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(VI) P(A B C) = P((A B) C) = P(A B) + P(C); ; P((A B)C) = P(A) + P(B) ; P(AB) + P(C); ; P(AC) ; P(CB) + P(ABC): ] * . 1.4, & (VI), A B C , ( , & . 1 (III) (V) ,
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k = 0 1 ::: n
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2.6. H . 0 X1 : : : Xn | ?
$ p. * .. Xk , k = 1 : : : n. J = 2.3 2.5, $: pXk (xk ) = pxk (1 ; p)1;xk xk = 0 1: > pX1 :::Xn (x1 : : : xn) = pX1 (x1 ) : : :pXn (xn) : ] 2.7. H . 0 n ? . > U $ $ m $ V | $ &$ n ; m $. * .. U V $ . J 0 (X p(x)) | n ? $ p. " ,
p(x) = psn (1 ; p)n;sn x = (x1 : : : xn) xi = 0 1 sk = x1 + ::: + xk k = 1 : : : n U(x) = sm V (x) = sn ; sm : = p(x) = p(x1 : : : xn) = p(x1 : : : xm) p(xm+1 : : : xn) pUV (u v) = =
X fx1 :::xm : sm =ug
X fx : sm =u sn ;sm =vg
p(x1 : : : xm ) p(xm+1 : : : xn) =
p(x1 : : : xm )
X
p(xm+1 : : : xn) =
fxm+1 :::xn : sn ;sm =vg m ; u u u = Cm p (1 ; p) Cnv;m pv (1 ; p)n;m;v :
1 pUV (u v) u v, $ .. U V : pU (u) = Cmu pu(1 ; p)m;u 30
pV (v) = Cnv;m pv (1 ; p)n;m;v :
x2. ,
> pUV (u v) = pU (u) pV (v) : ] 2.8. 0 ( ). '-
? X1 X2 : : : $ p. > T1 , ! &$ $ . ; & n, T1 = k $ X1 = ::: = Xk = 0, Xk+1 = 1, k n ; 1, T1 , X1 = ::: = Xn = 0, P(!: T1 (!) = k) = pX1 :::Xk+1 (0 : : : 0 1) = (1 ; p)k p
k = 0 1 ::: n;1
T1(!) (1 ; p)n . 1 T1 (!) ' , \ " pT1 (k), k = 0, 1 : : : n ; 1, 1 ; pT1 (0) ; pT1 (1) ; ::: ; pT1 (n ; 1) = (1 ; p)n . 8 n 1, $ p(k) = (1 ; p)k p k = 0 1 2 : : :
( $ ( $ $ O % . ;
.. T1 , &
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31
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$ 0 x1x2 : : :, . 0 $ , 10n
$ 0 x1x2 : : : xn . = , f
J0, 1] J0 x1x2 : : :xn 0 x1x2 : : :xn + 10;n)g 10;n, . 8 , ,
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y ; x, . . n ! 1 J0 x1 : : :xn 0 y1 : : :yn ) c (, &
x y. = , $ , % $ $ 0 1, $ . 0 % % | | . (" $ :
x 2 J0 1], $
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x2. ,
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x(2) > 1=2 x(2) ; x(1) < 1=2 x(1) < 1=2: 0 x(1) = x1, x(2) = x2
f(x1 x2): x2 > 1=2 x2 ; x1 < 1=2 x1 < 1=2g & 1/8O x(1) = x2, x(2) = x1
,
1/4.] 3
. . , (2005)
33
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2.11. H . * J0, 1] ! n .
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t ; s, (t ; s)n. ] 2.12. H . * J0, 1] ! n . * ,
t 2 J0 1] k , k = 0, 1 : : : n. J J0 1]n Cnk &$
f(x1 : : : xn): xi1 < t : : : xik < t xj tg 1 i1 < i2 < : : : < ik n $ F tk (1 ; t)n;k , Cnk tk (1 ; t)n;k . ] = , J0, 1] P(A) A A J0 1]n , $ n- F . A , $ P(Ia1 b1 : : : Ian bn ) = (b1 ; a1 ) : : :(bn ; an )
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A. # ( X(!) Q (..), (. . , ) Iab ;1 a b 1, f!: X(!) 2 Iab g $ A. ? % ( X(!) F . 1 X(!) PX (Iab ) = P(!: X(!) 2 Iab)
$ . * X(!) = (X1 (!) : : : Xn(!)) $ n- $ $ PX (Ia1 b1 : : : Ian bn ) =
= P(!: X1 (!) 2 Ia1 b1 : : : Xn(!) 2 Ian bn ) : G ( FX (x) = PX ((;1 x])
x '( (..) .. X. > , $ a < b (. 2.1) PX ((a b]) = FX (b) ; FX (a) :
G ( n $
$ FX (x1 : : : xn) = PX ((;1 x1] : : : (;1 xn]) X = (X1 : : : Xn)
'( $ X1 : : : Xn . ' ( PX (I), PX (I1 3
35
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I2 : : : In ) &$ $ . n- J0, 1] .. Xi (!) = xi i = 1 : : : n ! = (x1 : : : xn) PXi (Iab ) = b ; a Iab J0 1] J0, 1]. G ( Xi 0, 1 x,
, x < 0, x > 1 0 x 1 (. 2.2). 1 ( .. X1 : : : Xn FX1 :::Xn (x1 : : : xn) = FX1 (x1) : : : FXn (xn ):
. 2.1
. 2.2
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x2. ,
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k=0
Cnk tk (1 ; t)n;k
0zn
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-
& ( $ k = 0 1 : : : n (. 2.3). 1.. X(!) , . 1 , & ( . 2.13. H . * J0, 1] ! n , X(k) (!) | k- (X(1) (!) | , X(n) (!) | ). * ( .. X(k) (!).
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. 2.3
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Cnj xj (1 ; x)n;j
0 x 1: ] 37
.
2.14. H . 2.13 (
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f!: X(1) (!) x X(n)(!) yg = f!: X(n) (!) yg FX(1) X(n) (x y) = yn 0 y x 1. 0 0 x < y 1 !
f!: X(1) (!) x X(n)(!) yg = = f! : X(n) (!) ygf!: X(1) (!) > x X(n)(!) yg: 0
f!: X(1) (!) > x X(n)(!) yg = = f! : x < Xi (!) y i = 1 : : : ng
$ , 0 x < y 1 FX(1) X(n) (x y) = FX(n) (y) ; (FX1 (y) ; FX1 (x))n = yn ; (y ; x)n : ] 2.15. H .
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! 2 J0 1]. 0 , .. X1 X2 : : : Xn ? $ 1/2. JP(!: Xk (!) = xk k = 1 : : : n) = = P(! 2 (0 x1 : : :xn 0 x1 : : :xn + 2;n)) = 2;n : ] ' |
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N ;1, 38
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. 2.6
. 2.5
0 ( y ! F ;1(y) J0, 1] J ] J0 1] $ J ], = F ;1(), = F ;1(), $ ; . . J ] Ja b] F ( ) ; F ( ). 1 (F( ) ; F ( ))=( ; )
J ] J ] x F 0(x) = f(x), & . ;
x. 0 % ( $ ) F( ) ; F ( ) =
Z
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' Ja b] ( F(x) = (x ; a)=(b ; a) f(x) = 1=(b ; a), x 2 Ja b]. ( 39
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( f(x) ;1 < x < 1, ,
Z1
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f(x) dx = 1
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Zu
;1
f(x) dx
;1 < u < 1 :
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. 2.7
. 2.8
2.16. H . = , 0 < < , l, ( &
(. 2.7). 0 , (0 ) , , J0 ], ( .. X | ( l. 40
x2. ,
J > x = ctg J ) (;1 x], ( .. X FX (x) = ;1 ( ; ) = ;1 ( ; arcctgx)
;1 < x < 1 :
' (. 2.8) fX (x) = FX0 (x) = ((1 + x2));1
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p J0, 1]. * ( .. X 2 , X, sin2 (X=2).
p
p
JF1(x) = P(!: X 2 (!) x) = P(!: X(!) x) = x p 0 x 1 f1 (x) = F10 (x) = 1=(2 x)O ; p F2(x) = P !: X(!) x = x2 0 x 1 f2 (x) = 2xO p F3 (x) = P(! : sin2 (X(!)=2) x) = 2;1 arcsin x 0 x 1 f3 (x) = ;1(x(1 ; x));1=2 0 < x < 1 : ] 2.18. H . * .. X(k) 2.13. n n f(x) = d X n! ixi;1(1 ; x)n;i; i xi(1 ; x)n;i = X C dx i=k n i!(n ; i)! i=k n X n! n;i;1 i
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(n ; i)x (1 ; x)
=
i=k i!(n ; i)! n X = nCni;;11 xi;1(1 ; x)(n;1);(i;1); i=k n X ; nCni ;1 xi(1 ; x)n;1;i = nCnk;;11 xk;1(1 ; x)n;k : i=k
41
.
2.19. 0 (
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= (x1 x2 : : : xn : : :), xi = 1 ;1. = $ $ : = (s1 s2 : : : sn : : :), sn = x1 +: : :+xn. 0 % $ , % , ,
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1 2 : : : N 2 X , P(f1 2 : : : N g) = N=" > 1, ,
$ ( . > , X
( ), $
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, n | n 1. # (
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$ n . :
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x2. ,
, $ n
! n ( . 1
, P(A) = 2;n :
#
&. 0 A(n) | n 1, A = f: J]n 2 A(n) g X : " P(A) = 2;n f % A(n) g :
6 . ; m : A = f: J]m 2 A(m) g , , m < n, , , A(n) = f(x1 : : : xn): (x1 : : : xm) 2 A(m) g f %- A(n) g = 2n;m f %- A(m) g
P(A) $ . " P A = fg X , $, , . ' C A 2 A, A = f: (xj1 xj2 : : : xjn ) 2 A(n) g 1 j1 < j2 < : : : < jn |
, A(n) | n 43
.
1O ( . > , ( $ F $ % . # % A = f: (xj1 : : : xjn ) 2 A(n)g C P(A) = 2;n f % A(n)g:
! , ( P C , . . P(A) A. , Ab(jn ) = f(x1 x2 : : : xjn ): (xj1 : : : xjn ) 2 A(n) g (. . Ab(jn ) ( A(n) jn - ), A = f: (xj1 : : : xjn ) 2 A(n) g = f: J]jn 2 Ab(jn ) g 2;jn f % Ab(jn ) g = = 2;n f % A(n) g: " , ( $ , , , ! , P(A) ( . 0 , ( P() , P(A B) = P(A) + P(B), AB = ?, P(A(n) B (n) ) = P(A(n)) + P(B (n) )
( & A B) n. 2.20. 0 ( (
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x2. ,
$ a > 0. > ( | 0 b > a. H T $ ( - (,
| 0. 6 & (. 0 , $ : ( \ " (. . , ! ). = I a, II | b ; a. 0 , , , ! , . " ,
. 2.9, . = , , ( ).
. 2.10
. 2.9
' At = fT = t St = 0g, & , t. 0 P(At ) = Pt(a b)
$ . > , At ( , , , . Pt(a b) ! . 0 1 < a < 45
.
b ; 1. At & : , $ x1 = 1 ( ), , $ x1 = ;1: At = At (+1) At (;1) : 1 At At = f: J]t 2 A(t) g A(t) $ (x1 : : : xt), $, 0 < a + x1 + : : : + xk < b k = 1 2 : : : t ; 1, a + x1 + ::: + xt = 0. 0 At A(t) (. 2.10):
f(1 x2 : : : xt): 0 < (a + 1) + x2 + : : : + xj < b j t ; 1 (a + 1) + x2 + : : : + xt = 0g A(t)(+1) f(;1 x2 : : : xt): 0 < (a ; 1) + x2 + : : : + xj < b j t ; 1 (a ; 1) + x2 + : : : + xt = 0g A(t)(;1) : ? jAj %
-
A. " P(At) = 2;t jA(t)j = Pt (a b) jA(t)j = jA(t)(+1)j + jA(t)(;1)j 2;(t;1) jA(t)(+1)j = Pt;1(a + 1 b) 2;(t;1) jA(t)(;1)j = Pt;1(a ; 1 b) ! ( 1 < a < b ; 1): Pt(a b) = 2;1Pt;1(a + 1 b) + 2;1Pt;1(a ; 1 b): 0 a = 1 a = b ; 1 ,
, Pt(1 b) = 2;1Pt;1(2 b) + 2;1 Pt(b ; 1 b) = 2;1Pt;1(b ; 2 b): 46
x2. ,
= , ! Pt(a b) = 2;1Pt;1(a + 1 b) + 2;1Pt;1(a ; 1 b) 1 a b ; 1, $
: Pt(0 b) = 1
Pt(b b) = 0 t 0:
0 , Pt (a b) $ t. , - , . . $ , $ ( 0 , ( b? A=
1 t=1
At
& f g, ,
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P(A) =
"
1 X t=1
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P(At ) =
Pt(a b) =
1 X t=1
n X t=1
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$ 0 < P (a b) 1. , & - ( \ " ( P % , ( , . 47
.
H . $ 2.20 P (k b) = P12.21. P (k b). 2.20 ! t=1 t
P(k b) = 2;1 P(k + 1 b) + 2;1P(k ; 1 b) 1 k b
P(0 b) = 1 P (b b) = 0: * ! P(k b). * Q(k b) . 0 , P(k b) + Q(k b) = 1, . . 1 - ( ( . J ' P (k b) t Pt(k b). # ! : P(k b) ; P (k + 1 b) = P(k ; 1 b) ; P (k b) 1 k b ; 1 : 6 , P(k b) ; P(k + 1 b) W k. 0 ! k: bW =
b;1 X
(P (k b) ; P (k + 1 b)) = P(0 b) ; P(b b) = 1
k=0
W = b;1. # , kW =
kX ;1 j =0
(P(j b) ; P (j + 1 b)) = P (0 b) ; P (k b) = 1 ; P(k b)
P(k b) = 1 ; kb;1 = (b ; k)=b : H Q(k b) = k=b
.] 2.22. 0 (
? .) 2.19
$ $ +1 ;1. & , 48
x2. ,
$ ? , % $ $,
1 0. 1$
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$ ? $ p. =
, ( A = f( 1 2 : : :): ( 1 2 : : : n) 2 A(n) g Y Y = f( 1 2 : : :): i = 0 1g A(n) | n 0 1, X P(A) = pn (1 ; p)n;n n = 1 + : : : + n : (1 :::n )2A(n)
2.19, , 2.3, C ( $ ( P(A) ( ( ). =, , , C ! , $ $ (. 2.23{ 2.25). >
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(
) , Y ! X = f(x1 x2 : : :) xi = 1g xi = 2 i ; 1 i = 1 2 : : : : " st = x1 + : : : + xt t = 1 2 : : : s0 = 0 : 2.23. H . 1$
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. . , (2005)
49
.
Pt(0 b) = P (0 b) = 1 Pt (b b) = P (b b) = 0 : 0 ! k k+1 + ::: + b;1 P(k b) = 1++ + ::: + b;1
= 1 ;p p :
J 5 ! P(k b), ! : p(P (k b) ; P (k + 1 b)) = (1 ; p)(P (k ; 1 b) ; P (k b))
P(k b) ; P(k + 1 b) = (P(k ; 1 b) ; P(k b)) : = k, : P(k b) ; P(k + 1 b) = k (P(0 b) ; P (1 b)) P(0 b) = 1 : 1 , $ (. 2.21): 1 ; P (k b) = (1 + + : : : + k;1)(1 ; P(1 b)) : 0 k = b, : 1 ; P(1 b) = (1 + + : : : + b;1);1 .] 2.24. H . $
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(k ; 1)- k- $, k = 1 2 : : : .. Sr = T1 + ::: + Tr | , ! !$ r $ . * .. T1 : : : Tr , $
$ Sr . 50
x2. ,
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m2
mr
1 , mk = 0 1 2 : :: k = 1 2 : : : r pT1 T2 :::Tr (m1 m2 : : : mr ) = = (1 ; p)m1 p (1 ; p)m2 p : : : (1 ; p)mr p : 1 mk k = 1 2 : : : r, mj , , :
X
(m1 m2 :::mr )
pTk (mk ) =
X
pT1 T2 :::Tr (m1 m2 : : : mr ) = 1
(m1 :::mk;1
pT1 :::Tr (m1 : : : mr ) = (1 ; p)mk p
mk+1:::mr )
.. Tk , , , . > , pT1 T2 :::Tr (m1 m2 : : : mr ) = pT1 (m1 )pT2 (m2 ) : : :pTr (mr ) : 1 fT1 + ::: + Tr = mg F fT1 = m1 : : : Tr = mr g (m1 : : : mr ), , m1 + ::: + mr = m. % (1 ; p)m pr , $ m1 : : : mr . 0 Cmm+r;1
$ ! m1 + ::: + mr = m (. 1.15), , ! , pSr (m) = Cmm+r;1 (1 ; p)m pr 4
m = 0 1 2 : :: : 51
.
H , 1 X m=0
pSr (m) = =
X m1
X (m1 :::mr )
pT1 :::Tr (m1 : : : mr ) =
pT1 (m1 ) : : :
X mr
pTr (mr ) = 1 :
' pSr (m) ( r p. # pSr (m) pr (1 ; p)m fx : Jx]n = (x01 : : : x0n)g, n = m + r, (x01 : : : x0n), & r (, ( (. 1.13). 0 % , 1 X m=0
Cmm+r;1 (1 ; p)m pr = 1 : ]
2.25. H . '
? . : x = (x1 x2 : : :), xk = 0
1, k = 1 2 : : :, (
) x = (0| :{z : : 0} 1| :{z: : 1} 0| :{z: : 0} 1| :{z: : 1} 0 : : :) m1
m2
m3
m4
x = (1| :{z : : 1} 0| :{z: : 0} 1| :{z: : 1} 0| :{z: : 0} 1 : : :) m1
m2
m3
m4
$ ( $ $ m1 m2 : : : . .. Vk = Vk (x), Vk (x) = mk , k = 1 2 : : :, .. Vk k- . * .. V1 V2 : : : Vr . 52
x2. ,
J # & r = 3. 1 fV1 = m1 V2 = m2 V3 = m3 g % $ x $, n = m1 + m2 + m3 + 1 J x]n = (x1 : : : xn) = (0| :{z: : 0} 1| :{z: : 1} 0| :{z: : 0} 1)
m1
m2
m3
J x]n = (1| :{z: : 1} 0| :{z: : 0} 1| :{z: : 1} 0) : m1
>
m2
m3
pV1 V2V3 (m1 m2 m3) = m m 1 2 = (1 ; p) p (1 ; p)m3 p + pm1 (1 ; p)m2 pm3 (1 ; p) :
1 m2 m3, $ pV1 (m1 ) =
1 X 1 X
pV1 V2V3 (m1 m2 m2 =1 m3 =1 = (1 ; p)m1 p + pm1 (1 ; p)
m3) =
,
, pV2 (m2 ) = (1 ; p)m2 ;1 p2 + pm2 ;1 (1 ; p)2 pV3 (m) = pV1 (m) : * .. V1 V2 : : : Vr r, . > , .. V1 V3 : : :
, .. V2 V4 : : : , p 6= 1=2
. ]
" n Rn & ( ( f(x1 : : : xn) ,
Z1
;1
:::
Z1
;1
f(x1 : : : xn) dx1 : : : dxn = 1 : 53
.
=
, Z Z P(A) = : : : f(x1 : : : xn) dx1 : : : dxn A
P A , $ ( ( ). G ( f " P. $ ( f f(x1 : : : xn) = @ n F(x1 : : : xn)=(@x1 : : :@xn ) F(x1 : : : xn) = P((;1 x1] : : : (;1 xn]) : * (Rn A P), n 1,
.. Xk (x) = xk , x = (x1 : : : xn), k = 1 : : : n, c ( n > 1) " f. = ' , P(A) A , n- F $ F , &$ , . 2.26. H . 1.. X1 X2 : : : Xn | n !
$ J0 1] | f(x1 x2 : : : xn) = 1 x1 x2 : : : xn 2 J0 1]. * .. X(1) X(2) : : : X(n), X(k) | k- , (. J # Ja1 b1] Ja2 b2] : : : Jan bn], , 0 a1 < b1 a2 < b2 : : : an < bn 1, : P(!: X(k) (!) 2 Jak bk ] k n) = X = P(! : Xik (!) 2 Jak bk ] k n) n! (i1 : : : in) 1 : : : n. 0 , : n! (b1 ; a1 ) : : :(bn ; an) = 54
Z b1 Z bn a1
:::
an
n! dx1 : : : dxn :
x2. ,
" , n- A, & 0 x1 x2 : : :xn 1, PX(1) :::X(n) (A) =
Z
Z
: : : n! dx1 : : : dxn A
$, .. X(1) X(2) : : : X(n) n! $
f(x1 : : : xn): 0 x1 x2 : : : xn 1g . > , .. Xi ,
$ J0 ], : fX(1) :::X(n) (x1 : : : xn) = n! ;n, 0 x1 x2 : : : xn . ] 2.27. H . 1.. X1 : : : Xn f(x1 : : : xn). * fXi (xi) i = 1 : : : n. J 0 n = 2, : FX1 (u) = PX1 X2 ((;1 u] (;1 1)) = =
Z u Z 1 ;1
;1
f(x1 x2)dx2 dx1
, . ( & % : .) 1 , fX1 (x1 ) =
Z1
;1
f(x1 x2) dx2 :
2.28. H . 1.. X1 : : : Xn f(x1 : : : xn). 0 , ..
Yj =
n X i=1
aij Xi j = 1 : : : n det(aij ) 6= 0 55
.
fY1 :::Yn (y1 : : : yn ) = jdet(aij )j;1 f(x1 : : : xn) yj =
n X i=1
aij xi j n :
0 Y = (Y1 : : : Yn), X = (X1 : : : Xn), A = (aij ) x = (x1 : : : xn) y = (y1 : : :yn ), ' ! ! : ;1
;1
j fX (yA ) : P(! : Y(!) 2 B) f=YP(y(!) =: XjdetA ;1 Z Z (!)A 2 B) = P(!: X(!) 2 BA ) = =
: : : f(x1 : : : xn) dx1 : : :dxn :
BA;1
0
$ y = xA, P(! : Y(!) 2 B) =
Z
Z
: : : jdet Aj;1f(yA;1 ) dy1 : : :dyn :] B
2.29. H . 0 .. X1 : : : Xn -
: fX1 :::Xn (x1 : : : xn) = h(x21 + : : : + x2n ). * .. Y1 : : : Yn,
$ X1 : : : Xn . J # ( A : A;1 = A, jdet Aj = 1, kyAk = kyk, kyk | y, fY1 :::Yn (y1 : : : yn) = h(y12 + : : : + yn2 ) :] x 3.
,
0 , , $ ( . 56
x3. ,
. * , , & n- (Q p(!)), (Qn Q Q : : : Q
p(n)(!1 : : : !n) p(!1 )p(!2) : : :p(!n))
% $ $ ! = (!1 !2 : : : !n)
!k 2 Q k = 1 : : : n
| (n- ) Q , Qn $ $. 6 (
(
$). & , $! &, F n- F ,
( ( (:
! = (!1 : : : !n) ( $ ) $ . 1
$ & . ! $
$ $ & . ;
! N, Q = f1 2 : : : N g p(!) = N ;1
p(n)(!1 : : : !n) = N ;n
& ( $) $ . ' $ & (X X1 X2 ::: Xn
p(n) (x1 : : : xn) p1 (x1) : : : pn(xn )) 57
.
Xk |
, pk (xk ) | Xk , k = 1 2 : : : n. 1! , , % $ $ , k- $ xk 2 Xk pk (xk )? * (, , pk () ( , , $ & N. = \ " % Q = f1 2 : : : N g, gk : Q ! Xk k = 1 2 : : : n , .. gk (!) pk () ( pk (xk ) = l=N l % Q, , gk;1 (xk ) l % ). > g: Qn ! X g(!) = (g1 (!1) : : : gn(!n )) ! = (!1 : : : !n) X = X1 ::: Xn p(n)(x1 : : : xn) = p1(x1 ) : : :pn (xn). " , (X p(n)()) $ & , % x = (x1 : : : xn) ( ! ( & ) ! = (!1 : : : !n). * , !k $ | & , , ( gk (!k ) = xk , k = 1 2 : : : n, $ , k- pk (). >
& x 8, . - $, (Xk pk ()) (. . Xk |
58
x3. ,
). 0 & ,
! , %
, n- $ . > (, :
X
x1 x2
p(2) (x1 x2) =
X x1
p1 (x1)
X x2
p2 (x2) = 1 :
# | : Xi = R, fi (xi) | , i = 1 2 $ R2 f(x1 x2) = f1 (x1)f2 (x2 ) . 0 . > $ $ . =
, .. Xk (!), k = 1 : : : n. > X : Q ! Rn
X(!) = (X1 (!) : : : Xn(!))
( Rn pX () | X(!). ; (
X $ , .. X1 (!) : : : Xn(!) . $ $ $ &$ $ 59
.
, , pX1 :::Xn (x1 : : : xn) = fX1 :::Xn (x1 : : : xn) =
n Y i=1 n Y i=1
pXi (xi ) fXi (xi ) :
* (, A1 A2 : : : An , ( ) $ -] Ak (!), k = 1 : : : n. # , ! : P(!: -] A1 (!) = 1 : : : -] An (!) = n ) =
n Y
k=1
P(! : -] Ak (!) = k )
$ 2n ( 1 : : : n ) 0 1. (> ,
: ! $.) 8 ,
f!: -] A (!) = 1g = A f! : -] A (!) = 0g = A & ! : P(A11 A22 : : :Ann ) =
n Y
k=1
P(Akk )
k = 0 1 k = 1 2 : : : n
!
A1 = A
A0 = A :
H , ? $ , & ( $
$ ) . 60
x3. ,
* $ 2.7, 2.24. B 2.24 , .. Ti , i = 1 2 : : : r, $ $
? . *, .. Vi , i = 1 2 : : : r, 2.25, $ $
? $ p 6= 1=2, . , pV1 V2 (1 1) = pV1 (1) pV2 (1): (1 ; p)p(1 ; p) + p(1 ; p)p = ((1 ; p)p + p(1 ; p))(p2 + (1 ; p)2 )
$ p = 1=2 ( 0 < p < 1). 1 , .. V1 V2 : : : Vr p = 1=2, ,
$ . * .. V1 V2 : : : p 6= 1=2 p, $ 0 1. 1 , ,
k ! , (1 ; p)k p + (1 ; p)k+1p + ::: = (1 ; p)k : # p, $ 0, k !$, $, kp , % 1. ;
, , & , . . ,
$ : pk , ! k, !$ $ k. "
, , , ,
. 3.1. H . 0 .. X1 X2 : : : Xn pX1 X2 :::Xn (x1 x2 : : : xn) = h1 (x1)h2 (x2) : : :hn(xn ) 61
.
hi i = 1 2 : : : n | ( (. 0 , X1 X2 : : : Xn . J ' n = 2. = : pX1 (x1 ) =
X
fx2 g
c2 =
h1 (x1)h2 (x2 ) = h1 (x1)c2
X
fx2 g
X
h2(x2 ) c1 =
fx1 g
pX2 (x2 ) = c1 h2(x2 )
h1(x1 ) c1c2 = 1
pX1 X2 (x1 x2) = h1 (x1)h2 (x2 ) = h1 (x1)c2 h2(x2 )c1 = = pX1 (x1)pX2 (x2 ) : ] 3.2. H . # .. X1 X2 : : : Xn. 0 , Xi1 Xi2 : : : Xik , k < n, $ . J 0 $ , , . 0 X1 X2 : : : Xk . # (,
k = n ; 1. # k = n ; 1 2.5:
pX1 :::Xn;1 (x1 : : : xn;1) = =pX1 (x1 ): : : pXn;1 (xn;1)
X
fxn g
X
fxn g
pX1 (x1 ) : : :pXn (xn) =
pXn (xn)=pX1 (x1 ): : : pXn;1 (xn;1): ]
3.3. H . # .. X1 : : : Xn, Xn+1 : : : Xn+m . 0 , .. U = g(X1 : : : Xn) V = h(Xn+1 : : : Xn+m ) . J > n = m = 1. = :
=
62
p
XUV
(u v) = P(! : g(X1 (!)) = u h(X2 (!)) = v) = X P(!: X1 (!) = x1) P(!: X2 (!) = x2) =
fx1:g(x1 )=ug
fx2:h(x2 )=vg
= pU (u)pV (v) : ]
x3. ,
3.4. H . 0 .. X, Y .
.. U = X +Y pX (), pY ().
p (u) = P(!: X(!) + Y (!) = u) = U X = =
fxy : x+y=ug
X
fxy : x+y=ug
P(! : X(!) = x Y (!) = y) =
pX (x)pY (y) =
X fxg
pX (x)pY (u ; x) :]
3.5. H . 1.. U V :
pU (k) = Cnk pk (1 ; p)n;k
pV (l) = Cml pl (1 ; p)m;l :
* .. U + V : (I) 3.4O (II) n + m ? $ p.
(I) p (k) = X C i pi(1 ; p)n;iC k;ipk;i(1 ; p)m;k+i = U +V m n fig n+m;k X i k;i n+m;k k k k = p (1 ; p)
fig
Cn Cm = Cn+m p (1 ; p)
! ( & 1.17)
X fig
Cni Cmk;i=Cnk+m = 1 :
(II) > Ub Vb ,
, $ $ n &$ m $ n + m ? , , Ub Vb n p m p Ub + Vb n + m, p, $ n + m ? . ] 63
.
3.6. H . 1.. U V (-
p. 0 , U +V ( , .. Ub , Vb $ ? , U V (. 2.24). , n $
$ (. 2.8) p $ ( n p. J $
? .. Ub , r- $, .. Vb , r- (r + s)- $. " Ub + Vb (r + s)- $, (. 2.24) pUb +Vb (k) = Crk+s+k;1pr+s (1 ; p)k: 0 2.24, $ Ub Vb pUb Vb (i j) = Cri+i;1 pi(1 ; p)r Csj+j ;1pj (1 ; p)s : > (. 3.1), .. Ub , Vb ( , $ ( .] 3.7. H . 1.. X, Y , : pX (k) = (k =k!) e; pY (l) = (l =l!) e; k l = 0 1 2 : : : : 0 , $ X + Y + . J pX +Y (k) =
k X i=0
(i =i!) e; (k;i=(k ; i)!) e; =
k X = k!1 e; ; i!(kk!; i)! i k;i = (( + )k =k!) e; ;
i=0 64
x3. ,
! * : (a + b)n =
n X
k=0
Cnk ak bn;k n = 1 2 : : : : ]
(: A(t) = a0 + a1t + a2 t2 + : : : O A(t) $ '( (..) a0 a1 : : : . 0..
a0 , a1 : : :, an , an+1 = an+2 = = 0. 0 , & ( * : (1 + t)n =
n X
k=0
Cnk tk :
, & : (1 + t1 )(1 + t2) : : : (1 + tn ) =
X
f1 2 :::n g
t11 t22 : : :tnn
1 2 : : : n 0 1. 0 t1 = t2 = = tn = t, (. 1.14 ): (1 + t)n = =
X
f1 2 :::n g
n X
t1 +2 +:::+n =
X
k=0 f1 2 :::n:1 +:::+n =kg
t1 +2 +:::+n
=
n X k=0
Cnk tk :
# , A(t) $. 5 A(t) : an = A(n) (0)=n! n = 0 1 2 : :: 5
A(0)(t) A(t)
. . , (2005)
65
.
, & (. ; p0 p1 p2 : : : (0 pk 1 p0 + p1 + p2 + ::: = 1), .. P (t) = p0 + p1 t + : : : . ' P (t) $ jtj 1. '
& ( (% &$ ( ). - $ '( .. X (
( .. PX (t), & pX (k) k = 0 1 2 : :: : * &$ ( & $ : .. cn = a0 bn + a1 bn;1 + ::: + anb0
n = 0 1 2:::
A(t)B(t) .. A(t) B(t) a0 a1 a2 : : : b0 b1 b2 : : :
. ,
A(t)B(t) =
1 X n=0
antn
1 X m=0
bm tm =
1 X k X k k=0
t
i=0
aibk;i :
# $ .. X Y 3.4,
PX (t)PY (t) = PX +Y (t) : 3.8. H P . 1 & &$ ( fig Cni Cmk;i = Cnk+m .
J
X fkg
=
Cnk+m tk = (1 + t)n+m = (1 + t)n (1 + t)m =
X fig
Cni ti
X fj g
Cmj tj =
X kX fkg
t
fig
Cni Cmk;i : ]
3.9. H . # ( 1 + t + t2 + ::: = (1 ; t);1 jtj < 1 66
x3. ,
(1 ; t);r = | :
X
1 X k=0
Ckk+r;1 tk =
1 X k=0
Ckr;+r1;1tk
Ckk+r;1Cll;;kk+s;1 = Cll+r+s;1 :
fk g 1 X J(r ; 1)! (1 ; t);r = n(n ; 1) : : :(n ; r + 2) tn;r+1 = n=r;1 1 1 X X
=
(k + r ; 1) : : :(k + 1)tk =
k=0
1 X
Cll+r+s;1
((k + r ; 1)!=k!) tk :
k=0 tl = (1 ; t);r (1 ; t);s =
l=0 1 1 X X X = Ckk+r;1tk Cii+s;1ti = tl Ckk+r;1Cll;;kk+s;1 : ] i=0 k=0 l=0 fkg
1 X
3.10. H . .. , ( .
J
n X k=0
Cnk pk (1 ; p)n;k tk = 1 X k=0
Ckk+r;1
n X
Cnk (pt)k (1 ; p)n;k = (pt + 1 ; p)n
k=0 (1 ; p)k pr tk = pr (1 ; (1 ; p)t);r :
>, , $ ( . * (, 1 X
k=0
(k =k!) e; tk = e;
1 X
k=0
(t)k =k! = e; + t : ]
3.11. H . ' ! 3.5{3.7 & &$
( . 5
67
.
J " .. U, V 3.5 | , 3.10 .. PU +V (t) = PU (t)PV (t) = (pt + 1 ; p)n+m
, ..] 3.12. H . 0 , A, B ( -] A -] B )
P(AB) = P(A)P(B), P(AB) = P(A)P(B), P(AB) = P(A)P(B), P(AB) = P(A)P(B). J #
,
$ . * , P(B) = P(AB)+P(AB) P(AB) = P(B);P(AB) , P(AB) = P(A)P(B), P(AB) = P(B) ; P(A)P(B) = (1 ; P(A))P(B) = P(A)P(B). "
.] 3.13. H . # .. X1 X2 , P(! : X2 (!) = 1) = 1=2. > .. X1 X2 | 2 .. X1 X2 (1 1 = 0 0 = 0 0 1 = 1 0 = 1). 0 , .. X1 X2 X1 X2
( ( X1 X2 (X1 X2 ) = 0). J P(! : X1 (!) = 1 X1 (!) X2 (!) = 1) = P(!: X1 (!) = 1 X2 (!) = 0) = P(!: X1 (!) = 1) P(!: X2 (!) = 0) = = P(! : X1 (!) = 1) 1=2 P(!: X1 (!) X2 (!) = 1) = P(!: X1 (!) = 0) 1=2+ +P(!: X1 (!) = 1) 1=2 = 1=2 : 1 , PX1 X1 X2 (1 1) = PX1 (1) PX1 X2 (1) :
= 3.12 , .. X1 X1 X2 . ] 3.14. H . 1 A1 A2 : : : An , P(Ai ) = pi i = 1 : : : n. * , : (I) %$ !O (II) ! O (III) ! k 68
x3. ,
p1 = ::: = pn = pO (IV) ! $ . J (I) P(A1 : : :An) = (1 ; p1 ) : : :(1 ; pn ): = (II)
n
k=1
A1 : : :Ak;1Ak Ak+1 : : :An
$ : n X
(1 ; p1) : : : (1 ; pk;1)pk (1 ; pk+1) : : :(1 ; pn) :
k=1
1 (III) Cnk pk (1 ; p)n;k : * (, (IV) P
n ! k=1
Ak = 1 ; P
\n ! k=1
Ak = 1 ; (1 ; p1) : : :(1 ; pn ) : ]
3.15. H . 1 ! 3.1, 3.2 $ , &$ . J ; fX1 :::Xn (x1 : : : xn) = h1(x1 ) : : : hn(xn ), hi, i = 1 : : : n, | ( (, .. X1 : : : Xn , ..]
0 $ . 1 & F . 1.. X1 : : : Xn , $ Iai bi ;1 ai bi 1, i = 1 : : : n, P(!: Xi (!) 2 Iai bi i = 1 : : : n) =
n Y
i=1
P(!: Xi (!) 2 Iai bi ) :
, % % & (. 3.22): n Y FX1 :::Xn (x1 : : : xn) = FXi (xi ) : i=1
69
.
* .. X1 : : :, Xn Y1 : : :, Ym ! , P(! : Xi (!) 2 Iai bi i = 1 : : : n Yj (!) 2 Icj dj j = 1 : : : m) = P(! : Xi (!) 2 Iai bi i = 1 : : : n) P(! : Yj (!) 2 Icj dj j = 1 : : : m)
$ Iai bi i = 1 : : : n, Icj dj j = 1 : : : m: 3.16. H . 0 .. X1 : : : Xn Xn+1 : : : Xn+m ( ) . 0 , .. U = g(X1 : : : Xn) V = h(Xn+1 : : : Xn+m ) . J 0 n = m = 1, : P(!: U(!) 2 Iab V (!) 2 Icd ) =
=
=
ZZ
fX1 (x1)fX2 (x2 ) dx1 dx2 =
Zf(g(x1)h(x2 ))2IabIcdg Z fg(x1 )2Iab g
fX1 (x1) dx1 :
fh(x2 )2Icd g
fX2 (x2) dx2 =
= P(!: U(!) 2 Iab) P(!: V (!) 2 Icd ) : ] 3.17. H . 1.. X1 : : : Xn ( (. 3.1)
e;x x 0 f(x) = 0
x < 0 :
.. X(k) k = 1 : : : n, : X(1) = minfXi i = 1 : : : ng, X(n) = maxfXi i = 1 : : :ng X(k) k- X1 : : : Xn. 0 , .. Yi = (n ; i+1) (X(i) ; X(i;1)), i = 1 : : : n (X(0) = 0), f(y) = e;y y 0: J # i1 i2 : : : in 1 2 : : : n .. 70
x3. ,
Xi1 Xi2 : : : Xin , .. X1 X2 : : : Xn . 0% n! Xi1 < Xi2 < ::: < Xin . ? , $ Iai bi i = 1 : : : n, n!
fXi1 < Xi2 < < Xin Xik ; Xik;1 2 Iak bk k = 1 : : : ng Xi0 = 0. 8 , fXi = Xj g i 6= j, $ 0 ( !), $ yi > 0 i = 1 : : : n:
P(!: Yi > yi i = 1 : : : n) =
= n! P(!: X1 (!) < < Xn (!) Yi > yi i = 1 : : : n) = = n! P(!: Xi (!) ; Xi;1 (!) > yi =(n ; i + 1) i = 1 : : : n) = Z Z e;x1 ;:::;xn dx1 : : :dxn = = n! ::: = n!
Z 1 fxi;xi;1>yZi=1(n;i+1)i=1:::ng y1 =n
e;x1 dx1
e;x2 dx2
Z1
x1 +y2 =(n;1) xn;1 +yn =1 = e;y1 e;y2 : : :e;yn : ]
e;xn dxn =
. 3.1 3.18. H . 1.. X, Y -
fXY (x y). 0 , .. Z = X + Y Z1 fZ (z) = fXY (x z ; x) dx : ;1
71
.
, X Y , ' :
JFZ (z) =
ZZ
x+y z
fZ (z) =
Z1
;1
fX (x)fY (z ; x) dx :
fXY (x y) dx dy =
Zz
;1
dv
Z1
;1
fXY (u v ; u) du
$ u = x v = x + y. ] 3.19. H . 1.. Xi , i = 1 2 - (. 3.2) pi > 0: fXi (x) = (pi);1 xpi ;1 e;x x > 0 fXi (x) = 0 x < 0 i = 1 2 (p) =
Z1 0
xp;1 e;x dx p > 0 :
. 3.2
0 , .. Y = X1 + X2 - p1 + p2 . , $ % ( $ (pi = 1) - . J fY (y) = (p1);1 (p2);1 72
Zy 0
xp1 ;1 e;x (y ; x)p2 ;1 e;(y;x) dx :
x3. ,
1
x = yu, : fY (y) = ce;y yp1 +p2 ;1 c = (p1 );1 (p2);1
Z1 0
up1 ;1 (1 ; u)p2 ;1 du :
" fY (y) 1, c = (p1 + p2 );1. >
Z1 0
up1 ;1(1 ; u)p2 ;1 du = (p1) (p2 )=(p1 + p2 ) : ]
3.20. H . 1.. X1 : : : Xn % ( , k = X1 + : : : + Xk , k = 1 : : : n. * .. 1 : : : n. J .. (1 : : : n) (X1 : : : Xn)
. ! 2.28, 0 < t1 < t2 < : : : < tn:
f 1 2 ::: n (t1 t2 : : : tn) = fX1 X2 :::Xn (t1 t2 ; t1 : : : tn ; tn;1) = = e;tn : ] 3.21. H . 0 , $ .. X1 X2 P(!: X1 (!) 2 (a1 b1] X2 (!) 2 (a2 b2]) =
= FX1 X2 (b1 b2) ; FX1 X2 (b1 a2) ; ; FX1 X2 (a1 b2) + FX1 X2 (a1 a2) :
J# , P(!: X1 (!) 2 (a1 b1] X2 (!) 2 (a2 b2]) = = P(!: X1 (!) 2 (a1 b1] X2 (!) 2 (;1 b2]) ; ; P(! : X1 (!) 2 (a1 b1] X2 (!) 2 (;1 a2]) : 73
.
<
X1 (!) 2 (a1 b1] . ] 3.22. H . ; FX1 X2 (x1 x2) = FX1 (x1 ) FX2 (x2) P(!: Xi (!) 2 (ai bi ] i = 1 2) = = P(!: X1 (!) 2 (a1 b1]) P(!: X2 (!) 2 (a2 b2]) : J 3.21.] 0 $ ! . 8 R2 = R R
$ P1 P2 $ $ R2 P, P(A1 A2 ) = P1(A1 ) P2 (A2 ) A1 A2 R : #
(. x 8) P $ B = A(1i) A(2i) &$ F
&$ A(1i) A(2i) , % ! . 1 (
, ( $
? (. 2.19, 2.22). " & | $ (Xi Ai Pi)
. >
( ()
$ .. Xi i = 1 2 : : : : , ( ) .. X1 : : : Xn n = 2 3 : : : : $ $ , , .
x 4. ! " ' ( , & , 74
x4.
. % $ , & &
! $ $ . $ ! .. X(!). 0 .. X(!)
$ $. 1 X(!) N Q ! .. X MX = N ;1
X
f!2#g
X(!) =
X
f!2#g
X(!)p(!)
p(!) = N ;1 , ! 2 Q, | Q. 4.1. H . 1.. X | $ ! n- & N ! $ ! p. * MX. J H % $ $ ! = (i1 : : : in ) $ !, p(!) = N ;n MX =
X f!g
X(!)p(!) =
n X
k
X
p(!) =
k=0 f! : X (!)=kg n n X X = k P(!: X(!) = k) = k Cnk pk (1 ; p)n;k = k=0 k=1 n X = np Cnk;;11pk;1(1 ; p)(n;1);(k;1) = np : ] k=1
0 (Q p(!)) | , X(!) | .
X
f!2#g
jX(!)jp(!) < 1 75
.
! .. X X MX = X(!)p(!) : f!2#g
0 , % 4.1, & : X X X MX = X(!)p(!) = xpX (x) fx2Xg f! : X (!)=xg
fx2Xg
X | .. X. ; p(x) | ,
X R, X xp(x) fx2Xg
( , $) p(x). " , .. X pX (x). 4.2. H . : (I) (. 1.17) p(k) = CLk CNn;;kL =CNn , k = 0 1 : : : nO (II) ( p(k) = Crk+k;1pr (1 ; p)k , k = 0 1 2 : : :O (III) p(k) = k e; =k! k = 0 1 2 : : : . J (I)
n X
k=0
kCLk CNn;;kL =CNn =
=L
(II)
n X
CLk;;11C((Nn;;1)1);;((kL;;1)1)(CNn;;11 N=n);1 = nL=NO
k=1 1 X ; 1)! pr+1 (1 ; p)(k;1) k Crk+k;1pr (1 ; p)k = (r(k+;k1)!r! k=0 k=1
1 X
p;1 (1 ; p)r = p;1(1 ; p)rO
(III) 76
1 X
k=0
kk e; =k! =
1 X
k=1
k;1e; =(k ; 1)! = : ]
x4.
' $ , , , % (. H , .. X | , MX = p = P(!: X(!) = 1), % n;1 (x1 + : : : + xn) = MX, x1 : : : xn | $ $ .. X. > &, .. X, &
aj pj , j = 1 : : : m. > jn $ aj x1 x2 : : : xn n;1 (x1 + : : : + xn) = a11n + a22n + : : : + am mn % jn. >
n;1 (x1 + : : : + xn) = a1p1 + a2p2 + : : : + am pm = MX
& ( $ $ . % ' n;1(x1 + : : : + xn) $ .. X, ! & , $
$ ($.
(Q A P) & , ! . =
, .. X x1 x2 : : :(xi 6= xj i 6= j): fBj j = 1 2 : : : g Q, Bj = f!: X(!) = xj g, ! .. X X MX = xj P(Bj ) fj g
77
.
, $. > , .. X
1, MX %
. 4.3. H . 1.. X ( ( . MX =
J =
1 X k=1
1 X
k=1
P(!: X(!) k) :
P(!: X(!) k) =
1 X n X
n=1 k=1
1 X 1 X k=1 n=k
P(!: X(!) = n) =
P(! : X(!) = n) =
1 X
n=1
n P(!: X(!) = n) :
> , ! .] 4.4. H . 0 fAk k = 1 2 : : : g | % $ Q (Ak 2 A Ak Al = ? S k 6= l fkg Ak = Q): 0 , .. X
% $ : X(!) = yk ! 2 Ak (yk
$ k). X MX = yk P(Ak ) : fkg
J 0 x1 x2 : : : |
$ .. X, Bj = f!: X(!) = xj g, j = 1 2 : : : . ! X X P(Bj ) = P(Bj Ak ) P(Ak ) = P(Bj Ak ) fkg
fj g
( , , Ak Bj j, ), : X XX XX MX = xj P(Bj ) = xj P(Bj Ak ) = yk P(Bj Ak ) = = 78
fj g X X fkg
yk
fj g
fj g fkg
P(Bj Ak ) =
X fk g
yk P(Ak )
fj g fkg
x4.
, $ j, k, $ P(Bj Ak ) > 0 (, , Bj Ak 6= ?), xj = X(!) = P yk ! 2 Bj Ak : " , MX & , yk P(Ak ) $ . 0 , P , $ yk P(Ak ) & MX . ] 4.5. H . M(cX) = c MX, c = const M(X + Y ) = MX + MY , MX MY & ( ( MX). J 0 x1 x2 : : : y1 y2 : : : | .. X Y
, Aj = f! : X(!) = xj g, Bk = f!: Y (!) = yk g j k = 1 2 : : : . 1.. X + Y
% $ fAj Bk j k = 1 2 : : : g xj + yk ! 2 Aj Bk . 0 4.4, M(X + Y ) =
X
(xj + yk )P(Aj Bk )
fjkg
$. * MX, MY & , 4.4 , MX =
X
fjkg
xj P(Aj Bk )
MY =
X
fjkg
yk P(Aj Bk )
$. 1 , . ] 4.6. H . (. 4.2), $ ? $ & % $ $ .. J (I) 0 X1 X2 : : : Xn | ? . " .. Sn = X1 + : : : + Xn , MXi = P(!: Xi (!) = 1) = p, MSn = np. (II) 0 Xi = 1, i- &
! 79
.
$ & , , MXi = P(! : Xi (!) = 1) = p, p | $ !, $: MSn = np, Sn = X1 + : : : + Xn . > , Sn $ ! F n (. 1.17).] 4.7. H . ( ,
$ $ (. 3.6). J 0 X1 : : : Xr | P(!: Xi (!) = k) = (1 ; p)k p k = 0 1 2 : : : . " MXi =
1 X
k=1
P(!: Xi (!) k) =
1 X
k=1
(1 ; p)k = (1 ; p)=p
MSr = r(1 ; p)=p, Sr = X1 + : : :+ Xr ( (. 3.6).] 4.8. H . F ( ( "{"): P
n X n i=1
Ai =
k=1
(;1)k;1
X
i1 <:::
P(Ai1 : : :Aik ) :
# ! -] A' =
n Y ] i=1
-A'i =
n Y
(1 ; -] Ai ) A = ni=1Ai
i=1
-] A', -] Ai | . J ' , : 1 ; -] A = 1 ;
X
(;1)k;1 -] Ai1 : : : -] Aik = 1 ;
X
(;1)k;1 -] Ai1 :::Aik
k, i1 < i2 < < ik . 0 $ , M -] Ai1 :::Aik = P(Ai1 : : :Aik ) M -] A = P(A) 80
x4.
( { . ] 4.9. H . * , & n n $ , ! 4.8. J 0 Ai , i . : , P(Ai) = n;1 P(AiAj ) = (n(n ; 1));1 i < j P(Ai Aj Ak ) = (n(n ; 1)(n ; 2));1 i < j < k
..,
n X n
P
i=1
Ai =
k=1
(;1)k;1Cnk (n(n ; 1) : : :(n ; k + 1));1 = =
n X k=1
(;1)k;1=k! :
H , n ! 1 % 1 ; e;1 , !$ n
$!: n = 5 ! 0,0001, n = 7 | 0,00002.] 4.10. H . 1.. Y = g(X) | ( $ .. X = (X1 : : : Xn): MY =
X fxg
g(x)pX (x) :
J 1.. Y
g(x) % Bx = f!: X(!) = xg , .. X. > 4.4.] 4.11. H . 1.. X, Y . 0 , MXY = MX MY , MX MY & . J 4.10 : MXY = 6
X
fxyg
xy pXY (x y) =
X
fxyg
xy pX (x) pY (y)
. . , (2005)
81
.
, $. * MX =
X fxg
x pX (x)
MY =
X fyg
y pY (y)
$, .] 4.12. H . 0 ( $ ..), : (I) jX j jY j & MY , & MXO (II) X 0, MX 0O (III) X Y , MX MY O (IV) jMX j MjX j ( (II){(IV) , MX MY & ). J
. , (III) (II) 4.5, (IV) (III) ;jX j X jX j. > , , , MjX j &
MX. ] 4.13. H . 1.. N ( ( $ .. X1 X2 : : : . > SN , ! 2 Q , N(!) > 0, X1 (!) + : : : + XN (!) (!), N(!) = 0 | . 0 , MXi $ i MN
, MSN = MN MX1 . J , MSN
,
X fxg
=
x P(! : SN (!) = x) =
1 X X
x
fxg n=0
X fxg
1 X X
x
fxg n=0
P(! : SN (!) = x N(!) = n) =
P(!: Sn (!) = x N(!) = n) =
x P(!: Sn (!) = x)=
1 X n=1
1 X n=0
P(!: N(!) = n)
MSn P(!: N(!)=n)=MX1 MN
! MSn = n MX1 . 0 , , $. ] 82
x4.
0 .. X(!),
(Q A P). & , , (
X. * , ( X(!) , Iab f!: X(!) 2 Iab g , . . A. 1 ! PX (Iab ) = P(!: X(!) 2 Iab)
PX . ' & x 2. 0 % , , $ ,
\
" . 0 kn;1, k = 0 1 2 : : :, n;1 , & p(n) (kn;1) = PX ((kn;1 (k + 1)n;1]) k = 0 1 2 : : : & kn;1 , PX (kn;1 (k+1)n;1 ]. 0 , & $ PX & $ p(n) . , p(n) 1 X
= 6
1 X k=;1
k=;1
kn;1 p(n)(kn;1 ) =
kn;1P(!: kn;1 < X(!) (k+1)n;1 ) 83
.
& , .. X
MX $ $ p(n) n ! 1. " $ & . .. X (n) (!), X (n) (!) = kn;1 $ kn;1 < X(!) (k+1)n;1 k = 0 1 2 : : : : 0 ! .. X
( & ) (n) MX = nlim !1 MX
$ MX (n) =
1 X
k=;1
kn;1p(n) (kn;1)
$ .. X (n) ( , MX (n) & ). 4.14. 0 . MX =
Z1
;1
xf(x) dx
.. X, & f(x), , $. 0 .. X ( . # X (n) .. X, & , ! : MX
(n)
=
1 X
k=0
kn;1
Z (k+1)=n k=n
f(x) dx
1 Z (k+1)=n X k=0 k=n
xf(x) dx:
0 % $,
N Z (k+1)=n X k=0 k=n 84
xf(x) dx =
Z (N +1)=n 0
xf(x) dx
x4.
$ N ! 1. > , MX (n)
Z1 0
xf(x) dx :
<
MX (n) ( : N Z (k+1)=n X
=
=0 Z (Nk+1) n 0
(x ; n;1 )f(x) dx =
k=n
xf(x) dx ; n;1
8 N 1, : MX
(n)
Z1 0
Z (N +1)n 0
f(x) dx :
xf(x) dx ; n;1 :
0 $
$ $ n ! 1,
$ Z1 (n) = lim M X xf(x) dx : n!1 0
& MX (n) $ : 1 X k=0
kn;1
Z (k+1)=n k=n
f(x) dx ;
1 X k=1
kn;1
Z ;(k;1)=n ;k=n
f(x) dx :
= & ,
x ;x. 4.15. H . 1.. X - f(x) = ;(p);1xp;1 e;x , x > 0 (. 3.19). MX. J
Z1 0
x;(p);1xp;1 e;x dx =
Z1 0
;(p + 1);1xp e;x dx
;(p + 1);(p);1 = ;(p + 1);(p);1 = p ;(p);(p);1 = p : 85
.
' ;(p + 1) = p ;(p)
. 6 ( (p = 1) 1.] 4.16. H . 1.. X - f(x) = B(a b);1xa;1 (1 ; x)b;1
0<x<1
( f(x) = 0 $ x), (. 3.19) B(a b) =
Z1 0
xa;1 (1 ; x)b;1 dx = ;(a);(b)=;(a + b) a b > 0
| - ( 6 . * MX. J =
Z1
Z1 0
0
xB(a b);1 xa;1(1 ; x)b;1 dx = xB(a + 1 b);1xa (1 ; x)b;1 dx
B(a + 1 b)B(a b);1 = B(a + 1 b)B(a b);1 = a=(a + b) , (p + 1) = p(p). J0, 1] (a = 1, b = 1) MX = 1=2.] 4.17. H R. 1.. X 0 f(x). 0 , MX r = 01 xr f(x) dx, r > 0, . J
nm X
kn;1 P(! : kn;1 < X r (!) (k + 1)n;1 ) =
k=0 nm X
=
Z
k=0 fx : kn;1<xr (k+1)n;1g
kn;1 f(x) dx :
H kn;1 xr xr ; n;1, ,
, ( $ :
Z m+1=n 0
86
xr f(x) dx
Z m+1=n 0
xr f(x) dx ; n;1 :
x4.
8 m 1, , & MY (n) , Y (n) | .. Y = X r ,
Z1 0
xr f(x) dx ; n;1 MY (n)
Z1 0
xr f(x) dx :
R
0 $ n ! 1, MX r = 01 xr f(x)dx.] 4.18. H . MX r , r > 0, - - (. 4.15, 4.16). J
4.15, 4.16, %
Z1 0
Z1 0
xr ;(p);1xp;1 e;x dx = ;(p + r) ;(p);1 = = (p + r ; 1)(p + r ; 2) : : :p
xr B(a b);1 xa;1(1 ; x)b;1 = B(a + r b)B(a b);1 :
4.19. H . 0 .. X 0. 0 4.3 .. nX (n) , : MX =
Z1 0
(1 ; F (x)) dx F(x) = P(! : X(!) x)
MX & , $. 1. " MX &,
( y = F (x), x 0, y = 1. * .. .. X F(x) = P(X(!) < x), ! $ . > , 4.19 .. J ' .. X (n) , &$ MX, , MX (n) !
Z1 0
(1 ; F(x)) dx n ! 1 : 87
.
1.. nX (n) ( ( (. 4.3) nMX (n) = M nX (n) =
1 X k=1
P(! : nX (n) (!) k) :
: , n;1
1 X k=2
1 X
(1 ; F (kn;1))n;1
P(!: nX (n) (!) k) =
Z1
1=n
(1 ; F (x)) dx
k=2
1 X k=1
(1 ; F(kn;1))n;1 :
> , & MX (n) % R 1
0 (1 ; F (x)) dx % 1 X MX (n) = (1 ; F(kn;1))n;1 k=0
$ % .] 1. 0 .. X(!) ( MX = 0. " , .. FX (x) , 4.19 " > 0 0 "(1 ; FX (")) MX = 0
P(!: X(!) > ") = 0 :
> $ , " 0, , P(!: X(!) > 0) = 0
(, , X(!) = 0 1). > , P() $ 88
x4.
, ,
, & , . G
: f!: X(!) > "g " ! 0 \$" f! : X(!) > 0g, , % $ &$ . : A A1 A2 : : : An : : : , A1 A2 : : : An : : :
A=
1 \
n=1
An
P(An ) ! P(A)
n ! 1: ; % & , . 0 % x 8. * ,
? , $
$ . 4.20. H . 0 .. X ( . MX =
Z1 0
x;1(1 ; F(x)) dx > 0 :
J F(x) P(!: X (!) x) = P(!: X(!) x1=) = F(x1=) , 4.19, MX =
Z1 0
(1 ; F (x)) dx =
Z1 0
(1 ; F(x1=)) dx :
H
y = x1= . ] 89
.
X(!) (, 2 ( X(!) P(). >
: $ ( X(!) | ( , &$ !
: X(!) = ai ! 2 Ai i = 1 2 : : : m Ai 2 A Ai = Q Ai Aj = ? i 6= j : i
= ( ) $ (
Z
#
X(!)dP =
m X i=1
ai P(Ai ) MX :
# $ ,
$ ($ ) ( X(!). G
&$ $ m = 1 ( ) $ & . *
( X(!) . H : $ ( X(!) $, Iab , ;1 a < b +1,
f! : X(!) 2 Iab g 2 A O ( , " , $ . = $ % $ ( , &$ X(!) ( , , % ( ). > $ 90
x4.
$ ( . *! ( : ) .. ( () X(!) X(!) ( X (n) (!) $ $ (% $ ( ). C & 4.21 , ( & . &$ $ % $ , $ $ 4.5, 4.12. 4.21. H . (I) 0 Xn (!) | $ $ , $&$ .. X(!): sup jXn (!) ; X(!)j "n ! 0 !
n ! 1:
0 , n0 & MXn0 . "
MXn & $ n
MXn !
n!1
|
. (II) 0 Yn (!) | & $ $ , $& X(!): sup jYn(!) ; X(!)j n ! 0 n ! 1 : !
0 , , n0 & MYn0 , $ n & MXn , lim MYn = nlim !1 MXn (= ) :
n!1
(III) ; (I), MX (n) ! , n ! 1, . . MX & . 91
.
J (I) = jXn (!)j jXn0 (!)j + "n + "n0 4.12 , MXn & $ n, & n0. # (. 4.12),
jMXn ; MXm j MjXn ; Xm j "n + "m . . MXn , ,
. (II) <
,
jXn (!)j jYn0 (!)j + "n + n0 jXn(!) ; Ym (!)j "n + m jMXn ; MYm j "n + m , MXn & MXn MYn . (III) 0 Xn (I), Yn = X (n) . " (II) limn!1 MXn = limn!1 MX (n) = MX. ] 1. = 4.21 , &
| $ $ . =
, X(!) | , & : Xn (!) = X(!), n = 1 2 : : :, 4.21 (III). 4.22. H . # & MX $
, ! .. Y , &
jX(!) ; Y (!)j c
c. , .. X(!) , MX & . J ;
.. Y & , (. 4.21)
jX (n)(!) ; Y (!)j c + n;1 MX (n) & , (c. 4.21), MX MX (n) . * $
MX. ] 92
x4.
4.23. H . 0 , , MX MY & , & M(aX + bY ) = aMX + bMY: (n) (n) J aMX + bMY =a nlim !1 MX + b nlim !1 MY = (n) (n) = nlim !1 M(aX + bY ) = M(aX + bY )
aX (n) (!) + bY (n) (!) $ aX(!) + bY (!). ] 4.24. H . 0 X(!) X(!) 0 X + (!) = 0 X(!) < 0 X ; (!) = (;X(!)) + , X(!) = X + (!) ; X ; (!). 0 , MX = MX + ; MX ; MX & , & MX + , MX ; , MjX j & , & MX. MX, . 4.1 4.19. J ; Y | , jX(!) ; Y (!)j c jX + (!);Y + (!)j c jX ; (!);Y ; (!)j c:
. " & MX 4.22. ' MX = MX + ; MX ; 4.23. * (, jX j = X + +X ; 4.23 . " (. 4.19) MX ; =
Z1 0
MX =
P(X ; > x) dx =
Z1 0
Z1 0
F(;x) dx
(1 ; F (x) ; F(;x)) dx : 93
.
" , MX S1 ; S2 & . 4.1.] 4.25. H . ; X1 (!) X2 (!) & MX1 , MX2 , MX1 MX2 : , jMX j MjX j. J # ( .. X(!) = X2 (!) ; X1 (!) : X (n) 0 MX (n) 0, (. 4.23): 0 MX = MX2 ; MX1 : ] 4.26. H . ; jX( !)j jY (!)j & MY , & MX. J 0 & MY & MjY j, 4.25. # : jX (n)j jY (n) j + n;1 $ , | n ! 1.] $ 4.27, 4.28 4.11 & . 4.27. H . 0 X Y | (
. 0 , MXY = MX MY . J = X (n) , Y (n) :
0 X (n) < X X (n) + n;1
0 Y (n) < Y Y (n) + n;1 :
0 % , : 0 X (n) Y (n) < XY X (n) Y (n) + (X (n) + Y (n))n;1 + n;2 : : , .. X (n) Y (n) ( $
). 0 4.11, $: MX (n) Y (n) = MX (n) MY (n) ! MX MY n ! 1 :
= 4.26 4.25 , MX (n) Y (n) MXY 94
MX (n) Y (n) +(MX (n) +MY (n))n;1 +n;2 :
x4.
0 $ n ! 1, . ] : ( ) ( ) 1. 0 & % , , MX ( ) ,
$ MX + MX ; . 0 % MX ! MX = MX + ; MX ; 1. ! % , & ,
MX . 4.28. H . 0 4.27 , & , ( . J > , .. X + X ; Y + Y ; . =
MX MY
MX + , MX ; , MY + MY ; , 4.27, : MX + Y + = MX + MY + MX ; Y + = MX ; MY +
MX + Y ; = MX + MY ; MX ; Y ; = MX ; MY ; :
> XY = X + Y + ; X + Y ; ; X ; Y + + X ; Y ; 4.23 4.24.] 4.29. H . 0 .. X(!) $ a
. 0 , MXab ! MX 95
.
a ! ;1, b ! +1
. ' X(!) 0. J 0 X(!) 0. %
a = 0. 0 , jX0(nb)(!) ; X0b(!)j n;1 jMX0(nb) ; MX0b j n;1 : 0 % b ! +1. 0 : MX0(nb) ! MX (n)
b ! +1 :
" X0b1 (!) X0b2 (!) b1 b2 , MX0b ( b MX0b MX. 1 , &
= blim MX0b : !1 " , jMX (n) ; j n;1 : 8 n ! 1, $, MX = . & X = X+ ; X;
Xab = Xa0 + X0b
.. X(!), X (n) (!). ] * ( . 0 F(x) |
&
(. #
( g(x) # {1 ' {1 :
X
96
X
mk (F (xk+1) ; F (xk )) Mk (F (xk+1) ; F(xk )) X g(yk )(F (xk+1 ) ; F(xk ))
x4.
fxkg | , xk yk xk+1, mk Mk | $ ( g(x) . " ' , & F (x) = x, F (x), , (. 0 ' {1 . ' ,
(
) . # ' {1 Zb g(x) dF (x) ;1 a < b +1 a
( ( F , ( ). 0 F(x) | ( .. X
g(x) = x. 1 4.29 MX = lim nlim a!;1 !1 b!+1
X
kn;1(F((k + 1)n;1) ; F(kn;1)) :
" , ' {1
Z1
;1
x dF (x)
,
$. 1! , % ( .. F(x)). " $ . - $, , (4.23{4.28) $ ' {1
7
. . , (2005)
97
.
. ;& , $ , & (
.. X(!): Y (!) = g(X(!)). MY ' {1 $ ( FY (y) = P(g(X(!)) y)
Z1
;1
y dFY (y) :
* & (. 4.10) ' {1 (. 4.30): Mg(X) =
Z1
;1
g(x) dFX (x)
: . * $ & $ : , ! ! $ . ' {1 . 4.30. H .
! .. g(X) , g(x) , Mg(X)
. J 0 Yn (!) = g(kn;1 ) X(!) 2 (kn;1 (k + 1)n;1] : " MYn = 98
X
g(kn;1 )(FX ((k + 1)n;1) ; FX (kn;1 ))
x5.
' {1 , & . 0 .. Yn (!) $ Y = g(X(!)), MYn ! MY
n ! 1:
6 Yab , ;1 < a < b < 1 (. 4.29), & $ $ MYab =
Z
%ab)
g(x) dFX (x) :
> a ! ;1, b ! +1 4.29. > ,
$ . ] x 5. $ % ' .. Y = jX ; aj , 1, $ .. X a. 0 , MY
, (. 4.20, X jX ; aj):
Zt 0
MjX ; aj =
Z1 0
x;1P(!: jX(!) ; aj x) dx
x;1P(!: jX(!) ; aj t) dx = tP(!: jX(!) ; aj t)
P(!: jX(!) ; aj t) t;MjX ; aj t > 0
( & ( PX ), & (a ; t a + t). >
% , = 2 (a = 0 7
99
.
a = MX). 1 & 0.:. 5 ! . =
, , MX | ( PX , M(X ; a)2 | (
a. 5.1. H . 0 ,
MjX j , 1,
MjX ; aj a. J # $ x y 0 : (x + y) (2x) , x y, (x + y) (2y), x y, (x + y) 2 (x + y ). > MjX ; aj M(jX j + jaj) 2 (MjX j + jaj ): ] 5.2. H . 0 ,
MjX j , > 0,
MjX j , 0 < < .
J jX j 1 + jX j .] 5.3. H . 0 , M(X ; a)2 a = MX ( , MX 2 < 1). J =
MX 2
MX, M(X ; a)2 = M(X 2 ; 2Xa + a2 ) = MX 2 ; 2aMX + a2:
( a=MX.] # , MX 2 < 1. 3 .. X
DX = M(X ; MX)2 : 3 P() P(). > , X(!) = const 1, DX = 0. 5.4. H . DX = MX 2 ; (MX)2 . J DX = M(X 2 ; 2X MX + (MX)2 ) = MX 2 ; (MX)2 : ] 100
x5.
5.5. H . -
. J ! , MX 2 = M(X(X ; 1) + X) = MX(X ; 1) + MX ! DX = MX(X ; 1) + MX ; (MX)2 : 4.1 , MX =
n X
k=0
k Cnk pk (1 ; p)n;k = np :
'
, $, MX(X ; 1) =
n X
k=0
k(k ; 1) Cnk pk (1 ; p)n;k = n(n ; 1)p2
DX = n(n ; 1)p2 + np ; (np)2 = np(1 ; p): ] 5.6. H . . 1 i 1 k X X J k(k ; 1) k! e; = 2 i! e; = 2 : i=0 k=0
> 4.2 (III) $, 5.5, : 2 + ; 2 = . ] 5.7. H . ( . J
1 X
k=0
k(k ; 1) Crk+k;1 pr (1 ; p)k =
1 X k ; 1)! pr+2 (1 ; p)k;2 = (k(r;+2)!(r + 1)! k=2
(r + 1)rp;2 (1 ; p)2 = (r + 1)rp;2(1 ; p)2 : 101
.
# , 5.5, 4.2 (II) : (r + 1)rp;2(1 ; p)2 + p;1 (1 ; p)r ; (p;1 (1 ; p)r)2 = = r(p;2(1 ; p)2 + p;1(1 ; p)) = r(1 ; p)p;2 : ] 5.8. 0 ( !$ ? ). >
Sn $ n $ ? . 0
5 ! , ! : P(!: jSn(!) ; MSn j t) t;2 DSn = t;2np(1 ; p)
P(!: jn;1Sn (!) ; pj tn;1 ) t;2 np(1 ; p) :
t = "n, :
P(! : jn;1Sn (!) ; pj ") n;1";2 p(1 ; p) :
" , " > 0 P(!: jn;1Sn (!) ; pj ") ! 0 n ! 1 :
6 ! (H?5) ? . H?5 ? $ $ , & % ,
n;1 sn = p, n;1sn
$. 5.9. H . 0 , " > 0 P(!: jr;1Zr (!) ; p(1 ; p);1 j ") ! 0 r ! 1
Zr | , ! &$ r- $ $ ? . J 0 5 ! 2.24, 4.2 (II) 5.7: P(!: jZr (!) ; rp(1 ; p);1 j t) t;2rp(1 ; p);2 102
x5.
P(!: jr;1Zr (!) ; p(1 ; p);1 j ") r;1";2 p(1 ; p);2
r 1. ] 5.10. H . 1.. X 0 . 0 , " > 0 ! 1 P(! : jX (!) ; j ") ! 0 :
J 5 ! . > , .. X (!) , & , ,
X (! ), ! | % $ Q , .. X . 1 %
5.10 , & P : P (I) = P(!: X (!) 2 I),
: P (k: jk ; j ") =
X
fk : jk; j "g
e; k =k! ! 0 ! 1: ]
5.11. 0 ( 1.*. ? ! !). H !$ ? (. 5.8), .. n;1Sn , & kn;1 Cnk pk (1 ; p)n;k , k = 0 1 : : : n, !$ n ,
p: P(! : jn;1Sn (!) ; pj < ) > 1 ; n;1 ;2 p(1 ; p) :
J0, 1] ( u(x) .. Un (!) u(n;1Sn (!)). ' .. Un !$ n u(p) , , MUn ! u(p) n ! 1 103
.
0 < p < 1. # , An = f! : jn;1Sn (!) ; pj < g c = supfju(x)j 0 x 1g. 0 " > 0 > 0 ( u. ", -] (A) A, :
jMUn ; u(p)j = jM(Un ; u(p))j MjUn ; u(p)j = = M(jUn ; u(p)j -] (An )) + M(jUn ; u(p)j -] (An ))
M(" -] (An )) + M(2c -] (An )) = "M -] (An ) + 2cM -] (An )) = = "P(An ) + 2c P(An ) " + 2cn;1 ;2p(1 ; p) : " > 0 , , p(1 ; p) 1=4 0 < p < 1 n 1, $
! ! . 0 un(p) MUn = (un (0) = u(0)
n X
u(kn;1)Cnk pk (1 ; p)n;k
k=0 un(1) = u(1)) :
0p1
" , un(p) ! u(p) n ! 1 p 2 (0 1). 0 un(p) | p n,
! (. 5.12. H . G ( u(x), x 0, . 0 , 0 un() =
1 X k=0
u(kn;1) e;n (n)k =k! ! u()
n!1
(un (0) = u(0))
$
. 104
x5.
J X .. . " un () = Mu(n;1 Xn ) , 5.11, :
jun() ; u()j "P(! : jn;1Xn (!) ; j < ) + + 2c P(! : jn;1Xn ; j ) c = supfju(x)j x 0g > 0 " > 0 ( u . 0 5 ! P(!: jXn (!) ; nj n) n=( n)2 = =( 2 n)
jun() ; u()j " + 2c ;2 n;1 : "
$ un () ! u() .
# , &$
,
$ $ "
( u . ] 5.13. H . - . J DX = MX 2 ; (MX)2. 0 4.18, DX = (p + 1)p ; p2 = p. ] 5.14. H . 0 , D(aX + b) = a2 DX, a, b |
. JD(aX + b) = M((aX + b) ; M(aX + b))2 = = M(a2 (X ; MX)2 ) = a2DX : ] 5.15. H . 0 , -
(. 4.19), DX = 0, X(!) = MX 1. J 0 Y (!) = (X(!) ; MX)2 , , Y (!) 0 MY = 0. >
. ] ; .. X(!), Y (!) , (. 4.27, 4.28) MXY = MX MY : 105
.
* , , . . MXY = MX MY , & ,
.. X Y . " , $ .. X, Y
X
fxyg
xy pXY (x y) =
X fxg
x pX (x)
X fy g
y pY (y)
& , pXY (x y) = pX (x) pY (y).
$ .. -] A , -] B %, , . =
: M -] A = P(A)
M -] B = P(B)
M -] A -] B = M -] AB = P(AB)
% M -] A -] B = M -] A M -] B P(AB) = P(A) P(B)
.. -] A , -] B (. 3.12). & MXY ; MX MY $ .. X Y ,
( .. X Y Cov(X Y ). > , Cov(X X) = DX. 5.16. H . ; MX 2 MY 2
,
MXY , , Cov(X Y ). J 1 2jX j jY j jX j2 + jY j2 . ] 5.17. H . Cov(X Y ) = M((X ; MX)(Y
; MY )) :
J (X ; MX)(Y ; MY ) = XY ; X MY ; Y MX + MX MY: $ % , MXY 106
; MX MY = Cov(X Y ) : ]
x5.
5.18. H . 0 , $
$ a b c d Cov(aX+b cY +d)=acCov(X Y ).
J M(((aX + b) ; M(aX + b))((cY + d) ; M(cY + d))) = = M(a(X ; MX) c(Y ; MY )) = ac M((X ; MX)(Y ; MY )): ] 5.18, ( $ , ! $ x . 5 $ , ! $ , ( X, Y (DX DY )1=2. 0
$ ''( (:
p
(X Y ) = Cov(X Y ) / DX DY :
p
7, .. X = (X ; MX)= DX .. X ( ( ) ( ). 1.. X
, 5.18 , (X Y ) = Cov(X Y ) : 1.. , (X Y ) = 0. * (
) . 5.19. H . !{ ? {R(: (MXY )2 MX 2 MY 2 ,
$
$ a, b, $
, aX(!) + bY (!) = 0 1. J 0 $ a, b 0 M(aX + bY )2 = a2MX 2 + 2abMXY + b2 MY 2 : 107
.
' MX 2 > 0 $ a, , : 4b2(MXY )2 ; 4b2MX 2 MY 2 0 :
$, MY 2 > 0. MX 2 = MY 2 = 0 (. 5.15). ' M(aX + bY )2 = 0 % , P(!: aX(!)+ bY (!) = 0) = 1, a2 + b2 > 0, MX 2 + MY 2 > 0 , $
. 6 % . ] 5.20. H . 5.19, j(X Y )j 1, j(X Y )j = 1 , 1 aX(!)+bY (!)+c = 0 $
$ a, b, c, a2 +b2 > 0. (0 , DX, DY > 0, %( ( .) J 0 5.19
.. X , Y X, Y , :
p p j(X Y )j 1 X =(X ; MX)= DX Y =(Y ; MY )= DY
, $ a b, a2 + b2 > 0 aX (!) + bY (!) = 0 ( 1), . . a(X ; MX) + b(Y ; MY ) = 0, c = ;aMX ; bMY .] 5.21. H . $ : D(X1 + : : : + Xn ) =
n X i=1
DXi + 2
X f1 i<j ng
Cov(Xi Xj ) :
; .. X1 : : : Xn ( , ), . 108
x5.
J 5.14, 5.18 MXi = 0, i = 1 : : : n ( Xi Xi ; MXi ), D(X1 + : : : + Xn ) = M(X1 + : : : + Xn )2 = M
=
X fig
MXi2 + 2
X
fi<j g
MXi Xj :
X
fij g
Xi Xj =
5.22. H . -
, &$ $ . J (I) ? .. Sn = X1 + : : : + Xn , Xi i = 1 : : : n | .., P(!: Xi (!) = 1) = p i = 1 : : : n. = : MX1 = p MX12 = p DX1 = p ; p2 DSn = np(1 ; p) :
(II) 7 .. Sn | $ ! & F N M ! | X1 + : : : + Xn , Xi | , i- &
! . : , P(!: Xi (!) = 1) = M=N
P(!: Xi (!) = Xj (!) = 1) =
= M(M ; 1)=(N(N ; 1))
MXi = M=N DXi = (M=N)(1 ; M=N)
Cov(Xi Xj ) = M(M ; 1)=(N(N ; 1)) ; (M=N)2
DSn = n(M=N)(1 ; M=N) + n(n ; 1)(M(M ; 1)=(N(N ; 1)) ;
; (M=N)2 ) = n(M=N)(1 ; M=N)(1 ; (n ; 1)=(N ; 1)): ]
5.23. H ( !$ 5 ! ).
= 5 ! 5.21, 109
.
!$ & : .. X1 X2 : : : , " > 0 P(!: jn;1(X1 (!) + : : : + Xn (!)) ; MX1 j > ") ! 0 n ! 1 :
J " D(X1 + : : : + Xn ) = nDX1, ( $ 5 ! DX1 =(n"2 ) 0 n ! 1.] % $ $ x =
n;1 (x1 + : : :+ xn ) x1 : : : xn $
a
. .. X1 : : : Xn. ; ! , . . xi ; a F ! , ,
M(Xi ; a) = 0, . . MXi = a. ;
: DXi = 2 , i = 1 : : : n, H?5 5.23 % ( n $ $ x = n;1 (x1 + : : :+ xn ) a. a ( S(x1 : : : xn) = x
$ n $ 5 ! P(!: jS(X1 (!) : : : Xn (!)) ; aj > ") ";2 DS = ";2 2 n;1
( & ( ( .. S(X1 : : : Xn ) a. " ,
S(x1 : : : xn) = a ( DS. & , | !
$ ( . 5.24. 0 . 0 .. X1 : : : Xn J0 ], X(n) = max(X1 : : : Xn). 110
x5.
G.. Fn(x) .. X(n) fn (x) (. 2.13): Fn(x) = (x=)n MX(n) =
Z 0
fn (x) = ;1 nxn;1
0x
x;n nxn;1 dx = n=(n + 1) MX(2n) = 2 n=(n + 2)
DX(n) = MX(2n) ; (MX(n) )2 = 2 n=((n + 2)(n + 1)2 ) :
> , .. Yn = 2;1(1 + 1=n)X(n) MYn = =2 = MX1
. . ( 2;1(1 + 1=n)max(X1 : : : Xn) =2 | | ! ! . ; DYn = 2;2(1 + 1=n)2 DX(n) = 2 =(4n(n + 2)) :
1 n;1(X1 + : : : + Xn )
0Z Z !21 n;1 DX1 = n;1 @ x2;1 dx ; x;1 dx A = 2 =(12n) : 0
0
> ! DYn=D(n;1(X1 + : : : + Xn )) = 3=(n + 2)
! 1 n > 1 0 n ! 1, . . ( Yn , X. 5.25. H . # , n
$ ,
$ , n .. X1 : : : Xn, & % ( e; x , x 0. 0 , 111
.
r- (r n), X(1) X(2) : : : X(r) , X(i) | , ! i- . ' ( ;1 = MX1 , &$ c1 X(1) + : : : + cr X(r) &$ $ : M(c1 X(1) + : : : + cr X(r) ) = ;1 : * % ( , , .. Yi = (n ; i + 1)(X(i) ; X(i;1) ), i = 1 : : : n, X(0) = 0, % ( e; x , x 0 (. 3.17). J >( U = a1 Y1 + : : : + ar Yr . = : MU = ;1 (a1 + : : : + ar ) DU = ;1 (a21 + : : : + a2r ) : a21 + : : :+ a2r a1 + : : : + ar = 1 a1 = : : : = ar = 1=r, ( (X(0) = 0): U = r;1
;r;1
r X
i=1 r X i=1
(n ; i + 1)(X(i) ; X(i;1) ) = r;1
(n ; i + 1)X(i;1) = r;1
r X i=1
r X i=1
(n ; i + 1)X(i) ;
X(i) + r;1 (n ; r)X(r) :
" , U ( ) (
X(1) + : : : + X(r) + (n ; r)X(r) . ] .. X(!) ( PX () R), , $ X(!) ( PX ). ;&
$ .. X(!) = (X1 (!) : : : Xn (!)) ( PX Rn). (MX1 : : : MXn ) = MX 112
x5.
! .. X, ( (Cov(Xi Xj ) i j = 1 : : : n) | ( ( ( X ( PX ). # ( ( V(X): 8 ( (
, - - () Z = (Zij i = 1 : : : m j = 1 : : : n)
$ Zij , MZ = (MZij i = 1 : : : m j = 1 : : : n) :
" ,
;
V(X) = M(Xi ; MXi )(Xj ; MXj ) i j = 1 : : : n = ; = M (Xi ; MXi )(Xj ; MXj ) i j = 1 : : : n :
AT
( ! ( ( V(X) = M(X ; MX)T (X ; MX)
( , X - ). 5.26. H . # ( Z, U A B. 0 , M(Z + U) = MZ + MU M(AZ) = A MZ M(ZB) = (MZ)B
, ( Z, U, A B .
X
J M(AZ) = M( =( 8
X fkg fkg
aik Zkj ) = (M
X
aik Zkj ) =
fkg aik MZkj ) = A MZ : ]
. . , (2005)
113
.
5.27. H . V(X) = M(XT X) ; (MX)T MX : J (X ; MX)T (X ; MX) = = XT X ; (MX)T X ; XT MX + (MX)T MX :
> ( M 5.26.] 5.28. H . 0 , ( (
( .
X a a Cov(X X ) = X Cov(a X a X ) = D X a X 0 : i j i j i i j j i i fij g
fij g
fig
5.29. H . 0 , V(X + a) = V(X) V(XA) = AT V(X)A
a | , A | ( $&$ .
V(XA) = M((XA)T XA) ; M(XA)T M(XA) =
= AT M(XT X)A ; AT (MX)T (MX)A = AT V(X)A : , A = aT D(XaT ) = V(XaT ) = aV(X)aT
5.28.] = .. X1 X2 : : : Xn
MXi2 < 1, i = 1 2 : : : n, H = H(X) $ $ ( Y = a0 + a1 X1 + : : : + anXn 114
x5.
H0 = H0(X) $ $ ( Y = a1 X1 + : : : + anXn .. X1 : : : Xn. G H H0 : H0(1 X1 : : : Xn ) = H(X1 : : : Xn ), . . $ X1 : : : Xn & .. X0 = 1 1. H0 ( H)
hY Z i = MY Z : > ,
hY Z i = hZ Y i hc1 Y1 + c2 Y2 Z i = c1hY1 Z i + c2hY2 Z i hY Y i 0 hY Y i = 0 $ P(!: Y (!) = 0) = 1 . . (
, & 1, , , % % ! Y (!) Z(!) $ P(!: Y (!) 6= Z(!)) = 0): 0 H0 ( H) , ,
kY ; Z k = hY ; Z Y ; Z i1=2 = (M(Y ; Z)2 )1=2 .. Y Z. 0 % %( ( Y Z ; MZ i (Y Z) = kYhY;;MM Y k kZ ; MZ k Y ;MY Z ;MZ. ; (Y Z) = 0, Y ; MY Z ; MZ , . .
.. Y Z 8
115
.
Y ; MY Z ; MZ !
. ; j(Y Z)j = 1, Y ; MY Z ; MZ , , Y Z . 5.30. H . ; (
( V(X) X = (X1 : : : Xn) , H0 n, H | n + 1. J 0 , $ a1 : : : an P(!: a1 X1 (!) + : : : + an Xn (!) = 0) = 1 :
" (. 5.28) 0 = D(a1X1 + : : : + an Xn ) =
X fij g
ai aj Cov(Xi Xj ) :
0 ( V(X) , ai = 0, . . % X1 : : : Xn H0(X) H0(X) . ' H(X) n n + 1. 0 ,
H(X) n, % 1 X1 : : : Xn P(! : a1 X1 (!) + : : : + an Xn (!) = 1) = 1
$, $ $, ai i = 1 : : : n. * D(a1 X1 + : : : + an Xn ) = 0 , ! , , ai = 0. 1 , % 1 X1 : : : Xn H(X) , H(X) n + 1.] 5.31. H . 0 (
( V(X) X = (X1 : : : Xn) . 0 ,
& ( C, Y (Y1 : : : Yn) = XC 116
x5.
,
( A, ( ( U (U1 : : : Un) = XA
. J n- H0 (X)
, ,
( X1 : : : Xn, U1 : : : Un . 0
, 5.31. 1 5.29, Y = XC, V(Y) = C T V(X)C :
0 ( V(X) |
(
, & ( C ,
C T V(X)C = ^ ( ^ | % i , i = 1 : : : n, . 6 , ( C Y = XC
. > 5.31, U = Y^;1=2 ^;1=2 | ( % ;i 1=2, i = 1 : : : n, .] 5.32. H . *
a, b kY ; (aX + b)k ( $
Cov(X Y ), MX, MY ). J 0 : ( a, b M(Y
; aX ; b)2 117
.
a b. 0 % %( b b0 = MY ; aMX ; b
; ; MY ) ; a(X ; MX) ; b 2 : 0
M (Y
: H(X Y ),
% 1 X Y . = %( ba, bb Yb = baX + bb & ( Y H(X),
1, X. 8 (1 X ; MX) H(X) Yb Yb = a(X ; MX) + b0 : 0 (:
hY ; Yb 1i = 0 hY ; Yb X ; MX i = 0 : ! Yb
hY ; a(X ; MX) ; b0 X ; MX i = 0
hY X ; MX i ; ahX ; MX X ; MX i = 0 :
"
hY X ; MX i = hY ; MY X ; MX i = Cov(X Y ) $ 118
ba = Cov(X Y )=DX :
x5.
#
hY ; Yb 1i = hY ; ba(X ; MX) ; b0 1i = hY 1i ; b0 h1 1i
bb0 = MY :
> ,
Y ) (X ; MX) + MY : Yb = CovD(X X
5.33. H . *
a1 : : : an;1
kXn ; (a1 X1 + : : : + an;1Xn;1)k MXi = 0, i = 1 : : : n. 0 Xbi = Xi ;MXi , ! . J <
5.32 ! :
0 ;hX X i i j = 1 : : : n;1 B @ i j
a1 .. .
an;1
1 0 h X1 Xn i 1 CA = @ : : : A : hXn;1 Xni
' ! % . > Akl % hXk Xl i (
;
V(X) = hXi Xj i i j = 1 : : : n
$ ! :
bai = ;Ani=Ann i = 1 : : : n;1 : # & ! %( bai % (
;q i j = 1 : : : n = V(X);1 : ij
119
.
"
qkl = Alk =detV(X) in ; qni i = 1 : : : n ; 1 : bai = ; qqnn qnn
& .. Xi Xi ; MXi , i = 1 : : : n, Xbn = ;
nX ;1
qni (X ; MX ) + MX : ] i i n i=1 qnn
G 5.33 ! . 0 .. X1 : : : Xn;1 ( \ & " | .. Xn | & ( Xbn ! kXn ; Xbn k. * ! .. Xn 5.33, .. Xi $
xi , i = 1 : : : n ; 1.
, % $ MXi Cov(Xi Xj ), i j = 1 : : : n. 5.34. H . 0 (
( V(X) X = (X1 : : : Xn) m < n (m 1). 0 ,
$ (Xi1 : : : Xim ) Y ( V(Y) , X ( 1) 1 Xi1 : : : Xim . " , X m- Rn , ! . J = , & ( V(X) m,
. ? & , ( ;Cov(X X ) i j = 1 : : : m: i j 120
x5.
" & m = n ; 1. 0 ( V(X) , a1 : : : an 0=
n X ij =1
ai aj Cov(Xi Xj ) = D
n X i=1
a i Xi :
0 % an 6= 0. # , D
nX ;1 i=1
ai Xi = 0
ai i = 1 : : : n ; 1, . 6 ,
1 X1 : : : Xn;1 H(X1 : : : Xn;1) , (. 5.30). an = 1 ( $ ai i = 1 : : : n ; 1): ! D
" , ..
nX ;1 i=1
Xn +
ai Xi + Xn = 0 :
nX ;1 i=1
ai Xi = const
1. * (, , ! , .. X1 : : : Xn (n ; 1)- . ] 5.35. H . 0 (
( V(X) X = (X1 : : : Xn ) m < n (m 1). " H0(X) &
U1 : : : Um m % . 0 % X = (U1 : : : Um )B + b 121
.
B | ( m, b | . J 5.34 5.31.] x 6.
' "
1 & ( , ( $, \ " .. Y (!), Z(!) : : :
.. X(!). 0 , , , Y (!) 2 Iab , Z(!) 2 Icd : : : . . ! B = f!: Y (!) 2 Iab , Z(!) 2 Icd : : : g. % ! .. X(!)? * , $ & m n ; m ! &
! . " ! (m;1)=(n;1), | (n;m)=(n;1). ; (
! , & m=n (n;m)=n (. 1.4). 0 & ! &$ ! &$ $, m=n (n ; m)=n
. = ( , ! B, % $ Q B. ' n $. ' , Q B $
$ % $ ! 2 B, . . mB % $ , &$ B, . " , $ % $ B PB (A) = mA =mB 122
AB:
x6.
0 n, ! , & PB (A), AB
PB (A) = P(A)=P(B)
P | $ % $ Q. PB $ $ Q, PB (!) = 0 ! 2= B,
A Q:
PB (A) = P(AB)=P(B)
0 $ A B (P(B) > 0) PB (A) " A B, PB ( B). # & PB (A) P(AjB): " $ $ (Q p(!)).
, & ! 2 B , ! B, $ p(!), ! 2 B. > , ,
p(!), ! 2 B, B, pB (!) = p(!)=P(B),
X
!2B
pB (!) = 1 :
# pB (!) Q, pB (!) = 0 ! 2= B,
& ! 2= B, ! B. $ ( ) PB (A) P(AjB) = P(AB)=P(B)
A BQ
P(B) > 0
& , $. 123
.
= , (Q p(!)) B Q, P(B) > 0, (Q pB (!)). ' .. X(!), (Q pB (!)), B. By = f! : Y (!) = yg, .. X Y = y : pX jY (xjy) = P(f!: X(!) = xgjf!: Y (!) = yg) = = pXY (x y)=pY (y) : 0 y, pY (y)>0, pX jY (xjy) x. <
.. X = (X1 : : : Xn ) .. Y = (Y1 : : : Ym ). 8 ,
,
(. ; , ,
A , B , AB A, B, AB : A = P(A) B = P(B)
AB = P(AB) :
! , B, A %$ $ AB =B = P(AB)=P(B) = P(AjB) : " , A , $ B, P(AjB). 6.1. H . 0 X = (X1 : : : Xn) | ? $ p, T = X1 + : : : + Xn . * X T. J 0 t = x1 + : : : + xn : f!: X(!) = x T(!) = tg = 124
x6.
f!: X(!) = xg, pXjT (xjt) = pXT (x t)=pT (t) = pX (x)=pT (t) = = pt (1 ; p)n;t=(Cnt pt(1 ; p)n;t) = (Cnt );1 pXjT (xjt)
Cnt x = (x1 : : : xn) 0 1 t ( .] 6.2. H . 1.. X1 : : : Xn 0 : pXi (k) = (k =k!) e; k = 0 1 2 : : : : * .. X = (X1 : : : Xn ) .. T = X1 + : : : + Xn . J = 3.7, t = x1 + : : : + xn x = (x1 : : : xn): x1 +:::+xn
x) pXjT (xjt) = ppX ((t) = x ! : : :x ! e;n T 1 n (n)t ;1 t! e;n = x ! :t!: :x ! n;t : 1 n " , fT = tg .. X1 : : : Xn , Xi ! i- & , i = 1 : : : n, & t ! (. 1.14).] 6.3. H . 1.. X1 : : : Xn 1 2 : : : N ( & ). * X = (X1 : : : Xn ) X(n) = max(X1 : : : Xn ).
JP(!: X(n) (!) = k) = = P(!: Xi (!) k i n) ; P(!: Xi (!) k ; 1 i n) = = (k=N)n ; ((k ; 1)=N)n pXjX(n) (xjk) = (kn ; (k ; 1)n );1 1 k N x = (x1 : : : xn) max(x1 : : : xn) = k : ] 125
.
6.4. H . 1.. X, Y -
n p m p
. * X X + Y . J " .. X + Y n + m, p (. 3.5), pX jX +Y (kjl) = P(!: X(!) = k X(!) + Y (!) = l) (P(! : X(!) + Y (!) = l));1 = = Cnk pk (1 ; p)n;k Cml;k pl;k (1 ; p)m;l+k ; Cnl +m pl (1 ; p)n+m;l ;1 = Cnk Cml;k =Cnl +m :
" , (. 4.2), pX jX +Y (kjl) ( ) : $ & F l n+ m ! $ ( (. 1.17) k ! ( ( l ; k | ).] 6.5. H . 1.. X1 : : : Xn pXi (k) = (1 ; p)k p k = 0 1 2 : : : . * X = (X1 : : : Xn ) T = X1 + : : : + Xn . J 3.6 pT (t) = Cnt +t;1pn(1 ; p)t , x1 +: : :+xn = t pXjT (xjt) = pX (x)=pT (t) = 1=Cnt +t;1. ] 6.6. 0 . ' $
(, , $ p1 $ , p2 . > U ( ) , ! !$ (
$,
$),
, V |
$ (
$) %$ U ( , ). * V U. 126
x6.
>! ? X1 X2 : : : Y1 Y2 : : : Xi = 1 i- | , Xi = 0,
, Yi = 1, i- , Yi = 0 | , P(!: Xi (!) = 1) = p1, P(!: Yi (!) = 1) = p2 . > pU (n) = Pf! : (Xn+1 (!) Yn+1 (!)) = (0 1) (Xi (!) Yi (!)) 6= (0 1) i ng = (1 ; p1 )p2 (1 ; (1 ; p1)p2 )n pUV (n k) = Pf!: (Xn+1 (!) Yn+1(!)) = (0 1) (X1 (!) Y1 (!) : : : Xn (!) Yn (!)) 2 Bk g Bk $ (x1 y1 : : : xn yn), $, k (xi yi ) = (0 0), (xi yi ) = (1 0) (1 1). " , pUV (n k) = = (1 ; p1 )p2Cnk ((1 ; p1 )(1 ; p2))k (p1(1 ; p2 ) + p1 p2)n;k : 0 1 ; p (1 ; p1 )(1 ; p2)=(1 ; (1 ; p1 )p2) = = P (f! : (X1 (!) Y1 (!)) = (0 0)gjf!: (X1 (!) Y1(!)) 6= (0 1)g) , pV jU (kjn) = Cnk (1 ; p)k pn;k
k = 0 1 ::: n
| . = $ : pXY (x y) = pY jX (yjx) pX (x) x 2 X y 2 Y : 127
.
6 ! $ . 0 , X p1(x), x 2 X
Y , p2 (yjx), x
y. > X Y ( p(x y) = p2 (yjx) p1 (x). "
X
(xy)2XY
p(x y) =
X
x2X
p1 (x)
X
y2Y
p2(yjx) = 1
p(x y) | X Y . ; p2 (yjx)
x ( fx: p1(x) > 0g), p(x y) p1(x)p2 (y), (X Y p(x y))
$ $ . 6.7. H . 0 ( . 0 ,
$ ( ( p ( 1 ; p $). * . J ' ( $ ( $ (k l), k |
$ (, l | !$ $. 0 Q = f(k l)g, X(!) = k, Y (!) = l, ! = (k l). 8 &$ ! : k
pX (k) = k! e; pY jX (ljk) = Ckl pl (1 ; p)k;l l k: 6 , p(k l) = pY jX (ljk)pX (k) : 1 .. X(!), Y (!),
$ (Q p(!)), pXY (k l) = p(k l), 128
x6.
l k, pY (l) =
1 X k=1
; X ((1 ; p)) e pXY (k l) = (p) l! (k ; l)! 1
l
l
l
k ;l
k=l
=
; (1;p) = (p) e;p l = 0 1 2 : : : : ] = (p) l! e e l!
6.8. H . 0 ,
n , pn = pn, n = 1 2 : : : ( < (1 ; p)p;1), p0 = 1 ; (p1 + p2 + : : :): 0 , , n , 2n ( . *
. J 0 ! = (n x1 : : : xn), n = 0 1 2 : : : xi = 0 1, i = 1 : : : n (! = (0) n = 0), n xi = 1, i- , xi = 0, % . 0
p1(n) = pn
p2 (x1 : : : xnjn) = 2;n
% $ Q = f!g p(!) = p2 (x1 : : : xnjn)p1(n) = 2;npn : > Q .. N | S | , N(!) = n, S(!) = x1 + : : : + xn ! = (n x1 : : : xn) N(!) = S(!) = 0 ! = (0). " pNS (n k) =
X
x1 +:::+xn =k
pS (0) = p0 + pS (k) = 9
1 X n=k
p(!) = Cnk 2;npn n 1 pNS (0 0) = p0 1 X n=1
2;npn = p0 + p=(2 ; p)
pNS (n k) =
1 X n=k
Cnk 2;npn k 1 :
. . , (2005)
129
.
= 3.9, : pS (k) = (p=2)k (1 ; p=2);k;1 = 2pk(2 ; p);k;1 k 1: ] > , $ ,
.. X(!), Y (!), Y (!) , .. Y , & , ( .. X. =
% ( | ( X(!) Y (!)
& !. ; , Y (!) = y, % & $ $ !, , $ $ .. X(!). 0
y pX jY (xjy) pX (x)
( Y X. , pX jY (xjy) y : pX jY (xjy) = h(x), h(x) |
(
x ( $ y, pY (y) > 0), ! pXY (x y) = pX jY (xjy)pY (y) = h(x)pY (y) 4.1 , h(x) = pX (x) pXY (x y) = pX (x)pY (y) : " , ! pX jY (xjy) = pX (x) , .. X Y , . " $ .. X = (X1 : : : Xn) Y = (Y1 : : : Ym ): pXY (x y) = pX (x) pY (y) $ pXjY (xjy) = pX (x) x=(x1 : : : xn), y=(y1 : : : yn) ( y $, pY (y) > 0): 130
x6.
6.9. H . # , .. X = (X1 : : : Xn ) Y = (Y1 : : : Ym ) , $ ( h(x) g(y)
.. h(X) g(Y).
J * $
3.3. > , , $ x y pXY (x y ) 6= pX (x ) pY (y ) :
> ( h, g, h(x) = 1 x = x , g(y) = 1 y = y h(x) = 0, g(y) = 0 $ x y. " P(!: h(X(!)) = 1 g(Y(!)) = 1) = pXY (x y ) 6= 6 pX (x ) pY (y ) = P(!: h(X(!)) = 1)P(! : g(Y(!)) = 1) =
. . .. h(X) g(Y) | . 0 . ] 6.10. H . # , .. X1 X2 : : : Xn , k = 2 : : : n .. Xk
.. (X1 : : : Xk;1). J 0 pX1 :::Xn (x1 : : : xn) = pX1 :::Xn;1 (x1 : : : xn;1) pXn (xn) = = pX1 :::Xn;2 (x1 : : : xn;2) pXn;1 (xn;1) pXn (xn) = : : : : : : = pX1 (x1 ) : : :pXn;1 (xn;1) pXn (xn) : ] 0 , & . 0 X Y | $ ( .. X = (X1 : : : Xn), Y = (Y1 : : : Ym )), fXY (x y) | $ ,
X Y ,
ZZ
XY
fXY (x y) dxdy = 1 :
0 , (. 2.27) fY (y) >0 $ y 2 Y (% ! & , 9
131
.
$ $ , Y 0 Y , fY (y) > 0, P(!: Y (!) 2 Y 0 ) = 1)). 4 " X Y ( Y = y) X , fX jY (xjy) = fXY (x y)=fY (y) (& y 2 Y ). "
Z
X
fX jY (xjy) dx =
Z
X
fXY (x y) dx /fY (y) = 1
fX jY (xjy) x. > , (
) ! fX jY (xjy) = fX (x) .. X, Y . 6.11. H . 1.. X1 : : : Xn J0 ]. > X(1) X(2) : : : X(n) J0 ], .. X1 : : : Xn ( , . 3.17): X(k) k- X1 : : : Xn . * .. X(1) : : : X(n;1) .. X(n) . J = 2.26 , fX(1) :::X(n) (x1 : : : xn) = n! ;n 0 x1 : : : xn $ $ . " P(!: X(n) (!) t) = P(!: Xi (!) t i = 1 : : : n) =
= (t=)n 0 t
132
x6.
0 x1 : : : xn fX(n) (xn) = nxnn;1;n fX(1) :::X(n;1) jX(n) (x1 : : : xn;1jxn) = (n ; 1)!=xnn;1 : > , .. X(1) : : : X(n;1) X(n) = xn n ; 1 $ n ; 1
$ J0 xn] $ $ . ] 6.12. H . 1.. X1 : : : Xn+1 % ( , k = X1 + : : : + Xk , k = 1 : : : n+1. * .. 1 : : : n .. n+1. J = 3.19 3.22 : f n+1 (tn+1 ) = (1=n!) tnn+1e;tn+1 tn+1 > 0 f 1 ::: n+1 (t1 : : : tn+1 ) = e;tn+1 0 < t1 < : : : < tn+1 n 0 < t1 < : : : < tn+1 : f 1 ::: n j n+1 (t1 : : : tnjtn+1) = n! t;n+1 > (. 2.26 6.11),
n J0 tn+1],
n
J0 tn+1] ..] 0 (Q A P) | . # A, , P(A) > 0, ( PA (B) = P(AB)=P(A) A. (Q A PA) ! (Q A P). > ( (Q A PA) MA . 133
.
* , ( X(!) , Iab f!: X(!) 2 Iab g 2 A. > , .. X(!),
, (Q A PA). MA X .. X(!), (Q A PA), ! .. X(!) (Q A P) A. * MA X M(X jA). 0 , . 5 PA, PAi , i = 1 2 : : : fAi i = 1 2 : : : g | Q , ,
. $ $ M(X jAi ), i = 1 2 : : : . 6.13. H . M(X jA) = M(X -] A )=P(A) , M(X -] A )
. J M(X jA) = nlim !1
1 X k=;1
kn;1PA (!: kn;1 X(!) < (k+1)n;1) :
> k 6= 0 :
\
f!: kn;1 X(!) < (k+1)n;1g A = = f!: kn;1 X(!) -] A (!) < (k+1)n;1g: ] 6.14. H . 0 A1 : : : An (
) Q. MX = 134
n X i=1
M(X jAi )P(Ai )
x6.
, MX
. J " jX -] A j jX j,
MX
M(X -] A ) A. ? $ X(!) =
n X i=1
X(!) ]-Ai (!)
6.13, . ] 6.15. H . 0 A1 A2 : : : ( ) Q. MX =
1 X i=1
M(X -] Ai )
1 X i=1
M(X jAi ) P(Ai )
.. X (
MX), .. J # .. X : MX =
=
X
xP(!: X(!)=x) =
fxg 1X X i=1 fxg
1 X X
x
fxg i=1
P f!: X(!)=xg
xP(!: X(!) -] Ai (!) = x) =
1 X i=1
\
Ai =
M(X -] Ai ) :
# .. X $ $ X (n) (!) = kn;1 kn;1 < X(!) (k + 1)n;1, (n) MX = nlim !1 MX = nlim !1
= nlim !1
1 X i=1
1 X i=1
M(X (n) -] Ai ) =
M(X (n) jAi ) P(Ai) :
" jX (n)(!) ; X(!)j n;1
jM(X (n) jAi ) ; M(X jAi )j n;1 135
.
X 1 1 M(X (n) jAi)P(Ai) ; X M(X jAi )P(Ai ) n;1: ] i=1 i=1
, P(jA) , ( & A. ? & (, ( A (! ),
A = fAi i = 1 2 : : : g
i
Ai = Q
Ai Aj = ? i 6= j
( ! fA Ag). 0 % M(X jAi ), i = 1 2 : : :, $ $ .. X(!) F | (Q A P), M(X jAi ) ! 2 Ai , i = 1 2 : : : : > ! A M(X jA). (?
M(X jA)(!), .) " , M(X jA) =
X i
M(X jAi ) -] Ai (!) :
H , 6.15 M(M(X jA)) = MX
(
MX). ;& , M(X jA) , & (
) M(X jAi ) i = 1 2 : : : : 6
MX, ! $ % . 136
x6.
H ( , .. Y (!) ( Y(!)). > Y (!) ( Y(!)), ! .. X(!) Y (!), M(X jY ) M(X jAY )
AY | ,
.. Y (!). 0 .. M(X jY )
% $ AY : M(X jY ) = M(X jAy ) ! 2 Ay = f!: Y (!) = yg
M(X jY ) M(X jY ) = g(Y (!))
g() | (
y, g(y) = M(X jAy ) : 6.16. H . 8 ( 1): M(aX + bjA) = a M(X jA) + b M(X1 + X2 jA) = M(X1 jA) + M(X2 jA) :
J M(X jA) , M(X jA)
(Q A PA).] 6.17. H . 0 .. Y
% $ A = fAi , i = 1 2 : : : g. 0 , M(XY jA) = Y M(X jA), M(Y jA) = Y: J ' M(XY jAi ), , .. Y (Q A PAi )
137
.
1 MAi . " , M(XY jAi ) -] Ai (!) = Y (!)M(X jAi ) -] Ai (!) i = 1 2 : : : X M(XY jA) = Y M(X jAi ) -] Ai (!) = fig X = Y M(X jAi ) -] Ai (!) = Y M(X jA) : fig
# ,
.. Z, : M(Xh(Z)jZ) = h(Z)M(X jZ)
( h(z). ] 6.18. H . ; .. X Y , M(X jY ) = M(X). J = 6.13 , MX -] Ay = MX M -] Ay
: M(X jY ) =
X fy g
M(X -] Ay )P(Ay );1 -] Ay =
X fy g
MX -] Ay = MX : ]
6.19. H . # A(k)=fA(ik) , i=1 2 : : : g,
k = 1 2, A(2) A(1) , A(2) j $ (1) (2) (1) Ai : Aj Ai . 0 ,
;
;
M M(X jA(2) )jA(1) = M X jA(1)) :
J 1 6.13 ! A(1) i :
; ; (1) ;1 (2) M M(X jA(2) )jA(1) i = M M(X jA ) -] A(1) P(Ai ) : i
138
x6.
0 .. -] A(1)
% $ A(2): i (2) (1) 1 $ A(2) j , Aj Ai , 0 $ % $ A(2). 0 6.17, :
;
M(X jA(2) ) -] A(1) = M X -] A(1) jA(2) i i
$:
;
;
M M(X jA(2) ) -] A(1) = M M(X -] A(1) jA(2)) = M(X -] A(1) ) : i
i
i
> % $ :
;
;1
(1) M M(X jA(2) )jA(1) i = M(X -] A(1) )P(Ai )
;
i
= M(X jA(1) i ):
" , .. M M(X jA(2) )jA(1) , &
% $ A(1), (1) M(X jA(1) i ) Ai , i = 1 2 : : :, , , M(X jA(1) ). ] 0 ! , & M(X jY ), .. X Y ( Y = (Y1 : : : Yn)) : M(X jY ) =
X] X fyg
-Ay
fxg
x pX jY (xjy) =
X X] x
fxg fyg
-Ay pX jY (xjy)
Ay = f!: Y (!) = yg :
8 , ! -] Ay (!)pX jY (xjy) = -] Ay (!) pX jY (xjY (!)) -
pX jY (xjY ), : M(X jY ) =
X fxg
xpX jY (xjY )
X] fy g
-Ay =
X fxg
x pX jY (xjY ) : 139
.
pX jY (xjY )
x | , ( Y . ' pX jY (xjY ) ( x, & Y , X .. X, . . , & y .. Y pX jY (xjy) X .
&
.. X, Y ( Y = (Y1 : : : Yn)), & . =
, M(X jY ) =
Z1
;1
x fX jY (xjY ) dx
fX jY (xjy) = fXY (x y)=fY (y) : % .. X
.. Y , My X =
Z1
;1
x fX jY (xjy) dx
M(X jY ) = g(Y (!))
g(y) = My X : > , My (X) $ y, fY (y) = 0, .. M(X jY ) f!: fY (Y (!)) = 0g, & . 5 M(X jY ), $ ' , $ ( fXY (x y), fX (x), fX jY (xjy) .. $ . # ! , x 8,
. $ 6.20{6.23 M(X jY ),
,
&$ . 140
x6.
&$ $
. 6.20. H . 0 , M(M(X jY )) = MX, Mg(X),
( x 4.
=
Z 1 Z 1 ;1 Z
=
1
J M(M(X jY )) =
;1
My X fY (y) dy = Z1Z1
xfX jY (xjy)dx fY (y)dy=
;1 Z
x
Z1
1
fXY (x y) dy dx =
;1 Z;1 1
xfXY (x y)dxdy=
xfX (x) dx = MX : ] ;1 ;1 ;1 6.21. H . 0 , ( 1) M(aX + bjY ) = a M(X jY ) + b M(X1 + X2 jY ) = M(X1 jY ) + M(X2 jY ) :
J My (aX+b) = a My X+b, My (X1 +X2 ) = My X1 + My X2 .] 6.22. H . 0 , M(Xh(Y )jY ) = h(Y )M(X jY ), M(h(Y )jY ) = h(Y ). J My (Xh(y)) = h(y)My X. ] 6.23. H . ; .. X, Y , M(X jY ) = MX. J 0 X Y fX jY (xjy) = fX (x), ( My M . ] 6.24. H . 0 .. X1 : : : Xn , . . (Xi1 Xi2 : : : Xin ) i1 i2 : : : in. 0 , 1 M(Xj jX1 + : : : + Xn ) = (X1 + : : : + Xn ) j = 1 2 : : : n : n J X1 + : : : + Xn = M(X1 + : : : + Xn jX1 + : : : + Xn ) = =
n X i=1
M(Xi jX1 + : : : + Xn ) : 141
.
> ,
M(Xi jX1 + : : : + Xn ) = g(X1 + : : : + Xn )
i, . . g() i. ] 6.25. H . # .. X, , MX 2 < 1, .. Y ( Y). ' $ $ ( h(), $, Mh(Y )2 < 1. # , min M(X ; h(Y ))2 h( ) h() ( bh(Y ) = M(X jY ). J M(X ; h(Y ))2 = M(X ; bh(Y ) + bh(Y ) ; h(Y )) = 2 = M(X ; bh(Y )) + + 2M(X ; bh(Y ))(bh(Y ) ; h(Y )) + M(bh(Y ) ; h(Y ))2 : 2
= , : M(X ; bh(Y ))(bh(Y ) ; h(Y )) = = MM (X ; bh(Y ))(bh(Y ) ; h(Y ))jY = = M (bh(Y ) ; h(Y ))M(X ; bh(Y )jY ) = 0
, M(X ; bh(Y )jY ) = M(X jY ) ; M(bh(Y )jY ) = bh(Y ) ; bh(Y ) = 0 :
" , M(X ; h(Y ))2 = M(X ; bh(Y )) + M(bh(Y ) ; h(Y )) 2
142
2
x7. ! , {#
2 , M(X ; bh(Y )) , bh(Y ) = h(Y ) 1. ] x 8, . *& ( , , , . * (Q A P) ( ) L2 $ .. X(!)
: MX 2 < 1, hX Y i = MXY ( ! x 5). M(X jY ) ( M(X jY)) : M(X jY ) ( X $ .. h(Y ), $, Mh(Y )2 < 1. # ,
hX ; M(X jY ) h(Y )i = M(X ; M(X jY ))h(Y ) = = MM (X ; M(X jY ))h(Y )jY = = M h(Y )M(X ; M(X jY )jY ) = 0 : x 7.
) , ! {+
% ( ) '(x) = p1 e;x2 =2 2
;1 < x < 1 : 143
.
1 & ( _(x) =
Zx
;1
'(y) dy :
7 ( '(), _() . p 7.1. 7.1. H . 0 , '(x) = (1= 2) exp(;x2=2) R , '(x) dx $ . J
Z 1
2
;1
'(x) dx
1 Z 1 Z 1 e;(x2 +y2 )=2 dxdy = = 2
;1 ;1 Z Z Z1 2 2 1 2 =2 1 ; r = 2 d e r dr = e;r =2 r dr = 1 : ] 0
0
0
7.2. H . 0 .. X . 0 , MX 2k;1 = 0 MX 2k = 1 3 5 : : : (2k ; 1) k = 1 2 : : : , MX = 0 DX = 1. J
Z1
;1
xr (2);1=2 exp(;x2 =2) dx = MX r
(, & , r. > MX 2k;1 = 0
Z1
MX = 2 x2k (2);1=2 exp(;x2 =2) dx = Z 10 ; 1 = 2 k = 2 yk;1=2e;y dy = ;1=22k (k + 1=2) 2k
0
y = x2 =2. 8 , (p + 1) = p(p) (
) (1=2) = 144
Z1 0
p Z1
y;1=2 e;y dy = 2
0
p
e;x2 =2 dx =
x7. ! , {#
MX 2k = 2k (k ; 1=2)(k ; 3=2) : : :(1=2) = 1 3 5 : : : (2k ; 1) : ]
- . ; .. F (x) = FX (x) .. X, .. Y = X + a, > 0, ..
x ; a x ; a FY (x) = P( X + a x) = P X = FX :
. 7.2
. 7.1
> , , FX ! . 0 %, .. FX () ,
x ; a 1 fY (x) = fX :
; .. X , MY = MX + a
DY = 2 DX :
0 {! & / . = % (
): a, ! ( . 10
. . , (2005)
145
.
0 , a ! > 0, (. 7.2) (x;a)2 'a (x) = p 1 e; 22 : 2 ' % a, 2 ( ) N(a 2). = 7.2 , a 2 ,
, N(a 2 ). 1 'a (x) a 2 ( , a = 0 = 1). 7.3. H . 1.. X1 , X2 , .. R, _ | X1 , X2 : X1 = R cos _, X2 = R sin _. 0 , R _ . J # B (0 1) J0 2) ! :
ZZ
PR*(B) =
B~
(1=(2)) exp(;(x21 + x22 )=2) dx1 dx2
B~ = f(x1 x2): x1 = r cos ' x2 = r sin ' (r ') 2 B g : 0 $ j@(x1 x2)=@(r ')j = r, : PR*(B) =
ZZ
B
(1=(2)) exp(;r2 =2)rdrd' :
> $ .. R, _: fR* (r ') = (1=(2)) exp(;r2 =2)r r > 0 0 ' < 2 : f* (') = fR (r) = 146
Z1
Z
0 2
0
fR* (r ') dr = 1=(2) 0 ' < 2 fR* (r ')d' = re;r2 =2 r > 0
x7. ! , {#
.] 7.4. H . 1.. Xi N(ai i2), i = 1 2, . 0 , .. Y = X1 + X2 N(a1 + a2 12 + 22 ). J 0 Y = (X1 ; a1 ) + (X2 ; a2) + a1 + a2
a1 = a2 = 0. 0 3.18, b = 12 = 22 , :
Z1 1 1 2 2 fY (y) = 2 exp ; 2 2 x + b(y ; x) dx : 1 2 ;1 1
0 $ $ % :
p 2 by2 yb p x (1 + b) ; 2ybx + by = x 1 + b ; + 1+b : 1+b 2
2
" , fY (y)
1 Z 1 exp ; 1 xp1 + b ; p yb 2 1 2 ;1 2 12 1+b
2
dx e
; 12 2y+22 1
2
:
0
, y, . .
. ; , % . 0 ; 21 2y+22
fY (y) = c e
1
c= 10
q
2( 12 + 22)
2
;1
:] 147
.
$ 7.5, 7.7, 7.8 ,
$ , $ . 7.5. H . 0 Xi , i = 1 : : : n | . * .. Yn = X12 + : : : + Xn2 n = 1
, n > 1 & 3.19. 6 - n ( : 2n - ). p p p p J FY1 (x) = P(X12 x) = P(; x X1 x) = _( x);_(; x) x 0. # ( , $ 1 fY1 (x) = p1 x; 21 e; x2 = (1=2);1 (1=2) 2 x 21 ;1 e; x2 : 2 ' gp (x) = (p);1xp;1 e;x x > 0 p > 0
( ) - ' p (. 3.19). " , fY1 (x) = 12 g1=2(x=2) : # , 3.19, : fYn (x) = 21 gn=2(x=2) : ] 7.6. H . 1.. Xi , i = 1 2, - gpi (x). * .. U = X1 =X2. J FU (u) = P(X1 uX2 ) = =
Z1
148
0
fX2 (x2) dx2
Z ux2 0
ZZ
x1 ux2
fX1 (x1)fX2 (x2) dx1 dx2 =
fX1 (x1 ) dx1 =
Z1 0
fX2 (x2)FX1 (ux2 ) dx2 :
x7. ! , {#
# ( , : fU (u) =
Z1 0
fX2 (x2)fX1 (ux2 )x2 dx2 :
0 ( (p1)(p2));1 up1 ;1 xp21 +p2 ;1e;(1+u)x2 : = , $: (p1 + p2) up1 ;1(1 + u);(p1 +p2 ) : fU (u) = (p ) (p ) 1
2
7.7. H . 1.. Xm Yn 2m 2n. * .. ; ; 1 1 V = m Xm = n Yn , 7.5, 7.6. J 1.. Xm =2 Yn =2 - gm=2 () gn=2()
. 0 7.6 ..
U = (Xm =2)=(Yn=2) = Xm =Yn : ((m + n)=2) u m2 ;1 (1 + u); m+2 n : fU (u) = (m=2)(n=2) * (,
fV (u) = m=nfU (m=nu) : ]
" ( $ $ $. % %( Cnk = k!(nn!; k)! : 149
.
* . 7.3 %( Cnk n = 10, 25, 50 . ! , : $ &$ $ n. 6 , $
$ , & %( ( ) !$ $ n. 0 ! % < $ (1667{ 1754), ! , pn n ! 1 (n | ) : Cnn=22;n const
. 7.3
< ( $ $ %( n n
( ! Cn2 +k =Cn2 . > , ! Cnk+1 = Cnk (n ; k)=(k + 1) , %( Cnk (n ; k)=(k + 1) > 1 . . k < (n ; 1)=2 k > (n ; 1)=2 O k = n=2, n , n , k = (n 1)=2. 0 % # 1 (1692{1770), 150
x7. ! , {#
p
: const = 2= p n! 2nnne;n n ! 1
& 1 . 7.8. H . ln n! = n lnn ; n + 2;1 ln n + const + o(1) n ! 1 ln1 + ln2 + : : : + lnn . 0 ! : Wk
Z k+1 k
lnx dx ; 2;1(ln k + ln(k + 1)) = O(k;2)
ln(x=k) ln(x=(k + 1)) " . J = $:
Zn 1
lnx dx = n ln n ; n + 1 :
1 ( ( :
Zn 1
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nX ;1 k=1
Wk =
lnx dx = 2;1
n X k=1
nX ;1 k=1
(ln(k + 1) + ln k) +
ln k ; 2;1 ln n +
nX ;1 k=1
Wk :
0
$ , $: lnn! =
n X
k=1
nX ;1 ; 1 ln k = n ln n ; n + 2 ln n ; Wk + 1 : k=1
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.
Wk $, ln n! = n lnn ; n + 2;1 lnn ; const + o(1) + 1 n ! 1 : ]
p
= 7.8 n! c nnne;n , : C2mm2;2m =
p
(2m)! 2;2m p2 m ! 1 : c m (m!)2
7.9. H . 0 , m ! 1 k = o(m)
2
2 ln C2mm+k =C2mm = ; km ; mk + 21 mk
4 + O mk 3 :
; 1) : : :(m ; k + 1) = J C2mm+k =C2mm = (mm(m + k)(m + k ; 1) : : :(m + 1) kY ;1
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2 2 k i 3 X ; mi ; 21 mi ; i +m 1 ; 21 i +m 1 +O(1) m : i=1
0 % $ ! k X i=1 152
i = 12 k(k + 1)
k X 3 i=1
i = O(k4 )
x7. ! , {#
2
2 ; km ; mk + 21 mk
4 + O(1) mk 3
. > , k k4=m3 < (m) jkj < (m)m3=4 (m) ! 0 m ! 1,
2 ; ln C2mm+k =C2mm = ; km + o(1) : ]
p
= & ( , c = 2) $
(p = 1=2) : C2mm+k 2;2m =
k2 1 pm exp ; m + o(1)
o(1) k = o(m3=4 ). 7.10. H . 0 , m ! 1, k = o(m) k 2;2m;1 C m+k 2;2m : C2mm++1 2m k 2m + 1 k =C m+k = = 2 1+ O m :] J C2mm++1 2m m;k+1
:
Cnk 2;n = Cn%n=2]+(k;%n=2])2;n n=2)2 = p 1 ' kp; n=2 p 1 exp ; (k ;n=2 n=2 n=4 n=4 k ; n=2 = o(n3=4). > $ &$ . 7.3: (n=2 0) ! 153
.
p
p
( n=4, | 2n( n=4);1 , $ & '(x). 0
! 0 {2
. 0 Sn = Snp; MSn Snp; n=2 DSn n=4 Sn | $ n $ ? p = 1=2, ! {: : pSn (x) '(x) n ! 1 x = (k ; n=2)
.p
n=4 k = o(n3=4 ) :
= , n=2 ! p ;1 n=4 ,
( n ! 1) pSn (x). 7.11. H . " 0 { 2
:
X
a x b
pSn (x) ! _(b) ; _(a) _(x) =
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;1
'(y) dy :
X 1 k ; n=2 Z b p ' p '(x) dx n ! 1 n=4 a k k n=4 p P a(k ; n=2)= n=4b J
X
Cnk 2;n
k
{: (
$ $). ] 154
x7. ! , {#
= 7.11 ,
p
p
J n=2 ; t n=4
n=2 + t n=4 ]
, t ( n
). ; 5 ! (. 5.8), :
;
p t;2 :
P Sn ; n=2 t n=4
= {: ! ( % , (. 7.13) 1 ; _(t) p 1 e;t2 =2 t ! 1 : 2t > (
( 5 ! ) (
$ { :. 7.12. H . x > 0
;x + x;1;1 e;x2=2 < Z 1 e;y2=2 dy < x;1e;x2=2 x
Z1y 2 Z 1; ;y =2 dy = 1 e;x2 =2 = ;2 e;y2 =2 dy : e 1 + y x x x x J 0 :
1 Z 1 ye;y2 =2 dy = 1 Z 1 e;y2 =2 d(y2 =2) = 1 e;x2 =2 Zx 1x 2 Z 1x x2 Z 1 x2 e;y =2 dy ; e;y =2 d(1=y) = e;y =2 dy ; x x x 1 Z 1 ; y1 e;y2 =2 + y1 de;y2 =2 = x1 e;x2 =2 : x x 155
.
#
Z1y
2 e;y =2 dy >
Z1
e;y =2 dy > x x Z 1; x 2 ; ; 2;1 1 + y;2 e;y =2 dy: > 1+x 2
x
> ,
; ; x;1 1 + x;2 ;1 = x + x;1 ;1 : ]
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J
Z1
Z11 2 1 ;y =2 = ; 1 e;y2 =2 + de e;y2 =2 dy = ; x y xZ x y Z 1 1 1 2 ;y2 =2 dy = + e;y2 =2 d y1 = x1 e;x =2 ; 2 e y x Z 1 1 x2 2 =2 1 ; x ;y =2 ..] = xe + y3 de x
7.14. H . *
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p
n=2)2 Cnk 2;n c2 p1 exp ; (k ;n=2 n=2 p Zb X pSn (x) ! c2 '(x) dx : a a x b 156
x7. ! , {#
5 ! (. ! ) 1 0%
X
jxj t
p Zt 2 c
p
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'(x) dx ! 1 t ! 1
. . 2 c = 1. ] p 7.15.n ;Hn . 0 1 n! 2nn e n ! 1, ! :
;
;
;
Cnk 2n (k=n) 1 ; k=n ;1=2 exp nH k=n H(x) = ;x ln x ; (1 ; x) ln(1 ; x) 0 < x < 1
k (n) k n ; (n), ( (n) , (n) ! 1 n ! 1. 7.16. H . # " 0 { 2 & : Cnk pk (1 ; p)n;k pn (k) (2np(1 ; p));1=2 exp
1 (k ; np)2 ; 2 np(1 ; p)
k , jk ; npj (n), (n) = o(n2=3 ), n ! 1, 0 < p < 1 . J ( Hp (x) = ;x ln p ; (1 ; x) ln(1 ; p) lnpk (1 ; p)n;k = ;nHp(k=n):
. 7.4 157
.
= 7.15, ! k, n ; k ! 1:
; ; ; ; ; pn (k) 2n (k=n) 1 ; k=n ;1=2 exp ; n Hp k=n ; H k=n : H , y = Hp (x) y = H(x) x = p (. 7.4), H(p) = Hp (p)
Hp0 (x) = ; ln p + ln(1 ; p) = H 0 (p):
H! " : H(x) = Hp (x) + 12 H 00(p)(x ; p)2 + O(x ; p)3 : 0 x = k=n H 00 (p) = ;1=p ; 1=(1 ; p) = ;1=(p(1 ; p)),
$:
1 (k ; np)2 (k ; np)3 ; ; 1 H k=n ; H k=n = +O : p
n 2 np(1 ; p)
n2
(k ; np)3 =n2 = o(1)
! pn(k) , , % k=n ! p, . ] 7.17. H . # " 0 { 2 & :
X p
a (k;np)= np(1;p) b
Cnk pk (1 ; p)n;k !
Zb a
'(x) dx = _(b) ; _(a)
$ a < b, 0 < p < 1, n ! 1. p J 7.16 fk : a (k ; np)= np(1 ; p) bg ! : ' p k ; np (1 + nk) pn (k) = p 1 np(1 ; p) np(1 ; p)
nk ! 0 n ! 1 k. 1 k, ! . ] 158
x7. ! , {#
0 7.17 . 0 Pn | $ $ : Pn (fkg) = Cnk pk (1 ; p)n;k pn(kO p), k = 0 1 : : : n, 0 < p < 1 . > $ Pn : Pn(fxkng) = pn(k)
xkn = p k ; np k = 0 1 : : : n : np(1 ; p)
" , Pn Pn ! :
p
p
Pn(Ja b]) = Pn(Jnp + a np(1 ; p) np + b np(1 ; p)]):
= {:
$ $ : Pn (Iab) ! P(Iab ) = _(b) ; _(a) n ! 1 :
. 7.18. H . 0 {: $ $ &$ ( :
p
Fn (x) = Pn((;1 x]) = Fn np + x np(1 ; p) ! _(x) n ! 1 : J Fn(x) = Pn ((;1 ;A)) + Pn (JA x]) A < x Pn(J;A A]) = 1 ; Pn(J;A A]) ! 1 ;
ZA
;A
'(x) dx n ! 1 :
# , Pn ((;1 ;A)) Pn (J;A A]) A n 1. ] 159
.
' ! ; 1
k pn (k 1=2) (2=pn)'(xk ) Pn ((;1 xk]) _(xk + 1=pn) 8 0.0054 0.0055 0.0080 0.0088 9 0.0133 0.0132 0.0214 0.0233 10 0.0279 0.0275 0.0493 0.0501 11 0.0508 0.0502 0.1002 0.1005 12 0.0805 0.0800 0.1808 0.1807 13 0.1115 0.1115 0.2933 0.2920 14 0.1354 0.1362 0.4277 0.4276 15 0.1444 0.1456 0.5722 0.5724
# ( (
, $ {:, . 1 $ p pn (kO p), .. Pn((;1 xk ]), xk = (k ; np)= np(1 ; p), $
p
p
(1= np(1 ; p))'(xk ) _(xk + (1=2 np(1 ; p)))
p
p = 1=2, n = 30 ( 1=(2 np(1 ; p)) !
$ $ n). 1 , ! np(1 ; p) :
% {:
O(1)(k ; np)3 =(np(1 ; p))2 n np(1 ; p) ( k ; np). > , $ pn(kO p) p = pn ! 0 p = pn ! 1, np(1 ; p) ! 1, k ; np = o(np(1 ; p))2=3: 0 Pn((;1 xk ]) = _(xk + p 1=(2 np(1 ; p))) $
$ $ np(1 ; p). . 2 n = 30, p = 0:2, np = 6, np(1 ; p) = 4:8. 160
x7. ! , {#
' ! ; 2
k
2 4 6 8 10 Pn((;1 xp k ]) 0.0441 0.2552 0.6069 0.8713 0.9748 _(xk + 0:8= n) 0.0551 0.2468 0.5902 0.8730 0.9800 X = (X1 : : : Xn),
$ $ $ , . ; PX n- . ' PX
Pn
; 1 x2 fX (x) = p 1 n e; 12 xxT = p 1 n e 2 i=1 i : ( 2) ( 2) 7.19. H . 0 X | , A |
(. Y = XA (
( V(Y). J 0
(. 2.28) : T e; 12 yA;1 (A;1 ) yT : fY (y) = p n1 ( 2) j det Aj H , (. 5.29)
V(Y) = AT V(X)A = AT A A;1(A;1 )T = (AT A);1 det V(Y) = j det Aj2
! ; 21 yV(Y);1 yT : fY (y) = p n 1 1=2 e ( 2) (det V(Y)) > , ( A , Y | . ] 11
. . , (2005)
161
.
7.20. H . 0 V |
(
) (. 0 , ( f(x) = p n 1 e; 12 xV ;1 xT 1 = 2 ( 2) (det V ) ( ( V , . . & X ,
fX (x) = f(x) V(X) = V : J 0 ( V & C CV C T = ^, ! : V = AT A A = ^1=2C : 0 U | . " X = UA. ] ! Rn f(x ; a), f(x) 7.20, a = (a1 : : : an) |
. 0 % a | , V | ( ( . >
,
! , 7.19. "(
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1 T ; 2 (x ; a)Q(x ; a)
Q |
(
) (. 0 % ( ( Q;1, $ | a. 1 X c ! MX = a, V(X) = Q;1. 7.21. H . 0 X = (X1 : : : Xn ) |
, W = (Xi1 Xi2 : : : Xim ) | 162
x7. ! , {#
,
m n
$ X. 0 , W |
. , Xi | . J " X ,
W = (X1 : : : Xm ). " , & , MXi = 0. > X1 X2 : : : Xn H(X) (. 5.31 ! ) , U1 = a11X1 U2 = a12X1 +a22 X2 : : : Un = a1nX1 +: : :+ann Xn . . U = XA, A = (aij ) | $
(. ", A;1 = B = (bij ), , ( B , : X = UB W = (U1 : : : Um ) (bij i j = 1 : : : m): 1 , W (. 7.19). MX X = ((X ; MX)A)A;1 + MX UA;1 + MX : ] 7.22. H . 0 c X = (X1 : : : Xn )
. 0 Z = (X1 : : : Xm ), W = (Xm+1 : : : Xn ) , $ Z W : Cov(Xi Xj ) = 0 i m, j m + 1. " Z W
. J 0 , ( (
: (Z) (0) V(X) = V(Z W) = V(0) V (W ) (0) ( , (
($& ). " Z);1 (0) V(X);1 = V((0) V(W);1 11
163
.
xV(X);1 xT zV(Z);1 zT + wV(W);1 wT z = (x1 : : : xm ) w = (xm+1 : : : xn) :
0 % fX (x) $
$ . ] 7.23. H . 0 X = (X1 : : : Xn ) |
, B |
(n m)-( (m n). " Y = XB |
. J * & , , MXi = 0. # , ( B | (m = n), , X = UA;1, U | (. ! 7.21), : Y = U (A;1 B) : ; m < n, ( B b
Bb 7.21 Yb = XB.] 7.24. H . 0 X1 , X2 1; 2 2 ; 1 1 = 2 (2) (det Q) exp ; 2 q11x1 + 2q12x1x2 + q22x2 Q = (qij ) . * fX2 jX1 (x2jx1), M(X2 jX1). J 1 X1
X = (X1 X2). " Q;1 = V(X) (vij ), 2 DX1 = Cov(X1 X1) = v11 = q22= det Q det Q = q11q22 ; q12 : 1 MX1 = 0 ! : fX1 (x1) = (2v11);1=2e;x21 =(2v11) = Q x2 : = (2q22);1=2(det Q)1=2 exp ; 12 det q22 1 164
x7. ! , {#
0 $ : fX1 X2 (x1 x2)=fX1 (x1) = 2 ;1 );1=2 exp ; 1 x2 ; ; q12 x1 : = (2q22 ;1 q22 2q22 " , fX2 jX1 (x2 jx1) ;(q12=q22)x1 ;1 . > $ M(X2 jX1 ) = ;(q12=q22)X1 .] q22 7.25. H . 0 X = (X1 : : : Xn) |
, MXi = 0, i = 1 : : : n. 0 , fXn jX1 :::Xn;1 (xnjx1 : : : xn;1) ; qq1n x1 ; : : : ; qnq;1n xn;1 nn nn ;1 , Q = (qij ) = V(X);1 O qnn q q M(Xn jX1 : : : Xn;1) = ; 1n X1 ; : : : ; n;1n Xn;1 : qnn qnn
J ? fX1 :::Xn;1 (x1 : : : xn;1), fX1 :::Xn (x1 : : : xn)
xn. = : n X ij =1
qij xi xj =
nX ;1 ij =1
qij xixj + 2xn
nX ;1 i=1
qinxi + qnnx2n :
0 $
xn:
;1 qnn xn + qnn
nX ;1 i=1
qinxi
2
;1 ; qnn
nX ;1 i=1
2
qinxi : 165
.
0 fX1 :::Xn (x1 : : : xn)
xn (. 7.4) : fX1 :::Xn;1 (x1 : : : xn;1) =
1 nX nX 2 ;1 ;1 ; 1 = const exp ; qij xi xj ; q qinxi : nn
2 ij =1
i=1
> fX1 :::Xn (x1 : : : xn)=fX1 :::Xn;1 (x1 : : : xn;1) $
n;1 2 nX ;1 ;1 X qinxi qinxi + qnn : const exp ; 21 qnnx2n + 2xn ij =1 i=1 $ $
;1 qnn xn + qnn
nX ;1 i=1
qinxi
2
. > ,
$ $ $, , , ( xn),
$
.] 7.26. 0 ( $ ..). 8 7.25, $ , &$ (
) , Xn X1 : : : Xn;1 ( X1 : : : Xn;1, , 7.22 5.33. 0 MXi = 0, i = 1 : : : n, , .. (Xn ; Xbn ), nX ;1 Xbn = ; qqni Xi i=1 nn 166
x8.
Xj , j = 1 : : : n ; 1 (. 5.33). 6
: ;1 hXn ; Xbn Xj i = MXn Xj ; MXbn Xj = qnn
n X i=1
qniMXi Xj = 0
( Q = (qij i j = 1 : : : n) V(X) , ( Q V(X)
. = , (X1 : : : Xn;1 Xn ; Xbn )
(X1 : : : Xn)
, (. 7.23), 7.22 (X1 : : : Xn;1) Xn ; Xbn . 0% (. 6.23) M(Xn ; Xbn jX1 : : : Xn;1) = M(Xn ; Xbn ) = 0 :
1 , M(Xn jX1 : : : Xn;1) = M(Xbn jX1 : : : Xn;1) = Xbn : ( x 6 , M(Xn jX1 : : : Xn;1) ( Xn $ ( h(X1 : : : Xn;1) (
). , $ ( ) $ ( Xn $ ( X1 : : : Xn;1 . % : $ . x 8. ! 0
! & ( &
( )
. 167
.
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Ai
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170
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1 X i=1
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1 !
A1 A2 : : : An : : : nlim !1 P(An) = P i=1 Ai : 0 , Ai $ A. 6 ". J 0 "$ Ai A0i = Ai r A 172
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1 \
i=1
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(II) F1(x) = F2(x) ( &$) $ O (III) F1 (x)= F2 (x+), F2 (x) = F1(x;). # , !
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$ 8.6,
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;1 < s < t < +1. <
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0 (,
P((;1 x1] (;1 x2] (;1 xn]) x1 : : : xn ai bi i = 1 : : : n.] 8.11. H . # n- ( (. 8.10) F(x1 x2 : : : xn). 0 , : 174
x8.
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AX = X ;1 A2 : A2 2 A2 X ;1 A2 - ( - A1 ). J> ( X ;1 $ -
(.] 5 . = X (Q A P) (R1 B1) . ("
, X (R1 B1 ) (Q A)
A P.) 1 X ( B1 PX (B) = P(X ;1 B) B 2 B1 : PX = PX ;1 X, ( PX '( X. 175
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-] A -] A (!) = 0
! 2= A:
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( $ $ : X(!) =
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Ai 2 A
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( , Ai , i = 1 : : : n, & ), ci | . 1 , X(!) =
X
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A 2 A , O c | (
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Z
Z
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x8.
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, B2 A. A - : 1. X2 2 A, Y ;1 X2 = X1O ;S 2. A1 A2 : : : An : : : 2 A, B1 Y ;1 Ai = i S Y ;1(A ) 2 B , Y ;1(A ) 2 B i 1 i 1 i A, - B1 $ F O 3. A 2 A, Y ;1(A) = Y ;1(A) 2 B1 , . . A 2 A. 0 C A, (C ) - , & C , B2 = (C ) A. ] 8.14. H . 0 X (Q A) (R1 B1), X ;1 ((;1 x]) 2 A $ x. " X | . J 8.13.] 5 . 0 $ (X1 B1 ), (X2 B2) , & X = X1 X2 $ (x1 x2), x1 2 X1, x2 2 X2, - ,
\12
. . , (2005)
177
.
" B=B1 B2 =f(x1 x2): x1 2 B1 x2 2 B2 g, Bi 2 Bi , i = 1 2. 6 - B1 B2 , & | (X1 X2 B1 B2 ). 5 . 0 $ (X1 B1 P1), (X2 B2 P2) (X1 X2 B1 B2 P), P ,
P(B1 B2 ) = P(B1 )P(B2 ) $ Bi 2 Bi , i = 1 2. <
$ $ . 8.15. H . 0 X1 (!), X2 (!) | $ (Q A) (X1 B1), (X2 B2),
. " X = (X1 X2) (Q A) $ (X1 X2 B1 B2 ). T J " X ;1 (B1 B2 ) = X1;1 (B1 ) X2;1 (B2 ) 2 A Bi 2 Bi , i = 1 2, fB1 B2 g B1 B2 , 8.13. ] = ( ,
$ , ( $ . " $ $ - (d!) : . > , . = X() P
Z
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Z
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x8.
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Z
X(!) dP =
Z
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* : > , : A x 4.
Z
A
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Z
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$
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- AX A ( - AX \ ", A, AX 6= A, - \ " AX ). 5 . 0 Ab | - A. 1 X (Q A P)
Ab- , AX X ;1 B1 Ab. 8.16. H . Ab = X ;1 B1 ! A, , X Ab- . 0 , A - Ab, X : AX * Ab, . . ( X(!) (Q Ab P). 0 ( $ $, 12
179
.
$ Ab. : b (Q Ab P),
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Ab
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$ $ : M(XjAb) = (M(X1 jAb) : : : M(XnjAb)). , M(X jAb) % Ab- (, Ab X. 8.17. H . 0 - Ab Q: Ab = (A), S T A = fAi i = 1 2 : : : g, i Ai = Q Ai Aj = ? i 6= j, Ai 2 A. 1 Y Ab- ,
% $ A = fAi i = 1 2 : : : g: Y (!) = yi ! 2 Ai i = 1 2 : : : : 8.18. H . 0 Ab = (A), A = fAi i = 1 2 : : : g | 180
x8.
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5 . 8 M(X jAb) , - Ab Y : Ab = AY Y ;1 B1 , ! X Y M(X jY ). " : (Q A)
: (Q) < 1 ( ,
, , P(A) = (A)=(Q)), - . =
, F $ , $
- . > , , $ : 1: 0 (A) 1 (?) = 0 O 1 X 1
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i=1
Ai =
i=1
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\
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' : ( , :
Z
(A) = f(!) d : A
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1 X 1 i=1
Ai =
i=1
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Ai
\
Aj = ? i 6= j : 181
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Z
(A) = f (!) d +
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Z
A
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, , - Ab A -
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x8.
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$
1;1,
, 1 2
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A 2 Ab:
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Ab- (
b = d (!) X(!) d ,
Z
b d $ A 2 Ab (A) = X(!) A
Z A
Z
b d $ A 2 Ab: X(!) d = X(!) A
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8.19. H . 0 MXi , i = 1 2,
. "
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Zh ZA
i
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Z
= a M(X1 jAb) dP + b M(X2 jAb) dP =
ZA
Z
A
A
A
= a X1 dP + b X2 dP =
Z
A
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: , M(Xi jAb), i = 1 2. 1 , a M(X1 jAb) + b M(X2 jAb)
aX1 + bX2, (. .) .] 8.20. H . 0 MX
X 0 1 (. .). " M(X jAb) 0 . . J 0 A 2 Ab Z Z M(X jAb) dP = X dP 0 : A
A
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Z Xb dP 0 A
184
x8.
A 2 Ab, ,
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P(!: X(!) < 0) = > 0, n P(An ) =2
Z
An
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. ] 8.21. H . 0 , M(M(X jAb)) = MX. 8.22. H . 0 MX MXY
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Z
A
Z
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Z
A\B
Z
A
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A
Z
A\B
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-] B M(X jAb) dP :
= , Ab- Y1 = M(X -] B jAb) Y2 = -] B M(X jAb) , A 2 Ab
Z
A
Z
Z
A
A
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Y dP = 0
Y = Y1 ; Y2 :
0
( $
Z Z Y dP 0 (;Y ) dP 0 A
A
185
.
8.20 , Y 0 ;Y 0 . ., . . Y1 = Y2 . . 0 $ $ ( . ] ' ! 8.22 Ab- Y $ : . * & , X, Y 0 & Yn 0 $ Ab- $ $ , $& Y . 0
Z
Z
A
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, YnM(X jAb) = M(XYn jAb). 0
$ :
Z
Z
A
Y M(X jAb) dP = XY dP A 2 Ab : A
* % , Y M(X jAb) = M(XY jAb) . . 8.23. H . 0 A1 A2 | - A, MX
. " M(M(X jA2 )jA1 ) = M(X jA1 ) . .
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,
Z
A
*
Z
M(X jA2 ) dP = M(X jA1 ) dP A
Z ZA A
186
Z
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M(X jA2 ) dP = X dP
A 2 A2
M(X jA1 ) dP = X dP
A 2 A1
ZA A
x8.
, , A 1 A2 . ] 8.24. H . ; X Y , MX
, M(X jY ) = MX. J 0 - AY = Y ;1B1 A = Y ;1B, B 2 B1 . # ,
Z
A
Z
Z
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A
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! .. -] A X. ] , F , , $! : , (
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187
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26 || 26 + 106 || # 175 +# + 113 || # $ #") ,--+ + 107 27 76, 84, || # 113, 178 28, 177 || $ 134, 136, 137, 179, || 72, 148 180, 181 || 31 || . " 182 || 76 || 168, 171 || !( 41 || + || % 182 52 || - 169 || $ 133 || $ 64 || 36 169 || $ 11 " " 172 143 || n- || )$ 89, 172 161 || %$ 172 & 112 || $ 124 || )- 148 % 175 $ # $ 42 " 55 188
$ # || $
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