Теорема Нетер и законы сохранения Ю. Семенов∗ 19 января 2003 г.
Аннотация Конспект лекций по теме "Теорема Нетер и законы сохранения" курса "Квантовые поля и фундаментальные взаимодействия". Последнюю версию в электронном формате можно найти по следующему URL: http://zipper. paco.net/~yury/Physics/QFnFI/noether.{tex,ps,pdf}.
1
Бесконечно малые преобразования координат и их генераторы
Рассмотрим r-параметрическую группу G преобразований координат с параметрами ω = {ωs }, s = {1, 2, ..., r} переводящую координаты x = {xi }, i = {0, 1, 2, 3} в координаты 0
x = L(ω)x,
(1)
где L(ω) - матрица преобразований координат. Пусть при этом функции поля ψ(x) = {ψA (x)}, A = {1, 2, ..., N } преобразуются по некоторому конечномерному представлению группы G 0
0
ψ (x ) = S(ω)ψ(x),
(2)
где S(ω) - матрица преобразований функций поля. В пределе бесконечно малых преобразований с параметрами ω → δω разложим (1) и (2) в ряды Тейлора, пренебрегая членами разложения по δω порядка выше 1. L(δω) −1 L (δω)
= I4 + δωq I q , = I4 − δωq I q ,
где I4 - единичная 4x4 матрица, q = {1, 2, ..., r}, генератор группы G определяется соотношением Iq = ∗ Одесский
∂L(ω) . ∂ωq ω={ωs }=0
Национальный Политехнический Университет, e-mail:
[email protected]
1
(3)
S(δω)
=
IN + δωq J q ,
S −1 (δω)
=
IN − δωq J q ,
где IN - единичная NxN матрица, q = {1, 2, ..., r}, генератор представления группы G определяется соотношением Jq = Задача R41 .
∂S(ω) . ∂ωq ω={ωs }=0
(4)
1. Вычислить генераторы группы Лоренца пространства Минковского
Указания. Записать матрицу преобразований Лоренца общего вида (см. [3]) либо матрицы 3 независимых поворотов и 3 независимых гиперболических поворотов. После разложения в ряд Тейлора и вычитания единичной матрцы получить 6 генераторов группы Лоренца
I [12]
I
0 0 = 0 0
[01]
0 1 = 0 0
0 0 1 0
0 −1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 I [31] = 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 I [02] = 1 0 0 0 0 0 0 0
I [23]
I
[03]
0 0 = 0 0 0 0 = 0 1
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 −1 0 1 0 0 0
Показать, что генераторы можно представить в виде (I [pq] )ij = g pi δjq − g qi δjp
2
(5)
Лагранжев формализм в теории поля
В курсе классической механики для получения уравнений движения механической системы используется принцип наименьшего действия, который можно записать в следующей форме:
S=
Z
t2
Ldt,
δS = 0,
t1
где L - функция Лагранжа механической системы, зависящая от обобщенных координат системы и их производных по времени, S - действие. Состояние механической системы предполагается известным в началный и конечный моменты времени t1 и t2 . δS обозначает т.н. вариацию действия - изменение действия при варьировании зависимости от времени обобщенных координат, оставляющем их 2
неизменными в моменты времени t1 и t2 . Обращение в нуль вариации действия является необходимым условием минимизации действия на искомой траектории. При изучении механики непрерывных сред принцип наименьшего действия может быть сформулирован аналогично, если положить
L=
ZZZ
Ld3 x,
V
где L - плотность функции Лагранжа или лагранжиан, V - область пространства, содержащая изучаемую систему. В теории поля пространственные и временная координаты рассматриваются обычно как координаты в пространстве-времени Минковского R41 , поэтому естественно записывать интеграл действия
S=
Z
t2 t1
ZZZ
Ld3 xdt =
Z
V
Ld4 x
R
как интеграл по 4-мерной области R пространства Минковского. Элемент объема определяется как d4 x = dx0 dx1 dx2 dx3 . Лагранжиан считается функцией 1 , причем зависимость от координат, функций поля ψ(x) и их производных ∂ψ(x) ∂xi координат появляется лишь за счет зависимости функций поля от координат ∂ψ(x) L = L(x) = L ψ(x), . ∂xi Под функциями поля ψ понимается набор функций ψ(x) = {ψA (x)}, преобразующихся по некоторому представлению группы Лоренца и однозначно характеризующих полевую конфигурацию. Например, для комплексного скалярного поля φ φ(x)
ψ(x) =
∗
φ(x)
!
,
а для одного из представлений электромагнитного поля (см. лагранжиан (10)) c 4-потенциалом Ai и тензором напряженности Fik
ψ(x) =
Ai (x) Fjk (x)
.
На структуру лагранжиана обычно налагаются следующие требования: 1. Релятивистская инвариантность: лагранжиан поля L(x) является скаляром относительно преобразований Лоренца. 2. Вещественность. 1 в дальнейшем будем считать, что маленькие латинские индексы, если специально не оговаривается иное, пробегают значения 0,1,2,3
3
3. Условия простоты: (a) лагранжиан содержит только билинейные комбинации функций поля и их производных, взятые в виде алгебраической суммы с постоянными коэффициентами, что обеспечивает линейность теории поля; (b) лагранжиан содержит только первые производные функций поля по координатам, благодаря чему уравнения поля оказываются дифференциальными уравнениями в частных производных не выше второго порядка с постоянными коэффициетами; (c) входящие в лагранжиан функции поля и их производные определены локально, т.е. являются функциями пространственно-временных координат точки. Эти координаты не входят в лагранжиан явно. Принцип наименьшего действия
в теории поля
Истинное движение системы, заключенной в 4-объеме R, соответствует такому виду функций поля ψ, при котором интеграл действия S в указанных произвольных, но фиксированных пределах интегрирования принимает экстремальное (минимальное) значение. Условие экстремальности действия2 :
δS = δ
Z
4
Ld x =
R
Z
δLd4 x = 0.
(6)
R
Вычислим вариацию лагранжиана
δL =
∂L ∂L ∂ψA δψA + ∂ψA δ( i ). ∂ψA ∂( ∂xi ) ∂x
Учитывая, что операция дифференцирования коммутирует с операцией варьирования формы функций поля, получим
δL =
∂L ∂L ∂ δψA + ∂ψA δψA , ∂ψA ∂x ∂( ∂xi ) i
или ∂ ∂L δψA + δL = ∂ψA ∂xi
∂L δψA A ∂( ∂ψ ∂xi )
!
∂ − ∂xi
∂L A ∂( ∂ψ ∂xi )
!
δψA .
Подставляя полученное выражение для вариации лагранжиана в (6) получим 2 Поскольку элемент 4-объема d4 x является псевдоскаляром, т.е. при преобразованиях координат домножается на якобиан преобразования, то при вариации действия в криволинейных координатах p или в искривленном пространстве-времени должен варьироваться лагранжиан L |g|, где g - определитель тензора gik . p p метрического δ( |g|) = 12 |g|g ik δgik
4
Z (
∂ ∂xi
∂L δψA A ∂( ∂ψ ∂xi )
R
!)
d4 x +
Z (
∂L ∂ − ∂ψA ∂xi
R
∂L A ∂( ∂ψ ∂xi )
!)
δψA d4 x = 0. (7)
В первом интеграле подынтегральное выражение является дивергенцией и по теореме Остроградского-Гаусса он может быть представлен в виде поверхност ного интеграла и обращается в ноль, поскольку δψA (x) x∈∂R = 0 Z ( R
∂ ∂xi
∂L δψA A ∂( ∂ψ ∂xi )
!)
4
d x=
Z ( ∂R
∂L δψA A ∂( ∂ψ ∂xi )
)
dσi = 0.
где ∂R означает 3-мерную гиперповерхность, ограничивающую область R, а dσi - элемент этой гиперповерхности. Следовательно второй интеграл в (7) тоже обращается в ноль. В силу произвольности вариации формы функций поля δψA это означает что равно нулю подынтегральное выражение ∂L ∂ − ∂ψA ∂xi
∂L A ∂( ∂ψ ∂xi )
!
= 0.
(8)
Последнее соотношение носит название уравнений Эйлера-Лагранжа. Задача
2. Задан лагранжиан ∗
∗
L = ∂i φ∂ i φ − m2 φφ
(9)
комплексного скалярного поля. Воспользовавшись уравнениями Эйлера-Лагранжа ∗
получить уравнения поля для φ и φ. Задача
3. Задан лагранжиан электоромагнитного поля (без источников) L=−
1 ik 1 Fik F ik + F ∂i Ak . 16π 4π
(10)
Воспользовавшись уравнениями ЭйлераЛагранжа и учитывая антисимметричность тензора Fik = −Fki и получить уравнения Максвелла для Fik и связь между тензором напряженности Fik и 4-потенциалом Ai .
3
Теорема Нетер
В 1919 г. Эмми Нетер доказала теорему, устанавливающую связь между свойствами симметрии физической системы и математической формулировкой законов сохранения физических величин.
5
Всякому непрерывному преобразованию координат и обусловленному им или же заданному независимо от него преобразованию функций поля, обращающим в нуль вариацию действия, соответствует определенная совокупность инвариантов - сохраняющихся комбинаций функций поля и их производных. Число этих инвариантов равно числу независимых параметров, определяющих данное преобразование.
3.1 Формулировка теоремы Нетер В n-мерном псевдоэвклидовом пространстве Rn1 с координатами x = {xi }, i = {0, 1, ..., n} рассмотрим поле ψ(x) = {ψA (x)}, A = {1, 2, ..., N }, реализующее N -мерное линейное пространство представления r-параметрической группы G. Любому непрерывному преобразованию координат группы G 0
x→x 0
i
x →x
i
=
O(ω)x,
=
Oji (ω)xj ,
где O - nxn матрица O = O(ω) = {Oji (ω)}, зависящая от r непрерывных параметров ω = {ωs } = {ω1 , ..., ωr }, где s = {1, ..., r}, ставится в соответствие преобразование функций поля 0
0
ψ(x) → ψ (x ) 0
0
ψA (x) → ψA (x )
=
S(ω)ψ(x),
=
B (ω)ψB (x), SA
где S - N xN матрица преобразования представления группы G A S = S(ω) = {SB (ω)}.
Для поля ψ(x) = {ψA (x)}, A = {1, 2, ..., N } строится лагранжиан ∂ψB (x) L = L ψA , ∂xj и вводится действие S=
Z
Ldn x,
R
где dn x = dx0 dx1 ...dxn−1 . 6
ВНИМАНИЕ: В этом разделе вариация формы функций, ранее обозначав¯ обозначение δ будет использовано для шаяся как δ, будет записываться как δ, полной вариации!!! Процедура варьирования действия Z ¯ nx = 0 ¯ = δLd δS R
дает уравнения поля ∂L ∂ − ∂ψA ∂xi
∂L A ∂( ∂ψ ∂xi )
!
= 0,
которым по условиям теоремы Нетер удовлетворяют функции поля ψ(x). Инвариантность действия относительно преобразований группы G равносильна обращению в ноль полной вариации δS = 0, где вариация
0
δS = S − S
=
Z
=
Z
0
0
∂ψB (x ) ψA (x ), ∂x0 j
0
0
L
0
!
0
dn x −
R0
Z
∂ψB (x) L ψA (x), dn x = ∂xj
R
∂ψB (x) δL ψA (x), ∂xj
dn x
R
обусловлена бесконечно малыми преобразованиями координат 0
xi → x i
=
δω
=
xi + δxi = Oji (δω)xj = (In + δω)ij xj = xi + (δω)ij xj , r X δωs I s , s=1
Is
∂L(ω) ; ∂ωs ω={ωq }=0
=
и бесконечно малыми преобразованиями функций поля 0
0
ψA (x) → ψA (x )
B = ψA + δψA = SA (δω)ψB (x) = (IN + δΩ)B A ψB =
= δΩ
=
ψA + (δΩ)B A ψB , r X δωs J s , s=1
Js
=
∂S(ω) . ∂ωs ω={ωq }=0
Генераторы I s и J s - подчиняются одним и тем же перестановочным соотношениям [I p , I q ] = Cspq I s ,
[J p , J q ] = Cspq J s ,
где p, q = 1, ..., r ; Cspq - структурные постоянные алгебры Ли группы G. 7
Вариации координат и функций поля можно представить в виде δxi = (δω)ij xj = (δωs I s )ij xj = ((I s )ij xj )δωs = X si δωs ; s B s B s δψA = (δΩ)B A ψB = (δωs J )A ψB = ((J )A ψB )δωs = YA δωs ;
X si ≡ (I s )ij xj ; YAs ≡ (J s )B A ψB ;
Полные варации функций поля можно разбить на сумму двух частей: 0 0 0 0 0 0 ¯ + ¯δψ; δψ = ψ (x ) − ψ(x) = (ψ (x ) − ψ(x )) + (ψ(x ) − ψ(x)) = δψ
вариации формы функций 0 0 0 0 ¯ = δψ(x ¯ ¯ ¯ δψ ) = ψ (x ) − ψ(x ) = δψ(x + δx) ≈ δψ(x);
и вариации функций, обусловленной изменением их аргумента ¯δψ = ψ(x0 ) − ψ(x) = ψ(x + δx) − ψ(x) ≈ ∂ψ(x) δxj . ∂xj Вариацию формы фунций, воспользовавшись обозначениями X si и YAs можно записать в виде ¯ A = δψA − ¯δψA = Y s δωs − ∂ψA X si δωs = [Y s − ∂ψA X si ]δωs . δψ A A ∂xi ∂xi
(11)
3.2 Доказательство теоремы Нетер Вычислим полную вариацию действия, которая по условиям теоремы Нетер должна обращаться в ноль δS = 0 Z Z Z δS = δ Ldn x = δLdn x + Lδ(dn x) = 0, R
R
R
где учтено, что вариация области интегрирования при фиксированном подынтегральном выражении эквивалентна вариации элемента объема при фиксированной области интегрирования. Вариация лагранжиана может быть записана как ¯ + ¯δL δL = δL ∂L ¯ ∂L ∂L ¯ ∂ψ ¯ ; ¯δL = δx. δL = δψ + δ ∂ψ ∂x ∂x ∂ψ ∂ ∂x
Элемент объема при преобразованиях координат умножается на якобиан преобразования, оставляя вклады только первого порядка малости по вариации координат легко получить выражение для вариации элемента объема δ(dn x) =
n X ∂(δxj ) j=1
∂xj
dn x =
∂(δxj ) n ∂(δx) n d x= d x. ∂xj ∂x
В результате имеем Z ∂L ¯ ∂L ¯ ∂ψ ∂L ∂(δx) n δS = δψ + δ + δx + L d x = 0; ∂ψ ∂ψ ∂x ∂x ∂x ∂ ∂x R 8
(12)
интегрируя по частям второе слагаемое Z Z ∂L ∂ ∂L ¯ n ∂ ∂L ¯ δψ δS = − δψd x + + Lδx dn x = 0. ∂ψ ∂x ∂ ∂ψ ∂x ∂ ∂ψ ∂x ∂x R R Первый интеграл обращается в ноль по условию теоремы Z ∂ ∂L ¯ δψ + Lδx dn x = 0. δS = ∂x ∂ ∂ψ ∂x
R
Подставляя выражения для вариации формы функции поля (11) и вариации координат Z ∂ψ ∂ ∂L A s si sj δS = Y − X + LX δω dn x = 0. (13) A s ∂xj ∂ ∂ψA ∂xi ∂xj
R
Введем обозначение θjs = ∂
∂L ∂ψA ∂xj
∂ψA si X − YAs ∂xi
− LX sj ;
(14)
тогда соотношение (13) можно переписать в виде Z ∂θjs δS = δωs dn x = 0. ∂xj R
Поскольку последний интеграл обращается в ноль для любых преобразований из группы G, т.е. для любых допустимых параметров δωs , то обращаетсчя в ноль и интеграл Z ∂θjs n δS = d x = 0. (15) ∂xj R
где s = 1, ..., r. Последнее соотношение будет справедливо для любой области R только если ∂θjs =0 ∂xj
(16)
В согласии с теоремой Остроградского-Гаусса из (15) следует равенство нулю следующего интеграла по (n − 1)-мерной гиперповерхности σ = ∂R Z θjs dσj = 0. (17) σ
На этом доказательство теоремы Нетер завершено. Соотношение (14) определяет плотность сохраняющейся величины с точностью до произвольной дивергенции ∂f [jm]s ∂xm 9
антисимметричного тензора f [jm]s = −f [mj]s , в самом деле для 0
θjs → θ js = θjs +
∂f [jm]s ∂xm
(18)
соотношения (16) и (17) остаются справедливыми. Если рассматривать внутренние симметрии функций поля, т.е. преобразования функций поля, не затрагивающие координат, обращающие полную вариацию действия в нуль δS = 0, то тогда δxj = 0, X sj = 0 и выражение для плотности сохраняющейся величины примет вид ∂L ∂L YAs = − (J s )B θjs = − A ψB . ∂ψA ∂ψA ∂ ∂xj ∂ ∂xj
(19)
Задача 4. Показать, что при бесконечно малых преобразованиях координат элемент объема преобразуется по формуле (12). Задача 5. Показать, что для плотности сохраняющейся величины вида (18) остаются справедливыми соотношения (16) и (17).
3.3 Законы сохранения в дифференциальной и интегральной формах В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением применений теоремы Нетер в 4мерном пространстве-времени Минковского. Выражение для плотности сохраняющейся величины задается формулой (14). Закон сохранения в дифференциальной форме имеет вид ∂θjs = 0, ∂xj
(20)
где j = 0, 1, 2, 3 и s = 1, ..., r. Интегральное выражение (17) Z θjs dσj = 0 σ
справедливо при произвольном выборе 3-мерной замкнутой гиперповерхности σ. Выберем ее в виде цилиндра в пространстве Минковского с пространственноподобными основаниями σ1 и σ2 и времениподобной боковой поверхностью σ3 , тогда Z Z Z Z θjs dσj = θjs dσj − θjs dσj + θjs dσj = 0. σ
σ1
σ2
σ3
Знак минус перед вторым слагаемым учитывает противоположную ориентацию основания σ2 . Осуществим предельный переход, переводящий все точки боковой поверхности σ3 на бесконечность. Учитывая что ψ(r, t) r→∞ → 0 получим Z Z θjs dσj − θjs dσj = 0. σ1
σ2
10
Из произвольности выбора гиперповерхностей σ1 и σ2 следует что Z C s (σk ) = θjs dσj = const, s = 1, ..., r,
(21)
σk
где σk обозначает произвольную пространственноподобную гиперповерхность ("параллельную" σ1 и σ2 ). Выбирая гиперповерхность σk в виде гиперплоскости x0 = tk = const Z Z C s (tk ) = θ0s dσ0 = θ0s d3 x = const. (22) tk
4
tk
Законы сохранения физических величин в теории поля
Всякой пространственно-временной или внутренней симметрии, не изменяющей полное действие, в согласии с теоремой Нетер, соответствует набор динамических инвариантов поля (или системы полей). Например: 1. Инвариантности действия относительно группы трансляций соответствует закон сохранения энергии-импульса поля. 2. Инвариантности действия относительно группы Лоренца соответствует закон сохранения момента импульса поля. 3. Инвариантности действия комплексного поля относительно группы U (1) глобального изменения фазы поля соответствует закон сохранения заряда поля. Ниже эти случаи рассмотрены подробнее.
4.1 Закон сохранения энергии-импульса Рассмотрим бесконечно малые трансляции в пространстве Минковского 0
xi → x i = xi + δxi . Параметрами преобразования δωs можно выбрать саму величину трансляции δωs → δω i = δxi . Тогда по определению X si δxi = X si δωs = Xji δω j = Xji δxj ; следовательно X si → Xji = δji . 11
(23)
Что касается функций поля, то они при трансляциях вообще не преобразуются, 0 0 т.е. ψA → ψA (x ) = ψA (x), следовательно δψA = 0; YAs = 0.
(24)
Подставляя (23) и (24) в (14) получим т.н. канонический тензор энергии-импульса поля ψ θjs → Tkj ≡ θkj =
∂L ∂ψA − Lδkj . k ∂ψA ∂x ∂ j
(25)
∂x
Согласно теореме Нетер для него справедлив закон сохранения в дифференциальной форме ∂T ik = 0, ∂xk и закон сохранения в интегральной форме Z P k ≡ θ0k dσ0 = const. σ
Последнее выражение P k принято называть вектором энергии-импульса. В общем случае канонический тензор энергии-импульса несимметричен. Его можно симметризовать, прибавив к нему дивергенцию специально подобранного антисимметричного тензора f [ij]k = −f [ji]k T ik → T
0
ik
= T ik +
∂f [ij]k . ∂xj
(26)
Симметризованный тензор энергии-импульса называют метрическим. Задача 6. Вычислить канонический тензор энергии-импульса комплексного скалярного поля с лагранжианом (9). Убедиться в том, что он сразу оказывается симметричным. Воспользовавшись уравнениями поля показать, что его дивергенция равна нулю. Задача 7. Вычислить канонический тензор энергии-импульса электромагнитного поля с лагранжианом (10). Воспользовавшись уравнениями поля показать, что его дивергенция равна нулю. Подобрать такой антисимметричный по двум индексам тензор третьего ранга, дивергенция которого будучи прибавленой к полученному каноническому тензору энергии-импульса симметризует последний. Тем самым получить метрический тензор энергии-импульса.
4.2 Закон сохранения момента импульса. Орбитальный и спиновый моменты Пусть интеграл действия инвариантен относительно группы Лоренца. Бесконечно малые преобразования координат задаются соотношениями δxi = X si δωs = X [pq]i δω[pq] 12
где X [pq]i = (I [pq] )ij xj . Подставляя выражения для генераторов группы Лоренца (5) получим X [pq]i = (g pi δjq − g qi δjp )xj = g pi xq − g qi xp . Плотность сохраняющейся величины — она называется плотностью полного момента импульса и в согласии с (14) равна M j[pq] =
=
=
≡ θj[pq] = ∂L ∂ψA pi q [pq] qi p (g x − g x ) − Y − L(g pj xq − g qj xp ) = A i ∂ψA ∂x ∂ ∂xj ∂L ∂L ∂ψA pi q YA[pq] = (g x − g qi xp ) − L(g pj xq − g qj xp ) − i ∂ψA ∂ψA ∂x ∂ ∂xj ∂ ∂xj ∂L ∂ψA g pi − Lg pj xq − ∂L ∂ψA g qi − Lg qj xp − i i ∂ ∂ψAj ∂x ∂ ∂ψAj ∂x ∂x
∂x
∂L YA[pq] = − ∂ψA ∂ ∂xj =
T jp xq − T jq xp −
∂
∂L YA[pq] . ∂ψA ∂xj
Очевидно, что плотность полного момента импульса состоит из двух разнородных вкладов M j[pq] = M j[pq] + S j[pq] , которые называются плотностью орбитальorb ного момента импульса и плотностью спинового момента импульса и равны M j[pq]
=
T jp xq − T jq xp ;
S j[pq]
=
∂L YA[pq] . − ∂ψA ∂ ∂xj
orb
Полный момент импульса M [pq] = M [pq] + S [pq] , orb Z [pq] M = M 0[pq] d3 x, orb orb Z S [pq] = S 0[pq] d3 x.
(27) (28) (29)
Задача 8. Показать, что плотность спинового момента комплексного скалярного поля равна нулю. Задача 9. Показать, что метрический тензор энергии-импульса T ik можно metr получить из канонического (26) воспользовавшись тензором 13
f[ij]k заданным следующими соотношениями:
f[ij]k
Задача
f[ij]k − f[ik]j = Si[kj] 1 = (Si[kj] + Sj[ik] + Sk[ij] ) 2
(30) (31)
10. Показать, что симметричность тензора энергии-импульса T ik = T ki
является необходимым и достаточным условием выполнения закона сохранения плотности момента импульса в дифференциальной форме ∂M j[pq] =0 ∂xj , при условии что M j[pq] = T jp xq − T jq xp . Задача
11. Показать, что полный момент импульса (27) равен Z M [pq] = ( T 0p xq − T 0q xp )d3 x. metr
metr
4.3 Закон сохранения заряда Рассмотрим теперь внутреннюю симметрию комплексного поля не изменяющую его действия 0
ψ → ψ = eiα ψ, ∗
∗
∗
0
ψ → ψ = eiα ψ, где α = const. Пусть α бесконечно малый параметр преобразования, тогда 0
ψ → ψ = (1 + iα)ψ, ∗
∗
∗
0
ψ → ψ = (1 − iα)ψ; δψ = Y δω = iψα, ∗
∗
∗
δ ψ = Y δω = −iψα; Очевидно, что δω = α и ∗
∗
Y = iψ; Y = −iψ
14
Воспользовавшись (19) можем записать плотность сохраняющейся величины, соответствующей внутренней симметрии - в данном случае мы получим вектор плотности тока комплексного поля ∂L ∗ ∗ ∂L ∂L ∂L k k Y − ∗ Y = i ∗ ψ − ψ J ≡θ =− ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ ∂x ∂ ∂x k k ∂ ∂x ∂ ∂x k k Заряд определяется как Q=
Z
J 0 dσ0 .
Задача 12. Вычислить вектор плотности тока комплексного скалярного поля с лагранжианом(9). Показать, что закон сохранения плотности тока в дифференциальной форме выполняется.
Список литературы [1] А.А. Богуш, Введение в полевую теорию элементарных частиц, Минск, Наука и Техника, 1981 [2] А.А. Богуш, Л.Г. Мороз, Введение в теорию классических полей, М., Наука, 1968 [3] И.М. Гельфанд, Р.А. Милнос, З.Я. Шапиро, Представление группы вращений и группы Лоренца, М., ГИФМЛ, 1958
15
