Алгебра событий. Методические указания по высшей математике для студентов заочного отделения биолого-почвенного факультета

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.В. Рунов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по высшей математике часть 8 для студентов заочного отделения биолого-почвенного факультета по теме:

«Алгебра событий»

г. Ростов–на–Дону 2001 г.

Печатается по решению кафедры теории функций и функционального анализа РГУ Протокол №

2

от 17 сентября 2001 г.

Ответственный за выпуск – профессор В.П. Кондаков.

Введение В процессе работы со студентами заочного отделения биологопочвенного факультета выяснилось, что при решении задач по теории вероятностей студенты испытывают прежде всего трудности, связанные с понятием события и исчислением событий. В распространенной литературе алгебра событий излагается либо формально и кратко, либо вообще не выделяется. Поэтому, на наш взгляд, возникла необходимость изложить эту тему студентам более подробно, приведя достаточное количество примеров и задач с ответами, что очень важно при самостоятельной работе заочников. Предполагается, что студенты при самостоятельном выполнении задания будут

давать

подробнейшее

изложение

решений

задач,

приводя

соответствующие определения и необходимый теоретический материал. Задачи войдут в контрольную работу во втором (летнем) семестре. Часть задач будет представлена к решению на летнем экзамене по Высшей математике. Поэтому рекомендуется при самостоятельной подготовке перерешать все

представленные

ниже

задачи

и

выяснить

у

преподавателя

на

консультациях или во время летней сессии ответы, на все возникшие при этом вопросы.

То, что при наличии некоторого комплекса условий

S может

произойти или не произойти, называется случайным событием. Случайное

событие

является

возможным

результатом

рассматриваемого опыта или наблюдения. То, что при выполнении комплекса условий S никогда не произойдет, называется невозможным событием. То, что при выполнении комплекса условий S происходит всегда, называется достоверным событием. Предполагается, что каждый «неразложимый» исход идеализируемого опыта представляется одним и только одним элементарным событием. Множество

всех

элементарных

событий

называется

элементарных событий, а сами элементарные события

пространством – точками этого

пространства. Любое событие, связанное с данным идеализированным опытом, может быть описано с помощью множества элементарных событий. Пример: Распределение трех шаров по трем ящикам может быть осуществлено способами, которые описаны в нижеследующей таблице: №

Ящ. 1

Ящ. 2

Ящ. 3

№

Ящ. 1

Ящ. 2

Ящ. 3

№

Ящ. 1

Ящ. 2

Ящ. 3

1

a,b,c

–

–

10

a

b,c

–

19

–

a

b,c

2

–

a,b,c

–

11

b

a,c

–

20

–

b

a,c

3

–

–

a,b,c

12

c

a,b

–

21

–

c

a,b

4

a, b

c

–

13

a

–

b,c

22

a

b

c

5

a, c

b

–

14

b

–

a,c

23

a

c

b

6

b, c

a

–

15

c

–

a,b

24

b

a

c

7

a, b

–

c

16

–

a,b

c

25

b

c

a

8

a,c

–

b

17

–

a,c

b

26

c

a

b

9

b,c

–

a

18

–

b,c

a

27

c

b

a

Рис.1. Каждое из этих размещений является элементарным событием, так как представляет неразложимый результат опыта. Любое событие, связанное с данным экспериментом, описывается с помощью этих элементарных событий. Событие А, состоящее в том, что «второй ящик не пуст», является множеством элементарных событий 2, 4–6, 10–12, 16–27. Событие В: «существует ящик, содержащий не менее двух шаров», есть множество элементарных событий 1–21. Событие

С:

«нет

пустых

ящиков»,

совпадает

с

множеством

элементарных событий 22–27. Событие D: «Все ящики пустые»-невозможно. Событие К: «произошло событие А или событие В» является множеством, содержащим все элементарные события 1–27. К – достоверное событие.

Можно рассматривать

общий случай распределения r шаров по n

ящикам. Для 3 шаров и четырех ящиков пространство элементарных событий состоит из 34 = 81 элемента. Почему? При

n = r = 10 пространство элементарных событий состоит из 1010

(событий) точек.

Почему? Рассматриваемый опыт допускает большое число практически важных интерпретаций. Опишем несколько схем из биологии и других наук эквивалентных абстрактной схеме размещения r шаров по n ящикам. 1). Когда сетчатка глаза подвергается воздействию света, кванты света выступают в роли шаров, а ячейки сетчатки глаза соответствуют ящикам. 2). Аналогично при изучении генетического влияния радиоактивного α излучения хромосомы играют роль ящиков, а α – частицам соответствует роль шаров. 3). Каждый потомок человека (растения или животного) наследует определенные гены. Если некоторый ген может находиться в одной из n форм А1, …, Аn, то живые организмы можно классифицировать по генотипам. В этом случае потомки особи можно интерпретировать как шары, а генотипы А1, …, Аn – как ящики. 4).

Пусть

молекулярные

цепочки

некоторого

полимера

взаимодействуют с кислородом. Каждая цепочка может прореагировать с 0, 1, 2, … молекулами кислорода. Реагирующие молекулы кислорода играют роль шаров, а цепочки полимера – роль ящиков, в которых размещаются шары. Строго говоря, понятие элементарного события и пространства элементарных

событий

является

аксиоматическим

неопределенным) понятием теории вероятностей.

(первоначальным,

Событие – это некоторое множество элементарных событий (точек). Термины

«событие», «элементарное событие» эквивалентны понятиям

множества (точечного множества) и элемента множества (точки). Строго говоря, в науке мы имеем дело не с реальным экспериментом, а с математической формализацией модели случайного эксперимента, которая включает в себя: 1) построение пространства элементарных событий; 2) описание поля событий для данного эксперимента; 3) задание вероятностного распределения на поле событий. Так как понятие пространства элементарных событий определено неоднозначно, то задача построения поля элементарных событий допускает не единственное решение. Поле событий как правило бывает борелевским, т.е. замкнутым относительно счетного числа теоретико–множественных операций.

Алгебра событий Так как событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполняемые над множествами. В частности, определены следующие операции и отношения между событиями. Будем писать А = О для выражения того, что событие А невозможно, т.е. того, что событие А

не содержит элементарных событий.

Событие, состоящее в том, что событие

А

не произошло, будем

обозначать через A . Это событие состоит из всех элементарных событий, не содержащихся в событии А. Суммой событий А и В называют такое событие С, которое состоится при появлении или события А, или события В, или обоих событий вместе. Событие С состоит из объединением элементарных событий, входящих в А и в В. Поэтому сумму событий А и В обозначают А∪В (или А+В). Событие, которое произойдет, если событие А произойдет, а событие В не произойдет, называется разностью событий

А и В и обозначается

символом А – В. Разность событий А и В состоит из всех элементарных множеств, которые входят в А и не входят в В. Произведением событий А и В называют событие, которое происходит при одновременном наступлении событий А и В. Такое событие состоит из пересечения элементарных событий, входящих

в

А и В. Произведение

событий А и В обозначают АВ (или А ∩ В). Событие A В означает, что произошло событие

В и не произошло

событие А. Событие A B означает, что ни А, ни В не произошло. Если событие А не может произойти, если не произошло событие В, т.е. событие А влечет за собой событие В, то пишут А ⊃ В. В этом случае каждая точка события А содержится в событии В. С другой стороны, говорят, что события А и пишут В ⊃ А.

событие В является следствием

Если А ⊃ В и В ⊃ А, то события А и В называют равносильными и пишут А = В. События А и В называют несовместимыми, если АВ = О. События А и В называются противоположными, если A =В. Очевидно в этом случае АВ = О. A = А – очевидное равенство. Если I – пространство элементарных событий, то I – А = A , I – достоверное событие. Равенство АВ = О означает то же самое, что и А ⊃ В и В ⊃ А. Событие А – АВ означает, что произошло событие А, не произошли одновременно события А и В. Поэтому А – АВ = А B .

Пример. Страховая

компания

интересуется

распределением

возрастов

супружеских пар. Пусть x – возраст мужа, y – возраст жены. Браки можно заключать только после достижения

20 – летнего возраста. Тогда за

пространство элементарных событий примем большую часть первого квадранта, ограниченного прямыми x= 20, y = 20.

y Возраст

Пространство элементарных событий

жены

АB В

y = 40 y = 20

x = 20

x = 40

x Возраст мужа Рис 2.

Событие А «Мужу больше 40 лет» представлено точками, лежащими справа от прямой x = 40 (y ≥20 ); Событие В «Муж старше жены» определяет множество всех точек, для которых x > y, y ≥20; Событие С

«Жене больше 40 лет» характеризуются частью

пространства элементарных событий, расположенного над прямой y = 40 (см. рис.2).

Событие АВ означает, что мужу больше 40 лет и он старше своей жены. Событие

AB означает, что мужу больше 40 лет, а жена не моложе

своего супруга. Событие АС означает, что обоим супругам больше 40 лет. Событие А ∪ С означает, что по крайней мере обному из супругов более 40 лет. Событие А ∪ В означает, что либо мужу больше 40 лет, либо он по крайней мере старше своей жены. Соотношение ВС ⊂ А означает, что если муж старше жены и жене более 40 лет, то и мужу более 40 лет. Событие А – ВС означает, что муж старше 40 лет, а жена либо моложе 40, либо старше мужа. Так как событие А – АВ означает, что произошло событие А, но не произошли одновременно события А и В. Следовательно, событие В не произошло. Поэтому А – АВ = А B - муж старше 40 лет, а жена старше мужа.

Задание для самостоятельного решения I.

Проверить справедливость следующих соотношений:

1) A ∪ B = A • B (Событие A ∪ B означает, что не произошло событие А ∪ В и не совпадает с событием A ∪ B – произошло или событие A или событие B . 2) A ∪ B = AB (Событие AB означает, что не произошло событие АВ и не совпадает с событием A B . Почему?

3) А ∪ В – В = А – АВ = А B . 4) АА = А ∪ А = А. 5) А ∪ В – АВ = А B ∪ A В. 6) (А ∪ В) С = АС ∪ ВС. 7) A ∪ B ∪ C = A B C . 8) ( A ∪ B )С = A B C = С – С (А ∪ В). 9) А B С ⊂ А ∪ В. 10)

(А – АВ) ∪ В = А ∪ В.

11)

АВ ∪ ВС ∪ СА ⊃ АВС.

12)

АВ ∪ ВС ∪ СА ⊂ С (А ∪ В ∪ С).

13)

A

14)

А ∪ АВ = А.

15)

А∪ В = (А – В) + (В – А) + АВ.

16)

А∪ В – В = А – В.

17)

(А – В) ∪ В = А∪ В.

18)

(А∪ В) С = АС ∪ ВС.

19)

(А∪ С)(В ∪ С) = АВ ∪ С.

20)

АС – В = АС – ВС.

21)

(А – В) ∪ (А – С) = А – ВС.

22)

( A ∪ ВС)( B ∪ АС)( C ∪ АВ) = АВС ∪ A B C .

23)

(А∪ В) ( A ∪ В)( А∪ B ) = АВ.

24)

(А∪ В) (А∪ B ) = А.

II.

∪ B = АВ.

Какие из следующих соотношений справедливы?

1) ABC ⊂ АВ ∪ ВС ∪ СА.

( нет ).

2) A ∪ B = A ∪ B .

( нет ).

3) A ∪ B ∪ C = A B C .

( да ).

4) A ∪ B ∪ C = A BC .

( нет ).

5) (А∪ В) – С = А ∪ ( В –С ).

( нет ).

6) АВС = АВ ( С ∪ В).

( нет ).

7) (А∪ В) – А = В.

( нет ).

8) ( A ∪ B ) С = A С ∪ B С.

( нет ).

9) A ВС ∪ А BС ∪ АВ C = (АВ ∪ АС ∪ ВС) - АВС.

(да).

III. Пусть А, В, С – три произвольные события. Найти выражения для событий, состоящих в том, из А, В, С : 1) произошло только А.

( А B C ).

2) произошли А и В, но С не произошло.

( АВ C ).

3) произошли все три события.

( АВС ).

4) произошло по крайней мере одно из этих событий.

(АВ ∪ АС ∪ ВС).

5) произошло по крайней мере два события. 6) произошло одно и только одно событие.

(А∪В∪С).

(А B C ∪ A В C ∪ A B С).

7) произошло одно и только одно событие. ( A ВС ∪ А B С ∪ АВ C ). = (АВ ∪ АС ∪ ВС) – АВС. 8) ни одно событие не произошло.

( A B C ).

9) произошло не более двух событий.

( ABC ).

IV. Объединение А∪ В двух событий может быть выражено как объединение двух несовместных событий: А∪ В = А ∪ (В–АВ). Выразить аналогичным образом объединение трех событий А, В, С.

Ответ: А∪ В∪ С = А∪ (В–АВ) ∪ (С – С (А∪ В)) = А∪ В A ∪ С A B )

V. Взятый наудачу шар может оказаться либо красным (событие А), либо белым (событие В), либо черным (событие С). Что представляют собой следующие события: 1) А ∪ В;

2) A ∪ C ;

3) АС;

4) АВ + С ?

Ответы: 1) (А∪ В) – взят либо белый, либо красный шар. 2) A ∪ C

– взят белый шар.

3) АС

– невозможное событие.

4) АВ + С – взят черный шар. VI. Упростить следующие выражения: 1) (А∪ В)( (А∪ B );

2) (А∪ В)(В∪ С) (С∪ А); 3) А∪ (В–АВ)∪ (С – АС); 4) (А∪ В)В∪ А (АВ). Ответы: 1) А; 2) АВ ∪ ВС ∪ СА

;

3) А ∪ В ∪ С; 4) В. VII. В урне 5 красных,

2 синих и 3 белых шара.

Все они

пронумерованы цифрами 1, 2, 3, …, 10. Из урны берется наудачу 1 шар.

Событие – шар с четным номером – обозначим через А, с номеров, кратным 3,– через В, шар красного цвета – через С, синего – через D, и, наконец, белого – через Е. Что представляют собой следующие события: А + В, С + Е, AD, A − B , В E , AD – Е ? VIII. Электронная схема содержит три транзистора, 4 конденсатора и 5 резисторов. События: Тk – выход из строя k-го транзистора (k = 1,2,3), Ci – выход из строя i–го конденсатора (i= 1,2,3,4), Rj – выход из строя j–го резистора (j= 1,2,3,4,5). Электронная схема считается исправной, если одновременно исправны все транзисторы, не менее двух конденсаторов и хотя бы один резистор. Записать в алгебре событий событие А – схема не исправна. Ответ: А = Т1 + Т2 + Т3 + С1С2С3С4 + C 1 С2С3С4 +С1 C 2 С3С4 +С1С2 C 3 С4 + + С1С2С3 C 4 + R1R2R3R4R5. IX. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – упорядоченная пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. Построить пространство элементарных событий описанного опыта. Описать события А, В, С, D, где событие А – оба раза выпало число очков, кратное трем; событие В – ни разу не выпало число шесть; С – оба раза

выпало число очков, больше трех; D – оба раз выпало одинаковое число очков, с помощью элементарных событий. X. Возможно ли «приведение подобных членов в алгебре событий»? Указание: разобрать пример: А ∪ В – В = А – АВ + А B = А – В. XI. Пусть А, В и С – события, наблюдаемые в эксперименте, причем А и В несовместимы. Показать, что события АС и ВС также не совместимы. XII. Показать, что если А ⊂ В, то 1) B ⊂ A , 2) АВ = А, 3) А ∪ В = В, 4) А – В = О. Из любого из соотношений 1) – 4) следует А ⊂ В. Доказать. XIII.

Пусть для некоторого эксперимента множество элементарных

событий состоит из n элементов. Сколько событий может произойти в этом эксперименте? XIV. Рассмотрим следующий случайный эксперимент: матч на первенство страны по футболу между командами «Ростсельмаш» и «Алания». Интересующие нас события: А – выиграла команда «Ростсельмаш», В – игра закончилась победой одной из команд, С – игра закончилась со счетом 3:1 в пользу «Ростсельмаша», D – в игре забито не менее трех голов. Опишите

множество

элементарных

событий

подмножеств, соответствующих указанным событиям. Если интересующие нас события иного плана: А1 – травмированных игроков за весь матч не было;

и

укажите

состав

В1 – у «Ростсельмаша» травмированных на один игрок больше, чем в команде противника; С1 – в каждой команде по 2 травмированных игрока; D1 – победившая команда имеет больше травмированных игроков, чем проигравшая, то каким будет теперь пространство элементарных событий? Опишите события А1, В1, С1, D1. Система множеств {Е1, Е2, …, Еi} называется разбиением множества Е, если выполняются следующие условия:

E

j

≠ О , j = 1, i ,

En Em = O , n≠ m, i

UE j =1

j

=E.

Если разбиению подвергается все множество элементарных событий некоторого эксперимента, то говорят, что система подмножеств событий, осуществляющих разбиение, образует полную группу несовместных событий. XV. Показать, что совокупность Ω всех элементарных событий любого эксперимента в случае, когда Ω конечное множество, образует разбиение множества Ω. XVI. Пространство элементарных событий некоторого эксперимента состоит из 4-х исходов. Сколько различных разбиений можно составить для данного множества? Ответ:

16.

XVII. Пусть Ω = N – множество натуральных чисел. Показать, что система { S1, S2, S3 }, где S1 = { x ⎪ x = 3n , n ∈ N }, S2 = { x ⎪ x =3n –1, n∈ N }, S3 = { x ⎪ x = 3n – 2 , n ∈ N } образует разбиение множества Ω. XVIII. 1) Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат – появление герба (Г) или цифры (Ц) на верхней стороне монеты. Построить множество

элементарных

исходов

(событий)

и

подмножество,

соответствующее следующим условиям: А – герб выпал ровно один раз; В – ни разу не выпала цифра; С – выпало больше гербов, чем цифр; D – герб выпал не менее чем два раза подряд. Ответы: Пространство элементарных событий состоит из элементов: {(Г,Г,Г), (Ц,Г,Г), (Г,Ц,Г), (Г,Г,Ц), (Г,Ц,Ц), (Ц,Г,Ц), (Ц,Ц,Г), (Ц,Ц,Ц)}. А = {((Г,Ц,Ц), (Ц,Г,Ц), (Ц,Ц,Г)}; B = { (Г,Г,Г)}; C = { (Г,Г,Г), (Ц,Г,Г), (Г,Ц,Г), (Г,Г,Ц)}; D = { (Г,Г,Г), (Г,Г,Ц), (Ц,Г,Г) 2) Та же задача при условии, что монета подбрасывается четыре раза. 3)

Монета подбрасывается тысячу раз. Из скольких элементов

состоит множества элементарных событий, множества А, В, С, D. XIX.

Монета

Наблюдаемый

результат

подбрасывается –

общее

до

число

первого

появления

подбрасываний.

герба.

Построить

множество элементарных событий и подмножества, соответствующие следующим событиям: - А – герб выпал при третьем подбрасывании; - В – герб выпал не ранее, чем при третьем подбрасывании. Ответы: { n: n∈ N}, A = { 3 }, B = { n: n ≥ 3, n∈ N}.

XX. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: – 2 ≤ x ≤ 2; –1 ≤ y ≤ 1. Наблюдаемый результат – координаты точки попадания в декартовой системе координат. Непопадание в указанный прямоугольник исключено. События:

А – абсцисса точки попадания не

меньше ординаты, В – произведение координат точки неположительно, С – сумма абсолютных величин координат точки превышает единицу. Построить

множество

элементарных

событий

и

подмножества,

соответствующие указанным событиям. Выявить пары совместных событий. Ответы: Пространство элементарный событий состоит из точек множества { (x, y) ⎮ x ∈ [ -2, 2 ], y∈ [ -1, 1] }. Множества точек, соответствующие событиям А, В, С изображены на рис. 3, 4, 5.

1

-2

y

1 2

-1 1

y

-2

2

x

x

-1

-1

рис 3. событие А.

рис 4. событие В.

1

y

-2

2 -1

1

-1

рис 5. событие С.

x

Пары совместных событий: А и В, В и С, А и С. XXI. На отрезке [a,b] наудачу ставится точка (a>0). Пусть х – координата этой точки. На отрезке [a,x] выбирается точка y. Наблюдаемый результат – упорядоченная пара чисел (x,y). События: А – вторая координата ближе к b чем к а; В – расстояние между координатами меньше

b−a ; С – абсцисса ближе к а, чем к b; D – абсцисса ближе к 2

ординате, чем к b. Построить множество элементарных событий и подмножества, соответствующие указанным событиям. Выявить пары несовместных событий. Ответы. Смотри рис. 6-10.

y b

а а

b

x

рис 6. Множество элементарных событий.

y b

b–y < y – a b+a< 2y

b+a 2

b+a
а x

b+a 2

рис 7. Событие A.

y b y=x

а

x− y <

b−a 2

x< y+

b−a 2

При y = a а

b−a b+a 2 2

b

x

рис 8. Событие В. y b

x–a
x< а x

b+a 2

а

b рис 9. Событие С.

b+a 2

x=a+

b−a b+a = 2 2

y

y = 2x-b

x-y
b

2x – b < y y=x

При y = a x =

a+b . 2

а а

b+a 2

b

x

рис 10. Событие D.

Несовместные события А и С. XXII. Маша и Настя договорились о встрече в определенном месте между 10 и 11 часами. Каждая приходит в случайный момент указанного интервала времени и ждет появления другой до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат – упорядоченная пара чисел (х,у), где х – время прихода Насти, у – время прихода Маши. Время исчисляется в минутах, начиная с 10 часов. События А – Настя пришла после 10ч. 45мин., В – Настя пришла раньше Маши, С – Маша пришла до 10ч. 45мин., D – встреча состоялась, Е – встреча не состоялась, F – Настя ждала Машу и не дождалась, Н – встреча состоялась после 10ч. 30мин., I – первый пришел до 10ч. 30мин., J – Маша опоздала на встречу, К – встреча состоялась, когда до истечения часа осталось меньше пяти минут, G – Маше не пришлось ждать Настю. Построить

множество

элементарных

событий

и

подмножества,

соответствующие указанным событиям. Ответы: Множество элементарных событий – это квадрат {(x,y) x∈[0,60], y∈[0,60]}. Множества, соответствующие указанным событиям, изображены на рис. 11 – 21.

y

y

60

60

х

х 0

45

0

60

60

рис. 12. Событие В.

рис. 11. Событие А.

y

y 60

60 45

15 х 0

х 0

60

рис. 13. Событие С.

60

15

рис. 14. Событие D.

y

y

60

60

15

15 х 0

15

60

рис. 15. Событие E.

х 0

15

60

рис. 16. Событие F =Е

y

y

60

60

30

30 15

х

х 15

0

30

0

60

30

60

рис. 18. Событие I.

рис. 17. Событие Н.

y

y

60 55

60

15

х

х 0

45

0

60

55 60

рис. 20. Событие K.

рис. 19. Событие J.

y 60

15 х 0

45

60

рис. 21. Событие G.

XXIII. Найти событие Х из равенства

X + A+ X + A = B Ответ. X + A + X + A = B , но X + A+ X + A = X + AI X + A = (X + A) I(X + A) = X .

Следовательно X = B . Литература 1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1967г. 2. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск.: Высшая школа, 1976 г. 3. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Наука, 1965 г. 4. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Серия СМБ. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. – М.: Наука, 1967 г. 5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1997 г. 6. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов. Руководство для решения задач. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 1999 г. 7. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998 г. 8. Вуколов Э.А., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Специальные курсы. – М.: Наука, 1984 г.