Разработка управленческого решения средствами пакета Excel: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ

А. Г. Степанов

РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СРЕДСТВАМИ ПАКЕТА EXCEL Учебное пособие

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2001

ББК 32.97 С79 УДК 681.3.06(075)

Степанов А. Г. С 79 Разработка управленческого решения средствами пакета Excel: Учеб. пособие/ СПбГУАП. СПб., 2001. 172 с.: ил. В учебном пособии описываются методы разработки управленческого решения с использованием распространенных средств вычислительной техники на основе применения математических приемов оптимального синтеза, распространяемых на практические задачи менеджмента. Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 351400 "Прикладная информатика (в экономике)" направлению 521500 и специальности 061100 "Менеджмент", и может быть использовано студентами смежных экономических специальностей, а также всеми, кто интересуется вопросами практического использования ЭВМ в повседневной деятельности Рецензенты: кафедра экономической кибернетики и ЭММ Санкт-Петербургского университета экономики и финансов; доктор технических наук профессор генеральный директор АО "НИИЭЛЕКТРОМЕРА" В.Н. Иванов Óòâåðæäåíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ

Учебное издание Степанов Александр Георгиевич

РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СРЕДСТВАМИ ПАКЕТА EXCEL Учебное пособие Редактор А. В. Подчепаева Компьютерная верстка А. Н. Колешко Лицензия ЛР №020341 от 07.05.97. Сдано в набор 01.12.00. Подписано к печати 25.01.01. Формат 60×84 1/16. Бумага тип. №3. Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,8. Усл. кр.-отт. 10,1. Уч. -изд. л. 10,0. Тираж 300 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Лаборатория компьютерно-издательских технологий Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

© СПбГУАП, 2001 © А. Г. Степанов 2

ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие состоит из четырех основных разделов, введения и заключения. Первый раздел пособия посвящен методологическим вопросам разработки управленческого решения, которые рассматриваются в связи с возможностью их последующей автоматизации. Раздел содержит систему классификации задач разработки управленческого решения, на основе которой может быть выбран конкретный раздел математической теории, используемый для решения практических задач. Во втором разделе дан анализ текущего состояния технических средств автоматизации разработки решений. Третий раздел содержит формальное описание существующих математических методов разработки решений применительно к используемой классификации, сопровождаемое решением конкретных математических примеров. Наконец, в четвертом разделе пособия описана процедура решения задач поиска экстремума с помощью средств широко распространенного программного пакета Excel. Кроме этого, в разделе подробно рассмотрена методика постановки и решения практической задачи. В создании подразделов 4.2 и 4.3 непосредственное участие принимал магистр экономики Р. В. Янукович. Пособие содержит большое количество рассчитанных с помощью пакета Excel числовых примеров. Это позволило автору при рассмотрении различных методов разработки управленческого решения сосредоточиться именно на методике решения задач, а не на достаточно трудоемкой, но все же играющей вспомогательную роль процедуре поиска экстремума. При необходимости читатель может проверить приведенные решения самостоятельно с помощью ЭВМ. При создании пособия предполагалось, что читатель владеет элементарными приемами работы с пакетом Excel. К их числу относится умение заносить данные и формулы в рабочие ячейки, задание форматов ячеек, возможности копирования данных и формул (в том числе, “протаскиванием” ячейки), использование встроенных функций. Если таких знаний не хватает, то следует обратиться к специализированной литературе, поскольку в пособии подробно описываются методы работы только непосредственно с надстройкой Поиск решения.

3

ВВЕДЕНИЕ С переходом к рыночным отношениям в современный русский язык вошли и закрепились англоязычные термины “менеджмент”, “менеджер”, быстро заменившие используемые ранее термины “управление”, “управленческая деятельность”, “руководитель”, “управляющий”. По мнению большинства авторов, термин “менеджмент” точнее, чем термин “управление” характеризует профессиональную деятельность в условиях рынка, направленную на достижение хозяйствующим субъектом определенных намеченных целей за счет рационального использования ресурсов, так как термин “управление” может применяться к более широкой сфере деятельности (управление движением, управление государством и т. п.). Общая теория менеджмента содержит методологические и организационно-правовые основы, принципы внутрифирменного планирования и контроля, принципы управления производством, персоналом, а также способы регулирования предпринимательской деятельности, опирающиеся на юридическую и нормативную базу. Изучая современное состояние науки о менеджменте, можно прийти к мысли, что подавляющее большинство имеющихся в ней рекомендаций носит описательный характер. Тем не менее, нельзя не признать, что менеджмент в современном понимании представляет собой достаточно строгую научную дисциплину со вполне сложившейся системой взглядов, правил, методик, охватывающих чрезвычайно широкий круг человеческой деятельности. Общепризнанно, что наиважнейшей функцией менеджмента является функция управления, осуществление которой невозможно без принятия и реализации определенных решений. Именно это обстоятельство вызывает большой интерес собственно к процедуре разработки управленческого решения, грамотное выполнение которой приводит в конечном счете к успеху менеджмента в целом. Отметим, что с точки зрения математики разработка управленческого решения представляет собой процедуру синтеза решения. Решение задачи синтеза, как правило, базируется на предварительном решении задачи анализа, которая может представлять собой предмет самостоятельной научной дисциплины, например экономики или статистики. Любое управленческое решение по своей сути сводится к манипулированию имеющимися в распоряжении менеджера ресурсами, стоимость которых существенно зависит от уровня, на котором принимается ре4

шение. Чем выше стоимость ресурсов, тем более существенными оказываются последствия принятия решения. Грамотный учет имеющихся ресурсов в определенной мере определяет степень свободы при управлении. В современных условиях оказывается вполне логичным использовать для учета ресурсов, в частности, средства вычислительной техники. В то же время существующий уровень развития математических дисциплин позволяет алгоритмизировать большое число разработанных формальных методов анализа и синтеза. Все это обеспечивает возможность относительно легко довести до менеджера-практика набор разработанных “чистыми” математиками приемов, обеспечивающих в конечном итоге возможность наилучшего управления в сложившихся условиях. Основной целью настоящей работы является попытка создания единого методического подхода к процедуре разработки управленческого решения с использованием доступных средств вычислительной техники на основе применения методов оптимального синтеза, распространяемых на практические задачи менеджмента.

5

1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗРАБОТКИ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 1.1. Предмет дисциплины Современный менеджмент представляет собой достаточно сложный симбиоз науки и искусства. В качестве его особого раздела можно выделить часть теории, занимающейся технологиями менеджмента, в основе которых лежит процесс разработки, принятия и реализации управленческих (менеджерских) решений [1]. Собственно через реализацию решений достигается основная функция менеджмента – управление, поэтому этой составляющей менеджмента уделяется большое внимание, заключающееся, в частности, в выделении самостоятельной учебной дисциплины “Разработка управленческого решения”. Любая учебная дисциплина базируется на некой исходной системе знаний, имеющейся у обучаемого. В свою очередь изучение дисциплины позволяет систематизировать знания в соответствующей области и использовать их для дальнейшего развития. Курс “Разработка управленческого решения” базируется на знаниях, полученных в результате изучения студентами таких дисциплин, как “Математика”, “Информатика”, “Педагогика и психология”, “Философия”, “Информационные технологии управления”, “Анализ на ЭВМ экономических процессов” и ряда других. Курс является основой для изучения дисциплин “Стратегический менеджмент” и “Инновационный менеджмент”. Предметом дисциплины “Разработка управленческого решения” является собственно решение, представляющее собой результат конкретной управленческой деятельности. Процесс разработки решения можно разбить на несколько взаимосвязанных между собой этапов (рис. 1.1). Этап идентификации, постановки и принятия проблемы содержит изучение положения дел и целей в управлении; восприятие неблагоприятных симптомов; конкретизацию целей, ограничений; собственно принятие проблемы лицом, принимающим решение, переводящее проблему в ранг решаемой задачи. Этап поиска и анализа информации в общем случае может предшествовать этапу идентификации, постановки и принятия проблемы. Профессионально работающий менеджер обязан превентивно собирать и систематизировать всю информацию, касающуюся предмета его деятельности. Собственно на основе такой информации первоначально идентифицируется проблема, однако после появле6

Идентификация, постановка и принятие проблемы

Поиск, фильтрация и анализ информации

Классификация задачи, разработка критериев, альтернатив, ограничений

Принятие решений

Реализация решения и контроль Рис. 1.1. Процесс разработки управленческого решения

ния признаков ее существования должен начинаться направленный поиск, сбор и анализ данных. Результаты этой работы могут привести к принятию или отторжению проблемы, а также используются при решении задачи. Этап принятия решения характеризуется наличием акта выбора. Право выбора предоставляется лицу, принимающему решение, однако подготовку альтернатив и вариантов решений (выбора из альтернатив) могут поручить работникам нижнего звена. Этап реализации решения и контроля предусматривает разработку и выполнение операционного плана. Контроль за результатом выполнения решения позволяет убедиться в практическом достижении сформулированных целей. Существуют ситуации, когда контроль за результатами реализации решения может заставить отказаться от выбранной одной 7

альтернативы и перейти к другой (адаптивность). Однако в большинстве случаев на основе результатов реализации решения формулируется новая проблема, которая разрабатывается заново. Отметим основные характерные признаки, на основе которых можно судить о существовании ситуации, в которой требуется принимать решение. Во-первых, это наличие цели или целей. Цель может быть сформулирована самим менеджером или задана менеджером более высокого уровня, действующим в рамках иерархии управленческих структур. Если цель отсутствует, то все можно оставить по-прежнему, и, как следствие, решение принимать не надо. Во-вторых, это наличие альтернативных линий поведения. Если есть только одна линия (альтернатива), то решения принимать не надо, а надо следовать имеющейся единственной линии поведения. В-третьих, реальным ситуациям неизбежно сопутствует наличие ограничений (ресурсов). В общем случае ресурсы можно классифицировать как финансовые, материальные, людские и временные. Именно наличие ограниченных ресурсов затрудняет достижение цели или, по крайней мере, ограничивает получаемые результаты. Грамотный учет ресурсов в сочетании с оптимальными математическими методами позволяет находить наилучшие для данной ситуации решения, обеспечивающие наилучшее из возможных приближение к искомой цели. Процессу разработки, принятия и реализации решения сопутствует большой объем технической работы, которая по своей трудоемкости может существенно превышать возможности одного человека. Это приводит к необходимости создания штата сотрудников, занимающихся указанными вопросами и готовящими информацию для лица, принимающего решение. По профессиональной квалификации такие сотрудники являются менеджерами. Умение отыскивать и формулировать проблемы, решать и реализовывать задачи является ремеслом менеджера, без освоения которого его полноценная профессиональная деятельность представляется невозможной. 1.2. Идентификация, постановка и принятие проблемы Прежде всего попытаемся дать определение проблемы. В литературе приводится следующая трактовка термина “проблема” – понятие, характеризующее разницу между действительным и желаемым состоянием объекта [2]. Действительно, проблема возникает при взаимодействии со средой и ее сферами как некоторое субъективное описание 8

расхождения желаемой ситуации от реально существующего положения вещей. Тем не менее, собственно расхождением существование проблемы не ограничивается. Как правило, его наличие доставляет нам некоторые неудобства, которых могло бы не быть, если бы подобное расхождение отсутствовало. В связи с этим в настоящей работе предлагается следующее определение: проблема – субъективно сформулированное описание ситуации, в которой имеется расхождение между действительным и желаемым состоянием объекта и разрешение которой позволяет получить некий эффект. Из определения проблемы следует, что у субъекта существует некоторая модель ситуации, которая представляется для него желаемой и Данные

Модель желаемой ситуации

Да Проблема идентифицирована

Да Проблема ставится

Да Проблема принимается

Вычисление расхождения Порог допустимого расхождения превышен

Интересует ли эффект от разрешения проблемы

Достаточен ли эффект от разрешения

Реальная ситуация

Нет Проблема не идентифицирована

Нет Проблема не ставится Нет Проблема не принимается

Рис. 1.2. Алгоритм идентификации постановки и принятия проблемы

9

которая входит в противоречие с поступающей к нему объективной информацией о положении дел. Величина расхождения реальной и желаемой ситуации может быть самой разной. Существует некий субъективный уровень (порог) расхождения, превышение которого заставляет субъекта признать факт существования значительного расхождения и идентифицировать проблему. Устранение расхождения между реальным миром и желаемой моделью приносит определенный эффект, который может интересовать, а может и не интересовать конкретного субъекта. В первом случае проблема ставится, т. е. признается, что ее разрешение должно принести субъекту определенный эффект, а во втором проблема отметается, поскольку эффект от ее разрешения субъекта не интересует (чужая проблема). Наконец, если величина эффекта от разрешения проблемы оказывается достаточной для того, чтобы он представлял существенный интерес для субъекта, проблема принимается. Алгоритм действия субъекта по идентификации, постановке и принятии проблемы показан на рис. 1.2. 1.3. Поиск, фильтрация и анализ информации Человек непрерывно получает информацию из самых разнообразных источников. Различают следующие виды информации: физическую, содержащую данные о внешней среде (ноогенез); биологическую и психологическую (био- и психогенез) и социальную (социогенез). Информация может быть общего назначения (массмедиа) и специальной (достижения науки, техники и т.п.). В большинстве случаев получаемая человеком информация не представляет особого интереса, что заставляет менеджера ее отбрасывать, выделять из нее наиболее важные элементы (фильтровать) или накапливать для возможного будущего использования. Полученная информация становится овеществленной, а для переносчика информации часто используют термин “сигнал”. При идентификации проблемы наибольший интерес представляет информация по проблеме, характеризующая реальную ситуацию и данные для модели желаемой ситуации. Такую информацию приходится сознательно искать. На настоящее время мировая практика выработала несколько способов сбора и поиска информации. Во-первых, информация сосредотачивается в книгах, отчетах, статьях и т.п. Практика библиотечного дела накопила достаточный опыт сбора и поиска информации в этом случае. 10

Во-вторых, информация передается потребителю сознательно через средства массовой информации. В этом случае поиск интересующей информации весьма затруднен, поскольку передается информация, интересующая поставщика, а не потребителя, а ее поиск сводится к выбору интересующего канала. В-третьих, информация может быть сосредоточена в различных местах в электронном виде. Поиск необходимой информации в этом случае сводится к работе со специализированными программами, созданными для ЭВМ. В-четвертых, информация может добываться через специально нанятых для этого людей (агентурные данные) или самостоятельно человеком, изучающим проблему. Можно назвать еще несколько способов отыскания информации. Тем не менее, из уже перечисленного становится ясно, что реальный поток информации, поступающей к менеджеру, существенно превышает необходимый и, как следствие, поступающая информация должна быть подвергнута целенаправленному поиску, фильтрации и анализу. Под фильтрацией обычно понимают обработку информации по определенному правилу. Фильтр как устройство, предназначенное для такой обработки, работает в соответствии с заданной ему процедурой. Характеристики фильтра могут быть постоянными или переменными во времени. Определение конкретных характеристик фильтра представляет собой самостоятельную задачу синтеза. Если правило работы фильтра удается формализовать, то оказывается возможным создание устройства для автоматической фильтрации информации. Процедура анализа информации представляет собой предварительное выделение определенных признаков анализа и измерение веса указанных признаков в общем потоке информации. Структурно понятия фильтрации и анализа могут оказаться весьма близкими, особенно в том случае, когда фильтр настроен точно на классификационный признак анализа, однако при сборе информации по проблеме фильтрация обычно предоставляет интерес как процесс, не допускающий в процедуру анализа заведомо не нужных данных. В этом смысле фильтрация информации представляет существенные удобства для исследователя, хотя всегда существует опасность отбрасывания необходимых данных. Для обеспечения анализа информации, как правило, должны быть использованы научные методы ее исследования. Наиболее точно они разработаны в математических дисциплинах, где существуют целые разделы, посвященные определенным видам анализа (математический 11

анализ, статистический анализ, спектральный анализ и т.п.). Очевидно, что вовсе не любая информация может быть обработана математическими методами, однако изучение этих методов дает менеджеру знание последовательности действий (методику анализа), что представляется весьма важным в любых приложениях. Именно поэтому знание математики (в том числе и высшей) является необходимым условием профессиональной работы менеджера. Полученные в результате анализа весовые признаки являются исходными данными для модели желаемой ситуации с одной стороны и характеристиками окружающего мира (модели окружающего мира) – с другой. Сравнение существующих значений приводит к выявлению расхождений, побуждающих идентификацию и признание проблемы. 1.4. Классификация задачи Классификация задачи разработки управленческого решения представляет собой процедуру ее анализа с выделением существенных классифицирующих признаков. В литературе предложен большой набор классифицирующих признаков [3]. К их числу относятся: природа и специфика способа воздействия на объект управления: решения политические, экономические, технические, конструкторские, технологические и т.п.; объект решения: ориентированные на цель или на средства (постановочные); структурные (основополагающие) решения; процессуальные (ситуационные) решения; надежность исходной информации; связь с планирующей иерархией: стратегические, тактические, оперативные решения; повторяемость: одноразовые, случайные, повторяющиеся решения; достаточность: общие и специализированные решения; вид процесса принятия решения: объединенные и последовательные решения; количество решений, встречающихся в процессе процедуры принятия решения: статические и динамические, одноступенчатые и многоступенчатые; лицо, принимающее решение: единоличные, индивидуальные, групповые, коллективные решения; организационное распределение решений: централизованные и децентрализованные решения; 12

взаимная зависимость – независимость; автономные и дополняющие друг друга решения; учет изменения данных: жесткие и гибкие решения; эффективность: неэффективные, рациональные, оптимальные решения; приемлемость последствий: приемлемые и неприемлемые для объектов управления и (или) внешней среды; возможность реализации: реализуемые и нереализуемые ; степень риска: допустимый, критический, катастрофический риски; ответственность: юридическая (уголовная или гражданская), социальная, моральная; объект управления: система (системотехнические решения) и процесс (исследование операций); характер эффективности использования ресурсов и технологий: ординарные (обычные), синергические или асинергические. Очевидно, что приведенный перечень далеко не полон и может пополняться при дальнейшем развитии теории менеджмента и принятия решения. Тем не менее, уже на настоящем этапе оказывается остро необходимым научный подход к самому процессу разработки управленческого решения. Определенную ясность в этот вопрос вносят естественнонаучные дисциплины, расширение методов которых на всю область знаний позволяет создать методику разработки управленческого решения [4]. В этом смысле чрезвычайно полезной оказывается классификация [5], где вводятся следующие классифицирующие признаки (рис. 1.3): количество критериев: однокритериальные и многокритериальные; зависимость параметров от времени: статические и динамические; уровень данных: определенность, риск, неопределенность. Указанная классификация, распространяясь на все возможные виды задач разработки решений, позволяет относительно несложно отыскать раздел математической теории, использование которого позволило бы грамотно решить соответствующую задачу. Отметим, что классификация, предложенная на рис.1.3, предусматривает целую палитру математических методов. При решении практических задач следует всегда помнить, что универсальным методом, пригодным для всех случаев жизни, являются экспертные процедуры. Люди интуитивно пришли к этому методу, собирая старейшин, организуя вече, думы, конгрессы, советы и другие орга13

14

Задачи принятия решения

Многокритериальные

Однокритериальные

Динамические

Статические

Теория многокритериальных задач принятия решения Экспертные

В условиях определенности

В условиях риска

В условиях неопределенности

Математическое программирование

Теория вероятностей Метод Монте-Карло Математическое программирование Экспертные процедуры

Теория игр Теория минимакса Теория статистических решений Экспертные процедуры

В условиях определенности

В условиях риска

Вариационное исчисление Теория оптимальных систем управления

Теория случайных процессов Статистическая динамика Экспертные процедуры

Рис. 1.3. Классификация задач разработки управленческого решения

В условиях неопределенности Теория дифференциальных игр Экспертные процедуры

ны для решения важных вопросов своей жизни. Много усилий было положено и на разработку способов обработки мнений, высказанных экспертами, уточнения процедур голосования и т.п. Возникнув первоначально как чисто эмпирическое мероприятие, экспертные процедуры стали пополняться строгим математическим содержанием, позволяющим, в том числе, определить степень компетентности или пристрастия эксперта, уточнить результаты экспертизы по предварительным итогам и т.п. Являясь внешне очень простым и естественным методом, экспертные процедуры могут использоваться для решения любых задач разработки управленческого решения, т. е. по существу становятся универсальным инструментом менеджера, выручающим его всякий раз, когда неизвестно, что делать. Основным недостатком экспертных процедур является принципиальная невозможность получения на их основе оптимального решения. Невозможно доказать, что принятое в результате экспертизы решение является наилучшим или (что одно и тоже) нет решения данного вопроса лучшего, чем принятое. Разработке оптимальных решений посвящено большое число математических методов, в частности перечисленных на рис. 1.3. Их изучение позволяет получить решения более высокого качества, чем даваемое экспертными процедурами. В то же время на математические решения накладывается большое число ограничений, что часто существенно сужает возможности решения задачи, а в некоторых случаях делает их решение невозможным. Искусство менеджера, разрабатывающего управленческое решение, заключается в правильном выборе модели решаемой задачи и, как следствие, метода ее решения. Поэтому методически представляется целесообразным при изучении дисциплины “Разработка управленческого решения” идти обратным путем. Предлагается из всего множества реальных или возможных задач разработки управленческого решения сначала выделить задачи, решаемые наиболее исследованными математическими методами. На примере таких задач можно изучить методологию их постановки и формулирования, освоить методы их решения и на этой базе расширять круг возможных задач и методов решения, доходя, в конечном итоге, до задач в условиях неопределенностей концептуального характера, т. е. до задач, в которых отсутствуют выраженные цели, ограничения и связи. Этот методический прием используется автором при постановке курса “Разработка управленческого решения” в Санкт-Петербургском государственном университете аэрокосмического приборостроения. Следует отметить, 15

что практикующий менеджер обязан уметь решать прямую задачу, т. е. классифицировать проблему в соответствии с предложенными признаками и выбрать метод решения на основе результата классификации. 1.5. Разработка критериев Любое управленческое решение предусматривает достижение определенной цели. Как правило, этой целью является устранение порождающего проблему расхождения между реальной ситуацией и моделью желаемой ситуации. С другой стороны, целью называют идеальный результат деятельности в будущем. В общем случае при решении практических задач менеджмента цели могут быть слабо выражены или даже искусственно спрятаны внутри формулировки проблемы. Отсутствие четко сформулированной цели переводит задачи в категорию слабо формализованных и, как следствие, делает их сложно решаемыми. В интересах менеджера строго сформулировать цель, поскольку это в конечном итоге облегчает его работу и позволяет получить реальный ощутимый эффект от ее достижения. Следует различать, по крайней мере, три типа целей [3]: официальные, оперативные и операционные. Официальные цели определяют общее назначение организации и декларируются в уставе или положении об организации, а также заявляются публично руководителем. Они объясняют необходимость организации для общества, имеют внешнюю направленность и выполняют важную защитную функцию, создавая организации соответствующий имидж. Оперативные цели определяют, чем на самом деле в текущий период занимается организация и могут не полностью совпадать на конкретный период с официальными целями. Такие цели имеют внутреннюю направленность и призваны мобилизовать ресурсы организации. Формой их выражения может быть план работы. Операционные цели еще более конкретны, чем оперативные, они направляют деятельность конкретных работников и позволяют давать оценку их работе. Такие цели формируют в виде конкретных заданий отдельным исполнителям. В качестве меры достижения цели обычно используют критерий. Существует несколько определений критерия. Критерием называется математическое выражение цели [5]. В литературе приводится следующее определение: под критерием будем понимать некоторую функ16

цию от состояния системы, отражающую цели функционирования системы в каждый определенный отрезок времени [6]. В дальнейшем в качестве определения критерия мы будем рассматривать первое определение, а второе определение будем использовать как определение критериальной функции. Практическая деятельность в различных областях знаний накопила много вариантов математической формулировки критериев: минимум или максимум ошибки рассогласования, минимум среднеквадратичной ошибки рассогласования, максимум доходов, прибыли, минимум потерь и т.п. Каждый раз, формулируя цель, менеджер должен подбирать критерий и составлять критериальную функцию из числа имеющихся либо формулировать новый критерий. В практических задачах очень часто приходится рассматривать несколько критериев (вектор критериев). Методы решения таких задач разработаны в соответствующем разделе математической теории. Удачно подобранный критерий может существенно упростить математическую постановку задачи. Тем не менее, следует иметь в виду, что сам критерий по своей сути вместе с критериальной функцией представляет собой ничто иное как математическую модель цели. Поэтому в общем случае достижение заданного значения критерия может оказаться не полным достижением цели из-за отличий модели и реальной цели. Разрешение этого вопроса, как и собственно выбор критерия и критериальной функции, относится к искусству менеджера. 1.6. Разработка альтернатив Обычно термином альтернатива описывают вариант решения задачи разработки управленческого решения. Очевидно, что могут существовать задачи, не имеющие альтернатив (решений), имеющие ограниченное множество и бесконечное количество альтернатив. Все эти варианты представляют весьма существенный интерес для менеджера, поскольку в конечном итоге в его непосредственные функции входит выбор одной из возможных альтернатив. Отметим, что существует принципиальная разница между вариантами, когда альтернативы отсутствуют потому, что их не может быть и когда альтернативы просто не найдены. Если пользоваться терминами математической теории множеств, то можно говорить о множестве возможных альтернатив и множестве найденных альтернатив. Каждое из этих множеств может быть соответственно пустым, непустым конечным и непустым бесконечным. 17

Разработка альтернатив представляет собой часть ремесла менеджера. Очевидно, что существует, по крайней мере, две самостоятельные задачи: могут ли существовать альтернативы вообще; как найти или разработать альтернативу. Понятно, что если удалось решить вторую задачу, первая задача решается автоматически. Однако, если решение второй задачи за разумное время найти не удается, необходимо сосредоточиться на решении первой. Если альтернативы существуют, то весьма привлекательной представляется возможность их автоматической или автоматизированной генерации и выбора. Обычно такую возможность предоставляют различные математические модели задачи. На их основе оказывается возможным искать наилучшую по заданному критерию альтернативу, причем метод, как правило, предусматривает и автоматическую проверку существования альтернатив. В настоящее время разработано или разрабатывается большое количество математических методов оптимального синтеза альтернатив по заданному критерию. Как правило, подобные методы нацелены на отыскание экстремума критериальной функции. Из курса математического анализа известно, что непрерывная и дифференцируемая функция достигает экстремума при том значении аргумента, при котором ее производная обращается в нуль. Вид экстремума (минимум, максимум) определяется знаком второй производной функции в заданной точке. К сожалению, этот метод оказывается достаточно неудобным в связи с необходимостью учета различных ограничений на аргументы функции (например, экстремум может находиться на краю области допустимых значений ее аргумента). Для устранения этого недостатка разработан ряд других методов (в частности, математическое программирование), используемых в практической деятельности. Более сложным оказывается случай, когда автоматическая генерация альтернатив оказывается невозможной. Разработка оптимального решения в этом случае оказывается затруднительной, однако возможно говорить о выборе наилучшего решения среди существующих (в том числе, в данный момент), обычно называемого рациональным. Отметим, что часто оптимальное решение показывает только граничное значение критериальной функции, реализовать которое практически оказывается достаточно затруднительным, а иногда и невозмож18

ным. В технических науках наряду с понятием оптимального синтеза существует понятие инженерного синтеза. Как правило, инженерным синтезом называют решение, которое выбирает опытный квалифицированный инженер без использования методов оптимального синтеза. Как показывает практика, результаты инженерного синтеза обычно всего на 5–10% уступают результатам синтеза оптимального. Проводя соответствующие аналогии, можно рассчитывать на результаты менеджерского синтеза альтернатив, дающего примерно такие же погрешности по сравнению с синтезом оптимальным. 1.7. Учет ограничений Реальные задачи, разрабатываемые менеджером, не могут рассматриваться в отрыве от объективно существующих ограничений. В терминологии экономических наук с ограничениями обычно связывают понятие ресурсов. Известны четыре вида ресурсов: материальные; финансовые; людские; время. Уточнение формулировки задачи разработки управленческого решения обычно сводится к уточнению номенклатуры и вида соответствующего ресурса. Наибольшее многообразие представляют, естественно, материальные ресурсы. Номенклатура их позиций в рамках реального предприятия может превышать сотни тысяч (например, в радиотехнической промышленности). Финансовые ресурсы могут различаться видами используемых платежных средств (в том числе и валют), а также их целевым назначением (статьями смет и бухгалтерских балансов). Людские ресурсы могут учитывать квалификацию, производительность труда, формы занятости и т.п. Наличие временной составляющей в задаче неизбежно переводит ее в категорию динамических. Тем не менее, существует целый класс задач, в которых время выступает наравне с другими ресурсами, (например, задачи, связанные с управлением проектами). Учет ресурсов, а также их планирование может рассматриваться как самостоятельная задача, однако профессионально работающие менеджеры обязаны иметь текущую объективную картину их состояния, а также располагать необходимой статистикой. Наличие ограниченных ресурсов сужает область допустимых значений аргументов. Отметим, 19

что наличие и содержание ресурсов требует определенных затрат (аренда складских помещений, оплата конвертации валюты, социальное страхование), минимизация которых может в свою очередь явиться предметом задачи или выступать в качестве дополнительной цели. 1.8. Принятие решения, его реализация и контроль Разработка управленческого решения в общем случае представляет собой весьма трудоемкую процедуру выявления проблемы, разработки критериев и выявление альтернатив и ограничений, поиск наилучших альтернатив или, если это возможно, их оптимальный синтез. В этом процессе могут принимать участие как собственно менеджер, принимающий решение, так и целые бригады специалистов разных областей знаний, готовящих вариант решения для менеджера. Обычно в теории менеджмента пользуются термином “лицо, принимающее решение” (ЛПР). ЛПР может входить, а может и не входить в состав бригады, разрабатывающей решение. В последнем случае ЛПР скорее всего является менеджером более высокого ранга. Метод принятия решения самим ЛПР может основываться на собственной интуиции, обусловленной наличием ранее накопленного опыта и знаний в конкретной области деятельности, т. е. основываясь на “здравом смысле” (вариант менеджерского синтеза) либо основываясь на результатах оптимального синтеза. Необходимо учесть, что ЛПР имеет возможность выбирать решение, потому что он несет ответственность за результаты его исполнения. Существует три вида ответственности: юридическая (уголовная или гражданская), административная и моральная. Ответственность ЛПР наступает в том случае, когда результаты решения входят в противоречие с интересами других людей. Контроль за реализацией решения может осуществляться как самим ЛПР, так и специальными службами. Существуют автоматизированные системы контроля исполнения управленческих решений. В целом проблема реализации и контроля за реализацией решения может оказаться не менее сложной, чем собственно разработка решения. Выводы 1. Дисциплина “Разработка управленческого решения” представляет собой синтез эмпирических и аналитических методов поиска проблемы и определения целей, учета ограничений, разработки и выбора альтернатив, являющимися основой ремесла менеджера. 20

2. В своей основной массе разработка управленческого решения относится к категории искусства, однако существуют разделы, опирающиеся на строгие научные методы. 3. Основным предметом дисциплины является проблема – субъективно сформулированное описание ситуации, в которой имеется расхождение между действительным и желаемым состоянием объекта и разрешение которой позволяет получить некий эффект. 4. Получение эффекта при разрешении проблемы возможно за счет достижения некой цели (целей), мерой достижения которой является критерий (критерии). 5. При разрешении проблемы цель достигается за счет выбора одной из альтернатив, разработка самих альтернатив представляет собой самостоятельную задачу. 6. Универсальным средством разработки управленческого решения является экспертная процедура. 7. Менеджер заинтересован в выборе наилучшей из альтернатив, удовлетворяющей заданному критерию, в связи с чем он использует оптимальные методы решения. 8. При разработке решения важную роль играет учет имеющихся ресурсов, ограничивающих возможности решения задачи. 9. Лицо, принимающее решение, несет ответственность за последствия решения. 10. На основе принятой проблемы менеджер должен уметь классифицировать задачу разработки управленческого решения и выбрать метод ее решения. При дальнейшем изучении дисциплины из методических соображений будет предлагаться обратная последовательность действий: под метод решения будет подбираться конкретная задача.

21

2. ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА АВТОМАТИЗАЦИИ РАЗРАБОТКИ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 2.1. Общая характеристика средств автоматизации разработки управленческого решения Типовая процедура разработки управленческого решения (см. рис. 1.1) предусматривает большой объем труда менеджера. В зависимости от вида проблемы, сроков и вида получения решения объем трудозатрат может колебаться в очень широких пределах и доходить при использовании чисто ручного труда до сотен и даже тысяч человеко-лет. Очевидно, что неграмотно разрешенная проблема может нанести ущерб (не принести доход), измеренный огромными суммами. Вложение денег в автоматизацию труда менеджера позволяет не только существенно сократить объем трудозатрат на подготовку решения, что само по себе уже обеспечивает рост прибыли, но и не понести ущерб (получить доход) от своевременного и грамотного решения задачи. Очевидно, что сама по себе автоматизация труда требует вложения средств. Их величина очень часто тяжелым бременем ложится на бюджет организации, поскольку эти средства, как правило, не дают немедленной отдачи в виде прибыли. Хотя интуитивно понятно, что наличие парка современных ЭВМ, прикладных пакетов программного обеспечения, средств телекоммуникации и офисного оборудования весьма положительно влияет на качество работы, перед менеджером возникает вопрос о рационализации вложений в эту сферу. Основная трудность заключается в том, что определить экономический эффект от подобного рода затрат можно весьма приблизительно. В связи с этим приходится руководствоваться правилом, придуманным в свое время разработчиками средств защиты: затраты на защитные мероприятия не должны превышать величины возможного ущерба. В нашем случае величина средств, вложенных в автоматизацию разработки управленческого решения, не должна превышать величины возможной прибыли от реализации соответствующей системы. Общая структура системы автоматизации разработки управленческих решений представлена на рис. 2.1. Основной задачей систем автоматизации разработки управленческих решений является обеспечение менеджера данными, информацией и знаниями, обеспечивающими принятие эффективных решений. Мож22

Данные

Модели Персонал

Процедуры

Менеджер

Эксперты

Аппаратура

Помещение

Рис. 2.1.Структура системы автоматизации разработки управленческих решений

но выделить три составляющих таких систем: информационную, предназначенную для обеспечения пользователя необходимыми данными; модельную, содержащую аналитические данные о связи между собой элементов модели и собственно модели с необходимым окружением и, наконец, экспертную, призванную снабдить менеджера правилами и знаниями формирования дедуктивного вывода и экспертного анализа человеческих эмпирик для выбора эффективных вариантов решения задачи [7]. Кроме этого, в состав системы включается набор готовых процедур решения для структурированных задач, а также процедуры создания экспертных оценок и методики подбора экспертов и проведения экспертизы. Сами эксперты подключаются персоналом к работе по мере необходимости, причем, в частности, может рассматриваться вопрос об автоматизации их труда. Аппаратная база средств автоматизации разработки управленческого решения опирается на современные вычислительные установки с большой емкостью ОЗУ и большим объемом дискового пространства и обеспеченные высокоскоростными каналами передачи данных с целью оперативного выхода в локальные и глобальные информационные сети. Ряд практических задач, особенно в области модельной поддерж23

ки, может потребовать более мощных вычислителей, чем IBM, однако во многих применениях малого и среднего бизнеса распространенных на сегодняшний день персональных машин может оказаться вполне достаточно. Отдельные требования должны быть предъявлены к профессиональным навыкам персонала, связанного с работой на ЭВМ, в том числе и к менеджерам. Все задействованные в процесс автоматизации разработки управленческого решения должны четко понимать важность всего мероприятия, степень его влияния на экономические показатели. В обязанности персонала входит кроме поддержания работоспособности ЭВМ ведение архивов и баз данных, проверка правильности (объективности) информации, сопровождение прикладных программных пакетов, обеспечение мероприятий по защите имеющейся информации от потери и несанкционированного доступа. Учитывая принципиальную важность совокупной информации, находящейся в распоряжении персонала, степень ее влияния на экономические характеристики фирмы, объективную необходимость широкого выхода в окружающий мир с целью получения данных, сопровождающегося выдачей ответной информации партнерам, сотрудники соответствующего подразделения должны иметь специальную подготовку и быть связаны с организацией определенными обязательствами. Рабочие помещения персонала должны удовлетворять требованиям по защите информации, в том числе за счет использования специальных технических средств и ограничения степени доступа. Имеющиеся в помещении средства связи должны быть сертифицированы, за их работой должен осуществляться постоянный контроль. Таким образом, автоматизация процесса разработки управленческого решения представляет собой комплексный процесс, в котором задействованы в общем случае большое число работников. Затраты на автоматизацию должны контролироваться с целью недопущения превышения ими некоторого разумного уровня. 2.2. Информационная поддержка автоматизации принятия управленческого решения В основе информационной поддержки автоматизации принятия решения лежит следующее тривиальное правило – поскольку автоматизация ведется с применением ЭВМ, информация должна храниться в “машинно-читаемом” виде. Выполнение этого требования наталкивается 24

на ряд ограничений, определяемых текущим состоянием дел в этой области. Действительно, большой объем информации в “машинном” виде доступен за счет современных систем бесплатно или за весьма умеренную плату. К числу таких источников информации можно отнести, например, Интернет [8]. Глобальная сеть содержит огромное количество данных, получение которых оттуда уже само по себе представляет отдельную задачу. Несмотря на принципиально компьютерную природу подобных данных, менеджеру неизбежно потребуются затраты труда на их обработку и систематизацию. На практике это приводит к созданию специализированных систем баз данных, ведущихся по конкретным направлениям деятельности фирмы. Эти базы данных могут (и должны!) пополняться информацией, полученной из других источников. Перевод этой информации в “машинный” вид может осуществляться вручную (набор на клавиатуре) или с помощью сканеров с последующей обработкой. По-видимому, основной проблемой, стоящей в этом случае перед менеджером, является решение вопроса, что же все-таки надо знать и хранить в собственных базах данных. В этом случае мы можем наглядно наблюдать факт превращения информации в товар с собственной ценой и издержками производства и ожидать появления фирм, специализирующихся на производстве и торговле именно этим товаром. Информационная поддержка реализуется на основе универсальных или специализированных программных средств, к числу которых следует отнести широко распространенные пакеты Word, Excel, Access, Explorer, имеющиеся практически в любой организации, а также Page Maker, Oracle и др. В целом, можно сделать вывод, что для организации успешной информационной поддержки требуется не только набор навыков и методов работы с ЭВМ, но и элементы определенной информационной культуры. Все это может быть итогом многолетней работы, начавшейся с восприятия компьютера как умной пишущей машинки и кончающейся превращением его в основной рабочий инструмент менеджера. 2.3. Модельная поддержка автоматизации принятия управленческих решений При работе на ЭВМ модель является основным и часто единственным средством отображения реального мира в виде программы для ЭВМ. Построение и обоснование модели – дело чрезвычай25

но сложное, трудоемкое и кропотливое, однако удачная модель реального явления может принести огромную выгоду за счет гигантского сокращения затрат на эксперименты. Отметим, что в технике создание модели может быть предметом кандидатской или даже докторской диссертации, а макроэкономическая модель Леонтьева для многоотраслевой экономики была в свое время удостоена Нобелевской премии [9]. Создание математических моделей обычно сопровождается разработкой программных средств и систем, реализующих методы, имеющиеся в модели, и позволяющих отыскивать необходимые решения. Классификация задач (см. рис. 1.3) имеет в своей основе большое число разработанных математических теорий, каждая из которых сопровождается или, по крайней мере, может быть сопровождена прикладными программами. К сожалению, рабочий инструмент менеджера – компьютер с полным набором прикладного обеспечения, необходимого для решения управленческих задач все еще не выпускается, однако можно отметить ряд тенденций, свидетельствующих, что это событие не за горами. Так, например, широко распространенный табличный процессор Excel уже имеет в своем составе надстройки (т.е. доработки), содержащие средства анализа данных, поиск экстремумов и т.п. Это позволяет использовать Excel и его модели в широком классе практических задач менеджмента. Следует отметить, что существует ряд ограничений, например по числу переменных, уменьшающих область использования режима поиска экстремума и заставляющих при необходимости обращаться к другим специализированным программным средствам. Указанные причины заставляют профессионала собирать коллекцию математических моделей и соответствующих программных систем. Эта работа требует больших денег (программное обеспечение стоит дорого), такого большого расхода труда на изучение пакетов и заложенных в них методов, таких больших затрат на подготовку задач к решению и собственно на научные исследования в соответствующей области, что иногда начинает казаться, что проще и даже выгоднее всем этим не заниматься. Однако менеджер всегда и везде должен помнить, что альтернативой рассматриваемым моделям и ЭВМ является телефонная трубка как инструмент и хороший командный голос, произносящий: “Делай как я сказал, потом посмотрим”. 26

2.4. Экспертная поддержка автоматизации разработки управленческого решения Экспертные процедуры являются по существу универсальным средством разработки управленческого решения. Обычно к ним приходится прибегать в том случае, когда отсутствуют четкие критерии, что приводит к существенным затруднениям при выборе альтернатив. Кроме этого, к экспертным процедурам приходится прибегать и в том случае, когда отсутствуют математические методы решения задачи, в том числе и оптимальные. Основная идея экспертных процедур – решение задач оценивания, классификации или ранжирования за счет использования опыта людей, занимающихся указанными проблемами, и называемых экспертами. Проведению экспертизы предшествует большой объем технической работы, выполняемой , в том числе, и с помощью компьютера. Однако основной объем вычислительной работы приходится на обработку результатов экспертизы, которая может поддерживаться специализированными программными средствами. В качестве дополнительной самостоятельной области автоматизации разработки управленческих решений выступают так называемые экспертные системы [7], обобщенная структура которых представлена на рис. 2.2. Экспертная система предназначена для организации взаимодействия пользователя (как правило, менеджера) с предметной областью, знание которой менеджером добавляется к знаниям экспертов и специалистов по рассматриваемой проблеме. Необходимость подключения эксперта и специалиста по знаниям к решению проблемы объясняется ограниченными знаниями менеджера. Тем не менее, менеджер не может перепоручить кому-либо формирование критериев, в связи с чем его участие в разработке решения также является принципиально необходимым. На первом этапе работы системы эксперт инициирует модуль создания системы и пополняет базу знаний информацией о проблеме. В общем случае это достаточно трудоемкая процедура, требующая большого объема труда. В основе работы системы лежит интерпретатор, позволяющий производить обработку знаний в соответствии с набором определенных правил. Управление интерпретатором осуществляется через интерфейс пользователя и представляет собой набор команд, подаваемых пользователем. Каждая из команд компилирует27

Пользователь

Проблемная область

Интерфейс пользователя

Интерпретатор

База знаний Модуль создания системы

Инструкции и информация

Эксперт и специалист по знаниям

Знания

Решения и объяснения

Рис. 2.2. Структура экспертной системы

ся и немедленно исполняется, в результате чего у пользователя создается ощущение непосредственного участия ЭВМ в процессе разработки решения. Набор команд (входной язык интерпретатора) существенно зависит от прикладной задачи и разрабатывается под класс конкретных задач, однако в его состав обязательно входят базовые операторы и операции стандартных языков программирования. Таким образом, экспертная поддержка автоматизации разработки управленческого решения сводится к автоматизации процесса получения и обработки экспертных оценок и созданию систем, позволяющих опосредованно использовать знания экспертов через стандартные наборы данных. 28

2.5. Классификация информационных систем менеджмента В литературе приведены классификационные признаки информационных систем, используемых для разработки управленческого решения (рис. 2.3) [10].

Структурируемая Признак структуризуемости решаемых задач

Признак уровня управления

Функциональный признак Стратегические

Маркетинга

Система электронной обработки данных

Признак вида используемой технологии

Рис. 2.3. Признаки классификации информационных систем менеджмента

Задачи разработки управленческого решения считаются структурируемыми, если известны все их элементы и взаимосвязи между ними. Как правило, такие задачи описываются математическими моделями и имеют алгоритм решения. Математическая запись формулировки задачи разработки управленческого решения разбивается на выражение для критерия оптимальности и ограничения. Критерий оптимальности, в общем случае представляющий собой многомерный вектор, может быть представлен в виде функционала E= E (X1 , X2,…, Xl; C1, C2,…, Cp; Y1, Y2,…, Yq; Z1, Z2,…, Zz; t). (2.1) Величины контролируемых факторов обычно ограничиваются размером имеющегося ресурса и записываются в виде ограничений gi = gi (X1…, Xl ; A1…, Api; Y1i…, Yqi ; Z1i…, Zzi, t){<,=,=,>=} bi, I = 1,…, m,

(2.2)

где X1…, Xl – контролируемые факторы; C1…, Cp, A1…, Ap – неконтролируемые детерминированные факторы; Y1…, Yq –неконтролируемые стохастические факторы; Z1…, Zz – неконтролируемые неопределенные 29

факторы; t – время. Величины E, X, C, A, Y, Z могут быть скалярами, векторами, матрицами. Решение задачи разработки управленческого решения сводится к отысканию комбинации (альтернативы) контролируемых факторов, обеспечивающей максимум (минимум) значения критерия оптимальности. Однокритериальная статическая задача принятия решения в условиях определенности – это задача с одним не зависящим от времени критерием оптимальности, набором контролируемых и неконтролируемых детерминированных параметров и дисциплинирующими функциями, не зависящими от времени E = E(C, X). (2.3) gi = gi (Ai; X1){<,=,=,>=} bi, I = 1,2,…, n,

(2.4)

где X = ( x 1 , x 2 ,... x j ,... x n ); m {<, =, >}n, а C=(c1,…, cn), A = (a1,…,am) – набор фиксированных неслучайных параметров. Решение задачи соответствует такому значению вектора контролируемых параметров (вектора управления) X = ( x1 , x2 ,..., xn ) из области его допустимых значений, которое максимизирует значение критерия оптимальности E = E (С , X ). Если по смыслу задачи требуется отыскать минимум критерия оптимальности, то в качестве решения может рассматриваться значение E = –E(X,C), обеспечивающее максимум E в момент достижения минимума E(X,C). Решение задачи, сформулированной выражениями (2.3–2.4), осуществляется методами теории математического программирования, выделяющей следующие специфические особенности задачи: величины n (количество переменных в задаче) и m (количество ограничений) в общем случае между собой не связаны; ограничения (2.4) в общем случае могут быть и двусторонними. В этом случае двустороннее ограничение равносильно двум односторонним и приводит к увеличению на единицу количества ограничений m; существуют ситуации, когда значения вектора управления X = ( x1 , x2 ,..., xn ) могут принимать только дискретные значения, например целочисленного xj = xj0+qxj. Информационная система обеспечивает автоматизацию их решения и выдачу результатов в удобной форме и в приемлемое время. Разумно предположить, что в ближайшем будущем на рынке появятся соответствующие программные средства для всех или, по крайней мере, для 30

большинства практических задач. При отсутствии соответствующей программной поддержки у менеджера возникает необходимость в использовании универсальных программных средств, что требует от него дополнительных знаний, в частности в области математики и программирования. Неструктурируемые задачи характеризуются отсутствием четких взаимосвязей между их элементами. К сожалению, таких задач в практической деятельности менеджера оказывается большинство. Рассчитывать на автоматизацию их решения оказывается неразумным, однако можно предположить возможность автоматизации их отдельных составляющих. При решении подобных задач роль менеджера значительно возрастает, поскольку его уже не могут заменить специалисты других отраслей знаний. Информационные системы менеджмента могут обеспечить лицу, принимающему решение, три вида поддержки: информационную, модельную и экспертную. Информационная поддержка сводится к обеспечению данными и включает типовые операции поиска, сортировки, фильтрации, сжатии, защиты и т.п. Модельная поддержка основывается на предоставлении возможности работы с различного вида моделями (математическими, статистическими, финансовыми и т.п.). Наконец, экспертная поддержка основывается на использовании знаний по предмету других людей (экспертов), автоматизации экспертизы и обработке ее результатов. По функциональному признаку информационные системы менеджмента классифицируются по их принадлежности к определенному виду деятельности (маркетинг, финансы, кадры, производство, контроль и т.п.). По уровню управления системы могут классифицироваться как стратегические, управленческие и, как следствие, иметь свою степень структурируемости. Классификация по виду используемой технологии предусматривает следующий перечень типов систем, представленный на рис. 2.4. Дадим пояснения по каждому типу информационной системы с позиций выше рассмотренных классификационных признаков. Системы электронной обработки данных (СЭОД) предназначены для решения хорошо структурированных задач, по которым имеются необходимые входные данные и известны алгоритмы и другие стандартные процедуры их обработки, ведущие прямо к вычислению ре31

Информационные системы менеджмента

Системы электронной обработки данных

Информационные системы управления

Системы поддержки принятия решения

Экспертные системы

Информационные системы мониторинга

Гибридные экспертные системы

Рис. 2.4. Разновидности существующих информационных систем

шения задачи. Здесь не требуется разработки стратегий оценки альтернатив решения. Система работает в автоматическом режиме с минимальным участием человека. Используется файловая система хранения данных. СЭОД используется на уровне оперативного управления фирмой с целью автоматизации управленческого труда. Информационные системы управления (ИСУ) используются при худшей структурированности решаемых задач. В этих системах появляется возможность манипулирования данными за счет появления в их составе СУБД. Система может осуществлять поиск и обработку входной информации. Выходную информацию можно представлять в виде специальных управленческих отчетов, осуществляющих фильтрацию и агрегирование данных, представления их в удобном для принятия решений виде. ИСУ не предназначена для чисто автоматического режима, все решения в ней принимает человек. Хотя система может использоваться как на уровне оперативного контроля, так и на уровне стратегического планирования, наибольший вклад она вносит при использовании на уровне управленческого контроля. Системы поддержки принятия решений (СППР) используются для решения в режиме диалога плохо структурированных задач, для которых характерна неполнота входных данных, недостаточность имеющихся стандартных процедур, неполная ясность целей и ограничений. Участие человека в работе системы велико. Он в случае необходимости может вмешиваться в ход решения, модифицировать входные данные, процедуры обработки, цели и ограничения задачи. Вы32

бор стратегий оценки альтернатив решения – исключительная функция пользователя. Помимо СУБД СППР включает в себя базу моделей и систему управления этой базой, а также систему управления диалогом. Может использоваться на уровнях оперативного и управленческого контроля, а также стратегического планирования. Экспертные системы (ЭС) основываются на моделировании процесса принятия решения человеком-экспертом (человеческих эмпирик) при помощи компьютера и разработок в области искусственного интеллекта. В отличие от всех вышерассмотренных систем ЭС основываются на использовании не только данных и информации, но и знаний, что дает им возможность самообучения. ЭС не включает в себя математические модели, улучшающие принимаемое человеком решение. Их цель – обеспечить экономию за счет замены высокооплачиваемого эксперта-пользователя сравнительно низкооплачиваемым специалистом. ЭС признаны автоматизировать многие решения пользователя (но не все). Они могут использоваться на любом уровне управления, а также специалистами-неуправленцами. Гибридные экспертные системы (ГЭС) являются гибридом ЭС и СППР. Они построены на принципах обработки знаний, но включают в себя подсистему данных и подсистему математических моделей. ГЭС обеспечивают доступ человека к решению задачи на любой стадии решения. Это не автоматическая система, в ней решения принимает человек. Может использоваться на уровнях управленческого контроля и стратегического планирования. Информационные системы мониторинга (ИСМ) служат для целей контроля за деятельностью фирмы, обеспечивая управленцев высших уровней наиболее важной укрупненной информацией. Эти системы не предназначены для помощи в принятии решений, но очень эффективны в деле выявления оперативных проблем, а также при анализе управленческих и стратегических ситуаций за счет немедленного предоставления текущей и ретроспективной информации. Представленная классификация информационных систем менеджмента позволяет однозначно определить вид конкретной системы, что существенно облегчает ее поиск. В настоящее время отсутствует полный набор систем, отвечающих сформулированным признакам, однако работы в соответствующем направлении ведутся весьма активно. 33

Выводы 1. Автоматизация процесса разработки управленческого решения представляет собой дорогостоящий комплексный процесс, в котором может быть задействовано большое число людей и затраты на который не должны превысить разумного уровня. 2. Информационная поддержка разработки управленческого решения требует наличия у менеджера или у его персонала определенного уровня информационной культуры, включающего в себя навыки работы с источниками информации. 3. Модельная поддержка разработки управленческого решения ориентируется на разработку, апробацию и тестирование математических и программных моделей объектов предполагаемого интереса менеджера, связанного с принимаемыми проблемами. 4. Экспертная поддержка разработки управленческого решения сводится к автоматизации процесса получения и обработки экспертных оценок и созданию систем, позволяющих опосредованно использовать знания экспертов через стандартные наборы данных. 5. Можно предложить классификацию информационных систем менеджмента, позволяющую отыскивать требуемую систему на рынке программных средств или формулировать задание на ее разработку.

34

3. СТРУКТУРИРУЕМЫЕ ЗАДАЧИ РАЗРАБОТКИ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 3.1. Общая характеристика оптимальных задач разработки управленческого решения Разработка управленческого решения для структурируемых задач должна производиться методами, позволяющими находить их оптимальное решение, обеспечивающее наилучшее значение выбранного критерия. Отличительной особенностью оптимального решения является то обстоятельство, что его нельзя улучшить, а можно только повторить. Этот эффект объясняется тем, что оптимальное решение удовлетворяет условию экстремума (максимума или минимума) критериальной функции. Менеджер заинтересован в отыскании оптимальных решений по той простой причине, что в случае их реализации результаты его труда не могут быть кем-либо превзойдены. Любой практик, работающий в такой сложной области человеческих отношений, как современный менеджмент, вынужден непрерывно доказывать окружающим свою ценность как профессионала. Оптимальные решения дают относительно редкую возможность измерить качество труда менеджера в количественных единицах, что превращает задачи рассматриваемого класса в своеобразный квалификационный рубеж. В разговорной речи, существенно отличающейся от речи профессионалов, часто встречаются такие словосочетания: “наиболее оптимальное решение”, “самое оптимальное решение” и т.п. Особенно часто такие выражения позволяют себе, например, дикторы радио и телевидения, за речью которых мы подсознательно следим и непроизвольно пытаемся перенять их словарь и манеру изложения. Следует отметить, что приведенные выражения являются бессмысленными с точки зрения специалиста, поскольку понятие оптимальности уже предусматривает самое лучшее из числа возможных. Поэтому в профессиональном языке такие речевые обороты являются недопустимыми и окружающие, услышав такие словосочетания из уст специалиста, автоматически полагают, что тот не понимает, о чем говорит. Математически структурированные задачи разработки управленческого решения записываются в виде функции, набора функций или функционалов, связывающих между собой их составляющие части в единую математическую модель. В качестве обязательной составляющей 35

такой модели является выражение для так называемой критериальной функции, позволяющее рассчитать численное значение критерия. Математически решение задачи отыскивается как набор переменных, обращающий в максимум или в минимум выбранный критерий в зависимости от его смысла. С точки зрения теории принятия решения возможные значения переменных представляют собой набор альтернатив, а оптимальное решение соответствует альтернативе, обращающей в экстремум критериальную функцию. Традиционно математики уделяли задачам отыскания аргументов функции, обеспечивающих достижение экстремума, очень большое внимание. Отметим, что естественным выводом из математической теории дифференциального исчисления следует возможность определения экстремума функции и его вида (минимум или максимум) по первой и второй производным. Классическая теория дифференциального исчисления налагает ряд ограничений на вид дифференцируемой функции (отсутствие разрывов, изломов в точке экстремума). Кроме этого существует ряд сложностей, возникающих при решении задач с ограниченной областью изменения аргумента. Как следствие, методы теории дифференциального исчисления относительно редко находили применение в менеджменте, дополнительной спецификой которого часто является еще и дискретность анализируемых функций. Существенный вклад в математическую теорию экстремальных задач был внесен Л.В. Канторовичем, впервые сформулировавшим и решившим задачу, позднее получившую название задачи линейного программирования. Математическая постановка этой задачи сводится к поиску переменных, входящих в выражение критериальной (линейной!) функции и в общем случае в неограниченное конечное количество дополнительных функций ограничений (тоже линейных), которые, в частности, могут представлять собой неравенства. Дальнейшее развитие идей Л. В. Канторовича привело к появлению теории математического “программирования”, расширившей класс используемых функций. Так в некоторых случаях удается решать задачи с нелинейными критериальными функциями (задачи квадратичного программирования, геометрического программирования и т. п.). Отметим, что термин “программирование” в данном случае используется только как название математического метода и непосредственного отношения к программированию на ЭВМ не имеет. 36

Дальнейшее развитие экстремальные задачи получили в рамках вариационного исчисления и теории оптимального управления. В отличие от обычных экстремальных задач, предметом решения которых является отыскание фиксируемого набора переменных, здесь отыскиваются функции, позволяющие получить экстремальное значение критериального параметра. На практике подобные задачи возникают тогда, когда требуется находить связанные решения для различных моментов времени. Подобные задачи относятся к категории динамических и представляют особый интерес, например при стратегическом планировании. Наряду с рассмотренными выше теориями в настоящее время активно развивается теория многокритериальных задач принятия решения. Ее предметом является способ отыскания компромиссного решения, которое получается на основе оптимальных решений, полученных по нескольким противоречивым критериям. Разработано большое число методов компромисса. В задачу менеджера в этом случае входит обоснование и выбор одного из них. Отметим, что хотя в случае компромисса не обязательно достигается оптимальное решение по каждому из рассматриваемых критериев (как правило, это невозможно), итоговое решение многокритериальной задачи может быть оптимальным при выбранной схеме компромисса. Наконец, самостоятельным вопросом при разработке решения является учет различных рисков. Математически риски могут рассматриваться как случайные параметры, входящие в рассматриваемую задачу. Исследованием таких параметров занимается теория вероятностей, теория случайных процессов и теория игр, в рамках которых возникает свой набор оптимальных задач, базирующихся, в частности, и на ранее упомянутых математических теориях. Таким образом, математическая теория предоставляет менеджеру большой набор методов, позволяющих отыскивать оптимальные решения. 3.2. Математическая постановка задачи линейного программирования Рассмотрим простейшую задачу математического программирования, у которой имеется линейная целевая функция и линейные ограничения. Такая задача называется задачей линейного программирования. 37

Будем считать, что у этой задачи имеется n переменных и m ограничений. Тогда целевая функция может быть записана в виде c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn =

n

∑c j x j →

max.

(3.1)

j =1

Если по смыслу задачи целевая функция должна обращаться в минимум, то для получения выражения (3.1) в ней достаточно поменять значения всех коэффициентов ci на противоположные (–ci). Набор ограничений может быть записан в виде n  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1 j x j ≤ bi ,  j =1  n a x + a x + ... + a x = a x ≤ b ,  21 1 22 2 2n n 2j j 2  j =1  . . . . ... . . . . n  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = amj x j ≤ bm .  j =1

∑

∑

(3.2)

∑

Обычно в задачах, связанных с менеджментом, имеет место набор дополнительных n ограничений xi ≥ 0. Задача линейного программирования при n = 2 допускает достаточно наглядную геометрическую интерпретацию. Например, если целевая функция задана выражением x1+x2, которое необходимо максимизировать, а набор ограничений (дисциплинирующие функции) имеет вид  − x1 + x2 ≤ 2,  −0,5 x + x ≥ 1, 1 2   x1 + x2 ≥ 3,  2 x1 + x2 ≤ 6,  x1 ≥ 0,   x2 ≥ 0,

то может быть найдено ее плоскостное решение (рис. 3.1). 38

(3.3)

X2 11

9

7

–x1 +x2 <=2

5

–0,5x1 +x2 >=1 A

3

D C

1 –1

0

B

X1 1

3 x1 +x2 =0

x1 +x2 >=3 2x1 +x2 <=6

Рис. 3.1. Графическая интерпретация метода линейного программирования для n=2

Построим в системе координат x1, x2 графики функций ограничений, отмечая у каждой из прямых стрелками направление действия знаков неравенства. Пересечение линий образует многоугольник ABCD, на гранях которого находится оптимальное решение. Для того чтобы его отыскать, достаточно построить семейство графиков целевой функции x1+x2=λ для различных значений λ. Очевидно, что графики будут идти параллельно графику функции x1+x2 = 0, причем целевая функция будет возрастать в сторону первого квадранта. Подбирая параметр λ так, чтобы многоугольник ABCD пересекался с графиком целевой функции при 39

максимальных значениях x1 и x2 (в нашем случае это точка A) получим оптимальное решение задачи линейного программирования  1 1 X = {x1; x2 } = 1 ;3  .  3 3 Как следует из рассмотренного выше примера, совсем необязательно конкретный набор ограничений образует замкнутый многоугольник, на гранях которого можно искать оптимальное решение. Например, если в первом ограничении (3.3) изменить знак на противоположный, то экстремум отсутствует, а целевая функция неограниченно возрастает. В этом случае оптимальное решение найти невозможно (ограничений недостаточно). Если мы дополнительно изменим знак во втором ограничении, то область допустимых значений переменных (многоугольник ABCD) вообще будет отсутствовать. Как и в предыдущем варианте, оптимальное решение задачи при таком наборе ограничений также найти невозможно (ограничения слишком жесткие). Эти обстоятельства приходится учитывать при решении практических задач. Рассмотренный пример носит чисто методический характер. На практике количество переменных задачи n бывает гораздо большим, чем 2. Решение подобных задач вручную осуществляется на основе специально разработанного симплекс-метода, позволяющего в результате повторения определенной последовательности действий над исходными данными получить в конечном итоге оптимальное решение. Именно благодаря этому методу соответствующий раздел математической теории получил название программирование (программа – последовательность действий, возможно повторяющихся). Однако при ручной реализации симплекс-метод оказывается достаточно трудоемким, что существенно ограничивает его применение. Наиболее перспективным представляется в этом случае использование специализированных программ для ЭВМ, позволяющих решать рассматриваемые задачи в разумное время. В теории линейного программирования очень часто вводят в рассмотрение так называемую двойственную задачу. Ее целевая функция и ограничения записываются как

b1 y1 + b2 y2 + ... + bm ym =

m

∑ bi yi → min, i =1

40

(3.4)

a11 y1 + a21 y2 + ... + am1 ym ≥ c1 , a y + a y + ... + a y ≥ c ,  12 1 22 2 m2 m 2  . . . . . . . . . . . . . . . . .  a1n y1 + a2 n y2 + ... + amn ym ≥ cn .

(3.5)

Как и в случае прямой задачи, обычно полагают yi ≥ 0 . Сравнивая (3.1), (3.2) и (3.4), (3.5), можно отметить ряд схожих свойств исходной и двойственной задач. Так если в одной задаче ищут максимум целевой функции, то в другой ее минимум. Коэффициенты при переменных целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой. Знаки ограничений одной задачи противоположны знакам ограничений другой, а само число ограничений одной задачи совпадает с числом переменных другой. Наконец матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений aij одной задачи являются транспонированными в другой. Можно доказать, что если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем значения целевых функций обоих задач оказываются равными [11]. Кроме этого, компоненты решения двойственной задачи имеют смысл частных производных целевой функции по соответствующим аргументам. Это обстоятельство представляет особый интерес, поскольку на основе анализа значений частных производных легко оценить влияние соответствующего ограничения на целевую функцию. Таким образом, метод линейного программирования в сочетании его с программной реализацией на ЭВМ позволяет менеджеру практически отыскивать экстремумы линейных функций при условии учета ограничений ресурсов. Реализация метода линейного программирования позволяет автоматизировать решение ряда типовых задач оперативного и стратегического управления. Существуют все предпосылки для внедрения этого метода в повседневную деятельность практикующего менеджера. 3.3. Варианты постановки задач математического программирования Задача линейного программирования, являясь частной задачей теории математического программирования, лучше всех исследована и 41

описана. Тем не менее, выделим еще несколько вариантов постановки указанных выше задач [12]: задачи нелинейного программирования, когда на свойства целевой функции и функций ограничений не накладываются никакие условия; задачи выпуклого программирования, когда целевая функция и функция ограничений являются выпуклыми функциями; задачи квадратичного программирования, когда целевая функция квадратичная, а функции ограничений линейны; задачи дискретного программирования, если множество допустимых значений дискретно; задачи параметрического программирования, когда целевая функция или функции ограничений зависят от одного или нескольких параметров; задачи стохастического программирования, содержащие какой-либо тип неопределенности. В этих задачах различают понятия локального и глобального максимумов целевой функции (в отличие от задачи линейного программирования, где максимум только один). Задача нелинейного программирования представляет собой наиболее общий вариант постановки задачи оптимизации для непрерывных функций. Классическим методом определения экстремума функции нескольких переменных является метод, основанный на вычислении частных производных. В простейшем варианте задачи нелинейного программирования критериальная функция задана в виде нелинейного выражения E = E ( x1 , x2 ,..., xn ) ,

(3.6)

а ограничения отсутствуют, критическая точка функции (3.6) определяется за счет вычисления первых частных производных, причем в критических точках их значения оказываются равными нулю ∂E = 0, ∂x1

∂E ∂E = 0, ..., = 0. ∂x2 ∂xn

(3.7)

В зависимости от конкретного вида функции (3.6) таких точек может быть ни одной, одна или несколько. Существование критической точки является необходимым, но не достаточным условием экстрему42

ма. Для его нахождения необходимо вычислить вторые чистые и смешанные производные критериальной функции

∂2 E ∂x12

,

∂2 E ∂x22

, ...,

∂2 E ∂xn2

,

∂2 E ∂2 E ∂2 E ∂2 E ∂2 E , , ..., , , ..., . ∂x1∂x2 ∂x1∂x3 ∂x1∂xn ∂x2 ∂x3 ∂xn −1∂xn

Достаточное условие существования локального экстремума формулируется следующим образом [13]: пусть функция E = E ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 0 0 имеет критическую точку x1 , x2 ,..., xn , определяемую за счет вычисления выражений (3.7). Тогда, если дифференциал второго порядка

(

(

)

)

n

∂2 E ∆xi ∆x j , j =1 ∂xi ∂x j n

d 2 E x10 , x20 ,..., xn0 = ∑∑ i =1

(3.8)

больше нуля, то функция E = E ( x1 , x2 ,..., xn ) имеет минимум, а если выражение (3.8) отрицательно, то функция E = E ( x1 , x2 ,..., xn ) имеет максимум при любых ∆xi и ∆xj, не обращающихся в нуль одновременно. Если в зависимости от ∆xi и ∆xj выражение (3.8) может принимать и положительные, и отрицательные значения, то экстремума в критической точке нет. Если функция (3.6) имеет несколько экстремумов, то их обычно называют локальными. В качестве оптимального решения выбирается решение, соответствующее локальному экстремуму с наибольшим (наименьшим) значением критериальной функции. В качестве примера рассмотрим функцию двух переменных E ( x1 , x2 ) = x14 + x24 − x12 − 2 x1 x2 − x22 . Приравняем к нулю ее первые частные производные ∂E = 4 x13 − 2 x1 − 2 x2 = 0, ∂x1 ∂E = 4 x23 − 2 x1 − 2 x2 = 0. ∂x2 3 3 Вычитая из первого уравнения второе, имеем 4 x1 − 4 x2 = 0 , откуда x1 = x2 . Подставляя в выражения для частных производных, имеем 4 x13 − 4 x1 = 0 . Получившееся уравнение имеет три решения: 0, 1, –1. Тогда критическими точками являются Е(0,0), Е(1,1) и Е(–1,–1). Вторые частные производные имеют вид

43

∂2E = 12 x12 − 2, ∂x1∂x1 ∂2 E = −2, ∂x1∂x2 ∂2 E = −2, ∂x2∂x1 ∂2 E = 12 x22 − 2. ∂x2∂x2

Выберем комбинацию приращений ∆x1 и ∆x2 равными +1 и –1, поскольку такие значения соответствуют максимально возможному диапазону изменения аргументов при переходе от одной критической точки к другой [14]. Результаты вычислений вторых частных производных и дифференциала второго порядка (3.8) при различных комбинациях ∆x1 и ∆x2 сведены в табл. 3.1. Таблица 3.1 Расчеты критических точек Критическая точка

∂2 E ∂x1∂x1

∂2E ∂x1∂x2

∂2E ∂x 2 ∂x1

∂2E ∂x 2 ∂x 2

(0,0)

–2

–2

–2

–2

(1,1) (–1,–1)

10

–2

–2

10

(

x10 , x20

)

(

∆x1 ∆x 2 d 2 E x10 , x20

1 –1 1 –1 1 –1 1 –1

1 1 –1 –1 1 1 –1 –1

–8 0 0 8 16 24 24 16

)

E ( x10 , x 20 )

0

–2

Как следует из табл. 3.1, в критической точке (0,0) локального экстремума нет, а в точках (1,1) и (–1,–1) имеют место локальные минимумы. Поскольку в рассматриваемом примере значения критериальной функции в точках (1,1) и (–1,–1) равны между собой, в качестве оптимального решения можно выбрать любое из двух предложенных. В бо44

лее сложном варианте задачи нелинейного программирования приходится принимать во внимание кроме критериальной функции (3.6) еще набор m функций, обычно называемых функциями ограничения g j ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0.

(3.9)

Наличие ограничения сужает возможности отыскания экстремума. В этом случае , как правило, экстремум функции (3.6) не совпадает с локальным экстремумом, определенным с помощью классического метода и называется условным. Для решения подобных задач обычно используется метод Лагранжа, заключающийся в построении новой специальной функции, обычно называемой функцией Лагранжа L( x2 , x 2 ,..., xn ) = E ( x1 , x2 , xn ) +

m

∑ λ j g j ( x1, x2 ,..., xn ). j =1

В отличие от обычной критериальной функции (3.6) функция Лагранжа имеет дополнительно m переменных λj по числу ограничений. Основная идея метода сводится к отысканию экстремумов функции Лагранжа ранее рассматриваемым способом приравнивания к нулю частных производных. После отыскания локальных экстремумов функции Лагранжа необходимо выбрать среди них те, которые обеспечивают наибольшее или наименьшее значение критериальной функции (3.6) (в зависимости от условия задачи). Набор множителей Лагранжа λj имеет определенный смысл, заключающийся в том, что их значение определяет величину изменения оптимального решения в зависимости от изменения соответствующего ограничения. Уравнения ограничений (3.9) могут быть записаны в виде неравенств, например: g j ( x1 , x2 ,..., xn ) ≤ b j .

При решении таких задач приходится выполнять итеративную процедуру отыскания экстремума, задавая область допустимых значений переменных ( x1 , x2 ,..., xn ) . Экстремум целевой функции может достигаться в этом случае как внутри области, так и на ее границе. Для построения области допустимых решений следует записать уравнения линий уровня целевой функции – множество точек плоскости, в которых целевая функция постоянна. Е ( x1 , x2 ,..., xn ) = С.

45

Определив направление возрастания (убывания) целевой функции, построив, например, линии уровня для разных значений C, линия уровня перемещается в нужном направлении внутри области допустимых значений переменных с целью отыскания оптимального решения. Задачи выпуклого программирования являются частным случаем рассмотренных задач нелинейного программирования. По определению множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки. На рис. 3.2 и рис. 3.3 изображены множества точек, ограниченных ломанной АВСDE. Множество точек на рис. 3.3 не удовлетворяет определению (отрезок MN выходит за пределы многоугольника) и не является выпуклым. X2

B B A

M E

X2

C

C

A

N

N D

M

B

E

X1 Рис. 3.2. Пример выпуклого множества

F(x)

D X1

Рис. 3.3. Пример невыпуклого множества

Функция F ( X ) = F ( x1 , x2 ,..., xn ) называется выпуклой (рис.3.4), если удовлетворяется условие F (αX1 + (1 − α) X 2 ) ≤

≤ αF ( X1 ) + (1 − α) F ( X 2 ) для любых точек X1,X2, входящих в ее область определения и 0 ≤ α ≤ 1 . Если в условии поменять знак неравенства X1 X2 X на противоположный, то получится опРис. 3.4. Пример выпуклой функции ределение вогнутой функции. Перечислим свойства выпуклых функций: 1. Если F(X) выпукла, то – F(X) вогнута. 2. Константа F(X) = С и линейная функция F(X) =aX+b являются всюду выпуклыми и всюду вогнутыми. 46

3. Если функции Fi(X), i=1,2,…, m выпуклы, то при любых действительных αi ≥ 0 функция

m

∑ αi F ( X )

также является выпуклой.

i =1

Отличительной особенностью выпуклых функций является то обстоятельство, что любая из них имеет не более одной точки, в которой все ее частные производные обращаются в нуль. Если такая точка существует, то она и является экстремумом. В зависимости от ограничений область определения переменных может быть такой, что упомянутая точка отсутствует вообще. В этом случае экстремум следует искать где-то на границе области определения функции. Задача выпуклого программирования в общем виде может быть сформулирована следующим образом. Пусть критериальная функция Е = Е ( x1 , x2 ,..., xn ) в своей области определения является либо выпуклой, либо вогнутой функцией, а все ограничения g j ( x1 , x2 ,..., xn ) ≤ b j являются функциями выпуклыми. Тогда оптимальное решение соответствует такой точке, удовлетворяющей ограничениям, в которой выпуклая функция Е = Е ( x1 , x2 ,..., xn ) достигает своего минимального значения, а вогнутая – максимального. Поскольку задача выпуклого программирования является частным случаем задачи нелинейного программирования с одним локальным экстремумом, общий метод ее решения не отличается от рассмотренного выше. Интересен случай, когда целевая функция и функции ограничений представляют собой так называемые сепарабельные функции, т.е. функции, каждая из которых может быть представлена в виде суммы функций одной переменной E ( x1 , x2 ,..., xn ) =

n

∑ Ei ( xi ), → max, i =1

g j ( x1 , x2 ,..., xn ) =

n

∑ gij ( xi ). i =1

В этом случае существует приближенный метод решения задач выпуклого программирования, основанный на замене нелинейных функций их линейными аналогами и сведении задачи к задаче линейного программирования [11]. Пусть существует некоторая выпуклая или вогнутая функция h(x), определенная на интервале [0,a]. Разобьем ин47

тервал определения на r частей точками x0 < x1 < ... < xk так, чтобы x 0 = 0, x k = a и определим набор значений функции в этих точках (h0 , h1,..., hk ) . Заменим функцию h(x) между точками xk и xk+1 отрезком прямой, проходящей через hk и hk+1 и обозначим получающуюся в этом случае ломанную как hˆ( x ) . Уравнение участка ломанной на интервале [xk, xk+1] имеет вид ) h ( x ) − hk x − xk = = λ. hk +1 − hk xk +1 − xk Тогда  x = λxk +1 + (1 − λ ) xk , ˆ h( x ) = λhk +1 + (1 − λ )hk .

Величина λ косвенно характеризует угол наклона отрезка ломанной на заданном интервале. Обозначив 1–λ = λk и λ = λk+1, имеем  x = λ k xk + λ k +1 xk +1 , ˆ h( x ) = λ k hk + λ k +1hk +1.

где λ k + λ k +1 = 1, λ k ≥ 0, λ k +1 ≥ 0. Тогда для любого x ∈ [0, a ] можно записать уравнение аппроксимирующей ломанной z  x = λ k xk ,   k =0  z ˆ = h ( x ) λk hk ,  k =0 

∑

∑

z

∑ λk = 1,

k =0

λ k ≥ 0.

Приближенная задача в этом случае сводится к задаче линейного программирования Eˆ ( x1 , x2 ,..., xn ) =

n

∑ Eˆi ( xi ), → max, i =1

gˆ j ( x1 , x2 ,..., xn ) =

n

∑ gˆij ( xi ). i =1

и может решаться обычными методами, используемыми для решения подобных задач. 48

Задача нелинейного программирования, у которой целевая функция квадратична, а ограничения линейны E ( x1 , x2 ,..., xn ) =

n

n

∑∑

h jk x j xk +

j =1 k =1

gi ( x1 , x2 ,..., xn ) =

n

∑c j x j , j =1

n

∑ aij x j < bi j =1

называется задачей квадратичного программирования. Такие задачи являются частным случаем задачи выпуклого программирования и могут решаться, например, приближенным методом. Тем не менее, в литературе описаны и методы точного решения подобных задач [12]. Задачи дискретного программирования отличаются от рассмотренных ранее задач дополнительным ограничением на значения переменных, которые в этом случае могут принимать только дискретные значения. Количество дискретных переменных в задаче не оговаривается, однако должна существовать хотя бы одна такая переменная. Необходимость отдельного рассмотрения таких задач объясняется тем обстоятельством, что механическая дискретизация оптимального решения обычной задачи математического программирования необязательно дает оптимальное решение дискретной задачи. Основными методами решения дискретных задач являются метод отсечения и метод ветвей и границ. При использовании первого метода выполняется итеративная процедура, предусматривающая следующую последовательность действий. Сначала осуществляется решение задачи без учета дискретности переменных. Если получившееся решение дискретно, то задача считается решенной. В противном случае выбирается переменная с наибольшим отличием от ближайшего снизу дискретного значения и вводится дополнительное ограничение, отсекающее оптимальное линейное решение, после чего процедура решения повторяется. Идея метода ветвей и границ учитывает конечность числа возможных решений дискретной задачи вблизи оптимального линейного решения и реализуется в виде древообразного алгоритма, при реализации которого вводятся дополнительные ограничения. Задачи параметрического программирования возникают в том случае, когда коэффициенты целевой функции или ограничений не являются константами, а изменяются в зависимости от некоторых параметров. 49

Выделение таких задач в самостоятельный класс объясняется тем обстоятельством, что внутри области изменения параметра могут образовываться различные схемы решений. Так в линейных задачах переход от одной грани многогранника решений к другой меняет структуру решения в целом, что приводит к необходимости определения граничных значений параметра внутри диапазона его изменения. Задачи стохастического программирования предусматривают существование случайных параметров. Как и в параметрических задачах, изменение конкретного параметра, вызванное случайным обстоятельством, может существенно изменить структуру решения. Методы решения подобных задач зависят от того, куда конкретно входит случайный параметр – в целевую функцию или в ограничения. Кроме этого, весьма существенным оказывается время сохранения случайного значения. Если оно достаточно для принятия и реализации решения, то она остается в категории статических, а ее методы решения опираются на теорию вероятностей и случайных процессов. В противном случае задача переходит в категорию динамических. Подводя итог сказанному, отметим, что помимо чисто линейных задач разработан большой набор методов решения нелинейных задач математического программирования, в том числе и дискретных. Кроме этого, разработаны методы решения задач со случайными параметрами. Совокупность рассмотренных методов позволяет охватить достаточно широкий класс существующих задач разработки управленческого решения, которые могут быть доведены до практики при условии наличия средств автоматизации их решения. 3.4. Типовые управленческие задачи, решаемые методом математического программирования Метод математического программирования нашел достаточно широкое применение, в том числе в экономике и менеджменте. Ниже приводится примеры постановки и решения некоторых практических задач. Задача распределения ресурсов В стандартном варианте задача распределения ресурсов [15] совпадает с постановкой задачи линейного программирования (3.1–3.2). Пусть имеется m видов ресурсов, причем каждый i-й ресурс имеется в коли50

честве bi (1 ≤ i ≤ m ) . Имеющиеся ресурсы используются для выпуска n видов продукции, причем для выпуска единицы j-го вида продукции необходимо aij единиц i-го вида ресурса. Кроме этого, известен вклад единицы продукции ci в целевую функцию. Требуется определить сколько какого вида продукции следует произвести, чтобы обеспечить максимум критерия оптимальности (3.1). Так, например, если m = 9, n = 4, количество имеющихся ресурсов описывается набором значений b = {30,52; 51,11; 31,23; 26,28; 39,40; 57,47; 53,61; 44,30; 84,54}; матрица коэффициентов aij имеет вид табл. 3.2. в которой столбцы имеют смысл вида соответствующей продукции, а строки – вида ресурса. Коэффициенты значимости каждого вида продукции ci имеют значения {9,20; 7,15; 6,01; 7,61}; решением задачи является набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,97 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59. Здесь и далее в этом подразделе для непосредственных вычислений использованы средства надстройки Поиск решения табличного процессора Excel, методы работы с которой подробно описаны ниже. Таблица 3.2 Расход ресурса на производство единицы продукции aij

1

2

3

4

1

1,10

6,09

6,56

2,63

2

7,08

7,02

8,95

5,93

3

1,45

7,49

6,51

9,56

4

9,81

9,60

9,14

4,91

5

1,44

3,38

3,06

8,15

6

7,42

1,92

3,66

2,03

7

9,83

2,22

8,62

5,82

8

6,78

5,43

5,19

1,07

9

6,35

5,14

3,81

1,13

Существует и другая постановка задачи – при заданном результате С минимизировать используемые ресурсы, выраженные в одинаковых единицах измерения 51

m n  E aij x j → min, =   i =1 j =1  n  = g c j x j ≥ C. i  j =1 

∑∑ ∑

Результатом решения этой задачи при тех же исходных данных в допущении C=33,0 является набор переменных X = {1,01; 0,00; 0,00; 3,11}, обеспечивающий расход ресурсов равный 180,14. Если задать C = 33,97, результат решения второй задачи совпадает с первым. Примером практических задач распределения ресурсов могут быть задачи, связанные с производством продукции на основе спецификаций и учета дополнительных ограничений, например трудовых затрат, расхода электроэнергии, производственных и складских площадей и т.п. Строки ограничений рассматриваются как наличие соответствующего ресурса, коэффициенты aij имеют смысл его расхода на выпуск единицы продукции, а сами переменные xj – количество продукции j-го вида. Коэффициенты ci могут определять доходность соответствующего вида продукции. Вариантами подобных задач могут быть задачи планирования загрузки оборудования, составления продуктовых наборов и меню комплексных обедов, определения объема выпуска продукции, в состав которой входят ингредиенты в соответствии с рецептурой. Задача о назначениях Задача о назначениях обычно рассматривается как задача выбора наилучшей комбинации распределения ресурсов. Пусть имеется n работ и n кандидатов для выполнения этих работ [15]. Назначению i-го кандидата на j-ю работу соответствует определенная прибыль cij. Каждого кандидата можно назначить только на одну должность и только один раз, а каждая работа может быть выполнена только один раз. Из сказанного следуют два ограничения n

∑ i =1

xij = 1,

n

∑ xij = 1.

(3.9)

j =1

Переменные xij принимают значение 1 в том случае, когда кандидат i назначается на работу j и равны нулю во всех остальных случаях, что 52

переводит задачу в категорию дискретных задач математического программирования. Целевая функция задачи в этом случае может быть записана как E=

n

n

∑∑ cij xij → max,

(3.10)

j =1 i =1

а выражения (3.9) формулируются в виде ограничений. Так, например, если n = 4, матрица весовых коэффициентов cij. имеет вид табл. 3.3, в которой столбцы соответствуют кандидатам на должности, а строки – самим должностям. Результат решения X представлен в табл. 3.4, а показатель эффективности имеет значение 2,93. Очевидно, что все кандидаты получили предложение занять должность. Таблица 3.3 Таблица 3.4 Значения прибыли от назначения кандидата на соответствующую работу

Оптимальный вариант назначения кандидатов на должности (решение)

cij

1

2

3

4

X

1

2

3

4

1

0,00

0,72

0,73

0,78

1

0

0

0

1

2

0,55

0,58

0,86

0,96

2

1

0

0

0

3

0,02

0,90

0,68

0,68

3

0

0

1

0

4

0,00

0,92

0,48

0,05

4

0

1

0

0

Задача о назначениях в общем случае может рассматриваться в открытом виде, когда суммы (3.9) имеют различное число слагаемых, т.е. m > n. Такая постановка может иметь место тогда, когда количество кандидатов на занимаемые должности больше числа вакансий. Выражения ограничений (3.9) в этом случае преобразуются к виду m

∑ i =1

xij ≤ 1,

n

∑ xij = 1, xij = {0,1}. j =1

Решение открытой задачи о назначениях позволяет формализовать процедуру отбора кандидатов на имеющиеся вакантные места. В этом случае матрица весовых коэффициентов cij имеет вид табл. 3.5, результат решения X представлен в табл. 3.6 из которой следует, что кандидат 1 должности не получает, а показатель эффективности имеет значение 2,93. 53

Таблица 3.6

Таблица 3.5 Значения прибыли от назначения кандидата на соответствующую работу в открытой задаче

Оптимальный вариант назначения кандидатов на должности (решение) в открытой задаче

2

3

4

5

:



1 0,00

0,72

0,73

0,78

0,29





2 0,55

0,58

0,86

0,96

0,37

3 0,02

0,90

0,68

0,68

0,33

4

0,92

0,48

0,05

0,58

cij

1

0,00

!

"

#



















!











"











Примерами практических задач о назначениях могут быть задачи размещения туристов в гостинице, распределения отпусков сотрудников, составления графика дежурств. Транспортная задача Транспортной задачей обычно называют задачу о выборе плана перевозок из m пунктов отправления в n пунктов назначения [15]. В качестве условия задачи задается набор коэффициентов cij, определяющий стоимость доставки продукции из пункта i в пункт j. Ресурсы продукта в пунктах отправления обозначим ai, а потребность продуктов в пунктах назначения bj. Обычно предполагается, что должна быть выполнена вся программа перевозок, которая задается в виде ограничений m

∑

ai =

i =1

n

∑bj. j =1

Целевая функция задачи имеет вид m

n

E = ∑∑ cij xij → min, i =1 j =1

где xij – расчетная программа перевозки из пункта i в пункт j. Так, например, если m = 4, n = 5, количество имеющихся ресурсов в пунктах отправления описывается набором значений a ={3,43; 6,56; 1,31; 6,43}; потребность в ресурсах в пунктах назначения описывается набором значений b ={1,72; 4,92; 3,38; 1,89; 5,83}; матрица коэффициентов cij имеет вид табл. 3.7, в которой столбцы соответствуют номерам пунктов отправления, а строки – номерам пунктов назначения. Тогда решением 54

задачи X является набор переменных табл. 3.8, обеспечивающий значение целевой функции округленно равное 71,08, смысл которого сводится к оптимальному объему перевозки из соответствующего пункта отправления в соответствующий пункт назначения. Таблица 3.8

Таблица 3.7

Оптимальный план перевозок (решение)

Стоимость перевозки cij

1

2

3

4

X

1

2

3

4

1

2,31

5,85

7,87

6,75

1

0,00

0,41

1,31

0,00

2

1,78

7,14

8,39

1,65

2

3,43

1,49

0,00

0,00

3

8,87

7,14

4,57

4,52

3

0,00

0,00

0,00

3,38

4

6,24

6,63

2,91

4,30

4

0,00

0,00

0,00

1,89

5

6,70

3,12

7,96

1,21

5

0,00

4,66

0,00

1,16

Задача составления смесей При формулировке задачи [15] составляется набор исходных материалов, характеризующий содержание контролируемых компонент, где aij – содержание i-го компонента в j-м виде исходного материала. Необходимо определить набор xj при условиях n

∑

n

∑ aij x j ≥ bi ,1 ≤ i ≤ m,

x j ≤ b1 ,

j =1

j =1

(3.11)

где b1 – общее ограничение массы смеси, bi – минимально необходимое содержание i-го компонента в конечном продукте, обеспечивая E=

n

∑ c j x j → min, j =1

где cj – расходы на единицу j-го материала. В качестве варианта может рассматриваться задача приготовления заданного объема смеси (в этом случае первое неравенство в (3.11) записывается как строгое равенство). Так, например, если m = 3, n = 6, ограничения описываются набором значений b ={3,78; 2,64; 1,28}; расходы на единицу материала составляют соответственно cj ={7,35; 3,73; 1,87; 6,92; 5,53; 5,83}; матрица коэффициентов aij имеет вид табл. 3.9, в которой столбцы соответству55

ют номерам исходных материалов, а строки – номерам ограничений. Тогда решением задачи является набор переменных X = {0,00; 0,00; 2,61; 0,00; 1,17; 0,00}, обеспечивающий значение целевой функции округленно равное 11,36, смысл которого сводится к величине расходов на составление смеси. Таблица 3.9 Содержание компонентов в исходных материалах aij

1

2

3

4

5

6

1

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

2

0,38

0,32

0,73

0,76

0,63

0,49

3

0,89

0,07

0,08

0,76

0,91

0,34

Примерами практических задач составления смесей могут служить задачи расчета специальных диет, наборов, меню и т.п. Задача о ранце Как следует из названия, исходно задача рассматривалась как метод выбора набора из имеющегося множества предметов, который может разместиться в некотором заранее заданном объеме (ранце). Пусть имеется некий объем V, который необходимо заполнить различными предметами n типов объемом vj и ценностью cj так, чтобы их суммарная ценность оказалась наибольшей [15]. Тогда в качестве ограничения можно рассматривать выражение n

∑v j x j ≤ V , j =1

а целевая функция n

E = ∑ c j x j → max. j =1

Так, например, если n = 6, объемы предметов определяются значениями vj ={23,49; 43,15; 7,47; 13,46; 41,96; 37,14; 47,86}, ценность предметов значениями cj ={3,45; 2,16; 0,34; 3,30; 5,62; 9,08}, а V = 50, решение задачи будет иметь вид X = {0,00; 0,00; 1,00; 3,00; 0,00; 0,00} при достигнутом значении ограничения 47,86 и целевой функции 10,25. Практическим примером задачи о ранце могут служить задачи размещения оборудования, загрузки судна, компоновки газетной полосы и т.п. 56

Задача банковского взаимозачета Задача банковского взаимозачета возникает в том случае, когда из имеющегося набора n платежных поручений стоимостью cj, (1 ≤ j ≤ n ) следует отобрать тот набор платежных поручений, который максимально приблизил бы их к сумме взаимозачета V при наличии ограничения n

∑с j x j ≤ V . j =1

Переменные в этом случае принимают только дискретные значения xj∈{0,1}, а целевая функция имеет вид n

∑ с j x j → max. j =1

Задача представляет особый интерес, когда n достаточно велико. Так, например, при n = 25 и значениях cj ={12,07; 15,98; 10,19; 80,79; 46,19; 57,84; 31,08; 41,45; 6,13; 16,46; 47,13; 95,83; 0,46; 65,96; 86,51; 58,11; 40,55; 60,41; 72,52; 51,59; 26,88; 37,24; 26,11; 63,63; 96,62} результат решения X = {0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1} обеспечивает значение суммы взаимозачета 965,59 при заданной величине V = 1000. Задача банковского взаимозачета может рассматриваться как упрощенный вариант открытой задачи о назначениях. Задача коммивояжера Имеется n пунктов, связанных между собой дорогами так, что известны затраты на проезд из одного пункта в другой cij. Требуется найти такой маршрут, чтобы стоимость поездки была бы минимальной. Задача имеет много аналогий с транспортной задачей и отличается от нее в первую очередь тем, что искомые переменные принимают только два возможных значения – 1, если перевозка производится и 0, если нет. Отметим, что каждый пункт маршрута, кроме исходного, должен быть посещен только один раз. Введем n2 переменных xij ∈ {0,1} , удовлетворяющих ограничениям n

n

i =1

j =1

∑ xij = 1, 1 ≤ j ≤ n, ∑ xij = 1, 1 ≤ i ≤ n. 57

Целевая функция задачи имеет вид n

n

E = ∑∑ cij xij → min. j =1 i =1

Рассмотрим теперь некоторые дополнительные ограничения. Очевидно, что перевозка внутри одного пункта не требуется. Формально это означает, что x jj ≡ 0, 1 ≤ j ≤ n.

В табл. 3.10 представлена стоимость перевозки между различными пунктами cij, а в табл. 3.11 – рассчитанный оптимальный маршрут перевозок X , обеспечивающий значение целевой функции 12,38. Рассчитанный оптимальный маршрут поездок начинается в пункте 1. Затем следует поездка в пункт 2, возвращение в пункт 1, поездка в пункт 6, поездка в пункт 5, поездка в пункт 3. Маршрут завершается в пункте 4. Обычно в задаче коммивояжера рассматривается дополнительное условие: маршрут должен начинаться и заканчиваться в пункте 1. Формально это условие может быть записано как 0,1 ≤ i < n, xi1 =  1, j = n. В табл. 3.12 представлен оптимальный маршрут перевозок X , начинающихся и заканчивающихся в пункте 1 при тех же исходных данных табл. 3.10. Значение целевой функции в этом случае увеличилось и составляет 15,25. Таблица 3.10 Стоимость перевозки между пунктами

58

cij

1

2

3

4

5

6

1

0,00

7,15

7,59

5,55

9,96

8,43

2

3,22

0,00

7,74

9,58

6,01

1,33

3

5,06

9,32

0,00

0,41

9,91

0,10

4

8,55

5,86

1,77

0,00

0,04

9,31

5

7,77

0,64

0,99

7,01

0,00

8,73

6

5,34

4,55

7,22

0,89

2,13

0,00

Таблица 3.11 Оптимальный маршрут перевозок X

1

2

3

4

5

6

1

0

1

0

0

0

0

2

1

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

1

4

0

0

0

0

1

0

5

0

0

1

0

0

0

6

0

0

0

1

0

0

Таблица 3.12 Оптимальный маршрут перевозок, начинающихся и заканчивающихся в пункте 1 X

1

2

3

4

5

6

1

0

1

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

1

3

0

0

0

1

0

0

4

0

0

0

0

1

0

5

0

0

1

0

0

0

6

1

0

0

0

0

0

Список типовых задач разработки управленческого решения, для которых может использоваться метод линейного и математического программирования, является далеко не исчерпывающим и может пополняться в процессе реальной работы. Тем не менее, представляется весьма важным для практикующего менеджера наличие в его арсенале соответствующего инструментария и навыков решения. 3.5. Динамические задачи разработки управленческого решения Задача разработки управленческого решения переходит в категорию динамических в том случае, когда входящие в ее состав аргументы оказываются функциями времени. Следует отметить, что время как таковое само по себе является разновидностью ресурса, специфичес59

кой особенностью которого является то обстоятельство, что расходом этого ресурса невозможно управлять. Учет времени как ресурса оказывается принципиальным для целого класса задач, в основе которых лежит требование минимизации времени, затрачиваемого на выполнение работы. К числу таких задач следует отнести в первую очередь задачи управления проектами [16, 17], а также задачи, описываемые методами теории массового обслуживания [18]. Другой класс динамических задач представляют задачи, требующие учета меняющихся во времени параметров для отыскания решений, в общем случае являющихся также функциями времени. Методы решения подобных задач опираются на теорию вариационного исчисления, теорию оптимального управления [19–21], в основе которых лежит предположение о возможности описания поведения объекта системой дифференциальных уравнений. Подобная гипотеза бывает допустимой в тех случаях, когда в роли объекта управления выступает так называемое физическое тело с конечной массой, обладающее свойством инерционности. Это допущение невсегда справедливо в менеджменте, объектом которого являются социально-экономические системы. Тем не менее, и в этом случае можно выделить достаточно много задач, решение которых может быть осуществлено упомянутыми способами. Специфической особенностью динамических задач в менеджменте часто является их дискретность. Методы исследования поведения объектов управления при дискретном их описании достаточно хорошо разработаны применительно к бесконечным выборкам [22]. Особенности задач менеджмента часто заставляют учитывать принципиальную конечность числа отсчетов временных функций. В этом случае приходится принимать во внимание положения теории дискретных конечных выборок [23]. Наконец, следует отметить существование специализированных методов решения динамических задач. К их числу следует отнести метод динамического программирования, методы экономической динамики и ее моделирования [13]. Отметим, что строгая классификация методов решения динамических задач разработки управленческого решения на настоящий момент отсутствует. Создание такой системы классификации, разработка новых методов решения таких задач и доведение до практической реализации известных методов их решения представляет существенный интерес для дальнейших исследований. 60

Метод сетевого планирования Теория управления проектами рассматривает понятие проекта как некоторое мероприятие с ограниченными ресурсами и сроками [16, 17]. Характерным признаком проекта можно считать возможность его разбиения на ряд отдельных элементарных работ, которые выполняются независимо друг от друга. Как правило, в этом случае можно выделить работы, выполнение которых не может быть начато ранее, чем завершены некоторые другие. Математическим методом, используемым для разработки решений в управлении проектами, является метод сетевого планирования. В основе метода сетевого планирования лежит так называемый перечень работ, содержащий собственно наименование работ, их трудоемкость, а также взаимную обусловленность, означающая после завершения какой работы (работ) можно начинать текущую. Связь между работами графически представляется в виде так называемого сетевого графика. Метод сетевого планирования позволяет решать как прямую, так и обратную задачи. Как правило, решение прямой задачи дает ответ на вопрос: что получится, если будет принята заданная схема организации работ. Такая задача обычно называется задачей анализа и не представляет существенного интереса с точки зрения теории разработки решений. Обратная задача, отвечающая на вопрос: что надо сделать, чтобы обеспечить максимальное или требуемое значение критерия эффективности, является задачей синтеза. Отметим, что именно решение задачи синтеза является результатом разработки управленческого решения. Существует несколько вариантов постановки задачи оптимизации последовательности работ в рамках сетевого планирования. В одном из них требуется обеспечить общую величину времени выполнения всего комплекса работ, не превышающую некоторого заданного значения T 0. Методы решения подобных задач сводятся к возможности манипулирования имеющимися ресурсами с целью сокращения времени выполнения работ, находящихся на так называемом критическом пути сетевого графика. В другом варианте та же задача может решаться по критерию минимизации неравномерности использования ресурсов во времени при заданном сроке завершения работ или, например, по критерию минимизации расхода ресурсов за 61

весь период работ при не фиксированном сроке. Очевидно, что возможна также многокритериальная формулировка задачи. Решение задач сетевого планирования в управлении проектами (в том числе, в условиях риска и неопределенности) в настоящее время обеспечивается специализированными программными комплексами, такими как Time-line, Microsoft Project, Primavera. Встроенные программные средства содержат, в частности, и возможности оптимизации решения задач синтеза. Таким образом, следует признать, что решение указанного класса динамических задач уже доведено до практической деятельности менеджера. Методы теории массового обслуживания Предметом исследования теории массового обслуживания являются так называемые системы массового обслуживания, предназначенные для выполнения какого-то потока заявок, поступающих в систему в общем случае в случайные моменты времени [18]. Показателями эффективности работы системы массового обслуживания являются: среднее (математическое ожидание) числа заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число заявок в очереди, среднее время ожидания обслуживания; вероятность отказа в обслуживании без ожидания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение. Системы массового обслуживания подразделяются на два основных класса – с отказами и с ожиданием. Последние в свою очередь подразделяются на виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или с неограниченной длиной, с ограниченным или с неограниченным временем ожидания и т.п. При классификации систем массового обслуживания большое значение имеет дисциплина выбора заявок из числа поступивших и распределение их по каналам обслуживания (“первым пришел – первым обслужен” или “последним пришел – первым обслужен”). Наконец, во внимание может приниматься приоритет обслуживания, регулирующий место заявки в очереди. Таким образом, средствами теории массового обслуживания могут решаться прикладные задачи менеджмента. Как было указано ранее, следует различать прямую задачу (задачу анализа) и обратную задачу (задачу синтеза), являющуюся основной задачей при разработке управленческого решения. Методы теории массового обслуживания доведены до практической деятельности менеджера специализированными пакетами программного обеспечения, такими как GPSS, Math-Cad и т.п. 62

Методы вариационного исчисления и теории оптимального управления В основе постановки задач классического вариационного исчисления лежат физические процессы, которые, как правило, могут быть управляемы, т.е. могут осуществляться различными способами в зависимости от воли человека. В некоторых случаях методы вариационного исчисления могут быть применимы к задачам менеджмента. Во всех вариантах таких задач речь идет о способе задания управления процессом. Вполне естественным является желание найти способ наилучшего в том или другом смысле управления, обеспечивающего минимизацию или максимизацию некой цели управления. В одной из возможных постановок [14] предметом вариационного исчисления является отыскание неизвестных функций y(x) или yi(x), реализующих максимум или минимум определенных интегралов вида I=

x2

∫ F [ y ( x ), y′( x ), x ]dx

x1

или I=

x2

∫ F [ y1( x ), y2 ( x),..., yn ( x ); y1′ ( x ), y2′ ( x),..., yn′ ( x ); x ]dx,

x1

где F – функция, описывающая взаимосвязь поведения объекта в зависимости от управления. На функцию F накладывается ряд требований, в частности требования непрерывности производных на интервале определения, что всегда обеспечивается в задачах с физическими процессами и не всегда в задачах экономики и менеджмента. В большинстве приложений функции y(x) или yi(x) выбираются не среди множества всех возможных функций от x, а среди множества функций определенного класса. Такое допущение оправдано в связи с тем, что возможности управления процессом очень часто ограничивают класс возможных функций неким заранее заданным. Развитие идей вариационного исчисления привело к определенной модернизации постановки исходной задачи в виде учета ограничений функции y(x) и созданию теории оптимального управления. Методы решения подобных задач опираются на реализацию так называемого принципа максимума Понтрягина [20]. Практическая реализация методов 63

вариационного исчисления позволяет решать динамические задачи разработки управленческого решения [21]. Методы решения дискретных задач Рассмотренные ранее динамические задачи формулировались в предположении непрерывности времени как аргумента. Во многих приложениях менеджмента это допущение является неверным. Очень часто приходится сталкиваться с задачами, для которых интересующие зависимости определяются только в некоторые фиксированные моменты времени, число которых может быть ограниченным. Математически в этом случае обычное непрерывное время t заменяется неким набором дискретных отсчетов t = n∆tn, где n – номер отсчета, а ∆tn – шаг дискретизации, n = 0,1,2,…, N–1,… – номер отсчета. Обычно рассматривают эквидистантные задачи, для которых ∆tn= ∆t = const. Дискретное представление исходных зависимостей заставляет вводить в рассмотрение не интегральные зависимости, а суммы. Формально такая замена проводится достаточно легко, однако в этой операции имеется ряд тонких моментов, которые необходимо принимать во внимание. К их числу следует в первую очередь отнести размер выборки N. Если число N сравнительно велико, а шаг дискретизации Dt оказываетx(t) ся относительно небольшим, процедура дискретизации не оказывает существенного влияния на результат решения (рис. 3.5). Ситуация существенно меняется t в том случае, когда за время интерРис. 3.5. Дискретизация вала дискретизации функция успевас малым шагом при большом N ет существенно измениться, а само число ее отсчетов невелико (рис.3.6). Если в первом случае можно гоx(t) ворить о приближенном дискретном представлении, то во втором речь идет о существенном искажении вида функции, что приводит к серьt езным изменениям в структуре решения и может дать существенно отРис. 3.6. Дискретизация личные результаты. Основным мес большим шагом при малом N 64

тодом решения дифференциальных уравнений в дискретном виде являются ортогональные преобразования, в частности преобразование Фурье. Временная функция x(t) преобразуется в свое спектральное изображение посредством интегрального выражения ∞

X ( jω) =

∫ x(t ) exp( − jωt )dt = F ( x(t )).

−∞

Существует обратное преобразование 1 x (t ) = 2π

∞

∫ X ( jω) exp( jωt ) ⋅ d ω = F

−1

( X ( jω)).

−∞

В спектральной области поведение физических систем описывается так называемой передаточной функцией, представляющей собой отношение спектров выходного и входного сигналов: Y ( jω) . X ( jω) Вычисления в спектральной области удобны в связи с тем обстоятельством, что дифференциальные уравнения во временной области могут быть решены как алгебраические в спектральной. Этот прием используется во многих прикладных дисциплинах для расчетов реакции систем на воздействие. Исследование дискретных выборок может производиться за счет дискретизации исходного выражения шагом T H ( jω) =

∞

∑ x[n]exp( − jωn).

X ( jω) =

n =−∞

Обратное преобразование в этом случае имеет вид 1 x[n ] = 2π

π

∫ X ( jω) exp( jωn)d ω.

−π

Если дискретная выборка ограничена N отсчетами, то возможны два представления спектра – непрерывное X ( jω) =

N −1

∑ x[n]exp(− jωn),

n =0

(3.12) 65

1 x[n ] = 2π

π

∫ X ( jω)exp( jωn)d ω

−π

(3.13)

и дискретное X [ p] =

x[n ] =

1 N

N −1

N −1

∑ x[n]exp( − j

n =0

∑ X [ p]exp( j

n =0

2 πnp ), N

2 πnp ), N

(3.14)

(3.15)

где p – номер спектральной составляющей. Первая пара выражений (3.12) и (3.13) представляет собой преобразование Фурье дискретной конечной выборки, а вторая пара (3.14) и (3.15) получила название дискретного преобразования Фурье. Важной особенностью дискретного преобразования Фурье является наличие конечного числа N спектральных отсчетов, что позволяет вычислять его точно. Для дискретного преобразования найдены методы, позволяющие вычислять его с меньшим числом математических операций, чем требуется по основной формуле, получившие название быстрого преобразования Фурье (БПФ). Обычно именно это преобразование реализовано в виде функций или надстроек в типовых программных системах. Следует отметить, что, в отличие от преобразования Фурье дискретной конечной выборки, дискретное преобразование Фурье периодизирует исходный процесс во временной области, повторяя исходную выборку N отсчетов бесконечное количество раз. Это обстоятельство приходится принимать во внимание при сравнении спектров X(jw) и X(p) особенно при малых N. На основе аппарата дискретного преобразования Фурье может быть решен большой комплекс задач, связанных с определением реакции системы на влияние воздействия (в том числе и задачи оптимизации). Практические приложения этой теории в задачах менеджмента исследованы мало. Метод динамического программирования Динамическим программированием называется метод оптимизации, в котором процесс принятия решения может быть разбит на шаги [15]. Каждый шаг переводит объект управления из состояния Sk в состояние 66

Sk+1 посредством управления Xk. Если общее количество шагов равно n, то можно говорить о последовательности состояний S0 , S1 ,..., S k −1 , S k ,..., S n −1 , S n системы, которую она принимает в результате воздействия n различных управлений X(X1, X2,…, Xk,…, Xn). Целевая функция системы зависит от начального состояния и управления E=E(S0,X). Предполагается, что состояние системы Sk в конце k-го шага зависит только от предшествующего состояния Sk-1 и управления на k-м шаге Xk. Тогда уравнение состояния системы имеет вид Sk = ϕk ( Sk −1 , X k ),

k = 1,2,..., n.

Если считать целевую функцию аддитивной от показателя эффективности каждого шага, то на шаге k ek = ek ( Sk −1 , X k ), и целевая функция имеет вид E=

n

∑ ek ( Sk −1, X k ). k =1

Решением задачи динамического программирования является определение такого управления X(X1, X2,…, Xn), которое переводит систему из состояния S0 в состояние Sk при наибольшем (наименьшем) значении Е. Для решения задачи динамического программирования был сформулирован так называемый принцип оптимальности. Его смысл сводится к следующему: каково бы ни было состояние S системы в результате выполнения какого-либо числа шагов, управление на ближайшем шаге нужно выбирать так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к максимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный. Рассмотрим последний шаг n. Состояние системы к началу шага Sn–1, Xn – управление, а en ( Sn −1 , X n ) – целевая функция. Согласно принципу оптимальности управление Xn нужно выбирать так, чтобы для любого состояния Sn–1 получался условный максимум целевой функции e ( Sn −1 ) en ( Sn −1 ) = max{en ( Sn −1 , X n )}.

Решение X ( Sn −1 ) , при котором достигается e ( Sn −1 ) называется условным оптимальным управлением на шаге n. Условный максимум целевой функции отыскивается для всех возможных состояний системы на 67

последнем шаге. Далее рассматривается совместно последний и предпоследний шаг. Целевая функция в этом случае имеет вид en −1 ( Sn −2 , X n −1 ) + en ( Sn −1 ). Отыскивается условное оптимальное управление на двух последних шагах для всех возможных состояний системы на предпоследнем шаге en −1 ( Sn −2 ) = max {en −1 ( Sn −2 , X n −1 ) + en ( Sn −1 )}. {X n −1}

При известном управлении X n–1 состояние системы Sn −1 = ϕn −1 ( Sn −2 , X n −1 ) . Поэтому целевая функция e ( Sn −2 ) зависит только от состояния на предыдущем шаге и текущего управления. Далее рассматривается три, четыре и т.д. последних шага. В общем случае для шага k получается уравнение Белмана, впервые разработавшего метод динамического программирования: ek ( Sk −1 ) = max{ek ( Sk −1 , X k ) + ek +1 ( Sk )}. {X k }

В результате условной оптимизации могут быть получены последовательности значений критериальной функции и условных управлений

en ( Sn −1 ), en −1 ( Sn −2 ),..., e2 ( S1 ), e1 ( S0 ), X n ( Sn −1 ), X n −1 ( Sn −2 ),..., X 2 ( S1 ), X 1 ( S0 ). Решение задачи динамического программирования получается в результате подстановки конкретного значения S0 в выражение для решения на первом шаге X 1 ( S0 ) и e1 ( S0 ) . Далее определяется состояние первого шага S1 = ϕ1 ( S0 , X 1 ) и так далее для всех n шагов. Оптимальное решение задачи получается при последовательном расчете оптимальных решений X i ( Si ) и ei ( Si −1 ) и новых состояний Si +1 = ϕi +1 ( Si X i ) . При практической реализации метода динамического программирования на ЭВМ возникает ряд трудностей, связанных, в частности, со способами описания состояния объекта управления. Как правило, рассматривается конечное число состояний объекта управления на каждом шаге. Тем не менее, наибольший практический интерес представляет случай отыскания оптимального состояния объекта из бесконечного числа возможных состояний, например методом математического программирования. В доступной литературе такие материалы отсут-

68

ствуют. Кроме того, не имеется сведений о программной реализации метода динамического программирования, хотя потребность в решении таких задач в менеджменте достаточно велика. Из сказанного следует, что доведение методов динамического программирования до практического использования представляет собой актуальную и важную задачу исследования. Метод сведения динамической задачи к статической Одним из возможных методов разработки управленческого решения для динамических задач является метод, основанный на представлении динамической задачи в виде набора самостоятельно существующих статических задач. Пусть рассматривается L дискретных моментов времени. Для каждого из них можно сформулировать самостоятельную задачу разработки управленческого решения (например, однокритериальную статическую в условиях определенности) E ( k ) = E (C ( k ), X ( k )) → max, gi ( k ) = gi ( A( k ), X ( k )) {<=, =, >=}b j ( k ),

где k – текущий момент времени, 0 ≤ k ≤ L − 1 . Рассмотрим совместную однокритериальную статическую задачу в условиях определенности, решение которой X представляет собой набор из L самостоятельных решений X[k] для текущего момента времени k. Будем считать, что критериальная функция новой совместной задачи определяется как сумма критериальных функций для каждого момента времени, а ограничения для каждого момента времени добавляются к общему списку ограничений задачи. Тогда условие новой задачи можно записать как Е (k ) =

L

∑ E (C (k ), X (k )) → max,

k =0

gi ( k ) = gi ( A( k ), X ( k )) {≤=, =, ≥}bi ( k ), а общее количество уравнений ограничений увеличилось в L раз. Таким образом, решение динамической задачи сводится к решению статической задачи разработки управленческого решения и может осуществляться рассмотренными ранее методами. Реализация метода в общем случае приводит к существенному росту трудоемкости вычислений. Отметим, что если количество перемен-

69

ных при использовании метода всегда возрастает в L раз, то число уравнений ограничений может быть значительно сокращено за счет конкретного рассмотрения динамических параметров. Так, если к категории динамических относятся один или несколько параметров bi, то рассмотрение каждого из них во времени увеличивает количество ограничений в L раз. Для статических bi нет необходимости увеличивать количество уравнений, поскольку в этом случае они имеют смысл величины имеющегося ресурса на весь интервал планирования. Наконец, зависимость от времени неконтролируемых факторов C и A вообще может быть легко учтена при записи выражения целевой функции или ограничений особенно в численной форме. Практическая реализация метода сведения динамических задач к статическим может быть осуществлена с использованием современных программных средств, при выборе которых следует обращать внимание на требования к максимальному числу переменных и ограничений. Таким образом, метод сведения динамических задач к статическим может быть использован для решения практических задач менеджмента. Задача управления запасами Задача управления запасами впервые была описана и решена в 1915 году Фордом Хариссом [24]. В ее основе лежит проблема, связанная с рассогласованием режимов работы поставщика и потребителя. Наличие склада позволяет обеспечить независимость работы потребителя от условий поставки материальных ресурсов. Затраты на содержание складского хозяйства включают в себя собственно затраты на хранение, затраты на взаимодействие с поставщиками (затраты на оформление заказа), на компенсацию дефицита и на информационное обеспечение складского хозяйства. Издержки поставок включают стоимость получаемого товара, расходы по доставке и контролю, оформлению документации, предварительные расходы на поиск поставщика и оформление с ним договора. Часть издержек поставок зависит от размеров поставляемой партии материалов, а часть зависит только от самого факта поставки и пропорциональна числу партий. Издержки по содержанию запаса включают расходы по складскому помещению (электроэнергия, тепло), на оплату труда персонала, страховку, потери материала, на амортизацию капиталовложений в обору70

дование склада, потери от связывания средств в незавершенном производстве. Сюда же могут быть отнесены потери от старения товара, порчи и хищений. Издержки дефицита возникают в случае отсутствия запасов при появлении заявки потребителя. Прямые потери связаны с упущенной прибылью и могут измеряться величинами штрафов. Издержки информационного сопровождения включают в себя затраты на вычислительную технику, программное обеспечение и персонал и могут быть отнесены к издержкам по содержанию запасов. При первичной организации склада эти издержки могут оказаться чрезмерно большими и выделяться в виде отдельной статьи. С точки зрения теории принятия решений задача управления запасами представляет собой динамическую задачу разработки управленческого решения, которая может рассматриваться как детерминированная, так и в условиях риска и неопределенности. Основной целью решения подобной задачи является минимизация издержек на хранение запасов. В качестве искомой величины может рассматриваться функция управления запасами, параметрами которой являются размер партий заказа, моменты выполнения заказа и т. п. Пусть функции F1(t) и F2(t) выражают соответственно пополнение запасов и их расход. Производные этих функций f1(t) и f2(t) могут рассматриваться как интенсивность соответственно пополнения и расходования запасов. Динамическое уравнение величины имеющегося на складе запаса J(t) может быть записано в виде t

∫

t

∫

J (t ) = J 0 + F1 (t ) − F2 (t ) = J 0 + f1 (t )dt − f 2 dt , 0

(3.16)

0

где J0 – некий начальный уровень запаса. Запишем дискретный конечный вариант постановки задачи управления запасами. Возьмем в рассмотрение интервал N дискретных отсчетов времени ∆t (T=N∆t). Тогда уравнение (3.16) преобразуется к виду n

n

j =1

j =1

J [n ] = J 0 + F1[n ] − F2 [n ] = J 0 + ∑ f1[ j ] − ∑ f 2 [ j ],

(3.17)

где n – номер текущего временного отсчета, 0 ≤ n ≤ N − 1 . Издержки поставок Cпост могут рассматриваться как некоторая функция текущей стоимости поставки в момент времени n , распадающаяся на составляющие, не зависящие Cпост[n] и зависящие от размера по71

ставляемой партии Cпост[n, P[n]], где P[n] – количество заказываемого в момент n товара. Введем в рассмотрение дополнительную дискретную функцию заказа x1[n]. Будем считать, что 1, если в момент n осуществляется заказ; x1[n ] =  0, если заказ в момент n не осуществляется. Тогда производная (конечная разность) функции поставки

f1[n ] = P[n ] x1[n ].

Аналогично введем в рассмотрение функцию выдачи запаса x2 [n]. 1, если в момент n осуществляется выдача со склада; x2 [ n ] =  0, если расход со склада в момент n не осуществляется.

Тогда производная (конечная разность) функции расхода f 2 [n ] = R[n ] x2 [n ], где R [n] – количество товара, поставляемого со склада в момент n. За время планирования T Cпост =

N −1

∑ (Cпост [n]x1[n] + Cпост [n, P[n]]P[n]x1[n]), 0

n =0

где Cпост0 и Cпост – текущие значения стоимости поставки, не зависящей и зависящей от размера партии. Издержки по содержанию запаса Cхр также могут быть определены за счет рассмотрения текущих затрат на хранение запасов, не зависящих Cxр0 [n ] и зависящих Cхр [n, J [n ]] от величины имеющегося запаса. Тогда на основе (3.17) Cxp =

N −1

∑

n =0

=

N −1

∑

n =0

Cxр0 [n ] +

N −1

∑ Cxр [n, J [n]] =

n =0

(Cxр0 [n ] + Cxр [n, J [n ]] ⋅ ( J 0 +

n

∑ ( P[ j ]x1[ j ] − R[ j ]x2 [ j ])). j =1

Для определения издержек дефицита Cштр введем в рассмотрение дополнительную функцию x3[n] 72

1, J [n ] < 0; x3[n ] =  0, J [n ] ≥ 0. J штр [n ] = − x3[n ]J [n ].

Тогда издержки, связанные с дефицитом, могут быть определены как Cштр =

N −1

∑ (Cштр [n]x3[n] + Cштр [n, J штр [n]]J штр [n]). 0

n =0

Общие издержки хранения, представляющие собой критериальную функцию, имеют вид Е = Е (С, Х , t ) = Cпост + Сxр + Cштр = N −1  C

пост 0 [n ] x1[n ] + Cпост [n, P[n ]]P[n ] x1[n ] + 

∑  +Cxp [n] + Cxp [n, J [n]]J 0 + Cxp [n, J [n]]  ×

n =0 

0



 P[ j ] x1[ j ] − R[ j ] x2 [ j ]) + Cштр0 [n ] x3[n ] +   → min. +Cштр [n, J штр [n ]]J штр [n ] j =1   n

∑ 

×

В качестве дополнительных условий к формулировке задачи может рассматриваться набор ограничений gi ( A, X , t ) ≤ bi (t ) . Предметом полного решения задачи является отыскание функций x1[n] и P[n]. Решение задачи может быть осуществлено различными методами, в том числе методом сведения динамической задачи к статической, причем все входящие в задачу функции могут задаваться в табличном виде. Рассмотрим ряд допущений. Пусть штрафные санкции отсутствуют и имеет место дополнительное ограничение J[n] ≥0. Будем считать, что издержки поставок зависят только от числа поставок, т. е. Cпост=[n, P[n]]=0, а заказ выполняется одинаковыми партиями P, следующими с N партий товаинтервалом M. Тогда за время T будет поставлено Z = M PΣ ра размером P = и издержки составят Cпост = ZCпост 0 . Кроме этого Z будем считать, что независимая от объема составляющая издержек хранения Cхр [n] = 0, а издержки от хранения пропорциональны размеру 0 хранимой партии Cхр[n, J[n]] J[n] = Cхр[n] J[n]. Предположим, что заказ 73

выполняется мгновенно, т.е. f1[n] = Px1[n], а партия расходуется равномерно f2[n] = f2n и на момент заказа складской запас отсутствует. Тогда выражение полных издержек будет иметь вид Е = Cпост 0

PΣ Сxр PM . + 2 P

Дифференцируя по P, имеем E′ = −

PΣCпост 0 2

P откуда размер оптимальной партии

P = Pопт =

+

C хр M

,

2

2 PΣCпост 0 C xр M

.

(3.18)

Выражение (3.18) в литературе получило название формулы Уилсона или формулы наиболее экономичного объема партии. Очевидно, что формула Уилсона представляет собой аналитическое решение задачи управления запасами, не учитывающее достаточно большого числа дополнительных ограничений. 3.6. Разработка управленческого решения в условиях риска В литературе по менеджменту, в частности в учебниках по разработке управленческого решения, встречаются самые разнообразные определения понятия риска. Так, например, приводится следующая формулировка: риск – принятие решений в условиях, когда возможен неблагоприятный исход; вероятность отклонения величины фактического инвестиционного дохода от величины ожидаемого, неопределенность получения убытка при страховании [25]. Также существует определение, что в самом широком смысле риск – это опасность возникновения ущерба [26]. Объем этого понятия включает сферы деятельности по производству продукции, товаров, услуг, выполнению социально-экономических и научно-технических проектов, по товарно-денежным и финансовым операциям. Риск характеризуется на качественном и количественном уровнях: в виде затрат (либо снижения доходов), а также может иметь абсолютное (физическое, материально-вещественное) или стоимостное выражение [26]. Риск может быть рассчитан и в относительных показателях как отношение величины возможных потерь к сумме основных и оборотных средств предприятия либо к общим затратам 74

ресурсов, ожидаемым доходам от намечаемых действий. Указывается также на тесную связь понятий риска и неопределенности: неопределенность связывается с разработкой управленческого решения, а риск– с его реализацией, отмечается, что неопределенность – основная причина появления рисков [27]. Все выше изложенные соображения являются безусловно правильными и широко используются в менеджменте. Следуя предложенным определениям, было бы логично объявить все не точно известные данные неопределенностями и ограничиться подсчетом возможных убытков в интегральном выражении. Тем не менее, аналитические науки, в частности исследование операций [5], разработали методы более точных расчетов результатов деятельности, связанной с различными неопределенностями. Эти методы базируются на более узком понимании терминов риск и неопределенность. Принятие решения в условиях риска – это ситуация, когда действия по реализации принятого решения приводят к возможности появления одного из множества результатов, причем каждый результат имеет известную вероятность появления [5]. Учитывая этот подход, будем использовать следующее определение: задача разработки управленческого решения в условиях риска предусматривает существование в определении критерия оптимальности и (или) в ограничениях стохастических факторов, т. е. случайных величин с известными законами распределения. Математически указанная задача может быть сформулирована на основе выражений (2.1–2.2)  El = E (C , X , Y1 , Y2 ,...Yq )   gi = gi ( Ai , X , Y1 ,...,Yq ){<=, =, >=}bi ; i = 1,2,..., m;    A = ( a1 , a2 ,..., aq );  X = ( x , x ,..., x ); 1 2 l  C = ( c1 , c2 ,..., cq ),

где yr конкретная реализация случайного контролируемого фактора Y = (y 1,…,y r, … ). В связи тем, что конкретное решение задачи X приводит к возникновению случайного значения целевой функции, рассматривать выражение целевой функции как критерий нельзя, так как для решения задачи 75

оптимизации критерий обязательно должен быть детерминированной величиной. Известны по крайней мере два варианта постановки задачи оптимизации. При первом варианте (так называемая М-постановка) случайное значение целевой функции заменяется ее математическим ожиданием  max( M {El }) = E (C , X ,Y1 ,Y2 ,...Yq )   gi = gi ( Ai , X , Y1 ,...,Yq ){<=, =, >=}bi ; i = 1,2,..., m;    A = ( a1 , a2 ,..., aq );  X = ( x , x ,..., x ); 1 2 l  C = ( c1 , c2 ,..., cq ).

В другом варианте (так называемая P-постановка) максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не меньше некоторого наперед заданного значения r

max( P{El > r}) = E (C , X , Y1 , Y2 ,...Yq )   g i = g i ( Ai , X , Y1 ,..., Yq ){<=, =, >=}bi ; i = 1,2,..., m;    A = (a1 , a 2 ,..., a q );  X = ( x , x ,..., x ); l 1 2  C = (c1 , c2 ,..., cq ). Формулируя задачу разработки управленческого решения в условиях риска, необходимо определить детерминированные характеристики случайного процесса, значения которого являются параметрами задачи Y= (y1,…,yr, … ), например моменты и вид функции распределения, что достигается за счет различных способов обработки выборок реальных значений. Точность определения характеристик существенно зависит от объема выборки и свойств самого процесса. Менеджер должен обработать все известные ему достоверные значения случайной величины, сделать заключение о возможности расчета моментов распределения, рассчитать их, выдвинуть, если это возможно, гипотезу о функции (плотности) распределения случайной величины, проверить 76

ее по критериям согласия и дать соответствующие мотивированные заключения. Методы решения задач разработки управленческих решений в условиях риска могут быть разбиты на две основные группы. Первая группа – это методы сведения стохастической задачи к детерминированной. В их основе лежит замена случайных факторов их неслучайными характеристиками, например математическими ожиданиями, в результате чего стохастическая задача сводится к детерминированной. Подобный метод применяется преимущественно в ориентировочных расчетах, однако он оказывается достаточно эффективным и в том случае, когда диапазон возможных значений случайных величин сравнительно мал. Если известны, например, максимальное и минимальное значение параметра, то можно говорить о так называемой трубке риска. Если задача линейная, то показатель эффективности находится внутри некоторого диапазона значений, определяемого соответственно при максимальном и минимальном значении параметра. Если максимальное и минимальное значение переменной не могут быть определены непосредственно, то в качестве них могут быть использованы рассчитанные значения доверительного интервала их изменения с заданным уровнем вероятности его превышения. Результат решения задачи в этом случае при M-постановке представляется в виде решения X, обеспечивающего максимум среднего значения целевой функции, диапазона ее изменения и (или) стандартного отклонения и доверительного интервала. Решение задачи в P-постановке в этом случае оказывается невозможным. Вторая группа методов – методы “оптимизации в среднем” – позволяют найти решение, максимизирующее ту или иную статистическую характеристику показателя эффективности. Отметим, что речь идет о введении нового критерия оптимальности, отличного от критерия, использовавшегося при решении детерминированных задач, со всеми вытекающими из этого обстоятельства последствиями. Таким образом, математически прием “оптимизация в среднем” состоит в переходе от исходного случайного показателя E к его детерминированной характеристике, например к математическому ожиданию или к дисперсии. Вычисление математического ожидания оказывается предпочтительным в том случае, когда требуется отыскать максимум целевой функции, однако встречаются задачи, требующие, например, минимизировать некоторое отклонение от заданного значения. Если исходная мо77

дель задачи линейная, то вычисление математического ожидания в качестве целевой функции сохраняет ее в классе линейных задач, в то время как вычисление дисперсии неизбежно переводит задачу в категорию задач квадратичного программирования. Для линейной задачи E = ∫∫ ...∫ Ei ( A, X , y1i , y2 ,... yq ) f ( y1 , y2 ... yq )dy1dy2 ...dyq ) = E ( A, X , D ),

где D – массив статистических характеристик случайных величин y1,y2, …, yq а f(y1,…,y2, …, yq) – закон распределения вероятностей случайных величин y1,y2, …, yq Как и в случае детерминированной задачи, решение представляет собой некоторую оптимальную стратегию X = ( x1 , x2 ,... xl ) , соответствующую области допустимых значений (ограничениям) и удовлетворяющих

Е = Е ( А, X , D ) = max E ( A, X , D ) . Сравнивая оба метода решения задачи, нетрудно увидеть, что при линейной постановке они дают одинаковые результаты, поскольку предполагают в первом случае замену случайных реализаций неконтролируемых факторов их детерминированными значениями, а во втором – замену случайного показателя эффективности детерминированной функцией. Решение нелинейных задач разработки управленческого решения приводит к существенным отличиям результатов, поскольку нелинейные элементы искажают вид функций распределения. Поэтому в нелинейном случае может быть использован только метод “оптимизации в среднем”. При практической реализации метода “оптимизации в среднем” могут использоваться три различных варианта решения: критерий оптимальности может быть получен в аналитической форме; критерий оптимальности может быть получен в виде алгоритма; возможно создание модели операции, при которой для различных стратегий X и различных значений реализаций случайных факторов y1,y2,…,yq можно получить соответствующие численные значения показателя эффективности. Аналитическая запись критерия оптимальности как функции входящих в него параметров представляет собой полное теоретическое решение. Получение таких решений, как правило, бывает весьма затруднительным в силу чисто математических сложностей, однако если та78

кое решение найдено, то его обычно связывают с фамилией автора (например, задача Винера). Наибольший практический интерес представляет случай, когда критерий оптимальности может быть получен в виде алгоритма. Если известна функция распределения случайного параметра, то может быть определена вероятность P(y0), при которой значение случайного параметра не превысит некоторой величины y0 (рис. 3.7). P(y) P(y0 ) P(y1 ) y1

y0

y

Рис. 3.7. Функция распределения случайного параметра у

Может быть подготовлена и решена обратная задача отыскания значения параметра y1 по заданной вероятности P(y1). Задавая различные значения вероятности P, можно получить набор предельных значений параметра, для которого может быть получен набор решений X(P) и набор значений критериальной функции E(P). Получившийся в этом случае набор решений X(P) и E(P) является окончательным в том случае, когда имеется возможность задавать вариант решения по конкретному значению параметра в конкретной ситуации, например когда формируется план на основе известного на текущий момент остатка на складе. Если это невозможно, т.е. необходимо разработать единое решение X, не зависящее от вероятности появления конкретного события, то оно должно выбираться исходя из наиболее вероятного значения исходного параметра, обычно соответствующего его математическому ожиданию. Оптимальное решение X в этом случае определяется обычным способом, а зависимость критериальной функции от вероятности E(P) корректируется с учетом выбранного решения и конкретного значения ограничения дополнительным расчетом. Использование метода Монте-Карло позволяет получить аналогичные результаты. Зная законы распределения параметров задачи, проводится ее многократное решение, результатом которого является гистограмма распределения критериальной функции и набор соответству79

ющих ей решений X. Рассматривая гистограмму распределения критериальной функции как ее эмпирическую плотность распределения, мы можем получить те же зависимости, что и в алгоритмическом методе. Отметим, что практическое использование методов решения задач в условиях риска требует от менеджера дополнительных знаний в области математической статистики. Частный случай задачи в условиях риска с одним стохастическим параметром В некоторых случаях при решении задач разработки управленческого решения оказывается достаточным предположить, что случайным является только один параметр задачи, входящий в определение целевой функции или в ограничения. Рассмотрим этот случай отдельно. В качестве примера вернемся еще раз к распределительной задаче, описанной в подразд. 3.4. Пусть m = 9, n =4, количество имеющихся ресурсов описывается набором значений b ={30,52; 51,11; 31,23; 26,28; 39,40; 57,47; 53,61; 44,30; 84,54}, матрица коэффициентов aij имеет вид табл. 3.2, в которой столбцы имеют смысл вида соответствующей продукции, а строки – вида ресурса. Коэффициенты значимости каждого вида продукции cj имеют значения {9,20; 7,15; 6,01; 7,61}. Предположим, что коэффициент c1 представляет собой случайную величину, принимавшую в процессе десяти экспериментов следующий набор случайных значений {7,88; 6,86; 8,38; 9,67; 10,30; 9,47; 9,56; 10,04; 10,49; 8,73}. При решении задачи методом сведения стохастической задачи к детерминированной рассчитывается среднее арифметическое выборки случайного процесса равное в настоящем случае 9,14. Это значение подставляется на место случайного параметра c1 и отыскивается экстремум целевой функции для вектора значимости {9,14; 7,15; 6,01; 7,61}. Тогда решением задачи является набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,90 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59 (для непосредственных вычислений использованы средства надстройки Поиск решения табличного процессора Excel). Определим теперь трубку риска. Максимальное значение параметра c1 равно 10,49. Ему соответствует то же решение, так как диапазон изменения параметра укладывается в пределы чувствительности решения, а значение целевой функции оказывается округленно равным 35,43. Наконец, минимальное зна80

чение параметра c1 равно 6,86 и ему соответствует старое решение и значение целевой функции равное 31,33. Если диапазон изменения параметров не укладывается в пределы чувствительности, могут появиться несколько решений, соответствующих различным положениям внутри трубки риска. Тогда в качестве оптимального решения следует выбрать решение, соответствующее среднему значению случайного параметра, а предельные значения целевой функции (трубку риска) следует пересчитать в соответствии с этим решением. Очевидно, что размер трубки риска в этом случае возрастет. Предположим теперь, что в распоряжении менеджера отсутствуют конкретные значения выборок случайных процессов, однако ему известна определенная ранее функция распределения случайного процесса F(c1). Целью решения задачи в этом случае является определение набора переменных X = ( x 1 , x 2 ,... x l ) , максимизирующих математическое ожидание целевой функции (M-постановка) или вероятность того, что значение целевой функции будет превышать некоторое наперед заданное значение (P-постановка). Дополнительно в обоих случаях представляет интерес отыскание функции распределения целевой функции F(E). Как следует из определения функции распределения, ее значения представляют собой вероятность того, что реальное значение случайной величины x будет меньше или равно аргументу функции P ( x ≤ x0 ) = F ( x0 ) . Если предположить, что c1 распределен по нормальному закону со средним значением 9,14 и стандартным отклонением 1, то набору значений вероятностей {0,00001; 0,10; 0,20; 0,30; 0,40; 0,50; 0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 0,99999} соответствует следующий набор значений аргументов функции {4,87; 7,86; 8,30; 8,62; 8,89; 9,14; 9,39; 9,66; 9,98; 10,42; 13,41}. Очевидно, что, как и в предыдущем случае, решением задачи в M-постановке является набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,90 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59 и имеющий место при задании вероятности 0,5 (справедливо только для линейных задач). На рис. 3.8 изображена рассчитанная функция распределения целевой функции решаемой задачи. Рассмотрим теперь P-постановку задачи. Исходные данные примера подобраны таким образом, что во всем разумном диапазоне изменения случайного параметра существует только одно оптимальное решение X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, найденное при M-постановке задачи. Именно это решение будет оптимальным и при P-постановке задачи. 81

Вероятность появления

1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

27

28 29

30 31

32 33

34 35 36 37

38 39 40

Значения целевой функции

Вероятность появления

Рис. 3.8. Функция распределения целевой функции

1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Значения целевой функции Решение 1

Решение 2

Решение 3

Рис. 3.9. Функция распределения целевой функции при различных вариантах решений

Изменим условия задачи. Будем считать, что c1 распределен по нормальному закону со стандартным отклонением 5, а не 1, как в предыдущем случае. Все остальные параметры задачи сохраним. Решением задачи в M-постановке по-прежнему является набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,90. А решение задачи в P-поста82

новке, представленное в табл. 3.13, существенно отличается при разных уровнях задаваемых вероятностей. Как следует из табл. 3.13, существует три варианта решения задачи: X={0,00; 1,78; 0,00; 1,87}, X={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, X={2,68; 0,00; 0,00; 0,00}. Каждый из этих вариантов обеспечивает свое значение целевой функции, а на рис. 3.9 представлены расчеты функций распределения целевой функции при использовании каждого из решений. Теперь перейдем собственно к решению задачи в P-постановке. Вероятность того, что целевая функция будет больше некоторого наперед заданного значения r, определяется по формуле P(E>r)=1–P(E≤r). Зададим значение r = 20. Как следует из графика рис. 3.9, наибольшее значение P(E>r) обеспечивает решение 1 {0,00; 1,78; 0,00; 1,87}. При r = 30 лучший результат дает решение 2 {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, а при r = 50 – решение 3 {2,68; 0,00; 0,00; 0,00}. Около r = 40 имеет место граничное значение между двумя решениям, причем точное значение границы также может быть определено расчетным путем. Таблица 3.13 Решение задачи в условиях риска с одним стохостическим параметром Âåðîÿòíîñòü

Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà

Ðåøåíèå :1

0,00001

–12,19

0,00

1,78

0,00

1,87

26,99

0,10

2,73

0,00

1,78

0,00

1,87

26,99

0,20

4,93

1,13

0,00

0,00

3,10

29,15

0,30

6,52

1,13

0,00

0,00

3,10

30,94

0,40

7,87

1,13

0,00

0,00

3,10

32,47

0,50

9,14

1,13

0,00

0,00

3,10

33,90

0,60

10,41

1,13

0,00

0,00

3,10

35,34

0,70

11,76

1,13

0,00

0,00

3,10

36,87

0,80

13,35

1,13

0,00

0,00

3,10

38,66

0,90

15,55

2,68

0,00

0,00

0,00

41,65

0,99999

30,47

2,68

0,00

0,00

0,00

81,62

Ðåøåíèå :2

Ðåøåíèå :3

Ðåøåíèå :4

Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ

Отметим, что в качестве случайного параметра можно рассматривать один из параметров, входящих в ограничения, например a1 или b1. 83

Методика решения задачи разработки управленческого решения в этом случае существенно не меняется. Задачи в условиях риска с несколькими стохастическими параметрами Методика решения задач в условиях риска с несколькими стохастическими параметрами базируется на расчете величины стохастической поправки, определяемой с учетом всех входящих в выражение случайных параметров. В простейшем случае случайные параметры считаются некоррелированными и распределенными по одинаковому закону распределения, например нормальному, с известными дисперсиями и математическими ожиданиями. Тогда детерминированный эквивалент вероятностного ограничения может быть записан в виде [15] n

∑

n

∑ σij2 x 2j + θi2 ≤ bi ,

aij x j + Ф −1 ( αi )

j =1

j =1

где aij , bi – математические ожидания, σij2 , θi2 – дисперсии случайных величин aij, bi. Символом Ф −1 ( αi ) обозначена обратная функция нормального стандартного (в отличие от использовавшегося при решении предыдущей задачи обычного) распределения t

−t 2 1 Ф (t ) = exp( )dt , 2 2 π −∞

∫

а αi – заданный уровень вероятности. В остальном методика решения задачи совпадает с описанной ранее. Таким образом, из всего многообразия структурируемых задач разработки управленческого решения можно выделить группу стохастических задач, решаемых специальными методами теории вероятностей и математической статистики и называемых задачами в условиях риска. 3.7. Разработка управленческого решения в условиях неопределенности Задача разработки управленческого решения в условиях неопределенности является разновидностью задач в условиях риска в широком понимании этого термина. В терминологии исследования операций [5] задача в условиях неопределенности в отличие от задачи в условиях риска возникает в том случае, когда менеджер не располагает никакой статистической 84

информацией о параметрах случайных величин и, как следствие, не может составить или получить выражение для функции распределения, определить моменты и т.п. Поэтому рассчитать вероятность получения определенного значения показателя эффективности оказывается невозможным, хотя он принимает случайные значения в каждом конкретном эксперименте при многократном повторении процедуры принятия решения. Можно выделить два случая, характеризующих вероятность получения определенного значения критериальной функции. Во-первых, эти вероятности могут не иметь физического смысла, поскольку входящие в задачу неопределенные факторы имеют нестохастическую природу. К их числу относятся стратегические неопределенности, объясняющиеся участием в задаче нескольких разумных сторон, преследующих, в частности, противоположные цели. Неопределенность в задаче возникает потому, что менеджеру неизвестны действия, которые будут предприняты сторонами (противником), и он должен принимать решение в отсутствие полной информации. Кроме этого, в задаче могут возникать концептуальные неопределенности, связанные с принятием особо сложных решений и вызванные нечетким представлением о собственных целях и возможностях, целях и возможностях других сторон. Во-вторых, на решение задачи могут оказывать влияние стохастические неопределенности, возникающие из-за отсутствия информации о характере влияющих процессов, но не предусматривающие разумного вмешательства. В этом случае обычно говорят о воздействии природы на решение задачи, предполагая при этом отсутствие точек излома и разрыва и наличие инерционности в характеристиках мешающих факторов. Математически задача разработки управленческого решения в условиях неопределенности может быть записана в виде  E = E C , X , Z , Z , ..., Z ; ( 1 2 r)   gi = gi ( Ai , X , Z1i , Z 2i ,..., Z ri ) ,{=, ≤  i = 1, 2, ... m , ;  C = ( c1 , c2 , ...,cn );   X = ( x1 , x2 ,..., xn );  A= ( a , a ,..., a ); 1 2 n   Z = z1 , z2 ,..., z f ... , 

(

≥;}bi

)

85

где zf – конкретная реализация неопределенного фактора. Неконтролируемые переменные Z принимают случайное значение и могут относиться либо к категории нестохастических (игры с противником), либо стохастических (игры с природой) случайных величин. Основные методы решения задач в условиях неопределенности разработаны в математической теории игр [5, 11, 12]. Предполагается, что правила игры известны всем ее участникам и обязательно выполняются. Каждый случай игры называется партией. Элементами партии являются ходы, которые могут быть личными (сознательное действие) и случайными. Каждый из игроков руководствуется совокупностью правил, однозначно определяющих выбор его ходов, называемую стратегией. Число таких стратегий может быть конечным или бесконечным. Результатом игры является выигрыш или проигрыш игроков. Например, если в игре участвуют только два игрока, преследующие прямо противоположные цели, то выигрыш одного игрока означает точно такой же проигрыш другого. Такая игра называется парной антагонистической игрой с нулевой суммой. Игры с противником Рассмотрим задачу разработки управленческого решения с одним неопределенным фактором Z, принимающим только два возможных значения Z = (z1, z2) при выборе противником соответственно стратегий N1 и N2. Будем считать для определенности, что этот фактор непосредственно влияет на критериальную функцию E = E(C,X,Z). Если случайный фактор непосредственно влияет на ограничения, то наши рассуждения были бы аналогичными с той только разницей, что значение критериальной функции определялось бы за счет решения всей задачи с учетом ограничений. Найдем два оптимальных решения X 1 и X 2 , с учетом двух возможных стратегий противника N1 и N2 соответствующие выражениям E11 = max E (C , X 1 , z1 ) ,

E22 = max E (C , X 2 , z2 ).

Полученные решения X 1 и X 2 представляют собой оптимальные действия (стратегии) менеджера M1 и M2 в том случае, когда он угадал дальнейшее развитие событий. Рассчитаем дополнительно значение показателя эффективности при условии, что менеджер не угадал ответ противника: 86

E12 = max E (C , X 1 , z2 ) , E21 = max E (C , X 2 , z1 ).

На основе проведенных расчетов соТаблица 3.14 ставим так называемую платежную матПример платежной матрицы рицу (табл. 3.14), где строки M1 и M2 N1 N2 представляют собой возможные страте- Ñòðàòåãèè M1 E11 E12 гии менеджера, а N1 и N2 – возможные стратегии противника. Очевидно, что анаM2 E21 E22 логичная матрица может быть построена и при большем числе возможных стратегий, а также при большем числе неопределенных факторов. В общем случае при конечном числе стратегий ее размер может быть m×n. Отыщем решение игры, пользуясь методами теории игр. Найдем оптимальную стратегию для менеджера, не зависящую от действий противника. В этом случае возникает вопрос о выборе критерия оптимальности. Например, в качестве используемой менеджером стратегии можно выбрать стратегию, которая приносит возможный максимальный выигрыш. Такая стратегия может оказаться весьма рискованной, поскольку в конкретной ситуации противник может ответить стратегией, приводящей к большему проигрышу. Более разумным представляется воспользоваться стратегией, которая минимизирует возможный проигрыш менеджера. Обозначим αi минимальный выигрыш менеджера при выборе им i-й стратегии при всех возможных стратегиях противника αi = min

j =1,2,...,n

{Eij } = min {Ei1, Ei 2 }.

Из всех чисел αi выбираем наибольшее α = max

i =1,2,...,n

{αi } = max {α1, α2 } =

max

{ }

min Eij ,

i =1,...,m j =1,...,n

и назовем его нижней ценой игры (гарантированный выигрыш менеджера при любой стратегии противника). Если цели игроков противоположны, что имеет место в антагонистической игре, то очевидно, что противник заинтересован уменьшить выигрыш менеджера и будет выбирать соответствующие стратегии. Найдем максимальный выигрыш менеджера при каждой стратегии противника β j = max

i =1,2,..., m

{Eij } = max {E1 j , E2 j }. 87

Для того чтобы минимизировать свой проигрыш, противник выберет стратегию, в которой выигрыш менеджера минимален

{ }

β = min β j = min {β1 , β2 } = min j =1,...,n

{ }

max Eij .

j =1,...,n i =1,...,m

Назовем этот выигрыш верхней ценой игры. Очевидно, что если по каким-то причинам противник не воспользовался своей оптимальной стратегией, то выигрыш менеджера только возрастет. Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то их значение ν называют чистой ценой игры α = β = ν. Стратегии, соответствующие цене игры, называются чистыми, а их совокупность дает оптимальное решение. Используя оптимальное решение, менеджер получает минимальный гарантированный выигрыш ν независимо от поведения противника. Пара чистых стратегий Mi и Nj дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий им элемент Eij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация называется седловой точкой, а соответствующая ей игра – игрой с седловой точкой. Если седловая точка в платежной матрице отсутствует, то существует несколько стратегий и менеджера, и противника, позволяющих получить цену игры. Выбор менеджером одной из чистых стратегий наталкивается на естественное противодействие противника, желающего минимизировать свой проигрыш и выбирающего ответную стратегию с учетом информации о выборе менеджера. Это обстоятельство приводит к тому, что менеджер оказывается вынужден хранить свой выбор в тайне и, кроме этого, чередовать чистые стратегии при многократном повторении игры по случайному закону. Если так не делать, то противник привыкнет к тому, что менеджер играет одинаково и с учетом этого будет строить свою игру. Смешанной стратегией SM называется применение чистых стратегий M1, M2,…, Mm с вероятностями p1, p2,…, pm, причем m

∑ pi = 1. i =1

Будем записывать смешанные стратегии в виде матрицы

 M1 , M 2 ,..., M m  SM =  ,  p1 , p2 ,..., pm  88

или в виде вектора SM =(p1, p2,…, pm). Смешанные стратегии противника запишем аналогично, обозначая соответствующие вероятности буквой q: n

∑ q j = 1, j =1

 N1 , N 2 ,..., N n  SN =    q1 , q2 ,...,qn  или SN =(p1, p2,…, pn). Найдем оптимальную стратегию, обеспечивающую S M = ( p1 , p2 ,..., pm ) менеджеру средний выигрыш не меньший, чем цена игры ν (α≤ν≤β). Математическое ожидание выигрыша менеджера при реализации противником стратегии Nj Ej =

m

∑ Eij pi . i =1

Если ν – цена игры, то при условии ν > 0 имеем набор n ограничений m

∑ Eij pi ≥ ν. i =1

m

Учитывая

∑p i =1

i

= 1 , будем искать набор pi, обеспечивающий макси-

мальную цену игры ν, для чего сделаем замену переменных xi = pi/ν. Запишем итоговые выражения для целевой функции и ограничений задачи оптимизации m 1  xi = → min, ν  i =1  m  = g Eij xi ≥ 1  j i =1 

∑

∑

и решим задачу линейного программирования. Элементы оптимальной смешанной стратегии менеджера S M определяются подстановкой pi = xi ν . Оптимальная смешанная стратегия противника определяется аналогично 89

n  Eij q j ≤ ν,  j =1 n   qi = 1,  j =1

∑ ∑

а задача линейного программирования формулируется в виде n 1  x j = → max, ν  j =1  n  = g Eij x j ≤ 1.  i j =1 

∑

∑

Тогда результатом решения задачи разработки управленческого решения будет последовательность стратегий менеджера, реализуемых по случайному закону с заданными вероятностями их появления. В качестве примера рассмотрим еще раз распределительную задачу, описанную выше. Пусть количество имеющихся ресурсов описывается набором значений b={30,52; 51,11; 31,23; 26,28; 39,40; 57,47; 53,61; 44,30; 84,54}; матрица коэффициентов αij имеет вид табл. 3.2, в которой столбцы имеют смысл вида соответствующей продукции, а строки – вида ресурса. Будем считать, что входящий в состав коэффициентов значимости параметр c1 носит случайный характер и принимает два возможных значения z1= 9,20 и z2=18,40. Тогда коэффициенты значимости каждого вида продукции cj могут иметь два возможных набора значений: {9,20; 7,15; 6,01; 7,61} и {18,40; 7,15; 6,01; 7,61}. Предположим, что имеет место антагонистическая игра с противником, т.е. z1, z2 определяют возможные стратегии противника N1 и N2. Будем считать, что в распоряжении менеджера также имеются две возможные стратегии M1 и M2. Построим платежную матрицу. Значение E11 определяется как целевая функция при решении задачи в предположении, что противник выбрал стратегию N1 (z1= 9,20), а менеджер стратегию M1 (стратегия противника угадана). Это решение ранее уже было получено и представляет собой набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,97 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59. Значение E22 90

определяется как целевая функция при решении задачи в предположении, что противник выбрал стратегию N2 (z2=18,40), а менеджер стратегию M2 (стратегия противника также угадана). Результат решения средствами пакета Excel дает набор переменных {2,68; 0,00; 0,00; 0,00} при значении целевой функции округленно равном 49,29. Значение E12 рассчитывается в предположении, что менеджером выбрана стратегия N 1 и N 2 в виде принимаемого решения X ={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, а противник использует стратегию N2. Тогда вектор значимости имеет значения {18,40; 7,15; 6,01; 7,61} и целевая функция имеет величину 44,37. Наконец, значение E21 рассчитывается в предположении, что менеджером выбрана стратегия M2 в виде приниТаблица 3.15 маемого решения X ={2,68; 0,00; 0,00; Платежная матрица 0,00}, а противник использует стратегию N1. Тогда вектор значимости имеет зна- Ñòðàòåãèè N1 N2 чения {9,20; 7,15; 6,01; 7,61} и целевая M1 33,97 44,37 функция имеет величину 24,65. Резуль24,65 49,29 M2 таты вычислений сведены в табл. 3.15. Начнем обработку платежной матрицы. Минимальный выигрыш менеджера по стратегии M1 равен 33,97, а по стратегии M2– 24,65. Тогда нижняя цена игры α =33,97. Максимальный проигрыш противника по стратегии N1 равен 33,97, а по стратегии N2 – 49,29. Тогда верхняя цена игры β тоже равна 33,97. Это означает, что α = β = ν и игра имеет решение в чистых стратегиях, т.е. для минимизации своих потерь менеджеру выгодно идти по стратегии M1, а противнику по стратегии N1. Игры с природой Отличительной особенностью игр с природой является то обстоятельство, что природа рассматривается как некоторая незаинтересованная инстанция, поведение которой неизвестно, но, во всяком случае, не содержит элемента враждебности и сознательного противодействия достижению целей менеджера. Как и в случае игр с противником, менеджеру должна быть известна платежная матрица, соответствующая выигрышу менеджера при различных своих стратегиях и состояниях (стратегиях) природы. Если в случае игры с противником предполагать определенные вероятности появления его стратегий не представлялось возможным, то в рассматриваемой ситуации менеджеру полезно дополнительно располагать информацией о вероятностях появления воз91

можных состояний природы, заданной например в виде смешанных стратегий  N1 N 2 ... N n  SN =  ,  q1 q2 ...qn  n

∑ q j = 1. j =1

Задача менеджера заключается в выборе в конкретных условиях наиболее выгодной собственной стратегии. Отбрасывать “невыгодные” с точки зрения природы стратегии нельзя. Исходя из этого в теории статистических решений [5] вводится понятие риска rij = β j − Eij ,

Таблица 3.16

где rij – риск менеджера при использовании стратегии Mi в ответ на состояние природы Nj, а βj – максимально возможrij N N ный выигрыш менеджера при состоянии M r r природы N j. Пример матрицы рисков M r r представлен в табл. 3.16. Если менеджеру известны вероятности возможных состояний природы qj, то было бы логичным в качестве своей стратегии принять стратегию Mi, максимизирующую свой средний выигрыш Пример матрицы рисков

 n  E = max  Eij q j  . 1≤i ≤m  j =1 

∑

(3.19)

Отметим, что указанная стратегия менеджера одновременно минимизирует его средний риск. При выборе оптимальной стратегии одну из существенных трудностей представляет определение конкретного набора вероятностей qj. Если нет никаких гипотез о вероятности появления определенного состояния природы, то используется принцип недостаточного основания Лапласа, когда вероятности назначаются равными друг другу 1 q1 = q2 = ... = qn = . n

92

Если у менеджера существуют некоторые предположения о вероятностях появления определенных событий, то он может их расставить в порядке убывания их правдоподобности (ранжировать) и поставить им в соответствие некоторый ряд чисел, определенный в том числе и экспертным путем. Отметим, что в любом случае справедливо утверждение n

∑ q j = 1. j =1

Наиболее сложным случаем для выработки управленческого решения является ситуация, когда у менеджера полностью отсутствует любая (в том числе и экспертная) информация о вероятностях возможных состояний природы. В этом случае решение приходится принимать исходя из анализа платежной матрицы или матрицы рисков. Согласно максиминному критерию Вальда выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший чем   E = max  min {Eij } . 1≤i ≤ m 1≤ j ≤ n  Данный критерий ориентирует менеджера на наихудшие условия и рекомендует выбирать стратегию, для которой в самом тяжелом случае выигрыш максимален. Обычно критерий Вальда называют критерием крайнего пессимизма. Критерий минимаксного риска Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации. Сущность критерия Сэвиджа – любыми путями минимизировать риск. Критерий Сэвиджа также относится к критериям крайнего пессимизма, однако в этом случае, в отличие от критерия Вальда, худшим считается не минимальный выигрыш, а максимальная его потеря (максимальный риск).   r = min  max{rij } . 1≤i ≤m 1≤ j ≤n  Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица рекомендует при выборе решения выбирать нечто среднее между крайним пессимизмом и оптимизмом

93

E = max{α min {Eij } + (1 − α) max{Eij }}. 1≤i ≤m

1≤ j ≤ n

1≤ j ≤n

Здесь α некий коэффициент (мера пессимизма), выбираемый экспертным путем из интервала между 0 и 1. Очевидно, что при α=1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда. В качестве примера еще раз обратимся к распределительной задаче, описанной в 3.4.1. Пусть количество имеющихся ресурсов описывается набором значений b ={30,52; 51,11; 31,23; 26,28; 39,40; 57,47; 53,61; 44,30; 84,54}; матрица коэффициентов aij имеет вид табл. 3.2, в которой столбцы имеют смысл вида соответствующей продукции, а строки – вида ресурса. Будем считать, что входящий в состав коэффициентов значимости параметр c1 носит случайный характер и принимает два возможных значения z1= 9,20 и z2= 18,40. Тогда коэффициенты значимости каждого вида продукции cj могут иметь два возможных набора значений: {9,20; 7,15; 6,01; 7,61} и {18,40; 7,15; 6,01; 7,61}. Предположим, что имеет место игра с природой, т.е. z1, z2 определяют возможные стратегии природы N1 и N2 а не противника, как это было ранее. Будем считать, что в распоряжении менеджера также имеются две возможные стратегии M1 и M2. Построим платежную матрицу аналогично предыдущему. Значение E11 определяется как целевая функция при решении задачи в предположении, что у природы имеет место стратегия N1 (z1= 9,20), а менеджера стратегия M1 (стратегия природы угадана). Это решение ранее уже было получено и представляет собой набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий максимальное значение целевой функции округленно равное 33,97 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59. Значение E22 определяется как целевая функция при решении задачи в предположении, что у природы имеет место стратегия N2 (z2= 18,40), а менеджер выбрал стратегию M2 (стратегия природы также угадана). Результат решения средствами пакета Excel дает набор переменных X = {2,68; 0,00; 0,00; 0,00} при значении целевой функции округленно равном 49,29. Значение E12 рассчитывается в предположении, что менеджером выбрана стратегия M1 в виде принимаемого решения X ={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, а природа использует стратегию N2. Тогда вектор значимости имеет значения {18,40; 7,15; 6,01; 7,61} и целевая функция имеет величину 44,37. Наконец, значение E21 рассчитывается в предположении, что менеджером выбрана стратегия M2 в виде принимаемого решения X ={2,68; 0,00; 0,00; 0,00}, а 94

природа использует стратегию N1. ВекТаблица 3.17 Матрица рисков тор значимости имеет значения {9,20; 7,15; 6,01; 7,61} и целевая функция имеет rij N1 N2 величину 24,65. Результаты вычислений M1 0 4,92 полностью аналогичны случаю игры с противником и совпадают с данными 9,32 0 M2 табл. 3.15. Построим матрицу рисков (табл. 3.17). Проанализируем платежную матрицу. Будем считать, что вероятности появления стратегий природы известны и равны соответственно q1= 0,4 и q2= 0,6. Используем выражение для максимального среднего выигрыша (3.19). Выигрыш менеджера по первой строке платежной матрицы табл. 3.12 составляет 40,21, а по второй – 39,43. Очевидно, что стратегией, максимизирующей средний выигрыш является стратегия M1. Риск менеджера по первой строке матрицы рисков (табл. 3.14) составляет 2,95, а по второй – 3,73. Стратегией, минимизирующей риск также является стратегия M1.Таким образом решением задачи является набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}. Будем теперь считать, что менеджеру неизвестны вероятности появления стратегий природы. Воспользуемся критерием Вальда. Минимальный выигрыш по первой строке платежной матрицы табл. 3.12 составляет 33,97, а по второй – 24,65. Очевидно, что как и в предыдущем случае, оптимальной стратегией менеджера является стратегия M1 с соответствующим решением. Расчеты по критерию Сэвиджа дают максимальное значение риска в первой строке равное 4,92, а во второй – 9,32. Следовательно, и в этом случае оптимальной стратегией менеджера является стратегия M1. Решим задачу с использованием критерия Гурвица. Минимальное значение первой строки платежной матрицы составляет 33,97, максимальное 44,37. Соответствующие значения для второй строки 24,65 и 49,29. Пусть α = 0,5. Тогда расчеты по критерию Гурвица для первой строки дают 39,17, а для второй – 36,97. Следовательно, оптимальной является стратегия M1 с соответствующим решением. Изменим меру пессимизма менеджера и сделаем ее равной 0,3 (α = 0,3). Расчеты по строкам платежной матрицы дают соответственно 41,25 и 41,898. В этом случае оптимальной является стратегия M2 с решением X = {2,68; 0,00; 0,00; 0,00}. 95

Игры с природой с экспериментами Рассмотренные выше игры с природой предусматривали необходимость принятия решения менеджером в условиях неопределенности на основе имеющихся у него данных, используемых в процессе вычислений. Такие данные принято называть априорными. В некоторых случаях при решении задач с природными неопределенностями появляется возможность проведения различных экспериментов, позволяющих получить дополнительную информацию и тем самым снизить степень неопределенности в отношении действительного состояния природы. Очевидно, что проведение экспериментов связано с затратой ресурсов. Возникают естественные вопросы: стоит ли проводить эксперимент, сколько должно быть экспериментов, в каком порядке надо проводить эксперименты. Некоторые ответы на эти вопросы дает теория игр с экспериментами. Назовем единичным такой эксперимент, объем и порядок которого заранее определены и не могут быть изменены в процессе его проведения. Отметим, что собственно методику эксперимента должен разрабатывать специалист в предметной области, а менеджер может только делать вывод о целесообразности его проведения на основании имеющейся у него априорной информации. Единичный эксперимент не обязательно состоит только из одного испытания. В процессе его проведения может быть получена целая выборка значений, однако принципиальным является то обстоятельство, что объем выборки N конечен и известен заранее. Возможен и другой способ организации эксперимента. В процессе проведения эксперимента после каждого испытания менеджер может принимать решение, прекратить ли дальнейшие испытания и выбрать ли какую-либо стратегию из числа возможных или продолжить испытания с целью увеличения объема информации. Такие эксперименты называют последовательными. Максимальное допустимое количество выборок в процессе проведения последовательного эксперимента тоже может быть известно заранее (в этом случае говорят об усеченном последовательном эксперименте) или быть неограниченным (неограниченный последовательный эксперимент). Будем считать, что в распоряжении менеджера имеется набор m стратегий Mi, которые он может использовать в ответ на одну из n возможных стратегий природы Nj, появляющуюся с вероятностью qj при условии 96

n

∑ q j = 1. j =1

Известна также платежная матрица Eij. Для снижения неопределенности относительно действительного состояния природы менеджер может провести эксперимент, стоимость которого известна и равна C. Пусть в результате проведения эксперимента состояние природы станет известно точно. Необходимо сделать вывод о целесообразности проведения эксперимента. Средний выигрыш менеджера Ei при использовании стратегии Mi может быть определен как Ei =

n

∑ Eij q j . j =1

В качестве оптимальной стратегии может быть выбрана стратегия M , максимизирующая средний выигрыш менеджера  n  E = E ( M ) = max  Eij q j  . 1≤i ≤m  j =1 

∑

Предположим теперь, что в результате проведения эксперимента удалось точно установить стратегию природы Nj. Очевидно, что в этом случае менеджер должен выбирать стратегию, обеспечивающую максимальный выигрыш β j = max

i =1,2,...,m

{Eij }.

Оценим теперь средний возможный выигрыш после проведения эксперимента βср =

n

∑ q jβ j − C , j =1

где C – стоимость проведения эксперимента. Отсюда появляется условие целесообразности проведения эксперимента E < βср n

n

j =1

j =1

или

∑ Eij q j } < ∑βi qi − C.

max{

1≤i ≤ m

97

Преобразовывая неравенство, имеем n

n

n

C < ∑ βi qi − max{∑ Eij q j } = min {∑ q j (β j − Eij )}. j =1

1≤i ≤m

j =1

1≤i ≤ m

j =1

(3.20)

Выражение в круглых скобках в (3.20) есть ничто иное как риск rij = β j − Eij .

Тогда правая часть неравенства есть минимальный средний риск, откуда вытекает условие целесообразности проведения эксперимента: затраты на эксперимент должны быть меньше минимального среднего риска, иначе от эксперимента следует воздержаться и в качестве оптимальной выбрать стратегию, максимизирующую средний выигрыш или минимизирующую средний риск. Пример, решенный в подразд. 3.7, показывает, что стоимость эксперимента по определению состояния природы в рассмотренной там задаче не должна превышать 2,95. Рассмотрим случай, когда с помощью эксперимента не удается точно определить состояние природы, но возможно получить одно из k несовместимых событий S1, S2,…, Sk, связанных определенными вероятностями с состояниями (стратегиями) природы. Обозначим условную вероятность появления исхода Si эксперимента при условии стратегии природы Ni символом wij. Поскольку S1, S2,…, Sk образуют полную систему событий, справедливо k

∑ wij = 1;1 ≤ j ≤ n. i =1

Будем считать, что все значения wij менеджеру известны, а также известна стоимость проведения эксперимента C. Нас по-прежнему будет интересовать вопрос: целесообразно ли проведение эксперимента и если да, то какую стратегию необходимо выбрать менеджеру при том или ином исходе эксперимента. Предположим, что в результате эксперимента был получен результат Sl. Определим апостериорные вероятности стратегий природы по теореме Байеса [14] v jl = P ( N j Sl ) =

q j wij n

∑ q j wlj j =1

98

.

(3.21)

Далее для каждой стратегии менеджера рассчитаем величину условного среднего выигрыша при условии результата эксперимента Sl Eilср =

т

∑ Eij v jl . j =1

(3.22)

Очевидно, что оптимальной будет стратегия менеджера Mi, обеспечивающая максимум условного среднего выигрыша при конкретном исходе эксперимента Sl El = max{Eilср }. 1≤i ≤m

Вероятность появления условного выигрыша El совпадает с вероятностью появления события Sl. Обозначим ее символом hl. Тогда n

hl = ∑ q j wlj .

(3.23)

j =1

Величина выигрыша с использованием эксперимента Eэксп =

k

∑ El hl . l =1

(3.24)

С другой стороны, выигрыш менеджера без проведения эксперимента определяется выражением  n  E = max  Eij q j  . 1≤i ≤m  j =1 

∑

Отсюда вытекает условие целесообразности проведения эксперимента C < Eэксп − Е . Если проведение эксперимента признано целесообразным, то менеджер должен разработать систему так называемых решающих правил, смысл которой сводится к следующему: какую стратегию Mi необходимо выбрать, если эксперимент дал результат Sl. Вернемся к рассмотренному выше примеру. Пусть точно определить состояние природы не удается, но существует три возможных результата проведения эксперимента S1, S2, S3 (k=3). Зададим в табл. 3.18 матрицу условных вероятностей появления Si варианта эксперимента W={wij} при Nj состоянии природы. 99

Таблица 3.19

Таблица 3.18 Матрица условных вероятностей соответствия эксперимента природе Ýêñïåðèìåíò

Ñòðàòåãèÿ

Матрица апостериорных вероятностей соответствия эксперимента природе Ýêñïåðèìåíò

N1

N2

S1

0,3

0,7

S1

S2

0,5

0,2

S2

S3

0,2

0,1

S3

Ñòðàòåãèÿ N1

N2

0,222222 0,777778 0,625

0,375

0,571429 0,428571

В табл. 3.19 занесем рассчитанные по теореме Байеса (3.21) апостериорные вероятности, сохранив старые значения априорных вероятностей природы q1= 0,4 и q2= 0,6. Определим теперь величину условного среднего выигрыша (3.22), если эксперимент дал результат S1. При стратегиях менеджера M1 и M2 расчеты дают округленно {42,06; 43,81}. Если результат эксперимента S2, то соответствующие значения равны {37,87; 33,89}. Наконец, в случае S3 имеем {38,43; 35,21}. Отсюда получается решающее правило задачи в виде стратегии M2 с выигрышем 43,81 при первом исходе эксперимента, и стратегии M1 с выигрышами 37,87 и 38,43 при втором и третьем исходах. Отметим, что полученные значения выигрышей являются случайными, поскольку случайными являются результаты эксперимента. Определим теперь вероятности появления различных исходов эксперимента h1, h2, h3 (3.23). Результаты вычислений дают {0,54; 0,32; 0,14}. Тогда величина выигрыша с использованием эксперимента (3.24) Eэксп равна 41,08. Величина выигрыша без эксперимента была определена ранее при рассмотрении примера в подразд. 3.7 и составляет 40,21. Отсюда следует максимально допустимая стоимость эксперимента 0,87, при превышении которой проведение эксперимента делается бессмысленным. Методы решения динамических задач в условиях неопределенности развиваются в рамках теории дифференциальных игр, представляющей собой самостоятельную математическую дисциплину. В целом аппарат теории игр может быть весьма полезен для решения задач стратегического планирования, анализа конкурентной борьбы и т.п. 100

3.8. Многокритериальные задачи разработки управленческого решения Многокритериальная задача разработки управленческого решения возникает в том случае, когда результат ее решения должен удовлетворять нескольким противоречивым требованиям. В этом случае эффективность решения оценивается совокупностью неких локальных критериев e1, e2,…, ek, которые могут различаться своими коэффициентами относительной важности λ1, λ2,…, λk. Тогда говорят, что локальные критерии образуют вектор критериев E = ( e1, e2,…, ek), а коэффициенты вектора важности – вектор Λ = ( λ1, λ2,…, λk) Для решения многокритериальной задачи необходимо найти такое значение вектора управления X , которое обеспечит оптимальное значение вектора критериев E = E ( X ) = opt [E ( X ), Λ ].

При решении многокритериальных задач главной проблемой оказывается выбор принципа оптимальности. Обычно он строится на основе различных способов компромисса между составляющими вектора критериев. Подобный компромисс можно отыскать только в том случае, когда возникает противоречие между локальными критериями, т. е. когда при изменении решения показатели по одному критерию улучшаются, а по всем другим ухудшаются. Если изменение решения приводит к улучшению показателей по различным критериям, то имеет место ситуация согласия, которая не представляет интереса для решения задачи оптимизации. Определение области компромисса, т. е. области допустимых значений решения X, для которой имеют место противоречия между составляющими векторного критерия эффективности, само по себе уже представляет достаточно важную задачу, поскольку ее решение существенно уменьшает количество альтернатив. Дальнейший поиск оптимального решения заключается в выборе схемы компромисса, которая соответствует отысканию некой скалярной функции ϕ от вектора критериев E(X), обеспечивающей opt [E ( X , Λ )] = max ϕ( E ( X )).

При решении практических задач составляющие вектора критериев должны быть приведены к единой размерности или нормализованы. Кроме этого, локальные критерии могут иметь различную степень важности, в связи с чем при выборе оптимального решения это обстоятельство также приходится принимать во внимание. В целом при выборе 101

схемы компромисса приходится решать сложные концептуальные проблемы, что обычно приходится делать с помощью эвристических процедур. На рис. 3.10 рассмотрена графиe2 ческая иллюстрация метода решения B e2max двухкритериальной задачи. По осям E ∆e2 A координат отложены значения локальных критериев e1 и e2 достигаеC мых при различных допустимых знаe1 чениях решения X. Кривая ABCD очерчивает область допустимых зна∆e1 D e1max чений критериальных функций e1 и e2 и фактически определяет область соРис. 3.10. Иллюстрация метода гласия. Основной интерес для менедрешения многокритериальной жера представляет участок кривой задачи BC, точки которой находятся в области компромисса (в точке B имеется максимум по критерию e2, а в точке C – по критерию e1. Решением оптимальной двухкритериальной задачи разработки управленческого решения является такое значение вектора управления X , которое обеспечивает положение решения на кривой BC, удовлетворяющее некоторому принципу компромисса, определяющему правило уступки по каждому из критериев. Так, например, точка E и соответствующее ей решение двухкритериальной задачи выбрана в области компромисса (на кривой BC) как удовлетворяющее требованию одинаковой абсолютной уступки по критериям e1 и e2 (∆e1 = ∆e2). В литературе [4, 5] описано несколько распространенных способов выбора компромисса. Наиболее простым является способ скаляризации векторного критерия. В этом случае E = max( E ( X )) = max

k

∑ ei [ X ]λi i =1

и задача разработки управленческого решения из многокритериальной превращается в однокритериальную. Значения весовых коэффициентов λi могут быть получены экспертным путем и задаются в абсолютном или относительном виде. В последнем случае k

∑ λi = 1. i=1

102

Если скаляризация векторного критерия не представляется возможной, то можно воспользоваться методом, основанным на принципе равенства. В этом случае E = opt( E ( X )) = E [e1 = e2 = e3 =,..., = ek ],

т. е. наилучшим считается такое решение, при котором достигается равенство локальных критериев. При практической реализации этот метод может оказаться неудобным, поскольку он может выводить решение из области компромисса. Вариантом этого метода является принцип квазиравенства, при реализации которого добиваются не точного равенства, а обеспечения разности между величинами локальных критериев, не превышающей некоторой заданной величины δ. Тогда E = opt( E ( X )) = E{| eq − ev |<= δ}, q, v = 1,2,..., k . Еще одним вариантом решения задачи оптимизации является принцип максимина. В этом случае задача оптимизации решается для каждого из локальных критериев, после чего отыскивается такое значение вектора управления в области компромисса, которое обеспечивает максимум наименьшего значения локального критерия E = opt( E ( X )) = max min{ei }, 1 <= i <= k . Принцип справедливой уступки предлагает компромисс, при котором суммарный абсолютный или относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного или относительного уровня повышения других критериев. Можно сказать [4], что принцип абсолютной уступки соответствует критерию k

∑ ei },

E = max{

i =1

а относительной уступки – критерию k

E = max{∏ eq }. q =1

Принцип выделения главного критерия заключается в том, что среди локальных критериев выделяется один главный, проводится оптимизация по этому критерию, а затем обеспечивается требование, чтобы величины других критериев не были бы меньше некоторых заданных 103

величин. Вариантом этого метода является принцип последовательной уступки, при котором показатели эффективности ранжируются в порядке убывания важности. Далее находят решение, обращающее в максимум главный показатель эффективности e1. После этого назначается некоторая уступка ∆e1, которая позволяет максимизировать значение показателя e2. Далее снова назначается уступка ∆e2 и максимизируется значение показателя e3 и т.д. Полученное в итоге оптимальное в рамках выбранной схемы компромисса решение обеспечивает значение показателя эффективности в пределах величин заданных уступок. В целом процедура решения многокритериальной задачи разбивается на два этапа: собственно оптимизацию в соответствии с одним из ранее рассмотренных методов по каждому из критериев и выбор схемы компромисса между локальными критериями. Вернемся к рассмотренной в выше распределительной задаче. Количество имеющихся ресурсов описывается набором значений b={30,52; 51,11; 31,23; 26,28; 39,40; 57,47; 53,61; 44,30; 84,54}, матрица коэффициентов aij имеет вид табл. 3.2, в которой столбцы имеют смысл вида соответствующей продукции, а строки – вида ресурса. Коэффициенты значимости каждого вида продукции cj имеют значения {9,20; 7,15; 6,01; 7,61} и совместно с переменными определяют критериальную функцию e1. Решением задачи является набор переменных X ={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,97 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59. Введем дополнительную критериальную функцию e2 как функцию, описывающую первую строку ограничений. Решение задачи, обеспечивающее максимум e2 = 18,87, есть набор переменных X ={0,00; 0,00; 2,88; 0,00}. При этом e1 =17,27. Если вторую строку ограничений рассматривать как критериальную функцию e3, то ее максимум 28,06 обеспечивает решение X={0,00; 0,00; 1,77; 2,06} при e1 =26,33 и e2 =17,03. Критерии e1, e2, e3 являются противоречивыми, так как улучшение по одному критерию сопровождается ухудшением по другому. Решим многокритериальную задачу методом скаляризации. Пусть вектор важности Λ = ( λ1, λ2,…, λk) имеет вид {0,5; 0,25; 0,25}. Тогда решение задачи X при новой целевой функции E = max

3

∑ ei [ X ]λi = 25,93 i =1

104

есть X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}. Отметим, что оптимальное решение имеет место при e1 = 33,97, e2= 9,39, e3 = 26,37. Теперь решим задачу методом квазиравенства. Зададим δ = 5,0. Добавим к общему списку ограничений еще три ограничения abs( e1 − e2 ) ≤ δ, abs( e2 − e3 ) ≤ δ, abs( e1 − e3 ) ≤ δ,

где abs ( x ) – функция взятия модуля числа. Сначала отыщем решение при максимизации e1. Результат X={0,00; 1,99; 0,45; 0,63} при e1 =21,70, e2 =16,70, e3 =21,70. Теперь попытаемся максимизировать e2. Получается новый результат решения X={0,00; 1,19; 1,63; 0,00}, а e1 = 18,27, e2 = 17,91, e3 = 22,91. Наконец если максимизируется e3 , то решение полностью совпадает с предыдущим. В качестве оптимального решения можно взять один из двух наборов переменных X = {0,00; 1,99; 0,45; 0,63} или X = {0,00; 1,19; 1,63; 0,00}, а выбор между ними сделать в зависимости от конкретного смысла задачи. Попытка решить задачу методом точного равенства дает нулевые решения X и e1, e2, e3, что иллюстрирует основной недостаток этого метода. Решим многокритериальную задачу оптимизации методом максимина. Решение по локальному критерию e1, e2, e3 уже неоднократно находилось ранее и имеет вид X ={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий значение целевой функции e1 округленно равное 33,97. При этом решении e2 = 9,39, e3 = 26,37. Максимизация локального критерия e2 дает решение X ={0,00; 0,00; 2,88; 0,00} и значения локальных критериев e1 = 17,27, e2 = 18,87, e3 = 25,74. Наконец, максимизация по локальному критерию e3 дает решение X = {0,00; 0,00; 1,77; 2,06} и значения локальных критериев e1 = 26,33, e2 = 17,03, e3 = 28,06. Во всех случаях минимальное значение имеет критерий e2, поэтому в качестве оптимального следует выбрать решение X = {0,00; 0,00; 2,88; 0,00}. Решение задачи методом одинаковой абсолютной уступки осуществляется аналогично методу скаляризации при задании вектора важности Λ = ( λ1, λ2,…, λk) вида {1; 1; 1} и дает решение X = {0,00; 0,00; 1,77; 2,06} при e1 = 26,33, e2 = 17,03, e3 = 28,06 и e1+e2+e3 = 71,42, что 105

совпадает с решением, полученным при максимизации локального критерия e3 в предыдущем примере. Аналогичный результат дает решение, полученное методом одинаковой относительной уступки, хотя сама целевая функция задачи в этом случае выходит из класса линейных. Решим задачу методом последовательной уступки. Будем считать, что важность локальных критериев определяется их номером, т.е. самым важным считается критерий e1, потом e2 и, наконец, e3. Уже неоднократно найденный ранее максимум по локальному критерию e1 достигается при решении X ={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающем значение целевой функции e1 округленно равное 33,97. Предположим, что мы согласны поступиться 10 % от достигнутой величины локального критерия, что составляет в абсолютных величинах 3,40. Введем новое ограничение вида e1 ≥ 30,57 и решим задачу отыскания максимума по локальному критерию e2. Решение имеет вид X = ={0,63; 0,00; 0,79; 2,64} при e1= 30,57 и e2= 12,79. Зададим возможную абсолютную уступку ∆e2=1,28 и добавим в задачу ограничение вида e2 ≥ 11,51. Теперь для отыскания оптимального решения нам необходимо найти максимум по локальному критерию e3. Вычисления дают X = {0,63; 0,00; 0,79; 2,64} при e1=30,57 , e2=12,79 и e3=27,12. Подводя итог обзору методов решения многокритериальных задач, отметим, что многообразие различных форм записи критериальной функции и, как следствие, разнообразие получаемых результатов чрезвычайно наглядно демонстрирует важнейшую концептуальную проблему, стоящую перед менеджером, – проблему правильного формулирования достигаемой цели и выбора соответствующего этой цели критерия.

3.9. Рациональные задачи разработки управленческого решения Рассмотренные выше методы отыскания оптимальных решений традиционно вызывали наибольший интерес исследователей, поскольку позволяли получить наилучшее из всех возможных решение и, как говорится, закрыть вопрос. К сожалению, существует много практических случаев, когда рассчитать или реализовать оптимальное решение становится принципиально невозможным. Рассмотрим некоторые причины, которые обуславливают возникновение таких ситуаций. 1. Физическая нереализуемость. Оптимальное решение может относиться к категории нереализуемых решений. Причина возникновения 106

подобной ситуации определяется недостаточно полным учетом ограничений ресурсов в математической модели. Так, например, решение статической задачи может не учитывать ограничения по имеющимся трудовым ресурсам в смысле их квалификации. В динамических задачах известны случаи, когда для расчета оптимального решения необходимо предварительно иметь бесконечную реализацию исходного процесса. Существование физически нереализуемых решений представляет определенный практический интерес как средство оценки потенциально достижимой ситуации (предельное значение критериального параметра). 2. Техническая нереализуемость. Реализация или даже расчет оптимального решения могут оказаться невозможными чисто по техническим причинам, определяемыми текущим состоянием имеющихся в распоряжении менеджера технических средств. Такая ситуация возникает в том случае, когда объем реальной задачи не соответствует техническим характеристикам вычислителя, вычислитель неисправен или отсутствует, произошел сбой вычислений, утрата данных, использование ошибочных данных и т.п. К этой же категории следует отнести ситуации, когда полученные результаты решения уже не представляют интереса для менеджера, поскольку они поступают после принятия решения. 3. Особенности множества альтернатив. В рассмотренных выше оптимальных задачах разработки управленческого решения множество альтернатив, как правило, представляло собой бесконечное количество вариантов решений, генерируемых аналитически. В дискретных задачах количество альтернатив может быть конечным, однако возможность их аналитической записи по-прежнему сохраняется. На практике менеджеру часто приходится иметь дело с некоторым конечным числом альтернатив, разработанных в виде конкретных вариантов и не имеющих аналитической записи. Имеющиеся в распоряжении менеджера альтернативы необязательно исчерпывают весь возможный список, поскольку некоторые из них могут быть еще не найдены (например, не придуман ход в шахматной партии) или они еще в принципе не существуют, но могут появиться в будущем или были когда-то в прошлом (например, вариант обмена квартиры). Оптимальные решения в таких случаях просто не существуют, поскольку никто не может гарантировать, что не будет придуман ход лучше или не появится новый вариант обмена. 4. Неметрические критерии. Во всех предыдущих рассуждениях под критерием понималась количественная оценка цели. На практике 107

возникают ситуации, когда критерий выражается только в качественной форме. Такие критерии принято называть неметрическими [28]. Сравнение альтернатив по неметрическому критерию невозможно выполнить автоматически, поэтому в качестве единственного средства разработки управленческого решения в этом случае начинают выступать экспертные процедуры. Методика разработки управленческого решения в случае, когда оптимальное решение нереализуемо или вообще не существует, может существенно отличаться от методики поиска оптимальных решений. Тем не менее, невозможно отрицать то обстоятельство, что менеджер заинтересован в поиске наилучшего для данной ситуации решения. Будем называть такое решение рациональным (от латинского rationalis– разумный, целесообразный), т. е. обеспечивающим наилучшее удовлетворение критерия из имеющегося множества альтернатив. Разработка рациональных решений начинается с формулирования проблемы и определения цели или целей ее разрешения, на основе которой формулируется критерий. Если критериев несколько, необходимо воспользоваться методами решения многокритериальных задач разработки управленческого решения. Разработка альтернатив ведется автоматическими, автоматизированными или ручными методами. В двух последних случаях целесообразно первоначально попытаться определить множество допустимых значений альтернатив. На процесс разработки альтернатив оказывает серьезное влияние время, оставшееся до принятия решения и возможности имеющихся в распоряжении менеджера технических средств. Очевидно, что процесс разработки альтернатив может быть закончен до исчерпания всего множества решений. Имеющиеся альтернативы должны быть подвергнуты сравнению с критерием и в качестве рационального решения должна выбираться альтернатива с наилучшим значением критериальной функции. Подавляющее большинство решений, принимаемых к реализации менеджером, относится к категории рациональных. Качество разработки подобных решений в первую очередь определяется качеством разработки альтернатив, методам разработки которых следует уделять наибольшее внимание. Последовательность действий, которую необходимо выполнить при разработке рациональных решений, представлена на рис.1.1. Она начинается с идентификации, постановки и принятия проблемы и определения цели ее разрешения. Пройдя этап поиска, фильтрации и анализа информации, менеджер проводит классификацию задачи и разрабатывает 108

критерии достижения цели, которые могут быть метрическими или неметрическими. Следующим шагом этого процесса является разработка альтернатив. Методы разработки альтернатив рациональных решений представлены на рис. 3.11. Особый интерес представляет случай, когда найдены только две альтернативы решения. Подобного рода решения называют бинарными [25] или решениями типа “делать – не делать” [29] (заметим, что решение подобного рода принимал Гамлет). Бинарные решения встречаются в практической деятельности достаточно часто по той простой причине, что третья и последующие альМетоды разработки альтернатив рациональных решений

Автоматические

На основе оптимальных методов На основе моделирования

Автоматизированные

Ручные

На основе оптимальных методов Моделирование Работа экспертных групп

Экспертные группы

Рис. 3.11. Методы разработки альтернатив при принятии рациональных решений

тернативы могут просто не отыскиваться менеджером. Действительно, если решается вопрос “быть или не быть”, то вопрос “как быть” неизбежно отходит на второй план. Процедура принятия бинарных решений ничем существенным не отличается от обычной и заключается в сравнении альтернатив по критерию. Если критериев несколько, то используются методы решения многокритериальных задач. Наличие случайных параметров в альтернативах может переводить рассматриваемые задачи к задачам в условия риска и неопределенности. Методы решения подобных задач сводятся к расчету функции распределения критериального параметра и определению наиболее выгодной стратегии. Если критерий является неметрическим, то выбор альтернативы 109

осуществляется за счет формулирования бинарных отношений (“лучше – хуже”). Во многих случаях оказываются применимы процедуры экспертного оценивания. Наконец, известны варианты, когда подобные решения принимаются случайным методом, например подбрасывая монетку. Наличие большего числа альтернатив по сравнению со случаем бинарного решения технически усложняет процедуру их применения, но не вносит в нее принципиальных изменений. Так, в отличие от бинарного случая, увеличивается количество сравнений альтернатив. Если выполняется, например, процедура их попарного сравнения, то общее число сравнений определяется как число сочетаний из количества альтернатив по два и может очень быстро расти, что может привести к технической нереализуемости решения. Искусство менеджера заключается, в частности, в точном определении числа рассматриваемых альтернатив рационального решения, сохраняющих его в категории реализуемых и обеспечивающего наилучшие из числа возможных результаты. Таким образом, последовательность разработки рационального управленческого решения совпадает с последовательностью действий менеджера при разработке оптимальных решений. Принципиальным отличием процедуры разработки рационального решения от оптимального является ручная или, в лучшем случае, автоматизированная разработка альтернатив. Остальные действия менеджера, связанные с принятием проблемы, определением целей, разработкой критериев и сравнением альтернатив выполняются аналогично. Выводы 1. Математическая теория предоставляет менеджеру большой набор методов, позволяющих отыскивать оптимальное решение. 2. Метод линейного программирования в сочетании с его программной реализацией на ЭВМ позволяет менеджеру практически отыскивать экстремумы линейных функций при условии учета ограничений ресурсов. Реализация метода линейного программирования позволяет автоматизировать решение ряда типовых задач оперативного и стратегического управления. Существуют все предпосылки для внедрения этого метода в повседневную деятельность практикующего менеджера. 3. Разработан большой набор методов решения нелинейных задач математического программирования, в том числе и дискретных. Кроме этого, разработаны методы решения задач со случайными парамет110

рами. Совокупность рассмотренных методов позволяет охватить достаточно широкий класс существующих задач разработки управленческого решения, которые могут быть доведены до практики при условии наличия средств автоматизации их решения. 5. Строгая классификация методов решения динамических задач разработки управленческого решения на настоящий момент отсутствует. Создание такой системы классификации, разработка новых методов решения подобных задач и доведение до практической реализации известных методов их решения представляет существенный интерес для дальнейших исследований. Заметим, что последний этап решения задачи полнее формализован, кроме этого отсутствует специализированная программная поддержка решения таких задач. В связи с этим решение динамических задач предоставляет менеджеру большую свободу индивидуального творчества, предусматривает наличие навыков практической работы, в том числе и навыков программирования на ЭВМ. 6. Процедура решения многокритериальной задачи разбивается на два этапа: собственно оптимизацию по каждому из критериев в соответствии с одним из ранее рассмотренных методов и выбор схемы компромисса между локальными критериями. Последний этап решения задачи наименее формализован и требует наибольших творческих усилий менеджера. 7. Подавляющее большинство решений, принимаемых к реализации менеджером, относится к категории рациональных. Качество разработки подобных решений, в первую очередь, определяется качеством разработки альтернатив, методам разработки которых следует уделять наибольшее внимание. 8. Последовательность разработки рационального управленческого решения совпадает с последовательностью действий менеджера при разработке оптимальных решений. Принципиальным отличием процедуры разработки рационального решения от оптимального является ручная или, в лучшем случае, автоматизированная разработка альтернатив. Остальные действия менеджера, связанные с принятием проблемы, определением целей, разработкой критериев и сравнением альтернатив выполняются аналогично.

111