Расчет электрических и магнитных цепей: Курсовая работа. Часть II. Расчет переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию Псковский государственный политехнический институт

Кафедра «Теоретические основы электротехники»

Курсовая работа “РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ”

часть II

“Расчет переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами”

Работу выполнил: ________ дата Принял:

________

Иванов И.И.

подпись

________ ________ дата подпись

Псков 2007

Бандурин И.И.

гр. 022-071

Задание на расчет. В заданной цепи действует синусоидальная э.д.с. e(t)=Emsin(ωt+ψe) В момент t=0 происходит коммутация – отключение участка цепи ключом K.

1. 2. 3. 4. 5.

Выполнить: Определить переходные функции токов во всех ветвях заданной цепи классическим методом. Определить переходную функцию токов в ветви с источником э.д.с. операторным методом. Построить графики тока и напряжения в ветви с индуктивностью, а также графики вынужденной и свободной составляющей тока на индуктивности. Составить систему уравнений по методу переменных состояния для определения токов во всех ветвях. Методом интеграла Дюамеля, для после коммутационной схемы, найти и построить i1(t), i2(t), i3(t), а также напряжение на индуктивности uL(t). Напряжение источника ЭДС: e(t)=Em⋅t⋅δ1(t).

Выбор исходных данных. 1. Вариант схемы определяется из таблицы 1. В таблице 1 номер схемы с индексом “a” соответствует включению ключа K, с индексом “б” отключению ключа. Параметры элементов определяются из таблицы 2. 2. Величину активного сопротивления в схеме выбрать так, чтобы выполнялось соотношение ω02=2δ2 (p2+2δp+ω02=0) 3. Величина амплитуды э.д.с. и начальная фаза ее определяются соотношениями: Em = 200 и ψe= -2π/3 4. Частота синусоидальной э.д.с. находится выражения: ω= 1/rC Схема 13б L=1 мГн, С=0,07 мкФ: Решение. Расчет проводим в амплитудных значениях. 2

Для данной схемы входное сопротивление равно: 1 pL * pC Z(p)= 2r + =0 1 pL + pC Из условия Z(p)=0 получаем уравнение: 1 1 1 1 , а ω0 2 = p2 + p + = 0 , где δ = 4rC LC 2rC LC 2 2 Выполнив условие ω0 = 2δ , получим:

p1,2= − δ ± δ 2 − ω0 2 = − δ ± jω′ δ = ω′ L 1 1 = 2 2 или r = ≈42 Ом LC 8r C 8C Определяем корни: δ = 85034 , p1,2= -84515 ± j84515 Зная r, определим частоту э.д.с. ω: 1 ω= =338062 с-1≈338 КГц; r *С 1. Расчет переходного процесса классическим методом. Составим систему уравнений электрического состояния цепи для после коммутационной схемы: di i1= i2+ i3; r1i1+uC=e(t); uC = L 2 ;(r1=2r) (1) dt Будем искать ток в индуктивности в переходном режиме. Остальные токи определим по выражению тока i2, используя уравненние (1). Рассчитаем принужденную составляющую тока i2.Воспользуемся для расчета комплексным методом. Для комплексной схемы имеем:

Z1=2r=84,5 Ом; Y2=bL= -j3 мСм; Y3=bC= j24 мСм; Y23=Y2+Y3= j21 мСм; Z23=

1 = -j48 Ом; Y23

& o & = E& =200e-120 В; &I = U = -0,009-j2 А; U & 23= &I *Y23= -99,2+j0,4 B; Z=Z1+Z23=84,5-j48 Ом; U 1 1 Z &I = U & 23* Y2=0,001+j0,294 A; 2 o

i2пр(t)=0,3sin(ωt+89,7 ) A; 3

Так как корни характеристического уравнения получились комплексными. Выражение для свободной составляющей тока i2 запишем в виде: i2св(t)=e-δt(A1sin ω′t + A2cos ω′t ) A; o i2(t)=i2св(t)+i2пр(t)=0,3sin(ωt+89,7 )+ e-δt(A1sin ω′t + A2cos ω′t ) A; o di 2 ( t ) = 0,3ωcos(ωt+89,7 )-δe-δt(A1sin ω′t + A2cos ω′t )+ ω′ e-δt(A1cos ω′t -A2sin ω′t )A; dt Для определения постоянных интегрирования, нужно знать начальные условия: di (t ) i2(0) и 2 dt t =0 Определим независимые начальные условия. Для этого рассчитаем установившийся режим до коммутации. 1 Z1= r =42,3 Ом; Y2=bL= -j3 мСм; Y3=bC= j24 мСм; Y23=Y2+Y3= j21 мСм; Z23= = -j48 Ом; Y23 & o & = E& =200e-120 В; &I = U = 1-j2,95 А; U & 23= &I *Y23= -142,5-j48,5 B; Z=Z1+Z23=42,3-j48 Ом; U 1 1 Z & =U & В; &I = U& * Y2= -0,14+j0,42 A; U 2 23 C 23 & & i2(0)= Im( I )= 0,4 A; uC(0)= Im( U )= -48,5 В; 2

C

Запишем систему уравнений (1) для момента времени t=0: di i1(0)= i2(0)+ i3(0); r1i1(0)+uC(0)=e(0); uC(0) = L 2 dt Отсюда находим: u (0) di 2 = C = -48540,9 А/с; dt t =0 L Подставляя начальные условия i2(0) и

di 2 ( t ) dt

;(r1=2r) t =0

в выражения для искомой величины i2 t =0

di 2 при t=0, получим систему алгебраических уравнений относительно dt постоянных интегрирования из которых найдем A1 и A2: o A2= i2(0)- i2пр(0)=0,4-0,3sin89,7 =0,13 di 2 ( t ) − 0,3ω cos 89,7 o + δA 2 dt t =0 A1= = -0,45 ω′ o Итак, имеем: i2(t)= 0,3sin(ωt+89,7 )+e-δt(-0,45sin ω′t + 0,13cos ω′t )= o o =0,3 sin(ωt+89,7 )-0,468e-δtsin( ω′t -16,1 ) A; Токи i1 и i3 найдем из уравнений (1). di e( t ) − L 2 dt = -2,06sin(ωt+89,7o)-0,7e-δt sin( ω′t -57,1o) A; i1 = 2r

и ее производной

o

i3=i1-i2= -2,36cosωt-1,01e-δtsin( ω′t -40,8 ) A;

4

Построим графики тока и напряжения в ветви с индуктивностью, а также графики вынужденной и свободной составляющей тока на индуктивности. i2(t) i2pr(t) i2cv(t) u2(t)

0.4

À

i2( t ) i2ПР ( t )

150 120

0.3

90

0.2

60

0.1

30

0

0

i2СВ( t ) 0.1

30

0.2

60

0.3

90

0.4

120

0.5 0

1 .10

5

2 .10

5

3 .10 t ñåê

5

5

4 .10

5

150

uL( t )

Â

0.5

2. Расчет переходного процесса операторным методом. Рассчитаем переходную функцию i1(t) в схеме операторным методом. Из расчета цепи до коммутации получили независимые начальные условия i2(0) = 0,6 A и uC(0)= -68,6 В. Составим операторную схему замещения. Воспользуемся для расчета операторным изображением мгновенной э.д.с. E (p sin ψ + ω cos ψ ) e( t ) ÷ E ( p ) = m p 2 + ω2 Применим для расчета схемы метод контурных токов.

Z11(p)I1(p)+Z12(p)I2(p)=E11(p) Z22(p)I1(p)+Z21(p)I2(p)=E22(p)

где Z11(p)=2r+

1 pC

Z22(p)=pL+

1 pC

Z12(p)= Z21(p)=

1 ; pC

u C (0) u (0) E22(p)= - C -Li2(0) p p Решив систему уравнений, получим: − Z12 (p) Z ( p) E11 (p) + E 22 (p); I1(p)= 22 D( p) D( p) D(p)=Z11(p)Z22(p)-[Z12(p)]2. После вычислений на компьютере и перехода от изображения к оригиналу получим: o o i1(t)= -2,06sin(ωt+89,7 )-0,7e-δt sin( ω′t -57,1 ) A; E11(p)=E(p)-

6

Построим графики тока в ветви с источником э.д.с., а также графики вынужденной и свободной составляющей тока. 3

2

À

i( t)

1

iпр ( t) 0

iсв( t)

5 .10

6

1 .10

1

2

3

t ñåê

7

5

1.5 .10

5

2 .10

5

uC .

3. Расчет переходного процесса методом переменных состояния. Выбираем за переменные состояния ток в индуктивности i2 и напряжение на ёмкости Записываем уравнения по законам Кирхгофа. Где r1=2r. i1=i2+i3 di r1i1+ L 2 =e dt r1i1+ uC =e du i3 = C C dt du C di 2 1 1 1 1 = − uC − i2 + e = uC dt rC C rC dt L или в матричной форме: 1⎤ ⎡ 1 1 ⎡u& C ⎤ ⎢− rC − C ⎥ ⎡u C ⎤ ⎡⎢ ⎤⎥ ⎢& ⎥ = ⎢ 1 ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ + ⎢ rC ⎥ ⋅ e ⎣i 2 ⎦ ⎢ 0 ⎥ ⎣i 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣ L ⎦

& =A1X+B1V. или X Уравнения выходных величин имеют вид r1i1 =e-uC

i1 = −

1 1 uC + e r1 r1

i2=i2 i3=i1-i2

i3 = −

1 1 uC − i2 + e r1 r1

или в матричной форме: ⎡ 1 − ⎡i1 ⎤ ⎢ r ⎢i ⎥ = ⎢ 01 ⎢ 2⎥ ⎢ 1 ⎢⎣i 3 ⎥⎦ ⎢− ⎢ r1 ⎣

⎡1⎤ ⎤ ⎢r ⎥ 0⎥ ⎢ 1⎥ u ⎡ ⎤ ⎥ C − 1⎥ ⋅ ⎢ ⎥ + ⎢0 ⎥ ⋅ e i ⎢ ⎥ − 1⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢⎣ r1 ⎥⎦

или Y=A2X+B2V.

8

4. Расчет переходного процесса методом интеграла Дюамеля. Решение

1. Находим переходные проводимости Y11 ,Y21 , Y31 ,операторным методом при н.н.у. и воздействии единичной э.д.с. Изображение единичной эдс:

E ( p) :=

1 p*

Изображение токов: E ( p)

I1 ( p) :=

I2 ( p) :=

1 p ⋅C

p ⋅L⋅ 2 ⋅r + p ⋅L +

1 ⋅ I ( p) p ⋅C 1 p ⋅L +

I3 ( p) :=

1 p ⋅C

p ⋅ L ⋅ I 1 ( p) p ⋅L +

1 p ⋅C

1 p ⋅C

Находим оригиналы токов, используя обратное преобразование Лапласа: I1 ( p)

invlaplace, p ( − 84517.) ⋅ t → ( −.23664e-1 ) ⋅ e ⋅ sin ( 84517. ⋅ t) + .11832e-1 float , 5

I2 ( p)

invlaplace, p ( − 84517.) ⋅ t ( − 84517.) ⋅ t → ( −.11832e-1 ) ⋅ e ⋅ cos ( 84517. ⋅ t) − .11832e-1 ⋅ e ⋅ sin ( 84517. ⋅ t) + .11832e-1 float , 5

I3 ( p)

invlaplace, p ( − 84517.) ⋅ t ( − 84517.) ⋅ t → .11832e-1 ⋅ e ⋅ cos ( 84517. ⋅ t) − .11832e-1 ⋅ e ⋅ sin ( 84517. ⋅ t) float , 5

Следовательно переходные проводимость Y11 ,Y21 , Y31 , равны: ( − 84517.) ⋅ t

Y11 ( t) := .11832e-1 − .23664e-1 ⋅ e

( − 84517.) ⋅ t

Y21 ( t) := .11832e-1 − .11832e-1 ⋅ e ( − 84517.) ⋅ t

Y31 ( t) := .11832e-1 ⋅ e

⋅ sin ( 84517. ⋅ t) ( − 84517.) ⋅ t

⋅ cos ( 84517. ⋅ t) − .11832e-1 ⋅ e ( − 84517.) ⋅ t

⋅ cos ( 84517. ⋅ t) − .11832e-1 ⋅ e 9

⋅ sin ( 84517. ⋅ t)

⋅ sin ( 84517. ⋅ t)

2. Определяем U′ ( τ ) U′ ( τ ) =

d dτ

U( τ )

U′ ( τ ) → 200

3. Подстановка найденных функций в формулу t

⌠ i1 ( t) = U( 0) ⋅ Y11 ( t) + ⎮ U′ ( τ ) ⋅ Y11 ( t − τ ) dτ * ⌡0 t

⌠ i2 ( t) = U( 0) ⋅ Y21 ( t) + ⎮ U′ ( τ ) ⋅ Y21 ( t − τ ) dτ * ⌡0 t

⌠ i3 ( t) = U( 0) ⋅ Y31 ( t) + ⎮ U′ ( τ ) ⋅ Y31 ( t − τ ) dτ * ⌡0

Напряжение на индуктивности: d uL( t) := L ⋅ i2 ( t) dt

Окончательные ответы: ( − .85e5) ⋅ t

uL( t) float , 2 → .24e-2 − .24e-2 ⋅ e

( − .85e5) ⋅ t

⋅ cos ( .85e5 ⋅ t) − .24e-2 ⋅ e

⋅ sin ( .85e5 ⋅ t) ( − .8452e5) ⋅ t

i1 ( t) float , 4 → 2.366 ⋅ t − .2800e-4 + ( .2800e-4 ⋅ cos ( .8452e5 ⋅ t) + .2800e-4 ⋅ sin ( .8452e5 ⋅ t) ) ⋅ e ( − 84517.) ⋅ t

i2 ( t) float , 5 → 2.3664 ⋅ t − .27999e-4 + .27999e-4 ⋅ e ( − 84517.) ⋅ t

i3 ( t) float , 5 → .27999e-4 ⋅ e

⋅ sin ( 84517. ⋅ t)

10

⋅ cos ( 84517. ⋅ t)

Построим графики тока и напряжения в ветви с индуктивностью, а также графики вынужденной и свободной составляющей тока на индуктивности при воздействии ЭДС 200⋅t⋅δ1(t) . ,

(

4 .10

5

3 .10

5

2 .10

5

1 .10

5

)

i1(t) i2(t) i3(t) uL(t) 0.002

0.001

i2( t)

u L( t)

i3( t) 0.001

0 1 .10

2 .10

5

4 .10

5

6 .10

5

t

11

5

8 .10

5

0.002

В

А

i1( t)