Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания к выполнению контрольной работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Оренбургский государственный университет Кафедра Математических методов и моделей в экономике

Г.Г. АРАЛБАЕВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Рекомендовано к изданию Редакционно – издательским советом Оренбургского государственного университета

Оренбург 2002

ББК 22.17я7 А 79 УДК519.676(07)

Введение Настоящие методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения экономических специальностей высших учебных заведений. Методические указания содержат перечень основных тем курса теории вероятностей и математической статистики, общие рекомендации по изучению дисциплины, краткие указания к выполнению контрольных работ, образцы решений задач, контрольные задания и вопросы для самопроверки.

2

1 Общие методические указания Основной формой обучения студента заочной формы обучения является самостоятельная работа над учебным материалом, включающая чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий. После изучения соответствующей темы, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы (включать в контрольную работу ответы на вопросы не требуется). При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями: 1) контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке указывается фамилия, имя, отчество студента; полный шифр; дата ее отсылки в институт, домашний адрес студента; фамилия проверяющего преподавателя; 2) контрольные задачи располагают в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи полностью переписать условие; 3) решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул; 4) контрольная работа отсылается в учебное заведение; 5) получив из учебного заведения прорецензированную работу, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент должен в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование; 6) в межсессионной период или во время лабораторно-экзаменационной сессии студент должен пройти собеседование по зачтенной контрольной работе; 7) студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

2 Перечень основных тем по теории вероятностей и матема-

тической статистике 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики. Вероятность события. Относительная частота событий. Полная группа событий Классическое определение вероятностей. 2. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема о вероятности суммы двух совместных событий. 3. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

3

4. Повторение испытаний. Формула испытаний Бернулли. Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биноминальное распределение. Формула Пуассона. Нормальное распределение. 5. Случайные величины и их числовые характеристики. Предельные теоремы. Система случайных величин. 6. Точечные и интервальные оценки параметров распределений. Понятие интервальной оценки. Интервальные оценки параметров нормального распределения. 7. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотезы о параметрах нормального распределения. Проверка гипотез о равенстве средних и о равенстве дисперсий двух нормальных распределений. Критерий согласия. 8. Парный корреляционный анализ. Проверка значимости и интервальное оценивание парного коэффициента корреляции. 9. Регрессионный анализ. Оценка парной линейной регрессии. Проверка значимости и интервальное оценивание параметров уравнения регрессии.

3 Примеры решения задач Тема 1. Вероятность события. Относительная частота событий. Полная группа событий. Классическое определение вероятностей Задача 1. Известно, что среди 10 изделий верхней одежды имеются 3 не прошедших контроль качества. Какова вероятность при случайном безвозвратном отборе 5 изделий обнаружить среди них 2 не прошедших контроль. Решение. Перенумеруем все 10 изделий. Возможными случаями будем считать соединения по 5 изделий из 10, различающиеся только номерами, входящих в каждое соединение. Отсюда следует, что число всех возможных случаев будет равно числу сочетаний из 10 элементов по 5. Р (А) =

М N

=

m n−m CM CN − M

C Nn

.

10! 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5! = = 252; 5! (10 − 5! ) 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 5! Для подсчета возможных благоприятствующих случаев учитываем, что 2 не прошедших контроль из 3 можно извлечь С 32 = 3 способами.

N=C 105 =

4

Кроме того, 3 не прошедших контроль изделия можно выбрать из 7 прошедших контроль C 37 =

7*6*5 = 35 различными способами. 1* 2 * 3

Каждый вариант из двух не прошедших контроль комбинируется с каждым вариантом из трех прошедших контроль, следовательно, число возможных случаев N, благоприятствующих событию А, вероятность которого требуется найти, равно М= C

2 3

* C 83 = 3*35=70. Отсюда, Р(А)=

70 5 = . 252 18

Задача 2. Пусть имеется партия, состоящая из 100 изделий обуви, среди которых возможны 2 бракованные пары обуви. Определить вероятность из 10 пар обуви не обнаружить ни одного бракованного. Решение. Воспользуемся формулой: CMm C Nn −−mM Р (А)= C Nn

Пусть событие А- из 10 пар обуви не обнаружить ни одного бракованного. Тогда, 10 0 C98 C Р (А)= 10 2 = C100 98! 98!*10!*90! 98 * 97 * 95 * 94 * 93 * 90 * 89 * 88!*90! = = = 10!*88! = 100! 10!*88!*100! 88!*100 * 99 * 97 * 96 * 95 * 94 * 93 * 92 * 91 * 90! 10!*90! 90 * 89 = 0.81. 100 * 99

Тема 2. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема о вероятности суммы двух совместных событий Задача 3. Система контроля изделий состоит из двух независимых проверок, выполняемых одновременно. По параметрам изделие считается годным, если оно прошло обе проверки. Вероятность изготовления годной детали по первому параметру равна 0.9, по второму - 0.95 .

Найти вероятность проверки изделия. Решение. Если на вход системы контроля поступило изделие, то возможны элементарные исходы: ω 1 = {0,0}, ω 2 = {0,1}, ω 3 = {1,0}, ω 4 = {1,1}, где 0 означает, что изделие признано бракованным, 1 - годным . 5

Испытания независимы, поэтому получаем следующие значения вероятностей элементарных исходов. Р 1 = Р(ω 1 )= (1-q 1 )*(1-q 2 ) = 0.1*0.05= 0.005 P 2 =P(ω 2 )= 0.1*0.95= 0.095; P 3 =P (ω 3 )= 0.9*0.95= 0.855; Р 4 =Р(ω 4 )=0,9*0,05=0,045; Сумма вероятностей элементарных событий для полной группы событий должна быть равна 1. Р(Ω) =

4

∑ Р = 0.05+ 0.095 + i =1

i

0.045 +0.085= 1.

Тема3. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса Задача 4. На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех рабочих линиях. Производительность первой линии 38% от всего общего производства, на второй - 35%, на третьей - 27%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 95;98% и 97%. Определить вероятность того, что наудачу взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным, а также вероятности того, что это бракованное изделие сделано соответственно на первой, второй и третьей линиях. Решение. Обозначим через А 1 , А 2 , А 3 события, состоящие в том, что наугад взятое изделие произведено соответственно на первой, второй и третьей линиях. Согласно условиям задачи Р(А 1 ) = 0.38; Р(А 2 ) = 0.35; Р(А 3 ) = 0.27 и эти события образуют полную группу событий, поскольку они попарно несовместимы, т.е. Р(А 1 ) + Р(А 2 )+ Р(А 3 ) = 1. Если через В обозначим событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным, то согласно условию задачи Р(В\ А 1 ) = 0.05, Р(В\ (А 2 )= 0.02, ; Р(В\А 3 ) = 0.03

Используем формулу полной вероятности Р(В) =

3

∑ P( A ) * Р(В\ (А i ) i −1

i

Р(В) = Р(А 1 ) * Р(В\ А 1 ) + Р(А 2 )* Р(В\ (А 2 )+ Р(А 3 )* Р(В\А 3 ) = =0.38*0.05 + 0.35*0.02 + 0.27*0.03 =0.0341 Р(В)= 0.0341 означает, что вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным равна 3.41%. Априорные вероятности того, что

6

наугад взятое изделие окажется изготовленным на первой, второй или третьей линии равны соответственно 0.38; 0.35; 0.27. Допустим, что наугад взятое изделие оказалось бракованным; определим апостериорные вероятности того что это изделие изготовлено на первой, второй или третьей линиях. Здесь применяют формулу Байеса: Р(А K /В) =

Р ( АК n

∑ P( A ) I =1

I

) * Р( В / AК ) * P( B / AI )

0.05 * 0.038 = 0.5572; 0.0341 0.02 * 0.035 Р(А 2 /В) = = 0.2053; 0.0341 0.03 * 0.27 Р(А 3 /В) = = 0.2375. 0.0341

т.е. Р(А 1 /В)=

Таким образом, вероятность того, что наугад взятое и оказавшееся бракованным изделие, изготовлено первой, второй, третьей линией равны соответственно 0.5572; 0.2053; 0.2375.

Тема 4 Повторение испытаний. Формула испытаний Бернулли. Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биноминальное распределение. Формула Пуассона Задача 5. Вероятность изготовления качественного изделия равна 0,9. Какова вероятность того, что, из 4 взятых наугад изделий не менее 3 окажутся качественными? Решение. Пусть событие состоит в том, что А - не менее 3-х изделий окажутся качественными; включает в себя следующие события: А 1 - из 4 изделий 3 качественные; А 2 - из 4 изделий 4 качественные; По теореме сложения вероятностей Р (А)=Р(А 1 ) +Р(А 2 ) Вероятности Р(А 1 ) и Р(А 2 ) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Если проводится n независимых испытаний, вероятность наступления которых постоянна и равна р. Вероятность не наступления этого события тогда q=1-p, а вероятность того, что событие А в n испытаниях появится m раз.

P n (m) = C mn p m q n− m P(А 1 ) = P 4 (3) = C 34 p 3 q 4−3 = =

4! * 0.9 3 * (1-0.9) 1 = 0.2916; 3!(4 − 3)!

7

Искомая вероятность равна Р(А) = 1,2916 + 0,6561= 0,9477; Задача 6. Вероятность изготовления качественных изделий равна 0.95 Найти вероятность того, что в партии из 200 изделий 170 будут качественными. Решение. Применить формулу Бернулли в данной задаче затруднительно, так как надо будет возводить в 200- ую степень число 0.95. В таких случаях применяется приближенная формула - локальная теорема Лапласа: P n (m)=

1

n* p*q

где φ(x) =

1 2 *π

* φ(x), *e

−

x2 2

и

x=

m − n* p n* p*q

.

Из условия задачи р = 0,9; q = 1-р = 0,1; n = 200; m=170. Тогда, Х =

170 − 200 * 0.9

200 * 0.9 * 0.1

= - 2,375

Из таблицы 1 приложений находим φ(- 2,357) = φ ( 2,357) = 0,0246 Искомая вероятность равна P 200 (170)

≈

1 * 0.0246 200 * 0.9 * 0.1

≈ 0.06

Задача 7. Среди изделий одежды 0,02% имеющих дефекты. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 изделий будет обнаружено 5 с дефектом? Решение. Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности Р = 0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения P n (m). Поэтому при малых значениях Р для вычисления

P n (m) применяют асимптотическую формулу Пуассона: P n (m) =

λm −λ *e , λ!

где е = 2,7182; λ = n*p. Эта формула используется при λ < = 10 Таким образом Р = 0,0002 ; n= 10000; m=5; P

10000

(10) =

2 5 −2 32 *e = = 0.135 = 0.036 5! 120

Задача 8. Вероятность изготовления качественных изделий = 90%. Найти вероятность того, что из 500 изделий качественных будет от 400 до 440. Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна Р , то вероятность P n ( m 1 ≤ m ≤ m2 ) того, что собы-

тие А в таких испытаниях наступит не менее m 1 раз и не более m2 раз определяется по интегральной теореме Лапласа. 8

∫e 2 *π α

Pn (k 1 ≤ k ≤ k 2 )≈ Функция Φ( x) =

β

1

1 2 *π

x

∫e

−

−

t2 2

x2 2

dx, где α =

k1 − n * p n* p*q

, β=

k2 − n * p n* p*q

,

dt называется функцией Лапласа. В приложени-

0

ях (таблица 1) даны значения этой функции для 0 ≤ x ≤ 5 . При х >5 функция Φ (x) = 0,5 . При отрицательных значениях х в силу нечетности функции Лапласа Φ(− x) = −Φ( x) . Используя функцию Лапласа, имеем: P n ( k 1 ≤ k ≤ k 2 ) ≈ Φ(β ) − Φ(α ) . По условию задачи n = 500; р = 0,9; q=0.1; k 1 = 400; k 2 = 440. По приведенным выше формулам находим α и β : α =

400 − 500 * 0.9 500 * 0.9 * 0.1

≈ −7.45 ; β =

440 − 500 * 0.9 500 * 0.9 * 0.1

≈ −1.49 .

Тогда Р 500 (400 ≤ k ≤ 440) ≈ Φ(− 1.49) − Φ(− 7.45) = −Φ(1.49) + Φ(7.45) = = - 0,4319 + 0,5 = 0,0681. Вопросы для самопроверки по темам 1-4

1. Что называется событием? Приведите примеры событий; невозможных событий. 2. Какие события называются несовместимыми? Совместимыми? Противоположными? 3. Что называется относительной частотой события? 4. Сформулируйте классическое определение вероятности события. 5. Что называется условной вероятностью события? 6. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. 7. Напишите формулу полной вероятности. 8. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях? 9. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется? 10. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа. 11. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?

9

Тема 5. Случайные величины и их числовые характеристики Задача 9. Составить закон распределения вероятностей числа появления события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.6. Решение. Обозначим через А1 -первое событие, А2 – второе событие, А3 – третье событие. События А1, А2, А3 независимы. Пусть А=0 означает не появление ни одного из рассматриваемых событий. Р(А=0)=Р(Ā1)*Р(Ā2)*Р(Ā3)=(1-0.6)(1-0.6)(1-0.6)=0.064. А=1-означает появление одного из рассматриваемых событий. Р(А=1)=Р(А1)*Р(Ā2)*Р(Ā3)+Р(Ā1)*Р(А2)*Р(Ā3)+Р(Ā1)*Р(Ā2)*Р(А3)= =0.6*(1-0.6)(1-0.6)3=0.288 аналогично для А2 и А3. Р(А=2)=Р(А1)*Р(А2)*Р(Ā3)+Р(А1)*Р(Ā2)*Р(А3)+Р(Ā1)*Р(А2)*Р(А3)= =0.6*0.6*(1-0.6)3=0.432; Р(А=3)=Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)=0.63=0.216. Таким образом, получили закон распределения вероятностей: Таблица 1 Х 0 1 2 3 Р 0.064 0.288 0.432 0.216 Задача 10. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х: Таблица 2 Х 40 42 41 44 Р 0.1 0.3 0.2 0.4 Найти:1) математическое ожидание М(Х); 2)дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ(х). Решение. 1) Если закон распределения случайной величины задан значениями Х х1 х2 . . . хn Р р1 р2 . . . рn, , где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле: n

М(Х)=х1*р1+х2*р2+...+хn*рn=∑ х1*р1. i =1

10

Тогда М(Х)= 40*0.1+42*0.3+41*0.2+44*0.4= 42.4. 2) Дисперсией D(Х) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е. n 2 D(Х)=М[Х-M(X)] =∑ [x1-M(X)]2*p1. i=1

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от М(Х). Из последней формулы имеем D(Х)=(40-42.4)2*0.1+(42-42.4)2*0.3+(41-42.4)2*0.2+(44-42.4)2*0.4= =2.42*0.1+0.42*0.3+1.42*0.2+1.62*0.4=2.04. Дисперсию можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания М(Х), т. е. D(X)=M(X2)-[M(X)]2. Для вычисления М(Х2) составим следующий закон распределения величины Х2: Таблица 3 Х2 402 422 412 442 Р 0.1 0.3 0.2 0.4 Тогда М(Х2)=402*0.1+422*0.3+412*0.2+442*0.4=160+529.2+336.2+774.4= = 1799.8 и D(X)=1799.8-42.42=2.04. 3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной величины Х, равное квадратному корню из дисσ(Х)= √D(X). персии D(X), то есть ¯¯¯¯ ≈1.43. Из этой формулы имеем: σ= √ 2.04 Задача 11 Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения 0 при х<0, F(x)= x3 при 0≤х≤1, 1 при х>0. Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(X). Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения F(X), то есть f(x) = F’(x). Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид: 0 при х<0,

11

f(x) = 3х2 при 0≤х≤1, 0 при х>1. 2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой: ∞

М(Х)= ⌠ ⌡х*f(x)*dx. -∞

Так как функция f(x) при х<0 и при х>1 равна нулю, то из последней формулы имеем 3x4 ⌠х*f(x)*dx =⌡ ⌠x*3x *dx = М(Х)=⌡ 4 0 0 1

1

2

1

0

3 =4.

3) Дисперсию D(X) определим по формуле: ∞

2 D(X) = ⌠ ⌡[x-M(X)] *f(x)dx. -∞

1

1

0

0

5

4

3

x 3x 3x  1 9  ⌠ 3  ⌠ 3 Тогда D(X)= x-4 2 *3x2dx = 3*x-2 x3+16 x2 dx =3* 5 - 8 + 16  0 =     ⌡ ⌡ 1 3 3  3 =3*5 -8 +16  = 80 . 



Задача 12 Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1.5 мм. Решение. 1) Пусть Х- длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку [α; β], определяется по формуле: β

Р(α ≤ Х ≤ β)=⌠ ⌡f(x)dx. . α

Вероятность выполнения строгих неравенств α <Х< β определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то β-а  α-а  Р(α ≤ Х ≤ β)=Ф σ  -Ф σ  ,     12

где Ф(х)- функция Лапласа, а=М(Х), σ = D( X ) . В задаче а = 40, α = 34, β = 43, σ =3.Тогда 43-40  34-40  Р(34 <Х<43)=Ф 3  -Ф 3  = Ф(1)-Ф(-2)= Ф(1)+Ф(2)=     =0.3413+0.4772=0.8185. По условию задачи а-δ <Х< а+δ, где а= 40; δ= 1.5. Подставим, α= а-δ, β= а+δ, имеем: а+δ-а  а-δ-а  δ   δ δ  Р(а-δ<Х<а+δ)= Ф σ  -Ф σ  = Фσ  -Ф- σ  =2*Фσ  , то есть           δ  Р( |х-а|<δ)=2Ф*σ    Из формулы имеем: 1.5  Р( |х-40|< 1.5)=2*Ф 3  =2*Ф(0.5)=2*0.1915=0.383.   Вопросы для самопроверки по теме 5 1. Какие случайные величины называются дискретными? Непрерывными? Приведите примеры. 2. Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины? 3. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? ее дисперсией? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства. 4. Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций. 5. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины? 6. Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения. 7. Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. 8. Сформулируйте правило «трех сигм». 9. Назовите сущность закона больших чисел. 10. Напишите неравенство Чебышева; теорему Бернулли.

13

Тема 6. Интервальное оценивание параметров распределения Задача 13. На контрольных испытаниях n = 20 ламп выявлено, что средний срок службы ламп равен Х = 980 ч. Определите с надежностью γ = 0.97 границы доверительного интервала для генеральной средней в предположении, что срок службы ламп распределен по нормальному закону распределения с σ = 18 ч. Решение. Интервальная оценка для математического ожидания при известной дисперсии определяется в соответствии с формулой:  σ σ  Р х-tγ√n < µ< x + tγ√n  = γ = Ф(t).   Далее, используя таблицу интегральной функции Лапласа, находим, что tγ 18 18 <µ<980+ +2.13* )= = Ф-1( γ = 0.97 ) = 2.13, тогда: Р (980-2.13* 20 20 0.97. Ответ: Р (970.62<µ<989.38) = 0.97. Задача 14. По результатам контроля n=9 деталей вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение S=5мм. В предположении, что ошибка изготовления деталей распределена нормально, определить с надежностью γ =0.95 доверительный интервал для параметра σ. Решение. Так как n< 30, используется χ2- распределение. По таблице χ2 – распределения нужно выбрать такие два значения χ21 и χ22, чтобы площадь, заключенная по дифференциальной функцией распределения χ2 между χ21 и χ22, была равна γ = 1 – α.. Тогда α 0.05 2 Р ( χ2 > χ1 ) = 1-2 = 1- 2 = 0.975; α 0.05 2 P ( χ2 > χ2 ) = 2 = 2 = 0.025. По таблице χ2- распределения для числа степеней свободы ν = n-1= 8 и найденных вероятностей 0.975 и 0.025 определяем, что 2

2

χ1 = 2.180 и χ2 =17.535. Вычисляем χ1 = √2.18 = 1.47 и χ2 = √17.535 = 4.19. Доверительный интервал (30) равен 9*5 9*5 ≤σ ≤ 4.19 1.47

14

и окончательно 3.58 ≤ σ ≤ 10.2(мм). Вопросы для самопроверки по теме 6

1. Дайте определение точечной оценки параметров распределения. 2. Перечислите основные свойства точечной оценки. 3. Какими выборочными характеристиками оцениваются математическое ожидание и дисперсия? 4. Дайте определение интервальной оценки параметров распределения. 5. Чему равна точность оценки при интервальном оценивании математического ожидания при известном значении дисперсии генеральной совокупности и при неизвестном значении дисперсии генеральной совокупности? 6. Как определяется доверительный интервал для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения?

Тема 7. Проверка статистических гипотез Задача 15. По данным 12 рейсов установлено, что в среднем машина затрачивает на _ поездку до хлебоприемного пункта Х = 73 мин. Допустив, что время по-

ездки есть нормальная случайная величина, на уровне значимости 0.05 проверьте гипотезу Н0: µ = 75 мин.: а) при конкурирующей гипотезе Н1: µ = 72 мин., если известно, что σ = 4 мин.; б) при конкурирующей гипотезе Н1: µ = 72 мин., если выборочное среднее квадратическое отклонение равно S = 4 мин.; в) для условий а) и б) вычислите мощность критерия. Решение. а) для проверки гипотезы Н0: µ = 75 мин., при Н1 = 72 мин., выбираю левостороннюю критическую область ( µ1< µ0), в этой связи tкр = tтабл = Ф-1(1-2α) = Ф-1(0.9) = 1.65. Рассчитаем наблюдаемое значение статистики критерия: х-m0 73-75 tтабл = s √n = 4 √12 = -1.73. Поскольку | tтабл | > tкр, гипотеза Н0: µ = 75 мин. Отвергается с вероятностью ошибки α = 0.05; б) для проверки гипотезы Н0: µ = 75 мин. при Н1: µ = 72 мин., если S = 4мин., наблюдаемые значения статистики критерия рассчитаем по следующей формуле:

15

х-m0 73-75 √n-1 = 4 √11= -1.66. s Границу критической области найдем по таблице Стьюдента: tкр = tтабл = St-1(2α; ν = n-1) = St-1(0.1; 11) = 1.796. Поскольку | tтабл | < tкр, гипотеза Н0 не отвергается, т.е. Н0: µ = 75 мин. не противоречит наблюдениям; в) мощность критерия для условия а) рассчитаем по формуле: |µ1-µ0|  1 1-β = 2 1+ Ф σ √n-tкр , где tкр= Ф-1(1-2α) = Ф-1(0.9) = 1.6.   Таким образом: |72-75|  1 1 1 1-β = 2 1+ Ф 4 √12-1.65  = 2 [1+ Ф(0.948)] = 2 [1+0.6579] =    = 0.828. Мощность критерия для условия б) рассчитаем по формуле: |µ1-µ0| 1 1-β = 1- 2 St S √n-1- tкр ; n-1 , где tкр= St-1(2α ; n-1) = 1.796. Таким образом: |72-75| 1 1 1 √11-1.796;11 = 1St (0.681; 11) = 11-β = 1- 2 St 4 2 2 0.51 = = 0.745. Задача 16. При n = 7 независимых измерениях получены следующие результаты: 82.45; 82.30; 82.48; 82.05; 82.45; 82.60; 82.46 мм. В предположении, что ошибки измерений имеют нормальное распределение и не содержат систематической ошибки, на уровнях значимости 0.05 проверьте гипотезу Н0: σ2 = 0.02, при конкурирующей гипотезе Н1: σ2 = 0.05. Решение. Сначала рассчитаем значения: ∑(xi-x)2 0.1875 ∑хi 576.79 2 = 82.4 и S = = 7 = 0.027. х= n = 7 n Для проверки гипотезы Н0: σ2 = 0.02 мм2, при Н1: σ2 = 0.05 мм2, выбирают правостороннюю (σ12 >σ02) критическую область, а, значение границы критической области можно найти по таблице χ2-распределения: χ2кр (α;n-1) = χ2кр (0.05;6) = 9.45. Затем определяют наблюдаемое значение статистики критерия: nS2 7*0.027 2 χ набл = σ 2 = 0.02 = 9.45. 0 Поскольку χ2набл < χ2кр , гипотеза Н0 не отвергается, т.е. предположение, что σ2 = 0.02 не противоречит опытным данным. Задача 17. Из продукции двух станков-автоматов, выпускающих однотипные изделия, взяты выборки объемом n1= 10 и n2= 13. По результатам выборок найдены: Х1= 82.7мм., Х2=82.3мм., S12= 0.8 и S22= 1.1. В предположении о tтабл =

16

нормальном законе распределения погрешности изготовления требуется на уровне значимости α = 0.01 проверить гипотезу Н0: µ1 = µ2, при конкурирующей гипотезе Н1: µ1 ≠ µ2. Решение. Проверка гипотезы Н0: µ1 = µ2 возможна, если дисперсии неизвестны, но равны σ12 = σ22. Это значит, что сначала надо проверить гипотезу Н0: σ12 = σ22, при Н1: σ12 > σ22. Наблюдаемое значение статистики рассчитаем по формуле: Ŝ21 (10/9)0.8 0.89 Fнабл = S2 = (13/12)1.1 = 1.19 , очевидно, что в этом случае, мы получим, 2 что Fнабл <1, но по определению F >1. Следовательно, необходимо переименовать совокупности. Тогда Fнабл =1.19/0.89 = =1.33. Затем по таблице Фишера-Снедекора находим Fкр(α;n2-1;n1-1) = = Fкр (0.01;12;9) = 5.11. Поскольку Fнабл < Fкр, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным. Далее примем, что σ12 = σ22. Теперь можно перейти к проверке гипотезы Н0: µ1 = µ2, при неизвестных, но равных дисперсиях. Альтернативная гипотеза Н1: µ1 ≠ µ2 свидетельствует о том, что следует выбирать двухстороннюю критическую область, симметричную относительно нуля. Граница критической области будет найдена из условия, что tкр= St-1(α ;ν = n1 + n2-2) = St-1 (0.01; 21) = 2.831. Найдем наблюдаемое значение статистики критерия по формуле: x1-x2 n1n2 82.7-82.3 10*13 0.4 130 tнабл = n S2 +n S2 n +n = 10*0.8+13*1.1 10+13 = 8+14.3 23 = 1 1 2 2 1 2 10+13-2 21 n1+n2-2 =0.89. Поскольку | tнабл |< tкр, то гипотеза Н0: µ1 = µ2 не противоречит опытным данным. Приняв гипотезу µ1 = µ2, можно утверждать, что выборки объемом n1 и n2 принадлежат одной генеральной совокупности. Задача 18. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в процентах к предыдущему году): Таблица 4 Выработка в отчетном году(в % к предыдущему году) Количество рабочих

94-104

6

104-114

20

114-124

45

124-134

24

134-144

∑

5

100

На уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х – выработки рабочих – с помощью критерия χ2 Пирсона. Решение.

17

Параметры теоретического нормального закона распределения а и σ2, являющиеся соответственно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х, неизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими» оценками по выборке – несмещенными и состоятельными оценками соответственно выборочной средней х и «исправленной» выборочной дисперсией σ2* . Так как число наблюдений n = 100 достаточно велико, то вместо исправленной σ2* можно взять «обычную» выборочную дисперсию σb2. По данному в условии распределению были вычислены х = = 119.2( %), σb2= 87.96; σb = 9.38( %). Для расчета вероятностей рi попадания случайной величины Х в интервал [xi, xi+1], где i= 1,2…,m, используем функцию Лапласа Ф(х). В соответствии со свойством нормального распределения: 1  xi+1-а  xi-а   рi = р(х ≤ Х ≤ xi+1) = 2 Ф σ -Ф σ   ≈       1  xi+1-119.2  xi-119.2   ≈ 2 Ф 9.38 -Ф 9.38   .       Например, 1  104-119.2  94-119.2   1 рi = р(94 ≤ Х ≤ 104) = 2 Ф 9.38 -Ф 9.38   = 2 [Ф(-1.62)      1 -Ф(-2.69)] = 2 (-0.8948+0.9928) = 0.049 и соответствующая первому интервалу теоретическая частота np1=100*0.49 = 4.9. Аналогично вычисляем теоретические частоты npi в других интервалах (i= 1,2…,m). Для определения статистики χ2 удобно составить следующую таблицу: Таблица 5 №№ I 1 2 3 4 5

Интервал [xi, xi+1] 94-104 104-114 114-124 124-134 134-144 ∑

Эмпирические частоты ni 6 20 45 24 5 100

Вероятности рi 0.049 0.239 0.404 0.248 0.053 0.993

Теоретические частоты npi 4.9 23.9 40.4 24.8 5.3 99.3

(ni- npi)2

(ni- npi)2 npi

1.21 15.21 21.16 0.64 0.09

0.247 0.636 0.524 0.026 0.017 1.45

-

2

Итак, фактически наблюдаемое значение статистики χ = 1.45. Так как число интервалов m = 5, а нормальный закон распределения определяется 2 параметрами (которые мы оценили по выборке), то число степеней свободы k = m-2-1 = 5-2-1 = 2. Соответствующее критическое значение статистики χ2 по таблице Пирсона (из приложений) χ20.05;2= 5.99. Так как χ2< χ20.05;2, то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения с параметрами а =119.2 и σ2= 87.96 согласуется с опытными данными.

18

Изобразить эмпирические распределения можно, например, ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников с основаниями, равными величинам интервалов ∆хi = xi+1- xi, и высотами, равными частостям ωi = ni/n (или частотам ni) этих интервалов, называемой гистограммой. При построении нормальной кривой для каждого интервала по оси координат откладываем соответствующие вероятности рi (теоретические частоты npi). Выполнив чертеж, можно увидеть, что нормальная кривая теоретического распределения достаточно хорошо «выравнивает» гистограмму теоретического распределения. Вопросы для самопроверки по теме 7

1. 2. 3. 4. 5.

Дайте определение статистической гипотезы. Приведите порядок проверки статистической гипотезы. Что называется уровнем значимости? Мощностью критерия? Приведите правила проверки статистической гипотезы. Как проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей? 6. Как проверяется гипотеза о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей? 7. Как проверяется гипотеза о законе распределения случайной величины?

Тема 8. Корреляционный анализ. Проверка значимости и интервальное оценивание коэффициента корреляции Задача 19. По n = 8 значениям, представленным в таблице, требуется: а) оценить тесноту связи между параметрами х1 и х2, которые предполагаются нормально распределенными, с помощью линейного коэффициента корреляции; б) при α = 0.05 проверить значимость коэффициента корреляции; в) при γ = 0.95 построить интервальную оценку для коэффициента корреляции. Таблица 6 20 40 35 45 25 50 30 х1 30

х2

20

30

50

70

80

20

90

25

Решение. а) Предварительно находят средние арифметические переменных х1 и х2 и их произведения, средние квадратические отклонения S1 и S2. х1= 34.375;х2= 48.125; х1 х2 = 1875.

19

S1= 9.49; S2= 26.68. Теперь найдем оценку коэффициента парной корреляции: х1 х2- х1* х2 1875-34.375*48.125 = = 0.871. r12 = 9.49*26.68 S1* S2 б) для проверки гипотезы Н0: r12 = 0 найдем rкр по таблице Фишера-Иейтса. При условии, что α = 0.01, ν = n-2 = 6, rкр=0.707. Поскольку r12= 0.871 > rкр= 0.707, то Н0: r 12 = 0 отвергается, т.е. предположение о равенстве его нулю противоречит наблюдениям; в) для определения доверительного интервала для коэффициента парной корреляции генеральной совокупности ρ воспользуемся Ζпреобразованием Фишера. Согласно таблице значению r12= 0.871 соответствует z’=1.3331. Затем найдем интервальную оценку для z по выражению: 1 1 z’- tγ n-3 ≤ z ≤ z’+ tγ n-3 . Величину tγ определяем по таблице интегральной функции Лапласа из условия, что Ф(tγ) = γ = 0.95. В этом случае: tγ = 1.96.Тогда: 1.3331- 0.877 ≤ z ≤ 1.3331+0.877, 0.46 ≤ z ≤ 2.21. Далее воспользуемся таблицей z -преобразования Фишера для обратного перехода от z к ρ, т.е. 0.43 ≤ ρ ≤ 0.98. Интервальная оценка подтверждает вывод о значимости коэффициента корреляции, т.к. полученная оценка коэффициента корреляции входит в полученный интервал. Задача 20. По результатам 8 наблюдений была построена корреляционная матрица 0.871 − 0.874 1  R = 0.871 1 − 0.879  , − 0.874 − 0.879 1 

а) при α = 0.05 проверить значимость частных коэффициентов корреляции ρ12/3, ρ13/2 и ρ23/1 и при γ = 0.95 построить интервальную оценку для ρ13/2 ; б) найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции ρ1/23 и при α = 0.05 проверить его значимость. Решение. Найдем точечные оценки частных коэффициентов корреляR

12 , где R – алгебраическое дополнение ции из выражения: r12 / 3 = − 12 R R 11 22

элемента r12 корреляционной матрицы R, а R11 и R22 алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы. 0.871 − 0.879 R12 = (−1) 3 = −0.103 − 0.874 1 1 − 0.879 R11 = (−1) 2 = 0.227 − 0.879 1

20

R 22 = (−1) 4

1 − 0.874 = 0.236 . − 0.874 1

0.103 Тогда r12/ 3 = = 0.445 . 0.227 0.236 Аналогично находим r13/2 = -0.462 и r23/1 = -0.494. Для проверки значимости частных коэффициентов корреляции найдем rкр(α=0.05, v=n-l-2=5)=0.754, где l – порядок коэффициента корреляции. В рассматриваемом примере l = 1. Так как | r|< rкр = 0.754, то гипотезы Н0: ρ = 0 не отвергаются, т.е. предположение о равенстве его нулю не противоречит наблюдениям. Определим интервальную оценку для ρ13/2 при γ = 0.95. Для этого используем z – преобразование Фишера и предварительно найдем интервальную оценку для z из условия: 1 z ∈ z′ ± t . По таблице z - преобразования Фишера для r13/2= -0.462,

[

n −l −3

]

учитывая, что z’(-r) = -z’(r), будем иметь z’= -0.497. По таблице нормального закона, из условия Ф(t) = 0.95, найдем t = 1.96. Тогда,

[

]

z ∈ 0.497 ± 1.96 8−1 4 , откуда, z ∈ [− 1.477; 0.483]. По таблице z - преобразования для zмин = -1.477 и zмакс = 0.483 найдем интервальную оценку для ρ13/2: ρ 13. / 2 ∈[− 0.9; 0.45] . Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о незначимости частного коэффициента корреляции ρ13/2 , т.к. нуль находится внутри доверительного интервала; б) найдем точечную оценку множественного коэффициента корреляции ρ13/2 и при α=0.05 проверим его значимость. Точечная оценка определяетR

ся по формуле: r1 / 23 = 1 − R , где |R| - определитель корреляционной мат11 043 = 0.90 . рицы, |R| = 0.043 и r1 / 23 = 1 − 00..227 Проверим гипотезу Н0: ρ1/23 =0.

Fнабл

Для

этого

определим

1 0.81 1 r 21 / 23 2 = = 2 = 10.66 , где l = 2. Критическое значение оп2 1 0.19 1 (1− r 1 / 23 ) n −l −1 5

ределим по таблице F- распределения, Fкр(α=0.05, v1=2, v2=5)=5.79. Так как Fнабл > Fкр, то гипотеза Н0 отвергается, т.е. множественный коэффициент корреляции не равен нулю (ρ13/2 ≠0). Вопросы для самопроверки по теме 8

1. Дайте определение корреляционной зависимости между случайными величинами. 2. Как определяется парный коэффициент корреляции? 3. Значимость коэффициента корреляции. 21

4. 5. 6. 7. 8.

Интервальное оценивание коэффициента корреляции. Корреляционное отношение. Как определить частный коэффициент корреляции? Как определить значимость частного коэффициента корреляции? Привести формулу интервального оценивания частного коэффициента корреляции. 9. Как определить множественный коэффициент корреляции? 10. Как проверить значимость множественного коэффициента корреляции? 11. Привести формулу интервального оценивания множественного коэффициента корреляции.

Тема 9. Регрессионный анализ. Проверка значимости и интервальное оценивание параметров уравнения регрессии Задача 21. По данным таблицы (n=10) провести регрессионный анализ, предполагая линейную модель вида ~y = β 0 + β 1 *x. Таблица 7 2.1 2.8 3.2 4.5 4.8 4.9 5.5 6.5 12.1 15.1 yi 3 4.5 5 5 5 5 6 7 15 20 xi

Определить: 1.Оценки параметров уравнения регрессии b 0 и b 1 и остаточной диспер2 сии S ост .; 2.Проверить, при α = 0,05 , значимость уравнения регрессии; 3.С надежностью 0,95 найти интервальные оценки параметров β 0 иβ 1 ; 4.С надежностью 0,9 установить интервальную оценку условного математического ожидания ~y при x 0 = 4; 5. При γ = 0.9 доверительный интервал предсказания ~y n+1 в точке x 0 = 5; Решение: Для удобства решения задачи составим вспомогательную таблицу 8: Таблица 8 хi

22

yi 3 4 5 5

2.1 2.8 3.2 4.5

xi * yi 6.3 11.2 16 22.5

5 5 6 7

4.8 4.9 5.5 6.5

24 24.5 33 45.5

Xi

9 16 25 25

2.77 3.52 4.27 4.27

(y i - y€i ) 2 0.4489 0.5184 1.1449 0.0529

25 25 36 49

4.17 4.27 5.02 5.77

0.3969 0.3969 0.2304 0.5329

2

y€i

(x i - x ) 2 61.4656 46.7856 34.1056 34.1056 34.1056 34.1056 23.4256 14.7456

15 20 Итого 75

12.1 15.1 61.5

181.5 302 666.5

225 400 835

11.75 15.5 61.31

0.1225 0.16 4.0047

17.3056 83.9056 384.056

1.Найдем оценки параметров уравнения регрессии, решая систему: n

n

n* b 0 + b 1 ∑ xi =

∑y

i =1

n

∑x

b0+

i =1

+ b1

i

i =1

n

∑x i =1

2

i n

i

= ∑ xi * y i i =1

В результате решения системы получим b 0 = 0.53 и b1 = 0.75, а оценка уравнения регрессии примет вид: y€ =0.53+0.75*x; Для расчета оценки остаточной дисперсии определим расчетные значения y€i в 5-й графе таблицы и найдем квадраты отклонений фактических значений от расчетных (графа 6). В результате получим: 2 S ост .=

1 n

n

∑(y i =1

i

- y€i ) 2 =4,0047*0.1=0.4;

n

Qост. = ∑ ( y i − y€i ) 2 = 4.0047; i =1

2. Для проверки гипотезы H 0 : β 1 =0 определим , F н = где Qr = b

2 1

Тогда, F н =

2

n

∑ (x i =1

Qr , (1 / n − 2) * Qост.

i

- x) =153,28;

153.28 = 306,56; (1 / 8) * 4.0047

По таблице распределения Фишера -

Снедекора, при α =0.05 и числах степеней свободы ν = 1 и ν = 8, находим что F кр. =5.32. Поскольку F н =306.56>5.32, рассматриваемая гипотеза отвергается и уравнение регрессии считается значимым; Qост. =0.7 и по таблице 3. Предварительно находим, S€ост. = Sост.2 = n−2 распределения Стьюдента, при α = 0,05 и ν = n-2 = 8, определяем t γ =2.306. Воспользовавшись формулами: n   € Sост. ∑ xi 2    i =1 β 0 ∈ b0 ± tγ  n 2  n * ∑ ( xi − x )   i =1 23

    S€ост.   β 1 ∈ b1 ± tγ   n 2  ∑ ( xi − x )   i =1  находим интервальные оценки для β 0 иβ 1 : 

β 0 ∈ 0.53 ± 2.31 



  т.е. β 0 ∈ [0.53 ± 0,76]или -0,23 ≤ β 0 ≤ 1.29; 10 * 384.056 

0.7 835

  т.е. β 1 ∈ [0.75 ± 0.09 ] или 0,66 ≤ β 0 ≤ 0.84 ; 384.056   4. Предварительно, по таблице Стьюдента, при α = 1 − 0.9 = 0.1 и ν = 8,

β 1 ∈ 0.75 ± 2.31

0.7

находим, что t γ =1,86 и, определим интервальную оценку условного математического ожидания ~y при x 0 = 4:

[

]

~ y ∈ b0 + b1 * x0 ± t γ S€ост.

( x0 − x ) 2 1 + n n ∑ (x i - x ) 2

,

i =1

ŷ∈

1 (4 − 7.5) 2 + (0.53+3) ± 1.86 * 0.7 10 384.056

т.е. ŷ ∈ 3,53 ± 0.08

или

3,45 ≤ ~y ≤ 3.61; 5.Используя формулу, ~y n+1

( x0 − x ) 2 1 € ∈ b0 + b1 * x0 ± t γ S ост. + n + 1 оп2 n ∑ (x i - x )

[

]

i =1

ределим, что

ŷn-1 ∈

1 (5 − 7.5) 2 (0.53+3,75) ± 1.86 * 0.7 + +1 10 384.056

или 1,86 ≤ ŷn-1 ≤ 6.7 . Вопросы для самопроверки по теме 9 24

т.е. ŷn-1 ∈ [4.28 ± 2.42]

1. Что характеризует уравнение регрессии? 2. Как определяются параметры оценки уравнения регрессии? 3. Как проверяется значимость уравнения регрессии и параметров уравнения регрессии? 4. Интервальное оценивание параметров уравнения регрессии. 5. Как осуществляется прогнозирование по полученной оценке уравнения регрессии?

4 Задания к контрольной работе 1.

Из n1 рабочих норму выработки не выполняют n2 человек. Найти вероятность того, что n3 случайно выбранных рабочих не выполняют норму.

Таблица 9 № вар. n1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

200

200

200

150

160

150

100

100

100

100

n2

15

10

5

10

10

15

5

5

10

10

n3

2

3

2

2

3

3

2

2

2

3

2.Вероятность сдать каждый из трех экзаменов экзаменационной сессии на "отлично" для студента равна, соответственно, р1, р2, р3. Определите вероятность того, что студент сдаст на "отлично": а) все три экзамена; б) два экзамена; в) хотя бы один экзамен. Таблица 10 № вар.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

р1

0.9

0.9

0.9

0.8

0.8

0.95

0.7

0.72

0.75

0.7

р2

0.8

0.7

0.7

0.7

0.6

0.7

0.65

0.8

0.65

0.5

р3

0.7

0.6

0.5

0.6

0.5

0. 65

0.85

0.7

0.4

0.4

3. Среди одинаковых по внешнему виду n1 изделий имеется n2 без брака. Произвольно вынимают m изделий. Найти вероятность того, что среди них есть хотя бы одно с браком.

25

Таблица 11 № 1 вар. n1 12

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

14

13

15

12

12

13

14

14

n2

10

13

12

10

10

11

11

12

11

11

m

3

2

2

3

2

2

3

3

2

3

4. Бригада операторов компьютерного набора из трех человек выполняет набор книги в n1 страниц. План первого оператора – n2 страниц, второго оператора n3 страниц и третьего – n4 страниц. Вероятность допустить ошибку при наборе для первого оператора к1%, второго – к2%, третьего – к3%. При наборе была сделана ошибка. Найти вероятности сделать ошибку первым, вторым и третьим оператором. Таблица 12 № вар. n1

n2

n3

n4

к1

к2

к3

1

500

200

160

140

2

3

5

2

500

200

150

150

2

4

4

3 4 5

500 400 400

200 200 300

100 100 50

200 100 50

3 3 4

4 3 5

5 2 2

6 7

400 300

150 150

100 100

150 50

4 3

4 2

5 4

8

300

100

100

100

3

3

5

9

300

100

120

80

6

4

3

10

200

50

70

80

5

4

3

5. Дана вероятность р того, что пара обуви окажется первого сорта. Найти вероятность того, что из n взятых пар обуви m окажется первого сорта. Таблица 13

26

№ вар. р

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.9

0.8

0.36

0.64

0.81

0.9

0.36

0.8

0.64

0.81

n

100

400

900

225

250

900

400

100

225

250

M

95

330

340

158

200

200

340

95

158

330

6. Вероятность того, что пара обуви, взятая наудачу из изготовленной партии, окажется первого сорта, равна р. Определите вероятность того, что среди n пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее m1 и не более m2. Таблица 14 № вар.

р 0.9

n 2000

m1 1800

m2 1900

1

0.8

360

280

300

2

0.6

490

320

350

3

0.9

640

500

540

4

0.2

225

50

60

5

0.4

810

340

400

6

0.7

250

150

180

7

0.3

300

110

130

8

0.8

625

480

500

9

0.5

100

60

80

10

0.9

256

200

220

7. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой строке указаны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение σ. 1) Х 8 4 6 5 р 0.1 0.3 0.2 0.4 2) Х 23 25 27 29 р 0.2 0.1 0.3 0.4 3) Х р

10 0.4

8 0.1

6 0.3

9 0.2

4) Х р

32 0.1

40 0.3

37 0.4

35 0.2

5) Х р

42 0.3

41 0.3

43 0.2

45 0.2

27

6) Х р

15 0.2

11 0.5

13 0.2

12 0.1

7) Х р

52 0.1

54 0.4

57 0.3

51 0.2

8) Х р

21 0.5

20 0.2

22 0.2

26 0.1

9) Х р

34 0.2

30 0.4

32 0.3

36 0.1

10) Х р

50 0.3

48 0.2

51 0.2

43 0.3 .

8. В задаче случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(X). 0 при х<0, 1) F(x) = х2 при 0≤х≤1, 1 при х>1.

0 при х<0, х3 6) F(х) = 8 при 0≤х≤2, 1 при х>2.

0 при х<0, x2 2) F(x) = 16 при 0≤х≤4, 1 при х>4.

0 при х<0, х2 7) F(х) = 9 при 0≤х≤3, 1 при х>3.

0 при х<2, 3) F(х) = х-2 при 2≤х≤3, 1 при х>3.

0 при х<1, 8) F(х) = х-1 при 1≤х≤2, 1 при х>2.

0 при х<0, х2 4) F(х) = 4 при 0≤х≤2, 1 при х>2. 0 при х<4,

0 при х<0, 9) F(х) = х при 0≤х≤1, 1 при х>1.

0 при х<0, х3 5) F(х) = х-4 при 4≤х≤5, 10) F(х) = 27 при 0≤х≤3, 1 при х>5. 1 при х>3. 9. Заданы две случайные величины x и y:

28

а) построить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения; б) проверить гипотезы о нормальном законе распределения величин x и y, равенстве математического ожидания µ заданному µ = µ0; равенстве генеральной дисперсии σ заданной σ2=σ02; равенство дисперсий двух генеральных совокупностей x и y; равенство математических ожиданий двух генеральных совокупностей х и y; в) рассчитать парный коэффициент корреляции между совокупностями х и y, проверить значимость парного коэффициента корреляции; построить доверительный интервал для парного коэффициента корреляции; г) проверить, при α = 0,05 , значимость уравнения регрессии; - с надежностью 0,95 найти интервальные оценки параметров β 0 иβ 1 ; - с надежностью 0,9 установить интервальную оценку математического ожидания ~y при x 0 ; - при γ = 0.9 определить доверительный интервал предсказания ~ y n+1. Таблица 15 № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 γ µ0 σ0 X0

Вариант №1 Х Y 67 210 68 199 70 206 76 221 80 238 87 256 75 222 79 230 79 234 73 217 86 253 78 228 79 230 67 201 79 237 82 237 70 209 83 243 80 239 76 221 0.97 80 230 15 45 86 -

Вариант №2 X Y 48 99 40 83 52 106 50 107 39 79 47 100 38 80 46 96 47 98 44 97 45 92 44 90 53 108 52 107 45 96 42 86 45 98 45 97 61 128 42 88 0.93 44 90 15 45 62 -

Вариант №3 X Y 46 50 55 57 57 61 55 58 51 51 62 70 43 43 64 71 56 64 65 67 56 63 51 58 58 60 42 47 46 54 54 60 62 67 57 58 68 68 47 56 0.95 60 60 15 12 67 -

Вариант №4 X Y 46 279 40 245 59 354 35 212 53 323 47 285 40 240 60 361 39 235 41 246 58 357 59 361 57 343 65 390 34 208 50 301 45 277 50 306 55 334 57 342 0.98 51 330 10 85 58 -

29

Продолжение таблицы 15 Вариант №5 Вариант №6 № п/п Х Y X Y 1 72 152 7 23 2 72 152 11 38 3 73 155 10 34 4 68 144 4 16 5 71 145 12 42 6 78 155 9 44 7 74 154 5 33 8 67 136 8 18 9 68 142 13 29 10 71 147 12 42 11 74 153 10 39 12 69 145 9 36 13 69 143 9 27 14 81 168 11 30 15 68 143 9 37 16 67 134 10 31 17 76 152 13 38 18 67 139 15 35 19 68 141 4 45 20 69 146 12 48 0.97 0.95 γ 7 140 8 40 µ0 15 45 15 25 σ0 X0 86 62 Продолжение таблицы 15 Вариант №9 Вариант №10 № п/п Х Y X Y 1 2 3 4 5 1 13 210 28 99 2 11 199 29 83 3 18 206 30 88 4 13 221 29 9 5 15 238 32 79 6 21 256 31 100 7 17 222 29 80 8 13 230 30 96 9 16 234 28 98 10 13 217 29 97 11 19 253 29 92 12 17 228 30 90 13 16 230 27 101 14 12 201 29 103 15 17 237 31 96 16 20 237 35 86 17 17 209 31 98

30

Вариант №7 X Y 40 209 40 201 42 214 41 222 42 210 41 219 43 208 40 208 41 206 41 200 39 209 43 202 39 212 38 206 42 216 40 220 41 212 39 204 42 224 41 223 0.92 4 200 5 35 44 -

Вариант №8 X Y 48 200 46 188 62 249 63 262 51 253 61 252 62 230 56 204 50 225 54 220 58 192 59 272 57 236 65 216 34 208 50 261 45 277 50 264 55 224 57 252 0.96 60 230 10 45 15 -

18 18 243 Продолжение таблицы 15 19 19 239 20 21 221 0.95 γ 18 230 µ0 5 47 σ0 X0 22 -

27

97

32 30 0.93 30 11 32

107 88 102 40 -

10. Заданы корреляционные матрицы. Определить оценки частных и множественных коэффициентов корреляции, проверить их значимость и построить интервальные оценки. 0.246 − 0.552 1  1 − 0.663 ; 1) R = 0.246   − 0.552 − 0.663 1  0.825 0.287  1 − 0.879 ; 2) R = 0.825 1   0.287 − 0.879  1 0.771 0.874 1  0.579 ; 3) R = 0.771 1   0.874 0.579 1  − 0.871 − 0.874  1 0.556  ; 4) R = − 0.871 1   − 0.874 0.556 1  0.442 0.774  1 1 − 0.779 ; 5) R = 0.442   0.774 − 0.779 1  0.451 − 0.557 1 0.647  ; 6) R = 0.451 1   − 0.557 0.647 1  0.131 0.774  1  − 0.935 ; 7) R = 0.131 1   0.774 − 0.935 1  0.632 0.874  1 − 0.522 ; 8) R = 0.632 1   0.874 − 0.522 1 

31

− 0.617 0.174   1 − 0.879 ; 9) R = − 0.617 1    0.174 − 0.879 1  0.573 0.382  1 − 0.679 . 10) R = 0.573 1   0.382 − 0.679 1 

32

Список использованных источников 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Математическая статистика. -М.: МЭСИ, 1996.-387с. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000,-400с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2000, -479с. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М: Высшая школа, 1998. –336с. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:ИНФРА. 1999,-302с. Мхитарян В.С., Трошин Л.И. и др. Теория вероятностей и математическая статистика.(Учебное пособие). –М.:МЭСИ. 1998, -172с.

33

Приложение А Таблица 1- Нормальный закон распределения. Значения функции Ф(t) = P( T ≤ t табл. ) Целые и десятичные доли t 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 34

0

1

2

3

2 0.0000 0797 1585 2358 3108 3829 4515 5161 5763 6319 0.6827 7287 7699 8064 8385 8664 8904 9109 9281 9426 0.9545 9643 9722 9786 9836

3 0.0080 0876 1663 2434 3182 3899 4581 5223 5821 6372 0.6875 7330 7737 8098 8415 8690 8926 9127 9297 9439 0.9556 96514 9729 9721 9841

4 0.0160 0955 1741 2510 3255 3969 4647 5285 5878 6424 0.6923 7373 7775 8132 8444 8715 8948 9146 9312 9451 0.9566 9660 9736 9797 9845

5 0.0239 1034 1819 2586 3328 4039 4713 5346 5935 6476 0.6970 7415 7813 8165 8473 8740 8969 9164 9327 9464 0.9576 9668 9743 9802 9849

Сотые доли t 4 5 6 0.0319 1113 1897 2661 3401 4108 4778 5407 5991 6528 0.7017 7457 7850 8198 8501 8764 8990 9181 9342 9476 0.9586 9676 9749 9807 9853

7 0.0399 1192 1974 2737 3473 4177 4843 5467 6047 6579 0.7063 7499 7887 8230 8529 8789 9011 9199 9357 9488 0.9596 9684 9756 9812 9857

6

7

8

9

8 0.0478 1271 2051 2812 3545 4245 4907 5527 6102 6629 0.7109 7540 7923 8262 8557 8812 9031 9216 9371 9500 0.9606 9692 9762 9817 9861

9 0.0558 1350 2128 2886 3616 4313 4971 5587 6157 6679 0.7154 7580 7959 8293 8584 8836 9051 9233 9385 9512 0.9616 9700 9768 9822 9865

10 0.0638 1428 2205 2966 3688 4381 5035 5646 6211 6729 0.7199 7620 7994 8324 8611 8859 9070 9249 9899 9523 0.9625 9707 9774 9827 9869

11 0.0717 1507 2282 3035 3759 4448 5098 5705 6265 6778 0.7243 7660 8029 8355 863 9992 9090 9265 9412 9534 0.9634 9715 9780 9832 9872

Продолжение таблицы 1 1 2 2.6 9907 2.7 9931 2.8 9949 2.9 9963 3.0 0.9973 3.1 9981 3.5 9995 3.6 9997 3.7 9998 3.8 9999 3.9 9999 4.0 0.999936 4.5 0.999994 5.0 0.99999994

3 9910 9933 9951 9964 0.9974 9981 9996 9997 9998 9999 9999 9999 -

4 9912 9935 9952 9965 0.9975 9982 9996 9997 9998 9999 9999 9999 -

5 9915 9937 9953 9966 0.9976 9983 9996 9997 9998 9999 9999 9999 -

6 9917 9939 9955 9967 0.9976 9983 9996 9997 9998 9999 9999 9999 -

7 9920 9940 9956 9968 0.9977 9984 9996 9997 9998 9999 9999 9999 -

8 9922 9942 9958 9969 0.9978 9984 9996 9997 9998 9999 9999 9999 -

9 9924 9944 9959 9970 0.9979 9985 9996 9998 9998 9999 9999 9999 -

10 9926 9946 9960 9971 0.9979 9985 9997 9998 9998 9999 9999 9999 -

11 9928 9947 9961 9972 0.9980 9986 9997 9998 9998 9999 9999 9999 -

35

Таблица 2 – Распределение Стьюдента (t- распределение) ν

Вероятность α = St(t)-P( T >t табл ) 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 36

0.9 2 0.158 0.142 0.137 0.134 0.132 0.131 0.130 0.130 0.129 0.129 0.129 0.128 0.128 0.128 0.128 0.128 0.128 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127

0.8 3 0.325 0.289 0.277 0.271 0.267 0.265 0.263 0.262 0.261 0.260 0.260 0.259 0.259 0.258 0.258 0.258 0.257 0.257 0.257 0.257 0.257 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256

0.7 4 0.510 0.510 0.445 0.424 0.414 0.408 0.404 0.402 0.399 0.398 0.327 0.396 0.395 0.394 0.393 0.393 0.392 0.392 0.392 0.391 0.391 0.391 0.390 0.390 0.390 0.390 0.389

0.6 5 0.727 0.617 0.584 0.569 0.559 0.553 0.549 0.546 0.543 0.542 0.540 0.539 0.538 0.537 0.536 0.535 0.534 0.534 0.533 0.533 0.532 0.532 0.532 0.531 0.531 0.531 0.531

0.5 6 1.000 0.816 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700 0.697 0.695 0.694 0.692 0.691 0.690 0.689 0.688 0.688 0.687 0.686 0.686 0.685 0.685 0.684 0.684 0.684

0.4 7 1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.876 0.873 0.870 0.868 0.868 0.866 0.865 0.863 0.861 0.860 0.859 0.858 0.868 0.857 0.856 0.856 0.855

0.3 8 1.963 1.386 1.250 1.190 1.156 1.134 1.119 1.108 1.100 1.093 1.088 1.083 1.079 1.076 1.074 1.071 1.069 1.067 1.066 1.064 1.063 1.061 1.060 1.059 1.058 1058 1.057

0.2 9 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314

0.1 10 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703

0.05 11 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 1.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052

0.02 12 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.402 2.485 2.479 2.473

0.01 13 63.657 9.925 5.841 4.604 4.043 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.898 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771

0.001 14 636.619 31.598 12.941 8.610 6.859 5.959 5.405 5.041 4.781 4.583 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.833 3.850 3.819 3.792 3.767 3.745 3.725 3.707 3.690

Продолжение таблицы 2 1 2 3 4 28 0.127 0.256 0.389 29 0.127 0.256 0.389 30 0.127 0.256 0.389 40 0.126 0.255 0.388 60 0.126 0.254 0.387 120 0.126 0.254 0.386 0.126 0.253 0.385 ∞

5 0.530 0.530 0.530 0.529 0.527 0.526 0.524

6 0.683 0.683 0.683 0.681 0.679 0.677 0.674

7 0.855 0.854 0.854 0.851 0.848 0.845 0.842

8 0.056 1.055 1.055 1.050 1.046 1.041 1.036

1.313 1.311 1.310 1.303 1.296 1.289 1.282

9 10 11 12 13 1.701 2.048 2.467 2.763 1.699 2.045 2.462 2.756 1.697 2.042 2.457 2.750 1.684 2.021 2.423 2.704 1.671 2.000 2.390 2.660 1.658 1.980 2.358 2.617 1.645 1.960 2.326 2.576

14 3.674 3.659 3.646 3.551 3.460 3.373 3.291

37

Таблица 3 - Распределение Пирсона( χ 2 -распределение). Значения χ 2 ν 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 38

0,999 2 0,05157 0,00200 0.0243 0.0908 0.210 0.381 0.598 0.857 1.152 1.479 1.834 2.214 2.617 3.041 3.483 3.942 4.416 4.905 5.407 5.921 6.447 6.983 7.529 8.035 8.649 9.222 9.803

0,995 3 0,04393 0,0100 0.0717 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.260 9.886 10.520 11.160 11.808

0,99 4 0,03157 0,0201 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.408 7.015 7.633 8.620 8.897 9.542 10.196 10.856 11.524 12.198 12.879

0,98 5 0.03628 0.0404 0.185 0.429 0.752 1.134 1.564 2.032 2.532 3.059 3.609 4.178 4.765 5.368 5.985 6.614 7.255 7.906 8.567 9.237 9.915 10.600 11.293 11.992 12.697 13.409 14.125

Вероятность 0,975 0,95 6 7 0.03982 0.00393 0.0506 0.103 0.216 0.352 0.484 0.711 0.831 1.145 1.237 1.635 1.690 2.167 2.180 2.733 2.700 3.325 3.274 3.240 3.816 4.575 4.404 5.226 5.009 5.892 5.629 6.571 6.262 7.261 6.908 7.962 7.654 8.672 8.231 9.390 8.907 10.117 9.591 10.871 10.283 11.591 10.982 12.338 11.688 13.091 12.401 13.848 13.120 14.611 13.844 15.379 14.573 16.151

0,90 8 0.0158 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.042 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.433 13.240 14.041 14.848 15.659 16.173 17.292 18.114

табл

для вероятностей Р( χ 2 > χ 2 0,80 9 0.0642 0.446 1.005 1.649 2.343 3.070 3.822 4.594 5.380 6.179 6.989 7.807 8.634 9.467 10.307 11.152 12.002 12.857 13.716 14.578 15.445 16.314 17.187 18.062 18.940 19.820 20.703

0,75 10 0.102 0.575 1.213 1.923 2.675 3.455 4.255 5.071 5.899 6.737 7.584 8.438 9.299 10.165 11.036 11.912 12.892 13.675 14.562 15.452 16.344 17.240 18.137 19.037 19.939 20.843 21.749

0,70 11 0.148 0.713 1.424 2.195 3.000 3.828 4.671 5.527 6.393 7.267 8.148 9.034 9.926 10.821 11.721 12.624 13.531 14.440 15.352 16.266 17.182 18.101 19.021 19.943 20.887 21.792 22.719

табл

)

0,50 12 0.455 1.386 2.366 3.357 4.351 5.348 6.346 7.344 8.343 9.342 10.341 11.340 12.340 13.339 14.339 15.338 16.338 17.338 18.338 19.337 20.337 21.337 22.337 23.337 24.336 25.336 26.136

Продолжение таблицы 3 1 2 3 28 10.391 12.461 29 10.986 13.121 30 11.588 13.787

4 13.565 14.256 14.953

5 14.847 15.574 16.306

6 15.308 16.047 16.791

7 16.928 17.708 18.493

8 18.937 19.768 20.599

9 21.588 22.475 23.364

10 22.657 23.567 24.478

11 23.617 24.577 25.508

0,02 19 5.412 7.824 9.837 11.668 13.388 15.033 16.622 18.168 19.679 21.161 22.618 24.054 25.472 26.873 28.259 29.633 30.995 32.346 33.678 35.020 36.343

0,01 20 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932

0,005 21 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.300 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401

0,001 22 10.827 13.815 16.268 18.465 20.517 22.457 24.322 26.125 27.877 29.588 31.264 32.909 34.528 36.123 37.697 39.252 40.790 42.312 43.820 45.315 46.797

12 27.336 28.336 28.336

Продолжение таблицы 3

ν

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0,30 13 1.074 2.408 3.665 4.878 6.064 7.231 8.383 9.524 10.656 11.781 12.899 14.011 15.119 16.222 17.322 18.418 19.511 20.601 21.689 22.775 23.858

0,25 14 1.323 2.773 4.108 5.385 6.626 7.841 9.037 10.219 11.389 12.549 13.701 14.845 15.984 17.117 18.245 19.369 20.489 21.605 22.718 23.828 24.935

0,20 15 1.642 3.219 4.642 5.989 7.289 8.558 9.803 11.030 12.242 13.412 14.631 15.812 16.985 18.151 19.311 20.465 21.615 22.760 23.900 25.038 26.171

0,10 16 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615

Вероятность 0,05 0,025 17 18 3.841 5.024 5.991 7.378 7.815 9.348 9.488 11.143 11.070 12.839 12.592 14.449 14.067 16.013 15.507 17.535 16.919 19.023 18.307 20.483 19.675 21.920 21.026 23.337 22.362 24.736 23.685 26.119 24.996 27.488 26.296 28.845 27.587 30.191 28.869 31.526 30.144 32.852 31.140 34.170 32.671 35.479

39

Продолжение таблицы 3 1 13 14 22 24.939 26.039 23 26.018 27.141 24 27.096 28.241 25 28.172 29.339 26 29.246 30.434 27 30.319 31.528 28 31.391 32.620 29 32.461 33.711 30 33.530 34.800

40

15 27.301 28.429 29.553 30.675 31.795 32.912 34.027 35.139 36.250

16 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256

17 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773

18 36.781 38.076 39.364 40.046 41.923 43.194 44.461 45.722 46.979

19 37.659 38.968 40.270 41.566 42.856 44.140 45.419 46.693 47.962

20 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892

21 42.796 44.181 45.558 46.928 48.290 49.645 50.993 52.336 53.672

22 48.268 49.768 51.170 52.620 54.052 55.476 56.893 58.302 59.703

Таблица 4 - Распределение Фишера - Снедекора ( F-роаспределение) Значения F табл. ,удовлетворяющие условию Р(F> F табл. ). Первое значение соответствует вероятности-0,05, второе - 0,01 и третье - вероятности 0,001, где ν 1 число степеней свободы числителя, а ν 2 -число степеней свободы знаменателя.

ν1

1

2

2

3

3

4

5

6

8

12

24

∞

t

11

12

ν2 1 1 2 3 4 5 6 7

161.4 4052 406523 18.51 98.49 998.46 10.13 34.12 67.47 7.71 21.20 74.13 6.61 16.26 47.04 5.99 13.74 35.51 5.59 12.25 29.22

199,5 4999 500016 19,00 99,01 999,00 9,55 30,81 148,51 6,94 18,00 61,24 5,79 13,27 36,61 5,14 10,92 26,99 4,74 9,55 21,69

4 215,7 5403 536700 19,16 00,17 999,20 9,28 24,46 141,10 6,59 16,69 56,18 5,41 12,06 33,20 4,76 9,78 23,70 4,35 8,45 18,77

5 224,6 5625 562527 19,25 99,25 999,20 9,12 28,71 137,10 6,39 15,98 53,43 5,19 11,39 31,09 4,53 9,15 21,90 4,12 7,85 17,19

6 230,2 5764 576449 19,30 99,30 999,20 9,01 28,24 134,60 6,26 15,52 51,71 5,05 10,97 20,75 4,39 8,75 20,81 3,97 7,46 16,21

7 234,0 5859 585953 19,33 99,33 999,20 8,94 27,91 132,90 6,16 15,21 50,52 4,95 10,67 28,83 4,28 8,47 20,03 3,87 7,19 15,52

8 238,9 5981 598149 19,37 99,36 999,40 8,84 27,49 130,60 6,04 14,80 49,00 4,82 10,27 27,64 4,15 8,10 19,03 3,73 6,84 14,63

9 243,9 6106 610598 19,41 99,42 999,60 8,74 27,05 128,30 5,91 14,37 47,41 4,68 9,39 26,42 4,00 7,72 17,99 3,57 6,47 13,71

10 249,0 6234 623432 19,45 99,46 999,40 8,64 26,60 125,90 5,77 13,93 45,77 4,53 9,47 25,14 3,84 7,31 16,89 3,41 6,07 12,73

253,3 6366 636535 19,05 99,50 999,40 8,53 26,12 123,50 5,63 13,46 44,05 4,36 9,02 23,78 3,67 6,88 15,75 3,23 5,65 11,70

12,71 63,66 636,2 4,30 9,92 31,00 3,18 5,84 12,94 2,78 4,60 8,61 2,57 4,03 6,8 2,45 3,71 5,96 2,36 3,50 5,40 41

Продолжение таблицы 4 1 2 3 5.32 4,46 8 11.26 8,65 25.42 18,49 5.12 4,26 9 10.56 8,02 22.86 16,39 4.96 4,10 10 10.04 7,56 21.04 14,91 4.84 3,98 11 9.65 7,20 16.69 13,81 4.75 3,88 12 9.33 6,93 18.64 12,98 4.67 3,80 13 9.07 6,70 17.81 12,31 4.60 3,74 14 8.86 6,51 17.14 11,78 4.45 3,68 15 8.68 6,36 16.59 11,34 4.41 3,63 16 8.53 6,23 16.12 10,97 4.45 3,59 17 8.40 6,11 15.72 10,66 42

4 4,04 7,59 15,38 3,86 6,99 13,90 3,71 6,55 12,55 3,59 6,22 11,56 3,49 5,95 10,81 3,41 5,74 10,21 3,34 5,56 9,73 3,29 5,42 9,34 3,24 5,29 9,01 3,20 5,18 8,73

5 3,84 7,10 14,39 3,63 6,42 12,56 3,48 5,99 11,28 3,36 5,67 10,35 3,26 5,41 9,63 3,18 5,20 9,07 3,11 5,03 8,62 3,06 4,89 8,25 3,01 4,77 7,94 2,96 4,67 7,68

6 3,69 6,63 13,49 3,48 6,06 11,71 3,33 5,64 10,48 3,20 5,32 9,58 3,11 5,06 8,89 3,02 4,86 8,35 2,96 4,69 7,92 2,90 4,56 7,57 2,85 4,44 7,27 2,81 4,34 7,02

7 3,58 6,37 12,86 3,37 5,80 11,13 3,22 5,39 9,92 3,09 5,07 9,05 3,00 4,82 8,38 2,92 4,62 7,86 2,85 4,46 7,44 2,79 4,32 7,09 2,74 4,20 6,80 2,70 4,10 6,56

8 3,44 6,03 12,04 3,23 5,47 10,37 3,07 5,06 9,20 2,95 4,74 8,35 2,85 4,50 7,71 2,77 4,30 7,21 2,70 4,14 6,80 2,64 4,00 6,47 2,59 3,89 6,20 2,55 3,79 5,96

9 3,28 5,67 11,19 3,07 5,11 9,57 2,91 4,71 8,45 2,79 4,40 7,62 2,69 4,16 7,00 2,60 3,96 6,52 2,53 3,80 6,13 2,48 3,67 5,81 2,42 3,55 5,55 2,38 3,45 5,32

10 3,12 5,28 10,30 2,90 4,73 8,72 2,74 4,33 7,64 2,61 4,02 6,85 2,50 3,78 6,25 2,42 3,59 5,78 2,35 3,43 5,41 2,29 3,29 5,10 2,24 3,18 4,85 2,19 3,08 4,64

11 2,99 4,86 9,35 2,71 4,31 7,81 2,54 3,91 6,77 2,40 3,60 6,00 2,30 3,36 5,42 2,21 3,16 4,97 2,13 3,00 4,60 2,07 2,87 4,31 2,01 2,75 4,06 1,96 2,65 3,85

12 2,31 3,36 5,04 2,26 3.25 4.78 2,23 3,17 4,59 2,20 3,11 4,49 2,18 3,06 4,32 2,16 3,01 4,12 2,14 2,98 4,14 2,13 2,95 4,07 2,12 2,92 4,02 2,11 2,90 3,96

Продолжение таблицы 4 1 2 3 18 4.41 3,55 8.28 6,01 15.38 10,39 19 20 21 22 23 24 25 26

4.38 8.18 15.08 4.35 8.10 14.82 4.32 8.02 14.62 4.30 7.94 14.38 4.28 7.88 14.19 4.36 7.82 14.03 4.24 7.77 13.88 4.22 7.72 13.74

3,52 5,93 10,16 3,49 5,85 9,95 3,47 5,78 9,77 3,44 5,72 9,61 3,42 5,66 9,46 3,40 5,61 9,34 3,38 5,57 9,22 3,37 5,53 9,12

4 3,16 5,09 8,49

5 2,93 4,53 7,46

6 2,77 4,25 6,81

7 2,66 4,01 6,35

8 2,51 3,71 5,76

9 2,34 3,37 5,13

10 2,15 3,01 4,45

11 1,92 2,57 3,67

12 2.10 2.88 3.92

3,13 5,01 8,28 3,10 4,94 8,10 3,07 4,87 7,94 3,05 4,82 7,80 3,03 4,76 7,67 30,1 4,72 7,55 2,99 4,68 7,45 2,98 4,64 7,36

2,90 4,50 7,26 2,87 4,43 7,10 2,84 4,37 6,95 2,82 4,31 6,81 2,80 4,26 6,70 2,87 4,22 6,59 2,76 4,18 6,49 2,74 4,14 6,41

2,74 4,17 6,61 2,71 4,10 6,46 2,68 4,04 6,32 2,66 3,99 6,19 2,64 3,94 6,08 2,62 3,90 5,98 2,60 3,86 5,89 2,59 3,82 5,80

2,63 3,94 6,18 2,60 3,87 6,02 2,57 3,81 5,88 2,55 3,75 5,76 2,53 3,71 5,56 2,51 3,67 5,55 2,49 3,63 5,46 2,47 3,59 5,38

2,48 3,63 5,59 2,45 3,56 5,44 2,42 3,51 5,31 2,40 3,45 5,19 2,38 3,41 5,09 2,36 3,36 4,99 2,34 3,32 4,91 2,32 3,29 4,83

2,31 3,30 4,97 2,28 3,23 4,82 2,25 3,17 4,70 2,23 3,12 4,58 2,20 3,07 4,48 2,18 3,03 4,39 2,16 2,99 4,31 2,15 2,96 4,24

2,11 2,92 4,29 2,08 2,86 4,15 2,05 2,80 4,03 2,03 2,75 3,92 2,00 2,70 3,82 1,98 2,66 3,74 1,96 2,62 3,66 1,95 2,58 3,59

1,88 2,49 3,52 1,84 2,42 3,38 1,82 2,36 3,26 1,78 2,30 3,15 1,76 2,26 3,05 1,73 2,21 2,97 1,71 2,17 2,89 1,69 2,13 2,82

2.09 2.86 3.88 2.09 2.84 3.85 2.08 2.83 3.82 2.07 2.82 3.79 2.07 2.81 3.77 2.06 2.80 3.75 2.06 2.79 3.72 2.06 2.78 3.71

43

Продолжение таблицы 4 1 2 3

5

6

7

8

9

10

11

12

27

4.21 7.68 13.61

3,35 5,49 9,02

2,96 4,60 7,27

2,73 4,11 6,33

2,57 3,78 5,73

2,46 3,56 5,31

2,30 3,26 4,76

2,13 2,93 4,17

1,93 2,55 3,52

1,67 2,10 2,76

2.05 2.77 3.69

28

4.19 7.64 13.50 4.18 7.60 13.39 4.17 7.56 13.29 4.00 7.08 11.97 3.84 6.64 10.83

3,34 5,54 8,93 3,33 5,42 8,85 3,32 5,39 8,77 3,15 4,98 7,76 2,99 4,60 6,91

2,95 4,75 7,18 2,93 4,54 7,12 2,92 4,51 7,05 2,76 4,13 6,17 2,60 3,78 5,42

2,71 4,07 6,25 2,70 4,04 6,19 2,69 4,02 6,12 2,52 3,65 5,31 2,37 3,32 4,62

2,56 3,75 5,66 2,54 3,73 5,59 2,53 3,70 5,53 2,37 3,34 4,76 2,21 3,02 4,10

2,44 3,53 5,24 2,43 3,50 5,18 2,42 3,47 5,12 2,25 3,12 4,37 2,09 2,80 3,74

2,29 3,23 4,69 2.28 3.20 4.65 2,27 3,17 4,58 2,10 2,82 3,87 1,94 2,51 3,27

2,12 2,90 4,11 2,10 2,87 4,05 2,09 2,84 4,00 1,92 2,50 3,31 1,75 2,18 2,74

1,91 2,52 3,46 1,90 2,49 3,41 1,89 2,47 3,36 1,70 2,12 2,76 1,52 1,79 2,13

1,65 2,06 2,70 1,64 2,03 2,64 1,62 2,01 2,59 1,39 1,60 1,90 1,03 1,04 1,05

2.05 2.76 3.67 2.05 2.76 3.66 2.04 2.75 3.64 2.00 2.66 3.36 1.96 2.58 3.29

29 30 60 ∞

44

4

Таблица 5- Фишера-Иейтса. Значения rкр, найденные для уровня значимости α и чисел степеней свободы ν = n-2 в случае парной корреляции и ν = n– l-2, где l- число исключенных величин в случае парной корреляции ν ν Двусторонние границы Двусторонние границы 0,05 0,02 0,01 0,001 0,05 0,02 0,01 0,001 1 0,997 1,000 1,000 1,000 16 0,468 0,543 0,590 0,708 2 0,950 0,980 0,990 0,999 17 0,456 0,529 0,575 0,693 3 0,878 0,934 0,959 0,991 18 0,444 0,516 0,561 0,679 4 0,811 0,882 0,917 0,974 19 0,433 0,503 0,549 0,665 5 0,754 0,833 0,875 0,951 20 0,423 0,492 0,537 0,652 6 7 8 9 10

0,707 0,666 0,632 0,602 0,576

0,789 0,750 0,715 0,685 0,658

0,834 0,798 0,765 0,735 0,708

0,925 0,898 0,872 0,847 0,823

25 30 35 40 45

0,381 0,349 0,325 0,304 0,288

11 12 13 14 15

0,553 0,532 0,514 0,497 0,482

0,634 0,612 0,592 0,574 0,558

0,684 0,661 0,641 0,623 0,606

0,801 0,780 0,760 0,742 0,725

50 60 70 80 90 100 ν

0,273 0,322 0,354 0,443 0,250 0,295 0,325 0,408 0,232 0,274 0,302 0,380 0,217 0,257 0,283 0,338 0,205 0,242 0,267 0,338 0,195 0,230 0,254 0,321 0,025 0,01 0,005 0,0005 Односторонние границы

ν

0,025 0,01 0,005 0,0005 Односторонние границы

0,445 0,409 0,381 0,358 0,338

0,487 0,449 0,418 0,393 0,372

0,597 0,554 0,519 0,490 0,465

45

1 Таблица 6 - Z-преобразования Фишера Z = 2 { ln(1+r) – ln(1-r)} r 0,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,99

46

0 0,0000 0,1003 0,2027 0,3095 0,4236 0,5493 0,6932 0,8673 1,0986 1,4722 2,6466

1 0,0101 0,1104 0,2132 0,3205 0,4356 0,5627 0,7089 0,8872 1,1270 1,5275 2.6996

2 0,0200 0,1206 0,2237 0,3316 0,4477 0,5764 0,7250 0,9077 1,1568 1,5890 2,7587

3 0,0300 0,1308 0,2342 0,3428 0,4599 0,5901 0,7414 0,9287 1,1881 1,6584 2,8257

4 0,0400 0,1409 0,2448 0,3541 0,4722 0,6042 0,7582 0,9505 1,2212 1,7381 2,9031

5 0,0501 0,1511 0,2554 0,3654 0,4847 0,6184 0,7753 0,9730 1,2562 1,8318 2,9945

6 0,0601 0,1614 0,2661 0,3767 0,4973 0,6328 0,7928 0,9962 1,2933 1,9459 3,1063

7 0,0701 0,1717 0,2769 0,3884 0,5101 0,6475 0,8107 1,0203 1,3331 2,0923 3,2504

8 0,0802 0,1820 0,2877 0,4001 0,5230 0,6625 0,8291 1,0454 1,3758 2,2976 3,4534

9 0,0902 0,1923 0,2986 0,4118 0,5361 0,6777 0,8480 1,0714 1,4219 2,6467 3,8002