Вища математика. Дистанційне навчання для студентів природничих факультетів заочної форми навчання

Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка

“Вища математика” дистанційне навчання для студентів природничих факультетів заочної форми навчання

Львів Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка 2006

Уклали:

Барабаш Галина Михайлівна Гаталевич Андрій Іванович Кічура Степан Михайлович

Відповідальний за випуск Богдан Іванович Копитко

“Вища математика” дистанційне навчання для студентів природничих факультетів заочної форми навчання

79000 Львів, вул. Дорошенка, 41.

2

Навчальним планом з вищої математики для студентів природничих факультетів передбачено контрольні роботи, залік та іспит. Під час виконання практичних завдань студентові необхідно продемонструвати вміння застосовувати на практиці теоретичні викладки щодо розв'язування задач.

Розділ 1. Множини. Множина комплексних чисел 1.1. Множини Множиною називають сукупність елементів різної природи, які об’єднані за певною (характеристичною) ознакою. Наприклад, множина комах Австралії, множина видів, які вимерли між 1900 і 1980 роками, множина корисних копалин Прикарпатського регіону. Множини позначаються великими буквами А, В, Х, а елементи множин – малими буквами а, в, х. Той факт, що елемент х належить множині А записують x  A . Якщо ж х не є елементом множини А, то записують x  A . Множину, яка не містить жодного елемента, називають порожньою множиною і позначають  . Множину можна задати, перерахувавши усі її елементи, A  a, b, c, d  – множина А складається з елементів a, b, c, d. Множину можна задати, описавши її характеристичну ознаку, A  x : б (x) – множина А складається з елементів х, яким притаманна властивість б ( x) . Приклад. A  x : 0  x  12, x  парне – множина А складається з усіх парних додатніх чисел, які менші 12. Цю ж множину можна визначити і так A  2, 4, 6, 8, 10. Множини, які складаються з одних і тих самих елементів, називають рівними. Якщо кожний елемент множини В є одночасно елементом множини А, то множину В називають підмножиною множини А і позначають B  A . З того, що B  A і A  B випливає, що A  B . Приклад. A  x : x  вид тварин, B  x : x  вид савців і C  x : x  вид котячих. B  A , C  A і C  B . 1.2. Операції над множинами Об’єднанням множини А і множини В ( A  B) називають множину, яка складається з елементів, що належать або до А, або до В, або до А і В одночасно. A  B  x : x  A  x  B.

3

Приклад. А – множина чоловіків, які курять, певного регіону, а В – множина чоловіків цього регіону, у яких є діти. Тоді A  B – множина чоловіків цього регіону, які або курять, або мають дітей, або курять і мають дітей. Аналогічно можна побудувати об’єднання більшої кількості множин. Наприклад, A  B  C  x : x  A  x  B  x  C. На рисунку 1 зображено об’єднання множин.

А

А

С В

В

A BC

AB а)

б) Рис. 1.

Перетином множини А і множини В ( A  B) називають множину, яка складається з елементів, що належать до А і до В одночасно.

A  B  x : x  A  x  B. Аналогічно можна побудувати перетин більшої кількості множин. Наприклад, A  B  C  x : x  A  x  B  x  C. На рисунку 2 перетину множин відповідає область перекривання множин.

А

А

A B

С

A BC В

б)

а)

В

Рис. 2. Для довільних множин А і В: 1) A  B  B  A , A  B  B  A. 2) A  (B  C )  ( A  B)  C , A  (B  C )  ( A  B)  C . 3) ( A  B)  C  ( A  C)  (B  C ) , ( A  B)  C  ( A  C)  (B  C ) . Різницею множини А і множини В ( A \ B) називають множину, яка складається з елементів множини А, які не належать до множини В.

4

A \ B  x : x  A  x  B . Для довільних множин А і В виконується рівність ( A \ B)  (B \ A)   , що видно з рисунка 3. Якщо a  A і b  B , то пару елементів a і b , яка записана у вигляді (a, b) називають впорядкованою парою. При цьому, впорядковані пари (a1, b1) і (a2 , b2 ) рівні тоді і тільки тоді, коли a1  a2 і b1  b2 . Множину, елементами якої є всі впорядковані пари (a, b) , де a  A і b  B називають прямим або декартовим добутком множин А і В і позначають A  B . При цьому, A  B  B  A , крім окремих випадків. Якщо B  A , то множину A \ B множини А і позначають  A B .

B

називають доповненням множини В до

B\A A

A B

0

x

x

A\B Рис. 3.

Рис. 4.

1.3. Множина дійсних чисел Множина натуральних чисел (N) – множина чисел, які використовують при лічбі. N  1, 2, 3, ..., n, .... Множина цілих чисел (Z) складається з натуральних, їм протилежних і нуля. Z  0,  1,  2,  3, ...,  n, ... . Множина раціональних чисел (Q) складається з цілих чисел і звичайних дробів.   Q   m : m  Z, n  N  .  n  Усі решта чисел складають множину ірраціональних чисел (С). Множину усіх раціональних та ірраціональних чисел називають множиною дійсних чисел (R  Q  C). Між цими множинами існує зв'язок 5

N  Z  Q  R. Множину дійсних чисел ототожнюють з числовою прямою (будь-яке дійсне число можна зобразити на цій осі). Абсолютною величиною (модулем) дійсного числа x називають відстань від  x, якщо x  0, початку відліку до цього числа | x |   x, якщо x  0. 1.4. Множина комплексних чисел Задача знаходження коренів квадратного рівняння (тобто знаходження таких чисел, що ax 2  bx  c  0 , де a  0 , b і c -- дійсні числа) має такі розв’язки:  b  b2  4ac x1,2  . 2a Ці корені є дійсними числами лише при виконанні умови b 2  4ac  0 . Однак в багатьох математичних задачах є зручним застосування цієї формули для знаходження коренів рівняння і в тих випадках, коли b 2  4ac  0 . Для подібних ситуацій вводять уявну одиницю – число

i  1. Тоді якщо b 2  4ac  0 , то b 2  4ac  (1)(4ac  b 2 )  i 4ac  b 2 , а квадратне рівняння має такі корені

4ac  b2  b x1,2  i . 2a 2a Комплексним числом в алгебричній формі називають вираз виду z  x  i y , де x  R і y  R, крім того, (x, y) є впорядкованою парою. Причому, x називають дійсною частиною комплексного числа z (Re z) , а y – уявною частиною комплексного числа z (Im z) . Вираз виду z  x  i y називають спряженим комплексним числом до комплексного числа z . Нехай z1  x1  i y1 і z2  x2  i y2 – довільні комплексні числа. Тоді z1  z2  x1  x2  i ( y1  y2 ) , z1  z2  x1  x2  i ( y1  y2 ) , z1  z2  ( x1  i y1)(x2  i y2 )  x1 x2  iy1 x2  ix1 y2  i 2 y1 y2  x1 x2  y1 y2  i( y1 x2  x1 y2 ) ,

6

z1 x1  i y1 ( x1  i y1)( x2  i y2 ) x1x2  y1 y2  i (x2 y1  x1 y2 )    ; z2 x2  i y2 (x2  i y2 )(x2  i y2 ) x22  i 2 y22

z1 x1x2  y1 y2  i ( x2 y1  x1 y2 )  . z2 x22  y22 Нехай z1  x1  i y1 і z2  x2  i y2 – довільні комплексні числа, z1  z2 тоді і тільки тоді, коли x1  x2 і y1  y2 .

2  5i . 3 2i 2  5 i (2  5 i)(3  2 i) 16  11i 16  11i Розв’зування.    . 3  2 i (3  2 i)(3  2 i) 94 13 Приклад. Обчислити

Якщо на площині введена прямокутна система координат xOy , то будь-якому комплексному числу z  x  i y на цій площині відповідає точка M (x, y) , при цьому кажуть, що точка M (x, y) зображає комплексне число z  x  i y . Площину, яка зображає комплексні числа, називають комплексною площиною, при цьому вісь Ox називають дійсною віссю , а Oy – уявною віссю.

y

y

M (x, y)

r ц

O

x

x

Рис. 5.

Модулем комплексного числа z  x  i y називають число r  x 2  y 2 , тобто це є відстань від початку координат до точки M (x, y) . 

Кут ц , який утворює вектор OM з додатнім напрямком осі Ox , називають аргументом комплексного числа і позначається arg z . Запис z  r (cos ц  i sin ц) називають тригонометричною формою комплексного числа. Будь-яке комплексне число z  0 має аргумент ц , який є розв’язком системи

cos ц  x  r  y, sin ц  r

причому 0  ц  2 р .

7

Запис z  r ei ц називають показниковою формою комплексного числа, тут ei ц  (cos ц  i sin ц) . Нехай задано два комплексних числа z1 і z2 в тригонометричній формі z1  r1(cos ц1  i sin ц1) , z2  r2 (cos ц 2  i sin ц 2 ) . Тоді дії над комплексними числами можна робити за правилами 1) z1 z2  r1 r2(cos(ц1  ц 2 )  i sin(ц1  ц 2 )) ; z r 2) 1  1 (cos(ц1  ц 2)  i sin(ц1  ц 2 )) ; z2 r2 Якщо z  r (cos ц  i sin ц) , тоді

z n  r n (cos(nц)  i sin(nц )) , n

n  N, формула Муавра,

ц  2рk ц  2рk  z  n r  cos  i sin , n n  

n  N, k  0, 1, ..., n  1.

Приклад. Обчислити (1  i )6 . Розв’зування. Позначимо z  1  i . Переведемо це число в тригонометричну форму 1 1 r  12  (1) 2  2 ; cos ц  ; sin ц   ; 2 2 1  cos ц   2 , ц  7 . ц є розв’зком системи  1 4 sin ц    2 Застосуємо формулу Муавра 7 7 21 21 (1  i ) 6  ( 2 ) 6 (cos(6  )  i sin( 6  ))  8(cos( )  i sin( ))  4 4 2 2    8(cos( )  i sin( ))  8(0  i )  8i . 2

Приклад. Обчислити

3

 2  2i 3 .

Розв’зування. Позначимо тригонометричну форму

z  2  2 i 3 .

r  (2)2  (2 3)2  4 ;

8

2

Переведемо

cos ц   1 ; sin ц  3 ; 2 2

це

число

в

cos ц   1  2 , ц  2р / 3 . Отже, z  4 cos 2р  i sin 2р . ц є розв’зком системи  3 3 3 sin ц  2 Тоді 3 z  3 4 cos 2р / 3  2рk  i sin 2р / 3  2рk , k  0, 1, 2. 3 3 Знайдемо всі корені третього степеня, тобто









  

 

k  0, z0  3 4 cos 2р  i sin 2р , 9 9 k  1, z1  3 4 cos 8р  i sin 8р , 9 9 k  2, z2  3 4 cos 14р  i sin 14р . 9 9



Розділ 2. Векторна алгебра 2.1. Вектори. Лінійні операції над векторами Пряму лінію з вказаним на ній напрямом називають віссю. Відрізок на осі називають напрямленим, якщо вказано, яка з його точок є початком і яка кінцем. Вектором називають напрямлений відрізок, який з’єднує дві точки простору.  Вектор з початком у точці A і кінцем у точці B позначають AB або a . Довжиною вектора AB називають довжину відрізка AB і позначають AB або  | a |. Нуль-вектором називають вектор, початок і кінець якого збігаються,  позначають нуль-вектор 0 . Вектори називають колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих. Вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах. Два вектори називають рівними, якщо вони мають рівні довжини, колінеарні і напрямлені однаково.

 Добутком вектора a на скаляр л , називають вектор лa , довжина якого   | лa || л || a | , а напрям збігається з напрямом вектора a , якщо л  0 , і  протилежний до напряму вектора a , якщо л  0 .

9

      Сумою двох векторів a і b називають вектор c (c  a  b ) , початок якого   збігається з початком вектора a , а кінець – з кінцем вектора b за умови,  що, за  правилом трикутника, кінець вектора a переходить у початок вектора b (рис.6).    Вектор c  a  b визначають ще за правилом паралелограма (див. рис. 7):      c  a  b – діагональ паралелограма, яка не проходить через кінці векторів a і b ,   причому вектор a і вектор виходять з однієї точки, а паралелограм b   побудований на векторах a і b .       Різницею двох векторів a і b називають вектор d (d  a  b ) такий, що     d  a  (b ) . Вектор d визначають також за правилом паралелограма (див. рис. 8).  b    d a b    a a a    c ab    c ab   b b Рис.6.

Рис. 7.

Рис. 8.

  Проекція вектора a на вісь Ox дорівнює добутку довжини вектора a на  cos ц , де ц – кут, який утворює вектор a з віссю Ox :     prx a | a |  cos ц | a |  cos(a, Ox) . 2.2. Декартова прямокутна система координат. Полярна система координат

   Виберемо у просторі три одиничні взаємоперпендикулярні вектори i , j , k – орти – зі спільним початком відліку – точкою O . Цю сукупність називають прямокутною декартовою системою координат у просторі.     Кожен вектор a можна єдиним способом розкласти на вектори i , j , k :     a  axi  a y j  az k .

 Числа ax , ay , az – координати вектора a .  Нехай задано точку M , вектор r  OM називають радіус-вектором точки M . Якщо

10

   OM  xi  y j  z k , то довжина радіус-вектора r  OM  x2  y 2  z 2 , де, числа x , y , z – координати точки M . Нехай задано точки A( x1, y1, z1) і B( x2, y2, z3) , тоді координати вектора

AB  (x2  x1, y2  y1, z2  z1) . Якщо б, в, г – кути, утворені вектором AB з ортами, тоді x x y  y1 z z cos б  2 1 , cos в  2 , cos г  2 1 | AB | | AB | | AB | і називають напрямними косинусами вектора AB , причому

cos2 б  cos2 в  cos2 г  1 . Сукупність точки O (полюса) і променя Ol (полярної осі) називають полярною системою координат (рис. 9). Полярними координатами точки M називають два числа с і ц , де с – відстань від початку відліку до точки M , ц – кут між відрізком OM і полярною віссю (р  ц  р) .

M (с, ц)

с ц O

l Рис. 9.

Між полярними і прямокутними координатами існує зв’язок:

x  с cos ц,   y  с sin ц;

с  x 2  y 2 ,  y  ц  arctg x .

2.3. Скалярний добуток двох векторів

   Скалярним добутком двох векторів a і b називають число (ab )    a b | a | | b | cos ц ,   де ц – кут між векторами a і b . Властивості скалярного добутку:

11

   1) a b  b a ;      2) a( b  c )  a b  a c ;      3) a 2  a a  | a |2 , отже, | a | a 2 ;    4) a  (ax, ay , az ) , b  (bx , by , bz ) , то a b  axbx  ayby  azbz ;     5) якщо a b  a b  0  a b  axbx  a yby  azbz  0 ;   bx by bz 6) умова паралельності: b  лa або    л; ax ay az  axbx  a yby  azbz a b 7) кут між векторами: cos ц   .  2 2 2 2 2 2 | a || b | ax  a y  az bx  by  bz 2.4. Визначники другого і третього порядків Матрицею розміру k  n називають прямокутну таблицю  a11 a12 ... a1n     a21 a22 ... a2n  = (aij ) , A ... ... ... ...    a a ... a  k1 k 2 kn  де k – число рядків, n – число стовпців, aij – елемент матриці. Якщо k  n , то матрицю називають квадратною, а число n – її порядком. Визначником другого порядку називають число a11 a12 def Д  det A   a11a22  a12a21 . a21 a22 Розглянемо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:  a1x  b1 y  d1,  a2 x  b2 y  d2. Введемо позначення a b d b a d1 Д  1 1 , Дx  1 1 , Д y  1 . a2 b2 d 2 b2 a2 d2 Якщо Д  0 , тоді система має єдиний розв’язок, який обчислимо за формулами Крамера: Д Д x x, y y . Д Д

Д  Дx  Д y  0 , і не має жодного розв’язку, коли Д  0 , однак принаймні один з Дx або Дy не дорівнює нулю. Система має безліч розв’язків, коли

12

Визначником третього порядку називають число a11 a12 a13 def

Д  det A  a21 a22

a23  a11a22a33  a12a23a31  a21a32a13  a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33 .

a31 a32 a33 Правило запам’ятовування формули називають правилом трикутника

Рис.10 Мінором M ij елемента aij визначника Д називають визначник, який отримують з Д викресленням i -го рядка та j -го стовпця. Алгебричним доповненням елемента aij називають число def

Aij  (1)i  j M ij .

Визначник обчислюють за допомогою розкладу за елементами i го рядка: def

Д  ai1 A i1 ai 2 A i 2 ai3 A i3 , чи за елементами j -го стовпця: def

Д  a1 j A 1 j  a2 j A 2 j  a3 j A 3 j . Формули Крамера для системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими  a1x  b1 y  c1z  d1,  a2 x  b2 y  c2 z  d2, a x  b y  c z  d 3 3 3  3 мають вигляд: Д Д Д x x, y y , z z , Д Д Д якщо Д  0 , де a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1

Д  a2 b2 a3

b3

c2 , Дx  d 2 b2 c2 , Дy  a2 d 2 c2 , Дz  a2 b2 d 2 . c3

d3 b3

c3

a3

d3 c3

a3 b3

d3 13

Якщо Д  0 і Д2x  Д2y  Д2z  0 , тоді система рівнянь має безліч розв’язків. Якщо ж розв’язку.

Д0

і

Д2x  Д2y  Д2z  0 , тоді система рівнянь не має жодного

2.5. Векторний добуток двох векторів

      Векторним добутком вектора a на вектор b називають вектор c ( c  a  b ), який задовольняє такі умови:        1) c a, c b ; c  a b    2) | c |  | a || b | sin ц ;   3) вектор c напрямлений у  той бік, з якого b  найкоротший поворот від a до b здійснюють проти ц годинникової стрілки (рис. 6).  Крім цього, | c | дорівнює площі паралелограма, a   Рис. 11. побудованого на векторах a і b (площа відповідного  трикутника дорівнює 1 | c | ). 2 Властивості  векторного добутку:   1) a  b b  a ;       2) a  (b  c )  a  b  a  c ;         3) Якщо a || b , тоді a  b  0 , зокрема a  a  0 ;          4) i  j  k , j  k  i , k  i  j ;    i j k     5) a  (ax, ay , az ) , b  (bx , by , bz ) , тоді a  b  ax ay az . bx

by

bz

2.6. Змішаний добуток трьох векторів

     Змішаним добутком трьох векторів a, b і c ( a b c ) називають вираз             (a  b ) c  a(b  c )  (a  c ) b  (c  b ) a . ax bx       Якщо відомо координати векторів a, b і c , тоді (a  b ) c  ay by az

bz

   (a  b ) c : cx1 cy . cz

   Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b і c , обчислюють за формулою: 14

  Vabc  | ab c | .   Об’єм піраміди, побудованої на векторах a, b і  V  1 | ab c | . 6

 c

, обчислюють за формулою:

  Приклад Визначити, чи є колінеарними вектори c1 і c2 , якщо:         a  (1,2, 3), b  (3, 0,1), c1  2a  4b , c2  3a  b;   Розв’язування.Обчислимо координати векторів c1 і c2 :  1   3   2   12   2  12   14                 c1  2a  4b  2  2   4 0     4    0     4  0     4  ,  3    1  6    4   6  (4)   2               1   3   3    3  3  3   0                 c 2  3a  b  3  2    0     6    0     6  0     6  .  3    1  9   1   9  1   10                Підставимо координати векторів c1 і c2 в умову паралельності векторів 14  4 2 2 1     , 0  – умова не виконуються. Отже, вектори c1 і c2 не є 0  6 10 3 5 колінеарними. 



Приклад Знайти кут між векторами AB та AC : A(1,2, 3), B(0,1, 2), C (3,4, 5) . 



Розв’язування.Знайдемо координати векторів AB і AC :  0  1    1  3 1   2            AB    1  (2)    1  , AC    4  (2)     2  .  2  3    1  53   2          Застосовуємо формулу косинуса кута між векторами

cos ц 

AB AC | AB || AC |

AB AC  1  2  1  (2)  (1)  2  6 , | AB | (1) 2  12  (1) 2  3 , | AC | 2 2  (2) 2  2 2  12  2 3 . Отже,

cos ц 

6 3   1 , шуканий кут дорівнює 180 0 . 32 3 3

15

  Приклад Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах a та , де b   a  (5, 0,1), b  (7, 2, 3);   Розв’язування.Шукана площа обчислюється за формулою S | a  b | . Знайдемо координати векторного добутку    i j k  0 1  5 1  5 0    j k  a  b  5 0 1  i 2 3 7 3 7 2 7 2 3

       i (0  (2))  j (15  (7))  k (10  0)  2i  8 j  10k .   Тоді S | a  b |  2 2  (8) 2  10 2  168  2 42 . Приклад Знайти об’єм тетраедра з вершинами в точках A, B, C, D : A(1, 2, 1), B(0, 1, 2), C(3, 4, 1), D(1, 4, 3); 1 Розв’язування.Шуканий об’єм обчислюэться за формулою V  | BA BC BD | . 6 Обчислимо координати векторів   1  0    1   3  0    3   3  0    3             BA   2  1    1  , BC   4  1    3  , BD   4  1    3  .  1  2    1  1  2    1  1  2    1             Знайдемо їх змішаний добуток 1  3 1

BA BC BD  1

3

3  3  9  1  (3  3  3)  10  6  4 .

1 1 1 1 2 Отже, V  | 4 | . 6 3 2x  3 y  4z  2,  Приклад Розв’язати систему за допомогою формул Крамера 7 x  2 y  8z  3, 5x  2 y  z  1;  Розв’язування.Обчислимо 2 3 4  7 2 5

16

2

8  4  120  56  (40  32  21)  73 , 1

2

3

4

x  3

2

8  4  24  24  (8  32  9)  3 , x 

1 2 1 2 2 4 y  7

3

x 3  ,  73

8  6  80  28  (60  16  14)  16 , y 

y 

5 1 1 2 3 2 z  7  2 5

2

3  4  45  28  (20  12  2)  26 ,

z

1

Отже, розв’язком системи є x  



16 , 73

 z 26  .  73

3 16 26 , y , z . 73 73 73

Розділ 3. Аналітична геометрія 3.1. Відстань між двома точками. Поділ відрізка в даному співвідношенні Нехай задано точки A( x1, y1, z1) і B( x2, y2, z2) . Відстань між точками A і В обчислимо за формулою:

AB  (x2  x1)2  ( y2  y1)2  ( z2  z1)2 . Нехай точка M ( x, y, z) ділить відрізок AB у співвідношенні AM : MB  л , тоді її координати визначимо за формулами:

x

x1  л x2 , 1 л

y

y1  л y2 , 1 л

z

z1  л z2 . 1 л

Зокрема, якщо точка M ( x, y, z) є серединою відрізка AB (л  1) , тоді

x

x1  x2 , 2

y

y1  y2 , 2

3.2. Пряма на площині Загальне рівняння прямої : Ax  By  C  0 ,  де вектор n  ( A, B) – нормальний (перпендикулярний) вектор прямої (рис. 7).

z

z1  z2 . 2

y l

 n О b

ц

a

 s Рис. 12.

x 17

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом : y  kx  b , кутовий коефіцієнт k  tgц , де ц – кут нахилу прямої до осі Ox , b – величина відрізка на осі Oy . Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки ( M 1(x1, y1) і M 2( x2, y2 ) ): x  x1 y  y1  . x2  x1 y2  y1 Рівняння прямої, у відрізках на осях :

x  y  1, a b

де a і b – величини відрізків, які відтинає пряма на осях координат. Пучок прямих – множина всіх прямих, які проходять через задану точку M ( x0, y0 ) : y  y0  л( x  x0 ) . Канонічне рівняння прямої :

x  x0 y  y0  , l m де M ( x0, y0 ) – задана точка на прямій, а вектор лельний) вектор прямої.

 s  (l, m) – напрямний (пара-

Нехай задано дві прямі l1 і l2 .

x  x1 y  y1  ; l1 m1 x  x2 y  y2 l2 : y  k2 x  b2 ; A2 x  B2 y  C2  0 ;  ; l2 m2 Кут ц між прямими визначимо за формулами: l1 :

y  k1x  b1 ;

tgц 

A1x  B1 y  C1  0 ;

k2  k1 , cos ц  1  k1k2

A1 A2  B1B2 , cos ц  2 2 2 A1  B1 A2  B2 2

Умови паралельності прямих l1 і l2 ( l1 | | l2 ):

k1  k2 ;

18

A1 B1  ; A2 B2

l1 m1  . l2 m2

l1l2  m1m2 . 2 2 2 l1  m1 l2  m2 2

Умови перпендикулярності прямих l1 і l2 ( l1  l2 ):

k1   1 ; k2

A1 A2  B1B2  0 ;

l1l2  m1m2  0 .

Нормальне рівняння прямої :

x cos б  y sin б  p  0 ,    де б  (i , n) – кут між вектором n і віссю Ox ; p ( p  0) – відстань від початку координат до прямої. Загальне рівняння прямої зводимо до нормального вигляду

Ax  By  C  0,  A2  B 2 де знак перед радикалом вибираємо протилежним до знаку C . Відстань від точки M ( x0, y0 ) до прямої обчислимо за формулою:

d  | x0 cos б  y0 sin б  p | або

d

| Ax0  By0  C | . A2  B 2

3.3. Криві другого порядку Рівняння кола з центром у точці C(x0, y0 ) і радіусом R :

(x  x0 )2  ( y  y0 )2  R 2 . Еліпсом називають геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) F1 і F2 є величиною сталою 2a (2a  F1F2 ) . Канонічне рівняння еліпса має вигляд: 2 x2  y  1 . a 2 b2

y b M ( x, y)

Еліпс, заданий таким рівнянням, є симетричним щодо осей координат (рис. 8). Параметри a і b називають півосями еліпса. Якщо a  b , тоді точки F1(c,0) і F2 (c,0) лежать на осі Ox , де c  a 2  b2 . Співвідно-

c

a F2

F1 F

a a

x

b Рис. 13

19

шення е  c  1 називають ексцентриситетом еліпса. a Якщо ж a  b , тоді точки F1(0, c) і F2 (0,c) , де c  b2  a 2 і

е  c  1. b

Гіперболою називають геометричне місце точок, різниця відстані від кожної з яких до двох заданих точок (фокусів) F1 і F2 є величиною сталою 2a (0  2a  F1F2 ) . 2 y2 x Канонічне рівняння гіперболи має вигляд: 2  2  1 . a b Гіпербола (рис. 9) симетрична щодо осей координат і перетинає вісь Ox у точках A1(a,0) і A2(a,0) (вершинах), де a – дійсна піввісь гіперболи, b – уявна піввісь гіперболи. Фокуси і F2 (c,0) теж лежать на осі Ox , c  a 2  b2 . Співвідношення е  c  1 називають ексцентриситетом гіперболи. a Прямі y   b x називають асимптотами гіперболи. a 2 2 y2 y2 Гіперболи x 2  2  1 і 2  x 2  1 називають спряженими. a b b a

y b

M ( x, y)

a a

F2

F1 F

x

Рис. 14. Параболою називають геометричне місце точок, однаково віддалених від заданої точки F (фокуса) і заданої прямої (директриси). Канонічне рівняння параболи: 1. y 2  2 px . Парабола симетрична щодо осі Ox (рис. 10), точка F ( p / 2, 0) – фокус, а пряма x   p / 2 – директриса. 2. x 2  2 py . Парабола симетрична щодо осі Oy (рис. 11), точка F (0, p / 2) – фокус, а пряма y   p / 2 – директриса.

y

y

20 p/2

F

p/2 p/2

F

Рис. 15. 3.4. Площина Загальне рівняння площини: Ax  By  Cz  D  0 ,  де вектор n  ( A, B, C) – нормальний (перпендикулярний) вектор площини. Якщо площина проходить через точку M ( x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно до  вектора n  ( A, B, C) , тоді її рівняння має вигляд

A( x  x0 )  B( y  y0 )  C (z  z0 )  0 .

z

 n M ( x0, y0, z0)

O y x

Рис. 17.

Якщо площина проходить через точку M ( x0 , y0 , z0 ) паралельно до двох   неколінеарних векторів a  (ax , ay , az ) і b  (bx , by , bz ) , тоді її рівняння матиме вигляд:

x  x0 ax

y  y0 ay

bx

by

z  z0 az  0. bz

21

Рівняння площини через три точки M1(x1, y1, z1) , M 2( x2, y2, z2) , M 3(x3, y3, z3) запишемо так: x  x1 y  y1 z  z1

x2  x1

y2  y1

z2  z1  0.

x3  x1

y3  y1

z3  z1

Зокрема, якщо ж площина відтинає від координатних осей відповідно відрізки a , b і c , тоді її рівняння матиме вигляд:

x  y  z  1. a b c Нормальне рівняння площини:

x cos б  y cos в  z cos г  p  0 . Кут між площинами Ax  By  Cz  D  0 обчислюємо за формулою: A1 A2  B1B2  C1C2 cos ц  . 2 2 2 2 2 2 A1  B1  C1 A2  B2  C2 Відстань від точки M 0 (x0 , y0, z0 ) до площини обчислюємо за формулами:

d  | x0 cos б  y0 cos в  z0 cos г  p | або

d

| Ax0  By0  Cz0  D | . A2  B 2  C 2

3.5. Пряма в просторі Пряму визначають перетином двох площин:

 A1x  B1 y  C1z  D1  0, – загальне рівняння прямої.   A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 Якщо пряма проходить через точку M 0 (x0 , y0, z0 ) і має напрямний вектор    s  (l, m, n) (s  0) , тоді її параметричне рівняння :

 x  x0  lt,   y  y0  mt, де t – параметр;  z  z  nt, 0  канонічне рівняння:

x  x0 y  y0 z  z0  = . l m n

22

Приклад Задано трикутник з вершинами A (0,-1), B (12,8), C (10,-6). Написати рівняння медіани CE . Розв’язування. Медіана CE проходить через дві точки C і E . Точка E є серединою сторони AB . Обчислимо координати точки E :

8  (1) 12  0  6, E y   3,5 . 2 2 Застосуємо формулу рівняння прямої через дві точки Ex 

y  (6) x - 10  , 6 - 10 3,5  (6) x - 10 y  6 x - 10 y  6 ,  , 19 x  190  8 y  48 , 19 x  8 y  142  0 .  -4 9,5 -8 19 Отже, 19 x  8 y  142  0 – рівняння медіани CE .

CE :

Приклад Задано трикутник з вершинами A (-8,-4), B (4,5), C (2,-9). Написати рівняння висоти CD . Розв’язування. Висота CD проходить через точку C перпендикулярно до прямої AB . Позначимо через k CD – кутовий коефіцієнт прямої CD , а k AB – кутовий 1 коефіцієнт прямої AB . З умови перпендикулярності отримаємо k CD   . k AB Знайдемо рівняння прямої AB , застосовуючи рівняння прямої через дві точки x - (-8) y - (-4) x8 y4 x8 y4 AB :  ,  ,  , 3 x  24  4 y  16 , 4 - (-8) 5 - (-4) 12 9 4 3 3x  4 y  8  0 . 3 Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої AB : 4 y  3 x  8 , y  34 x  2 , k AB  . 4 1 4 Тоді k CD   3   . Для знаходження рівняння висоти CD застосуємо рівняння 3 4 прямої з кутовим коефіцієнтом y  kx  b : 4 CD : y   x  b , щоб знайти значення сталої b , підставимо в останнє рівняння 3 координати точки C 4 8 19  9    2  b , b  9  , b   . 3 3 3 4 19 Отже, рівняння висоти CD має вигляд y   x  . 3 3

23

Приклад Знайти віддаль від точки M 0 до площини, яка проходить через точки M1 , M 2 , M 3 : M 1 (3, 4,7), M 2 (1, 5,4), M 3 (5,2, 0), M 0 (12, 7,1) . Розв’язування . Складемо рівняння площини M 1 M 2 M 3 , застосовуючи рівняння площини через три точки

x  (3)

y4

1  (3)

54

z  (7)  4  (7 )  0,

x3 y4 z7 4

1

3

 0,

 5  (3)  2  4 0  (7) 2 6 7 1 3 4 3 4 1 ( x  3)  ( y  4)  ( z  7)  0, 6 7 2 7 2 6 ( x  3)(7  (18))  ( y  4)(28  (6))  ( z  7)(24  (2))  0 , 25( x  3)  34( y  4)  22( z  7)  0 , 25 x  34 y  22 z  57  0 . Застосуємо формулу відстані від точки M 0 до цієї площини: 25(12)  34  7  22(1)  57 459 d   9,64 . 2 2 2 47 , 59 25  (34)  (22) Приклад Знайти точку перетину заданої прямої та площини: x  2 y  3 z 1   , x  2 y  3 z  14  0 . 1 1 4 Розв’язування . Перейдемо до параметричного рівняння прямої x  2  1  t x2t  y  3  t; підставимо у рівняння площини і знайдемо значення   y 3t  1   z  4t  1   z 1  t  4 8 параметра t : 2  t  2(3  t )  3(4t  1)  14  0 , t  , знайдемо координати 9 8 10 8 19 48 23 точки x  2   , y  3   , z  1 . 9 9 9 9 9 9

Розділ 4. Елементи лінійної алгебри 4.1. Матриці Прямокутну таблицю чисел

24

 a11 a12  a a A   21 22 ... ...   ak1 ak 2

... a1n   ... a2n  = (aij ) ... ...   ... akn 

називають k  n – матрицею, де k – число рядків; n – число стовпців; aij – елемент матриці. При k  n матрицю називають квадратною, а n – її порядком . Нуль-матрицею називають матрицю

 0 ... 0    O  ... ... ... .  0 ... 0    Одиничною матрицею називають матрицю n - го порядку def

1  def 0  I  ...  0

0 ... 0   1 ... 0  1, якщо i  j;  ( д ) , де д   ij ij ... ... ... 0, якщо i  j.  0 ... 1 

Елементи aij , для яких i  j , утворюють головну діагональ матриці. Якщо рядки k  n матриці A  (aij ) замінити її стовпцями, то отримаємо транспоновану матрицю AT  (aij )T  (a ji ) розміру n  k . Сумою двох матриць A і B однакових розмірів називають матрицю

 a11  b11 ... a1n  b1n    C  A  B  (aij  bij )   ... ... ...  .  a  b ... a  b  kn kn   k1 k1 def

Добутком матриці A  (aij ) ( k  n ) на скаляр (число) л називають матрицю

 лa11 ... лa1n    лA  (лaij )   ... ... ...  .  лa ... лa  kn   k1 def

25

Зокрема, A  B  A  (B) . Добутком матриці A  (aij ) ( k  n ) на матрицю B  (bij ) ( n  m ) називають матрицю C  (cij ) ( k  m ), кожний елемент якої визначають за формулою: n

cij   aisbsj ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  ainbnj , s 1

де cij – розглядають як добуток i -го рядка матриці A на j -й стовпець матриці B.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Властивості: A  B  B  A; A  B  B  A; ( A  B)  C  A  (B  C ) ; ( A  B)  C  A  (B  C) ; A  (B  C )  A  B  A  C , ( A  B)  C  A  C  B  C ; ( A  B)T  AT  BT ; (лA)T  лAT ; ( A  B)T  BT  AT ; ( AT )T  A .

4.2. Метод Гаусса Систему k лінійних рівнянь з n невідомими

 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1, a x  a x  ...  a x  b ,  21 1 22 2 2n n 2  ... ... ...   ak1x1  ak 2 x2  ...  akn xn  bk повністю задають розширеною матрицею системи

 a11 a12 ...   a a ... Ab   21 22 ... ...   ak1 ak 2 ...

26

a1n a2n ... akn

b1   b2  .  bk 

Розв’язком системи називають впорядкований набір чисел, за якого кожне рівняння перетворюється в числову рівність. Матрицю називають східчастою, якщо вона має вигляд:

 0...0 a1 j ... a1 j   0...0 0 ...a2 j  ... ...  0...0 0...0   0...0 0...0   0...0 0...0 1

2

2

... a1 j ... a1n   ... a2 j ... a2n  ... ...  , ... akj ... akn  ... 0...0   ... 0...0  k

k

k

де a1 j  0, a2 j  0, ..., akj  0, j1  j2  ...  jk . Систему лінійних рівнянь називають східчастою, якщо вона має вигляд: 1

k

2

 a11x1  a12 x2  ... a1n xn  b1,  a2 j x2  ...  a2n xn  b2,   ... ... ...   akj xkj  ...  akn xn  bk , 2

k

k

де a11  0, a2 j  0, ..., akj  0, 1  j2  ...  jk . 2

k

Елементарними перетвореннями системи називають: 1) переставляння двох рівнянь системи; 2) множення рівняння на число, відмінне від нуля; 3) додавання до одного рівняння системи іншого рівняння системи. Елементарні перетворення системи відповідають елементарним перетворенням розширеної матриці. Метод Гаусса полягає у тому, що кожну систему лінійних рівнянь за допомогою елементарних перетворень можна звести до еквівалентної їй східчастої системи. Зауваження. Якщо східчаста матриця містить нульовий рядок (0 ... 0 | bs ) , де bs  0 , то система є несумісною. 4.3. Обернена матриця

27

Квадратну матрицю називають оберненою ( A1 ) до квадратної матриці A , якщо A1  A  A  A1  I . Обернена матриця існує для будь-якої квадратної матриці, визначник якої не дорівнює нулю (det A  0) . Обернена матриця до матриці A має вигляд:

 A11  det A  A 12 1 T A  1 ( Aij )   det A  ... det A   A1n  det A

 2  3 1 3    X     2 4  7  2

Приклад. Знайти матрицю X :

 2

Розв’язування: Позначимо A    2 Оскільки det A 

A21 An1  ... det A det A  A22 An2 ...  det A det A  . ... ...  A2n Ann  ... det A det A 

 3 , 4 

1 3  , B   7  2

X - невідома матриця.

2 3  8  6  2  0, то для матриці A існує обернена матриця А1 . 2 4

Тоді, домноживши обидві частини рівняння A  X  B на А1 зліва, одержимо А1  A  X  А1  B , E  X  А 1  B , X  А1  B , (де E - одинична матриця). Обчислимо А1 : A11  4;

A12  2;

A21  3;

1  4 3   2  A   2  2 2   1  1

 Тоді X   2 1

A22  2

3  2 . 1

3  1 3   23  3   . 2  7  2    2   8 1  1 

 3x1  4 x2  3x3  0,  x  2 x  3x  2,  2 3 Приклад. Розв’язати систему рівнянь  1  x1  x2  x3  0,  x1  3x2  x3  2. Розв’язування. Запишемо розширену матрицю системи

28

3 4  1 2 1  1  1 3



6)7)

3 0   3 2  1 0    1  2 

1 2  0  1 0 0  0 0

 1)

1 2  3 4 1  1  1 3

3 2   3 0  1 0    1  2 

3

2  1 2   4 4   0  1 14 14  8)9)  0 0    14  14  0 0



2) 4)

1 2  0  2 0 3  0 1

3 2  4 4 1 1  0 0 

 10)

3

2    6  6 2 2   4 4 

 5)

1 2  0 1 0 3  0  2

 x1  2 x2  3x3  2,    x2  4x3  4,  x3  1. 

3

2   4 4  2 2    6  6 

 11)



6)7)

 x3  1,   x2  0,  x  1.  1

1) І і ІІ рядки поміняємо місцями (номер рядка записуватимемо римськими цифрами); 2) І рядок множимо на (-3) і додаємо до ІІ рядка; 3) від І рядка віднімаємо ІІІ рядок; 4) від І рядка віднімаємо ІV рядок; 5) IІ і ІV рядки поміняємо місцями; 6) ІІ рядок множимо на 3 і додаємо до ІІІ рядка; 7) ІІ рядок множимо на (-2) і додаємо до ІV рядка; 8) додаємо ІІІ і ІV рядки; 9) ІІІ рядок поділимо на 14; 10) запишемо відповідну систему рівнянь; 11) розв’язуємо систему; Розв’язок системи – (1, 0, 1) .

Розділ 5. Функція однієї змінної 5.1. Границі числових послідовностей Розглянемо множину натуральних чисел N  {1, 2, 3,..., n, ...} . Поставимо відповідно до кожного натурального числа n дійсне число xn . Таку множину чисел x1, x2, ..., xn, ... називають нескінченною числовою послідовністю, яку позначають {xn} . Число a називають границею нескінченної послідовності {xn} , якщо для будь-якого числа е  0 можна вказати натуральне число N  N ( ) , таке, що для n  N справедлива нерівність | x n  a |  . Позначають цей факт lim xn  a , саму ж послідовність називають збіжною. n

Властивості збіжних послідовностей : 1. Будь-яка збіжна послідовність має тільки одну границю. Якщо послідовності {xn} і {yn} збіжні, то

29

2. lim cxn  c lim xn , де c – стала. n

n

3. lim ( xn  yn )  lim xn  lim yn . n

n

n

4. lim ( xn  yn )  lim xn  lim yn . n

n

lim x xn n   n  5. lim n   yn lim yn

n

( yn  0, lim yn  0) . n

n

6. Якщо

lim xn  lim yn  a і xn  zn  yn , тоді lim zn  a .

n

n

n

5.2. Границя функції. Односторонні границі Означення 5.2.1. Число A називають границею функції f ( x) , коли x  a при x  a , якщо для будь-якої послідовності значень агрументу {xn} , яка прямує до a , відповідна послідовність значень функції { f (xn )} прямує до числа A . Позначають цей факт lim f ( x)  A . xa

Означення 5.2.2. Число A називають границею функції f ( x) , коли x  a , якщо для будь-якого числа е  0 існує таке число д  д(е)  0 , що з виконання умови 0 | x  a | д виконується нерівність | f (x)  A | е . Властивості границь функції. 1. Функція f ( x) може мати лише одну границю в точці. 2. Нехай lim f (x)  A і lim g (x)  B . Тоді функції xa xa

f (x)  g ( x) ,

f (x)  g (x) ,

f ( x) мають відповідно границі A  B , A  B , A (B  0) . g (x) B Означення 5.2.3. Число A називають границею функції y  f (x) у точці x  a справа (зліва), якщо для будь-якого числа е  0 можна вказати число д  д(е)  0 таке, що з умови 0  x  a  д (  д  x  a  0 ) випливає нерівність:

| f ( x)  A |  . Границю

справа

lim f ( x)  f (a  0) .

x  a 0

Важливі границі:

30

позначають

lim f (x)  f (a  0) ,

x  a 0

а

границю

зліва

sin x lim 1 x 0 x

і

1  lim  1   x  x

x

 e.

n! (n  1)! ; n   ( n  2)! n! (n  1)! n! (1  n  1) 1 1 Розв’язування. lim  lim  lim   0;  n  ( n  2)! n n! ( n  1)(n  2) n  n  1 Приклад. Обчислити

lim

Приклад. Обчислити

lim

x  8

1 x  3 ; 8 x

( 1  x  3)( 1  x  3) 1 x  3  lim  8 x (8  x)( 1  x  3) x  8 x  8 1 x  9 1 1 1  x 8  lim   lim   ;  lim 33 6 x 8 (8  x)( 1  x  3) x  8 1  x  3 x  8 (8  x )( 1  x  3)

Розв’язування.

lim

x

Приклад. Обчислити Розв’язування.

 x  lim  x  1  . x 

x x  ( x 1)   1   x   x 1 1     1        lim lim lim   x  1 x  1 x  1       x  x  x  

1

 e 1 .

5.3. Неперервність функції Означення 5.3.1. Функцію f ( x) , визначену в точці x  a , називають неперервною у точці x  a , якщо lim f (x)  f (a) . xa Означення 5.3.2. Функцію f ( x) , визначену в точці неперервною у точці x  a , якщо f (a  0)  f (a  0)  f (a) . Якщо f ( x) – неперервна функція в точці x  a , тоді

x  a , називають

lim f ( x)  f ( lim x) . xa

xa

Означення 5.3.3. Функцію f ( x) називають неперервною на множині X , якщо вона неперервна у кожній точці цієї множини.

31

5.4. Похідна функції. Правила диференціювання Означення 5.4.1. Похідною функції y  f (x) у точці x  x0 називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто

y 

dy def f ( x0  x)  f ( x0 )  lim . x  0 dx x

Очевидно, що похідна сталої функції дорівнює нулю C /  0, C – стала. Значення похідної функції y  f (x) у точці x  x0 є кутовим коефіцієнтом дотичної, проведеної до графіка функції у точці (x0, y0  f ( x0 )) ; рівняння дотичної y  y 0  f / ( x 0 )( x  x 0 ) . Означення 5.4.2. Функцію y  f (x) називають диференційовною у точці x  x 0 , якщо в цій точці існує похідна функції. Правила диференціювання. Нехай u (x ) і v(x) – дві диференційовні функції. Тоді: 1) (u  v)   u   v  ; 2) (u v)   u v  v u , зокрема, (C u )   C u  , C – стала; /

uv  u v u 3)    . 2 v v   Теорема 5.4.1. Нехай функція y  f (x) – диференційовна у точці x  x0 , а функція x  ц (t ) – диференційовна у точці t  t0 , причому x0  ц(t0 ) . Тоді складена функція y  f (ц (t)) – диференційовна у точці t  t0 , а, отже, справедлива формула:

dy dy dx   . d x d x dt Формули похідних основних елементарних функцій для випадку, коли u(x) – диференційовна функція: 1) (u ) /   u 1u ; 2) (au ) /  au ln a u , (eu ) /  eu u ;

32

3) (log a u)/  u ; (ln u)/  u ; u ln a u 4) (sin u ) /  cos u u  ; 5) (cos u ) /   sin u u  ; u 6) (tg u ) /  ; cos 2 u u 7) (ctg u ) /   ; sin 2 u u 8) (arcsin u ) /  ; 2 1 u u 9) (arccos u ) /   ; 2 1 u u 10) (arctg u ) /  ; 1 u 2 u 11) (arcctg u ) /   ; 1 u 2 Нехай функцію задано параметрично рівнянням

 x   (t ), t  (б,в).   y   (t ), Якщо ц(t) і ш(t ) диференційовні функції, причому ц(t )  0, тоді

d y  (t )  . d x  (t ) 5.5. Диференціал функції Якщо y  f (x) – диференційовна у точці x , тоді Дy  f / ( x)  б , де б  0 при Дx  0 . Дx Звідси приріст функції Дy  f / (x) Дx  б Дx . Означення 5.5.1. Головну частину f / (x) Дx приросту функції називають диференціалом функції і позначають d y :

d y  f / ( x) x .

33

Поклавши Дx  d x , отримаємо d y  f / (x) dx . 5.6. Правило Лопіталя Перше правило Лопіталя. Якщо lim f (x)  0 , lim g ( x)  0 та існує границя xa xa

f / (x) , тоді lim x  a g / ( x)

f (x) f / (x) lim  lim . x  a g ( x) x  a g / ( x) Друге правило Лопіталя. Якщо lim f ( x)   , lim g (x)   та існує границя xa xa

f / (x) , тоді lim x  a g / ( x)

lim xa

f (x) f / (x)  lim . g (x) x  a g / (x)

5.7. Похідні вищих порядків Якщо функція y  f (x) є диференційовною, то її похідну y  f / (x) , називають похідною І-го порядку функції y  f (x) . Якщо ж y  f / (x) – диференційовна функція, тоді її похідну y  ( f / (x))/ називають похідною ІІ-го порядку функції y  f (x) . Похідною n-го порядку функції y  f (x) називають похідну від похідної (n1)-го порядку функції y  f (x) , тобто

y (n)  ( y(n1) )/ або f (n) ( x)  ( f (n 1) (x))/. Приклад. Знайти

dy : dx

y  arccos 1  4 x .

Розв’язування:  dy 1 1 (1  4 x) 1 4   ( 1  4 x)    :    dx 1  1  4x 2 1  4x 2 x 2 1  4x 1  ( 1  4x )2

Приклад. Знайти Розв’язування:

34

dy : dx

y  x  (1  x)arctg x .

1 x 1 4x

;

   dy 1 1 1 1 1    arctg x  (1  x)  x   arctg x  (1  x )    arctg x . 2   dx 2 x 1  x 2 x 2 x 1 x   dy Приклад. Знайти : y  arccos 1  4 x . dx

 

 

Розв’язування: Приклад. Знайти

dy : dx

y  arccos 1  4 x .

dy : dx

y  arccos 1  4 x .

Розв’язування: Приклад. Знайти Розв’язування: Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку: y  x2 

16  16 ; [1; 4]. x

Розв’язування: Найбільше і найменше значення функції на відрізку досягається в крайніх точках відрізка, або в точках екстремуму функції. Знайдемо точки екстремуму. 16  0.  2 x 3  16  0; x 3  8; x  2. 2 x Тепер обчислимо: y(1)  1; y(4)  4; y(2)  4. y  2x 

Отже, найбільше значення функції дорівнює 4 , а найменше -  4. Розділ 6. Інтегральне числення 6.1. Невизначений інтеграл Означення 6.1.1. Функцію F (x) називають первісною функції f ( x) , якщо

F / ( x )  f ( x) . Якщо F (x) – первісна функції f ( x) , тоді функції f ( x) , де С – довільна дійсна стала.

( x)  F ( x)  C теж є первісною

Означення 6.1.2. Множину функцій F ( x)  C , де F (x) – первісна функції f ( x) , а С – довільна дійсна стала називають невизначеним інтегралом і позначають:  f ( x) d x  F ( x)  C . 35

Властивості невизначеного інтеграла : 1)  ( f 1 ( x)  f 2 ( x)) d x   f 1 ( x) d x   f 2 ( x) d x ; 2)  C f ( x ) d x  C  f ( x ) d x ; 3)

d   f ( x) d x   f ( x) ; dx

4)  d ( f ( x ))  f ( x)  C . Таблиця інтегралів Нехай u(x) – диференціальна функція.

u  1  C , ( б  const, б  1 ); 1)  u d u   1 du  ln | u | C ; 2)  u au u  C , ( a  const , , a  0, a  1 ); 3)  a d u  ln a u u e du  e  C ; 

4) 5) 6) 7)

 sin u d u   cos u  C ;  cos u du  sin u  C ; du

 cos 2 u  tg u  C ; 

du sin 2 u du

 ctg u  C ;

1 u arctg  C , ( a  const,  2 2 a a a u du  arcsin u  C , ( | u |  | a | ); 9)  2 2 a a u 10)  ctg u du  ln | sin u | C ; 8)



a  0 );

11)  tg u du   ln | cos u | C ; 12)

36

du

1 ln 2 2 2 a u a du 1  2 2  2a ln a u





ua  C , ( a  const, a  0 ); ua ua  C , ( a  const, a  0 ); ua

du

u C; 2 du u    ln tg     C ; 14)  cos u  2 4 

 sin u  ln

13)

tg

Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі:

 f ( x ) d x   f ( (t ))  (t ) d t , де x   (t ) неперервно-диференційовна однозначна функція. Метод інтегрування частинами у невизначеному інтегралі. Нехай u(x) і v( x) – неперервно-диференційовні функції

 u d v  uv   v d u . Приклади. Обчислити інтеграли: 3

1)

2)





4

x x

3

x



dx   ( x

cos 2 x dx cos 2 x sin 2 x



1 6



1 x 4 ) dx



5 6x 6

5



5 4x 4

5

C;

cos 2 x  sin 2 x

1   1 d x     dx   cos 2 x sin 2 x  sin 2 x cos 2 x 

 сtgx  tgx  C ;

3)

4)

cos 2 x

1 d (sin 2 x) 1  ln | sin 2 x | C . sin 2 x 2

 ctg 2 xdx   sin 2 x dx  2 



t 6 dt (t 6  1)  1 x dx t 3 6t 5 dt 6 5  {x  t , dx  6t dt}   3 2  6  6 dt  t 1 t 1 x 3 x t t

1 6t 5 3t 4 6 =6  (t  t  t  t  1  )dt  t    2t 3  3t 2  6t  ln | t  1 | C = t 1 5 2 5

4

5

2

2

1

1

1

1

6 3 = x  x 6  x 3  2 x 2  3 x 3  6 x 6  6 ln | x 6  1 | C ; 5 2 37

5)

 =

6)



dx

2tdt    e x  1  t 2 ; x  ln(1  t 2 ); dx  = 1 t2  ex  1 

2tdt 2

t (1  t )

dt  2 

x 2 dx 2

a x

2

dt 1 t

2

 2 arctgt  C  2arctg e x  1  C ;

 [ x  a sin t ; dx  a cos t dt ] = 

a 2 sin 2 t  a cos t 2

2

2

dt 

a  c sin t

a 3 sin 2 t cos t a2 2 2  dt = a  sin tdt   (1  cos t )dt  a cos t 2

a2 2

(t –

1 2

sin2t) =

a2 a 2  x x x 2  2 = t  sin t 1  sin t  C  arcsin  1  2  C. 2 2  a a a  





u  x; dv  cos 3 xdx;   x sin 3 x  1 sin 3 xdx  7)  x cos 3 xdx   1  du  dx; v  sin 3 x  3 3 3   x 1 = sin 3 x  cos 3 x  C. 3 9

u  ln 2 x; dv  dx   = x ln 2 x  x 2 ln x dx = x ln 2 x  2 ln xdx  8)  ln 2 xdx    x  2 ln x du  dx; v  x    x u  ln x; dv  dx   = x ln 2 x  2 x ln x  x dx   x ln 2 x  2 x ln x  2 x  C.  dx  x du  ; v  x   x  

u  e ax ; dv  sin bxdx  ax    1 e ax cos bx  9)  e sin bxdx   1 du  ae ax dx; v   cos bx  b   b

38



a 1 ax a a2 1 ( e sin bx   e ax sin bxdx)  2 e ax (a sin bx  b cos bx)  2  e ax sin bxdx . b b b b b

Запишемо тепер цю рівність у вигляді 2   a 1    e ax sin bxdx  e ax a sin bx  b cos bx .  b 2  b2 

Звідси знаходимо

e 10)

ax

sin bxdx  e ax

a sin bx  b cos bx 2

a b

2

 C.

dx

 x2  4x  5

Многочлен x 2  4 x  5 доповнимо до повного квадрата:

x 2  4 x  5  ( x  2)2  4  5  ( x  2)2  1. Отримаємо

 11)

dx x 2  4x  5



dx ( x  2) 2  1



d ( x  2) ( x  2) 2  1

 arctg ( x  2)  C .

dx

 6x2  x  2

Многочлен 6 x 2  x  2 доповнимо до повного квадрата: 2 2 2  1 1 1 1   1 7  2 1  6x  x  2  6  x  x    6  x      x     .  6 3 12 144 3   12   12     2

1  d x   dx 1 dx 1 12       6x 2  x  2 6   2 2 2 2 6  1 7 1 7  x     x     12   12  12   12    1 7  1 12 12  C  1 ln 6 x  3  C  ln 7 x 1  7 7 6x  4 12 12 x

39

x 2  3x  2 12)  dx x( x  1) 2 Запишемо формулу розкладу правильного раціонального дробу:

x 2  3x  2 A B C    . 2 x ( x  1) x x  1 ( x  1) 2 Зведемо її до вигляду

x 2  3 x  2 A( x 2  2 x  1)  B( x 2  x)  Cx   x( x  1) 2 x( x  1) 2

( A  B) x 2  ( 2 A  B  C ) x  A . x( x  1) 2 Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях x у многочленів, що стоять у чисельниках, одержимо систему лінійних рівнянь:

 A  B  1,  2 A  B  C  3,  A  2.  Розв’язавши систему рівнянь, отримаємо A  2 , B  1 , C  6 . На основі формули розкладу заданий інтеграл зводимо до обчислення таких елементарних інтегралів:

x2  3x  2 dx dx dx 6  x( x  1) 2 dx  2 x   x  1  6 ( x  1)2  2 ln x  ln x  1  x  1  C  x2 6  ln  C x 1 x 1 13)

 x( x

dx 2  4)2 ( x 2  1)

Розкладемо підінтегральну функцію на елементарні дроби:

1 A Bx  C Dx  E Mx  N   2  2  2 . 2 2 2 x ( x  4) ( x  1) x ( x  4) x 4 x 1 2

Зведемо її до вигляду

1  x ( x  4) 2 ( x 2  1) 2

A( x 2  4) 2 ( x 2  1)  ( Bx  C ) x( x 2  1)  ( Dx  E )( x 2  4)( x 2  1) x  ( Mx  N ) x( x 2  4) . x( x 2  4) 2 ( x 2  1)

40

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x , одержимо систему рівнянь:

 A  D  M  0;  E  N  0;  9 A  5 D  8M  B  0;  C  5 E  8 N  0; 24 A  B  4 D  16 M  0;  C  4 E  16 N  0; 16 A  1.  1 , з другого, четвертого та шостого  C  N  E  0 . 16 1 1 7 З першого, третього та п’ятого рівнянь маємо B  , D , M  . 144 12 9 З останнього рівняння A 

Отримаємо

 x( x 

14)



dx 1 dx 1 xdx 7 xdx        2  4)2 ( x 2  1) 16 x 12 ( x 2  4) 2 144 x 2  4

1 xdx 1 1 7 1  ln x   ln( x 2  4)  ln( x 2  1)  C ;  2 2 9 x  1 16 24( x  4) 288 18

x3  2 dx x 2  2x  3

Підінтеральна функція є неправильним раціональним дробом, тому діленням відокремлюємо цілу частину

x3  2 x 3  2 x 2  3x 2 x 2  3x  2

x2  2 x  3 x2

2x 2  4x  6 x4

Таким чином, маємо

x3  2 x4  x2 2 . 2 x  2x  3 x  2x  3

41

Тепер останню рівність інтегруємо:



x3  2 x4 x2 1 2x  8 dx  ( x  2 ) dx  dx   2 x  dx     x 2  2x  3 x 2  2x  3 2 2 x 2  2x  3 

x2 1 2x  2 1 6  2x   2 dx   2 dx  2 2 x  2x  3 2 x  2x  3

x2 1 d ( x 2  2 x  3) dx   2x    3  2 2 2 2 x  2x  3 ( x  1)  ( 2 ) 2 x2 1 3 x 1   2 x  ln x 2 2 x  3  arctg C . 2 2 2 2

 x  t6  (t 6  t 4  t )t 5 x x  x t5  t3 1   6 dx  t  x  6 dt  6 dt    6 2 2   3 t ( 1  t ) 1  t x(1  x ) dx  6t 5 dt  3

15)



2

6

1  dt 3   6   t 3  2 dt  6  t 3dt  6   t 4  6arctgt  C  2 t  1 1 t 2  3  3 x 2  6arctg 6 x  C. 2

16)



1  x dx . 1 x x

Зробимо заміну t 



1 x 1 t2 4tdt , тоді x  ; dx   . 2 1 t (1  t 2 ) 2 1 x

1  x dx t 2 dt (t 2  1)  (t 2  1) dt  4 2   2 dt  2  2   2 2 2 1 x x (t  1)(1  t ) (t  1)(1  t ) t 1

dt t 1 1 x 1  1  x2  2 2  2arctgt  ln  C  2arctg  ln  C. t 1 t 1 1 x x Розглянемо інтеграли виду  R( x, ax 2  bx  c )dx . У найпростіших випадках такі інтеграли зводяться до табличних (див.15 і 16). Небхідна заміна змінної здійснюється після виділення повного квадрату в квадратному тричлені ax 2  bx  c .

42

17)



dx 4x 2  4 x  5

.

Враховуючи, що 4 x 2  4 x  5  (2 x  1) 2  4 , покладемо t  2 x  1 , dt  2dx , 1 dx  dt . Ця заміна змінної дозволяє звести шуканий інтеграл до табличного: 2

dx





1 dt 1  ln t  t 2  4  C   2 2 2 t 2 2

4x 2  4x  5 1  ln 2 x  1  4 x 2  4 x  5  C. 2

18)



dx 1  4x  x2

Перетворимо підкореневий тричлен, доповнюючи його до повного квадрата:

1  4 x  x 2  5  ( x  2) 2 . Використаємо підстановку x  2  t , тоді x  t  2 , dx  dt . Інтеграл набуває вигляду



19)



x3 2

x x2

dx 1  4 x  x2



dt 5  t2

 arcsin

t x2  C  arcsin  C. 5 5

dx 2

1 7 1 1  Оскільки x  x  2   x    , то покладемо x   t . Тоді x  t  , dx  dt , а 2 4 2 2  звідси 2

7 x3 tdt 7 dt 2 dt  dx       7 2 2 7 7 x2  x  2 t  t2  t2  4 4 4 t



1 d (t 2 ) 7 7 7 7 7    ln t  t 2   C  t 2   ln t  t 2   C  2 4 4 2 4 7 2 t2  4

43



7 1 x 2  x  2  ln x   x 2  x  2  C . 2 2

20) 

dx 5  3 cos x

x 2dt 1 t2 Покладемо t  tg . Тоді x  2arctgt ; dx  ; cos x  . Звідси отримуємо 2 1 t2 1 t2

2dt 2dt 2 dx dt 1 d (2t ) 1 t 1 t2       2 2  5  3 cos x    2 1 t 2(1  4t ) 1  4t 2 1  (2t ) 2 53 1 t2 1 t2 

1 1 x arctg (2t )  C  arctg (2tg )  C ; 2 2 2

21)  sin 2 x cos3 xdx Покладемо sin x  t , dt  cos xdx ; cos2 x  1  sin 2 x  1  t 2 . Тоді отримуємо 2 3 2 2  sin x cos xdx   t (1  t )dt 

t3 t5 sin 3 x sin 5 x  C    C; 3 5 3 5

22)  sin 3 x cos 4 xdx Покладемо cos x  t , dt   sin xdx . Далі, враховуючи, що sin 2 x  1  t 2 , дістанемо

t7 t5 cos7 x cos5 x  sin x cos xdx    (1  t )t dt  7  5  C  7  5  C. 3

4

2

4

23)  sin 3 x cos 5 xdx

1 Зважаючи, що sin 3 x cos 5 x  (sin 8 x  sin 2 x) , маємо 2 1

1

1

 sin 3x cos 5 xdx  2  sin 8 xdx  2  sin 2 xdx  16  sin 8xd (8x)  

44

1 1 1 sin 2 xd (2 x)   cos 8 x  cos 2 x  C ;  4 16 4

24)  cos 2 xdx

1 Використаємо формулу cos2 x  (1  cos 2 x) . Отримаємо 2

 cos

2

xdx 

1 1 1 x 1 (1  cos 2 x)dx   dx   cos 2 xdx   sin 2 x  C. .  2 2 2 2 4

6.2. Визначений інтеграл Розглянемо неперервну невід’ємну на відрізку [a; b] функцію f ( x) . Фігуру, обмежену лініями y  f (x) , y  0 , x  a , x  b , називають криволінійною трапецією. Її площу позначимо S . Розіб’ємо відрізок [a; b] точками y a  x0  x1  ...  xn  b на n частин. З y  f (x) кожного інтервала (xi 1; xi ) виберем f (оi ) довільну точку оi , позначимо Дxi  xi  xi 1 , л  max Дxi (рис. 13). i Складемо суму n



f ( i ) x i ,

i 1

a  x0

xi оi xi 1 b  xn x Рис. 13.

яка наближено обчислює площу криволінійної трапеції. Очевидно, що при л0 n

lim



  0 i 1

f (i ) xi  S .

Якщо ця границя існує, є скінченною і незалежить ні від способу розбиття відрізка [a; b] , ні від способу вибору точок оi , тоді цю границю називають визначеним інтегралом b

 a

n

f ( x) d x  lim  f (i ) xi ,   0 i 1

де a і b – відповідно нижня і верхня межі інтегрування. Властивості визначеного інтеграла :

45

a

1)

 f ( x) d x  0 ; a b

2)

a

 f ( x) d x    f ( x) d x ; a b

b b

3)  C f ( x ) d x  C  f ( x ) d x , C – cтала; a b

a

b

b

4)  ( f ( x)  g ( x)) d x   f ( x ) d x   g ( x ) d x . a b

5)

a c

a b

 f ( x) d x   f ( x) d x   f ( x) d x . a

a

c

Якщо f ( x) – неперервна функція на

Формула Ньютона – Лейбніца. проміжку [a; b] , то b

 f ( x ) d x  F (b )  F ( a )  F ( x )

b a.

a

Заміна змінної у визначеному інтегралі. Нехай f ( x) неперервна на відрізку [a; b] , функція x   (t ) визначена монотонна й неперервно диференційовна на відрізку [б; в] (коли t пробігає відрізок [б; в] , тоді x заповнює відрізок [a; b] ), причому,  ( )  a,  (  )  b , тоді 

b



f ( x) d x 

 f ( (t ))  (t ) d t . 

a

Інтегрування частинами визначеного інтеграла. неперервні диференційовні на відрізку [a; b] . Тоді b

 u d v  (u v)

b a

a

Нехай u(x) і v( x) –

b

 vdu . a

Приклади. Обчислити визначені інтеграли:

x2 1 d ( x3 ) 1 1 1    3 1 1)  dx   arctgx = ( arctg 1  arctg 0 )   0   . |  6 0 3 1  ( x3 )2 3 3 3 4 0 1 x  12 1

46

1

2)

 2 2

   x  sin t, dx  cos tdt    1  x 2 dx  2   2 cos t cos tdt 2 cos 2 t  x t   dt   6 x6 2 4   sin 6 t  sin t  4  x 1 t    4  2 

 2

 2

dt 1 1 8  ctg 3 t ctg 5 t   / 2 2 4 =  ctg t (1  ctg t ) 2  -  (ctg t  ctg t )d (ctgt )     =    sin t 3 5   /4 3 5 15    2

2

4

4

.  4

  1   u ( x)  x, dv  tgxdx    1dx   2 3)  xtg xdx   cos x    x(tgx-x)  0 du  dx, v  tgx  x   2

р 4

x2  р р    (tgx  x) dx  1      ln(cos x)   4 4  2 0



 4 0

р 4



0

  1 2 =  1    ln  4 4 2 32

  1    ln 2 . 4 8

6.3. Невласні інтеграли Нехай функція f ( x) визначена на проміжку [a;) та інтегровна у кожному проміжку [a; A] , A  a . Невласним інтегралом І-го роду називають границю A

lim A  

 a



f ( x) d x 



f ( x) d x , a  A .

a

Якщо границя існує і є скінченною, тоді невласний інтеграл називають збіжним. Якщо ж границя не існує або є нескінченною, тоді невласний інтеграл називають розбіжним. Аналогічно визначають невласний інтеграл

47

b

b

f ( x) d x  lim



B  





f ( x) d x , B  b .

B

За означенням: A





f ( x) d x  lim A  



Якщо

F (x)

–



c

f ( x) d x  lim B  

c

первісна

функції

f ( x)



f ( x) d x , B  c  A .

B

та

існує

скінченна

границя



lim F ( x )  F () , тоді невласний інтеграл x 

 f ( x) d x

є збіжним.

a

f ( x)  k, x    g ( x)

f (x)  0 , g (x)  0 та існує скінченна границя lim

Якщо на [a;)





( k  0 ), тоді невласні інтеграли



f ( x) d x і

a

 g ( x) d x

збіжні або розбіжні

a

одночасно. 

Приклад.

Дослідити на збіжність невласний інтеграл



x

a

Розв’язування. Нехай б  1 , тоді  dx  lim  A   x a Якщо б  1, то 

 a

dx x

A

 a A

 lim

A  

 a

dx 

,

a  0.

dx  lim (ln A  ln a )   A   x dx x

 lim

1

A    (1   ) x 1

A

 a

1  ,   1, 1 1    1  lim   1   1    (  1)a 1 1   A    A a    ,   1.   dx Отже, заданий невласний інтеграл  при б  1 – збіжний, при б  1 – x a розбіжний.

48

Якщо f ( x) неперервна на відрізку [a; b] , крім точка x  c , в якій хоча б одна одностороння границя функції f ( x) є нескінченною, тоді невласним інтегралом ІІ – го роду називають границю c r

lim r  0

b

b

 f ( x) d x   lim  f ( x) d x   f ( x) d x .  0 c 

a

a

Якщо задана границя існує і є скінченною, тоді невласний інтеграл називають збіжним; якщо ж границя не існує або є нескінченною, тоді невласний інтеграл – розбіжний. b

Приклад. Дослідити на збіжність невласний інтеграл

 a

dx (b  x) 

б  0.

,

lim f (x)   . Нехай б  1 , тоді

Розв’язування.

x  b 0

b

 a

br dx dx  lim   lim (ln(b  a )  ln r )   . b  x r  0 a b  x r  0

Якщо б  1, то b

 a

br

dx (b  x ) 

 lim

r  0

 a

dx (b  x) 

 lim

r  0

1 (  1)(b  x)  1

br

 a

1  1   ,   1, 1 1    (  1)(b  a ) 1  lim   1    1 r  0  r (b  a ) 1   ,   1.  b dx Отже, заданий невласний інтеграл  при б  1 – збіжний, при б  1 – (b  x)б a розбіжний.

Приклади 

1)

 

Дослідити невласні інтеграли на збіжність. b2

b2 0  dx dx      lim  lim   2 2 2 2  x  2 x  2 b1   b1 ( x  1)  1 b1    b1 ( x  1)  1 0 ( x  1)  1  b  

dx

dx

2

b 2  

49

=

 lim  arctg(x  1 ) b1   b2   

           .  4 2 2 4

b2

0

 arc tg(x  1 ) b1

0

Інтеграл збіжний.

1 0

2)

 1

0  e x dx  lim    0 1 x3

1 1   u  ; du  dx  x x2   1 1x ex 1   dx   lim   e 1 x x3    0  x e dx x dv  ; v  e    x2  1

0 

0 

 1



1

1 1x  e dx   x2 

1  2  1  1е  1  lim  e  e  e е  e 1    . Інтеграл збіжний. е0  е e 

6.4. Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії Обчислення площі плоских фігур Визначений інтеграл від додатної неперервної функції f(x), заданої на відрізку [a;b], чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x), відрізком [a;b] осі абсцис та відповідними відрізками прямих х = а, х =b b

S   f ( x)dx . a

Коли криволінійна трапеція утворена двома неперервними кривими f1(x) i f2(x) на відрізку [a;b] і відповідними відрізками х = а, х = b, причому f1(x)  f2(x), тоді її площа дорівнює b

S   [ f 2 ( x)  f 1 ( x )]dx . a

Приклад Обчислити площу криволінійної трапеції обмеженої параболою y  x 2  3 x та прямою y  3 x  4  0. Розв’язування.

50

Знайдемо межі інтегрування, розв’язавши систему рівнянь y  x 2  3 x та y  3 x  4  0. Маємо x1  2, x 2  2. Знаходимо площу 2 x 3  2 32  2 = 4 x  . S   [(4  3 x)  ( x  3 x)]dx  (4  x )dx      2 3 3 2 2   2

2

Обчислення довжини дуги кривої Нехай крива задана рівнянням y = f(x), x  [a;b] (причому f(x) неперервна разом із своєю похідною на [a;b]) тоді довжина дуги кривої визначається формулою b

   1  ( f ( x)) 2 dx . a

Довжина кривої, заданої параметрами рівняння x = x(t), y = y(t), де x(t), y(t) – диференційовані функції,   t   , а  та  значення параметра t, при яких x ( )  a, x(  )  b дорівнює 





( x (t )) 2  ( y (t )) 2 dt .



Приклад Розв’язування. Обчислити довжину кривої y 2 

4 ( x  3)3 на відрізку [1;4]. 9

3 2 Задаємо функцію у(х) явно y   ( x  1) 2 , відшукаємо похідну y   x  1 і 3 переконаємось, що функція і її похідна неперервні на відрізку [1;4]. Тому довжина дуги

4

4

  2 1  ( y( x)) 2 dx  2 x  1  1 dx  2  1

1

2 3 4 28 x  . 1 3 3

Обчислення об’єму тіла обертання Нехай функція y = f(x) неперервна й додатна на відрізку [а;b]. Об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі ОХ криволінійної трапеції, обмеженої кривою f(x) та відрізками прямих х = а, х = b, у = 0, дорівнює 51

b

V    f 2 ( x)dx . a

Приклад Розв’язування. Обчислити об’єм фігури, утвореної обертанням петлі кривої y 2  x 2 (2  x) навколо осі ОХ. Функція симетрична стосовно осі ОХ і петля утворюється на відрізку 0  x  2 . Об’єм фігури обертання дорівнює 2

2 x 4  V    y ( x)dx    x (2  x)dx    x 3  4  0 0 3 2

2

2

2

 0

4 . 3

Розділ 7. Функція багатьох змінних 7.1. Основні поняття функції багатьох змінних Означення 7.1.1. Змінну u називають функцією двох (трьох) змінних x і y ( x, y i z ), якщо будь-якій точці M ( x, y ) чи (M ( x, y , z )) з деякої області D відповідає число u, тобто

u  f ( x, y ) або (u  f ( x, y , z )). Множину точок D , на якій визначена функція u  f ( x, y , z ) , називають областю визначення функції f і позначають D ( f ). Графіком функції f ( x, y , z ) називають множину Г(f)  {( x, y , z, f ( x, y, z )) : ( x, y, z )  D ( f )}. Множину точок ( x, y ) , координати яких задовольняють рівняння f ( x, y )  С (де С  const – деяке фіксоване число), називають лінією рівня функції f ( x, y ). Відстанню між двома точками M 1 ( x1 , y1 , z1 ) і M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) називають число

 ( M 1 , M 2 )  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2  ( z1  z 2 ) 2 . Означення 7.1.2. Число A називають границею функції f ( x, y , z ) ( f (M )) в точці M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , якщо для будь-якої збіжної послідовності точок

52

{M n ( xn , y n , z n )} , яка прямує до точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , відповідна послідовність значень функції { f ( xn , y n , z n )} прямує до числа A . Позначають цей факт lim f ( M )  A , lim f ( M )  A . x  x0 y  y0

M M0

zz0

Означення 7.1.3. Число A називають границею функції f ( x, y , z ) ( f (M )) в точці M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , якщо для будь-якого   0 існує    ( )  0 , що для всіх точок M ( x, y, z )  D ( f ) з виконання умови 0   (M 0 , M )   випливає нерівність | f ( x, y, z )  A |  . Властивості границь функції Нехай lim f ( M )  A і lim M M0

f (M )  g (M ) ,

g (M )  B .

Тоді функції

f (M )  g (M ) ,

M M0

f (M ) мають відповідно границі A  B , A  B , A (B  0) . B g (M )

Означення 7.1.4. Функцію f ( M ) називають неперервною в точці M 0 ( x0 , y0 , z0 ) (M 0 ( x0 , y0 , z0 )  D ( f )) , якщо для будь-якого   0 існує    ( )  0 , що для всіх точок M ( x, y, z )  D ( f ) з виконання умови 0   (M 0 , M )   випливає нерівність | f ( M )  f ( M 0 ) |  . Означення 7.1.5. Функцію f ( M ) називають неперервною в точці M 0 ( x0 , y0 , z0 ) (M 0 ( x0 , y0 , z0 )  D ( f )) , якщо lim f ( M )  f ( M 0 ) . M M0

7.2. Частинні похідні функції багатьох змінних Означення 7.2.1. Частинною похідною функції f ( x, y , z ) в точці M 0 ( x0 , y0 , z0 ) за змінною x називають похідну функції f за умови, що змінні f y, z не змінюються, і позначають . x Тобто f ( M 0 ) f ( x0   x, y 0 , z 0 )  f ( x0 , y 0 , z 0 ) .  lim x  0 x x Аналогічно f ( M 0 ) f ( x0 , y0  y , z0 )  f ( x0 , y0 , z0 ) ,  lim y  0 y y f ( M 0 ) f ( x0 , y0 , z0  z )  f ( x0 , y 0 , z0 ) .  lim z  0 z z

53

Повним приростом функції f ( x, y , z ) в точці M 0 ( x0 , y0 , z0 ) називають f ( M 0 )  f ( x0  x, y0  y, z0  z )  f ( x0 , y 0 , z0 ) . Якщо в точці M 0 ( x0 , y0 , z0 ) функція f ( x, y , z ) має усі частинні похідні, тоді

f ( M 0 ) 

f(M 0 ) f(M 0 ) f(M 0 ) Дx  Дy  Дz   (  ) . x y z

Головну лінійну частину повного приросту функції f ( x, y , z ) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) називають її диференціалом і позначають d f ( M 0 )

d f (M 0 ) 

в точці

f(M 0 ) f(M 0 ) f(M 0 ) dx  dy  dz . x y z

7.3. Частинні похідні та диференціали вищих порядків Нехай задано функцію f ( x, y , z ) , яка має усі частинні похідні. Частинні похідні від частинних похідних називають частинними похідними другого порядку :  f   f   f         2 2 2 y   f  f  f x  z      ,  ,  – квадратні похідні, y x z y 2 x 2 z 2

 f  2  f x   x y y

  ,

 f   y 2 f   y z z

  ,

 f     f x    x z z 2

– мішані похідні.

Диференціал від диференціала першого порядку називають диференціалом другого порядку і позначають d 2 f ( M 0 ) . Для функції f ( x, y ) можна записати формулу обчислення диференціала другого порядку 2

d f (M 0 ) 

 2 f(M 0 ) x 2

 2 f(M 0 )  2 f(M 0 ) 2 dx  2 dxdy  dy . xy y 2 2

Нехай функція f ( x, y , z ) має усі частинні похідні другого порядку. Частинні похідні від частинних похідних другого частинними похідними третього порядку. І так далі. 7.4. Екстремум функції багатьох змінних 54

порядку

називають

Нехай функція f ( x, y ) визначена в точці M 0 ( x0 , y 0 ) та деякому її околі. Означення 7.4.1. Функція f ( M ) має в точці M 0 ( x0 , y 0 ) локальний максимум, якщо існує такий окіл точки M 0 ( x0 , y 0 ) , що для всіх точок M з цього околу виконується f ( M )  f ( M 0 ) . Означення 7.4.2. Функція f ( M ) має в точці M 0 ( x0 , y 0 ) локальний мінімум, якщо існує такий окіл точки M 0 ( x0 , y 0 ) , що для всіх точок M з цього околу виконується f ( M )  f ( M 0 ) . Якщо функція f ( M ) має в точці M 0 локальний мінімум чи локальний максимум, то кажуть, що в точці M 0 функція f ( M ) має локальний екстремум. Необхідні умови існування екстремуму Якщо функція f ( M ) має в точці M 0 локальний екстремум і частинні похідні f ( M 0 ) f ( M 0 ) , існують, тоді всі ці похідні дорівнюють нулю x y f ( M 0 ) f ( M 0 )  0,  0. x y Точки, в яких усі перші частинні похідні функції f ( M ) дорівнюють нулеві, називають стаціонарними точками функції f ( M ) . Достатні умови існування екстремуму Нехай функція f ( M ) має в точці M 0 усі частинні похідні другого порядку. A B  2 f (M 0 )  2 f (M 0 )  2 f (M 0 ) Позначимо A  , C  , B  ,   . B C x y y 2 x 2 Якщо   0 тоді екстремум існує, і при A  0 в точці M 0 є локальний максимум, а при A  0 в точці M 0 є локальний мінімум; якщо   0 , тоді екстремума не існує; якщо   0 , тоді екстремум може бути, а може і не бути. Приклад. Для заданої функції довести рівність: y z z z  xln ; x  y  z.. x x y

55

y Розв’язування Зауважимо, що z  xln  x(lny lnx)  xlny  xlnx.. Тоді обчислимо x частинні похідні z y 1 z x  ln y  (ln x  x  )  ln y  ln x  1  ln  1;  . x x x y y Підставимо їх вирази в ліву частину рівності, яку маємо довести  z z y x y x  y  x(ln 1)  y  xln  z, x  y x y x що і треба було отримати. Розділ 8. Диференціальні рівняння Диференціальним називають рівняння

F ( x, y, y, ..., y (n) )  0 , що встановлює зв’язок між змінною x , шуканою функцією y та її похідними. Порядок диференціального рівняння визначають порядком найвищої похідної, що належить до нього. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію y  ц( x) , визначену на інтервалі (a, b) разом зі своїми похідними до n -го порядку включно, яка внаслідок підставлення в диференціальне рівняння перетворює його у тотожність по x на (a, b) . Зауважимо, що диференціальне рівняння має нескінченну кількість розв’язків. Множину усіх розв’язків диференціального рівняння називають його загальним розв’язком. Диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння виду

F ( x, y, y )  0 . 8.1. Рівняння зі змінними, які можна відокремити Якщо диференціальне рівняння можна звести до вигляду

f1( x) g1( y)dx  f2 (x) g2 ( y) dy  0 , то це рівняння – зі змінними, які можна розділити. З метою розв’язування такого рівняння відокремимо змінні

56

g 2( y) dy f (x) dx  1 g1( y) f 2 (x) та одержану рівність проінтегруємо: g ( y)

f (x)

 g2( y) dy   f1 (x) dx  C . 1 2 Зауваження. Потрібно окремо досліджувати значення x та y , при яких функції g1( y) та f 2 (x) дорівнюють нулю, тобто перевірити, чи корені рівнянь g1( y)  0 , f 2 (x)  0 задовольняють вихідне рівняння. Зокрема, рівняння виду

y  f (ax  by  c) , де a, b, c – задані сталі, за допомогою підстановки z  ax  by  c , зводиться до рівняння зі змінними, які можна розділити. 8.2. Однорідні рівняння Диференціальне рівняння виду

y  f (x, y) називають однорідним , якщо функція f (x, y) задовольняє умову f (tx, ty)  f ( x, y) , для довільного дійсного ненульового t .

y y  ц   , яке за допо x могою підстановки y  u x , де u  u( x) – невідома функція, зводиться до рівняння зі змінними, які можна розділити. Таке рівняння потрібно звести до рівняння вигляду

Зокрема, до однорідного рівняння зводять рівняння виду

a x  b1 y  c1  y  f  1 ,  a2 x  b2 y  c2 

57

де a2, b2, c2, a1, b1, c1 – дійсні числа, причому,

a1 b1  0. a2 b2

Введемо нові змінні о і з : x  о  б , y  з  в , де б і в – сталі, які є розв’язками системи

Якщо ж

 a1б  b1в  c1  0,  a2б  b2в  c2  0.

a1 b1  0 , то використовуємо підстановку z  a2 x  b2 y  c2 . a2 b2

8.3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння виду y  p( x) y  q(x) , (1) де p(x) та q(x) – задані неперервні функції. Якщо q(x)  0 , то (1) називають лінійним однорідним, якщо лінійним неоднорідним рівнянням.

q(x)  0 , то

Диференціальне рівняння (1) розв’язують за допомогою методу варіації сталої. Спочатку розв’яжемо відповідне однорідне рівняння

y  p( x) y  0 , яке є рівнянням зі змінними, які можна розділити, його загальним розв’язком буде y  C exp  p(x)dx. (2) Загальний розв’язок рівняння (1) отримаємо, поклавши в (2) замість довільної сталої C невідому функцію C( x) :

y  C (x) exp  p( x)dx.

(3)

Підставивши (3) в (1), одержимо рівняння для знаходження C( x) :

C(x)  exp p( x)dxq(x) , тоді

58

C( x)   exp p(x)dxq( x)dx  C .

(4)

Підставивши (4) в (3), отримаємо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (1): y  exp  p(x)dx  exp p(x)dxq(x)dx  C  . 8.4. Рівняння Бернулі Рівняння виду

y  p( x) y  q(x) y б (б  0, б  1) ,

(5)

де p(x) та q(x) – задані неперервні функції, називають рівнянням Бернулі. За допомогою підстановки y1б  z , y y б  z , 1 б де z  z(x) – невідома функція, рівняння (5) завжди зводиться до лінійного рівняння першого порядку: z  p( x) z  q( x) . 1 б Зауваження. Якщо б  0 , то y  0 буде розв’язком рівняння (5). 8.5. Рівняння у повних диференціалах Рівняння виду

M ( x, y) dx  N (x, y) dy  0

(6)

називають рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції u( x, y) . Тобто:

M ( x, y) dx  N (x, y) dy  d(u(x, y)) .

(7)

Це виконується, якщо неперервні функції M ( x, y) і N (x, y) задовольняють умову: M (x, y) N (x, y)  . y x Щоб розв’язати (6), треба знайти будь-яку функцію u( x, y) , яка задовольняє умову (7). З умови (7) отримаємо

59

M ( x, y) dx  N ( x, y) dy  u dx  u dy , x y звідки

u  M (x, y) , u  N (x, y) . y x

(8)

З першої рівності (8) одержимо:

u( x, y)   M (x, y) dx  ц( y) ,

(9)

де ц( y) – невизначена функція, яка залежить тільки від t. Функцію ц( y) підбираємо так, щоб виконувалась друга рівність (8), тобто підставляємо (9) в (8), маємо   M ( x, y) dx  ц( y)  N ( x, y) . y  Тоді ц( y)  N ( x, y)    M ( x, y) dx , y причому права частина буде функцією тільки змінної y. Знайшовши ц( y) , з (9) одержимо вираз u( x, y) . Тоді загальний розв’язок рівняння (6) матиме вигляд

u( x, y)  C .

8.6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефі– цієнтами Рівняння виду

a y  b y  c y  f (x) ,

(10)

де a, b, c – задані сталі (a  0) , f ( x) – задана функція, називають лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Рівняння виду

a y  b y  c y  0 ,

(11)

де a, b, c – задані сталі (a  0) , називають лінійним однорідним дифереціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. 60

Загальний розв’язок рівняння (10) має вигляд:

y  y0  ~ y, де y0 – загальний розв’язок рівняння (11), а ~ y – будь-який частинний розв’язок рівняння (10). Рівняння a л2  b л  c  0 називають характеристичним рівнянням, яке відповідає рівнянню (11). Якщо D  b 2  4 a c  0 , то коренями характеристичного рівняння буде

л1   b  D і л 2   b  D . 2a 2a Тоді загальний розв’язок рівняння (11) матиме вигляд:

y0  C1eл1 x  C2eл2 x , де C1 , C2 – довільні дійсні сталі. Якщо ж D  b2  4 a c  0 , то коренями характеристичного рівняння буде л1  л 2   b . 2a Тоді загальний розв’язок рівняння (11) матиме вигляд: y0  (C1  C2 x)eл1 x , де C1 , C2 – довільні дійсні сталі. Якщо D  b2  4 a c  0 , то коренями характеристичного рівняння буде

Позначимо

2 2 л1   b  i 4ac  b і л 2   b  i 4ac  b . 2a 2a 2 б   b , в  4ac  b . 2a 2a

Тоді загальний розв’язок рівняння (11) матиме вигляд: y0  eб x (C1 cos в x  C2 sin в x) , де C1 , C2 – довільні дійсні сталі. Метод варіації сталих Лінійне неоднорідне рівняння (10) з довільною правою частиною розв’язують методом варіації сталої. Якщо відомий розв’язок y0  C1 y1  C2 y2 відповідного

61

однорідного рівняння (11), тоді загальний розв’язок рівняння (10) шукаємо у вигляді: y  C1( x) y1  C2 ( x) y2 , де функції C1( x), C2 ( x) визначають з системи

 C1/ ( x) y1  C2 / ( x) y2  0,  / / a (C1 ( x) y1  C2 ( x) y2 )  f ( x). Приклад. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння (e x  1) y  ye x . Розв’язування. Це рівняння з розділеними змінними. Запишемо його у вигляді dy dy e x dx x x (e  1)  ye . Тоді  . Проінтегрувавши це співвідношення dx y ex  1

dy e x dx d (e x  1)  y   e x  1   e x  1 одержимо

ln | y | ln(e x  1)  C  ln C (e x  1).

Звідси загальний розв’язок y  C (e x  1). Приклад. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння xy x y   . 2(1  x 2 ) 2 Розв’язування. Це лінійне рівняння першого порядку. Розв’яжемо його методом варіації сталої. xy Спочатку розглянемо відповідне однорідне рівняння: y   0. Тоді 2(1  x 2 )

dy xy dy xdx  ;  ; 2 dx y 2( x 2  1) 2(1  x )

dy d ( x 2  1)  y  2 . 4( x  1)

1 1 Звідси одержимо: ln | y | ln | x 2  1 | C  y  C ( x 2  1) 4 . 4

1

Розв’язок початкового рівняння будемо шукати у вигляді y  C ( x)( x 2  1) 4 , де C (x ) - деяка невідома функція. Підставляючи це співвідношення в рівняння маємо 1 1 x 3 x x 2 4  . C ( x )( x 2  1) 4  C ( x)( x 2  1) 4  C ( x )( x  1 ) 2 2 2(1  x 2 )

62

x 1 Звідси C(x)  (x2 1) 4. Тоді 2 2 3 x 2 1 1 1 1 2 4 4 C ( x)   ( x  1) dx   ( x  1) d ( x  1)  ( x 2  1) 4  C , 2 4 3 1 1 і загальний розв’язок y  ( x 2  1)  C ( x 2  1) 4 . 3

Приклад. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння y 2 10 y 3 y  2   10. x x Розв’язування. Це однорідне диференціальне рівняння. Зробимо заміну y  ux, де y u  u (x ) - невідома функція. Тоді y  u x  u ,  u. Після підстановки в рівняння x одержимо:

3(u x  u )  u 2  10u  10;

3u x  u 2  7u  10;

3 xdu  u 2  7u  10. dx

Тоді

3

du u 2  7u  10



dx . x

Розглянемо підінтегральну функцію в лівій частині рівняння

1 u 2  7u  10



1 1 1 1  (  ). (u  2)(u  5) 3 u  2 u  5

Отже, 1

1

 ( u  2  u  5 )dx  

dx . x

y 2 u2 y  2x x ln | u  2 |  ln | u  5 | ln | x | C  ln  ln Cx   Cx   Cx. y u 5 y  5 x 5 x Перевіркою переконуємось, що y  5 x є частинним розв’язком рівняння. Приклад. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння y  2 xy  2 x3 y 3. Розв’язування. Це рівняння Бернуллі (  3). Зробимо заміну z  y 2 . Тоді z  2 yy 3 і отримуємо лінійне рівняння

63

z  2 xz  2 x3 або z  4 xz  4 x 3. 2 Спочатку розв’яжемо відповідне однорідне рівняння: z  4 xz  0. 2 dz dz  4 xz;   4 xdx  ln | z | 2 x 2  C ; z  Ce 2 x . dx dx

Покладемо C  C (x), C (x) - невідома функція. Тоді 2

2

2

z  C ( x )e 2 x ; z   C ( x )e 2 x  C ( x)e 2 x  4 x. При підстановці у рівняння отримаємо: 2

2

2

C ( x)e2 x  4 x 3 ; C ( x)  4 x 3e  2 x  C ( x)    4 x3e 2 x dx. dt Для інтегрування зробимо заміну x 2  t , x  t , dx  . 2 t Тоді 4t t e 2t dt 3 2x2   4x e dx     2  te  2t dt   td (e  2t )  te  2t   e  2t dt  2 t 2 2 1 1  te  2t  e  2t  C  x 2e  2 x  e  2 x  C. 2 2 Тепер отримуємо загальний розв’язок: 2 2 2 2 1 1 z  ( x 2e  2 x  e  2 x  C )e 2 x  x 2   Ce 2 x . 2 2

Звідси

y 2  x2 

2 1  Ce 2 x . 2

Приклад. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння ( x cos 2 y  1)dx  x 2 sin 2 ydy  0. Розв’язування. M ( x, y )  x cos 2 y  1, N ( x, y )   x 2 sin 2 y. M N  2 x sin 2 y,  2 x sin 2 y. y x M N Оскільки  , то це рівняння в повних диференціалах і воно має вигляд y x u u d (u ( x, y ))  0, або dx  dy  0. x y u Знайдемо функцію u ( x, y). Оскільки  M ( x, y ), то x 64

x2 u ( x, y )   ( x cos 2 y  1)dx  cos 2 y  x   ( y ). 2 u   x 2 sin 2 y   ( y )   x 2 sin 2 y   ( y )  0   ( y )  C. y Отже, загальний розв’язок можна записати так:

x2 cos 2 y  x  C. 2 Приклад. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння y  2 y  e x . Розв’язування. Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами. Знайдемо спочатку загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння: y  2 y  0. Для цього розв’яжемо характеристичне рівняння:

2  2  0  1  0, 2  2. Тоді

yо  C1  C2e2 x . Загальний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді:

y  C1 ( x)  C2 ( x )e2 x , де функції C1 ( x), C 2 ( x ) шукаємо з системи  C  ( x )  C  ( x)e 2 x  0, 2  1   C 2 ( x ) 2e 2 x  e  x . Тоді

1 1 C2 ( x)  e 3 x  C2 ( x)   e  3 x  C2 ; 2 6 1 1 1 C1 ( x)  e 3 x e 2 x  0; C1 ( x )   e x  C1 ( x)  e  x  C1. 2 2 2 Тоді

y

1 x 1 1 e  C1  ( e 3 x  C2 )e 2 x  y  C1  C2e 2 x  e  x . 2 6 3

65

Розділ 9. Ряди 9.1. Числові ряди Нехай {un} – нескінченна числова послідовність. Числовим рядом називають вираз 

 un ,

u1  u 2  ...  u n  ... 

n 1

де un називають загальним членом ряду. Суму m перших членів ряду називають m-ою частинною сумою ряду і позначають Sm : m

Sm  u1  u 2  ...  u m 

 un . n 1

Якщо існує скінченна границя lim S  S , тоді ряд називають збіжним, а m  m число S – його сумою. Необхідна ознака збіжності ряду. Якщо ряд збіжний, тоді lim un  0 . n 

Зауважимо, якщо lim un  0 , тоді ряд є розбіжним. n 

9.2. Ряди з додатніми членами 

Розглянемо ряд

 un ,

un  0 .

n 1

Ознака порівняння Якщо, починаючи з деякого n , виконується нерівність 

1) зі збіжності ряду



 vn

випливає збіжність ряду

n 1

 un ; n 1



2) із розбіжності ряду

un  vn , тоді:

 un випливає розбіжність ряду n 1



 vn . n 1

Ознака Даламбера

un 1 , тоді при q  1 – ряд збіжний, при q  1 – n   un розбіжний, а при q  1 – ознака відповіді не дає. Якщо існує границя q  lim

66

Радикальна ознака Коші Якщо існує границя q  lim

n

n

un , тоді при q  1 – ряд збіжний, при q  1 –

розбіжний, а при q  1 – ознака відповіді не дає. Інтегральна ознака Коші Якщо f ( x) монотонна спадна функція при x  n0 і така, що un  f (n) , n  N, 

тоді інтеграл





f ( x) d x збігається (розбігається) одночасно з рядом

 un . n 1

n0



Приклад. Дослідити на збіжність ряд

 n 1



1 n

, де б – стала.

dx

, як відомо, збіжний, коли б  1 , і  x 1  якщо   1;  збіжний , 1 розбіжний, коли б  1 . Отже,   –  n 1 n  розбіжний , якщо   1; і називають узагальненим гармонійним рядом. Розв’язування. Невласний інтеграл



9.3. Ряди з довільними членами Розглянемо ряд 

 un ,

(12)

n 1

де un – дійсні числа довільних знаків. Ряд (12) називають абсолютно збіжним, якщо ряд 

 | un |

(13)

n 1

є збіжним. Якщо ж ряд (13) розбіжний, ряд (12) збіжний, тоді ряд (12) називають умовно збіжним. Знакоперемінним рядом називають ряд

u1  u2  u3  u4 ...  (1) n 1un  ... 



 (1)n1un ,

(14)

n 1

де un  0 . Ознака Лейбніца

67

Якщо lim un  0 і, починаючи з деякого n , виконується нерівність un  un 1 , n 

тоді ряд (3) є збіжним і його сума не перевищує u1 . 9.4. Степеневі ряди Ряд виду

a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... 



 an x n n0

називають степеневим рядом, де a0, a1, a2, ..., an , ... – задані числа, які називають його коефіцієнтами, а x – деяка змінна величина. Існує інтервал (R; R) , в усіх точках якого степеневий ряд збіжний, а за межами [R; R] – розбіжний. Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду і його обчислюють за однією з формул:

R  lim n

an an 1

або

R  lim

n

1 , n|a | n

за умови, що границі існують. Степеневим рядом називають також ряд виду 2

n

a0  a1( x  x0 )  a2 ( x  x0 )  ...  an ( x  x0 )  ... 



 an ( x  x0 )n , n 0

де x0 – деяке фіксоване значення. Якщо функція f ( x) має в точці x  x0 ряд

та її околі похідні усіх порядків, тоді

 f (n) ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 n 0 f ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x0 )  ...  ( x  x0 )  ...   ( x  x0 )n 1! 2! n! n! n 0

називають рядом Тейлора функції f ( x) . Якщо функція f ( x) має в точці x  x0 і деякому її околі похідні усіх порядків, обмежені одним і тим самим числом, тоді у цьому околі

f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x0 )  ...  ( x  x0 )n  ...  1! 2! n! 68

f ( n) ( x0 )  n! ( x  x0 ) n . n 0 



Зокрема, якщо x0  0 , то отримаємо ряд  f ( n ) (0) f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n f (0)  x x  ...  x  ...   xn , 1! 2! n! n! n 0

який називають рядом Маклорена. Якщо функція f ( x) має в точці x  0 і деякому її околі похідні усіх порядків, обмежені одним і тим самим числом, тоді у цьому околі

f ( x)  f (0) 

 f ( n ) (0) f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n x x  ...  x  ...   xn . 1! 2! n! n! n 0

Розвинення елементарних функцій у ряд Маклорена:  xn x x2 xn e  1   ...   ...   ; 1! 2 ! n! n ! n0 x

2 n 1 2 n 1  x3 x5 n x n x sin x  x    ...  (1)  ...   (1) ; 3! 5 ! (2 n  1) ! (2 n  1)! n 1 2n 2n  x2 x4 n x n x cos x  1    ...  (1)  ...   (1) ; 2! 4! ( 2n) ! ( 2 n ) ! n 1 n n  x2 x3 n 1 x n 1 x ln(1  x)  x    ...  (1)  ...   (1) , 2 3 n n n 1

(1  x) m  1  m x 

для  1  x  1 ;

m (m  1) 2 m (m  1) ... (m  n  1) n x  ...  x  ... , 2! n! 

для  1  x  1 .

n

 n  Приклад. Дослідити збіжність ряду    . n 1 2n  1 

69

Розв’язування. Скористаємось радикальною ознакою Коші. n

n 1  n  lim n an  lim n    1.   lim n n    2n  1  n   2n  1 2 Отже, ряд є збіжним. 



(1) n

. 2 ( 2 n  1 ) n 1 Розв’язування.Це знакопереміжний ряд, і тому можна застосувати ознаку Лейбніца. Оскільки 1 1 1 lim  0 і  , то ряд є збіжним. n   ( 2 n  1) 2 (2n  1) 2 (2(n  1)  1)2 Приклад. Дослідити збіжність ряду



Приклад. Знайти область збіжності степеневого ряду



xn

n 1 n  5

n 1

.

Розв’язування.Обчислимо радіус збіжності за формулою

an (n  1)  5n n 1 R  lim  lim  5 lim  5. n  1 n   an 1 n n  5 n n Отже, при | x | 5 - ряд збіжний, при | x | 5 - розбіжний. Дослідимо граничні точки інтервалу збіжності.   5 5n 1) x  5     n. Даний числовий ряд є розбіжним. n 1 n 1 n  5 n 1 (1)n 5 2) ) x  5    . Ряд є збіжним за ознакою Лейбніца. n 1 n n 1 n  5 n 1 Отже, область збіжності:  5  x  5. 

70

(5)n



Завдання до контрольних робіт

  Завдання 1. Визначити, чи є колінеарними вектори c1 і c2 , якщо:         1) a  (1,2, 3), b  (3, 0,1), c1  2a  4b , c2  3a  b;         2) a  (1, 0, 1), b  (2, 3, 5), c1  a  2b , c2  b  3a;         3) a  (2, 4, 1), b  (1,2,7), c1  5a  3b , c2  2a  b;         4) a  (1, 2,3), b  (2,1,1), c1  4a  3b , c2  8a  b;         5) a  (3, 5, 4), b  (5, 9, 7), c1  2a  b , c2  3a  2b;         6) a  (1, 4,2), b  (1, 1,1), c1  a  b , c2  4a  2b;         7) a  (1,2, 5), b  (3,1,2), c1  4a  2b, c2  b  2a;         8) a  (3, 4,1), b  (2,1, 1), c1  6a  3b, c2  b  2a;         9) a  (2,3,2), b  (1, 0, 5), c1  3a  9b , c2  a  3b;         10) a  (1, 4, 2), b  (3,2, 6), c1  2a  b, c2  6a  3b;         11) a  (5, 0,1), b  (7, 2, 3), c1  2a  b , c2  3a  b;         12) a  (0, 3,2), b  (1,2, 1), c1  5a  2b , c2  3a  5b;         13) a  (2, 7, 1), b  (3, 5, 2), c1  2a  3b , c2  3a  2b;         14) a  (3, 7, 0), b  (1,3, 4), c1  4a  2b , c2  b  2a;         15) a  (1, 2,1), b  (2,7, 1), c1  6a  2b, c2  b  3a;         16) a  ( 7, 9,2), b  (5, 4,3), c1  4a  b , c2  4b  a;         17) a  (5, 0,2), b  (6, 4, 3), c1  5a  3b, c2  6b  10a;         18) a  (8, 3,1), b  (4, 1, 3), c1  2a  b, c2  4b  2a;         19) a  (3,1, 6), b  (5, 7, 10), c1  4a  2b, c2  b  2a;         20) a  (1,2, 4), b  (7, 3,5), c1  6a  3b, c2  a  3b;         21) a  (2,2, 5), b  (5, 1,4), c1  3a  b , c2  2a  5b;         22) a  (5,1, 3), b  (6, 2,5), c1  3a  2b , c2  4a  3b;         23) a  (1,5, 8), b  (9, 0,2), c1  2a  b, c2  3a  b;         24) a  (12,1, 3), b  (3, 9,2), c1  4a  b , c2  3a  2b;         25) a  (4,3, 5), b  (7,1, 10), c1  5a  b, c2  4a  3b;         26) a  (1,2, 9), b  (5, 2,3), c1  a  2b, c2  4a  b;         27) a  (4,3, 5), b  (7, 3,5), c1  4a  b , c2  3a  2b;         28) a  (10,3, 7), b  (5, 2,4), c1  5a  2b, c2  4a  b;         29) a  (1,3, 8), b  (3, 0,5), c1  4a  2b , c2  a  3b;         30) a  (5,2, 0), b  (7, 5,1), c1  6a  2b, c2  2a  b.

71



Завдання 2. Знайти кут між векторами 1) A(1,2, 3), B(0,1, 2), C (3,4, 5); 3) A(3,2, 1), B(4,1, 0), C (3, 2, 1); 5) A(1,2, 2), B(0, 1, 2), C(3, 4, 1); 7) A(1,2, 2), B(0,1, 1), C(2,4, 3); 9) A(3,1, 1), B(2,3, 0), C (3, 0, 1); 11) A(1, 2, 1), B(0, 1, 2), C(3, 4, 1); 13) A(1,2, 5), B(0,1,2), C(3, 2, 5); 15) A(1,2, 2), B(3, 1, 1), C (3, 2, 1); 17) A(1,2, 2), B(0, 1, 2), C(3, 4, 1); 19) A(1, 2, 0), B(3,1, 2), C(3,4, 2); 21) A(3,4, 1), B(7,1, 0), C(5, 2, 1); 23) A(8,2, 0), B(9, 1,  1), C (3, 4,1); 25) A(1,3, 1), B(1,1, 7), C (5,4, 2); 27) A(3, 2, 7), B(6,1, 1), C(5, 2, 1); 29) A(1,4, 2), B(9, 1, 2), C (1, 4, 0);



AB та AC : 2) A(2,1, 0), B(3, 2, 1), C (2,1, 4); 4) A(1,1, 2), B(1,2, 3), C (2, 3, 1); 6) A(1, 1,2), B(0, 1,3), C (2,4, 3); 8) A(1,2, 3), B(2, 1,3), C(2,3, 0); 10) A(0,1, 3), B(1,2, 1), C (0, 3, 1); 12) A(1, 1,2), B(0, 1,3), C (2,4, 3); 14) A(2,2, 1), B(2, 2, 1), C (2,1, 4); 16) A(1,3, 2), B(1,2, 1), C(2, 3, 1); 18) A(3, 2,2), B(1, 1,3), C (2,4, 3); 20) A(2,1, 7), B(5, 2, 6), C (1,2, 4); 22) A(1,3, 2), B(8,2, 1), C (2, 0, 1); 24) A(3, 2,2), B(5, 1,3), C(2, 4, 3); 26) A(2, 1, 3), B(3, 2, 0), C(2,1, 6); 28) A(3,1, 2), B(1,2, 3), C (0, 3, 1); 30) A(1, 1,3), B(1, 5,3), C (7,4, 3).

  Завдання 3. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах a та : b     1) a  (5, 0,1), b  (7, 2, 3); 2) a  (0, 3,2), b  (1,2, 1);     3) a  (2, 7, 1), b  (3, 5, 2); 4) a  (3, 7, 0), b  (1,3, 4);     5) a  (1, 2,1), b  (2,7, 1); 6) a  ( 7, 9,2), b  (5, 4,3);     7) a  (5, 0,2), b  (6, 4, 3); 8) a  (8, 3,1), b  (4, 1, 3);     9) a  (3,1, 6), b  (5, 7, 10); 10) a  (1,2, 4), b  (7, 3,5);     11) a  (1,2, 3), b  (3, 0,1); 12) a  (1, 0, 1), b  (2, 3, 5);     13) a  (2, 4, 1), b  (1,2,7); 14) a  (1, 2,3), b  (2,1,1);     15) a  (3, 5, 4), b  (5, 9, 7); 16) a  (1, 4,2), b  (1, 1,1);     17) a  (1,2, 5), b  (3,1,2); 18) a  (3, 4,1), b  (2,1, 1);     19) a  (2,3,2), b  (1, 0, 5); 20) a  (1, 4, 2), b  (3,2, 6);     21) a  (6,2, 1), b  (5, 1, 2); 22) a  (4,2, 3), b  (7, 2,3);     23) a  (10, 5, 1), b  (0, 3,2); 24) a  (2,2, 5), b  (3, 6,2);     25) a  (0,3, 5), b  (3,1, 8); 26) a  (3,2, 6), b  (4, 0,3);     27) a  (1,2, 1), b  (2, 4,5); 28) a  (4,2, 7), b  (3, 2,1);     29) a  (2,3, 5), b  (2, 0,3); 30) a  (2,2, 1), b  (3, 5,2).

72

Завдання 4. Знайти об’єм тетраедра з вершинами в точках A, B, C, D : 1) A(1, 2, 1), B(0, 1, 2), C(3, 4, 1), D(1, 4, 3); 2) A(1, 1,2), B(0, 1,3), C(2,4, 3), D(2, 3, 5); 3) A(1,2, 5), B(0,1,2), C(3, 2, 5), D(3, 1, 6); 4) A(2,2, 1), B(2, 2, 1), C(2,1, 4), D(2, 5, 3); 5) A(1,2, 2), B(3, 1, 1), C (3, 2, 1), D(5, 0, 1); 6) A(1,3, 2), B(1,2, 1), C (2, 3, 1), D(4, 3, 0); 7) A(1,2, 2), B(0, 1, 2), C(3, 4, 1), D(2, 2, 1); 8) A(3, 2,2), B(1, 1,3), C(2,4, 3), D(2,1, 5); 9) A(1, 2, 0), B(3,1, 2), C(3,4, 2), D(3,5, 1); 10) A(2,1, 7), B(5, 2, 6), C(1,2, 4), D(5,2, 3); 11) A(3,4, 1), B(7,1, 0), C(5, 2, 1), D(3,  1, 1); 12) A(1,3, 2), B(8,2, 1), C (2, 0, 1), D(4, 5, 0); 13) A(8,2, 0), B(9, 1,  1), C (3, 4,1), D(1, 4, 2); 14) A(3, 2,2), B(5, 1,3), C(2, 4, 3), D(2, 5,1); 15) A(1,3, 1), B(1,1, 7), C (5,4, 2), D(3, 3,2); 16) A(2, 1, 3), B(3, 2, 0), C(2,1, 6), D(2,3, 2); 17) A(3, 2, 7), B(6,1, 1), C (5, 2, 1), D(3, 0, 1); 18) A(3,1, 2), B(1,2, 3), C (0, 3, 1), D(5,2, 1); 19) A(1,4, 2), B(9, 1, 2), C(1, 4, 0), D(6, 1,2); 20) A(1, 1,3), B(1, 5,3), C(7,4, 3), D(3,2, 1); 21) A(1,2, 3), B(0,1, 2), C (3,4, 5), D(3,1, 2); 22) A(2,1, 0), B(3, 2, 1), C (2,1, 4), D(2,2, 5); 23) A(3,2, 1), B(4,1, 0), C (3, 2, 1), D(2, 4, 2); 24) A(1,1, 2), B(1,2, 3), C (2, 3, 1), D(2, 0,  1); 25) A(1,2, 2), B(0, 1, 2), C(3, 4, 1), D(4, 5, 2); 26) A(1, 1,2), B(0, 1,3), C(2,4, 3), D(2, 3,5); 27) A(1,2, 2), B(0,1, 1), C(2,4, 3), D(3, 5, 4); 28) A(1,2, 3), B(2, 1,3), C(2,3, 0), D(1,5, 6); 29) A(3,1, 1), B(2,3, 0), C (3, 0, 1), D(4, 7,3); 30) A(0,1, 3), B(1,2, 1), C (0, 3, 1), D(5,4, 2). Завдання 5. Розв’язати систему за допомогою формул Крамера: 2x  3 y  4z  2,  2x  3 y  4z  1, 7 x  2 y  4z  1,    1) 7 x  2 y  8z  3, 2)  4x  3 y  8z  3, 3)   3x  y  6 z  3, 5x  2 y  z  1;  5x  2 y  z  2;  2 x  2 y  5z  2;   

73

 4 x  2 y  z  3,  4)  3x  y  5z  4,  6x  2 y  2z  2; 

 2 x  5 y  2z  2,  5)  3x  4 y  7 z  3,  5x  y  6z  5; 

2 x  3 y  4z  2,  6)  7 x  2 y  8z  5,  5x  2 y  z  3; 

 x  3 y  4 z  2,  7) 7 x  2 y  8z  5, 3x  2 y  z  1; 

 x  10 y  4 z  5,  8)  4 x  3 y  8z  6,  5x  2 y  z  4; 

 x  7 y  4z  3,  9)  3x  4 y  6z  6  2 x  2 y  5z  2; 

 3x  2 y  z  3,  10)  2x  y  5z  4,  6 x  2 y  2z  2; 

 3x  5 y  2 z  2,  11)  3x  8 y  7 z  1,  5x  y  6 z  5; 

6 x  5 y  z  2,  12)  7 x  2 y  8z  1, 5x  3 y  z  3; 

 2 x  3 y  4 z  2,  13)  7 x  2 y  8z  3,  5x  2 y  z  4; 

 2 x  3 y  4 z  1,  14)   4 x  3 y  8z  1,  5x  2 y  z  4; 

 9x  2 y  4 z  5,  15)  3x  y  6 z  3,  2x  3 y  5z  2; 

7 x  2 y  6z  3,  16)  3x  y  5z  3,  6x  2 y  2 z  1; 

 x  5 y  2z  2,  17)  3x  5 y  7 z  4,  5x  y  6z  5; 

 x  3 y  4z  1,  18)  7 x  2 y  8z  5,  5x  2 y  z  4; 

 2 x  3 y  4 z  2,  19)  7 x  4 y  7 z  3,  5x  2 y  z  7; 

 2x  3 y  4z  1,  20)  4x  3 y  8z  5,  5x  2 y  z  2; 

7 x  2 y  4 z  1,  21)   3x  y  6z  6,  2 x  2 y  5z  2; 

 4 x  2 y  3z  3,  22)   3x  y  5z  4,  5x  2 y  2z  7; 

 2x  5 y  2 z  2,  23)  3x  4 y  7 z  3,  5x  y  6 z  5; 

 2 x  3 y  5z  2,  24)  7 x  2 y  8z  5,  5x  2 y  z  3; 

 2 x  3 y  4 z  2,  25)  7 x  2 y  9 z  3,  5x  2 y  z  4; 

 5x  3 y  4z  1,  26)   4x  6 y  8z  3,  5x  2 y  z  2; 

 7 x  2 y  4z  1,  27)   3x  y  6 z  3, 2 x  2 y  5z  2; 

 4 x  2 y  z  5,  28)   3x  y  5z  4,  6x  2 y  2 z  2; 

 2 x  5 y  2z  2,  29)  3x  4 y  9z  3,   5x  y  6z  5; 

 2 x  3 y  4 z  4,  30)  7 x  2 y  5z  5,  5x  2 y  z  2. 

74

Завдання 6. 1. Написати рівняння прямої, що проходить через точку A (-1,0,2 ) паралельно до  вектора P(2,1,3) . 2. Написати рівняння площини, що проходить через точку A (-1,0,2 ) перпен дикулярно до вектора P(2,1,3) . 3. Дано вершини трикутника: A (1;1), B (4;5), C (13;-4). Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини C . 4. Написати рівняння площини, що проходить через точку A (-1,0,2 ) перпен дикулярно до вектора P(2,1,3) . 5. Написати рівняння прямої, що проходить через точку A (-2,5,2 ) паралельно  до вектора P(3,1,5) . 6. Написати рівняння площини, що проходить через точку A (3,4,2) і  перпендикулярно до вектора P(2;4;10). 7. Знайти відстань між площинами 2 x  2 y  z  15  0 і 4 x  4 y  2 z  11  0 . 8. Написати рівняння прямої, що проходить через точку A (4,-3,0 ) паралельно до  вектора P(1;3;4) . 9. Написати рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих x  6 y  5  0, 3x  2 y  1  0 і через точку M (-4/5;1). 10. Написати рівняння площини, що проходить через точку A (-7;3;-3 ) перпен дикулярно до вектора P(12;10;0) . 11. Написати рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих x  2 y  3  0, 2x  3 y  4  0 паралельно до прямої 5x  8 y  0 . 12. Задано трикутник з вершинами A (-8,-4), B (4,5), C (2,-9). Написати рівняння висоти CD . 13. Написати рівняння прямої, що проходить через точку A (7,8,6 ) паралельно до  вектора P(10;11;3) . 14. Знайти відстань від точки M (2;-1) до прямої, що відсікає на осях координат відрізки a = 8, b = 6. 15. Написати рівняння площини, що проходить через точку A (-1;-1,-2 ) перпен дикулярно до вектора P(20;7;1) . 16. Дано послідовні вершини паралелограма: A (0;0), B (1;3), C (7;1). Знайти кут між його діагоналями. 17. Задано трикутник з вершинами A (-8,-4), B (4,5), C (2,-9). Написати рівняння медіани CE . y2 18. Знайти кут між прямою x  1   z і площиною 4 x  4 y  7 z  1  0 . 3 2 6 19. Знайти кут A у трикутнику з вершинами A (-8,-4), B (4,5), C (2,-9). 20. Написати рівняння прямої, що проходить паралельно осі абсцис і через точку перетину прямих 3x  y  1  0, x  3 y  1  0 . 75

21. Задано трикутник з вершинами A (0,-1), B (12,8), C (10,-6). Написати рівняння медіани CE . 22. Визначити кут між площинами: x  2 y  z  1  0 і 3x  5 y  7 z  0 . 23. Написати рівняння прямої, що проходить через точки A (1,2,3) і B (3,2,1). 24. Дано сторони трикутника: x  y  0 ( AB), x  y  2  0 (BC ), y  0 (AC) . Написати рівняння висоти АК. 25. Задано трикутник з вершинами A (-2,-4), B (10,5), C (8,-9). Написати рівняння висоти CD . 26. Написати рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих 5x  3 y  10  0, x  y  15  0 і через початок координат. 27. Задано трикутник з вершинами A (-3,3), B (9,-6), C (7,8). Написати рівняння прямої, що проходить через точку B перпендикулярно до прямої AC . 28. Написати рівняння площини, що проходить через точку A (-4,6,-7) перпен дикулярно до вектора P(3,2,2) . 29. Знайти кут між двома прямими: 3x  4 y  5  0 і  4 x  3 y  2  0 . 30. Написати рівняння прямої, що проходить через точку A (-3,2) перпендикулярно до прямої 2 x  5 y  1  0 . Завдання 7. Знайти віддаль від точки M 0 до площини, яка проходить через точки M1 , M 2 , M 3 : 1) M1(3, 4,7), M 2 (1, 5,4), M 3(5,2, 0), M 0 (12, 7,1); 2) M1(1, 2,3), M 2 (4,1, 0), M 3(2, 1,2), M 0(1,6,5); 3) M1(3,1, 1), M 2 (9, 1,2), M 3(3,5, 4), M 0(7, 0,1); 4) M1(1,1, 1), M 2 (2, 0, 3), M 3(2, 1,1), M 0 (2, 4, 2); 5) M1(1, 2, 0), M 2 (1,1, 2), M 3(0, 1,1), M 0(2,1, 4); 6) M1(1, 0, 2), M 2 (1, 2,1), M 3(2,2, 1), M 0(5,9, 1); 7) M1(1, 2,3), M 2 (1, 0, 1), M 3(2,1, 6), M 0 (3,2,9); 8) M1(3, 10,1), M 2 (2, 3,5), M 3(6, 0,3), M 0 (6, 7,10); 9) M1(1, 2, 4), M 2 (1,2,4), M 3(3, 0,1), M 0(2, 3, 5); 10) M1(0,3, 1), M 2 (4, 1, 2), M 3(2,1, 5), M 0 (3, 4,5); 11) M1(1, 3, 0), M 2 (4,1, 2), M 3(3, 0, 1), M 0 (4, 3, 0); 12) M1(2,1,1), M 2(0, 3, 2), M 3(3, 1,4), M 0 (21, 20,16); 13) M1(3,5, 6), M 2(2, 1,4), M 3(0,3,1), M 0 (3, 6, 68); 14) M1(2,4,3), M 2 (5,6, 0), M 3(1, 3,3), M 0 (2,10, 8); 15) M1(1,1, 2), M 2 (2, 1, 2), M 3(1, 1, 4), M 0(3, 2, 7); 16) M1(1, 3, 6), M 2 (2, 2, 1), M 3(1, 0, 1), M 0(5,4, 5); 17) M1(4, 2, 6), M 2 (2,3, 0), M 3(10, 5, 8), M 0 (12, 1, 8); 18) M1(7, 2, 4), M 2 (7,1,2), M 3(5,2,1), M 0 (10, 1, 8);

76

19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30)

M1(2, 1, 4), M 2 (3, 5,2), M 3(7,3, 2), M 0(3, 1, 8); M1(1,5, 2), M 2 (6, 0,3), M 3(3, 6,3), M 0(10,8,7); M1(0,1,1), M 2(2, 3, 5), M 3(1,5,9), M 0 (4,13, 6); M1(5, 2, 0), M 2 (2, 5, 0), M 3(1, 2, 4), M 0 (3,6,8); M1(2,1,2), M 2(1, 2, 1), M 3(5, 0,6), M 0 (14,3, 7); M1(2, 0,4), M 2 (1, 7, 1), M 3(4,8,4), M 0 (6, 5, 5); M1(14, 4, 5), M 2 (5,3, 2), M 3(2,6,3), M 0 (1,8, 7); M1(1, 2, 0), M 2 (3, 0,3), M 3(5, 2, 6), M 0 (13,8, 16); M1(2,1, 2), M 2(1, 2,1), M 3(3, 2, 1), M 0(5, 3, 7); M1(1, 1, 2), M 2 (1, 1, 3), M 3(2,2, 4), M 0 (2, 3, 8); M1(2, 3, 1), M 2(4, 1,2), M 3(6, 3, 7), M 0 (5,4, 8); M1(1, 1,1), M 2 (2, 3, 1), M 3(3, 2, 1), M 0 (3,7, 6).

Завдання 8. Знайти точку перетину заданої прямої та площини: y  3 z 1 1) x  2   , x  2 y  3z  14  0 ; 1 1 4 y  3 z 1 2) x  1   , x  2 y  5z  20  0 ; 3 4 5 y  5 z 1 3) x  1   , x  3 y  7 z  24  0 ; 1 4 2 y 4) x  1   z  3 , 2x  y  4z  0 ; 1 0 2 y 3 z2 5) x  5   , 3x  y  5z  12  0 ; 1 1 0 y2 z 3 6) x  1   , x  3 y  5z  9  0 ; 3 2 2 y  2 z 1 7) x  1   , x  2 y  5z  17  0 ; 2 1 1 y3 z4 8) x  1   , x  2 y  4z  19  0 ; 2 0 1 y 1 z  4 9) x  2   , 2x  y  3z  23  0 ; 1 1 1 y2 z3 10) x  2   , 2x  3 y  5z  7  0 ; 1 0 0 y 1 z  3 11) x  1   , 4 x  2 y  z  11  0 ; 2 1 3 y  1 z 1 12) x  1   , 3x  2 y  4 z  8  0 ; 1 0 1 y 1 z  3 13) x  2   , x  2y  z  2  0 ; 1 1 2

77

y2 z2 14) x  3   , 1 5 3 y2 z4 15) x  2   , 2 1 3 y4 z4 16) x  3   , 1 5 2 y 1 z 1 17) x  3   , 2 3 5 y 1 z  3 18) x  3   , 2 3 2 y2 z4 19) x  5   , 2 0 1 y 8 z 5 20) x  1   , 8 5 12 y 1 z  5 21) x  3   , 1 1 0 y  3 z 1 22) x  5   , 1 5 2 y2 z6 23) x  1   , 7 1 1 y  2 z 8 24) x  3   , 1 1 0 y 25) x  3   z  1 , 2 0 3 y 3 z5 26) x  1   , 6 1 3 y 1 z  3 27) x  2   , 4 3 2 y2 z 3 28) x  1   , 2 5 2 y3 z2 29) x  1   , 1 0 2 y2 z5 30) x  3   , 0 3 11

5x  y  4 z  3  0 ; x  3 y  5z  42  0 ; 7 x  y  4z  47  0 ; 2x  3 y  7 z  52  0 ; 3x  4 y  7 z  16  0 ; 2x  5 y  4z  24  0 ; x  2 y  3z  18  0 ; x  7 y  3z  11  0 ; 3x  7 y  5z  11  0 ; 4x  y  6z  5  0 ; 5x  9 y  4 z  25  0 ; x  4 y  13z  23  0 ; 3x  2 y  5z  3  0 ; 3x  y  4 z  0 ; x  2 y  5z  16  0 ; 3x  7 y  2z  7  0 ; 5x  7 y  9 z  32  0 .

Завдання 9. Знайти загальний розв’язок системи:  2x1  x2  3x3  x4  5,  x1  2 x2  3x3  x4  5,  4 x  2x  2 x  2,  3x  2 x  4x  20,  1  2 4 2 4 1)  2)  1 x1  2 x2  6x3  2 x4  10, x1  2 x2  6x3  2 x4  10,   2 x2  9x3  x4  4;   4 x2  9x3  x4  5;

78

x1  2 x2  3x3  x4  5,  3x  2x  4 x  20,  2 4 3)  1  x1  2 x2  6x3  2x4  10,   4x2  9 x3  x4  5;

 x1  3x2  2x3  x4  5, 2x  3x  2x  2x  12,  1 2 3 4 4)   x1  x2  3x3  2x4  0,  2x1  x2  3x3  5x4  17;

 2 x1  x2  3x4  11,  x  x  2x  x  1,  3 4 5)  1 2 3x1  3x2  2 x3  5x4  21,  5x1  4 x2  2 x3  8x4  34;

 3 x1  x2  3 x4  4,  x  2 x  2 x  x   1,  2 3 4 6)  1  3 x1  3 x2  2 x3  5 x4  1,  2 x1  3 x2  2 x3  x4  4;

 x1  x2  x3  2x4  3,  2x  2x  x  0,  3 4 7)  1   2x2  4x3  3x4  6, x1  3x2  5x3  5x4  9;

 x1  2x2  x3  3x4  1,  3x  2x  x  0,  3 4 8)  1  2x2  4x3  3x4  6,  x1  3x2  5x3  3x4  7;

2 x1  x2  2x3  x4  2,  x  2 x  3x  x  1,  2 3 4 9)  1 3x1  2 x2  x3  x4  2,  3x2  6x3  3x4  1;

 3x1  x2  2 x4  1,  x  2 x  3x  2 x  1,  2 3 4 10)  1  5x1  4 x2  3x3  2 x4  1, 8x1  5x2  3x3  4x4  2;

 2x1  x2  3x3  x4  7,  2x  2x  2x  5,  2 4 11)  1 x1  2 x2  6x3  2 x4  2,   2 x2  9x3  x4  4;

x1  2 x2  x3  3x4  5,  3x  2x  4x  15,  2 4 12)  1  x1  2 x2  6x3  2 x4  10,   4 x2  9 x3  x4  5;

 x1  2 x2  5x3  x4  5,  3x  2 x  4 x  12,  2 4 13)  1 x1  2 x2  6x3  2 x4  10,   4 x2  9x3  x4  5;

 x1  3x2  2x3  x4  5, 2x  3x  2x  2x  6,  2 3 4 14)  1  x1  x2  3x3  2x4  0, 2x1  x2  3x3  5x4  17;

  2 x1  x2  3x4  12,  x  3x  2x  x  1,  2 3 4 15)  1  3x1  3x2  2x3  5x4  2,  5x1  4x2  2 x3  8x4  4;

  3 x1  x2  3 x4  10 ,  x  2 x  2 x  x   1,  2 3 4 16)  1  3 x1  3 x2  2 x3  x4  1,  2 x1  3 x2  2 x3  x4  4;

79

 x1  2x2  x3  x4  3,  2 x  2 x  x  10,  3 4 17)  1   2 x2  4x3  3x4  6, x1  3x2  5x3  5x4  9;

 x1  2x2  x3  3x4  1,  3x  2x  x  5,  1 3 4 18)   2 x2  4x3  3x4  6,  x1  3x2  5x3  3x4  7;

 x1  x2  2x3  x4  2,  x  2x  3x  x  3,  2 3 4 19)  1  3x1  2 x2  x3  x4  2,   3x2  6 x3  3x4  1;

  3x1  x2  2 x4  4,  x  2x  3x  2x  1,  2 3 4 20)  1  5x1  4 x2  3x3  2 x4  1, 8x1  2x2  3x3  4x4  2;

 2x1  x2  3x3  x4  5,  4x  2x  2 x  2,  2 4 21)  1 x1  2 x2  6x3  2 x4  3,   2x2  9x3  x4  4;

 x1  2x2  3x3  x4  8,  3x  2 x  4x  12,  2 4 22)  1 x1  2 x2  6x3  2 x4  7,   4 x2  9x3  x4  5;

 x1  2 x2  3x3  x4  6,  3x  2x  4x  7,  2 4 23)  1  x1  2 x2  6x3  2 x4  8,  4 x2  9 x3  x4  5;

 x1  3x2  2x3  x4  5,  x  3x  2x  2x  7,  2 3 4 24)  1  x1  x2  3x3  2x4  3,  2x1  x2  x3  5x4  12;

  2x1  x2  3x4  12,  x  x  2 x  x  1,  3 4 25)  1 2 3x1  x2  2 x3  5x4  4, 5x1  4x2  2 x3  8x4  4;

 3 x1  x2  3 x4   4,  x  x  2 x  x   1,  2 3 4 26)  1  3 x1  x2  2 x3  4 x4  0,  x1  3 x2  2 x3  x4   3;

 x1  3x2  x3  2x4  1,  2x  2x  x  12,  3 4 27)  1   2x2  4x3  3x4  6, x1  3x2  5x3  5x4  9;

 x1  2x2  x3  7 x4  1,  3x  2x  5x  0,  3 4 28)  1  2x2  4x3  3x4  6,  x1  3x2  5x3  7;

 2 x1  x2  2x3  x4  5, x  2 x  3x  x  1,  2 3 4 29)  1  3x1  x2  x3  x4  2,  4x2  6 x3  3x4  1;

  5x1  x2  2x4  7,  x  2x  3x  2x  1,  2 3 4 30)  1  6 x1  4x2  3x3  2x4  1,  8x1  5x2  3x3  4x4  2.

80

Завдання 10. Знайти матрицю X : 2  3   3 4 1)   X    ;  1  4 2 5    

 2  1   2 4  2) X      ; 3  5 3 5    

 5 4   1 2 3)   X    ;  2 3   3 4

  2  3  7  3 4) X   ; 4   4 5   3

  1  2  5  3 5)   X    ; 4  5 2 4 

  4 3  7 3  6) X      ;  3 4   2  5

 3 5   3  7 7)   X    ;  1 4 2 5    

  2  1   2 7  8) X      ; 8  5  3 5    

  5 6   1 5 9)   X    ;  2 3  3 6    

  7  8   7  3 10) X      ; 3 4  2 5    

  1 2  7  3 11)   X    ;  5 8  2  5 7  3  3 1  13)   X    ;   1  2  2  7

  4 3  7 3  12) X      ;  3 4   2  5  4  1   5 4 14) X      ;  3  5   3 7 

3  2  5  6 15)   X    ;  2  7  3  1    

  2  8   7  3 16) X      ; 3 4  6 5    

 3 5  9  3 17)   X    ;  7 4 2  4    

  4  3   8 3  18) X      ; 3 9 2  5    

 3 9   3 4 19)   X    ;   1 5   6 5

 2  1   2 6  20) X      ;  7 9    3 5

 5 10   9 2 21)   X    ;  2 3    3 4

  8  1   7  3 22) X   ; 4   4 5   3

9  7    8  3 23)   X    ; 5 4 2 4    

  6  3   9 3  24) X      ; 3 8 2  5    

81

 3 2  8 4 25)   X    ;  1 9  2 5    

  2  1  6  4  26) X      ; 3 7 3 7    

  5 7  7 9 27)   X    ;  2 3   3 4

  2  3  7  3 28) X   ; 4   4 5   3

10  2   6  3 29)   X    ; 2  5 3 4 

  8  9   9  3 30) X   . 4   4  5  3

Завдання 11. Обчислити границі: 4 5 n  6  8n5  10 5  x  2; lim 1) a) n   5 4 ; б) lim 5 x  1 n  3  4n  7 x2  x  2

в) lim n 2 (ln( n  2)  ln n); n 





x

n  3 n  4 2n2  1 ; 2) a) lim n  2n  3

sin 4x ; б) lim x 0 x 1 1

n!(n  1)! ; 3) a) lim n   (n  1)!n!

x  4 2; б) lim x 0 sin 5x

в) lim 2  x x   x  3



;

2 n 1  n ; 4) a) lim n  n 1  n

x3  1 ; б) lim x  1 x 2  3x  2

2x  2 в) xlim   2x  1



;

1 x  3; б) xlim 8 8 x

в) lim

sin 3x ; б) lim x 0 x2 2

2 в) lim x 2  5 x   x  5

5) a) lim n 

n!(n  1)! ; (n  2)!



3

3



n nn ; 6) a) lim n 

2 в) lim x2  1 ; x   x  3

x2

x2

 x x 1  ; x

x  



; x2

 

x 1

1  2x  3 ; б) lim x 4 x 2

в) lim x  1 ; x   x  3

3 n3  2n  1  n ; 8) a) lim n 

x2  x  2 ; б) lim 3 x 2

в) lim (1  sin р n)ctg р n; n 1

n2  1  n2  1 ; 9) a) lim n  n2  n  n  1

1  cos 8x ; б) xlim  0

n(ln n  ln(n  2)); в) nlim 

2 n 3n ; 10) a) lim 3 n  n 1  n n

tg 3 4 x ; б) lim x3 x 0

в) xlim  

6 2 n  3 n 4; 7) a) lim n  7n  8 5



82



x 8 x

 2x2x 1  ; x

3 n5  2  9n4  1 ; 11) a) lim n  5 n2  3  4n4  7

sin 4x  sin 2x ; в) lim (1  5 x) (5 x ) / x ; б) lim x 0 x 0 6x

3 6 5 n  2 n 1 ; lim 12) a) n   2n  3

arcsin 3x ; б) lim x 0 5x

n2  9 ; 13) a) lim 3 n   7n  10 x  5

2 x  1  1 ; в) lim x tg3x ; б) lim 2 x 0 x  0 1  cos 6 x x 2 2

3n5  4n2  1 ; 14) a) lim 5 3 n 

3x2  10x  3 ; в) lim cos 2x  1 ; б) lim x   3 2 x 2  5x  3 x 0 3x sin x

6n  5n  n

4x  3  3 ; lim 15) a) lim б) n (ln( 2  4 x )  ln( 1  4 x )); 2 x  3 n  x 9





в) lim (3 x  5) x x 2

4 x sin x

x 0



n n n ; 16) a) lim n  5 n5  9n  1 ; 17) a) lim n  9n  8

2  x2  4 ; б) lim 2 x 0

3

3x

;

3 в) lim cos x  cos x ;

sin 3x ; в) lim x б) lim x 0 x  x  1 2x  3  3

3

2 /( x  2)



2 x 3

;

в) lim cos 4x  cos 6x ; x 0

3x sin 6x

n2  1  n 2  2 ; 19) a) lim n  n2  n  n

2 tg 2 4x 3 x  14 x  5 lim ; lim ; б) x 5 2 в) x  6x  5 x 0 x sin 3x 1  cos 8x ; n(ln n  ln(n  2)); б) xlim в) nlim   0 x

n2  3  n ; 20) a) lim n  n 1  n

tg 2 5 x ; б) lim x2 x 0

в) lim 7  3x  x 2

21) a) lim n 2 (ln( n  2)  ln n); n 

5  x  2; б) lim 2 x 1 x x2

1  cos 8x ; в) lim x  0 x sin 3x

n  4 16n2  1 22) a) lim n  4n  3

б) lim x 0

sin 4x ; x9 3

2 в) lim x2  1 ; x   x  3

n!(n  1)! ; 23) a) lim n   (n  2)!2(n!)

x  4  2; б) lim x 0 tg5x



2x 18) a) lim n  1  2 x



 4x

;



x /(2 x 4)

;



2x



в) lim 2  x x   x  3

x 2 /( x 1)



;

83

n2  2  n ; 24) a) lim n  n3 n 25) a) lim n 

n!(n  2)! ; (n  1)!







sin 5x ; б) lim x 1 tg3x

2x  3 в) xlim   2x  1

1  x  3; б) lim x 8 8x

в) lim

sin 6x ; x5 5

3 n3  n2  1  n ; 26) a) lim n 

б) lim x 0

5 n4  3n2  4 ; 27) a) lim n  6n  1

2x  3  3 ; б) lim x 3 x  2 1

2 x  3x  2 ; lim 28) a) lim ; б) (2x  7)(ln(x  4)  ln x) x 2 n 

x2

2 2 n  1  n 1; 29) a) lim 2 n  n n n2

2 n 7 n ; 30) a) lim 3 n  n 2 n n

Завдання 12. Знайти

5x ; arctg6x



в) lim x  5 x  x  1

; 3x

x; в) lim 1  cos 2 x

x 0

в) lim x 0

x 2ctg 2 x ; sin 3x

x

б) lim x 0

sin 4 x ; arcsin x





x

2x  5 . в) xlim    2x  1

dy : dx

1  12 ; 9x  4 4 x3  10 б) y  x arcsin 1  ln x  x 2  1 ; x x  ln cos t, в)  2  y  sin 2t.





2

3) a) y  e1 ln x ; б) y  1  2x  lnx  2x  1 ;

 x  t 3  t, в)  2  y  ln(t  1).

2 2) а) y  1  x2 ; 1 x

б) y  tg(2 arccos 1  2x2 ) ;

x  (1  t ) / t 2, в)  2  y  (1  t ) / t . 4) а) y  arctg 1 ; x 2 б) y  x arctg x2  1  x 2  1 ;

 x  ln(t 3  1), в)   y  t  arctg t. 2 6) а) y  x 1  x2 ; 1 x

5) a) y  earcsin( 2x) ;

84

;

1  cos 6x ; в) lim n(ln n  ln(n  4)); б) xlim  0 n

1) a) y  3

б) y  arcsin

x 0

x2

1 ; 1  2 x2

б) y  sin 3x ln cos x ;

x  4  e 4t 2 , в)   y  3 /(e2t 1). 7) a) y  tg(ln x ) ; б) y  ln(cos2 x  1  cos4 x ) ;

x  1  e3t , в)  3t 3t y  e  e . 9) a) y  sin 1  x2 ; б) y  x 4  x2  4 arcsin x ; 2  x  tg t, в)  3  y  sin t. 2

11) a) y  e1 / x ; 2 б) y  ln x  x  1 ; 2x x  a(t  cos t ), в)   y  a(1  cos t ).

13) a) y  x3x ; e б) y  arctg (3tg x  1) ; x  (t  1) / t, в)   y  (t  1) / t.

sin 5x ; 1  2 cos 5x б) y  x (sin ln x  cos ln x) ;

15) a) y 

 x  1  et , в)  t  y  1 /(e  1). 17) a) y  arccos 1  4x ) ; б) y  x  (1  x) arctg x ;

x  t sin t  cos t, в)   y  sin t  t cos t. 1 ; x  1  x2 2 б) y  ln x 2  ln x 2 ; 1 x 1 x 3  x  sin 4t, в)  3  y  cos 4t.

8) а) y  x 

10) а) y  ln ctg 3 x ; б) y  2 x  ln(sin x  2 cos x) ;

 x  sin t /(1  sin t), в)   y  cos t /(1  sin t ). 2

12) а) y  3cos x ; 2 б) y  arctg x  1 ; x x  1 /(1  4t 2 ), в)   y  4 arctg 2t.

14) а) y  a x2 16  x 2 ; б) y  ln(cos x )  x tg x ;  x  1 /(t  2), в)  2  y  ln(t  t). 16) а) y  ln 4 x4  4 ; б) y  cos x ln tg x  ln ctg x ;

x  e2t  e2t , в)   2t  y 1 e .

x2 ; 4  x2 б) y  x x2  1  ln(x  x2  1 ) ;

18) а) y 

85

x  t  ln cos t, в)   y  2t  sin t.

x  t  sin t, в)  3  y  cos t.

19) a) y  e x (2sin 5x  cos 5x) ; 2 б) y  x arctg x  ln 1  x ;

x  t  ln cos t, в)  2  y  ln(2t  t ). 21) a) y  arctg 1 ; 1 x б) y  ( x  1  2) e

2 20) а) y  ln x  x  1 ; x 2 б) y  3  x  x ln( x 3  x2 ) ;  x  1 t 3  1 t 2  t,  3 2 в)  2 1  y  2 t  t.

x 1 ; x2  2x б) y  e x (cos 2x  2 sin 2x) ;  x  ln cos t, в)   cos t y  e .

22) а) y  ln x 1

;

2

x  cos t, в)   y  ln sin 2t. 23) a) y  arctg (e x  e x ) ;





б) y  ln 2x  2 x 2  x  1 ;

x  t 1  t 2 , в)   y  arccos t.

24) а) y  3 (2x  3)(3  x) ; б) y  ln( x 2  1)  2 1 ; x 1 t 2  x2 t , в)   y  arctg 2t.

25) a) y  4arcsin x  1 ; 2 б) y  3 x  2 ; x2 x  4t  sin 2t, в)  3  y  sin t).

arctg e 26) а) y  2 ;

27) a) y  arccos 1 ; x б) y  ln tg x  x ; 2 sin x

28) а) y  7 ln( x5  x)  1 tg x ; 7

x  5t  t 5, в)  t 3 y  3  t . 29) a) y  arcctg ( x  x) ; б) y  1  x2 arctg x ;

86

x

б) y  ctg x 

tg3 x ; 3

 x  et  t , в)  t  y  e  t.

б) y  ln e2x  1  arcsin e x ;

x  t ,  t 3 в)  3  y  t 3  3 . 30) а) y  log 3 sin 2 x ; arccos(x 2  1) б) y  ; x2

x  sin t  t, в)  t  y  tg t  t.

x  t ctg t, в)  2  y  t arctg t.

Завдання 13. Здійснити повне дослідження функцій та побудувати їхні графіки: 3 1) y  x 2 4 ; 2) y  12x 2 ; 3) y  2 2 ; x 9 x x  2x 3 3 2 4) y  4 2 x ; 5) y  2 x 2 1 ; 6) y  4x 2 ; x x 3 x 2 2 2 7) y  x 2 ; 8) y  x  3x  3 ; 9) y  122  3x ; x 1 ( x  1) x  12 2 ( x  1)2 x  4 x  1 8 x 10) y  ; 11) y   2 ; 12) y  ; x4 x 4 x2 2 4 8( x  1) 13) y  3x 3 1 ; 14) y  1  1 ; 15) y  ; x x ( x  1)2 2 2 4 9  6 x  3 x x  1 16) y  2 ; 17) y  2 ; 18) y  ; x 1 x  2x  13 x  2x  3 2 2 19) y  x 2  2 x  7 ; 20) y  4x 2 ; 21) y   x ; x2 x  2x  3 ( x  1)











3 22) y  1  22 x ; x 2 25) y  x  6 x 2 9 ; (x  1) 3 28) y  x 232 ; x

4(x  1)2 23) y  2 ; x  2x  4 26) y  4 1 ; x 1 2 29) y  x  x  1 ; x 1



4 ; 3  2x  x 2 3 27) y  x 2 4 ; x 30) y  3x 3 2 . x 24) y 

Завдання 14. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку: 4 ; [1; 2] ; 1) y  x2  16  16; [1; 4] ; 2) y  3  x  x ( x  2)2 2 3) y  3 2(x  2)2 (8  x)  1; [0; 6] ; 4) y  2 72x  x  7 ; [1; 4] ; x  2x  2 5) y  2 x  x; [0; 4] ; 6) y  3 2(x  2)2 (5  x); [1; 5] ; 7) y  x  4 x  5; [1; 9] ; 9) y  3 2(x  1)2 (5  x)  2; [3; 3] ; 11) y  3 2(x  1)2 ( x  4)  1; [0; 4] ; 2 13) y  x  2 x  16  13; [2; 5] ; x 1

2 8) y  8  x  8 ; [4;  1] ; 2 x  2x(2x  3) 10) y  2 ; [2; 1] ; x  4x  5 2 12) y   x  2 x  8  5; [2; 1] ; 2 x2 14) y  8x  42  15; [0,5; 2] ; x

87

15) y  4  x  42 ; [1; 4] ; x 2 2(x  3) 17) y  2 ; [3; 3] ; x  2x  5 19) y  1  3 2(x  1)2 (x  7) ; [1; 5] ; 21) y  10 2 ; [0; 3] ; 1 x 23) y  2x 2  108  59; [2; 4] ; x 2 25) y  3 2 x (x  3) ; [1; 6] ; 27) y  4 x 2 ; [4; 2] ; 4 x 2(x 2  3) 29) y   2 ; [5; 1] ; x  2x  5

16) y  3 2(x  2)2 (x  4)  3; [4; 2] ; 18) y  x2  4x  16  9; [1; 2] ; x2 20) y  42  8x  15; [2;  0,5] ; x 22) y  3 2(x  1)2 (x  2); [2; 5] ;

x  10 ; [1; 2] ; 24) y  10 x 2  2x  2 26) y  x  4 x  2  8; [1; 7] ; 28) y  3 2 x2 (x  6) ; [2; 4] ; 30) y  2 x  1  x  2; [1; 5] .

Завдання 15. Для заданих функцій довести вказані рівності: 2 2 1) z  ecos( 2 x  y); 4  z2   z2 . y x  2 z   2 z  0. 2) z  ln( x2  y 2  2 y  1); x2 y 2 2 2 3) z  sin 2 ( y  x); x2  z2   z2 . y x 2 2 2 y 4) z  ; x2  z2  2xy  z  y 2  z2  0. x xy x y 2 2 y 5) z  y ; x 2  z2  y 2  z2  0. x x y 2 x2  z2    y 2 z   0. x y  y   2 z   2 z  0. 7) z  arctg x ; y x 2 y 2 sin( x  y)  x2 z  x2  2 z  0. 8) z  ; x x x y 2

6) z 

x; y

 

2 x 2  z2    y 2 z   0. x y  y  2 z  2 z . 10) z  sin 2( x  y); x 2 y 2 xy 11) z  ; x z  y z  z. x y x y  2 z   2 z  0. 12) z  ln( x2  ( y  1)2); x2 y 2

9) z  e y / x;

88

 2u   2u   2u  0. x2 y 2 z 2 u  u  u  0. z  ( y  z)(z  x)( x  y); x y z 2 z  x y; y  z  (1  y ln x) z . xy x 2 2 y z ; x2  z2  y 2  z2  2z. x x y 2 2 y z ; x2  z2  y 2  z2  0. x x y  2 z   2 z  0. z  ln x2  y 2 ; x 2 y 2  2 z   2 z  0. z  arctg x ; y x 2 y 2 y 1 z  1 z  z . z 2 ; x x y y y 2 ( x  y 2 )2 1 z  1 z  0. z  ln x2  y 2 ; x x y y y 1 z  1 z  z . z 2 ; x x y y y 2 x  y2 y z  x ln ; x z  y z  z. x x y z  (x2  y 2) tg x ; x z  y z  2 z. y x y x y z  arcsin ; x z  y z  0. x y x y 2x  3 y z 2 x z  y z   z. 2 ; x y x y

13) u  14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30)

1 ; 2 x  y2  z2

x2  y2 z  z  2( x  y) . z ; x y x y xy z  ln x  x3  y3; x z  y z  3(x3  y3). y x y 2 y z   arcsin xy; x 2 z  xy z  y 2  0. 3x x y 2 2 z  exy ; x2  z  x3  z2  x 2 z. xy x

Завдання 16. Знайти невизначені інтеграли: cos x d x sin 2x d x 1) а)  ; 2) а)  ; 3  2 sin x 1  cos 2 x

3) а) 

cos x d x ; 3 sin 2 x

89

б)  (x  2) e5xd x; (x  3)d x в)  ; 4  2x  x 2 sin x d x г)  ; 1  sin x 2 x3

4) а)  x e d x; б)  x3arctg x d x;

dx в)  ; 1  2x  4 1  2x г)  sin 2 3x d x;

arctg x d x 7) а)  ; 1  x2 б)  (x  4)2 cos x d x;

dx в)  ; 2  3x  2 x2 г)  (1  2 cos x)2 d x;

xd x 10) а)  4 ; x 4 б)  x3 ln(1  x 2) d x;

dx ; 3 x  23 x2 dx г)  ; 4  sin x в) 

4

3

xd x 13) а)  ; 3  2 x2 б)  x 2e2xd x; (x  1)d x в)  ; 2x  1 sin 3 x d x г)  ; cos5 x

90

б)  x sin 3x d x; dx в)  ; x x 1 cos3 x d x г)  ; sin 4 x

e xd x 5) а)  ; 4  e2 x б)  x arcsin x d x; xdx в)  3 ; x2 dx г)  ; 4  5 sin x e3 x d x 8) а)  ; 16  e6x б)  x arctg 3x d x; 6

xdx в)  ; 93 x г)  5 sin 3 x cos3 x d x;

sin x d x ; 2  3 cos x xd x б)  2 ; sin x ( x  1)d x в)  ; x (3 x  1)

11) а)  3

г)  cos 5x sin 3x d x;

dx 14) а)  ; x ln x б)  x3 sin 3x d x; x3 d x в)  2 ; x 2 г)  cos4 x sin 4 x d x;

б)  x ln( x2  1) d x; 3 xdx в)  ; 1 x г)  cos2 x sin3 x d x;

x 2d x 6) а)  ; 1  x6 б)  x 2 ln x d x; в) 

dx ; x ( x3  1) 4

г)  cos 3x sin x d x;

(5  3 ln x)4 d x 9) а)  ; x б)  x arcsin 1 d x; x xd x в)  3 ; 6x  1 г)  sin5 x d x; 12) а) 

ln x d x ; x

б)  x 2e3xd x;

(x  1)d x ; 3 3x  1 dx г)  ; 5  4 cos x

в) 

sin x d x ; 3 cos x б)  arccos x d x;

15) а) 

x3 d x в)  3 2 ; x 1 1 tg x d x г)  ; sin x

dx 16) а)  ; x( x  1)2 б)  x e x / 2d x;

( x  5)d x в)  ; 1  x  x2 dx г)  ; 1  sin 2 x e arccos xd x ; 1  x2 б)  x 2arctg x d x;

19) а) 

arcsin 2 x d x 17) а)  ; 1  x2 б)  x 2 cos 4x d x;

18) а)  x 2 4 x3  8 d x; б)  x ln(3  x2 ) d x;

(4 x  1)d x в)  ; x ( x  1)

в) 

г)  sin5 x d x;

г)  (1  sin 2x)2d x;

20) а)  sin x ecos xd x;

(x  3)d x ; 2  2x  x 2

21) а)  x cos 2xd x;

б)  ln(x2  2) d x;

б)  x 2e3xd x;

в)  x 4  x d x;

x3 d x в)  ; 1  3 x4  1

г)  cos4 x d x;

г)  cos2 x sin 2 x d x;

в)  1  x d x; 1 x cos2 x d x г)  ; sin x

x 2d x ; 2  5 x3 б)  x ln(3  x) d x;

22) а) 

x 2d x в)  ; 4  x2 dx г)  ; (1  ex )2 cos 3x d x 25) а)  ; 4  sin 3x б)  arctg x d x; xd x в)  3 ; x2 cos x d x г)  ; 1  cos x

arctg x d x ; x (1  x) б)  x 2e4xd x;

28) а) 

в) 

( x  1)d x ; 3 x 1

sin 2 x d x ; 1  cos2 x б)  x 2 sin 4x d x;

23) а) 

xd x ; 4 x cos2 x d x г)  ; sin 4 x

в)  3

sin x d x 26) а)  3 ; cos2 x б)  arctg 2x d x; dx в)  ; 2 x  3 x2 dx г)  ; (sin x  cos x)2

arctg x d x 29) а)  ; 1  x2 б)  x arccos x d x; x  5d x в)  ; 1 3 x  5

ln x d x ; x б)  x3 ln x d x;

24) а) 

в) 

1 x dx ; x

г)  ctg4 x d x;

27) а)  x 3x 2  4 d x; б)  x cos(x / 2) d x; dx в)  3 ; 3x  1  1 г)  tg3 x d x;

30) а) 

ln x d x ; x

б)  x ln 2 x d x; в) 

dx ; x  x2

91

dx г)  ; 3 cos x  4 sin x

dx г)  ; 8  7 cos x  4 sin x

dx г)  . cos x  2 sin x  2

Завдання 17. Обчислити визначений інтеграл: dx 1)  2 ; 0 x  4x  5

ln x d x ; x5 1 2

1

1

4)

 1/ 2

1  x2 d x ; x2

3 dx 7)  ; 1 x( x  2)

e 1 0

1 0

xdx ; x 1

xd x 16)  ; 1 x 3 8

р /3

1 / 2

ln 2

x  e  1 d x;

8)

xd x ; 5  4x

1

0

0

11)  sin x e2xd x; 0

9

14)  4

xdx ; x 1

р

dx

;  2 3 / 2 4x  4 x  5

3)

р

5)  sin 2x sin 5x d x;

р/4

10)  ln(x  1) d x;

13) 

2) 

6) 

1

1

9)  x e2 xd x; 0

3

12)  ln(x  3) d x; 0

9

15)  4

(x  1)d x ; x 1

ln 2

17)  x cos x d x; 0

18)  e x  1 d x; 0

р/2

19)  sin 2x cos3 x d x;

1/ 4 dx 20)  ; 0 (4x  1) 1  x

21)  cos x exd x;

1 dx 22)  2 ; 0 x  3x  2

2 dx 23)  2 ; 1 x  x

24)  x sin x d x;

0

25)  arctg 2x d x;

1 dx 26)  2 ; 0 x  3x  1

0 dx 28)  ; 3 x 1 1 1 

29)  x 3x d x;

1/ 2 0

1 0

0

р 0

4

27)  x ln( x  1) d x; 2

р/2

30)  sin 3 x d x. 0

Завдання 18. Дослідити на збіжність невласний інтеграл:    dx dx dx 1)  2 ; 2)  2 ; 3)  2 ; 1 x  x 1 x  4x 9 x ln x

dx 4)  ; 1 x( x  4) 

92

(1  x2 ) d x 5)  ; x3 2 

 dx 6)  2 ; 1 x  2x  5

dx 7)  ; 1 x( x  1)

0



1

10)  x ln x d x; 0

1

13)  0

x 4d x ; 1  x5

8)

2

dx ; x 4 x 



x

 x 2 d x; 

9) 

 dx 11)  ; x 4

12) 

2 dx 14)  2; 0 ( x  1)

 dx 15)  2 ;  x  x  2

dx ; 1 ( x  2) x  2



dx 16)  2 ; 1 x  4x  9

xd x 17)  2 ; 3 x  4

dx 19)  ; 1 ( x  1) x

x2 d x 20)  6; 31 x

1 dx 21)  3 2; 0 x  5x

1 dx 22)  2 ; 0 x  4x  3

2 dx 23)  ; 1 x ln x

 dx 24)  ; 4 x x





dx 18)  3 ; 4 x ln x







xd x 25)  ; 2 (x 2  4)3

xd x 26)  4 ; 3x  9

0 dx 28)  2 ;  x  x  1

 dx 29)  2 ;  x  2 x  2

3



dx ; (1  x)3



27)  3

0

3

30)  x2 e2 x d x. 

Завдання 19. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:  x2 2 y 2 2 e 1) a) 4 x dx  3 y dy  3x y dy  2x y dx; б) y   ; x x 2 y2 4 y в) y  2   2; г) y  xy  (1  x) ex / 2 y 2; x x ґ) 2 x (1  x 2  y ) dx  x2  y dy  0; д) y  y  2 sin x  4 cos x;

x y 2) a) y  ; x y в) x y  y  2 y 2 ln x; ґ) (2  9 xy2 ) x dx  (4 y 2  6x3) y dy  0; 3) a) e y dx  (2 y  e y ) dy  0; в) 2( x y  y)  x y 2;

б)

4  y 2 dx  y dy  x2 y dy;

3y г) y   x; x д) y  3 y  e2x; б) y  y tg x  ctg x; 2 y 6y г) 2 y  2   3; x x

93

ґ) 6x dx  6 y dy  2 x2 y dy  3xy 2dx; 4) a) x 3  y 2 dx  y 2x  x 2 dy  0; x  2y в) y  ; 2x  y y ґ) dx  ( y3  ln x) dy  0; x

3x 2  y 2 2 x3  5 y d x  dy  0; y2 y3 y в) x y  y ln ; x y ґ) y  1  x  0; 1  x2

5) a)

6) a) 6x dx  6 y dy  3x2 y dy  2 x y 2dx; x 2  xy  y 2 в) y  ; x2  2xy ґ) 2( y  2 y)  (1  x) ex

2 /2

y 2;

7) a) 3(x y  y)  y 2 ln x;

y2 6 y в) y  2   6; x x 3 ґ) 3x 2 (1  ln y) dx   2 y  x  dy; y  x 2  xy  y 2  8) a) y  ; 2 x2  2xy x

x

в) y (4  e ) dy  e dx  0; ґ) 2 y  y cos x  1 (cos x  sin x); y 9) a) (2 x  3x 2 y) dx  ( x3  3 y 2) dy  0; 2 y 8y в) 2 y  2   8; x x ґ) 2 x dx  2 y dy  x2 y dx  2 x y 2dy;

94

д) y  y  cos x  cos 2x; 4

б) y  4 x3 y  4( x3  1)e x y 2; y г) y   x2; x д) y  9 y  e x; б) y  y cos x  1 sin 2 x; 2 г) 3 y 

y2 8 y   4; x x2

д) y  3 y  2 y  x; б) (1  y 2 sin 2x) dx  2 y cos2 x dy  0; y г) y   x2  2 x; x2 д) y  2 y  y  ex; б) y 

y  x sin x; x

г) x 5  y 2 dx  y 4  x2 dy  0; д) y  2 y  2 y  sin x;

y б) y   x 2; 2x

(x 2  1)cos y   2 x г)   2  dx  dy  0; cos y  1  sin y  д) y  y  sin x; y б) y   2 ln 1 ; x x г) y  4 x3 y  4(1  x3) e4x y 2; д) y  4 y  cos x;

10) a) 3x 2e ydx  ( x3e y  1)dy  0; 2 2 x  xy  3 y в) y  ; x2  4xy

ґ) x 4  y 2 dx  y 1  x2 dy  0; 11) a) (e x  8)dy  ye x dx  0; 2 y 10 y в) 4 y  2   5; x x ґ) e ydx  (1  xe y ) dy  0;

12) a) (3x2  2 y) dx  (2x  3)dy  0;

x 2  xy  5 y 2 в) y  ; x2  6xy ґ) 6x dx  y dy  y x2dy  3x y 2dx; 13) a) (e x  1) y  yex;

y 2 10 y  в) 3 y  2   10; x x ґ) (x cos 2 y  1) dx  x2 sin 2 y dy  0; 14) a) 6x dx  2 y dy  2 yx2dy  3xy 2dx; 2 2 x  2 xy  5 y в) y  ; 2x 2  6xy ґ) (6 xy  x2  3) y  3 y 2  2xy  2x  0;

15) a) (e x  3) y y  e x;

3 y3  2 yx2 ; 2 y2  x2 ґ) ( y cos x  x 2) dx  (sin x  y) dy  0; в) xy 

16) a) x dx  y dy  yx2dy  xy 2dx; в) xy  x2  y 2  y; ґ) (e y  2xy) dx  (e y  x) x dy  0;

б) y 

2y  x3; x

г) 3x y  5 y  (4 x  5) y 4; д) y  y  x2;

2xy 2 б) y  2  xy ; 1 x г) 3 (x y  y)  xy 2; д) y  4 y  cos x;

3y 2 б) y   ; x x3 г) 2 x y  3 y  (20 x3  12) y3; д) y  4 y  x2; б) y 

xy x; 2  2 2(1  x )

г) y  2 xy  2x3 y 3; д) y  2 y  e x;

2y б) y   e x (x  1)2; x 1 г) x y  y  y 2 ln x; д) y  5 y  3x2;

2xy 2 x2 ; б) y   1  x2 1  x2 г) 2( y  y)  xy 2; д) y  4 y  e3x;

y б) y   x  1 ex; x x г) y  x y  (x  1) e x y 2; д) y  16 y  x 2;

95

17) a) 5  y 2 dx  (x2 y  y) dy  0; 3 2 3 y  4 yx в) xy  ; 2 y 2  2x 2 ґ) (cos x  x sin y) y dx  x cos x dy  0;

б) y 

y sin x  ; x x

г) y  y  xy 2; е) y  5 y  e x; б) xy  2 x2  y 2  y;

18) a) (1  e x ) y y  e x; y в) y    123 ; x x y/x ґ) x dy  (xe  y) dx;

г) 2( x y  y)  y 2 ln x;

19) a) x 2 y dy  xy 2 dx  2 x dx  y dy;

б) y 

д) y  9 y  cos x;

3 2 3 y  6 yx в) xy  ; 2 y 2  3x2

ґ) (2 x  ln( y  1))dx 

г) y  y  xy 2;

x y dy  0; y 1

20) a) y  1  22 x y  1; x в) 2x  2xy2  2  x2 y  0;

 1  dy  0; ґ) x ( y 2  1)dx   x2 y  1  y 2   21) a) 3x 2 y dy  5xy2 dx  20x dx  3 y dy; в) 2 y  5 y cos x  e2 x (2  3 cos x) 1 ; y ґ) (tg y  3x2 ) dx  x2 dy  0; cos y 22) a)

4  x2 y  xy 2  x  0;

в) x2 dy   12  1  dx; y x y ґ) 8x y  12 y  (5x2  3) y 3; 23) a) xy  y ln y  0; 3 y3  10 yx2 в) xy  ; 2 y 2  5x 2 ґ) (xy 2  1)dx  x2 y  1dy  0;

96

y  3x; x

д) y  5 y  e x; б) xy  2 x2  y 2  y; г) x y  y  y 2 x; д) y  9 y  cos x; б) y  2 xy  2 x3; y2 4 y г) y  2   2; x x д) y  3 y  e x; б) xy  3 x 2  y 2  y; г) y  xy   x3; д) y  9 y  x; б) y  y tg x  cos2 x; г) 4 y  x3 y  (x3  8) e2x y 2; д) y  9 y  x2;

24) a) xy  (1  ln y) y  0; в) y  y ctg x  2 x sin x; ґ) (3x2 y 2  7)dx  2 x3 y dy  0;

б) 4 y  x3 y  ( x3  2) e2x y 2; 3 2 3 y  12 yx г) xy  ; 2 y 2  6x 2 д) y  4 y  2 cos x;

25) a) 3 (x 2 y  y) dy  2  y 2 dx  0; в) y  y  2xy 2; ґ) (x2  y) dx  ( y 2  x) dy  0;

б) xy  4 2 x2  y 2  y; г) y  4 xy  4 x3; д) y  4 y  4 y  2x;

26) a) y  4x  2 y  1;

б) xy  x2  y 2  y; y г) y   y 2  0; x 1 д) y  25 y  x;

в) x y  2 y  2 x4; ґ) (x 2 y 2  y) dx  x(2 y  1)dy  0;

1  y2 27) a) y   0; 1  x2 в) x ( y  y)  e x; ґ) y ( y  x) dx  xy  1dy  0;

y б) xy  y  x tg ; x г) y  y tg x  y 2 cos x  0; д) y  6 y  9 y  e2x;

28) a) yctg x  y  2; в) x 2 y  xy  1  0; ґ) e y dx  2 y  xe y dy  0;

б) x3 y  y( x2  y 2 ); г) y  2 xy  2 x3 y 3; д) y  2 y  y  x 2;

29) a) xy  y3  y; в) (1  x) y  y  cos x;

б) ( y  2)dx  (2 x  y  4) dy; г) xy  4 y  x2 y ;

ґ) ( y  xy 2 ) dx  x dy  0; 30) a) y 2  xy  y; в) (2e y  x) y  1; ґ) (1  y 2 sin 2x) dx  2 y cos2 x dy  0;

д) y  10 y  25 y  x; б) (x  y  2)dx  ( x  y  4)dy  0; 2x y г) x y  2 y  ; cos2 x д) y  9 y  x2;

Завдання 20. Дослідити збіжність рядів:  1) а)  1 ; б) n 1 n(n  1) 

2) а)

1 ;  ( 2 n  1 )(2 n  1) n 1

(1)n 1 ;  n 1 2n  1 

(1)n 1 ;  n 1 ln(n  1) 

б)

97



1 3) а)  2n 1 ; n 1 (2n  1)  2 

4) а)

(

(1)n 1 ;  n n 1 n 2  (1)n1(n  1) б)  ; n n 1 

sin рn ;  2 n 1

б)



5) а)

(1)n 1 б)  3 ; n 1 (2n  1) 

n  n  1) ;

n 1

б)

(1)n 1 ;  3 n 1 n2

б)

(1)n 1 ;  4n n 1

б)

(1)n 1n ;  n 1 2n  1



6) а)

1 ( n  1  n  1) ;  n 1 n





7) а)

1 ;  ( 2 n  1)! n 1





8) а)



n;  n 2 n 1 

9) а)  n 1 ; n 1 ln (n  1)

  2nn 1  ; n



10) а)

(1)n 1 б)  ; n 1 ln(2n  1) 

б)

(1)n 1  2 ; n 1 (2n  1) 

n 1



1 ; (3n  2)(3n  1)

б)

(1)n ;  n n 1



1 ; n (n  3)

б)

(1)n ;  n 1 n3

11) а)  n 1 12) а)  n 1 

n 13) а)  3 n ; n 1 n  2





(1)n1 б)  ; n 1 5n  1 



14) а)

2n ;  4 n 1 n 

15) а)

 n 1



16) а)

 n 1

98

(1)n 1  3 ; n 1 (4n  1) 

б)

1 ; n2  2n

(1)n 1 б)  3 ; n 1 ln n

1 ; n4  1

(1)n 1 б)  5 3 ; n 1 n







17) а)

n2 ;  n n 1 3



 (1)

б)

n 1

n ;  ( n  1)! n 1 

1 19) а)  ; n 1 (n  1) n  1



б)

(1)n б)  ; n 1 n7 

б)

(1)n (n2  1) ;  n3 n 1

б)

(1)n 1n ;  n 1 5n  1

б)

(1)n 1  2 ; n 1 (3n  1)

1 ; 2 n  2n  1

б)

(1)n 1 ;  2 n 1 ln n

1 ; 6 n 1

б)

(1)n 1 ;  n 1 3n  2

б)

(1)n 1n3 ;  2n n 1

б)

(1)n 1n4 ;  n5  1 n 1

б)

(1)n n2 ;  3 n 1 n  3

б)

(1)n 1n ;  n 1 7n  2



20) а)

1 ;  ( 2 n  1 ) (2n  5) n 1





21) а)

3n  2n ;  6n n 1





22) а)

1 ( n2  n  1  n2  n  1) ;  n 1 n 

23) а)

 n 1



24) а)

 n 1









25) а)

2n  1 ;  3n n 1





26) а)

5n ;  n 1 (n  1)!





27) а)

1 ;  ( 5 n  4 ) (4n  1) n 1





28) а)

n n 4  2 ;  8n n 1



n 1 ; n

(1)n 1n ;  n 1 2n  1



18) а)

n

29) а)  1 ( n2  1  n2  1) ; n 1 n



(1)n 1 б)  3 ; n 1 (4n  1) 

99



30) а)

(1)n 1 б)  2 . n 1 n  2 

1 ; n2  4n

 n 1

Завдання 21. Дослідити область збіжності степеневих рядів:   n 1) 10n x n ; 2)  (1)n1 x ; n n 1 n 1 

3)

 n! x



n

;

4)

n 1 

5)



n

 2x

n ;

6)



9)

 n x5



xn ;  n 1 n (n  1)

10)

 n x 3



n 1

;

n 1

12)

n xn  n ; n1 2

14)

n 1



n

 (n  1)3

n

x ;

n 1

n

x ;

n 1

xn ;  2 n n 1 n 2 

21)

n

5

n

x ;

n 1

(1)n 1 xn 16)  ; n3 n 1 (1)n 1 xn 18)  ; n2 n 1 

(n  1) xn ;  4n n 1



20)

 (2n  1) 4n xn ; n 1

100

2n

(1)n x n 22)  n 1 ; 3 n 1 



24)

n

n

 22n x 1 ; n 1



25)

n

 (n x1)3 n 1



23)

xn ;  n 1 2n  1 



19)

(1)n 1 xn ;  4n n 1 



2

;

n



 3n xn ;

n 1

n

n 1



17)

;

8)

n



n



xn ;  n 1 n!

15)

n

 4x n 1

7)

13)

;

n 1

n 1

n 1

11)

n

x  n  10

(1)n x n ;  3n n 1 

26)

;



27)

n 1 n

3

x ;

n 1



29)

6 n 1

n 1 n

x ;

(1)n x n 28)  ; n3 n 1 

(1)n xn 30)  . n 1 n (n  1) 

Список рекомандованої літератури 1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985. 2. Дацко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1980 (2 т.). 3. Ильин В.А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1988. 4. Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1973. Ч 1, 2. 5. Ковальчук Б.В., Дідик В.З., Верба І.І., Тріщ Б.М. Аналітична геометрія й основи алгебри. К.: НМК ВО, 1993. 6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989. 7. ЛісевичЛ.М., Бабенко В.В., Бокало М.М., Тріщ Б.М. Математичний аналіз у задачах і вправах. К.: НМК ВО, 1993. 8. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по математическому анализу. К.: Вища школа, 1984 (2 т.). 9. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1988. 10. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Котлова В.М. Вища математика. У 3 кн. К.: Либідь, 1994.

101

Зміст Розділ 1. Множини. Множина комплексних чисел ……………………………….. 3 1.1. Множини

………………………………………………………………………… 3 1.2. Операції над множинами ……………………………………………………….. 3 1.3. Множина дійсних чисел ……………………………………………………...… 5 1.4. Множина комплексних чисел ………………………………………………..… 6 Розділ 2. Векторна алгебра ………………. ………………………………………….. 8 2.1. Вектори. Лінійні операції над векторами ……………………………………… 8 2.2. Декартова прямокутна система координат. Полярна система координат …... 10 2.3. Скалярний добуток двох векторів …………………………………………...… 11 2.4. Визначники другого і третього порядків .…………………………………...… 11 2.5. Векторний добуток двох векторів …………………...………………………… 13 2.6. Змішаний добуток трьох векторів ……………………..……………………… 14 Розділ 3. Аналітична геометрія …………………………………………………..… 17 3.1. Відстань між двома точками. Поділ відрізка у заданому співвідношенні ...... 17 3.2. Пряма на площині ………………………………………………………...….…. 17 3.3. Криві другого порядку ……………………………………………………. ……. 19 3.4. Площина .……………………………………………………………………....… 20 3.5. Пряма в просторі ………………………………………………………….…….. 22 Розділ 4. Елементи лінійної алгебри ……………………………………………..… 24 4.1. Матриці ………………………………………………………………………..… 24 4.2. Метод Гаусса …….……………………………………………...……………..... 26 4.3. Обернена матриця ……………………………………………….…………….... 27 Розділ 5. Функція однієї змінної…………………………………………………….. 29

102

5.1. Границі числових послідовностей ..………..…………………………….….… 29 5.2. Границя функції. Односторонні границі …………………………………….... 29 5.3. Неперервність функції ….………………………………………………….…... 31 5.4. Похідна функції. Правила диференціювання ….…………………………...… 31 5.5. Диференціал функції ………………………………………………………....… 33 5.6. Правило Лопіталя …………………….………………………………………… 33 5.7. Похідні вищих порядків .………………………………………………………. 33 Розділ 6. Інтегральне числення …………………………………………………..… 35 6.1. Невизначений інтеграл ………………………………………………………… 35 6.2. Визначений інтеграл …….……………………….………………………...…... 44 6.3. Невласні інтеграли ………………………………………………………….….. 46 6.4. Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії ……………………. 49 Розділ 7. Функція багатьох змінних ………………………………………………. 51 7.1. 51 7.2. 52 7.3. 53 7.4. 53

Основні поняття функції багатьох змінних ………………………………….. Частинні похідні функції багатьох змінних ………………………………….. Частинні похідні та диференціали вищих порядків …………………………. Екстремум функції багатьох змінних …………………………………………

Розділ 8. Диференціальні рівняння ………………………………………………... 55 8.1. Рівняння зі змінними, які можна відокремити …...………………………...… 55 8.2. Однорідні рівняння ……………………………………………………….….… 56 8.3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку …...…………………….. 56 8.4. Рівняння Бернулі ………….………………………………………………...….. 57 8.5. Рівняння у повних диференціалах …………………………………………….. 58 103

8.6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами ……………………………………………………… 59 Розділ 9. Ряди …………………………………………………………………..……. 65 9.1. Числові ряди …….……………….……………….………………………...…... 65 9.2. Ряди з додатніми членами ………………………………………………….….. 65 9.3. Ряди з довільними членами …………………….………………………...……. 66 9.4. Степеневі ряди ………………………………………………………………….. 67 Завдання до контрольних робіт ...…………………………………………...…….... 70 Список рекомендованої літератури ...…………………………………………...…. 99

104