Механика: Методические указания к лабораторному практикуму

Ф и зи ческ и й ф ак у л ьтет

К аф едра общ ей ф и зи к и

М ето д и ч еск и е у к а за ни я к ла бора торном у пра к ти к у м у пом ех а ни к е д ля сту д ентов 1 к у рса д невногои 2 к у рса веч ернегоотд елени й ф и зи ч еск огоф а к у льтета

С остави тел и : О .М . Гол и цына В.И. Носова

ВОРОНЕ Ж 2002

2 Ра бо ты 5Аи 5Б. И зу ч ени е геом етри и м а сс тверд ы х тел Ц ел ь работ: эк спери ментал ьнаяпроверк а зави си мости меж ду моментами и нерци и тел а относи тел ьно осей , пересек ающ и хся в одной точк е. О предел ени е гл авных моментов и нерци и си мметри чных тел методом к ру ти л ьного маятни к а. О бору довани е: к ру ти л ьный маятни к , ми л л и сек у ндомер сф отодатчи к ом, образцы. I. Введени е С вяж ем с твердым тел ом неразрывно нек отору ю прои звол ьно выбранну ю си стему к оорди нат XYZ, помести в ее начал о в прои звол ьной точк е O. Пространственное распредел ени е массы твердого тел а относи тел ьно этой си стемы мож ет быть опи сано шестью незави си мыми вел и чи нами J ik , совок у пность к оторых составл яет так называемый тензор и нерци и . Тензор и нерци и мож но представи ть в ви де си мметри чной ( J ik = J ki ) матри цы:  J xx   J yx J  zx где

J xy J yy J zy

J xz   J yz  , J zz 

J yy = Σm( x 2 + z 2 ) , = −Σmxz , J yz = J zy = −Σmyz .

J xx = Σm( y 2 + z 2 ) ,

J xy = J yx = −Σmxy , J xz = J zx

J zz = Σm( x 2 + y 2 ) ,

Здесь су мми ровани е прои зводи тся по всем эл ементарным массам, составл яющ и м твердое тел о. Д и агонал ьные к омпоненты тензора и нерци и , очеви дно, явл яются моментами и нерци и тел а относи тел ьно осей OX, OY и OZ. О ни всегда пол ож и тел ьны. В дал ьней шем бу дем обозначать и х J x , J y , J z . Неди агонал ьные эл ементы тензора называются центробеж ными моментами и нерци и . Э ти эл ементы могу т ок азатьсяк ак пол ож и тел ьными , так и отри цател ьными и равными ну л ю в зави си мости от выбора си стемы к оорди нат. В частности , направл ени е осей x, y, z всегда мож но подобрать так и м образом, чтобы все центробеж ные моменты и нерци и обрати л и сь в ну л ь. Тензор и нерци и бу дет и меть тогда ди агонал ьный ви д:  Jx  0  0

0 Jy 0

0  0  Jz 

3 Так и е оси к оорди нат называются гл авными осями и нерци и тел а, а моменты и нерци и J x , J y , J z относи тел ьно эти х осей – гл авными моментами и нерци и тел а. Нахож дени е гл авных осей очень у прощ ается в сл у чаях си мметри чных тел . Так , л егк о пок азать, что есл и тел о и меет ось си мметри и , то одна и з гл авных осей совпадает сэтой осью, а две дру ги е л еж ат в перпенди к у л ярной к ней пл оск ости , при чем ори ентаци я и х в этой пл оск ости прои звол ьна. Есл и тел о обл адает пл оск остью си мметри и , то две гл авные оси л еж ат в этой пл оск ости , а третьяк ней перпенди к у л ярна и т. д. К ак ова зави си мость меж ду моментами и нерци и тел относи тел ьно осей , пересек ающ и хся в одной точк е? Пу сть на ри с.1 оси XYZ выбраны так , что они совпадают сгл авными осями и нерци и тел а с начал ом в точк е O. Р ассмотри м прои звол ьну ю ось, так ж е проходящ у ю через эту точк у , направл ени е r n, к оторой задается еди ни чным век тором составл яющ и м с гл авными осями у гл ы α, β, γ соответственно. Тогда момент и нерци и тел а относи тел ьно этой оси мож ет быть представл ен в ви де (см. [2], [4] в спи ск е л и терату ры). J = J x cos2 α + J y cos2 β + J z cos2 γ , (1) Р и с. 1. где J x , J y , J z – гл авные моменты и нерци и . II. М етоди к а эк спери мента О предел ени е гл авных моментов и нерци и си мметри чных тел и проверк у равенства (1) л егк о осу щ естви ть при помощ и к ру ти л ьного маятни к а, схемати ческ и и зображ енного на ри с.2. Иссл еду емое тел о заж и мается в рамк е маятни к а, подвешенной к у пру гой верти к ал ьно натяну той r провол ок е (поэтому век тор n на нашей у становк е всегда направл ен по верти к ал и ). Пери од к ру ти л ьных к ол ебани й маятни к а равен T = 2π

Р и с. 2.

J + Jo f

,

(2)

где J – момент и нерци и тел а относи тел ьно верти к ал ьной оси , J o – момент и нерци и рамк и , f – моду л ь к ру чени я провол ок и . Пери од к ол ебани й рамк и без гру за:

4 To = 2π

Jo f

(3)

Иск л ючая f и з (2) и (3), находи м J = J o (T 2 − To2 ) / To2

(4)

Зак репл яя тел о в рамк е при помощ и при ж и мной пл анк и так , чтобы с верти к ал ьной осью вращ ени я поочередно совпал и гл авные оси и нерци и тел а, пол у чи м дл ягл авных моментов и нерци и J x = J o (Tx2 − To2 ) / To2 , J y = J o ( Ty2 − To2 ) / To2 , J z = J o ( Tz2 − To2 ) / To2 ,

(5)

где Tx , Ty , Tz – пери оды к ол ебани й маятни к а, к огда его ось вращ ени ясовпадает с одной и з гл авных осей X, Y, Z. Подстави в (4) и (5) в соотношени е (1), пол у чи м T 2 = Tx2 cos2 α + Ty2 cos2 β + Tz2 cos2 γ

(6)

Ф орму л а (6) связывает пери оды к ру ти л ьных к ол ебани й тел а Tx , Ty , Tz относи тел ьно его гл авных осей спери одом к ол ебани й вок ру г прои звол ьной оси , составл яющ ей сгл авными осями у гл ы α, β, γ. Замети м, что зату хани е к ол ебани й при этом предпол агал ось достаточно мал ым. Д л я определ ени я момента и нерци и J o рамк и воспол ьзу емся этал онным тел ом, момент и нерци и к оторого J э и звестен. Из ф орму л ы (4) и меем

To2 , Jo = Jэ 2 Tэ − To2 где Tэ – пери од к ол ебани й рамк и сэтал онным тел ом. Подстави в J o ф орму л у (5), пол у чаем ок ончател ьно

5 Ty2 − To2 Tx2 − To2 Tz2 − To2 J x = Jэ 2 J = J , J J = , y э 2 z э 2 Tэ − To2 Tэ − To2 Tэ − To2

(7)

В данной работе дл я и ссл едовани я и спол ьзу ются три масси вных метал л и ческ и х тел а: а) к у б со стороной a; б) прямоу гол ьный парал л ел епи пед, у к оторого a = b
пол у чаем J = J x = const и , сл едовател ьно, T = Tx = const

(8)

6 Так и м образом, момент и нерци и к у ба относи тел ьно л юбой оси , проходящ ей через его центр, оди нак ов. О ди нак овы дол ж ны быть и пери оды к ол ебани й к у ба вок ру г так и х осей . 2. Парал л ел епи пед, a = b
cos2 α + cos2 β = 1 − cos2 γ ,

то и з ф орму л ы (6) пол у чаем T 2 = Tx2 (1 − cos2 γ ) + Tz2 cos2 γ

О тсюда ви дно, что пери од к ру ти л ьных к ол ебани й зави си т тол ьк о от у гл а γ, к оторый ось вращ ени я составл яет с гл авной осью OZ, парал л ел ьной бол ьшому ребру парал л ел епи педа, и не зави си т от у гл ов α и β. В частности , дол ж ны быть оди нак овыми пери оды к ол ебани й относи тел ьно л юбой оси , л еж ащ ей в пл оск ости XOY (то есть, при γ=π/2 ). В этом сл у чае T = Tx = const

(9)

Провери ть соотношени е (9) мож но, зак репл яя образец в рамк е так и м образом, чтобы ось вращ ени я был а перпенди к у л ярна его бол ьшому ребру . Пери оды к ру ти л ьных к ол ебани й при л юбом так ом пол ож ени и тел а дол ж ны совпадать в предел ах погрешности и змерени й . 3.Парал л ел епи пед, a
cos2 α = a 2 / (a 2 + b2 + c2 ) , Р и с. 3.

cos2 β = b 2 / ( a 2 + b 2 + c 2 ) ,

7

cos2 γ = c2 / (a 2 + b2 + c2 ) , то соотношени е (6) дает 2 TAB (a 2 + b2 + c2 ) = Tx2a 2 + Ty2b2 + Tz2c2

(10)

А нал оги чно дл яосей EF, MN, PQ, совпадающ и х сосью вращ ени я, и меем: 2 TEF (b2 + c2 ) = Ty2b2 + Tz2c2

(11)

2 TMN ( a 2 + c2 ) = Tx2a 2 + Tz2c2

(12)

2 TPQ ( a 2 + b2 ) = Tx2a 2 + Ty2b2

(13)

Так и м образом, проверк а соотношени я (1) своди тся к проверк е равенств (10) – (13). По у к азани ю преподавател я к аж дый сту дент выпол няет одно и з задани й – 5А и л и 5Б.

III. Задани е 5А . Проверк а равенства (1) методом к ру ти л ьного маятни к а. 1. О предел и ть пери оды к ол ебани й к у ба, и змеряявремя10 к ол ебани й дл я сл еду ющ и х пол ож ени й к у ба: а) ось вращ ени я проходи т через центры к ак и х-л и бо дву х проти вопол ож ных граней ( T1 ) ; б) ось вращ ени япроходи т по к ак ой -л и бо и з гл авных ди агонал ей к у ба ( T2 ) ; в) ось вращ ени япроходи т через середи ны проти вол еж ащ и х ребер к у ба ( T3 ) . Все и змерени я повтори ть 3 раза, резу л ьтаты занести в табл и цу . Вычи сл и ть средни е значени я пери одов, оцени ть и х погрешности . Провери ть справедл и вость равенства (8) в предел ах допу щ енных погрешностей . 2. Д л я парал л ел епи педа с дву мя оди нак овыми ребрами a = b
8 а) ось проходи т через середи ны дву х проти вол еж ащ и х бол ьши х ребер ( T4 ) ; б) ось проходи т через середи ны дву х проти вол еж ащ и х граней ( T5 ) . Повтори ть и змерени я 3 раза, запол ни ть табл и цу , най ти < T1 > и и и х погрешностей . Пок азать равенство эти х пери одов (соотношени е (9)) в предел ах погрешностей и змерени й . 3. А нал оги чные и змерени я продел ать дл я парал л ел епи педа с ребрами a
К уб T1

T2

Парал л ел епи пед a = b
T4

T5

Парал л ел епи пед a
TEF TMN

TPQ

Р азмеры парал л ел епи педа a
IV. Задани е 5Б. О предел ени е гл авных моментов и нерци и тел а при помощ и к ру ти л ьного маятни к а. 1. Выбрав в к ачестве этал онного тел а к у б массы m с дл и ной ребра a, най ти его момент и нерци и по ф орму л е 1 J э = ma 2 , 6 где m = (962 ± 1) г ; a = (50,1 ± 0,1) м м . Вычи сл и ть погрешность момента и нерци и J э . 2. Зак репи в к у б в рамк е так , чтобы верти к ал ьная ось вращ ени я проходи л а через его центр, определ и ть 5 раз по времени 10 к ол ебани й пери од Tэ к ол ебани й рамк и сэтал онным тел ом. Най ти средни й пери од и его погрешность.

9 Замети м, что согл асно (8), пери оды к ол ебани й к у ба относи тел ьно л юбой оси , проходящ ей через центр к у ба, оди нак овы, поэтому в опыте мож но и спол ьзовать л юбу ю так у ю ось. 3. О предел и ть, прои зводя анал оги чные и змерени я, средни й пери од To к ол ебани й пу стой рамк и и его погрешность. 4. Зак репл яя в рамк е парал л ел епи пед с разл и чными дл и нами ребер (a
Э тал онное тел о

Пу стаярамк а

Tэ , с

Tc , c

Парал л ел епи пед, a
Ty , c

Tz , c



1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

V. К онтрол ьные вопросы Тензор и нерци и . О севые и центровые моменты и нерци и . Ч то так ое гл авные оси и гл авные моменты и нерци и ? Вывести ф орму л у (1). К ак определ и ть гл авные моменты и нерци и си мметри чных тел при помощ и к ру ти л ьного маятни к а? К ак определ и ть равенство (1) дл я к у ба? Парал л ел епи педа с дву мя равными ребрами ? парал л ел епи педа стремяразными ребрами ? К ак вычи сл и ть погрешность момента и нерци и в работе 5Б? К ак овы ф орму л ы дл я подсчета погрешностей л евых и правых частей равенств (10) – (13) в работе 5А ?

VI.Л и терату ра 1. К ал енк ов С . Г., С ол омахо Г. И. Прак ти к у м по ф и зи к е. М ехани к а. – М ., 1990. – С . 95-102.

10 2. Ф и зи ческ и й прак ти к у м. М ехани к а и мол ек у л ярная ф и зи к а /Под. ред. В. И. Ивероновой . – М ., 1967. – С . 102-105. 3. М атвеев А . Н. М ехани к а и теори яотноси тел ьности . – М ., 1986. – С .173 –177. 4. А й зерман М . А . К л асси ческ аямехани к а. – М ., 1974. – С .168-173.

Ра бота 8А. И зу ч ени е у пру ги х свойств тверд ы х тел Ц ел ь работы: определ ени е моду л яЮ нга и з деф ормаци и и зги ба. О бору довани е: у становк а, и нди к атор проги ба, ми л л и метровая л и ней к а, штангенци рк у л ь, ми к рометр, и ссл еду емый стерж ень. I. Введени е Изменени е ф ормы и размеров тел а под дей стви ем при л ож енных внешни х си л называетсядеф ормаци ей тел а. Д еф ормаци и , и счезающ и е посл е прек ращ ени я дей стви яси л , называютсяу пру ги ми . Е сл и при сняти и внешнего воздей стви я деф ормаци ясохраняетсяхотябы части чно, говорят о неу пру гой (пл асти ческ ой ) деф ормаци и . Р ассмотри м у пру гу ю деф ормаци ю растяж ени я (сж ати я) однородного и и зотропного стерж ня. При деф ормаци и тел а в л юбом его поперечном сечени и возни к ают вну тренни е си л ы, с к оторыми разл и чные части деф орми рованного тел а дей ству ют дру г на дру га. Е сл и матери ал однороден, мож но счи тать, что так ая си л а равномерно распредел ена по пл ощ ади поперечного сечени я. С и л а, дей ству ющ ая на еди ни цу пл ощ ади поперечного сечени я, называется напряж ени ем: δ = F/S С тепень деф ормаци и тел а мож ет быть у довл етвори тел ьно охарак тери зована не абсол ютным у дл и нени ем (и л и сж ати ем) ∆l, а отношени ем этой вел и чи ны к ∆l называется относи тел ьной первоначал ьной дл и не l образца. Вел и чи на ε = l деф ормаци ей . Э к спери ментал ьно у становл ено, что при мал ых деф ормаци ях напряж ени е пропорци онал ьно относи тел ьной деф ормаци и (зак он Гу к а): δ=Еε. К оэф ф и ци ент пропорци онал ьности Е, зави сящ и й тол ьк о от ви да вещ ества и его температу ры, называется моду л ем Ю нга. Р азмерность его совпадает с размерностью напряж ени я ( Н / м 2 ).

11 При растяж ени и стерж ня прои сходи т у меньшени е его поперечного размера ∆a a (ε′ = - относи тел ьное поперечное сж ати е). Вел и чи на так ж е явл яется a харак тери сти к ой вещ ества и называется к оэф ф и ци ентом Пу ассона. М ож но пок азать, что µ < 1/2. М оду л ь Ю нга и к оэф ф и ци ент Пу ассона пол ностью харак тери зу ют у пру ги е свой ства и зотропного вещ ества. Все прочи е у пру ги е постоянные могу т быть выраж ены через Еи µ.. II. Э к спери ментал ьнаячасть В данной работе при менен метод определ ени ямоду л яЮ нга, основанный на и змерени и стрел ы проги ба при и зги бе однородного стерж ня1, л еж ащ его на дву х парал л ел ьных опорах 2, при подвеши вани и к его середи не гру за 3 на пл атф орме 4 (ри с. 1). Е сл и мысл енно разби ть стерж ень на тонк и е продол ьные сл ои , то ок аж ется, что при и зги бе верхни е сл ои у к орачи ваются, а ни ж ни е у дл и няются. С редни й сл ой сохраняет свою дл и ну . С л едовател ьно, деф ормаци яи зги ба своди тсяк неоднородной деф ормаци и растяж еня-сж ати ясл оев стерж ня, что позвол яет най ти моду л ь Ю нга по вел и чи не проги ба данного стерж ня. Д л яи змерени ястрел ы проги ба и спол ьзу етсяспеци ал ьный и нди к атор 5, состоящ и й и з щ у пового механи зма и ци ф ербл ата. Инди к атор у к репл яют в специ ал ьной стой к е, подводяего щ у повой механи зм к середи не стерж нядо сопри к основени я. При сняти и с пл атф ормы гру за 3 стерж ень выпрямл яетсяи дей ству ет на щ у повой механи зм и нди к атора. О ди н пол ный оборот стрел к и и нди к атора соответству ет стрел е проги ба равной 1 м м , а цена Р и с. 1. наи меньшего дел ени ясоставл яет 0,01 м м . Р асчет дает сл еду ющ у ю ф орму л у дл ястрел ы проги ба λ однородного стерж ня:

λ = Pl 3 / 4 Eab 3 ,

12

где Р – веснагру зк и , l – расстояни е меж ду опорами , a и b – ши ри на и тол щ и на стерж нясоответственно. О тсюда дл яопредел ени ямоду л яЮ нга и меем

E=

Pl 3 4λab3

Измерени я 1. О предел и ть расстояни е l меж ду опорами , пол ьзу ясь ми л л и метровой л и ней к ой . 2. 5 раз и змери ть штангенци рк у л ем ши ри ну стерж ня а в разл и чных точк ах стерж ня. 3. Ш тангенци рк у л ем и л и ми к рометром (по у к азани ю преподавател я) 5 раз и змери ть тол щ и ну стерж няb. 4. Пол ож и ть стерж ень на опоры, подвеси в к его середи не пл атф орму снагру зк ой P1 . У к репи ть и нди к атор на стой к е, подвеси в его щ у повой механи зм до сопри к основени я с середи ной стерж ня. Вращ ени ем ци ф ербл ата у станови ть стрел к у и нди к атора на ну л ь шк ал ы. 5. С нять гру з спл атф ормы и отсчи тать пок азани яи нди к атора. 6. Измери ть стрел к у проги ба снагру зк ой P2 и P3 . Все резу л ьтаты и змерени й дол ж ны быть занесены в табл и цу :

№

l, м м

a, м м

b, м м

P1 =4,90 Н

P2 =9,81 Н

P3 =14,72 Н

λ1, м м

λ2, м м

λ3, м м

С реднее

1. Пол ьзу ясь Э ВМ , рассчи тать средни е значени я размеров стерж ня и стрел проги ба, а так ж е и х погрешностей . Выпи сать эти значени я совместно с погрешностями . Продол ж ая расчет на Э ВМ , най ти средни е значени я моду л я Ю нга E1 , E 2 , E 3 дл я к аж дой и з трех нагру зок , вычи сл и ть погрешности эти х вел и чи н и представи ть резу л ьтаты с у к азани ем погрешностей . Проанал и зи ровать вк л ад к аж дой и з непосредственно и змеряемых вел и чи н в погрешности моду л я Ю нга. С равни ть три пол у ченных значени я моду л я Ю нга меж ду собой .

13 2. Р ассчи тать < E >= 1 / 3 ⋅ ( E1 + E2 + E3 ) и его погрешность. Запи сать ок ончател ьный резу л ьтат. С ф орму л и ровать выводы, сдел анные в процессе выпол нени яработы и анал и за резу л ьтатов. III. К онтрол ьные вопросы 1. Ф орму л и ровк а зак она Гу к а. М оду л ь Ю нга. Е го ф и зи ческ и й смысл и размерность. 2. Изобрази ть граф и к зави си мости напряж ени я, возни к ающ его в твердом тел е, от относи тел ьной деф ормаци и тел а. О тмети ть все харак терные точк и на этой к ри вой и поясни ть и х смысл . 3. Ч то так ое к оэф ф и ци ент Пу ассона? 4. К ак определ и ть моду л ь Ю нга, и спол ьзу ядеф ормаци ю и зги ба? 5. Вывести ф орму л у дл ярасчета погрешности моду л яЮ нга. К ак и е вел и чи ны в опыте сл еду ет определ ять наи бол ее точно и почему ?

IV. Л и терату ра 1. С трел к ов С . П. М ехани к а. – М ., 1975. – С .282-291. 2. С и ву хи н Д . В. О бщ и й к у рсф и зи к и . – М ., 1989. – Т.1. – С .416-421.

14

Ра бо та 8Б. И зу ч ени е у пру ги х свойств тверд ы х тел Ц ел ь работы: определ ени е моду л ясдви га и з деф ормаци и к ру чени я. О бору довани е: к ру ти л ьный маятни к , сек у ндомер, освети тел ь, шк ал а. I. Введени е Р ассмотри м к у б и з однородного и и зотропного вещ ества, одна грань к оторого зак репл ена. На ри с. 1 и зображ ено одно и з сечени й так ого к у ба. При л ож и м к к у бу си л у , парал л ел ьну ю зак репл енной грани AD. С оответству ющ ее напряж ени е τ=F/S,

Р и с. 1.

где S – пл ощ адь грани к у ба, называется к асател ьным напряж ени ем. Под дей стви ем так ой си л ы к вадрат ABCD переходи т в ромб AB’C’D. С л едовател ьно, рассматри ваемая деф ормаци ясостои т в том, что все сл ои к у ба, парал л ел ьные основани ю AD, сдви гаютсяв

15 направл ени и , парал л ел ьном этому основани ю. Поэтому так аядеф ормаци я называетсядеф ормаци ей сдви га. У гол θ меж ду AB и AB’ называетсяу гл ом сдви га и мож ет сл у ж и ть харак тери сти к ой относи тел ьно деф ормаци и тел а при сдви ге. Д ей стви тел ьно, в к ачестве относи тел ьной деф ормаци и к у ба сл еду ет взять отношени е BB’/AB, равное tgθ, но при мал ых θ (а при у пру ги х деф ормаци ях у гол сдви га, к онечно ж е, мал ) tgθ ≈θ. О пыт пок азывает, что связь меж ду у гл ом сдви га θ и к асател ьным напряж ени ем τ и меет так ой ж е харак тер, к ак и зави си мость меж ду относи тел ьным у дл и нени ем и нормал ьным напряж ени ем при деф ормаци и растяж ени я-сж ати я. В зоне у пру гости так ж е и меетсял и ней ный у часток , на к отором справедл и в зак он, анал оги чный зак ону Гу к а: τ=Gθ К оэф ф и ци ент пропорци онал ьности G, зави сящ и й , к ак и моду л ь Ю нга, тол ьк о от ви да вещ ества и его тепл ового состояни я, называетсямоду л ем сдви га. Р азмерность его Н / м 2 . Р и с. 2.

М оду л ь сдви га связан смоду л ем Ю нга Е и к оэф ф и ци ентом Пу ассона µ соотношени ем E=2G(1+µ).

Д л яэк спери ментал ьного определ ени ямоду л ясдви га чащ е всего и спол ьзу ют не деф ормаци ю сдви га, а деф ормаци ю к ру чени я, к отору ю мож но рассматри вать к ак неоднородный сдви г. Р ассмотри м однородну ю провол ок у , верхни й к онец к оторой зак репл ен, а к ни ж нему к онцу при л ож ен вращ ающ и й момент относи тел ьно продол ьной оси провол ок и . Под дей стви е этого момента си л провол ок а зак ру ти тся. К аж дый ради у сее ни ж него основани яповернетсявок ру г оси на оди н и тот ж е у гол ϕ. При этом возни к нет проти водей ству ющ и й момент вну тренни х си л , вел и чи на к оторого пропорци онал ьна у гл у зак ру чи вани я:

16 M = fϕ,

(1)

где постояннаяf называетсямоду л ем к ру чени я. Л егк о у ви деть, что деф ормаци як ру чени ясводи тсяк деф ормаци и сдви га эл ементарных сл оев, на к оторые мож но разби ть провол ок у . Ч ем дал ьше находи тсясл ой от зак репл енного основани япровол ок и , тем бол ьши й сдви г он и спытывает. Так и м образом, к ру чени е относи тсяк неоднородным деф ормаци ям, то есть деф ормаци ям, к оторые меняютсяв объеме тел а от одного сечени як дру гому . Из ск азанного ясно, что моду л ь к ру чени яf дол ж ен быть связан нек оторым соотношени ем смоду л ем сдви га G. Вывод этого соотношени ядаетсяв предл агаемой л и терату ре. В резу л ьтате пол у чаетсяф орму л а

f =

πr 4 G , 2L

(2)

где r и L - ради у си дл и на провол ок и соответственно. Из ф орму л ы (2) ви дно, что моду л ь к ру чени язави си т не тол ьк о от матери ал а провол ок и , но и от ее геометри ческ и х параметров. На прак ти к е моду л ь к ру чени янаходят, и змеряяпери од к ру ти л ьных к ол ебани й тяж ел ого тел а, подвешенного к ни ж нему к онцу и ссл еду емой провол ок и (к ру ти л ьный маятни к ). II. Э к спери ментал ьнаячасть Испол ьзу емый в работе к ру ти л ьный маятни к (ри с.2) представл яет собой масси вный гори зонтал ьный стерж ень 1 сзару бк ами , на к оторые си мметри чно подвеши ваютсяци л и ндри ческ и е гру зы 2 оди нак овой массы m. На середи не стерж няи меетсязерк ал ьце 3, направл яющ ее л у чи света от освети тел яна гори зонтал ьну ю шк ал у , размещ енну ю на стене за при бором (освети тел ь и шк ал а на ри су нк е не пок азаны). М аятни к подвешен на провол ок е и з и ссл еду емого матери ал а. Верхни й к онец провол ок и зак репл ен в заж и ме к ронштей на 4, при чем заж и м при помощ и шну ра 5 мож но поворачи вать на небол ьши е у гл ы вок ру г верти к ал ьной оси и тем самым сообщ ать маятни к у к ру ти л ьные к ол ебани я.

17 При зак ру чи вани и провол ок и возни к ает вну тренни й момент у пру ги х си л , проти вопол ож ных зак ру чи вающ ему внешнему моменту : M = − fϕ У равнени е вращ ател ьного дви ж ени ямаятни к а: Jϕ&& = − fϕ , где J – момент и нерци и маятни к а относи тел ьно оси вращ ени яси стемы. Перепи сав посл еднее у равнени е в ви де

ϕ&& +

f ϕ = 0, J

пол у чаем у равнени е дви ж ени я, опи сывающ ее гармони ческ и й к ол ебател ьный процесс, частота к оторого, очеви дно, равна

ω=

J . f

О тсюда и меем дл япери ода мал ых к ол ебани й к ру ти л ьного маятни к а

T = 2π

J f

(3)

М омент и нерци и J ск л адываетсяи з момента и нерци и дву х ци л и ндри ческ и х гру зов и момента и нерци и Jo всех остал ьных частей си стемы. Пренебрегая размерами гру зов по сравнени ю срасстояни ями и х до оси вращ ени я, мож ем напи сать моменты и нерци и гру зов к ак моменты и нерци и матери ал ьных точек . Тогда J = Jo + 2ml 2 ,

18 где l – расстояни е от к аж дого гру за до оси вращ ени я. Е сл и l = l1 (гру зы у становл ены на нек оторых си мметри чных зару бк ах), то пери од к ру ти л ьного к ол ебани яси стемы, согл асно ф орму л е (3), равен Jo + 2ml12 T1 = 2π f

(4)

При перевеши вани и гру зов на дру гу ю пару си мметри чных зару бок ( l = l2 ) Jo + 2ml22 T2 = 2π f

(5)

Иск л ючаяи з (4) и (5) неи звестну ю вел и чи ну Jo , находи м моду л ь к ру чени яf: 8π 2m(l12 − l22 ) f = T12 − T22

(6)

С равни ваяф орму л ы (2) и (6), пол у чи м ок ончател ьно дл яопредел ени ямоду л я сдви га сл еду ющ у ю рабочу ю ф орму л у

G=

m=(320,0±0,1) г

16πmL (l12 − l22 ) r 4 ( T12 − T22 )

(7)

2l=(12,0±0,1) см

L=(144±1) см

(16,0 ±0,1) см

r=(0,785±0,005) мм

(20,0 ±0,1) см (25,0±0,1) см (30,0±0,1) см

19 Параметры 2 l1 и 2 l2 задаютсяпреподавател ем. Измерени я 1. У станови ть гру зы 2 на расстояни и l1 от оси вращ ени яси стемы. 2. При помощ и шну ра 5 осторож но сообщ и ть маятни к у небол ьшое у гл овое 3.

4.

5. 6.

1. 2. 3. 4.

отк л онени е и создать мал ые к ру ти л ьные к ол ебани я. Набл юдая дви ж ени е светового зай чи к а в предел ах шк ал ы, и змери ть сек у ндомером время 30-50 пол ных к ол ебани й (по у к азани ю преподавател я). Измерени яповтори ть 5 раз. У станови ть гру зы на расстояни ях l2 от оси вращ ени я. Провести анал оги чные и змерени я. Все резу л ьтаты запи сываются в заранее подготовл енну ю сту дентом табл и цу . Провести расчет моду л ясдви га и его погрешности на Э ВМ . О предел и ть по справочным табл и цам, и з к ак ого вещ ества сдел ана провол ок а. Проанал и зи ровать вк л ад погрешностей всех вел и чи н, входящ и х в рабочу ю ф орму л у (7), в общ у ю погрешность моду л я сдви га. Представи ть ок ончател ьный резу л ьтат и змерени й совместно с погрешностью. С ф орму л и ровать выводы, сдел анные при выпол нени и работы. III. К онтрол ьные вопросы. У пру ги е деф ормаци и сдви га и к ру чени я. М оду л ь сдви га и моду л ь к ру чени я. Вывод ф орму л ы (2). К ак связаны моду л ь Ю нга, моду л ь сдви га и к оэф ф и ци ент Пу ассона? М етод к ру ти л ьных к ол ебани й дл я определ ени я моду л я сдви га. Вывод рабочей ф орму л ы. О собенности метода. Вывод ф орму л ы погрешности моду л ясдви га.

IV. Л и терату ра. 1. С трел к ов С . П. М ехани к а. – М ., 1975 – С .293-296. 2. С и ву хи н Д . В. О бщ и й к у рсф и зи к и . – М .,1989. – Т.1. – С .428-432.

С остави тел и : Гол и цына О л ьга М и хай л овна, Носова Вал енти на Ивановна

20 Р едак тор Ти хоми рова О .А .