. . ¤®¢áª¨©
áâ¨âãâ «¥ªâà®ä¨§¨ª¨ à ,
ª â¥à¨¡ãà£, 620049, ®áá¨ï, E-mail:
[email protected] c .. ¤®¢áª¨©,
2000
1
।¨á«®¢¨¥ §« £ ¥¬ë© ¨¦¥ ¬ â¥à¨ « ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¥áª®«ìª® à áè¨à¥ë© ª®á¯¥ªâ «¥ªæ¨© ¯® ®¤®á¥¬¥áâ஢®¬ã ªãàáã \â â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª ", ç¨â ¥¬ëå ¢â®à®¬ 䨧¨ç¥áª®¬ ä ªã«ìâ¥â¥ à «ì᪮£® ®á㤠àá⢥®£® ¨¢¥àá¨â¥â , ç¨ ï á 1992 £®¤ . ãàá ¯à¥¤ § ç¥ ¤«ï ¢á¥£® ¯®â®ª áâ㤥⮢, á¯¥æ¨ «¨§¨àãîé¨åáï ¯® 䨧¨ª¥, ¨ á®áâ ¢«ï¥â ç áâì ®¡é¥£® ªãàá ⥮à¥â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. í⮬ á¬ëá«¥ ® ®à¨¥â¨à®¢ ¥ ⮫쪮 áâ㤥⮢{⥮à¥â¨ª®¢, ® ᮤ¥à¦¨â ¢ ᥡ¥ â®â ¬¨¨¬ã¬ § ¨©, ª®â®àë© ¥®¡å®¤¨¬, ¢ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï, ¨ 䨧¨ª ¬{ íªá¯¥à¨¬¥â â®à ¬. 㦮 ®â¬¥â¨âì, çâ® ®á®¡¥®á⨠¯à®£à ¬¬ë ®¡ã票ï áâ㤥⮢ 䨧¨ç¥áª®¬ ä ªã«ìâ¥â¥ à â ª®¢ë, çâ® áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥ ®â¢®¤¨âáï ¢¥áì¬ ¥§ ç¨â¥«ì®¥ ¢à¥¬ï. ®í⮬㠯¥à¥¤ ¢â®à®¬ áâ®ï« § ¤ ç ¤ âì ¤®áâ â®ç® ª®¬¯ ªâ®¥ ¨§«®¦¥¨¥ ¬ â¥à¨ « , ª®â®à®¥, ⥬ ¥ ¬¥¥¥, ᮤ¥à¦ «® ¡ë ®á®¢ë¥ ¯à¨æ¨¯ë ¨ ¯à¨«®¦¥¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ª § ¤ ç ¬ ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï. ®âï á ¬ ¢â®à ¯à¨¤¥à¦¨¢ ¥âáï â®çª¨ §à¥¨ï, ¢¯¥à¢ë¥ ¢ë᪠§ ®© ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ªãàᥠ¤ ã ¨ ¨äè¨æ , ® ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¯à¥¯®¤ ¢ ¨ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¢ á®áâ ¢¥ ªãàá áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨, §¤¥áì íâ á奬 ®â¡à®è¥ , ®¯ïâì ¦¥ ¢ á¢ï§¨ á ®á®¡¥®áâﬨ ¯à®£à ¬¬ë ®¡ãç¥¨ï ¢ à, £¤¥ ç¨â ¥âáï ®â¤¥«ìë© ªãàá 䥮¬¥®«®£¨ç¥áª®© â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨. ë¥ «¥ªæ¨¨ ¥ ïîâáï ®à¨£¨ «ì묨 ¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«®áâìî ®á®¢ ë ¨§¢¥áâëå ä㤠¬¥â «ìëå ã祡¨ª å ¨ ¬®®£à ä¨ïå [1, 2, 3, 4]. ¢â®à㠯ਠ¤«¥¦¨â ⮫쪮 ®â¡®à ¬ â¥à¨ « , ªà®¬¥ ⮣® §¤¥áì ¤®¡ ¢«¥® ®¡á㦤¥¨¥ àï¤ ®â¤¥«ìëå ¢®¯à®á®¢, ®á®¢ ®¥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¬ â¥à¨ « , ¢§ï⮣® ¨§ ¤àã£¨å ¨áâ®ç¨ª®¢, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ æ¨â¨à®¢ âìáï ¯® 室㠨§«®¦¥¨ï. ¢¨¤ã 㯮¬ïã⮣® ¥¤®áâ ⪠¢à¥¬¥¨, ¨§«®¦¥¨¥ ®£à ¨ç¥® à áᬮâ२¥¬ ¤®áâ â®ç® âà ¤¨æ¨®ëå § ¤ ç. ¥ª®â®à®© ®á®¡¥®áâìî ï¥âáï ⮫쪮 ¯®¯ë⪠¤ âì í«¥¬¥â ஥ ¨ ªà ⪮¥ ¢¢¥¤¥¨¥ ¢ ¬¥â®¤ë ᮢ६¥®© ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï, ¯à¥¤¯à¨ïâ ï ¢ á ¬®¬ ª®æ¥ ªãàá . ᮢ®© ¬ â¥à¨ «, ¯à¥¤ § ç¥ë© ¤«ï áâ㤥⮢ ¢á¥å á¯¥æ¨ «¨§ 権, ¨§« £ ¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®. ï¤ ¡®«¥¥ á¯¥æ¨ «ìëå ¢®¯à®á®¢, ¡®«¥¥ ®à¨¥â¨à®¢ ëå áâ㤥⮢{⥮à¥â¨ª®¢, ¢ë¥á¥ ¢ ਫ®¦¥¨ï ¨ ¢ à §¤¥«ë, ®â¬¥ç¥ë¥ \§¢¥§¤®çª®©". ªâ¨ç¥áª¨, í⨠¢®¯à®áë à áᬠâਢ îâáï ¢â®à®¬ «¥ªæ¨ïå{ᥬ¨ à å á £à㯯®© ⥮à¥â¨ª®¢. ®â ä ªâ, çâ® ªãàá ®á®¢ à拉 à §ëå ¨áâ®ç¨ª®¢, ¥¨§¡¥¦® ¯à¨¢¥« ª ¥ª®â®à®¬ã \à §®¡®î" ¢ á⨫¥ ¨§«®¦¥¨ï ¨ ®¡®§ 票ïå, ¨á¯®«ì§®¢ ëå ¢ à §ëå à §¤¥« å. ¢â®à ®á®¡¥® ¥ áâ à «áï ¢¥á⨠âãâ ¤®áâ â®çë© ¯®à冷ª. í⮬ á¬ëá«¥, ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¨¬¥® ¬ â¥à¨ « «¥ªæ¨©, ¥ ¤ ® ä®à¬ «ì® áâண®¥ ¨§«®¦¥¨¥, ¡®«¥¥ ¯à¨ï⮥ ¢ ã祡¨ª å. ¥ª®â®à®© ®á®¡¥®áâìî ¤ ëå «¥ªæ¨© ï¥âáï â ª¦¥ «¨ç¨¥ ¤®¢®«ì® ¡®«ì讣® ç¨á« ááë«®ª ®à¨£¨ «ìë¥ ¬®®£à 䨨, ¢ ª®â®àëå ¬®¦® ©â¨ ¡®«¥¥ ¤¥â «ì®¥ ¨§«®¦¥¨¥ àï¤ ã¯®¬¨ ¥¬ëå ¢ ªãàᥠ¢®¯à®á®¢. §ã¬¥¥âáï, ç⥨¥ ¤ ®£® ¬ â¥à¨ « ¥ ¬®¦¥â § ¬¥¨âì 㣫㡫¥®£® ¨§ãç¥¨ï ¯à¥¤¬¥â , ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« ¢¥áâ¨, ¯®«ì§ãïáì 㯮¬ïãâ묨 ª« áá¨ç¥áª¨¬¨ ª¨£ ¬¨. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ¢â®à ¤¥¥âáï, çâ® ¯à¥¤« £ ¥¬®¥ ç¨â â¥«î ªà ⪮¥ ¨§«®¦¥¨¥ ¬®¦¥â ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¥ª®â®àë© á ¬®áâ®ï⥫ìë© ¨â¥à¥á ¨ ®¡«¥£ç¨â ¯®¨¬ ¨¥ ¡®«¥¥ ä㤠¬¥â «ìëå ã祡¨ª®¢ ¨ ¬®®£à 䨩. .. ¤®¢áª¨©,
ª â¥à¨¡ãà£, 2000 £.
2
®¤¥à¦ ¨¥ 1
¢¥¤¥¨¥. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : â â¨áâ¨ç¥áª ï ¥§ ¢¨á¨¬®áâì. : : : : : : : : : : : : : : : : : ¥®à¥¬ ¨ã¢¨««ï. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ®«ì í¥à£¨¨, ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥. : : : : : : áâ¨çë¥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï . : : : : : : : : : : : : : âà¨æ ¯«®â®áâ¨. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¨áâë© á ¬¡«ì. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¬¥è ë© á ¬¡«ì. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¢ ⮢®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï. : : : : : : : : : : : : : : : : ¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ ª¢ ⮢®© áâ â¨á⨪¥. áâ¨çë¥ ¬ âà¨æë ¯«®â®áâ¨. : : : : : : : : : : : : : : : : âய¨ï. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¨¡¡á®¢áª ï íâய¨ï. âய¨ï ¨ ¢¥à®ïâ®áâì. : : : : ª® ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨. : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : :
2
®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á . : : : : : : : : : : : : : : : : : á¯à¥¤¥«¥¨¥ ªá¢¥«« . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¢®¡®¤ ï í¥à£¨ï ¢ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¨¡¡á . : : : : : : : : : : : : : á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á á ¯¥à¥¬¥ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ. : : : : : : : : 뢮¤ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© ¨§ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á .
3
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ . : : : : : : : : : : : : : : : : : á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¥. ¥à ¢®¢¥áë© ¨¤¥ «ìë© £ §. : : : : : : : : : : : : : : ¢®¡®¤ ï í¥à£¨ï ¡®«ìæ¬ ®¢áª®£® ¨¤¥ «ì®£® £ § . : à ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï ¨¤¥ «ì®£® £ § . : : : : : : : : : : ¤¥ «ìë© £ § á ¯®áâ®ï®© ⥯«®¥¬ª®áâìî. : : : : : : ª® à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨ï. : : : : : : : : : : : : : : : : ¤® â®¬ë© ¨¤¥ «ìë© £ §. : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
7
8 8 13 15 19 22 26 26 28 30 31 32 35 35 38
43
43 48 50 51 53
59
59 60 62 65 66 67 68 70 3
4
4
73
⪫®¥¨¥ £ §®¢ ®â ¨¤¥ «ì®áâ¨. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73 ®à¬ã« -¤¥à- «ìá . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 ¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ª« áá¨ç¥áª®© ¯« §¬ë. : : : : : : : : : : : : : 78
5
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¥à¬¨. : : : : : : : : : : : : : : : : á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®§¥. : : : : : : : : : : : : : : : : : ¥à ¢®¢¥áë¥ ä¥à¬¨{ ¨ ¡®§¥{£ §ë. : : : : : : : : ¡é¨¥ ᢮©á⢠ä¥à¬¨{ ¨ ¡®§¥{£ §®¢. : : : : : : : ë஦¤¥ë© í«¥ªâà®ë© £ §. : : : : : : : : : : ¥«ï⨢¨áâ᪨© ¢ë஦¤¥ë© í«¥ªâà®ë© £ § . ¥¯«®¥¬ª®áâì ¢ë஦¤¥®£® í«¥ªâà®®£® £ § . : £¥â¨§¬ í«¥ªâà®®£® £ § . « ¡ë¥ ¯®«ï. : : : £¥â¨§¬ í«¥ªâà®®£® £ § . ¨«ìë¥ ¯®«ï. : : ë஦¤¥ë© ¡®§¥{£ §. : : : : : : : : : : : : : : : â â¨á⨪ ä®â®®¢. : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
: : : : : : : : :
ã¯¥à®¢áª ï ¥ãá⮩稢®áâì. : : : : : : : : : : : : : : : : : ¢¥àå⥪ã稩 ä¥à¬¨-£ §. ¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà. : : : : : ¢¥àå⥪ã稩 ä¥à¬¨{£ §. ¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë. ç¥â ªã«®®¢áª®£® ®ââ «ª¨¢ ¨ï . : : : : : : : : : : : : : : ¥®à¨ï ¨§¡ã࣠{ ¤ ã. : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
6
¢¥à¤ë¥ ⥫ . ¨§ª¨¥ ⥬¯¥à âãàë. : : : : : : : : ¢¥à¤ë¥ ⥫ . ë᮪¨¥ ⥬¯¥à âãàë. : : : : : : : ®à¬ã« ¥¡ ï. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¢ ⮢ ï ¦¨¤ª®áâì. ¯¥ªâà ¡®§¥¢áª®£® ⨯ . : : ¢¥àå⥪ãç¥áâì. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ®®ë ¢ (¡®§¥){¦¨¤ª®áâ¨. : : : : : : : : : : : : : ë஦¤¥ë© ¡®§¥{£ § á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬. : : : : ¢ ⮢ ï ¦¨¤ª®áâì. ¯¥ªâà ä¥à¬¨¥¢áª®£® ⨯ . «¥ªâà® ï ä¥à¬¨{¦¨¤ª®áâì ¬¥â ««®¢. : : : :
7
8
81
81 82 83 85 87 90 91 93 96 99 101
105
105 108 109 112 115 119 122 125 130
133
133 135 143 146 149
157
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ãáá . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157 «ãªâã 樨 ®á®¢ëå 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 160 «ãªâã 樨 ¢ ¨¤¥ «ì®¬ £ §¥. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 163
9
¥â®¤ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï ¢ ⥮ਨ ¬ £¥â¨§¬ . ¢ §¨á।¨¥ . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : «ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 . : : : : : : : : : : ª¥©«¨£. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
167
167 173 176 181
5
10
¨¥© ï ॠªæ¨ï á¨áâ¥¬ë ¬¥å ¨ç¥áª®¥ ¢®§¬ã饨¥. : : : : : : : : : : «¥ªâய஢®¤®áâì ¨ ¬ £¨â ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì. : : : : : : : : : : : : : : ¯¥ªâà «ìë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¢à¥¬¥ëå ª®à५ïâ®à®¢ ¨ ¤¢ãå¢à¥¬¥ë¥ äãªæ¨¨ ਠ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¨á¯¥àá¨®ë¥ á®®â®è¥¨ï à ¬¥àá {ந£ ¨ ¯à¨æ¨¯ ᨬ¬¥âਨ á £¥à . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
189
189 194 197 200
11
205 ¥â®¤ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¨ äãªæ¨¨ ਠ. : : : : : : : : : : : : : : : : : ¨ £à ¬¬ë© ¬¥â®¤ ¢ ¯à®¡«¥¬¥ ¬®£¨å ⥫. : : : : : : : : : : : : : à ¢¥¨¥ ©á® . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ä䥪⨢®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¨ ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª ï ¯à®¨æ ¥¬®áâì. ãªæ¨¨ ਠ¯à¨ ª®¥ç®© ⥬¯¥à âãà¥. : : : : : : : : : : : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
205 213 216 219 222
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.227 ࣮¤¨ç®áâì. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 227 ¥®à¥¬ ¢®§¢à â ã ª à¥. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 232 ¥ãá⮩稢®áâì âà ¥ªâ®à¨© ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥. : : : : : : : : : : : : : : : : : 234
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨.
237
¢ï§ì à á¯à¥¤¥«¥¨© ¨¡¡á á ¬ ªá¨¬ã¬®¬ ¨ä®à¬ 樮®© íâய¨¨. : : 237 \¥¬®" ªá¢¥«« ¨ ¥£® ¨§£ ¨¥. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 241
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
¨¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìæ¬ . : : : : : : H { ⥮६ . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¢ â®¢ë¥ ª¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï. : : : : : : «¥ªâà® { ä®®®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥. : : «¥ªâà® { í«¥ªâà®®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥.
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
245
245 251 252 253 257
6
« ¢ 1
ë ¬®¦¥¬ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ ¡®«ì讥 ç¨á«® á¨á⥬ ®¤¨ ª®¢®© ¯à¨à®¤ë, ® à §«¨çëå ¯® ª®ä¨£ãà æ¨ï¬ ¨ ᪮à®áâï¬, ª®â®à묨 ®¨ ®¡« ¤ îâ ¢ ¤ ë© ¬®¬¥â ¨ à §«¨çëå ¥ ⮫쪮 ¡¥áª®¥ç® ¬ «®, ® â ª, çâ® ®å¢ âë¢ ¥âáï ª ¦¤ ï ¬ë᫨¬ ï ª®¬¡¨ æ¨ï ª®ä¨£ãà 権 ¨ ᪮à®á⥩. ਠí⮬ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®áâ ¢¨âì ᥡ¥ § ¤ 祩 ¥ ¯à®á«¥¦¨¢ âì ®¯à¥¤¥«¥ãî á¨á⥬ã ç¥à¥§ ¢áî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥¥ ª®ä¨£ãà 権, ãáâ ®¢¨âì, ª ª ¡ã¤¥â à á¯à¥¤¥«¥® ¢á¥ ç¨á«® á¨á⥬ ¬¥¦¤ã à §«¨ç묨 ¢®§¬®¦ë¬¨ ª®ä¨£ãà æ¨ï¬¨ ¨ ᪮à®áâﬨ ¢ «î¡®© âà¥¡ã¥¬ë© ¬®¬¥â, ¥á«¨ â ª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¡ë«® § ¤ ® ¤«ï ª ª®£®-«¨¡® ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨. á®¢ë¬ ã⢥ত¥¨¥¬ ¯à¨ â ª®¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ï¥âáï ãà ¢¥¨¥, ¤ î饥 ᪮à®áâì ¨§¬¥¥¨ï ç¨á« á¨á⥬, § ª«îç¥ëå ¢ãâਠ®¯à¥¤¥«¥ëå ¬ «ëå £à ¨æ ª®ä¨£ãà 樨 ¨ ᪮à®áâ¨. ª¨¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ªá¢¥«« §ë¢ « áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¬¨. ¨ ¯à¨ ¤«¥¦ â ª ®âà ᫨ ¬¥å ¨ª¨, ®¡ï§ ®© ᢮¨¬ ¯à®¨áå®-
¦¤¥¨¥¬ áâ६«¥¨î ®¡êïá¨âì § ª®ë â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¨áå®¤ï ¨§ ¬¥å ¨ç¥áª¨å ¯à¨æ¨¯®¢, ¨ ®á®¢ ®©, £« ¢ë¬ ®¡à §®¬, « 㧨ãᮬ, ªá¢¥««®¬ ¨ ®«ìæ¬ ®¬.
¦®§ © ¨«« ठ¨¡¡á, ìî-í©¢¥, 1901 £. [5]
7
8
¢¥¤¥¨¥. à ¤¨æ¨®® ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® áâ â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª (áâ â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ) à áᬠâਢ ¥â á¨á⥬ë, á®áâ®ï騥 ¨§ ¡®«ì讣® ç¨á« ç áâ¨æ, ¤¢¨¦ãé¨åáï ᮣ« á® § ª® ¬ ª« áá¨ç¥áª®© ¨«¨ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨. áâ®à¨ç¥áª¨ ® ¢®§¨ª« ¢ ª®æ¥ XIX ¢¥ª ¨§ ¯®¯ë⮪ ¯à®¢¥á⨠¬¥å ¨áâ¨ç¥áª®¥ ®¡®á®¢ ¨¥ § ª®®¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¢ à ¡®â å ¦. ªá¢¥«« ¨ .®«ìæ¬ . à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«®¥ § ¢¥à襨¥ ä®à¬ «ìë© ¯¯ à â áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¯®«ã稫 ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ âà㤥 ¦..¨¡¡á [6], ¯®ï¢¨¢è¨¬áï ¢ á ¬®¬ ç «¥ XX ¢¥ª . ¬¥ç ⥫쮩 ®á®¡¥®áâìî ¬¥â®¤ ¨¡¡á , ᮧ¤ ®£® § ¤®«£® ¤® ¯®ï¢«¥¨ï ᮢ६¥®© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ, ®ª § « áì ¯à¨¬¥¨¬®áâì ¥£® ¨ ª ª¢ â®¢ë¬ á¨á⥬ ¬. áâ®ï饥 ¢à¥¬ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª ¢ëè« ¤ «¥ª® § à ¬ª¨ ¯¥à¢® ç «ìëå § ¤ ç ®¡®á®¢ ¨ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¨ ¥¥ ¬¥â®¤ë ¨ ¨¤¥®«®£¨ï ¯à®¨§ë¢ îâ, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¢á¥ ®á®¢ë¥ à §¤¥«ë ᮢ६¥®© ⥮à¥â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ®¨¬ ¥¬ ï 㧪®, ª ª ⥮à¨ï á¨á⥬ ¬®£¨å (¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å) ç áâ¨æ, ® ¨¬¥¥â £«ã¡®ª¨¥ á¢ï§¨ á ᮢ६¥®© ª¢ ⮢®© ⥮ਥ© ¯®«ï, ïî饩áï ¨¡®«¥¥ ä㤠¬¥â «ì®© ⥮ਥ© ¬ â¥à¨¨. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ®ª § «®áì, çâ® ¨ ¯à¨ ®¯¨á ¨¨ ¬¥å ¨ç¥áª®£® ¤¢¨¦¥¨ï á¨á⥬, á®áâ®ïé¨å ¨§ áà ¢¨â¥«ì® ¥¡®«ì讣® ç¨á« ç áâ¨æ, ¤ ¦¥ ¢ à ¬ª å ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨, ¬ë § ç áâãî ¤®«¦ë ¨á¯®«ì§®¢ âì áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë, çâ® á¢ï§ ® á ªà ©¥ á«®¦ë¬ (¥ãá⮩稢ë¬) å à ªâ¥à®¬ ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ¡®«ìè¨á⢥ ¥âਢ¨ «ìëå á«ãç ¥¢. ¤¥¨ ¨ ¬¥â®¤ë áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ïîâáï ®á®¢®© ¤«ï ¯®¨¬ ¨ï ¯à®æ¥áᮢ ¢ ⢥à¤ëå ⥫ å, £ § å, ¦¨¤ª®áâïå ¨ ¯« §¬¥, ᮢ६¥ ï ⥮à¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ (㯮¬ïãâ ï ¢ëè¥ ª¢ ⮢ ï ⥮à¨ï ¯®«ï) ï¥âáï, á á ¬®£® ç « , ⥮ਥ© á¨á⥬ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë, £¤¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¨£à î⠮ᮢ®¯®« £ îéãî ஫ì. ᮦ «¥¨î, ¢ à ¬ª å ¤ ®£® ªãàá ¬ë «¨è¥ë ¢®§¬®¦®á⨠᪮«ìª®-¨¡ã¤ì ¯®¤à®¡®£® ®¡á㦤¥¨ï ¢á¥å íâ¨å á¢ï§¥© ¨ ®£à ¨ç¨¬áï «¨èì ¤®áâ â®ç® âà ¤¨æ¨®ë¬¨ ¯à®¡«¥¬ ¬¨ ®¯¨á ¨ï ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ [1, 2, 4], ª®â®àë¥, ⥬ ¥ ¬¥¥¥, ïîâáï ®á®¢®© ᮢ६¥®£® ¯®¨¬ ¨ï ¨ £®à §¤® ¡®«¥¥ á«®¦ëå § ¤ ç.
ãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. áᬮâਬ á¨á⥬㠨§ N ®¤¨ ª®¢ëå (¤«ï ¯à®áâ®âë) ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ, 室ïé¨åáï ¢ ª®¥ç®¬, ® ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讬 ®¡ê¥¬¥ V . «ï ¯à®áâ®âë â ª¦¥ áç¨â ¥¬, çâ® ç áâ¨æë ¥ ®¡« ¤ îâ ¢ãâ२¬¨ á⥯¥ï¬¨ ᢮¡®¤ë.
᫨ ¤¢¨¦¥¨¥ ç áâ¨æ ®¯¨áë¢ ¥âáï § ª® ¬¨ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨, â® á®áâ®ï¨¥ k-®© ç áâ¨æë § ¤ ¥âáï § 票ﬨ ¥¥ ª®®à¤¨ â qk ¨ ¨¬¯ã«ìá pk , á®áâ®ï¨¥ ¢á¥© á¨á⥬ë | § ¤ ¨¥¬ § 票© ¢á¥å ª®®à¤¨ â q1; q2 ; :::; qN ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ p1; p2; :::; pN . ª¨¬ ®¡à §®¬ á®áâ®ï¨¥ á¨áâ¥¬ë ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á ® § ¤ ¨¥¬ â®çª¨ ¢ 6N{¬¥à®¬ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥: (q1 ; q2 ; :::; qN ; p1; p2; :::; pN ) | ä §®¢®© â®çª¨. ¨ ¬¨ç¥áª ï í¢®«îæ¨ï á¨áâ¥¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ¤¢¨-
9
¦¥¨ï ¬¨«ìâ® : 1 £¤¥
dqk = @H dt @ pk
dpk = ; @H ; dt @ qk
(1.1)
H = H(q1 ; q2; :::; qN ; p1; p2; :::; pN ) H(p; q) (1.2) ¯®«ë© £ ¬¨«ì⮨ á¨á⥬ë. áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 á«ãç ©, ª®£¤ ç áâ¨æë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ¯®á।á⢮¬ ¯ ண® æ¥âà «ì®-ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¯®â¥æ¨ « U(jqi ; qkj), â ª çâ® £ ¬¨«ì⮨ á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤: N p2 1 X X k + (1.3) H = 2m 2 i6=k U(jqi ; qk j) k=1 ®£¤ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤: X q_ k = pmk p_ k = ; @U(jq@iq;k qk j) = Fk; (1.4) i6=k £¤¥ Fk {ᨫ , á ª®â®à®© k-î ç áâ¨æã ¤¥©áâ¢ãî⠢ᥠ®áâ «ìë¥. á®, çâ® ¤«ï ᪮«ìª®-¨¡ã¤ì § ¬¥â®£® § 票ï N à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (1.4) ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢®§¬®¦ë¬, ¤ ¦¥ ç¨á«¥ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨. ஬¥ ⮣®, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ¡ë ¬ë ¬®£«¨ ©â¨ â ª®¥ à¥è¥¨¥, â® ¨ ¯®«ì§ë ®â ¥£® ¡ë«® ¡ë ¥ â ª 㦠¬®£®. ¥«® ¢ ⮬, ç⮠ॠ«ì ï âà ¥ªâ®à¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ª ¦¤®© ¨§ ç áâ¨æ ᪮॥ ¢á¥£® ®ª § « áì ¡ë ¢¥áì¬ § ¯ãâ ®©. ®«¥¥ ⮣®, à¥è âì ãà ¢¥¨ï (1.4) 㦮, ¥áâ¥á⢥®, á ¥ª®â®à묨 ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨, à¥è¥¨¥, ª ª ¯à ¢¨«®, ®ª §ë¢ ¥âáï ªà ©¥ çã¢á⢨⥫ìë¬ ª ¢ë¡®àã íâ¨å ãá«®¢¨©, â®ç®¥ § ¨¥ ª®â®àëå ¢ ॠ«ì®© á¨âã 樨 ®âáãâáâ¢ã¥â. ᨫã à §¢¨¢ î饩áï ¢ ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢ ¥ãá⮩稢®á⨠¤¢¨¦¥¨ï, à¥è¥¨ï (âà ¥ªâ®à¨¨), ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤ ¦¥ ¢¥áì¬ ¡«¨§ª¨¬ ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬, ¢ â¥ç¥¨¥ ¢¥áì¬ ª®à®âª®£® ¢à¥¬¥¨ ç¨ îâ íªá¯®¥æ¨ «ì® ®â«¨ç âìáï ¨ ¥ ¨¬¥î⠨祣® ®¡é¥£®. १ã«ìâ â¥, ¨§ â ª¨å à¥è¥¨© ¬ë ¬ «® çâ® ¬®¦¥¬ 㧠âì ® ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠å á¨áâ¥¬ë ¨§ ¡®«ì讣® ç¨á« N ç áâ¨æ, ª®â®àë¥, ᮡá⢥® £®¢®àï, á ¨ ¨â¥à¥áãîâ. ªâ¨ç¥áª¨, ¯à®¡«¥¬ë, á¢ï§ ë¥ á ¥ãá⮩稢®áâìî âà ¥ªâ®à¨© ¢®§¨ª îâ 㦥 ¢ á«ãç ¥ á¨á⥬, á®áâ®ïé¨å ¢á¥£® ¨§ ¥áª®«ìª¨å ç áâ¨æ. ¬¥® í⨠®¡áâ®ï⥫ìá⢠¨ ¢ë㦤 îâ á ¯à¨¡¥£ãâì ª áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ã «¨§ã. â ª, ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï (1.4) ®¯à¥¤¥«ïîâ ¤¢¨¦¥¨¥ ä §®¢®© â®çª¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬¥å ¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ á¨á⥬ë. à ¥ªâ®à¨ï ä §®¢®© â®çª¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ §ë¢ ¥âáï ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¥©. «ï ª®á¥à¢ ⨢ëå á¨á⥬ í¥à£¨ï á®åà ï¥âáï, â ª çâ®: H(q; p) = E (1.5) «¥¤®¢ ⥫ì®, ä §®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï ¤®«¦ «¥¦ âì ¯®¢¥àå®á⨠¯®áâ®ï®© í¥à£¨¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãá«®¢¨¥¬ (1.5) | â ª §ë¢ ¥¬®© 2 í࣮¤¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨. 1 â¥à¥á® § ¬¥â¨âì, çâ® ¬¥â®¤ ¨¡¡á ¯®«®áâìî ®á®¢ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¨¬¥® £ ¬¨«ìâ®®¢®©, ¥ « £à ¦¥¢®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. 2 ¦ãî à®«ì ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ áâàãªâãàë ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠¨£à ¥â ⥮६ ®è¨ ® ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨© á¨áâ¥¬ë ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©. ਠ¤®¢®«ì® ¬ï£ª¨å ãá«®¢¨ïå ¯à ¢ë¥ ç á⨠ãà ¢¥¨© (1.4), áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥®¥ ¢ «î¡®© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ à¥è¥¨¥. â ⥮६ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¨áª«îç ¥â ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¤¢ãå à §ëå âà ¥ªâ®à¨© ¢ «î¡®© ॣã«ïன â®çª¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠(ªà®¬¥ ¥¯®¤¢¨¦ëå â®ç¥ª, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à ¢¥áâ¢ã ã«î ¯à ¢ëå ç á⥩ (1.4)).
10
®£¤ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª ï á¨á⥬ 室¨âáï ¢ (â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬) à ¢®¢¥á¨¨, ¥¥ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®áâ îâáï ¯®áâ®ï묨 ¢® ¢à¥¬¥¨ (⥬¯¥à âãà , ®¡ê¥¬, ¤ ¢«¥¨¥ ¨ â.¯.), ®¤ ª® á ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï ¥¥ á®áâ®ï¨¥ ¢á¥ ¢à¥¬ï ¬¥ï¥âáï ¨ ¬ë ¥ § ¥¬, ¢ ª ª®¬ ª®ªà¥â® ¬¨ªà®á®áâ®ï¨¨ á¨á⥬ 室¨âáï ¢ ¤ ë© ¬®¬¥â (â.¥. £¤¥ ª®ªà¥â® ¢ ¤ ë© ¬®¬¥â 室¨âáï ä §®¢ ï â®çª í࣮¤¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨). â â¨áâ¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®¯ëâ âìáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¥à®ïâ®áâì ॠ«¨§ 樨 ᮢ®ªã¯®á⨠¢á¥å ¢®§¬®¦ëå ¬¨ªà®á®áâ®ï¨© á¨á⥬ë, ®â¢¥ç îé¨å ¤ ®¬ã ¥¥ ¬ ªà®á®áâ®ï¨î. «¥¤ãï ¨¡¡áã, ¯à¨ïâ® à áᬠâਢ âì ¥ ¤ ãî ª®ªà¥âãî á¨á⥬ã, ᮢ®ªã¯®áâì ¡®«ì讣® ç¨á« (¢ ¯à¥¤¥«¥ N ! 1 ¡¥áª®¥ç®£®!) ç¨á« ¥¥ ª®¯¨©, 室ïé¨åáï ¢ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨ ⮦¤¥á⢥ëå ãá«®¢¨ïå, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å â ª §ë¢ ¥¬ë© á ¬¡«ì ¨¡¡á , ®¯¨áë¢ î騩 ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ á¨á⥬ë. ®¦¤¥á⢥®áâì ¢¥è¨å ãá«®¢¨© ¢ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥ ®§ ç ¥â, çâ® ¢á¥ íª§¥¬¯«ïàë á ¬¡«ï å à ªâ¥à¨§ãîâáï ®¤¨ ª®¢ë¬¨ § 票ﬨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢ (á â®ç®áâìî ¤® ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå ä«ãªâã 権) ¨ ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ⨯ ¬¨ ª®â ªâ®¢ á ®ªà㦠î騬¨ ⥫ ¬¨ (१¥à¢ã à ¬¨ í¥à£¨¨ ¨«¨ ç áâ¨æ, ¯®àèﬨ, á⥪ ¬¨ ¨ â.¯.). १ã«ìâ ⥠¢®§¨ª îâ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ®£à ¨ç¥¨ï ª®®à¤¨ âë ¨ ¨¬¯ã«ìáë ç áâ¨æ, ª®â®àë¥ ¢ ®á⠫쮬 ¤®áâ â®ç® ¯à®¨§¢®«ìë. â â¨áâ¨ç¥áª¨© á ¬¡«ì § ¤ ¥âáï äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï (p; q; t), ¨¬¥î饩 á¬ëá« ¯«®â®á⨠¢¥à®ïâ®á⨠à á¯à¥¤¥«¥¨ï á¨á⥬ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, â ª çâ®: dw = (p; q; t)dpdq (1.6) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢¥à®ïâ®áâì ©â¨ á¨á⥬ã (¨§ á ¬¡«ï ¨¡¡á !) ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t ¢ í«¥¬¥â¥ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ dpdq ¢¡«¨§¨ â®çª¨ (p; q) (p1; :::; pN ; q1; :::; qN ). ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¤®«¦ 㤮¢«¥â¢®àïâì ®ç¥¢¨¤®¬ã ãá«®¢¨î ®à¬¨à®¢ª¨:
Z
dpdq(p; q; t) = 1;
(1.7)
¯®áª®«ìªã á㬬 ¢¥à®ïâ®á⥩ ¢á¥å ¢®§¬®¦ëå á®áâ®ï¨© ¤®«¦ à ¢ïâìáï ¥¤¨¨æ¥. ¬¥® â ª ï ®à¬¨à®¢ª äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ªãàᥠ¤ ã ¨ ¨äè¨æ . ç¥ì ç áâ® ¯®«ì§ãîâáï ¤à㣨¬ ¢ ਠ⮬ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨. ªâ¨ç¥áª¨, ¬ë § à ¥¥ ¯®¨¬ ¥¬, çâ® ª« áá¨ç¥áª ï áâ â¨á⨪ ¥áâì ¯à¥¤¥«ìë© á«ãç © ª¢ ⮢®© (ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¯®§¤¥¥, íâ®â ¯¥à¥å®¤ ¯à®¨á室¨â ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà å, ª®£¤ ª¢ ⮢묨 íä䥪⠬¨ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì). § ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ¨§¢¥áâ® [7], çâ® ¯®ï⨥ ª®®à¤¨ âë ¨ ¨¬¯ã«ìá ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¬®¦® ¢¢¥á⨠⮫쪮 ¢ à ¬ª å ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï. ¨¨¬ «ìë© à §¬¥à ä §®¢®© ï祩ª¨ ¤«ï ®¤®¬¥à®£® ¤¢¨¦¥¨ï i-© ç áâ¨æë ¢ ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ à ¢¥ h = 2h:3 qix pxi h (1.8)
3 ¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ª¢ ⮢ ¨ï ®à -®¬¬¥àä¥«ì¤ ¢ ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: H pdq = (n + 1 )h. â¥£à « §¤¥áì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯«®é ¤ì, ®å¢ âë¢ ¥¬ãî § ¬ªã⮩ ª« áá¨ç¥áª®© 2
ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¥©. §¤¥«¨¢ íâã ¯«®é ¤ì ª«¥â®çª¨ ¯«®é ¤ìî 2h, ¯®«ã稬 n ª«¥â®ª. ® n §¤¥áì | ç¨á«® ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨©, á í¥à£¨ï¬¨ ¥ ¯à¥¢ëè î騬¨ § ¤ ®£® ¥¥ § 票ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® à áᬠâਢ ¥¬®© âà ¥ªâ®à¨¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤®¬ã ª¢ ⮢®¬ã á®áâ®ï¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª«¥âª ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯«®é ¤ìî 2h.
᫨ ¢¢¥á⨠¢®«®¢®© ¢¥ªâ®à ç áâ¨æë k = p=h, â® ¯®«ã稬 2ph q = 2kq , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§¢¥á⮬㠢ëà ¦¥¨î ¤«ï ç¨á« ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨© ¢®«®¢®£® ¯®«ï [8].
11
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬¨¨¬ «ìë© à §¬¥à ï祩ª¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ®¤®© ç áâ¨æë à ¢¥ h3 = (2h)3 , ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ N ç áâ¨æ ® à ¢¥ (2h)3N . ¥«¨ç¨ (2h)3N ï¥âáï ¥áâ¥á⢥®© ¥¤¨¨æ¥© ¤«ï ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ . ®í⮬ã ç áâ® ¡ë¢ ¥â 㤮¡ë¬ ¢¢¥á⨠äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ®à¬¨à®¢ ãî ¥¤¨¨æ㠯ਠ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯® ¡¥§à §¬¥à®¬ã ä §®¢®¬ã ®¡ê¥¬ã (2dpdq h)3N . ஬¥ ⮣®, ¯à¨ à áᬮâ२¨ á¨á⥬ë N ®¤¨ ª®¢ëå ç áâ¨æ á«¥¤ã¥â ãç¥áâì, çâ® ¯¥à¥áâ ®¢ª ⮦¤¥á⢥ëå ç áâ¨æ ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ¥ ¬¥ï¥â á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë. ®áª®«ìªã ç¨á«® ¯¥à¥áâ ®¢®ª ¤«ï N ⮦¤¥á⢥ëå ç áâ¨æ à ¢® N!, â® í«¥¬¥â ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ 㦮 㬥ìè¨âì ¢ N! à §, â ª ª ª 㦮 ãç¨âë¢ âì ⮫쪮 䨧¨ç¥áª¨ à §«¨çë¥ á®áâ®ï¨ï. ª¨¬ ®¡à §®¬, äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ç á⮠㤮¡¥¥ ®¯à¥¤¥«ïâì á ¯®¬®éìî á®®â®è¥¨ï: dpdq ; dw = (p; q; t) N!(2 (1.9) h)3N ãá«®¢¨¥ ®à¬¨à®¢ª¨ § ¯¨áë¢ âì ¢ ¢¨¤¥:
Z
£¤¥:
d;(p; q; t) = 1;
dpdq d; = N!(2 h)3N
(1.10) (1.11)
{ ¡¥§à §¬¥àë© í«¥¬¥â ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ . ⥣à¨à®¢ ¨¥ ¢ (1.10) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á㬬¨à®¢ ¨î ¯® ¢á¥¬ à §«¨çë¬ ª¢ â®¢ë¬ á®áâ®ï¨ï¬ á¨á⥬ë. 4
᫨ äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï (p; q; t) ¨§¢¥áâ , â® ¬ë ¬®¦¥¬, ¢ ¯à¨æ¨¯¥, ¢ëç¨á«¨âì ¢¥à®ïâ®á⨠¨ á।¨¥ § ç¥¨ï «î¡ëå 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨, § ¢¨áïé¨å ®â ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ç áâ¨æ, á®áâ ¢«ïîé¨å à áᬠâਢ ¥¬ãî á¨á⥬ã. ।¥¥ § 票¥ â ª®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë f(p; q) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: < f >=
Z
d;(p; q; t)f(p; q)
(1.12)
{ ä §®¢®¥ á।¥¥. á।¥¨¥ á ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®á¢®¡®¦¤ ¥â á ®â ¥®¡å®¤¨¬®á⨠᫥¤¨âì § ¨§¬¥¥¨¥¬ ¨á⨮£® § 票ï 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë f(p; q) á® ¢à¥¬¥¥¬ á ¯®á«¥¤ãî騬 ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¥¥ á।¥£® § ç¥¨ï ¯® ¢à¥¬¥¨. ®á«¥¤¥¥ ®§ ç «® ¡ë, çâ® á«¥¤ï § ¨§¬¥¥¨¥¬ 襩 ¢¥«¨ç¨ë á® ¢à¥¬¥¥¬ (¯à®¢®¤ï ¥¥ ¨§¬¥à¥¨ï ¢ à §ë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨), ¬ë ¤®«¦ë ¡ë«¨ ¡ë ¯®áâநâì äãªæ¨î f = f(t), ¯®á«¥ 祣® ¨áª®¬®¥ á।¥¥ ®¯à¥¤¥«ï«®áì ¡ë ª ª: 1 fe = Tlim !1 T
ZT 0
dtf(t)
(1.13)
{ ¢à¥¬¥®¥ á।¥¥. ®®¡é¥ £®¢®àï, ¤®ª § ⥫ìá⢮ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ ä §®¢®£® ¨ ¢à¥¬¥®£® ãá।¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢¥áì¬ á«®¦ãî (¨ ¥ à¥è¥ãî ¤® ª®æ ) ¯à®¡«¥¬ã, á®áâ ¢«ïîéãî ᮤ¥à¦ ¨¥ â ª §ë¢ ¥¬®© í࣮¤¨ç¥áª®© ⥮ਨ, ïî饩áï ®¤¨¬ ¨§ à §¤¥«®¢ ᮢ६¥®© ¬ ⥬ ⨪¨ [10, 11]. ¯®á«¥¤¨¥ 4 ⬥⨬ § ¬¥ç ⥫ìë© ä ªâ, çâ® ¬®¦¨â¥«ì N ! ¢ § ¬¥ ⥫¥ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ , § ¤®«£® ¤® ¯®ï¢«¥¨ï ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨, ¢¢®¤¨« ¥é¥ ¨¡¡á, çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯ à ¤®ªá , ®áï饣® ¥£® ¨¬ï | ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨ ¯à¨ ᬥ襨¨ ®¤¨ ª®¢ëå £ §®¢ ¯à¨ ®¤¨ ª®¢®© ⥬¯¥à âãॠ¨ ®¤¨ ª®¢®¬ ¤ ¢«¥¨¨ [9].
12
¤¥áï⨫¥â¨ï §¤¥áì ¤®á⨣ãâë ¡®«ì訥 ãᯥå¨, ® ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬ â¥à¨ « ¢ë室¨â ¤ «¥ª® § à ¬ª¨ 襣® ªãàá . ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ¨¦¥ ¬ë ¥é¥ ¢¥à¥¬áï ª í«¥¬¥â ஬㠮¡á㦤¥¨î íâ¨å ¢®¯à®á®¢. ¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¯®¤å®¤ ¨¡¡á ¬®¦® ª ç¥á⢥® ¯®ïá¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. 뤥«¨¬ ¨§ 襩 § ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ¥ª®â®àãî ¯®¤á¨á⥬ã, ¬ «ãî ¯® áà ¢¥¨î á® ¢á¥© á¨á⥬®©, ® ¢á¥ ¥é¥ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áªãî. ®¤á¨á⥬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¯ïâì ¬¥å ¨ç¥áªãî á¨á⥬ã, ® 㦥 ¥§ ¬ªãâãî, ¨á¯ëâë¢ îéãî ¢á¥¢®§¬®¦ë¥ ¢®§¤¥©á⢨ï á® áâ®à®ë ®áâ «ìëå ç á⥩ ¡®«ì让 á¨á⥬ë. ®í⮬ã á®áâ®ï¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¡ã¤¥â ¬¥ïâìáï á® ¢à¥¬¥¥¬ ¢¥áì¬ § ¯ãâ ë¬ ®¡à §®¬. ᨫã í⮩ á«®¦®á⨠¨ § ¯ãâ ®áâ¨, § ¤®áâ â®ç® ¡®«ì让 ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥¨ ¢ë¤¥«¥ ï ¯®¤á¨á⥬ ¯®¡ë¢ ¥â ¤®áâ â®ç® ¬®£® à § ¢® ¢á¥å ᢮¨å ¢®§¬®¦ëå á®áâ®ï¨ïå. ®ç¥¥, ®¡®§ 稬 pq ¥ª®â®àë© ¬ «ë© ãç á⮪ ®¡ê¥¬ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠¯®¤á¨á⥬ë. ®¦® ¯®« £ âì, çâ® ¢ â¥ç¥¨¥ ¤®áâ â®ç® ¤«¨â¥«ì®£® ¢à¥¬¥¨ T ç१¢ëç ©® § ¯ãâ ï ä §®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¬®£® à § ¯à®©¤¥â ç¥à¥§ ¢á直© â ª®© ãç á⮪ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠. ãáâì t ¥áâì â ç áâì ¯®«®£® ¢à¥¬¥¨ T, ¢ â¥ç¥¨¥ ª®â®à®£® ¯®¤á¨á⥬ 室¨« áì ¢ ¤ ®¬ ®¡ê¥¬¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠pq. ਠ¥®£à ¨ç¥®¬ 㢥«¨ç¥¨¨ T ®â®è¥¨¥ t=T ¡ã¤¥â áâ६¨âìáï ª ¥ª®â®à®¬ã ¯à¥¤¥«ã: t w = Tlim !1 T
(1.14)
ª®â®àë© ¨ ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¢¥à®ïâ®áâì ⮣®, çâ® ¯à¨ ¡«î¤¥¨¨ ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¢ ¥ª®â®àë© ¯à®¨§¢®«ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ¬ë ®¡ à㦨¬ ¥¥ 室ï饩áï ¢ ¤ ®¬ ãç á⪥ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠. ¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¡¥áª®¥ç® ¬ «®£® í«¥¬¥â ®¡ê¥¬ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠¬ë ¢¢®¤¨¬ äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï (p; q; t) ¨ ¢ ᨫã á ¬®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï (1.14) áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ (ä §®¢®¥) ãá।¥¨¥ (1.12) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢¯®«¥ íª¢¨¢ «¥âë¬ ãá।¥¨î ¯® ¢à¥¬¥¨ (1.13). ¨§¨ª ¬, ®¡ëç®, ¤®áâ â®ç® â ª¨å ¯à®áâëå á®®¡à ¦¥¨©. ç áâ®áâ¨, ¤ ã áç¨â « [1], çâ® § 票¥ í࣮¤¨ç¥áª®© ¯à®¡«¥¬ë ¢®®¡é¥ ¯à¥ã¢¥«¨ç¨¢ ¥âáï ¬ ⥬ ⨪ ¬¨. ¥á¬®âàï ¯à®¤®«¦ î騥áï ¤¨áªãáᨨ íâã ⥬ã, á ¯à £¬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï ¯®¤å®¤ ¨¡¡á ¥ ¢ë§ë¢ ¥â ¨ª ª¨å ᮬ¥¨©, â ª ª ª ¢á¥ ®á®¢ë¥ ¢ë¢®¤ë, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ à ¬ª å áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¯®«ãç îâ ¯®«®¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ì®¥ ¯®¤â¢¥à¦¤¥¨¥. § ª«î票¥ ®â¬¥â¨¬ ¥é¥ ®¤® ª ç¥á⢥®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, ¨¬¥î饥 ¡®«ì讥 § 票¥ ¤«ï ¯®¨¬ ¨ï ®á®¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. â â¨áâ¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤ ®© ¯®¤á¨á⥬ë, ª ª ¯à ¢¨«®, ¥ § ¢¨á¨â ®â ç «ì®£® á®áâ®ï¨ï ª ª®©-«¨¡® ¤à㣮© ¬ «®© ç á⨠⮩ ¦¥ á¨á⥬ë, â ª ª ª ¢«¨ï¨¥ í⮣® ç «ì®£® á®áâ®ï¨ï ¢ â¥ç¥¨¥ ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® ¯à®¬¥¦ã⪠¢à¥¬¥¨ ᮢ¥à襮 ¢ëâ¥áï¥âáï ¢«¨ï¨¥¬ ¬®¦¥á⢠¤à㣨å ç á⥩ á¨á⥬ë. ® ¥ § ¢¨á¨â â ª¦¥ ®â ç «ì®£® á®áâ®ï¨ï á ¬®© ¢ë¤¥«¥®© ¬¨ ¯®¤á¨á⥬ë, ¯®áª®«ìªã ® á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ¢á¥ ¢®§¬®¦ë¥ á®áâ®ï¨ï ¨ ª ¦¤®¥ ¨§ ¨å ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¡à ® ¢ ª ç¥á⢥ ç «ì®£® (¯®â¥àï \¯ ¬ïâ¨").
13
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¥§ ¢¨á¨¬®áâì. áᬮâਬ ¥ª®â®àë¥ ¯à®áâë¥ à¥§ã«ìâ âë ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¨, ª®â®àë¥ ¯à¨£®¤ïâáï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. ® ¬®£¨å á«ãç ïå, § ¬ªãâ ï ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª ï á¨á⥬ ¬®¦¥â ¡ëâì \à §¡¨â " àï¤ ¯®¤á¨á⥬, ª®â®àë¥ ¤®áâ â®ç® á« ¡® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ¤àã£ á ¤à㣮¬, ¨ ¢ â¥ç¥¨¥ ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ¯à®¬¥¦ã⪮¢ ¢à¥¬¥¨ ¢¥¤ãâ á¥¡ï ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® ª ª § ¬ªãâë¥ á¨á⥬ë, â.¥. ïîâáï ª¢ §¨§ ¬ªãâ묨. â â¨áâ¨ç¥áª ï ¥§ ¢¨á¨¬®áâì â ª¨å ¯®¤á¨á⥬ ®§ ç ¥â, çâ® á®áâ®ï¨¥, ¢ ª®â®à®¬ 室¨âáï ®¤ ¨§ ¯®¤á¨á⥬, ¨ª ª ¥ ¢«¨ï¥â ¢¥à®ïâ®áâ¨ à §«¨çëå á®áâ®ï¨© ¤àã£¨å ¯®¤á¨á⥬. áᬮâਬ ¤¢¥ â ª¨¥ ¯®¤á¨á⥬ë, ¨ ¯ãáâì dp(1)dq(1) ¨ dp(2)dq(2) { í«¥¬¥âë ®¡ê¥¬ ¨å ä §®¢ëå ¯à®áâà áâ¢.
᫨ à áᬠâਢ âì ᮢ®ªã¯®áâì ®¡¥¨å ¯®¤á¨á⥬ ª ª ®¤ã á®áâ ¢ãî á¨á⥬ã, â® á ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï ¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¯®¤á¨á⥬ ®§ ç ¥â, çâ® ¢¥à®ïâ®áâì á®áâ ¢®© á¨á⥬¥ 室¨âìáï ¢ í«¥¬¥â¥ ¥¥ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ dp(12)dq(12) = dp(1)dq(1)dp(2)dq(2) à §¡¨¢ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩: 12 dp(12)dq(12) = 1 dp(1)dq(1) 2 dp(2)dq(2);
(1.15)
â ª çâ®
12 = 1 2 ; (1.16) £¤¥ 12 { äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï á®áâ ¢®© á¨á⥬ë, 1 ¨ 2 { äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®â¤¥«ìëå ¯®¤á¨á⥬. ®¦® ã⢥ত âì ¨ ®¡à ⮥ | ä ªâ®à¨§ æ¨ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®§ ç ¥â, çâ® á¨á⥬ á®á⮨⠨§ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®¤á¨á⥬.
᫨ f1 ¨ f2 { ¤¢¥ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë, ®â®áï騥áï ª ¤¢ã¬ à §«¨çë¬ ¯®¤á¨á⥬ ¬, â® ¨§ (1.15) ¨ (1.12) áà §ã ¦¥ á«¥¤ã¥â, çâ® á।¥¥ § 票¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï f1 f2 à ¢® ¯à®¨§¢¥¤¥¨î á।¨å: < f1 f2 >=< f1 >< f2 > : (1.17) áᬮâਬ ª ªãî-«¨¡® 䨧¨ç¥áªãî ¢¥«¨ç¨ã f, ®â®áïéãîáï ª ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ã ⥫㠨«¨ ¥£® ç áâ¨. â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ ® ¬¥ï¥âáï (ä«ãªâã¨àã¥â) ¢®ªà㣠᢮¥£® á।¥£® § 票ï < f >. ª ç¥á⢥ ¬¥àë ä«ãªâã 権 ¥«ì§ï ¢§ïâì ¯à®áâ® f = f ; < f >, ¯®áª®«ìªã ¨§-§ ¢®§¬®¦®á⨠ä«ãªâã 権 ®¡®¨å § ª®¢ ¢á¥£¤ ¨¬¥¥¬ < f >= 0. ª ç¥á⢥ â ª®© ¬¥àë ®¡ëç® à áᬠâਢ îâ ¢¥«¨ç¨ã < (f)2 >. ਠí⮬ ¨¬¥¥¬ < (f)2 > 0, ¯à¨ç¥¬ íâ® á।¥¥ áâ६¨âáï ª ã«î ⮫쪮 ¯à¨ f !< f >, â.¥. ª®£¤ ®âª«®¥¨ï f ®â < f > ®¡« ¤ îâ ¬ «®© ¢¥à®ïâ®áâìî. ¥«¨ç¨ :
p
p
< (f)2 > = < (f ; < f >)2 >
(1.18)
§ë¢ ¥âáï á।¥ª¢ ¤à â¨ç®© ä«ãªâã 樥© ¢¥«¨ç¨ë f. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ®: < (f)2 >=< f 2 ; 2f < f > + < f >2 > =< f 2 > ;2 < f >< f > + < f >2=< f 2 > ; < f >2 ;
(1.19)
â ª çâ® á।¥ª¢ ¤à â¨ç ï ä«ãªâã æ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à §®áâìî ¬¥¦¤ã á।¨¬ ª¢ ¤à ⮬ ¢¥«¨ç¨ë ¨ ª¢ ¤à ⮬ ¥¥ á।¥£® § 票ï. ਠí⮬ ®â®è¥¨¥
14
p< (f)2 >= < f > §ë¢ ¥âáï
®â®á¨â¥«ì®© ä«ãªâã 樥© ¢¥«¨ç¨ë f. ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ®â®á¨â¥«ìë¥ ä«ãªâã 樨 ¡®«ìè¨á⢠䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¡ëáâ஠㬥ìè îâáï á à®á⮬ à §¬¥à®¢ (ç¨á« ç áâ¨æ) ⥫ . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¡®«ìè¨á⢮ 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ïîâáï ¤¤¨â¨¢ë¬¨, ç⮠ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ª¢ §¨§ ¬ªãâ®á⨠®â¤¥«ìëå ç á⥩ ⥫ : § 票¥ â ª®© ¢¥«¨ç¨ë ¤«ï ¢á¥£® ⥫ ï¥âáï á㬬®© § 票© í⮩ ¢¥«¨ç¨ë ¤«ï ®â¤¥«ìëå ¥£® ç á⥩. ãáâì f ¥áâì â ª ï ¤¤¨â¨¢ ï ¢¥«¨ç¨ . §®¡ì¥¬ ⥫® ¡®«ì讥 ç¨á«® N ¯à¨¬¥à® ®¤¨ ª®¢ëå ç á⥩ (ç áâ® íâ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®áâ® ç¨á«® ç áâ¨æ, ¨§ ª®â®àëå á®á⮨â á¨á⥬ ). ®£¤ :
f=
N X i=1
fi ;
(1.20)
£¤¥ fi ®â®á¨âáï ª ®â¤¥«ìë¬ ç áâï¬. 祢¨¤®, çâ® ¤«ï á।¥£® § ç¥¨ï ¨¬¥¥¬: < f >=
N X i=1
< fi > :
(1.21)
à®á⮬ N ¢¥«¨ç¨ < f > à áâ¥â ¯à¨¬¥à® ¯à®¯®à樮 «ì® N: < f > N. ®¤áç¨â ¥¬ á।¥ª¢ ¤à â¨çãî ä«ãªâã æ¨î f:
X
< (f)2 >=< (
i
fi )2 > :
(1.22)
ᨫã áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨ à §«¨çëå ç á⥩ ⥫ : < fi fk >=< fi >< fk >= 0
(i 6= k)
(1.23)
¯®áª®«ìªã ª ¦¤®¥ < fi >= 0. ®£¤ : < (f)2 >=
N X i=1
< (fi)2 >
(1.24)
âáî¤ ïá®, çâ® á à®á⮬ N ¨¬¥¥¬ â ª¦¥ ¨ < (f)2 > N. ®£¤ , ®â®á¨â¥«ì ï ä«ãªâã æ¨ï: p< (f)2 > p N 1 (1.25) < f > N = pN : ¨¤¨¬, çâ® ®â®á¨â¥«ì ï ä«ãªâã æ¨ï «î¡®© ¤¤¨â¨¢®© ¢¥«¨ç¨ë ã¡ë¢ ¥â ®¡à â® ¯à®¯®à樮 «ì® ª¢ ¤à ⮬㠪®àî ¨§ ç¨á« ç á⥩ (ç áâ¨æ) ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ⥫ , ¯®â®¬ã ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讬 § 票¨ N ( ¯à¨¬¥à N 1022) á ¬ ¢¥«¨ç¨ f ¬®¦¥â áç¨â âìáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®áâ®ï®© ¢® ¢à¥¬¥¨ ¨ à ¢®© ᢮¥¬ã á।¥¬ã § 票î.
᫨ N ¥ ᫨誮¬ ¢¥«¨ª®, ¯à¨¬¥à N 106, â® ®â®á¨â¥«ìë¥ ä«ãªâã 樨 㦥 ¥ â ª ¬ «ë ¨ ¢¯®«¥ ¡«î¤ ¥¬ë. ª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¯à¨ïâ® §ë¢ âì ¬¥§®áª®¯¨ç¥áª¨¬¨.
15
¨á. 1-1 §¬¥¥¨¥ ç «ì®£® ®¡ê¥¬ G0 ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ®¡ãá«®¢«¥®¥ ¤¢¨¦¥¨¥¬ ¢å®¤ïé¨å ¢ íâ®â ®¡ê¥¬ ¨§®¡à ¦ îé¨å â®ç¥ª á ¬¡«ï, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ⥮६®© ¨ã¢¨««ï.
¥®à¥¬ ¨ã¢¨««ï. ®§¬®¦®áâì ¢¢¥¤¥¨ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª ª ¯«®â®á⨠¢¥à®ïâ®á⨠®á®¢ ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï | ç¨áâ® ¬¥å ¨ç¥áª®© ⥮६¥, ¥ ᮤ¥à¦ 饩 ª ª¨å«¨¡® áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥¨©. ®£« á® í⮩ ⥮६¥ ¤«ï á¨á⥬, ¯®¤ç¨ïîé¨åáï ãà ¢¥¨ï¬ ¬¨«ìâ® : dqk = @H dt @pk
dpk = ; @H dt @qk
(1.26)
ä §®¢ë© ®¡ê¥¬ á¨áâ¥¬ë ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ïë¬ ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¦¥¨ï. ® ¥áâì, ¥á«¨ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ä §®¢ë¥ â®çª¨ (p0 ; q0), á®áâ ¢«ïî騥 á ¬¡«ì ¨¡¡á , ¥¯à¥à뢮 § ¯®«ï«¨ ¥ª®â®àãî ®¡« áâì ç «ìëå § 票© G0 ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ¢ ¬®¬¥â t ®¨ § ¯®«ïîâ ®¡« áâì Gt , ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ä §®¢ë¥ ®¡ê¥¬ë à ¢ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©:
Z
G0
dp0dq0
=
Z
Gt
dpdq
(1.27)
¨«¨, ¤«ï ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå í«¥¬¥â®¢ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ : dp0dq0 = dpdq
(1.28)
à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¤¢¨¦¥¨¥ ä §®¢ëå â®ç¥ª, ¨§®¡à ¦ îé¨å á¨áâ¥¬ë ¢ ä §®¢®¬ , ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.1.1 { \ª ¯«ï", ®¡à §®¢ ï ä §®¢ë¬¨ â®çª ¬¨, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騬¨ á¨áâ¥¬ë ¨§ á ¬¡«ï ¬®¦¥â ª ª 㣮¤® ¤¥ä®à¬¨à®¢ âìáï ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¦¥¨ï, ® ¥¥ ®¡ê¥¬ á®åà ï¥âáï. ¯à®áâà á⢥, ¯®¤®¡® ¤¢¨¦¥¨î ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨
16
â®¡ë ¤®ª § âì ⥮६㠨㢨««ï, ¯à¥®¡à §ã¥¬ ¨â¥£à « ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(1.27) á ¯®¬®éìî § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï p0 ; q0 p; q. ®£¤ , ᮣ« á® ¨§¢¥áâë¬ ¯à ¢¨« ¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ªà âëå ¨â¥£à «®¢: Z Z @(p; q) dpdq = dp0dq0; (1.29) 0 0 @(p ; q ) Gt G0 £¤¥ @@(p(0p;q;q0) ) { ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 类¡¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. ¯®¬¨¬, ç⮠类¡¨ ®¬ §ë¢ îâ ¤¥â¥à¬¨ â ¢¨¤ (®£à ¨ç¨¬áï ¤¢ã¬¥àë¬ á«ãç ¥¬, ®¡®¡é¥¨¥ ¬®£®¬¥àë© ®ç¥¢¨¤®): @u @u @(u; v) = @x @y (1.30) @v @v : @(x; y) @x @y ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬¨ ®ç¥¢¨¤ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨: @(u; v) = ; @(v; u) (1.31) @(x; y) @(x; y) @(u; y) = @u @(x; y) @x ¬¥îâ ¬¥áâ® â ª¦¥ á«¥¤ãî騥 á®®â®è¥¨ï: @(u; v) @(u; v) @(t; s) @(x; y) = @(t; s) @(x; y)
(1.32) (1.33)
dv d @(u; v) = @( du dt ; v) + @(u; dt ) : (1.34) dt @(x; y) @(x; y) @(x; y) ®ª ¦¥¬, ç⮠类¡¨ ¢ (1.29) ¢ ᨫã ãà ¢¥¨© ¬¨«ìâ® à ¢¥ ¥¤¨¨æ¥: @(p; q) (1.35) @(p0 ; q0) = 1: «ï í⮣® ¤®ª ¦¥¬, çâ® ¯®« ï ¯à®¨§¢®¤ ï í⮣® 类¡¨ ¯® ¢à¥¬¥¨ à ¢ ã«î: d @(p; q) (1.36) dt @(p0 ; q0) = 0:
âáî¤ ¡ã¤¥â á«¥¤®¢ âì, ç⮠类¡¨ à ¢¥ ¯®áâ®ï®©, ¨¬¥® ¥¤¨¨æ¥, â.ª. ® ¡ë« à ¢¥ ¥¤¨¨æ¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨. «ï ªà ⪮á⨠¯à®¢¥¤¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤«ï á«ãç ï ¤¢ã¬¥à®£® ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠, ª®£¤ ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ®¤ ª®®à¤¨ â q ¨ ®¤¨ ¨¬¯ã«ìá p. ®£« ᮠ᢮©áâ¢ã (1.34) ¬®¦¥¬ ¯¨á âì: @(p;_ q) @(p; q)_ d @(p; q) (1.37) dt @(p0 ; q0) = @(p0 ; q0) + @(p0 ; q0) : «¥¥, ᮣ« á® (1.32) ¨ (1.33) ¨¬¥¥¬: @(p; q)_ = @(p; q)_ @(p; q) = @ q_ @(p; q) (1.38) @(p0 ; q0) @(p; q) @(p0 ; q0) @q @(p0 ; q0)
17
@(p;_ q) @(p;_ q) @(p; q) @ p_ @(p; q) (1.39) @(p0 ; q0) = @(p; q) @(p0 ; q0) = @p @(p0; q0) @ p_ @ q_ @(p; q) d @(p; q) (1.40) dt @(p0 ; q0) = ( @p + @q ) @(p0 ; q0) ¨¤®, çâ® á㬬 ¢ ᪮¡ª å ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨ à ¢ ã«î ¢ ᨫã ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï: q_ = @H p_ = ; @H (1.41) @p ; @q â ª, çâ® @ q_ = @ 2 H = ; @ p_ (1.42) @q @q@p @p ¨, ᮮ⢥âá⢥® ( @@pp_ + @@qq_ ) = 0 (1.43) çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â ᤥ« ë¥ ¢ëè¥ ã⢥ত¥¨ï. ¥®à¥¬ ¨ã¢¨««ï { ç¨áâ® ¬¥å ¨ç¥áª ï ⥮६ ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®ª ¥é¥ ¨£¤¥ ¥ 䨣ãà¨à®¢ « . ¤ ª®, ä ªâ¨ç¥áª¨, á ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®¦® ¤ âì ¤àã£ãî ä®à¬ã«¨à®¢ªã â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï. ਠ¤¢¨¦¥¨¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ \ª ¯«¨", ¯à¥¤áâ ¢«ïî饩 á ¬¡«ì ¨¡¡á (¨á.1.1), ç¨á«® ä §®¢ëå â®ç¥ª ¢ ¥© (ç¨á«® á¨á⥬ ¢ á ¬¡«¥), ¥áâ¥á⢥®, ¥ ¨§¬¥ï¥âáï { ¢á¥ ä §®¢ë¥ â®çª¨, 室ï騥áï ¢ ¬®¬¥â t ¢ í«¥¬¥â¥ ®¡ê¥¬ dpdq, ¯¥à¥©¤ãâ ¢ ¬®¬¥â t0 ¢ í«¥¬¥â dp0dq0. ®®â¢¥âá⢥®, ¬®¦¥¬ ¯¨á âì: (p; q; t)dpdq = (p0 ; q0; t0)dp0 dq0;
(1.44)
¯®áª®«ìªã ¢ ᨫe â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï ¨¬¥¥¬ dpdq = dp0dq0 , â® ¯®«ãç ¥¬: (p; q; t) = (p0 ; q0; t0)
(1.45)
â ª, çâ® äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®áâ®ï ¢¤®«ì ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© { íâ® ¨ ¥áâì «ìâ¥à â¨¢ë© ¢ ਠâ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï, ¨á¯®«ì§ãî騩 ¯®ï⨥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ® ¯® ¯à¥¦¥¬ã ïî騩áï ç¨áâ® ¬¥å ¨ç¥áª¨¬ ã⢥ত¥¨¥¬. ᯮ«ì§ãï ¤®ª § ë¥ ¯®«®¦¥¨ï, ¬®¦® ¢ë¢¥á⨠ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï, ä ªâ¨ç¥áª¨ ïî饥áï ãà ¢¥¨¥¬ ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ®« £ ï ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t ¡¥áª®¥ç® ¡«¨§ª¨¬ ª t0 = t + dt ¨§ (1.45) ¨¬¥¥¬: (p; q; t) = (p + pdt; _ q + qdt; _ t + dt)
(1.46)
।¯®« £ ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì , ¯®«ãç ¥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥: 3N d = @ + X @ @ dt @t k=1( @pk p_k + @qk q_k ) = 0
çâ® á ãç¥â®¬ ãà ¢¥¨© ¬¨«ì⮠᢮¤¨âáï ª: @ = X( @H @ ; @H @ ) @t k @qk @pk @pk @qk
(1.47)
(1.48)
18
㬬 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(1.48) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᪮¡ªã ã áá® ¤«ï H ¨ : X @H @ @H @ ; ) (1.49) fH; g = ( @q k @pk @pk @qk k â ª, çâ® ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: @ = fH; g: (1.50) @t â® ãà ¢¥¨¥ ï¥âáï ®á®¢ë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ®áâ î騬áï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ª ª ¢ à ¢®¢¥á®¬, â ª ¨ ¢ ¥à ¢®¢¥á®¬ á«ãç ïå. ¯à¨æ¨¯¥, ®® ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ¢ëç¨á«¨âì ¢ «î¡®© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t, ¥á«¨ ® ¨§¢¥áâ ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = t0 , ®® ¦¥, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢¯®á«¥¤á⢨¨, ¯®§¢®«ï¥â ©â¨ ॠªæ¨î áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å á¨á⥬ ¢¥è¥¥ ¢®§¬ã饨¥. ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ ãà ¢¥¨ï ¥¯à¥à뢮á⨠¤«ï ¤¢¨¦¥¨ï ä §®¢ëå â®ç¥ª ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. á ¬®¬ ¤¥«¥, à áᬮâਬ ¤¢¨¦¥¨¥ â®ç¥ª ¢ 6N-¬¥à®¬ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ª ª ¤¢¨¦¥¨¥ \¦¨¤ª®áâ¨" á ¯«®â®áâìî . ª®à®áâì â¥ç¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢¨âáï ¢¥ªâ®à®¬ (p_ 1; p_ 2; :::; p_ N ; q_ 1; q_ 2; :::; q_ N ) ¢ í⮬ ¯à®áâà á⢥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ãà ¢¥¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤: @ + X[ @ (p_ ) + @ (q_ )] = 0 (1.51) @t k @pk k @qk k £¤¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ ᪮¡ª å ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¤¨¢¥à£¥æ¨î ¢¥ªâ®à ¯®â®ª . áªàë¢ ï ¯à®¨§¢®¤ë¥, § ¯¨è¥¬ íâ® á« £ ¥¬®¥ ¢ ¢¨¤¥: X @ @ ] + X[ @ p_k + @ q_k ] (1.52) [p_k @p + q_k @q k k k k @pk @qk ᨫã ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ¬¨«ìâ® ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥¨¨ ⮦¤¥á⢥® à ¢® ã«î, â ª çâ® (1.51) ᢮¤¨âáï ª: @ + X[p_ @ + q_ @ ] = 0 @t k k @pk k @qk
(1.53)
ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á (1.47). âáî¤ , ¢ ç áâ®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® ¤¢¨¦¥¨¥ \¦¨¤ª®áâ¨" ä §®¢ëå â®ç¥ª ¥á¦¨¬ ¥¬®. «ï á«ãç ï á¨á⥬, 室ïé¨åáï ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ (â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬) à ¢®¢¥á¨¨ ¨ H ¥ § ¢¨áïâ  ®â ¢à¥¬¥¨5, â ª çâ® (1.50) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢: fH; g = 0 (1.54) äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¨â¥£à « ¤¢¨¦¥¨ï. ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¨¦¥, íâ® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ à ¤¨ª «ì® ã¯à®é ¥â à áᬮâ२¥ à ¢®¢¥áëå áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å á ¬¡«¥©. 5 í⮬ á«ãç ¥ ¥â © § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢à¥¬¥¨ ¨ ã ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å á।¨å § 票© «î¡ëå 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨, à áᬠâਢ ¥¬ëå ª ª äãªæ¨¨ ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ç áâ¨æ, á®áâ ¢«ïîé¨å á¨á⥬ã, ç⮠ï¥âáï ®ç¥¢¨¤ë¬ ᢮©á⢮¬ à ¢®¢¥á®£® á®áâ®ï¨ï.
19
®«ì í¥à£¨¨, ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥. â ª, ¬ë ã¡¥¤¨«¨áì, çâ® ¤«ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨ à ¢®¢¥á®© á¨á⥬ë äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ï¥âáï ¨â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥¨ï, â.¥. ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ â ª¨¥ ª®¬¡¨ 樨 ¯¥à¥¬¥ëå p ¨ q, ª®â®àë¥ ¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨ § ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ®áâ îâáï ¯®áâ®ï묨. ¨á«® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï § ¬ªã⮩ ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬ë á s á⥯¥ï¬¨ ᢮¡®¤ë à ¢® 2s ; 1 [8]. «ï á¨á⥬ë, á®áâ®ï饩 ¨§ N ç áâ¨æ, ᮢ¥àè îé¨å ¤¢¨¦¥¨¥ ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ s = 6N (ç¨á«® ¢á¥å ª®¬¯®¥â ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ç áâ¨æ), â ª çâ® ç¨á«® ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï ®£à®¬®. ª §ë¢ ¥âáï, ®¤ ª®, çâ® ¬®¦® à ¤¨ª «ì® á㧨âì ç¨á«® ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï, ®â ª®â®àëå ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï. «ï í⮣® ¬®¦® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¬¨ ( ¥ ¬¥å ¨ç¥áª¨¬¨!) á®®¡à ¦¥¨ï¬¨. ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï 12 ¤«ï ᮢ®ªã¯®á⨠¤¢ãå ¥§ ¢¨á¨¬ëå (¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å) ¯®¤á¨á⥬ à ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï 1 ¨ 2 íâ¨å ¯®¤á¨á⥬ ¢ ®â¤¥«ì®áâ¨: 12 = 1 2 . ®í⮬ã: ln 12 = ln 1 + ln 2 (1.55) â.¥. «®£ à¨ä¬ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ï¥âáï ¤¤¨â¨¢®© ¢¥«¨ç¨®©. ®®â¢¥âá⢥®, «®£ à¨ä¬ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï à ¢®¢¥á®© á¨áâ¥¬ë ¤®«¦¥ ¡ëâì ¥ ¯à®áâ® ¨â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥¨ï, ® ¤¤¨â¨¢ë¬ ¨â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥¨ï. ¬¥å ¨ª¥ ¯®ª §ë¢ ¥âáï [8], çâ® ¨§ ¢á¥£® ¬®¦¥á⢠¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë ⮫쪮 ¥áª®«ìª® ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ ¤¤¨â¨¢®áâ¨. â® ¨â¥£à «ë ¤¢¨¦¥¨ï, á¢ï§ ë¥ á ®á®¢ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ¯à®áâà á⢠¨ ¢à¥¬¥¨ { ¥£® ®¤®à®¤®áâìî ¨ ¨§®âய®áâìî: í¥à£¨ï, ¨¬¯ã«ìá ¨ ¬®¬¥â ¨¬¯ã«ìá 6. ¡®§ 稬 í⨠¢¥«¨ç¨ë ¤«ï a-© ¯®¤á¨á⥬ë ç¥à¥§ Ea (p; q), Pa (p; q) ¨ Ma (p; q).
¤¨á⢥ ï ¤¤¨â¨¢ ï ª®¬¡¨ æ¨ï íâ¨å ¢¥«¨ç¨ ¥áâì «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¢¨¤ : ln a = a + Ea (p; q) + Pa (p; q) + Ma (p; q) (1.56) á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ a, , , , ¯à¨ç¥¬ , , ¤®«¦ë ¡ëâì ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ¤«ï ¢á¥å ¯®¤á¨á⥬ ¤ ®© § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë, â.ª. ⮫쪮 ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢ë¯®«ï¥âáï ᢮©á⢮ ¤¤¨â¨¢®á⨠(1.55). ®íää¨æ¨¥â a R¯à¨ í⮬ ï¥âáï ¯à®áâ® ®à¬¨à®¢®ç®© ¯®áâ®ï®©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¨§ ãá«®¢¨ï d;a a = 1. ®áâ®ïë¥ , , ¬®£ãâ ¡ëâì «®£¨ç® ®¯à¥¤¥«¥ë ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯®áâ®ïë¬ § ç¥¨ï¬ ¤¤¨â¨¢ëå ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï ¢á¥© á¨á⥬ë (¯ã⥬ ¢ëç¨á«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å á।¨å á äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï (1.56)). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ ¦¥©è¥¬ã ¢ë¢®¤ã: § ç¥¨ï ¤¤¨â¨¢ëå ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï { í¥à£¨¨, ¨¬¯ã«ìá ¨ ¬®¬¥â ¨¬¯ã«ìá { ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠§ ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï «î¡ëå ¥¥ ¯®¤á¨á⥬, á ¨¬¨ ¨ á।¨¥ § ç¥¨ï «î¡ëå ¨å 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ í¥à£¨¨ á«¥¤ã¥â ¨§ ¥¥ ®¡é¥£® ¢ëà ¦¥¨ï ç¥à¥§ äãªæ¨î £à ¦ E = P6¤¤¨â¨¢®áâì @L k q_k @qk ; L ¨ ¨§ ¤¤¨â¨¢®á⨠¯®á«¥¤¥©, ¢ëà ¦ î饩 â®â ä ªâ, çâ® ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ª ¦¤®© ¨§ ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç á⥩ ¥ ¬®£ãâ ᮤ¥à¦ âì ¢¥«¨ç¨ë, ®â®áï騥áï ª ¤à㣨¬ P mk vk , ¯à¨ç¥¬ ç áâï¬ á¨á⥬ë. ¤¤¨â¨¢®áâì ¨¬¯ã«ìá á¨á⥬ë ç áâ¨æ ®ç¥¢¨¤ P = ¢ k ®â«¨ç¨¥ ®â í¥à£¨¨ ¨¬¯ã«ìá á¨á⥬ë à ¢¥ á㬬¥ ¨¬¯ã«ìᮢ ®â¤¥«ìëå ç áâ¨æ ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¢®§¬®¦®á⨠¯à¥¥¡à¥¦¥¨ï ¨§ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¤àã£ á ¤à㣮¬. «®£¨ç ï á¨âã æ¨ï ¨¬¥¥â P ¬¥áâ® ¨ ¤«ï ¬®¬¥â ¨¬¯ã«ìá á¨á⥬ë M = k [rk pk ].
20
á®áâ®ï¨¨ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® (áâ â¨áâ¨ç¥áª®£®) à ¢®¢¥á¨ï. ⨠ᥬì (¯® ç¨á«ã ª®¬¯®¥â) ¤¤¨â¨¢ëå ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï § ¬¥ïîâ ᮡ®© ¥¢®®¡à §¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯¥à¥¬¥ëå, ®â ª®â®àëå ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ®¡é¥¬ (¥à ¢®¢¥á®¬) á«ãç ¥, ¨ ª®â®à®¥ âॡã¥âáï ¯à¨ \¯®«®¬" ¬¥å ¨ç¥áª®¬ ®¯¨á ¨¨ ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬ë. ¨á«® áãé¥á⢥ëå ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï 㬥ìè ¥âáï, ¥á«¨ á á ¬®£® ç « ®£à ¨ç¨âìáï à áᬮâ२¥¬ ¯®ª®ïé¨åáï á¨á⥬. ®£¤ ¯®«ë© ¨¬¯ã«ìá ¨ ¬®¬¥â ¨¬¯ã«ìá á¨á⥬ë, ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬, à ¢ë ã«î, ¨ à ¢®¢¥á ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© { ¯®«®© í¥à£¨¨ á¨á⥬ë: = (E) (1.57) ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¢¥¤¥¨¥ ¯à®á⥩è¨å ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ® áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠å à ¢®¢¥áëå á¨á⥬ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¯à¨¢®¤¨â ª à ¤¨ª «ì®¬ã ᮪à 饨ï ç¨á« áãé¥á⢥ëå ¯¥à¥¬¥ëå ¨ ¢®§¬®¦®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쮣® ¯®áâ஥¨ï à ¢®¢¥á®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ®¤ç¥àª¥¬ ¥é¥ à §, çâ® íâ¨ à ¤¨ª «ìë¥ ¢ë¢®¤ë ®á®¢ ë ¢¢¥¤¥¨¨ áâ â¨á⨪¨ ¨, ¢ í⮬ á¬ëá«¥, \¥ ¢ë¢®¤¨¬ë" ¨§ ¬¥å ¨ª¨. §ã¬¥¥âáï, äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®¦¥â ¥é¥ § ¢¨á¥âì ®â \¢¥è¨å" ¯ à ¬¥â஢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®£® á ¬¡«ï, ¨ ª®â®àë¥ áç¨â îâáï ¯®áâ®ï묨 ¤«ï ¢á¥å ª®¯¨© á¨áâ¥¬ë ¢ á ¬¡«¥ ( ¯à¨¬¥à ®â ®¡ê¥¬ , ç¨á« ç áâ¨æ ¨ â.¯.). ¥à¥©¤¥¬ ª ¬ã ¯®áâ஥¨î äãªæ¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï § 7 ¬ªã⮩ à ¢®¢¥á®© á¨á⥬ë . ¯¥à¢ë¥ ¢¨¤ â ª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤«®¦¨« ¨¡¡á. áᬮâਬ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© á ¬¡«ì § ¬ªãâëå í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¨§®«¨à®¢ ëå á¨á⥬ á ¯®áâ®ïë¬ ®¡ê¥¬®¬ V , â.¥. á ¬¡«ì á¨á⥬ á ¯®áâ®ïë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ N, 室ïé¨åáï ¢ ¤¨ ¡ â¨ç¥áª®© (¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥) ®¡®«®çª¥ ¨ ¨¬¥îé¨å ®¤¨ ª®¢ãî í¥à£¨î E á â®ç®áâìî E E. «¥¤ãï ¨¡¡á㠯।¯®«®¦¨¬, çâ® äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï (p; q) ¤«ï â ª®£® á ¬¡«ï ¯®áâ®ï ¢ á«®¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¨§®í¥à£¥â¨ç¥áª¨¬¨ ¯®¢¥àå®áâﬨ, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ í¥à£¨ï¬ E ¨ E + E, ¨ à ¢ ã«î ¢¥ í⮣® á«®ï: [ (E; N; V )];1 ¯à¨ E H(p; q) E + E (p; q) = 0 ¢¥ í⮣® á«®ï (1.58) ª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ( á ¬¡«ì) §ë¢ ¥âáï ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª¨¬. á¯à¥¤¥«¥¨¥ (1.58) ¢ëà ¦ ¥â ¯à¨æ¨¯ à ¢®¢¥à®ïâ®á⨠¬¨ªà®á®áâ®ï¨© § ¬ªã⮩ à ¢®¢¥á®© á¨á⥬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤ ®¬ã ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ã á®áâ®ï¨î. ªâ¨ç¥áª¨ { íâ® ¯à®á⥩襥 ¬ë᫨¬®¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥, ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® ¨ ®¤® ¨§ ¬¨ªà®á®áâ®ï¨© ¥ ï¥âáï ª ª-â® ¢ë¤¥«¥ë¬, ¢á¥ à ¢®¯à ¢ë, á¨áâ¥¬ë ¨§ á ¬¡«ï, ¢ 室¥ ᢮¥£® ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ¡á®«îâ® á«ãç ©® ®ª §ë¢ îâáï â® ¢ ®¤®¬, â® ¢ ¤à㣮¬ ¬¨ªà®á®áâ®ï¨¨ ¢ ¯à¥¤¥« å á«®ï è¨à¨®© E, ¢ ª®â®à®¬ ¯à¥¡ë¢ îâ ¨å ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨. á¯à¥¤¥«¥¨¥ (1.58) ¯® áã⨠¯à¥¤áâ ¢«ï¥â áâ â¨á⨪ã \¨£à «ì®© ª®áâ¨" á £à ﬨ.
áâ¥á⢥®, çâ® ¢ë¢¥á⨠íâ® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨§ ç¨áâ® ¬¥å ¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥¨© ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥¢®§¬®¦®, ¥£® ®¯à ¢¤ ¨¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 ᮮ⢥âá⢨¥ ¥£® á«¥¤á⢨© á íªá¯¥à¨¬¥â®¬. ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ á¨á⥬ ¢ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¬ á ¬¡«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â६ï íªáâ¥á¨¢ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ E; N; V . ®áâ â (E; N; V ) §ë¢ ¥âáï 7 ëà ¦¥¨¥ (1.56) ä ªâ¨ç¥áª¨ 㦥 ¤ ¥â ï¢ë© ¢¨¤ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¯®¤á¨á⥬ë, 室ï饩áï ¢ãâਠ¡®«ì让 § ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ á« ¡® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饩 á ®ªà㦥¨¥¬. ®¡á㦤¥¨î í⮣® ¢ ¦¥©è¥£® á«ãç ï ¬ë ¢¥à¥¬áï ¨¦¥.
21
áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¢¥á®¬
¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨: Z dpdq N!(2h)3N (p; q) = 1 Z dpdq 1 N!(2h)3N (E; N; V ) = 1
E H (p;q)E +E
(1.59)
¯à¥¤áâ ¢«ïï ᮡ®©, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¡¥§à §¬¥àë© ä §®¢ë© ®¡ê¥¬ ¨«¨ ç¨á«® ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© ¢ á«®¥ E (çâ® ¨ ¤ ¥â, ¥áâ¥á⢥®, ç¨á«® £à ¥© 襩 \¨£à «ì®©" ª®áâ¨): Z 1
(E; N; V ) = N!(2h)3N dpdq (1.60) E H (p;q)E +E
á«ãç ¥ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¨ ¢á¥£¤ ¬®¦® ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤¥«ã E ! 0 ¨ § ¯¨á âì: (p; q) = ;1 (E; N; V )(H(p; q) ; E) (1.61) £¤¥ Z 1
(E; N; V ) = N!(2 (1.62) h)3N dpdq(H(p; q) ; E)
áâ â¨, ®âáî¤ ¢¨¤®, çâ® ¨¬¥¥â â ª¦¥ á¬ëá« ¯«®â®á⨠á®áâ®ï¨© ¯®¢¥àå®á⨠¯®áâ®ï®© í¥à£¨¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. ª¢ ⮢®¬ ¯®¤å®¤¥ ¯®¤®¡®¬ã ¯à¥¤¥«ì®¬ã ¯¥à¥å®¤ã ¬¥è ¥â ¨§¢¥á⮥ á®®â®è¥¨¥ ¥®¯à¥¤¥«¥®á⥩ í¥à£¨ï{ ¢à¥¬ï: Et h. ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¢á¥£¤ , ¤ ¦¥ ¯à¨ à áᬮâ२¨ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¨, ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ (1.58), ¯®¤à §ã¬¥¢ ï ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨. ¨¯®â¥§ ® ⮬, çâ® ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª¨© á ¬¡«ì ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®¯¨áë¢ ¥â ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ § ¬ªã⮩, í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¨§®«¨à®¢ ®© á¨á⥬ë, â.¥. çâ® á।¨¥, ¢ëç¨á«¥ë¥ á ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (1.58), ᮢ¯ ¤ îâ á ¡«î¤ ¥¬ë¬¨ § 票ﬨ 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨, áãâì ®¤¨ ¨§ ®á®¢ëå ¯®áâ㫠⮢ à ¢®¢¥á®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ëè¥ ã¦¥ ®â¬¥ç «®áì, çâ® ¡«î¤ ¥¬ë¥ § 票ï 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ f(p; q) ¬®¦® ¢ëç¨á«ïâì ¨ ª ª á।¨¥ ¯® ¥ª®â®à®¬ã ¢à¥¬¥¨ ¡«î¤¥¨ï, ¯à®¡«¥¬ ®¡®á®¢ ¨ï ¢®§¬®¦®á⨠§ ¬¥ë á।¨å ¯® ¢à¥¬¥¨ á।¨¬¨ ¯® ä §®¢®¬ã ¯à®áâà áâ¢ã ®á¨â §¢ ¨¥ í࣮¤¨ç¥áª®© ¯à®¡«¥¬ë. í⮩ â®çª¨ §à¥¨ï, § ¤ ç ®¡®á®¢ ¨ï ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï á®á⮨⠢ ⮬ çâ®¡ë ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï § ¬ªãâëå, í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¨§®«¨à®¢ ëå á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥 à ¢¥á⢮: ZT Z 1 1 lim (1.63) dtf(p(t); q(t)) = N!(2h)3N dpdq(p; q)f(p; q) T !1 T 0 £¤¥ (p; q) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª¨¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ (1.58). ⠯஡«¥¬ ¢¥áì¬ á«®¦ ¨, ¥á¬®âàï àï¤ ¢ ¦ëå १ã«ìâ ⮢, ¯®«ãç¥ëå, ¢ ®á®¢®¬ ¬ ⥬ ⨪ ¬¨, ¥é¥ ¥ à¥è¥ . ¨§¨ç¥áª¨ íâ®â १ã«ìâ â ®¡ëç® á¢ï§ë¢ îâ á í࣮¤¨ç¥áª®© £¨¯®â¥§®© ® ⮬, çâ® ä §®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï § ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ¢ â¥ç¥¨¥ ¤®áâ â®ç® ¤«¨â¥«ì®£® ¢à¥¬¥¨ ®¡ï§ â¥«ì® ¯à®å®¤¨â ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª® ª «î¡®© § ¤ ®© â®çª¥ í࣮¤¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨. ਫ®¦¥¨¨ ¬ë à áᬮâਬ ¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë, ®â®áï騥áï ª í⮩ ¯à®¡«¥¬ ⨪¥ ¤®áâ â®ç® í«¥¬¥â ஬ ã஢¥. ®«¥¥ áâண®¥ à áᬮâ२¥ á ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï ¬®¦® ©â¨
22
¢ [10], ᮢ६¥®¥ á®áâ®ï¨¥ ¢®¯à®á ¨§« £ ¥âáï ¢ [11]. ¤¥áì ¦¥ ¬ë ⮫쪮 ®â¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¯®á«¥¤¨¥ £®¤ë ¯à®¡«¥¬ ®¡®á®¢ ¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¯®«ã稫 ®¢®¥ à §¢¨â¨¥ ¢ á¢ï§¨ á ®âªàë⨥¬ ஫¨ áâ®å áâ¨ç¥áª®© ¥ãá⮩稢®á⨠(å ®â¨§ 樨) ¤¢¨¦¥¨ï ¢ 楫®¬ à拉 ¯à®áâëå ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬ á ¥¡®«ì訬 ç¨á«®¬ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë [14]. ª § «®áì, çâ® áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ ®¯¨á ¨¥ ï¥âáï ᮢ¥à襮 ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¨ ¤«ï â ª¨å á¨á⥬, ª®â®àë¥ á ¯¥à¢®£® ¢§£«ï¤ ª ¦ãâáï ¢¯®«¥ \à¥è ¥¬ë¬¨" ¢ à ¬ª å ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¢®¯à®áë í«¥¬¥â ஬ ã஢¥ â ª¦¥ à áᬠâਢ îâáï ¢ ਫ®¦¥¨¨ . í⮬ á¬ëá«¥, á ᮢ६¥®© â®çª¨ §à¥¨ï âॡ®¢ ¨¥ ¡®«ì讣® ç¨á« á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¢®¢á¥ ¥ ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¤«ï ¢¢¥¤¥¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢, ¡¥§ ¨å ¥«ì§ï ®¡®©â¨áì ¨ ¢ ¤®áâ â®ç® \¯à®áâëå" á¨á⥬ å, £¤¥ ᮢ¥à襮 ⨯¨çë¬ ï¢«ï¥âáï ªà ©ïï çã¢á⢨⥫ì®áâì ¢¨¤ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ª ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬, ¢¥¤ãé ï ª ¥ãá⮩稢®á⨠¨ § ¯ãâ ®á⨠ª àâ¨ë ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. à¥á«®¢ãâë© « ¯« ᮢ᪨© ¤¥â¥à¬¨¨§¬ ®ª §ë¢ ¥âáï ¨««î§®àë¬ ¤ ¦¥ ¢ à ¬ª å ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ â ª¨å á¨á⥬.
áâ¨çë¥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ¨¥ ®¡é¥© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (1.6), § ¢¨áï饩 ®â ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥ëå ¢á¥å N ç áâ¨æ ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì à §«¨çë¥ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ á¨á⥬ë. ¯à¨¬¥à ¯«®â®áâì ¢¥é¥á⢠¢ â®çª¥ r, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î, à ¢
Z
(t; r) = ^(r)(t; r1 ; :::; pN )dr1:::dpN
(1.64)
£¤¥ ^(r) { ®¯¥à â®à ¯«®â®á⨠(§¤¥áì 㤮¡® ¢¢¥á⨠®¯¥à â®àë 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¤ ¦¥ ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥): ^(r) =
N X i=1
mi (r ; ri);
(1.65)
£¤¥ mi { ¬ áá i-© ç áâ¨æë. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¯«®â®áâì ¯®â®ª (¨¬¯ã«ìá ) ¢ â®çª¥ r à ¢ : Z J(r) = J^(r)(t; r1; :::; pN )dr1:::dpN (1.66) £¤¥ J^ (r) { ®¯¥à â®à ¯«®â®á⨠¯®â®ª :
J^(r) =
N X i=1
pi(r ; ri):
(1.67)
«®â®áâì ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨ ¢ â®çª¥ r à ¢ :
Z
^ r)(t; r1; :::; pN )dr1:::dpN E(t; r) = E(
(1.68)
23
^ r) { ®¯¥à â®à ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨: £¤¥ E(
N 2 ^ r) = X pi (r ; ri ): E( 2m i
i=1
(1.69)
«ï § à殮ëå ç áâ¨æ ¬®¦® ¢¢¥á⨠¥é¥ ¨ ¯«®â®áâì í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ⮪ :
Z j(t; r) = ^j(r)(t; r1; :::; pN)dr1:::dpN
(1.70)
£¤¥ ^j(r) { ®¯¥à â®à ¯«®â®áâ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ⮪ :
N ^j(r) = X ei pi(r ; ri ); m i=1
i
(1.71)
£¤¥ ei { § àï¤ i-© ç áâ¨æë. ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï (t; r1; :::; pN ) ï¥âáï äãªæ¨¥© ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¡¥áª®¥ç®£® ç¨á« à£ã¬¥â®¢. ¤ ª® ¯à¨ ¢ëà ¦¥¨¨ ¬ ªà®¢¥«¨ç¨ ç¥à¥§ ¬¨ªà®å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯® ®¡é¥© ä®à¬ã«¥
Z
^ r)(t; r1; :::; pN )dr1:::dpN A(t; r) = A(
(1.72)
á«¥¤ã¥â ãç¥áâì, çâ® ¯®¤ ¢«ïî饥 ¡®«ìè¨á⢮ ®¯¥à â®à®¢ 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ¨â¥à¥á, ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï ¢ ¢¨¤¥: ^ r) = X A( ^ rj ; pj )(r ; rj ); A( N
j =1
(1.73)
â.¥. ¢ëà ¦ îâáï á㬬®© ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ⮫쪮 ®¤®© ç áâ¨æë (®¤®ç áâ¨çë¥ ®¯¥à â®àë). áâ묨 á«ãç ﬨ â ª¨å ¢¥«¨ç¨ ïîâáï à áᬮâà¥ë¥ ¢ëè¥ ®¯¥à â®àë ^, J^, E^ ¨ ^j. ãé¥á⢥® ०¥ ¢áâà¥ç îâáï ®¯¥à â®àë ¤¢ãåç áâ¨ç®£® ⨯ : 0 ^ r; r0) = 1 X A( ^ A( (1.74) 2 i6=j ri; rj ; pi; pj )(r ; ri)(r ; rj ): ਬ¥à®¬ â ª®£® ®¯¥à â®à ï¥âáï ®¯¥à â®à ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ á¨á⥬ë ç áâ¨æ, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯® æ¥âà «ì®¬ã § ª®ã: ^ r0; r00) = 1 X U(jri ; rj j)(r0 ; ri )(r00 ; rj ): U( (1.75) 2 i6=j ¯¥à â®àë, á®áâ ¢«¥ë¥ ¨§ «¨¥©ëå ª®¬¡¨ 権 ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ âà¥å, ç¥âëà¥å ¨ ¡®«ì襣® ç¨á« ç áâ¨æ, ¢ ॠ«ìëå (¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ¨â¥à¥á) § ¤ ç å ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¢áâà¥ç îâáï. ®í⮬㠢 ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢ ¬, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¥ âॡã¥âáï § âì ¯®«ãî N-ç áâ¨çãî äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï FN (t; r1; :::; pN ) (t; r1; :::; pN ); (1.76)
24
§ ¢¨áïéãî ®â ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥ëå £à®¬ ¤®£® ç¨á« ç áâ¨æ, ¤®áâ â®ç® ©â¨ ª ª¨¬-«¨¡® ᯮᮡ®¬ ®¤®ç áâ¨çãî F1(t; ri ; pj ) ¨ ¤¢ãåç áâ¨çãî F2(t; ri; rj ; pi; pj ) äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ª®â®àë¥ ã¤®¡® ®¯à¥¤¥«¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ (V {®¡ê¥¬ á¨á⥬ë) [15, 16]: F1(t; ri; pi) = (1.77) Z V FN (t; r1; :::; pN )dr1:::dri;1dri+1:::drN dp1:::dpi;1dpi+1:::dpN ; F2(t; ri; rj ; pi; pj ) = (1.78) Z V 2 FN (t; r1; :::; pN )dr1:::dri;1dri+1:::drj ;1drj +1:::drN dp1:::dpi;1 dpi+1:::dpj ;1dpj +1:::dpN : ¨«¨, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, s-ç áâ¨çãî äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï
Z
Fs(t; r1; :::; rs; p1; :::; ps) = V s FN (t; r1; :::; pN )drs+1:::drN dps+1:::dpN :
(1.79)
§ ®ç¥¢¨¤®£® ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ 1 Z F (t; r ; :::; p )dr :::dp = 1 (1.80) s 1 s Vs s 1 ¢ë⥪ ¥â, çâ® V1s Fs(t; r1; ::; ps) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢¥à®ïâ®áâì ⮣®, çâ® s ç áâ¨æ á¨á⥬ë, á®áâ®ï饩 ¨§ N ç áâ¨æ ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t ¡ã¤¥â 室¨âìáï ¢ í«¥¬¥â ஬ ä §®¢®¬ ®¡ê¥¬¥ dr1:::dps 6s-¬¥à®£® ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠®ª®«® â®çª¨ (r1; :::; ps). ¥¦¤ã í⨬¨ ç áâ¨ç묨 äãªæ¨ï¬¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¬¥îâáï á«¥¤ãî騥 á®®â®è¥¨ï, ¢ë⥪ î騥 ¥¯®á।á⢥® ¨§ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï: Z 1 (1.81) Fs (t; r1; :::; ps) = V Fs+1(t; r1; :::; ps+1)drs+1dps+1: ᯮ«ì§®¢ ¨¥ â ª¨å äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«¨âì á।¨¥ § ç¥¨ï ®¤®ç áâ¨çëå, ¤¢ãåç áâ¨çëå ¨ â.¤. ®¯¥à â®à®¢ 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨. ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¬ ªà®¢¥«¨ç¨ë, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ®¯¥à â®à®¬ (1.73), ¨¬¥¥¬: N Z X A(t; r) = V1 A^j (r; pj )F1 (t; r; pj )dpj j =1
(1.82)
᫨ ¢á¥ A^j ®¤¨ ª®¢ë, â.¥. A^j = a^(j = 1; 2; :::; N), â® Z A(t; r) = N (1.83) V a^(r; p)F1(t; r; p)dp «ï ¬ ªà®¢¥«¨ç¨, ®¯¨áë¢ ¥¬ëå ¤¢ãåç áâ¨ç묨 ®¯¥à â®à ¬¨ ⨯ (1.74) ¨¬¥¥¬: X 1 Z ^ 0 00 1 0 00 A(t; r ; r ) = 2 V 2 Aij (r ; pi; r ; pj )F2 (t; r0; r00; pi; pj )dpidpj : (1.84) i6=j
᫨ ¢á¥ A^ij ®¤¨ ª®¢ë, â.¥. A^ij = ^a, â® ; 1) Z a^(r0; p0; r00; p00)F (t; r0; r00; p0; p00)dp0dp00 A(t; r0; r00) = N(N 2 2V 2
(1.85)
25
£¤¥ à §ã¬¥¥âáï ¬®¦® áç¨â âì (N ; 1) N. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¤«ï ®á®¢ëå ¬ ªà®¢¥«¨ç¨, à áᬮâà¥ëå ¢ëè¥, ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï á¨á⥬, á®áâ®ïé¨å ¨§ ®¤¨ ª®¢ëå ç áâ¨æ: Z (1.86) (t; r) = m N VZ F1(t; r; p)dp J(t; r) = NV pF1(t; r; p)dp (1.87) Z 1 N p2F (t; r; p)dp (1.88) E(t; r) = 2m 1 V Z j(t; r) = me NV pF1(t; r; p)dp: (1.89) ¤ ç ᢮¤¨âáï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ª 宦¤¥¨î £® ¢¨¤ ®¤®ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ¡é¨© ¯®¤å®¤ ª 宦¤¥¨î ç áâ¨çëå äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ந§¢®«ì ï N-ç áâ¨ç ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï (1.76) ¯®¤ç¨ï¥âáï à áᬮâ८¬ã ¢ëè¥ ãà ¢¥¨î ¨ã¢¨««ï (1.47),(1.48),(1.50): @FN = fH; F g (1.90) N @t
ந⥣à¨à®¢ ¢ ãà ¢¥¨¥ (1.90) ¯® ä §®¢ë¬ ¯à®áâà á⢠¬ N ; s ç áâ¨æ, á ãç¥â®¬ (1.79), ¯®«ãç ¥¬: 1 @Fs (t; r1; :::; ps) = Z fH; F gdr :::dp : (1.91) N s+1 N Vs @t ਨ¬ ï £ ¬¨«ì⮨ á¨áâ¥¬ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ ¢ ¯à®á⥩襬 ¢¨¤¥: N X 1 X H = 2m p2i + 21 U(jri ; rj j); i=1
i6=j
(1.92)
¯®á«¥ ¤®¢®«ì® ¯à®áâëå, ® ¥áª®«ìª® £à®¬®§¤ª¨å ¯à¥®¡à §®¢ ¨© [16], ¯®«ãç ¥¬ ¨§ (1.91): s Z @U(jr ; r j) @F @Fs = fH (s) ; F g + N X i s+1 s+1 s @t V i=1 @ ri @ pi drs+1dps+1
(1.93)
£¤¥ H (s) ®¡®§ ç ¥â £ ¬¨«ì⮨ ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¨§ s ç áâ¨æ. ¦¥©è¥© ®á®¡¥®áâìî ãà ¢¥¨ï (1.93) ï¥âáï â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, çâ® ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï s-ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ᮤ¥à¦¨â ç«¥, ª®â®àë© á¢ï§ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¨§ s ç áâ¨æ á ®á⠫쮩 ç áâìî N-ç áâ¨ç®© á¨áâ¥¬ë ¨ § ¢¨áï騩 ®â s + 1-ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï Fs+1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï ç áâ¨çëå äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ¬ë ä ªâ¨ç¥áª¨ ¯®à®¦¤ ¥¬ ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬㠨⥣த¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ç áâ® ¨¬¥ã¥¬ãî 楯®çª®© ®£®«î¡®¢ . ਠáâண®¬ ¯®¤å®¤¥ á«¥¤®¢ «®-¡ë à¥è âì ¢áî íâã 楯®çªã ãà ¢¥¨©, çâ®, à §ã¬¥¥âáï, ¨ç¥¬ ¥ «¥£ç¥, 祬 à¥è âì ®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï ¤«ï N-ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨
26
à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ¥«® ¢ ⮬, ®¤ ª®, çâ® ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ®á®¢¥ ¬®¤¥«ìëå 䨧¨ç¥áª¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥¨© 㤠¥âáï \®¡®à¢ âì" íâã ¡¥áª®¥çãî 楯®çªã ª®¥ç®¬ ç¨á«¥, ¢ëà §¨¢ ¯à¨¬¥à Fs ç¥à¥§ Fs ,Fs;1 ¨ â.¤. ®£¤ ®áâ ¥âáï § ¬ªãâ ï á¨á⥬ s ãà ¢¥¨© ¤«ï F1 ,F2,...,Fs. ç áâ®áâ¨, ®á®¡ë© ¨â¥à¥á ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯®«ã票¥ § ¬ªã⮣® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ®¤®ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¨¤ : @F1 = L(F ) (1.94) 1 @t £¤¥ L { ¥ª®â®àë© ®¯¥à â®à. ®áâ ¢«¥¨¥ ¨ à¥è¥¨¥ í⮣®, â ª §ë¢ ¥¬®£® ª¨¥â¨ç¥áª®£®, ãà ¢¥¨ï ï¥âáï æ¥âà «ì®© § ¤ 祩 ª¨¥â¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¨«¨ 䨧¨ç¥áª®© ª¨¥â¨ª¨. ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢ à¥è¥¨¥ ª¨¥â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠⮫쪮 ¯à¨¡«¨¦¥ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ [17]. १ã«ìâ ⥠¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì ¯®¢¥¤¥¨¥ á।¨å ®â à §«¨çëå 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨, ¢ª«îç ï ¤ ¦¥ ¨å ï¢ãî § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢à¥¬¥¨, â.¥. ¢ ¥à ¢®¢¥á®¬ á«ãç ¥. ®«ìè ï ç áâì è¨å «¥ªæ¨© ¯®á¢ïé¥ ®¤ ª® à ¢®¢¥áë¬ § ¤ ç ¬. ®à¬ «¨§¬ ç áâ¨çëå äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«®¦¥ ¢ ®á®¢ã ¯®áâ஥¨ï ¨ à ¢®¢¥á®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ [18, 19], ® ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¡®«¥¥ âà ¤¨æ¨®ë¥ ¯®¤å®¤ë.
âà¨æ ¯«®â®áâ¨. ® á¨å ¯®à ¬ë à áᬠâਢ «¨ ª« áá¨ç¥áªãî áâ â¨áâ¨ç¥áªãî ¬¥å ¨ªã, ¢ ª®â®à®© á®áâ®ï¨¥ á¨áâ¥¬ë ®¯¨áë¢ «®áì â®çª®© (p; q) ¢ 6N-¬¥à®¬ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢á¥å ç áâ¨æ, í¢®«îæ¨ï ¢® ¢à¥¬¥¨ ®¯à¥¤¥«ï« áì ãà ¢¥¨ï¬¨ ¬¨«ìâ® . ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ â ª®¥ ®¯¨á ¨¥ áâ ®¢¨âáï ¥¢®§¬®¦ë¬, å®âï ¡ë ¯®â®¬ã, ç⮠ᮣ« á® ¯à¨æ¨¯ã ¥®¯à¥¤¥«¥®á⨠¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ®¤®¢à¥¬¥® ®¯à¥¤¥«¨âì ª®®à¤¨ âã ¨ ¨¬¯ã«ìá ª¢ ⮢®© ç áâ¨æë. âáî¤ ïá®, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï ¯®áâ஥¨¥ á¯¥æ¨ «ì®£® ¯¯ à â ª¢ ⮢®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ¬¥ç ⥫ì®, ®¤ ª®, çâ® ®á®¢ë¥ ¯®«®¦¥¨ï ¬¥â®¤ ¨¡¡á ®áâ îâáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨ ¨ ¯à¨ ª¢ ⮢®¬ ¯®¤å®¤¥. ¨áâë© á ¬¡«ì.
ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ á®áâ®ï¨¥ ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨áâ¥¬ë ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢®«®¢®© äãªæ¨¥© (x1 ; :::; xN ; t), § ¢¨áï饩 ®â ¢à¥¬¥¨ ¨ ª®®à¤¨ â ç áâ¨æ x1 ; :::; xN (¨«¨ ®â ¤à㣮© á¨áâ¥¬ë ®¤®¢à¥¬¥® ¨§¬¥à¨¬ëå ¢¥«¨ç¨, ¯à¨¬¥à ¨¬¯ã«ìᮢ). ¢®«îæ¨ï á®áâ®ï¨ï ¢® ¢à¥¬¥¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ।¨£¥à : (1.95) ih @@t = H ¯à¨¬¥à, ¤«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ N ®¤¨ ª®¢ëå ç áâ¨æ á ¬ áᮩ m, ¥ ®¡« ¤ îé¨å ¢ãâ२¬¨ á⥯¥ï¬¨ ᢮¡®¤ë ¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¬¥¦¤ã ᮡ®© á ¯®¬®éìî ¯ ண® ¯®â¥æ¨ « U(jxj), ãà ¢¥¨¥ ।¨£¥à ¨¬¥¥â ¢¨¤:
8 9 N < = 2 X X h ih @@t = :; 2m r2j + 12 U(jxj ; xk j); j =1 j 6=k
(1.96)
27
à ¢¥¨¥ ।¨£¥à ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢®«®¢ãî äãªæ¨î ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t, ¥á«¨ ® ¨§¢¥áâ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â t = 0. ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¨§®«¨à®¢ ®© á¨á⥬ë, ª®£¤ H ¥ § ¢¨á¨â  ®â ¢à¥¬¥¨: (t) = e hi Ht (0)
(1.97)
{ ä®à¬ «ì®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à . ¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ¥ ¥áâì äãªæ¨¨ á®áâ®ï¨ï ¤¨ ¬¨ç¥áª®© á¨á⥬ë, ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï «¨¥©ë¬¨ á ¬®á®¯à殮묨 (íନ⮢묨) ®¯¥à â®à ¬¨ ¤¥©áâ¢ãî騬¨ ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¢®«®¢ëå äãªæ¨©. ¯¥ªâà ¨å ᮡá⢥ëå § 票© ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢®§¬®¦ë¥ § ç¥¨ï ¡«î¤ ¥¬ëå 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨. ¤ ¨¥ ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®£® á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë , ¥ ®§ ç ¥â â®ç®£® § ¨ï ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥ëå. ¨¥ ¢®«®¢®© äãªæ¨¨ (¢¥ªâ®à á®áâ®ï¨ï ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà á⢥) ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«ïâì «¨èì á।¨¥ § ç¥¨ï ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®©, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬®© ®¯¥à â®à®¬ A ¢ á®áâ®ï¨¨ : < A >= ( ? ; A ) (1.98) £¤¥, ª ª ®¡ëç®, áç¨â ¥¬ ¢®«®¢ë¥ äãªæ¨¨ ®à¬¨à®¢ 묨 ¥¤¨¨æã: ( ?; ) = 1
(1.99)
᪮¡ª¨ ®¡®§ ç îâ ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà á⢥: Z ( ? ; ) = dx ? (x) (x) (1.100) £¤¥, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ®¡®§ ç ¥¬ ç¥à¥§ x ¢áî ᮢ®ªã¯®áâì ª®®à¤¨ â x1 ; :::; xN . ¨èì ¢ ç á⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¥áâì ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï ®¯¥à â®à A, ä®à¬ã« (1.98) ¤ ¥â â®ç®¥ § 票¥ ¢¥«¨ç¨ë A ¢ á®áâ®ï¨¨ . ®áâ®ï¨¥, ®¯¨áë¢ ¥¬®¥ ¢®«®¢®© äãªæ¨¥© §ë¢ ¥âáï ç¨áâë¬ á®áâ®ï¨¥¬. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© á ¬¡«ì, â.¥. ¡®«ì讥 ç¨á«® ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å \ª®¯¨©" ¤ ®© á¨á⥬ë, 室ïé¨åáï ¢ ¤ ®¬ ª¢ ⮢®¬ á®áâ﨨, §ë¢ ¥âáï ç¨áâë¬ á ¬¡«¥¬. ¨á⮥ á®áâ®ï¨¥ ( á ¬¡«ì) ¤ ¥â ¬ ªá¨¬ «ì® ¯®«®¥ ®¯¨á ¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ à ¬ª å ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨. ëà ¦¥¨ï ¤«ï á।¨å § 票© 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ ç¨á⮬ á ¬¡«¥ 㤮¡® § ¯¨á âì á ¯®¬®éìî ¯à®¥ªæ¨®®£® ®¯¥à â®à . ¯¨è¥¬ «¨¥©ë© ®¯¥à â®à A ¢ ¬ âà¨ç®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨, ®¯à¥¤¥«¨¢ ¥£® á ¯®¬®éìî ¬ âà¨çëå í«¥¬¥â®¢:
Z
dx0A(x; x0) (x0 )
(1.101)
dxdx0A(x; x0)P (x0 ; x) = Sp(AP )
(1.102)
A (x) = ®¤áâ ¢¨¢ (1.101) ¢ (1.98), ¯®«ã稬: < A >= £¤¥:
Z
P (x; x0) = (x) ? (x0)
(1.103) { ¯à®¥ªæ¨®ë© ®¯¥à â®à á®áâ®ï¨¥ . ®¦® ᪠§ âì, çâ® ç¨áâë© á ¬¡«ì ®¯¨áë¢ ¥âáï ¯à®¥ªæ¨®ë¬ ®¯¥à â®à®¬ (1.103), á।¨¥ ¯® á ¬¡«î ¢ëç¨á«ïîâáï
28
á ¯®¬®éìî (1.102).
áâ¥á⢥®, çâ® â ª®¥ ®¯¨á ¨¥ ᮢ¥à襮 íª¢¨¢ «¥â® ®¯¨á ¨î á ¯®¬®éìî ¢®«®¢®© äãªæ¨¨. ¬® §¢ ¨¥ ¯à¥ªæ¨®ë© ®¯¥à â®à á¢ï§ ® á ⥬, çâ® ¤¥©á⢨¥ ®¯¥à â®à P ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ' ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯à®¥ªâ¨àã¥â ¥£® \ ¯à ¢«¥¨¥" ¢¥ªâ®à :
Z
P ' = dx0P (x; x0)'(x0) = ( ? ; ') (x)
(1.104)
஥ªæ¨®ë© ®¯¥à â®à íନ⮢, çâ® ¢¨¤® ¨§ ¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï (1.103): P ? (x; x0) = P (x0 ; x) (1.105) ஬¥ ⮣® ¨¬¥¥¬ ᢮©á⢮: P2 = P (1.106) çâ® á«¥¤ã¥â ¨§ (1.104) { ¯®á«¥ ®¤®© ®¯¥à 樨 ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï, ¢á¥ ¯®á«¥¤ãî騥 ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ⮦¥ \ ¯à ¢«¥¨¥" 㦥 ¥ ¨ç¥£® ¥ ¬¥ïîâ. ஬¥ ⮣®, ¢á¥£¤ ¨¬¥¥¬: SpP = 1 (1.107) çâ® á«¥¤ã¥â ¨§ (1.102) ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢¬¥áâ® A ¥¤¨¨ç®£® ®¯¥à â®à ¨«¨ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï (1.103) á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ (1.99). ¬¥è ë© á ¬¡«ì.
¢ ⮢ ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª áâநâáï ®á®¢¥ à áᬮâ२ï á ¬¡«ï ¡®«¥¥ ®¡é¥£® ¢¨¤ , ¥¦¥«¨ à áᬮâà¥ë© ¢ëè¥ ç¨áâë© á ¬¡«ì, ¨¬¥® á¬¥è ®£® á ¬¡«ï, ®á®¢ ®£® ¥¯®«®¬ ¡®à¥ ¤ ëå ® ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬¥. áᬮâਬ ¡®«ì讥 ç¨á«® ⮦¤¥á⢥ëå ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ª®¯¨© ¤ ®© á¨á⥬ë, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ 室¨âìáï ¢ à §«¨çëå ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨ïå. á¬¥è ®¬ á ¬¡«¥ ®¯à¥¤¥«¥ë «¨èì ¢¥à®ïâ®á⨠w1; w2; ::: ®¡ à㦨âì á¨á⥬㠢 ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¥¥ â®çëå ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨ïå 1 ; 2; :::. ë, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥ § ¥¬ â®ç® ¢ ª ª®¬ ¨¬¥® ¨§ ᢮¨å ¢®§¬®¦ëå á®áâ®ï¨© á¨á⥬ ॠ«ì® 室¨âáï, ¢ í⮬ á¬ëá«¥ è¥ § ¨¥ ¨ ï¥âáï ¥¯®«ë¬, § ¥¬ ¬ë «¨èì 㪠§ ë¥ ¢¥à®ïâ®áâ¨. ¤ ª® ¨ ¢ á¬¥è ®¬ á ¬¡«¥ ¬ë ¬®¦¥¬, ¢ ¯à¨æ¨¯¥, ©â¨ á।¥¥ § 票¥ «î¡®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬®© ®¯¥à â®à®¬ A: X < A >= wk ( k? ; A k ) (1.108) ¯à¨ç¥¬
X k
k
wk = 1; wk 0:
(1.109)
â® ¢ëà ¦¥¨¥ ®ç¥¢¨¤®, ¯®áª®«ìªã ( k? ; A k ) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®¥ á।¥¥ ®¯¥à â®à A ¢ á®áâ®ï¨¨ k . ¨áâë© á ¬¡«ì ¥áâì ç áâë© á«ãç © á¬¥è ®£®, ª®£¤ à ¢ë ã«î ¢á¥ ¢¥à®ïâ®á⨠wk ªà®¬¥ ®¤®©, à ¢®© ¥¤¨¨æ¥. ®£¤ (1.108) ᢮¤¨âáï ª (1.98). «ï ¨§ã票ï ᬥè ëå á ¬¡«¥© 㤮¡® ¢¢¥á⨠áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à, ¯à¥¤«®¦¥ë© ¥§ ¢¨á¨¬® ä®-¥©¬ ®¬ ¨ ¤ ã. ¥à¥¬áï ª «¨¥©®¬ã ®¯¥à â®àã A ¢ ¬ âà¨ç®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ (1.101). ®¤áâ ¢«ïï (1.101) ¢ (1.108), ¯®«ã稬: < A >=
Z
dxdx0A(x; x0)(x0 ; x)
(1.110)
29
¨«¨ £¤¥
< A >= Sp(A) (x; x0) =
(1.111)
X
(1.112) wk k (x) k? (x0 ) k ®¯¥à â®à ¢ ¬ âà¨ç®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¨«¨ ¬ âà¨æ ¯«®â®-
{ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© . âà¨æ ¯«®â®á⨠§ ¢¨á¨â ®â 2N ¯¥à¥¬¥ëå x1; :::; xN ; x01; :::; x0N ¨ ¯®¤ç¨ï¥âáï ãá«®¢¨î ®à¬¨à®¢ª¨: Sp = 1; (1.113) ª®â®à®¥ ®ç¥¢¨¤® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï:
áâ¨
Z
Sp = dx(x; x) =
X k
wk ( k? ; k ) = 1
P
(1.114)
£¤¥ ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ( k? ; k ) = 1 ¨ k wk = 1. á«®¢¨¥ (1.113) ¥áâì «®£ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¥. ¯¨áì ¢ ¢¨¤¥ (1.111) 㤮¡ ¢ ⮬ ®â®è¥¨¨, çâ® è¯ãà ¬ âà¨æë ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® ã¨â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©. ®í⮬ã ä®à¬ã« (1.111) ä ªâ¨ç¥áª¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¨á¯®«ì§ã¥¬®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ®¯¥à â®à®¢ A ¨ , ® á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨ «î¡®¬, ¥ ⮫쪮 ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¥¬áï ¢ëè¥ x-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ®¯¥à â®à®¢. ¯à¨¬¥à, ¢ ¤¨áªà¥â®¬ n-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨: X < A >= Amn nm (1.115) mn
£¤¥ Amn { ¬ âà¨çë¥ í«¥¬¥âë ®¯¥à â®à A ¢ n-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨, nm { ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠¢ n-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨. âà¨æ ¯«®â®á⨠(áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à) íନ⮢ : ? (x; x0) = (x0 ; x) (1.116) çâ® á«¥¤ã¥â ¥¯®á।á⢥® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï (1.112). ¯®¬®éìî ¯à®¥ªæ¨®®£® ®¯¥à â®à (1.103) áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à (1.112) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: X X = wk P k ; wk = 1; wk 1 (1.117) k
k
£¤¥ P k { ¯à®¥ªæ¨®ë© ®¯¥à â®à á®áâ®ï¨¥ k . ç á⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ à ¢ë ã«î ¢á¥ wk , ªà®¬¥ ®¤®£®, à ¢®£® ¥¤¨¨æ¥, áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à (1.117) ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®¥ªæ¨®ë¬ ®¯¥à â®à®¬ (1.103). § ª«î票¥ ¯®ª ¦¥¬, çâ® áâ ⮯¥à â®à ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥, â.¥. ¥ ¨¬¥¥â ®âà¨æ ⥫ìëå ᮡá⢥ëå § 票©. ®áª®«ìªã íନ⮢, ãá«®¢¨¥ ¯®«®¦¨â¥«ì®© ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¥£® ᮡá⢥ëå § 票© § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: < A2 >= Sp(A2 ) 0 (1.118) £¤¥ A { ¯à®¨§¢®«ìë© íନ⮢ ®¯¥à â®à. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨¢®¤ï ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã, çâ® ¢®§¬®¦® ¨§-§ ¥£® íନ⮢®áâ¨, § ¯¨è¥¬ (1.118) ¢ ¢¨¤¥: X X nnAnk Akn = nnjAnk j2 0; (1.119) nk
nk
30
çâ® ¢«¥ç¥â nn 0. «ï ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠(1.112) ᢮©á⢮ (1.118) ¢ë¯®«¥®, â.ª. X X X < A2 >= wk (A2)kk = wk Akm Amk = jAkmj2 0 (1.120) k
km
km
â ª çâ® áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥. ®¦® â ª¦¥ ¯®ª § âì, çâ® ¢á¥ ¬ âà¨çë¥ í«¥¬¥âë ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠®£à ¨ç¥ë [4]: X Sp2 = jmn j2 1: (1.121) mn
¢ ⮢®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï. áᬮâਬ ¢à¥¬¥ãî í¢®«îæ¨î ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠(áâ ⮯¥à â®à ) ¤«ï á ¬¡«ï á¨á⥬ á £ ¬¨«ì⮨ ®¬ H, ª®â®àë© ¥ § ¢¨á¨â  ®â ¢à¥¬¥¨. ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t áâ ⮯¥à â®à (1.112) ¨¬¥¥â ¢¨¤: X (x; x0) = wk k (x; t) k? (x0 ; t) (1.122) k
£¤¥ ¢áï § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢à¥¬¥¨ ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¢®«®¢ëå äãªæ¨ïå, ¢¥à®ïâ®á⨠wk ¥ § ¢¨áïâ ®â t, â.ª. ®¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ à á¯à¥¤¥«¥¨î á¨á⥬ ¢ á ¬¡«¥ ¯à¨ t = 0. ®«®¢ë¥ äãªæ¨¨ k (x; t) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬: (1.123) k (x; t)jt=0 = k (x) £¤¥ k (x) - ¥ª®â®à ï á¨á⥬ ¢®«®¢ëå äãªæ¨©, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¬ âà¨æã ¯«®â®á⨠¯à¨ t = 0: X (x; x0) = wk k (x) k? (x0 ) (1.124) k
᫨ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ®â®á¨â¥«ì®¥ ç¨á«® wk ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬ 室¨«®áì ¢ á®áâ®ï¨¨ k (x; 0), â® ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t â ª®¥ ¦¥ ç¨á«® á¨á⥬ ¡ã¤¥â 室¨âìáï ¢ á®áâ®ï¨¨ k (x; t). §¬¥¥¨¥ á®áâ®ï¨ï k (x; t) ¢® ¢à¥¬¥¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ।¨£¥à : ih @ k@t(x; t) = H (x; t) (1.125) ¨«¨, ¢ ¬ âà¨ç®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨: Z @ (x; t) k ih @t = dx0H(x; x0) k (x0; t) (1.126) ®®â¢¥âá⢥®, ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î: 0 ih @(x;@tx ; t) = Z X = dx00 [H(x; x00)wk k (x00; t) k? (x0 ; t) ; wk k (x; t) k? (x00; t)H(x00; x0)] = k
=
Z
dx00 [H(x; x00)(x00 ; x0; t) ; (x; x00; t)H(x00; x0)] (1.127)
31
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ íନ⮢®áâì £ ¬¨«ì⮨ H ? (x; x0) = H(x0 ; x). ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¤«ï ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠| ª¢ ⮢®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï. ®¯¥à â®à®¬ ¢¨¤¥ § ¯¨áë¢ ¥¬ ¥£® ª ª: ih @ (1.128) @t = [H; ] £¤¥ 1 [H; ] = 1 (H ; H) fH; g (1.129) ih ih { ª¢ â®¢ë¥ áª®¡ª¨ ã áá® . «ï á¨á⥬, 室ïé¨åáï ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ à ¢®¢¥á¨¨ ¥ § ¢¨á¨â  ®â ¢à¥¬¥¨ ¨ ª¢ ⮢®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤: [H; ] = 0 (1.130) â ª çâ® ª®¬¬ãâ¨àã¥â á £ ¬¨«ì⮨ ®¬ ¨ ï¥âáï ¨â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥¨ï, «®£¨ç® á¨âã 樨 ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¥. ®¬¬ãâ ⨢®áâì ®¯¥à â®à®¢ ¨ H ¨ ¨å íନ⮢®áâì ®§ ç îâ, çâ® ®¨ ¨¬¥îâ ®¡éãî á¨á⥬ã ᮡá⢥ëå äãªæ¨©. ®í⮬ã áâ ⮯¥à â®à à ¢®¢¥á®© á¨áâ¥¬ë ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥: X (x; x0) = w(Ek ) k (x) k? (x0 ) (1.131) k
£¤¥ ¢®«®¢ë¥ äãªæ¨¨ 㦥 ¥áâì ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ £ ¬¨«ì⮨ (áâ 樮 ண® ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à ): H k = Ek k (1.132) ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ¥ ¢á¥ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ïîâáï ¤®¯ãá⨬묨, «¨èì â¥, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ᢮©á⢠¬ ᨬ¬¥âਨ. ¯à¨¬¥à, ¤«ï á¨á⥬ë ä¥à¬¨®®¢ ¤®¯ãá⨬ë ⮫쪮 â¨á¨¬¬¥âà¨çë¥, ¤«ï ¡®§®®¢ { ᨬ¬¥âà¨çë¥ (á¢ï§ì ᯨ ¨ áâ â¨á⨪¨). ®í⮬㠢 (1.132) ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥ ¥ ¯® ¢á¥¬, ⮫쪮 ¯® ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ ª¢ â®¢ë¬ á®áâ®ï¨ï¬ á¨á⥬ë.
¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ ª¢ ⮢®© áâ â¨á⨪¥. á®¢ë¥ ¨¤¥¨ ⥮ਨ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å á ¬¡«¥© ¨¡¡á ¥¯®á।á⢥® ¬®£ãâ ¡ëâì ®¡®¡é¥ë á ª« áá¨ç¥áª®£® ª¢ â®¢ë© á«ãç ©. á®áâ®ï¨¨ à ¢®¢¥á¨ï ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠¬®¦¥â § ¢¨á¥âì «¨èì ®â ¤¤¨â¨¢ëå ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï, ¯® ¯à¨ç¨ ¬, ᮢ¥à襮 «®£¨çë¬ à áᬮâà¥ë¬ ¢ëè¥ ¤«ï ª« áá¨ç¥áª®£® á«ãç ï (ä ªâ®à¨§ æ¨ï ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠¤«ï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ëå á¨á⥬ ¨ ¤¤¨â¨¢®áâì ¥¥ «®£ à¨ä¬ ). ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ â ª¨¬¨ ¨â¥£à « ¬¨ ¤¢¨¦¥¨ï ®¯ïâì ¦¥ ïîâáï: ¯®« ï í¥à£¨ï á¨á⥬ë (®¯¥à â®à ¬¨«ìâ® H), ¯®«ë© ¨¬¯ã«ìá P ¨ ¯®«ë© ¬®¬¥â ¨¬¯ã«ìá M (ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯¥à â®àë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢®«®¢ëå äãªæ¨©). ®®â¢¥âá⢥®, à ¢®¢¥á ï ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠¬®¦¥â ¡ëâì äãªæ¨¥© ⮫쪮 ®â H, P, M: = (H; P; M) (1.133)
32
᫨ ç¨á«® ç áâ¨æ N á ¬¡«¥ ¥ § ¤ ®, â® ¥£® 㦮 ãç¥áâì ª ª ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¤¤¨â¨¢ë© ¨â¥£à « ¤¢¨¦¥¨ï: [N; H] = 0 (1.134) £¤¥ N { ®¯¥à â®à, ¯à¨¨¬ î騩 æ¥«ë¥ ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ § 票ï 0; 1; 2; :::. ®£¤ : = (H; P; M; N) (1.135) «ï ¥¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬ë P = M = 0 ¨ ¨¬¥¥¬: = (H) ¨«¨ = (H; N) (1.136) ஬¥ ⮣® áâ ⮯¥à â®à ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì, ª ª ®â ¯ à ¬¥â஢, ®â ¢¥«¨ç¨, ª®â®àë¥ § ¤ ë ¤«ï á¨á⥬ ¢ á ¬¡«¥, ¯à¨¬¥à ®â ®¡ê¥¬ V . ¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ ª¢ ⮢®© áâ â¨á⨪¥ ¬®¦® ¢¢¥á⨠â®ç® â ª¦¥, ª ª ¨ ¢ ª« áá¨ç¥áª®©. áᬮâਬ ¤«ï í⮣® á ¬¡«ì § ¬ªãâëå, í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¨§®«¨à®¢ ëå á¨á⥬ á ¯®áâ®ïë¬ ®¡ê¥¬®¬ V ¨ ¯®«ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ N, ¨¬¥îé¨å ®¤¨ ª®¢ãî í¥à£¨î á â®ç®áâìî ¤® E E. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¤«ï â ª¨å á¨á⥬ ¢á¥ ª¢ â®¢ë¥ á®áâ®ï¨ï ¢ í¥à£¥â¨ç¥áª®¬ á«®¥ E; E + E à ¢®¢¥à®ïâë. ®£¤ : N; V )];1 ¯à¨ E Ek E + E w(Ek ) = [ (E; (1.137) 0 ¢¥ í⮣® á«®ï çâ® ¨ §ë¢ ¥âáï ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª¨¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ª¢ ⮢®© áâ â¨á⨪¨. ã⠢ᥠ«®£¨ç® ª« áá¨ç¥áª®¬ã á«ãç î, ⮫쪮 áâ ⢥á (E; N; V ) ¥ à ¢¥ ä §®¢®¬ã ®¡ê¥¬ã, ¯àאַ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ç¨á«® ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© ¢ á«®¥ E; E + E ¤«ï á¨á⥬ë P á ç¨á«®¬ ç áâ¨æ N ¨ ®¡ê¥¬®¬ V . â® áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ k w(Ek ) = 1. ¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¬ã à á¯à¥¤¥«¥¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â áâ ⮯¥à â®à (¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨): (x; x0) = ;1(E; N; V )
X
1k
k (x) k? (x0)
(1.138)
çâ® ¬®¦® § ¯¨á âì ¨ ¢ ®¯¥à â®à®¬ ¢¨¤¥: = ;1 (E; N; V )(H ; E) (1.139) £¤¥ (x) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äãªæ¨î, ®â«¨çãî ®â ã«ï ¨â¥à¢ «¥ 0 x E, £¤¥ ® à ¢ ¥¤¨¨æ¥, ¨ à ¢ãî ã«î ¢¥ í⮣® ¨â¥à¢ « . ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ® à ¢®¢¥à®ïâ®á⨠ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© á ®¤¨ ª®¢®© í¥à£¨¥© ¤«ï § ¬ªã⮩ ¨§®«¨à®¢ ®© á¨á⥬ë ï¥âáï ¯à®á⥩訬, ® ®âî¤ì ¥ á ¬®®ç¥¢¨¤ë¬ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥¬. ஡«¥¬ ®¡®á®¢ ¨ï í⮩ £¨¯®â¥§ë á®áâ ¢«ï¥â áãâì ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®© í࣮¤¨ç¥áª®© ¯à®¡«¥¬ë.
áâ¨çë¥ ¬ âà¨æë ¯«®â®áâ¨. «®£¨ç® á¨âã 樨, à áᬮâ८© ¢ëè¥ ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥, § ¨¥ ¯®«®© ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠N-ç áâ¨ç®© á¨á⥬ë, ¢ ¡®«ìè¨á⢥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç
33
¢®¢á¥ ¥ âॡã¥âáï. ªâ¨ç¥áª¨, ¨¡®«¥¥ ¢ ¦ãî ¨ä®à¬ æ¨î ® á¨á⥬¥ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì, ¨§ãç ï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®àë (¥¡®«ìè¨å) ª®¬¯«¥ªá®¢ ç áâ¨æ ¨«¨ ç áâ¨çë¥ ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠[20]. áᬮâਬ ®¯ïâì ¯à®¨§¢®«ìãî á¨á⥬ã, á®áâ®ïéãî ¨§ N ®¤¨ ª®¢ëå ç áâ¨æ. 㤥¬ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ x1; x2; :::xN ¯¥à¥¬¥ë¥ íâ¨å ç áâ¨æ (íâ® ¬®£ãâ ¡ëâì ¨å ª®®à¤¨ âë, ¨¬¯ã«ìáë ¨.â.¯.). ®«®¢ë¥ äãªæ¨¨ ¢á¥© á¨á⥬ë ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ íâ¨å ¯¥à¥¬¥ëå: (1.140) n (x; t) = n(x1 ; :::; xN ; t) £¤¥ n ®¡®§ ç ¥â \®¬¥à" ( ¡®à ª¢ ⮢ëå ç¨á¥«) ¤ ®£® á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë. ¯¥à â®àë 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ®¡®¡é¥ë¥ ¬ âà¨æë á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ : A = A(x1 ; :::; xN ; x01; :::; x0N ) (1.141) áᬮâਬ áâ ⮯¥à â®à N-ç áâ¨ç®© á¨á⥬ë: X (x1 ; :::; xN ; x01; :::; x0N ; t) = wn n (x1; :::; xN ; t) n? (x01 ; :::; x0N ; t) (1.142) n
á«ãç ¥ ç áâ¨æ, ¯®¤ç¨ïîé¨åáï áâ â¨á⨪¥ ®§¥: P n (x1; :::; xN ; t) = n(x1 ; :::; xN ; t) (1.143) £¤¥ P { ®¯¥à â®à ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ ¯¥à¥¬¥ëå xi (i = 1; 2; :::;N). á«ãç ¥ ç áâ¨æ, ¯®¤ç¨ïîé¨åáï áâ â¨á⨪¥ ¥à¬¨: P n(x1 ; :::; xN ; t) = (;1)N n (x1; :::; xN ; t) (1.144) £¤¥ (;1)P = 1 ¤«ï ç¥âëå ¯¥à¥áâ ®¢®ª ¨ (;1)P = ;1 { ¤«ï ¥ç¥âëå. ®í⮬㠢 ®¡®¨å á«ãç ïå P = P ¨«¨ PP ;1 = : (1.145) ਠ¢ëç¨á«¥¨¨ á।¨å § 票© ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥ëå ®¡ëç® ¯à¨å®¤¨âáï ¨¬¥âì ¤¥«® á ®¯¥à â®à ¬¨, § ¢¨áï騬¨ ®â ¯¥à¥¬¥ëå ®¤®©, ¤¢ãå,..., sç áâ¨æ: X A1 = A(r) (1.146)
X 1rN A2 = A(r1 ; r2) 1r1
(1.147) (1.148)
£¤¥ ç¥à¥§ ri ®¡®§ ç¥ § ¢¨á¨¬®áâì ®â ª®®à¤¨ â i-© ç áâ¨æë. ।¨¥ § 票ï â ª¨å ®¯¥à â®à®¢ ¢ëç¨á«ïîâáï ç¥à¥§ ç áâ¨çë¥ á¢¥à⪨ ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠(â.¥. ç¥à¥§ è¯ãàë ®â ¯® ç á⨠¯¥à¥¬¥ëå). á ¬®¬ ¤¥«¥, ãç¨âë¢ ï ᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ ®¯¥à â®à ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥áâ ®¢®ª ç áâ¨æ (1.145), ¯®«ãç ¥¬: < A1 >= NSp1 fA(1)1 (1)g (1.149) < A2 >= N(N2!; 1) Sp1;2 fA(1; 2)2(1; 2)g (1.150) :::::: N(N ; 1):::(N ; s + 1) Sp1;2;:::;sfA(1; 2; :::;s)s(1; 2; :::; s)g (1.151) < As >= s!
34
£¤¥ ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ï: 1 (1) = Sp2;:::;N (1; 2; :::; N) 2 (1; 2) = Sp3;:::;N (1; 2; :::; N) :::::: s (1; 2; :::; s) = Sps+1;:::;N (1; 2; :::; s; s + 1; :::; N)
(1.152) (1.153) (1.154)
£¤¥ ¤«ï ªà ⪮á⨠¨á¯®«ì§®¢ ë ®¡®§ 票ï 2 (1; 2) 2 (x1; x2; x01; x02; t), Sp2 2 (1; 2) = Spx2 2 (x1 ; x2; x01; x02; t) ¨ â.¤. ¥«¨ç¨ë s §ë¢ îâáï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨ ª®¬¯«¥ªá®¢ s ç áâ¨æ ¨«¨ s-ç áâ¨ç묨 ¬ âà¨æ ¬¨ ¯«®â®áâ¨. «ï ®¯¥à â®à®¢ s , ¢ ᨫã (1.145), ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á®®â®è¥¨ï: Ps s Ps;1 = s
(1.155)
£¤¥ Ps { ®¯¥à â®à ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ s ç áâ¨æ, s (1; 2; :::;s) = Sps+1 s+1 (1; :::; s; s + 1)
(1.156)
çâ® ¤ ¥â ¢ëà ¦¥¨¥ s-ç áâ¨ç®© ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠ç¥à¥§ s + 1-ç áâ¨çãî. ¥à¥©¤¥¬ ®â ®¯¥à â®à®¢ s ª ®¯¥à â®à ¬ Fs : Fs (1; :::; s) = N(N ; 1):::(N ; s + 1)s (1; :::; s)
(1.157)
«ï ¨å, ᮣ« á® (1.156), ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 á®®â®è¥¨ï: (1.158) Fs(1; :::; s) = N 1; s Sps+1 Fs+1(1; :::; s; s + 1) ¯à¥¤¥«¥ N ! 1 ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ s ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì s ¢ § ¬¥ ⥫¥, â ª çâ®: (1.159) Fs(1; :::; s) = N1 Sps+1 Fs+1(1; :::; s; s + 1) ¥«¨ç¨ë Fs, ¯® «®£¨¨ á ª« áá¨ç¥áª¨¬ á«ãç ¥¬, ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì s-ç áâ¨ç묨 äãªæ¨ï¬¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ਠ¯¥à¥áâ ®¢ª å, ®ç¥¢¨¤®, ¨¬¥¥¬: Ps FsPs;1 = Fs. ਠí⮬ ¨§ (1.151) á।¨¥ 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤: < As >= s!1 Sp1;:::;s fA(1; :::; s)Fs(1; :::; s)g (1.160) ¯¨è¥¬ ®¯¥à â®à As áâ ¤ àâë¬ ®¡à §®¬ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï: X As = s!1 A(f1 ; :::; fs; fs0 ; :::; f10 )a+f1 :::a+fs afs0 :::af10 (1.161) ff;f 0 g
£¤¥ a+f ; af { ®¯¥à â®àë ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï ç áâ¨æ ¢ ¥ª®â®àëå ®¤®ç áâ¨çëå á®áâ®ï¨ïå, å à ªâ¥à¨§ã¥¬ëå ª¢ ⮢묨 ç¨á« ¬¨ f, a A(f1 ; :::; fs; fs0 ; :::; f10 ) { ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â ®¯¥à â®à ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®© A. ®£¤ , ¢ëç¨á«ïï á।¨¥ ¯® á ¬¡«î, ¯®«ãç ¥¬ ¨å ¢ ¢¨¤¥: X A(f1 ; :::; fs; fs0 ; :::; f10 ) < a+f1 :::a+fs afs0 :::af10 > (1.162) < As >= s!1 ff;f 0 g
35
Cà ¢¥¨¥ á (1.160) ¤ ¥â ⮣¤ á«¥¤ãî饥 ®¡é¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï s-ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï: Fs(1; :::; s) =< a+f1 :::a+fs afs0 :::af10 >
(1.163)
®ç¥ì 㤮¡®¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ª®ªà¥âëå § ¤ ç ª¢ ⮢®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¨ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥¬®¥ ¢ ᮢ६¥®© ⥮ਨ á¨á⥬ ¬®£¨å ç áâ¨æ8. ªâ¨ç¥áª¨, ¢ëç¨á«¥¨¥ íâ¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ à §ëå 䨧¨ç¥áª¨å á¨âã æ¨ïå ¨ ï¥âáï ®á®¢®© § ¤ 祩 í⮩ ⥮ਨ. ¤¨¬ ¨§ ¬¥â®¤®¢ â ª¨å ¢ëç¨á«¥¨© ï¥âáï ¯®áâ஥¨¥ á¨áâ¥¬ë § 楯«ïîé¨åáï ãà ¢¥¨© ¤«ï â ª¨å äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï (楯®çª¨ ®£®«î¡®¢ ), «®£¨ç®© ª« áá¨ç¥áª®¬ã á«ãç î, ¨ ¥¥ ¯à¨¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï ⥬ ¨«¨ ¨ë¬ ᯮᮡ®¬. ®¤®¡ë© ¯®¤å®¤ ¨á¯®«ì§ã¥âáï, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ª¢ ⮢ëå ª¨¥â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. «ï àï¤ § ¤ ç, â ª¦¥ ¤«ï ®¡á㦤¥¨ï ᮮ⢥âá⢨ï á ª« áá¨ç¥áª¨¬ á«ãç ¥¬, ç áâ® ¢¢®¤ïâ â ª §ë¢ ¥¬ãî äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨£¥à ¢ \á¬¥è ®¬" ª®®à¤¨ â®{¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨. «ï í⮣® à áᬮâਬ ®¤®ç áâ¨çãî ¬ âà¨æã ¯«®â®á⨠1 (1) = (x; x0 ), £¤¥ x { ª®®à¤¨ âë ç áâ¨æë ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢¨£¥à®¢áªãî äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª ª: 1 Z de hi p f(x; p) = (2) 3
x + 2 ; x ; 2
(1.164)
â.¥. ¯à®¢¥¤ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¯® à §®á⨠ª®®à¤¨ â = x ; x0. â¥£à «ë ®â í⮩ äãªæ¨¨ ¯® x ¨ p ¨¬¥îâ ¢¨¤ ¤¨ £® «ìëå í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠¢ x ¨ p { ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨: (x; x) =
Z
dpf(x; p) (p; p) =
Z
dxf(x; p)
(1.165)
çâ® «¥£ª® ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®á«¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå. §ã¬¥¥âáï, äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï f(x; p) ¥«ì§ï à áᬠâਢ âì ª ª äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯® ª®®à¤¨ â ¬ ¨ ¨¬¯ã«ìá ¬ (á®®â®è¥¨ï ¥®¯à¥¤¥«¥®áâ¨!). ® ¥¥ ¨â¥£à «ë ¤ îâ ¯® ®â¤¥«ì®á⨠äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯® ª®®à¤¨ â ¬ ¨ ¨¬¯ã«ìá ¬. ¬ ¦¥ ¢¨£¥à®¢áª ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¤ ¦¥ ®âà¨æ ⥫쮩 ¨ ¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« ®¡ë箩 (ª« áá¨ç¥áª®©) äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï.
âய¨ï. ¨¡¡á®¢áª ï íâய¨ï. âய¨ï ¨ ¢¥à®ïâ®áâì.
¥à¥¬áï ª á«ãç î ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¨ à áᬮâਬ «®£ à¨ä¬ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï á ®¡à âë¬ § ª®¬: = ; ln (p; q; t)
(1.166)
8 ®¤ç¥àª¥¬, ç⮠㣫®¢ë¥ ᪮¡ª¨ ®¡®§ ç îâ §¤¥áì ãá।¥¥¨¥ (¢ëç¨á«¥¨¥ è¯ãà ) á ¯®«®© N -ç áâ¨ç®© ¬ âà¨æ¥© ¯«®â®áâ¨!
36
â ¢¥«¨ç¨ ¨£à ¥â ®á®¡ãî ஫ì, ¢ëè¥ ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, çâ® ® ¤¤¨â¨¢ ¤«ï ä ªâ®à¨§ãîé¨åáï äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®¤á¨á⥬, çâ® «®£¨ç® ᢮©áâ¢ã ¤¤¨â¨¢®á⨠íâய¨¨ ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¥. ।¥¥ § 票¥ í⮩ ¢¥«¨ç¨ë §ë¢ ¥âáï £¨¡¡á®¢áª®© íâய¨¥©: Z dpdq S =< >= ; (2h)3N N! (p; q; t) ln(p; q; t) (1.167) ëç¨á«¨¬ íâã íâய¨î ¤«ï ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï (1.58) à ¢®¢¥á®© § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë. ®¤áâ ¢«ïï ¢ (1.167) äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ (1.58): N; V )];1 ¯à¨ E H(p; q) E + E (p; q) = [ (E; (1.168) 0 ¢¥ í⮣® á«®ï £¤¥ Z 1 dpdq (1.169)
(E; N; V ) = N!(2 h)3N E H (p;q)E +E
¯®«ãç ¥¬: S(E; N; V ) = ;
Z
E H (p;q)E +E
dpdq 1 ;1 (2h)3N N! (E; N; V ) ln[ (E; N; V )] =
= ln (E; N; V ) (1.170) ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï à ¢®¢¥á®£® ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®£® á ¬¡«ï íâய¨ï à ¢ «®£ à¨ä¬ã áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® ¢¥á , â.¥. «®£ à¨ä¬ã ç¨á« ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© ¢ í¥à£¥â¨ç¥áª®¬ á«®¥ è¨à¨®© E, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤ ®¬ã ¬ ªà®á®áâ®ï¨î 襩 á¨á⥬ë9. ª¢ ⮢®© áâ â¨á⨪¥ ¬®¦® «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¢¢¥á⨠®¯¥à â®à íâய¨¨, ª ª «®£ à¨ä¬ ¬ âà¨æë ¯«®â®áâ¨: = ; ln (1.171) ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à íନ⮢ ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥£® «®£ à¨ä¬ íନ⮢, ®¯¥à â®à íâய¨¨ ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ w1; w2; ::: { ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ®¯¥à â®à , ⮠ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ®¯¥à â®à à ¢ë ᮮ⢥âá⢥® ; ln w1 ; ; ln w2; :::, â ª ª ª ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï äãªæ¨¨ ®â ®¯¥à â®à à ¢ë í⮩ ¦¥ äãªæ¨¨ ®â ᮡá⢥ëå § 票©. § 0 wk 1 ¯à¨ í⮬ á«¥¤ã¥â, çâ® ; ln wk 0. ¯¥à â®à íâய¨¨ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ ¤¤¨â¨¢®á⨠{ ¥á«¨ ®¯¥à â®à ¥áâì ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ®¯¥à â®à®¢ 1 ¨ 2 : = 1 2 (1.172) 9 â â¨áâ¨ç¥áª¨© ¢¥á (E; N;V ) = exp S (E; N;V ) ¯® á ¬®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥áâì ç¨á«® ã஢¥© í¥à£¨¨, ¯à¨å®¤ïé¨åáï ¨â¥à¢ «¥ í¥à£¨¨ E , å à ªâ¥à¨§ãî騩 è¨à¨ã à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥à®ïâ®á⥩ ¯® í¥à£¨¨. §¤¥«¨¢ E (E; N;V ) ®ç¥¢¨¤® ¯®«ã稬 á।¥¥ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ®â¤¥«ì묨 ã஢ﬨ ¤ ®¬ ãç á⪥ ᯥªâà á¨áâ¥¬ë ¢¡«¨§¨ E . ¡®§ ç ï íâ® à ááâ®ï¨¥ D(E ) ¨¬¥¥¬: D(E ) = E exp(;S (E )). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¥«¨ç¨ íâய¨¨ S (E ) ®¯à¥¤¥«ï¥â £ãáâ®âã ã஢¥© í¥à£¥â¨ç¥áª®£® ᯥªâà ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®© á¨á⥬ë. ¢¨¤ã ¤¤¨â¨¢®á⨠íâய¨¨ ¬®¦® ã⢥ত âì, çâ® á।¥¥ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ã஢ﬨ â ª®© á¨á⥬ë íªá¯®¥æ¨ «ì® ã¡ë¢ ¥â á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ç¨á« ç áâ¨æ , â ª ç⮠ᯥªâà ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ⥫ , ä ªâ¨ç¥áª¨, ï¥âáï ¥¯à¥àë¢ë¬ [1, 2].
37
â®
= ; ln1 ; ln 2 = 1 + 2 (1.173) ¥¯¥àì ¬ë ᮢ ¬®¦¥¬ ¢¢¥á⨠£¨¡¡á®¢áªãî íâய¨î ª ª á।¨© «®£ à¨ä¬ ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠ᮠ§ ª®¬ ¬¨ãá: S =< >= ; < ln >= ;Sp ln
(1.174)
âய¨ï { ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢¥«¨ç¨ , ¢ ¤¨ £® «ì®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ® ¨¬¥¥â ¢¨¤: X S = ; wk ln wk 0 (1.175) k
¨èì ¢ ç á⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ áâ ⮯¥à â®à ®¯¨áë¢ ¥â ç¨á⮥ á®áâ®ï¨¥ ¨¬¥¥¬: S = 0.
᫨ ®¯¨áë¢ ¥â áâ â¨áâ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ á ¬¡«¨ (1.172), â® ®ç¥¢¨¤® S = S1 + S2 , £¤¥ S1 = ;Sp1 ln 1 ¨ S2 = ;Sp2 ln 2 , â ª çâ® £¨¡¡á®¢áª ï íâய¨ï ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ ¤¤¨â¨¢®áâ¨, «®£¨ç® íâய¨¨ ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¥. ¡á㤨¬ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© á¬ëá« íâய¨¨. ãáâì ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ á¨á⥬ë, ªà®¬¥ § 票© E; N; V å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ª ª¨¬¨-«¨¡® ¯ à ¬¥âà ¬¨ x ¨«¨ (x1; x2; :::; xn). ãáâì áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ¢¥á á®áâ®ï¨ï á 䨪á¨à®¢ 묨 § 票ﬨ íâ¨å ¯ à ¬¥â஢ à ¢¥ (E; N; V; x). ®£¤ ¢¥à®ïâ®áâì ॠ«¨§ 樨 á®áâ®ï¨ï (E; N; V; x), ᮣ« á® ¯à¨æ¨¯ã à ¢®© ¢¥à®ïâ®á⨠á®áâ®ï¨© ¢ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ à ¢ : N; V; x) = C exp(S(E; N; V; x)) w(x) = P (E; (1.176) x (E; N; V; x) £¤¥ S(E; N; V; x) = ln (E; N; V; x) (1.177) { íâய¨ï á®áâ®ï¨ï (E; N; V; x). ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢ ¨¡®«¥¥ ¢¥à®ï⮥ § 票¥ x ¨ á।¥¥ § 票¥ < x > ¢¥«¨ç¨ë x ᮢ¯ ¤ îâ ¤àã£ á ¤à㣮¬, â ª ª ª ¢¥à®ïâ®áâì w(x) ¨¬¥¥â ®áâàë© ¬ ªá¨¬ã¬ ¯à¨ x = x , ¥á«¨ á¨á⥬ ¤®áâ â®ç® ¢¥«¨ª . ¨¡®«¥¥ ¢¥à®ï⮥ § 票¥ x ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï ¬ ªá¨¬ã¬ w(x): S(E; N; V; x) = Max ¯à¨ x = x ¨«¨
@S(E; N; V; x1 ; :::; xn) = 0 j = 1; 2; :::;n @xj ¥âà㤮 á®®¡à §¨âì, çâ® ¢¥«¨ç¨ w(x) = C 0 expfS(E; N; V; x + x) ; S(E; N; V; x )g
(1.178) (1.179) (1.180)
®¯à¥¤¥«ï¥â ¢¥à®ïâ®áâì ®âª«®¥¨© (ä«ãªâã 権) x ¯ à ¬¥â஢ x ®â ¨å ¨¡®«¥¥ ¢¥à®ïâëå (á।¨å, à ¢®¢¥áëå!) § 票©10. ⮠᢮©á⢮ íâய¨¨ «¥¦¨â ¢ ®á®¢¥ ¥¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥¨© (¯à¨æ¨¯ ®«ìæ¬ ), ¢ ç áâ®á⨠¥¬ áâநâáï ¢áï ⥮à¨ï ä«ãªâã 権 (©è⥩).
10 á ¬®¬ ¤¥«¥: w(x + x) = C expfS (x + x)g = C 0 expfS (x + x) ; S (x )g, £¤¥ C 0 = C expfS (x)g { ®¢ ï ª®áâ ⠮ନ஢ª¨.
38
ª® ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨.
§ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¨§¢¥áâ®, çâ® íâய¨ï ¨§®«¨à®¢ ®© á¨áâ¥¬ë ¢®§à áâ ¥â, ¨«¨, ¢ á«ãç ¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï, ¯®áâ®ï . «ï à ¢®¢¥á®£® á«ãç ï £¨¡¡á®¢áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ íâய¨¨ ¥ ¢ë§ë¢ ¥â ᮬ¥¨©, ¨¦¥ ¬ë ¥é¥ ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ®® ¢¯®«¥ íª¢¨¢ «¥â® â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®© íâய¨¨. ç¥ ®¡á⮨⠤¥«® ¥á«¨ äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï (p; q; t) § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥¨. ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤«ï ¨§®«¨à®¢ ®© á¨áâ¥¬ë £¨¡¡á®¢áª ï íâய¨ï ¢®®¡é¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥¨, ¯®â®¬ã ¨ ¥ ¬®¦¥â ¢®§à áâ âì. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì ¯à¨ t = 0 äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï à ¢ (p0 ; q0; 0), ¢ ¬®¬¥â t ® à ¢ (p; q; t), £¤¥ (p; q) «¥¦¨â ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ (p0 ; q0) ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãà ¢¥¨ï¬¨ ¬¨«ìâ® . ®£« ᮠ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï ¨¬¥¥¬ (1.45): (p0 ; q0; 0) = (p; q; t); ⮣¤ £¨¡¡á®¢áª ï íâய¨ï ¢ ¬®¬¥â t à ¢ : Z S = ; (2dpdq h)3N N! (p; q; t) ln(p; q; t) = Z dp0dq0 0 0 0 0 = ; (2 h)3N N! (p ; q ; 0) ln(p ; q ; 0)
(1.181)
(1.182)
â ª ª ª ᮣ« ᮠ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï ® á®åà ¥¨¨ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ ¨¬¥¥¬ ¨ dpdq = dp0dq0. ®í⮬㠣¨¡¡á®¢áª ï íâய¨ï ¥ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ¢ ª ç¥á⢥ ®¡é¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï íâய¨¨ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¥à ¢®¢¥á®£® á®áâ®ï¨ï. í⮬ ¯ à ¤®ªá¥ § ª«îç¥ ¯à¨æ¨¯¨ «ì ï âà㤮áâì ®¡®á®¢ ¨ï ¥®¡à ⨬®£® â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ®á®¢¥ ®¡à ⨬ëå ¢® ¢à¥¬¥¨ ãà ¢¥¨© ¬¥å ¨ª¨, ¢ë§ë¢ ¢è ï ¡®«ì訥 ¤¨áªãáᨨ ¢ ¯¥à¨®¤ áâ ®¢«¥¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ (®«ìæ¬ , ¥à¬¥«®, ã ª à¥, ¨¡¡á). ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ®á®¢¥ àï¤ à ¨å ¨¤¥© ¨¡¡á ¬®¦® ¯à¥¤«®¦¨âì ¥ª®â®à®¥ ®¡®¡é¥¨¥, ¤¥¬®áâà¨àãî饥 § ª® ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨. ¯¥à¢ë¥ ®® ¡ë«® à áᬮâ८ ¢ ¨§« £ ¥¬®© ¨¦¥ ä®à¬¥ à¥ä¥á⮬ ¨ ä á쥢®©-à¥ä¥áâ. ¨ ¯à¥¤«®¦¨«¨ \®£à㡨âì" £¨¡¡á®¢áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ íâய¨¨, ¢¢¥¤ï ¢¬¥áâ® ¨á⨮© (\¬¥«ª®áâàãªâãன") äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (p; q; t) \®£àã¡«¥ãî" (\ªà㯮áâàãªâãàãî") ¯«®â®áâì ¢¥à®ïâ®áâ¨: Z ~(p; q; t) i = !1 dpdq(p; q; t) (1.183) i !i £¤¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® 䨪á¨à®¢ ë¬ ¬ «ë¬ ï祩ª ¬ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠!i. ª ï ®¯¥à æ¨ï ãá।¥¨ï (®£àã¡«¥¨ï) äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®§ ç ¥â, çâ® ¬ë ¢¢®¤¨¬ ¥ª®â®àãî ¥áâ¥á⢥ãî ª®¥çãî â®ç®áâì, á ª®â®à®© ¬ë ¬®¦¥¬ ॠ«ì® ¨áá«¥¤®¢ âì ¤¢¨¦¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. ¯à¨¬¥à, á ãç¥â®¬ ª¢ ⮢ëå íä䥪⮢, ª ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, áãé¥áâ¢ã¥â ¨¦ïï £à ¨æ ¤«ï ®¡ê¥¬ ï祩ª¨ !i, ª®â®à ï ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¬¥ìè¥ (2h)3N ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á âॡ®¢ ¨ï¬¨ ¯à¨æ¨¯ ¥®¯à¥¤¥«¥®áâ¨11. £àã¡«¥ ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï 11 楫®¬ á¨âã æ¨ï ¢ ª¢ ⮢®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¥ ¢ ®â®è¥¨¨ à áᬮâà¥¨ï ¢à¥¬¥®© í¢®«î樨 íâய¨¨ ᮢ¥à襮 «®£¨ç ¨ ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï ¨¦¥ «¨§®¬ ª« áá¨ç¥áª®£® á«ãç ï, ®âáë« ï § ¨â¥à¥á®¢ ëå ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 á奬¥ à áᬮâà¥¨ï ª¢ ⮢®© íâய¨¨ ¢ ª¨£¥ 㡠ॢ [4].
39
(1.183) ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ¯®áâ®ï ¢ãâਠᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ï祩ª¨ !i , ®ªà㦠î饩 ¤ ãî â®çªã (p; q). ®®â¢¥âá⢥®, «î¡®© ¨â¥£à « á äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯® ¢á¥¬ã ä §®¢®¬ã ¯à®áâà áâ¢ã ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ ¢¨¤¥:
Z
dpdq(p; q)::: =
X i
i !i::: =
XZ i
Z
!i
dpdq(p; q)::: = dpdq~(p; q):::
(1.184)
¨¡¡á®¢áª ï íâய¨ï, ¯®áâ஥ ï ®á®¢¥ ®£àã¡«¥®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, 㦥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ¯®áâ®ï ¢® ¢à¥¬¥¨ ¨ ¬®¦¥â ¢®§à áâ âì. ⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, áà ¢¨¬ § ç¥¨ï £¨¡¡á®¢áª®© íâய¨¨, ¢ëç¨á«¥®© ¤«ï ªà㯮áâàãªâãன äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ t ¨ t = 0, ¯®« £ ï, çâ® ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¨áâ¨ ï ¯«®â®áâì à á¯à¥¤¥«¥¨ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ®£àã¡«¥®©: (p0 ; q0; 0) = ~(p0 ; q0; 0)
(1.185)
¬¥¥¬: St ; S0 = = ; d;~(p; q; t) ln ~(p; q; t) + d;0(p0 ; q0; 0) ln(p0 ; q0; 0) =
Z
Z
Z
= ; d; f(p; q; t) ln ~(p; q; t) ; (p; q; t) ln (p; q; t)g
(1.186)
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ⥮६㠨㢨««ï ¢ ¢¨¤¥ d;0 = d; ¨ (1.181), â ª¦¥ á﫨 ⨫ì¤ã ã äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ¥ áâ®ï饩 ¯®¤ § ª®¬ ln, ç⮠ᮣ« á® (1.184) ¢á¥£¤ ¬®¦® ᤥ« âì ¯®¤ § ª®¬ ¨â¥£à « 12 . «ï «î¡ëå ¤¢ãå ®à¬¨à®¢ ëå äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ 0 , ®¯à¥¤¥«¥ëå ¢ ®¤®¬ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥 ¥à ¢¥á⢮ ¨¡¡á 13: Z d; ln 0 0 (1.187) ¯à¨ç¥¬ § ª à ¢¥á⢠¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ¯à¨ = 0 . ®£¤ ¨§ (1.186) (¯®« £ ï ~ = 0 ) áà §ã ¯®«ãç ¥¬: St S0 (1.188) ãáâì (p0 ; q0; 0) ¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â áâ â¨áâ¨ç¥áª¨ à ¢®¢¥á®¬ã á ¬¡«î, ⮣¤ ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t: (p; q; t) 6= ~(p; q; t) (1.189) â ª ª ª å®âï (p; q; t) ¨ ¥ ¨§¬¥ï¥âáï ¢¤®«ì ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¨, ® ¢ ¤ ãî ï祩ªã ! ¢¡«¨§¨ ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ (p; q) ¡ã¤ãâ ¯à¨å®¤¨âì ¨ ã室¨âì ä §®¢ë¥
R dpdq~(p;q)ln ~(p;q)
P
P hR
i
= = i i !i ln i = i !i dpdq(p; q)ln i R dpdq(p;q) ln ~(p;q), çâ® ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ® ¢ (1.186). ; 13 ®¥ ¥à ¢¥á⢮ ¥áâì á«¥¤á⢨¥ ¥à ¢¥á⢠ln 0 1 ; 0 ( > 0;0 > 0), £¤¥ § ª à ¢¥á⢠¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ¯à¨ = 0 . â®ïá® ¨§ á¯à ¢¥¤«¨¢®£® ¤«ï x > 0 ¥à ¢¥á⢠ln x 1 ; x1 (à ¢¥á⢮ ¯à¨ x = 1), £¤¥ ¯®« £ ¥¬ x = 0 . ®á«¥ ¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ä §®¢®¬ã 㬮¦¥¨ï R ; R 0 ¯à®áâà áâ¢ã, ¯®«ãç ¥¬: ln 0 d; 1 ; d; = 0, £¤¥ ã竨 ãá«®¢¨¥ ®à¬¨à®¢ª¨, çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â (1.187.) 12 ¥©á⢨⥫ì®:
40
â®çª¨ ¨§ ¤à㣨å ï祥ª ¨ í⨠¯à®æ¥ááë, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ª®¬¯¥á¨àãîâáï. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯à®¨á室¨â ¯à®æ¥áá \¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï" ä §®¢ëå â®ç¥ª ¯® ä §®¢ë¬ ï祩ª ¬. ãç¥â®¬ (1.189) ¨§ (1.188) á«¥¤ã¥â: St > So
(1.190)
â.¥. íâய¨ï, ®¯à¥¤¥«¥ ï á ¯®¬®éìî ªà㯮áâàãªâãன äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ¢®§à áâ ¥â á® ¢à¥¬¥¥¬. â® § ª«î票¥ ¢¥à®, ¥á«¨ ¤¢¨¦¥¨¥ ä §®¢ëå â®ç¥ª ¨¬¥¥â ¯¥à¥¬¥è¨¢ î騩 å à ªâ¥à ¢ 㪠§ ®¬ ¢ëè¥ á¬ëá«¥. ¥à¥¬¥è¨¢ î騩 å à ªâ¥à ¤¢¨¦¥¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï â¥á® á¢ï§ ë¬ á «®ª «ì®© ¥ãá⮩稢®áâìî ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨©, ¢®§¨ª î饩 (ª ª ¯à ¢¨«®!) ¤«ï ¥âਢ¨ «ìëå 䨧¨ç¥áª¨å á¨á⥬, ¤ ¦¥ á ¬ «ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ [14]. â ¥ãá⮩稢®áâì ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ íªá¯®¥æ¨ «ì® ¡ëáâ஬ \à §¡¥£ ¨¨" ¤ ¦¥ ¨§ ç «ì® ¡«¨§ª¨å â®ç¥ª á®á¥¤¨å ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨©. ®«¥¥ ¯®¤à®¡® í⨠¨ àï¤ á¬¥¦ëå ¢®¯à®á®¢ à áᬮâà¥ë ¢ ਫ®¦¥¨¨ A. ¢¥¤¥¨¥ ªà㯮áâàãªâãன äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥«ì§ï, ®¤ ª®, à áᬠâਢ âì ¢ ª ç¥á⢥ ¢¯®«¥ 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì®£® à¥è¥¨ï ¯à®¡«¥¬ë. ¥«® ¢ ⮬, ç⮠祬 ¬¥ìè¥ ¬ áèâ ¡ ®£àã¡«¥¨ï, ⥬ ¢®§à áâ ¨¥ íâய¨¨ St ¬¥ìè¥, ¢ ¯à¥¤¥«¥ ! ! 0 ®® â ª¦¥ áâ६¨âáï ª ã«î. ®§à áâ ¨¥ ¦¥ 䨧¨ç¥áª®© íâய¨¨ ¥ ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì ®â ¬ áèâ ¡ ®£àã¡«¥¨ï, ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¡ë ¬ë ¯à¨ï«¨ ! h3N , ¨áå®¤ï ¨§ âॡ®¢ ¨© ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨, â® à®áâ íâய¨¨ ®¯à¥¤¥«ï«áï ¡ë ¢¥«¨ç¨®© ¯®áâ®ï®© « ª h, íâ® ®ç¥¢¨¤® ¥ â ª. ãâ ¬®¦® ¢ë᪠§ âì à §ë¥ â®çª¨ §à¥¨ï, ¯à¨¬¥à ¤®«£®¥ ¢à¥¬ï áç¨â «®áì [4], çâ® ¯à¨¬¥ïï ®¯¥à æ¨î ªà㯮áâàãªâãண® ãá।¥¨ï, ¬ë ¤®«¦ë ᮢ¥àè âì ¤¢ ¯à¥¤¥«ìëå ¯¥à¥å®¤ : ®¡ëçë© â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥« áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ N ! 1, V ! 1 ¯à¨ N=V = const, 㦥 ¯®á«¥ í⮣® ¯à¥¤¥« ! ! 0. ®¢à¥¬¥ ï â®çª §à¥¨ï [14] á®á⮨⠢ ⮬, çâ® â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥« âãâ ¥áãé¥á⢥. ¢®©á⢮ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï (¯®«®¦¨â¥«ì®áâì íâய¨¨ ®«¬®£®à®¢ - ¨ ï, á¬. ਫ®¦¥¨¥ A) ¤®áâ â®ç ¤«ï ¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥¨ï \¯à ¢¨«ì®£®" áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï 㦥 ¤«ï á¨á⥬ á ç¨á«®¬ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë N > 2. §®«¨à®¢ ï á¨á⥬ , ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ç «ìëå ãá«®¢¨©, ¤®á⨣ ¥â à ¢®¢¥á®£® á®áâ®ï¨ï, ¢ ª®â®à®¬ ¥¥ ¬®¦® à ¢®¢¥à®ïâ® ®¡ à㦨âì ¢ «î¡®¬ ¨§ ¥¥ ¢®§¬®¦ëå á®áâ®ï¨© (í࣮¤¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥). à㣠ï â®çª §à¥¨ï [1, 2] ®¯à¥¤¥«¥¨¥ íâய¨¨ ¥à ¢®¢¥á®£® á®áâ®ï¨ï ®á®¢ë¢ ¥âáï ¥á®¬¥® ¢¥à®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ à ¢®¢¥á®© íâய¨¨ (1.170). ।¯®«®¦¨¬, çâ® á¨á⥬ 室¨âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ á®áâ®ï¨¨ ¥¯®«®£® à ¢®¢¥á¨ï ¨ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¥¥ ¢ â¥ç¥¨¥ ¯à®¬¥¦ã⪮¢ ¢à¥¬¥¨ t. §¤¥«¨¬ á¨á⥬㠬ëá«¥® ç áâ¨, á⮫쪮 ¬ «ë¥, çâ® ¨å ᮡáâ¢¥ë¥ ¢à¥¬¥ ५ ªá 樨 ¬ «ë ¯® áà ¢¥¨î á t (¢à¥¬¥ ५ ªá 樨 ®¡ëç® ã¬¥ìè îâáï á 㬥ì襨¥¬ à §¬¥à®¢ á¨á⥬ë). ª¨¥ ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¬®¦® áç¨â âì 室ï騬¨áï ¢ â¥ç¥¨¥ ¢à¥¬¥¨ t ¢ ¥ª®â®àëå ᢮¨å ç áâëå à ¢®¢¥á¨ïå, ®¯¨áë¢ ¥¬ëå ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª¨¬¨ äãªæ¨ï¬¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ¨¬ ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ¤ ®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® ¢¥á ¨ ¢ëç¨á«¨âì ¨å íâய¨¨. Q â â¨áâ¨ç¥áª¨© ¢¥á á¨áâ¥¬ë ¢ 楫®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ = i i P áâ ⢥ᮢ ®â¤¥«ìëå ¯®¤á¨á⥬, íâய¨ï S = i Si . ਠ⠪®¬ à áᬮâ२¨ íâய¨ï ¥áâì ¢¥«¨ç¨ , å à ªâ¥à¨§ãîé ï á।¨¥ ᢮©á⢠⥫ § ¥ª®â®àë© ®â«¨çë© ®â ã«ï ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥¨ t. á®, çâ® ¢ í⮬ ¯®¤å®¤¥ ¤«ï ᫨誮¬ ¬ «ëå ¯à®¬¥¦ã⪮¢ ¢à¥¬¥¨ t ¯®ï⨥ íâய¨¨ ¢®®¡é¥ â¥àï¥â á¬ëá«, ¢ ç áâ®á⨠¥«ì§ï £®¢®à¨âì ® ¥¥ ¬£®¢¥®¬ § 票¨.
41
ª® ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨ ¢ â ª®¬ ¯®¤å®¤¥ ¬®¦® ¯à® «¨§¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. áᬮâਬ § ¬ªãâãî ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áªãî á¨á⥬㠢 ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t.
᫨ ¬ë à §®¡ì¥¬ íâã á¨á⥬㠮â®á¨â¥«ì® ¬ «ë¥ ç áâ¨, â® ª ¦¤ ï ¨§ ¨å ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ᢮î äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï i . âய¨ï S ¢á¥© á¨áâ¥¬ë ¢ íâ®â ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ à ¢ : X Y S = ; < ln i >= ; < ln i > (1.191) i
i
®áª®«ìªã ¬ë áç¨â ¥¬ è¨ ¯®¤á¨áâ¥¬ë ª¢ §¨¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨, ¬®¦® ¢¢¥á⨠äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¤«ï ¢á¥© á¨áâ¥¬ë ¢ ¢¨¤¥: Y = i (1.192) i
«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ¡®«¥¥ ¯®§¤¨© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t0, ¤® ¯à¨¬¥¨âì ª ãà ¢¥¨ï ¬¥å ¨ª¨ ¤«ï ¤¢¨¦¥¨ï § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë, ⮣¤ ¯¥à¥©¤¥â ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t0 ¢ ¥ª®â®àãî äãªæ¨î 0 . «ï ⮣®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ¬®¬¥â t0 ¤«ï ®¤®© ⮫쪮 i-© ç áâ¨, ¤® ¯à®¨â¥£à¨à®¢ âì 0 ¯® ¢á¥¬ ä §®¢ë¬ ®¡ê¥¬ ¬ ¢á¥å ¯®¤á¨á⥬, ªà®¬¥ i-£®.
᫨ íâã äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®¡®§ ç¨âì 0i , â® ¤«ï ¥¥ ¢ ¬®¬¥â t0 ¯®«ã稬: 0i =
ZZ Z Z 1 2
:::
i;1 i+1
:::d;1d;2:::d;i;1d;i+1:::0
(1.193)
¬¥â¨¬, çâ® 0 , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, 㦥 ¥ à ¢® ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ¢á¥å 0i . âய¨ï ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t0 ¥áâì, ᮣ« á® ¯à¨ï⮬㠮¯à¥¤¥«¥¨î: X S 0 = ; < ln 0i > (1.194) i
£¤¥ ãá।¥¨¥ < ::: > ¯®¨¬ ¥âáï 㦥 á äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï 0 . ®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥯¥àì Q 0 ¥à ¢¥á⢮¬ ln x x ; 1, á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¤«ï x > 0. ®¤áâ ¢¨¬ áî¤ x = i i 0 ¨ ¯®«ã稬: X 0 Qi 0i 0 (1.195) ; ln + ln i 0 ; 1 i
᫨ ãá।¨âì ®¡¥ áâ®à®ë í⮣® ¥à ¢¥á⢠R á ¯®¬®éìî Q äãªæ¨¨ Q R d; à á¯à¥¤¥«¥¨ï 0 , â® ¯à ¢ ï ç áâì ¤ áâ ã«ì, â ª ª ª d;1d;2 ::: i 0i = P i i = 1 ¢ ᨫã i ãá«®¢¨© ®à¬¨à®¢ª¨. ¥¢ ï ¦¥ ç áâì ᢮¤¨âáï ª < ; ln0 > + i < ln 0i >, â ª çâ® ¯®«ãç ¥¬: ; < ln 0 > ;S 0 0 (1.196) ᨫã â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥ ¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨ ¯® § ª® ¬ ¬¥å ¨ª¨, ¯®í⮬㠢¥«¨ç¨ ; < ln0 > ®áâ ¥âáï à ¢®© ; < ln >, ª®â®à ï ¥áâì ç «ì ï íâய¨ï S. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬: S 0 S; (1.197) çâ® ¤®ª §ë¢ ¥â § ª® ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨: ¥á«¨ á®áâ®ï¨¥ § ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ¢ ¥ª®â®àë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ § ¤ ® ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬, â® ¨¡®«¥¥ ¢¥à®ïâë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ¢ ¥ª®â®àë© ¤à㣮© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ¡ã¤¥â ¢®§à áâ ¨¥ íâய¨¨
.
42
à ¢¥¨ï ¬¥å ¨ª¨ å à ªâ¥à¨§ãîâáï ᨬ¬¥âਥ© ¯® ®â®è¥¨î ª § ¬¥¥ t
;t. ®í⮬ã, ¥á«¨ § ª®ë ¬¥å ¨ª¨ ¤®¯ã᪠îâ ¥ª®â®àë© ¯à®æ¥áá, ᮯ஢®¦¤ î-
騩áï, ¯à¨¬¥à, ¢®§à áâ ¨¥¬ íâய¨¨, â® ®¨ ¤®«¦ë ¤®¯ã᪠âì ¨ ¯àאַ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë© ¯à®æ¥áá, ª®£¤ á¨á⥬ ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ⥠¦¥ á ¬ë¥ ª®ä¨£ãà 樨 ¢ ®¡à ⮬ ¯®à浪¥ ¨ ¥¥ íâய¨ï ã¡ë¢ ¥â. § «®áì ¡ë, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â § ª®ã ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨. á ¬®¬ ¦¥ ¤¥«¥ ⮫쪮 çâ® ¯à¨¢¥¤¥ ï ¥£® ä®à¬ã«¨à®¢ª ¨áª®«ìª® ¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ᨬ¬¥âਨ ¯® ®â®è¥¨î ª ®¡à é¥¨î ¢à¥¬¥¨, â ª ª ª ¢ ¥© £®¢®à¨âáï ⮫쪮 ® ¨¡®«¥¥ ¢¥à®ï⮬ á«¥¤á⢨¨ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨ ®¯à¥¤¥«¥®£® á®áâ®ï¨ï. â® áâ ®¢¨âáï ¥é¥ ïᥥ, ¥á«¨ ®¡à â¨âì ¢¨¬ ¨¥, çâ® ¯à¨ ¯à®¢¥¤¥®¬ ¢ëè¥ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¬ë ¢®¢á¥ ¥ ¯®«ì§®¢ «¨áì ⥬, çâ® t0 > t. «®£¨çë¥ à áá㦤¥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® S 0 S ¨ ¯à¨ t t0 . 묨 á«®¢ ¬¨, ¯à¨æ¨¯ ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨ ®§ ç ¥â ⮫쪮 â®, çâ® ¥á«¨ ¤ ® ¥ª®â®à®¥ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨ ®¯¨á ®¥ á®áâ®ï¨¥, â® ¨§ ¢á¥å ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å á®áâ®ï¨©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¤ ®¬ã ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ã á®áâ®ï¨î, ¯®¤ ¢«ïî饥 ¡®«ìè¨á⢮ ¤ ¥â ¢ á«¥¤ãî騥 ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ ¢®§à áâ ¨¥ íâய¨¨ (¨«¨ âã ¦¥ á ¬ãî íâய¨î). â ª, ®¡é¥¯à¨ïâ ï â®çª §à¥¨ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® àï¤ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à®å®¤¨¬ëå ¨§®«¨à®¢ ®© á¨á⥬®© á®áâ®ï¨© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢á¥ ¡®«¥¥ ¢¥à®ï⮬ã à á¯à¥¤¥«¥¨î. â® ¢®§à áâ ¨¥ ¢¥à®ïâ®á⨠ç१¢ëç ©® ¢¥«¨ª®, ¢ ᨫã ä ªâ®à exp(S), £¤¥ ¢ íªá¯®¥â¥ á⮨⠤¤¨â¨¢ ï ¢¥«¨ç¨ . ®í⮬㠯à®æ¥ááë, ¯à®â¥ª î騥 ¢ ¥à ¢®¢¥á®© § ¬ªã⮩ á¨á⥬¥, ¨¤ãâ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® á¨á⥬ ¥¯à¥à뢮 ¯¥à¥å®¤¨â ¨§ á®áâ®ï¨© á ¬¥ì襩 ¢ á®áâ®ï¨¥ á ¡®«ì襩 íâய¨¥©, ¯®ª , ª®¥æ, íâய¨ï ¥ ¤®á⨣ ¥â ¨¡®«ì襣® ¢®§¬®¦®£® § 票ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯®«®¬ã áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ã à ¢®¢¥á¨î. ®¢®àï ® \ ¨¡®«¥¥ ¢¥à®ï⮬" ¯®¢¥¤¥¨¨, á«¥¤ã¥â ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠¢¥à®ïâ®áâì ¯¥à¥å®¤ ¢ á®áâ®ï¨¥ á ¡®«ì襩 íâய¨¥© á⮫쪮 ¯®¤ ¢«ïîé¥ ¢¥«¨ª ¯® áà ¢¥¨î á ¢¥à®ïâ®áâìî ᪮«ìª® ¨¡ã¤ì § ¬¥â®£® ¥¥ 㬥ì襨ï, çâ® ¯®á«¥¤¥¥ ¢®®¡é¥ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¨ª®£¤ ¥ ¬®¦¥â ¡«î¤ âìáï ¢ ¯à¨à®¤¥ (ªà®¬¥ ¬ «ëå ä«ãªâã 権). â® ä®à¬ã«¨à®¢ª § ª® ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨ ¢ ç¨áâ® ¢¥à®ïâ®á⮬ á¬ëá«¥ (®«ìæ¬ ). \àï¤-«¨ áä®à¬ã«¨à®¢ ë© â ª¨¬ ®¡à §®¬ § ª® ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨ ¢®®¡é¥ ¬®£ ¡ë ¡ëâì ¢ë¢¥¤¥ ®á®¢¥ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨"[1, 2]14. à ¬ª å ᮢ६¥®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¥à ¢®¢¥áëå á¨á⥬ [4, 18] ¨ 䨧¨ç¥áª®© ª¨¥â¨ª¨ [15, 16, 17] 㤠¥âáï  ¯à®¤¥¬®áâà¨à®¢ âì ¢®§à áâ ¨¥ íâய¨¨ 楫®¬ à拉 ª®ªà¥âëå áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥©. 14 ¤ 㠯ਠ¤«¥¦¨â ¨â¥à¥á®¥ § ¬¥ç ¨¥ ® ⮬, çâ® ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ¯®«®¦¥¨¥ ¥áª®«ìª® ¬¥ï¥âáï. ®âï ãà ¢¥¨¥ ।¨£¥à á ¬® ¯® ᥡ¥ ¨¢ ਠ⮠¯® ®â®è¥¨î ª ¨§¬¥¥¨î § ª ¢à¥¬¥¨ (¯à¨ ®¤®¢à¥¬¥®© § ¬¥¥ ? ), ª¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª ᮤ¥à¦¨â ¢ ᥡ¥ ¥ªãî ¥íª¢¨¢ «¥â®áâì ®¡®¨å ¯à ¢«¥¨© ¢à¥¬¥¨. â ¥íª¢¨¢ «¥â®áâì ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ á¢ï§¨ á ¢ ¦¥©è¨¬ ¤«ï ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ¯à®æ¥áᮬ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª¢ ⮢®£® ®¡ê¥ªâ á ª« áá¨ç¥áª®© á¨á⥬®©. ¨¬¥®, ¥á«¨ á ¤ ë¬ ª¢ â®¢ë¬ ®¡ê¥ªâ®¬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à®¨á室ïâ ¤¢ ¯à®æ¥áá A ¨ B , â® ã⢥ত¥¨¥, çâ® ¢¥à®ïâ®áâì ⮣® ¨«¨ ¨®£® १ã«ìâ â ¯à®æ¥áá B ®¯à¥¤¥«ï¥âáï १ã«ìâ ⮬ ¯à®æ¥áá A, ¬®¦¥â ¡ëâì á¯à ¢¥¤«¨¢® «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¯à®æ¥áá A ¨¬¥« ¬¥áâ® à ìè¥ ¯à®æ¥áá B . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ¨¬¥¥âáï 䨧¨ç¥áª ï ¥íª¢¨¢ «¥â®áâì ®¡®¨å ¯à ¢«¥¨© ¢à¥¬¥¨, ¨ § ª® ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨ ¬®£ ¡ë ¡ëâì ¥¥ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¬ ¢ëà ¦¥¨¥¬. ¤ ª®, ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ¤®«¦® ¡ë«® ¡ë áãé¥á⢮¢ âì ᮤ¥à¦ 饥 h ¥à ¢¥á⢮, ®¡¥á¯¥ç¨¢ î饥 á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì í⮣® § ª® . ® á¨å ¯®à ¨ª®¬ã ¥é¥ ¥ 㤠«®áì ¯à®á«¥¤¨âì â ªãî á¢ï§ì ¨ ¯®ª § âì, çâ® ® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®. î¤ ¦¥ ¬®¦® ®â¥á⨠¨ ¢®§¬®¦®áâì ®¡êïᥨï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¥®¡à ⨬®á⨠®á®¢¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ãáâ ®¢«¥®£® ¢ ᮢ६¥®© 䨧¨ª¥ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ ç१¢ëç ©® á« ¡®£® àã襨ï â ª §ë¢ ¥¬®© CP -ᨬ¬¥âਨ, ¥¨§¡¥¦® ¯à¨¢®¤ï饣® ª ®ç¥ì á« ¡®¬ã àã襨î T -¨¢ ਠâ®á⨠¢ ¯à®æ¥áá å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ.
« ¢ 2
®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á . ¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâà¥¨î ¢ ¦¥©è¥©, á ¯à ªâ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï, § ¤ ç¨ ® 宦¤¥¨¨ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ⥫ , ïî饣®áï ¬ «®© ç áâìî ª ª®©-«¨¡® ¡®«ì让 § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë. 뤥«¨¬ ¨§ § ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ¨â¥à¥áãî饥 á ⥫® ¨ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì á¨á⥬㠪 ª á®áâ ¢«¥ãî ¨§ ¤¢ãå ç á⥩: ¨§ ¤ ®£® ⥫ (¯®¤á¨á⥬ë) ¨ ¢á¥© ®á⠫쮩 ¥¥ ç á⨠(®ªà㦠î饩 ¨â¥à¥áãî饥 á ⥫®), ª®â®àãî ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì â¥à¬®áâ ⮬ ¨«¨ á।®© (¬. ¨á. 2-1). ®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® â¥à¬®áâ ⠯।áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á¨á⥬ã á ¡®«ì訬 ç¨á«®¬ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë, ᯮᮡãî ®¡¬¥¨¢ âìáï í¥à£¨¥© á à áᬠâਢ ¥¬®© ¯®¤á¨á⥬®©, ¯à¨ç¥¬ áç¨â ¥¬, çâ® ® á⮫쪮 ¢¥«¨ª, çâ® ¥£® á®áâ®ï¨¥ ¯à¨ â ª®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ¥ ¬¥ï¥âáï1. ஢¥¤¥¬ à áᬮâ२¥ á ç « ®á®¢¥ ª¢ ⮢®© áâ â¨á⨪¨. ®¢®ªã¯®áâì ¤ ®© á¨áâ¥¬ë ¨ â¥à¬®áâ ⠡㤥¬ à áᬠâਢ âì ª ª ¥¤¨ãî, í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¨§®«¨à®¢ ãî § ¬ªãâãî á¨á⥬ã á £ ¬¨«ì⮨ ®¬ H = H1 + H2
(2.1)
£¤¥ H1 { £ ¬¨«ì⮨ ¨§ãç ¥¬®© á¨á⥬ë, H2 { £ ¬¨«ì⮨ â¥à¬®áâ â , ª®â®àë© ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï § ç¨â¥«ì® ¡®«ì訬, 祬 ¨â¥à¥áãîé ï á á¨á⥬ . § ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬¥¦¤ã á¨á⥬®© ¨ â¥à¬®áâ ⮬ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬ ®ç¥ì ¬ «ë¬, ®, áâண® £®¢®àï, 1 ®á«¥¤ãî饥
¨§«®¦¥¨¥, ¢ ®á®¢®¬, á«¥¤ã¥â [4]. ï¤ ¢®¯à®á®¢ ¨§«®¦¥ ¯® [1, 2].
43
44
¨á. 2-1 ¨á⥬ (1) ¢ â¥à¬®áâ ⥠(á।¥) (2).
¥ à ¢ë¬ ã«î, ¯®áª®«ìªã ®® ¤®«¦® ®¡¥á¯¥ç¨âì ¯®áâ®ïá⢮ í¥à£¨¨ ¯®«®© á¨á⥬ë (¢ £ ¬¨«ì⮨ ¥ (2.1) ®® ¢®®¡é¥ ¥ 䨣ãà¨àã¥â) 2. â ª®¬ á«ãç ¥, ¢®«®¢ ï äãªæ¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï £ ¬¨«ì⮨ ã (2.1), à ᯠ¤ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢®«®¢ëå äãªæ¨© â¥à¬®áâ â (á¨á⥬ 2) ¨ ¨§ãç ¥¬®£® ⥫ (á¨á⥬ 1): ik (x; y) = k (x) i (y)
(2.2)
£¤¥ k (x) { ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ H1, i (y) { ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ H2, x ¨ y { ᮢ®ªã¯®áâì ª®®à¤¨ â á¨áâ¥¬ë ¨ â¥à¬®áâ â ᮮ⢥âá⢥®. ஢¨ í¥à£¨¨ ¯®«®© á¨á⥬ë (á ãç¥â®¬ ä ªâ¨ç¥áª®£® ¯à¥¥¡à¥¦¥¨ï íä䥪⠬¨ ¯®¢¥àå®á⮣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï) à ¢ë á㬬¥ ã஢¥© á¨á⥬ (1) ¨ (2): Eik = Ei + Ek
(2.3)
£¤¥ Ek { ã஢¨ á¨á⥬ë (1), Ei { ã஢¨ í¥à£¨¨ â¥à¬®áâ â (2). â â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à (¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨) ¯®«®© (§ ¬ªã⮩!) á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤: X (xy; x0 y0 ) = wik ik (x; y) ik? (x0; y0 ) (2.4) ik
£¤¥ wik ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á 訬 ®á®¢ë¬ ¯®áâ㫠⮬, ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª¨¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ (1.58):
[ (E)];1 ¯à¨ E E E + E ik w(Eik ) = 0
¢¥ í⮣® á«®ï
(2.5)
2 ¯à¨¬¥à, ⥯«®¢®© ª®â ªâ ⥫ á â¥à¬®áâ ⮬ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ç¥à¥§ á⥪¨ á®á㤠¨ ï¥âáï ¬ «ë¬ ¯®¢¥àå®áâë¬ íä䥪⮬.
45
âà¨æã ¯«®â®á⨠¨§ãç ¥¬®© á¨á⥬ë (1) ¯®«ã稬, ¢ëç¨á«¨¢ è¯ãà ®â ¯®«®£® áâ ⮯¥à â®à ¯® ª®®à¤¨ â ¬ â¥à¬®áâ â (á¨á⥬ë (2))3 : (x; x0) = Sp2 (xy; x0 y0 ) =
X ik
Z
wik dy ik (x; y) ik? (x0; y)
(2.6)
®âªã¤ , á ¯®¬®éìî (2.2) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ®à⮮ନ஢ ®áâì ¢®«®¢ëå äãªæ¨©, ¥¬¥¤«¥® ¯®«ãç ¥¬: X (x; x0) = wk k (x) k? (x0 ) (2.7) £¤¥
k
wk =
X i
wik
(2.8)
âáî¤ ïá®, çâ® ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ©â¨ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ॠ«¨§ 樨 á®áâ®ï¨© ¢ á¨á⥬¥ (1), 㦮 ¯à®á㬬¨à®¢ âì à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ¢ ¯®«®© á¨á⥬¥ ¯® ¢á¥¬ á®áâ®ï¨ï¬ â¥à¬®áâ â (¤ «¥¥ ®¡®§ ç ¥¬ ¤«ï ªà ⪮á⨠Eik = E): X 1 X 1j w(Ek ) = w(Ei + Ek )jEi +Ek =E = (E) (2.9) Ei =E ;Ek : i i á®, çâ® (2.9) ᢮¤¨âáï ª:
; Ek ) w(Ek ) = 2(E
(E)
(2.10)
£¤¥ 2(E ; Ek ) { ç¨á«® ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª¨å á®áâ®ï¨© â¥à¬®áâ â , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í¥à£¨¨ E ; Ek , (E) { ç¨á«® á®áâ®ï¨© ¯®«®© á¨á⥬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í¥à£¨¨ E. ¢®¤ï íâய¨î â¥à¬®áâ â S2 (E) ¨ íâய¨î ¢á¥© á¨á⥬ë S(E) á ¯®¬®éìî (1.170) ¯¥à¥¯¨è¥¬ (2.10) ¢ ¢¨¤¥: w(Ek ) = expfS2 (E ; Ek ) ; S(E)g (2.11) ç¨âë¢ ï, çâ® è á¨á⥬ (1) ¬ « ¯® áà ¢¥¨î á â¥à¬®áâ ⮬, â ª çâ® ¨ Ek E, ¯à®¢¥¤¥¬ à §«®¦¥¨¥: 2 S2 (E ; Ek ) S2 (E) ; @S (2.12) @E Ek ®¤áâ ¢«ïï (2.12) ¢ (2.11) ¯®«ãç ¥¬: E w(Ek ) = A exp ; Tk (2.13) £¤¥ ¢¢¥«¨ ⥬¯¥à âãàã T (â¥à¬®áâ â !) ª ª: 1 @S2 (E) @ ln 2 (E) (2.14) T = @E = @E ª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ (®¡à ⮩) ⥬¯¥à âãàë ᮢ¯ ¤ ¥â á â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬, ¥á«¨ ®â®¦¤¥á⢨âì èã áâ â¨áâ¨ç¥áªãî íâய¨î á â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®©. (2.13) A = 3 â® ¢¯®«¥ «®£¨ç® ⮬ã, ª ª ¢ëè¥ ¬ë ¯®«ãç «¨, ¯à¨¬¥à, ®¤®ç áâ¨çãî ¬ âà¨æã ¯«®â®á⨠¨§ ¤¢ãåç áâ¨ç®©.
46
expfS2 (E) ; S(E)g = const, ¥ § ¢¨áïé ï ®â Ek , â.¥. ®â á®áâ®ï¨ï ¨â¥à¥áãî饩 á á¨á⥬ë (1), ª®â®àãî, ä ªâ¨ç¥áª¨ ¡ã¤¥¬ ®¯à¥¤¥«ïâì ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨. ëà ¦¥¨¥ (2.13) { ®¤ ¨§ ¢ ¦¥©è¨å ä®à¬ã« áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨, ® ®¯à¥¤¥«ï¥â áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ⥫ , ïî饣®áï áà ¢¨â¥«ì® ¬ «®© ç áâìî ¥ª®â®à®© ¡®«ì让 § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë ( íâ®, ¯® áã⨠¤¥« , ¥áâì ¨¡®«¥¥ ®¡é¨© á«ãç ©, á ª®â®àë¬ ¯à¨å®¤¨âáï ¨¬¥âì ¤¥«® ¯à¨ à¥è¥¨¨ ॠ«ìëå § ¤ ç { ®ªà㦠îé ï á। ¢á¥£¤ ¥áâì!). ëà ¦¥¨¥ (2.13) §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¨¡¡á . P ®à¬¨à®¢®ç ï ¯®áâ®ï ï A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ k wk = 1, ®âªã¤ ¨ ¨§ (2.13) áà §ã ¯®«ãç ¥¬: 1 Z = X e; ETk : (2.15) A k
¢¥¤¥ãî §¤¥áì ¢¥«¨ç¨ã Z §ë¢ îâ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© á㬬®©. ¯®¬®éìî â ª®£® ®¡®§ ç¥¨ï ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ (2.13) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬 áâ ¤ à⮬ ¢¨¤¥4: w(Ek ) = Z ;1 exp ; ETk (2.16)
।¥¥ § 票¥ «î¡®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ®¯¥à â®à®¬ f, ¬®¦® ⥯¥àì á®áç¨â âì á ¯®¬®éìî à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á ª ª: P f e; ETk X < f >= wk fkk = Pk kk; Ek (2.17) k ke T £¤¥ fkk { ¤¨ £® «ìë© ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â f ¯® ¢®«®¢ë¬ äãªæ¨ï¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 â®çë¬ ãà®¢ï¬ í¥à£¨¨ á¨á⥬ë Ek . ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¥ ¬®¦® ¤¥©á⢮¢ âì ᮢ¥à襮 «®£¨çë¬ ®¡à §®¬. 뤥«¨¬ ¨§ § ¬ªã⮩ ª« áá¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¬ «ãî ç áâì (¯®¤á¨á⥬ã), ⮣¤ í«¥¬¥â ®¡ê¥¬ d;0 ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠¢á¥© (¯®«®©) á¨áâ¥¬ë ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ d;0 = d;0d;, £¤¥ d; ®â®á¨âáï ª 襩 ¯®¤á¨á⥬¥, d;0 ª â¥à¬®áâ âã (®ªà㦠î饩 á।¥). á ¨â¥à¥áã¥â äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¤«ï ¯®¤á¨á⥬ë, £¤¥ 室¨âáï ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ â¥à¬®áâ â á ¥ ¨â¥à¥áã¥â, ¯®í⮬㠯® ¯¥à¥¬¥ë¬ â¥à¬®áâ â 㦮 ¯à®¨â¥£à¨à®¢ âì. ®£¤ ¯® ¯à¨æ¨¯ã à ¢®¢¥à®ïâ®á⨠á®áâ®ï¨© ¢ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¬ á ¬¡«¥ (®¯¨áë¢ î饬 ¯®«ãî § ¬ªãâãî á¨á⥬ã { ¯®¤á¨á⥬ + â¥à¬®áâ â) ¯à®áâ® ¯®«ãç ¥¬: dw 0 d; (2.18) £¤¥ 0 { ä §®¢ë© ®¡ê¥¬ (áâ ⢥á) â¥à¬®áâ â . ¥à¥¯¨è¥¬ ⥯¥àì íâ®â áâ ⢥á ç¥à¥§ íâய¨î:
0 expfS 0 (E0 ; E(p; q))g (2.19) £¤¥ E0 { í¥à£¨ï ¢á¥© § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë, E(p; q) { í¥à£¨ï ¯®¤á¨á⥬ë. ®á«¥¤ïï § ¯¨áì ¯à®áâ® ãç¨âë¢ ¥â, çâ® í¥à£¨ï â¥à¬®áâ â E 0 = E0 ; E(p; q), â ª ª ª E0 = E 0 + E(p; q), ¥á«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¨ â¥à¬®áâ â ¬®¦® ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯à¥¥¡à¥çì. ¥¯¥àì ¢á¥ ¯à®áâ®: dw = (p; q)d; expfS 0 (E0 ; E(p; q))gd; (2.20) 4
᫨ ¨§¬¥àïâì ⥬¯¥à âãàã ¢ £à ¤ãá å, ¥ ¢ í¥à£¥â¨ç¥áª¨å ¥¤¨¨æ å, ª ª íâ® ¤¥« ¥¬ ¬ë ¢® ¢á¥¬ ªãàá¥, â® ¢¥§¤¥ ¤® ᤥ« âì § ¬¥ã T ! kB T , £¤¥ kB = 1:3810;16 í࣠£à ¤ { ¯®áâ®ï ï ®«ìæ¬ . ç áâ®á⨠⮣¤ kB ¤®¡ ¢¨âáï ¨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ íâய¨¨: S = kB ln .
47
â ª çâ®
(p; q) expfS 0 (E0 ; E(p; q))g (2.21) ª ¨ ¢ëè¥ ¯à®¢¥¤¥¬ à §«®¦¥¨¥: 0 q) (2.22) S 0 (E0 ; E(p; q)) S 0 (E0) ; E(p; q) dSdE(E0) = S 0 (E0 ) ; E(p; T 0 £¤¥ ®¯ïâì ¢¢¥«¨ ⥬¯¥à âãàã â¥à¬®áâ â T. ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬ ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥: E(p;q) (p; q) = Ae; T (2.23) £¤¥ E(p; q) { í¥à£¨ï ¨§ãç ¥¬®£® ⥫ (¯®¤á¨áâ¥¬ë ¢ â¥à¬®áâ â¥), ª ª äãªæ¨ï ¥£® ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ. ®à¬¨à®¢®ç ï ¯®áâ®ï ï A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬:
Z
Z
d;(p; q) = A d;e; Z = A;1 =
Z
E(p;q) T
d;e;
=1
E(p;q) T
(2.24)
£¤¥ Z ¬®¦® §ë¢ âì áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¨â¥£à «®¬. ¥à¥¬áï ª ª¢ ⮢®¬ã á«ãç î. ®¨ç¥áª®¬ã à á¯à¥¤¥«¥¨î ¨¡¡á ᮮ⢥âáâ¢ã¥â áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à (¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨) ¢¨¤ : (x; x0) = Z ;1
X k
E
e; Tk k (x) k? (x0)
(2.25)
£¤¥ x { ᮢ®ªã¯®áâì ª®®à¤¨ â (¨ ¢®§¬®¦® ᯨ®¢) ç áâ¨æ (¥á«¨ à ¡®â ¥¬ ¢ ª®®à¤¨ ⮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨), ; k (x) { ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ £ ¬¨«ì⮨ H. ¢¥¤¥¬ ®¯¥à â®à exp ; HT . ®£¤ ¬®¦® § ¯¨á âì ª®¬¯ ªâ®¥ ®¯¥à â®à®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï: H ; 1 (2.26) = Z exp ; T ¨ ¤«ï áâ âá㬬ë: (2.27) Z = Sp exp ; H T
®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï áâ âáã¬¬ë ®ç¥ì 㤮¡®, â ª ª ª ¨§-§ ¨¢ ਠâ®á⨠®¯¥à 樨 Sp ®â®á¨â¥«ì® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¬ âà¨æ ®® ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à äãªæ¨© k (x), ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¨ ¥ ¡ëâì ᮡá⢥묨 äãªæ¨ï¬¨ H. ® á¨å ¯®à ¬ë £®¢®à¨«¨ ® ª ®¨ç¥áª®¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¨¡¡á ª ª ® áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¤«ï ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¢ãâਠ¡®«ì让 § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë. ¬¥â¨¬, çâ® ¢ëè¥ ¢ (1.56) ¬ë, ä ªâ¨ç¥áª¨, 㦥 ¯®«ãç «¨ ¥£® ¯®ç⨠\¨§ ¨ç¥£®", ¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ ஫¨ í¥à£¨¨ ¨ ¤àã£¨å ¤¤¨â¨¢ëå ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï. ஢¥¤¥ë© â ¬ ¢ë¢®¤, ¢ ¯à¨æ¨¯¥, ¢¯®«¥ ¯à ¢¨«¥, ® ® ¥ ¢¯®«¥ à áªàë¢ ¥â 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮣® à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ¦® ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¬®¦® á ãᯥ宬 ¯à¨¬¥ïâì ¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®á®¢ëå áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠§ ¬ªãâëå á¨á⥬. ¥©á⢨⥫ì®, § 票ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ⥫ ¥ § ¢¨áïâ ®â ⮣®, à áᬠâਢ ¥¬-«¨ ¬ë ⥫® ª ª § ¬ªã⮥ ¨«¨ ª ª ¯®¬¥é¥®¥ ¢ ¢®®¡à ¦ ¥¬ë© â¥à¬®áâ â. ⫨稥 § ¬ªã⮣® ⥫ ®â ¥§ ¬ªã⮣® ¯à®ï¢«ï¥âáï,
48
¯® áãé¥áâ¢ã, «¨èì ¯à¨ à áᬮâ२¨ áà ¢¨â¥«ì® ¬ «® ¨â¥à¥á®£® ¢®¯à®á ® ä«ãªâã æ¨ïå ¯®«®© í¥à£¨¨ ⥫. ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤ ¥â ¤«ï á।¥© ä«ãªâã 樨 í⮩ ¢¥«¨ç¨ë ®â«¨ç®¥ ®â ã«ï § 票¥, ª®â®à®¥ ¤«ï ⥫ , 室ï饣®áï ¢ á।¥, ¨¬¥¥â ॠ«ìë© á¬ëá«, ¤«ï § ¬ªã⮣® ⥫ 䨪⨢®, ¯®áª®«ìªã í¥à£¨ï â ª®£® ⥫ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯®áâ®ï ¨ ¥ ä«ãªâã¨àã¥â. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á ¥áà ¢¥® 㤮¡¥¥ ¤«ï ¯à®¢¥¤¥¨ï ª®ªà¥âëå à áç¥â®¢, ¥¦¥«¨ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥. ¬¥® ®® ॠ«ì® ¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï, á®áâ ¢«ïï ®á®¢ã ¯¯ à â áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨.
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ªá¢¥«« . ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¯à®á⥩襣®, ® ¢ ¦®£®, ¯à¨¬¥¥¨ï ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï à áᬮâਬ ¢ë¢®¤ á ¥£® ¯®¬®éìî à á¯à¥¤¥«¥¨ï ªá¢¥«« . ¥à£¨ï E(p; q) ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥ ¢á¥£¤ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ª¨¥â¨ç¥áª®© ¨ ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨©. ¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬ ®â¤¥«ìëå ⮬®¢ ⥫ , ¯®â¥æ¨ «ì ï ¤ ¥âáï ¥ª®â®à®© äãªæ¨¥© ¨å ª®®à¤¨ â, § ¢¨áï饩 ®â § ª® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨ ¢¥è¥£® ¯®«ï, ¥á«¨ â ª®¢®¥ ¨¬¥¥âáï: E(p; q) = K(p) + U(q) (2.28) â ª çâ® ¢¥à®ïâ®áâì dw = (p; q)dpdq § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: dw = Ae;
K(p) ; U (q) T e T dpdq
(2.29)
â.¥. à §¡¨¢ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¤¢ãå ¬®¦¨â¥«¥©, ¨§ ª®â®àëå ®¤¨ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¨¬¯ã«ìᮢ, ¤à㣮© { ⮫쪮 ®â ª®®à¤¨ â. â® ®§ ç ¥â, çâ® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥à®ïâ®á⥩ ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ (᪮à®á⥩) ¨ ª®®à¤¨ â ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤à㣠®â ¤à㣠. ®í⮬㠬®¦® ¯¨á âì: K(p) dwp = ae; T (2.30) U (q )
dwq = be; T (2.31) ¦¤ ï ¨§ íâ¨å äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ®à¬¨à®¢ ¥¤¨¨æã, çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«¨â ®à¬¨à®¢®çë¥ ª®áâ âë a ¨ b. áᬮâਬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ (᪮à®á⥩), ª®â®à®¥, ¢ à ¬ª å ª« áá¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ , ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢¨¤ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç áâ¨æ ¢ãâਠá¨áâ¥¬ë ¨«¨ ®â ¢¥è¥£® ¯®«ï ¨ ï¥âáï, ¢ í⮬ á¬ëá«¥, 㨢¥àá «ìë¬. «ï ⮬ á ¬ áᮩ m ¨¬¥¥¬5: 1 2 2 2 dwp = a exp ; 2mT (px + py + pz ) dpxdpy dpz (2.32) ®âªã¤ , ¢ ç áâ®áâ¨, ¢¨¤®, çâ® ¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®â¤¥«ìëå ª®¬¯®¥â ¨¬¯ã«ìá â ª¦¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë. ®áâ®ïãî a ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨. ¯®¬®éìî 5 ¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï ¢á¥£® ⥫ { á㬬 ª¨¥â¨ç¥áª¨å í¥à£¨© ª ¦¤®£® ¨§ ¢å®¤ïé¨å ¢ ¥£® ⮬®¢, â ª çâ® ¢¥à®ïâ®áâì ®¯ïâì à ᯠ¤ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬®¦¨â¥«¥©, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå § ¢¨á¨â ®â ¨¬¯ã«ìᮢ ®¤®£® ⮬ .
49
¨§¢¥á⮩ ä®à¬ã«ë ã áá® - ãáá 6 : 室¨¬ a
Z1 ;1
dpx
Z1 ;1
dpy
2 dxe; x = ;1
(2.33)
Z1
1 (p2 + p2 + p2 ) = dpz exp ; 2mT x y z ;1
=a â ª çâ®:
r
Z1
I=
Z 1
;1
dpe;p2 =2mT
3
= a(2mT)3=2
a = (2mT );3=2 ª®ç â¥«ì® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
!
p2x + p2y + p2z 1 dwp = (2mT dpx dpy dpz exp ; 2mT )3=2
(2.34) (2.35)
¥à¥å®¤ï ®â ¨¬¯ã«ìᮢ ª ᪮à®áâï¬, ¬®¦® ¯¨á âì «®£¨ç®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤«ï ᪮à®á⥩:
! m 3=2 m(vx2 + vy2 + vz2 ) dwv = 2T exp ; dvx dvy dvz 2T
(2.36)
â® ¨ ¥áâì à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ªá¢¥«« { ®¤¨ ¨§ ¯¥à¢ëå १ã«ìâ ⮢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¨. ªâ¨ç¥áª¨, ®® à ᯠ¤ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ âà¥å ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¬®¦¨â¥«¥©: r m mvx2 (2.37) dwvx = 2T e; 2T dvx ::: ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«ï¥â à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ¤«ï ®â¤¥«ì®© ª®¬¯®¥âë ᪮à®áâ¨. ¬¥â¨¬, çâ® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ªá¢¥«« ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¤«ï ¯®áâ㯠⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï ¬®«¥ªã« ( ¯à¨¬¥à, ¢ ¬®£® ⮬®¬ £ §¥), ¢¥ § ¢¨á¨¬®á⨠®â å à ªâ¥à ¢ãâਬ®«¥ªã«ïண® ¤¢¨¦¥¨ï ⮬®¢ (m ¢ í⮬ á«ãç ¥ { ¬ áá ¬®«¥ªã«ë), ®® ¦¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï ¡à®ã®¢áª®£® ¤¢¨¦¥¨ï ç áâ¨æ, ¢§¢¥è¥ëå ¢ ¦¨¤ª®áâ¨.
᫨ ®â ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨ â ¢ ¯à®áâà á⢥ ᪮à®á⥩ ¯¥à¥©â¨ ª áä¥à¨ç¥áª¨¬, ¯®«ã稬: m 3=2 ; mv2 2 dwv = 2T e 2T v sin dd'dv (2.38) £¤¥ v { ¡á®«îâ ï ¢¥«¨ç¨ ᪮à®áâ¨, ¨ ' { ¯®«ïàë© ¨ §¨¬ãâ «ìë© ã£«ë, ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯à ¢«¥¨¥ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠v. ⥣à¨àãï ¯® 㣫 ¬, 室¨¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ¤«ï ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨ë ᪮à®áâ¨: m 3=2 ; mv2 2 dwv = 4 2T e 2T v dv (2.39)
R 1 dxe; x2 R 1 dye; y2 = R 1 dx R 1 dye; (x2 +y2) 6 ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® I 2 = ;1 ;1 ;1 ;1 R R 2 1 de; 2 = 1 dze; z = = , çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â ä®à¬ã«ã ã áá® - ãáá 0
0
=
50
ª ç¥á⢥ ¯à®á⮣® ¯à¨¬¥à ¯à¨¬¥¥¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ªá¢¥«« , ¢ëç¨á«¨¬ á।¥¥ § 票¥ ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨ ⮬ . «ï «î¡®© ¨§ ¤¥ª à⮢ëå ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¨¬¥¥¬7:
r m Z1 mv2 T dvxvx2 e; 2Tx = m x >= 2T
< v2
;1
(2.40)
®í⮬ã á।¥¥ § 票¥ ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨ ⮬ à ¢® 3T=2, â.¥. 3kB T=2 ¯à¨ ¨§¬¥à¥¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¢ £à ¤ãá å. ®£¤ á।ïï ª¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï ¢á¥å ç áâ¨æ ⥫ ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¥ ¢á¥£¤ à ¢ 3NT=2, £¤¥ N { ¯®«®¥ ç¨á«® ⮬®¢.
¢®¡®¤ ï í¥à£¨ï ¢ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¨¡¡á . ᮮ⢥âá⢨¨ á ¢ëà ¦¥¨¥¬ (1.175) íâய¨ï ⥫ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥ ª ª á।¥¥ § 票¥ «®£ à¨ä¬ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï: S = ; < ln wk >= ;
X k
wk ln wk
(2.41)
®¤áâ ¢«ïï áî¤ ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ (2.16), ¯®«ãç ¥¬, P w E çâ®: ; < lnwk >= ln Z + T1 Pk wk Ek = ln Z + <E> , £¤¥ < E >= k k k { á।ïï T í¥à£¨ï. ®áª®«ìªã á।ïï í¥à£¨ï < E > { íâ® ª ª à § â®, çâ® ¯®¨¬ ¥âáï ¯®¤ í¥à£¨¥© ⥫ E ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¥, ¬®¦¥¬ ¯¨á âì (2.41) ¢ ¢¨¤¥: S = ln Z + ET , ¨«¨, ãç¨âë¢ ï, ç⮠᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¥ F = E ; TS: F = ;T ln Z = ;T ln
X k
E
e; Tk
(2.42)
â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤ ¥â ®á®¢ãî ä®à¬ã«ã à ¢®¢¥á®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ { ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¯à®¨§¢®«ì®© á¨á⥬ë ç¥à¥§ ¥¥ áâ â¨áâ¨ç¥áªãî á㬬ã. ªâ¨ç¥áª¨, íâ®â ä㤠¬¥â «ìë© à¥§ã«ìâ â ®§ ç ¥â, çâ® ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ⥫ ¤®áâ â®ç® § âì ¥£® â®çë© í¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà. ਠí⮬ § ¨ï, ᪠¦¥¬, ¢®«®¢ëå äãªæ¨© ¥ âॡã¥âáï, § ¤ ç 宦¤¥¨ï ᯥªâà ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à , ¢ ¯à¨æ¨¯¥, ¯à®é¥ ¯®«®© ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®© § ¤ ç¨, ¢ª«îç î饩 ¨ 宦¤¥¨¥ ¢®«®¢ëå äãªæ¨© (ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢). § (2.42) ¢¨¤®, çâ® ®à¬¨à®¢®çë© ¬®¦¨â¥«ì ¢ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¨¡¡á (2.16), ä ªâ¨ç¥áª¨, ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ᢮¡®¤ãî í¥à£¨î: Z1 = e FT , â ª çâ® (2.16) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ¢¨¤¥: F ; Ek wk = exp (2.43) T ¢ ª®â®à®¬ ®® ç áâ® ¨ ¯à¨¬¥ï¥âáï.
R n+1 ; ¨â¥£à « ®¡é¥£® ¢¨¤ In = 01 dxxn e; x2 ¨¬¥¥¬: In = 21 ; 2 ; n+1 2 , £¤¥ ;(x) { ;-äãªæ¨ï, § ç¥¨ï ª®â®à®© ¯à¨ ¯®«ã楫ëå § 票ïå à£ã¬¥â å®à®è® ¨§¢¥áâë. 7 «ï
51
«®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥, ¨á¯®«ì§ãï (1.167), (2.23) ¨ (2.24), ¯®«ãç ¥¬: F ; E(p; q) (2.44) (p; q) = exp T £¤¥ E(p; q) Z F = ;T ln d; exp ; T (2.45)
£¤¥ d; = (2dpdq h)3N N ! . ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ ª« áᨪ¥ áâ âá㬬 § ¬¥ï¥âáï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¨â¥£à «®¬. ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® E(p; q) ¢á¥£¤ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ª¨¥â¨ç¥áª®© K(p) ¨ ¯®â¥æ¨ «ì®© U(q) í¥à£¨¨, ª¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï ¥áâì ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬, ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬ ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ ¨â¥£à «¥ ¬®¦® ¢ë¯®«¨âì ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ (áà. ¢ëè¥ ¢ë¢®¤ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ªá¢¥«« !). ®í⮬㠧 ¤ ç ® ¢ëç¨á«¥¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® ¨â¥£à « ᢮¤¨âáï ª U (q) ; T § ¤ ç¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ¢á¥¬ ª®®à¤¨ â ¬ äãªæ¨¨ e , çâ®, ª®¥ç®, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥¢®§¬®¦® ᤥ« âì â®ç®.
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á á ¯¥à¥¬¥ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ. ® á¨å ¯®à ¬ë ¬®«ç «¨¢® ¯à¥¤¯®« £ «¨, çâ® ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ ⥫¥ ¥áâì ¥ª®â®à ï § ¤ ï ¯®áâ®ï ï ¢¥«¨ç¨ . ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, ¬¥¦¤ã à §«¨ç묨 ¯®¤á¨á⥬ ¬¨ ¡®«ì让 á¨áâ¥¬ë ¬®¦¥â ¯à®¨á室¨âì ®¡¬¥ ç áâ¨æ ¬¨. ¨á«® ç áâ¨æ N ¢ ¯®¤á¨á⥬¥ ¡ã¤¥â ä«ãªâã¨à®¢ âì ¢¡«¨§¨ ᢮¥£® á।¥£® § 票ï. ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï § ¢¨á¨â ⥯¥àì ¥ ⮫쪮 ®â í¥à£¨¨ ª¢ ⮢®£® á®áâ®ï¨ï, ® ¨ ®â ç¨á« ç áâ¨æ N ¢ ⥫¥, ¯à¨ç¥¬ á ¬¨ ã஢¨ í¥à£¨¨ EkN ⮦¥ à §«¨çë ¯à¨ à §ëå N. ¥à®ïâ®áâì ⥫ã ᮤ¥à¦ âì N ç áâ¨æ ¨ 室¨âìáï ¯à¨ í⮬ ¢ k-¬ á®áâ®ï¨¨ ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì wkN . ¨¤ í⮩ äãªæ¨¨ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ â®ç®á⨠⥬ ¦¥ ᯮᮡ®¬, ª ª¨¬ ¢ëè¥ ¡ë« ¯®«ãç¥ äãªæ¨ï wk . ãáâì § ¬ªãâ ï á¨á⥬ á í¥à£¨¥© E (0) ¨ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ N (0) á®á⮨⠨§ ¤¢ãå á« ¡® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯®¤á¨á⥬ á í¥à£¨ï¬¨ E 0 (â¥à¬®áâ â) ¨ EkN (¬ « ï ¯®¤á¨á⥬ ) ¨ ç¨á« ¬¨ ç áâ¨æ N 0 (â¥à¬®áâ â) ¨ N (¯®¤á¨á⥬ ): E (0) = EkN + E 0 N (0) = N + N 0 (2.46) ।¯®« £ ¥¬, çâ® ¨â¥à¥áãîé ï á ¯®¤á¨á⥬ ¬ « ¯® áà ¢¥¨î á â¥à¬®áâ ⮬ (१¥à¢ã ஬ ç áâ¨æ): EkN E 0 N N 0 (2.47) ®áª®«ìªã ¯®« ï á¨á⥬ áç¨â ¥âáï § ¬ªã⮩, ª ¥© ¬®¦® ®¯ïâì ¯à¨¬¥¨âì ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥. «®£¨ç® ⮬ã, ª ª íâ® ¤¥« «®áì ¢ëè¥ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ©¤¥¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ¢ ¬ «®© ¯®¤á¨á⥬¥ wkN , ¯à®á㬬¨à®¢ ¢ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯®«®© á¨áâ¥¬ë ¯® ¢á¥¬ á®áâ®ï¨ï¬ â¥à¬®áâ â . ¯®«®© «®£¨¨ á (2.10) ¯®«ã稬: 0 (0) kN ; N (0) ; N) wkN = (E (0);(EE(0) (2.48) ; N (0))
52
£¤¥ 0 { áâ ⢥á â¥à¬®áâ â , (0) { áâ â¢¥á ¢á¥© § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë. ᯮ«ì§ãï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ íâய¨¨ ¥¬¥¤«¥® ¯®«ãç ¥¬:
n
wkN = Const exp S 0 (E (0) ; EkN ; N (0) ; N)
o
(2.49)
«¥¥ ¬®¦® ᮢ à §«®¦¨âì S 0 ¯® á⥯¥ï¬ EkN ¨ N, ®£à ¨ç¨¢ ïáì «¨¥©ë¬¨ ç«¥ ¬¨: @S0 @S0 0 (0) (0) 0 (0) (0) EkN ; @N N +::: (2.50) S (E ; EkN ; N ; N) S (E ; N ) ; @E V;N E;V ᯮ¬¨¬ ⥯¥àì â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ á®®â®è¥¨ï ¤«ï á¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ: @E dE = TdS ; P dV + dN; = @N (2.51) S;V
¨«¨
P dS = dE (2.52) T + T dV ; T dN; ®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬: @S 1 ; @S = (2.53) @E V;N T @N E;V = ; T ®£¤ à §«®¦¥¨¥ (2.50) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: (2.54) S 0 (E (0) ; EkN ; N (0) ; N) S 0 (E (0) ; N (0)) ; ETkN + N T ¯à¨ç¥¬ 㦮 ¨¬¥âì ¢¢¨¤ã, ç⮠娬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « ¨ ⥬¯¥à âãà T ¤«ï ⥫ (¯®¤á¨á⥬ë) ¨ â¥à¬®áâ â ᮢ¯ ¤ îâ ¢ ᨫã ãá«®¢¨© â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬ äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ¢¨¤¥: wkN = A exp N ;T EkN (2.55) ®à¬¨à®¢®ç ï ¯®áâ®ï ï A ®¯ïâì ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥ ç¥à¥§ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë. «ï í⮣® ¢ëç¨á«¨¬ íâய¨î ⥫ : S = ; < ln wkN >= ; ln A ; T < N > + T1 < E > (2.56) ¨«¨ T lnA =< E > ;TS ; < N > : (2.57) ⮦¤¥á⢫ïï < E > á â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®© í¥à£¨¥© ⥫ E, < N > á â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ N ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® E ; TS = F , F ; N ¥áâì, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î, â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « 8 , ¨¬¥¥¬ T ln A = , â ª çâ® (2.55) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: + N ; EkN (2.58) wkN = exp T 8 ¥
¯ãâ âì á® áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¢¥á®¬!
53
â® ¨ ¥áâì ®ª®ç ⥫ì ï ä®à¬ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á ¤«ï á¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ, ª®â®à ï §ë¢ ¥âáï ¡®«ì訬 ª ®¨ç¥áª¨¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬. á«®¢¨¥ ®à¬¨à®¢ª¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (2.58) ¨¬¥¥â ¢¨¤:
XX N k
wkN = e
T
X N
N eT
X k
E T e; kN
!
=1
(2.59)
âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ®¡é¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « :
= ;T ln
X N
N eT
X k
E T e; kN
!
(2.60)
£¤¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¬®¦® §¢ âì ¡®«ì让 áâ â¨áâ¨ç¥áª®© á㬬®©. ëà ¦¥¨ï (2.42) ¨ (2.60) ®¯à¥¤¥«ïîâ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯à®¨§¢®«ìëå á¨á⥬, 室ïé¨åáï ¢ á®áâ®ï¨¨ à ¢®¢¥á¨ï. ਠí⮬ ᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï F ®¯à¥¤¥«ï¥âáï (2.42) ª ª äãªæ¨ï T, N ¨ V , â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ «
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (2.60) ª ª äãªæ¨ï T, ¨ V . «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬ã, ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¥ ¡®«ì讥 ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: (N )dq(N ) dwN = exp + N ;T EN (p; q) dp (2.61) (2h)3N N! N d;N ¥à¥¬¥ãî N ¯¨è¥¬ §¤¥áì ¢ ¢¨¤¥ ¨¤¥ªá ã äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ã í«¥¬¥â ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ , çâ®¡ë ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ª ¦¤®¬ã § 票î N ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᢮¥ ä §®¢®¥ ¯à®áâà á⢮ (ᮠ᢮¨¬ ç¨á«®¬ ¨§¬¥à¥¨© 6N). ®à¬ã« ¤«ï ¯®â¥æ¨ «
¨¬¥¥â ⥯¥àì ¢¨¤: (X Z E (p; q) ) N (2.62)
= ;T ln e T d;N exp ; N T N á®, çâ® ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¢á¥å áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠⥫ , ªà®¬¥ ä«ãªâã 権 ¯®«®£® ç¨á« ç áâ¨æ ¢ ¥¬, ª ®¨ç¥áª®¥ ¨ ¡®«ì讥 ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á ᮢ¥à襮 íª¢¨¢ «¥âë. ਠ¯à¥¥¡à¥¦¥¨¨ ä«ãªâã æ¨ï¬¨ ç¨á« ç áâ¨æ N ¨¬¥¥¬ + N = F ¨ í⨠à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ îâ. ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ⮣® ¨«¨ ¨®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ¡®«ìè¨á⢥ § ¤ ç ï¥âáï «¨èì ¢®¯à®á®¬ 㤮¡á⢠¢ëç¨á«¥¨©. ªâ¨ç¥áª¨, ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ï¥âáï á ¬ë¬ ¥ã¤®¡ë¬, ¨¡®«¥¥ 㤮¡ë¬ ç áâ® ®ª §ë¢ ¥âáï ¡®«ì讥 ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥.
뢮¤ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© ¨§ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á . ¢¥à訬 ⥯¥àì è¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ ®¡®á®¢ ¨¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¢ë¢®¤®¬ ¥¥ ®á®¢ëå á®®â®è¥¨© ¨§ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á .
é¥ ¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ ஫¨ ¤¤¨â¨¢ëå ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï ¨ ¢ë¢®¤¥ (1.56), ïî饣®áï, ä ªâ¨ç¥áª¨, ª ®¨ç¥áª¨¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¨¡¡á , ¬ë ®â¬¥ç «¨, çâ® ¬®¦¨â¥«ì ¯à¨ í¥à£¨¨ ¢
54
(1.56) ®¤¨ ª®¢, ¤«ï ¢á¥å ¯®¤á¨á⥬ ¤ ®© § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë. ç¨âë¢ ï, çâ® ¢ ª ®¨ç¥áª®¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ = ;1=T , ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ë¢®¤ã, çâ® íâ® ãá«®¢¨¥ íª¢¨¢ «¥â® ®¡ë箬ã â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ã ãá«®¢¨î à ¢¥á⢠⥬¯¥à âãà ¤«ï ¢á¥å ç á⥩ á¨á⥬ë, 室ï饩áï ¢ à ¢®¢¥á¨¨9. ¥âà㤮 ¯®ïâì, ç⮠⥬¯¥à P âãà T > 0, â ª ª ª ¨ ç¥ ¥¨§¡¥¦® à §®©¤¥âáï ®à¬¨à®¢®ç ï á㬬 k wk , ¯®áª®«ìªã í¥à£¨¨ ã஢¥© Ek ¬®£ã⠯ਨ¬ âì ᪮«ì 㣮¤® ¡®«ì訥 § 票ï. ᥠí⨠᢮©á⢠ᮢ¯ ¤ îâ á ®á®¢ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ⥬¯¥à âãàë. ਠ¢ë¢®¤¥ ®á®¢ëå â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© ¬®¦® ¯®áâ㯠âì ¯® à §®¬ã. ¯¨è¥¬ ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ ®¯¥à â®à®¬ ¢¨¤¥ ª ª: =e
F ;H T
(2.63)
®£¤ ãá«®¢¨¥ ®à¬¨à®¢ª¨ Sp = 1 ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì â ª:
e; FT = Sp e; HT
(2.64)
çâ®, ¯® áã⨠¤¥« , ï¥âáï ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨. த¨ää¥à¥æ¨à㥬 íâ® à ¢¥á⢮ ¯® T, ⮣¤ F 1 @F F 1 H ;T ;T (2.65) T 2 ; T @T e = T 2 Sp He ¬®¦ ï íâ® à ¢¥á⢮ T 2 e TF ¨ ãç¨âë¢ ï < H >= E, ¯®«ãç ¥¬ ®á®¢®¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ á®®â®è¥¨¥ ¨¡¡á -¥«ì¬£®«ìæ : (2.66) F = E + T @F @T à ¢¨¢ ï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ F = E ; TS, ¯®«ãç ¥¬ 1 (F ; < H >) S = ; @F = ; (2.67) @T T ëè¥ ¢ (1.174) ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¢ ®¯¥à â®à®¬ ¢¨¤¥ íâய¨ï § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª: S = ;Sp ln
(2.68)
®¦¤¥á⢥®áâì í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï S á ¯à¥¤ë¤ã騬 ¢¨¤ ¨§ ⮣®, ç⮠ᮣ« á® (2.63) ¨¬¥¥¬ ln = T1 (F ; H), ®á⠫쮥 ®ç¥¢¨¤®. ¤à㣮¬ ¢ ਠ⥠à áá㦤¥¨©, à áᬮâਬ ãá«®¢¨¥ ®à¬¨à®¢ª¨ ¢ ¢¨¤¥:
X k
e
F ;Ek T
=1
(2.69)
¨ ¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 íâ® à ¢¥á⢮, à áᬠâਢ ï ¥£® «¥¢ãî ç áâì ª ª äãªæ¨î T ¨ ¥ª®â®àëå ¢¥«¨ç¨ 1 ; 2; :::, å à ªâ¥à¨§ãîé¨å ¢¥è¨¥ ãá«®¢¨ï, ¢ ª®â®àëå 室¨âáï à áᬠâਢ ¥¬®¥ ⥫®. ⨠¢¥«¨ç¨ë ¬®£ãâ, ¯à¨¬¥à, ®¯à¥¤¥«ïâì ä®à¬ã 9 ëà ¦¥¨¥ (1.56) ᮢ¯ ¤ ¥â á ª ®¨ç¥áª¨¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ (2.43), ¥á«¨ áç¨â âì â ª¦¥, çâ® = F=T ¨ à áᬠâਢ âì ¯®ª®ïéãîáï á¨á⥬ã.
55
¨ à §¬¥àë § ¨¬ ¥¬®£® ⥫®¬ ®¡ê¥¬ , § ¤ ¢ âì ¢¥è¨¥ ¯®«ï ¨ â.¯. ஢¨ í¥à£¨¨ á¨á⥬ë Ek § ¢¨áïâ ®â 1 ; 2; ::: ª ª ®â ¯ à ¬¥â஢. ¨ää¥à¥æ¨àãï ¯®«ã稬 (¤«ï ªà ⪮á⨠¯¨è¥¬ ®¤¨ ¯ à ¬¥âà )10: X wk @E F ; E k k dF ; @ d ; T dT = 0 (2.70) k T âáî¤ ¨¬¥¥¬:
X X @Ek dT (2.71) wk @ + T (F ; wk Ek ) k k k P P P @<Ek > k ç¨âë¢ ï ⥯¥àì k wk = 1, k wk Ek =< E >= E ¨ k wk @E @ = @ , â ª¦¥ 11 dF
X
wk = d
F ; E = ;TS ¨ á®®â®è¥¨¥ : @ < Ek > = @ < H > (2.72) @ @ ¯®«ãç ¥¬ ®ª®ç ⥫ì®: dF = ;SdT + @ <@H > d = ;SdT + @E (2.73) @ d çâ® ¥áâì ®¡é¨© ¢¨¤ ¤¨ää¥à¥æ¨ « ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¥. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ ¡®«ì讣® ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï 12 (2.59) ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ®¡é¨© ¢¨¤ ¤¨ää¥à¥æ¨ « â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « : (2.74) d = ;SdT ; Nd ; @ <@H > d ëè¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ «®áì, çâ® ¢¥è¨¥ ¯ à ¬¥âàë 1 ; 2; ::: ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨ å à ªâ¥à¨§ãîâ á®áâ®ï¨¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë. ª¨¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¡ê¥¬ á®á㤠, ¯à殮®áâì ¢¥è¥£® í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¨«¨ ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¨ â.¤. ⨠¯ à ¬¥âàë 1 ; 2; ::: áç¨â îâáï ¬¥ïî騬¨áï áâ®«ì ¬¥¤«¥®, çâ® § ¢à¥¬ï ¯®à浪 ¢à¥¬¥¨ ५ ªá 樨 á¨áâ¥¬ë ª à ¢®¢¥á®¬ã á®áâ®ï¨î ¨å ¬®¦® áç¨â âì ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®áâ®ï묨. ®£¤ ¬®¦® áç¨â âì, çâ® ¢ ª ¦¤ë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ á¨á⥬ 室¨âáï ¢ á®áâ®ï¨¨ à ¢®¢¥á¨ï, ¥á¬®âàï ¨§¬¥¥¨¥ ¢¥è¨å ¯ à ¬¥â஢. ª®© ¯à®æ¥áá ¨§¬¥¥¨ï ¢¥è¨å ¯ à ¬¥â஢ §ë¢ ¥âáï ª¢ §¨áâ â¨ç¥áª¨¬.
᫨ à áᬠâਢ âì ¯ à ¬¥âàë 1 ; 2; ::: ª ª ®¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨ âë, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¡®¡é¥ë¥ ᨫë à ¢ë: @H i = ; @ (2.75) i 10 ®ç¥¥, § ¯¨è¥¬ ¯®«ë© ¤¨ää¥à¥æ¨ « «¥¢®© ç á⨠(2.69): d
P
F ;Ek ke T
=
P
k wk d
; F ;Ek = T
0, çâ® ¨ ¤ áâ (2.70) 11
᫨ £ ¬¨«ì⮨ H , á ¨¬ ¨ ¥£® ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï Ek , § ¢¨áï⠮⠯ à ¬¥âà , â® @Ek = ; @H , ®âªã¤ ¯®á«¥ ãá।¥¨ï ¨ á«¥¤ã¥â (2.72) @ @ 12 ¬¥â¨¬,kkçâ® ¡®«ì讥 ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ â ª¦¥ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨§ à áá㦤¥¨©, ¨á¯®«ì§®¢ ëå ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ (1.56), ¥á«¨ à áᬮâà¥âì ç¨á«® ç áâ¨æ N ª ª ¤¨ ¬¨ç¥áªãî ¯¥à¥¬¥ãî, ª®â®à ï, ®ç¥¢¨¤®, â ª¦¥ ï¥âáï ¤¤¨â¨¢ë¬ ¨â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥¨ï. ®£¤ , ¤«ï ¯®ª®ï饩áï á¨áâ¥¬ë ¬®¦® ¯¨á âì: ln wkN = + EkN + N , £¤¥ ¨ ¤®«¦ë ¡ëâì ®¤¨ ª®¢ë ¤«ï ¢á¥å ç á⥩ à ¢®¢¥á®© á¨á⥬ë. ®« £ ï = =T , = ;1=T ¨ = =T ¯®«ãç ¥¬ ¡®«ì讥 ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥. ਠí⮬, ®ç¥¢¨¤®, ¯®«ãç ¥¬ ¨ ¨§¢¥á⮥ ãá«®¢¨¥ à ¢¥á⢠娬¨ç¥áª¨å ¯®â¥æ¨ «®¢ ¯®¤á¨á⥬, 室ïé¨åáï ¢ à ¢®¢¥á¨¨.
56
«ï ª¢ §¨áâ â¨ç¥áª®£® ¯à®æ¥áá ¡«î¤ ¥¬®¥ § 票¥ ®¡®¡é¥ëå ᨫ à ¢® á।¥¬ã § ç¥¨î ¯® à ¢®¢¥á®¬ã áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ã á ¬¡«î ¢¨¤ : (2.76) < i >= Sp(i ) = ; @ <@H > i áᬮâਬ ¥ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥àë. ç á⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ®¡®¡é¥®£® ¢¥è¥£® ¯ à ¬¥âà ¢ë¡¨à ¥âáï ®¡ê¥¬ á¨á⥬ë V , ®¡®¡é¥ ï ᨫ ¥áâì ¤ ¢«¥¨¥: P = ; @ <@VH > = ; @E (2.77) @V ®£¤ (2.73) ¯à¨¨¬ ¥â ¨§¢¥áâë© ¢¨¤: dF = ;SdT ; PdV (2.78)
᫨ ¢ ª ç¥á⢥ ®¡®¡é¥®£® ¯ à ¬¥âà ¢ë¡¨à ¥âáï ¢¥è¥¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ E, â® ®¡®¡é¥ ï ᨫ ¥áâì ¢¥ªâ®à ¯®«ïਧ 樨 (¯®«ë© í«¥ªâà¨ç¥áª¨© ¤¨¯®«ìë© ¬®¬¥â ⥫ ) P: dF = ;SdT ; PdE; P = ; @ <@ EH > (2.79) «ï ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï H «®£¨ç® ¨¬¥¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ®¡®¡é¥®© á¨«ë ¯®«ë© ¬ £¨âë© ¬®¬¥â ( ¬ £¨ç¥®áâì) ⥫ M: H> (2.80) dF = ;SdT ; MdH; M = ; @ <@ H ª¨¬ ®¡à §®¬, ä ªâ¨ç¥áª¨ ¬ 㤠«®áì ¯®«ãç¨âì ¯®«®¥ áâ â¨á⨪® - ¬¥å ¨ç¥áª®¥ ®¡®á®¢ ¨¥ ®á®¢ëå á®®â®è¥¨© â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨. ¯®¬¨¬, çâ® ¨áâ®à¨ç¥áª¨ ¢®§¨ª®¢¥¨¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ á¢ï§ ® ¨¬¥® á ¯®¯ë⪠¬¨ à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨. ®á«¥¤¨© ¢®¯à®á, ª®â®àë© ®áâ «®áì ¥é¥ à áᬮâà¥âì ¢ á¢ï§¨ á ¯à®¡«¥¬®© ®¡®á®¢ ¨ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨, íâ® ¢®¯à®á ® ⥮६¥ ¥àáâ , §ë¢ ¥¬®©, ¨®£¤ , âà¥â쨬 ç «®¬ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨. ¬¥â¨¬ áà §ã ¦¥, çâ® ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® ç «, ª®â®àë¥ ¥¯®á।á⢥® á«¥¤ãîâ, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¨§ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á , áâ®«ì ¦¥ ®¡é¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¥àáâ ®âáãâáâ¢ã¥â, å®âï ¤«ï ¢á¥å \à §ã¬ëå" ¬®¤¥«¥© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ® ¢ë¯®«ï¥âáï. á ¬®¬ ¤¥«¥, à áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ⮬, ª 祬ã áâ६¨âáï à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á : F ;E
wk = e T k (2.81) ¯à¨ T ! 0. ᯮ«ì§ãï ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï íâய¨¨ ¢ ¢¨¤¥ S = T1 (< H > ;F ); (2.82) § ¯¨è¥¬ wk = expf;S + T1 (< H > ;Ek )g, ¨«¨: ;E0 + E0 ; Ek wk = exp ;S + < H > (2.83) T T £¤¥ E0 { í¥à£¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë, â ª çâ® Ek > E0 ¯à¨ k 6= 0. ëç¨á«ïï ¯à¥¤¥« ¢ëà ¦¥¨ï (2.83) ¤«ï T ! 0, ¯®«ã稬: lim w = wk (0) = expf;S(0) + CV (0)gEk ;E0 (2.84) T !0 k
57
1 ¯à¨ E = E Ek ;E0 = 0 ¯à¨ kE 6=0E (2.85) k 0 ; (2.84) CV (0) = @
@T T =0 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⥯«®¥¬ª®áâì ⥫ ¯à¨ T = 0 ¨ £¤¥
¯®áâ®ï®¬ ®¡ê¥¬¥. ® ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (2.82), ¯® ¯à ¢¨«ã ®¯¨â «ï, á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ T ! 0: = CV (0) + S(0) (2.86) S(0) = @ <@TH > ; @F @T T !0
â ª çâ® CV (0) = 0 (¥àáâ). ®®â¢¥âá⢥®, ¢ëà ¦¥¨¥ (2.84) ᢮¤¨âáï ª: wk (0) = expf;S(0)gEk ;E0 (2.87) çâ®, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¨¬¥¥â ¢¨¤ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï: wk (0) = 1 Ek ;E0 (2.88) 0 £¤¥ 0 { ªà â®áâì ¢ë஦¤¥¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï. âáî¤ ïá®, çâ® íâய¨ï ¯à¨ T = 0: S(0) = ln 0 (2.89) «ï ¡®«ìè¨á⢠¨§¢¥áâëå á¨á⥬ (ªà¨áâ ««ë, ª¢ â®¢ë¥ £ §ë ¨ ¦¨¤ª®á⨠¨ â.¯.) ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ ï¥âáï ¥¢ë஦¤¥ë¬, â ª çâ® 0 = 1, ¨ íâய¨ï áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ T ! 0. ¦¥ ¥á«¨ 0 1, ® ¯à¥¤¥« limN !1 N1 ln 0 = 0 (íâய¨ï, ¢ à áç¥â¥ ®¤ã ç áâ¨æã), â® ¬®¦® áç¨â âì, çâ® S(0) = 0, çâ® ¨ á®áâ ¢«ï¥â ᮤ¥à¦ ¨¥ â¥®à¥¬ë ¥àáâ 13. ᮦ «¥¨î, ¤¥«® ®¡á⮨⠥ â ª ¯à®áâ® ¨ 䨧¨ç¥áª ï áãé®áâì â¥®à¥¬ë ¥àáâ á¢ï§ ¥ ¯à®áâ® á ®âáãâá⢨¥¬ ¢ë஦¤¥¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï, ® á ®á®¡¥®áâﬨ í¥à£¥â¨ç¥áª®£® ᯥªâà á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ¬ «ëå ¢®§¡ã¦¤¥¨ïå, ¥¥ ¯à®ï¢«¥¨ï ç¨ îâ ®éãé âìáï 㦥 ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å T, ª®â®àë¥ áãé¥á⢥® ¯à¥¢ëè îâ à §®áâì ¯¥à¢®£® ¢®§¡ã¦¤¥®£® ¨ ®á®¢®£® ã஢¥© á¨á⥬ë. ëè¥ ¬ë 㦥 ®â¬¥ç «¨, çâ® í¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ⥫ ¬®¦® áç¨â âì ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥¯à¥àë¢ë¬, â ª çâ® íâ ¢¥«¨ç¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¡«î¤ ¥¬® ¬ « . ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¨¤¥ «ì®£® £ § ⮬®¢ á ¬ áᮩ m, 室ïé¨åáï ¢ ®¡ê¥¬¥ V = L3 , ¬®¦® ®æ¥¨âì: h2 k2 = h2 2 (2.90) E1 ; E0 2m min 2mV 2=3 £¤¥ kmin = L ¯à¨ç¥¬ ®¡ê¥¬ V ! 1. ªâ¨ç¥áª¨ ¦¥, ¤«ï ⮣® ¦¥ ¨¤¥ «ì®£® £ § , ¯à®ï¢«¥¨ï â¥®à¥¬ë ¥àáâ áâ ®¢ïâáï § ¬¥â묨 ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å ¯®à浪 â ª §ë¢ ¥¬®© 2 ; N 2=3 h ⥬¯¥à âãàë ¢ë஦¤¥¨ï T0 m V . «ï ⮣®, çâ®¡ë ¤®ª § âì ⥮६㠥àáâ ¤«ï ®¡é¥£® á«ãç ï, 㦮 ¡ë«® ¡ë ¨áá«¥¤®¢ âì à á¯à¥¤¥«¥¨¥ Ek ¢¡«¨§¨ ®á®¢®£® ã஢ï, â.¥. ¨áá«¥¤®¢ âì ¯®¢¥¤¥¨¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® ¢¥á (E; N; V ) ¢¡«¨§¨ E = E0 ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. ® áâ®ï饣® ¢à¥¬¥¨ â ª®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ 㤠¢ «®áì ᤥ« âì «¨èì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥ëå ¬®¤¥«¥©. 13 ¥®à¥¬ ¥àáâ ¥¯à¨¬¥¨¬ ª ¬®àäë¬ â¥« ¬ (á⥪« ¬) ¨«¨ ¥ã¯®à冷ç¥ë¬ ᯫ ¢ ¬, ª®â®àë¥ ¥ 室ïâáï ¢ á®áâ®ï¨¨ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï, ® ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ¯à¨ â¥¬¯¥à âãà å T ! 0, ®áâ ¢ ïáì \§ ¬®à®¦¥ë¬¨" ¢ ®¤®¬ ¨§ ¬®£¨å ¢®§¬®¦ëå ¤«ï ¨å ¬¥â áâ ¡¨«ìëå á®áâ®ï¨© á ®ç¥ì ¡®«ì訬 (¨®£¤ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¡¥áª®¥çë¬!) ¢à¥¬¥¥¬ ५ ªá 樨.
58
®¦® ᪠§ âì, çâ® ¢® ¢á¥å á«ãç ïå, ª®£¤ á« ¡ë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï á¨áâ¥¬ë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï ¢ ¢¨¤¥ ¨¤¥ «ì®£® £ § ª¢ §¨ç áâ¨æ, ⥮६ ¥àáâ ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ë¯®«¥®©. ¤ «ì¥©è¥¬, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¤¥«® ⮫쪮 á â ª¨¬¨ á¨á⥬ ¬¨. í⮬ § ¢¥àè ¥âáï ¨§«®¦¥¨¥ ®á®¢ £¨¡¡á®¢áª®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ᥠ¤ «ì¥©è¥¥ ¨§«®¦¥¨¥, ¯® áã⨠¤¥« , ¡ã¤¥â ¯à¨¬¥¥¨¥¬ í⮣® ®¡é¥£® ¯®¤å®¤ ª à §«¨çë¬ ª®ªà¥âë¬ § ¤ ç ¬ ⥮ਨ á¨á⥬ ¬®£¨å ç áâ¨æ.
« ¢ 3
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ . ª ç¥á⢥ ¯à®á⥩襩 á¨á⥬ë, ª®â®à®© å®à®è® ¨««îáâà¨àã¥âáï ¯à¨¬¥¥¨¥ ®¡é¨å ¬¥â®¤®¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨, à áᬮâਬ ¨¤¥ «ìë© £ §, á®áâ®ï騩 ¨§ ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ⮬®¢ ¨«¨ ¬®«¥ªã«1. â ¬®¤¥«ì áë£à « ¡®«ìèãî ஫ì ç «ì®¬ íâ ¯¥ à §¢¨â¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨2. âáãâá⢨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨ (¬®«¥ªã« ¬¨) ¨¤¥ «ì®£® £ § ¯®§¢®«ï¥â ᢥá⨠ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áªãî § ¤ çã ®¯à¥¤¥«¥¨ï ã஢¥© í¥à£¨¨ En ¢á¥£® £ § ¢ 楫®¬ ª § ¤ ç¥ ®¡ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ã஢¥© í¥à£¨¨ ®â¤¥«ì®£® ⮬ (¬®«¥ªã«ë). ⨠ã஢¨ ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì "k , £¤¥ k { ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¡®à ª¢ ⮢ëå ç¨á¥«, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å á®áâ®ï¨¥ ⮬ (¬®«¥ªã«ë). ¥à£¨¨ En ¢ëà ¦ îâáï, ¢¢¨¤ã ®âáãâáâ¢¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¢ ¢¨¤¥ á㬬 í¥à£¨© ª ¦¤®© ¬®«¥ªã«ë. ¡®§ 稬 nk ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ £ §¥, 室ïé¨åáï ¢ k-¬ ª¢ ⮢®¬ á®áâ®ï¨¨. ëç¨á«¨¬ á।¥¥ § 票¥ < nk > ¢ ¢ ¦®¬ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ < nk > 1: (3.1) ¨§¨ç¥áª¨ íâ®â á«ãç © ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨«ì® à §à¥¦¥®¬ã £ §ã. ਬ¥¨¬ ª ¬®«¥ªã« ¬ £ § ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á , à áᬠâਢ ï ®â¤¥«ìãî ¬®«¥ªã«ã ¢ ª ç¥á⢥ ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¢ â¥à¬®áâ â¥. ®£¤ ïá®, çâ® ¢¥à®ïâ®áâì ¬®«¥ªã«¥ 室¨âìáï ¢ k-¬ á®áâ®ï¨¨, ¯®â®¬ã ¨ á।¥¥ ç¨á«® < nk > ¬®«¥ªã« ¢ í⮬ á®áâ®ï¨¨
1 §ã¬¥¥âáï, ¤«ï ãáâ ®¢«¥¨ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï ¢á¥£¤ ¥®¡å®¤¨¬® áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¥ª®â®à®£®, å®âï-¡ë ®ç¥ì á« ¡®£®, ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ( ¯à¨¬¥à ®ç¥ì ।ª¨å á⮫ª®¢¥¨© ⮬®¢ (¬®«¥ªã«)). ਠ¢ëç¨á«¥¨¨ à ¢®¢¥áëå â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¢ ¬®¤¥«¨ ¨¤¥ «ì®£® £ § ®¡ í⮬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ¬®¦® § ¡ëâì. 2 ®á«¥¤ãî饥 ¨§«®¦¥¨¥ ¯®ç⨠楫¨ª®¬ ®á®¢ ® [1, 2].
59
60
e; "Tk , â ª çâ®
"
< nk >= ae; Tk £¤¥ ª®íää¨æ¨¥â a ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨:
X k
< nk >= N
(3.2) (3.3)
£¤¥ N { ¯®«®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ £ §¥. á¯à¥¤¥«¥¨¥ (3.2) §ë¢ ¥âáï à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ®«ìæ¬ . ਢ¥¤¥¬ ¤à㣮© ¢ ਠ⠢뢮¤ í⮣® à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ®á®¢ ë© ¯à¨¬¥¥¨¨ ¡®«ì讣® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á ª ᮢ®ªã¯®á⨠¢á¥å ç áâ¨æ £ § , 室ïé¨åáï ¢ ¤ ®¬ ª¢ ⮢®¬ á®áâ®ï¨¨ (à áᬠâਢ ¥¬®© ª ª ¯®¤á¨á⥬ ¢ â¥à¬®áâ â¥). ®« £ ï ¢ ®¡é¥© ä®à¬ã«¥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á á ¯¥à¥¬¥ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ (2.58) E = nk "k , N = nk ¨ ¯à¨¯¨áë¢ ï ¨¤¥ªá k ¥é¥ ¨ ¢¥«¨ç¨¥ , ¯®«ã稬:
wnk = e
k +nk (;"k ) T
(3.4)
ç áâ®áâ¨, w0 = e Tk ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢¥à®ïâ®áâì ¯®«®£® ®âáãâá⢨ï ç áâ¨æ ¢ ¤ ®¬ á®áâ®ï¨¨. ¨â¥à¥áãî饬 á ¯à¥¤¥«¥ < nk > 1, ¢¥à®ïâ®áâì w0 = e Tk 1, ¯®í⮬㠨§ (3.4) ¬®¦® ¯®«ãç¨âì: ;"
w1 = e T k (3.5) â® ¦¥ ª á ¥âáï ¢¥à®ïâ®á⨠§ 票© nk > 1, â® ®¨ ¢ ⮬ ¦¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¤®«¦ë ¡ëâì ¯®«®¦¥ë à ¢ë¬¨ ã«î. ®í⮬㠢 á㬬¥, ®¯à¥¤¥«ïî饩 < nk >, ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ®¤® á« £ ¥¬®¥: X < nk >= wnk nk = w1; (3.6) ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬:
nk
;"
< nk >= e T k (3.7) ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®íää¨æ¨¥â ¢ ä®à¬ã«¥ (3.2) ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ëà ¦¥ë¬ ç¥à¥§ 娬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « £ § , ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ¥ï¢®¬ ¢¨¤¥ ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ ç¨á«® ç áâ¨æ (3.3).
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¥. ।ë¤ã饥 à áᬮâ२¥ ¢¥«®áì ª¢ ⮢®¬ ï§ëª¥. ®á¬®âਬ, ª ª ¢á¥ íâ® ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ª« áᨪ¥. ¢¥¤¥¬ dN { á।¥¥ ç¨á«® ¬®«¥ªã«, § ª«îç¥ëå ¢ í«¥¬¥â¥ ®¡ê¥¬ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠¬®«¥ªã«ë dpdq = dp1:::dpr dq1:::dqr (§¤¥áì r { ç¨á«® á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¬®«¥ªã«ë). ¯¨è¥¬ ¥£® ¢ ¢¨¤¥: dpdq dN = n(p; q)d d = (2 (3.8) h )r
61
£¤¥ n(p; q) ¯«®â®áâì ¢¥à®ïâ®á⨠¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. ®£¤ : n(p; q) = e
;"(p;q) T
(3.9)
£¤¥ "(p; q) { í¥à£¨ï ¬®«¥ªã«ë ª ª äãªæ¨ï ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ¥¥ ⮬®¢. «ï £ § ¥ 室ï饣®áï ¢ ª ª®¬-«¨¡® ¢¥è¥¬ ¯®«¥ ®âáî¤ ¤®«¦®, ®ç¥¢¨¤®, ¯®«ãç¨âìáï à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ªá¢¥«« 3: 2 2y +p2z N ; px +2pmT e dpxdpy dpz (3.10) dNp = V (2mT) 3=2 m 3=2 ; m(vx2 +vy2 +vz2 ) 2T dNv = N e dvx dvy dvz (3.11) V 2T £¤¥ m { ¬ áá ¬®«¥ªã«ë. à ¢¥¨¥ (3.10) ¨ (3.9) ¤ ¥â e T = NV (2)3=2h3 (mT);3=2, â ª ç⮠娬¯®â¥æ¨ « ¡®«ìæ¬ ®¢áª®£® £ § : (2)3=2h3 = T ln N (3.12) V (mT )3=2 â®â १ã«ìâ â ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨ ¥¯®á।á⢥® ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ (3.9) ¯®«®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ (3.3). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ p2x +p2y +p2z ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ "k = 2m , â ª çâ® (3.3) § ¯¨è¥âáï ª ª:
X k
e
;"k T
= N ¨«¨ e T
Z d3p p2x +p2y +p2z N ; 2mT = (2h)3 e V
(3.13)
çâ® ¨ ¤ ¥â (3.12) ¯®á«¥ ¢ëç¨á«¥¨ï í«¥¬¥â ண® £ ãáᮢ ¨â¥£à « :
( Z 3 p2 +p2 +p2 ;1) N (2)3=2h3 x y z d p N ; 2 mT = T ln V = T ln V (mT )3=2 (2h)3 e
(3.14)
ª¨¬ ®¡à §®¬ 娬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « £ § ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯«®â®áâìî ç áâ¨æ £ § ¨ ⥬¯¥à âãன. áᬮâਬ ⥯¥àì £ §, 室ï騩áï ¢® ¢¥è¥¬ ¯®«¥, ¢ ª®â®à®¬ ¯®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ¬®«¥ªã«ë § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ª®®à¤¨ â ¥¥ æ¥âà ¨¥à樨: U = U(x; y; z). ¯à¨¬¥à à¥çì ¬®¦¥â ¡ëâì ® £à ¢¨â 樮®¬ ¯®«¥. ªá¢¥««®¢áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯® ᪮à®áâï¬ ®áâ ¥âáï, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ëè¥, ¥¨§¬¥ë¬, à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯® ª®®à¤¨ â ¬ æ¥âà ¨¥à樨 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©: dNr = n0e;
U (x;y;z) T dV
(3.15) çâ® ¨ ¤ ¥â ç¨á«® ¬®«¥ªã« ¢ í«¥¬¥â¥ ¯à®áâà á⢥®£® ®¡ê¥¬ dV = dxdydz. ਠí⮬ ¢¥«¨ç¨ U (r) n(r) = n0 e; T (3.16) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯«®â®áâì ç¨á« ç áâ¨æ ¢ â®çª¥ r. ®áâ®ï ï n0 ¥áâì ¯«®â®áâì ¢ â®çª å, £¤¥ U = 0. ëà ¦¥¨¥ (3.16) §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ®«ìæ¬ . 3 ®â«¨ç¨¥ ®â § ¯¨á¨ í⮣® à á¯à¥¤¥«¥¨ï, à áᬮâ८© ¢ëè¥, §¤¥áì ¢¢¥¤¥ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¬®¦¨â¥«ì N=V , á¢ï§ ë© á ®à¬¨à®¢ª®© ¯«®â®áâì ç¨á« ç áâ¨æ.
62
ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ £ § ¢ ®¤®à®¤®¬ £à ¢¨â 樮®¬ ¯®«¥ (¥¬«¨), ¯à ¢«¥®¬ ¢¤®«ì ®á¨ z, â ª çâ® U = mgz (g { ã᪮२¥ ᢮¡®¤®£® ¯ ¤¥¨ï) ¨ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯«®â®á⨠£ § ¯®«ãç ¥¬ ¡ ஬¥âà¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã: n(z) = n0 e;
mgz T
(3.17)
£¤¥ n0 { ¯«®â®áâì ã஢¥ z = 0 ( ã஢¥ ¬®àï).
¥à ¢®¢¥áë© ¨¤¥ «ìë© £ §. áᬮâਬ ¨¤¥ «ìë© £ § ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ (¥®¡ï§ â¥«ì® à ¢®¢¥á®¬) á®áâ®ï¨¨. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¢á¥ ª¢ â®¢ë¥ á®áâ®ï¨ï ®â¤¥«ì®© ç áâ¨æë ¬®¦® à á¯à¥¤¥«¨âì ¯® ¥ª®â®àë¬ £à㯯 ¬, ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨â ¡«¨§ª¨¥ ¯® í¥à£¨ï¬ á®áâ®ï¨ï, ¯à¨ç¥¬ ª ª ç¨á«® á®áâ®ï¨© ¢ ª ¦¤®© £à㯯¥, â ª ¨ ç¨á«® 室ïé¨åáï ¢ ¨å ç áâ¨æ ¢á¥ ¦¥ ®ç¥ì ¢¥«¨ª¨4. ¥à¥ã¬¥à㥬 í⨠£à㯯ë á®áâ®ï¨© ®¬¥à ¬¨ j = 1; 2; ::: ¨ ¯ãáâì Gj ¥áâì ç¨á«® á®áâ®ï¨© ¢ j-© £à㯯¥, Nj { ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ íâ¨å á®áâ®ï¨ïå. ®£¤ ¡®à ç¨á¥« j ¡ã¤¥â ¯®«®áâìî å à ªâ¥à¨§®¢ âì ¬ ªà®á®áâ®ï¨¥ £ § , ¨å ¯à®¨§¢®«ì®áâì ¨ ®§ ç ¥â, çâ® á®áâ®ï¨¥, á ª®â®àë¬ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«®, ï¥âáï ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¥à ¢®¢¥áë¬ á®áâ®ï¨¥¬. ëç¨á«¨¬ íâய¨î â ª®£® á®áâ®ï¨ï, ç⮠᢮¤¨âáï ª § ¤ ç¥ ®¡ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® ¢¥á ¤ ®£® ¬ ªà®á®áâ®ï¨ï, â.¥. ç¨á« ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ᯮᮡ®¢, ª®â®à묨 íâ® á®áâ®ï¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®áãé¥á⢫¥®. áᬠâਢ ï ª ¦¤ãî £à㯯㠨§ Nj ç áâ¨æ ª ª ¥§ ¢¨á¨¬ãî ¯®¤á¨á⥬㠨 ®¡®§ ç ï ç¥à¥§ j ¥¥ áâ ⢥á, ¨¬¥¥¬: Y
= j (3.18) j
¥¯¥àì ¤® á®áç¨â âì j . áâ â¨á⨪¥ ®«ìæ¬ á।¨¥ ç¨á« § ¯®«¥¨ï ¢á¥å ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© ¬ «ë ¯® áà ¢¥¨î á ¥¤¨¨æ¥©. â® § ç¨â, çâ® Nj Gj , å®âï á ¬¨ ¯® ᥡ¥ Nj ¢á¥ ¦¥ ®ç¥ì ¢¥«¨ª¨. «®áâì ç¨á¥« § ¯®«¥¨ï ¯®§¢®«ï¥â áç¨â âì, çâ® ¢á¥ ç áâ¨æë à á¯à¥¤¥«¥ë ¯® à §«¨çë¬ á®áâ®ï¨ï¬ ¥§ ¢¨á¨¬® ¤à㣠®â ¤à㣠. ®¬¥é ï ª ¦¤ãî ¨§ Nj ç áâ¨æ ¢ ®¤® ¨§ Gj á®áâ®ï¨© ¯®«ã稬 ¢á¥£® GNj j ¢®§¬®¦ëå à á¯à¥¤¥«¥¨©, á।¨ ª®â®àëå ¥áâì ®¤ ª® ⮦¤¥á⢥ë¥, ®â«¨ç î騥áï ⮫쪮 ¯¥à¥áâ ®¢ª®© (®¤¨ ª®¢ëå) ç áâ¨æ. ®í⮬ã ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ç¨á«® 㦮 ¥é¥ ¯®¤¥«¨âì Nj !, â ª çâ®: GNj
j = Nj ! j ®£¤ íâய¨ï £ § ¢ëç¨á«ï¥âáï ª ª: S = ln =
X j
4 â® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥, ¯® áã⨠¤¥« ,
ln j =
X j
(Nj ln Gj ; ln Nj !)
(3.19) (3.20)
¥ ï¥âáï ®£à ¨ç¥¨¥¬ ®¡é®á⨠襣® «¨§ .
63
®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© â¨à«¨£ , á¯à ¢¥¤«¨¢®© ¯à¨ N 1 5: N lnN! N ln e ¨ ¯®«ã稬: X j S = Nj ln eG N
(3.21) (3.22)
j
j
â ä®à¬ã« ®¯à¥¤¥«ï¥â íâய¨î ¨¤¥ «ì®£® £ § , 室ï饣®áï ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ á®áâ®ï¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬ ¡®à®¬ ç¨á¥« Nj . ¥à¥¯¨è¥¬ ¥¥, ¢¢¥¤ï á।¨¥ ç¨á« < nj > ç áâ¨æ ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© j-© £à㯯ë < nj >= Nj =Gj . ®£¤ : X S = Gj < nj > ln < ne > (3.23) j j
᫨ ¤¢¨¦¥¨¥ ç áâ¨æ ¬®¦® à áᬮâà¥âì ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª¨, ¬®¦¥¬ ¯¥à¥©â¨ ª à á¯à¥¤¥«¥¨î ç áâ¨æ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. §¤¥«¨¬ ä §®¢®¥ ¯à®áâà á⢮ ®¡ê¥¬ç¨ª¨ p(j )q(j ), ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¬ «, ® ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ¦¥ ¡®«ì讥 ç¨á«® ç áâ¨æ. ¨á« ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨©, ¯à¨å®¤ïé¨åáï í⨠®¡ê¥¬ç¨ª, à ¢ë (r { ç¨á«® á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¬®«¥ªã«ë £ § , ¤«ï ®¤® ⮬®£® £ § r = 3): (j ) (j ) (j ) Gj = p(2q (3.24) h)r = ; ç¨á« ç áâ¨æ ¢ íâ¨å á®áâ®ï¨ïå ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ Nj = n(p; q) (j ). ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¦¥¨ï ¢ (3.23), ¯®«ãç ¥¬: Z S = d n(p; q) ln n(p;e q) (3.25) { ¡®«ìæ¬ ®¢áªãî íâய¨î ¨¤¥ «ì®£® £ § ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¥à ¢®¢¥á®¬ á®áâ®ï¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬ ®¤®ç áâ¨ç®© äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï n(p; q) 6. ª á¢ï§ ¡®«ìæ¬ ®¢áª ï íâய¨ï (3.25) á £¨¡¡á®¢áª®© (1.167)? £¨¡¡á®¢áª®© íâய¨¨: Z S = ; (2dpdq (3.26) h)3N N! (p; q; t) ln(p; q; t)
(p; q) ®¡®§ ç ¥â ¯®«ãî N-ç áâ¨çãî äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï, § ¢¨áïéãî ®â ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢á¥å N ¬®«¥ªã« ¢ £ §¥. «ï ¨¤¥ «ì®£® £ § , ¢ ª®â®à®¬ ç áâ¨æë ¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ, íâ äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ä ªâ®à¨§ã¥âáï (áâ â¨áâ¨ç¥áª ï ¥§ ¢¨á¨¬®áâì { ®âáãâá⢨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï!) ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ (®¤®ç áâ¨çëå) äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®â¤¥«ìëå ç áâ¨æ: N Y (p; q) = NN!N n(pi ; qi) i=1
(3.27)
R
N 1 á㬬 ln N ! = ln1 + ln2 + ::: + ln N ¯à¨¡«¨¦¥® ᢮¤¨âáï ª 0N dx ln x, ®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â (3.21). 6 ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï n(p; q) ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì ®â ¢à¥¬¥¨, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï § ¢¨á¨¬®áâì ¬®¦¥â ¡ëâì à ááç¨â á ¯®¬®éìî ª¨¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ®«ìæ¬ . ¬¥® ¤«ï íâய¨¨ (3.25) ¢ à ¬ª å ª¨¥â¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï H-⥮६ ®«ìæ¬ , ®¯¨áë¢ îé ï ¢®§à áâ ¨¥ (3.25) á à®á⮬ ¢à¥¬¥¨. 5 à¨
64
£¤¥ ®¤®ç áâ¨çë¥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï n(pi ; qi) ®à¬¨à㥬 ª ª (¨¬¥¥¬ ¢¢¨¤ã ®¤® â®¬ë© £ §, â.¥. r = 3.):
Z dp1dq1 n(p1 ; q1) = N
(3.28)
(2h)3
®¦¨â¥«ì N!=N N ¢ (3.27) ᮣ« á®¢ë¢ ¥â íâ㠮ନ஢ªã á ¯à¨ï⮩ ¢ëè¥ ¤«ï (p; q):
Z
Z dp dq N dpdq 1 1 d;(p; q) = N1 (2 n(p ; q ) = 1 d; = 1 1 3 h) (2h)3N N!
(3.29)
®£¤ ¨á¯®«ì§ãï (3.27), (3.21) ¢ (3.26), ¯®«ãç ¥¬:
Z dp1dq1 S=; n(p1 ; q1) ln n(p1; q1) (2h)3
e
(3.30)
ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á (3.25). á®áâ®ï¨¨ à ¢®¢¥á¨ï íâய¨ï ¤®«¦ ¨¬¥âì ¬ ªá¨¬ «ì®¥ § 票¥. § í⮣® âॡ®¢ ¨ï ¬®¦® ©â¨ à ¢®¢¥áãî äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ©¤¥¬ â ª¨¥ < nj >, ¯à¨ ª®â®àëå á㬬 (3.23) ¨¬¥¥â ¬ ªá¨¬ã¬, ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨© ¯®áâ®ïá⢠ç¨á« ç áâ¨æ ¨ á।¥© í¥à£¨¨:
X j
X j
Nj =
"j Nj =
X j
X j
Gj < nj >= N
(3.31)
"j Gj < nj >= E
(3.32)
®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ¬®¦¨â¥«¥© £à ¦ ¨ à áᬮâਬ ãá«®¢¨¥: @ (3.33) @n (S + N + E) = 0 j
£¤¥ ¨ { ¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ïë¥. ஢®¤ï ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥, 室¨¬: Gj (; ln < nj > + + "j ) = 0
(3.34)
®âªã¤ ln < nj >= + "j , ¨«¨ < nj >= exp( + "j )
(3.35)
â® ®¯ïâì ¥áâì à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ , ¯®áâ®ïë¥ ¨ á¢ï§ ë á T ¨ : = =T , = ;1=T. ®á«¥¤¥¥ ïá®, ¢ ç áâ®áâ¨, ¨ ¨§ ⮣® ®¡áâ®ï⥫ìá⢠, çâ® (3.33) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ á®®â®è¥¨ï ¬¥¦¤ã ¤¨ää¥à¥æ¨ « ¬¨: dS + dN + dE = 0, çâ® ¤®«¦® ᮢ¯ ¤ âì á ¨§¢¥áâë¬ ¨§ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¢ëà ¦¥¨¥¬ ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ « ¢ãâ॥© í¥à£¨¨ (¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ ®¡ê¥¬¥) dE = T dS+dN.
65
¢®¡®¤ ï í¥à£¨ï ¡®«ìæ¬ ®¢áª®£® ¨¤¥ «ì®£® £ § . ਬ¥¨¬ ®á®¢ãî ä®à¬ã«ã áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨: F = ;T ln Z = ;T ln
X n
E
e; Tn
(3.36)
¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¨¤¥ «ì®£® £ § , ¯®¤ç¨ïî饣®áï áâ â¨á⨪¥ ®«ìæ¬ . ஢¨ í¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¢ 楫®¬ En ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© á㬬ë í¥à£¨© "k , ª®â®àë¥ ¢ ¡®«ìæ¬ ®¢áª®¬ á«ãç ¥ ¬®¦® áç¨â âì ¢á¥ à §«¨ç묨 ¬¥¦¤ã ᮡ®© (¯®áª®«ìªã ¢ ª ¦¤®¬ á®áâ®ï¨¨ ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«¥¥ ®¤®© ¬®«¥ªã«ë). ®£¤ , " § ¯¨áë¢ ï e; ETn ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬®¦¨â¥«¥© e; Tk ¤«ï ª ¦¤®© ¨§ ¬®«¥ªã« ¨ á㬬¨àãï ¥§ ¢¨á¨¬® ¯® ¢á¥¬ á®áâ®ï¨ï¬ ª ¦¤®© ¬®«¥ªã«ë, ¯®«ã稬 ¤«ï áâ âáã¬¬ë £ § á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥7 : Z
X k
" e; Tk
!N
(3.37)
â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤® ¥é¥ à §¤¥«¨âì N! { ç¨á«® ¯¥à¥áâ ®¢®ª ⮦¤¥á⢥ëå ç áâ¨æ (¬®«¥ªã«). ®£¤ ¨¬¥¥¬: Z=
X n
X
E e; Tn = 1
N!
k
" e; Tk
!N
(3.38)
®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (3.36), ¯®«ãç ¥¬: F = ;TN ln
X k
"
e; Tk + T ln N!
(3.39)
¨«¨, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ᮢ ln N! N ln N=e, ¨¬¥¥¬:
( X e
F = ;NT ln N k
" e; Tk
)
(3.40)
ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¥ ¬®¦® áà §ã ¯¨á âì:
Z r pdr q "(p;q) F = ;NT ln Ne d e; T d = d(2 h)r
(3.41)
£¤¥ r ®¯ïâì ç¨á«® á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¬®«¥ªã«ë £ § . "k
"k
"k
; T2 :::e; TN , £¤¥ ¢á¥£® N ¬®¦¨â¥«¥©, ¯à¨ç¥¬ ¢á¥ kL (L = 1; 2; :::;N ) e; Tn = e; T1 eP P P ;P à §ë¥. ⥬ ¢ëç¨á«ï¥¬ k1 k2 ::: kN ! k N , çâ® ¨ ¤ ¥â (3.37) 7 ¬¥¥¬
E
66
à ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï ¨¤¥ «ì®£® £ § . ¥à£¨î ¬®«¥ªã«ë £ § ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: p2 + p2 + p2 "k (px ; py ; pz ) = x 2my z + "0k (3.42) £¤¥ ¯¥à¢ë© ç«¥ { ª¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï ¯®áâ㯠⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï, "0k { ¢ãâ२¥ ã஢¨ í¥à£¨¨ ¬®«¥ªã«ë (ᮮ⢥âáâ¢ãî騥, ¯à¨¬¥à, ¥¥ ¢à 饨î, ª®«¥¡ ¨ï¬ ⮬®¢ ¢¡«¨§¨ ¨å ¯®«®¦¥¨© à ¢®¢¥á¨ï, ¢ãâà¨ â®¬ë¬ ãà®¢ï¬ ¨ â.¤.). ਠí⮬ ¢ ¦®, çâ® "0k ¥ § ¢¨áï⠮⠨¬¯ã«ìᮢ (᪮à®á⥩) ¨ ª®®à¤¨ â æ¥âà ¨¥à樨 ¬®«¥ªã«ë. ®£¤ á㬬 , áâ®ïé ï ¯®¤ § ª®¬ ln ¢ (3.40), à ¢ 8 : X 1 ; "T0k Z Z 1 Z 1 Z 1 ; p2x+2pmT2y +p2z dV dpx dpy dpz e = 3e V ;1 ;1 ;1 k (2h) mT 3=2 X "0k =V e; T (3.43) 2h2 k ®£¤ ᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï £ § § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:
" 3=2 # " 3=2 X "0 # eV mT mT k ; F = ;NT ln N e T = ;NT ln eV Z0 N 2h2 2h2 k
P
(3.44)
"0
£¤¥ ¢¢¥«¨ \¢ãâà¥îî" áâ âá㬬㠬®«¥ªã«ë Z 0 = k e; Tk . â á㬬 ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥, âॡã¥âáï § ¨¥ ¢ãâ२å ã஢¥© í¥à£¨¨ ¬®«¥ªã« ¤ ®£® £ § . ¦®, ®¤ ª®, çâ® ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®áâ® ¥ª®â®àãî äãªæ¨î ⥬¯¥à âãàë, â ª çâ® (3.44) ¤ ¥â ¯®«®¥ ®¯¨á ¨¥ § ¢¨á¨¬®á⨠᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ®â ®¡ê¥¬ . 뤥«ïï ¢ (3.44) ç«¥ § ¢¨áï騩 ⮫쪮 ®â ®¡ê¥¬ , ¨¬¥¥¬:
mT 3=2 eV F = ;NT ln N + Nf(T); f(T) = ;T ln Z0 (3.45) 2h2 ®£¤ ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï £ § ¥¬¥¤«¥® ¯®«ãç ¥¬: NT (3.46) P = ; @F @V = V ¨«¨ PV = NT ¨«¨ ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï ¨¤¥ «ì®£® £ § .
᫨ ¨§¬¥àïâì ⥬¯¥à âãàã ¢ £à ¤ãá å: PV = NkB T = RT (3.47) «ï £à ¬¬{¬®«¥ªã«ë £ § N = 6:023 1023 (ç¨á«® ¢®£ ¤à®), R = 8:314 107íà£/£à ¤, kB = 1:3804 10;16íà£/£à ¤. ï F , ¬®¦® ©â¨ ¨ ¤à㣨¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë. ¯à¨¬¥à, â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « ¨¡¡á ¥áâì: = F + P V = E ; TS + PV = W ; TS = ;NT ln eV (3.48) N + Nf(T ) + PV 8 â¥£à « ¯® dV §¤¥áì á¢ï§ á ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ª®®à¤¨ â ¬ æ¥âà ¨¥à樨 ¬®«¥ªã«ë ¨ ¤ ¥â ¯à®áâ® ¯®«ë© ®¡ê¥¬, § ¨¬ ¥¬ë© £ §®¬ V .
67
£¤¥ W { í⠫쯨ï. ¬¥ïï V ç¥à¥§ P ¨ T á ¯®¬®éìî ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï (3.46), çâ®¡ë ¢ëà §¨âì ª ª äãªæ¨î P ¨ T ( ¯®¬¨¬, çâ® d = ;SdT + V dP ) ¨ ¢¢®¤ï ®¢ãî äãªæ¨î ⥬¯¥à âãàë (T) = f(T) ; T lnT , ¯®«ãç ¥¬: = NT ln P + N (T) (3.49) âய¨ï £ § ( ¯®¬¨¬, çâ® dF = ;SdT ; PdV ): eV 0 S = ; @F (3.50) @T = N ln N ; Nf (T) ¨«¨, ª ª äãªæ¨ï P ¨ T: 0 (3.51) S = @ @T = ;N ln P ; N (T) ãâà¥ïï í¥à£¨ï £ § : E = F + T S = Nf(T) ; NT f 0 (T) (3.52) ¨ ï¥âáï äãªæ¨¥© ®¤®© ⮫쪮 ⥬¯¥à âãàë, â® ¦¥ ¢¥à® ¨ ¤«ï í⠫쯨¨ W = E + P V = E + NT. â® ¬®¦® «¥£ª® ¯®ïâì { ¬®«¥ªã«ë ¨¤¥ «ì®£® £ § ¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ, â ª çâ® ¨§¬¥¥¨¥ á।¥£® à ááâ®ï¨ï ¬¥¦¤ã ¨¬¨ ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ®¡é¥£® ®¡ê¥¬ ¥ ¬®¦¥â ᪠§ âìáï á E ¨ W äãªæ¨ï¬¨ ; ¨¥£®C í¥à£¨¨. ; ¬¥á⥠T ïîâáï ¨ ⥯«®¥¬ª®á⨠Cv = @E p = @W @T V @T P . áâ® ¨á¯®«ì§ãîâ ⥯«®¥¬ª®á⨠¢ à áç¥â¥ ®¤ã ¬®«¥ªã«ã: Cv = Ncv ¨ Cp = Ncp . «ï ¨¤¥ «ì®£® £ § W ; E = NT, â ª çâ® à §®áâì cp ; cv ¨¬¥¥â 㨢¥àá «ì®¥ § 票¥: cp ; cv = 1 ¨«¨ cp ; cv = kB (3.53) à áç¥â¥ £à ¬¬-¬®«¥ªã«ã CP ; CV = R.
¤¥ «ìë© £ § á ¯®áâ®ï®© ⥯«®¥¬ª®áâìî. ªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¨§¢¥áâ®, çâ® ¢ è¨à®ª®¬ ¨â¥à¢ «¥ ¤®áâ â®ç® ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà ⥯«®¥¬ª®áâì £ §®¢ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®áâ®ï®© ¢¥«¨ç¨®©, ¥ § ¢¨áï饩 ®â T . ¨§¨ç¥áª¨¥ ¯à¨ç¨ë í⮣® áâ ãâ ïáë ¨¦¥, ᥩç á ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ ¯®áâ®ïá⢠⥯«®¥¬ª®áâ¨, â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë £ § ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ëç¨á«¥ë ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. ¨¬¥®, ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï ⥬¯¥à âãàë f(T), ¢¢¥¤¥ ï ¢ëè¥ ¢ (3.45). ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬ ¥ 㦮 ¢ëç¨á«ïâì ¢å®¤ïéãî ¢ ¥¥ \¢ãâà¥îî" áâ âá㬬ã Z 0 . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤¨ää¥à¥æ¨àãï ¯® ⥬¯¥à âãॠ¢ëà ¦¥¨¥ (3.52) ¤«ï ¢ãâ॥© í¥à£¨¨ 室¨¬: cv = ;Tf 00 (T ) (3.54) ç¨â ï ⥯«®¥¬ª®áâì ª®áâ ⮩, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¨§ íªá¯¥à¨¬¥â , ¨â¥£à¨à㥬 (3.54) ¤¢ ¦¤ë ¨ ¯®«ãç ¥¬: f(T) = ;cv T ln T ; T + "0 (3.55)
68
£¤¥ ¨ "0 ¤¢¥ ª®áâ âë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. ®£¤ ¨§ (3.45) ¯®«ãç ¥¬ ᢮¡®¤ãî í¥à£¨î ¢ ¢¨¤¥: F = N"0 ; NT ln eV (3.56) N ; Ncv T ln T ; NT ®áâ®ï ï §ë¢ ¥âáï 娬¨ç¥áª®© ¯®áâ®ï®© £ § , ¤«ï ª®ªà¥â®£® £ § ® , â ª¦¥ ª ª ¨ ⥯«®¥¬ª®áâì, ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ì®. âáî¤ , á ¯®¬®éìî (3.52), ¯®«ãç ¥¬ ¢ãâà¥îî í¥à£¨î ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© äãªæ¨¨ ⥬¯¥à âãàë: E = N"0 + Ncv T (3.57) ¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « ¨¡¡á ¯®«ãç ¥âáï ¯à¨¡ ¢«¥¨¥¬ ª (3.56) ¢¥«¨ç¨ë PV = NT, ¯à¨ç¥¬ ¤® ¢ëà §¨âì ®¡ê¥¬ £ § ç¥à¥§ ¤ ¢«¥¨¥ ¨ ⥬¯¥à âãàã. ®«ãç ¥¬: = N"0 + NT ln P ; Ncp T lnT ; NT (3.58) ⠫쯨ï W = E + P V à ¢ : W = N"0 + Ncp T (3.59) ¨ää¥à¥æ¨àãï (3.56) ¨ (3.58) ¯® T , ¯®«ã稬 íâய¨î, ¢ëà ¦¥ãî ᮮ⢥âá⢥® ç¥à¥§ T ¨ V ¨«¨ T ¨ P : eV (3.60) S = ; @F @T V = N ln N + Ncv ln T + ( + cv )N @ = N ln P + Ncp ln T + ( + cp )N (3.61) S = ; @T P § íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© ¬®¦® ¯®«ãç¨âì § ¢¨á¨¬®áâì, á¢ï§ë¢ îéãî ®¡ê¥¬, ⥬¯¥à âãàã ¨ ¤ ¢«¥¨¥ ¨¤¥ «ì®£® £ § (á ¯®áâ®ï®© ⥯«®¥¬ª®áâìî) ¯à¨ ¥£® ¤¨ ¡ â¨ç¥áª®¬ à áè¨à¥¨¨ ¨«¨ ᦠ⨨ ( ¤¨ ¡ â ã áá® ). ®áª®«ìªã ¯à¨ ¤¨ ¡ â¨ç¥áª®¬ ¯à®æ¥áᥠíâய¨ï ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ï®©, â® ¨§ (3.61) ¨¬¥¥¬: ;N ln P + Ncp ln T = const, ®âªã¤ T cp =P = const, ¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï cp ; cv = 1: T P 1; = const (3.62) £¤¥ = cp =cv . ᯮ«ì§ãï ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï PV = NT , ¯®«ãç ¥¬ á®®â®è¥¨ï ¬¥¦¤ã T ¨ V ¨ ¬¥¦¤ã P ¨ V : TV ;1 = const PV = const (3.63)
ª® à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨ï. áᬮâਬ § ¤ çã ® â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ å £ §®¢ á â®çª¨ §à¥¨ï ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¨. ®«¥ªã« £ § ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®ä¨£ãà æ¨î ⮬®¢, ᮢ¥àè îé¨å ¬ «ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢¡«¨§¨ ¯®«®¦¥¨© à ¢®¢¥á¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬¨¨¬ã¬ã ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï: U = "0 +
rX osc
i;k=1
aik qiqk
(3.64)
69
£¤¥ "0 { ¯®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⮬®¢, ª®£¤ ¢á¥ ®¨ 室ïâáï ¢ ¯®«®¦¥¨ïå à ¢®¢¥á¨ï, rosc { ç¨á«® ª®«¥¡ ⥫ìëå á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë. ¥«¨ç¨ã rosc ¬®¦® ©â¨ ¯® ç¨á«ã ⮬®¢ n ¢ ¬®«¥ªã«¥. n{ ⮬ ï ¬®«¥ªã« ¨¬¥¥â ¢á¥£® 3n á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë. § ¨å âਠᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¯®áâ㯠⥫쮬㠤¢¨¦¥¨î ¬®«¥ªã«ë ª ª 楫®£® ¨ âਠ¥¥ ¢à é¥¨î ª ª 楫®£®. áâ «ìë¥ á⥯¥¨ ᢮¡®¤ë { ª®«¥¡ ⥫ìë¥ ¨ rosc = 3n ; 6.
᫨ ¢á¥ ⮬ë à ᯮ«®¦¥ë ¯® ®¤®© ¯àאַ© (¢ ç áâ®á⨠㠤¢ãå ⮬®© ¬®«¥ªã«ë), â® ¢à é ⥫ìëå á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¢á¥£® ¤¢¥. í⮬ á«ãç ¥ rosc = 3n ; 5. ਠn = 1 ª®«¥¡ ⥫ìëå á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¥â. ®« ï í¥à£¨ï "(p; q) ¬®«¥ªã«ë ¥áâì á㬬 ¯®â¥æ¨ «ì®© ¨ ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨©. ®á«¥¤ïï ï¥âáï ª¢ ¤à â¨ç®© äãªæ¨¥© ®â ¢á¥å ¨¬¯ã«ìᮢ, ç¨á«® ª®â®àëå à ¢® ¯®«®¬ã ç¨á«ã 3n á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë. ®í⮬ã í¥à£¨ï "(p; q) = "0 + fII (p; q), £¤¥ fII (p; q) { ª¢ ¤à â¨ç ï äãªæ¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¨ ª®®à¤¨ â, ¯®«®¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ëå ¢ í⮩ äãªæ¨¨ ¥áâì l = 6n ; 6 (¤«ï ¥«¨¥©®© ¬®«¥ªã«ë) ¨«¨ l = 6n ; 5 (¤«ï «¨¥©®©). ®¤® ⮬®£® £ § l = 3, ª®®à¤¨ âë ¢®®¡é¥ ¥ ¢å®¤ïâ ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï í¥à£¨¨. १ã«ìâ ⥠¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ £ § ¨§ (3.41) ¨¬¥¥¬:
; T0 Z f (p;q) ee F = ;NT ln N d e; IIT (3.65) p p ந§¢¥¤¥¬ §¤¥áì § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå p = p0 T ,q = q0 T ¤«ï ¢á¥å l ¯¥à¥¬¥ëå ®â ª®â®àëå § ¢¨á¨â äãªæ¨ï fII (p; q). á«¥¤á⢨¥ ª¢ ¤à â¨ç®á⨠äãªæ¨¨ fII (p; q) ¨¬¥¥¬: fII (p; q) = TfII (p; q) (3.66) ¨ T ¢ ¯®ª § ⥫¥ íªá¯®¥âë ¢ ¯®¤¨â¥£à «ì®¬ ¢ëà ¦¥¨¨ ᮪à é ¥âáï. «®£¨ç®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «®¢ íâ¨å ¯¥à¥¬¥ëå, ¢å®¤ïé¨å ¢ d ¤ áâ ¬®¦¨â¥«ì T l=2 , ª®â®àë© ¢ë®á¨âáï § ¨â¥£à «. ⥣à¨à®¢ ¨¥ ¯® ª®«¥¡ ⥫ìë¬ ª®®à¤¨ â ¬ q ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯® ⮩ ®¡« á⨠¨å § 票©, ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®«¥¡ ¨ï¬ ⮬®¢ ¢ãâਠ¬®«¥ªã«ë. ¤ ª®, ¢¢¨¤ã ¡ëáâன á室¨¬®á⨠(ª¢ ¤à â¨ç ï äãªæ¨ï ¢ íªá¯®¥â¥), ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® p0 ¨ q0 ¬®¦® à á¯à®áâà ¨âì ®â ;1 ¤® 1, ⮣¤ ¨â¥£à « ᢥ¤¥âáï ª ¥ª®â®à®© ª®áâ â¥, ¥§ ¢¨áï饩 ®â ⥬¯¥à âãàë. ç¨âë¢ ï ¥é¥, çâ® ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ª®®à¤¨ â ¬ æ¥âà ¨¥à樨 ¬®«¥ªã«ë ¤ áâ ®¡ê¥¬ V , § ¨¬ ¥¬ë© £ §®¬, ¯®«ã稬 ¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥: ; "T0 T l=2 AV e F = ;NT ln A = const (3.67) N áªàë¢ ï «®£ à¨ä¬, ¯®«ãç ¥¬: l F = N"0 ; NT ln eV (3.68) N ; N 2 T ln T ; NT lnA çâ® ¢ â®ç®á⨠ᮢ¯ ¤ ¥â á (3.56), ¥á«¨ ¯®«®¦¨âì: cv = 2l (3.69) ¨ = lnA. ®®â¢¥âá⢥®: (3.70) cp = cv + 1 = l +2 2 "
70
ª¨¬ ®¡à §®¬, ç¨áâ® ª« áá¨ç¥áª¨© ¨¤¥ «ìë© £ § ®¡« ¤ ¥â ¯®áâ®ï®© ⥯«®¥¬ª®áâìî, ¯à¨ç¥¬ ª ¦¤ãî ¯¥à¥¬¥ãî ¢ í¥à£¨¨ ¬®«¥ªã«ë "(p; q) ¯à¨å®¤¨âáï ¯® à ¢®© ¤®«¥ 1=2 ¢ ⥯«®¥¬ª®á⨠cv (¨«¨ kB =2 ¢ ®¡ëçëå ¥¤¨¨æ å), ¨«¨ ¦¥ ¯® à ¢®© ¤®«¥ T=2 (kB T=2 ¯à¨ ¨§¬¥à¥¨¨ T ¢ £à ¤ãá å) ¢ ¥£® í¥à£¨¨. â® ¯à ¢¨«® §ë¢ ¥âáï § ª®®¬ à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ï¥âáï ¢¥áì¬ ®¡é¨¬ ã⢥ত¥¨¥¬ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¨¦¥, ® «¥£ª® ®¡®¡é ¥âáï ¨ á«ãç © ª®¤¥á¨à®¢ ëå ⥫9.¬¥ï ¢¢¨¤ã, çâ® ®â ¯®áâ㯠⥫ìëå ¨ ¢à é ⥫ìëå á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¢ "(p; q) ¢å®¤ïâ ⮫쪮 ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬¯ã«ìáë, ¬®¦® ᪠§ âì, çâ® ª ¦¤ ï ¨§ íâ¨å á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¢®á¨â ¢ ⥯«®¥¬ª®áâì ¢ª« ¤ 1=2. â ª ¦¤®© ¦¥ ª®«¥¡ ⥫쮩 á⥯¥¨ ᢮¡®¤ë ¢ "(p; q) ¢å®¤ïâ ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ (ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìá) ¨ ¥¥ ¢ª« ¤ ¢ ⥯«®¥¬ª®áâì à ¢¥ 1.
¤® â®¬ë© ¨¤¥ «ìë© £ §. áᬮâਬ ®¤® â®¬ë© ¨¤¥ «ìë© £ §. ®«®¥ ¢ëç¨á«¥¨¥ ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ â ª®£® £ § âॡã¥â ª®ªà¥â®£® ¢ëç¨á«¥¨ï \¢ãâ॥©" áâ âá㬬ë Z 0 , ¢¢¥¤¥®© ¢ (3.44): X " Z 0 = e; Tk (3.71) k
£¤¥ "k { ¢ãâ२¥ ã஢¨ í¥à£¨¨ ⮬ . ⨠ã஢¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ë஦¤¥ë¬¨, ⮣¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á« £ ¥¬®¥ ¢®©¤¥â ¢ áâ âá㬬ã gk à §, £¤¥ gk { ªà â®áâì ¢ë஦¤¥¨ï (áâ ⢥á ã஢ï). ®£¤ : X " Z 0 = gk e; Tk (3.72) k
¢®¡®¤ ï í¥à£¨ï £ § , ᮣ« á® (3.44), ¥áâì:
" 3=2 # mT Z0 F = ;NT ln eV N 2h2
(3.73)
ª ¨§¢¥áâ®, â®¬ë¥ â¥à¬ë (®â¢«¥ª ïáì ®â ¨å ⮪®© áâàãªâãàë) à ᯮ«®¦¥ë â ª, çâ® à ááâ®ï¨¥ ®â ®á®¢®£® ¤® ¯¥à¢®£® ¢®§¡ã¦¤¥®£® ã஢ï áà ¢¨¬® ¯® ¢¥«¨ç¨¥ á í¥à£¨¥© ¨®¨§ 樨 ⮬ Iion , çâ® ¤«ï à §«¨çëå ⮬®¢ 室¨âáï ¢ ¯à¥¤¥« å Iion =kB 5 ; 28 104 K. ®í⮬ã, ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å T Iion , ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ®á®¢®© ¨â¥à¥á, ¢ £ § å ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ®âáãâáâ¢ãîâ ¥ ⮫쪮 ¨®¨§®¢ ë¥, ® ¨ ¢®§¡ã¦¤¥ë¥ ⮬ë. ®íâ®¬ã ¢á¥ â®¬ë £ § ¬®¦® áç¨â âì 室ï騬¨áï ¢ ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨. áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 á«ãç © ⮬®¢, ª®â®àë¥ ¢ ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨ ¥ ®¡« ¤ îâ ¨ ®à¡¨â «ìë¬ ¬®¬¥â®¬, ¨ ᯨ®¬ (L = S = 0), â ª®¢ë, ¯à¨¬¥à, â®¬ë ¡« £®à®¤ëå £ §®¢10. ਠí⮬ ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ ¥¢ë஦¤¥® ¨ \¢ãâà¥ïï"
9 ਠ¯®¨¦¥¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¡«î¤ îâáï áãé¥áâ¢¥ë¥ ®âª«®¥¨ï ®â § ª® à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨ï. 祢¨¤®, çâ® ¯®áâ®ïá⢮ ⥯«®¥¬ª®á⨠¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¨ ⥮६¥ ¥àáâ . áâ®à¨ç¥áª¨, àã襨¥ § ª® à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¡ë«® ®¤¨¬ ¨§ ¢ ¦ëå 㪠§ ¨© ¥¤®áâ â®ç®áâì ª« áá¨ç¥áª®£® à áᬮâ२ï, çâ®, ¢ ¨â®£¥, ¯à¨¢¥«® ª ᮧ¤ ¨î ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨. 10 ®¤à®¡®¥ ®¡á㦤¥¨¥ ¡®«¥¥ á«®¦ëå á«ãç ¥¢, â ª¦¥ ª ª ¨ ¬®£® ⮬ëå (¬®«¥ªã«ïàëå) £ §®¢, ¬®¦® ©â¨ ¢ [1, 2]
71
"
áâ âá㬬 ᢮¤¨âáï ª ®¤®¬ã á« £ ¥¬®¬ã: Z 0 = e; T0 . ®£¤ ¨§ (3.73) áà §ã ¯®«ãç ¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ⨯ (3.56) á ¯®áâ®ï®© ⥯«®¥¬ª®áâìî: ¨ 娬¨ç¥áª®© ¯®áâ®ï®©:
cv = 3=2
(3.74)
= 32 ln m 2 2h
(3.75)
{ ä®à¬ã« ªãà -¥âத¥. ®«ãç¥ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¯®§¢®«ïî⠩⨠ªà¨â¥à¨© ¯à¨¬¥¨¬®á⨠áâ â¨á⨪¨ ®«ìæ¬ . ëè¥ ¬ë ¯®«ã稫¨ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ ¬ «®á⨠á।¨å ç¨á¥« § ¯®«¥¨ï ã஢¥©: < nk >= e
;"k T
1:
(3.76)
祢¨¤®, çâ® ¤®áâ â®ç® ¯®âॡ®¢ âì ¢ë¯®«¥¨ï ãá«®¢¨ï:
e T 1;
(3.77)
®âªã¤ , ªáâ â¨, ïá®, ç⮠娬¯®â¥æ¨ « ¡®«ìæ¬ ®¢áª®£® £ § ¢á¥£¤ ®âà¨æ ⥫¥ ¨ ¢¥«¨ª ¯® ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨¥. ©¤¥¬ 娬¯®â¥æ¨ « ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï = =N, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¢ëà ¦¥¨¥¬ ¤«ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « ¨¡¡á (3.58), ¯®¤áâ ¢¨¢ â㤠cp = cv + 1 = 5=2 ¨ ¨§ (3.75). ®«ãç ¥¬:
"
P
= T ln T 5=2
2h2 3=2# m
" 2 3=2# = T ln N 2h V
mT
(3.78)
çâ®, ®ç¥¢¨¤®, ᮢ¯ ¤ ¥â á ©¤¥ë¬ ¢ëè¥ ¤à㣨¬ ᯮᮡ®¬ ¢ëà ¦¥¨¥¬ (3.12). ®£¤ ¨§ (3.77),(3.78) ¯®«ãç ¥¬ ªà¨â¥à¨© ¯à¨¬¥¨¬®á⨠¡®«ìæ¬ ®¢áª®© áâ â¨á⨪¨ ¢ ¢¨¤¥: N h2 3=2 1 ¨«¨ T h2 N 2=3 : (3.79) V mT m V
ª¨¬ ®¡à §®¬, áâ â¨á⨪ ®«ìæ¬ ¯à¨¬¥¨¬ , ¥á«¨ £ § ¤®áâ â®ç® à §à¥¦¥, ⥬¯¥à âãàë ¤®áâ â®ç® ¢ë᮪¨. à ªâ¥à ï ⥬¯¥à âãà (í¥à£¨ï), áâ®ïé ï ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯®á«¥¤¥£® ¥à ¢¥á⢠¢ (3.79) §ë¢ ¥âáï ⥬¯¥à âãன (í¥à£¨¥©) ¢ë஦¤¥¨ï £ § . ⥬ ¢ëè¥, 祬 ¡®«ìè¥ ¯«®â®áâì £ § . ¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮣® ªà¨â¥à¨ï ¥âà㤮 ¯®ïâì ¨§ á«¥¤ãîé¨å ¯à®áâëå ®æ¥®ª. ।¥¥ ¬¥¦ ⮬®¥ à ááâ®ï¨¥ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ £ §¥ a (V=N)1=3. ¢ ⮢ ï ¥®¯à¥¤¥«¥®áâì í¥à£¨¨2 ⮬ ,2 ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥£® «®ª «¨§ 樨 â ª¨å à ááâ®ï¨ïå, ¯®à浪 h h (N=V )2=3. á«®¢¨¥ T E (3.79) ®§ ç ¥â, çâ® ª¢ ⮢묨 íä䥪E0 ma 2 0 m â ¬¨ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì. ¯à®â¨¢, ¯à¨ T < E0 ª¢ â®¢ë¥ íä䥪âë áâ ®¢ïâáï áãé¥á⢥묨 ¨ ®â áâ â¨á⨪¨ ®«ìæ¬ ã¦® ¯¥à¥å®¤¨âì ª ª¢ ⮢®© áâ â¨á⨪¥ ¨¤¥ «ìëå £ §®¢11. 11 ¥ã¤®¢«¥â¢®à¨â¥«ì®áâì ¯®«ãç¥ëå ¢ëè¥ ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¨¤¥ «ì®£® £ § ïá 㦥 ¨ ¨§ ®ç¥¢¨¤®£® ¯à®â¨¢®à¥ç¨ï á ⥮६®© ¥àáâ : ¨ íâய¨ï, ¨ ⥯«®¥¬ª®áâì ¥ ®¡à é îâáï ¢ ã«ì ¯à¨ T ! 0.
72
« ¢ 4
⪫®¥¨¥ £ §®¢ ®â ¨¤¥ «ì®áâ¨. ॠ«ìëå £ § å, ¥áâ¥á⢥®, ⮬ë (¬®«¥ªã«ë) ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ¬¥¦¤ã ᮡ®©. 㤥¬ áç¨â âì £ § ¤®áâ â®ç® à §à¥¦¥ë¬, â ª çâ®¡ë ¬®¦® ¡ë«® ¯à¥¥¡à¥çì âன묨, ç¥â¢¥à묨 ¨ â.¤. á⮫ª®¢¥¨ï¬¨ ¬®«¥ªã« ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® ¨å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï «¨èì ¯ã⥬ ¯ àëå á⮫ª®¢¥¨© 1 . «ï ¯à®áâ®âë à áᬮâਬ ®¤® â®¬ë© à¥ «ìë© £ §. ¢¨¦¥¨¥ ¥£® ç áâ¨æ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ª« áá¨ç¥áª¨, â ª çâ® ¥£® í¥à£¨ï § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥: E(p; q) =
N p2 X i i=1
2m + U
(4.1)
®¤® ⮬®£® £ § í¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¥áâì Räãªæ¨ï ⮫쪮 ¢§ ¨¬ëå à ááâ®ï¨© ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨. â â¨áâ¨ç¥áª¨© ¨â¥£à « d;e; E(Tp;q) à §¡¨¢ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¨â¥£à « ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬ ⮬®¢ ¨ ¨â¥£à « ¯® ¨å ª®®à¤¨ â ¬. ®á«¥¤¨© ¨¬¥¥â ¢¨¤: Z Z (4.2) dV1::: dVN e; UT «ï ¨¤¥ «ì®£® £ § U = 0 ¨ íâ®â ¨â¥£à « à ¢¥ ¯à®áâ® V N . á®, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ᮣ« á® (2.45) ¬ë ¯®«ã稬: Z Z F = Fid ; T ln V1N dV1::: dVN e; UT (4.3) 1 ®á«¥¤ãî饥
¨§«®¦¥¨¥ 楫¨ª®¬ á«¥¤ã¥â [1, 2].
73
74
£¤¥ Fid { ᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï ¨¤¥ «ì®£® £ § .R ਡ ¢«ïï R ¨ ¢ëç¨â ï ¨§ ¯®¤¨â¥£à «ì®£® ¢ëà ¦¥¨ï ¯® ¥¤¨¨æ¥ ¨ ãç¨âë¢ ï dV1 ::: dVN = V N , ¯¥à¥¯¨è¥¬ (4.3) ¢ ¢¨¤¥: 1 Z Z ;U (4.4) F = Fid ; T ln V N dV1::: dVN e T ; 1 + 1
ãáâì £ § ¥ ⮫쪮 ¤®áâ â®ç® à §à¥¦¥, ® ¨ ª®«¨ç¥á⢮ ¥£® ¤®áâ â®ç® ¬ «®, â ª çâ® ®¤®¢à¥¬¥® ¢ ¥¬ áâ «ª¨¢ ¥âáï ¥ ¡®«¥¥ ®¤®© ¯ àë ⮬®¢. â® ¥ ¥áâì ®£à ¨ç¥¨¥ ®¡é®áâ¨, â ª ª ª ¢ ᨫ㠤¤¨â¨¢®á⨠᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ F = Nf(T; V=N). § ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨ ¥ ®ç¥ì ¬ «® ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤¢ ⮬ 室ïâáï ®ç¥ì ¡«¨§ª® ¤à㣠ª ¤àã£ã (áâ «ª¨¢ îâáï). ®í⮬㠯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (4.4) § ¬¥â® ®â«¨ç® ®â ã«ï ⮫쪮 ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ ª ª¨¥-«¨¡® ¤¢ ⮬ ®ç¥ì ¡«¨§ª¨ ¤à㣠ª ¤àã£ã. ⮬ã ãá«®¢¨î ¬®¦¥â 㤮¢«¥â¢®à¨âì ®¤®¢à¥¬¥® ¥ ¡®«ìè¥ ®¤®© ¯ àë ⮬®¢ (¥á«¨ £ § ¤®áâ â®ç® ¬ «®), ¯à¨ç¥¬ íâã ¯ àã ¬®¦® ¢ë¡à âì ¨§ N ⮬®¢ 21 N(N ; 1) ᯮᮡ ¬¨. á«¥¤á⢨¥ í⮣® ¨â¥£à « ¢ (4.4) ¬®¦® ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: N(N ; 1) Z dV ::: Z dV e; UT12 ; 1 (4.5) 1 N 2 £¤¥ U12 { í¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤¢ãå ⮬®¢ (ª ª¨å ¨¬¥® { ¥¢ ¦® ¢ á¨«ã ¨å ®¤¨ ª®¢®áâ¨). ® ¢á¥¬ ®áâ «ìë¬ ª®®à¤¨ â ¬ (ªà®¬¥ ª®®à¤¨ â ⮬®¢ 1 ¨ 2) ¨â¥£à¨à㥬, çâ® ¤ ¥â ¯à®áâ® V N ;2 . ஬¥ ⮣® N(N ; 1) N 2 ¢ ᨫã N 1, â ª çâ® (4.5) ᢮¤¨âáï ª: N 2 V N ;2
Z
Z
U dV1 dV2 e; T12 ; 1 :
(4.6)
®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (4.4) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ln(1 + x) x ¯à¨ x 1, ¨¬¥¥¬: Z U12 2Z T N (4.7) F = Fid ; 2V 2 dV1 dV2 e; T ; 1 £¤¥ ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¤ ¥â ¬ «ãî ¯®¯à ¢ªã ª ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¨¤¥ «ì®£® £ § ¨§§ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ®â¥æ¨ « ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï U12 § ¢¨á¨â ®â à ááâ®ï¨ï ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨. ®í⮬㠢 (4.7) ¬®¦® ¯¥à¥©â¨ ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¯® à §®á⨠ª®®à¤¨ â ¤¢ãå ⮬®¢ ¨ ¯® ª®®à¤¨ ⥠¨å æ¥âà ¨¥à樨. ®á«¥¤¥¥ ¤ áâ ᮢ ®¡ê¥¬ V . ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬: 2 F = Fid + N TB(T) (4.8) V £¤¥: Z U 1 (4.9) B(T) = 2 dV 1 ; e; T12 âáî¤ å®¤¨¬ ¤ ¢«¥¨¥: NB(T ) @F NT P = ; @V = V 1 + V (4.10) £¤¥ ãç⥮, çâ® Pid = NT=V . â® ¥áâì ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï £ § ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨. § â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¨§¢¥áâ®, çâ® ¨§¬¥¥¨ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¨ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « ¯à¨ ¬ «ëå ¨§¬¥¥¨ïå ¢¥è¨å ãá«®¢¨© à ¢ë ¤à㣠¤àã£ã,
75
¨á. 4-1 à ªâ¥àë© ¢¨¤ ¯®â¥æ¨ « ¬¥¦ ⮬®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï.
¯à¨ç¥¬ ®¤® ¡¥à¥âáï ¯à¨ ¯®áâ®ï®¬ ®¡ê¥¬¥, ¤à㣮¥ ¯à¨ ¯®áâ®ï®¬ ¤ ¢«¥¨¨.
᫨ à áᬮâà¥âì ®âª«®¥¨¥ £ § ®â ¨¤¥ «ì®á⨠ª ª â ª®¥ ¨§¬¥¥¨¥, â® ¨§ (4.8) ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï . 㦮 ⮫쪮 ¢ ¯®¯à ¢®ç®¬ ç«¥¥ ¢ëà §¨âì ®¡ê¥¬ ç¥à¥§ ¤ ¢«¥¨¥, ¯à¨ç¥¬ íâ® á«¥¤ã¥â ᤥ« âì á ¯®¬®éìî ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï ¨¤¥ «ì®£® £ § . ®£¤ : = id + NB(T)P (4.11) âáî¤ ¬®¦® ¢ëà §¨âì ®¡ê¥¬ ç¥à¥§ ¤ ¢«¥¨¥: V = NT (4.12) P + NB(T ) ᥠ¯®«ãç¥ë¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¥îâ á¬ëá« «¨èì ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¨â¥£à « (4.9) á室¨âáï. «ï í⮣® 㦮, ç⮡ë á¨«ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤®áâ â®ç® ¡ëáâà® ã¡ë¢ «¨ á à ááâ®ï¨¥¬.
᫨ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå U12 r;n, ⮠㦮 n > 3. «ï ®¤® ⮬ëå £ §®¢ U12 ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯®ª § ë© ¨á.4-1. «ã¡¨ ¯®â¥æ¨ «ì®© ï¬ë U0 ®¡ëç® ¯®à浪 ªà¨â¨ç¥áª®© ⥬¯¥à âãàë ¤ ®£® ¢¥é¥á⢠. ਠ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà å T U0 ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠r > 2r0 ¨¬¥¥¬ jU12j=T 1 ¨ ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (4.9) ¡«¨§ª® ª ã«î. ®í⮬㠧 票¥ ¨â¥£à « ¢ (4.9) ¢ ®á®¢®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¡« áâìî r < 2r0, £¤¥ U12=T ¯®«®¦¨â¥«ì® ¨ ¢¥«¨ª®, ᮮ⢥âá⢥® ¯®«®¦¨â¥«¥ ¨ ¢¥áì ¨â¥£à «. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà å ¨¬¥¥¬ B(T) > 0. ¯à®â¨¢, ¯à¨ ¨§ª¨å T U0 ®á®¢ãî à®«ì ¢ ¨â¥£à «¥ ¨£à ¥â ®¡« áâì r > 2r0, £¤¥ ⥯¥àì U12=T ®âà¨æ â¥«ì® ¨ ¢¥«¨ª® ¯® ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨¥. ®í⮬ã, ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ¨¬¥¥¬ B(T )
76
¥à¢ë© ¯®¯à ¢®çë© ç«¥ §¤¥áì á¢ï§ á ¯ à묨 á⮫ª®¢¥¨ï¬¨ ⮬®¢, ¢â®à®© { á âன묨 ¨ â.¤. ¥§à §¬¥àë© ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà í⮣® à §«®¦¥¨ï { ®â®è¥¨¥ Nv0 =V \®¡ê¥¬ " ®¤®£® ⮬ v0 ª ¯à¨å®¤ï饬ãáï ®¤¨ ⮬ ®¡ê¥¬ã £ § V=N. ®íää¨æ¨¥âë B; C; ::: §ë¢ îâáï ¢¨à¨ «ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, (4.13) { ¢¨à¨ «ì®¥ à §«®¦¥¨¥. ®¦® ¯®ª § âì, çâ® ®¡é ï áâàãªâãà ¢¨à¨ «ì®£® à §«®¦¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 X P = T Jn!n n (4.14) n=1
£¤¥ = Pid=T = N=V , ¢¨à¨ «ìë¥ ª®íää¨æ¨¥âë:
J3 =
Z
J2 =
Z
Z
J =1 dV2 e T ; 1
(4.15) (4.16)
; U12 1
U U U U T ; e; T12 ; e; T13 ; e; T23 + 2 dV2 dV3 e; 123
(4.17)
¨ â.¤. â¥£à «ë ¢ Jn ¯®áâà®¥ë ¯® ®ç¥¢¨¤®¬ã § ª®ã: ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ Jn ®â«¨ç® ®â ã«ï, «¨èì ¥á«¨ n ⮬®¢ ¡«¨§ª¨ ¤à㣠ª ¤àã£ã, â.¥. ¯à¨ á⮫ª®¢¥¨¨ n ⮬®¢.
®à¬ã« -¤¥à- «ìá . ¥®à¨ï ¦¨¤ª®á⥩ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®á®¡¥® á«®¦ë© à §¤¥« áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. à ªâ¨ç¥áª¨ ¥¢®§¬®¦® ãáâ ®¢¨âì ª ª¨¥-«¨¡® ®¡é¨¥ ä®à¬ã«ë, ª®«¨ç¥á⢥® ®¯¨áë¢ î騥 ᢮©á⢠¦¨¤ª®á⥩. ¤ ª®, ¬®¦® ¤®áâ â®ç® «¥£ª® ¯®«ãç¨âì ¥ª®â®àãî ¨â¥à¯®«ï樮ãî ä®à¬ã«ã, ª ç¥á⢥® ®¯¨áë¢ îéãî ¯¥à¥å®¤ ¬¥¦¤ã ¦¨¤ª®áâìî ¨ £ §®¬ ¨ ïîéãîáï ¤®áâ â®ç® å®à®è¨¬ ¨ ¯à ªâ¨çë¬ ãà ¢¥¨¥¬ á®áâ®ï¨ï á¨áâ¥¬ë £ § { ¦¨¤ª®áâì. ¥çì ¨¤¥â ®¡ ¨§¢¥á⮩ ä®à¬ã«¥ -¤¥à- «ìá . ¯¨á ë© ¢ëè¥ å à ªâ¥à ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⮬®¢ £ § ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ ¯¥à¢ëå ç«¥®¢ à §«®¦¥¨ï B(T) ¯® á⥯¥ï¬ ®¡à ⮩ ⥬¯¥à âãàë, ¯à¥¤¯®« £ ï ¬ «®áâì ®â®è¥¨ï: U0 1 (4.18) T ¬¥ï ¢¢¨¤ã, çâ® U12 ¥áâì äãªæ¨ï à ááâ®ï¨ï r ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨, § ¯¨è¥¬ ¢ (4.9) dV = 4r2dr ¨ à §®¡ì¥¬ ®¡« áâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¤¢¥ ç áâ¨: B(T ) = 2
Z 2r0 0
drr2
U 1 ; e; T12 + 2
Z1 2r0
drr2 1 ; e;
U12 T
(4.19)
ਠ§ 票ïå r 2 [0; 2r0] í¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï U12 ®ç¥ì ¢¥«¨ª . ®í⮬㠢 ¯¥àU ¢®¬ ¨â¥£à «¥ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì ç«¥®¬ e; T12 ¯® áà ¢¥¨î á ¥¤¨¨æ¥©. ®£¤ íâ®â ¨â¥£à « à ¢¥ b = 16r03=3 > 0 ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ãç¥â¢¥à¥ë© \®¡ê¥¬" ⮬ . ® ¢â®à®¬ ¨â¥£à «¥ ¢¥§¤¥ jU12j=T U0 =T 1. ®í⮬㠯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¬®¦® à §«®¦¨âì ¯® á⥯¥ï¬ U12=T ¨ ®£à ¨ç¨¢è¨áì ¯¥à¢ë¬ ¥¨á祧 î騬
77
ç«¥®¬ § ¯¨á âì:
; 2 T
Z1 2r0
drr2jU12j = ; Ta
(4.20)
£¤¥ a = const > 0. ª¨¬ ®¡à §®¬ 室¨¬:
B(T) = b ; Ta
(4.21)
®®â¢¥âá⢥® ¨§ (4.8),(4.11) 室¨¬: F = Fid + NV (bT ; a) 2
(4.22)
= id + NP (b ; a=T) (4.23) ᪮¬ãî ¨â¥à¯®«ï樮ãî ä®à¬ã«ã ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨§ (4.22), ª®â®à ï á ¬ ¯® ᥡ¥ ¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬, â ª ª ª ¥ ãç¨âë¢ ¥â ®£à ¨ç¥®áâì ᦨ¬ ¥¬®á⨠¢¥é¥á⢠. ®¤áâ ¢¨¬ ¢ (4.22) ᢮¡®¤ãî í¥à£¨î ¨¤¥ «ì®£® £ § ¢ ¢¨¤¥ (3.45) Fid = ;NT ln eVN + Nf(T ) ¨ ¯®«ã稬:
N 2a ; (4.24) F = Nf(T) ; NT ln Ne ; NT ln V ; Nb V V
᫨ £ § ¤®áâ â®ç® à §à¥¦¥, à ááâ®ï¨ï ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨ § ç¨â¥«ì® ¡®«ìè¥, 祬 ¨å à §¬¥àë, ᮮ⢥âá⢥® V Nb. ®£¤ ¨¬¥¥¬: Nb ln(V ; Nb) = ln V + ln 1 ; Nb (4.25) V ln V ; V ¥¯¥àì ᤥ« ¥¬ à¥è î騩 è £ ¨ § ¬¥¨¬ «®£ à¨ä¬ ¢ (4.24) «®£ à¨ä¬, áâ®ï騩 ¢ «¥¢®© ç á⨠¯à¨¡«¨¦¥®£® à ¢¥á⢠(4.25). ®£¤ (4.24), ä ªâ¨ç¥áª¨ á ⮩ ¦¥ â®ç®áâìî, § ¯¨è¥âáï ª ª: N 2a 2 (4.26) F = Nf(T ) ; NT ln Ne (V ; Nb) ; NV a = Fid ; NT ln 1 ; Nb V ; V â ª®¬ ¢¨¤¥ íâ ä®à¬ã« 㦥 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯®áâ ¢«¥®¬ã ãá«®¢¨î: ¯à¨ ¡®«ìè¨å V ® ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¨¤¥ «ì®£® £ § , ¯à¨ ¬ «ëå V ® ¤¥¬®áâà¨àã¥â ¥¢®§¬®¦®áâì ¡¥á¯à¥¤¥«ì®£® ᦠâ¨ï £ § (¯à¨ V < Nb à£ã¬¥â ln áâ ®¢¨âáï ®âà¨æ ⥫ìë¬). «ï ¤ ¢«¥¨ï ¯®«ãç ¥¬: ¨«¨
@F = NT ; N 2 a P = ; @V V ; Nb V 2
2 P + NV 2a (V ; Nb) = NT
(4.27) (4.28)
{ ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï -¤¥à- «ìá . § (4.26) ¬®¦® ©â¨ íâய¨î: Nb S = Sid + N ln 1 ; V (4.29)
78
â ª¦¥ ¢ãâà¥îî í¥à£¨î E = F + T S:
E = Eid ; NV a 2
(4.30)
âáî¤ ¢¨¤®, ç⮠⥯«®¥¬ª®áâì Cv = (@E=@T)V ᮢ¯ ¤ ¥â á ⥯«®¥¬ª®áâìî ¨¤¥ «ì®£® £ § . â®à®© ç«¥ ¢ (4.30) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â í¥à£¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⮬®¢ £ § , ® ®âà¨æ ⥫¥, â ª ª ª ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨ ¢ á।¥¬ ¯à¥®¡« ¤ îâ á¨«ë ¯à¨â殮¨ï. à ¢¥¨¥ -¤¥à- «ìá ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ªà ©¥ 㤠çë© ¯à¨¬¥à ¨â¥à¯®«ï樮®£® ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï, ¢¯®«¥ ¤®áâ â®ç®£® ¤«ï ª ç¥á⢥®£® «¨§ ¢® ¬®£¨å ॠ«ìëå á¨âã æ¨ïå.
¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ª« áá¨ç¥áª®© ¯« §¬ë. §«®¦¥ë© ¢ëè¥ ¬¥â®¤ ¢ëç¨á«¥¨ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¥¨¤¥ «ì®£® £ § § ¢¥¤®¬® ¥¯à¨¬¥¨¬ ¤«ï £ § , á®áâ®ï饣® ¨§ § à殮ëå ç áâ¨æ, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯® § ª®ã ã«® , â ª ª ª ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢å®¤ï騥 ¢ è¨ ä®à¬ã«ë ¨â¥£à «ë ¯à®áâ® à á室ïâáï (U12 r;1). í⮬ ¢ ¦®¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï á¯¥æ¨ «ì®¥ à áᬮâ२¥. â ª, à áᬮâਬ ¯®«®áâìî ¨®¨§®¢ ë© £ § (¯« §¬ã). àï¤ë ç áâ¨æ (¨®®¢) ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì Za e, £¤¥ ¨¤¥ªá a ®â«¨ç ¥â á®àâ ¨®®¢ (e { í«¥¬¥â àë© § àï¤, Za { ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ¨ ®âà¨æ ⥫ìë¥ ç¨á« ). ãáâì na { ç¨á«® ¨®®¢ a-£® á®àâ ¢ ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ £ § . 楫®¬ £ § ¥©âà «¥: X Za na0 = 0 (4.31) a
ãáâì ®âª«®¥¨ï ®â ¨¤¥ «ì®á⨠¬ «ë. «ï í⮣® 㦮, ç⮡ë á।ïï í¥à£¨ï ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤¢ãå ¨®®¢ (Ze)2 =r(r n;1=3) ¡ë« ¬ « ¯® áà ¢¥¨î á® á।¥© ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¥© T. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¤®«¦® ¢ë¯®«ïâìáï ¥à ¢¥á⢮: T 3 2 1 = 3 (Ze) n T ¨«¨ n Z 2 e2 (4.32)
¢¨¤ã ãá«®¢¨ï í«¥ªâ஥©âà «ì®á⨠(4.31) á।¥¥ § 票¥ í¥à£¨¨ ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç áâ¨æ ¯« §¬ë ¯à¨ ®¤®à®¤®¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ç áâ¨æ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì. ¥à¢ë¥ ¯®¯à ¢ª¨ ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ å ¯« §¬ë ¢®§¨ª îâ ⮫쪮 ¯à¨ ãç¥â¥ ª®à५ï樨 ¬¥¦¤ã ¯®«®¦¥¨ï¬¨ à §«¨çëå ç áâ¨æ (ª®à५ïæ¨®ë¥ ¯®¯à ¢ª¨). «ï 宦¤¥¨ï ¯®¯à ¢ª¨ Ecorr ¢ í¥à£¨¨ ¯« §¬ë § ¯¨è¥¬: X (4.33) Ecorr = V 12 Za ena0 'a a £¤¥ 'a { ¯®â¥æ¨ « ¯®«ï, ¤¥©áâ¢ãî饣® ¨® a-£® á®àâ á® áâ®à®ë ®áâ «ìëå § à冷¢. «¥¤ãï ¬¥â®¤ã, ¯à¥¤«®¦¥®¬ã ¥¡ ¥¬ ¨ ¥«¥¬ § ¬¥â¨¬, çâ® ª ¦¤ë©
79
¨§ ¨®®¢ ᮧ¤ ¥â ¢®ªàã£ á¥¡ï ¥ª®â®à®¥ (áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨ç®¥) ¥à ¢®¬¥à® § à殮®¥ ¨®®¥ ®¡« ª® (\èã¡ã"). ¡®§ 稬 ¯«®â®áâì à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨®®¢ (a-£® á®àâ ) ¢ í⮬ ®¡« ª¥ na . ®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï «î¡®£® ¨® a-£® á®àâ ¢ í«¥ªâà¨ç¥áª®¬ ¯®«¥ ¢®ªà㣠§ ¤ ®£® ¨® , ᪠¦¥¬ ⨯ b, ¥áâì Za e', £¤¥ ' { ¯®â¥æ¨ «, ᮧ¤ ¢ ¥¬ë© í⨬ 䨪á¨à®¢ ë¬ ¨®®¬. ®£« á® ä®à¬ã«¥ ®«ìæ¬ (3.16): Z e'(r) na (r) = na0 exp ; a T (4.34)
®íää¨æ¨¥â §¤¥áì à ¢¥ na0 ¯®áª®«ìªã ¢¤ «¨ ®â æ¥âà ¨® b (£¤¥ ' ! 0) ¯«®â®áâì ®¡« ª ¤®«¦ ¯¥à¥å®¤¨âì ¢ á।îî ¯«®â®áâì ¢ £ §¥. ®â¥æ¨ « ' ¯®«ï ¢ ¨®®¬ ®¡« ª¥ á¢ï§ á ¯«®â®áâìî § àï¤ ¢ ®¡« ª¥ ãà ¢¥¨¥¬ ã áá® :
r2'(r) = 4e
X a
Za na (r)
(4.35)
à ¢¥¨ï (4.34), (4.35) ®¡à §ãîâ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©, ®¯à¥¤¥«ïîéãî á ¬®á®£« ᮢ ®¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ ¢ á¨á⥬¥ ¨®®¢. ਠᤥ« ®¬ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ ®¡ ®â®á¨â¥«ì®© á« ¡®á⨠¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨®®¢ í¥à£¨ï Za e' ¬ « ¯® áà ¢¥¨î á T ¨ (4.34) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: a0 na (r) = na0 ; Za en (4.36) T '(r) ®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (4.35) ¨ ¨¬¥ï ¢¢¨¤ã ãá«®¢¨¥ í«¥ªâ஥©âà «ì®á⨠(4.31), ¯®«ãç ¥¬: r2 ' ; 2 ' = 0 (4.37) £¤¥ 2X 2 = 4e Za2 na0 (4.38) T a
¥«¨ç¨ ¨¬¥¥â à §¬¥à®áâì ®¡à ⮩ ¤«¨ë. ä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨ç®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (4.37) ¨¬¥¥â ¢¨¤: ;r '(r) = const e r (4.39) ¡«¨§¨ ®â æ¥âà ¨® ®® ¤®«¦® ¯¥à¥å®¤¨âì ¢ ®¡ëçë© ªã«®®¢áª¨© ¯®â¥æ¨ «: ' Zb e=r, â ª çâ® ¢ (4.39) const = Zb e ¨ ¬ë ¨¬¥¥¬: ;r '(r) = Zb e e r (4.40) ®«¥ íªá¯®¥æ¨ «ì® ᯠ¤ ¥â ¯à¨ r ;1 . «¨ 1= íä䥪⨢® ®¯à¥¤¥«ï¥â à §¬¥àë ¨®®£® ®¡« ª ¨ §ë¢ ¥âáï ¤¥¡ ¥¢áª¨¬ à ¤¨ãᮬ íªà ¨à®¢ ¨ï (¤«¨®© íªà ¨à®¢ª¨). ⮠¥¨¥ íªà ¨à®¢ ¨ï ¤ «ì®¤¥©áâ¢ãî饣® ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¯à¥¢à é î饣® ¥£® ¢ íä䥪⨢® ª®à®âª®¤¥©áâ¢ãî饥, ¨£à ¥â ®ç¥ì ¡®«ìèãî à®«ì ¢ 䨧¨ª¥ ¯« §¬ë, 䨧¨ª¥ í«¥ªâ஫¨â®¢ ¨ ¢ 䨧¨ª¥ ⢥म£® ⥫ . §« £ ï (4.40) ¢ àï¤ ¯à¨ ¬ «ëå r, ©¤¥¬: (4.41) '(r) = Zrb e ; Zb e + :::
80
¯ãé¥ë¥ ç«¥ë áâ६ïâáï ª ã«î ¯à¨ r ! 0. ¥à¢ë© ç«¥ ¥áâì ªã«®®¢áª®¥ ¯®«¥ á ¬®£® ¤ ®£® ¨® b. â®à®© ç«¥ ¯®í⮬㠨¬¥¥â á¬ëá« ¯®â¥æ¨ « , ᮧ¤ ¢ ¥¬®£® ¢á¥¬¨ ®áâ «ì묨 ¨® ¬¨ ¢ â®çª¥ 宦¤¥¨ï ¤ ®£® ¨® , â.¥. âã á ¬ãî ¢¥«¨ç¨ã 'a , ª®â®àãî ¬ë ¢¢¥«¨ ¢ (4.33): 'a = ;Za e. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ª®à५ï樮®© í¥à£¨¨ ¯« §¬ë: r ; X Ecorr = V2 e2 Za2 na0 = ;V e3 T a Za2 na0 3=2 (4.42) a
¨«¨, ¢¢®¤ï ¯®«ë¥ ç¨á« à §«¨çëå ¨®®¢ ¢ £ §¥ Na = na0 V : r ; 3 (4.43) Ecorr = ;e TV a Na Za2 3=2 ⥣à¨àãï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ á®®â®è¥¨¥ ¨¡¡á {¥«ì¬£®«ìæ (2.66), § ¯¨á ®¥ ¢ ¢¨¤¥ TE2 = ; @T@ FT , ¬®¦® ©â¨ ¨§ Ecorr ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¤®¡ ¢ªã ª ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨: 3r X 2!3=2 2e F = Fid ; 3 T V Na Za (4.44) a ®áâ®ïãî ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¬®¦® ¯®«®¦¨âì à ¢®© ã«î, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ T ! 1 ¤®«¦® ¡ëâì F = Fid . âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ¤ ¢«¥¨¥:
r
P
e3 P = NT ; V 3V 3=2 T
X a
Z2
Na a
!3=2
£¤¥ N = a Na . «®£¨ç®, ª ª ¨ ¢ëè¥, ¬®¦® ©â¨: 3 P 1=2 2e = id ; 3T N
X a
Z2
Na a
!3=2
(4.45)
(4.46)
â® ¯®«ãç ¥âáï, ¥á«¨ à áᬮâà¥âì ¢â®à®© ç«¥ ¢ (4.44) ª ª ¬ «ãî ¤®¡ ¢ªã ¨ ¢ëà §¨âì ¥¥ á 㦮© â®ç®áâìî ç¥à¥§ ¯¥à¥¬¥ë¥ P ¨ T.
« ¢ 5
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¥à¬¨. ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, ¯à¨ ¯®¨¦¥¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¨¤¥ «ì®£® £ § (¯à¨ § ¤ ®© ¯«®â®áâ¨), áâ â¨á⨪ ®«ìæ¬ áâ ®¢¨âáï ¥¯à¨¬¥¨¬®© ¨§-§ ª¢ ⮢ëå íä䥪⮢ (áà. (3.79)). ®í⮬ã, ¤«ï ®¯¨á ¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¡« á⨠⥬¯¥à âãà (¯«®â®á⥩) ¤®«¦ ¡ëâì ¯®áâ஥ ¤à㣠ï áâ â¨á⨪ , ¢ ª®â®à®© á।¨¥ ç¨á« § ¯®«¥¨ï à §«¨çëå ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© ¥ ¯à¥¤¯®« £ îâáï ¬ «ë¬¨1. â áâ â¨á⨪ ®ª §ë¢ ¥âáï à §®©, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¨§ ç áâ¨æ ª ª®£® த á®á⮨⠣ §. ¨¡®«¥¥ ä㤠¬¥â «ìë¬ ¤¥«¥¨¥¬ ç áâ¨æ ª« ááë ¢ ᮢ६¥®© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ï¥âáï ¨å ¤¥«¥¨¥ ä¥à¬¨®ë (ç áâ¨æë á ¯®«ãæ¥«ë¬ á¯¨®¬) ¨ ¡®§®ë (ç áâ¨æë á æ¥«ë¬ á¯¨®¬). ®«®¢ë¥ äãªæ¨¨ á¨á⥬ë N ⮦¤¥á⢥ëå ä¥à¬¨®®¢ â¨á¨¬¬¥âà¨çë ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥áâ ®¢®ª ç áâ¨æ, ¡®§®®¢ { ᨬ¬¥âà¨çë. «ï á¨á⥬ë ç áâ¨æ, ®¯¨áë¢ îé¨åáï â¨á¨¬¬¥âà¨ç묨 ¢®«®¢ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨ (ä¥à¬¨®®¢), á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨æ¨¯ 㫨, áâ â¨á⨪ , ®á®¢ ï í⮬ ¯à¨æ¨¯¥ §ë¢ ¥âáï áâ â¨á⨪®© ¥à¬¨ (¥à¬¨{¨à ª ). ª ¨ ¢ëè¥, ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®«ìæ¬ ¨§ ¡®«ì讣® ª ®¨ç¥áª®£® á ¬¡«ï (áà. (3.4){ (3.7)), ¯à¨¬¥¨¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á ª ᮢ®ªã¯®á⨠¢á¥å ç áâ¨æ, 室ïé¨åáï ¢ ¤ ®¬ ª¢ ⮢®¬ á®áâ®ï¨¨ (¯®¤á¨á⥬ ¢ â¥à¬®áâ â¥). ®¢ ®¡®§ 稬 k â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « í⮩ á¨á⥬ë ç áâ¨æ, ⮣¤ ¨§ (2.60), ãç¨âë¢ ï, çâ® 1 â¥à¨ «
í⮩ £« ¢ë ¯®«®áâìî ®á®¢ [1, 2].
81
82
¤«ï £ § ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ Enk = nk "k , ¯®«ãç ¥¬:
k = ;T ln
X nk
e
;"k nk T
(5.1)
£¤¥ nk { ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ k-¬ ª¢ ⮢®¬ á®áâ®ï¨¨. ®£« á® ¯à¨æ¨¯ã 㫨 ç¨á« § ¯®«¥¨ï ª ¦¤®£® á®áâ®ï¨ï ä¥à¬¨® ¬¨ ¬®£ã⠯ਨ¬ âì «¨èì § 票ï 0 ¨«¨ 1. ®®â¢¥âá⢥® ¢ á㬬¥ ¯® nk ¢ (5.1) ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¤¢ ç«¥ ¨ ¬ë ¨¬¥¥¬:
k = ;T ln 1 + e
;"k T
(5.2)
®áª®«ìªã á।¥¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ á¨á⥬¥ à ¢® ¯à®¨§¢®¤®© ®â ¯®â¥æ¨ « k ¯® 娬¯®â¥æ¨ «ã , ¢§ï⮩ á ®¡à âë¬ § ª®¬, â®: ;"
¨«¨:
k k = e T < nk >= ; @
@ 1 + e ;T"k
< nk >=
(5.3)
1
(5.4) +1 çâ® ¨ §ë¢ ¥âáï äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨. ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® ¢á¥£¤ ;"k T 1 ¨§ (5.4) ¯®«ãç ¥¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ 2. < nk > 1, ¯à¨ e á«®¢¨¥ ®à¬¨à®¢ª¨ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª: X 1 =N (5.5) "k ; k e T +1 £¤¥ N { ¯®«®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ £ §¥. â® à ¢¥á⢮, ä ªâ¨ç¥áª¨, ï¥âáï ¥ï¢ë¬ ãà ¢¥¨¥¬, ®¯à¥¤¥«ïî騬 娬¯®â¥æ¨ « £ § , ª ª äãªæ¨î T ¨ N. ¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « £ § ¢ 楫®¬, ®ç¥¢¨¤®, ¯®«ãç ¥âáï ¨§ k (5.2) á㬬¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ¢á¥¬ ª¢ â®¢ë¬ á®áâ®ï¨ï¬:
= ;T
" ; e kT
X k
ln 1 + e
;"k T
:
(5.6)
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®§¥. ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ®¡á㦤¥¨î áâ â¨á⨪¨, ª®â®à®© ¯®¤ç¨ï¥âáï ¨¤¥ «ìë© £ §, á®áâ®ï騩 ¨§ ç áâ¨æ á æ¥«ë¬ á¯¨®¬ (¡®§®®¢), ®¯¨áë¢ îé¨åáï ᨬ¬¥âà¨ç묨 ¢®«®¢ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨ { áâ â¨á⨪¥ ®§¥ (®§¥{©è⥩ ). ¨á« § ¯®«¥¨ï ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© ¤«ï ¡®§®®¢ ¨ç¥¬ ¥ ®£à ¨ç¥ë ¨ ¬®£ã⠯ਨ¬ âì «î¡ë¥ § 票ï. «®£¨ç® (5.1) ¨¬¥¥¬:
k = ;T ln
X nk
e
;"k nk T
(5.7)
2
᫨ ¯®âॡ®¢ âì ¢ë¯®«¥¨ï í⮣® ¥à ¢¥á⢠¤«ï «î¡ëå "k , â® ®® ᢥ¤¥âáï ª e=T 1, ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ªà¨â¥à¨¥¬ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠¡®«ìæ¬ ®¢áª®© áâ â¨á⨪¨, § ¯¨á ë¬ ¢ (3.77).
83
â®ï騩 §¤¥áì àï¤ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ¯à®£à¥áá¨î ¨ á室¨âáï ¯à¨ ;"k e T < 1. ®áª®«ìªã íâ® ãá«®¢¨¥ ¤®«¦® ¨¬¥âì ¬¥áâ® ¯à¨ «î¡ëå "k , ïá®, çâ® <0 (5.8) â.¥. 娬¯®â¥æ¨ « ¡®§¥-£ § ¢á¥£¤ ®âà¨æ ⥫¥. ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¤«ï ¡®«ìæ¬ ®¢áª®£® £ § < 0 ¨ ¢¥«¨ª ¯® ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨¥. ¨¦¥ ¬ë ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ¤«ï ä¥à¬¨-£ § ¬®¦¥â ¡ëâì «î¡®£® § ª . 㬬¨àãï ¯à®£à¥áá¨î ¢ (5.7), ¯®«ãç ¥¬:
k = T ln 1 ; e
k ¨¬¥¥¬: âáî¤ ¤«ï < nk >= ; @@
< nk >= ;"
;"k T
1
" ; e kT
;1
(5.9) (5.10)
{ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®§¥. ®¢ , ¯à¨ e T k 1 ¨¬¥¥¬ ¯¥à¥å®¤ ª ¡®«ìæ¬ ®¢áª®© áâ â¨á⨪¥. á«®¢¨¥ ®à¬¨à®¢ª¨ ®¯ïâì ¨¬¥¥â ¢¨¤: X 1 N= (5.11) "k ; k e T ;1 ¨ ¥ï¢® ®¯à¥¤¥«ï¥â 娬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ «. ®«ë© â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « ¤«ï ¢á¥© á¨á⥬ë. «®£¨ç® (5.6) ¥áâì: X ;" (5.12)
= T ln 1 ; e T k : k
¥à ¢®¢¥áë¥ ä¥à¬¨{ ¨ ¡®§¥{£ §ë. áᬮâਬ íâய¨î ¥à ¢®¢¥áëå ä¥à¬¨- ¨ ¡®§¥-£ §®¢ ¨ ¯®«ã稬 äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨ ¨ ®§¥ ¨§ ãá«®¢¨ï ¥¥ ¬ ªá¨¬ «ì®á⨠¢ à ¢®¢¥á®¬ á®áâ®ï¨¨. «¨§ ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠ᮢ¥à襮 «®£¨ç® ⮬ã, ª ª â ª ï ¦¥ § ¤ ç à¥è « áì ¢ëè¥ ¤«ï ¡®«ìæ¬ ®¢áª®£® £ § . ¯ïâì à á¯à¥¤¥«¨¬ ¢á¥ ª¢ â®¢ë¥ á®áâ®ï¨ï ®â¤¥«ì®© ç áâ¨æë £ § ¯® £à㯯 ¬, ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨â ¡«¨§ª¨¥ ¯® í¥à£¨¨ á®áâ®ï¨ï ¨ ¯¥à¥ã¬¥à㥬 í⨠£àã¯¯ë ®¬¥à ¬¨ j = 1; 2; :::. ãáâì Gj { ç¨á«® á®áâ®ï¨© ¢ j-© £à㯯¥, Nj { ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ íâ¨å á®áâ®ï¨ïå. ¡®à ç¨á¥« Nj ¯®«®áâìî å à ªâ¥à¨§ã¥â ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ £ § . á«ãç ¥ áâ â¨á⨪¨ ¥à¬¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© ¬®¦¥â 室¨âìáï ¥ ¡®«¥¥ ®¤®© ç áâ¨æë, ® ç¨á« Nj ¥ ¬ «ë, ⮣® ¦¥ ¯®à浪 , çâ® ¨ Gj . ¨á«® ¢®§¬®¦ëå ᯮᮡ®¢ à á¯à¥¤¥«¨âì Nj ®¤¨ ª®¢ëå ç áâ¨æ ¯® Gj á®áâ®ï¨ï¬, ¥ ¡®«¥¥ 祬 ¯® ®¤®© ¢ ª ¦¤®¬, ¥áâì ç¨á«® ᯮᮡ®¢, ª®â®à묨 ¬®¦® ¢ë¡à âì Nj ¨§ Gj á®áâ®ï¨©, â.¥. ç¨á«® á®ç¥â ¨© ¨§ Gj í«¥¬¥â®¢ ¯® Nj :
j = N !(GGj;! N )! : (5.13) j j j
84
®£ à¨ä¬¨àãï ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¤«ï ¢á¥å âà¥å ä ªâ®à¨ «®¢ ¢ (5.13) ä®à¬ã«ã â¨à«¨£ ln N N ln(N=e), 室¨¬ íâய¨î: S=
X j
fGj ln Gj ; Nj ln Nj ; (Gj ; Nj ) ln(Gj ; Nj )g:
(5.14)
¢®¤ï ®¯ïâì á।¨¥ ç¨á« § ¯®«¥¨ï < nj >= Nj =Gj ¯®«ã稬 á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï íâய¨¨ ¥à ¢®¢¥á®£® ä¥à¬¨-£ § : S=;
X j
Gj [< nj > ln < nj > +(1; < nj >) ln(1; < nj >)]
(5.15)
§ ãá«®¢¨ï ¬ ªá¨¬ «ì®á⨠í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï ¯à¨ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨ïå:
X j
Nj =
X j
Gj < nj >= N;
X j
"j Gj < nj >= E
â.¥. ¯® ¬¥â®¤ã ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ¬®¦¨â¥«¥© £à ¦ ¨§: @ [S + N + E] = 0 @ < nj >
(5.16)
(5.17)
¯®«ãç ¥¬ äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨ < nj >= [e + "j + 1];1, £¤¥ = =T , = ;1=T. á«ãç ¥ áâ â¨á⨪¨ ®§¥ ¢ ª ¦¤®¬ ª¢ ⮢®¬ á®áâ®ï¨¨ ¬®¦¥â 室¨âáï «î¡®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ, â ª çâ® áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ¢¥á j ¥áâì ç¨á«® ¢á¥å ᯮᮡ®¢ à á¯à¥¤¥«¨âì Nj ç áâ¨æ ¯® Gj á®áâ®ï¨ï¬: j + Nj ; 1)! (5.18)
j = (G (Gj ; 1)!Nj ! á ¬®¬ ¤¥«¥, à¥çì ¨¤¥â ® ç¨á«¥ ᯮᮡ®¢ à §¬¥é¥¨ï Nj ®¤¨ ª®¢ëå è ஢ ¯® Gj ï騪 ¬. §®¡à §¨¬ è àë ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® à ᯮ«®¦¥ëå â®ç¥ª, ï騪¨ ¯¥à¥ã¬¥à㥬 ¨ ¨§®¡à §¨¬ £à ¨æë ¬¥¦¤ã ¨¬¨ Gj ; 1 ¢¥à⨪ «ì묨 ç¥àâ®çª ¬¨. ᥣ® ç¨á«® ¬¥áâ ( ª®â®àëå 室ïâáï â®çª¨ ¨«¨ ç¥àâ®çª¨) ¢ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¥áâì Gj +Nj ; 1. ᪮¬®¥ ç¨á«® à §¬¥é¥¨© è ஢ ¯® ï騪 ¬ ¥áâì ç¨á«® ᯮᮡ®¢, ª®â®à묨 ¬®¦® ¢ë¡à âì Gj ; 1 ¬¥áâ ¤«ï ç¥àâ®ç¥ª, â.¥. ç¨á«® á®ç¥â ¨© ¨§ Nj + Gj ; 1 í«¥¬¥â®¢ ¯® Gj ; 1, ®âªã¤ ¨ ¯®«ãç ¥âáï (5.18). ®£ à¨ä¬¨àãï ª ª ¨ ¢ëè¥ ¨ ¯à¥¥¡à¥£ ï ¥¤¨¨æ¥© ¯® áà ¢¥¨î á ¡®«ì訬¨ ç¨á« ¬¨ Gj + Nj ¨ Gj , ¯®«ã稬: S=
X j
f(Gj + Nj ) ln(Gj + Nj ) ; Nj ln Nj ; Gj lnGj g
(5.19)
¢®¤ï < nj > § ¯¨è¥¬ íâய¨î ¥à ¢®¢¥á®£® ¡®§¥-£ § ¢ ¢¨¤¥: S=
X j
Gj [(1+ < nj >) ln(1+ < nj >); < nj > ln < nj >]:
(5.20)
§ ãá«®¢¨ï ¬ ªá¨¬ã¬ í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï, â ª¦¥ ª ª ¨ ¢ëè¥ ¢ ä¥à¬¨¥¢áª®¬ á«ãç ¥, ¬®¦® ¯®«ãç¨âì à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®§¥.
85
ਠNj Gj (5.15), (5.20) ¥áâ¥á⢥® ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ¡®«ìæ¬ ®¢áªãî ä®à¬ã«ã (3.23): X X S = Gj < nj > ln ne = Gj [< nj > (1 ; ln < nj >)]; < nj > 1: (5.21) j j j ®¡à ⮬ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ Nj Gj , â.¥. < nj > 1, íâய¨ï ¡®§¥-£ § (5.20) ᢮¤¨âáï ª: X j (5.22) S = Gj ln eN G ; áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ¢¥á (5.18) j =
j Gj ;1 Nj (Gj ;1)! .
j
¡é¨¥ ᢮©á⢠ä¥à¬¨{ ¨ ¡®§¥{£ §®¢. ®£¨¥ ®¡é¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ¤«ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ä¥à¬¨- ¨ ¡®§¥-£ § ¬®¦® ¢ë¯¨á âì ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. ¨¦¥, ¢ í⮬ à §¤¥«¥, ¢¥à娩 § ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â áâ â¨á⨪¥ ¥à¬¨, ¨¦¨© { ®§¥. ¥à£¨ï ᢮¡®¤®© (í«¥¬¥â ன) ç áâ¨æë ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 (p2 + p2 + p2 ) = p2 : "p = 2m (5.23) x y z 2m ਠ¤ ®¬ § 票¨ ¨¬¯ã«ìá á®áâ®ï¨¥ ç áâ¨æë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª¦¥ ¯à ¢«¥¨¥¬ ¥¥ ᯨ . ®í⮬ã ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ í«¥¬¥â¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠dpxdpy dpz dV ¬®¦® ¯®«ãç¨âì 㬮¦¥¨¥¬ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨ (®§¥) ç¨á«® á®áâ®ï¨© ¢ í⮬ í«¥¬¥â¥ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ : dpy dpz dV g = 2s + 1 gd = g dpx(2 (5.24) h)3 £¤¥ s { ᯨ ç áâ¨æë. ®í⮬㠨¬¥¥¬: dNp = "pgd : (5.25) ; e T 1 ⥣à¨àãï ¯® dV ¯®«ãç ¥¬ ¯à®áâ® ¯®«ë© ®¡ê¥¬ £ § V . ®£¤ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬, ¯¥à¥å®¤ï ª áä¥à¨ç¥áª¨¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à®áâà á⢥ (dpxdpy dpz ! 4p2dp), ¯®«ãç ¥¬: dNp =
gV p2dp " ; 22h3 e pT 1
(5.26)
¨«¨ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯® í¥à£¨¨:
3=2 p"d" gV m dN" = p 2 3 "; = N";(")d" 2 h e T 1 e T 1
(5.27)
86
£¤¥ ¢¢¥«¨ ®ç¥ì ¯®«¥§ãî ¢¥«¨ç¨ã: 3=2 p p m2 3 p" = gV mp2 "3 ; £¤¥ p" = 2m" N (") = gV 2 h 2 h
(5.28)
{ ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© ç áâ¨æë ¢ ¨â¥à¢ «¥ í¥à£¨© "; "+d". ®«ãç¥ë¥ ä®à¬ã«ë § ¬¥ïîâ ª« áá¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ªá¢¥«« . ⥣à¨àãï (5.27) ¯® d", ¯®«ã稬:
Z1
p 3=2 Z 1 p m2 3 d" "; " d" "N;(") = gV 2 h 0 0 e T 1 e T 1 ¢®¤ï ¡¥§à §¬¥àãî ¯¥à¥¬¥ãî "=T = z, § ¯¨è¥¬:
(5.29)
;" 3=2 Z 1 p gV Tm
= p 2 3 d" " ln 1 e T 2 h 0 ⥣à¨àãï ¯® ç áâï¬, 室¨¬:
(5.31)
N=
)3=2 Z 1 dz pz N = g(mT p (5.30) V 22 h3 0 ez; T 1 çâ® ¢ ¥ï¢®¬ ¢¨¤¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â 娬¯®â¥æ¨ « ª ª äãªæ¨î T ¨ ¯«®â®á⨠ç áâ¨æ N=V . ®¢¥àè ï «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¯¥à¥å®¤ ®â á㬬¨à®¢ ¨ï ¯® á®áâ®ï¨ï¬ ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¯® í¥à£¨ï¬ ¢ (5.6), (5.12) ¯®«ã稬:
3=2 Z 1 3=2 p m2 3 d" ";"
= ; 32 gV (5.32) 2 h 0 e T 1 â® ¢ëà ¦¥¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á â®ç®áâìî ¤® ¬®¦¨â¥«ï ;2=3 á ¯®«®© í¥à£¨¥© £ § , à ¢®©: Z1 3=2 Z 1 "3=2 : gV m p d" (5.33) E= "dN" = " ; 3 22 h 0 0 e T 1 ª ¨§¢¥áâ® ¨§ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ = ;PV , â ª çâ® ¨§ (5.32), (5.33) ¯®«ãç ¥¬ ®¡®¡é¥®¥ ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï ª¢ ⮢®£® ¨¤¥ «ì®£® £ § ¢ ¢¨¤¥: P V = 23 E (5.34) ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ £ § ®«ìæ¬ ¨¬¥¥¬ E = 3NT=2 (§ ª® à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨ï) ¨ (5.33) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ãà ¢¥¨¥ « ¯¥©à® : P V = NT. ¥à¥¯¨áë¢ ï ãà ¢¥¨¥ (5.32) ¢ ¢¨¤¥ (áà. (5.30)):
p
3=2 5=2 Z 1 3=2 P = g 2m 2 3T dz ";z (5.35) 3 h 0 e T 1 ¯®«ãç ¥¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï (¯ à ¬¥âà !), â.¥. á¢ï§ì ¬¥¦¤ã P , V ¨ T, ¯à¨ ¤ ®¬ § 票¨ .
87
áᬮâਬ ¬ «ë¥ ª¢ â®¢ë¥ ¯®¯à ¢ª¨ ª ¡®«ìæ¬ ®¢áª®¬ã ãà ¢¥¨î á®áâ®ï¨ï. «ï í⮣® 㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï e=T 1 (¡®«ìæ¬ ®¢áª¨© ¯à¥¤¥«) ¨ à §«®¦¨âì ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (5.35) ¯® á⥯¥ï¬ e(=T );z , á®åà ïï ¤¢ ¯¥à¢ëå ç«¥ à §«®¦¥¨ï. ®£¤ : p Z 1 z3=2 Z 1 ;z ;z 3 1 3 = 2 dz "; dzz e T 1 e T = 4 e T 1 25=2 e T : (5.36) 0 e T 1 0 ®£¤ (5.35) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª: 3=2 5=2 (5.37)
= ;PV = ; gV m 3T e T 1 251=2 e T (2h ) â® ¢ëà ¦¥¨¥, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¨¬¥¥â ¢¨¤: 3=2 5=2 2
= Boltz gV m 3=2T 3 e T : (5.38) 16 h «ë¥ ¤®¡ ¢ª¨ ª â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ ¯®â¥æ¨ « ¬, ¢ëà ¦¥ë¥ ç¥à¥§ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯¥à¥¬¥ë¥, ®¤¨ ª®¢ë. ®í⮬ã, ¢ëà ¦ ï á ¯®¬®éìî ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¡®«ìæ¬ ®¢áª¨å ¢ëà ¦¥¨©, ©¤¥ãî ¯®¯à ¢ªã ª ç¥à¥§ T ¨ V (¢ëª« ¤ª¨ ®¯ã᪠¥¬), «¥£ª® ¯®«ãç¨âì ᢮¡®¤ãî í¥à£¨î £ § ¢ ¢¨¤¥: 3=2 2 3 F = FBoltz 2g V TN1=2hm3=2 : (5.39) âáî¤ ¥âà㤮 ©â¨: 3=2 Nh3 PV = NT 1 2g V (mT )3=2 (5.40) ¨¤¨¬, çâ® ª¢ â®¢ë¥ ¯®¯à ¢ª¨ (®¡à é î騥áï ¢ ã«ì ¯à¨ h ! 0) ¯à¨¢®¤ïâ ª ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ã à®áâã ¤ ¢«¥¨ï ¢ ä¥à¬¨-£ §¥ ¨ ¥£® 㬥ìè¥¨î ¢ ¡®§¥-£ §¥. í⮬ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¥áâ¥á⢥®¥ áâ६«¥¨¥ ä¥à¬¨®®¢ \¨§¡¥£ âì" ¤à㣠¤à㣠(¯à¨æ¨¯ 㫨!), ⮣¤ ª ª ¤«ï ¡®§®®¢ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®¡à ⮥ ¯®¢¥¤¥¨¥.
ë஦¤¥ë© í«¥ªâà®ë© £ §. ¦®¥ ¯à¨æ¨¯¨ «ì®¥ § 票¥ ¨¬¥¥â ¨§ã票¥ ᢮©á⢠ä¥à¬¨-£ § ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å, ª®â®àë¥, ªáâ ⨠᪠§ âì, ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¬®£ãâ ®ª § âìáï ®ç¥ì ¢ë᮪¨¬¨. ¬¥ï ¢¢¨¤ã ¨¡®«¥¥ ¢ ¦ë¥ ¯à¨¬¥¥¨ï áâ â¨á⨪¨ ¥à¬¨, ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ¨¦¥ ®¡ í«¥ªâà®®¬ £ §¥, ᮮ⢥âá⢥® ¨¦¥ ¯®« £ ¥¬ g = 2(s = 1=2). 祬 á à áᬮâ२ï á¨âã 樨 ¯à¨ T = 0. â® á«ãç © â ª §ë¢ ¥¬®£® ¯®«®áâìî ¢ë஦¤¥®£® ä¥à¬¨-£ § . ®áª®«ìªã ¢ ª ¦¤®¬ ª¢ ⮢®¬ á®áâ®ï¨¨ ¬®¦¥â 室¨âìáï ¥ ¡®«¥¥ ®¤®£® í«¥ªâà® , â®, ä ªâ¨ç¥áª¨, ®¨ ¨ § ¯®«ïî⠢ᥠá®áâ®ï¨ï á í¥à£¨ï¬¨ ®â ¨¬¥ì襩 (à ¢®© ã«î) ¤® ¥ª®â®à®© ¨¡®«ì襩 ( §ë¢ ¥¬®© í¥à£¨¥© ¥à¬¨), ¢¥«¨ç¨ ª®â®à®© ¯à®áâ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¨á«®¬ ç áâ¨æ (¯«®â®áâìî) ¢ £ §¥.
88
¨á«® ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© í«¥ªâà®®¢, ¤¢¨¦ãé¨åáï ¢ ®¡ê¥¬¥ V á ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨®© ¨¬¯ã«ìá ¢ ¨â¥à¢ «¥ p; p + dp à ¢®: 2dpV (5.41) 2 4p (2h)3 : «¥ªâà®ë § ¯®«ïî⠢ᥠá®áâ®ï¨ï á ¨¬¯ã«ìᮬ ®â ã«ï ¤® ¬ ªá¨¬ «ì®£® ¨¬¯ã«ìá p = pF (¨¬¯ã«ìá ¥à¬¨). ®«®¥ ç¨á«® í«¥ªâà®®¢ ¢ íâ¨å á®áâ®ï¨ïå ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§3: Z pF 3 N = 2V 3 p2dp = V p2 F3 : (5.42) h 0 3 h ®£¤ ¤«ï ¨¬¯ã«ìá ¥à¬¨ ¯®«ãç ¥¬:
1=3 h (5.43) pF = (32)1=3 N V ¨ ¨¬¯ã«ìá ¥à¬¨ ⥬ ¡®«ìè¥, 祬 ¡®«ìè¥ ¯«®â®áâì £ § . ¥âà㤮 á®®¡à §¨âì, çâ® ¨§ (5.43) ¯®«ãç ¥âáï ¯à®áâ ï ®æ¥ª pF h=a, £¤¥ a { á।¥¥ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨ ¢ £ §¥. ®®â¢¥âá⢥®, í¥à£¨ï ¥à¬¨ à ¢ 4 :
p2F = (32 )1=3 h2 N 2=3 h2 "F = 2m (5.44) 2m V ma2
áâ¥á⢥®, çâ® ® â ª¦¥ à áâ¥â á à®á⮬ ¯«®â®á⨠£ § (N=V )2=3. ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨: np = "p ;1 (5.45) e T +1 ¯à¨ T ! 0 ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ \áâ㯥ìªã ¥à¬¨": 1 ¯à¨ p p np = 0 ¯à¨ p > pF (5.46) F ¨«¨ " = "F n" = 10 ¯à¨ (5.47) ¯à¨ " > = "F ¨¬¯®â¥æ¨ « £ § ¥à¬¨ ¯à¨ T = 0 ᮢ¯ ¤ ¥â á £à ¨ç®© í¥à£¨¥© ¥à¬¨: = "F (T = 0) (5.48) 3
âãâ ¯à®áâ® ¢ëç¨á«ï¥âáï ®¡ê¥¬ áä¥àë ¥à¬¨ VF = 4p3 F , ç¨á«® í«¥ªâà®®¢ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¨á«®¬ ¤®áâã¯ëå ¨¬ á®áâ®ï¨© \¢ãâà¨" í⮩ áä¥àë ª ª: N = 2V (2VFh )3 , çâ® ¨ ¤ ¥â (5.42). ®¢¥àå®áâì áä¥àë ¥à¬¨ §ë¢ ¥âáï ¯®¢¥àå®áâìî ¥à¬¨. ¬¥â «« å, £¤¥ í¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà í«¥ªâà®®¢ ¬®¦¥â áãé¥á⢥® ®â«¨ç âìáï ®â à áᬠâਢ ¥¬®£® §¤¥áì ᯥªâà ᢮¡®¤ëå í«¥ªâà®®¢, ¯®¢¥àå®áâì ¥à¬¨ ¬®¦¥â ¢®¢á¥ ¥ ¡ëâì áä¥à¨ç¥áª®©. ¥®¬¥âà¨ï (¨ ⮯®«®£¨ï) ¯®¢¥àå®á⥩ ¥à¬¨ ¨£à ¥â ®ç¥ì ¡®«ìèãî à®«ì ¢ ⥮ਨ ¬¥â ««®¢ [21]. ®®â¢¥âá⢥®, ¯à¨¢®¤¨¬ë¥ §¤¥áì ¯à®áâë¥ ®æ¥ª¨ ¯à¨£®¤ë, áâண® £®¢®àï, ⮫쪮 ¤«ï ¯à®áâëå ¬¥â ««®¢ ( ¯à¨¬¥à 饫®çëå ¨ ¡« £®à®¤ëå). 4 ¬¥â¨¬, çâ® ¢¥«¨ç¨ í¥à£¨¨ ¥à¬¨, ¯à ªâ¨ç¥áª¨, ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¢¥¤¥®© ¢ëè¥ â¥¬¯¥à âãன (í¥à£¨¥©) ¢ë஦¤¥¨ï £ § (3.79). 3 ªâ¨ç¥áª¨
89
¨á. 5-1 ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨ ¤«ï à §«¨çëå ⥬¯¥à âãà ¯à¨ "F =kB 50000K .
=
ਠª®¥çëå ⥬¯¥à âãà å T "F (á¨«ì® ¢ë஦¤¥ë© £ §) áâã¯¥ìª ¥à¬¨ \à §¬ë¢ ¥âáï" ¢ ®¡« á⨠í¥à£¨© T (á¬. ¨á.5-1). ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® á à®á⮬ ⥬¯¥à âãàë, ¯à¨ T "F à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¥à¬¨ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ . ®®â¢¥âá⢥®, á à®á⮬ ⥬¯¥à âãàë 娬¯®â¥æ¨ « ç¨ ¥â 㬥ìè âìáï ®â ¯®«®¦¨â¥«ì®© ¢¥«¨ç¨ë ¯®à浪 "F ¨ áâ ®¢¨âáï ®âà¨æ ⥫ìë¬ ¢ ¡®«ìæ¬ ®¢áª®© ®¡« á⨠T "F . ®« ï í¥à£¨ï £ § ¯à¨ T = 0 ¯®«ãç ¥âáï 㬮¦¥¨¥¬ (5.41) p2 =2m ¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ¢á¥¬ ¨¬¯ã«ìá ¬ ¤® p = pF : E=
V Z pF dpp4 = V p5F 2m2 h3 0 10m2 h3
(5.49)
¨«¨, á ãç¥â®¬ (5.43)
2 N 2=3 2 )2=3 3(3 h E = 10 m V N (5.50) ¯®¬®éìî ®¡é¥£® á®®â®è¥¨ï (5.34) 室¨¬ ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï ¯®«®áâìî ¢ë஦¤¥®£® £ § : 2 2=3 2 5=3 (5.51) P = (3 5) hm N V
â ª çâ® ¯à¨ T = 0 ¤ ¢«¥¨¥ ä¥à¬¨-£ § (N=V )5=3 . ªâ¨ç¥áª¨, ¢á¥ í⨠ä®à¬ã«ë ¯à¨¬¥¨¬ë ¨ ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å T "F . ®¯à ¢ª¨ ª ¨¬ ¨¬¥îâ ¯®à冷ª ¢¥«¨ç¨ë (T="F )2. ¥¬¯¥à âãà ¥à¬¨ (⥬¯¥à âãà ¢ë஦¤¥¨ï) TF "F ¤«ï í«¥ªâà®®£® £ § á ¯«®â®áâìî N=V 1022á¬;3 , ⨯¨ç®©, ¯à¨¬¥à ¤«ï ¬¥â ««®¢, ¨ ¬ áᮩ ç áâ¨æ m me , £¤¥
90
me { ¬ áá ᢮¡®¤®£® í«¥ªâà® 5 , «¥¦¨â, ª ª ¥âà㤮 ¯®áç¨â âì, ¢ ¨â¥à¢ «¥ 104 ; 105K. ®í⮬ã í«¥ªâà®ë© £ § ¢ ¬¥â «« å ¢ ®à¬ «ìëå ãá«®¢¨ïå ¢á¥£¤ á¨«ì® ¢ë஦¤¥. ¯®«ã¯à®¢®¤¨ª å, £¤¥ ª®æ¥âà æ¨ï (¯«®â®áâì) í«¥ªâà®®¢ ¬®¦¥â ¬¥ïâìáï ¢ ¢¥áì¬ è¨à®ª¨å ¯à¥¤¥« å, íâ® ¥ â ª. ¨å ç áâ® áâ â¨á⨪ ®á¨â¥«¥© ⮪ ¡ë¢ ¥â ¡®«ìæ¬ ®¢áª®©. § ª«î票¥ ᤥ« ¥¬ ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï ® ஫¨ ¬¥¦í«¥ªâà®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ë஦¤¥ë© í«¥ªâà®ë© £ § ⥬ \¨¤¥ «ì¥©", 祬 ¡®«ìè¥ ¥£® ¯«®â®áâì. á ¬®¬ ¤¥«¥, å à ªâ¥à ï2 ª¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï í«¥ªâà®®¢ ¯®à浪 í¥àh , £¤¥ a ¬¥¦í«¥ªâà®®¥ à ááâ®ï¨¥ (¢ ¬¥â «« å £¨¨ ¥à¬¨: "F hm2 (N=V )2=3 ma 2 ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ î饥 á å à ªâ¥àë¬ ¬¥¦ â®¬ë¬ à ááâ®ï¨¥¬). ⮦¥ ¢à¥¬ï å à ªâ¥à ï ¢¥«¨ç¨ ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï U ea2 . ®£¤ ¡¥§à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ¯® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨î ¯à®áâ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®â®è¥¨¥¬ U e2 ma e2 m = e2 , £¤¥ ¢¢¥«¨ ᪮à®áâì í«¥ªâà®®¢ ¯®¢¥àå®á⨠(ã஢¥) "F h h h pF hvF ¥à¬¨ vF = pF =m. âáî¤ ¢¨¤®, ç⮠祬 ¬¥ìè¥ ¢¥«¨ç¨ a (ᮮ⢥âá⢥®, 祬 ¡®«ìè¥ ¯«®â®áâì £ § ¨«¨ ᪮à®áâì ¥à¬¨), ⥬ íâ®â ¡¥§à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà ¬¥ìè¥ ¨ ¬¥ìè¥ à®«ì íä䥪⮢ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ᯮ¬¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¯®áâ®ï1 10;2, £¤¥ c 3 1010á¬/ᥪ { ᪮à®áâì ᢥâ ï ⮪®© áâàãªâãàë he2c 137 ¢ ¢ ªã㬥. ¬¥â «« å (¯à¨ ⨯¨çëå ¯«®â®áâïå í«¥ªâà®®£® £ § ), ª ª «¥£ª® ®æ¥¨âì, vF 108á¬/ᥪ. ®í⮬ã, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¢ ॠ«ìëå ¬¥â «« å ¯ à ¬¥âà ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ¯® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨î ¢á¥£¤ ¥ ¬ «: hev2F 1! ®«ìª® ¯à¨ ¯«®â®áâïå, £®à §¤® ¡®«ìè¨å ¬¥â ««¨ç¥áª¨å, £ § í«¥ªâà®®¢ ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¯®ç⨠᢮¡®¤ë© (¨¤¥ «ìë©). ®í⮬ã áâ ®¢¨âáï ¥¯®ïâë¬, ¯®ç¥¬ã ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¯®ç⨠᢮¡®¤ëå í«¥ªâà®®¢ â ª å®à®è® ®¯¨áë¢ ¥â ¬®£¨¥ ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠¬¥â ««®¢. ®«®¥ à¥è¥¨¥ í⮩ ¯à®¡«¥¬ë ¤®á⨣ ¥âáï ⮫쪮 ¢ à ¬ª å ⥮ਨ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâ¨, í«¥¬¥âë ª®â®à®© ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥ë ¬¨ ¯®§¤¥¥.
¥«ï⨢¨áâ᪨© ¢ë஦¤¥ë© í«¥ªâà®ë© £ § . ® ¬¥à¥ ᦠâ¨ï í«¥ªâà®®£® £ § á।ïï í¥à£¨ï í«¥ªâà®®¢ (¨ í¥à£¨ï ¥à¬¨ "F ) 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¨, à ® ¨«¨ ¯®§¤®, áâ ®¢¨âáï áà ¢¨¬®© á í¥à£¨¥© ¯®ª®ï mc2 ¨ ¯®â®¬ ¤ ¦¥ ¯à¥¢ëè ¥â ¥¥. ®£¤ áâ ®¢ïâáï áãé¥á⢥묨 ५ï⨢¨áâ᪨¥ íä䥪âë. áᬮâਬ ¢ë஦¤¥ë© ã«ìâà ५ï⨢¨áâ᪨© £ §, í¥à£¨ï ç áâ¨æ ª®â®à®£® ¢¥«¨ª ¯® áà ¢¥¨î á mc2 . í⮬ á«ãç ¥ í¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà í«¥ªâà®®¢ ¨¬¥¥â ¢¨¤: p "p = c2 p2 + m2 c4 cp: (5.52) «ï ç¨á« ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨©, ᮮ⢥âá⢥® ¨ ¤«ï ¨¬¯ã«ìá ¥à¬¨ ¨¬¥¥¬ ¯à¥¦¨¥ ä®à¬ã«ë: 2dpV 2 4p (5.53) (2h)3 : 5 ¯®¬¨¬, çâ® ¬ áá í«¥ªâà® ¢ ¬¥â ««¥ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® á®¢¯ ¤ ¥â á ¬ áᮩ ᢮¡®¤®£® í«¥ªâà® .
Z pF 3 V p2dp = V p2 F3 : N= 2 3 h 0 3 h N 1=3 pF = (32)1=3 V ¤ ª®, ¤«ï í¥à£¨¨ ¥à¬¨ ¢®§¨ª ¥â 㦥 ᮢᥬ ¤à㣮¥ ¢ëà ¦¥¨¥: "F = cpF
= (32 )1=3hc
N 1=3 V
®®â¢¥âá⢥®, ¯®« ï í¥à£¨ï £ § : Z pF 4 dpp3 = V cp2F 3 E = cV 3 2 h 0 4 h ¨«¨ N 1=3 2)1=3 3(3 E= 4 hcN V
91
(5.54) (5.55) (5.56) (5.57) (5.58)
¢«¥¨¥ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ®¡ê¥¬ã:
E = (32 )1=3 hc N 4=3 P = 3V (5.59) 4 V ¨ ®® ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®¯®à樮 «ìë¬ ¯«®â®á⨠¢ á⥯¥¨ 4=3. ®®â®è¥¨¥ (5.60) PV = E3 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï ã«ìâà ५ï⨢¨áâ᪮£® £ § ¥ ⮫쪮 ¯à¨ ¡á®«î⮬ ã«¥, ® ¨ ¯à¨ ¢á¥å ⥬¯¥à âãà å. ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨ "p = cp ¨§ (5.6), ¯¥à¥å®¤ï ®â á㬬¨à®¢ ¨ï ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬ ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¯® í¥à£¨¨, ¯®«ãç ¥¬: Z 1 ;" TV d" ln 1 + e T
=; 2 3 3 (5.61) c h 0 ®âªã¤ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ç áâï¬ ©¤¥¬: Z1 3 V d" ";" (5.62)
= ;PV = ; 2 3 3 3 c h 0 e T + 1 ⬥⨬, çâ® á«¥¤ãî饥 ®âáî¤ ¤ ¢«¥¨¥ ï¥âáï ¯à¥¤¥«ìë¬ ¤ ¢«¥¨¥¬, ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ª ª®¥-«¨¡® ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ ⥫® [8].
¥¯«®¥¬ª®áâì ¢ë஦¤¥®£® í«¥ªâà®®£® £ § . ëè¥ ¬ë 㦥 ®â¬¥ç «¨, çâ® ¯à¨ ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà å ®¡« áâì \à §¬ëâ¨ï" áâ㯥쪨 ¥à¬¨ T. ©¤¥ë¥ ¬¨ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï T = 0, ä ªâ¨ç¥áª¨, ïîâáï
92
ç«¥ ¬¨ ã«¥¢®£® ¯®à浪 ¯® ¬ «®¬ã (¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å) ¯ à ¬¥âàã T="F . ®á¬®âਬ, ª ª ¬®¦® ©â¨ ¯¥à¢ë¥ ⥬¯¥à âãàë¥ ¯®¯à ¢ª¨ ¯® í⮬㠯 à ¬¥âàã. ëà ¦¥¨¥ ¤«ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « í«¥ªâà®®£® £ § , ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (5.32), ¨¬¥¥â ¢¨¤: 3=2 Z 1 3=2
= ; 34 pV m2 3 d" ";" (5.63) 2 h 0 e T +1 áᬮâਬ ¨â¥£à « ®¡é¥£® ¢¨¤ á äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨: Z 1 f(") (5.64) I= d" "; e T +1 0 £¤¥ f(") { ¥ª®â®à ï äãªæ¨ï, â ª ï, çâ® ¨â¥£à « á室¨âáï. ç á⮬ á«ãç ¥ (5.63) ¨¬¥¥¬ f(") = "3=2 . áá«¥¤®¢ ¨¥ (5.64) ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ [1, 2] ¨ ¯®«ãç¨âì ¤«ï ¥£® á«¥¤ãî饥 à §«®¦¥¨¥: Z 2 4 4 000 I d"f(") + 6 T 2 f 0 () + 7 (5.65) 360 T f () + ::: 0 ª®â®à®¥, ä ªâ¨ç¥áª¨, ®¯à¥¤¥«ï¥â à §«®¦¥¨¥ ¢á¥å 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ⨯ (5.63) ¢ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà T="F . ®« £ ï §¤¥áì f(") = "3=2 室¨¬ ¨§ (5.63):
p 3=2
= 0 ; V T 2 2m3 (5.66) 6h £¤¥ ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ®â¢¥ç ¥â ¢ª« ¤ã T = 0. áᬠâਢ ï ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ª ª ¬ «ãî ¯®¯à ¢ªã ª 0 ¨ ¢ëà ¦ ï ¢ ¥¬ ç¥à¥§ N ¨ V á ¯®¬®éìî \ã«¥¢®£®" ¯à¨¡«¨¦¥¨ï (5.48) = "F = (32)2=3 2hm2 (N=V )2=3 , ¬®¦¥¬ ¥¯®á।á⢥® ¢ë¯¨á âì ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨6 :
V 2=3 F = F0 ; B2 NT 2 N
(5.67)
£¤¥ ¢¢¥«¨ ®¡®§ 票¥ B = (=3)2=3m=h2. âáî¤ å®¤¨¬ íâய¨î:
V 2=3
¨ ⥯«®¥¬ª®áâì:
S = BNT N
(5.68)
@S = BNT V 2=3 ; (5.69) C = T @T N â ª ç⮠⥯«®¥¬ª®áâì ¢ë஦¤¥®£® ä¥à¬¨-£ § ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å «¨¥© ¯® ⥬¯¥à âãॠ(⥯«®¥¬ª®áâì 㫨). ᯮ«ì§ãï ¯à¨¢¥¤¥®¥ ¢ëè¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¯«®â®á⨠á®áâ®ï¨© (5.28) á g = 2, «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® (5.69) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª: 2 (5.70) C = 3 F T
6 ¤¥áì ¬ë ᮢ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ⥮६㠮 ¬ «ëå ¤®¡ ¢ª å ª â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ ¯®â¥æ¨ « ¬: ( )T;V; = (F )T;V;N = ()T;P;N = (E )S;V;N = (W )S;P;N
93
£¤¥ ¢¢¥«¨ ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© í«¥ªâà®®¢ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨: FV (5.71) F = N (" = "F ) = mp 2 h3 â® ª®¥ç® ¥ á«ãç ©®. ëà ¦¥¨¥ (5.71) «¥£ª® ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì \ ¯ «ìæ å". ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, çâ® ¢ ¢ë஦¤¥®¬ ä¥à¬¨-£ §¥ ⥬¯¥à âãà , ä ªâ¨ç¥áª¨, § âà £¨¢ ¥â «¨èì 㧪¨© á«®© í¥à£¨© T ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ãà®¢ï ¥à¬¨. ¨á«® í«¥ªâà®®¢ ¢ í⮬ á«®¥ N F T. ਠ£à¥¢ ¨¨ á¨á⥬ë T £à ¤ãᮢ, ⮫쪮 íâ¨ í«¥ªâà®ë ¨ ¬¥ïîâ ᢮î í¥à£¨î ¢¥«¨ç¨ã T ª ¦¤ë©. ®£¤ ¨§¬¥¥¨¥ í¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¯à¨ £à¥¢ ¨¨ E F T T , ⥯«®¥¬ª®áâì C = E=T = F T . â £«ï¤ ï ¨â¥à¯à¥â æ¨ï ª ç¥á⢥® ®¡êïáï¥â, ª ª ¢ ä¥à¬¨-£ §¥ ᨬ ¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ª« áá¨ç¥áª®£® § ª® à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ â¥®à¥¬ë ¥àáâ . ªâ¨ç¥áª¨, ¯à¨ T ! 0 ¥ ¢á¥ í«¥ªâà®ë ãç áâ¢ãîâ ¢ ⥯«®¢ëå ¯à®æ¥áá å, «¨èì â¥, á®áâ®ï¨ï ª®â®àëå ¯à¨ ¤«¥¦ â 㯮¬ïã⮩ ¯®«®áª¥ ¢¡«¨§¨ ãà®¢ï ¥à¬¨, ¨ íâ® ç¨á«® áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ T ! 0. ¥§ã«ìâ â (5.70) ®ç¥ì ¢ ¦¥. ªâ¨ç¥áª¨, ® ¤ ¥â ®¤¨ ¨§ íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ᯮᮡ®¢ ¨§¬¥à¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë ¯«®â®á⨠á®áâ®ï¨© ã஢¥ ¥à¬¨ ¢ ¬¥â ««¥ ¨§ ¨§¬¥à¥¨© í«¥ªâà®®£® ¢ª« ¤ ¢ ⥯«®¥¬ª®áâì. ¯à®á⥩襬 á«ãç ¥, ª®£¤ ¬®¦® ¯®«ì§®¢ âìáï ¢ëà ¦¥¨¥¬ (5.71) (íâ® ¬®¦® ¤¥« âì ¢ «î¡®¬ ¬¥â ««¥ á ¯®ç⨠áä¥à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâìî ¥à¬¨), ®âáî¤ áà §ã ¯®«ãç ¥¬ íªá¯¥à¨¬¥â «ìë© ¬¥â®¤ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬ ááë í«¥ªâà® ¢ ¬¥â ««¥ (ª®â®à ï, ª ª ¬ë § ¥¬, ¥®¡ï§ â¥«ì® à ¢ ¬ áᥠ᢮¡®¤®£® í«¥ªâà® ). ਢ¥¤¥¬ ¤«ï ¯®«®âë â ª¦¥ ¨ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï í¥à£¨¨ ¢ë஦¤¥®£® ä¥à¬¨£ § : " V 2=3 mT 2 V 4=3# B 2 E = E0 + 2 NT N = E0 1 + 0:18 2 (5.72) N h £¤¥ E0 ¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬ (5.49). âáî¤ , ªáâ â¨, «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ®â®á¨â¥«ì ï ⥬¯¥à âãà ï ¯®¯à ¢ª ª í¥à£¨¨ á¨á⥬ë, á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨¬¥¥â ¬ «®áâì (T="F )2. áç¥â ⥯«®¥¬ª®á⨠¨§ C = @E @T ¤ ¥â, à §ã¬¥¥âáï, ¯à¥¦¨© १ã«ìâ â (5.69).
£¥â¨§¬ í«¥ªâà®®£® £ § . « ¡ë¥ ¯®«ï. ¬ £¨ç¥®áâì í«¥ªâà®®£® £ § ¢ á« ¡ëå ¬ £¨âëå ¯®«ïå ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¨§ ¤¢ãå ç á⥩: ¨§ ¯ à ¬ £¨â®© ¬ £¨ç¥®áâ¨, á¢ï§ ®© á ᮡáâ¢¥ë¬ á¯¨®¢ë¬ ¬ £¨âë¬ ¬®¬¥â®¬ í«¥ªâà®®¢ ( 㫨) ¨ ¨§ ¤¨ ¬ £¨â®© ¬ £¨ç¥®áâ¨, á¢ï§ ®© á ª¢ ⮢ ¨¥¬ ®à¡¨â «ì®£® ¤¢¨¦¥¨ï í«¥ªâà®®¢ ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ ( ¤ ã). ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ë஦¤¥ë© £ § í«¥ªâà®®¢: T "F . á«®¢¨¥ á« ¡®á⨠¬ £¨â®£® ¯®«ï ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ ¥à ¢¥á⢠: B H T , jh { ¬ £¥â® ®à . £¤¥ B = 2jemc ëç¨á«¥¨ï 㤮¡® ¯à®¢®¤¨âì á ¯®¬®éìî â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « , â.¥. ¢ ¯¥à¥¬¥ëå T; V; . ®£¤ ¬ £¨âë© ¬®¬¥â á¨áâ¥¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: (5.73) M = ; @@ H T;V;
94
©¬¥¬áï á ç « ¯ à ¬ £¨â®© ç áâìî ¬ £¨ç¥®áâ¨. ®¯®«¨â¥«ì ï ᯨ®¢ ï ç áâì í¥à£¨¨ í«¥ªâà® ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ à ¢ B H, ¤«ï ¤¢ãå ¥£® ᯨ®¢ëå ¯à®¥ªæ¨© 1=2. ®®â¢¥âá⢥®, ¢ ¯®«¥ í¥à£¨ï í«¥ªâà® "p = p2=2m § ¬¥ï¥âáï "p = p2=2m B H. ®áª®«ìªã " ¢å®¤¨â ¢ äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨ ¢á¥£¤ ¢ ª®¬¡¨ 樨 " ; , íª¢¨¢ «¥â®¥ ¯à¥¤ë¤ã饬ã ã⢥ত¥¨¥ ᢮¤¨âáï ª § ¬¥¥ ¢¥§¤¥ ! B H. ®í⮬ã, ¤«ï ¯®â¥æ¨ « á¨áâ¥¬ë ¢ ¯®«¥ ¬®¦® áà §ã ¯¨á âì:
() = 21 0( + B H) + 12 0 ( ; B H) (5.74) £¤¥ 0() { ¯®â¥æ¨ « ¢ ®âáãâá⢨¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï. ®¦¨â¥«ì 1=2 ¯à®áâ® ãç¨âë¢ ¥â 㬥ì襨¥ ¢ ¤¢ à § ç¨á« ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© í«¥ªâà® ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®© ¯à®¥ªæ¨¨ ᯨ . §«®¦¨¬ (5.74) ¯® á⥯¥ï¬ H ¨ ¯®«ã稬 (ç«¥ë ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ®ç¥¢¨¤®, ᮪à é îâáï): 2 () 0
() = 0 () + 21 2B H 2 @ @ (5.75) 2 âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ¬ £¨âë© ¬®¬¥â (5.73) ¢ ¢¨¤¥: 2 0 () (5.76) M = ;2B H @ @ 2 ® ¯à®¨§¢®¤ ï @@ 0 = ;N ¨ ¯ à ¬ £¨â ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì, ®â¥á¥ ï ª ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ £ § , ¥áâì: 2 2 () 2B @N 0 p = ; VB @ @ = (5.77) 2 V @ T;V ॥¡à¥£ ï ¬ «ë¬¨ ¯à¨ T "F ⥬¯¥à âãà묨 íä䥪⠬¨, â.¥. áç¨â ï £ § ¯®«2 h 2 2 = 3 ®áâìî ¢ë஦¤¥ë¬, ¨¬¥¥¬ = "F = (3 ) 2m (N=V )2=3, ¨ ᮮ⢥âá⢥®: 3=2
N = V (2m) (5.78) 32h3 çâ® ¯®á«¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¢ (5.77) ¤ ¥â: 2B (2m)3=2p 2B mpF = 2 3 2B F (5.79) p = 22 h3 h { ¯ 㫨¥¢áªãî ¯ à ¬ £¨âãî ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯ à ¬ £¨â ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ¢ë஦¤¥®£® í«¥ªâà®®£® £ § ¥ § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë (¯à¨ T "F ) ¨ ¯à®¯®à樮 «ì ¯«®â®á⨠á®áâ®ï¨© í«¥ªâà®®¢ ã஢¥ ¥à¬¨. â®â १ã«ìâ â á¢ï§ ¯à®áâ® á ⥬, çâ® ¢¥è¥¥ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¥à ¢¥áâ¢ã ç¨á« í«¥ªâà®®¢ ᮠᯨ ¬¨ ¯® ¨ ¯à®â¨¢ ¯®«ï: N" ; N# F B H, í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ £¨ç¥®á⨠¢¤®«ì ¯®«ï M = B (N" ; N# ) 2B F H, çâ® ¨ ¤ ¥â ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì(5.79)7. 7 ãé¥áâ¢ãîâ íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¬¥â®¤ë, ¯®§¢®«ïî騥 ¥¯®á।á⢥® ¨§¬¥àïâì ¨¬¥® ⮫쪮 ¯ à ¬ £¨âãî ç áâì ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠¢ ¬¥â ««¥ ( ¯à¨¬¥à ¨§¬¥à¥¨ï ᤢ¨£ ©â ¢ {íªá¯¥à¨¬¥â å) ¨ ¯®«ãç âì, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¯®á।á⢥ãî ¨ä®à¬ æ¨î ® ¢¥«¨ç¨¥ ¯«®â®á⨠á®áâ®ï¨©, «®£¨ç® ¨§¬¥à¥¨ï¬ í«¥ªâà®®£® ¢ª« ¤ ¢ ⥯«®¥¬ª®áâì.
95
¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¢ëç¨á«¥¨î ¤¨ ¬ £¨â®© ç á⨠¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâ¨, á¢ï§ ®© á ®à¡¨â «ìë¬ ¤¢¨¦¥¨¥¬ í«¥ªâà®®¢. ஢¨ í¥à£¨¨ ®à¡¨â «ì®£® ¤¢¨¦¥¨ï í«¥ªâà® ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© â ª §ë¢ ¥¬ë¥ ã஢¨ ¤ ã [7]: p2z = (2n + 1) H + p2z (5.80) "n;pz = h!c(n + 21 ) + 2m B 2m
£¤¥ !c = jemcjH { 横«®âà® ï ç áâ®â , n = 0; 1; 2; :::, pz { ¨¬¯ã«ìá í«¥ªâà® ¯® ¯à ¢«¥¨î ¯®«ï. ਠí⮬ ç¨á«® á®áâ®ï¨© ¢ ¨â¥à¢ «¥ dpz ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ § 票¨ n à ¢® [7]: V jejH dp (5.81) 2 (2 h)2 c z ®£¤ ¨§ (5.6) ¨¬¥¥¬:
; (n + 1=2)h!c ; p2=2m 1 V jejH Z 1 X z
= ;T 2 (2h)2 c dpz ln 1 + exp T
¨«¨
;1
n=0
= 2B H £¤¥
1 X n=0
f[ ; (2n + 1)B H]
(5.82) (5.83)
Z1 p2z f() = ; TmV3 (5.84) dpz ln 1 + exp T ; 2m 2h ;1 㬬¨à®¢ ¨¥ ¯® n §¤¥áì ¬®¦® ¯à®¢¥áâ¨ á ¯®¬®éìî á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«ë [1, 2]: 1 X
n=0
F(n)
Z1 0
1 F 0(0) dxF (x) + 24
(5.85)
á«®¢¨¥ ¥¥ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠á®á⮨⠢ ¬ «®á⨠®â®á¨â¥«ì®£® ¨§¬¥¥¨ï äãªæ¨¨ F ®¤®¬ è £¥ n ! n + 1. 襬 á«ãç ¥ íâ® ãá«®¢¨¥ ᢮¤¨âáï ª âॡ®¢ ¨î B H T. ਬ¥ïï (5.85) ª (5.83), (5.84), ¯®«ãç ¥¬:
= 2B H
Z1 0
B H @f( ; 2nB H) j dxf( ; 2B Hx) + 224 n=0 = @n Z B H)2 @f() = dxf(x) ; (224 @ ;1
(5.86)
¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ §¤¥áì ¥ ᮤ¥à¦¨â H ¨, ®ç¥¢¨¤®, ᢮¤¨âáï ª 0 () ¢ ®âáãâá⢨¥ ¯®«ï. ª¨¬ ®¡à §®¬: 2 () 0
= 0 () ; 16 2B H 2 @ @ (5.87) 2 ®âªã¤ , ª ª ¨ ¢ëè¥ ¢ ¯ à ¬ £¨â®¬ á«ãç ¥, 室¨¬ ¤¨ ¬ £¨âãî ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ¢ ¢¨¤¥: 2B @ 2 0 () = ; 1 d = 3V (5.88) @2 3 p
96
£¤¥ ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¯®«ã祮 áà ¢¥¨¥¬ á (5.77). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤¨ ¬ £¨â ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì (¤¨ ¬ £¥â¨§¬ ¤ ã) í«¥ªâà®®£® £ § à ¢ 1=3 ¯ à ¬ £¨â®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠(¯ à ¬ £¥â¨§¬ 㫨.). 楫®¬, ¢ë஦¤¥ë© í«¥ªâà®ë© £ § ®ª §ë¢ ¥âáï ¯ à ¬ £¨âë¬ ¨ ¥£® ¬ £¨â ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì à ¢ (5.89) = p + d = 23 p : «¥¤ã¥â, ¢¯à®ç¥¬, ¨¬¥âì ¢¢¨¤ã, çâ® í⨠ᮮâ®è¥¨ï ¬¥¦¤ã p ¨ d á¯à ¢¥¤«¨¢ë ⮫쪮 ¤«ï ¯à®á⥩襩 ¬®¤¥«¨ ᢮¡®¤ëå í«¥ªâà®®¢, à áᬮâ८© ¢ëè¥. ॠ«ìëå ¬¥â «« å, £¤¥ ¢¨¤ ᯥªâà í«¥ªâà®®¢ ¬®¦¥â áãé¥á⢥® ®â«¨ç âìáï ®â ¯à®á⥩襣®, í⨠ᮮâ®è¥¨ï ¬®£ãâ ¤®¢®«ì® á¨«ì® àãè âìáï. ¬¥® ¯®í⮬ã, ¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ íªá¯¥à¨¬¥â®¢ ¯® ¨§¬¥à¥¨î ¬ £¨â®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠¬¥â ««®¢, ¢®§¨ª ¥â ¤®¢®«ì® á«®¦ ï ¯à®¡«¥¬ à §¤¥«¥¨ï ¯ à ¬ £¨â®£® ¨ ¤¨ ¬ £¨â®£® ¢ª« ¤®¢. §ã¬¥¥âáï á㬬 àãî ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì ¨ áà §ã. «ï í⮣® ¤® ¡ë«®-¡ë § ¯¨á âì ã஢¨ í¥à£¨¨ í«¥ªâà® ¢ ¢¨¤¥ "n;pz ; = (2n + 1)B H + p2z =2m B H, ¢ª«î稢 ᯨ®¢®¥ à á饯«¥¨¥ ¢ ᯥªâà ¤ ã. âã ᮢ®ªã¯®áâì ã஢¥© ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥: "n;pz = 2nB H + p2z =2m (n = 0; 1; 2:::), ¯à¨ç¥¬ ª ¦¤®¥ § 票¥ á n 6= 0 ¢áâà¥ç ¥âáï ¤¢ ¦¤ë, c n = 0 { ®¤¨ à §. ®£¤ , «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬ã à áᬮâ२î, «¥£ª® ¯®«ãç¨âì: ( ) 1 X 1
= 2B H 2 f() + f( ; 2B Hn) (5.90) n=1 ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨© ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã«®© á㬬¨à®¢ ¨ï [1, 2]: Z1 1 1 F 0(0) 1 F(0) + X F(n) = dxF(x) ; (5.91) 2 12 0 n=1 ¥¯®á।áâ¢¥ë¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ª १ã«ìâ âã ¤«ï ¯®«®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠(5.89).
£¥â¨§¬ í«¥ªâà®®£® £ § . ¨«ìë¥ ¯®«ï. áᬮâਬ ⥯¥àì ®¡« áâì â ª §ë¢ ¥¬ëå ª¢ âãîé¨å ¬ £¨âëå ¯®«¥©, ¤«ï ª®â®àëå: T < B H = h!c "F = (5.92) íâ¨å ãá«®¢¨ïå áâ ®¢¨âáï áãé¥á⢥®© ¤¨áªà¥â®áâì ã஢¥© ¤ ã, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤¢¨¦¥¨î í«¥ªâà® ¢ ¯«®áª®áâ¨, ®à⮣® «ì®© ¬ £¨â®¬ã ¯®«î8. ¥¯¥àì 㦥 ¥«ì§ï ®â¤¥«¨âì ¤à㣠®â ¤à㣠®à¡¨â «ìë¥ ¨ ᯨ®¢ë¥ íä䥪âë ¨ ¯à¨ 8 â® ¤¢¨¦¥¨¥ ¢ ª« áᨪ¥ ¥áâì ¯à®á⮠横«®âà®®¥ ¢à 饨¥ í«¥ªâà® á ç áâ®â®© !c ¢®ªà㣠¯à ¢«¥¨ï ¯®«ï. ª¢ ⮢®¬ á«ãç ¥ íâ® ¢à 饨¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ª ª ®¡ëçë© ®á樫«ïâ®à á ⮩ ¦¥ ç áâ®â®©, çâ® ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥¨î ¯¥à¢®£® (®á樫«ïâ®à®£®) á« £ ¥¬®£® ¢ ᯥªâॠ¤ ã (5.80). â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (5.80) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᢮¡®¤®¬ã ¤¢¨¦¥¨î í«¥ªâà® ¢¤®«ì ¯à ¢«¥¨ï ¯®«ï.
97
¢ëç¨á«¥¨ïå 㦮 ¨á室¨âì ¨§ ®¡é¥© ä®à¬ã«ë (5.90). ª ¡ã¤¥â ªà ⪮ ¯®ª § ® ¨¦¥, ¯à¨ h!c = B H > T ¬ £¨ç¥®áâì í«¥ªâà®®£® £ § ᮤ¥à¦¨â ®á樫«¨àãîéãî ª ª äãªæ¨ï H ç áâì, ¯à¨ç¥¬ ¬¯«¨â㤠íâ¨å ®á樫«ï権 ¥ ¬ « . ë ®¯ã᪠¥¬ àï¤ ¯®¤à®¡®á⥩ ¢ ¢ëç¨á«¥¨ïå, ª®â®àë¥ ¬®¦® ©â¨ ¢ [1, 2]. ਠà áç¥â¥ (5.90), ¢ ãá«®¢¨ïå (5.92) 㦥 ¥«ì§ï ¯®«ì§®¢ âìáï ¯à®áâ묨 ä®à¬ã« ¬¨ á㬬¨à®¢ ¨ï ⨯ (5.91), ¯®áª®«ìªã á㬬¨à㥬 ï äãªæ¨ï ¬®¦¥â १ª® ¬¥ïâìáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â n ª n + 1. â ¤ àâë© ¯à¨¥¬ á®á⮨⠢ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ä®à¬ã«ë á㬬¨à®¢ ¨ï ã áá® 9 :
Z1 1 1Z1 X 1 F (0) + X F (n) = dxF (x) + 2Re dxe2ikxF(x) 2 0 0 n=1 k=1
®£¤ (5.91) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥:
1 X
Re I
= 0 () + T mV 2h3 k=1 k
£¤¥
(5.93)
(5.94)
p2z ; 2xB H (5.95) dxe2ikx ln 1 + exp T ; 2mT T ;1 0 á ¨â¥à¥áã¥â ⮫쪮 ®á樫«¨àãîé ï ¯® ¯®«î ç áâì ¨â¥£à «®¢,ª®â®àãî ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì I~k . ®á«¥ ¯®¤å®¤ïé¨å § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå ¨§ (5.95) ¬®¦® ¯®«ãç¨âì: ; " ik" ikp Z1 Z1 ~Ik = ; dpz d" ln 1 + exp T exp H exp ; 2m zH : (5.96) B B ;1 0 Ik = ;2B H
Z1
dpz
Z1
â¥£à « ¯® pz §¤¥áì ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥ [1, 2], ¯®á«¥ 祣® ¨¬¥¥¬:
r
Z 1 ik" h ;" i ~Ik = ;e;i 4 2mB H d"e B H ln 1 + e T : (5.97) k 0 ¤¥áì ¬®¦® ¤¢ ¦¤ë ¯à®¢¥á⨠¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ç áâï¬ ¨ ¯¥à¥©â¨ ª ¯¥à¥¬¥®© = (" ; )=T . ¯ãáª ï ¥®á樫«¨àãîéãî ¯® ¯®«î ç áâì, ¬®¦® ¯¨á âì [1, 2]:
p
Z
1 e exp ikT : B H)5=2 exp ik ; i d (5.98) I~k = 2m( B H 4 ;1 (e + 1)2 B H T 2 k5=2 ਠB H > T ®¯à¥¤¥«ïîéãî à®«ì ¢ ®á⠢襬áï ¨â¥£à «¥ ¨£à ¥â ®¡« áâì 1, â.¥. ®ªà¥áâ®áâì ãà®¢ï ¥à¬¨ " ; T, çâ® ¯®§¢®«¨«® ¯¨á âì ¥£® ¢ ¡¥áª®¥çëå ¯à¥¤¥« å. ªâ¨ç¥áª¨, ¨â¥£à « ⥯¥àì ¡¥à¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [1, 2]:
Z1
: dei (e e+ 1)2 = sh( ) ;1
(5.99)
P (x ; n) = P1 e2ikx . 㬬 ã áá® ¯®«ãç ¥âáï ¨§ à ¢¥á⢠: 1 n=;1 k=;1 äãªæ¨©, áâ®ïé ï á«¥¢ , ¥áâì ¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï äãªæ¨ï á ¯¥à¨®¤®¬ 1, á㬬 á¯à ¢ ¥áâì à §«®¦¥¨¥ í⮩ äãªæ¨¨ ¢ àï¤ ãàì¥. ¬®¦ ï íâ® à ¢¥á⢮ ¯à®¨§¢®«ìãî äãªæ¨î F (x) ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯® x ®â 0 ¤® 1R, ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã ã áá® . ਠí⮬ ¤® ⮫쪮 ¥é¥ ãç¥áâì, çâ® ç«¥ á㬬ë á n = 0 à ¢¥ 1 dxF (x)(x) = F (0)=2. 9 ®à¬ã«
0
98
ª®ç ⥫ì®, ¤«ï ®á樫«¨àãî饩 ç á⨠¯®â¥æ¨ « ¯®«ãç ¥¬: p 1 3 = 2 cos X B H k ; 4 2 :
~ = 2(mB2H)3 TV (5.100) h k=1 k3=2sh BkT H ਠ¢ëç¨á«¥¨¨ ¬ £¨â®£® ¬®¬¥â ª ª ¯à®¨§¢®¤®© ®â (5.100) ¯® ¯®«î, 㦮 ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ âì ⮫쪮 ¨¡®«¥¥ ¡ëáâà® ¬¥ïî騥áï ¬®¦¨â¥«¨ cos ¢ ç¨á«¨â¥«ïå ç«¥®¢ á㬬ë. â® ¤ ¥â १ã«ìâ â ¤ ã: p2 m3=2 TV X 1 sin H k ; 4 B : (5.101) M~ = ; B 3 p h H k=1 pksh 2BkTH ®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ®á樫«¨àã¥â, ¯¥à¨®¤¨ç®áâì ¨¬¥¥âáï §¤¥áì ¯® ®¡à ⮬㠯®«î 1=H. ¥à¨®¤ ¯® ¯¥à¥¬¥®© 1=H ¥áâì: 1 2B (5.102) H = ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë. ਠí⮬ (1=H)H B H= 1, â.¥. ®á樫«ï樨 ¯à®¨á室ïâ á ¡®«ì让 \ç áâ®â®©". ª¨¥ ®á樫«ï樨 ¬ £¨â®£® ¬®¬¥â ¢ ¯®«¥ ¡«î¤ îâáï ¢ ¬¥â «« å ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ¨ \ç¨áâëå" ®¡à §æ å ¨ §ë¢ îâáï íä䥪⮬ ¤¥- § { ¢ -«ì䢥 . ਠB H T ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ¨© ¬ £¨â®£® ¬®¬¥â M~ V H 1=2(mB )3=2h;3 . ®®â® ï ç áâì ¬ £¨ç¥®á⨠M ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëç¨á«¥®© ¢ëè¥ ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâìî (5.89), â ª ~ (=B H)1=2 1 ¨ ¬¯«¨â㤠®á樫çâ® M V 1=2 Hm3=22B h;3. ®í⮬ã M=M «¨àãî饩 ç á⨠¢¥«¨ª ¯® áà ¢¥¨î á ¬®®â®®©. ¯à®â¨¢, ¯à¨ B H T íâ ¬¯«¨â㤠íªá¯®¥æ¨ «ì® ã¡ë¢ ¥â ª ª exp(;2 T=B H) ¨ áâ ®¢¨âáï ¯à¥¥¡à¥¦¨¬® ¬ «®©. ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¯¥à¨®¤ (5.102) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ejh 1 2jejh = 2jejh H1 = jmc == (5.103) "F c p2F cSF £¤¥ SF = p2F { ¯«®é ¤ì ¬ ªá¨¬ «ì®£® \á¥ç¥¨ï" áä¥à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ £ § ᢮¡®¤ëå í«¥ªâà®®¢. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¬¥¨¬® ¨ ¤«ï ¬¥â ««®¢ á ¯à®¨§¢®«ì묨 ¯®¢¥àå®áâﬨ ¥à¬¨, ¥á«¨ ¯®¤ SF ¯®¨¬ âì ¯«®é ¤ì «î¡®£® íªáâ६ «ì®£® á¥ç¥¨ï á«®¦®© ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ [21]. ®áª®«ìªã â ª¨å á¥ç¥¨© ã ॠ«ì®© ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ¥áª®«ìª®, ¢®§¨ª ¥â ¨ ¥áª®«ìª® ¯¥à¨®¤®¢ ®á樫«ï権 ¤¥- § | ¢ -«ì䢥 . ªá¯¥à¨¬¥â «ì®¥ ¨§ã票¥ íâ¨å ®á樫«ï権 ¯®§¢®«ï¥â ©â¨ íªáâ६ «ìë¥ á¥ç¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ ॠ«ì®£® ¬¥â «« ¨ ãáâ ®¢¨âì, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¥ ä®à¬ã ¨ ⮯®«®£¨î. ä䥪⠤¥- § { ¢ -«ì䢥 ï¥âáï ¯¥à¢ë¬ ¢ 楫®¬ àï¤ã ®á樫«ï樮ëå ¥¨© ¢ ¬¥â «« å, 室ïé¨åáï ¢ ª¢ âãî饬 ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å. ¯®¬ï¥¬, ¯à¨¬¥à, «®£¨çë¥ ®á樫«ï樨 í«¥ªâà®á®¯à®â¨¢«¥¨ï ¬¥â ««®¢ (íä䥪â 㡨ª®¢ { ¤¥- § ). ᥠí⨠íä䥪âë á¢ï§ ë á « ¤ ã¢áª¨¬ ª¢ ⮢ ¨¥¬ ᯥªâà í«¥ªâà®®¢ ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ (5.80) ¨ á \¯à®å®¦¤¥¨¥¬" ¤¨áªà¥âëå ã஢¥© ¯®¯¥à¥ç®£® ¤¢¨¦¥¨ï ç¥à¥§ ã஢¥ì ¥à¬¨ ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï [21]. ªá¯¥à¨¬¥â «ì®¥ ¡«î¤¥¨¥ íâ¨å íä䥪⮢ ï¥âáï ¬®éë¬ á।á⢮¬ ¢®ááâ ®¢«¥¨ï £¥®¬¥âਨ ॠ«ìëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¥à¬¨ ¬¥â ««®¢.
99
ë஦¤¥ë© ¡®§¥{£ §. ਠ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ᢮©á⢠¡®§¥-£ § à ¤¨ª «ì® ®â«¨ç îâáï ®â ᢮©á⢠ä¥à¬¨-£ § . ਠT = 0 ¢á¥ ç áâ¨æë £ § § ¨¬ îâ á®áâ®ï¨¥ á ¨¬¥ì襩 í¥à£¨¥© " = 0, ®£à ¨ç¥¨©, á¢ï§ ëå á ¯à¨æ¨¯®¬ 㫨 ¤«ï ¨å ¥â. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¯®«®£® ç¨á« ç áâ¨æ, ®¯à¥¤¥«ïî饥 娬¯®â¥æ¨ « (5.30) ¢ ¡®§¥¢áª®¬ á«ãç ¥: pz 3=2 Z 1 N = g(mT ) p 23 (5.104) dz z; T V e ;1 2 h 0
᫨ ¯à¨ § ¤ ®© ¯«®â®á⨠£ § N=V ¯®¨¦ âì ⥬¯¥à âãàã, â® ¨§ (5.104) ¢¨¤®, ç⮠娬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « , ®áâ ¢ ïáì ®âà¨æ ⥫ìë¬, 㬥ìè ¥âáï ¯® ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨¥. ਠí⮬ ® ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨ ª®¥ç®© ⥬¯¥à âãà¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© à ¢¥á⢮¬: pz 3=2 Z 1 N = g(mT) p dz (5.105) V ez ; 1 22 h3 0 â®ï騩 §¤¥áì ¨â¥£à « ¥áâì ¯à®áâ® ¡¥§à §¬¥à ï ª®áâ â 2:315. ®£¤ , à¥è ï (5.105) ®â®á¨â¥«ì® T, ¯®«ãç ¥¬ å à ªâ¥àãî ⥬¯¥à âãàã T0 10:
2 N 2=3 3:31 h T0 = g2=3 m V (5.106) §ë¢ ¥¬ãî ⥬¯¥à âãன ¡®§¥-ª®¤¥á 樨. ¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮣® â¥à¬¨ , â ª¦¥ ª ª ¨ ¢®§¨ª î饣® ¯à¨ í⮩ ⥬¯¥à âãॠíä䥪⠬®¦® ¯®ïâì ¨§ á«¥¤ãîé¨å à áá㦤¥¨©. ਠT < T0 ãà ¢¥¨¥ (5.105) ¥ ¨¬¥¥â ®âà¨æ ⥫ìëå à¥è¥¨© ¤«ï , ⮣¤ ª ª ¢ áâ â¨á⨪¥ ®§¥ 娬¯®â¥æ¨ « ¤®«¦¥ ¡ëâì, ª ª ¯®ª § ® ¢ëè¥, ®âà¨æ ⥫ìë¬ ¯à¨ «î¡ëå ⥬¯¥à âãà å. â® ª ¦ã饥áï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á¢ï§ ® á ⥬, çâ® ¢ ¤ ëå ãá«®¢¨ïå ¥§ ª®¥ ¯¥à¥å®¤ ®â á㬬¨à®¢ ¨ï ¯® ª¢ â®¢ë¬ á®áâ®ï¨ï¬ ¢ (5.11) ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¯® ¥¯à¥à뢮© ¯¥à¥¬¥®© (í¥à£¨¨) ¢ (5.30), (5.104). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ â ª®¬ ¯¥à¥å®¤¥, ¯¥à¢ë©pç«¥ ¢ á㬬¥ ¯® k ¢ (5.11), ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ã஢î á "k = 0, 㬮¦ ¥âáï " = 0 (áà. ä®à¬ã«ã ¤«ï ¯«®â®á⨠á®áâ®ï¨© (5.28)) ¨ ¯à®áâ® ¢ë¯ ¤ ¥â. á ¬®¬ ¦¥ ¤¥«¥, ¯à¨ ¯®¨¦¥¨¨ ⥬¯¥à âãàë T ¡®§¥ç áâ¨æë ¡ã¤ãâ ᪠¯«¨¢ âìáï ¨¬¥® ¢ í⮬ á®áâ®ï¨¨ á ¨¬¥ì襩 í¥à£¨¥©, ¯®ª ¯à¨ T = 0 ¥ ¯®¯ ¤ãâ â㤠¢á¥. ®í⮬ã, ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, ¯à¨ T < T0 ¤¥«® ®¡á⮨â á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. áâ¨æë á í¥à£¨¥© " > 0 à á¯à¥¤¥«¥ë ¯® ä®à¬ã«¥ ( = 0!): 3 =2 p p 2 V3 e T" "d" dN" = gm ;1 2 h ®®â¢¥âá⢥®, ¯®«®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ á í¥à£¨ï¬¨ " > 0 à ¢®:
N">0 =
Z
3=2
dN" = gVp(mT) 22 h3
Z1 0
3=2 p dz ez ;z 1 = N TT 0
(5.107)
(5.108)
10 ¬¥â¨¬, çâ® â ª ¦¥ ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ⥬¯¥à âãàë ¥à¬¨, ¤ ®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯® ¯®à浪㠢¥«¨ç¨ë, ä ªâ¨ç¥áª¨, ᮢ¯ ¤ ¥â á ⥬¯¥à âãன ¢ë஦¤¥¨ï £ § (3.79).
100
áâ «ìë¥
"
T 3=2#
N"=0 = N 1 ; T (5.109) 0 ç áâ¨æ 室ïâáï ¢ á®áâ®ï¨¨ á ¨§è¥© í¥à£¨¥© " = 0. ⮠¥¨¥ ª®¯«¥¨ï ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ç¨á« ç áâ¨æ (ª®¥ç®© ç á⨠¯®«®£® ç¨á« ç áâ¨æ) ã«¥¢®¬ ã஢¥ ¨ §ë¢ ¥âáï ª®¤¥á 樥© ®§¥ { ©è⥩ . ®¤ç¥àª¥¬, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® \ª®¤¥á 樨" ¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à®áâà á⢥ (p = 0), ¥ ¨¬¥î饩 ¨ç¥£® ®¡é¥£® á ®¡ë箩 ª®¤¥á 樥© £ § . áâ¨æë ¢ ¡®§¥-ª®¤¥á ⥠®¡à §ãîâ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ ª¢ ⮢®¥ á®áâ®ï¨¥ á ¢¥áì¬ á¯¥æ¨ä¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨. ¥à£¨ï £ § ¯à¨ T < T0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç áâ¨æ ¬¨ á " > 0 (áà. ä®à¬ã«ã (5.33), § ¯¨á ãî ¤«ï = 0):
3=2 3=2 T Z 1 3=2 5=2 3=2 gV (mT ) = 0:128g m 3T V (5.110) E= p 2 3 dz ezz ; 1 0:770NT TT 2 h h 0 0 âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ⥯«®¥¬ª®áâì: @E 5E Cv = @T = 2T T 3=2 (5.111) V ⥣à¨àãï ⥯«®¥¬ª®áâì, 室¨¬ íâய¨î: Z T Cv S= dT = 5E (5.112) T 3T 0 ¨ ᢮¡®¤ãî í¥à£¨î F = E ; T S: (5.113) F = ; 23 E «ï ¤ ¢«¥¨ï £ § ¨¬¥¥¬: @F 3=2 5=2 P = ; @V 0:0851g m 3T (5.114) h T á ¬®© â®çª¥ T = T0 ¢á¥ à áᬮâà¥ë¥ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ¥¯à¥àë¢ë, ® ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¯à®¨§¢®¤ ï ⥯«®¥¬ª®á⨠¯® T ¨á¯ëâë¢ ¥â ¢ í⮩ â®çª¥ ᪠箪 [1, 2]. ®í⮬ã, â®çª ¡®§¥-ª®¤¥á 樨, ä ªâ¨ç¥áª¨, ï¥âáï â®çª®© ¥ª®â®à®£® ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ . ¬¥â¨¬, ¢¯à®ç¥¬, ç⮠᢮©á⢠í⮣® ¯¥à¥å®¤ áãé¥á⢥® § ¢¨áï⠮⠢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç áâ¨æ, ª®â®àë¬ ¬ë ¯®«®áâìî ¯à¥¥¡à¥£ «¨. â¥ç¥¨¥ ¬®£¨å «¥â ¥¨¥ ¡®§¥-ª®¤¥á 樨 ¢ £ § å ®áâ ¢ «®áì ç¨á⮠⥮à¥â¨ç¥áª¨¬ १ã«ìâ ⮬, å®âï ¢ ¦®áâì í⮣® ¥¨ï ¯à¥ªà á® ®á®§ ¢ « áì ¨, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¥¨¥ ¡®§¥-ª®¤¥á 樨 ¡«î¤ «®áì ¢ ¥¨ïå ᢥàå⥪ãç¥á⨠¨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠¢ ª®¤¥á¨à®¢ ëå ⥫ å (£¤¥, ª®¥ç®, à®«ì ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ï¥âáï ®¯à¥¤¥«ïî饩). ⨠¯à®¡«¥¬ë ¡ã¤ãâ ®¡á㦤 âìáï ¨¦¥. ¯®á«¥¤¨¥ £®¤ë, ®¤ ª®, ¥¨¥ ¡®§¥-ª®¤¥á 樨 㤠«®áì ¥¯®á।á⢥® ¡«î¤ âì ¢ 㨪 «ìëå íªá¯¥à¨¬¥â å á ¯ à ¬¨ 饫®çëå ¬¥â ««®¢, ®å« ¦¤¥ë¬¨ ¤® ४®à¤® ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà 10;7K ¢ á¯¥æ¨ «ìëå ¬ £¨âëå «®¢ãèª å. ⨠á¨á⥬ë, ª ª ®ª § «®áì, ¤®¢®«ì® å®à®è® ®¯¨áë¢ îâáï ¨¬¥® ¬®¤¥«ìî ¯®ç⨠¨¤¥ «ì®£® ¡®§¥£ § . ⨠¨áá«¥¤®¢ ¨ï ïîâáï ᥩç á ®¤®© ¨§ ¨¡®«¥¥ ¨â¥à¥áëå ¨ ªâ¨¢® à §¢¨¢ îé¨åáï ®¡« á⥩ 䨧¨ª¨ á¨á⥬ ¬®£¨å ç áâ¨æ [22].
101
â â¨á⨪ ä®â®®¢. ¦¥©è¨¬ ®¡ê¥ªâ®¬ ¯à¨¬¥¥¨ï áâ â¨á⨪¨ ®§¥ ï¥âáï í«¥ªâ஬ £¨â®¥ ¨§«ã票¥, 室ï饥áï ¢ à ¢®¢¥á¨¨ (â.. ¨§«ã票¥ ç¥à®£® ⥫ ), â.¥. áâ â¨á⨪ ä®â®®¢. ¨¥©®áâì ãà ¢¥¨© (¯à¨æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨) í«¥ªâத¨ ¬¨ª¨ ®§ ç ¥â ®âáãâá⢨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ä®â®®¢ { ®¨ ®¡à §ãîâ ¨¤¥ «ìë© £ §. ᨫã 楫®ç¨á«¥®á⨠ᯨ ä®â®®¢ (s = 1) íâ® ¥áâì £ § ¡®§®®¢. ªâ¨ç¥áª¨ ¢ ¤ ®© § ¤ ç¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï «¨ç¨¥ á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ä®â®®¢ á ¢¥é¥á⢮¬, ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¤«ï ãáâ ®¢«¥¨ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï. ¥å ¨§¬, ®¡¥á¯¥ç¨¢ î騩 ãáâ ®¢«¥¨¥ à ¢®¢¥á¨ï á®á⮨⠢ ¯®£«®é¥¨¨ ¨ ¨á¯ã᪠¨¨ ä®â®®¢ ¢¥é¥á⢮¬ 11 . â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¯à¨¢®¤¨â ª ¢ ¦®© ®á®¡¥®á⨠ä®â®®£® £ § : ç¨á«® ç áâ¨æ N ¢ ¥¬ ¥ á®åà ï¥âáï ¨ ¤®«¦® ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¨§ ãá«®¢¨© ⥯«®¢®£® à ¢®¢¥á¨ï. ॡãï ¬¨¨¬ «ì®á⨠᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ § ¤ ëå T ¨ V ), ; @F (¯à¨ = = 0, â ª ç⮠娬¯®«ãç ¥¬ ®¤® ¨§ ãá«®¢¨© í⮣® ¬¨¨¬ã¬ ¢ ¢¨¤¥: @N T;V ¯®â¥æ¨ « £ § ä®â®®¢: = 0: (5.115) ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ä®â®®¢ ¯® ª¢ â®¢ë¬ á®áâ®ï¨ï¬ á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ § 票ﬨ ¨¬¯ã«ìá h k ¨ í¥à£¨¨ h! = hck (¨ ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¯®«ïਧ æ¨ï¬¨ { ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ ¨å ᯨ ) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© ®§¥ á = 0: nk = h !1 (5.116) e T ;1 çâ® §ë¢ ¥âáï à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ « ª . ç¨â ï ®¡ê¥¬ V ¤®áâ â®ç® ¡®«ì訬, ¯¥à¥©¤¥¬ ®¡ëçë¬ ®¡à §®¬ ®â ¤¨áªà¥â®£® ª ¥¯à¥à뢮¬ã à á¯à¥¤¥«¥¨î ᮡá⢥ëå ç áâ®â ¨§«ã票ï. ¨á«® ª®«¥¡ ¨© á ª®¬¯®¥â ¬¨ ¢®«®¢®£® ¢¥ªâ®à k ¢ ¨â¥à¢ « å d3k = dkxdky dkz à ¢®, ª ª 3k d ¨§¢¥áâ®, V (2)3 [8]. ¨á«® ª®«¥¡ ¨© á ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨®© ¢®«®¢®£® ¢¥ªâ®à ¢ ¨â¥à¢ «¥ k; k + dk ¥áâì: V 2 (5.117) (2)3 4k dk:
ᯮ«ì§ãï ! = ck ¨ 㬮¦ ï 2 (¨¬¥¥âáï ¤¢ ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯à ¢«¥¨ï ¯®«ïਧ 樨), ¯®«ãç ¥¬ ç¨á«® ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© ä®â®®¢ á ç áâ®â ¬¨ ¢ ¨â¥à¢ «¥ !; ! + d!: V !2 d! : (5.118) 2 c3 ®£¤ ç¨á«® ä®â®®¢ ¢ ¤ ®¬ ¨â¥à¢ «¥ ç áâ®â: 2 dN! = V2 c3 !h ! d! (5.119) e T ;1 ¬®¦ ï h !, ¯®«ã稬 í¥à£¨î ¨§«ã票ï, § ª«îç¥ãî ¢ í⮬ ãç á⪥ ᯥªâà : 3 dE! = V2 ch3 !h ! d! (5.120) eT ;1 { ä®à¬ã«ã « ª . ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 £à 䨪 ¯®ª § ¨á.5-2. ëà ¦ ï ¢á¥ 11 ®à®è¨© ¯à¨¬¥à â ª®© á¨á⥬ë { \५¨ªâ®¢®¥" ¨§«ã票¥ ¢® ᥫ¥®©, ®á⠢襥áï ¯®á«¥ \¡®«ì讣® ¢§àë¢ ".
102
3
¨á. 5-2 ãªæ¨ï « ª exx;1 ;
x = hT! .
ç¥à¥§ ¤«¨ã ¢®«ë = 2!c , ¨¬¥¥¬: 2 dE = 165chV
d
: (5.121) e ;1 ਠ¬ «ëå ç áâ®â å h! T ¨§ (5.120) ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã í«¥ï { ¦¨á : dE! = V 2Tc3 !2 d! (5.122) ¤¥áì ¥â § ¢¨á¨¬®á⨠®â h , íâ® ª« áá¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥«, ª®â®àë© ¬®¦® áà §ã ¦¥ ¯®«ãç¨âì 㬮¦¥¨¥¬ (5.118) T , â.¥. ¯à¨¬¥¥¨¥¬ § ª® à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª ª ¦¤®¬ã ®á樫«ïâ®àã í«¥ªâ஬ £¨â®£® ¯®«ï 12. ®¡à ⮬ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ h! T (ª¢ â®¢ë© ¯à¥¤¥«) ¨§ (5.120) ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã ¨ : dE! = V 2hc3 !3 e; hT! d! (5.123) «®â®áâì ᯥªâà «ì®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï í¥à£¨¨ ç¥à®£® ¨§«ãç¥¨ï ¯® ç áâ®â ¬ dE! =d! ¨¬¥¥â ¬ ªá¨¬ã¬ ¯à¨ ! = !m , ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© à ¢¥á⢮¬: h!m 2:822 (5.124) T 2T h c
12 ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® ¨â¥£à « (5.122) ¯® ¢á¥¬ ç áâ®â ¬ à á室¨âáï, â ª çâ® í¥à£¨ï ä®â®®£® £ § ®ª §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®¥ç®©. â® â ª §ë¢ ¥¬ ï ã«ìâà 䨮«¥â®¢ ï ª â áâà®ä , ª®â®à ï ¡ë« ®¤¨¬ ¨§ ᨫìëå 㪠§ ¨© ¥¤®áâ â®ç®áâì ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ, çâ® ¨ ¯à¨¢¥«® « ª ª ¢¢¥¤¥¨î ª¢ ⮢. ¬¥â¨¬, çâ® « ª ¯à¥¤«®¦¨« ᢮î ä®à¬ã«ã (5.120), ª ª ¯à®á⥩èãî ¨â¥à¯®«ïæ¨î ¬¥¦¤ã (5.122) ¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ®âªàëâë¬ § ª®®¬ (5.123).
103
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¯®¢ë襨¨ ⥬¯¥à âãàë ¬ ªá¨¬ã¬ à á¯à¥¤¥«¥¨ï á¬¥é ¥âáï ¢ áâ®à®ã ¡®«ìè¨å ç áâ®â ¯à®¯®à樮 «ì® T (§ ª® ᬥ饨ï) 13. ëç¨á«¨¬ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ä®â®®£® £ § . ਠ= 0 ᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï F = ; PV = N + . ®£¤ , ¯®« £ ï = 0 ¨ ¯¥à¥å®¤ï ®â á㬬¨à®¢ ¨ï ¯® k ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¯® ! ¢ (5.12), ¯®«ãç ¥¬: Z1 (5.125) F = T V2 c3 d!!2 ln 1 ; e; hT! 0 ¢®¤ï x = h!=T ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯® ç áâï¬, ¯®«ã稬: 4 Z 1 3 T F = ;V 2 3 3 dx exx; 1 : (5.126) 3 h c 0 â¥£à « §¤¥áì à ¢¥ 4 =15 [1, 2], â ª çâ®: 2 T 4 = ; 4 V T 4 (5.127) F = ;V 45( hc)3 3c £¤¥ ª®íää¨æ¨¥â (¯®áâ®ï ï â¥ä { ®«ìæ¬ ) à ¢¥: 2 4 = k3B2 (5.128) 60h c ¥á«¨ ¨§¬¥àïâì T ¢ £à ¤ãá å. âய¨ï ä®â®®£® £ § : 16 V T 3: S = ; @F = (5.129) @T 3c ®« ï í¥à£¨ï ¨§«ã票ï: 4 (5.130) E = F + TS = 4 c V T = ;3F { § ª® ®«ìæ¬ . ¥¯«®¥¬ª®áâì £ § ä®â®®¢: 16 3 3 Cv = @E (5.131) @T V = c T T : ¢«¥¨¥ ¨§«ã票ï: @F 4 P = ; @V = 3c T 4 (5.132) â ª çâ® \ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï":
T
PV = E3 (5.133) çâ® å à ªâ¥à® ¨¬¥® ¤«ï ५ï⨢¨áâ᪮£® £ § ᮠᯥªâ஬ ! = ck. ®«®¥ (á।¥¥) ç¨á«® ä®â®®¢ ¯à¨ ¤ ®© ⥬¯¥à âãॠ¥áâì:
3
Z1 2 3 Z 1 2 V ! V T = 23 3 N = 3 c3 d! h ! dx exx; 1 0:244 hTc e T ; 1 c h 0 0
13 «ï
V:
(5.134)
ª®á¬®«®£¨ç¥áª®£® \५¨ªâ®¢®£®" ¨§«ã票ï íâ®â ¬ ªá¨¬ã¬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â T 3K .
104
« ¢ 6
¢¥à¤ë¥ ⥫ . ¨§ª¨¥ ⥬¯¥à âãàë. ªà¨áâ «« å ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ⮬ë ᮢ¥àè îâ ¬ «ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢¡«¨§¨ ¥ª®â®àëå ¯®«®¦¥¨© à ¢®¢¥á¨ï, ®¡à §ãîé¨å ªà¨áâ ««¨ç¥áªãî à¥è¥âªã. ªâ¨ç¥áª¨, â ª ï ¦¥ á¨âã æ¨ï ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¢ ¬®àäëå ⢥à¤ëå ⥫ å, £¤¥ à ¢®¢¥áë¥ ¯®§¨æ¨¨ ¥ã¯®à冷ç¥ë ¢ ¯à®áâà á⢥ 1 . ãáâì N { ¥áâì ç¨á«® ¬®«¥ªã« ( ⮬®¢), ®¡à §ãîé¨å ⢥म¥ ⥫®, { ç¨á«® ⮬®¢ ¢ ¬®«¥ªã«¥ ( = 1, ¥á«¨ ⥫® á®á⮨⠨§ ⮬®¢). ®£¤ ¯®«®¥ ç¨á«® ⮬®¢ à ¢® N. § ®¡é¥£® ç¨á« 3N á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë âਠᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¯®áâ㯠⥫쮬㠨 âਠ¢à é ⥫쮬㠤¢¨¦¥¨î ⥫ ª ª 楫®£®. ®í⮬ã ç¨á«® ª®«¥¡ ⥫ìëå á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¥áâì 3N ; 6. ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ç¨á«® 3N ®£à®¬®, ¬®¦® ᯮª®©® ¯à¥¥¡à¥çì ç¨á«®¬ 6 ¨ áç¨â âì ç¨á«® ª®«¥¡ ⥫ìëå á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë à ¢ë¬ ¯à®áâ® 3N. ¨¦¥ ¬ë ¥ ãç¨âë¢ ¥¬ ¢®¢á¥ í«¥ªâà®ë¥ á⥯¥¨ ᢮¡®¤ë, â ª çâ® ¢¥áì ¨§« £ ¥¬ë© ¬ â¥à¨ « ®â®á¨âáï, áâண® £®¢®àï, ª ¤¨í«¥ªâਪ ¬. ¯à®á⥩襬 ¯à¨¡«¨¦¥¨¨, ¢ ¬¥â «« å ¬®¦® áç¨â âì, çâ® í«¥ªâà®ë¥ ¢ª« ¤ë ¢® ¢á¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯à®áâ® ¤®¡ ¢«ïîâáï ¤¤¨â¨¢®. ¬¥å ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï á¨á⥬ã á 3N ª®«¥¡ ⥫ì묨 á⥯¥ï¬¨ ᢮¡®¤ë ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¡®à 3N ¥§ ¢¨á¨¬ëå ®á樫«ïâ®à®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå (¢ £ ମ¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®â¤¥«ì®¬ã ®à¬ «ì®¬ã ª®«¥¡ ¨î [13]. § ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ¨§¢¥áâ® [7], çâ® í¥à£¨ï £ ମ¨ç¥áª®£® 1 ®«ìè ï ç áâì ¯®á«¥¤ãî饣®
¬ â¥à¨ « ®á®¢ [1, 2].
105
106
®á樫«ïâ®à ¨¬¥¥â ¢¨¤:
(6.1) "n = h! n + 12 £¤¥ h! { ª®«¥¡ ⥫ìë© ª¢ â, n = 0; 1; 2::: { ª®«¥¡ ⥫쮥 ª¢ ⮢®¥ ç¨á«®. ®£¤ áâ âá㬬 ®¤®£® ®á樫«ïâ®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: Zosc =
1 X
n=0
e; hT! (n+1=2):
(6.2)
㤥¬ ®âáç¨âë¢ âì í¥à£¨î ®á樫«ïâ®à ®â ¨¡®«¥¥ ¨§ª®£® (n = 0) ª®«¥¡ ⥫쮣® ã஢ï, ¢ª«î稢 ã«¥¢ãî í¥à£¨î ¢ ¯®áâ®ïãî "0 , ®¯à¥¤¥«ïîéãî ç «® ®âáç¥â í¥à£¨¨. ®£¤ : 1 X Zosc = e; hT! n = 1; h ! ; (6.3) 1;e T n=0 ᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï: Fosc = T ln 1 ; e; hT! : (6.4) ®®â¢¥âá⢥®, ᢮¡®¤ãî í¥à£¨î ⢥म£® ⥫ ¬®¦® ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: F = N"0 + T
X
ln 1 ; e;
h ! T
;
(6.5)
£¤¥ á㬬¨à®¢ ¨¥ ¨¤¥â ¯® ¢á¥¬ 3N ®à¬ «ìë¬ ª®«¥¡ ¨ï¬, ª®â®àë¥ ã¬¥àãîâáï ¨¤¥ªá®¬ . ¤¥áì N"0 { í¥à£¨ï ã«¥¢ëå ª®«¥¡ ¨©, ª®â®à ï, ®ç¥¢¨¤®, ¯à®¯®à樮 «ì ç¨á«ã ¬®«¥ªã« ⥫ , "0 { í¥à£¨ï, ®â¥á¥ ï ª ®¤®© ¬®«¥ªã«¥ ¯à¨ T = 0. áᬮâਬ ¯à¥¤¥«ìë© á«ãç © ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà. ਠ¬ «ëå T ¢ á㬬¥ ¯® ¨£à îâ à®«ì «¨èì ç«¥ë á ¬ «ë¬¨ ç áâ®â ¬¨ h ! T. ®«¥¡ ¨ï ¬ «ëå ç áâ®â ¢ ⢥म¬ ⥫¥ { íâ® ®¡ëçë¥ §¢ãª®¢ë¥ ¢®«ë. «¨ §¢ãª®¢®© ¢®«ë = u=!, £¤¥ u { ᪮à®áâì §¢ãª . «ï §¢ãª®¢ëå ¢®« ¤«¨ ¢®«ë ¢¥«¨ª ¯® áà ¢¥¨î á ¯®áâ®ï®© à¥è¥âª¨ ªà¨áâ «« (¨«¨ á।¨¬ ¬¥¦ â®¬ë¬ à ááâ®ï¨¥¬ ¢ ¬®à䮬 ⢥म¬ ⥫¥): a. ®®â¢¥âá⢥®, ¨å ç áâ®âë ! u=a. «ï ⮣®, çâ®¡ë ¬®¦® ¡ë«® à áᬠâਢ âì áãé¥áâ¢¥ë¥ ¤«ï á ª®«¥¡ ¨ï ª ª §¢ãª®¢ë¥ ¢®«ë, ⥬¯¥à âãà á¨áâ¥¬ë ¤®«¦ 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î: (6.6) T h ua : ãáâì ⥫® ¨§®âய® (íâ® ¢¥à® ¤«ï ¬®àäëå ⥫). ®£¤ ¢ ¥¬ ¬®£ãâ à á¯à®áâà ïâìáï ¯à®¤®«ìë¥ (᪮à®áâì ul ) ¨ ¯®¯¥à¥çë¥ (᪮à®áâì ut ) §¢ãª®¢ë¥ ¢®«ë. ਠí⮬ ¤«ï ¨å ç áâ®â ¨¬¥¥¬: ! = ul k ¨ ! = ut k (6.7) £¤¥ k = jkj { ¬®¤ã«ì ¢®«®¢®£® ¢¥ªâ®à . ¨á«® ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨© ¢ ᯥªâॠ§¢ãª®¢ëå ¢®« á ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨®© ¢®«®¢®£® ¢¥ªâ®à ¢ ¨â¥à¢ «¥ k; k + dk ¨ á ¤ ®© ¯®«ïਧ 樥© à ¢®: 2dk V 4k (6.8) (2)3 :
107
®« £ ï ¤«ï ¯à®¤®«ì®© ¯®«ïਧ 樨 k = !=ul , ¤«ï ¤¢ãå ¯®¯¥à¥çëå { k = !=ut, 室¨¬, çâ® ¢ ¨â¥à¢ «¥ ç áâ®â !; ! + d! ¨¬¥¥âáï á«¥¤ãî饥 ç¨á«® ª®«¥¡ ¨©: 2 1 2 : (6.9) + V !2d! 2 u3l u3t ¢¥¤¥¬ ¥ª®â®àãî á।îî ᪮à®áâì §¢ãª u á ¯®¬®éìî á«¥¤ãî饣® á®®â®è¥¨ï: 3 = 2+ 1 (6.10) u3 u3t u3l ®£¤ (6.9) § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥: 2 d! V 3! (6.11) 22 u3 : â ª®¬ ¢¨¤¥ íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¬¥¨¬® ¥ ⮫쪮 ª ¬®àäë¬ â¥« ¬, ® ¨ ª ªà¨áâ «« ¬, ¥á«¨ ¯®¤ u ¯®¨¬ âì ®¯à¥¤¥«¥ë¬ ®¡à §®¬ ãá।¥ãî ᪮à®áâì §¢ãª ¢ ªà¨áâ ««¥ ¤ ®© ᨬ¬¥âਨ. ®£¤ , ¯¥à¥å®¤ï á ¯®¬®éìî (6.11) ®â á㬬¨à®¢ ¨ï ¯® ¢ (6.5) ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¯® !, ¯®«ã稬: 3V T Z 1 d!!2 ln 1 ; e; hT! F = N"0 + 2 (6.12) 2 u3 0 £¤¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¬®¦® ¢¥á⨠¤® ¡¥áª®¥ç®á⨠¢¢¨¤ã ¡ëáâன á室¨¬®á⨠¨â¥£à « ¯à¨ ¬ «ëå T. ⢫¥ª ïáì ®â ¢ª« ¤ N"0 , ¢¨¤¨¬, çâ® íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ¢ëà ¦¥¨ï (5.125) ¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ä®â®®£® £ § «¨èì § ¬¥®© ᪮à®á⨠ᢥâ c ᪮à®áâì §¢ãª ¨ ¬®¦¨â¥«¥¬ 3=2, á¢ï§ ë¬ á ⥬, çâ® ã §¢ãª âਠ¯®«ïਧ 樨, ã ä®â®®¢ { ¤¢¥. ®¡á⢥®, £®¢®àï, 㦥 ᥩç á ïá®, çâ® ¬®¦® ᪠§ âì, çâ® â¥à¬®¤¨ ¬¨ª ⢥म£® ⥫ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª¢ â ¬¨ §¢ãª®¢ëå ª®«¥¡ ¨© { ä®® ¬¨. ¤¥áì ¬ë ¢¯¥à¢ë¥ áâ «ª¨¢ ¥¬áï á á¨âã 樥©, ª®£¤ ®¯¨á ¨¥ ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬ë (¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å!) ⮬®¢ (¬®«¥ªã«) ®ª §ë¢ ¥âáï ¢®§¬®¦ë¬ ᢥá⨠ª ¬®¤¥«¨ ¨¤¥ «ì®£® £ § ª¢ §¨ç áâ¨æ. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¦® ¯à®áâ® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯®«ãç¥ë¬¨ ¢ëè¥ ä®à¬ã« ¬¨ ¤«ï ä®â®®£® £ § á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ § ¬¥ ¬¨. ë, ®¤ ª®, ¯®¢â®à¨¬ ¢ëç¨á«¥¨ï ¢ ¬ ¢¨¤¥. ¯ïâì ¢¢®¤¨¬ ¡¥§à §¬¥àãî ¯¥à¥¬¥ãî x = h!=T ¨ ¨â¥£à¨àãï (6.12) ¯® ç áâï¬, ¯®«ãç ¥¬: Z 1 x3 4 2 T 4 : F = N"0 ; V 2T 3 3 dx ex ; 1 = N"0 ; V 30( (6.13) hu)3 2 h u 0 âய¨ï á¨áâ¥¬ë ¥áâì: 22T 3 : S = ; @F = V (6.14) @T 15(hu)3 ¥à£¨ï E = F + TS: 2 T 4 : E = N"0 + V 10( (6.15) hu)3 ¥¯«®¥¬ª®áâì ⢥म£® ⥫ , ¢ í⮬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ (¨§ª¨¥ ⥬¯¥à âãàë!), ®ª §ë¢ ¥âáï à ¢®©: @E 22 C = @T = 5(hu)3 V T 3 T 3 : (6.16) ¥¯«®¥¬ª®á⨠Cp ¨ Cv §¤¥áì ¬®¦® ¥ à §«¨ç âì, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ¨å à §®áâì Cp ; Cv T 7 , â.¥. ï¥âáï ¢¥«¨ç¨®© ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¬ «®áâ¨, 祬 á ¬ ⥯«®¥¬ª®áâì [1, 2].
108
¢¥à¤ë¥ ⥫ . ë᮪¨¥ ⥬¯¥à âãàë. ¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâà¥¨î ®¡à ⮣® ¯à¥¤¥«ì®£® á«ãç ï ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà T hu=a. ®£¤ ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì: h ! 1 ; e; T hT! (6.17) â ª çâ® ¨§ (6.5) ¨¬¥¥¬: X F = N"0 + T ln hT! = N"0 ; NT ln T + 3NT ln h < ! > (6.18) £¤¥ ¢¢¥«¨ á।¥«®£ à¨ä¬¨ç¥áªãî ç áâ®âã ª®«¥¡ ¨© (ä®®®¢) < ! > ª ª: 1 X ln ! ln < ! >= 3N (6.19) § (6.18) 室¨¬ í¥à£¨î ⥫ E = F ; T @F @T : E = N"0 + 3NT: (6.20) «ãç © ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª« áá¨ç¥áª®¬ã à áᬮâà¥¨î ª®«¥¡ ¨© ⮬®¢, â ª çâ® (6.20) ᮣ« áã¥âáï á § ª®®¬ à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨ï { ª ¦¤ãî ¨§ 3N ª®«¥¡ ⥫ìëå á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¯à¨å®¤¨âáï í¥à£¨ï T. «ï ⥯«®¥¬ª®á⨠¨¬¥¥¬: C = Nc = 3N; (6.21) £¤¥ c = 3 { ⥯«®¥¬ª®áâì ®¤ã ¬®«¥ªã«ã2 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà å ⥯«®¥¬ª®áâì ⢥à¤ëå ⥫ ¯®áâ®ï ¨ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ç¨á« ⮬®¢ ¢ ⥫¥. ç áâ®á⨠®¤¨ ª®¢ ¨ à ¢ 3 (¢ ®¡ëçëå ¥¤¨¨æ å 3kB ) ⮬ ï ⥯«®¥¬ª®áâì «î¡ëå í«¥¬¥â®¢ ( = 1) { § ª® î«®£ { â¨. ਠ®à¬ «ìëå ⥬¯¥à âãà å íâ®â § ª® ¥¯«®å® ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥â¥3. ᯮ«ì§ãï (6.21) § ¯¨è¥¬ ᢮¡®¤ãî í¥à£¨î ¨ í¥à£¨î ⥫ ¢ ¢¨¤¥: F = N"0 ; NcT ln T + NcT lnh < ! > (6.22) E = N"0 + NcT: (6.23) âய¨ï ⥫ à ¢ : h < ! > (6.24) S = ; @F @T = Nc lnT ; Nc ln e §ã¬¥¥âáï, ä®à¬ã«ã (6.18) ¬®¦® ¢ë¢¥á⨠¨ ¥¯®á।á⢥® ¨§ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¨, ¨áå®¤ï ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï:
Z
F = ;T ln d;e;
E(p;q) T :
(6.25)
2 ®¢ ¯¨è¥¬ ¯à®áâ® C , ¯®áª®«ìªã ã ⢥à¤ëå ⥫ à §¨æ ¬¥¦¤ã Cp ¨ Cv ¥§ ç¨â¥«ì [1, 2] 3 «ï á«®¦ëå ᮥ¤¨¥¨© ( > 1) § ª® î«®£ { ⨠¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¤®á⨣ ¥âáï { ¯« ¢«¥-
¨¥ ¢¥é¥á⢠¨«¨ ¨å à §«®¦¥¨¥ áâ㯠¥â à ìè¥.
109
®¤áâ ¢«ïï áî¤ :
X E(p; q) = 12 (p2 + ! 2 q 2 )
Q
(6.26)
¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® d; = (2h1)3N dp dq , ¢¨¤¨¬, çâ® ¨â¥£à « à §¡¨¢ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ 3N ®¤¨ ª®¢ëå ¨â¥£à «®¢ ¢¨¤ : p2 + !2 q2 2T Z1 Z1 (6.27) dp dq exp ; 2T = ! ;1 ;1 ¨, ¢ ¨â®£¥, ¯®«ãç ¥¬ (6.18). ¬¥â¨¬, çâ® ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ §¤¥áì ¬®¦® ¢¥á⨠¢ ¡¥áª®¥çëå ¯à¥¤¥« å ¢¢¨¤ã ¡ëáâன á室¨¬®á⨠¨â¥£à « , å®âï 䨧¨ç¥áª¨ ⮬ë ᮢ¥àè îâ ¬ «ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢ ®ªà¥áâ®á⨠㧫 à¥è¥âª¨. ®®â¢¥âá⢥®, ¢á¥ ®¡« á⨠¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ®â¢¥ç îâ, ä ªâ¨ç¥áª¨, 䨧¨ç¥áª¨ à §«¨çë¬ ¬¨ªà®á®áâ®ï¨ï¬ ¨ ¨ª ª®£® ¤®¯®«¨â¥«ì®£® ¬®¦¨â¥«ï ⨯ N! ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ ¢¢®¤¨âì ¥ ¤®.
®à¬ã« ¥¡ ï. ¥¡ © ¯à¥¤«®¦¨« ®ç¥ì å®à®èãî ¨â¥à¯®«ï樮ãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ⥯«®¥¬ª®á⨠⢥à¤ëå ⥫, ¯à¨£®¤ãî ¤«ï «î¡ëå ⥬¯¥à âãà. 㤥¬ ¨á室¨âì ¨§ ¬®¤¥«¨, ¢ ª®â®à®© ¢á¥ ª®«¥¡ ⥫ìë¥ ç áâ®âë ⢥म£® ⥫ à á¯à¥¤¥«¥ë ¯® § ª®ã (6.11), å®âï, á ¬®¬ ¤¥«¥, íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ⮫쪮 ¤«ï ¬ «ëå ç áâ®â. ¯¥ªâà ç áâ®â 㦮 ®£à ¨ç¨âì ᢥàåã, ¯®áª®«ìªã ç áâ®â ª®«¥¡ ¨© ¢ ⢥म¬ ⥫¥ ¥ ¬®¦¥â ¯à¥¢ëè âì ¥ª®â®àãî ¯à¥¤¥«ìãî ç áâ®âã, ª®â®àãî ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§ ãá«®¢¨ï à ¢¥á⢠¯®«®£® ç¨á« ª®«¥¡ ¨© ¯®«®¬ã ç¨á«ã ª®«¥¡ ⥫ìëå á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë 3N: 3V Z !D d!!2 = V !D3 = 3N (6.28) 22 u3 22 u3 0
â ª çâ® ç áâ®â ¥¡ ï !D à ¢ 4 :
62N 1=3
u=a (6.29) V ®®â¢¥âá⢥®, à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ç áâ®â, ¨«¨ ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© ä®®®¢, ¢ ¬®¤¥«¨ ¥¡ ï ¨¬¥¥â ¢¨¤: ( !2 d! (!) = 9N !D3 ¯à¨ ! !D (6.30) 0 ¯à¨ ! > !D £¤¥ ¬ë ¢ëà §¨«¨ u ç¥à¥§ !D á ¯®¬®éìî (6.29). §ã¬¥¥âáï, á® ¢à¥¬¥ ¥¡ ï ¢ 䨧¨ª¥ ⢥म£® ⥫ ¤®á⨣ãâ ¡®«ì让 ¯à®£à¥áá, ¨ ॠ«ì ï ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© ä®®®¢ ¢ ⢥à¤ëå ⥫ å ᥩç á ¨§¬¥àï¥âáï !D = u
4 ãé¥á⢮¢ ¨¥ â ª®© ¯à¥¤¥«ì®© ç áâ®âë, ¯® áã⨠¤¥« , ¨ ®â«¨ç ¥â § ¤ çã ® áâ â¨á⨪¥ ä®®®¢ ®â áâ â¨á⨪¨ ä®â®®¢, ¤«ï ª®â®àëå ¨ª ª®© ¯à¥¤¥«ì®© ç áâ®âë ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. «¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥ { á¨á⥬ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ { ¢à¥¬¥¨ ¨ª®¢áª®£® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ª ª®© ¬¨¨¬ «ì®© ¤«¨ë ⨯ ¯ à ¬¥âà à¥è¥âª¨ a.
110
¨á. 6-1 «®â®áâì á®áâ®ï¨© ä®®®¢ ¢ ¬¥¤¨. ¯«®è ï ªà¨¢ ï ¯®áâ஥ ¯® १ã«ìâ â ¬ íªá¯¥à¨¬¥â®¢ ¯® ¥ã¯à㣮¬ã à áá¥ï¨î ¥©âà®®¢. âà¨å®¢ ï ªà¨¢ ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬®¤¥«¨ ¥¡ ï ¨ ¯à®¢¥¤¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¯«®é ¤¨ ¯®¤ í⨬¨ ¤¢ã¬ï ªà¨¢ë¬¨ ®¤¨ ª®¢ë. ¥¬¯¥à âãà ¥¡ ï D = 340K .
íªá¯¥à¨¬¥â «ì®, ¯à¨¬¥à, ¢ íªá¯¥à¨¬¥â å ¯® ¥ã¯à㣮¬ã à áá¥ï¨î ¥©âà®®¢. ਠí⮬, ¢ ®¡« á⨠¬ «ëå ç áâ®â ® , ¥áâ¥á⢥®, ¢á¥£¤ ¨¬¥¥â ¤¥¡ ¥¢áªãî § ¢¨á¨¬®áâì !2 , ® ¯à¨ ¯®¢ë襨¨ ç áâ®âë ¬®¦¥â áâ âì ¤®áâ â®ç® á«®¦®© (á¬. ¯à¨¬¥à ¨á.6-1.). ।¥«ì ï ç áâ®â , ª®¥ç®, áãé¥áâ¢ã¥â ¢á¥£¤ , ® (6.29) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥¥ ⮫쪮 ¯® ¯®à浪㠢¥«¨ç¨ë. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ¬®¤¥«ì ¥¡ ï, ¢ ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢, ¤ ¥â ®ç¥ì ¥¯«®å®¥ ®¯¨á ¨¥ ⥯«®¥¬ª®á⨠⢥à¤ëå ⥫. ¥¡ ¥¢áª ï ç áâ®â ¯à¨ í⮬ à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¯®¤£®®çë© ¯ à ¬¥âà { å à ªâ¥à¨á⨪ ¤ ®£® ⢥म£® ⥫ , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ¨í íªá¯¥à¨¬¥â . ¥à¥å®¤ï ᮢ ¢ (6.12) ®â á㬬¨à®¢ ¨ï ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î, ¯®«ã稬 ᢮¡®¤ãî í¥à£¨î ⢥म£® ⥫ ¢ ¢¨¤¥: Z !D 9N (6.31) F = N"0 + T !3 d!!2 ln 1 ; e; hT! D 0 ¢¥¤¥¬ ⥯¥àì ¥é¥ ¤¥¡ ¥¢áªãî ⥬¯¥à âãàã: D = h !D (6.32) ®£¤ : T 3 Z D =T ; F = N"0 + 9NT dzz 2 ln 1 ; e;z (6.33) D
0
£¤¥ ¢¢¥«¨ ¡¥§à §¬¥àãî ¯¥à¥¬¥ãî z = hT! . ⥣à¨àãï ¯® ç áâï¬ ¨ ¢¢®¤ï äãªæ¨î ¥¡ ï: Zx 3 D(x) = x33 dz ezz; 1 (6.34) 0
111
¨á. 6-2 ¥¬¯¥à âãà ï § ¢¨á¨¬®áâì ⥯«®¥¬ª®á⨠¢ ¬®¤¥«¨ ¥¡ ï.
¬®¦® § ¯¨á âì (6.33) ¢ ¢¨¤¥:
F = N"0 + NT 3 ln 1 ; e; TD ; D TD :
®£¤ í¥à£¨ï E = F ; T @F @T ¥áâì: ⥯«®¥¬ª®áâì:
E = N"0 + 3NTD TD
(6.35)
(6.36)
(6.37) C = 3N D TD ; TD D0 TD C ®â T . ¨á.6-2 ¯à¨¢¥¤¥ £à 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠3N D ਠT D à£ã¬¥â äãªæ¨¨ ¥¡ ï ¢¥«¨ª TD 1 ¨ ¬®¦® § ¬¥¨âì ¢¥à娩 ¯à¥¤¥« ¨â¥£à « ¡¥áª®¥ç®áâì, ⮣¤ ¨â¥£à « à ¢¥ 154 , â ª çâ® 4 : D(x) 5x 3
®£¤ ¨§ (6.37) ¯®«ã稬:
C 12N 5
4
T 3 D
(6.38) (6.39)
ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á (6.16). ਠT D à£ã¬¥â äãªæ¨¨ ¥¡ ï ¬ « (x 1), â ª çâ® ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ D(x) 1 ¨ (6.37) ¤ ¥â C = 3N, â.¥. § ª® î«®£ { â¨.
112
¡«¨æ 6.1 ¥¬¯¥à âãàë ¥¡ ï ¥ª®â®àëå ¢¥é¥á⢠(K ). P b Na KBr Ag NaCl Ga Cu Al Mo SiO2 Si LiF 105 158 180 225 280 320 340 430 450 470 645 732
¬¥â¨¬, çâ® ä ªâ¨ç¥áª¨© ¢¨¤ äãªæ¨¨ ¥¡ ï D(x) â ª®¢, çâ® ªà¨â¥à¨¥¬ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠¯à¥¤¥«ìëå ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï ⥯«®¥¬ª®á⨠ï¥âáï ®â®á¨â¥«ì ï ¢¥«¨ç¨ T ¨ D =4 { ⥯«®¥¬ª®áâì ¯à¨¬¥à® ¯®áâ®ï ¯à¨ T D =4 ¨ T 3 ¯à¨ T D =4. ¬¥â «« å, ¢ ®¡« á⨠¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà T D =4 ç¨ ¥â ¯à®ï¢«ïâìáï «¨¥©ë© ¯® T ¢ª« ¤ ¢ ⥯«®¥¬ª®áâì ®â ᢮¡®¤ëå í«¥ªâà®®¢ (5.70), ª®â®àë© ¤®áâ â®ç® ¬ « ¯® ¢¥«¨ç¨¥ ¨ ¡ëáâà® \¬ ᪨àã¥âáï" à¥è¥â®çë¬ ¢ª« ¤®¬ ¯à¨ ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà å. «ï ¥£® ¢ë¤¥«¥¨ï 㤮¡® áâநâì íªá¯¥à¨¬¥â «ìãî § ¢¨á¨¬®áâì ⥯«®¥¬ª®á⨠¬¥â ««®¢ ®â ⥬¯¥à âãàë ¢ ®¡« á⨠¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà ¢ ª®®à¤¨ â å C=T; T 2. ®áª®«ìªã ¢ ¬¥â ««¥ ¯à¨ í⮬ C = T + T 3 , â® CT = + T 2 , ¨ ¯® ¢¥«¨ç¨¥ C=T ¯à¨ T ! 0 «¥£ª® ®¯à¥¤¥«¨âì ª®íää¨æ¨¥â , ª®â®àë©, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¤ ¥â, ᮣ« á®, (5.70) ¢¥«¨ç¨ã ¯«®â®áâ¨ í«¥ªâà®ëå á®áâ®ï¨© ¬¥â «« ã஢¥ ¥à¬¨. ¡«¨æ¥ 6-1 ¯à¨¢¥¤¥ë § 票ï ⥬¯¥à âãàë ¥¡ ï, ©¤¥ë¥ ¨§ ¨§¬¥à¥¨© ⥯«®¥¬ª®á⨠ॠ«ìëå ⢥à¤ëå ⥫.
᫨ ¨áª«îç¨âì àï¤ ®á®¡ëå á«ãç ¥¢, ⨯ «¬ § , ã ª®â®à®£® D 2000K, ⥬¯¥à âãàë ¥¡ ï ¡®«ìè¨á⢠⢥à¤ëå ⥫ «¥¦ â ¢ ¨â¥à¢ «¥ 102 K.
¢ ⮢ ï ¦¨¤ª®áâì. ¯¥ªâà ¡®§¥¢áª®£® ⨯ . ®â«¨ç¨¥ ®â £ §®¢ ¨ ⢥à¤ëå ⥫ ¤«ï ¦¨¤ª®á⥩ ¢ëç¨á«¥¨¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥¢®§¬®¦® ¢¢¨¤ã ᨫ쮣® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨ ¨ ¬®«¥ªã« ¬¨ ¨ ®âáãâáâ¢¨ï ¬ «®á⨠ª®«¥¡ ¨©, å à ªâ¥à®© ¤«ï ⢥à¤ëå ⥫. ¤ ª®, ®¡é¥¥ ⥮à¥â¨ç¥áª®¥ à áᬮâ२¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¢®§¬®¦ë¬ ¤«ï â ª §ë¢ ¥¬ëå ª¢ ⮢ëå ¦¨¤ª®á⥩, 室ïé¨åáï ¢¡«¨§¨ ¢¡«¨§¨ ¡á®«î⮣® ã«ï ⥬¯¥à âãàë, ª®£¤ á¨á⥬ 室¨âáï ¢¡«¨§¨ ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï. ªâ¨ç¥áª¨ ¢ ¯à¨à®¤¥ áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ®¤ ॠ«ì ï ¦¨¤ª®áâì, ª®â®à ï ¥ ªà¨áâ ««¨§ã¥âáï ¢¯«®âì ¤® ¡á®«î⮣® ã«ï { íâ® £¥«¨©. ¦¥©è¨¬ ¯à¨¬¥à®¬ ª¢ ⮢®© ¦¨¤ª®á⨠ïîâáï í«¥ªâà®ë ¯à®¢®¤¨¬®á⨠¢ ¬¥â «« å. ãé¥áâ¢ã¥â ¥é¥ àï¤ ¯à¨¬¥à®¢ ¡®«¥¥ íª§®â¨ç¥áª®£® å à ªâ¥à , ¯à¨¬¥à 㪫®ë ¢ ⮬®¬ ï¤à¥, ¢¥é¥á⢮ ¢ ¥©âà®ëå §¢¥§¤ å ¨ â.¯. ®£¨¥ ᢮©á⢠íâ¨å á¨á⥬ ®ç¥ì ¥®¡ëçë, ¢ ¨å, ¯à¨¬¥à, ¡«î¤ îâáï â ª¨¥ § ¬¥ç ⥫ìë¥ ï¢«¥¨ï ª ª ᢥàå⥪ãç¥áâì ¨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâì. 楫®¬, ⥮à¨ï ª¢ ⮢ëå ¦¨¤ª®á⥩ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯à¨æ¨¯¨ «ìë© ¨â¥à¥á ¨ ï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ æ¥âà «ìëå à §¤¥«®¢ ᮢ६¥®© ⥮ਨ á¨á⥬ ¬®£¨å ç áâ¨æ. ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¢ëç¨á«¥¨¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ âॡã¥â § ¨ï ᯥªâà ã஢¥© í¥à£¨¨ ¤ ®£® ⥫ . á«ãç ¥ á¨á⥬ á¨«ì® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ, â ª¨å ª ª ª¢ â®¢ë¥ ¦¨¤ª®áâ¨, à¥çì ¬®¦¥â ¨¤â¨ ⮫쪮 ®¡ ã஢ïå, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢á¥© ¦¨¤ª®á⨠¢ 楫®¬, ®âî¤ì ¥ á®áâ ¢«ïîé¨å ¥¥ ®â¤¥«ìëå
113
⮬®¢. ਠ¢ëç¨á«¥¨¨ áâ âáã¬¬ë ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ¤®áâ â®ç® ãç¥áâì «¨èì ã஢¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á« ¡ë¬ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï¬ á¨áâ¥¬ë ¤ ¥¥ ®á®¢ë¬ á®áâ®ï¨¥¬, çâ® áãé¥á⢥® ã¯à®é ¥â ⥮à¥â¨ç¥áª®¥ à áᬮâ२¥. ᮢ ï ¨¤¥ï ¤ ã á®á⮨⠢ ⮬, çâ® á« ¡® ¢®§¡ã¦¤¥ë¥ á®áâ®ï¨ï ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ⥫ (¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¦¨¤ª®áâ¨) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ᮢ®ªã¯®áâì ®â¤¥«ìëå í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨© { ª¢ §¨ç áâ¨æ, ®¡« ¤ îé¨å ®¯à¥¤¥«¥®© í¥à£¨¥© (ᯥªâ஬ ¢®§¡ã¦¤¥¨©). ¯à®áâà á⢥® ®¤®à®¤®© á¨á⥬¥ (¦¨¤ª®áâì) ª¢ â®¢ë¬ ç¨á«®¬, å à ªâ¥à¨§ãî騬 í⨠¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¥áâ¥á⢥® ¬®¦® áç¨â âì ¨¬¯ã«ìá (¢ ªà¨áâ ««¥ { ª¢ §¨¨¬¯ã«ìá). ®ª ª¢ §¨ç áâ¨æ ¬ «® (¨§ª¨¥ ⥬¯¥à âãàë) ª¢ §¨ç áâ¨æë ¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¨ ¨å ¬®¦® à áᬠâਢ âì, ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨, ª ª ¨¤¥ «ìë© £ §5 . ¤¨ ¨§ ¢®§¬®¦ëå ⨯®¢ í¥à£¥â¨ç¥áª®£® ᯥªâà á« ¡® ¢®§¡ã¦¤¥ëå á®áâ®ï¨© ª¢ ⮢®© ¦¨¤ª®á⨠- ᯥªâà ¡®§¥¢áª®£® ⨯ , ª®£¤ í«¥¬¥â àë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¬®£ãâ ¯®ï¢«ïâìáï ¨ ¨á祧 âì ¯®®¤¨®çª¥. ®¬¥â ¨¬¯ã«ìá «î¡®© ª¢ ⮢®© á¨á⥬ë (¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¦¨¤ª®áâ¨) ¬®¦¥â ¨§¬¥ïâìáï «¨èì 楫®¥ ç¨á«®. ®í⮬㠢®§¨ª î騥 ¯®®¤¨®çª¥ í«¥¬¥â àë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¤®«¦ë ®¡« ¤ âì 楫®ç¨á«¥ë¬ ¬®¬¥â®¬ ¨ ¯®¤ç¨ïâìáï áâ â¨á⨪¥ ®§¥. ¨¤ª®áâì, á®áâ®ïé ï ¨§ ç áâ¨æ, ¯®¤ç¨ïîé¨åáï áâ â¨á⨪¥ ®§¥, ¤®«¦ ®¡« ¤ âì ᯥªâ஬ ¨¬¥® â ª®£® ⨯ . ਬ¥à ¡®§¥-¦¨¤ª®á⨠{ ¦¨¤ª¨© He4 (® ¥ He3 , ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâìî). ¦¥©è¥© å à ªâ¥à¨á⨪®© ª¢ §¨ç áâ¨æ ï¥âáï ¨å § ª® ¤¨á¯¥àᨨ (ᯥªâà) { § ¢¨á¨¬®áâì ¨å í¥à£¨¨ ®â ¨¬¯ã«ìá . ¡®§¥-¦¨¤ª®áâ¨ í«¥¬¥â àë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï á ¬ «ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ p (¡®«ì訬¨ ¤«¨ ¬¨ ¢®« h=p) ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ®¡ëçë¬ §¢ãª®¢ë¬ ¢®« ¬ ¢ ¦¨¤ª®á⨠¨ ¨å ᯥªâà: "(p) = up
(6.40)
£¤¥ u { ᪮à®áâì §¢ãª ¢ ¦¨¤ª®áâ¨. ª¨¥ í«¥¬¥â àë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï (ª¢ §¨ç áâ¨æë) §ë¢ îâáï ä®® ¬¨. ¨¥ ᯥªâà "(p) ¯à¨ ¬ «ëå p ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«¨âì â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ¦¨¤ª®á⨠¤«ï áâ®«ì ¨§ª¨å T , ª®£¤ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢á¥ í«¥¬¥â àë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ïîâáï ä®® ¬¨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ä®à¬ã«ë ¬®¦® ¢ë¯¨á âì áà §ã, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯®«ãç¥ë¬¨ ¢ëè¥ ¢ëà ¦¥¨ï¬¨ ¤«ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ⢥म£® ⥫ ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å. §¨æ «¨èì ¢ ⮬, çâ® ¢¬¥áâ® âà¥å ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®«ïਧ 権 §¢ãª ¢ ⢥म¬ ⥫¥ (¤¢ãå ¯®¯¥à¥çëå ¨ ®¤®© ¯à®¤®«ì®©), ¢ ¦¨¤ª®á⨠¢®§¬®¦® ⮫쪮 ®¤ (¯à®¤®«ì ï), â ª çâ® ¢á¥ ¢ëà ¦¥¨ï 㦮 à §¤¥«¨âì 3. ¯à¨¬¥à, ¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¦¨¤ª®á⨠¨§ (6.13) ¨¬¥¥¬: 2 T 4 F = F0 ; V 90( (6.41) hu)3
£¤¥ F0 { ᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ T = 0. ¥à£¨ï ¦¨¤ª®áâ¨: 2 T 4 E = E0 + V 30( hu)3
(6.42)
5 ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¨¤¥ï ¢¢¥¤¥¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ¡á®«îâ® ¥âਢ¨ «ì . ª®ç ⥫쮥 ⥮à¥â¨ç¥áª®¥ ®ä®à¬«¥¨¥ ® ¯®«ã稫 ¢ à ¬ª å ᮢ६¥®© ⥮ਨ á¨á⥬ ¬®£¨å ç áâ¨æ, ®á®¢ ®© ¬¥â®¤¥ äãªæ¨© ਠ(á¬. ¨¦¥ «.11). ®«ìª® ¢ à ¬ª å â ª®£® ¯®¤å®¤ ¬®¦® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ªà¨â¥à¨¨ áãé¥á⢮¢ ¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ⮩ ¨«¨ ¨®© á¨á⥬¥. ãé¥áâ¢ãîâ á¨âã 樨 (á¨«ì® ª®à५¨à®¢ ë¥ á¨á⥬ë), ª®£¤ ª¢ §¨ç áâ¨æë ¢¢¥á⨠¥«ì§ï ¨ âॡã¥âáï áãé¥á⢥® ¡®«¥¥ á«®¦®¥ ®¯¨á ¨¥.
114
¨á. 6-3 ¯¥ªâà í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¦¨¤ª®£® ¥ã¯à㣮¬ã à áá¥ï¨î ¥©âà®®¢.
⥯«®¥¬ª®áâì:
22T 3 T 3 C = V 15( hu)3
He4 . ®çª¨ | íªá¯¥à¨¬¥â ¯®
(6.43)
® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥¨ï ¨¬¯ã«ìá ª¢ §¨ç áâ¨æë § ¢¨á¨¬®áâì "(p), ª®¥ç®, ®âª«®ï¥âáï ®â «¨¥©®©, ¤ «ì¥©è¨© ¥¥ 室 § ¢¨á¨â ®â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç áâ¨æ ¦¨¤ª®á⨠¨ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. ਠ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å äãªæ¨ï "(p) ¢®®¡é¥ ¥ ¤®«¦ áãé¥á⢮¢ âì, ¯®áª®«ìªã í«¥¬¥â àë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï á ¡®«ì訬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¥ãáâ®©ç¨¢ë ®â®á¨â¥«ì® à ᯠ¤ ¥áª®«ìª® ¢®§¡ã¦¤¥¨© á ¬¥ì訬 ¨¬¯ã«ìᮬ. áå®¤ï ¨§ «¨§ íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ ëå ¯® ¦¨¤ª®¬ã He4 ¤ ã ¯®áâ㫨஢ « ¢¨¤ ᯥªâà í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¢ í⮩ á¨á⥬¥, ¯®ª § ë© ¨á.6-3. í⮬ ᯥªâॠ¨¬¥¥âáï å à ªâ¥àë© ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨ p = p0, ¢¡«¨§¨ ª®â®à®£® äãªæ¨ï "(p) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥: "(p) = + (p ;2~p0 )
2
(6.44)
¢ §¨ç áâ¨æë ¢ í⮩ ç á⨠ᯥªâà §ë¢ îâáï à®â® ¬¨6. áâ®ï饥 ¢à¥¬ï íâ®â ᯥªâà ¯®¤â¢¥à¦¤¥ ¯àï¬ë¬¨ íªá¯¥à¨¬¥â ¬¨ ¯® ¥ã¯à㣮¬ã à áá¥ï¨î ¥©âà®®¢. ¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ § ç¥¨ï ª®áâ â à®â®®¬ ãç á⪥: = 8:5K; ph0 = 1:9 108cm;1 ; ~ = 0:16mHe (6.45) ¬¥â¨¬, çâ® p0 ha;1 , £¤¥ a { á।¥¥ ¬¥¦ ⮬®¥ à ááâ®ï¨¥ ¢ ¦¨¤ª®áâ¨. 6 â® §¢ ¨¥ ¨¬¥¥â ç¨áâ® ¨áâ®à¨ç¥áª®¥ ¯à®¨á宦¤¥¨¥. à ¨å à ¡®â å ¤ ã ¯®áâ㫨஢ « áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¤¢ãå ®â¤¥«ìëå ⨯®¢ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ He4 { ä®®®¢ ¨ à®â®®¢, â.¥. áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¤¢ãå ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥â¢¥© ᯥªâà . ¯®á«¥¤á⢨¨ ¢ëïᨫ®áì, çâ® ¨¬¥¥âáï ¥¤¨ë© ᯥªâà, ¢ ª®â®à®¬ ¬®¦® ¢ë¤¥«¨âì ä®®ë© ¨ à®â®ë© ãç á⪨. ®¯à¥ª¨ ç «ì®¬ã ¬¥¨î ¤ ã ®ª § «®áì, â ª¦¥, çâ® ¯à¨à®¤ â ª®£® ᯥªâà â¥á® á¢ï§ ¢ ¥¨¥¬ ¡®§¥-ª®¤¥á 樨.
115
®áª®«ìªã í¥à£¨ï à®â® ᮤ¥à¦¨â \饫ì" , â® ¢ ®¡« á⨠⥬¯¥à âãà T < , â.¥. ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å ¤®áâ â®ç® ¨§ª¨å, çâ®¡ë ¬®¦® ¡ë«® £®¢®à¨âì ® à §à¥¦¥®¬ à®â®®¬ £ §¥, ¯®á«¥¤¨© ¬®¦® ®¯¨áë¢ âì ¢¬¥áâ® áâ â¨á⨪¨ ®§¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ®«ìæ¬ . ®®â¢¥âá⢥® ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï \à®â®®©" ç á⨠â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ He4 ¬®¦® ¨á室¨âì ¨§ (3.41), ¯®¤áâ ¢¨¢ ¢ ª®â®à®¥ ᯥªâà ª¢ §¨ç áâ¨æ "(p), ¥ § ¢¨áï騩 ®â ª®®à¤¨ â, ¥¬¥¤«¥® ¯¨è¥¬: Z d3p "(p) ; T F = ;NT ln eV (6.46) N (2h)3 e ¨á«® ç áâ¨æ N ¢ £ §¥ à®â®®¢ ¥ § ¤ ®, á ¬® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ ¬¨¨¬ã¬ @F = = 0 室¨¬ ¤«ï ç¨á« à®â®®¢: F. § @N V Z d3pe; "(Tp) (6.47) Nr = (2 h)3 £¤¥ ¯à®áâ® á⮨â à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ á = 0. ®¤áâ ¢«ïï N = Nr ¨§ (6.47) ¢ (6.46), ¯®«ã稬: V T Z d3pe; "(Tp) Fr = ;Nr T ln e = ;TNr = ; (2 (6.48) h)3 ®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥯¥àì ¢ (6.47) ¨ (6.48) ï¢ë¬ ¢¨¤®¬ à®â®®£® ᯥªâà (6.44). §-§ p20 ~T ¬®¦® ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¢ë¥á⨠p2 p20 § § ª ¨â¥£à « , ¨â¥£à « ¢§ïâì ¢ ¡¥áª®¥çëå ¯à¥¤¥« å. ®£¤ : 1=2 2 Nr = 2(~T)3=2p03V e; T ; Fr = ;T Nr (6.49) (2) h ®®â¢¥âá⢥®, ¢ª« ¤ à®â®®¢ ¢ íâய¨î ¨ ⥯«®¥¬ª®áâì:
" 3 2# 3 Sr = Nr 2 + T CR = Nr 4 + T + T
(6.50)
â ª ç⮠⥬¯¥à âãà ï § ¢¨á¨¬®áâì íªá¯®¥æ¨ «ì ¨ ¯à¨ T < í⨠¢ª« ¤ë ¬ «ë ¯® áà ¢¥¨î á ©¤¥ë¬¨ ¢ëè¥ ä®®ë¬¨ ¢ª« ¤ ¬¨. ਠT > à®â®ë¥ ¢ª« ¤ë ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ¬®£ã⠯ॢ§®©â¨ ä®®ë¥, çâ® ¨ ¯à®¨á室¨â ¯à¨ ¯®¢ë襨¨ ⥬¯¥à âãàë.
¢¥àå⥪ãç¥áâì. ¨¤ª¨© £¥«¨© ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å ¨¦¥ â ª §ë¢ ¥¬®© -â®çª¨ T = 2:18K ®¡« ¤ ¥â § ¬¥ç ⥫ìë¬ á¢®©á⢮¬ ᢥàå⥪ãç¥á⨠{ ᢮©á⢮¬ â¥çì ¯® 㧪¨¬ âà㡪 ¬ ¨ é¥«ï¬ ¥ ®¡ à㦨¢ ï ¢ï§ª®áâ¨. ⮠¥¨¥ ¡ë«® íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ®âªàëâ® ¯¨æ¥© ¢ 1938 £®¤ã, ⥮à¨ï í⮣® ¥¨ï ¡ë« ¯®áâ஥ ç¥à¥§ ¥áª®«ìª® «¥â ¤ ã. áᬮâਬ á ç « á¨âã æ¨î ¯à¨ T = 0. ãáâì ¦¨¤ª®áâì â¥ç¥â ¯® âà㡪¥ á ¯®áâ®ï®© ᪮à®áâìî v. «¨ç¨¥ ¢ï§ª®á⨠¯à®ï¢¨«®áì ¡ë ¢ ⮬, çâ® ¡« £®¤ àï
116
âà¥¨î ® á⥪¨ âà㡪¨ ¨ âà¥¨î ¢ãâà¨ á ¬®© ¦¨¤ª®á⨠¯à®¨á室¨«¨ ¡ë ¯à®æ¥ááë ¤¨áᨯ 樨 ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨ â¥ç¥¨ï ¨ ¯®á⥯¥®¥ § ¬¥¤«¥¨¥ ¯®â®ª . ¤®¡® à áᬮâà¥âì â¥ç¥¨¥ ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¤¢¨¦ã饩áï ¢¬¥áâ¥ á ¦¨¤ª®áâìî. í⮩ á¨á⥬¥ ¦¨¤ª¨© £¥«¨© ¯®ª®¨âáï, á⥪¨ âà㡪¨ ¤¢¨¦ãâáï ᮠ᪮à®áâìî (;v). ਠ«¨ç¨¨ ¢ï§ª®á⨠¯®ª®ï騩áï £¥«¨© ¤®«¦¥ ¡ë« ¡ë ç âì ¤¢¨£ âìáï. ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï ïá®, çâ® ¯®ï¢«¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¤®«¦® ç âìáï á ¯®á⥯¥®£® ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¢ãâà¥¨å ¤¢¨¦¥¨©, â.¥. á ¯®ï¢«¥¨ï ¢ ¦¨¤ª®áâ¨ í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨© (ª¢ §¨ç áâ¨æ). ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯®ï¢¨«®áì ®¤® ¥¤¨á⢥®¥ í«¥¬¥â ஥ ¢®§¡ã¦¤¥¨¥ á ¨¬¯ã«ìᮬ p ¨ í¥à£¨¥© "(p). ®£¤ í¥à£¨ï ¦¨¤ª®á⨠E0 ᤥ« ¥âáï à ¢®© í¥à£¨¨ í⮣® ¢®§¡ã¦¤¥¨ï "(p), ¨¬¯ã«ìá P0 { ¨¬¯ã«ìáã p. ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ®¡à â® ¢ « ¡®à â®àãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© âà㡪 ¯®ª®¨âáï. ®£« á® ¨§¢¥áâë¬ ¨§ ¬¥å ¨ª¨ [13] ä®à¬ã« ¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï í¥à£¨¨ ¨ ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå «¨«¥ï ¨¬¥¥¬ ¤«ï í¥à£¨¨ E ¨ ¨¬¯ã«ìá P ¦¨¤ª®á⨠¢ « ¡®à â®à®© á¨á⥬¥: 2 P = P0 + M v E = E0 + P0v + Mv2 (6.51) £¤¥ M { ¬ áá ¤¢¨¦ã饩áï ¦¨¤ª®áâ¨. ®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® E0 ¨ P0 ¢¥«¨ç¨ë "(p) ¨ p, § ¯¨è¥¬: 2 E = "(p) + pv + Mv (6.52) 2 ® §¤¥áì ç«¥ 1=2Mv2 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®áâ® ¯¥à¢® ç «ìãî ª¨¥â¨ç¥áªãî í¥à£¨î ⥪ã饩 ¦¨¤ª®áâ¨, "(p) + pv ⮣¤ ¥áâì ¨§¬¥¥¨¥ í¥à£¨¨ ¦¨¤ª®á⨠¡« £®¤ àï ¯®ï¢«¥¨î ¢ ¥© ®¤®£® í«¥¬¥â ண® ¢®§¡ã¦¤¥¨ï. â® ¨§¬¥¥¨¥ ¤®«¦® ¡ëâì ®âà¨æ ⥫ìë¬, ¯®áª®«ìªã í¥à£¨ï ¤¢¨¦ã饩áï ¦¨¤ª®á⨠¤®«¦ 㬥ìè âìáï: "(p) + pv < 0: (6.53) ਠ§ ¤ ®¬ p ¢¥«¨ç¨ , áâ®ïé ï ¢ «¥¢®© ç á⨠¥à ¢¥á⢠, ¨¬¥¥â ¨¬¥ì襥 § 票¥ ¯à¨ ⨯ à ««¥«ìëå p ¨ v, ¯®í⮬㠢 «î¡®¬ á«ãç ¥ ¤®«¦® ¡ëâì "(p) ; pv < 0, â ª çâ®: v > "(p) (6.54) p â® ¥à ¢¥á⢮ ¤®«¦® ¢ë¯®«ïâìáï å®âï ¡ë ¤«ï ¥ª®â®àëå § 票© ¨¬¯ã«ìá p í«¥¬¥â ண® ¢®§¡ã¦¤¥¨ï. ®í⮬㠮ª®ç ⥫쮥 ãá«®¢¨¥ ¢®§¬®¦®á⨠¯®ï¢«¥¨ï ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¢ ¤¢¨¦ã饩áï ¦¨¤ª®á⨠¯®«ã稬, ©¤ï ¬¨¨¬ã¬ ¢¥«¨ç¨ë "(p)=p: (6.55) vc = Min "(p) p
¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¢¥«¨ç¨ "(p)=p ¥áâì â £¥á 㣫 ª«® ¯àאַ©, ¯à®¢¥¤¥®© ¨§ ç « ª®®à¤¨ â ¢ ¯«®áª®á⨠"; p ¢ ¥ª®â®àãî â®çªã ªà¨¢®© " = "(p).
£® ¬¨¨¬ã¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â®çª®©, £¤¥ íâ ¯àï¬ ï ª á â¥«ì ª "(p).
᫨ íâ®â ¬¨¨¬ã¬ ®â«¨ç¥ ®â ã«ï, â® ¯à¨ ᪮à®áâïå ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¥ ¯à¥¢ëè îé¨å vc , ®¯à¥¤¥«¥®© ¢ (6.55), ¢ ¦¨¤ª®á⨠¥ ᬮ£ãâ ¯®ï¢¨âìáï í«¥¬¥â àë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï, â.¥. â¥ç¥¨¥ ¡ã¤¥â ¯à®¨á室¨âì ¡¥§ ¤¨áᨯ 樨 (â२ï). â® ¨ ¥áâì ᢥàå⥪ãç¥áâì, ãá«®¢¨¥ (6.55) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ªà¨â¥à¨© ᢥàå⥪ãç¥á⨠¤ ã. ¥«¨ç¨ vc §ë¢ ¥âáï ªà¨â¨ç¥áª®© ᪮à®áâìî, ¥¥ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥â¥.
117
¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à¥¤«®¦¥ë© ¤ ã ᯥªâà í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨© He4 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªà¨â¥à¨î ᢥàå⥪ãç¥áâ¨. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, í⮬㠪à¨â¥à¨î ¬®£ ¡ë 㤮¢«¥â¢®à¨âì ᯥªâà á® \饫ìî" ¯à¨ p = 0. ⮦¥ ¢à¥¬ï ᯥªâà ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ "(p) = p2 =2m í⮬㠪à¨â¥à¨î á ®ç¥¢¨¤®áâìî ¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â. ® áãé¥áâ¢ã ¤¥«® ᢮¤¨âáï ª âॡ®¢ ¨î, çâ®¡ë ªà¨¢ ï "(p) ¥ ª á « áì ®á¨ ¡áæ¨áá ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. ®í⮬㠪 ᢥàå⥪ãç¥á⨠¯à¨¢¥¤¥â ¯® áãé¥áâ¢ã «î¡®© ᯥªâà, ¢ ª®â®à®¬ ¤«¨®¢®«®¢ë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ïîâáï ä®® ¬¨ (¨«¨ ¨¬¥¥âáï é¥«ì ¯à¨ p = 0). ਠT > 0 ¦¨¤ª®áâì ¥ 室¨âáï ¢ ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨ ¨ ¢ ¥© ¨¬¥¥âáï ¥ª®â®à®¥ ç¨á«® í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨©. ஢¥¤¥ë¥ ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ à áá㦤¥¨ï, á ¬¨ ¯® ᥡ¥, ®áâ îâáï ¢ ᨫ¥, ¯®áª®«ìªã ¢ ¨å ¥ ¡ë«® ¨á¯®«ì§®¢ ® â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, çâ® ¦¨¤ª®áâì ¯¥à¢® ç «ì® å®¤¨âáï ¢ ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨. ¢¨¦¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠®â®á¨â¥«ì® á⥮ª âà㡪¨ ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ 㪠§ ëå ãá«®¢¨© ¯® ¯à¥¦¥¬ã ¥ ᬮ¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¯®ï¢«¥¨î ¢ ¥© ®¢ëå ¢®§¡ã¦¤¥¨©. ¥®¡å®¤¨¬®, ®¤ ª®, ¢ëïá¨âì, ª ª¨¬ ®¡à §®¬ ¡ã¤¥â ¯à®ï¢«ïâìáï «¨ç¨¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨©, 㦥 áãé¥áâ¢ãîé¨å ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà å. ।áâ ¢¨¬ ᥡ¥, çâ® £ § ª¢ §¨ç áâ¨æ ¤¢¨¦¥âáï ª ª 楫®¥ ®â®á¨â¥«ì® ¦¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî v. ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¤«ï ¤¢¨¦ã饣®áï ª ª 楫®¥ £ § ¯®«ãç ¥âáï ¨§ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï n(") ¥¯®¤¢¨¦®£® £ § ¯ã⥬ § ¬¥ë " ! " ; pv, £¤¥ p { ¨¬¯ã«ìá ª¢ §¨ç áâ¨æë7. ®í⮬㠯®«ë© ¨¬¯ã«ìá £ § , ®â¥á¥ë© ª ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ , à ¢¥: Z d3 p P = (2 (6.56) h)3 pn(" ; pv)
ãáâì ᪮à®áâì v ¬ « , à §«®¦¨¬ ⮣¤ ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯® á⥯¥ï¬ pv = pv cos . «¥ à §«®¦¥¨ï ã«¥¢®£® ¯®à浪 ¨á祧 ¥â ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯® ¯à ¢«¥¨ï¬ ¢¥ªâ®à p (㣫ã ), ¨ ®áâ ¥âáï: Z d3p P = ; (2h)3 p(pv) dn(") (6.57) d" : ⥣à¨àãï ¨ §¤¥áì ¯® ¯à ¢«¥¨ï¬ ¢¥ªâ®à p, ¯®«ãç ¥¬: Z P = ;v 43 (21h)3 dpp4 dn(") d" : ®¤áâ ¢«ïï áî¤ á¯¥ªâà ä®®®¢ " = up ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯® ç áâï¬, ¨¬¥¥¬: Z1 16 1 Z 1 dpp3n(p): P = ;v (21h)3 dpp4 dn(p) = v dp 3u (2h)3 0 0 ® ¨â¥£à « 1 Z 1 dp4p2upn(p) = Z d3p "n(") (2h)3 (2h)3 0
7
(6.58)
(6.59) (6.60)
á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì £ § ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¤¢¨¦¥âáï ®â®á¨â¥«ì® ¦¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî
v. áᬮâਬ á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© £ § ª ª 楫®¥ ¯®ª®¨âáï, ¦¨¤ª®áâì ¤¢¨¦¥âáï ᮠ᪮à®áâìî ;v . ®£¤ í¥à£¨ï ¦¨¤ª®á⨠E ¢ í⮩ á¨á⥬¥ á¢ï§ á í¥à£¨¥© E0 ¢ á¨á⥬¥, £¤¥ ¦¨¤ª®áâì ¯®ª®¨âáï á®®â®è¥¨¥¬: E = E0 ; P0 v + Mv2 2 . ãáâì ¢ á¨á⥬¥ ¯®ª®ï ¦¨¤ª®á⨠¯®ï¢«ï¥âáï ¢®§¡ã¦¤¥¨¥ á í¥à£¨¥© "(p). ®£¤ ¤®¯®«¨â¥«ì ï í¥à£¨ï ¢ á¨á⥬¥ ¯®ª®ï £ § ¡ã¤¥â " ; pv, çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â è¥ ã⢥ত¥¨¥.
118
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© í¥à£¨î Eph ¥¤¨¨æë ®¡ê¥¬ ä®®®£® £ § , â ª çâ®: ph (6.61) P = v 4E 3u2 ®íää¨æ¨¥â ¯¥à¥¤ v §¤¥áì ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬ áᮢãî ¯«®â®áâì ¦¨¤ª®áâ¨, ¯¥à¥®á¨¬ãî ¯®â®ª®¬ £ § ª¢ §¨ç áâ¨æ. ¨çâ® ¥ ¬¥è ¥â 訬 ª¢ §¨ç áâ¨æ ¬ ¯à¨ í⮬ ¤¢¨¦¥¨¨ áâ «ª¨¢ âìáï á® á⥪ ¬¨ âà㡪¨ ¨ ®¡¬¥¨¢ âìáï á ¨¬¨ ¨¬¯ã«ìᮬ, ª ª íâ® ¯à®¨á室¨â ¢ ¯®â®ª¥ ®¡ë箣® £ § . ®ïâ®, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ç áâì ¬ ááë ¦¨¤ª®á⨠¢¥¤¥â á¥¡ï ª ª ®à¬ «ì ï ¦¨¤ª®áâì. ® íâ® ¥ ¢áï ¬ áá ¦¨¤ª®áâ¨, ®áâ «ì ï ¢¥¤¥â á¥¡ï ª ª ᢥàå⥪ãç ï ¦¨¤ª®áâì! á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ (6.61) ¢ëà ¦¥¨¥ (6.42) ¤«ï í¥à£¨¨ ä®®®£® £ § , ¯®«ã稬 ¤«ï ä®®®© ç á⨠®à¬ «ì®© ¯«®â®á⨠n : 2 4 (n )ph = 2 3T 5 ; (6.62) 45h u çâ® ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨ T ! 0, ª®£¤ ¢áï ¬ áá ¦¨¤ª®á⨠áâ ®¢¨âáï ᢥàå⥪ã祩. ®í⮬㠣®¢®àïâ, çâ® ¯®« ï ¯«®â®áâì He4 ¯à¨ T > 0 á®á⮨⠨§ ®à¬ «ì®© ¨ ᢥàå⥪ã祩 ª®¬¯®¥â: = n + s , ¯à¨ç¥¬ íâ® ª®¥ç® ¥ ®§ ç ¥â ¢®§¬®¦®á⨠ॠ«ì®£® à §¤¥«¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¤¢¥ ç áâ¨. ¥áì¬ áãé¥á⢥®, çâ® ¬¥¦¤ã í⨬¨ ç áâﬨ ¬ ááë ¦¨¤ª®á⨠¥ ¯à®¨á室¨â ¨ ¯¥à¥¤ ç¨ ¨¬¯ã«ìá (¥â â२ï!): ¬ë ¯®«ã稫¨ íâã ª àâ¨ã ¨§ à áᬮâ२ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï ¢ à ¢®¬¥à® ¤¢¨¦ã饬áï £ §¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨©. ® ¥á«¨ ª ª®¥-«¨¡® ¤¢¨¦¥¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ á®áâ®ï¨¨ ⥯«®¢®£® à ¢®¢¥á¨ï, â® ®® ¥ ᮯ஢®¦¤ ¥âáï â२¥¬. ëè¥ è«¨ ä®®ë© ¢ª« ¤ ¢ n , ¤«ï 宦¤¥¨ï à®â®®© ç á⨠§ ¬¥â¨¬, n çâ® ¯®áª®«ìªã à®â®ë ¬®¦® ®¯¨áë¢ âì ¡®«ìæ¬ ®¢áª®© áâ â¨á⨪®©, â® @n @" = ; T ¨ ¨§ (6.58) ¨¬¥¥¬: Z Z d3p 4 1 4 (n )r = 3T (2h)3 dpp n(p) = 3T (2h)3 p2 n(p) p20 Nr = 2~1=2p40 e; T 3T (6.63) V 3(2)3=2T 1=2 h3 £¤¥ p0 { ¨¬¯ã«ìá, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 à®â®®¬ã ¬¨¨¬ã¬ã. ਠãç¥â¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯ à ¬¥â஢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ॠ«ìë© á¯¥ªâà ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¢ He4 ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® à®â® ï ç áâì n áà ¢¨¢ ¥âáï á ä®®®© ¯à¨ T 0:6K, ¯à¨ ¡®«ìè¨å ⥬¯¥à âãà å ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¥®¡« ¤ î饩. ® ¬¥à¥ ¯®¢ë襨ï T ¢á¥ ¡®«ìè ï ç áâì ¬ ááë ¦¨¤ª®á⨠áâ ®¢¨âáï ®à¬ «ì®© ¨ n ! (£¤¥ ¯®« ï ¯«®â®áâì He4 ) ¯à¨ T ! T ᨧã. «®â®áâì ᢥàå⥪ã祩 ª®¬¯®¥âë s ! 0 ¯à¨ T ! T ¨ s = 0 ¯à¨ T > T . ¥«¨ç¨ n ¢¡«¨§¨ -â®çª¨ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥ â®ç®, ® ¥¯«®å ï ®æ¥ª T ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï (n )r . ᯮ«ì§®¢ ¨¥ §¤¥áì ¢ëà ¦¥¨ï (6.63) ¤ ¥â T 2:8K ¢ ¥¯«®å®¬ ᮣ« ᨨ á íªá¯¥à¨¬¥â®¬. ¥à¥å®¤ He4 ¢ ᢥàå⥪ã祥 á®áâ®ï¨¥ ï¥âáï ä §®¢ë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ II-த . ª®© ¯¥à¥å®¤ ¢á¥£¤ á¢ï§ á ¯®ï¢«¥¨¥¬ (¨á祧®¢¥¨¥¬) ª ª®£®-«¨¡® ª ç¥á⢥®£® ᢮©á⢠(¤ «ì¥£® ¯®à浪 !). á«ãç ¥ -¯¥à¥å®¤ ¢ He4 íâ®, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, ¯®ï¢«¥¨¥ (¨á祧®¢¥¨¥) ᢥàå⥪ã祩 ª®¬¯®¥âë ¦¨¤ª®áâ¨. ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï à¥çì ¨¤¥â ®¡ ®¯à¥¤¥«¥ëå ᢮©áâ¢ å ®¤®ç áâ¨ç®© ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠á¨á⥬ë: Z (r; r0) = dq ? (r; q) (r0; q) (6.64)
119
£¤¥ (r; q) { ¢®«®¢ ï äãªæ¨ï ¢á¥© á¨á⥬ë, ¯à¨ç¥¬ r { ª®®à¤¨ âë ®¤®© ç áâ¨æë, q { ᮢ®ªã¯®áâì ª®®à¤¨ â ¢á¥å ®áâ «ìëå ç áâ¨æ, ¯® ª®â®àë¬ ¯à®¨â¥£à¨à®¢ ®. «ï ¨§®âய®£® ⥫ (¦¨¤ª®áâ¨) íâ ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â jr ; r0j. ®à¬ «ì®¬ (¥ ᢥàå⥪ã祬) á®áâ®ï¨¨ (r; r0) ! 0 ¯à¨ jr ; r0 j ! 1. â® ¥ â ª ¢ ᢥàå⥪ã祩 ä §¥. áᬮâਬ ª®¬¯®¥âë ãàì¥ ¬ âà¨æë ¯«®â®áâ¨:
Z
d3(r ; r0)eik(r;r0 ) (r; r0);
(6.65)
ª®â®àë¥ á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ï®£® ¬®¦¨â¥«ï ᮢ¯ ¤ îâ á:
Z
Z 2 i kr dq dV e (r; q)
(6.66)
â.¥. ®¯à¥¤¥«ïîâ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ à §«¨çëå § 票© ¨¬¯ã«ìá ç áâ¨æë p = hk.
᫨ (r; r0) ! 0 ¯à¨ jr ; r0 j ! 1, â® ¯«®â®áâì ¢¥à®ïâ®á⨠¢ p-¯à®áâà á⢥ ¯à¨ p ! 0 ®áâ ¥âáï ª®¥ç®©.
᫨ ¦¥ (r; r0) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠ª®¥ç®¥ § 票¥ 1 > 0, â® ¨â¥£à « (6.65) à ¢¥ (2)3 (k). ⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®¥ç®© ¢¥à®ïâ®á⨠ç áâ¨æ¥ ¨¬¥âì à ¢ë© ã«î ¨¬¯ã«ìá. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ᢥàå⥪ã祩 ¦¨¤ª®áâ¨, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¥á¢¥àå⥪ã祩, ª®¥ç®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ®¡« ¤ ¥â à ¢ë¬ ã«î ¨¬¯ã«ìᮬ { ®âªã¤ ïá ®ç¥¢¨¤ ï á¢ï§ì ¥¨ï ᢥàå⥪ãç¥áâ¨ á ¡®§¥ { ª®¤¥á 樥©! ®¤ç¥àª¥¬, ç⮠ᮢ®ªã¯®áâì íâ¨å ç áâ¨æ ®âî¤ì ¥«ì§ï ®â®¦¤¥á⢫ïâì ᮠᢥàå⥪ã祩 ç áâìî ¦¨¤ª®á⨠¢ 㪠§ ®¬ ¢ëè¥ á¬ëá«¥. ¥¯à ¢¨«ì®áâì í⮣® ¢¨¤ 㦥 ¨§ ⮣®, çâ® ¯à¨ T = 0 ¢áï ¬ áá ¦¨¤ª®á⨠ï¥âáï ᢥàå⥪ã祩, ⮣¤ ª ª ®âî¤ì ¥ ¢á¥ ç áâ¨æë ¢ á¨á⥬¥ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¨¬¥îâ à ¢ë© ã«î ¨¬¯ã«ìá (áà. ¨¦¥ ¯à¨¬¥à¥ á« ¡® ¥¨¤¥ «ì®£® ¡®§¥-£ § ).
®®ë ¢ (¡®§¥){¦¨¤ª®áâ¨. áᬮâਬ ¥áª®«ìª® ¯®¤à®¡¥¥ ¯à®¨á宦¤¥¨¥ ᯥªâà í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨© He4 , ¯®ª § ®£® ¨á.6-3. ¥à£¨ï ¦¨¤ª®á⨠¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äãªæ¨® « ¥¥ ¯«®â®á⨠¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ᪮à®áâ¨, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ª ª: Z E[(r); v(r)] = 21 dr(r)v2 (r) + E (1) [(r)] (6.67) £¤¥ E (1) { ç áâì í¥à£¨¨, ¥ § ¢¨áïé ï ®â ᪮à®áâ¨. 㤥¬ à áᬠâਢ âì ¬ «ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯«®â®áâ¨: (r) = + (r) (6.68) £¤¥ { à ¢®¢¥á ï ¯«®â®áâì, (r) ¨ v(r) { ¬ «ë¥ ¢¥«¨ç¨ë, ®¯¨áë¢ î騥 í⨠ª®«¥¡ ¨ï. ® ®¯à¥¤¥«¥¨î: Z Z 1 dr(r) = 0 (6.69) = V dr(r) â®ç®áâìî ¤® ¢¥«¨ç¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¬ «®á⨠¯® ¨ v äãªæ¨ï (r) ¢ ¯¥à¢®¬ ç«¥¥ ¯à ¢®© ç á⨠(6.67) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¬¥¥ ¥¥ á।¨¬ . ⮩ ¦¥ â®ç®áâìî
120
E (1) § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
Z Z Z E (1) [(r)] = E (1)() + dr (r)(r) + 21 dr dr0'(r; r0)(r)(r0 )
(6.70)
ãªæ¨¨ (r) ¨ '(r; r0) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ⮫쪮 ᢮©á⢠¬¨ ¦¨¤ª®áâ¨, ¥ ¢®§¬ã饮© ª®«¥¡ ¨ï¬¨, â.¥. ®¤®à®¤®© ¨ ¨§®âய®©, ¢ ᨫã 祣® (r) = = const, '(r; r0) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â à ááâ®ï¨ï jr ; r0 j: '(r; r0) = '(jRr ; r0j). ®í⮬ã ç«¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¢ à §«®¦¥¨¨ E (1) (6.70) ¯à®¯®à樮 «¥ dV (r) = 0, ¨ ®ª®ç â¥«ì® ¨¬¥¥¬: Z Z E (1)[(r)] = E (1) () + 21 dr dr0'(jr ; r0j)(r)(r0 ) (6.71) ª®à®áâì v á¢ï§ á ª®«¥¡ ¨ï¬¨ ¯«®â®á⨠ãà ¢¥¨¥¬ ¥¯à¥à뢮áâ¨: _ + div(v) = 0; (6.72) ª®â®à®¥ á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® ¨ v ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª: _ + divv = 0: (6.73) ¥à¥©¤¥¬ ª ª®¬¯®¥â ¬ ãàì¥: X X (r) = V1 p eipr v(r) = V1 vp eipr (6.74) p p X '(r) = V1 'p eipr (6.75) p
¨ ãç⥬, çâ® ¬ «ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢ ¦¨¤ª®á⨠ïîâáï ¯à®¤®«ì묨, â ª ç⮠᪮à®áâì vp ¢ ¢®«¥ á ¢®«®¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ p ¯à ¢«¥ë ¯® p: vp = app (6.76) ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¦¥¨ï ¢ ãà ¢¥¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠¥¬¥¤«¥® ¯®«ãç ¥¬: (6.77) vp = i_p 1 pp2 â ª çâ® (6.71) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª: X j_pj 1 2 1 (1) E = E () + V + 'p jp j : (6.78) p 2p2 2 ¥à¢ë© ç«¥ ¢ (6.78) { í¥à£¨ï ¥¢®§¬ã饮© ¦¨¤ª®áâ¨, ¢â®à®© à ᯠ¤ ¥âáï á㬬ã ç«¥®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© í¥à£¨î £ ମ¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à á ç áâ®â®© !p : !p2 = p2 'p (6.79) £¤¥ ã竨, çâ® ¢ ¨§®âய®© ¦¨¤ª®á⨠'p = 'p , â.¥. § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¬®¤ã«ï jpj. ª¢ ⮢®¬ á«ãç ¥ í¥à£¨ï ª ¦¤®£® â ª®£® ®á樫«ïâ®à 8: 1 (6.80) "(p) = !p n + 2 n = 0; 1; 2::: 8 ¤¥áì ¬ë, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¯®«ì§ã¥¬áï ç á⮠㯮âॡ«ï¥¬®© ⥮à¥â¨ª ¬¨ á¨á⥬®© ¥¤¨¨æ, ¢ ª®â®à®© h = 1 ¨ ᮮ⢥âá⢥® ¥ à §«¨ç ¥¬ ¨¬¯ã«ìá ¨ ¢®«®¢®© ¢¥ªâ®à.
121
¯¥ªâà á¨á⥬ë, ä ªâ¨ç¥áª¨, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᯥªâ஬ íâ¨å ®á樫«ïâ®à®¢, â.¥. á®®â®è¥¨ï¬¨ (6.79), (6.80). «ï ®ª®ç ⥫쮣® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ëà §¨âì 'p ç¥à¥§ å à ªâ¥à¨á⨪¨ á¨á⥬ë. «ï í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ª¢ ⮢®¬ á«ãç ¥ í¥à£¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â, ª ª ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬, á E (1) (), â ª ª ª á«¥¤ã¥â ¥é¥ ãç¥áâì í¥à£¨î ã«¥¢ëå ª®«¥¡ ¨© !p =2. ª¨¬ ®¡à §®¬, í¥à£¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ª¢ ⮢®© ¡®§¥-¦¨¤ª®á⨠®ª §ë¢ ¥âáï à ¢®©: X E0 = E (1)() + 21 !p (6.81) p ¯à¨ç¥¬, á ãç¥â®¬ (6.78): 1 < j_2 j > + 1 ' < j j2 >= ' < j j2 > (6.82) V !2p = 2p p p p p 2 2 p £¤¥ 㣫®¢ë¥ ᪮¡ª¨ ®¡®§ ç îâ ãá।¥¨¥ ¯® ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î ¨ ãç⥮, çâ® ¤«ï ®á樫«ïâ®à á।ïï ¯® ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î ª¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï ᮢ¯ ¤ ¥â á® á।¥© ¯®â¥æ¨ «ì®©. ®£¤ , ¢ëà ¦ ï ¢ (6.79) 'p ç¥à¥§ (6.82), ¯®«ãç ¥¬: ¨«¨ £¤¥ ¢¢¥«¨:
2 "(p) = !p = V 2 < jp j2 >
(6.83)
p2 "(p) = 2mS(p)
(6.84)
pj > S(p) = < Vjm
(6.85)
p
2
{ â ª §ë¢ ¥¬ë© áâàãªâãàë© ä ªâ®à ¦¨¤ª®áâ¨, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 ᮡ®© äãà쥪®¬¯®¥âã ª®à५ï樮®© äãªæ¨¥© ¯«®â®áâ¨: (6.86) S(r ; r0 ) = n1 < [n(r) ; n][n(r0) ; n] > £¤¥ n(r) = (r)=m { ®¡ê¥¬ ï ¯«®â®áâì ç¨á« ç áâ¨æ ¢ â®çª¥ r, n { á।ïï ¯«®â®áâì ç¨á« ç áâ¨æ ¢ ¦¨¤ª®áâ¨. ®à¬ã« (6.84) ¢¯¥à¢ë¥ ¡ë« ¯®«ãç¥ ¥©¬ ®¬, ¨§«®¦¥ë© ¢ëè¥ ¢ë¢®¤ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¨â ¥¢áª®¬ã. ¢ëà ¦ ¥â ᯥªâà ¢®§¡ã¦¤¥¨© ç¥à¥§ áâàãªâãàë© ä ªâ®à ¦¨¤ª®áâ¨. ¥«¨ç¨ S(p) ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à ááç¨â ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥, ® ¢ ॠ«ìëå ¦¨¤ª®áâïå ® ¤®áâ â®ç® «¥£ª® ¨§¬¥àï¥âáï ¢ íªá¯¥à¨¬¥â å ¯® à áá¥ï¨î ¥©âà®®¢ ¨«¨ à¥â£¥®¢áª¨å «ã祩. ®¡« á⨠¬ «ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ª ª ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, ᯥªâà ¢®§¡ã¦¤¥¨© «¨¥¥ ¯® ¨¬¯ã«ìáã: "(p) up, ᮮ⢥âá⢥® ¨¬¥¥¬ S(p) p=2mu. ®¡« á⨠®ç¥ì ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìᮢ, áãé¥á⢥® ¯à¥¢ëè îé¨å á।¥¥ ¬¥¦ ⮬®¥ à ááâ®ï¨¥, p a;1, ¨¬¥¥¬ S(p) = 1, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ «ëå à ááâ®ï¨ïå S(r) = (r). ¯à®¬¥¦ãâ®ç®© ®¡« á⨠p a;1 áâàãªâãàë© ä ªâ®à S(p) 室¨âáï ¨§ íªá¯¥à¨¬¥â ¨ ¤«ï ¡®«ìè¨á⢠¦¨¤ª®á⥩ ¨¬¥¥â å à ªâ¥àë© ¬ ªá¨¬ã¬ ¯à¨ p a;1 (á¬. ¨á.6-4). «¨ç¨¥ í⮣® ¬ ªá¨¬ã¬ , ¯® áã⨠¤¥« , ®âà ¦ ¥â á®åà ¥¨¥ ¤®áâ â®ç® ᨫìëå ª®à५ï権 ¢ ¯®«®¦¥¨ïå ⮬®¢ ¦¨¤ª®á⨠à ááâ®ï¨ïå ¯®à浪 ¬¥¦ ⮬®£®.
122
¨á. 6-4 à ªâ¥àë© ¢¨¤ áâàãªâãண® ä ªâ®à ¦¨¤ª®£®
He4 .
§ ä®à¬ã«ë ¥©¬ (6.84) ⮣¤ ïá®, çâ® ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å p a;1 ᯥªâà ¢®§¡ã¦¤¥¨© ᢮¤¨âáï ª ᯥªâàã ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ: "(p) = p2=2m. ¯à®¬¥¦ãâ®ç®© ®¡« á⨠p a;1 «¨ç¨¥ ¬ ªá¨¬ã¬ S(p) ¯à¨¢®¤¨â ª áãé¥á⢮¢ ¨î à®â®®£® ¬¨¨¬ã¬ . âண® £®¢®àï, ¯à®¢¥¤¥ë© \£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨©" ¢ë¢®¤ ä®à¬ã«ë ¥©¬ á¯à ¢¥¤«¨¢ «¨èì ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ p < 1=a, â.¥. â ¬, £¤¥ ¦¨¤ª®áâì ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª ᯫ®è ï á। . ¤ ª®, íâ ä®à¬ã« ¤ ¥â ¯à ¢¨«ìë© ®â¢¥â ¨ ¢ ¯à¥¤¥«¥ p 1=a, â.¥. ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ᢮¡®¤ë¬ ç áâ¨æ ¬. ®í⮬㠥¥ ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª å®à®èãî ¨â¥à¯®«ïæ¨î ¨ ¢ ®¡« á⨠p 1=a, ª ç¥á⢥® ®¡êïáïîéãî ä®à¬ã ᯥªâà ¤ ã. ⬥⨬, ç⮠ᯥªâà ª®«¥¡ ¨© ¯«®â®á⨠¢ ®¡ëçëå (ª« áá¨ç¥áª¨å) ¦¨¤ª®áâïå ¨¬¥¥â ª ç¥á⢥® «®£¨çë© ¢¨¤, ® á ᨫìë¬ § âãå ¨¥¬ ª®«¥¡ ¨© ¢ ®¡« á⨠¢®«®¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ p 1=a. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ ¨å \à®â®®£®" ¬¨¨¬ã¬ â ª¦¥ á¢ï§ ® á å à ªâ¥àë¬ ¬ ªá¨¬ã¬®¬ áâàãªâãண® ä ªâ®à .
ë஦¤¥ë© ¡®§¥{£ § á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬. áᬮâਬ ⥯¥àì á¨á⥬㠢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¡®§¥-ç áâ¨æ á ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï. £à ¨ç¨¬áï «¨§®¬ á« ¡® ¥¨¤¥ «ì®£® ¡®§¥-£ § , ¤«ï ª®â®à®£® ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë© «¨§ ¬¥â®¤®¬, ¯à¥¤«®¦¥ë¬ ®£®«î¡®¢ë¬. áᬮâਬ ¯à¥¤¥«ì® ã¯à®é¥ãî ¬®¤¥«ì ¡®§¥-£ § á â®ç¥çë¬ ®ââ «ª¨¢ ¨¥¬ ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨. £à ¨ç¨¬áï á«ãç ¥¬ T = 0. ¬¨«ì⮨ á¨áâ¥¬ë ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ª ª: H=
X p2 + X v0 a a + a+p01 a+p02 ap2 ap1 p p 2m 2V p p01+p0 2=p01+p0 2
(6.87)
123
£¤¥ v0 > 0 { ª®áâ â ®ââ «ª¨¢ ⥫쮣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ®¯¥à â®àë ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï ¡®§®®¢ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ª®¬¬ãâ æ¨®ë¬ á®®â®è¥¨ï¬: apa+p0 ; a+p0 ap = pp0 (6.88) ap ap0 ; ap0 ap = 0 a+p a+p0 ; a+p0 a+p = 0 ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨ ¨¤¥ «ì®£® ¡®§¥-£ § ¢á¥ ç áâ¨æë 室ïâáï ¢ ª®¤¥á ⥠{ á®áâ®ï¨¨ á ã«¥¢ë¬ ¨¬¯ã«ìᮬ ¨ í¥à£¨¥©. ï§ëª¥ ç¨á¥« § ¯®«¥¨ï Np=0 = N0 = N, £¤¥ N { ¯®«®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ £ §¥, ᮮ⢥âá⢥® Np6=0 = 0. á« ¡® ¥¨¤¥ «ì®¬ ¡®§¥-£ §¥ ¢ ®á®¢®¬ ¨ á« ¡® ¢®§¡ã¦¤¥ëå á®áâ®ï¨ïå Np6=0 6= 0, ® ®ç¥ì ¬ «ë ¯® áà ¢¥¨î á ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¬ § 票¥¬ N0 . ®â ä ªâ, çâ® a+0 a0 = N0 N 1, ®§ ç ¥â, çâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ª®¬¬ãâ â®à ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï ª®¤¥á âëå ç áâ¨æ a0 a+0 ; a+0 a0 = 1 ¬ «® ¯® áà ¢¥¨î á á ¬¨¬¨ a0; a+0 , â ª çâ® ¥¤¨¨æ¥© ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì ¨ áç¨â âì í⨠®¯¥à â®àë c-ç¨á« ¬¨: p a0 = a+0 = N0 (6.89) ®£¤ ¢ £ ¬¨«ì⮨ ¥ (6.87) ¬®¦® ªªãà â® ¢ë¤¥«¨âì ¢á¥ ç«¥ë, ᮤ¥à¦ 騥 ª®¤¥á âë¥ ®¯¥à â®àë ¨ § ¬¥¨âì ¨å (6.89), ¤ «¥¥ ¯®áâநâì ⥮à¨î ¢®§¬ã饨© ¯® á⥯¥ï¬ ¬ «ëå, ¢ 㪠§ ®¬ á¬ëá«¥, ¢¥«¨ç¨ ap; a+p á p 6= 0. ਠí⮬ £« ¢ë© ¢ª« ¤ ¤ îâ ¯à®æ¥ááë à áá¥ï¨ï (¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï) ª®¤¥á âëå ¨ ¤ª®¤¥á âëå ç áâ¨æ (â.¥. ¯à®æ¥ááë ¯¥à¥å®¤ ¢ ª®¤¥á â ¨ ¨§ ¥£®), ¯à®æ¥áá ¬¨ à áá¥ï¨ï ¤ª®¤¥á âëå ç áâ¨æ ¤à㣠¤à㣥 ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì. ã«¥¢®© ç«¥ ¢ £ ¬¨«ì⮨ ¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ᮤ¥à¦¨â: v0 + + v0 4 v0 2 (6.90) 2V a0 a0 a0a0 = 2V a0 = 2V N0 «¥ë ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® ap; a+p á p 6= 0 ®âáãâáâ¢ãîâ ¢¢¨¤ã ¥¢®§¬®¦®á⨠ᮡ«î¤¥¨ï ¢ ¨å § ª® á®åà ¥¨ï ¨¬¯ã«ìá , 㪠§ ®£® ¢ ¬ ¢¨¤¥ ¢ (6.87). «¥ë ¢â®à®£® ¯®à浪 ¨¬¥îâ ¢¨¤: v0 a2 X(a a + a+ a+ + 2a+ a + 2a+ a ) (6.91) p p ;p ;p 2V 0 p>0 p ;p p ;p £à ¨ç¨¢ ïáì ⮫쪮 ç«¥ ¬¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¬ «®áâ¨, ¬®¦® § ¬¥¨âì §¤¥áì a20 = N0 ¯®«®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ N. ç«¥¥ ¦¥ (6.90) 㦮 ãç¥áâì ¡®«¥¥ â®ç®¥ á®®â®è¥¨¥: X a20 + a+pap = N (6.92) p>0
P ¨ ¢ëà §¨âì N0 ç¥à¥§ N ¨ p a+pap . த¥«ë¢ ï ¢á¥ í⮠ ¨ ®¡ê¥¤¨ïï (6.90) ¨ (6.91), ¯®«ã稬: N 2 v + N v X(a a + a+ a+ + a+ a + a+ a ) 2V 0 V 0 p>0 p ;p p ;p p p ;p ;p
(6.93)
ª¨¬ ®¡à §®¬, £ ¬¨«ì⮨ (6.87) á ¨â¥à¥áãî饩 á â®ç®áâìî ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: 2 2 X N N p H = 2V v0 + v0 + 2m (a+pap + a+;pa;p ) + V p>0
124
+N V v0
X
(ap a;p + a+p a+;p)
(6.94)
p>0
®«ãç¥ë© £ ¬¨«ì⮨ ª¢ ¤à â¨ç¥ ¯® ®¯¥à â®à ¬ ap ¨ a+p ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ¤¨ £® «¨§®¢ á ¯®¬®éìî â ª §ë¢ ¥¬®£® u ; v ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®£®«î¡®¢ . ¢¥¤¥¬ ®¢ë¥ ®¯¥à â®àë ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï ¡®§®®¢ +p ¨ p, á¢ï§ ë¥ á a+p ¨ ap «¨¥©ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¢¨¤ : ap = up p + vp +p a+p = up +p + vp p (6.95) ®¢ë¥ ®¯¥à â®àë ¤®«¦ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ®¡ëçë¬ ¡®§¥¢áª¨¬ ª®¬¬ãâ æ¨®ë¬ á®®â®è¥¨ï¬ ⨯ (6.89), ®âªã¤ «¥£ª® ¯®«ãç¨âì, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë up ¨ vp á¢ï§ ë ãá«®¢¨¥¬: u2p ; vp2 = 1: (6.96) + ®¤áâ ¢«ïï ap ¨ ap ¢ ¢¨¤¥ (6.95) ¢ £ ¬¨«ì⮨ (6.94), ¯®«ãç ¥¬:
X p2 Nv0 2 2 Nv0 + + V (up + vp ) + 2 V up vp ( p p + +;p ;p) + 2m p>0 X p2 Nv0 Nv0 (u2 + v2 ) ( + + + ) + + 2u v + + p p p ;p p ;p 2m V V p p p>0 X p2 Nv0 2 Nv0 N 2v0 + v + 2 up vp + + 2
H=
2m
p>0
V
p
V
2V
(6.97)
«ï ¤¨ £® «¨§ 樨 í⮣® £ ¬¨«ì⮨ ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë ç«¥ë ¢¨¤ +p +;p ¨ p ;p ®âáãâá⢮¢ «¨, ¯®í⮬ã 㦮 ¯®âॡ®¢ âì: p2 Nv Nv0 2 2 0 (6.98) 2m + V 2up vp + V (up + vp ) = 0 çâ® ¤ ¥â ¢â®à®¥ ãá«®¢¨¥, ®ª®ç â¥«ì® ä¨ªá¨àãî饥 ¢ë¡®à ª®íää¨æ¨¥â®¢ up ¨ vp . ¥è ï á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (6.96),(6.98), 室¨¬: up = q 1 vp = q Ap (6.99) 2 1 ; Ap 1 ; A2p £¤¥ V "(p) ; p2 ; Nv0 (6.100) Ap = Nv 2m V 0
r
p2v0 + p4 "(p) = N (6.101) V m 4m2 ®¤áâ ¢«ïï í⨠ª®íää¨æ¨¥âë ¢ (6.97), ¯®«ãç ¥¬ £ ¬¨«ì⮨ ¢ ¤¨ £® «ì®¬ ¢¨¤¥, â.¥. ¢ ¢¨¤¥ £ ¬¨«ì⮨ ®¢ëå ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ª¢ §¨ç áâ¨æ, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¯¥à â®à ¬ +p ¨ p : H = E0 +
X "(p) +p p p6=0
(6.102)
125
ᮠᯥªâ஬ "(p) (6.101), ª®â®àë© à ¤¨ª «ì® ¨§¬¥¨«áï ¯® áà ¢¥¨î ᮠᯥªâ஬ ᢮¡®¤ëå ¡®§®®¢ § áç¥â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¥à£¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï: 2 1 X "(p) ; p2 ; N v v + (6.103) E0 = N 2V 0 2 p6=0 2m V 0 ਠ¬ «ëå ¨¬¯ã«ìá å í¥à£¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æë (6.101) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
r v0 "(p) = mV p up 0
(6.104)
£¤¥ V0 = V=N { ®¡ê¥¬, ¯à¨å®¤ï騩áï ®¤ã ç áâ¨æã, ¢¥«¨ç¨ u, 楫¨ª®¬ ®¯à¥¤¥«ïîé ïáï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᪮à®áâì2 (¡®£®«î¡®¢áª®£®) §¢ãª . ਠ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å ¨§ (6.101) ¯®«ãç ¥¬ "(p) 2pm + Vv00 , â.¥. ᯥªâà ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ®¡« á⨠¬ «ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¡®§®®¢ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®«®© ¯¥à¥áâனª¥ ᯥªâà í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨©, ª®â®àë© ®ª §ë¢ ¥âáï ª ç¥á⢥® ¡«¨§ª¨¬ ª ᯥªâàã, ¯®áâ㫨஢ ®¬ã ¤ ã, ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ᢥàå⥪ãç¥áâ¨: r v0 "(p) = mV > 0 (6.105) vc = p p!0
0
®¯à¥¤¥«ï¥â ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ªà¨â¨ç¥áªãî ᪮à®áâì, ᮢ¯ ¤ îéãî, ¢ ¤ ®© ¬®¤¥«¨, ᮠ᪮à®áâìî §¢ãª . § ¯à®¢¥¤¥®£® «¨§ ïá®, ç⮠¥¨¥ ¡®§¥ª®¤¥á 樨 ¨£à ¥â ®¯à¥¤¥«ïîéãî à®«ì ¢ ¢®§¨ª®¢¥¨¨ ¥¨ï ᢥàå⥪ãç¥áâ¨.
¢ ⮢ ï ¦¨¤ª®áâì. ¯¥ªâà ä¥à¬¨¥¢áª®£® ⨯ . ¨¤ª®áâì, á®áâ®ïé ï ¨§ ç áâ¨æ á ¯®«ãæ¥«ë¬ á¯¨®¬ (ä¥à¬¨{¦¨¤ª®áâì), ®¡« ¤ ¥â ᯥªâ஬ í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¨ ᢮©á⢠¬¨, à ¤¨ª «ì® ®â«¨ç î騬¨áï ®â á«ãç ï ¡®§¥{¦¨¤ª®áâ¨. ਬ¥à®¬ ॠ«ì®© ä¥à¬¨{¦¨¤ª®á⨠ï¥âáï He3 . «¥ªâà®ë ¢ ¬¥â «« å â ª¦¥ ®¡à §ãîâ ¦¨¤ª®áâì ä¥à¬¨¥¢áª®£® ⨯ . ®«¥¥ íª§®â¨ç¥áª¨¬ ¯à¨¬¥à®¬ ¬®£ãâ ¡ëâì 㪫®ë ¢ ⮬ëå ï¤à å, ¢¥é¥á⢮ ¥©âà®ëå §¢¥§¤ ¨ â.¯. ë 㢨¤¨¬, çâ® í¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà ª¢ ⮢®© ¦¨¤ª®á⨠ä¥à¬¨¥¢áª®£® ⨯ ¢ ¨§¢¥á⮬ á¬ëá«¥ «®£¨ç¥ ᯥªâàã ¨¤¥ «ì®£® ä¥à¬¨-£ § , ஫ì íä䥪⮢ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ᢮¤¨âáï ª áà ¢¨â¥«ì® ¥¡®«ì訬 \¯¥à¥®à¬¨à®¢ª ¬" íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¡«î¤ ¥¬ëå ¢¥«¨ç¨. ¥®¬¥®«®£¨ç¥áª ï ⥮à¨ï ä¥à¬¨{¦¨¤ª®á⨠¡ë« ¯à¥¤«®¦¥ ¤ ã. áå®¤ë© ¯ãªâ ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ í⮩ ⥮ਨ á®á⮨⠢ ã⢥ত¥¨¨, çâ® ª« áá¨ä¨ª æ¨ï ã஢¥© í¥à£¨¨ ä¥à¬¨¥¢áª®© á¨áâ¥¬ë ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥®© ¯à¨ \¢ª«î票¨" ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨, â.¥. ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ä¥à¬¨-£ § ª ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâ¨. í⮩ ª« áá¨ä¨ª 樨 ஫ì ç áâ¨æ £ § ¯¥à¥å®¤¨â ª í«¥¬¥â àë¬ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï¬, ç¨á«® ª®â®àëå ᮢ¯ ¤ ¥â á ç¨á«®¬ ç áâ¨æ ¨ ª®â®àë¥ ¯®¤ç¨ïîâáï áâ â¨á⨪¥ ¥à¬¨.
126
ãáâì np { äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬. ᮢ®¥ á®áâ®ï¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ¢ ª®â®à®© § ïâë ¢á¥ á®áâ®ï¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ á p < pF (áä¥à ¥à¬¨ ¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à®áâà á⢥). ¥«¨ç¨ pF á¢ï§ á ¯«®â®áâìî ¦¨¤ª®á⨠(ç¨á«®¬ ç áâ¨æ ¢ ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ ) â ª®© ¦¥ ä®à¬ã«®© (5.43), ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ä¥à¬¨-£ § 9: 1=3 h: (6.106) pF = (32 )1=3 N V ¦®, ®¤ ª®, ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ¯®« ï í¥à£¨ï ¦¨¤ª®á⨠E ¥ ᢮¤¨âáï ª á㬬¥ í¥à£¨© ª¢ §¨ç áâ¨æ: E ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â Rᮡ®© äãªæ¨® « 10 ®â äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®¡é¥£® ¢¨¤ , ¥ ᢮¤ï騩áï ª d np"p , ª ª íâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ ¨¤¥ «ì®¬ £ §¥. ¥à¢¨çë¬ ¯®ï⨥¬ ï¥âáï ¨¬¥® E, ¯à¨ T = 0 ᮢ¯ ¤ îé ï á í¥à£¨¥© ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâ¨. ®à¬¨à㥬 äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï ãá«®¢¨¥¬: Z d np = N (6.109) V £¤¥ N { ç¨á«® ç áâ¨æ ¦¨¤ª®áâ¨, d = d3 p=(2h)3 . §¬¥¥¨¥ E ¯à¨ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¬ ¨§¬¥¥¨¨ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: E = Z d " n (6.110) p p V E (6.111) "p = n p
¥«¨ç¨ "p ¥áâì ¢ ਠ樮 ï (äãªæ¨® «ì ï) ¯à®¨§¢®¤ ï í¥à£¨¨ ¯® äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§¬¥¥¨î í¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ¤®¡ ¢«¥¨¨ ®¤®© ª¢ §¨ç áâ¨æë á ¨¬¯ã«ìᮬ p. â ¢¥«¨ç¨ á ¬ ï¥âáï äãªæ¨® «®¬ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, â.¥. ¢¨¤ "p ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¢á¥å ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ¦¨¤ª®áâ¨. ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ¨¬¥¥â (¢ à ¢®¢¥á¨¨) ¢¨¤ ®¡ë箣® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢¢¨¤ã ᮢ¯ ¤¥¨ï ª« áá¨ä¨ª 樨 ã஢¥© í¥à£¨¨ ¦¨¤ª®á⨠¨ ¨¤¥ «ì®£® ä¥à¬¨-£ § , íâய¨ï ¦¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⥬ ¦¥ ª®¬¡¨ â®àë¬ ¢ëà ¦¥¨¥¬ (5.15), ª®â®à®¥ ¢ á«ãç ¥ ¦¨¤ª®á⨠¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª:
Z
S = ; d [np ln np + (1 ; np ) ln(1 ; np )]
(6.112)
9 â®â १ã«ìâ â ï¥âáï, ª ª «¥£ª® ¯®ïâì, ¯àï¬ë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ᤥ« ®£® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï ® ª« áá¨ä¨ª 樨 ã஢¥©. 10 ¡ëç ï äãªæ¨ï ®áãé¥á⢫ï¥â ®â®¡à ¦¥¨¥ ®¤®£® ¬®¦¥á⢠ç¨á¥« ¢ ¤à㣮¥. ãªæ¨® « { íâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ ¬®¦¥á⢠äãªæ¨© ¢ ¬®¦¥á⢮ ç¨á¥«. ¨¯¨çë© ¯à¨¬¥à äãªæ¨® « { R ®¯à¥¤¥«¥ë© ¨â¥£à «: F [f (x)] = ab dxf (x). ¬¥â¨¬, çâ® äãªæ¨ï ®â äãªæ¨¨ ¥áâì ᮢ äãªæ¨ï, ®âî¤ì ¥ äãªæ¨® «. ᯮ«ì§ã¥¬®¥ ¤ «¥¥ äãªæ¨® «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ä®à¬ «ì® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: F [f (x)] = lim F [f (x) + "(x ; y)] ; F [f (x)] : (6.107) f (y) "!0 "
¯à¨¬¥à, ¤«ï F [f (x)] ¢ ¢¨¤¥ ®¯à¥¤¥«¥®£® ¨â¥£à « : Z Z Z F [f (x)] = lim 1 dx [ f ( x ) + " ( x ; y )] ; dxf ( x ) = dx(x ; y) = 1 f (y) "!0 "
(6.108)
127
àì¨àãï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨ïå ¯®áâ®ïá⢠¯®«®£® ç¨á« ç áâ¨æ ¨ ¯®«®© í¥à£¨¨, ¬®¦® ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ £ § ¯®«ãç¨âì: (6.113) np = "p ;1 e T +1 ®¤ç¥àª¥¬, ®¤ ª®, çâ® "p §¤¥áì ï¥âáï äãªæ¨® «®¬ np , â ª çâ® (6.113) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á«®¦®¥ ¥ï¢®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ np . à ¬ª å ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ ª ⥮ਨ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠¬®¦® ¤®ª § âì ®¡é¥¥ ã⢥ত¥¨¥ ® «¨ç¨¨ áª çª 11 np ¯à¨ "p = ¯à¨ T = 0 (⥮६ ¨£¤ « ), çâ® ¤®ª §ë¢ ¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ ¢ á¨á⥬¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨®®¢. ®§¦¥ ¬ë ¥é¥ ¢¥à¥¬áï ª í⮬㠢®¯à®áã. ᯮ¬¨¬ ⥯¥àì ¯à® á¯¨ ª¢ §¨ç áâ¨æ ~ . ®¤®à®¤®© ¨§®âய®© ¦¨¤ª®á⨠᪠«ïà ï ¢¥«¨ç¨ " ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì ⮫쪮 ®â ᪠«ïàëå à£ã¬¥â®¢, â ª çâ® ~ ¬®¦¥â ¢å®¤¨âì ¢ í¥à£¨î ª¢ §¨ç áâ¨æ (¢ ®âáãâá⢨¥ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï!) ⮫쪮 ¢ ¢¨¤¥ ^ 2 ¨«¨ (~ p)2 (¯¥à¢ ï á⥯¥ì ~p ¥¤®¯ãá⨬ , ¯®áª®«ìªã ï¥âáï ¯á¥¢¤®áª «ï஬ ¨§-§ ªá¨ «ì®á⨠¢¥ªâ®à ᯨ ). «ï ᯨ s = 1=2 ¨¬¥¥¬: ~2 = 34 (~p)2 = 14 p2 (6.114) â ª çâ® ¢¥«¨ç¨ ¯®«®áâìî ¢ë¯ ¤ ¥â ¨ í¥à£¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢®¢á¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ᯨ .3 ®®â¢¥âá⢥®, ¢á¥ ã஢¨ ¤¢ãªà â® ¢ë஦¤¥ë ¨ 㦮 ¢¥§¤¥ ¯¨á âì d = 2 (2dhp)3 . ë ¯à¨¯¨á «¨ ª ¦¤®© ª¢ §¨ç áâ¨æ¥ ®¯à¥¤¥«¥ë© ¨¬¯ã«ìá. á«®¢¨¥ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠í⮣® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï âॡã¥â, çâ®¡ë ¥®¯à¥¤¥«¥®áâì ¨¬¯ã«ìá ¡ë« ¬ « ¥ ⮫쪮 ¢ áà ¢¥¨¨ á ¢¥«¨ç¨®© á ¬®£® ¨¬¯ã«ìá , ® ¨ ¯® áà ¢¥¨î á è¨à¨®© ®¡« á⨠\à §¬ëâ¨ï" äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ᨫ㠯à¨æ¨¯ 㫨 ¢§ ¨¬® à áᥨ¢ âìáï ¬®£ãâ ⮫쪮 ª¢ §¨ç áâ¨æë ¨§ ®¡« áâ¨ à §¬ëâ¨ï, ¯à¨ç¥¬ ¢ १ã«ìâ ⥠à áá¥ï¨ï ®¨ ¤®«¦ë ¯¥à¥å®¤¨âì ¢ ᢮¡®¤ë¥ á®áâ®ï¨ï ¢ ⮩ ¦¥ ®¡« áâ¨. ®í⮬㠢¥à®ïâ®áâì á⮫ª®¢¥¨ï ¯à®¯®à樮 «ì ª¢ ¤à âã è¨à¨ë p í⮩ ®¡« áâ¨. ®®â¢¥âá⢥®, ¯®à浪 p2 ¨ ¥®¯à¥¤¥«¥®áâì ¨¬¯ã«ìá , á¢ï§ ï á ¯à®æ¥áá ¬¨ à áá¥ï¨ï. âáî¤ ïá®, çâ® ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¬ «®© p ¥®¯à¥¤¥«¥®áâì ¨¬¯ã«ìá ¡ã¤¥â ¬ « ¥ ⮫쪮 ¯® áà ¢¥¨î á pF , ® ¨ ¯® áà ¢¥¨î á p, ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª® ª ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ ª¢ §¨ç áâ¨æë ¢á¥£¤ å®à®è® ®¯à¥¤¥«¥ë. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢¥«¨ç¨ "p ¨¬¥¥â ¥¯®á।áâ¢¥ë© ä¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« «¨èì ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨. §« £ ï ¥¥ §¤¥áì ¢ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ p ; pF , ¨¬¥¥¬: p = "p ; vF (jpj ; pF ) = "F
(6.115)
£¤¥ vF = @"@pp jp=pF { ᪮à®áâì ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨. ëè¥ ã¦¥ ®â¬¥ç «®áì, çâ® ¯à¨ ஦¤¥¨¨ ª¢ §¨ç áâ¨æ, ¬®¬¥â ¨¬¯ã«ìá ª¢ ⮢®© á¨áâ¥¬ë ¬®¦¥â ¨§¬¥ïâìáï ⮫쪮 楫®¥ ç¨á«®. ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ä¥à¬¨® ¬ ᮠᯨ®¬ s = 1=2 íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ª¢ §¨ç áâ¨æë ¬®£ãâ ஦¤ âìáï ¯®¯ à®. ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠⠪ ¨ ¯à®¨á室¨â: ஦¤¥¨¥ ç áâ¨æë á í¥à£¨¥© (6.115) ¤ ®á®¢ë¬ á®áâ®ï¨¥¬ ¨¤¥â ¯ã⥬ ¥¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¨§ § ¯®«¥®© áä¥àë ¥à¬¨, ç⮠ᮯ஢®¦¤ ¥âáï ®¤®¢à¥¬¥ë¬ ஦¤¥¨¥¬ ¤ëન (á ⮩ ¦¥ í¥à£¨¥©) ¯®¤ ¯®¢¥àå®áâìî ¥à¬¨. 11 ¥«¨ç¨ í⮣® áª çª ¢ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠< 1, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ä¥à¬¨-£ § .
128
¨¤¥ «ì®¬ ä¥à¬¨-£ §¥ "p = p2=2m ¨ vF = pF =m. ® «®£¨¨, ¢ ä¥à¬¨¦¨¤ª®á⨠¬®¦® ¢¢¥á⨠¢¥«¨ç¨ã m = vpF (6.116) F ¨ §¢ âì ¥¥ íä䥪⨢®© ¬ áᮩ ª¢ §¨ç áâ¨æ12. ®£¤ ⥯«®¥¬ª®áâì ä¥à¬¨¦¨¤ª®á⨠¤ ¥âáï \£ §®¢®©" ä®à¬ã«®© (5.70) á § ¬¥®© m ! m :
C = 3 F T F = m2 pF3 (6.117) h ਠà áᬮâ२¨ á¨á⥬ á ¯¥à¥¬¥ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « = F ; N. ਠT = 0 ¨¬¥¥¬, ®ç¥¢¨¤®, F = E, â ª çâ® = E ; N. áᬮâਬ \¢®§¡ã¦¤¥®¥" á®áâ®ï¨¥ á¨á⥬ë, ®¡à §®¢ ¢ à §®áâì:
; 0 = E ; E0 ; (N ; N0 ) (6.118) £¤¥ ¨¤¥ªá 0 ®â®á¨âáï ª ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î. ®£« á® £¨¯®â¥§¥ ¤ ã, ¤®¡ ¢«¥¨¥ ®¤®© ª¢ §¨ç áâ¨æë ª ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤®¡ ¢«¥¨î â®ç® ®¤®© \£®«®©" ç áâ¨æë ª à áᬠâਢ ¥¬®© ä¥à¬¨-á¨á⥬¥: á®áâ®ï¨¥ á ®¤®© ¤®¡ ¢®ç®© ª¢ §¨ç áâ¨æ¥© ¯®«ãç ¥âáï ¨§ á®áâ®ï¨ï ¨¤¥ «ì®© á¨á⥬ë, ᮤ¥à¦ 饩 N + 1 ç áâ¨æ, ¯®«®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ á®åà ï¥âáï ¯à¨ ¤¨ ¡ â¨ç¥áª®¬ ¢ª«î票¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¬¥¥¬: 2
N ; N0 =
X p
®áª®«ìªã, ᮣ« á® (6.111): E[np ] = E0 + ¯®«ã稬:
; 0 =
X p
np =
X
Z
d np
(6.119)
"p np + O(n2p )
(6.120)
("p ; )np + O(n2p )
(6.121)
p
®áª®«ìªã ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¥¡®«ì訥 ¢ ਠ樨 np ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨, â.¥. ¢ ⮪®¬ í¥à£¥â¨ç¥áª®¬ á«®¥ ®ª®«® ¥¥, â® ¢¥«¨ç¨ "p ; . ® ¨ np , â ª çâ® ; 0 2, ¯®í⮬㠢 à §«®¦¥¨¨ (6.121) 㦮 ¢ë¯¨á âì ¢á¥ ç«¥ë 2 . ®£¤ § ¯¨è¥¬: X X
; 0 = ("p ; )np + 21 f(p; p0)np np0 + O(p3 ) (6.122) p pp0 £¤¥ ¢¢¥«¨:
2E f(p; p0) = n n 0
p p
(6.123)
12 ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¦¨¤ª®£® He3 ¨§ íªá¯¥à¨¬¥â ¨§¢¥áâ®, çâ® m 2:4m 3 , pF =h He 0:8 108 á¬;1 . ¡« áâì ¯à¨¬¥¨¬®á⨠⥮ਨ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠¤«ï He3 ®£à ¨ç¥ T < 0:5K .
129
{ â ª §ë¢ ¥¬ãî äãªæ¨î ¤ ã, ®¯¨áë¢ îéãî ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª¢ §¨ç áâ¨æ. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï (6.111) ¨ (6.122) ¢¨¤®, çâ® ¢ ਠæ¨ï np ¯à¨¢®¤¨â ª ¨§¬¥¥¨î í¥à£¨¨ ª¢ §¨ç áâ¨æë: "p =
Z
d 0 f(p; p0)
(6.124)
ª®â®à®¥ 楫¨ª®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï äãªæ¨¥© ¤ ã. í⮬ £« ¢®¥ ®â«¨ç¨¥ ⥮ਨ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠®â ¬®¤¥«¨ ᢮¡®¤ëå ä¥à¬¨®®¢. 㤥¬ áç¨â âì äãªæ¨î f(p; p0) ¥¯à¥à뢮© ¯à¨ p ¨ p0 ¡«¨§ª¨å ª pF . à ªâ¨ç¥áª¨ âॡã¥âáï § âì f(p; p0 ) ⮫쪮 á ¬®© ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨, â.¥. ¯à¨ jpj = jp0j = pF . ®£¤ f(p; p0) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¢§ ¨¬®© ®à¨¥â 樨 ¢¥ªâ®à®¢ p ¨ p0 (㣫 ¬¥¦¤ã ¨¬¨) ¨ ®â ᯨ®¢ ,0. ¤®¡® § ¯¨á âì f(p; p0), ¢ë¤¥«¨¢ ¥¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ª®¬¯®¥âë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯ à ««¥«ì®© ¨ ⨯ à ««¥«ì®© ®à¨¥â 樨 ᯨ®¢: f"# (p; p0) = f s (p; p0) + f a (p; p0) f"# (p; p0) = f s (p; p0) ; f a (p; p0)
(6.125) (6.126) (6.127)
®¦® ᪠§ âì, çâ® â¨á¨¬¬¥âà¨ç ï ç áâì f a (p; p0) ®¡ãá«®¢«¥ ¥ª®â®à®© í¥à£¨¥© ®¡¬¥®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï 2f a (p; p0), ª®â®à ï ¯®ï¢«ï¥âáï «¨èì ª®£¤ á¯¨ë ¯ à ««¥«ìë. «¨â¥à âãॠç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¨ ¤à㣠ï ä®à¬ § ¯¨á¨ äãªæ¨¨ ¤ ã: f;0 (p; p0) = '(p; p0) + (^^ 0 ) (p; p0) (6.128) £¤¥ ^ ¨ ^ 0 { ᯨ®¢ë¥ ¬ âà¨æë ¤¢ãå ä¥à¬¨®®¢. â ª, ¢ ¨§®âய®© ¦¨¤ª®á⨠äãªæ¨¨ f a (p; p0) ¨ f s (p; p0) § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â 㣫 ¬¥¦¤ã p ¨ p0. ®£¤ ¨å ¬®¦® à §«®¦¨âì ¢ àï¤ë ¯® ¯®«¨®¬ ¬ ¥¦ ¤à : f s(a) (p; p0) =
1 X l=0
Pl (cos )fls(a)
(6.129)
ਠí⮬ äãªæ¨ï f(p; p0) ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¡®à®¬ ª®íää¨æ¨¥â®¢ fls ¨ fla , §ë¢ ¥¬ëå ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâ묨 ª®áâ â ¬¨. ¤®¡® ¢¢¥á⨠¡¥§à §¬¥àë¥ ª®áâ âë Fls;(a) á ¯®¬®éìî:
F fls;(a) = m2 p3F fls;(a) Fls;(a) (6.130) h ¥«¨ç¨ë íâ¨å ª®áâ â ®¯à¥¤¥«ïîâ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâë¥ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨ àï¤ ä¨§¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâ¨, ᮮ⢥âá⢥® å®âï-¡ë ç áâì ¨§ ¨å ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§ íªá¯¥à¨¬¥â . ¡ëç® ®ª §ë¢ îâáï áãé¥á⢥묨 ⮫쪮 ¥áª®«ìª® ¯¥à¢ëå ª®áâ â. ç áâ®áâ¨, ¬®¦® ¢ë¢¥á⨠᫥¤ãî饥 á®®â®è¥¨¥ ¬¥¦¤ã ¨á⨮© ¬ áᮩ ç áâ¨æ ¨ íä䥪⨢®© ¬ áᮩ ª¢ §¨ç áâ¨æë ¢ ä¥à¬¨¦¨¤ª®á⨠[3, 23]: 1 = 1 + pF 4 Z d cos cos f(p; p0 ) (6.131) m m (2h)3
130
ª®â®à®¥, á ãç¥â®¬ (6.129), (6.130) ¨ ᢮©á⢠¯®«¨®¬®¢ ¥¦ ¤à ¤ ¥â: m = 1 + F1s (6.132) m 3 ¬¥â¨¬, çâ® ®âáî¤ á ®ç¥¢¨¤®áâìî á«¥¤ã¥â ®£à ¨ç¥¨¥ F1s > ;3. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ãçâï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á ¢¥è¨¬ ¬ £¨âë¬ ¯®«¥¬ (á¬. ¨¦¥), ¬®¦® ©â¨ ᯨ®¢ãî (¯ à ¬ £¨âãî) ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠[3, 23]: p = 2B m2 p3F 1 +1F a (6.133) h 0 ª®â®à ï ®â«¨ç ¥âáï ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ä¥à¬¨-£ § (5.79) § ¬¥®© m ! m ¨ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⮩ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª®© 1 + F0a .
«¥ªâà® ï ä¥à¬¨{¦¨¤ª®áâì ¬¥â ««®¢. ëè¥ ¬ë ¯®¤à §ã¬¥¢ «¨, çâ® ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâì á®á⮨⠨§ ¥©âà «ìëå ç áâ¨æ ( ¯à¨¬¥à He3 ), â ª çâ® ¨å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¨¬¥¥â ª®à®âª®¤¥©áâ¢ãî騩 å à ªâ¥à. ®£¤ à¥çì ¨¤¥â ® í«¥ªâà®®© ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠¬¥â ««®¢, áâ ®¢¨âáï áãé¥á⢥®© à®«ì ¤ «ì®¤¥©áâ¢ãî饣® ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ਠ«¨ç¨¨ ¤ «ì®¤¥©áâ¢ãîé¨å ᨫ, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, àãè ¥âáï ®á®¢®¥ á®®â®è¥¨¥ ⥮ਨ ä¥à¬¨¦¨¤ª®á⨠(6.124). ª §ë¢ ¥âáï, ®¤ ª®, çâ® ¬®¦® ¯à¥¤«®¦¨âì ¥ª®â®àë© ®¡®¡é¥ë© ¯®¤å®¤ ª ⥮ਨ § à殮ëå ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⥩ (¨«¨), ª®â®àë© ª®à४⮠ãç¨âë¢ ¥â à®«ì ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨, ¢ § ç¨â¥«ì®© ¬¥à¥, ¯à¨¢®¤¨â ⥮à¨î ª ¢¨¤ã ¢¥áì¬ ¡«¨§ª®¬ã ª ⥮ਨ ¥©âà «ì®© ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâ¨. ०¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ «®ª «ì®© ¢® ¢à¥¬¥¨ á¢ï§¨ ¬®¦® § ¯¨á âì ®¡®¡é¥¨¥ (6.124) ¢ ¢¨¤¥: Z Z d3p0 0 "(p; r) = Sp dr0 (2h)3 F (p; p0; r; r0)n(p0; r0) (6.134) £¤¥ ¢¢¥«¨ ï¢ãî § ¢¨á¨¬®áâì ®â ª®®à¤¨ â äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (ç⮠㦮 ¤«ï à áᬮâà¥¨ï ¯à®áâà á⢥® ¥®¤®à®¤ëå ¢®§¬ã饨©) ¨ ¢ë¯¨á «¨ Sp ¯® ᯨ®¢®© ¯¥à¥¬¥®©13. ¥«¨ç¨ F (p; p0; r; r0) { ¢â®à ï ¢ ਠ樮 ï ¯à®¨§¢®¤ ï í¥à£¨¨ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâ¨, â ª¦¥ § ¢¨á¨â ¥ ⮫쪮 ®â ¨¬¯ã«ìᮢ p ¨ p0 ¨ ᯨ®¢, ® ¨ ®â ª®®à¤¨ â r ¨ r0. ¯à®á⥩襬 á«ãç ¥ (¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ¬®á®£« ᮢ ®£® ¯®«ï àâà¨), ¯à¥¥¡à¥£ ï ®¡¬¥ë¬¨ íä䥪⠬¨, ¤«ï ç áâ¨æ, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯® æ¥âà «ì®¬ã § ª®ã ᨫ á ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¥© U(jr ; r0j), ¨¬¥¥¬: FH (p; p0; r; r0) = U(jr ; r0 j):
(6.135)
â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¢®§¨ª ¥â ¢ ¯à¥¥¡à¥¦¥¨¨ ª®à५ï樮묨 íä䥪⠬¨, «®£¨ç묨 ⥬, çâ® à áᬠâਢ «¨áì ¢ëè¥ ¤«ï ª« áá¨ç¥áª®© ¯« §¬ë. ¯à®â¨¢, à §®áâì F ; FH 楫¨ª®¬ ®¡ãá«®¢«¥ í⨬¨ íä䥪⠬¨, ¨§ ª®â®àëå ¯à®á⥩訬 13 ãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ §¤¥áì ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ ¨£¥à , ç⮡ë ãç¥áâì ª®®à¤¨ âãî § ¢¨á¨¬®áâì.
131
ï¥âáï íä䥪⠮¡¬¥®© ª®à५ï樨. ¦®, çâ® å à ªâ¥àë¥ à ááâ®ï¨ï, ª®â®àëå ¯à®ï¢«ïîâáï ª®à५ïæ¨®ë¥ íä䥪âë, ¯®à浪 ¤«¨ë ¢®«ë í«¥ªâà® ã஢¥ ¥à¬¨, â.¥. ¯®à浪 á।¥£® à ááâ®ï¨ï ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨ (í«¥ªâà® ¬¨) (N=V );1=3 10;8 ᬠ(¢ ¬¥â ««¥). ®í⮬ã, ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¨â¥à¥á®£® ªà㣠§ ¤ ç, ª®£¤ å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ ¨§¬¥¥¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ áãé¥á⢥® ¯à¥¢ëè ¥â à ¤¨ãá ª®à५ï権, ¬®¦® ¯à¨ïâì: F (p; p0; r; r0) ; FH (p; p0; r; r0) (r ; r0)f(p; p0) (6.136) ®£¤ (6.134) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: Z Z d3p0 Z d3 p 0 0 0 0 "(p; r) = Sp0 dr (2h)3 U(jr ; r j)n(p ; r ) + Sp0 (2h)3 f(p; p0)n(p0 ; r) (6.137) «ï í«¥ªâà®®¢ ¢ ¬¥â ««¥ U(r) = e2 =r. à ¢®¢¥á®¬ á®áâ®ï¨¨, ª®£¤ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ç áâ¨æ ¥ § ¢¨á¨â ®â ª®®à¤¨ â, ¯à®áâà á⢥® ¥«®ª «ì ï á¢ï§ì ¢ ¯¥à¢®¬ á« £ ¥¬®¬ (6.137) ¥áãé¥á⢥ , â ª ç⮠᢮©á⢠á¨áâ¥¬ë § à殮ëå ç áâ¨æ ¢ ¨§¢¥á⮬ á¬ëá«¥ ¯®¤®¡ë à áᬮâà¥ë¬ ¢ëè¥ á¢®©á⢠¬ ¥©âà «ì®© ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâ¨. ¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (6.137), ¥á«¨ ¯®¨¬ âì ¥£® ¡ãª¢ «ì®, à á室¨âáï ¢ á«ãç ¥ ¯à®áâà á⢥® ®¤®à®¤ëå à á¯à¥¤¥«¥¨©, â à á室¨¬®áâì, ®¤ ª®, 䨪⨢ , ¥á«¨ ãç¥áâì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ ¬¥â ««¥ ®¤®à®¤®£® ä® ¯®«®¦¨â¥«ìëå ¨®®¢, ®¡¥á¯¥ç¨¢ î饣® ®¡éãî í«¥ªâ஥©âà «ì®áâì á¨á⥬ë. «ï ¯à®áâà á⢥® ¥®¤®à®¤ëå à á¯à¥¤¥«¥¨© íâ® á« £ ¥¬®¥ ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª ¯à®ï¢«¥¨¥ á ¬®á®£« ᮢ ®£® ᪠«ïண® ¯®â¥æ¨ « '(r): Z Z d3p0 e2 e'(r) = Sp0 dr0 (2h)3 jr ; r0j n(p0; r0): (6.138) â®â ¯®â¥æ¨ « ¬®¦® ©â¨ à¥è ï ãà ¢¥¨¥ ã áá® : Z d3p0 0 (6.139) r2'(r) = ;4eSp0 (2 h)3 n(p ; r) ª®â®à®¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¥®¡å®¤¨¬®© á®áâ ¢®© ç áâìî ⥮ਨ § à殮®© ä¥à¬¨¦¨¤ª®á⨠¤ ã { ¨«¨ . ç⥬ ¥é¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á ¬ £¨âë¬ ¯®«¥¬ B. ®£¤ ¢ëà ¦¥¨¥ (6.137) ¤«ï § à殮®© ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: Z d3p0 0 "(p; r) = ;B ~B + e'(r) + Sp0 (2 (6.140) h)3 f(p; p )n(p; r) ¦®, çâ® ¢¥«¨ç¨ë " ¨ ' ®¯à¥¤¥«ïîâáï ⥯¥àì á¨á⥬®© á¢ï§ ëå ãà ¢¥¨© (6.139), (6.140) á ¬®á®£« ᮢ ë¬ ®¡à §®¬. ç áâ®áâ¨, ®âáî¤ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨ ¥¨¥ íªà ¨à®¢ª¨ ¤ «ì®¤¥©áâ¢ãîé¨å ªã«®®¢áª¨å ᨫ ¢ ª¢ ⮢®© á¨á⥬¥, «®£¨ç®¥ ®¯¨á ®¬ã ¢ëè¥ ¤«ï ª« áá¨ç¥áª®© ¯« §¬ë [23]. ãá«®¢¨ïå, ª®£¤ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì ५ï⨢¨áâ᪨¬¨ íä䥪⠬¨ ᯨ { ®à¡¨â «ì®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï äãªæ¨î f(p; p0) ¬®¦® ᮢ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ (6.127) ¨«¨ (6.128). «¥¥ ¬®¦® ᮢ ¢¢¥á⨠ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâë¥ ª®áâ âë (6.129), (6.130), ª®â®àë¥ ¯®¤«¥¦ â ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨§ íªá¯¥à¨¬¥â . १ã«ìâ â¥, ¨ ¢ ⥮ਨ § à殮®© ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ⥯«®¥¬ª®á⨠(6.117), íä䥪⨢®© ¬ ááë (6.132) ¨ ᯨ®¢®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠(6.133), ᮢ¥à襮 «®£¨çë¥ á«ãç î ¥©âà «ì®© ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠[23].
áâ¥á⢥®, çâ®
132
§ 票ï ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâëå ª®áâ â ¢ à §ëå ¬¥â «« å à §«¨çë ¨ ®â«¨ç îâáï ®â â ª®¢ëå ¢ ¦¨¤ª®¬ He3 , ïïáì å à ªâ¥à¨á⨪®© ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ¤ ®¬ ¢¥é¥á⢥. ஬¥ ⮣®, ¢ ¬¥â «« å í«¥ªâà® ï ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâì ¬®¦¥â ¡ëâì ¨§®âய®©, ¯®¢¥àå®áâì ¥à¬¨ ¥ áä¥à¨ç¥áª®©, çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï íä䥪⠬¨ ªà¨áâ ««¨ç¥áª®© à¥è¥âª¨. í⮬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï ®¡®¡é¥¨¥ à áᬮâ८© ¨§®âய®© ¬®¤¥«¨.
« ¢ 7
ã¯¥à®¢áª ï ¥ãá⮩稢®áâì. ëè¥ à áᬠâਢ « áì â ª §ë¢ ¥¬ ï ®à¬ «ì ï ä¥à¬¨-¦¨¤ª®áâì, ¢ ª®â®à®© ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ç áâ¨æ ®á¨â ®ââ «ª¨¢ ⥫ìë© å à ªâ¥à. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ ä¥à¬¨-¦¨¤ª®á⨠áâ ®¢¨âáï ¥ãá⮩稢ë¬, ¥á«¨ ¨¬¥¥âáï, ä®à¬ «ì® ᪮«ì 㣮¤® á« ¡®¥, ¯à¨â殮¨¥ ¬¥¦¤ã ª¢ §¨ç áâ¨æ ¬¨ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨. â ¥ãá⮩稢®áâì, ®¡ à㦥 ï 㯥஬, ¯à¨¢®¤¨â ª ®¡à §®¢ ¨î á¢ï§ ëå á®áâ®ï¨© ä¥à¬¨®®¢ (ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à), â.¥. íä䥪⨢ëå ¡®§®®¢ ¢ ä¥à¬¨¥¢áª®© á¨á⥬¥. ï¥âáï ª«î祢®© ¤«ï ¯®¨¬ ¨ï â ª¨å ¥¨© ª ª ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâì ¬¥â ««®¢ ¨ ᢥàå⥪ãç¥áâì ¦¨¤ª®£® He3. ë ¯à®¢¥¤¥¬ ¥áª®«ìª® ã¯à®é¥®¥ à áᬮâ२¥ ªã¯¥à®¢áª®© ¥ãá⮩稢®áâ¨, ª®â®à®¥ ¤ ¥â \¯®çâ¨" ¯à ¢¨«ìë© ®â¢¥â [24]. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¢¢¨¤ã í«¥ªâà®ë ¢ ¬¥â ««¥. ëè¥ ã¦¥ ®â¬¥ç «®áì, çâ® ª¢ §¨ç áâ¨æë ¢ ä¥à¬¨¦¨¤ª®á⨠஦¤ îâáï ¯®¯ à® (ç áâ¨æ ¤ ¯®¢¥àå®áâìî ¥à¬¨, ¤ëઠ¯®¤ ¥©). ¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (6.115), ¨¬¥¥¬: p = vF (jpj ; pF ) (ç áâ¨æ ) p = vF (pF ; jpj) (¤ëઠ)
(7.1)
â ª çâ® í¥à£¨î ª¢ §¨ç áâ¨æë ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª jp j. 㤥¬ ¨â¥à¥á®¢ âìáï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¤¢ãå ç áâ¨æ (¨«¨ ¤ëப) ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨. à ¢¥¨¥ ।¨£¥à ¤«ï ¤¢ãå ª¢ §¨ç áâ¨æ, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å á 133
134
¯®¬®éìî ¯®â¥æ¨ « U(r1; r2 ), ¨¬¥¥â ¢¨¤ 1 :
[H0(r1 ) + H0(r2 ) + U(r1 ; r2)] (r1 ; r2) = E (r1 ; r2)
(7.2)
H0(r) p(r) = jp j p(r)
(7.3)
£¤¥ H0(r) { £ ¬¨«ì⮨ ᢮¡®¤®© ª¢ §¨ç áâ¨æë:
£¤¥ ¤«ï ᢮¡®¤®© ª¢ §¨ç áâ¨æë p (r) = p1V eipr=h . 㤥¬ ¨â¥à¥á®¢ âìáï ¢®§¬®¦®áâìî ®¡à §®¢ ¨ï á¢ï§ ®£® á®áâ®ï¨ï íâ¨å ¤¢ãå ç áâ¨æ (ªã¯¥à®¢áª®© ¯ àë). ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨ ¨¬¯ã«ìá á¢ï§ ®© ¯ àë ¤®«¦¥ ¡ëâì à ¢¥ ã«î ¨, ¢ ¯à®á⥩襬 á«ãç ¥, ¤®«¦¥ ¡ëâì à ¢¥ ã«î ¥¥ ᯨ 2 . à ¡ã¤¥â ®¯¨áë¢ âìáï á㯥௮§¨æ¨¥© á®áâ®ï¨© ¤¢ãå ᢮¡®¤ëå ª¢ §¨ç áâ¨æ á ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¨ ᯨ ¬¨: X (r1 ; r2) = cp p" (r1) ;p# (r2) (7.4)
p
®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ (7.2), ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ cp : 2jpjcp +
X Upp0 cp0 = Ecp p0
(7.5)
£¤¥ Upp0 { ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ਬ¥¬ ¤«ï í⮣® ¬ âà¨ç®£® í«¥¬¥â á«¥¤ãîéãî ¬®¤¥«ì:
;g ¯à¨ p ; h!D < jpj; jp0j < p + h!D F vF vF Upp = 0 ¢¥ í⮣®F ¨â¥à¢ « . 0
(7.6)
ª ª®áâ âë ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g ¢ë¡à ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯à¨â殮¨î, ®£à ¨ç¥¨¥ ¨¬¯ã«ìáë ®§ ç ¥â, çâ® íâ® ¯à¨â殮¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ¢ á«®¥ è¨à¨®© 2h!D ¢®ªà㣠ãà®¢ï ¥à¬¨. ® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, çâ® §¤¥áì 䨣ãà¨àã¥â ¤¥¡ ¥¢áª ï ç áâ®â , á¢ï§ ® ¯à®áâ® á ⥬, çâ® ¢ ¡®«ìè¨á⢥ ॠ«ìëå ¬¥â ««®¢ ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨© ¬¥å ¨§¬ â ª®£® ¯à¨â殮¨ï á¢ï§ á í«¥ªâà® { ä®®ë¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬, ä®®ë ¨ ¬®£ãâ ⮫쪮 ¤¥©á⢮¢ âì í«¥ªâà®ë ¢ á«®¥ è¨à¨®© 2h!D "F ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨. § (7.5) ¨ (7.6) 室¨¬ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â cp : £¤¥
cp = 2j Ij ; E p I=
p0 =pF + hv!FD
X
p0 =pF ; hv!FD
cp0
(7.7)
(7.8)
1 ¬¥® §¤¥áì ¢®§¨ª ¥â ¥ª®â®à®¥ ®£àã¡«¥¨¥ ¨á⨮© ¬®£®ç áâ¨ç®© § ¤ ç¨ { ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¤¢¥ ¢ë¤¥«¥ë¥ ª¢ §¨ç áâ¨æë 䮥 \¦¥á⪮" 䨪á¨à®¢ ®© ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨. 2 ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ã¯à®é¥ãî ¬®¤¥«ì á ¯®ç⨠â®ç¥çë¬ ¯à¨â殮¨¥¬ ª¢ §¨ç áâ¨æ, ¯à¨æ¨¯ 㫨 § ¯à¥é ¥â ¤¢ã¬ ä¥à¬¨® ¬ ¨¬¥âì ®¤¨ ª®¢ë© ᯨ ¢ ®¤®© â®çª¥.
135
¢ï§ ®¥ á®áâ®ï¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®âà¨æ ⥫쮬㠧 票î í¥à£¨¨ E = ;2( > 0). ®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ (7.7), (7.7) ¢ (7.8), ¯®«ãç ¥¬: I = 21 gI
= 12 gIF
Z h!D
;h!D
p0 =pF + hv!FD
X
p0 =pF ; hv!FD
1
jp j + =
1 1 gI ln h!D d j j + 2 F
(7.9)
£¤¥ ¬ë ¯¥à¥è«¨ ®â á㬬¨à®¢ ¨ï ¯® p ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¯® = vF (p ; pF ), ¢¢¥¤ï ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ F = mp2 hF3 ¨ ã竨, çâ® h!D . ®á«¥¤¨© ª®íää¨æ¨¥â 1=2 á¢ï§ á ⥬, çâ® ¬ë §¤¥áì á㬬¨à㥬 ¯® á®áâ®ï¨ï¬ ®¤®© ¨§ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¯ àë, ã ª®â®à®© ¯à®¥ªæ¨ï ᯨ § ¤ , ⮣¤ ª ª ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© F § ¯¨á ¤«ï ®¡¥¨å ¯à®¥ªæ¨© ᯨ . ®®â¢¥âá⢥®, ¨§ (7.9) ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï : !D 1 = 21 gF ln h (7.10) ª®â®à®¥ ¢á¥£¤ (¤ ¦¥ ¯à¨ ᪮«ì 㣮¤® ¬ «ëå § 票ïå g) ¨¬¥¥â ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥: = h!D exp ; g2 (7.11) F
®¯à¥¤¥«ïî饥 ª®¥çãî í¥à£¨î á¢ï§¨ ¯ àë. ª¨¬ ®¡à §®¬, è ä¥à¬¨¥¢áª ï á¨á⥬ ¥ãá⮩稢 ®â®á¨â¥«ì® ®¡à §®¢ ¨ï á¢ï§ ëå ¯ à í«¥ªâà®®¢ ¯à¨ ᪮«ì 㣮¤® á« ¡®¬ ¯à¨â殮¨¨ ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨. â® ¨ ¥áâì ¥ãá⮩稢®áâì 㯥à . ஢¥¤¥®¥ à áᬮâ२¥ ¥áª®«ìª® ¥â®ç® { à¥çì è« ® ¤¢ãå ¢ë¤¥«¥ëå í«¥ªâà® å 䮥 ¦¥á⪮© ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨, ® ®® ¤ ¥â ¯à ¢¨«ìë© à¥§ã«ìâ â ¤«ï í¥à£¨¨ á¢ï§¨ ¯ àë ¯® ¯®à浪㠢¥«¨ç¨ë. 㯥஢᪨¥ ¯ àë, ®ç¥¢¨¤®, ïîâáï ¡®§® ¬¨ ¨ ¬®£ãâ ¯à¥â¥à¯¥¢ âì ¡®§¥-ª®¤¥á æ¨î ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å, çâ® ¨ ¥áâì £« ¢ ï ¨¤¥ï ¢ ®¡êïᥨ¨ ¬¥å ¨§¬ ᢥàå⥪ãç¥á⨠¢ ä¥à¬¨-á¨á⥬¥ (ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâ¨).
¢¥àå⥪ã稩 ä¥à¬¨-£ §. ¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà. â ª, 䨧¨ç¥áª ï ¯à¨à®¤ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠¬¥â ««®¢ á®á⮨⠢ áâ६«¥¨¨ í«¥ªâà®®¢ ª ᯠਢ ¨î, â.¥. ®¡à §®¢ ¨î á¢ï§ ëå á®áâ®ï¨© ¨§ ¯ à ç áâ¨æ, 室ïé¨åáï (¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à®áâà á⢥) ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ ¨ ®¡« ¤ îé¨å à ¢ë¬¨ ¯® ¢¥«¨ç¨¥ ¨ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬¨ ¯® ¯à ¢«¥¨î ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¨ ᯨ ¬¨. ¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨© ¬¥å ¨§¬ ¯à¨â殮¨ï ¢ âà ¤¨æ¨®ëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å (á ⥬¯¥à âãன ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ Tc < 30K) á¢ï§ á í«¥ªâà® { ä®®ë¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬. à¨à®¤ ¯à¨â殮¨ï ¢ ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å ®á®¢¥ ®ªá¨¤®¢ ¬¥¤¨ (Tc > 30K) ¥é¥ ®ª®ç â¥«ì® ¥ ¢ëïᥠ, ᪮॥ ¢á¥£® ® á¢ï§ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ®á¨â¥«¥© ⮪ á â¨ä¥à஬ £¨â묨 ᯨ®¢ë¬¨ ä«ãªâã æ¨ï¬¨. ᢥàå⥪ã祬 He3 (£¤¥ ¢ ®¡« á⨠T < 2:610;3K
136
áãé¥áâ¢ã¥â ¥áª®«ìª® ᢥàå⥪ãç¨å ä §) íâ® ®¡¬¥ ¯ à ¬ £® ¬¨ (ᯨ®¢ë¬¨ ä«ãªâã æ¨ï¬¨) ¬¥¦¤ã ª¢ §¨ç áâ¨æ ¬¨ ¢ £¥«¨¨. ।« £ «¨áì ¨ ¤à㣨¥ ¬¥å ¨§¬ë ᯠਢ ⥫쮣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¯à¨¬¥à â ª §ë¢ ¥¬ë© íªá¨â®ë© ¬¥å ¨§¬. «î¡®¬ á«ãç ¥ à¥çì ¨¤¥â ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ § áç¥â ®¡¬¥ ⥬ ¨«¨ ¨ë¬ ª¢ ⮬ ª®««¥ªâ¨¢ëå (¡®§®ëå) ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¬¥¦¤ã ä¥à¬¨®ë¬¨ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¬¨. ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¥ à áᬠâਢ ¥¬ í⨠¬¥å ¨§¬ë, ®£à ¨ç¨¢ ïáì ®¡á㦤¥¨¥¬ âà ¤¨æ¨®®© ¬®¤¥«¨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠¬¥â ««®¢, ®á®¢¥ ¯à®á⥩襩 ¬®¤¥«¨, ¯à¥¤«®¦¥®© नë¬, 㯥஬ ¨ à¨ää¥à®¬ (¬®¤¥«ì )3 . न, ã¯¥à ¨ à¨ää¥à ¯à¥¤«®¦¨«¨ á«¥¤ãî騩 ¬®¤¥«ìë© £ ¬¨«ì⮨ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª : X X (7.12) H = p a+p ap ; Vg a+p0 " a+;p0 # a;p#ap" p pp0 £¤¥ p = vF (jpj ; pF ) { í¥à£¨ï í«¥ªâà® ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ ¢ ®à¬ «ì+ ®¬ ¬¥â ««¥ (®âáç¨â ï ®â ãà®¢ï ¥à¬¨), ap , ap { ®¯¥à â®àë ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï í«¥ªâà® á ¨¬¯ã«ìᮬ p ¨ ¯à®¥ªæ¨¥© ᯨ . ª ª®áâ âë ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g ¢ë¡à ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯à¨â殮¨î, ¨ ® áç¨â ¥âáï ®â«¨ç®© ®â ã«ï ⮫쪮 ¢ ¥ª®â®à®¬ í¥à£¥â¨ç¥áª®¬ á«®¥ ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨, ª ª ¢ (7.6). ¬¥â¨¬, çâ® íâ®â £ ¬¨«ì⮨ ¨¬¥¥â á¨«ì® \ã१ ë©" ¢¨¤ { ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¨§«®¦¥®© ¢ëè¥ ª à⨮©, ⮫쪮 í«¥ªâà®ë á ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¨ ᯨ ¬¨, ¢á¥ ¯à®ç¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯à®áâ® ¢ë¡à®è¥ë4. ਠ«¨§¥ £ ¬¨«ì⮨ (7.12) ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬, ¯à¥¤«®¦¥ë¬ ®£®«î¡®¢ë¬. ¢¥¤¥¬ ¢¬¥áâ® ç á⨠£ ¬¨«ì⮨ (7.12), ®â¢¥âá⢥®© § ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥: X + + Hint = ; Vg ap0" a;p0# a;p# ap" (7.13)
pp0
£ ¬¨«ì⮨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á á ¬®á®£« ᮢ ë¬ ¯®«¥¬ ¢¨¤ : o Xn + + < ap0" a;p0# > a;p#ap" + < a;p# ap" > a+p0" a+;p0 # Hint = ; Vg pp0
(7.14)
£¤¥ 㣫®¢ë¥ ᪮¡ª¨ ®¡®§ ç îâ ãá।¥¨¥ ¯® ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î ¯à¨ T = 0 ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ á।¥¥ ¯à¨ T > 0: < ::: >= Z ;1 Sp(e; HT :::). १ã«ìâ â¥, ¯®«ë© 3 à¨
í⮬ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ᨣ«¥â®¥ ᯠਢ ¨¥ í«¥ªâà®®¢ (á ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬¨ ᯨ ¬¨) ¨ ã«¥¢ë¬ ®à¡¨â «ìë¬ ¬®¬¥â®¬ ¯ àë (s-ᯠਢ ¨¥), å®âï ¢ ¥ª®â®àëå ¬¥â «« å ¨ ᢥàå⥪ã祬 He3 ᯠਢ ¨¥ ¯à®¨á室¨â ¢ âਯ«¥â®¬ á®áâ®ï¨¨ ¯® ᯨã (¯ à ««¥«ìë¥ á¯¨ë ¢ ¯ à¥) ¨ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¢ s-á®áâ®ï¨¨ ¯® ®à¡¨â «ì®¬ã ¬®¬¥âã. ¯à¨¬¥à, ¢ 㯮¬ïãâëå ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å ॠ«¨§ã¥âáï ᨣ«¥â®¥ d-ᯠਢ ¨¥. 4 १ã«ìâ ⥠⠪®£® ã¯à®é¥¨ï (¢ë¤¥«¥¨ï ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï) § ¤ çã 㤠¥âáï ¨áá«¥¤®¢ âì ¤®áâ â®ç® ¤¥â «ì®, ⥮à¨ï ï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ ¢ëáè¨å ¤®á⨦¥¨© ᮢ६¥®© ⥮à¥â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨, ¥¥ ®á®¢ë¥ ¨¤¥¨ á®åà ïîâ ᨫ㠢 ¯à¨¬¥¥¨¨ ª á ¬ë¬ à §ë¬ á¨á⥬ ¬ ¨ ¬ áèâ ¡ ¬ í¥à£¨¨ (⥬¯¥à âãàë).®¬¨¬® 㦥 㯮¬ïãâëå ¯à¨¬¥à®¢, 㪠¦¥¬ ¯à¨¬¥¨¬®áâì ¥¥ ª ¯à®æ¥áá ¬ ᯠਢ ¨ï 㪫®®¢ ¢ ⮬ëå ï¤à å, ª ᢥàå⥪ãç¥á⨠拉ன ¬ â¥à¨¨ ¢ ¥©âà®ëå §¢¥§¤ å, â ª¦¥ ª ¥ª®â®àë¬ ¬®¤¥«ï¬ ᮢ६¥®© ⥮ਨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ.
137
£ ¬¨«ì⮨ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤5 : H= £¤¥ ¢¢¥«¨:
o X + Xn p ap ap + ap" a;p# + a+;p#a+p" + g1 V jj2 p p X + + = Vg < ap0" a;p0 # > p0 X = Vg < a;p0 # ap0 " > p0
(7.15) (7.16) (7.17)
â ª §ë¢ ¥¬ë¥ ®¬ «ìë¥ á।¨¥, â¥á® á¢ï§ ë¥ á ¯ à ¬¥â஬ ¯®à浪 ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ . ®¬¡¨ 樨 ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï, áâ®ï騥 §¤¥áì ¯®¤ § ª®¬ ãá।¥¨ï, ¯® áã⨠¤¥« , ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ®¯¥à â®àë ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à (¡®§®®¢!) á ã«¥¢ë¬ ¨¬¯ã«ìᮬ, «®£¨çë¥ (6.89). ®í⮬ã, ¨á¯®«ì§ãï ¡®£®«î¡®¢áªãî ¨¤¥®«®£¨î, ¯à¨¬¥ï¢èãîáï ¢ëè¥ ª ¡®§¥-£ §ã, ¬ë ¨ ¬®¦¥¬ § ¬¥¨âì í⨠ª®¬¡¨ 樨 ®¯¥à â®à®¢ ¢ £ ¬¨«ì⮨ ¥ (7.13) c-ç¨á« (7.16), (7.17), â.¥. ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® ªã¯¥à®¢áª¨¥ ¯ àë ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ¯à¥â¥à¯¥¢ îâ ¡®§¥ { ª®¤¥á æ¨î ¨ â.¤. ¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®¡é®á⨠¬®¦® áç¨â âì, çâ® = , â.¥. ¢ë¡à âì ä §ã ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« = jjei (¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ) à ¢®© ã«î: = 0. ®âáãâá⢨¥ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï íâ® ¬®¦® ᤥ« âì, ¯®áª®«ìªã í¥à£¨ï á¨áâ¥¬ë ¢á¥ à ¢® ®ª §ë¢ ¥âáï ¥ § ¢¨áï饩 ®â ä §ë6. ¬¥â¨¬, çâ® áãé¥á⢮¢ ¨¥ ®¬ «ìëå á।¨å ⨯ (7.17)  àãè ¥â § ª® á®åà ¥¨¥ ç¨á« ç áâ¨æ, ¢ ®à¬ «ì®¬ ¬¥â ««¥ â ª¨¥ á।¨¥ ¡¥§ãá«®¢® à ¢ë ã«î [20]. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨å ¯®ï¢«¥¨¥ ®§ ç ¥â àã襨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ᨬ¬¥âਨ ¯à¨ ä §®¢®¬ ¯¥à¥å®¤¥ ¨§ ®à¬ «ì®£® ¬¥â «« ¢ ᢥàå¯à®¢®¤ï饥 á®áâ®ï¨¥7. «ì¥©è¨© «¨§ ¤®«¦¥ ¯®ª § âì, á ¬®á®£« ᮢ ë¬ ®¡à §®¬, çâ® â ª¨¥ á।¨¥ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®â«¨çë ®â ã«ï ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å { íâ® ¨ ¡ã¤¥â ¯¥à¥å®¤ ¢ ᢥàå¯à®¢®¤ï饥 á®áâ®ï¨¥. ®áª®«ìªã £ ¬¨«ì⮨ (7.15) ¨¬¥¥â ⥯¥àì ¢¨¤ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ¯® ä¥à¬¨®ë¬ ®¯¥à â®à ¬, ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¤¨ £® «¨§®¢ á ¯®¬®éìî u ; v{ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®£®«î¡®¢ . ¥à¥©¤¥¬ ª ®¢ë¬ ®¯¥à â®à ¬: bp# = up ap# + vp a+;p" bp" = up ap" ; vp a+;p# (7.18) b+p# = up a+p# + vp a;p" b+p" = up a+p" ; vp a;p# (7.19) ᨫ㠯।¯®« £ ¥¬®© ¨§®âய¨¨ í«¥ªâà®®© ¦¨¤ª®á⨠ª®íää¨æ¨¥âë up ¨ vp § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â jpj. ८¡à §®¢ ¨¥ (7.19) \®¡ê¥¤¨ï¥â" ®¯¥à â®àë ª¢ §¨ç áâ¨æ á ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¨ ᯨ ¬¨. \â àë¥" ®¯¥à â®àë 㤮¢«¥â¢®à﫨 ä¥à¬¨¥¢áª¨¬ ª®¬¬ãâ æ¨®ë¬ á®®â®è¥¨ï¬: n o o n ap ; a+p00 = pp0 0 ap ; ap0 0 = a+p ; a+p00 = 0 (7.20) 5 ¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥ ᬥ㠧 ª , á¢ï§ ãî á ⥬, çâ® ¬ë ¯¥à¥áâ ¢¨«¨ ¬¥áâ ¬¨ ⨪®¬¬ãâ¨àãî騥 ä¥à¬¨-®¯¥à â®àë. ஬¥ ⮣® §¤¥áì ãç⥮ ¯®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥, ¯®«ãç î饥áï ¯à¨ ãá।¥¨¨ (7.13) ¢ ¤ãå¥ (7.14), ¥ ᮤ¥à¦ 饥 ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï, ¨ ¤ î饥 ¢ª« ¤ ¢ í¥à£¨î ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï 6 ¥ï¢®¬ ¢¨¤¥ íâ® ¦¥ ¡ë«® ᤥ« ® ¨ ¢ (6.89), ¢ ¬®¤¥«¨ ¡®§¥-£ § . 7 ¤¥áì ¬ë áâ «ª¨¢ ¥¬áï á ¥¨¥¬, ª®â®à®¥ ¢ ᮢ६¥®© ⥮ਨ §ë¢ ¥âáï ᯮâ ë¬ àã襨¥¬ ᨬ¬¥âਨ { ®¢®¥ ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ á¨á⥬ë (ᢥàå¯à®¢®¤¨ª) ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ ¨§ªãî ᨬ¬¥âà¨î, ¥¦¥«¨ £ ¬¨«ì⮨ á¨á⥬ë (7.12). ª®¥ ¥¨¥ ï¥âáï ⨯¨çë¬ ¤«ï «î¡®£® ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ II த .
138
£¤¥ 䨣ãàë¥ áª®¡ª¨ ®¡®§ ç îâ ⨪®¬¬ãâ â®àë. ë ¤®«¦ë ¯®âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¨ ®¢ë¥ ®¯¥à â®àë 㤮¢«¥â¢®à﫨 â ª¨¬ ¦¥ á®®â®è¥¨ï¬:
n
o
b ; b 0 0 = nb+ ; b+ o = 0 p p p p00
bp ; b+p00 = pp0 0
(7.21)
â.¥. ç⮡ë \®¢ë¥" ª¢ §¨ç áâ¨æë ®áâ ¢ «¨áì ä¥à¬¨® ¬¨. ¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ®âáî¤ ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî饥 ãá«®¢¨¥ ª®íää¨æ¨¥âë u ¨ v: u2p + vp2 = 1 (7.22) ਠí⮬ ®¡à âë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤: ap" = up bp" + vp b+;p# ap# = up bp# ; vp b+;p" (7.23) + + + + ap" = up bp" + vp b;p# ap# = up bp# ; vp b;p" (7.24) ®¤áâ ¢«ïï (7.24) ¢ £ ¬¨«ì⮨ (7.15), ¯®«ãç ¥¬:
X p
p vp2 ; 2
X p
up vp + g1 V 2 +
o + p "bp" + bp#bp# ) + o Xp n + [2p up vp ; (u2p ; vp2 )](b+p" b+;p# + b;p#bp") p +
Xn
H=2
[p (u2p ; vp2 ) + 2upvp
](b+
(7.25)
¥¯¥àì ¢¨¤®, ç⮠㦮 «®¦¨âì á«¥¤ãî饥 ãá«®¢¨¥ ª®íää¨æ¨¥âë u ¨ v: 2p up vp ; (u2p ; vp2 ) = 0 (7.26) ¨ ¥¤¨ £® «ìë¥ ç«¥ë ¢ (7.25) ¨á祧ãâ. ®£¤ ®ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬ £ ¬¨«ì⮨ ®¢ëå \᢮¡®¤ëå" (!) ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ¢¨¤¥: H = E0 + £¤¥
E0 = 2
X p
"(p)[(b+p"bp" + b+p# bp#)]
X p
[p vp2 ; up vp ] + g1 V 2
(7.27) (7.28)
®¯à¥¤¥«ï¥â í¥à£¨î ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï, "(p) = p (u2p ; vp2 ) + 2upvp (7.29) { í¥à£¨î ®¢ëå ª¢ §¨ç áâ¨æ. § (7.22) ¨ (7.26) «¥£ª® 室¨¬ ï¢ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ u ¨ v: u2p v2 p
10 = @1 q p 2
p2 + 2
1 A
(7.30)
®£¤ ¤«ï ᯥªâà ®¢ëå ª¢ §¨ç áâ¨æ ¨§ (7.29) ¯®«ãç ¥¬:
q
"(p) = p2 + 2
(7.31)
139
¨á. 7-1 ¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà í«¥ªâà®®¢ ¢ ⥮ਨ .
{ ᯥªâà ᮠ饫ìî è¨à¨®© 2 ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨! ç¥áâ¢¥ë© ¢¨¤ í⮣® ᯥªâà ¯à¨¢¥¤¥ ¨á.7-1. 祢¨¤ë¬ ®¡à §®¬, íâ®â ᯥªâà 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ᢥàå⥪ãç¥á⨠¤ ã { Min "(pp) > 0, â.¥. ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâì ¢ á¨á⥬¥ § à殮ëå ç áâ¨æ8. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ª®¥çëå § 票ïå (â.¥. ª ç¥á⢥®¬ ï§ëª¥, ¯à¨ «¨ç¨¨ ¡®§¥-ª®¤¥á â ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à) ¢ á¨á⥬¥ ¢®§¨ª ¥â ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâì. áâ «®áì, ®¤ ª®, ¯®ª § âì, çâ® â ª ï á¨âã æ¨ï ¢®§¬®¦ , â.¥. 㦮 ©â¨ ãá«®¢¨ï ª®£¤ áâ ®¢ïâáï ®â«¨ç묨 ®â ã«ï ®¬ «ìë¥ á।¨¥ (7.16), (7.17). ®¢¥àè ï ¢ (7.16) u ; v{¯à¥®¡à §®¢ ¨¥, § ¯¨è¥¬: X + + X = Vg < ap" a;p# >= Vg up vp (1 ; np" ; np# ) (7.32) £¤¥ á ¬®¬ ¤¥«¥:
p
p
np" =< b+p" bp" > 1 ; np# =< bp# b+p# >
< a+p" a+;p# >=< (up b+p" + vp b;p# )(up b+;p# ; vp bp" ) >= = u2p < b+p" b+;p# > ;up vp < b+p" bp" > +vp up < b;p# b+;p# > ;vp2 < b;p# bp" >= = up vp (1 ; np" ; np# )
(7.33)
(7.34)
8
᫨ ¢ á¨á⥬¥ â¥ç¥â ⮪, â® ¢áï ¯®¢¥àå®áâì ¥à¬¨ á¬¥é¥ ¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à®áâà á⢥ ¥ª®â®àë© ¢¥ªâ®à q, â ª®©, çâ® mvs = h q, £¤¥ vs { ¤à¥©ä®¢ ï ᪮à®áâì í«¥ªâà®®¢. p ®£¤ í¥à£¨ï í«¥¬¥â ண® ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ "(p) p2 + 2 + pF vs , £¤¥ ã竨 ¬ «®áâì ¤à¥©ä®¢®© ᪮à®áâ¨, â ª çâ® p+q pp + vF q. «ï í«¥ªâà® á ¨¬¯ã«ìᮬ ¯ à ««¥«ìë¬ ¨«¨ ⨯ à ««¥«ìë¬ vs ¨¬¥¥¬ "(p) p2 + 2 pF vs . ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬¨ â®çª ¬¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ ¢®§¨ª ¥â à §®áâì í¥à£¨© h ! = 2pF vs ¨ ᯥªâà ¢®§¡ã¦¤¥¨© áâ ®¢¨âáï ¥á¨¬¬¥âà¨çë¬. ¤ ª®, ¯®ªã¤ h ! = 2pF vs < é¥«ì ¢ ᯥªâॠá®åà ï¥âáï ¨, ¯à¨ T = 0, ¢®§¡ã¦¤¥ë¥ ª¢ §¨ç áâ¨æë ®âáãâáâ¢ãîâ! ®®â¢¥âá⢥®, ¥â ¨ ¤¨áᨯ 樨 ⮪ . ਠvspf > ¢¥àåïï ¨ ¨¦ïï §®ë ª¢ §¨ç áâ¨æ ç¨ îâ ¯¥à¥ªàë¢ âìáï ¨ ¢®§¡ã¦¤¥¨¥ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ¢¥àåîî §®ã ¢®§¬®¦® ¤ ¦¥ ¯à¨ T = 0 { ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâì ¯à®¯ ¤ ¥â. ®®â¢¥âá⢥®, ¢®§¨ª ¥â ¨ ¯à®á⥩è ï ®æ¥ª ªà¨â¨ç¥áª®£® ⮪ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª : jc = evsc = peF .
140
¯®áª®«ìªã ¯à¨ ¯à ¢¨«ì®¬ ¢ë¡®à¥ ®¢®£® ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ¤®«¦® ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥ < b+p" b+;p# >=< b;p# bp" >= 0, â.¥. ®¢ë¥ ª¢ §¨ç áâ¨æë ¥ ¤®«¦ë á ¬®¯à®¨§¢®«ì® ஦¤ âìáï ¨ ã¨ç⮦ âìáï9 . «®£¨ç®: < ap" a;p# >= up vp (1 ; np# ; np" ) =< a+p" a+;p# > (7.35) ®¤áâ ¢«ïï ¢ (7.32) ï¢ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï up ¨ vp ¨§ (7.30), ¨¬¥¥¬: X 1 ; np" ; np# p + 2 (7.36) 1 = 2Vg p p ãà ¢¥¨¥ ¤«ï í¥à£¥â¨ç¥áª®© 饫¨ ¢ ⥮ਨ . ®âáãâá⢨¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï, ç¨á« § ¯®«¥¨ï np" = np# ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ®¡ëçë¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¥à¬¨ ç áâ¨æ ᮠᯥªâ஬ (7.31): np" = np# = "(p)1 (7.37) e T +1 áᬮâਬ á ç « á«ãç © T = 0. í⮬ á«ãç ¥, ¯à¨ 6= 0, ª¢ §¨ç áâ¨æ ¥â, â.¥. np" = np# = 0. ਠT > 0 ®¨, ª®¥ç®, ¬®£ãâ ¢®§¡ã¦¤ âìáï ¯®¯ à® (ç áâ¨æ { ¤ëઠ) ¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ª®«¨ç¥á⢥ ¤ 饫ìî. ®£¤ , ¢ (7.36) ¬®¦® ¯¥à¥©â¨ ®â á㬬¨à®¢ ¨ï ¯® p ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¨ § ¯¨á âì: Z d3p 1 ; 2np g 1 = 2 (2h)3 q (7.38) p2 + 2 ® ¯à¨ T = 0, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ ᮠ᪠§ ë¬, ¨¬¥¥¬: Z dp 4p2 1 = g2 (2 h)3 qp2 + 20
(7.39)
à §ã § ¬¥â¨¬, çâ® íâ® ãà ¢¥¨¥ § ¢¥¤®¬® ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨ï ¤«ï 0 ¯à¨ g < 0, â.¥. ¢ á«ãç ¥ ®ââ «ª¨¢ ¨ï, â.ª. § ª¨ ®¡¥¨å ç á⥩ ãà ¢¥¨ï § ¢¥¤®¬® à §ë¥. ᯮ¬¨¬ ⥯¥àì, çâ® ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g, ä ªâ¨ç¥áª¨, ®â«¨ç ®â ã«ï ⮫쪮 ¢ á«®¥ è¨à¨®© 2!D ¢®ªà㣠¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ (á¬. (7.6)). ®£¤ ¢ (7.39): Z p2F Z h!D q dp 2p2F ln 2!D dpp2 p 2 21 (7.40) 0 0 + vF (p ; pF )2 vF2 ;h!D p2 + 20 vF2 ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (7.39) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: F ln 2h!D 1 = gmp 3 2 h3 0 à¥è¥¨¥ ª®â®à®£® ¤ ¥â: 2 1 0 = 2h!D exp ; g 2!D exp ; F p
(7.41) (7.42)
9 ⥬ â¨ç¥áª¨ íâ® á«¥¤á⢨¥ ⮣® ®¡áâ®ï⥫ìá⢠, çâ® ¤«ï ¤¨ £® «¨§®¢ ®£® £ ¬¨«ì⮨ (7.27) ¢ ¬ âà¨æ¥ ¯«®â®á⨠¨¬¥îâáï ⮫쪮 ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë. ®®â¢¥âá⢥® á।¨¥ ®â ¤¨ £® «ìëå ¯à®¨§¢¥¤¥¨© ®¯¥à â®à®¢ (7.33) ®â«¨çë ®â ã«ï, ⮣¤ ª ª á।¨¥ ®â ¥¤¨ £® «ìëå ¯à®¨§¢¥¤¥¨© (7.34) à ¢ë ã«î.
141
¡«¨æ 7.1 ¥¬¯¥à âãà ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ ¤«ï àï¤ ¬¥â ««®¢ (K ). Al Sn In Hg P b Nb Nb3Sn Nb3 Ge La1:83Sr0:17CuO4 Y Ba2 Cu3O7 1:2 3:75 3:4 4:16 7:22 7:78 18:0 23:2 37 92
£¤¥ F = mp2 hF3 { ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© ã஢¥ ¥à¬¨, p = gF =2 { ¡¥§à §¬¥à ï ª®áâ â ᯠਢ ⥫쮣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ T = 0 í¥à£¥â¨ç¥áª ï 饫ì 0 ®â«¨ç ®â ã«ï, ä®à¬ «ì®, ¯à¨ ᪮«ì 㣮¤® ¬ «ëå § 票ïå ᯠਢ ⥫쮩 ª®áâ âë ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï p 10. ਠª®¥çëå ⥬¯¥à âãà å, ¯®« £ ï ¢ (7.38) = 0, ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥, ®¯à¥¤¥«ïî饥 ªà¨â¨ç¥áªãî ⥬¯¥à âãàã ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ :
Z d3p 1 ; 2np Z h!D 1 p = dp th 1 = 2g (2 p h)3 jp j ;h!D 2p 2Tc
à¥è¥¨¥ ª®â®à®£® ¤ ¥â [24]:
1 Tc = 2 h ! exp ; D p
(7.43)
(7.44)
£¤¥ 1:78 { ¯®áâ®ï ï ©«¥à . ਠí⮩ ⥬¯¥à âãॠí¥à£¥â¨ç¥áª ï é¥«ì ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì (á¬. ¨¦¥), ¨ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®à¬ «ì®¥ á®áâ®ï¨¥ 11. ¡«¨æ¥ 7-1 ¯à¨¢¥¤¥ë ⥬¯¥à âãàë ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ ¤«ï àï¤ ¬¥â ««®¢ ¨ ᮥ¤¨¥¨©. ¯®á«¥¤¨å ¤¢ãå á⮫¡æ å í⮩ â ¡«¨æë ¯à¨¢¥¤¥ë ¤ ë¥ ¯® ¤¢ã¬ ⨯¨çë¬ ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàë¬ á¢¥àå¯à®¢®¤¨ª ¬ () ®á®¢¥ ®ªá¨¤®¢ ¬¥¤¨, ª®â®àë¥ ªâ¨¢® ¨áá«¥¤ãîâáï c 1987 £®¤ . ªá¨¬ «ì ï ⥬¯¥à âãà ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ Tc 135K (¯®¤ ¤ ¢«¥¨¥¬ ¤® 150K) ¡«î¤ « áì ¢ á¨á⥬¥ Hg2Ba2 Ca2Cu3O8 . {á¨áâ¥¬ë § ¢¥¤®¬® ¥ ®¯¨áë¢ îâáï í«¥¬¥â ன ⥮ਥ© , ®¯¨á ®© ¢ëè¥. ª®ç ⥫쮣® ¯®¨¬ ¨ï ¯à¨à®¤ë ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠¢ ¨å ¯®ª ¥é¥ ¥â, å®âï ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ¢à¥¬ï ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ ¢ëïᨫ áì ¥ä®® ï ¯à¨à®¤ ᯠਢ ¨ï (¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥, ®â¢¥âá⢥®¥ § ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâì, ᪮॥ ¢á¥£®, á¢ï§ ® á â¨ä¥à஬ £¨â묨 ᯨ®¢ë¬¨ ä«ãªâã æ¨ï¬¨) ¨ ¥£® ¨§®âà®¯ë© å à ªâ¥à (d-ᯠਢ ¨¥). âà ¤¨æ¨®ëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å, ⥮à¨ï ¤ ¥â ¤®áâ â®ç® ¯®«®¥ ®¯¨á ¨¥ í⮣® ¥¨ï ¨ ¨ª ª¨å ᮬ¥¨© ¢ í«¥ªâà® { ä®®®¬ ¬¥å ¨§¬¥ ᯠਢ ¨ï ¢ ¨å ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ¡«¨æ¥ 7-2 [26] ¬ë ¯à¨¢®¤¨¬ § 票ï p ¨ h!D ¤«ï àï¤ âà ¤¨æ¨®ëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª®¢, £¤¥ § ¢¥¤®¬® ¯à¨¬¥¨¬ à áᬮâà¥ ï ¢ëè¥ ¬®¤¥«ì \á« ¡®© á¢ï§¨" . 10 ¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¬®¦¨â¥«ì 2 ¢ (7.42), ¯® áà ¢¥¨î á «®£¨çë¬ ¢ëà ¦¥¨¥¬ (7.11), ¯®«ãç¥ë¬ ¢ëè¥ ¨§ ¡®«¥¥ ¯à®áâëå á®®¡à ¦¥¨©. ¥â®ç®áâì à¥è¥¨ï (7.11) á¢ï§ á ®â¬¥ç¥®© ¢ëè¥ £àã¡®áâìî à áᬮâà¥¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤¢ãå í«¥ªâà®®¢ 䮥 ¦¥á⪮© ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨. ©¤¥®¥ ᥩç á à¥è¥¨¥ (7.42) ï¥âáï 㦥 ¢¯®«¥ ª®à४âë¬. 11
᫨ ¬¥å ¨§¬ ᯠਢ ¨ï ®â«¨ç¥ ®â í«¥ªâà® { ä®®®£®, ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥ ¢ ¯à¥¤íªá¯®¥â¥ á⮨â å à ªâ¥à ï ç áâ®â â¥å ¡®§®ëå ¢®§¡ã¦¤¥¨©, ®¡¬¥ ª®â®à묨, ®â¢¥ç ¥â § ¯à¨â殮¨¥ ®á¨â¥«¥© ⮪ . ç áâ®áâ¨, ¢ â ª §ë¢ ¥¬®¬ íªá¨â®®¬ ¬¥å ¨§¬¥ ᯠਢ ¨ï §¤¥áì ¬®¦¥â áâ®ïâì í¥à£¨ï EF h!D , ¯®ç¥¬ã íâ®â ¬¥å ¨§¬ ¨ ¯à¥¤« £ «áï ¤«ï ®áãé¥á⢫¥¨ï ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãன ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâ¨. ॠ«ìëå { á¨á⥬ å, ¯® ¢¨¤¨¬®¬ã, §¤¥áì á⮨â å à ªâ¥à ï í¥à£¨ï â¨ä¥à஬ £¨âëå ᯨ®¢ëå ä«ãªâã 権, ®á®¢ë¥ ¯®«®¦¥¨ï ⥮ਨ á®åà ïîâáï.
142
¡«¨æ 7.2 ªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ § 票ï
Zn Cd Hg Al Tl Sn Pb
h!D (K) Tc (K) 235 0:9 164 0:56 70 4:16 375 1:2 100 2:4 195 3:75 96 7:22
p 0:18 0:18 0:35 0:18 0:27 0:25 0:39
h!D , Tc ¨ ª®áâ âë á¢ï§¨ p .
ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, ¢ ᢥàå⥪ã祬 He3 ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å ¨¦¥ 2:6mK â ª¦¥ ¯à®¨á室¨â ªã¯¥à®¢áª®¥ ᯠਢ ¨¥ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¥©âà «ì®© ä¥à¬¨¦¨¤ª®áâ¨, § áç¥â ®¡¬¥ ᯨ®¢ë¬¨ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï¬¨ (¯ à ¬ £® ¬¨). í⮩ á¨á⥬¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¥áª®«ìª® ᢥàå⥪ãç¨å ä §, ®â«¨ç îé¨åáï ⨯®¬ ᯠਢ ¨ï (®à¡¨â «ìë¬ ¨ ᯨ®¢ë¬ ¬®¬¥â®¢ ¯ à). â® ¯à¨¢®¤¨â ª ¥®¡ëç ©®¬ã ¡®£ âáâ¢ã 䨧¨ç¥áª¨å ¥¨©, ¡«î¤ ¥¬ëå ¢ í⮩ á¨á⥬¥ [27]. ।áâ ¢«¥¨î ® á¢ï§ ëå ¯ à å, å®âï ®® ¨ «¥¦¨â ¢ ®á®¢¥ ᮢ६¥®© ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâ¨, ¥ á«¥¤ã¥â ¯à¨¤ ¢ âì ᫨誮¬ ¡ãª¢ «ìë© á¬ëá«. ®ç¥¥ á«¥¤ã¥â £®¢®à¨âì ® ª®à५ï樨 ¬¥¦¤ã á®áâ®ï¨ï¬¨ ¯ à ç áâ¨æ ¢ p{¯à®áâà á⢥, ¯à¨¢®¤ï饩 ª ª®¥ç®© ¢¥à®ïâ®á⨠ç áâ¨æ ¬ ¨¬¥âì à ¢ãî ã«î á㬬㠨¬¯ã«ìᮢ ¨ ᯨ®¢. á ¬®¬ ¤¥«¥, à §¡à®á p ¢ ®¡« á⨠í⮩ ª®à५ï樨 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â í¥à£¨¨ á¢ï§¨ ¯ àë (饫¨) , â.¥. p =vF . ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ¤«¨ h=p hvF = ®¯à¥¤¥«ï¥â å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ à ááâ®ï¨© ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨ á ª®à५¨à®¢ 묨 ¨¬¯ã«ìá ¬¨ (à §¬¥à ¯ àë). ਠT = 0 íâ , â ª §ë¢ ¥¬ ï ¤«¨ ª®£¥à¥â®áâ¨, à ¢ : 0 hvF !vF exp 1 (7.45) 0 D p ®áª®«ìªã ¢ ¬¥â «« å ⨯¨çë § 票ï !vFD phF h"!FD a, £¤¥ a { å à ªâ¥à®¥ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ®â¤¥«ì묨 í«¥ªâà® ¬¨. ஬¥ ⮣® ¨ íªá¯®¥â ¢ (7.45) § ç¨â¥«ì® ¯à¥¢ëè ¥â ¥¤¨¨æã, ¯®áª®«ìªã ®¡ëç® p < 1. âáî¤ ïá®, çâ® ¢á¥£¤ 0 a, â ª çâ® \¢ãâà¨" ª ¦¤®© ¯ àë ¯®¬¥é ¥âáï ¬®¦¥á⢮ ®â¤¥«ìëå í«¥ªâà®®¢, ¨«¨, ¨ë¬¨ á«®¢ ¬¨ ¯ àë á¨«ì® ¯¥à¥ªàë¢ îâáï ¨ â¥àïîâ á¢®î ¨¤¨¢¨¤ã «ì®áâì. â® ¥ ᮢᥬ â ª ¢ { á¨á⥬ å, £¤¥ § áç¥â ¢ë᮪®£® § 票ï Tc (¡®«ì让 í¥à£¨¨ á¢ï§¨ ¯ àë) ¨ ®â®á¨â¥«ì® ¬ «®© ª®æ¥âà 樨 ®á¨â¥«¥© à §¬¥à ¯ à «¨èì ¥ ®ç¥ì § ç¨â¥«ì® ¯à¥¢ëè ¥â á।¥¥ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ®á¨â¥«ï¬¨. ⨠á¨á⥬ë 室ïâáï ¢ ¯¥à¥å®¤®© ®¡« á⨠®â \àëå«ëå" ¯ à ⥮ਨ ª \ª®¬¯ ªâë¬" ¡®§® ¬. â ª, ¢ ⥮ਨ í«¥ªâà®ë ®à¬ «ì®£® ¬¥â «« ¯à¥¢à é îâáï ¢ ®¢ë¥ ä¥à¬¨®ë¥ ª¢ §¨ç áâ¨æë á ᯥªâ஬ (7.31). ¤®¢à¥¬¥® ¯à®¨á室¨â ¨ ¯¥à¥áâனª ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ®à¬ «ì®£® ¬¥â «« . ਢ¥¤¥¬, ¡¥§ ¢ë¢®¤ , ®á®¢ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ᢥàå¯à®¢®¤¨ª [26]. â® á®áâ®ï¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: Y jBCS >= (up + vp a+p" a;p# )j0 > (7.46) p
£¤¥ j0 > { á®áâ®ï¨¥ á¨áâ¥¬ë ¡¥§ í«¥ªâà®®¢ (¢ ªãã¬), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ®ç¥¢¨¤®¬ã ãá«®¢¨î: ap j0 >= 0. á«®¢¨¥ u2p + vp2 = 1 ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ®à¬¨à®¢ªã
143
< BCS jBCS >= 1. ।¥¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ á®áâ®ï¨¨ ¥áâì: X X V Z d3p2v2 < N >= < BCS ja+p ap jBCS >= 2 vp2 = (2 p h)3 p p
(7.47)
ਠí⮬ ä«ãªâã æ¨ï ç¨á« ç áâ¨æ ¢ ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨ ®â«¨ç ®â ã«ï (íâ® á®áâ®ï¨¥, ª ª ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, àãè ¥â § ª® á®åà ¥¨ï ç¨á« ç áâ¨æ!): < N 2 > ; < N >2 =
X p
4u2pvp2
(7.48)
âáî¤ «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® < N 2 > ; < N >2 V < N >, ®¤ ª® ®â®á¨â¥«ì ï ä«ãªâã æ¨ï: < N 2 > ; < N >2 1 (7.49) < N >2 ¨ á।¥ª¢ ¤à â¨ç ï ®â®á¨â¥«ì ï ä«ãªâã æ¨ï ã¡ë¢ ¥â ¯à¨ < N >! 1 ª ª p 1= < N >. ¢ë¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® â ª ®¯à¥¤¥«¥®¥ ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î bp" jBCS >= bp# jBCS >= 0, â.¥. ï¥âáï ¯à ¢¨«ìë¬ ¢ ªã㬮¬ ¤«ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ⥮ਨ , ¯®«ãç¥ëå ¨§ ª¢ §¨ç áâ¨æ ®à¬ «ì®£® ¬¥â «« ¯ã⥬ u ; v { ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï.
¢¥àå⥪ã稩 ä¥à¬¨{£ §. ¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë. áᬮâਬ ⥯¥àì á¨âã æ¨î ¯à¨ T > 0. à ¢¥¨¥ ¤«ï 饫¨ (7.38) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
; 1 + 2g
Z d3p 1 Z d3p np = g (2h)3 "(p) (2h)3 "(p)
(7.50)
£¤¥ "(p) ¤ ¥âáï (7.31). ¬¥â¨¬, çâ® ¨â¥£à « ¢ «¥¢®© ç á⨠®â«¨ç ¥âáï ®â â ª®¢®£® ¢ (7.39) ⮫쪮 § ¬¥®© 0 . ®£¤ , § ¬¥ïï ¥¤¨¨æã ¢ «¥¢®© ç á⨠«®£ 0 F à¨ä¬ ¨§ (7.41), ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥¬ «¥¢ãî ç áâì (7.50) ª ª g 2mp 2 h3 ln . ¯à ¢®© ç á⨠"(p) ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ äãªæ¨î ¥à¬¨ np = [e T + 1];1 ¨ ¯¥à¥å®¤¨¬ ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¯® d = vF dp. ®£¤ (7.50) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: ln 0 = £¤¥
Z1
dp2+2
;1 p 2 + 2 e
I(u) =
Z1 ;1
p
T
= 2I T
+1
dxp x2 + u2 + 1)
x2 + u2 (exp
(7.51)
(7.52)
144
â®â ¨â¥£à « ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ® ¢ëç¨á«ï¥âáï ¢ ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ïå [1, 3], ¨ ¬ë ¨¬¥¥¬: ( ; 1=2 ;u e ¯à¨ u 1 I(u) = 2u 7 (3) 2 (7.53) ln u + 82 u ¯à¨ u 1 £¤¥ 1:78 { ¯®áâ®ï ï ©«¥à , (3) 1:202 { -äãªæ¨ï ¨¬ ®â à£ã¬¥â 3. ®¤áâ ¢«ïï í⨠¯à¥¤¥«ìë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¢ (7.51), ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï ®¡« á⨠¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà T : # " r 0 2T ; (7.54) = 0 1 ; e T ; 0
¢¡«¨§¨ â®çª¨ ¯¥à¥å®¤ ¢ ®à¬ «ì®¥ á®áâ®ï¨¥, ª®£¤ ! 0, ¨¬¥¥¬: T + 7(3) 2 (7.55) ln 0 = ln 82 T 2 § ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ¢¨¤®, çâ® é¥«ì ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨ ⥬¯¥à âãà¥: Tc = 0 0:570 (7.56)
çâ®, á ãç¥â®¬ (7.42), ᮢ¯ ¤ ¥â á (7.44). ⬥⨬, çâ® ®âáî¤ ¢ë⥪ ¥â å à ªâ¥à®¥ 0 ®â®è¥¨¥ ⥮ਨ : 2 Tc 3:52, íªá¯¥à¨¬¥â «ì®¥ ¯®¤â¢¥à¦¤¥¨¥ ª®â®à®£® ¢ 楫®¬ à拉 âà ¤¨æ¨®ëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª®¢ ¯®á«ã¦¨«®, ¢ ᢮¥ ¢à¥¬ï, ¢ ¦ë¬ ᢨ¤¥â¥«ìá⢮¬ ¯à ¢¨«ì®á⨠í⮩ ⥮ਨ 12. ¡«¨§¨ Tc ¨§ (7.55) «¥£ª® ¯®«ãç¨âì:
82
r
1=2 T (T) = Tc 7(3) 1 ; T 3:06Tc 1 ; TT (7.57) c c çâ® ¤¥¬®áâà¨àã¥â å à ªâ¥à®¥ ª®à¥¢®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ 饫¨, ⨯¨ç®¥ ¤«ï ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¯à¨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤ å II த . ¡é¨© ¢¨¤ § ¢¨á¨¬®á⨠í¥à£¥â¨ç¥áª®© 饫¨ ®â ⥬¯¥à âãàë ¢ ⥮ਨ , á«¥¤ãî騩 ¨§ (7.51) ¯®ª § ¨á. 7-2. â § ¢¨á¨¬®áâì â ª¦¥ ¤®áâ â®ç® å®à®è® ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï ¢ íªá¯¥à¨¬¥â å âà ¤¨æ¨®ëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å á ¥ ®ç¥ì ¢ë᮪®© ⥬¯¥à âãன ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ Tc . ¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâà¥¨î ¤à㣨å ᢮©á⢠ᢥàå¯à®¢®¤¨ª®¢ ¯à¨ ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà å. ਢ¥¤¥¬ ¡¥§ ¢ë¢®¤ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï à §®á⨠᢮¡®¤ëå í¥à£¨© ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¨ ®à¬ «ì®£® á®áâ®ï¨ï ¢¡«¨§¨ Tc (T < Tc ), ¢ë⥪ î饥 ¨§ ⥮ਨ [1, 3]: 2 2 (7.58) Fs ; Fn = ;V 2mpF T3c 1 ; TT ; 7(3)h c ®âªã¤ ¢¨¤®, ç⮠ᢥàå¯à®¢®¤ï饥 á®áâ®ï¨¥ ¯à¨ T < Tc ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ ¨§ªãî ᢮¡®¤ãî í¥à£¨î, ¥¦¥«¨ ®à¬ «ì®¥. «ï à §®á⨠íâய¨© ¨§ (7.58) á«¥¤ã¥â: 4mpF Tc 1 ; T = ; V (7.59) Ss ; Sn = ; @F @T Tc 7(3)h3 12 ® ¬®£¨å ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å ¡«î¤ îâáï § ¬¥âë¥ ®âª«®¥¨ï®â í⮣® ¯à¥¤áª § ¨ï ⥮ਨ . ¡é¥¯à¨ïâ ï â®çª §à¥¨ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® \¨¤¥ «ì®¥" § 票¥ 3:52 ¤«ï ®â®è¥¨ï ¯®«®© è¨à¨ë í¥à£¥â¨ç¥áª®© 饫¨ ª ¢¥«¨ç¨¥ Tc å à ªâ¥à® ¤«ï ᢥàå¯à®¢®¤¨ª®¢ á® á« ¡®© á¢ï§ìî (¬ «®© ¢¥«¨ç¨®© ª®áâ âë ᯠਢ ⥫쮣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï), ¢ ¯®«®¬ ᮮ⢥âá⢨¥¬ á ⥮ਥ© .
145
¨á. 7-2 ¥¬¯¥à âãà ï § ¢¨á¨¬®áâì í¥à£¥â¨ç¥áª®© 饫¨ ¢ ⥮ਨ .
®®â¢¥âá⢥®, ¯®«ãç ¥¬ ¢¥«¨ç¨ã áª çª â¥¯«®¥¬ª®á⨠¢ â®çª¥ ¯¥à¥å®¤ : @S = V 4mpF Tc Cs ; Cn = T @T (7.60) 7(3)h3 ç¨âë¢ ï, çâ® Cn = V mpF T=3h3 (á¬. (5.70)), ¯®«ã稬: Cs(Tc ) = 12 + 1 2:43: (7.61) Cn(Tc ) 7(3) ⮠㨢¥àá «ì®¥ § 票¥ â ª¦¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¤®áâ â®ç® «¥£ª® ¯à®¢¥à塞®¥ íªá¯¥à¨¬¥â¥ ¯à¥¤áª § ¨¥ ⥮ਨ . ¯ïâì-â ª¨ ®® å®à®è® ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï ¢ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å á® á« ¡®© á¢ï§ìî. «ï ¢ëç¨á«¥¨ï ⥯«®¥¬ª®á⨠¢ ®¡« á⨠¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà, 㤮¡® ¨á室¨âì ¨§ á®®â®è¥¨ï: X X E = "(p)(np" + np# ) = 2 "(p)np (7.62) p
p
¤«ï ¨§¬¥¥¨ï ¯®«®© í¥à£¨¨ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¯à¨ ¢ àì¨à®¢ ¨¨ ç¨á¥« § ¯®«¥¨ï. §¤¥«¨¢ íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ T ¨ ¯¥à¥å®¤ï ®â á㬬¨à®¢ ¨ï ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î, ¯®«ã稬 ¤«ï ⥯«®¥¬ª®áâ¨: Z F 1 d "(p) @np C = V mp (7.63) 2 h3 ;1 p @T 2
ਠT 0 ¬®¦® ¯®«®¦¨âì np e; "(Tp) ¨ "(p) 0 + 2p0 . ®£¤ ¯à®á⮥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¤ ¥â: p 5=2 F 0 e; T0 C = V 2mp (7.64) 3=2 h3T 3=2
146
â ª çâ® ¯à¨ T ! 0 ⥯«®¥¬ª®áâì í«¥ªâà®®£® £ § ¢ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª¥ íªá¯®¥æ¨ «ì® ¬ « , ç⮠ï¥âáï ¯àï¬ë¬ á«¥¤á⢨¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï 饫¨ ¢ í¥à£¥â¨ç¥áª®¬ ᯥªâॠª¢ §¨ç áâ¨æ. ਠT = 0 ¬®¦® ¯®ª § âì [1, 3], çâ® à §®áâì í¥à£¨© ®á®¢ëå á®áâ®ï¨© ᢥàå¯à®¢®¤ï饩 ¨ ®à¬ «ì®© ä §ë à ¢ : Es ; En = ;V mp2 F3 20 = ; 14 V F 20: (7.65) 4 h âà¨æ ⥫ìë© § ª í⮩ à §®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥ãá⮩稢®á⨠\®à¬ «ì®£®" ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ¢ á«ãç ¥ ¯à¨â殮¨ï ¬¥¦¤ã ª¢ §¨ç áâ¨æ ¬¨ ¨ \¢ë£®¤®áâ¨" ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® á®áâ®ï¨ï. ¨§¨ç¥áª¨© á¬ë᫠१ã«ìâ â (7.65) ¢¯®«¥ ïá¥: ¢ á«®¥ è¨à¨®© 0 ¢¡«¨§¨ ãà®¢ï ¥à¬¨ ¨¬¥¥âáï F 0 ª¢ §¨ç áâ¨æ, § áç¥â ®¡à §®¢ ¨ï 饫¨ í¥à£¨ï ª ¦¤®© ¨§ ¨å ¯®¨¦ ¥âáï ¢¥«¨ç¨ã 0.
᫨ ®æ¥¨âì ¢ë¨£àëè í¥à£¨¨ ¢ à áç¥â¥ ®¤¨ í«¥ªâà®, ¯®«ã稬 ¢¥«¨ç¨ã 2="F .
ç¥â ªã«®®¢áª®£® ®ââ «ª¨¢ ¨ï. ® á¨å ¯®à ¬ë ¯à¥¤¯®« £ «¨, çâ® ¢ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¥ª®â®à®¥ ¯à¨â殮¨¥ í«¥ªâà®®¢ ¢ á«®¥ è¨à¨®© 2!D ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ 13. ª®¥ ¯à¨â殮¨¥ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¬®¦¥â áãé¥á⢮¢ âì § áç¥â í«¥ªâà® { ä®®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¤ ª®, ¢ ¬¥â «« å § ¢¥¤®¬® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¤®áâ â®ç® ᨫ쮥 ªã«®®¢áª®¥ ®ââ «ª¨¢ ¨¥ ¬¥¦¤ã ¢á¥¬¨ í«¥ªâà® ¬¨, ª®â®à®¥, ®ç¥¢¨¤®, ¯à¥¯ïâáâ¢ã¥â ®¡à §®¢ ¨î ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à ¨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâ¨. ®á¬®âਬ, ª ª ¬®¦® ãç¥áâì íâ® ®ââ «ª¨¢ ¨¥ ¢ ãà ¢¥¨ïå ⥮ਨ . ®¡é¥¬ á«ãç ¥, í¥à£¥â¨ç¥áª ï 饫ì ᢥàå¯à®¢®¤¨ª , á ãç¥â®¬ à §«¨çëå ¬¥å ¨§¬®¢ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤®áâ â®ç® á«®¦ë¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬. ¡«¨§¨ Tc íâ® ãà ¢¥¨¥ ¢á¥£¤ ¬®¦® «¨¥ ਧ®¢ âì ¯® ¢¥«¨ç¨¥ , ¯®áª®«ìªã ® áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ T ! Tc . ç áâ®áâ¨, ¢ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ á« ¡®© á¢ï§¨ ¬®¦® ¯¨á âì á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥ ¤«ï 饫¨ ¢¡«¨§¨ Tc , ïî饥áï ¯àï¬ë¬ ®¡®¡é¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï (7.43) ¨ ®¯à¥¤¥«ïî饥 ⥬¯¥à âãàã ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ [26]: Z1 0 () = d V (; 0 )N( 0 ) 21 0 th( 2T )( 0 ); (7.66) c ;1
§¤¥áì N() - ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© í«¥ªâà®®¢ ¢ ®à¬ «ì®¬ ¬¥â ««¥ (¢ à áç¥â¥ ®¤® ¯à ¢«¥¨¥ ᯨ ), V (; 0 ) { \¯®â¥æ¨ «" íä䥪⨢®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ¨¬¨. ਠí⮬ ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® ¢¥«¨ç¨ () ï¥âáï ¥ª®â®à®© ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¥© í¥à£¨¨ ª¢ §¨ç áâ¨æë , ª®â®à ï ¯®¤«¥¦¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯à¨¨¬ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ëè¥ áç¨â « áì ª®áâ ⮩ ¨ ᮪à é « áì, ¯®«®áâìî ¢ë¯ ¤ ï ¨§ ãà ¢¥¨ï (7.43). ä䥪⨢®¥ í«¥ªâà®-í«¥ªâà®®¥ ¯à¨â殮¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, ¥ª®â®àë¬ ¡ « ᮬ ¬¥¦¤ã ᯠਢ ¨¥¬ § áç¥â í«¥ªâà®-ä®®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨ ªã«®®¢áª¨¬ ®ââ «ª¨¢ ¨¥¬. ª ç¥á⢥ \¯®â¥æ¨ « " íä䥪⨢®£® 13 «¥¥
¢ í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë ¯®« £ ¥¬ h = 1 ¨ ¨§¬¥à塞 !D ¢ í¥à£¥â¨ç¥áª¨å ¥¤¨¨æ å.
147
¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬®¦® ¯à¨ïâì £àã¡ãî ¬®¤¥«ì á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ 14: V (; 0 ) = ;Vc (; 0) + Vph (; 0);
(7.67)
Vc (; 0 ) = Vc ("F ; j j)("F ; j 0j) Vph (; 0) = Vph (!D ; j j)(!D ; j 0j)
(7.68) (7.69)
£¤¥
{ ¯®â¥æ¨ «ë ᮮ⢥âá⢥® í«¥ªâà®-í«¥ªâà®®£® ¨ í«¥ªâà® { ä®®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, !D - ¤¥¡ ¥¢áª ï ç áâ®â . ®áâ âë Vc > 0 ¨ Vph > 0 ®¯¨áë¢ îâ ᮮ⢥âá⢥® ®ââ «ª¨¢ ⥫쮥 ¨ ¯à¨â¢ î饥 ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¤¥©áâ¢ãî騥 (¢ ᨫã "F !D ) ¢ áãé¥á⢥® à §«¨çëå ¨â¥à¢ « å í¥à£¨©: ä®®®¥ ¯à¨â殮¨¥ ¤¥©áâ¢ã¥â ⮫쪮 í«¥ªâà®ë ¢ á«®¥ è¨à¨®© 2!D ¢¡«¨§¨ ãà®¢ï ¥à¬¨, ®ââ «ª¨¢ ¨¥ ¤¥©áâ¢ã¥â ¬¥¦¤ã ¢á¥¬¨ í«¥ªâà® ¬¨ ¯à®¢®¤¨¬®áâ¨, ¬ áèâ ¡¥ í¥à£¨© ¯®à浪 "F . ®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï ¢ ãà ¢¥¨¥ (7.66) ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ç¥â®á⨠饫¥¢®© äãªæ¨¨ () ¯®«ã稬: () = [Vph (!D ; ) ; Vc ("F ; )]
Z"F
Z!D 0
0 )( 0 ) ; d 0N( 0 ) 10 th( 2T c
0
; Vc ("F ; ) d 0 N( 0) 10 th( 2T )( 0 ):
(7.70)
c
!D
¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¡ã¤¥¬, ¢ £àã¡®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨, ¨áª âì ¢ \¤¢ãåáâ㯥ç ⮬"¢¨¤¥ [26]: ; jj < ! ; D () = ph; (7.71) ! < j j < " ; c
D
F
£¤¥ ph ; c - ¥ª®â®àë¥ ª®áâ âë, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®â®àëå ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ (7.71) ¢ ãà ¢¥¨¥ (7.70) ¨¬¥¥¬ ®¤®à®¤ãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ : !D EF !D 1 ; (Vph ; Vc )N(0)K 2T ph + Vc N(0) K 2T ; K 2T c = 0; c c c ! E ! Vc N(0)K 2TD ph + 1 + Vc N0 (0) K 2TF ; K 2TD c = 0;(7.72) c
c
c
£¤¥ ¬ë § ¬¥¨«¨ ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© ª®áâ âã N(0) = 21 F - ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© í«¥ªâà®®¢ ®à¬ «ì®£® ¬¥â «« ã஢¥ ¥à¬¨ ¨ ¢¢¥«¨ ®¡®§ 票¥ K(x) =
Zx 0
dx0 x10 th(x0):
(7.73)
14 ¥¦í«¥ªâà®®¥ ®ââ «ª¨¢ ¨¥ áç¨â ¥¬ ª®à®âª®¤¥©áâ¢ãî騬 ¨§-§ ᨫ쮩 íªà ¨à®¢ª¨ ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ ¬¥â «« å.
148
á«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠(à ¢¥á⢮ ã«î ¤¥â¥à¬¨ â ) í⮩ ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ¤ ¥â ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï Tc : !D ) = 1; ( ; )K( 2T c E !D ;1 ; (7.74) = 1 + K 2TF ; K 2T c c £¤¥ ¢¢¥«¨ - â ª §ë¢ ¥¬ë© ªã«®®¢áª¨© ¯á¥¢¤®¯®â¥æ¨ «, = Vc N0 (0) - ¡¥§à §¬¥à ï ª®áâ ⠪㫮®¢áª®£® ®ââ «ª¨¢ ¨ï, = Vph N0 (0) - ¡¥§à §¬¥à ï ª®áâ â ᯠਢ ¨ï § áç¥â í«¥ªâà®-ä®®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. á¨«ã ¥à ¢¥á⢠; "F !D Tc ¨â¥£à « (7.73) ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì ¯à¨ x 1, ⮣¤ K(x) = ln 4 x , £¤¥ ®¯ïâì ¯®áâ®ï ï ©«¥à . ®£¤ ¤«ï ⥬¯¥à âãàë ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ ¥¬¥¤«¥® ¯®«ãç ¥¬ 15 : 1 2 (7.75) Tc = !D exp ; ; : ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ä®à¬ã«®© (7.44), ¥á«¨ ¯®«®¦¨âì ᯠਢ ⥫ìãî ª®áâ âã ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï p = ; . ã«®®¢áª¨© ¯á¥¢¤®¯®â¥æ¨ « ¤ ¥âáï ¯à¨ í⮬ ¢ëà ¦¥¨¥¬: 1 + ln "F : (7.76) !D âáî¤ ¢¨¤®, çâ® ªã«®®¢áª®¥ ®ââ «ª¨¢ ¨¥, ¥áâ¥á⢥®, ¬¥è ¥â ᯠਢ ¨î ¨ ¯®¨¦ ¥â Tc , 㬥ìè ï ¢¥«¨ç¨ã p ¢¥«¨ç¨ã . ¤ ª® íâ®â íä䥪⠢ ¬¥â «« å ¤®¢®«ì® á¨«ì® ¯®¤ ¢«¥ § áç¥â ¡®«ì让 (¯à¨ "F !D ) ¢¥«¨ç¨ë ln("F =!D ) (â ª §ë¢ ¥¬ë© ⮫¬ 祢᪨© «®£ à¨ä¬). ç áâ®áâ¨, ¢¯®«¥ ¬®¦¥â ®ª § âìáï, çâ® ¤ ¦¥ ¯à¨ < , â.¥. ª®£¤ ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠í¥à£¨© ¯®« ï ª®áâ â ¬¥¦í«¥ªâà®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ä®à¬ «ì® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®ââ «ª¨¢ ¨î, ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâì á®åà ï¥âáï, ¥á«¨ ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ > . § ä®à¬ã«ë (7.75) ¢¨¤ë ¯à¨æ¨¯¨ «ìë¥ ¢®§¬®¦®á⨠¯®¢ëè¥¨ï ªà¨â¨ç¥áª®© ⥬¯¥à âãàë ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ : 1. ®¦® ¯®¢ëè âì ¢¥«¨ç¨ã !D ¨«¨ ¯¥à¥å®¤¨âì ª ¤à㣨¬ (¥ä®®ë¬) ¬¥å ¨§¬ ¬ ᯠਢ ¨ï § áç¥â ®¡¬¥ ª®««¥ªâ¨¢ë¬¨ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï¬¨ á å à ªâ¥à묨 ç áâ®â ¬¨, ¯à¥¢ëè î騬¨ !D . ਬ¥à í⮣® { â ª §ë¢ ¥¬ë© íªá¨â®ë© ¬¥å ¨§¬, ¢ ª®â®à®¬ !D § ¬¥ï¥âáï ¢¥«¨ç¨ã ¯®à浪 "F . 2. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¬®¦® ¯ëâ âìáï 㢥«¨ç¨¢ âì ª®áâ âã ᯠਢ ⥫쮣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï p § áç¥â 㢥«¨ç¥¨ï ª®áâ âë ¯à¨â殮¨ï ¨«¨ 㬥ìè¥¨ï ªã«®®¢áª®£® ¯á¥¢¤®¯®â¥æ¨ « . ®¡á⢥® £®¢®àï, ¢á¥ ¯®¯ë⪨ ¯®¨áª ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãன ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠諨 ¢ à ¬ª å í⮩ ¨¤¥®«®£¨¨. í⮬ ¦¥ áâநâáï ¡®«ìè¨á⢮ ®¡êïᥨ© ¬¥å ¨§¬ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠¢ ॠ«ìëå ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å. ¤ ç íâ® ¤®áâ â®ç® á«®¦ ï, ¯®áª®«ìªã ¤ ¦¥ í⮬ í«¥¬¥â ஬ ã஢¥ ¢¨¤®, çâ® ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ãá«®¢¨ï ¤®áâ â®ç® ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ë - ¯à¨¬¥à à®á⠯।íªá¯®¥âë !D (7.75) ¤® ¢¥«¨ç¨ ᮯ®áâ ¢¨¬ëå á "F ¥¨§¡¥¦® ¢¥¤¥â ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã à®áâ㠪㫮®¢áª®£® ¯á¥¢¤®¯®â¥æ¨ « § áç¥â 㬥ì襨ï ⮫¬ 祢᪮£® «®£ à¨ä¬ . ¤à㣮© áâ®à®ë, 㢥«¨ç¥¨¥ íä䥪⨢®© ᯠਢ ⥫쮩 ª®áâ âë 15 â®â ¢ ¦ë©
१ã«ìâ â ¡ë« ¯®«ãç¥ ®«¬ ç¥¢ë¬ ¢áª®à¥ ¯®á«¥ ᮧ¤ ¨ï ⥮ਨ .
149
á¢ï§¨ âॡã¥â ¢ë室 § à ¬ª¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¥£®áï ¬¨ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï á« ¡®© á¢ï§¨ ¯à®á⮩ ⥮ਨ 16. § ª«î票¥ 襣® ®¡§®à ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠®â¬¥â¨¬, çâ® ¢ëè¥ ¬ë ¢áî¤ã ¯à¥¤¯®« £ «¨, çâ® ªã¯¥à®¢áª®¥ ᯠਢ ¨¥ ¯à®¨á室¨â ¢ ᨣ«¥â®¬ á®áâ®ï¨¨ ( ⨯ à ««¥«ìë¥ á¯¨ë) ¨ á ã«¥¢ë¬ ®à¡¨â «ìë¬ ¬®¬¥â®¬ ¯ àë (s-ᯠਢ ¨¥). ॠ«ì®á⨠á¨âã æ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì á«®¦¥¥. ªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¯®ª § ®, çâ® ¢ ¥ª®â®àëå á¨á⥬ å ªã¯¥à®¢áª®¥ ᯠਢ ¨¥ ¯à®¨á室¨â ¢ âਯ«¥â®¬ á®áâ®ï¨¨ (¯ à ««¥«ìë¥ á¯¨ë ¢ ¯ à¥), â ª¦¥ ¢ á®áâ®ï¨¨ á ¥ã«¥¢ë¬ ®à¡¨â «ìë¬ ¬®¬¥â®¬ (He3 , á¨á⥬ë á â ª §ë¢ ¥¬ë¬¨ â殮«ë¬¨ ä¥à¬¨® ¬¨ ¨ â.¯.). ¯à¨¬¥à, ¢ ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å ®á®¢¥ ®ªá¨¤®¢ ¬¥¤¨ ॠ«¨§ã¥âáï ᨣ«¥â®¥ d-ᯠਢ ¨¥.
áâ¥á⢥®, çâ® ¤«ï ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ®¯¨á ¨ï â ª¨å á¨á⥬ âॡã¥âáï ¡®«¥¥ á«®¦ ï ⥮à¨ï, ®¤ ª® ®á®¢ë¥ ¨¤¥¨ ¨ ª ç¥áâ¢¥ë¥ ¢ë¢®¤ë ⥮ਨ ®áâ îâáï ¢ ᨫ¥.
¥®à¨ï ¨§¡ã࣠{ ¤ ã. ®« ï ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª ï ⥮à¨ï, ®¯¨áë¢ îé ï ¯®¢¥¤¥¨¥ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ ¤®¢®«ì® £à®¬®§¤ª ¨ á«®¦ . ª §ë¢ ¥âáï, çâ® á¨âã æ¨ï áãé¥á⢥® ã¯à®é ¥âáï ¯à¨ T ! Tc , £¤¥ ¬®¦® ¯®áâநâì 䥮¬¥®«®£¨ç¥áªãî ⥮à¨î ¨§¡ã࣠{ ¤ ã (), ª®â®à ï ï¥âáï ïન¬ ¯à¨¬¥à®¬ ¯à¨¬¥¥¨ï ®¡é¥© ⥮ਨ ¤ ã ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ II த [1, 2] 17. ®¡é¥© ⥮ਨ ¤ 㠮⫨稥 \¥á¨¬¬¥âà¨ç®©" ä §ë ®â \ᨬ¬¥âà¨ç®©" ®¯¨áë¢ ¥âáï ¯ à ¬¥â஬ ¯®à浪 . «ï ᢥàå¯à®¢®¤¨ª®¢ ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ â ª¨¬ ¯ à ¬¥â஬ ï¥âáï ª®¬¯«¥ªá ï í¥à£¥â¨ç¥áª ï é¥«ì ¨«¨, â®ç¥¥, ®¬ «ì®¥ á।¥¥ (7.17), ª®â®à®¥ ¯à®¯®à樮 «ì® ª®¤¥á ⮩ ¢®«®¢®© äãªæ¨¨ ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ íâ®â ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¬®¦¥â ¡ëâì ¥®¤®à®¤ë¬ ¢ ¯à®áâà á⢥. ç¨â ï, ¤«ï ¯à®áâ®âë, ᨬ¬¥âà¨î ªà¨áâ «« ªã¡¨ç¥áª®© § ¬¥â¨¬, ç⮠ᢥàå¯à®¢®¤ï饥 á®áâ®ï¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ᪠«ïன ¢¥«¨ç¨®© ns { 16 ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® à §¢¨â¨ï ⥮ਨ âà ¤¨æ¨®ëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª®¢ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¨â¥à¯®«ï樮ãî ä®à¬ã«ã ««¥ { ©á ¤«ï Tc, ¯à¨£®¤ãî ¤«ï è¨à®ª®£® ¨â¥à¢ « § 票© ¡¥§à §¬¥à®© ª®áâ âë í«¥ªâà® { ä®®®£® ᯠਢ ⥫쮣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¢ ⮬ ç¨á«¥ áãé¥á⢥® ¯à¥¢ëè îé¨å 1: f2 ! exp n; 1:04(1 + ) o Tc = f11:20 (7.77) log ; ? (1 + 0:62) £¤¥ 2 1=2 ; 1]2 f1 = [1 + (=1)3=2 ]1=3 ; f2 = 1 + [< ! > 2 +=!log 2 2 2 1=2 < ? ? (7.78) 1 = 2:46(1 + 3:8 ); 2 = 1:82(1 + 6:3 ) !! > log £¤¥ !log { á।¥«®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï ç áâ®â ä®®®¢, < !2 > { á।¨© (¯® ä®®®¬ã ᯥªâàã) ª¢ ¤à â ¨å ç áâ®âë. ⨠¯ à ¬¥âàë ¢å®¤ïâ ¢¬¥áâ® ¢¥«¨ç¨ë !D ⥮ਨ , ®áâ «ìë¥ ¯ à ¬¥âàë 㦥 ¡ë«¨ ®¯à¥¤¥«¥ë ¢ëè¥. 17 ⬥⨬, ç⮠⥮à¨ï ¨§¡ã࣠{ ¤ ã ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¢¥¤¥ ¨§ ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© ⥮ਨ , ® ä ªâ¨ç¥áª¨ ® ¡ë« ¯à¥¤«®¦¥ § ¤®«£® ¤® ¯®ï¢«¥¨ï í⮩ ⥮ਨ.
150
¯«®â®áâìî ᢥàå¯à®¢®¤ïé¨å í«¥ªâà®®¢ (¯ à). ®í⮬ã 㤮¡® ®à¬¨à®¢ âì ª®¤¥á âãî ¢®«®¢ãî äãªæ¨î ãá«®¢¨¥¬ j j2 = ns =2, ¨ ¢¢¥¤ï ä §ã § ¯¨á âì ¥¥ ¢ ¢¨¤¥ [3]: rn (7.79) = 2s ei
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ï¥âáï ª®¬¯«¥ªá®© (¤¢ã媮¬¯®¥â®©) ¢¥«¨ç¨®©. ® ®¡é¨¬ ¯à ¢¨« ¬ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ¬®¦¥¬ ⮣¤ § ¯¨á âì ¯«®â®áâì ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ⮪ ¢ ¢¨¤¥: ieh ( ? r ; r ? ) = eh n r js = ; 2m (7.80) 2m s £¤¥ ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï á«ãç ï ®¤®à®¤®© ¢ ¯à®áâà á⢥ ¯«®â®á⨠ns , 㤢®¥ ï ¬ áá ¢¢¥¤¥ ç¨áâ® ä®à¬ «ì®, çâ®¡ë ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ®á¨â¥«ï¬¨ í⮣® ⮪ ïîâáï ªã¯¥à®¢áª¨¥ ¯ àë. â¯à ¢ë¬ ¯ãªâ®¬ ⥮ਨ ï¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¢ ¢¨¤¥ äãªæ¨® « ®â (r). ç « à áᬮâਬ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¢ ®âáãâá⢨¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï. 祢¨¤®, ç⮠䨧¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ¥ ¤®«¦ë § ¢¨á¥âì ®â ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ! ei . ⨬ âॡ®¢ ¨¥¬ ¨áª«îç îâáï ç«¥ë ¥ç¥â®© á⥯¥¨ ¢ à §«®¦¥¨¨ ¤ ã18 . ®ªà¥âë© ¢¨¤ à §«®¦¥¨ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¯® á⥯¥ï¬ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ ¢¨¤¥19: Z h2 jr j2 + aj j2 + 2b j j4 (7.81) F = Fn + dV 4m ¤¥áì Fn { ᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï ®à¬ «ì®£® á®áâ®ï¨ï, ª®íää¨æ¨¥â b > 0, ª®íää¨æ¨¥â a ¡¥à¥âáï, ª ª ¢á¥£¤ ¢ ⥮ਨ ¤ ã, ¢ ¢¨¤¥: a = (T ; Tc ) > 0 (7.82) â ª, çâ®¡ë ¯à¨ T < Tc ¡ë«® a < 0. ®íää¨æ¨¥â ¯à¨ jr j2 ¢ë¡à â ª, çâ®¡ë ¤«ï ⮪ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¯®«ã稫®áì ¢ëà ¦¥¨¥ (7.80). ⮦¤¥á⢫¥¨¥ m á ¬ áᮩ í«¥ªâà® ¥ ¨¬¥¥â ®á®¡¥® £«ã¡®ª®£® á¬ëá« ¨ ï¥âáï ãá«®¢ë¬, ª ª ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ns . á«ãç ¥ ®¤®à®¤®£® ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¨¬¥¥¬: (7.83) F = Fn + V (T ; Tc )j j2 + bV2 j j4 ¢®¢¥á®¥ § 票¥ j j2 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬¨¨¬ã¬®¬ í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï ¨ à ¢®: j j2 = ; ab = b (Tc ; T ) (7.84)
18 ¬¥â¨¬, çâ® ª «¨¡à®¢®ç ï ¨¢ ਠâ®áâì ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ § ª®ã á®åà ¥¨ï ç¨á« ç áâ¨æ. ¬ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¥ ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. í⮬ á¬ëá«¥ ¢ ᢥàå¯à®¢®¤ï饩 ä §¥ íâ ᨬ¬¥âà¨ï, ª ª ®â¬¥ç¥® ¢ëè¥, ï¥âáï àã襮©. àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ ¯à®¨á室¨â ¯à¨ «î¡®¬ ä §®¢®¬ ¯¥à¥å®¤¥ II த , ¯®í⮬㠪®¤¥á¨à®¢ ï ä § ¨ §ë¢ ¥âáï ¥á¨¬¬¥âà¨ç®©. 19 ¯®¬¨¬, çâ® ®á®¢ë¬ ¯®áâ㫠⮬ ⥮ਨ ¤ ã ï¥âáï ¨¬¥® ¢®§¬®¦®áâì ¯à®¢¥á⨠⠪®¥ à §«®¦¥¨¥, ¨áå®¤ï ¨§ ¬ «®á⨠¢¥«¨ç¨ë ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¢¡«¨§¨ ⥬¯¥à âãàë ¯¥à¥å®¤ [1, 2].
151
¯à¨ T < Tc , ¨ ã«î ¯à¨ T > Tc . ¥«¨ç¨ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 j j ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨ T ! Tc ¯® ª®à¥¢®¬ã § ª®ã, ¢ ¯®«®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á (7.57). ਠí⮬ ¢¥«¨ç¨ ns j j2 ! 0 ¯® «¨¥©®¬ã § ª®ã. ®¤áâ ¢«ïï (7.84) ¢ (7.83) ¯®«ãç ¥¬: 2 Fs ; Fn = ;V 2b (T ; Tc )2
(7.85)
çâ® íª¢¨¢ «¥â® (7.58)20. ¨ää¥à¥æ¨àãï ¯® T ¨§ (7.85), «®£¨ç® (7.59), ¬®¦® ©â¨ à §®áâì íâய¨©, § ⥬ ¨ ᪠箪 ⥯«®¥¬ª®á⨠¢ â®çª¥ ¯¥à¥å®¤ : 2 Cs ; Cn = V bTc
(7.86)
ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â (7.86). ¡«¨§¨ Tc (7.85) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬ «ãî ¤®¡ ¢ªã ª ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨, ᮮ⢥âá⢥®, ª ª ¨§¢¥áâ® ¨§ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨, íâ ¦¥ ¢¥«¨ç¨ (¢ëà ¦¥ ï ç¥à¥§ T; P ¢¬¥áâ® T; V ) ¤ ¥â à §®áâì â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯®â¥æ¨ «®¢ ¨¡¡á s ; n. 2 B c â à §®áâì ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¥«¨ç¨®© ;V 8 , £¤¥ Bc { ªà¨â¨ç¥áª®¥ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥, à §àãè î饥 ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâì. ®£¤ «¥£ª® ¯®«ãç¨âì:
4a2 1=2 4 2 = b (Tc ; T ): Bc = b
(7.87)
ਠ«¨ç¨¨ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï, ¢ëà ¦¥¨¥ (7.81) ¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ª ª: Z B2 h2 2ie b 2 2 4 F = Fn + dV 8 + 4m j(r ; hc A) j + aj j + 2 j j (7.88) £¤¥ B = rotA. âàãªâãà £à ¤¨¥â®£® ç«¥ §¤¥áì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª «¨¡à®¢®ç®© (£à ¤¨¥â®©) ¨¢ ਠâ®áâìî í«¥ªâத¨ ¬¨ª¨, ª®íää¨æ¨¥â 2hiec §¤¥áì ®á¨â ¡á®«îâë© å à ªâ¥à, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ª®íää¨æ¨¥â h2=4m. ç áâ®áâ¨, «¨ç¨¥ 2e ®âà ¦ ¥â § àï¤ ªã¯¥à®¢áª®© ¯ àë. å®¤ï ¬¨¨¬ã¬ F ª ª äãªæ¨® « âà¥å ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥«¨ç¨ ; ? ; A 21, ¬®¦® ©â¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥, ®¯à¥¤¥«ïî饥 à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¢ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª¥. àì¨àãï (7.88) ¯® ? ¨ ¯à¥®¡à §ãï ¨â¥£à « ®â (r ; 2ieA=hc)r ? ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ç áâï¬, ¯®«ã稬:
h 2 2 I 2ie h 2 2 ? ? F = dV ; 4m (r ; hc A) + a + bj j + 4m ds(r ; 2ie hc A ) Z
(7.89)
20 ¥®à¨ï ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ ¨§ ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© ⥮ਨ ®à쪮¢ë¬. ਠí⮬ ¤«ï 䥮¬¥®«®£¨ç¥áª¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¨ b ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢ëà ¦¥¨ï ç¥à¥§ ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ á¨á⥬ë. ⨠¢ëà ¦¥¨ï «¥£ª® ¯®«ãç¨âì, áà ¢¨¢ ï (7.84), (7.57) c (7.57), (7.85). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï \ç¨á⮣®" ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¡¥§ ¯à¨¬¥á¥© ¨¬¥¥¬: = 76(3)2 T"cF ¨ 3 b = Tn c , £¤¥ n = 3p2Fh 3 { ¯«®â®áâì í«¥ªâà®®¢, Tc ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (7.44). 21 ®¬¯«¥ªá ï ¢¥«¨ç¨ á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ¢¥é¥á⢥ëå, ¯®í⮬ã 㤮¡® à áᬠâਢ âì ¨ ? , ª ª ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë.
152
£¤¥ ¢â®à®© ¨â¥£à « ¡¥à¥âáï ¯® ¯®¢¥àå®á⨠⥫ . ®« £ ï F = 0 ¯®«ã稬, ¢ ª ç¥á⢥ ãá«®¢¨ï à ¢¥á⢠ã«î ®¡ê¥¬®£® ¨â¥£à « ¯à¨ «î¡ëå ? , á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥ ¨§¡ã࣠{ ¤ ã: 2e 2 1 2 (7.90) 4m (;ihr ; c A) + a + bj j = 0 àì¨à®¢ ¨¥ ¯® ¤ ¥â ª®¬¯«¥ªá® ᮯà殮®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ? . àì¨à®¢ ¨¥ (7.88) ¯® A ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î ªá¢¥«« : rotB = 4 (7.91) cj £¤¥ ieh ( ? r ; r ? ) ; 2e2 j j2A j = ; 2m (7.92) mc ¤¥áì ¬ë § ¯¨á «¨ j ª ª ᢥàå¯à®¢®¤ï騩 ⮪, ¯®áª®«ìªã ¢ à ¢®¢¥á¨¨ ®à¬ «ìë© â®ª ®âáãâáâ¢ã¥â. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ª í⨬ ãà ¢¥¨ï¬ ¯®«ãç îâáï ¨§ ãá«®¢¨ï à ¢¥á⢠ã«î ¯®¢¥àå®á⮣® ¨â¥£à « ¢ (7.89): (7.93) n(;ihr ; h2ec A) = 0 £¤¥ n { ¢¥ªâ®à ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®á⨠⥫ . âáî¤ , ªáâ â¨, á«¥¤ã¥â nj = 0. á«®¢¨¥ (7.93) á¯à ¢¥¤«¨¢® £à ¨æ¥ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª á ¢ ªã㬮¬ (¤¨í«¥ªâਪ®¬), ¢ á«ãç ¥ £à ¨æë á ¬¥â ««®¬ ®® ¨¬¥¥â ¤à㣮© ¢¨¤. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï B ᢮¤¨âáï ª âॡ®¢ ¨î ¥¯à¥à뢮á⨠B £à ¨æ¥. á« ¡®¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì ¥£® ¢«¨ï¨¥¬ ¢¥«¨ç¨ã j j2 ¨ áç¨â âì ¥¥ à ¢®© (7.84). ਠ®¤®à®¤®¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ ns = 2j j2 ¨§ (7.92) ¨¬¥¥¬ (áà. (7.80)): he n (r ; 2e A) j = 2m (7.94) s hc ਬ¥ïï ®¯¥à æ¨î rot ª ®¡¥¨¬ ç áâï¬ í⮣® à ¢¥á⢠¨ ¨á¯®«ì§ãï rotA = B, ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ ®¤®®¢: s e2 B rotj = ; nmc (7.95) § ãà ¢¥¨© ªá¢¥«« (7.91) ¨ divB = 0, ¯®¤áâ ¢«ïï j ¨§ ¯¥à¢®£® ¨§ ¨å ¢ (7.95) ¨ ãç¨âë¢ ï rotrotB = graddivB ; r2B = ;r2 B, ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ ®¤®®¢ ¢ ¢¨¤¥: r2B = 12 B (7.96) £¤¥ mc2b 1=2 mc2b 1=2 2 mc 2 = 4e2 n = 8e2jaj = 8e2 (T ; T) : (7.97) s
c
¡«¨§¨ ¯«®áª®© ¯®¢¥àå®á⨠ᢥàå¯à®¢®¤¨ª , ¢ë¡¨à ï ¥¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¯«®áª®á⨠yz ¨ ¯à ¢«ïï ®áì x ¢ãâàì ⥫ , ¯à¨¢¥¤¥¬ (7.96) ª ¢¨¤ã: d2B = 1 B (7.98) d2 x
153
®âªã¤ á«¥¤ã¥â à¥è¥¨¥:
B(x) = B0e;x= ;
(7.99) £¤¥ ¢¥ªâ®à B0 ¯ à ««¥«¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬ ®¯¨á ¨¥ íä䥪⠥©áá¥à { \¢ëâ «ª¨¢ ¨ï" ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¨§ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª . à ªâ¥à ï ¤«¨ §ë¢ ¥âáï £«ã¡¨®© ¯à®¨ª®¢¥¨ï. â ¢¥«¨ç¨ ï¥âáï ¥¯®á।á⢥® ¨§¬¥à¨¬®©. ¨¯¨çë¥ ¥¥ § ç¥¨ï ¢ ॠ«ìëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å 10;5 ; 10;6á¬. ਠT ! Tc ® à á室¨âáï ᮣ« á® (7.97), ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®«®¬ã ¯à®¨ª®¢¥¨î ¯®«ï ¢ ®à¬ «ìë© ¬¥â ««. àï¤ã á ¢ ⥮ਨ ¢®§¨ª ¥â ¥é¥ ®¤ å à ªâ¥à ï ¤«¨ : ¤«¨ ª®£¥à¥â®á⨠¨«¨ ª®à५ïæ¨®ë© à ¤¨ãá ä«ãªâã 権 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 (T ). ® ¨§¢¥áâë¬ ä®à¬ã« ¬ ⥮ਨ ¤ ã ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ II த (á¬. ¨¦¥) íâ®â à ¤¨ãá ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ª®íää¨æ¨¥âë á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: r T h h (T ) = 2(mjaj)1=2 = 2(m )1=2 (T ; T )1=2 0 T ;c T ; 0 hTvF (7.100) c c c £¤¥ ¢ ¯®á«¥¤¨å ®æ¥ª å ã竨 ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¨ ®æ¥ªã ¤«¨ë ª®£¥à¥â®á⨠⥮ਨ (7.45), ®¯à¥¤¥«ïîéãî à §¬¥à ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à. ¨¤¨¬, çâ® ¤«¨ ª®£¥à¥â®á⨠(T) (à §¬¥à ¯ àë) â ª¦¥ à á室¨âáï ¯à¨ T ! Tc (¯ àë \à á¯ãå îâ" ¨ à §àãè îâáï ¯à¨ T = Tc ). ¥§à §¬¥à®¥ ®â®è¥¨¥ å à ªâ¥àëå ¤«¨: mcb1=2 = (T) = (7.101) (T) (2)1=2jejh ®¯à¥¤¥«ï¥â â ª §ë¢ ¥¬ë© ¯ à ¬¥âà ¨§¡ã࣠{ ¤ ã. § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¥£® ¢¥«¨ç¨ë ᢥàå¯à®¢®¤¨ª¨ ¤¥«ïâáï ¤¢ ª« áá á áãé¥á⢥® à §«¨ç î騬¨áï ᢮©á⢠¬¨ ¢® ¢¥è¥¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥: ᢥàå¯à®¢®¤¨ª¨ á < p12 §ë¢ îâáï ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¬¨ I த , ᢥàå¯à®¢®¤¨ª¨ á > p12 ®â®áïâ ª II தã. ¯®á«¥¤¥¬ã ª« ááã ®â®á¨âáï ¡®«ìè¨á⢮ ¨â¥à¥áëå á ¯à ªâ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï á¨á⥬, ¢ ç áâ®áâ¨, ¢á¥ ¨§¢¥áâë¥ ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàë¥ á¢¥àå¯à®¢®¤¨ª¨. áᬮâਬ ®¤® § ¬¥ç ⥫쮥 á«¥¤á⢨¥ ¢ëà ¦¥¨ï (7.94) ¨ íä䥪⠥©áá¥à . ãáâì ¨¬¥¥âáï ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¢ ¢¨¤¥ â®à , ¯®¬¥é¥ë© ¢ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥. ç¨â ¥¬, çâ® â®«é¨ â®à ¨ ¥£® ¤¨ ¬¥âà § ç¨â¥«ì® ¯à¥¢ëè îâ £«ã¡¨ã ¯à®¨ª®¢¥¨ï ¨ ¤«¨ã ª®£¥à¥â®áâ¨. ®ª ¦¥¬, çâ® ¢¥«¨ç¨ ¬ £¨â®£® ¯®â®ª , ¯à®å®¤ï饣® ç¥à¥§ ®â¢¥àá⨥ â®à ¬®¦¥â ¡ëâì «¨èì æ¥«ë¬ ªà âë¬ ¥ª®â®à®£® í«¥¬¥â ண® \ª¢ â ¯®â®ª " (ª¢ ⮢ ¨¥ ¯®â®ª ). â®«é¥ â¥« (¢¥ ®¡« á⨠¯à®¨ª®¢¥¨ï ¯®«ï) ¯«®â®áâì ⮪ j = 0, ¢¥ªâ®àë© ¯®â¥æ¨ « ®â«¨ç¥ ®â ã«ï (à ¢¥ ã«î «¨èì ¥£® à®â®à, â.¥. ¬ £¨â ï ¨¤ãªæ¨ï B). 롥६ ª ª®©-«¨¡® § ¬ªãâë© ª®âãà C, ®å¢ âë¢ î騩 ᮡ®© ®â¢¥àá⨥ â®à ¨ ¯à®å®¤ï騩 ¢ãâਠ⥫ ¢¤ «¨ ®â ¥£® ¯®¢¥àå®áâ¨. ¨àªã«ïæ¨ï ¢¥ªâ®à A ¢¤®«ì ª®âãà C ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®â®ª®¬ ¬ £¨â®© ¨¤ãªæ¨¨ ç¥à¥§ âïãâãî ª®âãà ¯®¢¥àå®áâì, â.¥. ¯®â®ª®¬ ç¥à¥§ ®â¢¥àá⨥ â®à :
I
Z Z Adl = rotAdf = Bdf
(7.102)
¤à㣮© áâ®à®ë, ¯à¨à ¢ï¢ ¢ëà ¦¥¨¥ (7.94) ã«î ¨ ¯à®¨â¥£à¨à®¢ ¢ ¥£® ¯® ª®âãàã, ¯®«ã稬: I I Adl = h2ec r dl = h2ec (7.103)
154
£¤¥ { ¨§¬¥¥¨¥ ä §ë ¢®«®¢®© äãªæ¨¨ ¯à¨ ®¡å®¤¥ ª®âãà . ® ¨§ âॡ®¢ ¨ï ®¤®§ ç®á⨠í⮩ äãªæ¨¨ á«¥¤ã¥â, çâ® ¨§¬¥¥¨¥ ä §ë ¬®¦¥â ¡ëâì «¨èì æ¥«ë¬ ªà âë¬ ®â 2. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨å®¤¨¬ ª १ã«ìâ âã: hc = 2 10;7 £á á¬2 (7.104) = n 0 £¤¥ 0 = jej £¤¥ n { 楫®¥ ç¨á«®. ¥«¨ç¨ 0 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© í«¥¬¥â àë© ª¢ â ¬ £¨â®£® ¯®â®ª . â®â § ¬¥ç ⥫ìë© à¥§ã«ìâ â ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥â «ì®, ç⮠ï¥âáï, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯àï¬ë¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ⮣®, çâ® ®á¨â¥«ï¬¨ ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ⮪ ïîâáï ª¢ §¨ç áâ¨æë á § à冷¬ 2e (ªã¯¥à®¢áª¨¥ ¯ àë).
᫨ à áᬮâà¥âì ¬ áá¨¢ë© æ¨«¨¤à¨ç¥áª¨© ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¢® ¢¥è¥¬ ¯à®¤®«ì®¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ B, ⮠ᢥàå¯à®¢®¤¨ª I த ¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ¯®«ï ¨á¯ëâë¢ ¥â ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤ I த ¯à¨ ¤®á⨦¥¨¨ ªà¨â¨ç¥áª®£® ¯®«ï Bc , ª®â®à®¥ ®¡á㦤 «®áì ¢ëè¥. «ï ᢥàå¯à®¢®¤¨ª®¢ II த , ¥é¥ ¤® ¤®á⨦¥¨ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ªà¨â¨ç¥áª®£® ¯®«ï Bc ¢ ¥¬ ®ª §ë¢ ¥âáï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨ ¢ë£®¤ë¬ ¢®§¨ª®¢¥¨¥ \¢ªà ¯«¥¨©" ®à¬ «ì®© ä §ë ¢ ¢¨¤¥ ®à¨¥â¨à®¢ ëå ¯ à ««¥«ì® ¯®«î â ª §ë¢ ¥¬ëå ¢¨å३ ¡à¨ª®á®¢ , ç¥à¥§ ª®â®àë¥ ¯®«¥ ç áâ¨ç® ¯à®¨ª ¥â ¢ãâàì ᢥàå¯à®¢®¤¨ª . ¨¦îî £à ¨æã ¯®«¥©, ª®£¤ íâ® áâ ®¢¨âáï ¢®§¬®¦ë¬, §ë¢ îâ ¯¥à¢ë¬ (¨¦¨¬) ªà¨â¨ç¥áª¨¬ ¯®«¥¬ Bc1 . ਠB < Bc1 ᢥàå¯à®¢®¤¨ª 室¨âáï ¢ â ª §ë¢ ¥¬®¬ ¬¥©áá¥à®¢áª®¬ á®áâ®ï¨¨.
᫨ ¦¥ ç âì á ¬¥â «« ¢ ®à¬ «ì®¬ á®áâ®ï¨¨ ¢ ¡®«ì讬 ¢¥è¥¬ ¯®«¥, â® ¯à¨ ¯®¨¦¥¨¨ ¢¥«¨ç¨ë í⮣® ¯®«ï ¯à¨ ¤®á⨦¥¨¨ ¥ª®â®à®£® ¢â®à®£® (¢¥à奣®) ªà¨â¨ç¥áª®£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï Bc2 > Bc áâ ®¢¨âáï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨ ¢ë£®¤ë¬ ¯®ï¢«¥¨¥ \¢ªà ¯«¥¨©" ᢥàå¯à®¢®¤ï饩 ä §ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ®¡« á⨠¯®«¥© Bc1 < B < Bc2 ᢥàå¯à®¢®¤¨ª II த 室¨âáï ¢ â ª §ë¢ ¥¬®¬ á¬¥è ®¬ á®áâ®ï¨¨ (ä § 㡨ª®¢ ). §®¢ ï ¤¨ £à ¬¬ â ª®£® ᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ á奬 â¨ç¥áª¨ ¯®ª § ¨á.7-3. ¥«¨ç¨ã ¯®«ï Bc2 ¬®¦® ©â¨ ¨§ ⥮ਨ . á®, çâ® ¯à¨ B < Bc2 , ® ¡«¨§ª® ª ¥¬ã, § தëè¨ á¢¥àå¯à®¢®¤ï饩 ä §ë ¨¬¥îâ ¬ «ë¥ § ç¥¨ï ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ( ! 0 ¯à¨ B ! Bc2 ). ®£¤ ¬®¦® ¯¨á âì «¨¥ ਧ®¢ ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ : 1 2e 2 (7.105) 4m (;ihr ; c A) = jaj ; ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à ¤«ï ç áâ¨æë á ¬ áᮩ 2m ¨ § à冷¬ 2e ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥. ਠí⮬ ¢¥«¨ç¨ jaj ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¨£à ¥â ஫ì ã஢ï í¥à£¨¨. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯à¨ í⮬ { = 0 ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ᯮ¬¨ ¥¬ § ¤ çã ¤ ã ® § à殮®© ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥ ¢ ®¤®à®¤®¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ [7]. ¨¨¬ «ì®¥ § 票¥ í¥à£¨¨ â ª®© ç áâ¨æë ¥áâì E0 = h!B =2, £¤¥ 横«®âà® ï ç áâ®â !B = 2jejB=2mc = jejB=mc. â í⮣® § 票ï ç¨ ¥âáï ¥¯à¥àë¢ë© ᯥªâà í¥à£¨©. ®í⮬㠧 தëè¨ á¢¥àå¯à®¢®¤ï饩 ä §ë ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ⮫쪮 ¯à¨ jejh B (7.106) jaj > 2mc â ª çâ® 1 jaj p Bc2 = 2mc (7.107) jejh = 2Bc = 0 2 2 (T) £¤¥ ¢¢¥«¨ 0 = cjehj { ¢¢¥¤¥ë© ¢ëè¥ ª¢ â ¬ £¨â®£® ¯®â®ª ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâ¨, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 ¬ £¨âë© ¯®â®ª ç¥à¥§ ®¤¨ ¢¨åàì ¡à¨ª®á®¢ . à¨
155
¨á. 7-3 §®¢ ï ¤¨ £à ¬¬ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª II த ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥.
¯®«ã票¨ ¯®á«¥¤¨å à ¢¥á⢠¨á¯®«ì§®¢ ë ä®à¬ã«ë (7.87), (7.100) ¨ (7.101). ¯¨á ¨¥ ¢¨åॢ®© áâàãªâãàë á¬¥è ®£® á®áâ®ï¨ï ᢥàå¯à®¢®¤¨ª®¢ II த ¡à¨ª®á®¢ë¬ ®áâ ¥âáï ®¤¨¬ ¨§ á ¬ëå ïàª¨å ¯à¨¬¥¥¨© ⥮ਨ ¨§¡ã࣠{ ¤ ã ¨ ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠¢®®¡é¥, ® ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï «¨èì í⨬ ª ç¥áâ¢¥ë¬ ¨§«®¦¥¨¥¬. § ª«î票¥, ªà ⪮ ®¡á㤨¬ ¯à¥¤¥«ë ¯à¨¬¥¨¬®á⨠⥮ਨ . ०¤¥ ¢á¥£®, âॡã¥âáï ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨ï Tc ; T Tc , çâ® íª¢¨¢ «¥â® (T) 0 . ®£¤ ¬®¦® áâநâì à §«®¦¥¨¥ ¤ ã. ¤ ª®, ¢ ®¡« á⨠T ! Tc ¯à¨¬¥¨¬®áâì ⥮ਨ â ª¦¥ ®£à ¨ç¥ ®¡é¨¬ ãá«®¢¨¥¬ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ ¤ ã, á¢ï§ ë¬ á ¢®§à áâ ¨¥¬ ä«ãªâã 権 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¢ ¥¯®á।á⢥®© ®ªà¥áâ®á⨠Tc (¢ â ª §ë¢ ¥¬®© ªà¨â¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨). á«ãç ¥ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠íâ® ãá«®¢¨¥ ï¥âáï ®ç¥ì á« ¡ë¬. ਠ®¡á㦤¥¨¨ ä«ãªâã 権 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¢ ⥮ਨ ¤ ã, ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® ®¡« áâì ¥¥ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠(¢®§¬®¦®áâì ¯à¥¥¡à¥¦¥¨ï ä«ãªâã æ¨ï¬¨) ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ª®íää¨æ¨¥âë á«¥¤ãî騬 ¥à ¢¥á⢮¬: 2 2 Tc ; T b 2Tc 3 (7.108) (h =m) 楨¢ ï ¯à ¢ãî ç áâì á ¯®¬®éìî § 票© ª®íää¨æ¨¥â®¢, ¯®«ãç¥ëå ¢ ⥮ਨ , ¯®«ã稬: Tc ; T Tc 4 (7.109) T " c
F
¢¨¤ã ªà ©¥© ¬ «®á⨠®â®è¥¨ï Tc ="F 10;3 ; 10;4 ¢ ®¡ëçëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å, ¬®¦® áç¨â âì, çâ® ¯à ªâ¨ç¥áª¨ íâ® ãá«®¢¨¥ ¢®®¡é¥ ¥áãé¥á⢥®. ¨âã æ¨ï ¬¥ï¥âáï ¢ ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàëå ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å, £¤¥ ªà¨â¨ç¥áª ï ®¡« áâì ॠ«ì® ¡«î¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥â «ì®.
156
« ¢ 8
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ãáá . ¨§¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë, å à ªâ¥à¨§ãî騥 ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ ⥫®, ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢á¥£¤ á ®ç¥ì ¡®«ì让 â®ç®áâìî à ¢ë ᢮¨¬ á।¨¬ § 票ï¬. ¤ ª®, ª ª ¨ ¬ «ë ®âª«®¥¨ï ®â íâ¨å á।¨å § 票©, ®¨ ¢á¥ ¦¥ ¯à®¨á室ïâ { 䨧¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ä«ãªâã¨àãîâ. ®§¨ª ¥â ¢®¯à®á ® 宦¤¥¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥à®ïâ®á⥩ íâ¨å ä«ãªâã 権1 . áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî § ¬ªãâãî á¨á⥬ã, ¨ ¯ãáâì x ¥áâì ¥ª®â®à ï 䨧¨ç¥áª ï ¢¥«¨ç¨ , å à ªâ¥à¨§ãîé ï á¨á⥬㠢 楫®¬ ¨«¨ ¥¥ ç áâì. «¥¥ 㤮¡® ¯®« £ âì, çâ® á।¥¥ § 票¥ < x > 㦥 ¢ëç⥮ ¨§ x, â ª çâ® ¢¥§¤¥ ¨¦¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® < x >= 0. ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢ < x >= x { ¨¡®«¥¥ ¢¥à®ï⮬㠧 票î x. ਠ®¡é¥¬ «¨§¥ ¯®ïâ¨ï íâய¨¨ ¬ë ¢¨¤¥«¨ (á¬. (1.180)), çâ® ¯à¨ à áᬮâ२¨ íâய¨¨ á¨á⥬ë, ª ª äãªæ¨¨ ¥ª®â®àëå ¬ ªà®¯ à ¬¥â஢ x = (x1; x2; :::; xn), ¢¥à®ïâ®áâì ¨å ª®ªà¥âëå § 票© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: w(x) = C expfS(E; N; V; x)g (8.1) { ¯à¨æ¨¯ ®«ìæ¬ . ®í⮬㠢¥à®ïâ®áâì «î¡®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨¥ ¨¬¥âì § 票¥ ¢ ¨â¥à¢ «¥ x; x + dx ¯à®¯®à樮 «ì exp S(x), £¤¥ S(x) { íâய¨ï, ä®à¬ «ì® à áᬠâਢ ¥¬ ï ª ª äãªæ¨ï â®ç®£® § 票ï x. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ä ªâ¨ç¥áª¨ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥«¨ç¨ x ¢ ¨¡®«¥¥ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥, ¯®§¢®«ïî饥 ©â¨ ¨å á।¥¥ ¨ ä«ãªâã 樨. ®à¬ã« (8.1) «¥¦¨â ¢ ®á®¢¥ ⥮ਨ ä«ãªâã 権, ¯à¥¤«®¦¥®© ©è⥩®¬. 1 ®á«¥¤ãî饥
¨§«®¦¥¨¥ á«¥¤ã¥â [1, 2].
157
158
᫨ ¥ ¢ëç¨â âì < x > ¨§ x, â® á«¥¤ã¥â § ¬¥â¨âì, çâ® ¢ à ¢®¢¥á¨¨ íâய¨ï à ¢ S0 = S(< x >). ®£¤ ¢¥à®ïâ®áâì ⮣®, çâ® á¨á⥬ ¯®¯ ¤¥â ¢ á®áâ®ï¨¥, å à ªâ¥à¨§ã¥¬®¥ § 票¥¬ ¯ à ¬¥âà x, «¥¦ 騬 ¢ ¨â¥à¢ «¥ < x >; < x > +dx, ¨¬¥¥â ¢¨¤: ~ S dx dw = w(x)dx = C~ exp[S(x) ; S(< x >)]dx = Ce (8.2) £¤¥ S { ¨§¬¥¥¨¥ íâய¨¨ ¯à¨ ä«ãªâã 樨 dx. (8.1) ¢¥«¨ç¨ e;S (<x>) ¯à®áâ® ¢ª«îç¥ ¢ ®à¬¨à®¢®çãî ¯®áâ®ïãî C. áᬮâਬ ¯à¥¤¥«ë ¯à¨¬¥¨¬®á⨠(8.1), (8.2). ᥠà áá㦤¥¨ï, ª®â®àë¥ ¯à¨¢¥«¨ á ª ¥©, ¥ï¢® ¯®¤à §ã¬¥¢ «¨ ª« áá¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à ¢¥«¨ç¨ x. ®í⮬ã 㦮 ©â¨ ãá«®¢¨¥ ¯à¥¥¡à¥¦¨¬®á⨠ª¢ ⮢묨 íä䥪⠬¨. § ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ¨§¢¥áâ® [7], çâ® ¬¥¦¤ã ª¢ ⮢®© ¥®¯à¥¤¥«¥®áâìî í¥à£¨¨ ¨ ª ª®©-«¨¡® ¤à㣮© ¢¥«¨ç¨ë x ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥 á®®â®è¥¨¥: Ex hx_ (8.3) £¤¥ x_ { ª« áá¨ç¥áª ï ᪮à®áâì ¨§¬¥¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë x 2 . ãáâì { å à ªâ¥à®¥ ¢à¥¬ï ¨§¬¥¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë x, â ª çâ® x_ x= ¨ Ex h x (8.8) á®, çâ® £®¢®à¨âì ®¡ ®¯à¥¤¥«¥®¬ § 票¨ ¢¥«¨ç¨ë x ¬®¦® «¨èì ¯à¨ ãá«®¢¨¨ x x, ®âªã¤ ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë E h (8.9) â.¥. ª¢ ⮢ ï ¥®¯à¥¤¥«¥®áâì í¥à£¨¨ ¤®«¦ ¡ëâì ¢¥«¨ª ¯® áà ¢¥¨î á h = . âய¨ï á¨áâ¥¬ë ¡ã¤¥â ¯à¨ í⮬ ¨¬¥âì ¥®¯à¥¤¥«¥®áâì h S T (8.10) «ï ⮣®, ç⮡ë (8.1), (8.2) ¨¬¥«¨ ॠ«ìë© á¬ëá«, ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¥â®ç®áâì íâய¨¨ ¡ë« ¬ « ¯® áà ¢¥¨î á ¥¤¨¨æ¥©: (8.11) T h Th
2 á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì ¤¢¥ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë f ¨ g, ®¯¥à â®àë ª®â®àëå 㤮¢«¥â¢®àïîâ ª®¬¬ãâ 樮®¬ã á®®â®è¥¨î: f^g^ ; g^f^ = ;ih^c (8.4) £¤¥ c^ { ¥ª®â®àë© ®¯¥à â®à. ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥ h ! 0 ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ c^ ¬®¦® § ¬¥¨âì c-ç¨á«®¬. ®£¤ : f^g^ ; g^f^ = ;ihc (8.5) â® á®®â®è¥¨¥ «®£¨ç® px x ; xpx = ;ih, ⮫쪮 h ! hc. ®á¥¬ã, ¯® «®£¨¨ á á®®â®è¥¨¥¬ ¥©§¥¡¥à£ xpx h, ¬®¦® § ª«îç¨âì, çâ® ¢ ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥ ¤«ï ¢¥«¨ç¨ f ¨ g ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á®®â®è¥¨¥ ¥®¯à¥¤¥«¥®áâ¨: f g hc (8.6) ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ®¤®© ¨§ ¢¥«¨ç¨ ï¥âáï í¥à£¨ï f H , ®¯¥à â®à ¤à㣮© (^g) ¥ § ¢¨á¨â  ®â ¢à¥¬¥¨, ⮠ᮣ« á® g_ = hi (H^ g^ ; g^H^ ), ¯®«ãç ¥¬ c = g_ , ¨ ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ á®®â®è¥¨¥ ¥®¯à¥¤¥«¥®á⥩ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: E g hg_ (8.7) çâ® ¯à¨ g = x ¨ ¤ ¥â (8.3).
159
â® ¨ ¥áâì ¨áª®¬®¥ ãá«®¢¨¥. ਠ᫨誮¬ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ¨«¨ ¯à¨ ᫨誮¬ ¡ëáâ஬ ¨§¬¥¥¨¨ ¢¥«¨ç¨ë x (¬ «ë¥ !) ä«ãªâã 樨 ¥«ì§ï à áᬠâਢ âì â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨, ®¨ áâ ®¢ïâáï ª¢ ⮢묨. ¨¦¥ ¬ë ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï «¨§®¬ «¨èì â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ä«ãªâã 権. ¥à¥¬áï ª ä®à¬ã«¥ (8.1). âய¨ï S ¨¬¥¥â ¬ ªá¨¬ã¬ ¯à¨ x =< x >= 0. ®í⮬ã: @S = 0; @ 2 S < 0: (8.12) @x @x2 x=0
x=0
¥«¨ç¨ x ¯à¨ ä«ãªâã æ¨ïå ®ç¥ì ¬ « . §« £ ï S(x) ¢ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ x ¨ ®£à ¨ç¨¢ ïáì ç«¥®¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¯®«ã稬: (8.13) S(x) = S(0) ; 2 x2; > 0 ®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ (8.1), ¯®«ãç ¥¬:
w(x)dx = Ae; 2 x2 dx (8.14) R 1 dxw(x) = 1, çâ® ¤ ¥â ®à¬¨à®¢®ç ï ¯®áâ®ï ï A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ ;1 p A = =2. ª¨¬ ®¡à §®¬, à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ä«ãªâã 権 ¢¥«¨ç¨ë x ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ãáá :
r
e; 2 x2 w(x) = 2 ।¨© ª¢ ¤à â ä«ãªâã 樨 à ¢¥: < x2
>=
Z1
;1
dxx2w(x) = 1
(8.15) (8.16)
®í⮬ã à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ãáá ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: x2 1 w(x) = p exp ; 2 < x2 > (8.17) 2 < x2 > ãªæ¨ï w(x) ¨¬¥¥â ⥬ ¡®«¥¥ ®áâàë© ¬ ªá¨¬ã¬, 祬 ¬¥ìè¥ < x2 >. ® ¨§¢¥á⮬ã < x2 > ¬®¦® ©â¨ «®£¨çãî ¢¥«¨ç¨ã ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ '(x). ¢¨¤ã ¬ «®á⨠x ¨¬¥¥¬:
d' 2
< x2 > : (8.18) >= dx x=0 «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¥à®ïâ®áâì ®¤®¢à¥¬¥®£® ®âª«®¥¨ï àï¤ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ®â ᢮¨å á।¨å § 票©, ®¡®§ 稬 í⨠®âª«®¥¨ï x1 ; x2; :::; xn. ¢®¤¨¬ íâய¨î S(x1 ; x2; :::; xn) ¨ ¯¨è¥¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ¢ ¢¨¤¥ wdx1:::dxn exp[S(x1 ; :::; xn)]dx1:::dxn. §« £ ¥¬ S ¯® á⥯¥ï¬ xi á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¯®«ãç ¥¬: < (')2
n X 1 S = ; 2 ik xi xk = ; 21 ik xixk i;k=1
(8.19)
160
{ áãé¥á⢥® ®âà¨æ ⥫ìãî ª¢ ¤à â¨çãî ä®à¬ã. 祢¨¤®, çâ® ik = ki. ¯®á«¥¤¥¬ à ¢¥á⢥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ®¡ë箥 ¯à ¢¨«® á㬬¨à®¢ ¨ï ¯® ¯®¢â®àïî騬áï ¨¤¥ªá ¬. ®£¤ : w = A exp ; 21 ik xi xk (8.20) R £¤¥ A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ ®à¬¨à®¢ª¨ dx1:::dxnw = 1. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¢ëç¨á«¥¨ï ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠᫥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ந§¢¥¤¥¬ ¤ ¢¥«¨ç¨ ¬¨ xi «¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥: xi = aik x0k (8.21) ¤¨ £® «¨§ãî饥 ª¢ ¤à â¨çãî ä®à¬ã ik xi xk . «ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ë¯®«ï«®áì ik xi xk = x0i2 x0ix0k ik (8.22) 㦮, çâ®¡ë ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (8.22) 㤮¢«¥â¢®à﫨 á®®â®è¥¨ï¬: ik ail akm = lm (8.23) ¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë á«¥¢ à ¢¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥©: a2 = 1 = Det ik a = Detaik (8.24) ª®¡¨ «¨¥©®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï xi ! x0i à ¢¥ a. ®í⮬㠯®á«¥ ¯à®¢¥¤¥¨ï «¨¥©®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (8.21) ¨â¥£à « à ᯠ¤ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ n ®¤¨ ª®¢ëå ¨â¥£à «®¢ ¨ á ãç¥â®¬ (8.24) ¯®«ãç ¥¬: Z 1 1 n A 0 Aa dx exp ; 2 x02 = p (2)n=2 = 1 (8.25) ;1 ª¨¬ ®¡à §®¬, ®ª®ç â¥«ì® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ãáá ¤«ï ¥áª®«ìª¨å ¢¥«¨ç¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: p w = n=2 exp ; 12 ik xi xk = Detj ik j (8.26) (2) ¥£® ¯®¬®éìî ¬®¦® ©â¨: < xixk >= ik;1 (8.27) ; 1 £¤¥ ik { í«¥¬¥â ¬ âà¨æë, ®¡à ⮩ ¬ âà¨æ¥ ik .
᫨ ä«ãªâã 樨 ª ª¨å-«¨¡® ¤¢ãå ¢¥«¨ç¨ x1 ¨ x2 áâ â¨áâ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë, â® á।¥¥ ®â ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ;1 = 0. ਠ£ ãáᮢ®¬ ä ªâ®à¨§ã¥âáï: < x1x2 >=< x1 >< x2 >= 0, â ª çâ® 12 à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¢¥à®ïâ®á⥩ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¨ ®¡à â ï ⥮६ : ¥á«¨ < x1x2 >= 0 ;1 = 0), â® ä«ãªâã 樨 ¢¥«¨ç¨ x1 ¨ x2 áâ â¨áâ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë. (â.¥. 12
«ãªâã 樨 ®á®¢ëå 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨. ©¬¥¬áï ⥯¥àì ¢ëç¨á«¥¨¥¬ á।¨å ª¢ ¤à ⮢ ä«ãªâã 権 ®á®¢ëå â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨, ®â®áïé¨åáï ª ¢ë¤¥«¥®© ¢ ⥫¥ ª ª®©-«¨¡® ¬ «®© ¥£® ç áâ¨. â ¬ « ï ç áâì ¤®«¦ , à §ã¬¥¥âáï, ᮤ¥à¦ âì ¥é¥ ¤®áâ â®ç® ¬®£® ç áâ¨æ.
161
«ï â ª¨å ¢¥«¨ç¨, ª ª í¥à£¨ï ¨ ®¡ê¥¬, ¨¬¥îé¨å àï¤ã á â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ â ª¦¥ ¨ ç¨áâ® ¬¥å ¨ç¥áª¨© á¬ëá«, ¯®ï⨥ ä«ãªâã 権 á ¬®®ç¥¢¨¤®. ®, ®¤ ª®, 㦤 ¥âáï ¢ ãâ®ç¥¨¨ ¤«ï â ª¨å ¢¥«¨ç¨, ª ª íâய¨ï ¨ ⥬¯¥à âãà , ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®â®àëå ¥¨§¡¥¦® á¢ï§ ® á à áᬮâ२¥¬ ⥫ ¢ â¥ç¥¨¥ ª®¥çëå ¨â¥à¢ «®¢ ¢à¥¬¥¨. ¥à®ïâ®áâì w ä«ãªâã 樨 exp S, £¤¥ S { ¯®« ï íâய¨ï § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë, â.¥. ¢á¥£® ⥫ ¢ 楫®¬. ⥬ ¦¥ ãᯥ宬, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ëè¥, ¬®¦® ¯¨á âì: w exp S (8.28) £¤¥ S { ¨§¬¥¥¨¥ íâய¨¨ ¯à¨ ä«ãªâã 樨. § â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¨§¢¥áâ® [1, 2], çâ® S = ; RTmin (8.29) 0 £¤¥ Rmin { ¬¨¨¬ «ì ï à ¡®â , ¥®¡å®¤¨¬ ï ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®¡à â¨¬ë¬ ®¡à §®¬ ¯à®¨§¢¥á⨠§ ¤ ®¥ ¨§¬¥¥¨¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¤ ®© ¬ «®© ç á⨠⥫ (¯à¨ ä«ãªâã 樨), ¯® ®â®è¥¨î ª ª®â®à®© ®áâ ¢è ïáï ç áâì ⥫ ¨£à ¥â ஫ì á।ë á ⥬¯¥à âãன T0 . ª¨¬ ®¡à §®¬: R w exp ; Tmin (8.30) 0 ®¤áâ ¢¨¬ áî¤ (¯à¨ 䨪á¨à®¢ ëå ⥬¯¥à âãॠ¨ ¤ ¢«¥¨¨ á।ë): Rmin = E ; T0S + P0V (8.31) £¤¥ E; S; V { ¨§¬¥¥¨ï í¥à£¨¨, íâய¨¨ ¨ ®¡ê¥¬ ¬ «®© ç á⨠⥫ ¯à¨ ä«ãªâã 樨, T0 ¨ P0 { ⥬¯¥à âãà ¨ ¤ ¢«¥¨¥ \á।ë", â.¥. à ¢®¢¥áë¥ § 票ï ⥬¯¥à âãàë ¨ ¤ ¢«¥¨ï ⥫ . ¨¦¥ ¨¤¥ªá ã«ì ®¯ã᪠¥¬, ¯®¤à §ã¬¥¢ ï ¢ ª®íää¨æ¨¥â å à ¢®¢¥áë¥ § 票ï. ®£¤ ¨¬¥¥¬: + PV exp ; w exp ; E ; TS (8.32) T T £¤¥ { ¨§¬¥¥¨¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « ¯à¨ ä«ãªâã 樨. ਠV = 0, â.¥. ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ä«ãªâã 権 ®¡ê¥¬ , ¨¬¥¥¬: (8.33) w exp ; F T £¤¥ F { ¨§¬¥¥¨¥ ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¯à¨ ä«ãªâã 樨. ¬¥â¨¬, çâ® ä®à¬ã«ë (8.32), (8.33) ¢ â ª®¬ ¢¨¤¥ ¯à¨¬¥¨¬ë ª «î¡ë¬ ä«ãªâã æ¨ï¬ { ª ª ¥¡®«ì訬, â ª ¨ § ç¨â¥«ìë¬. ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¬ «ë¬ ä«ãªâã æ¨ï¬ ¤¥©áâ¢ã¥¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. §« £ ï E ¢ àï¤, ¯®«ã稬: @2E 2E 2E 1 @ @ 2 2 E ; T S + P V = 2 @S 2 (S) + 2 @S@V SV + @V 2 (V ) (8.34) £¤¥ ç«¥ë ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¢ à §«®¦¥¨¨ E ᮪à ⨫¨áì á ãç¥â®¬ @E @S = T ¨ @E = ;P. ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® (8.34) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª: @V 1 S @E + V @E = 1 (ST ; PV ): (8.35) 2 @S V @V S 2
162
®£¤ ¯®«ãç ¥¬ ¢¥à®ïâ®áâì ä«ãªâã 樨 ¢ ¢¨¤¥: P V ; T E : (8.36) w exp 2T § í⮩ ®¡é¥© ä®à¬ã«ë ¬®¦® ©â¨ ä«ãªâã 樨 à §«¨çëå â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨. 롥६ á ç « ¢ ª ç¥á⢥ ¥§ ¢¨á¨¬ëå V ¨ T. ®£¤ : @S @S S = @T T + @V V = CTv T + @P (8.37) @T V V V T @P @P (8.38) P = @T T + @V V: V T ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¦¥¨ï ¢ (8.36) ¢¨¤¨¬, çâ® ç«¥ë á V T ᮪à é îâáï ¨ ®áâ ¥âáï: Cv 2 + 1 @P 2 : w exp ; 2T (T) (V ) (8.39) 2 2T @V T â® ¢ëà ¦¥¨¥ à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢ ¬®¦¨â¥«ï, § ¢¨áï騥 ⮫쪮 ®â T ¨«¨ V . à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ä«ãªâã 樨 ⥬¯¥à âãàë ¨ ®¡ê¥¬ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë: < T V >= 0 (8.40) à ¢¨¢ ï ¯®®ç¥à¥¤® ª ¦¤ë© ¨§ ¤¢ãå ¬®¦¨â¥«¥©, ª®â®àë¥ à ᯠ¤ ¥âáï (8.39) á ®¡é¥© ä®à¬ã«®© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ãáá (8.17), 室¨¬ á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï á।¨å ª¢ ¤à ⮢ ä«ãªâã 権 ⥬¯¥à âãàë ¨ ®¡ê¥¬ : 2 < (T)2 >= CT (8.41) v (8.42) < (V )2 >= ;T @V @P T : ®«®¦¨â¥«ì®áâì íâ¨å ¢¥«¨ç¨ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥âáï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬¨ ¥à ¢¥á⢠¬¨ Cv > 0 ¨ (@P=@V )T < 0 [1, 2]. 롥६ ⥯¥àì ¢ ª ç¥á⢥ ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå ¢ (8.36) P ¨ S. ®£¤ : @V @V (8.43) V = @P P + @S S S P @T @T @T T (8.44) T = @S S + @P P = C S + @P P p P S S ; = @2W = ; @T , ⮣¤ : ® ᮣ« á® dW = T dS + V dP ¨¬¥¥¬ @V @S P @P@S @P S @T @V (8.45) V = @P P + @P S S S ®¤áâ ¢«ïï V ¨ T ¢ (8.36), ©¤¥¬: 1 @V 1 2 2 w exp 2T @P (P) ; 2C (S) (8.46) p S
163
ª ¨ ¢ëè¥, íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ à ᯠ¤ ¥âáï ¬®¦¨â¥«¨, § ¢¨áï騥 ®â P ¨ S. ª¨¬ ®¡à §®¬: < (S)2 >= Cp (8.47) @P (8.48) < (P )2 >= ;T @V S § ¯®«ãç¥ëå ä®à¬ã« ¢¨¤®, çâ® á।¨¥ ª¢ ¤à âë ä«ãªâã 権 ¤¤¨â¨¢ëå â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ { ®¡ê¥¬ ¨ íâய¨¨ { ¯à®¯®à樮 «ìë à §¬¥à ¬ (®¡ê¥¬ã) â¥å ç á⥩ ⥫ , ª ª®â®àë¬ ®¨ p p ®â®áïâáï. ®®â¢¥âá⢥®, á।¥ª¢ ¤à â¨çë¥ ä«ãªâã 樨 íâ¨å ¢¥«¨ç¨ V , ®â®á¨â¥«ìë¥ ä«ãªâã 樨 1= V . ⮦¥ ¢à¥¬ï ¤«ï ⥬¯¥à âãàë ¨ ¤ ¢«¥¨ï ®¡à â® ¯à®¯®à樮 «ìë ª®àî ¨§ ®¡ê¥¬ 㦥 á ¬¨ ¨å á।¥ª¢ ¤à â¨çë¥ ä«ãªâã 樨. ëà ¦¥¨ï ¤«ï ä«ãªâã 権 â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ¨ ¥¯®á।á⢥® ¨§ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á . ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ä«ãªâã 樨 ç¨á« ç áâ¨æ. ®£« á® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¡®«ì讣® ª ®¨ç¥áª®£® á ¬¡«ï ¨¬¥¥¬: X N X ; EnN < N >= e T Ne T e T (8.49) N
n
¨ää¥à¥æ¨àãï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¯® (¯à¨ ¯®áâ®ïëå V ¨ T ), ¯®«ã稬: @ < N > = 1 e T X N 2 + N @ e NT X e; EnN T = @ T N @ n (8.50) = T1 < N 2 > + < N > @
@ ® @ =@ = ;N, â ª çâ®: @ < N > = 1 (< N 2 > ; < N >2 ) = 1 < (N)2 >; (8.51) @ T T ᮮ⢥âá⢥®: < (N)2 >= T (@N=@)T;V : (8.52) § ¯®«ãç¥ëå ä®à¬ã« ïá®, çâ® á।¥ª¢ ¤à â¨çë¥ ä«ãªâã 樨 â ª¨å ¢¥«¨ç¨, ª ª í¥à£¨ï, ®¡ê¥¬ ¨ ¤ ¢«¥¨¥ áâ६ïâáï ª ã«î ¯à¨ T ! 0. â® ®¡é¥¥ ᢮©á⢮ ¢á¥å â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨, ¨¬¥îé¨å â ª¦¥ ¨ ç¨áâ® ¬¥å ¨ç¥áª¨© á¬ëá«, ® ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ®â®á¨âáï ª â ª¨¬ ç¨áâ® â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ ¢¥«¨ç¨ ¬, ª ª íâய¨ï ¨ ⥬¯¥à âãà . ®£« á® (8.41), ¥á«¨ áç¨â âì í¥à£¨î ⥫ § ¤ ®© ¢¥«¨ç¨®©, â® ¥«ì§ï ¯à¨¯¨áë¢ âì ⥫㠢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥ãî ⥬¯¥à âãàã, ® ä«ãªâã¨àã¥â ¨ (8.41) å à ªâ¥à¨§ã¥â â®ç®áâì, á ª®â®à®© ¬®¦¥â ¡ëâì ¤ ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¨§®«¨à®¢ ®£® ⥫ .
«ãªâã 樨 ¢ ¨¤¥ «ì®¬ £ §¥. áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ¢ëç¨á«¥¨¨ < (N)2 > á ¥áª®«ìª® áâ®à®ë. ®£« á® . ¥«ï ; ¤à㣮© ®¡¥ ç á⨠í⮣® (8.42) ¤«ï ä«ãªâã 権 ®¡ê¥¬ ¨¬¥¥¬ < (V )2 >= ;T @V @P T
164
à ¢¥á⢠N 2 , 室¨¬ ä«ãªâã æ¨î ®¡ê¥¬ , ¯à¨å®¤ï饣®áï ®¤ã ç áâ¨æã: V )2 >= ; T @V < ( N (8.53) N 2 @P T ®âáî¤ ¬®¦® ©â¨ ä«ãªâã æ¨î ç¨á« ç áâ¨æ, 室ïé¨åáï ¢ ®¯à¥¤¥«¥®¬ ¢ë¤¥«¥®¬ ¢ ⥫¥ ®¡ê¥¬¥. ®áª®«ìªã ¯à¨ í⮬ V ¥áâì § ¤ ï ¢¥«¨ç¨ , â® ¨¬¥¥¬ NV = V N1 = ; NV2 N, ⮣¤ ¯®¤áâ ®¢ª ¢ (8.53) ¤ ¥â:
2 @V (8.54) >= ;T N V 2 @P T ®¤áâ ¢«ïï áî¤ ãà ¢¥¨¥ á®áâ®ï¨ï ¨¤¥ «ì®£® £ § V = NT=P, ¯®«ãç ¥¬: < (N)2 >= N (8.55) ®£¤ ®â®á¨â¥«ì ï ä«ãªâã æ¨ï ¥áâì: < (N)2 >1=2 = p1 : (8.56) N N áᬮâਬ ¤ «¥¥ ä«ãªâã 樨 ¢ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ç áâ¨æ £ § ¯® à §«¨çë¬ ª¢ â®¢ë¬ á®áâ®ï¨ï¬. ãáâì nk { ç¨á«® ç áâ¨æ, 室ïé¨åáï ¢ k-¬ ª¢ ⮢®¬ á®áâ®ï¨¨. ¢¨¤ã ¯®«®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠í⮩ á¨á⥬ë ç áâ¨æ ®â ®áâ «ìëå ç áâ¨æ £ § , ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ª ¥© ä®à¬ã«ã (8.52): < (nk )2 >= T @ <@nk > (8.57) «ï ä¥à¬¨(¡®§¥)-£ § , ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ < nk >= [e("k;)=T + 1];1 ¯®«ãç ¥¬: < (nk )2 >=< nk > (1; < nk >): (8.58) «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¡®§¥-£ § : < (nk )2 >=< nk > (1+ < nk >): (8.59) «ï ¡®«ìæ¬ ®¢áª®£® £ § , ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ < nk >= e(;"k )=T ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥¨¥: < (nk )2 >=< nk > (8.60) ¢ ª®â®à®¥ ¯¥à¥å®¤ï⠯।ë¤ã騥 ä®à¬ã«ë (8.58) ¨ (8.59) ¯à¨ nk 1. à®á㬬¨à®P ¢ ¢ (8.58) ¨ (8.59) ¯® £à㯯¥ ¨§ Gj ¡«¨§ª¨å ã஢¥©, ᮤ¥à¦ é¨å Nj = nk ç áâ¨æ. ᨫã áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠ä«ãªâã 権 à §«¨çëå nk ¯®«ã稬: < Nj > 2 < (Nj ) >= Gj < nj > (1 < nj >) = Nj 1 G (8.61) j £¤¥ < nj > { á।¥¥ § 票¥ ¡«¨§ª¨å ¤à㣠ª ¤àã£ã < nk >, < Nj >=< nj > Gj . ⨠ä®à¬ã«ë ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì, ¯à¨¬¥à, ª £ §ã ä®â®®¢, ¤«ï 祣® ¯®«®¦¨¬ ¢ (8.59) = 0. áᬮâਬ ᮢ®ªã¯®áâì ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨© ä®â®®¢ (¢ ®¡ê¥¬¥ V ) á ¡«¨§ª¨¬¨ § 票ﬨ ç áâ®â, «¥¦ 騬¨ ¢ ¬ «®¬ ¨â¥à¢ «¥ !j . ¨á«® ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å á®áâ®ï¨© à ¢® Gj = V !j2 !j =2 c3. ¡é ï í¥à£¨ï ª¢ ⮢ ¢
< (N)2
165
í⮬ ¨â¥à¢ «¥ ç áâ®â ¥áâì E!j = Nj h!j . ¬®¦ ï (8.61) (h!j )2 ¨ ®¯ãáª ï ¨¤¥ªá j, ¯®«ã稬 á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ©è⥩ ¤«ï ä«ãªâã 樨 í¥à£¨¨ E! ä®â®®£® £ § ¢ § ¤ ®¬ ¨â¥à¢ «¥ ç áâ®â !: 2 3 ! )2 < (E! )2 >= h!E! + Vc !(E (8.62) 2 ! : áᬮâਬ ¥é¥ ¢®¯à®á ® ä«ãªâã 樨 ç¨á« ç áâ¨æ ¢ ¢ë¤¥«¥®¬ ®¡ê¥¬¥ ¨¤¥ «ì®£® £ § V . ਠí⮬ ¨¬¥¥â á¬ëá« à áᬮâà¥âì ¨ ¡®«ì訥 ä«ãªâã 樨, ª®£¤ N ; < N > áâ ®¢¨âáï áà ¢¨¬ë¬ á < N >. â®â ¢®¯à®á ¨¬¥¥â á¬ëá« «¨èì ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¡®«ìæ¬ ®¢áª®¬ã £ §ã, â ª ª ª ¢ £ § å ¥à¬¨ ¨ ®§¥ ¢¥à®ïâ®áâì â ª¨å ä«ãªâã 権 ¬®¦¥â áâ âì § ¬¥â®© «¨èì ¢ áâ®«ì ¬ «ëå ®¡ê¥¬ å, çâ® áâ ®¢ïâáï áãé¥á⢥묨 ª¢ â®¢ë¥ ä«ãªâã 樨. ®£« á® ¡®«ì讬ã à á¯à¥¤¥«¥¨î ¨¡¡á , à á¯à¥¤¥«¥¨¥ N ç áâ¨æ £ § ¯® à §«¨çë¬ ª¢ â®¢ë¬ á®áâ®ï¨ï¬ ¯à®¯®à樮 «ì® + N ; P " k ; exp (8.63) T
P
£¤¥ "k ¥áâì á㬬 í¥à£¨© ®â¤¥«ìëå ç áâ¨æ. «ï ¯®«ãç¥¨ï ¨áª®¬®© ¢¥à®ïâ®á⨠wN ¤® ¯à®á㬬¨à®¢ âì íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¯® ¢á¥¬ á®áâ®ï¨ï¬ ç áâ¨æ, ¯à¨å®¤ïé¨¬ï § ¤ ë© ®¡ê¥¬ V . ந§¢®¤ï á㬬¨à®¢ ¨¥ ¯® á®áâ®ï¨ï¬ ª ¦¤®© ç áâ¨æë ¥§ ¢¨á¨¬®, 㦮 ¥é¥ à §¤¥«¨âì १ã«ìâ â N!, â ª çâ® ¯®«ãç ¥âáï:
=T wN = eN!
X k
;" e Tk
!N
(8.64)
â®ïé ï §¤¥áì á㬬 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®áâ® á।¥¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ®¡ê¥¬¥: X ;T"k e =< N > : (8.65) ®£¤ :
k
N
wN = const < NN!> ;
(8.66)
¨ å®¤ï ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ const = e; 3 ¯®«ãç ¥¬: N ; wN = < N >N!e (8.67) { â ª §ë¢ ¥¬®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ã áá® . ¥£® ¯®¬®éìî í«¥¬¥â à® ¯®ª §ë¢ ¥âáï [1, 2], çâ® ¤«ï á।¥£® ª¢ ¤à â ä«ãªâã 樨 ç¨á« ç áâ¨æ ¨¬¥¥¬ ¯à¥¦¥¥ § 票¥: < (N)2 >=< N > (8.68) â ª çâ® íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥ ⮫쪮 ¯à¨ ¡®«ìè¨å, ® ¢®®¡é¥ ¯à¨ «î¡ëå § 票ïå < N >. 3 ⮠᢮¤¨âáï ª = ;PV = ; < N > T , ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ãà ¢¥¨¥¬ á®áâ®ï¨ï ¨¤¥ «ì®£® £ § .
166
« ¢ 9
¥â®¤ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï ¢ ⥮ਨ ¬ £¥â¨§¬ . ë© à §¤¥« ªãàá ¯®á¢ïé¥ í«¥¬¥â ஬㠢¢¥¤¥¨î ¢ ⥮à¨î ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ II த ¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨©. à®á⥩襩 ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© ¬®¤¥«ìî â ª®£® ¯¥à¥å®¤ ï¥âáï ⥮à¨ï ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï ¥©áá , ª ç¥á⢥® ®¯¨áë¢ îé ï ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤ ¢ ä¥à஬ £¨â®¥ á®áâ®ï¨¥. í⮬ ¯à¨¬¥à¥ «¥£ª® ¨§ãç¨âì ®á®¢ë¥ ®á®¡¥®á⨠§ ¤ ç¨, ª®â®àë¥ ¯à®ï¢«ïîâáï, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¯à¨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤ å ¯®ç⨠¢ «î¡ëå ¤à㣨å á¨á⥬ å. áᬮâਬ á ç « áâ â¨áâ¨ç¥áªãî ¬¥å ¨ªã ᢮¡®¤ëå ᯨ®¢ ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ (¯ à ¬ £¥â¨ª á «®ª «¨§®¢ 묨 ¬ £¨â묨 ¬®¬¥â ¬¨). ¬¨«ì⮨ á¨áâ¥¬ë ¨§ N ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ᯨ®¢ Si ¢® ¢¥è¥¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ H, ¨¬¥¥â ¢¨¤: H = ;gB
N X i=1
Si H
(9.1)
h { ¬ £¥â® ®à . ¤ «ì¥©è¥¬, £¤¥ g { £¨à®¬ £¨â®¥ ®â®è¥¨¥, B = 2emc ¤«ï ªà ⪮á⨠¨á¯®«ì§ã¥¬ ®¡®§ 票¥ ~ = gB . ¯¨®¢ë¥ á®áâ®ï¨ï å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¥£® ¯à®¥ªæ¨¥© ¢¥è¥¥ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥, ª®â®à ï ¬®¦¥â ¯à¨¨¬ âì 2S +1 § 票© (mi = ;S; ;S + 1; :::; S ; 1; S).
167
168
â â¨áâ¨ç¥áª ï á㬬 â ª®© á¨á⥬ë ᯨ®¢ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
!
X
£¤¥
mX mX N N 1 =S N =S X X Z = exp ; T~ SiH = ::: exp x mi i=1 i=1 S m1 =;S mN =;S
x ~TH ¯¥à æ¨ï á㬬¨à®¢ ¨ï ¢ (9.2) ®á®¡¥® ¯à®áâ ¤«ï S = 1=2:
8 i =1=2 9 N < mX = Y Z= : exp(xmi ); = i=1 mi =;1=2 N Y 1 N N 1
=
i=1
2ch 2 x = 2 ch
2x
!
(9.2) (9.3)
(9.4)
ਠ¯à®¨§¢®«ì®¬ S ¨¬¥¥¬: expf(2S + 1)xg] N = sh f(S + 1=2)xg N (9.5) Z = exp(;xS)[11 ;;exp(x) sh(x=2) ®®â¢¥âá⢥®, ¤«ï ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¯®«ãç ¥¬: + 1=2)xg F(T; H) = ;T ln Z = ;NT ln sh f(S (9.6) sh(x=2) âáî¤ ¬ £¨ç¥®áâì: @F @ ln Z = M B (Sx) M(T; H) = ; @H = T @H (9.7) 0 S T £¤¥ M0 M(T = 0; H = 0) = NS~ = NSgB { ¬ ªá¨¬ «ì ï ¢¥«¨ç¨ ¬ £¨ç¥®áâ¨, 2S + 1 1 1 2S + 1 BS (x) 2S cth 2S x ; 2S cth 2S x (9.8)
{ â ª §ë¢ ¥¬ ï äãªæ¨ï ਫ«îí . â äãªæ¨ï á¢ï§ë¢ ¥â ¬ £¨ç¥®áâì á¨á⥬ë ᯨ®¢ ¯ à ¬ £¥â¨ª á ¢¥«¨ç¨®© ¯à¨«®¦¥®£® ¯®«ï, ® ¯®ª § ¨á. 9-1. ç á⮬ á«ãç ¥ S = 1=2 äãªæ¨ï ਫ«îí à ¢ : 1 (9.9) B1=2 2 x = 2cth(x) ; cth(x=2) = th(x=2): § ¨á. 9-1 ¢¨¤®, çâ® M = 0 ¯à¨ H = 0, ª ª ¨ ¤®«¦® ¡ëâì ¢ ¯ à ¬ £¥â¨ª¥. ä¥à஬ £¥â¨ª å á¨âã æ¨ï ¨ ï, á¯¨ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ¬¥¦¤ã ᮡ®©, ¨ ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ¢ á¨á⥬¥ ¨¬¥¥âáï ᯮâ ï ¬ £¨ç¥®áâì, áãé¥áâ¢ãîé ï ¨ ¢ ®âáãâá⢨¥ ¢¥è¥£® ¯®«ï, â.¥. ¯à¨ H = 0. ᮢ®¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ⥮ਨ ¬®«¥ªã«ïண® (á।¥£®) ¯®«ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ᯨ®¢ ¯à¨¢®¤¨â ª ¢®§¨ª®¢¥¨î ¥ª®â®à®£® \¬®«¥ªã«ïண®" ¬ £¨â®£® ¯®«ï Hm , ª®â®à®¥ ¤®¡ ¢«ï¥âáï ª ¢¥è¥¬ã ¯®«î H. ।¯®« £ ¥âáï, çâ® íâ® ¯®«¥ ¯à®¯®à樮 «ì® ¬ £¨ç¥®á⨠á¨á⥬ë: Hm = M(T; H) (9.10)
169
¨á. 9-1 ¢¨á¨¬®áâì ®â®á¨â¥«ì®© ¬ £¨ç¥®á⨠¯ à ¬ £¥â¨ª = M=M0 ®â ®â ¯ à ¬¥âà ~HS=T , ®¯¨áë¢ ¥¬ ï äãªæ¨¥© ਫ«îí ¤«ï à §«¨çëå § 票© ᯨ S .
â ª çâ® íä䥪⨢®¥ ¯®«¥, ¤¥©áâ¢ãî饥 ª ¦¤ë© ᯨ à ¢®: Heff = H + M(T; H) (9.11) à ¬¥âà > 0 §ë¢ ¥âáï ¯ à ¬¥â஬ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï. ᥠ¯®«ãç¥ë¥ ¢ëè¥ á®®â®è¥¨ï ®áâ îâáï ⮣¤ ¢ ᨫ¥, 㦮 ⮫쪮 ®áãé¥á⢨âì § ¬¥ã H ! Heff . ç áâ®áâ¨, ¯à¨ â ª®© § ¬¥¥ ¨§ (9.7) ¯®«ãç ¥¬: ~S (9.12) M = M0 BS T (H + M) ਠH = 0 ¢®§¨ª ¥â ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¬ £¨ç¥®á⨠M: ~M M = M0 BS T S (9.13) à ä¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¨§®¡à ¦¥® ¨á. 9-2. à ¢¥¨¥ (9.13) ¨¬¥¥â âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ M = 0 ¤«ï ¢á¥å § 票© T. ¤ ª® áãé¥áâ¢ã¥â ¥é¥ ¨ ¢â®à®¥ à¥è¥¨¥ M 6= 0, ª®£¤ ç «ìë© ãç á⮪ £à 䨪 ¯à ¢®© ç á⨠(9.13) ¨¤¥â ¡®«¥¥ ªàãâ®, 祬 «¥¢ ï ç áâì. â®¡ë ¨áá«¥¤®¢ âì íâ®â ¢®¯à®á «¨â¨ç¥áª¨, ¯à®¢¥¤¥¬ à §«®¦¥¨¥ äãªæ¨¨ ਫ«îí ¢ àï¤: + 1 x ; S + 1 2S 2 + 2S + 1 x3 + ::: BS (x) = S3S (9.14) 3S 30S 2 ®£¤ ç «ìë© ª«® ªà¨¢®©, ¨§®¡à ¦ î騩 § ¢¨á¨¬®áâì ¯à ¢®© ç á⨠(9.13), ®¯à¥¤¥«¨âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬: S + 1 ~S M0 3S (9.15) T = CT
170
¨á. 9-2 à ä¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¬ £¨ç¥®á⨠¢ ⥮ਨ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï ( = 1=T ).
£¤¥ ¢¢¥«¨ ¯®áâ®ïãî îà¨: 2 + 1) C N ~ S(S (9.16) 3 ¢ëà §¨¢ M0 ç¥à¥§ ¬¨ªà®¯ à ¬¥âàë, ᮣ« á® ä®à¬ã«¥, ¯à¨¢¥¤¥®© ¯®á«¥ (9.7). ¥¯¥àì ¨§ (9.15) ¢¨¤®, çâ® ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ T < C, ®âªã¤ ïá®, çâ® ªà¨â¨ç¥áª ï ⥬¯¥à âãà ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¢ ä¥à஬ £¨â®¥ á®áâ®ï¨¥ ¢ ⥮ਨ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï à ¢ :
Tc = C
(9.17)
ਠ⠪¨å ⥬¯¥à âãà å M 6= 0 ¤ ¦¥ ¢ ®âáãâá⢨¥ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï. ¥¬¯¥à âãà ¯¥à¥å®¤ Tc , ®ç¥¢¨¤®, áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ! 0, ª®£¤ ¬ë ¢®§¢à é ¥¬áï ª á«ãç î ¯ à ¬ £¥â¨ª . áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ¯à®¨á宦¤¥¨¨ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï á ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï. ®á®¢¥ ¡®«ìè¨á⢠¬®¤¥«¥© ¬ £¨â®£® 㯮àï¤®ç¥¨ï «¥¦¨â ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ®¡ ®¡¬¥®© ¯à¨à®¤¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ᯨ®¢, ª®â®à®¥ ¢ ¯à®á⥩襬 á«ãç ¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¬®¤¥«ìî ¥©§¥¡¥à£ , £ ¬¨«ì⮨ ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¢¨¤: X X H = ; 21 Jij SiSj ; ~ SiH (9.18) i i6=j £¤¥ Jij { â ª §ë¢ ¥¬ë© ®¡¬¥ë© ¨â¥£à «, ª®â®àë© ¢ë¡¨à ¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ìë¬ (á«ãç © ä¥à஬ £¨â®£® 㯮à冷票ï). áâ® à áᬠâਢ ¥âáï ¨ ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¢ ਠâ â ª §ë¢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ §¨£ , íª¢¨¢ «¥âë© (9.18), ¢ ª®â®à®© ®áâ ¢«¥ë ⮫쪮 Sz ª®¬¯®¥âë ᯨ .
¥ £ ¬¨«ì⮨ ®¡ëç® § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: X X (9.19) H = ; 21 Jij si sj ; ~ si H i i6=j
171
£¤¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ si = 1. ¬¥â¨¬, çâ® ¬®¤¥«ì §¨£ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥ â®ç® ¤¢ã¬¥à®© à¥è¥âª¥ [1, 2]. â® à¥è¥¨¥ á £¥à ¨£à ¥â ®ç¥ì ¡®«ìèãî à®«ì ¢ ⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢, ® ¬ë ¥£® à áᬠâਢ âì ¥ ¡ã¤¥¬. ®¤¥«ì ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï ᢮¤¨âáï ª ¯à¨¡«¨¦¥®© § ¬¥¥ (9.18) íää¥ªâ¨¢ë© £ ¬¨«ì⮨ ¢¨¤ : X X H = ; Jij < Sz > Siz ; ~ Siz H (9.20) i6=j
i
£¤¥ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥ áç¨â ¥âáï ¯à ¢«¥ë¬ ¯® ®á¨ z, < Sz > ®¡®§ ç ¥â á।¥¥ § 票¥ z-ª®¬¯®¥âë ᯨ «î¡®¬ 㧫¥ à¥è¥âª¨. á®, çâ® ¯à¨ (9.20) íª¢¨¢ «¥â® à áᬮâ८© ¢ëè¥ ¬®¤¥«¨ ᢮¡®¤ëå ᯨ®¢, 室ïé¨åáï ¢ íä䥪⨢®¬ (¬®«¥ªã«ï஬) ¯®«¥, ¯à ¢«¥®¬ ¢¤®«ì ®á¨ z, á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ : (9.21) Heff = H + J~0 < Sz >= H + NJ~0 2 M £¤¥ X J0 = Jij Jii = 0 (9.22) j
®¦® ᪠§ âì, çâ® ¬®«¥ªã«ï஥ ¯®«¥ ¤ ®¬ 㧫¥ ᮧ¤ ¥âáï á ¬®á®£« ᮢ ë¬ ®¡à §®¬ ¢á¥¬¨ ®áâ «ì묨 ᯨ ¬¨ á¨á⥬ë. à ¢¨¢ ï (9.21) á (9.11), ¢¨¤¨¬, çâ® ª®áâ â ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ í⮩ ¬®¤¥«¨ ¢ëà ¦¥¨¥¬: = NJ~0 2 (9.23) ®£¤ ¨§ (9.17) á«¥¤ã¥â, çâ® ªà¨â¨ç¥áª ï ⥬¯¥à âãà ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¢ ä¥à஬ £¨â®¥ á®áâ®ï¨¥ à ¢ : (9.24) Tc = 31 J0S(S + 1) á«ãç ¥, ¥á«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ᯨë ⮫쪮 ¡«¨¦ ©è¨å á®á¥¤ïå ¢ à¥è¥âª¥, â.¥. Jij = J ⮫쪮 ª®£¤ 㧥« j ï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ z ¡«¨¦ ©è¨å á®á¥¤¥© 㧫 i, ¢ ®áâ «ìëå á«ãç ïå Jij = 0, ¨¬¥¥¬: Tc = 31 zJS(S + 1) (9.25) ¥à¥¬áï ª à áᬮâà¥¨î ¯à®á⥩襣® á«ãç ï S = 1=2. ®£« á® (9.9) ¨ (9.12) ¬®¦® § ¯¨á âì: M = M0 th 2T1 ~(H + M) (9.26) ¢®¤ï ®â®á¨â¥«ìë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ = M=M0 ¨ t = T=Tc, ¯¨è¥¬ (9.26) ª ª: 1 ~H = th 2 T + t (9.27) +thy ®«ì§ãïáì th(x + y) = 1+(thx thx)(thy) , ¯¥à¥¯¨è¥¬ (9.27) ¢ ¢¨¤¥:
~H
th(=t) h th 2T = 11;;th(=t)
(9.28)
172
¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ (H = 0; M = 0; T = Tc ) à£ã¬¥âë ¢á¥å £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨å â £¥á®¢ ¢ (9.28) ¬ «ë, ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à®¨§¢¥á⨠¨å à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤: thx = x ; 31 x3 + 152 x5 + :::. ®£¤ :
(9.29) h = 1 ; 1t + 3 3t13 + 1 ;t1=t § í⮣®, â ª §ë¢ ¥¬®£® ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï ¬ £¥â¨ª , ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¯®¢¥¤¥¨¥ ¡®«ìè¨á⢠¥£® 䨧¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¢¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¬ë à áᬮâਬ ¬ £¨ç¥®áâì ¨ ¬ £¨âãî ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì. § ãà ¢¥¨ï (9.28) ¢¨¤®, çâ® ¢ ã«¥¢®¬ ¯®«¥ h = 0 ¨ ¤«ï T < Tc ãà ¢¥¨¥ (9.29) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤:
T 2 Tc ; T c;1 = Tc3 T=T + ::: 3 (9.30) ; Tc Tc Tc Tc 3T 3 + T 1 ; T ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ £¨ç¥®áâì ¢ ã«¥¢®¬ ¯®«¥ ¢¡«¨§¨ Tc (¯à¨ T < Tc ) ¢¥¤¥â á¥¡ï ª ª: Tc j j = T ; (9.31) Tc £¤¥ ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá ¬ £¨ç¥®á⨠= 1=2. ; 㤮¢«¥â¢®àï¥â §®â¥à¬¨ç¥áª ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ¢ ã«¥¢®¬ ¯®«¥ T = @M @H T á®®â®è¥¨î: @M @ @h 1 ~ @ C @ = 2 N ~ 2T @h = T @h (9.32) T = @ T @h T @H T T T £¤¥ ¤«ï ¯®áâ®ï®© îਠ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (9.16) ¤«ï S = 1=2. ¨ää¥à¥æ¨àãï ®¡¥ ç á⨠(9.29) ¯® h ¯à¨ T Tc , ¯®«ãç ¥¬: 1 1 @ 2 1 = @h 1 ; t + 3 3t3 (9.33) ¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï (9.32), 3 ;1 C (9.34) T = T t + t3 : 2
«¥¥, ¤«ï T > Tc ¨¬¥¥¬ = 0 ¯à¨ H = 0 ¨ (9.34) ᢮¤¨âáï ª: Tc T ; T ;1 C C = T ; T ; T = T T T c (9.35) c c £¤¥ ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠= 1. ਠT < Tc , ᮣ« á® (9.30) ¨¬¥¥¬ 2 ;3 , â ª çâ® ¨§ (9.34): T 21 CT (;1 ) j j;1 (9.36) â ª çâ® ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠¯à¨ T < Tc â ª¦¥ 0 = 1. àï¬ë¬¨ à áç¥â ¬¨ ¢ à ¬ª å ¬®¤¥«¨ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï ¬®¦® ¯®ª § âì, ç⮠⥯«®¥¬ª®áâì á¨áâ¥¬ë ¯à¨ T = Tc ¨á¯ëâë¢ ¥â ª®¥çë© áª ç®ª CH = 3=2N.
173
®¦® ¨§ãç¨âì ªà¨â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¨ àï¤ ¤à㣨å å à ªâ¥à¨á⨪, å à ªâ¥à¨§ãî饥áï ᢮¨¬¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¨¤¥ªá ¬¨. 楫®¬, ¬®¤¥«ì ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï ¤ ¥â ¥¯«®å®¥ ª ç¥á⢥®¥ ®¯¨á ¨¥ ä¥à஬ £¨â®£® ¯¥à¥å®¤ . «¥£ª® ®¡®¡é ¥âáï á«ãç © â¨ä¥à஬ £¨â®£® ¯¥à¥å®¤ . ªâ¨ç¥áª¨, íâ ¬®¤¥«ì á«ã¦¨â ¯à®®¡à §®¬ ¡®«ì讣® ç¨á« ¯®¤®¡ëå ¬®¤¥«¥© á।¥£® ¯®«ï, ïîé¨åáï ¨á室묨 ¯à¨ ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ ®¯¨á ¨¨ à §«¨çëå ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ ¢ á ¬ëå à §ëå ⨯ å 䨧¨ç¥áª¨å á¨á⥬. ¯à¨¬¥à, à áᬮâà¥ ï ¢ëè¥ ¬®¤¥«ì ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâ¨, ï¥âáï ⨯¨çë¬ ¯à¨¬¥à®¬ â ª®© ¬®¤¥«¨ á।¥£® ¯®«ï, ¢ ª®â®à®© ஫ì í⮣® ¯®«ï ¨£à îâ ®¬ «ìë¥ á।¨¥ (7.16), (7.17), £ ¬¨«ì⮨ (7.14) ¨«¨ (7.15) ï¥âáï ¯àï¬ë¬ «®£®¬ (9.20) 1 . ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠⠪®© ¯®¤å®¤ ¤ ¥â ®ç¥ì â®ç®¥ ®¯¨á ¨¥ ¯®¢¥¤¥¨ï á¨áâ¥¬ë ¢¡«¨§¨ Tc . ¡®«ìè¨á⢥ ¤à㣨å á«ãç ¥¢, ¢ ç áâ®á⨠¢ ॠ«ìëå ¬ £¨âëå á¨á⥬ å, íâ® ®¯¨á ¨¥ ï¥âáï áã£ã¡® ª ç¥á⢥ë¬. ç áâ®áâ¨, ¢¥«¨ç¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ ¤®áâ â®ç® á¨«ì® ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯à¥¤áª § ¨© ⥮ਨ á।¥£® ¯®«ï. ¨§¨ç¥áª ï ¯à¨ç¨ íâ¨å ®â«¨ç¨© á®á⮨⠢ ¢®§à áâ î饩 ஫¨ ä«ãªâã 権 ¢ ªà¨â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠¢¡«¨§¨ Tc .
¢ §¨á।¨¥. ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© ⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ ¢®§¨ª ¥â ¢¥áì¬ ¢ ¦ë© ¢®¯à®á ® ¢ë஦¤¥¨¨ ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï á¨áâ¥¬ë ¨ â¥á® á¢ï§ ë© á ¨¬ ¢®¯à®á ® ¯à ¢¨«ì®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å á।¨å. áᬮâਬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ä¥à஬ £¥â¨ª ¥©§¥¡¥à£ , ®¯¨áë¢ ¥¬ë© £ ¬¨«ì⮨ ®¬ (9.18). ®âáãâá⢨¥ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï (¯à¨ H = 0) íâ®â £ ¬¨«ì⮨ ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® £à㯯ë âà¥å¬¥àëå ¢à 饨©. â® ïá® ¨§ ⮣®, çâ® ¢ (9.18) ¢å®¤ïâ ⮫쪮 ᪠«ïàë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ᯨ®¢ à §ëå 㧫 å à¥è¥âª¨. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ä¥à஬ £¨â®¥ ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ ¥ ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® í⮩ £à㯯ë { ¢¥ªâ®à ᯮ⠮© ¬ £¨ç¥®á⨠¨¬¥¥â ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ¨ ®áâ ¥âáï ¨¢ ਠâ®áâì ⮫쪮 ®â®á¨â¥«ì® ¢à 饨© ¢®ªà㣠í⮣® ¯à ¢«¥¨ï. 祢¨¤®, ®¤ ª®, çâ® «î¡®¥ ¤à㣮¥ ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ ⮩ ¦¥ á¨á⥬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¤à㣮¬ã ¯à ¢«¥¨î ¢¥ªâ®à ¬ £¨ç¥®á⨠®â¢¥ç ¥â ⮩ ¦¥ á ¬®© í¥à£¨¨. ®®â¢¥âá⢥®, ¢ § ¤ ç¥ ¢®§¨ª ¥â ¡¥áª®¥çë© ¡®à ®á®¢ëå á®áâ®ï¨©, ®â«¨ç îé¨åáï ⮫쪮 ¯à ¢«¥¨¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ £¨ç¥®áâ¨. ¥è¥¥ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥ (¤ ¦¥ ¡¥áª®¥ç® á« ¡®¥) ᨬ ¥â íâ® ¢ë஦¤¥¨¥ ¨ ¯®§¢®«ï¥â ®¤®§ ç® à ááç¨â âì ¢á¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ á।¨¥. ä®à¬ «ì®¬ ¯¯ à ⥠⥮ਨ íâ® ®âà ¦ ¥âáï ¢ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢¢¥¤¥¨ï ª®æ¥¯æ¨¨ ª¢ §¨á।¨å [25] { ®¤®£® ¨§ æ¥âà «ìëå ¯®ï⨩ ⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢. â ª, à áᬮâਬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¬®¤¥«ì ¥©§¥¡¥à£ ¢ ®âáãâá⢨¥ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï: X H = ; 21 Jij SiSj (9.37) i6=j
1 ¬¨«ì⮨ ¤ ¦¥ ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ç¥à¥§ ¥ª®â®àë¥ \¯á¥¢¤®á¯¨®¢ë¥" ®¯¥à â®àë (¤¥àá®), ª®£¤ ® ¯®ç⨠¢ â®ç®á⨠᢮¤¨âáï ª ¢¨¤ã (9.20)
174
«ï à áᬠâਢ ¥¬®© á¨áâ¥¬ë ª ¦¤ ï ¨§ ª®¬¯®¥â ¢¥ªâ®à á㬬 ண® ᯨ
S=
X j
Sj
(9.38)
ï¥âáï ¨â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥¨ï. ®á¯®«ì§ã¥¬áï ª®¬¬ãâ 樮묨 á®®â®è¥¨ï¬¨: Sx Sy ; Sy Sx = iSz Sy Sz ; Sz Sy = iSx Sz Sx ; Sx Sz = iSy âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® iSp(Sz e; HT ) = Sp[(Sx Sy ; Sy Sx )e; HT ] ® ¯®áª®«ìªã Sx ª®¬¬ãâ¨àã¥â á H, ¯®«ã稬: Sp(Sy Sx e; HT ) = Sp(Sy e; HT Sx ) = Sp(Sx Sy e; HT ); ¨ ¯®í⮬ã
(9.39) (9.40) (9.41)
Sp(Sz e; HT ) = 0: ®¢¥à襮 «®£¨ç® 室¨¬:
(9.42)
Sp(Sx e; HT ) = 0 Sp(Sy e; HT ) = 0 ¢¥¤¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ £¨ç¥®áâ¨, ®â¥á¥®© ª ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ : X M = V~ Sj = V~ S: j
(9.43)
®£¤ ¨¬¥¥¬: ¨ á।ïï ¬ £¨ç¥®áâì:
Sp(Me; HT ) = 0
(9.44) (9.45)
Sp(Me ) = 0: < M >= Vlim (9.46) !1 Sp(e; HT ) â ª, ®¡ë箥 áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ (£¨¡¡á®¢áª®¥) á।¥¥ § 票¥ ¬ £¨ç¥®á⨠á¨áâ¥¬ë ¢á¥£¤ à ¢® ã«î, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§®âய¨¨ á¨áâ¥¬ë ®â®á¨â¥«ì® £à㯯ë âà¥å¬¥àëå ¢à 饨©. ®¤ç¥àª¥¬, çâ® íâ®â १ã«ìâ â á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï «î¡ëå ⥬¯¥à âãà, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¤«ï ⥬¯¥à âãà ¨¦¥ ⥬¯¥à âãàë îà¨. § «®áì ¡ë ¢®§¨ª ¥â ¥ª®â®àë© ¯ à ¤®ªá, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ T < Tc ¢ á¨á⥬¥ áãé¥áâ¢ã¥â ᯮâ ï ¬ £¨ç¥®áâì. ¤ ª®, ¯à ¢«¥¨¥ ¢¥ªâ®à ¬ £¨ç¥®á⨠¢ ®âáãâá⢨¥ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¯à®¨§¢®«ì® ¨ ¢ í⮬ á¬ëá«¥ á®áâ®ï¨¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬¥ ï¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¢ë஦¤¥ë¬. ª«î稬 ⥯¥àì ¢¥è¥¥ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥ e( > 0; e2 = 1), § ¬¥¨¢ £ ¬¨«ì⮨ (9.37) He = H + V eM: (9.47) ; HT
175
®£¤ , ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å ¨¦¥ â®çª¨ îਠ< M >= eM
(9.48)
£¤¥ M ¡ã¤¥â áâ६¨âìáï ª ª®¥ç®¬ã, ®â«¨ç®¬ã ®â ã«ï ¯à¥¤¥«ã, ª®£¤ ¨â¥á¨¢®áâì ¢¥è¥£® ¯®«ï áâ६¨âáï ª ã«î. ä®à¬ «ì®© â®çª¨ §à¥¨ï §¤¥áì ¢®§¨ª ¥â \¥áâ ¡¨«ì®áâì" ®¡ëçëå á।¨å { ¯à¨ ¤®¡ ¢«¥¨¨ ª £ ¬¨«ì⮨ ã ç«¥ á ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë¬ ¢¥è¨¬ ¯®«¥¬2 á।¥¥ § 票¥ < M > ¯à¥â¥à¯¥¢ ¥â ª®¥ç®¥, ®â«¨ç®¥ ®â ã«ï ¯à¨à 饨¥:
em £¤¥ m = lim !0 M :
(9.49)
á¢ï§¨ á í⨬ 㤮¡® ¢¢¥á⨠¯®ï⨥ ª¢ §¨á।¥£®. áᬮâਬ ª ªãî { «¨¡® ¤¨ ¬¨ç¥áªãî ¢¥«¨ç¨ã A, á®áâ ¢«¥ãî ¨§ ᯨ®¢ëå ®¯¥à â®à®¢. ®£¤ ª¢ §¨á।¥¥ ®â ¥¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: A = lim (9.50) !0 < A >e £¤¥ < A >e { ®¡ë箥 áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ á।¥¥ ®â A ¯à¨ £ ¬¨«ì⮨ ¥ He. ª¨¬ ®¡à §®¬, «¨ç¨¥ ¢ë஦¤¥¨ï ¥¯®á।á⢥® ®âà ¦ ¥âáï ª¢ §¨á।¨å ¨å § ¢¨á¨¬®áâìî ®â ¯à®¨§¢®«ì®£® ®àâ e. ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® ®¡ë箥 á।¥¥: Z < A >= A de (9.51) â.¥. ¯®«ãç ¥âáï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ¢á¥¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ ¢¥ªâ®à e. ®ïâ®, çâ® ¤«ï ®¯¨á ¨ï ¢ë஦¤¥®£® á®áâ®ï¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï ª¢ §¨á।¨¥ ¡®«¥¥ 㤮¡ë ¨ \䨧¨çë", 祬 ®¡ëçë¥ á।¨¥. ªâ¨ç¥áª¨, ®¨ ¨ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â å. ª ç¥á⢥ ¤à㣮£® ¯à¨¬¥à ¬®¦® 㯮¬ïãâì ¬®¤¥«ì ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠. ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, ᢥàå¯à®¢®¤ï饥 á®áâ®ï¨¥ àãè ¥â ª «¨¡à®¢®çãî ᨬ¬¥âà¨î, á¢ï§ ãî á § ª®®¬ á®åà ¥¨ï ç áâ¨æ, çâ® ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ¯®ï¢«¥¨¨ ®¬ «ìëå á।¨å ⨯ (7.16), (7.17). í⮬ á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢ã¥â ॠ«ì®¥ 䨧¨ç¥áª®¥ ¯®«¥, àãè î饥 íâã ᨬ¬¥âà¨î, ¯®¤®¡® ⮬㠪 ª ¢¥è¥¥ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥ àãè ¥â ¯®«ãî ¢à é ⥫ìãî ᨬ¬¥âà¨î £¥©§¥¡¥à£®¢áª®£® ¬ £¥â¨ª . ¤ ª®, ¬®¦® ¢¢¥áâ¨ ä¨ªâ¨¢ë© ¡¥áª®¥ç® á« ¡ë© \¨áâ®ç¨ª" ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à, ¤®¡ ¢¨¢ ¥£® ª £ ¬¨«ì⮨ ã (7.12), § ¯¨á ¢: H = H ;
X [a;p#ap" + a+p"a+;p# ] p
(9.52)
ç⮠ᨬ ¥â ¢ë஦¤¥¨¥ ¯® ®â®è¥¨î ª ª «¨¡à®¢®ç®© ᨬ¬¥âਨ, ¨«¨, ç⮠⮦¥ á ¬®¥, àãè ¥â § ª® á®åà ¥¨ï ç¨á« ç áâ¨æ. ®®â¢¥âá⢥®, ¢á¥ á।¨¥, ¢ëç¨á«¥ë¥ ¢ ᢥàå¯à®¢®¤ï饬 á®áâ®ï¨¨ á«¥¤ã¥â ¯®¨¬ âì ª ª ª¢ §¨á।¨¥, ¯®«ãç¥ë¥ á ¯®¬®éìî £ ¬¨«ì⮨ (9.52), á ¯®á«¥¤ãî騬 ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ! 0.
áâ¥á⢥®, çâ® ¢á¥ â ª¨¥ á।¨¥ § ¢¨áï⠮⠯ந§¢®«ì®£® ä §®¢®£® 㣫 . ®«®¦¨¢ ¢ëè¥, ¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® á®áâ®ï¨ï, íâã ä §ã = 0, ¬ë, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¯®áâ㯨«¨ ᮢ¥à襮 «®£¨ç® ⮬ã, ª ª ¯à¨ à áᬮâ२¨ ä¥à஬ £¥â¨ª 䨪á¨àã¥âáï ¯à®¨§¢®«ì® ¯à ¢«¥ ï ¢ ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥ 2 ®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® á ç « ¯à®¢®¤¨âáï ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ V
1, § ⥬ ãáâ६«ï¥âáï ª ã«î.
!
176
®áì z, ¢¤®«ì ª®â®à®© ®à¨¥â¨à®¢ ® ¢¥è¥¥ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¬®¦® à áᬮâà¥âì ¨ ¥¨¥ ¡®§¥-ª®¤¥á 樨 [25]. ªâ¨ç¥áª¨, ¯à¨ à áᬮâ२¨ «î¡®£® ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ , ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ¢¢¥¤¥¨¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®£® ¡®£®«î¡®¢áª®£® ¯®«ï ¨«¨ \¨áâ®ç¨ª ", ᨬ î饣®, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ᨬ¬¥âà¨î § ¤ ç¨. ®£¤ , ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨ïå ¯à¨å®¤¨âáï ãç¨âë¢ âì ¥¨§¡¥¦® ¢®§¨ª î騥 ®¬ «ìë¥ á।¨¥, ª®â®àë¥ â ª¦¥ àãè îâ ᨬ¬¥âà¨î ¨á室®£® £ ¬¨«ì⮨ . §®¢ë© ¯¥à¥å®¤ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¢ \ª®¤¥á¨à®¢ ®©" ä §¥ (¯à¨ T < Tc ) í⨠®¬ «ìë¥ á।¨¥, ¢ëç¨á«¥ë¥ á ¬®á®£« ᮢ ë¬ ®¡à §®¬, ®áâ îâáï ®â«¨ç묨 ®â ã«ï ¤ ¦¥ ¯®á«¥ ¢ëª«îç¥¨ï ¢¥è¥£® ¯®«ï (¨áâ®ç¨ª ), â.¥. ¯à¨ ! 0. \®à¬ «ì®©" ä §¥ (¯à¨ T > Tc ) ®¬ «ìë¥ á।¨¥ ¯à¨ ! 0 áâ६ïâáï ª ã«î, ¨ ᨬ¬¥âà¨ï ¥ àãè ¥âáï.
«ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 . ¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâà¥¨î ¢®¯à®á ® ä«ãªâã æ¨ïå ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 . ëè¥ ã¦¥ ®â¬¥ç «®áì, çâ® í⨠ä«ãªâã 樨 ®ª §ë¢ îâáï áãé¥á⢥묨 ¢¡«¨§¨ ⥬¯¥à âãàë ¯¥à¥å®¤ , áãé¥á⢥® ¬¥ïï ª àâ¨ã, ¯à¥¤áª §ë¢ ¥¬ãî ⥮à¨ï¬¨ á।¥£® ¯®«ï. áᬮâ२¥ ¡ã¤¥â ¢¥áâ¨áì ¢ à ¬ª å ⥮ਨ ¤ ã, ª ª ⨯¨ç®© ⥮ਨ á।¥£® ¯®«ï. ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢, ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¢ ⥮ਨ ¤ 㠯।áâ ¢«ï¥â ᮡ®© n { ª®¬¯®¥âë© ¢¥ªâ®à ¢ ॠ«ì®¬ ¨«¨ ¥ª®â®à®¬ ¢á¯®¬®£ ⥫쮬 ¯à®áâà á⢥, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á å à ªâ¥à®¬ àã襨ï ᨬ¬¥âਨ ¯à¨ ä §®¢®¬ ¯¥à¥å®¤¥. ¯à¨¬¥à, ¢ ¬®¤¥«¨ ä¥à஬ £¥â¨ª ¥©§¥¡¥à£ { íâ® ®¡ëçë© âà¥åª®¬¯®¥âë© ¢¥ªâ®à ( ¬ £¨ç¥®áâì), ¢ ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠¨§¡ã࣠{ ¤ ã { íâ® ª®¬¯«¥ªá ï (â.¥. ¤¢ã媮¬¯®¥â ï) ¢®«®¢ ï äãªæ¨ï ª®¤¥á â ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à ¨ â.¯. ¤¥áì ¬ë à áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¢ ਠâ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ , ®¯¨áë¢ ¥¬®£® ®¤®ª®¬¯®¥âë¬ ¯ à ¬¥â஬ ¯®à浪 , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â, ¯à¨¬¥à, 㯮¬ïã⮩ ¢ëè¥ ¬®¤¥«¨ §¨£ 3 . ¨¨¬ «ì ï à ¡®â , âॡ㥬 ï ¤«ï ¢ë¢®¤ á¨áâ¥¬ë ¨§ à ¢®¢¥á®£® á®áâ®ï¨ï ¯à¨ § ¤ ëå ¯®áâ®ïëå § 票ïå ¤ ¢«¥¨ï ¨ ⥬¯¥à âãàë, à ¢ ¨§¬¥¥¨î ¥¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « . ®í⮬ã, ᮣ« á® (8.32), ¢¥à®ïâ®áâì ä«ãªâã 樨 ¯à¨ ¯®áâ®ïëå P ¨ T: w exp ; T (9.53) ¡®§ 稬 à ¢®¢¥á®¥ § 票¥ ª ª . ਠ¬ «®¬ ®âª«®¥¨¨ ®â à ¢®¢¥á¨ï: 2 = 21 ( ; )2 @@2 (9.54) P;T ¢®¢¥á®¥ § 票¥ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à §«®¦¥¨¥¬ ¤ ã: (T; P; ) = 0 (P; T ) + at2 + B4 ; hV
(9.55)
3 ë ᮢ¥à襮 ®â¢«¥ª ¥¬áï ®â ®ç¥ì ¢ ¦ëå ᯥªâ®¢ ⥮ਨ ¤ ã, á¢ï§ ëå á ஫ìî ᨬ¬¥âਨ ªà¨áâ ««¨ç¥áª®© à¥è¥âª¨ [1, 2], áç¨â ï á¨á⥬㠮¤®à®¤®© ¨ ¨§®âய®©.
177
£¤¥ t = T ; Tc (P), h { ¢¥è¥¥ ¯®«¥, ᮯà殮®¥ ¯ à ¬¥âàã ¯®à浪 ( ¯à¨¬¥à ¬ £¨â®¥ ¯®«¥ ¢ ¬®¤¥«¨ §¨£ ). § (9.55) ®¯à¥¤¥«ï¥¬ à ¢®¢¥á®¥ § 票¥ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ãá«®¢¨¥¬: @ (9.56) @ T;h = 0 ç⮠᢮¤¨âáï ª: 2at + 4B3 = hV (9.57) ä ªâ¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥âë¬ ¯®«ã祮¬ã ¢ëè¥ ¢ ⥮ਨ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï (9.29). ¥è¥¨¥ (9.57) ¯à¨ h ! 0 ¨¬¥¥â ¢¨¤: 2 = 0 ¯à¨ t > 0 at ¯à¨ t < 0 2 = ; 2B (9.58) â ª çâ® ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 à ¢¥ 1=2, «®£¨ç® (9.31). ®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ⥫ à ¢ : @ = @h (9.59) T ;h!0 ¨ää¥à¥æ¨àãï (9.57), 室¨¬ ¯à¨ h ! 0: @ V (9.60) @h = 2at + 12B2 ®¤áâ ¢«ïï áî¤ (9.58), ¯®«ãç ¥¬: V ¯à¨ t > 0 = 2at = ;V4at ¯à¨ t < 0 (9.61)
çâ® «®£¨ç® (9.35), (9.36) ¨ ¤¥¬®áâà¨àã¥â à á室¨¬®áâì jT ; Tc j;1, â.¥. ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠= 0 = 1, ª ª ¨ ¢ëè¥. ¥®à¨ï ¤ 㠯।áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⨯¨çãî ⥮à¨î á।¥£® ¯®«ï, ᮮ⢥âá⢥® ¢á¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë ¯®«ãç îâáï ⥬¨ ¦¥, çâ® ¨ ¢ «®£¨çëå ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«ïå. ᯮ«ì§ãï (9.60) ¬®¦® ¯¨á âì ¨ â ª: @2 ;1 (9.62) = V @2 h=0 ®í⮬ã, ¢¥à®ïâ®áâì ä«ãªâã 樨 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (9.53), (9.54) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: = 21 ( ; )2 V (9.63) ; )2V w exp ; ( 2 T (9.64) c âáî¤ , ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¨¬ ¢¨¤®¬ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ãáá (8.17), 室¨¬ á।¨© ª¢ ¤à â ä«ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¢ ¢¨¤¥: < ()2 >= TVc j1tj ¯à¨ T ! Tc (9.65)
178
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¥«¨ç¨ ä«ãªâã 権 ¢¡«¨§¨ Tc ¢®§à á⠥⠨ à á室¨âáï jT ; Tc j;1. «ï ¡®«¥¥ £«ã¡®ª®£® ¯®¨¬ ¨ï í⮣® ¥¨ï 㦮 ©â¨ ¯à®áâà á⢥ãî ª®à५ï樮ãî äãªæ¨î ä«ãªâã 権 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 . «ï ¥®¤®à®¤®£® ⥫ ( ¯à¨ ãç¥â¥ ä«ãªâã 権 ¢ ¥¬ ¢®§¨ª îâ R ¥®¤®à®¤®áâ¨) â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ = dV , £¤¥ { ¯«®â®áâì ¯®â¥æ¨ « (äãªæ¨ï ª®®à¤¨ â). ¥«¥á®®¡à §® ¯¥à¥©â¨ ª ®¯¨á ¨î á ¯®¬®éìî ¯®â¥æ¨ «
(T; ), ®â®áï饬ãáï ª ¥ª®â®à®¬ã ¢ë¤¥«¥®¬ã ¢ á।¥ ®¡ê¥¬ã V , ᮤ¥à¦ 饬㠯¥à¥¬¥®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ N. «ï ¯®â¥æ¨ « (T; ; ), ®â¥á¥®£® ª ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ , ¬®¦® ¯¨á âì à §«®¦¥¨¥, «®£¨ç®¥ (9.55):
(T; ; ) = 0(T; ) + t2 + b4 ; h
(9.66)
£¤¥ = a=V; b = B=V; t = T ; Tc (). â® à §«®¦¥¨¥ ®â®á¨âáï ª ®¤®à®¤®© á।¥. ¥®¤®à®¤®¬ á«ãç ¥ ®® ¤®«¦® ᮤ¥à¦ âì ¯à®áâà áâ¢¥ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ . ਠí⮬ ¤«ï ¤«¨®¢®«®¢ëå ä«ãªâã 権 ¬®¦® ®£à ¨ç¨âìáï ç«¥ ¬¨ á ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¨§è¥£® ¯®à浪 ¨ ¨¡®«¥¥ ¨§ª¨å á⥯¥¥© ¯® ¨¬. «¥ë, «¨¥©ë¥ ¯® @ ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯® ®¡ê¥¬ã ¯à¥®¡à §ãîâáï ¢ ¨â¥¯à®¨§¢®¤ë¬ ¢¨¤ f() @x i £à «ë ¯® ¯®¢¥àå®á⨠⥫ , ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 ¥ ¨â¥à¥áë¥ ¤«ï á ¯®¢¥àå®áâë¥ íä䥪âë. £à ¨ç¨¬áï ¯à®á⥩訬 á«ãç ¥¬ (á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¤«ï ªà¨áâ ««®¢ ªã¡¨ç¥áª®© ᨬ¬¥âਨ), ª®£¤ ¯«®â®áâì â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
= 0 + t2 + b4 + g(r)2 ; h (9.67) «ï ãá⮩稢®á⨠®¤®à®¤®£® ⥫ ¤® ¯®âॡ®¢ âì g > 0, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥
¥ ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨ = const. áᬠâਢ ï ä«ãªâã 樨 ¯à¨ § ¤ ëå ¨ T, ¤® ¯¨á âì ¨å ¢¥à®ïâ®áâì ¢ ¢¨¤¥: w exp ;
(9.68) T ¯®áª®«ìªã ¬¨¨¬ «ì ï à ¡®â , âॡ㥬 ï ¢ íâ¨å ãá«®¢¨ïå ¤«ï ¢ë¢®¤ á¨áâ¥¬ë ¨§ à ¢®¢¥á¨ï ¥áâì Rmin = . áᬮâਬ ä«ãªâã 樨 ¢ ᨬ¬¥âà¨ç®© ä §¥ (¯à¨ h = 0), ª®£¤ = 0, â ª çâ® = . £à ¨ç¨¢ ïáì ç«¥ ¬¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¯® ä«ãªâã æ¨ï¬, § ¯¨è¥¬ ¨§¬¥¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥4 : Z = dV f t()2 + g(r)2 g (9.70) §«®¦¨¬ ä«ãªâã¨àãîéãî ¢¥«¨ç¨ã (r) ¢ àï¤ ãàì¥: (r) =
X ikr k e ;k = k k
(9.71)
4 ¬¥â¨¬, çâ® «®£¨çë¥ à¥§ã«ìâ âë ¯®«ãç îâáï ¨ ¯® ¤àã£ãî áâ®à®ã â®çª¨ ¯¥à¥å®¤ { ¢ ¥á¨¬¬¥âà¨ç®© ä §¥. ¤¥áì = (; t=2b)1=2 ¨ ¤«ï ¨§¬¥¥¨ï , á â®ç®áâìî ¤® ()2 ¯®«ãç ¥âáï Z = dV f;2 t()2 + g(r)2 g (9.69)
®í⮬㠤«ï ¢á¥å å à ªâ¥à¨á⨪ á¨áâ¥¬ë ¯®«ãç âáï ¢ëà ¦¥¨ï, ®â«¨ç î騥áï ®â á«ãç ï ᨬ¬¥âà¨ç®© ä §ë «¨èì § ¬¥®© t 2 jtj.
179
«ï £à ¤¨¥â ¨¬¥¥¬:
r(r) =
X ikk eikr k
(9.72)
ਠ¯®¤áâ ®¢ª¥ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© ¢ (9.70) ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ®¡ê¥¬ã ®¡à é ¥â ¢ ã«ì ¢á¥ ç«¥ë, § ¨áª«î票¥¬ â¥å, ª®â®àë¥ á®¤¥à¦ ⠯ந§¢¥¤¥¨ï k ;k = jkj2. ®£¤ ¯®«ã稬: X = V (gk2 + t)jkj2 (9.73)
k
¨ ®âáî¤ :
< jkj2 >= 2V (gkT2 + t)
(9.74)
G(r1 ; r2 ) =< (r1 )(r2 ) >
(9.75)
Z d3k X 2 i kr G(r) = < jk j > e = V (2)3 eikr < jkj2 > k
(9.76)
{ ª®à५ïâ®à àè⥩ { ¥à¨ª¥. âáî¤ ¢¨¤®, çâ® p ¯à¨ t ! 0 ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¢®§à áâ îâ ¨¬¥® ¤«¨®¢®«®¢ë¥ ä«ãªâã 樨 á k t=g. ¬ ä®à¬ã« (9.74) ¯à¨¬¥¨¬ «¨èì ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ¤«¨ å ¢®« k;1 , ¡®«ìè¨å ¯® áà ¢¥¨î á ¬¥¦ â®¬ë¬ à ááâ®ï¨¥¬ a. ¯à¥¤¥«¨¬ ª®à५ï樮ãî äãªæ¨î: ¢ëç¨á«ï¥âáï ª ª:
®£¤ ¨§ (9.74) ¯®«ãç ¥¬5:
Tc exp ; r G(r) = 8gr
£¤¥
(9.78)
rg
= t (T ; Tc );1=2 (9.79) ¥«¨ç¨ §ë¢ ¥âáï ª®à५ïæ¨®ë¬ à ¤¨ãᮬ ä«ãªâã 権, ¨¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®à冷ª ¢¥«¨ç¨ë à ááâ®ï¨© ª®â®àëå í⨠ª®à५ï樨 áãé¥á⢥® ã¡ë¢ îâ. ë 㦥 áâ «ª¨¢ «¨áì á í⮩ ¢¥«¨ç¨®© ¢ ⥮ਨ ¨§¡ã࣠{ ¤ ã, £¤¥ ® §ë¢ « áì ¤«¨®© ª®£¥à¥â®áâ¨. á室¨¬®áâì ¯à¨ T ! Tc (T > Tc ) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢®§¨ª®¢¥¨î ¯à¨ T = Tc ¤ «ì¥£® ¯®à浪 . à¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá ª®à५ï樮®£® 5 ¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ë ä®à¬ã«ë
ãàì¥: Z¯à¥®¡à §®¢ ¨ï e;r 4
dV r eikr = k2 + 2 Z d3k eikr e;r (2)3 k2 + 2 = 4r
(9.77)
å ¯à®é¥ ¢á¥£® ¯®«ãç¨âì, § ¬¥â¨¢, çâ® äãªæ¨ï '(r) = e4;rr 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î: r2 ' ; 2 ' = ;4(r). ¬®¦ ï íâ® ãà ¢¥¨¥ á ®¡¥¨å áâ®à® e;ikr ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯® ¢á¥¬ã ¯à®áâà áâ¢ã (¯à¨ç¥¬ ¨â¥£à « ®â e;ikr r2 ' ¡¥à¥âáï ¤¢ ¦¤ë ¯® ç áâï¬) ¯®«ãç ¥¬ âà¥¡ã¥¬ë© à¥§ã«ìâ â.
180
à ¤¨ãá = 1=2, çâ® â ª¦¥ ï¥âáï áâ ¤ àâë¬ à¥§ã«ìâ ⮬ ⥮ਨ á।¥£® ¯®«ï. ਠr = 0 ¨â¥£à « ¢ (9.78) ®¯à¥¤¥«ï¥â á।¨© ª¢ ¤à â ä«ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 (r) ¢ ¤ ®© â®çª¥.
£® à á室¨¬®áâì ¯à®áâ® á¢ï§ á ¥¯à¨¬¥¨¬®áâìî ¢ëà ¦¥¨ï (9.74) ¢ ®¡« á⨠¡®«ìè¨å k a;1.
¥ «¥£ª® «¨ª¢¨¤¨à®¢ âì ¢¢¥¤ï ®¡à¥§ ¨¥ ¨â¥£à « : Z k0 dkk2 gk2 1+ t (9.80) G(0) = 4T 2 0
£¤¥ k0 1=a. ¤¥áì ¢®§¨ª ¥â áãé¥á⢥ ï § ¢¨á¨¬®áâì ®â à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠¢ ª®â®à®¬ à áᬠâਢ ¥âáï ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤. «ï d-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠¢¬¥áâ® (9.80) 㦮 ¯¨á âì: Z k0 G(0) dkdd;1 k2 +1 ;2 (9.81) 0 â®â ¨â¥£à « «¥£ª® ®æ¥¨âì: 8 k ; ;1 d = 3 Z k0 < 0 G(0) ;1 dkkd;3 : ln(k0) d = 2 (9.82) ; k10 d = 1 âáî¤ ¢¨¤®, çâ® ¯à¨ T ! Tc , ª®£¤ ! 1, á।¨© ª¢ ¤à â ä«ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¢ ¤ ®© â®çª¥ ª®¥ç¥ ¯à¨ d = 3 ¨ à á室¨âáï ¤«ï d = 1; 2. â® ®§ ç ¥â ¥¢®§¬®¦®áâì áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤ «ì¥£® ¯®à浪 ¤«ï ®¤®¬¥àëå ¨ ¤¢ã¬¥àëå á¨á⥬ [1, 2]. ®¤ç¥àª¥¬, çâ® §¤¥áì áãé¥á⢥ à á室¨¬®áâì ¨â¥£à « ¢ (9.82) ¨¦¥¬, ¥ ¢¥à奬 ¯à¥¤¥«¥. §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠d = 2 ¢ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© §ë¢ ¥âáï ¨¦¥© ªà¨â¨ç¥áª®© à §¬¥à®áâìî. ਢ¥¤¥ ï à£ã¬¥â æ¨ï ¥ ¢¯®«¥ ª®à४â , ® ª ç¥á⢥® ¯à ¢¨«ì . ®«¥¥ á¥à쥧®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥¢®§¬®¦®á⨠¤ «ì¥£® ¯®à浪 ¢ ¨§ª®à §¬¥àëå á¨á⥬ å âॡã¥â ªªãà ⮣® «¨§ á¨âã 樨 ¯à¨ T < Tc [28]. ç áâ®áâ¨, ¨¦ïï ªà¨â¨ç¥áª ï à §¬¥à®áâì d = 2 «¨èì ¤«ï ¯¥à¥å®¤®¢, àãè îé¨å ¥¯à¥àë¢ãî £à㯯ã ᨬ¬¥âਨ, ⮣¤ ª ª ¤«ï ®¤®ª®¬¯®¥â®£® ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¨§¨£®¢áª®£® ⨯ ¨¦ïï ªà¨â¨ç¥áª ï à §¬¥à®áâì d = 1. â® ïá®, ¯à¨¬¥à, ¨§ â®ç®£® à¥è¥¨ï á £¥à ¤«ï ¤¢ã¬¥à®© ¬®¤¥«¨ §¨£ , ¤¥¬®áâà¨àãî饣® áãé¥á⢮¢ ¨¥ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¤«ï d = 2 [1, 2]. ® ¨§¡¥¦ ¨¥ ¥¤®à §ã¬¥¨© § ¬¥â¨¬, çâ® ¢ëà ¦¥¨¥ (9.65) ®¯à¥¤¥«ï¥â ä«ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà , ãá।¥®£® ¯® ®¡ê¥¬ã V , «¨¥©ë¥ à §¬¥àë ª®â®à®£® L , ®¡®§ 稬 ¥¥ < 2 >V . ।¥¥ § 票¥ (r) ¯® ®¡ê¥¬ã V ¥áâì k=0. ®í⮬ã, ¥áâ¥á⢥®, çâ® ¯à¨ k = 0 (9.74) ᮢ¯ ¤ ¥â á (9.65) ¨, ᮮ⢥âá⢥®: Z = TV drG(r) (9.83) c ¥«¨ç¨ã < 2 >V ¬®¦® ¥¯®á।á⢥® ¯®«ãç¨âì ¨ ¨§ ª®à५ï樮®© äãªæ¨¨ ¯® ®ç¥¢¨¤®© ä®à¬ã«¥: Z Z (9.84) < 2 >V = V12 dr1dr2 < (r1 )(r2 ) >= V1 dV G(r) ¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ âì ªà¨â¥à¨© ¯à¨¬¥¨¬®áâ¨ à §¢¨â®© §¤¥áì ⥮ਨ ä«ãªâã 権, ®á®¢ ®© à §«®¦¥¨¨ ¤ ã (9.67). ª ç¥á⢥ â ª®£® ãá«®¢¨ï á«¥¤ã¥â ¯®âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¡ë« ¬ «, ¯® áà ¢¥¨î á à ¢®¢¥áë¬ 2 jtj=b,
181
á।¨© ª¢ ¤à â ä«ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 , ãá।¥ë© ¯® ª®à५ï樮®¬ã ®¡ê¥¬ã 3 . â ¢¥«¨ç¨ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ (9.65) ¯à¨ V 3 , ¨ ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ãá«®¢¨î: Tc jtj (9.85) 3 b
¨«¨, ¢§ï¢ ¨ ¨§ (9.61) ¨ (9.79):
2 2 jtj Tgc 3b
(9.86)
çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ªà¨â¥à¨© ¨§¡ã࣠¯à¨¬¥¨¬®á⨠⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ ¤ ã6 . â® ¥à ¢¥á⢮ ®¯à¥¤¥«ï¥â à §¬¥à ªà¨â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠¢¡«¨§¨ Tc , ¢ãâਠª®â®à®© à §¢¨âë¥ ä«ãªâã 樨 áãé¥á⢥® ¬¥ïîâ ª àâ¨ã ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ , ¢ ç áâ®áâ¨, ©¤¥ë¥ ¢ëè¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë7 . ¯¨á ¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ªà¨â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠ï¥âáï ¯à¥¤¬¥â®¬ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© [28]. á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥ ¬ë à áᬮâਬ ⮫쪮 ®â¤¥«ìë¥ ª ç¥áâ¢¥ë¥ á¯¥ªâë í⮩ ⥮ਨ.
ª¥©«¨£. ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騩 áâ ¤ àâë© ¡®à å à ªâ¥à¨á⨪ á¨áâ¥¬ë ¨ ¨å ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ᨣã«ïà®á⨠íâ¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ â®çª¥ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯ à ¬¥âà = T ;TcTc ! 0. à ¬¥âà ¯®à浪 : j j T ! Tc ; 0 (9.87) 1 h T = Tc (9.88) ®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì: ; j j; 0 T T!!TcT+ ;0 0 (9.89) c
®à५ï樮 ï äãªæ¨ï (d { à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠): (;r=) G(r) exp d ; r (2;) £¤¥ ª®à५ï樮 ï ¤«¨ :
; T ! T + 0 c 0
j j; T ! Tc ; 0
(9.90) (9.91)
6 §«®¦¥¨¥ ¯® á⥯¥ï¬ t = T ; Tc ¢ ª®íää¨æ¨¥â å à §«®¦¥¨ï ¤ ã âॡã¥â â ª¦¥ ¢ë¯®«¥¨ï ãá«®¢¨ï t Tc , ¤«ï ¥£® ᮢ¬¥á⨬®á⨠á (9.86) âॡã¥âáï, ç⮡ë 㤮¢«¥â¢®àï«®áì â ª¦¥ ¥à ¢¥á⢮ ¢¨¤ : T gc b32 1. 7 ëè¥ ¬ë 㦥 áâ «ª¨¢ «¨áì á ªà¨â¥à¨¥¬ ¨§¡ã࣠¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ ãá«®¢¨© ¯à¨¬¥¨¬®á⨠⥮ਨ ¨§¡ã࣠{ ¤ ã, £¤¥ ®ª § «®áì, çâ® ¢ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å è¨à¨ ªà¨â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠¯à¥¥¡à¥¦¨¬® ¬ « .
182
á ¬®© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¥:
G(r) rd;(21 ;) G(k) k21; «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¢¢®¤¨âáï ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá ⥯«®¥¬ª®á⨠: + C( ; h = 0) = A [ ; ; 1] + B + T ! Tc + 0 ; C( ; h = 0) = A 0 [j j; 0 ; 1] + B ; T ! Tc ; 0
(9.92) (9.93) (9.94) (9.95)
¯à¨ í⮬ = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ®á®¡¥®áâ¨. ¤ ç ⥮à¥â¨ç¥áª®£® ®¯¨á ¨ï ªà¨â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠á®á⮨â, ¢ ª®¥ç®¬ áç¥â¥, ¢ ¯®¤â¢¥à¦¤¥¨¨ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© ¨ ¢ ¢ëç¨á«¥¨¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ ; 0; ; ; 0 ; ; ; ; 0. ãé¥áâ¢¥ë© ¯à®£à¥áá ¢ ¨§ã票¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© á¢ï§ á ¨¤¥¥© ᪥©«¨£ ¨«¨ ¬ áèâ ¡®© ¨¢ ਠâ®áâ¨. ®á®¢¥ í⮣® ¯®¤å®¤ «¥¦¨â ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ® ⮬, çâ® à®áâ ª®à५ï樮®© ¤«¨ë ¢¡«¨§¨ Tc ¯à¨¢®¤¨â ª áãé¥á⢥®¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î ä«ãªâã 権, çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â ®á®¡¥®á⨠ªà¨â¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï. ®áª®«ìªã à ¤¨ãá ª®à५ï権 áâ ®¢¨âáï ¡®«ì訬 ¯® áà ¢¥¨î á ⮬묨 à §¬¥à ¬¨, ¬®£®ç áâ¨çë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï áâ ®¢ïâáï áâ®«ì ¦¥ áãé¥á⢥묨 ᪮«ì ¨ ®¤®ç áâ¨çë¥, ¤¢ãåç áâ¨çë¥ ¨ â.¯. ¬¥á⥠á ⥬, ¨§ ãá«®¢¨ï a ª § «®áì ¡ë á«¥¤ã¥â, çâ® ¤¥â «¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¥ á⮫ì áãé¥á⢥ë. ¨¯®â¥§ ¬ áèâ ¡®© ¨¢ ਠâ®á⨠(¯®¤®¡¨ï, ᪥©«¨£ ) ã⢥ত ¥â, ç⮠ᨣã«ïà ï § ¢¨á¨¬®áâì 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ®â T ; Tc ¥áâì á«¥¤á⢨¥ à á室¨¬®á⨠, ¨ çâ®, ¤® â¥å ¯®à ¯®ª à¥çì ¨¤¥â ®¡ í⮩ ᨣã«ïன § ¢¨á¨¬®áâ¨, ¥¤¨áâ¢¥ë© áãé¥áâ¢¥ë© ¯ à ¬¥âà à §¬¥à®á⨠¤«¨ë { íâ® . ஢¥¤¥¬ ª ç¥á⢥®¥ à áᬮâ२¥ ®á®¢¥ â ª §ë¢ ¥¬®£® ¯®áâ஥¨ï ¤ ®¢ . «ï ¯à®áâ®âë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì á¨á⥬㠨§ N ¨§¨£®¢áª¨å ᯨ®¢ (á¬. (9.19)) ¢ d-¬¥à®© à¥è¥âª¥ á ¯ à ¬¥â஬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï J, ®â«¨çë¬ ®â ã«ï ⮫쪮 ¤«ï ¡«¨¦ ©è¨å á®á¥¤¥©. ãáâì á¨á⥬ 室¨âáï ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ H. ®£¤ £ ¬¨«ì⮨ (9.19) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¥¤¨¨æ å T ª ª: N H = ;K X s s ; h X si i j T i=1
(9.96)
£¤¥ ¢¢¥«¨ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯ à ¬¥âàë K = J=2T ¨ h = ~H=T . §®¡ì¥¬ à¥è¥âªã ï祩ª¨ á «¨¥©ë¬¨ à §¬¥à ¬¨ La, £¤¥ a { ¯®áâ®ï ï à¥è¥âª¨, L { ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®, £®à §¤® ¡®«ì襥 ¥¤¨¨æë (á¬. ¨á. 9-3). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬ N = N=Ld ï祥ª, ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨â Ld ᯨ®¢. ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ®¡« áâì ⥬¯¥à âãà, ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨å ª Tc , çâ®¡ë ª®à५ï樮 ï ¤«¨ ¡ë« £®à §¤® ¡®«ìè¥ à §¬¥à ï祩ª¨, â.¥. La. ᥠíâ® ¤¥« ¥âáï ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ª ¦¤ ï ï祩ª , ᮤ¥à¦ é ï Ld ᯨ®¢, £¤¥ 1 L =a, ᮤ¥à¦ « ¡ë ᯨë, ®à¨¥â¨à®¢ ë¥ «¨¡® ⮫쪮 \¢¢¥àå", «¨¡® ⮫쪮 \¢¨§". ®£¤ , á㬬 àë© ¬ £¨âë© ¬®¬¥â ª ¦¤®© ï祩ª¨ s ( = 1; 2; :::; N ) ¢¥¤¥â á¥¡ï ¥ª®â®àë¬ ®¡à §®¬ ¯®¤®¡® ¬®¬¥âã ®¤®¬ 㧫¥ si . â® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ª ç¥á⢥® á¯à ¢¥¤«¨¢®, ¥á«¨ ï祩ª 楫¨ª®¬ à ᯮ«®¦¥ ¢ãâਠ£àã¯¯ë ª®à५¨àãîé¨å ᯨ®¢. ¥§ã«ìâ¨àãî騩 ¬®¬¥â ï祩ª¨ à ¢¥ Ld á® § ª®¬ ¯«îá ¨«¨ ¬¨ãá.
183
¨á. 9-3 ®áâ஥¨¥ ¤ ®¢ ¤«ï à¥è¥âª¨ §¨£ .
¤®¡® ¢¢¥á⨠s~ = s =Ld , â.¥. ®à¬¨à®¢ âì ᯨ ï祩ª¨ ¥¤¨¨æã. ®í⮬ã, ¥á«¨ § ¯¨á âì £ ¬¨«ì⮨ ª ª äãªæ¨î ¬®¬¥â®¢ ï祥ª s ( ¥ ¬®¬¥â®¢ 㧫®¢ si ), â® ¬®¦® ®¦¨¤ âì, çâ® ¥£® ä®à¬ ¡ã¤¥â ¯®¤®¡ (9.96) ¤«ï ¬®¤¥«¨ 㧫®¢, ® ¯ à ¬¥âàë K ¨ h ¡ã¤ãâ, ª®¥ç®, ¤à㣨¬¨, â.¥. § ¬¥ïâáï KL ¨ hL : H = ;K X s~ s~ 0 ; h X s (9.97) L L T < ; 0> £¤¥ á㬬¨à®¢ ¨¥ ¨¤¥â ¯® ï祩ª ¬ . ®£¤ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥ h ! 0, íä䥪⨢®¥ ¯®«¥ hL ¢ ï祥箩 ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ â ª¦¥ áâ६¨âáï ª ã«î. «®£¨ç® ¯à¨ T ! Tc ¨¬¥¥¬ K ! Kc ¢ ¨§ ç «ì®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥, £¤¥ Kc = 2JTc , â ª çâ® ¨ KL ! Kc . ®í⮬㠬®¦® § ¯¨á âì ᪥©«¨£®¢ë¥ ãá«®¢¨ï ¯à®¯®à樮 «ì®áâ¨: L = Ly â.¥. KL = Kc ; Ly hL = hLx
(9.98) (9.99)
£¤¥ = Kc ; K, L = Kc ; KL . à¨â¨ç¥áª¨¥ § ç¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ¢ ®¡®¨å ä®à¬ã«¨à®¢ª å, ¯®áª®«ìªã ¬ë ¯®áâ㫨஢ «¨ ¨å íª¢¨¢ «¥â®áâì8. à¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë x ¨ y ®áâ îâáï ¥®¯à¥¤¥«¥ë¬¨, ® ç¥à¥§ ¨å 㤠¥âáï ¢ëà §¨âì ¢á¥ ®áâ «ìë¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë á¨á⥬ë. áᬮâਬ ¨§¬¥¥¨¥ ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ¬ «®¬ ¨§¬¥¥¨¨ h. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯®«¥ à §ëå 㧫 å à¥è¥âª¨ à §®¥, ® ¬¥ï¥âáï ¢ ¯à®áâà á⢥ ¤®áâ â®ç® ¬¥¤«¥®, â ª çâ® ®® íä䥪⨢® ¯®áâ®ï® ¢ ¯à¥¤¥« å ¤ ®© ï祩ª¨ ¤ ®¢ . ®£¤ ¨§¬¥¥¨¥ ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ á¨á⥬ë: X X FT = ; < si > hi = < s > hL (9.100) i 8 à ¬¥âà , ®¯à¥¤¥«¥ë© §¤¥áì, ¨¬¥¥â â®â ¦¥ á¬ëá«, çâ® ¨ ¢ëè¥ ¢ á«ãç ¥ J = const. ® ¢ ¯à¨æ¨¯¥, ¯®á«¥¤¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ ®¡é¨© å à ªâ¥à, â ª ª ª ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤ ¬®¦¥â ¯à®¨á室¨âì ¨ ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ J ¯à¨ § ¤ ®© ⥬¯¥à âãà¥.
184
£¤¥ < si > { á।¨© ᯨ 㧫¥, < s > { á।¨© ᯨ ï祩ª¨. ¡ ¢ëà ¦¥¨ï ¤®«¦ë ¡ëâì íª¢¨¢ «¥âë. ®áª®«ìªã ¨§¬¥¥¨¥ ¯®«ï ¢ ¯à®áâà á⢥ áç¨â ¥âáï ¬¥¤«¥ë¬, ¢ ¯à¥¤¥« å ¤ ®© ï祩ª¨ ¬®¦® § ¯¨á âì: Ld < si > hi =< s > hL
(9.101)
ᯮ«ì§ãï §¤¥áì (9.99), ¯®«ãç ¥¬: < si >= Lx;d < s >
(9.102)
ãáâì ⥯¥àì ¯®«¥ ®¤®à®¤® ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ®¬¥à 㧫 i. ®£¤ ¬ £¨ç¥®áâì 㧫¥ (íª¢¨¢ «¥â ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ) ¥áâì äãªæ¨ï ⮫쪮 ¨ h: < si >= F( ; h)
(9.103)
®áª®«ìªã, ¯® 襬㠮ᮢ®¬ã ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î, ¢ â¥à¬¨ å s ®¯¨áë¢ ¥âáï â ¦¥ á ¬ ï á¨á⥬ , ⮫쪮 á ®¢ë¬¨ § 票ﬨ L ¨ hL, ¢¥«¨ç¨ < s > ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ⮩ ¦¥ á ¬®© äãªæ¨¥©, ® ®â ®¢ëå ¯¥à¥¬¥ëå: < s >= F ( L ; hL)
(9.104)
®£¤ ¨§ (9.100), (9.102), (9.103), (9.104) ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ª ª: =< s >= F ( ; h) = Lx;d F (Ly ; Lx h) (9.105) ¤ ª® ¤«¨ L ï¥âáï «¨èì ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© (¬ëá«¥®©) ª®áâàãªæ¨¥© ¨ ¤®«¦ ᮪à é âìáï! â® ¢®§¬®¦® «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ äãªæ¨ï F( ; h) ¨¬¥¥â ¢¨¤: d ;x = jhhj j j y f xy (9.106) jhj ¤¥áì ä ªâ®à h=jhj ¤®¡ ¢«¥ ¯à®áâ®, çâ®¡ë ®¡¥á¯¥ç¨âì ᬥ㠧 ª ¬ £¨ç¥®á⨠¯à¨ ᬥ¥ § ª ¢¥è¥£® ¯®«ï. ¢ë© ¢¨¤ äãªæ¨¨ f(z), áâ®ï饩 ¢ (9.106), ¬ ¥ ¨§¢¥áâ¥. ¤ ª®, ¬ 㤠«®áì ¯¥à¥©â¨ ®â ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå ¨ h ª äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© z = =jhj xy . ⮣® ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®çë¬, çâ®¡ë ¢ëà §¨âì ¢á¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë á¨á⥬ë ç¥à¥§ ¨¤¥ªáë x ¨ y, ¨«¨, ¨ ç¥ £®¢®àï, ¢ëà §¨âì ¢á¥ ¨¤¥ªáë ç¥à¥§ «î¡ë¥ ¤¢ ¨§ ¨å, ¯®¤«¥¦ 騥 ®¯à¥¤¥«¥¨î íªá¯¥à¨¬¥â¥. ¯à¨¬¥à, ¢á¯®¬¨ ï (9.87), â.¥. j j , çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨ ¬ «ëå ®âà¨æ ⥫ìëå ¨ h ! 0, § ¬¥ç ¥¬, çâ® f(;1) = const ¨ (9.107) = d ;y x ¨ää¥à¥æ¨àãï (9.106)d;¯® h ¯à¨ h ! 0, ¯®«ã稬 ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì: d;x @ x +1 ; y ;1 0 y y y x j j @h f( =jhj ) j j jhj x f (z). ® § ¢¨á¨¬®áâì ®â h ¢ ¤®«¦ á®d;2x x ;1 ; 0 ;
y y ªà â¨âìáï ¯à¨ h ! 0. ®£¤ ïá®, çâ® f (z) z ¨ j j j j . ®®â¢¥âá⢥®, ¨¬¥¥¬:
= 0 = 2x y; d (9.108)
185
«®£¨ç®, ¤«ï = 0 ᮣ« á® (9.88) ¤®«¦® ¡ëâì h 1 . ®®â¢¥âá⢥® ¨§ (9.106), ¯à¨ x;d= 0, ¤®«¦ ¢ë¯ ¤ âì § ¢¨á¨¬®áâì ®â , çâ® ¢®§¬®¦® «¨èì ¯à¨ f(z ! 0) z y . ®£¤ ¨§ (9.106) áà §ã ¯®«ãç ¥¬ jhj d;x x , â ª çâ® = d ;x x (9.109) § íâ¨å á®®â®è¥¨© ¥¬¥¤«¥® ¯®«ãç ¥¬: d=y = + 2 = ( + 1)
(9.110)
{ ᪥©«¨£®¢®¥ á®®â®è¥¨¥ ¬¥¦¤ã íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¨§¬¥à塞묨 ¨¤¥ªá ¬¨ ; ; . d;x j j y f( =jhjy=x) ¥âà㤮 ¯®«ãç¨âì F ⥣à¨àãï á®®â®è¥¨¥ @F @h ~ ®£¤ ¤«ï ⥯«®¥¬ª®á⨠¨¬¥¥¬: j j d;y x R dhf( =jhjy=x) j j yd R dz f(z). à ¢¨¢ ï á (9.95), ¯®«ãç ¥¬:
2 C ;T @@TF2 j j yd ;2
= 0 = 2 ; yd ¨«¨ dy = 2 ; â ª çâ® áà ¢¨¢ ï á (9.110) ¨¬¥¥¬ ¥é¥:
+ 2 = ( + 1) = 2 ;
(9.111) (9.112) (9.113)
¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâà¥¨î ª®à५ï樮®© äãªæ¨¨, ª®â®à ï, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®© á¨áâ¥¬ë ª ª: G(ri ; rj ) = G(R; ; h) =< [si; < s >][sj ; < s >] >
(9.114)
£¤¥ R { à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¢ë¡à 묨 㧫 ¬¨ à¥è¥âª¨: R = jri ; rj j=a. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦® ¢ë¯¨á âì ª®à५ï樮ãî äãªæ¨î ¢ â¥à¬¨ å ï祥çëå ¯¥à¥¬¥ëå s , ®¯à¥¤¥«¥ëå ¢ (9.102). ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤®«¦® ®¡« ¤ âì áâàãªâãன ¨¤¥â¨ç®© á G(R; ; h), ® á ¨§¬¥¥¨¥¬ ¬ áèâ ¡®¢ ¤«¨ë, ¨ h: R ! R=L ! L = Ly h ! hL = hLx
(9.115)
âáî¤ á«¥¤ã¥â: G(R; ; h) = L2(x;d) < [s ; < s >][s0 ; < s >] >= L2(x;d) G(R=L; Ly ; hLx ) (9.116) â ª çâ® G(R; ; h) ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯à®¨§¢®«ì® ¢ë¡à ®© L ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ® ¨¬¥¥â ¢¨¤: ~ j j y1 ; =jhjy=x) G(R; ; h) = j j2(d;x)=yG(R (9.117)
186
¯à¨ R 1, j j 1 ¨ h 1. ®®â®è¥¨¥ (9.117) ®¯à¥¤¥«ï¥â ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë ; 0; . à §ã ¢¨¤¨¬ (áà. (9.90), (9.91)), çâ® ¯à¨ h = 0 ª®à५ï樮 ï ¤«¨ j j;1=y. ®®â¢¥âá⢥®, ¥¥ ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá: 1 0 2; (9.118) y == = d
ª®¥æ, ¯®á«¥¤¨© ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (á¬. (9.93)): G(R; = 0; h = 0) Rd;12+ (9.119) ®£¤ , âॡãï ᮪à 饨ï {§ ¢¨á¨¬®á⨠¢ (9.117) ¯à¨ ! 0, ¯®«ã稬 G(R) R2(x;d) R2;d; , â ª çâ®:
; (d ; 2 + ) = 2(x ; d):
(9.120)
§ (9.109) ¨¬¥¥¬ x = d+1 , ⮣¤ ¨§ (9.120) ¯®«ãç ¥¬ á ¯®¬®éìî (9.113): ¨«¨
2d = 2 d ; 2 + = 2d = +1 2;
(9.121)
= 12 (d ; 2 + )
(9.122)
§ (9.110) ¨ (9.118) ¨¬¥¥¬ = yd ; 2 = d ; 2 , çâ® á ãç¥â®¬ (9.122) ¤ ¥â ¥é¥ ®¤® ᪥©«¨£®¢®¥ á®®â®è¥¨¥: (2 ; ) = : (9.123) ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¡®«ì讣® âà㤠¢ë¢¥á⨠¨ â ª¨¥ á®®â®è¥¨ï: d 2 ; = 2 ; ; 2 ; : = dd + (9.124) ;2+ § ª«î票¥ 襣® «¨§ ¯à¨¢¥¤¥¬ ᢮¤ªã ᪥©«¨£®¢ëå á®®â®è¥¨© ¬¥¦¤ã ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¨¤¥ªá ¬¨ ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¢ «¨â¥à âãà¥: = 0 = 2 ; (9.125) = 0 = 2 ; d (9.126) 1 (9.127) = 2 (d ; 2 + )
ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢á¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ ¢ ªà¨â¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨ á ¬ëå à §«¨çëå 䨧¨ç¥áª¨å á¨á⥬ 㤮¢«¥â¢®àïîâ á®®â®è¥¨ï¬ ¬¥¦¤ã ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¨¤¥ªá ¬¨, ¯®«ãç¥ë¬ ¢ëè¥. ¥®à¥â¨ç¥áª ï ¯à®¡«¥¬ à áç¥â ª®ªà¥âëå § 票© ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ ¢ â¥ç¥¨¥ ¤®«£®£® ¢à¥¬¥¨ ¡ë« ®¤®© ¨§ á ¬ëå âàã¤ëå ¯à®¡«¥¬ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ¨§¨ç¥áª®© ¯à¨ç¨®© íâ¨å âà㤮á⥩ ï¥âáï ᨫ쮥 ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ä«ãªâã 権 ¢ ªà¨â¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨, ¨ ®âáãâá⢨¥ ¥áâ¥á⢥®£® ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà ,
187
¯® ª®â®à®¬ã ¬®¦® ¡ë«® ¡ë ¯ëâ âìáï áâநâì ª ª®©-«¨¡® ¢ ਠâ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ § ¤ ç ¡ë« ãá¯¥è® à¥è¥ ¨«ìá®®¬ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ § ¨¬á⢮¢ ®£® ¨§ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¬¥â®¤ ८ଠ«¨§ 樮®© £à㯯ë, ¯à¥¤áâ ¢«ïî饣® ᮡ®©, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¡®«¥¥ áâணãî, á ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï, ॠ«¨§ æ¨î ¨¤¥¨ ¬ áèâ ¡ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯® ¤ ®¢ã. ᮦ «¥¨î, ¬ë «¨è¥ë ¢®§¬®¦®á⨠¨§« £ âì íâ®â ᮢ६¥ë© ¢ ਠâ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© [28] ¢ à ¬ª å ¤ ®£® ªãàá . £à ¨ç¨¬áï «¨èì ¥ª®â®à묨 ª ç¥á⢥묨 § ¬¥ç ¨ï¬¨. ०¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ¯®«ãç¥ë¥ ¢ëè¥ ¢ à ¬ª å ⥮ਨ ¤ ã ¨«¨ ¬¥â®¤ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï § ç¥¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢: = 21 = 1 = 0 = 0 = 12 = 3
(9.128)
᪥©«¨£®¢ë¬ á®®â®è¥¨ï¬ (9.127) ¨ íªá¯¥à¨¬¥âã ¢ ॠ«ìëå âà¥å¬¥àëå á¨á⥬ å. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¨¤¥ªáë ⥮ਨ ¤ ã (9.128) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ᪥©«¨£®¢ë¬ á®®â®è¥¨ï¬, ¥á«¨ ¢ ¨å ä®à¬ «ì® ¯®«®¦¨âì d = 4. í⮬ á¬ëá«¥ ¬®¦® ᪠§ âì, ç⮠⥮à¨ï ¤ ã ¤ ¥â ¯à ¢¨«ì®¥ ®¯¨á ¨¥ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¤«ï à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠d = 4 ¨, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ᮢ६¥®© ⥮ਨ [28], ¤«ï ¢á¥å d > 4. §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠d = 4 §ë¢ ¥âáï ¢¥à奩 ªà¨â¨ç¥áª®© à §¬¥à®áâìî ⥮ਨ. ¬¥ç ⥫ìë¬ à¥§ã«ìâ ⮬ ᮢ६¥®© ⥮ਨ ï¥âáï ã⢥ত¥¨¥ ®¡ 㨢¥àá «ì®á⨠ªà¨â¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï { ¢¥«¨ç¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ ¢ á ¬ëå à §«¨çëå 䨧¨ç¥áª¨å á¨á⥬ å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 à §¬¥à®áâìî ¯à®áâà á⢠(á¨á⥬ë), ¢ ª®â®à®¬ ¨§ãç ¥âáï ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤, ¨ ç¨á«®¬ ª®¬¯®¥â n ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 (â.¥., ä ªâ¨ç¥áª¨, ⨯®¬ ᨬ¬¥âਨ, àãè ¥¬®© ¯à¨ ä §®¢®¬ ¯¥à¥å®¤¥). ¨«ìá® ¯à¥¤«®¦¨« ®à¨£¨ «ìë© ¬¥â®¤ à áç¥â ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢, ®á®¢ ë© â¥®à¨¨ ¢®§¬ãé¥¨ï ¯® ¨áªãáá⢥® ®¯à¥¤¥«¥®¬ã ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã " = 4 ; d { ®âª«®¥¨î ®â ¢¥à奩 ªà¨â¨ç¥áª®© à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠d = 4, ¯à¨ ª®â®à®© ¨¤¥ªáë ᮢ¯ ¤ îâ á ¯à¥¤áª §ë¢ ¥¬ë¬¨ ⥮ਥ© á।¥£® ¯®«ï (" { à §«®¦¥¨¥). ¨¦¥ ¬ë ¯à¨¢®¤¨¬ § ç¥¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ "2 ¤«ï ⥮ਨ á n { ª®¬¯®¥âë¬ ¯ à ¬¥â஬ ¯®à浪 [28]: ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ
+ 2 " + n + 2 n2 + 22n + 52 "2 + :::
= 1 + nn + 8 2 n + 8 (n + 8)2 4 2 " + n + 2 n2 + 23n + 60 "2 + ::: 2 = 1 + nn + + 8 2 n + 8 (n + 8)2 4 2 "2 + n + 2 6(3n + 14) ; 1 "3 + ::: = 2(nn + + 8)2 2(n + 8)2 (n + 8)2 4 = 3 + " + 12 ; (nn++8)2 2 "2 + ::: 2)(2n + 1) "2 + ::: = 12 ; n +3 8 2" + (n +2(n + 8) = 4n ;+ n8 2" + :::
(9.129) (9.130) (9.131) (9.132) (9.133) (9.134)
188
¡«¨æ 9.1 à¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë ¤«ï ¬®¤¥«¨ á
¤¥ªá ¨«ìá® ¨á«¥ë© áç¥â ¤ ã 0:626 0:642 0:5 0:037 0:055 0
1:244 1:250 1 0:077 0:125 0 0:340 0:312 0:5 4:460 5:15 3
n = 1 (§¨£).
¡«¨æ¥ 9.1 ¯à¨¢¥¤¥ë § ç¥¨ï ¨¤¥ªá®¢, ¯®«ãç¥ë¥ ¯® í⨬ ä®à¬ã« ¬ ¤«ï d = 3 (" = 1) ¨ n = 1 (¨§¨£®¢áª¨© á«ãç ©), ¢ áà ¢¥¨¨ á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ (¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàë¥ à §«®¦¥¨ï) ¤«ï âà¥å¬¥à®© ¬®¤¥«¨ §¨£ . ਢ¥¤¥ë â ª¦¥ ¨ § ç¥¨ï ¨¤¥ªá®¢ ⥮ਨ á।¥£® ¯®«ï ( ¤ ã). ¨¤®, çâ® " { à §«®¦¥¨¥ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¥¯«®å®¥ ᮣ« ᨥ á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥®£® «¨§ 9. ®¢à¥¬¥ë¥ ¬¥â®¤ë à áç¥â , áãé¥á⢥® ã«ãçè î騥 १ã«ìâ âë ¯à®á⥩襣® " { à §«®¦¥¨ï § áç¥â ãç¥â ¢ª« ¤®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢, ¤ îâ § ç¥¨ï ¨¤¥ªá®¢, ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ î騥 á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ ¨ íªá¯¥à¨¬¥â .
9 à㣮© ¤®áâ â®ç® íää¥ªâ¨¢ë© ¬¥â®¤ à áç¥â ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ ¬®¦¥â ¡ëâì ®á®¢ ¨å à §«®¦¥¨¨ ¢ àï¤ ¯® ®¡à âë¬ á⥯¥ï¬ ç¨á« ª®¬¯®¥â ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 1=n [28], ¯®áª®«ìªã ¯à¨ n ! 1, ª ª ¬®¦® ¯®ª § âì, ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë â ª¦¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ á ¬®á®£« ᮢ ®£® ¯®«ï (⥮ਥ© ¤ ã).
« ¢ 10
-
¨¥© ï ॠªæ¨ï á¨áâ¥¬ë ¬¥å ¨ç¥áª®¥ ¢®§¬ã饨¥. ᮢ ï ç áâì ªãàá ¯®á¢ïé¥ § ¤ ç ¬ à ¢®¢¥á®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ãé¥áâ¢ã¥â, ®¤ ª®, è¨à®ª¨© ª« áá § ¤ ç, á¢ï§ ëå á ¥à ¢®¢¥á묨 ¯à®æ¥áá ¬¨, ª®â®àë¥, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¬®£ãâ ¡ëâì ª®à४⮠áä®à¬ã«¨à®¢ ë ¨ à¥è¥ë ¢ à ¬ª å ®¡é¥£® ä®à¬ «¨§¬ à ¢®¢¥á®© ⥮ਨ. ¥çì ¨¤¥â ® à á¯à®áâà ¥®© á¨âã 樨, ª®£¤ á¨á⥬ , ¨á室® 室ïé ïáï ¢ á®áâ®ï¨¨ à ¢®¢¥á¨ï, ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ ¥£® ¤®áâ â®ç® á« ¡ë¬ ¢¥è¨¬ ¢®§¤¥©á⢨¥¬. ¬¥® á â ª¨¬ ª« áᮬ § ¤ ç ¨¬¥¥â ¤¥«® ⥮à¨ï «¨¥©®£® ®âª«¨ª , ¯à¨ç¥¬ ¤«ï ¨å à¥è¥¨ï áãé¥áâ¢ã¥â å®à®è® à §à ¡®â ë© ®¡é¨© ¯®¤å®¤1. ®¦® ¢ë¤¥«¨âì ¤¢ è¨à®ª¨å ª« áá ¢¥è¨å ¢®§¬ã饨©, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¤¥©á⢮¢ âì ¯à®¨§¢®«ìãî á¨á⥬ã. ¥å ¨ç¥áª¨¬¨ ¢®§¬ã饨ﬨ ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¥ ¥à ¢®¢¥áëå ¯à®æ¥áᮢ §ë¢ îâáï ¢®§¬ã饨ï, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 ¤¥©á⢨¥ ¢¥è¨å ¯®«¥©, ª®â®àë¥ ¬®¦® ¯®«®áâìî ®¯¨á âì ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ª £ ¬¨«ì⮨ ã ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 í¥à£¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á¨á⥬ë á ¯®«¥¬. ®§¬ã饨ï, ª®â®àë¥ ¥ ¤®¯ã᪠îâ â ª®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï §ë¢ îâ â¥à¬¨ç¥áª¨¬¨. ਬ¥à®¬ ¨å ¬®¦¥â ¡ëâì ¤¥©á⢨¥ ⥬¯¥à âãàëå ¨«¨ ª®æ¥âà 樮ëå £à ¤¨¥â®¢ ¨ â.¯. ¨¦¥, ¨§ á®®¡à ¦¥¨© ¯à®áâ®âë, ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ⮫쪮 1 «ì¥©è¥¥
¨§«®¦¥¨¥ ¢ í⮩ £« ¢¥ á«¥¤ã¥â, ¢ ®á®¢®¬, ª¨£¥ [4].
189
190
¬¥å ¨ç¥áª¨¥ ¢®§¬ã饨ï. «¥¤ã¥â, ¢¯à®ç¥¬, ¨¬¥âì ¢¢¨¤ã, çâ® ¯¯ à â, «®£¨çë© ¨§« £ ¥¬®¬ã ¨¦¥, áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¤«ï â¥à¬¨ç¥áª¨å ¢®§¬ã饨©. áᬮâਬ ॠªæ¨î ª¢ ⮢®£® áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® á ¬¡«ï á¨á⥬ á £ ¬¨«ì⮨ ®¬ H, ¥ § ¢¨áï騬 ®â ¢à¥¬¥¨, ¢¥è¥¥ ¢®§¬ã饨¥ Ht1, § ¢¨áï饥 ®â ¢à¥¬¥¨. ®«ë© £ ¬¨«ì⮨ á¨á⥬ë à ¢¥: H = H + Ht1 (10.1) ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯à¨ t = ;1 ¢¥è¥¥ ¢®§¬ã饨¥ ®âáãâá⢮¢ «®, â® ¥áâì: Ht1 jt=;1 = 0 (10.2) ¡®«ìè¨á⢥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å á«ãç ¥¢ ¢®§¬ã饨¥ Ht1 ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥: Ht1 = ;
X j
Bj Fj (t)
(10.3)
£¤¥ Fj (t) { äãªæ¨¨ ®â ¢à¥¬¥¨, ïî騥áï c-ç¨á« ¬¨ (¢¥è¨¥ ¯®«ï), Bj { ®¯¥à â®àë, ¥ § ¢¨áï騥  ®â ¢à¥¬¥¨, ᮯàï¦¥ë¥ ¯®«ï¬ Fj (t). «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠à áᬮâਬ ¤¨ ¡ â¨ç¥áª¨ ¢ª«îç î饥áï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥ ¢®§¬ã饨¥ ¢¨¤ : X Ht1 = ; e"t;i!tB! (" ! +0) (10.4) ! ! = B;! .
íନ⮢®áâ¨, B +
£¤¥, ¢ ᨫ㠪 ¨§¢¥áâ®, áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à 㤮¢«¥â¢®àï¥â ª¢ ⮢®¬ã ãà ¢¥¨î ¨ã¢¨««ï: 1 ih @ (10.5) @t = [H + Ht ; ] ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ¥£®, ®ç¥¢¨¤®, 㦮 ¢§ïâì ¢ ¢¨¤¥: jt=;1 = 0 = Z1 e; HT (10.6) ª®â®àë© ®§ ç ¥â, çâ® ¯à¨ t = ;1 á¨á⥬ 室¨« áì ¢ á®áâ®ï¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï ¨ ®¯¨áë¢ « áì ª ®¨ç¥áª¨¬ á ¬¡«¥¬ ¨¡¡á . ª ç¥á⢥ ç «ì®£® ¬®¦®, à §ã¬¥¥âáï, ¢§ïâì ¨ ¡®«ì让 ª ®¨ç¥áª¨© á ¬¡«ì. ®¢¥à訬 ª ®¨ç¥áª®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ : iHt h e; h (10.7) 1 = e iHt ®£¤ ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¢¨¤ã (¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï): 1 1 ih @ (10.8) @t = [Ht (t); 1 ] á ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬: 1 jt=;1 = 0 (10.9) ¨ £¤¥ ¢¢¥«¨ iHt h Ht1 e; h (10.10) Ht1 (t) = e iHt { ®¯¥à â®à ¢®§¬ãé¥¨ï ¢ £¥©§¥¡¥à£®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ á £ ¬¨«ì⮨ ®¬ H, çâ® ¯® ®â®è¥¨î ª ¯®«®¬ã £ ¬¨«ì⮨ ã (10.1) ¤ ¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï.
191
à ¢¥¨¥ (10.8) á ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ (10.9) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ®¤®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï: 1 (t) = 0 +
Zt
;1
dt0 i1h [Ht10 (t0 ); 1 (t0)]
(10.11)
¨«¨, ¯¥à¥å®¤ï ª ¨á室®© ¬ âà¨æ¥ ¯«®â®á⨠(t) á ¯®¬®éìî (10.7): (t) = 0 +
Zt
;1
dt0 e;
iH (t;t0 ) h
1 [H 10 ; ]e iH (th;t0 ) ih t
(10.12)
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (10.10).
᫨ ¢®§¬ã饨¥ Ht1 ¬ «®, â® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (10.12) ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨â¥à æ¨ï¬¨, ¯à¨¨¬ ï 0 ¢ ª ç¥á⢥ ã«¥¢®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï. ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì: Zt 1 = 0 + dt0 ih [Ht10 (t0 ; t); 0]: (10.13) ;1
â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¥à ¢®¢¥áãî ¤®¡ ¢ªã ª ¬ âà¨æ¥ ¯«®â®áâ¨, ¢ëç¨á«¥ãî ¢ «¨¥©®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯® ¢¥è¥¬ã ¢®§¤¥©á⢨î. ®ª ¬ë ¥é¥ ¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ï¢ë© ¢¨¤ 0 . ¥¯¥àì ¯®à í⮠ᤥ« âì, ãç¨âë¢ ï ï¢ë© ¢¨¤ ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï (10.6). ®á¯®«ì§ã¥¬áï â ª §ë¢ ¥¬ë¬ ⮦¤¥á⢮¬ ã¡®, á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¤«ï «î¡®£® ®¯¥à â®à A: Z [A; e; H ] = ;e; H deH [A; H]e;H (10.14) 0
¤®ª § ⥫ìá⢮ ª®â®à®£® ¡ã¤¥â ¤ ® çãâì ¨¦¥. ®£¤ (10.13) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: ( Z Zt ) 0 H 1 0 ; H _ = 0 1 ; d dt e Ht0 (t ; t)e (10.15) £¤¥
0
;1
H_ t10 (t0 ; t) = i1h [Ht10 (t0 ; t); H]
(10.16)
[A; e; H ] = e; H S( )
(10.17)
⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ 0 { ¡®«ì讥 ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ä®à¬ã« (10.15) ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢®©, ® ¢ ¥© ¤® § ¬¥¨âì H ! H ; N. 뢥¤¥¬ ⥯¥àì ⮦¤¥á⢮ ã¡®. ®«®¦¨¬ £¤¥ S( ) { ®¯¥à â®à, ª®â®àë© ¤® ©â¨. ¨ää¥à¥æ¨àãï (10.17) ¯® , ¯®«ãç ¥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï S( ): @S = ;e H [A; H]e; H (10.18) @ á ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ S j =0 = 0. ⥣à¨àãï ¥£® á ãç¥â®¬ ç «ì®£® ãá«®¢¨ï, ¯®«ãç ¥¬ (10.14).
192
®à¬ã«ë (10.13) ¨ (10.15) ¯®§¢®«ïîâ ¢ëç¨á«¨âì ¢ «¨¥©®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯® Ht1 á।¥¥ § 票¥ «î¡®© ¡«î¤ ¥¬®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬®© ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¯¥à â®à®¬ A: < A >= SpA Zt 1 (10.19) < A >=< A >0 + dt0 ih < [A(t); Ht10 (t0 )] >0 ;1
£¤¥ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì (10.13) ¨ ã竨 ¨¢ ਠâ®áâì ®¯¥à 樨 Sp ®â®á¨â¥«ì® 横«¨ç¥áª®© ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ ®¯¥à â®à®¢ 2, ¯à¨ç¥¬ iHt h Ae; h A(t) = e iHt (10.20) { ®¯¥à â®à A ¢ £¥©§¥¡¥à£®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨, < ::: >= Sp0 ::: { ãá।¥¨¥ á à ¢®¢¥á®© ¬ âà¨æ¥© ¯«®â®áâ¨. ®á«¥¤¥¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ®§ ç ¥â, ¯® áã⨠¤¥« , çâ® ¥à ¢®¢¥á ï § ¤ ç «¨¥©®£® ®âª«¨ª á¨á⥬ë ᢮¤¨âáï ª § ¤ ç¥ à ¢®¢¥á®© ⥮ਨ, ¯®áª®«ìªã ¢á¥ á।¨¥, ª®â®àë¥ ã¦® ⥯¥àì ¢ëç¨á«ïâì, ïîâáï à ¢®¢¥á묨. â®â § ¬¥ç ⥫ìë© à¥§ã«ìâ â ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨¬¥¨âì ¬®éë© ¯¯ à â à ¢®¢¥á®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¤«ï à¥è¥¨ï â ª¨å, á« ¡® ¥à ¢®¢¥áëå, § ¤ ç. ëà ¦¥¨¥ (10.20) ®¯¨áë¢ ¥â ॠªæ¨î (®âª«¨ª) á।¥£® § ç¥¨ï ®¯¥à â®à A ¢ª«î票¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï Ht10 . ¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á § ¯ §¤ë¢ î饩 ॠªæ¨¥© { ®âª«¨ª ¢®§¨ª ¥â ¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨, á«¥¤ãî騥 § ¢ª«î票¥¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ç⮠ï¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬ ¯à¨æ¨¯ ¯à¨ç¨®áâ¨. á¯à®áâà ïï ä®à¬ «ì® ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¢ (10.20) ¤® +1, çâ® ¬®¦® ᤥ« âì ¢¢¥¤¥¨¥¬ à §à뢮© äãªæ¨¨ (t ; t0 ), 㤮¡® ¯¥à¥¯¨á âì (10.20) ¢ ¢¨¤¥: < A >=< A >0 +
Z1
;1
dt0 << A(t)Ht10 (t0) >>
(10.21)
£¤¥ ¢¢¥«¨ § ¯ §¤ë¢ îéãî ¤¢ãå¢à¥¬¥ãî (ª®¬¬ãâ â®àãî) äãªæ¨î ਠ(®£®«î¡®¢, ï¡«¨ª®¢), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî ¤«ï ¤¢ãå ¯à®¨§¢®«ìëå ®¯¥à â®à®¢ A ¨ B ª ª [29]: << A(t); B(t0 ) >>= (t ; t0 ) i1h < [A(t); B(t0 )] >0 (10.22) £¤¥ 1 ¯à¨ t t0 0 (t ; t ) = 0 ¯à¨ t < t0 (10.23) १ã«ìâ ⥠§ ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¢ëç¨á«¥¨î ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤¢ãå¢à¥¬¥ëå äãªæ¨© ਠ, ¤«ï 祣® áãé¥áâ¢ã¥â å®à®è® à §à ¡®â ë© ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ¯¯ à â [29]. «¨ï¨¥ ¢¥è¥£® ¢®§¬ãé¥¨ï ¬®¦® ¢ëà §¨âì ¨ ¢ ¤à㣮© ä®à¬¥, ç¥à¥§ â ª §ë¢ ¥¬ë¥ ¢à¥¬¥ë¥ ª®à५ïæ¨®ë¥ äãªæ¨¨. «ï í⮣® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⮦¤¥á⢮¬ ã¡® (10.14). ®£¤ : < A >=< A >0 ;
Z Z1 0
=< A0 > +
d
Z
dt0 < eH H_ t10 (t0 )e;H A(t) >0 =
;1 Z1
d
_ >0 dt0 < eH Ht10 (t0)e;H A(t)
(10.24)
;1 2 ¬¥¥¬ Sp[H 10 (t0 ; t);0 ]A = Sp0 [A;H 10 (t0 ; t)] ¨ â.¤. ëà ¦¥¨¥ ¤«ï A(t) ¢®§¨ª ¥â §¤¥áì á t t ãç¥â®¬ (10.10) ¨ ¯®á«¥¤ãîé¨å ¯¥à¥áâ ®¢®ª ®¯¥à â®à®¢ ¯®¤ § ª®¬ Sp. 0
193
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ â ª §ë¢ ¥¬®¥ ãá«®¢¨¥ áâ 樮 à®áâ¨: _ ; t0)Ht10 >0 : < AH_ t10 (t0 ; t) >0 = ; < A(t (10.25) â® à ¢¥á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® à ¢®¢¥á®¥ á।¥¥ § 票¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥ëå § ¢¨á¨â «¨èì ®â à §®á⨠¢à¥¬¥: < AHt10 (t0 ; t) >0 =< A(t ; t0)Ht10 >0 (10.26) h ¯®¤ § ª®¬ çâ® ¯®«ãç ¥âáï 横«¨ç¥áª¨¬¨ ¯¥à¥áâ ®¢ª ¬¨ ®¯¥à â®à®¢ ⨯ e iHt ãá।¥¨ï. ¨ää¥à¥æ¨àãï (10.26) ¯® t ¯®«ã稬 (10.25). ëà ¦¥¨¥ (10.24) ¬®¦® â ª¦¥ ¯¥à¥¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: < A >=< A >0 ;
Z Zt 0
=< A >0 +
d
;1
dt0 < H_ t10 (t0 ; ih)A(t) >0 =
Z Zt 0
d
;1
_ >: dt0 < Ht10 (t0 ; ih)A(t)
(10.27)
®à¬ã«ë (10.21) ¨ (10.27) ¤ îâ ®¡é¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï «¨¥©®© ॠªæ¨¨ á¨áâ¥¬ë ¬¥å ¨ç¥áª®¥ ¢®§¬ã饨¥. «ï ¢¥è¥£® ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¢¨¤ (10.3) ¨å ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: < A >=< A >0 ; < A >=< A >0 +
XZ t j
;1
XZ 1
dt0
j
Z 0
dt0 << A(t)Bj (t0 ) >> Fj (t0)
(10.28)
d < eH Bj (t0)e;H A(t) >0 Fj (t0 )
(10.29)
;1
â® â ª §ë¢ ¥¬ë¥ ä®à¬ã«ë ã¡® ¤«ï «¨¥©®© ॠªæ¨¨ ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬ë, ᢮¤ï騥 ¥à ¢®¢¥áãî § ¤ çã ª ¢ëç¨á«¥¨î à ¢®¢¥áëå ª®à५ïâ®à®¢. ®á«¥¤ïï § ¤ ç , ï¥âáï, ª®¥ç®, ¢¯®«¥ ¥âਢ¨ «ì®© ¨ âॡã¥â à §à ¡®âª¨ á¯¥æ¨ «ì®£® ä®à¬ «¨§¬ , ¯à¨¬¥à®¬ ª®â®à®£® ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¯ à â ¤¢ãå¢à¥¬¥ëå ª®¬¬ãâ â®àëå äãªæ¨© ਠ. ¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« § ¯ §¤ë¢ î饩 ¤¢ãå¢à¥¬¥®© äãªæ¨¨ ਠ«¥£ª® ¯®ïâì, à áᬮâॢ ॠªæ¨î á¨áâ¥¬ë ¬£®¢¥®¥ -®¡à §®¥ ¢®§¬ã饨¥ ¢¨¤ : Ht1 = B(t ; t1) (10.30) ¯®¤áâ ®¢ª ª®â®à®£® ¢ (10.21) ¤ ¥â: < A >=< A >0 + << A(t)B(t1 ) >> (10.31) ãé¥áâ¢ã¥â ¥áª®«ìª® å®à®è® à §à ¡®â ëå ¯®¤å®¤®¢ ª à áç¥âã â ª¨å äãªæ¨© ਠ. ë ªà ⪮ ®¯¨è¥¬ «¨èì ¯®¤å®¤, ®á®¢ ë© ¬¥â®¤¥ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï (楯®ç¥ª) [29]. à ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ ਠ(10.22) GAB (t; t0) << A(t); B(t0 ) >>= (t ; t0 ) i1h < [A(t); B(t0 )] >0 (10.32) «¥£ª® ¯®«ãç¨âì ¨§ ®¡é¥£® ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ª¢ ⮢®£® ®¯¥à â®à ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¥©§¥¡¥à£ : (10.33) ih dA dt = [A; H] = AH ; HA
194
à ¢ãî ç áâì í⮣® ãà ¢¥¨ï ¬®¦® à ááç¨â âì ¢ ª ¦¤®¬ ª®ªà¥â®¬ á«ãç ¥ á ¯®¬®éìî £® ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï £ ¬¨«ì⮨ ¨ ¯¥à¥áâ ®¢®çëå á®®â®è¥¨© ¤«ï ®¯¥à â®à®¢. ¨ää¥à¥æ¨àãï (10.22) ¯® t, ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥: 0 0 ih dGdtAB = d(tdt; t ) < [A(t); B(t0)] >0 + << ih dA(t) (10.34) dt ; B(t ) >> ç¨âë¢ ï ®ç¥¢¨¤ãî á¢ï§ì à §à뢮© äãªæ¨¨ (t) á -äãªæ¨¥© ®â t: (t) =
Z t0
;1
dt(t0 )
(10.35)
¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï ®¯¥à â®à A (10.33), § ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ ਠ¢ ¢¨¤¥: ih dGdtAB = (t ; t0 ) < [A(t); B(t0 )] >0 + << fA(t)H(t) ; H(t)A(t)g ; B(t0) >> : (10.36) ¯à ¢ãî ç áâì (10.36) ¢å®¤ïâ ¤¢ãå¢à¥¬¥ë¥ äãªæ¨¨ ਠ, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 , 祬 ¨á室 ï, çâ® á¢ï§ ® á «¨ç¨¥¬ ¥âਢ¨ «ì®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ «î¡®© ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬¥. «ï íâ¨å äãªæ¨© ਠ¬®¦® ®¯ïâì á®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ⨯ (10.36) ¨ ¯®«ãç¨âì 楯®çªã § 楯«ïîé¨åáï ãà ¢¥¨© ¤«ï äãªæ¨© ਠ. ¥¯®çª íâ , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¡¥áª®¥ç ¨ ¬ë ¨¬¥¥¬ âãâ ¤¥«® á ¡¥áª®¥ç®© á¨á⥬®© ¨â¥£à® { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ª®â®àãî, ª®¥ç®, ¥«ì§ï à¥è¨âì ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. ¤ ª®, ¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å á«ãç ïå, íâã 楯®çªã, ª ª ¯à ¢¨«®, 㤠¥âáï \à á楯¨âì", ¢ëà §¨¢, ⥬ ¨«¨ ¨ë¬ ᯮᮡ®¬, ¢ëá訥 äãªæ¨¨ ਠç¥à¥§ ¨§è¨¥. ®£¤ ¢®§¨ª ¥â ª®¥ç ï á¨á⥬ ãà ¢¥¨© (¨«¨ ¤ ¦¥ ®¤® ãà ¢¥¨¥), ª®â®àãî 㦥 ¬®¦® à¥è¨âì. ¡é¨© à¥æ¥¯â à á楯«¥¨ï ®âáãâáâ¢ã¥â, íâ® ¢®¯à®á ¨áªãáá⢠⥮à¥â¨ª , à¥è î饣® âã ¨«¨ ¨ãî ª®ªà¥âãî § ¤ çã. ਬ¥àë ãᯥ讣® à¥è¥¨ï àï¤ ¬®¤¥«¥© â ª¨¬ ¬¥â®¤®¬ ¬®¦® ©â¨ ¢ [29].
«¥ªâய஢®¤®áâì ¨ ¬ £¨â ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì. áᬮâਬ ॠªæ¨î á¨áâ¥¬ë ¢¥è¥¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥. ®§¬ã饨¥ (10.3) ¨¬¥¥â ¯à¨ í⮬ ¢¨¤: Ht1 = ;
X j
ej (Exj ) cos !te"t = ;(EP) cos !te"t
(10.37)
£¤¥ ej { § àï¤ j-© ç áâ¨æë, xj { à ¤¨ãá { ¢¥ªâ®à ¥¥ ¯®«®¦¥¨ï, E { á।¥¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ ¢ á।¥, ¨£à î饥 à®«ì ¢¥è¥© (c-ç¨á«®¢®©) \ᨫë",
P=
X j
ej xj
(10.38)
195
{ ¢¥ªâ®à ¯®«ïਧ 樨, à áᬠâਢ ¥¬ë© ª ª ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à. ®¤ ¢«¨ï¨¥¬ í⮣® ¢®§¬ã饨ï, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (10.21), ¢ á¨á⥬¥ ¢®§¨ª ¥â í«¥ªâà¨ç¥áª¨© ⮪: Z1 < J >= dt0 << J (t); Ht10 (t0 ) >> (10.39) ;1
¤¥áì ¥â ¯®áâ®ï®£® á« £ ¥¬®£®, â ª ª ª ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ à ¢®¢¥á¨¨ ⮪ à ¢¥ ã«î, < J >= 0. (10.39) ¨¬¥¥¬: X Ht1(t) = ;(EP(t)) cos !te"t J (t) = ej x_ j (t) = P_ (t) (10.40) j
£¤¥ J { ®¯¥à â®à í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ⮪ , x_ j { ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠j-© ç áâ¨æë. ãç¥â®¬ (10.40) ¢ëà ¦¥¨¥ (10.39) § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥: < J >= ; ®®â¢¥âá⢥®: £¤¥
XZ 1
0
;1
< J >= (!) = ;
dt0 << J (t)P (t0) >> E cos !t0 e"t
X
Z1
;1
(10.41)
Ref (!)e;i!t+"t gE
(10.42)
dte;i!t+"t << J P (t) >>
(10.43)
{ ⥧®à í«¥ªâய஢®¤®á⨠¢ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¬ ¯®«¥. ।¥« " ! 0 §¤¥áì ¢ë¯®«ï¥âáï ¯®á«¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯à¥¤¥« V ! 1; N ! 1 (V=N ! const). â ª, ¤¨ ¡ â¨ç¥áª®¥ ¢ª«î票¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï ¯à¨¢®¤¨â ª ¢®§¨ª®¢¥¨î í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ⮪ ¢ á¨á⥬¥ á ª®¥ç®© í«¥ªâய஢®¤®áâìî, â.¥. ¥®¡à ⨬®£® ¯à®æ¥áá . â â¨ç¥áª ï ¯à®¢®¤¨¬®áâì ¯®«ãç ¥âáï ¨§ (10.43) ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ! ! 0: Z1 = "lim dte"t << J P (t) >> (10.44) !0 ;1
¥à¥¯¨è¥¬ (10.43) ¢ ¢¨¤¥ (¯¥à¥áâ ¢«ïï ®¯¥à â®àë ¯®¤ Sp):
Z0 1 (!) = ; ih dte;i!t+"tSpf[P (t); 0 ]J g ;1 ¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⮦¤¥á⢮¬ ã¡®: [P (t); 0 ] = ;ih0 ®£¤ ¯®«ã稬: =
Z Z1 0
d
=
d
0
deH P_ (t)e;H
(10.46)
dtei!t;"t < eH J e;H J (t) >0 =
Z 0 Z 1 0
Z
(10.45)
0
{ ä®à¬ã«ã ã¡® ¤«ï ¯à®¢®¤¨¬®áâ¨.
dtei!t;"t < J J (t + ih) >0
(10.47)
196
áâ â¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥ ¨¬¥¥¬: = "lim !0
Z Z 1 0
dte;"t < J J (t + ih) >0
0
(10.48)
ª¨¬ ®¡à §®¬, § ¤ ç ¢ëç¨á«¥¨ï ¯à®¢®¤¨¬®á⨠᢮¤¨âáï ª à áç¥â㠢६¥ëå ª®à५ï樮ëå äãªæ¨© ⮪®¢ ¢ ãá«®¢¨ïå áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï. ª®ªà¥âëå á«ãç ïå, íâ®, ª®¥ç®, ¤®áâ â®ç® á«®¦ ï § ¤ ç , ª®â®à ï ¬®¦¥â à¥è âìáï à §«¨ç묨 ¬¥â®¤ ¬¨, ¤«ï ®¡á㦤¥¨ï ª®â®àëå §¤¥áì ¥â ¬¥áâ . áᬮâਬ ⥯¥àì ®âª«¨ª ¢ª«î票¥ ®¤®à®¤®£® ¢ ¯à®áâà á⢥ ¯¥à¥¬¥®£® (¯¥à¨®¤¨ç¥áª®£®) ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï H(t) á ç áâ®â®© !:
H(t) = H cos !te"t = Ree;i!t+"tH
(10.49)
⮬㠢®§¬ã饨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¯¥à â®à (10.3) ¢¨¤ : Ht1 = ;MH(t) = ;MH cos !te"t
(10.50)
£¤¥ M { ®¯¥à â®à ¯®«®£® ¬ £¨â®£® ¬®¬¥â á¨á⥬ë. ®¤ ¢«¨ï¨¥¬ í⮣® ¢®§¬ãé¥¨ï ¬ £¨âë© ¬®¬¥â á¨áâ¥¬ë ¬¥ï¥âáï, ᮣ« á® (10.21), ª ª: < M >=< M >0 +
Z1
;1
dt0 << M (t)Ht10 (t0 ) >>
(10.51)
£¤¥ < M >0 { á।ïï ¯à®¥ªæ¨ï ¬ £¨â®£® ¬®¬¥â ®áì ¢ á®áâ®ï¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï.
᫨ ¢ à ¢®¢¥á®¬ á®áâ®ï¨¨ ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¬ £¨â®¥ ¯®«¥, â® < M >0 6= 0. ®à¬ã«ã (10.51) § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥: < M >=< M >0 + £¤¥
(!) = ;
Z1 ;1
X
Ref (!)e;!t+"t gH
dte;i!t+"t << M M (t) >>
(10.52) (10.53)
{ ⥧®à ¬ £¨â®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠¢ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥. ¯®¬®éìî ⮦¤¥á⢠㡮 ¢ëà ¦¥¨¥ (10.53) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì â ª¦¥ ¢ ¢¨¤¥: =
Z Z1 0
d
0
dtei!t;"t < M_ M (t + ih) >
(10.54)
⨠ä®à¬ã«ë è¨à®ª® ¯à¨¬¥ïîâáï, ¯à¨¬¥à, ¢ ⥮ਨ ¬ £¨â®£® १® á . ª ç¥á⢥ í«¥¬¥â ண® ¯à¨¬¥à ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ä®à¬ã« ã¡® à áᬮâਬ í«¥ªâய஢®¤®áâì, ¨áå®¤ï ¨§ ¯à®á⥩è¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥¨© ® ¯®¢¥¤¥¨¨ ¢à¥¬¥ëå ª®à५ï樮ëå äãªæ¨©. ᯮ«ì§ãï (10.22), (10.44) ¨¬¥¥¬: 1Z = ; "lim !0 ih
0
;1
।¯®«®¦¨¬, çâ®
dte"t < [J ; P (t)] >0 jtj
< [J ; P (t)] >0 < [J ; P ] >0 e;
(10.55) (10.56)
197
£¤¥ { ¥ª®â®à®¥ ¢à¥¬ï ५ ªá 樨. ®à५ïâ®à ¯à¨ ᮢ¯ ¤ îé¨å ¢à¥¬¥ å 室¨âáï í«¥¬¥â à®: X X < [J ; P ] >0 =< [ me p i; ex j ] >0 = i
i
2X 2 (10.57) = em [p i; x i ] = ;ih em N i £¤¥ N { ç¨á«® ç áâ¨æ, ¨ ¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì áâ ¤ àâë¬ ª®¬¬ãâ æ¨®ë¬ á®®â®è¥¨¥¬ [x i ; p i] = ih . १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬: Z0 2 2 Ne ("+1= )t = Ne = m "lim dte (10.58) !0 ;1 m ¨«¨, ¢ à áç¥â¥ ¥¤¨¨æã ®¡ê¥¬ : 2 (10.59) = ne m çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡ëçãî ä®à¬ã«ã à㤥. ®¤ç¥àª¥¬, çâ® \ áâ®ï饩" § ¤ 祩 ¬¨ªà®â¥®à¨¨ ï¥âáï, ª®¥ç®, ¢ë¢®¤ ¯®¢¥¤¥¨ï ⨯ (10.56) ¨§ ⮩ ¨«¨ ¨®© ¬®¤¥«¨ ¨ à áç¥â ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¢¨á¨¬®á⥩ ®â ⥬¯¥à âãàë (¨«¨ ª®æ¥âà 樨 ¯à¨¬¥á¥©) ¤«ï à §«¨çëå ¬¥å ¨§¬®¢ à áá¥ï¨ï. ¬¥® §¤¥áì ¢®§¨ª ¥â ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ᮢ६¥ëå ¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ á¨á⥬ ¬®£¨å ç áâ¨æ, â ª¨å, ª ª ¬¥â®¤ äãªæ¨© ਠ.
¯¥ªâà «ìë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¢à¥¬¥ëå ª®à५ïâ®à®¢ ¨ ¤¢ãå¢à¥¬¥ë¥ äãªæ¨¨ ਠ. áᬮâਬ ¥ª®â®àë¥ ®¡é¨¥ ᢮©á⢠¢à¥¬¥ëå ª®à५ï樮ëå äãªæ¨©. ¢¥¤¥¬, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î: FAB (t ; t0 ) =< A(t)B(t0 ) > FBA (t0 ; t) =< B(t0 )A(t) > (10.60) ãáâì ¨ E { ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï £ ¬¨«ì⮨ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë: H = E (10.61) ®£¤ ¢ ¬ ¢¨¤¥ ¬®¦® ¯¨á âì: X E < B(t0 )A(t) >= Z ;1 ( ? B(t0 )A(t) )e; T (10.62)
P
ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢮ ¯®«®âë 1 = j )( ? j, ¯¥à¥¯¨è¥¬ (10.62) ª ª: X < B(t0 )A(t) >= Z ;1 ( ? B(t0 ) )( ? A(t) ) = =Z
;1 X
E ( ? B(0) )( ? A(0) )e; T expf hi (E ; E )(t ; t0)g
(10.63)
198
£¤¥ ã竨, çâ®
e;iHt=h = e;iE t=h «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì: < B(t0 )A(t) >= Z ;1
? iHt=h = ? eiE t=h e
(10.64)
X
E ( ? A(0) )( ? B(0) )e; T expf hi (E ; E )(t0 ; t)g (10.65)
¬¥ïï §¤¥áì ¨¤¥ªáë á㬬¨à®¢ ¨ï * ) ¨ áà ¢¨¢ ï á (10.63), ¢¨¤¨¬, çâ® ®¡ ª®à५ïâ®à ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥: Z1 0 1 0 < B(t )A(t) >= 2 JBA (!)ei!(t;t ) Z 1 ;1 h ! 0 1 (10.66) < A(t)B(t0 ) >= 2 JBA (!)e T ei!(t ;t) £¤¥ ¢¢¥«¨:
JBA (!) = 2Z ;1
;1
X
E ( ? B(0) )( ? A(0) )e; T ( E ;h E ; !)
(10.67)
®®â®è¥¨ï (10.66) §ë¢ îâáï ᯥªâà «ì묨 ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬¨, ¢¥«¨ç¨ JBA (!) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© â ª §ë¢ ¥¬ãî ᯥªâà «ìãî ¯«®â®áâì ª®à५ï樮®© äãªæ¨¨ < B(t0 )A(t) >. § áà ¢¥¨ï ®¡®¨å ¢ëà ¦¥¨© ¢ (10.66) ¢¨¤¨¬ ¢ ¦®¥ ᢮©á⢮: (10.68) JAB (;!) = JBA (!)e hT! «ï ¢á¥å ॠ«ìëå á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® § âãå ¨¥ ª®à५ï権 ¢® ¢à¥¬¥¨, â ª çâ® lim < A(t)B(t0 ) >=< A >< B > (10.69) jt;t0j!1 £¤¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® ¢¥«¨ç¨ë (®¯¥à â®àë) A ¨ B ¥ ïîâáï ¨â¥£à « ¬¨ ¤¢¨¦¥¨ï3 .
᫨ < A >= 0 ¨ < B >= 0, â® lim < A(t)B(t0 ) >= 0 (10.70) jt;t0j!1 ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ®¢ë¥ ®¯¥à â®àë A(t); < A > ¨ B(t); < B >, ¤«ï ª®â®àëå ¢á¥£¤ ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ (10.70). ।¥¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â ª®à५ï樮®© äãªæ¨¨ à ¢® ã«î: 1 Z T dt 1 Z 1 d!J (!)e;i!t = lim BA T !1 2T ;T 2 ;1 Z 1 1 d!(!) = lim JBA (0) = 0 = Tlim (10.71) !1 2T T !1 2T ;1
¥á«¨ ᯥªâà «ì ï ¯«®â®áâì ª®¥ç ¯à¨ ! = 0, çâ® å à ªâ¥à® ¤«ï ᯥªâà í࣮¤¨ç¥áª®£® á«ãç ©®£® ¯à®æ¥áá . ¤ «ì¥©è¥¬ í⮠᢮©á⢮ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï4. ਠí⮬ ¢¥§¤¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥« V ! 1 (V=N ! const). 3
᫨ A ¨ B ¨â¥£à «ë ¤¢¨¦¥¨ï, â® ª®à५ï樮 ï äãªæ¨ï, ®ç¥¢¨¤®, ¢®®¡é¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥¨. 4 ç áâ®áâ¨, íâ® ¨áª«îç ¥â ¨§ à áᬮâà¥¨ï ®á®¡¥®á⨠ᯥªâà «ì®© ¯«®â®á⨠⨯ (!), å à ªâ¥àë¥ ¤«ï á¨á⥬ á ¥í࣮¤¨ç¥áª¨¬ ¯®¢¥¤¥¨¥¬ [4].
199
¯¥ªâà «ì ï ¯«®â®áâì JA+ A (!) ¢à¥¬¥®£® ª®à५ïâ®à , ®¡à §®¢ ®£® ¨§ ᮯà殮ëå ®¯¥à â®à®¢ A ¨ A+ ¯®«®¦¨â¥«ì : X E (10.72) JA+ A (!) = 2Z ;1 ( ? A+ (0) )( ? A(0) )e; T E ;h E > 0 ¯®áª®«ìªã ¢á¥ ç«¥ë ¯®¤ § ª®¬ áã¬¬ë ¯®«®¦¨â¥«ìë. á®, çâ® ¨ JAA+ (!) > 0. ãáâì ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï A ¨ B ¨¢ ਠâë ®â®á¨â¥«ì® ®âà ¦¥¨ï ¢à¥¬¥¨, ¯à¨ ª®â®à®¬ A ! "A A; B ! "B B, £¤¥ "A ; "B = 1, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ç¥â®á⨠®¯¥à â®à®¢ ¯à¨ ®¡à 饨¨ ᪮à®á⥩. áᬮâਬ ᯥªâà «ì®¥ à §«®¦¥¨¥: Z1 1 < A(t)B(t) >= 2 d!ei!(t;t0) JAB (!) (10.73) ;1 ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ®¯¥à æ¨ï ®¡à é¥¨ï ¢à¥¬¥¨ ᢮¤¨âáï ª § ¬¥¥ t ! ;t; t0 ! ;t0; i ! ;i, â ª çâ® «¥¢ ï ç áâì í⮣® à ¢¥á⢠㬮¦ ¥âáï "A "B , ¢ ¯à ¢®© ? (!) (¢á«¥¤á⢨¥ § ¬¥ë i ! ;i). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ç á⨠JAB (!) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ JAB à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥: ? (!)"A "B JAB (!) = JAB ? (!) ¯à¨ "A "B = 1 JAB (!) = JAB (10.74) â ª ç⮠ᯥªâà «ì ï ¯«®â®áâì ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ ®¤¨ ª®¢®© ç¥â®á⨠¤¥©á⢨⥫ì . à ¢¨¢ ï (10.73) ¨ ᮯà殮®¥ ¥¬ã á®®â®è¥¨¥: 1 Z 1 d!e;i!(t;t0) J (!) < B + (t0)A+ (t) >= 2 (10.75) AB ;1 £¤¥ ¬ë ã竨 ¢¥é¥á⢥®áâì ᯥªâà «ì®© ¯«®â®áâ¨, ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ ®¤¨ ª®¢®© ç¥â®áâ¨: < A(t)B(t0 ) >=< B + (t)A+ (t0 ) > (10.76)
᫨ á¨á⥬ 室¨âáï ¢® ¢¥è¥¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥, ᯥªâà «ì ï ¯«®â®áâì 㦥 ¥ ¡ã¤¥â ¢¥é¥á⢥ . ®áª®«ìªã ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¨¢ ਠâë ®â®á¨â¥«ì® t ! ;t á ®¤®¢à¥¬¥®© § ¬¥®© H ! ;H, ⮠ᯥªâà «ì ï ¯«®â®áâì 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᢮©áâ¢ã ᨬ¬¥âਨ: ? JAB;H (!) = JAB; (10.77) ;H (!)"A "B â ª çâ®
< B + (t)A+ (t0 ) >H =< A(t)B(t0 ) >;H "A "B (10.78) ®áª®«ìªã ¤¢ãå¢à¥¬¥ë¥ äãªæ¨¨ ਠ(10.22) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ç¥à¥§ ¢à¥¬¥ë¥ ª®à५ïâ®àë, ®¨ «¥£ª® ¢ëà ¦ îâáï ç¥à¥§ ᯥªâà «ìãî ¯«®â®áâì [4, 29]. ®®â¢¥âá⢥®, ¤«ï ¨å ¨ ¨å äãàì¥ { ®¡à §®¢ ¯® à §®á⨠¢à¥¬¥ ¯®«ãç îâáï «®£¨çë¥ á®®â®è¥¨ï ᨬ¬¥âਨ: << A(t)B(t0 ) >>=<< B + (t)A+ (t0 ) >> << AjB >>! =<< B + jA+ >>! (10.79)
200
¢ ®âáãâá⢨¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¨ ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ ®¤¨ ª®¢®© ç¥â®áâ¨. ¯à¨áãâá⢨¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¨¬¥¥¬: << B + (t)A+ (t0 ) >>H =<< A(t)B(t0 ) >>;H "A "B << B + jA+ >>!;H =<< AjB >>!;;H "A "B (10.80) ⨠᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ ®ª §ë¢ îâáï ¢ ¦ë¬¨ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ¯à¨æ¨¯ ᨬ¬¥âਨ á £¥à ¤«ï ®¡®¡é¥®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâ¨.
¨á¯¥àá¨®ë¥ á®®â®è¥¨ï à ¬¥àá { ந£ ¨ ¯à¨æ¨¯ ᨬ¬¥âਨ á £¥à . ãáâì á¨á⥬㠤¥©áâ¢ã¥â § ¢¨áï饥 ®â ¢à¥¬¥¨ ¢®§¬ã饨¥ ¬¥å ¨ç¥áª®£® ⨯ , ¢ª«îç ¥¬®¥ ¤¨ ¡ â¨ç¥áª¨ ¨ ®¯¨áë¢ ¥¬®¥ ¤®¡ ¢ª®© ª £ ¬¨«ì⮨ ã ¢¨¤ : Ht1 = ;
n X j =1
Fj (t)Bj
(10.81)
£¤¥ Fj (t) e"t ¯à¨ t ! ;1; " ! +0, Bj { ¥ª®â®àë¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ (®¯¥à â®àë), Fj (t) { c { ç¨á«®¢ë¥ \ᨫë", á ª®â®à묨 ¢¥è¨¥ ¯®«ï ¤¥©áâ¢ãîâ ¯¥à¥¬¥ë¥ Bj . «ï ¯à®áâ®âë ¯®« £ ¥¬, çâ® ¢ á®áâ®ï¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï (¯à¨ Fj = 0) ¨¬¥¥¬ < Aj >0 = 0, â ª ç⮠ॠªæ¨î á¨áâ¥¬ë ¢®§¬ã饨¥ (10.81) ¬®¦® ᮣ« á® (10.21) § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: < Ai >=
Zt
£¤¥
;1
dt0ij (t ; t0 )Fj (t0 )
(10.82)
ij (t ; t0 ) = ; << Ai (t)Bj (t0) >> (10.83) { ®¡®¡é¥ ï ¬ âà¨æ ॠªæ¨¨ (®âª«¨ª ). ®áª®«ìªã § ¯ §¤ë¢ îé ï äãªæ¨ï ਠ®â«¨ç ®â ã«ï «¨èì ¯à¨ ¯®«®¦¨â¥«ìëå à£ã¬¥â å, â® ij (t ; t0 ) = 0 ¯à¨ t < t0 (10.84) ç⮠ï¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬ ¯à¨æ¨¯ ¯à¨ç¨®áâ¨: ॠªæ¨ï á¨áâ¥¬ë ¥ ¬®¦¥â ¯à¥¤è¥á⢮¢ âì ¢® ¢à¥¬¥¨ ⮬㠢®§¬ã饨î, ª®â®à®¥ ¥¥ ¢ë§ë¢ ¥â. §«®¦¨¬ Fj (t) ¨ < Ai > ¢ ¨â¥£à «ë ãàì¥: Z1 1 < Ai >= 2 d!e;i!t Ai (!) (10.85) ;1 Z1 1 d!e;i!tFj (!) (10.86) Fj (t) = 2 ;1 £¤¥ äãàì¥ { ª®¬¯®¥âë: Ai (!) =
Z1
;1
ei!t < Ai (t) >
(10.87)
201
Fj (!) =
Z1 ;1
dtei!tFj (t)
(10.88)
஢®¤ï äãàì¥ { ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¢ (10.82) ¯®«ã稬 ¢¬¥áâ® ¨â¥£à «ì®£® «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ «¨¥©®© ॠªæ¨¨: Ai(!) = ij (!)Fj (!) (10.89) £¤¥ ij (!) = =
Z1
Z
0
;1 1
dtei!tij (t) = ; << Ai jBj >>! =
dte;i!t;"t
Z 0
d < B_ j Ai (t + ih) >
(10.90)
{ ®¡®¡é¥ ï ¬ âà¨æ ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâ¨. ®á«¥¤îî ä®à¬ã«ã ¨®£¤ §ë¢ îâ ä«ãªâã 樮® { ¤¨áᨯ 樮®© ⥮६®© ã¡®5 . § ¢¥é¥á⢥®á⨠Ai ¨ Fj á«¥¤ã¥â, çâ®: Ai (!) = A?i (;!) Fj (!) = Fj? (;!) (10.91) â ª çâ® ij = ?ij (;!) (10.92) ®âªã¤ Reij (!) = Reij (;!) Imij (!) = ;Imij (;!) (10.93) â ª çâ® ¢¥é¥á⢥ ï ç áâì ®¡®¡é¥®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠ij (!) ç¥â , ¬¨¬ ï ¥ç¥â ¯® !6 . § ᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ äãªæ¨© ਠ(10.80) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ®¡®¡é¥®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠¨¬¥¥¬: ij (!; H) = ij (!; ;H)"i "k "i "k = 1 (10.94) ®âáãâá⢨¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï: ij (!) = ij (!)"i "k (10.95) §¡¨¢ ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ᨬ¬¥âà¨çãî ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çãî ç á⨠sij = 21 (ij + ji) aij = 21 (ij ; ji) (10.96) ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® s ç¥â , a ¥ç¥â ®â®á¨â¥«ì® ®¡à é¥¨ï ¬ £¨â®£® ¯®«ï H: sij (!; H) = sji(!; ;H) aij (!; H) = ;aji (!; ;H) (10.97) 5 «ãªâã 樮® { ¤¨áᨯ 樮 ï ⥮६ ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ à §ëå ä®à¬ å ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâﬨ (ª¨¥â¨ç¥áª¨¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ à ¢®¢¥á묨 ª®à५ïâ®à ¬¨ (ä«ãªâã æ¨ï¬¨). 6 ®¦® ¯®ª § âì, çâ® Imij ®¯à¥¤¥«ï¥â ¤¨áᨯ æ¨î í¥à£¨¨ ¢¥è¥£® ¯®«ï, â ª çâ® Imij (! > 0) > 0.
202
¯à¨ "i "k = 1. ⨠᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ §ë¢ îâáï á®®â®è¥¨ï¬¨ ᨬ¬¥âਨ á £¥à ¤«ï ®¡®¡é¥®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠(ª¨¥â¨ç¥áª¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢). ¨ ¢ë⥪ îâ ¨§ ®¡é¥© ⥮ਨ «¨¥©®£® ®âª«¨ª ¨ ¨¢ ਠâ®á⨠ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® t ! ;t; H ! ;H 7. ®®â®è¥¨ï á £¥à ®âà ¦ îâ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ ã஢¥ ¨¢ ਠâ®áâì ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® ®¡à é¥¨ï ¢à¥¬¥¨. ¨ ¨£à îâ ®ç¥ì ¡®«ìèãî à®«ì ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¥ ¥®¡à ⨬ëå ¯à®æ¥áᮢ. ¢¨¤ã ãá«®¢¨ï ¯à¨ç¨®á⨠(10.84) ¯¥à¢ë© ¨â¥£à « ¢ (10.89) ä ªâ¨ç¥áª¨ ᢮¤¨âáï ª (¨¤¥ªáë i; j ¤ «¥¥ ®¯ã᪠¥¬): (!) =
Z1 0
dt(t)ei!t
(10.98)
ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ®âáî¤ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¥ª®â®àë¥ ¢¥áì¬ ®¡é¨¥ á®®â®è¥¨ï ¤«ï (!), ¨á¯®«ì§ãï ¯¯ à â ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªáëå ¯¥à¥¬¥ëå. ¢¥¤¥¬ ª®¬¯«¥ªáãî ç áâ®âã ! = !0 + i!00 ¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ ᢮©á⢠(!) ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠í⮩ ¯¥à¥¬¥®©. § (10.98) ¨ ¨§ ä ªâ ª®¥ç®á⨠(t) ¯à¨ ¢á¥å ¯®«®¦¨â¥«ìëå t á«¥¤ã¥â, çâ® (!) ¥áâì ª®¥ç ï ®¤®§ ç ï äãªæ¨ï ¢® ¢á¥© ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠! ¨ ¨£¤¥ ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ¥© ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, â.¥. ¥ ¨¬¥¥â â ¬ ®á®¡ëå â®ç¥ª. ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨ !00 > 0 ¢ ¯®¤¨â¥£à «ì®¬ ¢ëà ¦¥¨¨ ¢ (10.98) ¨¬¥¥âáï íªá¯®¥æ¨ «ì® ã¡ë¢ î騩 ¬®¦¨â¥«ì exp(;t!00 ), ¯®áª®«ìªã ¨ äãªæ¨ï (t) ª®¥ç ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, â® ¨â¥£à « ¢ (10.98) á室¨âáï. ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¢ë¢®¤ ®¡ ®âáãâá⢨¨ ®á®¡ëå â®ç¥ª ã (!) ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠ï¥âáï, á 䨧¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï, á«¥¤á⢨¥¬ ¯à¨æ¨¯ ¯à¨ç¨®áâ¨. ®á«¥¤¨© ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢ (10.98) ¨¤¥â ®â 0 ¤® 1 ( ¥ ®â ;1 ¤® 1). ãªæ¨ï (!) ¥ ¨¬¥¥â ®á®¡¥®á⥩ ¨ á ¬®© ¢¥é¥á⢥®© ®á¨ (!00 = 0), § ¨áª«î票¥¬, ¢®§¬®¦®, «¨èì ç « ª®®à¤¨ â (! = 0). 뢥¤¥¬ ⥯¥àì ä®à¬ã«ë, á¢ï§ë¢ î騥 ¤¥©á⢨⥫ìãî ¨ ¬¨¬ãî ç á⨠äãªæ¨¨ (!) ¤àã£ á ¤à㣮¬. «ï í⮣® ¢ë¡¥à¥¬ ª ª®¥ { «¨¡® ¯®«®¦¨â¥«ì®¥ ¤¥©á⢨⥫쮥 § 票¥ ! = !0 ¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¢¥«¨ç¨ã !;(!!)0 ¯® ª®âãàã C, ¯®ª § ®¬ã ¨á. 10-1. ¡¥áª®¥ç®á⨠! 0 ¨ ¯®í⮬ã äãªæ¨ï !;(!!)0 áâ६¨âáï ª R ã«î ¡ëáâ॥, 祬 1=!. ®íâ®¬ã ¨â¥£à « C d! !;(!!)0 á室¨âáï, ¯®áª®«ìªã (!) ¥ ¨¬¥¥â ®á®¡ëå â®ç¥ª ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, ¨ â®çª ! = !0 ¨áª«îç¥ ¨§ ®¡« á⨠¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, â® äãªæ¨ï !;(!!)0 «¨â¨ç ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠¢ãâਠª®âãà C, â ª çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë© ¨â¥£à « à ¢¥ ã«î (⥮६ ®è¨). â¥£à « ¯® ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© ¯®«ã®ªà㦮á⨠®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì á ¬ ¯® ᥡ¥ (¢¢¨¤ã ¤®áâ â®ç® ¡ëáâண® ã¡ë¢ ¨ï ¯®¤¨â¥£à «ì®£® ¢ëà ¦¥¨ï). ®çªã !0 ®¡å®¤¨¬ ¯® ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¯®«ã®ªà㦮á⨠(à ¤¨ãá ! 0). â®â ®¡å®¤ ¯à®¨á室¨â ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥ ¨ ¤ ¥â ¢ ¨â¥£à «¥ ¢ª« ¤, à ¢ë© ;i(!0 ) (¨â¥£à « ¯® ¯®«®¬ã ªà㦪㠤 ¥â ;2i(!0 )).
᫨ (0) ª®¥ç®, â® ®¡å®¤ ç « ª®®à¤¨ â ï¥âáï ¨§«¨è¨¬ ¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¤®«ì ¢á¥© ¢¥é¥á⢥®© ®á¨ ¤ ¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬: Z !0; (!) Z 1 (!) ; i(! ) = 0 lim d! + d! (10.99) 0 !0 !;! !;! ;1
0
!0 +
0
¥à¢ë© ç«¥ §¤¥áì ¥áâì ¨â¥£à « ®â ;1 ¤® 1, ¯®¨¬ ¥¬ë© ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® 7 ª¨¥
¦¥ ᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¨ ¤«ï ®âª«¨ª â¥à¬¨ç¥áª¨¥ ¢®§¬ã饨ï.
203
¨á. 10-1 ®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë© ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ á®®â®è¥¨© à ¬¥àá { ந£ .
§ 票ï, ¯®í⮬㠯®«ãç ¥¬: i(!0 ) = P
Z1 ;1
d! !(!) ;!
0
(10.100)
â® ¦¥ á®®â®è¥¨¥ áà §ã ¦¥ ¯®«ãç ¥âáï ¥á«¨ à áᬮâà¥âì ¨â¥£à « ®â !;!(!0 +) i ¢¤®«ì ¢¥é¥á⢥®© ®á¨, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¨§¢¥á⮩ ä®à¬ã«®©: 1 1 (10.101) x + i = P x ; i(x) ! +0 ।ë¤ã騥 à áá㦤¥¨ï, ¯® áã⨠¤¥« , ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¢ë¢®¤ í⮣® ¢¥áì¬ ¯®«¥§®£® á®®â®è¥¨ï. ¥à¥¬¥ ï ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ! ¢ (10.100) ¯à®¡¥£ ¥â «¨èì ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ § 票ï. ¥à¥®¡®§ 稬 ¥¥ , ç¥à¥§ ! ®¡®§ 稬 § ¤ ®¥ ¢¥é¥á⢥®¥ § 票¥ !0. ®£¤ , ®â¤¥«ïï ¢ (10.100) ¤¥©á⢨⥫ìãî ¨ ¬¨¬ãî ç áâ¨, ©¤¥¬: Z 1 Im() d ; ! (10.102) Re(!) = 1 P ;1 Z 1 Re() Im(!) = ; 1 P d ; ! (10.103) ;1
{ á®®â®è¥¨ï à ¬¥àá { ந£ .
¤¨áâ¢¥ë¬ á¢®©á⢮¬ äãªæ¨¨ (!), ¨á¯®«ì§®¢ ë¬ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ íâ¨å ä®à¬ã«, ï¥âáï ®âáãâá⢨¥ ®á®¡ëå â®ç¥ª ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®áâ¨8. ®í⮬㠬®¦® ᪠§ âì, çâ® á®®â®è¥¨ï à ¬¥àá { ந£ ïîâáï ¯àï¬ë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ¯à¨æ¨¯ ¯à¨ç¨®áâ¨. ®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¥ç¥â®áâìî äãªæ¨¨ Im() ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¯¥à¢®¥ ¨§ íâ¨å á®®â®è¥¨© ª ª: Z 1 Im() Z 1 Im() 1 Re(!) = P d ; ! + P d + ! (10.104) 0
0
ª á ¥âáï ᢮©á⢠! 0 ¯à¨ ! ! 1, â® ®® ¥ ï¥âáï áãé¥á⢥ë¬: ¥á«¨ ¡ë ¯à¥¤¥« 1 ¡ë« ®â«¨ç¥ ®â ã«ï, â® ¤® ¡ë«® ¡ë ¯à®áâ® à áᬠâਢ âì à §®áâì ; 1 ¢¬¥áâ® , á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¨§¬¥¥¨¥¬ ¢á¥å ä®à¬ã«. 8 â®
204
Z 1 Im(!) d 2 ; !2 (10.105) Re(!) = 2 0
᫨ äãªæ¨ï (!) ¨¬¥¥â ¯®«îá ¢ â®çª¥ ! = 0, ¢¡«¨§¨ ª®â®à®© = iA=!, â® ®¡å®¤ í⮣® ¯®«îá ¯® ¯®«ã®ªà㦮á⨠¤ ¥â ¢ ¨â¥£à «¥ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ¢¥é¥áâ¢¥ë© ¢ª« ¤ ;A=!, ª®â®àë© ¤®«¦¥ ¡ëâì ¯à¨¡ ¢«¥ ª «¥¢®© áâ®à®¥ (10.100). ®®â¢¥âá⢥®, â ª®© ¦¥ ç«¥ ¯®ï¢¨âáï ¨ ¢ (10.103): Z 1 Re() A Im(!) = ; 1 P d + (10.106) ;1 ; ! ! ®®â®è¥¨ï à ¬¥àá { ந£ ®â®áïâáï ª ¢ ¦¥©è¨¬ â®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬, ¯®§¢®«ïî騬 ª®â஫¨à®¢ âì ⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¨ à áç¥âë, â ª¦¥ ¨¬¥î騬 ¨ ¢ ¦ë¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¯à¨¬¥¥¨ï: ¯® ¨§¬¥à¥¨ï¬ Re(!) ¢ è¨à®ª®¬ ¨â¥à¢ «¥ ç áâ®â ¬®¦® ¢®ááâ ¢«¨¢ âì § 票ï Im(!) (¨ ®¡®à®â), ¯à®¢®¤ï ç¨á«¥®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¬ ¤ ë¬. ¨«¨
« ¢ 11
¥â®¤ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¨ äãªæ¨¨ ਠ. ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨ ®¯à¥¤¥«ïîéãî ஫ì, ª®â®àãî ¢ ᮢ६¥®© ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï ¨£à ¥â ª®æ¥¯æ¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ. ®«®¥ ä®à¬ «ì®¥ ®¡®á®¢ ¨¥ íâ ª®æ¥¯æ¨ï ¯®«ãç ¥â ¢ à ¬ª å ä®à¬ «¨§¬ äãªæ¨© ਠ, ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï áâ ¤ àâë¬ ¯¯ à ⮬ ᮢ६¥®© ⥮ਨ á¨á⥬ ¬®£¨å ç áâ¨æ. ¥â®¤ äãªæ¨© ਠ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ç¥âª® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ªà¨â¥à¨¨ áãé¥á⢮¢ ¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ª®ªà¥âëå á¨á⥬ å, â ª¦¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© 㨢¥àá «ìë© ¬¥â®¤ ¯à®¢¥¤¥¨ï à áç¥â®¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ «î¡ëå 䨧¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¬®£®ç áâ¨çëå á¨á⥬ á ãç¥â®¬ à §«¨çëå ⨯®¢ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©. ë© ¬¥â®¤ ¢®§¨ª ¢ á¢ï§¨ á § ¤ ç ¬¨ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, £¤¥ ¢¯¥à¢ë¥, ¢ ç áâ®áâ¨, ¡ë« áä®à¬ã«¨à®¢ ç१¢ëç ©® íää¥ªâ¨¢ë© ¨ 㤮¡ë© ¯®¤å®¤, ®á®¢ ë© ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¤¨ £à ¬¬ ¥©¬ . ®á«¥¤ãî饥 ¯¥à¥¥á¥¨¥ íâ¨å ¨¤¥© ¨ ¬¥â®¤®¢ ¢ ⥮à¨î á¨á⥬ ¬®£¨å ç áâ¨æ, ¯® áã⨠¤¥« , ¨ ¯à¨¢¥«® ª ᮧ¤ ¨î ᮢ६¥®© ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï [2].
áâ¥á⢥®, çâ® ¢ à ¬ª å ¤ ®£® ªãàá ¬ë «¨è¥ë ¢®§¬®¦®á⨠¤ âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮥 ¨§«®¦¥¨¥ ¬¥â®¤ äãªæ¨© ਠ, 襩 楫ìî ï¥âáï «¨èì ¢¢¥¤¥¨¥ àï¤ ®á®¢ëå ¯®ï⨩ ¨ ª ç¥á⢥ ï ¨««îáâà æ¨ï ¯à®áâëå ¯à¨¬¥¥¨©1 . 1 ¨¡®«¥¥ ïᮥ ¨ ç¥âª®¥ ¨§«®¦¥¨¥ ¬¥â®¤ äãªæ¨© ਠ¨ ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª § ¤ ç ¬ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥ ¤ ® ¢ ª« áá¨ç¥áª®© ª¨£¥ [30]. ®áâ â®ç® ¯®«®¥
205
206
¨¦¥, ¢ ®á®¢®¬, à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç © ⥬¯¥à âãàë T = 0. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ®¡®¡é¥¨¥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢á¥å ãà ¢¥¨© ¬¥â®¤ äãªæ¨© ਠá«ãç © ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¢¥¤¥® ¤®áâ â®ç® í«¥¬¥â à®, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨§¬¥¥¨ï ¡ã¤ãâ ªà ⪮ áä®à¬ã«¨à®¢ ë ¢ ª®æ¥ 襣® ¨§«®¦¥¨ï. 祬 á® á«ãç ï ®¤®© ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ãà ¢¥¨¥¬ ।¨£¥à 2 : (r; t) ; H (r; t) = 0 (11.1) i @ @t ¬¥áâ® ¥£® ¬®¦® ¢¢¥á⨠ãà ¢¥¨¥ ¤«ï äãªæ¨¨ ਠG(r; t; r0; t0): 0 0 i @G (11.2) @t ; HG = i(r ; r )(t ; t ) á ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ G(r; t + 0; r0; t) = (r ; r0). ãªæ¨ï ਠ¨¬¥¥â á¬ëá« ¬0 ¯«¨âã¤ë ¢¥à®ïâ®á⨠¯¥à¥å®¤ ç áâ¨æë ¨§ â®çª¨ r ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t ¢ â®çªã r ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t. ¢ ¤à â ¬®¤ã«ï ¬¯«¨âã¤ë ¤ ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¢¥à®ïâ®áâì ¯¥à¥å®¤ . í⮬ «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, ¢ëà §¨¢ -äãªæ¨î ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t+ ç¥à¥§ -äãªæ¨î ¢ ¬®¬¥â t: (r; t + ) =
Z
dr0G(r; t + ; r0t) (r0 ; t)
(11.3)
á ¬®¬ ¤¥«¥, «¥£ª® 㤮á⮢¥à¨âìáï, çâ® § ¯¨á ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ (r; t + ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î ।¨£¥à (11.1), ¯à¨ ! 0 ® ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (r; t) ¨§-§ ç «ì®£® ãá«®¢¨ï G(r; t+ 0; r0; t) = (r ; r0 ). ஬¥ ⮣®, ¯®«®¦¨¬, çâ® G = 0 ¤«ï < 0 (¯à¨æ¨¯ ¯à¨ç¨®áâ¨!). ãáâì ¨¬¥¥âáï á¨á⥬ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à : H' (r) = " ' (r) (11.4) § ¢¨á¨¬®á⨠®â § ¤ ç¨, 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá« ª¢ ⮢ëå ç¨á¥« ¬®¦¥â ¡ëâì à §«¨çë¬. âà á«ï樮® { ¨¢ ਠ⮩ á¨á⥬¥ ! p, ¤«ï ç áâ¨æë ¢® ¢¥è¥¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ íâ® ¡®à ª¢ ⮢ëå ç¨á¥« ¤ ã ¨ â.¯. ¥©ç á ¬ë à áᬮâਬ ç áâ¨æã ¢ ¯®â¥æ¨ «ì®¬ ¯®«¥: p2 + V (r) H = 2m (11.5) â® ¬®¦¥â ¡ëâì, ¢ ç áâ®áâ¨, ¨ ¢¯®«¥ ¥âਢ¨ «ì ï § ¤ ç ® 㪫® å ¢ ¯®â¥æ¨ «ì®© ﬥ { ⮬®¬ ï¤à¥ [32], ⮣¤ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ª¢ â®¢ë¥ ç¨á« ®¡®«®ç¥ç®© ¬®¤¥«¨ ï¤à . î¡®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à ¬®¦® à §«®¦¨âì ¯® í⮩ ¯®«®© á¨á⥬¥ äãªæ¨©: X (r; t) = c (t)' (r) (11.6)
¨ ¯à¥¤áâ ¢¨âì (11.3) ¢ ¢¨¤¥: c (t + ) =
X
G0 ( )c0 (t) (11.7) 0 ¨§«®¦¥¨¥ ¤ ® ¨ ¢ [2]. ®«¥¥ í«¥¬¥â ஥ ¨§«®¦¥¨¥ ¬®¦® ©â¨ ¢ [31, 32], ®âªã¤ ¨ ¢§ïâ ¨§« £ ¥¬ë© ¨¦¥ ¬ â¥à¨ «. 2 ¨¦¥, ª ª ¯à¨ïâ® ¢ ¡®«ìè¨á⢥ ᮢ६¥ëå à ¡®â, ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ á¨á⥬㠥¤¨¨æ, ¢ ª®â®à®© h = 1. ਠ¥®¡å®¤¨¬®áâ¨, h ¢á¥£¤ «¥£ª® ¢®ááâ ®¢¨âì ¢ ª®¥çëå ä®à¬ã« å.
207
G0 ( ) =
Z
d3rd3r0 G(r; r0 )'? (r)'0 (r0 )
(11.8)
{ äãªæ¨ï ਠ¢ -¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨. ®áª®«ìªã ' { ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï £ ¬¨«ì⮨ H, ¥ § ¢¨áï饣® ®â ¢à¥¬¥¨, â® ¯¥à¥å®¤ë ¢ ¤à㣨¥ á®áâ®ï¨ï ¥ ¯à®¨á室ïâ, â ª çâ® c(t + ) = e;i" c (t), â.¥. G0 ( ) = G ( )0 = e;i" ( ) (11.9) £¤¥ ( ) = 1 ¯à¨ 0 ¨ ( ) = 0 ¯à¨ < 0. ஢¥¤¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥: Z1 1 G (") = i d ei" G( ) (11.10) ;1 Z 1 d" e;i" G(") (11.11) G( ) = i ;1 2 ®£¤ , ¯®á«¥ í«¥¬¥â ண® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯®«ãç ¥¬: G (") = " ; "1 + i ! +0 (11.12) ª ! 0 ¢ë¡à §¤¥áì â ª, ç⮡ë G( ) = 0 ¯à¨ < 0. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨¬¥¥¬: Z 1 d" e;i" G( ) = i 2 " ; " + i = ;1 e;i" ¯à¨ > 0 = 0 ¯à¨ < 0 (11.13) ¥©á⢨⥫ì®, ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨ " = " ; i. ®£¤ , ¯à¨ > 0 ¬®¦® § ¬ªãâì ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® " ¢ ¨¦¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠(¯®áª®«ìªã ¬®¦¨â¥«ì e;i" ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ⮣¤ íªá¯®¥æ¨ «ì®¥ § âãå ¨¥ ¨â¥£à¨à㥬®£® ¢ëà ¦¥¨ï ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© ¯®«ã®ªà㦮áâ¨), ¯®«îá ¯®¯ ¤ ¥â ¢ãâàì § ¬ªã⮣® ª®âãà , ¨ ¨â¥£à « (¯® ⥮६¥ ®è¨) à ¢¥ ¢ë¯¨á ®¬ã ¢ëà ¦¥¨î. ਠ< 0, ¯® ⥬ ¦¥ ¯à¨ç¨ ¬, á¢ï§ ë¬ á ¥®¡å®¤¨¬®áâìî § 㫨âì ¢ª« ¤ ®â ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© ¯®«ã®ªà㦮áâ¨, 㦮 § ¬ªãâì ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠". ®£¤ ¢ãâਠª®âãà ¯®«îá ¥â ¨ ¨â¥£à « à ¢¥ ã«î. á¬¥è ®¬ (r; ") ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¯®«ãç ¥¬: G(r; r0; ") =
X ;0
G0 (")' (r)'?0 (r0 ) = =
X '(r)'?0 (r0)
" ; " + i
(11.14)
¤¥áì ¢ á㬬㠯® ¢å®¤¨â á㬬¨à®¢ ¨¥ ¯® ¢á¥¬ á¢ï§ ë¬ á®áâ®ï¨ï¬ ç áâ¨æë ¢ ¯®«¥ ¨ 0¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ¥¥ ᯫ®è®¬ã ᯥªâàã. ਠí⮬ ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® G(r; r0; ") ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨ § 票ïå " à ¢ëå " { í¥à£¨ï¬ á¢ï§ ëå á®áâ®ï¨© ¨ à §à¥§ (ª®â¨ã㬠¯®«îᮢ) ⮩ ç á⨠®á¨ ", ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥¯à¥à뢮¬ã ᯥªâàã. ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª à áᬮâà¥¨î ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬ë. ¨¦¥ ¯®¢áî¤ã ¬ë ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬ á¨á⥬ã, á®áâ®ïéãî ¨§ ä¥à¬¨®®¢. «ï á¨áâ¥¬ë ¡®§¥ { ç áâ¨æ
208
¬®¦® ¯à®¢¥á⨠«®£¨ç®¥ à áᬮâ२¥, ® ã á ¥â ¬¥áâ ¨ ¢à¥¬¥¨ ¤«ï ®¡á㦤¥¨ï ®á®¡¥®á⥩ ¡®§¥ { á¨á⥬ [2, 30]. «ï ç « à áᬮâਬ á«ãç © ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨®®¢ (ä¥à¬¨ { £ §). ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® í«¥¬¥â à묨 ¢®§¡ã¦¤¥¨ï¬¨ ¢ á¨á⥬¥ ä¥à¬¨®®¢ ïîâáï ¯®¯ ஠஦¤ î騥áï ç áâ¨æë ( ¤ ¯®¢¥àå®áâìî ¥à¬¨) ¨ ¤ëન (¯®¤ ¯®¢¥àå®áâìî ¥à¬¨). ©¤¥¬ äãªæ¨î ਠç áâ¨æë G0 ( ), â.¥. ¬¯«¨âã¤ã ¯¥à¥å®¤ ¨§ á®áâ®ï¨ï á ®¤®© ç áâ¨æ¥© ¢ á®áâ®ï¨¨ ¢ á®áâ®ï¨¥ á ç áâ¨æ¥© ¢ 0 ¢ á¨á⥬¥ ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨®®¢. ਠí⮬ 㦮 ãç¥áâì ¯à¨æ¨¯ 㫨 { ¤®«¦ë ¡ëâì ¨áª«îç¥ë ¯¥à¥å®¤ë ¢ § ïâë¥ á®áâ®ï¨ï. ®í⮬㠢 ®¯à¥¤¥«¥¨¥ äãªæ¨¨ ਠ㦮 ¢¢¥á⨠¤®¯®«¨â¥«ìë© ¬®¦¨â¥«ì (1 ; n ), £¤¥ " "F n = 10 ¯à¨ (11.15) ¯à¨ " > "F { ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ á®áâ®ï¨¨ (ä¥à¬¨¥¢áª ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¨ T = 0). ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬: e;i" ¯à¨ > 0 + G0 ( ) = (1 ; n)0 0 ¯à¨ < 0 (11.16) ©¤¥¬ ⥯¥àì «®£¨ç®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¤ëન. ª ª ª ç¨á«® ¤ëà®çëå \᢮¡®¤ëå" ¬¥áâ ã஢¥ ¯à®¯®à樮 «ì® n , ¯®«ãç ¥¬: i" G;0 ( ) = n 0 e0 ¯à¨¯à¨ < 0> 0 (11.17) £¤¥ ã竨, çâ® í¥à£¨ï ¤ëન, ®âáç¨â ï ®â ãà®¢ï ¥à¬¨, ¯à®â¨¢®¯®«®¦ ¯® § ªã í¥à£¨¨ ç áâ¨æë. ¤®¡® ¢¢¥á⨠äãªæ¨î ਠG ( ), ®¯à¥¤¥«¥ãî ª ª ¤«ï > 0, â ª ¨ ¤«ï < 0: G+( ) ¯à¨ > 0 ; G ( ) = ;G (11.18) (; ) ¯à¨ < 0
ãàì¥ { ®¡à § í⮩ äãªæ¨¨ «¥£ª® ¢ëç¨á«ï¥âáï:
Z1
d e;i" +i" + in
Z0
d ei" +i" = 0 ;1 1 ; n = " ; " + i + " ; "n; i (11.19) £¤¥ ! +0 㦮 ¢¢¥á⨠¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥¨ï á室¨¬®á⨠¨â¥£à «®¢. â® ¢ëà ¦¥¨¥ 㤮¡® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª: G(") = " ; " +1isign" = ( 1 " > "F = ";"1 +i ¯à¨ (11.20) ¯à¨ " < "F ";" ;i G (") = ;i(1 ; n )
£¤¥ ¢¢¥«¨ § ª®¢ãî äãªæ¨î sign(x) = 1 ¤«ï x > 0 ¨ sign(x) = ;1 ¯à¨ x < 0. ¡à ⨬ ¢¨¬ ¨¥, çâ® äãàì¥ { ®¡à § äãªæ¨¨ ਠ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨ " à ¢®© í¥à£¨¨ ç áâ¨æë (¤ëન).
209
¥à¥©¤¥¬ ª á¨á⥬¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨®®¢. ãªæ¨î ਠ®¤®© ç áâ¨æë ¢ á¨á⥬¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨®®¢ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢ëà ¦¥¨¥¬: G+ (rt; r0t0 )t>t0 =< 0j ^(rt) ^+ (r0 t0 )j0 > (11.21) £¤¥ j0 > { â®ç ï ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï (\¢ ªãã¬") á¨á⥬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï § ¯®«¥®© ä¥à¬¨ { áä¥à¥, ^(rt) { ä¥à¬¨¥¢áª¨© ®¯¥à â®à ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï ¢ £¥©§¥¡¥à£®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨: ^(rt) = eiHt ^(r)e;iHt (11.22) £¤¥ H { £ ¬¨«ì⮨ à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬ë, ¢ª«îç î騩 ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥. ¯¥à â®à ^(r) ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥ ç¥à¥§ ®¯¥à â®àë ã¨ç⮦¥¨ï a ç áâ¨æ ¢ á®áâ®ï¨ïå ( ^+ { ç¥à¥§ ®¯¥à â®àë ஦¤¥¨ï a+ ): ^(r) = X a '(r)
(11.23)
ëà ¦¥¨¥ (11.21), ®ç¥¢¨¤®, ¨¬¥¥â á¬ëá« ¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¥å®¤ ç áâ¨æë ¨§ â®çª¨ (r0t0 ) ¢ â®çªã (rt). «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¤«ï ¤ëન ¬®¦® ¯¨á âì: G; (rt; r0t0 )t>t0 =< 0j ^+ (r0 t0) ^(rt)j0 > (11.24) £¤¥ ãç⥮, çâ® ã¨ç⮦¥¨¥ ç áâ¨æë ¢ ¤ ®© â®çª¥ íª¢¨¢ «¥â® ஦¤¥¨î ¤ëન. ëà ¦¥¨ï (11.21) ¨ (11.24) ®¯à¥¤¥«¥ë ¤«ï t > t0 . å ¬®¦® ®¡ê¥¤¨¨âì ¢ ®¤ã äãªæ¨î ਠ, ®¯¨áë¢ îéãî ¯à¨ t > t0 ç áâ¨æã, ¯à¨ t < t0 ¤ëàªã ( «®£¨ç® (11.18)): G+ (rt; r0t0) ¯à¨ t > t0 0 0 G(rt; r t ) = ;G; (r0 t0; rt) ¯à¨ t < t0 (11.25) ç¥ íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª: G(x; x0) =< 0jT ^(x) ^+ (x0)j0 >
(11.26)
£¤¥ ®¡®§ 稫¨ x = (rt), ®¯¥à â®à T-㯮àï¤®ç¥¨ï ®§ ç ¥â, çâ® ¢¥«¨ç¨ë, áâ®ï騥 á¯à ¢ ®â T, à ᯮ« £ îâáï ¢ ¯®à浪¥ ã¡ë¢ ¨ï ¢à¥¬¥¨ ¢ à£ã¬¥â å, á ãç¥â®¬ á¬¥ë § ª ¯à¨ ¯¥à¥áâ ®¢ª¥ ä¥à¬¨¥¢áª¨å ®¯¥à â®à®¢. ®à¬ «ì®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¯¥à 樨 T-¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¢§ï⮥ ¨§ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: T fF1 (t1 )F2(t2 )g =
F (t )F (t ) ¯à¨ t > t 1 1 2 2 1 2
;F2(t2 )F1 (t1) ¯à¨ t1 < t2
(11.27)
B (t )B (t ) ¯à¨ t > t 1 1 2 2 1 2 T fB1 (t1 )B2 (t2 )g =
(11.28)
{ ¤«ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å ®¯¥à â®à®¢, ¨
B2 (t2 )B1 (t1 ) ¯à¨ t1 < t2
210
{ ¤«ï ¡®§¥¢áª¨å ®¯¥à â®à®¢. ãªæ¨ï ਠ, ®¯à¥¤¥«¥ ï ᮣ« á® (11.26) §ë¢ ¥âáï 䥩¬ ®¢áª®© ¨«¨ ¯à¨ç¨®© (T -㯮à冷祮©)3 . £à ¨ç¨¬áï á«ãç ¥¬ ¡¥áª®¥ç®© ®¤®à®¤®© (âà á«ï樮® ¨¢ ਠ⮩) á¨á⥬ë, ⮣¤ G(rt; r0t0 ) = G(r ; r0; t ; t0). ®®â¢¥âá⢥® 㤮¡® ¯¥à¥©â¨ ª äãàì¥ { ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î ¯® t ; t0 ¨ ¯® r ; r0:
Z
G(p ) = d3 rG(r )e;ipr
£¤¥
G(p ) =
(11.29)
< 0jape;iH a+ j0 > eiE0 > 0 p ; < 0ja+peiH apj0 > e;iE0 < 0
(11.30)
£¤¥ E0 { í¥à£¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï. ¢ §¨ç áâ¨æë ¢ á¨á⥬¥ ¬®¦® ¢¢¥áâ¨, ¥á«¨ à áᬠâਢ ¥¬ ï (®¤®ç áâ¨ç ï) äãªæ¨ï ਠ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ( > 0): G(p ) Ze;i"(p); (p) + ::: ¯à¨ç¥¬ (p) "(p)
(11.31)
â.¥. äãªæ¨ï ਠᮤ¥à¦¨â ¢ª« ¤, ¯®¬¨ î騩 ¯® áâàãªâãॠäãªæ¨î ਠ᢮¡®¤®£® ä¥à¬¨ { £ § , à áᬮâà¥ãî ¢ëè¥. ¥§ã«ìâ â (11.31) ®§ ç ¥â, çâ® ¢ á®áâ®ï¨¨ j0 > á ¬¯«¨â㤮© Z ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¯ ª¥â, ¨§®¡à ¦ î騩 ª¢ §¨ç áâ¨æã á í¥à£¨¥© "(p) ¨ § âãå ¨¥¬ (p), ¯à¨ç¥¬ âॡ®¢ ¨¥ (p) "(p) ®§ ç ¥â á« ¡®áâì § âãå ¨ï (¨«¨ å®à®èãî \®¯à¥¤¥«¥®áâì" ª¢ §¨ç áâ¨æë) 4. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ < 0 ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì äãªæ¨î ਠª¢ §¨¤ëન. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ á¨á⥬¥ á å®à®è® ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¬¨ äãàì¥ { ®¡à § äãªæ¨¨ ਠ(11.26) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥: 1;n n G(p") = Z " ; "(p) +pi (p) + " ; "(p)p; i (p) + Greg (p") = (11.32) = " ; "(p) + i (Zp)sign(p ; p ) + Greg (p") F
¨¤¨¬, çâ® ¯®«îá í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥â ᯥªâà ª¢ §¨ç áâ¨æ ¨ ¨å § âãå ¨¥. â® ¥áâì ®¡é¥¥ ¨ ¢ ¦¥©è¥¥ ᢮©á⢮ äãªæ¨© ਠ, ¯®§¢®«ïî饥 室¨âì á ¨å ¯®¬®éìî ᯥªâà í«¥¬¥â àëå ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¢ ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬¥. ¥«¨ç¨ Greg ¢ (11.32) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ª« ¤®¬ ¬®£®ç áâ¨çëå ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¨, ¢ ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢, ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ®á®¡®£® ¨â¥à¥á . ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¢ á¨á⥬ å á ᨫìë¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ (ª®à५ïæ¨ï¬¨) ¡ë¢ îâ á¨âã 樨, ª®£¤ ¢ äãªæ¨¨ ਠ¥«ì§ï ¢ë¤¥«¨âì ¯®«îáë© ¢ª« ¤, á¢ï§ ë© á ®¤®ç áâ¨ç묨 í«¥¬¥â à묨 ¢®§¡ã¦¤¥¨ï¬¨ (ª¢ §¨ç áâ¨æ ¬¨). ®£¤ ¢á¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¬¥® ¢ª« ¤®¬ Greg ¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ᢮©á⢠á¨á⥬ë áãé¥á⢥® ãá«®¦ï¥âáï. 3 ®¤ç¥àª¥¬, çâ® íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢®¢á¥ ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¤¢ãå¢à¥¬¥®© äãªæ¨¨ ਠ(10.22), ¢®§¨ª î饩 ¢ ⥮ਨ «¨¥©®£® ®âª«¨ª , ¤ ¦¥ ¥á«¨ ¢ ¯®á«¥¤¥© ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤¥«ã ã«¥¢®© ⥬¯¥à âãàë. २¬ãé¥á⢮ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï 䥩¬ ®¢áª¨å äãªæ¨© ਠá®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤«ï ¨å ¢ëç¨á«¥¨ï ¬®¦® ¯®áâநâì ¤¨ £à ¬¬ãî â¥å¨ªã, ⮣¤ ª ª ¤«ï äãªæ¨© ਠ⨯ (10.22) íâ® ¥¢®§¬®¦®. ãé¥áâ¢ã¥â àï¤ â®çëå á®®â®è¥¨© ¨ ¬¥â®¤®¢, ¯®§¢®«ïîé¨å ¢ëà §¨âì äãªæ¨¨ ਠ⥮ਨ «¨¥©®£® ®âª«¨ª ç¥à¥§ 䥩¬ ®¢áª¨¥ äãªæ¨¨ ਠ¯à¨ T = 0 ¨ ¨å ®¡®¡é¥¨¥ ¤«ï á«ãç ï ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà, ª®â®à®¥ ¡ã¤¥â à áᬮâ८ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ [2, 30] 4 â® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«¥® ¢ ⥮ਨ ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®á⨠¤ ã, £¤¥ ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥à¬¨ "(p) vF (jp ; pF j), (p) (jpj ; pF )2 .
211
祬 ¥é¥ ã¦ë äãªæ¨¨ ਠ? ª §ë¢ ¥âáï, çâ® á ¨å ¯®¬®éìî ¬®¦® ¢ëç¨á«ïâì á।¨¥ (¯® ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î) § 票ï à §«¨çëå 䨧¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¬®£®ç áâ¨çëå á¨á⥬. áᬮâਬ ¯à®áâë¥ ¯à¨¬¥àë. ¯®¬®éìî ¢¢¥¤¥®© ¢ëè¥ ®¤®ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ ਠ¬®¦® à ááç¨â âì á।¨¥ ¯® ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î ®â ®¯¥à â®à®¢ ¢¨¤ ®¤®ªà ⮩ áã¬¬ë ¯® ¢á¥¬ ç áâ¨æ ¬ (®¤®ç áâ¨çëå ®¯¥à â®à®¢) ¢¨¤ : X A^ = A^i (i ; pi) (11.33) i
£¤¥ i { ¯à¨¬¥à, ᮢ®ªã¯®áâì ¯à®áâà á⢥ëå ¨ ᯨ®¢ëå ¯¥à¥¬¥ëå, pi { ¨¬¯ã«ìáë ®â¤¥«ìëå ç áâ¨æ, á®áâ ¢«ïîé¨å á¨á⥬ã. ਬ¥àë: n(r) = { ¯«®â®áâì ç áâ¨æ ¢ â®çª¥ r,
j(r) = me
X i
X i
(r ; ri )
(11.34)
pi(r ; ri)
(11.35)
{ ¯«®â®áâì ⮪ ¢ â®çª¥ r ¨ â.¤. ¯¥à â®à A^ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤: A^ =
Z
d + ()A(; p) ()
(11.36)
áᬮâਬ äãªæ¨î ਠ(11.25), (11.26) ¯à¨ t = t0 ; 0: G(; 0; )j !;0 = ; < 0j + ( 0 ) ()j0 > (11.37) ®£¤ á।¥¥ § 票¥ ®¯¥à â®à A^ ¯® ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î ¡ã¤¥â à ¢®:
Z
< A >= dA(; p)G(; 0; = ;0)j=0 = ;SpAGj =;0
(11.38)
ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢¥«¨ç¨ Gj =;0 á â®ç®áâìî ¤® § ª ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¤®ç áâ¨ç®© ¬ âà¨æ¥© ¯«®â®á⨠(áà. (1.163)) ¯à¨ T = 0: ( 0 ; ) =< 0j + ( 0 ) ()j0 >= ;Gj =;0 «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï á।¨å ®â ¤¢ãåç áâ¨çëå ®¯¥à â®à®¢ ¢¨¤ : X B^ = Bik (i pi ; k pk ) ik
(11.39) (11.40)
㦮 ¢ëç¨á«ïâì ¤¢ãåç áâ¨çãî äãªæ¨î ਠ: G2 (1; 2; 3; 4) =< 0jT (1) (2) + (3) + (4)j0 > (11.41) ¨ â. ¤. § (11.37) áà §ã ¯®«ãç ¥¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ç áâ¨æ ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬ ¢ ¢¨¤¥: Z 1 d" n(p) = ;i G(p")e;i" j !;0 (11.42) ;1 2
212
¨á. 11-1 ®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë© ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï.
¥«ì§ï ¯à®áâ® ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤¥«ã = 0, â ª ª ª G 1" ¨ ¯à¨ " ! 1 ¨â¥£à « R¤¥áì d"G(p") à á室¨âáï. ਠª®¥ç®¬ ®âà¨æ ⥫쮬 ¬®¦® § ¬¥¨âì ¨â¥£à «
¯® ¢¥é¥á⢥®© ®á¨ " ¨â¥£à « ¯® § ¬ªã⮬㠪®âãàã C, ¯®ª § ®¬ã ¨á. 11-1. ®á«¥ í⮣® ¬®¦® ¯®«®¦¨âì = 0, â ª çâ®: Z d" n(p) = ;i 2 G(p") (11.43) C ãáâì äãªæ¨ï ਠ¨¬¥¥â ¢¨¤ ⨯ (11.32) (ª¢ §¨ç áâ¨æë!): G(p") = " ; "(p) + i (Zp)sign(p ; p ) + Greg (p") (11.44) F ¨¤¨¬, çâ® § âãå ¨¥ (¬¨¬®áâì ¢ § ¬¥ ⥫¥ ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£®) ¬¥ï¥â § ª ¯à¨ p = pF : ®® ¯®«®¦¨â¥«ì® ¯à¨ p > pF ¨ ®âà¨æ â¥«ì® ¯à¨ p < pF . ®í⮬㠯ਠp < pF ¢ãâਠª®âãà C ¨¬¥¥âáï ¯®«îá ¨ ¨â¥£à « à ¢¥ Z, ¯à¨ p > pF ¯®«îá ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¨¦îî ¯®«ã¯«®áª®áâì ¨ ¨â¥£à « ¯® C à ¢¥ ã«î. ®í⮬ã, ¯à¥¥¡à¥£ ï ॣã«ïàë¬ ¬®£®ç áâ¨çë¬ ¢ª« ¤®¬ Greg , ¨¬¥¥¬: n(pF ; 0) ; n(pF + 0) = Z
(11.45)
®áª®«ìªã 0 n(p) 1, ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® 0 < Z < 1. âáî¤ ¯®ïâ®, çâ® ª ç¥áâ¢¥ë© ¢¨¤ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å ª¢ §¨ç áâ¨æ ¯à¨ T = 0 (ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®áâì!) ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯à¥¤áâ ¢«¥ë© ¨á. 11-2. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á¬®âàï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨ (¥ ®¡ï§ â¥«ì® á« ¡®¥!), ª®â®à®¥ \à §¡à áë¢ ¥â" ç áâ¨æë ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬, ®â äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¥à¬¨ ᢮¡®¤ëå ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®á⨠®áâ ¥âáï \¢®á¯®¬¨ ¨¥" ¢ ¢¨¤¥ à §àë¢ (áª çª ) ¯à¨ p = pF . â® ã⢥ত¥¨¥ á®áâ ¢«ï¥â ᮤ¥à¦ ¨¥ â ª §ë¢ ¥¬®© â¥®à¥¬ë ¨£¤ « , ïî饩áï ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¬ ®¯à ¢¤ ¨¥¬ ®¤®£® ¨§ £« ¢ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥¨© 䥮¬¥®«®£¨ç¥áª®© ⥮ਨ ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®á⨠¤ ã. §ã¬¥¥âáï, ¯à®¢¥¤¥®¥ à áᬮâ२¥ ¨¬¥¥â á¬ë᫠⮫쪮 ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ p ¡«¨§ª¨å ª pF , £¤¥ ¯à¨¬¥¨¬® ¯®ï⨥ ª¢ §¨ç áâ¨æ: (p ; pF )2 .
213
¨á. 11-2 ç¥áâ¢¥ë© ¢¨¤ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ T = 0.
¨ £à ¬¬ë© ¬¥â®¤ ¢ ¯à®¡«¥¬¥ ¬®£¨å ⥫. ¥â®¤ ¤¨ £à ¬¬ ¥©¬ ¥áâì í«¥£ â ï ¨ ª®¬¯ ªâ ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ¯à ¢¨« ¢ëç¨á«¥¨ï äãªæ¨© ਠ¯® ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©. ᮦ «¥¨î, ¬ë «¨è¥ë ¢®§¬®¦®á⨠¤¥â «ì®£® ¢ë¢®¤ íâ¨å ¯à ¢¨« ¢ à ¬ª å ¤ ®£® ªãàá , ¤«ï í⮣® á«¥¤ã¥â ®¡à â¨âìáï ª ª¨£ ¬ [30, 3], £¤¥ ¤ ¥âáï ¤¥â «ì®¥ ¨§«®¦¥¨¥ ¬¥â®¤ äãªæ¨© ਠ. ®«¥¥ í«¥¬¥â ஥, ® ¢¥áì¬ ¯®¤à®¡®¥ à áᬮâ२¥ ¬®¦® ©â¨ ¢ ª¨£¥ [31]. ë ®£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ ¨ ä®à¬ã«¨à®¢ª®© í«¥¬¥â àëå ¯à ¢¨« ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨ (¡¥§ ¢ë¢®¤ ), ¤®áâ â®çëå ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯à¨®¡à¥á⨠¥ª®â®àë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ® ¬¥â®¤¥ ¨ \¥ ¯ã£ âìáï" á ¬®£® ¢¨¤ 䥩¬ ®¢áª¨å ¤¨ £à ¬¬, ª®â®àë¥ ®ç¥ì ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï ¢ ᮢ६¥®© «¨â¥à âãà¥. «ï ª®ªà¥â®á⨠à áᬮâਬ á¨á⥬㠢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨®®¢, £ ¬¨«ì⮨ ª®â®à®© ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤: X X + + H = "(p)a+p ap + 21 Vk ap+k aq;k aq ap (11.46) p
pqk
ਠ®¯à¥¤¥«¥¨¨ G(p ) ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ¤¢¨¦¥¨¥¬ ®¤®© ç áâ¨æë. ਠ®âáãâá⢨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (᢮¡®¤ ï äãªæ¨ï ਠ) ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¥¤áâ ¢¨âì â ª®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¯àאַ© «¨¨¥©, ¯à®¢¥¤¥®©, ¯à¨¬¥à, á¯à ¢ «¥¢®. ®áª®«ìªã ¥¢®§¬ã饮¥ ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© áä¥à㠥ନ, áãé¥áâ¢ã¥â â ª¦¥ ¨ ¢®§¬®¦®áâì ¤¢¨¦¥¨ï ¤ëન, ª®â®à®¥ ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«ïâì «¨¨¥©, ¯à®¢¥¤¥®© á«¥¢ ¯à ¢®. ª¨¬ ®¡à §®¬, «¨¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᢮¡®¤ãî äãªæ¨î ਠG(p ). § ¨¬®¤¥©á⢨¥ { íâ® à áá¥ï¨¥ ®¤®© ç áâ¨æë ¤à㣮©. ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ¯® Vk ¨¬¥¥âáï ¤¢ ¢¨¤ ¯à®æ¥áᮢ, ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ¤¨ £à ¬¬ ¬¨ ¥©¬ , ¯®ª § 묨 ¨á. 11-3. à®æ¥áá ( ) | ç áâ¨æ ¤¢¨¦¥âáï ª ª ᢮¡®¤ ï ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ® ¥ ¨á¯ëâë¢ ¥â ¯àאַ¥ à áá¥ï¨¥ ç áâ¨æ å, 室ïé¨åáï ¢ãâਠä¥à¬¨ { áä¥àë ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ 1 , § ⥬ ®
214
¨á. 11-3 ¨ £à ¬¬ë ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¤«ï äãªæ¨¨ ਠ.
¨á. 11-4 ¨ £à ¬¬ë ¢â®à®£® ¯®à浪 ¤«ï äãªæ¨¨ ਠ.
ᮢ ¤¢¨¦¥âáï ª ª ᢮¡®¤ ï ®â ¬®¬¥â 1 ¤® . ªâ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢®«¨á⮩ «¨¨¥©, ªà㣮¢ ï «¨¨ï ®¯¨áë¢ ¥â ¯à®æ¥áá, ¯à¨ ª®â®à®¬ ç áâ¨æ ¡ë« ¢ë¡¨â ¨§ á®áâ®ï¨ï á ¤ ë¬ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯®¤ ä¥à¬¨ { áä¥à®©, § ⥬ ¢®§¢à ⨫ áì ᮢ ¢ íâ® ¦¥ á®áâ®ï¨¥. à®æ¥áá (¡) | ®¡¬¥®¥ à áá¥ï¨¥ ç áâ¨æ å, 室ïé¨åáï ¯®¤ áä¥à®© ¥à¬¨. ® ¢â®à®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ç¨á«® ¢®§¬®¦ëå ¯à®æ¥áᮢ à áá¥ï¨ï ¢®§à áâ ¥â, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤¨ £à ¬¬ë ¥©¬ ¯®ª § ë ¨á. 11-4. ᥠ¤¨ £à ¬¬ë, ªà®¬¥ ¯®á«¥¤¥©, ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ à §«¨çë¥ ª®¬¡¨ 樨 㦥 à áᬮâà¥ëå ¯à®æ¥áᮢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ®á«¥¤ïï ¤¨ £à ¬¬ ®¯¨áë¢ ¥â ¥çâ® ®¢®¥ | ¢ ¬®¬¥â 1 ç áâ¨æ à áᥨ¢ ¥âáï, ஦¤ ï ¨§ ¯®¤ ä¥à¬¨ áä¥àë ¯ àã ç áâ¨æ { ¤ëઠ. ¬®¬¥â 2 ç áâ¨æ à áᥨ¢ ¥âáï ®¯ïâì ¨ ¯à¨ í⮬ ¯ à ¨£¨«¨àã¥â, ¢®§¢à é ïáì ¢ ¯¥à¢® ç «ì®¥ á®áâ®ï¨¥. ¨§¨ç¥áª¨ íâ®â ¯à®æ¥áá ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®«ïਧ 樨 ç áâ¨æ, 室ïé¨åáï ¯®¤ ¯®¢¥àå®áâìî ¥à¬¨. ¨¡®«¥¥ 㤮¡® ¯à ¢¨« ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨ ä®à¬ã«¨àãîâáï ¤«ï äãàì¥ { ®¡à § äãªæ¨¨ ਠG(p"). í⮬ á«ãç ¥ áâ५ª¨ «¨¨ïå ¡®«ìè¥ ¥ ®§ ç îâ ¯à ¢«¥¨¥ ¢à¥¬¥¨, ¯à®á⮠ᮮ⢥âá¢ãî⠢室ï騬 ¨ ¢ë室ï騬 \í¥à£¨¨ï¬" " ¨ ¨¬¯ã«ìá ¬ p, ª®â®àë¥ á®åà ïîâáï ¢ ª ¦¤®© ¢¥à訮© ç á⨠¤¨ £à ¬¬ë (â®çª¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï). ä®à¬ã«¨à㥬 ⥯¥àì ¯à ¢¨« , ¯® ª®â®àë¬ ª ¦¤®© 䥩¬ ®¢áª®© ¤¨ £à ¬¬¥ ᮯ®áâ ¢«ïîâáï «¨â¨ç¥áª¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï: 1. ¦¤®© ¯àאַ© ᯫ®è®© «¨¨¨ ¯à¨¯¨áë¢ ¥âáï § 票¥ ¨¬¯ã«ìá p ¨ \í¥à-
215
£¨¨" " ¨ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥:
iG0(p") = " ; "(p) +iisign"(p) :
(11.47)
2. ¦¤®¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î (¢®«¨á⮩ «¨¨¨) ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬®¦¨â¥«ì ;iVq (¥á«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬£®¢¥®¥) ¨«¨ ;iV (q!) ¤«ï § ¯ §¤ë¢ î饣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. 3. ª ¦¤®© ¢¥à訥 ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (â®çª¥ ¯à¨á®¥¤¨¥¨ï ¢®«¨á⮩ «¨¨¨) á®åà ï¥âáï í¥à£¨ï ¨ ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢¥«¨ç¨ë í¥à£¨¨ ¨ ¨¬¯ã«ìá , ¯à¨¯¨á ë¥ «¨¨ï¬, ¯à ¢«¥ë¬ ª ¢¥à訥 ¡¥àãâáï á® § ª®¬ ¯«îá, í¥à£¨¨ ¨ ¨¬¯ã«ìáë, ¢ë室ï騥 ¨§ ¢¥àè¨ë { á® § ª®¬ ¬¨ãá. 4. ® ª ¦¤®© ᢮¡®¤®© (â.¥. ¥ 䨪á¨à®¢ ®© § ª® ¬¨ á®åà ¥¨ï) ¯¥à¥¬¥®© p ¨ " ¢ ¤¨ £à ¬¬¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¨âì ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥: 1 Z d3p Z d"::: (11.48) (2)4 5. ¦¤®© § ¬ªã⮩ ä¥à¬¨®®© ¯¥â«¥ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬®¦¨â¥«ì (;1). 6. ਠá㬬¨à®¢ ¨¨ ¯® ᯨ ¬ ( ¯à¨¬¥à ¢ ¯¥â«¥) ¢¢®¤¨âáï ¬®¦¨â¥«ì 2. áᬮâਬ ¯à®á⥩訥 ¯à¨¬¥àë ¢ëà ¦¥¨©, ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ëå ª®ªà¥âë¬ ¤¨ £à ¬¬ ¬. ¯à¨¬¥à, £à 䨪㠨á. 11-3 ( ) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢¨¤ : 2 Z 3 p0(;n(p0 )) iG (p") = G (p")(;iV )NG (p") (11.49) i2 G0(p")(;iV0 ) (2) d 0 0 0 0 3 £¤¥ ¢ ¯¥à¢®¬ ¢ëà ¦¥¨¨ 㦥 ã竨 (11.43), N { ¯®«®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥âáï ¯®¯à ¢ª àâà¨. à 䨪 ¨á. 11-3 (¡) «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¤ ¥â: Z 1 2 (11.50) i G0 (p") (2)3 d3q(;iVq )(;n(p + q))G0 (p") { ¯®¯à ¢ªã ®ª . ®á«¥¤¥© ¤¨ £à ¬¬¥ ¨á. 11-4 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â: 1 Z d3q Z d!iG (p ; q" ; !)(;iV )2 [;i (q!)]G (p") G0(p") (2) (11.51) 0 q 0 0 4 £¤¥ ¢¢¥«¨ â ª §ë¢ ¥¬ë© ¯®«ïਧ æ¨®ë© ®¯¥à â®à, ®¯¨áë¢ ¥¬ë© ¯à®á⮩ ¯¥â«¥© à áᬠâਢ ¥¬®¬ £à 䨪¥: Z d3p0 Z d"0 ;i0 (q!) = 2(;i)(;1) (2)3 2 (i)2 G0(p0 + q" + !)G0(p0 "0 ) = Z d3p p) ; n(p ; q) = i (2)3 "(p ; qn( ) ; "(p) + ! + isign! (11.52) ¬¥â¨¬, çâ® íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤ ¥â ¯à®á⥩訩 ¢ª« ¤ ¢ ¯®«ïਧ æ¨®ë© ®¯¥à â®à, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ª ¥¬ã ¤®¡ ¢«ïîâáï ¯®¯à ¢ª¨ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ⨯ ¯®ª § ëå ¨á. 11-5.
216
¨á. 11-5 ®¯à ¢ª¨ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ¤«ï ¯®«ïਧ 樮®£® ®¯¥à â®à .
¨á. 11-6 ¨ £à ¬¬ë© àï¤ ¤«ï ¯®«®© (â®ç®©) äãªæ¨¨ ਠ.
à ¢¥¨¥ ©á® . ¬¥ç ⥫쮩 ®á®¡¥®áâìî 䥩¬ ®¢áª®© ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨ ï¥âáï ¢®§¬®¦®áâì ¯à®¢¥¤¥¨ï £«ï¤®£® £à ä¨ç¥áª®£® á㬬¨à®¢ ¨ï ¡¥áª®¥çëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ¤¨ £à ¬¬. 㤥¬ ®¡®§ ç âì â®çãî äãªæ¨î ਠ¦¨à®© «¨¨¥©, äãªæ¨î ਠ᢮¡®¤®© ç áâ¨æë { ⮪®©, ª ª ¨ ¢ëè¥. ®« ï ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ ¨§ â®çª¨ 2 ¢ â®çªã 1 à ¢ , ®ç¥¢¨¤®, á㬬¥ ¢á¥å ¢®§¬®¦ëå ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ , ¢®§¨ª îé¨å ¢® ¢á¥å ¯®à浪 å ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©, â.¥. á㬬¥ ¢á¥å ¤¨ £à ¬¬, ⨯ ¯®ª § ëå ¨á. 11-6. ப« áá¨ä¨æ¨à㥬 í⨠£à 䨪¨ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ०¤¥ ¢á¥£® ®â¤¥«¨¬ ¥¤¨áâ¢¥ë© £à 䨪, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ᢮¡®¤®¬ã ¤¢¨¦¥¨î. ᥠ®áâ «ìë¥ £à 䨪¨ ¨¬¥îâ â ª®© ¢¨¤: ¤® ¥ª®â®à®© â®çª¨ ç áâ¨æ ¤¢¨¦¥âáï ᢮¡®¤®, § ⥬ ¯à®¨á室¨â á⮫ª®¢¥¨¥, ¢ १ã«ìâ ⥠ª®â®à®£® ®¡à §ã¥âáï ¨ ã¨ç⮦ ¥âáï ¥áª®«ìª® ç áâ¨æ ¨ ¤ëப (¨«¨ ¯à®¨á室¨â à áá¥ï¨¥ ç áâ¨æ å, 室ïé¨åáï ¯®¤ ä¥à¬¨ { áä¥à®©), § ⥬ ®¯ïâì ®¯ïâì ᢮¡®¤®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¨ ªâë à áá¥ï¨ï ¯®¢â®àïîâáï. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ á㬬㠣à 䨪®¢ ¥à §à¥§ ¥¬ëå ¯® ®¤®© «¨¨¨ ç áâ¨æë. ਬ¥àë â ª¨å £à 䨪®¢ ¯à¨¢¥¤¥ë ¨á.
217
¨á. 11-7 à®á⥩訥 £à 䨪¨ ¤«ï ¥¯à¨¢®¤¨¬®© ᮡá⢥® { í¥à£¥â¨ç¥áª®© ç áâ¨.
¨á. 11-8 ¨ £à ¬¬ë© ¢ë¢®¤ ãà ¢¥¨ï ©á® .
11-7. ¥«¨ç¨ §ë¢ ¥âáï ¥¯à¨¢®¤¨¬®© ᮡá⢥® { í¥à£¥â¨ç¥áª®© ç áâìî. ¥âà㤮 á®®¡à §¨âì, çâ® ¯®« ï äãªæ¨ï ਠ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª §ë¢ ¥¬ë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ©á® , £à ä¨ç¥áª¨© ¢ë¢®¤ ª®â®à®£® ¤ ¨á. 11-8. «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ íâ® ¥áâì á«¥¤ãî饥 ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥:
Z
G(1; 2) = G0(1; 2) + d 3d 4G0 (1; 3)(3; 4)G(4; 2)
(11.53)
£® ¨â¥à 樨 ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ¢®á¯à®¨§¢®¤ïâ ¢¥áì àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饨© ¤«ï äãªæ¨¨ ਠ. ®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª äãàì¥ { ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î ãà ¢¥¨¥ ©á® ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®¥: G(p") = G0 (p") + G0 (p")(p")G(p"); (11.54) ª®â®à®¥ «¥£ª® à¥è ¥âáï: (11.55) G(p") = " ; "(p)1; (p") £¤¥ ã竨 ï¢ë© ¢¨¤ G0(p"). âáî¤ ïá®, ç⮠ᮡá⢥® { í¥à£¥â¨ç¥áª ï ç áâì (p") ®¯¨áë¢ ¥â ¢ ª®¬¯ ªâ®¬ ¢¨¤¥ ¨§¬¥¥¨ï, ¯à®¨á室ï騥 ¢ ¤¢¨¦¥¨¨ ç áâ¨æë
218
¢ १ã«ìâ ⥠¥¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á ¤à㣨¬¨ ç áâ¨æ ¬¨. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ íâ ¢¥«¨ç¨ á®á⮨⠨§ ¤¥©á⢨⥫쮩 ¨ ¬¨¬®© ç á⥩ (¨¬¥® ¯®í⮬㠢 (11.55) ®¯ãé¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¬¨¬®áâì ®â ᢮¡®¤®© äãªæ¨¨ ਠisign(" ; "F )). ¥à£¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æë ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ⥯¥àì ª ª à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï, ®¯à¥¤¥«ïî饣® ¯®«îá äãªæ¨¨ ਠ: " = "(p) + (p") (11.56) â® ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® " ¬®¦¥â ®ª § âìáï ®ç¥ì á«®¦ë¬! áᬮâà¥ë¬ ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à ¬ (11.49), (11.50) ¨ (11.51) ᮮ⢥âáâ¢ãîâ á«¥¤ãî騥 ¢ª« ¤ë ¢ ᮡá⢥® { í¥à£¥â¨ç¥áªãî ç áâì: = NV (11.57) Z H d3 q 0 F = ; (2)3 Vq n(p + q) (11.58) Z d3q Z d! 2 pol = (2) (11.59) 3 2 Vq 0 (q!)G0 (p ; q" ; !) ¥à¥¬áï ¥é¥ à § ª ¢®¯à®áã ® ⮬, ª®£¤ ¢ á¨á⥬¥ ¬®¦® ¢¢¥á⨠å®à®è® ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ª¢ §¨ç áâ¨æë, â.¥. ᢥá⨠â®çãî äãªæ¨î ਠª ¢¨¤ã (11.32). ä¥à¬¨ { á¨á⥬¥ 㤮¡® ¢á¥ í¥à£¨¨2 ®âáç¨âë¢ âì ®â 娬¯®â¥æ¨ « . «ï ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ ⮣¤ ¨¬¥¥¬ "(p) = 2pm ; . ¨§®âய®© á¨á⥬¥ (p") § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¬®¤ã«ï p. ¢¥¤¥¬ ¢¥«¨ç¨ã ¨¬¯ã«ìá ¥à¬¨ pF ¢ á¨á⥬¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨®®¢ ¯® ä®à¬ã«¥: p2F + (p ; 0) = (11.60) F 2m â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥â Im(p; 0) ! 0 ¯à¨ p ! pF ; " ! 0 (ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®áâì!). ¥©á⢨⥫ì®, ¢ á¨á⥬¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨®®¢ ¬®¦® ¢ ¤®áâ â®ç® ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¤®ª § âì, çâ® Im(p") Maxf"2; (p ; pF )2 gsign". ®£¤ , à §« £ ï (p") ¢ àï¤ ¯® p ; pF ¨ ", ¯®«ã稬 á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï G(p") ¢¡«¨§¨ £à ¨æë ¥à¬¨: p2 + ; (p") G;1 = " ; 2m @ @ 2 p " ; 2m + ; (pF ; 0) ; @p (p ; pF ) ; @" " + i j"j" = @ Fp @ F " ; mF + @p (p ; pF ) + i 0j"j" (11.61) = 1 ; @" F F £¤¥ 0 = const. § (11.61) ¢¨¤®, çâ® äãªæ¨ï ਠ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¦¥« ¥¬®¬ ¢¨¤¥: G(p") = " ; v (p ;Zp ) + i j"j" + Greg (11.62) F F £¤¥ ¢ Greg ¢å®¤¨â ¢á¥ ®¯ã饮¥ ¢ (11.61) ¨ ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨: @ @G;1 ; 1 Z = 1 ; @" = @" (11.63) F F @G;1 pF + @ m @p @p p vF = mF? = @G;1 F = ; @G;1 F (11.64) @" @" F
F
(11.65)
219
¯à¨ç¥¬ = Z 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ äãªæ¨î ਠä¥à¬¨¥¢áª¨å ª¢ §¨ç áâ¨æ á íä䥪⨢®© ¬ áᮩ m? , ª®â®à ï, ª ª ¨ ¢á¥ ®á⠫쮥, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®¢¥¤¥¨¥¬ (p") ¢¡«¨§¨ ã஢ï @¥à¬¨. ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ã¯à®é¥®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ (p") ¥ § ¢¨á¨â ®â p, â ª çâ® @p F = 0, ¨¬¥¥¬:
pF = pF Z â.¥. m? = Z ;1 (11.66) m? m m çâ® ¯à¨¤ ¥â ¢¥«¨ç¨¥ Z á¬ëá« ä ªâ®à ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨ ¬ ááë. ᨫ㠮⬥祮£® ¢ëè¥ ®¡é¥£® ᢮©á⢠Z < 1, íä䥪⨢ ï ¬ áá ¢ ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®á⨠¢á¥£¤ ¢®§à á⠥⠯® áà ¢¥¨î á® á«ãç ¥¬ ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ. ¥ª« à¨à®¢ ë¥ ¢ëè¥ á¢®©á⢠(p") ¤®áâ â®ç® «¥£ª® ¯à®¢¥àïîâáï ¯à¨ «¨§¥ ¯à®á⥩è¨å ¤¨ £à ¬¬ ¥©¬ ¢ ¯à®áâëå ¬®¤¥«ïå â®ç¥ç®£® ¨«¨ ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ®á«¥¤®¢ ⥫ìë© ®â¡®à ¨ á㬬¨à®¢ ¨¥ ¤®¬¨¨àãîé¨å ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ £à 䨪®© 㤠¥âáï ¯à®¢¥á⨠¢ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¢ë᮪®© ¨«¨ ®¡®à®â ¬ «®© ¯«®â®á⨠ä¥à¬¨®®¢, ª®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯ à ¬¥âàë ¬ «®á⨠[30, 2, 31]. ਠí⮬ ®á®¢ë¥ ¯®«®¦¥¨ï ⥮ਨ ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®á⨠¯®«ãç îâ ¯®«®¥ ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ ¯®¤â¢¥à¦¤¥¨¥. ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ®â¡®à ª ª®© { «¨¡® ¤®¬¨¨àãî饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠£à 䨪®¢ ®ª §ë¢ ¥âáï ¥¢®§¬®¦ë¬ (⨯¨çë© ¯à¨¬¥à { í«¥ªâà®ë ¢ ¬¥â ««¥!) ¨ ¯à¨å®¤¨âáï ¤®¢®«ìá⢮¢ âìáï à áᬮâ२¥¬ ®¡é¥£® å à ªâ¥à , ⨯ ¯à®¢¥¤¥®£® ¢ëè¥, çâ® á®áâ ¢«ï¥â ®á®¢ã ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ ¢ ⥮ਨ ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®á⨠¤ ã. ¯®á«¥¤¨¥ £®¤ë ¡ë« ¯à¥¤«®¦¥ àï¤ ¬®¤¥«¥© â ª §ë¢ ¥¬ëå á¨«ì® ª®à५¨à®¢ ëå á¨á⥬, ¢ ª®â®àëå ®á®¢ë¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï ⥮ਨ ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®á⨠¤ ã, â ª¨¥ ¯à¨¬¥à, ª ª ¢®§¬®¦®áâì ¢¢¥¤¥¨ï å®à®è® ®¯à¥¤¥«¥ëå ª¢ §¨ç áâ¨æ, ¬®£ãâ àãè âìáï. â® ¤®¢®«ì® ⨯¨ç® ¤«ï á¨á⥬ ¯®¨¦¥®© à §¬¥à®áâ¨, ¢ ç áâ®á⨠¤«ï ®¤®¬¥àëå á¨á⥬. «ï ¤¢ã¬¥àëå á¨á⥬ ¢®¯à®á ¥é¥ ¥ à¥è¥ ®ª®ç ⥫ì®, ®¨ ïîâáï, ¢ í⮬ á¬ëá«¥, ¯®£à ¨ç묨. ¤ ª® ¢ ¡®«ìè¨á⢥ ॠ«ìëå á¨á⥬ ¨ ¬®¤¥«¥© ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®á⮩ ¯®¤å®¤ ®ª §ë¢ ¥âáï ç१¢ëç ©® ãᯥèë¬. §ã¬¥¥âáï, ¢¥áì¬ ¡«¨§ª ï ¯® ¢¨¤ã ¤¨ £à ¬¬ ï â¥å¨ª ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®áâ஥ ¨ ¤«ï ¤àã£¨å ®á®¢ëå ⨯®¢ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ¬®£®ç áâ¨çëå á¨á⥬ å, â ª¨å ª ª í«¥ªâà® { ä®®®¥ ¨«¨ í«¥ªâà® { ¯à¨¬¥á®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥. ਠí⮬, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢¨¤ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬®¦¥â ¥áª®«ìª® ¬¥ïâìáï ⮯®«®£¨ï ¤¨ £à ¬¬, â ª¦¥ ª ª ¨ á¬ëá« ¢¥«¨ç¨, ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ëå ®â¤¥«ìë¬ ¨å í«¥¬¥â ¬. ¯à¨¬¥à, ¢ á«ãç ¥ í«¥ªâà® { ä®®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢®«¨áâë¥ «¨¨¨ ®¡ëç® ®¡®§ ç îâ ä®®ë¥ äãªæ¨¨ ਠ, ¢ § ¤ ç¥ à áá¥ï¨ï í«¥ªâà®®¢ á«ãç ©® à ᯮ«®¦¥ëå ¯à¨¬¥áïå ¢ £à 䨪 å ®âáãâáâ¢ãîâ § ¬ªãâë¥ ¯¥â«¨.
ä䥪⨢®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¨ ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª ï ¯à®¨æ ¥¬®áâì. ª ç¥á⢥ ¥é¥ ®¤®£® ¯à¨¬¥à ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¤¨ £à ¬¬®£® ¬¥â®¤ à áᬮâਬ £à ä¨ç¥áª®¥ á㬬¨à®¢ ¨¥, ¯à¨¢®¤ï饥 ª ª à⨥ íä䥪⨢®£® (íªà ¨à®¢ -
220
¨á. 11-9 ¨ £à ¬¬ë ¥©¬ ¤«ï íä䥪⨢®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨.
®£®) ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ á¨á⥬¥ ä¥à¬¨®®¢. ä䥪⨢®¥ (¯®«®¥) ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì £à 䨪 ¬¨, ¯®ª § 묨 ¨á. 11-9. ¨á. 11-10 ¯®ª § ë £à 䨪¨ ¤«ï ¯®«®£® ¯®«ïਧ 樮®£® ®¯¥à â®à ¨ ¤«ï â ª §ë¢ ¥¬ëå ¢¥àè¨ëå ç á⥩, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ᮡ®© á«®¦ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë¥ ¡«®ª¨, ®¯¨áë¢ î騥 ¯à®æ¥ááë ¬®£®ªà ⮣® à áá¥ï¨ï ä¥à¬¨®®¢ ¤à㣠¤à㣥. ᮦ «¥¨î ¤«ï íâ¨å ¢¥«¨ç¨ ¥¢®§¬®¦® áä®à¬ã«¨à®¢ âì § ¬ªãâë¥ ãà ¢¥¨ï ®¡é¥£® ¢¨¤ , ⨯ à áᬮâ८£® ¢ëè¥ ãà ¢¥¨ï ©á® . ª®ªà¥âëå ¯à¨¡«¨¦¥¨ïå ¨ ¬®¤¥«ïå íâ® ¨®£¤ , ⥬ ¥ ¬¥¥¥, 㤠¥âáï ᤥ« âì. ªà ¨à®¢ ®¥ íä䥪⨢®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ (\¦¨à ï" ¢®«¨áâ ï «¨¨ï ¨á. 11-9) ¬®¦® á¢ï§ âì á § ¢¨áï饩 ®â ç áâ®âë ¨ ¢®«®¢®£® ¢¥ªâ®à ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¯à®¨æ ¥¬®áâìî á¨á⥬ë (q!). ®£¤ ¨§ £à 䨪®¢, ¯®ª § ëå ¨á. 11-9, ¯®«ãç ¥¬ íªà ¨à®¢ ®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¢ ¢¨¤¥:
;iV (q!) ; (iVqq!) = = ;iVq + (;iVq )[;i(q!)](;iVq ) + (;iVq )[;i(q!)](;iVq )[;i(q!)](;iVq ) + ::: = ;iVq + (;iVq )[;i(q!)](;iV (q!)) = = ;iVq + (;iVq )[;i(q!)](;iVq ) (q1!) =
= ;iVq 1 ; Vq (q!) (q1!)
â ª çâ® ¨¬¥¥¬:
1 1 (q!) = 1 ; Vq (q!) (q!)
(11.67)
âáî¤ á«¥¤ã¥â ®¡é¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¯à®¨æ ¥¬®á⨠¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬ë ç¥à¥§ ¯®«ïਧ æ¨®ë© ®¯¥à â®à: (q!) = 1 + Vq (q!)
(11.68)
221
¨á. 11-10 ®«ë© ¯®«ïਧ æ¨®ë© ®¯¥à â®à ¨ ¢¥àè¨ë¥ ç áâ¨.
2 á«ãç ¥ ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ á¨á⥬¥ í«¥ªâà®®¢ ¨¬¥¥¬ Vq = 4e q2 , â ª çâ®: 2 (q!) = 1 + 4e (11.69) q2 (q!)
áᬮâਬ ¯à®á⥩襥 ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤«ï ¯®«ïਧ 樮®£® ®¯¥à â®à (11.52)5. ®á«¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨â¥£à «®¢ ¯®«ïਧ æ¨®ë© ®¯¥à â®à § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥ [30, 31]: 0(q!) = F (q!) (11.70) £¤¥ F { í«¥ªâà® ï ¯«®â®áâì á®áâ®ï¨© ã஢¥ ¥à¬¨, Z 1 vF qx (q!) = 21 dx ! ; vF qx = ;1 vF q + i ! (v q ; !): = 1 ; 2v! q ln !! + (11.71) ; v q 2v q F F
ç áâ®á⨠(q0) = 1, çâ® ¤ ¥â: ®£¤ ¯®«ãç ¥¬:
F
F
(q0) = F
(11.72)
2 2 (q0) = 1 + 4e = 1 + F q2 q2
(11.73)
5 ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ®¯à ¢¤ ® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¤®áâ â®ç® ¢ë᮪®© ¯«®â®áâ¨, ª®£¤ ªã«®®¢áª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬®¦® áç¨â âì á« ¡ë¬. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ®æ¥ª¨ ¡ë«¨ ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ëè¥ ¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ ®á®¢ëå ᢮©á⢠ä¥à¬¨ { £ § .
222
£¤¥ ®®â¢¥âá⢥®:
2 = 4e2 F
(11.74)
4e V (q0) = q24e (q0) = q2 + 2 2
2
(11.75) çâ® ®¯¨áë¢ ¥â ¤¥¡ ¥¢áªãî íªà ¨à®¢ªã ªã«®®¢áª®£® ¯®â¥æ¨ « ¢ ª¢ ⮢®© ¯« §¬¥ í«¥ªâà®®¢2 ¯à¨ ⥬¯¥à âãॠT = 0. 祢¨¤®, çâ® ¢ ª®®à¤¨ ⮬ ¯à®áâà á⢥ V (r) = er e;r , â ª çâ® ¢¥«¨ç¨ (11.74), ä ªâ¨ç¥áª¨, ®¯à¥¤¥«ï¥â à ¤¨ãá íªà ¨à®¢ ¨ï ;1. ®¡à ⮬ ¯à¥¤¥«¥ ¢ë᮪¨å ç áâ®â ! vF q ¬®¦® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® (q!) = ; v3F2!q22 , â ª çâ® ¨¬¥¥¬: 2 2 v2 2 F F = 1 ; 4ne = 1 ; !p (!) = 1 ; 4e (11.76) 3!2 m!2 !2 £¤¥ ã竨, çâ® F = 23 "nF , £¤¥ n { ª®æ¥âà æ¨ï í«¥ªâà®®¢. ¤¥áì â ª¦¥ ¢¢¥¤¥ ª¢ ¤à â ç áâ®âë ¯« §¬¥ëå ª®«¥¡ ¨©: 2 !p2 = 4ne (11.77) m à ¢¥¨¥ (q!) = 0 ®¯à¥¤¥«ï¥â ç áâ®âã ¯« §¬¥ëå ª®«¥¡ ¨© (¯« §¬®®¢) ¤«ï ¢á¥© ®¡« á⨠q. ç áâ®áâ¨, ¯à¨ ¬ «ëå § 票ïå q, ª®£¤ § âãå ¨¥ ¯« §¬®®¢ ®âáãâáâ¢ã¥â, ¬®¦® ©â¨ ¨å ᯥªâà ¢ ¢¨¤¥: !2 = !p2 + 35 vF q2 (11.78) ªâ¨ç¥áª¨, ç áâ®â ¯« §¬®®¢ ®ç¥ì á« ¡® § ¢¨á¨â ®â ¤«¨ë ¢®«ë, ¤¨á¯¥àá¨ï ï¥âáï ¬ «®© ¤®¡ ¢ª®©.
ãªæ¨¨ ਠ¯à¨ ª®¥ç®© ⥬¯¥à âãà¥. ¡á㦤 ¢è ïáï ¢ëè¥ ¤¨ £à ¬¬ ï â¥å¨ª ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®ç⨠¥¯®á।á⢥® ®¡®¡é¥ á«ãç © ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà [30]. ¨¦¥ ¬ë ªà ⪮ à áᬮâਬ íâ® ®¡®¡é¥¨¥, ®£à ¨ç¨¢ ïáì ᮢ ⮫쪮 á«ãç ¥¬ ä¥à¬¨ { á¨á⥬. ¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ਠä¥à¬¨¥¢áª®© ç áâ¨æë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮣ« á® æ㡠ॠª ª: G (p; 2 ; 1 ) = ;i < Tap ( 2 )a+p ( 1 ) > (11.79) £¤¥ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î: ap ( ) = e(H ;N ) ap e;(H ;N ) (11.80) 1 ¯à¨ç¥¬ 0 < 1 ; 2 < = T { ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ¢¥«¨ç¨ë, 㣫®¢ë¥ ᪮¡ª¨ ®¡®§ ç îâ ãá।¥¨¥ ¯® ¡®«ì讬㠪 ®¨ç¥áª®¬ã à á¯à¥¤¥«¥¨î ¨¡¡á , ª®â®à®¥ ᥩç á 㤮¡® § ¯¨á âì ª ª: ; (H ;N ) < A >= SpA (11.81) Sp £¤¥ = e
223
ãç¥â®¬ Z = Sp íâ® íª¢¨¢ «¥â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥, ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¥¬ãáï ¢ëè¥. à¨ç¨ , ¯® ª®â®à®© äãªæ¨î ਠG ¬®¦® à §«®¦¨âì ¢ â®â ¦¥ ¤¨ £à ¬¬ë© àï¤, çâ® ¨ à áᬮâà¥ãî ¢ëè¥ ¤«ï á«ãç ï T = 0 äãªæ¨î G, á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¤¨ £à ¬¬®¥ à §«®¦¥¨¥ ¤«ï G ï¥âáï, ä ªâ¨ç¥áª¨, ä㤠¬¥â «ìë¬ á«¥¤á⢨¥¬ § ¢¨áï饣® ®â ¢à¥¬¥¨ ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à (11.1). â ⮯¥à â®à , § ¯¨á ë© ¢ ¢¨¤¥ (11.81) 㤮¢«¥â¢®àï¥â â ª §ë¢ ¥¬®¬ã ãà ¢¥¨î «®å : @ = ;(H ; N) (11.82) @ ¢ 祬 «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï ¯àï¬ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬. ¥¦¤ã í⨬ ãà ¢¥¨¥¬ ¨ ¥áâ 樮 àë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ।¨£¥à (11.1) ¨¬¥¥âáï ®ç¥¢¨¤®¥ ᮮ⢥âá⢨¥:
$ H $ H ; N it $
(11.83)
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®¨§¢®¤ï ¢ ä®à¬ã« å ¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥«®¢ § ¬¥ã: H ! H ; N it !
(11.84)
¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¤¨ £à ¬¬ãî â¥å¨ªã ¤«ï G , ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ⮣® ¦¥ ¢¨¤ , çâ® ¨ ¤«ï á«ãç ï T = 0. ¬¥ H ! H ; N ¯à¨¢®¤¨â «¨èì ª ᤢ¨£ã ®¤®ç áâ¨ç®© í¥à£¨¨ ¢¥«¨ç¨ã : X H0 ; N = ("(p) ; )a+p ap (11.85)
p
®âï ¬ æ㡠஢᪨¥ äãªæ¨¨ ਠG § ¢¨áïâ ®â \¬¨¬®£® ¢à¥¬¥¨" 6 , ¢á¥£¤ ¬®¦® ¯¥à¥©â¨ ¨ ª ॠ«ì®¬ã ¢à¥¬¥¨ ¯ã⥬ § ¬¥ë (¢ ª®¥çëå ¢ëà ¦¥¨ïå) ! it, ¨«¨, â®ç¥¥, ¯ã⥬ «¨â¨ç¥áª®£® ¯à®¤®«¦¥¨ï ¤¥©á⢨⥫ìãî ®áì ¢à¥¬¥¨. ëè¥ ®â¬¥ç¥®, çâ® § 票ï 1 ¨ 2 ¢ (11.79) ®£à ¨ç¥ë ¨â¥à¢ «®¬ ®â 0 ¤® . ®í⮬ã, ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª (p; !) { ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î á«¥¤ã¥â ¢¢¥á⨠¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¦¥ãî äãªæ¨î G , ¯®«ãç ¥¬ãî ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬ ¯®¢â®à¥¨¥¬ G ¨â¥à¢ «¥ ®â ;1 ¤® 1. ®£¤ ¤«ï ¥¥ ¬®¦® ¯¨á âì à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ ãàì¥: 1 X 1 G (p ) = e;i!n G (p!n ) n=;1
(11.86)
£¤¥ á㬬¨à®¢ ¨¥ ¨¤¥â ¯® ¤¨áªà¥âë¬ (¬ æ㡠஢᪨¬) ç áâ®â ¬ !n = nT. ®®â¢¥âá⢥® Z 1 (11.87) G (p!n) = 2 d ei!n G (p ) ;
§®áâì \¢à¥¬¥" = 2 ; 1 § ª«îç¥ ¢ ¨â¥à¢ «¥ (; ; ), ¯®áª®«ìªã ¢¥«¨ç¨ë 1 ¨ 2 ¯à®¡¥£ îâ ¨â¥à¢ « (0; ). ¬ äãªæ¨ï G (p ) ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ ¯®¢â®àï¥âáï ¨â¥à¢ « å (; ; ); ( ; 3 ); (3 ; 5 ); :::; (;3 ; ; ); :::. «ï á¨á⥬ë, á®áâ®ï饩 ¨§ ä¥à¬¨®®¢, ç¥âë¥ § 票ï n ¢ë¯ ¤ îâ ¨§ àï¤ ¤«ï G (p ) ¡« £®¤ àï \ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¬ã" £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î ¢¨¤ :
G (p; ) = ;G (p; + ) ¤«ï < 0
(11.88)
6 ¥«¨ç¨ ¤¥©á⢨⥫ì , ® äãªæ¨ï ਠG ¯®«ãç ¥âáï ¨§ G § ¬¥®© it ! , â ª çâ® ä ªâ¨ç¥áª¨ à¥çì ¨¤¥â ® ¯¥à¥å®¤¥ ª t = ;i { \¬¨¬®¬ã ¢à¥¬¥¨".
224
á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠í⮣® á®®â®è¥¨ï ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ᢮©á⢮¬ SpAB = SpBA. ®« £ ï 0 ; > 0 ¨¬¥¥¬: G (p; ; 0 ) = Zi Spe; (H ;N ) a+p( 0 )ap ( ) = Zi Spap ( )e; (H ;N ) a+p ( 0 )e = = Zi Spe; (H ;N ) e (H ;N ) ap ( )e; (H ;N ) a+p( 0 ) = Zi Spe; (H ;N ) ap( + )a+p ( 0) (11.89) ¨«¨ G (p; ; 0 ) = ;G (p; ; 0 + ) (11.90) 0 çâ® ¯à¨ = 0 ᮢ¯ ¤ ¥â á (11.88), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ª ¬¨ãá ¢®§¨ª §¤¥áì ¢ á¢ï§¨ á ⨪®¬¬ãâ 樥© ä¥à¬¨¥¢áª¨å ®¯¥à â®à®¢. ®¤áâ ¢«ïï (11.88) ¢ (11.86) ¢¨¤¨¬, çâ® ¢á¥ á« £ ¥¬ë¥ á ç¥â묨 n ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®¡à é îâáï ¢ ã«ì. ª¨¬ ®¡à §®¬, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¤«ï ä¥à¬¨®®¢ ¢á¥£¤ ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ¥ç¥â묨 ¬ æ㡠஢᪨¬¨ ç áâ®â ¬¨: !n = (2n + 1) = (2n + 1)T (11.91) «ï ¡®§®®¢, «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ®áâ îâáï «¨èì ç¥âë¥ ¬ æ㡠஢᪨¥ ç áâ®âë (11.92) !n = 2n = 2nT ᯮ¬¨ ï ¢ëà ¦¥¨ï (11.16), (11.17) ¨ (11.18) ¤«ï ᢮¡®¤ëå äãªæ¨© ਠ¯à¨ T = 0, ¥âà㤮 ¯®ïâì, ç⮠᢮¡®¤ ï ¬ æ㡠஢᪠ï äãªæ¨ï ਠä¥à¬¨ { ç áâ¨æ à ¢ : G0(p; 2 ; 1) = ;if( 2 ; 1)(1 ; n(p)) ; ( 1 ; 2 )n(p)ge;("(p);)( 2; 1 ) (11.93) £¤¥ n(p) = [e ("(p);) + 1];1 { äãªæ¨ï ¥à¬¨ ¯à¨ ª®¥çëå T . ª¨¬ ®¡à §®¬, áâ㯥ç âë¥ äãªæ¨¨ ¥à¬¨, ¢å®¤ï騥 ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ G0 ¯à¨ T = 0 à §¬ë¢ îâáï íä䥪⠬¨ ª®¥çëå T, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¢ á®áâ®ï¨¨ á ¤ ë¬ p ª ª ¡ë ®¤®¢à¥¬¥® ¬®£ãâ 室¨âìáï ¨ í«¥ªâà® ¨ ¤ëઠ. ®¤áâ ¢«ïï (11.93) ¢ (11.87) 室¨¬: G0(p!n ) = i! ; "(i p) + !n = (2n + 1)T (11.94) n â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥å®¤ ª ¤¨áªà¥âë¬ ç áâ®â ¬, ª®â®àë¥ â ª¦¥ \á®åà ïîâáï" ¢ ¢¥àè¨ å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¬ æã¡ à®¢áª ï ¤¨ £à ¬¬ ï â¥å¨ª ¯à¨ T > 0 ¢¯®«¥ ¨¤¥â¨ç à áᬮâ८© ¢ëè¥ â¥å¨ª¥ T = 0. ç áâ®áâ¨, ¯®« ï (â®ç ï) äãªæ¨ï ਠ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ©á® : G (p!n ) = i! ; "(p) +i ; (p! ) !n = (2n + 1)T (11.95) n n ®¤ç¥àª¥¬, ®¤ ª®, çâ® ¬ æ㡠஢᪨¥ äãªæ¨¨ ਠ¢®¢á¥ ¥ ¨¬¥îâ á¬ëá« äãªæ¨© à á¯à®áâà ¥¨ï ( ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ ) ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨! ëç¨á«¥¨¥ ¬ æ㡠஢᪨å äãªæ¨© ਠ¤ ¥â ¯à¨æ¨¯¨ «ìãî ¢®§¬®¦®áâì 宦¤¥¨ï «î¡ëå â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬¥ ¯à¨ ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà å. ç áâ®áâ¨, ¬®¦® ¯®áâநâì ¤¨ £à ¬¬®¥ à §«®¦¥¨¥ ¤«ï
225
¨á. 11-11 ¨ £à ¬¬®¥ à §«®¦¥¨¥ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥æ¨ « .
¯®¯à ¢ª¨ ®â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ã ¯®â¥æ¨ «ã [30]. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¤¨ £à ¬¬ë ¨§è¨å ¯®à浪®¢ ¯®ª § ë ¨á. 11-11. «ï ª®ªà¥â®á⨠¯à¨¢¥¤¥ë ¤¨ £à ¬¬ë ¤«ï § ¤ ç¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨®®¢. ï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饨© ¤«ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ § ¬ªãâëå ¯¥â¥«ì, ¯à¨ í⮬ 㦮 ®£à ¨ç¨âìáï ⮫쪮 á¢ï§ 묨 ¤¨ £à ¬¬ ¬¨. ¥ª®â®à ï ®á«®¦ïîé ï ®á®¡¥®áâì í⮣® à §«®¦¥¨ï á®á⮨⠢ ¯®ï¢«¥¨¨ ¢ í⮬ àï¤ã ª®¬¡¨ â®à®£® ä ªâ®à n1 ¯¥à¥¤ ¢ª« ¤®¬ n-£® ¯®à浪 . â® ¤¥« ¥â àï¤ ¤«ï ¢¥áì¬ ¥ã¤®¡ë¬ ¤«ï á㬬¨à®¢ ¨ï ¡¥áª®¥çëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ¤¨ £à ¬¬. ç áâ®áâ¨, ¤«ï ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ç¥£® ¯®¤®¡®£® ãà ¢¥¨î ©á® . ®áª®«ìªã = ;V P(; T), à¥çì §¤¥áì ä ªâ¨ç¥áª¨ ¨¤¥â ® ¢ëç¨á«¥¨¨ ¯®¯à ¢ª¨ ª ¤ ¢«¥¨î P = P ; P0(; T), £¤¥ P0 { ¤ ¢«¥¨¥ ¢ á¨á⥬¥ ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ (¨¤¥ «ì®¬ £ § ), â.¥. ® ¯®¯à ¢ª å ®â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª ãà ¢¥¨î á®áâ®ï¨ï. § ª«î票¥ ®â¬¥â¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¤¨ £à ¬¬ ï â¥å¨ª , ¯à¥¤«®¦¥ ï ¥«¤ë襬, ¯à¨£®¤ ï ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç ¯à¨ ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà å ¨, çâ® ¡®«¥¥ ¢ ¦®, ¤«ï «¨§ ¥à ¢®¢¥áëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ ¬®£®ç áâ¨çëå á¨á⥬ å ¢ ॠ«ì®¬ ¢à¥¬¥¨. ®áâ â®ç® ¯®¤à®¡®¥ ¨§«®¦¥¨¥ í⮣® ¯¯ à â ¬®¦® ©â¨ ¢ [17].
226
ਫ®¦¥¨¥
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
࣮¤¨ç®áâì. § ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¨§¢¥áâ®, çâ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï «î¡®© ª®á¥à¢ ⨢®© ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ë ¢ £ ¬¨«ìâ®®¢®© ä®à¬¥: @H p_ = ; @H (.1) q_k = @p k @q k
k
£¤¥ qk ; pk { ®¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨ âë ¨ ¨¬¯ã«ìáë (k = 1; 2; :::; n = 3N, â.¥. ¢á¥£® 2n = 6N ãà ¢¥¨©, £¤¥ N { ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ á¨á⥬¥, n { ç¨á«® á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë), H(p; q) = H(p1 ; p2; :::; pn; q1; q2; :::; qn)
(.2)
£ ¬¨«ì⮨ á¨á⥬ë, à ¢ë© ¯®«®© í¥à£¨¨, ¢ëà ¦¥®© ª ª äãªæ¨ï ®¡®¡é¥ëå ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ. ¬¨«ìâ®®¢ äãªæ¨ï á¢ï§ á äãªæ¨¥© £à ¦ L ¨§¢¥áâë¬ á®®â®è¥¨¥¬: n X H = pk q_k ; L (.3) k=1
¤ «ì¥©è¥¬, ¢ í⮬ à §¤¥«¥, ¬ë á«¥¤ã¥¬, ¢ ®á®¢®¬, ª¨£¥ [12]. à ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï (.3) ¬®¦® ¯à®¨â¥£à¨à®¢ âì, à¥è¥¨ï § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: pk = 'k (ql0 ; p0l ; t) qk = k (ql0; p0l ; t)
(.4) 227
228
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
£¤¥ ql0; p0l { ç «ìë¥ § ç¥¨ï ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ. ਠí⮬ äãªæ¨¨ 'k ; k ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© (¯® ⥮६¥ ¥¤¨á⢥®áâ¨) ®¤®§ çë¥ ¨ ¥¯à¥àë¢ë¥ äãªæ¨¨ à£ã¬¥â®¢ ql0 ; p0l . â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¨â¥£à «ë ¤¢¨¦¥¨ï (á®åà ïî騥áï ¢¥«¨ç¨ë), ¯®áâ㯨¬ @H ®áâ «ìë¥ 2n ; 1 ãà ¢á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. §¤¥«¨¬ ãà ¢¥¨¥ p_1 = ; @q 1 ¥¨© (.1). ®£¤ ¯®«ã稬: @H @H dq1 = ; @p 1 ,..., dpn = ; @qn @H @H dp1 dp1 @q1 @q1
(.5)
â á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¥ ᮤ¥à¦¨â ¢à¥¬¥¨ t (¤«ï H ¥ § ¢¨áï饣® ®â t) ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, á®åà ïî騥áï ¢¥«¨ç¨ë. ᥣ® ã ¥¥ ¨¬¥¥âáï 2n ; 1 ¨â¥£à «®¢, ¯à¨ç¥¬ ¢ íâ® ç¨á«® ¢å®¤¨â, ®ç¥¢¨¤®, ¨â¥£à « í¥à£¨¨, ª®â®àë© ¬ë ®¡®§ 稬 ª ª: 1(q; p) H(p; q) = 1 = E (.6) ⮣¤ ª ª ®áâ «ìë¥ 2n ; 2 ¨â¥£à « ¤¢¨¦¥¨ï ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª: 2(q; p) = 2,...,n (q; p) = n 2 (q; p) = 2 ,..., n (q; p) = n
(.7)
£¤¥ 1 ; :::; n; 2 ; :::; n { ¯®áâ®ïë¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï.
é¥ ®¤¨ ¨â¥£à « ¤¢¨¦¥¨ï ¬®¦® ¯®«ãç¨âì à¥è ï ãà ¢¥¨¥ p_1 = ;@H=@q1 ¨ ¨á¯®«ì§ãï (.6),(.7). ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ ¢¨¤¥: 1 (q; p) = t + 1 (.8) ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨¡ ¢«¥¨¥ ª t ¯à®¨§¢®«ì®© ª®áâ âë ¥ àãè ¥â ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï, â ª ª ª ¢à¥¬ï t ¢å®¤¨â ¢ ¨å ⮫쪮 ¯®¤ § ª®¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï. áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à á¨á⥬ë á ®¤®© á⥯¥ìî ᢮¡®¤ë { £ ମ¨ç¥áª¨© ®á樫«ïâ®à. ®£¤ (¯®« £ ï ¬ ááã m = 1) £ ¬¨«ì⮨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: H = 21 (p2 + !2 q2): (.9) à ¢¥¨ï ¬¨«ìâ® ¨¬¥îâ ¢¨¤: @H 2 (.10) q_ = @H @p = p p_ = ; @q = ;! q ¨ ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騥 à¥è¥¨ï (¨â¥£à «ë): 0 q = q0 cos !t + p! sin !t p = ;!q0 sin !t + p0 cos !t (.11) çâ® ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ¨â¥£à « í¥à£¨¨ 2H = p2 + !2 q2 = 2E ¨ á®®â®è¥¨ï, ®¯à¥¤¥«ïî饣® § ¢¨á¨¬®áâì p ¨ q ®â ¢à¥¬¥¨: 1 !q ! arccos pp2 + !2 q2 = t +
(.12) (.13)
229
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
¨á. -1 §®¢®¥ ¯à®áâà á⢮ £ ମ¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à . ®ª § ë ¨§®í¥à£¥â¨ç¥áª¨¥ "¯®¢¥àå®áâ¨", ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 ᮡ®© í««¨¯áë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®á樫«ïâ®à ¬, ®â«¨ç î騬áï E ¯® í¥à£¨¨. ¨ªà®ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï à ¢ ª®áâ â¥, ®â«¨ç®© ®â ã«ï ¢ ¯®«®áª¥ ¬¥¦¤ã í⨬¨ í««¨¯á ¬¨.
¨á⥬¥ á ®¤®© á⥯¥ìî ᢮¡®¤ë, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ ᮠ᪠§ ë¬ ¢ëè¥, ®â¢¥ç îâ í⨠¤¢ ¨â¥£à « ¤¢¨¦¥¨ï. ®áâ®ï¨¥ ®á樫«ïâ®à ¬®¦® ¨§®¡à §¨âì â®çª®© ä §®¢®© ¯«®áª®á⨠(p; q), ¯à¥¤áâ ¢«ïî饩 ä §®¢®¥ ¯à®áâà á⢮ í⮩ ¯à®á⥩襩 á¨á⥬ë. ¢¨¦¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¯¥à¥¬¥é¥¨¥¬ ä §®¢®© â®çª¨ ¯® \ä §®¢®© ¯®¢¥àå®áâ¨" («¨¨¨ ¯«®áª®á⨠(p; q)), ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¢¥«¨ç¨®© í¥à£¨¨ E. ⨠«¨¨¨ ¯®áâ®ï®© í¥à£¨¨, ª ª ®ç¥¢¨¤® ¨§ (.12), ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ᥬ¥©á⢮ ¯®¤®¡ëå í««¨¯á®¢ (á¬. ¨á.A-1). â®à®© ¨â¥£à « (.13) ®¯à¥¤¥«ï¥â ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥¨ï ä §®¢®© â®çª¨ ¯® í⨬ ªà¨¢ë¬. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¨â¥£à «ë ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ®á樫«ïâ®à (.11) á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ (.12),(.13) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì â ª¦¥ ¢ ¢¨¤¥: p p q = !2E sin !(t + ) p = 2E cos(t + ): (.14) «ï í⮩ ¯à®á⥩襩 á¨á⥬ë á।¥¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¢ëç¨á«ï¥âáï í«¥¬¥â à®. ᨫ㠯¥à¨®¤¨ç®á⨠¤¢¨¦¥¨ï (.14) á।¥¥ ®â «î¡®© äãªæ¨¨ F(q; p) § ¡¥áª®¥ç® ¡®«ì让 ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ᢥ¤¥® ª á।¥¬ã ¯® ¯¥à¨®¤ã T = 2! : ! Z 2! dtF Fe = 2 0
)
(p
2E sin !(t + ); p2E cos(t + ) : !
(.15)
â® á।¥¥ § ¢¨á¨â ®â E, ¯à¨ç¥¬ E ¨¬¥¥â §¤¥áì ®¯à¥¤¥«¥®¥ § 票¥. ®¦® ¥ ¬¥ïï ¢¥«¨ç¨ë (.15) ¢§ïâì ®â ¥£® á।¥¥ § 票¥ ¯® ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¬ã ¨â¥à¢ «ã § 票© E: ! Z E +E Z 2! dtF = lim E !0 2E E 0
(p
1 Z E +E dE Fe = Fe = lim E !0 E E
)
2E sin !(t + ); p2E cos(t + ) : !
(.16)
230
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
஢¥¤¥¬ §¤¥áì § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå { ®â E ¨ t ¯¥à¥©¤¥¬ ª q ¨ p. ®«ì§ãïáì (.14) ¢ëç¨á«ï¥¬ 类¡¨ ¯¥à¥å®¤ :
p
2E cos !(t + ) !p12E sin !(t + ) @(q; p) = p @(t; E) ;! 2E sin !(t + ) p12E cos !(t + ) = 1 ®£¤ ¯®«ãç ¥¬: ! Z dq Z dpF(q; p) Fe = lim E !0 2E
(.17) (.18)
£¤¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ à á¯à®áâà ¥® ¡¥áª®¥ç® 㧪ãî ¯®«®áªã ¬¥¦¤ã í««¨¯á ¬¨ ¯®áâ®ï®© í¥à£¨¨ E ¨ E + E. ¤à㣮© áâ®à®ë ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤«ï ®á樫«ïâ®à , § ¤ ¢ ¯«®â®áâì ¢¥à®ïâ®á⨠(p; q) à ¢®© ª®áâ ⥠(¥ § ¢¨áï饩 ®â ª®ªà¥âëå § 票© p ¨ q) ¢ ¯®«®áª¥ ¬¥¦¤ã í««¨¯á®¬ p2 +!2 q2 = 2E ¨ í««¨¯á®¬ p2 + !2 q2 = 2(E + E) ¨ à ¢®© ã«î ¢¥ í⮩ ¯®«®áª¨ (á¬. ¨á.A-1): (p; q) =
!
¯à¨ p; q
0 ¯à¨ p; q 6
2E
(.19)
£¤¥ ¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ (p; q) ¥¤¨¨æã ¬ë ã竨, çâ® ¯«®é ¤ì ¯®«®áª¨
à ¢ : 2E 2E (ab) = ! = ! ; (.20) £¤¥ ç¥à¥§ a ¨ b ®¡®§ 稫¨ ¯®«ã®á¨ í««¨¯á , ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® í¥à£¨¨ E. ®£¤ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ á।¥¥ (¯® ä §®¢®¬ã ¯à®áâà áâ¢ã) ®â F (q; p) à ¢®:
Z
Z Z p2 +!2q2 =2E ! < F >= dpdq(p; q)F (q; p) = lim dpdqF(q; p) (.21) E !0 2E p2 +!2 q2 =2(E +E ) à ¢¨¢ ï (.18) ¨ (.21) ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à®á⥩襬 á«ãç ¥ á¨á⥬ë á ®¤®© á⥯¥ìî ᢮¡®¤ë á।¥¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª¨¬ á।¨¬. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨â¥£à «ë ãà ¢¥¨© ¬¨«ìâ® ¬®¦®, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ëè¥, ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥: pk = 'k (t + 1 ; 2 ; :::; n; 1; 2; ::: n) qk = k (t + 1 ; 2 ; :::; n; 1; 2; ::: n)
(.22)
¨«¨ ¢ ᮪à 饮© § ¯¨á¨: X = (t + 1 ; 2 ; :::; n; 1; 2; ::: n)
(.23)
।¥¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë F(X) à ¢®: 1 Z 1 dtF(X) = Fe = Tlim !1 T 0 Z1 1 dtF f(t + 1 ; 2; :::; n; 1; 2; ::: n)g (.24) = Tlim !1 T 0
231
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
â® á।¥¥, ®ç¥¢¨¤®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï § ¢¨á¨â ®â ¢á¥å 2n ; 1 ¯®áâ®ïëå ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï (¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï) 2 ; :::; n; 1; 2; ::: n, ªà®¬¥ 1 , ®â ª®â®à®© ®® ¥ § ¢¨á¨â. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¢ ®á®¢®© ç á⨠ªãàá , ¬ë ¯®ª § «¨, çâ® áâ â¨á⨪® { ¬¥å ¨ç¥áª¨¥ á।¨¥ ®â «î¡®© äãªæ¨¨ á®áâ®ï¨ï ¢ à ¢®¢¥á¨¨ § ¢¨áïâ «¨èì ®â ®¤®£® ¨â¥£à « ¤¢¨¦¥¨ï { í¥à£¨¨1 . ®í⮬ã à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¬¨ ¬®£®ç áâ¨çë¥ á¨áâ¥¬ë ¤®«¦ë ®¡« ¤ âì ⥬ á¯¥æ¨ «ìë¬ á¢®©á⢮¬, çâ® ¤«ï ¨å á।¨¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â «î¡®© ®¤®§ 箩 äãªæ¨¨ á®áâ®ï¨ï § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ¨â¥£à « í¥à£¨¨ 1 = E: Fe (X) = fF (E) (.25) ª¨¥ á¨áâ¥¬ë §ë¢ îâáï í࣮¤¨ç¥áª¨¬¨. «ï í࣮¤¨ç¥áª®© á¨á⥬ë á।¥¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â «î¡®© ®¤®§ 箩 äãªæ¨¨ á®áâ®ï¨ï à ¢® á।¥¬ã áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ã ¯® ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¬ã à á¯à¥¤¥«¥¨î. á ¬®¬ ¤¥«¥, à áᬮâਬ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ á।¥¥: < F >= £¤¥
Z
dXF (X)wE (X)
(.26)
; Eg : wE (X) = fH(X)
(E)
(.27)
1 Z T dt Z dXF (X)w (X): < F >= = Tlim E !1 T
(.28)
ª ª ª ¢¥«¨ç¨ < F > ®â ¢à¥¬¥¨ ¥ § ¢¨á¨â, â® á।¥¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â ¥¥ à ¢® ¥© á ¬®©, â ª çâ®: 0
¥à¥¬¥ë¥ X ®¯à¥¤¥«ïîâ á®áâ®ï¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t, § ¬¥¨¬ ¨å ¯¥à¥¬¥ë¬¨ X0 , ®¯à¥¤¥«ïî騬¨ á®áâ®ï¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = 0. ⨠¯¥à¥¬¥ë¥ á¢ï§ ë ¬¥¦¤ã ᮡ®© à¥è¥¨ï¬¨ ãà ¢¥¨© ¬¨«ìâ® , çâ® ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª: X = (t; X0) (.29) á«¥¤®¢ â¥«ì® F(X) = F f(t; X0)g (.30) 祢¨¤®, çâ® H(X) = H(X0 ), â ª çâ® ; E g = fH(X0 ) ; E g = w (X ); wE (X) = fH(X) (.31) E 0
(E)
(E) ¯® ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï ¨¬¥¥¬ dX = dX0. ®í⮬㠯®á«¥ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå ¨¬¥¥¬: 1 Z T dt Z dX w (X )F f(t; X )g < F >= Tlim 0 E 0 0 !1 T 0
(.32)
§¬¥¨¬ ¯®à冷ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® t ¨ X0 , ⮣¤ ¯®«ã稬: < F >= 1 à¨
Z
1 Z T dtF f(t; X )g = Z dX w (X )Fe dX0 wE (X0 ) Tlim 0 0 E 0 !1 T 0
(.33)
䨪á¨à®¢ ëå ¢¥è¨å ¯ à ¬¥âà å ⨯ ®¡ê¥¬ , ¤ ¢«¥¨ï, 䨧¨ç¥áª¨å ¯®«¥© ¨ â.¯.
232
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
¤ ª®, ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï í࣮¤¨ç®á⨠á।¥¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ Fe § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â í¥à£¨¨ H(X0 ), ¨¬¥®: Fe = fF [H(X0 )] (.34) ¯®í⮬ã Z < F >= dX0wE (X0 )fF [H(X0 )] (.35) ® wE (X0 ) ®â«¨ç ®â ã«ï ⮫쪮 ¯à¨ H = E, â ª çâ® fF (H) ¬®¦® ¢ë¥á⨠§ § ª ¨â¥£à « , ¯®«®¦¨¢ H = E. ®£¤ ¯®«ãç ¥¬:
Z
< F >= fF (E) dX0wE (X0 ) = fF (E) = Fe
(.36)
£¤¥ ã竨, çâ® ¨â¥£à « à ¢¥ ¥¤¨¨æ¥ ¯® ãá«®¢¨î ®à¬¨à®¢ª¨. ª¨¬ ®¡à §®¬ à ¢¥á⢮ ¢à¥¬¥®£® ¨ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®£® á।¨å ¤®ª § ®. ®£ãâ-«¨ áãé¥á⢮¢ âì í࣮¤¨ç¥áª¨¥ ¬¥å ¨ç¥áª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ á¬ëá«¥ ¤ ®£® ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï? § «®áì-¡ë ¥â, ¯®áª®«ìªã á।¥¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ (.24) § ¢¥¤®¬® § ¢¨á¨â ¤àã£¨å ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï 2; 3; :::; n. ãáâì ®¤¨ ¨§ ¨å 2 (X) = 2. ।¥¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â äãªæ¨¨ 2(X) ®ç¥¢¨¤® à ¢® 2 ¨ § ¢¨á¨â ¢®¢á¥ ¥ ®â ¨â¥£à « í¥à£¨¨ E = 1, ®â 2 . ¥«®, ®¤ ª®, ¢ ⮬, çâ® ¤«ï í࣮¤¨ç¥áª¨å á¨á⥬ «¥¢ë¥ ç á⨠¢á¥å ¨â¥£à «®¢ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï k = k ; k = k (k = 2; :::; n), ªà®¬¥ ¨â¥£à «®¢ í¥à£¨¨, ¨¬¯ã«ìá ¨ ¬®¬¥â ¨¬¯ã«ìá ïîâáï ¬®£®§ ç묨 äãªæ¨ï¬¨ ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ (¯à¨ç¥¬ ¨å ¥«ì§ï ¯à¥®¡à §®¢ âì ª ®¤®§ çë¬). â® ¢á¥£¤ â ª ¤«ï á¨á⥬ á ¥à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥ë¬¨ ( á¨á⥬ë á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥ë¬¨ âਢ¨ «ìë - ®¨ â®ç® à¥è îâáï ¨ §ë¢ îâáï â ª¦¥ ¨â¥£à¨à㥬묨, ¨å ¤¢¨¦¥¨¥ ¥ ï¥âáï á«ãç ©ë¬ ¨ áâ â¨á⨪ ¤«ï ¨å ®¯¨á ¨ï ¥ 㦠!)2 . áᬠâਢ ï ¯®ª®ï騥áï ¨ ¥¢à é î騥áï ¬®£®ç áâ¨çë¥ á¨áâ¥¬ë ¬ë § ¡ë¢ ¥¬ ¯à® ¨â¥£à «ë ¨¬¯ã«ìá ¨ ¬®¬¥â , çâ® ¦¥ ª á ¥âáï í࣮¤¨ç®áâ¨, ⮠⥯¥àì áâ ®¢¨âáï ¯®ï⮩ ᤥ« ï ¢ëè¥ ¯à¨ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¢ ¦ ï ®£®¢®àª ®¡ ®¤®§ ç®á⨠äãªæ¨¨ F (q; p). â®çª¨ §à¥¨ï 䨧¨ç¥áª®© § ¤ ç¨, ®ç¥¢¨¤®, ¨¬¥¥â á¬ëá« à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ®¤®§ çë¥ äãªæ¨¨ á®áâ®ï¨ï. ।¬¥â®¬ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨, ¥áâ¥á⢥®, ï¥âáï ¨§ã票¥ ¤®áâ â®ç® "á«®¦ëå" (ᮢ¥àè îé¨å á«®¦®¥ ¤¢¨¦¥¨¥) ¥¨â¥£à¨à㥬ëå á¨á⥬. ¯®á«¥¤¨¥ ¤¥áï⨫¥â¨ï ¡ë«® ¨§ã祮 ¤®¢®«ì® ¬®£® ª®ªà¥âëå ¯à¨¬¥à®¢ â ª¨å á¨á⥬, á®áâ®ïé¨å ¤ ¦¥ ¨§ ¢¥áì¬ ¥¡®«ì讣® ç¨á« ç áâ¨æ (â.¥. á¨á⥬ ¤ ¦¥ á ¥¡®«ì訬 ç¨á«®¬ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë) ¨ ¯à®ï¢«ïîé¨å ¢á¥ ᢮©á⢠í࣮¤¨ç¥áª®£® ¤¢¨¦¥¨ï [14].
¥®à¥¬ ¢®§¢à â ã ª à¥. த®«¦¨¬ ®¡á㦤¥¨¥ å à ªâ¥à ¤¢¨¦¥¨ï è¨å á¨á⥬ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ¯¥à¥©¤ï ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ¡áâà ªâë© ï§ëª. ãáâì ¨¬¥¥âáï ä §®¢ ï â®çª 2 ®¤à®¡¥¥ ®¡ í⮬ ¯¨á ® ¢ ¯ à £à ä¥ 52 ª¨£¨ [13], £¤¥ ¯®ª § ®, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ á¨á⥬ á ¥à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥ë¬¨ ¡®à ®¤®§ çëå ¨â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥¨ï ®£à ¨ç¨¢ ¥âáï ⥬¨, ¯®áâ®ïá⢮ ª®â®àëå ¥áâì ¢ëà ¦¥¨¥ ᢮©á⢠®¤®à®¤®á⨠¨ ¨§®âய¨¨ ¯à®áâà á⢠¨ ¢à¥¬¥¨, â.¥. § ª® ¬¨ á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨, ¨¬¯ã«ìá ¨ ¬®¬¥â
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
^ ¢¥«¨ç¨ã t: (p; q). ¯à¥¤¥«¨¬ ®¯¥à â®à ᤢ¨£ ¢® ¢à¥¬¥¨ T(t) (q(t); p(t)) = T^(t)(q(0); p(0))
233
(.37)
ª®â®àë©, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¯®«®áâìî ®¯¨áë¢ ¥â ¤¢¨¦¥¨¥ ä §®¢®© â®çª¨ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ¬¨«ìâ® . ë ¥ ¡ã¤¥¬ § ¨¬ âìáï ï¢ë¬ ¯®áâ஥¨¥¬ â ª¨å ®¯¥à â®à®¢ ¤«ï ª®ªà¥âëå á¨á⥬, ïá®, çâ® ¢ ¯à¨æ¨¯¥ ®¨ ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ãîâ. ¥®à¥¬ ¨ã¢¨««ï ¢ëà ¦ ¥â á®åà ¥¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ ; ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ®¯¥à â®à T^: ;(t) = T^(t);(0) = ;(0) (.38) § â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ⥮६ ã ª ॠ® ¢®§¢à ⥠[14]. ãáâì ª®á¥à¢ ⨢ ï á¨á⥬ (H ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥¨) ᮢ¥àè ¥â 䨨⮥ (â.¥. ¢ ®£à ¨ç¥®© ®¡« áâ¨ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠) ¤¢¨¦¥¨¥. áᬮâਬ ¥ª®â®àãî ®¡« áâì (¬®¦¥á⢮ â®ç¥ª) ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠A ¨ ¢ë¡¥à¥¬ ¢ ¥© â®çªã z0 = (q0; p0) ¢ ª ç¥á⢥ ç «ì®©. ®£¤ , ª ª ®ª §ë¢ ¥âáï, ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¯® ¨áâ¥ç¥¨¨ ¥ª®â®à®£® ¢à¥¬¥¨ á¨á⥬ á ¥¨§¡¥¦®áâìî ¢¥à¥âáï ¢ ®¡« áâì A (⥮६ ã ª à¥). ᪫î票¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 ¬®¦¥á⢮ ç «ìëå â®ç¥ª ¨§ A ¬¥àë ã«ì. ®ª § ⥫ìá⢮ ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠®â ¯à®â¨¢®£®. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ B ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¨§ A, ª®â®àë¥ ¨ª®£¤ ¥ ¢®§¢à é îâáï ¢ A. ãáâì ç¥à¥§ ¥ª®â®à®¥ ¡®«ì讥 ¢à¥¬ï t1 ¬®¦¥á⢮ â®ç¥ª B ¯¥à¥å®¤¨â ¢ B1 : T^(t1 )B = B1 (.39) ®£« á® ®¯à¥¤¥«¥¨î B ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ B1 ¨ A à ¢® ã«î: B1 \ A = ; ¥à¥§ ¨â¥à¢ « t2 = 2t1 ¨¬¥¥¬: ^ 1 )B = T^(t1 )B1 B2 T(2t
(.40) (.41)
®£¤ ¨¬¥¥¬ ¨
B2 \ B 1 = ; (.42)
᫨ ¡ë íâ® ¡ë«® ¥ â ª, â® áãé¥á⢮¢ «¨ ¡ë â®çª¨, ª®â®àë¥ ¥ ¢ë室ïâ ¨§ ®¡« á⨠B1 . ® ¨§ ®¡à ⨬®á⨠ãà ¢¥¨© ¬¨«ìâ® á«¥¤ã¥â, çâ® í⨠â®çª¨ ¥ ¬®£«¨ ¡ë ¨ ¢®©â¨ ¢ B1 . â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¨å ¯à®è«®¬ã: ¯à¨ t = 0, ¯® 襬㠯।¯®«®¦¥^ 1 ) ª B, ¯®«ã稬 ¨î, ®¨ ¯à¨ ¤«¥¦ «¨ A. த®«¦ ï ¯à¨¬¥ïâì ®¯¥à â®à T(nt ¡¥áª®¥çãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì B1 ; B2 ; ::: ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ®¡à §®¢ ¬®¦¥á⢠B. ®£« ᮠ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï: ;(B) = ;(B1 ) = ;(B2 ) = :::;
(.43)
â ª çâ® ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¦¥¨ï â®çª¨ ¨§ B ¯®ªàë¢ îâ ä §®¢ë© ®¡ê¥¬ ; = 1. ¤ ª® ¨§ 䨨â®á⨠¤¢¨¦¥¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® íâ ®¡« áâì ¤®«¦ ¡ëâì ª®¥ç®©. ®á«¥¤¥¥ ¢®§¬®¦® «¨èì ¢ á«ãç ¥ ;(B) = 0, çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â ⥮६ã ã ª à¥. § ⥮६ë ã ª ॠ᫥¤ã¥â, çâ® á¨á⥬ ¡ã¤¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® à § ¢®§¢à é âìáï ¢ ¨á室ãî ®¡« áâì A. § «®áì ¡ë íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¥®¡à ⨬®© í¢®«î樨 ¬®£®ç áâ¨çëå á¨á⥬, ¡«î¤ î饩áï íªá¯¥à¨¬¥â¥, ¨ ¢®§¬®¦®á⨠¥¥ ®¯¨á ¨ï ®á®¢¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. á ¬®¬ ¤¥«¥ íâ®
234
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
¥ â ª. áᬮâਬ ¯®ï⨥ á।¥£® ¢à¥¬¥¨ ¢®§¢à â ¨«¨ ¢à¥¬¥¨ 横« ã ª à¥. ஢¥¤¥¬ ¥£® £àã¡ãî ®æ¥ªã ¤«ï ¯à®á⥩襩 ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬ë { ¨¤¥ «ì®£® £ § [33]. ãáâì ¢ ®¡ê¥¬¥ V 室¨âáï N ¬®«¥ªã« £ § . 㤥¬ ¯®¨¬ âì ¯®¤ ¢®§¢à ⮬ ¯®¢â®à¥¨¥ ç «ì®£® á®áâ®ï¨ï ª ¦¤®© ¬®«¥ªã«ë á â®ç®áâìî v ¯® ᪮à®á⨠¨ x ¯® ª®®à¤¨ â¥. ⮩ â®ç®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¡ê¥¬ ä §®¢®£® 3N , ⮣¤ ª ª ¢á¥¬ã ¡®àã á®áâ®ï¨© £ § á 䨪á¨à®¯à®áâà á⢠; = [mvx] 2 P ¢ ®© í¥à£¨¥© E = i mv2 i = 23 NT ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¡ê¥¬3: ; C3N (m2
X i
vi2 )3N=2 V N C3N (3NTm)3N=2 V N :
(.44)
०¤¥ 祬 ¢¥àãâìáï á § ¤ ®© â®ç®áâìî ¢ ¨á室®¥ ¯®«®¦¥¨¥, ä §®¢ ï â®çª , ; . ¨§®¡à ¦ îé ï á¨á⥬㠤®«¦ ¯à®©â¨ ç¨á«® á®áâ®ï¨©, à ¢®¥ ¯® ¯®à浪ã ; ãáâì { ¥ª®â®à®¥ å à ªâ¥à®¥ ¢à¥¬ï ¢ £ §¥, ¯à¨¬¥à ¢à¥¬ï ᢮¡®¤®£® ¯à®¡¥£ ¬®«¥ªã«ë. ®£¤ ¤«ï ¢à¥¬¥¨ ¢®§¢à â ¬®¦® ¯¨á âì á«¥¤ãîéãî £àã¡ãî ®æ¥ªã: V N 3NT 3N=2 V N T 3N=2 ; C R ; x3 : (.45) 3N x3 mv2 mv2 ãáâì x 0:1(V=N)1=3, â.¥. ¯®à浪 10% ¬¥¦ç áâ¨ç®£® à ááâ®ï¨ï ¢ £ §¥, v 0:1(T=m)1=2, â.¥. ¯®à浪 10% á।¥© ᪮à®áâ¨, â ª çâ® ãá«®¢¨ï "¢®§¢à â" ¤®¢®«ì® ¬ï£ª¨¥. ®£¤ ¯®«ãç ¥¬: R (10N)N (102)3N=2 N N (.46) «ï 1cm3 £ § ¢ ®à¬ «ìëå ãá«®¢¨ïå N 1018, â ª çâ® R (1018)1018 102 1019 (.47) ¨ ®â®è¥¨¥ ¢à¥¬¥¨ ¢®§¢à â R ª ¢à¥¬¥¨ ᢮¡®¤®£® ¯à®¡¥£ 10;6ᥪ, ª ®¤®© ᥪ㤥, ª ®¤®¬ã £®¤ã, ¨«¨ ¤ ¦¥ ª å à ªâ¥à®¬ã ¢à¥¬¥¨ \áãé¥á⢮¢ ¨ï" 襩 ᥫ¥®© ( 1010«¥â 1017ᥪ) á «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© â®ç®áâìî ®¤¨ ª®¢® ¨ á®áâ ¢«ï¥â ¢¥«¨ç¨ã ¯®à浪 102 1019 . ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢à¥¬ï 横« ã ª ॠ¤ ¦¥ ¤«ï áâ®«ì ¯à®á⮩ á¨áâ¥¬ë ¥¢®®¡à §¨¬® ®£à®¬®, ¢¥à®ïâ®áâì ¢®§¢à â ᮮ⢥âá⢥® ¥¢®®¡à §¨¬® ¬ « . ¨¡®«¥¥ ¢¥à®ïâë¬ ¯®í⮬ã ï¥âáï ¡«î¤ ¥¬®¥ íªá¯¥à¨¬¥â¥ ¥®¡à ⨬®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¬®£®ç áâ¨çëå á¨á⥬.
¥ãá⮩稢®áâì âà ¥ªâ®à¨© ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥. áᬮâਬ ¤¢¨¦¥¨¥ ª ¯«¨ \ä §®¢®© ¦¨¤ª®áâ¨" ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. à ªâ¥à í⮣® ¤¢¨¦¥¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ®ç¥ì á«®¦ë¬, á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ £à ¨æë 3 ¤¥áì C3N
; 2e 3N=2 á¢ï§ ® á ª®áâ ⮩ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ ¤«ï ®¡ê¥¬ n-¬¥à®£® è à V
n= 3N 2 ¯à¨ n 1, á ãç¥â®¬ ᨬ¯â®â¨ª¨ ;-äãªæ¨¨ ;( n= 2) CRn , â®ç®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ Cn = n2;(n= n=2) ; n= 2 2 e (2)1=2(n=2)(n;1)=2 e;n=2 ¤ ¥â Cn n
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
235
¨á. -2 ç¥á⢥ ï í¢®«îæ¨ï ä §®¢®© ª ¯«¨ ¯à¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¨.
ª ¯«¨ ¬®£ã⠯ਮ¡à¥â âì \ ¬¥¡®®¡à §ãî" ä®à¬ã, ª ¯«ï íä䥪⨢® § ¯®«ï¥â à §«¨çë¥ ®¡« áâ¨ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠(á¬. ¨á.A-2). ¡ê¥¬ ª ¯«¨ ¯à¨ í⮬ á®åà ï¥âáï (⥮६ ¨ã¢¨««ï). ª®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ¯¥à¥¬¥è¨¢ î騬. ®çª¨, ª®â®àë¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ¡ë«¨ ¡«¨§ª¨, á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ 㤠«ïîâáï ¤à㣠®â ¤à㣠¨ ç¨ îâ ¤¢¨£ âìáï ä ªâ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬®. ¢®©á⢮ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï ¥áâ¥á⢥® ®¦¨¤ âì ã á¨á⥬, å à ªâ¥à¨§ãî騬áï ¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¤¢¨¦¥¨¥¬, ã ª®â®àëå ¨§ ç «ì® ¡«¨§ª¨¥ ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¡ëáâà® (íªá¯®¥æ¨ «ì®) 㤠«ïîâáï ¤à㣠®â ¤à㣠, ¨«¨, ¨ ç¥ £®¢®àï, ᪮«ì 㣮¤® ¬ «ë¥ ¢®§¬ã饨ï ç «ìëå ãá«®¢¨© ¯à¨¢®¤ïâ ª ᪮«ì 㣮¤® ᨫ쮬㠮⪫®¥¨î ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¨ ®â ᢮¥£® ¥¢®§¬ã饮£® ¢¨¤ .
᫨ ä §®¢®¥ ¯à®áâà á⢮ ï¥âáï ª®¥çë¬ ( á ¨â¥à¥áã¥â ª ª à § â ª®© á«ãç © { á¨á⥬ ¤¢¨¦¥âáï ¯® £¨¯¥à¯®¢¥àå®áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®¥ç®© í¥à£¨¨), â® ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¥ ¬®£ãâ à §®©â¨áì ¨§-§ ¥ãá⮩稢®á⨠¡®«¥¥ 祬 å à ªâ¥àë© à §¬¥à ¯à®áâà á⢠¨ ç¨ îâ \§ ¯ãâë¢ âìáï".
᫨ ®¡®§ ç¨âì ç¥à¥§ D(t) à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï â®çª ¬¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ¯à¨ ¤«¥¦ 騬 ¤¢ã¬ à §ë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t, â® ä®à¬ «ì®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ «®ª «ì®© ¥ãá⮩稢®á⨠¤¢¨¦¥¨ï ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ [14] { áãé¥áâ¢ã¥â ¯à ¢«¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¢ ª®â®à®¬: D(t) = D0 eh0 t (.48) £¤¥ ¨ªà¥¬¥â ¥ãá⮩稢®á⨠(¯®ª § ⥫ì ï¯ã®¢ h0 > 0) ï¥âáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, äãªæ¨¥© â®çª¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ ¨¬¥¥â, ª ª ¬®¦® ¯®ª § âì [14], â ª¦¥ ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© á¬ëá« ®¡à ⮣® ¢à¥¬¥¨ \à á楯«¥¨ï" ª®à५ï権 âà ¥ªâ®à¨© ¯à¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ î饬 ¤¢¨¦¥¨¨. 祢¨¤®, çâ® ®¡á㦤 ¥¬ ï ª à⨠¨¬¥¥â ¯àאַ¥ ®â®è¥¨¥ ª ¨¤¥¥ ®¯¨á ¨ï à®áâ íâய¨¨ ï§ëª¥ ®£àã¡«¥®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, à áᬮâ८© ¢ ®á®¢®© ç á⨠ªãàá . ®§¨ª ¥â ¢®¯à®á
236
¢¨¦¥¨¥ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, í࣮¤¨ç®áâì ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥.
{ ¥«ì§ï-«¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®ï⨥ íâய¨¨ â ª, çâ®¡ë ®® ¬®£«® ¯à¨¬¥ïâìáï ¥¯®á।á⢥® ª ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ á¨á⥬ ¬, ¨á¯®«ì§ãï ⮫쪮 ᢮©á⢠âà ¥ªâ®à¨© á¨á⥬ë ( ¥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï)? â § ¤ ç ¡ë« à¥è¥ ®«¬®£®à®¢ë¬, ª®â®àë© ¢¢¥« ¯®ï⨥ ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¨«¨ K-íâய¨¨. áᬮâਬ ᮢ í¢®«îæ¨î ¥ª®â®à®£® ç «ì®£® í«¥¬¥â ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ ;0. ᨫã â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï: ;(t) = ;0 (.49) ®¤ ª® áâàãªâãà ä §®¢®© ª ¯«¨ ¬¥ï¥âáï á® ¢à¥¬¥¥¬ (áà. ¨á.A-2). ¥© ¯®ï¢«ïîâáï ¯ã§ëà¨, ¯ãáâ®âë ¨ â.¯. à®á⮬ t \¯ã§ëàç â ï" áâàãªâãà áâ ®¢¨âáï ¢á¥ ¡®«¥¥ ¬¥«ª®©, ®£¨¡ îé ï ä §®¢®© ª ¯«¨ à áè¨àï¥âáï ¨ ®£à ¨ç¨¢ ¥â ¢á¥ ¡®«ì訩 ®¡ê¥¬. ®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¥ª®â®àãî " (à §¬¥à®á⨠;) ¨ \®£à㡨¬" áâàãªâãàãî á¥âªã ä §®¢®© ª ¯«¨ á â®ç®áâìî ¤® ". ®£¤ ª ç¥á⢥® ïá®, çâ® ¢á¥ ⮪¨¥ ä §®¢ë¥ \¨â¨" á ⮫騮© ¬¥ìè¥ " íä䥪⨢® \®¤¥ãâáï" ¨ ®£àã¡«¥ë© g ä ªâ¨ç¥áª¨ ¡ã¤¥â à á⨠ᮠ¢à¥¬¥¥¬. ï (.48) ¥âà㤮 ä §®¢ë© ®¡ê¥¬ ;(t) ¯®ïâì, çâ® g = ;0eht ;(t) (.50) £¤¥ h { ¥ª®â®à ï ¢¥«¨ç¨ , å à ªâ¥à¨§ãîé ï ãá।¥ë© ¯® ®¡ê¥¬ã ¨ªà¥¬¥â ¥ãá⮩稢®áâ¨ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© h0. ®£¤ íâய¨ï:
g = ln(;0eht) = ht + ln ;0 S = ln ;(t) (.51) á ¨â¥à¥áã¥â ®¯à¥¤¥«¥¨¥ 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ íâய¨¨ S, á ¢®§¬®¦® ¡®«ì襩 â®ç®áâìî. ਠâ®ç®á⨠®£àã¡«¥¨ï ", ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« ¢ë¡¨à âì ;0 ¬¥ìè¥, 祬 ". ®í⮬㠯®«®¦¨¬ ;0 = " ¨ ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¯à¥¤¥«ã " ! 0. áᬮâਬ ¢ëà ¦¥¨¥: 1 lim lim 1 ln e ;(t) = "lim (.52) !1 t (ht + ln ") = h "!0 t!1 t !0 tlim â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â K-íâய¨î h. ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¯®à冷ª ¯à¥¤¥«ìëå ¯¥à¥å®¤®¢ §¤¥áì ªà ©¥ áãé¥á⢥. ¥à¥ç¨á«¨¬ ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠K-íâய¨¨: 1. K-íâய¨ï h ®¯à¥¤¥«ï¥â ᪮à®áâì ¨§¬¥¥¨ï íâய¨¨ S ¢ १ã«ìâ ⥠ç¨áâ® ¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯à®æ¥áá ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï âà ¥ªâ®à¨© ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. 2. K-íâய¨ï h, ¨ªà¥¬¥â «®ª «ì®© ¥ãá⮩稢®á⨠h0 ¨ ®¡à ⮥ ¢à¥¬ï à á楯«¥¨ï ¢à¥¬¥ëå ª®à५ï権 { ¢¥«¨ç¨ë ®¤®£® ¯®à浪 . ⨠᢮©á⢠à áªàë¢ îâ 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá« íâய¨¨ ®«¬®£®à®¢ . ª íâய¨ï 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë S ¤®á⨣ ¥â ¬ ªá¨¬ã¬ ? ਠ" ! 0, â.¥. ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ íâய¨¨ S(t) = ht (t ! 1) ᮠ᪮«ì 㣮¤® ¡®«ì让 â®ç®áâìî, íâய¨ï S ¬ ªá¨¬ã¬ ¥ ¤®á⨣ ¥â, ® ¯®«®¦¥¨¥ ¬¥ï¥âáï, ¥á«¨ 䨪á¨à®¢ âì ª®¥çë© ¯®à冷ª ®£àã¡«¥¨ï "0 . ®£¤ ¨§ (.50) «¥£ª® ©â¨ å à ªâ¥à®¥ ¢à¥¬ï t0, ¢ â¥ç¥¨¥ ª®â®à®£® ®¡« áâì ;0 = "0 à áè¨àï¥âáï ¤® § 票ï e ; = 1: t0 = h1 ln "1 (.53) 0 íâ® ¢à¥¬ï ä §®¢ ï ª ¯«ï "0 à ¢®¬¥à® à á⥪ ¥âáï ¯® ¢á¥¬ã ä §®¢®¬ã ®¡ê¥¬ã ¨ ¤ «ì¥©è¨© à®áâ íâய¨¨ ¯à¥ªà é ¥âáï.
ਫ®¦¥¨¥
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨.
¢ï§ì à á¯à¥¤¥«¥¨© ¨¡¡á á ¬ ªá¨¬ã¬®¬ ¨ä®à¬ 樮®© íâய¨¨. ä®à¬ 樮 ï íâய¨ï. ®ï⨥ íâய¨¨ ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¥ â¥á® á¢ï§ ® á «®£¨çë¬ ¯®ï⨥¬ ¢ ⥮ਨ ¨ä®à¬ 樨 [34]. ãé¥áâ¢ã¥â ¤®¢®«ì® ®¡è¨à ï «¨â¥à âãà , £¤¥ íâ á¢ï§ì ¤¥â «ì® ®¡á㦤 ¥âáï [35, 36], ¨¦¥ ¬ë ®áâ ®¢¨¬áï «¨èì ¥áª®«ìª¨å § ¤ ç å, ¨««îáâà¨àãîé¨å ¥ª®â®àë¥ ®á®¢ë¥ ¯à¨æ¨¯ë, á¢ï§ë¢ î騥 í⨠ä㤠¬¥â «ìë¥ ¯®ïâ¨ï. 㧪®¬ ¯®¨¬ ¨¨, ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© áâ â¨áâ¨ç¥áªãî ⥮à¨î á¢ï§¨, â.¥. ¯¥à¥¤ ç¨ á¨£ «®¢, á®®¡é¥¨© ¨ â.¯. [34]. ª ç¥á⢥ ®á®¢®£® ¯®ïâ¨ï ¢ í⮩ ⥮ਨ 䨣ãà¨àã¥â ¨ä®à¬ 樮 ï íâய¨ï, ¢ëáâ㯠îé ï ¢ ª ç¥á⢥ ¬¥àë ¨ä®à¬ 樨, ᮤ¥à¦ 饩áï ¢ ¤ ®¬ á®®¡é¥¨¨, ⥪á⥠¨ â.¤., à áᬠâਢ ¥¬ëå, ª ª ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ á«ãç © ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ᨬ¢®«®¢ ¨«¨ ᮡë⨩. ®ç¥¥, ¨ä®à¬ 樮 ï íâய¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬¥àã ¥®¯à¥¤¥«¥®á⨠¢ ¨ä®à¬ 樨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¤ ®¬ã áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ã à á¯à¥¤¥«¥¨î â ª¨å ᮡë⨩. ãáâì pk { ¥ª®â®à®¥ ¤¨áªà¥â®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥à®ïâ®á⥩ ᮡë⨩, 㬥à㥬ëå ¨¤¥ªá®¬ k. ä®à¬ 樮®© íâய¨¥© §ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨ 237
238
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨.
[34]1:
H =;
n X k=1
n X
pk ln pk ;
k
pk = 1
(.1)
á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢¥«¨ç¨ H à ¢ ã«î, ¥á«¨ ª ª®¥-«¨¡® ¨§ pk = 1, ¢á¥ ®áâ «ìë¥ pk = 0, â.¥. ª®£¤ १ã«ìâ â ¨á¯ëâ ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áª § á ¤®á⮢¥à®áâìî ¨ ¥®¯à¥¤¥«¥®áâì ¢ ¨ä®à¬ 樨 ®âáãâáâ¢ã¥â. ¥«¨ç¨ H ¯à¨¨¬ ¥â ¨¡®«ì襥 § 票¥, ª®£¤ ¢á¥ pk à ¢ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©, â.¥. pk = 1=n. 祢¨¤®, çâ® íâ®â ¯à¥¤¥«ìë© á«ãç © ®¡« ¤ ¥â ¨¡®«ì襩 ¥®¯à¥¤¥«¥®áâìî { ¬ ¨ç¥£® ¥ ¨§¢¥áâ® ®¡ ®â¤¥«ìëå ᮡëâ¨ïå, ¢á¥ ®¨ à ¢®¢¥à®ïâë (â.¥. ¡ãª¢ë ⥪áâ ¯®ï¢«ïîâáï ¡á®«îâ® á«ãç ©®, ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª 䨧¨ª¥ ¡á®«îâ® á«ãç ©® ॠ«¨§ãîâáï ⥠¨«¨ ¨ë¥ á®áâ®ï¨ï á¨áâ¥¬ë ¨ â.¯.). ªá¨¬ «ì®áâì ¨ä®à¬ 樮®© íâய¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ «ì®á⨠襣® ¥§ ¨ï ® ᮡëâ¨ïå, è ¨ä®à¬ æ¨ï ® ¨å ¬¨¨¬ «ì . âய¨ï H ¤¤¨â¨¢ ¤«ï ᮢ®ªã¯®á⨠¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡë⨩, ॠ«¨§ãîé¨åáï á ¢¥à®ïâ®áâﬨ ui ¨ vi , â.ª. ¥á«¨ pik = ui vi, â® X X X X X H = ; pik lnpik = ; ui ln ui ; vk ln vk ; ui = 1; vk = 1 (.2) i
ik
i
k
k
«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥à®ïâ®á⥩ ¥¯à¥à뢮© ¢¥«¨ç¨ë x á ¯«®â®áâìî f(x) ¨ä®à¬ 樮 ï íâய¨ï à ¢ :
Z
H = ; dxf(x) ln f(x);
Z
dxf(x) = 1
(.3)
«ï ¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡë⨩ ®¯ïâì ¨¬¥¥¬ ¤¤¨â¨¢®áâì, ¥á«¨ f(x; y) = f1 (x)f2 (y), â®:
Z
Z
Z
Z
H = ; dx dyf(x; y) ln f(x; y) = ; dxf1(x) ln f1 (x) ; dyf2 (y) ln f2 (y) (.4) «ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (p; q) ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ £¨¡¡á®¢áª ï íâய¨ï, ¯® áã⨠¤¥« , ï¥âáï â ª¦¥ ¨ ¨ä®à¬ 樮®© íâய¨¥©:
Z
Z
S = ; d; ln; d; = 1
(.5)
¨ ¥¥ ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¬¥àã 襣® ¥§ ¨ï (®âáãâáâ¢¨ï ¨ä®à¬ 樨) ® á®áâ®ï¨ïå ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®© 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë. «ï á ¬¡«¥© á ¯¥à¥¬¥ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ (.5) ®¡®¡é ¥âáï ª ª: S=;
XZ
N 0
d;N N ln N ;
XZ
N 0
d;N N = 1:
(.6)
¨¦¥ ¬ë à áᬮâਬ íªáâ६ «ìë¥ á¢®©á⢠à á¯à¥¤¥«¥¨© ¨¡¡á , ãáâ ®¢«¥ë¥ ¨¬ § ¤®«£® ¤® ᮧ¤ ¨ï ⥮ਨ ¨ä®à¬ 樨. ¨ «¥£ª® ¯®«ãç îâáï ¨§ à áᬮâ८£® ¢ëè¥ ¥à ¢¥á⢠¨¡¡á (1.187): 0 Z 0 d; ln 0 (.7) £¤¥ ¨ 0 { ¤¢ ®à¬¨à®¢ ëå à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ®¯à¥¤¥«¥ëå ¢ ®¤®¬ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. ª à ¢¥á⢠¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ¯à¨ = 0 .
1 ë ®â¢«¥ª ¥¬áï ®â ¥áãé¥á⢥®£® ¤«ï á ®¡áâ®ï⥫ìá⢠, çâ® ¢ ⥮ਨ ¨ä®à¬ 樨 ¢ ¤ ®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ®¡ëç® ¨á¯®«ì§ãîâ ¢¬¥áâ® ln «®£ à¨ä¬ ¯® ®á®¢ ¨î 2, â.¥. log2 , çâ® á¢ï§ ® á ¨§¬¥à¥¨¥¬ ®¡ê¥¬ ¨ä®à¬ 樨 ¢ ¡¨â å
239
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨.
ªáâ६ «ì®áâì ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï.
®ª ¦¥¬, çâ® ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ã¬ã ¨ä®à¬ 樮®© íâய¨¨ á।¨ ¢á¥å à á¯à¥¤¥«¥¨© á ⥬ ¦¥ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ ¢ ⮬ ¦¥ á«®¥ í¥à£¨¨. ãáâì { äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®£® á ¬¡«ï, 0 { ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢ ⮬ ¦¥ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ ¢ ¯à¥¤¥« å ⮣® ¦¥ í¥à£¥â¨ç¥áª®£® á«®ï, ¯à¨ç¥¬
Z
d;0 =
Z
d; = 1
®¤áâ ¢«ïï ¨ 0 ¢ ¥à ¢¥á⢮ (.7), ¯®«ãç ¥¬:
;
Z
d;0 ln 0 ;
Z
d;0 ln = ; ln
Z
(.8) d;0 = ;
Z
d; ln
(.9)
çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. (.9) ¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ¯®áâ®ïá⢮¬ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ í¥à£¥â¨ç¥áª®¬ á«®¥ ¨ ãá«®¢¨¥¬ ®à¬¨à®¢ª¨ ¤«ï ¨ 0 .
ªáâ६ «ì®áâì ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á .
®ª ¦¥¬, çâ® ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ã¬ã ¨ä®à¬ 樮®© íâய¨¨ ¯à¨ § ¤ ®© á।¥© í¥à£¨¨ á¨á⥬ë: < H >= ¨ ¯à¨ á®åà ¥¨¨ ®à¬¨à®¢ª¨:
Z
Z
d;H
(.10)
d; = 1:
áᬮâਬ ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥: = Z ;1 exp (; H) ; Z =
(.11)
Z
d; exp (; H)
(.12)
£¤¥ = 1=T. ãáâì 0 { ¥ª®â®à®¥ ¤à㣮¥ ®à¬¨à®¢ ®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ⮩ ¦¥ á ¬®© á।¥© í¥à£¨¨, çâ® ¨ ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ :
Z
Z
d;0H = d;H
(.13)
¢ ®á⠫쮬 0 ¯à®¨§¢®«ì®. ®¤áâ ¢«ïï (.12) ¢ (.7), ¯®«ã稬:
;
Z
d;0 ln 0 ;
Z
d;0 ln = lnZ +
Z
d;0 H = ln Z +
Z
Z
Z
d;H
â.¥. ; d;0 ln 0 ; d; ln çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.
(.14)
240
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨.
ªáâ६ «ì®áâì ¡®«ì讣® ª ®¨ç¥áª®£® á ¬¡«ï ¨¡¡á .
«ï à §®®¡à §¨ï ¯à®¢¥¤¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤«ï ª¢ ⮢®£® á«ãç ï. âய¨ï ª¢ ⮢®£® á ¬¡«ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: S = ;Sp ln
(.15)
£¤¥ { ¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨. ¤¨ £® «ì®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¨¬¥¥¬ (áà. (1.175)): S=;
X k
wk ln wk
(.16)
çâ® ¯àאַ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (.1) ¨ä®à¬ 樮®© íâய¨¨ ¤«ï ¤¨áªà¥â®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ᮡë⨩. ªáâ६ «ìë¥ á¢®©á⢠ª¢ ⮢ëå á ¬¡«¥© ¬®¦® ¯®«ãç¨âì, ¨á¯®«ì§ãï ¥à ¢¥á⢮: Sp0 ln 0 Sp0 ln (.17) £¤¥ ¨ 0 { ¯à®¨§¢®«ìë¥ ®à¬¨à®¢ ë¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®àë. ¢¥á⢮ ®¯ïâì ¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ¯à¨ = 0 . â® ¥à ¢¥á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ln x 1 ; 1=x, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨ x > 0 (à ¢¥á⢮ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¨ x = 1). ®áâ ¢«ïï áî¤ x = 0 ;1 ¨ ãá।ïï ¯® 0 , ¨¬¥¥¬: Sp0 ln(0 ;1 ) Sp0 (1 ; 0;1 ) = 0
(.18)
â.ª. ®¡¥ ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠®à¬¨à®¢ ë ¥¤¨¨æã, ®¯¥à â®àë ¯®¤ § ª®¬ Sp ¬®¦® ¯¥à¥áâ ¢«ïâì. ®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¡®«ì讥 ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¡¡á ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ã¬ã ¨ä®à¬ 樮®© íâய¨¨ ¯à¨ § ¤ ®© á।¥© í¥à£¨¨: ¨ á।¥¬ ç¨á«¥ ç áâ¨æ: ¯à¨ á®åà ¥¨¨ ®à¬¨à®¢ª¨:
< H >= SpH
(.19)
< N >= SpN
(.20)
Sp = 1: (.21) ¯¨è¥¬ ¡®«ì讥 ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥: ; H + N H ; N
; T = exp ; e = Sp exp ; T : (.22) T ®£¤ ¨§ ¥à ¢¥á⢠(.17) ¯®«ãç ¥¬ (áç¨â ï, çâ® 0 { «î¡ ï ¤àã£ ï ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠á ⥬¨ ¦¥ á।¨¬¨ (.19), (.20),(.21)): ; Sp0 ln 0 ;Sp0 ln = ;Sp 0 T ; HT + N = ;Sp ln (.23) T çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì! ¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (.19),(.20),(.21), á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¤«ï ¨ 0 , â.¥. Sp0 H = SpH; Sp0 N = SpN: (.24)
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨.
241
áᬮâà¥ë¥ íªáâ६ «ìë¥ á¢®©á⢠áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å á ¬¡«¥© ¨¡¡á ¬®¦® ¯®«®¦¨âì ¢ ®á®¢ã ¨å ®¯à¥¤¥«¥¨ï. â® ¤ ¥â ¥é¥ ®¤¨ ¯®¤å®¤ ª ®¡®á®¢ ¨î à ¢®¢¥á®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨2 . § íâ¨å ¯®áâ஥¨© ¢¨¤®, çâ® íâய¨ï á¥âì ¬¥à ¥¤®áâ ⪠¨ä®à¬ 樨 ® ¤¥©á⢨⥫쮩 áâàãªâãॠ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨á⥬ë. â®â ¥¤®áâ ⮪ ¨ä®à¬ 樨 ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¢®§¬®¦® ¡®«ì讥 à §®®¡à §¨¥ à §«¨çëå ¬¨ªà®á®áâ®ï¨©, ª®â®àë¥ ¬ë ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¬®¦¥¬ ®â«¨ç¨âì ¤à㣠®â ¤à㣠. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¤®áâ ⮪ ¨ä®à¬ 樨 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¥©á⢨⥫쮬㠡¥á¯®à浪㠢 áªàëâëå á⥯¥ïå ᢮¡®¤ë. â®â ¥¤®áâ ⮪ ¨ä®à¬ 樨 ¬ ªá¨¬ «¥, ª®£¤ á¨á⥬ 室¨âáï ¢ à ¢®¢¥á®¬ á®áâ®ï¨¨, ⮣¤ ¬ë ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¨ç¥£® ¥ § ¥¬ ® ¤¥â «ïå ¥¥ ¬¨ªà®áâàãªâãàë, ¢á¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¡®«ì訬 ç¨á«®¬ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢. ®¯ë⪨ ãâ®ç¨âì ¤¥â «¨ ¢ãâ॥£® \ãáâனá⢠" á¨áâ¥¬ë ¥¨§¡¥¦® ¡ã¤ã⠢뢮¤¨âì ¥¥ ¨§ à ¢®¢¥á®£® á®áâ®ï¨ï (㬥ìè âì íâய¨î).
\¥¬®" ªá¢¥«« ¨ ¥£® ¨§£ ¨¥. â¥à¥áë¥ ¨ä®à¬ æ¨®ë¥ á¯¥ªâë áâ â¨áâ¨ç¥áª®© â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨ ¬®¦® à áᬮâà¥âì ¯à¨ «¨§¥ § ¤ ç¨ ® \¤¥¬®¥" ªá¢¥«« [35]. ë ⮫쪮 çâ® ¢¨¤¥«¨, çâ® ¯®¯ë⪨ ¢¬¥è âìáï ¢ ¬¨ªà®¯à®æ¥ááë ¢ãâਠ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®© á¨á⥬ë, á 楫ìî ¯à¨®¡à¥â¥¨ï ¨ä®à¬ 樨 ® ¤¥â «ïå ¢ãâ॥£® ¤¢¨¦¥¨ï ç áâ¨æ, ¬®£ã⠢뢥á⨠á¨á⥬㠨§ á®áâ®ï¨ï à ¢®¢¥á¨ï. ®§¬®¦® ¯¥à¢ë© ¯à¨¬¥à â ª¨å ¤¥©á⢨© ¡ë« à áᬮâॠªá¢¥««®¬, ª®â®àë© ¯à¥¤«®¦¨« ¯ à ¤®ªá ® \¤¥¬®¥" (¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ áãé¥á⢥ ¨«¨ ¢â®¬ â¥), ª®â®àë© \à ¡®â «-¡ë" ¯à®â¨¢ ¢â®à®£® ç « â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨. à®á⥩訩 ¢ ਠâ â ª®£® \¤¥¬® " ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ãáâì ã á ¨¬¥¥âáï á®áã¤ á £ §®¬, 室ï騬áï ¢ á®áâ®ï¨¨ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï. ãáâì ¢ í⮬ á®á㤥 ¨¬¥¥âáï ¯¥à¥£®à®¤ª (à §¤¥«ïîé ï á®á㤠ç á⨠A ¨ B) á ®â¢¥àá⨥¬, ª®â®à®¥ á ¡¦¥® ¤¢¥à楩. ®£¤ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥, çâ® \¤¥¬®", à ᯮ« £ ïáì ã í⮩ ¤¢¥àæë ¬®¦¥â ¯à®¯ã᪠âì ç¥à¥§ ®â¢¥àá⨥ ⮫쪮 ¡®«¥¥ ¡ëáâàë¥ ¬®«¥ªã«ë £ § , «¥âï騥, ᪠¦¥¬, ¨§ A ¢ B, ¨§ B ¢ A { ⮫쪮 ¡®«¥¥ ¬¥¤«¥ë¥ ¬®«¥ªã«ë. ®£¤ ¯® ¯à®è¥á⢨¨ ¥ª®â®à®£® ¢à¥¬¥¨, ¯®á«¥ ç « â ª®© ¤¥ï⥫ì®áâ¨, ¢ ç á⨠á®á㤠, ®¡®§ 祮© B ᮡ¥à¥âáï, ¢ á।¥¬, ¡®«ìè¥ ¡ëáâàëå ¬®«¥ªã«, 祬 ¢ ç á⨠A. ¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ à ¢®¢¥á¨¥ ¡ã¤¥â àã襮, ⥬¯¥à âãà £ § ¢ ç á⨠B á⠥⠢ëè¥ â¥¬¯¥à âãàë £ § ¢ ç á⨠B. ª®© ¯à®æ¥áá  ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢â®à®¬ã ç «ã â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨, â ª ¥âà㤮 § áâ ¢¨âì ¯¥à¥å®¤¨âì ⥯«® ¢á¥ ¢à¥¬ï ¨§ ¡®«¥¥ 宫®¤®© ®¡« á⨠£ § ¢ ¡®«¥¥ £®àïçãî. ¦® ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ \¤¥¬® " «¥£ª® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ ¥ª®â®à®¥ ¢â®¬ â¨ç¥áª®¥ ãáâனá⢮, ª®â®à®¥, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¡ã¤¥â àãè âì ¢â®à®¥ ç «®. ¥¬ ¡®«¥¥, ª ¦¥âáï, çâ® \¨â¥««¥ªâã «ìë© ¤¥¬®" á¯à ¢¨âáï á í⮩ § ¤ 祩 ¡¥§ âà㤠. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¢â®à®¥ ç «® ®á¨â 㨢¥àá «ìë© å à ªâ¥à, ¢á¥ ¯à®æ¥ááë ¢ ¯à¨à®¤¥ ¤®«¦ë ¥¬ã ¯®¤ç¨ïâìáï. ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠íâ® â ª ¨ ¥áâì { ¨ª ª®© \¤¥¬®" ¥ ᬮ¦¥â ®¡¥á¯¥ç¨âì ¯à®æ¥áá 㬥ì襨ï íâய¨¨ ¢ 2 ® áã⨠¤¥« , ¬ë ¯à®áâ® ¯®ª § «¨, çâ® à §ë¥ ¢ ਠâë à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¬ ªá¨¬ã¬ã â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®© íâய¨¨ ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨©. â®, ¥áâ¥á⢥®, ®¯à¥¤¥«ï¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à ¢®¢¥áë¥ á®áâ®ï¨ï.
242
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨.
§ ¬ªã⮩ á¨á⥬¥, ¢ª«îç î饩 ¥£® á ¬®£®. à ¤®ªá ªá¢¥«« ¢¯¥à¢ë¥ ¡ë« à §à¥è¥ 樫« म¬, ¢ १ã«ìâ ⥠¤®¢®«ì® ¯à®á⮣® «¨§ , ª®â®àë© ¯à¨¢®¤¨âáï ¨¦¥ [35]. ¥«® ¢ ⮬, çâ® \¤¥¬®" ¤®«¦¥ á㬥âì ¯à® ¡«î¤ âì ®â¤¥«ìë¥ ¬®«¥ªã«ë, á 楫ìî ®â¤¥«¥¨ï \¡ëáâàëå" ®â \¬¥¤«¥ëå". ¤«ï í⮣® ¥¬ã 㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï, ª ª¨¬¨-⮠䨧¨ç¥áª¨¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ ¡«î¤¥¨ï, ¯à¨¬¥à, ¬®¦® ®á¢¥é âì ¬®«¥ªã«ë \ä® à¨ª®¬" ¨ ¯®â®¬ ⮫쪮 ª ª á«¥¤ã¥â \à áᬮâॢ" ¨å ç¨ âì ¤¥©á⢮¢ âì. ®í⮬ã, ¨§®«¨à®¢ ï á¨á⥬ , ª ª®â®à®© ¬ë ¤®«¦ë ¯à¨¬¥ïâì ¢â®à®¥ ç «®, á®á⮨â, á ¬®¬ ¤¥«¥ ¨§: £ § ¯à¨ ¯®áâ®ï®© ⥬¯¥à âãॠT = T0 , § ª«î祮£® ¢ § ¬ªã⮬ á®á㤥 á ¯¥à¥£®à®¤ª®© á ®â¢¥àá⨥¬, à §¤¥«ïî騬 á®á㤠¤¢¥ ¯®«®¢¨ë, ¤¥¬® , ã¯à ¢«ïî饣® ¤¢¥à楩 ¢ ®â¢¥àá⨨, § à殮®© ¡ â ३ª¨ ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®© « ¬¯®çª¨. â ३ª £à¥¢ ¥â ¨âì « ¬¯ë ¤® ¢ë᮪®© ⥬¯¥à âãàë T1 > T0 . â® ãá«®¢¨¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¤«ï ¯®«ã票ï ᢥâ á í¥à£¨¥© ª¢ ⮢ h!1 > T0 , çâ® ¥®¡å®¤¨¬® ¤«ï ⮣®, ç⮡ë í⨠ª¢ âë ¬®£«¨ à ᯮ§ ¢ âìáï 䮥 ⥯«®¢®£® ¨§«ã票ï, áãé¥áâ¢ãî饣® ¢ á®á㤥 á £ §®¬ ¯à¨ ⥬¯¥à âãॠT0 . ¯à®â殮¨¨ ®¯ëâ ¡ â ३ª ®â¤ ¥â ¯®«ãî í¥à£¨î E, ¨âì « ¬¯®çª¨ ¨§«ãç ¥â íâã í¥à£¨î ¨ â¥àï¥â íâய¨î. §¬¥¥¨¥ íâய¨¨ « ¬¯®çª¨ ¥áâì: Sf = ; TE (.25) 1 ¨ ¢¢®¤¨â ¢ £ § ®âà¨æ ⥫ìãî íâய¨î. ¥§ ¢¬¥è ⥫ìá⢠¤¥¬® , í¥à£¨ï E ¯®£«®é ¥âáï ¢ £ §¥ ¯à¨ ⥬¯¥à âãॠT0 ¨ ¬ë ¡«î¤ ¥¬ ®¡é¥¥ ¢®§à áâ ¨¥ íâய¨¨: S = TE + Sf = TE ; TE > 0 (.26) 0 0 1 áᬮâਬ ⥯¥àì à ¡®âã ¤¥¬® . ᬮ¦¥â ®¡ à㦨âì ¬®«¥ªã«ã, ¥á«¨ ¯® ¬¥ì襩 ¬¥à¥ ®¤¨ ª¢ â í¥à£¨¨ h!1 à áᥨ¢ ¥âáï ¬®«¥ªã«®© ¨ ¯®¯ ¤ ¥â ¢ \£« §" ¤¥¬® (¨«¨ ¢ ä®â®¯à¨¥¬¨ª). â® ®§ ç ¥â, ¢ ª®¥ç®¬ áç¥â¥, 㢥«¨ç¥¨¥ íâய¨¨ ¤¥¬® : (.27) Sd = hT!1 0 ®«ãç¥ ï ¨ä®à¬ æ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ¤«ï 㬥ì襨¨ íâய¨¨ á¨á⥬ë. á室 ï íâய¨ï á¨á⥬ë à ¢ : S0 = ln 0 (.28) £¤¥ 0 { áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ¢¥á (§ ¬ªã⮩) á¨á⥬ë. ®á«¥ ¯®«ãç¥¨ï ¨ä®à¬ 樨 á¨á⥬ ®¯à¥¤¥«¥ ¡®«¥¥ ¯®«®, 0 㬥ìè ¥âáï ¥ª®â®àãî ¢¥«¨ç¨ã p0 :
1 = 0 ; p (.29) â® ¯à¨¢®¤¨â ª 㬥ì襨î íâய¨¨: Si = S1 ; S0 = ln( 0 ; p) ; ln 0 ; p (.30) 0
243
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨.
¯®áª®«ìªã ¢® ¢á¥å ¯à ªâ¨ç¥áª¨å á«ãç ïå p 0 . ¡é¨© ¡ « á íâய¨¨ ¢ëà ¦ ¥âáï á®®â®è¥¨¥¬: Sd + Si = hT!1 ; p > 0 (.31) 0
0
â ª ª ª h!1 =T0 > 1, ® p= 0 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ª®¥ç®¬ áç¥â¥, íâய¨ï ¨§®«¨à®¢ ®© á¨áâ¥¬ë ¢®§à áâ ¥â, ª ª íâ® ¨ âॡã¥âáï ¨§ ¢â®à®£® ç « â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨. áᬮâਬ ¢á¥ íâ® çãâì ¯®¤à®¡¥¥, ¯à¨¬¥à¥ ¨á室®© ¯®áâ ®¢ª¨ § ¤ ç¨. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯® ¯à®è¥á⢨¨ ¥ª®â®à®£® ¢à¥¬¥¨, ¤¥¬® á㬥« ᮧ¤ âì à §®áâì ⥬¯¥à âãà T: TB > TA ; TB ; TA = T (.32) TB = T0 + 21 T; TA = T0 ; 21 T
«¥¥ ¤¥¬® ¢ë¡¨à ¥â ¡ëáâàãî ¬®«¥ªã«ã ¢ ®¡« á⨠A á ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¥© 3 T(1 + " ) ¨ ¯à ¢«ï¥â ¥¥ ¢ ®¡« áâì B. ⥬ ® ¢ë¡¨à ¥â ¬¥¤«¥ãî ¬®«¥ªã«ã 1 2 ¢ B á ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¥© 23 T(1 ; "2 ) ¨ ¤ ¥â ¥© ¯à®¨ªãâì ¢ A. «ï ⮣® çâ®¡ë ¯à® ¡«î¤ âì í⨠¤¢¥ ¬®«¥ªã«ë, ¤¥¬®ã âॡã¥âáï ¤¢ ᢥ⮢ëå ª¢ â ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥¥âáï 㢥«¨ç¥¨¥ ¥£® íâய¨¨: Sd = 2 hT!1 > 2 (.33) 0 ¡¬¥ ¬®«¥ªã« ¬¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯¥à¥®áã ¨§ A ¢ B í¥à£¨¨: (.34) Q = 23 T ("1 + "2 ) çâ®, á ãç¥â®¬ (.32), ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 㬥ìè¥¨î ¯®«®© íâய¨¨: 1 1 3 (" + " ) T : = ; (.35) Si = Q T ; T ;Q T 2 T 2 1 2 T B A ¥«¨ç¨ë "1 ¨ "2 ᪮॥ ¢á¥£® ¬ «ë, T T, ¨ ¯®í⮬ã: Si = ; 23 ; 1; â ª çâ® (.36) Sd + Si = 2 hT!1 ; 32 > 0 0
ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢â®à®¬ã ç «ã â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨. ®¦® à áᬮâà¥âì ¨ ¤à㣮© ¯à¨¬¥à { ¤¥¬® ¯à¨ ¨§ª®© ⥬¯¥à âãॠ( ¯à¨¬¥à ¢ ªà¨®áâ â¥), ⮣¤ ¥£® ⥬¯¥à âãà T2 T0 . ਠí⮬ ® ¬®¦¥â \«®¢¨âì" ª¢ âë h!, ¨á¯ã᪠¥¬ë¥ ¬®«¥ªã« ¬¨ £ § ¯à¨ ⥬¯¥à âãॠT0 . ®£¤ ¢¬¥áâ® à áᬮâà¥ëå ¢ëè¥ ãá«®¢¨© T1 > T0 ¨ h!1 > T0 ¨¬¥¥¬ ¥à ¢¥á⢠h ! > T2 ¨ T2 < T0 , á ª®â®à묨 ¢á¥ è¨ à áá㦤¥¨ï ¯®¢â®àïîâáï. ᥣ¤ 㦠¥ª®â®à ï à §®áâì ⥬¯¥à âãà, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¤¥¬® ¥ ¡ã¤¥â à ¡®â âì, ® áà ¡®â âì ¯à®â¨¢ ¢â®à®£® ç « ® ¥ ᬮ¦¥â ¨ª®£¤ . ®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë ¢ëà ¦ îâ ®ç¥ì ¢ ¦ë© 䨧¨ç¥áª¨© § ª®: 䨧¨ç¥áª®¥ ¨§¬¥à¥¨¥ ¯à¨¢®¤¨â, ¢ ª®¥ç®¬ ¨â®£¥, ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã 㢥«¨ç¥¨î íâய¨¨. ¬¥¥âáï ¥ª®â®àë© ¨¦¨© ¯à¥¤¥«, ¨¦¥ ª®â®à®£® ¨§¬¥à¥¨¥ áâ ®¢¨âáï
244
â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨.
¥¢®§¬®¦ë¬. àã¡® íâ®â ¯à¥¤¥« ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 㬥ì襨î íâய¨¨ 1( kB ). ®«¥¥ âé ⥫쮥 ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® â®ç®¥ § 票¥ í⮣® ¯à¥¤¥« ¥áâì kB ln2 0:7kB ®¤¨ ¡¨â ¯®«ã祮© ¨ä®à¬ 樨 [35]. â®, ®¤ ª®, ¥ ª®¥æ ¨áâ®à¨¨ á ¤¥¬®®¬ ªá¢¥«« . ®âï ¢á¥ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ à áá㦤¥¨ï ¥á®¬¥® á¯à ¢¥¤«¨¢ë, ¡®«¥¥ ¯®§¤¨¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯®ª § «¨, çâ® ¢ ¯à¨æ¨¯¥ áãé¥áâ¢ãîâ á¯®á®¡ë ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®«®¦¥¨ï ¬®«¥ªã«, ¥ á¢ï§ ë¥ á ¨å ®¡«ã票¥¬ ᢥ⮬ ¨ ¥ ¯à¨¢®¤ï騥 ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã à®áâã íâய¨¨ [37]. ®®¡é¥ ®ª § «®áì, çâ® ¥ª®â®àë¥ ®¯¥à 樨 ®¡à ¡®âª¨ ¤ ëå, ¢ª«îç ï, ¯à¨¬¥à, ¯¥à¥§ ¯¨áì ¤ ëå á ®¤®£® ãáâனá⢠¤à㣮¥, ¬®£ãâ ¡ëâì (¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥ëå ãá«®¢¨ïå) ᢮¡®¤ë ®â â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ®£à ¨ç¥¨©. à¨ç¨ ¦¥, ¯® ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¤¥¬® ¢á¥ à ¢® ¥ ᬮ¦¥â àãè¨âì ¢â®à®¥ ç «®, á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®«®¦¥¨¥ ¬®«¥ªã«ë, ® ¤®«¦¥ á ç « \§ ¡ëâì" ® १ã«ìâ ⥠¯à¥¤ë¤ã饣® ¨§¬¥à¥¨ï, â.¥. ã¨ç⮦¨âì ¨ä®à¬ æ¨î (\à ᯫ â¨âìáï" ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥)3. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ®ç¨é¥¨¥ ¯ ¬ï⨠( ¯à¨¬¥à ª®¬¯ìîâ¥à ) ¥áâì â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨ ¥®¡à ⨬ ï ®¯¥à æ¨ï, ¯à¨¢®¤ïé ï ª ®¡é¥¬ã ¢®§à áâ ¨î íâய¨¨ § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë4. ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¯®¤à®¡® à áᬠâਢ âì í⨠¨â¥à¥áë¥ ¢®¯à®áë, ¤¥â «¨ ¬®¦® ©â¨ ¢ [36, 37].
3 î¡®¥ á®áâ®ï¨¥ ¯ ¬ï⨠ª®¬¯ìîâ¥à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ᢮¨¬ 䨧¨ç¥áª¨¬ á®áâ®ï¨¥¬ ( ¡®à®¬ ⮪®¢, ¯à殮¨©, ¬ £¨ç¥®áâìî ¨ â.¯.). 4
᫨ ¤¥¬® ®¡« ¤ ¥â ®ç¥ì ¡®«ì让 ¯ ¬ïâìî, ® ¬®¦¥â, ª®¥ç®, ¯à®áâ® § ¯®¬¨âì १ã«ìâ âë ¢á¥å ¨§¬¥à¥¨©. ®£¤ «®£¨ç¥áª¨ ¥®¡à â¨¬ë¥ è £¨ ᮢ¥àè âìáï ¥ ¡ã¤ãâ. ஡«¥¬ , ®¤ ª®, ¢ ⮬, çâ® â ª ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì è £®¢ ¥ ï¥âáï â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ 横«®¬. ¥¬® ¯à¨ í⮬ 㢥«¨ç¨¢ ¥â íâய¨î ᢮¥© ¯ ¬ïâ¨, ç⮡ë 㬥ìè¨âì íâய¨î ®ªà㦠î饩 á।ë.
ਫ®¦¥¨¥
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
¨¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìæ¬ . áᬮâਬ ¢ë¢®¤ ®á®¢®£® ãà ¢¥¨ï ª¨¥â¨ç¥áª®© ⥮ਨ £ §®¢, ®¯à¥¤¥«ïî饣® äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï f(p; r; t) ¤«ï ®â¤¥«ìëå ⮬®¢ ¢ ®¡é¥¬ ¥à ¢®¢¥á®¬ á«ãç ¥ 1 . â® ãà ¢¥¨¥ ï¥âáï ®á®¢ë¬ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¬®¦¥á⢠§ ¤ ç 䨧¨ç¥áª®© ª¨¥â¨ª¨ £ §®¢ [5, 17]. «®£¨çë¥ ª¢ â®¢ë¥ ª¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ®¯¨áë¢ îâ ¥à ¢®¢¥áë¥ ¯à®æ¥ááë ¢ £ § å ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ª¢ ⮢ëå ¦¨¤ª®áâïå ¨ ⢥à¤ëå ⥫ å ¯à¨ ¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å.
᫨ á⮫ª®¢¥¨ï¬¨ ⮬®¢ ¬®¦® ¡ë«® ¡ë ¯à¥¥¡à¥çì, â® ª ¦¤ë© ⮬ ¯à¥¤áâ ¢«ï« ¡ë ᮡ®© § ¬ªãâãî ¯®¤á¨á⥬㠨 ¤«ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¡ë« ¡ë á¯à ¢¥¤«¨¢ ⥮६ ¨ã¢¨««ï, ¢ ᨫ㠪®â®à®© df = 0 (.1) dt ®« ï ¯à®¨§¢®¤ ï ®§ ç ¥â §¤¥áì ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¢¤®«ì ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¨ ⮬ , ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãà ¢¥¨ï¬¨ ¤¢¨¦¥¨ï. ®âáãâá⢨¥ ¢¥è¥£® ¯®«ï ¢¥«¨ç¨ ¨¬¯ã«ìá ᢮¡®¤® ¤¢¨¦ã饣®áï ⮬ ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ï®©, ¬¥ïîâáï ⮫쪮 ¥£® ª®®à¤¨ âë r. ®£¤ df = @f + vrf (.2) dt @t 1 ëè¥, ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¡®«ìæ¬ ®¢áª®© áâ â¨á⨪¨ (á¬. ¯à¨¬¥à (3.8), (3.28) ¨ â.¯.), íâ äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®¡®§ ç « áì ª ª n(p; q). «ï ¯à®áâ®âë ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ ®¤® ⮬ëå £ §®¢.
245
246
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
£¤¥ v { ᪮à®áâì.
᫨ ¦¥ £ § 室¨âáï ¢® ¢¥è¥¬ ¯®«¥ U(r), â® df = @f + vrf + F @f (.3) dt @t @p £¤¥ F = ;rU { ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ⮬ á® áâ®à®ë ¯®«ï. ¤ «ì¥©è¥¬ ¤«ï ªà ⪮á⨠¯®« £ ¥¬, çâ® ¢¥è¥¥ ¯®«¥ ®âáãâáâ¢ã¥â ¨ F = 0. ç¥â á⮫ª®¢¥¨© àãè ¥â à ¢¥á⢮ (.1), äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯¥à¥á⠥⠡ëâì ¯®áâ®ï®© ¢¤®«ì ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ¨ ¢¬¥áâ® (.1) 㦮 ¯¨á âì: df = St f (.4) dt £¤¥ ᨬ¢®« St f ®¡®§ ç ¥â ᪮à®áâì ¨§¬¥¥¨ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¡« £®¤ àï á⮫ª®¢¥¨ï¬. ᯮ«ì§ãï (.2) ¬®¦¥¬ ¯¨á âì: @f = ;vrf + St f; (.5) @t çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®«®¥ ¨§¬¥¥¨¥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ § ¤ ®© â®çª¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠, £¤¥ ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®© ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¥áâì ã¡ë«ì ç¨á« ⮬®¢ ¢ § ¤ ®¬ í«¥¬¥â¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠, á¢ï§ ï á ¨å ᢮¡®¤ë¬ ¤¢¨¦¥¨¥¬. ¥«¨ç¨ã St f §ë¢ îâ ¨â¥£à «®¬ á⮫ª®¢¥¨©, ãà ¢¥¨¥ (.4) { ª¨¥â¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬. ®¥ç®, ª¨¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨®¡à¥â ¥â á¬ë᫠⮫쪮 ¯®á«¥ ãáâ ®¢«¥¨ï £® ¢¨¤ ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨©. «ï ª ç¥á⢥®£® «¨§ ª¨¥â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¢ £ §¥ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï £àã¡ ï ®æ¥ª ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨© á ¯®¬®éìî ¯®ïâ¨ï ¢à¥¬¥¨ ᢮¡®¤®£® ¯à®¡¥£ { á।¥£® ¢à¥¬¥¨ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì묨 á⮫ª®¢¥¨ï¬¨ ⮬®¢ ( { ¯à¨¡«¨¦¥¨¥): St f ; f ; f0 (.6) £¤¥ f0 { à ¢®¢¥á ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ¨á«¨â¥«ì í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ®¡à 饨¥ ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨© ¢ ã«ì ¢ à ¢®¢¥á®¬ á«ãç ¥, § ª ¬¨ãá ¢ëà ¦ ¥â â®â ä ªâ, çâ® á⮫ª®¢¥¨ï ïîâáï ¬¥å ¨§¬®¬ ãáâ ®¢«¥¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï, â.¥. áâ६ïâáï 㬥ìè¨âì ®âª«®¥¨¥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®â à ¢®¢¥á®©. í⮬ á¬ëá«¥ ¢¥«¨ç¨ ¨£à ¥â à®«ì ¢à¥¬¥¨ ५ ªá 樨 ¤«ï ãáâ ®¢«¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï ¢ ª ¦¤®¬ í«¥¬¥â¥ ®¡ê¥¬ £ § . ®á«¥¤®¢ ⥫ìë© ¢ë¢®¤ ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨© ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ £ §¥ ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¬¥â®¤®¬ ®£®«î¡®¢ , ª®â®àë© ¤ ¥â ॣã«ïàãî ¯à®æ¥¤ãàã ¯®«ãç¥¨ï ¥ ⮫쪮 ¯à®á⥩襣® ãà ¢¥¨ï ®«ìæ¬ (ª®â®à®¥ ¥á«®¦® ¯®«ãç¨âì ¨ ¨§ ç¨áâ® í¢à¨áâ¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥¨© [17]), ® ¨ ¯®¯à ¢®ª ª ¥¬ã. ¨¦¥ ¬ë, ®¤ ª®, ®£à ¨ç¨¬áï «¨èì ¢ë¢®¤®¬ ¨¬¥® ¡®«ìæ¬ ®¢áª®£® ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨©, 祣® ¢¯®«¥ ¤®áâ â®ç® ¤«ï ¨««îáâà 樨 ®¡é¥£® ¬¥â®¤ . áå®¤ë¬ ¯ãªâ®¬ ¬¥â®¤ ®£®«î¡®¢ ï¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ 楯®çª¨ ãà ¢¥¨© ¤«ï ç áâ¨çëå äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï (1.93): s Z @U(jr ; r j) @F @Fs = fH (s) ; F g + N X i s+1 s+1 s @t V i=1 @ ri @ pi drs+1dps+1
(.7)
247
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
ª®¥ç®¬ áç¥â¥ ¬ë ¤®«¦ë ¯®áâநâì § ¬ªã⮥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ®¤®ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï f(p; r; t) = NV F1 (r; p; t) 2 . «ï F1(r; p; t) ¨§ (.7) ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᪮¡®ª ã áá® ¥¬¥¤«¥® ¨¬¥¥¬ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ 楯®çª¨ ¢ ¢¨¤¥: @F1 (t; 1) + v @F1 (t; 1) = N Z @U12 @F2 (t; 1; 2 ) d (.8) 1 2 @t @ r1 V @ r1 @ p1 £¤¥, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¢¢¥¤¥ë à£ã¬¥âë = r; p. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¢â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ 楯®çª¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: @F2 + v @F2 + v @F2 ; @U12 @F2 ; @U12 @F2 = 1 @t @ r1 2 @Zr2 @ r1 @ p1 @ r2 @ p2 @F3 @U13 + @F3 @U23 =N d (.9) 3 V @p @r @p @r 1
1
2
2
¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¨â¥£à «, áâ®ï騩 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ¬ «. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯®â¥æ¨ « ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï U(r) § ¬¥â® ®â«¨ç¥ ®â ã«ï ⮫쪮 ¢ ¯à¥¤¥« å à ¤¨ãá ¤¥©á⢨ï ᨫ d, â.¥. ¯à¨ r < d. ®í⮬㠢 à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¨â¥£à «¥ ¯® d 3 ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ª®®à¤¨ â ¬ ¯à®¨á室¨â ä ªâ¨ç¥áª¨ «¨èì ¯® ®¡« áâï¬R jr1 ; r3j < d ¨«¨ jr2 ; r3j < d, â.¥. ¯® ®¡ê¥¬ã d3. ᯮ«ì§ãï (1.81) ¨¬¥¥¬ V1 F3d 3 = F2 , £¤¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® ¢á¥¬ã ä §®¢®¬ã ®¡ê¥¬ã. ®£¤ ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî ®æ¥ªã: N Z @F3 @U13 d @U(r) @F2 d3 (.10) V @ p1 @ r1 3 @r @p1 a3 £¤¥ a { á।¥¥ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨ ¢ £ §¥. ®£¤ ïá®, çâ® ¯à ¢ ï áâ®à® ãà ¢¥¨ï (.9) ¬ « ¯® ¯ à ¬¥âàã (d=a)3 (£ § áç¨â ¥âáï ¤®áâ â®ç® à §à¥¦¥ë¬!) ¯® áà ¢¥¨î á ç«¥ ¬¨, ᮤ¥à¦ 騬¨ @U=@r ¢ «¥¢®© ç áâ¨. ®í⮬㠥© ¬®¦® ¯à®áâ® ¯à¥¥¡à¥çì. ®¢®ªã¯®áâì á« £ ¥¬ëå ¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«ãî ¯à®¨§¢®¤ãî dF2=dt, ¢ ª®â®à®© r1; r2; p1; p2 à áᬠâਢ îâáï ª ª äãªæ¨¨ ¢à¥¬¥¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãà ¢¥¨ï¬ ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï § ¤ ç¨ ¤¢ãå ⥫ á £ ¬¨«ì⮨ ®¬:
p1 + p2 + U(jr1 ; r2j) H = 2m 2m 2
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬:
2
(.11)
d F (t; ; ) = 0 (.12) dt 2 1 2 ® á¨å ¯®à è¥ à áᬮâ२¥ ®á¨«® ç¨áâ® ¬¥å ¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à. «ï ¢ë¢®¤ ª¨¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¥®¡å®¤¨¬® ᤥ« âì ¥ª®â®àë¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® å à ªâ¥à . ¨¬¥®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¢á¥ áâ «ª¨¢ î騥áï ¢ à §à¥¦¥®¬ £ §¥ ç áâ¨æë ïîâáï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨. â® ã⢥ত¥¨¥ ¡ã¤¥â ¨£à âì ஫ì ç «ì®£® ãá«®¢¨ï ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î (.12). ¬¥® ®® ¢®á¨â ᨬ¬¥âà¨î ¯® ®â®è¥¨î ª ®¡®¨¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ ¢à¥¬¥¨, ¢ १ã«ìâ ⥠祣® ¨§ ¨¢ ਠâëå ª ®¡à é¥¨î ¢à¥¬¥¨ ãà ¢¥¨© ¬¥å ¨ª¨ ¯®«ãç ¥âáï ¥®¡à ⨬®¥ ª¨¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥. ãâì ¤¥« §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® ª®à५ïæ¨ï ¬¥¦¤ã ª®®à¤¨ â ¬¨ ¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ç áâ¨æ £ § ¢®§¨ª ¥â «¨èì ¢ â¥ç¥¨¥ 2 ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï f (p; r) ®à¬¨à®¢ ¯®«®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ (3.28), F1 (r; p; t) ¥¤¨¨æã, ᮣ« á® (1.80).
248
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
¤®áâ â®ç® ª®à®âª®£® ¢à¥¬¥¨ á⮫ª®¢¥¨ï d=v (v { á।ïï ᪮à®áâì ç áâ¨æ £ § ) ¨ à á¯à®áâà ï¥âáï à ááâ®ï¨ï ¯®à浪 d. ãáâì t0 { ¥ª®â®àë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨, ¯à¥¤è¥áâ¢ãî騩 á⮫ª®¢¥¨î, ª®£¤ ¤¢¥ ç áâ¨æë 室ïâáï ¤®áâ â®ç® ¤ «¥ª® ¤à㣠®â ¤à㣠(jr10 ; r20j d, £¤¥ ¨¤¥ªá ã«ì ®â«¨ç ¥â § ç¥¨ï ¢¥«¨ç¨ ¢ íâ®â ¬®¬¥â). â â¨áâ¨ç¥áª ï ¥§ ¢¨á¨¬®áâì áâ «ª¨¢ îé¨åáï ç áâ¨æ ®§ ç ¥â, çâ® ¢ â ª®© ¬®¬¥â t0 ¤¢ãåç áâ¨ç ï äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï F2 ä ªâ®à¨§ã¥âáï ®¤®ç áâ¨çë¥ äãªæ¨¨ F1. ®í⮬㠨⥣à¨à®¢ ¨¥ ãà ¢¥¨ï (.12) ®â t0 ¤® t ¤ ¥â: F2(t; 1; 2) = F1(t0 ; 10)F1(t0 ; 20)
(.13)
¤¥áì 10 = (r10; p10) ¨ 20 = (r20; p20) 㦮 ¯®¨¬ âì ª ª ⥠§ ç¥¨ï ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ, ª®â®àë¥ ¤®«¦ë ¨¬¥âì ç áâ¨æë ¢ ¬®¬¥â t0 ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ª ¬®¬¥âã t ¯à¨®¡à¥á⨠âà¥¡ã¥¬ë¥ § 票ï 1 = (r1; p1) ¨ 2 = (r2; p2). í⮬ á¬ëá«¥ 10 ¨ 20 ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ ®â 1 ; 2 ¨ t ; t0. ®«¥¥ ⮣®, ®â t ; t0 § ¢¨áïâ ⮫쪮 r10 ¨ r20, § 票ï p10 ¨ p20, ®â®áï騥áï ª ᢮¡®¤®¬ã ¤¢¨¦¥¨î ç áâ¨æ ¯¥à¥¤ á⮫ª®¢¥¨¥¬, ®â ¢ë¡®à t ; t0 ¥ § ¢¨áïâ. ¥à¥¬áï ª ãà ¢¥¨î (.8) | ¡ã¤ã饬㠪¨¥â¨ç¥áª®¬ã ãà ¢¥¨î.
£® «¥¢ ï áâ®à® 㦥 ¨¬¥¥â âà¥¡ã¥¬ë© ¢¨¤, ® á ⥯¥àì ¨â¥à¥áã¥â ¯à ¢ ï ç áâì, ª®â®à ï ¤®«¦ ¯à¥¢à â¨âìáï ¢ ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨©. ®¤áâ ¢¨¬ â㤠F2 ¨§ (.13) ¨ ¯¥à¥©¤¥¬ ®â äãªæ¨¨ F1 ª f(p; r; t) = NV F1(r; p; t). ®£¤ ¯®«ã稬: £¤¥
@f(t; 1 ) + v @f(t; 1 ) = St f 1 @t @ r1 St f =
Z
12 @ d 2 @U @ r @ p [f(t0 ; 10)f(t0 ; 20)] 1
1
(.14) (.15)
¨â¥£à «¥ (.15) áãé¥á⢥ ⮫쪮 ®¡« áâì jr2 ; r1 j d | ®¡« áâì, £¤¥ ¯à®¨á室¨â ॠ«ì®¥ á⮫ª®¢¥¨¥ ç áâ¨æ. í⮩ ®¡« áâ¨, ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨, ¬®¦® ¢®®¡é¥ ¯à¥¥¡à¥çì ª®®à¤¨ ⮩ § ¢¨á¨¬®áâìî äãªæ¨¨ f, ¯®áª®«ìªã ® § ¬¥â® ¬¥ï¥âáï ¬ áèâ ¡ å ¯®à浪 ¤«¨ë ¯à®¡¥£ l, áãé¥á⢥® ¯à¥¢ëè îé¨å d. ª®ç ⥫ìë© ¢¨¤ ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨©, á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥ ¨§¬¥¨âáï, ¥á«¨ ¬ë ¢®®¡é¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯à®áâà á⢥® ®¤®à®¤ë© á«ãç ©, ¯à¥¤¯®«®¦¨¢, çâ® äãªæ¨ï f ¥ § ¢¨á¨â ®â ª®®à¤¨ â. ᮮ⢥âá⢨¨ ᮠ᪠§ ë¬ çãâì ¢ëè¥, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ äãªæ¨ïå f(t0 ; p10) ¨ f(t0 ; p10) ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì ¨ © (ç¥à¥§ r10(t); r20(t)) § ¢¨á¨¬®áâìî ®â ¢à¥¬¥¨. ८¡à §ã¥¬ ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (.15), ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì (.12)) á ãç¥â®¬ ®âáãâá⢨ï © § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢à¥¬¥¨: d f(t ; p )f(t ; p ) = v @ + v @ ; @U12 @ ; @U12 @ f(t ; p )f(t ; p ) = 0 1 0 10 0 20 dt 0 10 0 20 @ r1 2 @ r2 @ r1 @ p1 @ r2 @ p2 (.16) ëà §¨¬ ®âáî¤ ¯à®¨§¢®¤ãî ¯® p1 ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® r1; r2 ¨ p2 ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (.15). «¥ á ¯à®¨§¢®¤®© @=@ p2 ¨á祧 ¥â ¯®á«¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (¯® ⥮६¥ ãáá ) ¢ ¨â¥£à « ¯® ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à®áâà á⢥. ®á«¥ í⮣® ¯®«ãç ¥¬: Z St f(t; p1 ) = v12 @@r [f(t0 ; p10)f(t0 ; p20)]d3rd3p2 (.17)
249
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
£¤¥ ¢¢¥¤¥ ®â®á¨â¥«ì ï ᪮à®áâì ç áâ¨æ v12 = v1 ; v2 ¨ ãç⥮, çâ® p10 ¨ p20, á ¨¬¨ ¨ ¢á¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å, § ¢¨áïâ ¥ ®â r1 ¨ r2 ¯® ®â¤¥«ì®áâ¨, «¨èì ®â à §®á⨠r = r1 ; r2 . ¢¥¤¥¬ ¢¬¥áâ® r = (x; y; z) 樫¨¤à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ âë z; ; ' á ®áìî z ¢¤®«ì v12 . ¬¥ç ï, çâ® v12@=@ r = v12@=@z, ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯® dz, ¯¥à¥¯¨è¥¬ (.17) ¢ ¢¨¤¥:
Z
3 St f(t; p1 ) = [f(t0 ; p10)f(t0 ; p20)] 1 ;1 v12 dd'd p2
(.18)
£¤¥ ¯à¥¤¥«ë z = 1 㦮 ¯®¨¬ âì ª ª à ááâ®ï¨ï ¡®«ì訥 ¯® áà ¢¥¨î á d, ® ¬ «ë¥ ¯® áà ¢¥¨î á ¤«¨®© ¯à®¡¥£ l. â® á¢ï§ ® á ⥬, çâ® ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â (.15) ª (.18) ¨á¯®«ì§®¢ «®áì ãà ¢¥¨¥ (.16), á¯à ¢¥¤«¨¢®¥ «¨èì ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ç áâ¨æë ¥ ¨á¯ëâ îâ á«¥¤ãî饣® á⮫ª®¢¥¨ï. ᯮ¬¨¬ ⥯¥àì, çâ® p10 ¨ p20 { ç «ìë¥ (¢ ¬®¬¥â t0 ) ¨¬¯ã«ìáë ç áâ¨æ, ª®â®àë¥ ¢ ª®¥çë© ¬®¬¥â t ¨¬¥îâ ¨¬¯ã«ìáë p1 ¨ p2.
᫨ ¢ ª®¥çë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ z = z1 ; z2 = ;1, ç áâ¨æë 1 ¨ 2 室ïâáï à ááâ®ï¨¨ § ¢¥¤®¬® ¯à¥¢ëè î饬 d ¨ ¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ¤àã£ á ¤à㣮¬, á⮫ª®¢¥¨ï ¥é¥ ¥ ¡ë«®, â ª çâ® ç «ìë¥ ¨ ª®¥çë¥ ¨¬¯ã«ìáë ᮢ¯ ¤ îâ: p10 = p1; p20 = p2 ¯à¨ z = ;1.
᫨ ¦¥ ¢ ª®¥çë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ z = +1, â® á⮫ª®¢¥¨¥ 㦥 ¯à®¨§®è«®, ¢ १ã«ìâ ⥠祣® ç áâ¨æë ¯à¨®¡à¥«¨ ¨¬¯ã«ìáë p1 ¨ p2. í⮬ á«ãç ¥ ®¡®§ 稬 p10 = p01 () ¨ p20 = p02 () ¯à¨ z = 1. ⨠§ ç¥¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ ª®®à¤¨ âë , ¨£à î饩 à®«ì ¯à¨æ¥«ì®£® ¯ à ¬¥âà , ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ dd' = d
(.19)
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª« áá¨ç¥áª®¥ íä䥪⨢®¥ á¥ç¥¨¥ à áá¥ï¨ï [13]. ¬¥â¨¬, ª®¥æ, çâ® ï¢ãî § ¢¨á¨¬®áâì äãªæ¨© f(t0 ; p10) ¨ f(t0 ; p20) ®â t0 ¬®¦® § ¬¥¨âì, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨, â ª®© ¦¥ § ¢¨á¨¬®áâìî ®â t. á ¬®¬ ¤¥«¥, á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ã⢥ত¥¨ï (.13) âॡã¥â «¨èì ᮡ«î¤¥¨ï ¥à ¢¥á⢠t ; t0 d=v: ¢ ¬®¬¥â t0 à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨ ¤®«¦® ¡ëâì ¢¥«¨ª® ¯® áà ¢¥¨î á à ¤¨ãᮬ ¤¥©á⢨ï ᨫ d. ⮦¥ ¢à¥¬ï, à §®áâì t ; t0 ¬®¦® ¢ë¡à âì â ª, ç⮡ë 㤮¢«¥â¢®àï«®áì ãá«®¢¨¥ t ; t0 l=v, £¤¥ l { ¤«¨ ¯à®¡¥£ . â®è¥¨¥ l=v ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢à¥¬ï ᢮¡®¤®£® ¯à®¡¥£ , ª®â®à®¥ ª ª à § ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â å à ªâ¥à®¥ ¢à¥¬ï ¨§¬¥¥¨ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ®£¤ ¨§¬¥¥¨¥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï § ¢à¥¬ï t ; t0 ¡ã¤¥â ®â®á¨â¥«ì® ¬ «ë¬ ¨ ¨¬ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì. ãç¥â®¬ ᤥ« ëå ã⢥ত¥¨© ¯à¨¢®¤¨¬ (.18) ª ®ª®ç ⥫쮬㠢¨¤ã:
Z
St f(t; p1 ) = [f(t; p01)f(t; p0 2 ) ; f(t; p1 )f(t; p2 )]v12dd3p2
(.20)
§ë¢ ¥¬®¬ã ¨â¥£à «®¬ á⮫ª®¢¥¨© ®«ìæ¬ . ¨¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ (.5) á â ª¨¬ ¨â¥£à «®¬ á⮫ª®¢¥¨© §ë¢ ¥âáï ª¨¥â¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ®«ìæ¬ . ®«ìæ¬ ¯®«ã稫 ¢¨¤ ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨© ¨§ ¯à®áâëå í¢à¨áâ¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥¨© ¨ ¥âਢ¨ «ì®© £¨¯®â¥§ë ® ¬®«¥ªã«ï஬ å ®á¥. á®, çâ® ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨© St f = R ; R, £¤¥ R { ᪮à®áâì 㢥«¨ç¥¨ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï f(r; p1; t) § áç¥â á⮫ª®¢¥¨© ⮬®¢ ¢ £ §¥, R { ᪮à®áâì ¥¥ 㬥ìè¥¨ï § áç¥â íâ¨å ¦¥ á⮫ª®¢¥¨©. ¯à¥¤¥«¨¬ á ç « ¢¥«¨ç¨ã R. «ï í⮣® à áᬮâਬ ª ª®© { ¨¡ã¤ì ⮬ ¢ í«¥¬¥â¥ ®¡ê¥¬ d3r ¢¡«¨§¨ â®çª¨ r, ¨¬¯ã«ìá ª®â®à®£® «¥¦¨â ¢ í«¥¬¥â¥ ®¡ê¥¬ ¨¬¯ã«ìᮣ® ¯à®áâà á⢠d3p1 ¢¡«¨§¨ p1 . ⮬ ¦¥ á ¬®¬ ¯à®áâà á⢥®¬ ®¡ê¥¬¥ ¨¬¥îâáï ⮬ë á ¯à®¨§¢®«ì묨 ¨¬¯ã«ìá ¬¨ p2, ª®â®àë¥
250
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¯ã箪 ç áâ¨æ, ¯ ¤ îé¨å ⮬, ¨¬¥î騩 ¨¬¯ã«ìá p1. «®â®áâì ¯®â®ª ¯ ¤ îé¨å ⮬®¢ à ¢ : I = f(r; p2; t)d3p2jv1 ; v2j: (.21) ®£« á® £¨¯®â¥§¥ ¬®«¥ªã«ïண® å ®á , äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï f ¢ (.21) ᮢ¯ ¤ ¥â á à áᬠâਢ ¥¬®© ¬¨ äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ¯®¤«¥¦ 饩 ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨§ ª¨¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï. â® ª ¦¥âáï ¯®ç⨠®ç¥¢¨¤ë¬, ® ª ª à § íâ® ¨ ¥áâì ®á®¢®© ¬®¬¥â ¢ë¢®¤ , ¥ ¨¬¥î騩 áâண®£® ®¡®á®¢ ¨ï. ¨á«® á⮫ª®¢¥¨© ⨯ p2 ; p2 ! p01 ; p02 , ¯à®¨á室ïé¨å ¢ í«¥¬¥â¥ ®¡ê¥¬ d3 r ¢ ¥¤¨¨æ㠢६¥¨, à ¢®: Id = f(r; p2; t)jv1 ; v2 jd (.22) ª®à®áâì 㬥ì襨ï R äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®«ãç ¥âáï ¢ १ã«ìâ ⥠á㬬¨à®¢ ¨ï (.22) ¯® ¢á¥¬ § ç¥¨ï¬ p2 ¨ 㬮¦¥¨¥¬ ¯®«ã祮£® १ã«ìâ â ¯à®áâà á⢥ãî ¯«®â®áâì ⮬®¢ ¢ í«¥¬¥â¥ ®¡ê¥¬ d3p1 ¯à®áâà á⢠᪮à®á⥩: Z R = f(r; p1; t) d3p2 djv1 ; v2jf(r; p2; t) (.23) «ï í⮣® à áᬮâਬ ®¤®¡ë¬ ¦¥ ®¡à §®¬ ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì ¨ ¢¥«¨ç¨ã R. á⮫ª®¢¥¨ï p0 1; p02 ! p1; p2, £¤¥ ¨¬¯ã«ìá p1 áç¨â ¥âáï 䨪á¨à®¢ ë¬. ãáâì ⮬, ¨¬¥î騩 ¨¬¯ã«ìá p01, ¯ ¤ ¥â ¯ã箪 ⮬®¢ á ¨¬¯ã«ìá ¬¨ p0 2. «®â®áâì ¯®â®ª ¯ ¤ îé¨å ⮬®¢ à ¢ : f(r; p0 2; t)d3p02 jv02 ; v01 j: (.24) ¨á«® á⮫ª®¢¥¨© à áᬠâਢ ¥¬®£® ⨯ ¢ ¥¤¨¨æ㠢६¥¨ à ¢®: f(r; p02 ; t)d3p02jv02 ; v01 jd0: (.25) ª®à®áâì 㢥«¨ç¥¨ï R äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «®¬: Z 3 Rd p1 = d3p02d0 jv02 ; v0 1j[f(r; p01; t)d3p01 ]f(r; p02 ; t): (.26) ᨫ㠮¡à ⨬®á⨠ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ¬¥å ¨ª¨ á¥ç¥¨ï ¯à®æ¥áᮢ à áá¥ï¨ï, ®¡à âëå ¯® ®â®è¥¨î ¤à㣠ª ¤àã£ã, à ¢ë: d = d0 . ஬¥ ⮣®, ¨§ § ª®®¢ á®åà ¥¨ï á«¥¤ã¥â (à áᬠâਢ ¥¬ ã¯à㣨¥ á⮫ª®¢¥¨ï!): jv1 ; v2 j = jv01 ; v0 2j d3p1 d3p2 = d3p01d3 p02: (.27) ®£¤ Z R = d3 p2djv1 ; v2 jf(r; p01; t)f(r; p02 ; t): (.28)
¥®¡å®¤¨¬® ®â¬¥â¨âì, çâ® §¤¥áì ¨¬¯ã«ìá p1 § ¤ , ⮣¤ ª ª p01 ¨ p02 ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ p1; p2. ¨ ¢¢®¤ï ®ç¥¢¨¤ë¥ ᮪à é¥ë¥ ¡ê¥¤¨ïï ©¤¥ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï R ¨ R, ®¡®§ 票ï, ¯®«ãç ¥¬: Z St f = R ; R = d3p2 djv1 ; v2 j(f10 f20 ; f1 f2 ) (.29) ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á (.20).
251
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
H { ⥮६ . ।®áâ ¢«¥ë© á ¬®¬ã ᥡ¥ ¥à ¢®¢¥áë© £ §, ª ª ¨ ¢áïª ï § ¬ªãâ ï ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª ï á¨á⥬ , áâ६¨âáï ¯¥à¥©â¨ ¢ à ¢®¢¥á®¥ á®áâ®ï¨¥. ®®â¢¥âá⢥® í¢®«îæ¨ï ¥à ¢®¢¥á®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ᮣ« á® ª¨¥â¨ç¥áª®¬ã ãà ¢¥¨î ¤®«¦ ᮯ஢®¦¤ âìáï à®á⮬ íâய¨¨ £ § . ®ª ¦¥¬, çâ® íâ® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® â ª. ëè¥ ¬ë ¯®ª § «¨ (á¬. (3.25), (3.30)), çâ® íâய¨ï ¨¤¥ «ì®£® £ § , 室ï饣®áï ¢ ¥à ¢®¢¥á®¬ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ á®áâ®ï¨¨, ®¯¨áë¢ î饬áï äãªæ¨¥© à á¯à¥¤¥«¥¨ï f, à ¢ : Z S = f ln fe dV d3p: (.30)
¨ää¥à¥æ¨àãï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¯® ¢à¥¬¥¨, § ¯¨è¥¬: dS = Z @ f ln e dV d3 p = ; Z ln f @f dV d3p: (.31) dt @t f @t ®áª®«ìªã ãáâ ®¢«¥¨¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï ¢ £ §¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï á⮫ª®¢¥¨ï¬¨ ¬®«¥ªã«, â® ¢®§à áâ ¨¥ íâய¨¨ ¤®«¦® ¡ëâì á¢ï§ ® ¨¬¥® á® á⮫ª®¢¨â¥«ì®© ç áâìî ¨§¬¥¥¨ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï. §¬¥¥¨¥ ¦¥ í⮩ äãªæ¨¨, á¢ï§ ®¥ ᮠ᢮¡®¤ë¬ ¤¢¨¦¥¨¥¬ ⮬®¢, ¥ ¬®¦¥â ¨§¬¥¨âì íâய¨¨ £ § . ¥©á⢨⥫ì®, íâ ç áâì ¨§¬¥¥¨ï äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¤ ¥âáï (¤«ï £ § ¢® ¢¥è¥¬ ¯®«¥) ¯¥à¢ë¬¨ ¤¢ã¬ï ç«¥ ¬¨ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï: @f = ;vrf ; F @f + St f: (.32) @t @p å ¢ª« ¤ ¢ ¯à®¨§¢®¤ãî dS=dt à ¢¥:
Z @ v @r + F @@p f ln fe dV d3p: (.33) â¥£à « ¯® dV ®â ç«¥ á ¯à®¨§¢®¤®© @=@ r ¯à¥®¡à §ã¥âáï ᮣ« ᮠ⥮६¥ ãáá ¢ ¨â¥£à « ¯® ¯®¢¥àå®áâ¨, ® ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì, ¯®áª®«ìªã § ¯à¥¤¥« ¬¨ § ¨¬ ¥¬®£® £ §®¬ ®¡ê¥¬ f = 0. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ç«¥ á ¯à®¨§¢®¤®© @=@ p 3 Z
@f 3 ; ln f ;v @f @ r ; F @ p dV d p =
¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯® d p ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¢ ¨â¥£à « ¯® ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à®áâà á⢥ ¨ ⮦¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¨§¬¥¥¨ï íâய¨¨ ®áâ ¥âáï: dS = ; Z ln fSt fd3 pdV: (.34) dt ®¤áâ ¢«ïï áî¤ ¡®«ìæ¬ ®¢áª¨© ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨© (.29), ¯®«ãç ¥¬: dS = ; Z d3p Z dp3djv ; v j(f 0 f 0 ; f f ) ln f : (.35) 1 1 2 2 1 2 1 1 2 dt â®â ¨â¥£à « ¥ ¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¢§ ¨¬®© ¯¥à¥áâ ®¢ª¥ ¯¥à¥¬¥ëå p1; p2, ¯®áª®«ìªã á¥ç¥¨¥ à áá¥ï¨ï ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® í⮩ ¯¥à¥áâ ®¢ª¨. ®¢¥àè ï
252
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
íâã § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¨ ¡¥àï ¯®«®¢¨ã ®â áã¬¬ë ®¢®£® ¢ëà ¦¥¨ï ¨ ¯à¥¦¥£® ¢ëà ¦¥¨ï (.35), ¯®«ãç ¥¬: dS = ; 1 Z d3p Z d3p djv ; v j(f 0 f 0 ; f f ) ln(f f ): (.36) 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 dt 2 â®â ¨â¥£à « â ª¦¥ ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® ¢§ ¨¬®© ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ p1; p2 ¨ p01; p02, â ª ª ª ª ¦¤®¬ã ¯àאַ¬ã á⮫ª®¢¥¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¡à ⮥ á⮫ª®¢¥¨¥ á ⥬ ¦¥ á ¬ë¬ á¥ç¥¨¥¬ à áá¥ï¨ï. «¥¤®¢ â¥«ì® ¬®¦® ¯¨á âì: dS = ; 1 Z d3p0 Z d3p0 d0 jv0 ; v0 j(f f ; f 0 f 0 ) ln(f 0 f 0 ): (.37) 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 dt 2 ¬¥ç ï, çâ® d3p01 d3p02 = d3 p1d3p2 ¨ jv02 ; v01 j = jv2 ; v1 j ¨ d0 = d, ¢®§ì¬¥¬ ¯®«®¢¨ã áã¬¬ë ¢ëà ¦¥¨© (.36), (.37), ¢ १ã«ìâ ⥠祣® ¯®«ã稬: dS = ; 1 Z d3p Z d3p djv ; v j(f 0 f 0 ; f f )[ln(f f ) ; ln(f 0 f 0 )]: (.38) 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 dt 4 ®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (.38) ¨ª®£¤ ¥ ¡ë¢ ¥â ¯®«®¦¨â¥«ìë¬, çâ® ïá® ¯®á«¥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï 㦥 ¨§¢¥á⮣® ¬ ¥à ¢¥á⢠ln x < x ; 1. ®®â¢¥âá⢥®, ¬ë ¤®ª § «¨ H{⥮६㠮«ìæ¬ : dS dt 0, çâ® íª¢¨¢ «¥â® § ª®ã ¢®§à áâ ¨ï íâய¨¨ 3 . ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® dS dt = 0 ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (.38) ⮦¤¥á⢥® à ¢® ã«î. â® ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮫쪮 ª®£¤ ¢å®¤ï騥 ¢ ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï à ¢ë ¨å à ¢®¢¥áë¬ ¡®«ìæ¬ ®¢áª¨¬ ¢ëà ¦¥¨ï¬. âáî¤ , ªáâ â¨, ïá®, çâ® ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ìëå ç «ìëå ãá«®¢¨ïå äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï f(p; t) áâ६¨âáï ¯à¨ t ! 1 áâ६¨âáï ª à ¢®¢¥á®¬ã § 票î.
¢ â®¢ë¥ ª¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï. ¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâà¥¨î ª¢ ⮢ëå ª¨¥â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. è § ¤ ç á®á⮨⠢ ¢ë¢®¤¥ § ¬ªã⮣® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ®¤®ç áâ¨ç®© ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠¨§ ¡®£®«î¡®¢áª®© 楯®çª¨ ãà ¢¥¨© ¤«ï ç áâ¨çëå ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠⨯ (1.163). áᬠâਢ ¥¬ë© ¨¦¥ ¢ ਠ⠬¥â®¤ ®£®«î¡®¢ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ëàﮢã [38]. â àâ㥬 á ª¢ ⮢®£® ãà ¢¥¨ï ¨ã¢¨««ï (1.128) ¤«ï ¯®«®© (N { ç áâ¨ç®©) ¬ âà¨æë ¯«®â®áâ¨: (.39) ih @ @t = [H; ] H ; H 㤥¬ à ¡®â âì ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï, ¯®áâ஥®¬ ᮡá⢥ëå äãªæ¨ïå £ ¬¨«ì⮨ \᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ": H0 = j >= E j >
(.40)
3 §¢ ¨¥ H {⥮६ ¨¬¥¥â ¨áâ®à¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à | ¢ à ¡®â å ®«ìæ¬ à áᬠâਢ « áì ¢¥«¨ç¨ H = ;S .
253
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
H0 =
X
E a+ a
(.41)
£¤¥ a+ ; a | ®¯¥à â®àë ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï ä¥à¬¨®®¢ ¨«¨ ¡®§®®¢ ¢ ª¢ ⮢®¬ á®áâ®ï¨¨ j >. ®¤ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ¡®à ª¢ ⮢ëå ç¨á¥«, å à ªâ¥à¨§ãîé¨å ¤ ë¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï. é¥ ¢á¥£® ¨¬¥îâáï ¢¢¨¤ã ᢮¡®¤ë¥ ç áâ¨æë, å à ªâ¥à¨§ã¥¬ë¥ ¨¬¯ã«ìᮬ (ª¢ §¨¨¬¯ã«ìᮬ) ¨ ᯨ®¬: j >= jp; >= eipr=h , £¤¥ { ᯨ®¢ ï ç áâì ¢®«®¢®© äãªæ¨¨. ਠí⮬ ¢ ®âáãâá⢨¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï E Ep = p2 =2m. ¤ ª® ¬®¦® à áᬮâà¥âì ¨ ¬¥¥¥ âਢ¨ «ìë¥ á«ãç ¨. ¯à¨¬¥à ¬®¦¥â ¡ëâì ¡®à®¬ ª¢ ⮢ëå ç¨á¥« ¤ ã ¤«ï í«¥ªâà® ¢ ®¤®à®¤®¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥: = fn; pz ; g, íâ® ¬®£ãâ ¡ëâì ª¢ â®¢ë¥ ç¨á« ã஢¥© ¢ ª ª®©-â® ¤à㣮© â®ç® à¥è ¥¬®© § ¤ ç¥, ª®£¤ £ ¬¨«ì⮨ 㤠¥âáï ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¤¨ £® «ì®¬ ¢¨¤¥ (.41). ¯¥à â®àë ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¡ëçë¬ ª®¬¬ãâ æ¨®ë¬ á®®â®è¥¨ï¬: [a ; a+ 0 ] = 0 (.42) [a ; a 0 ] = 0 [a+ ; a+ 0 ] = 0 (.43) £¤¥ ®â®á¨âáï ª ä¥à¬¨® ¬ ¨ ¡®§® ¬ ᮮ⢥âá⢥®. ।¯®« £ ¥¬, çâ® í⨠®¯¥à â®àë ¢§ïâë ¢ è।¨£¥à®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨, â.¥. ¥ § ¢¨áï騬¨ ®â ¢à¥¬¥¨. è 楫ì á®á⮨⠢ ¯®«ã票¨ ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¤®ç áâ¨çëå ¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨, ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ (1.163) ª ª: F1 0 =< jF1j 0 >= Spa+ a 0 < a+ a 0 >
(.44)
áâ¥á⢥®, ¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã à áᬮâà¥âì á«ãç © ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ, ª®£¤ ¯®«ë© £ ¬¨«ì⮨ á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤: H = H0 + V
(.45)
£¤¥ V { ¥ª®â®àë© £ ¬¨«ì⮨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, â ª¦¥ § ¯¨á ë© ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï. ᯮ«ì§ãï ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï (.39) ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì: @ Spa+ a 0 = ih @ < a+ a >= Sp[H; ]a+ a 0 = ih @t @t + + = Sp[a a 0 ; H] =< [a a 0 ; H] > (.46) £¤¥ ¯à®¢¥«¨ ®ç¥¢¨¤ãî 横«¨ç¥áªãî ¯¥à¥áâ ®¢ªã ®¯¥à â®à®¢ ¯®¤ § ª®¬ Sp. ª¨¬ ®¡à §®¬ § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¢ëç¨á«¥¨î á।¥£® § ç¥¨ï ª®¬¬ãâ â®à , áâ®ï饣® ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨. í⮬ íâ ¯¥ 㦥 á«¥¤ã¥â ª®ªà¥â¨§¨à®¢ âì âã ¨«¨ ¨ãî ¬®¤¥«ì ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. «¥ªâà® { ä®®®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥.
áᬮâਬ ¥ á ¬ë© ¯à®á⮩ á«ãç © | á¨á⥬ã í«¥ªâà®®¢ (ä¥à¬¨®®¢), 室ïé¨åáï ¢ á®áâ®ï¨ïå j >, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å á ä®® ¬¨ (¡®§® ¬¨), á®áâ®ï¨ï ª®â®àëå å à ªâ¥à¨§ãîâáï ª¢ §¨¨¬¯ã«ìᮬ jk >. ®£¤ : 0 H0 = Hel0 + Hph
(.47)
254
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
X + h!k bk bk (.48) k X 0 V = Hel;ph = A( ; ; k)a+ a 0 (bk + b+;k ) (.49) 0 ; ;k £¤¥ A( 0; ; k) = gk < jeikrj 0 > { ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â í«¥ªâà® { ä®®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, gk { ª®áâ â í⮣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬¥ 㦮, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯®áâநâì á¨á⥬ã á¢ï§ ëå Hel0 =
X
0 = E a+ a Hph
ª¨¥â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¤®ç áâ¨çëå ¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨ í«¥ªâà®®¢ (.44) ¨ ä®®®¢: N1kk0 =< kjN1jk0 >= Spb+k bk0 =< b+k bk0 > (.50) ®®â¢¥âá⢥®, à áᬮâਬ â®çë¥ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ⨯ (.46): @ < a+ a 0 >=< [a+ a 0 ; H 0 + H 0 + H ih @t (.51) el;ph ] > el ph @ < b+ b >=< [b+ b ; H 0 + H 0 + H ih @t (.52) k k0 k k0 el ph el;ph ] > «¥¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¥¯®á।á⢥® ¢ëç¨á«¨âì à §«¨çë¥ ¨¬¥î騥áï §¤¥áì ª®¬¬ãâ â®àë, ¨á¯®«ì§ãï ®á®¢ë¥ ª®¬¬ãâ æ¨®ë¥ á®®â®è¥¨ï (.42), (.43). ç áâ®áâ¨, ¥âà㤮 ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî騥 á®®â®è¥¨ï: [a+ a 0 ; a+ a0 ] = a+ a0 0 ; a+ a 0 0 (.53) [b+ qbq0 ; b+kbk0 ] = b+q bq0 q0 k ; b+k bq0 qk0 (.54) ®£¤ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ (.53) ¢ (.51) ¯®«ãç ¥¬: @ Xn 0 ? 0 ; 0 H ? 0 ] + 0 ih @t + E ; E F10 = A( ; ; q)[0 H q q 0q (.55) + A? ( 0; ; q)[0 H 0 q ; 0 Hq] £¤¥ ¢¢¥«¨: ? 0 =< a+ a0 bq > H0 q =< a+ a0 b+ > H (.56) q q «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, á ¯®¬®éìî (.54) ¨§ (.52) ¯®«ã稬: @ o Xn ? 0 ? ih @t + h !k ; h!k0 N1kk0 = A ( ; ; k)H 0k ; A( 0; ; k)H (.57) 0k0 0
ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢®§¨ª îâ ¯¥à¢ë¥ ãà ¢¥¨ï ¡®£®«î¡®¢áª®© 楯®çª¨. á«¥¤ãî? 0 : 饬 íâ ¯¥ 㦮 ¢ë¯¨á âì ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï H0 q ; H; q @ < a+ a b >=< [a+ a 0 b ; H 0 + H 0 + H ih @t el;ph ] > q q el ph @ < a+ a 0 b+ >=< [a+ a 0 b+ ; H 0 + H 0 + H ih @t (.58) el;ph ] > q q el ph ᯮ«ì§ãï ᮢ (.53), (.54), â ª¦¥ [bq ; b+k bk ] = bk kq [b+q ; b+k bk ] = ;b+k kq
(.59)
255
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
¯®«ãç ¥¬: @ X 0 0n + ih @t + E ; E0 + h!q H0 ;;q = A( ; ; q ) < a a 0 bq0 b+q > 0 +
0 q0 + + < a a 0 b+;q0 b+q > 0 ; < a+ a0 bq0 b+q > 0 ; o ; < a+ a0 b+;q0 b+q > 0 ; < a+ a0 a+ a 0 > qq0 (.60)
@ X ? 0 0 + ih @t + E ; E0 ; h!q H?0 ;;q = A ( ; ; q ) < a a 0 bq0 bq > 0 +
0 q0 + < a+ a 0 b+;q0 bq > 0 ; < a+ a0 bq0 bq > 0 ; o ; < a+ a0 b+;q0 bq > 0 ; < a+ a0 a+ a 0 > qq0 (.61) ®¦®, ª®¥ç®, ¨ ¯à®¤®«¦ âì íâ®â ¯à®æ¥áá, ¢ë¯¨áë¢ ï á«¥¤ãî騥 ãà ¢¥¨ï 楯®çª¨, ª®â®àë¥ áâ ®¢ïâáï ¢á¥ ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª¨¬¨, ® ¤«ï ¡®«ìè¨á⢠¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç íâ¨å ãà ¢¥¨© ¤®áâ â®ç®, ¥á«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤®áâ â®ç® ¬ «®.
¤¨áâ¢¥ë¬ á¯®á®¡®¬ § ¬ëª ¨ï ¡®£®«î¡®¢áª®© 楯®çª¨ ï¥âáï ¯à¨¡«¨¦¥®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ (\à á楯«¥¨¥") ¢ëáè¨å ª®à५ïâ®à®¢ ç¥à¥§ ¨§è¨¥ (ä ªâ®à¨§ æ¨ï ¢ëáè¨å ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠ç¥à¥§ ¨§è¨¥). â ¯à®æ¥¤ãà , ª ᮦ «¥¨î, ¥ ï¥âáï ¢¯®«¥ ®¤®§ 箩 ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥. à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥ ¤¢ãåç áâ¨çë¥ ª®à५ïâ®àë ¬®¦® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ¯à¨¡«¨¦¥® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ ®¤®ç áâ¨çë¥4: < a+ a0 b+k bk0 > F10 N1kk0 < a+ a0 bk b+k0 >< a+ a0 >< kk0 + b+k0 bk >= F10 (kk0 + N1kk0 ) < a+ a0 a+ a 0 > F10 F1 0 + F1 0 (0 ; F10 ) < a+ a0 bk0 bk >=< a a b+k0 b+k >= 0
(.62)
ᯮ«ì§ãï (.62) ¢ (.60) ¨ ä®à¬ «ì® ¨â¥£à¨àãï íâ® ãà ¢¥¨¥, ¯®«ãç ¥¬:
Zt i FN0 (t0 ) H0 q (t) = e h (E ;E0 +h!q )t H0 q (t0 ) + i1h dt0I q t 0
(.63)
£¤¥ t0 { ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨, ¨ ¬ë ¯®«®¦¨«¨:
X 0 0 A( ; ; q )[(F1 0 0 ;
0 q ;F1 0 0 )(qq0 + N1qq0 ) ; (F10 F1 0 ( 0 ; F1 0 ))qq0 ]t0 FN0 (t0 ) = I q
(.64)
£¤¥ ¯®á«¥¤¨© ¨¤¥ªá ®§ ç ¥â, çâ® ¢á¥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (®¤®ç áâ¨çë¥ ¬ âà¨æë ¯«®â®áâ¨) ¢ ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å ¢§ïâë ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t0 . 4 ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® §¤¥áì ¢ë¤¥«¥ë ¢á¥ ¢®§¬®¦ë¥ ª®¬¡¨ 樨 ¯ à (\ᯠਢ ¨ï") ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï, á।¨¥ ®â ª®â®àëå ¨ ¤ îâ ®¤®ç áâ¨çë¥ ¬ âà¨æë ¯«®â®áâ¨. ª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â® ¨á¯®«ì§®¢ ¨î â.. â¥®à¥¬ë ¨ª , á¯à ¢¥¤«¨¢®© ¯à¨ ãá।¥¨¨ ¯® à ¢®¢¥á®© ¬ âà¨æ¥ ¯«®â®á⨠[30].
256
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
¢¥¤¥¬ ⥯¥àì ¡®£®«î¡®¢áª®¥ \ãá«®¢¨¥ ®á« ¡«¥¨ï ª®à५ï権 " ¢ ¤ «¥ª®¬ ¯à®è«®¬: lim H 0 (t ) = 0 (.65) t0 !;1 q 0 ë¡®à í⮣® ãá«®¢¨ï ¢ ¡¥áª®¥ç®¬ ¯à®è«®¬ á¢ï§ á ¯à¨æ¨¯®¬ ¯à¨ç¨®áâ¨, ¨ ãá«®¢¨¥ (.65) ¢ë¤¥«ï¥â \ ¯à ¢«¥¨¥ ¢à¥¬¥¨". ®£¤ (.64) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª: Z t ; i (E ;E +h! )(t0;t) 1 FN0 (t0 ) H0 q (t) = ih dt0 e h 0 q I (.66) q ;1 çâ® ¯®á«¥ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥®© t0 ; t = ¤ ¥â: Z 0 ;i(E ;E +h! ) FN0 (t + ) d e 0 q h I H0 q (t) = i1h (.67) q ;1 ª¨¬ ®¡à §®¬, § 票¥ ª®à५ïâ®à H0 q ¢ ¬®¬¥â t ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § 票ﬨ ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠F1 ¨ N1 ¢® ¢á¥ ¯à¥¤ë¤ã騥 ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ (à¥è¥¨¥ á \¯ ¬ïâìî"). ।¯®«®¦¨¬, á«¥¤ãï ®£®«î¡®¢ã, çâ® å à ªâ¥àë© ¢à¥¬¥®© ¬ áèâ ¡ \¯ ¬ïâ¨" ¯®à浪 å à ªâ¥à®£® (¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®£®) ¢à¥¬¥¨ í«¥ªâà® { ä®®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï 0 , ¯® ¥£® ¯à®è¥á⢨¨ í¢®«îæ¨ï ¢á¥å (ª¨¥â¨ç¥áª¨å) ¢¥«¨ç¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï «¨èì ¢à¥¬¥®© § ¢¨á¨¬®áâìî ®¤®ç áâ¨çëå ¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨. ®£¤ , ¨â¥à¥áãïáì í¢®«î樥© á¨áâ¥¬ë ¢à¥¬¥ å t 0, ¬®¦® íä䥪⠬¨ \¯ ¬ïâ¨" ¢ (.67) ¯®«®áâìî ¯à¥¥¡à¥çì. ®®â¢¥âá⢥®, á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ 1 Z 0 dteixt = lim 1 Z 0 dte(xi")t = i ;1 "!0+ i ;1 1 = P 1 i(x) (.68) = "lim x !0+ x i" áà §ã ¦¥ ¯®«ãç ¥¬:
X 0 0n 0 H0 q = lim+ E ; E 0 +1 h! + i" "!0 q 0 q0 A( ; ; q ) (F1 0 ; (.69) ;F1 0 0 )(qq0 + N1qq0 ) ; (F10 F1
0 + F1 0 ( 0 ; F1 0 ))qq0 «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¨§ (.61) ¯®«ãç ¥¬: X 1 ? 0 = lim H q "!0+ E ; E0 ; h!q + i" 0 0 A? ( 0; ; q0) (F1 0 0 (N1q0q + qq0 ); q ;F1 0 0 N1qq0 ) ; (F1 0 F1 0 ; F10 F1
0 )qq0 (.70) ¬¥â¨¬, çâ® à¥è¥¨ï (.67) ¨ (.67) ¥¬¥¤«¥® á«¥¤ãîâ ¨§ (.60) ¨ (.61) (á ãç¥â®¬ à á楯«¥¨ï (.62)) ¥á«¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì ®âáãâá⢨¥ © § ¢¨á¨¬®á⨠H ¨ H ? ®â ¢à¥¬¥¨, çâ® ¯®§¢®«ï¥â ᤥ« âì ¢ (.60) ¨ (.61) ä®à¬ «ìãî § ¬¥ã ih @t@ ! i"5 .
5 ⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £¨¯®â¥§¥ ®£®«î¡®¢ ® ⮬, çâ® å à ªâ¥àëå ¤«ï ª¨¥â¨ª¨ ¢à¥¬¥ å, ¢ëá訥 ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠(äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï) § ¢¨áï⠮⠢६¥¨ ⮫쪮 ç¥à¥§ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî § ¢¨á¨¬®áâì ®¤®ç áâ¨çëå ¬ âà¨æ (äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï).
257
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
®¡á⢥® £®¢®àï, ¯®¤áâ ®¢ª (.69) ¨ (.70) ¢ (.55) ¨ (.57) 㦥 ¤ ¥â § ¬ªãâë¥ ª¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¤«ï F1 ¨ N1 . ¤ ª® ¨å ®¡é¨© ¢¨¤ áãé¥á⢥® ã¯à®é ¥âáï, ¥á«¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì ¤¨ £® «ì®áâì ®¤®ç áâ¨çëå ¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨: F10 = F10 N1kk0 = N1k kk0 (.71) §ã¬¥¥âáï, á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì í⮣® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï § ¢¨á¨â ®â ᢮©á⢠à áᬠâਢ ¥¬®© á¨áâ¥¬ë ¨ ª¢ ⮢ëå ç¨á¥« í«¥ªâà®®¢ , â ª¦¥ ®â ¢®§¬®¦®á⨠¯à¥¥¡à¥¦¥¨ï ¯à®áâà á⢥묨 ¥®¤®à®¤®áâﬨ ¢ ä®®®¬ £ §¥.
᫨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ãá«®¢¨ï ¢ë¯®«¥ë, ª¢ â®¢ë¥ ª¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¤«ï í«¥ªâà®®¢ ¨ ä®®®¢ ¯à¨®¡à¥â îâ ®ª®ç ⥫ìë© ¢¨¤: @F1 = @t 2 X jA(; ; q)j2(E ; E + h! )[F (1 ; F )(N + 1) ; F (1 ; F )N ] q 1 1 1q 1 1 1q h q
+jA(; ; q)j2(E ; E ; h!q )[F1 (1 ; F1 )N1q ; F1(1 ; F1 )(N1q + 1)]
(.72)
@ N = 2 X jA(; 0; k)j2(E 0 ; E ; h! ) [F 0 ; F ]N ; F 0 (1 ; F ) 1 k 1 1 1k 1 @t 1k h 0 (.73) ®«ãç¥ë¥ ª¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï (¨â¥£à «ë á⮫ª®¢¥¨©) ¤«ï í«¥ªâà® { ä®®®© á¨á⥬ë ïîâáï ®á®¢®© ¤«ï à¥è¥¨ï ¬®£¨å § ¤ ç ª¨¥â¨ª¨ ¢ ⢥à¤ëå ⥫ å [38]. «¥ªâà® { í«¥ªâà®®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥.
áᬮâਬ ⥯¥àì ªà ⪮ ¢ë¢®¤ ª¨¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¢ á¨á⥬¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å í«¥ªâà®®¢ (ä¥à¬¨®®¢), £ ¬¨«ì⮨ ª®â®àë© § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: X X H = E a+ a + < jU j0 0 > a+ a+ a 0 a0 (.74)
0 0
£¤¥ ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¨¬¥¥â ª®à®âª®¤¥©áâ¢ãî騩 (íªà ¨à®¢ ë©) å à ªâ¥à (á«ãç © ªã«®®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï âॡã¥â á¯¥æ¨ «ì®£® à áᬮâ२ï).
£® ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â: Z d3 k ikr 0 ikr 0 (.75) < jU(r)j0 0 >= (2) 3 U(k) < je j >< je j > ¢¥¤¥¬ ᮢ ç áâ¨çë¥ ¬ âà¨æë ¯«®â®áâ¨: F10 = Spa+ a0 =< a+ a0 > (.76) + + 0 0 + + < jF2j >= Spa a0 a a 0 =< a a0 a a 0 > (.77) ®£¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï (楯®çª ) ¨¬¥îâ ¢¨¤: @ X ih @t + E ; E0 F10 = < jU j0 0 > [< jF2j0 0 > 0 ; 0 0 ; < jF2j00 > 0 + < jF2j0 0 > 0 ; < jF2j0 0 > 0 ] (.78)
258
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
=
@ 0 0 ih @t + E + E ; E ; E < 0 jF2j
0 >= X 0 0 + + + +
0 0
< jU j >< [a a a 0 a0 ; a a0 a a 0 ] >
(.79)
®á«¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ª®¬¬ãâ â®à®¢ ¢ (.79) ¢®§¨ª îâ á।¨¥ ®â ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï âà¥å ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥¨ï ¨ âà¥å ®¯¥à â®à®¢ ã¨ç⮦¥¨ï, ¢ ª®â®àëå ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠à á楯«¥¨¥ ¢¨¤ : < a+ a+ a 0 a+0 a a 0 > F1 0 F1 0 F10 + F1 0 F1 F10 0 + +F1 F1 0 (0 0 ;F10 0 ) + + + < a a a a0 a a 0 > F10 F1 F1 0 + F10 F1 0 F10 0 + F1 F10 F1 0 (.80) ª¦¥ ª ª ¨ ¢ëè¥, ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¤®áâ â®ç® ¬¥¤«¥ëå ª¨¥â¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ, ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¢ (.79) § ¬¥ã ih @t@ ! i", çâ® ¯®§¢®«ï¥â (á ãç¥â®¬ (.80)) ¥¬¥¤«¥® ¯®«ãç¨âì ¥£® à¥è¥¨¥. ®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¥£® ¢ (.78) ¯®«ãç ¥¬ ª¨¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï F10 . ।¯®« £ ï ¤¨ £® «ì®áâì F10 = F1 0 ¬®¦® ¯à¨¢¥á⨠¥£® ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã: @F1 = 2 X j < 0jU j0 > j2(E + E 0 ; E ; E 0 ) @t h 00 [F1 (1 ; F1 )F1 0 (1 ; F10 ) ; F1 (1 ; F1 )F10 (1 ; F1 0 )] (.81) ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨:
< jeikrj >= V1
Z
j >= p1 e hi pr V F1 ! np E ! "(p) = p2=2m
dre hi (p0 ;p+k)r ¨ â.¤.
â ª çâ® ª¨¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï í«¥ªâà®®¢ § ¯¨è¥âáï ª ª @np 2 Z dp0 dp0 dp jU(p ; p0 )j2(p + p ; p0 ; p0 ) = 1 1 2 1 2 2 1 1 2 @t (2h)6 h ("(p1 ) + "(p2 ) ; "(p01 ) ; "(p02 )) np0 1 np0 2 (1 ; np1 )(1 ; np2 ); ;np1 np2 (1 ; np0 1 )(1 ; np0 2 ) £¤¥ U(p) { äãàì¥ { ®¡à § ¯®â¥æ¨ « ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¯¨áë¢ ï íâய¨î í«¥ªâà®®£® £ § «®£¨ç® (5.15):
(.82) (.83) (.84) (.85)
(.86)
Z d3p (.87) S = 2 (2) 3 [(1 + np ) ln(1 + np ) ; np lnnp ] ¨ ¨á¯®«ì§ãï (.86) ¬®¦®, ¯®á«¥ ¤®áâ â®ç® £à®¬®§¤ª¨å ¢ëç¨á«¥¨©, ¤®ª § âì ª¢ â®¢ë© ¢ ਠâ H { ⥮६ë: dS dt 0.
259
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
¢®¢¥á®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¥à¬¨: n0p =
1
(.88) +1 ®¡à é ¥â ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨© ¢ (.86) ¢ ã«ì, ¢ 祬 ¬®¦® ã¡¥¤¨âìáï ¥¯®á।á⢥묨 ¢ëç¨á«¥¨ï¬¨, á ãç¥â®¬ § ª® á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ à áᥨ¢ îé¨åáï ç áâ¨æ, ¢ëà ¦ ¥¬®£® { äãªæ¨¥© ¢ ¨â¥£à «¥ á⮫ª®¢¥¨©. ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® ¢ (.86) ¯à¨ í⮬ ⮦¤¥á⢥® ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ª®¬¡¨ æ¨ï äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å. ®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¨â¥£à « á⮫ª®¢¥¨© ¨£à ¥â ®¯à¥¤¥«ïîéãî à®«ì ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¨§ª®â¥¬¯¥à âãன ª¨¥â¨ª¨ ¢ ¬¥â «« å (ä¥à¬¨ { ¦¨¤ª®áâ¨). e "(pT);
260
¨¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
¨¡«¨®£à ä¨ï [1] .. ¤ ã,
..¨äè¨æ. â â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª . \ 㪠", , 1964 [2] .. ¤ ã,
..¨äè¨æ. â â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª . áâì 1. \ 㪠", , 1976 [3]
..¨äè¨æ, ..¨â ¥¢áª¨©. â â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª . áâì 2. \ 㪠", , 1978 [4] ..㡠ॢ. ¥à ¢®¢¥á ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï â¥à¬®¤¨ ¬¨ª . \ 㪠", , 1971 [5] ¦..¨¡¡á. á®¢ë¥ ¯à¨æ¨¯ë áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. , , 1947 [6] ¦..¨¡¡á. ¥à¬®¤¨ ¬¨ª . â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª . \ 㪠", , 1982 [7] .. ¤ ã,
..¨äè¨æ. ¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª . \ 㪠", , 1974 [8] .. ¤ ã,
..¨äè¨æ. ¥®à¨ï ¯®«ï. \ 㪠", , 1973 [9] ..¥«ìä¥à, ..î¡®è¨æ, ..®¤£®à¥æª¨©. à ¤®ªá ¨¡¡á ¨ ⮦¤¥á⢥®áâì ç áâ¨æ ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥. \ 㪠", , 1975 [10] ..¨ç¨. ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ®á®¢ ¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ®áâ¥å¨§¤ â, , 1943 [11] ..¨ ©. ¢¥¤¥¨¥ ¢ í࣮¤¨ç¥áªãî ⥮à¨î. \ §¨á", , 1996 [12] ..¥®â®¢¨ç. ¢¥¤¥¨¥ ¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ªã. â â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª . \ 㪠", , 1983 [13] .. ¤ ã,
..¨äè¨æ. ¥å ¨ª . \ 㪠", , 1973 [14] .. á« ¢áª¨©. â®å áâ¨ç®áâì ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬. \ 㪠", , 1984 [15] ..®£®«î¡®¢. ஡«¥¬ë ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¢ áâ â¨áâ¨áç¥áª®© 䨧¨ª¥. ®áâ¥å¨§¤ â, , 1946 (§¡à ë¥ âàã¤ë, â.2, " 㪮¢ ¤ã¬ª ", ¨¥¢ 1970) [16] ..ã஢. ᮢ ¨ï ª¨¥â¨ç¥áª®© ⥮ਨ. \ 㪠", , 1966 [17]
..¨äè¨æ, ..¨â ¥¢áª¨©. ¨§¨ç¥áª ï ª¨¥â¨ª . \ 㪠", , 1979 [18] ..娥§¥à, ..¥«¥â¬¨áª¨©. ¥â®¤ë áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. \ 㪠", , 1977 [19] ..ã¨. â â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª ¨ â¥à¬®¤¨ ¬¨ª . \ 㪠", , 1981 261
262
[20] ..®£®«î¡®¢. ¥ªæ¨¨ ¯® ª¢ ⮢®© áâ â¨á⨪¥. (§¡à ë¥ âàã¤ë, â.2, " 㪮¢ ¤ã¬ª ", ¨¥¢ 1970) [21] ..¨äè¨æ, ..§¡¥«ì, .. £ ®¢. «¥ªâà® ï ⥮à¨ï ¬¥â ««®¢. \ 㪠", , 1971 [22] .. ᨫ쥢. ®§¥-ª®¤¥á æ¨ï ¢ ¨¤¥ «ì®¬ £ §¥. à¨à®¤ , N 0 1, 58 (1996) [23] . ©á, .®§ì¥à. ¥®à¨ï ª¢ ⮢ëå ¦¨¤ª®á⥩. \¨à", , 1967 [24] ..¡à¨ª®á®¢. ᮢë ⥮ਨ ¬¥â ««®¢. \ 㪠", , 1987 [25] ..®£®«î¡®¢. ¢ §¨á।¨¥ ¢ § ¤ ç å áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. (§¡à ë¥ âàã¤ë, â.3, " 㪮¢ ¤ã¬ª ", ¨¥¢ 1971) [26] .¥ ¥. ¢¥àå¯à®¢®¤¨¬®áâì ¬¥â ««®¢ ¨ ᯫ ¢®¢. \¨à", , 1968 [27] ..¨¥¥¢. ¢¥àå⥪ã稩 £¥«¨©-3. \ ¨¥", , 1984 [28] . . ®¢à¥¬¥ ï ⥮à¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨©. \¨à", , 1980 [29] ..㡠ॢ. ¢ãå¢à¥¬¥ë¥ äãªæ¨¨ ਠ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥. 71, 71 (1960) [30] ..¡à¨ª®á®¢, ..®à쪮¢, .
.§ï«®è¨áª¨©. ¥â®¤ë ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥. ¨§¬ ⣨§, , 1962 [31] . ââãª. ¥©¬ ®¢áª¨¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¢ ¯à®¡«¥¬¥ ¬®£¨å ⥫. \¨à", , 1969 [32] ..¨£¤ «. ç¥áâ¢¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥. \ 㪠", 1975 [33] ..㬥à, ..뢪¨. ¥à¬®¤¨ ¬¨ª , áâ â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª ¨ ª¨¥â¨ª . \ 㪠", , 1977 [34] .¥®. ⥬ â¨ç¥áª ï ⥮à¨ï á¢ï§¨. ( ¡®âë ¯® ⥮ਨ ¨ä®à¬ 樨 ¨ ª¨¡¥à¥â¨ª¥). , , 1963 [35] .ਫ«îí. 㪠¨ ⥮à¨ï ¨ä®à¬ 樨. ¨§¬ ⣨§, , 1960 [36] .. ¤®¬æ¥¢. ¨ ¬¨ª ¨ ¨ä®à¬ æ¨ï. , , 1997 [37] ..¥¥â. ¥¬®ë, ¤¢¨£ ⥫¨ ¨ ¢â®à®¥ ç «® â¥à¬®¤¨ ¬¨ª¨. ¨à¥ 㪨,N 0 1, 53 (1988) [38] ..ëàﮢ, ..«¨£¥à. ¢ ⮢ ï ⥮à¨ï ¥¨© í«¥ªâà®®£® ¯¥à¥®á ¢ ªà¨áâ ««¨ç¥áª¨å ¯®«ã¯à®¢®¤¨ª å. \ 㪠", , 1976
