Механика: Варианты индивидуальных расчетных заданий

Министерство образования Российской Федерации ГОУ СПбГПУ Кафедра экспериментальной физики

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РАСЧЕТНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ

МЕХАНИКА Кинематика Динамика. Законы сохранения Момент импульса. Момент инерции

Санкт-Петербург 2008 г.

СПбГПУ, Кафедра экспериментальной физики

Указания к решению задач При решении задач расчетного задания следует выполнять следующие правила оформления: 1. Условия задач переписываются полностью без сокращений. Обязательно записывается номер задачи с указанием номера раздела. 2. Решения оформляются в порядке возрастания номеров задач. 3. Текст и графики должны быть выполнены без помарок и исправлений. Допускается оформление на компьютере. Рекомендуется использование листов формата A4. 4. Титульный лист должен иметь все атрибуты, указанные на стр. 3. 5. Необходимо указать основные законы и формулы, на которых базируется решение, и дать формулировку этих законов, разъяснив буквенные обозначения формул. Если при решении задач применяется формула, полученная для частного случая, не выражающая какой-нибудь физический закон или не являющаяся определением физической величины, то следует привести ее вывод. 6. Рекомендуется сделать чертеж, эскизный рисунок или построить график поясняющий содержание задачи или ход решения. 7. Решения задач должны сопровождаться исчерпывающими, но краткими словесными объяснениями, раскрывающими физический смысл употребляемых формул. 8. Необходимо решить задачу в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи или введенных самостоятельно. 9. Следует подставить в рабочую формулу размерности и убедиться в правильности размерности искомой величины. 10. Ответ задачи в общем виде и числовое значение искомой величины с обязательным указанием размерности, предваряемые словом «ОТВЕТ:», записываются отдельно после решения. Решения отдельных задач разделяются горизонтальной чертой во всю ширину листа. 11. В случае если расчетное задание при проверке не зачтено, студент обязан представить его на повторную проверку, включив в его те задачи, решения которых оказались неверными. Повторная работа представляется вместе с незачтенной работой. В повторную работу также включаются дополнительные задачи, количество которых равно количеству незачтенных задач. 12. Студент должен быть готов дать устные пояснения по существу решения задач, входящих в его расчетное задание. 13. При несоответствии оформления работы указанным требованиям она не будет зачтена, а количество задач в индивидуальном расчетном задании увеличивается в 2 (два) раза.

2

http://www.physics.spbstu.ru

Министерство образования Российской Федерации ГОУ СПбГПУ Кафедра экспериментальной физики

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ

Выполнил:

Студент Группа Факультет Вариант № Дата Подпись

: : : : : :

Проверил: ФИО

:

Дата Подпись

: :

Санкт-Петербург 2008 г.

3

СПбГПУ, Кафедра экспериментальной физики

Расчетное задание состоит из (трех) разделах.

9 (девяти) задач – по 3 (три) задачи в 3

Для каждого варианта набор номеров задач во всех разделах одинаков. Номера задач варианта определяются по таблице.

№ варианта

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

№ варианта

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 29 30 21 22 23 24 25 26 27 28

4

http://www.physics.spbstu.ru

1. Кинематика 1-1 Материальная точка движется по окружности радиуса 1 м согласно уравнению S ( t ) = 8t - 0.2t 3 ( S -пройденный путь). Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение в момент времени 3 с. 1-2 Под углом 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время оно будет двигаться под углом 45° к горизонту? 1-3 Тело брошено под углом 30° к горизонту со скоростью 20 м/с. На каком расстоянии по горизонтали от точки старта тело будет находиться на высоте 5 м? Найти тангенциальное и нормальное ускорения камня в этот момент времени. 1-4 Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно увеличивает свою скорость. На первом километре она выросла на Du = 1 м с . На сколько возрастет скорость на втором километре?. 1-5 Тело, брошенное вертикально вверх, побывало на одной и той же высоте 8,75 м два раза с интервалом в 3 сек. С какой скоростью было брошено тело ? 1-6 Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 21 м/с. Определить время между двумя моментами прохождения телом отметки половины максимальной высоты. 1-7 Необходимо перебросить мяч через вертикальную стену высоты H, находящуюся на расстоянии S от точки бросания. При какой наименьшей начальной скорости это возможно? Под каким углом к горизонту должна быть направлена начальная скорость мяча? Бросок производится с земли. H=3 м, S=4 м. 1-8 Частица пролетает расстояние 2 м равномерно, а затем тормозит с ускорением 5∙105 м/с2. При какой скорости частицы время движения ее от вылета до остановки будет наименьшим? 1-9 Камень сбрасывают с высоты H . В то же время вертикально вверх бросают с земли шарик с начальной скоростью n 0 . Определить время, через которое встретятся камень и шарик. При какой скорости n 0 возможна их встреча? 5

СПбГПУ, Кафедра экспериментальной физики

1-10 Частица движется в положительном направлении оси X так, что ее скорость изменяется по закону n = a x , где a — положительная постоянная. Имея в виду, что в момент времени t=0 она находилась в точке х=0, найти среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет S метров пути. 1-11 Ускоренно движущееся тело за Dt = 5 c увеличило свою скорость в 2 раза. Чему равен модуль среднего ускорения тела, если модуль первоначальной скорости n 0 = 10 м с , а направление движения тела изменилось на a = 60° ? 1-12 Частица начинает двигаться по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Найти угол между скоростью и полным ускорением после первого оборота. Начальная скорость точки равна нулю. 1-13 Тело, свободно падающее с некоторой высоты, за время t после начала движения проходит путь n = 5 раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти высоту, с которой падало тело. 1-14 В последнюю секунду свободного падения тело прошло путь вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты падало тело? 1-15 При прямолинейном равноускоренном движении тела с некоторой начальной скоростью величина перемещения тела за пятую секунду движения оказалась больше величины перемещения за вторую секунду на 12 м. Определить ускорение тела. 1-16 Камень, брошенный с земли под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 10 м/с. Чему равна максимальная высота подъема камня во время полета, если известно, что во время движения его максимальная скорость была в 2 раза больше минимальной? 1-17 При свободном падении тела средняя скорость его движения за последнюю секунду оказалась в 1,25 раза больше, чем за предыдущую. Определить высоту, с которой падало тело. 1-18 Ракета стартует и движется вертикально вверх с ускорением a = 2 g . Через 2 с полета двигатель отключается. Через какое время после старта ракета упадет на землю? 6

http://www.physics.spbstu.ru

1-19 Тело брошено со скоростью n 0 = 10 м с под углом a = 45° к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время t=0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли. 1-20 Камень брошен горизонтально со скоростью 15 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорения камня через 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать. 1-21 Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найти радиус кривизны траектории камня через три секунды после начала движения. 1-22 Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60° с направлением линейной скорости этой точки. 1-23 Два тела, расстояние между которыми L , начинают одновременно двигаться навстречу друг другу: первое равномерно со скоростью n , а второе из состояния покоя с постоянным ускорением a . Через какое время они встретятся? 1-24 Два тела, расстояние между которыми L , начинают двигаться одновременно в одном направлении: первое из состояния покоя с постоянным ускорением a , а второе, догоняющее первое, равномерно. При каких значениях скорости второе тело догонит первое? 1-25 С какой скоростью n 0 и под каким углом a к горизонту было брошено тело, если в первую секунду движения модуль его скорости уменьшился в 2 раза, и в последующую секунду движения он также уменьшился в 2 раза? 1-26 Мяч падает вертикально с высоты H = 1 м на наклонную доску. Расстояние между точками первого и второго удара мяча о доску S = 4 м . Удар абсолютно упругий. Определить угол наклона доски к горизонту. 1-27 Маховое колесо, спустя 1 минуту после начала вращения, приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движение считать равноускоренным. 7

СПбГПУ, Кафедра экспериментальной физики

1-28 Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с2. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального? 1-29 Точка движется по окружности радиуса R=2 м по закону j ( t ) = 2 + 2t - t 2 . Определить путь, пройденный точкой до остановки. Определить ускорение точки в момент времени t = 0.5 c . 1-30 Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость 2 м/с. Определить частоту вращения диска.

8

http://www.physics.spbstu.ru

2. Динамика. Законы сохранения 2-1 Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составит 25 % всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол? 2-2 Сколько времени лыжник будет скатываться с горы длиной 30 м и уклоном 30°, если коэффициент трения 0,1, а начальная скорость лыжника равна нулю? 2-3 Камень толкнули со скоростью 10 м/с от подножья вверх по наклонной плоскости. С какой скоростью он вернется к подножью, если угол наклона плоскости 30°, а коэффициент трения равен 0,2 ? 2-4 Небольшой брусок пускают вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α = 60° с горизонтом. Коэффициент трения µ = 0,8. Определить отношение времени подъема бруска вверх t1 ко времени его соскальзывания t2 до первоначальной точки? 2-5 На однородный горизонтально расположенный стержень длиной 1 м действуют две горизонтальные силы: 10 Н на правый конец и 5 Н на левый. Силы направлены вдоль стержня в противоположные стороны (от стержня). С какой по величине силой растянут стержень в сечении находящемся на расстоянии 0,2 м от его левого конца? 2-6 Снаряд разорвался на два осколка одинаковой массы. Скорости осколков равны 300 м/с и 400 м/с и направлены перпендикулярно друг другу. Найти скорость снаряда до разрыва. 2-7 Снаряд, летящий горизонтально со скоростью n , разрывается на два осколка. Сразу после разрыва скорость одного осколка направлена вертикально и равна n , а скорость другого осколка по модулю равна 5n . Найдите отношение масс осколков. 2-8 Шар массой m1 =2 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы и при этом теряет 40 % кинетической энергии. Определить массу m2 большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым центральным. 2-9 Первоначально неподвижное тело, находящееся на горизонтальной плоскости, начали тянуть с постоянной горизонтальной 9

СПбГПУ, Кафедра экспериментальной физики

силой F . Через время Dt действие этой силы прекратилось. Какая сила трения действовала на тело во время его движения, если оно остановилось спустя время 3Dt после начала движения. 2-10 Два одинаковых шарика подвешены на нитях одинаковой длины L = 0.98 м и касаются друг друга. Один из шариков отклоняют на угол a = 10° и отпускают. Найти максимальную скорость второго шарика после соударения. Удар считать центральным, абсолютно упругим. 2-11 Шар массой 4 кг движущийся горизонтально, столкнулся абсолютно неупруго с неподвижным шаром массой 6 кг. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму? 2-12 Шарик подвешен на нити и совершает колебания в вертикальной плоскости. При прохождении положения равновесия его ускорение равно a = 10 м с 2 . Чему равно ускорение шарика при максимальном отклонении от положения равновесия? 2-13 Два тела, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, соединены сжатой пружиной. Энергия пружины Е = 3 Дж, массы тел m1 = 1 кг и m2 = 2 кг . С какими скоростями будут двигаться тела после освобождения пружины? 2-14 На тело, движущееся с постоянной скоростью n 0 , начинает действовать некоторая постоянная сила F . Спустя промежуток времени Dt скорость уменьшилась в два раза. Спустя еще такой же интервал времени Dt скорость уменьшилась еще в два раза. Определить скорость тела n K через интервал времени 3Dt с начала действия постоянной силы. Найти модуль силы F и угол a , который она составляет с направлением движения в начальный момент времени. Масса тела m .

2-15 Система из двух материальных точек массами m и M, соединенных невесомым стрежнем длиной L, движется в горизонтальной плоскости. Точки имеют скорость n , которая направлена по углом a к стержню. Определить угловую скорость вращения системы. 2-16 Шар, движущийся со скоростью n =2 м/с, налетает на неподвижный точно такой же шар. В результате упругого столкновения 10

http://www.physics.spbstu.ru

шар изменил направление движения на угол a =30°. Определить скорости шаров после удара и угол между направлением скорости второго шара и первоначальным направлением движения первого шара. 2-17 Катер массой 2000 кг с двигателем мощностью 50 кВт развивает максимальную скорость 25 м/с. Определить время , в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости? 2-18 Снаряд массой 10 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью 800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время подъема снаряда до наивысшей точки. Коэффициент сопротивления k=0,25 кг/с? 2-19 Моторная лодка массой 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, определить скорость лодки через 20 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления k=20 кг/с? 2-20 Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров больший шар покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4 своей кинетической энергии. Определить отношение M/m масс шаров? 2-21 К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Какой угол с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения шнура равна силе тяжести гири? 2-22 Определить максимальную часть кинетической энергии которую может передать частица массой m1=2 г, сталкиваясь упруго с частицей массой m2=6 г, которая до столкновения покоилась. 2-23 Горизонтально расположенный диск вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске лежит груз на расстоянии R=10 см от оси вращения. Найти коэффициент трения покоя между грузом и диском, если груз начинает скользить по поверхности при частоте вращения диска 0,5 Гц. 2-24 Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении. 11

СПбГПУ, Кафедра экспериментальной физики

2-25 Автомобиль едет по площади со скоростью 100 км/ч. За какое минимальное время он может развернуться (изменить направление движения на 180°), не снижая скорости? Коэффициент трения между дорожным покрытием и колесами 0,75. 2-26 При разрыве неподвижной гранаты образуются три осколка массами m1= 100 г, m2= 200 г, m3= 500 г с общей кинетической энергией Е= 850 Дж. Найти скорости осколков, если направления скоростей составляют друг с другом углы 120°. 2-27 В вагоне, движущемся с постоянной скоростью V, к потолку шарнирно подвешен стержень длиной L. На какой максимальный угол от вертикали отклонится стержень, если вагон резко остановить? 2-28 Частица налетает на покоящуюся мишень и отскакивает от нее назад с уменьшенной в N раз кинетической энергией. Определить отношение массы частицы к массе мишени. Столкновение абсолютно упругое. 2-29 Шарик, висящий на нити, отклонили от вертикали на угол 90° и отпустили без начальной скорости. При каком значении угла между нитью и вертикалью полное ускорение шарика будет направлено горизонтально? 2-30 От груза, висящего на пружине жесткости k , отрывается часть массой m . На какую максимальную высоту поднимется оставшаяся часть груза?

12

http://www.physics.spbstu.ru

3. Момент импульса. Момент инерции 3-1 Гладкий легкий горизонтальный стержень AB может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец A . На стержне находится небольшая муфточка массой m , соединенная невесомой пружиной длиной L с концом A . Жесткость пружины k . Какую работу надо совершить, чтобы эту систему раскрутить до угловой скорости w ? 3-2 Стержень массой m и длиной L может вращаться вокруг горизонтальной оси. В начальный момент стержень занимает вертикальное положение (над осью). Найти силу реакции оси при прохождении стержнем горизонтального положения? 3-3 Вращающийся диск радиусом R прижимается к шероховатой поверхности силой F . Найти момент сил трения, действующих на диск. Коэффициент трения между поверхностью и диском равен µ? 3-4 Блок, имеющий форму диска и массу m = 0,4 кг вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,7 кг. Определить силы натяжения T1 и T2 нити по обе стороны блока.? 3-5 Однородный стержень длиной L =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой m =7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси вращения. Определить массу стержня, если в результате попадания пули он отклонился от начального вертикального положения на угол 30°. Начальная скорость пули равна n 0 = 360 м с . 3-6 Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной L=30 см и массой m=100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. 3-7 Найти момент инерции тонкого однородного кольца радиусом R=20 см и массой m=100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр. 3-8

Определить момент инерции тонкого однородного кольца массой 13

СПбГПУ, Кафедра экспериментальной физики

m=50 г и радиусом R=10 см относительно оси, касательной к кольцу. 3-9 Диаметр однородного диска d=20 см, масса m=800 г. Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. 3-10 На сплошной однородный цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение оси цилиндра. 3-11 Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения. 3-12 Определить линейную скорость центра однородного шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h=1 м. 3-13 Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной L=2 м и высотой h=10 см? 3-14 Тонкий прямой стержень длиной L=1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол α=60° от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия. 3-15 Однородный стержень длиною 1 м и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9,81∙10-2 Н∙м? 3-16 Какой путь пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона 30°, если ему сообщена начальная скорость 7 м/с, параллельная наклонной плоскости. 3-17 Маховик вращается с постоянной частотой 10 об/с; его кинетическая энергия 800 Дж. За какое время вращающий момент сил 50 Н∙м, приложенный к этому маховику, увеличит его угловую скорость в два раза? 3-18 Платформа в виде диска диаметром D= 3 м и массой m1= 180 кг может вращаться без трения вокруг вертикальной оси. С какой угловой 14

http://www.physics.spbstu.ru

скоростью ω будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m2= 70 кг со скоростью 1,8 м/с относительно платформы? 3-19 Шарик массой m= 50 г, привязанный к концу нити длиной L1= 1 м, вращается с частотой 1 об/с, опираясь на гладкую горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния L2= 0,5 м. С какой частотой будет при этом вращаться шарик? Какую работу совершает внешняя сила, укорачивая нить? 3-20 Тело массой 2 кг брошено под углом 60° к горизонту со скоростью 100 м/с. Найти момент импульса тела относительно оси, проходящей через точку бросания перпендикулярно плоскости движения, спустя 5 с после броска. 3-21 Диск скатывается с наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Чему равно ускорение диска? 3-22 Однородный тонкий стержень длиной L висит на горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Какую минимальную начальную угловую скорость ω надо сообщить стержню, чтобы он совершил полный оборот вокруг оси. 3-23 Горизонтально расположенный тонкий однородный стержень массы m подвешен за концы на двух вертикальных нитях одинаковой длины. Найти силу натяжения одной из нитей сразу после пережигания другой нити. 3-24 На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска массы m1 и на ней однородный шар массы m2 . Коэффициент трения скольжения между шаром и поверхностью доски равен m . К доске приложили горизонтальную постоянную силу F. С какими ускорениями будут двигаться доска и центр шара в отсутствие скольжения между ними? При каких значениях силы F скольжение отсутствует? 3-25 Однородный стержень, падавший в горизонтальном положении с высоты h , упруго ударился одним концом о край массивной плиты. Найти скорость центра стержня сразу после удара. 3-26 Однородный диск радиуса R= 5,0 см, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью ω= 60 рад/с, падает в вертикальном положении на горизонтальную шероховатую поверхность и 15

СПбГПУ, Кафедра экспериментальной физики

отскакивает под углом β= 30° к вертикали, уже не вращаясь. Найти скорость диска сразу после отскакивания. 3-27 Однородный вертикальный столб высотой H падает на землю под действием силы тяжести. Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю, если столб падает, поворачиваясь вокруг неподвижного нижнего основания. 3-28 Однородный вертикальный столб высотой H падает на землю под действием силы тяжести. Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю в пренебрежении силой трения. 3-29 Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью ω0 , затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен μ. Найти: время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением. 3-30 Сплошной однородный цилиндр радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, идущую под уклон и составляющую угол 30° с горизонтом. Найти максимальное значение начальной скорости цилиндра, при котором он перейдет на наклонную плоскость еще без скачка.

16