Аксиоматизация математики: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе УрГПУ _____________________Т.Н. Шамало «___»_____________2008 г.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Аксиоматизация математики» для специальности «050201-Математика» по циклу ДПП.В.00 – Дисциплины предметной подготовки (курсы по выбору)

Очная форма обучения Курс –3 Семестры – 5, 6 Объем в часах: всего – 140 в т.ч. лекции – 70 самостоятельная работа – 70 Зачеты – 5, 6 семестры

Екатеринбург 2008

Рабочая учебная программа по дисциплине «Аксиоматизация математики» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2008. – 8 с. Составитель: Ананьев Борис Иванович, доцент кафедры математического анализа УрГПУ, доктор физ.-мат. наук

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа УрГПУ Протокол от «___» ________ 2007 г. №___. Зав. кафедрой __________В.Ю. Бодряков

Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ выдан сертификат № _______ от «___» __________ 2008 г. Начальник отдела ____________ Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Специальный курс «Аксиоматизация математики» предназначен студентам 3-го курса. Данный курс направлен на выработку у студентов основ абстрактного мышления и углублѐнное изложение фундаментальных вопросов математики, в том числе теории множеств, функционального анализа, аксиом теории вероятностей. Изучаемые дисциплины лежат в основе большинства математических теорий, а также используются в прикладных исследованиях. Курс включает в себя основы теории множеств, а именно, операции над множествами, отношения и функции, бинарные отношения, кардинальные и ординальные числа, действия над кардинальными числами. Рассматриваются понятия линейного пространства над полем вещественных и комплексных чисел, линейные операторы, теорема Хана-Банаха, основные принципы функционального анализа, аксиомы А.Н. Колмогорова, лежащие в основе теории вероятностей. Разделы предлагаемой программы обогащают общую математическую культуру учащихся, дают общее представление о том, как развивается современная математика. Кроме того, студенты знакомятся с историей математики, с именами учѐных, заложивших основы современной математики. Изложение ведѐтся последовательно и параллельно с решением многочисленных задач, помогающих усвоить основное содержание курса. Целями и задачами данного спецкурса являются повторение и углубление знаний по разделам оснований математики и некоторым смежным разделам, расширение кругозора студентов-математиков, а также ознакомление с методами научных исследований в области математики, создание условий для развития самостоятельности, формирования приемов исследовательской деятельности. Изучение вышеуказанных вопросов способствует профессиональному развитию будущего учителя математики и предоставляет богатый материал для написания курсовых и выпускных квалификационных работ.

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1 Учебно-тематический план очной формы обучения

№ п/п

1.

2.

Аудиторные часы Ла- СамоВсего стояПрак- ботрудо- Все Лек тиче- ра- тельная емкость го ции ские тор работа ные

Наименование темы, раздела

Основы теории множеств 1.1. Операции над множествами 1.2. Отношения и функции 1.3. Специальные бинарные отношения 1.4. Кардинальные числа 1.5. Ординальные числа 1.6. Действия над кардинальными числами Основы функционального анализа 2.1.Топологические пространства 2.2. Метрические пространства 2.3. Топологические векторные пространства 2.4. Линейные операторы в топологических векторных пространствах 3

8 4 9 4 4 4

4 2 5 4 4 2

4 2 5 4 4 2

4 2 5

8 10 4

6 6 2

6 6 2

6 6 2

9

3

3

3

2

2.5. Нормированные векторные пространства и действующие в них линейные операторы 2.6. Гильбертовы пространства. Уравнения со вполне непрерывными операторами 3. Функциональный анализ. Заключительный обзор 4. Математические основы теории вероятностей 4.1. Испытания и элементарные события 4.2. Вероятности и вероятностные пространства 4.3. Продолжение вероятности 4.4. Булевы полуалгебры, компактные классы Итого:

7

5

5

5

11

7

7

7

4

2

2

2

4 8 6 4 140

4 6 4 4 70

4 6 4 4 70

4 6 4 4 70

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 3.1. Перечень тем лекционных занятий 1. Основы теории множеств 1.1. Операции над множествами. Объединение, пересечение, дополнение, разность и симметрическая разность. Соотношения между операциями. Декартово произведение множеств. 1.2. Отношения и функции. Область определения и область значения бинарного отношения. Произведение отношений. Инъекции, биекции и сюръекции. Характеристическая функция множества. 1.3. Специальные бинарные отношения. Симметричные и антисимметричные отношения. Отношения эквивалентности и частичного порядка. Точные верхние и нижние грани. Изоморфизм частично упорядоченных множеств. Решѐтки. Дистрибутивные решѐтки и булевы алгебры. Фильтры и ультрафильтры. 1.4. Кардинальные числа. Эквивалентные множества. Счѐтные и континуальные множества. Теорема Кантора-Бернштейна. Счѐтность рациональных и алгебраических чисел. Существование множеств, мощность которых превышает континуум. 1.5 Ординальные числа. Подобие линейно упорядоченных множеств. Порядковые типы и их мощности. Суммы и произведения порядковых типов. Вполне упорядоченные множества и их ординальные числа. Предельные числа. Возведение в степень. Принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора и лемма Цорна. 1.6. Действия над кардинальными числами. Сумма и произведение кардинальных чисел. Степень кардинальных чисел. 2. Основы функционального анализа 2.1. Топологические пространства. Топологии, базы и предбазы. Аксиомы топологических пространств. Открытые и замкнутые множества. Произведение пространств и компактность. Теорема Тихонова. Гомеоморфизмы. 2.2. Метрические пространства. Полнота и пополнение пространств. Принцип сжатых отображений. Компактность в метрических пространствах. Теорема Бэра. 2.3. Топологические векторные пространства. Вещественные и комплексные пространства. Локально-выпуклые пространства. Прямые суммы.

4

2.4. Линейные операторы в топологических векторных пространствах. Операторы и функционалы. Сопряжѐнные операторы. Сопряжѐнные пространства и рефлексивность. Сепарабельность. 2.5. Нормированные векторные пространства и действующие в них линейные операторы. Банаховы пространства. Теорема Рисса и размерность. Базисы Шаудера. Равномерно выпуклые пространства. Ограниченность и непрерывность линейных операторов. Теорема Банаха-Штейнгауза. 2.6. Гильбертовы пространства. Уравнения со вполне непрерывными операторами. Ортогональность и теорема о проекции. Ортонормальные базисы. Ряды Фурье. Спектр оператора. Неограниченные линейные операторы. Сопряжѐнные, симметричные и самосопряжѐнные операторы. 3. Функциональный анализ. Заключительный обзор. Прикладные аспекты функционального анализа. 4. Математические основы теории вероятностей 4.1. Испытания и элементарные события. Булевы алгебры, атомы и разбиения. Стоуновское представление. 4.2. Вероятности и вероятностные пространства. Метрическая булева алгебра. Монотонные классы. Сигма-алгебры. Внешние и внутренние вероятности. 4.3. Продолжение вероятности. Теорема о продолжении вероятности с булевой алгебры на порождѐнную ею сигма-алгебру. 4.4. Булевы полуалгебры, компактные классы. Функции распределения.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНООЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ На самостоятельную работу выносятся вопросы, связанные с повторением ранее изученного материала, а также доказательства ряда утверждений, сформулированных на лекциях. 4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение 1. История возникновения теории множеств и функционального анализа. 2. Аксиомы векторного пространства. Скалярное произведение. Операции с множествами: объединение, пересечение, дополнение. Окрестность множеств. Предельная точка множества. Открытые и замкнутые множества. Супремум и инфимум множества. 3. Доказательство теоремы об открытом графике. 4. Ортогонализация линейно независимого множества векторов. 5. Положительные операторы и квадратные корни из них. 6. Конечные разбиения и булевы алгебры. 7. Классическое определение вероятности. 4.2. Примерные вопросы для курсового зачета 1. 2. 3.

Отношение эквивалентности. Фактор-множество по такому отношению. Ультрафильтры. Изоморфизм булевых алгебр и алгебр подмножеств. Счѐтные и континуальные множества. Примеры. 5

Теорема Кантора-Бернштейна. Счѐтность рациональных и алгебраических чисел. Доказательство существования мощности, превосходящей данную мощность. Порядковые типы. Порядковые или ординальные числа. Принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора и лемма Цорна. Теорема Цермело. Действия над кардинальными числами. Аксиомы топологического пространства и их эквивалентность. Теорема Тихонова о произведении компактных пространств. Принцип сжатых отображений в метрических пространствах. Теорема об открытом отображении и замкнутом графике. Критерии компактности в конкретных банаховых пространствах. Теорема Банаха-Штейнгауза. Альтернатива Фредгольма. Теорема о проекции в гильбертовом пространстве. Теорема о продолжении вероятности с полуалгебры на алгебру множеств. 21. Теорема о пополнении вероятностного пространства. 22. Теорема о продолжении вероятности с алгебры на сигма-алгебру. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

4.3.Примерные темы курсовых работ 1. 2. 3. 4.

Построение теории вероятностей с применением булевых алгебр. Структура множеств. Канторовы совершенные множества. Несчетность иррациональных чисел. Построение взаимно однозначных соответствий. Теорема Кантора-Бернштейна.

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Студент, изучивший дисциплину, должен знать:  основные понятия из теории множеств, топологии и функционального анализа;  методы доказательства способом трансфинитной индукции;  основные принципы функционального анализа: теорему Хана-Банаха и теорему об открытом отображении;  основные факты из теории линейных операторов: ограниченность, спектр оператора, альтернативу Фредгольма;  критерии компактности в нормированных пространствах;  теоремы о продолжении вероятности и о пополнении вероятностного пространства.

    

Студент, изучивший дисциплину, должен уметь: устанавливать эквивалентность и подобие множеств; доказывать утверждения способом трансфинитной индукции; находить спектр линейного оператора и решать интегральные уравнения 2-го рода; устанавливать компактность множеств в нормированных пространствах; строить вероятностные пространства в простейших задачах и исследовать их свойства.

6

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ 6.1. Рекомендуемая литература Основная 1. Александров, П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию [Текст] / П.С. Александров. – М.: Наука, 1977 – 367 с. 2. Лавров, И. А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [Текст] / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – 5-е издание – М.: Физматлит, 2004 – 256 с. 3. Вулих, Б. З. Введение в функциональный анализ [Текст] / Б.З. Вулих. – изд. 2-е перереб. и доп. – М.: Наука, 1967. – 415 с. Дополнительная 1. Келли, Дж. Л. Общая топология [Текст] / Дж. Келли. – М.: Наука, 1981. – 431 с. 2. Колмогоров, А. Н. Введение в теорию вероятностей [Текст] / А.Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прохоров. – Ижевск: Изд-во ИКИ, 2003. – 160 с. 3. Кириллов, А. А. Теоремы и задачи функционального анализа [Текст]: учеб. пособие для физ.-мат. спец. вузов / А.А. Кириллов, А.Д. Гвишиани. – М.: Наука, 1979. – 389 с. 4. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: «Наука», главная редакция физикоматематической литературы, 1968. – 496 с. 6.2 Информационное обеспечение дисциплины

Локальная электронная сеть математического факультета УрГПУ: Информационная обучающая среда. 8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ: Ананьев Борис Иванович д.ф.-м.н доцент кафедры математического анализа УрГПУ рабочий телефон 371-12-61

7

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Аксиоматизация математики» для специальности «050201-Математика» по циклу ДПП.В.00 – Дисциплины предметной подготовки (курсы по выбору)

Подписано в печать ________________ . Формат 60 х 84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. _______ Уч.-изд. л. _______ Тираж _______ экз. Заказ ____________ Издательство Уральского государственного педагогического университета. Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26.

8