напр я ж ений 16 3.3. В ар ианты вы б ор а ф ункций и пар аметр ов 17 4. Задача р азр уш ения вусловия х стохастической анизотр опии 17 4.1. М одельстохастически анизотр опногоматер иала 17 4.2. М етод статистического моделир ования в оценке пр едельны х хар актер истик 20 4.3.Ч исленны й анализ плотности р аспр еделения пр едельной нагр узки для матер иала состохастической текстур ой 21 5. Н екотор ы етеор етическиеполож ения механикир азр уш ения 22 5.1. О сновны епоня тия механики р азр уш ения 22 5.2.А налитическая механика р азр уш ения 27 5.3.Стохастическиемоделир азр уш ения и масш таб ны й э ф ф ект пр очности 32 Литер атур а

38

5 В пр оцессе потер и пр очности и р азр уш ения важ ную р оль иг р аю т деф екты р азличног опр оисхож дения встр оении тела, особ еннотр ещ ины , остр оконечны е полости и инор одны е вклю чения , вы зы ваю щ ие вы сокую концентр ацию напр я ж ений. Размер , ор иентация , р азмещ ение и р аспр еделение деф ектов в теле, как пр авило, случайны . Т оесть р еальное телопр едставля ет соб ой статистический ансамб ль взаимосвя занны х э лементов со случайны ми ф изико-механическими свойствами и случайной деф ектностью . Д еф екты в р еальны х телах пониж аю т их пр очность, а случайность деф ектности я вля ется пр ичиной случайности значений пр очности, ее р азб р оса, зависимости ср едних значений пр очности от р азмер ов тела и т.д. Статистическая пр ир ода р азр уш ения пр оя вля ется и пр и тер моф луктуационном механизме р азр уш ения , поскольку пр оцесс тепловы х ф луктуаций стохастический. Д еф ектность и случайность - два взаимосвя занны х свойства стр оения р еальны х тел, неотделимы еот сущ ности пр оцесса их р азр уш ения . Совместны й учет э тих ф актор ов пр и учете пр очности и постр оении кр итер иев р азр уш ения твер ды х тел - актуальная пр об лема, котор ая мож ет б ы ть р еш ена на основе вер оя тностно-статистическогоподхода. 1.

К омпью тер ноемоделир ование взадачеоценки пр едельны х напр я ж ений в пластинесостохастической системой тр ещ ин 1.1 Стохастическая модельматер иала

О дин из э ф ф ективны х и удоб ны х способ ов описания микр оскопически неоднор одног оматер иала основан на вер оя тностном подходе. Будем р ассматр ивать матер иал каксплош ную ср еду, в котор ой р ассея ны деф екты типа тр ещ ин или ж естких вклю чений. М ож нотакж е считать, чтоон состоит из пер вичны х (микр о) э лементов, каж ды й из котор ы х мож ет б ы ть ослаб лен только одним деф ектом опр еделенного сор та. П ар аметр ы , опр еделя ю щ ие р азмер ы и р асполож ение деф ектов в науг ад вы б р анном э лементе, - случайны евеличины . Случайной мож ет б ы тьи хар актер истика (или хар актер истики) сопр отивля емости э лемента зар ож дению и р азвитию тр ещ ин. У пр уг ие хар актер истики ср еды пр инимаются постоя нны ми. Э то позволя ет пр именя ть об ы чны е методы теор ии упр угости для опр еделения напр я ж еннодеф ор мир ованного состоя ния тел из такого матер иала. Д еф екты считаются изолир ованны ми. О чевидно, что случайны й хар актер внутр енней геометр ии опр еделя ет р азб р ос пр очностны х свойств матер иала, поэ томуследует об судить, чтопр иня тьвкачествепр едельной нагр узки. 1.2. О пр еделениер азр уш аю щ их нагр узок. Д ля тела аб солютно б езопасны такие наг р узки, пр и котор ы х деф екты не р азвиваются . М аксимальную из таких нагр узок назовем пр едельной для данноготела. М аксимальная нагр узка, невы зы ваю щ ая ещ ер азр уш ения в

6 окр естности отдельного(изолир ованного) деф екта в э лементе тела, назы вается пр едельной для данног оэ лемента (деф екта). Т аким об р азом, пр инимается , что пр едельная нагр узка для тела совпадает с пр едельной нагр узкой наименее пр очногоегоэ лемента. Следует об р атить внимание, что пр едельная наг р узка не тож дественна нагр узке, вы зы ваю щ ей глоб альное р азр уш ение тела, ноона дает возмож ность установить величину б езопасной для данного тела нагр узки, пр евы ш ение котор ой мож ет пр ивести не только к локальному, но и к г лоб альному р азр уш ению тела. 1.3. Н екотор ы екр итер ии р азр уш ения телс одним деф ектом. 1.3.1. К р итер ий Гр иф ф итса. О сновы теор ии тр ещ ин и механики хр упког о р азр уш ения твер дого тела с заданны ми деф ектами залож ены в р аб оте Гр иф ф итса, согласнокотор ой длина тр ещ ины 2l в б есконечной пластине и р азр уш аю щ ие напр я ж ения p , пр илож енны е далеко от тр ещ ины и пер пендикуля р но к ней, свя заны соотнош ением p=

2 ET , πl

гдеТ – повер хностная э нер г ия матер иала, Е – егомодульЮ нга. К ак видно, чем б ольш е р азмер тр ещ ин, тем меньш е р азр уш аю щ ая нагр узка. 1.3.2. П р едельное р авновесие пластины с пр оизвольно ор иентир ованной тр ещ иной пр и двухосном напр я ж енном состоя нии. П усть б есконечная изотр опная пластина толщ иной Н ослаб лена пр я молинейной сквозной тр ещ иной длиной 2l и подвер г нута р астя ж ению сж атию однор одны ми вне зоны влия ния тр ещ ины напр я ж ения ми p и q = η ⋅ p , действую щ ими во взаимно пер пендикуля р ны х напр авления х. П р и э том напр я ж ения p напр авлены под углом α к плоскости тр ещ ины (плоскость тр ещ ины нор мальна кплоскости пластины , р ис.1). Д ля опр еделения пр едельны х напр я ж ений p , q удоб но использовать условие, изкотор огоследует, чтодля откр ы ты х тр ещ ин ∗ ∗ ∗ c sec 2 β (cos β (sin2 α + η ⋅ cos 2 α ) − 3 ( 1 − η ) sin 2 α ⋅ sin β )− 1 ; 2 2 2 2 πl 1 − ( 1+ 8v 2 ) 1 / 2 1 ( 1 −η ) sin 2 α β * = 2 arctg ; v= ⋅ , 4v 2 sin 2 α +η ⋅ cos 2 α p=

K

а для закр ы ты х тр ещ ин p=

3K πl

c (( 1 − η ) sin 2 α + 2 ρ ⋅ sign p (sin 2 α + η ⋅ cos 2 α ))− 1 .

Здесь K c - постоя нная , хар актер изую щ ая сопр отивление матер иала р азвитию тр ещ ины , и тр ение б ер егов тр ещ ин не учиты вается . У словие пр едлож ено такими известны ми автор ами, какП анасю кВ .В ., Бер еж ницкий Л.Т .,Ч ер епанов Г.П .,Э р доган и Си.

7 П р и одноосном р астя ж ении для откр ы ты х тр ещ ин э ти р езультаты получили хор ош ееэ кспер иментальноеподтвер ж дение. О сновы вая сь на э нер г етических сооб р аж ения х Гр иф ф итса, М ассаковский В .И . и Ры б ка М .Т ., получили следую щ ую ф ор мулу для пр едельны х напр я ж ений в случаер аспр остр анения тр ещ ины всвоей плоскости p=

A ⋅φ ( α ,η ); l

A= K / π , c

где    2 2 2 (sin α +η cos φ ( α ,η ) =   −1 2(( 1 −η )2 α )  

1 α) 2 −

(1.3.1)

-вслучаеоткр ы ты х изакр ы ты х тр ещ ин соответственно. 1.4.Схема опр еделения вер оя тности р азр уш ения тела пр и заданном нагр уж ении. Рассмотр им подход к опр еделению вер оя тности р азр уш ения , пр едлож енны й в[4]. П р очность деф ектног оэ лемента матер иала пр и заданном нагр уж ении зависит от сопр отивления континуума р азр уш ению , от сор та деф екта и величин его геометр ических пар аметр ов. Д ля пр я молинейны х тр ещ ин вплоской задачег еометр ическими пар аметр ами я вля ю тся длина 2l и уг олор иентации α . П лоские повер хностны е тр ещ ины мож ноопр еделитьдлиной, г луб иной и двумя углами (всегочеты р епар аметр а). В еличинусопр отивления матер иала р азвитию тр ещ ин об означим чер ез K c . Согласномодели, величины α и l я вля ю тся случайны ми, изменя ю щ имися в опр еделенны х пр еделах. Считаем, чтодля данногоматер иала известна ф ункция совместного р аспр еделения F ( α , l , K c ) э тих величин или их совместная плотность f ( α , l , K c ) . В ид э тих ф ункций зависит от стр уктур ы и технолог ии изготовления матер иала. О пр еделя ющ ие пар аметр ы могут б ы ть статистически зависимы ми или независимы ми. Н апр имер , в р езультате вы тя ж ки матер иала меж дур азмер ом и ор иентацией деф ектовсущ ествует опр еделенная кор р еля ция . П усть условие пр едельного состоя ния пер вичного э лемента, содер ж ащ его один деф ект, известно. О но пр едставля ет соб ой зависимость меж ду опр еделя ю щ ими геометр ическими пар аметр ами и пр очностны ми хар актер истиками деф ектногоэ лемента и действую щ ей на нег онагр узкой. Э та детер министическая зависимость долж на б ы ть известна из р еш ения соответствую щ ей задачи теор ии пр едельно-р авновесны х деф ектов. Д ля невзаимодействую щ их деф ектов ее мож но взя ть из р еш ения задачи о б есконечном телесодним деф ектом. П р и однор одном напр я ж енном состоя нии пр едельны е значения г лавны х напр я ж ений p1 , p2 , p3 мог ут б ы тьпр едставлены ввиде (1.4.1) p1 = p1 ( η ,ξ ,α , l , K c ) , p 2 = η ⋅ p1 , p 3 = ξ ⋅ p1

8 Считая η и ξ ф иксир ованны ми, имеем один пар аметр нагр узки. И з(1.4.1) следует, что значение пр едельной нагр узки тож е б удет случайны м, изменя ю щ имся вопр еделенны х пр еделах от p1 min до p1 max . Ф ункция р аспр еделения вер оя тностей пр едельной наг р узки на э лемент опр еделится следую щ им об р азом F ( p )= 1 1

f ( α , l , K )dαdldK ∫ c c φ ( η ,ξ , l ,α , K ) < p c 1

(1.4.2)

Здесь интегр ир ование пр оизводится по всей тр ехмер ной об ласти значений α , l, Kc , для к отор ы х соб лю дается нер авенство. φ (η ,ξ , l ,α , K c ) < p1 p 1 ,η , ξ значение ф ункции П р и ф иксир ованны х

(1.4.3) F1( p1 ,η ,ξ ) р авно вер оя тности р азр уш ения каког о-либ о э лемента пр и нагр узке ~p1 ,не пр евы ш аю щ ей заданногозначения p1 . Т о есть в заданном поле напр я ж ений p1 , , p 2 = η ⋅ p1 , p 3 = ξ ⋅ p1 значение F1( p1 ,η ,ξ ) дает вер оя тность р азр уш ения э лемента вэ том поле F1( p1 ,η ,ξ ) = P ( ~ p1 ≤ p1 ) (1.4.4) Ф ункцию F1( p ,η ,ξ ) мож нопр едставить и какф ункцию р аспр еделения пр еделовпр очности э лементовматер иала взаданном поленапр я ж ений. Рассмотр им тело об ъ емом V , котор ое в ср еднем содер ж ит n0 пер вичны х V мо э лементов в некотор ой единице об ъ ема V . Т ело об ъ емом ж но 0

р ассматр ивать какслучайную вы б ор ку об ъ ема n изгенер альной совокупности пер вичны х э лементов матер иала. П оскольку, как пр иня то вы ш е, пр едельная нагр узка для тела р авна пр едельной нагр узкенаиб олее пр очногоегоэ лемента, тоф ункцию р аспр еделения пр едельной нагр узки F ( p ) для телоб ъ емом V n

1

мож но найти по ф ор муле для р аспр еделения минимальног о члена вы б ор ок, состоя щ их из n э лементовг енер альной совокупности э лементов, описы ваемой ф ункцией F ( p ,η ,ξ ) 1

1

Fn ( p 1 ,η , ξ ) = 1 − ( 1 − F1 ( p1 ,η , ξ ))

noV V0

(1.4.5)

Значение ф ункции р авно вер оя тности P локального Fn ( p1 ,η ,ξ ) р азр уш ения тела об ъ емом V под действием заданногооднор одног ослож ного поля напр я ж ений P( p1 ,η ,ξ ) = Fn ( p1 ,η ,ξ ) (1.4.6) О пр еделение э той вер оя тности составля ет одну из г лавны х задач р асчета на надеж ность. 1.5 П остановка задачи о р азр уш ении пластины со стохастической системой тр ещ ин.

9 П усть тело в виде пластины

толщ иной H

и площ адью

S

находится под действием двухосного р астя ж ения , сж атия или р астя ж ения сж атия в двух взаимно-пер пендикуля р ны х напр авления х однор одны ми усилия ми p и q . Э ти усилия мож нор ассматр ивать какглавны е напр я ж ения , действую щ ие в пластинчатом э лементе тела пр и плоском напр я ж енном состоя нии. Будем считать, чтовматер иале пластины пр я молинейны е тр ещ ины случайной длины и ор иентации р авномер но р ассея ны , но так, что не взаимодействую т меж ду соб ой. Д еф екты хар актер изую тся длиной 2l и углом ор иентации α по отнош ению к некотор ому ф иксир ованному напр авлению, котор ы м я вля ется напр авлениеусилий p .В об щ ем случае, мож нопр иня ть, что случайная полудлина деф ектов изменя ется в некотор ы х пр еделах от d 0 до d , где d 0 и d -стр уктур ны е константы матер иала.У гол α ∈ [− π / 2;π / 2] , таккак об а конца пр я молинейног о деф екта в однор одном поле напр я ж ений находя тся в одинаковы х условия х. Сопр отивление матер иала пластины зар ож дению или р азвитию тр ещ ин для пр остоты пр едполож им везде одинаковы м (матер иал пластин однор одны й). Считаем, чтоф ункция р аспр еделения и плотность р аспр еделения F (α , l ) и f (α , l ) известны . В еличину пр едельной нагр узки для изолир ованногодеф екта в пластине пр и двухосном р астя ж ении вы б ер ем ввиде p=

A φ (α ,η) , q = η. p , l

(1.5.1)

где A - постоя нная , хар актер изую щ ая сопр отивление континуума пластины зар ож дению или р азвитию тр ещ ины , φ (α ,η ) - известная ф ункция , вид котор ой зависит от пр ир оды деф екта , об ласти значений α и η , подхода кр еш ению задачи о пр едельном состоя нии, коэ ф ф ициента внутр еннего тр ения меж ду б ер егами тр ещ ины идр . Задача состоит в исследовании ф ункции р аспр еделения пр едельны х напр я ж ений. 1.6А лгор итм постр оения ф ункции р аспр еделения пр едельны х нагр узок. П оскольку величины α и l я вля ю тся случайны ми, топр едельная нагр узка p пр и заданном η для э лемента пластины с одним деф ектом такж е случайная величина, изменя ю щ ая ся от pmin до p max . П оследниеопр еделя ю тся на

10 основании ф ор мул(1.6.1) какминимальное и максимальное значения подвум пер еменны м l и α A

p min( η ) =

d

minα φ ( α ,η ) , p max ( η ) =

A d

maxα φ ( α , η ) .

(1.6.1)

В э том случае ф ор мула (1.3.2) для р аспр еделения вер оя тностей р азр уш аю щ ей нагр узки p э лемента пластины с одним деф ектом пр имет вид F ( p ,η ) = 1

∫∫ f ( α , l )dαdl − 1 / 2φ ( α ,η ) Al

, pmin ≤ p ≤ p max .

Здесь интегр ир ование осущ ествля ется − π π  α ∈ ;  2 2 

по тем

возмож ны м

(1.6.2) значения м

и l ∈ [d 0 , d ] , для котор ы х вы полня ется указанное ниж е знака

интегр ала нер авенство. Д войной интегр алв(1.6.2) мож нопр едставитьчер езповтор ны еинтегр алы F1 ( p ,η ) =

∫

d ( 2

∫

f ( α , l )dl )dα ,

(1.6.3)

−2 2

Lα A p φ ( α ,η )

где Lα - множ ествовозмож ны х значений α , для котор ы х пр и заданны х p и η долж новы полня ться условие d0 ≤

A 2φ 2 ( α ,η ) ≤d p2

(1.6.4)

П р и стохастической независимости величин l и α , когда f ( α , l ) = f 2 ( α ) f 3 ( l ) , вводя ф ункцию F 3 ( l ) р аспр еделения вер оя тностей величины l , ф ор мулу (1.6.4.) мож нопр еоб р азоватьквиду F1 ( p ,η ) =

∫ Lα

f 2 ( α )( 1 − F3 (

A 2φ 2 ( α ,η ) ))dα p2

(1.6.5)

Е сли пластина содер ж ит n деф ектов, то ф ункцию Fn ( p ,η ) р аспр еделения пр едельной нагр узки такой пластины находим по ф ор муле (1.4.5), котор ая в новы х об означения х пр иоб р етает вид Fn ( p ,η ) = 1 − ( 1 − F1 ( p ,η )) n

(1.6.6) П р и ф иксир ованны х p и η э та ф ункция опр еделя ет вер оя тность р азр уш ения пластины пр и напр я ж ения х p и q = ηp p = Fn ( p , q )

(1.6.7)

И з(1.6.5) следует, чтовоб щ ем случае F1 ( p , η ) пр едставля ется ввиде интегр ала подвумер ной об ласти. О казы вается , чтоопр еделитьвя вном виде

11 пр еделы интегр ир ования удается невсег да. П оэ томувы числениеинтег р ала (1.6.5) пр едставля ет соб ой самостоя тельную задачу. 1.7 П ор я док вы полнения численного э кспер имента ф ункциир аспр еделения пр едельны х напр я ж ений.

по

анализу

1) В ы б р атьвид ф ункции φ (α , ς ) , соответствую щ ий видутр ещ ины ( откр ы тая или закр ы тая ), (см ниж е); 2) Н айти вы р аж ениедля p вя вном виде(1.5.1); 3) О пр еделить pmin , pmax по(1.6.1); 4) П олож ить α и l статистически независимы ми; 5) В ы б р атьвид законовр аспр еделения f (α ) и f (l ) ; 6) Н айти вы р аж ениедля F1 ( p ,η ) вя вном виде, используя (1.6.5); 7) О пр еделитьвид ф ункции Fn ( p ,η ) , используя (1.6.6); П р овести численны й э кспер имент для анализа зависимости ф ункции ипер еменной p . П ор я доквы полнения численногоэ кспер имента следующ ий:

8)

Fn ( p ,η ) от пар аметр ов d , η , n

1) П р ивести (1.6.5) кб езр азмер номувиду, введя пер еменную p = p d / A ; 2) Е сли законы р аспр еделения углов ор иентации α и длин тр ещ ин l р авномер ны е, тор асставитьпр еделы интегр ир ования в(1.6.5); 3) П р и э том р ассмотр етьследую щ иеслучаи: a) двухосное р астя ж ениедля 0 < η < 1 и b) двухосноер астя ж ениедля 0 < η < 1 и

A d A

η d

≤ p≤

A η d

;

≤ p<∞ ;

c) двухосноесимметр ичноер астя ж ение( η = 1 , p = q > 0 );  A

d) р астя ж ение-сж атие ( p > 0 , q ≤ 0 ,η ∈ ( −1,0 ) , p ∈ 

 d 

;

A   ); η d 

4) Составить алгор итм р асчета зависимости Fn от пер еменной p , пар аметр а нагр узки η и числа тр ещ ин n , пр едусматр иваю щ ий случаи а)-d). 5) Рассмотр етьследую щ иевар ианты законовр аспр еделения величин α и l : a) р авномер ноер аспр еделениедлин тр ещ ин; b) линейноуб ы ваю щ еер аспр еделениедлин тр ещ ин. 6) П о р езультатам численног о э кспер имента сделать вы воды о влия нии способ а нагр уж ения , числа тр ещ ин, р аспр еделения их пар аметр ов на величину вер оя тности р азр уш ения пластины со стохастической системой тр ещ ин. П р и э том ответитьна следую щ иевопр осы : - какой закон р аспр еделения длин тр ещ ин об еспечивает б ольш ую пр очностьпр и заданном виденагр уж ения ; - какой вид наг р уж ения пластины я вля ется наиб олее опасны м пр и заданном законер аспр еделения пар аметр овтр ещ ин; -как влия ет количество тр ещ ин (а следовательно, величина об ъ ема пластины ) на еепр очность.

12 1.8. В ар ианты заданий. В ид те щ ин

Ра с пре де ле ние длин

В а р.1

о ткры ты е

ра вно ме рно е

В а р.2

за кры ты е

ра вно ме рно е

В а р.3

о ткры ты е

лине йно убы ва ющ е е

В а р.4

за кры ты е

лине йно убы ва ющ е е

В а р.5

о ткры ты е

ра вно ме рно е

двухо с но е ра с тя ж е ние

В а р.6

за кры ты е

ра вно ме рно е

двухо с но е ра с тя ж е ние

В а р.7

о ткры ты е

лине йно убы ва ющ е е

двухо с но е ра с тя ж е ние

В а р.8

за кры ты е

лине йно убы ва ющ е е

двухо с но е ра с тя ж е ние

В а р.9

о ткры ты е

ра вно ме рно е

за кры ты е

ра вно ме рно е

двухо с но е с имме трично е ра с тя ж е ние двухо с но е с имме трично е ра с тя ж е ние

В а р.11

о ткры ты е

лине йно убы ва ющ е е

двухо с но е с имме трично е ра с тя ж е ние

В а р.12

за кры ты е

лине йно убы ва ющ е е

двухо с но е с имме трично е ра с тя ж е ние

В а р.10

В ид на груж е ния двухо с но е ра с тя ж е ние двухо с но е ра с тя ж е ние двухо с но е ра с тя ж е ние двухо с но е ра с тя ж е ние

В ар ианты вы б ор а ф ункций. 1 − 2 2 2 1) φ ( α ,η ) = (sin α +η cos α ) 2 – для случая откр ы той тр ещ ины ; 1 2) φ ( α ,η , ρ ) = 2 (( 1 −η ) sin 2 α + 2 ρ ⋅ sign p ⋅(sin 2 α +η cos 2 α ))− 1 – для закр ы ты х 2 тр ещ ин, г де ρ - коэ ф ф ициент тр ения б ер еговтр ещ ины ; 1 3) f ( l ) = - р авномер ноер аспр еделениедлин тр ещ ин ( 0 ≤ l ≤ d ); d 2 l 4) f ( l ) = ( 1 − ) -линейно уб ы ваю щ ее р аспр еделение длин d d тр ещ ин. (0 ≤ l ≤ d )

13 2.

К омпью тер ное моделир ование закона р аспр еделения пр едельны х напр я ж ений впластинесостохастической системой тр ещ ин.

2.1. П остановка задачи. Располагая видом ф ункции р аспр еделения р азр уш аю щ их напр я ж ений для пластины , ослаб ленной n тр ещ инами, мож нополучить вы р аж ение для закона р аспр еделения пр едельны х напр я ж ений. Рассмотр им пластину из статистически однор одного матер иала, содер ж ащ ую систему невзаимодействую щ их тр ещ ин случайной длины и ор иентации. П р едполагается , чтотр ещ ины р ассея ны пооб ъ ему пластины р авномер но. Законы р аспр еделения геометр ических пар аметр ов тр ещ ин считаю тся заданны ми. П ластина находится в однор одном плоском поле напр я ж ений p , q = η ⋅ p Т р еб уется установить зависимость плотности р аспр еделения пр едельны х нагр узок от числа тр ещ ин, величины , пр илож енны х кпластине усилий, пар аметр а наг р уж ения . 2.2 П ор я докпостр оения закона р аспр еделения пр едельны х нагр узок. 1) Рассмотр еть зависимости (1.6.5),(1.6.6), вы б р ав вар ианты законов р аспр еделения г еометр ических пар аметр ов тр ещ ин f ( α ) , f ( l ) и ф ункцию ϕ ( α ,η ) ; 2) П р ивести полученны е зависимости к б езр азмер ному виду, введя новую пер еменную p = p d / A ; 3) У становить я вны й вид пр еделов интегр ир ования в (1.5.5) ,(1.5.6) и получить вы р аж ениедля ф ункции р аспр еделения пр едельной нагр узки Fn для пластины , содер ж ащ ей n тр ещ ин; 4) Н айти пр оизводную F по пер еменной p , пр едставля ющ ую соб ой n искомую плотность р аспр еделения f ( p ,η ) (использовать ср едства n Mathcad [1]); 5) П р овести компью тер ное моделир ование полученной плотности р аспр еделения . 2.3. В ы б ор пар аметр ови целей моделир ования . 1) Закон р аспр еделения угловор иентации тр ещ ин полож итьр авномер ны м ( f (α ) = 1 / π ) . 2) Рассмотр етьследую щ иевиды законовр аспр еделения длин: a) р авномер ны й; б ) линейноуб ы ваю щ ий; в) монотонноуб ы ваю щ ий. 3) Рассмотр етьследую щ иевиды наг р уж ения : a)одноосноер астя ж ение ( η = 0 ) ; б )двухосноесимметр ичноер астя ж ение ( η = 1 ) . 4) Составить алгор итм р асчета зависимости f от пер еменной p и числа n тр ещ ин n для р азличны х законов р аспр еделения г еометр ических пар аметр овтр ещ ин и р азны х видовнагр уж ения . 5) П о р езультатам моделир ования сделать вы вод о влия нии способ а наг р уж ения , числа тр ещ ин и вида р аспр еделения их пар аметр ов на величину плотности вер оя тности пр едельной нагр узки для пластины со

14 стохастической системой тр ещ ин. П р и э том ответить на следую щ ие вопр осы : a) пр и каком значении p ф ункция f n ( p ) достигает наиб ольш ег означения пр и заданны х η , n и f 3 ( l ) ; б ) как влия ет количество тр ещ ин на наиб олее вер оя тное значение пр очности пр и заданны х η и f 3 ( l ) ; в) какизменя ю тся коор динаты точки максимума кр ивой

f n ( p ) пр и

увеличении η и ф иксир ованном n ; г) каквлия ет вид нагр уж ения на наиб олее вер оя тное значение пр очности пластины . 2.4. П р имер одноосногонаг р уж ения . П усть наг р уж ение я вля ется одноосны м, т.е. η = 0 . Ф ункция ϕ ( α ,η ) имеет вид ϕ ( α ,η ) = (sin2 α + η 2 cos2 α )− 1 / 2 .

Распр еделениедлинтр ещ ин пр имем линейноуб ы ваю щ им f (l ) =

2 l (1 − ). d d

Т ог да ф ункция р аспр еделения р азр уш аю щ их напр я ж ений для пластины , ослаб ленной n тр ещ инами, имеет вид 3 2A 2 A 4A A2 2 + Fn (p,0) = 1 − ( arcsin (1 − ) + π πp d p d 3 πp d p2d

В водя об означение u= pd 1 / 2 / A ,

1−

A2 n A ) , ≤ p p ∞. d p2d

F ( u,0 ) A / d 1 / 2 = F ( u,0 ) , получим n

3 2 1 4 1 2 2 1 n ) ,1 ≤ u p ∞ F ( u,0 ) = 1 − ( arcsin + (1 − ) + 1− 2 π u 3πu πu u u2

К р ивы е ф ункции р аспр еделения , пр едставленны е на р ис .2, могут б ы ть постр оены ср едствами Mathcad [1], и даю т пр едставление отом, как увеличение количества тр ещ ин ведет к возр астанию скор ости изменения вер оя тности р азр уш ения . Соответствующ ая плотность р аспр еделения

f n( u,0 ) A / d = f ( u ,0 ) , пр едставленная кр ивы ми на р ис .3

15 пр и р азличны х значения х n , показы вает, что с р остом числа тр ещ ин наиб олеевер оя тноезначениепр очности уменьш ается . 1

0.8 F ( u , 20

)

F ( u , 50

)

F ( u , 100

0.6

)

0.4

0.2

1

1.3

1.6

1.9

2.2

2.5

u

Рис.2 К р ивы е зависимости ф ункции р аспр еделения р азр уш аю щ их нагр узок пр и р азличном количестве тр ещ ин в матер иале в случае одноосног ор астя ж ения . 7

7

7 5.6 f1 ( u , 40 )

5.6 4.2

f1 ( u , 70f1 ) ( u , 40)

4.2

f1 ( u , 100 )

2.8) f1( u , 70

f1( u , 100 ) 1.4 1.353865

.10 8

2.8

1.4

0

. 1.35386510

1 81

1.16

1.32

1.48

1.64

1.8 1.8

u

1.35386510

8 1

1.16

1.32

1.48

1.64

u

1

1.8 1.8

Рис.3 К р ивы е плотности р аспр еделения пр едельной нагр узки в случае одноосног ор астя ж ения . 2.5.В ар ианты заданий. Ра с пр. длин тре щ ин Ра с пр.угло в о рие нта ции В ид на груж е ния

В а р.1 Ра вно ме рн.

В а р.3 Ра вно ме рно е

Ра вно ме рн.

В а р.2 Л ине йно убы ва ю щ е е Ра вно ме рно е

Одн о о с н . pа с тя ж е н.

Двухо с но е на груж е ние

Симме трич. двухо с но е ра с тя ж е ние

Ра вно ме рно е

В а р.4 Л ин е йно убы ва ю щ е е Ра вн о ме рно е Одно о с но е ра с тя ж е ние

16 3.К омпьютер ное моделир ование пр едельного состоя ния в пластине с р ассея нны ми тр ещ инамиог р аниченной длины . 3.1 П остановка задачи. О пр еделив соответствую щ ие статистические хар актер истики р азр уш аю щ их напр я ж ений, мож но постр оить кр итер ии р азр уш ения пр и плоском напр я ж енном состоя нии. В частности, ур авнения кр ивы х пр едельного состоя ния , вы р аж енны е в ср едних значения х р азр уш аю щ их напр я ж ений, имеют вид p p = pmin (η ) +

max( η ) ( 1 − F ( p,η ) )n dp, ∫ 1 p min( η )

q =η p

. ( 3.1.1)

У р авнение пр едельной кр ивой, соответствую щ ей заданной вер оя тности р азр уш ения µ , опр еделя ется р авенствами ∫∫ f ( α , l )dα dl = 1 − n 1 − µ ,

q = ηp .

Ak − 1 / 2ϕ ( α ,η ) < p

(3.1.2)

Э ти ф ор мулы я вля ются пр инципиальны м р еш ением задачи пр и плоском напр я ж енном состоя нии. Д ля конкр етны х р асчетов необ ходимо задать плотностьр аспр еделения пар аметр ов деф ектов f ( α ,η ) и ф ункцию ϕ ( α ,η ) , отр аж аю щ ую стр уктур у матер иала и условия э лементар ны х р азр уш ений в окр естности отдельны х деф ектов. В ид пр едельны х кр ивы х зависит от э тих ф ункций. Д ля оценки пр едельног о состоя ния пластины , находя щ ейся в однор одном плоском поленапр я ж ений p, q =ηp , р еш им следую щ иезадачи: 1) О пр еделим ср еднее значение р азр уш аю щ ей нагр узки для пластины с тр ещ инами; 2)П остр оим кр ивы е зависимости математических ож иданий р азр уш аю щ ей нагр узкиот числа тр ещ ин и величины пар аметр а нагр уж ения ; 3)П остр оим пр едельны екр ивы едля р я да значений n . 3.2 П ор я докпостр оения кр ивы х ср едних р азр уш аю щ их напр я ж ений и их анализ. 1)

Н айти значения p

2)

Д ля опр еделения вида ф ункцииF ( p ,η ) вы б р ать вар ианты законов

min

,p

max

. 1

р аспр еделения f ( α ) , f ( l ) . 3) Рассмотр етьзависимость(1.5.5). 4) П р оизвести интегр ир ованиепопер еменной l . 5) О пр еделитьгр аницы об ласти L . α

17 6) П олучить я вны й вид зависимости математическог о ож идания пр едельной наг р узки от пар аметр а наг р узки η , количества тр ещ ин n и их г еометр ических хар актер истик, используя (3.1.1). 7) П остр оить кр ивы е пр едельного состоя ния . Д ля э того пр и ф иксир ованном n для каж дог означения η найтисовокупность величин p d / A, q d / A . В плоскости p , q они опиш ут значения коор динат пр едельной кр ивой ср едних р азр уш аю щ их напр я ж ений. 8) Н а основе полученны х данны х сделать вы вод охар актер е изменения математическог о ож идания пр едельны х нагр узок пр и соответствую щ ем изменении пар аметр ов. П р и э том ответитьна следующ иевопр осы : -какой вид нагр уж ения пластины я вля ется наиб олееопасны м пр и заданном законер аспр еделения длин тр ещ ин; -каквлия ет количествотр ещ ин на величины p и q ; -каквлия ет законр аспр еделения длин тр ещ ин на вид кр ивы х p = p( n ) , p = p( η ) , q = q( n ) , q = q( η ) ,описы ваемы х так ими ф ункция ми; -р асполагая пр едельной кр ивой ср едних р азр уш аю щ их напр я ж ений, указать б езопасны едля данной пластины виды нагр уж ения . 3.3 В ар ианты вы б ор а ф ункций и пар аметр ов. Распр еделениедлин тр ещ ин: а) р авномер ное; б ) линейноуб ы ваю щ ее. Распр еделениеуг лов- р авномер ное. Н апр я ж енноесостоя ние: а) одноосноер астя ж ение( η = 0 ); б ) симметр ичноедвуосноер астя ж ение( η = 1 ). 4.Задача р азр уш ения вусловия х стохастической анизотр опии Рассматр иваю тся р азличны е ор иентации стохастической текстур ы и их влия ниена статистическиехар актер истики пр едельной нагр узки. И спользуется способ численного исследования , пр едлож енны й в [2] и основанны й на методах статистическогомоделир ования [5]. 4.1. М одельстохастическианизотр опногоматер иала Рассмотр им пластину из упр угого матер иала, ар мир ованног о ж есткими пр я молинейны ми вклю чения ми. П р едполож им, что вклю чения невзаимодействую т меж дусоб ой и имею т случайны едлину 2 s и уголα относительно оси ор динат. Будем считать, что для уг лов ор иентации вклю чений не все значения р авновер оя тны , а есть некотор ое пр еимущ ественное напр авление, котор ое составля ет с осью аб сцисс угол β . Т ак ая текстур а об условливает стр уктур ную анизотр опию матер иала и

18 мож ет б ы ть описана, если р аспр еделение уг лов α напр имер , нор мальному закону с пар аметр ами β и σ

подчиня ется ,

α

fα (α) =

1 σ

α

2π

   2   α− β      exp −   2 2σ  α   

         

.

(4.1.1)

Здесь σα - ср еднеквадр атическое отклонение уг лов ор иентации вклю чений от напр авления , опр еделя емого углом β . Будем считать, что случайны е величины α и s независимы и закон р аспр еделения f (α , s ) известен. П усть пластина находится в однор одном поле напр я ж ений σ x , σ y = ξσ x . Задача состоит в опр еделении пр едельны х значений величин ие напр я ж ения , пр и σ x , σ y .П р и э том под пр едельны ми б удем понимать так котор ы х пр оисходит локальноер азр уш ениематер иала [4]. В оспользуемся кр итер ием р азр уш ения для однор одной пластины , содер ж ащ ей одновклю чение[4] maxγ Φ (σ y ,ξ , α , γ , µ , s) = K , (4.1.2) где Φ = lim ( rσ r ) , σ r - компонента тензор а напр я ж ений в местной r →0

поля р ной системе коор динат r , γ , помещ енной в конце включения , K постоя нная матер иала, хар актер изую щ ая ег о сопр отивление зар ож дению тр ещ ины , µ -коэ ф ф ициент П уассона. И з(4.1.2) кр итическоезначение σ y мож нополучитьв виде σ y = K ψ (α ,ξ , µ )

1 s

.

(4.1.3)

В (4.1.3) аналитический вид ф ункции ψ зависит от сочетания значений пар аметр ов. П осколькувеличины s и α , входя щ иев(4.1.3) я вля ю тся случайны ми, тои пр едельное значение σ y пр и заданном ξ для э лемента пластины с одним включением есть случайная величина, изменя ю щ ая ся в некотор ы х пр еделахσ min ,σ max . Здесь σ min = σ min (ξ ), σ max = σ max (ξ ) есть минимальное и максимальное значения σ y подвум пер еменны м s и α . О пр еделим ф ункцию р аспр еделения ω (σ y ) кр итических значений σ y , пр инимая закон р аспр еделения для s р авномер ны м 1 f (s) = s l −l 0

l0 ≤ s ≤ l

.

Здесь l 0 , l - пр еделы изменения длин тр ещ ин.

(4.1.4) П оопр еделению имеем

19

( )

1   ω σ y = P  K ψ (α ,ξ , µ ) pσ y, s  

(4.1.5)

гдеР об означает вер оя тность. Т аккакс учетом (4.1.1) и (4.1.4) совместная плотностьр аспр еделения α и s опр еделена, то из(4.1.5) следует

( )

ωσy =

∫∫ fα (α ) f s (s )dα ds

(4.1.6)

G

В (4.1.6) об ласть G , опр еделя ет такие значения величин α и s , котор ы е я вля ю тся р еш ением нер авенств K 2ψ 2 ( α , ξ , µ ) ≤ s≤l (4.1.7) σ 2 y И з (4.1.7) следует, чтооб ласть G , зависит от пар аметр а нагр уж ения ξ , механических хар актер истик ср еды µ иK , р азмер ов включений и величины σ y . l0 ≤

Рассмотр им ф ункцию ψ (α , ξ , µ ) ввиде [4 ]

ψ = r (1 + ξ )(1 − µ )(1 + µ )− 1 + (1 − ξ ) cos 2α  ,  

что соответствует условия м σ y 〉0

(4.1.8)

r = ((3 + µ ) (3 − µ )) 2 2 ,

, ξ −1 ≥ µ .

(4.1.9)

Т ак как величина α удовлетвор я ет очевидному нер авенству cos 2α ≤ 1 , тор еш ение системы (4.1.8)-(4.1.10) сущ ествует, если вы полнены условия σy≥

К р ометог о, где

K

l 0 2r (1 − µξ )

(1 + µ ) , σ y ≤

σ min ≤ σ y ≤ σ max ,

K

l (ξ − µ )2r

(1 + µ ) .

(4.1.10) (4.1.11)

K (1 + µ ) K (1 + µ ) , σ max = . (4.1.12) l 2r(1 − ξµ ) l 0 (1 + ξ )(1 − µ ) Т аким об р азом, об ласть G опр еделя ется системой условий (4.1.7) σ min =

(4.1.12) . Рассматр иваемая пластина содер ж ит n вклю чений, поэ тому в качестве пр едельной нагр узки для всего тела мож но р ассматр ивать наименьш ее из возмож ны х значений случайной величины σ y , если воспользоваться известной г ипотезой наименее слаб ого э лемента. О чевидно, что такое значение σ y дает возмож ность установить гр аницы нагр узки, пр евы ш ениекотор ой мож ет пр ивести нетолькоклокальному, но

20 и кг лоб альному р азр уш ению . Т акое значение σ y б удем р ассматр ивать как пр едельное для всего тела. В э том случае пр едельное значениеσ y = min{ σ y1 , σ y2 ,...,σ yn } , где σ yi , i = 1,2,...n есть возмож ны е значения случайной величины σy, опр еделя емой р авенством (4.1.3).Ф ункция р аспр еделения пр едельны х значений σ y для всег о тела пр имет известны й вид

( )

(

( ))

ωn σ y = 1 − 1 − ω σ y n ,

(4.1.13)

откуда легкополучается и плотностьр аспр еделения

( ) (

( ))

∂ω . ∂σ y

pn σ y = n 1 − ω σ y n − 1

(4.1.14)

О стается пр овести интегр ир ование пооб ласти G , гр аницы котор ой пр инимаю т тот или иной вид взависимости от сочетания опр еделя ю щ их их пар аметр ов ξ , µ , K , l, l 0 ,σ y . О б легчить задачу позволя ет метод, основанны й на численном моделир овании случайны х величин [2,5] . 4.2.М етод статистического моделир ования в оценке пр едельны х хар актер истик. Рассмотр им пр я моугольную об ластьВ , опр еделя емую гр аницами l 0 ≤ s ≤ l, −π 2 ≤α ≤ π 2 ,

(4.2.1)

котор ая содер ж ит об ластьG . П усть в об ласти В р авномер но р аспр еделена случайная γ (α , s ) с плотностью fγ =

точка

1 . π (l − l 0 )

О чевидно, что γ р авномер но р аспр еделена такж е в об ласти G плотностью pγ (α , s ) =

1 , SG

где SG - площ адь об ласти G . П ер епиш ем (4.1.7) ввиде

(

)

I σ y , ξ , µ ,σ β , β , l 0 , l , K = ∫

где

∫

с

(

)

f σ α , β , l 0 , l ,σ y , K , α , µ , s pγ ( α , s )dα ds ,

G

(

)

f σ α , β , l 0 , l, σ y , K , α , µ = fα ( α ) f s ( s )SG

(4.2.2) О чевидно, что последний интегр ал пр едставля ет соб ой математическое ож иданиеслучайной величины z = f (α , s , σ α , β , l 0 , l ,σ y , K , µ ) . Е сли γ i = γ ( α i , si ) , i = 1,2 ,...N 1 - независимы е р еализации случайной точки γ , то для р ассматр иваемогоинтег р ала мож ноиспользовать оценку [5] I ≈ Θ N1 ,

(4.2.3)

21 где ΘN

1

S = G N1

N1

∑ fα (α i ) f ( s i ) .

(4.2.4)

i =1

Здесь N1 - количество р еализаций случайной величины γ , попавш их в об ласть G . В (4.2.4) входит неизвестная величина Sα и вновь возникает пр об лема оты скания гр аниц об ластиG . П оэ тому опр еделим площ адьSG следую щ им об р азом. О б означим чер ез N число случайны х точек, р авномер но р аспр еделенны х в об ласти B . Е сли N велико, то S G ≈ Bα N 1 N , г деBα -площ адь об ласти B . Т епер ь оценка (4.2.4) имеет вид B N1 Θ N = α ∑ fα (α i ) f ( si ) 1 N i= 1

(4.2.5)

М ож но показать, что она я вля ется несмещ енной и состоя тельной. Д ля р еализации метода достаточнов известной пр я моугольной об ласти В р азы гр ать N значений случайной величины γ и непоср едственной пр овер кой опр еделить значение N1 , котор ое р авно количеству точек γ (α i , si ) , к оор динаты котор ы х удовлетвор я ю т системе условий (4.1.7)(4.1.12). В таком случае отпадает необ ходимостьр еш ения э той системы , а алгор итм р асчетовоказы вается достаточнопр осты м. 4.3. Ч исленны й анализ плотности р аспр еделения для матер иала состохастической текстур ой.

пр едельной нагр узки

В лия ние стохастической текстур ы матер иала на пр очность пр оя вля ется втом, чтозависимость pn (β ) имеет я р ковы р аж енны й минимум, что свидетельствует о наличии пр едпочтительны х уг лов ор иентации текстур ы , об еспечиваю щ их наиб ольш ую б езопасность. В еличина э тог о минимума возр астает пр и увеличении количества вклю чений n и р азб р оса углов α , чтоведет ксниж ению пр очности. Скор ость изменения ф ункцииp (β ) возр астает пр и увеличении n

количества вклю чений. П р и б ольш ом значении n скор ости возр астания и уб ы вания p (β ) пр актически р авны , то есть незначительны е отклонения n

величины β от β

min

пр иводя т к заметному сниж ению пр очности.

У величениер азб р оса угловор иентации включений, хар актер изую щ ееся величиной σ , влия ет на р асполож ениеминимума ф ункции pn (β ) таким α

об р азом, чтозначения β , доставля ю щ иеэ тот минимум, увеличиваю тся . Э то особ еннозаметнопр и σ x = σ y . 5.Н екотор ы етеор етическиеполож ения механики р азр уш ения .

22 5.1. О сновны епоня тия механики р азр уш ения М еханикой р азр уш ения (в узком смы сле) об ы чно назы вают механику тел, содер ж ащ их тр ещ ины . О сновное внимание в э том р азделе механики уделя ю т установлению условий устойчивости тр ещ ин в упр уг их, упр уг опластических и вя зкоупр угих матер иалах, а такж е р еш ению задач о р аспр еделении напр я ж ений и деф ор маций вокр естности тр ещ ин. Т р ещ ины и тр ещ иноподоб ны едеф екты имею тся пр актически влю б ой кр упног аб ар итной констр укции, и наличие э тих деф ектов, вооб щ е, ещ е не служ ит пр епя тствием кее б езопасной кб езотказной э ксплуатации. Задача состоит в том, чтоб ы ввести хар актер истики тр ещ иностойкости констр укционны х матер иалов и р азр аб отать методы испы таний, позволя ю щ ие пр авильно вы б ир ать матер иалы , технологические пр оцессы и условия э ксплуатации по кр итер ию тр ещ иностойкости устанавливать б езопасны е р азмер ы тр ещ ин и тр ещ иноподоб ны х деф ектов. В др угом р азделе механики - в теор ии накопления р ассея нны х микр оповр еж дений - исследую т повр еж дения , возникаю щ ие на ур овне стр уктур ны х э лементов матер иала (зер ен, вклю чений, микр опор и т. п.). А нализ показал, что для постр оения удовлетвор ительной теор ии усталости констр укционны х матер иалов необ ходим синтез механики тел, содер ж ащ их тр ещ ины , с механикой накопления р ассея нны х повр еж дений, поскольку пр оцессы накопления микр оповр еж дений и р оста микр оскопических тр ещ ин пр актически всегда пр оисходя т пар аллельно. О б ъ единенны е модели механики р азр уш ения позволя ю т получить ур авнения , котор ы е описы ваю т устойчивы й р ост тр ещ ин в констр укционны х матер иалах пр и циклическом и (или) длительном квазистатическом наг р уж ении. П р иведем некотор ы еначальны е сведения измеханики телс тр ещ инами. В начале р ассмотр им матер иал, котор ы й во всех отнош ения х, кр оме способ ности кхр упкомур азр уш ению , об ладает свойствами линейноупр угой изотр опной однор одной ср еды . П р именительно к э тому модельному матер иалу говор я т о «линейной механике р азр уш ения ». П р ототипом задач линейной механики служ ит

Рис. 5.1. Т р ещ ина отр ы ва в неог р аниченной ср еде

23 задача Гр иф ф итса о тр ещ ине отр ы ва в неогр аниченной ср еде пр и условия х плоской деф ор мации (р ис. 5.1.1). Т р ещ ина длиной 2l пр едставлена в виде плоскогоматематическог ор азр еза. Н а б есконечности заданы номинальны е напр я ж ения σ, нор мальны е к плоскости тр ещ ины . М атер иал подчиня ется закону Гука с модулем упр угости Е и коэ ф ф ициентом П уассона ν. Д ля тог очтоб ы р азмер тр ещ ины l увеличился на dl, необ ходимозатр атить р аб оту, значение котор ой пр опор циональноdl. Гр иф ф итс свя зы вал э ту р аб оту с э нер г ией повер хностны х сил. В действительности основная частьр аб оты затр ачивается на пластическое деф ор мир ование и др уг иенеоб р атимы е я вления . В се э ти ф актор ы учиты ваю тся в виде удельной р аб оты р азр уш ения γ, отнесенной кединицеплощ ади вновьоб р азованной тр ещ ины . У дельная р аб ота γ имеет р азмер ностьД ж /м2 = Н /м. Д ля констр укционны х матер иаловудоб на единица измер ения кД ж /м2 = кН /м. Согласноэ нер гетической концепции Гр иф ф итса, тр ещ ина не р астет, если значение потенциальной э нер гии системы П , вы своб ож даемой пр и пр одвиж ении ф р онта тр ещ ины на dI, меньш е р аб оты р азр уш ения , т.е. −d Π < γ ⋅ dl . П р и −d Π > γ ⋅ dl значениевы своб ож даемой э нер гии пр евы ш ает р аб оту р азр уш ения , пр ичем за счет изб ы точной э нер гии э тот р ост мож ет оказаться динамическим. П ослевы числений найдем dΠ πσ 3l (1 − ν 2 ) . =− dl E

(5.1.1)

Е сли э то вы р аж ение подставить в условие −d Π = γ ⋅ dl , то пр идем к ф ор муле Гр иф ф итса для кр итическогонапр я ж ения 1/ 2

 γ ⋅E  σc =  2   π l (1 − ν ) 

.

(5.1.2)

А льтер нативны й подход кмеханике телс тр ещ инами б ы лпр едлож ен И р вином (1954 г.). П оле напр я ж ений в окр естности математическогор азр еза в линейно-упр угом теле имеет особ енность типа квадр атного кор ня . Е сли пр оцесс р азр уш ения носит локальны й хар актер , то он долж ен в пер вую очер едь зависеть от р аспр еделения напр я ж ений в окр естности ф р онта тр ещ ины . Сингуля р ны ечлены вф ор мулах для напр я ж ений имеют вид σ jk ( r ,θ ) =

K f jk ( r ,θ ) , (2π r )1/ 2

(5.1.3)

где r -поля р ны й р адиус; θ - поля р ны й уг ол; индексы j,k пр инимают значения х, у, z (см. р ис. 5.1). П ар аметр K - э токоэ ф ф ициент интенсивности напр я ж ений, котор ы й взадачеГр иф ф итса опр еделя ется так:

K Ι = σ (π l )

1/ 2

24 ( 5.1.4)

,

где индекс I указы вает, чтокоэ ф ф ициент относится кслучаю тр ещ ины отр ы ва. Я вны е вы р аж ения для уг ловы х ф ункций f jk (r ,θ ) не вы писы ваем. К оэ ф ф ициенты интенсивности напр я ж ений имеют р азмер ность -3/2 1/2 Н ⋅м =П а⋅м . В пр актических р асчетах удоб нее использовать коэ ф ф ициенты интенсивности с р азмер ностью М П а⋅м1/2 . Согласно И р вину, тр ещ ина нер астет, если K Ι < K Ιc и р аспр остр аня ется (какстатически, таки динамически), если K Ι > KΙc . Гр аничноесоотнош ениеимеет вид K Ι = K Ιc , (5.1.5) где K Ιc — кр итическое значений коэ ф ф иционта интенсивности напр я ж ений. У словия (5.1.2) и (5.1.5) | б удут э квивалентны , если полож ить 1/ 2

 γ ⋅E  K Ιc =  2  1 −ν 

.

(5.1.6)

Ф ор мула (5.1.6) устанавливает соответствие меж ду э нер г етическим подходом Гр иф ф итса и «силовы м» подходом И р вина.

Рис. 5.2. Т р и моды р азр уш ения : I- отр ы в; II – попер ечны й сдвиг; III- пр одольны й сдвиг П р авая часть ф ор мулы (5.1.1) с точностью до знака р авна э нер г ии системы , вы своб ож даю щ ейся пр и пр одвиж ении тр ещ ины на единицу длины интенсивности вы воб ож дения э нер гии G. В еличина G (р азмер в напр авлении оси Oz пр иня т р авны м единице). П оэ тому ее назы вают такж е силой, пр одвигаю щ ей тр ещ ину. П осколькус учетом (5.1.1) πσ 2l (1 − ν 2 ) G= , E тоусловиеэ нер гетическогоб аланса пр инимает вид

(5.1.7)

25 G = GΙc . (5.1.8) В данной задаче G = K 2 ⋅ (1 −ν 2 ) / E , GΙc = γ , такчто за хар актер истику тр ещ иностойкости матер иала мож ет б ы ть пр иня та одна из тр ех свя занны х меж дусоб ой величин: γ , K Ιc и GΙc П одход, основанны й на поня тии коэ ф ф ициентов интенсивности напр я ж ений, оказался наиб олее удоб ны м для пр актических р асчетов. Сущ ествую т тр и основны е задачи для тр ещ ины в неогр аниченной ср еде в условия х плоской деф ор мации, соответствую щ иетр ем методам р азр уш ения (р ис. 5.2); I- отр ы в, II- попер ечны й сдвиг, III - пр одолъ ны й сдвиг. К оэ ф ф ициенты интенсивности напр я ж ений для э тих мод опр еделя ют соответственнопоф ор мулам: K Ι = σ (π l )1/ 2 , K ΙΙ = K ΙΙΙ = τ (π l )1/ 2 ,

(5.1.9)

гдеσ и τ — номинальны е напр я ж ения (их напр авления показаны на р ис. 5.2) .В об щ ем случае налож ение тр ех мод р азр уш ения для интенсивности вы своб ож дения э нер гии имеем ф ор мулу И р вина 1 −ν 2 2 1+ν 2 G= K ΙΙΙ . ( K Ι + K ΙΙ2 ) + (5.1.10) E E Е сли постулир овать, чтоудельная р аб ота р азр уш ения независит от моды , токр итическое сочетание номинальны х напр я ж енй долж но удовлетвор я ть условию (5.1.8) с левой частью , опр еделя емой по(5.1.9). Э тот кр итер ий пр именим такж е в б олее об щ ем случае - пр и условии, что поле номинальны х напр я ж ений изменя ется достаточномедленно. К оэ ф ф ициент интенсивности напр я ж ений (5.1.11) K = Yσ ∞ (π l )1/ 2 , где σ ∞ — некотор ое номинальное напр я ж ение; l — хар актер ны й р азмер тр ещ ины ; Y — б езр азмер ны й коэ ф ф ициент, завися щ ий от типа нагр уж ения , ф ор мы об р азца (э лемента констр укции), ф ор мы и р азмещ ения тр ещ ины и соотнош ений меж ду упр уг ими постоя нны ми матер иалов. Е стественное р аспр остр анение линейной механики р азр уш ения на нелинейно упр угие матер иалы основано на методе инвар иантны х интегр алов. И нтенсивностьвы своб ож дениеэ нер гии свя зана с потоком э нер г ии чер ез повер хность, окр уж аю щ ую ф р онт тр ещ ины . В условия х плоской задачи э тот потоквы р аж ается чер езJ-интегр алРайса:

26 ∂u j   J = ∫  Wdy − σ jk nk ds  , ∂ x   C (5.1.12)

Рис. 2.3. М одельтонкой концевой зоны где С - контур , окр уж ающ ий вер ш ину тр ещ ины ; nk — вектор внеш ней нор мали к э тому контур у; u j и ; — вектор пер емещ ений; W — плотность э нер гии деф ор мации, накопленной от некотор огоначальногосостоя ния до р ассматр иваемог осостоя ния . Д ля линейно-упр угог оматер иала пр авая часть из(5.1.12) дает тот ж е р езультат, чтои ф ор мула И р вина(5.1.10). П оня тие Jинтегр ала частопр именя ю т ктр ещ инам в упр уг опластическом матер иале, пр инимая , чтопр оцесс р оста тр ещ ины несопр овож дается р азгр узкой. Д р угой подход кучету пластическогодеф ор мир ования основан на введении тонкой концевой зоны у ф р онта тр ещ ины , где соср едоточены все неупр уг ие э ф ф екты . Т акова модель Леонова - П анасю ка - Д агдейла (р ис. 5.3). В пр еделах концевой зоны длиной λ напр я ж ение σ y ( x,0) считаю т постоя нны м и р авны м σ 0 . Э то напр я ж ение аналог ично пр еделу текучести матер иала. В не концевой зоны матер иал считаю т линейно-упр угим. Т р ещ ина начинает р асти, кактолько ее р аскр ы тие на ф р онте δ достигает кр итического значения δ c . Э то значение пр инимаю т за хар актер истику тр ещ иностойкости матер иала. Т аким об р азом, вместо условий (5.1.2), (5.1.5)и(5.1.8) вводя т соотнош ение δ = δc (5.1.13)

Д ля длины концевой зоны и имеем ф ор мулы

  πσ λ = l sec  ∞   2σ 0

   − 1 ;  

δ=

27 р аскр ы тия

на ф р онте тр ещ ины

 πσ  8σ ∞ ln sec  ∞  . πE  2σ 0 

(5.1.14)

Рис. 5.4. Зависимость меж ду кр итическими напр я ж ением сг с и длиной тр ещ ины При

σ ∞ << σ 0

получаем

ф ор мулу Гр иф ф итса (5.1.2),

γ = σ 0 δ c или соотнош ениеИ р вина (5.1.5) K c = ( Eσ 0δ c )

1/ 2

если

. О тличиесостоит в

том, чтовместо1 − ν 2 вф ор мулу входит единичны й множ итель, посколькув модели Леонова-П анасю ка-Д агдейла р ассматр ивается плоское напр я ж енное состоя ние. Ш тр иховая линия на р ис. 5.4 соответствует ф ор муле Гр иф ф итса(5.1.2). Д ля очень кор отких тр ещ ин кр итическое напр я ж ение б лизкокσ 0 . 5.2. А налитическая механика р азр уш ения . О б щ ий подход к анализу устойчивости тел с тр ещ инами основан на методах аналитической механики. Е сли р ассматр ивать толькоквазистатические пр оцессы и незаж иваю щ ие тр ещ ины , то тело с тр ещ инами пр едставля ет соб ой механическую систему с одностор онними свя зя ми. П р инцип вир туальны х пер емещ ений для таких систем ф ор мулир уется следую щ им об р азом: система с идеальны ми одностор онними свя зя ми находится в р авновесии тогда и только тог да, когда сумма э лементар ны х р аб от всех активны х сил на лю б ы х малы х пер емещ ения х, совместимы х с условия ми свя зей, р авна нулю или отр ицательна, т.е. δ A ≤ 0 .

28 Рассмотр им некотор ое состоя ние системы тело с тр ещ инами - нагр узка. П усть э тосостоя ние пр и ф иксир ованны х пар аметр ах тр ещ ин я вля ется устойчивы м р авновесием. Н ар я ду с э тим невозмущ енны м состоя нием р ассмотр им совокупность б есконечно б лизких смеж ны х состоя ний. Смеж ны е состоя ния удовлетвор я ют следую щ ему комплексу условий: вр емя , заданны е повер хностны е и об ъ емны е силы , а такж е заданны епер емещ ения не вар ьир ую тся ; вовсех точках тела, кр оме, мож ет б ы ть, малы х окр естностей ф р онтов тр ещ ин, вы полнены все условия р авновесия и совместности деф ор маций, все механические ур авнения состоя ния . Е динственны е механические пар аметр ы , котор ы е подлеж ат вар ьир ованию , - пар аметр ы тр ещ ин. Е сли тр аектор ии всех тр ещ ин зар анее известны (напр имер , из учета симметр ии задачи), то р оль об об щ енны х коор динат вы полня ю т р азмер ы тр ещ ин. В дальнейш ем числооб об щ енны х коор динат считаем конечны м и р авны м m. О б означим об об щ енны е коор динаты l1,..., lm ; их совокупность l = ( l1,..., lm ) есть вектор об об щ енны х коор динат. Запиш ем условие необ р атимоститр ещ ин ввиде δ l j ≥ 0 , где j = 1,..., m . Э тот способ вар ьир ования (вар ьир ование по Гр иф ф итсу) использовался тогда, когда к телам с тр ещ инами пр именя ли э нер гетический подход, ссы лая сь, однако, в б ольш инстве случаев не на пр инцип вир туальны х пер емещ ений, а на соотнош ения э нер гетическог о б аланса. Д ля однопар аметр ических задач пр и наличии потенциальной э нер г ии системы об а подхода э квивалентны . П р инцип вир туальны х пер емещ ений позволя ет р аспр остр анить теор ию на мног опар аметр ические задачи и непотенциальны есистемы . В аналитической механике р азр уш ения целесооб р азноотдельнор ассматр ивать состоя ния , для котор ы х на лю б ы х вир туальны х пер емещ ения х р аб ота всех внеш них и внутр енних сил стр ог оотр ицательна. Э ти состоя ния назы ваю тся суб р авновесны ми. Состоя ния , для котор ы х имею тся такие вир туальны е пер емещ ения δ l j > 0 , что вы полнено условие δ A = 0 , а пр и остальны х δ l j > 0 δ A < 0 , считаю тся р авновесны ми, а состоя ния , для котор ы х имеется хотя б ы одновир туальное пер емещ ение, такое, чтоδ A > 0 , нер авновесны ми. Д ля классиф икации хар актер а р аспр остр анения тр ещ ин мож но использовать поня тие устойчивости. Суб р авновесны е состоя ния я вля ются устойчивы ми; для пер ехода в лю б ое смеж ное состоя ние необ ходимы дополнительны еэ нер гетическиезатр аты , источники котор ы х в системеотсутствую т. Н ер авновесны есостоя ния повсей пр ир оденеустойчивы . Равновесны е состоя ния могут б ы ть какустойчивы ми, таки неустойчивы ми. Д ля суж дения об их устойчивостивозьмем вар иацию поГр иф ф итсу от вир туальной р аб оты δ A , т.е. δ 2 A ≡ δ (δ A) . Равновесное состоя ние считается устойчивы м, если для люб ы х отличны х от нуля вир туальны х пер е-

29

мещ ений δ li вы полненоусловие δ 2 A < 0 , и неустойчивы м, если ср еди вар иаций найдутся такие δ li > 0 , чтоδ 2 A > 0 . Равновесны есостоя ния , для котор ы х имею тся такие вар иации δ li > 0 , что вы полнено условие δ 2 A = 0 , а пр и остальны х вар иация х δ 2 A < 0 считаются нейтр альны ми. Н ейтр альны е состоя ния могут б ы ть либ о кр итическими, т. е. соответствую щ ими пер еходу от устойчивогосостоя ния кнеустойчивому, либ осомнительны ми. В последнем случае надо исследовать поведение следую щ их членов в р азлож ении δ A встепенны ер я ды поδ li . Д анную классиф икацию состоя ний систем телос тр ещ инами - нагр узка мож новы р азить ввидесхемы , пр иведенной ниж е, где соотнош ения δ A = 0 , δ A < 0 (и т.д.) нося т условны й хар актер ; их следует понимать в смы сле, точно сф ор мулир ованном в тексте (классиф икация пр оведена с четким р азделением подвум пр изнакам- р авновесности и устойчивости): П р едставим вир туальную р аб оту в виде δ A = δ Ae + δ Ai + δ A j , где δ Ae вир туальная р аб ота внеш них сил; δ Ai - вир туальная р аб ота внутр енних сил вовсем об ъ еметела, за исключением концевы х зон - окр естностей ф р онтов тр ещ ин, где пр оисходит интенсивное повр еж дение и деф ор мир ование. В ир туальная р аб ота, совер ш аемая в концевы х зонах, вы делена в отдельное слагаемое δ A j . П р и вар ьир овании поГр иф ф итсу всечлены в пр авой части б удут линейны ми ф ункция ми от вар иаций δ l j . П оэ тому мож нозаписать m

m

δ Ae + δ Ai ≡ ∑ G jδ l j ;

δ A j ≡ ∑ Γ jδ l j ,

j =1

(5.2.1)

j =1

где множ ители G j - об об щ енны е силы , котор ы е пр одвигают тр ещ ины , т.е. активны е об об щ енны е силы . А налогичномнож ители Γ j назы ваю тся об об щ енны ми силами сопр отивления , т.е. пассивны ми об об щ енны ми силами. У словиесуб р авновесности δ A < 0 с учетом ф ор мул(5.2.1) пр инимает вид G j < Γ j , где j = 1,..., m . Система находится в р авновесном состоя нии по

G j = Γ j пр и j = 1,..., m1 и G j < Γ j пр и j = m1 + 1,..., m . Н аконец, система б удет нер авновесна, если хотя б ы для одногоl имеет местонер авенство G j > Γ j . Рассмотр им свя зь об об щ енны х сил G j и Γ j с об ы чны ми поня тия ми механики р азр уш ения . П усть внеш ние и внутр енние силы потенциальны (кр оме кр оме сил, пр епя тствую щ их пр одвиж ению тр ещ ины ). Т огда δ Ae + δ Ai = −δΠ , где П - потенциальная э нер гия э тих сил. С учетом пер вой ф ор мулы (5.2.1) имеем m 1 об об щ енны м к оор динатам l1 ,..., lm , если вы полнены условия 1

30 Gj = − (5.2.2) Т аким об р азом,

активны е об об щ енны е силы

Gj

∂Π . ∂l j

имею т смы сл

интенсивностей вы своб ож дения э нер гии. Соответствую щ ие сопр отивления Γ j я вля ю тся хар актер истиками тр ещ иностойкости.

силы

В однопар аметр ическом случае m = 1 пр иходим кпар аметр ам И р вина G и Γ = Gc . А налитическая механика р азр уш ения мож ет б ы ть р аспр остр анена на усталостны е тр ещ ины и вооб щ е на тр ещ ины замедленного р азр уш ения . О сновное полож ение теор ии р оста усталостны х тр ещ ин состоит в том, что они р аспр остр аня ю тся устойчивопр и пр иб лиж енном вы полнении условия р авновесности поГр иф ф итсу, вкотор ом учтеновлия ниемикр оповр еж дений на удельную р аб отур азр уш ения . Рассмотр им вектор ны й пр оцесс l ( t ) = {l1 ( t ) ,..., lm ( t )} , где t - вр емя , и

{

}

вектор ны й пр оцесс воздействий s ( t ) = s1 ( t ) ,..., sµ ( t ) . К р оме того, введем пр оцесс ψ ( t ) = {ψ1 ( t ) ,...,ψν ( t )} , компоненты котор ого р авны микр оповр еж дений на ф р онтах тр ещ ин, а такж епр оцесс

мер ам

31

32

ϕ ( L, t ) = {ϕ1 ( L , t ) ,..., ϕν ( L , t )} , котор ы й описы вает микр оповр еж дения на пр одолж ении L вектор а l (тр аектор ии тр ещ ин считаем заданны ми). И меет местотож дествоψ ( t ) ≡ ϕ [ l (t ), t ] . П р и циклическом нагр уж ении нар я ду со вр еменем t введем дискр етны й ар гумент N, котор ы й пр инимает значения , р авны е номер у цикла или б лока нагр уж ения . В дальнейш ем для упр ощ ения ф ор мулир овокб удем говор ить о циклах нагр уж ения . У словия , наклады ваемы ена δ A , вы р азим чер езвер хние г р ани р азностей G j − Γ j , достигаемы евтечениеN-гоцикла: H j (N ) =

sup {G j [l (t ), s(t ),ψ (t )] − Γ j [l (t ), s(t ),ψ (t )]}

(5.2.3)

t N −1≤t
Здесь (t N −1, tN ) - отр езоквр емени, отвечающ ий N-му циклу. Система тело с тр ещ инами - наг р узка остается суб р авновесной в течениеN-г оцикла, если все H j ( N ) < 0 , и нер авновесной, если хотя б ы одна из величин H j ( N ) > 0 , Д ля тр ещ ин, р авновесны х пооб об щ енной коор динате lk , имеем H k ( N ) = 0 . У словия на об об щ енны е силы H j ( N ) дополним ур авнением, котор ое описы вает накопление микр оповр еж дений тр ещ ин: ϕ ( L , N ) − ϕ ( L , N − 1) =

на пр одолж ении ф р онтов

n= N

{l (n), s (n), L} . Φ n=1

(5.2.4)

ЗдесьФ {...} — наследственны й опер атор , действую щ ий на ф ункции l ( n) и s(n) пр и Ι ≤ n ≤ N . П р и t = 0 система телос тр ещ инами-нагр узка находится в суб р авновесном состоя нии и, следовательно, устойчива. П р и некотор ы х 0 < t < t* вы полнены условия H j ( N ) < 0 пр и j = 1,..., m . П р и э том на неподвиж ны х ф р онтах тр ещ ин пр оисходит накопление микр оповр еж дений.П ер вое нар уш ение нер авенств H j ( N ) < 0 означает окончание инкуб ационной стадии. Х ар актер дальнейш его р оста тр ещ ин зависит от р аспр еделения микр оповр еж дений вокр естности их ф р онтов. Сущ ествую т дветипичны еситуа ции: тр ещ ина р астет по об об щ енной коор динате lk квазинепр ер ы вно так, что в пр еделах каж дого цикла вы полня ется условие H k ( N ) = 0 ; тр ещ ина р аспр остр аня ется скачкооб р азно. Система тело с тр ещ инами - нагр узка

33 последовательно пер еходит из одног осуб р авновесног осостоя ния в др угое, пр оходя чер ез неустойчивы е р авновесны е состоя ния . Е сли р азмер ы скачков малы поср авнению с технически значимы ми р азмер ами, тоскачкооб р азны й р ост мож ет б ы тьаппр оксимир ован непр ер ы вны м р остом. Скор остьр оста тр ещ ин пр иб лиж енно опр еделя ется из условия р авновесности по соответствую щ ей об об щ енной коор динате. П осколькускор остьнакопления микр оповр еж дений зависит от локальны х напр я ж ений, товтеор ии усталостногор азр уш ения пр иходится отказы ваться от пр едставления отр ещ ине какоматематическом р азр езе. Сущ ественную р оль пр иоб р етаю т пар аметр ы длины , хар актер изую щ ие концентр ацию напр я ж ений на ф р онте усталостной тр ещ ины . Э ти пар аметр ы длины имеют смы слнекотор ы х э ф ф ективны х р адиусов кр ивизны на ф р онте тр ещ ины . В пр остейш их моделя х, аналог ичны х модели механики хр упкогор азр уш ения , э ти р адиусы мож но пр иня ть за стр уктур ны е постоя нны е матер иалы . В др угих случая х, напр имер , пр и р ассмотр ении тр ещ ин кор р озионной усталости хар актер ны е р адиусы кр ивизны становя тся пер еменны ми величинами, свя занны ми с мер ами микр оповр еж дений у ф р онта тр ещ ины . Д ля замы кания системы опр еделя ю щ их соотнош ений нар я ду с ур авнения ми типа (5.2.3) и (5.2.4) необ ходимо ввести ур авнения для хар актер ны х р адиусовкр ивизны на ф р онте. 5.3. Стохастические модели р азр уш ения и масш таб ны й э ф ф ект пр очности. М еханическиесвойства композитовимею т случайную пр ир оду, поэ тому пр огноз несущ ей способ ности и долговечности констр укции долж ен иметь вер оя тностны й хар актер . П оскольку от констр укции тр еб уется вы сокая надеж ность, то р азр уш ение долж но тр актоваться как р едкое соб ы тие и, следовательно, теор етические вы воды долж ны относиться к соб ы тия м малой вер оя тности. П оэ тому весьма ж елательна р азр аб отка стохастических моделей р азр уш ения констр укций из композитов. Стохастические модели долж ны удовлетвор я ть двум тр еб ования м: во-пер вы х, оставаться состоя тельны ми для малы х вер оя тностей р азр уш ения и, во-втор ы х, описы вать масш таб ны й э ф ф ект р азр уш ения , допуская пр и э том пр ог нозир ование на б ольш иемасш таб ы . П од масш таб ны м э ф ф ектом пр очности подр азумевают нар уш ение классических законовподоб ия , наб лю даемоепр и механических испы тания х г еометр ически подоб ны х об р азцов. Э то нар уш ение каж ущ ееся : оно свидетельствует отом, чтона пр очность об р азца влия ю т такж е некотор ы е др угие пар аметр ы , имею щ ие р азмер ность длины , но не входя щ ие в классические ур авнения теор ии упр уг ости и пластичности. Э томож ет б ы ть хар актер ны й р азмер волокна, зер на, микр оскопической тр ещ ины и т. п. Ч ем г р уб ее стр уктур а композита, чем соизмер имее стр уктур ны е масш таб ы длины с масш таб ами об р азца, тем пр и пр очих р авны х условия х сильнее пр оя вля ется маcш таб ны й э ф ф ект.

34 М асш таб ны й э ф ф ект пр очности композитов я вля ется естественны м следствием неоднор одности стр уктур ы . Н еоднор одность стр уктур ы вместес тем имеет стохастический хар актер . Э топр оисходит из-за р азб р оса механических свойствволокон и матер иала матр ицы , случайной упаковки волокон, начальны х р азр ы вов и искр ивлений волокон, местны х нар уш ений адгезии, пор истости свя зую щ его и т. п. Т аким об р азом, масш таб ны й э ф ф ект пр очности и стохастическая пр ир ода р азр уш ения композитов оказы ваю тся тесносвя занны ми меж дусоб ой. И звестная модель «слаб ого звена» (модель В ейб улла) мож ет служ ить пр имер ом стохастической модели, удовлетвор я ющ ей поставленны м вы ш е тр еб ования м. Н оэ та модель и ее р азличны е об об щ ения относя тся кслучаю идеально хр упкого матер иала, не позволя я описы вать вя зкие э ф ф екты р азр уш ения , р езер вир ование, пер ер аспр еделение поля напр я ж ений и т.п. П р именительно к б ольш инству композитов на основе полимер ны х и металлических матр иц э та модель непр иг одна. У дачны е попы тки статистической об р аб отки э кспер иментальны х данны х покомпозитам пр и помощ и модели В ейб улла -э то не б олее чем аппр оксимация э мпир ического р аспр еделения пр и помощ и двух- или тр ехпар аметр ического р аспр еделения . Е сли в р езультаты аппр оксимации ввести зависимость от масш таб а, содер ж ащ уюся в модели В ейб улла, тоэ кстр аполя ция на б ольш ие масш таб ы , какпр авило, окаж ется неудовлетвор ительной. А льтер нативой я вля ется модель «пучка волокон» Д аниэ лса, котор ая свя зы вает р азр уш аю щ ую наг р узку для пучка волокон с математическим ож иданием суммы р азр уш аю щ их нагр узок для отдельны х волокон. Т ем самы м модель в сущ ественной степени учиты вает р езер вир ование и вя зкий хар актер р азр уш ения . П р именение модели Д аниэ лса мож ет пр ивести к чр езмер нооптимистическим вы водам онадеж ности констр укции (особ енно в об ласти вы соких надеж ностей), а такж е пр еуменьш ить сниж ение надеж ности с р остом масш таб а. В настоя щ ее вр емя р азр аб отаны модели, об ъ единя ющ иеподход В ейб улла и Д аниэ лса. Н апр имер , пр изматический об р азец из однонапр авленног о волокнистого композита пр едставля ют в виде последовательног о соединения звеньев, каж дое из котор ы х имеет длину, р авную неэ ф ф ективной длине волокна. К каж дому звену пр именя ется подход Д аниэ лса, а последовательное соединение звеньев, в сущ ности, э квивалентноподходу В ейб улла. В некотор ы х моделя х учиты вается возмож ность р азр ы ва двух или нескольких р я дом р асполож енны х волокон, пр инимается вовниманиеконцентр ация напр я ж ений вб лизи р азр ы ва и т. п. Э ти модели об ладают б ольш ей гиб костью , чем модели В ейб улла и Д аниэ лса, и пр и надлеж ащ ем вы б ор е пар аметр ов могут хор ош о согласовы ваться с р езультатами э кспер имента. Н аиб олее об щ ий подход кпр об леме р азр уш ения композитов основан на использовании кинетических моделей. Э тот подход позволя ет в р амках

35 одной модели учесть нестационар ны й пр оцесс нагр уж ения , вр еменное запазды вание р азр уш ения , накопление отдельны х повр еж дений, их слия ние в магистр альную тр ещ ину и р азвитие последней. И з-за очень б ольш ой р азмер ности пр остр анства состояний для р еалистических моделей кудовлетвор ительны м р езультатам пр иводя т лиш ь самы епр осты емодели. П р и использовании модели квазинезависимы х повр еж дений, позволя ющ ей вы числя ть и оценивать показатели надеж ности констр укций из композитов с учетом масш таб ного э ф ф екта, пр именя ю т следую щ ую систему допущ ений. 1. Т ело (об р азец или э лемент констр укции) состоит из б ольш ог о числа одинаковы х в статистическом смы сле пер вичны х об ъ емов (стр уктур ны х э лементов), р азр уш ение каж догоизкотор ы х пр оисходит квазинезависимы м об р азом. Стр уктур ны й э лемент р азр уш ается , когда номинальное напр я ж ениеа достигает пр едельногозначения 5 для э тог оэ лемента. Э тозначение я вля ется случайной величиной с заданной ф ункцией р аспр еделения F ( s) . 2. Т ело, в свою очер едь, мож ет б ы тьр азб итона конечноечислокр итических об ъ емов (э лементов), р азр уш ение хотя б ы одногоизкотор ы х влечет за соб ой р азр уш ениетела вцелом. В частном случаекр итический об ъ ем мож ет совпадатьсоб ъ емом тела. 3. К р итический об ъ ем р азр уш ается , если число р азр уш енны х стр уктур ны х э лементов в э том об ъ еме достигнет некотор ог о пр едельног о значения , котор ое по пр едполож ению я вля ется неслучайной (заданной) величиной. П р и э том отнош ениепр едельног очисла стр уктур ны х э лементов ких об щ емучислудостаточномалопоср авнению с единицей. 4. Ч исло стр уктур ны х э лементов в кр итическом об ъ еме, их пр едельное число, упомя нутоевдопущ ении 3, пр едставля ю т соб ой достаточноб ольш ие числа. Д опущ ение 1 используется в б ольш инстве статистических моделей р азр уш ения , начиная с модели В ейб улла. Д опущ ение2 вы р аж ает концепцию «слаб огозвена», пр именя емую , однако, некмалы м э лементам стр уктур ы , а к макр оэ лементам. П р едполагается , что р азмер ы , ф ор ма и р азмещ ение кр итических об ъ емов в р еальной констр укции оцениваю тся на основании наб лю дений над хар актер ом р азр уш ения констр укции или ее моделей. В ы б ор кр итических об ъ емов пр оизводится с учетом геометр ии р еальной констр укции, вида наг р уж ения , а такж е механических хар актер истик композита. В ведение пр омеж уточного масш таб а геометр ического подоб ия позволя ет б олеег иб коописатья влениемасш таб ног оэ ф ф екта. П ер вая частьдопущ ения 3 нетр еб ует специальны х комментар иев. В тор ая часть позволя ет пр иб лиж еннопр иня ть, чтор азр уш ение одногопер вичног о э лемента не влия ет на поведение остальны х. Т аким об р азом, на данной стадии р ассмотр ения не учиты ваю тся вер оя тности одновр еменног ооб р ы ва двух или б олее э лементов, пр огр ессивног ор азвития тр ещ ины и т. п. Д опу-

36 щ ения 4 вводя тся лиш ь для тог о, чтоб ы об основать пр именение пр едельны х теор ем теор ии вер оя тностей и пер еход к асимптотическим р аспр еделения м. Э кспер иментальны м основанием для э тих допущ ений мог ут служ ить наб лю дения над пр оцессом последовательног о р азр ы ва волокон вмеханических моделя х однонапр авленны х композитов. Рассмотр им кр итический об ъ ем V0 , содер ж ащ ий N стр уктур ны х э лементов. Ф ункция р аспр еделения F (s ) мож ет б ы тьистолкована каквер оя тность р азр уш ения наугад взя того стр уктур ного э лемента пр и номинальном напр я ж ении σ , непр евы ш аю щ ем 5. О тсю да вер оя тностьсоб ы тия , состоя щ ег о в том, что из N э лементов б удет р азр уш ено не менее чем п э лементов, опр еделя ется как PNn

n

= ∑ C Nk F k ( s )[1 − F ( s )] N −k .

(5.3.1)

k =0

Здесь C Nk - б иноминальны е коэ ф ф ициенты . П р и не очень малы х n для пр иб лиж енной оценки вер оя тности (5.3.1) используем центр альную пр едельную теор ему. Д ля мер ы микр оповр еж дений ψ = n / N получим асимптотическоер аспр еделениевер оя тности:   ϕ − F(σ )   F ( ϕ ,σ ) ∼ Φ  , −1 1  ( F ( σ ) 1 − F ( σ ) N ) [ ]  2 

(5.3.2)

гдеФ (и ) — ф ункция нор мир ованногор аспр еделения Гаусса, т.е. u  z2  1 Φ(u ) = ∫ exp  − 2 dz . (2π )1/ 2 −∞

И з ф ор мулы (5.3.2) видно, чтоматематическое ож идание мер ы повр еж дения E [ψ (σ )] и коэ ф ф ициент вар иации э той мер ы wψ (σ ) асимптотически вы р аж аю тся чер ез ф ункцию р аспр еделения F ( s) и число пер вичны х э лементовN следующ им об р азом: E [ϕ ( σ )]∼ F ( σ )

1 ) 2

1 − F (σ wϕ (σ ) ∼   .  NF ( σ ) 

(5.3.3)

37

Рис.5.6. Зависимости плотности р аспр еделения pψ (ψ ) мер ы

микр оповр еж дений

от номинальног онапр я ж ения σ (a ) и числа стр уктур ны х э лементов N (σ ) . Гр аф ическое вы р аж ение ф ор мул(5.3.2) и (5.3.3) пр иведенона р ис. 5.6. П о оси ор динат отлож ена плотность вер оя тности pψ (ψ ) = ∂Fψ (ψ ;σ ) / ∂ψ , р ассматр иваемая как ф ункция номинального напр я ж ения σ и числа пер вичны х э лементов N. В ы числения вы полнены в пр едполож ении, что пр очностьстр уктур ны х э лементовподчиня ется р аспр еделению В ейб улла   s α  F ( s ) = 1 − exp  −    , (5.3.4)   sc     где sc и α - некотор ы е постоя нны е. С р остом напр я ж ения а р аспр еделение (5.3.2) становится б олее компактны м. А налог ичны й э ф ф ект наб лю дается с р остом числа пер вичны х э лементов N, т. е. с увеличением кр итического об ъ ема, ответственног о за пр очноеть тела в целом, или уменьш ением масш таб а стр уктур ы .

38 Согласно допущ ению 3, ф ункция р аспр еделения р азр уш аю щ его напр я ж ения σ * для кр итическог о об ъ ема V0 мож ет б ы ть вы р аж ена чер езф ункцию р аспр еделения мер ы повр еж дений (5.3.2). Н есмотр я на то что в ф ор мулу (5.3.5) входит ф ункция р аспр еделения Гаусса, э та ф ор мула дает для р азр уш аю щ ег онапр я ж ения σ * р аспр еделение, котор оесущ ественноотличается от нор мального. В частности, посколькупо условию р азр уш аю щ еенапр я ж ениестр уктур ны х э лементовр аспр еделенона полож ительной полуоси, то и р азр уш аю щ ее напр я ж ение σ * для кр итическогооб ъ ема такж ер аспр еделенона полож ительной полуоси.   ϕ* − F ( σ * )  F* ( σ * ) ∼1- Φ  1  − 1  ( F ( σ )[1 − F ( σ )]N )2  * *

   .   

(5.3.5)

Н екотор ы е вы воды качественногохар актер а мож носделать пр и анализе ф ор мулы (5.3.5): в частности, с р остом числа стр уктур ны х э лементов N р аспр еделение F* (σ * ) становится б олее компактны м, пр ичем пр и N → ∞ коэ ф ф ициент вар иации wσ р азр уш аю щ егонапр я ж ения стр емится кнулю. В р ассмотр енной модели хар актер ны й масш таб об р азца или констр укции влия ет на р азр уш аю щ ую нагр узку. Е сли матер иал тела таков, что кр итический об ъ ем, опр еделя ю щ ий пр очность тела в целом, совпадает с об ъ емом тела, топр ог нозир ование масш таб ногоэ ф ф екта (втом числе и пр и вы соких показателя х надеж ности) мож ет б ы ть пр оведенона основеф ор мул типа(5.32), (5.3.3) и (5.3.5). П р и э том из теор ии следует повы ш ение надеж ности с увеличением масш таб а, чтопр оисходит главны м об р азом за

счет уменьш ения р азб р оса хар актер истикпр очности и долговечности пр и относительнослаб ом уменьш ении их ср едних значений. П усть телооб ъ емом V состоит из т кр итических об ъ емов V1,V2 ,...,Vm . В р амках допущ ения (2) р азр уш ение тела пр оизойдет, кактольков одном из э тих об ъ емов мер а повр еж дения достиг нет пр едельног о значения . Н оминальны е напр я ж ения могут изменя ться пр и пер еходе от одного кр итического об ъ ема кдр уг ому. Н о если все нагр узки заданы с точностью до одногопар аметр а а, то ф ункция р аспр еделения для каж дого кр итическог о об ъ ема мож ет б ы ть вы р аж ена чер езэ тот пар аметр поф ор мулам типа(5.3.5). О б означив ф ункцию р аспр еделения для об ъ ема Vk чер ез F*k (σ * ) , получим для ф ункции р аспр еделения F**k (σ ** ) тела вцелом вы р аж ение

39 m

F** (σ ** ) = 1 − ∏ 1 − F*k (σ ** )  . k =1

(5.3.6) Ф ор мула (5.3.6) вы р аж ает концепцию «слаб огозвена», пр имененную на ур овне макр ооб ъ емов V1,V2 ,...,Vm . С увеличением числа э тих макр ооб ъ емов (пр и пр очих р авны х условия х) надеж ность системы уменьш ается . Т аким об р азом, р ассматр иваемая модель об ъ единя ет две пр отивополож ны е тенденции масш таб ного э ф ф екта и поэ тому об ладает б ольш ой гиб костью . Гиб кость модели возр астает за счет значительной своб оды в вы б ор е р азмер ов, ф ор мы и р асполож ения кр итических об ъ емов. Рассмотр им множ ествогеометр ически подоб ны х телизодногои тогож е композита. Х ар актер ны й масш таб тела об означим чер ез L. П усть ф ункция р аспр еделения р азр уш аю щ его напр я ж ения (усилия ) для тела описы вается зависимостью (5.3.5) F** (σ ** ) . Е сли пр и изменении L все кр итические об ъ емы изменя ю тся пр опор ционально L, то масш таб ны й э ф ф ект б удет опр еделя ться толькочислом пер вичны х э лементов (р ис, 5.7, а), т.е. имеет местозависимостьквантилей σ ** р аспр еделения F** (σ ** ) . П р отивополож ны й случай возмож ен, ког да р азмер ы кр итических об ъ емов не завися т от L, тогда масш таб ны й э ф ф ект опр еделя ется в соответствии c концепцией «слаб огозвена» (р ис. 5.7, б ). Размер ы и ф ор ма кр итических об ъ емов мог ут достаточнопр оизвольнозависеть от масш таб а длины L. В частности, мож ноуказать условия , пр и котор ы х изменение квантилей вы сокой надеж ности б удет немонотонны м (р ис. 5.7, в). Размер ы и ф ор ма кр итических об ъ емов долж ны вы б ир аться на основании изучения механизма р азр уш ения г еометр ически подоб ны х телр азногомасш таб а, что я вля ется условием успеха пр и пр огнозир овании надеж ности кр упногаб ар итны х констр укций.

Рис. 5.7. М асш таб ны й э ф ф ект пр очности композита:

40 а — все кр итические об ъ емы пр опор циональны L3 ; б — р азмер ы кр итических об ъ емов не завися т от L; в — об щ ий случай зависимости кр итических об ъ емовот L. О снов на я ли т е ра т ура 1.О чков В .Ф . Mathcad 8 Pro для студентов и инж енер ов/В .Ф . О чков. М .: К омпьютер П р есс, 1999.-522 с. 2.И ванищ ева О .И . А лг ор итм статистическогомоделир ования в задаче р азр уш ения ар мир ованной пластины / О .И . И ванищ ева// М атематическоемоделир ование технолог ических систем: Сб . науч. тр . /В ор онеж . г ос. технол. акад. - В ор онеж ,1999 В ы п.3.-С.142-145 с. 3.П ар тон В .З. М еханика р азр уш ения . О т теор ии к пр актике/В .З.П ар тон.-М .Н аука,1990.- 238 с. 4.В итвицкий П .М ., П р очность и кр итер ии хр упког о р азр уш ения стохастически деф ектны х тел/П .М . В итвицкий, С.Ю . П опина. - К иев: Н аук. думка,1980. -187с. 5.Соб оль И .М . Ч исленны е методы М онте-К ар ло/И .М . Соб оль. - М .: Н аука.1973.- 312с. Д ополнительная литер атур а 1.В идельман В .Э . М еханика неупр угог о деф ор мир ования и р азр уш ения композиционны х матер иалов / В .Э . В идельман, Ю .В . Соколкин, А .А . Т аш ников; П од. р ед. Ю .В . Соколкина. М .:Н аука.1997.- 288 с. 2.М ор озов Н .Ф . П р об лемы динамики р азр уш ения твер ды х тел./ Н .Ф . М ор озов, Ю .В . П етр ов. - СП б . : И зд-воС. П етер б ур г. ун-та, 1997.-128 с. 3.Ч ер епанов Г.П . М еханика р азр уш ения / Г.П . Ч ер епанов, Л.В . Е р ш ов.М .: М аш иностр оение, 1977.- 224 с. 4.П анасюк В .В . Разр уш ение э лементов констр укций с несквозны ми тр ещ инами/В .В . П анасю к, А .И . Суш инский, К .Б. К ацов; А Н У кр . Ф из. мех. ин-т.-К иев:Н аук.думка,1991.-168с. 5.Разр уш ение констр укций изкомпозитны х матер иалов/ П од р ед. В . П . Т амуж а, В . Д . П р отасова. - Рига: Зинатне, 1986.- 264 с. 6.Раб отнов Ю .Н . В ведение в механику р азр уш ения / Ю .Н . Раб отнов.М .:Н аука,1987.- 79 с. 7. В ы числительны е методы в механике р азр уш ения ./Э р дог ан Ф ., К об ая си А ., А лтур и С. и др . М .:М ир ,1990.- 319с.

41

СоставительИ ванищ ева О льга И вановна Редактор Т ихомир ова О .А .

42