ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента»
Доктор физико-математических наук, профессор
К. Л. САМАРОВ
МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие по разделу
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
© К. Л. Самаров, 2009 © ООО «Резольвента», 2009
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
СОДЕРЖАНИЕ Числовые и степенные ряды…….. ……...…………………………………...
3
1 Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда. …………………………………………………………………...
3
2 Ряды с неотрицательными членами… …..……………….…………...
3
3 Ряды с членами произвольного знака… ……………………….……..
6
4 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Маклорена...………………..
8
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ……………………………………….. 13 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ……………………….
14
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………... 15
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
2
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ЧИСЛОВЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 1. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда Рассмотрим числовую последовательность {an } n = 1,2,... . •
Выражение
∞
∑ an
называется числовым рядом, а последователь-
n =1
n
ность S n = ∑ ak называется последовательностью частичных сумм ряда k =1
∞
∑ an . n =1
•
Ряд
∞
∑ an
называется сходящимся, если существует конечный пре-
n =1
дел последовательности его частичных сумм lim S n = S , в противном случае n →∞
ряд называется расходящимся. •
Если ряд
∞
∑ an
сходится, то число S называется его суммой.
n =1
•
Если ряд
∞
∑ an n =1
сходится, то lim an = 0 (необходимый признак схоn →∞
димости ряда). •
Если lim an ≠ 0 или этот предел не существует, то ряд n→∞
∞
∑ an
рас-
n =1
ходится. Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∞
2n + 1
∑ 100n + 5 . n =1
Решение. Воспользуемся необходимым признаком сходимости:
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
3
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
1 2n + 1 n = 1 ≠0 . lim an = lim = lim 5 50 n→∞ n→∞ 100n + 5 n→∞ 100 + n 2+
Следовательно, ряд расходится. 2. Ряды с неотрицательными членами •
Пусть
∞
∑ an
и
n =1
∞
∑ bn n =1
∞
∑ bn
– ряды с неотрицательными членами. Если ряд
n =1
сходится, а an ≤ bn для всех значений n , начиная с некоторого номера, ∞
∑ an сходится. Если же ряд
то и ряд
n =1
∞
∑ an расходится, то и ряд n =1
∞
∑ bn
расхо-
n =1
дится (признак сравнения). •
Пусть
∞
∑ an и n =1
∞
∑ bn
– ряды с положительными членами. Если суще-
n =1
a ствует конечный предел lim n = c > 0 , то ряды n→∞ bn
∞
∑ an
и
n =1
∞
∑ bn
сходятся или
n =1
расходятся одновременно (признак эквивалентности). •
Пусть
∞
∑ an
a n +1 = q, n→∞ a n
– ряд с положительными членами. Если lim
n =1
то ряд
∞
∑ an
сходится при q < 1, расходится при q > 1 (признак Даламбера),
n =1
а для q = 1 признак ответа не дает. •
Пусть
∞
∑ an n =1
то ряд
∞
∑ an
– ряд с неотрицательными членами. Если lim n an = q , n→∞
сходится при q < 1, расходится при q > 1 (признак Коши), а для
n =1
q = 1 признак ответа не дает. •
Ряд
∞
1
∑ np
сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 .
n =1
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
4
ООО «Резольвента»,
•
Пусть
∞
∑ an
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
– ряд с неотрицательными членами. Если существует
n =1
неотрицательная монотонно убывающая функция ƒ(x) такая, что f (n ) = an , то ряд
∞
∑ an
∞
сходится или расходится одновременно с интегралом
n =1
∫ f (x ) dx 1
(интегральный признак Коши). Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∞
∞
2n
∑ an = ∑
n =1
n +1 5
n =1
.
Решение. Рассмотрим сходящийся ряд ∞
∞
1
∑ bn = ∑
3 n =1 2 n
n =1
и воспользуемся признаком эквивалентности: 3 2n ⋅ n 2
an = lim = lim n→∞ bn n→∞ n5 + 1 n→∞ lim
5 2n 2 5 n2
1+
= lim 1 n
n→∞
5
2 1+
=2≠0 .
1 n5
Следовательно, исходный ряд сходится. Пример 3. Исследовать на сходимость ряд ∞
∞
nn ∑ an = ∑ n! . n =1 n =1
Решение. По признаку Даламбера n +1
n n + 1) n ! n + 1) ( ( an+1 1 q = lim = lim = lim = lim 1 + = e > 1 . n n→∞ an n→∞ ( n + 1)! n n n→∞ n n n→∞ n
Следовательно, ряд расходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
5
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru , ∞
∞
n =1
n =1
[email protected],
(495) 509-28-10
n 2n
∑ an = ∑ 5n + 3 .
Решение. По признаку Даламбера
(
)
1 n 1 + ⋅ 2 ⋅ 5 + 3 (n + 1) ⋅ 2 ⋅ 5 + 3 = lim n = lim = n →∞ n →∞ 5n +1 + 3 ⋅ n ⋅ 2 n 5 ⋅ 5n + 3
a q = lim n +1 n →∞ a n
(
n +1
)
(
)
n
(
)
3 2 1 + n 2 = lim 5 = < 1 . 3 5 n→∞ 5+ n 5
Следовательно, ряд сходится. 3. Ряды с членами произвольного знака •
Ряд
∞
∑ an , члены которого могут
иметь произвольные знаки, назы-
n =1
вается абсолютно сходящимися, если ряд
∞
∑ an
сходится.
n =1
•
Ряд
∞
∑ an
называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд
n =1
∞
∑ an
расходится.
n =1
•
Рассмотрим ряд
∞
∑ an , члены которого являются знакочередующиn =1
мися. Если при n → ∞ последовательность чисел ся к нулю, то ряд
∞
∑ an
{ an } монотонно стремит-
сходится.
n =1
Другими словами, если, начиная с некоторого номера, выполнено соотношение an > an+1 и lim an = 0 , то ряд n→∞
∞
∑ an
сходится (признак Лейбница
n =1
сходимости знакочередующихся рядов).
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
6
ООО «Резольвента»,
•
Если ряд
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
∞
∑ an , члены которого являются знакочередующимися, n =1
сходится в соответствии с признаком Лейбница, то остаток ряда rn = S − Sn удовлетворяет соотношению
rn = S − Sn < an . Пример 5. Исследовать на сходимость ряд ∞
∞
∑ an = ∑
n =1
Решение. Поскольку
cos π n 2n
n =1
для исследования сходимости ряда
∑ an
∞
∞
n =1
n =1
1
∑ an = ∑ 2n .
cos π n = (−1)n , то ∞
.
Воспользуемся
признаком Коши:
n =1
q = lim
n
n→∞
an = lim
1
n
n→∞
2
n
=
1 <1 . 2
Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд ∞
∞
∑ an = ∑ 3
n =1
( −1)n
n =1
n +4 2
.
Решение. Исследуем сначала на сходимость ряд ∞
∞
∑ an = ∑ 3
n =1
n =1
1 n2 + 4
.
Для этого рассмотрим расходящийся ряд ∞
∞
∑ bn = ∑
n =1
1
2 n =1 3 n
и воспользуемся признаком эквивалентности: ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
7
ООО «Резольвента»,
lim
n→∞
www.resolventa.ru , 2 n3
an = lim = lim bn n→∞ 3 n 2 + 4 n→∞
Следовательно, ряд
∞
∑ an
[email protected], 2 n3
2 n 3 3 1+
= lim 4 n2
n→∞
(495) 509-28-10
1 3 1+
4
=1≠ 0.
n2
расходится, т.е. абсолютной сходимости у ис-
n =1
ходного ряда нет. Перейдем к исследованию условной сходимости. Поскольку исходный ряд является знакочередующимся, удовлетворяет условию (−1) n
lim
n→∞ 3
n2 + 4
= 0,
а члены ряда ∞
∞
n =1
n =1
∑ an = ∑ 3
1 n2 + 4
монотонно убывают, то исходный ряд удовлетворяет признаку сходимости Лейбница. Таким образом, исходный ряд сходится условно. 4. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Маклорена •
Ряд вида
∞
∑ an ( x − x0 )
n
называется степенным рядом.
n =0
•
Значения x , для которых степенной ряд сходится, составляют об-
ласть сходимости степенного ряда. •
Число R , которое можно вычислить по формуле an n→∞ a n +1
R = lim
или по формуле R = lim
n→∞ n
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
1 , an
[email protected],
(495) 509-28-10
8
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
называется радиусом сходимости степенного ряда
(495) 509-28-10
∞
∑ an ( x − x0 )
n
.
n =0
•
Если R > 0 , то ряд
∞
∑ an ( x − x0 )
n
сходится для всех значений x ,
n =0
принадлежащих интервалу ( x0 − R, x0 + R ) , и расходится для всех значений x , таких, что x − x0 > R .
Интервал ( x0 − R, x0 + R ) называется интервалом сходимости сте-
•
пенного ряда. В концах интервала сходимости x = x0 − R и x = x0 + R требуется
•
специальное исследование ряда
∞
∑ an ( x − x0 )
n
на сходимость.
n =0
Если f ( x ) =
•
∞
∑ an ( x − x0 ) , то ряд n
n =0
∞
∑ an ( x − x0 )
n
называется рядом
n =0
Тейлора функции f ( x ) в окрестности точки x0 . •
Степенной ряд вида
∞
∑ an x n называется рядом Маклорена.
n =0
•
В следующей таблице представлены ряды Маклорена для элемен-
тарных функций: ∞
xn e = ∑ , | x | < ∞; n =0 n! x
x 2 n +1 , | x | < ∞; sin x = ∑ (− 1) ⋅ ( ) 2 n + 1 ! n=0 ∞
∞
n
x 2n , | x | < ∞; cos x = ∑ (− 1) (2n )! n=0 n
∞ 1 = ∑ x n , | x | < 1; 1 − x n =0
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
9
ООО «Резольвента», ∞
ln(1 + x) = ∑ (− 1)
n −1
n =1
⋅
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
xn , | x | < 1. n
Пример 7. Разложить функцию f ( x ) = arctg2 x в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0 и найти область сходимости ряда. Решение. Заметим, что
(arctg2 x )′ = и воспользуемся разложением функции
2 1 + 4x2
1 в ряд Маклорена: 1− t
∞ 1 = ∑ t n = 1 + t + t 2 + ..., t < 1 . 1 − t n =0
Произведя в этой формуле замену переменного t = − 4x 2 , получим
2 1 + 4x
2
(
)
∞
= 2 ⋅ 1 − 4 x + 16 x − 64 x + ... = 2 ∑ ( −4) x 2n . 2
4
6
n
n=0
Поэтому x
arctg2 x = ∫
x
2dx
1+ 4x 0
2
(
)
= 2∫ 1 − 4 x 2 + 16 x 4 − 64 x 6 + ..... dx = 0
x 8 x 3 32 x5 128 x 7 8 x 3 32 x5 128 x 7 = 2x − + − + ... = 2 x − + − + ... = 0 3 5 7 3 5 7 ∞
x 2n+1 = ∑ 2 ⋅ ( −4) ⋅ 2n + 1 n =0 n
Ряд ∞
x 2n+1 ∑ 2 ⋅ (−4) ⋅ 2n + 1 n=0 n
сходится в области 4 x 2 < 1 . Следовательно, область сходимости исходного ряда имеет вид: x < 1 . 2 ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
Пример 8. Разложить функцию f ( x ) =
(495) 509-28-10
x в ряд Тейлора в окрестности x−3
точки x0 = 7 и найти область сходимости ряда. Решение. Преобразуем сначала функцию f ( x ) к другому виду: f ( x) =
x x − 3+ 3 3 3 1 = = 1+ == 1 + ⋅ . x−3 x−3 x−7+4 4 1+ x − 7 4
Совершив в разложении ∞ 1 = ∑tn 1 − t n =0
замену переменного t=−
x−7 , 4
получим искомое разложение функции f ( x ) в ряд: 3 f (x ) = 1 + 4
∞
n
x−7 ∑ (− 1) 4 . n =0 n
Найдем область сходимости этого ряда:
t <1 ⇔
x−7 < 1 ⇔ x − 7 < 4 ⇔ 3 < x < 11. 4
Пример 9. Вычислить значение cos0,8 с точностью 0,001. Решение. Воспользовавшись разложением функции cos x в ряд Маклорена, получаем 2 4 6 0,8) 0,8) 0,8) ( ( ( cos0,8 = 1 − + − +
2!
4!
6!
....
Поскольку это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, то можно оценить остатки этого ряда. Так как
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
11
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
(0,8) = 0,00036 < 0,001 , 6
6!
то, с искомой точностью, cos0,8 = 1 − 0.32 + 0,0171 = 0,697 .
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
12
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Что такое числовой ряд? 2. Что такое сумма числового ряда? 3. Как определяется понятие сходимости числового ряда? 4. В чем состоит необходимый признак сходимости числового ряда? 5. В чем состоит признак сравнения для числовых рядов? 6. В чем состоит признак эквивалентности для числовых рядов? 7. В чем состоит признак Даламбера? 8. В чем состоит признак Коши? 9. В чем состоит интегральный признак Коши? 10.В чем состоит признак Лейбница? 11.Что такое абсолютная сходимость числового ряда? 12.Что такое условная сходимость числового ряда? 13.Что называется степенным рядом? 14.Что такое область сходимости степенного ряда? 15.Каким свойством обладает область сходимости степенного ряда? 16.Как найти радиус сходимости степенного ряда? 17.Что называется рядом Тейлора? 18.Что называется рядом Маклорена?
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
13
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
А. Исследовать на сходимость ряды: 1.
2.
∞ n2 + 1
∑
3 n=1 n + 1
∞ n!
∑
n n=1 e
;
.
Б. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды: 3.
∞ cos(πn)
∑ ∞
4.
n
n=1
∑
;
( −1) . n
n=1 n n
В. Разложить в ряд Маклорена функцию: 5. f ( x ) =
x3 1+ 9 x2
и найти радиус сходимости полученного ряда.
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
14
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ЛИТЕРАТУРА Основная: 1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учебное пособие./Под ред. Беклемишева Д.В. – М.: Физматлит, 2005. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2001. 3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2003. 4. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. Дополнительная: 5. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. – М.: Физматлит, 2005. 6. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнеий и вариационного исчисления. – М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2006. 7. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие. / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. 8. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2000. 9. Шипачев B.C. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2002.
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
15
