Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения

A

A

Лемма 1. Матрицы z^Gz~ и z Ez~ голоморфны в точке z = 0. Нормирование матричной функции zAzEz~A в точке 0 равно нулю. Доказательство. Матрицы G и Е согласно определению 2 имеют верхний треугольный вид, а для нормирований базиса (е) выполнены неравенства ср* ^ цт при k^m. Поскольку элемент с^т произведения zACz~A для произвольной верхней треугольной матрицы С = ((ckm)) равен = 0,

k > т,

РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА—2

47

то, тем самым, zACz~A —голоморфная в точке 0 матрица, что верно, в частности, для С = G и С = Е. Второе утверждение леммы немедленно следует из вида матрицы zE (см. лемму 4.2 и упражнение 3), который влечет с р ^ ) ^ 0, и из того, что диагональные элементы матрицы zAzEz~A равны 2?, /= 1,...,/?, и

^

•

0.

Теорема 1. Для фундаментальной матрицы Ye(z), построенной по левелевскому базису (е) пространства решений X системы (4.2) в О с регулярной особой точкой О, имеет место следующее разложение. т _ Ye(z) = U(z)zAzE, (5.3) где матрица U(z) однозначна и голоморфна в окрестности точки 0. Доказательство. Однозначность матрицы U(z) следует из леммы 4.1. Пусть г = max/Rep', 0 < е < (1 - г)/2. Для доказательства голоморфности достаточно показать, что lim и(г^+2ш

= 0.

(Здесь, как и ранее, предел понимается по секторам.) Но

U{z&+3x = где

= Nx{z)N2{z),

ВДГ-W+2E

) = Ye(z)z-A+cl,

N2(z) =

zAz~Ez-Azr+c.

Поскольку /-й столбец матрицы N\{z) равен то из определения нормирования следует, что lim N\(z) = 0. z-vO

Из леммы 4.2 и выбора г получаем, что матрица z~E+rl имеет вид (4.6) (с заменой pi на г-pi > 0). Поэтому так же, как в доказательстве второй части леммы 1, имеем:

Следовательно, A

E+r

A t

lim N2{z) = lim z z~ 'z- z 0

= 0.

z-v0

Наряду с левелевским базисом полезно рассматривать также базис, который мы будем называть слабо левелевским. Определяется он следующим образом.

48

ЛЕКЦИЯ 5

Если оператор монодромии а* имеет единственное собственное значение, то слабо левелевский базис совпадает с левелевским. В общем случае разложим пространство решений X в сумму корневых подпространств Х = Х)(В.. -®XS, отвечающих попарно различным собственным S значениям X',...,X оператора монодромии. Обозначим сужение а* на Xi через а*. Нормирование ф, ограниченное на Л/, порождает фильтрацию этого подпространства, аналогичную (5.2), и оператор а* сохраняет эту фильтрацию. Рассмотрим для каждого X, соответствующий левелевский базис. Базис, полученный объединением построенных левелевских базисов по всем i— 1,..., s, называется слабо левелевским базисом пространства решений X. Упражнение 5. Докажите, что слабо левелевский базис пространства X ассоциирован с фильтрацией (5.2) всего пространства X. Другими словами, докажите, что нормирование ср принимает на слабо левелевском базисе все свои значения с учетом кратностей. В слабо левелевском базисе матрица G оператора монодромии а* имеет блочно-дигональный вид G = diag(G|,..., Gs), поэтому лемма 1 (в которой под матрицей А понимается матрица нормирований слабо левелевского базиса) остается справедливой и для этого базиса. Действительно, проверка голоморфности соответствующих матриц сводится к поблочной, а для каждого отдельного блока слабо левелевский базис является левелевским. Теорема 1 также остается справедливой для слабо левелевского базиса. Ее доказательство теперь дословно совпадает с доказательством теоремы в случае левелевского базиса. В качестве примера к теореме 1 рассмотрим системы из примеров 4.3 и 4.1. Пример 3. Для системы dy

( О

1

имеющей фундаментальную матрицу

»Ю-°- »(-%•)=-*•

поэтому разложение (5.3) для матрицы Y(z) в О* имеет вид /О

0\

г(г)= (f _',)>Ч

так как £ = 0 в данном случае (монодромия отсутствует).

РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА — 2

49

Пример 4. Для системы dz~\0

с фундаментальной матрицей Ю ' " •1* ) • получаем поэтому разложение (5.3) для матрицы Y(z) в О* имеет вид

M Заметим, что матрица U(z) в последнем примере (в отличие от предыдущего) не просто голоморфна, а голоморфно обратима в нуле. Оказывается, именно это свойство выделяет фуксовы системы среди всех систем с регулярной особой точкой z = 0. Более точно, имеет место следующая теорема, принадлежащая голландскому математику А.Х. М.Левелю. Теорема 2. Система (4.2) с регулярной особой точкой z=0 фуксова в этой точке тогда и только тогда, когда в разложении Ye(z)=U(z)zAzE

(5.4)

для фундаментальной матрицы Ye(z), построенной по левелевскому (слабо левелевскому) базису (е) пространства решений X системы (4.2) в О, матрица U{z) голоморфно обратима в окрестности точки 0. Доказательство теоремы будет приведено в следующей лекции. Упражнения 6. Докажите, что любой слабо левелевский базис может быть получен из некоторого левелевского базиса верхнетреугольным преобразованием и последующей «тасовкой» блоков (где под «тасовкой» понимается такое преобразование, которое сохраняет порядок векторов каждого из блоков, на которые разбит базис). 7. Докажите, что лемма 1 и теорема 1 верны для разложения (5.3), построенного по любому ассоциированному с фильтрацией (5.2) базису.

ЛЕКЦИЯ 6

Мероморфные связности с регулярными особыми точками. Локальная теория — 3 Доказательство достаточности условий теоремы 5.2 сводится к непосредственной проверке. Основная трудность заключается в доказательстве необходимости этих условий. Доказательство теоремы 5.2. Достаточность. Введем следующие обозначения:

Цг) = А+гАЕг~А,

L(0)=\\m(A+zAEz-A). Z-УО

Заметим, что согласно лемме 5.1 (справедливой как для левелевского, так и для слабо левелевского базисов) матричная функция Цг) голоморфна в О. Это — верхнетреугольная матрица, диагональ которой совпадает с диагональю матрицы А + Е. Обозначим диагональные элементы матрицы L(z) через & = tpl + pi, /=1,...,р. Эти числа называются показателями системы (4.2) в нуле. Поскольку матрица Ye{z) является решением матричного уравнения d

(6.1)

±=B(z)Ye,

Т

°

B{z) = d± • К"1 = [^t/-1 dz

\ az

+ У-UzjU-1). z

(6.2)

/

Следовательно, матрица zB(z) голоморфна в точке z=0, и система (4.2) фуксова в нуле. Достаточность доказана. Необходимость. Проведем вначале доказательство для слабо левелевского базиса. Напомним, что в этом случае матрица Е имеет блочно-диагональный вид Е — diag{E\,...,Es), где, в свою очередь, для

™б0Г°'

£, = • / +W,.

(6.3)

Ni — верхнетреугольная нильпотентная матрица. Обозначим через R матрицу R = diagfp 1 /,..., psl). Ясно, что матрицы R и Е коммутируют. Действительно, умножение этих матриц сводится к поблочному умножению, но каждый блок матрицы R является скалярной матрицей.

РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА - 3

51

Матрицу А нормирований можно записать в таком же блочном виде А = diag(/4[,..., As), где каждый блок Л, имеет вид

(6.4) ф- > . . . > ф™', и где размер 1-го диагонального блока равен размерности факторпространства Х\/Х\~х из левелевской фильтрации подпространства Л/. Разобьем матрицы L(z), L(0) на блоки таких же размеров, как у матрицы Е, а матрицы £,-, L,(z), L,(0) — на блоки тех же размеров, что у матрицы А[, получим:

(6.5)

ФГ/+£.,«,> Пусть система (6.1) фуксова в точке 0. Тогда B(z) — BQ(Z)/Z, где матричная функция BQ(Z) голоморфна в нуле. Из (6.1) и (6.2) в этом случае получаем:

Boiz)U(z) = z^ + U(z)L(z),

B0(0)U(0) = U(0)L(0).

(6.6)

Мы будем доказывать необходимость утверждения теоремы от противного. Предположим, что detf/(O) = 0, и рассмотрим ядро Кег£/(0) матрицы U(0), т.е. все векторы из С р , которые переводятся матрицей U(0) в нуль. Из последнего соотношения в (6.6) следует, что линейное преобразование Ц0) переводит Кег(У(0) в себя. Обозначим через с е Кег(/(0) собственный вектор этого преобразования. Тогда Ц0)с = Р|с, где р. = р ' + ф| для некоторых i, l. Тем самым, из вида (6.5) матри-

52

ЛЕКЦИЯ 6

цы ЦО) следует, что вектор с имеет следующую блочную структуру

с =

/0\

/0\

о

о

О

О

Ci

«•С)-

где / — размер блока ф|/-(-Р 22 матрицы Z,,(0). Другими словами, единственные априори ненулевые компоненты вектора с находятся в строках с теми же номерами, что и элементы указанного блока матрицы ЦО). Из сказанного выше и из блочного вида матрицы ЦО) следует, что

Рассмотрим решение ус = Yec. Из вида вектора с следует, что = ф|- Мы покажем, что (piyc) > ф|, и, тем самым, придем к противоречию (из которого будет следовать, что предположение о вырожденности матрицы U(0) неверно). Обозначим матрицу Е - R через Е. Из (6.3) следует, что матрица Е = diag(jVi,..., Ns) нильпотентна. Используя тот факт, что матрицы Е и R коммутируют, представим вектор-функцию z~^yc в следующем виде:

= U(z)c+O{z\np-{

z)c=

таккак(Ц0)-/1-/?)с = 0и U(0)c =

z)c =

z).

РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА - 3

53

Поэтому для любого числа X < ф- + 1 получаем yc{z)z~x = УС(Г)Г-*'-*+*- = 4 c ( z ) z - t f - p y - | + e = О(г\пр~] 2 ) Г Р ' - | + Е , где е > 0 и Re(p' - 1 + е) > - 1 . Поэтому x

yc{z)z~ -> 0, когда z -> О (предел, как всегда, берется по секторам). Следовательно,
Y'{Z)=U'(z)zA'ze для левелевского базиса (в котором мы пометили все матрицы штрихами, чтобы отличать его от соответствующего разложения для слабо левелевского базиса) имеет место неравенство trA' ^ trA (на самом деле имеет место равенство, как это следует из упражнения 5.4, но для наших целей достаточно и неравенства). Действительно, из последнего неравенства следует, что порядок нуля голоморфной функции det U'(z) в нуле не превосходит порядка нуля det U(z) (так как У" = YS и det У = с det Y, с = detS / 0). Но, согласно доказанному, последняя функция в точке г = 0 в нуль не обращается. Значит, матрица U'(z) голоморфно обратима в нуле. • Из разложения (5.3) для фуксовой системы следует, что числа р — =
В

-^У

(6.7)

в нуле совпадают с собственными значениями матрицы во(О) коэффициентов этой системы. Как найти матрицу монодромии фуксовой системы по матрице ее коэффициентов? В так называемом нерезонансном случае это сделать несложно. Напомним, что система (6.7) называется нерезонансной, если никакие два собственных значения матрицы Во(О) не отличаются на натуральное число. В противном случае система называется резонансной в нуле.

54

ЛЕКЦИЯ6

Предложение 1. Если фуксова система (6.7) нерезонансна в нуле, то матрица монодромии этой системы сопряжена к матрице exp(2wflo(O)). Доказательство. Рассмотрим вновь разложение (5.3), построенное по слабо левелевскому базису (е). В условиях предложения каждая из матриц Ai в разложении (6.4) является скалярной, т. е. ф! = ... = ф™1, ибо в противном случае разность |

|

Р)-РГ' = ф| +р'-ФГ-р' = ф|-ФГ' была бы натуральным числом. Так как в силу следствия 1 числа р' являются собственными значениями матрицы BQ{0), TO отсюда следовала бы резонансность системы (6.7) в нуле. Следовательно, матрицы А и Е коммутируют, поэтому L(0) = А + Е, и из (6.6) получаем: Bo(O)=t/(OX/4 + £){/-' (0), ехр(2л/В0(0)) = U(0)txp(2ni{A + £))£Г ! (0) = t/(0)Gtr'(О).

•

Из доказательства достаточности теоремы также легко вытекает следующее полезное утверждение, доказательство которого мы оставляем читателю. Предложение 2. Пусть некоторая (не обязательно левелевская) фундаментальная матрица Ye системы (4.2) представлена в виде (5.3), где U(z) голоморфно обратима в нуле, А — некоторая диагональная целочисленная матрица [диагональные элементы которой не обязательно образуют невозрастающую последовательность), Е—произвольная матрица. Если матричная функция zAEz~A голоморфна в нуле, то система (4.2) фуксова в нуле. Упражнение 1. Используя утверждение упражнения 5.7, докажите, что теорема 5.2 имеет место для разложения (5.3), построенного по любому базису, ассоциированному с фильтрацией (5.2). Вернемся к фуксовым скалярным дифференциальным уравнениям. Каждое такое уравнение в окрестности особой точки z = 0 имеет вид (4.7), (4.8): zpu{p) + zp-lrl(z)u{p-i) + ... + rp(z)u = 0, где функции r\(z),...,rp{z) голоморфны в точке нуль. Наряду с уравнением (6.8) рассмотрим уравнение Эйлера ) P (P) + P - I r ,(0)u<"-' + . . . + rp{0)u = 0. Z

U

Z

(6.8)

(6.9)

РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА - 3

55

Напомним, что решения последнего уравнения находятся следующим образом. Рассмотрим уравнение

+ ... + г„(0) = 0. (6.10) Каждому корню X, кратности kt этого уравнения отвечает ровно k, решений z*1 In' z, / = 0 , . . . ,fc,-— 1, уравнения (6.9). Корни X, уравнения (6.10) являются показателями асимптотик решений уравнения Эйлера в нуле. Фуксово уравнение (6.8) можно рассматривать как голоморфную деформацию соответствующего уравнения Эйлера (при которой числа л,(0) заменяются на голоморфные функции п(г); кстати, это удобный способ запомнить определение фуксова уравнения). Можно ожидать, что при этом корни уравнения (6.10) (которое называется определяющим уравнением для фуксова уравнения (6.8)) будут по-прежнему играть роль показателей асимптотик для решений последнего уравнения. Заключительная часть лекции будет посвящена доказательству этого факта. Теория Левеля переносится без каких-либо изменений на случай скалярных фуксовых уравнений: точно так же определяются нормирования, фильтрации, показатели и т.д. вплоть до теоремы 5.1 включительно. Единственное отличие состоит в том, что в разложении (5.3) для скалярного фуксова уравнения, которое мы перепишем в виде Ур(г)=ир(г)гЛгЕ,

(6.11)

матрицы Yp(z) и Up(z) имеют размер (1 хр), т.е. являются векторами. Элементы е\,...,ер матрицы Yp образуют левелевский (слабо левелевский) базис в пространстве решений уравнения (6.8), а элементы матрицы Up(z) голоморфны в нуле согласно теореме 5.1. Так же, как в доказательстве достаточности теоремы 4.2, с помощью замены y2 = zu'

*=и,

у

P = zP-[u(p-[)

y

(6.12)

перейдем от уравнения (6.8) к фуксовой системе (6.7) с матрицей коэффициентов

f °0

0

BQ(Z)= \-Гр

1 1 0

0 1 2

-/>_,

-Гр-2

0 0

1

-Гр-3

... ...

0 0 0

(6.13)

56

ЛЕКЦИЯ 6

Лемма 1. Левелевские показатели уравнения (6.8) и системы (6.7), (6.13) совпадают. Доказательство. Покажем, что у системы и уравнения совпадают нормирования. Действительно, преобразование (6.12) переводит решение и уравнения в вектор-решение y = (u,zu',... ,zp~^u^p~x^)1 системы, где значок / означает транспонирование. Так как для любой мероморфной функции и всегда выполнено неравенство ср(ы), то из определения нормирования следует, что ср(^) = <р(ы). Таким образом, каждый элемент подпространства X1 левелевской фильтрации (5.2) построенной системы получается преобразованием (6.12) из соответствующего элемента подпространства Х'р аналогичной фильтрации для уравнения (6.8). А значит, и матрицы нормирований построенных фильтраций, и матрицы монодромии системы и уравнения в соответствующих этим фильтрациям левелевских базисах совпадают. D Согласно следствию 1 показатели построенной системы являются корнями характеристического уравнения det(6 o (O)-X/) = O.

(6.14)

Приведем матрицу BQ(0) - X/ К нижнему треугольному виду следующим образом. Вначале умножим /-й столбец этой матрицы на число \i,• = Х(Х - 1) • ••(X — / + 2), где / = 2,..., р. Затем прибавим к каждому столбцу полученной матрицы сумму всех столбцов с меньшими номерами, получим нижнетреугольную матрицу V, определитель которой равен Р

где Q{\) = (— \у П Hi- a многочлен F\\) совпадает с многочленом, стоящим в левой части определяющего уравнения (6.10). Поскольку det V(X) = det(fio(O)-X/X-iy(?(X), получаем, что характеристическое уравнение (6.14) построенной системы совпадает с определяющим уравнением исходного фуксова уравнения (6.8). Тем самым, мы доказали следующее утверждение.

Предложение 3. Левелевские показатели рУ фуксова уравнения (6.8) являются корнями определяющего уравнения (6.10).

И мы убеждаемся, что описанная выше голоморфная деформация уравнения Эйлера (6.9), приводящая к фуксову уравнению (6.8), действительно не меняет показателей асимптотик решений уравнения в нуле. Замечание 1. Преобразование (6.12) — не единственное преобразование, переводящее фуксово уравнение в фуксову систему. Любое

РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА — 3

57

преобразование вида [

<1

у =и,

l

y = hi
]

{p {)

yP = (h(z)zf- u -

(6.15)

с голоморфной не обращающейся в нуль функцией h(z)также приводит к фуксовой системе (проверьте это самостоятельно, вычислив матрицу коэффициентов этой системы). Нетрудно видеть, что при этом преобразовании левелевские показатели уравнения и системы вновь совпадают, т. е. лемма I имеет место и для этого преобразования (доказательство в этом случае дословно повторяет доказательство леммы 1). Упражнения 2. Матрица B(z) системы (4.2) с регулярной особой точкой в нуле k всегда может быть записана в виде B(z) = Bo(z)/z , где BQ(0) / 0. Число л = k - 1 называется рангом Пуанкаре особенности. Докажите неравенство Ь ^ г, где через b обозначен порядок нуля функции det£/(z) из разложения (5.3) для левелевского базиса пространства решений системы. 3*. Докажите, что для любой голоморфной в окрестности О точки нуль функции U(z), голоморфно обратимой вне z = 0, найдется такая голоморфно обратимая в О функция T(z), что где С = diag(ci ср), с\ ^ . . . ^ ср ^ 0, числа с, — целые для всех i, а матрица V(z) голоморфно обратима в нуле. (Приведенное утверждение обычно называется в математической литературе леммой Соважа.) 4**. Докажите1 неравенство b ^ (р(р — 1 )/2) г. (Указание: примените лемму Соважа, а затем докажите неравенство c

i - ci+\ ^

г

Для

в с е х

'•)

5. Докажите, что в разложении (6.11) для фуксова уравнения (6.8) первый элемент вектор-строки Up не равен нулю в точке нуль. 6. Докажите, что левелевские показатели фуксова уравнения (6.8) в точке ZQ Ф 0 голоморфности его коэффициентов суть числа 0 , 1 , . . . , р— 1.

'Знак *, как обычно, используется здесь для обозначения трудных задач. Два таких знака соответствуют очень трудной задаче. Так, например, задача 4 является по сути одним из основных результатов кандидатской диссертации молодого французского математика Э. Кореля.

ЛЕКЦИЯ 7

Мероморфные связности с регулярными особыми точками. Глобальная теория Рассмотрим голоморфное векторное расслоение F ранга р с^ероморфной связностью V на расширенной комплексной плоскости С. Обозначим особые точки связности через а\,...,а„. Мы будем предполагать, что эти точки являются регулярными особыми точками для V и что точка <х> является для связности точкой голоморфности (выполнения последнего условия всегда можно добиться, сделав в базе расслоения подходящее дробно-линейное преобразование, переводящее точку оо в точку голоморфности связности). Для каждой особой точки а, так же, как и в начале лекции 4, рассмотрим окрестность О, этой точки и некоторую тривиализацию расслоения F над О,. В соответствующем базисе локальных сечений связность V определяет систему линейных дифференциальных уравнений (4.2)

¥

(7-1)

с регулярной особой точкой а,. Вся предыдущая локальная теория может быть применена к системе (7.1), рассматриваемой в окрестности О, этой точки (для этого достаточно формально перейти к локальной координате £ = г - аД В результате мы получим соответствующие матрицы, нормирования, показатели и т. д. Теперь все они будут зависеть от индекса /, и мы будем их обозначать через К, (вместо Ye), Uit Л/, £,-, р{, ср(", pj. Из соотношения (3.10) следует, что матрицы /4,-, £, и числа р\, ср^, pj не зависят от выбора тривиализации расслоения над О,, в то время как матрицы Yi, Ui умножаются слева на голоморфно обратимую матричную функцию T{z) при переходе от локального базиса голоморфных с е ч е н и й ( s \ , . . . , s p ) K(S\ ,sp)F~K Числа {р{} называются показа-

телями связности V в точке а/.

Какой вид имеет связность с логарифмическими особыми точками, если расслоение тривиально? Как связаны между собой левелевские фильтрации и показатели связности V в различных точках? При каких

ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

59

условиях на показатели связность с регулярными особыми точками является логарифмической (фуксовой)? В дальнейшем мы последовательно ответим на эти вопросы. Рассмотрим вначале случай тривиального расслоения F. В базисе из глобальных голоморфных сечений этого расслоения связность V задает систему уравнений (3.9) dy = ay (7.2) (записанную в инвариантной бескоординатной форме) на всей расширенной комплексной плоскости. Обозначим через в, вычет матричной дифференциальной 1-формы ы в точке щ. Если система (7.2) фуксова (построена по логарифмической л

связности V), то форма <о — £) Bidz/{z — a.i) голоморфна на всей сфере _ '=' Римана С и, стало быть, равна нулю. (На расширенной комплексной плоскости не существует ненулевых голоморфных дифференциальных форм, см. упражнение 2.1.) Поэтому в координате z фуксова система (7.2) принимает вид

Следующая теорема связывает априори независимые друг от друга локальные левелевские фильтрации (точнее, показатели) системы в различных особых точках. Теорема 1. Сумма Е всех показателей пространства X решений системы {7Л) с регулярными особыми точками а\,..., ап является целым числом и не превосходит нуля:

1=1

/=|

Система с регулярными особыми точками является системой типа Фукса на С тогда и только тогда, когда Е = 0. (7.5) Доказательство. Рассмотрим форму trB(z)dz на С. Пусть У,— фундаментальная матрица пространства А\ построенная по левелевскому базису (е1). Тогда согласно формуле Лиувилля det У, = = coexp(/trB(z) dz) в окрестности точки а,-, имеем:

60

ЛЕКЦИЯ 7

Поскольку из (5.3) (где координата z заменена на г - а , и все матрицы снабжены индексом I) следует, что

где bj — порядок нуля функции det U,(z) в точке а,- и А(а<) / 0, то р

resa. trB(z) dz = bi + ^2pj,

6< > 0.

По теореме о сумме вычетов получаем + £ = 0,

(7.6)

откуда следует первое утверждение предложения и неравенство (7.4). Согласно теореме 5.2 фуксовость системы в точках а\,...,ап эквивалентна выполнению условий Ь\ = . . . = Ьп = 0. Отсюда следует заключительное утверждение теоремы. • На время вновь вернемся к скалярным дифференциальным уравнениям. Рассмотрим фуксово уравнение (т. е. уравнение, имеющее лишь фуксовы особенности) и{р) + qx(z)u(p-{)

+ ... + qp(z)u = 0

(7.7)

с особыми точками а\,...,апна расширенной комплексной плоскости. Мы будем предполагать вначале, что точка а„ = <х> является особой точкой для этого уравнения. Последнее означает, что в локальной координате £ = \/z в окрестности точки оо (£ = 0) коэффициенты сц уравнения

"

-$i(z)5=qf + ... + $p(z)n = 0,

(7.8)

полученного из (7.7) заменой z= I/C, имеют фуксову особенность при С = 0. Поскольку

где cj = (-iy, то коэффициенты преобразованного уравнения имеют

ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

61

вид:

Условие фуксовости уравнения (7.8) в точке £ = 0 равносильно условию голоморфности функций

в этой точке. Поскольку условие (4.8) фуксовости уравнения в точках а\,..., а„_| означает, что для любого /

где r,(z) — голоморфная во всей комплексной плоскости функция, то из условия голоморфности функции /?,(О следует, что ri(z) = O(z*') на бесконечности, где (п - 1 )i ^ i + /t/. ПО теореме Лиувилля получаем, что г^г) — многочлен степени ki, причем для kt выполнено неравенство Следовательно, коэффициент q-,(z) фуксова уравнения (7.7) содержит ровно kt + 1 независимых параметров (коэффициентов многочлена г,-). р Поскольку J2(ki + 1) = (п - 2)р(р + 1 )/2 + р, получаем следующее утверждение. Предложение 1. Фуксово скалярное дифференциальное уравнение р-го порядка с п особыми точками на сфере Римана зависит от

,„ OW^-I-M ^(n-2)p(p+l) Ne +

независимых параметров.

p

( 7 g )

62

ЛЕКЦИЯ 7

Если особая точка ап совпадает с бесконечно удаленной точкой, то коэффициенты
> где r,(z) — многочлены степени kt < (n-2)i. Обозначим показатели уравнения (7.7) в точке а,- через р', / = 1.... ... ,р. Следующая теорема устанавливает связь между этими показателями. Теорема 2. Для показателей р' фуксова дифференциального уравнения (7.7) на сфере Римана с особыми точками а\,...,ап выполнено следующее соотношение (называемое соотношением Фукса): п р ^/(п-2)р(,-.)

(

7

И

)

Доказательство. Пусть точка оо не входит в число особых точек уравнения (7.7) (выполнения этого условия всегда можно добиться с помощью подходящего дробно-линейного преобразования сферы Римана; при этом показатели уравнения в особых точках не меняются, см. упражнение 1). Перейдем от уравнения (7.7) к системе (7.1) с помощью замены

^ - ^ Г /=1

1

^ .

(7.12)

(=1

Поскольку в окрестности каждой особой точки а, эта замена имеет вид (6.15), то согласно замечанию 6.1 построенная так система (7.1) будет фуксовой в этих точках с теми же самыми показателями, что и у уравнения. Выберем какой-нибудь базис(е) = (е\,...,ер) в пространстве решений исходного уравнения. Из вида замены следует, что соответствующая фундаментальная матрица Y(z) системы будет иметь вид Y(z) = V(z)W(z), где r(z) и W(z) — матрица Вронского базиса (е). Поскольку, как было показано ранее, dz> ~ г2'

ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

63

то где

r . ( z ) = diag| l,z~2

z"

I — нижнетреугольная матрица с элементами cj = ( - i y на главной диагонали и V(£)—матрица Вронского базиса (е) в координате С = l/z, т.е. '

е\

...

ер *

Исходное фуксово уравнение не имеет особенности в бесконечности, т. е. матрица !/(£) голоморфно обратима при С = 0. Однако построенная система имеет дополнительную особую точку в оо. Причем det Y{z) = dct(r(z)r,(z)r 2 (z)V(O) = zbh(z),

гдеb = {n-2)+2(n-2)+...+(p-\Xn-2)={n~2)P2ip~[\

а функция h(z)

голоморфна в точке оо и не обращается там в нуль. Вновь, как и в доказательстве теоремы 1, рассмотрим сумму вычетов формы irB(z)dz = d\ndei Y. Вычет в бесконечности этой формы равен ,

(п-2)р{р-\\

—о = —

,

^ — - , а сумма вычетов в особых точках а, равна сумit

п

р

ме Yl 5Z Vi показателей системы (которые, как было показано выше, /

совпадают с показателями уравнения). Утверждение теоремы вновь следует из теоремы о сумме вычетов. • Рассмотрим вновь векторное расслоение F с мероморфной связностью V с регулярными особыми точками на сфере Римана и какое-либо координатное описание ({U,}, {/,7}, {g,y},{u'}) пары (F,V). Определение 1. Степенью c\(F) расслоения F называется сумма вычетов связности |V| детерминантного расслоения \F\, где под детерминантным расслоением понимается одномерное расслоение со склеивающим коциклом {detg, y }, а под связностью |V|—связность в | F | с формами связности {tro'} (см. упражнение 3.2). Из доказательства теоремы I получаем следующее утверждение.

64

ЛЕКЦИЯ 7

Следствие \.Для суммы показателей £ мероморфной связности V с регулярными особыми точками в векторном голоморфном расслоении F на сфере Римана выполнено следующее неравенство: р п ; i=\ i=\ Связность с регулярными особыми точками является рифмической (фуксовой) тогда и только тогда, когда

(7.13) лога-

£ = «!(/=•). (7.14) Важной характеристикой плоской мероморфной связности V в расслоении F является ее представление монодромии, которое определяется следующим образом. Рассмотрим неособую точку ZQ G В (где В — база расслоения) и некоторый базис локальных горизонтальных сечений (s) = (s\,...,sp) связности, рассмотренной в малой окрестности этой точки. Для любой петли у. лежащей в В\{а\,...,ап}, с началом в ZQ рассмотрим конечное покрытие петли связными односвязными окрестностями из В\{а\,...,ап), над которыми расслоение тривиально. Набор сечений (s) допускает аналитическое продолжение из пересечения первой и второй окрестностей во всю вторую окрестность, из второй в третью и т. д. (в каждой из окрестностей координаты горизонтальных сечений являются решениями соответствующей системы линейных уравнений (3.8) и, стало быть, они продолжаются на всю окрестность). Результатом такого продолжения вдоль всей петли у вновь является 1 некоторый (вообще говоря, другой) базис горизонтальных сечений (s ) связности V. Поскольку любые два базиса горизонтальных сечений одной и той же связности в окрестности неособой точки связаны соотношением (s) = (s')Gy, GyeGL(p,C), получаем соответствие у i-»GY. Из теоремы о монодромии курса теории функций комплексного переменного следует, что это соответствие зависит лишь от гомотопического класса петли у. (Заметьте, что в отличие от локального случая мы пишем (s) = {s')G, а не (s1) = {s)G.) Тем самым, возникает отображение : nl(B\{al,...,an},z0)^GL(p,C) (7.15) фундаментальной группы Ti](fi\{ai,... ,an},zo) в группу GL(p,C), которое является гомоморфизмом групп и называется представлением монодромии или просто монодромией связности. Группа Imx называется группой монодромии связности. (Если бы мы определили монодромию как в локальном случае, то получили бы не гомоморфизм, Х

ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

65

а антигомоморфизм (т.е. X(Y&) = X^)X(Y)) — проверьте это, — что совершенно несущественно в локальном случае в силу коммутативности фундаментальной группы, но очень важно в глобальном.) Рассмотрим в качестве базы В сферу Римана С. Фундаментальная группа п\(С\{а\,..., ап}, ZQ) устроена следующим образом: ее образующими являются гомотопические классы петель g\ gn, каждая из петель g, есть результат последовательного обхода некоторого пути у,, соединяющего точку ZQ С некоторой точкой из е-окрестности точки а,-, окружности радиуса е/2 с центром в а,, проходимой по часовой стрелке, и того же пути у/, проходимого в обратном направлении. Поскольку произведение этих петель гомотопно петле, обходящей все особые точки по большому кругу, то это произведение стягивается по расширенной комплексной плоскости к точке ZQ «через» точку со. Поэтому образующие g\,...,gn связаны соотношением g\ •... -gn = e. Можно показать, что других соотношений в этой группе нет.

Рис. 4

Матрицы G, = х(&).»= 1, • • • • я, называются матрицами монодро мии связности. Из соотношения в фундаментальной группе следует, что G\ •... • Gn = I. Если заменить начальную точку ZQ на г'о или выбрать другой базис локальных горизонтальных сечений связности, то матрицы монодромии заменятся на сопряженные G\ = S~lGjS, i= \,...,n (докажите это). Для системы линейных дифференциальных уравнений (для связности в тривиальном расслоении) определение представления монодромии упрощается: вместо базиса (s) локальных горизонтальных сечений нужно взять фундаментальную матрицу Y(z) пространства решений (т. е. матрицу координат базиса (5) в базисе глобальных сечений) и продолжить ее вдоль петли у; результатом продолжения будет матрица Y'(z) такая, что Y(z) — Y'(z)G и т.д.

66

ЛЕКЦИЯ 7

Для скалярного линейного дифференциального уравнения р-го порядка (7.7) на расширенной комплексной плоскости с особыми точками а\,...,ап монодромия определяется так же, как для системы уравнений, только продолжать надо не фундаментальную матрицу решений, а некоторый базис (е\ ер) решений уравнения в окрестности неособой точки ZQ. Рассмотрим расслоение F с голоморфной плоской связностью V. В этом случае монодромию связности можно «вычислить» следующим образом. По теореме 3.3 это расслоение допускает координатное описание ({Ui},{gij}) с постоянными функциями перехода {#,-} и с нулевыми 1 формами связности ш = 0. Рассмотрим конечное покрытие петли у окрестностями U\ Um такое, что ZQ e U\. В каждой из окрестностей уравнение (3.8) горизонтальных сечений выглядит следующим образом: dy = 0. Выберем в окрестности U\ базис (s) горизонтальных сечений связности с матрицей координат /. Тогда продолжение этого базиса в окрестность 6^ будет иметь матрицу координат g2i А в окрестность U$ — g32g2\l и т-Д- После продолжения вдоль всей петли получим базис горизонтальных сечений (s') с матрицей координат g\mgmm-\ • • • • • g ЗнаЧИТ, (S') = (S)g\ mgmm-1 • • • • • g21 И

(s) = (s')Gy, Gy = (gimgmm-r---g2\)-\ где Gy — матрица монодромии связности вдоль петли у-

(7.16)

Упражнения 1. Покажите, что дробно-линейное преобразование сферы Римана переводит фуксовы системы и уравнения в фуксовы системы и уравнения с теми же показателями в соответствующих особых точках. 2. Используя результаты упражнений 6.2 и 6.4 и равенство (7.6), докажите следующее усиление неравенства (7.4), принадлежащее Э. Корелю: /•=1

,=1/=1

i=i

где г,- ранг Пуанкаре системы (7.1) в точке а, (напомним, что ранг г,Пуанкаре системы равен числу /*,- — 1, где р{ — порядок полюса матрицы системы в особой точке а,).

3. Гипергеометрическим уравнением называется фуксово уравнение второго порядка с особыми точками 0,1,оо и со следующими

ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

67

показателями в этих точках: Ро = Р{ = 0 , р§ = 1 - у, Р? = у - а - Р,

Pio=0t,p2o=p,a,p,yeC.

Используя предложение 6.3 и предложение 1, докажите, что гипергеометрическое уравнение имеет вид

4. Докажите, что любое фуксово уравнение второго порядка с тремя особыми точками на сфере Римана может быть приведено к гипергеометрическому с помощью дробно-линейного преобразования аргумента z и с помощью замены неизвестной функции v = za(z - 1 )ьи. 5. Используя результаты упражнений 6.2, 6.4 и равенство (7.6), докажите следующее усиление неравенства: (7.13)

Е ' где л, — ранг Пуанкаре связности в точке а,.

(719)

ЛЕКЦИЯ 8

Проблема Римана—Гильберта. Метод решения Рассмотрим «обратную» задачу теории фуксовых уравнений: задачу восстановления фуксова уравнения по его монодромии X'- *i(C\{a,

ая}, zo)—>GL(p,C).

(8.1)

Эта задача впервые упоминается Риманом в одной из заметок конца 1850-х годов. В 1900 г. она была включена Д. Гильбертом в число его «Математических проблем» под номером 21 и сформулирована следующим образом:

.Показать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение фуксова типа с заданными особыми точками и заданной группой монодромии".

Сложилась традиция, по которой эта проблема применительно к фуксовым системам называется в литературе проблемой Римана— Гильберта. Долгое время считалось, что проблема Римана—Гильберта полностью решена И. Племелем в работе 1908 г. Однако в начале 1980-х годов в его доказательстве были обнаружены лакуны (Ю. С. Ильяшенко и Т. Kohn). Оказалось, что Племель решил проблему, аналогичную проблеме Римана—Гильберта, в классе систем с регулярными особыми точками. Что же касается фуксовых систем, то вопрос оставался открытым. В 1989 году А. Болибрухом был построен контрпример к проблеме Римана—Гильберта для случая системы трех уравнений с четырьмя особыми точками. Оказалось, что геометрический подход, связанный с теорией расслоений (впервые введенный при рассмотрении этой задачи X. Рерлем в 1957 году) позволяет легко передоказать результаты Племеля и получить новые продвижения в проблеме Римана—Гильберта. Эти и некоторые другие результаты и будут объектом нашего рассмотрения на последующих лекциях. От какого количества NK параметров зависит представление монодромии (8.1) системы уравнений (скалярного уравнения)? При фиксированных особых точках в силу соотношения G\ •... • Gn — I (см. лекцию 7) монодромия определяется матрицами локальной монодро-

ПРОБЛЕМА РИМАНА—ГИЛЬБЕРТА

69

2

мии G [ , . . . , С„_|, это р (п - 1) параметров. Поскольку представление определяется с точностью до эквивалентности, то матрицы задаются с l точностью до сопряжения S~ GiS. Если S^'G/Si = Sg'G,S2 для всех i= 1 п - 1, то для неприводимого представления по лемме Шура получаем 5)5^"' = X/, X 6 С \ 0 . Поэтому число параметров следует 2 уменьшить на р - 1. Окончательно получаем Каждая фуксова система задается набором матриц коэффициентоввычетов В\,... ,Вп_\ (так как В\+.-.. +Вп — 0). Поэтому множество фуксовых систем с теми же особыми точками зависит от такого же числа непрерывных параметров, если эти системы рассматривать с l точностью до эквивалентности Bi ~ S~ BiS, i— I , . . . ,n — 1 (переход к эквивалентной системе соответствует замене у >->• Sy неизвестной функции, которая не меняет монодромии системы). Обозначим множество фуксовых систем, рассматриваемых с точностью до эквивалентности, описанной выше, через 5, а множество классов эквивалентных представлений — через М. В диаграмме

S »\ М

(8-2)

через \х обозначено отображение монодромии. Из теоремы об аналитической зависимости решения уравнения от параметра следует, что это отображение является голоморфным над пространством эквивалентных неприводимых представлений. (Как мы докажем позднее, \i является локально биголоморфным отображением над этим пространством, во что нетрудно поверить из соображений размерности, приведенных выше.) В формулировке проблемы Римана—Гильберта утверждается, что [1 — сюръективное отображение. Отметим здесь, что задача построения фуксового скалярного дифференциального уравнения с заданными особыми точками и монодромией имеет отрицательное решение (что было известно еще Пуанкаре). Действительно, разность между числом параметров, от которых зависит представление монодромии, и числом параметров, от которых зависит произвольное фуксово уравнение, согласно предложению 7.1 равна

.

(8.3)

70

ЛЕКЦИЯ 8

Заметим, что Д > 0 при п > 3 и р > I. При п = 3 число Д равно нулю лишь для р = 2. Отмеченное выше неравенство Д > 0 означает, что при п > 3, р > 1 и при п = 3, р > 2 построение фуксова уравнения с заданной монодромией возможно в общем случае лишь при появлении дополнительных, так называемых ложных особых точек, не дающих вклада в монодромию (т. е. таких точек, в которых коэффициенты уравнения имеют особенности, но решения не ветвятся). Число Д дает оценку сверху для числа таких точек. Вернемся к проблеме Римана—Гильберта. Метод исследования этой задачи будет состоять в следующем. Вначале мы построим расслоение (точнее, серию расслоений) на сфере Римана с логарифмической связностью, имеющей заданную монодромию и заданные особые точки. Тем самым, исходная задача сведется к вопросу о тривиальности этого расслоения (точнее, какого-либо из построенных расслоений), ибо в тривиальном расслоении логарифмическая связность задает фуксову систему дифференциальных уравнений. Затем мы исследуем вопрос о тривиальности построенного расслоения (серии расслоений) и получим условия разрешимости проблемы Римана—Гильберта. Первый этап реализации этого плана состоит в построении на проколотой сфере Римана В=^С\{а\,...,а„} расслоения Fс голоморфной связностью V, имеющей заданную монодромию (8.1). Рассмотрим конечное покрытие пространства В связными односвязными окрестностями {£/,} со связными односвязными пересечениями. Выберем в каждой окрестности по точке z^ и соединим точку ZQ С ЭТИМИ точками путями »},. Внутри каждого множества 1/,-Ut/, с непустым пересечением UiC\Uj соединим точки zfa и Уо путем 5,у. Обозначим через gij матрицу

где через £о£ обозначается путь, являющийся результатом последовательного обхода путей £ и С (предполагается, что конец пути 2; совпадает с началом пути Q, а через 5" 1 — путь I, проходимый в обратном направлении. Гомотопический класс пути 5 обозначается через [Ц а гомотопический класс постоянной петли ZQ — через е. Ясно, что gij = (g/v)"1 и gijgjkgki = I в случае непустого пересечения Ut П Uj П Uk.

ПРОБЛЕМА РИМАНА—ГИЛЬБЕРТА

71

Действительно, в этом случае 8

г

<7 ° »1, ' 1) X (h/ ° */* ° Л* ' О X (I Л* ° 8*< ° ЛГ' О =

= X (hi ° 5«7 ° V ' ° ^ ° 5/'* ° Ъ ' ° ^ ° 8*' ° V ' 1) = так как петля 8,/ о S^ оS^(- гомотопна постоянной петле. Рассмотрим векторное расслоение F на В, построенное по покрытию {Ui} и постоянному коциклу {gij} (см. лекцию 2). Действуя так же, как в теореме 3.3, введем в расслоении F голоморфную связность V, задав ее нулевыми формами ы,- = 0 в данном координатном описании расслоения F.

Предложение 1. Построенная связность V имеет заданную монодромию (8.1). Доказательство. Рассмотрим петлю у. лежащую в В, и конечное покрытие этой петли окрестностями U\,...tUm. Можно считать, что ZQ£UI и r)i = ZQ. Согласно (7.16) монодромия связности вдоль пути у

равна

Gr=(glmgmm_i---g
§12 = Т)2

Рис. 5 Но в нашем случае (g\mgmm-l • • • g2\)

= ^ 2 [ " " " gmm-\g\m

=

^12 ' " " gm-\mgm\ =

так как петля S120.. . о й т _ 1 т о 8 ш | гомотопна петле у.

•

72

ЛЕКЦИЯ 8

Лемма I. Любое голоморфное векторное расслоение на проколотой сфере Римана В с голоморфной связностью, имеющей монодромию (8.1), эквивалентно расслоению (F, V). 1

Доказательство. Докажем, что любые два расслоения (/*"', V ) и 2 (F , V ) , удовлетворяющие условиям леммы, эквивалентны. Рассмотрим покрытие базы В связными односвязными множествами Ui, над которыми оба расслоения тривиальны, и соединим точку ZQ (принадлежащую множеству UQ) С каждой окрестностью U; путем ууДля каждого расслоения рассмотрим над UQ базисы локальных горизонтальных сечений ( V ) = (°s\ °sp), i = 1,2, имеющие одну и ту же монодромию (т. е. такие базисы, для которых результат аналитического продолжения вдоль любой петли у приводит к базису (°s')G~' с одной и той же матрицей GY как для i = 1, так и для i = 2.) Обозначим через ( V ) результат продолжения базиса ( V ) в окрестность ил вдоль у а . Для окрестностей £/я и (Ур с непустым пересечением имеем: ( V ) ^ = (IV) с постоянной матрицей g L (матрицы координат любых двух базисов горизонтальных сечений удовлетворяют одной и той же системе линейных уравнений и, стало быть, отличаются на постоянную матрицу). Но так как монодромии у исходных базисов при / = 1,2 совпадают, то g^ = g^ (докажите это). 2

Расслоения ( F ' . V 1 ) и ( F 2 , V 2 ) эквивалентны, так как они имеют одинаковое координатное описание ({Ui},{gij}) с нулевыми формами связностей V 1 и V 2 . D Следующий этап состоит в продолжении построенного расслоения на всю сферу Римана до расслоения с логарифмической связностью V , совпадающей с исходной связностью вне особых точек а\,...,а„. Рассмотрим окрестность £/а нашего покрытия, граница которой содержит точку а,. Рассмотрим базис горизонтальных сечений (е? еар) связности V над Ua. Поскольку монодромия связности V по построению совпадает с (8.1), то при аналитическом продолжении вдоль малой петли 8/, обходящей точку а, против часовой стрелки, этот базис р перейдет в базис (ef e£)G,-, где G,- — маfi трица, сопряженная к матрице монодромии в точке а, (см. вторую часть лекции 7). Рассмотрим функцию ( z - a , ) ~ £ ' в окрестности Ua, точнее, некоторую ветвь этой функции.

ПРОБЛЕМА РИМАНА—ГИЛЬБЕРТА

73

z

Сечения (Z®,...,£°) = (е*,...,e"X ~я,)~£' (где собственные значения матрицы £,• = (1/2к/)1пС,- нормализованы согласно неравенствам (4.4)) образуют базис голоморфных сечений расслоения F над Oi\{ai} (и, значит, расслоение F голоморфно тривиально над ОД {а,-}). (Действительно, точно так же, как при доказательстве леммы 4.1, получаем, что при продолжении вдоль 5, этот базис переходит в себя.) Сечения (£° £jj) уже не являются горизонтальными, и форма связности V в этом базисе согласно (3.5) имеет вид г-щ

(8.4)

Продолжим расслоение F в точку а-, следующим образом. Рассмотрим цилиндр О, х <СР (тривиальное векторное расслоение над О,) с базисом сечений (s\,...,sp), где s, = (z, e,), a et — i-d элемент стандартного базиса пространства СР. Приклеим цилиндр О, х С к пространству расслоения /•£, отождествив при всех / сечения tf с s,- над Oi\{dj} и продолжив склейку на (О, \ {а,}) х С по линейности. Получим расслоение над В и О,. Какой вид имеет координатное описание этого расслоения в окрестности точки а,? Обозначим окрестность О, через UQ. ЕСЛИ В качестве исходного базиса (ел) = (е*\,..., е*) выбран базис, соответствующий исходной локальной тривиализации расслоения F (т.е. (e a )g a p =(e^) Д-пя непустых Uar)Up), то по построению gQa(z) = (z-ai)Ei. Для любой другой окрестности t/p, содержащей точку а,- в своем замыкании, gop(z) является результатом аналитического продолжения функции goa{z) в Up вдоль пути 5,. (После такого продолжения, вернувшись в ил, получим вместо выбранной первоначально ветви (г-а,)Е' ветвь (г - aCf'G,, что и обеспечивает корректность продолжения расслоения. Проверьте это на координатном языке, показав, что набор {go,i,gij} действительно является коциклом.) л

Любой другой базис (ё ) горизонтальных сечений связан с базисом а (е ) соотношением (e a ) = (e a )S, и при продолжении вдоль 5, переходит в (ea)Gi, где G,- = 5~'G,S;. Выберем такой базис (ёл), для которого матрица С, является верхнетреугольной. Обозначим через Л, диагональную матрицу с целочисленными элементами Ц,/= 1,... ,р, образующими невозрастающую последовательность: Ц ^ Х'+ , / = 1 р — 1. Будем называть такие матрицы допустимыми.

74

ЛЕКЦИЯ 8

Рассмотрим базис локальных сечений ($ A | ) расслоения F над О, \ {а,} и продолжим расслоение F в точку а, аналогично тому, как это было сделано выше, заменив сечения базиса (£°) на (£Л;)- Форма сэ л ' связности V в этом базисе согласно (3.5) имеет вид: а>Л<- =(Л1- + ( г - а , ) А ' £ : , - ( г - а , - Г А ' ) - ^ - .

(8.5)

г-а,

Так как матрица (z — a ^ ' f ^ z - a , - ) " " ^ голоморфна в точке а, (см. лемму 5.1), то форма соЛ( имеет логарифмическую особенность в этой точке. Функция перехода g^ построенного расслоения (в исходном координатном описании) записывается в виде Рассмотрим набор A = (Aj Л Д состоящий из допустимых матриц Л ] . . . . . Л„ (будем называть такой набор допустимым). Продолжим расслоение F в каждую точку а, с помощью соответствующей матрицы Л,-, получим голоморфное векторное расслоение F A на всей сфере Римана с логарифмической связностью V A . Обозначим множество всех таких расслоений через Т. Расслоение F0 со связностью V 0 (т. е. продолжение, построенное по набору Л[ = . . . = Л п = 0) называется каноническим продолжением исходного расслоения (F, V). Продолжение (/гЛ, V A ) расслоения (/\ V) зависит также от выбора матриц S\,...,Sn (от способа приведения матриц монодромии к верхней треугольной форме), от исходного координатного описания расслоения F и от выбора ветвей функций ( z - a , ) ^ . Последние две зависимости несущественны, так как они сводятся к соответствующему изменению матриц S\,...,Sn. Что касается зависимости расслоения от S\ 5„, то она, действительно, очень важна. Два расслоения, построенные по одному и тому же допустимому набору Л, но по разным матрицам S,, вообще говоря, могут быть не эквивалентны. Однако, в дальнейшем для краткости изложения мы будем опускать эту зависимость (постоянно «держа» ее в уме). Все сказанное выше не относится к каноническому продолжению (F0, V 0 ), которое зависит лишь от исходного представления (8.1). Предложение 2. Множество Т содержит все голоморфные векторные расслоения с логарифмическими связностями на сфере Римана с данными особыми точками и данной монодромией.

ПРОБЛЕМА РИМАНА—ГИЛЬБЕРТА

75

Доказательство. Рассмотрим произвольное расслоение F с логарифмической связностью V', имеющей данные особые точки и монодромию (8.1). Согласно лемме 1 (F, V')|s = (F, V). В базисе локальных голоморфных сечений (£) над окрестностью О, точки а, связность V задает фуксову систему линейных дифференциальных уравнений (7.1). В пересечении О, с окрестностью Ua, граница которой содержит в своем замыкании at, рассмотрим левелевскую фундаментальную матрицу

Y(z)=U(z)(z-ai)Ai(z-aifi пространства решений этой системы. Базис (s a ) горизонтальных сечений связности V над О,П Ua с матрицей координат Y(z) имеет вид (s*) = (l)Y(z). Перейдем от локальной тривиализации (I) расслоения F к (£') = (£){/(z) (так как U{z) голоморфно обратима в О,- в силу фуксовости системы, то элементы базиса (£') вновь будут голоморфными сечениями), получим Значит, расслоение F над О, эквивалентно продолжению расслоения F, построенному по допустимой матрице Л,- = At (и некоторой матрице 5,).

•

Поскольку фуксова система на сфере Римана с данными особыми точками и монодромией может быть рассмотрена как связность в некотором тривиальном расслоении, в качестве следствия получаем следующее утверждение. Теорема 1. Представление (8.1) может быть реализовано в качестве представления монодромии некоторой фуксовой системы на сфере Римана с заданными особыми точками а\,... ,ап тогда и только тогда, когда множество Т расслоений, построенных по представлению (8.1), содержит хотя бы одно голоморфно тривиальное расслоение. Таким образом, мы свели проблему Римана—Гильберта к исследованию вопроса о голоморфной тривиальности некоторого расслоения (множества расслоений) на сфере Римана. Но какой вид имеет произвольное голоморфное векторное расслоение на сфере Римана? При каких условиях оно тривиально? На эти вопросы отвечает теорема Биркгофа—Гротендика, которая и станет предметом нашего рассмотрения на следующей лекции.

76

ЛЕКЦИЯ8

Упражнения 1. Покажите, что при п = 2 представление (8.1) для любого р > О всегда может быть реализовано как представление монодромии некоторого фуксового скалярного дифференциального уравнения порядка р. 2. Докажите, что для любого коммутативного представления (8.1) (т.е. такого представления, для которого группа Imx абелева) проблема Римана—Гильберта имеет положительное решение, явно построив соответствующую систему. 3. Расслоение (F, V), построенное в начале лекции по представлению (8.1), можно построить другим, бес координатным способом. Рассмотрим универсальное накрытие В проколотой сферы Римана В и точку ZQ такую, что K(ZQ) = ZQ, где Л: В—>В — проекция (как и ранее, мы используем знак "для точек, лежащих в накрытии). Отождествим фундаментальную группу п\(В,ZQ) С группой Д скольжений накрытия. Определим действие элемента а из Д справа на точки из В так же, как в упражнении 5.1: za = a~xz. Для любой функции f(z) на В положим a* Kz) = f(z:-о). Тройка (В,п,В) может быть рассмотрена как главное расслоение с дискретной структурной группой Д. Рассмотрим главное расслоение P = (PE,T:P,GL(P,C),B), ассоциированное с построенным с помощью представления ,„ . 1 Г , , п П ,fiAv л г Х: А — пцо,ZQ)—>uL(p,С). (8.6) Тотальное пространство Pg этого расслоения биголоморфно эквивалентно пространству В х GL(p, C)/~, где отношение эквивалентности определяется следующим образом: VoeA(5.a,x(CT-')G)~(z,G). Обозначим точки из РЕ через (х, G) и рассмотрим голоморфное ото-

бражсние

„„.<*/>.

..~В^РЕ,

Т

(87)

Докажите, что следующая диаграмма коммутативна:

в

—-/Ъ \ К Л-

/

в.

(8.8)

-X Tip

4. Докажите, что для любого голоморфного сечения U: В^РЕ место тождество „ , ,,. . т /

имеет

где Y(z) — голоморфная функция на В со значениями в GL{p,C).

( 8

9 )

ПРОБЛЕМА РИМАНА—ГИЛЬБЕРТА

77

5. Докажите, что o*Y(z)=Y(z)x(o),

а€Д.

(8.10)

6. Докажите, что матричная функция Y(z) является фундаментальной матрицей пространства решений некоторой системы dy = шу на сфере Римана с заданными особыми точками и монодромией (8.1). 7. Докажите, что векторное расслоение, ассоциированное с построенным главным расслоением, эквивалентно расслоению F, построенному в начале главы.

ЛЕКЦИЯ 9

Теорема Биркгофа—Гротендика Теорема Биркгофа—Гротендика дает описание голоморфного векторного расслоения на сфере Римана. Теорема 1. Любое голоморфное векторное расслоение Е на сфере Римана эквивалентно прямой сумме одномерных расслоений , (9.1) где числа /г,- целые, k\ > ... ^ kp и расслоение O(k) задается следующим координатным описанием: O(k) = (C С \ 0 , go<» =zk). Набор чисел k\ kp называется типом расщепления расслоения. Обозначим через Do, Д » . К следующие подмножества на сфере Римана С: = {zeC:\z\^R},

Д » = {z € С и {оо} : \z\ ^ r),

K = DonD,оо»

где г < R. Для множества М через Н(М) будем обозначать банахово пространство матричнозначных функций, голоморфных внутри М и непрерывных вплоть до границы М, а через Н°(М) — подпространство голоморфно обратимых матричнозначных функций пространства Н(М). Для краткости мы будем называть такие функции голоморфными и, соответственно, голоморфно обратимыми в М. Банаховы пространства # ( Д » ) , H(DQ), ti(K) будут рассматриваться с нормой ||Л/|| = тах 2 ||Л/(г)||. Рассмотрим вначале случай, когда расслоение Е задано следующим координатным описанием Е = (D o , A», go» = Щг)). Предложение I. Расслоение Е = (DQ, ДХ>,£ООО = Щ2)) эквивалентно прямой сумме (9.1) одномерных расслоений. Докажем это предложение в серии лемм. Лемма 1. Если в условиях предложения 1 дополнительно выполнено условие \\М — /|| < Е для достаточно малого е > 0, то расслоение Е тривиально.

79

ТЕОРЕМА БИРКГОФА—ГРОТЕНДИКЛ

Доказательство. Любая функция G(z) из Н{К) раскладывается в ряд Лорана в К следующим образом: где

Оператор Я + отображает Н{К) в H(DQ), а Рис. 7 оператор Я_ — в #(£>«,). Покажем, что эти операторы ограничены по норме. Обозначим через s число (R — г)/2. Если г ^ \z\ < s + г, то ЦОЦЛ

\\P+G{z)\\ i

2,

Если же s + г ^ \z\ ^ R, то

Таким образом, ||Я+|| < maxf-,^—-J =2R/(R-r). Аналогичная оценка имеет место и для нормы оператора Я_. Обозначим через B(z) матрицу / - M{z), тогда \\B\\ < е. Выберем

Положим W\ = Р-В и WH+i = P-(BWn) для п = 1,2

Ряды оо

(9.2) я=1

сходятся в Do и в Д » соответственно и | | В + | | ^ 1/2, ||fl Поэтому (I-B+)eH°(Do), ( / - б - ) G //°(Doo). Для функции последовательно получаем

: 1/2.

80

ЛЕКЦИЯ9

где ОО

/1=1

^

/1=1

' ОО

^

/1=1 ОО

Поэтому A f ( / - f i _ ) = / - f i + и, следовательно, Af = (/№, где U = f-B+, W = (/ — # _ ) " ' , что и означает голоморфную тривиальность расслоения Е. О Вторая часть доказательства состоит в замене функции М(г) на некоторую рациональную функцию, что соответствует переходу от голоморфного расслоения к эквивалентному алгебраическому расслоению. Лемма 2. Для любой матричнозначной функции M(z) € Н°(К) найдутся матричнозначная рациональная функция F(z) б Н°(К) и такие функции W(z) е /У°(£>«,). U(z) G H°(D0), что U{z)M(z) = F(z)W(z). Доказательство. Приблизим функцию M(z) в К равномерно матричнозначными рациональными функциями Вц{г) с полюсами лишь в точках 0 и се. Для этого цели можно использовать части ряда Лорана функции M(z) со степенями, большими некоторого числа —/V и меньшими числа N. Выберем рациональную функцию B(z) так, чтобы норма ЦуИб"1 - / | | была мала и можно было применить к функции MB~i лемму 1. Имеем где U{ 6 H°(D0), Wx e Функцию W[B можно равномерно приблизить рациональной функцией H(z) в К, вновь использовав для этой цели подходящий кусок ряда Лорана, так, чтобы норма ||//~' W\B - 1\\ была достаточно мала. Вновь применяя лемму 1, получаем где функции [>2, 1^2 принадлежат тем же пространствам, что и U\, W\. Поэтому U2 = H-lWlBW2l, M = UlHU2W2 = UlFW2, F=HU2. Из первого приведенного выше равенства следует, что матричнозначная функция U2(z) мероморфна в Д»- С другой стороны, по по-

ТНОРЕМА БИРКГОФА—ГРОТЕНДИКА строению функция £/г голоморфно обратима в Do- Таким образом, 6 ^ — рациональная функция. Следовательно, F(z) также рациональная функция. Положим (У"1 = Следующая лемма (которая называется леммой Соважа) завершает доказательство предложения 1.

•Лемма 3. Для любой мероморфной в DQ матричнозначной функции F{z), голоморфно обратимой в DQ\{0}, найдутся функции U(z) и W(z), голоморфно обратимые соответственно в DQ « ^оо и. такие, что

(9.3) где числа /г, целые и k\ ^ . . . ^ kp. Доказательство. Умножив, если необходимо, функцию F на zcl с подходящим целым числом с, сведем доказательство леммы к случаю, когда функция F является голоморфной в Do. Пусть F уже имеет вид

О

F(z) = L(z)z

с некоторыми целыми k\ ^ . . . ^ kp и голоморфной матрицей L(z). Если det£(O)^O, то доказывать нечего. Пусть delL(O) = O. Тогда найдется число i ^ р такое, что первые i столбцов m|,...,m,- матрицы ЦО) линейно Независимы и

Для некоторых чисел s i , . . . , s , . (Мы предполагаем, что / > 0, т. е.что т \ ф 0, ибо в противном случае можно сразу же увеличить число k\, не прибегая к описанной ниже процедуре.) Рассмотрим функцию

П 0

О 0\ ОО

О 1

О 0

...

О 0 ...

Vo'6" .7.

-SiZ**

I

о

оо оо

82

ЛККЦИЯ 9

(Лишь (/ + 1 )-й столбец матрицы W^ отличен от столбцов единичной матрицы.) Ясно, что матричнозначная функция W^(z) голоморфно обратима в С\ {0} и мероморфна в С. Из приведенной конструкции немедленно следует, что /А, 0 0 ft2 L{z)z

0

где k'j = kj для / / / + 1 и k'i+x = ki+\ + 1, а матрица L'(z) голоморфна в Do и голоморфно обратима в DQ\ {0}. После умножения справа на подходящую постоянную матрицу можно добиться выполнения условия k\ ^ ... ^ k'p. Так как k\ + ... + k'p > > k\ + ... + kp, то повторив, если необходимо, описанную процедуру, получим через конечное число шагов разложение (9.3). П Если d e t / ^ z ) ^ 0 в Do \ {0}, то для завершения доказательства предложения 1 остается лишь применить лемму 3 к функции F{z), построенной в лемме 2, и заметить, что в силу леммы 3 расслоение Е эквивалентно расслоению с функцией перехода zK, K — uiag(k\,... ,kp), а последнее означает, что Е = O(k\ ) © . . . ®O{kp). Еслижес1е1/г(2) = 0для z = b\,...,bm из Do\(/(U{O}), то вначале надо применить лемму 3 к каждой точке Ь, (заменив z на z-bi). При этом получим на /-м шаге эквивалентное расслоение с функцией склейки K F'i(z) = L'(z)(z-bi) , которое, в свою очередь, эквивалентно расслоению с функцией склейки F, = L'(z)zK, так как (z/z - bi)K e //^DQO). НО при э т о м у ж е d e t Fi(z) / 0 д л я z = b \ , . . . ,bj. После пг-го шага получим эквивалентное расслоение с функцией склейки Fm (которую мы вновь обозначим через F) с ненулевым определителем в Do \ {0}. • Обозначим через Da и D& два пересекающихся по множеству К' и не лежащих друг в друге круга с центрами в точках a, b и радиусами соответственно га и /у Для произвольного е > 0, удовлетворяющего неравенству е < (га + гь - \а - Ь\)/2, обозначим через D*, D\ круги с центрами в тех же точках а и b и радиусами соответственно га - е и гь - е. Эти круги вновь имеют непустое пересечение. Предложение 2. Если голоморфное векторное расслоение Е голоморфно тривиально над Da и Db, то оно голоморфно тривиально и над Dca U D\ для любого сколь угодно малого е > 0. Доказательство. Зафиксируем некоторое е > 0. Расслоение Е над D = D e uD/, может быть задано следующим координатным описанием:

ТЕОРЕМА БИРКГОФА-ГРОТЕНДИКЛ

83

E = (Da,Db,gah = M(z))- Выберем число 8 таким, чтобы выполнялось 1 неравенство 25 < е, и обозначим пересечение D'fnD *, i = 1, 2, через /С,-. Граница множества К\ состоит из дуги уа граничной окружности круга D\, лежащей в Dfy, и из дуги уь граничной окружности круга D\, лежащей в D\. Обозначим через с и d точки пересечения этих дуг. Воспользуемся обозначениями, введенными в начале лекции перед доказательством предложения 1, со следующим изменением. Будем обозначать через Н(М) пространство функций, голоморфных в М, непрерывных вплоть до границы М и удовлетворяющих в каждой точке замыкания множества М условию Гёльдера Hol(\i) для любого [i < 0. Напомним, что функция / удовлетворяет в точке ZQ условию Гёльдера Hol{\i), если существует такая константа с, что |/(г)-Яго)|<ф-2оГ для точек z, достаточно близких к ZQ. Для любой матричнозначной функции G(z) e Н(К\) рассмотрим

функции FG(z) = G(c%z - d)/(c -d)+

G(d)(z - c)/(d - с) и H(z) =

— G{Z)~FQ{Z). Заметим, что функция H(z) обращается в нуль в точках с и d пересечения дуг. Определим операторы Р+: Н{К\) -* Н{&0) и Р_: Н{К\) -* H{D\) следующим образом:

р с г

+ < >=h L в «

Ясно, что

Докажем, что образы операторов Р+ и Р_ действительно принадлежат указанным выше пространствам. Для этого надо показать, что для каждой функции G(z) е Н{К\) функции P+G(z) и P-G{z) принадлежат классу Hol{\i) в пространствах D*, D£ при любом ц < 1. Проверка в точках, отличных от точек с, d, не представляет никакого труда, так как, например, для z e yti Z ф С, Z Ф d функция P+G(z) голоморфна в окрестности этой точки и P-G(z) — G(z)-P+G(z), a функция G принадлежит Hol(\i) по условию. Рассмотрим поведение функции P-G(z) в окрестности точки с в D£. Обозначим дугу уь через cd. Для несобственного интеграла А = I -——dX,, любого £о € чь и люс Jcd <• ~

бых фиксированных 0 < ^ < 1 и ц ' =ц+е < 1

имеем:

84

ЛЕКЦИЯ 9

f /

"Kb, ^7 1

так как последний интеграл сходится и, стало быть, ограничен некоторой константой С(Е). Для любого фиксированного z из D& вблизи точки с рассмотрим точку Ci на дуге уь, находящуюся Рис. 8 от z на таком же расстоянии, что и с (если на дуге у б нет такой точки, то расстояние от z до этой дуги равно \z - с\, и все последующие оценки существенно упрощаются). Обозначим через £г середину дуги cCi. Имеем: H:,«-«)

где (С-2)

Далее,

L

dl,

«-г)

•Д

//(С2)/ rfln(C-z)

так как последний интеграл ограничен числом С'|с — г| е . (Проверьте этот факт, доказав его вначале для случая, когда дуга c£i является отрезком, пользуясь тем, что |z—£г| = \c~z\ cosp для некоторого угла р и |^—z| = |z—C2|/coscp, где ср меняется от - р до (3; затем модифицируйте доказательство для случая, когда с^\ —дуга окружности). Оценим следующую разность: W(C)

; ^ -1-

H(Q

/,

85

ТЕОРЕМА БИРКГОФА—ГРОТЕНДИКА

Но для точек С, принадлежащих дуге Z,\d, имеем \ЩЩг-с\

\2-с\

|z-c|

= /с

|1-е

1

Z-C

il-e

так как | C - c | / | £ - z | < 2, | г - с | < |С—.z| (напомним, что точка z находится вблизи точки с и Н(с) = 0). Поэтому

поскольку интеграл /

гг- «С »к зк уже было доказано, сходится.

Следовательно,

Значит,

;-о p j™ x eD -°(*)=-tf

•-rll1

(^Bj^.

и P-G(z) принадлежит классу Но1{ц) для любого ^ < 1. Заметим здесь, что если две функции принадлежат классу Hol(\i), то же самое верно и для их произведения (докажите это). Поскольку для точек z из меньшего пространства

где zeDj

\FG(z)\)

а через S обозначена длина дуги Y/>» TO получаем, что норма оператора Р_ = ТоР_, где 71 —оператор офаничения на подпространство H(D2f), ограниченна. То же самое верно и для соответствующего оператора Перейдем теперь собственно к доказательству предложения 2. Проведем его по той же схеме, что и доказательство предложения 1. Доказательство леммы 1 переносится на наш случай без каких-либо изменений за исключением того, что ряды (9.2) будут сходиться в кругах Dlb и, следовательно, расслоение с функцией склейки М, близкой к единице, окажется тривиальным не на Da\jDb, а на меньшем множестве

86

ЛЕКЦИЯ 9

DcaL)Dl, где число Е может быть выбрано сколь угодно малым. Поскольку по теореме Рунге любая голоморфная в односвязной области функция может быть внутри этой области (т. е. на каждом компактном подмножестве области) равномерно приближена многочленами от z, действуя так же, как в лемме 2, заменим исходное расслоение на эквивалентное алгебраическое (с полиномиальной функцией склейки F) на множестве D£uD£. Если det F(e) — 0 для некоторой точки е е Da \ Db, применим к функции F(z) в окрестности точки в лемму 3, получим F{z) = = U{z\z — epW(z). Поскольку функция (z - e)KW(z) голоморфно обратима в Db, замена F на рациональную функцию U не меняет типа исходного расслоения. Проделав описанную выше процедуру для всех точек из D0\Db, в которых detF(z) = 0, получим расслоение Е' над Dza\jD\ с рациональной функцией склейки Р , эквивалентное исходному. Поскольку функция Р голоморфно обратима в Da, то Р = U(z)W(z), где W{z) = I, U(z)=F'(z)eH°(Da). Поэтому построенное расслоение Е' голоморфно тривиально, а значит, голоморфно тривиально и исходное расслоение. • Заметим, что предложение остается верным для любых двух связных односвязных ограниченных множеств Da, Db со связным односвязным пересечением, граница которого является кусочно-гладкой кривой. Доказательство в этом случае почти дословно повторяет приведенное выше. В качестве следствия получаем следующее важное утверждение.

Лемма 4. Голоморфное расслоение на сфере Римана голоморфно тривиально над любым кругом D конечного радиуса.

Доказательство. Для каждой точки z из D рассмотрим круговую окрестность Ulz с центром в z, над которой расслоение голоморфно тривиально. Обозначим через U\ окрестность вдвое меньшего радиуса. Выберем из покрытия круга D окрестностями \J\ конечное подпокрытие {£/?}, / = 1,..., п., и рассмотрим соответствующее покрытие {U- }, в которое вписано {U?}. Перенумеруем эти покрытия так, чтобы множества

{W(},

W[ = U\

Wl=\JU<,

/=1,2,

обладали следующим свойством: для любого k множества W'k и U ^ n ( / [ + | связны и односвязны. Согласно предложению 2 расслоение тривиально над любым компактным подмножеством из W^ и, стало быть, тривиально над окрестностью множества W\. По замечанию к доказательству предложения 2

ТЕОРЕМА БИРКГОФА—ГРОТЕНДИКА

87

расслоение тривиально над некоторой окрестностью множества W% и т. д. Через конечное число шагов получаем, что расслоение голоморфно тривиально над множеством W%, которое содержит исходный круг D. • Ясно, что лемма верна также и для любого круга с центром в точке оо (не совпадающего с С\0). Для доказательства достаточно отобразить этот круг в круг конечного радиуса с помощью дробно-линейного отображения, тривиализовать расслоение над этим кругом и рассмотреть обратное отображение. Доказательство теоремы 1. Из леммы 4 следует, что любое расслоение на сфере Римана допускает координатное описание Е = = (A),/}oo.gOoo = Щг)) Для некоторых г, R. Доказательство теоремы следует теперь из предложения 1. • Упражнения 1. Докажите, что любое голоморфное векторное расслоение на сфере Римана голоморфно тривиально над любым кольцом К2. Найдите тип расщепления (числа £, в (9.1)) следующих расслоений: о = С, О о о = С\0, При каких значениях числа а голоморфно тривиально расслоение i), расслоение ii)? 3. Докажите, что тип расщепления расслоения на сфере Римана определяется однозначно голоморфным типом расслоения, т. е. докажите, что если для одного и того же расслоения имеются два представления в виде прямой суммы (9.1) с числами {Л,} и Щ}, то k{ = k\ для любого i. 4. Введем в множестве расслоений на сфере Римана понятие близости следующим образом. Будем говорить, что расслоения F', / = 1,2, близки, если найдутся такие координатные описания Fl —({Uj}, {gij) этих расслоений с одним и тем же покрытием {Uj} базы и с функциями склейки { g i j ' непрерывными вплоть до границ соответствующих множеств UjPiUk, что ||gL — gjk\\ < z для всех /, k и для некоторого малого Е > 0. Докажите, что любое голоморфное расслоение, близкое к голоморфно тривиальному, голоморфно тривиально. 5. Докажите, что любое голоморфное расслоение, близкое к голо-

88

ЛЕКЦИЯ9

морфному расслоению с типом расщепления, удовлетворяющим условию k\ - kp ^ 1, имеет тот же тип расщепления. 6. Докажите, что утверждение предыдущего упражнения неверно для расслоений с типом расщепления, удовлетворяющим условию k\-kp> i) приведите пример такого расслоения с типом расщепления k\ —kp> I, для которого имеется сколь угодно близкое к нему голоморфно тривиальное расслоение; ii)* докажите, что для любого расслоения с типом расщепления k\ - kp > 1 найдется сколь угодно близкое к нему расслоение с типом расщепления k\-kp^.\. 7. Докажите, что расслоение F на проколотой сфере Римана, построенное в лекции 8, голоморфно тривиально.

ЛЕКЦИЯ 10

Следствия теоремы Биркгофа—Гротендика В этой лекции мы рассмотрим некоторые следствия теоремы Биркгофа—Гротендика применительно к проблеме Римана—Гильберта. Введем в множестве расслоений на сфере Римана понятие близости следующим образом. Будем говорить, что расслоения Р , / = 1, 2, близки, если найдутся такие координатные описания Р = ({^/}. {£;*}) этих расслоений с одним и тем же покрытием {Uj} базы и с функциями склейки {gjfc}), непрерывными вплоть до границ соответствующих множеств Uj П Uk, что \\gjk - gjk\\ < е для всех /, k и для некоторого малого Е > 0.

Предложение 1. Голоморфное расслоение, близкое к голоморфно тривиальному расслоению, голоморфно тривиально. Доказательство. Вернемся к доказательству предложения 9.2 и леммы 9.4. Из ограниченности операторов /". и f+ следует, что если функция склейки M(z) достаточно близка к единичной, то в разложении M = UW функции U 6 //°(О£), W € H°(D\) также близки по норме к матрице /. Последнее означает, что когда мы переходим к новой тривиализации расслоения, заменяя окрестности Da, Оь на окрестность Dla UDcb, а функции склейки ga», gb* —на t/~'g 0 .. Wgbt, то функции склейки в новом координатном описании расслоения вновь будут близки к единичным. Через конечное число шагов леммы 9.4 получим расслоение Е предложения 9.1, в котором функция склейки got» н а Л каждым пересечением Ui п Uj (в исходном координатном описании расслоения) равна TgijS, где gij — исходная функция склейки, а функции Т, S являются произведениями конечного числа (не превосходящего количества элементов исходного покрытия) функций, близких к единичной матричной функции. Поэтому функция gooo близка к единичной в кольце К и, значит, согласно лемме 9.1 исходное расслоение тривиально. • Из доказанного предложения немедленно следует результат Лаппо-Данилевского по проблеме Римана—Гильберта, полученный им в 1928 году с помощью матричных рядов. 12-7373

90

ЛЕКЦИЯ 10

Теорема 1 (Лаппо-Данилевский). Если матрицы монодромии G\,...,Gn представления х в (8.1) близки по норме к единичной матрице, то представление х может быть реализовано как представление монодромии некоторой фуксовой системы. Доказательство. Рассмотрим построение расслоения F лекции 8. Так как покрытие, по которому строится это расслоение, конечно, то каждая из функций склейки g,7 (которых также конечное число) этого покрытия является произведением конечного числа экземпляров матриц G\,... ,Gn. Значит, если эти матрицы достаточно близки к единичной, то же самое верно и для матриц g-tj. С помощью матрицы S приведем матрицу £, к блочному диагональному виду с единственным собственным значением для каждого блока и рассмотрим подходящую блочно-скалярную матрицу Л, такую, чтобы действительные части собственных значений матрицы £° = Л,+£| лежали между -1/2 и 1/2. Обозначим через £? матрицу SE^S~l. Тогда если матрица G, близка к единичной, то матрица £9 близка по норме к нулевой матрице. Действуя так же, как при построении канонического продолжения расслоения (см. лекцию 8), продолжим расслоение F в особые точки с помощью функций склейки go<x(z) = (z - aiH • Уменьшим элементы Ua исходного покрытия до U'a так, чтобы они не содержали в своем замыкании особых точек (но так, чтобы вместе с окрестностями О, особых точек по-прежнему образовывали покрытие сферы Римана). Теперь в замыкании каждого О'а соответствующая функция ln(z — a,) ограниченна, поэтому для достаточно близких к единичной матрице матриц G, матричные функции £ ? l n ( z - a , ) будут близки по норме к нулю в соответствующих U'a, и, значит, функции склейки goa(z) = (z — а.-,)^ будут близки к единичной матрице. Утверждение теоремы следует теперь из предложения 1 и теоремы 8.1. • Вернемся к формулировке теоремы Биркгофа—Гротендика. Какая свобода имеется в определении типа расщепления расслоения (чисел k\ Л,) ? Лемма 1. Тип расщепления голоморфного расслоения на сфере Римана определяется однозначно этим расслоением. Доказательство. Пусть расслоение Е эквивалентно расслоениям (С,С \ 0, z*'), где К' = diag(*', к1р), k\ > ... > k'p, i = 1, 2. Тогда найдутся такие матричные функции и(г) и W{z), голоморфно обрати-

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ БИРКГОФА-ГРОТЕНДИКА

91

мые соответственно в С и С \ 0, что

Предположим, что К1 ф К2- Пусть для определенности kj = kf для у = 1,..., /— 1 и k\ > kf. Так как для элементов ((и,,)) и ((о»,/)) матриц U и W имеет место соотношение wit = zki ~к' иц, то функции Wjj{z) при * > /, / ^ / в силу сделанного предположения голоморфны в нуле и обращаются там в нуль. Так как матрица W голоморфна вне нуля, то по теореме Лиувилля получаем wij(z) = 0 при i > /, уX '• Но тогда det W(z) = О (так как при любом z строки этой матрицы с номерами / + 1,... ,р принадлежат подпространству размерности р-1—\ пространства С , и стало быть, являются линейно зависимыми), что противоречит голоморфной обратимости этой матричнозначной функции. Значит, /С1 = /С2. • Тем самым, имеет место следующее утверждение. Следствие 1. Два расслоения на сфере Римана голоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые типы расщепления. Расслоение Е на сфере Римана голоморфно тривиально тогда и только тогда, когда его тип расщепления имеет вид (0,... ,0). Из теоремы Биркгофа—Гротендика немедленно следует, что каждое расслоение на сфере Римана мероморфно тривиально. Точнее, имеет место следующее утверждение. Предложение 2. У любого голоморфного векторного расслоения Е на сфере Римана существует базис мероморфных сечений, голоморфный вне одной произвольной наперед заданной точки. Доказательство. Рассмотрим координатное описание (9.1) расслоения Е и произвольную точку b еС Функции wt = ((z - b)/z)kl, u,- = = {z-b)ki голоморфны в С\0 и С соответственно (за исключением точки Ь), и столбцы матриц W — diag(a»i,..., wp), V = diag(U| l ...,u p ) задают координатное описание требуемого базиса (так как V^gQ^W). О В качестве следствия получаем следующее утверждение, принадлежащее Племелю. Теорема 2 (Племель). Любое представление (8.1) может быть реализовано как представление монодромии некоторой системы с регулярными особыми точками, фуксовой во всех точках, кроме, быть может, одной, с любыми наперед заданными допустимыми нормированиями в фуксовых точках. Доказательство. Рассмотрим произвольное расслоение Е из построенного в лекции 9 множества Т расслоений с данной монодромией

92

ЛЕКЦИЯ 10

и данными особыми точками. Положим b = щ и рассмотрим базис (е) = (е\,..., ер) сечений этого расслоения, построенный в предыдущем предложении. В базисе из этих сечений логарифмическая связность V определяет систему линейных дифференциальных уравнений с данными особыми точками и монодромией, фуксову во всех особых точках и имеющую регулярную особенность в точке а,. Действительно, так как этот базис лишь мероморфен в точке а,-, то (£A<) = (e)(/(z), где (£ Л/ )—голоморфный базис локальных сечений расслоения Е над окрестностью О,- точки а,-, задающий продолжение расслоения F, построенного по монодромии (8.1), в точку а,- (см. лекцию 8), и матричная функция U(z) мероморфна в а,. Поэтому согласно (3.10) и (8.5) форма о>, связности имеет в О,следующий вид: o>i = dUU~[ + U{kt + {z - ai)A'Ei(z - ui)-K<)U-{—.

(10.1)

Z-Cti

А фундаментальная матрица пространства решений этой системы (горизонтальных сечений связности) вблизи точки а, записывается следующим образом:

Поэтому точка о,- — регулярная особая для построенной системы. В силу произвольности выбранного расслоения из Т нормирования в точках, отличных от щ, могут быть выбраны произвольными допустимыми. П Для расслоения Е е Т можно выбрать эквивалентное координатное описание (O,,C\a/,(z-a,)*) с теми же числами /г,, что и в (8.1) (эквивалентность этого описания исходному устанавливается с помощью функций U = l и W = {z/(z-ai))K). В соответствующем этой тривиализации базисе (е 1 ) локальных голоморфных сечений над О, матрица о/ связности V имеет вид {ЮЛ) с заменой матрицы U на голоморфно обратимую матрицу V, где (^K') = {ei)V(z). Поэтому в глобальном базисе {e^z-uif мероморфных сечений расслоения Е (который голоморфен вне а,-) связность V в окрестности О, будет иметь вид t

-curKuiiz-aif,

(10.2)

г фундаментальная матрица горизонтальных сечений связности вблизи точки а,- (фундаментальная матрица пространства решений соответ-

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ БИРКГОФА-ГРОТЕНДИКА

93

ствующей системы) запишется следующим образом: K

Yi{z) = {z-alY V{ztz-ai)b{z-aif.

(10.3)

В качестве немедленного следствия получаем следующее важное утверждение. Предложение 3. Степень с\(Е) расслоения Е равна сумме чисел kj, определяющих тип расщепления этого расслоения. Доказательство. Согласно определению 7.1 и следствию 7.1

= Е Е PiС другой стороны, для построенной системы с матрицей (10.2)

так как эта система фуксова в точках, отличных от а, (см. доказательство теоремы 7.1) и ее фундаментальная матрица в точке а,- имеет вид (10.3). Поэтому tr К = с{(Е). • Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма, связывающая тип расщепления расслоения с показателями системы в особой точке. Лемма 2. Для любой голоморфно обратимой в нуле матричнозначной функции U(z) и для любой диагональной целочисленной матрицы К найдется многочлен Г(г) от \/z с матричными коэффициентами, голоморфно обратимый вне точки нуль и такой, что r(z)zKU(z)=U(z)zD, (10.4) где матрица D = diag(d| dp) может быть получена из матрицы К некоторой перестановкой ее диагональных элементов, a U(z) голоморфно обратима в нуле. Доказательство. Для доказательства леммы нам понадобится следующее утверждение технического характера. Лемма 3. Пусть матричнозначная функция W(z) размера (1,р-1) мероморфна в точке нуль и голоморфна в некоторой проколотой окрестности О этой точки, а матричнозначная функция V(z) размера (р — /, р — I) голоморфно обратима в полной окрестности О нуля. Тогда найдется такая матричная функция Г(г), мероморфная на всей сфере Римана и голоморфно

94

ЛЕКЦИЯ 10

обратимая вне точки нуль, что где матричнозначная функция W(z) голоморфна в нуле и W(0) = = 0. Доказательство. Если матрица W(z) имеет полюс порядка т в нуле, то она может быть представлена в следующем виде (в О): m

m+{

(10.6)

z W{z) = Q\z) + z H\z), l

где Q {z) — матричный многочлен от z степени т и матрица голоморфна в нуле. Представим V(z) в аналогичном виде:

l

H (z)

2

Тогда det Q (0) ф 0 согласно условию леммы. Поэтому найдется многочлен R(z) от г степени т такой, что 2

l

m+l

(10.7)

R(z)Q (z)=-Q (z) + z H\z) с голоморфной матричной функцией H\z). т

Действительно, пусть

т

Ql(z) = £ < ? j z / . i = l , 2, тогда R(z) = Y,Rizi< /=0

™ e Л/ однозначно

/=0

определяются из нижнетреугольной системы

RoQl

= -Ql

с det Q"^ = det Q2(0) ф 0. Рассмотрим матричную функцию

Из (10.6), (10.7) немедленно получаем (10.5). • Замечание 1. Если в предыдущей лемме переставить местами W и V, то утверждение леммы останется верным. Для доказательства надо лишь заменить матрицу Г на следующую матрицу: Перейдем к доказательству основной леммы. Без ограничения общности можно считать, что K = diag(*,r' ktlm% где &i > ... > kt и I1—единичная матрица размера (j,j).

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ БИРКГОФА-ГРОТЕНДИКА

95

Вначале рассмотрим случай, когда все главные миноры матрицы U(z) не равны нулю в точке нуль. В этом случае мы дополнительно докажем, что в (10.4) D = КБудем доказывать лемму по индукции по числу / скалярных блоков матрицы К. Для t = 1 можно взять Г(г) = /. Пусть утверждение леммы доказано для числа блоков, меньшего /. Докажем его для случая / блоков. Преобразуем выражение z^U(z) следующим образом: zKU(z) = zK'U'(z)zK", где К'= diag((*1-*/_,)/"•• /С" = d i a g ( W \ ) р у матрицы U'(z) последние т< столбцов голоморфны в нуле, а матрица U {z), составленная из первых p — mt столбцов матрицы U'{z\ имеет

«•-да.

где, в свою очередь, матрица V является голоморфной квадратной матрицей размера (п\ х п\) и согласно предположению det 1/(0) ф 0, а матрица W(z) имеет в нуле полюс порядка m = kt- kt-\. Применим к паре V, W лемму 3 и замечание 1 с матрицей Г/(г) вида (10.9) с т = A/_i — kt, l = mi. Тогда с голоморфной матрицей W{z). Заметим, что поскольку первые р - т< строк матрицы Т, составленной из последних /п< столбцов матрицы U', имеют в точке 0 нуль порядка kt — kt_\, матрица U" = T((z)U' будет голоморфна в нуле. Из приведенного построения немедленно следует, что матрица T't(z) = zK'rtz~K> голоморфно обратима вне нуля. Согласно построению получаем Vi(z)zKU{z) = zKITtz-K'zK'Ul{z)zK" = z«'U"(z)z«", где матрица U"(z) голоморфно обратима в нуле и все ее главные миноры не обращаются в нуль в точке 0 (докажите это). Согласно предположению индукции существует матрица T'(z) такая, что „, _ „, K T'(z)z U"(z) = U(z)zK , где матрица U(z) голоморфно обратима в нуле.

96

ЛЕКЦИЯ 10 Обозначим через Г(г) матрицу Г(г) — T'(z)T't(z). Тогда K

K>

K

K

K

K

T(z)z U(z) = T'(z)z U"(z)z " = U(z)z 'z " = U(z)z . Если некоторые из главных миноров матрицы U(z) зануляются в нуле, то найдется постоянная невырожденная матрица S, умножение на которую справа сводится к перестановке столбцов матрицы U(z) и такая, что все главные миноры новой матрицы U' = US будут отличны от нуля в точке 0. Применяя полученный выше результат к матрице U', l

получаем

K

T(z)z
поэтому

_ 1

Г(2)2*£7(2) = IXzyjWtzJS- = ^ ' ( s ^ S " 1 =

= L' / (z)5- | z 5/(S " 1 = L/(z)zD

•

Следующий результат также обычно приписывается Племелю. Теорема 3. Если хотя бы одна из матриц G, представления (8.1) приводится к диагональному виду, то это представление может быть реализовано как представление монодромии некоторой фуксовой системы. Доказательство. Пусть матрица G, диагонализируема. Согласно теореме 2 представление (8.1) может быть реализовано системой, фуксовой вне точки а, и такой, что фундаментальная матрица пространства решений этой системы имеет в окрестности точки а, вид (10.3) с диагональной матрицей £,• и с нулевой матрицей Л,. Применим к матрицам —К, V(z) лемму 2. Согласно этой лемме найдется такая матричная функция T(z), голоморфно обратимая вне

точки а„ что

_aiyKViz)=v(z){2_ai)Di

T(z)(z

где D — целочисленная диагональная матрица, a V(z) голоморфно обратима в нуле. Перейдем от построенной системы к системе с фундаментальной матрицей У" = TY(z) (то есть перейдем от базиса (e')(z — at)K к базису (е'Хг-а/У^Г" 1 и рассмотрим систему, задаваемую связностью V в этом базисе). Новая система будет по-прежнему фуксовой во всех точках, отличных от а, (так как матрица замены T(z) голоморфно обратима вне этой точки), а в точке а, ее фундаментальная матрица согласно построению примет вид так как матрицы D и £, диагональные. Поскольку матрица V(z) голоморфно обратима в точке а,-, построенная система фуксова в нуле

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ БИРКГОФА-ГРОТЕНДИКА

97

(в чем можно убедиться непосредственным вычислением матрицы коэффициентов о = dYjYT'1; проверьте это). D Одним из важных результатов по проблеме Римана—Гильберта является следующая теорема, доказанная независимо Болибрухом и Костовым. Теорема 4. Любое неприводимое представление (8.1) может быть реализовано как представление монодромии некоторой фуксовой системы. (Напомним, что представление называется неприводимым, если у матриц монодромии этого представления нет общего инвариантного подпространства, отличного от нулевого подпространства и от всего пространства.) Мы докажем эту теорему в следующей лекции, а пока используем ее для доказательства следующего результата, принадлежащего Деккерсу. Теорема 5. Любое представление (8.1) размерности два может быть реализовано как представление монодромии некоторой фуксовой системы. Доказательство. Если представление (8.1) неприводимо, то эта теорема следует из предыдущей. Пусть представление (8.1) приводимо. Тогда все матрицы монодромии этого представления могут быть одновременно приведены к верхнему треугольному виду (так как они имеют размер (2 х 2), то приводимость означает наличие общего собственного вектора у этих матриц). Если хотя бы у одной из этих матриц диагональные элементы различны, то она диагонализируема, и настоящая теорема следует из теоремы 3. В противном случае все матрицы монодромии коммутируют, и требуемая фуксова система выписывается по этим матрицам следующим образом /„_! dy _

dz

где D = -££,-.

\Z-^z-ai

г-а„ J*'

•

Упражнения 1. Докажите, что степень любого голоморфного подрасслоения тривиального голоморфного векторного расслоения на сфере Римана не превосходит нуля. 2. Докажите, что любое голоморфное подрасслоение степени ноль тривиального голоморфного векторного расслоения на сфере Римана тривиально.

ЛЕКЦИЯ 11

Контрпример к проблеме Римана—Гильберта Вернемся к теореме Биркгофа—Гротендика. Какие полрасслоения может иметь тривиальное расслоение Е на сфере Римана? Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение. Предложение I. Степень любого подрасслоения F тривиального голоморфного векторного расслоения Е на сфере Римана не превосходит нуля. Доказательство. Предположим противное. Тогда согласно теореме 9.1 у расслоения F, а значит, и у расслоения Е есть одномерное подрасслоение F 1 степени c\(Fl) = k\, большей нуля. Согласно лемме 9.4 и определению 2.4 расслоение Е может быть задано следующим координатным описанием: (С, С \0,gooo).

= ft1 a M(z) — функция склейки факторрасслоения Р = E/F1. Функции (1,0 О)', (z f t | , 0 0)', где ' означает транспонирование, задают координатное описание глобального ненулевого голоморфного сечения 5 расслоения Е, зануляющегося в нуле. Но такого сечения у тривиального расслоения быть не может. Действительно, обозначим через / вектор-функцию координат этого сечения в глобальном базисе голоморфных сечений расслоения Е (который существует в силу тривиальности расслоения Е). Тогда / — голоморфная функция на всей сфере Римана, зануляющаяся в нуле, т. е. по теореме Лиувилля / = 0 и, стало быть, сечение s тождественно равно нулю, что противоречит его построению. Значит, k\ ^ 0 , и степень подрасслоения F не превосходит

нуля.

•

Следствие 1. Каждое подрасслоение степени нуль тривиального голоморфного векторного расслоения тривиально. Доказательство. Если это подрасслоение нетривиально, то его тип расщепления содержит положительное число k\ > 0, что означает наличие одномерного подрасслоения положительной степени. Но последнее невозможно согласно предложению 1. •

КОНТРПРИМЕР К ПРОБЛЕМЕ РИМАНА—ГИЛЬБЕРТА

99

Доказанное в предложении 1 утверждение является частным случаем более общего утверждения, тесно связанного с понятием стабильности расслоения, которое было введено Мамфордом в 1950-х годах. Для расслоения Е обозначим через х(£) число c\(E)frgHE), где через rg(E) обозначен ранг расслоения Е. Это число называется наклоном расслоения Е. Определение 1. Расслоение Е называется стабильным (полустабильным), если для любого подрасслоения FcE имеет место неравенство x(F) < x(E) (x(F) ^ х(Е)). На сфере Римана, очевидно, нет стабильных расслоений. Действительно, для любого расслоения Е можно рассмотреть его одномерное подрасслоение F из разложения (9.1) с максимальным k\. Ясно, что

Что касается полустабильных расслоений, то имеет место следующее утверждение. Предложение 2. Голоморфное векторное расслоение Е на сфере Римана полустабильно тогда и только тогда, когда его тип расщепления имеет вид (k,..., k). Расслоение Е тривиально тогда и только тогда, когда оно полустабильно и его степень равна нулю. Доказательство. Если для типа расщепления расслоения Е имеет место неравенство 6/ > ki+\ для некоторого /, то =

I

•!•(*,+...

p

p

Но последнее неравенство означает, что наклон расслоения, являющегося прямой суммой первых / одномерных расслоений из (9.1), больше наклона всего расслоения Е, что противоречит полустабильности этого расслоения. Если расслоение Е имеет тип расщепления (Л,.... k), то любое его подрасслоение F обязано иметь тип расщепления {k\,..., k\), где k\ ^ k, i = 1,...,/. Доказательство этого утверждения почти дословно повторяет доказательство предложения 1 с заменой неравенства k\ > 0 на k\ > k. У расслоения Е в этом случае есть глобальный базис сечений, голоморфный вне нуля и такой, что эти сечения, поделенные на zk, образуют базис в слое расслоения Е над точкой нуль. Поэтому по тем же соображениям, что и в предложении 1, функция / координат

100

ЛЕКЦИЯ 11

голоморфного ненулевого сечения s, имеющего нуль порядка k\ > k в нуле, тождественно равна нулю, что вновь приводит к противоречию, означающему, что все k\ не превосходят числа k. Поэтому наклон подрасслоения F не превосходит наклона исходного расслоения. Вторая часть утверждения является непосредственным следствием первой части. • Как видно из предыдущего предложения, понятия стабильности и полустабильности расслоения на сфере Римана не слишком содержательны. Однако вспомним, что в проблеме Римана—Гильберта мы имеем дело не просто с расслоением, а с расслоением £, в котором имеется логарифмическая связность V. Будем говорить, что подрасслоение F расслоения Е стабилизируется связностью V, если V{T{F)) С С Г(тд ® F), другими словами, если связность переводит локальные сечения подрасслоения F в локальные сечения того же подрасслоения с коэффициентами в дифференциальных 1-формах. Определение 2. Пара (£, V) называется стабильной (полустабильной), если для любого подрасслоения Fc E, которое стабилизируется связностью V, имеет место неравенство x(F) < х(£) (x(F) < х(£)). Следующее утверждение играет решающую роль в доказательстве различных достаточных условии положительной разрешимости проблемы Римана—Гильберта. Теорема 1. Рассмотрим расслоение Е 6 Т с логарифмической связностью V, построенное по представлению (8.1) с особыми точками а\,... ,ап. Если пара (Е, V) полустабильна, то для типа расщепления этого расслоения имеют место следующие неравенства: , . . /I I I V ki-ki+i^n-2, i=l р-\. (11.1) Доказательство. Рассмотрим базис мероморфных сечений расслоения £, голоморфный вне точки а, и такой, что форма о' связности V имеет в этом базисе вблизи точки а,- вид (10.2): а фундаментальная матрица пространства решений системы

dy = а'у в окрестности точки а,- представляется в виде (10.3): Yi(z) = (z - a/)-*V(zXz - fl*)A'(z - fl/)£', где форма to имеет логарифмическую особенность в а<. Напомним, что набор диагональных элементов матрицы К совпадает с типом расщепления расслоения Е.

КОНТРПРИМЕР К ПРОБЛЕМЕ РИМАНА—ГИЛЬБЕРТА

101

Предположим, что для некоторого / имеет место неравенство ki — k[+] >n — 2. Так как элементы о>т/ и ит; матричных дифференциальных форм (У и и при тф] связаны соотношением то для т> I, j ^ / согласно предположению получаем kj-km> п- 2. Поэтому порядки нулей дифференциальных форм iumj(z) с указанными индексами в точке а, больше числа л - 3 , в то время как сумма порядков полюсов в особых точках, отличных от а,, не превосходит числа п — 1 (так как форма ы' имеет логарифмические особенности в этих точках). Так как форма о>' голоморфна в бесконечности, то ее коэффициенты имеют нуль порядка 2 в этой точке. Окончательно получаем, что для коэффициентов форм ш^Дг) с указанными индексами сумма порядков нулей на сфере Римана больше числа л — 1, в то время как сумма порядков полюсов не превосходит этого числа. Значит, эти формы тождественно равны нулю, и, стало быть, форма ш' имеет вид:

(11.2) где размер матричной формы о>' равен (/,/). Поэтому существует такая постоянная невырожденная матрица S, что

Y0(z)=Yi(z)S = (z-ai} где, в свою очередь, =

(

»

<

>

)

•

1

1

Рассмотрим векторное расслоение F ранга / со связностью V , форма связности которой в выбранном базисе сечений совпадает с м 1 . Согласно построению связность V стабилизирует подрасслоение F 1 1 1 и совпадает на нем со связностью V , а степень подрасслоения F равна k\ +... + k[. Поэтому, действуя так же, как при доказательстве предложения 2, получаем F i ) = *• + • - + * > > ь + . . . + k , = х{Е) '

Р

Но полученное неравенство противоречит полустабильности пары (£, V). Таким образом неравенство (11.1) действительно имеет место. • Если представление (8.1) неприводимо, то любое из построенных расслоений £ е ^ с логарифмической связностью V стабильно как

102

ЛЕКЦИЯ 11

пара (£, V) в смысле определения 2 (так как никакое подрасслоение не стабилизируется в этом случае связностью, ибо последнее означало бы, что у всех матриц монодромии есть общее инвариантное подпространство). Поэтому для типов расщеплений всех расслоений Е е Т, построенных по неприводимому представлению, имеют место неравенства (11.1). Впрочем, к тому же выводу можно прийти, не используя понятие стабильности. Действительно, если неравенство (11.1) не выполняется, то доказательство теоремы 1 приводит к системе (11.2), монодромия которой, очевидно, приводима (так как она «содержит» монодромию 1 подсистемы с матрицей со ), что противоречит исходному предположению. Теперь мы имеем все необходимое для доказательства теоремы 10.4. Доказательство теоремы 10.4. Рассмотрим векторное расслоение Е из Т, построенное по неприводимому представлению (8.1) и матрицам Л 2 = ... = Л я = 0, A,=diag(X, ХД X,--Х,-_ц > ( л - 2 Х Р - 1), /=1 р-1. Вновь рассмотрим базис мероморфных сечений расслоения Е, голоморфный вне точки а.\ и такой, что фундаментальная матрица пространства решений системы dy = шу, построенной по логарифмической связности V, в окрестности точки а\ имеет вид Л У,(г) = (г-сцГкV{z\zЧг-а,)£' а 1 ) и эта система является фуксовойвне точки а\. Согласно лемме 10.2 существует такая матрица Г(г), голоморфно обратимая вне точки а\, что где матрица D получена из —К некоторой перестановкой диагональных элементов, а матрица U(z) голоморфно обратима в точке а\. Так как для элементов матрицы К имеют место неравенства (11.1), то для любых соседних диагональных элементов матрицы D получаем }di - di+\\ < < {п - 2 Х Р - 1). Поэтому матрица Н\ = D + А\ допустима, т. е. для диагональных элементов я,- этой матрицы выполнено условие /г, > hi+i, /=1 Р-1. Перейдем от построенной системы с матрицей коэффициентов о и фундаментальной матрицей Y\ к системе с фундаментальной матрицей

J

КОНТРПРИМЕР К ПРОБЛЕМЕ РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

103

Так как матрица Г(г) голоморфно обратима вне точки а\, новая система будет вновь фуксовой вне а\. В окрестности точки а\ матрица Y[ будет иметь вид

с голоморфно обратимой матрицей U(z), допустимой матрицей Н\ и верхнетреугольной матрицей Е\. Поэтому построенная система будет фуксовой и в точке а\ (см. лекцию 8). • Из доказанной теоремы, в частности, следует, что контрпримеры к проблеме Римана—Гильберта (если таковые имеются) следует искать среди приводимых представлений. Рассмотрим специальный тип представлений (8.1), который в дальнейшем будем называть Б-представлениями. Определение 3. Представление (8.1) называется Б-представлением, если это представление приводимо и если жорданова нормальная форма каждой из матриц монодромии G, состоит ровно из одной жордановой клетки. Теорема 2. Б-представление (8.1) может быть реализовано как представление монодромии некоторой фуксовой системы тогда и только тогда, когда тип расщепления канонического продолжения F° расслоения F, построенного по этому представлению, равен (k,..., k) (т. е. когда расслоение F0 полустабильно). Доказательство. Если тип расщепления канонического продолжения равен (k,...,k), то согласно теореме 10.2 и соотношению 10.3 найдется система уравнений на сфере Римана с заданной монодромией и особыми точками, фуксовая в точках ад,..., а„, имеющая в этих точках нулевые нормирования и такая, что ее фундаментальная матрица в окрестности точки а\ имеет вид 10.3 с нулевой матрицей Лi и скалярной матрицей К = kl:

Y{(z) = {z-a\TklV{zXz-ax)E\

(11.3)

Но (z-a{)-klV{z\z-a^

= V{ztz~ax)-k\z-a,)EK

Значит, эта система фуксова и в точке а\. (В этом случае тривиальным оказывается расслоение, построенное из расслоения F с помощью допустимых матриц Л) = -kl, Лг = . . . = Л„ = 0.) Пусть теперь Б-представление (8.1) реализовано как представление монодромии некоторой фуксовой системы (7.3) с матрицами нормирований Л] Л„. Последнее означает согласно теореме 8.1, что

104

ЛЕКЦИИ И

соответствующее расслоение Е eF, построенное по данному представлению и допустимым матрицам А\,...,Ап, голоморфно тривиально. Пусть размерность подпредставления х' нашего Б-представления х равна /. Обозначим через Xi соответствующее подпространство пространства решений X системы, инвариантное относительно действия монодромии х- Приведем все матрицы монодромии представления х одновременно к блочному верхнетреугольному виду

о

l = l

G;V "' и рассмотрим соответствующую фундаментальную матрицу Y(z), в базисе из столбцов которой матрицы монодромии имеют указанный вид. Согласно примеру 5.2 первые / элементов любого левелевского базиса пространства X в любой особой точке принадлежат подпространству Xi. Поэтому согласно теореме 5.2 в окрестности точки а, матрица Y представима следующим образом:

Y(z)=Ui(zXz-aifi(z-aif'Sh где матрицы £,-, 5, имеют такой же блочный верхнетреугольный вид, что и матрицы G,, а допустимая матрица Л, имеет вид Л, = diag(AJ, Л"). Тем самым, у расслоения £ имеется подрасслоение Р ранга /, построенное по представлению х' и допустимым матрицам А\. Заметим, что степень этого расслоения неотрицательна и она равна нулю тогда и только тогда, когда все матрицы Л, скалярные: Л,- = с,/, / = 1,..., п. Действительно, пусть Л, = diag^XJ X?). Тогда в силу допустимости имеем X/ ^ ... > Xf и

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда все числа Xj равны. Поэтому для наклона этого подрасслоения (который равен степени, деленной на /) имеем

и равенство достигается тогда и только тогда, когда все матрицы Л, скалярные.

КОНТРПРИМЕР К ПРОБЛЕМЕ РИМАНЛ—ГИЛЬБЕРТА

105

Но расслоение Е тривиально, следовательно, согласно предложению 1 расслоение F должно иметь неположительную степень и наклон. Поэтому х ( Р ) = с,(Р) = 0 и Л, = с,/, i = l п. Преобразуем построенную систему к системе с фундаментальной матрицей

(

У\г)

П

П

\i=2

/

Эта система будет по-прежнему фуксовой во всех точках. Она имеет нулевые нормирования в точках а.2,...,ап. В точке а\ согласно построению фундаментальная матрица этой системы может быть представлена в виде (11.3) с k = —(с + с\). Но последнее означает, что тип расщепления канонического продолжения F0 расслоения, построенного по исходному Б-представлению, равен (k,...,k). • Следствие 2. Если Б-представление может быть реализовано как представление монодромии некоторой фуксовой системы, то степень канонического продолжения F® расслоения F, построенного по этому представлению, должна делиться нацело на ранг представления. Оказывается, существуют Б-представления, которые этому свойству не удовлетворяют. Следующий пример является контрпримером к утверждению Гильберта. Он означает, что проблема Римана—Гильберта имеет в общем случае отрицательное решение. Пример 1. Рассмотрим матрицы

(

1 1 0 0\

0 110 1

/ 3

1

/ —4 — 1

1 0 2 -1 1 21 / 4 -1 0 1 Г. 3 , . С' З - о 0 -1 0 4 -1/ 0 4 -1

Vо

г

2 =

(

1 1 0 0\

/ 3 0

0 01 1 01 01/ i f 1-

^ " ЗI IV- 60 30- -321 - 4 1

0 О I 1I • ° Ч 0 0 0 0 0 1/ \ 0 0 и произвольный набор точек а\, а?, а^. Представление х с особыми точками а 1, 02, аз и матрицами монодромии G,-, i = 1, 2, 3, не может быть реализовано в качестве представления монодромии какой-либо фуксовой системы. Доказательство. Заметим, что G\-G2-G$ = /, матрица G2 может быть преобразована к матрице G\, а матрица G^ может быть преобразована к жордановой клетке с собственным значением — 1. Действительно, для матрицы G2 имеем 0

0>

106

ЛЕКЦИЯ II

а для матрицы G^ получаем

Согласно определению 7.1 степень канонического продолжения равна

0 + 0+£

= 2^0

(mod 4).

Поэтому согласно следствию 1 это представление не может быть реализовано как представление монодромии какой-либо фуксовой системы. D Замечание 1. Утверждение следствия 1 может быть записано в эквивалентной форме: если Б-представление реализуется некоторой фуксовой системой, то произведение П!=\ ц, собственных значений матриц монодромии этого представления должно равняться единице. Замечание 2. Фуксова система, представление монодромии которой является Б-представлением, с помощью замены У = SY, где S — некоторая постоянная невырожденная матрица, может быть приведена к блочному верхнетреугольному виду (11.2). Доказательство. Вернемся к доказательству теоремы 2. Поскольку тривиальное расслоение Е содержит тривиальное подрасслоение Р , то глобальный базис голоморфных сечений расслоения Е можно выбрать следующим образом. Сначала рассмотрим глобальный базис голоморфных сечений полрасслоения Р , а затем дополним его до базиса голоморфных сечений всего расслоения. В этом базисе (переход к которому и задается матрицей S) форма а>' связности V будет иметь требуемый вид (11.2). • Упражнения 1. Докажите утверждение замечания 1. 2. Пусть представление монодромии фуксовой системы приводимо. Обозначим через Х[ подпространство пространства X решений системы, инвариантное относительно действия монодромии. Докажите, что сумма показателей подпространства X/ (т. е. сумма показателей левелевского базиса подпространства Х[, который определяется точно так же, как и в случае всего пространства, по фильтрации, задаваемой монодромией) не превосходит нуля. 3. В условиях предыдущего упражнения докажите, что если сумма показателей подпространства Xi равна нулю, то с помощью замены

КОНТРПРИМЕР К ПРОБЛЕМЕ РИМАНА—ГИЛЬБЕРТА

107

У" = SY с постоянной невырожденной матрицей 5 исходная фуксова система может быть приведена к блочному верхнетреугольному виду (11.2). 4. Докажите, что для любого неприводимого представления (8.1) и любого целого положительного числа d существует фуксова система с данной монодромией такая, что для любой особой точки разность между любыми двумя нормированиями в этой точке по модулю больше числа d. 5*. Докажите, что любое верхнетреугольное представление (8.1) (т. е. такое представление, все матрицы монодромии которого могут быть одновременно приведены к верхнетреугольному виду) ранга три может быть реализовано как представление монодромии некоторой фуксовой системы. 6. Докажите, что любое приводимое представление (8.1) может быть реализовано некоторой системой вида (11.2) с регулярными особыми точками, фуксовой во всех особых точках, кроме одной, и имеющей произвольные допустимые нормирования в фуксовых точках.

ЛЕКЦИЯ 12

Биркгофова стандартная форма Методы, развитые для исследования проблемы Римана—Гильберта, находят применение и в других задачах аналитической теории дифференциальных уравнений. К их числу относится задача о Биркгофовой стандартной форме. Рассмотрим в окрестности бесконечно удаленной точки систему линейных дифференциальных уравнений z^

(12.1)

= C(z)y

с матрицей коэффициентов C(z) размера (р, р) и вида оо

Cnz-\

С 0 ^0,

г^О,

(12.2)

п=0

где ряд сходится в некоторой окрестности Ож = {z e С : \z\ > R} точки оо. Напомним, что число г называется рангом Пуанкаре системы (12.1) в особой точке оо. Если г > 0, то эта особая точка является, вообще говоря, иррегулярной особой точкой. Под действием преобразования (12.3)

x = V(z)y система (12.1) переходит в систему

z£2 = C(z)x,

(12.4)

где 1

C(z) = z & - ' + Г О Д Г - . dz

(12.5)

Если F(z) голоморфно обратимо в Ож , то T(z) называется аналитическим преобразованием. Если же T(z) аналитично в О^, а функции Г, Г~' лишь мероморфны в точке оо, то T(z) называется мероморфным преобразованием. Ясно, что аналитическое преобразование, в отличие от мероморфного, не меняет ранга Пуанкаре системы.

БИРКГОФОВА СТАНДАРТНАЯ ФОРМА

109

В 1913 году Биркгоф доказал, что любая система (12.1) аналитическим преобразованием может быть приведена к такой системе (12.4), в которой матрица коэффициентов C(z) имеет вид: r

C(z)=Crz

+ ... + C0,

(12.6)

то есть C(z) является многочленом степени г от переменной г. С тех пор система вида (12.4), (12.6) называется Ьиркгофовой стандартной формой исходной системы (12.1). Однако доказательство Биркгофа оказалось ошибочным, и в начале 1950-х годов Гантмахер привел контрпример к утверждению Биркгофа. Рассмотрим этот контрпример. Пример 1. Система уравнений /у _((о (Л +, 1 (0 1\\и z

Tz-\\o

i) ~z{o о))У

не может быть приведена аналитическим в окрестности бесконечности преобразованием к Биркгофовой стандартной форме. Доказательство. Пусть такое преобразование r(z) = r o + F i / z + . . . существует. Без ограничения обнщости можно считать, что Го = / (выполнения этого условия всегда можно добиться, заменив преобразование Г(г) на F'(z) = Г^'Г(.г); ясно, что если исходное преобразование приводит систему к Биркгофовой стандартной форме, то же самое верно и для преобразования Г"(г)). Так как ранг Пуанкаре исходной системы равен нулю, то матрица С коэффициентов преобразованной системы, находящейся в Биркгофовой стандартной форме, должна быть постоянной матрицей. Из (12.5) получаем

откуда, собирая матричные коэффициенты при z° и при z~', находим: с=

{о

\)>

[о ijr, = - г , + Г | ^0 ,J + (o 0 J.

Пусть Г) = (ас Л. Тогда из последнего равенства получаем ( 0 0 \ _ (-а

[с а) - {-с--Ьd \)+(0[оЬd)\ +, (0(о \\о) • что невозможно (так как для матричных элементов с индексами (12) получаем равенство 0 = 1 ) . •

ПО

ЛЕКЦИЯ 12

Заметим, что матрица монодромии исходной системы является жордановой клеткой (докажите это). Как оказалось, доказательство Биркгофа проходит лишь для случая, когда матрица монодромии системы (12.1) в точке схэ может быть приведена к диагональному виду. Однако позднее было установлено, что препятствием к аналитической редукции системы к Биркгофовой стандартной форме является ее приводимость. Система (12.1) называется приводимой, если с помощью аналитического преобразования (12.3) она может быть приведена к виду (12.4) с матрицей коэффициентов С, имеющей блочный верхнетреугольный вид:

=(о' с")'

( 1 2 7 )

В противном случае система называется неприводимой. Задача о приведении системы к Биркгофовой стандартной форме очень важна для приложений: она возникает в теории Галуа дифференциальных уравнений, в теории изомонодромных деформаций и т. д. Эта задача, которая на первый взгляд выглядит как локальная (и исходная система, и искомое преобразование определены лишь локально в окрестности точки схэ), на самом деле носит глобальный характер, так как итоговая система задана уже на всей сфере Римана. Поэтому ее естественно переформулировать в терминах расслоений и связностей. Рассмотрим фундаментальную матрицу Y(z) системы (12.1), в базисе из столбцов которой матрица G монодромии системы имеет верхний треугольный вид. Тогда E

Y(z)=T(z)z ,

(12.8)

где матричная функция T(z) однозначна и голоморфно обратима в 0^, а £ = (1/27п)1п G, причем собственные значения ру- матрицы £ удовлетворяют неравенствам (4.4). Зададим расслоение F с помощью следующего координатного описания: F = (Ooo,O 0 = C,goo0 = T(z)). Формы cjoo =

C(z) , dz

и

E, а>о = -dz,

определенные в окрестностях О ^ и OQ соответственно, задают в расслоении F связность V, голоморфную вне точек 0, схэ, имеющую логарифмическую особенность в нуле и полюс порядка г+ 1 в бесконечности.

БИРКГОФОВА СТАНДАРТНАЯ ФОРМА

Действительно, из (12.1) следует, что

11 1

]

r

= dT(z)(T(z)

и, следовательно, о», =rfgooOg^'n+ gocO^oS^o (см- (3-5))Любое расслоение на сфере Римана мероморфно тривиально (см. предложение 10.2). Рассмотрим базис (е) из р сечений расслоения F, линейно независимых и голоморфных вне точки нуль и мероморфных в этой точке. В базисе из этих сечений форма (C(z)/z)dz связности V имеет вид: C(z) = Crzr + ... + CQ + ^ + ... + ^ .

(12.9)

Действительно, на координатном языке последнее утверждение означает существование такой голоморфно обратимой в окрестности OQO матрицы Г и такой голоморфно обратимой в С\0 и мероморфной в нуле матричной функции U(z), что Г ^ о = U(z) (здесь столбцы матриц Г и U задают координатное описание элементов базиса (е)). Поэтому система линейных дифференциальных уравнений (12.4) с фундаментальной матрицей Цг) = T(z)Y(z) = T(z)T(z)zE = U(z)zE, определенной во всей комплексной плоскости С, и с матрицей коэффициентов (12.9) не имеет особых точек на сфере Римана, за исключением точек нуль и бесконечность, причем точка нуль является для нее регулярной особой точкой. Поэтому матрица C(z) является рациональной функцией с единственным полюсом в нуле в комплексной плоскости и с полюсом порядка г в бесконечности. Тем самым мы доказали следующее утверждение. Теорема I. Любая система (12.1) с помощью аналитического преобразования может быть приведена к системе (12.4) на сфере Римана с матрицей коэффициентов С(г) вида (12.9). Причем особая точка нуль будет для этой системы регулярной особой точкой. Теорема 1 означает, что, решая задачу о Биркгофовой стандартной форме, мы с самого начала можем рассматривать вместо системы (12.1) систему (12.4) с матрицей коэффициентов вида (12.9), для которой точка нуль является регулярной особой точкой. Приведем матрицу монодромии G с помощью матрицы S к верхнему треугольному виду (возможно, к отличному от того, к которому

112

ЛЕКЦИЯ 12

она была приведена в разложении (12.8)) и рассмотрим произвольную допустимую матрицу Л = diag(Xj,..., ХД т. е. матрицу с целочисленными диагональными элементами, удовлетворяющими неравенствам Х| ^ £ ... £ Хр. A Зададим расслоение F с помощью следующего координатного опиA A сания: F = (Ооо,О0 = С , g ^ 0 = T(z)z- ). Формы определенные в окрестностях Ооо и OQ соответственно, задают в расA A слоении F связность V , голоморфную вне точек 0, оо, имеющую логарифмическую особенность в нуле и полюс порядка г + 1 в бесконечности. Голоморфный тип построенного расслоения зависит от матрицы Л и от способа приведения матрицы моподромии к верхнему треугольному виду (т. е. от матрицы S). Обозначим множество построенных расслоений со связностями через 6. Следующее утверждение аналогично теореме 8.1 и доказывается почти также (с некоторыми упрощениями, так как приходится следить всего за одной фуксовой точкой). Теорема 2. Система (12.1) может быть приведена аналитическим преобразованием к Биркгофовой стандартной форме тогда и только тогда, когда множество € содержит хотя бы одно голоморфно тривиальное расслоение. Имеет место в этом случае и аналог теоремы 11.1. Теорема 3. Рассмотрим расслоение Е е £ со связностью V, построенное по неприводимой системе (12.1). Для типа расщепления этого расслоения имеют место следующие неравенства *«-*,+i^r, <=1 р-\(12.10) Доказательство. Согласно теореме 9.1 найдутся такие матрицы Г е

°),

UeH°(C), что

где диагональные элементы матрицы К задают тип расщепления рас слоения Е (см. формулу 10.3). Аналитическое преобразование исходной системы, задаваемое матрицей Г, переводит ее в систему (12.4), где

БИРКГОФОВА СТАНДАРТНАЯ ФОРМА

113

а фундаментальная матрица пространства решений системы (12.4) в С представляется в виде

zAzE.

(12.11)

Заметим, что форма <о имеет логарифмическую особенность в 0. Предположим, что для некоторого / имеет место неравенство А/ - £/+| > г. Так как элементы о ^ и о ^ матричных дифференциальных форм C{z)dz/z и о связаны соотношением то для i > I, j ^ / согласно предположению получаем kj-ki > г. Поэтому порядки нулей дифференциальных форм со^(г) с указанными индексами в точке 0 больше числа г— 1, в то время как порядки полюсов коэффициентов этих форм в бесконечности не превосходят числа г- 1 (так как форма C(z)dz/z имеет полюс порядка г + 1 в оо). Значит, эти формы тождественно равны нулю, и, стало быть, форма C(z)dz/z имеет вид (12.7). Значит, исходная система приводима. Полученное противоречие означает, что неравенства (12.10) имеют место. • Теперь мы имеем все необходимое для доказательства следующего утверждения, которое аналогично теореме 10.4. Теорема 4. Любая неприводимая система (12.1) может быть преобразована к Биркгофовой стандартной форме с помощью аналитического преобразования (12.3). Доказательство. Рассмотрим расслоение F G £, построенное по допустимой матрице Л , удовлетворяющей условию X, -Х,+| > i\p - 1), *=1 р-1. Действуя так же, как при доказательстве предыдущего утверждения, приведем исходную систему с помощью аналитического преобразования к виду (12.4) с фундаментальной матрицей (12.11). Согласно лемме 10.2 существует такая матрица Г'(г), голоморфно обратимая вне точки 0, что

T'(z)z-KU(z) = U"{z)z°, где матрица D получена из -К некоторой перестановкой диагональных элементов, а матрица U"(z) голоморфно обратима в С Так как для элементов матрицы К имеют место неравенства (12.10), то для любых соседних диагональных элементов матрицы D получаем | d , - d , + || < < г{р-1). Поэтому матрица Н — D+h допустима, т. е. для диагональных элементов Л, этой матрицы выполнено условие Л,- > hi+\, / = 1 ,...,р-1.

114

ЛЕКЦИЯ 12

Перейдем от системы (12.4) к системе с матрицей коэффициентов С"(г) и фундаментальной матрицей Y" с помощью аналитической в С \ 0 замены Y" = T'(z)Y'. Тогда

Y"(z)=U"(z)zHzE, т. е. построенная система фуксова в нуле. Согласно построению эта система не имеет особых точек, кроме точек 0 и оо, значит, матрица C"(z) коэффициентов этой системы голоморфна в С (напомним, что система имеет вид (12.1)). В силу аналитичности проведенных замен, матрица C"(z) коэффициентов этой системы имеет полюс того же порядка г в бесконечности, что и матрица исходной системы (12.1). По теореме Лиувилля получаем, что C"(z) — матричный многочлен степени г от г. •

Заключение

Задача о Биркгофовой стандартной форме для приводимой системы рассматривалась в работах [Bo2J, [Bo4]. Наиболее интересна и пока не решена задача о мероморфном приведении к Биркгофовой стандартной форме, использующем не аналитическое, а мероморфное преобразование, не повышающее ранга Пуанкаре особенности. В настоящее время доказано, что такая редукция всегда возможна для систем ранга 2 и 3, а также для систем, состоящих из двух неприводимых блоков. Что касается проблемы Римана—Гильберта, то здесь-получены следующие результаты. — Доказано, что для представлений (8.1) ранга три все контрпримеры к проблеме Римана—Гильберта даются теоремой 10.2, т.е., если некоторое представление ранга три не реализуется никакой фуксовой системой, то это обязательно Б-представление с непостоянным типом расщепления канонического продолжения [АВ], [Bol]. — Доказано, что все верхнетреугольные представления рангов 3, 4, 5 реализуются фуксовыми системами [VD], [Bol]. Первый пример нереализуемого фуксовой системой верхнетреугольного представления появляется в размерности шесть [VD]. Однако вопрос о полной классификации таких представлений в размерности шесть остается открытым. — Многочисленные достаточные условия реализуемости представления (8.1) фуксовой системой приведены в [АВ], [Bol], [Ко], но и эта задача далека от своего полного решения. — Показано, что любое представление (8.1) является подпредставлением некоторого представления, реализуемого фуксовой системой [Bol]. — Вычислена коразмерность подмножества нереализуемых фуксовыми системами представлений в пространстве модулей всех представлений. Эта коразмерность равна (2л - 1 \р - 1) [АВ]. — Доказано, что любое представление (8.1) ранга два с тремя особыми точками может быть реализовано как представление монодромии некоторого скалярного фуксового уравнения второго порядка с тремя особыми точками (см. лекцию 8) за исключением следующих приводи15*-7373

116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

мых представлений (GP): «=1

;, = /,

Ъч фси

i = 1,2,3.

— Показано, что минимально возможное число дополнительных ложных особых точек т° (посчитанных с кратностями, которые совпадают с порядками нулей вронскиана соответствующего «минимального» фуксового уравнения), возникающих при построении скалярного фуксового дифференциального уравнения с неприводимой монодромией (8.1), равно где число Ym(x) = PY(x) называется максимальным фуксовым весом представления (8.1) и определяется следующим образом. Для любого расслоения Е е Т (см. теорему 8.1) определим «меру нестабильности» этого расслоения Y(£) = &I - Х ( £ ) , где х(£) — наклон расслоения Е, a k\ — максимальная степень одномерного подрасслоения этого расслоения. Тогда у ( х ) = гпаху(£)[Во1 J. Следующая задача представляет значительный интерес для теории изомонодромных деформаций. Можно ли по неприводимому представлению (8.1) построить фуксову систему с данной монодромией и с наперед заданными допустимыми значениями показателей (сумма которых по всем точкам должна равняться нулю)? Ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен [Bol]. В связи с этим остается открытым следующий важный вопрос: для каких неприводимых представлений (8.1) число таких «запрещенных» показателей конечно (если наборы показателей рассматривать с точностью до эквивалентности, определяемой одновременным добавлением ко всем показателям в одной точке одного и того же целого числа и вычитанием этого же числа в другой точке)? Следующая естественная задача также пока не решена. Если представление (8.1) монодромии некоторой фуксовой системы является прямой суммой представлений, то верно ли, что эта фуксова система мсроморфно эквивалентна прямой сумме фуксовых систем (т. е. такой системе, матрица коэффициентов которой имеет блочный диагональный вид)? (По поводу последних двух задач см. также (ВоЗ|.)

Литература [In]

Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ОНТИ, 1939. 719 с.

[АВ] Anosov D. У., Bolibruch A. A. The Riemann—Hilbert Problem. Aspects of Mathematics. Braunschweig: Vieweg, 1994. [AIJ

Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. 1: Динамические системы— 1. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 7-149.

[Bol] Болибрух А. А. 21-я проблема Гильберта для фуксовых линейных систем. Труды математического института им. В. А. Стеклова 206. Москва: Наука, 1994. [Во2] Bolibruch A. A. On the Birkhoff Standard Form of Linear Systems of ODE // Amer. Math. Soc. Transl. Advances in the Math. Sci., Ser. 2, 174. Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1996. P. 169-180. [Bo3] Bolibruch A. A. Holomorphic Bundles, Associated with Linear Differential Equations and the Riemann—Hilbert Problem // The Stokes Phenomenon and Hilbert's 16th Problem. (Groningen, 1995). World Sci. Publishing, 1996. P. 51-70. [Bo4] Болибрух А. А. Мероморфное преобразование к Биркгофовой стандартной форме в малых размерностях // Труды математического института им. В. А. Стеклова 225. М.: 1999. С. 87—95. [Ва]

Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

[Ga] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, М.: Наука, 1988. 548 с. [Gil

Гильберт Д. Избранные труды. Т. 2. М.: Факториал, 1998. 607 с.

[Go] Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1950. 436 с.

118

ЛИТЕРАТУРА

[Del] Deligne P. Equations differentielles a points singuliers reguliers. Lecture Notes in Math. 163. Berlin—New York: Springer-Verlag, 1970. [CLj Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 474 с. [Cor] Corel E. Inegalites de Fuchs pour les systernes differentiels reguliers // С R. Acad. Sci. Paris, 328 (1999). P. 983-986. [Cos] Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир, 1983, 302 с. [Koh] Kohn Treibich A. Un resultat de Plemelj // Progress in Math. 37. Birkhauser, 1983. P. 307-312. [Ко] Kostov V. P. Fuchsian systems on CP 1 and the Riemann—Hilbert Problem//С R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 315 (1992), p. 143-148. [LD] Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Гостехтеоретиздат, 1957. 456 с. [Fo]

Форстер О. Римановы поверхности. М.: Мир, 1980. 248 с.

[GP] Iwasaki К, Kimura И., Shimomura S., Yoshida M. From Gauss to Painleve; A modern Theory of special Functions. Aspects of Mathematics. Braunschweig: Vieweg, 1991. [На] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с. [Ни] Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1980. 442 с. [VD] Vandamme J. Probleme de Riemann—Hilbert pour une representation de monodromie triangulaire superieure de dimension 5 // С R. Acad. Sci. Paris 326(1998). P. 1069-1072.

Оглавление Введение Лекция 1. Лекция 2. Лекция 3. Лекция 4.

3 Понятие главного расслоения. Примеры 6 Понятие векторного расслоения. Примеры 16 Связность в векторном расслоении. Локальная система 25 Мероморфные связности с регулярными особыми точками. Локальная теория — 1 33 Лекция 5. Мероморфные связности с регулярными особыми точками. Локальная теория — 2 42 Лекция 6. Мероморфные связности с регулярными особыми точками. Локальная теория — 3 50 Лекция 7. Мероморфные связности с регулярными особыми точ58 ками. Глобальная теория 68 Лекция 8. Проблема Римана—Гильберта. Метод решения 78 Лекция 9. Теорема Биркгофа—Гротендика 89 Лекция 10. Следствия теоремы Биркгофа—Гротендика 98 Лекция 11. Контрпример к проблеме Римана—Гильберта 108 Лекция 12. Биркгофова стандартная форма 115 Заключение 117 Литература

Болибрух Андрей Андреевич ФУКСОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГОЛОМОРФНЫЕ РАССЛОЕНИЯ

Издательство Московского Центра непрерывного математического образования Лицензия ИД №01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 17.11.2000 г. Формат 60x88 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ. л. 7,5. Тираж 500 экз. Заказ № 7373 МЦНМО 121002, Москва, Большой Власьевский пер., II Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ. 140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554-21-61. Книги издательства МЦНМО можно приобрести в «Математическом библиоклубе», Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (095) 241-72-85. E-mail: [email protected]