Методические указания к решению задач по квантовой теории для студентов физического факультета. Часть II

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по квантовой теории для студентов физического факультета

Часть II

Ростов-на-Дону 2006 3

Методические указания разработаны д. ф.-м. н., профессором кафедры теоретической и вычислительной физики Л.А. Бугаевым, А.С. Каспржицким и к. ф.-м. н. Я.В. Латоха. Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и вычислительной

физики физического факультета РГУ, протокол № 21 от

15 марта 2005 г.

4

Содержание 1. Решение уравнения Шредингера для непрерывного спектра………4 2. Момент импульса……………………………………………………....7 3. Решение уравнения Шредингера для модельных потенциалов…….9 4. Ответы и пояснения ………………………………………………….13 5. Литература…………………………………………………………….39

5

1. Решение уравнения Шредингера для непрерывного спектра 1.1. Волновая функция свободно ψ p (r ) = Ae

i (pr − Et ) h

движущейся

частицы

имеет вид:

. Определить константу А из условия нормировки.

1.2. Частица, двигаясь в положительном направлении оси OX , встречает потенциальный порог (Рис.1) (потенциальная энергия задается следующим образом: V = 0 при x < 0 и V = V0 при x > 0 ). Определить волновую функцию при E > V0 и E < V0 , вычислить плотности потока падающей, отраженной и прошедшей волн и найти коэффициенты прохождения и отражения частиц в обоих случаях.

Рис.1 1.3. Вычислить коэффициенты отражения и прохождения частиц сквозь прямоугольный потенциальный барьер ширины а (Рис.2) ( V = V0 при 0 ≤ x ≤ a , V = 0 при x ≤ 0 , x ≥ a ), вычислив их как отношения соответствующих плотностей токов.

Рис.2 1.4. При отражении от прямоугольной стенки (Рис.1) (потенциальная энергия задается следующим образом: V = 0 при x < 0 и V = V0 при x > 0 .) волновая функция при x < 0 может быть представлена в виде Ψ (x ) = e ikx + e − i (kx + χ ) , где k =

Найти зависимость χ (E ) .

6

1 2mE − волновое число. h

1.5. Частица, двигаясь в положительном направлении оси OX , встречает потенциальную стенку V (x ) = V0 ⎛⎜1 + e ⎝

−x

a

⎞⎟ ⎠

−1

(Рис.3), где а – положительная

константа. Определить волновую функцию частицы при E > V0 в поле гладкой потенциальной стенки и найти коэффициент отражения R(E ) .

Рис.3 1.6. Частица, двигаясь в положительном направлении оси OX , встречает x потенциальную стенку U (x ) = U 0 ch − 2 ⎛⎜ ⎞⎟ (Рис.4), где а – положительная ⎝a⎠

константа. Определить волновую функцию частицы при E > U 0 , найти коэффициент прохождения D(E ) и построить график зависимости D(ε ) , где ε = E U . 0

Рис.4 1.7. Поле V (x ) имеет вид непрерывно меняющейся потенциальной ступеньки (Рис.5), т.е. V (x ) → 0 при x → −∞ и V (x ) → V0 > 0 при x → +∞ . Найти энергетическую зависимость коэффициента прохождения частиц при E → V0 . Сравнить с результатом задачи 1.2 для прямоугольной потенциальной ступеньки.

Рис.5

7

h2 Ωδ( x ) (Рис.6) падает поток m частиц с энергией E . Найти коэффициент прохождения D(E ) и показать,

1.8. Слева на потенциальный барьер V (x ) =

что наличие барьера приводит к разбегающейся в обе стороны от него «рассеянной» волны.

Рис.6 1.9. Доказать независимость значения коэффициента отражения R(E ) при данной энергии от направления падения частиц на потенциальный барьер (Рис.7).

Рис.7 1.10. Найти значения энергий, при которых частица не отражается от потенциального барьера V (x ) = U 0 [δ(x ) + δ(x − a )] (Рис.8).

Рис.8 1.11. Вычислить коэффициент прохождения и плотности тока, обусловленного выходом электронов из металла, к которому приложено постоянное электрическое поле E . Граница металла расположена при x = 0.

8

1.12. Определить давление, оказываемое на стенки прямоугольного «потенциального ящика» находящейся в нем частицей. 1.13. Найти составляющие плотности тока для электрона в атоме водорода. 1.14. Электрон находится в атоме водорода в основном состоянии. Определить для этого случая r , r 2 и наиболее вероятное значение r0 . 1.15. Найти волновую функцию и спектр энергии атома водорода, учитывая движение ядра. 1.16. Две частицы, связанные друг с другом упругой силой F = k (x 1 − x 2 ) (одномерная задача), свободно передвигаются вдоль оси OX . Найти волновую функцию и спектр энергии. 1.17. Две частицы массы m , движущиеся только вдоль оси OX , связанны друг с другом упругой силой. Кроме того, каждая из них связанна с точкой x = 0 такого же рода слой, но с другим коэффициентом упругости. Определить уровни энергии и волновые функции системы. 1.18. Найти уровни энергии и волновые функции одномерного гармонического осциллятора, помещенного в постоянное электрическое поле E . Заряд частицы e . 2. Момент импульса 2.1. Показать, что равенство L2 = L(L + 1) получается с помощью элементарных формул теории вероятности, исходя из того, что проекция момента на произвольную ось может принимать лишь значения m = −L,−L + 1,..., L , причем все они равновероятны, а оси равноправны. 2.2. Доказать соотношения: [L z , L x ] = iL y и [L z , L2 ] = 0 . Указать физический смысл данных коммутационных соотношений. 2.3. Показать, что проекция момента l на ось z координат имеет вид L z = −i

∂ . ∂ϕ

в сферической системе

2.4. Найти следующие коммутаторы: [L i , r 2 ] , [L i , p 2 ] , [L i , (p, r )], [L i , (p, r )2 ], [L) i , (p) , r) )p) ], [L) i , (p), )r )rˆ], [L) i , (ap) + br) )], [L) i , xˆ k xˆ l ], [L) i , p) k p) l ], [L) i , xˆ k p) l ] где r) , p) , L) операторы радиус-вектора, импульса и момента импульса частицы; a и b – постоянные величины. ) )

9

) )

)

) )

)

) )

2.5. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии плоского ротатора с моментом инерции I (вращающаяся относительно центра масс система из двух жестко связанных друг с другом частиц). Для такого ротатора I = µa 2 , где µ − приведенная масса частиц, a − расстояние между ними. Какова кратность вырождения уровней. В состоянии ротатора с волновой функцией Ψ = C cos 2 ϕ найти вероятности различных значений энергии и проекции момента, а также средние значения и флуктуации этих величин. 2.6. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии пространственного (сферического) ротатора с моментом инерции I . Какова кратность вырождения уровней? В состоянии ротатора с волновой функцией Ψ = C cos 2 θ найти вероятности различных значений энергии, момента и его проекции на ось Z , а также средние значения и флуктуации этих величин. 2.7. Плоский ротатор находится в состоянии, описываемом функцией ψ = A sin 2 (ϕ) . Определить для него вероятность найти различные значения составляющей момента количества движения L z и средние L z и L2z . 2.8. Показать, что функции, получающиеся в результате действия ) ) ) ) операторов l ± = l x ± il y на собственные функции Ψm оператора l z , также )

являются собственными функциями l z , отвечающими уже собственным значениям m ± 1 . Показать также, что в состоянии с волновой функцией )) )) Ψm : a ) l x = l y = 0, б ) l x2 = l y2 , в ) l x l y + l y l x = 0. 2.9. В состоянии Ψlm с определенными значениями момента l и его проекции m на ось z найти средние значения l x2 , l y2 . 2.10. В состоянии Ψlm с определенными значениями момента l и его проекции m на ось z найти среднее значение и среднюю квадратичную флуктуацию проекции момента на ось n , составляющую угол α с осью z . 2.11. Частица находится в состоянии с моментом l = 1 и его проекцией m (m = 0, ± 1) на ось Z . Найти вероятности ω(m′, m ) различных значений проекции момента m′ на ось Z′ , составляющую угол α с осью Z . 2.12. Моменты l1 и l 2 двух слабо взаимодействующих систем складываются в результирующий момент величины L . Показать, что в таких состояниях (с определенным значением L ) скалярные )) ) ) ) ) произведения l1 l 2 , l1 L, l 2 L также имеют определенные значения.

10

2.13. Моменты двух частиц равны l1 = l 2 = 1 . Построить волновые функции ΨLM состояний с определенным значением L суммарного момента и его проекции M на ось z. Специально обсудить угловую зависимость состояний с L = 0 . Найти в рассматриваемых состояниях ΨLM вероятности различных значений проекций складываемых моментов на ось z. 2.14. Произвести классификацию возможных состояний системы, состоящей из трех слабо взаимодействующих подсистем с моментами l1 = l 2 = 1 и l3 = l , по значениям суммарного момента L системы. 3. Решение уравнения Шредингера для модельных потенциалов 3.1. Постоянная α − распада λ и коэффициент прозрачности барьера D связаны соотношением λ = nD . Вычислить λ , если модель потенциала (Рис.9) задается следующем образом: V = −V0 при r < r0 и V = r ≥ r0 . Принять, что r0 <<

2Ze 2 при r

v 2Ze 2 . Множитель n ~ i ( vi − скорость частицы E r0

внутри ядра, r0 − радиус ядра) характеризует число ударов частиц о стенки ядра за единицу времени.

Рис.9 3.2. Найти связанные состояния и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной потенциальной ямы (Рис.10) вида ⎧− V , V (x ) = ⎨ 0 ⎩ 0,

для x < a для x > a

Рис.10 11

3.3. Определить уровни энергии для потенциальной ямы, изображенной на рисунке 11.

Рис.11 3.4. Определить уровни энергии частицы, движущейся в центральносимметричном поле с потенциальной энергией U (r ) =

A B − (Рис.12). r2 r

Рис.12 3.5. Решить уравнение Шредингера для частицы в бесконечно-глубокой сферически симметричной потенциальной яме, задаваемой потенциалом ⎧ 0, U (r ) = ⎨ ⎩∞,

при r < a при r > a

3.6. Решить уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода (в сферических координатах). 3.7.

Найти уровни энергии трехмерного гармонического осциллятора с

потенциальной энергией V =

k1 x 2 k 2 y 2 k 3 z 2 . + + 2 2 2

3.8. Найти уровни энергии и волновые функции частицы в одномерной кулоновской потенциальной яме (Рис.13), задаваемой потенциалом V (x ) = −

12

e2 . x

Рис.13

3.9. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции состояний дискретного спектра частицы в поле V (x ) = −αδ(x ) , где α > 0 (рис. 14). Найти средние значения кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях.

Рис.14

3.10. Определить значения энергии, которые может принимать частица, помещенная в периодическое поле (Рис.15), задаваемое условием: ⎧ 0, V (x ) = ⎨ ⎩V0 ,

при nl ≤ x ≤ nl + a (n = 0,±1,±2,...), при nl − b ≤ x ≤ nl.

Периодом потенциала является l = a + b .

Рис.15

13

3.11. Рассмотреть предыдущую задачу в случае, если V = 0 всюду, кроме точек x = nl , в которых V0 = ∞ (Рис.17). При этом ширина барьера b → 0 ⎛ mV b ⎞ lim⎜ 20 ⎟ = const (модель Кронига–Пенни). Определить ⎝ h ⎠ зависимость энергии E от волнового вектора k вблизи разрешенных

так,

что

полос энергии.

Рис.17

3.12. Рассмотреть полубесконечный кристалл с периодическим потенциалом в области x > 0 , определяемым так же, как и предыдущей задаче, в области x < 0 потенциальная энергия V = W0 . Ограничиться значениями V < W0 (поверхностные уровни Тамма).

14

Ответы и пояснения. 1.1. А = 1 (2πh )3 2 . 1.2. Во всей области x < 0 волновая функция имеет вид: ψ 1 = e ik1x + Ae − ik1 x , при k1 =

2mE . h2

В области x > 0 волновая функция принимает вид: ⎧⎪ Be ik2 x , при E > V0 , ψ 2 = ⎨ −αx ⎪⎩ Be , при E < V0 .

Здесь k 2 =

2 m ( E − V0 ) . Постоянные A и B определяются из условия h2

непрерывности ψ и dψ dx при x = 0 : 1 + A = B , k1 (1 − A) = k 2 B ,

откуда B=

2k1 , k1 + k2

A=

k1 − k2 . k1 + k2

Вычислим теперь плотность падающей jпад , отражённой jотр и прошедшей jпрош волн, а так же коэффициенты прохождения D и отражения R частиц D=

j прош j пад

, R=

j отр j пад

.

По определению плотность тока в одномерном случае есть j=

i h ⎛ dψ ∗ dψ ⎜⎜ψ −ψ ∗ 2m ⎝ dx dx

⎞ ⎟⎟ . ⎠

Откуда получаем j пад =

hk1 hk 2 , jотр = − 1 A . m m

Таким образом, для Е > V0 имеем j прош =

15

hk 2 2 B , m

⎛ k − k2 R = A = ⎜⎜ 1 ⎝ k1 + k 2 2

В случае

Е < V0 ,

ψ2

2

2

⎞ ⎛ 2 k1 ⎞ 2 ⎟⎟ , D = B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎠ ⎝ k1 + k 2 ⎠

есть вещественная функция, экспоненциально

убывающая за потенциальным порогом, поэтому j прош = 0 ,

и следовательно R = 1, D = 0 .

1.3. Пусть E > V0 и падающая частица движется слева на право. Тогда для волновой функции в различных областях справедливы выражения вида ψ = e ik1x + Ae − ik1x ,

при x < 0 :

при 0 < x < a : ψ = B1eik x + B2e − ik x , 2

при x > a : (со

стороны

x>a

2

ψ = Ceik1 x

должна

быть

только

прошедшая

волна,

распространяющаяся в положительном направлении оси x ). Постоянные A, B1 , B2 ,C определяются из условий непрерывности ψ и dψ dx в точках x = 0 2

и x = a . Коэффициент прохождения определяется как D = C . При этом R = 1 − D . Преобразования приводят к выражению вида: D=

(k

4k12 k 22

2 1

− k 22 ) sin 2 (ak 2 ) + 4k12 k 22 2

.

При E < V0 , k2 − комплексное число. Соответствующее выражение для D получается заменой k2 на iα 2 , где hα 2 = 2m(V0 − E ) : D=

(k

4k12 α 22

2 1

+ α 22 ) sh 2 (aα 2 ) + 4k12 α 22 2

.

1.4. Решение данной задачи соответствует решению задачи 1.2, учитывая соотношение A = e −iχ( E ) . 1.5. Уравнение Шредингера записывается в виде: 16

V0 d 2 ψ 2m ⎛ + 2 ⎜E − 2 dx h ⎝ 1 + e −x a

⎞ ⎟ψ = 0 ⎠

Необходимо найти решение, которое при x → +∞ имеет вид ψ = const ⋅ eik 2 x .

Введем новую переменную ξ = −e − x a

пробегающую значения от − ∞ до 0 и ищем решение в виде: ψ = ξ −iak 2 ω(ξ ) ,

где ω(ξ) стремится к постоянной при ξ → 0 (т.е. при x → ∞ ). Для ω(ξ) получаем уравнение гипергеометрического типа

(

)

1 ⎛ 2i ⎞ ξ(1 − ξ )ω' ' +⎜1 − k2 ⎟(1 − ξ )ω' + 2 k22 − k12 ω = 0 , α ⎠ α ⎝

имеющее решением гипергеометрическую функцию i 2i ⎡i ⎤ ω = F ⎢ (k1 − k 2 ), − (k1 + k 2 ), − k 2 + 1, ξ⎥ α α ⎣α ⎦

(постоянный множитель опущен). При ξ → 0 эта функция стремится к 1, т.е. удовлетворяет поставленному условию. Асимптотический вид функции ψ при

ξ → −∞ (т.е. при x → −∞ ) есть ψ ≈ ξ −ik 2

α

[C (− ξ) (

i k 2 − k1 ) α

1

+ C 2 (− ξ )

i ( k 2 + k1 ) α

] = (− 1)

− ik 2 α

[C e 1

ik1 x

]

+ C 2 e −ik1 x ,

где ⎛ 2i ⎞ ⎛ 2i ⎞ Г ⎜ − k 1 ⎟ Г ⎜ − k 2 + 1⎟ ⎝ α ⎠ ⎝ α ⎠ , С1 = ⎞ ⎛ i ⎞ ⎛ i Г ⎜ − (k1 + k 2 )⎟ Г ⎜ − (k1 + k 2 ) + 1⎟ ⎠ ⎝ α ⎠ ⎝ α ⎛ 2i ⎞ ⎛ 2i ⎞ Г ⎜ − k1 ⎟ Г ⎜ − k 2 + 1⎟ ⎠ ⎝ α ⎠ ⎝ α . С2 = ⎛i ⎞ ⎛i ⎞ Г ⎜ (k1 − k 2 )⎟ Г ⎜ (k1 − k 2 ) + 1⎟ ⎝α ⎠ ⎝α ⎠ 2

C Искомый коэффициент отражения R = 2 . При его записи воспользуемся C1

17

известной формулой: Г ( x )Г (1 − x ) =

π sin πx

В результате преобразований получаем: 2

⎛ π ⎞ ⎜ sh (k1 − k 2 ) ⎟ ⎟ . R=⎜ α ⎜ π( ⎟ ⎜ sh k1 + k 2 ) ⎟ α ⎝ ⎠

При E = U 0 (k2 = 0) R обращается в единицу, а при E → ∞ стремится к нулю по формуле 2

4π

⎛ πU 0 ⎞ 2m − αh R=⎜ e ⎟ ⎝ αh ⎠ E

2 mE

.

В предельном переходе к классической механике коэффициент отражения R , как и следовало, обращается в нуль. 1.6. Для определения коэффициента прохождения D(ε ) найдем решение уравнения Шредингера для стационарных состояний d 2 ψ 2m ⎛ ⎛ x ⎞⎞ − 2 ⎜⎜ E − V0ch − 2 ⎜ ⎟ ⎟⎟ψ = 0 , 2 dx h ⎝ ⎝ a ⎠⎠

асимптотиками которых являются волновые функции свободного движения Aeikx при x → ∞ и B1eikx + B2e −ikx при x → −∞ . Подстановками − 2mE x a = ika , s = y = th , β = a h

8mV0 a 2 1 ⎛⎜ −1+ 1− h2 2 ⎜⎝

уравнение Шредингера превращается в ⎡ d ⎡ β2 ⎤ 2 dψ ⎤ ( ) ( ) 1 − y + s s + 1 − ψ =0. 1 − y 2 ⎥⎦ dy ⎢⎣ dy ⎥⎦ ⎢⎣

Подстановкой ψ( y ) = (1 − y 2 ) ω( y ) β 2

уравнение сводится к гипергеометрическому виду:

18

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 1 y ⎞⎛ 1 y ⎞ ⎜ − ⎟⎜ + ⎟ω' ' +(β + 1) yω' −(β − s )(β + s + 1)ω = 0 . ⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠

Решение этого уравнения, конечное при y = 1 , есть 1− y⎤ ⎡ ω( y ) = F ⎢− β − s , −β + s + 1, −β + 1, . 2 ⎥⎦ ⎣

Волновая функция

(

ψ( y ) = 1 − y 2

)

− ika 2

1− y⎤ ⎡ F ⎢− ika − s , −ika + s + 1, −ika + 1, 2 ⎥⎦ ⎣

имеет требуемые асимптотики. При x → −∞ ( y → −1) ψ ≈ C1eikx + C2e − ikx ,

где С1 = С2 =

Г (− ika )Г (1 − ika ) , Г (− ika − s )Г (− ika + s + 1) Г (ika )Г (1 − ika ) . Г (− s )Г (1 + s )

Коэффициенты С1 , С 2 определяют значение коэффициента прохождения: −1

⎡ 2 π −2 ⎤ ⎢ cos 2 1 − 4ξ ⎥ D(E ) = ⎢1 + ⎥ sh 2πka ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ −1 ⎡ 2 π −2 ⎤ ⎢ ch 2 1 + 4ξ ⎥ D(E ) = ⎢1 + ⎥ sh 2πka ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

Здесь

h2 ξ = . 2mV0 a 2 2

Коэффициент

(ξ

2

>4,

(ξ

2

<4.

прохождения

)

)

D

есть

монотонно

возрастающая функция ε = E V0 . При E → ∞ коэффициент отражения убывает экспоненциально: R(E ) ~ e −2 πka .

1.7. Волновая

функция,

описывающая

потенциальный барьер, имеет при x → ±∞ вид

19

прохождение

частиц

через

⎧ ikx − ikx ⎪e + A(k )e , x → −∞ ⎪ ψ(x ) ≈ ⎨ ⎪ B(k )eik1 x , x → +∞ ⎪ ⎩

⎞ ⎛ 2mE ⎟ ⎜k = 0 > 2 ⎟ ⎜ h ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 2m(E − V0 ) ⎜ k1 = ⎟ > 0 2 ⎜ ⎟ h ⎝ ⎠

Коэффициент прохождения D(E ) равен D (E ) =

k1 2 B(k1 ) . k

При E → V0 имеем k1 → 0 , B(k1 ) − B(0) ≠ 0 , тогда D(E ) ~ E − V0 → 0 .

1.8. Во всей области x < 0 волновая функция имеет вид: ψ1 = eikx + Ae − ikx , при k =

2mE . h2

При этом в области x > 0 волновая функция принимает вид: ψ 2 = (1 + С )e ikx .

Постоянные A и С определяются из условия непрерывности ψ и граничного условия для dψ dx при x = 0 : A = C , ik ( A + C ) = 2Ω(1 + A) ,

откуда A=

Ω . ik − Ω

При этом коэффициент прохождения равен: 2

D =1− A =

k2 . Ω2 + k 2

1.9. Воспользоваться общими свойствами уравнения Шредингера, а также уравнением непрерывности. 1.10. Пусть падающие частицы движутся слева направо. Тогда, волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера при искомых значениях энергии, имеет вид

20

⎧ eikx , x<0 ⎪⎪ Ψk ( x ) = ⎨ A sin kx + B cos kx , 0 < x < a , ⎪ Ceik ( x − a ) , x > a. ⎪⎩

(k =

)

2mE h 2 > 0 ,

В области x < 0 отраженная волна Ge− ikx отсутствует в соответствии с условием задачи. Выполняя сшивание волновой функции в точках x = 0 и x = a , находим B = 1 , kA − ik = 2mα h 2 , A sin ka + B cos ka = C , ikC − kA cos ka + kB sin ka = 2mαC h 2 .

Система алгебраических уравнений для определения

коэффициентов

A, B ,C переопределена. Она имеет решение лишь при выполнении условия tgka = − kh 2 αm ,

определяющего значения энергии E = h 2 k 2 2m , при

которых частицы не

отражаются от рассматриваемого потенциального барьера. ⎡ 4 2m ⎤ ⎡ ⎤ (V0 − Ex )3 2 ⎥ , j = A E exp ⎢− 4 2m (V0 − ξ )3 2 ⎥ ,где ξ − уровень ⎣ 3he E ⎦ ⎣ 3he E ⎦

1.11. D = D0 exp ⎢−

химического потенциала.

1.12. p =

π2h 2 2 n . ma 3bc

1.13. jr = 0, jθ = 0, jϕ =

hm 2 Ψnlm . µr sin θ

3 2

1.14. r = a , r 2 = 3a 2 ,r0 = a. k

r ⎤ n −1 r P2 µe 4 ⎡ PR 1.15. ψ = exp ⎢i C − ⎥ ∑ a k ⎛⎜ ⎞⎟ Plm (cos θ)e imϕ , E n, P = − 2 2, na ⎦ k =l ⎝ a ⎠ 2(m + M ) 2h n ⎣ h

µ=

mM , где m и M − масса электрона и ядра соответственно. m+M

1.16. Вводим координату центра тяжести X C и относительную координату

21

⎛ PX C ξ 2 ⎞ − ⎟⎟ H n (ξ ) , где x = x1 − x 2 . Разделяем переменные и получаем ψ = C exp⎜⎜ i h 2 ⎠ ⎝

H n (ξ ) − полином

Эрмита,

ξ=

µω x h

и

µ=

m1 m2 , M

E=

1⎞ P2 ⎛ + ⎜ n + ⎟hω 2(m1 + m2 ) ⎝ 2⎠

(n = 0,1,...) . 1.17. Общая потенциальная энергия, в данном случае, имеет вид V (x1 , x 2 ) =

(

)

k k 2 2 x1 + x 22 + 1 ( x1 − x 2 ) , 2 2

где k и k1 − коэффициенты упругости, характеризующие связь частиц с точкой x = 0 и друг с другом. Вводя координату центра тяжести X C =

x1 + x 2 2

и относительную координату x = x1 − x 2 , получаем уравнение ω12 2 h 2 d 2 ψ h 2 d 2 ψ Mω 2 2 − − + X Cψ + µ x ψ = Eψ , 2M dX C2 2µ dx 2 2 2

где M = 2m − общая масса, µ = ω1 =

m − приведенная масса системы, ω = 2

k и M

k + 2 k1 . Разделив переменные и подставив ψ = f ( X C )F (x ) , получаем два 2µ

одномерных уравнения для гармонического осциллятора с частотами ω и ω1 :

Вводя ξ =

−

h 2 d 2 f Mω 2 2 X C f = E1 f , + 2M dX C2 2

−

h 2 d 2 F µω12 2 + x F = E2 F . 2 µ dx 2 2

h h XC и u = x , решение можно записать в виде µω1 M

ψ n1n2 = Ce − ξ 2 H n1 (ξ )e − u 2 H n2 (u ) , 2

2

где H n (ξ ) − полином Эрмита, и соответствующий этой функции уровень 1

энергии

1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ E n1n2 = ⎜ n1 + ⎟hω + ⎜ n2 + ⎟hω1 . 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

22

1.18. Для рассматриваемого случая уравнение Шредингера v ⎞ h 2 d 2 ψ ⎛ mω 2 2 ⎜ − + x − e E x ⎟⎟ψ = Eψ 2m dx 2 ⎜⎝ 2 ⎠

может быть сведено к задаче гармонического осциллятора выделением полного квадрата в выражении потенциальной энергии. Вводя x1 = x −

v eE

mω

2

, ξ=

v2 e2 E

h x1 , E1 = E + , приходим к уравнению mω 2mω 2

−

h 2 d 2 ψ mω 2 2 + x1 ψ = E1ψ 2m dx12 2

и можем записать собственные функции ψ n = C n e − ξ 2 H n (ξ ) 2

и собственные значения оператора энергии v2 e2 E 1⎞ ⎛ . E n = ⎜ n + ⎟ hω − 2⎠ 2mω 2 ⎝

2.1.

В силу равновероятности различных значений Lz имеем l ⎡ d2 L2z = ( 2l + 1 ) −1 ∑ m 2 = 2( 2l + 1 ) −1 ⎢ 2 m=−l ⎣ dα

l

∑e

m =0

αm

⎤ = ⎥ ⎦ α =0

⎡ d 2 1 − e α( l +1 ) ⎤ l( l + 1 ) 2( 2l + 1 ) −1 ⎢ 2 = . ⎥ α 3 ⎣ dα 1 − e ⎦ α =0

Равноправность координатных осей x, y, z позволяет получить L2 ≡ L2 = L2x + L2y + L2z = 3L2z = l (l + 1) .

2.2.

Используя коммутационные соотношения:

[ p) i , xk ] = −ihδ ik ,

[lˆ , ˆx ] = iε

[

]

ˆxn , lˆi , ˆp k = iε ikn ˆp n . ) ) получаем правила коммутации для операторов Lx , Lz друг с другом i

k

ikn

∧ ∧ ∧ ⎛ ∧ ⎞ ⎛ ∧ ⎞ ∧ ⎡∧ ∧⎤ ∧ ∧ ∧ ∧ L L = L L − L L = L y p − z p − y p − z p × ⎜ ⎟ ⎜ z x x z z z y z y ⎟ Lz = ⎢⎣ z x ⎥⎦ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎛ ∧ ⎞ ∧ ⎛ ∧ ∧ ⎞ = Lz y p z − Lz z p y − y p z Lz + z p y Lz = ⎜ Lz y − y Lz ⎟ p z − z⎜ Lz p y − p y Lz ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∧ ∧ ∧ ⎛ ⎞ = ih ⎜ − x p z + z p x ⎟ = ih L y . ⎝ ⎠

23

Аналогичным образом получаем коммутационное соотношение [Lˆz , Lˆ2 ] = 0 .

⎡ ∧ ∧2 ⎤ ⎡ ∧ ∧2 ⎤ ⎡ ∧ ∧2 ⎤ ⎡ ∧ ∧2 ⎤ ⎢ L z , L ⎥ = ⎢ Lz , Lx ⎥ + ⎢ Lz , L y ⎥ + ⎢ Lz , Lz ⎥ , ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎡ ∧ ∧2 ⎤ ⎛ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎞ ⎢ L z , L x ⎥ = ih ⎜ L y L x + L x L y ⎟ , ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ∧ ∧2 ⎤ ⎛ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎞. = − L , L i h ⎜ Lx L y + L y Lx ⎟ ⎢ z y⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣

2.3.

Используя выражение для оператора Lz в декартовой системе координат

и связь декартовых и сферических координат x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ

z

r r

получаем выражение для оператора момента частицы в сферической

системе: r

⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ L z = ih⎜⎜ y − x ⎟⎟ = −ih . ∂y ⎠ ∂ϕ ⎝ ∂x ∧

θ y φ x

2.4.

Воспользоваться коммутационными соотношениями для момента

импульса. 2.5.

Для плоского ротатора оператор Гамильтона имеет вид Hˆ = Mˆ z2 2 I =

= h 2 lˆz2 2 I

(ось z направлена перпендикулярно плоскости

вращения).

Поскольку Hˆ коммутирует с ˆl z , то собственные функции Hˆ одновременно являются

и

собственными

функциями

lˆz ,

что

позволяет

записать

собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона:

E m = h 2 m 2 2I ,

Ψ m = e imϕ

2π , m = 0, ± 1, ± 2,K

Из этих выражений видно, что все уровни, кроме основного, двукратно вырождены. Собственные функции оператора Гамильтона могут быть выбраны также в виде

Ψ +m = π −1 2 cos mϕ , Ψ −m = π −1 2 sin mϕ . Эти функции

24

имеют определенную четность (+1 или –1) при инверсии координат относительно оси x. Как

известно,

волновая

функция

может

быть

разложена

по

собственным функциям оператора физической величины, поскольку они образуют полный набор. В соответствии, с этим разложим функцию Ψ = C cos 2 ϕ по собственным функциям оператора Гамильтона. Для этого

воспользуемся представлением: cos ϕ = (e iϕ + e −iϕ ) 2 , то Ψ = C (e 2iϕ + 2 + e −2iϕ ) 4 . Константа

С=

2 3π

определена

из

условия

нормировки.

Отсюда

непосредственно следуют распределения вероятностей различных значений проекции момента w(m) = cm

2

( )

и энергии ротатора w E m = w(m) + w(− m)

(при m ≠ 0 ):

w(E0 ) = w(0) = 2 3 ,

w(E2 ) = 2 w(2) = 2 w(−2) = 1 3

вероятности

остальных

значений равны нулю. Наконец: m = 0,

2.6.

(∆m )2 = 4 3 ,

E = 2h 2 3I , (∆E 2 ) = 8h 4 9 I 2 .

В случае сферического ротатора оператор Гамильтона имеет вид

ˆ = h 2 ˆl 2 2 I . H

Его

собственные

значения

и

собственные

функции

определяются: El = h 2 l (l + 1) 2 I ,

Ψlm = Υlm (θ, ϕ) ,

где l = 0,1,K ; m = l , l − 1,K, − l ; Υlm – сферическая функция; θ, ϕ - полярный и азимутальный углы оси ротатора. Как можно видеть уровни энергии (2l + 1) - кратно вырождены, и имеют определенную четность, равную (−1) l . Для нахождения вероятностей и средних значения физических величин используем тот же прием, что и в задаче 2.5. Разложение волновой функции Ψ = C cos 2 θ по сферическим функциям Υlm (θ,ϕ) можно представить в виде ∞

l

Ψ = ∑ ∑ alm Υlm (θ, ϕ) l =0 m = −l

25

Волновая функция Ψ = C cos 2 θ может быть представлена в виде Ψ=

4πC ⎡ 1 3 cos 2 θ − 1⎤ + ⎢ ⎥= 3 ⎣ 4π 4π ⎦

где константа С =

⎤ 4πC ⎡ 2 Υ00 (θ ,ϕ) + Υ20 (θ ,ϕ)⎥ , ⎢ 3 ⎣ 5 ⎦

5 определена из условия нормировки. 4π

Отсюда следует, что момент ротатора принимает только два значения в данном состоянии: l = 0 и l = 2 с вероятностями w( 0 ) = 5 9 и w( 2 ) = 4 9 . При этом, E = 4h 2 3I , (∆E )2 = 8h 4 3I 2 . 2.7.

Для решения данной задачи воспользуемся результатами задачи 2.5.

Волновая функция Ψ = A sin 2 ϕ может быть представлена в виде Ψ=

1 ⎡ 1 i⋅2ϕ 1 −i⋅2 ϕ ⎤ 1− e − e ⎥⎦ . 2 3π ⎢⎣ 2

Таким образом, состояние плоского ротатора, описываемое функцией Ψ , 2 3

1 6

соответствует Lz = 0,±2h с вероятностями w(0) = , w(2) = w(− 2) = . При этом, L z = 0, L2z =

2.8.

4 2 h . 3

Из коммутационных соотношений для компонент момента следует,

что l z l ± = l ± (l z ± 1) . Применив это операторное равенство к собственным ))

) )

функциям Ψm , получаем

)) ) l z l ± Ψm = (m ± 1)l ± Ψm , то есть функции

) l ± Ψm также

)

являются собственными функциями l z . Из

ортогональности

) m l ± m ~ m m ± 1 = 0,

собственных

m ˆl ±2 m = 0 . Отсюда

функций

l x ± i l y = 0 , или ))

следует lx = l y = 0 .

))

Второе соотношение эквивалентно равенству l x2 − l y2 ± i l x l y + l y l x = 0 , ))

))

из которого следует, в частности: l x2 = l y2 , l x l y + l y l x = 0 .

2.9.

Так

как

) lˆx2 + ˆl y2 ≡ l 2 − lˆz2 = l( l + 1 ) − m 2 , то

[

]

предыдущей задачи l x2 = l y2 = l (l + 1) − m 2 2 . 26

с учетом

результата

z имеет вид 2.10. Оператор проекции момента на ось ~ lˆ~z = cos α ⋅ lˆz + sin α ⋅ cos β ⋅ lˆx + sin α sin β ⋅ ˆl y , где α,β - полярный и азимутальный

углы направления оси ~ z . Усредняя оператор по состоянию Ψlm (согласно задаче 2.8 l x = l y = 0 ), находим l ~z = m cos α . Учитывая при усреднении )

)

оператора l ~z2 результаты задачи 2.8, находим l ~z2 , а с ним и

(∆l ~z )2

= l ~z2 − l ~z

2

=

[

]

1 l( l + 1 ) − m 2 sin 2 α . 2

~ = ±1 на 2.11. Обозначим через w(±1) вероятности проекций момента m ~ )m ~ = w(1) − w(− 1) = m cos α , ось ~z . Согласно задаче 2.10 имеем l ~z = ∑ w(m ~ m

~ )m ~ 2 = w( 1 ) + w( −1 ) = m 2 + ( 1 − 3m 2 2 ) sin 2 α . l ~z2 = ∑ w( m ~ m

Решая полученную систему уравнений относительно w(±1) , получаем

[

]

w( 1,m ) ≡ w( 1 ) = 2m 2 + 2m cos α + ( 2 − 3m 2 ) sin 2 α 4 ,

[

]

w( −1,m ) ≡ w( −1 ) = 2m 2 − 2m cos α + ( 2 − 3m 2 ) sin 2 α 4 , w( 0, m ) = 1 − w( 1 ) − w( −1 ) .

2.12. Из соотношения Lˆ = ˆl1 + ˆl2 следуют выражения ˆl1ˆl2 = (Lˆ2 − ˆl12 − ˆl22 ) 2 ,

(

)

lˆ1 Lˆ = Lˆ2 + lˆ12 − ˆl 22 2 ,

(

)

ˆl Lˆ = Lˆ2 + lˆ 2 − lˆ 2 2 2 2 1

(здесь

учтена

коммутативность

одноименных компонент Lˆ и lˆ1,2 ). Из них непосредственно видно, что в состояниях

с

определенными

значениями

L2 , l12 l22

рассматриваемые

скалярные произведения также имеют определенные значения. 2.13. В данном случае, суммарный момент системы принимает следующие значения L = 0,1,2 . В l1z l 2 z − представлении волновые функции Ψ2, ±2 очевидны:

27

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜0⎟ ⎜0⎟ , ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠ 2

Ψ2, 2

Ψ2, −2

⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠ 2

(здесь и ниже столбцы Ψ1( 2 )

⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ c0 ⎟ представляют волновые функции 1 (2) ⎜c ⎟ ⎝ −1 ⎠1( 2 )

частицы, или подсистемы, с моментом l = 1 в ее l z –представлении). Вид волновых функций ΨLM , отвечающих состояниям с L = 1,2 и M = ±1 , а также L = 1 , M = 0 , непосредственно следует из характера симметрии волновых функций по отношению к перестановке переменных m1 и m2 : Ψ2 (1),1

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ 1 ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ = ⎨⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ± ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎬, 2 ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩⎝ 0 ⎠1 ⎝ 0 ⎠ 2 ⎝ 0 ⎠1 ⎝ 0 ⎠ 2 ⎭

Ψ2 (1), −1

⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ 1 ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ = ⎨⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ± ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎬, 2 ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩⎝ 1 ⎠1 ⎝ 0 ⎠ 2 ⎝ 0 ⎠1 ⎝ 1 ⎠ 2 ⎭

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ 1 ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ Ψ1, 0 = ⎨⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎬ 2 ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩⎝ 0 ⎠1 ⎝ 1 ⎠ 2 ⎝ 1 ⎠1 ⎝ 0 ⎠ 2 ⎭ (знак «+» в выражениях для Ψ2 (1),1 , Ψ2 (1), −1 отвечает L = 2 , «−» отвечает L = 1 ). Вид волновой функции Ψ0, 0

Ψ0, 0

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ 1 ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ = ⎨⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎬. 3 ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩⎝ 0 ⎠1 ⎝ 1 ⎠ 2 ⎝ 0 ⎠1 ⎝ 0 ⎠ 2 ⎝ 1 ⎠1 ⎝ 0 ⎠ 2 ⎭

Волновую функцию Ψ2, 0 , при учете ее симметричности по отношению к перестановке m1 и Ψ2, 0

m2 , можно записать в виде

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ ⎪ = C1 ⎨⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎬ + C 2 ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠ 2 ⎩⎝ ⎠1 ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠ 2 ⎭

28

Из условия ее ортогональности с волновой функцией Ψ0, 0 найдем C 2 = 2C1 . Выбрав в выражении для Ψ2, 0 значения C1 = 1

6 и C2 = 2

6 , получаем

нормированную волновую функцию. Вероятности различных значений проекций

складываемых

моментов

на

ось

z

в

состояниях

ΨLM

непосредственно следуют из установленного выше вида волновых функций. 2.14. Для решения задачи удобно сначала сложить моменты двух подсистем, имеющих l = 1 в их результирующий момент L12, принимающий значения 0, 1, 2, а затем сложить L12 и l3= l в суммарный момент L всей системы. При этом следует учесть, что данное значение L можно получить несколькими способами. Результаты сложения трех моментов следующие. Всего

3 ⋅ 3 ⋅ (2 l + 1) = 9 (2 l + 1)

имеется

независимых

состояний.

Классификация их по значениям суммарного момента L представлена в таблице. Приведенные результаты относятся к случаю l > 1 . L

число состояний

l+2

l+1

l

l−1

l−2

2l + 5

2·(2l + 3)

3· (2l + 1)

2· (2l − 1)

(2l − 3)

Случай l3 = 1 предлагается рассмотреть самостоятельно. 3.1.

Коэффициент прохождения частицы через барьер, определяется как

⎛ 2 2m D = D0 exp⎜ − ⎜ h ⎝

барьер, r0

r2

∫

r0

⎞ 2 Ze 2 − E dr ⎟ , где ⎟ r ⎠

E − энергия частицы, падающей на

2Ze 2 и r2 − точки поворота, в которых V = E , т.е. r2 = . Для E

вычисления интеграла содержащегося в выражении для коэффициента

29

прохождения можно воспользоваться заменой cos 2 u = r = r2 u = 0 и, обозначая I=

u0

0

В предположении, что получим:

r0 = cos 2 u 0 , можно записать r2

1 2 Ze 2 2 Ze 2 1 2 − ⋅ ⋅ = sin u cos udu E E cos 2 u E

∫

u0 =

Таким образом,

π 2

r . Очевидно, при r2

sin 2u 0 ⎤ ⎡ ⎢u 0 − 2 ⎥ . ⎣ ⎦

r0 << 1 воспользуемся разложением arccos в ряд и r2 r0 r , тогда sin 2u 0 ≈ 2 0 . r2 r2

−

r0 ⎤ 2Ze 2 ⎡ π I= ⎢ −2 ⎥ r2 ⎦⎥ E ⎣⎢ 2

и

⎡ 4 ⎛ πZe 2 + 2mZe 2 r0 D = D0 exp ⎢− ⎜⎜ ⎣ h ⎝ v∞

⎞⎤ ⎟⎟⎥ , где ⎠⎦

v∞ = 2mE − скорость вылетевшей α − частицы, измеряемая вдали от ядра, там ⎡

⎛

⎞⎤

4 πZe где V = 0 и λ = nD0 exp ⎢− ⎜⎜ + 2mZe 2 r0 ⎟⎟⎥ . 2

⎣ h ⎝ v∞

3.2.

⎠⎦

Потенциал инвариантен по отношению к инверсии V (x ) = V (− x ) , так

что решения обязаны быть либо четными, либо нечетными. Положив h 2χ2 E=− , 2m

h 2 k 02 V0 = , 2m

k 2 = k 02 − χ 2 , можно записать эти решения в

следующем виде: четные A+ cos(kx ) , 0 ≤ x ≤ a, ⎧ u + (x ) = ⎨ ⎩ A+ cos(ka ) exp(χ(a − x )) , x > a , u + (− x ) = u + (x ) ,

1 1 1 = [ka + sin(ka ) cos(ka )] + cos 2 (ka ) ; 2 χ A+ k

нечетные A− sin(kx ) , 0 ≤ x ≤ a, ⎧ u − (x ) = ⎨ ⎩ A− sin(ka ) exp(χ(a − x )) , x > a , u − (− x ) = −u − ( x ) ,

30

1 1 1 = [ka − sin(ka ) cos(ka )] + sin 2 (ka ) ; 2 χ A− k

Амплитуды внутри и вне потенциальной ямы были выбраны таким образом, чтобы функция u (x ) оставалась непрерывной в точке x = a . Нормировочная постоянная определена из условия

∞

∫ u (x )

2

dx = 1 .

−∞

Требование непрерывности первой производной

du ( x ) dx

в точке x = a

χ k

k χ

приводит к соотношениям: tg (ka ) = , для четных решений и ctg (ka ) = − , для нечетных решений. С помощью этих соотношений и связи между k и χ можно упростить выражение для нормировочных постоянных, получая в обоих случаях одно и тоже равенство:

1 1 =a+ . 2 χ A±

Уравнения для нахождения собственных значений получаем, используя условия непрерывности первой производной в точке x = a , а также связи между k и χ , в виде: четные tg (ka ) =

(k 0 a )2 − (ka )2 ka

,

нечетные ctg (ka ) = −

ka

(k 0 a )2 − (ka )2

.

При данном потенциале величина k 0 a является постоянной, зависящей лишь от размеров ямы. Полученные выше уравнения дают возможность определить все значения ka , и тем самым и все значения энергии ⎡ k2 ⎤ E = −V0 ⎢1 − 2 ⎥ , ⎣ k0 ⎦

реализующиеся в яме данных размеров. 3.3.

Дискретным является

спектр энергий E < U 1 , который мы и 31

рассматриваем. В области x < 0 волновая функция ψ = c1 exp(χ1 x ) , χ1 =

1 2m(U 1 − E ) , h

а в области x > a ψ = c 2 exp(− χ 2 x ) , χ 2 =

1 2m(U 2 − E ) . h

Внутри ямы (0 < x < a ) волновую функцию ищем в виде 2mE . h

ψ = c sin(kx + δ ) , k =

Условие непрерывности ψ' ψ на границах ямы дает уравнения kctgδ = χ1 =

или sin δ =

kh 2mU 1

2mU 1 2mU 2 − k 2 , kctg (ak + δ ) = −χ 2 = − −k2 , 2 2 h h

, sin(ka + δ ) = −

kh 2mU 2

. Исключая δ , получаем

трансцендентное уравнение ka = πn − arcsin

kh 2mU 1

n = 1,2,3,... , а значения arcsin берутся между 0 и

− arcsin

kh 2mU 2

, где

π . Корни этого уравнения 2

k 2h 2 . Для каждого n имеется один корень. определяют уровни энергии E = 2m

3.4. Рассматриваем случай дискретного спектра. Уравнение Шредингера для радиальной функции имеет вид: d 2 R 2 dR 2m ⎛ h2 A B⎞ 1 ⎜ + + − E l (l + 1) 2 − 2 + ⎟⎟ R = 0 . 2 2 ⎜ r dr h ⎝ r⎠ 2m dr r r

Вводим новую переменную ρ = B h

2 − 2mE 2mA r и обозначения + l (l + 1) = s(s + 1) , h h2

m = n . Тогда уравнение Шредингера принимает вид − 2E ⎛ 1 n s (s + 1) ⎞ 2 ⎟R = 0 R' ' + R' +⎜⎜ − + − ρ ρ 2 ⎟⎠ ⎝ 4 ρ

Решение

данного

уравнения,

удовлетворяющее

условиям, имеет вид 32

всем

необходимым

R = ρ s e −ρ 2 F (− n + s + 1,2s + 2,ρ ) ,

причем n − s − 1 = p должно быть целым положительным числом (или нулем), а

под

s

надо

понимать

положительный

2mA + l (l + 1) = s(s + 1) . Согласно определению h2

имею вид

2B 2 m ⎡ − Ep = ⎢2 p + 1 + h2 ⎣

B h

корень

m =n − 2E

уравнения

уровни энергии

−2

⎤ (2l + 1) + 8mA . 2 ⎥ h ⎦ 2

3.5. Для частицы в центральном поле Ψ (r ,ϑ, ϕ) = e imϕ Plm (cos ϑ) ⋅ f (r ) .

Радиальная часть f ( r ) волновой функции удовлетворяет уравнению d 2 f 2 df ⎛ 2µE l (l + 1) ⎞ + +⎜ − ⎟f =0 dr 2 r dr ⎝ h 2 r2 ⎠

при r < R и f = 0 при r > R . Таким образом, для f (r ) , являющейся решением написанного выше уравнения, граничное условие будет: f ( R ) = 0 После введения k 2 =

2µE h2

и χ( r ) = r ⋅ f ( r ) для χ получается уравнение

Бесселя: 2 d 2 χ 1 dχ ⎡ 2 (l + 1 2) ⎤ + + − k ⎢ ⎥χ=0 r2 dr 2 r dr ⎣ ⎦

Так как при

r →0

функция χ = J

⎛ 1⎞ ±⎜ l + ⎟ ⎝ 2⎠

(kr ) → r

⎛ 1⎞ ±⎜ l + ⎟ ⎝ 2⎠

, то удовлетворять

требованию конечности будет только J

1 l+ 2

(kr ) →

a r

sin kr (если l = 0 )

Уровни энергии, соответствующие этим функциям, получаются из условий непрерывности функции при r = R , т. е. из условия J

l+

1 2

(kR ) = 0 . Обозначая

корни этой функции Бесселя через bn( l ) , запишем уровни энергии E n( l )

=

( )

h 2 bn( l )

2µR 2

33

2

Очевидно, при l = 0 bn(0 ) = nπ

3.6.

и E n(0 ) =

h 2n2π2 2µR 2

Энергия частицы может принимать значения En = −

Z 2 µe 4 (n = 1, 2, …). 2h 2 n 2

Такой энергии будет соответствовать функция Ψnlm = U nl ( ρ )Plm (cos ϑ )e imϕ = e

где l = 0,1,2,..., n − 1 , m = 0,±1,....,±l и a k =

−ρ

n −1

n

∑a ρ k =l

k

k

Plm (cos ϑ )e imϕ ,

2(k n − 1)a k −1 . k (k + 1) − l (l + 1)

Переменная ρ = r a , где a = h 2 Z µe 2 . Степень вырождения уровня En равна n2 .

3.7.

Общее решение для трехмерного осциллятора: E n1n2 n3 = (n1 + 1 2 )hω1 + (n2 + 1 2 )hω 2 + (n3 + 1 2 )hω3 ; Ψn1n2 n3 (ξ ,η, ζ ) = Ce

−

ξ 2 + η2 + ζ 2 2

H n1 (ξ )H n 2 (η)H n3 (ζ ) .

Константа С определяется из условия нормировки.

3.8.

Уравнение −

h 2 d 2Ψ e2 − Ψ = EΨ для E > 0 будет иметь 2m dx 2 x

непрерывный спектр. Рассмотрим E < 0. Вводя обозначения 2mE h 2 = − γ 2 и me 2 h 2 γ = χ ,

и новую переменную

ξ = 2γχ ,

запишем уравнение в

безразмерных переменных. d 2 Ψ ⎛⎜ χ 1 ⎞⎟ − Ψ=0 + dξ 2 ⎜⎝ ξ 4 ⎟⎠

В области ξ > 0 получаем дискретный спектр энергии

34

me 2 En = − 2 2 2h n

и соответствующие собственные функции Ψn (ξ ) = e

−

ξ 2

⋅ξ

n −1

∑a

k +1ξ

k

.

k =0

В области ξ < 0

Ψn (ξ ) =

ξ e2

⋅ξ

n−1

∑a

k +1

(− ξ)k .

k =0

3.9.

Решение У.Ш. с V (x ) = −αδ(x ) имеет вид Ψ = Ae −βx при x > 0 и Ψ = Be βx

при x < 0 ; здесь β = − 2mE h 2 > 0 . Исходя из условия непрерывности волновой функции в точке производной

x = 0 , а также соотношения для первой

dΨE (+ 0) dΨE (− 0) ⎛ 2mα ⎞ − = −⎜ 2 ⎟ΨE (0) , находим A = B и уравнение dx dx ⎝ h ⎠

для спектра: β = mα h 2 . Из этого уравнения следует, что при α < 0 ( δ − барьер) связанных состояний нет, а при α > 0 ( δ − яма) имеется, причем только одно состояние дискретного спектра с энергией E 0 = − mα 2 2h 2 . При этом нормированная волновая функция имеет вид Ψ0 (x ) = β 0 e −β x , где 0

β 0 = mα h 2 . Искомые средние V = 2E 0 , T = − E 0 .

3.10. Прежде всего свяжем решения ψ( x ) и ψ( x + l ) . Из уравнения Шредингера для x и x + l : −

h 2 d 2ψ ( x) + V ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) , 2 µ dx 2

−

h 2 d 2 ψ( x + l ) + V ( x + l )ψ( x + l ) = Eψ( x + l ) 2µ d ( x + l )2

видим, что в силу V ( x + l ) = V ( x ) и

d2 d ( x + l )2

=

d2 dx 2

, одному уравнению E

отвечают ψ (x) и ψ ( x + l ) . Считая E простым собственным значением, получаем,

что

эти

функции

могут

различаться

лишь

постоянным

множителем, т. е. ψ( x + l ) = ρψ( x ) . В общем случае можно получить 35

ψ( x + nl ) = ρ n ψ( x )

(1)

(n = 0,±1,...)

Тогда из требования конечности ψ( x ) следует, что ρ = 1 , т. е. ρ = e ikl , где k − произвольное вещественное число, и ψ( x + l ) = e ikl ψ( x ) .

(2)

Решив уравнение Шредингера при − b ≤ x ≤ 0 (область I), при 0 ≤ x ≤ a и a ≤ x ≤ l и воспользовавшись условием (2), будем иметь решение при всех x.

I

область:

2µ( V0 − E )

h

II

2

Уравнение

имеет

вид

h 2 d 2ψ Ι − + V0 ψ Ι = Eψ Ι . 2µ dx 2

Обозначая

= λ2 , можем написать ψ Ι = C1e λx + C 2 e − λx .

область

( V = 0 ):

Уравнение

2 h2 d ψ C − = Eψ C 2µ dx 2

имеет

решение

ψ C = C3eiχx + C4e −iχx , где χ 2 = 2µE / h 2 .

III область ( V = V0 ): Уравнение такое же как в области I h 2 d 2 ψ ΙΙΙ + V0 ψ ΙΙΙ = Eψ ΙΙΙ . Его решение ψ ΙΙΙ = C 5 e λx + C 6 e − λx . − 2 2µ dx

Если x лежит в области I, то x + l попадает в область III и, согласно формуле (2), решения будут связаны условием ψ ΙΙΙ ( x + l ) = e ikl ψ Ι ( x ) Следовательно, C5 = C1e ikl −λl ; C 6 = C 2 e ikl −λl , т.е. ψ ΙΙΙ = e ikl ( C 1 e λ( x −l ) + C 2 e − λ( x −l ) )

Решения ψ Ι ,ψ ΙΙ ,ψ ΙΙΙ должны быть непрерывны при переходе из области I в II ( x = 0 ) и из II в III (точка x = a ) вместе с их первыми производными. Это приводит к равенствам: ψ Ι ( 0 ) = ψ ΙΙ ( 0 ) и C1 + C 2 = C 3 + C 4 ;

dΨΙ dx

= x =0

dΨΙΙ dx

и λ( C1 − C 2 ) = iχ( C3 − C 4 ) ; x =0

ψ ΙΙ ( a ) = ψ ΙΙΙ ( a ) и C 3 e iχa + C 4 e −iχa = e ikl ( C1e − λb + C 2 e λb ) .

dΨΙΙ dx

= x=a

dΨΙΙΙ dx

и iχ( C3 e iχa − C 4 e −iχa ) = λe ikl ( C1e − λb − C 2 e λb ) . x=a

36

Получена система четырех линейных однородных уравнений относительно коэффициентов C1 , C 2 , C3 , C 4 . Для существования решения, отличного от нуля, необходимо, чтобы детерминант этой системы был равен нулю: 1 λ − e ikl −λb − λe ikl −λb

−1 − iχ e iχa iχe iχa

1 −λ − e ikl −λb λe ikl −λb

−1 iχ e − i χa − iχe −iχa

=0

Вычисление этого детерминанта приводит к уравнению, определяющему энергию частицы, находящейся в периодическом поле: λ2 − χ 2 f ( E ) = chλb cos χa + shλb sin χa = cos kl 2λx

(3)

Слева энергия входит через величины χ и l. Чтобы это равенство было возможным, необходимо, чтобы f ( E ) ≤ 1 . Можно убедится, что при χa = nπ оно нарушается, так как f ( E ) = ±chλb и f ( E ) > 1 . Таким образом, энергии h 2n2π2 E= 2µa 2

оказываются запрещенными для электрона в периодическом поле (модель кристалла). 3.11. Полученное в предыдущей задаче уравнение (3) в предельном случае, когда V0 → ∞ и b → 0 так, что λb → 0 и f ( E ) = cos χl + P

shλb → 1 , переходит в уравнение λb sin χl = cos kl , χl

(1)

λ2 ab P . Если обозначить = tgβ , то оно примет вид V0 →∞ 2 χl

где P = lim b →0

cos(χl − β) = cos kl . cos β

Границы энергетических зон будут лежать вблизи cos(χl − β) = ± cos β , т. е. при χl = nπ или χl − 2β = nπ . Подставив χl = nπ − ε , получим (−1) n (cos ε − tgβ sin ε) = cos kl .

37

Для 0 < ε ≤ 1 стоящее слева выражение меньше 1. Следовательно, χl = nπ являются точками, в которых начинаются запрещенные полосы энергии. Таким же образом можно убедится, что χl = nπ + 2β − нижние границы разрешенных полос энергии. Полоса энергии с номером n определяется значениями χl , лежащими в пределах (n − 1)π + 2β ≤ χl ≤ nπ . Если χl >> 1 , то β = arctg

P P ≈ и ширина запрещенной полосы между n -ой и χl nπ

(n + 1) -ой разрешенными полосами равна: ∆(χ n l ) = 2β =

2P . nπ

Если рассмотреть значение χ = χ 0 , которому отвечает kl = 0 , и разложить в близи

этой

точки

левую

и

правую

части

равенства

(1)

как

k 2l 2 k 2l 2 f ( E ) = A(χ 0 ) + B(χ − χ 0 ) и cos kl = 1 − , то из уравнения A + B(χ − χ 0 ) = 1 − 2 2

можно получить χ = C + Dk 2 . Поскольку χ =

2 µE , то E = E0 + F ⋅ k 2 . Коэффициенты C , D, E0 , F могут быть 2 h

выражены через A, B и χ 0 . 3.12. Введем kl = ξ и запишем уравнение (1) задачи 3.13 как f (ξ) = cos ξ +

P sin ξ = cos kl ξ

В задаче 3.13 было показано, что правой границей разрешенной зоны является ξ = nπ и в этой точке f (ξ ) = (−1) n . В запрещенной зоне, где ξ > nπ , f > 1 и

равенство возможно для комплексных значений kl . Если f (ξ ) > 1 , то cos kl = chµ > 1 ; kl > iµ . Если f (ξ ) < −1 , то cos kl = −chµ < −1 ; kl = iµ + π .

Функция f (ξ ) > 1 при ξ > 2nπ , когда sin ξ > 0 , и f (ξ ) < −1 при ξ ≥ (2n + 1)π и sin ξ < 0 . Таким образом, если ввести ε = ±1 так, чтобы ε ⋅ sin ξ > 0 , то cos kl = εchµ

и в запрещенной зоне может быть записано условие

38

εchµ = f (ξ) =

P sin ξ + cos ξ ξ

(1)

Найдем решение уравнения Шредингера для полубесконечного кристалла. Условие (1) задачи 3.12 теперь будет справедливым только для n > 0 (так как при x < 0 потенциал уже не периодичен), и, следовательно, ρ может быть и меньше единицы. Если ввести ρ = e ikl , то это значит, что возможны решения с комплексным k при условии, что Im(k ) > 0 . q 2 −ξ2

h 2 d 2ψ + W0 ψ = Eψ имеет решение ψ x<0 = Ae При x<0 уравнение − 2µ dx 2

где введены обозначения l

2µW0 h

2

=q, l

2µE = χl = ξ . При этом h2

x l

,

q 2 − ξ2 > 0 .

При x > 0 (внутри кристалла) рассмотрим область I: 0 ≤ x ≤ l ; в ней ψ Ι = C1e iχx + C 2 e −iχx .

(2)

В области II l ≤ x ≤ 2l и ψ ΙΙ = C3 e iχx + C 4 e −iχx .

(3)

Но если выбрать x=0, то x=l лежит еще в области I, а поэтому можно считать С 3 = С1 и С 4 = С 2 и в силу формулы (1) задачи 3.12 получить условие: С1e iχl + C 2 e −iχl = e ikl (C1 + C 2 ) , т.е. C 2 = −C1

1 − e i (ξ − kl ) , 1 − e −i (ξ + kl )

(4)

где по-прежнему ξ = χl . Таким образом, при x > 0 функция

определена

формулой (2) при условии (4). Условие непрерывности

Ψи

dΨ dx

в точке

x=0

дает

A = C1 + C 2

и

A q 2 − ξ2 = iχ(C1 − C 2 ) . Откуда l q 2 − ξ2 =

e ikl − cos ξ ξ. sin ξ

(5)

Рассмотрим это равенство для комплексных значений k. Тогда e ikl = εe −µ (где ε sin ξ ≥ 0 и условие (5) дает

39

q2 − ξ2

sin ξ + cos ξ = εe −µ . ξ

(6)

Кроме того, условие (1) тоже должно выполняться. Беря разность равенств (1) и (6), получаем (P − q 2 − ξ2 ) ⋅

sin ξ = ε shµ . ξ

Так как sin ξ и ε имеют одинаковый знак, а

(7)

q 2 − ξ 2 , ξ и µ больше нуля, то

отсюда получаем P − q 2 − ξ 2 > 0 , т.е. q 2 − P 2 < ξ 2 < q 2 . Только при этом условии возможно существование дополнительных уровней, отвечающих комплексному k . Возводя в квадрат и вычитая выражения (7) и (1), получаем уравнение, определяющее уровни энергии (ξ ) : q2 − q 2 − ξ 2 = ξctgξ . 2P

(8)

Покажем, что этим лежащим в запрещенной зоне значениям энергии отвечает функция, убывающая с ростом x по обе стороны границы кристалл-вакуум (плоскость x = 0 ). Действительно, при x < 0 решение ψ x<0 = Ae

q 2 −ξ2

x a

обладает этим свойством.

При x > 0 решение удовлетворяет условию ψ( x + l ) = e ikl ψ( x) (периодическое поле), которое можно переписать в виде

ψ( x) ψ( x + l ) = ik ( x +l ) = u ( x) , где u (x) является e ikx e

периодической функцией. Следовательно, для комплексного k ikx

ψ ( x) = e u ( x) = εe

−

µx e

⋅ u ( x) .

Таким образом, найдено состояние с энергией, лежащей в запрещенной зоне. Вероятность обнаружить частицу убывает экспоненциально по обе стороны от x = 0 (от поверхности кристалла). Значение ξ , т.е. положение уровня энергии, можно найти, решая графически уравнение (8).

40

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. т. 3, Физматлит, Москва, 2001 2. Ферми Э. Квантовая механика. Регулярная и хаотическая динамика, Москва, 2000 3. Давыдов А.С. Квантовая механика. Физматлит, Москва, 1968 4. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. Ч.1, 2, Едиториал УРСС, Москва, 2001 5. Флюгге З. Задачи по квантовой механике. т. 1, 2. Мир, Москва, 1974 6. Гречко Л.Г. и др. Сборник задач по теоретической физике. Высшая школа, Москва, 1972 7. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика с задачами. Физматлит, Москва, 2001

41