Оптимизация решений в металлургии и литейном производстве: Методические указания к выполнению лабораторных работ

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северо-Западный государственный заочный технический университет

Кафедра металлургии и литейного производства

Оптимизация решений в металлургии и литейном производстве Методические указания к выполнению лабораторных работ

Факультет технологии веществ и материалов Специальность 150104.65 - литейное производство чёрных и цветных металлов Специализация: литейное производство и экономика металлургии

Санкт – Петербург Издательство СЗТУ 2007

2 Утверждено редакционно - издательским советом университета УДК 681.3.06 Оптимизация решений в металлургии и литейном производстве: Методические указания к выполнению лабораторных работ. - СПб.: Изд – во СЗТУ, 2007. Содержание лабораторных работ соответствует требованиям государственного образовательного стандарта. Лабораторный практикум ориентирован на решение задач одноимённой дисциплины с помощью современных персональных компьютеров в среде электронных таблиц Excel. Рассмотрено на заседании кафедры металлургии и литейного производства 13.11.2006 г.(протокол №11), одобрено методической комиссией факультета технологии веществ и материалов 27.11.2006 г. (протокол № 12). Рецензенты: кафедра металлургии и литейного производства СЗТУ (зав. кафедрой М.А. Иоффе, д-р техн. наук, проф.); С.С.Ткаченко, генеральный директор ПТИЛитиром, заслуженный металлург Российской Федерации, д-р техн. наук.

Составитель В.В.Дембовский, канд. техн. наук, проф.

© Северо – Западный государственный заочный технический университет, 2007

3

Общие указания Лабораторные работы выполняются с использованием персональных компьютеров, оснащённых табличным процессором (электронными таблицами) Excel в варианте полной установки. Эти электронные таблицы снабжены достаточно мощным встроенным математическим аппаратом, а также - высокоуровневыми средствами графического отображения результатов счёта. Одна из ветвей встроенного математического аппарата Excel позволяет решать оптимизационные задачи методами математического программирования, куда входят линейное, нелинейное и стохастическое программирование как в непрерывной, так и целочисленной постановке. Общая методика работы в среде Excel изложена в [ 1 ], с. 30...54, а в её частных приложениях – в [3]. По результатам выполнения лабораторного практикума студент оформляет отчёт. Отчёт пишется в ученической тетради или на стандартных листах бумаги размером 210x297 мм (А4) с соблюдением полей по ГОСТ 2.105-79. В отчёт включают тему и конкретную цель каждой из задач практикума, основные теоретические положения, исходные данные, методику выполнения работы, полученные результаты и их распечатки, а также выводы, следующие из анализа этих результатов. На титульном листе необходимо указать наименование учебного заведения, кафедры, дисциплины, привести фамилию и инициалы исполнителя, его шифр, город и дату. Отчёт должен быть подписан исполнителем. В процессе выполнения работ на персональных компьютерах следует строго соблюдать общие правила электробезопасности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основной: 1. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0./ Б.Я.Курицкий.- СПб.: BHV, 1997. 2. Белай Г.Е. Организация металлургического эксперимента: Учеб. пособие / Г.Е. Белай, В.В.Дембовский , О.В. Соценко.- М. : Металлургия, 1993. 3. Дембовский В.В. Компьютерные технологии в металлургии и литейном производстве: Учеб. пособие в 2 ч./ В.В. Дембовский .- СПб. : СЗТУ, 2002. Дополнительный: 4. Дембовский В.В. Программное обеспечение учебного процесса по дисциплинам кафедры: Учеб. пособие /В.В.Дембовский. – СПб.: СЗТУ, 2006

4

РАБОТА №1 Компьютерный анализ экспертных оценок при выявлении оптимального варианта технологии производства отливок по методу абсолютных шкал 1. Цель работы. Определение достоверности среднего значения экспертных оценок средствами Excel по каждому варианту технологии производства отливок и сравнением средних - выбор оптимального варианта. 2. Основные теоретические положения. Обычно экспертные оценки распределяются по нормальному закону Гаусса. Это даёт возможность при обработке экспертных оценок применить следующую методику: а) Вычислить средний результат M по каждому варианту технологии. б) Найти дисперсию экспертных оценок D,. в) Рассчитать экспериментальное значение критерия Стьюдента tР. г) Задаться значением доверительной вероятности ß рассматриваемой экспертизы. д) Из таблиц Приложения 2 [ 2 ], с. 226 взять теоретическое (табличное) значение критерия Стьюдента tT для принятой в п. г) доверительной вероятности и числа степеней свободы 2( n - 1), где n – число экспертов в группе. е) Сравнить tp и tT . При условии tP ≥ tT экспертные оценки следует признать достаточно согласованными и их среднее достоверное значение M принимается за основу при выборе оптимального варианта технологии в сравнении с другими вариантами. В противном случае из – за большого разброса экспертных оценок в практических условиях величину М признают недостоверной. Тогда следует провести дополнительную (разъяснительную) работу с экспертами и повторить экспертизу. Существует также методика [1], согласно которой в качестве меры достоверности М принимают коэффициент вариации. 3. Порядок выполнения работы

5 а) Получают от руководителя исходные данные в виде двух одномерных массивов значений экспертных оценок Ai; i = 1, n и рекомендации по выбору доверительной вероятности, где n – число экспертов. Третий массив данных при том же n студент принимает самостоятельно и может его варьировать в процессе выполнения работы. б) Вводят исходные данные каждого массива по следующей схеме (табл. 1): - В строку 1 порядковый номер работы, фамилию, инициалы исполнителя, его шифр и дату. - В столбцы B, C и D, начиная со строки 2, заносят экспертные оценки с A1 по An включительно. - В строку под номером N = n+2 столбца A вводят символ M среднего арифметического, а в ту же строку столбца B – функцию вычисления среднего M по массиву исходных данных столбца B из состава встроенных функций. Для этого нужно установить курсорную рамку в строку N = n+2 cтолбца B, на стандартной панели инструментов в верхней части экрана Excel отыскать кнопку fx (" Вставка функции "), сделать на ней один щелчок левой клавишей [ 1Л ] мыши и в высветившемся на экране окне "Мастер функций – шаг 1 из 2" выбрать слева категорию "статистические", а справа - "срзнач", сделать [ 1Л ] на кнопке [OK], затем в высветившемся следующем окне "Мастер функций - шаг 2 из 2" указать диапазон чисел, из которого вычисляется среднее, например, B2: B11, и ещё раз [ 1Л ] на [OK]. В выделенной курсорной рамкой ячейке появится искомое среднее значение массива экспертных оценок. К сказанному следует добавить следующее. Символ " : " является стандартным при обозначении диапазона данных. Однако при вводе информации средствами клавиатуры вместо " : " можно использовать " . ", что удобнее, так как занимает лишь одну руку пользователя и поэтому оказывается более оперативным в работе. В дальнейшем Excel автоматически преобразует символ "." в стандартный символ ":". в) Строкой ниже в столбец A вводят символ дисперсии D, а в ту же строку столбца B - встроенную функцию вычисления дисперсии действиями, в основном аналогичными описанным в п. а) с тем лишь отличием, что эта функция условно называется "дисп". г) В строку под номером N = n + 4 записывают символ вычисления квадратного корня из дисперсии словесно как "КОРЕНЬ(D)", а в столбец B той же строки вводят встроенную функцию по признакам "математические" и "корень". Для завершения операции нужно указать имя ячейки, где хранится операнд, то есть В(n+3), причем значение n + 3 указать конкретным числом.

6 д) В строку под номером N = n+5 столбца А вписывают символ расчётного значения критерия Стьюдента tP , а в той же строке столбца В средствами клавиатуры набирают пользовательскую формулу вида =В(n+2)/B(n+4), где в соответствующих ячейках таблицы записаны конкретные числа, определяемые в зависимости от n для вычисления tP = M/ D . По общему правилу Excel, символ " = " является опознавательным знаком формулы, а левую часть формул в таблице не указывают, так как вычисленное по правой части значение автоматически записывается в ту же ячейку, где находится формула. е) В следующей ниже строке столбца А пишут "Вывод", а в столбец В в той же строке (под номером n + 6) записывают логическую формулу следующего вида =ЕСЛИ(В(n+5) > tT ; "Д"; "Н"), где (n+5) - номер строки таблицы, в которой записано расчётное значение критерия Стьюдента, а под символом tT подразумевается определённое число, являющееся табличным значением критерия Стьюдента при принятой доверительной вероятности. Смысл последней формулы заключается в том, что если условие tр > tT выполняется, то в ячейке, где записана эта формула, компьютер выведет символ Д (суждение экспертов достоверно), иначе Н (- недостоверно), причём оценка достоверности либо недостоверности относится к среднему значению М экспертного заключения. В табл.1 представлен пример заполнения электронной таблицы исходными данными при n = 10 и записи последующих операций. В этом примере в ячейки диапазона В12:В16 заносятся упомянутые выше формулы. При вводе каждая формула отображается в строке формул, находящейся в верхней части экрана, где её удобно редактировать.Ввод каждой формулы завершать нажатием на клавишу [Enter]. После этого формула автоматически замещается числом, получающимся при счёте по этой формуле. Вместе с тем, любое число как результат счёта позволяет увидеть формулу, по которой это число было рассчитано. Для этого достаточно установить курсорную рамку на контролируемое число. В ответ в строке формул в верхней части экрана монитора появится соответствующая формула. При заполнении таблицы данными рекомендуется обратить внимание на то, что в русской версии Excel резделителем между целой и дробной частями числа является не десятичная точка, а обычная запятая.

7 Для проведении правильности заполнения таблицы студент может вызвать файл под именем OPT1 в составе программного обеспечения учебного процесса [ 3 ]. Закончив ввод и обработку исходных данных, остается сравнить значения М по столбцам B, C и D и признать оптимальным тот вариант, y которого M = max. Таблица 1 СРАВНЕНИЕ ВАРИАНТОВ ПО АБСОЛЮТНЫМ ШКАЛАМ A 1

B

C

D

F

Работа №1; студент.......................; шифр.................; дата................

2

АB1

AC1

AD1

3

АB2

…

…

4

АB3

5

АB4

6

АB5

7

АB6

8

АB7

9

АB8

10

АB9

…

…

11

АB10

12

M

13

D

14

Корень(D)

15

tp

16

E

AC10

AD10

Вывод

Аналогично информация заносится в столбцы C и D. При этом формулы для вычисления значений функций M, D, ”КОРЕНЬ ( D )”, t p и “Вывод” можно построчно скопировать в соответствующие ячейки столбцов C и D.

8 Для проверки правильности заполнения таблицы студент может вызвать файл под именем ОРТ1 в составе программного обеспечения учебного процесса по кафедре металлургии и литейного производства [3], [4]. Перед получением распечатки следует внимательно просмотреть таблицу на экране монитора и при необходимости её отредактировать. Например, можно изменять ширину столбцов. Для этого нужно поместить указатель "мыши" на границу столбца в заголовке таблицы. Нажав на левую клавишу и не отпуская её, передвинуть границу в новое положение. Вставка или удаление строк и столбцов могут быть осуществлены, соответственно, вводом последовательности команд ВСТАВКА | СТРОКИ (СТОЛБЦА) и ПРАВКА | УДАЛИТЬ | СТРОКУ (СТОЛБЕЦ) Здесь вертикальная черта обозначает переход из меню в подменю, из подменю более высокого уровня в подменю более низкого (следующего по порядку) уровня и т. д. Замену числа или формулы в ячейке таблицы следует производить установкой курсорной рамки на эту ячейку, удалением ошибочно введенной информации путём нажатия на клавишу [Delete] и набором средствами клавиатуры нового значения данных или изменённой формулы. Приведённую к окончательной форме таблицу следует сохранить на дискете с помощью команд ФАЙЛ | СОХРАНИТЬ КАК ... после чего ввести полное имя сохраняемого файла, например, A:\tab28, где 28 – две последние цифры шифра студента. Для вывода таблицы на печать требуется подготовить и включить принтер, а затем ввести последовательность команд, которая зависит от версий установленных на компьютере программных продуктов WINDOWS и MICROSOFT OFFICE [4], например ФАЙЛ | ПАРАМЕТРЫ СТРАНИЦЫ | ОРИЕНТАЦИЯ (книжная или альбомная) | ЛИСТ | ; СЕТКА и ; ЗАГОЛОВКИ СТРОК и СТОЛБЦОВ | ПЕЧАТЬ [ OK ] | ПЕЧАТЬ [ OK ]. В таком варианте таблица будет выведена на печать с сеткой и координатным бордюром в виде заголовков столбцов и номеров строк, что улучшает зри-

9 тельное восприятие полученного документа. Быстрый вывод на печать путём нажатия [1Л ] на кнопку с изображением принтера, находящуюся на панели инструментов, приводит к аналогичным результатам только при условии, если названные установки режима печати сохранились от предыдущего сеанса работы на компьютере. Столь подробное изложение приёмов работы в среде электронных таблиц Excel существенно поможет в процессе решения других задач настоящего лабораторного практикума и далеко за его пределами, включая инженерную и научную работу. 4. Структура и содержание отчёта ( см. в разделе “Общие указания”, с.3 ). Литература: [ 1 ], с. 238 ...241; [ 3 ], с. 66…68, [4], с.66 … 68.

РАБОТА №2 Выявление оптимума на основе экспертных оценок методом парных сравнений 1.Цель работы. Определение оптимального варианта технологии производства отливок путем предъявления их экспертам не всех сразу, а попарно в различных комбинациях с последующей обработкой результатов экспертизы. 2. Основные теоретические положения. Пусть экспертизе подвергаются 5 отливок x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 одной и той же детали, но полученных различными технологиями. По соглашению при попарном сравнении лучшей из двух отливок эксперт присваивает оценку 1,5; худшей 0,5, а при одинаковом качестве обеих отливок каждой присваивается оценка 1. Результаты сравнения выражают символами логического отношения. Так, если отливка x3 лучше отливки x5 , то записывают x3 > x5 . При обратном соотно

10 К ВЫЯВЛЕНИЮ ОПТИМУМА 1 2 3 4 5 6 7

A I/J X1 X2 X3 X4 X5 ∑

B X1 1 1 1,5 1,5 0,5

C X2 1 1 1 1,5 0,5

D X3 0,5 1 1 1,5 1,5

E X4 0,5 0,5 0,5 1 1,5

F X5 1,5 1,5 0,5 0,5 1

G Pn(1) 4,5 5 4,5 6 5 25

H pn(1) 0,18 0,2 0,18 0,24 0,2 1

x3 < x5 , что равносильно выражению x5 > x3 . В случае невыявленного различия отливок получаем x3 = x5 .

шении признаков качества имеем

Эти и другие результаты данной экспертизы обрабатывают в среде электронных таблиц Excel, используя специальный алгоритм действий с векторами и матрицами. 3. Порядок выполнения работы. - Допустим, что результаты экспертизы имеют вид

x1 = x2 ; x2 = x3 ;

x3 < x4 ; x4 < x5 ; x5 < x1 ; x1 < x3 ; x2 > x5 ; x2 < x4 ; x4 > x1 ; x5 > x3 .

(*) - Этими данными заполняют квадратную матрицу смежности (табл.2), выделенную для наглядности двойными линиями. Эта матрица, соответственно пяти сравниваемым объектам, содержит пять столбцов и пять строк. - Главную диагональ матрицы B2:F6 заполняют единицами. Далее вписывают в ячейки матрицы результаты сравнения качества отливок (*), начиная со столбца B (индекс I при x ) и идя до пересечения со следующим столбцом, соответствующим индексу J. Каждое из неравенств и равенств в составе выражения (*) прочитывают и записывают дважды: первый раз в направлении слева направо, а второй раз справа налево. - Данные каждой строки матрицы суммируют, находя значения элементов вектора – столбца ∑ xij ( всего 5 элементов, записываемых в столбец G ). - Перемножают каждую строку матрицы на этот вектор-столбец, для чего первый элемент строки матрицы умножают на первый элемент упомянутого вектора-столбца, второй элемент строки матрицы умножают на второй элемент вектора-столбца и т.д. - Найденные произведения суммируют.

11 Таблица 2 МЕТОДОМ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ

1 2 3 4 5 6 7

I Pn(2) 22,3 24,5 21,8 29,5 25,5 124

J pn(2) 0,180 0,198 0,176 0,238 0,206 1

K Pn(3) 110,6 118,8 112,1 146,5 175,3 663,3

L pn(3) 0,166 0,179 0,169 0,220 0,264 1

M Pn(4) 621,0 677,6 557,7 746.4 677,9 3281

N pn(4) 0,1894 0,2065 0,1699 0,2275 0,2066 1

O Pn(5) 2968,0 3246,9 2879,8 3870,6 3283,6 16714

P pn(5) 0,1827 0,1999 0,1772 0,2382 0,2021 1

- Результаты такого суммирования заносят в элементы столбца H в виде абсолютных приоритетов первой итерации Piабс где i = 1, 5. 5

- Суммируют данные столбца H, получая

∑P i =1

абс i

.

- Находят относительные (иначе – нормированные) приоритеты качества отливок

pi

отн

=

Pi абс 5

∑ Piабс

( ** )

i =1

и заносят их в столбец I. - Путем сравнения построчных данных ( ** ) выявляют оптимальный вариант технологии по максимальному значению pi , выявленному на первой итерации. - Для повышения надёжности результатов анализа данных экспертизы последовательно осуществляют вторую, третью, четвёртую и пятую (по числу сравниваемых объектов) итерации. После заполнения исходными данными элементов квадратной матрицы смежности все дальнейшие вычисления могут быть полностью автоматизированы путем вписывания нужных расчётных формул в ячейки таблицы файла ОРT2. Окончательный итог обработки данных прочитывают в последнем столбце - О. Отсюда следует, что в рассматриваемом примере (*) оптимальным оказался … ? …, вариант технологии литья с максимальным значением относительного приоритета p i = ... ? … (студентам предлагается вычислить самостоятельно и сообщить результат руководителю). max

4.Структура и содержание отчёта (см. в разделе “Общие указания”, с.3). Литература: [3], ч.1, с.73 … 76; [4[, с. 69 … 70.

12

Работа №3 Оптимизация технико-экономических показателей плана производства отливок 1. Цель работы. Развитие навыков применения процессора Excel к решению оптимизационной задачи в усложнённой ситуации литейного производства. 2. Основные теоретические положения. Для решения оптимизационных задач по поиску заданного вида целевой функции в условиях практически всегда действующих ограничений достаточно широко применяется так называемое математическое программирование, в составе которого различают линейное, нелинейное и стохастическое программирования [ 1 ], причём каждое из них может представляться как в непрерывной, так и целочисленной постановке. 3. Порядок выполнения работы. a) Получают от руководителя исходные данные, например, следующие.Пусть литейное предприятие способно выпускать отливки шести (j = 6) возможных видов, обозначенных как отл1, … , отл6 при наличии ограничений четырёх (i = 4) видов: трудовых, сырьевы, энергетических и финансовых (табл. 3). Общее количество ресурсов, за исключением трудовых - в пределах имеющегося штата основных производственных рабочих ( 120 чел.), выражено в условных стоимостных единицах: сырьё ≤ 111, энергия ≤ 132, финансы ≤ 182. Известна удельная прибыль - от реализации одной отливки каждого вида: Вид отливки

Удельная прибыль, условных единиц

Отл1

90

Отл2

68

Отл3

84

Отл4

99

Отл5

86

Отл6

77

13 Требуется найти оптимальный план выпуска отливок, обеспечивающий максимальную в пределах заданных ограничений прибыль предприятия. б) Заполняют вызванную таблицу Excel (табл. 3) исходными данными, причём в качестве начальных приближений плана ( диапазон B4: G4) выпуска отливок каждого вида принимают их единичные значения. От этих значений в дальнейшем осуществляется поиск оптимального решения. Для справок можно воспользоваться файлом OPT3 [3], с. 70…73 Таблица 3 К ОПТИМАЛЬНОМУ ПЛАНИРОВАНИЮ ПРОИЗВОДСТВА 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A B C D E F G H Работа №4М. Студент … .. ; шифр …… ; дата …..

I

J

ПЕРЕМЕННЫЕ :

Наименов. отл1 отл2 отл3 отл4 отл5 отл6 Нач. прибл. 1 1 1 1 1 1

ЦФ

вид

приб. макс. Уд. прибыль 90

68

84

99

86

77

ОГРАНИЧЕНИЯ :

Вид Трудовые Сырьё Энергия

12 Финансы

лев.ч 12 8 4

9 6 3

11 10 5

13 10 7

14 9 2

10 11 8

9

7

11

12

8

10

знак прав.ч <= 120 <= 111 <= 132 <=

182

Удельную прибыль от реализации одной отливки каждого вида вносят в диапазон B6:G6. В ячейку H6 записывают формулу целевой функции Z - размера прибыли от реализации планируемых отливок: = B4*B6+C4*C6+D4*D6+E4*E6+F4*F6+G4*G6 Вместо этой формулы можно ввести более компактную функцию из набора стандартных = СУММПРОИЗВ(B4:G4;B6:G6) Последняя выражает произведение векторов B4:G4 и B6:G6 как сумму почленных произведений их элементов. Правые части ограничений значения имею-

14 щихся ресурсов bi заносят в столбец J. В ячейки H9:H12 левых частей рассматриваемых ограничений aij следует записать: Ячейка

Функция

H9

=СУММПРОИЗВ(B4:G4;B9:G9)

H10

=СУММПРОИЗВ(B4:G4;B10:G10)

H11

=СУММПРОИЗВ(B4:G4;B11:G11)

H12

=СУММПРОИЗВ(B4:G4;B12:G12)

Таблицу рекомендуется сохранить на дискете. Далее командами СЕРВИС ⎢ПОИСК РЕШЕНИЯ вызывают окно ПОИСК РЕШЕНИЯ, в которое вводят: - имя ячейки целевой функции (H6), которой следует придать максимальное значение за счёт изменения содержимого ячеек B4:G4; - ограничения, которые указывают в окне ограничений после нажатия на кнопку [ДОПОЛНИТЕЛЬНО]; -требование целочисленности решения. Особенность рассматриваемой задачи проявляется в том, что искомые количества отливок x j должны выражаться целыми числами на каждом шаге поиска оптимума. Другие задачи, решаемые в непрерывной постановке математического программирования (как, например, задача расчёта оптимального состава плавильной шихты в курсовой работе по ранее изученной дисциплине “Моделирование процессов и объектов в металлургии”) ведут к ответу, выражаемому смешанными числами. Их округление может привести к результату, далёкому от оптимального. Требование целочисленности как ряд дополнительных ограничений выражают так: B4 = цел; C4 = цел; D4 = цел; E4 = цел; F = цел; G4 = цел. - в окне ПАРАМЕТРЫ указывают: ; - линейная модель; ; - неотрицательные значения; оценка ~ линейная; разности ~ прямые; метод поиска ~ Ньютона. Остальные параметры - по умолчанию.

15 Из окна ПОИСК РЕШЕНИЯ действием [ 1Л ] на [ВЫПОЛНИТЬ] запускают задачу на решение, после чего прочитывают найденный оптимальный план выпуска отливок в ячейках B4:G4, значение достигаемой при этом прибыли - в ячейке H6, а ниже - результат выполненной компьютером проверки решения на соблюдение заданных ограничений. Можно усовершенствовать оформление работы, представив условия задачи на рабочем листе 1 Excel ( по форме табл.3), а затем - скопировать эти условия на рабочий лист 2 и получить на нём искомый результат. Для копирования нужно выделить блок условий курсором или нажатием [ 1Л ] на кнопку, расположенную в левом верхнем углу рабочего листа 1, скопировать содержимое в буфер обмена с помощью кнопок на панели инструментов ( см. всплывающие подсказки), перейти на рабочий лист 2 с помощью указателей в нижней части экрана и вставить из буфера обмена его содержимое. Тогда запуск задачи на выполнение осуществляют из листа 2 и на нём получают результат решения. Оба рабочих листа содержатся в одном и том же файле (“Рабочей книге”), откуда они могут быть выведены на печать. Примечание: Excel позволяет решать задачи содержащие до 16 переменных включительно. 4. Структура и содержание отчёта ( см. в разделе “Общие указания”, с.3). Литература: [ 1 ], с. 156 ... 159; [ 3 ],с. 70…73.

Работа №4 Пример задачи нелинейного программирования 1. Цель работы. Овладеть общей методикой решения задач нелинейного программирования сначала – на простом примере с тем, чтобы в дальнейшем решать более сложные задачи металлургического и литейного производства. 2. Основные теоретические положения. В отличие от задач линейного программирования, которые встречались ранее (расчёт оптимального состава плавильной шихты для выплавки литейного чугуна в дисциплине “Моделирование процессов и объектов в металлургии”; или – для выплавки стали [3], ч.1, с.107 … 115, а также – в работе №3 настоя-

16 щего лабораторного практикума), в задачах нелинейного программирования целевая функция и ( или ) ограничения содержат переменные в произвольной, а не только в первой степени. Кроме того, от этих переменных могут зависеть коэффициенты задачи. Нужная для решения задач нелинейного программирования программа имеется в составе встроенного математического аппарата Excel. Для того, чтобы ознакомиться с особенностями этой программы с точки зрения её практического использования рассмотрим следующий простой пример. 2

Из металлического листа ( рис.1 ), 1м которого стоит P денежных единиц, необходимо вырезать заготовку бака в форме прямоугольного параллеле3 пипеда максимального объёма V = X ⋅Y ⋅ Z , м с таким расчётом, чтобы затраты на эту заготовку не превышали C денежных единиц. Требуется найти оптимальные размеры бака X, Y, Z, м.

Z

Y

X

Рис. 1. Эскиз заготовки 3. Порядок выполнения работы. Для решения задачи вызываем Excel и загружаем файл NLIN1 с постановкой рассматриваемой задачи в качестве образца. Вводим предложенное руководителем значение P, например 10 ден. ед. / м2 (ячейка F4). Диапазон B4:D4 заполняем значениями начальных приближений искомых переменных X, Y, Z, то

17 есть единицами. Ячейка D6 должна содержать формулу целевой функции (объём бака ) =B4*C4*D4 Ячейку D7 отводим для расчёта левой части ограничения – общих затрат на заготовку ( см. рис.1 ) =F4*2*( B4*C4+B4*D4+C4*D4 ) Правую часть ограничения по общей стоимости заготовки C указываем в ячейке F7, например 100 ден. ед. Таблица 4 К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 4 A 1

B

D

E

F

ПРИМЕР НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2

Цена материала P, ден. ед./ м2

П А Р А М Е Т Р Ы:

3 4 Нач. приближения

5 6

C

X

Y

Z

1

1

1

О Б О З Н А Ч Е Н И Я: ОБЪЁМ

7 ЗАТРАТЫ

ЦФ

→

MAX

Ограничение

≤

100

Далее следует нажать на кнопку [ ПАРАМЕТРЫ ] и в открывшемся окне с аналогичным заголовком проверить имя ячейки целевой функции D6, которой необходимо придать максимальное значение за счёт предоставляющейся компьютеру возможности изменения данных в диапозоне B4:D4. В том же окне перед записью “неотрицательные значения” должен быть установлен символ. v. Ставить такой же символ перед словом “ Линейная модель “ ни в коем случае не следует, поскольку решаемая задача является нелинейной. Наконец, щёлкнув на кнопке [ДОБАВИТЬ] в окне поиска решения остается записать ограничение D7<=F7. Остается с помощью кнопки [ОК] вернуться в окно ПОИСК РЕШЕНИЯ и щелкнуть на кнопке [ВЫПОЛНИТЬ]. При отсутствии ошибок компьютер сообщит о найденном оптимальном решении Xопт, Yопт, Zопт, значе-

18 ния искомых переменных которого появляются на местах единиц начального приближения. 4. Структура и содержание отчёта (см в разделе “Общие указания”, с.3). Литература: [1], с. 370 … 374; [4], с. 73 … 75.

Работа №5 Оптимизация параметров технологического процесса 1.Цель работы. Использование первоначальных навыков решения простой задачи нелинейного программирования для поиска решения в более сложной ситуации – многокритериальной оптимизации методом последовательных уступок. 2. Основные теоретические положения Пусть дана технологическая цепочка, предназначенная для окраски литейных форм (рис.2), которая предназначена для выполнения следующих операций: - подготовка краски нужной вязкости x1 в пределах 30 ≤ x1 ≤ 50 градусов Энглера (условная вязкость, определяемая по времени истечения мерного объёма жидкости через капилляр определённого сечения); - подогрев форм до заданной температуры x 2 в пределах 120 ≤ x2 ≤ 200°C; - сушка форм на конвейере, проходящем через сущильную печь со скоростью 4 ≤ x 3 ≤ 12 м / мин.

КРАСКА

x1 СУШКА ФОРМ НА КОНВЕЙЕРЕ

ПОДОГРЕВ ФОРМ

x3

ГОТОВЫЕ ФОРМЫ (Z1, Z2)

x2

Рис.2. Технологическая линия окраски литейных форм

19 Требуется найти оптимальные значения технологических параметров с тем, чтобы обеспечить выполнение двух условий: 1) максимально допустимое качество окраски, оцениваемое показателем Z1 по двенадцатибалльной шкале; 2) минимально возможные затраты Z2, денежных единиц в расчете на одну форму. При этом перед выполнением расчета в рамках настоящей работы достаточно длительными наблюдениями и регрессионным анализом полученных результатов установлены следующие зависимости:

Z 1 = 590 − 20x 1 − 4,4x 2 + 44x 3 + 0,24x 12 + + 0,014x 22 − 2.8x 32 − 0,02x 1x 2 + 0,009x 1 x 3 + + 0,002x 2x 3 ; Z 2 = 656766 − 22622x 1 − 5075x 2 + 51162x 3 + + 280x 12 + 16x 22 − 3250x 32 − 1,6x 1x 2 + 5,4x 1x 3 + + 2,3x 2x 3 . Как видим из условий постановки задачи, здесь представлены две целевые функции Z1 и Z2. Одним из подходов к решению многокритериальных оптимизационных задач является метод последовательных уступок. В этом случае в качестве единственной целевой функции оставляют один из показателей, например Z1, а другой показатель – Z2 включают в состав ограничений. Пробными запусками задачи на решение способом, известным из предыдущих задач, последовательно варьируют значение Z2 до получения приемлемого значения Z1 (оптимального в условиях рассматриваемой задачи). 3. Порядок выполнения работы - Получают от руководителя начальное приближение Z2 , например 3000. - Запускают файл OPT4 с частичным заполнением таблицы Excel руководителем, для экономии учебного времени. Недостающую информацию студенты вводят самостоятельно.

20 ПРИМЕР РЕШЕНИЯ .

A

B

C

1 x1 2 Обознач. Своб. член 1 1 3 нач.прибл. min 30 4 max 50 5 Z1 590 -20 6 Z2 656766 -22622 7 8 9 10 11

D

E

F

G

H

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ x2 X3 x1^2 x2^2 x3^2 1 1 1 1 1 120 4 200 12 -4,4 44 0,24 0,014 -2,8 -5075 51162 280 16 -3250

Внимание! Начальные приближения вводить только в диапазон

12 C3:E3. 13

= Записывают формулу для Z1 по правилам Excel

= 590 + СУММПРОИЗВ(C3:K3; C6:K6) в ячейку L3 файла OPT4, а формулу для Z2: = 656766 + СУММПРОИЗВ(C3:K3; C7:K7) в ячейку L7. - В ячейку N6 заносят упомянутое число 3000. Остальные – двусторонние ограничения разбивают на два односторонних каждое, что даёт для внесения в табл.5

C3 ≥ 30; D3 ≥ 120; E3 ≥ 4; C3 ≤ 50; D3 ≤ 200; E3 ≤ 12. При этом диапазон С3:Е3 заполняют единицами как начальными приближениями величин x1, x2 , x3. Остальные расчётные соотношения введены в файл OPT4. Перед настройкой параметров необходимо снять символ ; перед словами “линейная модель”, так как эта задача нелинейная.

21 Таблица 5 ЗАДАЧИ № 5 I

J

K

L

x1*x2 1

x1*x3 1

x2*x3 1

ЦФ 607,063

M

N

ОГРАНИЧЕНИЯ: ЛЕВ,ЧАСТЬ ЗНАК ПРАВ,ЧАСТЬ -0,02 -1,6

0,009 5,4

0,002 2,3

677283,1 C3 C3 D3 D3 E3 E3

<= >= <= >= <= >= <=

3000 30 50 120 200 4 12

Остаётся запустить задачу на выполнение теми же приёмами, которые были использованы при решении задач OPT3 и NLIN1. В результате при Z2 = 3000 определятся значения оптимальных технологических параметров x1 = ?; x2 = ?; x3 = ?.

В случае недостаточности достигнутого показателя качества Z1 следует увеличить Z2 и повторить запуск задачи на решение. Примечания: 1) Excel позволяет решать задачи содержащие до 16 переменных включительно. 2) Вид шрифта для записи переменных, его размер и регистр могут быть любыми, но обязательно латинскими буквами. 4. Структура и содержание отчёта (см в разделе “Общие указания”, с.3). Литература: [ 1 ], с. 370 ... 374; [ 4 ], с. 75…77.

22

СОДЕРЖАНИЕ Общие указания

3

Библиографический список

3

Работа №1. Компьютерный анализ экспертных оценок при выявлении оптимального варианта технологии производства отливок по методу абсолютных шкал

4

Работа №2. Выявление оптимума на основе экспертных оценок методом методом парных сравнений

9

Работа №3. Оптимизация технико - экономических показателей плана производства отливок

13

Работа №4. Пример задачи нелинейного программирования

15

Работа №5. Оптимизация параметров технологического процесса

18

23

Редактор М.Ю.Комарова Сводный темплан 2007 г. Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97

Санитарно – эпидемиологическое заключение № 78.01.97.953.П.0056641.11.03 от 21.11.2003 г.

__________________________________________________________ Подписано в печать Формат 60x84 1/16 Б.кн.-журн. П.л. 1,5 Б.л. 0,75 Изд - во СЗТУ Тираж Заказ ____________________________________________________________ Северо-Западный государственный заочный технический университет Издательство СЗТУ, член Издательско – полиграфической ассоциации университетов России 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, д. 5