ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет
Кафедра высшей математики
Утверждено учебно-методическим советом ВСГТУ
Составители: Юмов И. Б., к. ф.-м. н., и.о. доцента Юмова Ц. Ж., ст. преподаватель Рецензент: Убодоев В. В., к.ф.-м. н., доцент
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ТЕМЕ Maple в курсе математического анализа
Составители: Юмов И. Б., Юмова Ц. Ж.
Методические указания подготовлены на основе государственнх образовательных стандартов по высшему образованию по дисциплине «Математический анализ» и предназначены для студентов специальностей: «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», а также для преподавателей, аспирантов и студентов, обучающихся по другим техническим специальностям.
Ключевые слова: дифференцирование, функции, математический анализ, Maple
Улан-Удэ 2005
2
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ I. Дифференцирование с помощью пакета Maple Пакет Maple предоставляет мощные средства для дифференцирования функций и вычисления дифференциалов. Для вычисления простейшей производной следует в командном окне после приглашения Maple ввести команду следующего вида: diff(<функция>,<переменная>); здесь <функция> – выражение, задающее функцию (не обязательно одной переменной), например x^2+2*x+1 <переменная> – имя переменной, по которой будет вестись дифференцирование, например x Примером вычисления производной может служить такая команда: diff(x^2+2*x+1,x); Для создания функций с производными может использоваться дифференциальный оператор D, который может быть записан в виде: D(<функция>); где <функция> – выражение, задающее функцию. Например: >D(sin); cos >D(ln); 1 a→ a Допустим и такой синтаксис вызова оператора D. >D(sin)(x); cos(x) Здесь в первой паре скобок после оператора D указывается функция, на которую действует D, а во второй паре скобок − аргумент полученной в результате функции (в данном случае D(sin)=cos). С помощью команды diff можно вычислять производные высших порядков. При этом команда имеет следующий формат: diff(<функция>,<переменная>$<порядок>); где <порядок> − порядок вычисляемой производной. В решениях некоторых примеров этой главы с помощью Maple будут использованы дополнительные команды Maple. Кратко опишем их формат и назначение: 3
<переменная>:=convert(<выражение>,polynom); – представить <выражение> в виде полинома, присвоив значение <переменной>. factor(<выражение>); – разложить <выражение> на множители. subs(
=,<выражение>); – подставить выражение на место в <выражении. <переменная>=solve(<выр1>=<значение>,<выр2>);– присвоить <переменной> значение выражения <выр2>, полученное разрешением уравнения <выр1>(<выр2>)=<значение>. simplify(<выражение>); – упростить <выражение>. taylor(,x=<x0>,+1); – разложить функцию f(x) по формуле Тейлора с центром в точке x0 до порядка n включительно. II. Определение производной. Правила дифференцирования. Таблица производных Определение 1. Производной функции f (x) в точке x называетf ( x + ∆x) − f ( x) . ся f ′( x) = lim ∆x → 0 ∆x Из определения следуют правила дифференцирования: ′ 1. (u ( x) + v( x) ) = u ′( x) + v ′( x) ; ′ 2. (α ⋅ u ( x) ) = α ⋅ u ′( x), где α = const ; ′ 3. (u ( x) ⋅ v( x) ) = u ′( x)v( x) + v ′( x)u ( x) ; ′ u ( x) u ′( x)v( x) − v ′( x)u ( x) = , где v( x) ≠ 0 ; 4. v 2 ( x) v( x) ′ 5. ( f (g ( x) )) = f ′(g ( x) ) ⋅ g ′( x) ;
6.
(f
−1
′ ( x) ) =
1 f ′( y )
, здесь f −1 ( x) – функция, обратная к y = f −1 ( x )
f (x) . На основании определения производной и формул 1) – 6) вычисляются производные некоторых элементарных функций: 7. (c)′ = 0, где c = const ; ′ 8. (x α ) = αx α −1 , α = const ;
( )′
( )′
9. a x = a x ln a при a > 0, a ≠ 1 ; в частности, e x = e x ; 4
′
10. (log a x ) =
′
1 ′ 1 ; в частности, (ln x ) = ; x ln a x
11. (sin x ) = cos x ;
тоже будет положительно, что необходимо для существования ln( x + ∆x) . 3x
Пример 2. Вычислить y ′ , если y = 52 . Решение:
′
12. (cos x ) = − sin x ;
3x
1 ′ 13. (tg x ) = ; cos 2 x 1 ′ 14. (ctg x ) = − ; sin 2 x ′ ′ 15. (arcsin x ) = −(arccos x ) =
1 2
;
(ln x )′ = 1 , x
1
Пример 3. Найти y ′ , где y = (ln x ) . 1 2 1 1 1 ′ y′ Решение: ln y = 2 ln ln x; (ln y ) = = − 3 ln ln x + 2 = x y x x ln x x x2
x > 0.
Доказательство: 1
ln( x + ∆x) − ln x x + ∆x ∆x (ln x ) = ∆lim = lim ln = x →0 ∆x → 0 ∆x x x x 1 1 ∆x ∆x x = lim ln 1 + = ln = , что требовалось доказать. e ∆x →0 x x Вынося в последнем равенстве логарифм за знак предела, мы воспользовались непрерывностью функции ln x при x > 0 . Заметим, что условие x > 0 гарантирует, что при достаточно малом ∆x , x + ∆x
5
III. Приемы дифференцирования
1. Для функций, представляющих собой громоздкие произведения и частные различных степенных выражений, удобно, а для показательно-степенных функций, где от переменного зависят как основание степени, так и ее показатель, – необходимо применять прием логарифмического дифференцирования. ′ y ′( x) ⇒ Этот прием основан на соотношении (ln y ( x) ) = y ( x) ′ y ′( x) = y ( x)(ln y ( x) ) .
Пример 1. Доказать, используя лишь определение, что
1
x
Здесь использовались формулы 5) и 9). Пример решения с использованием Maple: >diff(5^(2^(3^x)),x); 5^(2^(3^x))*2^(3^x)*3^x*ln(3)*ln(2)*ln(5)
1− x 1 ′ ′ 16. (arctg x ) = −(arcctg x ) = ; 1 + x2 ′ 17. (sh x ) = ch x ; ′ 18. (ch x ) = sh x ; 1 ′ 19. (th x ) = 2 ; ch x 1 ′ 20. (cth x ) = 2 . sh x
′
3x
x
y′ = 52 ⋅ ln 5 ⋅ 23 ⋅ ln 2 ⋅ 3 x ⋅ ln 3 = (ln 2 ln 3 ln 5)52 23 3 x .
1
(ln x ) 1 − 2 ln ln x . 1 1 − 2 ln ln x ; y ′ = 3 x3 x ln x ln x Пример решения с использованием Maple: >diff((ln(x))^(1/x^2),x); ln(x)^(1/x^2)*(-2*(ln(ln(x))/x^3)+1/(x^3*ln(x))) x2
1
Пример 4. Вычислить y ′ , если y =
( x − 1) 2 ( x + 3) 5 ( x + 2) 7 3
( x + 1) 2 ( x − 2)
.
Решение: ln y =
1 2 1 ln( x − 1) + 5 ln( x + 3) + 7 ln( x + 2) − ln( x + 1) − ln( x − 2); 2 3 3 6
(ln y )′ =
y′ 1 5 7 2 1 = + + − − ; y 2( x − 1) x + 3 x + 2 3( x + 1) 3( x − 2)
1
( x − 1) 2 ( x + 3) 5 ( x + 2) 7 1 5 7 2 1 y′ = + + − − . 2 3 ( x + 1) ( x − 2) 2( x − 1) x + 3 x + 2 3( x + 1) 3( x − 2) Пример решения с использованием Maple: >simplify(diff(((x-1)^(1/2)*(x+3)^5*(x+2)^7)/((x+1)^2*(x2))^(1/3),x)); 1/2*(23*x^4+12*x^3-143*x^216*x+100)*(x+3)^4*(x+2)^6/((x+1)^2* (x-2))^(1/3)/(x-2)/(x+1)/(x-1)^(1/2) 2. Дифференцирование параметрически заданных функций y (x) :
x = ϕ (t ) ψ ′(t ) производится по формуле y ′( x) = . ϕ ′(t ) y = ψ (t ) x = a cos t Пример 5. Вычислить y ′(x), если y = b sin t b cos t b (b sin t )′ Решение: y ′( x) = =− = − ctg t . Заметим, что ′ a sin t a (a cos t ) y ′( x) представляет собой, как и y ( x) , параметрически заданную
x = a cos t функцию: b y ′( x) = − a ctg t Пример решения с использованием Maple: >S:=diff(b*sin(t),t)/diff(a*cos(t),t); S:=-b*cos(t)/a*sin(t) 3. Производную y ′( x) функции y ( x) , заданной неявно в виде уравнения F ( x, y ) = 0 , можно вычислить (при условии Fy′ ≠ 0 ), дифференцируя тождество, полученное при подстановке в уравнение его решения y ( x) : F ( x, y ( x)) = 0 по x . Получим выражение, в которое линейно войдет y ′(x) . Его можно разрешить относительно y ′(x) . Пример 6. Рассмотрим неявное задание эллипса из примера 5: 2 x y2 + = 1 . Найдем y ′(x) , дифференцируя уравнение эллипса, полаa2 b2 гая в нем x независимой переменной, а y –функцией от x ; получим 7
2 x 2 yy′ 2y 2x b2 x ′ ′ . Заметим, что производная + = ⇒ = − ⇒ = − 0 y y a2 b2 a2 a2 y b2 y ′( x) выражена не только через x , но и через y . Это естественно, так как на эллипсе значению x ∈ (−a, a) соответствуют 2 точки с ординаb b a 2 − x 2 и y2 = − a 2 − x 2 . Производные 2-х различтами y1 = a a ных функций y1 ( x) и y 2 ( x) в точке x , вообще говоря, различны. Пример решения с использованием Maple: >Z:=diff(x^2/a^2+y(x)^2/b^2,x); Z:= 2*x/a^2+2*y(x)/b^2*diff(y(x),x) >Q:=solve(Z=0,diff(y(x),x)); Q:= -x*b^2/y(x)/a^2 IV. Старшие производные функции одной переменной
Определение производной n -го порядка функции f ( x) имеет индуктивный характер. Определение 2. Производной порядка n > 1 функции f (x) назы′ вается y ( n ) ( x) = ( y ( n −1) ( x) ) . Таким образом, n -я производная определяется и вычисляется через (n − 1) -ю, та – через (n − 2) -ю, и т.д. Пример 7. Вычислить производную n -го порядка функции y = sin 2 x . y′ = 2 cos 2 x ; y ′′ = −4 sin 2 x ; Решение: ( 4) y = 16 sin 2 x y ′′′ = −8 cos 2 x ; … π y ( n ) = 2 n sin 2 x + n . 2 Последняя формула является предположением, основанным на предыдущих 4-х строчках. Для n = 1,2,3,4 она выполняется. Предположим, что «угаданная» формула для производной (n − 1) -го порядка верна. Покажем, что тогда она верна и для n -й производной. Пусть π y ( n −1) = 2 n −1 sin 2 x + (n − 1) . Продифференцируем последнее равен2 ство по x : 8
′ π π π y ( n ) = ( y ( n −1) ) = 2 n cos 2 x + n − = 2 n sin 2 x + n , т.к. 2 2 2 π cos α − = sin α . 2 Примененный способ доказательства называется методом полной математической индукции. Впрочем, по индукции можно доказать π формулу (sin x) ( n ) = sin x + n , а затем, применив ее и формулу 2 π y ( n ) = 2 n sin 2 x + n , получить выражение для (sin 2 x) ( n ) . 2
Рис. к примеру 7
Пример 8. Посчитаем 2-ю производную из примера 3, проиллюстрировав применение логарифмического дифференцирования для нахождения старших производных. 1 1
x2
1 − 2 ln ln x . ln x ′ 1 1 2 (ln x) x x 3 − 3x 2 (ln x) x 2 Продифференцируем y ′ ⇒ y ′′ = ⋅ x6 1 1 x2 x2 (ln ) 1 2 (ln ) x x 1 1 ⋅ − 2 ln ln x + − − 3 ln ln x − − = 3 2 6 ln ln ln x x x x x x x ln x
Решение: y = (ln x) x , y ′ = 2
(ln x) x3
9
1
1
2 2 1 2 (ln x) x 2 (ln x) x 1 x2 ⋅ ⋅ + − 4 (ln x) ⋅ − 2 ln ln x − = 2 x3 x4 x x ln x x ln x ln x 1 2 ln ln x 1 2 1 − 2 ln ln x − 2 − ⋅ 2 − − 3 . При вычислении 2 x ln x ln x ln x x ln x y ′′ использовалась уже найденная в примере 3
1
1 2
(ln x) x 1 y′ = − 2 ln ln x . x 3 ln x Пример решения с использованием Maple: >factor(diff(ln(x)^(1/x^2),x$2)); ln(x)^(1/x^2)*(4*ln(ln(x))^2*ln(x)^24*ln(ln(x))*ln(x)+1+6*x^2*ln(ln(x))*ln(x)^2-5*x^2*ln(x)-x^2)/ x^6/ln(x)^2 Операция factor использована здесь для разложения результата на множители. Пример 9. Найдем 2-ю производную y ′′(x) для верхней и нижней половин эллипса, заданного параметрически, из примера 5: x = a cos t x = a cos t b y = b sin t y ′( x) = − ctg t a d b 1 y ′( x) 2 b 1 Решение: y ′′ = dt = a sin t = − 2 . Заметим, что втоdx a sin 3 t − a sin t dt рая производная, как и первая, задана параметрически: x = a cos t b 1 y ′′( x) = − a 2 sin 3 t Пример решения с использованием Maple: >diff(S,t)/diff(a*cos(t),t); -(b/a+b*cos(t)^2/a/sin(t)^2)/a/sin(t) * значение S было присвоено в примере 5
10
Пример 10. Найдем y ′′(x) для верхней и нижней половин эллип2
са, заданного неявно (см. пример 6):
2
2
b x x y + = 1, y ′ = − 2 . a2 b2 a y
′ b2 x b2 Решение: Продифференцируем y ′ по x : y ′′ = − 2 = − 2 ⋅ a a y b2 x2 y − y ′x b2 b2 b2 x2 ⋅ = − 2 2 y + 2 . Итак, y ′′ = − 2 2 y + 2 . 2-я произ2 y a y a y a y a y водная неявной функции, как и первая, выражается как через x , так и через y . Пример решения с использованием Maple: >subs(diff(y(x),x)=Q,diff(Q,x)); -b^2/y(x)/a^2-x^2*b^4/y(x)^3/a^4 * Значение Q было присвоено в примере 6
Определение 5. Дифференциалом n-го порядка функции f ( x) ( n ≥ 2 ) называется дифференциал от (n-1)-го дифференциала этой функции. При этом d ( n −1) f считается функцией только x (но не dx ≡ ∆x ), т.е.
d n f = d (d ( n −1) f ) = d ( f ( n −1) ( x)(dx) ( n −1) ) = f ( n ) ( x)(dx) n .
Соотношение d ( n −1) f = f ( n −1) ( x)(dx) n −1 выполняется, например, для n–1=1. Методом индукции из этого следует справедливость аналогичного выражения для n-го дифференциала при любом n ≥ 2 . Пример 11. Вычислить 1-й и 2-й дифференциалы функции
y = 1 − x 2 arcsin x . Решение: 1 − x 2 x arcsin x dx = 1 − x arcsin x dx . − dy = y ′dx = 1− x2 1 − x 2 1− x2
′ x arcsin (dx) 2 = d y = y ′′(dx) = 1 − 2 1− x x x2 2 + arcsin x 1 − x + 1 − x2 1 − x 2 arcsin x (dx) 2 = 2 1− x 2
V. Дифференциалы Определение 3. Если приращение функции y = f (x) : ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) , соответствующее приращению аргумента ∆x ,
может быть представлено в виде ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = A∆x + o ( ∆x) , где A не зависит от ∆x , но зависит, вообще говоря, от x , то функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x . Здесь o ( ∆x) – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x , т.е. o ( ∆x ) lim = 0. ∆x → 0 ∆x df ( x) Можно доказать, что A = . Таким образом, существование dx производной у функции f (x) в точке x эквивалентно ее дифференцируемости в этой точке по определению 3. Определение 4. Главная линейная часть приращения дифференцируемой функции A∆x = f ′( x)∆x называется ее дифференциалом. Дифференциал df (x) является функцией двух аргументов – x и ∆x . Рассмотрев функцию y = x , убедимся, что dx ≡ ∆x (дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением). Дифференциалы старших порядков определяются индуктивно.
−
=−
2
x 1 − x 2 + arcsin x(1 − x 2 + x 2 )
(1 − x ) 2
3
2
x 1 − x 2 + arcsin x
(1 − x ) 2
3
2
. Пример решения с использованием Maple: >X:=subs(D(arcsin(x))=diff(arcsin(x),x)*D(x),D(sqrt(1x^2)*arcsin(x))); X := -D(x)*x/(1-x^2)^(1/2)*arcsin(x)+D(x) >F:=subs(D(D(x))=0,D(arcsin(x))=diff(arcsin(x),x)*D(x), D(X)); F:=-D(x)^2/(1-x^2)^(1/2)*arcsin(x)-D(x)^2*x^2/(1x^2)^(3/2)*arcsin(x)-D(x)^2*x/(1-x^2) >simplify(F); (x*(1-x^2)^(1/2)+arcsin(x))*D(x)^2/(1-x^2)^(1/2)/(-1+x^2) VI. Приложения производных и дифференциалов 1. Формула Тейлора.
11
(dx) 2 = −
12
(dx) 2
Приближение функции в окрестности точки xo многочленом может быть удобно в работе с этой функцией. 1 f ( x) = f ( xo ) + f ′( xo )( x − xo ) + f ′′( xo )( x − xo ) 2 + ... + 2 1 + f ( n ) ( xo )( x − xo ) n + Rn ( x) , n! где остаточный член Rn ( x) , например, в форме Лагранжа, имеет вид
Rn ( x ) =
f ( n +1) ( xo + θ ( x − x o )) ( x − x o ) n +1 , (n + 1)!
где 0 < θ < 1 (вообще говоря, θ зависит от x и x0 ). Справедливы следующие формулы Маклорена (формулы Тейлора при xo = 0 ) для некоторых элементарных функций: n
1. e x ≈ ∑ k =0
xk + Rn . k!
x 2 k +1 + Rn . (2k + 1)! k =0 n x 2k 3. cos x ≈ ∑ ( −1) k + Rn . (2k )! k =0 n α (α − 1) ⋅ ... ⋅ (α − k + 1) k 4. (1 + x) α ≈ 1 + ∑ ⋅ x + Rn . k! k =1 n x 2 k +1 5. arctg x ≈ ∑ (−1) k + Rn . 2k + 1 k =0 n xk + Rn . 6. ln(1 + x) ≈ ∑ (−1) k +1 k k =1 Пример 12. Разложить многочлен y = x 3 + x 2 + 2 x − 3 по степеням ( x + 1) . Решение: y ′ = 3x 2 + 2 x + 2 , y ′′ = 6 x + 2 , y ′′′ = 6 , y (−1) = −5 , y ′(−1) = 3 , y ′′(−1) = −4 , y ′′′(−1) = 6 . n
2. sin x ≈ ∑ (−1) k
y = −5 + 3( x + 1) − 2( x + 1) 2 + ( x + 1) 3 . Пример решения с использованием Maple: >taylor(x^3+x^2+2*x-3,x=-1,4); -5+3*(x+1)-2*(x+1)^2+1*(x+1)^3
13
Формула Тейлора n-го порядка точна для многочлена порядка n ( Rn = 0 ). Пример 13. Вычислить приближенно с помощью первого дифференциала tg 5° . Решение: 5° =
π
36
, y = tg x, xo = 0, ∆x =
≈ dy = (tg x)′ x =0 ⋅ ∆x =
1 cos 2 x
π
36
, ∆y = tg
⋅ x =0
π 36
=
π 36
π
36
− tg 0 = tg
π
36
≈
≈ 0,087 .
Итак,
tg 5° ≅ 0,087 . Пример решения с использованием Maple: >convert(subs(x=(Pi/36),taylor(tan(x),x=0,2)),polynom); π 36 В примере 13 неизвестна точность приближенного вычисления. Покажем, как с помощью формулы Тейлора можно производить вычисления с гарантированной точностью. Пример 14. Вычислить с точностью ε = 10 −5 sin 28° . Решение: y = sin x, x0 = 30° =
Rn =
(sin y ) n +1 (n + 1)!
6
, ∆x = −2° = −
π ⋅ ⋅ 90
n +1
π
90
.
1 π ≤ (n + 1)! 90
n +1
.
π3 9 27 1 > 10 −5 . R2 ≤ 3 ≈ 3 = < 10 −5 . Итак, 90 ⋅ 180 100 90 ⋅ 6 90 ⋅ 6 162000 n = 2 гарантирует заданную точность. R1 ≤
π
y = x0 +θ ( x − x0 ) = x0 +θ∆x
π
2
≈
2
1 3 π 1 π 1 3π 1 π2 sin 28° ≈ − − = − − ≅ − 0,03023− 0,00030≈ 2 2 90 4 90 2 180 32400 2 ≈ 0,46947 . Пример решения с использованием Maple: >C:=taylor(sin(x),x=Pi/6,5); 2
3
4
5
1 3 π 1 π 3 π 1 π π C := + x − − x − − x − + x − + O x − 2 2 6 4 6 12 6 48 6 6
>V:=subs(x=7/45*Pi,C); convert(evalf(V),polynom); 14
1 3π π2 3 π3 π4 π5 V := − − + + + O − 2 180 32400 8748000 3149280000 5904900000 x →0
2. Правило Лопиталя. Справедлива теорема. Теорема 1. Пусть в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть
может, самой этой точки, 2 функции ϕ (x) и ψ (x) , одновременно бесконечно малые или бесконечно большие, дифференцируемы и ϕ ( x) ϕ ′( x) ψ ′( x) ≠ 0 . При этом, если ∃ lim , то ∃ lim и они равны. x → x0 ψ ′( x ) x → x0 ψ ( x ) ln(cos x) . Пример 15. Вычислить lim x→0 ln(cos 2 x ) Решение. sin x − ln(cosx) sin x cos2x 1 sin x cos2x 1 lim = lim cosx = lim = lim ⋅ lim = x→0 ln(cos2x) x→0 x → 0 x → 0 x → 0 2 sin 2x 2 sin 2x cos x 2 sin 2x cos x − cos2x 1 cos x 1 1 1 = lim ⋅1 = ⋅ = . x → 0 2 2 cos 2 x 2 2 4 Пример решения с использованием Maple: >limit(ln(cos(x))/ln(cos(2*x)),x=0); 1/4 Пример 16. Вычислить lim( 2 − x) x →1
πx 2
= A.
Решение.
ln A = lim ln(2 − x) x →1
tg
πx 2
= limtg x →1
πx 2
sin
ln(2 − x) = lim x →1
πx
2 ln(2 − x) = lim sin πx ⋅ x →1 2 cos 2
πx
1 2 ln(2 − x) 2 x 2 − π ⇒ A=e . ⋅ lim = lim = x →1 x →1 π πx πx π sin cos 2 2 2 Пример решения с использованием Maple: >limit((2-x)^tan(Pi*x/2),x=1); 15
e
Пример 17. Вычислить lim x ctg πx .
0.4694715632
tg
2
π
Решение.
π
− 2 ctgπx πx 2 π 2 x2 1 1 = lim sin πx = lim 2 = lim 2 ⋅ = . lim x ctg πx = lim x →0 x →0 x →0 x →0 sin πx x →0 sin πx π 1 1 π − 2 x x Пример решения с использованием Maple: >limit(x*cot(Pi*x),x=0); 1
π 3. Рассмотрим некоторые геометрические приложения производной. Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке (x0 , f ( x0 ) ) имеет вид y = y 0 + f ′( x0 )( x − x0 ) . Если f ′( x0 ) = ∞ , то уравнение касательной x = x0 . Уравнение нормали к графику в этой 1 точке – y = y 0 − ( x − x 0 ) . Если f ′( x 0 ) = 0 , то уравнение норма′ f ( x0 ) ли x = x0 . Пример 18. Написать уравнения касательной и нормали к графику 1 1 . функции x 2 + y 2 = 1 в точке M , 2 2 Решение. Вычислим 1 1 x = y ′( x) : 2 x + 2 yy ′ = 0 ⇒ y ′ = − , y ′( M ) = −1; y к = − x − y 2 2
= 2 − x – уравнение касательной; y н =
1 = x – уравне+ x − 2 2
1
ние нормали. Пример решения с использованием Maple: >V:=diff(x^2+y(x)^2,x); V:=2*x+2*y(x)*diff(y(x),x) >W:=solve(V=0,diff(y(x),x)); W:=-x/y(x) 16
>subs(x=1/sqrt(2),y(1/sqrt(2))=1/sqrt(2),W); -1 * Здесь найден только угловой коэффициент касательной Пример 19. Под какими углами пересекаются кривые y1 = x и
y2 = x 3 ? Решение.
′ ′ x = x 3 ; x( x − 1)( x + 1) = 0; x1 = 0, x 2 = −1, x3 = 1. y1 = 1, y 2 = 3 x 2 .
1− 0 π ′ ′ 1. x1 = 0, y1 = 1, y 2 = 0. tg α 1 = = = 1 ⇒ α1 = . 4 1+ 0 3 −1 1 1 ′ ′ 2. x 2 = −1, y1 = 1, y 2 = 3. tg α 2 = = ⇒ α 2 = arctg . 1+ 3 2 2 3. В силу симметрии кри1 вых α 3 = α 2 = arctg Здесь ис2 пользована формула tg α 1 − tg α 2 tg α = tg(α 1 − α 2 ) = 1 + tg α 1 tg α 2 (см. Рис.). Пример решения с использованием Maple: >solve(x=x^3,x); 0 1 -1 >a:=diff(x,x); b:=diff(x^3,x); a:=1 b:=3*x^2 >arctan(subs(x=0,(ab)/(1+a*b))); 1/4*Pi >arctan(subs(x=1,(bРис. к примеру 19 a)/(1+a*b))); arctan(1/2) >arctan(subs(x=-1,(b-a)/(1+a*b))); arctan(1/2)
17
ЛИТЕРАТУРА 1. Манзон Б. М. Maple 5 Power Edition. – М.: Филинъ, 1998. 2. Дьяконов В. П. Система компьютерной математики Maple 6: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. 3. Дьяконов В. П. Система компьютерной математики Maple 7: учебный курс. – СПб.: Питер, 2002 4. Васильев А. Н. Maple 8. Самоучитель. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. 5. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Кн. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. – М.: Высшая школа, 2000. 6. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. 7. Демидович Б. П. Сборник задач по математическому анализу. – М.: Наука, 1990. ОГЛАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ....... 2 I. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА MAPLE ........................ 3 II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ......................................................................... 4 III. ПРИЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ....................................................... 6 IV. СТАРШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .............. 8 V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ............................................................................. 11 VI. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ...................... 12 ЛИТЕРАТУРА .......................................................................................... 18 ОГЛАВЛЕНИЕ ......................................................................................... 18
18
Составители: И. Б. Юмов, Ц. Ж. Юмова Рецензент: В. В. Убодоев
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Методические указания к практическим занятиям по теме: “MAPLE в курсе математического анализа”.
Подписано в печать 21.9.2005. Формат 60х84 1.16. Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 23 Издательство ВСГТУ, Улан-Удэ, ул. Ключевская 40, в © ВСГТУ, 2005
19
