Математический анализ II. Учебное пособие

Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет)

Математический анализ II

Санкт-Петербург 2002

Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) Кафедра высшей математики

Математический анализ II Учебное пособие

Под общей редакцией Л.С. Ратафьевой

Санкт-Петербург 2002

© Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики Коллектив авторов: И.А. Лапин, Л.С. Ратафьева Математический анализ II /Под общей редакцией Л.С. Ратафьевой/ Учебное пособие. СПб: СпбГИТМО (ТУ). 2002. …с. Предлагаемое учебное пособие представляет собой базовый конспект лекций по высшей математике для студентов 1 курса (II семестр) дневного и вечернего отделения общеинженерных специальностей. В нём рассмотрены следующие темы: 1. Определённые интегралы. 2. Несобственные интегралы. 3. Двойные и тройные интегралы. 4. Криволинейные интегралы. 5. Поверхностные интегралы. 6. Элементы теории поля. Содержание пособия соответствует федеральным образовательным стандартам и программе дисциплины "математика" для направления 550000 - Технические науки. 2000 г. Основное назначение пособия - помочь студентам в самостоятельном изучении данных разделов курса в условиях сокращённого количества аудиторных занятий. Является вторым изданием учебных пособий Анализ I и Математические основы теории физических полей, изданных в ЛИТМО в 1991 г. и в 1989 г. соответственно. Содержание учебного пособия разбито на главы, параграфы и пункты. Нумерация формул, теорем, примеров и рисунков сделаны по параграфам. Список использованной литературы приводится в конце пособия без дополнительных ссылок.

Одобрено на заседании кафедры высшей математики ИТМО (ТУ) (протокол №3 от 8.02.2000 г.) 3

ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. Определённый интеграл ........................................... §1. Определённый интеграл. Его свойства ............................................ 5 §2. Вычисление определённого интеграла ............................................ 10 §3. Приложения определённого интеграла............................................ 15 §4. Общая схема применения определённого интеграла ..................... 22

Глава II. Несобственные интегралы...................................... §1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку ...... §2. Несобственные интегралы от неограниченных функций .............. §3. Интегралы, зависящие от параметра ................................................ §4. Гамма - функция ................................................................................. §5. Бета - функция ....................................................................................

Глава III. Двойной и тройной интегралы............................. §1. Двойной интеграл............................................................................... §2. Тройной интеграл ............................................................................... §3. Применения двойных и тройных интегралов.................................. §4. Криволинейные координаты и замена переменных в кратных интегралах ................................................................................................

Глава IV. Криволинейные интегралы .................................. §1. Криволинейные интегралы I рода .................................................... §2. Криволинейные интегралы II рода ................................................... §3. Формула Грина ................................................................................... §4. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования.........................................................................................

Глава V. Поверхностные интегралы ...................................... §1. Поверхностные интегралы I рода ..................................................... §2. Поверхностные интегралы II рода.................................................... §3. Формула Остроградского .................................................................. §4. Формула Стокса..................................................................................

Глава VI. Элементы теории поля ........................................... §1. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению ........... §2. Векторное поле ................................................................................... 3

§3. Теорема Остроградского (векторная форма). Дивергенция векторного поля и её механический смысл ........................................... §4. Скалярное векторное поле и его свойства. Уравнение неразрывности . Оператор Лапласа ........................................................ §5. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру. Вихрь векторного поля. Векторная форма теоремы Стокса ........................... §6. Потенциальное векторное поле ........................................................

Приложение 1. Интеграл Лебега ............................................ Приложение 2. Интеграл Стилитьеса ...................................

4

ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ §1. Определённый интеграл. Его свойства 1. Определение определённого интеграла y

B

A

D 0 a

x k ξk x k +1

C b x

Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) , определённую на промежутке [a ;b ] (a < b ) , рис 1.

Рис 1 Выполним 5 операций. 1. Разобьём промежуток [a ;b ] точками x 0 = a , x 1 , x 2 ,..., x k , x k +1 ,..., x n = b произвольным образом на n частей. Обозначим Δx k = x k +1 − x k , а наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через λ , т.е. λ = sup{Δx k }; λ будем называть рангом дробления. 2. На каждом частичном участке [x k , x k +1 ] возьмём произвольную точку ξk и вычислим в ней значение функции f (ξk ) . 3. Составим произведение f (ξk ) ⋅ Δx k 4. Составим сумму n −1

σ n = ∑ f (ξk ) ⋅ Δx k k =0

Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана. 5. Измельчая дробление (за счёт увеличения числа точек дробления n ) и устремляя при этом ранг дробления к нулю (λ → 0) т.е. (увеличивая число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков Δx k ), будем находить предел последовательности интегральных сумм

J = lim σ n n →∞ λ →0

5

Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек ξk , то он называется определённым интегралом от функции f (x ) по промежутку [a ,b ] и обозначается так: b

J = ∫ f (x )dx a

Итак, мы привели ни что иное, как развёрнутое определение определённого интеграла от функции f (x ) по промежутку [a ,b ] . Принимая во внимание сказанное выше, можем дать определение определённого интеграла более компактно так: b

def

n −1

∫ f (x )dx = lim ∑ f (ξk ) ⋅ Δx k (a < b ) , n →∞ λ →0 k = 0

a

где a -нижний предел интегрирования, b - верхний предел. В этом случае, b

когда для функции f (x ) существует определённый интеграл

∫ f (x )dx ,

a

функция f (x ) называется интегрируемой на промежутке [a ,b ] . Заметим, что в приведённом определении предполагается, что a < b . Понятие определённого интеграла можно обобщить и на случай, когда b < a или b = a . Действительно, будем считать по определению, что b

a

b

a

b

a

если b < a , то ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx , а если a = b , то ∫ f (x )dx = 0

2. Теорема существования определённого интеграла Возникает вопрос: всякая ли функция f (x ) интегрируема на данном промежутке [a ,b ] . Предварительно дадим определение кусочнонепрерывной функции.

Определение. Функция f (x ) называется кусочно-непрерывной на данном промежутке [a ,b ] , если на этом промежутке она ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва. Геометрически кусочно-непрерывную функцию можно изобразить линией, состоящей из конечного числа непрерывных участков. Очевидно, что функция, непрерывная на промежутке [a ,b ] , является частным случаем кусочно-непрерывной функции. Приведём теперь без доказательства теорему существования определённого интеграла.

6

Теорема (достаточное условие интегрируемости). Если функция f (x ) кусочно-непрерывна на промежутке [a ,b ] , то на этом промеb

жутке она интегрируема, т.е. существует ∫ f (x )dx . a

Заметим, что класс функций, указанных в теореме, практически исчерпывает все функции, встречающиеся в приложениях. В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваются только такие функции.

3. Геометрический смысл определённого интеграла Допустим, что функция f (x ) непрерывна и положительна на промежутке [a ,b ] . Рассмотрим криволинейную трапецию A B C D (рис 1). Интегральная n −1

сумма σ n = ∑ f (ξk ) ⋅ Δx k даёт нам сумму площадей прямоугольников с осk =0

нованиями Δx k и высотами f (ξk ) . Её можно принять за приближённое значение площади криволинейной трапеции A B C D , т.е. n −1

S A B C D ≈ ∑ f (ξk ) ⋅ Δx k , k =0

причём, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n → +∞ и λ → 0 мы получим b

S A B C D = ∫ f (x )dx a

В этом и заключается геометрический смысл определённого интеграла.

4. Свойства определённого интеграла a

Свойство 1. ∫ f (x )dx = 0 (по определению) a

b

a

a

b

Свойство 2. ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx (по определению), т.е. при перемене местами пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный.

Свойство 3.(линейность интеграла) b

∫ [c f (x ) + c 1 1

a

b

b

a

a

f (x )]dx = c 1 ∫ f1 (x )dx + c 2 ∫ f 2 (x )dx

2 2

Для доказательства достаточно составить интегральную сумму для функции y = c 1f1 (x ) + c 2 f 2 (x ) и воспользоваться свойствами пределов функции. Действительно, 7

n −1

n −1

n −1

n →∞ λ →0 k = 0

n →∞ λ →0 k = 0

n →∞ λ →0 k = 0

lim ∑ [c 1f1 (ξk ) + c 2 f 2 (ξ 2 )] ⋅ Δx k = c 1 lim ∑ f1 (ξk ) ⋅ Δx k + c 2 lim ∑ f 2 (ξk ) ⋅ Δx k = b

b

= c 1 ∫ f1 (x )dx

+

a

c 2 ∫ f 2 (x )dx a

Отметим, что из доказанного свойства следуют такие очевидные факты b

b

a

a

а) ∫ cf (x )dx = c ∫ f (x )dx , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла b

б)

∫ [ f (x ) + f 1

a

2

b

b

a

a

(x )] = ∫ f1 (x )dx + ∫ f 2 (x )dx ,

т.е. интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций по данному промежутку [a ,b ] .

Свойство 4. Каковы бы ни были числа a ,b , c ,

b

c

b

a

a

c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx ,

лишь бы только функция f (x ) была бы интегрируема на каждом из промежутков [a ,b ],[a ,c ] и [c ,b ] (рис 2).

y

A

C

0 a

c рис 2

B

b

x

Для доказательства этого свойства достаточно составить интегральные суммы для каждого из трёх интегралов, включив точку c в число точек деления, а затем рассмотреть пределы получившихся интегральных сумм при условии, что n → ∞, λ → 0 .

Свойство 5. (Теорема. Оценка определённого интеграла) Теорема. Если f (x ) непрерывна на промежутке [a ,b ] , то имеет место такая оценка определённого интеграла: b

m (b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) , a

где m -наименьшее, а M - наибольшее значения функции f (x ) на промежутке [a ,b ] . Доказательство. Очевидно, что функция f (x ) имеет на промежутке [a ,b ] наименьшее (m ) и наибольшее (M ) значения, т.к. f (x ) непрерывна на промежутке [a ,b ] , т.е. ∀x ∈ [a ,b ]:m ≤ f (x ) ≤ M . 8

n −1

Составим интегральную сумму для f (x ) : σ n = ∑ f (ξk ) ⋅ Δx k . Ясно, что n −1

∑ m ⋅ Δx ≤ ∑ f (ξ

Учитывая, что

k

k =0 n −1

∑ Δx k =0

k =0 n −1

n −1

k

k =0

k

) ⋅ Δx k ≤ ∑ M ⋅ Δx k . k =0

= b − a и, вынося постоянный множитель за знак

суммы, получим: n −1

m (b − a ) ≤ ∑ f (ξk ) ⋅ Δx k ≤ M (b − a ) k =0

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе получим b

m (b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) . a

Свойство 6. (Теорема о среднем) Теорема. Если f (x ) непрерывна на промежутке [a ,b ] , то между точками a и b найдётся хотя бы одна точка ξ такая, что будет иметь место равенство b

∫ f (x )dx = f (ξ ) ⋅ (b − a )

a

Доказательство. Допустим, что a < b . В силу свойства 4 имеет место оценка b

m (b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) . a

Функция f (x ) непрерывна на промежутке [a ,b ] , следовательно, принимая значения, равные m и M , она принимает и всякое промежуточное значение, т.е. найдётся точка ξ (a < ξ < b ) такая, что функция f (x ) примет в b

1 этой точке значение равное f (x )dx , т.е. будет b − a a∫ b

y

m 0

b

1 f (ξ ) = f (x )dx => ∫ f (x )dx = f (ξ ) ⋅ (b − a ) . b − a a∫ a M Заметим, что значения функции f (x ) в точке ξ : f (ξ ) называется "средним", откуда и название этого свойства.

a

ξ

b

x

Рис 3 9

Поясним геометрический смысл теоремы о среднем (рис 3). Если f (x ) > 0 на [a ,b ] , то, принимая во внимание геометрический смысл определённого интеграла, в силу теоремы о среднем мы можем утверждать, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной f (ξ ) . Приведём без доказательства ещё несколько интересных свойств определённого интеграла.

Свойство 6. b

а) Если a < b и ∀x ∈ [a ,b ]:

f (x ) ≥ 0 , то ∫ f (x )dx ≥ 0 ; a b

б) Если a < b и ∀x ∈ [a ,b ]:

f (x ) ≤ 0 , то ∫ f (x )dx ≤ 0 ; a

Свойство 7. Если a < b и ∀x ∈ [a ,b ]:

b

b

a

a

f (x ) ≤ ϕ (x ) , то ∫ f (x )dx ≤ ∫ ϕ (x )dx ;

Свойство 8. Если a < b , то

b

b

a

a

∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx ;

Свойство 9. Изменение значения f (x ) в одной или в любом конечном числе точек из промежутка интегрирования не влияет на интегрируемость функции и не меняет значения определённого интеграла.

§2. Вычисление определённого интеграла 1. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (Теорема Барроу) Теорема. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке [a ,b ] , то инx

теграл с переменным верхним пределом

∫ f (t )dt

имеет производную, рав-

a

ную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е.

⎛x ⎞′ f ( t ) dt ⎜∫ ⎟ = f (x ) ⎝a ⎠x

10

Доказательство. Допустим, что f (x ) > 0 , тогда, в силу геометричеy

C

B

Φ(x ) A

0

ского смысла определённого интеграла, очевидно, что функция x

a

D x k ξ x k +1

a

Φ(x ) = ∫ f (t )dt даёт площадь криво-

ΔΦ(x )

линейной трапеции A B C D .

b x

В свою очередь

Рис 1 x +Δx

Φ(x + Δx ) =

∫

a

x

x +Δx

a

x

f (t )dt = ∫ f (t )dt +

∫

x +Δx

f (t )dt = Φ(x ) +

∫

f (t )dt

x

x +Δx

Откуда следует, что ΔΦ(x ) = Φ(x + Δx ) − Φ(x ) =

∫

f (t )dt .

x

x +Δx

Последний интеграл в силу теоремы о среднем:

∫

f (t )dt = f ′(ξ ) ⋅ Δx ,

x

ΔΦ = f (ξ ) . Δx Устремим Δx к нулю, тогда в силу непрерывности функции f (x ) будет lim f (ξ ) = f (x ) , следовательно:

причём точка ξ лежит между точками x и x + Δx ; тогда

Δx →0

⎛x ⎞ ΔΦ ′ Φx (x ) = ⎜ ∫ f (t )dt ⎟ ′ = lim = lim f (ξ ) = f (x ) , Δx →0 Δx Δx →0 ⎝a ⎠x т.е. окончательно получим: ⎛x ⎞′ f ( t ) dt ⎜∫ ⎟ = f (x ) ⎝a ⎠x

2. Формула Ньютона-Лейбница Теорема. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке [a ,b ] , то определённый интеграл от этой функции по промежутку [a ,b ] равен разности значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и на нижнем пределах интегрирования, т.е. b

∫ f (x )dx = F (b ) − F (a )

(Формула Ньютона-Лейбница)

a

Доказательство. Обозначим через F (x ) первообразную функции f (x ) , тогда, принимая во внимание доказанную выше теорему Барроу, имеем:

11

x

∫ f (x )dx = F (x ) + c

(1)

a

Полагая в этом равенстве x = a , получим: a

F (a ) + c = ∫ f (x )dx = 0 => c = −F (a ) . Положим в равенстве (1) x = a , тоa b

гда получим

∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ) .

a

Итак, для того, чтобы вычислить определённый интеграл, достаточно вычислить разность значений первообразной на верхнем и на нижнем значениях пределов интеграла. Заметим, что разность f (b ) − F (a ) обозначают так: b

∫ f (x )dx = F (x ) a = F (a ) − F (b ) b

a

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y = x 2 и y = x 3 (рис 2) Решение. Параболы y = x 2 и y = x 3 пересекаются в точках O (0, 0) и M (1,1) , ограничивая область, изображенную на рис 2. В силу геометрического смысла определённого интеграла очевидно, что

M y =x2 y =x3 1 Рис 2

0

1

искомая площадь S = ∫ (x − x )dx . 2

y 1

3

x

0

Для вычисления определённого интеграла применим формулу НьютонаЛейбница. Получим 1

⎛x3 x4 ⎞ 1 1 1 2 3 S = ∫ (x − x )dx = ⎜ − ⎟ = − = 4 ⎠ 0 3 4 12 ⎝ 3 0 1

Ответ: S =

1 кв. ед. 12

Рассмотрим теперь основные способы вычисления определённого интеграла: замену переменных (подстановку) и интегрирование по частям.

3. Подстановка в определённом интеграле. Теорема. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке [a ,b ] , и в определённом интеграле произвести замену переменной интегрирования при помощи подстановки x = ϕ (t ) , причём функция ϕ (t ) и её производная ϕ ′(t ) 12

непрерывны на промежутке [α , β ] , причём ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b и, кроме того, функция ϕ (t ) имеет обратную функцию t = ψ (t ) , то β

b

∫ f (x )dx = α∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt

a

Доказательство. Пусть F (x ) - первообразная для функции f (x ) , т.е. F ′(x ) = f (x ) , тогда ( F [ϕ (t )])t ′ = f [ϕ (t )] ⋅ ϕ ′(t ) . Следовательно β

β

∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt = F [ϕ (t )] α = F [ϕ ( β )] − F [ϕ (α )] = F (b ) − F (a ) , α b

b

β

a

a

α

а т.к. ∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ) , то ясно что ∫ f (x )dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt

Замечание 1. Для вычисления определённых интегралов замена пере-

менной может определяться соотношением t = ϕ (x ) или ϕ (t ) = ψ (x ) , или Φ(x ,t ) = 0 при выполнении необходимых ограничений на функции, задающие замену переменных. Замечание 2. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу (это с очевидностью следует из доказательства теоремы). 9

dx 0 1− x Решение. Делаем подстановку x = t 2 , тогда dx = 2t dt . Новые пределы

Пример 2. Вычислить I = ∫

интегрирования: т.к. t = x , то t 1 = x 9

3

3

x =0

= 0, t 2 = x

3

x =9

= 3, тогда получим

3

3

dx t dt t − 1 + 1dt dt 2t dt =∫ = −2∫ = −2∫ = −2∫ dt − 2∫ = I =∫ − − − − t t t t 1 1 1 1 − x 1 0 0 0 0 0 0 3

3

= −2t 0 − 2 ln t − 1 0 = 6 − 2 ln 2

4. Интегрирование по частям Теорема. Если в промежутке [a ,b ] функции u (x ) и v (x ) непрерывны и имеют непрерывные производные, то b

∫ u (x )dv (x ) = (u (x ) ⋅ v (x ) )

a

b a

b

− ∫ v (x )du (x ) a

Доказательство. Из тождества d (u (x ) ⋅ v (x )) = u (x )dv (x ) + v (x )du (x ) . Проинтегрируем это равенство на промежутку [a ,b ] , получим 13

b

∫ u (x )dv (x ) = (u (x ) ⋅ v (x ) )

a

b a

b

− ∫ v (x )du (x ) . a

Заметим, что в этом выражении интегрирование ведётся по переменной x . b

Пример 3. Вычислить I = ∫ x ln xdx a

Решение.

Вычислим

данный

интеграл по частям, положив dx x2 u (x ) = ln x , dv (x ) = xdx . Тогда du (x ) = , v (x ) = . Следовательно x 2 3

3 ⎛x2 ⎞ 1 9 5 39 5 I = ∫ x ln xdx = ⎜ ln x ⎟ − ∫ xdx = ln 3 − 2 ln 2 − = ln − 2 2 2 4 4 4 ⎝ ⎠ 0 0 2 3

39 5 − . Ответ: I = ln 4 4

§3. Приложения определённого интеграла 1. Вычисление площадей плоских фигур y

y = Φ(x )

y

a 0

D 0

a Рис 1

b

x

D

y = ϕ (x )

x

b

Рис 2

Принимая во внимание геометрический смысл определённого интеграла, заметим, что если область D ограничена сверху кривой y = Φ(x ) , снизу кривой y = ϕ (x ) , причём ϕ (x ) ≤ Φ(x ) (ϕ (x ) > 0, Φ(x ) > 0) x ∈ [a ,b ] (рис 1), то площадь области D можно вычислить по формуле b

b

b

a

a

a

S = ∫ Φ(x )dx − ∫ ϕ (x )dx , т.е. S = ∫ [ Φ(x ) − ϕ (x )]dx Если область ограничена прямыми y = 0 (сверху), x = a , x = b а также кривой y = ϕ (x ) (снизу), причём ϕ (x ) < 0 (рис 2), то площадь области D b

вычисляется по формуле S = − ∫ ϕ (x )dx . a

14

y

y = Φ(x ) D

a

b

x y = ϕ (x )

0

В том случае, когда область D ограничена прямыми x = a , x = b , а также кривой y = Φ(x ) сверху, причём Φ(x ) > 0 , а также кривой y = ϕ (x ) (ϕ (x ) < 0), то площадь этой области (рис 3) вычисляется b

рис 3

по формуле S = ∫ [ Φ(x ) − ϕ (x )]dx a

Причём эта формула справедлива при любом расположении кривых на плоскости, лишь бы не нарушалось условие ϕ (x ) ≤ Φ(x ) .

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x 2 − 1 и y = x + 1 (рис 4) y y = x +1

Найдём точки пересечения данных кривых. Для этого необходимо решить систему уравнений y = x 2 − 1⎫ ⎬ y = x + 1⎭

B

D

A −1

1

0 −1

2 x

Решив её, найдём координаты точек A ( −1, 0) и B ( 2, 3) . Тогда, очевидно, что площадь фигуры

рис 4

2

⎛x2 x3 ⎞ S = ∫ ⎡⎣(x + 1) − (x 2 − 1) ⎤⎦ dx = ∫ ⎡⎣x − x 2 + 2 ⎤⎦ dx = ⎜ − + 2x ⎟ = 3 ⎝ 2 ⎠ −1 −1 −1 2

2

⎛4 8 ⎞ ⎛1 1 ⎞ 29 = ⎜ − + 4⎟ − ⎜ + − 2⎟ = ⎝2 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠ 3 Ответ: S = 29 кв. ед. 3

Пример 2. Вычислить площадь эллипса с полуосями a и b (рис 5) y Решение. Напомним, что канониB1 b A2 −a

ческое уравнение эллипса имеет вид x2 y2 + =1 a 2 b2

M (x , y ) D

0

A1 a x

Однако воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса

B 2 −b рис 5 15

x = a cos t ⎫ ⎬ , t ∈ [0, 2π ] y = b sin t ⎭ Очевидно, что когда параметр t пробегает промежуток от 0 до 2π , текущая точка M (x , y ) обегает контур эллипса один раз от точки A 1 → B 1 → A 2 → B 2 → A 1 . Переход к параметрическим уравнениям эллипса существенно упрощает вычисление определённого интеграла, дающего нам выражение для площади эллипса. В виду симметричности эллипса вычислим площадь его четверти, которая лежит в первом квадрате. a 1 Действительно S ell = ∫ y (x )dx , где y (x ) - уравнение верхней половины 4 0 эллипса. В силу параметрических уравнений эллипса найдём пределы интегрирования: x = a cos t , положим здесь x 1 = 0 , получим t 1 =

π

, а положив 2 x 2 = a , будем иметь верхний предел интегрирования t 2 = 0 . Учитывая, что в силу тех же параметрических уравнений y = b sin t , dx = −a sin t dt , окончательно сформируем определённый интеграл для вычисления площади, ограниченной эллипсом: π 0

π

2 1 1 − cos 2t S ell = ∫ b sin t ( −a sin t )dt = ab ∫ sin 2 t dt = ab ∫ dt = 4 2 π 0 0 2

2

π

ab ⎛ sin 2t ⎞ 2 π ab = t− 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 0 4 Итак, площадь эллипса S ell = π ab кв.ед.. Заметим, что, положив здесь a = b = r , получим известное нам выражение для площади круга S = π r 2 . =

Допустим теперь, что нам необходимо вычислить площадь, ограниченную кривой, заданной уравнением в полярных координатах. Точнее, вычислим площадь фигуры, ограниченной лучами ϕ = α ,ϕ = β , а также кривой r = r (ϕ ) (предполагаем, естественно, что функция r = r (ϕ ) на промежутке y B [α , β ] интегрируема) (рис 6). r = r (ϕ ) Проведём рассуждения в полярной системе координат r = r (ϕk ) (O - полюс, O P - полярная ось). Из полюса O проведём лучи A ϕ = α (луч O A ) и ϕ = β (луч O B ), а α β ξk ϕk ϕk +1 также построим кривую r = r (ϕ ), 0 P ϕ ∈ [α , β ] . рис 6 16

Найдём площадь криволинейного сектора O A B . В соответствии с определением определённого интеграла выполним следующие пять операций. 1. Разобьём сектор O A B лучами ϕ 0 = α , ϕ1 , ..., ϕk ,ϕk +1 , ...,ϕn = β (ϕk < ϕk +1 ) произвольным образом на n частей (секторов); обозначим Δϕk = ϕk +1 − ϕk . Рангом дробления назовём sup{ Δϕk } = λ . 2. В каждом секторе, ограниченном лучами ϕk , ϕk +1 проведём произвольный луч ξk (ϕk < ξk < ϕk +1 ) и вычислим значение r (ξk ) . 3. Заменим этот сектор круговым с радиусом r = r (ξk ) и вычислим пло-

1 щадь этого кругового сектора ΔS k = r 2 (ξk ) ⋅ Δϕk 2 n −1

1 n −1 2 r (ξk ) ⋅ Δϕk ∑ 2 k =0 k =0 5. Измельчая дробление, и устремляя ранг дробления к нулю, будем искать предел I = lim σ n . 4. Составим интегральную сумму σ n = ∑ ΔS k =

n →∞ , λ >0

β

1 В пределе получим площадь криволинейного сектора S = ∫ r 2 (ϕ )d ϕ . 2α

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную кривой r = 1 + cos ϕ . Решение. Если переменная ϕ про0

1

2 P

бегает значения от 0 до 2π , текущая точка обегает кривую, которая называется кардиоидой. Если ϕ ∈ [0,π ] , имеем верхнюю половину фигуры. Очевидно, что

рис 7 π

π

π

1 S = ∫ (1 + cosϕ )2d ϕ = ∫ (1 + 2cosϕ + cos2 ϕ )d ϕ = ∫ (1 + 2cosϕ + 0.5(1 + cos 2ϕ ))d ϕ = 2 0 0 0 π

=(1.5ϕ + 2sinϕ + sin 2ϕ ) 0 = 1.5π

Итак, искомая площадь S = 3π кв. ед..

2. Вычисление длины дуги плоской кривой y

lk

B

A 0

a

x k x k +1 рис 8

b x

Пусть кривая A B (рис 8) задана уравнением y = f (x ) , где x ∈ [a ,b ] . Предположим, что функция f (x ) и её производная f ′(x ) непрерывны на [a ,b ] . Длиной дуги кривой A B мы будем называть предел длины вписанной в неё ломаной линии при условии, что n → ∞ , а длина наибольшего звена 17

ломаной (ранг разбиения) стремится к нулю. Обозначим длину частичного

( Δx k ) + ( f (x k +1 ) − f (x k ) ) 2

участка ломаной линии lk =

2

. Преобразуем здесь

по формуле Лагранжа разность f (x k +1 ) − f (x k ) . Получим f (x k +1 ) − f (x k ) = f ′(ξk ) ⋅ Δx k . Длина всей ломаной линии n −1

σ n = ∑ 1 + [ f ′(ξk )] ⋅ Δx k 2

k =0

Это есть интегральная сумма для непрерывной функции 1 + [ f ′(x )] . 2

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе получим такое выражение для длины дуги плоской кривой b

L = ∫ 1 + [ f ′(x )] dx 2

a

Пример 4. Найти длину дуги кривой A B , если A ( −2, 7), B (1,1) и уравнение кривой A B : y = 3 − 2x Решение. Очевидно, что кривая A B представляет собою отрезок прямой линии, причём x ∈ [−2,1] . Имеем y x′ = −2; 1 + y ′2 = 5 .

A ( −2, 7 )

y 7 B (1,1)

1

Тогда L A B =

∫

5 dx = 3 5

−2

−2

Ответ: Длина дуги кривой A B равна 3 5 лин.ед..

1

x

рис 9

Если кривая A B задана параметрическими уравнениями x = ϕ (t ) ⎫ ⎬ , t ∈ [α , β ], (α < β ), y = ψ (t ) ⎭

то нетрудно убедиться, что длина дуги кривой A B вычисляется по формуле β

L =∫

[ϕ ′(t )] + [ψ ′(t )] 2

2

dt

α

Отметим, что здесь естественно предполагается, что функции ϕ (t ) , ψ (t ) и их производная ϕ ′(t ) и ψ ′(t ) непрерывны на промежутке [α , β ] . 18

Пример 5. Найти длину дуги астроиды a

x = a cos3 (t ) ⎫ ⎬ ,(a > 0) y = a sin3 (t ) ⎭

y B

−a

Решение.

Очевидно, что кривая A B C D (астроида) симметрична относительно координатных осей, причём текущая точка обегает кривую один раз, когда параметр t ∈ [0, 2π ] . Вычислим четвёртую

A a x

C

−a

D

π

рис 10

часть длины дуги (участок A B t ∈ [0, ] ). 2

Имеем: x t′ = 3a cos2 t ⋅ (− sint )⎫ 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 ⎬ , x t′ + y t′ = 9a sin t cos t + 9a cos t sin t = 9a sin t cos t . 2 y t′ = 3a sin t cost , ⎭ ⎡ π⎤ Учитывая, что на промежутке ⎢0, ⎥ sin t ≥ 0, cos t ≥ 0 , получим ⎣ 2⎦ x t′ + y t′ = 3a sin t cos t . 2

2

Тогда будем иметь: π

π

2

2

2

1 sin t L = ∫ 3a sin t cos t dt = 3a ∫ sin t d sin t = 3a ⋅ 4 2 0 0

π 2 0

=

3a , 2

откуда следует Last r = 6a лин.ед.. В том случае, когда кривая A B задана уравнением в полярных координатах r = r (ϕ ) , причём функция r (ϕ ) и её производная r ′(ϕ ) непрерывны на промежутке [α , β ] (α < β ) , то нетрудно получить формулу для вычисления длины дуги кривой A B , воспользовавшись только что выведенной формулой. Действительно, можно принять ϕ за параметр. Тогда получим такой частный случай параметрических уравнений кривой A B . x = r (ϕ )cos ϕ ⎫ ⎬ , ϕ ∈ [α , β ] (α < β ) y = r (ϕ )sin ϕ ⎭

Имеем: x ϕ′ = rϕ′ cos ϕ − r sin ϕ ; y ϕ′ = rϕ′ sin ϕ + r cos ϕ ; x ϕ′ 2 + y ϕ′ 2 = r 2 (ϕ ) + r ′2 (ϕ ) . Таким образом, окончательно получим β

L = ∫ r 2 (ϕ ) + r ′2 (ϕ ) d ϕ α

19

Пример 6. Найти длину дуги окружности радиуса R , записав её уравнение в полярных координатах (рис 11) y Решение. Напомним, что уравнение B окружности радиуса R с центром в начале a 2 2 2 координат имеет вид x + y = R . Примем A −a 0 во внимание связь между декартовыми и a R x полярными координатами: C x = r cos ϕ , y = r sin ϕ (здесь предполагается, что начало декарто−a D вых координат совпадает с полюсом O , а рис 11 ось O X совпадает с полярной осью). Тогда очевидно, что уравнение окружности в полярных координатах: r = R , причём, когда ϕ ∈ [0, 2π ] , текущая точка M обегает контур окружности один раз против часовой стрелки. Имеем rϕ′ = 0, r 2 (ϕ ) + r ′2 (ϕ ) = R 2 , тогда r 2 (ϕ ) + r ′2 (ϕ ) = R , следова2π

2π

тельно L = ∫ R d ϕ = R ⋅ ϕ 0 = 2π R . 0

Итак, мы получили всем известную формулу для вычисления длины дуги окружности радиуса R : L = 2π R .

3. Вычисление площади поверхности тела вращения Рассмотрим на плоскости xO y некоторую кривую A B , заданную уравнением y = f (x ), x ∈ [a ,b ] . Пусть функция f (x ) и производная f ′(x ) непрерывны на [a ,b ] . От вращения кривой A B вокруг оси O x получается тело вращения, ограниченное поверхностью вращения. По определению будем считать площадью поверхности вращения площадь поверхности, которая получается от вращения ломаной линии A = A0 , A1, A 2 ,...,Ak ,Ak +1,...,An = B , вписанной в кривую A B (рис 12) при условии, что число точек дробления бесконечно возрастает, а ранг дробления λ = sup{Δx k } при этом стремится к нулю. y От вращения хорды A k A k +1 получим усеy = f (x ) чённый конус, боковая поверхность которого

ΔSk = x [ f (xk ) + f (xk+1)] ⋅lk = 2π f (ξk ) 1+ [ f ′(ξk )] ⋅Δxk , 2

где x k ≤ ξk ≤ x k +1 . Площадь поверхности вращения S таким образом приблизительно равна n −1

S ≈ σ n = ∑ 2π f (ξk ) 1 + [ f ′(ξk )] ⋅ Δx k 2

k =0

20

a

xk

ξk

0

рис 12

xk +1

b

x

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, получим точное равенство b

S = 2π ∫ f (x ) 1 + [ f ′(x )] dx 2

a

Пример 7. Кривая 3x + y − 3 = 0 вращается вокруг оси O y , найти площадь поверхности, ограниченной плоскостью xO z и получившейся поверхностью вращения. y Решение. Очевидно, что кривая B 3 3x + y − 3 = 0 представляет собою прямую линию, которая пересекается с координатными осями O x и O y в точках A (1, 0, 0) и B (0, 3, 0) , а интересующее нас тело есть x 1 конус (рис 12). Воспользуемся выведенной 0 A выше формулой, заменив в ней естественz ным образом переменную x на переменрис 13 ную y . Получим 3

S = 2π ∫ x (y ) 1 + x y′ (x ) dy . 2

0

Подставим сюда x (y ) = 1 −

y 1 1 10 , x y′ = − , 1 + x ′2 (y ) = 1 + = , тогда будет 3 3 9 9 3

10 ⎛ y2⎞ ⎛ y ⎞ 10 S = 2π ∫ ⎜1 − ⎟ ⋅ dy = 2π ⋅ ⎜ y − ⎟ = π 10 , 3⎠ 3 3 ⎝ 6 ⎠0 0⎝ что легко проверить, вычислив площадь боковой поверхности конуса S б.пов = π r l = π ⋅ 1 ⋅ 10 3

Итак S б.пов = π 10 кв.ед..

4. Вычисление объёмов

a

xk

ξk

xk +1

b

x

0 рис 14

Рассмотрим некоторое тело, вытянутое вдоль оси O x (x ∈ [a ,b ]) и допустим, что мы знаем площадь сечения этого тела любой плоскостью x = c . Обозначим площадь этого сечения через F (x ) . Разобьём отрезок [a ,b ] произвольным образом на n частей точками x 0 = a < x 1 < ... < x k < x k +1 < ... < x n = b .

21

На каждом частичном участке [x k , x k +1 ] возьмём произвольную точку ξk . Площадь этого сечения F (ξk ) . Элементарный объём Δv k = F (ξk )Δx k , тогда очевидно, что объём рассматриваемого тела b

V = ∫ F (x )dx . a

В частности, отсюда нетрудно получить формулу объёма тела вращения, которая получается от вращения y = f (x ) вокруг оси O x ( f (x ) предполагается непрерывной на промежутке [a ,b ] ). Действительно, в этом случае площадь сечения представляет собою круг радиуса R = f (x ) , следовательно площадь сечения равна π f 2 (x ) . А тогда объём тела вращения b

v = π ∫ f (x )dx a

Пример 8. Найти объём шара радиуса R . Решение. На шар будем смотреть как на тело вращения. Здесь f (x ) = R 2 − x 2 . Тогда R

⎛ 2 x3 ⎞ 4 3 π π = − = − V шара ∫−R (R x )dx ⎜⎝ R x 3 ⎟⎠ = 3 π R . 0 Получим известную формулу для объёма шара радиуса R : 4 v = π R 3 куб.ед.. 3 R

2

2

§4. Общая схема применения определённого интеграла 1. Методика применения определённого интеграла к решению практических задач. Выше мы рассмотрели различные случаи применения определённого интеграла для решения геометрических задач. Но область применения определённого интеграла очень обширна и независимо от конкретного содержания задачи приходится действовать по вполне определённой схеме. Пусть требуется определить некоторую постоянную величину Q , связанную промежутком [a ,b ] . Эту величину мы будем предполагать аддитивной, т.е. такой, что разложение отрезка [a ,b ] точкой c (a < c < b ) на части [a ,c ] и [c ,b ] влечёт за собой разложение на соответствующие части величины Q , причём значение величины Q , соответствующее всему отрезку [a ,b ] , равно сумме её значений, соответствующих отрезкам [a ,c ] и [c ,b ] .

22

Переходя к решению задачи по определению величины Q , разложим отрезок [a ,b ] при помощи точек a = x 0 < x 1 < ... < x n −1 < x n = b на n частей [a , x 1 ], [x 1 , x 2 ],...,[x n −1 ,b ], Δx k = x k − x k −1 - длина k -го частичного промежутка, λ = sup{Δx k } - ранг дробления. В соответствии с разложением промежутка [a ,b ] величина Q разложится на n слагаемых ΔQ 1 , ΔQ 2 ,..., ΔQ n : n

Q = ∑ ΔQ k . k =1

Допустим теперь, что существует такая функция q (x ) , что "элементарное" слагаемое ΔQ k , соответствующее промежутку [x k −1 , x k ] длины Δx k , приближенно может быть записано в виде ΔQ k ≈ q (ξk )Δx k , где ξk лежит между x k −1 и x k , причём ошибка этого равенства при бесконечно малом ранге дробления λ будет бесконечно малой, порядка высшего, чем Δx k , т.е. ΔQ k = q (ξk )Δx k + o ( Δx k ) . В этом случае для Q получается приближённое выражение n

Q ≈ ∑q (ξk )Δx k , k =1

тем более точно, чем меньше λ . Стало быть, точное значение Q будет служить пределом суммы при λ → 0 , или, что то же самое, b

Q = ∫ q (x )dx

(1)

a

На практике это рассуждение облекают в более краткую форму, говоря, что если элемент ΔQ величины Q , отвечающий элементарному отрезку [x , x + Δx ] , представим в виде ΔQ = q (x )Δx + o ( Δx ) ,

т.е. dQ = q (x )dx , то равенство (1) верно.

23

2. Работа переменной силы Задача 1. Какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда радиуса R ? Решение. Плоскостями, параллельными плоскости воды, разобьём полушар 0 на элементы толщины dx (рис 1). ЭлеменR r тарная сила (сила тяжести), действующая в x dx направлении оси O x на слой, толщиной dx , с точностью до бесконечно малых R высших порядков относительно dx равна 2 x ρgπ r dx , гда ρ - плотность воды, g - ускорение свободного падения. Следоварис 1 тельно, элементарная работа силы равна dA = ρgπ r 2xdx , где x - уровень воды, r = R 2 − x 2 ; отсюда находим R

⎛ ⎛R 4 R 4 ⎞ x2 x4 ⎞ R4 . πρ A = ∫ ρgπ (R − x )xdx = πρg ⎜ R 2 g − ⎟ = γπ ⎜ − = ⎟ 2 4 2 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 R

2

2

3. Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади S с глубиной погружения h равна P = ρghS , где ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения.

Задача 2. Треугольный щит вертикально опущен в воду, причём основание треугольника находится на уровне воды (рис 2). Требуется найти силу давления P на одну из сторон щита, если щит имеет форму равностороннего треугольника a . Решение. Прямыми, параллельными O −a / 2 a /2 плоскости воды, разобьём треугольник на элементы (полоски) ширины dx . x dx Площадь одного такого элемента (отl брасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии a 3/ 2 24 x рис 2

Отформатировано: русский (Россия)

x от поверхности воды, равна dS = ldx . Из подобия треугольников, изображенных на рис 2, ясно, что длина l полоски удовлетворяет соотношению l a 3/2 −x = , a a 3/2

⎞ 2 ⎛ 3 − x ⎟⎟ и, следовательно, элементарное давление dP на ⎜⎜ a 3⎝ 2 ⎠ ⎞ 2 ⎛ 3 − x ⎟⎟dx . Отсюда полоску ширины dx равно dP = pgx ⎜⎜ a 3⎝ 2 ⎠

откуда l =

P = ρg

a 3/2

∫ 0

=

a

⎞ ⎛a 3 x 2 x 3 ⎞ 2 ⎛ 3 2 x a x dx g − = ⋅ − ⎟⎟ ρ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ 2 2 3 ⎠ 3 ⎜⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 0

3 2

=

⎛ a 3 a 2 3 a 3 3 3 ⎞ ρga 3 2 ρg ⎜⎜ ⋅ − . ⎟= 4 3 ⋅ 8 ⎟⎠ 8 3 ⎝ 2

Задача 3. Найти силу давления P , испытываемую полукругом радиуса R , погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды (рис 3). Разобьём площадь полукруга на элементы (полоски) ширины dx , параллельные поверхности воды. Площадь одного такого элемента O (отбрасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстояR x dx нии x от поверхности воды, равна r dS = 2r dx = 2 R 2 − x 2dx . Сила давления, испытываемая этим R элементом, равна

x рис 3

dP = ρgx 2 R 2 − x 2dx , где ρ - плотность воды, g - ускорение свободного падения. Отсюда вся сила давления есть

R

2 P = 2 ρg ∫ x R 2 − x 2dx = − ρg (R 2 − x 2 )3 3 0

25

R 0

=

2 ρgR 3 . 3

4. Моменты. Центры масс плоских фигур. Моментом инерции относительно оси l материальной точки M , имеющей массу m и отстоящей от оси l на расстояние d , называется величина J 1 = m d 2 . Моментом инерции относительно оси l системы n материальных точек с массами m 1 , m 2 ,..., m n называется сумма n

J 1 = ∑ m kd k

2

k =1

где d 1 ,d 2 ,...,d n - расстояния точек до оси l . В случае сплошной массы, распределённой в плоской области, вместо суммы должен быть соответствующий интеграл. Задача 4. Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием a и высотой h , относительно его основания. Будет предполагать пластинку однородной, так что её поверхностная плотность равна ρ (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) будет постоянной и, следовательно, m = ρS , где S - площадь пластинки. Решение. За основание треугольника примем ось O x , а его высоту за R y ось O y (рис 4). Разобьём треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины dy , играющие роль h dy элементарных масс dm = ρdS . y A B Используя подобие треугольников x O получаем: рис 4 A B h −y . = a h Площадь dS бесконечно тонкой горизонтальной полоски ширины dy dS , тогда получим равна dS = A B dy => A B = dy dS h − y a = => dS = (h − y )dy , ady h h a откуда dJ x = y 2 ρdS => dJ x = ρy 2 (h − y )dy . h h

h a a ⎛ y3 y4 ⎞ 1 Следовательно, J x = ρ ∫ y 2 (h − y )dy = ρ ⎜ h − ⎟ = ρah 3 . h0 h⎝ 3 4 ⎠ 0 12

26

Статическим моментом относительно оси l материальной точки M , имеющей массу m и отклонение x (с учётом знака) оси l , называется величина M 1 = m x . Статическим моментом относительно оси l системы n материальных точек с массами m 1 , m 2 ,,..., m n , лежащих в одной плоскости с осью l и имеющих отклонения x 1 , x 2 ,..., x n (с учётом знаков) от этой оси (рис 5) называется сумма n

M 1 = ∑m kx k . k =1

Если массы непрерывно заполняют фигуру плоскости xO y , то вместо сумм должен быть соответствующий интеграл.

x m1

mn

x1

xn

y

l x2

r

A

dy

y

−R

B R

O рис 6

рис 5

R

Задача 5. Найти статический момент однородной пластинки, имеющей форму полукруга радиуса R и плотность ρ , относительно основания полукруга. Решение. Основание полукруга поместим на ось O x , а за ось O y примем перпендикуляр к оси O x , проходящий через центр полукруга (рис 6). Разобьём полукруг на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины dy . Элементарный статический момент dM x этой бесконечно тонкой полоски относительно оси O x будет равен dM x = ρy dm = ρy A B dy , следовательно, dM x = ρy 2r dy . Из треугольника (рис 6) по теореме Пифагора находим r = R 2 − y 2 . Следовательно, dM x = 2 ρy R 2 − y 2dy .

Интегрируя это равенство по y , получим: R

2 M x = 2 ρ ∫ y R 2 − y 2dy = − ρ 3 0 27

(

R 2 −y 2

)

3

R

= 0

2R 3 ρ. 3

Координаты центра масс C (x ∗ , y ∗ ) плоской фигуры массы m вычисляются по формулам

x∗ =

My M , y∗ = x , m m

где M y и M x - статические моменты плоской фигуры массы m .

Задача 6. Найти координаты центра масс однородной пластинки, рассмотренной в предыдущем примере. Решение. Так как пластинка предполагается однородной (плотность ρ ), то в силу симметрии пластинки её центр масс C (x ∗ , y ∗ ) должен лежать на оси O y , т.е. x ∗ = 0 (рис. 7). Масса m пластинки равна

y C −R

O рис 7

R

1 m = ρS = π R 2 ρ , 2 а так как из предыдущего примера известно, что M x =

2R 3 ρ , то будем 3

M x 2 ρR 3 / 3 4R ⎛ 0, 4R ⎞ . Итак, C ⎜ = = ⎟ - центр масс однородного 2 m πρR / 2 3π ⎝ 3π ⎠ полукруга радиуса R .

иметь y ∗ =

5. Приложение определённого интеграла к экономическим задачам Рассмотрим следующую типовую задачу. Предприятие выпускает однородную продукцию. Интенсивность её выпуска в различные моменты времени t может быть различной в силу неравномерности поставок сырья и других причин. Интенсивность выпуска продукции обозначим ϕ (t ) - это количество выпущенной продукции за единицу времени, начиная с момента t (в предположении, что с этого момента интенсивность постоянна). Стоимость единицы выпускаемой продукции также не постоянна, а меняется по закону f (t ) , в силу различной стоимости сырья, стоимости труда, 28

величины налогов и т.д. Требуется найти стоимость выпущенной продукции за промежуток времени [T 1 ,T 2 ] . Будем предполагать функции f (t ) и ϕ (t ) непрерывными. Пусть Q - искомая стоимость. Подсчитаем стоимость ΔQ продукции, выпущенной за промежуток времени [t ,t + Δt ] . Если бы интенсивность ϕ (t ) и стоимость f (t ) за этот малый промежуток времени не менялись, то ΔQ = ϕ (t )f (t )Δt . Если же они меняются, то это произведение является лишь главной частью ΔQ , пропорциональной Δt , что можно записать в виде ΔQ = ϕ (t )f (t )Δt + o ( Δt ) .

o ( Δt ) →0 Δt при Δt → 0 . Действительно, за бесконечное время Δt функции f (t ) и ϕ (t ) изменятся на бесконечно малые величины Δϕ и Δf соответственно, что в произведении с Δt даст бесконечно малую высшего порядка, чем Δt . Эта бесконечно малая отнесена в o ( Δt ) . Итак, слагаемое ϕ (t )f (t )Δt есть главная часть ΔQ , пропорциональная Δt , т.е. по определению - дифференциал функции Q (t ) - стоимость выпущенной продукции к моменту t , начиная с какого-либо фиксированного момента: Здесь o ( Δt ) - бесконечно малая высшего порядка, чем Δt :

dQ = ϕ (t )f (t )Δt . Тогда, интегрируя дифференциал в пределах T 1 и T 2 , находим T2

T2

T1

T1

Q = ∫ dQ (t ) = ∫ ϕ (t )f (t )dt .

29

ГЛАВА II. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ §1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку 1.

Определение несобственного неограниченному промежутку

интеграла

по

Пусть функция f (x ) определена на промежутке [a , +∞[ и интегрируема на любом отрезке [a , A ] ⊂ [a , +∞[ .

Определение 1. Несобственным интегралом

+∞

∫ f (x )dx

от функции

a

f (x ) по бесконечному промежутку [a , +∞[ (несобственным интегралом 1го рода) называют предел A

lim ∫ f (x )dx

A →∞

a

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся. Если f (x ) > 0 (рис 1), то очевидно, +∞ y что ∫ f (x )dx даёт нам площадь бескоy = f (x ) a

нечной криволинейной трапеции. Принимая во внимание формулу Ньютона-Лейбница и определение несобственного интеграла I рода вычислим

a

рис 1

A

x

+∞

∫ f (x )dx = lim F (x ) − F (a ) = F (+∞) − F (a ) , x →∞

a

где F (x ) - первообразная функции f (x ) на любом промежутке [a , A ] ⊂ [a , +∞[ . Обобщив формулу Ньютона-Лейбница, можно окончательно написать +∞

∫

+∞

f (x )dx = F (x ) a = F ( +∞ ) − F (a ) ,

a

здесь F ( +∞ ) = lim F (x ) . x →∞

30

b

Аналогично определяется и интеграл

∫ f (x )dx

и его сходимость, т.е.

−∞ b

b

∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx = F (x ) B →−∞

−∞

b −∞

= F (b ) − F ( −∞ )

B

В том случае, когда бесконечны и верхний и нижний пределы интегрирования, то по определению имеем: ∞

+∞

def c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx ,

−∞

−∞

c

где c - любое действительное число. При этом несобственный интеграл +∞

∫ f (x )dx

называется сходящимся, если сходятся оба интеграла, стоящие

−∞

справа.

2. Главное значение интеграла

+∞

∫ f (x )dx

−∞

Определение. Главным значением несобственного интеграла +∞

∫ f (x )dx

называется предел

−∞

+R

lim

R →∞

∫ f (x )dx = lim [F (R ) − F (−R )] , R →∞

−R

которое обозначается так: +∞

v .p .

∫ f (x )dx

+R

def

= lim

−∞

R →+∞

∫ f (x )dx

−R

(от франц. valleur principal - главное значение) Заметим, что в определении главного значения несобственного интеграла имеется в виду симметричное возрастание модуля переменной x в положительном и отрицательном направлении, в то время как по определению не+∞

собственный интеграл

∫ f (x )dx

мы прежде всего должны заменить суммой

−∞

31

+∞

c

∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx

−∞

и отдельно исследовать сходимость каждого слагаемо-

c

го, не накладывая никакой связи на вычисление возникающих при этом несобственных интегралов. Может оказаться, что несобственный интеграл расходится, а его главное значение сходится. Очевидно, что для несобственных интегралов справедливы все основные свойства определённого интеграла.

Пример 1. Вычислить Решение.

+∞

dx

∫ 1+ x

+∞

dx ∫1 1 + x 2 +∞

2

= arctgx 1 = limarctgx − arctg1 = x →∞

1

Итак, данный интеграл сходится и равен

Пример 2. Вычислить Решение.

+∞

dx ∫2 x = ln x

π 4

π 2

−

π 4

=

π 4

.

+∞

dx ∫2 x

+∞ 2

= ln( +∞ ) − ln 2 = +∞ , т.е. данный интеграл рас-

ходится. +∞

Пример 3. Исследовать сходимость несобственного интеграла ∫ sinxdx −∞

Решение. +∞

+∞

0

+∞

−∞

−∞

0

∫ sin xdx = ∫ sin xdx + ∫ sin xdx , но

∫ sin xdx = − cos x 0

+∞

0

= − lim cos x + cos 0 x →+∞

+∞

Т.к. lim cos x не существует, то интеграл x →+∞

∫ sinxdx

расходится, в свою

0

0

очередь расходится и интеграл

∫ sinxdx , а следовательно можно сделать

−∞

вывод: данный интеграл расходится. +∞

Рассмотрим теперь v .p .

+R

R

−R

−R

∫ sin xdx = lim ∫ sin xdx = 0 , т.к. ∫ sin xdx = 0 R →+∞

−∞

(как интеграл от нечётной функции по симметричному промежутку). 32

Ответ: данный интеграл расходится, в то время как его главное значение сходится.

Пример 4. Вычислить, при каком значении параметра p несобствен+∞

ный интеграл

dx ∫ x p (a > 0) сходится. a

Решение. Ранее мы установили , что при p = 1 данный интеграл расходится, поэтому при дальнейшем исследовании случай p = 1 мы рассматривать не будем. Следовательно ⎧ x 1−(1+s ) a 1−p , если p = 1 + s (s > 0), т.е. p > 1 − dx x ⎪xlim −p →∞ 1 − (1 + s ) x dx = = = = 1 p − ⎨ ∫a x p a∫ 1− p a ⎪ p <1 ⎩+∞, если 1 1 1 ⎧ ⎧ , p >1 ⎪ , p >1 + ⎪− xlim s p − 1 (p − 1)a = ⎨ →+∞ sx = ⎨ (p − 1)a p −1 ⎪+∞, p < 1 ⎪+∞, p < 1 ⎩ ⎩ +∞

1−p +∞

+∞

+∞

Итак,

dx

∫x

p

(a > 0) сходится, если p > 1 и расходится, если p ≤ 1 . В

a

дальнейшем этот факт можно использовать как очевидный при решении примеров.

3. Достаточные признаки сходимости несобственных интегралов по неограниченному промежутку Часто бывает нужно определить, сходится или расходится несобственный интеграл, не находя его первообразной, т.е. оценить сходимость несобственного интеграла. Для этого можно воспользоваться в частности так называемыми признаками сравнения, которые мы оформим в виде теорем.

Теорема 1 (Первый признак сравнения).

Если функции f (x ) и ϕ (x ) непрерывны на промежутке [a ; +∞[ и при этом 0 ≤ f (x ) ≤ ϕ (x ) , то тогда 1. если сходится интеграл

+∞

+∞

a

a

∫ ϕ (x )dx , то сходится и интеграл ∫ f (x )dx ; 33

+∞

2. если интеграл

∫ f (x )dx

расходится, то расходится и инте-

a +∞

грал ∫ ϕ (x )dx (рис 2). a

Доказательство. Из неравенства 0 ≤ f (x ) ≤ ϕ (x ) A

A

a

a

вытекает 0 ≤ ∫ f (x )dx ≤ ∫ ϕ (x )dx , но A

+∞

a

a

∫ ϕ (x )dx = ∫ ϕ (x )dx

y

ϕ (x ) f (x )

т.к. ϕ (x ) ≥ 0 .

0 a

Таким образом функция

x

рис 2 Φ(A ) = ∫ f (x )dx монотонно возрастает и ограничена сверху, значит сущеA

a

+∞

ствует конечный предел lim Φ(A ) = A →+∞

+∞

∫ f (x )dx , т.е. интеграл ∫ f (x )dx

a

схо-

a

дится.

Пример 5. Оценить сходимость

+∞

∫

dx

x 3 +1 1 1 < , а интеграл x 3 +1 x3 1

Решение. Очевидна оценка

+∞

∫ 1

dx x 3 +1

схо-

3 дится (см. пример 4, случай p = ). Следовательно в силу доказанной тео2 +∞ dx сходится. ремы ∫ 3 x +1 1

Пример 6. Исследовать сходимость

+∞

∫ 2

1 1 . Но интеграл < x ln x +∞ dx = +∞ , следовательно, расходится и интеграл ∫ . ln x 2

Решение. При x ≥ 2 +∞

dx ∫2 x = ln x

+∞ 2

dx ln x

x > ln x , следовательно

34

Теорема 2 (Второй признак сравнения).

Если функции f (x ) и ϕ (x ) непрерывны на промежутке [a ; +∞[ и неотрицательны, т.е. f (x ) > 0 и ϕ (x ) > 0 , и существует конечный отличный от +∞

f (x ) = r (0 < r < +∞ ) , то тогда интегралы нуля предел lim x →∞ ϕ (x )

∫ f (x )dx

и

a

+∞

∫ ϕ (x )dx

(где a > 0 ) в смысле сходимости ведут себя одинаково, т.е. оба

a

сходятся, или оба расходятся. f (x ) = r , причём (0 < r < +∞ ) . x →∞ ϕ (x ) В силу определения предела это означает, что для любого ε > 0 при досf (x ) −r < ε , таточно больших значениях x будет выполнено неравенство ϕ (x ) f (x ) что равносильно −ε < − r < ε или ϕ (x )(r − ε ) < f (x ) < ϕ (x )(r + ε ) . ϕ (x )

Доказательство. Допустим, что lim

+∞

∫ f (x )dx

Предположим сначала, что интеграл

сходится, а тогда в силу по-

a

лученного неравенства и первого признака сравнения следует, что интеграл +∞

+∞

a

a

∫ (r − ε )ϕ (x )dx = (r − ε ) ∫ ϕ (x )dx

+∞

сходится, значит сходится и

∫ ϕ (x )dx .

a +∞

∫ f (x )dx

Допустим теперь, что интеграл

расходится, тогда в силу того

a

же неравенства и первого признака сравнения вытекает, что расходится и интеграл

+∞

+∞

+∞

a

a

a

∫ (r + ε )ϕ (x )dx = (r + ε ) ∫ ϕ (x )dx , т.е. расходится ∫ ϕ (x )dx .

4. Абсолютная сходимость +∞

Несобственный интеграл

∫ f (x )dx

называется абсолютно сходящимся,

a

если сходится интеграл от модуля этой функции, т.е. интеграл +∞

∫

f (x ) dx .

a

35

+∞

Если же интеграл

∫ f (x )dx

+∞

сходится, а интеграл

a

∫

f (x ) dx расходится,

a

то интеграл называется сходящимся не абсолютно (условно сходящимся). Без доказательства отметим, что из абсолютной сходимости следует схо+∞

димость интеграла

∫ f (x )dx .

a

Для установления абсолютной сходимости (и следовательно сходимости интеграла) могут использоваться признаки сравнения, доказанные выше для положительных функций.

Пример 7. Исследовать сходимость

+∞

∫ 1

sinxdx 1+ x 2

sinx 1 Решение. Очевидна такая оценка , а интеграл ≤ 2 1+ x 1+ x 2 сходится, следовательно, сходится и данный интеграл.

+∞

dx

∫ 1+ x

2

1

§6 Несобственные интегралы от неограниченных функций Пусть функция f (x ) непрерывна на y промежутке [a ,b [ , а в точке b не ограничена, т.е. имеет в этой точке бесконечный разрыв, т.е. lim f (x ) = ∞ (рис 1). x →b − 0

0 a

рис 1

b

x

b

Определение. Несобственным интегралом 2го рода ∫ f (x )dx назыa

B

вается предел lim

B →b −0

∫

b

f (x )dx . Несобственный интеграл

a

∫ f (x )dx

называ-

a

ется сходящимся, если указанный предел конечен и расходящимся в противном случае.

Аналогично определяется несобственный интеграл, если f (x ) не ограничена в точке a (рис 2):

36

b

∫ f (x )dx =

a

b

lim

A →a + 0

∫ f (x )dx

A

В этом случае, когда функция претерпевает бесконечный разрыв во внутренней точке c ∈]a ,b [ (рис 3а),

y

b

то несобственный интеграл

0 a

рис 2

a

x

b

∫ f (x )dx

определяется равенством

b

def c

b

a

a

c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx

y

0 a

y

a

c

b

x

b

0

рис 3а

x

рис 3б

В том случае, когда функция f (x ) обращается в бесконечность на конb

цах промежутка интегрирования [a ,b ] , несобственный интеграл ∫ f (x )dx a

определяется так: b

def c

b

a

c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx , причём a < c < b .

a

b

При этом интеграл

∫ f (x )dx

считается сходящимся, если сходятся оба

a

интеграла, стоящие справа и расходящиеся, если расходится хотя бы один из этих интегралов. Пример 1. Оценить сходимость несобственного интеграла b dx при различных значениях p . I =∫ (b − x )p a

Решение.

1. Пусть p = 1, тогда b

b

dx d (b − x ) = −∫ = − ln b − x − − b x b x a a т.е. при p = 1 интеграл расходится. I =∫

37

b a

= − lim ln b − x + ln b − a = ∞ , x →b − 0

2. Пусть p > 1. Обозначим p = 1 + s , где s > 0 , тогда b

I =∫ a

b

dx

(b − x )

1+s

= − ∫ (b − x ) a

−1−s

1 d (b − x ) = s (b − x )s

b

= ∞, a

т.е. при p > 1 интеграл расходится . 3. Пусть p < 1 , тогда 1 − p = s > 0 . Имеем b

b

b

dx (b − x )− p +1 (b − x )s −p I =∫ = − ∫ (b − x ) d (b − x ) = − =− s (b − x )p 1− p a a a

b

a

(b − a )s . = s

Следовательно при p < 1 интеграл сходится. Заметим, что в качестве эталона для сравнения часто используется расb dx , который сходится при p < 1 и расходится смотренный интеграл ∫ p b x ( − ) a при p ≥ 1 . Точно так же, как и для несобственных интегралов 1 го рода формулируются и доказываются признаки сравнения для несобственных интегралов 2го рода. Аналогично определяется абсолютная сходимость и формулируется признак абсолютной сходимости.

Пример 2. Исследовать сходимость

0.5

∫ (1 − x 0

Решение. 1 x3

<

1 (1 − x 3 ) x 3

Очевидна

такая

dx 3

оценка

) x

на

3

. промежутке

[0, 0.5]:

, 0.5

−

1 2

0.5 0.5

dx x 2 ∫0 x 3 / 2 = 1 = − x 0 = +∞ . − 20 В силу первого признака сравнения данный интеграл расходится. 1

Пример 3. Исследовать сходимость интеграла I = ∫

dx

.

1− x Решение. Заметим, что подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв на верхнем пределе интегрирования, т.е. в точке x = 1 . На промежутке интегрирования имеет место оценка 1 1 1 < = . 1 3 1 − x 1− x (1 − x ) 2 0

38

3

1

Как было указано ранее интеграл

∫ 0

dx 1− x

3

сходится, следовательно,

сходится и данный интеграл. 2π

cosxdx ∫0 3 2π − x . Решение. На данном промежутке [0, 2π ] справедлива такая оценка

Пример 4. Исследовать сходимость интеграла I =

3

cosx 1 . ≤3 2π − x 2π − x

2π

dx сходится, т.к. является эталонным 3 2π − x

∫

Несобственный интеграл

0

интегралом при p =

1 (см. пример 1). В силу признака сравнения данный 3

интеграл сходится. 1

Пример 5. Исследовать сходимость интеграла I = ∫

0e

dx x

−1

.

1

1 dx = 2 x = 2 . Применим 2-ой признак ∫0 x 0

Решение. Очевидно, что сравнения

lim x →0

x e

x

−1

1 2 x

= lim x →0

e

x

1 ⋅ 2 x

=1

Вывод: данный интеграл сходится.

§7 Интегралы, зависящие от параметра

В том случае, если функция, стоящая под знаком определённого интеграла кроме переменной x , по которой ведётся интегрирование, зависит ещё от некоторого параметра α , то очевидно, что интеграл

b

∫ f (x ,α )dx

a

ляется функцией параметра α , т.е. 39

яв-

b

I (α ) = ∫ f (x ,α )dx . a

1

Например ∫ sinαxdx = −

cosαx

α

0

1

=

1 − cosα

α

0 5

∫e

αx

dx =

0

e

1

; ∫ e dx = αx

0

5α

−1

α

e αx

α

1

= 0

e α −1

α

;

.

Заменим, что интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. Представляет интерес вопрос о существовании и нахождении производной от такого интеграла по параметру α . Приведём без доказательства теорему.

Теорема. Если функция f (x ,α ) непрерывна в замкнутом прямоугольнике a ≤ x ≤ b , c ≤ α ≤ d и имеет в нём непрерывную частную производную по параметру α , то на промежутке [c ,d ] имеем: b

I α′ = ∫ fα′ (x ,α )dx

(1)

a

Заметим, что эта операция называется дифференцированием под знаком интеграла. Отметим, что при b = +∞ , т.е. для несобственных интегралов +∞

∫ f (x ,α )dx

для дифференцирования под знаком интеграла не достаточно

a

сходимости интеграла и существования непрерывной частной производной fα′ (x ,α ) . Дополнительно требуется так называемая равномерная сходимость несобственного интеграла. Рассмотрим это понятие подробнее.

Определение 1. Несобственный интеграл по неограниченному промежутку I (α ) =

+∞

∫ f (x ,α )dx ,

(c ≤ α ≤ d ) называется равномерно сходя-

a

щимся по параметру α на [c ,d ] , если для любого ε > 0 найдётся такое, не зависящее от α число A 0 ≥ a , что для любого A > A 0 неравенство +∞

A

a

a

∫ f (x ,α )dx − ∫ f (x ,α )dx

<ε

будет выполняться для всех значений α из промежутка [c ,d ] . 40

b

Определение 2. Несобственный интеграл I (α ) = ∫ f (x ,α )dx от неогa

раниченной функции называется равномерно сходящимся по параметру α на промежутке [c ,d ] , если для любого ε найдётся такое, не зависящее от α число δ > 0 , что для любого η ≤ δ неравенство b

b −η

a

a

∫ f (x ,α )dx − ∫ f (x ,α )dx

<ε

выполняется для всех значений α из промежутка [c ,d ] . Существует простой признак равномерной сходимости по параметру несобственных интегралов, который мы приведём без доказательства.

Теорема 1. (Достаточный признак равномерной сходимости)

Если функция f (x ,α ) непрерывна по переменной x для ∀x ≥ a и существует такая функция Ψ (x ) , что для ∀α ∈ [c ,d ] f (x ,α ) ≤ Ψ (x ) и инте+∞

грал

∫ Ψ(x )dx

+∞

сходится, то несобственный интеграл

a

∫ f (x ,α )dx

сходит-

a

ся равномерно относительно α , где α ∈ [c ,d ] . Аналогично этот признак формулируется для несобственных интегралов от неограниченных функций.

Пример 1. Доказать, что интеграл

+∞

cosαx dx сходится равномерно 2 +k2

∫x 0

относительно параметра α . Решение. Очевидно, что для любого параметра α справедлива такая оценка

cosαx 1 ≤ 2 , 2 2 x +k x +k2 +∞

а несобственный интеграл

∫x 0

dx сходится. +k2

2

Следовательно, данный интеграл сходится равномерно относительно любого параметра α , для которого определена функция cosαx .

41

Теорема 2. (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру) Если функция f (x ,α ) непрерывна по переменной x для ∀x ≥ a и имеет непрерывную по обеим переменным производную f α′ (x ,α ) (α ∈ [c ,d ]) , инте-

грал I (α ) =

+∞

∫ f (x ,α )dx

+∞

сходится, а интеграл

a

∫ fα′ (x ,α )dx

сходится равно-

a

мерно относительно α из [c ,d ] , то имеет место соотношение I ′(α ) =

+∞

∫ fα′ (x ,α )dx

(2)

a

Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций. Приведённые выше формулы (1) и (2) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру α и интегрирования по переменной x (для определённых или несобственных интегралов, то говорят, что функb

ции I (α ) = ∫ f (x ,α )dx и I (α ) = a

+∞

∫ f (x ,α )dx

можно дифференцировать по

a

параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов. 1 x −1 Пример 3. Вычислить интеграл I = ∫ dx с помощью интеграла, ln x 0 1

x 2 −1 зависящего от параметра I (α ) = ∫ dx . ln x 0

Решение. Заметим, что интеграл I (α ) представляет собою функцию переменной α , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная x α −1 функция и её частная производная по α ln x ⎛ x α −1⎞ ′ 1 1 ⋅ x α ⋅ ln x = x α x α ′α = ⎜ ⎟ = ln x ⎝ ln x ⎠α ln x

( )

непрерывны при всех x ∈[0,1] и любом значении λ ≥ 0 . Следовательно, функцию I (α ) можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим 1

x α +1 1 1 = I α′ (α ) = ∫ x dx = , т.е. I α′ (α ) = . 1 λ + + + α λ 1 1 0 0 Интегрируя получим: dα I (α ) = ∫ = ln (α + 1) + c . α +1 1

α

40

Для определения значения постоянной c положим в этом тождестве α = 0 ; т.к. I (0) = 0 , то получаем c = 0 . Итак, получим I (α ) = ln(1 + α ) 1 1 x −1 3 ⎛1⎞ При α = , в частности, имеем I ⎜ ⎟ = ∫ dx = ln . 2 2 ⎝ 2 ⎠ 0 ln x

Пример 4 (Интеграл Дирихле). +∞

e −αx − e − β x Вычислить ∫ sin m xd x (α > 0, β > 0) . x 0

Решение. Будем считать, что данным интегралом является функция параметра m : +∞

e −αx − e − β x sin m xd x ∫0 x и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейбница. e −αx − e − β x 1. Подынтегральная функция f (x , m ) = sin m x и её частная x производная f m′ (x , m ) = (e −αx − e − β x )cos m x непрерывны для всех x ≥ 0 и любом m . 2. Данный интеграл сходится (абсолютно). Действительно, принимая во внимание, что sinm x < m x , получим I (m ) =

+∞

∫ 0

e −αx − e − βx sin m x dx = x

+∞

∫e

−αx

−e

sin m x ⋅m ⋅ dx < m mx

− βx

0

+∞

∫e

−αx

− e − βx dx <

0

+∞

⎛1 1⎞ −αx − βx − = e e dx m ⎜ − ⎟ ∫0 ⎝α β ⎠ 3. Интеграл от функции fm′ (x ,m ) мажорируется сходящимся интегралом: <m

+∞

∫e

−αx

−e

− βx

+∞

⋅ cos m x dx <

0

∫e

−αx

− e − β x dx < ∞

0

Таким образом имеем: +∞ +∞ ⎛ e −αx − e −βx ⎞ ′ α β ⋅ sinmx ⎟ dx = ∫ e −αx −e −βx cosmxdx = 2 − 2 I m′ (m ) = ∫ ⎜ . 2 2 x m m + + α β ⎝ ⎠ 0 0 m

(

)

Откуда

I (m ) = arctg

m

α

− arctg

m

β

+c .

Учитывая, что I (0) = 0 и полагая m = 0 , находим c = 0 , следовательно +∞

e −αx − e − β x m m ∫0 x sin m xdx = arctg α − arctg β . 41

В частности +∞

e −αx sin m x dx m . = arctg ∫0 α x Положим здесь α = 0, m = 1 , тогда получим часто встречающийся интеграл Дирихле +∞ sinx π ∫0 x dx = 2 .

§8 Гамма функция (интеграл Эйлера 2го рода) 1. Определение гамма-функции. Не элементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных x равенством +∞

Γ(x ) =

∫e

−t x −1

t

(1)

dt

0

называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2го рода. Эта функция относится к числу так называемых специальных функций, с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статики и пр.. Γ(x ) имеет две особые точки t = 0 и t = +∞ . Представим интеграл (1) в виде суммы двух интегралов 1

Γ(x ) = ∫ t

+∞

x −1 −t

e dt +

0

∫t

x −1 −t

e dt

1

Оба интеграла сходятся равномерно по параметру x на любом конечном отрезке [a ,b ] ⊂]0, +∞[ . Действительно, пусть 0 < a < 1 и b > 1 . Тогда 0 ≤t

x −1 −t

e

≤t

α −1

при 0 ≤ t ≤ 1 и

1

∫e

α −1

d t = α −1 , и, следовательно интеграл

0

1

∫t

x −1 −t

e dt сходится равномерно на [a ,b ] .

0

Аналогично 0 ≤ t

x −1 −t

e

b −1 −t

≤t e

при t ≥ 1 ,

+∞

∫t

b −1 −t

e dt

сходится, а

1

+∞

∫t

x −1 −t

e dt сходится равномерно на [a ,b ] .

1

Кроме того оба интеграла непрерывны по параметру x на произвольном отрезке [a ,b ] ⊂]0, +∞[ , а поэтому функция Γ(x ) непрерывна ∀x > 0 . 42

Значит при x > 0 функция Γ(x ) непрерывно дифференцируема, причём 1

Γ′(x ) = ∫ t

+∞

∫t

x −1 −t

e ln td t +

0

+∞

x −1 −t

e ln td t =

1

∫t

x −1 −t

e ln td t

0

Применяя метод математической индукции можно доказать, что Γ(x ) имеет производную nго проядка при x > 0 , причём +∞

Γ (x ) = (n )

∫t

x −1 −t

e (ln t )n d t ,

0

в частности Γ′′(x ) =

+∞

∫t

x −1 −t

e (ln t )2dt .

0

Замечание. Сделаем подстановку t = u 2 в интеграле (1), тогда получим +∞

Γ(x ) =

∫e t

+∞

dt = 2 ∫ e −u u 2x −1d u .

−t x −1

0

2

0

Заменяя здесь переменную интегрирования u на t , получим выражение для гамма-функции в виде +∞

Γ(x ) = 2 ∫ e −t t 2x −1dt . 2

0

2. Свойства гамма-функции 1. Γ(x + 1) = x Γ(x ) Попробуем взять по частям интеграл, представляющий Γ(x + 1) +∞

Γ(x + 1) = ∫ e

−t

−t

⋅ t d t = −e t x

0

u =t

x +∞ 0

+∞

+x ∫e t 0

du = x ⋅ t

x

dv = e −t dt

+∞

dt = x ∫ e −t t x −1dt = x Γ(x ) ,

−t x −1

0

x −1

dt

v = −e −t

т.е. Γ(x + 1) = x Γ(x ) . Получили формулу приведения для гамма-функции. 2. Γ(n + 1) = n ! Вычислим значения Γ(1), Γ( 2), Γ(3),... Имеем +∞

Γ(1) =

−t −t ∫ e d t = −e 0

+∞ 0

= 1 , т.е. Γ(1) = 1 .

Γ( 2) = Γ(1 + 1) = 1Γ(1), Γ(3) = Γ( 2 + 1) = 2Γ( 2), Γ( 4) = 3Γ(3) = 3 ⋅ 2 ⋅ Γ( 2) = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ Γ(1) = 3! , т.е. Γ(n + 1) = n ! 43

В частности Γ(1) = Γ(0 + 1) = 0 ! => Γ(1) = 0 ! , следовательно 0 ! = 1 . Т.к. функция Γ(x ) определена для любого положительного x , то с помощью гамма-функции Γ(x ) можно распространить понятие факториала на любое положительное число r функций (r − 1)! = Γ(r ) . 4. Если x = n + p , где 0 < p < 1, то будет Γ(n + p ) = (n + p − 1) ⋅ (n + p − 2) ⋅ ⋅p Γ(p ) , т.е. вычисление гамма-функции от любого аргумента можно свести к вычислению её от аргумента можно свести к вычислению её от аргумента, заключённого между 0 и 1 .

3. Исследование гамма-функции.

Ранее мы установили, что гамма-функция Γ(x ) непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для x > 0 , кроме того Γ(1) = Γ( 2) , следовательно в силу теоремы Ролля ∃c ∈]1, 2[ такая, что Γ′(c ) = 0 . можно показать, что c = 1.4616 и в этой точке гамма-функция имеет миниΓ(x + 1) , нетрудно замемум, причём Γ min = 0.8856 . Учитывая, что Γ(x ) = x тить, что lim Γ(x ) = +∞ . x →+0

Принимая во внимание проведённое исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для x > 0 (рис 1). y

3

2

1 0 , 8856

1

1, 46

2

3

4

x

рис 1 Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для отрицательных x . Окончательно график Γ(x ) имеет вид (рис 1). 44

Γ(x )

x

0

45

Теорема 2. (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру) Если функция f (x ,α ) непрерывна по переменной x для ∀x ≥ a и имеет непрерывную по обеим переменным производную f α′ (x ,α ) (α ∈ [c ,d ]) , интеграл I (α ) =

+∞

∫ f (x ,α )dx

+∞

сходится, а интеграл

a

∫ fα′ (x ,α )dx

сходится рав-

a

номерно относительно α из [c ,d ] , то имеет место соотношение I ′(α ) =

+∞

∫ fα′ (x ,α )dx

(2)

a

Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций. Приведённые выше формулы (1) и (2) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру α и интегрирования по переменной x (для определённых или несобственных интегралов, то говорят, что функb

ции I (α ) = ∫ f (x ,α )dx и I (α ) = a

+∞

∫ f (x ,α )dx

можно дифференцировать по

a

параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов. 1 x −1 Пример 3. Вычислить интеграл I = ∫ dx с помощью интеграла, ln x 0 1

x 2 −1 зависящего от параметра I (α ) = ∫ dx . ln x 0

Решение. Заметим, что интеграл I (α ) представляет собою функцию переменной α , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная x α −1 функция и её частная производная по α ln x ⎛ x α −1⎞ ′ 1 1 ⋅ x α ⋅ ln x = x α x α ′α = ⎜ ⎟ = ln x ⎝ ln x ⎠α ln x

( )

непрерывны при всех x ∈[0,1] и любом значении λ ≥ 0 . Следовательно, функцию I (α ) можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим 1

x α +1 1 1 = I α′ (α ) = ∫ x dx = , т.е. I α′ (α ) = . 1 λ + + + α λ 1 1 0 0 Интегрируя получим: dα I (α ) = ∫ = ln (α + 1) + c . α +1 1

α

42

Для определения значения постоянной c положим в этом тождестве α = 0 ; т.к. I (0) = 0 , то получаем c = 0 . Итак, получим I (α ) = ln(1 + α ) 1 1 x −1 3 ⎛1⎞ При α = , в частности, имеем I ⎜ ⎟ = ∫ dx = ln . 2 2 ⎝ 2 ⎠ 0 ln x

Пример 4 (Интеграл Дирихле). +∞

e −αx − e − β x Вычислить ∫ sin m xd x (α > 0, β > 0) . x 0

Решение. Будем считать, что данный интеграл является функцией параметра m : +∞

e −αx − e − β x sin m xd x ∫0 x и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейбница. e −αx − e − β x 1. Подынтегральная функция f (x , m ) = sin m x и её частная x производная f m′ (x , m ) = (e −αx − e − β x )cos m x непрерывны для всех x ≥ 0 и любом m . 2. Данный интеграл сходится (абсолютно). Действительно, принимая во внимание, что sinm x < m x , получим I (m ) =

+∞

∫ 0

e −αx − e − βx sin m x dx = x

+∞

∫e

−αx

−e

sin m x ⋅m ⋅ dx < m mx

− βx

0

+∞

∫e

−αx

− e − βx dx <

0

⎛1 1⎞ <m⎜ − ⎟ ⎝α β ⎠ 3. Интеграл от функции fm′ (x ,m ) мажорируется сходящимся интегралом: +∞

∫e

−αx

−e

− βx

+∞

⋅ cos m x dx <

0

∫e

−αx

− e − β x dx < ∞

0

Таким образом имеем: +∞ +∞ ⎛ e −αx − e −βx ⎞ ′ α β ⋅ sinmx ⎟ dx = ∫ e −αx −e −βx cosmxdx = 2 − 2 I m′ (m ) = ∫ ⎜ . 2 2 x m m + + α β ⎝ ⎠ 0 0 m

(

)

Откуда

I (m ) = arctg

m

α

− arctg

m

β

+c .

Учитывая, что I (0) = 0 и полагая m = 0 , находим c = 0 , следовательно +∞

e −αx − e − β x m m sin m xdx = arctg − arctg . ∫0 α β x 43

В частности +∞

e −αx sin m x dx m . = arctg ∫0 α x Положим здесь α = 0, m = 1 , тогда получим часто встречающийся интеграл Дирихле +∞ sinx π ∫0 x dx = 2 .

§8. Гамма функция (Интеграл Эйлера 2го рода) 1. Определение гамма-функции. Неэлементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных x равенством +∞

Γ(x ) =

∫e

−t x −1

t

(1)

dt

0

называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2-го рода. Эта функция относится к числу так называемых специальных функций, с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статистки и пр.. Γ(x ) имеет две особые точки t = 0 и t = +∞ . Представим интеграл (1) в виде суммы двух интегралов 1

Γ(x ) = ∫ t

+∞

x −1 −t

e dt +

0

∫t

x −1 −t

e dt

1

Оба интеграла сходятся равномерно по параметру x на любом конечном отрезке [a ,b ] ⊂]0, +∞[ . Действительно, пусть 0 < a < 1 и b > 1 . Тогда 0 ≤t

x −1 −t

e

≤t

α −1

при 0 ≤ t ≤ 1 и

1

∫e

α −1

d t = α −1 , и, следовательно интеграл

0

1

∫t

x −1 −t

e dt сходится равномерно на [a ,b ] .

0

Аналогично 0 ≤ t

x −1 −t

e

b −1 −t

≤t e

при t ≥ 1 ,

+∞

∫t 1

+∞

∫t

x −1 −t

e dt сходится равномерно на [a ,b ] .

1

44

b −1 −t

e dt

сходится, а

Кроме того, оба интеграла непрерывны по параметру x на произвольном отрезке [a ,b ] ⊂]0, +∞[ , а поэтому функция Γ(x ) непрерывна ∀x > 0 . Значит при x > 0 функция Γ(x ) непрерывно дифференцируема, причём 1

Γ′(x ) = ∫ t

+∞

∫t

x −1 −t

e ln td t +

0

+∞

x −1 −t

e ln td t =

1

∫t

x −1 −t

e ln td t

0

Применяя метод математической индукции можно доказать, что Γ(x ) имеет производную nго проядка при x > 0 , причём +∞

Γ (x ) = (n )

∫t

x −1 −t

e (ln t )n d t ,

0

в частности Γ′′(x ) =

+∞

∫t

x −1 −t

e (ln t )2dt .

0

Замечание. Сделаем подстановку t = u 2 в интеграле (1), тогда получим +∞

Γ(x ) =

∫e t

+∞

dt = 2 ∫ e −u u 2x −1d u .

−t x −1

0

2

0

Заменяя здесь переменную интегрирования u на t , получим выражение для гамма-функции в виде +∞

Γ(x ) = 2 ∫ e −t t 2x −1dt . 2

0

2. Свойства гамма-функции 1. Γ(x + 1) = x Γ(x ) Попробуем взять по частям интеграл, представляющий Γ(x + 1) +∞

Γ(x + 1) = ∫ e

−t

⋅ t dt = x

0

u =tx

du = x ⋅ t x −1dt

dv = e −t dt

v = −e −t

= −e t

+∞

= x ∫ e −t t x −1dt = x Γ(x ) 0

т.е. Γ(x + 1) = x Γ(x ) . Получили формулу приведения для гамма-функции. 45

−t

x +∞ 0

+∞

+ x ∫ e −t t x −1dt 0

,

2. Γ(n + 1) = n ! Вычислим значения Γ(1), Γ( 2), Γ(3),... Имеем +∞

Γ(1) =

−t −t ∫ e dt = −e 0

+∞ 0

= 1 , т.е. Γ(1) = 1 .

Γ( 2) = Γ(1 + 1) = 1Γ(1), Γ(3) = Γ( 2 + 1) = 2Γ( 2), Γ( 4) = 3Γ(3) = 3 ⋅ 2 ⋅ Γ( 2) = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ Γ(1) = 3! , т.е. Γ(n + 1) = n !

В частности Γ(1) = Γ(0 + 1) = 0 ! => Γ(1) = 0 ! , следовательно 0 ! = 1 . 3. В соответствии с формулой приведения для гамма-функции имеем Γ(x ) = (x − 1)Γ(x − 1) = (x − 1)(x − 2)Γ(x − 2) = (x − 1)(x − 2)...(x − k )Γ(x − k )

Т.к. функция Γ(x ) определена для любого положительного x , то с помощью гамма-функции Γ(x ) можно распространить понятие факториала на любое положительное число r функций (r − 1)! = Γ(r ) . 4. Если x = n + p , где 0 < p < 1, то будет Γ(n + p ) = (n + p − 1) ⋅ (n + p − 2) ⋅ ⋅p Γ(p ) ,

т.е. вычисление гамма-функции от любого аргумента можно свести к вычислению её от аргумента, заключённого между 0 и 1 .

3. Исследование гамма-функции.

Ранее мы установили, что гамма-функция Γ(x ) непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для x > 0 , кроме того Γ(1) = Γ( 2) , следовательно в силу теоремы Ролля ∃c ∈]1, 2[ такая, что Γ′(c ) = 0 . можно показать, что c = 1.4616 и в этой точке гамма-функция имеет миниΓ(x + 1) , нетрудно замемум, причём Γ min = 0.8856 . Учитывая, что Γ(x ) = x тить, что lim Γ(x ) = +∞ . x →+0

46

Принимая во внимание проведённое исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для x > 0 (рис 1). y

3

2

1

0, 8856

1

1, 46

2

x

4

3

рис 1 Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для отрицательных x . Окончательно график Γ(x ) имеет вид (рис 1). Γ(x )

4 3 2 1 −5

−4

−3

−2

−1

0

−1 −2

−3 −4 −5 рис 2 47

1

2

3

4

x

5

Как и многие специальные функции, гамма-функция табулирована. Ввиду того, что значения гамма-функция для x < 1 и для x > 2 могут быть выΓ(x + 1) числены с помощью формул Γ(x ) = , Γ(x ) = (x − 1)Γ(x − 1) , в таблице x приводятся значения Γ(x ) для x ∈ [1, 2] . (рис 2).

Гамма-функция x

Γ(x )

x

Γ(x )

x

Γ(x )

x

Γ(x )

1,00 01 02 03 04

1,00000 0,99433 0,98884 0,98355 0,97844

1,25 26 27 28 29

0,90640 0,90440 0,90250 0,90072 0,89904

1,50 51 52 53 54

0,88623 0,88659 0,88704 0,88757 0,88818

1,75 76 77 78 79

0,91906 0,92137 0,92376 0,92623 0,92877

1,05 06 07 08 09

0,97350 0,96874 0,96415 0,95973 0,95546

1,30 31 32 33 34

0,89747 0,89600 0,89464 0,89338 0,89222

1,55 56 57 58 59

0,88887 0,88964 0,89049 0,89142 0,89243

1,80 81 82 83 84

0,93138 0,93408 0,93685 0,93969 0,94261

1,10 11 12 13 14

0,95135 0,94740 0,94359 0,93993 0,93642

1,35 36 37 38 39

0,89115 0,89018 0,88931 0,88854 0,88785

1,60 61 62 63 64

0,89352 0,89468 0,89592 0,89724 0,89864

1,85 86 87 88 89

0,94561 0,94869 0,95184 0,95507 0,95838

1,15 16 17 18 19

0,93304 0,92980 0,92670 0,92373 0,92089

1,40 41 42 43 44

0,88726 0,88676 0,88636 0,88604 0,88581

1,65 66 67 68 69

0,90012 0,90167 0,90330 0,90500 0,90678

1,90 91 92 93 94

0,96177 0,96523 0,96877 0,97240 0,97610

1,20 21 22 23 24

0,91817 0,91558 0,91311 0,91075 0,90852

1,45 46 47 48 49

0,88566 0,88560 0,88563 0,88575 0,88595

1,70 71 72 73 74

0,90864 0,91057 0,91258 0,91467 0,91683

1,95 96 97 98 99

0,97988 0,98374 0,98768 0,99171 0,99581

1,25

0,90640

1,50

0,88623

1,75

0,91906

2,00

1,00000

48

+∞

dt ∫0 t e t Решение. Запишем данный интеграл так: +∞ +∞ +∞ 1 1 − −1 dt −t −t 2 2 I =∫ = e ⋅ t dt = e ⋅ t dt ∫ ∫ t t ⋅ e 0 0 0 ⎛1⎞ Нетрудно видеть, что данный интеграл I = Γ ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ В силу формул приведения ⎛3⎞ Γ⎜ ⎟ 2 ⎛1⎞ Γ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ . 1 ⎝2⎠ 2 ⎛3⎞ ⎛1⎞ Находим в таблице значение Γ ⎜ ⎟ = 0.88623 , следовательно Γ ⎜ ⎟ ≈ 1.73 . ⎝2⎠ ⎝2⎠ +∞ dt ≈ 1.73 Ответ: ∫ t t e 0

Пример. Вычислить интеграл I =

§9. Бета-функция (интеграл Эйлера первого рода) 1. Определение бета-функции Бета-функцией или интегралом Эйлера первого рода называется интеграл вида 1

B (p ,q ) = ∫ x p −1 (1 − x )q −1dx

( p ,q > 0 )

(1)

0

Для p < 1 и q < 1 интеграл является несобственным как на верхнем, так и на нижнем пределах интегрирования. Можно доказать однако, что эти интегралы сходятся.

2. Свойства бета-функции 1. B (p ,q ) = B (q , p ) (симметрия) Действительно, сделаем замену 1

переменных

B (p ,q ) = ∫ x p −1 (1 − x )q −1dx , положив 1 − x = t , dx = −dt . 0

49

в

интеграле

Получим 0

B (p ,q ) = − ∫ (1 − t ) t

0

dt = ∫ t q −1 (1 − t )p −1dt = B (q , p ) ,

p −1 q −1

1

1

т.е. B (p ,q ) = B (q , p ) . 2. Докажем, что для бета-функции справедливы формулы приведения (q − 1)B (p ,q − 1) ⎫ B ( p ,q ) = ⎪⎪ p + q −1 (2) ⎬ (p − 1)B (p − 1,q ) ⎪ B ( p ,q ) = ⎪⎭ p + q −1 Для доказательства решим интеграл (1) по частям: 1 u =tx du = x ⋅ t x −1dt p −1 q −1 B ( p ,q ) = ∫ x

(1 − x )

dx =

0

= (1 − x )q −1 ⋅

1 p x p

1 0

−t

dv = e dt

v = −e

−t

=

1

+

q −1 x p (1 − x )q − 2 d x ∫ p 0

Преобразуем подынтегральное выражение во втором интеграле так: x p (1 − x )q −2 = x p −1 (1 − x )q −2 [1 − (1 − x )] = = x p −1 (1 − x )q −2 − x p −1 (1 − x )q −1 таким образом выражение для B (p ,q ) : 1 1 ⎤ q − 1 ⎡ p −1 q −2 p −1 q −1 B ( p ,q ) = x 1 x dx x 1 x dx − − − ( ) ( ) ⎢ ⎥= ∫0 p ⎣ ∫0 ⎦

q −1 [B (p ,q − 1) − B (p ,q )] . p Откуда следует: pB (p ,q ) = (q −1)B (p ,q −1) − (q −1)B (p ,q ) => (p +q −1)B (p ,q ) = (q −1)B (p ,q −1) => (q −1)B (p ,q −1) B (p ,q ) = . p +q −1 В силу симметрии бета-функции имеем аналогичную формулу приведения: =

(p − 1)B (p − 1,q ) . p + q −1 Формулы приведения позволяют свести вычисление бета-функции от аргументов больших единицы, к вычислению её от аргументов, меньших единицы. B ( p ,q ) =

3. Между гамма-функцией и бета-функцией имеет место соотшение B ( p ,q ) = 50

Γ(p )Γ(q ) . Γ( p + q )

В формуле приведения (2) положим q = n , n ∈ , тогда будет n −1 (n − 1)(n − 2)...1 B (p ,n ) = B (p , n − 1) = B (p ,1) p + n −1 (p + n − 1)(p + n − 2)...(p + 1) Вычислим 1

xp p −1 B (p ,1) = ∫ x dx = p 0

1

= 0

1 , тогда будет p

B (p ,n ) =

(n − 1)(n − 2)...1 (p + 1)(p + 2)...(p + n − 1)

Если p = m , то тогда (n − 1)!(m − 1)! . (m + n − 1)! Напомним, что для рассмотренной выше гамма-функции мы получили такие соотношения B (m , n ) =

Γ(n ) = (n − 1)!, Γ(m ) = (m − 1)!, Γ(m + n ) = (m + n − 1)! Следовательно имеем:

Γ(m )Γ(n ) . Γ(m + n ) Обобщим эту формулу на произвольные значения аргументов (p ,q > 0) : Γ(p )Γ(q ) . B ( p ,q ) = Γ( p + q ) B (m , n ) =

4. Интеграл Пуассона Пример 1. Вычислить B ⎛⎜ ; ⎞⎟ . ⎝2 2⎠ Решение. 1 1

1

1

1

1

1

1

−1 −1 dx dx dx ⎛1 1⎞ B ⎜ ; ⎟ = ∫ x 2 (1 − x ) 2 dx = ∫ =∫ =∫ = 2 2 x x − ( 1 ) ⎝2 2⎠ 0 x x − 0 0 0 1 ⎛ 1⎞ − ⎜x − ⎟ 4 ⎝ 2⎠ 1

= 2∫ 0

dx 1 − ( 2x − 1)

2

u = 2x − 1, = du = 2xdx

1

=∫

−1

du 1− u

2

⎛1 1⎞ Итак B ⎜ ; ⎟ = π ⎝2 2⎠ 51

= arcsin u

1 −1

= arcsin1 − arcsin( −1) = π

С другой стороны

⎛1⎞ ⎛1⎞ Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ 2 2 ⎛1 1⎞ ⎛1⎞ B ⎜ ; ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = Γ2 ⎜ ⎟ = π , ⎝ 2 2 ⎠ Γ⎛ 1 + 1 ⎞ ⎝2⎠ ⎜ ⎟ ⎝2 2⎠ откуда следует

⎛1⎞ Γ⎜ ⎟ = π . ⎝2⎠ Рекомендуем сравнить с результатами примера, рассмотренного на стр 48. +∞

Пример 2. Рассмотрим интеграл I = ∫ e −x dx . 2

0

Сделаем замену переменной: x = t , dx =

1 2 t

. Тогда наш интеграл I

так выражается через гамма-функцию: +∞

I = ∫ e −x dx = 2

0

+∞

+∞

1 − −t 2

1 1 e t dt = ∫ e −t t ∫ 2 0 2 0

⎛1⎞ Γ⎜ ⎟ π 2 dt = ⎝ ⎠ = . 2 2

1 −1 2

Мы получили часто встречающийся в теории вероятностей интеграл, который называется интегралом Пуассона: +∞

∫e 0

−x 2

dx =

π 2

(интеграл Пуассона).

52

ГЛАВА 3. ДВОЙНОЙ И ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛЫ §1. Двойной интеграл Прежде чем дать определение двойного интеграла, сделаем несколько предварительных замечаний и определений. Определение 1. Кривая K называется простой кривой, если она распадается на конечное число частей, каждая из которых имеет уравнение вида y = f (x ) или x = ϕ (y ) , при чём функции f (x ) и ϕ (y ) непрерывны на некотором промежутке [a ,b ] или соответственно [p ,q ] . В том случае, если кривая K - простая, замкнутая, самонепересекающаяся кривая, лежащая в плоскости xO y , то множество всех точек плоскости разбивается единственным образом на два связных множества. Мы будем в дальнейшем рассматривать области, ограниченные кривой K . Точки, лежащие на контуре K , мы будем считать принадлежащими области D , которую ограничивает этот контур, т.е. будем рассматривать замкнутую область D , ограниченную простым самонепересекающимся контуром K . Мы будем рассматривать в дальнейшем простые области, понимая под этим области, ограниченные простыми кривыми и такие, что любая прямая, параллельная координатным осям, пересекает границу области не более, чем в двух точках (рис. 1). y y D2 D D1 D3 x x 0 0 рис 1

рис 2

y

y

N

D

D

0 M

0

x

R

x рис 3 рис 4 Естественно, что к числу таких областей мы будем относить и области, которые можно разбить на конечное число областей указанного выше типа (рис. 2). Рассмотрим простую область D (рис. 3), ограниченную кривой K , и обозначим через r (M , N ) - множество расстояний между точками M и N , лежащими на кривой K . Наибольшее из расстояний между точками M 53

и N будем называть в дальнейшем диаметром области D . Дадим теперь строгое определение понятия площади области D , ограниченной контуром K (рис. 4). Пусть R есть некоторый прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий контур K целиком внутри себя, не задевая точек контура K . Разобьём прямоугольник R сетью прямых, параллельных координатным осям, на прямоугольники (ячейки). Наибольший из диаметров ячеек обозначим через λ и будем называть рангом дробления. Обозначим через S 1 сумму площадей z ячеек, целиком лежащих в области D и не задевающих контура K , а через S 2 - сумму площадей ячеек, имеющих с областью f (x k ,y k ) D или её контуром хотя бы одну общую точку. Очевидно, что S 1 ≤ S 2 . Если существует общий предел lim S 1 = lim S 2 = S n →∞ n →∞ y 0 при условии, что число ячеек увеличивается, а ранг дробления λ стремится к нулю x (x k ,y k ) (т.е. λ → 0 ), то число S называется площадью области D , а сама область D нарис. 5 зывается квадрируемой. Рассмотрим теперь некоторую функцию f (x , y ) , определённую в простой области D , ограниченной контуром K (рис 5). Дадим определение двойного интеграла. Определение 2. Разобьём область D сетью простых кривых произвольным образом на ячейки D 1 , D 2 , ..., D n с площадями ΔS 1 , ΔS 2 ,..., ΔS n и диаметрами α1 ,α 2 ,..., αn . Наибольший из диаметров обозначим через λ ранг дробления. В каждой частичной ячейке D k возьмём произвольную точку M k (x k , y k ) и вычислим в ней значение функции f (x k , y k ) . Умножим затем f (x k , y k ) на площадь соответствующей ячейки ΔS k и просуммируем все такие произn

ведения, т.е. составим сумму σ n = ∑ f (x k , y k )ΔS k , которая называется k =1

интегральной суммой или суммой Римана. Измельчая дальше дробление при условии, что ранг дробления λ → 0 , ищем предел последовательности интегральных сумм I = lim σ n . Если этот предел существует и не зависит n →∞ λ →0

от способа дробления и выбора точек M k , то он называется двойным интегралом функции f (x , y ) по области D и обозначается так:

I = ∫∫ f (x , y )dxdy . D

54

Сама подынтегральная функция f (x , y ) при этом называется интегрируемой по области D . Итак, принимая во внимание приведённое выше рассуждение, мы можем коротко определить двойной интеграл от функции f (x , y ) по области D как предел последовательности интегральных сумм Римана, т.е.

∫∫ f (x ,y )dxdy

n

def

= lim ∑ f (x k , y k )ΔS k . n →∞ , λ →0 k =1

D

Теорема существования двойного интеграла. Если подынтегральная функция f (x , y ) непрерывна в каждой точке простой замкнутой области D , то она в этой области интегрируема. (Без доказательства). Замечание. Можно доказать, что всякая интегрируемая в области D функция ограничена в ней.

1. Геометрической смысл двойного интеграла Если f (x , y ) > 0 в каждой точке простой области D , по которой ведется интегрирование, то непосредственно из определения двойного интеграла следует (см. рис. 5), что двойной интеграл ∫∫ f (x , y )dxdy даёт нам объём D

тела, ограниченного снизу областью D , сверху - поверхностью, уравнение которой z = f (x , y ) , а с боков - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси O z , а направляющей служит граница области D (контур K ), т.е. vT = ∫∫ f (x , y )dxdy , D

S D = ∫∫ dxdy . D

где S D - площадь область D . Приведём без доказательства свойства 3-7, очевидно которых следует непосредственно из определения двойного интеграла: 3. ∫∫ cf (x , y )dxdy = c ∫∫ f (x , y )dxdy , c = con st D

4.

∫∫ [c f (x ,y ) ± c 1 1

D

D

f (x , y )]dxdy = c 1 ∫∫ f1 (x , y )dxdy ± c 2 ∫∫ f 2 (x , y )dxdy ,

2 2

D

D

где c 1 , c 2 и c 3 - некоторые постоянные. 5. Если область D разбита простой кривой на две части D 1 и D 2 , то тогда 55

∫∫ f (x ,y )dxdy = ∫∫ f (x ,y )dxdy + ∫∫ f (x ,y )dxdy . D

D1

D2

6. Если в каждой точке области D : f (x , y ) ≥ 0 , то

∫∫ f (x ,y )dxdy ≥ 0 . D

7. Если в каждой точке области D : f1 (x , y ) ≤ f 2 (x , y ) , то

∫∫ f (x ,y )dxdy ≤ ∫∫ f 1

D

2

(x , y )dxdy

D

8. Если в каждой точке области D справедливо неравенство m ≤ f (x , y ) ≤ M , то m ⋅ S D ≤ ∫∫ f (x , y )dxdy ≤ M ⋅ S D , где S D - площадь D

области D .

Доказательство. В силу свойства 7 очевидно, что

∫∫ m dxdy ≤ ∫∫ f (x ,y )dxdy ≤ ∫∫ M dxdy , D

D

D

откуда следует m ⋅ ∫∫ dxdy ≤ ∫∫ f (x , y )dxdy ≤ M ⋅ ∫∫ dxdy , D

остаётся учесть, что

D

∫∫dxdy = S

D

D

.

D

9. Теорема о среднем. Если в каждой точке замкнутой области D f (x , y ) непрерывна, то тогда в области D найдётся точка P (ξ ,η ) такая, что

∫∫ f (x ,y )dxdy = f (ξ ,η ) ⋅ S

D

,

D

где S D - площадь области D . Доказательство. Так как функция f (x , y ) непрерывна в замкнутой области D , то в ней достигает своего наименьшего m и наибольшего M значения, т.е. справедливо неравенство m ≤ f (x , y ) ≤ M , откуда в силу свойства 7 вытекает m ⋅ S D ≤ ∫∫ f (x , y )dxdy ≤ M ⋅ S D . D

Разделив почленно полученное соотношение на положительную величину S D получим 1 m ≤ f (x , y )dxdy ≤ M . S D ∫∫ D

56

Ввиду того, что функция f (x , y ) непрерывна в замкнутой области D , а m и M её наименьшее и наибольшее значение соответственно, то в области D найдётся некоторая точка P (ξ ,η ) такая, что 1 f (x , y )dxdy = f (ξ ,η ) , S D ∫∫ D откуда и следует, что

∫∫ f (x ,y )dxdy = f (ξ ,η ) ⋅ S

D

.

D

Значение f (ξ ,η ) называют "средним" значением функции в области D .

2. Вычисление двойного интеграла Вычислим двойной интеграл I = ∫∫ f (x , y )dxdy в предположении, что

z

D

y

d

F (x )

c

0a

x

b

рис. 6

x

функция f (x , y ) положительна в области D , а область D ограничена снизу кривой y = y 1 (x ) , сверху кривой y = y 2 (x ) (рис. 6), причём x ∈ [a ,b ] ; мы предполагаем, что функции y 1 (x ) и y 2 (x ) непрерывны в промежутке [a ,b ] и в каждой его точке y 1 (x ) ≤ y 2 (x ) . Из геометрического смысла двойного интеграла ясно, что двойной интеграл ∫∫ f (x , y )dxdy даёт D

нам объём тела, изображенного на рис. 6. Найдём объём этого тела с помощью определённого интеграла. Для этого проведём сечение тела плоскостью x = const . Обозначим площадь этого сечения F (x ) . Известно, что объём тела по площадям сечений вычисляется так: b

v = ∫ F (x )dx . a

Остаётся найти площадь сечения F (x ) . Очевидно, что это сечение представляет собою криволинейную трапецию, ограниченную снизу прямой x = const , сверху - кривой, уравнение которой z = f (x , y ) (причём здесь x фиксировано), а с боков - прямыми, параллельными оси O z . Следовательно F (x ) =

y 2 (x )

∫

y 1 (x )

57

f (x , y )dy .

Подставляя найденное значение F (x ) в исходный интеграл, окончательно получим b ⎡y 2 ( x ) ⎤ f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy = ⎢ ⎥ dx . ∫∫D ∫a ⎢ y ∫(x ) ⎣1 ⎦⎥ Интеграл стоящий в правой части этого равенства, называется повторным или двукратным и записывается так: y 2 (x ) b ⎡y 2 ( x ) b ⎤ ∫a ⎢⎢ y ∫(x ) f (x ,y )dy ⎥⎥ dx = a∫dx y ∫(x ) f (x ,y )dy 1 ⎣1 ⎦ Итак, окончательно получаем такое выражение двойного интеграла через повторный: b

y 2 (x )

∫∫ f (x ,y )dxdy = ∫dx ∫ D

a

f (x , y )dy .

y 1 (x )

y 2 (x )

Заметим, что интеграл

∫

f (x , y )dy называется внутренним, при этом

y 1 (x )

говорят, что внутреннее интегрирование ведется по переменной y , а внешнее - по переменной x . Проводя совершенно аналогичные рассуждения, мы можем получить точно такую же форму для вычисления двойного интеграла, где внутреннее интегрирование выполнено по переменной x , а внешнее - по переменной y (рис. 6): d

x 2 (y )

∫∫ f (x ,y )dxdy = ∫dy ∫ D

c

f (x , y )dx .

x1 (y )

Очевидно, не играет роли, по какой переменной нужно выполнять внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее. Пример. Вычислить I = ∫∫ (x + y 2 )dxdy , D

где область D ограничена прямыми y = 0, y = x , x + y = 4 (рис. 7).

Решение.

Решим пример двумя

способами.

y =x

y

x +y = 4

Первый способ. Выполним внутреннее интегрирование по x , а внешнее по y , тогда получим 2

I = ∫ dy 0

DM1 0

4 −y

∫ (x + y y

58

2

)dx .

1

D2 2 3 рис. 7

x 4

Вычислим внутренний интеграл: 4−y

4 −y

⎛x2 ⎞ I вн = ∫ (x + y 2 )dx = ⎜ + xy 2 ⎟ = −2y 3 + 4y 2 − 4y + 8 . ⎝ 2 ⎠y y Подставляя найденное значение в выражение для I , получим 2

⎛ y 4 4y 3 ⎞ 32 2 ∫∫D (x + y )dxdy = ∫0 ⎣⎡−2y + 4y − 4y + 8⎦⎤ dy = ⎜⎝ − 2 + 3 − 2y + 8 ⎟⎠ = 3 . 0 Второй способ. Внутреннее интегрирование выполним по переменной y , а внешнее - по переменной x . Заметим, что при этом область D мы должны разбить на две области D 1 и D 2 (как указано на рис. 8), следовательно, двойной интеграл выразится в виде суммы таких двух повторных интегралов: 2

2

3

2

2

x

4

4

2

0

(

)

I = ∫ dx ∫ (x + y ) dy + ∫ dx ∫ x + y 2 dy = I 1 + I 2 2

0

0

x

I 1внутр = ∫

(

0

x

⎛ y3⎞ x3 x + y 2 dy = ⎜ xy + ⎟ = x 2 + 3 ⎠0 3 ⎝

)

2

⎛ 2 x3 ⎞ ⎛x3 x4 ⎞ 8 4 I 1 = ∫ ⎜ x + ⎟dx = ⎜ + ⎟ = + = 4 3 ⎠ ⎝ 3 12 ⎠ 0 3 3 0⎝ 2

4−x

I 2внутр =

∫( 0

4−x

⎛ y3 ⎞ 64 x3 2 x + y dy = ⎜ xy + ⎟ = − 12x + 3x − 3 ⎠0 3 3 ⎝ 2

)

⎛ 64 x3 ⎞ 20 2 I 2 = ∫ ⎜ − 12x + 3x − ⎟dx = 3 3 ⎠ 3 2⎝ 20 32 = . Итак, окончательно получим I = I 1 + I 2 = 4 + 3 3 4

3. Вычисление площади кривой поверхности с помощью двойного интеграла.

Рассмотрим поверхность S , заданную уравнением F (x , y , z ) = 0 . Допустим, что функция F (x , y , z ) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Fx′ , Fy′ и Fz′ . Допустим, что все три частные производные не обращаются в ноль ни в одной точке поверхности S , т.е. поверхность S в каждой точке имеет касательную плоскость. При таких предположениях в каждой точке поверхности S существует нормаль N , причём вектор N=

∂F (x , y , z ) ∂F (x , y , z ) ∂F (x , y , z ) ⋅i + ⋅ j+ ⋅k . ∂x ∂y ∂z 59

Допустим, в частности, что поверхность S z = f (x , y ) . Очевидно, что мы можем считать, что F (x , y , z ) = z − f (x , y ), причём частные производные ∂F ∂f (x , y ) =− , ∂x ∂x ∂F ∂f (x , y ) =− , ∂y ∂y ∂F =1 ∂z

задана уравнением

z

ν

N

μ

λ y

0 x

D

рис. 8

непрерывны в силу сделанных выше предположений. Обозначим ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) = p (x , y ), = q (x , y ) , ∂x ∂y

тогда ясно, что нормаль к поверхности будет иметь координаты N = N ( −p (x , y ), −q (x , y ), 1) . Единичный вектор нормали, следовательно, имеет вид N0 =

−p (x , y )i − q (x , y )j + k ± p (x , y ) + q (x , y ) + 1 2

2

,

где i, j, k - орты системы координат (рис. 8). Как известно, координаты единичного вектора совпадают с направляющими косинусами данного вектора. Обозначим через λ , μ и ν углы нормали N соответственно с координатными осями O x , O y и O z . Знак ± в знаменателе последней формулы означает, что мы можем выбрать на нормали два взаимно противоположных направления, т.е. для направляющих косинусов нормали получим такие формулы:

60

cos λ = cos μ = cosν =

−p (x , y ) ± p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) + 1 −q (x , y ) ± p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) + 1 1

, , .

± p (x , y ) + q (x , y ) + 1 Зафиксируем на нормали то направление, которое образует острый угол с осью O z , т.е. выберем в формулах для направляющих косинусов такой знак перед корнем, чтобы было cosν > 0 . Очевидно, что следует взять плюс, T k причём этот знак следует зафиксировать M k (xk ,y k ,z k ) z во всех трёх формулах. Для получения направляющих косинусов нормали, Sk имеющей противоположное направление, мы должны изменить знаки на противоположные. Рассмотрим теперь поверхность S , расположенную над простой областью D , лежащей в плоскости xO y y 0 (рис. 9). Разобьём область D сетью проx Dk стых линий на ячейки D 1 , D 2 ,…, D n с (x k ,y k ) площадями ΔF1 , ΔF2 ,…, ΔFn , λ - ранг дробления области D . рис. 9 Рассмотрим цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны оси O z , а направляющими служит дробящая сеть линий области D . Эти цилиндрические поверхности переносят дробление из области D на поверхность S , которая разбивается таким образом на ячейки S 1 , S 2 , …, S n . Выберем в каждой ячейке S k произвольную точку M k (x k , y k , z k ) и проведём через неё касательную площадку T k до пересечения с вышеназванными цилиндрическими поверхностями. Обозначим площадь касательной площадки T k через ΔS k . Если существует конечный предел 2

2

n

S = lim ∑ ΔS k , n →∞ , λ →0 k =1

не зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точек M k на поверхности S , то она называется площадью поверхности S , расположенной над областью D , а сама поверхность в этом случае называется квадрируемой. Заметим, что D k является ортогональной проекцией площадки T k , их площади связаны соотношением ΔFk = ΔS k cos ϕk , где ϕk - есть острый угол между площадками D k и T k , но угол между двумя плоскостями равен углу 61

между нормалями и ним, т.е. ϕk = ν k , где ν k - острый угол между нормалью к поверхности S и осью O z . Тогда получим ΔFk ΔS k = = p 2 (x k , y k ) + q 2 (x k , y k ) + 1 ⋅ ΔFk cosν k Тогда, суммируя все такие элементарные площади и устремляя ранг дробления к нулю, получим окончательно

S = ∫∫ p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) + 1 dxdy . D

§ 2. Тройной интеграл 1. Определение тройного интеграла Рассмотрим некоторую поверхность S . Определение 1. Поверхность S называется простой поверхностью, если она распадается на конечное число частей, имеющих уравнение z = f (x , y ) , или x = ψ (y , z ) , или y = η (x , z ) , причём функции f (x , y ),ψ (y , z ) и η (x , z ) непрерывны в некоторой простой области D . В дальнейшем мы будем рассматривать пространственные области, ограниченные простыми поверхностями, мы будем выделять простые пространственные области, определения которых аналогично определению простой плоской области, рассмотренной выше. Остановимся теперь на понятии объёма тела T , ограниченного простой поверхностью S . Для этого поместим тело T целиком внутрь параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям xO y , xO z и y O z . Разобьём далее параллелепипед плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на ячейки. Обозначим через A сумму объёмов ячеек, целиком лежащих внутри тела T и не имеющих ни одной общей точки с поверхностью S , ограничивающей тело T . Обозначим через B сумму объёмов ячеек, имеющих с телом T или его поверхностью хотя бы одну общую точку. Очевидно, что A ≤ B . Наибольший из диаметров ячеек назовём рангом дробления λ . Если существует общее значение lim A = lim B = v λ →0

λ →0

при условии, что число ячеек бесконечно увеличивается, а ранг дробления стремится к нулю, то число v называется объёмом тела T , а само тело называется кубируемым. Дадим теперь определение тройного интеграла. Рассмотрим некоторое тело T , ограниченное простой поверхностью. Можно доказать, что такие тела кубируемы, т.е. имеют объём. И пусть в каждой точке этого тела задана функцию f (x , z , y ) . 62

Определение 2. Разобьём тело T (рис 10) простыми поверхностями с диаметрами d 1 ,d 2 ,..., d n и объёмами на части T 1 ,T 2 ,...,T n Δv 1 , Δv 2 ,..., Δv n . Наибольший из диаметров d k называется рангом дробления λ . В каждой частичной ячейке T k возьмём произвольную точку M k (x k , y k , z k ) и вычислим в ней значение функции f (x k , y k , z k ) , которое умножим на объём соответствующей ячейки Δv k , т.е. составим произведения: f (x k , y k , z k ) ⋅ Δv k . Просуммируем все такие произведения, т.е. составим интегральную сумму (сумму Римана): n

σ n = ∑ f (x k , y k , z k ) ⋅ Δv k . k =1

Измельчая дробление, будем искать предел последовательности интегральных сумм z σn . z = z 2 (x ,y ) I = lim λ →0 n →∞

Если этот предел существует и не зависит от способа дробления и выбора точки M k , то он называется тройным интегралом от функции f (x , y , z ) по телу и обозначается так: I = ∫∫∫ f (x , y , z )dxdy dz и

T

z = z 1 (x , y ) a x

b

y

0 D

T

I = ∫∫∫ f (M )dv .

y = y 2 (x )

y = y 1 (x )

T

рис. 10

Итак, лаконично можно сказать так: тройной интеграл есть предел последовательности интегральных сумм, т.е.

∫∫∫ f (x ,y , z )dxdy dz T

n

def

= lim ∑ f (x k , y k , z k ) ⋅ Δv k . n →∞ , λ →0 k =1

Теорема существования тройного интеграла. Если функция f (x , y ) непрерывна в каждой точке тела T , ограниченного простой поверхностью, то существует тройной интеграл от функции f (x , y , z ) по телу T . (без доказательства) Заметим, что свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла и поэтому мы не будем отдельно останавливаться. 63

2. Вычисление тройного интеграла Пусть тело T есть простая область (рис. 10). Допустим, что оно ограничено снизу поверхностью z = z 1 (x , y ) , сверху поверхностью z = z 2 (x , y ) , а с боков - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси O z , а направляющей служит граница простой области D , расположенной в плоскости xO y , причём функции z 1 (x , y ) и z 2 (x , y ) непрерывны в области D . Пусть, кроме того, функция f (x , y , z ) интегрируема в теле T . Тогда можно сказать, что ⎤ ⎡z 2 (x ,y ) = f ( x , y , z ) dxdy dz f ( x , y , z ) dz ⎥ dxdy , ⎢ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ⎥⎦ T D ⎢ ⎣ z 1 (x ,y ) причём интеграл, стоящий справа, записывается так: z 2 ( x ,y )

∫∫∫ f (x ,y , z )dxdy dz = ∫∫dxdy ∫ T

D

f (x , y , z )dz .

z 1 (x ,y )

В том случае, если область D ограничена снизу непрерывной кривой y = y 1 (x ) , сверху - непрерывной кривой y = y 2 (x ) , а с боков прямыми x = a и x = b , то последнюю формулу можно записать так: y 2 (x )

b

∫∫∫ f (x ,y , z )dxdy dz = ∫dx ∫ T

a

y 1 (x )

z 2 (x ,y )

dy

∫

f (x , y , z )dz .

z 1 ( x ,y )

Интеграл, стоящий справа, называется трехкратным или повторным. Заметим, что выбирая внешнее интегрирование по переменной y или z , можно написать ещё пять различных трехкратных интегралов, через которые выражается данный интеграл I . Порядок выполнения операций интегрирования зависит от вида области, по которой выполняется интегрирование.

3. Геометрический смысл тройного интеграла В том случае, если подынтегральная функция f (x , y , z ) ≡ 1 , то очевидно, что тройной интеграл I = ∫∫∫ dxdy dz даёт нам объём тела T , по которому T

ведётся интегрирование. Пример 1. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z − 1 = 0 (P ) (рис. 11).

Решение. Искомый объём v = ∫∫∫ dxdy dz , где тело T есть пирамида, T

ограниченная плоскостью P и координатными плоскостями. Очевидно, что этот тройной интеграл можно выразить шестью различными способами через трёхкратный: 64

z

1−x

1−x −y

1

1−y

1−x −y

0

0

0

0

0

0

0

1−y −z

1

1−y

1−y −z

1

1−z

1−y −z

0

0

0

0

0

0

0

1−x −z

1

1−x

1−x −z

1

1−z

1−x −z

0

0

0

0

0

0

0

∫ dz = ∫dx ∫ dy ∫ dz = ∫dy ∫ dx ∫ dz

Dxy

или

D xz D y z

v = ∫∫dydz

y

D xy

1

1

v = ∫∫dxdy

1

x

1−x −y

Dyz

∫ dx = ∫dy ∫ dz ∫ dx = ∫dz ∫ dy ∫ dx

или

1

v = ∫∫dxdz

рис. 11

Dxz

∫ dy = ∫dx ∫ dz ∫ dy = ∫dz ∫ dx ∫ dy

Проведём вычисления по последней формуле (нетрудно убедиться, что остальные интегралы вычисляются аналогично), получим 1

1−z

1−x −z

0

0

0

v = ∫ dz

∫ dx ∫

dy .

Имеем 1−x −z

I 1Вн =

∫

1−z

dy = 1 − x − z ; I 2 Вн =

0

∫ 0

1−z

⎛ ⎞ (1 − z ) . x2 (1 − x − z )dx = ⎜ x − − xz ⎟ = 2 2 ⎝ ⎠0 2

1

(1 − z )2 1 Наконец, v = ∫ dz = куб. ед. 2 6 0

§ 3. Приложения двойных и тройных интегралов 1. Вычисление площади плоской области D Мы установили, что площадь плоской области может быть вычислена по формуле S D = ∫∫ dxdy . D

2. Вычисление площади кривой поверхности Ранее мы установили, что площадь кривой поверхности S , заданной уравнением z = f (x , y ) и расположенной над областью D в плоскости xO y , вычисляется по формуле

S = ∫∫ p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) + 1dxdy , D

где p (x , y ) =

∂z (x , y ) ∂z (x , y ) . , q (x , y ) = ∂x ∂y

65

3. Вычисление объёма тела T Пусть тело T ограничено снизу простой областью D , сверху - поверхностью z = f (x , y ), f (x , y ) ≥ 0, f (x , y ) непрерывна в области D , а с боков цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси O z , а направляющей служит контур области D , то объём тела можно вычислить с помощью двойного интеграла так: vT = ∫∫ f (x , y )dxdy D

или так:

vT = ∫∫∫ dxdy dz . T

4. Вычисление массы поверхности Пусть в каждой точке поверхности S , заданной уравнением z = f (x , y ) плотность равна ρ (x , y , z ) , где ρ (x , y , z ) - непрерывная функция в каждой точке поверхности S , а функция f (x , y ) - непрерывна в области D плоскости xO y и имеет в ней непрерывные частные производные ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) = q (x , y ) . = p (x , y ) и ∂x ∂y Разбивая произвольным образом поверхность S на n частей, заметим, что масса k -й ячейки приблизительно равна Δm k ≈ ρ (x k , y k , z k ) ⋅ ΔS k , где ΔS k - площадь k -й ячейки, тогда масса всей поверхности S : n

n

k =1

k =1

M = ∑ Δm k ≈ ∑ ρ (x k , y k , z k )ΔS k . Справа здесь стоит интегральная сумма для непрерывной функции. Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе мы получим такую формулу для вычисления массы поверхности S :

M = ∫∫ ρ (x , y , z ) ⋅ p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) + 1dxdy . D

В частности, если поверхность S лежит в плоскости xO y , т.е. совпадает с областью D , то M D = ∫∫ ρ (x , y )dxdy . D

5. Вычисление массы тела Если в каждой точке тела T , ограниченного простой поверхностью, задана плотность ρ = ρ (x , y , z ) , где ρ - непрерывная функция в каждой точке тела T , то, проведя аналогичные рассуждения, получим, что масса тела 66

M T = ∫∫∫ ρ (x , y , z )dxdy dz . T

6. Моменты плоской фигуры Из курсов теоретической механики известно, что статическим моментом S l материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы этой точки на расстояние до оси l , т.е. S l = m rl . Моментом инерции I l материальной точки относительно оси l называется произведение массы m этой точки на квадрат её расстояния от оси l , 2 т.е. S l = m rl . Статическим моментом системы материальных точек относительно оси l называется сумма статических моментов относительно этой оси всех материальных точек, входящих в систему. Пусть в плоской области D распределена масса с плотностью ρ (x , y ) . Разобьём область D на n частей, ΔS k - площадь k -й ячейки ( k = 1, 2,..., n ). В ячейке D k возьмём произвольную точку (x k , y k ) , тогда в силу сделанного выше определения можем считать, что n

n

k =1

k =1

S x ≈ ∑ ρ (x k , y k ) ⋅ y k ⋅ ΔS k ; S y ≈ ∑ ρ (x k , y k ) ⋅ x k ⋅ ΔS k . Измельчая дробление, в пределе получим точные значения для статических моментов области D о осей O x и O y :

S x = ∫∫ ρ (x , y ) y dxdy ; S y = ∫∫ ρ (x , y ) x dxdy . D

D

Проводя аналогичные рассуждения для моментов инерции области относительно координатных осей, получим I x = ∫∫ ρ (x , y ) y 2 dxdy ; I y = ∫∫ ρ (x , y ) x 2 dxdy . D

D

7. Координаты центра масс Пусть D - плоская область, в которой распределена масса с плотностью ρ (x , y ) . По определению центром масс плоской области называется точка C с координатами S S xc = y , y c = x , M M где M - масса плоской области D , а S x и S y - статические моменты. Принимая во внимание выражения для массы и статических моментов через двойные интегралы, получим 67

xc =

∫∫ ρ (x ,y )xdxdy D

∫∫ ρ (x ,y )dxdy

, yc =

D

∫∫ ρ (x ,y )y dxdy D

∫∫ ρ (x ,y )dxdy D

Рассмотрим теперь некоторое тело T , ограниченное простой поверхностью, и пусть в нём распределена масса, плотность которой ρ (x , y , z ) , то для координат центра масс этого тела получим совершенно аналогичные выражения: ∫∫T ρ (x ,y , z )xdv ∫∫T ρ (x ,y , z )y dv ∫∫T ρ (x ,y , z )zdv xc = , yc = , zc = . ρ ( x , y , z ) dv ρ ( x , y , z ) dv ρ ( x , y , z ) dv ∫∫ ∫∫ ∫∫ T

T

T

§ 4. Криволинейные координаты и замена переменных в кратных интегралах 1. Криволинейные координаты Относительно пространственной декарz ρ товой системы координат O xy z положение M точки M определяется её тремя декартовыr ми координатами x , y и z . Если z > 0 , то положение точки M можно определить, заy 0 дав такие три параметра: ρ - расстояние точки M от оси O z ; r -расстояние точки φ x M от начала координат; ϕ - двухгранный рис. 12 угол между плоскостью xO z и плоскостью, проходящей через ось O z и точку M (рис. 12). Очевидно, что параметры ρ , r и ϕ можно выразить через декартовы координаты x , y и z . Параметры ρ , r и ϕ мы можем также назвать координатами точки M , ϕ ∈ [0, 2π [ . И вообще, за координаты точки M мы можем принять любые три функции:

ξ = ξ (x , y , z ), η = η (x , y , z ), ζ = ζ (x , y , z )

(1)

лишь бы только соотношениями (1) координаты x , y и z определялись однозначно: x = x (ξ ,η ,ζ ), y = z (ξ ,η ,ζ ), z = z (ξ ,η ,ζ ) (2) Т.е. ни одно из соотношений (1) или (2) не должно противоречить другим или быть следствием других. Заметим, что из соотношений (2) в этом случае параметры ξ , η и ζ также будут определяться однозначно. Можно доказать, что эти условия выполняются, если определить I (ξ ,η ,ζ ) , назы68

ваемый определителем Якоби или якобианом преобразования, отличен от нуля, т.е. x ξ′ x η′ x ζ′ I (ξ ,η ,ζ ) = y ξ′ y η′ y ζ′ ≠ 0 (3) z ξ′ z η′ z ζ′

2. Координатные поверхности Зафиксируем какую-нибудь координату, определённую соотношениями (1), например ξ , положив ξ = c 1 , тогда получим ξ (x , y , z ) = c 1 (рис. 13). С геометрической точки зрения этому уравнению в пространстве соответствует некоторая поверхность ξ . Аналогично можно определить координатные поверхности η и ζ соответственно:

η (x , y , z ) = c 2 и ζ (x , y , z )) = c 3 . Координатные поверхности ξ = c 1 , η = c 2 и ζ = c 3 при соблюдении условия (2) пересекаются в некоторой точке M . Таким образом, точка M определяется как точка пересечения координатных поверхностей (рис. 13).

3. Координатные линии к.л.ζ

z

ξ η =c2

ξ0

r η0

к.л.ξ

ζ =c3

0

ζ

M

ζ0

ξ = c1 y

η

к.л.η

x

рис. 13

ξ (x , y , z ) = c 1 ⎫⎪

Рассмотрим пересечения двух координатных поверхностей ξ (x , y , z ) = c 1 ⎫⎪ ⎬. η (x , y , z ) = c 2 ⎪⎭ Очевидно, что кривая, по которой пересекаются эти поверхности, обладает таким свойством, что вдоль этой кривой координаты ξ и η постоянны, а меняется одна только координата ζ , поэтому эта кривая называется координатной линией ζ . Аналогично пересечение поверхностей

η (x , y , z ) = c 2 ⎫⎪ и ⎬ ⎬ ζ (x , y , z ) = c 3 ⎪⎭ ζ (x , y , z ) = c 3 ⎪⎭ даёт нам соответственно координатные линии η и ξ . 69

Очевидно, что в общем случае координатные линии представляют собой некоторые кривые, поэтому координаты ξ , η и ζ называются криволинейными координатами. Проведем к координатным линиям, пересекающимся в точке M , касательные, направления которых соответствуют направлениям возрастания координат. Орты этих осей называются ортами криволинейных координатных осей и обозначаются соответственно ξ , η и ζ . Систему криволинейных координат называют ортогональной, если ортогональны орты ξ 0 , η0 и ζ 0 , т.е. если выполняются условия ξ 0 ⋅ η0 = η0 ⋅ ξ 0 = ζ 0 ⋅ ξ 0 = 0 . Заметим, что в декартовой системе координат O xy z координатными поверхностями будут являться плоскости, параллельные координатным плоскостям xO y , xO z , y O z , а координатными линиями - прямые, параллельные осям O x , O y и O z .

4. Коэффициенты Ламе Рассмотрим вектор r - радиус-вектор точки M (рис. 13). Очевидно, что ∂r лежит на касательной к годографу вектора r , построеннопроизводная ∂ξ му в предположении, что меняется только координата ξ , а координаты η и ζ остаются неизменными в сторону возрастания координаты ξ . Очевидно, что ξ 0 =

∂r ∂r . / ∂ξ ∂ξ

Аналогично η0 =

∂r ∂r ∂r ∂r / / , ζ0 = . ∂η ∂η ∂ζ ∂ζ

∂r ∂r ∂r , Hη = , Hζ = называются коэффициентами ∂ξ ∂η ∂ζ Ламе. Так как радиус-вектор точки M . r = x i + y j + z k , то, выполняя дифференцирование, получим Выражения H ξ =

∂r ∂x ∂y ∂z ⎫ = i+ j+ k ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂r ∂x ∂y ∂z ⎪ i+ j+ k⎬ = ∂η ∂η ∂η ∂η ⎪ ∂r ∂x ∂y ∂z ⎪ i+ j+ k⎪ = ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ ⎭

(4)

Принимая во внимание эти соотношения, нетрудно получить такие выражения для коэффициентов Ламе:

H ξ = x ξ′ +′ y ξ′ + z ξ′ , H η = x η′ +′ y η′ + z η′ , H ζ = x ζ′ +′ y ζ′ + z ζ′ 2

2

2

2

2

70

2

2

2

2

(5)

Примем во внимание соотношения (4) и (5), тогда выражение для ортов криволинейных координат запишутся так: ξ 0 = (x ξ′ i + y ξ′ j + z ξ′ k ) / x ξ′ + y ξ′ + z ξ′

2

η0 = (x η′ i + y η′ j + z η′ k ) / x η′ + y η′ + z η′

2

ζ 0 = (x ζ′ i + y ζ′ j + z ζ′ k ) / x ζ′ + y ζ′ + z ζ′

2

2

2

2

2

2

2

5. Сферические координаты Сферическими координатами точки M называются параметры ρ , θ и ϕ (рис. 14), где z z M (x ,y , z ) ρ - расстояние от точки M до начала коr ординат (0 ≤ ρ < +∞ ); θ ρ θ - угол, отсчитываемый от оси O z до векr тора ρ (0 ≤ θ ≤ π ) ; y y 0 ϕ - угол между плоскостью xO z и плосx M′ костью, проходящей через точку M и ϕ x ось O z ( 0 ≤ ϕ ≤ 2π ). рис. 14 Очевидно, что в сферических координатах координатными поверхностями являются также поверхности : - ρ = c 1 - сфера радиуса c 1 с центром в начале координат; θ = c 2 - конус с вершиной в начале координат, образующие которого составляют угол θ = c 2 с осью O z ; ϕ = c 3 плоскость, проходящая через ось O z и образующая угол ϕ = c 2 с координатной плоскостью xO z . Сфера ρ = c 1 и конус θ = c 2 пересекаются по окружности, которая представляет собой координатную линию ϕ . Сфера ρ = c 1 и плоскость ϕ = x 3 пересекаются по окружности (координатная линия θ ). Конус θ = c 2 и плоскость ϕ = c 3 пересекаются по прямой (координатная линия ρ ). Орты криволинейной сферической системы координат изображены на рис. 14. Непосредственно из рис. 14 можно установить связь между декартовыми и сферическими координатами. ⎧x = ρ sinθ cos ϕ ⎪ ⎨y = ρ sinθ sin ϕ . ⎪z = ρ cosθ ⎩ 71

Вычислим теперь Якобиан преобразования для сферических координат sinθ cos ϕ ρ cosθ cos ϕ − ρ sinθ sin ϕ

J ( ρ ,θ ,ϕ ) = sinθ sin ϕ cosθ

ρ cosθ sin ϕ − ρ sinθ

ρ sinθ cos ϕ = ρ 2 sinθ . 0

∂r ∂r ∂r для сферических координат в соответствии , , ∂ρ ∂θ ∂ϕ с соотношениями (4):

Найдём теперь

∂r ⎫ = sinθ cos ϕ i + sinθ sin ϕ j + cosθ k ⎪ ∂ρ ⎪ ∂r ⎪ = ρ cosθ cos ϕ i + ρ cosθ sin ϕ j − ρ sinθ k ⎬ ∂θ ⎪ ∂r ⎪ = − ρ sinθ sin ϕ i + ρ sinθ cos ϕ j ⎪ ∂ϕ ⎭ А теперь нетрудно написать выражения для коэффициентов Ламе в сферических координатах: H ρ = 1, H θ = ρ , H ϕ = ρ sinθ . Очевидно, что орты

ρ0 , θ0 и φ 0 запишутся так: ∂r ⎫ ρ0 = / H ρ = sinθ cos ϕ i + sinθ sin ϕ j + cosθ k ⎪ ∂ρ ⎪ ∂r ⎪ 0 θ = / H θ = cosθ cos ϕ i + cosθ sin ϕ j − sinθ k ⎬ ∂θ ⎪ ∂r ⎪ 0 φ = / H ϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j ⎪ ∂ϕ ⎭ Нетрудно убедиться, что криволинейная сферическая система координат ортогональна. Действительно ρ 0 θ 0 = ρ 0φ 0 = θ 0 φ 0 = 0

6. Цилиндрические и полярные координаты Цилиндрическими координатами точки M (рис. 15) называются параметры: ρ - расстояние точки M от оси O z ( 0 ≤ ρ < +∞ ); ϕ - угол, отсчитываемый от плоскости xO z до плоскости, проходящей через точку M и осью O z (0 ≤ ϕ < 2π ) ; 72

z ρ 0

x

z0 φ0 ρ0

φ рис. 15

y

z - координата, совпадающая с декартовой координатой z (−∞ < z < +∞) .

Очевидно, что в цилиндрических координатах координатными поверхностями являются: ρ = c 1 - цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси O z , а направляющей служит окружность в плоскости xO y с центром в начале координат радиуса ρ = c 1 ; ϕ = c 2 - плоскость, проходящая через ось O z и образующая с плоскостью xO y угол ϕ ; z = c 3 - плоскость, параллельная координатной плоскости xO y . Координатные поверхности ρ = c 1 и ϕ = c 2 пересекаются по прямой, параллельной оси O z (координатная линия z ). Координатные поверхности ρ = c 1 и z = c 2 пересекаются по окружности (координатная линия ϕ ). Координатные поверхности ϕ = c 2 и z = c 3 пересекаются по прямой (координатная линия ρ ). Орты цилиндрической системы координат и координатные линии ρ , ϕ и z изображены на рис. 15. Непосредственно из рис. 15 нетрудно установить связь между декартовыми и цилиндрическими координатами: x = ρ cos ϕ ⎫ ⎪ y = ρ sin ϕ ⎬ . ⎪ z =z ⎭ Найдём Якобиан преобразования для цилиндрических координат: cos ϕ − ρ sin ϕ 0

J ( ρ ,ϕ , z ) = sin ϕ 0

ρ cos ϕ

0 = ρ. 0 1 r r r ∂r ∂r ∂r Нетрудно получить выражения для и , а также коэффициен, ∂ρ ∂ϕ ∂z ты Ламе H ρ , H ϕ и H z :

∂r ∂r ∂r =k = cos ϕ i + sin ϕ j , = − ρ sin ϕ i + ρ cos ϕ j , ∂z ∂ρ ∂ϕ H ρ = 1, H ϕ = ρ , H z = 1. С учётом этих соотношений получим: ρ0 = cos ϕ i + sin ϕ j, φ0 = − sin ϕ i + cos ϕ j, . z0 = k 73

Вычисляя скалярные произведения ортов ρ0 , φ0 и z 0 нетрудно убедиться, что ρ0 ⋅ φ0 = ρ0 ⋅ z 0 = φ0 ⋅ z 0 = 0 , т.е. можно сделать вывод, что цилиндрическая система координат ортогональна. Если положить z = 0 , то мы придём к известным уже полярным координатам ρ , ϕ : x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ Нетрудно убедиться, что для полярных и цилиндрических координат выражения для Якобиана преобразования совпадают, т.е.

J ( ρ , ϕ , z ) = J ( ρ ,ϕ ) = ρ .

Замечание (о геометрическом смысле якобиана)

Рассмотрим ортогональную криволинейную систему координат O ξη , и пусть декартовы координаты x и y связаны с криволинейными ξ и η соотношениями: x = x (ξ ,η ), y = y (ξ ,η ) , причём предполагается, что Якобиан преобразования J (ξ ,η ) = x ξ′ ⋅ y η′ − x η′ ⋅ y ξ′ ≠ 0 . Рассмотрим в плоскости xO y простую область D , ограниченную контуром K (рис. 16). В плоскости O 1ξη ей соответствует некоторая область Δ , ограниченная контуром L .

η

y

Δ

D

0

L

K

x

01

(ξ ,η ) ξ

рис. 16 Если функции x (ξ ,η ) и y (ξ ,η ) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка, а также непрерывные смешанные производные, то в этом случае можно доказать, что площади S D и S Δ связаны соотношением S D = J (ξ ,η ) ⋅ S Δ , где (ξ ,η ) -некоторая "средняя" точка области Δ . Из этого соотношения вытекает очевидный геометрический смысл якобиана преобразования. А именно: мы можем сказать, что модуль якобиана преобразования J (ξ ,η ) при переходе к криволинейным координатам даёт нам коэффициент искажения площадей отображаемых областей. 74

Можно доказать также, что для пространственного случая, когда осуществляется переход от декартовых координат x , y и z к криволинейным ξ , η , ζ при выполнении соответствующих предположений (непрерывность функций, их частных производных и т.п.) имеет место соотношение vT = J (ξ ,η ,ζ ) ⋅ vT ` , где vT - объём области T в системе координат O xy z ,

vT ` - объём отображенной области T ′ в системе координат O 1ξηζ . В данном случае, с геометрической точки зрения, на модуль Якобиана преобразования J (ξ ,η ,ζ ) можно смотреть как на коэффициент искажения объёмов.

7. Замена переменных в тройных интегралах Пусть осуществляется переход от декартовых координат x и y к криволинейным ξ и η : x = x (ξ ,η ) , y = y (ξ ,η ) . Предположим, что выполнены условия предыдущего параграфа относительно функций x (ξ ,η ) , y (ξ ,η ) , ξ = ξ (x , y ) и η = η (x , y ) и их частных производных, и имеет силу все сказанное об областях D и Δ . Пусть, кроме того, в области D задана непрерывная функция f (x , y ) . Рассмотрим двойной интеграл I = ∫∫ f (x , y )dxdy . D

Составим интегральную сумму для этого двойного интеграла. n

σ n = ∑ f (x k , y k ) ⋅ ΔS D . k

k =1

Произвольному разбиению области D на ячейки D 1 , D 2 ,..., D n соответству-

ет разбиение области Δ на ячейки Δ1 , Δ 2 ,..., Δn , а точкам (x k , y k ) ∈ D k соот-

ветствуют точки (ξk ,ηk ) ∈ Δk . Следовательно, можем написать: ΔS D k = J (ξ ,η ) ⋅ ΔS Δk , n

а тогда σ n = ∑ f (x (ξk ,ηk ), y k (ξk ,ηk ) ) ⋅ J (ξk ,ηk ) ΔS Δk . k =1

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, получим lim σ n = ∫∫ f (x (ξ ,η ), y (ξ ,η ) ) ⋅ J (ξ ,η ) d ξd η . n →∞ λ →0

Δ

С другой стороны, принимая во внимание, что lim σ n = ∫∫ f (x , y )dxdy , n →∞ λ →0

D

окончательно получим

∫∫ f (x ,y )dxdy = ∫∫ f ⎡⎣x (ξ ,η ) ,y (ξ ,η )⎤⎦ ⋅ J (ξ ,η ) d ξd η . D

Δ

75

Пример. Вычислить

(

)

I = ∫∫ x 2 + xy dS , где D есть круг x 2 + y 2 ≤ R 2 . D

Решение. Перейдём к полярным координатам x = r cos ϕ , y = r sin ϕ . В полярных координатах уравнение окружности r = R при любом ϕ (т.е. ϕ не меняется от 0 до 2π ), а r является постоянным, J (r ,ϕ ) = r , тогда получим I = ∫∫ x 2 + xy dxdy = ∫∫ r 2 cos 2 ϕ + r cos ϕ ⋅ r sin ϕ ⋅ r dr d ϕ =

(

)

(

)

Δ

D

(

)

π

(

)

R

= ∫∫ cos 2 ϕ + cos ϕ sin ϕ ⋅ r 3dr d ϕ = ∫ cos3 ϕ + cos ϕ sin ϕ d ϕ ∫ r 3dr = Δ

0

0

πR 4 4

.

Заметим, что для того, чтобы расставить пределы интегрирования, достаточно выяснить, как проходят (возрастают) через область D координатные линии r и ϕ . Предположим далее, что нужно вычислить тройной интеграл I = ∫∫∫ f (x , y , z )dxdy dz и пусть осуществляется переход к криволинейным T

координатам ξ , η , ζ по формулам: x = x (ξ ,η ,ζ ), y = y (ξ ,η ,ζ ), z = z (ξ ,η ,ζ ) .

Предположим, что относительно функций x (ξ ,η ,ζ ), y (ξ ,η ,ζ ) , z (ξ ,η ,ζ ) , ξ (x , y , z ),η (x , y , z ),ζ (x , y , z ) и их частных производных имеет место сказанное замечании п. 6. Допустим также, что в области T функция f (x , y , z ) непрерывна. Тогда аналогично вышесказанному относительно двойного интеграла имеет место соотношение

∫∫∫ f (x ,y ,z )dxdydz = ∫∫∫ f ⎡⎣x (ξ ,η,ζ ) ,y (ξ ,η,ζ ) ,z (ξ ,η,ζ )⎤⎦ ⋅ J (ξ ,η,ζ ) d ξdηd ζ , T

T

где J (ξ ,η ,ζ ) - якобиан преобразования. Для расстановки пределов интегрирования по переменным ξ ,η ,ζ следует выяснить, как проходят координатные линии ξ , η , ζ через область T . Рассмотрим теперь конкретные примеры.

76

Пример. Вычислить площадь поверхности сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (рис. 17).

z

R

R x

Решение. Вычислим восьмую

z = R 2 −x 2 −y 2

R

часть площади поверхности сферы, лежащую в первом октанте:

1 S = ∫∫ p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) + 1dxdy 8 D ,где ∂z (x ,y ) ∂z (x ,y ) p (x ,y ) = , q (x ,y ) = . ∂x ∂y

y

ϕ рис. 17

В нашем случае z = R 2 − x 2 − y 2 .

Следовательно,

−x

p (x , y ) =

R 2 −x 2 −y 2

−y

, q (x , y ) =

R 2 −x 2 −y 2

.

Итак, имеем 1 x2 +y 2 R dxdy + 1dxdy = ∫∫ S = ∫∫ . 2 2 2 8 R −x −y R 2 −x 2 −y 2 D D Перейдём к полярным координатам x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , J (r ,ϕ ) = r . Ясно, что π

∫∫ D

R dxdy R −x −y 2

2

2

= ∫∫ D

R r dr d ϕ R −r 2

2

2

R

= R ∫d ϕ ∫ 0

0

r dr R 2 −r 2

.

Вычислим R

I Вн = ∫ 0

(

)

2 2 R 1 d R −r =− ∫ = − R 2 −r 2 2 2 2 2 2 0 R −r R −r

r dr

тогда π 2

S = 8R 2 ∫ d ϕ = 4π R 2 кв. ед. 0

77

R 0

=R ,

Пример. Найти объём тела, лежащего в первом октанте и ограниченного снизу конической поверхностью x 2 + y 2 = z 2 , сверху шаровой поверхностью x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , а с боков координатными плоскостями x = 0 и y = 0 (рис. 18). Решение. Искомый объём v = ∫∫∫ dxdy dz . Перейдём к сферическим коT

ординатам

z

к.л.ρ к.л.ϕ

x = r sinθ cos ϕ ⎫ ⎪ y = r sinθ sin ϕ ⎬ ⎪ z = r cosθ ⎭

к.л.θ

y

J (r ,θ ,ϕ ) = r 2 sinθ Найдём уравнения конуса x 2 + y 2 = z 2 в сферических координатах:

(r sinθ cos ϕ ) + (r sinθ sin ϕ ) 2

откуда следует θ =

4

иθ=

рис. 18

= (r cosθ ) , 2

3π . Заметим, верхняя чаша конуса имеет урав4

3π . Нетрудно убедиться, что уравнение шаровой 4 4 поверхности x 2 + y 2 + z 2 = R 2 в сферических координатах r = R . Итак, искомый объём

нение θ =

π

π

2

x

, а нижняя θ =

π

π

2

4

R

0

0

0

v = ∫∫∫ r 2 sinθ dr d ϕd θ = ∫ d ϕ ∫ sinθ d θ ∫ r 2dr . T

Вычислим π R

I 1Вн

R3 R3 4 2− 2 3 ; I 2Вн = sinθ dθ = = ∫ r 2dr = R . ∫ 3 3 0 6 0

Окончательно π

v=

2− 2 2 ( 2 − 2 )π R 3 R ∫d ϕ = куб. ед. 6 12 0

78

Пример. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью x + y 2 = (z − 2)2 и плоскостью xO y (рис. 19). 2

Решение. Тело симметрично, поэтому вычислим объём его четвертой части, лежащей в первом октанте: 1 z v = ∫∫∫ dxdy dz . 4 T Перейдём к цилиндрическим коор(0, 0, 2) динатам: к.л.z

0 x

1

2 к.л.ϕ 1

y

2

x = r cos ϕ ⎫ ⎪ y = r sin ϕ ⎬ ⎪ z =z ⎭

к.л.r

рис. 19

Уравнение конуса в цилиндрических координатах r 2 = ( z − 2 ) . Часть конуса, ограничивающая тело, имеет уравнение z = 2 − r . Тогда будет 2

π 2

2 1 v = ∫∫∫ r dr d ϕdz = ∫ d ϕ ∫ dr 4 T 0 0

2−r

∫ r dz . 0

Вычислим внутренние интегралы 2−r

I 1вн =

∫ r dz = r ⋅ z

2 −r 0

= 2r − r 2 ,

0

2

⎛ r3⎞ 4 = ∫ ( 2r − r )dr = ⎜ r 2 − ⎟ = 3 ⎠0 3 ⎝ 0 2

I 2 вн

2

π

И окончательно:

Ответ: v =

1 42 2π . v = ∫d ϕ = 4 30 3

8π куб. ед. 3

79

ГЛАВА IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Криволинейные интегралы I рода

1. Определение криволинейного интеграла первого рода Пусть в плоскости xO y лежит кривая A B , у которой существует длина дуги, и пусть в каждой точке этой кривой определена некоторая функция f (x , y ) (рис. 1). Разобьём кривую A B произвольным образом точками, следующими друг за другом от A к B , на n частей. Пусть ΔS k - длина дуги M k M k +1 . Наибольшую из длин дуг ΔS k назовём рангом дробле-

y

B =M n M k +1

Mk

0

ния λ . На каждой дуге M k M k +1 возьмём произвольную точку P k (ξk ,ηk ) и вычислим в ней значение функции f (ξk ,ηk ) .

A =M 0

Pk (ξk ,ηk )

x рис. 1

Составим произведение f (ξk ,ηk ) ⋅ ΔS k и просуммируем все такие произведения, т.е. образуем интегральную сумму (сумму Римана): n −1

σ n = ∑ f (ξk ,ηk ) ⋅ ΔS k . k =1

Измельчая дробление, будем искать предел последовательности интегральных сумм при условии, что

λ → 0 : I = lim σ n . λ →0

Если этот предел существует, то он называется криволинейным интегралом от функции f (x , y ) по кривой A B и обозначается I =

∫

f (x , y )d S ,

AB

80

∫

n −1

f (x , y )dS = lim ∑ f (ξk ,ηk ) ⋅ ΔS k . n →∞ λ →0 k = 0

AB

Заметим, что из построения интегральной суммы следует, что не играет роли, какую из точек принять за начало, а какую за конец кривой, т.е.

∫ f (x ,y )dS = ∫ f (x ,y )d S .

AB

BA

Совершенно аналогично определяется криволинейный интеграл по пространственной кривой I =

∫ f (x ,y , z )dS .

AB

Теорема существования криволинейного интеграла I рода Пусть кривая A B задана параметрическими уравнениями x = ϕ (t ), y = ψ (t ) , где функции ϕ (t ) и ψ (t ) определены и непрерывны на промежутке [p ,q ] (p < q ) . Пусть в каждой точке кривой A B определена непрерывная функция f (x , y ) . Тогда криволинейный интеграл первого рода от функции f (x , y ) по кривой A B существует и выражается через определённый интеграл так: q

∫ f (x ,y )dS = ∫ f [ϕ (t ),ψ (t )]

AB

ϕt′ + ψ t′ dt . 2

2

p

Заметим, что для пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) , z = η (t ) на [p ,q ] , при соблюдении теоремы мы получим

∫

AB

q

f (x , y , z )dS = ∫ f [ϕ (t ),ψ (t ),η (t )] ϕt′ + ψ t′ + ηt′ dt 2

2

2

p

Если принять во внимание, что криволинейный интеграл первого рода выражается через определённый, то свойства его станут очевидны. Остановимся на его применении.

81

2. Применения криволинейных интегралов первого рода 1. Вычисление длины дуги кривой.

Из определения криволинейного интеграла первого рода следует, что длина дуги кривой A B , по которой ведётся интегрирование, равна S A B = ∫ dS . AB

2. Вычисление массы материальной кривой.

Найдём массу кривой A B , заданной уравнением y = f (x ) , где f (x ) непрерывная функция на промежутке [a ,b ] , если плотность её в каждой точке кривой определена непрерывной функцией ρ = ρ (x , y ) на том же промежутке. Разобьём кривую A B на n частей произвольным образом. Очевидно, что её масса n −1

M ≈ ∑ ρ (ξk ,ηk ) ⋅ ΔS k , k =0

где (ξk ,ηk ) - произвольная точка, принадлежащая каждому отрезку кривой A B , а ΔS k - длина дуги этого участка. В правой части выражения для M стоит интегральная сумма, а потому, измельчая дробление и устремляя его ранг к нулю, мы получим в пределе

M =

∫ ρ (x ,y )dS .

AB

3. Вычисление работы

Найдём работу силы по перемещению материальной точки вдоль кривой A B (рис. 2). Будем рассматривать кривую A B как направленную, тогда и на касательной к ней можно задать направление, совпадающее с

82

направлением кривой. Действительно, пусть при движении по кривой от A к B точка M предшествует точке N , тогда будем считать, что секущая, проходящая от M к N , имеет направление, совпадающее с направлением N кривой A B . Касательная τ есть предельное M положение секущей при условии, что N → M . A Тогда направление с секущей переходит на каx 0 сательную, и про такую касательную говорят, рис. 2 что она имеет направление, совпадающее с направлением кривой A B . Найдём работу силы F по перемещению материальной точки M из точки A в точку B вдоль кривой (рис. 3). Разобьём кривую A B произвольным обраy B зом на n частей и будем считать, что каждый k -й участок кривой - прямолинейный отрезок, Fk длина которого ΔS k , сила F на каждом таком θk участке постоянная по величине и направлеτ нию, и угол между силой F и участком кривой M A равен θk . Тогда элементарная работа силы F на x рассматриваемом участке ΔA k = Fk ⋅ ΔS k cosθk . 0 рис. 3 Отсюда вся работа A = ∫ F cosθ dS .

y

AB

§ 2. Криволинейные интегралы второго рода

1. Определение криволинейного интеграла второго рода Пусть в плоскости xO y лежит кривая A B , в каждой точке которой определена функция f (x , y ) (рис. 1). Разобьём кривую A B произвольным образом точками M 0 = A , M 1 , M 2 ,... , M n , следующими друг за другом, на n частей, пусть d 1 , d 2 , …, M , M M ,..., M M , наибольший из диаметров d - диаметры дуг M n

0

1

1

n −1

2

n

d k , равный λ , есть ранг дробления. M На каждой дуге M k k +1 возьмём произвольную точку P k (ξk ,ηk ) и вы-

числим в ней значение функции f (ξk ,ηk ) , т.е. составим произведение

f (ξk ,ηk ) ⋅ Δx k . Просуммируем все такие произведения, т.е. составим интегральную сумму (сумму Римана): 83

n −1

σ n = ∑ f (ξk ,ηk ) ⋅ Δx k . k =0

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, ищем предел I = lim σ n . λ →0 n →∞

Если этот предел существует, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f (x , y ) по кривой A B и обозначается так: I = ∫ f (x , y )dx . AB

Итак, короче:

∫

n −1

f (x , y )dx = lim ∑ f (ξk ,ηk ) ⋅ Δx k . λ →0 n →∞ k =0

AB

Определение относится к плоской кривой. Точно так же определяется интеграл по пространственной кривой ∫ f (x , y , z )dx . AB

Аналогично определяются интегралы

∫ f (x ,y , z )dy

AB

и

∫ f (x ,y , z )dz .

AB

Сумму интегралов по кривой A B обозначают так: ∫ P (x ,y , z )dx + ∫ Q (x ,y , z )dy + ∫ R (x ,y , z )dz = AB

AB

AB

∫ P (x ,y , z )dx + Q (x ,y , z )dy + R (x ,y , z )dz

AB

Всё сказанное не исключает случая, когда точка A совпадает с точкой B , т.е. кривая A B представляет собой замкнутый контур K , в этом случае криволинейный интеграл второго рода обозначается так: ∫ f (x ,y )dx , K

причём безразлично, в какой точке следует начать движение по контуру. Следует заметить, что если K - есть плоский замкнутый самонепересекающийся контур, то у такого контура различают положительное и отрицательное направление обхода, а именно: за положительное направление обхода принимают такое направление, при котором область, ограниченная контуром K , остается слева, если наблюдатель движется по контуру. В таком случае, если K - пространственная кривая, то направление обхода контура оговаривается особо. Иногда для интегралов по замкнутому самонепересекающемуся контуру употребляют такие обозначения:

∫ f (x ,y )dx и ∫ f (x ,y )dy . 2. Теорема существования криволинейного интеграла 84

второго рода Теорема. Пусть кривая A B задана уравнениями x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) , где ϕ (t ) и ψ (t ) непрерывны на промежутке [p ,q ] , причём ϕ ′(t ) также существует и непрерывна на [p ,q ] , причём, когда параметр t возрастает от p до q , то кривая A B (или контур K ) описывается в одном и том же направлении от A до B . Пусть также в каждой точке кривой A B задана непрерывная функция f (x , y ) . Тогда криволинейный интеграл второго рода от функции f (x , y ) по кривой A B существует и выражается через определённый интеграл так:

∫

AB

b

f (x , y )dx = ∫ f [ϕ (t ),ψ (t )]ϕ ′(t )dt . a

Частный случай. Если кривая A B задана уравнением y = ψ (t ) , где

ψ (t ) - непрерывная на промежутке [a ,b ] функция, и если в каждой точке кривой A B задана непрерывная функция f (x , y ) , то тогда криволинейный интеграл второго рода I =

∫ f (x ,y )dx

существует и выражается через оп-

AB

ределенный интеграл так: b

∫ f (x ,y )dx = ∫ f [x ,ψ (x )]dx .

AB

a

3. Свойства криволинейного интеграла второго рода Остановимся на некоторых свойствах и применениях криволинейного интеграла второго рода, причём не будем упоминать и доказывать свойства, которые очевидны. 1. При определении криволинейного интеграла второго рода I = ∫ f (x , y )dx нужно различать начало и конец пути интегрирования, а AB

именно:

∫ f (x ,y )dx = − ∫ f (x ,y )dx .

AB

BA

Это свойство станет очевидным, если для одного и того же способа разбиения составить интегральные суммы для интегралов, стоящих в левой и прямой части равенства.

85

2. В том случае, если кривая A B замкнута, т.е. представляет собой замкнутый контур K , то ∫ f (x ,y )dx = − ∫ f (x ,y )dx ,

т.е. изменение направления обхода контура K меняет знак интеграл на противоположный. 3. Если функция f (x , y ) интегрируема на кривой A B и если точка C разбивает кривую на два участка A C и C B , то ∫ f (x ,y )dx = ∫ f (x ,y )dx + ∫ f (x ,y )dx . AB

AC

CB

Для доказательства этого свойства достаточно составить интегральную сумму, а точку C включить в число точек дробления. 4. Очевидно, что если кривая A B есть прямолинейный отрезок, перпендикулярный оси O x , то при любой f (x , y ) интеграл I = ∫ f (x , y )dx сущеAB

ствует и равен нулю.

4. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода Рассмотрим интеграл I = ∫ P (x , y )dx , где P (x , y ) - непре-

y

β

AB

B τ

рывная функция в каждой точке кривой α A B , а кривая A B задана уравнением A y = ψ (x ) , причём ψ (x ) непрерывна и M имеет непрерывную производную ψ ′(x ) на промежутке [a ,b ] , где a < b и x 0 рис. 4 a является абсциссой точки A , b - абсциссой точки B (рис. 4) При выполнении таких условий кривая A B в каждой точке имеет касательную. Мы будем рассматривать касательную, имеющую направление, совпадающее с направлением кривой A B . Обозначим через α угол между положительным направлением касательной и осью O x . В силу геометрического смысла производной следует, что tgα = ψ ′(x ) , а тогда 1 . cosα = 2 1 + [ψ ′(x )]

Интеграл I мы можем записать так:

I =

∫ P [x ,ψ (x )]cosα

AB

86

1 + ψ x′ dx . 2

Перейдём в правой части к определённому интегралу: b

I = ∫ P [x ,ψ (x )] cosα 1 + [ψ ′(x )] dx . 2

a

Точно такому же определённому интегралу равен криволинейный интеграл первого рода

I1 =

∫ P (x ,y )cosαdS ,

AB

т.е. I = I 1 . Окончательно получаем ∫ P (x ,y )cosαdS = AB

∫ P (x ,y )dx .

AB

Совершенно аналогично можно доказать и такую формулу:

∫ Q (x ,y )cos βdS = ∫ Q (x ,y )dy ,

AB

AB

где β - угол между положительным направлением касательной к осью O y . Скатывая почленно две последние формулы, получим соотношение, устанавливающее связь между криволинейными интегралами первого и второго рода по кривой A B , лежащей в плоскости xO y :

∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy =

AB

=

∫ [P (x ,y )cosα + Q (x ,y )cos β ]dS

AB

Между левой и правой частям равенства здесь такое согласование: следа интеграл вычисляется по кривой A B от A к B , а справа через α и β обозначены углы касательной, направление которой совпадает с направлением кривой A B , с координатными осями. Если A B - пространственная кривая, α , β , γ - углы касательной, совпадающей по направлению с кривой A B , с координатными осями O x , O y и O z соответственно, то справедливо такое соотношение:

∫ P (x ,y , z )dx + Q (x ,y , z )dy + R (x ,y , z )dz =

AB

=

∫ [P (x ,y , z )cosα + Q (x ,y , z )cos β + R (x ,y , z )cos γ ]dS

AB

5. Вычисление работы с помощью криволинейного интеграла 87

Мы получили ранее выражение для работы силы F по перемещению материальной точки M по кривой A B через криволинейный интеграл первого рода: A = ∫ F cosθ dS .

y

F

θ A

AB

B

γ α τ

M

Здесь θ - угол между вектором F и каx 0 сательной, направление которой совпадает рис. 5 с направлением кривой A B . Найдём выражение для этой работы с помощью криволинейного интеграла второго рода (рис. 5). Пусть α - угол между направлением касательной и осью O x , β - угол между вектором F и осью O y , тогда ясно, что

θ = ± (γ − α ) . Обозначим через P (x , y ) и Q (x , y ) проекции силы F на координатные оси. Очевидно, что

F (x , y )cos γ = P (x , y ), F (x , y )sin γ = Q (x , y ) , кроме того,

cosθ = cos γ cosα + sin γ sinα ,

тогда

A=

∫ [F (x ,y )cos γ cosα + F (x ,y )sin γ sinα ]dS =

AB

=

∫ [P (x ,y )cosα + Q (x ,y )sinα ]dS

AB

Принимая во внимание формулу, устанавливающую связь между криволинейными интегралами первого и второго рода, получим окончательно

A=

∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy .

AB

Итак, всякий криволинейный интеграл второго рода вида

∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy

AB

можно истолковать как работу силы, имеющей своими проекциями на координатные оси P (x , y ) и Q (x , y ) , по перемещению материальной точки вдоль кривой A B из точки A в точки B .

88

Удалено: ¶

§ 3. Формула Грина Пусть задана некоторая область D , ограниченная снизу кривой y = ϕ (x ) , сверху - кривой y = Φ(x ) , а с боков - отрезками B C и A D , параллельными оси O y (рис. 6), и пусть в этой области определена непрерывная y = Φ(x ) y D функция , имеющая непреP ( x , y ) C рывную частную производную D P y′(x , y ) . Вычислим B y = ϕ (x ) ∂P (x , y ) A I = ∫∫ dxdy . ∂ y D a b x 0 рис. 6 Переходя к повторному интегралу, получим b

Φ (x )

b

∂P (x , y ) I = ∫ dx ∫ dy = ∫ [P (x , Φ(x ) − P (x ,ϕ (x )]dx ∂y ϕ (x ) a a

С другой стороны, интеграл по контуру области D : ∫ P (x ,y )dx = ∫ P (x ,y )dx + ∫ P (x ,y )dx + ∫ P (x ,y )dx + KD

AB

BC

b

b

a

a

CD

∫ P (x ,y )dx =

DA

= ∫ P [x ,ϕ (x )]dx − ∫ P [x , Φ(x )]dx . Правые части двух последних формул отличаются только знаком, следовательно, ∂P (x , y ) ∫∫D ∂y dxdy = −K∫∫ P (x ,y )dx . D

y d

x = ϕ (y )

x = Φ(y ) D

c 0

рис. 7

x

Полученная формула называется малой формулой Грина. Можно доказать, что она справедлива и для области, изображенной на рис. 7. Нетрудно доказать также, что эта формула справедлива для любой области, распадающейся на конечное число частей, изображенных на рис. 6 и рис. 7.

Если в области D определена и непрерывна функция Q (x , y ) , имеющая ∂Q (x , y ) непрерывную частную производную , то совершенно аналогично ∂x можно доказать вторую малую формулу Грина: 89

∫∫ D

∂Q (x , y ) = ∫∫ Q (x , y )dy . ∂x KD

Складывая почленно обе малые формулы Грина, получим формулу ⎡ ∂Q (x , y ) ∂P (x , y ) ⎤ ∫∫D ⎢⎣ ∂x − ∂y ⎥⎦ dxdy = K∫∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy . D Эта формула называется большой формулой Грина или просто формулой Грина. Она устанавливает связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по контуру этой области.

Замечание (о вычислении площади области с помощью криволинейного интеграла). Положим в формуле Грина P (x , y ) = −y , Q (x , y ) = x тогда получим ∂Q (x , y ) ∂P (x , y ) − =1+1 = 2. ∂x ∂y При таких значениях функции P (x , y ) и Q (x , y ) интеграл, стоящий в левой части формулы Грина, даёт нам удвоенную площадь области D , откуда следует SD =

1 xdy − y dx . 2 K∫D

По этой формуле можно вычислить площадь области D , ограниченной контуром K D .

Пример. Вычислить площадь эллипса x = a cos t , y = a sin t Решение. Очевидно, что когда параметр t изменяется от 0 до 2π , точка (x , y ) обегает полный контур эллипса в положительном направлении. Учитывая, что x t′ = −a sin t , y t′ = b cos t , получим 2π

2π

1 1 1 S ЭЛЛ = ∫ xdy − ydx = ∫ [a cost ⋅b cost +b sint ⋅a sint ]dt = ab ∫ dt = πab кв. ед. 2 K ЭЛЛ 20 2 0

§ 4. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования Пусть функции P (x , y ) и Q (x , y ) определены и непрерывны в некоторой открытой области S и имеют в ней непрерывные частные производные ∂Q (x , y ) ∂P (x , y ) и . Мы будем рассматривать кривые, целиком лежащие в ∂x ∂y 90

области S и допускающие представление x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) , при нём функции ϕ (t ) и ψ (t ) непрерывны и имеют непрерывные производные ϕ ′(t ) и ψ ′(t ) при любом t ∈ [p ,q ] .

Определение 1. Говорят, что интеграл I =

∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy

AB

не зависит от пути интегрирования, если результаты интегрирования по любой кривой, соединяющей точки A и B , совпадают, т.е. если (рис. 8). ∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy = ∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy . AMB

ANB

Замечание. Интегралы, не зависящие от пути интегрирования, иногда записывают так:

y

( x ,y )

N

I =

B

∫

P (x , y )dx + Q (x , y )dy ,

( x 0 ,y 0 )

где A (x 0 , y 0 ) и B (x 1 , y 1 ) , а под кривой, по M которой ведется интегрирование, понимаем любую кривую A B , лишь бы на x ней не нарушались условия теоремы су0 рис. 8 ществования криволинейного интеграла. Определение 2. Говорят, что интеграл по замкнутому контуру равен нулю, если для любого замкнутого самонепересекающегося контура L , целиком лежащем в S , оказывается ∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy = 0 .

S

A

L

Лемма. Определения 1 и 2 эквивалентны. 1. Докажем , что если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то тогда по любому замкнутому контуру он равен нулю (рис. 8). Действительно пусть ∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy = ∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy AMB

ANB

Отсюда следует: ∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy − AMB

=>

∫

P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy +

A MB

∫

∫

P (x , y )dx + Q (x , y )dy = 0 =>

ANB

P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy =

BNA

∫

P dx +Qdy = 0

A MBNA

Теперь достаточно только обозначить замкнутую кривую A M B N A буквой L и оказывается

∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy = 0 .

L

91

2. Второе утверждение: Если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то он не зависит от пути интегрирования, доказывается аналогично, для чего достаточно разбить замкнутый контур L на два участка. (Докажите самостоятельно).

Теорема 1. Для того, чтобы интеграл I =

∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy

не

AB

зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области S было выполнено условие ∂P (x , y ) ∂Q (x , y ) . (1) = ∂y ∂x Доказательство. Достаточность. Допустим, что в каждой точке области S выполнено условие (1). Возьмём замкнутый самонепересекающийся контур L , лежащий в S и ограничивающий область D (рис. 9). По формуле Грина ⎡ ∂Q (x , y ) ∂P (x , y ) ⎤ ∫L P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy = ∫∫D ⎢⎣ ∂x − ∂y ⎥⎦ dxdy . Так как выполнено условие (1) , то y ∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy = 0 , а тогда в сиL

лу

∫

M0

леммы криволинейный интеграл P (x , y )dx + Q (x , y )dy не зависит от

A

AB

пути интегрирования.

0

ρ

Δρ L ρ

рис. 9

D

B S x

Необходимость. Допустим, что условие (1) не выполнено всюду в S и пусть найдётся некоторая точка в которой M 0 (x 0 , y 0 ) , ∂P (x , y ) ∂Q (x , y ) . Пусть для определённости в этой точке ≠ ∂y ∂x ⎛ ∂Q (x , y ) ∂P (x , y ) ⎞ − ⎜ ∂x ⎟ > 0. ∂y ⎝ ⎠M0 ∂Q (x , y ) ∂P (x , y ) и непрерывны, то ∂y ∂x можно найти круг Δρ с центром в точке M 0 столь малого радиуса ρ , что последнее неравенство во всех точках области Δρ . Пусть L ρ - контур области Δρ . Для этой области справедлива формула Грина, но т.к. в каждой ∂Q ∂P точке области Δρ − > 0 , то двойной интеграл ∂x ∂y

Так как частные производные

92

⎛ ∂Q

∂P ∂y

⎞ ⎟dxdy > 0 , ⎠ Δ следовательно, нашелся контур L ρ такой, что

∫∫ρ ⎜⎝ ∂x

−

∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy > 0 .

Lρ

Теорема 2. Если в каждой точке области S функции P (x ,y ) и Q (x ,y ) непрерывны и имеют непрерывные частные производные ∂P (x , y ) ∂Q (x , y ) , то выражение P (x , y )dx + Q (x , y )dy является пол= ∂y ∂x ным дифференциалом непрерывной функции (x ,y )

Φ(x ,y ) =

∫

P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy ,

(a ,b )

т.е. d Φ(x , y ) = P (x , y )dx + Q (x , y )dy .

y

Доказательство. Пусть в каждой

Δx M (x ,y ) N (x + Δx ,y )

S

A

точке области S выполнено условие (1). Закрепим точку A (a ,b ) и пусть M (x , y ) - какая-нибудь точка области S . Тогда

x

0

∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy

за-

AM

висит от точки M , но не зависит от линии A M . Это означает, что написанный интеграл является функцией переменных x и y . Обозначим через Φ(x , y ) , тогда можно написать: рис. 10

( x ,y )

Φ(x , y ) =

∫

P (x , y )dx + Q (x , y )dy .

(a ,b )

Попробуем продифференцировать функцию Φ(x , y ) по переменной x (рис. 10). Для этого, исходя из точки M (x , y ) , дадим x приращение Δx , взяв его столь малым, чтобы отрезок M N , соединяющий точки M (x , y ) и N (x + Δx , y ) , целиком лежал в области S , тогда будет (x +Δx ,y )

Φ(x + Δx ,y ) =

∫

(x +Δ,y )

(x ,y )

P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy =

(a ,b )

∫ Pdx +Qdy + ∫

(a ,b )

Pdx +Qdy =>

(x ,y )

( x +Δx ,y )

=> ΔΦ(x , y ) = Φ(x + Δx , y ) − Φ(x , y ) =

∫

( x ,y )

93

P dx + Q dy .

Выразим криволинейный интеграл, стоящий в правой части, через определённый, учитывая, что на отрезке M N y постоянен, т.е. dy = 0 , а x +Δx

x ∈ [x , x + Δx ] . Тогда получим ΔΦ(x , y ) =

∫

P (x , y )dx .

x

Применим к определённому интегралу, стоящему справа, теорему о среднем, тогда будет ΔΦ(x , y ) = P (ξ , y ) ⋅ Δx , причём x ≤ ξ ≤ x + Δx , тогда ΔΦ = lim P (ξ , y ) = P (x , y ) . Δx →0 Δx Δx →0

lim

Итак, мы получили ∂Φ(x , y ) Φ(x + Δx , y ) − Φ(x , y ) = lim = P (x , y ) . Δx →0 ∂x Δx ∂Φ(x , y ) Аналогично можно доказать, что частная производная также ∂y ∂Φ(x , y ) существует, причём = Q (x , y ) . Следовательно, функция Φ(x , y ) ∂y дифференцируема, причём d Φ(x , y ) = P (x , y )dx + Q (x , y )dy .

Следствие. По предположению теоремы P (x ,y ) и Q (x ,y ) непрерывны, следовательно, непрерывны Φ′x (x , y ) и Φ′y (x , y ) , а тогда непрерывна и сама функция Φ(x , y ) . Замечание. Доказанная теорема даёт нам возможность находить функцию Φ(x , y ) по её полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла. Для этого нужно закрепить какую-нибудь точку (a .b ) , а затем, взяв произвольную точку (x , y ) , соединить их какой-нибудь простой кри( x ,y )

вой L и вычислить Φ(x , y ) =

∫

P (x , y )dx + Q (x , y )dy , лишь бы только на

(a ,b )

этой кривой были выполнены условия теоремы существования криволинейного интеграла второго рода. Доказанные выше две теоремы позволяют сформулировать такую общую теорему. Теорема. Если в области S заданы непрерывные функции P (x ,y ) и ∂P (x , y ) ∂Q (x , y ) Q (x , y ) , имеющие непрерывные частные производные и , ∂x ∂y то любые из следующих утверждений равносильны (т.е. из одного следует другое и наоборот):

94

1.

∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy

зависит от точек A и B , но не от кривой A B .

AB

2. Каков бы ни был замкнутый самонепересекающийся контур L , ∫ P (x ,y )dx + Q (x ,y )dy = 0 . L

3. Всюду в S :

∂P (x , y ) ∂Q (x , y ) . = ∂y ∂x

4. Выражение P (x , y )dx + Q (x , y )dy есть полный дифференциал некоторой функции Φ(x , y ) . dx 2y dy Пример. Убедиться, что выражение является полным + 2 x +y x +y 2 дифференциалом некоторой функции и найти с её помощью криволинейный интеграл второго рода. Решение. Прежде всего убедимся, что приведённое выражение является полным дифференциалом некоторой функции Φ(x , y ) . 1 2y Обозначим P (x , y ) = , Q (x , y ) = . 2 x +y 2 x +y Найдём

∂Q (x , y ) 2y ∂P (x , y ) 2y . =− , =− 2 2 ∂x (x + y ) ∂y (x + y 2 )2

∂P (x , y ) ∂Q (x , y ) , т.е. действительно данное выраже= ∂y ∂x ние является полным дифференциалом некоторой функции Φ(x , y ) , т.е. 2y dy dx . d Φ(x , y ) = + 2 2 y + y x + y x C (x , y ) Очевидно, что

A (1,1) 1 0

B (x ,1)

1

x

Найдём функцию Φ(x , y ) , вычислив криволинейный интеграл по кривой A B C , состоящей из двух отрезков: A B и B C , т.е. будет

рис. 11 ( x ,1)

( x ,y )

dx 2y dy dx 2y dy . Φ(x , y ) = ∫ + + ∫ + 2 2 2 2 + y x + y x + y x + y x (1,1) ( x ,1) Заметим, что на A B : y = 1 , dy = 0 , x ∈ [1, x ] ; 95

на B C : x = const , dx = 0 , y ∈ [1, y ] , следовательно: x

y

x dx 2y dy 2 Φ(x , y ) = ∫ +∫ = ln + + ln + x 1 x y 2 1 x +1 1 x + y 1

y 1

=

= ln x + 1 − ln 2 + ln x + y 2 − ln x + 1 = ln x + y 2 − ln 2 Ответ: Φ(x , y ) = ln x + y 2 + c , где c - произвольная постоянная (рис. 11). Заметим, что при решении данного примера мы не имеем права поместить точку A в начало координат, т.к. в этом случае подынтегральная функция будет претерпевать разрыв, т.е. нарушится условие теоремы существования определённого интеграла.

Замечание 1. Заметим, что если при интегрировании дифференциаль-

ного уравнения P (x , y )dx + Q (x , y )dy = 0 оказывается, что выполнено ус∂P (x , y ) ∂Q (x , y ) , то это говорит о том, что левая часть данного ловие = ∂y ∂x дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции Φ(x , y ) , т.е. P (x , y )dx + Q (x , y )dy = d Φ(x , y ) . В этом случае дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Очевидно, что можно легко найти общий интеграл этого уравнения, а именно: Φ(x , y ) = c , а функция Φ(x , y ) находится, как показано выше, с помощью криволинейного интеграла второго рода, т.е. ( x ,y )

Φ(x , y ) =

∫

P (x , y )dx + Q (x , y )dy .

(a ,b )

Замечание 2. Можно доказать, что для того, чтобы криволинейный интеграл I = ∫ P (x , y , z )dx + Q (x , y , z )dy + R (x ,y , z )dz L

в некоторой области S не зависел от пути интегрирования, необходимо, чтобы в каждой точке этой области выполнялись условия ∂P (x , y , z ) ∂Q (x , y , z ) ∂Q (x , y , z ) ∂R (x , y , z ) ∂R (x , y , z ) ∂P (x , y , z ) = , , = = , ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y

при этом функции P (x , y , z ) , Q (x , y , z ) и R (x , y , z ) предполагаются непрерывными и имеющими непрерывные указанные частные производные всюду в S , а на кривой L выполнены условия теоремы существования криволинейного интеграла второго рода. 96

ГЛАВА V. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Поверхностные интегралы I рода Определение. Пусть S - квадрируемая поверхность, в каждой точке которой определена функция F (x , y , z ) . Разобьём поверхность S сетью простых кривых на ячейки S 1 , S 2 ,…, S n с площадями ΔS 1 , ΔS 2 ,..., ΔS n и диаметрами d 1 ,d 2 , ..., d n . Наибольший из диаметров частичных ячеек d k обозначим через λ и будем называть его рангом дробления. В каждой частичной ячейке S k возьмём произвольную точку M k (x k , y k , z k ) и вычислим в ней значение функции F (x k , y k , z k ) . Умножим F (x k , y k , z k ) на площадь ячейки ΔS k и составим интегральную сумму n

σ n = ∑ F (x k , y k , z k ) ⋅ ΔS k . k =1

Измельчая дробление таким образом, чтобы ранг дробления стремился к нулю, будем искать предел I = lim σ n . n →∞ λ →0

Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на ячейки и выбора точек M k (x k , y k , z k ) , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции F (x , y , z ) по поверхности S и обозначается так: I = ∫∫ F (x , y , z )dS . S

Теорема существования первого рода.

поверхностного

интеграла

Если поверхность S задана уравнением z = f (x , y ) , причём функция f (x , y ) определена и непрерывна в простой области D плоскости xO y и имеет в этой области непрерывные частные производные ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) p (x , y ) = и q (x , y ) = и если в каждой точке поверхности S ∂x ∂y функция F (x , y , z ) непрерывна, то тогда поверхностный интеграл первого рода от функции F (x , y , z ) существует и выражается через двойной интеграл так:

∫∫ F (x ,y , z )dS = ∫∫ F [x ,y , f (x ,y )] S

p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) + 1dxdy .

D

(без доказательства). 97

Не будем перечислять свойства поверхностного интеграла первого рода, т.к. они достаточно очевидны.

Пример. В каждой точке поверхности S , лежащей в первом октанте,

уравнение которой x + y + z = 1 , распределена масса с плотностью z ρ(x , y , z ) = , где k = con st . Вычислить массу пластинки. k ∂z ∂z Решение. z = 1 − x − 1, p (x , y ) = = −1, q (x ,y ) = = −1 , ∂x ∂y p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) + 1 = 3 . 1 1 Следовательно, масса M = ∫∫ (1 − x − y )dS = ∫∫ (1 − x − y ) 3 dxdy = k S k D 1

3 = dx k ∫0

1−x

3

∫ (1 − x − y )dy = 6k

кв. ед.

0

§ 2. Двухсторонние и односторонние поверхности. Сторона поверхности. Возьмём некоторую поверхность S и z рассмотрим нормаль к этой поверхности в N точке M . Зафиксируем на нормали одно N N из двух возможных направлений (рис. 1). M Возьмём на поверхности некоторый A M1 контур, не пересекающий границы поверхN′ S ности S . Если мы будем перемещать ос0 B y нование нормали в направлении x M → A → M 1 → B → M , то нормаль, рис. 1 обойдя этот контур, вернётся к точке M и займёт либо исходное положение N , либо перевёрнутое N′ . Если на поверхности нет ни одного контура, который переворачивал бы нормаль после его обхода, то такая поверхность называется двухсторонней, а если есть хотя бы один контур, переворачивающий нормаль, то такая поверхность называется односторонней. Примером односторонней поверхности A 1 может служить лист Мёбиуса, который легко можно изготовить, взяв полоску буB1 98

l

B2 A2

рис. 2

маги (рис. 2) и соединив точку A 1 с точкой A 2 , точку B 1 с точкой B 2 . Нетрудно заметить, что обход контура K переворачивает нормаль. Определение. Совокупность точек двухсторонней поверхности вместе с соответствующими направлениями нормалей, непрерывно переходящих друг в друга при перемещении основания нормали по поверхности, не пересекая его границы, называют стороной поверхности. В соответствии с приведённым определением можно сделать вывод, что двухсторонняя поверхность имеет две стороны поверхности: верхнюю и нижнюю, а односторонняя поверхность не имеет ни одной стороны поверхности. Причём, если двухсторонняя поверхность задана уравнением z = f (x , y ) , ∂z (x , y ) ∂z (x , y ) и q (x , y ) = где f (x , y ) и частные производные p (x , y ) = ∂x ∂y непрерывны в области D плоскости xO y , то для верхней стороны поверхности направляющие косинусы нормали определяются выражениями −p −q 1 cos λ = , cos μ = , cosν = , p 2 +q 2 +1 p 2 +q 2 +1 p 2 +q 2 +1 а для нижней стороны поверхности S соответственно −p q −1 cos λ = , cos μ = , cosν = . 2 2 2 2 2 2 p +q +1 p +q +1 p +q +1

§ 2. Поверхностные интегралы второго рода Определение. Пусть в каждой точке двухсторонней поверхности S задана функция F (x , y , z ) . Выберем на поверхности S сторону поверхности (верхнюю или нижнюю). Разобьём поверхность S сетью простых кривых на ячейки S 1 , S 2 ,...,S n , которые проектируются на плоскость xO y в ячейки D 1 , D 2 ,..., D n с площадями ΔF1 , ΔF2 ,..., ΔFn . Наибольший из диаметров ячейки D k назовём рангом дробления и обозначим его λ . В каждой частичной ячейке S k возьмём произвольную точку M k (x k , y k , z k ) и вычислим в ней значение функции F (x k , y k , z k ) . Умножим F (x k , y k , z k ) на площадь проекции ячейки S k на плоскости xO y , т.е. составим произведение F (x k , y k , z k ) ⋅ ΔFk и составим интегральную сумму для верхней и для нижней стороны поверхности соответственно: n

n

k =1

k =1

σ n = ∑ F (x k , y k , z k ) ⋅ ΔFk и σ n = ∑ F (x k , y k , z k ) ⋅ ( −ΔFk ) . Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, будем искать предел 99

I = lim σ n . n →∞ λ →0

Если этот предел, не зависящий от способа дробления и выбора точек M k , существует, то он называется поверхностным интегралом второго рода соответственно по верхней и по нижней стороне поверхности S и обозначается I = ∫∫ F (x , y , z )dxdy . S

Аналогично определяются интегралы

∫∫ F (x ,y , z )dy dz

и

S

∫∫ F (x ,y , z )dzdx , S

причём принято обозначение ∫∫ P dy dz + ∫∫Q dzdx + ∫∫ R dxdy = ∫∫ P dy dz + Q dzdx + R dxdy , S

S

S

S

где все интегралы берутся по одной и той же стороне поверхности. Свойства поверхностных интегралов очевидно. Отметим только, что если поверхности S представляет собой цилиндрическую поверхность, обрато зующие которой перпендикулярны плоскости xO y , ∫∫ F (x ,y , z )dxdy = 0 . S

Это с очевидностью следует из определения поверхностного интеграла второго рода.

1. Теорема существования поверхностного интеграла второго рода Теорема. Если двухсторонняя поверхность S задана уравнением z = f (x , y ) , причём f (x , y ) и частные производные p (x , y ) =

∂z (x , y ) и ∂x

∂z (x , y ) существуют и непрерывны в простой области D плоско∂y сти xO y и если в каждой точке поверхности S задана непрерывная функция F (x , y , z ) , то поверхностный интеграл по верхней и нижней стороне поверхности S существует и выражается через двойной интеграл для верхней стороны поверхности S : ∫∫ F (x ,y , z )dxdy = ∫∫ F [x ,y , f (x ,y )]dxdy

q (x , y ) =

S ( верхн. стор)

D

и соответственно для нижней стороны поверхности S :

∫∫

F (x , y , z )dxdy = − ∫∫ F [x , y , f (x , y )]dxdy .

S ( нижн. стор)

D

100

Пример. Вычислить I = ∫∫ zdxdy по нижней стороне поверхности S , S

заданной уравнением z = x + y 2 над областью D , ограниченной прямыми x = 0, y = 0, x + y = 1 (рис. 3). Решение. В соответствии с теореz мой существования и принимая во внимание, что поверхностный инте1 грал берётся по нижней стороне поверхности S , получим 2

I =

1 = − (yx ∫∫0x + yzdxdy ∫∫ =1

S ( нижн. стор.) 1

1

x = − ∫ dx 0

1−x

∫( 0

2

+ y 2 )dxdy =

D

2. Связь между по-

1 рис. 3 x + y 2 dy = − . 2

)

2

верхностными интегралами первого и второго рода Будем рассматривать поверхностные интегралы первого и второго рода по двухсторонней поверхности S , нормаль к которой образует углы λ , μ и ν соответственно с координатными осями O x , O y и O z . Покажем, что (1) ∫∫ F (x ,y , z )dxdy = ∫∫ F (x ,y , z )cosνdS , S

S

причём здесь через ν обозначен угол нормали, входящей в выбранную сторону поверхности интегрирования в интеграле, стоящем слева, с осью O z . Для доказательства перейдём в интегралах, стоящих в левой и правой частях равенства (1), к двойному интегралу в силу теоремы существования, считая, что двухсторонняя поверхность S задана уравнением z = f (x , y ) , ∂z (x , y ) ∂z (x , y ) и q (x , y ) = определены и непрепричём f (x , y ) , p (x , y ) = ∂x ∂y рывны в простой области D плоскости xO y , тогда получим

∫∫ F (x ,y , z )dxdy = ∫∫ F [x ,y , f (x ,y )]dxdy , S

∫∫F(x ,y ,z )cosνdS = ∫∫F[x ,y , f (x,y )]

D

1

p 2 +q 2 +1dxdy = ∫∫F[x ,y , f (x ,y )]dxdy .

p 2 +q 2 +1 D Мы видим, что правые части этих равенств совпадают, следовательно, совпадают и левые, т.е. S

D

∫∫ F (x ,y , z )dxdy = ∫∫ F (x ,y , z )cosνdS . S

S

Аналогично можно доказать и такое, более общее, соотношение:

101

∫∫ P (x ,y , z )dy dz + Q (x ,y , z )dzdx + R (x ,y , z )dxdy = S

= ∫∫ [P (x , y , z )cos λ + Q (x , y , z )cos μ + R (x , y , z )cosν ]dS , S

где через λ , μ и ν обозначены углы нормали, входящей в выбранную сторону поверхности интегрирования, в интегралы, стоящие слева, с координатными осями O x , O y и O z , а интегралы, стоящие в правой и левой частях равенства, существуют.

§ 3. Формула Остроградского Рассмотрим некоторое тело T , ограниченное снизу простой поверхностью S 1 , уравнение которой z = ϕ (x , y ) , сверху - простой поверхностью S 3 , - уравнение которой z = Φ(x , y ) , а с боков цилиндрической поверхностью S 2 , образующие которой параллельны оси O z , а направляющей служит контур области D в плоскости xO y . Допустим, что функции ϕ (x , y ) и Φ(x , y ) определены и непрерывны в простой области z S3 D плоскости xO y и имеют в ней непрерывные частные производные (рис. 4). S2 T Пусть, кроме того, в теле T определена непрерывная функция R (x , y , z ) , имеющая S1 0 ∂R (x , y , z ) y . При непрерывную производную D ∂z x таких предположениях существует тройной рис. 4 интеграл ∂R (x , y , z ) I = ∫∫∫ dxdy dz . ∂ z T Вычислим его, выразив через повторный: I = ∫∫ dxdy D

Φ ( x ,y )

∂R (x , y , z ) dz . ∫ z ∂ ϕ (x ,y )

Здесь внутренний интеграл Φ ( x ,y ) ∂R I ВН. = ∫ dz = R [x , y , Φ(x , y )] − R [x , y ,ϕ (x , y )] . z ∂ ϕ ( x ,y ) Следовательно, 102

Φ ( x ,y )

I ВН. =

∂R dz = R [x , y , Φ(x , y )] − R [x , y ,ϕ (x , y )] . ∫ z ∂ ϕ ( x ,y )

Следовательно, ∂R dz = ∫∫ R [x ,y , Φ(x ,y )]dxdy − ∫∫ R [x ,y ,ϕ(x ,y )]dxdy = ∫∫∫ ∂ z T D D

=

∫∫

R (x ,y ,z )dxdy +

S 3 ( верхн. стор)

∫∫

R (x ,y ,z )dxdy +

S 3 ( нижн. стор.)

∫∫

R (x ,y ,z )dxdy

S 3 ( внешн.стор.)

Итак, мы получили: ∂R (x , y , z ) dxdy dz = ∫∫ R (x , y , z )dxdy ∫∫∫ ∂ z T ST

(1)

Формула (1) устанавливает связь между тройным интегралом по телу T и поверхностным по полной поверхности, ограничивающей это тело, причём поверхностный интеграл вычисляется по внешней стороне поверхности тела T . Формула (1) называется малой формулой Остроградского. Допустим, что в теле T определены ещё две функции P (x , y , z ) и ∂P (x , y , z ) Q (x , y , z ) , имеющие непрерывные частные производные и ∂x ∂Q (x , y , z ) . Совершенно аналогично можно доказать ещё две малые фор∂y мулы Остроградского:

∂P (x , y , z ) dxdy dz = ∫∫ P (x , y , z )dy dz ∂x ST

(2)

∂Q (x , y , z ) dxdy dz = ∫∫Q (x , y , z )dzdx ∫∫∫ ∂y T ST

(3)

∫∫∫ T

Складывая почленно формулы (1), (2) и (3), получим большую формулу Остроградского или просто формулу Остроградского:

⎡ ∂P (x , y , z ) ∂Q (x , y , z ) ∂R (x , y , z ) ⎤ + + ⎢ ⎥ dxdy dz = ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z ⎦ T ⎣ =

∫∫

P (x , y , z )dy dz + Q (x , y , z )dzdx + R (x , y , z )dxdy .

ST ( внешняя стор )

Если λ , μ и λ - углы нормали к внешней стороне поверхности S с координатными осями O x , O y и O z , тогда в правой части формулы Остроградского можно перейти к поверхностному интегралу первого рода: 103

⎡ ∂P (x , y , z ) ∂Q (x , y , z ) ∂R (x , y , z ) ⎤ + + ⎥ dxdy dz = ∂x ∂y ∂z ⎦

∫∫∫ ⎢⎣ T

= ∫∫ [P (x , y , z )cos λ + Q (x , y , z )cos μ + R (x , y , z )cosν ] dS . ST

Замечание. Обратим внимание на то, что формула Остроградского позволяет легко получить формулу для вычисления объёма тела T с помощью поверхностного интеграла по поверхности, ограничивающей тело T . Действительно, если положить в формуле Остроградского P (x , y , z ) = x , Q (x , y , z ) = y , R (x , y , z ) = z , то тогда получим

VT =

1 xdy dz + y dzdx + zdxdy 3 S∫∫T или

V T = ∫∫ [x cos λ + y cos μ + z cosν ]dS , ST

где через V T обозначен объём тела T .

§ 4. Формула Стокса Рассмотрим некоторую двухстороннюю квадрируемую поверхность S , ограниченную контуром L , который на каждую из координатных плоскостей проектируется в замкнутый самонепересекающийся контур (рис. 5). Пусть в каждой точке этой поверхz ности задана непрерывная функция D yz P (x , y , z ) , имеющая непрерывные частные производные n D xz S ∂P (x , y , z ) ∂P (x , y , z ) и . y 0 ∂x ∂y x D xy Можно доказать, что справедлива рис. 5 формула (малая формула Стокса):

∫∫ S

∂P (x , y , z ) ∂P (x , y , z ) dzdx − dxdy = ∫ P (x , y , z )dx . ∂z ∂y L 104

Здесь между левой и правой частями равенства такое согласование: интеграл слева берётся по определённой стороне поверхности, а обход контура интегрирования L в интеграле, стоящем справа, совершается в таком направлении, чтобы наблюдатель, у которого нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности, проходит от ног к голове, оставлял бы поверхность слева от себя. Допустим далее, что справедливы сделанные выше предположения и, кроме того, на поверхности S заданы непрерывные функции Q (x , y , z ) и R (x , y , z ) , имеющие непрерывные частные производные

∂Q (x , y , z ) ∂Q (x , y , z ) ∂R (x , y , z ) ∂R (x , y , z ) , и . , ∂x ∂z ∂x ∂y Тогда можно доказать справедливость ещё двух малых формул Стокса:

∫∫ S

∂Q (x , y , z ) ∂Q (x , y , z ) dxdy − dy dz = ∫Q (x , y , z )dy ∂x ∂z L

∂R (x , y , z ) ∂R (x , y , z ) dy dz − dxdy = ∫ R (x ,y , z )dz . y x ∂ ∂ S L Складывая почленно все три малые формулы Стокса, получим большую формулу Стокса или просто формулу Стокса:

∫∫

⎡∂Q(x,y,z ) ∂P(x,y,z )⎤ ⎡∂R(x,y,z ) ∂Q(x,y,z )⎤ ⎡∂P(x,y,z ) ∂R(x,y,z )⎤ dydz dxdy − + − + ⎢ ∂y ∫∫S ⎢⎣ ∂z ⎢ ∂z − ∂x ⎥dzdx = ∂y ⎥⎦ ∂z ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ = ∫ P (x , y , z )dx + Q (x , y , z )dy + R (x , y , z )dz . L

105

ГЛАВА VI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ § 1. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению 1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня Итак, рассмотрим некоторую область T трёхмерного пространства O xy z . Если каждой точке M (x , y , z ) этой области поставлено в соответствие значение некоторой скалярной величины U , т.е. U = f (M ) или U =U (x , y , z ) , то говорят, что задано скалярное поле. Например, точечный источник тепла создаёт поле температур. Скалярное поле, не меняющееся во времени, называется стационарным, и в этом случае функция U не зависит от времени, т.е. U =U (x , y , z ) . Если же поле меняется во времени, т.е. U =U (x , y , z ,t ) , то оно называется нестационарным. Например, если вынуть из костра раскаленный камень, то вокруг него образуется нестационарное скалярное поле температур, которое будет меняться с течением времени, т.к. камень будет остывать. Таким образом, очевидно, что стационарное скалярное поле описывается некоторой функцией точки, имеющей три, две или одну координату, в зависимости от того, что представляет собою область T . В качестве примера скалярного поля можно привести потенциал e электростатического поля, который определяется соотношением U = , где r 2 2 2 e - заряд, r = x + y + z - расстояние точки до заряда, который помещён в начало координат. Очевидно, что функция U определяет скалярное поле (потенциал) во всём пространстве, за исключением начала координат, т.к. при r = 0 потенциал U обращается в бесконечность. Если рассмотреть скалярное поле U = R 2 − x 2 − y 2 , то очевидно, что это поле определено лишь в круге радиуса R : x 2 + y 2 = R 2 . Допустим теперь, что скалярное поле U =U (x , y , z ) таково, что функция U (x , y , z ) непрерывна по переменным x , y , z и однозначна. Зафиксируем значение скалярной величины U , положив его равным c , где c = const , т.е. положим U (x , y , z ) = c . С геометрической точки зрения последнему соотношению соответствует в пространстве некоторая поверхность. Очевидно, что эта поверхность обладает таким свойством, что в каждой её точке поле имеет постоянное значение, равное c . Такая поверхность называется поверхностью уровня. Заметим, что функцию, задающую скалярное поле, независимо от её физического смысла, часто называют потенциалом, а поверхности уровня называют также эквипотенциальными поверхностями, т.е. поверхностями 106

равного потенциала. Очевидно, что различные поверхности уровня не пересекаются, и через такую точку области, где определено скалярное поле, проходит одна из них. Если скалярное поле плоское, т.е. U =U (x , y ) , то точки, для которых U (x , y ) = c , называют линиями уровня. Например, скалярное поле U = R 2 − x 2 − y 2 − z 2 имеет в качестве поверхностей уровня концентрические сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 − c 2 , а поле U = R 2 − x 2 − y 2 - концентрические окружности x 2 + y 2 = R 2 − c 2 .

2. Производная по направлению Для изучения свойств скалярного поля U =U (x , y , z ) прежде всего бывает необходимо выяснить, как меняется это поле при переходе от одной точки поля к другой. Допустим, что мы рассматриваем скалярное поле U =U (x , y , z ) , где функция U (x , y , z ) дифференцируема в каждой точке поля, т.е. её полное приращение ∂U (x , y , z ) ∂U (x , y , z ) ∂U (x , y , z ) ΔU = Δx + Δy + Δz + αΔx + βΔy + γΔz , ∂x ∂y ∂z где α , β и γ стремятся к нулю, если

( Δx ) + ( Δy ) + ( Δz ) 2

2

2

→ 0.

Выберем в поле скалярной величины U некоторое направление, определяемое осью l ( l 0 - орт этого направления). Возьмём на оси l две точки M (x , y , z ) и N (x + Δx , y + Δy , z + Δz ) . Обоuuuuur значим пр l M N = ρ (рис. 1). Очевидно, что ρ > 0 , если направлеz uuuuur ние вектора M N совпадает с направl лением оси l и ρ ≤ 0 , если они протиN воположны. l0 M (x ,y , z ) Дадим теперь определение произy 0 водной функции U (x , y , z ) по направx лению l . рис. 1

Определение. Производной функции U по направлению l называется lim

U (N ) −U (M )

ρ

N →M

,

uuuuur где ρ = пр l M N , а точки N и M лежат на оси l . 107

∂U , т.е. ∂l ∂U def U (N ) −U (M ) . (рис. 1) = lim N →M ρ ∂l

Производная по направлению обозначается

Примем теперь во внимание, что функция U =U (x , y , z ) дифференцируема, тогда получим U (x + Δx , y + Δy , z + Δz ) −U (x , y , z ) ⎡ ∂U Δx ∂U Δy ∂U Δz ⎤ ∂U = lim = lim ⎢ ⋅ + ⋅ + ⋅ + б.м.⎥ . N → M ρ → 0 ρ ∂l ∂y ρ ∂z ρ ⎣ ∂x ρ ⎦

Если ось l образует углы α , β и γ с координатными осями, то очевидΔx Δy Δz но, что = cosα , = cos β , = cos γ , а тогда в пределе получим:

ρ

ρ

ρ

∂U ∂U ∂U ∂U = cosα + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z Ясно, что единичный вектор направления l имеет своими координатами направляющие косинусы оси l , т.е. l 0 (cosα ,cos β ,cos γ ) , где α , β и γ - углы, которые вектор l 0 образует с координатными осями. Следовательно, ∂U производную по направлению можно представить в виде скалярного ∂l ∂U ⎛ ∂U ∂U ∂U ⎞ 0 = N ⋅ l 0 , где , , и вектора l , т.е. произведения вектора N ⎜ ⎟ ∂l ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂U ∂U ∂U вектор N = i+ j+ k (это было получено ранее) есть ни что иное, ∂x ∂y ∂z как нормаль к поверхности уровня U (x , y , z ) = c . Напомним, что производная имеет механический смысл - скорость. Значит, производная по направлению даёт нам скорость изменения поля U =U (x , y , z ) в направлении оси l . Нетрудно заметить также, что мы уже ранее рассматривали производные по направлению, а именно, это были производные по направлению координатных осей O x ,O y и O z , т.е. изученные ранее частные производные ∂U ∂U ∂U и . , ∂z ∂x ∂y Заметим, что понятие производной по направлению обобщают и на случай, когда это направление задаётся некоторой кривой линией l . В этом случае в качестве направляющих косинусов направления берут направляющие косинусы касательной к кривой l в точке дифференцирования. 108

Пример. Найти производную скалярного поля U = x 2 + y 2 по направлению кривой y = x 2 от точки M 1 (1,1) к точке M 2 ( 2, 4) в точке M 1 . Решение. Найдём единичный вектор 0 2 y τ , касательный к параболе y = x в точM 2 ( 2, 4) ке M 1 (1,1) . Найдём угловой коэффициент 3 прямой, на которой лежит вектор τ : N 2 y ′ = 2x , k = 2 x x =1 = 2 . 1 Прямая имеет угловой коэффициент M 1 (1,1) k = 2 и проходит через точку M 1 (1,1) , 0 1 2 3 x следовательно, её уравнение рис. 2 y − 1 = 2(x − 1) . x −1 y −1 . Вектор Запишем это уравнение в каноническом виде: = 1 2 τ(1, 2) - направляющий вектор этой прямой, причём его направление соответствует направление на кривой от точки M 1 (1,1) к точке M 2 ( 2, 4) . Соотi 2 ветствующий ему единичный вектор τ 0 = + j , т.е. его направляющие 5 5 1 2 косинусы cosα = , cos β = . 5 5 ∂U x ∂U y Найдём теперь = , = , а тогда производная по ∂x x 2 + y 2 ∂y x2 +y 2 направлению функции U = x 2 + y 2 в точке M 1 (1,1) по кривой l от точки M 1 (1,1) к точке M 2 ( 2, 4) будет ∂U x 1 y 2 = ⋅ + ⋅ . 2 2 2 2 ∂l 5 5 x +y x +y

3. Градиент скалярного поля. Его свойства. Связь градиента скалярного поля с производной по направлению. Оператор Гамильтона Рассмотрим скалярное поле U =U (x , y , z ) и предположим, что в некоторой области T функция U (x , y , z ) дифференцируема, т.е. существуют непрерывные частные производные ∂U (x , y , z ) ∂U (x , y , z ) ∂U (x , y , z ) , , , ∂x ∂y ∂z 109

а поверхности уровня U (x , y , z ) = c не имеют особых точек, т.е. таких точек, в которых все три частные производные обращались бы в ноль. При сделанных предположениях поверхность уровня U (x , y , z ) = c в каждой своей точке имеет касательную плоскость, а следовательно и нормаль к по∂U ∂U ∂U верхности N , которая, как известно, имеет координаты , и , ∂x ∂y ∂z т.е. ∂U (x , y , z ) ∂U (x , y , z ) ∂U (x , y , z ) i+ j+ k. ∂x ∂y ∂z В правой части здесь стоит скалярное произведение векторов gr adU и ∂U = пр l gr adU . Скалярное произведение вектора на некоторый l 0 , т.е. ∂l орт можно осмыслить как проекцию этого вектора на орт, следовательно, ∂U = пр l gr adU . Очевидно, что эта производная имеет наибольшее зна∂l чение, если направление оси l совпадает с направлением градиента, т.е. можно сделать вывод, что в направлении градиента скалярное поле имеет наибольшую скорость изменения. Вычислим эту наибольшую скорость изменения скалярного поля: т.к. gr adU l0 = то ясно, что gr adU N=

2

gr adU gr adU ⎛ ∂U ⎞ = ⋅ gr adU = = gr adU . ⎜ ⎟ gr adU ⎝ ∂l ⎠наиб. gr adU Итак, можно сделать окончательный вывод: в направлении своего градиента скалярное поле имеет наибольшую скорость изменения, и эта скорость равна модулю градиента скалярного поля.

Задача 2. Дано поле температур T (x , y , z ) = λ (x 2 + y 2 + z 2 ) . Найти наибольшую скорость изменения поля T (x , y , z ) в точке M 0 (1,1, 3) . Решение. Абсолютная величина наибольшей скорости изменения поля, совпадающая со значением модуля градиента поля температур, будет равна ( 2λ )2 + ( 2λ )2 + (6λ )2 = 2 11 λ . Очевидно также следующие свойства градиента скалярного поля: 1) gr ad (cU ) = cgr adU , c = const 2) gr ad (U +V ) = gr adU + gr adV 3) gr ad (U ⋅V ) =U gr adV +V ⋅ gr adU . В этом нетрудно убедиться самостоятельно.

110

Для компактной записи градиента скалярного поля введём в рассмотрением символический вектор - оператор Гамильтона (вектор "набла"), который обозначается так: " ∇ " и равен по определению ∂ ∂ ∂ ∇= i+ j+ k , ∂x ∂y ∂z т.е. ясно, что с помощью оператора Гамильтона градиент скалярного поля можно следующим образом:

gr adU (x , y , z ) = ∇U (x , y , z ) . В заключение этого параграфа решим ещё одну задачу. Задача 3. Найти градиент потенциала электростатического поля, образованного точечным зарядом e e U = = . r x2 +y 2 +z 2

Решение. Найдите прежде всего поверхности уровня данного поля. Положим U = c , т.е.

e

= c => x 2 + y 2 + z 2 =

e2 , т.е. поверхности c2

x2 +y 2 +z 2 уровня представляют собою концентрические сферы с центром в точке, где находится электрический заряд. r Найдём gr adU = −e 3 , где r = x i + y j + z k , r = x 2 + y 2 + z 2 , т.е. граr диент направлен по радиусу рассматриваемого семейства сфер, причём функция U возрастает с уменьшением r ; вектор e e e D = −gr ad = 2 ⋅ r 0 = 3 r . r r r называется напряженностью электрического поля.

§ 2. Векторное поле 1. Векторное поле. Векторные линии и векторные поверхности Рассмотрим некоторую пространственную область T . Если с каждой этой области связано значение некоторой векторной величины a(a x ,a y ,a z ) , то говорят, что определено векторное поле a = a x i + a y j + a z k . Очевидно, что задание одного векторного поля равносильно заданию трёх скалярных полей a x (x , y , z ,t ) , a y (x , y , z ,t ) и a z (x , y , z ,t ) , где (x , y , z ) - точка, принадлежащая области T , а переменная t имеет смысл времени. В том случае, если 111

координаты вектора a не зависят от времени, то поле вектора a называется стационарным.

z a

z a

K

a

x

0

L

L

y

x

y

0

рис. 3 Рассмотрим в поле вектора a некоторую кривую L , которая обладает таким свойством, что вектор поля, соотнесенный каждой точке этой кривой , касается этой кривой в указанной точке. Такая кривая называется векторной линией (рис. 3). Пусть через каждую точку некоторой кривой K проходит векторная линия L . Совокупность векторных линий образует так называемую векторную поверхность (рис. 3). В том случае, если кривая K представляет собой замкнутый контур, то векторная поверхность называется векторной трубкой. Допустим, что векторная линия L задана пересечением двух поверхностей F1 (x , y , z ) = 0 и F2 (x , y , z ) = 0 . Вектор τ , лежащей на касательной к кривой L , как известно, имеет координаты (dx ,dy ,dz ) . Так как вектор τ коллинеарен вектору a в соответствии с определением векторной линии, то их координаты пропорциональны: dx dy dz . = = dx dy dz Эта система дифференциальных уравнений является системой уравнений векторных линий L . Если мы хотим найти векторную линию, проходящую через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , то нам нужно решить соответствующую задачу Коши.

Задача. Найти векторную линию L векторного поля a(x , y ) = y i − x j , проходящую через точку M 0 (1, 0) (рис. 4). Решение. Дифференциальное уравнение семейства векторных линий dx dy . = y x Итак, нужно выделить интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через точку M 0 (1, 0) . 112

y 1 −1

0

M

1

рис. 4

0

x

Разделяя переменные, получим xdx + y dy = 0 . Откуда следует общий интеграл уравнения x 2 + y 2 = c 2 . Учитывая, что интегральная кривая проходит через точку M 0 (1, 0) , имеем c = 1 . Итак, векторная линия, проходящая

через точку M 0 (1,) , представляет собой окружность x 2 + y 2 = 1 .

2. Поток векторного поля через поверхность. Его механический смысл Пусть в поле вектора a(a x ,a y ,a z ) наz n ходится двухсторонняя поверхность S . Выберем на ней элементарную площадку, площадь которой равна ΔS . Выберем a на ней определённую сторону и пусть S нормаль, соответствующая выбранной ΔS y 0 стороне поверхности, есть n . Будем считать, что в пределах выбранной площадки вектор a постоянен, обозначим через a n проекцию вектора a на направление x рис. 5 нормали n (рис. 5). Определение. Элементарным потоком векторного поля a через площадку ΔS в выбранную сторону называется ΔQ = a n ΔS . Разбивая поверхность ΔS на ячейки и суммируя элементарные потоки вектора a по всем частичным ячейкам при условии, что ранг дробления стремится к нулю, получим Q = ∫∫ a n dS ; Q называется потоком векторного S

поля a через поверхность S в выбранную сторону. Выясним теперь механический смысл потока векторного поля (рис. 5). Допустим, что указанная выше поверхность лежит в векторном поле v(x , y , z ,t ) скоростей текущей жидкости. Тогда за время Δt , исходя из данного момента времени t , частицы жидкости продвинутся через элементарную площадку и заполнят наклонный цилиндр, основанием которого является элементарная площадка, а высота h = v n Δt , если векторы v и n лежат в одном полупространстве. Масса частиц жидкости, заполнявших этот цилиндр, ΔQ ′ ≈ ρ ⋅ v n ⋅ ΔS ⋅ t , где ρ (x , y , z ,t ) - плотность текущей жидкости. Выполняя суммирование всех этих масс по всей поверхности S , получим

⎛ ⎞ Q ′ = ⎜ ∫∫ ρv n dS ⎟ Δt . ⎝S ⎠

112

Правая часть этого соотношения даёт нам количество жидкости, протекающей через поверхность S за время Δt , тогда очевидно, что выражение Q = ∫∫ ( ρv )n dS даёт нам количество жидкости, протекающей через поверхS

ность S в выбранную сторону за единицу времени. В этом и заключается механический смысл потока векторного поля.

§ 3. Теорема Остроградского (векторная форма). Дивергенция векторного поля и её механический смысл Рассмотрим поле вектора a = a x (x , y , z )i + a y (x , y , z )j + a z (x , y , z )k .

Определение. Дивергенцией векторного поля a называется выражение div a =

∂a x (x , y , z ) ∂a y (x ,y , z ) ∂a z (x , y , z ) . + + ∂x ∂y ∂z

Очевидно, что с помощью оператора Гамильтона дивергенцию можно записать так: div a = ∇ ⋅ a .

Теорема Остроградского (векторная форма). Поток векторного поля a(a x ,a y ,a z ) через замкнутую поверхность S наружу равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля a по телу T , ограниченному поверхностью S , т.е. короче: ∫∫a n dS = ∫∫∫div adxdy dz . S

T

Доказательство. Мы будем предполагать, что выполняются условия, при которых существуют интегралы, о которых речь пойдёт ниже. Рассмотрим поток векторного поля a(a x ,a y ,a z ) через поверхность S наружу: Q = ∫∫ a n dS , где n - есть внешняя нормаль к поверхности S , ограниS

чивающей тело T , a n - проекция вектора a на эту нормаль. Пусть нормаль n образует углы λ , μ , ν с координатными осями O x , O y и O z соответственно, тогда n 0 (cos λ ,cos μ ,cosν ) , где n 0 - есть орт, соответствующий вектору n и при этом a n = a ⋅ n = a x cos λ + a y cos μ + a z cosν . Тогда поток Q можно выразить так: Q = ∫∫ ⎡⎣a x (x , y , z )cos λ + a y (x , y , z )cos μ + a z (x , y , z )cosν ⎤⎦ dS . S

Воспользуемся теперь формулой, устанавливающей связь между поверхностными интегралами первого и второго рода, тогда выражение для потока Q можно записать так: 113

Q = ∫∫ a x (x , y , z )dy dz + a y (x , y , z )dzdx + az (x , y , z )dxdy . S

Вспоминая, что под знаком тройного интеграла в правой части стоит дивергенция векторного поля a , тогда окончательно можно написать

∫∫a S

n

dS = ∫∫∫ div adxdy dz . T

Выясним теперь механический смысл дивергенции векторного поля. Допустим, что векторное поле есть поле скоростей текущей жидкости v(x , y , z ,t ) и пусть плотность этой жидкости ρ = con st . Возьмём в поле вектора v замкнутую поверхность S , ограничивающую малый объём. По теореме Остроградского Q T = ∫∫∫ div vdxdy dz . T

Применяя теорему о среднем, получим Q T = (div v )M ⋅ vT , где M некоторая "средняя точка", лежащая в теле T . Отсюда Q (div v )M = . T

-

Сжимая тело в точку, в пределе проучим

(div v )M

QT . λ →0 v T

= lim

Вывод: дивергенция векторного поля v даёт нам расход жидкости из точечного источника в единицу времени, т.е. удельную силу источника. Заметим, что если div v в данной точке положительна, то это значит, что в этой точке происходит втекание жидкости (т.е. в этой точке сток). Принимая во внимание это рассуждение, можно дать механическое истолкование теоремы Остроградского: расход жидкости из тела T , ограниченного поверхностью S , в единицу времени t равен сумме попарных произведений сит источников. Заметим, что попутно мы доказали независимость дивергенции векторного поля от выбора системы координат. Действительно, с одной стороны

div a =

∂a x ∂a y ∂a z , + + ∂x ∂y ∂z

а с другой - это удельная сила источника, а независимость последней от системы координат очевидна. 114

Пример. Найти поток векторного поля a = x i + (y + 1)j + z k из тела, ограниченного координатными плоскостями x = 0 , y = 0 , z = 0 и плоскостью x + y + z − 1 = 0 наружу по теореме Остроградского и непосредственно (рис. 6).

z 1 n1 ( −1, 0, 0) y 1

n 2 (0, −1, 0)

0 1

Решение.

1-й метод решения. Вычислим поток векторного поля по теореме Остроградского. Найдём div a . ∂a ∂a x ∂a Имеем: a x = x , a y = y + 1 , a z = z . Значит, = 1, y = 1, z = 1 , ∂x ∂y ∂z Следовательно, div a = 3 .

x

n3 (0, 0, −1) рис. 6

1

1−x

1−x −y

1 dz = . 2 T 0 0 0 2-й метод решения. Вычислим поток векторного поля с помощью интеграла первого рода. Имеем: Q = ∫∫ ⎡⎣a x cos λ + a y cos μ + a z cosν ⎤⎦ dS , где S полная поверхность

Поток векторного поля Q = 3∫∫∫ dxdy dz = 3∫ dx

∫ dy ∫

S

тела T , состоящая из четырёх частей: S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ; здесь cos λ , cos μ и cosν - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности; a x = x , a y = y +1, a z = z . Поток Q можно представить в виде суммы четырёх потоков: Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 . Вычислим каждый из потоков: 1. Q 1 = ∫∫ [x cos λ + (y + 1)cos μ + z cosν ]dS , n1 ( −1, 0, 0) , т.е. S1

cos λ = −1 , cos μ = 0 , cosν = 0 , dS = dy dz .

Следовательно, Q 1 = ∫∫ −xdy dz , т.к. на поверхности S 1 x = 0 . S1

2. Q 2 = ∫∫ [x cos λ + (y + 1)cos μ + z cosν ]dS , n 2 (0, −1, 0) , т.е. S2

cos λ = 0 , cos μ = −1 , cosν = 0 .

Таким образом: Q 2 = − ∫∫ (y + 1)dS . Здесь dS = dxdy , причём y = 0 на S 2 , S2

1

следовательно, Q 2 = − ∫∫ dxdy = − ∫ dx S2

0

1−x

1

1 2 dz = − − x dx = − . ( 1 ) ∫0 ∫0 2

115

3. Q 3 = ∫∫ [x cos λ + (y + 1)cos μ + z cosν ]dS , n3 (0, 0, −1) , т.е. S3

cos λ = 0 , cos μ , cosν = −1 ,

Q = − ∫∫ zdS , т.к. на поверхности S 3 z = 0 . S3

4. Q 4 = ∫∫ [x cos λ + (y + 1)cos μ + z cosν ]dS . S4

Поверхность S 4 имеет уравнение z = 1 − x − y , следовательно, ∂z (x , y ) ∂z (x , y ) p (x , y ) = = −1, q (x , y ) = = −1 , ∂x ∂y тогда dS = p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) + 1 = 3 . Поверхностный интеграл здесь вычисляется по верхней стороне поверхности S 4 , значит направляющие косинусы нормали n 4 будут равны: 1 1 1 . cos λ = , cos μ = , cosν = 3 3 3 Тогда получим 1 1⎤ 1 1⎤ ⎡ 1 ⎡ 1 Q 4 = ∫∫ ⎢x ⋅ + (y + 1) + z ⎥dS = ∫∫ ⎢x + (y + 1) + (1 − x − y ) ⎥ 3dxdy = 3 3 3⎦ 3 3 3⎦ S4 ⎣ S3 ⎣ = 2 ∫∫ dxdy = 1 . S3

1 1 + 0 +1= . 2 2 3-й метод решения. Вычислим тот же самый поток с помощью поверхностного интеграла второго рода Q = ∫∫ a x dy dz + a y dzdx + a z dxdy .

Окончательно: Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = 0 −

S

В нашем случае Q = ∫∫ xdy dz + (y + 1)dzdx + zdxdy , как и в предыдуS

щем случае, поток Q представим в виде суммы четырёх потоков соответственно, через поверхности S 1 , S 2 , S 3 , S 4 : 1. На S 1 x = 0 , dx = 0 , а значит Q 1 = 0 . 2. На S 2 y = 0 , dy = 0 , а сторона поверхности, по которой вычисляется интеграл, нижняя, значит 1 1−x 1 Q 2 = − ∫∫ dzdx = − ∫ dx ∫ dz = − 2 S2 0 0 3. На S 3 z = 0 , dz = 0 , сторона поверхности нижняя значит Q 3 = 0 . 4. Q 4 =

∫∫

xdydz + (y + 1)dzdx + zdxdy =

S 4 ( верхн. стор)

116

= ∫∫ xdy dz + ∫∫ (y + 1)dzdx + ∫∫ zdxdy . S4

S4

S4

На S 4 x = 1 − y − z , y = 1 − x − z , z = 1 − x − y . Следовательно, Q 4 = ∫∫ (1 − y − z )dy dz + ∫∫ ( 2 − x − z )dxdz + ∫∫ (1 − x − y )dxdy = S1

S2

S3

1

1−y

1

1−x

1

1−y

0

0

0

0

0

0

= ∫ dy

∫ (1 − x − y )dz + ∫dy ∫ (2 − x − z )dz + ∫dx ∫ (1 − x − y )dy = 1.

Q =Q 1 +Q 2 +Q 3 +Q 4 =

1 . 2

§ 4. Соленоидальное векторное поле и его свойства. Уравнение неразрывности. Оператор Лапласа Определение 1. Если векторное поле a таково, что в каждой его точ-

ке div a = 0 , то поле называется незаряженным или соленоидальным. Принимая во внимание механический смысл дивергенции векторного поля, нетрудно сделать вывод, что в соленоидальном поле нет источников и стоков. Рассмотрим теперь в соленоидальном векторном поле некоторую замкнутую поверхность, образованную z векторной трубкой S 3 и её двумя поn3 S 2 перечными сечениями S 1 и S 2 . ОбоS3 значим через n1 , n 2 и n3 соответстS1 n2 n1′ венно внешние нормали к поверхноn1 y стям S 1 , S 2 и S 3 . Так как поле век1 0 тора a соленоидально, то поток векx тора a через замкнутую поверхность в силу теоремы Остроградского рарис. 7 вен нулю. Поток Q через рассматриваемую поверхность равен сумме трёх потоков соответственно через поверхности S 1 , S 2 и S 3 , т.е. Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 . Заметим, что поток через поверхность векторной трубки Q 3 равен нулю, т.к. в каждой точке векторной трубки вектор поля, соотнесенный этой точке, касается поверхности этой трубки, следовательно, его проекция на нормаль к поверхности равна нулю. Следовательно имеем: ∫∫a n ′dS + ∫∫a n dS = 0 . S1

S2

117

Изменим направление нормали n′ на противоположное, тогда получим ∫∫a n dS = ∫∫a ndS S1

S2

Следовательно, мы можем сделать вывод, что поток соленоидального векторного поля через поперечное сечение векторной трубки есть величина постоянная и не зависит от площади сечения. Эта величина называется напряжением векторной трубки. Если соленоидальное поле является полем скоростей текущей несжимаемой жидкости v(v x , v y , v z ) , то мы имеем ∂v x (x , y , z ) ∂v y (x , y , z ) ∂v z (x , y , z ) + + =0 (1) ∂x ∂y ∂z Значит, если в пространстве, где течёт жидкость, нет ни источников, ни стоков, то проекции скоростей связаны соотношением (1), которое называется уравнением неразрывности. Рассмотрим теперь некоторое скалярное поле U (x , y , z ) и найдём его градиент: ∂U ∂U ∂U a = gr adU (x , y , z ) = i+ j+ k. ∂x ∂y ∂z Найдём далее дивергенцию векторного поля a : ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + div a = divgr adU = ∇ ⋅ ∇U = . ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 r2 r r ∂2 ∂2 ∂2 Определение 2. Оператор ∇ = ∇ ⋅ ∇ = 2 + 2 + 2 называется ∂x ∂y ∂z оператором Лапласа и обозначается символом Δ , т.е. r 2 ∂2 ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ∂2 ∂2 + + Δ = ∇ = 2 + 2 + 2 , а ΔU = ∂x ∂y ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 называется Лапласианом функции U (x , y , z ) . Определение 3. Если функция U (x ,y , z ) такова, что ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + = 0, ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 т.е. ΔU = 0 , то функция называется гармонической. Теорема. Для того, чтобы поле градиента какой-нибудь скалярной функции было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была бы гармонической. Доказательство. ur uur ur uurНеобходимость. Поле градиента соленоидально, т.е. ∇ ⋅ ∇U = 0 , но ∇ ⋅ ∇U = ΔU . Значит, ΔU = 0 , а это означает, что функция U (x , y , z ) гармоническая. Достаточность. Пусть функция U (x , y , z ) - гармоническая, т.е. 118

r r ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U Δ = ∇ ⋅ ∇U = divgr adU , а это и означает, , но U 0 ΔU = + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 что поле градиента gr adU соленоидально.

§ 5. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру. Вихрь векторного поля. Векторная форма теоремы Стокса. z

τ

l

a

0

y

x

Пусть в поле вектора a лежит кривая l , имеющая в каждой своей точке касаτ. Обозначим тельный вектор a τ = пр τ a . Тогда криволинейный интеграл ∫a τdS l

называется линейным интегралом (рис. 8). В том случае, когда кривая l

рис. 8 замкнутая, интеграл

∫a τdS

называется циркуляцией векторного поля a по

l

замкнутому контуру. r Определение. Векторr c = ∇ × a называется вихрем векторного поля a и обозначается так: r ot a = ∇ × a . r Выразим векторное произведение ∇ × a через определитель: i j k ∂ ∂ ∂ . r ot a = ∂x ∂y ∂z ax ay az Раскрыв этот определитель, получим такое выражение для вихря векторного поля: ∂a ⎞ ⎛ ∂a ⎛ ∂a ∂a ⎞ ⎛ ∂a ∂a ⎞ r ot a = ⎜ z − y ⎟ i + ⎜ x − z ⎟ j + ⎜ y − x ⎟ k . ∂z ⎠ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y r r Теорема. Вихревое поле соленоидально, т.е. ∇ ⋅ ∇ × a = 0 .

(

)

Доказательство. Заметим, что с очевидностью r r r r ∇ ⋅ ∇ × a = 0 , т.к. "векторы" ∇ , ∇ и a компланарны.

(

)

119

следует,

что

r Докажем, однако, эту теорему подробнее. Обозначим c = ∇ × a , тогда r ∂c ∂a ∂c ∂c ∂a ∇⋅c = x + y + z , cx = z − y , но координаты вихря ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂a ∂a ∂a ∂a cy = x − z , cy = y − x . ∂z ∂x ∂x ∂y Следовательно, r ∂ ⎛ ∂a z ∂a y ⎞ ∂ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ∂ ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ ∇⋅c = − + − + − = ∂x ⎝⎜ ∂y ∂z ⎠⎟ ∂y ⎜⎝ ∂z ∂x ⎟⎠ ∂z ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ ∂ 2a y ∂ 2a y ∂ 2a z ∂ 2a x ∂ 2a z ∂ 2a x = − + − + − = 0. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂z Теорема доказана. Заметим, что при доказательстве теоремы мы предположили существование вторых смешанных производных от проекций вектора a и их непрерывность. Допустим, что в поле вектора a лежит замкнутый контур l , имеющий в каждой своей точке касательную. Перекинем через контур l двухстороннюю поверхность S , имеющую в каждой своей точке нормаль n к поверхности. При таких предположениях о контуре l и поверхности S справедлива доказанная ранее формула Стокса. Докажем теперь векторную форму теоремы Стокса.

Теорема Стокса. (векторная форма). Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку его вихря через поверхность, натянутую на этот контур. Доказательство. Итак, пусть через замкнутый контур, обладающий указанными выше свойствами, перекинута (натянута) двухсторонняя поверхность S . Рассмотрим циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру l : Ц= ∫ a τdS . l

Пусть касательный вектор τ образует углы α , β и γ с координатными осями O x , O y и O z , тогда a τ = пр τr a = a ⋅ τ 0 = a x cosα + a y cos β + a z cos γ . Подставим aτ в выражение циркуляции, тогда получим Ц= ∫ ⎡⎣a x cosα + a y cos β + a z cos γ ⎤⎦ dS или, принимая во внимание связь межl

ду криволинейными интегралами первого и второго рода, получим Ц= ∫ a x dx + a y dy + a z dz . l

Воспользуемся теперь формулой Стокса: ⎛ ∂a z ∂ay ⎞ ⎛ ∂ay ∂ax ⎞ ⎛ ∂ax ∂a z ⎞ + + = − + − + − a dz dydz dzdx a dx a dy x y z ⎜ ⎟ ⎜ ⎟dxdy . ∫l ∫∫S ⎜⎝ ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ 120

При этом предполагается, что наблюдатель, у которого нормаль к поверхности проходит от ног к голове, обходит контур в таком направлении, что поверхность S остаётся слева. Нетрудно заметить, что в правой части последней формулы находится поток вихря векторного поля a через поверхность S , т.е. имеем ∫a τdS = ∫∫ (r ot a )n dS . l

S

Теорема доказана. Теорема 2. Вихрь векторного поля не зависит от выбора координатных осей. Доказательство. Рассмотрим в поле вектора a произвольное направление, заданное некоторым вектором n . Проведём окружность l радиуса r , z плоскость круга S , ограниченного конC 1 туром l , перпендикулярна вектору n l 2 : y + z =1 (рис. 9). По теореме Стокса l3 ∫l a τdS = ∫∫S c n dS , y 0 B 1 где c n =пр n r ot a , т.е. c = r ot a . 1 2 2 x A l 1 :x + y = 1 Тогда по теореме о среднем имеем 2 рис. 9 ∫a τdS = [c n ]M ⋅ π r , l

где M - некоторая "средняя точка", лежащая в круге S . Тогда 1 [c n ]M = π r 2 ∫a τdS . l 1 Отсюда следует, что [c n ]M = lim 2 ∫ a τdS , где M - центр круга S . Выраr →0 π r l жение в правой части равенства не зависит от выбора координатных осей. Значит c n тоже от них зависит, а так как n - любое направление, то вектор r ot a не зависит от выбора координатных осей.

Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля a = xz i + x j + y k по линии пересечения конуса

n M l

рис. 10

x 2 + y 2 − (z − 1)2 = 0

τ

с координатными плоскостями, лежащей в первом октанте, непосредственно и по теореме Стокса (рис. 10). 121

Решение. 1) Непосредственное вычисление циркуляции. Контур l можно разбить на три части: l 1 , l 2 и l 3 , лежащие в координатных плоскостях xO y , y O z и zO x соответственно, таким образом циркуляция Ц=Ц1+Ц2+Ц3 , где Ц1= ∫ xzdx + xdy + y dz . На кривой l1 : z = 0 , dz = 0 x = 1 − y 2 , y ∈ [0,1] . l1

1

Следовательно, Ц1= ∫ 1 − y 2dy = 0

π

. Далее

4

Ц2= ∫ xzdx + xdy + y dz . На кривой l 2 : y + z = 1, x = 0, dx = 0, z ∈ [0,1] , т.е. l2

1

Ц2= ∫ (1 − z )dz = 0

1 . И, наконец, 2

Ц3= ∫ xzdx + xdy + y dz . На кривой l 3 : x + z = 1, y = 0 , dy = 0 , x ∈[0,1] , l3

1

1 следовательно, Ц3= ∫ x (1 − x )dx = . 6 0

1 1 π 2 + = + . 4 2 6 6 3 2) Вычисление циркуляции по теореме Стокса: ∂a ⎞ ⎛ ∂a ⎛ ∂a ∂a ⎞ ∂a ⎛ ∂a Ц= ∫∫ ⎜ z − y ⎟dy dz + ⎜ x − z ⎟dzdx + ⎜ y − x ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂z ⎝ ∂x S ⎝ Подставим сюда a z = xz , a y = x , a z = y , получим Окончательно Ц=Ц1+Ц2+Ц3 =

π

+

⎞ ⎟dxdy . ⎠

Ц1= ∫∫ dy dz + xdzdx + dzdy . Перейдём в правой части к поверхностному S

интегралу первого рода Ц= ∫∫ [1 ⋅ cos λ + x cos μ + 1 ⋅ cosν ]dS , где интеграл S

вычисляется по верхней стороне поверхности S . Уравнение поверхности S : z = 1 − x 2 + y 2 , следовательно, ∂z −x ∂z −y = , q (x , y ) = = , p (x , y ) = ∂x ∂y x2 +y 2 x2 +y 2 d S = 1 + p 2 (x , y ) + q 2 (x , y ) = 2 ; −p (x , y ) x −q (x , y ) y cos λ = = ; cos μ = = ; 1+ p 2 +q 2 2 x2 +y 2 1+ p 2 +q 2 2 x2 +y 2 1 1 cosν = = . 2 1+ p 2 +q 2 122

Подставляя найденные значения в выражение для циркуляции, получим ⎡ x xy 1 ⎤ x + xy + x 2 + y 2 Ц= ∫∫ ⎢ + + dxdy . ⎥ 2dxdy = ∫∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 x +y x +y ⎥⎦ D ⎢ D ⎣ 2 x +y Перейдём к полярным координатам: x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , J (r ,ϕ ) = r , тогда π 2 r cosϕ + r sinϕ cosϕ + r rdrd ϕ = ∫d ϕ ∫ r cosϕ + r 2 sinϕ cosϕ + r dr . Ц= ∫∫ r D 0 0 Вычислим внутренний интеграл: 1

2

(

)

1

⎛r 2 r3 r2 ⎞ I ВН.= ∫ ⎣⎡r cosϕ + r sinϕ cosϕ + r ⎦⎤dr = ⎜ cosϕ + sinϕ cosϕ + ⎟ = 3 2 ⎠0 ⎝2 0 1 1 1 = cosϕ + sinϕ cosϕ + 2 3 2 1

2

тогда π

π

π

1 1 12 π 2 Ц= ∫ cosϕd ϕ + ∫ sinϕ cosϕd ϕ + ∫d ϕ = + . 20 20 20 4 3 2

2

§ 6. Потенциальное векторное поле Определение. Векторное поле a , в каждой точке которого выполня-

ется условие rot a = 0 , называется потенциальным или безвихревым.

Теорема. Для того, чтобы поле вектора a было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы поле вектора a было бы полем градиента некоторого скаляра U =U (x ,y , z ) . Доказательство. Достаточность. Пусть a = gradU , т.е. ∂U (x ,y , z ) ∂U (x ,y , z ) ∂U (x ,y , z ) a= i+ j+ k , т.е. ∂x ∂y ∂z ∂U (x ,y , z ) ∂U (x ,y , z ) ∂U (x ,y , z ) ax = , ay = ,az = . ∂x ∂y ∂z Найдём координаты вектора c = rot a : ∂a ∂a ∂2U (x ,y , z ) ∂2U (x ,y , z ) − = 0 , аналогично cx = z − y = ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z cy = cz = 0 , т.е. rot a = 0 , значит поле вектора a безвихревое, т.е. потенциальное. 123

Необходимость. Пусть r ot a = 0 . Возьмём замкнутую кривую l , лежащую в поле вектора a , тогда будет ∫a τdS = ∫∫ (r ot a)n dS = 0 , т.е. ∫a τdS = 0 , следовательно, l

S

l

∫a τdS = ∫a dx + a dy + a dz = 0 . x

l

y

z

l

Мы пришли к тому, что интеграл по замкнутому контуру l равен нулю, а это, как известно, может быть лишь в том случае, когда под знаком интеграла стоит полный дифференциал некоторой функции U (x , y , z ) , т.е. ∂U ∂U ∂U a x dx + a y dy + a z dz = dU = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z Отсюда следует, что ∂U (x , y , z ) ∂U (x , y , z ) ∂U (x , y , z ) , ax = , ay = ,a z = ∂x ∂y ∂z т.е. a = gr adU (x , y , z ) . Теорема доказана.

Замечание 1. Заметим, что функция U (x ,y , z ) , градиент от которой является полем вектора a , называется потенциалом. Так как в этом случае криволинейный интеграл ∫ a xdx + a y dy + a z dz K

не зависит от пути интегрирования, то потенциал векторного поля можно найти, вычислив интеграл ( x ,y ,z )

I =

∫

a x dx + a y dy + a z dz .

( x 0 ,y 0 ,z 0 )

Замечание 2. Из доказанной теоремы ясно, что потенциальное поле можно определить и по-другому, а именно: дать другое эквивалентное определение. Поле вектора a называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторого скаляра U =U (x , y , z ) .

Замечание 3. Учитывая физический смысл криволинейного интеграла, приходим к выводу, что работа потенциального векторного поля вдоль некоторой кривой не зависит от формы кривой и равна разности значений потенциала поля в начальной и конечной точках интегрирования. А тогда можно дать ещё одно эквивалентное двум предыдущим определение потенциального векторного поля. Векторное поле называется потенциальным, если работа вдоль любой замкнутой кривой равна нулю. 124

Иван Александрович Лапин Лариса Семёновна Ратафьева

Математический анализ II Учебное пособие Под общей редакцией Ларисы Семёновны Ратафьевой В авторской редакции Компьютерный набор и верстка И.В. Пухов Редакционно-издательский отдел СПбГИТМО (ТУ) Зав. РИО И.Ф. Гусаров Лицензия ИД № 00408 от 15.11.1999 Подписано к печати Заказ № Тираж 1500 Отпечатан на ризографе

112