Операторы преобразования и асимптотические формулы для собственных значений полиномиального пучка операторов Штурма - Лиувилля

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2000. Том 41, № 3

УДК 517.984

ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ПУЧКА ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА ––– ЛИУВИЛЛЯ И. M. Гусейнов, А. А. Набиев, Р. Т. Пашаев Аннотация: На конечном интервале рассматривается уравнение Штурма — Лиувилля, потенциал которого полиномиально зависит от комплексного параметра. Доказывается существование операторов преобразования с условиями в нуле для рассматриваемого уравнения. При изучении свойств ядер операторов преобразования используются дробные интегралы и производные Римана Лиувилля. С помощью операторов преобразования и свойств их ядер получаются асимптотические формулы для собственных значений для краевой задачи, порождаемой указанными уравнениями и простыми краевыми условиями. Библиогр. 7.

Рассмотрим на интервале 0 < x < a (a < ∞) дифференциальное уравнение −y 00 + (q0 (x) + λq1 (x) + · · · + λn−1 qn−1 (x))y = λ2n y,

(I)

где λ — комплексный параметр, y = y(x, λ) — неизвестная функция. Обозначим через yj (x, λ), j = 1, 2, решение уравнения (I) удовлетворящее начальным условиям yj (0, λ) = 1,

yj0 (0, λ) = (−1)j+1 iλn .

(II)

Предположим, что выполняются следующие условия: (а) qk (x), k = 0, n − 1, — непрерывные нa [0, a] комплекснозначные функции; (б) функции qk0 (x), k = 1, n − 1, непрерывны на [0, a]. В п. 1 доказывается, что при условиях (а) и (б) существует оператор преобразования (общее определение операторов преобразования имеется в [1, 2]), который переводит решение exp{(−1)j+1 iλn x} простого уравнения y 00 + λ2n y = 0 в решение уравнения (I) с начальными условиями (II). Для исследования свойств ядра оператора преобразования использованы интегралы и производные Римана — Лиувилля дробного порядка. Заметим, что при n = 1 операторы преобразования изучены в работах [3, 4]. Также следует отметить, что операторы преобразования для уравнения (I) с условиями на бесконечности полностью изучены в [5]. В п. 2 с помощью операторов преобразования и свойств их ядер получены асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи, порождаемой уравнением (I) и краевыми условиями y(0) = y(π) = 0.

(III)

При n = 1 краевые задачи такого рода полностью изучены в монографии [3]. Поэтому мы будем считать, что n > 1. c 2000 Гусейнов И. M., Набиев А. А., Пашаев Р. Т.

Операторы преобразования и асимптотические формулы

555

1. Операторы преобразования Введем следующие обозначения: +∞ Z

kϕkj (x) =

|ϕ(x, t)| dt,

j = 1, 2,

Dx =

∂ , ∂x

[(−1)j −1] x 2

Sm =

  (m + 1)π mπ ≤ arg λ ≤ , λ: n n

m = 0, 2n − 1.

α α Через Ia,t ϕ(x, t) и Da,t ϕ(x, t) (0 < α < 1) обозначим соответственно операторы интегрирования и дифференцирования дробного порядка по t (см.[6]):

α Ia,t ϕ(x, t)

1 = Γ(α)

Zt

(t − s)α−1 ϕ(x, s) ds,

α Da,t ϕ(x, t) =

∂ 1−α I ϕ(x, t). ∂t a,t

a

Теорема 1.1. При выполнении условий (а) и (б) уравнение (I) для всех λ из замкнутого множества Sm имеет решение yj (x, λ), j = 1, 2, удовлетворящее начальным условиям (II), и существуют ядра Kν,m (x, t), ν = j + 21 [(−1)j+m − (−1)j ], операторов преобразования такие, что   +∞ Z   j+1 n m n yj (x, λ) = e(−1) iλ x 1 + Kν,m (x, t)e(−1) 2iλ t dt , (1.1)   [(−1)j+m −1] x 2

  x n−1  X 21− nk Z k 1− n kKν,m kν (x) ≤ exp |q (s)| ds − 1, (x − s) k   Γ(2 − nk ) k=0

(1.2)

0

где Γ(·) — гамма функция Эйлера. Кроме того, ядра Kj,m (x, t) обладают следующими свойствами: 1) на интервале ([(−1)j −1] x2 ; +∞) существуют суммируемые по t производ1 1
n n n ные Dx Kj,m (x, t), D[(−1) Kj,m (x, t), причем j −1] x ,t Kj,m (x, t), . . . , D[(−1)j −1] x ,t 2 2  x  Rx n−1 Z  h(x,s) ds X (2x)1− nk
|qk (0)| e 0 kDx Kj,m kj ≤ h(x, s) ds + , (1.3) k   Γ 2− n k=0

0

где h(x, s) = |q0 (s)| + 2(x − s)|q0 (s)| + +

n−1 X k=0

k

(2x)1− n (|qk (s)| + |qk0 (s)|), Γ(2 − nk )

0 ≤ s ≤ x; (1.4)

2) выполняются соотношения 1 1  1− 1
p
p 1− 1 n n Dx I−x,tn D−x,t K1,m (x, t) t→−0 − I−x,tn D−x,t K1,m (x, t) t→+0 } (m)

= γn−p−1 qn−p−1 (x) −

p X

1  1− 1
p−k (m) n γn−k qn−k (x) I−x,tn D−x,t K1,m (x, t) t→−0

k=1

−

1− 1 I−x,tn

1 n D−x,t


p−k

 K1,m (x, t) t→+0 ,

p = 0, n − 1,

(1.5)

556

И. M. Гусейнов, А. А. Набиев, Р. Т. Пашаев

1
 1− 1 p (m) n Dx I0,t n D0,t K2,m (x, t) t=0 = γn−p−1 qn−p−1 (x)

+

p X

1− 1

(m)

1

n γn−k qn−k (x)I0,t n D0,t


p−k

K2,m (x, t) t=0 ,

p = 0, n − 1;

(1.6)

k=1

здесь k

(m)

iπk

= 2− n e 2n (2m+1) ,

γk

m = 0, 2n − 1,

(1.7)

в формулах (1.5) и (1.6) при p = 0 слагаемые под знаком суммы отсутствуют; 3) функции K1,m (x, t) и K2,m (x, t) удовлетворяют уравнениям X (m) 1 1 
n  n−1
k n n γk qk (x) D−x,t Dx Dx K1,m (x, t) − D−x,t K1,m (x, t) = K1,m (x, t), (1.8) k=0

X (m) 1
1
  n−1 n k n n Dx Dx K2,m (x, t) − D0,t K2,m (x, t) = γk qk (x) D0,t K2,m (x, t)

(1.9)

k=0

соответственно. Доказательство. Рассмотрим интегральное уравнение (−1)j+1 iλn x

yj (x, λ) = e

Zx +

n−1 sin λn (x − t) X k λ qk (t)yj (t, λ) dt, λn

(1.10)

k=0

0

эквивалентное задаче (I), (II), и будем искать решение этого уравнения в виде (1.1). Для того чтобы функция вида (1.1) удовлетворяла уравнению (1.10), должно выполняться равенство +∞ Z

(−1)m 2iλn t

Kν,m (x, t)e

Zx dt =

[(−1)j+m −1] x 2

sin λn (x − t) (−1)j iλn (x−t) e λn

0

 n−1  X × λk qk (t) 1 +  k=0

+∞ Z

Kν,m (t, ξ)e(−1)

m

n

2iλ ξ

dξ

 

dt,

λ ∈ Sm ,

(1.11)



[(−1)j+m −1] 2t

и, наоборот, если функция Kν,m (x, t) удовлетворяет равенству (1.11), то функция (1.1) является решением уравнения (1.10), значит, и решением задачи (I), (II). Используя формулу (см. [7, с. 408]) k

1 k

(λn )1− n

iπ

21− n e− 2n (n−k)(2m+1) = Γ(1 − nk )

+∞ Z m n k s− n e(−1) 2iλ s ds,

λ ∈ Sm , k = 0, n − 1,

0

(1.12) преобразуем правую часть равенства (1.11) так, чтобы она имела вид, аналогичный левой части. Пусть сначала j + m, j = 1, 2, m = 0, 2n − 1, — нечетное число. Так как при λ ∈ Sm  +∞ (m) Z n m n γk k sin λ (x − t) (−1)j iλn (x−t)+(−1)m 2iλn ξ e = − (s − ξ)− n e(−1) 2iλ s ds k k  1− n n Γ(1 − ) (λ ) n ξ

Операторы преобразования и асимптотические формулы +∞ Z

−

m

k

(s − ξ + x − t)− n e(−1)

n

2iλ

ξ−x+t

  s ds , 

557

(1.13)

(m)

где γk определяется по формуле (1.7), то правая часть равенства (1.11) преобразуется к виду   +∞ Z Zx n−1   n X j n m n sin λ (x − t) (−1) iλ (x−t) k (−1) 2iλ ξ e λ q (t) 1 + K (t, ξ)e dξ dt k 1,m   λn k=0 −t 0  0  x+t Z Z n−1 X γ (m)  m n k k = e(−1) 2iλ t dt (x + t − s)− n qk (s) ds Γ(1 − nk )  k=0

−x

Zx +

k

(x + t − s − ξ)− n K1,m (s, ξ) dξ

qk (s) ds −s

0

Zx −

0

x+t−s Z

qk (s) ds −t

Z∞



Zt

k −n

(t − s)

K1,m (s, ξ) dξ  +

−s

e(−1)

m

2iλn t

dt

0

 x Z Zx Zt k k k ×  ((x + t − s)− n − t− n )qk (s) ds − qk (s) ds (t − ξ)− n K1,m (s, ξ) dξ 0

−s

0

Zx +

x+t−s Z

k −n

(x + t − s − ξ)

qk (s) ds −s

0

  K1,m (s, ξ) dξ  . 

Из этой формулы следует, что равенство (1.11) (при нечетном j + m) выполняется при всех значениях λ ∈ Sm , если функция K1,m (x, t) удовлетворяет интегральному уравнению  x+t n−1 X γ (m)  Z k k K1,m (x, t) = (x + t − s)− n qk (s) ds k  Γ(1 − n ) k=0 0

Zx −

Zt qk (s) ds

−t

Zx +

−s

x+t−s Z

k −n

(x + t − s − ξ)

qk (s) ds

K1,m (s, ξ) dξ

n−1 X k=0

 

при − x ≤ t < 0,



−s

0

K1,m (x, t) =

k

(t − ξ)− n K1,m (s, ξ) dξ

 x+t Z k k [(x + t − s)− n − t− n ]qk (s) ds Γ(1 − nk )  (m) γk

0 x+t−s Z

Zx + 0

k

(x + t − s − ξ)− n K1,m (s, ξ) dξ

qk (s) ds −s

558

И. M. Гусейнов, А. А. Набиев, Р. Т. Пашаев  Zx Zt  k − qk (s) ds (t − ξ)− n K1,m (s, ξ) dξ при t > 0. (1.14)  −s

0

Аналогично при четном j + m, исходя из формулы sin λn (x − t) k (λn )1− n

e(−1)

j

2iλn (x−t)+(−1)m 2iλn ξ

 +∞ (m)  Z m n γk k =− (s − x + t − ξ)− n e(−1) 2iλ s ds k  Γ(1 − n ) x−t+ξ

 +∞ Z  m n k − (s − ξ)− n e(−1) 2iλ s ds , 

(1.15)

ξ

где λ ∈ Sm , k = 0, n − 1, находим, что функция K2,m (x, t) должна удовлетворять интегральному уравнению  x n−1 X γ (m)  k Z −n k K2,m (x, t) = t qk (s) ds Γ(1 − nk )  k=0

0

Zx

k −n

−

(s − x + t)

Zx qk (s) ds +

Zt qk (s) ds

0

max(0,x−t)

Zx

k

(t − ξ)− n K2,m (s, ξ) dξ

0

  k (s − x + t − ξ)− n K2,m (s, ξ) dξ , 

s−x+t Z

−

qk (s) ds 0

max(0,x−t)

0 < t < ∞. (1.16)

Теперь остается показать, что уравнения (1.14) и (1.16) имеют решение, удовлетворяющее неравенству (1.2). С этой целью применим метод последовательных приближений, положив  n−1 R P γk(m) x+t k  (x + t − s)− n qk (s) ds, −x ≤ t < 0,  k  Γ(1− n ) k=0 0 (0) K1,m (x, t) = (1.17) n−1  P γk(m) Rx k k  − −  [(x + t − s) n − t n ]qk (s) ds, t > 0, Γ(1− k ) n

k=0

(p) K1,m (x, t)

=

n−1 X k=0

(m) γk

Zt qk (s) ds

max(−t,0)

(0)

K2,m (x, t) =

n−1 X k=0

 x Z

Γ(1 − nk ) 

Zx −

0

−s

x+t−s Z

k

(p−1)

(x + t − s − ξ)− n K1,m (s, ξ) dξ

qk (s) ds −s

0

  k (p−1) (t − ξ)− n K1,m (s, ξ) dξ , 

 (m)  k Zx γk t− n qk (s) ds Γ(1 − nk )  0

−x ≤ t < ∞, p = 1, 2, . . . , (1.18)

Операторы преобразования и асимптотические формулы  Zx  k − (s − x + t)− n qk (s) ds , t > 0, 

559

(1.19)

max(x−t,0)

 x Zt (m) Z γ k (p−1) (p) k K2,m (x, t) = qk (s) ds (t − ξ)− n K2,m (s, ξ) dξ k  ) Γ(1 − n k=0 0 0  s−x+t x Z Z  k (p−1) qk (s) ds (s − x + t − ξ)− n K2,m (s, ξ) dξ , t > 0, p = 1, 2, . . . . −  (1.20) 0 max(x−t,0) n−1 X

После несложных преобразований из (1.17)–(1.20) имеем  p+1 Zx k n−1   1− n X k 2 1 (x − s)1− n |qk (s)| ds kKj,m kj (x) ≤ , k  (p + 1)!  Γ(2 − n ) k=0

p = 0, 1, 2, . . . ,

0

(1.21) откуда следует, что ряды Kj,m (x, ◦) =

∞ X

(p)

Kj,m (x, ◦),

j = 1, 2,

(1.22)

p=0

сходятся равномерно по x ∈ [0, a] в пространстве L1 ([(−1)j − 1] x2 ; +∞), а их сумма удовлетворяет неравенству (1.2), являясь одновременно решением уравнений (1.14) и (1.16) соответственно. Теперь докажем свойства 1–3 функции Kj,m (x, t). (p) Из формул (1.17)–(1.20) вытекает, что функции Kj,m (x, t) имеют производные по x, причем  n−1 P γk(m) n k   q (x + t) + (t + x)− n qk (0) 0 k  Γ(1− )  n  k=1    o x  R k  −n 0  + (t + s) q (x − s) ds , −x < t < 0,  k  −t

(0)

Dx K1,m (x, t) =

n−1  P γk(m) n k k   [(t + x)− n − t− n ]qk (0)  k  Γ(1− n )  k=1    o  Rx  k k   + [(t + s)− n − t− n ]qk0 (x − s) ds , t > 0, 0

(p) Dx K1,m (x, t)

Zx

(p−1)

q0 (s)K1,m (s, x + t − s) ds

= 0

 x x+t−s Z (m) Z γk k (p−1) + ds (x + t − s − ξ)− n Ds [qk (s)K1,m (s, ξ)] dξ k  Γ(1 − ) n k=1 −s 0  t x Z Z    k (p−1) ds (t−ξ)− n Ds qk (s)K1,m (s, ξ) dξ , −x < t < ∞, p = 1, 2, . . . .  n−1 X

−

max(0,−t)

−s

560

И. M. Гусейнов, А. А. Набиев, Р. Т. Пашаев

Подобную формулу можно записать и для функций (p)

Dx K2,m (x, t),

p = 0, 1, 2, . . . .

Аналогично оценке для Kj,m (x, t) из этих формул имеем  x p Z

Dx K (p) (x) ≤ 1  h(x, s) ds j,m j p! 0  x  Z n−1 X (2x)1− nk ×  h(x, s) ds. + |qk (0)|, p = 0, 1, 2, . . . , k Γ(2 − ) n k=0

(1.220 )

0

где h(x, s) определяется по формуле (1.4). Следовательно, ряд (1.22) можно почленно дифференцировать, и справедлива оценка (1.3). Чтобы доказать суммируемость производных 1 n D−x,t


p+1

1

K1,m (x, t),

n D0,t


p+1

p = 0, n − 1,

K2,m (x, t),

1

1

n n последовательно применим операторы D−x,t и D0,t к обеим частям равенств (1.14) и (1.16) соответственно и воспользуемся тем, что   k+1 k 1 t− n t− n n D0,t = , Γ(1 − nk ) Γ(1 − k+1 n )

 1 D−x,t  Γ(1 − nk ) 1 n

 x+t Z k −n (x + t − s) qk (s) ds 0

1 = Γ(1 − k+1 n )

1 D0,t ( Γ(1 − nk )

Zx

1 n

x+t Z k+1 (x + t − s)− n qk (s) ds, 0

k

(s − x + t)− n qk (s) ds)

max(0,x−t)

1 = Γ(1 − k+1 n )

Zx

(s − x + t)−

max(0,x−t)

(см. [5, с. 47]). 1 n В результате, например, для D0,t


p+1

K2,m (x, t) имеем  n−p−2 (m)  k+p+1 Zx X 1
γk p+1 n D0,t K2,m (x, t) = t− n qk (s) ds Γ(1 − k+p+1 )  n

k=0

Zx − max(0,x−t)

− k+p+1 n

(s − x + t)

0

Zx qk (s) ds +

qk (s) ds 0

k+1 n

qk (s) ds

Операторы преобразования и асимптотические формулы Zt ×

− k+p+1 n

(t−ξ)

561  s−x+t Z  k+p+1 qk (s) ds (s−x+t−ξ)− n K2,m (s, ξ) dξ 

Zx K2,m (s, ξ) dξ−

0

0

max(0,x−t)

 Zx  (m) + + γn−p−1 −qn−p−1 (x − t) + qn−p−1 (s)K2,m (s, t) ds  0  Zx  − qn−p−1 (s)K2,m (s, s − x + t) ds  max(0,x−t)

+

p X

(m) γn−k

k=1

Zx

1 n qn−k (s) D0,t


p+1−k

K2,m (s, t) ds

0

  p−k+1 t− n qn+k (x) − p−k+1  Γ(1 − ) n k=1 p X

Zx

(m)

γn−k

(s − x + t)−

−

p−k+1 n

− p−k+1 n

0 qn−k (s) ds − qn−k (0)(t − x)−

max(0,x−t)

Zx +

max(0,x−t)

ds

(t − ξ)−

p−k+1 n

0 0 s−x+t Z

Zx −

Zt

Ds [qn−k (s)K2,m (s, ξ)] dξ

− p−k+1 n

(s − x + t − ξ)

ds 0

  Ds [qn−k (s)K2,m (s, ξ)] dξ , 

t > 0, (1.23)

где + qn−p−1 (x − t) =

(t − x)−α − =



qn−p−1 (x − t), если x ≥ t 0,



если x < t, если t ≤ x,

0,

(t − x)−α , если t > x. 1


p+1

K1,m (x, t), p = 0, n − 1. От1
n1 n сюда в силу (1.2), (1.3) легко получить суммируемость D−x,t K1,m (x, t) на 1
p+1 n K2,m (x, t) на (0; +∞) по t (p = 0, n − 1). (−x, +∞) по t и D0,t 1 1
p
p 1− 1 1− 1 n n Далее, применяя операторы I−x,tn D−x,t и I0,t n D−0,t , p = 0, n − 1, к обеим частям равенств (1.14) и (1.16) соответственно, получаем, что функции Kj,m (x, t), j = 1, 2, удовлетворяют условиям (1.5) и (1.6) соответственно. Справедливость (1.9) получается непосредственно из (1.16) и (1.23) при p = n − 1. Аналогично устанавливается справедливость (1.8). Теорема доказана. n Аналогичную формулу имеем для D−x,t

Замечание. Если удовлетворяются условия (а) и (б) и функция qn (x) непрерывно дифференцируема на [0, a], то для решения уравнения 00

−y +

n X k=0

λk qk (x)y = λ2n y,

562

И. M. Гусейнов, А. А. Набиев, Р. Т. Пашаев

удовлетворяющего начальным условиям (II), имеют место представления   Rx +∞ Z  (−1)j+1 iλn x+(−1)j 2i qn (t) dt  m n 0 yj (x, λ) = e 1+ Kν,m (x, t)e(−1) 2iλ t dt ,   [(−1)j+m −1] x 2

1 ν = j + [(−1)j+m − (−1)j ]. 2 Заметим, что при n = 1 эти представления получены в работах [8, 9]. λ ∈ Sm ,

j = 1, 2;

2. Асимптотические формулы для собственных значений Рассмотрим краевую задачу −y 00 +

n−1 X

λk qk (x)y = λ2n y,

0 < x < π,

y(0) = y(π) = 0,

(2.1)

k=0

где функции qk (x), k = 0, n − 1, удовлетворяют условиям (а) и (б) из п. 1. Теорема 2.1. Краевая задача (2.1) имеет бесконечно много собственных значений, большие по модулю собственные значения могут концентрироваться только вблизи лучей arg λ = mπ n , m = 0, 2n − 1, т. е. они состоят из 2n серий и m-я серия удовлетворяет асимптотической формуле   n (m) X imπ 1 ds 1 λk,m = e n k n + + o , k → +∞, (2.2) n−1 1+ s−1 n k 1+ n s=1 k где (m) d1

(−1)m = 2π

Zπ

qn−1 (s) ds, d(m) s

0

— не зависящие от k комплексные числа. Доказательство. Обозначим через S(x, λ) решение уравнения (1) при начальных данных S(0, λ) = 0, S 0 (0, λ) = 1. (2.3) Легко понять, что 1 [y1 (x, λ) − y2 (x, λ)], (2.4) 2iλn где y1 (x, λ), y2 (x, λ) — решение уравнения (1). Нетрудно убедиться, что функция S(π, λ) будет характеристической функцией краевой задачи (2.1). Корни уравнения S(π, λ) = 0 будем называть собственными значениями краевой задачи. Согласно теореме 1.1 функция S(x, λ) при λ ∈ S2ν , ν = 0, n − 1, имеет представление S(x, λ) =

sin λn x 1 iλn x S(x, λ) = + e λn 2iλn

+∞ Z n K1,2ν (x, t)e2iλ t dt −x

1 −iλn x − e 2iλn

+∞ Z n K2,2ν (x, t)e2iλ t dt. (2.5) 0

Операторы преобразования и асимптотические формулы

563

Из теоремы 1.1 также следует, что +∞ +∞ Z Z n n 2iλn 1 K1,2ν (x, t)e2iλ t dt = K1,2ν (x, t)e−2iλ t dt λ 2i(λn )1− n1

−x

−x

(2ν) γ1

2iλn =− λ Γ(1 − n1 )

Z∞

Z∞ n 1 K1,2ν (x, t) dt (s − t)− n e2iλ s ds

−x

t

+∞ Z (2ν) n γ1 1− 1 n =− 2iλ e2iλ t I−x,tn K1,2ν (x, t) dt λ −x  (2ν)  γ 1− 1 1− 1 =− 1 I−x,tn K1,2ν (x, t) t→−0 − I−x,tn K1,2ν (x, t) t→+0 λ  +∞ Z (2ν) n−1 X γk+1 1 n n − e2iλ t D−x,t K1,2ν (x, t) dt} = − α2ν (x) λk+1 k k=0

−x (2ν)

+

γn λn

+∞ Z

n

e2iλ

1

t

n D−x,t


n

K1,2ν (x, t) dt,

(2.6)

−x

где (m) αk (x)

Zx

(m) γn−k−1

=

qn−k−1 (s) ds −

(m) γn−p

p=1

0 (m)

k X

Zx

(m)

qn−p (s)αk−p (s) ds, 0

(2.7)

Zx

(m)

α0 (x) = γn−1

qn−1 (s) ds,

k = 1, n − 1, m = 0, 2n − 1.

0

Легко показать, что (2ν)

αk

(x) = e−

2i(k+1)νπ n

(0)

αk (x).

(2.8)

Аналогично +∞ +∞ Z (2ν) n−1 (2ν) Z X γk+1 1
n γn n (2ν) 2iλn t n e2iλ t D0,t K2,2ν (x, t)e dt = βk (x) + n K2,2ν (x, t) dt, k+1 λ λ k=0

0

0

(2.9) где (m) βk (x)

=

(m) γn−k−1

Zx qn−k−1 (s) ds +

=

(m) γn−1

(m) γk−p

p=1

0 (m) β0 (x)

k X

Zx

(m)

qn−p (s)βk−p (s) ds, 0

Zx qn−1 (s) ds,

m = 0, 2n − 1, k = 1, n − 1.

0

Также выполняется равенство (2ν)

βk

(x) = e−

2i(k+1) νπ n

(0)

βk (x).

(2.10)

564

И. M. Гусейнов, А. А. Набиев, Р. Т. Пашаев

Следовательно, S(x, λ) =

n−1

n−1

k=0 +∞ Z

k=0

1 iλn x X γk+1 1 −iλn x X γk+1 sin λn x − e αk (x) − e βk (x) n n k+1 λ 2iλ λ 2iλn λk+1 n

+

γn eiλ x 2iλn λn

n

e2iλ

t

1 n D−x,t


n

K1,2ν (x, t) dt

−x n

γn e−iλ − 2iλn λn

+∞ Z 1
n n n e2iλ t D0,t K2,2ν (x, t) dt,

x

λ ∈ S2ν ,

(2.11)

0 (0)

(0)

(0)

где γk = γk , αk (x) = αk (x), βk (x) = βk (x). Аналогично при λ ∈ S2γ+1 имеем S(x, λ) =

n−1

n−1

k=0

k=0

sin λn x 1 iλn x X γk+1 1 −iλn x X γk+1 − e αk (x) − e βk (x) n n k+1 λ 2iλ λ 2iλn λk+1 n

−

eiλ x γn 2iλn λn

+∞ Z 1
n n n e−2iλ t D0,t K2,2ν+1 (x, t) dt −x n

e−iλ x γn − 2iλn λn

+∞ Z 1
n n n e−2iλ t D−x,t K1,2ν+1 (x, t) dt. (2.12) 0

Из (2.11) и (2.12) следует, что n S(π, λ) − sin λ π ≤ C e|Jmλn π| , λn |λ|n+1

(2.13)

где C — некоторая положительная постоянная. Пусть теперь Se0,ε = {λ : nε ≤ arg λ ≤ nπ − nε }, где ε > 0 — фиксированное сколь угодное малое число (0 < ε < π). Легко показать, что при больших λ ∈ Se0,ε справедлива оценка | sin λn π| >

1 |Jmλn π| e . 4

Тогда из (2.13) следует, что n n S(π, λ) − sin λ π < 4C sin λ π . λn |λ| λn

(2.14)

(2.15)

e Выберем R > 0 настолько большим, что 4C R < 1. Тогда в области S0,ε ∩{λ : |λ| > R, λ ∈ S0 } уравнение S(π, λ) = 0 не имеет корней. Следовательно, в секторе Se0,ε уравнение S(π, λ) = 0 может иметь не более конечного числа корней, что вытекает из теоремы единственности аналитических функций. Значит, в секторе S0 корни уравнения S(π, λ) = 0 могут концентрироваться только вблизи лучей arg λ = 0 и arg λ = π (при больших λ ∈ S0 ). Совершенно аналогично можно показать, что при λ ∈ Sem,ε ∩ {λ ∈ Sm : |λ| > R}, где   ε m+1 ε mπ Sem,ε = λ : + ≤ arg λ ≤ π− , m = 1, 2n − 1, n n n n

Операторы преобразования и асимптотические формулы

565

справедлива оценка (2.15) и при λ ∈ Sm большие по модулю собственные значеm+1 ния могут концентрироваться только вблизи лучей arg λ = mπ n и arg λ = n π, m = 1, 2n − 1.
1 Нетрудно показать, что при достаточно больших k на дугах |λ| = k + 12 n , λ ∈ Sm − Sem,ε выполнена оценка | sin λn π| >

1 −π |Jmλn π| e e . 4

Тогда в силу оценки (2.14) при достаточно больших k на окружности |λ| =
1 k + 12 n имеем n 1 | sin λn π| > e−π e|Jmλ π| . (2.16) 4
1 Поэтому ввиду неравенства (2.13) на окружности Ok |λ| = (k + 12 n , где k ≥ [4Ceπ ] + 1, для регулярной функции S(π, λ) справедлива оценка n n S(π, λ) − sin λ π < sin λ π . (2.17) λ n λn n

Тогда по теореме Рушье функции S(π, λ) и sinλλn π внутри окружности имеют n одинаковое число нулей. Так как число нулей функции sinλλn π внутри Ok равно 2nk, нули S(π, λ) состоят из 2n серий по k нулей в каждой серии и m-я серия концентрируется вблизи arg λ =

mπ , n

m = 0, 2n − 1.

Простыми рассуждениями легко убедиться, что внутри области 1

1

D(m) = {λ : (k − 1/2) n ≤ |λ| ≤ (k + 1/2) n , | arg λ − mπ/n| < ε/n}, m = 0, 2n − 1, функция S(π, λ) имеет лишь один нуль, так как на границе D(m) имеет место
1
1 оценка (2.17). Следовательно, внутри кольца k− 21 n ≤ |λ| ≤ k+ 21 n функция S(π, λ) имеет ровно 2n нулей, и эти нули принадлежат различным сериям. Таким образом, нули функции S(π, λ) можно расположить в последовательность по сериям λ1,m ; λ2,m ; . . . ; λs,m ; . . . , |λj,m | < |λj+1,m |. Найдем асимптотику серии {λk,m }. Очевидно, что эта серия лежит в сек  (m) < ε . С помощью элементарных преобразований торе Tε = λ : arg λ − mπ n n из (2.11) и (2.12) получаем 1+ n

2iλ π

e

n−1 P k=0

=

γk+1 β (π) λk+1 k

1−

n−1 P k=0

1− n

e−2iλ

π

=

n−1 P k=0

,

1+

k=0

λ ∈ Tε(m) ∩ S2ν ,

(2.18)

γk+1 α (π) λk+1 k

γk+1 α (π) λk+1 k n−1 P

+ o(λ−n )

+ o(λ−n ) ,

γk+1 β (π) λk+1 k

λ ∈ Tε(m) ∩ S2ν+1 .

(2.19)

566

И. M. Гусейнов, А. А. Набиев, Р. Т. Пашаев

Из этих равенств следует, что 2iλn π = (−1)m 2isπ + ln 1 +

n−1 X k=0

− ln 1 +

n−1 X k=0

! γk+1 βk (π) λk+1

!

γk+1 αk (π) λk+1

+ o(λ−n ),

λ = λs,m ∈ Tε(m) , m = 0, 2n − 1,

(2.20)

где s принимает целые положительные значения, а через ln обозначена регу(m) лярная в Tε ветвь логарифма, принимающая действительные значения при положительных значениях аргумента. Далее, используя элементарные асимптотические методы, из (2.20) находим λs,m = e

imπ n

1

1

s n + o(1/s1− n ),

λs,m ∈ Tε(m) .

(2.21)

Наконец, уточнив асимптотическую формулу (2.21) с помощью формулы  # n1 n X 1 dk +o k = (−1) s + λks,m λs,m "

λs,m

m

k=1

(здесь мы выбираем одну регулярную ветвь корня, принимающую положительные значения при положительных значениях аргумента), которая следует из (2.21), где dk — некоторая постоянная, получим формулу (2.2). ЛИТЕРАТУРА 1. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. 2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их приложения. М.: Наука, 1984. 3. Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. думка, 1977. 4. Повзнер А. Я. О дифференциальных уравнениях типа Штурма — Лиувилля на полуоси // Мат. сб.. 1948. Т. 23, № 1. С. 3–52. 5. Гусейнов И. М. Об одном операторе преобразования // Мат. заметки. 1997. Т. 62, № 2. С. 206–215. 6. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. М. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 7. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1982. 8. Jaulent M., Jean C. On an inverse scattering problem with an energy-dependent potential // Ann. Inst. H. Poincar´ e. Sect. A. 1972. V. 17, N 4. P. 363–378. 9. Гусейнов Г. Ш. Асимптотические формулы для решений и собственных значений квадратичного пучка уравнений Штурма — Лиувилля. Баку, 1984. 12 с. (Препринт/Ин-т физики АН Азерб. ССР; № 113). Статья поступила 26 ноября 1998 г. г. Баку Бакинский гос. университет, факультет прикладной математики и кибернетики, ул. З. Халилова, 23, 370148 Баку, Азербайджан