Смешанные функционально-дифференциальные уравнения

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 4 (2003). С. 5–120 УДК 517.929

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ c 2003 г. °

А. Д. МЫШКИС

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Основное определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Типы смешанных функционально-дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . 1.3. Типы задач для смешанных функционально-дифференциальных уравнений . . . . . . . 1.4. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Начально-граничная задача: общие теоремы о разрешимости . . . . . . . . . . . . 2.1. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа: постановка задачи, примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа: решения, непрерывно дифференцируемые по t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа: решения, абсолютно непрерывные по t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа с непрерывными и с кусочно-непрерывными решениями по x . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа в классической форме: решения, непрерывно дифференцируемые по t . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа в классической форме: решения, удовлетворяющие по t условию Липшица . . . . . . . . . . . . 2.7. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа в форме Хейла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения с бесконечным запаздыванием 2.9. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения с неограниченной базой . . 2.10. Устойчивость по Ляпунову при Ω = Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения в нецилиндрической области 2.12. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 3. Линейные смешанные функционально-дифференциальные уравнения . . . . . . . . 3.1. Введение. Следствия из общих теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Возбуждение автономной системы периодическим воздействием . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Уравнения, сводящиеся к функционально-дифференциальным уравнениям запаздывающего типа или к обыкновенным дифференциальным уравнениям . . . . . . . . . . . . . 3.4. Линейные автономные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Линейные пространственно-однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Линейные пространственно-однородные автономные уравнения . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Квадратичная устойчивость линейных пространственно-однородных СДУ без отклонений во времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Квадратичная устойчивость линейных пространственно-однородных автономных СДУ без отклонений во времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Простейшее смешанное функционально-дифференциальное уравнение на полуоси . . . 3.10. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 4. Уравнения с дискретным пространственным или временным аргументом . . . . . .

6 7 7 7 9 11 14 14 19 25 29 33 39 41 43 46 49 52 53 53 53 55 61 66 71 77 81 87 92 93 94

c °2003 МАИ

5

6

А. Д. МЫШКИС

4.1. «Смешанные функционально-дифференциальные уравнения» с дискретным пространственным аргументом: разрешимость начальной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2. «Смешанные функционально-дифференциальные уравнения» с дискретным пространственным аргументом: квадратичная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3. Простейшее уравнение колебаний дискретной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.4. Добавление: условие линейной независимости над полем Q частот колебаний . . . . . . 105 4.5. Задача о трогании поезда с места . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.6. Смешанные функционально-разностные уравнения: разрешимость начальной задачи . . 111 4.7. Смешанные функционально-разностные уравнения: квадратичная устойчивость . . . . . 113 4.8. Квадратичная устойчивость автономных смешанных функционально-разностных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.9. Смешанные функционально-разностные уравнения на всей оси x: примеры . . . . . . . 115 4.10. Линейные автономные смешанные функционально-разностные уравнения на конечном интервале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.11. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

ПРЕДИСЛОВИЕ В начале 1996 г. Г. А. Каменский обратил мое внимание на интересный класс функциональнодифференциальных уравнений (ФДУ), которые мы после долгих обсуждений назвали смешанными (СДУ). Оказалось, что, несмотря на естественность этого класса с позиций общей теории ФДУ, он до сих пор систематически не исследовался. Причина, по-видимому, состоит в том, что приложений таких уравнений пока еще очень мало; но думается, что это положение может измениться. Возможно, что сыграла роль также неудачная постановка начальных и/или граничных условий. С общих позиций уравнения этого класса образуют специальный подкласс обыкновенных дифференциальных уравнений (или ФДУ стандартной структуры) со значениями в банаховом пространстве и с локально ограниченной правой частью. Однако наглядная трактовка СДУ как уравнений эволюции сплошной среды с взаимным влиянием ее малых элементов друг на друга порой делает свойства таких уравнений и их исследование особенно прозрачными, что весьма привлекательно в этой теории. За прошедшее время я написал несколько статей в этой области (первые в соавторстве с Г. А. Каменским) и теперь решил изложить все известные мне основные факты в надежде на то, что они могут быть интересны и кому-либо еще. Многие результаты еще не имеют окончательного вида, а некоторые направления даже не начаты; но с учетом солидного возраста автора откладывать эту монографию дальше вряд ли целесообразно. Она небольшая и потому дает хорошую возможность развития теории. Кстати, многие вопросы, несмотря на их естественность, здесь отнюдь не тривиальны, и ответы на них мне не известны. Первая глава монографии — вводная, на нее опирается последующее изложение. Остальные три главы идейно связаны, но могут читаться более или менее независимо одна от другой. Во второй главе рассматриваются теоремы о разрешимости (существование решения, его единственность, зависимость от исходных данных и т. п.) начально-граничной и начальной задач для различных классов СДУ. В третьей главе рассматриваются свойства линейных уравнений различных классов, прежде всего, автономных и пространственно-однородных. Основной аппарат здесь — преобразование Лапласа по t в первом случае и преобразование Фурье по x во втором. Наконец, в четвертой главе рассматриваются некоторые классы уравнений, формально не подпадающие под общее определение СДУ, но по своим свойствам и методам исследования весьма близкие к таковым. Я глубоко благодарен всем, с кем я обсуждал данную тему. Особенно я благодарен Г. А. Каменскому за инициативу и обсуждения, Е. П. Ивановой за полезные замечания, а также А. Л. Скубачевскому за организацию издания этой работы. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-01-00665) и Фонда фундаментальных исследований Министерства путей сообщения РФ.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

7

ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ 1.1. ОСНОВНОЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Термин «смешанные» в связи с функционально-дифференциальными уравнениями (ФДУ) употреблялся, начиная с XVIII в., в различных смыслах и в последнее время до 1996 г. практически не применялся. (Редким исключением является книга Э. Пинни [22]; в ней «смешанным дифференциально-разностным уравнением» называется уравнение, которое сейчас называют просто дифференциально-разностным, а «дифференциально-разностным уравнением» автор, по существу, называет уравнения вида (1.3) с соизмеримыми значениями {gj }.) В 1996 г. в докладе [40] на II Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Афины) было предложено основное определение: Смешанным ФДУ (СДУ) называется ФДУ для функции более чем одного непрерывного аргумента, в котором (уравнении) производная от нее берется только по одному из этих аргументов. Таким образом, «смешанность» уравнения состоит в противопоставлении одного из аргументов, играющего роль времени и как бы отвечающего за эволюцию, остальным аргументам, которые естественно трактовать как пространственные. При этом оператор, действующий по пространственным аргументам, — ограниченный (разностный, интегральный и т. п.). Это делает класс СДУ в некотором смысле промежуточным между обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) и уравнениями математической физики. Иногда термин «смешанные разностно-дифференциальные уравнения» применяется и по отношению к уравнениям с дискретными соизмеримыми (обычно целочисленными) значениями пространственного аргумента или аргументов — например, уравнения общего вида (1.3) с целочисленными значениями аргумента x и всех его отклонений gj . Оказывается, что свойства таких уравнений и уравнений с непрерывными значениями пространственного аргумента часто оказываются очень схожими (см. разделы 4.1–4.2). Однако такое расширение понятия СДУ является слишком свободным. Например, ему формально удовлетворяет любая конечная или бесконечная система ОДУ, так как индекс или мультииндекс искомой функции в такой системе можно объявить значением «пространственного аргумента». Поэтому мы ограничимся приведенным выше основным определением и будем изучать свойства уравнений тех или иных четко указываемых общих классов. Примеры будут рассматриваться лишь с целью иллюстрации этих свойств. 1.2.

ТИПЫ

СМЕШАННЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Будем рассматривать уравнения 1-го порядка со значениями искомой функции (x, t) 7→ u(x, t) в Rn , 1 6 n < ∞; при этом x := (x1 , . . . , xm ), 1 6 m < ∞. Буквы u, x, t, n, m сохранят свой смысл на протяжении всей работы. (Для уравнений выше 1-го порядка, если переход к уравнению 1-го порядка с помощью стандартного повышения размерности искомой функции нецелесообразен, классификация СДУ имеет аналогичный вид.) Уравнение будем считать разрешенным относительно u(x, ˙ t), где точкой обозначена ∂/∂t. Укажем на некоторые естественные классы СДУ, не претендуя на исчерпывающий характер классификации и не приводя пока точных предположений об участвующих функциях. А. СДУ без отклонений во времени, коротко — ОСДУ, так как они в этом отношении аналогичны ОДУ. Их общий вид: u(x, ˙ t) = f (x, t, uxt ), (1.1) где uxt (ξ) := u(x + ξ, t), Rm

ξ ∈ G,

(1.2)

аG⊆ (зона влияния) — некоторое заданное замкнутое множество, содержащее точку ξ = 0. Таким образом, правая часть уравнения (1.1) представляет собой n-мерный функционал относительно своего третьего аргумента, зависящий от первых двух как от параметров.

8

А. Д. МЫШКИС

Иногда оказывается естественным предположить, что множество G зависит от x и t, G = G(x, t), или от одного из этих аргументов. Это не приводит к расширению класса уравнений (1.1), так как в принципе в этом случае можно перейти к какому-либо единому множеству [ G⊇ G(x, t), x,t

Rm .

например, положив G = В то же время, предположение о неизменности множества G удобно для формулировки теорем о разрешимости СДУ. Уравнение (1.1) назовем пространственно-однородным, если его правая часть не зависит от первого аргумента, и автономным, если она не зависит от второго аргумента. В первом случае уравнение инвариантно относительно сдвигов (параллельных переносов) по пространственным осям, а во втором случае — относительно сдвигов во времени. Возможен также более общий случай инвариантности СДУ относительно некоторой группы ортогональных преобразований пространства x, либо сдвигов во времени, либо комбинаций таких преобразований и сдвигов. Так, в этой работе совсем не изучается естественный класс уравнений, обладающих таким свойством инвариантности, — периодических по t, либо по x, либо по некоторой комбинации этих аргументов. В качестве примеров ОСДУ с m = 1 приведем уравнение с дискретными отклонениями пространственного аргумента u(x, ˙ t) = F (x, t, u(x + g1 , t), . . . , u(x + gk , t)),

g1 < · · · < gk

(1.3)

и уравнение с непрерывными отклонениями этого аргумента Zg2 u(x, ˙ t) =

F (x, s, t, u(x, t), u(s, t)) ds,

g1 < g2 .

(1.4)

g1

Для того чтобы записать уравнение (1.3) (уравнение (1.4)) в форме уравнения (1.1), надо положить f (x, t, v) := F (x, t, v(g1 ), . . . , v(gk )),

G := [g1 , gk ] ∪ {0}

(соответственно Zg2 F (x, s, t, v(0), v(s − x)) ds,

f (x, t, v) :=

G := [g1 − g2 , g2 − g1 ]).

g1

Уравнение (1.4) является частным случаем интегро-дифференциальных уравнений типа Е. А. Барбашина — дифференциальных по одной переменной и интегральных по другим. Такие уравнения служат аналогом систем ОДУ для случая, когда индекс или мультииндекс, определяющий номер уравнения в системе, становится непрерывным. Они допускают естественную интерпретацию как уравнения эволюции среды, в которой на скорость процесса в каждой точке воздействует состояние ее некоторой окрестности в текущий момент времени, т. е. временем передачи этого воздействия можно пренебречь. Непосредственное истолкование уравнения (1.3) менее ясно, так как соответствующий процесс как бы обладает свойством «чистого» дальнодействия без близкодействия. Но если g1 , . . . , gk кратны некоторому g > 0, то уравнение (1.3) «расслаивается» на континуум систем ОДУ с дискретными значениями x = x0 + kg, k ∈ Z и параметром x0 ∈ [0, g). Каждая из этих систем уравнений описывает эволюцию дискретной цепочки из взаимодействующих точечных объектов. Уравнение (1.1) назовем строго направленным по вектору a ∈ Rm \ {0}, если sup{(ξ, a) : ξ ∈ G \ {0}} < 0, где ( , ) — скалярное произведение. При m = 1 в соответствии с этим будем говорить о строгой направленности уравнения вперед и назад. Так, уравнение (1.3) строго направлено вперед (назад), если gk < 0 (соответственно g1 > 0). Если G = {0}, то ОСДУ (1.1) превращается в ОДУ, зависящее от параметра x. Понятия пространственной однородности, автономности, строгой направленности, а также истолкование случая G = {0} непосредственно распространяются и на упоминаемые далее классы СДУ.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

9

Б. СДУ запаздывающего типа, коротко — ЗСДУ, имеют тот же общий вид (1.1), но uxt теперь означает uxt (ξ, ϑ) := u(x + ξ, t + ϑ), (ξ, ϑ) ∈ H := G × [−h, 0], (1.5) где G то же, что и выше, а h ∈ (0, ∞); вместо [−h, 0] может быть (−∞, 0]. ЗСДУ находятся примерно в таком же соотношении с ОСДУ (постановки задач, основные свойства решений и т. п.) как ФДУ запаздывающего типа с ОДУ. Примеры (1.3) и (1.4) легко видоизменить, превратив их в ЗСДУ; при этом видоизмененное уравнение (1.4) продолжает допускать естественное физическое истолкование, равно как и видоизмененное уравнение (1.3) с соизмеримыми отклонениями дискретного аргумента x. ОСДУ можно считать частным случаем ЗСДУ, для которого h = 0, а H = G × {0}. В. СДУ нейтрального типа, коротко — НСДУ, аналогично обычным ФДУ нейтрального типа, можно рассматривать в «классической» форме u(x, ˙ t) = f (x, t, uxt , u˙ xt )

(1.6)

и в форме Хейла [u(x, t) − g(x, t, uxt )]· = f (x, t, uxt ), (1.7) где uxt и u˙ xt расшифровываются аналогично тому, как для ЗСДУ (см. формулу (1.5)). Если h = 0 для уравнений (1.6) или (1.7), то получаем НСДУ без запаздывания. Г. Для СДУ опережающего типа, коротко — ОпСДУ, интервал [−h, 0] заменяется на [h1 , h2 ], где h1 6 h2 > 0; если h1 = −∞ или h2 = ∞, то этот интервал берется открытым с соответствующей стороны. Такие уравнения в нашей работе рассматриваться не будут. 1.3.

ТИПЫ

ЗАДАЧ ДЛЯ СМЕШАННЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть Π := Ω × R+ , ΠT := Ω × (0, T ) (0 < T 6 ∞), где Ω ⊆ Rm (база уравнения (1.1)) — заданное непустое открытое множество, а R+ := (0, ∞). Мы будем впредь считать, если не оговорено противное, что изучаемое СДУ задано при (x, t) ∈ Π, а решение (x, t) 7→ u(x, t) строится в ΠTu , причем Tu ∈ (0, ∞] заранее не задано. В подпунктах А–В рассматриваются задачи для ОСДУ, ЗСДУ и НСДУ. А. Начально-граничная задача. Пусть множество Ω ограниченное. Тогда, если точка (x, t) находится достаточно близко от границы множества ΠTu , то множество (x + G) × [t − h, t], где x + G := {x + ξ : ξ ∈ G}, может выйти за пределы ΠTu (см. рис. 1.1). Поэтому функция uxt будет определенной не на всем множестве G × [−h, 0], и значение f (x, t, uxt ) может оказаться неопределенным. Чтобы избежать этого, надо задать недостающие значения искомого решения. Так как значение Tu заранее неизвестно, то естественно задавать эти значения в «трубе» u(x, t) = ϕ(x, t),

(x, t) ∈ D \ Π,

(1.8)

где D := (Ω + G) × [−h, ∞), Ω + G := {x + ξ : x ∈ Ω, ξ ∈ G}. Задаваемую функцию ϕ назовем продолжающей функцией; ее сужениями служат начальная функция ϕi : = ϕ|Ω×[−h, 0] и граничная функция ϕb : = ϕ|((Ω+G)\Ω)×[−h,∞) . Возможны случаи, когда граничная функция ϕb не влияет на решение, т. е. множество Ω как бы изолировано от внешних воздействий; тогда начально-граничная задача превращается в начальную задачу. Так будет для ОСДУ (1.1), по необходимости пространственно-неоднородного, если для любого x ∈ Ω, для которого G содержит точки, не принадлежащие Ω − x, значение f (x, t, v) не зависит от значений функции v в этих точках. Примером может служить скалярное уравнение u(x, ˙ t) = f (x, t, u(x − 2x3 , t)),

(x, t) ∈ (−1, 1) × R+ .

(1.9)

Здесь наименьшее возможное G = [−2, 2], а потому граничные значения решения формально надо задавать при x ∈ (−3, −1] ∪ [1, 3). Но x − 2x3 при x ∈ (−1, 1) не выходит из последнего интервала, т. е. эти граничные значения не влияют на решение. В качестве другого примера приведем скалярное уравнение (1.4) с g1 = 0, g2 = 1. Если его записать в виде (1.1), как это было указано в разделе 1.2, то надо принять G = [−1, 1]. Однако

10

А. Д. МЫШКИС

D

t 6

Π

(x, t)

s

@ I @

@

(x + G) × (t − h, t)

Ω

G H

-

x

s k Q

−h РИС. 1.1.

тогда формально задаваемые граничные значения решения при x ∈ (−1, 0] ∪ [1, 2) фактически не используются, т. е. и здесь начально-граничная задача превращается в начальную задачу. Начально-граничная задача может превратиться и в граничную задачу; для этого необходимо, чтобы как правая часть уравнения (1.1), так и граничная функция не зависели от переменной t. Такая задача естественна при отыскании стационарных состояний среды. Отметим, что связность множества Ω в общем случае не предполагается. В отличие от обычных уравнений с частными производными, даже если компоненты связности Ω отстоят друг от друга на положительное расстояние, СДУ, вообще говоря, не распадается на независимые уравнения, отвечающие этим компонентам. Это происходит из-за упомянутой выше возможности «чистого» дальнодействия. Например, для ОСДУ u(x, ˙ t) = u(x − 3, t) + u(x + 3, t) с Ω = (0, 4) ∪ (6, 10) граничную функцию надо задавать на ((−3, 0] ∪ [4, 6] ∪ [10, 13)) × [0, ∞); здесь участки (3,4) и (6,7) компонент Ω непосредственно взаимодействуют. Б. Начально-граничная задача с условием на бесконечности. Пусть множество Ω неограниченное, но не совпадает с Rm . Тогда начально-граничное условие также имеет вид (1.8). Но поскольку теперь Ω простирается на бесконечность, то для однозначной определенности решения обычно требуется дополнительно какое-либо условие его регулярности на бесконечности — асимптотическая оценка при |x| → ∞ или интегрируемость в той или иной степени, быть может, с весом и т. п. Замечания о возможном превращении начально-граничной задачи в начальную или в граничную сохраняют силу. Другой вариант задач с условием на бесконечности получается, если решение строится в цилиндре вида Ω × (−∞, Tu ), где Tu ∈ (−∞, ∞]. Здесь продолжающая функция превращается в граничную, а при t → −∞ на поведение решения u надо наложить какое-либо условие. В. Случай Ω = Rm . В этом случае продолжающая функция превращается в начальную, т. е. мы получаем начальную задачу. При этом обычно остается то или иное условие регулярности решения при |x| → ∞. Г. Задачи с концевыми условиями. В задачах оптимального управления, в различных обратных задачах естественно возникают задачи типа А, Б и В с добавленными концевыми условиями при некотором t = T > 0 либо при t ∈ [T − h, T ] (T − h > 0), причем решение строится на Ω × [0, T ]. Такие задачи мы здесь не будем рассматривать.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

11

Замечание 1.1. Для ориентировки в естественной постановке задач для СДУ отметим следующее. При тех или иных предположениях, которые мы здесь не будем уточнять, решение u уравнения (1.1) можно трактовать как функцию U : t 7→ u(·, t) со значениями в соответственно подобранном банаховом пространстве, элементами которого служат функции от x ∈ Ω. При этом само уравнение (1.1) можно переписать в виде U˙ (t) = F (t, Ut ), где Ut = U (t) для ОСДУ, Ut (ϑ) = U (t + ϑ) (−h 6 ϑ 6 0) для ЗСДУ, (h1 6 ϑ 6 h2 > 0) для ОпСДУ, а F — оператор относительно второго аргумента, зависящий от продолжающей функции и от t. Аналогично, НСДУ можно записать в виде U˙ (t) = F (t, Ut , U˙ t ) или [U (t) − G(t, Ut )]· = F (t, Ut ). Описанные выше постановки задач являются естественным обобщением на случай ОДУ или ФДУ для функций со значениями в банаховом пространстве задач, хорошо известных для функций с конечномерными значениями. (В частности, такой подход к интегро-дифференциальным уравнениям типа Е. А. Барбашина содержится в его книге [1].) 1.4.

КОММЕНТАРИИ

В соответствии с указанием Э. Пинни ( [22], § I.1), конкретное СДУ впервые начал изучать И. Бернулли в работе [26] 1728 года. (Правда, оно формально не подпадает под определение СДУ, принятое в этой работе (см. раздел 1.1), так как аргумент x в этом уравнении дискретный.) А именно, рассматривая задачу о колебаниях невесомой натянутой конечной упругой нити, вдоль которой расположены равные последовательно равноудаленные точечные массы, он получил соответствующее уравнение, которое в современных обозначениях можно записать в виде u ¨(x, t) = λ[u(x − 1, t) − 2u(x, t) + u(x + 1, t)],

(x, t) ∈ {1, ..., k} × (0, R+ ).

(1.10)

И. Бернулли, опираясь на аналогию с ранее известными механическими задачами, указал некоторые частные решения этого уравнения. Оно же появилось и в других физических задачах, рассматриваемых различными авторами — в частности, в теории звука, в ранних теориях строения материи и в более поздних теориях кристаллических решеток; обзор этих работ до 1908 г. содержится в гл. I и II фундаментального труда Х. Буркхарда [27]. Основной метод исследования уравнения (1.10) и других сходных с ним уравнений состоял в отыскании экспоненциальных решений и определении соответствующих показателей из получающихся алгебраических уравнений. В XX веке различные линейные автономные однородные и неоднородные ОСДУ сходного с (1.10) вида с непрерывным аргументом x и целочисленными его отклонениями исследованы многими авторами; обзор этих работ до середины XX можно найти в гл. VII книги Пинни [22]. Основным аппаратом здесь служат методы теории аналитических функций (решения предполагаются аналитическими по t) и преобразование Лапласа—Эйлера по t, т. е. преобразование, аналогичное обычному преобразованию Лапласа, но с интегралом по конечному интервалу. При этом постановка краевых условий принципиально отличается от тех, которые приняты в настоящей работе. Например, для построения решения уравнения (1.10) это уравнение с помощью замены x 7→ x − 1 переписывается в виде u(x, t) − u ¨(x − 1, t) − 2u(x − 1, t) + u(x − 2, t) = 0,

(1.11)

после чего решение u считается заданным при (x, t) ∈ [−2, 0) × I, где I ⊂ C — заданная область; при этом u считается аналитичным по t. Отметим, что при постановке и преобразовании краевых задач для ФДУ надо особенно внимательно относиться к замене независимых переменных. Это легко показать на самом простом ФДУ u(x) ˙ = u(x − 1). При решении этого уравнения на интервале a 6 x 6 b естественно в качестве начального условия задавать значения функции u на интервале [a − 1, a], в результате чего получается хорошо известная корректно поставленная начальная задача. Если же сделать замену x − 1 = ξ и ввести обозначение v(ξ) := u(x − 1), то мы приходим к уравнению v(ξ) = v(ξ ˙ + 1);

12

А. Д. МЫШКИС

и если решать его на интервале α 6 ξ 6 β, то функцию v надо задавать при β 6 ξ 6 β + 1, что приводит к некорректной задаче. В приложении А к той же книге Пинни содержится довольно сложно формулируемая теорема о существовании и единственности решения системы скалярных уравнений общего вида (r) ui (x, t)

+

l X r−1 X

(µ)

Aijµ (x, t)uj (x, t)+

j=1 µ=0

+

l X s X

Z (ν)

Bijν (x, ξ, t)uj (x − ξ, t) dU (ξ) = fi (x, t),

i = 1, . . . , l,

j=1 ν=0 [α,β]

где ui (x, t) ∈ R, x = (x1 , . . . , xm ), xi ∈ [x0i , ∞), t ∈ [a, b] ⊂ R,

[α, β] :=

m Y [αi , βi ], ∀[αi , βi ] ⊂ R+ , i=1

U — конечная обобщенная мера. Начальные условия задаются естественным образом при некотором t0 ∈ [a, b], а граничные условия определяют значения подынтегральных функций в уравнении, когда точка (x, t) подходит слишком близко к области определения решения. Условие, наложенное на область интегрирования, показывает, в частности, что теорема Пинни применима к уравнению (1.10) только после переписывания его в виде (1.11); а это приводит к ее «нефизичности». В гл. VIII книги Пинни [22] рассмотрены также задача о поперечных колебаниях невесомой упругой сети с квадратными ячейками и с равными массами в узлах и задача о распространении тепла в такой сети. Моделями этих задач служат ОСДУ с двумя дискретными пространственными аргументами. Частные решения этих уравнений получены с помощью применения соответственно волнового уравнения и уравнения теплопроводности на плоскости; теоремы о разрешимости ОСДУ не обсуждаются. Существенное развитие результатов Э. Пинни содержится в работах Г. А. Каменского и Е. П. Ивановой [10, 11, 38, 39]. Авторы рассматривали линейные и нелинейные начальные и краевые задачи для СДУ с целочисленными отклонениями непрерывного пространственного аргумента, возникающие из соответствующих вариационных задач либо независимо от них. Эти задачи изучаются как в областях вида ΠT , так и в непрямоугольных областях. Получены теоремы о разрешимости таких задач и о гладкости решений, рассмотрены задачи об управлении, связанные с этими уравнениями. Исследовались также вопросы устойчивости решения линейных СДУ относительно изменения продолжающей функции. Основными методами исследования в этих работах являются метод шагов, применение общих теорем функционального анализа, а также преобразования Лапласа по t. Все же смешанные разностно-дифференциальные уравнения вида (1.3) рассматриваются в последние десятилетия почти исключительно для случая, когда значения аргумента x или значения его компонент, если x ∈ Rn , целочисленные, либо, что равносильно, соизмеримые. В разделе 1.1 уже упоминалось о том, что формально к этому классу уравнений принадлежат все системы ОДУ. Если же ограничиться уравнениями с дискретными пространственными аргументами, аналогичными рассматриваемым в этой работе, то можно указать по крайней мере два внешних источника таких уравнений (в них пространственный аргумент обычно обозначается индексом у искомых функций): А. Уравнения цепочки из последовательно связанных друг с другом элементов, взаимодействующих по тому или иному закону, или сети, узлами которых служат такие элементы. Как упоминалось в этом пункте выше, первое из таких уравнений восходит к И. Бернулли. Сейчас они широко применяются в различных физических моделях. Так, активно изучались цепочка Тоды u ¨j (t) = exp[uj−1 (t) − uj (t)] − exp[uj (t) − uj+1 (t)] и ее различные модификации и обобщения, цепочка Ленгмюра u˙ j (t) = uj (t)[uj+1 (t) − uj (t)] и т. д. Исследовались также цепочки общего вида (см., например, [37, 55] и др.). Однако обзор этих работ увел бы нас слишком далеко в сторону.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

13

Б. Уравнения, появляющиеся при применении метода прямых к приближенному решению краевых задач для уравнений с частными производными. Этот метод (см., например, [4, гл. 10, раздел 8]) состоит в том, что в исходном уравнении производные по всем аргументам, кроме одного, заменяются на разностные отношения, в результате чего это уравнение переходит в систему ОДУ. Например, простейшее уравнение теплопроводности u˙ = auxx в результате замены uxx (x, t) ≈ [u(x − h, t) − 2u(x, t) + u(x + h, t)]/2h2 и обозначения uj (t) := u(x0 + jh, t) переходит в систему ОДУ a [uj−1 (t) − 2uj (t) + uj+1 (t)], (1.12) 2h2 приближенно заменяющую исходное уравнение; при этом индекс j может изменяться в конечном или бесконечном диапазоне. Некоторые соображения об уравнениях, обобщающих уравнения (1.10) и (1.12), содержатся в разделах 4.1 и 4.2. Метод прямых в применении к уравнению теплопроводности впервые появился в работе Э. Х. Роте [53] 1929 г. В дальнейшем изучались как вопросы сходимости приближенного решения при h → 0, так и свойства получающихся при применении этого метода бесконечных систем ОДУ. Подобные системы, близкие к ОСДУ, рассматривались различными авторами и независимо от метода прямых. Этот метод получил многочисленные приложения, в частности, к задачам газовой динамики и теории упругости. Свойства устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений «типа Барбашина» Е. А. Барбашин изучал в ряде работ, начиная с 1957 г.; указания на эти и некоторые другие работы в этом направлении можно найти в его книге [1], гл. III, раздел 3. В дальнейшем такие уравнения изучал ряд авторов, в том числе Я. В. Быков, М. И. Иманалиев и их ученики, а также И. Аппель, O. В. Диаллo и другие (см. [25, 29, 32] и др.). Конечно, эти уравнения являются частным случаем СДУ. Однако этот частный случай очень специфичен: достаточно отметить, что, как было указано в разделе 1.3, для уравнений вида (1.4), решаемых на конечном интервале изменения x, граничные условия не ставятся. Поэтому мы не будем специально заниматься такими уравнениями в этой работе, хотя получаемые в ней общие результаты распространяются и на них. С интегро-дифференциальными уравнениями типа Барбашина непосредственно связан интересный класс уравнений, который особенно активно изучается в последние годы: это уравнения эволюции коллектива, неоднородного по возрасту. Такие уравнения появляются в задачах популяционной динамики, демографии, распространения инфекций, развития клеток в организме и т. д. Вот типичная краевая задача для такого уравнения, взятая из работы [31]: u˙ j (t) =

u0a (a, t) + u(a, ˙ t) = F (a, t, u( . , t)), u(a, 0) = u0 (a),

(1.13)

u(0, t) = G(t, u( . , t)), где 0 6 a, t < ∞, а u(a, t) — это плотность рассматриваемой популяции возраста a в момент t. Правые части первого и третьего равенств представляют собой функционалы относительно последнего аргумента, так как они, как правило, включают в себя интегралы от u по переменной a. Уравнение (1.13) не является СДУ из-за наличия в нем члена u0a (a, t). Однако переход от a к новой независимой переменной x := a − t устраняет этот член, т. е. преобразованное уравнение является СДУ. Если при этом функционалы F и G таковы, как было описано выше, то мы получаем интегро-дифференциальное уравнение типа Барбашина в области, ограниченной положительной полуосью x и полупрямой y = −x ∈ [0, ∞), на которой, правда, граничное условие имеет, вообще говоря, нелокальный характер. Уравнения, сходные с (1.13), изучаются в связи с различными неформальными задачами также в [30, 36, 44, 48] и др. Отметим, что аналогичное преобразование независимых переменных для приведения к виду ОСДУ возможно даже для таких фундаментальных уравнений как уравнение Больцмана кинетической теории газов и уравнение переноса (см., например, [12, 13, 17]); мы не будем здесь этим заниматься.

14

А. Д. МЫШКИС

В качестве физического примера (пока довольно редкого) ОСДУ с дискретным отклонением пространственного аргумента укажем на статью С. Ли и Я. Сибуя [46], в которой исследуется математическая модель осаждения кристаллов. Она имеет вид ОСДУ ∂ [V (t)u(x, t)] = a[u(x − ρ(t), t) − u(x, t)], ∂t с добавочными условиями u(x, 0) = g(x) (x ∈ R),

x ∈ R, 0 6 t < ∞

u(x, t) = 0 (x 6 0, t > 0). Здесь u(x, t) — число частиц радиуса x в единице объема в момент t; V (t) = V0 + bt — объем жидкости, содержащей частицы; a, V0 и b — заданные положительные постоянные; функция g непрерывная, равная нулю при x 6 0; функция ρ непрерывна и имеет единственный положительный минимум. (Таким образом, x не является геометрической координатой, и потому проблема дальнодействия, о которой говорилось в разделе 1.2 в связи с уравнением (1.3), здесь не возникает.) Отметим еще СДУ Fz0 (z, α) = F (z, α + 1), положенное С. Трусделлом [56] в основу унификации теории специальных функций. Из работ прикладного характера, в которых применяются ОСДУ с непрерывным отклонением пространственного аргумента, отметим статью [54]. В ней с помощью функционала Ляпунова исследуется асимптотическое (при t → ∞) поведение решений уравнения Zx Z∞ 1 K(x − y, y)c(x − y, t) dy − K(x, y)c(x, t)c(y, t) dy− c(x, ˙ t) = 2 0

−

1 2

0

Zx

Z∞ F (x − y, y)c(x, t) dy −

0

F (x, y)c(x + y, t) dy, 0

при начальном условии c(x, 0) = c0 (x) > 0.

ГЛАВА 2 НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА: ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О РАЗРЕШИМОСТИ В разделах 2.1–2.8 множество Ω считается ограниченным. 2.1. СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА: ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ПРИМЕРЫ

В соответствии с разделами 1.2 и 1.3 будем рассматривать уравнение общего вида u(x, ˙ t) = f (x, t, uxt ),

x ∈ Ω ⊂ Rm , t ∈ R+ := (0, ∞),

(2.1)

где u(x, t) ∈ Rn , Ω — заданное непустое ограниченное открытое множество, uxt расшифровывается ¯ + := [0, ∞). по формуле (1.5) с заданным непустым компактным множеством G 3 0 и с h ∈ R Считаем, что задана продолжающая функция ϕ : D \ Π → Rn (обозначения см. в разделе 1.3). Решение u : ΠTu → Rn уравнения (2.1) с продолжающей функцией ϕ (коротко: решение задачи (2.1)ϕ ) должно в том или ином естественном смысле удовлетворять уравнению u(x, ˙ t) = f (x, t, uϕ xt ),

(x, t) ∈ ΠTu ,

где под uϕ понимается функция u, продолженная на D \ Π с помощью функции ϕ, а ϕ uϕ xt := (u )xt .

Кроме того, будем считать, что u(x, 0+ ) = ϕ(x, 0).

(2.2)

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

15

Применяя упрощенные обозначения, можно записать дополнительное к (2.1) начально-граничное условие в виде: u(x, t) = ϕ(x, t), (x, t) ∈ D \ Π. Мы приведем утверждение о разрешимости задачи (2.1)ϕ в двух вариантах. Один из них (раздел 2.2) аналогичен стандартной теореме Пикара для непрерывно дифференцируемых по t решений, а другой (раздел 2.3) — широко известной теореме (с условием Каратеодори) для локально суммируемых по t решений. Но предварительно сделаем одно существенное замечание. Уже простейшие примеры показывают, что при решении уравнений вида (2.1) с постоянными дискретными отклонениями аргумента x неестественно ограничиваться функциями, непрерывными или даже кусочно-непрерывными по x. А. Рассмотрим скалярное уравнение u(x, ˙ t) = u(x − 1, t) − u(x + 1, t), с продолжающей функцией

  0, u(x, t) = ϕ(x),   1,

(x, t) ∈ (−1, 1) × R+

(x, t) ∈ (−2, −1] × R+ , (x, t) ∈ (−1, 1) × {0}, (x, t) ∈ [1, 2) × R+ .

Обозначив u1 (x, t) := u(x − 1, t), u2 (x, t) := u(x, t), где x ∈ (0, 1), получаем систему ОДУ с параметром x для u1 , u2 : u˙ 1 (x, t) = −u2 (x, t), u˙ 2 (x, t) = u1 (x, t) − 1, (x, t) ∈ (0, 1) × R+ . Решив ее при начальном условии u1 (x, 0+ ) = ϕ(x − 1), u2 (x, 0+ ) = ϕ(x) и приняв во внимание, что u(0, ˙ t) (= 0 − 1) = −1, находим решение исходной задачи:   x ∈ (−1, 0), t ∈ R+ , 1 + [ϕ(x) − 1] cos t − ϕ(x + 1) sin t, u(x, t) = ϕ(0)−t, x = 0, t ∈ R+ ,   ϕ(x) cos t + [ϕ(x − 1) − 1] sin t, x ∈ (0, 1), t ∈ R+ . Таким образом, решение u имеет разрыв при x = 0, а uϕ имеет также разрыв при x = ±1 для любой (!) функции ϕ. Б. Более интересен пример скалярного уравнения u(x, ˙ t) = au(x − α, t) + bu(x + 1, t),

(x, t) ∈ (−1, 1) × R+ ,

в котором a, b — постоянные, не равные нулю, а α ∈ ( 12 , 1) — иррациональное число. Пусть добавочные условия имеют следующий вид: u(x, t) = 0

(x ∈ (−1 − α, −1] ∪ [1, 2), t ∈ R+ ),

u(x, 0) = ϕ(x) (x ∈ (−1, 1)), где ϕ : (−1, 1) → R — произвольная положительная непрерывная функция, для которой ϕ((−1)+ ) = ϕ(1− ) = 0. Докажем, что решение этой задачи имеет всюду плотное множество линий разрыва вида x = const. В самом деле, перейдем к соответствующему уравнению вида (2.2) и произведем интегрирование по t, начиная от t = 0, после чего воспользуемся стандартным методом итераций. Уравнение для итераций имеет вид: u0 (x, t) = ϕ(x), t Z ¯ +, uj (x, t) = ϕ(x) + [au0j−1 (x − α, τ ) + bu0j−1 (x + 1, τ )] dτ, j ∈ N, (x, t) ∈ (−1, 1) × R 0

16

А. Д. МЫШКИС

где верхний индекс 0 означает продолжение функции нулевым значением вне интервала x ∈ (−1, 1). Отсюда по индукции получаем, что uj (x, t) =

j X

ϕk (x)

k=0

tk , k!

¯ +. j ∈ N, (x, t) ∈ (−1, 1) × R

Здесь функции ϕk определены рекуррентными формулами ϕ0 (x) := ϕ(x),

ϕk (x) := aϕ0k−1 (x − α) + bϕ0k−1 (x + 1),

k ∈ N, x ∈ (−1, 1).

Из них по индукции следует, что |ϕk (x)| 6 (|a| + |b|)k max |ϕ(x)|. Поэтому, переходя к пределу при j → ∞, получаем искомое решение в виде суммы ряда ∞ X tk u(x, t) = ϕk (x) , (x, t) ∈ (−1, 1) × R+ , k!

(2.3)

k=0

равномерно сходящегося на каждом конечном интервале изменения t. Легко проверить с помощью индукции по k, что каждая функция ϕ0k , k > 1, имеет конечное число точек разрыва, причем все они 1-го рода, и inf ϕk (x) > 0. x

Обозначим через Mk (k ∈ N) множество возможных точек разрыва функции ϕ0k ; более точно, M1 := {−1, 1}, Mk := {−1, 1} ∪ (((Mk−1 − 1) ∪ (Mk−1 + α)) ∩ (−1, 1)) (k > 2). Нетрудно проверить по индукции, что Mk−1 ⊆ Mk (k > 2) и каждая точка разрыва функции ϕ0k принадлежит множеству Mk . Из формулы (2.3) и оценки функций |ϕk |, с помощью критерия сходимости Коши получаем, что для любых (x, t) ∈ [−1, 1] × R+ существуют (конечные) пределы u0 (x− , t) и u0 (x+ , t). Таким образом, функция (x, t) 7→ u0 (x, t) может иметь разрывы по x только 1-го рода. Обозначив ∆u0 (x, t) := u0 (x+ , t) − u0 (x− , t), ∆ϕ0k (x) := ϕ0k (x+ ) − ϕ0k (x− ), получаем из (2.3): ∞ X tk 0 ∆u (x, t) = ∆ϕ0k (x) , x ∈ R, 0 < t < ∞. k! k=1

Отсюда следует, что если

∆ϕ0k (c)

6= 0 для некоторых c ∈ (−1, 1), k, то функция t 7→

∞ X

∆ϕ0k (c)

k=1

tk , k!

будучи аналитической при всех t ∈ R и не тождественно равной нулю, может иметь в каждом конечном интервале не более чем конечное число нулей. А значит, прямая {x = c, 0 < t < ∞} является линией разрыва 1-го рода по x для решения u, которое может иметь в каждой конечной части этой линии лишь конечное число точек непрерывности по x. Пусть N := {x ∈ [−1, 1] : ∃k ∈ N : ∆ϕ0k (x) 6= 0}; тогда из сказанного выше следует, что ∞ [ N ⊆M: = Mk . k=1

Проверим, что и обратно, M ⊆ N . В самом деле, пусть c ∈ M и k = min{j : c ∈ Mj }. Так как ∆ϕ01 (−1) = bϕ(0) 6= 0,

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

17

∆ϕ01 (1) = −aϕ(1 − α) 6= 0, то {−1, 1} ⊂ N , и потому будем предполагать, что −1 < c < 1, а значит, k > 2. В силу определения множеств Mj существует такая последовательность xj ∈ Mj (j = 1, . . . , k), что все xj+1 ∈ {xj − 1, xj + α} (j = 1, . . . , k − 1) и xk = c. Кроме того, из определения номера k следует, что все xj ∈ (−1, 1) Покажем, что ∆ϕk (xk ) 6= 0

(j = 2, . . . , k).

и, следовательно, xk ∈ N . Для этого допустим, что ∆ϕk (xk ) = 0, и пусть j := min{i ∈ {1, . . . , k} : ∆ϕ0i (xi ) = 0}. При i = 1, 2 имеем: M1 = {−1, 1}, ∆ϕ01 (±1) 6= 0, M2 = {−1, −1 + α, 0, 1}, x2 6= ±1, ∆ϕ02 (−1 + α) = a∆ϕ01 (−1) + b∆ϕ1 (α) 6= 0, ∆ϕ02 (0) = a∆ϕ1 (−α) + b∆ϕ01 (1) 6= 0. Значит, j > 3 и потому |xj | < 1, ∆ϕ0j (xj ) = ∆ϕj (xj ). Так как 0 = ∆ϕj (xj ) = a∆ϕ0j−1 (xj − α) + b∆ϕ0j−1 (xj + 1),

(2.4)

и какое-либо из чисел xj − α, xj + 1 равно xj−1 , а также ∆ϕ0j−1 (xj−1 ) 6= 0, то ∆ϕ0j−1 (xj − α) 6= 0 и ∆ϕ0j−1 (xj + 1) 6= 0, а потому {xj − α, xj + 1} ⊂ [−1, 1]. Таким образом, −1 + α 6 xj 6 0. Но тогда (xj − α) − α 6∈ Mj−2 и (xj + 1) + 1 6∈ Mj−2 , а значит, xj−2 = xj − α + 1. Поэтому ∆ϕ0j−1 (xj − α) = b∆ϕ0j−2 (xj−2 ), ∆ϕ0j−1 (xj + 1) = a∆ϕ0j−2 (xj−2 ). Подставив эти значения в равенства (2.4), получаем, что ∆ϕ0j−2 (xj−2 ) = 0, а это противоречие определению номера j. Итак, мы доказали, что M = N , т. е. все прямые {x = c ∈ M, 0 < t < ∞} являются линиями разрыва 1-го рода по x для решения u. Докажем, наконец, что множество M всюду плотно на [−1, 1], т. е. рассматриваемое решение u имеет в области своего определения всюду плотное множество линий разрыва 1-го рода по x. Для этого допустим, что задана какая-либо точка p ∈ (−1, 1), и проверим, что для любого h > 0 существуют такие nh , mh ∈ N, что |(nh α − mh ) − p| < h. В самом деле, пусть p и h заданы. Тогда из теоремы Кронекера (см. раздел 3.7, начало доказательства теоремы 3.24 при d = 1) следует, что h 2 для некоторых n ¯h, m ¯ h ∈ Z. Если n ¯ h > 0, m ¯ h > 0, то полагаем nh = n ¯ h , mh = m ¯ h . В противном случае применяем утверждение из теории цепных дробей (см., например, [52]), согласно которому для любого иррационального числа α > 0 существует последовательность рациональных чисел m ˜k (m ˜ k, n ˜ k ∈ N) («подходящих дробей»), для которой m ˜ k → ∞, n ˜ k → ∞ при k → ∞ и все n ˜k ¯ m ˜ k ¯¯ ¯ ˜ −2 ¯α − ¯
Отсюда имеем |(¯ nh + n ˜ k )α − (m ¯h +m ˜ k ) − p| <

h 1 + . 2 n ˜k

18

А. Д. МЫШКИС

Положив nh = n ¯h + n ˜ k , mh = m ¯h +m ˜ k для достаточно большого k, получаем требуемые значения nh , mh . Выбрав h < min{1 − p, 1 + p}, получаем, что ph := nh α − mh ∈ (−1, 1). Докажем, что ph ∈ M , откуда следует, что множество M всюду плотное. Для этого построим последовательность y0 = −1, y1 = α − 1, y2 = 2α − 1, y3 = 2α − 2, . . . по следующему правилу: yk+1 = yk + α, если yk 6 0, и yk+1 = yk − 1, если yk > 0. Ясно, что для всех k > 1 справедливы соотношения: yk = nk α − mk , где nk , mk ∈ N; yk ∈ Mnk +mk ∩ (−1, 1); nk+1 > nk , mk+1 > mk , nk+1 + mk+1 = nk + mk + 1. Пусть l := min{k ∈ N ∪ {0} : (nk − nh )(mk − mh ) = 0}. Тогда, если l = 0, то ph ∈ {α − 1, 2α − 1} и потому ph ∈ M3 ; если l > 0, nl < nh , ml = mh , то ph = yl + (nh − nl )α и потому ph ∈ Mnl +ml +nh −nl ; наконец, если l > 0, nl = nh , ml < mh , то ph = yl − 1 и потому ph ∈ Mnl +ml +1 . Рассмотрение примера Б закончено. Возникновение разрывов у решения в разобранных примерах связано с задержкой на ∂Ω дискретного отклоняющегося аргумента для некоторых фиксированных значений x, для второго примера — с задержкой отклоняющегося аргумента на этих значениях x и т. д. В результате, при применении к задаче (2.1)ϕ метода итераций, даже если мы исходим из функции u0 с непрерывϕ ным расширением uϕ 0 , после первой итерации получается функция u1 , расширение u1 которой имеет, вообще говоря, разрыв при x ∈ ∂Ω. Функция u2 имеет уже, вообще говоря, разрывы внутри Ω и т. д.; это усложнение разрывов для последовательных приближений решения легко проследить для второго примера. Поскольку наличие всюду плотного множества линий разрыва по x у решения во втором примере основано на несоизмеримости отклонений аргумента x, а такая несоизмеримость типична, то естественно ожидать, что и это свойство решений типично. Более подробно, по-видимому, справедливо следующее утверждение. Рассмотрим начально-граничную задачу для автономного уравнения u(x, ˙ t) = f (x, uxt ), (x, t) ∈ Π;

u(x, t) = ϕ(x, t), (x, t) ∈ D \ Π,

разрешимость которой при разумных предположениях обеспечивается теоремой 2.1 (см. раздел 2.2). Тогда множество пар (f, ϕ), для которых решение указанной задачи не имеет всюду плотного множества линий разрыва по x, имеет первую категорию в метрике равномерного уклонения. Само по себе достижение ∂Ω дискретным отклоняющимся аргументом не приводит к разрывам у решения, что показывает следующий пример. В. Рассмотрим скалярное уравнение u(x, ˙ t) = u(x − xt, t) − u(x + xt, t),

(x, t) ∈ (−1, 1) × R+ ,

с продолжающей функцией

  0 (−1 − t < x 6 −1, 0 < t < ∞), 0 (−1 < x < 1, t = 0), u(x, t) = ϕ(x, t) =  1 (1 6 x < 1 + t, 0 < t < ∞).

После перехода к уравнению вида (2.2) и интегрирования по t получаем уравнение Zt [uϕ (x − xτ, τ ) − uϕ (x + xτ, τ )] dτ.

u(x, t) = 0

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

19

Применение метода итераций, начиная с функции u0 (x, t) ≡ 0, приводит к представлению решения в виде суммы ряда u(x, t) =

∞ X

∆uk (x, t),

−1 < x < 1, 0 < t < ∞,

k=0

равномерно сходящегося на каждом конечном интервале изменения t. Здесь функции ∆uk определены формулами Zt ϕ [uϕ 0 (x − xτ, τ ) − u0 (x + xτ, τ )] dτ,

∆u0 (x, t) = 0

Zt [∆u0k−1 (x − xτ, τ ) − ∆u0k−1 (x + xτ, τ )] dτ, k ∈ N,

∆uk (x, t) = 0 0

где верхний индекс означает продолжение функции вне полосы Π нулем. Нетрудно проверить, что все эти функции непрерывны в Π, а потому и решение u непрерывно в Π, несмотря на то, что предельные значения начальной и граничной функций различны в точке (1, 0). 2.2. СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА: РЕШЕНИЯ, НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПО

t

Вернемся к ЗСДУ общего вида (2.1). Назовем функцию, определенную на некотором подмножестве пространства x, t Пи-регулярной (Пи указывает на Пикара), если она измерима по x, локально равномерно непрерывна по t и локально ограничена. (Слово «локально» здесь и всюду далее означает: на всяком ограниченном подмножестве.) Назовем функцию u : ΠTu → Rn Пи-решением уравнения (2.1) с Пи-регулярной продолжающей функцией ϕ, если функция uϕ Пирегулярна на каждом множестве DT : = (Ω + G) × [−h, T ) (0 < T < Tu ), u(x, ˙ t) всюду в ΠTu существует и удовлетворяет уравнению (2.2) в каждой точке этого множества. Всюду ниже в разделе 2.2 слова «регулярность» и «решение» означают соответственно «Пирегулярность» и «Пи-решение». Понятие решения уравнения (2.1) естественно распространяется и на случай, когда начальное условие поставлено при t ∈ [t0 −h, t0 ], где t0 > 0. Отметим следующее легко проверяемое утверждение. Пусть для заданной на D \ Π регулярной продолжающей функции ϕ решение u1 задачи (2.1)ϕ существует на некотором множестве Ω × [0, t1 ] (0 < t1 < ∞). Зададим для того же уравнения начальное условие при t 6 t1 самим этим решением u1 , и пусть решение u2 полученной задачи существует на множестве Ω × [t1 , t2 ). Тогда функция u, равная u1 на первом множестве и u2 на втором, является решением задачи (2.1)ϕ . На этом простом утверждении основано продолжение решений задачи (2.1)ϕ . Множество регулярных функций, в котором ищется решение, может показаться чрезмерно обширным: так, область определения функционала f (см. ниже) оказывается несепарабельной. Для обеспечения сепарабельности можно было бы в определение регулярности добавить требование борелевости; однако это нам здесь не понадобится. В то же время, примеры, приведенные в разделе 2.1, показывают, что в общем случае было бы неестественно ограничиться функциями, непрерывными или даже только кусочно-непрерывными по x. (Впрочем, некоторые классы уравнений (2.1), для которых такое ограничение возможно, будут указаны в разделе 2.4.) Предположения о функционале f в общем случае следующие: (аf ) f определен на множестве Ω × (0, ∞) × P и локально ограничен (согласно сказанному выше это означает: ограничен на каждом ограниченном подмножестве этого множества), где P — банахово пространство всех регулярных функций H → Rn с sup-нормой kwk := sup |w(x, t)|, (x,t)∈H

основанной на евклидовой норме | · | векторов;

20

А. Д. МЫШКИС

(бf ) f обладает свойством суперпозиционной регулярности, т. е. из регулярности функции w : D → Rn следует регулярность функции ((x, t) 7→ f (x, t, wxt )) : Π → Rn (отсюда вытекает, в частности, что если функция w : DT → Rn регулярна для какого-либо T ∈ (0, ∞), то и функция ((x, t) 7→ f (x, t, wxt )) : ΠT → Rn регулярна); (вf ) f локально равномерно непрерывен по второму аргументу и локально удовлетворяет условию Липшица по третьему аргументу. Например, для уравнений (1.3) и (1.4) эти условия выполняются, если функция F борелевская, локально ограниченная, непрерывная по t и локально липшицева по k (по двум) последним аргументам в случае уравнения (1.3) (соответственно (1.4)). Из свойств (аf )–(вf ) следует, в частности, что у решения u задачи (2.1)ϕ производная u˙ регулярна на каждом множестве ΠT (0 < T < Tu ). При доказательстве разрешимости начально-граничной задачи для уравнения (2.1) нам потребуется простая лемма. Лемма 2.1. Пусть выполнены условия (аf )–(вf ). Тогда задача (2.1)ϕ с регулярной функцией ϕ равносильна задаче о нахождении решения u : ΠTu → Rn (для которого функция uϕ регулярна на каждом множестве DT (0 < T < Tu )) интегро-функционального уравнения Zt f (x, τ, uϕ xτ ) dτ,

u(x, t) = ϕ(x, 0) +

(x, t) ∈ ΠTu .

(2.5)

0

Доказательство. Пусть u — решение задачи (2.1)ϕ . Из локальной равномерной непрерывности по t функции uϕ в DT (∀T ∈ (0, Tu )) следует, что ϕ + kuϕ xt − ux0 k → 0 при t → 0

для любого x ∈ Ω. Поэтому из уравнения (2.2) и предположения (вf ) следует, что функция t 7→ u( ˙ · , t) непрерывна при t ∈ (0, T ) и имеет равномерный предел x 7→ f (x, 0, ϕx0 ) при t → 0+ . Из этого следует наличие правой производной при t = 0, удовлетворяющей уравнению (2.2), у функции t 7→ u(x, t). Итак, уравнение (2.2) удовлетворяется и при t = 0, x ∈ Ω, если положить u(x, 0) := ϕ(x, 0), а под u(x, ˙ 0) понимать правую производную. Интегрируя обе части уравнения (2.2) по t от t = 0, получаем уравнение (2.5). Обратный переход очевиден. Теорема 2.1. Пусть функционал f удовлетворяет условиям (аf )–(вf ), а функция ϕ : D \ Π → Rn регулярна (это «основные требования» для данной теоремы). Тогда существует такое значение Tϕ (= Tϕf ) ∈ (0, ∞], что: (а) решение u задачи (2.1)ϕ существует в ΠTϕ и единственно в каждом множестве ΠT (0 < T 6 Tϕ ); (б) если Tϕ < ∞, то это решение неограниченно в ΠTϕ ; (в) для любого T ∈ (0, Tϕ ), если продолжающую функцию ϕ и функционал f изменить достаточно мало по sup-метрике (метрике равномерного уклонения), сохранив основные требования, то решение измененной задачи существует в ΠT и отличается от исходного решения как угодно мало по sup-метрике; (г) если для любого T > 0 существуют такие A, B > 0, что |f (x, t, w)| 6 Akwk + B для всех (x, t) ∈ ΠT , w ∈ P , то Tϕ = ∞. (Из (б) немедленно следует, что указанное в теореме 2.1 значение Tϕ является максимально возможным для справедливости свойств (а)–(в).) Доказательство. В силу леммы 2.1 все утверждения теоремы 2.1 достаточно доказать для уравнения (2.5). Докажем сначала на основе теоремы Банаха о сжимающих отображениях разрешимость задачи (2.1)ϕ в ΠT для любого достаточно малого T > 0. Для этого обозначим через

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

21

S T (0 < T < ∞) полное метрическое пространство всех регулярных функций w : ΠT → Rn , для которых w(x, 0+ ) = ϕ(x, 0) и sup |w(x, t) − ϕ(x, 0)| 6 1, с sup-метрикой. На

ST

определим оператор QT по формуле Zt

T

ϕ f (x, τ, wxτ ) dτ,

(Q w)(x, t) := ϕ(x, 0) +

(x, t) ∈ ΠT , w ∈ S T ,

(2.6)

0

имеющей смысл в силу условия (бf ). Из условия (аf ) следует, что ϕ M (T ) := sup{|f (x, t, wxt )| : (x, t) ∈ ΠT , w ∈ S T } < ∞.

Значит, если T 6 T¯ := 1/M (1), то оператор QT отображает пространство S T в себя. Кроме того, из условия (вf ) вытекает, что при w1 , w2 ∈ S T справедлива оценка ¯ (¯ Zt ) ¯ ¯ ¯ ¯ ϕ ϕ kQT w1 − QT w2 k = sup ¯ [f (x, τ, w1xτ ) − f (x, τ, w2xτ )] dτ ¯ : (x, t) ∈ ΠT 6 ¯ ¯ 0

6 T Lkw1 − w2 k, где L — постоянная в условии Липшица по третьему аргументу для функционала (x, t, wxt ) 7→ f (x, t, wxt ) ¯ ¯ при (x, t) ∈ ΠT , w ∈ S T (она пригодна и для (x, t) ∈ ΠT , w ∈ S T при любом T < T¯). Следовательно, для любого T < min{T¯, L−1 }

оператор QT не только отображает пространство S T в себя, но и является сжимающим. Таким образом, задача (2.1)ϕ имеет в ΠT единственное решение. Отсюда следует, что если эта задача имеет решения ui : ΠTi → Rn , i = 1, 2, то одно из них является продолжением другого: для доказательства достаточно предположить противное, перенести начало отсчета времени в t0 = inf{t ∈ (0, T1 ) ∩ (0, T2 ) : u1 (x, t) 6≡ u2 (x, t)} и, применив уже доказанное утверждение о единственности решения при достаточно малых значениях t − t0 , получить противоречие. Обозначим через Tϕ верхнюю грань тех T > 0, для которых задача (2.1)ϕ имеет решение на (0, T ); тогда из сказанного следует, что эти решения для различных T являются сужениями единого решения u : ΠTϕ → Rn задачи (2.1)ϕ , и для так определенного значения Tϕ справедливо утверждение (а) теоремы 2.1. Проверим, что если Tϕ < ∞, то решение u не может быть ограниченным на ΠTϕ . В самом деле, в противном случае оно в силу (2.2) равномерно непрерывно по t и потому при t → Tϕ− равномерно на Ω стремится к функции, которую обозначим через u(·, Tϕ ); при этом уравнение (2.2) удовлетворяется и для t = Tϕ , если под u(x, ˙ Tϕ ) понимать левую производную. Функция ϕ, расширенная n решением u : Ω × (0, Tϕ ] → R , регулярна. Перенеся начало отсчета времени в t = Tϕ и применив уже доказанное утверждение (а), приходим к противоречию с определением значения Tϕ . Таким образом, и утверждение (б) теоремы 2.1 доказано. Докажем утверждение (в) от противного, допустив, что оно не верно. Тогда для некоторых T ∈ (0, Tϕ ), ε > 0 существуют такие последовательности продолжающих функций ϕk : D \ Π → Rn и функционалов f k : Ω × R+ × P → Rn , удовлетворяющих «основным требованиям» теоремы 2.1, что ε > kϕk − ϕk =: δk → 0, ε > kf k − f k =: ηk → 0

22

А. Д. МЫШКИС

при k → ∞, а решение uk задачи (2.1)ϕk при своем продолжении по t покидает «ε-окрестность решения u», не дойдя до t = T , т. е. ∃ tk ∈ (0, T ) : kuk (·, t) − u(·, t)k < ε (0 < t < tk ), kuk (·, tk ) − u(·, tk )k = ε. (Если решение uk остается в этой окрестности, то оно может быть продолжено до t = T , так как из (2.2) следует, что это решение равномерно непрерывно по t.) Вычитая почленно уравнение (2.5) из аналогичного уравнения для u = uk , ϕ = ϕk , f = f k (0 6 t 6 tk , x ∈ Ω), получаем, что |uk (x, t) − u(x, t)| 6 |ϕk (x, 0) − ϕ(x, 0)|+ Zt +

Zt |f

k

k (x, τ, (uk )ϕ xτ )

−

k f (x, τ, (uk )ϕ xτ )| dτ

k

ϕ |f (x, τ, (uk )ϕ xτ ) − f (x, τ, uxτ )|dτ 6

+

0

0

(2.7)

Zt max{δk , sup{|uk (ξ, τ1 ) − u(ξ, τ1 )| : ξ ∈ Ω, 0 < τ1 6 τ }} dτ,

6 δ k + η k tk + L 0

где L — константа Липшица для f по третьему аргументу в ε-окрестности решения u на Ω × [0, T ]. Отсюда, обозначив sup{|uk (ξ, τ1 ) − u(ξ, τ1 )| : (ξ, τ1 ) ∈ Πτ } =: U k (τ ) (0 < τ 6 tk ) и заменив max на сумму, получаем при 0 6 t 6 tk : Zt k

U k (τ ) dτ.

U (t) 6 δk + ηk tk + Lδk tk + L 0

Применив лемму

Гронуолла1 ,

имеем

ε = U k (tk ) 6 (δk + ηk tk + Lδk tk )eLtk 6 (δk + ηk T + Lδk T )eLT → 0 при k → ∞. Полученное противоречие доказывает утверждение (в). Докажем, наконец, утверждение (г). Для этого допустим, что выполнено дополнительное предположение, указанное в (г), а Tϕ < ∞. Положим T = Tϕ в указанном предположении. Тогда для соответствующих значений A и B имеет место неравенство |f (x, t, w)| 6 Akwk + B, (x, t) ∈ ΠTϕ (w ∈ P ). Поэтому, обозначив sup{|u(ξ, τ )| : (ξ, τ ) ∈ Πt } =: U (t) (0 < t < Tϕ ) и учитывая, что

ϕ kuϕ xt k 6 max{U (t), C} ((x, t) ∈ Π ),

где C := sup{|ϕ(x, t) : (x, t) ∈ DTϕ \ Π}, получаем из (2.5), что Zt U (t) 6 C + BTϕ + ACTϕ + A

U (τ ) dτ,

0 6 t < Tϕ .

(2.8)

0 1

Она формулируется так: если непрерывная ограниченная функция f : (a, b] → R удовлетворяет для некоторых ¯ + неравенству A ∈ R, B ∈ R Zt f (t) 6 A + B f (τ ) dτ (a < t 6 b), то

a

f (t) 6 AeB(t−a) (a < t 6 b).

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

23

Значит, в силу леммы Гронуолла решение u ограничено в ΠTϕ , что противоречит уже доказанному утверждению (б). Полученное противоречие доказывает утверждение (г). Замечание 2.1. Отметим, что в утверждении (в) нужны достаточная малость изменения функции ϕ лишь на множестве DT \ Π и достаточная малость изменения функционала f лишь на множестве {(x, t, w) ∈ (ΠT × P ) : kw − uxt k < ε} при некотором ε > 0. Аналогичное замечание относится к последующим теоремам о разрешимости начально-граничных задач. Замечание 2.2. Утверждение (г) легко обобщить в стиле известной теоремы Нагумо для ОДУ, заменив неравенство |f (x, t, w)| 6 AT kwk + BT на |f (x, t, w)| 6 ΦT (kwk), где ΦT : (0, ∞) → (0, ∞) — неубывающая функция, для которой Z∞ 0

ds = ∞. ΦT (s)

При выполнении этого условия, взамен неравенства (2.8) имеет место неравенство Zt U (t) 6 kϕ(·, 0)k +

ΦT (U (s)) ds (0 6 t < Tϕ ). 0

Сравним функцию U с решением интегрального уравнения Zt V (t) = A +

ΦT (V (τ )) dτ (t > 0), 0

где A > kϕ( · , 0)k. Функция V является решением задачи Коши V˙ (t) = ΦT (V (t)), V (0) = A. Отсюда получаем, что При этом

VR(t) A

dV = t и потому функция V возрастает и ограничена при всех t > 0. ΦT (V ) U (0) 6 kϕ( · , 0)k < A = V (0).

Если неравенство U (t) < V (t) справедливо не для всех t ∈ [0, Tϕ ) и впервые нарушается при некотором t = t0 ∈ (0, Tϕ ), то U (t0 ) = V (t0 ) и U (t) < V (t) (t ∈ [0, t0 )). Из последнего неравенства вытекает, что Zt0 U (t0 ) 6 kϕ( · , 0)k +

Zt0 ΦT (U (τ )) dτ < A +

0

ΦT (V (τ )) dτ = V (t0 ), 0

и мы приходим к противоречию. Таким образом, при ограниченном t функция t 7→ U (t) также ограничена.

24

А. Д. МЫШКИС

Замечание 2.3. Пусть функционал f удовлетворяет условиям (аf ) и (вf ), а также усиленному условию (бf ): из регулярности функции w : (D + (0, τ )) → Rn для какого-либо τ ∈ [0, ∞) следует регулярность функции ((x, t) 7→ f (x, t, wxt )) : (Π + (0, τ )) → Rn . Пусть, кроме того, зафиксирована регулярная граничная функция ϕ : ((Ω + G) \ Ω) × [−h, ∞) → Rn . Тогда для любого τ ∈ [0, ∞), задав регулярную начальную функцию ϕ на Ω × [τ − h, τ ], мы можем при t > τ применить теорему 2.1. Пусть для любых таких τ, ϕ решение u(x, t; ϕ) поставленной задачи (2.1)ϕ существует при t ∈ [τ, ∞). Тогда определен оператор R(τ2 , τ1 ) (0 6 τ1 6 τ2 < ∞) сдвига по траекториям уравнения (2.1), отображающий банахово пространство S всех регулярных функций w : Ω × [−h, 0] → Rn с sup-нормой в себя по следующему правилу: (R(τ2 , τ1 )w)(x, t) = u(x, t + τ2 ; w(·, · + τ1 )) ((x, t) ∈ Ω × [−h, 0]). Из теоремы 2.1 следует, что этот оператор непрерывный, причем для любых τ1 , τ2 , τ3 : 0 6 τ1 6 τ2 6 τ3 < ∞ справедливы соотношения: R(τ1 , τ1 ) = I, R(τ3 , τ2 )R(τ2 , τ1 ) = R(τ3 , τ1 ).

(2.9)

Если уравнение (2.1) автономное и граничная функция ϕ не зависит от t, то оператор R(τ2 , τ1 ) зависит только от τ = τ2 − τ1 , и потому он может быть записан в виде R(τ ). Тогда полугрупповые соотношения (2.9) принимают вид: R(0) = I, R(τ2 )R(τ1 ) = R(τ1 + τ2 ), т. е. операторы сдвига образуют полугруппу. В этом случае равенство R(T )w = w для некоторых T > 0, w ∈ S равносильно тому, что решение уравнения (2.1) с начальной функцией w периодично с периодом T ; равенство же R(τ )w ≡ w (0 6 τ < ∞) равносильно тому, что это решение постоянно (не зависит от t). Если уравнение (2.1) и граничная функция ϕ периодичны по t с периодом T > 0, то равенство R(T, 0)w = w (здесь R(T, 0) — оператор сдвига на период) для некоторого w ∈ S равносильно тому, что решение уравнения (2.1) с начальной функцией w периодично с периодом T . Рассмотрим, наконец, случай, когда h = 0, т. е. когда ЗСДУ (2.1) превращается в ОСДУ (1.1)– (1.2). Будем для простоты считать, что функционал f определен на Ω × R × P , где P — банахово пространство всех ограниченных измеримых функций G → Rn с sup-нормой. Пусть при этом функционал f обеспечивает применимость теоремы 2.1 с Tϕ = ∞, когда начальное условие задается при любом t = τ ∈ R, и то же справедливо, если в уравнении (1.1) заменить t на −t. Тогда сдвиг по траекториям определен как в положительном, так и в отрицательном направлении времени, соотношения (2.9) справедливы при любых τ1 , τ2 , τ3 ∈ R, а оператор R(τ2 , τ1 ) гомеоморфно отображает пространство S на себя, причем операторы R(τ2 , τ1 ) и R(τ1 , τ2 ) взаимно обратны. Для автономного уравнения (1.1) с не зависящей от t граничной функцией ϕ множество операторов R(τ ) (τ ∈ R) образует в этом случае группу. Замечание 2.4. В соответствии с замечанием 1.1, регулярную функцию w : (Ω × (0, T )) → можно трактовать как непрерывную функцию W : (0, T ) → M (Ω), где M (Ω) — банахово пространство всех ограниченных измеримых функций Ω → Rn с sup-нормой, т. е. Rn

W (t)(x) = w(x, t). ˙ необходимо и достаточно Нетрудно доказать, что для существования непрерывной производной W существование регулярной производной w, ˙ а если это условие выполнено, то ˙ (t)(x) = w(x, W ˙ t).

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

25

Таким образом, задача (2.1)ϕ в условиях теоремы 2.1 эквивалентна задаче U˙ (t) = Fϕ (t, Ut ), U (0) = ϕ( · , 0), где оператор Fϕ строится по функционалу f с учетом продолжающей функции ϕ. Это дает возможность получать некоторые общие утверждения теории СДУ в качестве следствий из более общих теорем теории дифференциальных уравнений с ограниченными операторами в банаховом пространстве (см., например, [7]). Однако мне кажется, что для материала, содержащегося в этой работе, такой подход особых преимуществ не имеет. Замечание 2.5. Теорему 2.1 можно распространить на случай, когда компактное множество H содержит начало координат и расположено при ϑ 6 0 (см. (1.5)), но может не быть цилиндрическим. (Такое обобщение естественно, например, при учете конечной скорости распространения возмущений.) В этом случае множество Πu существования решения u задачи (2.1)ϕ уже необязательно ограничено «сверху» (считая ось t направленной вверх) гиперплоскостью t = const, но должно быть открытым, иметь вид Πu = {(x, t) : x ∈ Ω, 0 < t < T u (x) ∈ (0, ∞]} и обладать свойством: (x0 , t0 ) ∈ Πu ⇒ [(x0 , t0 ) + H] ∩ Π ⊂ Πu . Соответственно переформулируется свойство (бf ). Максимальное множество Πϕ существования решения задачи (2.1)ϕ есть объединение всех упомянутых выше множеств Πu . Если Πϕ 6= Π, то это непродолжимое решение u неограничено в любой «нижней» полуокрестности точки (x0 , t0 ) замыкания K «верхней» границы множества Πϕ , если t0 = min{t : ∃(x, t) ∈ K}. Утверждение (в) теоремы 2.1 естественно переформулируется, а ее утверждение (г) не изменяется. Это замечание относится и к дальнейшим теоремам о разрешимости начально-граничных задач. 2.3.

СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА: РЕШЕНИЯ, АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ПО

t

Назовем измеримую функцию w : Q → Rn , определенную на некотором подмножество Q пространства x, t К-регулярной (К указывает на Каратеодори), если при каждом x она измерима по t и для любых M, ε > 0 существует такое δ = δ(ε, M ) > 0, что если мера множества E ⊂ [−M, M ] меньше δ, | x| < M и {x} × E ⊂ Q, то Z |w(x, t)| dt < ε. E

(Для этого достаточно, например, чтобы функция t 7→ |w(x, t)| локально мажорировалась суммируемой функцией, не зависящей от x.) Две К-регулярные функции расматриваем как идентичные, если для любого x их области определения и значения совпадают с точностью до множества меры нуль по t. Назовем функцию u : ΠTu → Rn К-решением задачи (2.1)ϕ с К-регулярной продолжающей функцией ϕ, если для любого T ∈ (0, Tu ) функция u абсолютно непрерывна по t в ΠT , функция u˙ К-регулярна в ΠT и для любого x ∈ Ω уравнение (2.2) удовлетворяется при почти всех t ∈ (0, Tu ). Кроме того, должно выполняться условие u(x, 0+ ) = ϕ(x, 0) (x ∈ Ω), причем правая часть этого равенства должна быть задана для всех x ∈ Ω и измерима. Всюду ниже в разделе 2.3 слова «регулярность» и «решение» означают соответственно «К-регулярность» и «К-решение».

26

А. Д. МЫШКИС

Условия, накладываемые на продолжающую функцию ϕ и функционал f , допускают варианты, так что можно, усиливая одни, ослаблять другие. Приведем здесь вариант, удобный для применения к линейным уравнениям с постоянными отклонениями аргумента x и с локально ограниченными коэффициентами. Именно, будем предполагать, прежде всего, что функция ϕ : D \ Π → Rn регулярная и локально ограниченная. Кроме того, так как регулярная функция определена с точностью до множества меры нуль по t при каждом x, правую часть уравнения (2.2) естественно рассматривать не поточечно, а «в целом». Другими словами, будем рассматривать это уравнение как операторно-дифференциальное, т. е. записывать его в виде u(x, ˙ t) = F (uϕ )(x, t),

(x, t) ∈ ΠTu , 0 < Tu 6 ∞.

(2.10)

Отметим, что термин «оператор» здесь употребляется в смысле классической теории дифференциальных уравнений: он определен на некоторых функциях, заданных на множествах DT , где T ∈ (0, ∞] может принимать различные значения, и если на функции v : DT → Rn он определен, то F (v) : ΠT → Rn . При этом указываются только достаточные условия для того, чтобы функция F (v) была определена. Соответствующее изменение введем и в понятие решения задачи (2.1)ϕ : это функция u : ΠTu → Rn , которая для любого T ∈ (0, Tu ) удовлетворяет в ΠT условию Липшица по t с константой, не зависящей от x; на u оператор F должен быть определен, а равенство (2.10) должно при каждом x ∈ Ω выполняться для почти всех t ∈ (0, Tu ). Предположим, что оператор F удовлетворяет следующим условиям: (аF ) если для некоторого T ∈ (0, ∞) функция w : DT → Rn измерима по t при каждом x ∈ Ω и ограничена (множество таких функций обозначим RT ), то функция F (w) : ΠT → Rn определена и регулярна. Отсюда следует, в частности, что если решение u : ΠT → Rn задачи (2.1)ϕ ограничено, то оно регулярно в ΠT ; (бF ) F имеет тип Вольтерра, т. е. если на функциях wi : ΠTi → Rn , i = 1, 2 оператор F определен, T ∈ (0, min{T1 , T2 }] и w1 (x, t) = w2 (x, t) ((x, t) ∈ DT ), то оператор F на функции w1 |ΠT = w2 |ΠT определен и F (w1 )(x, t) = F (w2 )(x, t) ((x, t) ∈ ΠT ). Это дает возможность рассматривать оператор F на функциях w : (Ω + G) × [−h, T ) → Rn , измеримых по t и ограниченных на каждом множестве DT1 (0 < T1 < T ), причем тогда F (w) : ΠT → Rn ; (вF ) F удовлетворяет локальному условию Липшица в следующей форме: для любых M > 0, T > 0 существует такое L > 0 что если функции w1 , w2 : DT → Rn регулярны и |w1 (x, t)| < M , |w2 (x, t)| < M в DT , то Zt

Zt |w1 (ξ, τ ) − w2 (ξ, τ )| dτ : ξ ∈ (Ω + G)}, (x, t) ∈ ΠT .

|F (w1 )(x, τ ) − F (w2 )(x, τ )| dτ 6 L sup{ 0

−h

Следующая лемма очевидна: Лемма 2.2. При указанных предположениях о ϕ и F задача (2.1)ϕ равносильна задаче об отыскании решения u : ΠTu → Rn у интегро-функционального уравнения Zt F (uϕ )(x, τ ) dτ,

u(x, t) = ϕ(x, 0) +

(x, t) ∈ ΠTu ,

(2.11)

0

причем это решение должно быть регулярным в каждом множестве ΠT , 0 < T < Tu , и удовлетворять уравнению (2.11) всюду в ΠTu . Теорема 2.2. Пусть оператор F и продолжающая функция ϕ удовлетворяют условиям, приведенным выше в этом пункте (это «основные требования» для данной теоремы). Тогда существует такое Tϕ ∈ (0, ∞], что:

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

27

(а) решение u задачи (2.1)ϕ существует в ΠTϕ и единственно в каждом множестве ΠT (0 < T 6 Tϕ ); (б) если Tϕ < ∞, то это решение не регулярно в ΠTϕ ; (в) для любых T ∈ (0, Tϕ ), ε > 0 существуют такие δ > 0, η > 0, что если продолжающую функцию ϕ и оператор F заменить соответственно на ϕ¯ и F¯ с сохранением «основных требований», причем так, чтобы ZT sup{

|ϕ(x, ¯ t) − ϕ(x, t)| dt : x ∈ (Ω + G) \ Ω} < δ,

−h

Z0 sup{

|ϕ(x, ¯ t) − ϕ(x, t)| dt : x ∈ Ω} < δ,

−h

sup{|ϕ(x, ¯ 0) − ϕ(x, 0)| : x ∈ Ω} < δ, ZT sup{ |F¯ (w)(x, τ ) − F (w)(x, τ )| dτ : x ∈ Ω, w ∈ RT } < η, 0

то решение u ¯ задачи (2.1)ϕ¯ существует в ΠT и удовлетворяет там неравенству |¯ u(x, t) − u(x, t)| < ε; (г) если для любого T > 0 существуют такие A, B > 0, что для любой регулярной функции w : DT → Rn , ограниченной на каждом множестве DT1 (0 < T1 < T ), и любой точки (x, t) ∈ ΠT справедливо неравенство Zt

Zt |F (w)(x, τ )| dτ 6 A sup{

0

|w(ξ, τ )| dτ : ξ ∈ Ω} + B,

−h

то Tϕ = ∞. Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1. Докажем сначала однозначную разрешимость задачи (2.1)ϕ в ΠT для любого достаточно малого T > 0. Для этого обозначим через L константу Липшица для оператора F , соответствующую значениям M = sup{|ϕ(x, t)| : (x, t) ∈ D1 \ Π1 } + 1, T = 1 в силу условия (вF ). Затем обозначим через ST , 0 < T 6 1, метрическое пространство всех регулярных функций w : ΠT → Rn , для которых справедливо соотноRT шение |w(x, t) − ϕ(x, 0)| 6 1, с метрикой ρT (w1 , w2 ) := sup{ |w1 (x, t) − w2 (x, t)| dt : x ∈ Ω}. 0

Легко проверить, что это пространство полное. Определим в нем оператор QT по формуле Rt (QT w)(x, t) := ϕ(x, 0) + F (wϕ )(x, τ ) dτ ((x, t) ∈ ΠT ). 0

Правая часть представляет собой регулярную функцию, и в силу (вF ) мы получаем при (x, t) ∈ T Π , что Zt

ZT ϕ

|QT (w)(x, t) − ϕ(x, 0)| = |

F (w )(x, τ ) dτ | 6 0

ZT ϕ

ϕ

|F (0ϕ )(x, t)| dt 6

|F (w )(x, t) − F (0 )(x, t)| dt + 0

0

ZT ZT 6 L sup{ |w(ξ, τ )| dt : ξ ∈ Ω} + |F (0ϕ )(x, t)| dt 6 0

0 ZT

|F (0ϕ )(ξ, t)| dt : ξ ∈ Ω}.

6 LT (1 + sup{|ϕ(ξ, 0)| : ξ ∈ Ω}) + sup{ 0

28

А. Д. МЫШКИС

Пусть T так мало, что полученная правая часть меньше 1. (Заметим, что здесь при оценке последнего интеграла используется условие равномерности, указанное в определении понятия регулярности.) Тогда оператор QT отображает пространство ST в себя. Теперь имеем при w1 , w2 ∈ ST : ZT Zt ρT (QT w1 , QT w2 ) = sup{ | [F (w1ϕ )(x, τ ) − F (w2ϕ )(x, τ )] dτ | dt : x ∈ Ω} 6 0

0

ZT Zt 6 sup{ [L sup{ |w1 (x, τ ) − w2 (x, τ )| dτ : x ∈ Ω}} 6 0

0

ZT 6 LT sup{ |w1 (x, t) − w2 (x, t)| dt : x ∈ Ω} = LT ρT (w1 , w2 ). 0

Таким образом, если значение T достаточно мало, то оператор QT : ST → ST сжимающий. Отсюда окончательное значение Tϕ и утверждение (а) можно получить так же, как утверждение (а) теоремы 2.1. Проверим, что если Tϕ < ∞, то решение u не может быть регулярным в ΠTϕ . В самом деле, в противном случае это решение, в силу равенства (2.10) и определения регулярности, равномерно непрерывно по t и потому при t → Tϕ− равномерно на Ω стремится к некоторой функции u(·, Tϕ ); при этом уравнение (2.11) удовлетворяется также и при t = Tϕ . Окончание доказательства утверждения (б) такое же, как для теоремы 2.1. Доказательство утверждения (в) также аналогично доказательству утверждения (в) для теоремы 2.1, но регулярные продолжающие функции ϕk и операторы F k теперь удовлетворяют неравенствам ZT ε > sup{

Z0 |ϕk (x, t) − ϕ(x, t)| dt : x ∈ (Ω + G) \ Ω} + sup{

−h

|ϕk (x, t) − ϕ(x, t)| dt : x ∈ Ω}+

−h k

+ sup{|ϕ (x, 0) − ϕ(x, 0)| : x ∈ Ω} =: δk → 0, ZT sup{ |F k (w)(x, τ ) − F (w)(x, τ )| dτ : x ∈ Ω, w ∈ RT } =: ηk → 0 0

при k → ∞. Взамен неравенств (2.7) получаем в Πtk : Zt k

|uk (x, t) − u(x, t)| 6 |ϕk (x, 0) − ϕ(x, 0)| +

k

|F k ((uk )ϕ )(x, τ ) − F ((uk )ϕ )(x, τ )| dτ + 0

Zt

Zt k ϕk

+

ϕ

|F ((u ) )(x, τ ) − F (u )(x, τ )| dτ 6 ηk + δk + L sup{ 0

k

|(uk )ϕ (ξ, τ ) − uϕ (ξ, τ )| dτ : ξ ∈ (Ω + G)} 6

−h

Zt |uk (ξ, τ ) − u(ξ, τ )| dτ : ξ ∈ Ω},

6 (1 + L)δk + ηk + L sup{ 0

откуда Zt k

sup{|uk (x, τ ) − u(x, τ )| : x ∈ Ω} dτ (0 6 t 6 T ).

sup{|u (x, t) − u(x, t)| : x ∈ Ω} 6 (1 + L)δk + ηk + L 0

Последующее доказательство утверждения (в) не отличается от проведенного для теоремы 2.1.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

29

Для доказательства утверждения (г) полагаем T = Tϕ , как при доказательстве теоремы 2.1. Тогда получаем из (2.11) для t ∈ (0, Tϕ ), x ∈ Ω: ½ Zt

Zt ϕ

|u(x, t)| 6 |ϕ(x, 0)| +

|F (u )(x, τ )| dτ 6 |ϕ(x, 0)| + A sup 0

¾ |uϕ (ξ, τ )| dτ : ξ ∈ (Ω + G) + B.

−h

Отсюда находим, обозначив C := sup{|ϕ(x, t)| : (x, t) ∈ DTϕ \ Π}, U (t) := sup{|u(x, t)| : x ∈ Ω}, что

Zt U (t) 6 C + AC(Tϕ + h) + B + A

U (τ ) dτ (0 < t < Tϕ ), 0

и доказательство заканчивается, как для теоремы 2.1. Замечание 2.6. Для ЗСДУ с зависящими от t дискретными отклонениями аргумента x обе доказанные теоремы неприменимы, так как правая часть уравнения перестает быть суперпозиционно инвариантной. Теорема 2.1 вряд ли допускает достаточно широкое обобщение на этот случай, но для теоремы 2.2 такое обобщение возможно. Для этого надо, при заданном классе уравнений (2.10), определить понятие регулярности и совокупность продолжающих функций так, чтобы приведенное доказательство теоремы 2.2 сохраняло силу. Возможно, что при этом идентичность функций ΠT → Rn надо будет рассматривать как совпадение на множестве полной (m + 1)-мерной меры. Однако пока это все в области фантазий. 2.4.

СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА С НЕПРЕРЫВНЫМИ И С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ ПО

x

Как уже было сказано выше, по-видимому, при решении начально-граничной задачи для ЗСДУ (2.1) типичным является наличие всюду плотного множества разрывов по x у решений. Тем не менее имеются классы уравнений и задач, для которых эти решения оказываются непрерывными или кусочно-непрерывными по x. Здесь мы укажем некоторые из этих классов. Чтобы не загромождать изложение, будем указывать только добавочные предположения к теореме 2.1, обеспечивающие такие свойства решений; поэтому регулярность в этом пункте понимается, как в разделе 2.2. Добавочные предположения к теореме 2.2 аналогичны. 1. ЗСДУ без граничных условий. Этот класс уравнений был упомянут в разделе 1.3. Он определяется следующим свойством: C1 . При (x, t) ∈ Π, x + G 6⊂ Ω значение f (x, t, w) не зависит от значений функции (ξ, τ ) 7→ w(ξ, τ ) на множестве {(ξ, τ ) ∈ H : x + ξ 6∈ Ω}. Ясно, что если уравнение (2.1) обладает свойством C1 и решение u задачи (2.1)ϕ существует для некоторой продолжающей функции ϕ, то u является решением и задачи (2.1)ψ для любой продолжающей функции ψ, совпадающей с ϕ при (x, t) ∈ Ω × [−h, 0). Другими словами, решение не зависит от «граничной части» продолжающей функции, и потому эту часть можно не задавать. Теорема 2.3. Пусть в условиях теоремы 2.1 функционал f обладает свойством C1 , причем в определениях регулярности функции и решения добавлено требование непрерывности по совокупности аргументов. Тогда с такими же изменениями справедливы утверждения теоремы 2.1. Доказательство теоремы 2.3 полностью совпадает с доказательством теоремы 2.1, поэтому мы не будем его приводить.

30

А. Д. МЫШКИС

Замечание 2.7. Приведенное здесь добавочное условие в определении регулярности, достаточное при выполнении условия C1 для сохранения справедливости утверждений теоремы 2.1, допускает варианты. Достаточно, чтобы при этом добавочном требовании пространство регулярных функций ΠT → Rn при любом T ∈ (0, ∞) с sup-метрикой оставалось полным. Приведем примеры таких добавочных требований: локальная равномерная непрерывность по совокупности аргументов; непрерывность или равномерная непрерывность по x или по некоторым из координат xj ; при m = 1: наличие не более чем счетного множества точек разрыва по x при каждом фиксированном значении t; при m = 1: наличие левого и правого пределов по x при каждом фиксированном t; и т. д. 2. ЗСДУ с функционалом интегрального типа. Такие функционалы естественно появляются в теории обычных ФДУ нейтрального типа (см. [43], гл. 3, раздел 3.2). Для ЗСДУ эти функционалы определяются следующим свойством: C2 . Функционал f непрерывен также и по x; кроме того, для любых N, T, γ, ε > 0 существует такое δ > 0, что для любых регулярных функций v, w : H → Rn , удовлетворяющих неравенствам kvk 6 N, kwk 6 N, mes{ξ ∈ G : sup |v(ξ, τ ) − w(ξ, τ )| > γ} < δ, τ ∈[−h,0]

имеет место неравенство |f (x, t, v) − f (x, t, w)| < ε ((x, t) ∈ ΠT ). Простым примером функционала, обладающего свойством C2 , может служить интегральный функционал Z (x, t, w) 7→ f (x, t, w) :=

F (x, ξ, t, w(x + ξ, t)) dξ G

с непрерывной функцией F . Теорема 2.4. Пусть в условиях теоремы 2.1 функционал f дополнительно обладает свойством C2 и, кроме того, mes ∂Ω = 0, функция x 7→ ϕ(x, 0) (x ∈ Ω) непрерывна, и замыкание проекции на Rm множества точек разрыва по x функции ϕ имеет меру нуль. Тогда решение задачи (2.1)ϕ , обеспечиваемое теоремой 2.1, непрерывно. Доказательство. Достаточно доказать непрерывность решения в ΠT при как угодно малом T ∈ (0, Tϕ ), так как если это доказано, а точки разрыва у решения все же имеются, то, перенеся начальный момент времени в нижнюю грань значений t для этих точек, получаем противоречие. При этом достаточно проверить, что оператор QT , определенный формулой (2.6), при таком T сохраняет непрерывность по x преобразуемой функции (множество таких функций непусто, так как ему принадлежит функция (x, t) 7→ ϕ(x, 0)). В самом деле, тогда и решение задачи (2.1)ϕ , полученное как предел равномерно сходящейся последовательности приближений, полученных по методу итераций, также непрерывно по x. Но так как это решение равномерно непрерывно по t, то отсюда следует его непрерывность по совокупности переменных в ΠT . Пусть функция w ∈ S T (см. доказательство теоремы 2.1) непрерывна по x и (x0 , t0 ) ∈ ΠT — фиксированная точка. Из (2.6) получаем: |(QT w)(x, t0 ) − (QT w)(x0 , t0 )| 6 |ϕ(x, 0) − ϕ(x0 , 0)|+ Zt0

Zt0 |f (x, τ, wxϕ0 τ )

+ 0

−

f (x0 , τ, wxϕ0 τ )| dτ

ϕ |f (x, τ, wxτ ) − f (x, τ, wxϕ0 τ )| dτ.

+ 0

Стремление к нулю при x → x0 первого слагаемого A1 в правой части вытекает из непрерывности функции ϕ(·, 0) при x = x0 , а второго A2 — из непрерывности функционала f по x. Стремление же третьего слагаемого A3 к нулю вытекает из свойства C2 . Для проверки этого утверждения обозначим через Ur r-окрестность (r > 0) объединения ∂Ω и замыкания проекции на Rm множества точек разрыва по x функции ϕ; из условий теоремы 2.4 следует, что mes Ur → 0 при r → 0. Так как сужение функции wϕ на DT \ (Ur × [−h, T ]) равномерно непрерывно по t и непрерывно по x, то оно равномерно непрерывно и по x.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

31

Таким образом, при любом фиксированном r > 0 имеем равномерно по t ∈ (0, T ) : sup{|wϕ (x1 , t) − wϕ (x2 , t)| : {(x1 , t)} ∪ {(x2 , t)} ⊂ DT \ (Ur × [−h, T ]), |x1 − x2 | < s} → 0 при s → 0+ . Значит, так ведет себя и ϕ q(r, s) := sup{|wxτ (ξ, ϑ) − wxϕ0 τ (ξ, ϑ)| :

x0 + ξ ∈ (Ω + H) \ Ur , |x − x0 | < s, ξ ∈ G, τ ∈ (0, T ], ϑ ∈ [−h, 0]}. Отсюда при |x − x0 | < s имеем: ϕ {ξ ∈ G : sup |wxτ (ξ, ϑ) − wxϕ0 τ (ξ, ϑ)| > q(r, s)} ⊆ Ur − x0 τϑ

и потому ϕ mes {ξ ∈ G : sup |wxτ (ξ, ϑ) − wxϕ0 τ (ξ, ϑ)| > q(r, s)} 6 mes Ur . τϑ

Примем N := sup{|wϕ (x, t)| : (x, t) ∈ DT } и зададим любые γ, ε > 0. Тогда в силу свойства C2 существует такое δ > 0, что из ϕ mes {ξ ∈ G : sup |wxτ (ξ, ϑ) − wx0 τ (ξ, ϑ)| > γ} < δ τϑ

следует справедливость неравенства ϕ |f (x, τ, wxτ ) − f (x, τ, wxϕ0 τ )| < ε

для всех τ ∈ (0, T ). Выберем r > 0 так, чтобы mes Ur < δ, а после этого s > 0 так, чтобы q(r, s) < γ. Тогда ϕ mes {ξ ∈ G : sup |wxτ (ξ, ϑ) − wxϕ0 τ (ξ, ϑ)| > γ} 6 τϑ

ϕ 6 mes {ξ ∈ G : sup |wxτ (ξ, ϑ) − wxϕ0 τ (ξ, ϑ)| > q(r, s)} 6 mes Ur < δ, τϑ

а потому A3 не превосходит εT . 3. ЗСДУ с заданным множеством возможных значений x для точек разрыва решений. Здесь имеются в виду уравнения (2.1) с функционалом f , обладающим следующим свойством: C3 . Существует такое множество K ⊂ Ω + G, содержащее ∂Ω, что если все точки разрыва регулярной функции w : D → Rn принадлежат K × [−h, ∞), то все точки разрыва функции ((x, t) 7→ f (x, t, wxt )) : Π → Rn принадлежат (K ∩ Ω) × (0, ∞). Простым примером ОСДУ с функционалом, обладающим свойством C3 , может служить уравнение (m = 1) u(x, ˙ t) = F (x, t, u(x + g1 ), . . . , u(x + gl )),

a < x < b, 0 < t < ∞

(2.12)

с непрерывной функцией F и с соизмеримыми отклонениями gj любого знака. Если d > 0 — общая мера всех gi , то можно положить ¶\ µ[ ∞ ∞ [[ {a + jd} {b − jd} [a, b]. K= j=0

j=0

Теорема 2.5. Пусть в условиях теоремы 2.1 функционал f обладает дополнительно свойством C3 , а все точки разрыва продолжающей функции ϕ принадлежат множеству K × [−h, ∞). Тогда все точки разрыва решения задачи (2.1)ϕ , обеспечиваемого теоремой 2.1, принадлежат множеству K × (0, ∞). Доказательство проводится так же, как доказательство теоремы 2.1, но подмножество функций из S T , к которому применяется теорема о сжимающих отображениях, образуют функции, все точки разрыва которых принадлежат множеству K × (0, ∞).

32

А. Д. МЫШКИС

Замечание 2.8. Пусть m = 1, и в условии C3 всюду имеются в виду точки разрыва 1-го рода по x при каком-либо значении t. Тогда и в теореме 2.5 понятие точек разрыва следует изменить таким же образом. 4. ЗСДУ, допускающие применение метода шагов по x. Здесь имеются в виду уравнения (2.1) с функционалом f , обладающим следующим свойством: C4 . Существует такое разбиение Ω на попарно не пересекающиеся множества Ω1 , . . . .ΩN , что для любой точки (x0 , t0 ) ∈ Ωj × (0, ∞) (1 6 j 6 N ) и любой регулярной функции w : (Ω + G) × [−h, ∞) → Rn значение f (x0 , t0 , wx0 t0 ) зависит только от значений w(x, t) при (x, t) ∈ (Ω0 ∪ . . . ∪ Ωj−1 ) × [t0 − h, t0 ] (Ω0 := (Ω + G) \ Ω). Если значение f (x0 , t0 , wx0 t0 ) может зависеть также от значений w(x0 , t) (t0 − h 6 t 6 t0 ), то скажем, что функционал f обладает свойством C40 . Простым примером функционала, обладающего свойством C4 , может служить функционал, определенный правой частью уравнения (2.12), если все gj > 0 или все gj < 0; если же допускается равенство gj = 0, то этот функционал обладает свойством C40 . Применение метода шагов по x при наличии свойства C4 происходит следующим образом. Пусть в условиях теоремы 2.1 рассматривается задача (2.1)ϕ . Тогда при x ∈ Ω1 значения функционала f для искомого решения u определяются значениями функции uϕ при x ∈ Ω0 , т. е. непосредственно выражаются через заданную функцию ϕ. Зная значение u(x, 0) = ϕ(x, 0), мы получаем значения u(x, t) при x ∈ Ω1 , 0 < t < ∞ с помощью непосредственного интегрирования. Если теперь x ∈ Ω2 , то значения функционала f определяются значениями функции ϕ и уже построенного решения при x ∈ Ω1 , т. е. интегрирование дает значения u(x, t) при x ∈ Ω2 , 0 < t < ∞. Продолжая таким образом, мы через k шагов получаем решение во всем множестве Π. Аналогично рассматривается случай, когда функционал f обладает свойством C40 . Отличие состоит лишь в том, что на каждом шаге приходится решать начальную задачу для ФДУ запаздывающего типа с параметром x (или для ОДУ, если h = 0). Во многих случаях при применении метода шагов по x нетрудно проследить за возможностью появления разрывов у решения в соответствии с разрывами продолжающей функции ϕ и расположением границ множеств Ωj . Так, рассмотрим уравнение (2.12) с непрерывной функцией F , если все gj 6 0, и обозначим множество (быть может, пустое) значений x для всех точек разрыва регулярной продолжающей функции ϕ через E. Тогда множеством значений x для возможных точек разрыва решения задачи (2.12)ϕ служит E1 := {ξ +

l X

nj gj : ξ ∈ E, ∀nj ∈ N ∪ {0}} ∩ (a, b).

j=1

Если множество E конечное, то и множество E1 конечное; в этом случае простые примеры показывают, что для заданных множеств E и {gj } указанное множество E1 может реализоваться как множество значений x для всех точек разрыва решения задачи (2.12)ϕ . 5. Случай отсутствия сильного стационарного воздействия границы на внутренние точки. Эта описательная формулировка означает наличие у функционала f следующего свойства: C5 . Если функция w : D → Rn непрерывна во всех точках (x, t) : x 6∈ ∂Ω, то пересечение замыкания множества точек разрыва функции ((x, t) 7→ f (x, t, wxt )) : Π → Rn с любой прямой {(x, t) : x = const ∈ Ω} имеет нулевую меру. Примером функционала, обладающего свойством C5 , может служить функционал, определенный правой частью ОСДУ из третьего примера в разделе 2.1. В самом деле, если функция w : D → R может иметь разрывы только при x = ±1, то функция ((x, t) 7→ w(x − xt, t) − w(x + xt, t)) : Π → R может иметь разрывы только на линиях t = ±1 + 1/|x| (0 < |x| < 1), т. е., при каждом x ∈ (−1, 1) не более чем в двух точках. Теорема 2.6. Пусть в условиях теоремы 2.1 функционал f обладает свойством C5 , а функция ϕ непрерывная. Тогда решение задачи (2.1)ϕ , обеспечиваемое теоремой 2.1, непрерывно.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

33

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2.4 достаточно проверить, что оператор QT сохраняет непрерывность по x преобразуемой функции w. Для этого при (x0 , t0 ) ∈ ΠT воспользуемся равенством Zt0 ϕ ) − f (x0 , τ, wxϕ0 τ )] dτ. (Q w)(x, t0 ) − (Q w)(x0 , t0 ) = [ϕ(x, 0) − ϕ(x0 , 0)] + [f (x, τ, wxτ T

T

0

Однако для любой последовательности точек xj → x0 (j → ∞) соответствующая последовательность функций τ 7→ f (xj , τ, wxϕj τ ) на интервале (0, t0 ] равномерно ограничена и в силу свойства C5 почти всюду сходится к функции τ 7→ f (x0 , t, wxϕ0 τ ). Отсюда вытекает наше утверждение об операторе QT . В заключение отметим, что возможны и комбинации перечисленных свойств. Например, правая часть уравнения (2.1) может представлять собой сумму двух функционалов, обладающих соответственно свойствами C2 и C5 ; тогда при непрерывной функции ϕ решение задачи (2.1)ϕ также непрерывно. Если слагаемые в правой части обладают соответственно свойствами C3 и C5 (при этом последнее свойство надо изменить, заменив ∂Ω на K), а функция ϕ может иметь разрывы только на множестве K × (0, ∞), то и решение может иметь разрывы только на нем и т. п. 6. Добавление. Характер зависимости решения от t. Хорошо известно, что для ФДУ запаздывающего типа с достаточно гладкой правой частью решения приобретают все большую гладкость в процессе возрастания аргумента t. Аналогичным свойством обладают решения ЗСДУ. Пусть Q ⊂ Rm+1 — такое множество пространства x, t, что каждое множество Q|x=const представляет собой интервал оси t, если не пусто. Обозначим через Ctj (Q) (j ∈ N) совокупность функций Q ∈ Rn , имеющих при каждом значении x (Q|x=const 6= ∅) непрерывные производные по t порядка 6j. Мы скажем, что функционал f в уравнении (2.1) обладает свойством сохранения гладкости k-го порядка (k ∈ N), если для любых j = 1, . . . , k, T ∈ [−h, ∞) из w ∈ Ctj ((Ω + G) × [T, ∞)) следует, что

((x, t) 7→ f (x, t, wxt )) ∈ Ctj (Ω × [T + h, ∞)).

Теорема 2.7. Пусть в условиях теоремы 2.1 для некоторого k ∈ N функционал f обладает свойством сохранения гладкости k-го порядка, а ϕ ∈ Ctk (D \ Π), если h > 0, и

ϕ ∈ Ctk (((Ω + G) \ Ω) × [0, ∞)), если h = 0. Тогда, если jh < Tϕ для некоторого j = 1, . . . , k, то решение u задачи (2.1)ϕ принадлежит множеству Ctj+1 (Ω × [jh, Tϕ )). Доказательство. Из уравнения (2.2) следует, что u ∈ Ct1 (Ω × [0, Tϕ )). Если h < Tϕ , то, положив T = h и применив свойство сохранения гладкости и условие гладкости для функции ϕ, из уравнения (2.2) получаем, что u ∈ Ct2 (Ω × [h, Tϕ )). Если k > 2 и 2h < Tϕ , то, положив T = 2h, аналогично получаем, что u ∈ Ct3 (Ω×[2h, Tϕ )). Продолжая такие рассуждения, получаем утверждение теоремы 2.7. Следствие. Пусть в условиях теоремы 2.7 h = 0, т. е. (2.1) представляет собой ОСДУ. Тогда u ∈ Ctk+1 (Ω × [0, Tϕ )). 2.5. СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА В

КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: РЕШЕНИЯ, НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПО

t

В соответствии с разделом 1.2 (см. уравнение (1.6)) будем рассматривать уравнение u(x, ˙ t) = f (x, t, uxt , u˙ xt ),

(x, t) ∈ ΠTu

с добавочным условием u(x, t) = ϕ(x, t) ((x, t) ∈ DTu \ ΠTu ),

(2.13)

34

А. Д. МЫШКИС

где обозначения и предположения о множествах Π и D те же, что указаны в начале раздела 2.1. Мы докажем теорему о разрешимости задачи (2.13)ϕ , аналогичную теореме 2.1; термин «регулярная функция» будет в разделе 2.5 означать «Пи-регулярная функция». Под (Пи-)решением задачи (2.13)ϕ будем в разделе 2.5 понимать дифференцируемую по t функцию u : ΠTu → Rn , регулярную вместе с u˙ в каждом множестве ΠT (0 < T < Tu ) и удовлетворяющую всюду в ΠTu уравнению ˙ u(x, ˙ t) = f (x, t, uϕ ˙ ϕ xt , (u) xt ),

(x, t) ∈ ΠTu .

(2.14)

Кроме того, должны выполняться равенства u(x, 0+ ) = ϕ(x, 0), u(x, ˙ 0+ ) = ϕ(x, ˙ 0). Если h = 0, то значения u(x, ˙ 0+ ) надо задать дополнительно; в этом случае начальное условие для u˙ мы будем все равно записывать в виде u(x, ˙ 0+ ) = ϕ(x, ˙ 0), не придавая правой части смысла производной. Функция ϕ предполагается дифференцируемой по t в D \ Π и регулярной вместе с ϕ; ˙ если h = 0, то при x ∈ Ω, t = 0 требование дифференцируемости отпадает, а под ϕ˙ понимаются значения дополнительно задаваемой функции, о которой говорилось выше. Кроме того, предполагается выполненным условие согласования, которое получается, если в уравнении (2.13) положить t = 0: ϕ(x, ˙ 0) = f (x, 0, ϕx0 , ϕ˙ x0 )

(x ∈ Ω).

(2.15)

Предположения о функционале f допускают варианты и мы приведем только один из них, наиболее близкий к предположениям в теореме 2.1. Именно, будем предполагать, что: этот функционал определен на множестве Ω × (0, ∞) × P 2 и локально ограничен; он суперпозиционно регулярен, т. е. если функции w, z : DT → Rn для некоторого T ∈ (0, ∞) регулярны, то функция ((x, t) 7→ f (x, t, wxt , zxt )) : ΠT → Rn регулярна; он локально равномерно непрерывен по второму аргументу и локально удовлетворяет условию Липшица по третьему и четвертому аргументам, причем константа Липшица по последнему аргументу меньше 1. Может показаться, что область изменения для четвертого аргумента должна быть более широкой, чем для третьего. Однако для П-решений такое расширение не приводит к усилению теоремы о разрешимости задачи (2.13)ϕ . Отметим еще, что требование к константе Липшица по последнему аргументу исключает явно непригодные функционалы, такие, например, как f (x, t, w, z) = z(0, 0) + F (x, t) так как уравнение (2.13) тогда приобретает вид u(x, ˙ t) = u(x, ˙ t) + F (x, t). В то же время, функционалы вида f (x, t, w, z) = kz(0, 0) + F (x, t) (k 6= 1) допустимы, что говорит о возможности существенного ослабления требований в приводимой ниже теореме 2.8 о разрешимости задачи (2.13)ϕ . Обозначив u˙ =: v, получаем из (2.14) систему уравнений Zt u(x, t) = ϕ(x, 0) + v(x, t) =

0 ϕ ϕ˙ f (x, t, uxt , vxt ),

v(x, τ ) dτ,

(2.16)

(x, t) ∈ ΠTu .

Обратно, продифференцировав первое из уравнений (2.16) и воспользовавшись вторым уравнением, мы получаем уравнение (2.14). В результате приходим к следующей лемме. Лемма 2.3. В принятых обозначениях и предположениях задача (2.13)ϕ равносильна задаче о нахождении решения (u, v) системы уравнений (2.16), регулярного в каждом множестве ΠT (0 < T < Tu ) и удовлетворяющего условию v(x, 0) = ϕ(x, ˙ 0) (x ∈ Ω).

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

35

Теорема 2.8. Пусть заданная продолжающая функция ϕ и функционал f удовлетворяют указанным выше в этом пункте условиям (это «основные требования» для данной теоремы). Тогда существует такое Tϕ ∈ (0, ∞], что: (а) решение u задачи (2.13)ϕ существует в ΠTϕ и единственно в каждом множестве ΠT (0 < T 6 Tϕ ); (б) если Tϕ < ∞, то функция u˙ не является ограниченной в ΠTϕ ; (в) для любого T ∈ (0, Tϕ ), если продолжающую функцию ϕ с ее производной ϕ˙ и функционал f изменить достаточно мало по sup-метрике, сохранив «основные требования», то решение измененной задачи и его производная по t существуют в ΠT и отличаются от исходного решения и соответственно от его производной по t как угодно мало по sup-метрике; (г) если для любого T > 0 существуют такие A, B, ε > 0, что |f (x, t, w, z)| 6 Akwk + (1 − ε)kzk + B для всех (x, t) ∈ ΠT , (w, z) ∈ P 2 , то Tϕ = ∞. Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1. Сначала докажем существование и единственность решения системы уравнений (2.16), о котором говорится в лемме 2.3, для любого достаточно малого T > 0. Для этого обозначим через S˜T (0 < T 6 1) полное метрическое пространство всех пар (w, z) регулярных функций ΠT → Rn , для которых kw − ϕ( ·, 0)k 6 α, kz − ϕ( ˙ ·, 0)k 6 1, ˜ T по с sup-метрикой, где значение α > 0 будет указано далее. Затем определим на S˜T оператор Q формуле Zt ϕ ϕ˙ z(x, τ ) dτ, f (x, t, wxt , zxt )),

˜T

Q (w, z))(x, t) := (ϕ(x, 0) +

(x, t) ∈ ΠT , (w, z) ∈ S˜T .

(2.17)

0

Проверим, что при соответствующем выборе значения α и при достаточно малом T оператор T ˜ Q отображает пространство S˜T в себя. Для этого допустим, что (z, w) ∈ S˜T . Учитывая условие (2.15), получим Zt |(ϕ(x, 0) +

ZT z(x, τ ) dτ ) − ϕ(x, 0)| 6

0

|z(x, τ )| dτ 6 T (1 + sup |ϕ(x, ˙ 0)|), x

0

ϕ ϕ˙ ϕ ϕ˙ ϕ ϕ˙ |f (x, t, wxt , zxt ) − ϕ(x, ˙ 0)| 6 |f (x, t, wxt , zxt ) − f (x, 0, wxt , zxt )|+ ϕ ϕ˙ ϕ ϕ˙ ϕ ϕ˙ +|f (x, 0, wxt , zxt ) − f (x, 0, ϕx0 , ϕ˙ x0 )| 6 |f (x, t, wxt , zxt ) − f (x, 0, wxt , zxt )|+ ϕ ϕ˙ +L3 sup kwxt − ϕx0 k + L4 sup kzxt − ϕ˙ x0 k, xt

xt

где Lk — константа Липшица по k-му аргументу (k = 3, 4) функционала f в Π1 × S˜1 . Однако, ϕ kwxt − ϕx0 k = sup |wϕ (x + ξ, t + ϑ) − ϕ(x + ξ, ϑ)|. (ξ,ϑ)∈H

Отметим, что всегда ϑ 6 0. Если t + ϑ > 0, то ϑ > −T , и при T → 0+ имеем |wϕ (x + ξ, t + ϑ) − ϕ(x + ξ, ϑ)| 6 |wϕ (x + ξ, t + ϑ) − ϕ(x + ξ, 0)| + |ϕ(x + ξ, 0) − ϕ(x + ξ, ϑ)| 6 α + o(1), причем равномерно по всем участвующим аргументам, в силу локальной равномерной непрерывности функции ϕ по t. Если же t + ϑ 6 0, то по той же причине имеем |wϕ (x + ξ, t + ϑ) − ϕ(x + ξ, ϑ)| = o(1). Итак, во всех случаях получаем ϕ sup kwxt − ϕx0 k 6 α + o(1). xt

Аналогично находим

ϕ˙ sup kzxt − ϕ˙ x0 k 6 1 + o(1) xt

36

А. Д. МЫШКИС

при T → 0+ . Введя обозначение ϕ ϕ˙ ϕ ϕ˙ ω(T ) := sup{|f (x, t, wxt , zxt ) − f (x, 0, wxt , zxt )| : (x, t) ∈ ΠT , (w, z) ∈ S˜1 },

получаем окончательно ϕ ϕ˙ |f (x, t, wxt , zxt ) − ϕ(x, ˙ 0)| 6 ω(T ) + L3 α + L4 + o(1),

где o(1) → 0 при T → 0+ равномерно по (x, t) ∈ ΠT . Отсюда следует, что если T (1 + sup |ϕ(x, 0)|) 6 α, ω(T ) + L3 α + L4 < 1 x

и T достаточно мало (для компенсации слагаемого o(1) в правой части полученной оценки), то ˜ T отображает пространство S˜T в себя. Чтобы удовлетворить этим неравенствам, надо оператор Q сначала выбрать α > 0 так, что L3 α + L4 < 1; при этом мы пользуемся тем, что L4 < 1. После этого, зафиксировав α и применяя условие локальной равномерной непрерывности функционала f по t, получаем справедливость обоих требуемых неравенств для всех достаточно малых T > 0. ˜ T (S˜T ) ⊆ S˜T доказано. Итак, соотношение Q Введем теперь в S˜T метрику ρ, эквивалентную C-метрике, по формуле ρ((w1 , z1 ), (w2 , z2 )) := Akw1 − w2 k + kz1 − z2 k, где значение A > 0 будет указано далее. Тогда при (w1 , z1 ), (w2 , z2 ) ∈ S˜T имеем Zt T

T

ρ(Q (w1 , z1 ), Q (w2 , z2 )) = A sup |

(z1 (x, τ ) − z2 (x, τ )) dτ |+

xt

6

0 ϕ ϕ˙ ϕ ϕ˙ + sup |f (x, t, w1xt , z1xt ) − f (x, t, w2xt , z2xt )| 6 xt ϕ ϕ ϕ˙ ϕ˙ AT kz1 − z2 k + L3 kw1xt − w2xt k + L4 kz1xt − z2xt k.

(2.18)

Примем сначала, что L3 > 0, выберем любое k ∈ (L4 , 1) и положим A = L3 /k. Тогда при 0 < T < (k − L4 )/A правая часть неравенства (2.18) не превосходит kAkw1 − w2 k + kkz1 − z2 k = kρ((w1 , z1 ), (w2 , z2 )). Если же L3 = 0, то эту окончательную оценку получаем при любом A > 0 и указанном ограничении T . ˜ T не только отображает Итак, доказано, что при любом достаточно малом T > 0 оператор Q T ˜ пространство S в себя, но и является сжимающим. Значит, этот оператор имеет в S˜T при таких T ровно одну неподвижную точку, которой отвечает единственное решение (u, v) системы уравнений (2.16), оговоренное в лемме 2.3; а этому решению, в свою очередь, отвечает единственное решение u задачи (2.13)ϕ . Переход от T к Tϕ осуществляется так же, как при доказательстве теоремы 2.1. Докажем теперь, что если Tϕ < ∞, то функция u˙ не может быть ограниченной в ΠTϕ . В самом деле, в противном случае функция u равномерно непрерывна по t в ΠTϕ . Докажем, что тогда функция u˙ также равномерно непрерывна в ΠTϕ . Действительно, при x ∈ Ω, t1 , t2 ∈ (0, Tϕ ) имеем: ˙ ϕ ˙ |u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )| = |f (x, t1 , uϕ ˙ϕ ˙ϕ xt1 , u xt1 ) − f (x, t2 , uxt2 , u xt2 )| 6 ˙ ϕ ˙ ϕ ˙ ϕ ˙ 6 |f (x, t1 , uϕ ˙ϕ ˙ϕ ˙ϕ ˙ϕ xt1 , u xt1 ) − f (x, t2 , uxt1 , u xt1 )| + |f (x, t2 , uxt1 , u xt1 ) − f (x, t2 , uxt2 , u xt2 )| 6 T

T

˙ ϕ ˙ ϕ ϕ ˙ ϕ ϕ 6 |f (x, t1 , uϕ ˙ϕ ˙ϕ ˙ϕ ˙ϕ xt1 , u xt1 ) − f (x, t2 , uxt1 , u xt1 )| + L3 kuxt1 − uxt2 k + L4 ku xt1 − u xt2 k, T

где Lk ϕ — константа Липшица по k-му аргументу (k = 3, 4) функционала f в ˙ T ΠT × {uϕ ˙ϕ xt } × {u xt }, (x, t) ∈ Π .

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

37

В силу локальной равномерной непрерывности по t функционала f и функций ϕ и ϕ, ˙ а также в силу равномерной непрерывности решения u в ΠT полученное неравенство можно записать в виде |u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )| 6 γ(|t1 − t2 |)+ T

+L4 ϕ sup{|u(ξ, ˙ τ1 ) − u(ξ, ˙ τ2 )| : (ξ, τ1,2 ) ∈ ΠTϕ , |τ1 − τ2 | = |t1 − t2 |}, где γ(s) → 0+ при s → 0+ . Перейдя к верхней грани по всем (x, t1 ), (x, t2 ) ∈ ΠTϕ с одинаковым значением |t1 − t2 | = s < Tϕ , приходим к неравенству для любого s ∈ (0, Tϕ ): sup{|u(x, ˙ t1 ) − u(x, ˙ t2 )| : (x, t1,2 ) ∈ ΠTϕ , |t1 − t2 | = s} 6 T

6 γ(s) + L4 ϕ sup{|u(ξ, ˙ τ1 ) − u(ξ, ˙ τ2 )| : ξ ∈ Ω, τ1,2 ∈ (0, Tϕ ), |τ1 − τ2 | = s}. T

Отсюда, воспользовавшись условием L4 ϕ < 1, получаем равномерную непрерывность u˙ по t. Из доказанного следует, что каждая из функций u(· , t), u(· ˙ , t) имеет при t → Tϕ− равномерный предел. Расширив эти функции их предельными значениями, получаем функции u и u, ˙ регулярные в Ω × (0, Tϕ ]. Перенеся начало отсчета времени в t = Tϕ и применив доказанное выше утверждение о разрешимости начально-граничной задачи для уравнения (2.13), приходим к противоречию со свойством максимальности значения Tϕ . Таким образом, утверждения (а) и (б) теоремы 2.8 доказаны. Докажем теперь утверждение (в), рассуждая аналогично тому, как при доказательстве теоремы 2.1. Пусть это утверждение неверно. Тогда для некоторых T ∈ (0, Tϕ ), ε > 0 существуют такие последовательности продолжающих функций ϕk и функционалов f k , удовлетворяющих «основным требованиям», что ε > kϕk − ϕk + kϕ˙ k − ϕk ˙ =: δk → 0, ε > kf k − f k =: ηk → 0 при k → ∞, причем для любого k ∈ N существует такое tk ∈ (0, T ), что решение uk задачи (2.13)ϕ , при замене f на f k а ϕ на ϕk , удовлетворяет соотношениям kuk ( · , t) − u( · , t)k + ku˙ k ( · , t) − u( ˙ · , )k < ε, k

0 < t < tk ,

k

ku ( · , tk ) − u( · , tk )k + ku˙ ( · , tk ) − u( ˙ · , tk )k = ε.

(2.19)

Обозначим sup{|uk (x, τ ) − u(x, τ )| : x ∈ Ω, 0 < τ < t} =: U k (t), sup{|u˙ k (x, τ ) − u(x, ˙ τ )| : x ∈ Ω, 0 < τ < t} =: V k (t),

0 < t < tk .

Тогда из уравнений (2.16) и аналогичных уравнений для uk , v k := u˙ k получаем при 0 < t 6 tk : Zt U k (t) 6 sup |ϕk (x, 0) − ϕ(x, 0)| + x

sup |v k (x, τ ) − v(x, τ )| dτ 6 δk + 0

k

V (t) 6 sup |f x

k ϕ˙ k + sup |f (x, t, (uk )ϕ xt , (vk )xt ) x

k

Zt x

k ϕ˙ k (x, t, (uk )ϕ xt , (vk )xt )

V k (τ ) dτ, 0

−

k ϕ˙ k f (x, t, (uk )ϕ xt , (vk )xt )|+

(2.20)

ϕ˙ k k ˜ ˜ − f (x, t, uϕ xt , vxt ) 6 ηk + L3 max{U (t), δk } + L4 max{V (t), δk },

˜ 3 > 0, L ˜ 4 ∈ (0, 1) — соответствующие константы Липшица. Заменив во втором неравенстве где L max на сумму, получим из него оценку V k (t) через U k (t): V k (t) 6

˜3 2δk L + U k (t), ˜4 1 − L ˜4 1−L

0 6 t 6 tk .

Подставив ee в первое неравенство (2.20), приходим к неравенству t ˜3 Z 2δk + ηk L U (t) 6 δk + T+ U k (τ ) dτ, ˜ ˜ 1 − L4 1 − L4 k

0

0 < t 6 tk .

38

А. Д. МЫШКИС

Применив лемму Гронуолла, видим, что U k (tk ) → 0 при k → ∞. Отсюда в силу последней оценки для V k (t) следует, что и V k (tk ) → 0 при k → ∞. А этому противоречит равенство (2.19). Итак, утверждение (в) теоремы 2.8 тоже доказано. Докажем, наконец, утверждение (г). Для этого допустим, что выполнено дополнительное предположение, указанное в (г), а Tϕ < ∞. Введем обозначения U (t) := sup{|u(ξ, τ )| : (ξ, τ ) ∈ Πt }, V (t) := sup{|u(ξ, ˙ τ | : (ξ, τ ) ∈ Πt }, где 0 < t < Tϕ , и положим T = Tϕ в указанном предположении. Тогда для соответствующих значений A, B, ε из этого предположения в силу (2.16) вытекают неравенства для 0 < t < Tϕ : Zt U (t) 6 C + DTϕ +

V (τ ) dτ, V (t) 6 AU (t) + AC + (1 − ε)V (t) + (1 − ε)D + B, 0

где обозначено C := sup{|ϕ(x, t)| : (x, t) ∈ DTϕ \ Π}, D := sup{|ϕ(x, ˙ t)| : (x, t) ∈ DTϕ \ Π}. Получив из второго неравенства оценку V (t) через U (t) и подставив ее в первое неравенство, а затем применив лемму Гронуолла, убеждаемся в ограниченности U (t), а потому, в силу упомянутой только что оценки V (t) через U (t), в ограниченности и V (t). Но это противоречит доказанному выше утверждению (б). Замечание 2.9. Постановку начально-граничной задачи для уравнения (2.13) можно немного обобщить, приняв, что для (x, t) ∈ D \ Π вместо u(x, ˙ t) мы подставляем не ϕ(x, ˙ t), а значение ψ(x, t) некоторой регулярной функции ψ : D \ Π → Rn , задаваемой независимо от функции ϕ. При этом в равенствах (2.14)–(2.16), u(x, ˙ 0+ ) = ϕ(x, ˙ 0) и т. п. надо всюду ϕ˙ заменить на ψ, а вместо «задача (2.13)ϕ » писать «задача (2.13)ϕψ ». Формулировки утверждений и доказательства после таких очевидных изменений полностью сохраняются. Замечание 2.10. Условие согласования (2.15) является существенным для того, чтобы решение начально-граничной задачи для НСДУ было непрерывно дифференцируемым по t. Это важное отличие НСДУ от ЗСДУ хорошо известно уже для обычных ФДУ нейтрального типа. Если это условие не выполнено, то даже для простейших уравнений с дискретным запаздыванием (например, u(t) ˙ = au(t ˙ − h)) решение оказывается, вообще говоря, лишь кусочно-гладким. Однако для функционалов «интегрального типа» по t (см. [43], часть 3, раздел 3.2) условие согласования отпадает, а решение принадлежит классу C 1 , даже если от начальной функции требовать только выполнение условия Липшица. Можно распространить этот результат на уравнения вида (2.13), выделив класс функционалов f , для которого условие (2.15) отпадает, а множество начальных функций расширяется; мы не будем приводить здесь точную формулировку. Отсутствие условия согласования не вызывает затруднений в вопросе о разрешимости начальнограничной задачи для уравнения (2.13) и в случае возможности применения метода шагов по t. Это относится, например, к уравнению вида u(x, ˙ t) = f (x, t, uxt , . . . , u(x ˙ + gj , t − hj ), . . .), (x, t) ∈ Π, j = 1, . . . , k, ∀gj ∈ R, 0 < h1 6 . . . 6 hk .

(2.21)

В самом деле, пусть k k X X E := { rj hj : ∀rj ∈ N ∪ {0}, rj > 0} = {e1 , e2 , . . .}, j=1

∀ei < ei+1

j=1

и ϕ ∈ Ct1 (D \ Π). При 0 < t < e1 уравнение (2.21) с учетом продолжающей функции ϕ приобретает вид u(x, ˙ t) = f (x, t, uϕ ˙ + gj , t − hj ), . . .). (2.22) xt , . . . , ϕ(x а начальное условие имеет вид u(x, 0+ ) = ϕ(x, 0),

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

39

u(x, ˙ 0+ ) = f (x, 0, ϕx0 , . . . , ϕ(x ˙ + gj , −hj ), . . .). Если эта задача удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и если ее решение u существует на интервале (0, e1 ], то u˙ имеет при t = e1 , вообще говоря, разрыв 1-го рода по t. Действительно, u(x, ˙ e− 1) + получается из уравнения (2.22), а при вычислении u(x, ˙ e1 ) надо в правой части этого уравнения ϕ(x ˙ + g1 , 0) заменить на u(x ˙ + g1 , 0+ ). Затем теорема 2.1 применяется к интервалу (e1 , e2 ), при t = e2 опять, вообще говоря, u˙ испытывает разрыв 1-го рода и т. д. Возможно и дальнейшее обобщение уравнения (2.21), сохраняющее применимость метода шагов по t, в направлении, указанном для ФДУ нейтрального типа в [43], гл. 3, раздел 3.3. 2.6. СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА В

КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: РЕШЕНИЯ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ПО

t

УСЛОВИЮ

ЛИПШИЦА

Отказ от условия согласования и соответствующее обобщение понятия решения для НСДУ (2.13) можно получить с помощью перехода к решениям, удовлетворяющим по t условию Липшица. В соответствии с этим назовем измеримую функцию w, определенную на некотором подмножестве Q пространства x, t Л-регулярной (Л указывает на Липшица), если она локально ограничена и локально удовлетворяет условию Липшица по t; будем обозначать kwkL := kwk + kwk. ˙ Назовем функцию u : ΠTu → Rn Л-решением задачи (2.13)ϕ с Л-регулярной продолжающей функцией ϕ, если функция uϕ Л-регулярна на каждом множестве DT (0 < T < Tu ), и для любого x ∈ Ω уравнение (2.14) удовлетворяется для почти всех t ∈ (0, T ), причем u(x, 0+ ) = ϕ(x, 0) (x ∈ Ω). Всюду ниже в разделе 2.6 слова «регулярность» и «решение» означают соответственно «Л-регулярность» и «Л-решение». Предположения о функционале f в общем случае следующие: (аf ) он определен на множестве Ω × (0, ∞) × P × P∞ и локально ограничен, где P то же, что в разделе 2.2, а P∞ — банахово пространство ограниченных функций H → Rn , измеримых по (x, t) и по t, с sup-нормой; (бf ) если функция w : DT → Rn регулярна, а функция z : DT → Rn ограничена, измерима по (x, t) и по t для какого-либо T ∈ (0, ∞), то функция ((x, t) 7→ f (x, t, wxt , zxt )) : ΠT → Rn измерима по t и ограничена. При этом, если mes{t : z1 (x, t) 6= z2 (x, t)} = 0 для любого x ∈ Ω + G, то mes{t : f (x, t, wxt , z1xt ) 6= f (x, t, wxt , z2xt )} = 0 для любого x ∈ Ω; (вf ) для для любых M, T > 0 существуют такие L > 0, l ∈ (0, 1), что если из функций w1 , w2 , z1 , z2 : DT → Rn первые две регулярны, а последние две ограничены и измеримы по (x, t) и по t, причем kwj k 6 M (j = 1, 2), то kf (x, t, w1xt , z1xt ) − f (x, t, w2xt , z2xt )k 6 Lkw1 − w2 k + lkz1 − z2 k ((x, t) ∈ ΠT ). Теорема 2.9. Пусть продолжающая функция ϕ регулярна, а функционал f удовлетворяет условиям (аf )–(вf ) (это «основные требования» для данной теоремы). Тогда существует такое значение Tϕ ∈ (0, ∞], что: (а) решение u задачи (2.13)ϕ существует в ΠTϕ и единственно в каждом множестве ΠT (0 < T 6 Tϕ ); (б) если Tϕ < ∞, то vrai sup{|u(x, ˙ t)| : (x, t) ∈ ΠTϕ } = ∞; (в) для любого T ∈ (0, Tϕ ), если, сохранив «основные требования», изменить достаточно мало продолжающую функцию ϕ по норме k · kL и функционал f по sup-норме, то решение измененной задачи существует в ΠT и отличается от исходного решения как угодно мало по норме k · kL ; (г) если для любого T > 0 существуют такие A, B, ε > 0, что |f (x, t, w, z)| 6 Akwk + (1 − ε)kzk + B для всех (x, t) ∈ ΠT , w ∈ P, z ∈ P∞ , то Tϕ = ∞.

40

А. Д. МЫШКИС

Доказательство аналогично доказательству теорем 2.1 и 2.8. Сначала докажем существование и единственность регулярного решения уравнения Zt ˙ u(x, t) = ϕ(x, 0) + f (x, τ, uϕ ˙ ϕ (x, t) ∈ ΠT (2.23) xτ , (u) xτ ), 0

для любого достаточно малого T > 0, которое, очевидно, равносильно задаче (2.13)ϕ . Для этого обозначим через SaT (a, T > 0) полное метрическое пространство всех регулярных функций w на ΠT , для которых kw − ϕ( ·, 0)k 6 1, kwk ˙ 6 a, с L-метрикой, основанной на L-норме k · kL , где значение a будет указано далее. На SaT определим оператор QT , задаваемый правой частью уравнения (2.23), и покажем, что при соответствующем выборе a и любом достаточно малом T этот оператор отображает пространство SaT в себя и является сжимающим в эквивалентной метрике. Для доказательства первого утверждения воспользуемся свойством (вf ) функционала f . Выберем значения L и l, отвечающие значениям M = sup{|ϕ(x, t)| : (x, t) ∈ D1 \ Π1 } + 1, T = 1; ясно, что эти же L, l пригодны и для любого T ∈ (0, 1) при том же M . Пусть, далее, E := sup{kf (x, t, 0, 0)k : (x, t) ∈ ΠT }. Тогда, если w ∈ SaT , то ϕ ˙ T kQT w − ϕ( ·, 0)k 6 T (sup{|f (x, t, wxt , (w) ˙ ϕ xt ) − f (x, t, 0, 0)| : (x, t) ∈ Π } + E) 6

6 T (LM + la + E), ϕ ˙ T k(Q w) k = sup{|f (x, t, wxt , (w) ˙ ϕ xt )| : (x, t) ∈ Π } 6 LM + la + E. Таким образом, для того чтобы QT SaT ⊆ SaT , достаточно выполнение системы неравенств T

·

T (LM + la + E) 6 1, LM + la + E 6 a. Если во втором неравенстве знак 6 заменить на =, получаем значение a = (LM + E)/(1 − l). Подставляя его в первое неравенство, видим, что для T пригодно любое значение из интервала (0, (1 − l)/(LM + E)). Для проверки утверждения о сжимающем характере оператора QT в пространстве SaT введем в это пространство эквивалентную метрику ρ(w1 , w2 ) = kw1 − w2 k + bkw˙ 1 − w˙ 2 k, где значение b > 0 будет указано далее. Для тех же M и T , что в предыдущем абзаце, возьмем значения L и l, о которых говорится в свойстве (вf ) функционала f . Тогда при w1 , w2 ∈ SaT имеем Zt T

[f (x, τ, (w1ϕ )xτ , (w˙ 1ϕ˙ )xτ ) − f (x, τ, (w2ϕ )xτ , (w˙ 2ϕ˙ )xτ )] dτ |+

T

ρ(Q w1 , Q w2 ) = sup | 0

+b sup |f (x, t, (w1ϕ )xt , (w˙ 1ϕ˙ )xt )

− f (x, t, (w2ϕ )xt , (w˙ 2ϕ˙ )xt )| 6 (T + b)(Lkw1 − w2 k + lkw˙ 1 − w˙ 2 k).

Поэтому для того, чтобы оператор QT в указанной метрике был сжимающим c некоторым коэффициентом k ∈ (0, 1), достаточно выполнение системы неравенств (T + b)L 6 k, (T + b)l 6 kb. Можно положить, например, b = l/L, тогда оба неравенства приобретают вид T 6 (k − l)/L; при k = (1 + l)/2 получаем ограничение для T : T ∈ (0, (1 − l)/2L).

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

41

Итак, утверждение, сформулированное в конце первого абзаца доказательства теоремы 2.9, проверено. Отсюда на основе теоремы Банаха о сжимающих отображениях заключаем, что справедливо и утверждение об однозначной разрешимости уравнения (2.23) для любого достаточно малого T > 0. Переход к наибольшему возможному значению T = Tϕ осуществляется так же, как при доказательстве теоремы 2.1. Утверждение о том, что при Tϕ < ∞ функция u˙ не может быть ограниченной в ΠTϕ , проверяется так же, как при доказательстве теоремы 2.1. Наконец, доказательства утверждений (в) и (г) практически не отличаются от доказательств аналогичных утверждений для теоремы 2.8. Замечание 2.11. Если h > 0, то НСДУ (2.13) можно записывать и в виде u(x, ˙ t) = f (x, t, uxt ), uϕ xt

так как значения функции на H определяют и значения ее производной по t на H. При этом фактическое наличие u˙ в правой части проявится в формулировке предположений о функционале f : в каком пространстве он определен, каким неравенствам удовлетворяет и т. д. Такой подход, не совсем привычный для «классики», может оказаться в каких-то отношениях полезным: например, он позволяет естественно распространить результаты на уравнения с производными дробного порядка, с несобственными интегралами и т. п. Замечание 2.12. Думается, что теоремы 2.2 и 2.9 далеки от оптимальной степени общности: например, они не затрагивают линейных уравнений с суммируемыми, но неограниченными коэффициентами при u. Здесь требуется дальнейшая работа. 2.7.

СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА В ФОРМЕ

ХЕЙЛА Перепишем НСДУ в форме Хейла (1.7) с учетом продолжающей функции ϕ: ϕ · [u(x, t) − g(x, t, uϕ xt )] = f (x, t, uxt ),

(x, t) ∈ Πu .

(2.24)

По аналогии с разделами 2.5 и 2.6, но с уменьшением класса гладкости на единицу, можно рассматривать как непрерывные, так и локально суммируемые решения уравнения (2.24). Мы остановимся здесь на непрерывных решениях; локально суммируемые решения рассматриваются аналогично. Поэтому под решением уравнения (2.24) с Пи-регулярной функцией ϕ (см. раздел 2.2) будем понимать Пи-регулярную функцию u : Πu → Rn , для которой всюду в Πu производная · [(x, t) → u(x, t) − g(x, t, uϕ xt )]

существует и равна f (x, t, uϕ xt ); кроме того, должно выполняться равенство u(x, 0+ ) = ϕ(x, 0) (x ∈ Ω). Предположения о функционалe f примем для простоты такими же, как в разделе 2.2. Первые два предположения о функционале g такие же, как предположения о f в разделе 2.2, а третье предположение усиливаем, как в разделе 2.5: функционал g должен быть локально равномерно непрерывен по второму аргументу и локально удовлетворять условию Липшица по третьему аргументу с константой Липшица, меньшей 1. Следующая лемма очевидна. Лемма 2.4. Сформулированная задача для уравнения(2.24) равносильна задаче о нахождении в Πu Пи-регулярного решения интегро-функционального уравнения Zt u(x, t) = ϕ(x, 0) +

g(x, t, uϕ xt )

f (x, τ, uϕ xτ ) dτ.

− g(x, 0, ϕx0 ) +

(2.25)

0

Теорема 2.10. В сформулированных предположениях о ϕ, f и g (это «основные требования» для данной теоремы) существует такое значение Tϕ ∈ (0, ∞], что: (а) решение u задачи (2.24)ϕ существует в ΠTϕ и единственно в каждом множестве ΠT (0 < T 6 Tϕ ); (б) если Tϕ < ∞, то это решение неограниченно в ΠTϕ ;

42

А. Д. МЫШКИС

(в) для любого T ∈ (0, Tϕ ), если продолжающую функцию ϕ и функционалы f и g изменить достаточно мало по sup-метрике, сохранив «основные требования», то решение измененной задачи существует в ΠT и отличается от исходного решения как угодно мало по sup-метрике; (г) если для любого T > 0 существуют такие A, B, ε > 0, что |f (x, t, w)| 6 Akwk + B, |g(x, t, w)| 6 (1 − ε)kwk + B для всех (x, t) ∈

ΠT ,

w ∈ P , то Tϕ = ∞.

Доказательство. Достаточно все утверждения доказать для уравнения (2.25). Пространство S T вводим, как при доказательстве теоремы 2.1, а оператор QT определяем в соответствии с правой частью уравнения (2.25). Тогда в силу условий, наложенных на функционалы f и g, имеем в S T для соответствующих значений L > 0 и l ∈ (0, 1): kQT w − ϕ(·, 0)k 6 sup{|g(x, t, uϕ xt ) − g(x, t, ϕx0 )| + |g(x, t, ϕx0 ) − g(x, 0, ϕx0 )|+ Zt T [|f (x, τ, uϕ xτ ) − f (x, τ, ϕx0 )| + |f (x, τ, ϕx0 )|] dτ : (x, t) ∈ Π } 6

+ 0

6 l · 1 + sup{|g(x, t, ϕx0 ) − g(x, 0, ϕx0 )| : (x, t) ∈ ΠT }+ +T (L · 1 + sup{|f (x, t, ϕx0 )| : (x, t) ∈ ΠT }),

w ∈ ST ,

ϕ ρ(QT w1 , QT w2 ) 6 sup{|g(x, t, uϕ 1xt ) − g(x, t, u2xt )|+

Zt ϕ T |f (x, τ, uϕ 1xτ ) − f (x, τ, u2xτ )| dτ : (x, t) ∈ Π } 6

+ 0

6 lρ(w1 , w2 ) + T Lρ(w1 , w2 ),

w1 , w2 ∈ S T .

Из этих неравенств видим, что при любом достаточно малом T > 0 оператор QT отображает пространство S T в себя и является сжимающим. Переход к максимальному значению Tϕ , для которого справедливо утверждение (а) теоремы 2.10, осуществляется так же, как для теоремы 2.1. Для доказательства утверждения (б) допустим, что оно неверно, т. е. Tϕ < ∞, а решение u ограничено в ΠTϕ . Проверим, что это решение равномерно непрерывно по t на этом множестве. В самом деле, из (2.25) получаем при t1 , t2 ∈ (0, Tϕ ): ϕ |u(x, t1 ) − u(x, t2 )| 6 |g(x, t1 , uϕ xt1 ) − g(x, t1 , uxt2 )|+

+|g(x, t1 , uϕ xt2 )

−

g(x, t2 , uϕ xt2 )|

¯ ¯ Zt2 ¯ ¯ ϕ ¯ + ¯ f (x, τ, uxτ ) dτ ¯¯. t1

Если t1 − t2 → 0, то все слагаемые в правой части равномерно стремятся к нулю: первое — из-за локального условия Липшица для функционала g, второе — из-за локальной равномерной непрерывности этого функционала по t, и третье — из-за локальной ограниченности функционала f , что и требовалось доказать. Завершение доказательства утверждения (б) не отличается от проведенного для теоремы 2.1. Доказательства утверждений (в) и (г) практически не отличаются от доказательств аналогичных утверждений для теорем 2.1 и 2.8. Замечание 2.13. Какова взаимосвязь между НСДУ в классической форме (1.6) и в форме Хейла (1.7)? Ясно, что для дифференцируемого функционала f по второму и третьему аргументам можно от второй формы перейти к равносильной первой. Для линейных уравнений возможен также обратный переход при некоторых естественных предположениях гладкости. Что касается нелинейных уравнений, то для них возможность перехода от классической формы к форме Хейла требует также выполнение функциональных соотношений типа равенств. Например,

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

43

рассмотрим уравнение u(x, ˙ t) =

k X

[Aij (x, t)u(x + gi , t)u(x ˙ + gj , t) + Bij (x, t)u(x + gi , t)u(x + gj , t)],

i,j=1

в котором все значения gi отличны друг от друга, а все функции Aij непрерывны по t. Естественно ожидать, что соответствующая форма Хейла этого уравнения такова: [u(x, t) −

k X

k X

Cij (x, t)u(x + gi , t)u(x + gj , t)]· =

i,j=1

Dij (x, t)u(x + gi , t)u(x + gj , t).

(2.26)

i,j=1

Легко проверить, что для возможности такого представления необходимо и достаточно, чтобы все Aij (x, t) ≡ Aji (x, t). Таким образом, уравнение u(x, ˙ t) = u(x − 1, t)u(x ˙ − 1, t) допускает представление в форме (2.26), а уравнение u(x, ˙ t) = u(x, t)u(x ˙ − 1, t) его не допускает. 2.8. СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Мы рассмотрим здесь только аналог теоремы 2.1 для ЗСДУ с бесконечным запаздыванием; при этом применим подход, изложенный в [43], гл. 3, раздел 2.5. Уравнения с абсолютно непрерывными решениями и НСДУ можно рассмотреть аналогично. Таким образом, будем считать, что задано уравнение того же вида, что (2.1), т. е. u(x, ˙ t) = f (x, t, uxt ),

(x, t) ∈ Π,

(2.27)

однако теперь h = ∞, H = G × (−∞, 0], D = (Ω + G) × R. Как и раньше, продолжающая функция ϕ задается на D \ Π. В этой задаче существенно новым по сравнению с разделом 2.2 является ограничение поведения участвующих функций при t → −∞. Это можно сделать различными способами, каждый из которых порождает соответствующую теорему о разрешимости задачи (2.27)ϕ . Чтобы охватить все эти способы, опишем упомянутые ограничения аксиоматически. Именно, будем считать, что задано некоторое метрическое пространство K с метрикой d, все элементы которого суть Пи-регулярные функции (см. раздел 2.2) H → Rn ; как будет следовать из приводимых ниже требований, этому пространству должны принадлежать как все фрагменты ϕx0 , x ∈ Ω, u ϕ начальной функции, так и все фрагменты uϕ xt , (x, t) ∈ Π , продолженного решения u . n ˜ всех Пи-регулярных функций w : (G × R) → R , для которых Введем также множество K ˜ инвариантно относительно сдвигов по t, а w|−∞
(i ∈ N),

−∞ < t1 < t2 < ∞,

d((wi )t1 , wt1 ) → 0,

k(wi − w)|t1 6t6t2 k → 0

при i → ∞, то max{d((wi )t , wt ) : t1 6 t 6 t2 } → 0 при i → ∞. Приведем примеры пространств K, обладающих перечисленными свойствами: 1) Для любого фиксированного p ∈ R, банахово пространство измеримых по x функций с равномерно непрерывным по t произведением ept w(x, t) и конечной нормой kwk := sup{ept |w(x, t)| : (x, t) ∈ H}. 2) Банахово пространство измеримых по x и равномерно непрерывных по t функций с конечной нормой ½ ¾ Z0 kwk := sup sup{|w(x, t)| : t ∈ (−∞, 0]} + |w(x, t)| dt : x ∈ G . −∞

44

А. Д. МЫШКИС

3) Метрическое пространство всех непрерывных локально ограниченных локально равномерно непрерывных по t функций с метрикой d(w1 , w2 ) :=

∞ X

2−i k(w1 − w2 )|−i6t60 k[1 + k(w1 − w2 )|−i6t60 k]−1 .

i=1

В этом пункте будем называть функцию ¯ T (:= (Ω + G) × (−∞, T ]) → Rn w:D

(0 6 T < ∞)

К-регулярной, если она Пи-регулярна и wx0 ∈ K для всех x ∈ Ω, причем множество {wxt : x ∈ Ω, t ∈ [0, T ]} ограничено в K. Продолжающую функцию ϕ будем предполагать Пи-регулярной в D \ Π и К¯ 0 . Функцию u : ΠTu → Rn (0 < Tu 6 ∞) будем называть (регулярным) решением регулярной в D ¯ T (0 < T < Tu ) и всюду в задачи (2.27)ϕ , если функция uϕ К-регулярна в каждом множестве D ΠTu производная u˙ существует и удовлетворяет уравнению Tu u(x, ˙ t) = f (x, t, uϕ xt ) ((x, t) ∈ Π ).

При этом, так как К-регулярная функция непрерывна по t, из К-регулярности функции uϕ вытекает равенство u(x, 0+ ) = ϕ(x, 0) (x ∈ Ω). Предположения о функционале f следующие: f определен на множестве Ω × [0, ∞) × K, действует в Rn и локально равномерно непрерывен по совокупности второго и третьего аргументов; ¯ T → Rn К-регулярна для некоторого T ∈ (0, ∞), то функция ((x, t) 7→ если функция w : D f (x, t, wxt )) : (Ω × [0, T ]) → Rn Пи-регулярна; ¯ 0 , Пи-регулярна на каждом если функция w : DT → Rn (0 < T < ∞) К-регулярна на D множестве Dτ (0 < τ < T ) и локально ограничена, то множество {f (x, t, wxt ) : (x, t) ∈ Ω × [0, T )} ограничено; ¯ T → Rn существуют такие ε, L > 0, для любых T ∈ [0, ∞) и К-регулярной функции w : D T +τ ¯ что если (ξ, τ ) ∈ Ω × (0, ε), а функции w1 , w2 : D → Rn К-регулярны, причем w1 (x, t) = ¯T) и w2 (x, t) (∀(x, t) ∈ D ¯ T +τ \ D ¯ T , i = 1, 2} < ε, sup{|wi (x, t) − wi (x, T )| : (x, t) ∈ D то |f (ξ, T + τ, w1ξ,T +τ ) − f (ξ, T + τ, w2ξ,T +τ )| 6 Lkw1 − w2 k; ¯ T → Rn существуют ε > 0 и L > 0, для любых T ∈ R+ и К-регулярной функции w : D обладающие следующим свойством: для любого ε1 > 0 существует такое δ > 0, что если для ¯ T1 → Rn справедливы неравенства К-регулярной функции w1 : Π 0 < T1 < T,

d(w1 |−∞
k(w1 − w)|06t6T1 k < ε, то |f (x, t, w1xt ) − f (x, t, wxt )| 6 Lk(w1 − w)|06t6T1 k + ε1 ,

(x, t) ∈ ΠT1 .

Теорема 2.11. Пусть продолжающая функция ϕ и функционал f удовлетворяют только что перечисленным условиям (это «основные требования» для данной теоремы). Тогда существует такое значение Tϕ ∈ (0, ∞], что: (а) решение u задачи (2.27)ϕ существует в ΠTϕ и единственно в каждом множестве ΠT , 0 < T 6 Tϕ ; (б) если Tϕ < ∞, то это решение не является ограниченным в ΠTϕ ; (в) для любого T ∈ (0, Tϕ ), если продолжающую функцию ϕ изменить достаточно мало по d¯ 0 и по sup-метрике в (Ω+G)×[0, ∞)\Π, а функционал f изменить достаточно мало метрике в D по sup-метрике, сохранив «основные требования», то решение измененной задачи существует

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

45

в ΠT и отличается от исходного решения как угодно мало по sup-метрике (для К-регулярных ¯ 0 → Rn полагаем функций ψ1 , ψ2 : D d(ψ1 , ψ2 ) := sup{d(ψ1x0 , ψ2x0 ) : x ∈ Ω}); ¯ 0 → Rn и любого T > 0 существуют такие (г) если для любой К-регулярной функции ψ : D A, B > 0, что |f (x, t, w)| 6 Akw|−T 6t60 k + B T для всех (x, t) ∈ Π и любой функции w ∈ K, для которой w−t = ψx0 , то Tϕ = ∞. Доказательство. Как и в других теоремах о разрешимости, от задачи (2.27)ϕ переходим к равносильному интегро-функциональному уравнению Zt f (x, ζ, uϕ xζ ) dζ,

u(x, t) = ϕ(x, 0) +

(x, t) ∈ ΠTu ,

(2.28)

0

причем от решения требуются Пи-регулярность в ΠTu и выполнение условия u(x, 0+ ) = ϕ(x, 0) (x ∈ Ω). (При доказательстве непрерывности функции t 7→ f (x, t, uϕ xt ) здесь применяются первое условие на метрику d и первое предположение о функционале f .) Воспользуемся предпоследним из указанных выше свойств функционала f , положив T = 0, w = ϕ. Тогда для соответствующих значений ε, L получаем, что если (ξ, τ ) ∈ Ω × (0, ε), функции w1 , w2 : Πτ → Rn Пи-регулярны, причем w1 (x, 0+ ) = w2 (x, 0+ ) = ϕ(x, 0) (x ∈ Ω) и kwi − ϕ( · , 0)k < ε (i = 1, 2), то

ϕ ϕ |f (ξ, τ, w1ξτ ) − f (ξ, τ, w2ξτ )| 6 Lkw1 − w2 k.

Несколько видоизменяя доказательство теоремы 2.1, обозначим через S τ (0 < τ < ε) полное метрическое пространство всех Пи-регулярных функций w : Πτ → Rn , для которых w(x, 0+ ) = ϕ(x, 0) (x ∈ Ω), kw − ϕ( · , 0)k 6 ε, а через оператор, определенный на S τ правой частью уравнения (2.28). Тогда из уравнения (2.28) получаем, что при w, w1 , w2 ∈ S τ , (x, t) ∈ Πτ ¯ Zt ¯ ϕ τ |(Q w)(x, t) − ϕ(x, 0)| = ¯¯ [f (x, ζ, wxζ ) − f (x, ζ, ϕx0 )] dζ+ Qτ

0

Zt +

Zt [f (x, ζ, ϕx0 ) − f (x, 0, ϕx0 )] dζ +

0

¯ ¯ f (x, 0, ϕx0 ) dζ ¯¯ 6

0

6 τ (Lε + sup{|f (x, ζ, ϕx0 ) − f (x, 0, ϕx0 )| : (x, ζ) ∈ Πτ }+ + sup{|f (x, 0, ϕx0 )| : x ∈ Ω}), τ

|(Q w1 )(x, t) − (Qτ w2 )(x, t)| 6 τ Lkw1 − w2 k. Отсюда видно, что при любом достаточно малом τ > 0 оператор Qτ отображает пространство S τ в себя и является сжимающим. Значит, уравнение (2.28), а потому и задача (2.27)ϕ имеют единственное решение при любом достаточно малом T = Tu . Переход к наибольшему значению T = Tϕ и доказательство утверждения (б) теоремы 2.11 не отличаются от аналогичных рассуждений при доказательстве теоремы 2.1. При этом применяется следующее утверждение, вытекающее из предположений о функционале f и дающее возможность продолжать решение по t (см. аналогичное утверждение в начале раздела 2.2). Пусть u : Πt1 → Rn

46

А. Д. МЫШКИС

(0 < t1 < ∞) — решение уравнения (2.27) с начальной функцией ϕ : D \ Π → Rn , причем kuk < ∞. Тогда существует равномерный предел u( · , t− 1 ) := lim u( · , t). Если расширить функt→t− 1

u(x, t− 1 ),

цию u значениями u(x, t1 ) := а после этого расширить функцию ϕ значениями u(x, t), (x, t) ∈ Ω × (0, t1 ], то полученная расширенная функция ϕ¯ удовлетворяет «основному требованию» при начальном моменте времени t1 . Если решение u ¯ уравнения (2.27) при продолжающей функции ϕ¯ определено на Ω × (t1 , t2 ) (t1 < t2 6 ∞), то функция, равная u на Ω × (0, t1 ] и равная u ¯ на Ω × (t1 , t2 ), является решением задачи (2.27)ϕ . Доказательство утверждения (в) в целом такое же, как для теоремы 2.1. Хотя последнее из наших предположений о функционале f показывает, что неравенство (2.7) справедливо лишь для достаточно больших k, причем к его правой части надо прибавить значение ε1 , о котором говорится в этом предположении, в силу произвольной малости ε1 это не сказывается на окончании доказательства утверждения (в). Для доказательства утверждения (г) допустим, что выполнено указанное в нем дополнительное условие, и положим в нем ψ := ϕ|D¯ 0 , T = Tϕ . Тогда для любых (x, t) ∈ ΠTϕ функция uϕ xt может быть принята за w в этом условии, а потому ϕ ϕ |f (x, t, uϕ xt )| 6 Akuxt |[−Tϕ ,0] k + B 6 Aku |[t−Tϕ ,t] k + B 6 A max{U (t), C} + B,

где обозначено

U (t) := sup{u(x, τ ) : (x, τ ) ∈ Πt }, C := sup{|ϕ(x, t)| : (x, t) ∈ ((Ω + G) × [−Tϕ , Tϕ ]) \ Π}. Окончание доказательства утверждения (г) не отличается от проведенного для теоремы 2.1. 2.9.

СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ БАЗОЙ

Рассмотрим теперь уравнение u(x, ˙ t) = f (x, t, uxt ),

(x, t) ∈ Π

(2.29)

в предположении, что h 6 ∞, а множество Ω неограниченное; множество G может быть как ограниченным, так и неограниченным. Как и в разделе 2.8, приведем лишь аналог теоремы 2.1. Здесь возможны два случая: Ω + G = Ω (в частности, так будет, если Ω = Rm ) и Ω + G ⊃ Ω. В первом случае добавочным служит только начальное условие, а во втором надо задавать как начальное, так и граничное условия. (Для ограниченного Ω первый случай возможен, если и только если G = {0}, т. е. когда взаимодействие между точками пространства отсутствует.) Так как множество Ω неограниченное, то требуется как-то регламентировать поведение решения при |x| → ∞. Это можно сделать различными способами, и мы предлагаем здесь один из них, возможно, не наилучший. Именно, будем считать, что задано некоторое банахово пространство V (= Vp , 1 6 p 6 ∞), элементами которого являются измеримые функции v : Ω → Rn с конечной нормой kvkV (= kvkVp ) := kvk + kvkp ³Z ´1/p (kvkp := |v(x)|p dx , 1 6 p < ∞), Ω

kvkV := kvk (p = ∞) (в V не обязательно входят все такие функции); оно и будет определять поведение решения на бесконечности. Далее, для любого T ∈ (0, ∞) введем банахово пространство W T (= WpT ) всех функций w : ΠT → Rn , для которых w( · , t) ∈ V при всех t ∈ (0, T ), причем отображение (t 7→ w( · , t)) : (0, T ) → V равномерно непрерывно. Норму в W T вводим по формуле kwkV T (= kwkVp T ) := sup{kw( · , t)kV : 0 < t < T }. Из определения следует, в частности, что всякая функция w ∈ W T ограничена и для нее существуют w( · , 0+ ), w( · , T − ) ∈ V . Таким образом, пространство W T может состоять из всех равномерно непрерывных по t ограниченных функций с нормой k · k, или из всех равномерно непрерывных по (x, t) ограниченных

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

47

функций с той же нормой, или из всех ограниченных равномерно непрерывных по t функций с сечениями w( · , t) (1 6 p < ∞), непрерывно зависящими от t по норме Lp , с соответствующей нормой и т. д. Отметим простое свойство пространства W T : если w ∈ W T и Zt w(x, τ ) dτ

w(x, ¯ t) :=

((x, t) ∈ ΠT ),

0

то w ¯∈

WT

и

kwk ¯ V T 6 T kwkV T . В самом деле, обозначим v(t) := w( · , t); это равномерно непрерывная функция, заданная на (0, T ) со значениями в пространстве V . Тогда функция Zt v¯(t) :=

v(τ ) dτ (0 < t < T ) 0

обладает этими же свойствами. Из определения интеграла следует, что для (x, t) ∈ ΠT , при естественном смысле обозначений, X X (¯ v (t))(x) = (lim v(τi )∆τi (x) = lim( v(τi )∆τi )(x) = i

= lim

X

i

Zt v(τi )(x)∆τi =

Zt (v(τ )(x)) dτ =

i

0

w(x, τ ) dτ = w(x, ¯ t). 0

Но при 0 < t < T имеем Zt k¯ v (t)kV = k

v(τ ) dτ kV 6 0

а потому

Zt kv(τ )kV dτ, 0

ZT kwk ¯ V T = sup k¯ v (t)kV 6 0
kv(τ )kV dτ 6 T sup kv(τ )kV = T kwkV T , 0

0<τ
что и требовалось доказать. Решением задачи (2.29)ϕ назовем функцию u : ΠTu → Rn (0 < T u 6 ∞), принадлежащую пространству W T для любого T ∈ (0, Tu ), дифференцируемую по t, удовлетворяющую всюду в ΠTu уравнению u(x, ˙ t) = f (x, t, uϕ (x, t) ∈ ΠTu (2.30) xt ), и всюду в Ω начальному условию u(x, 0+ ) = ϕ(x, 0). Предположения, которые наложим одновременно на функционал f и продолжающую функцию ϕ : D \ Π → Rn , следующие: ϕ( · , 0)|Ω ∈ V ; если функция w : Π → Rn принадлежит W T для любого T ∈ (0, ∞), причем w(x, 0+ ) ≡ ϕ(x, 0), ϕ то функция (x, t) 7→ f (x, t, wxt ) определена в Π и принадлежит W T для любого T ∈ (0, ∞); для любых T, M > 0 существует такое L > 0, что если

wi ∈ W T , kwi kV T < M, wi (x, 0+ ) ≡ ϕ(x, 0) то

(i = 1, 2),

° ° Zt ° ° °((x, t) 7→ [f (x, τ, wϕ ) − f (x, τ, wϕ )] dτ ) : ΠT → Rn ° 1xτ 2xτ ° ° 0

VT

6 Lkw1 − w2 kV T .

48

А. Д. МЫШКИС

Из отмеченного выше свойства пространства W T сразу следует, что в условиях первого предположения о функционале f пространству W T принадлежит также и функция Zt ϕ f (x, τ, wxτ ) dτ ;

(x, t) 7→ 0

в условиях же второго предположения справедлива оценка, такая же как приведенная (но, вообще говоря, с другой константой L), для выражения ° ° Zt ° ° ϕ ϕ T n °((x, t) 7→ [f (x, τ, w ) − f (x, τ, w )] dτ ) : Π → R ° . 2xτ 1xτ ° ° VT

0

В такой форме эти предположения будут применяться далее. Теорема 2.12. Пусть выполнены все только что перечисленные условия. Тогда существует такое значение Tϕ ∈ (0, ∞], что: (а) решение u задачи (2.29)ϕ существует в ΠT ϕ и единственно в каждом множестве ΠT (0 < T 6 Tϕ ); (б) если Tϕ < ∞, то функция t 7→ ku( · , t)kV не ограничена при t → Tϕ− ; (в) если для любого T > 0 существуют такие A, B > 0, что |f (x, t, w)| 6 Akwk + B для всех (x, t) ∈ ΠT , w ∈ P , то Tϕ = ∞. Утверждение о непрерывной зависимости решения от ϕ и f требует детализации предположений о функционале f , и мы не будем здесь этим заниматься. Доказательство. Как и в предыдущих доказательствах перейдем к интегро-функциональному уравнению Zt u(x, t) = ϕ(x, 0) + f (x, τ, uϕ (x, t) ∈ ΠTu , (2.31) xτ ) dτ, 0

которое в силу наложенных требований равносильно задаче (2.29)ϕ . Затем при любом T ∈ (0, 1] в подмножестве S T пространства W T , определенном неравенством kw − ϕ( · , 0)kV T 6 1, рассматриваем оператор QT , задаваемый правой частью уравнения (2.31). Тогда, взяв во втором свойстве функционала f константу Липшица L, соответствующую выбранному значению T и M := kϕ( · , 0)kV + 1, при w, w1 , w2 ∈

ST

получаем оценки: kQT w − ϕ( · , 0)kV T 6 T (L · 1 + kϕ( · , 0)kV ), kQT w1 − QT w2 kV T 6 T Lkw1 − w2 kV T .

Отсюда видим, что для любого достаточно малого T > 0 оператор QT отображает множество S T в себя и является сжимающим. Значит, для любого такого T уравнение (2.31), а потому и задача (2.29)ϕ имеет в ΠT единственное решение. Чтобы перейти к максимальному значению T = Tϕ , надо, как при доказательстве теоремы 2.1, убедиться в нелокальной единственности решения поставленной задачи, т. е. проверить, что из двух решений u1 , u2 задачи (2.29)ϕ одно является продолжением другого. Однако, предположим противное, и пусть t0 > 0 определено, как при доказательстве теоремы 2.1. Тогда при любом T ∈ (0, 1] определяем множество S T ⊂ W T условиями w(x, t) = u1 (x, t)

(x ∈ Ω, 0 < t 6 t0 ),

sup{kw( · , t) − u1 ( · , t0 )kV : t0 < t < t0 + T } 6 1 ST

и задаем на оператор QT с помощью правой части уравнения (2.31). Рассуждая, как в предыдущем абзаце, получаем, что u1 (x, t) ≡ u2 (x, t) в Πt0 +T \ Πt0 , если T достаточно мало, т. е. приходим

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

49

к противоречию. Дальнейшие рассуждения не отличаются от проведенных при доказательстве утверждения (а) теоремы 2.1. Для доказательства утверждения (б) допустим, что оно не верно, т. е. Tϕ < ∞, а функция t 7→ ku( · , t)kV ограничена при t → Tϕ− . Тогда в силу определения нормы k · kV получаем, что решение u ограничено в ΠTϕ . Значит, из первого предположения о функционале f следует, что функция (( · , t) 7→ f ( · , t, w·ϕt )) : Ω → Rn при t → Tϕ− равномерно стремится к некоторой функции, которую обозначим u( · , Tϕ ). Кроме того, из свойств нормы k · kV получаем, что u( · , Tϕ ) ∈ V . Отсюда, рассуждая, как во второй половине доказательства свойства (а), приходим к противоречию. Для доказательства утверждения (в) заметим, что из приведенного в его формулировке добавочного условия вытекает, как и при доказательстве теоремы 2.1, ограниченность u в ΠTϕ , если Tϕ < ∞. Теперь достаточно сослаться на уже доказанное утверждение (б). Замечание 2.14. Теорему 2.12 можно распространить на случай более общих банаховых пространств V , норма в которых удовлетворяет требованиям, обеспечивающим сохранение справедливости приведенных доказательств. Мы не будем здесь этим заниматься. Замечание 2.15. Если в условии теоремы 2.12 дополнительно дано, что Ω + G = Ω, функция ϕ( · , 0) непрерывна и из непрерывности и локальной ограниченности функции w : ΠTw → Rn вытекает непрерывность функции Zt ϕ f (x, τ, wxτ ) dτ

(x, t) 7→ 0

ΠTw ,

в то решение задачи (2.29)ϕ непрерывно. Для доказательства этого достаточно от функций, из которых состоит S T , требовать непрерывность. Замечание 2.16. Пусть множество Ω ограниченное, а G — неограниченное. Тогда, прежде всего, можно было бы переформулировать условия теоремы 2.1 так, чтобы ее утверждения не зависели от того, ограничено множество G или нет — наподобие того, как это сделано в теореме 2.12. Однако это привело бы к некоторой искусственности формулировок, особенно для обеспечения справедливости утверждения (в). Для непосредственного применения теоремы 2.1 в этом случае можно пойти по другому пути: сжать пространство Rm \ Ω. В качестве простого примера рассмотрим скалярное уравнение u(x, ˙ t) = f (x, t, . . . , u(x + i, t), . . .)|i∈Z ,

(x, t) ∈ Π := (−1, 1) × (0, ∞)

с продолжающей функцией (x, t) 7→ ϕ(x, t), (x, t) ∈ (R × [0, ∞)) \ Π. Для сжатия оси x положим  x, |x| < 1, y = p(x) := 4  arctg x, 1 6 |x| < ∞. π Это непрерывная возрастающая функция, оставляющая точки интервала (−1, 1) на месте и отображающая R на интервал (−2, 2). Пусть, далее, q : (−2, 2) → R — функция, обратная к p. Обозначив u(q(y), t) = v(y, t), получаем для функции v уравнение v(y, ˙ t) = f (y, t, . . . , v(p(y + i), t), . . .)|i∈Z ,

(y, t) ∈ Π

с продолжающей функцией (y, t) 7→ ϕ(q(y)), (y, t) ∈ ((−2, 2) × [0, ∞)) \ Π. Для полученного уравнения можно принять G = [−4, 4]. 2.10.

УСТОЙЧИВОСТЬ

ПО

ЛЯПУНОВУ

ПРИ

Ω = Rm

Пусть Ω = Rm , f (x, t, 0) ≡ 0 и для выбранного пространства V выполнены все условия, указанные перед формулировкой теоремы 2.12. Тогда граничное условие отсутствует и на решение u = 0 задачи (2.29)0 непосредственно распространяются понятия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову, если решения (x, t) 7→ u(x, t) уравнения (2.29) трактовать как траектории

50

А. Д. МЫШКИС

t 7→ u( · , t) в пространстве V (см. замечание 2.4 в разделе 2.2), а в качестве начальных функций ϕ брать только функции, удовлетворяющие вместе с функционалом f условиям, указанным перед формулировкой теоремы 2.12. Нетрудно указать различные варианты общих «энергетических» теорем Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости, пригодные в рассматриваемой ситуации; однако сколько-нибудь нетривиальных результатов здесь пока не получено. Приведем простой пример теоремы об устойчивости, несколько напоминающей теоремы типа Разумихина (см., например, [43], раздел 4.4). Теорема 2.13. Пусть выполнены следующие предположения: пространство V состоит из непрерывных функций v, для которых v(x) → 0 при |x| → ∞, причем p = ∞, т. е. kvkV := kvk; выполнены условия, указанные в начале предыдущего абзаца, а также условия, указанные в замечании 2.15; h < ∞; ϕ( · , t) ∈ V для любого t ∈ [−h, 0], функция ϕ|−h6t60 равномерно непрерывна по t; множество таких функций ϕ обозначим Φ; существует суммируемая функция ¯ + такая, что если для некоторых (x, t) ∈ Π, w ∈ W t+1 , ϕ ∈ Φ с w(x, 0+ ) ≡ ϕ(x, 0) α : R+ → R справедливо соотношение sup |wϕ | = |w(x, t)|, то Dt ϕ (w(x, t), f (x, t, wxt )) 6 α(t)[w(x, t)]2 .

(2.32)

Тогда решение u = 0 задачи (2.29)0 устойчиво по Ляпунову. Если h = 0 и существует локально суммируемая функция α : R+ → R, для которой Zt sup t>0

³Z∞ α(τ ) dτ < ∞

0

´ α(τ ) dτ = −∞ ,

0

а неравенство (2.32) справедливо всегда при sup |w(ξ, t)| = |w(x, t)|, ξ

то решение u = 0 устойчиво (соответственно асимптотически устойчиво) по Ляпунову. Доказательство. Пусть выполнены условия первого утверждения теоремы и задана начальная функция ϕ, удовлетворяющая вместе с функционалом f условиям теоремы 2.12. Тогда функция uϕ : DTϕ → Rn (u — решение задачи (2.29)ϕ ) непрерывна. Из того, что uϕ (x, t) → 0 при |x| → ∞ для любого t ∈ [−h, Tϕ ) и из равномерной непрерывности этой функции в любом слое Ω × [−h, T ] (0 < T < Tϕ ) следует, что uϕ (x, t) → 0 при |x| → ∞ равномерно по t в каждом таком слое. Обозначим U (t) := sup{[uϕ (ξ, τ )]2 : (ξ, τ ) ∈ Dt } (0 6 t < Tϕ ). Это непрерывная неубывающая функция, причем для любого t ∈ [0, Tϕ ), если U не постоянна ни в какой правой полуокрестности точки t, то U (t) = u2 (ξ, t) для некоторого непустого компактного множества значений ξ. Но из уравнения (2.29) и свойств функционала f следует, что функция u˙ также непрерывна в Ω × [0, Tϕ ), с помощью чего нетрудно доказать (например, применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях), что существует правая производная U˙ r (t) = max{[u2 (ξ, t)]· : u2 (ξ, t) = U (t)}. Значит, в любом случае имеем: 2 U˙ r (t) = max{0, max{2(u(ξ, t), f (ξ, t, uϕ ξt )) : u (ξ, t) = U (t)}} 6 2α(t)U (t). Из этого неравенства в силу условий теоремы 2.13 следует, что решение u при своем продолжении по t остается ограниченным, а потому из теоремы 2.12 (утверждение (б)) вытекает, что Tϕ = ∞. Отсюда, из равенства U (0) = kϕ2 k и из последней оценки следует соотношение Z∞ 2 kU k 6 kϕ k 2α(t) dt, 0

а потому устойчивость решения u = 0 по Ляпунову.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

51

Для доказательства утверждений теоремы 2.13 при h = 0 надо положить U (t) := max{u2 (ξ, t)}. ξ

Тогда аналогичное рассуждение приводит к неравенству U˙ r (t) 6 2α(t)U (t), из которого сразу вытекают оба эти утверждения. В качестве примера рассмотрим скалярное уравнение u(x, ˙ t) =

k X

aj (x, t)u(x + j, t),

(x, t) ∈ R × [0, ∞).

(2.33)

j=−k

с непрерывными ограниченными коэффициентами aj . Для краткости обозначим X A± (x, t) := a0 (x, t) ± |aj (x, t)|. j6=0

Теорема 2.14. Пусть пространство V такое же, как в Теореме 2.13. Тогда если Zt sup sup A+ (x, τ ) dτ < ∞, t>0

x

0

то решение u = 0 задачи (2.33)0 устойчиво по Ляпунову; если Z∞ sup A+ (x, τ ) dτ = −∞, x

0

то эта устойчивость асимптотическая; если Zt sup inf A− (x, τ ) dτ = ∞, t>0

x

0

то решение u = 0 неустойчиво по Ляпунову. Доказательство. Первые два утверждения следуют из теоремы 2.13. В самом деле, введем обозначение α(t) := sup A+ (x, t). x

Тогда из равенства sup |w(ξ, t)| = |w(x, t)| ξ

следует, что ϕ (w(x, t), f (x, t, wxt )) = w(x, t) 2

6 a0 (x, t)w (x, t) + |w(x, t)|

X

k X

aj (x, t)w(x + j, t) 6

j=−k

|aj (x, t)||w(x, t)| = α(t)w2 (x, t),

j6=0

т. е. неравенство (2.32). Чтобы доказать третье утверждение теоремы 2.14, допустим, что задано начальное условие, и для соответствующего решения u уравнения (2.33) введем обозначение U (t) := sup |u(x, t)| (0 6 t < ∞). x

Так как u(±∞, t) = 0, эта верхняя грань достигается, и пусть x = xt — какая-либо из точек, для которых |u(xt , t)| = U (t). Тогда для правой нижней производной U˙ rl (t) получаем оценку X U˙ rl (t) > u(x ˙ t , t)sgn u(xt , t) = [a0 (xt , t)u(xt , t) + aj (xt , t)u(xt + j, t)]sgn u(xt , t) > j6=0

52

А. Д. МЫШКИС

> a0 (xt , t)|u(xt , t)| −

X

|aj (xt , t)||u(xt , t)| = A− (xt , t)|u(xt , t)| > inf A− (x, t)U (t), x

j6=0

откуда следует, что Zt U (t) > U (0) exp

inf A− (x, τ ) dτ x

(0 6 t < ∞),

0

из чего сразу вытекает последнее утверждение теоремы 2.14. 2.11.

СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

Коротко остановимся на случае, когда множество Π не является цилиндрическим, причем ограничимся аналогом теоремы 2.1 для уравнения u(x, ˙ t) = f (x, t, uxt ),

(x, t) ∈ Π,

(2.34)

если множество Π имеет достаточно простой вид. Буквы G, h и H будут означать то же, что в разделе 2.2. Будем считать, что множество Π ⊂ Rm+1 пространства x, t обладает следующими свойствами: Π = {(x, t) : x ∈ Ω, Θ(x) < t < ∞}, где Ω ⊆ Rm — непустое открытое множество, а функция Θ : Ω → R непрерывная; если Ω 6= Rm , то Θ(x) → ∞ локально равномерно по x при x → ∂Ω; если множество Ω не ограниченное, то Θ(x) → ∞ равномерно при kxk → ∞ (x ∈ Ω). Обозначим D := (Π + H) ∪ {(x, t) : t = Θ(x), x ∈ Ω} и предположим, что продолжающая функция ϕ : D\Π → Rn непрерывна, а функционал ((x, t, w) 7→ f (x, t, w)) : Π × C(H) → Rn локально равномерно непрерывен по совокупности аргументов и удовлетворяет локальному условию Липшица по w. Для определенности будем считать, что min{Θ(x) : x ∈ Ω} = 0, и введем обозначение ΠT := {(x, t) ∈ Π : 0 < t < T }, 0 < T 6 ∞. Под решением задачи (2.34)ϕ будем понимать функцию u : ΠTu ∈ Rn , для которой функция uϕ непрерывна, u дифференцируема по t и уравнение Tu u(x, ˙ t) = f (x, t, uϕ xt ) ((x, t) ∈ Π )

удовлетворяется всюду в ΠTu . Теорема 2.15. Пусть выполнены условия, указанные в этом пункте выше. Тогда существует значение Tϕ ∈ (0, ∞], для которого справедливы все утверждения (а)–(г), приведенные в формулировке теоремы 2.1; единственным изменением является то, что во всех предположениях и утверждениях слова «регулярность», «регулярный» надо заменить соответственно на «непрерывность», «непрерывный». Доказательство. Как в предыдущих доказательствах, от задачи (2.33)ϕ при любом T > 0 переходим к равносильному интегро-функциональному уравнению Zt f (x, τ, uϕ xτ ) dτ,

u(x, t) = ϕ(x, Θ(x)) +

(x, t) ∈ ΠT .

Θ(x)

Далее вводим пространство S T и оператор QT , как при доказательстве теоремы 2.1, с той разницей, что теперь вместо регулярных функций рассматриваются непрерывные в ΠT функции w : ΠT → Rn , удовлетворяющие условиям sup |w(x, t) − ϕ(x, 0)| 6 1,

w(x, Θ(x)) = ϕ(x, Θ(x)).

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

53

Нетрудно проверить, что при любом достаточно малом T > 0 оператор QT отображает пространство S T в себя. Дальнейшие рассуждения не отличаются от проведенных при доказательстве теоремы 2.1. Замечание 2.17. Существенной особенностью множеств Π, рассматриваемых в этом пункте, является то, что в ∂Π отсутствуют вертикальные отрезки. Именно это свойство обеспечивает непрерывность решения задачи (2.34)ϕ при непрерывных функционале f и продолжающей функции ϕ. Это дает основание для обобщения теоремы 2.15, при котором уже не требуется, чтобы множество Π было надграфиком непрерывной функции. Однако достаточно законченные утверждения в этом направлении пока отсутствуют. В качестве простого примера задачи в нецилиндрической области рассмотрим уравнение u(x, ˙ t) = u(x − 2, t) + u(x + 2, t) + 1

(2.35)

в области Π : |x| < t < ∞, x ∈ R с продолжающей функцией ϕ(x, t) ≡ 0. В силу теоремы 2.15 решение u этой задачи существует во всей области Π, а в силу единственности решения и инвариантности уравнения (2.35) относительно замены x → −x, функция u четная относительно x. Для построения решения задачи (2.35)ϕ разобьем Π на квадраты прямыми t = 2i ± x, i ∈ N, и объединим квадраты, расположенные на одинаковой высоте, в слой. Слои занумеруем так, чтобы i-й слой, i = 1, 2, . . ., содержал i квадратов. Решение строится по слоям снизу вверх, причем вычисление на каждом слое опирается на результат предыдущего вычисления. В первом слое уравнение (2.35) принимает вид u(x, ˙ t) = 1 и потому с учетом продолжающей функции получаем, что в этом слое u(x, t) = t − |x|. Чтобы найти решение во втором слое, введем при 0 6 x 6 1, 2 − x 6 t 6 2 + x функцию (x, t) 7→ v(x, t) := u(2 − x, t). Из уравнения (2.35), учитывая четность функции u, ее значение в первом слое и продолжающую функцию, получаем при этих x, t: u(x, ˙ t) = u(2 − x, t) + 0 + 1 = v(x, t) + 1, v(x, ˙ t) = [u(2 − x, t)]. = u(−x, t) + 0 + 1 = u(x, t) + 1, u(x, 2 − x) = (2 − x) − x = 2 − 2x, v(x, 2 − x) = u(2 − x, 2 − x) = 0. Решив полученную задачу Коши для системы из двух ОДУ, затем возвращаясь от v к u и учитывая четность u, получаем, что во втором слое ( (2 − |x|)e|x|+t−2 + (1 − |x|)e2−|x|−t − 1, 0 6 |x| 6 1, 2 − |x| 6 t 6 2 + |x|, u(x, t) = t−|x| |x|−t |x|e + (1 − |x|)e − 1, 1 6 |x| 6 2, |x| 6 t 6 4 − |x|. Продолжая таким образом, можно в принципе получить решение и в дальнейших слоях. 2.12. КОММЕНТАРИИ Формулировка теоремы 2.1 содержится в докладе [40], а схема ее доказательства — в статье [42]. Разделы 2.1–2.3 написаны по статье [49]. Основные факты раздела 2.4 содержатся в статье [51]. Некоторые идеи раздела 2.9 содержатся в разделе 1 статьи [19]. Остальной материал главы 2 публикуется впервые. Отмечу, что теорема 2.1 имеет существенные пересечения с результатами работ [28, 47] и др., в которых изучаются уравнения более общего вида чем ЗСДУ.

ГЛАВА 3 ЛИНЕЙНЫЕ СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3.1. ВВЕДЕНИЕ. СЛЕДСТВИЯ

ИЗ ОБЩИХ ТЕОРЕМ

В этой главе будем рассматривать линейные СДУ. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, будем в уравнении общего вида вместо f пользоваться буквой L, т. е., например, уравнение (2.1) при

54

А. Д. МЫШКИС

линейной правой части записывать в виде u(x, ˙ t) = L(uxt ; x, t) + f (x, t),

(x, t) ∈ Π = Ω × (0, ∞),

(3.1)

Rn

где L — линейный функционал со значениями в относительно первого аргумента, зависящий от x и t как от параметров. Аналогично могут выглядеть и другие уравнения общего вида. Если не оговорено противное, то считаем, что функции u и f принимают, вообще говоря, комплексные значения, но функционал L вещественный, т. е. если w : P → Rn , то L(w; x, t) ∈ Rn . Некоторые утверждения о разрешимости начально-граничной задачи для уравнения (3.1) при заданной продолжающей функции ϕ непосредственно вытекают из теорем гл. 2, так как оно является частным случаем уравнения (2.1). Приведем, например, следствие из теоремы 2.1, считая, что обозначения Π, Ω, D, ϕ и т. д., а также понятие решения имеют тот же смысл, что в разделах 2.1 и 2.2. Теорема 3.1. Пусть линейный функционал L определен и непрерывен на пространстве P , зависит от параметров (x, t) ∈ Π, причем от t локально равномерно непрерывно, локально ограничен1 и обладает свойством суперпозиционной Пи-регулярности, а функции f и ϕ Пирегулярны. Тогда решение u задачи (3.1)ϕ существует в Π и единственно в каждом множестве ΠT (0 < T 6 ∞). При f = 0 и любом T ∈ (0, ∞) оператор, ставящий в соответствие функции ϕ|DT \ΠT решение uϕ задачи (3.1)ϕ в ΠT , ограничен по sup-норме. Приведем также утверждение о разрешимости задачи (3.1)ϕ при Ω = Rm , вытекающее из теоремы 2.12. При этом считаем, что пространства V, W T и понятие решения введены так же, как в разделе 2.9, но рассматриваемые функции считаем комплекснозначными; для простоты формулировок будем считать, что h < ∞. Обозначим через W I (I ⊂ R — некоторый ограниченный интервал) банахово пространство всех функций w : Rm × I → Cn , равномерно непрерывных по t, для которых w( · , t) ∈ V при всех t ∈ I и kwkV,I := sup{kw( · , t)kV : t ∈ I} < ∞. (Таким образом, W T = W (0,T ) .) Требования к функционалу L, обеспечивающие применимость теоремы 2.12, можно принять такими: если функция w : (Rm × [−h, ∞)) → Cn такова, что w|t∈[−h,T ) ∈ W [−h,T ) для любого T ∈ (0, ∞), то функция (x, t) 7→ L(wxt ; x, t) определена в Π, а ее сужение на ΠT принадлежит W T для любого T ∈ (0, ∞); при любом T ∈ (0, ∞) оператор, ставящий в соответствие функции w ∈ W [−h,T ) функцию ((x, t) 7→ L(wxt ; x, t)) ∈ W T , является ограниченным. Теорема 3.2. Пусть Ω = Rm , h ∈ [0, ∞), ϕ ∈ W [−h,0) , функция f : Π → Cn непрерывна по t и принадлежит W T при каждом T ∈ (0, ∞), а функционал L обладает только что сформулированными свойствами. Тогда решение u задачи (3.1)ϕ существует в Π и единственно в каждом множестве ΠT (0 < T 6 ∞). При любом T ∈ (0, ∞) оператор, ставящий в соответствие функциям ϕ ∈ W [−h,0] и f ∈ W T сужение на ΠT решения задачи (3.1)ϕ , рассматриваемое как элемент пространства W T , является ограниченным. Доказательство. Первое утверждение теоремы 3.2 непосредственно вытекает из теоремы 2.12. Обозначив для краткости U (t) := ku|Πt kV t (0 < t < T ), 1 Как известно, нормой линейного функционала L, определенного и непрерывного (или, что то же, ограниченного) на пространстве P , называется |L(w)| kLk := sup . {w∈P : w6=0} kwk

Аналогично определяется понятие нормы линейного непрерывного (=ограниченного) оператора, отображающего одно линейное нормированное пространство в другое. Отметим, что для линейных функционалов и линейных операторов при фиксированных значениях параметров (или при отсутствии таковых) вместо «локально ограниченный» принято говорить просто «ограниченный».

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

55

из равенства Zt (L(uϕ xτ ; x, τ ) + f (x, τ )) dτ,

u(x, t) = ϕ(x, 0) +

(x, t) ∈ ΠT

0

и второго требования к функционалу L получаем при 0 6 t 6 T , что Zt

Zt kL(uϕ ·τ;

U (t) 6 kϕ( · , 0)kV +

· , τ )kV dτ +

0

kf ( · , τ )kV dτ 6 0

Zt 6 kϕ( · , 0)kV +

N [U (τ ) + kϕkV [−h, 0] ] dτ + T kf kV T , 0

где N — норма оператора, о котором говорится в упомянутом требовании. Применяя лемму Гронуолла, получаем, что U (T ) 6 [(N T + 1)kϕkV [−h, 0] + T kf kV T ]eN T , откуда сразу следует второе утверждение теоремы 3.2. Замечание 3.1. Если в условиях теоремы 3.2 дополнительно дано, что функции ϕ и f непрерывны и из непрерывности функции w : DTw → Cn , о которой говорилось в требованиях к функционалу L, вытекает непрерывность функции Zt (x, t) 7→

L(wxτ ; x, τ ) dτ 0

в

ΠTw ,

то решение задачи (3.1)ϕ непрерывно. Это следует из замечания 2.13.

Доказательства сколько-нибудь полезных общих утверждений, связанных с представлением решений линейных СДУ через продолжающую функцию и неоднородный член уравнения (см. [40]), пока отсутствуют. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать линейные уравнения различных специальных классов. 3.2. ВОЗБУЖДЕНИЕ

АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

Будем рассматривать уравнение u(x, ˙ t) = L(uxt ; x) + f (x, t),

(x, t) ∈ Π := Ω × R.

(3.2)

Линейный функционал L (в этом пункте не обязательно вещественный) действует в пространстве P Пи-регулярных функций, которые теперь считаются комплекснозначными; множество Ω предполагается ограниченным. Предполагаем выполненными условия теоремы 3.1; при этом считаем, что ϕ = 0 (к такому случаю легко перейти с помощью стандартной замены искомой функции по формуле u = v + q, где q : Π → Rn — любая Пи-регулярная функция с Пи-регулярной производной q; ˙ продолжающими функциями на D \ Π для v и q служат соответственно 0 и ϕ). Назовем 2π-периодическую по t функцию f : Π → Cn правильной, если она допускает разложение в ряд Фурье X f (x, t) = fk (x)eikt , (x, t) ∈ Ω × R, (3.3) k∈Z

мажорируемое сходящимся числовым рядом1 . Будем предполагать функцию f в уравнении (3.2) правильной и искать правильное решение задачи (3.2)0 . Подстановка разложения (3.3) и аналогичного разложения X u(x, t) = uk (x)eikt , (x, t) ∈ Ω × R (3.4) k∈Z 1

Говорят, что функциональный ряд мажорируется числовым рядом, если каждый член функционального ряда по модулю не превосходит члена с тем же номером числового ряда.

56

А. Д. МЫШКИС

в уравнение (3.2) приводит, с учетом локальной ограниченности функционала L, к равенству X X X uk (x)eikt )· = Lk (u0kx ; x)eikt + fk (x)eikt . (3.5) ( k∈Z

k∈Z

k∈Z

Cn

Здесь введены функционалы Lk ( · ; x) : M (G) → (по поводу обозначения M ( · ) см. раздел 2.2, замечание 2.4), зависящие от x ∈ Ω как от параметра и действующие по формуле Lk (w; x) := L((ξ, θ) 7→ w(ξ)eikθ ; x), а

½ u0kx (ξ)

:=

uk (x + ξ), 0,

(3.6)

x + ξ ∈ G ∩ Ω, x + ξ ∈ G \ Ω.

Из (3.6) следует, что kLk ( · ; x)k 6 kL( · ; x)k (в разделе 3.2 k · k означает норму оператора). Все ряды в равенстве (3.5) правильно сходящиеся (т. е. мажорируются сходящимися числовыми рядами), поэтому возможно почленное интегрирование обеих частей по t, в результате которого получаем с точностью до слагаемого, не зависящего от t, X X eikt [Lk (u0kx ; x) + fk (x)] uk (x)eikt = + [L0 (u00x ; x) + f0 (x)]t. ik k∈Z

k∈Z\{0}

Отсюда имеем 1 [Lk (u0kx ; x) + fk (x)], k ∈ Z \ {0}, ik Эти формулы можно объединить следующим образом: uk (x) =

L0 (u00x ; x) + f0 (x) = 0.

ikuk (x) − Lk (u0kx ; x) = fk (x) (x ∈ Ω, k ∈ Z).

(3.7)

Отсюда следует, в частности, что ряд (3.4) после дифференцирования по t правильно сходится и потому в левой части равенства (3.5) можно выполнить почленное дифференцирование. Обратно, если ряды (3.3) и (3.4) правильно сходящиеся и каждая функция uk удовлетворяет уравнению (3.7), то u является правильным решением задачи (3.2)0 . Таким образом, мы доказали следующую теорему: Теорема 3.3. Функция u является правильным решением задачи (3.2)0 с правильным неоднородным членом f , если и только если все коэффициенты uk являются решениями задачи (3.7)0 . Обозначим через Λk : M (Ω) → M (Ω) (k ∈ Z) оператор, определенный левой частью уравнения (3.7). Применение метода итераций к уравнению относительно p ∈ M (Ω): 1 [Lk (p. ; · ) + q] (q ∈ M (Ω)) ik показывает, что если |k| > sup kL( · ; x)k, то оператор Λk имеет обратный оператор, и Λk p = q ⇐⇒ p = x

(Λ−1 k q)(x) = +

1 1 q(x) + Lk (ξ1 7→ q 0 (x + ξ1 ); x)+ ik (ik)2

1 Lk (ξ2 7→ Lk (ξ1 7→ q 0 (x + ξ2 + ξ1 ); x + ξ2 ); x) + . . . (ik)3

(x ∈ Ω),

(3.8)

−1 kΛ−1 k k 6 (k − sup kL( · ; x)k) . x

Пусть k0 := min{k ∈ N : k > sup kL( · ; x)k}. x

Теорема 3.4. Задача (3.2)0 имеет ровно одно правильное решение для любой правильной функции f , если и только если все операторы Λk при |k| < k0 обратимы.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

57

Доказательство. Из определения k0 следует, что обратимость всех операторов Λk при |k| < k0 равносильна их обратимости при всех k ∈ Z. Если это условие выполнено, то из (3.8) следует, что sup kΛ−1 k k < ∞. k

Следовательно, для любой правильной функции f искомое решение определено формулой X ikt u(x, t) = (Λ−1 k fk )(x)e . k∈Z

Единственность правильного решения следует из показанной выше необходимости удовлетворить уравнение (3.7). Обратно, допустим, что для некоторого k = k¯ оператор Λk не имеет обратного. Тогда, положив fk (x) ≡ 0 при всех k 6= k¯ и выбрав fk¯ ∈ M (Ω), мы получим либо несуществование (если Λk M (Ω) 6= M (Ω)), либо неединственность (если ker Λk¯ 6= {0}) правильного решения задачи (3.2)0 . Аналогично можно доказать следующую теорему: Теорема 3.5. Пусть оператор Λk при k = k¯ не имеет обратного, тогда как для всех k 6= k¯ операторы Λ−1 существуют. Тогда задача (3.2)0 имеет правильное решение при любой правильной функции f , если и только если fk ∈ Λk M (Ω). Если это условие выполнено, то такое решение определено с точностью до произвольного слагаемого из kerΛk¯ . В частности, правильное решение существует и единственно при добавочных условиях fk¯ = 0 и uk¯ = 0. Замечание 3.2. Теорема 3.5 очевидным образом распространяется на случай, когда операторы Λ−1 k не существуют для конечного множества значений k. Рассмотрим теперь уравнение нейтрального типа аналогичной структуры u(x, ˙ t) = L(uxt ; x) + L(1) (u˙ xt ; x) + f (x, t),

(x, t) ∈ Π := Ω × R,

(3.9)

где линейный функционал L(1) ( · ; x) : P → Cn удовлетворяет тем же условиям, что L (см. начало раздела 3.2). Исследование правильных 2π-периодических по t решений этого уравнения при нулевом граничном условии проводится так же, как для ЗСДУ (3.2). Вместо (3.7) надо рассматривать уравнение (1)

ikuk (x) − Lk (u0kx ; x) − ikLk (u0kx ; x) = fk (x)

(x ∈ Ω, k ∈ Z),

(3.10)

(1)

где Lk определяется через L(1) так же, как Lk через L (см. (3.6)). Правильным теперь называется решение, для которого как u, так и u˙ — правильные функции. С таким изменением теорема 3.3 распространяется на задачу (3.9)0 . Теорема 3.4 приобретает несколько модифицированную форму: Теорема 3.6. Задача (3.9)0 имеет ровно одно правильное решение для любой правильной (1) функции f , если и только если каждый оператор Λk (k ∈ Z) обратим и (1)

sup k(Λk )−1 k < ∞. k

Доказательство. Достаточность сформулированных условий и необходимость существования (1) всех операторов (Λk )−1 проверяются так же, как для теоремы 3.4. Допустим теперь, что все (1) операторы (Λk )−1 существуют, но (1)

sup k(Λk )−1 k = ∞. k

Выберем тогда числа ak > 0 (k ∈ Z) так, чтобы X X (1) ak < ∞, ak k(Λk )−1 k = ∞. k∈Z

k∈Z

(3.11)

58

А. Д. МЫШКИС

Для этого достаточно, например, выбрать последовательность индексов k1 , k2 , . . . так, чтобы (1)

∀|kj | < |kj+1 |, k(Λkj )−1 k > j, после чего положить

½ ak =

(1)

[jk(Λk )−1 k]−1 , (|k| + 1)−2 ,

k = kj (j ∈ N), k 6∈ {kj }j∈N ;

тогда X

ak < 2

k∈Z

∞ X

k

−2

+

∞ X

(1) [jk(Λkj )−1 k]−1

j=1

k=1

X

(1)

k

−2

+

k=1

ak k(Λk )−1 k >

∞ X

∞ X

j −2 < ∞,

j=1

(1)

akj k(Λkj )−1 k >

j=1

k∈Z

>

<2

∞ X

∞ ∞ X X (1) (1) [jk(Λkj )−1 k]−1 · k(Λkj )−1 k = j −1 = ∞. j=1

j=1

Затем выберем функции fk ∈ M (Ω) так, чтобы (1)

(1)

kfk k = ak , k(Λk )−1 fk k > ak k(Λk )−1 k/2 (k ∈ Z), и определим функцию f равенством (3.3). Если бы для этой функции существовало правильное решение u задачи (3.9)0 , то мы по необходимости получили бы равенства (3.10), из которых следует, что все (1)

kuk k > ak k(Λk )−1 k/2. Но это противоречит второму соотношению (3.11). Теорема 3.5 и замечание 3.2 справедливы с аналогичными изменениями. В качестве примера рассмотрим уравнение u(x, ˙ t) =

r X

[Aj (x)u(x + gj , t + hj ) + Bj (x)u(x ˙ + gj , t + hj )] + f (x, t)

(3.12)

j=1

с Ω = (a, b) и граничным условием u(x, t) = 0 (x 6∈ (a, b)), где все Aj , Bj — ограниченные измеримые матрицы-функции, все hj 6 0, а функция f такая, как было описано выше. Здесь имеем r r X X L(v; x) = Aj (x)v(gj , hj ), Lk (w; x) = eikhj Aj (x)w(gj ) (k ∈ Z), j=1

j=1 (1)

аналогично выражаются функционалы L(1) и Lk через коэффициенты Bj ; далее, (1) (Λk p)(x)

= ikp(x) −

r X

eikhj [Aj (x) + ikBj (x)]p0 (x + gj ) (x ∈ Ω, k ∈ Z).

j=1 (1)

Для существования (Λk )−1 достаточно, чтобы r X j=1

sup |Aj (x) + ikBj (x)| < |k|, x

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

59

где | · | в левой части — какая-либо матричная норма1 . Если это условие выполнено для данного k, то r X (1) −1 k(Λk ) k < (|k| − sup |Aj (x) + ikBj (x)|)−1 . j=1

x

В частном случае, если Ω = (a, b) и уравнение (3.12) направлено строго вперед, т. е. max gj < 0, (1) то все операторы (Λk )−1 при k 6= 0 существуют. Это непосредственно следует из возможности решения задачи (1) (Λk p)(x) = q(x) (a < x < b), p(x) = 0 (x 6∈ (a, b)) (3.13) по методу шагов, т. е. с помощью последовательного построения решения на интервалах (a, a + g˜], (a + g˜, a + 2˜ g ], . . . , где g˜ := min |gj |. В этом случае оператор Λ0 не обратим и dim kerΛ0 = ∞. Если уравнение (3.12) нестрого направлено вперед, т. е. max gj = 0, то шаги должны равняться (1) min |gj | (если все gj = 0, то метод шагов не применим), и для существования (Λk )−1 необходимо j:gj <0

и достаточно, чтобы

X ¯ ¯ inf ¯ det(ikEn − eikhj [Aj (x) + ikBj (x)])¯ > 0

a<x
j:gj =0

(En — единичная матрица порядка n). Аналогичные утверждения справедливы, если уравнение (3.12) направлено строго или нестрого назад. Замечание 3.3. Результаты, приведенные выше для уравнения (3.12), непосредственно распространяются на случай, когда отклонения gj и hj зависят от x. 1

Матричная норма (норма матрицы) — это неотрицательное число |A|, сопоставляемое по какому-либо правилу каждой матрице A и удовлетворяющее требованиям: |A| = 0 ⇔ A = 0; |A + B| 6 |A| + |B|; |λA| = |λ| · |A|; |AB| 6 |A| · |B|. В последнем требовании матрица B может быть, в частности, столбцевой, т. е. быть числовым вектором соответствующей размерности. Все матричные нормы эквивалентны в том смысле, что если | · |1 и | · |2 — любые две такие нормы, то существует такая постоянная c12 > 0, что |A|1 6 c12 |A|2 для любой матрицы A. Наиболее широко применяемые матричные нормы: X |(aij )| = |aij |; i,j

= max

X

i

= max

X

j

=

X

|aij |;

j

|aij |;

i

|aij |2

1/2

;

i,j

= (max{σ[(¯ aij )T (aij )]})1/2 . Для последнего примера спектральной нормы σ означает множество всех собственных значений (которые в данном случае всегда вещественны и неотрицательны), надчеркивание означает комплексное сопряжение, а T — транспонирование. Спектральная норма числового вектора равна его модулю, а для произвольной матрицы A размера m × n она обладает следующим свойством: |Aq| : q ∈ Cn } |A| = max{ |q| (для вещественной матрицы A вместо Cn можно взять Rn ).

60

А. Д. МЫШКИС

В качестве другого примера рассмотрим уравнение Zg ³Z0 u(x, ˙ t) =

g

Z ´ A(ξ, ϑ, x)u(x + ξ, t + ϑ) dϑ dξ + B(ξ, x)u(x + ξ, t) dξ+

−g −h

−g

(3.14)

Z0 +

C(ϑ, x)u(x, t + ϑ) dϑ + D(x)u(x, t) + f (x, t) ((x, t) ∈ (a, b) × R).

−h

Предполагается, что матрицы-функции A, B, C, D измеримы в областях их определения и удовлетворяют следующим условиям ограниченности: Zg Z0 sup ( |A(ξ, ϑ, x)| dϑ) dξ < ∞, x

−g −h

Zg |B(ξ, x)| dξ < ∞,

sup x

−g

Z0 sup x

|C(ϑ, x)| dϑ < ∞,

−h

sup |D(x)| < ∞ x

(здесь sup всюду берется по x ∈ (a, b)). Тогда оператор L, определенный правой частью уравнения (3.14) и нулевой продолжающей функцией, удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Оператор Λk для уравнения (3.14) имеет вид Zg · Z0 (Λk p)(x) = −

e

−g

· + ikEn −

Z0

ikϑ

¸ A(ξ, ϑ, x) dϑ + B(ξ, x) p(x + ξ) dξ+

−h

¸ ikϑ e C(ϑ, x) dϑ − D(x) p(x)

(3.15) (a < x < b).

−h

Теорема 3.7. Для существования Λ−1 k при заданном k ∈ Z достаточно, чтобы ¸ · Z0 inf ikEn − eikϑ C(ϑ, x) dϑ − D(x) > 0

(3.16)

a<x
−h

и чтобы 1 не была собственным значением интегрального ядра · ¸−1 · Z0 ¸ Z0 ikϑ ikϑ ikEn − e C(ϑ, x) dϑ − D(x) e A(y − x, ϑ, x) dϑ + B(y − x, x) χ(x, y) −h

(x, y ∈ (a, b)),

−h

(3.17)

где через χ обозначена характеристическая функция множества {(x, y) : a < x < b, max{x − g, a} < y < min{x + g, b}}. Если функция Z0 eikϑ A( · , ϑ, x) dϑ + B( · , x)] : (a, b) → L1 [−g, g]

[x 7→

(3.18)

−h

равномерно непрерывная, то приведенное условие является также и необходимым. Доказательство. Если условие (3.16) выполнено, то уравнение Λk p = q равносильно уравнению Zg p(x) −

Z0 [ikEn −

−g

−h

Z0 e

ikϑ

−1

C(ϑ, x) dϑ − D(x)]

[ −h

eikϑ A(ξ, ϑ, x) dϑ+

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

61

Z0 +B(ξ, x)]p(x + ξ) dξ = [ikEn −

eikϑ C(ϑ, x) dϑ − D(x)]−1 q(x)

(a < x < b).

−h

После замены переменной ξ = y − x левая часть этого уравнения приобретает вид Zb p(x) −

Z0 [ikEn −

a

Z0 e

ikϑ

−1

C(ϑ, x) dϑ − D(x)]

−h

eikϑ A(y − x, ϑ, x) dϑ+

[ −h

+B(y − x, x)]χ(x, y)p(y) dy, и потому первое утверждение теоремы 3.7 справедливо. Докажем теперь, что если функция (3.18) равномерно непрерывная, то оператор Zg Z0 p 7→ (x 7→ [ eikϑ A(ξ, ϑ, x) dϑ + B(ξ, x)]p0 (x + ξ) dξ, a < x < b)

(3.19)

−g −h

преобразует любую функцию p ∈ M (a, b) в равномерно непрерывную функцию. Обозначив для краткости через E(ξ, x) сумму, стоящую внутри квадратных скобок в (3.19), имеем при x1 , x2 ∈ (a, b): Zg Zg | E(ξ, x2 )p(x2 + ξ) dξ − E(ξ, x1 )p(x1 + ξ) dξ| 6 −g

−g

Zg 6

Zg |E(ξ, x2 ) − E(ξ, x1 )||p(x2 + ξ)| dξ +

−g

|E(ξ, x1 )||p(x2 + ξ) − p(x1 + ξ)| dξ 6

−g

Zg 6 const · −g

Zg |E(ξ, x2 ) − E(ξ, x1 )| dξ + const ·

|p(x2 + ξ) − p(x1 + ξ)| dξ.

−g

При достаточно малом |x2 − x1 | равномерная малость первого слагаемого в правой части вытекает из равномерной непрерывности функции (3.18), а второго слагаемого — из возможности как угодно точной аппроксимации функции p ∈ M (a, b) равномерно непрерывной функцией по норме k · k1 . Допустим теперь, что функция (3.18) равномерно непрерывная, а условие (3.16) не выполнено. Тогда из выражения (3.15) для оператора Λk и из сейчас доказанного утверждения следует, что inf |(Λk p)(x)| = 0 для любой функции p ∈ M (a, b) и потому оператор Λk не имеет обратного. Если x

же условие (3.16) выполнено, а 1 является собственным значением ядра (3.17), то необратимость оператора Λk очевидна. 3.3.

УРАВНЕНИЯ,

СВОДЯЩИЕСЯ К ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА ИЛИ К ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Имеется сугубо специальный, но весьма важный класс СДУ (не обязательно линейных), сводящихся к ФДУ запаздывающего типа (если исходным было ЗСДУ) либо даже к ОДУ (если исходным было ОСДУ). Это СДУ, для которых множество Ω можно представить в виде такого объединения попарно не пересекающихся конечных множеств Mα (α — параметр), что при любых x0 ∈ Mα , t0 значение u(x ˙ 0 , t0 ) определяется заданными уравнением значениями u(x, t) при x ∈ Mα ∪ ((Ω + G) \ Ω), t 6 t0 (для ЗСДУ) или t = t0 (для ОСДУ). Решение такого уравнения строится в каждом из множеств Mα независимо от остальных, и потому после нумерации точек этого множества мы получаем обычную систему ФДУ запаздывающего типа или ОДУ с единственным аргументом t. Согласование этих «фрагментов» решения осуществляет весьма мягкое требование, например, измеримости окончательного решения u(x, t) для x ∈ Ω. Наиболее простые и естественные линейные СДУ, принадлежащие описанному классу, — это уравнения вида (3.12) с соизмеримыми отклонениями gj аргумента x. Примеры именно таких

62

А. Д. МЫШКИС

уравнений начали изучать ранее всего (см., в частности, [22]). Ряд общих результатов для этих уравнений получен в недавних работах Г. А. Каменского и Е. П. Ивановой (см. раздел 1.4). Мы будем здесь для простоты считать, что все gj ∈ Z (к этому случаю всегда можно перейти с помощью аффинного преобразования оси x), Ω представляет собой конечный интервал (a, b), причем b − a > 1 (случай b − a 6 1 тривиален), а продолжающая функция ϕ = 0. Тогда можно положить Mα := {α + 1, . . . , α + mα } (a − 1 < α 6 a), где mα := max{m ∈ Z : α + m < b}. Таким образом, mα в зависимости от α может равняться b − a − 1 или b − a, если b − a ∈ N, и [b − a] или [b − a] + 1, если b − a 6∈ N, где под [ · ] понимается целая часть числа. (1) Для рассматриваемого класса СДУ можно сформулировать условия обратимости операторов Λk из раздела 3.2 в терминах коэффициентов Aj и Bj следующим образом. Для заданного значения α задача (3.13) при x ∈ Mα представляет собой систему из mα n линейных алгебраических уравнений с таким же количеством неизвестных; ее матрица коэффициентов имеет вид ikEmα n − A, где A — блочная матрица с блоками вида r X

eikhj [Aj (α + 1) + ikBj (α + 1)], · · · ,

j=1

r X

eikhj [Aj (α + mα ) + ikBj (α + mα )].

j=1

Обозначим через Dk (α) определитель этой системы. С его помощью выражается необходимое и (1) достаточное условие существования (Λk )−1 : inf

a−1<α6a

|Dk (α)| > 0.

(3.20)

Простейшим является случай, когда все матрицы Aj и Bj постоянные: в этом случае условие (3.20) для данного k сводится к неравенству нулю двух определителей, не зависящих от α. Аналогичным образом можно получить критерии устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову уравнения (3.12), т. е. устойчивости или асимптотической устойчивости его решений в sup-метрике относительно изменения начальной функции при фиксированных граничной функции и неоднородном члене уравнения. Рассмотрим для простоты скалярное (n = 1) однородное ОСДУ общего вида r X

u(x, ˙ t) =

aj (x)u(x + j, t) + f (x, t),

(x, t) ∈ (a, b) × (0, ∞)

(3.21)

j=−r

с вещественными измеримыми коэффициентами и Пи-регулярными продолжающей функцией ϕ : D \ Π → R и неоднородным членом f : Π → R. Введя множества Mα , как указано выше, и обозначения uαk (t) := u(α + k, t), ϕαk (t) := ϕ(α + k, t), s = j + k, получаем при x ∈ Mα (a − 1 < α 6 a) систему ОДУ u˙ αk (t) =

r+k X

α0 as−k (α + k)[uα0 s (t) + ϕs (t)] + f (α + k, t),

k = 1, . . . , mα ,

(3.22)

s=−r+k

где 0 в правой части означает, что при α+s 6∈ (a, b) надо положить uα0 s (t) = 0, а при α + s ∈ (a, b) — (t) = 0. Начальное условие для системы (3.22) имеет вид положить ϕα0 s uαk (0) = ϕ(α + k) (k = 1, . . . , mα ). Обозначим через Aα матрицу коэффициентов системы (3.22). Это квадратная матрица порядка mα с элементами aαks , равными as−k (α + k) при s ∈ (max{−r − 1 + k, a − α}, min{r + 1 + k, b − α}), и нулю в противном случае. С помощью этой матрицы можно написать решение задачи (3.21)ϕ : Zt α

~u (t) = e

Aα t

eAα (t−τ ) F~ α (τ ) dτ,

α

ϕ ~ (0) + 0

t ∈ (0, ∞), α ∈ (a − 1, a],

(3.23)

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

63

где через ~u α , ϕ ~ α и F~ α обозначены столбцы высоты mα с элементами uαk , ϕαk и r+k X

as−k (α + k)ϕα0 s + f (α + k, · ),

s=−r+k

соответственно. Проверим следующее утверждение: Теорема 3.8. Для устойчивости (асимптотической устойчивости) по Ляпунову уравнения (3.21) необходимо и достаточно, чтобы sup{|eAα t | : a − 1 < α 6 a, 0 < t < ∞} < ∞ (чтобы, кроме того, |eAα t | → 0 при t → ∞ равномерно по α ∈ (a − 1, a]). Доказательство. В силу эквивалентности всех матричных норм (см. сноску на с. 59) примем в качестве нормы матрицы ее спектральную норму. При рассмотрении устойчивости уравнения (3.21) по Ляпунову надо исследовать поведение при t → ∞ разности ∆u между возмущенным и невозмущенным решениями, которая в силу (3.23) выражается формулой ∆~uα (t) = eAα t ∆~ ϕα (0) (t ∈ (0, ∞), α ∈ (a − 1, a]), где ∆~ ϕα (0) — возмущение начальной функции. В силу свойств спектральной нормы имеем |∆~uα (t)| 6 |eAα t ||∆~ ϕα (0)| (t ∈ (0, ∞), α ∈ (a − 1, a]), откуда сразу следует достаточность указанных в теореме 3.8 условий устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову уравнения (3.21). Докажем необходимость указанного в теореме 3.8 условия устойчивости по Ляпунову уравнения (3.21), для чего предположим, что это условие не выполнено. Тогда существуют последовательности αj ∈ (a − 1, a], tj ∈ (0, ∞) (j ∈ N), для которых |eAαj tj | → ∞ при j → ∞. В силу свойств спектральной нормы (см. ту же сноску), для каждого j ∈ N можно указать вектор bj ∈ Rmαj \ {0}, для которого |eAαj tj bj | = |eAαj tj ||bj |. Приняв

( ∆ϕj (x, 0) =

(|eAαj tj ||bj |)−1 (bj )k , 0,

(3.230 )

x = αj + k, k = 1, . . . , mαj , x 6∈ Mαj ,

мы получаем, что |∆ϕi ( · , 0)| 6 (|eAαj tj ||bj |)−1 |bj | = |eAαj tj |−1 → 0 при j → ∞. Но для соответствующего решения uj уравнения (3.21) α

|∆~uj j (tj )| = |eAαj tj (|eAαj tj ||bj |)−1 bj | = (|eAαj tj ||bj |)−1 |eAαj tj bj | = (|eAαj tj ||bj |)−1 |eAαj tj ||bj | = 1, откуда сразу следует неустойчивость уравнения (3.21) по Ляпунову. Аналогично проверяется необходимость условий асимптотической устойчивости по Ляпунову, указанных в теореме 3.8. Так как первое из этих условий необходимо для простой устойчивости, то надо проверить необходимость второго условия (равномерности). Но пусть оно не выполнено, а асимптотическая устойчивость все же имеет место. Тогда найдутся ε > 0 и последовательности αj ∈ (a − 1, a], tj ∈ (0, ∞) (j ∈ N), для которых tj → ∞ и все |eAαj tj | > ε. Если при этом множество {αj } бесконечное, то после перехода к подпоследовательности можно считать, что все αj1 6= αj2 (j1 6= j2 ). Выберем bj ∈ Rmαj \ {0} так, чтобы выполнялось равенство (3.230 ), причем |bj | = 1, после чего положим  x = αj + k, j ∈ N, k = 1, . . . , mαj ,  (bj )k , ∞ [ ∆ϕ(x, 0) = Mαj . 0, x ∈ 6   j=1

64

А. Д. МЫШКИС

Тогда для соответствующего решения u уравнения (3.21) имеем ∆~uαj (tj )| = |eAαj tj bj | = |eAαj tj ||bj | = |eAαj tj | > ε, тогда как tj → ∞ при j → ∞, что противоречит предположению об асимптотической устойчивости уравнения (3.21). Пусть теперь в предположениях предыдущего абзаца множество {αj } конечное. Тогда после перехода к подпоследовательности можно считать, что все αj = α. Поскольку уравнение (3.21) асимптотически устойчивое, у матрицы Aα все собственные значения имеют отрицательную вещественную часть. Но это противоречит тому, что существуют значение ε > 0 и последовательность tj → ∞, для которых |eAα tj | > ε. Теорема 3.8 доказана. Если коэффициенты уравнения (3.21) постоянные, то матрица Aα имеет совсем простую структуру: все элементы ее главной диагонали равны a0 , все элементы ближайшего к ней сверху (снизу) параллельного ряда равны a1 (a−1 ), все элементы следующего сверху (снизу) параллельного ряда равны a2 (a−2 ) и т. д.; если r < mα , то оставшиеся элементы равны нулю. Как было указано выше, mα имеет ровно два возможных значения; таким образом, для уравнения (3.21) с постоянными коэффициентами имеется две матрицы Aα , причем одна из них получается из другой вычеркиванием последней строки и последнего столбца. Обозначим эти матрицы через A˜1 и A˜2 . Из теоремы 3.8 сразу следует Теорема 3.9. Для устойчивости (асимптотической устойчивости) по Ляпунову уравнения (3.21) с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы для всех собственных значений λ матриц A˜1 и A˜2 было Re λ 6 0, а если Re λ = 0 для какого-то λ, то соответствующие жордановы клетки были первого порядка (соответственно, чтобы все Re λ были отрицательными). При небольших значениях b − a определители det(A˜1,2 − λE) можно «раскрыть», что может оказаться полезным для применения критериев устойчивости. Для некоторых правых частей уравнения (3.21) наиболее простого вида с постоянными коэффициентами можно получить рекуррентные формулы, позволяющие вычислять эти определители для любого значения mα . Приведем примеры, причем элементы рассматриваемых матриц будем для простоты обозначать одной буквой. В качестве первого примера рассмотрим бесконечную матрицу, у которой первая строка имеет вид (p1 , q, дальнейшие элементы равны нулю), первый столбец имеет вид (p1 , p2 , . . . , pk , дальнейшие элементы равны нулю)T , где k ∈ N, а в каждом ряду, параллельном главной диагонали, все элементы равны друг другу. Обозначим через Dj (j ∈ N) верхний угловой минор этой матрицы порядка j. Тогда с помощью последовательного разложения определителей по первой строке легко получить рекуррентную формулу Dj =

k X (−q)d−1 pd Dj−d

(3.24)

d=1

с начальными условиями D0 = 1, Dj = 0 (j < 0). В качестве второго примера рассмотрим бесконечную матрицу M , у которой первая строка имеет вид (p, 0, q, дальнейшие элементы равны нулю), первый столбец имеет вид (p, r, s, дальнейшие элементы равны нулю)T , а в каждом ряду, параллельном главной диагонали, все элементы равны друг другу. Выведем рекуррентную формулу для верхнего углового минора Dj порядка j ∈ N. Для этого нам понадобится верхний угловой минор Ej порядка j ∈ N матрицы, полученной из M заменой первого столбца на столбец (r, s, дальнейшие элементы равны нулю)T . Будем считать сначала, что j > 5. Разложив Dj по первой строке, получаем формулу следующего вида: Dj = pDj−1 + qFj−1 (здесь и далее индекс указывает на порядок определителя). Разложив Fj−1 по первому столбцу, получаем формулу вида Dj = pDj−1 + qrEj−2 − qsGj−2 .

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

65

Наконец, разложив Gj−2 по первой строке, получаем первую рекуррентную формулу: Dj = pDj−1 + qrEj−2 − pqsDj−3 + q 2 s2 Dj−4 . Непосредственная проверка этой формулы при j < 5 показывает, что она справедлива при всех j ∈ N, если формально положить D0 = 1, Dj = 0 (j < 0), Ej = 0 (j 6 0). Далее, разложив Ej при j > 3 по первой строке, получаем вторую рекуррентную формулу Ej = rDj−1 + qsEj−2 . Непосредственная проверка при j < 3 показывает, что она справедлива для всех j ∈ Z при указанных выше формальных значениях Dj и Ej (j 6 0). Комбинируя при j > 3 первую рекуррентную формулу с формулой, полученной из нее заменой j на j − 2, мы можем с помощью второй рекуррентной формулы (в которой произведена та же замена) исключить Ej−2 и Ej−4 . Это приводит к окончательной довольно громоздкой рекуррентной формуле для Dj Dj = pDj−1 + qsDj−2 − (2pqs − qr2 )Dj−3 + q 2 s2 Dj−4 + pq 2 s2 Dj−5 − q 3 s3 Dj−6 (j > 3) с начальными условиями D−3 = D−2 = D−1 = 0, D0 = 1, D1 = p, D2 = p2 . Любопытно, что в отличие от предыдущего примера рекуррентная формула действует не сразу, а только начиная с j = 3, тогда как значения D1 и D2 здесь задаются начальными условиями. С помощью первого примера нетрудно получить необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову уравнения u(x, ˙ t) = pu(x − 1, t) + qu(x, t) + ru(x + 1, t),

x ∈ (a, b), t ∈ (0, ∞)

(3.25)

с вещественными постоянными коэффициентами и с b−a > 1. Применяя формулу (3.24), получаем рекуррентное уравнение и начальные условия для характеристических многочленов матриц A˜1,2 : Dj (λ) = (q − λ)Dj−1 (λ) − prDj−2 (λ), j ∈ N; Отсюда находим

D−1 (λ) = 0, D0 (λ) = 1.

³q − λ´ √ Dj (λ) = ( pr)j Dj0 √ , pr

(3.250 )

где

√ √ s2 − 4)j+1 − (s − s2 − 4)j+1 √ := ; 2j+1 s2 − 4 в правой части вычисления проводятся по формальным правилам и в окончательном выражении радикалы и знаменатели отсутствуют. Приравнивая Dj нулю, находим корни характеристического уравнения Dj0 (s)

(s +

dπ √ λd = q − 2 pr cos , j+1

d = 1, . . . , j.

(3.26)

Таким образом, при q > 0 уравнение (3.25) неустойчиво. Если q < 0 и pr 6 0, то уравнение (3.25) асимптотически устойчиво; если же q < 0 и pr > 0, то оно устойчиво, если и только если π √ 6 |q|, (3.27) 2 pr cos 1 − [a − b] и асимптотически устойчиво, если и только если последнее неравенство строгое (в нем [ · ] означает целую часть числа1 ). Наконец, если q = 0, то для устойчивости уравнения (3.25) необходимо и достаточно, чтобы было pr < 0; асимптотическая устойчивость при q = 0 невозможна. 1

Целая часть [c] числа c — это наибольшее из целых чисел, не превосходящих c. Например, [3] = 3, [3.5] = 3, [−3] = −3, [−3.5] = −4.

66

А. Д. МЫШКИС

Условие (3.27) тем более ограничительное, чем больше b−a. Другими словами, при q < 0, pr > 0 фиксированные граничные условия тем сильнее стабилизируют уравнение (3.25), чем короче интервал (a, b), что естественно и из неформальных соображений. Если q < 0, 4pr < q 2 , то уравнение (3.25) асимптотически устойчиво для любого конечного интервала (a, b), причем коэффициент 4 в этом утверждении является точным, т. е. не может быть уменьшен. Аналогично (3.25) можно исследовать устойчивость по Ляпунову скалярного уравнения u ¨(x, t) = pu(x − 1, t) + qu(x, t) + ru(x + 1, t),

x ∈ (a, b), t ∈ (0, ∞), b − a > 1.

(3.28)

Применяя формулу (3.26), получаем выражение для 2j корней характеристического уравнения: s dπ √ {λd , λj+d } = ± q − 2 pr cos , d = 1, . . . , j. j+1 Отсюда несложно получить следующие утверждения: асимптотическая устойчивость по Ляпунову уравнения (3.28) невозможна; если q > 0, либо если q < 0 и pr 6 0, но |p| + |r| > 0, либо если q < 0, pr > 0 и

π >0 1 − [a − b] (здесь [a−b], как и в формуле (3.27) — это целая часть числа a−b), то уравнение (3.28) неустойчиво по Ляпунову; если же pr > 0 и π √ q + 2 pr cos < 0, 1 − [a − b] √ q + 2 pr cos

либо если q < 0 и p = r = 0, то уравнение (3.28) неасимптотически устойчиво по Ляпунову. Таким образом, с ростом b − a область устойчивости уравнения (3.28) в пространстве параметров сужается и пересечение этих областей определяется неравенствами −∞ < q < 0, 0 6 pr 6 q 2 /4. Из формулы (3.23) сразу следует также признак устойчивости уравнения (3.21) с постоянными коэффициентами относительно изменения граничной функции и неоднородного члена уравнения: Теорема 3.10. Пусть все собственные значения матриц A˜1 и A˜2 имеют отрицательную вещественную часть. Тогда, если функции f и ϕ ограниченные, то и решение u задачи (3.21)ϕ с постоянными коэффициентами ограниченное. Если эти функции стремятся к нулю (равномерно стремятся к нулю) при t → ∞, то и решение стремится к нулю (соответственно равномерно стремится к нулю) при t → ∞. В заключение отметим, что теоремы 3.8–3.10 непосредственно распространяются на случай векторных уравнений (n > 1). 3.4.

ЛИНЕЙНЫЕ

АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пусть в уравнении (3.1) оператор L не зависит от t, т. е. оно имеет вид u(x, ˙ t) = L(uxt ; x) + f (x, t),

(x, t) ∈ Π = Ω × (0, ∞).

(3.29)

Теорема 3.11. Пусть задана продолжающая функция ϕ и выполнены условия теоремы 3.1, причем функции f и ϕ мажорируются экспонентами при t → ∞. Тогда и решение u задачи (3.29)ϕ мажорируется экспонентой при t → ∞. Доказательство. Прежде всего, заметим, что в силу теоремы 3.1 решение u задачи (3.29)ϕ существует и единственно во всем множестве Π. Представим функцию uϕ в виде u0 + ϕ0 , где 0 означает продолжение функции нулем вне области ее первоначального определения на множество D. Тогда из уравнения (3.29) получаем: u(x, ˙ t) = L(u0xt ; x) + L(ϕ0xt ; x) + f (x, t),

(x, t) ∈ D.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

67

Интегрируя обе части этого равенства по t, начиная от t = 0, и приняв во внимание условие теоремы 3.11, получаем, что имеет место неравенство Zt sup{|u(x, τ1 )| : (x, τ1 ) ∈ Πτ } dτ + bect ,

|u(x, t)| 6 a

(x, t) ∈ Π,

0

где a, b, c — некоторые положительные постоянные. Отсюда, положив U (t) := sup{|u(x, τ )| : (x, τ ) ∈ Πt }, приходим к неравенству Zt U (τ ) dτ + bect (0 < t < ∞),

U (t) 6 a 0

из которого сразу следует утверждение теоремы 3.11. Замечание 3.4. Из доказательства следует, что в качестве коэффициента в показателе экспоненты, оценивающей решение, можно взять большее число из коэффициента в показателе экспоненты, оценивающей функции f и ϕ, и верхней грани нормы функционала L. Если эти два числа равны, то оценивающую экспоненту надо еще умножить на t. В некоторых случаях оказывается удобным применить к задаче (3.29)ϕ преобразование Лапласа. Покажем это преобразование в общем виде, предполагая выполненными условия теоремы 3.11, обеспечивающие его возможность. Умножим обе части уравнения (3.29) на e−pt , где Re p больше коэффициента в показателе экспоненты, оценивающей решение (см. замечание 3.4). Проинтегрировав обе части полученного равенства по t от 0 до ∞ и обозначив Лаплас-образы функций соответствующими заглавными буквами, имеем Z∞ pU (x, p) − ϕ(x, 0) = e−pt L(uϕ (3.30) xt ; x) dt + F (x, p). 0

Однако Z∞

ZT e

−pt

L(uϕ xt ; x) dt

e−pt L(uϕ xt ; x) dt =

= lim

T →∞

0

0

h i h ³X ´ i X −ptj ϕ = lim lim e−ptj L(uϕ ; x)∆t = lim lim L e u ; x ∆tj = j xtj xtj T →∞

T →∞

j

³ZT = lim L T →∞

³Z∞

´

e−pt uϕ xt dt; x

j

=L

0

´ e−pt uϕ dt; x . xt

0

Здесь все предельные переходы являются равномерными по x. Далее, при (ξ, ϑ) ∈ H имеем ³Z∞ ´ ³ ³ Z−ϑ Z∞´ ´ ϕ L e−pt uxt dt; x = L (ξ, ϑ) 7→ + e−pt uϕ (x + ξ, t + ϑ) dt; x = 0

0

−ϑ

Z0 ³ ´ pϑ = L (ξ, ϑ) 7→ e e−pt ϕ(x + ξ, t) dt; x + L((ξ, ϑ) 7→ epϑ U 0 (x + ξ; p); x)+ ϑ

+L((ξ, ϑ) 7→ epϑ Φ0 (x + ξ, p); x), где

Z∞ 0

e−pt u0 (x + ξ, t) dt,

U (x + ξ, p) := 0

68

А. Д. МЫШКИС

Z∞ 0

e−pt ϕ0 (x + ξ, t) dt.

Φ (x + ξ, p) := 0

Таким образом, формулу (3.30) можно переписать в виде pU (x, p) − L((ξ, ϑ) 7→ epϑ U 0 (x + ξ, p); x) = Z0 h ³ ´i pϑ = ϕ(x, 0) + L (ξ, ϑ) 7→ e e−pt ϕ(x + ξ, t) dt; x +

(3.31)

ϑ pϑ

0

+L((ξ, ϑ) 7→ e Φ (x + ξ, p); x) + F (x, p). Мы видим, что относительно U (x, · ) получилось линейное функциональное уравнение с параметром x. Если запаздывание отсутствует, т. е. h = 0, то функции, принадлежащие P , можно считать определенными на Ω, и уравнение (3.31) приобретает более простой вид: pU (x, p) − L(ξ 7→ U 0 (x + ξ, p); x) = ϕ(x, 0) + L(ξ 7→ Φ0 (x + ξ, p); x) + F (x, p).

(3.32)

Перепишем уравнение (3.31) в операторной форме: pU − M (x)U = MI (x)ϕ + MB (x)ϕ + F. Здесь M (x), MI (x) и MB (x) — линейные операторы, зависящие от x как от параметра; MI соответствует начальному условию, а MB — граничному условию. Отсюда получаем при x ∈ Ω: U (x, p) = {[pI − M (x)]−1 [MI (x)ϕ + MB (x)ϕ + F ]}(x, p). Структура оператора M (x) показывает, что он ограничен, если Re p > const. (Если запаздывание отсутствует, это условие лишнее.) Поэтому функция (x, p) 7→ U (x, p) допускает обратное преобразование Лапласа и мы получаем для достаточно большого r ∈ R 1 u(x, t) = 2πi

r+i∞ Z

ept {[pI − M (x)]−1 [MI (x)ϕ + MB (x)ϕ + F ]}(x, p) dp.

(3.33)

r−i∞

Если функцию U (x, p) возможно продолжить до мероморфной функции, имеющей в каждой полуплоскости Re p > const лишь конечное число полюсов, то из формулы (3.33) можно получить представление решения u(x, t) в виде квазиполинома с любой точностью по экспоненциальной шкале. В этом случае основную роль (в частности, в вопросах устойчивости уравнения по Ляпунову относительно изменения продолжающей функции, см. раздел 3.3) играет расположение полюсов функции U , появившихся в результате решения уравнения (3.31), т. е. значений p, для которых оператор pI −M (x) не имеет обратного. Особенностью здесь является то, что эти полюсы, вообще говоря, зависят от x. В качестве первого примера рассмотрим скалярное 1-мерное (n = m = 1) ЗСДУ с целочисленными отклонениями аргумента x и ограниченными коэффициентами u(x, ˙ t) =

d X s X

ajl (x)u(x + j, t − gl ) + f (x, t),

x ∈ (a, b), t ∈ (0, ∞),

(3.34)

j=−d l=1

где 0 = g1 < · · · < gs . При заданной продолжающей функции ϕ и при естественных предположениях из общей формулы (3.31) получаем pU (x, p) −

d X s X

ajl (x)e−g l p U 0 (x + j, p) = ϕ(x, 0)+

j=−d l=1

+

d X s X j=−d l=1

Zg l e−pt ϕ0 (x + j, t − gl ) dt+

ajl (x) 0

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

+

d X s X

ajl (x)e−g l p Φ0 (x + j, p) + F (x, p),

69

x ∈ (a, b), Re p > const.

j=−d l=1

Совершая преобразование этого уравнения, аналогичное проведенному для уравнения (3.21), получаем систему из mα (a − 1 < α 6 a) линейных алгебраических уравнений с таким же числом неизвестных Ukα (p). Матрица этой системы имеет вид s ³ ´ X α h A (p) := pδr − a0h−r, l (α + r)e−g l p , l=1

где δ — символ

Кронекера1 ,

а

0

означает, что при α + r 6∈ (a, b) надо положить a0h−r, l (α + r) = 0.

Нетрудно проверить, что в любой полуплоскости Re p > const множество {pαk } корней характеристического уравнения det Aα (p) = 0, а также их количество (с учетом их кратности) равномерно (по α) ограничены. В самом деле, «раскрыв» det Aα (p), получаем выражение вида α

det A (p) = p

mα

+

L X

cl (α)pml e−dl p ,

l=1

в котором все

¯ +. |cl (α)| 6 c, ml ∈ Z, 0 6 ml < mα ∈ N, dl ∈ R Зададим некоторое r ∈ R, и пусть Re p0 > r и det Aα (p0 ) = 0, причем |p0 | > 1. Тогда |p0 | 6

L X

|cl (α)||p0 |ml −mα +1 e−dl Re p0 6 c

L X

e−dl r .

j=1

l=1

Значит, при любом α ∈ (a − 1, a], те корни уравнения полуплоскости Re p > r, содержатся в круге K : |p| 6 max{1, c

L X

det Aα (p)

= 0, которые расположены в

e−dl r }.

l=1

Этим доказано первое утверждение о корнях уравнения det Aα (p) = 0. Докажем теперь равномерную (по α) ограниченность числа корней уравнения det Aα (p) = 0, содержащихся в K. В самом деле, в противном случае существовала бы последовательность «противоречащих» уравнений Lj X pmαj + clj (αj )pmlj e−dlj p = 0, l=1

для которых при j → ∞ все mαj , Lj , clj (αj ), dlj ограничены, все mlj < mαj , но число корней такого уравнения, расположенных в K, с ростом j неограниченно возрастает. После перехода к подпоследовательности можно считать, что в этих уравнениях все mαj = m, Lj = L, mlj = ml , dlj = dl постоянны, а все пределы cl := lim clj (αj ) существуют. Пусть предельное уравнение j→∞

m

p +

L X

cl pml e−dl p = 0

l=1

имеет k корней в круге K. Тогда, как известно из теории аналитических функций, и «противоречащие» уравнения из упомянутой подпоследовательности при достаточно больших j не могут иметь более k корней в K, что противоречит принятому допущению. Итак, оба утверждения о корнях уравнения det Aα (p) = 0 доказаны. Возвращаясь к решению u(x, t) с помощью обращения преобразования Лапласа, после чего подбирая значение r в формуле (3.33) и применяя обычным образом теорему Коши о вычетах 1 h δr

= 1, если r = h, и δrh = 0, если r 6= h.

70

А. Д. МЫШКИС

(см., например, аналогичное рассуждение для обычных ФДУ запаздывающего типа в [37, § 15]), получаем следующее утверждение: Теорема 3.12. Пусть

sup Re pαk < 0. k,α

Тогда уравнение (3.34) асимптотически устойчиво по Ляпунову, а если функции f и ϕ ограничены (стремятся к нулю, равномерно по x стремятся к нулю) при t → ∞, то и решение u задачи (3.34)ϕ ограничено (соответственно стремится к нулю, равномерно по x стремится к нулю) при t → ∞. Если же sup Re pαk > 0, k,α

то уравнение (3.34) неустойчиво по Ляпунову. Если коэффициенты уравнения (3.34) постоянные, то в соответствии с разделом 3.3 при различных α ∈ (a − 1, a] имеется только две различных матрицы Aα (p). Поэтому sup Re pαk достигается k,α

и мы получаем дополнительное утверждение:

Теорема 3.13. Пусть коэффициенты в уравнении (3.34) постоянные. Тогда условие sup Re pαk < 0 k,α

является и необходимым для асимптотической устойчивости этого уравнения. Если же sup Re pαk = 0, то для устойчивости уравнения (3.34) необходимо и достаточно, чтобы корням k,α

pαk с Re pαk = 0 соответствовали жордановы клетки только 1-го порядка. Обе эти теоремы непосредственно распространяется на случай векторного уравнения (3.34) с матричными коэффициентами, т. е. на случай n > 1. В качестве второго примера рассмотрим скалярное интегральное уравнение типа Барбашина Zb u(x, ˙ t) =

K(x, s)u(s, t) ds + lu(x, t) + f (x, t),

x ∈ (a, b), t ∈ (0, ∞).

(3.35)

a

Здесь уравнение (3.32) в естественных предположениях приобретает вид Zb pU (x, p) −

K(x, s)U (s, p) ds − lU (x, p) = ϕ(x, 0) + F (x, p) =: Ψ(x, p).

(3.36)

a

Примем для простоты, что ядро K является вырожденным в смысле теории интегральных уравнений, т. е. d X K(x, s) = kj (x)k j (s), j=1

где каждая из систем равномерно непрерывных функций {kj } и {k j } линейно независимая. Обозначив Zb (3.37) Uj (p) := k j (s)U (s, p) ds, a

получаем из (3.35): (p − l)U (x, p) =

d X

kj (x)Uj (p) + Ψ(x, p).

(3.38)

j=1

Подставляя (3.38) в (3.37), получаем систему из d линейных алгебраических уравнений Zb

d hX i k (s) kr (s)Ur (p) + Ψ(s, p) ds (j = 1, . . . , d) j

(p − l)Uj (p) = a

r=1

(3.39)

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

71

с d неизвестными U1 (p), . . . , Ud (p). Ее матрица имеет вид Zb

³ A(p) := (p −

l)δrj

−

´ k j (s)kr (s) ds .

a

Найдя эти неизвестные и выполнив обратное преобразование, приходим к следующему утверждению: Теорема 3.14. Для устойчивости уравнения (3.35) по Ляпунову необходимо и достаточно, чтобы для всех корней характеристического уравнения det A(p) = 0 было Re p 6 0; если же Re p = 0 для какого-то из этих корней p, то соответствующие жордановы клетки матрицы A(p) должны быть 1-го порядка. Для асимптотической устойчивости уравнения (3.35) по Ляпунову необходимо и достаточно, чтобы для всех корней уравнения det A(p) = 0 было Re p < 0. Если это условие выполнено и функция f ограничена (равномерно по x стремится к нулю) при t → ∞, то и решение u ограничено (соответственно равномерно по x стремится к нулю) при t → ∞. Эту теорему также легко распространить на случай векторного уравнения (3.35) с матричным ядром. 3.5.

ЛИНЕЙНЫЕ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В этом пункте будем считать, что уравнение (3.1) однородно и инвариантно относительно сдвигов по пространственным переменным, т. е. это уравнение и область его рассмотрения имеют вид u(x, ˙ t) = L(uxt ; t) + f (x, t), (x, t) ∈ Π = Rm × (0, ∞). (3.40) Для применения теоремы 2.12 (раздел 2.9) надо выбрать пространство V , определяющее поведение изучаемых решений при |x| → ∞, что можно сделать по-разному. Мы ограничимся выбором в качестве V банахова пространства непрерывных функций v : Rm → Rn с конечной нормой Z kvkV (= kvkV1 ) := kvk + |v(x)| dx, Rm

для которых v(∞) = 0. (Это частный случай пространств, указанных в разделе 2.9, со значением p = 1.) Из оценки Z Z 2 |v(x)| dx 6 sup |v(x)| · |v(x)| dx 6 kvk2V Rm

x∈Rm

Rm

видно, что все функции v ∈ V квадратично суммируемы. С помощью выбранного пространства V , для любого T ∈ (0, ∞) определим банахово пространство W T с нормой k · kV T и понятие решения задачи (3.40)ϕ , как это сделано в разделе 2.9. Тогда из теоремы 2.12 непосредственно вытекает следующее утверждение. Теорема 3.15. Пусть выполнены условия: ϕ( · , 0) ∈ V ;

f |0
для любого T ∈ (0, ∞); если функция w : Π → Rn принадлежит W T для любого T ∈ (0, ∞), то ϕ функция (x, t) 7→ L(wxt , t) определена в Π и непрерывна, а функция Zt ϕ L(wxτ ; τ ) dτ

(x, t) 7→ 0

WT

принадлежит для любого T ∈ (0, ∞), причем оператор, ставящий в соответствие функции w|0
72

А. Д. МЫШКИС

В дальнейшем нам будет удобно записывать линейный функционал L в уравнении (3.40) в виде интеграла по мере (см., например, [8, 24]): Z Z L(wxt ; t) = (dMt )w(x + ξ, t + τ ). (3.41) Здесь M. — конечная обобщенная мера (т. е. конечная счетно-аддитивная функция множеств) со значениями в Rn×n , определенная на борелевских подмножествах «цилиндра» (ξ, τ ) ∈ H = G × [−h, 0] RR и зависящая от t как от параметра; здесь и далее в разделах 3.5 и 3.6 означает интегрирование по этому цилиндру. Множество G будем впредь для простоты считать ограниченным, а число h — конечным. Требуется также, чтобы мера M. обеспечивала применимость теоремы 3.15. При принятом Rпредположении об ограниченности множества H для этого достаточно, чтобы полная R вариация |dMt | была локально ограниченной и чтобы для любой непрерывной функции w : D → Rn правая часть формулы (3.41) была непрерывной в Π; кроме того, при h > 0 требуется, чтобы функция ϕ была непрерывной в D \ Π и ϕ( · , · − h) ∈ W h . Теорема 3.16. В приведенных предположениях, для любого T ∈ (0, ∞) последовательность функций uj , построенная в ΠT по формулам u0 (x, t) = ϕ(x, 0), Z t ³Z Z uj (x, t) = ϕ(x, 0) +

(dMt1 )uϕ j−1 (x

Zt ´ + ξ, t1 + τ ) dt1 + f (x, t1 ) dt1 ,

0

j∈N

(3.42)

0

сходится при j → ∞ к решению u задачи (3.40)ϕ по норме k · kV T . Доказательство. Прежде всего, индукция по j убеждает нас в том, что все функции uj принадлежат пространству W T . Далее, из формулы (3.42) следует, что Z t ³Z Z (uj − uj−1 )(x, t) =

´ (dMt1 )(ui − uj−1 )0 (x + ξ, t1 + τ ) dt1 ,

j ∈ N, (x, t) ∈ ΠT .

(3.43)

0

Отсюда, введя обозначение vj (t) = max{|(uj − uj−1 )(x, t1 )| : (x, t1 ) ∈ Πt },

t ∈ (0, T ),

получаем оценку Zt vj (t) 6 const ·

vj−1 (t1 ) dt1 (j ∈ N, t ∈ (0, T )), 0

из которой легко следует сходимость uj → u в ΠT по sup-норме. Из формулы (3.43) следует также, что Z t ³Z Z |(uj − uj−1 )(x, t)| 6

´ |dMt1 ||(uj − uj−1 )0 (x + ξ, t + τ )| dt1 .

0

Проинтегрировав это неравенство по x ∈ Rm , затем применив в правой части теорему Фубини1 и введя обозначение ½Z ¾ t wj (t) := max |(uj − uj−1 )(x, t1 )| dx : (x, t1 ) ∈ Π , j ∈ N, t ∈ (0, T ), Rm 1

Эта теорема говорит о законности перестановки порядка интегрирований для любой абсолютно интегрируемой (хотя бы в одном порядке) измеримой функции. При этом интегралы могут быть как «обычные», так и взятые по обобщенной мере.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

73

получаем при тех же j, t: Z t ³Z Z wj (t) 6

Zt ´ |dMt1 |wj−1 (t1 + τ ) dt1 6 const · wj−1 (t1 ) dt1 .

0

0 ∞ P

Итерируя это неравенство, получаем сходимость ряда

j=1

wj (T ), откуда вытекает, что последова-

тельность {uj } сходится к u при j → ∞ в ΠT также и по норме пространства L1 равномерно по t, а значит, и по норме k · kV T . Теорема 3.17. Пусть в тех же предположениях дополнительно дано, что для любого T ∈ (0, ∞) интеграл Z Zt | f (x, t1 ) dt1 |dx Rm

0

сходится равномерно по t ∈ [0, T ] и, если h > 0, то интеграл Z |ϕ(x, t)| dx Rm

также сходится равномерно по t ∈ [−h, 0]. Тогда для решения u задачи (3.40)ϕ и любого T ∈ (0, ∞) интеграл Z |u(x, t)| dx Rm

сходится равномерно по t ∈ [0, T ]. Доказательство. Проверим, прежде всего, что для любых T ∈ (0, ∞) и j ∈ N интеграл Z |uj (x, t)|dx Rm

(uj определено теоремой 3.16) сходится равномерно по t ∈ (0, T ). В самом деле, при j = 0 это утверждение тривиально. Пусть задано T ∈ (0, ∞) и утверждение справедливо для некоторого j ∈ N. Тогда для перехода к uj+1 , в силу формулы (3.42) и условия теоремы 3.17 достаточно проверить равномерную по t ∈ (0, T ) сходимость интеграла Z ¯ Zt ³Z Z ´ ¯¯ ¯ ϕ ¯ (dMt1 )uj (x + ξ, t1 + τ ) dt1 ¯¯ dx. ¯ Rm

0

При фиксированном значении T введем обозначения: ¾ ½ Z |uj (x, t)| dx : t ∈ [0, T ] , µj (N ) := sup ½ Z ϕ(N ˜ ) := sup

|x|>N

¾ |ϕ(x, t)| dx : t ∈ [−h, 0] ;

ω := diam G.

|x|>N

Для любого N > ω, применяя теорему Фубини, получаем: ¯ Zt ³Z Z Z ´ ¯¯ ¯ ϕ ¯ ¯ (dMt1 )uj (x + ξ, t1 + τ ) dt1 ¯ dx 6 ¯

Z |x|>N

0

|x|>N

ZT ³Z Z =

Z |dMt |

0

|x|>N

|uϕ j (x

³ZT Z Z

´ |dMt ||uϕ (x + ξ, t + τ )| dt dx = j

0

ZT ³Z Z ´ + ξ, t + τ )| dx dt 6 |dMt | 0

Z

|x|>N −ω

´ |uϕ (x, t + τ )| dx dt 6 j

74

А. Д. МЫШКИС

ZT ³Z Z 6 [µj (N − ω) + ϕ(N ˜ − ω)]

´ |dMt | dt.

0

Так как правая часть этой цепочки неравенств стремится к нулю при N → ∞, то справедливость утверждения, приведенного в начале доказательства этой теоремы, проверена. Теперь, задав любое ε > 0, выберем на основе теоремы 3.16 такое значение jε ∈ N, что kuj − ukV T < ε/2 при j > jε . Так как интеграл Z |uj (x, t)| dx Rm

сходится равномерно по t ∈ [0, T ], то для некоторого Nj > 0 имеем Z |uj (x, t)| dx < ε/2 |x|>Nj

при всех t ∈ [0, T ]. Но тогда Z Z |u(x, t)| dx 6 |x|>Nj

Z |uj (x, t)|dx +

|u(x, t) − uj (x, t)| dx < ε

Rm

|x|>Nj

для всех таких t, что и требовалось доказать. Для любого p ∈ [1, ∞] и любого множества I ∈ R введем банахово пространство LpI измеримых по x функций w : (Rm × I) → Rn , для которых kwkpI := sup kw( · , t)kp < ∞, t∈I

где k · kp — норма в пространстве Lp . Следующая теорема дает достаточные условия принадлежности решения u задачи (3.40)ϕ пространству Lp[0,T ] при T > 0. Теорема 3.18. Пусть в условиях, указанных в связи с формулой (3.41), дополнительно дано, что для некоторых p ∈ [1, ∞], T ∈ (0, ∞) справедливы соотношения: ϕ ∈ Lp[−h,0] , f |DT ∈ Lp[−h,T ] . Тогда существует такая постоянная C > 0, не зависящая от функций ϕ и f , что u|ΠT ∈ Lp[0,T ] и ku|ΠT kp[0,T ] 6 C(kϕkp[−h,0] + kf |DT kp[−h,T ] ).

(3.44)

Доказательство. Существование и единственность решения u : Π → Rn задачи (3.40)ϕ следует из теоремы 3.15. Из формулы (3.42) с помощью неравенства Гельдера для интегралов1 (при его применении второй сомножитель под знаком интеграла полагаем равным 1) и теоремы Фубини получаем оценку kuj kp[0,T ] 6 C1 (kϕkp[−h,0] + kf |DT kp[−h,T ] + kuj−1 kp[0,T ] ),

j ∈ N,

из которой следует, что все последовательные приближения uj принадлежат пространству Lp[0,T ] . Аналогичные действия с формулой (3.43) показывают, что они сходятся по норме этого пространства и потому решение u также ему принадлежит. 1

Неравенство Гельдера для интеграла от произведения двух измеримых функций a и b имеет вид: Z Z 1/p Z 1/q | a(x)b(x) dx| 6 |a(x)|p dx |b(x)|q dx , S 1 p

1 q

S

S

где p, q ∈ [1, ∞], + = 1. При p = 1 (p = ∞) полагаем q = ∞ (соответственно q = 1) и второй (первый) множитель в правой части считаем равным kbk (kak). Из сходимости интегралов в правой части неравенства вытекает сходимость интеграла в левой части. Неравенство Гельдера справедливо и для интегралов, взятых по обобщенной мере. При p = q = 2 неравенство Гельдера называют также неравенством Буняковского—Шварца.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

75

Пусть теперь начальная функция получила приращение ∆ϕ, а неоднородный член в уравнении (3.40) — приращение ∆F , причем после этого изменения условия теоремы 3.18 продолжают выполняться. Тогда для изменения ∆u решения задачи (3.40)ϕ в ΠT справедливо соотношение Z t ³Z Z ∆u(x, t) = ∆ϕ(x, 0) +

∆ϕ

(dMt1 )(∆u)

Zt ´ (x + ξ, t1 + τ ) dt1 + ∆f (x, t1 ) dt1 .

0

0

Производя с этим равенством те же действия, что были описаны в предыдущем абзаце, получаем утверждение теоремы 3.18. Замечание 3.5. Обозначим через CLpI (замкнутое) подпространство пространства LpI , состоящее из тех функций w ∈ LpI , для которых отображение (t 7→ w( · , t)) : I → Lp (Rm , Rn ) непрерывное. Тогда утверждение об однозначной разрешимости задачи (3.40)ϕ можно распространить на случай, когда от функций ϕ и f требуется только из принадлежность пространствам CLp[−h,0] и CLp[−h,T ] при каждом T > 0, соответственно. При этом решение u, понимаемое как обобщенное, принадлежит пространству CLp[0,T ] при каждом T > 0 и удовлетворяет оценке (3.44), в которой C зависит только от T . В самом деле, эти утверждения вытекают из возможности как угодно локально точной аппроксимации таких функций ϕ и f функциями, удовлетворяющими всем требованиям теоремы 3.18, с помощью стандартного замыкания оператора (ϕ, f ) 7→ u на основе неравенства (3.44). При исследовании линейных пространственно-однородных СДУ полезным оказывается преобразование Фурье по пространственным переменным. Покажем это преобразование для уравнения (3.40)–(3.41) при заданном начальном условии в предположениях, сделанных в этом пункте выше (включая сделанные в теореме 3.17). Для этого умножим обе части уравнения на (2π)−m e−i(k,x) , где m X (k, x) := ks xs , s=1

и произведем интегрирование по x ∈ Rm . Обозначая Фурье-образ крышкой, на основе теоремы Фубини и локально равномерной сходимости по t полученных интегралов, приходим к уравнению для u ˆ: Z Z u ˆ˙ (k, t) =

(dMt )ei(k,ξ) u ˆ(k, t + τ ) + fˆ(k, t),

(k, t) ∈ Rm × (0, ∞)

(3.45)

и к соответствующему начальному условию u ˆ(k, t) = ϕ(k, ˆ t), (k, t) ∈ Rm × [−h, 0]. Таким образом, мы получаем обычную начальную задачу для ФДУ запаздывающего типа, в которую k ∈ Rm входит в качестве параметра. (Отсюда, в частности, можно стандартным образом представить u ˆ в интегральном виде через fˆ и ϕˆ с помощью функций Грина и Коши.) Если h = 0, то (3.45) представляет собой линейное векторное ОДУ с параметром, а если еще и m = 1, то мы получаем линейное скалярное ОДУ 1-го порядка, которое легко решается в явной форме. Решение u задачи (3.40)–(3.41)ϕ связано с решением u ˆ задачи (3.45)ϕˆ равенством Парсеваля: Z Z |ˆ u(k, t)|2 dk = (2π)−m |u(x, t)|2 dx, 0 < t < ∞. (3.46) Rm

Rm

В силу замечания 3.5 преобразование Фурье и формула (3.46) без изменений распространяются на обобщенные решения задачи (3.40)ϕ с p = 2. Назовем уравнение (3.40)–(3.41) квадратично устойчивым, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что если f = 0 и для начальной функции ϕ, удовлетворяющей указанным в этом пункте требованиям, справедливо неравенство Z sup{ |ϕ(x, t)|2 dx : −h 6 t 6 0} < δ, Rm

76

А. Д. МЫШКИС

то для решения u задачи (3.40) − (3.41)ϕ c fˆ = 0 справедливо неравенство Z sup{ |u(x, t)|2 dx : 0 < t < ∞} < ε. Rm

Если, кроме того,

Z |u(x, t)|2 dx → 0 Rm

при t → ∞, то назовем уравнение (3.40)–(3.41) асимптотически квадратично устойчивым. Эти понятия — обычные устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову при трактовке решения как траектории в пространстве L2 (Rm ). Аналогично введем понятия квадратичной устойчивости и асимптотической квадратичной устойчивости линейного ЗСДУ с параметром (3.45) (интегрирование производится по этому параметру). Из формулы (3.46) сразу следует Теорема 3.19. При указанных в этом пункте предположениях уравнение (3.40)–(3.41) квадратично устойчиво (соответственно асимптотически квадратично устойчиво), если и только если уравнение (3.45) обладает этим свойством. Рассмотрим в качестве примера скалярное ОСДУ u(x, ˙ t) = a−1 (t)u(x − 1, t) + a0 (t)u(x, t) + a1 (t)u(x + 1, t),

(x, t) ∈ R × (0, ∞)

с вещественными непрерывными коэффициентами. Уравнение (3.45) здесь имеет вид u ˆ˙ (k, t) = [a−1 (t)e−ik + a0 (t) + a1 (t)eik ]ˆ u(k, t),

(3.47) (3.48)

откуда Zt ³ ´ u ˆ(k, t) = exp [a−1 (t1 )e−ik + a0 (t1 ) + a1 (t1 )eik ] dt1 ϕ(k) ˆ 0

и потому

Zt ³ ´ |ˆ u(k, t)| = exp {a0 (t1 ) + [a−1 (t1 ) + a1 (t1 )] cos k} dt1 |ϕ(k)| ˆ = {exp[A0 (t) + A1 (t) cos k]}|ϕ(k)|, ˆ 0

где

Zt A0 (t) :=

a0 (t1 ) dt1 , 0

Zt A1 (t) :=

[a−1 (t1 ) + a1 (t1 )] dt1 . 0

Следовательно, для квадратичной устойчивости уравнения (3.48), а тем самым, и (3.47), необходимо и достаточно, чтобы sup [A0 (t) + A1 (t) cos k] < ∞, t>0, k∈R+

т. е. sup[A0 (t) + |A1 (t)|] < ∞. t>0

Замечание 3.6. Содержание понятий квадратичной устойчивости и асимптотической квадратичной устойчивости зависит от выбранного множества {ϕ} начальных функций. Мы можем рассматривать множество {ϕ}1 , «задействованное» в теореме 3.18 и приводящее к «классическим» решениям, либо множество {ϕ}2 , указанное в замечании 3.5 и приводящее к обобщенным решениям. Нетрудно проверить, что по отношению к квадратичной устойчивости применение обоих этих множеств равносильно. Кроме того, из асимптотической квадратичной устойчивости при применении множества {ϕ}2 тривиально вытекает такое же свойство для {ϕ}1 ; однако, условия

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

77

справедливости обратного утверждения в общем случае не ясны. Множество Фурье-образов {ϕ} ˆ 2 совпадает с {ϕ}2 , тогда как внутреннее описание множества {ϕ} ˆ 1 не вполне ясное. С помощью стандартного применения теоремы Банаха—Штейнхауза1 (см., например, [43], раздел 4.1.4) легко доказать, что для квадратичной устойчивости уравнения (3.40) (при {ϕ} = {ϕ}1 или ={ϕ}2 ) необходимо и достаточно, чтобы для любой начальной функции ϕ решение задачи (3.40)ϕ с f = 0 было ограниченным в L2 (Ω), а для асимптотической квадратичной устойчивости — чтобы каждое такое решение стремилось к нулю в L2 (Ω) при t → ∞. Для применения этой теоремы нужно в качестве пространства E (см. сноску) взять пространство начальных функций ϕ, а в качестве функционалов — значения соответствующих решений уравнения (3.40) (с f = 0) во всех точках (x, t) ∈ Π. То же относится к уравнению (3.45).

3.6.

ЛИНЕЙНЫЕ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНЫЕ АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пусть мера M в уравнении (3.40)–(3.41) не зависит ни от x, ни от t, т. е. оно имеет вид Z Z u(x, ˙ t) = (dM )u(x + ξ, t + τ ) + f (x, t), (x, t) ∈ Rm × R+ , (3.49) причем начальная функция ϕ и функция f удовлетворяют условиям, указанным в разделе 3.5. Совершив преобразование Фурье по x, перейдем к линейному автономному ФДУ запаздывающего типа с параметром k (см. (3.45)) Z Z ˙u ˆ(k, t) = (dM )ei(k, ξ) u ˆϕˆ (k, t + τ ) + fˆ(k, t), (k, t) ∈ Rm × R+ (3.50) и с начальной функцией ϕˆ : (Rm × [−h, 0]) → Rn . Предположим дополнительно, что функции f и fˆ при t → ∞ мажорируются экспонентами, и совершим над обеими частями последнего уравнения преобразование Лапласа. Применив теорему Фубини и затем совершив замену t = t1 − τ переменной интегрирования, мы получим: Z∞ ˆ (k, p) − ϕ(k, pU ˆ 0) =

e−pt

³Z Z

´ (dM )ei(k, ξ) u ˆϕˆ (k, t + τ ) dt + Fˆ (k, t) =

0

Z Z =

³Z−τ Z∞´ (dM )ei(k, ξ) + e−pt u ˆϕˆ (k, t + τ ) dt + Fˆ (k, t) = −τ

0

Z Z =

(dM )e

pτ +i(k, ξ)

³Z0

´ ˆ (k, p) + Fˆ (k, t), e−pt1 ϕ(k, ˆ t1 ) dt1 + U

τ

откуда при достаточно большом Re p Z Z ³ ´−1 ˆ (k, p) = pEn − U epτ +i(k, ξ) dM × Z Z Z0 i h pτ +i(k, ξ) e−pt1 ϕ(k, ˆ t1 ) dt1 + Fˆ (k, p) . × ϕ(k, ˆ 0) + (dM )e τ

1

Эта теорема гласит, что если некоторая совокупность линейных непрерывных операторов (в частности, линейных непрерывных функционалов), определенных на банаховом пространстве E, ограничена в каждой точке E, то совокупность норм этих операторов также ограничена.

78

А. Д. МЫШКИС

Отсюда, совершая обратное преобразование Лапласа и полагая для простоты f = 0, получаем при достаточно большом r ∈ R 1 u ˆ(k, t) = 2πi

r+i∞ Z

Z Z ³ ´−1 ept pEn − epr+i(k, ξ) dM ×

r−i∞

Z Z Z0 h i pτ +i(k, ξ) × ϕ(k, ˆ 0) + (dM )e e−p t1 ϕ(k, ˆ t1 ) dt1 dp,

(3.51) (k, t) ∈ Rm × R+ .

τ

Характеристическим уравнением здесь служит уравнение Z Z ³ ´ det pEn − epτ +i(k, ξ) dM = 0.

(3.52)

Нетрудно проверить, что при каждом k ∈ Rm его левая часть представляет собой целую аналитическую функцию от p, нули pj (k) которой, если их множество бесконечное, обладают свойством: Re p1 (k) > Re p2 (k) R>R. . . → −∞. (В самом деле, для любого фиксированного s ∈ R модули всех RR |dM |, и потому неравенэлементов матрицы epτ +i(k, ξ) dM при Re p > s не превосходят e|s|h ство Z Z Z Z 1 det(pEn − epτ +i(k, ξ) dM ) = pn det(En − epτ +i(k, ξ) dM ) 6= 0 p при достаточно больших |p| вытекает из непрерывной зависимости определителя матрицы от ее элементов.) При этом, если некоторые k и p удовлетворяют уравнению (3.52), то функция (x, t) 7→ ept c ((x, t) ∈ Rm+1 ) является решением уравнения (3.50) с данным k и с f = 0, где c — любой из собственных векторов матрицы, определитель которой указан в уравнении (3.52). Выражение, заключенное в квадратные скобки в формуле (3.51), при каждом k ∈ Rm представляет собой целую аналитическую функцию переменной p, ограниченную в любой вертикальной полосе вместе всеми производными, причем равномерно по k. Этим же свойством обладает и R R pτсо+i(k, ξ) dM. Отсюда, применяя указанное выше свойство корней уравнения (3.52), интеграл e по обычной схеме получаем представление функции u ˆ(k, t) при любом фиксированном k: если r0 6∈ { Re p1 (k), Re p2 (k), . . .}, то X u ˆ(k, t) = qj (t; k)epj (k)t + o(er0 t ) (3.53) j: Re pj (k)>r0

(сумма конечная), где qj (t; k) — полиномы относительно t с векторными коэффициентами, зависящими от k. Здесь j-е слагаемое представляет собой вычет функции, стоящей под знаком внешнего интеграла в формуле (3.51), в точке pj (k), а остаточный член равен правой части этой формулы при r = r0 . Замечание 3.7. Если h = 0, т. е. запаздывание отсутствует, то уравнения (3.49) и (3.50), формула (3.51) и уравнение (3.52) приобретают соответственно вид Z u(x, ˙ t) = (dM )u(x + ξ, t) + f (x, t), (x, t) ∈ Rm × R+ , Ω

Z u ˆ˙ (k, t) =

(dM )ei(k, ξ) u(k, t) + fˆ(k, t),

(k, t) ∈ Rm × R+ ,

Ω

1 u ˆ(k, t) = 2πi

r+i∞ Z

Z ³ ´−1 e pEn − ei(k, ξ) dM dp ϕ(k), ˆ pt

r−i∞

Ω

Z ³ ´ det pEn − ei(k, ξ) dM = 0. Ω

(k, t) ∈ Rm × R+ ,

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

79

Теорема 3.20. Если Re pj (k) > 0 для некоторых k, j, то уравнение (3.49) квадратично неустойчивое (т. е. не является квадратично устойчивым). Если существует такое значение −a < 0, что sup Re pj (k) < −a k, j

и

¯ ¯ Z Z ¯ ¯ 1 (−a+is)τ +i(k, ξ) inf ¯¯ det(En − e dM )¯¯ > 0, s∈R, k −a + is

то уравнение (3.49) асимптотически квадратично устойчиво. Доказательство. Пусть Re pj (k0 ) > 0 для некоторых k0 , j. Так как элементы матрицы Z Z pEn − epτ +i(k, ξ) dM аналитически зависят от (p, k), то для некоторого ε > 0, функцию pj можно считать определенной и кусочно-непрерывной (при m = 1 — непрерывной) в ε-окрестности Uε (k0 ) точки k0 , причем Re pj (k) > const > 0 в этой окрестности. По той же причине собственный вектор y(k) этой матрицы, отвечающий собственному значению pj (k) (или один из них, если их более одного), также можно считать кусочно-непрерывно (при m = 1 — непрерывно) зависящим от k при |k − k0 | 6 ε. Добавив скалярный множитель, мы можем считать, что y(k) = 0 при |k − k0 | > ε и в Uε (k0 ) какая-либо из компонент вектора y(k) не равна нулю. Тогда функция (k, t) 7→ u ˆ(k, t) := ep(k)t y(k) является при t > 0 решением уравнения (3.50) с fˆ = 0, ϕˆ = u ˆ. Отсюда следует, что в принятом предположении уравнение (3.50) квадратично неустойчивое, а значит, в силу теоремы 3.19, и уравнение (3.49) квадратично неустойчивое. Пусть теперь выполнены условия второй части теоремы 3.20. Тогда на основании первого из этих условий будем впредь считать в формуле (3.51) r = −a. Перепишем ее в виде 1 u ˆ(k, t) = 2πi

−a+i∞ Z

Z Z

³

epτ +i(k, ξ) dM

pEn −

´−1

×

−a−i∞

Z Z Z0 h i pt × e ϕ(k, ˆ 0) + (dM ) e(t+τ −t1 )p+i(k, ξ) ϕ(k, ˆ t1 ) dt1 dp τ

и проведем при t > h интегрирование по частям во внешнем интеграле, с учетом формулы d(A−1 (s)) dA(s) −1 = −A−1 (s) A (s) ds ds для производной обратной матрицы. Так как внеинтегральные члены пропадают, то мы получаем после простых преобразований: 1 u ˆ(k, t) = 2π ³ × En −

×

³1 t

Z∞ −∞

³ 1 1 En − 2 (−a + is) −a + is

Z Z (−a+is)τ +i(k, ξ)

τe

´³ dM En −

Z Z e

(−a+is)t

ϕ(k, ˆ 0) +

Z0 (dM ) τ

Z Z

1 −a + is

e(−a+is)τ +i(k, ξ) dM

´−1

×

Z Z e(−a+is)τ +i(k, ξ) dM

´−1

×

´ 1 e(−a+is)(t+τ −t1 )+i(k, ξ) ϕ(k, ˆ t1 ) dt1 ds, t + τ − t1

(k, t) ∈ Rm × (h, ∞).

80

А. Д. МЫШКИС

В силу второго из условий второй части теоремы 3.20 получаем отсюда для некоторых постоянных Cj > 0: Z∞ |ˆ u(k, t)| 6 C1 −∞

1 ³ e−at |ϕ(k, ˆ 0)| + s2 + a2 t

π ³ e−at = C1 |ϕ(k, ˆ 0)| + a t

6 C2

Z Z

Z0 |dM | τ

Z Z

Z0 |dM | τ

³ e−at

e−at |ϕ(k, ˆ 0)| + t t−h

´ e−at |ϕ(k, ˆ t1 )| dt1 ds = t−h

´ e−at |ϕ(k, ˆ t1 )| dt1 6 t−h

Z0

´ |ϕ(k, ˆ t1 )| dt1 .

−h

Возводя левую и правую части этой цепочки неравенств в квадрат и применяя неравенство Буняковского—Шварца, получаем отсюда неравенство 2

|ˆ u(k, t)| 6 C3

³ e−2at t2

e−2at |ϕ(k, ˆ 0)| + (t − h)2

Z0

2

´ |ϕ(k, ˆ t1 )|2 dt1 ,

−h

а после интегрирования по k и применения теоремы Фубини — неравенство Z∞

e−2at |ˆ u(k, t)| dk 6 C4 (t − h)2 2

−∞

Z∞ max

−h6t1 60 −∞

|ϕ(k, ˆ t1 )|2 dk,

из которого сразу следует асимптотическая квадратичная устойчивость уравнения (3.49). Замечание 3.8. При sup Re pj (k) = 0 условия квадратичной устойчивости уравнения (3.49) не k,j

ясны. При sup Re pj (k) < 0 существенность второго требования в условиях асимптотической квадk,j

ратичной устойчивости в общем случае также не ясна. Однако в некоторых ситуациях нетрудно проверить, что оно несущественно. Например, так будет, если функция Z Z (s, k) 7→ e(−a+is)τ +i(k, ξ) dM периодична по k с периодом, не зависящим от s и стремится к нулю при |s| → ∞ равномерно по k, так как в этом случае нижняя грань, указанная в упомянутом втором требовании, достигается. Замечание 3.9. Вопросы о соотношении между устойчивостью уравнения во всем пространстве x и в конечной области при фиксированной граничной функции, а также между квадратичной устойчивостью и устойчивостью по Ляпунову пока не исследованы. Попробуем рассмотреть с этой точки зрения простейшее скалярное уравнение (3.25) (см. раздел 3.4). Условия квадратичной устойчивости и неустойчивости этого уравнения на всей оси имеют окончательный вид: из теоремы 3.20 следует, что если q+|p+r| < 0, то оно асимптотически квадратично устойчиво, а если q + |p + r| > 0, то квадратично неустойчиво. Кроме того, из формулы u ˆ(k, t) = e[(p+r) cos k+q−i(p−r) sin k] t ϕ(k) ˆ нетрудно вывести, что и при q+|p+r| = 0 уравнение (3.25) асимптотически квадратично устойчиво за исключением случая q = p + r = 0, когда эта устойчивость неасимптотическая. Что касается устойчивости по Ляпунову, то здесь положение гораздо менее определенное: из теоремы 2.14 (раздел 2.9) следует только, что если q + |p| + |r| 6 0 (< 0), то уравнение (3.25) устойчиво (соответственно асимптотически устойчиво) по Ляпунову в классе начальных функций, указанных в теореме 2.13. Если же q − |p| − |r| > 0, то это уравнение неустойчиво по Ляпунову в том же классе начальных функций. Таким образом, здесь имеется существенный интервал

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

81

неопределенности −|p| − |r| < q 6 |p| + |r|. Явная формула Z∞ e[(p+r) cos k+q−i(p−r) sin k]t+ikx ϕ(k) ˆ dk

u(x, t) = −∞

для решения задачи (3.25)ϕ при большой свободе в выборе ϕ ∈ L2 (R) дает основание предполагать, что коэффициентное условие устойчивости по Ляпунову для рассматриваемого уравнения совпадает с условием его квадратичной устойчивости, однако этот вопрос пока не исследован. Условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову для уравнения (3.25) на конечном интервале (a, b) были указаны непосредственно вслед за этим уравнением. (Проблема квадратичной устойчивости для конечного интервала пока не рассматривалась.) Эти условия при b − a → ∞ не переходят в условия устойчивости на всей оси, так что фиксация процесса на границе оказывает принципиальное влияние на его устойчивость, хотя это влияние при удалении от границы все более запаздывает. Отметим, что при переносе интервала (a, b) условия устойчивости не меняется, так что без ограничения общности можно считать, что a = 0 и потому в пределе закрепление конца как бы сохраняется. Было бы интересно сравнить условия устойчивости для больших значений b − a с аналогичными условиями для задачи на полупрямой. Возможно, что здесь могут оказаться полезными методы, развитые в книгах [2, 5].

3.7. КВАДРАТИЧНАЯ

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНЫХ

СДУ

БЕЗ

ОТКЛОНЕНИЙ ВО ВРЕМЕНИ

При m = 1, правую часть линейного ОСДУ общего вида естественно записывать в форме интеграла Стилтьеса. Для пространственно-однородного уравнения с ограниченной зоной влияния без неоднородного члена эта форма такова: Zg [dξ r(ξ, t)]u(x + ξ, t),

u(x, ˙ t) =

¯ +. (x, t) ∈ R × R

(3.54)

−g

Здесь u принимает значения в Rn (n > 1); 0 < g < ∞; r( · , t) : [−h, h] → Rn×n — матрица-функция ¯ + := [0, ∞). Предполагаем, что вариация V r( · , t) локально равномерно ограниченной вариации; R ¯ + имеет место соотношение ограничена, функции r(±g, · ) непрерывны, и для любого t0 ∈ R Zg |r(ξ, t) − r(ξ, t0 )| dξ → 0 −g

при t → t0 . Будем также считать, что в начальном условии u(x, 0) = ϕ(x) (−∞ < x < ∞) функция ϕ : R → Rn непрерывная, ограниченная и kϕk2 < ∞. Эти условия обеспечивают применимость теоремы 2.12 и замечания 2.15 (раздел 2.9). В силу теоремы 2.12 и замечаний 2.14 и 3.5 (раздел 3.5) решение u задачи (3.54)ϕ определено ¯ + , непрерывно и ограничено в каждой полосе R × [0, T ] (0 < T < ∞), а в полуплоскости R × R функция t → u( ·, t) определяет непрерывную траекторию в пространстве L2 (R). При этом согласно разделу 3.5 Фурье-образ решения, 1 u ˆ(k, t) := 2π

Z∞ u(x, t)e−ikt dx, −∞

82

А. Д. МЫШКИС

является решением задачи u ˆ˙ (k, t) =

g hZ

i eikξ dξ r(ξ, t) u ˆ(k, t),

(k, t) ∈ R × R+ ,

−g

u ˆ(k, 0) = ϕ(k) ˆ :=

1 2π

(3.55)

Z∞ ϕ(x)eikx dx,

k ∈ R,

−∞

для ОДУ, в которую k входит в качестве параметра. Ее решение можно записать в виде u ˆ(k, t) = V (k, t)ϕ(k), ˆ где V : R × R+ → Rn×n — фундаментальная матрица уравнения (3.55), нормированная условием V (k, 0) = En . Из теоремы 3.19 (раздел 3.5) сразу вытекает следующее утверждение: Теорема 3.21. В приведенных предположениях, для квадратичной устойчивости уравнения (3.54) необходимо и достаточно, чтобы sup |V (k, t)| < ∞,

(3.56)

k, t

где | · | — какая-либо из норм матрицы. Если n = 1, то решение задачи (3.55)ϕˆ имеет вид Zt hZg n i o u ˆ(k, t) = exp eikξ dξ r(ξ, τ ) dτ ϕ(k), ˆ 0

(3.57)

−g

откуда получаем g

Zt hZ n i o |ˆ u(k, t)| = exp cos(kξ)dξ r(ξ, τ ) dτ |ϕ(k)|. ˆ 0

−g

Теорема 3.22. При n = 1 для квадратичной устойчивости уравнения (3.54) необходимо и достаточно, чтобы Zt hZg i sup cos(kξ)dξ r(ξ, τ ) dτ < ∞. (3.58) k, t

0

−g

Для асимптотической квадратичной устойчивости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы кроме (3.58) ∀a, b ∈ R выполнялось соотношение Zb n Zt hZg i o exp cos(kξ)dξ r(ξ, τ ) dτ dk → 0, t → ∞. a

0

(3.59)

−g

Доказательство. Первое утверждение непосредственно вытекает из теоремы 3.21. Асимптотическая квадратичная устойчивость уравнения (3.54) после перехода к уравнению (3.55) равносильна следующему свойству (см. замечание 3.6, раздел 3.5): для любой функции ϕˆ и любой последовательности td ∈ R+ , такой что td → ∞ при d → ∞, справедливо соотношение S(td )ϕˆ → 0 в L2 (R) при d → ∞, где оператор S(t) : L2 (R) → L(R) определен правой частью формулы (3.57). Отметим также, что при наличии условия (3.58) соотношение (3.59) равносильно тому, что ∀a, b ∈ R Zb n Zt hZg i o exp 2 cos(kξ)dξ r(ξ, τ ) dτ dk → 0, t → ∞. a

0

(3.60)

−g

Если это соотношение не выполнено для некоторых a, b при t = td , d → ∞, то S(td )Φ не стремится к нулю в L2 (R) при d → ∞ для характеристической функции интервала [a, b] (она является

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

83

Фурье-образом ограниченной непрерывной функции). Если же условие (3.60) выполнено для любых a, b ∈ R при t = td , d → ∞, то S(td )Φ → 0 в L2 (R) при d → ∞ для любой функции Φ ∈ L2 (R) в силу общего условия поточечной сходимости последовательности линейных операторов1 , поскольку множество линейных комбинаций всех характеристических функций интервалов всюду плотно в L2 (R). В качестве примера рассмотрим скалярное уравнение, ограничившись для простоты правой частью с конечным числом дискретных слагаемых и непрерывными коэффициентами: u(x, ˙ t) = a0 (t)u(x, t) +

N X [a−j (t)u(x − gj , t) + aj (t)u(x + gj , t)], j=1

(3.61)

−∞ < x < ∞, 0 6 t < ∞, где N > 0,

0 < g1 < . . . < gN . Обозначим Zt A0 (t) :=

Zt a0 (τ ) dτ, Aj (t) :=

0

[a−j (τ ) + aj (τ )] dτ

(j = 1, . . . , N ).

0

Из теоремы 3.22 непосредственно вытекает Теорема 3.23. Для квадратичной устойчивости уравнения (3.61) необходимо и достаточно, чтобы N h i X sup A0 (t) + Aj (t) cos(gj k) < ∞. k, t

j=1

Для асимптотической квадратичной устойчивости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы, кроме того, ∀a, b ∈ R выполнялось соотношение Zb

N h i X exp A0 (t) + Aj (t) cos(gj k) dk → 0 (t → ∞). j=1

a

Условия этой теоремы принимают более наглядную форму, если отклонения аргумента x удовлетворяют условию типа несоизмеримости; при этом здесь и далее нам понадобится следующее утверждение: Теорема 3.24. Пусть заданы gj , cj ∈ R N X ( rj gj = 0,

(j = 1, · · · , N ),

ε > 0, причем

∀rj ∈ Z) ⇒ (∀rj = 0).

j=1

Тогда существуют p1 , · · · , pN ∈ Z, s ∈ R+ , такие, что ∀|sgj − pj − cj | < ε.

(3.62)

Доказательство. При N = 1 утверждение тривиально, так как можно p1 выбрать таким, чтобы p1 + c1 p1 + c1 было > 0, после чего положить s = ; поэтому будем впредь считать, что N > 2. g1 g1 1

Имеется в виду следующее условие (см., например, [16], гл. III, §4): пусть даны последовательность Fj : X → Y линейных ограниченных операторов и линейный ограниченный оператор F : X → Y , где X и Y — банаховы пространства. Тогда для того, чтобы Fj (x) → F (x) при j → ∞ для каждого x ∈ X, необходимо и достаточно, чтобы sup kFj k < ∞ и Fj (ξ) → F (ξ) при j → ∞ для всех точек какого-либо множества {ξ}, линейные комбинации которых расположены всюду плотно в X.

84

А. Д. МЫШКИС

Докажем сначала более слабое утверждение, без требования s > 0. Из предположения о {gj } следует, что все gj 6= 0. Согласно теореме Кронекера об аппроксимации1 , положив в ней gj gj d = N − 1, aj := , bj = cj − cN , gN gN мы получаем, что ¯ g gj ¯¯ ¯ j − pj − (cj − cN )¯ < ε (j = 1, · · · , N − 1). ∃p1 , · · · , pN −1 , q ∈ Z : ¯ q gN gN Обозначив q + cN s := , pN := q, gN находим, что |sgj − pj − cj | < ε (j = 1, · · · , N − 1), |sgN − pN − cN | = 0, что и требовалось доказать. Условие s ∈ R+ требует дополнительных рассуждений. Отметим, прежде всего, что при заданных {gj } множество E ⊂ RN точек (c1 , . . . , cN ), для которых система соотношений sgj − cj ∈ Z (j = 1, . . . , N ) совместна, имеет первую категорию, так как оно является объединением счетного числа прямых с уравнениями c1 + p1 cN + pN = ··· = (p1 , . . . , pN ∈ Z). g1 gN Поэтому остаточное множество E1 := RN \ E всюду плотно в RN . Допустим сначала, что (c1 , . . . , cN ) ∈ E1 . Тогда выберем последовательность чисел εk > 0 (k ∈ N), εk → 0 при k → ∞, и для каждого k, в силу доказанного выше, выберем sk ∈ R, p1k , . . . , pN k ∈ Z так, чтобы |sk gj − pjk − cj | < εk

(j = 1, . . . , N ; k ∈ N).

(3.63)

Тогда |sk | → ∞ при k → ∞. В самом деле, в противном случае из последовательности {sk } можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторому s ∈ R. Но тогда, перейдя к этой подпоследовательности, мы видим, что pjk не зависит от k, если k достаточно велико, т. е. pjk ≡ pj (k > k0 ). Из неравенств (3.63) в пределе при k → ∞ получаем равенства sgj − pj − cj = 0

(j = 1, . . . , N ; ∀pj ∈ Z),

которым противоречит предположение (c1 , . . . , cN ) ∈ E1 . Теперь, если в последовательности {sk } бесконечное количество положительных членов, то мы получаем утверждение теоремы 3.24. Но пусть имеется лишь конечное число таких членов. Тогда после перехода к подпоследовательности можно считать, что все sk < 0 и sk → ∞ при k → ∞. Выберем последовательно значения k1 , k2 , k3 так, чтобы ε |ski gj − pjki − cj | < (j = 1, . . . , N ; i = 1, 2, 3) 3 (ε — число, указанное в формулировке теоремы 3.24), причем |sk3 | > |sk2 + sk1 |. Тогда |(−sk3 + sk2 + sk1 − (−pjk3 + pjk2 + pjk1 ) − (−cj + cj + cj )| 6

3 X

|ski gj − pjki − cj | < ε.

i=1 1

Мы воспользуемся следующим вариантом этой теоремы (см., например, [23]): пусть заданы числа aj , b j ∈ R

(j = 1, . . . , d);

тогда для существования при любом ε > 0 таких p1 , . . . , pd , q ∈ Z, что |qaj − pj − bj | < ε

(j = 1, . . . , d),

необходимо и достаточно, чтобы из соотношений r 1 , . . . , r d , r 1 a1 + . . . + r d ad ∈ Z вытекало соотношение r1 b1 + . . . + rd bd ∈ Z.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

85

Обозначив −sk3 + sk2 + sk1 =: s(> 0), −pjk3 + pjk2 + pjk1 =: pj (∈ Z), получаем оценку (3.62). Пусть, наконец, (c1 , . . . , cN ) ∈ E. Тогда в силу всюду плотности множества E1 выберем точку (c01 , . . . , c0N ) ∈ E1 так, чтобы ε ∀|c0j − cj | < . 2 Согласно доказанному в предыдущем абзаце существуют такие s > 0 и pj ∈ Z (j = 1, . . . , N ), что ε ∀|sgj − pj − c0j | < . 2 Отсюда следует неравенство (3.62). Теорема 3.24 доказана. N P

Теорема 3.25. Пусть равенство

j=1

rj gj = 0 (∀rj ∈ Z) возможно, только если все rj = 0.

Тогда для квадратичной устойчивости уравнения (3.61) необходимо и достаточно, чтобы N h i X sup A0 (t) + |Aj (t)| < ∞. t

(3.64)

j=1

Для асимптотической квадратичной устойчивости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы, кроме того, ∀ε > 0 выполнялось соотношение A0 (t) + (1 − ε)

N X

|Aj (t)| → −∞ (t → ∞).

(3.65)

j=1

Доказательство. Пусть заданы любые t, ε > 0. Применяя теорему 3.24 на основе условия, наложенного на {gj }, будем считать в этой теореме, что cj = 0, если Aj (t) > 0, и cj = 12 , если Aj (t) < 0. Тогда получаем для некоторых pj ∈ Z, s ∈ R: |sgj − pj | < ε (Aj (t) > 0),

1 |sgj − pj − | < ε (Aj (t) < 0). 2

Полагая k := 2πs, получаем, что gj k gj k − 2pj | < 2ε (Aj (t) > 0), | − (2pj + 1)| < 2ε (Aj (t) < 0). π π В силу произвольной малости ε > 0, отсюда следует, что |

sup[A0 (t) + k

N X

Aj (t) cos gj k] = A0 (t) +

j=1

N X

|Aj (t)|

j=1

при этом t, и потому первое утверждение теоремы 3.25 вытекает из аналогичного утверждения теоремы 3.23. Пусть теперь, кроме (3.64), выполнено условие (3.65). Тогда для любых a, b ∈ R (a < b), ε > 0, обозначив Eε := {k ∈ [a, b] : max | cos gj k| > 1 − ε}, j

получаем: Zb

Z N h i X exp A0 (t) + Aj (t) cos(gj k) dk = + j=1

a

Eε

Z 6

[a, b]\Eε

N N h n oi h i X X 6 exp sup A0 (t) + |Aj (t)| mes Eε + exp A0 (t) + (1 − ε) |Aj (t)| (b − a). t

j=1

j=1

Применяя соотношения (3.64) и (3.65) и заметив, что mes Eε → 0 при ε → 0, получаем, что интеграл, стоящий в левой части, стремится к нулю при t → ∞. Поэтому из теоремы 3.23 вытекает, что уравнение (3.61) асимптотически квадратично устойчиво.

86

А. Д. МЫШКИС

Допустим теперь, что условие (3.65) не выполнено, т. е. существуют такие ε > 0 и последовательность tl → ∞, что N n o X inf A0 (tl ) + (1 − ε) |Aj (tl )| > −∞. (3.66) l

j=1

Перейдя к подпоследовательности {tl }, можем считать, что для каждого j = 1, . . . , N либо все Aj (tl ) > 0, либо все Aj (tl ) < 0. Задав некоторое достаточно малое η > 0, выбираем, опираясь на приведенное выше следствие из теоремы Кронекера, такое k = kη , что каждое из частных gj kη /π с Aj (tl ) > 0 (Aj (tl ) < 0) отличается меньше чем на η от какого-либо четного (соответственно нечетного) целого числа. Тогда при j = 1, . . . , N, Aj (tl ) > 0 существует четное число pjη , для которого в η-окрестности точки kη имеем |gj k − pjη π| 6 |gj (k − kη )| + |gj kη − pjη π| 6 gN η + πη = (gN + π)η. Такая же оценка с нечетным pjη получается при Aj (tl ) < 0. Значит, если η 6 A0 (tl ) +

N X

Aj (tl ) cos gj k > A0 (tl ) +

j=1

N X

αη |Aj (tl )|,

π , то 2(gN + π)

αη := cos(gN + π)η, l ∈ N.

j=1

Выберем η столь малым, что αη > 1 − ε. Тогда из (3.66) следует, что для любого l ∈ N kZη +η

N N h i h n oi X X exp A0 (tl ) + Aj (t) cos(gj k) dk > 2η exp inf A0 (tl ) + (1 − ε) |Aj (tl )| = const > 0. l

j=1

kη −η

j=1

Из второго утверждения Tеоремы 3.23 получаем, что уравнение (3.61) не является асимптотически квадратично устойчивым. Теоремы 3.21–3.23 и 3.25 без изменения схемы доказательств распространяются на случай m > 1. Приведем только аналоги теорем 3.23 и 3.25 для скалярного уравнения u(x ˙ 1 , . . . , xm , t) = a0 (t)u(x1 , . . . , xm , t)+ +

N X [a−j (t)u(x1 − gj1 , . . . , xm − gjm , t) + aj (t)u(x1 + gj1 , . . . , xm + gjm , t)]

(3.67)

j=1

с непрерывными коэффициентами. Введем функции A0 , . . . , AN как перед теоремой 3.23. Теорема 3.26. Для квадратичной устойчивости уравнения (3.67) необходимо и достаточно, чтобы N m X X gjl kl ] < ∞, sup[A0 (t) + Aj (t) cos k, t

j=1

l=1

где k := (k1 , . . . , km ). Для асимптотической квадратичной устойчивости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы, кроме того, выполнялось соотношение Z N m X X exp[A0 (t) + Aj (t) cos gjl kl ] dk → 0 j=1

E

l=1

при t → ∞ для любого ограниченного измеримого множества E ⊂ Rm . Теорема 3.27. Пусть совокупность равенств N X

rj gjl = 0 (∀rj ∈ Z, l = 1, . . . , m)

j=1

возможна, только если все rj = 0. Тогда для квадратичной устойчивости уравнения (3.67) необходимо и достаточно выполнение условия (3.64). Для асимптотической квадратичной устойчивости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы, кроме того, было выполнено условие (3.65).

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3.8. КВАДРАТИЧНАЯ

87

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНЫХ

АВТОНОМНЫХ

СДУ

БЕЗ ОТКЛОНЕНИЙ ВО ВРЕМЕНИ

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение (3.54) автономное, т. е. имеет вид Zg u(x, ˙ t) = [dr(ξ)]u(x + ξ, t), (x, t) ∈ R × R+ ,

(3.68)

−g

Rn

где r : [−g, g] → — функция ограниченной вариации. В этом случае уравнение (3.55) также автономное и решение задачи (3.55)ϕˆ можно записать в явной форме: Zg u ˆ(k, t) = exp{[ eikξ dr(ξ)]t}ϕ(k), ˆ −g

на основании которой можно судить о свойствах устойчивости этого уравнения. Ограничимся наиболее простым случаем скалярного уравнения (n = 1). Теорема 3.28. При n = 1 для квадратичной устойчивости уравнения (3.68) необходимо и достаточно, чтобы Zg sup cos(kξ)dr(ξ) 6 0. (3.69) k

−g

Эта квадратичная устойчивость является асимптотической за исключением случая, когда r(−ξ) = r(ξ) почти всюду на (−g, g) и r(−g) = r(g). Доказательство. Первое утверждение непосредственно вытекает из Tеоремы 3.22. Для доказательства второго утверждения обозначим Zg ρ(k) := cos(kξ)dr(ξ) (k ∈ R), −g

допустим, что выполнено условие (3.69) (т. е. ρ(k) 6 0), и перепишем условие (3.59) в виде Zb ∀a, b ∈ R ⇒

exp[ρ(k)t] dk → 0 (t → ∞). a

Так как ρ — аналитическая функция, то это соотношение не выполняется в том и только в том случае, если ρ(k) ≡ 0. В самом деле, в этом утверждении случаи ρ(k) ≡ 0 и ρ(k) < 0 (∀k ∈ [a, b]) тривиальные. Если же ρ(k) 6≡ 0 и функция ρ имеет нули на [a, b], то в силу упомянутой аналитичности, таких нулей может быть лишь конечное число. Поэтому интеграл Zb exp[ρ(k)t] dk a

можно представить в виде суммы конечного числа слагаемых вида Zq exp[ρ(k)t] dk, p

для каждого из которых функция ρ|[p, q] обращается в нуль только один раз, причем в концевой точке. Пусть, для определенности, ρ(p) = 0, ρ(k) < 0 (p < k 6 q). Тогда упомянутое слагаемое можно оценить для любого ε ∈ (0, q − p) следующим образом: Zq p

p+ε Zq Z + < ε + (q − p) exp[− exp[ρ(k)t] dk = p

p+ε

min

k∈[p+ε, q]

|ρ(k)|t].

88

А. Д. МЫШКИС

Зафиксировав ε, мы видим, что правая часть для всех достаточно больших значений t оказывается меньше, чем 2ε. В силу произвольной малости ε и конечности числа оцениваемых слагаемых мы убеждаемся в справедливости утверждения, приведенного в начале этого абзаца. Однако, совершив преобразование Zg

Z0 ρ(k) =

cos(kξ)dr(ξ) + −g

0

Zg

Z0 =

cos(kξ)dr(ξ) =

cos(kξ)dr(−ξ) + g

Zg cos(kξ)dr(ξ) =

0

cos(kξ)d[r(ξ) − r(−ξ)] 0

и произведя интегрирование по частям1 , мы видим, что ρ(k) ≡ 0 тогда и только тогда, когда r(ξ) − r(−ξ) = 0 почти всюду на [0, g] и, кроме того, r(g) − r(−g) = 0. Применив теорему 3.28 к скалярному автономному уравнению (3.61), т. е. u(x, ˙ t) = a0 u(x, t) +

N X

[a−j u(x − gj , t) + aj u(x + gj , t)],

(3.70)

j=1

−∞ < x < ∞, 0 6 t < ∞, получаем следующую теорему. Теорема 3.29. Для квадратичной устойчивости уравнения (3.70) необходимо и достаточно, чтобы N X a0 + sup (a−j + aj ) cos(gj k) 6 0. (3.71) k

j=1

Эта квадратичная устойчивость является асимптотической за исключением случая, когда a0 = a−1 + a1 = . . . = a−N + aN = 0 Рассмотрим два крайних случая: А. Пусть все отклонения gj соизмеримы между собой; без ограничения общности положим g1 = 1, . . . , gN = N. Воспользуемся формулой при j ∈ N (см. [6], формула 1.331.3) [j/2] j−1

cos jk = 2

j

cos k +

X d=1

j d−1 j−2d−1 (−1)d Cj−d−1 2 cosj−2d k. d

Тогда условие (3.71), необходимое и достаточное для квадратичной устойчивости уравнения (3.70) с gj ≡ j, примет вид [j/2] N X X j d−1 j−2d−1 j−2d j−1 j max{a0 + (a−j + aj )[2 s + (−1)d Cj−d−1 2 s ]} 6 0. d |s|61 j=1

(3.72)

d=1

Если это условие выполнено, то ОСДУ (3.70) даже асимптотически квадратично устойчиво за исключением случая a0 = a−1 + a1 = . . . = a−N + aN = 0, когда устойчивость не является асимптотической. 1

Если функции f, g : [a, b] → R имеют ограниченную вариацию, то оба интеграла Zb

Zb f (x) dg(x),

a

g(x) df (x) a

существуют и для них справедлива формула интегрирования по частям: Zb

Zb f (x) dg(x) = f (b)g(b) − f (a)g(a) −

a

(см. [24]).

g(x) df (x) a

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

89

Отметим частные случаи, обозначив для краткости a−j + aj =: bj . Пусть N = 1. Тогда неравенство (3.72) приобретает вид max(b1 s + a0 ) 6 0 |s|61

и, очевидно, равносильно неравенству a0 6 −|b1 |; устойчивость не является асимптотической, если и только если a0 = b1 = 0. Этот случай рассмотрен в замечании 3.9 (раздел 3.6). Пусть N = 2. Тогда неравенство (3.72) приобретает вид max(2b2 s2 + b1 s + a0 − b2 ) 6 0. |s|61

При его решении возможны следующие подслучаи: 1) −|b1 |/4 6 b2 . Тогда наибольшее значение функции s 7→ q(s) := 2b2 s2 + b1 s + a0 − b2 на отрезке [−1, 1] достигается в одном из его концов. Поэтому необходимое и достаточное условие квадратичной устойчивости имеет вид b2 + |b1 | + a0 6 0, т. е. a0 6 −|b1 | − b2 . Эта устойчивость — асимптотическая, за исключением случая a0 = b1 = b2 = 0. 2) b2 < −|b1 |/4. Тогда наибольшее значение функции q на отрезке [−1, 1] достигается в точке s = −b1 /4b2 ее внутреннего максимума. Поэтому необходимое и достаточное условие квадратичной устойчивости имеет вид −b21 /8b2 + a0 − b2 6 0, т. е. a0 6 b2 + b21 /8b2 . Эта устойчивость — асимптотическая. Исследование явной формулы для решения после преобразования Фурье можно применить также к векторному уравнению вида (3.70) и к уравнениям высшего порядка. В качестве примера рассмотрим скалярное уравнение второго порядка u ¨(x, t) = qu(x, t) + p[u(x − 1, t) + u(x + 1, t)],

(x, t) ∈ R × R+ ,

(3.73)

где q, p ∈ R. Обозначив v := (u, u), ˙ получаем равносильное векторное уравнение первого порядка µ ¶ µ ¶ 0 1 0 0 v(x, ˙ t) = v(x, t) + [v(x − 1, t) + v(x + 1, t)]. (3.74) q 0 p 0 Совершив преобразование Фурье, переходим к уравнению µ ¶ 0 1 vˆ˙ (k, t) = vˆ(k, t). q + 2p cos k 0

(3.75)

Соответствующее характеристическое уравнение (см. раздел 3.6, замечание 3.7) имеет корни √ ± q + 2p cos k и потому в силу теоремы 3.20 при q > −2|p| уравнение (3.75), а с ним и уравнение (3.74) квадратично неустойчивы; то же относится к уравнению (3.73) при естественной адаптации определений (квадратичная малость требуется не только от u, но и от u). ˙ Пусть теперь q < −2|p|; тогда теорема 3.20 не применима. Введя для краткости обозначение p s(k) := −q − 2p cos k и решив задачу Коши для линейного автономного уравнения (3.75), запишем решение в виде µ ¶ cos s(k)t (sin s(k)t)/s(k) vˆ(k, t) = vˆ(k, 0). −s(k) sin s(k)t cos s(k)t Так как полученная фундаментальная матрица ограничена при (k, t) ∈ R×R+ , то уравнение (3.75), а с ним (3.74) и (3.73) квадратично устойчивы. В то же время, взяв ( c = const > 0, k ∈ [a, b], u ˆ(k, 0) = 0, k 6∈ [a, b], a < b, u ˆ˙ (k, 0) ≡ 0, получаем, что Z Z p u ˆ2 (k, t) dk = c2 cos2 s(k)t dk > c −q − 2|p| > 0, R

90

А. Д. МЫШКИС

т. е. рассматриваемая устойчивость не является асимптотической. Покажем, наконец, что при q = −2|p| уравнение (3.74) квадратично неустойчиво. В самом деле, √ при p = 0 это очевидно, поэтому примем, что p > 0 и потому s(k) = 2 p| sin k/2|. Положим u ˆ(k, 0) ≡ 0, ½ c = const > 0, k ∈ [0, π], ˙u ˆ(k, 0) = 0, k 6∈ [0, π]. Тогда

Z 2

2

Zπ h

u ˆ (k, t) dk = c

0

R

√ sin(2 p sin k2 )t i2 dk, √ 2 p sin k2

причем при k = 0 выражение, стоящее в квадратных скобках, надо полагать равным t. После замены переменной интегрирования по формуле k √ (2 p sin )t = k1 2 получаем, что

√ 2Z p t

Z 2

³ sin k ´2 1

2 2

u ˆ (k, t) dk = c t

k1

0

R

c2 t >√ p

p

2dk1 4pt2 − k12

>

√ 2Z p t

³ sin k ´2 1

0

k1

dk1 → ∞

при t → ∞. Случай p < 0 исследуется аналогично и приводит к тому же результату. Отметим, что полученный критерий квадратичной устойчивости уравнения (3.73) совпадает с предельным критерием устойчивости по Ляпунову этого же уравнения, рассмотренного на конечном интервале (a, b) при b − a → ∞ (см. исследование уравнения (3.28) в конце раздела 3.3), за исключением пограничного случая q = −2|p|. Б. Пусть равенство N X rj gj = 0 (∀rj ∈ Z) j=1

возможно, только если все rj = 0. Тогда из теоремы 3.24 следует, что для квадратичной устойчивости уравнения (3.68) необходимо и достаточно, чтобы a0 +

N X

|a−j + aj | 6 0.

j=1

Это квадратичная устойчивость является асимптотической за исключением случая, когда a0 = a−1 + a1 = . . . = a−N + aN = 0. В качестве примера уравнений с непрерывным отклонением аргумента x рассмотрим скалярное ОСДУ Zg u(x, ˙ t) = au(x, t) + b u(x + ξ, t) dξ, (x, t) ∈ R × R+ . (3.76) −g

Здесь g ∈ (0, ∞), r(t) =

a sgnξ + bξ, 2

и условие (3.69) приобретает вид Zg sup(a + b k

−g

³ sin(gk) ´ 6 0. cos(kξ) dξ) 6 0 ⇐⇒ sup a + 2b k k6=0

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Заметим, что sup k6=0

где α :=

max | sinx x| π6x62π

91

sin(gk) ´ sin(gk) ³ sin(gk) = g sup = g, inf = −αg, k6 = 0 k gk k

≈ 0.2172336. На основании теоремы 3.27 получаем:

при b > 0 уравнение (3.76) квадратично устойчивое, если и только если a + 2bg 6 0, причем эта устойчивость асимптотическая; при b < 0 уравнение (3.76) квадратично устойчивое, если и только если a + 2α|b|g 6 0, причем эта устойчивость асимптотическая; при b = 0 уравнение (3.76) квадратично устойчивое, если и только если a 6 0, причем эта устойчивость асимптотическая, за исключением случая a = 0. Теоремы 3.28 и 3.29 можно распространить на случай m > 1. Так, из теоремы 3.26 вытекает Теорема 3.30. Пусть у уравнения (3.67) коэффициенты постоянные. Тогда для его квадратичной устойчивости необходимо и достаточно, чтобы sup[a0 + k

N m X X (a−j + aj ) cos gjl kl ] 6 0. j=1

l=1

Эта устойчивость является асимптотической за исключением случая, когда сумма, стоящая в квадратных скобках, тождественно равна нулю. В качестве примера рассмотрим уравнение u(x ˙ 1 , x2 , t) = a0 u(x1 , x2 , t) + a−1 u(x1 − 1, x2 , t) + a1 u(x1 + 1, x2 , t)+ a−2 u(x1 , x2 − 1, t) + a2 u(x1 , x2 + 1, t). Здесь сумма, упомянутая в формулировке теоремы 3.29, равна

(3.77)

a0 + (a−1 + a1 ) cos k1 + (a−2 + a2 ) cos k2 . Значит, в силу этой теоремы для квадратичной устойчивости уравнения (3.77) необходимо и достаточно, чтобы a0 6 −|a−1 + a1 | − |a−2 + a2 |. Эта устойчивость является асимптотической за исключением случая, когда a0 = a−1 + a1 = a−2 + a2 = 0. Замечание 3.10. Возможность эффективного исследования квадратичной устойчивости линейных пространственно-однородных автономных ОСДУ основана на том, что после применения преобразования Фурье по пространственным переменным и преобразования Лапласа по времени исходное уравнение переходит в линейное алгебраическое векторно-матричное уравнение. Имеется еще один класс ОСДУ, обладающих таким же свойством, но пока в общем виде не изученный — это класс линейных пространственно-однородных уравнений со свертками по времени. Покажем схему таких преобразований для уравнения u(x, ˙ t) =

l X

Bj u(x + sj , t) +

j=1

r Z X

t

Cj (t − τ )u(x + σj , τ ) dτ,

(x, t) ∈ R × R+

(3.78)

j=1 0

(u(x, t) ∈ Rn , ∀Bj , Cj (t − τ ) ∈ Rn×n ) с начальным условием u(x, 0) = ϕ(x). При соответствующих предположениях, после преобразования Лапласа по t получаем уравнение pU (x, p) − ϕ(x) =

l X

Bj U (x + sj , p) +

j=1

r X

Cj (p)U (x + σj , p).

j=1

Применив преобразование Фурье по x, переходим к уравнению ˆ (k, p) − ϕ(k) pU ˆ =

l X j=1

ˆ (k, p) + Bj eisj k U

r X j=1

ˆ (k, p), Cj (p)eiσj k U

92

А. Д. МЫШКИС

откуда находим l r ³ ´−1 X X ˆ (k, t) = pEn − U eisj k Bj − eiσj k Cj (p) ϕ(k). ˆ j=1

j=1

Таким образом, характеристическим здесь служит уравнение l r ³ ´ X X det pEn − eisj k Bj − eiσj k Cj (p) = 0, j=1

j=1

и оно должно играть для уравнения (3.78) ту же роль, что (3.52) — для уравнения (3.49). 3.9.

ПРОСТЕЙШЕЕ

СМЕШАННОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НА ПОЛУОСИ

СДУ на полуоси пока наименее исследованы. Ограничимся здесь вопросом об устойчивости по Ляпунову простейшего скалярного уравнения u(x, ˙ t) = au(x, t) + bu(x − 1, t),

0 < x < ∞, 0 < t < ∞.

(3.79)

Решение этого уравнения при дополнительном условии u(x, 0) = ϕ(x) (0 < x < ∞),

u(x, t) = 0

(−1 < x 6 0, 0 6 t < ∞)

можно получить методом шагов. Индукцией по d получаем: u(x, t) =

d X

ϕ(x − j)

j=0

(bt)j at e j!

(d < x 6 d + 1, 0 < t < ∞; d = 0, 1, . . .)

или, что равносильно, u(x, t) =

∞ X

ϕ0 (x − j)

j=0

(bt)j at e j!

(0 < x < ∞, 0 < t < ∞),

(3.80)

где ϕ0 — это функция ϕ, продолженная на R значением ϕ(x) = 0. От функции ϕ требуем измеримость по Лебегу. Теорема 3.31. Пусть ϕ ∈ Lp для некоторого p ∈ [1, ∞]. Тогда решение u задачи (3.79)ϕ определяет непрерывную траекторию в пространстве Lp (0, ∞). Это решение равномерно непрерывно зависит от ϕ по норме k . kp на каждом конечном интервале изменения t. Доказательство. Из формулы (3.80) получаем прежде всего (так как ∀kϕ0 ( · − j)kp = kϕkp ) : ∞ X j=0

∞

X (|b|t)j (bt)j at kϕ ( · − j) e kp = tat kϕkp = e(a+|b|)t kϕkp < ∞; j! j! 0

j=0

Lp

поэтому u( · , t) ∈ при всех t ∈ R+ . Аналогично, для начальных функций ϕ1 , ϕ2 ∈ Lp и соответствующих решений u1 , u2 уравнения (3.79) получаем ku1 ( · , t) − u2 ( · , t)kp 6 e(a+|b|)t kϕ1 − ϕ2 kp

(0 < t < ∞),

¯ + (t0 = const) с откуда вытекает последнее утверждение теоремы 3.31. Наконец, при t0 , t ∈ R помощью формулы конечных приращений Лагранжа имеем ku( · , t) − u( · , t0 )kp 6

∞ X (bt)j at (bt0 )j at0 e − e |kϕkp = | j! j! j=0

= |t − t0 |

∞ X j=0

|bj

(bτj )j−1 aτj (bτj )j aτj e +a e |kϕkp , j! j!

где τj = τj (t) расположено между t0 и t и потому τj 6 t0 + |t − t0 |. Поэтому ku( · , t) − u( · , t0 )kp 6 |t − t0 |(a + |b|)e(a+b)(t0 +|t−t0 |) → 0 при t → t0 , откуда следует непрерывная зависимость u( · , t) от t по норме k · kp .

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

93

Найдем условия Lp -устойчивости уравнения (3.79), являющейся естественным обобщением понятия квадратичной устойчивости (см. конец раздела 3.5); отметим, что L∞ -устойчивость — это устойчивость по Ляпунову. Прежде всего, из формулы (3.80) сразу следует, что при a > 0 уравнение (3.79) Lp -неустойчиво (за исключением тривиального случая a = b = 0) для любого p ∈ [1, ∞]. Теорема 3.32. Пусть a < 0. Тогда при |b| 6 |a| уравнение (3.79) Lp -устойчиво для любого p ∈ [1, ∞], причем при |b| < |a| эта устойчивость асимптотическая. При |b| > |a| уравнение (3.79) Lp -неустойчиво для любого p ∈ [1, ∞]. Доказательство. Пусть a < 0, |b| 6 |a| и ϕ ∈ Lp . Тогда из формулы (3.80) следует, что ku( . , t)kp 6

∞ X

kϕkp

j=0

|bt|j at e = e(a+|b|)t kϕkp , j!

откуда сразу вытекает утверждение теоремы 3.32 об устойчивости. Пусть a < 0, |b| > |a| и p = ∞. Тогда положим ϕ(x) ≡ 1, если b > 0, и ϕ(x) = (−1)−[−x] , если b < 0. В обоих случаях получаем −[−x]

|u(x, t)| =

X |bt|j eat . j! j=0

При любом t > 0 правую часть с помощью выбора значения x > 0 можно сделать как угодно большой, т. е. значение ku( . , t)k∞ как угодно велико, хотя kϕk∞ = 1. Отсюда следует неустойчивость уравнения (3.79). Пусть, наконец, a < 0, |b| > |a| и 1 6 p < ∞. Выберем в качестве ϕ характеристическую функцию интервала (0,1], так что kϕkp = 1. В силу формулы (3.78) получаем ku( . , t)kp =

∞ ³ hX |bt|j ´p i1/p j=0

j!

eat .

Ограничившись в правой части единственным слагаемым с номером j и применяя формулу Стирлинга1 , получаем при t = j/|a| и j → ∞ оценку: ku( . , j/|a|)kp >

|bj|j −j |b|j √ e ∼ → ∞. |a|j j! |a|j 2πj

Таким образом, неустойчивость уравнения (3.79) и в этом случае доказана. Отметим, что свойства уравнения (3.79) по отношению к Lp -устойчивости получились не зависящими от p ∈ [1, ∞]. 3.10. КОММЕНТАРИИ Результаты, близкие к теореме 3.2, содержатся в статье [19]. Раздел 3.2 написан по статье [41]. Раздел 3.3 имеет пересечения с работами Г. А. Каменского и Е. П. Ивановой (см. раздел 1.4). Раздел 3.4 частично содержится в статье [40], а раздел 3.5 — в статье [19]. В частности, в последней статье введены и предварительно исследованы понятия квадратичной устойчивости и асимптотической квадратичной устойчивости СДУ. Раздел 3.6 и 3.7 частично содержатся в статьях [20, 21]. Все результаты, приведенные здесь (кроме раздела 3.2), значительно развиты и уточнены по сравнению с опубликованными ранее. 1

Напомним эту формулу: j!=

p

2πj j j e−j [1 + o(1)] (j → ∞).

94

А. Д. МЫШКИС

ГЛАВА 4 УРАВНЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ИЛИ ВРЕМЕННЫМ АРГУМЕНТОМ В этой главе будем рассматривать некоторые линейные уравнения и классы уравнений, которые хотя и не являются СДУ, но по своим методам исследования и свойствам непосредственно примыкают к ним. 4.1. «СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» С ДИСКРЕТНЫМ

ПРОСТРАНСТВЕННЫМ АРГУМЕНТОМ: РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Будем рассматривать «СДУ» с дискретным пространственным аргументом на примере линейного пространственно-однородного уравнения u(x, ˙ t) =

N X

aj (t)u(x + j, t),

¯ + (:= [0, ∞)). x ∈ Z, t ∈ R

(4.1)

j=−N

(Поскольку в основное определение СДУ (раздел 1.1) входило требование непрерывности аргументов, которое здесь не выполнено, то в наименование СДУ введены кавычки.) Здесь u(x, t) ∈ Rn , ∀aj ∈ Rn×n — непрерывные матрицы-функции. Случай, когда множество возможных значений аргумента x конечно, непосредственно сводится к обычной системе ОДУ и потому в качестве объекта для общих рассмотрений изучаться не будет. Уравнения, заданные на N × R+ , здесь также не будут рассматриваться. Уравнение (4.1) является математической моделью длинной цепочки взаимодействующих по линейному закону точечных объектов, рассматриваемой вдали от ее концов; подобные модели встречались в различных задачах физики. С математической точки зрения такое уравнение равносильно бесконечной системе ОДУ или, как и ОСДУ, линейному ОДУ со значениями в банаховом пространстве и с ограниченным оператором (см., например, [7]). Здесь мы ограничимся рассмотрением свойств уравнения (4.1), аналогичных свойствам уравнения (3.59) в точности такой же формы, но с непрерывным аргументом x. (Обобщение на более широкий класс правых частей уравнения, а также на случай x ∈ Zm не должно вызвать принципиальных затруднений.) Под lp (1 6 p < ∞) будем понимать банахово пространство измеримых функций v : Z → Rn с конечной нормой X kvkp := [ |v(j)|p ]1/p ; j∈Z

под l∞ понимаем банахово пространство измеримых ограниченных функций v : Z → Rn с нормой kvk∞ := sup{|v(j)|}. j∈Z

Отметим, что если v ∈ lp (1 6 p < ∞), то v ∈ lq при любом q ∈ (p, ∞]. Под lpT (1 6 p 6 ∞, 0 < T < ∞) будем понимать банахово пространство измеримых функций w : Z × [0, T ] → Rn с конечной нормой kwkpT := sup kw( · , t)kp . t∈[0,T ]

Будем считать, что кроме уравнения (4.1) задано начальное условие: u(x, 0) = ϕ(x) (x ∈ Z). ¯ + существует Решение задачи (4.1)ϕ будем понимать в классическом смысле (u(x, ˙ t) всюду в Z × R и удовлетворяет уравнению (4.1), причем под u(x, ˙ 0) понимается правая производная). Теорема 4.1. Пусть ϕ ∈ lp для некоторого p ∈ [1, ∞]. Тогда решение u задачи (4.1)ϕ суще¯ + и для любого T ∈ (0, ∞) единственно в Z × [0, T ], причем u|[ 0,T ] ∈ lpT , а ствует в Z × R соответствие ϕ 7→ u|[ 0,T ] определяет непрерывное отображение пространства lp в lpT . Соответствие t 7→ u( · , t) (0 6 t < ∞) определяет непрерывную траекторию в пространстве lp .

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

95

Доказательство проходит так же, как проводилось выше для аналогичных утверждений с непрерывным аргументом x. Прежде всего, при заданном p ∈ [1, ∞) переходим от задачи (4.1)ϕ к равносильному интегро-разностному уравнению Zt X N u(x, t) = ϕ(x) + [ aj (τ )u(x + j, τ )] dτ.

(4.2)

j=−N

0

Зададим некоторое T ∈ (0, ∞), будем рассматривать уравнение (4.2) при (x, t) ∈ Z × [0, T ], и пусть оператор QT определен в пространстве lpT правой частью этого уравнения. Обозначая буквами Ck постоянные величины, получаем из определения QT : T

|(Q w)(x, t) − ϕ(x)| 6 C1

ZT X N

|w(x + j, τ )| dτ.

0 j=−N

При p < ∞, возводя обе части последнего неравенства в степень p и применяя неравенство Гельдера для интегралов (см. сноску на с. 74 в разделе 3.5) и для сумм1 , получаем, что pT

p

|(Q w)(x, t) − ϕ(x)| 6 C2

N hZT ³ X j=−N

0

6 C3

ZT ³ X N 0

´ ip |w(x + j, τ )| · 1 dτ 6

ZT X N ´p |w(x + j, τ )|p dτ. |w(x + j, τ )| · 1 dτ 6 C4 0 j=−N

j=−N

Проводя суммирование по x ∈ Z, видим, что QT w ∈ lpT , т. е. оператор QT отображает пространство lpT в себя. При этом из последней оценки видно, что замкнутое в lpT множество S pT функций w, для которых kw − ϕkpT 6 1, оператор QT отображает в себя, если T достаточно мало. При p = ∞ оба последние утверждения очевидны. Произведя аналогичные манипуляции с каждым из равенств T

Zt2h X N

T

(Q w)(x, t2 ) − (Q w)(x, t1 ) =

t1

T

T

(Q w2 )(x, t) − (Q w1 )(x, t) =

Zt n X N 0

i aj (τ )w(x + j, τ ) dτ,

(4.3)

j=−N

o aj (τ )[w2 (x + j, τ ) − w1 (x + j, τ )] dτ,

j=−N

получаем, что отображение t 7→ (QT w)( · , t) определяет непрерывную траекторию в пространстве lp и, если T достаточно мало, то отображение QT множества S pT в себя является сжимающим. Из последнего утверждения вытекает, что уравнение (4.2) имеет единственное решение на любом множестве Z × [0, T1 ], если T1 ∈ (0, ∞) достаточно мало, причем это решение принадлежит пространству lpT и потому ограничено. Обозначив через T верхнюю грань значений T1 , обладающих этим свойством, получаем, что и на множестве Z × [0, T ) уравнение (4.2) имеет единственное решение. Если T < ∞, то, обозначив U (t) := sup{|u(x, τ )| : x ∈ Z, τ ∈ [0, t]}, Φ0 (= U (0)) := sup{|ϕ(x)| : x ∈ Z}, 1

Неравенство Гельдера для сумм конечного числа слагаемых имеет вид X 1/p X 1/q X | aj b j | 6 |aj |p |bj |q , j 1 p

1 q

j

j

где p, q ∈ [1, ∞], + = 1; при p = 1 (p = ∞) полагаем q = ∞ (q = 1) и второй (первый) множитель в правой части равным maxj |bj | (maxj |aj |).

96

А. Д. МЫШКИС

из (4.2) находим: Zt U (t) 6 Φ0 + C5

U (τ ) dτ (0 6 t < T ). 0

Применив к этому неравенству лемму Гронуолла, видим, что решение u : Z × [0, T ) → Rn является ограниченным, а потому, в силу уравнения (4.1) — равномерно непрерывным. Таким образом, решение u можно расширить предельным значением u(x, T ) := lim u(x, t). t→T −

Отсюда после переноса начального момента в t = T получаем при p = ∞ возможность продолжения решения на некоторый временной интервал при t > T , т. е. противоречие с определением значения T . Если же p < ∞, то, взяв обе части равенства (4.3) для w = u по модулю, возведя их затем в степень p, произведя суммирование по x ∈ Z и применив к правой части неравенство Гельдера, получаем: X X |(QT u)(x, t2 ) − (QT u)(x, t1 )|p 6 |u(x, t2 ) − u(x, t1 )|p = x∈Z Zt2

6 C5

Xh

x∈Z t1

x∈Z

X

ip

|u(x + j, τ )|dτ

1/q

6 C6 |t2 − t1 |

j

t2 X Z hX x∈Z t1

XZ X

ip |u(x + j, τ )| dτ 6

j

t2

1/q

6 C7 |t2 − t1 |

|u(x + j, τ )|p dτ =

j

x∈Z t1

Zt2 1/q

1+ 1q

|u(τ )|p dτ 6 C8 |t2 − t1 |

= (2N + 1)C7 |t2 − t1 |

.

t1

Отсюда согласно критерию сходимости Коши следует сходимость функции u( · , t) при t → T − по норме пространства lp . Значит, u( · , T ) ∈ lp и мы приходим к противоречию так же, как при p = ∞. Итак, решение уравнения (4.3) существует при (x, t) ∈ Z × [0, ∞) и единственно в Z × [0, T ] для любого T ∈ (0, ∞). Остается доказать непрерывную зависимость решения уравнения (4.2) от начальной функции ϕ на любом фиксированном отрезке [0, T ] (0 < T < ∞). Так как это уравнение линейное и однородное, то достаточно проверить равномерную по ϕ ограниченность значения ku|[0,T ] kpT при kϕkp 6 1. Однако из равенства (4.2) непосредственно следует, что Zt ku( · , t)kp 6 kϕkp + C9

ku( · , τ )kp dτ,

0 6 t 6 T.

0

Применяя лемму Гронуолла, получаем требуемое. Замечание 4.1. Теорема 4.1 без изменения доказательства распространяется на случай, когда коэффициенты aj могут зависеть и от x, если они остаются ограниченными в любой полосе Z×[0, T ] (0 < T < ∞), а также когда в уравнении присутствует запаздывание. 4.2. «СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» С ДИСКРЕТНЫМ

ПРОСТРАНСТВЕННЫМ АРГУМЕНТОМ: КВАДРАТИЧНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Назовем уравнение (4.1) квадратично устойчивым, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что если kϕk2 < δ, то для решения u задачи (4.1)ϕ справедливо неравенство sup ku( · , t)k2 < t∈R+

ε. Если же, кроме того, для этого решения ku( · t)k2 → 0 при t → ∞, то назовем уравнение (4.1) асимптотически квадратично устойчивым. Как и для непрерывного x (см. замечание 3.6 в

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

97

разделе 3.5), нетрудно проверить, что если каждое решение задачи (4.1)ϕ с ϕ ∈ l2 ограничено в l2 , то уравнение (4.1) квадратично устойчиво. Впредь в разделе 4.2 будем считать, что ϕ ∈ l2 , а потому в силу теоремы 4.1 соответствие t 7→ u( · , t) (0 < t 6 ∞) определяет непрерывную траекторию в пространстве l2 . Кроме того, будем считать уравнение (4.1) скалярным (n = 1). Исследование квадратичной устойчивости и асимптотической квадратичной устойчивости «СДУ» (4.1) основано на трактовке его решения при каждом t ∈ R+ как набора коэффициентов Фурье вспомогательной функции. Именно, обозначим 1 X u ˜(k, t) := u(x, t)e−ikx 2π x∈Z

(сходимость в смысле

l2 )

¯ + . Тогда u при (k, t) ∈ R × R ˜(k + 2π, t) ≡ u ˜(k, t), Zπ ¯ + ), u(x, t) = u ˜(k, t)eikx dk ((x, t) ∈ Z × R −π

Zπ |˜ u(k, t)|2 dk = −π

u ˜(k, 0) = ϕ(k) ˜ :=

1 ku( · , t)k22 2π

¯ + ), (t ∈ R

1 X ϕ(x)e−ikx 2π

(k ∈ R).

x∈Z

Из уравнения (4.1) получаем, что u ˜˙ (k, t) =

h P N j=−N

i aj (t)eijk u ˜(k, t), откуда

N Zt h X i u ˜(k, t) = ϕ(k) ˜ exp aj (τ ) dτ eijk ,

¯ +. (k, t) ∈ R × R

j=−N 0

Введя функции A0 , . . . , AN , как перед теоремой 3.23, находим Zπ Zπ N h X i 2 2 2 ku( · , t)k2 = 2π |˜ u(k, t)| dk = 2π |ϕ(k)| ˜ exp 2 Aj (t) cos jk dk. −π

−π

j=0

Рассуждая, как при доказательстве теоремы 3.23, получаем следующее утверждение: Теорема 4.2. Для квадратичной устойчивости уравнения (4.1) необходимо и достаточно, чтобы N X sup[ Aj (t) cos jk] < ∞. k, t j=0

Для асимптотической квадратичной устойчивости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы, кроме того, для любых a, b ∈ R имело место соотношение Zb a

N X exp[ Aj (t) cos jk] dk → 0 j=0

при t → ∞. Аналогично адаптируется теорема 3.28: в ее формулировке надо только заменить sup на max и gj на j. Замечание 4.2. Таким образом, при gj ≡ j условия квадратичной устойчивости СДУ (3.61), как и условия его асимптотической квадратичной устойчивости в непрерывном и дискретном вариантах одинаковы. По-видимому, это утверждение, равно как и аналогичное утверждение об устойчивости по Ляпунову, справедливо для весьма широкого класса СДУ.

98

А. Д. МЫШКИС

Замечание 4.3. Пусть уравнение (4.1) скалярное, N = 1, а коэффициенты aj = aj (x, t). (Этот случай представляет наибольший интерес для физических приложений в линейных моделях.) Тогда правая часть уравнения (4.1) задает при каждом t линейный оператор — отображение пространства векторов u( · , t) с помощью якобиевой (т. е. трехдиагональной) матрицы, определяемой коэффициентами aj . Свойства этого оператора для конечного интервала оси x детально изучаются в разделе II.1 книги [5], а для полуоси и оси x, в формально самосопряженном случае (т. е. при a−1 (x + 1, t) ≡ a1 (x, t)) — в гл. VII книги [2]. С учетом замечания 4.2, было бы интересно применить к СДУ результаты и методы, содержащиеся в этих книгах. 4.3. ПРОСТЕЙШЕЕ

УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ДИСКРЕТНОЙ СРЕДЫ

Здесь мы подробно рассмотрим конкретное линейное автономное «СДУ» продольных свободных колебаний прямолинейной конечной однородной цепочки материальных точек, последовательно связанных безмассовыми пружинами. Это уравнение привлекательно возможностью своей наглядной неформальной интерпретации. Для его вывода будем считать, что цепочка направлена вдоль оси x и ее элементы (материальные точки) имеют в ненагруженном состоянии равновесия координаты x = jg (j = 0, 1, . . . , N + 1; g > 0, N > 1). Обозначим через uj (t) отклонение в момент t элемента с номером j вдоль оси x. Тогда при j = 1, . . . , N сила упругости, действующая на этот элемент, равна c[uj+1 (t) − uj (t)] − c[uj (t) − uj−1 (t)] = c[uj−1 (t) − 2uj (t) + uj+1 (t)], где c — жесткость каждой из пружин. Отсюда на основании второго закона Ньютона получаем уравнение m¨ uj (t) = c[uj−1 (t) − 2uj (t) + uj+1 (t)], r c в котором m — масса каждой из точек. Введя обозначение a := , получаем окончательное m уравнение свободных колебаний цепочки: u ¨j (t) = a2 [uj−1 (t) − 2uj (t) + uj+1 (t)],

j ∈ {1, . . . , N }, t ∈ [0, ∞).

(4.4)

Оно является также линейным приближением уравнения поперечных колебаний описанной цепочки и в непрерывном варианте (с u(x, t) вместо uj (t)) встречалось у нас в разделе 3.8 как уравнение (3.73). Принятое сейчас обозначение подчеркивает дискретность пространственного аргумента. Для получения конкретного решения, к уравнению (4.4) надо добавить начальные и граничные условия. Мы ограничимся простейшей I краевой задачей, описывающей колебания цепочки с закрепленными концами: u0 (t) = 0, uN +1 (t) = 0 (0 6 t < ∞), (4.5) 0 0 uj (0) = uj , u˙ j (0) = vj (j = 1, . . . , N ). (4.6) Так как для {uj } получилась обычная задачи Коши для линейной автономной системы ОДУ, то вопрос о ее разрешимости не возникает, а решение, после перехода к равносильной системе ОДУ 1-го порядка размерности 2N , можно записать в явном виде с помощью матричной экспоненты. Таким образом, речь идет об удобном представлении этого решения и о исследовании его свойств. Уравнение (4.4) при граничных условиях (4.5) обладает замечательным свойством сохранения полной энергии, естественным из неформальных соображений. При этом полная энергия рассматриваемой цепочки в момент t равна N N N N h i2 o X X X 1 m nX 2 Eu (t) = mu˙ 2j (t) + [uj+1 (t) − uj (t)]2 = u˙ j (t) + a2 uj+1 (t) − uj (t) . (4.7) 2 2 j=1

j=0

j=1

j=0

Теорема 4.3. Для любого решения u уравнения (4.4), удовлетворяющего граничным условиям (4.5), полная энергия цепочки постоянна, т. е. Eu (t) ≡ const. Доказательство. Из формул (4.7) и (4.4) получаем, что N N i hX X u˙ j a2 (uj−1 − 2uj + uj+1 ) + a2 (uj+1 − uj )(u˙ j+1 − u˙ j ) . E˙ u = m j=1

j=0

(4.8)

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

99

Однако, отбрасывая члены, равные нулю в силу условий (4.5), а затем заменяя в первой из полученных сумм индекс суммирования, имеем N N −1 N X X X (uj+1 − uj )(u˙ j+1 − u˙ j ) = u˙ j+1 (uj+1 − uj ) − u˙ j (uj+1 − uj ) = j=0

=

j=0 N X

u˙ j (uj − uj−1 ) −

j=1

N X

j=1

u˙ j (uj+1 − uj ) =

j=1

N X

u˙ j (2uj − uj−1 − uj+1 ).

j=1

Подставляя это выражение в правую часть формулы (4.8), видим, что E˙ u = 0, т. е. Eu (t) ≡ const. Из теоремы 4.3 легко вытекает Теорема 4.4. Уравнение (4.4) с граничными условиями (4.5) неасимптотически устойчиво по Ляпунову. Доказательство. В силу теоремы 4.3 имеем N X

u˙ 2j (t) + a2

j=1

Отсюда

N N N X X X [uj+1 (t) − uj (t)]2 ≡ vj02 + a2 (u0j+1 − u0j )2 j=0

j=1

(0 6 t < ∞).

j=0

N N ³X ´ X 2 2 2 {u˙ j (t) + a [uj+1 (t) − uj (t)] } = O (vj02 + a2 u02 j ) . j=1

j=1

А так как uN +1 (t) ≡ 0, то из соотношений u2N (t) ≡ [uN +1 − uN (t)]2 , u2N −1 6 2{[aN (t) − aN −1 (t)]2 + u2N (t)}, . . . , u21 (t) 6 2{[u2 (t) − u1 (t)]2 + u22 (t)} следует, что и N N ³X ´ X 2 2 2 [u˙ j (t) + a uj (t)] = O (vj02 + a2 u02 ) , j j=1

j=1

т. е. устойчивость уравнения (4.4) с граничным условием (4.5) по Ляпунову. Отсутствие асимптотической устойчивости сразу следует из теоремы 4.3. Отметим, что теорему 4.4 нетрудно доказать и на основе приведенного в разделе 3.3 исследования уравнения (3.28). Решение задачи (4.4)–(4.6) можно выразить через элементарные функции с помощью дискретного варианта метода разделения переменных. Для этого сначала строим нормальные колебания — решения задачи (4.4)–(4.5), имеющие вид uj (t) = xj T (t) ((j, t) ∈ {1, . . . , N } × [0, ∞)), где {xj } образуют решение задачи на собственное значение −(xj−1 − 2xj + xj+1 ) = λxj (j = 1, . . . , N ),

x0 = xN +1 = 0,

(4.9)

а T (t) удовлетворяет уравнению T 00 (t) + λa2 T (t) = 0 (0 6 t < ∞). Будем рассматривать x1 , . . . , xN как координаты вектора x ∈ (P x)j = −xj−1 + 2xj − xj+1

RN .

(4.10) Тогда формула

(j = 1, . . . , N ; x0 := 0, xN +1 := 0)

100

А. Д. МЫШКИС

определяет линейное отображение PN : RN → RN . Так как его матрица AN симметрическая, то отображение PN самосопряженное. Его собственные значения определяются формулой (3.26), в которой надо положить q = 2, p = r = −1, j = N , откуда получаем dπ dπ = 4 sin2 (d = 1, . . . , N ). (4.11) λN d = 2 − 2 cos N +1 2(N + 1) Так как все значения λN d различные, то все собственные значения отображения P простые, и каждому из них соответствует единственный, с точностью до скалярного множителя, собственный вектор xN d , в качестве компонент которого возьмем алгебраические дополнения первой строки матрицы AN . С помощью разложения по первым столбцам получаем выражение xN d = (xN d1 , . . . , xN dN ), где xN dk = det(AN −k − λN d EN −k )

(k = 1, . . . , N − 1),

xN dN = 1.

Применение формулы (3.250 ) для Dj (λ) из раздела 3.3, в которую надо подставить λ = λN d , дает с помощью формулы (4.11): p dπ dπ s = 2 − λN d = 2 cos , s2 − 4 = 2i sin , N +1 N +1

=

0 xN dk = DN −k (2 − λN d ) = ´N −k+1 ³ ´N −k+1 ³ dπ dπ dπ + 2i sin − 2 cos − 2i sin 2 cos Ndπ +1 N +1 N +1 N +1

2N −k+1 · 2i sin Ndπ +1

=

(N − k + 1)dπ dπ kdπ dπ sin = (−1)d−1 cosec sin . N +1 N +1 N +1 N +1 Убрав общий множитель (−1)d−1 , получаем dπ ³ 2dπ N dπ ´ dπ xN d = cosec , sin , . . . , sin sin (d = 1, . . . , N ). N +1 N +1 N +1 N +1 При применении метода разделения переменных нам потребуется значение = cosec

(4.12)

N

|xN d |2 = cosec 2

dπ X 2 jdπ sin . N +1 N +1 j=1

Воспользуемся формулой N X j=1

sin2 jx =

N cos(N + 1)x · sin N x − 2 2 sin x

(см. [6], формула 1.351). Из нее получаем: N dπ ´ ³N cos dπ · sin N N +1 dπ +1 2 2 dπ |xN d | = cosec − = cosec 2 . dπ N +1 2 2 N +1 2 sin N +1

(4.13)

Отметим еще, что из-за самосопряженности отображения P векторы xN d1 и xN d2 при d1 6= d2 ортогональны друг другу. Итак, мы доказали следующую теорему. Теорема 4.5. Задача (4.9) имеет N собственных значений λN d (d = 1, . . . , N ); все они простые и определяются формулой (4.11). Соответствующие собственные векторы xN d взаимно ортогональны и определяются формулой (4.12). В силу формулы (4.10) каждому собственному значению λN d отвечают нормальные колебания, определяемые формулой ud (t) = xN d (ad cos ωN d t + bd sin ωN d t) или, в компонентах, udj (t) = ad xN dj cos ωN d t + bd xN dj sin ωN d t, где частоты нормальных колебаний определяются формулой i h p dπ ωN d = λN d a = 2 sin a (d = 1, . . . , N ), (4.14) 2(N + 1)

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

101

а ad , bd — произвольные постоянные. (Формула (4.14) была впервые получена Ж. Лагранжем [45].) Общее решение задачи (4.4)–(4.5) получается в результате наложения нормальных колебаний: uj (t) =

N X

(ad xN dj cos ωN d t + bd xN dj sin ωN d t),

j = 1, . . . , N.

(4.15)

d=1

Если заданы начальные условия (4.6), то коэффициенты ad , bd можно найти из свойства ортогональности собственных векторов xd : ad =

(v 0 , xN d ) (u0 , xN d ) , b = , d |xN d |2 ωN d |xN d |2

d = 1, . . . , N.

(4.16)

Явные выражения для xN d , |xN d |2 и ωN d указаны выше. Теорема 4.6. Для решения u задачи (4.4)–(4.6) имеют место оценки q −2 0 N 2 (u0 , xN d )2 + ωN X d (v , xN d ) sup |uj (t)| 6 |xN dj | (j = 1, . . . , N ), |xN d |2 06t<∞ d=1 q 2 (u0 , x 2 0 2 N ωN X N d ) + (v , xN d ) d sup |u˙ j (t)| 6 |xN dj | (j = 1, . . . , N ), |xN d |2 06t<∞ d=1

N ³ X sup |u(t)| 6 |u | + v0, 2

0 2

06t<∞

d=1 2

˙ 6 sup |u(t)| 06t<∞

xN d ´2 , ωN d |xN d |

N ³ X ωN d (u0 , xN d ) ´2

|xN d |

d=1

(4.17)

+ |v 0 |2 .

Если N +1 принадлежит множеству Q, состоящему из всех простых чисел и всех натуральных степеней двойки (т. е. N ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, . . .}), то все эти неравенства обращаются в равенства. Доказательство. Все четыре неравенства рассматриваются по единой схеме, поэтому приведем доказательство только для неравенства (4.17). Из формулы (4.15) следует, что N X (ad cos ωN d t + bd sin ωN d t)xN d . u(t) = d=1

Отсюда, в силу взаимной ортогональности векторов xN d , |u(t)|2 =

N X

(ad cos ωN d t + bd sinN d t)2 |xN d |2 .

(4.18)

d=1

Значит, N X sup |u(t)| 6 (a2d + b2d )|xN d |2 . 2

06t<∞

d=1

Подставляя сюда выражения для ad и bd из формул (4.16), получаем оценку 2

sup |u(t)| 6 06t<∞

N X (u0 , xN d )2 + ω −2 (v 0 , xN d )2 Nd

d=1

|xN d |2

.

Разбив полученную дробь и, соответственно, сумму на два слагаемых и заметив, что N ³ X xN d ´2 u0 , = |u0 |2 |xN d | d=1

из-за ортогональности системы векторов {xN d }, приходим к оценке (4.17).

102

А. Д. МЫШКИС

Пусть дополнительно дано, что N ³X

´ rd ωN d = 0, ∀rd ∈ Z ⇒ (∀rd = 0).

(4.19)

d=1

Покажем, что тогда неравенство (4.17) обращается в равенство. В самом деле, перепишем формулу (4.18) в виде |u(t)|2 =

N X (a2d + b2d ) sin2 (ωN d t + αd )|xN d |2 . d=1

В силу теоремы 3.24 (раздел 3.7), для любого ε > 0 существует значение tε > 0, для которого ³α ωN d 1´ ε d |tε − pd + − |< (d = 1, . . . , N ; ∀pd ∈ Z). 2π 2π 4 2π Но тогда |ωN d tε + αd − 2πpd − π/2| < ε и потому π sin2 (ωN d tε + αd ) = cos2 (ωN d tε + αd − 2πpd − ) > (1 − ε)2 . 2 Значит, N X |u(tε )|2 > (a2d + b2d )|xN d |2 (1 − ε)2 . d=1

Подставив сюда выражения ad и bd через u0 и v 0 а затем, как и выше, разбив полученную сумму на две, получаем в силу произвольности ε > 0, что неравенство (4.17) обращается в равенство. Таким образом, для того чтобы неравенство (4.17) обратилось в равенство, достаточно выполнение соотношения (4.19). Однако на основе соображений, связанных с расширениями алгебраических полей (т. е. с так называемой теорией Галуа), можно доказать (см. раздел 4.4, лемму 4.1), что для справедливости соотношения (4.19) необходимо и достаточно, чтобы число N + 1 ∈ Q. Этим завершается доказательство теоремы 4.6. В качестве примера рассмотрим решение uN уравнения (4.4) при граничных условиях (4.5) и начальных условиях uN j (0) = h(= const > 0),

u˙ N j (0) = 0 (j = 1, . . . , N ).

(4.20)

Из формул (4.16), (4.12) и (4.13) получаем при d = 1, . . . , N : N

ad =

2h dπ X jdπ sin sin , bd = 0. N +1 N +1 N +1 j=1

Применив формулу ( [6], формула 1.342.1) N X j=1

sin jx = sin

(N + 1)x Nx x sin cosec , 2 2 2

получаем

4h dπ dπ N dπ cos sin sin . N +1 2(N + 1) 2 2(N + 1) Отсюда видно, в частности, что ad 6= 0 только при нечетных значениях d; это, впрочем, ясно и из симметрии задачи (4.4), (4.20) относительно середины цепочки. Подставляя полученные значения ad , bd в формулу (4.15), получаем после простых преобразований ad =

N

dπ dπ N dπ jdπ dπ 4h X cos sin sin sin cosec cos ωN d t = uN j (t) = N +1 2(N + 1) 2 2(N + 1) N +1 N +1 d=1 N 0

=

dπ jdπ 2h X ctg sin cos ωN d t (j = 1, . . . , N, 0 6 t < ∞), N +1 2(N + 1) N +1 d=1

где частоты ωN d заданы формулой (4.14), а штрих означает, что суммирование производится только по нечетным значениям d.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

103

Из теоремы 4.6 вытекают оценки решения при j = 1, . . . , N : N 0

dπ 2h X jdπ ctg sup |uN j (t)| 6 | sin |, N + 1 2(N + 1) N +1 06t<∞

(4.21)

d=1

N 0

4ah X dπ jdπ sup |u˙ N j (t)| 6 cos | sin |, N + 1 2(N + 1) N +1 06t<∞ d=1

2

2

sup |uN (t)| 6 N h ,

06t<∞

sup |u˙ N (t)|2 6 2a2 h2 .

06t<∞

Если N + 1 ∈ Q, то все эти неравенства обращаются в равенства. К не сразу очевидным выводам приводит исследование поведения правой части оценки (4.21) sin jx при N → ∞. Из ограниченности отношения (x ∈ R) при каждом j ∈ N сразу следует, что sin x размах колебаний элемента с фиксированным номером j остается ограниченным при N → ∞. Однако это оказывается не так, если допустить рост j одновременно с N . Более точно, введя для краткости обозначение ζN j := sup |uN j (t)| (N > 1, 1 6 j 6 N ), 06t<∞

докажем следующее утверждение: Теорема 4.7. Для решения uN задачи (4.4), (4.5), (4.20) предел

lim

Q3N +1→∞

ζN j существует и

удовлетворяет соотношению lim

Q3N +1→∞

ζN j =

4h ln j + O(1) π2

(4.22)

при j → ∞. Доказательство. Обозначим ξd :=

πd , 2(N + 1)

∆ξd :=

π . 2(N + 1)

Так как при N + 1 ∈ Q неравенство (4.21) обращается в равенство, то при таких N мы можем написать: N 0 4h X ζN j = | sin(2jξd )| ctg ξd ∆ξd . (4.23) π d=1

Таким образом, величину 2ζN j можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла π

Z2 0

4h | sin 2jξ| ctg ξ dξ, π

а потому π

ζN j

2h → π

Z2

| sin 2jξ| ctg ξ dξ

(4.24)

0

при N → ∞. Представим правую часть соотношения (4.24) в виде 2h 2jπ =

h jπ

Zjπ

³ | sin s| −

π

Zjπ | sin s| ctg 0

2´ π

ctg

s ds = 2j

s 2h ds + 2 2j jπ

(4.25)

Zjπ ctg π

s ds + O(1). 2j

104

А. Д. МЫШКИС

Первое слагаемое в правой части в силу «второй теоремы о среднем значении», равно h π ctg jπ 2j

Zσ ³ 2¢ ds, | sin s| − π

π 6 σ 6 jπ

π

2 равно среднему значению периодической функции s 7→ | sin s|. π Второе же слагаемое в правой части формулы (4.25) равно π ´ 4h 2h ³ · − 2j ln sin = 2 ln j + O(1) jπ 2 2j π и ограничено при j → ∞, так как

при j → ∞. Отсюда сразу следует равенство (4.22). Из теоремы 4.7 следует, что lim

max ζN j = ∞.

Q3N +1→∞ 16j6N

(4.26)

Может показаться странным, что амплитуда колебаний цепочки с ростом N становится как угодно большой, тогда как ее полная энергия постоянна и не зависит от N – при рассматриваемых начальных данных она равна ch (см. формулу (4.7)). Но здесь дело в том, что, грубо говоря, амплитуда колебаний имеет порядок суммы величин |uj+1 (t) − uj (t)|, тогда как потенциальная энергия имеет порядок суммы квадратов этих величин. А при достаточно большом числе малых слагаемых с заданной суммой их квадратов можно сделать сумму их модулей как угодно большой. Отмечу еще, что условие N + 1 ∈ Q, участвующее в соотношении (4.26) (и других аналогичных утверждений в разделах 4.3 и 4.7) и существенно использованное при его доказательстве, мне представляется излишним. Из теоремы 4.7 непосредственно не вытекает, какова скорость роста величины max ζN j = sup max uN j (t) j

t

j

при Q 3 N + 1 → ∞. Докажем, что эта скорость не менее (и, думается, не более) чем логарифмическая по N . При доказательстве теоремы 4.7 мы уже отмечали, что правая часть формулы (4.23) представляет собой интегральную сумму для правой части формулы (4.24). Поэтому разность между этими правыми частями по модулю не превосходит ¯d ¯ 2h h N + 1 i 1 π π ¯ ¯ 2· · · max ¯ (sin 2jξ · ctg ξ)¯ + O(N −2 ) 6 π 2 2 2(N + 1) ξ∈(0,π/2] dξ 2(N + 1) (4.27) ¯ ¯ πh ¯d ¯ 6 max ¯ (sin 2πξ · ctg ξ)¯ + O(N −2 ), 4(N + 1) ξ∈(0,π/2] dξ причем второе слагаемое в правой части, появляющееся только при четном N , стремится к нулю со скоростью N −2 при N → ∞ равномерно по j. Для оценки присутствующей здесь производной докажем лемму: Лемма 4.1. Существует такая постоянная C > 0, что ¯d ¯ ¯ ¯ ¯ (sin 2jξ · ctg ξ)¯ 6 Cj 2 , ∀ξ ∈ (0, π/2], j ∈ N. dξ Доказательство. С помощью простых преобразований получаем при 0 < ξ < π/2: ¯d ¯ ¯ 2j cos 2jξ · sin ξ − sin 2jξ · cos ξ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (sin 2jξ · ctg ξ) = cos ξ − sin 2jξ ¯ ¯ ¯ ¯6 dξ sin2 ξ ³ π ´2 |2j cos 2jξ · sin ξ − sin 2jξ · cos ξ| + 2jξ = 6 2 ξ2 π 2 j ¯¯ sin ξ sin 2jξ ¯¯ = cos 2jξ · − cos ξ · ¯ ¯ + 2jξ. 2ξ ξ 2jξ

(4.28)

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

105

Функция sin y sin x − cos y · , (x, y) ∈ (0, ∞)2 , y x продолженная по непрерывности на [0, ∞)2 , аналитична, ограничена и в (0, 0) имеет разложение (x, y) 7→ ϕ(x, y) := cos x ·

1 ϕ(x, y) = (y 2 − x2 ) + O(x4 + y 4 ), |x| + |y| → 0. 3 Отсюда от противного сразу следует существование такого A > 0, что |ϕ(x, y)| 6 A(x + y),

∀(x, y) ∈ (0, ∞)2 .

Применяя эту оценку к правой части формулы (4.28), получаем утверждение леммы 4.1. Применим теперь лемму 4.1 к правой части формулы (4.27). Мы видим, что существует постоянная B > 0, для которой разность между правыми частями формул (4.23) и (4.24) по модулю не превосходит Bhj 2 /N . Учитывая формулу (4.26), получаем, что для любого достаточно большого j, при всех N > B(πj)2 / ln j (⇔ Bhj 2 /N < (h/π 2 ) ln j) (N + 1 ∈ Q) справедливо неравенство 2h ζN j > 2 ln j. π √ Пусть N достаточно велико. Тогда и jN := [ N ] + 1 достаточно велико, и потому имеем 2h h ln jN > 2 ln N. 2 π π Отсюда получаем, что для указанных N выполняется неравенство ζN jN >

max ζN j >

j=1,...,N

h ln N. π2

(4.29)

Итак, доказана следующая Теорема 4.8. При Q 3 N + 1 → ∞ величина max ζN j возрастает не менее чем с логарифj=1,...,N

мической скоростью. Отметим, что, не меняя схемы доказательства, можно несколько увеличить коэффициент h/π 2 в правой части формулы (4.29). 4.4. ДОБАВЛЕНИЕ:

УСЛОВИЕ ЛИНЕЙНОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ НАД ПОЛЕМ

Q

ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ

Этот пункт выпадает из основного содержания работы. Для разделов 4.3 и 4.7 требуется только лемма 4.2, формулировка которой была приведена в конце доказательства теоремы 4.6. Приведем некоторые сведения из алгебры, которые понадобятся в дальнейшем. Числовым полем P называется любое бесконечное множество комплексных чисел, в котором можно производить все четыре арифметические действия (за исключением деления на нуль), не выходя за пределы P ; другими словами, если α, β ∈ P , то P должны принадлежать также α + β, α − β, α · β и α/β (в последнем случае надо требовать, чтобы β 6= 0). Например, каждое из множеств всех рациональных чисел, всех вещественных чисел или всех комплексных чисел представляет собой числовое поле, тогда как множество всех положительных чисел не является полем, как и множество всех целых чисел. Если P, U – числовые поля, причем P ⊆ U , то U называется расширением поля P . Числа u1 , . . . , un ∈ U называются линейно независимыми над P , если из равенства p1 u1 + · · · + pn un = 0 (∀pj ∈ P ) следует, что все pj = 0. Максимально возможное количество линейно независимых над P чисел из U называется степенью рассматриваемого расширения и обозначается [U : P ]. Если линейно независимых над P чисел из U может быть как угодно много, то полагают [U : P ] = ∞. Например, [C : R] = 2, [R : Q] = ∞.

106

А. Д. МЫШКИС

Ясно, что всегда [U : P ] ∈ N ∪ {∞}, причем [U : P ] = 1 ⇔ U = P . Можно доказать, что если P, U, V — числовые поля, причем P ⊆ U ⊆ V , то [V : P ] = [V : U ] · [U : P ].

(4.30)

Введем обозначения

πd , 2(N + 1) πd , βd := sin 2(N + 1) 2πi ζ := exp , M M := 4(N + 1), где N ∈ N, d = 1, . . . , N . При этом αd + iβd = ζ d . Нас интересует условие линейной независимости чисел β1 , . . . , βN над полем Q при заданном N (см. соотношение (4.19), в котором, правда, коэффициенты rd считались целыми; но ясно, что наличие нетривиального соотношения вида (4.19) с целыми коэффициентами равносильно наличию аналогичного соотношения с рациональными коэффициентами). В силу равенства βd = αN +1−d достаточно исследовать аналогичный вопрос для чисел α1 , . . . , αN . Из теории так называемого деления круга известно (см., например, [4]), что множество V всех чисел вида r0 + r1 ζ + · · · + rM −1 ζ M −1 (∀rj ∈ Q) образует поле, причем [V : Q] = ϕ(M ), где ϕ(M ) — значение функции Эйлера, равное количеству натуральных чисел, не больших чем M и взаимно простых с M . (Так, ϕ(1) = ϕ(2) = 1, ϕ(3) = ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2 и т. д. Из свойств этой функции нам понадобится такое: если M1 , M2 ∈ N — взаимно простые числа, то αd := cos

ϕ(M1 M2 ) = ϕ(M1 )ϕ(M2 ).) Из этой же теории следует, что ζ представляет собой нуль некоторого многочлена степени ϕ(M ) с коэффициентами из Q, определенного этими условиями однозначно с точностью до постоянного множителя, но не является нулем никакого многочлена степени меньшей ϕ(M ), c коэффициентами из Q. Лемма 4.2. Для линейной независимости чисел α1 , . . . , αN над полем Q необходимо и достаточно, чтобы N + 1 было натуральной степенью двойки либо простым числом. Доказательство. Обозначим через U множество всех вещественных чисел, принадлежащих V . Ясно, что U – поле и что все αd = (ζ d + ζ M −d )/2 ∈ U. Из равенства ³ ζ d + ζ M −d ´ ³ ζ d − ζ M −d ´ ζ − ζ M −1 ζd = + 2 ζ − ζ M −1 2 и вещественности дробей, заключенных в скобки, следует, что каждое число из V можно представить в виде u1 + u2 (ζ − ζ M −1 ), где u1 , u2 ∈ U . Значит, [V : U ] 6 2. Но U 6= V , а потому [V : U ] = 2, и из равенства (4.30) следует, что [U : Q] = ϕ(M )/2. Поэтому, если N > ϕ(M )/2, то числа α1 , . . . , αN линейно зависимы над Q. Докажем, что если число N + 1 не простое и не есть натуральная степень двойки, то это неравенство выполняется. Действительно, пусть N + 1 такое, как сказано. Тогда N + 1 = 2n q, где n > 0 целое, а q нечетное. Но тогда ϕ(M )/2 = ϕ(2n+2 q)/2 = ϕ(2n+2 )ϕ(q)/2 = 2n ϕ(q) 6 2n (q − 1) = = N + 1 − 2n 6 N. Если q — не простое, то первое из неравенств в этой цепочке строгое; если же q — простое, то n > 1 и потому строгим является второе неравенство, что и требовалось доказать. Итак, необходимость условия, указанного в лемме 4.2, доказана.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

107

Докажем теперь от противного достаточность этого условия. В самом деле, пусть дана нетривиальная линейная зависимость r1 α1 + · · · + rN αN = 0, (4.31) где все rj ∈ Q, причем не все rj = 0. Поскольку αd = (ζ d + ζ −d )/2, то, умножив равенство (4.31) на 2ζ N , получаем, что ζ есть нуль многочлена g(z) := r1 (z N +1 + z N −1 ) + r2 (z N +2 + z N −2 ) + · · · + rN (z 2N + 1). Пусть N + 1 = p – нечетное простое число. Тогда ϕ(M ) = ϕ(4p) = 2(p − 1) = 2N. Однако из равенств ζ 4p − 1 = (ζ 2 + 1)(ζ 2p − 1)(ζ 2(p−1) − ζ 2(p−2) + · · · − ζ 2 + 1) = 0

(4.32)

видно, что s(ζ) = 0, где s(z) := z 2(p−1) − z 2(p−2) + · · · − z 2 + 1, Так как степень многочлена s(z) равна ϕ(M ), то многочлен g(z) степени 6 ϕ(M ) должен быть пропорционален s(z). Но это невозможно, так как коэффициент при xN в многочлене s(z) равен 1 или −1, а в многочлене g(z) равен 0. Если же N + 1 = 2n , 1 6 n ∈ N, то ϕ(M ) = ϕ(2n+2 ) = 2n+1 = 2(N + 1). Поэтому ни один многочлен над Q степени меньшей, чем 2(N + 1), в том числе и g(z), не может иметь значение ζ своим нулем. Полученное противоречие завершает доказательство леммы 4.2. 4.5.

ЗАДАЧА

О ТРОГАНИИ ПОЕЗДА С МЕСТА

Легко доказать с помощью закона Гука, что та же система уравнений (4.4) описывает силу σN j (t) (j = 1, . . . , N ) упругого напряжения пружины, соединяющей (j − 1)–ю колеблющуюся точку с j–й. На этом основана простейшая и широко распространенная математическая модель движения поезда [9], состоящего из локомотива (j = 0) и N > 1 вагонов, всех (включая локомотив) равной массы: σ ¨N j (t) = a2 [σN,j−1 (t) − 2σN j (t) + σN,j+1 (t)] (j = 1, . . . , N, 0 6 t 6 ∞). (4.33) Если рассматривается задача о трогании поезда с мести, то к уравнениям (4.33) добавляются начальные и граничные условия: σN j (0) = 0,

σ˙ N j (0) = 0

(j = 1, . . . , N ),

(4.34)

σN 0 = F,

σN,N +1 = 0

(0 6 t < ∞),

(4.35)

где F > 0 — постоянная сила тяги локомотива, а второе граничное условие означает, что на последний вагон осуществляется воздействие лишь с одной стороны. Как известно, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (4.33), при малом ∆x := L/N (L — длина поезда) является аппроксимацией произведения (∆x)2 ∂ 2 σ/∂x2 . На этом базировалась методика расчета продольной динамики поезда, связанная с приближенной заменой дискретной модели поезда на непрерывную и, соответственно, системы ОДУ (4.33) на обычное волновое уравнение. Отсюда, в частности, вытекало, что для достаточно длинного поезда sup |σN j (t)| ≈ F. j, t

Однако расчеты, проделанные по точной формуле для решения (см. ниже) при N =40, 80, 120, показали, что значения σN j (t) с ростом N , для различных значений j и t всё более существенно (на десятки процентов) превышают величину F . Это имеет непосредственные практические последствия, если речь идет, например, о железнодорожном составе.

108

А. Д. МЫШКИС

В настоящей главе будет подробно разобран данный вопрос. Задача (4.33)–(4.35) допускает точную формулу для решения (см. [15]): N ´ F X³ dπ djπ sin ctg (1 − cos ωd t), N +1 N +1 2(N + 1)

σN j (t) =

(4.36)

d=1

где N ∈ N, 1 6 j 6 N, 0 6 t < ∞, а ωd определяются формулами (4.14), т. е. это те же частоты нормальных колебаний, которые нам встретились в разделе 4.3. Обозначим N ¯ djπ ¯¯´ dπ 1 X³ djπ ¯ − ¯sin , (4.37) aj (N ) := sin ¯ ctg N +1 N +1 N +1 2(N + 1) bj (N ) :=

1 N +1

d=1 N ³ X

sin

d=1

¯ djπ djπ ¯¯´ dπ ¯ + ¯sin . ¯ ctg N +1 N +1 2(N + 1)

(4.38)

Рассуждая, как при доказательстве теоремы 4.6, получаем с помощью формулы (4.36) следующее утверждение. Теорема 4.9. При каждых N ∈ N,

j = 1, . . . , N,

T ∈ [0, ∞)

имеют место оценки inf σN j (t) > F aj (N ),

t>T

sup σN j (t) 6 F bj (N ). t>T

При этом, если N + 1 ∈ Q, то оба эти неравенства обращаются в равенства. Нетрудно доказать, что, если N + 1 ∈ Q, то при N > 1 указанная верхняя грань, а при j > 1 нижняя грань недостижимы. Отметим, что a1 (N ) ≡ 0. Mежду величинами aj (N ) и bj (N ) имеются простые соотношения, упрощающие их вычисление. Об этом говорит Теорема 4.10. Для любых N ∈ N, j = 1, . . . , N справедливы равенства aj (N ) + bN +1−j (N ) = 1, ³ j ´ aj (N ) + bj (N ) = 2 1 − . N +1

(4.39) (4.40)

Доказательство. Для доказательства формулы (4.39) заметим, что в силу определения величин aj (N ) и bN +1−j (N ) она равносильна формуле N 0

djπ dπ 2 X sin ctg = 1 (j = 1, . . . , N ), N +1 N +1 2(N + 1)

(4.41)

d=1

где штрих означает суммирование только по нечетным значениям d. Пусть последовательность {u0 , u1 , . . .} определена равенствами u0 = 0,

u1 = . . . = uN = 1,

uj+N +1 = −uj

(j = 0, 1, . . .).

Производящей для нее является функция1 z 7→ f (z) :=

N +1 X 1 + pr z(1 − z N ) z + z2 + · · · + zN = = , N +1 N +1 1+z (1 − z)(1 + z ) (1 − pr )N pN r (z − pr )

(4.42)

r=1

1

Функция z 7→ f (z), определенная в некоторой окрестности точки z = 0, называется производящей для числовой последовательности {a0 , a1 , . . .}, если эта функция разлагается в степенной ряд f (z) = a0 + a1 z + . . . с ненулевым радиусом сходимости.

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

109

где p1 , . . . , pN +1 — это все корни уравнения 1 + pN +1 = 0, т. е. i(2r − 1)π (r = 1, . . . , N + 1). N +1 Принимая во внимание это уравнение и разлагая правую часть цепочки равенств (4.42) по степеням z, получаем, что pr = exp

N +1 ∞ N +1 1 X pr (1 + pr ) 1 X j X 1 + pr f (z) = − = z . N +1 (1 − pr )(z − pr ) N +1 (1 − pr )pjr r=1

j=0

r=1

Итак, N +1 1 X 1 + pr = uj (j = 0, 1, . . .) . j N +1 r=1 (1 − pr )pr Подставляя сюда выражение для pr , получаем, что левая часть формулы (4.43) равна

2 N +1 2 = N +1 =

2 N +1

N X d=1

Re

[(N +1)/2]

X r=1

Re

[(N +1)/2]

X r=1

Re

1 + pr (1 − pr )pjr

(4.43)

=

{1 + exp[i(2r − 1)π/(N + 1)]} exp[−i(2r − 1)jπ/(N + 1)] = 1 − exp[i(2r − 1)π/(N + 1)]

{1 + cos[dπ/(N + 1)] + i sin[dπ/(N + 1)]}{cos[djπ/(N + 1)] − i sin[djπ/(N + 1)]} . 1 − cos[dπ/(N + 1)] − i sin[dπ/(N + 1)]

Прямой подсчет этой вещественной части приводит, с учетом формулы (4.43), к справедливости формулы (4.41). Этим доказывается равенство (4.39). Заметим теперь для доказательства равенства (4.40), что в силу формулы (4.41) оно равносильно равенству N 2 X00 djπ dπ 2j sin ctg =1− (j = 1, . . . , N ), N +1 N +1 2(N + 1) N +1 d=1

где двойной штрих означает, что суммирование проводится только по четным значениям d. Введем последовательность {v0 , v1 , . . .} по формулам 2j (j = 1, . . . , N ), vj+N +1 = vj (j = 0, 1, . . .). v0 = 0, vj = 1 − N +1 Производящей функцией для нее служит N ³ X 1 2j ´ j z 7→ g(z) := 1 − z = 1 − z N +1 N +1 j=1

= =−

1)z 2

(N − 1)z − (N + + (N + 1)z N +1 − (N − 1)z N +2 = (N + 1)(1 − z)2 (1 − z N +1 )

(4.44)

N X (N − 1)qr − (N + 1)qr2 + (N + 1)qrN +1 − (N − 1)qrN +2 , (N + 1)2 (1 − qr )2 qrN (z − qr ) r=1

где q1 , . . . , qN — все корни уравнения 1 − q N +1 = 0 за исключением q = 1, т. е. qr = exp[i2rπ/(N + 1)] (r = 1, . . . , N ). Приняв во внимание это уравнение и разложив правую часть формулы (4.44) по степеням z, получаем аналогично формуле (4.43) N

1 X 1 + qr = vj N +1 (1 − qr )qrj

(j = 0, 1, . . .).

r=1

Дальнейшие рассуждения не отличаются от проведенных выше при доказательстве формулы (4.39). Этим завершается доказательство формулы (4.40) и в целом теоремы 4.10.

110

А. Д. МЫШКИС

Исследование поведения aj (N ) и bj (N ) при N → ∞ проходит аналогично исследованию поведения ζN j в разделе 4.3. Так, рассуждая как при доказательстве теорем 4.7 и 4.8, нетрудно проверить, что π

lim aj (N ) =

N →∞

2 π

Z2

(sin 2jξ − | sin 2jξ|) ctg ξ dξ = − 0

2 ln j + O(1), π2

π

lim bj (N ) =

N →∞

Z2

2 π

(sin 2jξ + | sin 2jξ|) ctg ξ dξ = 0

2 ln j + O(1) π2

при j → ∞; при N → ∞ величина max bj (N ) возрастает не менее чем с логарифмической j=1,...,N скоростью. Рассмотрим теперь асимптотическое поведение величин aj (N ) и bj (N ), когда и N и j пропорционально возрастают. При этом заметим, что в формулах (4.37) и (4.38) можно считать j не обязательно натуральным числом. Поэтому положим j = s(N + 1), где s ∈ R — произвольное число. Введя для краткости обозначение u+ := (u + |u|)/2, перепишем формулу (4.38) в виде N N ³ 2(N + 1) ´ 2 X dπ 4X1 (sin dsπ)+ (sin dsπ)+ − − ctg bs(N +1) (N ) = . π d N +1 dπ 2(N + 1) d=1

d=1

Но из хорошо известного разложения функции z 7→ ctg z в ряд Лорана по степеням z следует, что функция x 7→ x−1 (x−1 − ctg x) возрастающая на (0, π) и потому ´ 1 1³1 4 < − ctg x < 2 3 x x π

³ π´ 0<x< . 2

Отсюда следует оценка ³ 2(N + 1) ´ 2 X dπ (sin dsπ)+ 0< − ctg < N +1 dπ 2(N + 1) N

d=1

´ 2 2 X 4³ dπ < , N +1 π 2 2(N + 1) π N

<

d=1

и мы получаем асимптотическую формулу N 4X1 bsN (N ) = (sin dsπ)+ + O(1) (s = const, N → ∞) π d d=1

(замена bs(N +1) (N ) на bsN (N ) здесь несущественна). Для упрощения этой формулы предположим дополнительно, что s = m2−r , где r ∈ N и m ∈ Z \ {0}. Разделим множество значений d на классы вычетов по модулю 2r+1 , так как sin dsπ принимает постоянное значение в каждом из этих классов. Поэтому, положив d = 2r+1 k + l (l = 1, . . . 2r+1 − 1), получаем при N → ∞ r+1 ]

r+1

[(N −l−1)/2 2 −1 X 4 X (sin lsπ)+ bsN (N ) = π l=1

k=0

1 + O(1). 2r+1 k + l

Отсюда, привлекая формулу N X k=0

1 1 = ln N + O(1) (N → ∞; a, b = const > 0), ak + b a

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

111

получаем равенство bsN (N ) =

"2r+1 −1 X

1 2r−1 π

# (sin lsπ)+ ln N + O(1) (N → ∞).

(4.45)

l=1

Без ограничения общности будем далее считать, что число m нечетное. Тогда при l = 0, 1, . . . , 2r+1 − 1 множество чисел M1 = {lsπ − [ls/2]2π} совпадает с множеством M2 = {l2−r π}, с точностью до перестановки элементов. В самом деле, каждый элемент множества M1 содержится в M2 , и элементы множества M1 , как нетрудно убедиться, попарно различны. Отсюда следует, что сумма, стоящая в квадратных скобках в формуле (4.45), равна 2r+1 X−1

−r

(sin 2

lπ)+ =

l=1

r −1 2X

sin 2−r lπ = ctg

l=1

π . 2r+1

Итак, мы получили асимптотическую формулу ³ 1 π ´ bsN (N ) = r−1 ctg r+1 ln N + O(1) (N → ∞) 2 π 2 для s = m2−r (r ∈ N, m нечетное). Асимптотическую формулу ³ asN (N ) = −

1

ctg

(4.46)

π ´

ln N + O(1) (N → ∞) 2r−1 π 2r+1 для такого же s можно аналогичным образом получить из формулы (4.37) (а еще проще — из формул (4.46) и (4.40)). Любопытно, что коэффициент при ln N не зависит от m. Он равен π −1 = 0.3183 при r = 1, растет с ростом r и стремится к 4π −2 = 0.4053 при r → ∞. Результаты подсчета значений max bj (N ) j

для N = 2r (r = 3, . . . , 8) и соответствующих значений j(N ) («самых опасных межвагонных соединений») указаны в статье [33]. В частности, было найдено, что max bj (32) = b7 (32) = 2.3468; j

max bj (64) = b14 (64) = 2.6271; max bj (128) = b28 (128) = 2.9078; max bj (256) = b56 (256) = 3.1887. j

j

j

Последовательные разности между правыми частями равны 0.2803, 0.2807, 0.2809, т. е., почти постоянны. Приращение же первого слагаемого в правой части формулы (4.46) при s = 7/32 и удвоении N равно (1/16π)( ctg (π/64)) ln 2 = 0.2806963. Таким образом, выражение O(1) в формуле (4.46) имеет почти постоянное значение 0.943 для указанных значений s и N . Тот факт, что max bj (N ) для исследованных значений N достигается именно при s = 7/32, не вытекает j

из главной части асимптотического представления bsN (N ), а связан с поведением члена O(1) в формуле (4.46). Трудно сказать, как это получилось. 4.6. СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ: РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Рассмотрим теперь случай, когда временной аргумент t дискретен и потому производная по t заменяется конечной разностью, но в остальном уравнение сохраняет тот же вид, что выше. Такие уравнения будем называть смешанными функционально-разностными (СФРУ). Они родственны обычным СДУ: например, из стандартного СДУ (1.1) получается соответствующее стандартное ∞ P СФРУ с помощью добавления в правую часть множителя δ(t − j), где δ — это дельта-функция. j=1

В этом пункте укажем простую теорему о разрешимости линейного пространственнооднородного СФРУ Z u(x, t + 1) = (dξ Mt )u(x + ξ, t), (x, t) ∈ Rm × N+ (4.47) Rm

при начальном условии u(x, 0) = ϕ(x) (x ∈ Rm ).

112

А. Д. МЫШКИС

Здесь u(x, t) ∈ Rn ; n > 1; Mt при каждом t ∈ N+ := N ∪ {0} — конечная счетно-аддитивная функция множеств со значениями в Rn×n , определенная на совокупности всех борелевских подмножеств Rm ; m > 1. (Отметим, что при целочисленном t ведение в правую часть запаздывания не приводит к существенному расширению класса уравнений, так как запаздывание всегда можно устранить с помощью повышения размерности n искомого решения.) Лемма 4.3. Пусть функция (x 7→ v(x)) : Rm → Rn непрерывна, ограничена и принадлежит пространству Lp при некотором p ∈ [1, ∞). Тогда при каждом t ∈ N+ функция Z x 7→ (Pt v)(x) := (dξ Mt )v(x + ξ) (x ∈ Rm ) Rm

обладает теми же свойствами, причем интеграл в правой части абсолютно сходящийся. Существует постоянная Ct , не зависящая от функции v и притом такая, что kPt vkp 6 Ct kvkp . Доказательство. Будем для определенности считать, что t = 0, и пусть функция v такова, как указано в формулировке леммы 4.3. Тогда, прежде всего, из неравенств ¯Z ¯ Z Z ¯ ¯ ¯ (dξ M0 )v(x + ξ)¯ 6 |dξ M0 | · |v(x + ξ)| 6 sup |v(x)| · |dM0 | ¯ ¯ Rm

Rm

Rm

вытекают ограниченность функции P0 v, абсолютная сходимость интеграла, стоящего в левой части, а также неравенство ³Z ´ kPt vk∞ 6 |dM0 | kvk∞ . Rm

Для доказательства непрерывности функции P0 v при любом фиксированном x0 ∈ Rm рассмотрим неравенство для любых x ∈ Rm , a > 0: Z |(P0 v)(x) − (P0 v)(x0 )| 6 |dξ M0 |[|v(x + ξ)| + |v(x0 + ξ)|]+ |ξ|>a

Z +

|dξ M0 ||v(x + ξ) − v(x0 + ξ)|.

|ξ|6a

При заданном ε > 0 выберем a столь большим, чтобы первое слагаемое в правой части было меньше ε/2 при любом x ∈ Rm . Затем, пользуясь равномерной непрерывностью функции v при |x| < |x0 |+a+1, выберем δ ∈ (0, 1) таким, чтобы и второе слагаемое в правой части при |x−x0 | < δ было меньше ε/2. Отсюда |(P0 v)(x) − (P0 v)(x0 )| < ε при таких x, что и требовалось доказать. Пусть теперь дополнительно дано, что v ∈ Lp , где p ∈ (1, ∞). Тогда, введя обозначение q := p и применяя неравенство Гельдера, а затем теорему Фубини, получаем: p−1 Z hZ ip p kP0 vkp 6 |dξ M0 ||v(x + ξ)| · 1 dx 6 Rm Rm

Z hZ 6

|dξ M0 ||v(x + ξ)|p

Rm Rm

Отсюда видим, что Pt v ∈

³Z

|dM0 |1q

´p/q i

³Z dx =

Rm

Lp ,

причем

Rm

³Z

kPt vkp 6 Rm

´ |dM0 | kvkp .

´(p/q)+1 |dM0 | kvkpp .

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

113

При p = 1 последнее неравенство легко вытекает из теоремы Фубини: Z hZ Z Z i kPt vk1 6 |dξ M0 ||v(x + ξ)| dx = |dM0 | |v(x + ξ)| dx = Rm Rm

³Z =

Rm

´ |dM0 | kvk1 .

Rm

Rm

Таким образом, лемма 4.3 полностью доказана. Из леммы 4.3 с помощью индукции по t сразу следует Теорема 4.11. Пусть функция ϕ : Rm → Rn непрерывна и ограничена. Тогда решение u : (Rm × N+ ) → Rn задачи (4.47)ϕ существует, единственно, непрерывно и при каждом значении t ограничено. Если, кроме того, ϕ ∈ Lp при некотором p ∈ [1, ∞], то и u обладает этим свойством при каждом t ∈ N+ , причем существует постоянная Ct , не зависящая от функции ϕ и притом такая, что ku( · , t)kp 6 Ct kϕkp . Из последнего неравенства вытекает возможность распространить понятие решения задачи (4.47)ϕ на случай, когда от функции ϕ требуется только принадлежность пространству Lp для некоторого p ∈ [1, ∞]. При этом под обобщенным решением такой задачи надо понимать предел по норме пространства Lp для каждого t ∈ N+ последовательности классических решений при аппроксимации функции ϕ по той же норме последовательностью функций, удовлетворяющих условию теоремы 4.11. Легко проверить, что если ϕ1 = ϕ2 при почти всех x ∈ Rm , то соответствующие решения u1 , u2 уравнения (4.47) совпадают для каждого t ∈ N+ при почти всех x ∈ Rm . В дальнейшем при рассмотрении СФРУ будем считать такой переход к обобщенным решениям осуществленным. 4.7. СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ: КВАДРАТИЧНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Понятия квадратичной устойчивости и асимптотической квадратичной устойчивости (см. конец раздела 3.5) естественно распространяются на СФРУ. Как и для СДУ, из теоремы Банаха— Штейнхауза следует, что для квадратичной устойчивости уравнения (4.47) необходимо и достаточно, чтобы каждое его решение было ограниченным по норме k . k2 . Ведем Фурье-образы Z 1 Φ(k) := ϕ(x)e−i(k, x) dx, (2π)m Rm Z 1 U (k, t) := u(x, t)e−i(k, x) dx, (2π)m Rm

где

(k, x) := k1 x1 + . . . + km xm . При k ∈ после умножения обеих частей уравнения (4.47) на (2π)−i(k, x) и интегрирования по x, а затем применения теоремы Фубини и простых преобразований, получаем (предел понимается в смысле L2 (Rm , Rn )) : Z 1 U (k, t + 1) = lim e−i(k, x) u(x, t + 1) dx = a→∞ (2π)m Rm ,

[−a, a]m

Z = lim Z =

a→∞ Rm

e Rm

i(k, ξ)

1 (dξ Mt ) (2π)m

Z

e−i(k, x) u(x + ξ, t) dx = [−a, a]m

1 (dξ Mt ) lim n→∞ (2π)m

Z e−i(k, x) u(x, t) dx

[−a+ξ, a+ξ]m

114

А. Д. МЫШКИС

и окончательно

³Z U (k, t + 1) =

´ ei(k, ξ) dξ Mt U (k, t).

(4.48)

Rm

Итерируя это равенство, получаем явную формулу для Фурье-образа решения задачи (4.47)ϕ : (k, t) ∈ Rm × N,

U (k, t) = Q(k, t)Φ(k), где

hZ Q(k, t) :=

e

i(k, ξ)

Rm

Rm

i

hZ

dξ Mt−1 · · ·

(4.49)

i ei(k, ξ) dξ M0 .

Rm

Rn×n

Отметим, что функция Q( . , t) : → Согласно равенству Парсеваля имеем

при каждом t ∈ N непрерывная и ограниченная.

kϕk2 = (2π)m/2 kΦk2 , ku( . , t)k2 = (2π)m/2 kU ( . , t)k2 . Поэтому квадратичная устойчивость и асимптотическая квадратичная устойчивость уравнения (4.47) эквивалентны аналогично формулируемым свойствам уравнения (4.48). Теорема 4.12. Для квадратичной устойчивости уравнения (4.47) необходимо и достаточно, чтобы sup |Q(k, t)| < ∞. k, t

Для его асимптотической квадратичной устойчивости необходимо и достаточно, чтобы, кроме этого, Z |Q(k, t)|2 dk → 0 E

при t → ∞ для любого ограниченного измеримого множества E ⊂ Rm . Доказательство. Первое утверждение сразу следует из формулы (4.49) и произвола в выборе квадратично суммируемой функции Φ. Для доказательства второго утверждения заметим, что в силу равенства Парсеваля асимптотическая квадратичная устойчивость уравнения (4.47) равносильна поточечной сходимости к нулю при t → ∞ последовательности операторов умножения слева на матрицу-функцию Q( . , t) (t = 1, 2, . . .) в пространстве L2 (Rm , Rn ). Однако для этого (см. общее условие поточечной сходимости последовательности линейных операторов в сноске на с. 83 раздела 3.7) необходима и достаточна сходимость к нулю последовательности значений этих операторов на множестве функций, линейные комбинации которых всюду плотны в L2 (Rm , Rn ). В качестве этих функций можно взять совокупность всех векторфункций, каждая из которых постоянна на каком-либо ограниченном измеримом множестве, а вне него равна нулю. Это приводит к условию, указанному в формулировке теоремы 4.12. Следствие. Если sup |Q(k, t)| → 0 k∈E

при t → ∞ для любого ограниченного измеримого множества E ⊂ Rm , то уравнение (4.47) асимптотически квадратично устойчиво. 4.8. КВАДРАТИЧНАЯ

УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНЫХ СМЕШАННЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Если мера Mt не зависит от t, т. е. Mt = M , то уравнение (4.47) принимает вид Z u(x, t + 1) = (dξ M )u(x + ξ, t), (x, t) ∈ Rm × N+ , Rm

(4.50)

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

тогда как Q(k, t) = [Q(k)]t , где

115

Z ei(k, ξ) dξ M (k ∈ Rm ).

Q(k) := Rm

Из теоремы 4.12 непосредственно вытекают следующие утверждения: Теорема 4.13. Для квадратичной устойчивости уравнения (4.50): необходимо, чтобы при каждом k ∈ Rm все собственные значения матрицы Q(k) по модулю не превосходили 1, а для собственных значений, по модулю равных 1, все элементарные делители были 1-й степени; достаточно выполнение любого из следующих условий: 1) матрица Q(k) такая, как указано выше, а матрицу S(k), приводящую Q(k) к нормальной жордановой форме, можно выбрать так, что sup {|S(k)|, |S −1 (k)|} < ∞; k∈Rm

2) какая-либо из матричных норм матрицы Q(k) при всех k ∈ Rm не превосходит 1. Пусть выполнено условие 1). Тогда для асимптотической квадратичной устойчивости уравнения (4.50) необходимо и достаточно, чтобы множество точек k ∈ Rm , для которых собственное значение матрицы Q(k) по модулю равнялось 1, имело меру 0. Пусть выполнено условие 2). Тогда для асимптотической квадратичной устойчивости уравнения (4.50) достаточно, чтобы множество точек k ∈ Rm , для которых упомянутая в этом условии норма матрицы Q(k) равнялось 1, имело меру 0. Для скалярных уравнений (т. е. при n = 1) критерии квадратичной устойчивости и асимптотической квадратичной устойчивости особенно просты и сразу следуют из теоремы 4.13: Теорема 4.14. Для квадратичной устойчивости скалярного уравнения (4.50) необходимо и достаточно, чтобы sup |Q(k)| 6 1. k

Для асимптотической квадратичной устойчивости такого уравнения необходимо и достаточно, чтобы sup |Q(k)| 6 1 k

и mes{k ∈ Rm : |Q(k)| = 1} = 0. 4.9. СМЕШАННЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ВСЕЙ ОСИ

x:

ПРИМЕРЫ

Рассмотрим скалярное СФРУ (n = m = 1) u(x, t + 1) = a0 (t)u(x, t) +

N X

[aj1 (t)u(x − gj , t) + aj2 (t)u(x + gj , t)],

j=1

где (x, t) ∈ R × N+ , N > 0, все gj ∈ R+ . Здесь t−1 N Y X Q(k, t) = {a0 (l) + [aj1 (l)e−igj k + aj2 (l)eigj k ]} j=1

l=0

и потому N t−1 N X Y X + 2 2 aj (l) cos(gj k)] + [ a− |Q(k, t)| = {[a0 (l) + j (l) sin(gj k)] }, 2

l=0

j=1

где обозначено a+ j (l) := aj1 (l) + aj2 (l), a− j (l) := aj1 (l) − aj2 (l).

j=1

(4.51)

116

А. Д. МЫШКИС

− Если же уравнение (4.51) автономное, т. е. все коэффициенты a0 , a+ j , aj постоянные, то

|Q(k)|2 = [a0 +

N X

2 a+ j cos(gj k)] + [

j=1

N X

2 a− j sin(gj k)] .

j=1

К полученным выражениям для Q можно применить теоремы 4.13 и 4.14, что приводит к признакам квадратичной устойчивости и асимптотической квадратичной устойчивости уравнения (4.51). В некоторых случаях эти признаки можно выразить в виде простых коэффициентных условий. Так, допустим, что равенство N X rj gj = 0 (∀rj ∈ Z) j=1 − возможно, только если все rj = 0, а из любых двух функций a+ j , aj одна тождественно равна нулю, а другая, как и функция a0 , не меняет знака, хотя и может обращаться в нуль. Тогда, опираясь на теорему 3.24, легко показать, что t−1 N N Y X X + 2 2 sup {[a0 (l) + aj (l) cos(gj k)] + [ a− j (l) sin(gj k)] } = k∈R l=0

j=1

j=1

N N t−1 X X Y + 2 2 {[|a0 (l)| + |aj (l)|] + [ |a− = j (l)|] }, j=1

l=0

t ∈ N+ .

j=1

Отсюда с помощью теоремы 4.12 получаем, что в приведенных предположениях для квадратичной устойчивости уравнения (4.51) необходимо и достаточно, чтобы sup

N N t−1 X X Y 2 2 {[|a0 (l)| + |a+ (l)|] + [ |a− j j (l)|] } < ∞.

t∈N l=0

j=1

j=1

Если при этом уравнение (4.51) автономное, для его квадратичной устойчивости необходимо и достаточно, чтобы N N X X + 2 2 (|a0 | + |aj |) + ( (a− j ) 6 1; j=1

j=1

если же дополнительно дано, что |a0 | < 1, то оно асимптотически квадратично устойчиво. − Рассмотрим еще случай автономного уравнения (4.51) при N = 1 без требования a+ j aj = 0. В этом случае + + 2 − 2 2 2 max |Q(k)|2 = max {a20 + (a− (4.52) 1 ) + 2a0 a1 p + [(a1 ) − (a1 ) ]p }. k∈R

−16p61

Элементарное исследование показывает, что правая часть равна  + 2 + 2 (|a0 | + |a+ |)2 , (a− 1 1 ) 6 (a1 ) + |a0 a1 |, + − − − + Φ(a0 , a1 , a1 ) := (a1 )2 [a20 +(a1 )2 −(a1 )2 ] + 2 + 2  , (a− 1 ) > (a1 ) + |a0 a1 |. (a− )2 −(a+ )2 1

1

(Первая строка относится к случаю, когда максимум, указанный в правой части формулы (4.52) достигается в конце отрезка [−1, 1], а вторая строка — к случаю, когда он достигается внутри этого отрезка.) В силу теоремы 4.14 получаем, что для квадратичной устойчивости рассматриваемого − уравнения необходимо и достаточно, чтобы Φ(a0 , a+ 1 , a1 ) 6 1. Эта устойчивость является асимпто− + + − тической за исключением случая, когда одновременно Φ(a0 , a+ 1 , a1 ) = 1, a0 a1 = 0, |a1 | = |a1 |. В качестве последнего примера рассмотрим простейшее скалярное СФРУ с интегральной правой частью: Zq u(x, t + 1) = r u(x + ξ, t) ds, (x, t) ∈ R × N+ , (4.53) p

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

117

где −∞ < p < q < ∞. Здесь Zq eikξ dξ,

Q(t) = r

|Q(k)| = 2|r|| sin[k(q − p)/2]|/|k|.

p

Из теоремы 4.14 следует, что для квадратичной устойчивости уравнения (4.53) необходимо и достаточно, чтобы |r|(q − p) 6 1, причем эта устойчивость является асимптотической. 4.10. ЛИНЕЙНЫЕ

АВТОНОМНЫЕ СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

Теория таких уравнений совершенно аналогична теории линейных автономных СФУ (см. раздел 3.4) и поэтому мы не будем ее здесь приводить. Отметим только, что для СФРУ вместо обычного преобразования Лапласа применяются либо дискретное преобразование Лапласа: U (x, p) =

∞ X

u(x, t)e

t=0

−pt

1 ⇔ u(x, t) = 2πi

r+i∞ Z

U (x, p)ept dp r−i∞

(p ∈ C, Re p достаточно велико), либо равносильное ему «z-преобразование»: I ∞ X 1 ˜ (x, z) = ˜ (x, z)z t−1 dz U u(x, t)z −t ⇔ u(x, t) = U 2πi |z|=R t=0

(z ∈ C, R > 0 достаточно велико). Образом функции (x, t) 7→ u(x, t + 1) служит (x, p) 7→ ep [U (x, p) − ϕ(x)] в первом случае и ˜ (x, z) − ϕ(x)] (x, z) 7→ z[U во втором. Рассмотрим в качестве примера скалярное уравнение, аналогичное (3.32): u(x, t + 1) =

d X

aj (x)u(x + j, t) + f (x, t),

x ∈ (a, b), t ∈ (0, ∞)

(4.54)

j=−d

в тех же общих предположениях, что (3.32). Характеристическая матрица Aα имеет здесь тот же вид, что и для ЗСДУ: Aα (z) := (zδrh − a0h−r (α + r)), где смысл обозначений тот же, что и в разделе 3.4. Рассуждая, как в разделе 3.4 и обозначив корни уравнения det Aα (z) = 0 через zkα , получаем следующие утверждения: Теорема 4.15. Пусть sup |zkα | < 1. k,α

Тогда уравнение (4.54) асимптотически устойчиво по Ляпунову, а если функции f и ϕ ограничены (стремятся к нулю) при t → ∞, то и решение u задачи (4.54)ϕ ограничено (соответственно стремится к нулю) при t → ∞. Если же sup |zkα | > 1, k,α

то уравнение (4.54) неустойчиво по Ляпунову.

118

А. Д. МЫШКИС

Теорема 4.16. Пусть коэффициенты в уравнении (4.54) постоянные. Тогда условие sup |zkα | < 1 k, α

является и необходимым для асимптотической устойчивости этого уравнения. Если же sup |zkα | = 1, k, α

то для устойчивости уравнения (4.54) необходимо и достаточно, чтобы корням zkα с |zkα | = 1 соответствовали жордановы клетки только 1-го порядка. Найдем, например, явные условия устойчивости по Ляпунову скалярного СФРУ u(x, t + 1) = pu(x − 1, t) + qu(x, t) + ru(x + 1, t),

x ∈ (a, b), t ∈ (0, ∞);

(4.55)

условия для аналогичного ОСДУ (3.25) были указаны в разделе 3.3. Корни характеристического уравнения для z получаются те же, что и там: dπ √ zd = q − 2 pr cos , j+1

d = 1, . . . , j,

где j = [b − a] или [b − a] + 1, если b − a 6∈ Z, и j = b − a, если b − a ∈ Z. Применяя теоремы 4.7 и 4.11, получаем критерии: при pr > 0 для устойчивости (асимптотической устойчивости) уравнения (4.55) по Ляпунову необходимо и достаточно, чтобы π √ |q| + 2 pr cos 61 1 − [a − b] (соответственно <1); при pr < 0 для устойчивости (асимптотической устойчивости) уравнения (4.55) по Ляпунову необходимо и достаточно, чтобы π q 2 + 4|rt| cos2 61 1 − [a − b] (соответственно <1). 4.11.

КОММЕНТАРИИ

Теоремы 4.3–4.5 (раздел 4.3) известны, хотя я затрудняюсь наилучшим образом указать источник. Раздел 4.4 написан на основе статьи [14]. Раздел 4.5 составлен по статьям [14, 33–35]. Раздел 4.6 написан на основе статьи [50]. Материал раздела 4.7–4.9 содержится в той же статье. Остальные результаты публикуются впервые. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967 2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. — Киев: Наукова Думка, 1965 3. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, Т. 2. — М.: Наука, 1962 4. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985 5. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и ядра, и малые колебания механических систем. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950 6. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1962 7. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970 8. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы, Т. 1. — М.: ИЛ, 1962 9. Жуковский Н. Е. Работа (усилие) русского сквозного и американского несквозного тяговых приборов при трогании поезда с места и в начале его движения// Полн. собр. соч. — 1937. — 8. — М.–Л.: ОНТИ. — С. 221–255 10. Иванова Е. П., Каменский Г. А. Вариационные и краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. — М.: МАИ, 1993

СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

119

11. Иванова Е. П., Каменский Г. А. Начальные задачи для дифференциально-разностных уравнений. — М.: МАИ, 1995 12. Каулинг Т. Д., Чепмен С. Математическая теория неоднородных газов. — М.: ИЛ, 1960 13. Кейз К., Цвайфель П. Ф. Линейная теория переноса. — М.: Мир, 1972 14. Курчанов П. Ф., Мышкис А. Д., Филимонов А. М. Колебания железнодорожного состава и теорема Кронекера// Прикл. мат. и мех. — 1991. — 55, №6. — 989–995 15. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. — М.–Л.: Гостехиздат, 1960 16. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965 17. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1981 18. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука, 1972 (издание второе) 19. Мышкис А. Д. Начальная задача для смешанных функцилнально-дифференциальных уравнений// Автоматика и телемеханика. — 1999. — №3. — C. 170–180 20. Мышкис А. Д. L2 -устойчивость линейных пространственно-однородных смешанных функциональнодифференциальных уравнений// Дифф. ур-я. — 2000. — 36, № 1. — C. 71–75 21. Мышкис А. Д. Устойчивость линейных смешанных функционально-дифференциальных уравнений с соизмеримыми отклонениями пространственного аргумента// Дифф. ур-я. — 2002. — 38, № 10. — C. 1331–1337 22. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. — М.: ИЛ, 1960 23. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973 (издание третье) 24. Халмош П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953 25. Appel J., Diallo O. W., Problemes aux limites pour des equations integro-differentielles de type Barbachine// Z. Anal. Anwendungen. — 1995. — 14, № 1. — C. 95–104 26. Bernoulli J. Dechordis vibrantibls// Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. — 1728. — 3. — C. 13–28 27. Burkhardt H. Entwicklungen nach oscillirenden Funktionen und Integration der Differentialgleichungen der mathematischen Physik// Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. — 1908. — 10. — C. 1–1804 28. Ceppitelli R., Kamont Z. Extremal solutions for semilinear differential–functional systems in two independent variables// Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. — 1994. — 42, № 2. — C. 329–341 29. Chur-jen Chen. On a generalized integro-differential equation of Barbashin type// Z. Anal. Anwendungen. — 1995. — 14, № 4. — C. 899–912 30. Dlotko T. Stability of the Chandrasekhar—Muench equation// Zesn. Nauk. U. I. Acta Math. — 1991. — № 28. — C. 85–92 31. Elderskin R. H. Nonlinear, globally age-dependent population models; some basic theory// J. Math. Appl. — 1985. — 108, № 2. — C. 546–562 32. Ermolova E. A. Lyapunov–Bohl–Exponent und Greensche Funktion fuer eine Klasse von Integro– Differentialgleichungen// Z. Anal. Anwendungen. — 1995. — 14, № 4. — C. 881–898 33. Filimonov A. M., Kurchanov P. F., Myshkis A. D. Some unexpected results in the classical problem of vibration of the string with n beads when n is large// C. R. Acad. Sci. Paris S´er. I Math. — 1991. — 313. — C. 961–965 34. Filimonov A. M., Myshkis A. D. On approximation of differential operator with differential one by investigation of oscillations of 1-dimensional discrete systems// In: Advances in Difference Equations. Proc. of the Second Intern. Conf. on Difference Equations. Vespr´em, Hungary, August 7–11. — 1995. — C. 197–204 35. Filimonov A. M., Myshkis A. D. Asymptotic estimate of solution of one mixed difference-differential equation of oscillations theory// J. Differ. Equations Appl. — 1998. — 4. — C. 13–16 36. Gopalsamy K. Age–specific coexistence in two–species competition// Math. Biosci. — 1982. — 61, № 1. — 101–122 37. Grant Ch. P., Van Vleck E. S. Slowly-migrating transition layers for the discrete Allen—Cahn and Cahn— Hilliard equations// Nonlinearity. — 1995. — 8, № 5. — C. 861–876 38. Ivanova E. P., Kamenskii G. A. On initial value problems for a differential–difference equation// Techn. Report №63. Univ. of Rhode Island, USA. — 1991 39. Kamenskii G. A. Boundary value problems for differential–difference equations arising from variational problems// Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. — 1992. — 18, № 8. — C. 801–813 40. Kamenskii G. A., Myshkis A. D. On the mixed type functional differential equations// Nonlinear Anal., Theory Methods Appl.. — 1997. — 30, № 5. — C. 2577–2584

120

А. Д. МЫШКИС

41. Kamenskii G. A., Myshkis A. D. Periodic solutions of linear inhomogeneous mixed functional differential equations// Funct. Differ. Equ. – 1997. — 4, № 1–2. — C. 81–90 42. Kamenskii G. A., Myshkis A. D. Mixed functional differential equations// Nonlinear Anal., Theory Methods Appls. — 1998. — 34, № 2. — C. 283–297 43. Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations. — Dortmund—Boston—London: Kluwer Acad. Press, 1999 44. Kwan C. M. Some new results in population control// In: Proc. 33rd IEEE Conf. Decis. and Contr., Lake Buena Vista, Fla, Dec. 14–16 — 1994. — 4. — C. 4110–4111 45. Lagrange G. L. Mechanique Analitique. — Paris, 1788 46. Lee N., Sibuja Y. A note on partial differential–difference equation// J. Difference Equ. Appl. — 2001. — 7. — C. 13–20 47. Leszczynski H. Convergence result for unbounded solutions of first order non-linear differential-functional equations// Ann. Pol. Math. — 1996. — 64, № 1. — C. 1–16 48. Milner F. A. Age structured populations with history dependent mortality and natality// Calcolo. — 1993. — 30, №1. — C. 29–39 49. Myshkis A. D. On the solvability of the initial–boundary problem for mixed functional-differential equation of retarded type// Funct. Differ. Equ. — 2000. — 7, № 3–4. — C. 311–324 50. Myshkis A. D. Stability of linear spatially uniform mixed functional–difference equations// J. Difference Equ. Appl. — 2001. — 7. — C. 941–949 51. Myshkis A. D. Mixed functional differential equations with continuous and piecewise continuous solutions// Funct. Differ. Equ. — 2002. — 9, № 1–2. — C. 221–226 52. Perron O. Die Lehre von dan Kettenbruehen, Bd 1–2. — Stuttg., 1954–1957 53. Rothe E. H. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als Grenzfall eindimensionaler Randwertaufgaben// Math. Ann. — 1929. — 102, №4/5 54. Stewart I. W., Dubovskii P. B. Approach to equilibrium for the coagulation–fragmentation equation via a Lyapunov functional// Math. Appl. Sci. — 1996. — 19, № 3. — C. 171–185 55. Tarallo M., Terracini S. On the existence of periodic and solitary traveling waves in some non linear lattices// Dyn. Syst. Appl. — 1995. — 4, № 3. — C. 429–458 56. Truesdell C. An essay towards a unified theory of special functions. — Princeton: Princ. Univ. Press, 1948

Анатолий Дмитриевич Мышкис Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), Москва E-mail: [email protected]