Компьютерные фильмы о занимательных и нерешенных проблемах математики. Фильм десятый. Хорошая конструкция

Àíäðååâ Í.Í., Êàëèíè÷åíêî Ì.À.

Àíäðååâ Íèêîëàé Íèêîëàåâè÷, Êàëèíè÷åíêî Ìèõàèë Àëåêñàíäðîâè÷

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÔÈËÜÌÛ Î ÇÀÍÈÌÀÒÅËÜÍÛÕ È ÍÅÐÅØÅÍÍÛÕ ÏÐÎÁËÅÌÀÕ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ÔÈËÜÌ ÄÅÑßÒÛÉ. ÕÎÐÎØÀß ÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß Êàäð 1–2. Çàãîëîâîê. ÕÎÐÎØÀß ÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß

Êàäð 3–7. Êàðë Ãóñòàâ ßêîáè æèë â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà. Äëÿ ñâîèõ åñòåñòâåííîíàó÷íûõ èññëåäîâàíèé îí ðàçðàáîòàë ñèñòåìó îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ, êîòîðûå ïîòîì ïîëó÷èëè åãî èìÿ. Ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ α è β (áîëüøèõ ÷åì –1) ìíîãî÷ëåí ßêîáè Pk(α, β) ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè k è èìååò ñòîëüêî æå íóëåé íà îòðåçêå [–1, 1]. Ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîñòè, òî åñòü ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè, ïåðåêî÷åâàëî èç ãåîìåòðèè è â äðóãèå îáëàñòè ìàòåìàòèêè. Åñëè äâà âåêòîðà ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ. Ïî àíàëîãèè, äâà ìíîãî÷ëåíà íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ. Òîëüêî â íàøåì ñëó÷àå ïîä ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ïîíèìàåòñÿ èíòåãðàë ïî îòðåçêó [–1, 1] îò ïðîèçâåäåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ìíîãî÷ëåíîâ, óìíîæåííîãî íà ñïåöèàëüíóþ ôóíêöèþ, íàçûâàåìóþ âåñîì. Ñèñòåìû îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ èãðàþò áîëüøóþ ðîëü â ñàìîé ìàòåìàòèêå è â ïðèêëàäíûõ âîïðîñàõ. Âîçíèêàþùèå â ïðîöåññå èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè, ñâîéñòâà êîòîðûõ íåîáõîäèìî èçó÷èòü, ìîæíî ñ òîé èëè èíîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïðèáëèçèòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ðàññìàòðèâàåìûõ îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ. Äàëåå ìîæíî èçó÷àòü óæå ïîâåäåíèå íå ñàìîé ôóíêöèè, à ïðèáëèæàþùåé êîíñòðóêöèè, ÷òî, çà÷àñòóþ, ñóùåñòâåííî ïðîùå è óäîáíåå.

84

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 4, 2007 ã.

Êîìïüþòåðíûå ôèëüìû î çàíèìàòåëüíûõ è íåðåøåííûõ ïðîáëåìàõ ìàòåìàòèêè. Ôèëüì äåñÿòûé. Õîðîøàÿ êîíñòðóêöèÿ Èçó÷åíèå îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ è èõ ñâîéñò⠖ ýòî áîëüøîé è èíòåðåñíûé ðàçäåë ìàòåìàòèêè, èìåþùèé è âàæíîå ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå. Êàê ýòî çà÷àñòóþ áûâàåò â íàóêå, íåêîãäà âûäóìàííàÿ õîðîøàÿ êîíñòðóêöèÿ íàõîäèò èíòåðåñíûå ïðèìåíåíèÿ â ðàçëè÷íûõ âîïðîñàõ. Òàê è ìíîãî÷ëåíû ßêîáè, à òî÷íåå èõ íóëè, îêàçàëèñü ðåøåíèåì âàæíîé çàäà÷è, âîçíèêøåé ñóùåñòâåííî ïîçäíåå, íåæåëè áûëè ââåäåíû ñàìè ðàññìàòðèâàåìûå ìíîãî÷ëåíû.

Êàäð 8–10. Ïóñòü íà êîíöàõ îòðåçêà [–1, 1] çàêðåïëåíû ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû âåëè÷èíû p è q. Âíóòðè îòðåçêà ñëó÷àéíûì îáðàçîì ïîìåñòèëè k åäèíè÷íûõ çàðÿäîâ, êîòîðûå ìîãóò ñâîáîäíî ïåðåìåùàòüñÿ ïî íåìó, íî ïîêèäàòü îòðåçîê èì çàïðåùåíî. Òàê êàê çàðÿäû îäèíàêîâîãî çíàêà, òî îíè ñòàðàþòñÿ ðàçáåæàòüñÿ êàê ìîæíî äàëüøå äðóã îò äðóãà. Êàê ðàñïîëîæàòñÿ çàðÿäû, ïûòàÿñü ìèíèìèçèðîâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû?  íàõîæäåíèè îïòèìàëüíîãî ðàñïîëîæåíèÿ, êîãäà ñèëû, äåéñòâóþùèå íà êàæäûé çàðÿä ñïðàâà è ñëåâà, ðàâíû, è ñîñòîèò çàäà÷à. Äëÿ çíàêîìñòâà ñ çàäà÷åé ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè. Êàäð 11–17. Ïóñòü íà ëåâîì êîíöå îòðåçêà çàêðåïëåí çàðÿä, ðàâíûé 3, à íà ïðàâîì – ðàâíûé 5. Ïîñòàâèì â ïðîèçâîëüíûå òî÷êè òðè åäèíè÷íûõ çàðÿäà, è ïîñìîòðèì íà ïîâåäåíèå ñèñòåìû. Êàäð 18. Êîãäà äâèæåíèå îñòàíîâèòñÿ, íàðèñóåì íà òîì æå îòðåçêå ìíîãî÷ëåí ßêîáè P3(9, 5). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çàðÿäû îñòàíîâèëèñü â íóëÿõ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà! Êàäð 19–24. Äàâàéòå ïðîýêñïåðåìåíòèðóåì åùå ðàç. Çàôèêñèðóåì íà ëåâîì êîíöå çàðÿä, ðàâíûé òðåì, à íà ïðàâîì – ðàâíûé äâóì. Ïîìåñòèì âíóòðè îòðåçêà ÷åòûðå åäèíè÷íûõ çàðÿäà è ïîíàáëþäàåì çà ñèñòåìîé.

ÌÓÇÅÉ ÇÀÍÈÌÀÒÅËÜÍÎÉ ÍÀÓÊÈ

85

Àíäðååâ Í.Í., Êàëèíè÷åíêî Ì.À. Êàäð 25. Êîãäà çàðÿäû ïåðåñòàíóò äâèãàòüñÿ, îíè îêàæóòñÿ â íóëÿõ ìíîãî÷ëåíà ßêîáè P4(3, 5).

Êàäð 26–29.  îáùåì ñëó÷àå íàáëþäàåìàÿ çàâèñèìîñòü òîæå âåðíà. Åñëè íà ëåâîì êîíöå îòðåçêà [–1, 1] íàõîäèòñÿ çàðÿä ðàâíûé q, à íà ïðàâîì – ðàâíûé p, ìåæäó íèìè íàõîäÿòñÿ k åäèíè÷íûõ çàðÿäîâ, òî ìèíèìóì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òàêîé ñèñòåìû áóäåò äîñòèãàòüñÿ, åñëè «âíóòðåííèå» çàðÿäû áóäóò ðàñïîëîæåíû â íóëÿõ ìíîãî÷ëåíà ßêîáè Pk(2p –1, 2q –1). Âîò òàê íåêîãäà ïðèäóìàííàÿ ñèñòåìà îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ ßêîáè âîçíèêëà ïðè ðåøåíèè çàäà÷è èç ñîâåðøåííî äðóãîé åñòåñòâåííîíàó÷íîé îáëàñòè. À òàêæå ïðîÿâëÿåò ñâîè ñâîéñòâà è âî ìíîãèõ äðóãèõ çàäà÷àõ, êàê è ëþáàÿ «õîðîøàÿ êîíñòðóêöèÿ».

Êàäð 30. Ëèòåðàòóðà 1. Ã. Ñåãå. Îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû. Ì.: Ôèçìàòëèò, 1962. Êàäð 31. Òèòðû Èäåÿ ôèëüìà: Íèêîëàé Àíäðååâ. Ñïàñèáî: Àëåêñàíäðó Êàçàêîâó. Ìóëüòèïëèêàöèÿ: Ìèõàèë Êàëèíè÷åíêî.

Àíäðååâ Íèêîëàé Íèêîëàåâè÷, êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, íàó÷íûé ñîòðóäíèê Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â.À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ, Êàëèíè÷åíêî Ìèõàèë Àëåêñàíäðîâè÷, õóäîæíèê ïðîåêòà.

86

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 4, 2007 ã.