Семинарские занятия и лабораторные работы по методике преподавания математики

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет

Семинарские занятия и лабораторные работы по методике преподавания математики.

Екатеринбург 2003

Автор: Липатникова И.Г.

Рецензенты: Ю.Б. Мельников кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедры методики преподавания математики Уральского государственного педагогического университета. И.Н. Семѐнова кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания математики Уральского государственного педагогического университета.

В пособии представлена разработка семинарских занятий и лабораторных работ по методике преподавания математики. Кроме того в нѐм содержатся методические советы по подготовке студентов к лабораторным и семинарским занятиям. Пособие направлено на формирование творческого подхода будущего учителя математики к организации учебно-познавательной деятельности учащихся. Оно предназначено для студентов педагогических вузов, а также для учителей математики.

Семинарские занятия и лабораторные работы по методики преподавания математики. / И.Г. Липатникова. Екатеринбург, 2003. с.

©Липатникова И.Г.

Предисловие. Важной проблемой, стоящей перед педагогическими вузами, является профессиональная подготовка студентов - будущих учителей. При этом, надо отметить, что на сегодняшний день, данная проблема рассматривается более остро. Это связано, в первую очередь, со сменой общеобразовательной парадигмы, фиксирующей переход от массово-репродуктивных форм и методов преподавания к индивидуально - творческим; во-вторых, с рыночными отношениями, требующими компетентных специалистов с прочно сформированными потребностями в постоянном профессиональном самообразовании и саморазвитии. Другими словами говоря, современный учитель средней школы должен отличаться общей культурой, иметь глубокие психолого-педагогические знания, обладать высоким уровнем профессиональной компетенции в своей предметной области, владеть современными общеобразовательными технологиями, являться творческой развивающейся личностью. Учитывая то, что ведущими факторами саморазвития личности в условиях педагогического вуза выступают: содержание образования, сам процесс организации образования, мы предлагаем пересмотр выше названных компонентов системы с учѐтом новых требований к современному образованию. Данное пособие имеет своей целью повышения уровня методической подготовки студентов - будущих учителей математики на семинарских и лабораторных занятиях. Именно эти формы организации позволяют студенту, проверить, уточнить, систематизировать знания по изучаемой методической проблеме, укрепить интерес к методике как науке и исследованиям в еѐ области, связать теоретические положения с практической деятельностью. В пособии представлен достаточно обширный практический и теоретический материал по ключевым вопросам общей методики.Важно отметить,что предлагаемый материал опирается на современные подходы к изучению методики преподавания математики. Кроме того, в пособии приведены соотвествующие примеры из школьного курса математики, а также задания для самостоятельного выполнения студентами на семинарских и лабораторных занятиях; к каждому занятию прилагается список учебно-методической литературы.

3 курс (общая методика) Семинарское занятие № 1 Тема: Проблема гуманитарной ориентации обучения математике. Цель: 1. Формировать способность студентов самостоятельно осуществлять анализ методической литература с точки зрения еѐ значимости и эффективности. 2. Развивать исследовательские способности будущего педагога путѐм активного включения в образовательный процесс. Литература: Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Л.Г. Петерсон. «Математика для каждого»: концепция и программа гуманитарного непрерывного курса математики в основной школе (1-9 классы)// «Школа 2000…» концепция и программы непрерывных курсов для общеобразовательной школы. Выпуск 1. Москва: «Баллас» - «С-ИНФО», 1997. С. 127 – 136. Задания для размышления и контроля: 1. Объясните, как вы понимаете термин «гуманитарная ориентация обучения математике». 2 . Какой приоритетный принцип составляет основу концепции школьного образования в аспекте «математика для каждого» и почему? 3. Прокомментируйте общие цели математического образования с точки зрения гуманитарной ориентации обучения. В каких из перечисленных позиций, на ваш взгляд, прослеживается идея новаторства в образовании? 4. В чѐм суть термина «уровневая дифференциация»? Какую функцию выполняет уровневая дифференциация в разработке содержания обучения математике? 5. В чѐм основная идея принципа «разумного консерватизма»? 6. Согласны ли вы с тезисом о том, что гуманитарная ориентация обучения позволяет глубже раскрыть проблему межпредметных связей. Докажите сказанное примерами. 7. В чѐм проявляется влияние гуманитарного курса математики на федеральный общеобразовательный стандарт?

Семинарское занятие № 2 Тема: Периоды развития МПМ в России. Цель: 1.Расширть представления студентов о МПМ как науке с точке зрения еѐ исторического развития. 2.Создать условия для развития личности каждого студента, их самореализации. . Литература: Черкасов Р.С. История отечественного школьного математического образования // Математика в школе. 1997 № 2. С. 83-91; № 3 С. 8-96; № 4 С 88-92. Задания для размышления и контроля: I. 1. Обоснуйте значимость периода (конца XVIII – XIX) для развития методики преподавания математики как науки. 2. Охарактеризуйте методические идеи С.Е. Гурьева – первого отечественного методиста. 3. Проанализируйте методическое наследие С.Е. Гурьева в области геометрии и арифметики. 4. Раскройте положительные и отрицательные стороны в наследии С.Е. Гурьева. 5. Что интересного для себя вы узнали о старинном учебнике по арифметике и его авторе? II. 1. Охарактеризуйте первые научные исследования в области методики преподавания математики (1800-1860): 1).Выявите особенности содержания учебников по математике авторов Н. Фуссо и С. Румовского. 2).Укажите главную ориентацию методических руководств по математике в этот период. 3).Назовите фамилии великих математиков и их методические книги по математике, обосновывая, при этом, их личный вклад в развитие МПМ как науки. 4).Прокомментируйте, в чѐм, по вашему мнению, заслуга академика Остроградского? 2.Обоснуйте, почему следующий пункт статьи назван «Широкое обсуждение проблем методики преподавания математики» (1860-1900). Как вы думаете,

почему в тот период назрела необходимость широкого обсуждения проблем методики преподавания математики? 3.Обозначьте основные проблемы, которые обсуждались на первом Всероссийском съезде преподавателей математики. Как, по вашему мнению, являются ли эти проблемы актуальными в современной школе? Если да, то по возможности докажите. 4.Прокомментируйте цитату: «только к началу 30-х г.г. стало ясно, что «новая школа» не даѐт учащимся необходимых общеобразовательных знаний, особенно по такому предмету, как математика». 5.Докажите мысль о прогрессивности взглядов и идей А.Я. Хинчина. Выясните для себя, какой вклад внѐс А.Я. Хинчин в развитие методики преподавания математики. 6.Охарактеризуйте основные задачи реформы школьного математического образования и укажите причины неожиданной еѐ приостановки (1965-1984).

Семинарское занятие № 3 Тема: Методы обучения. Цель: 1. Сформировать представление у студентов о методах обучения, их функциях, классификациях. 2. Развивать у студентов умения выбирать методы обучения в зависимости от решаемых педагогических задач. Литература: 1. Махмутов М.И., Современный урок. М., 1996 2. Н.В. Метельский. Пути совершенствования обучения математике (Проблемы современной методики математики). Минск 1989. С. 119 – 150 3. Теория и методика обучения математике (вопросы организации деятельности учителя). Учебное пособие. Екатеринбург, 2002. С. 16-17. Задания для размышления и контроля: 1. Проследить, взяв за основу пособие Н.В. Метельского «Пути …» (стр. 119-150), историческое развитие методов обучения. Обосновать зависимость методов обучения от социальных условий и целей образования. 2. Прокомментировать различные подходы к вопросу проблемного обучения (А.М. Матюшкин, М.Н. Скаткин, М.И. Махмутов Н.Я. Лернер и др.)

3. Рассмотреть различные классифкации методов обучения, предложенные в пособии Н.В. Метельского «Пути …» (стр. 143-150), определить основу этих классификаций. 4. Подробно рассмотреть классификации методов обучения (по характеру деятельности и по характеру источника знаний), продемонстрировать данные методы на теме «Квадратные уравнения». Семинарское занятие № 4 Тема: Принципы обучения. Анализ различных классификаций с точки зрения выделения иерархии значимости принципов для достижения целей обучения». Цель: 1. Сформировать представление у студентов о принципах обучения, их функциях, классификациях. 2. Развивать у студентов умения ориентироваться в принципах обучения в зависимости от главных целей образования. Литература: 1. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика. М., 1975. 276 с. 2. Н.В. Метельский. Дидактика математики. Минск, 1982. 256 с. 3. Волович М.Б. Наука обучать. М., 1996. С. 206-234. 4. Метельский Н.Б. Психолого-педагогические основы дидактики математики, Минск, 1977. 158 с. Задания для размышления и контроля: 1. Используя методику преподавания математики в средней школе (общая методика) авторов Ю.М. Колягина, В.А. Оганесяна, сопоставить цели образования с принципами, предложенными в пособии. Охарактеризовать каждый принцип в отдельности. Выяснить интегративные характеристики системы описанных в пособии Ю.М. Колягина принципов обучения (гармоничность, целесообразность, эффективность, открытость для нового содержания и новых технологий, специфичность). 2. Прокомментируйте, что, на ваш взгляд, в системе принципов обучения, предложенных Н.В. Метельским, является инновационным по сравнению с предыдущей системой принципов, рассмотренных в пособии Ю.М. Колягина.

3. В чѐм проявляется «покушение на принципы дидактики» в книги М.Б. Воловича. «Наука обучать». Проанализируйте его точку зрения по поводу следующих принципов: 1.принцип научности 2.принцип сознательного усвоения 3.принцип активности 4. принцип наглядности 5. принцип прочности знаний 6. принцип индивидуального подхода в обучении. В связи, с чем у автора возникла иная точка зрения по содержанию существующих принципов обучения? Докажите сказанное текстом книги (стр. 206234). Семинарское занятие № 5 Тема: Математические способности. Одарѐнность. Цель: 1. Сформировать способность у студентов самостоятельно ориентироваться в понятиях «способность», «одарѐнность». 2. Раскрыть для студентов особенности развивающей дифференцированной программы «одарѐнный ребѐнок», разработанной старшим научным сотрудником РАО, кандидатом психологических наук Н.Б. Шумаковой. Литература: 1. Моделирование уроков пропедевтического курса математики в рамках реализации программы «Одарѐнный ребѐнок». Методические рекомендации, дидактические материалы, примеры поурочных разработок/ Науч. Ред. И.Н. Семѐнова. Екатеринбург: никум, 2002, 68 с. 2. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение. – 1968, 432 с. Задания для размышления и контроля: 1. Проанализируйте различные трактовки понятия «одарѐнность». Сравните определение одарѐнности, данное В.А, Крутецким с остальными, оцените преимущества и недостатки (см. книгу «Психология…». Стр. 93-94). 2. Обоснуйте необходимость создания программы «Одарѐнный ребѐнок» (см. пособие «Моделирование…»). 3. Охарактеризуйте основные положения и требования к программе «Одарѐнный ребѐнок» (основные задачи, содержание, принципы моделирования).

4. Обозначьте основные учебные цели темы «Задача». Проследите каждую из них в структуре уроков (описанных в работе «Моделирование …») по данной теме. 5. Реализация междисциплинарной темы «Преемственность» в структуре уроков по теме «Задача». 6. Проанализируйте различия в уровнях заданий на стр. 26-27 «Моделирование…». Семинарское занятие №6 Тема: Различные подходы к организации учебной деятельности учащихся. Цель: 1. Раскрыть для студентов особенности организации учебной деятельности учащихся на уроках математики с точки зрения различных подходов. 2. Развивать умения студентов сравнивать , анализировать и выбирать разные подходы к организации учебно-познавательной деятельности. Литература: 1. Есинова О.Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике. М. Просвещение, 1990. – с.4 – 7. 2. Гпнеев Х.Ж. Информационно-развивающий метод обучения математике // Проблемы реализации творческого потенциала личности в процессе обучения математике. Екатеринбург. 2000 – с.4-14. 3. Иванова Т.А. Учено-исследовательская деятельность как компонент гуманитарно-ориентированного содержания математического образования// Проблемы реализации творческого потенциала личности в процессе обучения математике. Екатеринбург, 2000 – с.15 – 27. 4. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. М. , 1998 – с. 23 Задания для размышления и контроля: 1. Как вы думаете, почему на сегодняшний день, идея развивающего обучения стала наиболее актуальной. Обоснуйте эту мысль, опираясь на главные цели образования. Попробуйте сформулировать отличительные особенности развивающего обучения? 2. Как соотносятся цели образования и современные принципы обучения. Прокомментируйте это соотношение. Какую роль выполняют принципы обучения в учебно-познавательном процессе?

3. какой из изученных методов обучения в современной школе должен стать ведущим? 4. Опираясь на лекцию по "Методам научного познания", объясните, как соотносятся между собой знания и усвоение. Выдвиньте гипотезу: каким образом на сегодняшний день должна быть организована учебная деятельность учащихся. 5. С помощью пособия (Есиновой О.Б., Крупича В.И. "Учить …") раскройте: понятия деятельности, взаимосвязь предметна деятельности с потребностью в деятельности, целью деятельности и результатом. 6. Как в данном пособии рассматривается понятие учебной деятельности. Сравните еѐ с учебно-познавательной деятельностью. 7. Опираясь на это пособие, раскройте основные положения деятельностного подхода к обучению. 8. Охарактеризуйте различные подходы к организации учебной деятельности. 1. Теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. (Селевко Г.К. "Современные …") 2. Процесс познания в математике Т.А. Ивановой. 3. Информационно-развивающий метод обучения математике 9Х.Ж. Ганеев). Семинарское занятие №7. Тема: Проблема оценки качества результатов обучения и контроля. Цель: 1. Раскрыть для студентов особенности контроля и оценки знаний, умений в процессе обучения математике. 2. Формировать способность у студентов грамотно осуществлять контроль и оценку знаний, умений учащихся в процессе обучения школьников математике. Литература:1.Амоношвили Ш.А. Обучение. Оценка. Отметки. М.:Знание,1980.270 с. 2. Кальней В.А., Шишов С.Е. Технология мониторинга качества обучения в системе «учитель-ученик». Методическое пособие для учителя. М.: Педагогическое общество России,1999.86 с. 3.Ксензова Г.Ю. Оценочная деятельность учителя. М.,1999.176с. 4.Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. Пособие для студентов физ. - мат. спец. пед. ин-

тов/Е.И.Лященко, К.В.Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др.; Под ред. Е.И.ЛященкоМ.: Просвещение,1988.223с. 5.Петерсон Л.Г., Кубышева М.А., Петерсон В.А. Средства комплексного мониторинга результатов обучения, реализующего современные образовательные цели. М.: УМЦ «Школа 2000…»,2001.80 с. 6.Единый государственный экзамен 2003года// Математика в школе.2003.№3.С.59-66. Задания для размышления и контроля: 1.В чѐм различие понятий ―оценка‖ и ―отметка‖? 2.Подберите аргументы в пользу и против перехода на ―безотметочное‖ обучение в начальной школе. Возможно ли такое обучение в средних и старших классах? 3.Вправе ли педагог завышать или занижать отметки отдельным ученикам? 4.Предложите способы и подходы, повышающие объективность оценки уровня обученности? 5.Можно ли четвертную отметку выводить как среднеарифметическое текущего учѐта обученности? 6.Что необходимо учесть в итоговой оценке успеваемости помимо уровня знаний, умений и навыков? Как это осуществить? 7.Оцените возможности тестовой оценки результатов обучения. 8.Придумайте серию предписаний для учащихся с целью обучения их приѐмам самоконтроля. 9.Составьте вопросы для устной проверки выполнененного домашнего задания учащимися (выберите тему самостоятельно). При составлении вопросника предусмотрите проверку знаний с точки зрения глубины, прочности и сознательности усвоения. 10.Придумайте тестовые задания по теме: «Рациональные числа» (6 класс).

Семинарское занятие №8. Тема: Индивидуализация и дифференциация в процессе обучения математике. Цель: 1. Обобщать и систематизировать знания студентов об индивидуализации и дифференциации в процессе обучения математике.

2. Сформировать способность у студентов самостоятельно организовывать индивидуальный подход в процессе работы в разноуровневом классе, в классе с углублѐнным изучением математики. 3. Развивать у студентов профессиональную компетентность. Литература: 1.ДорофеевГ.В., Шарыгин И.Ф. Математика 6класс. М.,2002. 2.ДорофеевГ.В., Суворова С.Б Дидактические материалы 6 класс. М.,2002. 3.Атанасян Л.С. Геометрия 7-9.М.,2000. 4.Зив Б.Г.,Мейлер В.М.Дидактические материалы по геометрии 7класс. М.,2000. 5.ОкуневА. А.Углублѐнное изучение геометрии в 8 классе. М .,1996. 6.Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика5-11классы.М.,2000. Задания для размышления и контроля: 1. Обоснуйте необходимость использования дифференцированных домашних заданий в разноуровневом классе. Придумайте примеры дифференцированных домашних заданий к теме: «Третий признак равенства треугольников» (Атанасян Л.С.Геометрия 7-9.М.,2000. С.38) и помощью них докажите свои предположения. 2. Раскройте особенности работы в классе с углублѐнным изучением математики. Взяв за основу книгу ОкуневаА.А. Углублѐнное изучение геометрии в 8 классе, составьте самостоятельную работу по теме: «Вписанные и описанные окружности» и сравните еѐ с самостоятельной работой, предложенной в дидактических материалах по геометрии 8 класс. ЗивБ.Г.,МейлерВ.М. Выделите особенности, составленной вами самостоятельной работы. 3. Составьте разноуровневую контрольную работу по теме «Деление десятичных дробей»,при этом, используя учебник ДорофееваГ.В., Шарыгина И.Ф. Математика 6 класс. 4. Попробуйте представить, что вами дано задание трѐм группам учащихся найти свой оригинальный способ решения задачи. Каким образом вы будете контролировать деятельность каждой группы? Как будете оценивать результаты работы каждой группы, каждого члена группы? Разработайте

конкретную проблемную ситуацию и варианты заданий группам учащихся. Охарактеризуйте возможные приѐмы проверки групповой работы. 5. Прокомментируйте методику проверки индивидуальных заданий, выполняемых во время опроса. На что учителю следует обратить особое внимание? В каких случаях необходимо требовать внимания всех учащихся к выполняемому заданию, а в каких - нет? Лабораторная работа № 1. Тема: Преемственность в обучении математике. Цель: 1. Уточнить и расширить представления студентов о преемственности обучения между начальной и средней школой. 2.Развить у студентов умения осуществлять преемственные связи между начальной и средней школой по действующим учебникам (Л.Г. Петерсон Математика 1-4 и Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон Математика 5-6; М.И. Моро Математика 1-4 и Н.Я. Виленкин Математика 5-6). Литература: 1. Л.Г. Петерсон Математика 1-4. М.: Ювента - Просвещение, 2002 2. М.И, Моро. Математика 1-4. М.: Просвещение, 2002. 3. Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Математика 5-6. М.: Баллас - Инфо, 2002 4. Н.Я. Виленкин. Математика 5-6. М.: Просвещение, 2000. Основное содержание работы: Существуют два блока преемственных связей в обучении: содержательный и процессуальный. Содержательный: 1. Единообразие в трактовке понятий, в терминологии, в используемом языке; 2. Постепенное повышение уровня абстракции при развитии понятий; 3. Системность в изучении понятий; 4. Использование на каждом последующем этапе предметных знаний, умений и навыков, полученных учащимися на предыдущем этапе, то есть актуализация опорных результатов обучения; 5. Перспективный характер обучения, то есть возможность на каждом предыдущем этапе закладывать основы обучения предмету в дальнейшем и таким образом ориентировать на требования будущего. Процессуальный: 1. Учѐт ведущего типа деятельности в каждом классе;

2. Взаимосвязь в методах, формах и средствах обучения, то есть применения в начальных классах форм и средств, используемых при обучении в 5-6 классах и учѐт в 5-6 классах тех форм, методов и средств, которые использовались в начальных. Функции принципа преемственности (процессуальный аспект): 1. Обеспечение единства, взаимосвязи и взаимообусловленности структурных элементов преемственности в обучении (преемственности в содержании обучения; преемственности в методах и формах обучения; преемственности в средствах обучения; преемственности в контроле и оценке достижений учащихся; 2. Обеспечение взаимосвязи принципа преемственности процессуального аспекта с другими принципами, специфичными для средних классов; 3. Рациональный выбор методов, форм, средств обучения, способов оценки и контроля деятельности учащихся, учѐт оптимальных взаимосвязей между ними; 4. Обеспечение системности обобщѐнных знаний обучаемых. Но эти функции не выполняются, так как: 1). Многие учителя начальных классов не знакомы со спецификой обучения в 5-6 классах, а учителя математики - с особенностями обучения учащихся в начальных классах; 2). Отсутствие конкретных материалов изложения общей теории в подготовке учителей начального и среднего звеньев школы. Условия реализации принципа преемственности: 1. Педагогическая конкретизация цели и задач обучения предмету в целом и на разных ступенях с учѐтом целей общего образования и реальных условий обучения; 2. Чѐткий отбор содержания, выделения объѐма, определения последовательности его изложения, соответствие содержания целям и функциям, которые оно призвано выполнять в процессе обучения; 3. Реализация непрерывного повторения; 4. Регулирующее воздействие программных требований к результатам обучения (на основе тщательной стыковки и достижения полной согласованности требования к математической подготовке учащихся на выходе из начальной школы, совершенствования структуры и содержания требований); 5. Конструирование модели обучения с учѐтом возрастных особенностей и познавательных возможностей детей;

6. Осуществление непрерывного образования; 7. Перенос центра тяжести с усвоения отдельных фактов на усвоение общих знаний; 8. Осуществление опережающего обучения; 9. Общение учащихся и учителя на основе общего целеполагания и совместно распределѐнной деятельности; 10. Преемственность методов, форм и средств обучения. (см. далее таблицу)

Таблица №1. Линия Числовая

Содержательный блок преемственных связей на примере ников Л.Г.Петерсон.

Дошкольное Взаимосвязь часть-целое, представление о сложении и вычитании. Распознавание чисел от 1 до 10. Сравнение: составление пар, смежные числа. Кодирование: большой - малый, форма, цвет. Символы. Числовые выражения.

Начальная школа Натуральные числа и действия с ними. 12 разрядов. Представление о дробях. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

5-6 класс Рациональные числа. Вложения: N?Z?Q. Использование чисел для измерения.

7-9 класс Действительные числа. N?Z?Q?R

Числовые и буквенные (арифметические и алгебраические) выражения. Уравнения.

Преобразования числовых и буквенных

Алгебра

Функциональная

Представление об изменении величин (сериация). Наблюдение за измерением величин.

Величины и их измерение. Переменная величина. Понятие о представлении зависимости между величинами в виде формул и таблиц. Графики движения.

Функция

Геометрическая

Представление о простейших геометрических фигурах.

Расширение представлений о простейших геометрических фигурах.

Анализ данных

Работа с простейшими таблицами.

Моделирование

Составление выражений к рисунку.

Система работы с таблицей. Введение задач на перебор вариантов (логика перебора, правила перебора). Дерево возможностей. Решение текстовых задач. Знак процента.

Частные виды зависимости: прямая и обратная пропорциональность. Представление зависимости между величинами в виде формул и таблиц. Целесообразность обобщающего способа изучения зависимости. Исследование свойств геометрических фигур. Проблема доказательства свойств. Представление о логическом строении геометрии. Решение задач на перебор вариантов. Работа с таблицами, диаграммами, графиками. Представление о математических моделях.

Язык и логика

Поиск закономерности

Представление о методе математического моделирования Множества и операции над ними.

Алгебраическая

Верно - неверно, всегда - иногда. Высказывание. Понятие о множестве.

m ? выражений. Уравнения. n

Элементы логики. Общие высказывания. Высказывания о существовании… равносильность.

Геометрия

Комбинаторика, вероятность, статистика.

Задания для размышления и контроля. 1. Осуществить анализ предлагаемых учебников. 2.Учитывая особенности содержательного блока преемственных связей, самостоятельно заполнить рекомендуемую таблицу по рассматриваемым учебникам и сделать соответствующие выводы по реализации преемственных связей.

Лабораторная работа№2. Тема: Дидактическая игра как средство организации учебного процесса. Цель: 1.Уточнять и расширять представления студентов о дидактической игре как средстве организации учебно-познавательной деятельности на уроках математики. 2.Формировать способность у студентов самостоятельно составлять и проводить дидактическую игру на уроках математики с учѐтом психолого-педагогических особенностей обучаемых. Литература: 1.БлиноваТ.Л.

Дидактические

игры

в

процессе

обучения

математи-

ке.Екатеринбург,2000. 2.Актуальные вопросы внеурочной работы по математике в средней школе: Учеб.- метод. Пособие/Под редакцией И.Н.Семѐновой. Урал. гос. пед.ун-т. Екатеринбург,1999. 3.Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. 4.Ковалѐва Т.М. Игра и учебная деятельность//Математика в школе № 6, 1988. 5.Никифорова М. Дидактические игры.// «Математика», приложение к «1сентября» № 28 ,1996. 6.Фомичѐва В. М. Дидактические игры на уроках алгебры, 7-8 классы.// «Математика»; приложение к «1 сентября», №18, 1998 Основное содержание работы. Дидактические игры можно широко использовать как средство обучения, воспитания и развития. Основное обучающее воздействие принадлежит дидактическому материалу, игровым действиям, которые как бы автоматически ведут учебный процесс, направляя активность детей в определѐнное русло.

Дидактическая игра создаѐтся на уроках при помощи игровых приѐмов и ситуаций, которые выступают как средство побуждения, стимулирования учащихся к математической деятельности. Реализация игровых приѐмов и ситуаций на уроке происходит по следующим основным направлениям: дидактическая цель ставится перед учащимися в форме игровой задачи; учебная деятельность учащихся подчиняется правилам игры; учебный материал используется в качестве средства игры; в учебную деятельность вводится элемент соревнования, который переводит дидактическую задачу в игровую; успешность выполнения дидактического задания связывается с игровым результатом. Стуктура дидактической игры. Дидактическая игра имеет свою устойчивую структуру, которая отличает еѐ от всякой другой деятельности. Основными структурными компонентами дидактической игры являются: игровой замысел, правила, игровые действия, познавательное содержание или дидактические задачи, оборудование, результат игры. В отличие от игр вообще дидактические игры обладают существенным признаком – наличием чѐтко поставленной цели обучения и соответствующего ей педагогического результата, которые могут быть обоснованы, выделены в явном виде и характеризуются учебно-познавательной направленностью. Остановимся более подробно на структурных компонентах дидактической игры. Игровой замысел – первый структурный компонент игры – выражен, как правило, в названии игры. Он заложен в той дидактической задаче, которую надо решать в учебном процессе. Игровой замысел часто выступает в виде вопроса, как бы проектирующего ход игры или в виде загадки. В любом случае он

придаѐт игре познавательный характер, предъявляет к участникам игры определѐнные требования в отношении знаний. Каждая дидактическая игра имеет правила, которые определяют порядок действий и поведение учащихся в процессе игры, способствуют созданию на уроке рабочей обстановки. Поэтому правила дидактических игр должны разрабатываться с учѐтом цели урока и индивидуальных возможностей учащихся. Этим создаются условия для проявления самостоятельности, настойчивости, мыслительной активности, для возможности проявления у каждого ученика чувства удовлетворѐнности, успеха. Кроме того, правила игры воспитывают умение управлять своим поведением, подчиняться требованиям коллектива. Существенной стороной дидактической игры являются игровые действия, которые регламентируются правилами игры, способствуют познавательной активности учащихся, дают им возможность проявить свои способности, применить имеющиеся знания, умения и навыки для достижения целей игры. Основой дидактической игры, которая пронизывает собой еѐ структурные элементы, является своѐ познавательное содержание, которое заключается в усвоении тех знаний и умений, которые применяются при решении учебной проблемы, поставленной игрой. Оборудование дидактической игры в значительной мере включает в себя оборудование урока. Дидактическая игра имеет определѐнный результат, который является финалом игры, придаѐт игре законченность. Он выступает, прежде всего, в форме решения поставленной учебной задачи и даѐт школьникам моральное и умственное удовлетворение. Для учителя результат игры всегда является показателем уровня достижений учащихся или в усвоении знаний, или в их применении. Все структурные элементы дидактической игры взаимосвязаны между собой, и отсутствие основных из них разрушает игру. Без игрового замысла и иг-

ровых действий, без организующих игру правил, дидактическая игра или невозможна, или теряет свою специфическую форму, превращается в выполнение указаний, упражнений. Поэтому при подготовке к уроку, содержащему дидактическую игру, необходимо составить краткую характеристику хода игры (сценарий), указать временные рамки игры, учесть уровень знаний и возрастные особенности учащихся, реализовать межпредметные и внутрипредметные связи. Ценность дидактических игр заключается в том, что в процессе игры дети в значительной мере самостоятельно приобретают новые знания, активно помогают друг другу в этом. При проведении дидактических игр забавность и обучение надо сочетать так, чтобы они не мешали, а, наоборот, помогали друг другу. Средства и способы, повышающие эмоциональное отношение детей к игре, следует рассматривать не как самоцель, а как путь, ведущий к выполнению дидактических задач. Математическая сторона содержания игры всегда должна отчѐтливо выдвигаться на первый план. Только тогда игра будет выполнять свою роль в математическом развитии детей и воспитании интереса их к математике. Функции дидактической игры:  Мотивационно - побудительная (мотивирует и стимулирует учебную и познавательную деятельность учащихся);  Обучающая (способствует приобретению знаний, а также формированию и развитию умений и навыков);  Развивающая (развивает мыслительные операции и творческие способности учащихся);  Контролирующая (осуществляет диагностику уровня знаний учащихся);

 Воспитательная (оказывает воздействие на личность обучаемого, расширяя его кругозор и развивая его мышление, творческую активность и т.д.),  Ориентирующая (учит ориентироваться в конкретной ситуации и отбирать необходимые средства для решения той или иной учебной задачи);  Компенсаторная (компенсирует отсутствие или недостаток практики, приближает учебную деятельность к реальным ситуациям жизни. Требования к организации дидактических игр При организации дидактических игр необходимо придерживаться следующих положений:  Правила игры должны быть простыми, точно сформулированными, а математическое содержание материала доступно пониманию школьников. В противном случае игра не вызовет интереса и будет проводиться формально.  Игра должна давать достаточно пищи для мыслительной деятельности, в противном случае она не будет содействовать выполнению педагогических целей, не будет развивать математическую зоркость и внимание.  Дидактический материал, используемый во время игры, должен быть удобен в использовании, иначе игра не даст должного эффекта.  При проведении игры, связанной с соревнованиями команд, должен быть обеспечен контроль за еѐ результатами со стороны всего коллектива учеников или выбранных ими лиц.  Каждый ученик должен быть активным участником игры. Длительное ожидание своей очереди для включения в игру снижает интерес детей к игре.

 Если на уроке проводится несколько игр, то лѐгкие и более трудные по математическому содержанию должны чередоваться.  Если на нескольких уроках проводятся игры, связанные со сходными мыслительными действиями, то по содержанию математического материала они должны удовлетворять принципу: от простого к сложному, от конкретного к абстрактному.  Игровой характер при проведении уроков по математике должен иметь определѐнную меру. Превышение этой меры может привести к тому, что дети во всѐм будут видеть только игру.  В процессе игры учащиеся должны математически грамотно проводить свои рассуждения, речь их должна быть правильной, чѐткой, краткой.  Игру нужно закончить на данном уроке, получить результат. Только в этом случае она сыграет положительную роль. Многие дидактические игры как будто не вносят ничего нового в знания школьников, но они приносят большую пользу тем, что учат учащихся применять знания в новых условиях или ставят умственную задачу, решение которой требует проявления разнообразных форм умственной деятельности. Дидактическая игра является средством умственного развития, так как в процессе игры активизируются разнообразные умственные процессы. Чтобы понять замысел, усвоить игровые действия и правила, нужно активно выслушать и осмыслить объяснения учителя. Решение задач, поставленных играми, требуют сосредоточенного внимания, активной мыслительной деятельности, выполнения сравнения и обобщения. Рассмотри пример дидактической игры(8 класс). Название: Клуб математиков. Цель: 1. Сформировать представление учащихся о тереме Виета, как новом способе нахождения корней квадратного уравнения.

2.Формировать способность у учащихся самостоятельно использовать данную теорему в процессе решения квадратных уравнений. 3.Развивать мыслительные операции, смекалку. Форма: групповая(2 команды). Характеристические особенности игры: в качестве экспертов можно привлечь учащихся старших классов. Тема: «Квадратные уравнения ». Оформление: На доске написана тема « Квадратные уравнения ». Эпиграф: «Если хочешь быть умѐн - состязайся!» Ход игры. 1. Вступительное слово учителя, приветствие команд. 2. Конкурсы: 1.Разминка. 2.Конкурс теоретиков. 3.Проверка д/з. 4.Вопрос учителя. 5.Конкурс на лучшего вычислителя. 6.Конкурс капитанов. 7.Блиц - турнир. 8. Подведение итогов игры. I.

Вступительное слово учителя.

II.

Конкурсы. Разминка.

Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл. Вопросы командам задаются поочерѐдно. 1-ая команда.

2-ая команда.

Вычислите. 1.√100*0,49*0,09;

1. √16/9*а4;

2. √81/196*4;

2. √0,64*х2;

3. √-144*b6.

3. √-196*с2. 2. Конкурс теоретиков.

Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл. 1-ая команда. 1. Дайте определение квадратного уравнения. 2. В чѐм заключается графический способ решения квадратного

2-ая команда. 1. Перечислите виды неполных квадратных уравнений. 2. Запишите формулу квадратного уравнения.

уравнения? 3.В каком случае уравнение не имеет корней?

3. В каком случае уравнение имеет два корня?

Всем участникам каждой команды раздаются листочки, на которых следует ответить на поставленные вопросы. Команда набирает столько баллов, сколько человек правильно выполнят задание.

3.Проверка д/з. Учащимся дома надо было заполнить таблицу. Проверяют они правильность выполнения задания самостоятельно, используя, при этом, образец, который находится на обратной стороне доски. За каждое верное выполненное домашнее задание даѐтся 1 очко.

Уравнения

Корни уравнения

х1+х2

х1*х2

х1

х2

х2-2х-4=0

1+√5

1-√5

2

-4

х2-12х+30=0

-6+√6

-6-√6

-12

30

3/4

1/2

5/4

3/8

х2-1/3х-2/3=0

1

-2/3

1/3

-2/3

х2+х-30=0

5

-6

-1

-30

х2-15/7х+2/7=0

2

1/7

15/7

2/7

х2-5/4*х+3/8=0

- Что особенного заметили в таблице? - Какой вывод можно сделать? Выводится теорема Виета. - Если у нас известны корни уравнения, можем ли мы составить самостоятельно уравнение? - Рассмотрим пример подтверждающий данное высказывание. Пусть х1=-3, х2=4 – корни уравнения. Составьте уравнение. /х2-х-12=0/ 4.Вопросы учителя. (Записаны на обратной стороне доски) 1 команда

2 команда

1)Составьте квадратное уравнение,

1) Составьте квадратное уравнение,

если его корнями являются числа:

если его корнями являются числа:

х1=1+√2; х2=1-√2

х1=√3/3; х2= -√3/3

2) Составьте квадратное уравнение,

2) Составьте квадратное уравнение,

если его решение изображено на

ли его решение изображено

графике:

на графике:

3)Дано уравнение 3)Дано уравнение 2х2+bx-10=0, x1=5 Найдите коэффициент b и х2.

3х2+bx+24=0, x1=4 Найдите коэффициент b и х2.

5.Конкурс на лучшего вычислителя (попутно проводится конкурс капитанов). Задание записано на доске. Время выполнения – 2 мин., затем листочки с решением собирают. За правильно решѐнный до конца пример каждый ученик получает 3 балла. Найдите значение выражения: ( √( 50\2 + √16 + 10 * 2)2 + √ ( 162/2 + √16 – 62)2) * 2\196 . 6.Конкурс капитанов. Каждому капитану даѐтся один и тот же пример, записанный на карточке. Правильный ответ оценивается в 5 баллов. Решите уравнение: х2-5√2*х + 12= 0 7.Блиц-турнир. Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл. Каждой команде задаѐтся по 10 вопросов. В этом конкурсе побеждает команда, которая даст больше правильных ответов.

1-я команда.

2-я команда.

1.Решите уравнение:

1.Решите уравнение:

25х2 = 4

9х2= 1

2.Найдите сумму корней уравнения:

2.Найдите сумму корней уравнения:

15х2+13х – 6 = 0

12х2- 7х – 1 = 0

3.Дано уравнение:

3.Дано уравнение:

х2 +вх+6=0 , х1=0,5

3х2+mx-1=0, х1=1

Найдите х2.

Найдите х2.

4.Составьте квадратное уравнение,

4.Составьте квадратное уравнение,

если его корни: х1=-3,х2=2.

если его корни: х1=-5,х2=-1.

5.По графику укажите корни

5.По графику укажите корни

квадратного уравнения:

квадратного уравнения:

6.Разложите на множители х2-5.

6.Разложите на множители 4m2-7.

7.Решите уравнение 4х2-9=0.

7.Решите уравнение х2+1=0.

8.Является ли корнем уравнения

8.Является ли корнем уравнения

(х-2)(х+3)=0 число 2?

(х-1)(х+6)=0 число 1/2?

9.Имеет ли корни уравнение

9.Имеет ли корни уравнение

7х2+10=0?

2х2-1=0?

10.Сколько корней имеет уравнение

10.Сколько корней имеет уравнение

3х2-7х=0?

2х2-1=0?

III.Подведение итогов игры. Учитель выявляет команду – победителя (по количеству набранных баллов),ему помогают старшеклассники, выполняющие роль экспертов. Самостоятельное задание для студентов. Составить дидактическую игру по любой теме школьного курса математики. Лабораторная работа № 3. Тема: Урок математики. Требования к уроку. Цель: 1. Ознакомится с требованиями к современному уроку математики, обобщить сведения об основных типах уроков; 2. Выявить основные требования к конспекту урока; 4. Ознакомиться с образцами конспектов уроков. Литература: 1. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе. М.: Просвещение,2002.С.176-223. 2. Махмутов М.И. Современный урок: Вопросы теории.М.:Педагогика,1981.256 с. 3. Окунев А.А. Подготовка к уроку // Математика в школе.1991.№1С.12. 4. Пидкасистый П.И. Педагогика.М.,1998.639 с. 5. Конаржевский Ю.А. Анализ урока.М.,2000.336с. Основное содержание работы. Несмотря на происходящие в современной школе процессы обновления, изменения, основной организационной формой учебного процесса остаѐтся урок. Он представляет собой логически завершѐнный, целостный, ограниченный определѐнными рамками времени отрезок учебно-воспитательного процесса. Урок в этом случае рассматривается как система, в которой в сложном взаимодействии представлены все основные элементы учебно-воспитательного процесса: содержание, средства, методы, организация. Выделенные структурные элементы урока можно положить в основу классификации уроков. В дидактике наиболее распространѐнной является типология уроков в зависимость от дидактических целей (основной дидактической цели): Урок ознакомления с новым материалом; Урок формирования умений и навыков; Урок повторения и закрепления знаний, умений и навыков;

Урок систематизации и обобщения знаний, умений и навыков; Комбинированный урок; Урок проверки знаний, умений и навыков. В настоящее время широко используются следующие виды уроков: уроклекция, урок-семинар, урок-практикум, урок-зачѐт, урок-консультация, урок решения ключевых задач. Но каждый из этих уроков по сути можно отнести к одному из указанных выше типов. Так, урок-лекция - это урок ознакомления с новым материалом; урок-семинар - урок систематизации и обобщения знаний и т.д. Требования к современному уроку. 1. Чѐткая целевая установка. Подчинение всех этапов урока основной дидактической цели; 2. Единство общеобразовательных, развивающих и воспитательных целей; 3. Оптимальное содержание и отбор учебного материала в соответствии с уровнем подготовки учащихся; 4. Рациональное сочетание различных методов и приѐмов обучения. Наличие методов, активизирующих деятельность учащихся; 5. Организационная чѐткость урока, рациональная структура; 6. Обеспечение практической направленности учебного процесса; 7. Использование различных форм работы с учащимися (фронтальная, групповая, индивидуальная); 8. Соблюдение основных дидактических принципов 9. Умелое и целесообразное использование различных средств обучения. Из указанных требований к современному уроку вытекают следующие рекомендации к разработке конспекта урока, которые должен учитывать каждый учитель, особенно начинающий. 1. В каждом конспекте необходимо выделить основные части: дату, тему, тип урока, дели, оборудование (Т.С.О, схемы, модели, карточки, таблицы и т.п.), план урока с примерным распределением времени на каждый этап хода урока. 2. При описании хода урока необходимо описывать каждый его этап, указывая по возможности «микроцели». Важно помнить,что все этапы урока должны быть подчинены основной дидактической цели. Желательно, чтобы в конспекте был запланирован этап актуализации знаний, а также этап предъявления домашнего задания и его пояснения. 3. Заранее определить учащихся для опроса, продумать дополнительные вопросы для них.

4. Зафиксировать те знания, умения и навыки, которыми должны овладеть учащиеся и которые будут проверяться на уроке. 5. Тщательно продумать формулировку каждого вопроса, задаваемого как конкретному ученику, так и для всех учащихся. Вопросы не должны содержать подсказки. Желательно наличие проблемных вопросов. 6. На все вопросы должны быть записаны ожидаемые ответы. 7. Подбор задач должен быть тщательным. Задачи нужно подготовить интересные, разнообразные. Среди них должны быть задачи, подводящие к новому материалу, способствующие постановке проблемы, самостоятельному «открытию» какого-либо математического факта. 8. Все планируемые математические задачи (в том числе и из домашнего задания) должны быть решены. Там, где это возможно, указывать различные способы решения. 9. В конспекте должен быть отражѐн «вид доски», то есть содержание и расположение записей на доске с указанием того, что, когда и как должно быть записано учащимися. 10. Если запланирован монолог учителя (рассказ, лекция), то целесообразен его конспект. 11. Предусмотреть материал для самостоятельной работы и указания к еѐ проведению. 12. В конспекте должен быть отражѐн дифференцированный подход в обучении учащихся. 13. При составлении конспекта, особенно в младших классах, необходимо уделять особое внимание развивающему аспекту уроков. Примечание. Все эти требования обязательны для учителей - практикантов и начинающих учителей, более опытные учителя ограничиваются лишь планом урока, но обязательно приводят решения всех задач. Приведѐнные ниже конспекты уроков взяты из опыта работы учителей математики и не обладает той степенью детализации, которая характерна для конспектов начинающих учителей. Поэтому при общем их обсуждении выскажите своѐ мнение по поводу выполнения требований к конспекту. На уроках часто используется беседа, которую в конспекте можно оформить различными способами: Вопрос (учитель) …………………………………. Ответ (ученик) …………………………………….. Или

Вопрос ……………………………………………... (…………………………………………….. - ответ) или Доска Учитель Ученик

тетрадь

Каждый учитель ведѐт записи так, как ему удобно и как ему подсказывает опыт и интуиция. Конспект урока Учебник Л.Г. Петерсон. Математика 5 класс, ч. 2,глава 3, §2, п. 6. Тема: Задачи на дроби. Цель: 1. Систематизировать решение задач на части, вывести новый приѐм решения задач на нахождение части от числа по его части. 2. Повторить алгоритмы умножения и деления обыкновенных дробей, решение задач методом проб и ошибок. 3. Развивать логическое мышление, способности к обобщению, исследовательские умения, речь. Ход урока: 1. Организационный момент. 2. Постановка учебной задачи. Цель нашего урока сегодня - придумать новый способ решения задач на дроби. Начнѐм с разминки. 2.1. Повторение алгоритмов умножения и деления дробей. a) Найдите значения выражений: 8 25  ; 35 32

2  6; 3

1 2  7; 7

ac nm  ; n ab

cm   5  ;4;15;  b   28

-Как найти произведение двух дробей? (Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей). -Как умножить дробь на натуральное число? (При умножении дроби на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения) b) Вычислите: 2 2 : ; 9 5

8 2 : 2; a : ; 7 5

ab 3a  5 4 5a b  : ;  ; ; ;  n n 9 7 2 3

-Как разделить одну дробь на другую? (Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю). -Как разделить дробь на натуральное число? (Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним). По ходу выполнения заданий на доске вывешиваются таблицы:

2.2.

a c ac   b d bd

a an n  b b

a c a d :   b d b c

a a :n b bn

Повторение алгоритмов решения задач на нахождение части от числа по его части. 3 a) В джунглях обитает n животных, 8 всех животных жирафы. Сколько жирафов в джунглях? n : 8  3 

-Каким правилом вы пользовались? (Чтобы найти часть от числа выраженную дробью, нужно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на числитель). b) Кролик вырастил на грядке k кг моркови, что составляет 40% от того количества, о котором он мечтал. О каком количестве моркови мечтал кролик? k : 40  100  -Какое правило здесь надо было вспомнить? (Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно эту часть разделить на числитель и умножить на знаменатель). При решении задач на дроби тип задачи уточняется по таблице, известной ещѐ из начальной школы: 1) Нахождение части от числа, выраженной дробью. 1  a m ? n

1-a m ? n

b  a : nm

2) Нахождение числа по его части, выраженной дробью. 1 ? m b n

1-? m b n

a  b : mn

3) Какую часть одно число составляет от другого? 1 a ? b

1-a

m b:a n

? b

2.3.

Постановка проблемы. Целеполагание.

-Сегодня мы попробуем придумать более простой способ решения задач 1 и 2 типа. В этом нам помогут изученные правила умножения и деления дробей. 3. «Открытие» детьми нового знания. 3.3. Правило нахождения части от числа. -Запишите в тетрадь первое правило в буквенном виде a : n  m -Чем можно заменить знак деления? *чертой дроби). a    m -Что получится?  n 

-Преобразуйте выражения так, чтобы получилась операция над числом a и дроam m a n  m  n  a  n   бью 

-Сравните полученное выражение с первым: чем они похожи и чем отличаются? (Значения их равны, но в первом выражении два действия, а во втором – одно). -Попробуйте перевести новое правило на математический язык. (Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, надо это число умножить на дробь. – Открытие!). 3.4. Правило нахождения числа по его части. -Запишите в тетрадь второе правило. b : m  n -Замените знак деления чертой дроби и попробуйте, как в первом случае, записать в виде одного действия с числом a и дробью b b n n m n   b b: m m m n

-Переведите полученное правило на математический язык (Чтобы найти число по его части, нужно эту часть разделить на дробь – Открытие!). -Почему это правило удобнее первого? (Задача решается одним действием вместо двух). Молодцы!

На таблицу прикрепляются новые таблички: b  a

m n

ab:

m n

4. Физкультминутка 5. Первичное закрепление. 5.3. Фронтальная работа Задания из учебника на нахождение части от числа по его части решаются с комментированием в громкой речи. № 485 – устно: 2 2 9 a составляют 9 от a; 7 7 100 a составляют 100 от a, или 7% и т.д.

№ 486 (а, б, д, н, п) – с комментированием и записью на доске и в тетради, например: 4 д) 9 от21 4 7 21 4 28 1 21   9 9 93 3 3

Аналогично № 493 – устно, № 494 (а, б, ж, и) – с комментированием. 5.4. Работа в парах На каждой парте карточка с двумя задачами. Учащиеся в парах должны совместно составить к ним выражения. В это время два ученика работают на закрытой доске. 1) В компьютерной игре «Охота за динозаврами» разыгрывается n очков. 5 Команда 5-х классов набрала 8 всех очков. Сколько очков набрала ко-

манда 5-х классов? 2) Прекрасным солнечным утром кот Леопольд поймал b щук, что составило 2 9 его улова. Сколько всего рыб поймал кот Леопольд?

При разборе задач внимание учащихся вновь обращается на целесообразность использования нового правила. 6. Самостоятельная работа с проверкой в классе

Вариант 1 8 1) найти 9 от 72

2) найти 7% от a 2 3) найти число, если 9 его составляют 18.

4) Найти число, если 17% его составляют c. Вариант 1 4 5) найти 7 от 28

6) найти 3% от b 3 7) найти число, если 8 его составляют 24.

8) Найти число, если 11% его составляют d. Учащиеся сами проверяют выполненное задание, исправляют ошибки. -У кого другие ответы? -Кто делал по старому правилу? -Как удобнее делать? -Оцените свою работу. Те, кто всѐ сделал правильно, выставляют себе 5, у кого 1 ошибка – 4. Остальные, включая тех, кто действовал по старому правилу, получают дополнительную карточку. 7. Решение задач на повторение. -Решите уравнение x(x+15)=54 методом проб и ошибок. 1) x=3 3(3+15)=54 (истинно). Значит x=3 – корень уравнения. 2) Других корней нет, так как при увеличении значения x оба множителя увеличиваются, а при уменьшении – уменьшаются. Ответ: x=3 8. Итог урока. -Что интересного и нового для себя каждый сегодня узнал на уроке? Что повторили? -Сравните равенства b  a

m n

ab:

m n

m (Одинаковые компоненты действий: a, b и n ).

-Выразите из второго равенства b. Что заметили? (Получилось одно и то же равенство!). -Молодцы! Вы заметили очень интересную и полезную особенность этих равенств. 9. Домашнее задание. П.6 стр. 100-101 – конспект, правила; №№ 537, 539, 551. Конспект урока Учебник Л.Г. Петерсон. Математика 6 класс, ч. 1,глава 2, §2, п. 2. Тема: Задачи на проценты. Цель: 1. Систематизировать решение задач на проценты, вывести формулу процентов. 2. Отрабатывать решение задач на нахождение процента от числа. 3. Закрепить решение уравнений с помощью перекрѐстного правила. 4. Развивать внимание, мышление, аккуратность, речь, познавательные интересы. Ход урока: 5. Организационный момент. 6. Постановка учебной задачи. 9.1. Кроссворд. Тема урока. -Чтобы понять, чем мы будем заниматься на уроке, попробуем разгадать кроссворд. 1. Результат, полученный при умножении. 2. Расстояние, пройденное в единицу времени. 3. Часть прямой, ограниченная с обеих сторон. 4. Утверждения, которые отрицают друг друга. 5. Равенство, в котором неизвестное число обозначается буквой. 6. Число, находящееся под дробной чертой. 7. Единица измерения длины. 8. Угол, который меньше прямого. 1 2 3 4 5 6 7 8

-Так какая же тема урока? (проценты). -Молодцы! А если быть точнее: «Задачи на проценты». Сегодня мы повторим все типы задач на проценты и поработаем более основательно над задачами на нахождение процента от числа. 3.1. Актуализация знаний a) –Что называется процентом? (процентом называется одна сотая величины). -Найдите 1% от 210 руб. (2,1 руб.) Найдите величину, если 1% еѐ составляет 5м2. (500 м2) -Округлите десятичную дробь до сотых, а затем выразите еѐ в процентах: а) 0,517 ( 0,52=52%); б) 0,4951 ( 0,50=50%); в) 2,003 (1,00=200%). -У кого получилось по-другому? Кто не согласен? -Как выразить числа в процентах? (Чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100). -А как решить обратную задачу? (Чтобы выразить проценты десятичной дробью или натуральными числами, надо число, стоящее перед знаком %, разделить на 100%). b) На сколько процентов изменилась величина, если она: - Увеличилась в 2 раза (увеличилась на 100%). - Уменьшилась в 4 раза (уменьшилась на 75%). - Увеличилась в 4 раза? (увеличилась на 300%). -А если величина увеличилась на 400%? Что это значит? (Увеличилась в 5 раз). -А если она уменьшалась на 50%? (Уменьшилась в 2раза). c) Посмотрите схему. Какие задачи на проценты мы знаем? (Нахождение процента от числа, нахождение числа по его проценту и нахождение процентного отношения двух чисел). 100% - a

p%  b

100%  a p%  b

Учитель закрывает на схеме b: -Как найти процент от числа? (Чтобы найти процент от числа, надо умножить число на соответствующую дробь: Учитель закрывает на схеме a:

b  a

p 100 ).

-Как найти число по его проценту? (Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, раздеa  b

p 100 ).

лить на дробь: Учитель закрывает на схеме p: -Как найти, сколько процентов число b составляет от числа a, или процентное отношение двух чисел? (Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число p

b  100 a ).

разделить на второе и результат умножить на 100: -Все ли варианты неизвестных в задачах на проценты рассмотрели? (Да, других вариантов нет). -Какая формула объединяет все три типа задач на проценты? (Первая). -Как она называется? (Формулой процентов). d) Решите задачу: « Опрос общественного мнения показал, что в городе примерно 20% жителей покупают газету «Новости дня». Какой тираж следует привезти в город, если в нѐм 15000 жителей? (3000 экз.)» -Как считали? Как удобнее считать? (20% - это пятая часть числа. Поэтому можно 15000 разделить на 5 и получим 3000). -Как вы думаете, к какому типу задач относится эта задача? (Задача на нахождение процента от числа). -Цель нашего урока – рассмотреть составные задачи на нахождение процента от числа. 1. Решение задач на нахождение процента от числа. 3.2. № 352, стр. 87. -Прочитайте условие и посмотрите внимательно на числовые значения. Найдите задачи, которые можно решить устно. Докажите. a) 0,15  17 и 17  0,15 оба равны 15  17  0,01. Значит, равны между собой: 0,15  17  17  0,15 b) 1,2  48  0,12  480 , так как один множитель уменьшили в 10 раз, а другой увеличили. c) 1,47  621  1,25  549 , так как один множитель в левой части больше соответствующих множителей в правой части. В остальных случая сказать ничего нельзя, так как один множитель увеличивается, а другой уменьшается. -Выполните задание в тетради. Задание решается с комментированием. Запись: 1) 36% от 2,5b

0,36  2,5b  2,5  4  0,09b  0,9b

2) 15% от 80b 0.15  80b  12b

3) 12b>0,9b. Значит, 15% от 80b больше, чем 365 от 2,5b. 3.3. № 353(2), № 354 и № 355, стр. 87. При работе над каждым заданием четверо учеников на дополнительных досках решают по одной задаче в течение 2-3 мин. В это время остальные учащиеся на местах работают в парах. Каждая пара по собственному выбору выполняет одно задание. Затем те, кто работал у доски, обосновывают решение, а остальные проверяют себя. № 353(2). «Сколько соли получится при выпаривании: а) 375 г 12%-го раствора соли; б) 450 г 9%-го раствора соли; в) 20г 17%-го раствора соли; г) 80г 3%-го раствора соли?» а) 0,12  375  45(г) в) 0,17  20  3,4(г) б) 0,09  450  40,5(г) г) 0,03  80  2,4(г) Решение задачи, в случае затруднения, можно пояснить на схеме, например:

соль

100% - 375г вода

12% - ?г

№ 354. «Сколько будет, если а) 100 р. увеличить на 300%; б) 500 р. уменьшить на 10%; в) a увеличить на 25% г) b уменьшить на 20%?» а) 1) 100%+300%=400%; в) 1) 100%+25%=125%; 2) 100  4  400(руб.) 2) a  1,25  1,25a б)

1) 100%-10%=90%; г) 1) 100%-20%=80%; 2) 500  0,9  450(руб.) 2) b  0.8  0,8b . № 355. «Сравни результаты: а) 150 руб. увеличили на 50% и 100 руб. увеличили на 100%; б) 100 руб. уменьшили на 50% и 150 руб. уменьшили на 60:; в) a руб. уменьшили на 25% и 1,2a руб. уменьшили на 40%; г) b руб. увеличили на 250% и 2b руб. увеличили на 50%». а)

1) 100%+50%=150%; 2) 150  1,5  225(руб.)

в)

1) 100%-25%=75%; 2) a  0,75  0,75a(руб.)

б)

3) 100%+100%=200%; 4) 100  2  200(руб.) 5) 225 руб.>200 руб.

3) 100%-40%=60%; 4) 1,2a  0,6  0,72a(руб.) 5) 0,75a руб. > 0,72a руб.

1) 100%-50%=50%; 2) 100  0,5  50(руб.) 3) 100%-60%=40%; 4) 150  0,4  60(руб.) 5) 50 руб.< 60 руб.

г) 1) 100%+250%=350%; 2) b  3,5  3,5b(руб.) 3) 100%+50%=150%; 4) 12b  1,5  3b(руб.) 5) 3,5b руб. > 3b руб.

3.4. № 357 (1), стр. 87 «Подоходный налог установлен в размере 12%. До вычета подоходного налога 1% заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 500 р. Сколько он получит после указанных вычетов?» Учащиеся читают условие задачи, перерисовывают с доски в тетрадь заготовку схемы, сами заполняют еѐ: 100% - 500 руб. 1% - ? руб. 100% - ? руб. ост. ? руб.

12% - ? руб.

Затем фронтально разбирается ход решения: -Сколько работнику начислено? (500 руб.). -Сколько процентов составляют эти 500 руб.? (100%) -Куда поступают отчисления в первую очередь? (В пенсионный фонд) Покажите на схеме. -Сколько процентов составляют отчисления? (1%) -Можем ли узнать, сколько осталось после отчисления в пенсионный фонд? (2 способа) -А как узнать, сколько осталось после второго отчисления? (уменьшить полученное число на 12% - два способа)

-Итак, в этой задаче вся сумма уменьшается дважды: сначала на 1% от 500 руб., а потом ещѐ на 12% от того, что осталось. Эту задачу можно решить 4 различными способами (2x2). Решите одним способом по собственному выбору. Учащиеся записывают решение в тетрадь, например: 1) 100%-1%=99% - часть 500 р. осталась после I отчисления. 2) 500  0,99  495(руб.) - осталось после I отчисления. 3) 100%-12%=88% - часть 495 руб. осталась после II отчисления. 4) 495  0,88  435,6(руб.) Ответ: начислено 435,6 рублей. Те, кому нужна помощь, могут воспользоваться для решения карточкой с вопросами задачи. При проверке проговариваются несколько способов решения. 1. Самостоятельная работа с проверкой в классе. I вариант: № 352 (г), № 356 (1) Дополнительная II вариант: № 352 (д), № 356 (2) задача № 353 (1) По собственному выбору учащиеся могут заменить решение двух заданий своего варианта решением одной задачи, но более сложной - № 357 (2) или № 358. I вариант: № 352 (г). «Что больше: 72% от 150 или 70% от 152?» 1) 72% от 150 0,72  150  108

2) 70% от 152 0,7  152  106,4

3) 108>106,4. Значит, 72% от 150 больше, чем 70% от 152. №356 (1). «В городе постоянно живут 10000 граждан. Из них 85% ещѐ не достигли пенсионного возраста. Сколько граждан в этом городе достигли пенсионного возраста?» 1) 0,85  10000  8500(чел.) - не достигли пенсионного возраста. 2) 10000-8500=1500 (чел.) Ответ: 1500 человек достигли пенсионного возраста. II вариант: № 352 (д). «Что больше: 80% от a или 40% от 2a?» 4) 80% от а 0,8  a  0,8a

5) 40% от 2a 0.4  2a  0,8a

6) 0,8a= 0,8a. Значит, 80% от a равно 40% от 2a. № 356 (2). «Вкладчик внѐс в сбербанк 1200 руб. в какую сумму превратился вклад через год, если банк начисляет 4% годовых?». 1) 0,04  1200  48(руб.) - начисляют дополнительно

2) 1200+48=1248 (руб.) Ответ: вклад стал 1248 руб. Дополнительные задачи. № 353 (1). «За участие в заключении договоров фирма предлагает своему агенту-дилеру вознаграждение 10% о суммы договора. На какое вознаграждение может рассчитывать дилер, если он нашѐл подходящий заказ на сумму 20000 рублей?» 20000  0,1  2000(руб.)

Ответ: дилер получит 2000 руб. № 357 (2) «В референдуме приняли участие 60% жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83%?» 1) 150000  0,83  124500(чел.) - имеют право голоса. 2) 124500  0,6  74700(чел.) Ответ: в референдуме приняли участие 74700 человек. № 358. «При выдаче наличных рублей по дорожным чекам American Express банк удерживает 2% в качестве комиссионных. Какова будет сумма в рублях, если клиент заказал 400 долларов и курс обмена 6,4 руб.?» 1) 400  0,02  8(дол.) - комиссионные. 2) 400-8=392 (дол.) – выдано клиенту. 3) 392  6,4  3508,8(руб.) Ответ: клиент получит 3508,8 руб. Самопроверка – по готовому образцу исправление каждым учащимся своих ошибок, самооценка. Отметка выставляется только в случае верно выполненного задания. Те, кто не справился с решением задач, во время следующего этапа урока решают задания другого варианта. При необходимости возможна помощь консультантов. 1. Решение задач на повторение a c     ad  bc  Когда две дроби равны?  b d

- Пользуясь перекрѐстным правилом, решите уравнение № 397 (б) 2,1 3 4 2    2,110 х   х  1   3  21х  3 х  5  4 10 х 5 5  х 1 5 2  21х  3 х  3 х  3 х  5  18 х  5,4  х  0,3 5

2. Итого урока

-Как найти процент от числа? -Какие ещѐ типы задач на проценты вы знаете? -Чем похожи и чем отличаются задачи на дроби и задачи на проценты? (Те же правила, но проценты выражаются дробями со знаменителем 100.) 3. Домашнее задание Гл. 2, § 2, стр. 84 – правила, задача 1. №№ 406 (1), 408 (1), 417. Задания для размышления и контроля: 1.По какой теме подготовлен конспект урока? К какому типу можно отнести этот урок? Как он связан с предыдущими уроками? 2.Каковы цели урока? Поставлены ли развивающие цели урока? 3.Какова структура сурока? 4.Рационально ли распределение времени на различных этапах урока? 5.Обоснуйте выбор и использование методов, стимулирующих познавательную активность учащихся, а также направленных на развтие логического мышления. 6.Какие средства наглядности были использованы? Уместно ли их использование? 7.Удачно ли сочетание возможных форм обучения? 8.Что вы можете сказать о постановке предполагаемых вопросов? 9.Какова на уроке доля самостаятельной работы учащихся? 10.Планируется ли работа с учебниками? С какой целью? 11.В какой степени планируется осуществить дифференцированный подход к учащимся? Учитываются ли в конспекте индивидуальные особенности учащихся? 12.Каким образом планируется реализовать практическую направленность обучения? 13.Рационально ли выделено место для опроса, изучения нового материала? 14.Можно ли считать, что существуют логические связи между этапами урока? 15.Могут ли быть реализованы все поставленные задачи на уроке? Самостоятельное задание для студентов. Составить конспект урока по любой выбранной вами теме школьного курса математики и, пользуясь памяткой, провести его самоанализ.

Памятка для самоанализа урока. 1.Каково место данного урока в теме, разделе, курсе? Как он связан с предыдущим, на что опирается? Каков тип урока? 2.Какие задачи решались на уроке? Была ли обеспечена их взаимосвязь? Как учтены в задачах особенности класса, отдельных групп учащихся? 3.Почему выбранная структура урока была рациональна для решения этих задач. Рационально ли выделено место для опроса, изучения нового материала, закрепления,…? Правильно ли распределено время на все эти этапы урока. Логичны ли «связки» между этапами. 4.На каком содержании(понятиях, идеях, фактах,…) сделан главный акцент урока и почему? 5.Какое сочетание форм обучения избрано для раскрытия нового материала? Дайте обоснование выбора методов обучения. 6.Как осуществляется дифференцированный подход к обучению? 7.Как организован контроль усвоения знаний, умений и навыков? В каких формах и методах осуществлялся? Почему? 8.Какие средства обучения использовались? 9.За счѐт чего обеспечивалась высокая работоспособность учащихся в течение всего урока, предупреждалась их перегрузка? 10.Как были продуманы запасные методические «ходы» на случай непредвиденных ситуаций? 11.Реализованы ли все поставленные задачи? Лабораторная работа № 4. Тема: Методика изучения правил и алгоритмов в школьном курсе математики. Цель: 1. Обобщение и систематизация знаний студентов о правилах и алгоритмах и методике работы над ними в школьном курсе математики. 2. Формирование практических умений и навыков работы с учащимися над усвоением правил и алгоритмов. Основное содержание работы: При изучении математики школьники встречаются с такими элементами теоретических знаний как правила и алгоритмы. Сущность алгоритма на содержательно-интуитивном уровне может быть описана следующим образом: точное предписание, указывающее, какие операции и, в какой последовательно-

сти необходимо выполнить с данными, чтобы решить любую задачу определѐнного типа. Алгоритм обладает свойствами массовости (возможность решить все задачи определѐнного типа); элементарности и дискретности (отдельности и законченности шагов); детерминированности (однозначное определение первого и каждого следующего шага); результативности (конечное число шагов всегда должно привести к определѐнному результату). Алгоритм является формой выражения общего метода решения класса однотипных задач. В школьных учебниках широко используются правила в виде формул и формулировок. Использование правил имеет ту же цель, что и алгоритмов: формирование общих методов решения класса однотипных задач. Любой алгоритм является правилом, однако не всякое правило может быть алгоритмом, так как в формулировке правила часто не выделяются чѐтко все шаги и таким образом отсутствует свойство детерминированности. Для записи алгоритма часто используют схемы. Правило сложения двух десятичных дробей формулируется следующим образом: 1) уравнять число знаков после запятой в слагаемых; записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) сложить получившиеся числа так, как складывают натуральные числа; 4) поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых. Данная словесная формулировка правила обладает всеми свойствами, характерными для алгоритма и поэтому может им считаться. Однако, для того, чтобы сложить две десятичные дроби, надо уточнить первый шаг, предусмотрев случай равенства числа знаков после запятой. Схематично уточнѐнный алгоритм можно изобразить так: начало

Подсчитать число знаков после запятой в первом слагаемом (с) Подсчитать число знаков после запятой во втором слагаемом (d) Да

c=d

Нет

Уравнять число знаков после запятой в слагаемых

Записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Сложить числа поразрядно. В получившейся сумме поставить запятую под запятыми в слагаемых Конец

Работа с учащимися по овладению алгоритмом обычно включает три основных этапа: введение алгоритма; усвоение алгоритма; применение алгоритма. Основным средством, используемым на различных этапах формирования алгоритма, является система упражнений. Алгоритм целесообразно использовать на первых этапах формирования действий, так как он даѐт подробное описание последовательности операций. Правило удобнее применять тогда, когда умение выполнять действие в основном сформировано. Часто в школьных учебниках правила представлены в лаконичной форме и для обучения учащихся выполнению соответствующего действия необходимо его записать в виде алгоритма. При изучении темы «Многочлен и его стандартный вид» правило приведения любого много члена к стандартному виду можно представить в виде следующего алгоритмического предписания: 1. представить каждый член многочлена в стандартном виде. 2. привести подобные члены. Возможно использование схемы: Многочлен Все ли члены имеют стандартный вид? Да

Нет

Приводим все члены к стандартному виду

Да

Есть ли подобные члены?

Привести подобные члены Нет

Многочлен стандартного вида

В данной схеме отражены различные ситуации: отсутствие одночлѐнов нестандартного вида и возможное отсутствие подобных членов. Примеры составления алгоритмических предписаний.

Пример 1. Правило сложения дробей можно записать в виде следующего перечня действий. 1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей. 2. Найти дополнительные множители для каждой дроби. 3. Умножить числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. 4. Составить дробь, числителем которой будет сумма (разность) новых числителей, а знаменателем – наименьшее общее кратное знаменателей. Пример 2. Алгоритмическое предписание решения целых рациональных неравенств, сводящимся к линейным. 1. Раскрыть скобки (если они есть). 2. Перенести члены, содержащие переменную, в левую часть, а не содержащие переменную – в правую. 3. Сделать приведение подобных членов. 4. Найти множество решений неравенства. 5. Изобразить на координатной прямой решения неравенства. 6. Записать ответ. Пример 3. Построить биссектрису данного угла ABC.

A K M

B

N

C

Дано: ABC. Построить: луч BK – биссектрису ABC. 1) построить окружность (B,r), r – произвольный. 2) Построить M: M=луч BAокр.(B,r). 3) Построить N: N=луч BC окр.(B,r). 4) Построить окружность (M,r). 5) Построить окружность (N,r). 6) Построить K: K=окр.(M,r)  окр.(N,r). 7) Провести луч BK 8) Луч BK – биссектриса ABC

Пример 4. Алгоритмическое предписание решения уравнения простейших тригонометрических уравнений. 1. Выделите наименьший положительный период функции.

2. Найдите решение уравнения на промежутке возрастания (sin, tg) или убывания (cos, ctg) функции. 3. Используйте: ± Свойство чѐтности для cos, ± Формулу приведения для cos. 4. Запишите общий вид решения уравнения, используя периодичность функции. Например, для функции sinx=a, где a  1, 1) Наименьший положительный период T  2 .     2 ; 2   функция sinx возрастает, и данное уравнение 2) На отрезке 

sinx=a имеет единственное решение x1=arcsina.   3  2 ; 2   , где функция убывает, уравнение имеет 3) На промежутке  x2    x . единственное решение Действительно,   3  x2   ;  sin x 2  sin   x 1   sin x 1  a и  2 2  . Проверим второе усло-

вие:         3  x 1   ;   x 1   ;     x 1    ;   2 2  2 2 2 2  x  arcsina  2n, x   arcsina  2n, n  Z

или запись одной формулой: X   1 arcsina  k, k  Z . k

Задания для размышления и контроля: 1.Выписать правило умножения двух десятичных дробей. Сформулировать его в виде алгоритма, предусмотрев все возможные случаи. Изобразите этот алгоритм в виде схемы 2.Составьте алгоритм решения полного квадратного уравнения. Изобразите этот алгоритм в виде схемы. 3.Подберите упражнения для работы с учащимися на каждом из трѐх этапов формирования алгоритма умножения обыкновенных дробей. При подборе упражнений используйте действующие учебники. 4.Разработайте алгоритмическое предписание для решения простейших тригонометрических неравенств.

Лабораторная работа № 5. Тема: Методика изучения понятий в школьном курсе математики. Цель: 1. Обобщение и систематизация знаний студентов о понятии как форме мышления и методике работы над понятиями в школьном курсе математики. 2. Формирование практических умений и навыков студентов по работе над понятиями школьного курса математики. Основное содержание работы: Образование понятий является сложным процессом, связанным с установлением общих свойств у предметов, выделением их существенных признаков, соединением этих признаков в определѐнное единство. Соответственно при разработке методической схемы изучения определѐнного математического понятия в школе целесообразно провести логический анализ данного понятия. Логический анализ понятия включает в себя следующие основные моменты: 1. Анализ определения понятия. a. Выделение содержания (существенных признаков) и объѐма понятия (классификация); b. Выяснение структуры определения понятия (простая или сложная, какова связь между существенными признаками понятия, выяснение лишних или недостающих признаков); c. Выявление вида определения (род + видовое отличие, конструктивное, рекуррентное и т.д.) 1. Выявление места понятия в системе понятий. a. Выяснение родословной понятия; b. Выделение различных подходов к определению понятия; c. Выявление в курсе содержательно значимых понятий, определение которых происходит на основе данного понятия. Приведѐм пример логического анализа понятия «Прямоугольник». 1. Анализ понятия прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. a. В содержание понятия входят следующие существенные признаки: 1)Данная фигура является параллелограммом; 2)У этого параллелограмма все углы прямые.

a. Объѐм понятия может быт раскрыт через классификацию. Покажем одну из возможных классификаций понятия «прямоугольник». ромбы

прямоугольники квадраты

Остальные прямоугольники

Структура определения простая, связь между существенными признаками – конъюнктивная (признаки должны присутствовать одновременно). В определении представлены лишние признаки (все углы прямые), можно ограничить одним прямым углом. b. Данное определение имеет вид: род + видовое отличие. Род – параллелограмм, видовое отличие – все углы прямые. 1. выявление места понятия в системе понятий. a. Родословная понятия «Прямоугольник»: В том случае, если курс раскрывается на достаточно строгой аксиоматической основе, родословная понятий может фиксироваться в виде логического дерева. В противном случае достаточно указать несколько понятий, являющихся базовыми для данного понятия. Например, для понятия «Прямоугольник» базовыми выступают понятия «параллелограмм» и «прямой угол»; в свою очередь для понятия «параллелограмм» базовыми являются понятия «параллельные прямые» «четырѐхугольник». b. Различные подходы к определению понятия: 1)Прямоугольник – четырехугольник, у которого хотя бы 3 угла прямые; 2)Прямоугольник – это прямоугольная трапеция с параллельными боковыми сторонами (в случае если определение трапеции не предусматривает параллельность только двух противолежащих сторон) и т.д. a. Прямоугольник лежит в основе рассмотрения понятий квадрата, прямой призмы, прямоугольного параллелепипеда; является базовым понятием для раскрытия материала о площадях многоугольников, объѐмов многогранников; используется при решении разнообразных планиметрических и стереометрических задач. Методика изучения понятий школьного курса математики.

Процесс изучения математических понятий в школе целесообразно осуществлять в соответствии со следующим схематичным планом: I. Введение понятия и формулировка определения. 1. Актуализация сведений, необходимых для усвоения соответствующего понятия. 2. Показ целесообразности изучения данного понятия и раскрытие содержания данного понятия с выделением его существенных признаков. 3. Формулировка определѐнного понятия, выделение структуры определения. I. Закрепление понятия. 1. Закрепление формулировки определения понятия. 2. Упражнения на распознавание понятия и его идентификация в стандартных и вариативных ситуациях. 3. Упражнения на построение объекта, принадлежащего объѐм данного понятия. 4. Выведение следствий из факта принадлежности объекта к объѐму данного понятия. 5. Классификация понятия. 6. Переформулировка определения в терминах той же содержательной теории, либо других содержательных теорий. 7. Рассмотрение понятия – аналога, либо понятия – обобщения. I. Применение понятия при решении задач и доказательстве теорем школьного курса математики. I.1. Актуализация сведений, необходимых для усвоения соответствующего понятия, обычно происходит на основе выделения базовых понятий и их свойств. Так, например, определение понятия корня n-ой степени из числа a даѐтся по аналогии с определением квадратного корня из этого же числа. Поэтому перед его изучением желательно вспомнить, что называется квадратным корнем из числа a, какими свойствами он обладает. Важное место при изложении материала занимает вопрос о существовании корня n-й степени из числа a. При этом используют свойства степенной функции с натуральным показателем. Соответственно, в виде предваряющего домашнего задания школьникам можно предложить исследовать и построить графики степенных функций соответствующего 5

8

вида, например, y  x и y  x . I.2. Показ целесообразности изучения понятия и раскрытие его содержания осуществляется, как правило, при рассмотрении специально подобранной задачи (или серии задач); путѐм противопоставления с уже известным понятием (призмы, пирамиды) или путѐм обобщения (специализации) некоторого ранее изученного понятия (треугольник- равнобедренный треугольник); на основе

имеющихся наглядно-интуитивных представлений учащихся или реальной жизни (в 5-9 классах – понятие плоскости, параллельных прямых, в 8 классе – понятие вектора и т.д.); на основе моделирования рассматриваемых ситуаций (стереометрический ящик, модели пространственных фигур, компьютерная графика) Приведѐм пример раскрытия содержания понятия «неравенства первой степени с одним неизвестным». В начале урока предлагаем учащимся следующую задачу: от деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд уходит со станции в 11 часов, а человек, живущий в деревне, может идти со скоростью не более 5 км/ч. В каком часу он должен выйти из дома, чтобы успеть на поезд? Решение: Обозначим неизвестное за x, тогда время, оставшееся до отхода поезда будет 11-x (ч.) За это время он может пройти расстояние 5  (11 x) (км). Чтобы человек успел на поезд. Необходимо выполнение следующего условия 5  (11 x)  20 . Мы пришли к необходимости решения неравенства с одной переменной. Хотя мы не знаем способ решения, можно рассуждать так: чтобы точно успеть к поезду, путь пешехода должен быть равен 20 км, т.е. 5  (11 x)  20 . Отсюда находим максимальное время выхода человека из дома – 7 часов. Выйдя раньше, он тем более успеет на поезд, то есть решением записанного неравенства будет любое значение x, меньшее 7. Другой пример: при введении понятия параллельных прямых предлагаем школьникам построить пересекающиеся и непересекающиеся прямые. Проведя соответствующий анализ ситуации (вспомнив аксиому параллельности), приходим к выводу, что прямые могут либо пересекаться в одной точке, либо вообще не пересекаться. Во втором случае прямые называются параллельными и обозначаются символом . Попросим учащихся самостоятельно сформулировать определение параллельных прямых, каким существенным свойством они обладают? I.3. Выделив существенные признаки, школьники формулируют с помощью учителя определѐнные понятия, вводится соответствующая символика. II.1. Первичное закрепление формулировки понятия осуществляется с помощью следующих приѐмов: а) Заполнение пропусков ключевых слов в приведѐнном учителем определении; б) Исправление ошибочных определений и приведение соответствующих контрпримеров; в) Выделение существенных признаков, зафиксированных в определении.

Самостоятельное задание для студентов: Придумайте вариант первичного закрепления какого-либо понятия с использованием раздаточного материала. II.2. Работа по распознаванию понятия производится на основе варьирования существенных и несущественных признаков. В результате предварительного анализа учитель вместе с учениками выделяют существенные и несущественные признаки понятия. Например, понятие хорды окружности имеет следующие существенные и несущественные признаки. Существенные признаки 1. Отрезок. 2. Его концы лежат на окружности. Несущественные признаки 1.Расположение отрезка внутри окружности. 3. Длина отрезка. После этого подбираются конкретные примеры математических объектов, для которых указанные свойства выполняются или не выполняются. Эти объекты в конфигурации с окружностью предлагаются школьникам в виде задания на распознавание: какие из представленных объектов на рисунке являются хордами окружности? Ответ обосновать. II.3. При введении любого понятия необходимо показать его существование. Это осуществляется на основе построения объекта, принадлежащего объѐму данного понятия. Например, при изучении понятия призмы школьникам предлагается схема – ориентир построения призмы, который реализуется ими при выполнении соответствующих заданий. По мере вывода новых фактов и закономерностей, связанных с изучаемым понятием, задания на построение соответствующего объекта усложняются на основе либо наложения дополнительных требований, либо на основе замены первоначальных данных, зафиксированных в определении, альтернативными данными. Например, при изучении квадратичной функции может быть рассмотрена следующая цепочка заданий: 1) Постройте график произвольной квадратичной функции. Какой формулой она задаѐтся?

Постройте схематически график квадратичной функции y=ax2+bx+c, при a>0, D>0. 3) Постройте график квадратичной функции (задайте еѐ формулой), если известно, что ветви параболы направлены вниз, вершина параболы имеет координаты (1; 2), парабола проходит через начало координат. II.4. Выведение следствий из факта принадлежности объекта к объѐму данного понятия начинает осуществляться сразу же после введения понятия в виде доказательства соответствующих теорем-свойств. После того как основные свойства понятия обнаружены и обоснованы, целесообразно предложить школьникам задания, которые закрепляют и систематизируют полученные знания.Например, 1) дан равнобедренный треугольник, угол при вершине которого равен 600. Выпишите все свойства, которыми обладает данная фигура. (геометрия, 7 класс). 2) какими свойствами обладает функция y=kx+b, при k>0, b<0? (алгебра, 7 класс). II.5. Действие классификации осуществляется в конце изучения определѐнной темы с целью упорядочения знаний школьников о математических объектах, изученных в данной теме, логических взаимосвязях между этими объектами. Классификация объектов, входящих в объѐм того или иного понятия во многом зависит от того, каким образом определены эти объѐкты. Так, например, понятие трапеции может определяться как четырѐхугольник с двумя параллельными сторонами (в этом случае параллелограмм является частным видом трапеции), либо как четырѐхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны (понятия параллелограмма и трапеции независимы). В каждом из указанных случаев классификация четырехугольников будет различной. Классификация математических объектов может осуществляться в виде выполнения заданий на заполнение диаграмм Эйлера-Венна, либо при составлении соответствующей схемы или таблицы. II.6. Переформулировка определения может происходить как при первоначальном знакомстве с определением, так и при изучении последующих разделов курса. В первом случае школьники на основании изученных свойств формулируют соответствующие теоремы – признаки и обосновывают их. Так при изучении понятия параллелограмма, учащиеся, переформулируя теоремы-свойства, получают и доказывают соответствующие теоремы-признаки, которые, по существу, являются альтернативными определениями понятия параллелограмма (параллелограмм – это четырѐхугольник, у которого диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Во втором случае школьники дают, альтернативные определения понятия по мере овладения различными математическими методами. Например, понятие параллельных прямых может определяться в зависимости от используемого аппарата в терминах различных методов: коор2)

динат, геометрических преобразований или векторный. При прохождении соответствующих тем, школьники, отвечая на специально подобранные вопросы, формулируют определение на языке того или иного метода, сопоставляют различные формулировки, выделяя их специфические особенности. II.7. В некоторых случаях целесообразно при закреплении понятия рассмотреть понятие-аналог или понятие-обобщение. Например, при изучении плоских фигур можно осуществить «выход в пространство», предложив учащимся рассмотреть пространственный аналог той или иной фигуры и найти некоторые еѐ свойства. k x , в качестве одного из заданий практическоПри изучении функции k y x 1 го характера можно предложить учащимся построить график функции y

и, сопоставив графики обеих функций, выделить соответствующую зависимость. III. Действия распознавания, построения, выделения следствий и переформулировка условия лежат в основе решения задач на применение данного понятия. Задачи для размышления и контроля: 1. Приведите примеры задач, в процессе решения которых школьники должны реализовать указанные действия. 2. Сделать логико-математический анализ из любого выбранного понятия из школьного курса математики.

4 курс (частная методика) Лабораторная работа № 1 Тема: Методика изучения теорем школьного курса математики. Цели: 1.Обобщить и систематизировать знания студентов о теоремах и теоретических, методических подходах в работе над ними. 2.Сформировать способность у студентов самостоятельно организовывать работу над теоремами в школьном курсе математики. Основное содержание работы. Грамотная организация работы по изучению теорем школьного курса математики зависит, в первую очередь, от умения учителя выполнять логикоматематический и методический анализ определенной теоремы. Логико –математический анализ теоремы включает следующие этапы: 1.Анализ формулировки теоремы: а). Определение формы суждения ( категорическая, условная, раздельная). б). Раскрытие основных частей теоремы(разъяснительная часть, условие теоремы, заключение теоремы). в). Формулировка обратного утверждения. г). Формулировка теоремы-обобщения. 2.Определение места теоремы в структуре школьного курса математики: а). Выявление понятий и отношений между ними, рассматриваемых в формулировке теоремы. б). Обоснование важных последующих утверждений, которые основываются на данную теорему. 3.Анализ доказательства теоремы: а). Выяснение метода доказательства теоремы, который используется в учебнике (синтетический, аналитический, метод доказательства от противного, метод перебора, метод исключения, метод полной индукции, метод математической индукции). б). Выявление аксиом и ранее изученных теорем, на которые опирается доказательство рассматриваемой теоремы. Рассмотрим сказанное на примере теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1. а). В теореме используется категорическая форма суждения. б). Разъяснительная часть выделяется из условия и заключения теоремы путем установления природы объектов и их множеств, на которых рассматриваются условие и заключение. В данном случае разъяснительная часть состоит в том, что рассматривается прямоугольный треугольник- это условие теоремы, а квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов- это заключение. Вследствие того, что теорема содержит одно условие и одно заключение, то рассматриваемая нами теорема является простой. б). Обратная теорема: если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник- прямоугольный. в). Одной из теорем – обобщений для теоремы Пифагора является теорема косинусов. Кроме того, возможна и другая теорема- обобщение: если на сторонах прямоугольного треугольника построить соответствующим образом подобные фигуры, то площадь фигуры, построенной на гипотенузе равна сумме площадей фигур, построенных на катетах. 2. а). В теореме рассматриваются следующие понятия: прямоугольный треугольник, стороны прямоугольного треугольника. б). Важно отметить, что данная теорема лежит в основе метрической части геометрии, в частности, на нее опирается вывод формулы для расстояния между двумя точками, основное тригометрическое тождество и т. д. 3. а). В учебнике геометрии Л.С. Атанасяна теорема доказывается синтетическим методом. При синтетическом методе доказательства теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия к еѐ заключению. К достоинствам синтетического метода следует отнести: сжатость, краткость, исчерпывающую полноту, логическую безупречность образца рассуждений. В методическом отношении синтетический метод имеет и свои недостатки: для учащихся остаѐтся не ясным, как можно найти такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе. Кроме того, не аргументируется, почему нужны те или иные дополнительные построения. Все это приводит к тому, что учащиеся не представляют, в каком направлении должны протекать рассуждения. В учебнике рассматривается сразу общий случай доказательства. б). Доказательство опирается на свойства площадей, на следствие 1 о площади прямоугольного треугольника , на свойство равносильности уравнений. На основании логико - математического анализа учитель осуществляет методический анализ теоремы, подготавливая тем самым инструмент для еѐ изучения. Методический анализ теоремы включает следующие этапы:

1.Актуализация необходимых знаний, раскрытие содержания теоремы и показ еѐ необходимости. 2.Формулировка теоремы, еѐ краткая запись, логический анализ и первичное закрепление формулировки теоремы. 3.Поиск пути доказательства,доказательство и закрепление доказательства теоремы. 4.Применение теоремы в различных ситуациях. 1.а). Актуализация необходимых знаний включает в себя предворительное повторение тех фактов и закономерностей, которые отражены в формулировке и доказательстве теоремы. Данная работа осуществляется при разборе соответствующих заданий, в процессе выполнения устных упражнений или на этапе проверки домашнего задания. б). Раскрытие содержания теоремы обычно происходит в процессе обобщения результатов выполнения специально подобранных устных упражнений и практических работ. в). Показ необходимости доказательства теоремы происходит на основе осознания школьниками того факта, что для решения некоторых математических задач им не хватает сведений об изучаемых объектах или отношениях между ними. В результате сделанных выводов и наблюдений возникает проблемная ситуация, выход из которой предусматривает формулировку и проверку соответствующей гипотезы. 2. Раскрыв содержание теоремы, учащиеся с помощью учителя формулируют еѐ, одновременно составляя соответствующий рисунок. После чего рассматривается символическая запись теоремы на основании введѐнных обозначений на рисунке. Перед тем как перейти к доказательству теоремы, учитель может провести первичное закрепление формулировки теоремы, предложив повторить формулировку, выделить структуру теоремы, раскрыть содержание теоремы по рисунку, выяснить, нет ли других вариантов построения рисунка, соответствующего условию теоремы. Далее осуществляется поиск пути доказательства теоремы. Поиск может осуществляться в различных формах, при этом, каждая из них может отличаться степенью самостоятельности деятельности учащихся. К примеру: а). На основе восходящего анализа поиск пути доказательства осуществляется с учащимися в виде эвристической беседы. Идея заключается в том, что учитель задает вопросы учащимся, а они отвечают, постепенно двигаясь от заключения теоремы к ее условию.

б). На основе нисходящего анализа поиск осуществляется, так же как и в первом случае, но лишь с той разницей, что сначала он ведѐтся в прямом, а затем в обратном направлении. в). На основе синтеза поиск пути доказательства может осуществляться в двух формах: 1).В лекционной форме, когда учитель сам осуществляет доказательство с подробной записью на доске. 2).Учитель предварительно сообщает общую идею доказательства или мотивирует дополнительные построения, необходимые для доказательства, а затем учащиеся с помощью учителя воспроизводят полное доказательство утверждения. Закрепление доказательства может осуществляться с помощью следующих приѐмов: выделение плана доказательства или его идеи, выделение всех аргументов, используемых в доказательстве, доказательство по изменѐнному рисунку, нахождение другого доказательства теоремы, заполнение пропусков в доказательстве, предложенном учителем, или исправление ошибок в этом доказательстве. Соответствующие задания на закрепление доказательства теоремы могут предлагаться учащимся как сразу после доказательства теоремы, так и в виде домашнего задания. 4. Применение теоремы является основным путем еѐ закрепления и усвоения. Задачи на применение теоремы должны предлагаться в соответствии с дидактическим принципом по нарастанию сложности. В начале предлагаются задания на непосредственное применение теоремы в знакомой для учащихся ситуации. Затем желательно увеличивать сложность задач, используя при еѐ решении не только знания изученной теоремы, но и другие теоремы известные учащимся. Самостоятельное задание для студентов. Сделать логико - математический и методический анализ следующих тем: 1вариант. 2 вариант. Теорема о биссектрисе угла. Теорема о сумме углов треугольника. Теорема Фалеса. Теорема о величине внешнего угла треугольника. Семинарское занятие № 1. Тема: Определение сложности и трудности задачи. Цель: 1. Сформировать способность у студентов самостоятельно определять сложность задачи, используя имеющуюся формулу.

2. Раскрывать особенности информационной и внутренней структуры задачи. 3.Уметь осуществлять поиск решения задач на собственных примерах. Литература: О.Б. Епишева, В. И. Крупич. Учить школьников учиться математике. М., 1990. С. 51- 74. При подготовке данной темы студенты должны придерживаться следующего плана: 1. Раскрытие особенностей внешнего строения (информационной стуктуры) задачи и внутреннего еѐ устройства (внутренней структуры). 2. Обоснование понятий «трудность» и «сложность» задачи. 3. Характеристика примеров из книги по получению формулы определения сложности задачи S = m+n+l ,где m- число элементов, n – число явных связей и l- число видов связей в стрктуре задачи. 4. Выяснение особенностей критерия трудности. 5. Рассмотрение проблемы поиска решения текстовых задач, решаемых алгебраическим способом. 6. Раскрытие обобщѐнного приѐма аналитического поиска решения текстовых задач. 7. Рассмотрение геометрических задач на вычисление. Определение их сложности. Задание для самостоятельной работы студентов: Придумать примеры одного уравнения, неравенства, текстовой задачи и геометрической задачи. Определить их степень сложности. Разобрать придуманные примеры подробно. Лабораторная работа №2. Тема: Задачи на построение в школьном курсе математики. Цель: Сформировать способность у студентов самостоятельно организовывать работу с учащимися по изучению задач на построение. Литература: 1.Л.С. Атанасян Геометрия 7-9.М.:Просвещение, 1999.335 с. 2.И.Ф.Шарыгин Геометрия 7-9.М.:Дрофа,2001.367с. Основное содержание работы. Задачей на построение будем считать математическое предложение, указывающее по каким данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точка, прямая, треугольник, совокупность точек и т. д.) требу-

ется найти (начертить, построить на плоскости, наметить на местности и т. д.), так, чтобы этот образ удовлетворял определѐнным условиям. ( Автореферат диссертации на соискании учѐной степени к. п. н. Воистиновой Г. Х.). Таким образом, сущность задач на построение не исчерпывается указанием данных и формулировкой того, что требуется найти. Важное значение имеет также указание на те средства, с помощью которых задача должна быть решена, на те инструменты, при помощи которых построение должно быть выполнено. Решить задачу на построение – значит по заданным в условии задачи элементам ( точкам, прямым, окружностям и т. д.) найти искомые элементы, удовлетворяющие сформулированным в условии задачи требованиям. Задачи на построение циркулем и линейкой являются традиционным материалом, изучаемым в курсе планиметрии. Важно знать основных пять операций, которые можно выполнять с помощью циркуля и линейки: 1.построение прямой;

2) построение окружности;

1) нахождение точки пересечения двух прямых;

4)нахождение общей точки прямой и окружности;

5) нахождение точки пересечения двух окружностей;

Цель решения задач на построение заключается в нахождении способа построения, и желательно наиболее экономичного. Этой цели подчинена та часть решения, которая называется анализом. Предполагая,что задача решена, делают приблизительный чертѐж искомой фигуры и пытаются выяснить такие соотношения между данными задачи, которые позволят свести еѐ решение к другим, известным ранее, или основным задачам на построение. Целью этапа анализа является составление плана решения. Вторая часть решения - это само построение, которое выполняется соответственно выбранному плану решения. Для того чтобы убедиться в правильности построения, проводится доказательство (на основании известных теорем) того, что построенная фигура обладает требуемыми свойствами. Вообще говоря, должен быть проведѐн ещѐ один этап решения – исследование, где решается вопрос, при каких данных задача имеет решение, сколько решений имеет задача, нет ли каких-либо частных случаев, требующих особого рассмотрения. Самостоятельная работа для студентов: 1. Выписать в тетрадь основные задачи на построения (7класс) из учебников Л.С. Атанасяна. Геометрия7-9. и И.Ф. Шарыгина. Геометрия 7-9. 2.Сравнить особенности введения задач на построение по учебникам Л.С. Атанасяна. Геометрия7-9. и И.Ф. Шарыгина. Геометрия 7-9.(7 класс) 3.Охарактеризовать особенности введения задач на построения по учебникам Атанасяна. Геометрия7-9. и И.Ф. Шарыгина. Геометрия 7-9.(8 класс) и методы их решения. 4.Придумать систему заданий, позволяющую актуализировать знания по теме «Метод геометрических мест в задачах на построение» по учебникуИ.Ф. Шарыгина. Геометрия 7-9.(С.132-135). Лабораторная работа №3

Тема: Методика работы с сюжетной задачей в школьном курсе математики. Цели: 1. Обобщить теорию задач. Обсудить вопросы, касающиеся структуры задачи, сути алгоритмического и эвристического методов решения задач, приѐмов поиска решения задач, используемых при эвристическом подходе, возможности использования анализа и синтеза на этапе поиска пути решения задачи. 2. Выделить основные этапы деятельности по решению задач. Рассмотреть методику работы над сюжетной задачей в курсе математики 5-6 классов. Основное содержание работы: В процессе решения различных задач используются разные методы и приѐмы решения. Все методы (с некоторой долей условности) можно разделить на две группы: алгоритмические и эвристические. В деятельности по решению задач обычно выделяют четыре этапа: 1) Ознакомление и анализ содержания задачи; 2) Поиск и составление плана, оформление решения задачи; 3) Реализация плана, оформление решения задачи; 4) Проверка (анализ) найденного решения. В сюжетной задаче данные и связи между ними включены в фабулу, которая чаще всего представляет собой некоторую близкую к жизни ситуацию. Процесс решения задачи тесно связан с формированием таких приѐмов мышления как анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и другие. Эти задачи важны с точки зрения развития мышления учащихся, усвоения идеи функциональной зависимости, повышения уровня вычислительной культуры, поддержания интереса учащихся к математике, овладения эффективным методом познания – математическим моделированием. В процессе работы над сюжетной задачей, особенно на этапе поиска плана решения задачи определѐнного класса или составления алгоритмического предписания для решения задач нового класса, используется эвристический метод. Наиболее распространены следующие приѐмы поиска решения задачи: серии вспомогательных задач; целенаправленных проб; математического моделирования. Решение сюжетной задачи в 5-6 классах возможно осуществить арифметически (все логические операции проводятся над конкретными числами), алгебраическим (составляется уравнение или система уравнений), комбинированным способом. При решении сюжетных задач очень важным является первый этап – ознакомление с условием и его анализ. В процессе беседы необходимо уяснить

ситуацию, описываемую в условии, установить взаимосвязь между данными, между условием и заключением, сделать краткую запись условия. От того, насколько эффективны был организован первый этап, зависит дальнейшее решение задачи. Условие задачи может быть записано в разной форме, которая должна быть достаточно компактной и содержать то, что необходимо для решения. Рассмотрим примеры. Задача1. Площадь одного поля 207,5 га, а площадь второго поля – на 17 га больше. Сколько пшеницы собрали с обоих полей, если с каждого га первого поля собрали 32,4 ц., а с каждого гектара второго – 28,5 ц. Возможна следующая краткая запись условия задачи: Площадь Урожайность I поле 207,5 га 32,4 ц. ? II поле ? – на 17 га больше I 28,6 ц. Задача 2. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2,5 ч. Скорость первого пешехода равна 4,2 км/ч, а второго – 5,2 км/ч. Какое расстояние было между пешеходами в начале движения? Условие этой задачи можно оформить следующим образом: V1=4.2 км/ч

t1=t2

V2=5,2 км/ч

Составление такой схемы плавно переходит в нахождение решения задачи. ? Задача 3. Машина прошла первый участок пути за 3 часа, а второй участок – за 2 часа. Длина обоих участков вместе – 267 км. Какова длина каждого участка, если скорость машины на втором участке была на 8,5 км/ч больше, чем на первом. Условие задач на движение, особенно таких, где можно выделить 2 или 3 ситуации, удобно записывать в виде таблицы. Скорость Время Расстояние I ? км/ч 3ч ? км 267 км II ? – на 8,5 км/ч б. 2 ч ? кМ Конечно, условие первой задачи можно было бы изобразить в виде схеы, а условие второй записать таблицей и т.п. Весь вопрос в том, что сделать это необходимо таким образом, чтобы условие лучше воспринималось и помогало бы составлять план решения. Обучение учащихся решению сюжетных задач начинается в начальной школе. В 5-6 классах этот процесс совершенствуется и развивается. У школьников этого возраста должны быть сформированы умения составлять числовые и буквенные выражения, пропорции, линейные уравнения, исхо-

дя из условия задачи. Сопоставление арифметического и алгебраического способов мышления, умению самостоятельно вести поиск пути решения, способствовать повышению интерес учащихся к решению задач. Поиск пути решения (второй этап в работе над задачей) может происходить по-разному в зависимости от цели и способа решения конкретной задачи. Рассмотрим примеры. Задача 4. С двух станций, расстояние между которыми 720 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 75 км/ч, а скорость второго на 10 км/ч больше. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 4 часа? Условие задачи может быть представлено в виде схемы. 75 км/ч

? км

на 10 км/ч больше

720 км

При поиске пути решения возможно использование синтетического способа рассуждения. Учитель. Зная, что скорость первого поезда 75 км/ч, а второго на 10 км/ч больше, что мы можем узнать? Ученик. Скорость второго поезда. Учитель. Что мы можем узнать, зная скорость первого поезда и его время? Ученик. Путь, который прошѐл первый поезд за 4 часа. Учитель. Что можно узнать, зная скорость и время в пути второго поезда? Ученик. Какой путь прошѐл второй поезд. Учитель. Зная, какой путь прошѐл каждый из поездов, что мы можем найти? Ученик. Путь, пройденный обоими поездами вместе. Учитель. Зная этот путь и общее расстояние между данными пунктами, что мы можем найти? Ученик. Расстояние, на котором будут находиться поезда друг от друга. Использование синтеза в процессе поиска плана решения задачи малоэффективно с точки зрения развития мышления учащихся. Наиболее выигрышным в этом отношении является аналитический способ рассуждений (от заключения к условию). Учитель. Чтобы ответить на вопрос, на каком расстоянии друг от друга будут поезда, что нам достаточно знать? Ученик. Какой путь пройдѐт каждый из поездов.

Учитель. Чтобы узнать, какой путь прошѐл каждый из поездов, что нам достаточно знать? Ученик. Их скорости и время движения. Учитель. Для какого поезда они известны? Ученик. Для первого. Учитель. Что нам достаточно знать, чтобы найти путь, пройденный вторым поездом? Ученик. Его скорость. Учитель. А что достаточно для этого? Ученик. Достаточно знать скорость первого поезда. А она нам известна. Таким образом, используя анализ, мы пришли к тому действию, с которого над начинать решение задачи – находить скорость второго поезда. Анализ может быть представлен в виде таблицы или схематически. Таблица Чтобы узнать Достаточно знать На каком расстоянии друг от друга Какой путь будет пройден каждым будут поезда из поездов. Какой путь пройдѐт первый поезд Скорость (75 км/ч) поезда и время (4 ч) Какой путь пройдѐт второй поезд Скорость (7 км/ч) и время (4 ч) Скорость второго поезда Скорость первого поезда (она известна – 75 км/ч) Схема Расстояние между городами Путь первого

Скорость

Путь второго Время

Скорость

Время

(на 10 км/ч б)

Составив план решения, переходят к записи решения, которая зависит от способа решения (арифметический или алгебраический), так и от избранной учителем для данной задачи формы записи. При арифметическом способе решения формы записи могут быть следующими:

вопрос с последующим действием; действие с последующим объяснением; текстовое пояснение с последующей записью решения; числовое решение без всякого текста. Так, например, решение второй задачи можно представить следующим образом: 1. Какова скорость сближения? 4,2+5,2=9,4 (км/ч) 2. Какое расстояние они прошли за 2,5 часа? 9,4*2,5=23,5 (км) Ответ: расстояние между пешеходами было 23,5 км. Или по-другому: 1) 4,2+5,2=9,4 (км/ч) – общая скорость пешеходов. 2) 9,4*2,5=23,5 (км) – их общий путь за 2,5 часа. Ответ: расстояние между пешеходами было 23,5 км. Первая из предложенных записей более походит для процесса объяснения, а вторая – для оформления задач при самостоятельном решении. Конечно, подробное оформление всех текстовых задач требует больших временных затрат, однако, переходить к записи только числового или алгебраического решения без пояснений или с очень коротким пояснением надо осторожно – не директивно, а по мере овладения каждым конкретным учащимся технологией решения задач определѐнного класса. Задачи, решаемые составлением уравнения, обычно оформляют следующим образом: (задача 3) Пусть скорость машины на первом участке – x (км/ч). Тогда на втором участке еѐ скорость – (x+8,5) (км/ч) Длина первого участка пути – 3x (км), длина второго участка – 2(x+8.5)(км) Так как по условию. Длина первого и второго участков вместе составляют 267 км, то можем составить уравнение: 3x+2(x+8,5)=267 3x+2x+17=267 5x=250 5x=50 (км/ч) – скорость на первом участке тогда длина первого участка – 3*50=150 (км), а второго 267-150=117 (км) Ответ: длины первого и второго участков равны соответственно 150 и 117 км. Конечно, как и в первом случае, текстовое пояснение постепенно сокращается по мере приобретение навыков решения и оформления подобных задач. Можно предложить такую запись решения: x (км/ч) – скорость на 1 уч.

(x+8,5) (км/ч) – скорость на 2 уч. 3x (км) – длина 1 уч. 2(x+8.5)(км) – длина 2 участка 3x+2(x+8.5)=267 3x+2x+17=267 5x=250 x=50 3*50=150 (км) – длина 1 уч. 267-150=117 (км) – длина 2 уч. Ответ: 150 км и 117 км. Необходимо заметить, что при решении данной задачи мы использовали сочетание алгебраического и арифметического способов решения. При обучении учащихся решению задач необходимо показывать возможность использования различных способов (арифметический, алгебраический, комбинированный), а при решении алгебраическим способом иногда полезно одну и ту же задачу решать, составляя различные уравнения. Такой приѐм поможет сформировать умение мотивировать составление уравнения, а также выбор неизвестного. В процессе такой работы часто бывает удобно за неизвестную принять ту величину, которую требуется найти в задаче, и тогда ответ на вопрос мы получаем сразу, как только решим уравнение. Однако, иногда, руководствуясь этими соображениями, получаем сложные уравнения. . Самостоятельное задание для студентов: Выбрать любые сюжетные задачи из действующих школьных учебников по математике для 5 или 6 классов и показать организацию работы с ними. Лабораторная работа№4. Тема: Устные упражнения в школьном курсе математики. Цель: Развитие профессиональной культуры студентов при составлении и систематизации устных упражнений, организация самостоятельной деятельности по анализу предложенных тем урока и раскрытие особенностей структурирования устных упражнений к выбранной теме. Задачи: 1.Сформировать представления об устных упражнениях как о действиях, направленных на актуализацию знаний, характерными особенностями которых являются динамичность и сокращение письменных оформлений, с целью развития речи, мыслительных операций, творческих способностей учащихся.

2.Научить выбирать и систематизировать учебный материал при составлении устных упражнений так, чтобы каждое задание содержало в себе проблемную ситуацию. 3.Развивать логику и профессиональную интуицию в структурировании системы заданий. Литература:1.ЛипатниковаИ.Г. Конструирование устных упражнений в системе развивающего обучения математтике. Екатеринбург,2003.144 с. 2. Липатникова И.Г. Устные упражнения на уроках математики.//Математика для каждого. Концепция программы, опыт работы. Выпуск 3. Москва, 2000 с. 216-219. 3.Виленкин Н.Я. Математика 5 класс. Москва,2000. 285с. 4.Алимов Ш.А. Алгебра 8 класс. Москва, 2000.239 с. 5.Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. Москва,2000.335с. Основное содержанние работы: Устные упражнения представляют собой действия, направленные на усвоение знаний, характерными особенностями которых являются динамичность и сокращение письменных оформлений, с целью развития речи, мыслительных операций, творческих способностей учащихся. Важно отметить, что устные упражнения рассматриваются нами с разных сторон учебного процесса: с точки зрения содержания, методов, средств обучения, учебно-познавательной деятельности. В дидактике обычно основное внимание уделяется отбору содержания знаний, подлежащих усвоению, определению последовательности, доступности, систематичности их изложения. Однако, как бы тщательно не был разработан и задан для усвоения учебный материал, сам по себе он еще не может обеспечить эффективность усвоения. Несомненно, что необходим другой подход к овладению содержанием знаний. В качестве такого подхода мы предлагаем инвариантную идею – деятельностное содержание устных упражнений. Важно отметить, что «деятель-

ность превращается в содержание только при определенном условии: когда она становится предметом рефлексии в ситуациях учения-обучения». В свою очередь, модель учебного процесса, адекватная развивающей направленности устных упражнений, построена на основе рефлексивного подхода к учебнопознавательному процессу. Поэтому, учитывая тот факт, что именно в системах рефлексивного мышления и сознания деятельностные процессы превращаются в содержание, мы будем говорить о деятельностном содержании устных упражнений. Для В.В.Давыдова ядерную структуру деятельностного содержания образует понятие как способ деятельности. Осваивая способы деятельности, стоящие за каждым из понятий, включенные в учебный предмет, ребенок продвигается в освоении содержания учебного материала. Кроме того для построения деятельностного содержания необходимо, чтобы способы деятельности стали для учащегося предметом освоения. В свое время В.В.Давыдов нашел для этот интересный и невероятно точный теоретический ход. Способ деятельности может быть представлен в виде объективно выделенной структуры учебной работы, все элементы которой должны быть последовательно проделаны и выполнены ребенком. Таким способом деятельности, на наш взгляд, и являются устные упражнения, позволяющие формировать самостоятельность мышления, вооружать учащегося способами и методами самостоятельной работы, обучать анализу своей собственной деятельности, раскрывать возможность самостоятельного управления образовательным процессом в системе «учитель-ученик». Все вышесказанное свидетельствует о том, что, если ребенок включен в деятельность на уроке и осознает, как он ее выполняет, какие средства использует для ее построения и организации, это и будет означать, что он осваивает деятельностное содержание. Нельзя отрицать и тот факт, что эффективность обучения находится в прямой зависимости от уровня активности ученика в познавательной деятельно-

сти, степени его самостоятельности в этом процессе, что в свою очередь определяется интересами школьников (Ю.К.Бабанский, М.А.Данилов, А.В.Усова, Г.И.Щукина и др.). Исследования показали, что познавательный интерес зависит не столько от возрастных возможностей учащихся, сколько от обобщенных умений. Так, Ю.К.Бабанский установил, что успешность учения имеет очень высокий коэффициент корреляции с такими компонентами интеллектуального развития, как умение выделять существенное, сравнивать, обобщать. Результаты этих исследований вызывают необходимость внедрения в обучение таких устных упражнений, в процессе выполнения которых формировались бы обобщенные умения. В свою очередь известно, что наиболее сильное влияние на развитие оказывает та деятельность, которую ученик выполняет с желанием, охотно. Положительные эмоции, как это доказано академиком И.П.Павловым, тонизируют кору больших полушарий головного мозга, заставляют энергично работать все органы человеческого тела, все функции организма и тем самым способствуют их развитию. Для того, чтобы ребенок учился хорошо, нужно, чтобы он учился охотно, писал Л.Н.Толстой, рассматривая условия успешного обучения. В основе положительного мотива лежит познавательная потребность, интерес.

Условиями

их

формирования

некоторые

ученые

(Т.И.Шамова,

Г.И.Щукина и др.) называют: 1.

организацию обучения, при которой ученик действует активно, вовлекается в процесс самостоятельного поиска новых знаний;

2.

организацию учебного процесса на оптимальном уровне развития учащихся;

3.

повышение интереса к учебному труду за счет его разнообразия;

4.

понимание детьми нужности, важности, целесообразности изучения данного предмета;

5.

связь нового материала с ранее изученным;

6.

яркость, эмоциональность учебного материала;

7.

создание учителем эмоциональной атмосферы обучения, благоприятного общения в учебном процессе;

8.

постоянную поверку и оценку работы учащихся.

Устные упражнения имеют возможность реализации указанных условий, так как они включают в себя виды заданий, позволяющие раскрыть способности и затронуть интересы любого ученика. Задания можно разделить на четыре категории (рис. 1). 1. Задания, требующие воспроизведения данных 2. Задания, требующие простых мыслительных операций с данными

Устные упражнения

2. Задания, требующие сложных мыслительных операций с данными 4. Задания, требующие творческого мышления

Рис 1. К первой категории относятся: 1. задания на узнавание; 2. задания на воспроизведение отдельных фактов, чисел, понятий; 3. задания на воспроизведения правил; 4. задания на воспроизведение таблиц сложения, умножения, деления;

Данные задания требуют от учащихся выполнения таких операций, содержание которых предусматривает узнавание ими репродукцию отдельных фактов и целого. Чаще всего они начинаются со слов: какая из; что это; как называется; и т.д. Во вторую категорию включены: 1. задания на выявление фактов (измерение, взвешивание и т.д.); 2. задания на перечисление и описание процессов и способов действий; 3. задания на разбор и структуру (анализ и синтез); 4. задания на сопоставление и различие (сравнение и разделение); 5. задания на распределение (классификация); 6. задания на выявление взаимоотношений между фактами (функция, способ, следствие, средство и т.п.); 7. задания на абстракцию, конкретизацию и обобщение; 8. решение несложных примеров (с неизвестными величинами и т.п.). При выполнении указанных заданий необходимы элементарные мыслительные операции. Начинаются задания обычно словами: сравните; определите сходство и различие, каким способом; что является причиной; и т.п. Третья категория охватывает: 1. задания на перенос (трансляция, трансформация); 2. задания на изложение (интерпретация, разъяснение смысла, значения, обоснование); 3. задания на индукцию; 4. задания на дедукцию; 5. задания на доказательство (аргументацию) и проверку (верификацию); 6. задания по оценке. Решение перечисленных заданий требует сложных мыслительных операций. Сюда относятся задания по индукции, дедукции, интерпретации, верификации и т.д. Начинаются они обычно со слов: объясните смысл; раскройте значение; как вы понимаете; почему думаете, что; определите; докажите; и т.п.

В четвертую категорию входят: 1. решение проблемных задач и ситуаций; 2. постановка вопросов и формулировка задач и заданий; 3. задание по обнаружению на основании собственных наблюдений (на сенсорной основе); 4. задания по обнаружению на основании собственных размышлений (на рациональной основе). Эти задания при выполнении предполагают самостоятельность. Начинаются они обычно словами: придумай; обрати внимание; на основании собственных наблюдений определи; и т.п. Это уже не задания, которые требуют не только знание всех предшествующих операций, но и способность комбинировать из в более крупные блоки, структуры так, чтобы они создавали нечто новое, пусть даже только субъективно, то есть новое для учащегося. Таким образом, устные упражнения позволяют реализовать следующие цели: диагностические, прогностические и эмоционально-мотивирующие. Взаимосвязь интеллектуальной и эмоциональной сторон учебной деятельности играет немаловажную роль в активном усвоении знаний. При этом обобщенные умения под влиянием мотива, интереса развиваются более благоприятно. Из сказанного следует, что устные упражнения должны выступать в процессе обучения способом стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности школьников. Исследования (П.И.Пидкасистый, А.В.Усова) структуры самостоятельной познавательной деятельности привели к выводу о необходимости повышения удельного веса самостоятельных работ в учебном процессе и их разнообразия (по образцу, реконструктивно-вариативные, эвристические, творческие). Самым высоким уровнем самостоятельности является творчество. Творчество – самый сложный вид человеческой деятельности, который захватывает все духовные силы человека, его ум, волю и т.д. Характерной чертой творческой

деятельности является то, что она всегда направлена на создание нового. Творчество ученика, оригинальность его деятельности проявляется не столько в создании новых способов решения проблемы, сколько в своеобразном комбинировании уже известных приемов действий или в выявлении неизвестных приемов, используемых учеником в уже известных комбинациях действий для решения той или иной познавательной задачи. Самый высокий уровень самостоятельности ученика проявляется в ходе выполнения им творческих самостоятельных работ, где предполагается уже непосредственное участие школьника в производстве новых для него знаний, ценностей материальной и духовной культуры. Высокий уровень активности и самостоятельности учащихся характеризуется различными потребностями у учащихся в познавательной деятельности, умением преодолевать возникающие трудности в обучении и достигать определенных успехов. Все эти качества формируются и развиваются в деятельности ученика часто под влиянием тех условий, в которых он находится. Устные упражнения создают условия для развития творческих способностей учащихся. Причем для того, чтобы выполнить это назначение, устные упражнения должны выступать в процессе обучения как способ организации и управления учебно-познавательной деятельностью школьников (репродукция, эвристика, исследование). Источником и движущей силой развития интеллекта теория познания считает противоречие в самом процессе познания человеком действительности, фиксируемые посредством категории проблемы. Поэтому развитие творческих и мыслительных способностей и познавательной самостоятельности учащихся невозможно вне проблемных ситуаций. Необходимость внедрения проблемно-развивающего обучения стимулировало исследования структуры урока. М.И.Махмутов пришел к необходимости рассмотрения структуры урока на трех уровнях: дидактическом, логико-

психологическом и методическом. Им выделены следующие компоненты общей дидактической структуры урока: 1.Актуализация прежних знаний и способов действий учащихся (что означает не только воспроизведение ранее усвоенных знаний, но и их применение, часто в новой ситуации, и стимулирование познавательной активности учащихся, и контроль учителя). 2.Формирование новых понятий и способов действий. 3.Применение-формирование умений и навыков (включающее и специальное повторение и закрепление). Общая дидактическая структура урока раскрывается и конкретизируется в его методической подструктуре, элементами которой являются устные упражнения. Они активизируют мыслительную деятельность учащихся; при их выполнении у детей развивается слух, быстрота реакции. В сочетании с другими формами работы устные упражнения позволяют создать условия, при которых активизируются различные виды деятельности учащихся: мышление, речь, моторика. Они, в свою очередь, формируют умения и навыки. Таким образом, в структуре проблемно-развивающего урока устные упражнения могут занимать важное место и использоваться на всех его этапах, являясь средством активизации познавательной деятельности учащихся При всей своей абстрактности математические знания возникли из практики и применяются на практике. Поэтому обучение математике обязательно должно быть связано с реальными вещами, с другими дисциплинами. Это требование особо подчеркивает функцию устных упражнений служить средством связи теории с практикой. Теперь можно построить теоретическую модель устных упражнений, которая характеризует их со всех сторон учебного процесса. Теоретическая модель устных упражнений служит целям теоретического осмысления их как методического явления (рис. 2.).

Устные упражнения Содержание обучения 1.Деятельностное содержание. 2. Способ деятельности. 3. Материал интеллектуального развития.

Методы обучения 1.Интегративная составляющая методов обучения.

Средства обучения 1. Средство целенаправленного формирования знаний, умений и навыков. 2. Средство активизации познавательной деятельности 3. Средство связи теории с практикой.

Учебнопознавательная деятельность 1. Способ стимулирования и мотивации учебнопознавательной деятельности. 2. Способ организации и управления деятельностью.

Рис. 2. Модель устных упражнений, характеризующая их с точки зрения учебного процесса Таким образом, устные упражнения представляются нам как многоаспектное явление обучения математике, обладающее следующими основными функциями: 1. быть способом деятельности; 2. являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков; 3. являться средством активизации познавательной деятельности; 4. служить средством связи теории с практикой; 5. быть способом стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности школьников; 6. являться интегративной составляющей методов обучения. 7. быть способом организации и управления деятельностью. Важно учитывать следующие рекомендации при подборе устных упражнений: 1)Упражнения надо подбирать не случайно , а обдуманно и целенаправленно:

а) для подготовки учащихся к новым вводимым понятиям, терминам, для лучшего уяснения вновь устанавливаемых законов, зависимостей взаимных положений геометрических объектов; б) для тренировки в логических рассуждениях, в обосновании своих суждений, заключений, в частности, при доказательстве теорем; в) для развития пространственного мышления; г) для развитие навыков вычислительного характера; д) для повторения, закрепления в памяти пройденного. 2.Материал для устных упражнений не должен быть шаблонным и повторяться в одном и том же виде или форме, не должен быть слишком лѐгким, но и не должен быть излишне громоздким, сложным по своей конструкции, с длинными формулировками задач и с большим количеством данных. 3.Каждое из предложенных упражнений должно быть проблематизированно, что позволяет поставить учащегося в условия исследователя. Такие упражнения ведут к созданию потребности активного участия в процессе обучения. Именно они необходимы для организации действий, понимания, мышления и для стимулирования самосознания каждого учащегося. 4.Тексты устных упражнений, если они требуют записи, и чертежи геометрических задач следует заготавливать заранее на доске, на плакатах, в таблицах и т.д.. 5.К работе над устными упражнениями важно привлечь всех учащихся класса, потому, получив ответ, учитель должен, никак не оценивая его, проверить, какие ответы и объяснения имеют другие учащиеся, особенно часто обращаясь к наиболее пассивным. В заключение учителем должен быть сообщѐн верный ответ, при этом, учащиеся самостоятельно должны обсудить варианты полученных ответов. Рассмотрим пример устных упражнений по теме: Новая запись числа. (учебник Л.Г. Петерсон 5класс.2 часть.). Цель: 1. Сформировать представление у учащихся о том, что десятичные дроби – это новая запись обыкновенных дробей и натуральных чисел. 2. Повторять выполнение действий с обыкновенными дробями, сокращение дробей.

3. Развивать речь, мыслительные операции и творческие способности учащихся. 1.Увеличить число 1234 во столько раз, сколько всех единиц в сумме его цифр. На сколько надо увеличить число 12340, чтобы в разряде десятков тысяч иметь цифру 5, а в разряде единиц цифру 7. Назовите разряды в полученном числе. Замените его суммой разрядных слагаемых разными способами. 2.Найдите неизвестное число, если оно: 1 1 b) на 2 больше 5 ;

1 1 c) в 2 раза больше 5 ; 1 1 1 d) в 4 раза больше 5 .

Расставьте полученные результаты в порядке возрастания: 1 , 10

3 , 10

7 . 10

Что интересного вы можете сказать об этих числах? Верно ли утверждение, что при сложении данных дробей получится смешанное число. 2. Запишите только результаты: Какую часть от 1 дм составляет 1 см? 3 см? Какую часть от 1 м составляет 1 см? 5 см? Какую часть от 1 км составляет 1 м? 7 см? 1 , 10

3 , 10

1 , 100

5 , 100

1 , 1000

7 . 1000

На какие группы можно разбит полученный ряд чисел? Можно ли утверждать, что данные записи являются верными:

1 1 1  0,1;  0,01;  0,001; 10 100 1000 3 5 7  0,3;  0,05;  0,007. 10 100 1000

Самостоятельное творческое задание для студентов: 1.Выберите тему урока и самостоятельно проанализируйте еѐ содержательную структуру, выяснив при этом основные моменты необходимые на этапе актуализации знаний. 2.Придумайте устные упражнения, направленные на актуализацию знаний и развитие учащихся. Темы уроков: Математика 5 класс. Н.Я. Виленкин: 1.Упрощение выражений. 2.Сравнение дробей. 3.Смешанные числа. 4.Сложение и вычитание десятичных дробей. 5.Проценты. Алгебра 8 класс. Ш.А. Алимов: 1.Квадратное уравнение и его корни. 2.Определение квадратичной функции. 3.Квадратное неравенство и его решение. Геометрия для 7-9 классов. Л.С. Атанасян. 1.Смежные и вертикальные углы. 2.Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 3.Второй признак равенства треугольников. 4.Параллелограмм. 5.Признаки параллелограмма. 6.Трапеция. 7.Прямоугольник. 8.Ромб и квадрат. Семинарское занятие №2. Тема: Особенности изучения математики в 5-6 классах. Цель:1.Уточнять и расширять представления студентов о различных моделях построения курса математики в 5-6классах. 2.Развивать у студентов профессиональные творческие способности. Литература: 1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И.,Чесноков А.С. Математика 5 класс. М.,2000. 2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И.,Чесноков А.С. Математика 6 класс. М.,2000. 3.Дорофеев Г.В.,Шарыгин И.Ф. Математика 5 класс. М.,2000.

4. Дорофеев Г.В.,Шарыгин И.Ф. Математика 6 класс. М.,2000. 5.Дорофеев Г.В.Суворова С.Б.Дидактические материалы 6 класс. М.,2000. 6. Дорофеев Г.В.,Петерсон Л.Г.Математика 5 класс. М.,2000. 7. Дорофеев Г.В.,Петерсон Л.Г.. М атематика 6 класс М.,2000. 8.Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика511классы.М.,2000. 9.Математика 5-6класс. Методические материалы к учебникам ДорофееваГ.В., Петерсон Л.Г.М.,2003. 10.Никольский С.М. ,Потапов М.К. М атематика 5класс М.,2001. 11.Никольский С.М.,Потапов М.К. М атематика 6класс М.,2001. Задания для размышления и конроля: 1.Раскройте цели и задачи курса математики 5-6 классов, используя программу. 2.Познакомьтесь с содержанием темы «Натуральные числа» по программе и учебникам для 5-6 классов. Какое расширение и углубление знаний по этой теме происходит в 5-6 классах? Рассмотрите эту идею на примере всех предложенных учебников. 3.Проанализируйте предложенные учебники и раскройте особенности их структурирования. Более подробно остановитесь на подходах к раскрытию понятия числа. Выясните, где и как происходит расширение и углубление данного понятия. 4.Прокомментируйте на примере предложенных учебников различные подходы к последовательности изучения обыкновенных и десятичных дробей. 5.Подготовьте задания с «перфокартами» по темам: «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел». 6.Подготовьте справочные и рабочие таблицы по теме: «Положительные и отрицательные числа». 7.Разработайте карточки инструкции для учеников, плохо усвоивших тему: «Модуль числа». Семинарское занятие № 3 Тема: Управление и неравенства в школьном курсе математики. Цель: 1. Обобщать и систематизировать знания студентов об уравнениях и неравенствах школьного курса математики.

2. Раскрывать методические особенности изучения уравнений и неравенств на различных этапах обучения в средней школе. Литература: 1. Виленкин Н.А., Жохов В.И. Математика 5 класс. М., 2000 2. Виленкин Н.А., Жохов В.И. Математика 6 класс. М., 2000 3. Дорофеев Г.В. Математика 5 класс. М., 2000 4. Дорофеев Г.В. Математика 6 класс. М., 2000 5. Никольский С.М. Арифметика 5 класс. М., 2001 6. Никольский С.М. Арифметика 6 класс. М., 2001. 7. Алимов Ш.А Алгебра 7 класс. М., 2000 8. Алимов Ш.А Алгебра 8 класс. М., 2000 9. Алимов Ш.А Алгебра 9 класс. М., 2000 10. Алимов Ш.А Алгебра и начала анализа 10-11 класс. М., 2000 11. Дорофеев Г.В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных 9 класс. М., 2000 Задания для размышления и контроля: 1. Построить классификацию уравнений, изучаемых в средней школе. Обоснуйте критерии, положенные в основу этой классификации. 2. Охарактеризовать алгоритм работы по решению данных неравенств │x│<2,5; │y│≤9,6; │a-1│<3; │n+2│≤5. 3. Прокомментировать особенности работы по решению простейших уравнений, содержащих знак модуля. │5b+4│=0 │c-2│=1 4. Используя учебник Дорофеева Г.В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс, разработайте методическую схему графического решения квадратных уравнений, содержащих знак модуля. 5. Дано неравенство вида: ax2+bx+c>0 Найдите различные способы решения аналитическим и графическим методами и раскрыть методику работы с учащимися в каждом отдельном случае. 6. Описать методику исследования квадратного уравнения по дискриминанту и коэффициентам. 7. Придумать примеры иррациональных уравнений, по одному виду которых учащиеся могли бы сделать вывод об отсутствии их решения.

8. Придумать систему показательных и логарифмических неравенств, при решении некоторых используется свойство монотонности соответственно показательной и логарифмической функции. Лабораторная работа №5 Тема: Логико-дидактический анализ понятий. Цель: 1. Сформировать способность у студентов самостоятельно осуществлять логико-дидактический анализ понятий с учѐтом психолого-педагогических особенностей обучаемых. 2. Развивать умение грамотно выбирать метод, с помощью которого будет вводиться определение понятий Литература: 1.Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. С. . 53-72 2.Груденов Я.И. Совершенствование работы учителя математики. М., 1990. 234 с. 3. Содержание лабораторной работы: А. Логико-дидактический анализ понятия предполагает указание  Объѐма (через классификацию),  Содержания (перечисление существенных признаков),  Установление структуры (конъюнктивная, дизъюнктивная),  Способа определения (через ближайший род и видовые отличия, генетический, конструктивный, в виде условного соглашения и др.)  Взаимосвязей с другими понятиями. В. Математический анализ понятия включает в себя  Подготовительный этап (указание, что и в какой форме повторяется перед введением понятия),  Мотивацию введения понятия. Создание положительного мотива может быть достигнуто, если показать:  Практическое приложение материала,  Решение данной проблемы в истории наук,  Занимательные факты, относящиеся к данному вопросу.  Выделение методов (способов) введения определения понятия (конкретно-индуктвный или абстрактно-дедуктивный)

Конкретно-индуктивный метод проводится по следующим этапам: 1) Формирование представления о понятии с помощью восприятия существенных признаков конкретных примеров; 2) Образование понятия на основе обобщения его существенных признаков; 3) Усвоение понятия:  Знание объѐма и содержания понятия (упражнения на распознавание и вывод следствий) и приведение контрпримеров;  Умение применять данное понятие при решении задач и доказательстве теорем. Абстрактно-дедуктивный метод осуществляется по таким этапам: 1. Введение нового понятия в готовом виде; 2. Иллюстрация понятия с помощью конкретных примеров (работа над существенными признаками понятия); 3. Рассмотрение конкретных примеров приложения понятия:  Установление функций задач при работе над понятием (задачи, связанные с показом практической значимости нового понятия; задачи на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании данного понятия; задачи на распознавание данного понятия; задачи на установление свойств понятия; задачи на применение понятия);  Отработка примеров учебной работы по применению определяемого понятия;  Указание степени самостоятельности учащихся, контроль их знаний, применение наглядных пособий, ТСО Примеры по логико-дидактическому анализу понятий Пример 1. Внешний угол треугольника А. Определение. Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. Объёмом этого понятия служит множество всех внешних углов треугольника, а содержанием – перечень характеристических (существенных) свойств, которые раскрываются в определении этого понятия. Существенные признаки внешнего угла треугольника при данной вершине: 1. Угол – родовой понятие. 2. Угол, смежный с углом треугольника при этой вершине, - видовое отличие. К несущественным признакам здесь можно отнести вид треугольника в зависимости от величины углов или сторон, расположение треугольника на плоскости, его обозначение.

Структура определения данного понятия является конъюнктивной, то есть существенные признаки данного понятия соединены логическим союзом «и». Способ определения данного понятия – через ближайший род (угол, смежный с углом треугольника при данной вершине). Внешний угол треугольника – определяемое понятие (термин). Угол, смежный с углом треугольника при этой вершине, - определяющее понятие. В. Целесообразная конкретно-индуктивная методика введения данного понятия, осуществляемая конструктивным путѐм (построением). С этой целью рассмотреть треугольник и предложить учащимся построить при какой-нибудь вершине этого треугольника угол, смежный выбранному. Аналогичные построения можно выполнить при другой вершине данного треугольника и для других треугольников. В ходе построения всякий раз выделяются существенные признаки понятия, далее вводится термин и даѐтся определение. Для усвоения понятия выполняются разнообразные задания. В число таких заданий полезно включить упражнения на распознавание с учѐтом возможных ошибок, допускаемых учащимися. Например 1. Дан треугольник (рис.1). постройте внешние углы треугольника при каждой вершине. Сколько таких углов можно построить при данной вершине треугольника? Сколько всего углов, смежных с углами треугольника, можно построить для треугольника? 2. На рис.2 укажите внешние углы DBE . Сделайте соответствующую символическую запись. 3. Можно ли утверждать, что DCE - внешний угол ABC при вершине C (рис. 3). 4. на рис.4 выберите какой-нибудь треугольник. Найдите и назовите внешние углы этого треугольника. B A

B Рис.1 B C

A

C

D

E Рис. 2

D

A Рис. 3 E

C

B

B

D A

C

O E Рис. 4а

O C

A

Рис. 4б

D

Полезно включать задания на отыскание следствий из того, что угол является внешним углом треугольника. Из определения внешнего угла треугольника следует, что он является смежным углом с углом треугольника при этой вершине. Из свойства смежных углов следует, что их сумма равна 180 0. Методика введения определения понятия внешнего угла может быть другой – абстрактно-дедуктивной, то есть определение даѐтся сразу, в готовом виде, без предварительной подготовки. Однако вся дальнейшая работа по усвоению понятия остаѐтся такой же, как описанная выше. Самостоятельные задания для студентов. Провести логико-дедактический анализ следующих понятий: 1) возрастающая функция; 2) центральная симметрия; 3) площадь многоугольника; 4) понятие вектора; 5) чѐтность и нечѐтность функции; 6) радианная мера угла Лабораторная работа №6. Тема: Логико-дидактический анализ темы. Цель: 1.Сформировать способность у студентов самостоятельно осуществлять логико - дидактический анализ темы. 2.Развивать умения у студентов анализировать программу, учебники, методическую литературу, формулировать цели изучения конкретной темы и с учѐтом психолого - педагогических особенностей учащихся выбирать методы, формы и средства обучения математике.

Литература: Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5-11классы.М.,2000. Содержание лабораторной работы: Основные рекомендации студентам по осуществлению логико-дидактического анализа темы: 1.Изучите программу, учебники, методическую литературу. 2.Выясните психолого-педагогические особенности учащихся конкретного класса с выделением их уровня развития внимания, памяти, мыслительной деятельности, актуальной обученности и потенциальной обучаемости в предметной области. 2.Выделите цели изучения конкретной темы. При этом важно помнить, что образовательные цели зафиксированы в программе по математике. Вам необходимо выделить те, которые относятся к изучаемой теме. Обязательно выясните возможности данного материала для реализации развивающих и воспитательных целей обучения. Цель изучения темы формулируется самим учителем. Задача учителя - сделать еѐ целью деятельности ученика, то есть мотивом его учения. Взаимосвязь «цель-мотив» такова: цель направлена на результат деятельности, а мотив на то, как этот результат может быть использован. Важен здесь учѐт психолого-педагогических особенностей класса. 1.Проводя логико-математический анализ темы, выделите в ней новые математические факты: 1)понятия; 2)аксиомы, теоремы; 3)правила; 4) методы; 5)задачи, их взаимосвязь, последовательность изучения. Обратите внимание на уровень научности изложенного в учебнике материала. 2. Методический анализ учебного материала включает в себя: 1. постановку основных учебных задач; 2. отбор основных методов, форм, средств обучения с учѐтом психологопедагогических особенностей учащихся. 3. организацию дифференцированного контроля знаний учащихся. а). При изучении конкретной темы выделяется система учебных задач, которые формулируются на основе поставленной цели и результатов выполненного логико-математического анализа темы. Учебные задачи включают в себя и подбор приѐмов учебных действий, адекватных учебному материалу.

б). Отбор основных средств, методов и форм обучения осуществляется в зависимости от содержания учебного материала, уровня подготовки класса, от объективных возможностей организации учебного процесса. Осуществляя различные сочетания методов, форм и средств обучения математике, необходимо учитывать, что при введении понятий и формулировок, теорем применяются два основных метода: конкретно-индуктивный и абстрактно дедуктивный. В).Контролируемые результаты обучения выделяются в каждой теме учителем на основании раздела программы «Требования к математической подготовке учащихся». Вопросы, задания, выделенные для контроля, классифицируются на обязательные, продвинутые (применение знаний в изменѐнных условиях) и творческие. Степень сложности заданий по каждому из этих уровней должна определяться с учѐтом психолого-педагогических особенностей учащихся. Содержание и уровень сложности заданий, выбранных для контроля, зависит также от функции контроля: является ли он текущим или итоговым. Итоговый контроль должен содержать ключевые вопросы учебного материала, его базис, а текущий содержит задания и по более узким вопросам темы. Самостоятельное задание для студентов. Выбрать две темы из предложенных (одну по алгебре, а другую по геометрии) и провести логико-дидактический анализ тем: 1.Линейная функция и еѐ графики. 2.Степень с натуральным показателем и еѐ свойства. 3.Многоугольники. 4.Определение подобных треугольников. Лабораторная работа № 7 Тема: Анализ технологий с позиции деятельностного подхода. Цель: 1) Углубление предметных знаний о педагогических технологиях и технологиях обучения. 2) Формирование исследовательских умений. Литература: 1) Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: книга для учителя М.: Просвещение, 2003.223 с. 2) Петерсон Л.Г. Новая концепция образования в свете «Национальной доктрины образования в РФ»// Математика для каждого: концепция, программы, опыт работы М.,2000. С. 9-17. Теоретическое содержание работы. Характерные признаки технологий с позиции деятельностного подхода. 1) Психологическая основа - теория учебной деятельности и деятельностный подход к обучению (выделяются виды деятельности учителя и учащихся, последовательность которых приводит к достижению целей). 2) Направленность на развитие личности учебном процессе (разноуровневое и личностно-ориентированное обучение).

3) Начало технологии - диагностическое целеполагание, формулируемое в действиях ученика или эталонах этих действий, каждое можно надѐжно опознать и диагностировать. 4) Технология включает проектирование наиболее оптимальной организации учебного материала с целью организации самостоятельной учебной деятельности учащихся (специальные средства: технологические карты, учебники, модули и др.) 5) Предположение ориентации учащихся (цели ориентации = разъяснение основных принципов и способов обучения, контроля и оценки результатов, мотивации учебной деятельности). 6) Акцент - дифференцированная самостоятельная работа учащихся (отказ от классно-урочной системы, преобладание фронтальных видов учебного общения, сочетание фронтальных, групповых, коллективных и индивидуальных форм деятельности). 7) Контроль трѐх видов: входной, текущий, итоговый. 8) Использование наряду с контрольными работами тестов и более гибких рейтинговых шкал. 9) Стандартизация, унификация процесса обучения (возможность воспроизведения в конкретных условиях). Принципы концепции программы "Школа 2000 ..." 1) Принцип деятельности. 2) Принцип целостною представления о мире. 3) Принцип непрерывности (преемственность на методологическом, методическом и содержательном уровнях). 4) Принцип минимакса. 5) Принцип психологической комфортности (для учителя и учащихся). 6) Принцип вариативности. 7) Принцип креативности. Основы таблицы контент-анализа

Задания для размышления и контроля 1) Рассмотрите характерные признаки технологий, разработанных с позиции деятельностного подхода, сформулированные О.Б. Епишевой, и принципы программы "Школа 2000 ...". 2) Выполните контент-анализ принципов концепции "Школа 2000 ..." с позиции их соотнесения сформулированными характерными признаками. 3) Обоснуйте вывод о сущностном соответствии принципов концепции программы "Школа 2000 ..." с позиции деятелъностного подхода.

Лабораторная работа № 8 Тема: Обучение учащихся решению задач по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Цель:

1) Формировать умения у студентов распознавать различные геометрические ситуации в решении задач, позволяющие использовать признаки перпендикулярности прямой и плоскости. 2) Сформировать способность у студентов самостоятельно разрабатывать аналогичные ситуации для учащихся с целью обучения их решению геометрических задач

Литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений М.: Просвещение, 2000. 206с. 2) Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия 9-10. М.: Просвещение, 1982. 195 с. 1)

Теоретическое содержание работы. Основные определения и теоремы необходимые для решения задач по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»:

Определение прямой, перпендикулярной плоскости. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости.

Определение угла между прямой и плоскостью. Углом между прямой и плоскость, пересекающей эту прямую и неперпендикулярной к ней называется угол между прямой и еѐ проекцией на плоскость. Определение правильного многогранника. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, и, кроме того, к каждой его вершине сходится одно и тоже число рѐбер. Признак перпендикулярности прямой с плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. I признак

II признак Задача-теорема. № 178, с. 52 по учебнику [1]

а 1 ( 3 , а п р = с аса, а 1 с рис. 2 рис. 1 Хотелось бы уточнить, что задачах, где требуется построить перпендикуляр к плоскости или по ходу решения возникает такая необходимость, важно выяснить, какой из признаков целесообразно применять. В связи с этим необходимо помнить две переформулировки второго признака перпендикулярности прямой и плоскости. Если в плоскости а (а _1_ я) дана точка и требуется построить перпендикуляр из этой точки на плоскость а, то достаточно провести через эту точку перпендикуляр к линии пересечения плоскостей (рис. 3).

а рис. 3 Если в пространстве дана точка М, и требуется через эту точку провести прямую, перпендикулярную плоскости а (рис. 4) (М $. (3), то, если удастся, попробовать точку М поместить в плоскость а, перпендикулярную (3 , тогда задача сведѐтся к предыдущей ситуации. Использование указанных признаков необходимо на всех этапах решения, связанных с построением перпендикуляра к плоскости, нарис.4 пример, • при построении угла между прямой и плоскостью; • при построении перпендикулярных плоскостей; • при построении отрезка, равного расстоянию от искомой точки до плоскости, в том числе от точки поверхности много гранница до одной из его граней; • при построении общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Рассмотрим примеры Задача I. В правильной пирамиде 8АВС (АВС - основание, АМ -медиана).

•м

Докажите, что ВС18АМ Заметим, что задача требует предварительного обоснования чертежа: вершина 8 проектируется в центр треугольника АВС, то есть в точку пересечения медиан АМ и РС. Очевидно, что для решения задачи воспользуемся. 2. В основании прямоугольного параллелепипеда квадрат, (рис. 6). Докажите, что АО (О = ВВпАС) перпендикулярна плоскости ВВ^В. л . Действительно, так как плоскость ВВ^ВЛ-АВСВ (по свойству прямой призмы) и АО ± ВВ (ВВ линия пересечения плоскостей), то АО1ВВ,В,В. ЗадачаЗ. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна га и составляет с боковой гранью угол ф. Найти объѐм пирамиды. Решение.

пис. 6 С Не будем останавливаться на •*, обосновании чертежа, заметим только то, что этот этап обязателен, для построения угла между АВ плоскостью ВВС. Здесь достаточно рис. 7 2. В основании прямоугольного параллелепипеда квадрат, (рис. 6). Докажите, что АО (О = ВВпАС) перпендикулярна плоскости ВВ^В. л . Действительно, так как плоскость ВВ^ВЛ-АВСВ (по свойству прямой призмы) и АО ± ВВ (ВВ - линия пересечения плоскостей), то АО1ВВ,В,В. ЗадачаЗ. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна га и составляет с боковой гранью угол ф. Найти объѐм пирамиды. Решение.

пис. 6 С Не будем останавливаться на •*, обосновании чертежа, заметим только то, что этот этап обязателен, для построения угла между АВ плоскостью ВВС. Здесь достаточно рис. 7

построить проекцию АВ на грань 8ВС,. и эта задача сведѐтся к построению перпендикуляра из точки А к плоскости 8ВС. Самостоятельное задание для студентов. Внимательно посмотрите на чертѐж. Какой из признаков подойдѐт в этой ситуации. Учитывая результат задачи 1, достаточно из точки А провести АН _|_ ЗМ. ЗМ - линия пересечения плоскостей А8М и 8ВС, тогда по (II п.) АН .18ВС .

Задача 4. В правильной треугольной призме АВСА 1В1С1 найти угол между диагональю ВС! боковой грани ВСС^ и плоскостью основания призмы, если угол между ВС( и гранью АА!В1В равен а Решение задачи начинается с обоснования построения угла а, что в свою очередь сводится к построению проекции точки С! на плоскость АА^В. На этом возникает необходимость использования признака перпендикулярности прямой и плоскости. Самостоятельное задание для студентов: Подумайте, какой признак необходимо здесь использовать. Задания для размышления и контроля.

I. Рассмотрите аналогичные ситуации для правильной четырѐхугольной пирамиды: 1).Используя рассуждения задачи 1, показать, что ОСХ8МК в правильной пирамиде 8АВСО 2).Постройте отрезок, равный расстоянию от точки N до грани 8ВС. 3). В правильной треугольной пирамиде (рис.7) постройте отрезок, равный расстоянию от середины стороны АВ (т. Р) до плоскости 8ВС. П. Используя учебник[1 ], подобрать 5адачи на нахождение углы между прямой и плоскостью, на нахождение расстояния от точки дс плоскости и привести их в определѐнную систему. Показать организацию работы на одной из задач каждого вида.

5 курс Семинарское занятие № 1 Тема: И^уче^1116 темы «Производная» в средней школе. Цель:

1) Раскрыть особенности изложения темы «Производная» в действующих учевниках алгебры и начал анали-

за. 2) Рассмотреть основные вопросы методики изучения темы «Производная».

Литература;

1) Алимов Ц1-А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. Учеб ник для 10-Ц классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2000. 385 с2) Башмаков М-И. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. М.:

Дрофа, 2002. 396 с. 3) Верщр д.Л., Карп А.П. Математика. Учебное пособие для 11 класса гума) щТарного профиля. М.: Просвещение, 2002. 191 с. 4) Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Швардбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. Учебное пособие для учащихся школ ц классов с углублѐнным изучением математики. М.:Просвещение; 1995. 336 с. 5) Колмогоров А-Н-, Абрамов А.М. Алгебра и начала анализа. М.:Просвещение 2002. 384 с.

Задания для размышления и контроля 1) Обоснуйте цели и причины включение в школьный курс математики элементов дифференциального исчисления. 2) Охарактеризуйте месторасположение материала темы: а «Производная» в учебнике [1] Ь. «Производная и еѐ применение» в учебнике [2] с «Что такое производная» в учебнике [3] 3 «Производная и еѐ приложения» в учебнике [4] е. «Производная» в учебнике [5] Прокомментируйте особенности изложения материала в каждом из рассматриваемых учебников. ) Выясните, какие сведения из теории пределов и непрерывности функций включены:!". в учебник [5] §. в учебник [1] Ь. в учебник [2] Раскройте цель их введения. 4) Проанализируйте учебник [4] с точки зрения изучения формул и правил дифференцирования. Составьте таблицу всех используемых правил и формул дифференцирования, включая их в том порядке, в каком они рассматриваются в учебнике. № Формулы Название Особенности введения (дап/п и правила пункта или ѐтся доказательство, вводитдиффепараграфа, ся без доказательства, даѐтся ренциространица учеб- частичное доказательство, вания ника, № уп- приведѐнное доказательство ражнения (если не является обязательным это необходи- для усвоения рассматриваемо) мого материала т.д). 5) Укажите теоретические сведения из учебников [1,2], лежащие в основе применения производной 1. к геометрии ]. к физики к. к исследованию функции на монотонность 1. к исследованию функции на экстремум т. к исследованию функции на наибольшее и наименьшее значения Проанализируйте систему задач и упражнений в каждом из учебников и выпишите соответствующие номера упражнений указанных типов. 6) Прокомментируйте систему упражнений из п. 4 «Касательная к графику функции. Производная» учебника [3] с точки зрения дифференцированного подхода к учебнопознавательному процессу. 7) Составьте карточки-опоры с описанием алгоритма решения и образца оформления записи решения, основанного на применении производной: п. задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения на отрезке; о. задачи на построение касательной к параболе у = х2 в любой еѐ точке, отличной от вершины;

р.

задачи на исследование функции и на построение еѐ графика; 8) Составьте развѐрнутый план-конспект по введению понятия производной, используя учебник [5]

Лабораторная работа № 1

Тема: Построение деятельностного подхода на основе контент-анализа технологии и его исследование. Цель: 1) Развитие предметных знаний 2) Формирование и развитие исследовательских умений. 3) Развитие познавательной активности и самостоятельности. Литература: 1) Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: книга для учителя М.: Просвещение, 2003.223 с. 2) Левитес Д.Г. Практика обучения: Современные образовательные технологии. М.:Ин-т практической психологии; Воронеж: НПО МОДЭК, 1998.165 с. 3) Петерсон Л.Г. Новая концепция образования в свете «Национальной доктрины образования в РФ»// Математика для каждого: концепция, программы, опыт работы М.,2000. С. 9-17. Теоретическое содержание материала. Система принципов. 1) Принцип человеческих приоритетов (личностно-ориентированное обучение через объединение гуманизации и природе-сообразности). Суть: подчинить систему обучения реальным потребностям, интересам и возможностям учащихся. 2) Принцип целостности (системности). Суть: процесс обучения должен обладать единством, взаимосвязностью, организованностью и уверенностью. 3) Личностно-деятельностный подход к обучению. Суть: ученик должен учиться сам, учитель должен включать ученика в деятельность, соответствующую зоне ближайшего развития ученика. 4) Дидактическое кольцо[2], образуемое в результате стремления соединить в процессе обучения два мира, существующих по своим законам и нормам. Суть его: а. на содержательном уровне - совмещение системы содержания образования и структуры личности; Ъ. на уровне целеполагания — совмещение целей усвоения содержания и развития ученика, целей ученика и учителя; с. на процессуальном уровне - совмещение различных взаимодействующих видов самостоятельной учебной деятельности учащихся и формирование этой деятельности учителем; <1. на технологическом - совмещение "поля" учебной деятельности ученика и "поля" управляющей деятельности учителя для проектирования учебного процесса. 5) Технологичность обучения. Суть: проектирование обучения в виде последовательных процедур, направленных на гарантированное достижение диагностично поставленных целей и обеспечивающих его оптимизацию 6) Непрерывность. Суть: построенная технология реализовывается на всех ступенях обучения, в классах разных профилей, во всех математических курсах и темах, на всех уроках. 7) Открытость и саморазвитие системы. Суть: технология обучения не должна быть слишком жѐсткой. Она должна быть динамичной, открытой и гибкой, способной по ходу еѐ реализации к изменениям, перестройке, усложнению или упрощению. Задания для размышления и контроля. 1) Рассмотрите предложенную систему теоретических основ технологии обучения математики. 2) Используя материал лабораторной работы № 7 (курс 4), выполните контент-анализ данной системы с позиции возможности построения на еѐ основе технологии деятельностного подхода по О.Б. Епишевой. 3) По результатам контент-анализа сформулируйте название приведѐнной системы теоретических основ технологии, указав еѐ соответствие или несоответствие позиции деятельностного подхода.

4) Сформулируйте исследовательский вывод в ситуации, когда на основе контентанализа: а. Нельзя с уверенностью дать заключение о соответствии положений (основ, принципов, технологии) выбранным характеристикам. Ъ. Полученный результат говорит о несоответствии характеристик и используемых положений. Обобщите сформулированные выводы и предложите учителю-исследователю, рассматривающему решение некоторой проблемы на теоретическом уровне, рекомендации по дальнейшему построению работы как в случае затруднения в выведении результата, так и в случае получения отрицательного результата при выделении соответствия объекта некоторым характеристикам.

Лабораторная работа № 2 Тема: Обобщение и систематизация знаний учащихся. Цель:

1) Уточнить и расширить представления студентов об обобщении исистематизации знаний как необходимом условии усвоения знаний. 2) Формировать способность у студентов самостоятельно проводить обобщение и систематизацию знаний на уровне математики. 3) Формировать и развивать исследовательские умения. 4) Развивать познавательную активность и самостоятельность. Литература: 1) Гришина Т.С. Одна из форм повторения // Математика в школе. 2001 №4. 2) Далингер В.А. Методика реализации внутри предметных связей при обучении математике. Книга для учителя М.: Просвещение, 1991. 80с. 3) Зайченко Н.В. Три этапа обобщающего повторения курса алгебры VIII класса // математика в школе. 1985 № 1 с. 30-32. 4) Иржавцева В.П. Систематизация и обобщение знаний учащихся в процессе изучения математики. М.: Просвещение. 1998. 112 с. 5) Мищенко Т.М. Обобщающее повторение планиметрии // Математика в школе. 2001 № 2. С. 23-33 6) Санина Е.И. Обобщающее повторение начал стереометрии //Математика в школе. 1993 №6 С. 12-15 7) Санина Е.И. Повторение планиметрии в школе. 1993 № 4. С. 24-26. 8) Черкасов Р.С. К вопросу о роли обобщений в преподаваний геометрии // Математика в школе. 1996 № 4. С. 23-26.

Теоретическое содержание работы Обобщение и систематизация - необходимое условие усвоения научных знаний, а владеть ими, значит, не только знать признаки предметов и явлений, охватываемых данным понятием или теорией, но и уметь применять знания на практике, уметь оперировать ими. Систематизация знаний неотделима от их обобщения: чем шире обобщения, тем больше между ними связей и отношений, тем более широкий круг знаний определяется в систему. Обобщение имеет следующие формы выражения. Первая - итоговая, понимается как результат. Вторая форма - обобщение как процесс. Обобщение как результат - это умение анализировать, выделять главное, синтезировать, сравнивать, абстрагировать. Обобщение как процесс - это выделение общего существенного из единичного, затем интегрирование этого общего для образования новой сущности. В зависимости от роли и места в учебном процессе выделяют следующие этапы обобщения и систематизации знаний [6]: 1) Первичные обобщения - наиболее элементарные обобщения, осуществляемые во время восприятия и осознания учебного материала. 2) Локальные (частные), или понятийные обобщения осуществляются на уроке в процессе работы над усвоением новых понятий (на этом этапе осмысления новых знаний). Основным направлением учения с целью усвоения понятий является раскрытие причинно следственных и других связей в изучаемых объектах, выявление их внутренней сущности.

3) Межпонятийные (или поурочные) обобщения и систематизация, заключающиеся в определении между изучаемыми понятиями общих и существенных признаков и свойств, в переходе от менее общих к более общим понятиям, в объединении усвоенных понятий в системы, в раскрытии связей и отношений между элементами данной системы, размещении их в определѐнном порядке и рациональной последовательности. 4) Тематические обобщения и систематизации должны обеспечивать усвоение целой системы или цикла понятий, изучаемых в течение длительного времени, составляющих содержание обширных разделов программы. 5) Итоговые обобщения и систематизации служат для установления связей и отношений между системами знаний, усвоенными в процессе овладения целым курсом. 6) Мѐжпредметные обобщения и систематизации осуществляются по ряду родственных предметов (например, математике, физике, химии и др.) на специальных уроках межпредметного обобщающего повторения. Обобщение и систематизация знаний осуществляется в процессе работы над повторением учебного материала. Повторение - это процесс воспроизведения и последующего совершенствования знаний с целью установления связей между ними, и реорганизации их в систему.

Таблица!. Классификация видов повторения Основание клас Виды повторений сификации _____ В начале учебного года По временному В течение учебного года признаку В различное время года После изучения отдельных тем Разделов учебного материала. В конце всего курса ____ Опорное; По основной диПервично закрепляющее; дактической цели Предупреждающее; Конкретизирующее; Углубляющее; Обобщающе-систематизирующее. Эпизодическое; Периодическое; РегуПо частоте ислярное. пользования Предшествующее изучению нового материала (при котором вспомиПо месту в пронается всѐ необходимое); Сопутствующее изучению нового материала цессе усвоения. (при котором восстанавливаются в памяти знания, входящие в материал вновь изучаемого материала); Следующее за изучением нового материала (при котором обеспечивается закрепление полученных знаний) _________________________________ . Функции повторения 1) Функция сохранения усвоенных знаний (определяется задачами воспроизведения и закрепления, восстановлением утраченных знаний, а также задачей предупреждения забывания); 2) Функция совершенствования накопленной учебной информации (определяется задачами систематизации изученного, обобщения и углубления усвоенного на новом материале, переводом ранее изученной учебной информации в новое качество) 3) Подготовительная функция (определяется задачами подготовки к усвоению нового материала, различным видам самостоятельной деятельности, экзаменам) Повторения делятся на два вида: актуализирующее и обобщающее. Актуализирующее повторение имеет своей целью напомнить учащимся те факты го ранее пройденного, которые необходимы для полноценного усвоения новых понятий, напомнить изученные приѐмы и способы действий, необходимые для формирования новых умений, навыков, а также напомнить способы рассуждений, необходимые для доказательства теорем, при обосновании новых утверждений.

Обобщающее повторение имеет своей целью: преобразование простой суммы знаний о понятиях, законах в целостную систему, установление внутрипонятийных связей; преобразование линейных связей (представленных последовательностью изложения учебного материала в учебнике, программе курса) в объѐмные путѐм структурирования линейных, установление межпонятийных связей; переосмысление знаний с целью установления новых связей и отношений между понятиями как в рамах одной теории, курса, так и межпредметных связей и отношений; формирование у учащихся умений обобщать, выделять существенные свойства явлений, предметов, понятий, делать выводы, конкретизировать обобщѐнные понятия. Классификация обобщающих повторений в зависимости от их содержания [1]. 1) Повторение, проводимое на уровне понятий, которое позволяет привить учащимся умение выделять существенные признаки понятий, давать понятиям определения через различную совокупность существенных признаков или через другое родовое понятие, умение подводить объект под понятие. Обобщающее повторение на уровне системы понятий преследует цель выработать у учащихся умение сопоставлять изученные понятия, отыскивать новые связи и отношения между ними, прослеживать развитие понятий в их иерархических зависимостях, то есть устанавливать подчинѐнность вида роду в случае сопоставимых понятий. При этом происходит обогащение и расширение ранее изученных понятий, либо образование новых. На данном уровне обобщающего повторения определяется место и значение понятий в системе, происходит функциональное соотнесение понятий. При повторении на уровне системы понятий на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий. Это даѐт возможность классифицировать понятия не только по их природе, но, что ещѐ более существенно, по отношениям между ними. 3) Обобщающее повторение на уровне теорий даѐт определѐнную трактовку изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных идей, которые рассматриваются в курсе. На этом этапе повторения важное место занимает обобщение и конкретизация их в единстве. Основная сущность обобщающего повторения данного вида состоит в том, что строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений, понятий; выясняется не только содержание понятий, сколько их происхождение, и анализу подвергается природа самих понятий. Сформулируем некоторые рекомендации, которые помогут учителю эффективно организовать обобщающее повторение. Прежде всего необходимо выделить главные вопросы темы, составляющие еѐ логическую основу, Смысловая группировка учебного материала позволяет эффективно организовать мыслительную деятельность и запоминание, проверить осмысленность и системность знаний, понимание внутренней логики программного материала, умение располагать изученный материал в определѐнной последовательности, понимание учащимися структуры предмета, его идей, закономерностей, методов, правильность и убедительность суждений, умение применять теорию. Повторяя, учащиеся должны решать ряд новых задач, сделать новые выводы, обобщения. Организация повторения должна максимально способствовать развитию мышления учащихся. Активизации деятельности учащихся при повторении способствует разнообразие используемых учителем форм, методов, приѐмов; постановка интересных вопросов, привлекающих учащихся к исследованиям; доклады интересных вопросов, привлекающих учащихся к исследованиям; доклады учащихся на уроках и конференциях, экскурсии, тематические выставки, сочинения, рефераты, тесты, программированные контрольные работы, чтение дополнительной популярной литературы и другое. При составлении плана повторения конкретной темы целесообразно проводить его комментирование, обоснование, оформление, а в последующей работе такие задания следует предлагать самим учащайся. 2) Приведѐм примерный план повторения темы "Четырѐхугольники": 1) Виды четырѐхугольников, их определения. 2) Характеристические свойства четырѐхугольников. 3) Число элементов, необходимых для построения четырѐхугольника с точностью до равенства (с точностью до подобия). 4) Сумма внешних (внутренних) углов четырѐхугольника. 5) Возможность описания окружности около четырѐхугольника (вписания окружности в четырѐхугольник). На поставленные вопросы учащиеся в установленный срок должны подготовить ответы по учебнику, записям в тетрадях, дополнительной литературе.

Во время беседы по теме, на которую следует отвести специальный урок, может быть проведена содержательная работа по систематизации знаний, классификации четырѐхугольников, обобщению, анализу, синтезу материала. Результаты работы по систематизации знаний указанной темы мо-гут быть представлены, например, следующей таблицей: НазваСтруктура ХаракЧисло ВозВозможние фи- определетериэлеменможное ное впигуры ния (родо- стичетов, опре- описасание вое поня- ские деляющих ние ок- окружнотие, видо- призна- фигуру с ружности вое отли- ки точности чие) стью до равенства Большую ценность при обобщающем повторении имеют такие мыслительные операции, как сравнение, сопоставление. При использовании в обучении сравнения затормаживаются ошибочные и закрепляются правильные временные связи, повышается дифференцированное усвоение понятий, законов, образуются прочные ассоциативные связи по сходству и контрасту. Использование сравнений позволяет учащимся избегать грубых ошибок, когда, например, свойства ромба распространяются на все параллелограммы. Примеры: 1) укажите свойства, общие для прямоугольника и ромба; сравните эти свойства по свойствам квадрата; 2) найдите общие свойства трапеции и ромба; треугольника и параллелограмма. Важным моментом является развитие у школьников анализирующей и синтезирующей мыслительной деятельности.

Применение синтеза: постройте и назовите четырѐхугольник, имеющий центр симметрии и равные диагонали. Применение анализа: 1) В окружность вписан четырѐхугольник с равными диагоналями, установите вид этого четырѐхугольника; 2) Проанализируйте предложение: параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Завершить обобщающий урок по теме целесообразно решением нескольких задач с познавательными функциями. 1) Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырѐхугольника равна его полу периметру. Докажите, что такой четырѐхугольник является параллелограммом. Сформулируйте обратное утверждение. Проверьте его истинность. Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, чтобы четырѐхугольник был параллелограммом. 2) Если середины сторон прямоугольника последовательно соединить отрезками, то получится ромб. Докажите. Обобщите теорему на произвольный выпуклый четырѐхугольник. Примените еѐ к равнобедренной трапеции. 3) Расстояние между серединами противоположных сторон четырѐхугольника равно полусумме длин двух других сторон четырѐх угольника. Докажите, что такой четырехугольник будет трапецией. Сформулируйте обратное утверждение. Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, чтобы четырѐхугольник был трапецией. Задания для размышления и контроля 1) Проанализируйте классификации видов повторений. Укажите, какой вид повторения за какую функцию отвечает. Ответ обоснуйте. 2) Можно ли выделить вид повторения, который отвечает за все функции повторительной работы. Если да, то ответ обоснуйте. 3) Проанализируйте предложенный материал по обобщению темы "Четырѐхугольники". К какому уровню обобщения согласно выделенной классификации он относится? Ответ обоснуйте. 4) Используя учебник геометрии 7-9 Атанасяна, выберите тему. Проиллюстрируйте на ней организацию

обобщающего повторения.

Лабораторная работа № 3 Тема: Конкретизация «елей учебно-математической деятельности в рамках деятельцостного подхода. Цели: 1) Формирование методических умений в рамках конкретной технологии обучения математики. 2) Развитие профессиональной культуры студентов. Литература: 1) Епишева О.Б. Технология обучения математики на основе деятельностного подхода: книга Для учителя М.: Просвещение, 2003. 223 с. 2) Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций; учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей пед. институтов. Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1997 191 с. 3) Сергеева Н.В. Развитие математической речи будущих учителей математики как необходимей условие адекватного восприятия учебного материала учащимися //Модернизация математического образования: проблемы, мнения, реалии /Сб. научи., учебно-метод. и публ. статей. Екатеринбург: Изд-во Дома учителя, 2003. С.9194. Теоретическое содержание работы Рассмотрим сущность следующих общих категорий целей - знание, понимание, умение и навыки. С точки зрения О.Б. Епишевой сформировать знания - значит обеспечить запоминание и создать ситуации воспроизведения ^ученного материала. Понимание проявляется в готовности к преобразованию изученного, переведению его из одной формы в другую 1ш0 интерпретации. Формированию умений (навыков) способствует выполнение действий, составляющих прием учебной деятельности под активным контролем внимания (автоматически). Приведем таблицу деятельности учащихся для указанных категорий целей образования на разных УРОВНЯХ: категории 1-й уровень. 2-й уровень 3-й уровень целей знание

Ученик

знает

изученные термины,

факты,

правила, основные

формулы,

частные приемы и алгоритмы, формулировки простейших предложений понимание

Ученик узнает и

Ученик знает определения понятий и формулировки свойств, связи и отношения между ними, обобщенные приемы учебной деятельности Ученик тер-

ин-

Ученик знает структуры и системы отношений, принципы, методы, обобщенные приемы учебной деятельности, приемы их переноса Ученик преобра-

воспроизводит изученные термины,

факты,

формулы, формулировки теорем и задач, их краткую запись и иллюстрацию, доказательства, правила,

цели

учебных заданий, алгоритмы и ча-

символы и приемы, приводит контрпримеры, подводит объект под понятие или свой-

иллюстрирую-

ство, различает определения и свойства, выделяет ситуации применимости

щие абстрактные

частных и спе-

понятия и их

циальных приемов учебной деятельности

стные приемы их решения, приводит

примеры,

свойства

умения и навыки

претирует словесный и графический материал, используя специальные

Ученик решает простейшие задачи по данным формулам, алгоритмам, частным приемам, по образцу или по указаниям извне, использует

зует словесный и графический материал в математические выражения и обратно, используя обобщенные связи между объектами и обобщенные приемы, выводит следствия, выделяет идеи и методы рассуждений, перестраивает известные и находит новые приемы учебной деятельности

Ученик решает Ученик решает типовые и при- типовые и прикладные задачи кладные задачи в стандартных в нестандартных ситуациях, са- ситуациях, самомостоятельно ис- стоятельно используя обобпользуя алгоритмы и частные щенные приеприемы, табли- мы, справочни-

основные математические инструменты, приборы и таблицы в заданных условиях, читает учебник, находя ответы на вопросы по тексту с помощью извне и по образцу

цы, справочни- ки, компьютер, ки, компьютер, проводит неиспользует для сложные исслесамообразовадования средстния дополни- вами математительную литера- ки, использует туру, выделяет для самообразоглавное в учеб- вания различные ном тексте, са- источники инмостоятельно от- формации и вечает на воформы просы Совокупность учебных заданий, направленных на формирование знания: 1) вставить в формулировку пропущенные слова; 2) среди предложенных формулировок выбрать правильную; 3) определить истинность или ложность утверждения (чертежа, схемы); 4) сформулировать определение (теорему, правило, закон); 5) вывести следствие из теоремы; 6) составить вопросы к материалу темы; 7) найти дополнительный материал по теме; 8) разбить текст предложенного материала (лекции, текста учебника и др.) на смысловые части и дать заголовок каждой; 9) ответить на вопросы по тексту: "Из чего состоит ...?", " Частью чего является ...?" 10) составить собственный текст на заданную тему. Совокупность учебных заданий, направленных на формирование

понимания:

1) привести примеры и контрпримеры; 2) прокомментировать выполнение задания; 3) преобразовать информацию (словесно, схемой, графиком и т.д.); 4) установить новые связи материала с ранее изученным; 5) выбрать среди предложенных задач задачу, для решения которой используется новый материал; 6) составить задачи на применение новой теории. Совокупность учебных заданий, направленных на формирование

умений и навыков: 1) выполнить практическую задачу тренировочного характера; 2) выполнить действия по данному образцу (алгоритму, правилу); 3) решить типовую задачу; 4) найти задачу, аналогичную и (или) противоположную данной; 5) найти ошибку в решении; 6) сделать проверку и дать оценку результатам решения.

Задания для размышления и контроля 1) Рассмотреть сущность обучающих учебных целей математического образования согласно приведенным определениям общих категорий знания, понимания, умений и навыков. 2) Изучить содержание деятельности учащихся на 1-м, 2-м и 3-м уровнях в соответствии с достижением учебной цели. 3) Проанализировать совокупность предложенных учебных заданий с точки зрения их соответствия выделенным уровням. Выделить группы заданий, соответствующие данным уровням. 4) Дополнить совокупность заданий в каждой группе. 5) Проанализировать возможность использования получившейся совокупности заданий для диагностики достижения учащимися целей математического образования на каждом уровне. Примечание: При выполнении задания 4 можно воспользоваться глаголами действий или конструкторами задач [3].

Терминологический словарь.

А Авторитарный (лат. autoritas-влияние, власть)- характеристика человека как личности или его поведения в отношении других людей, подчѐркивающая склонность пользоваться преимущественно недемократическими методами воздействия на них. Адаптация (лат. adapto –приспособляю)- приспособление. Активность –способность проявлять усилия, стремиться к достижению цели. Актуализация (лат.aktualis- деятельный)- действие, заключающееся в извлечении усвоенного материала из долговременной или кратковременной памяти с целью последующего использования его при изучении нового материала. Алгоритмизация- использование в обучении алгоритмов: набора правил и предписаний, позволяющих гарантированно и наиболее рационально решать задачи определѐнного класса. Анализ (греч. analisis-разложение, расчленение)- мыслительный процесс расчленения объекта познания на части с целью установления его свойств и особенностей, взаимосвязей этих частей объекта. Аналогия- вид умозаключения, когда свойства одного предмета переносят на другой предмет, в чѐм – то подобный ему. Например, для всякого треугольника справедливо, что каждая его сторона меньше суммы двух других сторон. В пространстве треугольнику аналогична пирамида, поэтому можно предполагать по аналогии, что площадь каждой грани треугольной пирамиды меньше суммы площадей остальных граней. Б Безотметочное обучение - обучение, предполагающее оценку деятельности учащихся без выставления отметок(баллов). В Воспитание- целенаправленный, организованный процесс создания условий и стимулирования развития личности. Г Гуманизация образования- ориентация процесса обучения на развитие и саморазвитие личности, на приоритеты общечеловеческих ценностей. Направлена на создание таких форм содержания и методов обучения и воспитания, которые обеспечивают эффективное раскрытие индивидуальности учащегося. Гуманитаризация образования - ориентация учебного процесса на приобщение учащегося к духовной культуре, творческой деятельности, направлена на вооружение учащегося методами научного поиска, среди которых особую роль играют эвристические приѐмы и методы научного познания. Гуманизация призвана создать условия, побуждающие школьника к активной творческой деятельности и обеспечивающие его в ней.

Д Деятельность - специфический вид человеческой активности, направленной на творческое преобразование, совершенствование действительности и самого себя. Диагностика (от греч. diagnostikos – способный распознавать) – процедура выделения готовности к какому-либо виду деятельности определѐнного содержания и уровня сложности. Основывается на системе тестов, письменных работ, устных вопросов и др. методов, позволяющих получить картину состояния чьихлибо знаний и умений. Дидактика – общая теория и методика обучения, рассматривающая закономерности, принципы содержания и методы учебного процесса. Дидактические средства – средства, с помощью которых реализуются средства обучения. Догматическое обучение – обучение, направленное на запоминание изучаемого материала без его обязательного осмысления. З Знания – достоверный результат познания действительности, адекватное отражение качеств и свойств объекта в сознании человека. Зона ближайшего развития (Л.С. Выготский) – уровень знаний и развития, к овладению которым обучающийся уже подготовлен, но, для того чтобы овладеть им, он нуждается в педагогической помощи; отзывчивость к помощи – признак того, что педагог работает с учеником в зоне ближайшего развития. И Индивид (лат. individuum – неделимое) – отдельно взятый человек в совокупности всех присущих ему качеств: биологических, физических, социальных, психологических и др. Индивидуализация обучения – такая организация обучения, которая позволяет наиболее полно учитывать индивидуальные особенности каждого обучаемого. Индивидуальное обучение – форма организации обучения, предусматривающая работу педагога с каждым учеником отдельно. Индивидуальность – своеобразное сочетание индивидных свойств человека, отличающее его от других людей. Инновация – распространение новшеств в педагогическую практику. Исследовательский подход в обучении – совокупность методов и приѐмов, требующих от учащихся самостоятельного поиска истины, воспроизводящих в обучении научные методы познания. К

Классно-урочная система – обоснованная в середине XVII века Я.А. Каменским организация учебного процесса, когда педагог работает с постоянным составом примерно одинаковых по возрасту и подготовке учащихся в ограниченные по времени отрезки (урок). Компетентность педагогическая – знания и опыт, дающие возможность профессионального, грамотного решения вопросов обучения и воспитания. Концепция непрерывного образования – современная альтернативная система взглядов на развитие образовательной практики; провозглашает учебную деятельность человека как неотъемлемую и естественную составную часть его образа жизни в любом возрасте. Креативность (лат. сreatio – создание, сотворение) – способность, отражающее свойство индивида создавать новые понятия и формировать новые навыки, то есть способность к творчеству; данное понятие изучается независимо от интеллекта и связывается с творческими достижениями личности. Курс обучения - цикл, состоящий из учебных дисциплин, предметов и тем, предусмотренных определѐнной образовательной программой. Л Личностно-ориентированное обучение – тип обучения, предполагающий воспитание учащихся как инициативных и активных, способных к творчеству субъектов деятельности; обучение, основанное на учѐте психологических и социально-педагогических характеристик личности. Личность – человек как субъект общественных отношений и сознательной деятельности, член определѐнной человеческой общности, обладающий сознанием, самосознанием, ответственностью за своѐ поведение. М Метод обучения – упорядоченный способ взаимосвязанной деятельности обучающего и обучаемого, направленный на достижение цели обучения. Методология (греч. metodos – путь исследования и logos – понятие, учение) – 1) учение о структуре, логическая организация, методах и средствах деятельности; 2) учение о принципах построения, формах и способах научного познания, а также совокупность методов, применяемых в какой-либо науке. Модуль учебный – часть курса, крупный блок учебного материала, методически проработанный и предлагаемый учащимся для самостоятельного изучения. Модульное обучение – технология обучения, сущность которого состоит в том, чтобы обучающийся мог самостоятельно работать с предложенной ему индивидуальной учебной программой, включающей в себя банк информации и методическое руководство; ставит своей целью обеспечение гибкости, приспособление к индивидуальным потребностям личности и уровня еѐ базовой подготовки.

Мотивация учебной деятельности – внутренне побуждение к овладению знаниями и развитию МПМ (методика преподавания математики) – наука о математике как об учебном предмете и о закономерностях процесса обучения математике различных обучаемых. Н Навык учебный – автоматизированное действие, выполняемое без непосредственного контроля сознания. Новаторство в образовании – создание новых образовательных систем, новых подходов и способов решения образовательных задач, то есть педагогических новшеств. Нововведение – своеобразный носитель новшества, средство его распространения, донесения до практики (новые проекты, программы, средства обучения, типы образовательных учреждений и т.д.). Новшество – обычно понимается как элемент педагогической деятельности, который в представленном виде ещѐ не встречался. О Образование – система, процесс и результат воспитания, обучение и развитие личности. Обучаемость – группа качеств личности, обеспечивающая овладение знаниями и развитие; способность к научению. Обучение – процесс, включающий преподавание и учение, его суть - вооружение учащихся систематическими научными знаниями, приобщение к ценностям и традициям, воспитание и развитие на основе достижений отечественной и мировой культуры. Обученность – уровень овладения знаниями, умениями, навыками, способами деятельности. Одарѐнность – наличие у человека задатков к развитию способностей. Отметка – качественное и количественное выражение по заданной матрице (шкале) учебной успешности школьников и студентов. Оценка – суждение о качестве выполненной работы, об успехах и недостатках деятельности обучающихся. П Парадигма – исходная концептуальная схема, ведущая идея, модель постановки и решения проблем.

Принципы обучения – система основных дидактических требований к процессу обучения, выполнение которых обеспечивает его необходимую эффективность. Проблемное обучение – обучение на основе выдвижения, поиска решения проблем и вытекающих из них задач, активизирующее интерес и мышление учащихся, способствующее развитию способностей. Р Развивающее обучение – обучение, в котором развитие личности не является попутным и стихийным продуктом деятельности, а служит непосредственно целью и результатом всего процесса. Рефлексия – способность человека сосредотачиваться на себе самом, анализировать и оценивать собственную деятельность. С Самооценка – оценка человеком собственных возможностей качеств, достоинств и недостатков, места среди других людей. Способности – индивидуально-психологические особенности личности, от которых зависит приобретение ими знаний, умений и навыков, а также успешность выполнения различных видов деятельности. Т Тест – задание, дающее возможность быстро выявить и оценить степень развития определѐнных психологических качеств, а также уровень знаний, умений и навыков. Технологии обучения – система методов обучения, обеспечивающая гарантированное достижение целей обучения для выбранного контингента обучаемых. Технология педагогическая (Лихачѐв Б. Т.)-совокупность психологопедагогических установок, определяющих специальный набор и компоновку форм, методов, способов, приѐмов обучения, воспитательных средств; она есть организационно-методический инструментарий педагогического процесса. У Упражнения – повторное, многократное выполнение умственного или практического действия с целью овладения или повышения его качества. Устные упражнения – действия, направленные на усвоение знаний, характерными особенностями которых являются динамичность, и сокращение письменных оформлений с целью развития речи, мыслительных операций, творческих способностей учащихся.

Учебные программы – документ, раскрывающий тематику и содержание изучаемого предмета по каждой теме. Учебный план – официальный документ, в котором фиксируется состав учебных предметов, изучаемых в данном типе учебных заведений, определяется количество часов по предметам, годам обучения, полугодиям (семестрам), годовая и недельная нагрузка обучающихся.