Комплексный расчет элементов строительных конструкций в среде MATLAB: Учебное пособие

Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

В. В. КАРПОВ, Т. В. РЯБИКОВА

КОМПЛЕКСНЫЙ РАСЧЁТ ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В СРЕДЕ MATLAB Учебное пособие

Санкт-Петербург 2009 1

УДК 519.6, 624.046, 539.3 Рецензенты: д-р техн. наук, профессор В. В. Лалин (СПбГПУ); канд. физ.мат. наук, доцент А. Л. Смирнов (СПбГУ)

Карпов, В. В., Рябикова, Т. В. Комплексный расчёт элементов строительных конструкций в среде MATLAB: учеб. пособие / В. В. Карпов, Т. В. Рябикова; СПбГАСУ. – СПб., 2009. – 136 с. ISBN 978-5-9227-0212-6 Приводятся сведения о моделях деформирования балок, плит, оболочек при учёте различных свойств материала, алгоритмах исследования напряжённодеформированного состояния, создании приложений в MATLAB 7. Рассмотрено большое число примеров расчёта элементов строительных конструкций в линейноупругой, нелинейно-упругой постановках и при учёте ползучести материала. Пособие может быть полезно студентам специальностей «Промышленное и гражданское строительство», «Прикладная математика», а также магистрам, аспирантам строительных специальностей. Ил. 58. Табл. 3. Библиогр.: 21 назв. Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия

Введение Борьба за уменьшение материалоёмкости конструкций и удешевление проектов строительства требует более точных расчётов элементов строительных конструкций с учётом различных свойств материала. Расчёты в линейно-упругой постановке не дают полных знаний о деформировании конструкций, поэтому приходится задавать завышенный коэффициент запаса прочности. В курсах сопротивления материалов и строительной механики из-за ограниченного числа часов, выделяемых на эти дисциплины, рассматриваются, в основном, линейно-упругие задачи. Другая причина заключается в том, что расчёты строительных конструкций при неупругом деформировании требуют использования математических методов и алгоритмов, реализуемых на современных ЭВМ. В качестве элементов строительных конструкций рассматриваются стержни (балки), пластины (плиты) и оболочки. В пособии приведены математические модели деформирования элементов строительных конструкций, алгоритмы их исследования, основанные на методе Ритца и методе упругих решений, примеры расчёта элементов строительных конструкций в MATLAB при линейноупругом деформировании, нелинейно-упругом деформировании, с учётом развития деформаций ползучести при длительном нагружении.

¤ В. В. Карпов, Т. В. Рябикова, 2009 ¤ Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2009

ISBN 978-5-9227-0212-6

2

3

& P1

z Ac

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПРОЯВЛЯЕМЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

4

Pn

& P2

y

x

1.1. Основные характеристики напряжённо-деформированного состояния конструкции Целью расчёта и проектирования конструкций любой сложности является обеспечение прочности и жёсткости этих конструкций при минимальных расходах материала, поэтому при расчёте элементов конструкций желательно получить наиболее точное решение поставленной задачи. Это возможно при учёте различных свойств материала конструкции для описания напряжённо-деформированного состояния конструкции и точного решения уравнений равновесия. Однако во многих случаях такая задача оказывается практически невыполнимой, поэтому на практике прибегают к построению математических моделей, основанных на определённых гипотезах деформирования элементов конструкций, и приближённым методам расчёта [3, 4, 11, 14, 19]. Пусть на трёхмерное тело, закреплённое определённым образом (невозможно смещение тела как единого целого), действуют нагрузки P1 , P2 ,  , Pn (рис. 1.1). Действующие внешние силы деформируют тело. Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Каждая точка A , имеющая координаты x, y, z до деформации, в результате те c A с координатами деформации перемещается в новое положение x  u , y  v, z  w . Приращения u , v, w координат точки А называются компонентами перемещений этой точки вдоль осей Ox, Oy, Oz . Компоненты перемещений зависят от координат точки u ( x, y, z ) , v( x, y, z ) , w( x, y, z ) и являются непрерывными функциями. В результате перемещений точек возникают деформации: относительные удлинения отрезков и изменения угловых величин.

A

Рис. 1.1. Перемещение точек тела

Относительные удлинения бесконечно малых отрезков dx, dy, dz , которые до деформации были параллельны осям координат Ox, Oy, Oz , равны деформациям удлинения – ε x , ε y , ε z (продольные или линейные деформации). Изменения первоначально прямых углов между линейными элементами dx, dy, dz в соответствующих плоскостях равны деформациям сдвига γ xy , γ yz , γ zx (рис. 1.2, а, б). Шести величин: H x , H y , H z , J xу , J yz , J zx – достаточно для того, чтобы определить линейные и угловые деформации в данной точке тела в любых направлениях. Эти величины называются компонентами деформаций. а

б z

B ds

A u v x

Ac w

y

wu dx wy

B’

1  H y dy

ds*

v u

y

1  H x dx

wv dy wx

x

Рис. 1.2. Изменение линейных и угловых величин в результате деформирования

Деформации выражаются через перемещения геометрическими соотношениями, в простейшем случае – соотношения Коши [3]: 5

εx εy εz

wu , γ xy wx wv , γ yz wy ww , γ zx wz

wu wv  , wy wx wv ww ,  wz wy ww wu  . wx wz

(1.1)

Компоненты напряжений связаны с компонентами деформаций соотношениями, которые называют физическими соотношениями, вид которых зависит от проявляемых свойств материала (упругие, пластические, свойства ползучести и т. д.). Для упругого тела эта зависимость выражается законом Гука. В случае сложного напряжённого состояния справедлив обобщённый закон Гука [3]: Hx

Формулами (1.1) можно пользоваться в тех случаях, когда удлинения, сдвиги и углы поворота малы по сравнению с единицей, а квадратичные комбинации углов поворота малы по сравнению с компонентами деформаций. Для того чтобы численно характеризовать степень воздействия внешних сил на деформированный элемент, вводится понятие «напряжения». Напряжение – силовой фактор, представляющий собой интенсивность действия внутренних сил, приходящихся на единицу площади, выделенную в какой-либо точке рассматриваемого сечения. В направлении осей Ox, Oy, Oz действуют нормальные напряжения σ x , σ y , σ z , связанные с деформациями растяжения-сжатия. В плоскостях xOy, xOz, yOz появятся напряжения сдвига τ xу , τ yz , τ xz , связанные с деформациями сдвига (рис.1.3).

Hy Hz

>

@

> >

@ @

1 V x  P(V y  V z ) , J xy E 1 V y  P(V z  V x ) , J yz E 1 V z  P(V x  V y ) , J zx E

y

W xz

Vx

(1.2)

E – модуль упругости второго рода или модуль сдвига. 2(1  μ ) Следующую группу соотношений составляют уравнения равновесия, которые могут быть получены из условия минимума функционала полной энергии деформации тела. Функционал полной энергии деформации равен разности потенциальной энергии системы П и работы внешних сил А [1], т. е.

П

W yz

Wxy

, G W zx , G

G

W yz

Wxz

,

П  А.

(1.3)

Для линейно-деформируемых материалов потенциальная энергия записывается в виде

Vz

x

G W yz

где E – модуль упругости материала; μ – коэффициент Пуассона;

Э z

W xy

W yx

Vy

Рис. 1.3. Правило знаков для напряжений





1 ³ ³ ³ σ x ε x  σ y ε y  σ z ε z  τ xy γ xy  τ xz γ xz  τ yz γ yz dV . 2 V

Таким образом, математическая модель деформирования любой конструкции состоит из трёх групп соотношений: геометрических соотношений, связывающих деформации и перемещения; физических соотношений, связывающих напряжения и деформации; функционала полной энергии деформации системы, который может быть представлен через интеграл от искомых функций перемещений Э

³ ³ ³ Фu, v, w dV . V

6

(1.4)

7

1.2. Геометрические соотношения для элементов строительных конструкций Элементы строительных конструкций: балка (стержень, работающий на изгиб), плита (пластина), оболочка – представляют собой трёхмерные тела. Чтобы упростить нахождение всех характеристик напряжённо-деформированного состояния конструкций, используют ряд гипотез. В результате использования, зная характеристики деформирования координатной линии для стержня, координатной плоскости для плиты, координатной поверхности для оболочки, можно найти характеристики деформирования конструкции в любом слое, отстающем на z от координатного. Основными являются гипотеза плоских сечений для балок, согласно которой все сечения, нормальные к оси балки в её недеформированном состоянии, остаются плоскими (не искажаются) и сохраняют свою перпендикулярность к оси балки в процессе её изгиба; гипотеза прямых нормалей для пластин и оболочек, согласно которой прямолинейные отрезки, до деформации перпендикулярные к срединной поверхности, при деформировании остаются прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности (рис. 1.4).

Для стержня, работающего только на изгиб (рис. 1.5), перемещениями u, v срединной линии пренебрегаем. Перемещения w оказываются функциями только одной координаты w w(x) , в результате учитываем только деформации ε zx , для которых имеем соотношение ε zx где χ

u

ww z uz , v wx

ww , wz vz wy

Для плиты, работающей только на изгиб (рис. 1.6), внутренними усилиями N x , N y , N xy пренебрегаем и для деформаций имеем соотношения wu z wx

z zχ1, ε y

F1



w2w

wv z wy

zχ 2 , γ zxy

; F2



w2w

wu z wv z  wy wx

; F12

wy 2 wx 2 функции изменения кривизны и кручения.

w.



b

x

w2w – wxwy y

q( x, y )

(1.5)

верхности вдоль координатных осей x, y, z соответственно; u z ( x, y ) , z

x

l

Рис. 1.5. Балка с распределённой нагрузкой

где

Здесь u ( x, y) , v( x, y ) , w( x, y ) – перемещения точек срединной поz

(1.7)

dx 2

z

Перемещения в слое, отстоящем на z от срединной поверхности пологой оболочки, будут линейно зависеть от z: z

(1.6)

d 2w .

0

x

Рис. 1.4. Деформация элемента согласно гипотезе плоских сечений



zχ,

q ( x)

ε zx

x

du z dx

O

a

z

е, v ( x, y ) , w ( x, y ) – перемещения вдоль соответствующих осей в слое, отстоящем на z от срединной поверхности.

Рис. 1.6. Плита, нагруженная распределённой нагрузкой

8

9

2 zχ12 ,

(1.8)

(1.9)

Для оболочек учитывается сложное напряжённое состояние (рис. 1.7) и деформации координатной поверхности (геометрически линейная теория, модель Кирхгофа – Лява) имеют вид [16]

γ xy

εx

1 wu 1 wA  v  k x w, A wx AB wy

εy

1 wv 1 wB  u  k y w, B wy AB wx

y

b x

(1.10)

R2

a

ные значения); функции кривизны k x

1 , ky R1

1 – главные кривизR2

ны оболочки вдоль осей x и y ; R1 , R2 – главные радиусы кривизны в направлении координат x и y . В слое, отстоящем на z от срединной поверхности оболочки, деформации принимают вид z ε x  zχ 1 , ε y

ε y  zχ 2 , γ zxy

γ xy  2 zχ12 ,

(1.11) 1)

Рис. 1.7. Оболочка, находящаяся под действием распределённой нагрузки

1.3. Физические соотношения для элементов строительных конструкций при линейно-упругом деформировании При линейно-упругом деформировании физические соотношения, связывающие компоненты напряжений с компонентами деформаций, задаются законом Гука. Физические соотношения: для стержня σx

где χ1 χ2

2χ12

 

1 w § 1 ww · 1 wA § 1 ww · ¨ ¸; ¨ ¸ A wx © A wx ¹ AB wy © B wy ¹ 1 w § 1 ww · 1 wB § 1 ww · ¸ ¨ ¨ ¸; B wy © B wy ¹ AB wx © A wx ¹

Eε zx

Ezχ ,

(1.13)

для пластин σx

E ε zx  με zy 1  μ2

>

@

Ez >χ1  μχ 2 @, 1  μ2

σy

E ε z  με zx 2 y 1 μ

>

@

Ez >χ 2  μχ1 @, 1  μ2

(1.12)

1 w § 1 ww · 1 w § 1 ww · 1 ª wA § 1 ww · wB § 1 ww ·º  ¨ ¸ . ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A wx © B wy ¹ B wy © A wx ¹ AB «¬ wy © A wx ¹ wx © B wy ¹»¼

10

z

R1

1 wv 1 wu 1 § wA wB ·   v¸. ¨ u A wx B wy AB © wy wx ¹

Здесь A, B – параметры Лямэ, характеризующие поверхность оболочки (для различных видов оболочек: пологих прямоугольного плана, цилиндрических, конических, сферических и т. д. – они имеют различ-

ε zx

q( x, y )

τ xy

E γ zxy 2(1  μ ) 11

Ez χ12 , 1 μ

(1.14)

для оболочек σx σy

>

E ε z  με zy 2 x 1 μ E 1 μ

>

εz 2 y

τ xy

 με zx

@

@

>

Если поперечную нагрузку q (x) задавать в Па (на единицу площади), то ширину поперечного сечения стержня в (1.6) можно не учитывать, т. е.

@

E ε x  με y  z (χ1  μχ 2 ) , 1  μ2 E 1  μ2

>ε y  με x  z(χ 2  μχ1)@,

>

E γ zxy 2(1  μ )

(1.15)

@

E γ xy  2 zχ12 . 2(1  μ )

τ xy создают изгибающие M x , M y и крутящие M xy (рис. 1.9).

1.4. Усилия и моменты для элементов строительных конструкций при линейно-упругом деформировании В качестве внутренних силовых факторов рассматриваются внутренние усилия – интегралы по переменной z от напряжений – и изгибающие моменты – интегралы по переменной z от напряжений, умноженных на z. Для балки прямоугольного сечения высотой h и шириной b единственным внутренним силовым фактором является изгибающий момент (рис. 1.8) h/2

³ σ xb zdz EbI χ ,

(1.16)

h / 2

2 ³ z dz .

I

(1.17)

M yx

y

z

dx

M ( x  dx ) x

Рис. 1.8. Направления изгибающих моментов в сечениях балки 12

M xy

x Mx

My

Рис. 1.9. Положительные направления изгибающих и крутящих моментов в сечениях плиты

Указанные моменты, приведённые к координатной поверхности и приходящиеся на единицу длины сечения: h/2

Eh3

h / 2

12(1  μ 2 )

³ σ x z dz

Mx My

h / 2

M (x )

M yx моменты

z

где h/2

(1.18)

Для пластины, работающей только на изгиб, напряжения σ x , σ y ,

Здесь E – модуль упругости материала стержня; μ – коэффициент Пуассона.

M

EI χ .

M

M xy

χ1  μχ 2 ,

Eh3 χ 2  μχ1 , 12(1  μ 2 )

h/2

³ σ y z dz

h / 2

h/2

³ τ xy z dz

h / 2

(1.19)

Eh 3 χ12 . 12(1  μ )

Для оболочки, когда учитывается сложное напряжённое состояние, нормальные силы N x , N y , касательные силы N xy N yx , изгибаю13

щие моменты M x , M y и крутящие моменты M xy ределяются соотношениями h/2

³ σ x dz

Nx

h / 2 h/2

³ σ y dz

Ny

h / 2

Eh3

h/2

³ σ x z dz

Mx

2

h / 2

12(1  μ )

h/2

Eh3

h / 2

12(1  μ 2 )

³ σ y z dz

My

M xy

h/2

³ τ xy z dz

h / 2

z y

Для разного значения P определяют приращение Δl и находят от-

My N y M N yx yx

носительное удлинение стержня ε

Δl и напряжение σ l

P , по котооF

V

(1.20)

(χ1  μχ 2 ) , (χ 2  μχ1 ) ,

Eh3 χ12 . 12(1  μ )

Mx

B

рым строят кривую V  H (рис. 1.12).

Eh γ xy , 2(1  μ )

h / 2

P

Рис. 1.11. Образец испытания

Eh (ε y  με x ) , 1  μ2

³ τ xy dz

A l

Eh (ε x  με y ) , 1  μ2

h/2

N xy

M yx (рис. 1.10) оп-

x

M Nx N xy xy

Рис. 1.10. Направления внутренних усилий в сечениях оболочки

VT Vу D

H

Рис. 1.12. Зависимость V  H

Характерными точками диаграммы являются предел упругости материала σ у – наибольшее напряжение, до которого имеет место прямая пропорциональная зависимость между напряжением и деформацией σ E ε , где E tg α – модуль упругости материала. Следующая характерная точка – предел текучести материала σT . Исходя из кривой σ – ε , полученной для различных материалов опытным путём, следует, что только при V  V у конструкция деформируется

Для различных материалов проводятся испытания на растяжение образца длиной l, площадью поперечного сечения F, нагруженного силой P (рис. 1.11).

линейно-упруго. Также существуют материалы, для которых отсутствует линейный участок этой зависимости (рис. 1.13). Причём процесс деформирования при нагружении происходит по кривой OAB. Для учёта этого факта (физической нелинейности) за модуль упругости принимают секущий модуль упругости Eс tg E . Кривую σ(ε) аппроксимируютт некоторой аналитической зависимостью, беря вместо H интенсивность деформаций εi , а вместо σ – интенсивность напряжеений Vi .

14

15

1.5. Физические соотношения для элементов строительных конструкций при нелинейно-упругом деформировании

V

Vx

B

σx H

E

σП x

Рис. 1.13. Определение секущего модуля упругости

E (1  Z(Hi )) ,

(1.21)

где ω(ε i ) – некоторая функция, имеющая различный вид для разных материалов. Например, для металлов и старого бетона можно принять ω(ε i )

mε i2 ,

(1.22)

где m – опытная константа. Если учитывается только физическая нелинейность, то считается, что и процесс разгрузки протекает по кривой BAO. Однако для некоторых материалов процесс разгрузки протекает по прямой BC и после снятия нагрузки могут появиться остаточные, или пластические деформации H П OC . При этом за модуль упругости при разгрузке берётся первоначальный модуль упругости E. Существует несколько теорий пластичности. Одну из них, деформационную теорию, можно использовать при рассмотрении нелинейно-упругого деформирования (физически нелинейная задача). При этом процесс разгрузки не рассматривается и пластическая деформация не исследуется. Физические соотношения при учёте физической нелинейности для стержня принимают вид 16

σ Уx  σ П x ,

(1.24)

E ω(εi )ε zx .

(1.25)

Здесь

А. А. Ильюшиным [9] было предложено секущий модуль брать в виде Vi Hi

(1.23)

где σ Уx задано соотношением (1.13), а V П x записывается в виде

C

Ec

EH zx  EZ(Hi )H zx ,

или

А

O

Ec H zx

2 z εx 3

εi

2 zχ – 3

(1.26)

интенсивность деформаций для стержня. Для плиты, работающей только на изгиб, в соответствии с деформационной теорией имеем

σx У

σУx  σП x , σy

σ Уy  σ П y , W xy

П WУ xy  W xy ,

(1.27)

У

У где σ x , σ y , τ xy – линейно-упругие составляющие напряжений (формулы (1.14)), а составляющие с индексом П

Eω(ε i )

σП x

1 μ

σП y

2

>ε

z x

 με zy

@

>

Eω(εi ) z ε y  με zx 2 1 μ EZ(Hi ) z Jy 21  P

WП xy

Ezω(εi ) 1  μ2

@

χ1  μχ 2 ,

Ezω(εi ) χ 2  μχ1 , 1  μ2

(1.28)

EzZ(Hi ) F12 – 1 P

пластические составляющие напряжений. Интенсивность деформаций для плиты имеет вид Hi

2 3

H zx 2  H zx H zy  H zy 2  1 J zxy 2 4

17

.

(1.29)

Для оболочки в соответствии с деформационной теорией физи-

ε x  με y  z(χ1  μχ 2 ) ,

Существует несколько теорий ползучести. Для пластмасс и старого бетона можно использовать линейную теорию наследственной ползучести. В металлах ползучесть может проявиться только при больших температурах. Будем рассматривать квазистатическую задачу, когда искомые функции зависят не только от координат x и y , но и от времени t, при этом м инерционными членами можно пренебречь. На основании линейной теории наследственной ползучести в фи-

ε y  με x  z(χ 2  μχ1) , 2

зических соотношениях появятся интегралы вида ³ ε ( τ) R1 (t , τ) dτ ,

ческие соотношения будут иметь вид (1.27), где

σ Уx ,

жно σ Уy , τ Уxy можно

П П представить в виде (1.15), а σП x , σ y , τ xy заданы соотношениями

Eω(εi )

σП x

1  μ2

σП y τП xy

Eω(εi ) 1 μ

t

(1.30)

t

Eω(ε i ) ( γ xy  2 zχ12 ) . 21  μ

я³ γ( τ) R2 (t , τ) dτ . Здесь R1 (t , τ) , R2 (t , τ) – функции влияния при растя-

t0

1.6. Физические соотношения для элементов строительных конструкций при учёте ползучести материала При длительном нагружении в материале строительной конструкции может проявиться свойство ползучести – изменение деформаций со временем при постоянной нагрузке [3, 14, 18, 19, 20, 21]. В результате испытания над образцами из различных материалов при постоянной нагрузке P и длительном времени её воздействия строится кривая H–t ползучести материала (рис. 1.14), где ε 0 – мгновенная деформация в момент времени t

t0

t0 .

жении (сжатии) и сдвиге, зависящие от материала конструкции, которые находят исходя из кривой H–t. Например, для оргстекла Ri (t , W) A1 A2

0,0269; β1 0,013184; β 2

0,045 ˜ 10 3 ; α1 0,833 ˜ 10 3 ; α 2

(1.31)

0,05 , 0,2 .

На рис. 1.15 представлены функции R1 (tk , τ) (1.31) для моментов времени t k

H

Ai e Ei (t  W) (t  W)D i 1 , i 1, 2 ,

k [сут] .

Для старого бетона Ri (t , W)

H0

t

O

J i E Cif e  J (1 E Cif ) (t  W) , i 1, 2,

(1.32) 2 R1 . γ1 0,01; E C1f 3 , R2 3 На рис. 1.16 представлены функции R1 (tk , τ) (1.32) для моментов времени t k

k [сут] .

Рис. 1.14. Кривая ползучести

18

19

Для стержня физические соотношения с учётом ползучести материала принимают вид

R 0.1 1 0.08

σ x (t )

2 3

5

4

0.06

7

σ Cx (t )

8 9

2

4

6

8

W,, сут 10

σ x (t )

τ xy (t )

соответствует функции R1 (t1 , W) ; кривая 2 – R1 (t2 , W) и т. д.

R 0.03

σ Уy (t )  σ Cy (t ) ,

τ Уxy (t )  τ Cxy (t ) ,

(1.35)

где линейно-упругие составляющие напряжений σ Уx (t ) , σ Уy (t ) , τ Уxy (t )

1

заданы соотношениями (1.14) для пластин и (1.15) для оболочек; составляющие, характеризующие ползучесть материала, имеют вид

2 3 4 0.026

5

6 7

8

9

6

8

сут W,, сут 10

Рис. 1.16. Вид функции влияния R1 для бетона. Кривая 1 соответствует функции R1 (t1 , W) ; кривая 2 – R1 (t2 , W) и т. д. 20

>

@

σ Cy (t )

E t z ε ( τ)  με zx ( τ) R1 (t , τ) dτ , 2 ³ y 1  μ t0

WCxy (t ) 4

@

E t z ε ( τ)  με zy ( τ) R1 (t , τ) dτ , 2 ³ x 1  μ t0

0.022

2

>

σ Cx (t )

10 0.024

0.02 0

(1.34)

t0

σ Уx (t )  σ Cx (t ) , σ y (t )

Рис. 1.15. Вид функции влияния R1 для оргстекла. Кривая 1

0.028

t

E ³ ε zx ( τ) R1 (t , τ) dτ .

Для пластин, работающих на изгиб, и оболочек при учёте ползучести материала на основе линейной теории наследственности физические соотношения можно представить едиными формулами

10

0.02

0 0

(1.33)

где σ Уx имеет вид (1.13), а σ Сx записывается в виде

6

0.04

σ Уx (t )  σ Cx (t ) ,

(1.36)

t E J zxy (W) R2 (t , W) dW . ³ 2(1  P) t0

Деформации ε zx , ε zy , γ zxy , входящие в соотношения (1.36), заданы формулами (1.8), (1.9) для плит и соотношениями (1.10), (1.11) для оболочек. 21

1.7. Принцип возможных перемещений. Полная энергия деформации Конструкции приходится, в основном, рассчитывать на действие внешних сил. В статических расчётах предполагают, что внешние силы прикладываются постепенно, без заметных скоростей и ускорений, что даёт основание пренебречь силами сопротивления среды и силами инерции. При расчёте конструкций любой сложности чаще всего используются приближённые методы решения уравнений равновесия, вывод которых основан на вариационных принципах. Пусть на некоторую & конструкцию действуют объёмные силы X ( X 1, X 2 , X 3 ) и поверхност& ные нагрузки Pv ( Pv1 , Pv 2 , Pv3 ) на некоторой части поверхности S1 . На оставшейся части поверхности заданы перемещения & & uS u (u1, u2 , u3 ) . Под действием приложенных нагрузок конструкция 2 & получает перемещения u (u1, u2 , u3 ) , в результате чего возникают деформации εij и напряжения σij . Далее, пусть перемещения тела в егоо равновесном состоянии получили возможные перемещения δu1, δu2 , δu3 , что привело к появлению бесконечно малых деформаций

При линейно-упругом деформировании полная энергия деформации будет иметь вид l h/2

Э

V

V

(1.37)

S1

Принцип возможных перемещений в данной формулировке (1.37) справедлив при любых свойствах материала тела [18, 19], т. е. при произвольном законе связи между компонентами напряжений и деформаций и произвольном законе кинематической связи между компонентами перемещений ui и деформаций ε ij . Полная энергия деформации тела представляет собой функционал (1.3). 22

(1.38)

для стержня,

Э

>

@

ab 1 ab h/2 z z z H V  H V  J W dxdydz  ³ ³ ³ x x y y xy xy ³ ³ q( x, y ) wdxdy (1.39) 2 0 0 h / 2 00

для пластины и оболочки. Рассматривая потенциальную энергию П как функцию компонент деформации и учитывая зависимости между напряжениями и деформациями (1.13), (1.14), найдём вариацию функционалов (1.38), (1.39). Для стержня получим

GЭ





l 1 l h/2 V x GH zx  H zx GV x dxdz  ³ q Gw dx ³ ³ 2 0 h / 2 0





l 1 l h/2 z z z z E H GH  H G ( E H ) dxdz  ³ ³ ³ q Gw dx x x x x 2 0 h / 2 0

δε ij и напряжений δσij . Согласно принципу возможных перемещений, если конструкция находится в равновесии, то сумма работ внешних и внутренних сил на любых возможных бесконечно малых перемещениях, не противоречащих кинематическим связям, равна нулю. То есть

³³³ σ ij δε ij dV  ³³³ X i δui dV  ³³ Pvi δui dS 0 .

l

1 V x H zx dxdz  ³ q ( x) wdx ³ ³ 2 0 h / 2 0

l h/2

l

0 h / 2

0

z ³ ³ σ x δε x dxdz  ³ q δw dx ;

(1.40)

для пластины и оболочки имеем

GЭ



1 ab h/2 V x GH zx  H zx GV x  V y GH zy  H zy GV y  ³ ³ ³ 2 0 0 h / 2



ab

 W xy GJ zx  J zxy GW xy dxdydz  ³ ³ qGw dxdy 00

1 ab h/2 ³³ ³ 2 0 0 h / 2

>

@

>

@

§ E E z z z z z z ¨ ¨ 1  P 2 H x  PH y GH x  H x 1  P 2 G H x  PH y  © 23





E 1 μ2

>ε

z y

@

 με zx δε zy  ε zx

E 1 μ

>

При решении задачи ползучести в уравнениях равновесия будут присутствовать интегральные члены. Решение интегральных уравнений вызывает большие сложности. Чтобы избежать этого, временной

@

δ ε zy  με zx  2

ab · E E J zxy GJ zxy  J zxy GJ zxy ¸¸ dxdydz  ³ ³ q Gw dxdy 2(1  P) 2(1  P) ¹ 00 ab h/2





ab

z z z ³ ³ ³ V x GH x  V y GH y  W xy GJ x dxdydz  ³ ³ q Gw dxdy .

0 0 h / 2

интервал [t0 , tk ] разбивается на элементарные отрезки [t j 1, t j ] ,

(1.41)

00

0.

(1.42)

При решении нелинейно-упругих задач применяется итерационный процесс метода упругих решений А. А. Ильюшина. При этом на каждой итерации решается линейно-упругая задача с добавочными членами в уравнении равновесия и в выражениях для напряжений (1.23), (1.28), (1.30) величина Z(Hi ) считается известной. Тогда для выполнения принципа возможных перемещений полную энергию деформации следует задавать в виде





l h/2

Э

k

a

j 1

(1.43)

t

σ С (tk )

k

¦ Eε (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )Δt .

³ Eε ( τ) R1 (t , τ) dτ

j 1

t0

При решении задачи ползучести применяется итерационный процесс по временнóй координате и на k-й итерации величины ε(t0 ) , ..., ε (tk 1) считаются уже известными. Тогда в соответствии с принципом возможных перемещений выражение полной энергии деформации в момент времени tk принимают в виде





l h/2

Э(t k )

l

1 z C z VУ x (t k )H x (t k )  2V x (t k )H x (t k ) dxdz  ³ q w dx ³ ³ 2 0 h / 2 0

Э(t k )

>







1 ab h/2 У C У C z z ³ ³ ³ V x (tk )  2V x (tk ) H x (tk )  V y (tk )  2V y (tk ) H y (tk )  2 0 0 h / 2



@



ab

C z  WУ xy (t k )  2W xy (t k ) J xy (t k ) dV  ³ ³ q ( x, y ) wdxdy

>









@

1 ab h/2 У П z У П z У П z ³ ³ ³ V x  V x H x  V y  V y H y  W xy  W xy J xy dxdydz  2 0 0 h / 2 ab

 ³ ³ q ( x, y ) wdxdy для пластины и оболочки.

00

24

(1.44)

(1.45)

для стержня,

l

1 П z VУ x  V x H x dxdz  ³ q ( x ) wdx 2 ³0  h³/ 2 0

для стержня, Э

b

формулой метода прямоугольников ³ f ( x) d x | ¦ f ( x j 1) Δx :

Приравнивая полученную вариацию к нулю, придём к выражению (1.37). Данный результат известен как вариационный принцип Лагранжа: среди всех возможных перемещений, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, действительные перемещения приводят к стационарности полной потенциальной энергии GЭ

лы j 1, 2, , k , длиной t j  t j 1 Δt 1 сут и временные интегралы в выражениях для напряжений (1.34), (1.36) заменяют приближенной

(1.46)

00

для пластины и оболочки. Принцип минимума полной энергии деформации конструкции положен в основу вывода уравнений равновесия и приближённых методов расчёта элементов конструкций с учётом различных свойств материала. 25

1.8. Уравнения равновесия

EI

1.8.1. Линейно-упругие задачи

или

l

l

Э

(1.47)

Найдём первую вариацию и приравняем к нулю: GЭ

l

l

0

0

³ EI F GF dx  ³ q Gw dx

0.

(1.48)

dx 4

d 2M

Функционал полной энергии деформации стержня, находящегося под действием распределённой нагрузки q (x) , для линейно-упругой задачи имеет вид (1.38) или с учётом (1.6), (1.13) 1 EI F 2 dx  ³ qwdx. ³ 20 0

d 4w

dx 2

q

0,

q

0,

(1.50)

где M определён формулой (1.18). Из равенства нулю оставшихся членов уравнения (1.49) получают краевые условия на концах стержня при x 0 и x l : EI wcc 0 или wc 0 ; EI wccc 0 или w 0 . Будем рассматривать два способа закрепления концов стержня: 1) жёсткая заделка:

Преобразуем первый интеграл в (1.48), дважды интегрируя по частям и заменяя χ на  wcc по формуле (1.7):

w(0)

0, w(l )

0 , wc(0)

0, wc(l )

0;

(1.51)

2) шарнирное закрепление: l

³ EI χ δχ dx

w(0)

0, w(l )

0,

wcc(0)

0, wcc(l )

0.

(1.52)

0 l

³ EI wcc Gwcc dx 0

l

Полная энергия деформации прямоугольной пластины при изгибе

0

имеет вид (1.39), где ε zx , ε zy , γ zxy имеют вид (1.8), (1.9). Выражение потенциальной энергии деформации пластины можно представить в виде

>EI wcc Gwc@ l0  ³ EI wccc Gwc dx l

>EI wcc Gwc@ l0 >EI wccc Gw@ l0 ³ EI w(4)Gw dx . 0

В результате уравнение (1.48) принимает вид ª d 4w º l l ³ « EI dx 4  q » Gw dx  >EI wcc Gwc@ 0  >EI wccc Gw@ 0 ¼ 0¬

Э

l

0.

(1.49)



º 1 a b ªw2w h / 2 w2w h / 2 w 2w h / 2 V zdz  V zdz  2 W xy zdz  2qw» dxdy « x y ³ ³ ³ ³ ³ 2 2 2 0 0 ¬« wx  h / 2 wxwy  h / 2 wy  h / 2 ¼» º 1 ab ª w 2w w 2w w 2w  2qw» dxdy.  ³ ³ « M x 2  M y 2  2 M xy 2 00¬ wxwy wy wx ¼

(1.53)

Так как δw – произвольные (не могут равняться нулю на отрезкее [0; l ] ), то выражение, стоящее под знаком интеграла в скобках, должно равняться нулю:

Здесь учтено, что напряжения σ x , σ y , τ xy , τ yx создают изгибающие

26

27

M x , M y и крутящие M xy , M yx моменты (1.19).

Выведем уравнения равновесия исходя из вариационного принципа Лагранжа, для чего найдём первую вариацию функционала (1.53) и приравняем её к нулю:

M xy Gw b wM

ab

º ª w2w w2w w 2w  ³ ³ « M x G 2  M y G 2  2M xy G  qGw» dxdy wx wy wxwy ¼ 00¬

GЭ

0 . (1.54)

Полученное уравнение нужно преобразовать так, чтобы под знаком двойного интеграла не было вариаций от производных функций w( x, y ) . Для этого применяем формулы интегрирования по частям: ab

w2w

00

wx 2

³ ³ M xδ b

³Mxδ

0

ww ³M xδ wx x 0

dxdy x a

ww wx x

b wM

dy  ³

0

0

2

ab

0 ab

³ ³ M xy G

00

ww wy y

a wM 0

0

w2w dxdy wxwy

a wM 0

xy

wx

w 2w dxdy ³ ³ M xy δ wxwy 00

ab

dy  ³ ³

δw x 0

y

wy

b

³ M xy G

0

M xy Gw

³

a b w 2M 00

wx 2

x

x a y b x 0 y 0

y b

Gw

y b

Gw

a b w2M

dx  ³ ³

wy

y 0

00

x a

a b wM

ww wy x

dy  ³ ³

³

00

0

b wM

xy

wy

0

00

xy

wx

y

2

Gw dxdy,

G

ww dxdy wy

wy

wx

0

x a

Gw

xy

y b

Gw

a b w2M

dy  ³ ³

00

x 0

dx  y 0

xy

wxwy

Gw dxdy.

abª 2

º w 2 M xy w M x w2M y 2 q ³ ³ «    » Gwdxdy  2 wy 2 wx 2wy 0 0 ¬ wx ¼ x b

wM xy · ww º ¸¸Gw  M x G »  ³ «¨¨ 2 wy ¹ wx ¼ 0 ¬© wx x b ª§ wM

a ª§ wM

x

dy  0

y a

wM xy · ww º ¸¸Gw  M y G »  ³ «¨¨ 2 wx ¹ wy ¼ 0 ¬© wy y y

dx  2 M xy Gw 0

x a y b x 0 y 0

0 . (1.55)

Так как вариации δw произвольные и не равны нулю в области 0 d x d a , 0 d y d b , получаем уравнение равновесия пластины w 2M x wx 2



w2M y wy 2

2

w 2 M xy wxwy

 q 0,

(1.56)

q.

(1.57)

x a

Gw

a b w2M

dx  ³ ³ y 0

GЭ

δw dxdy ,

a b wM

xy

x 0 y 0

a wM

³

После подстановки полученных равенств в (1.54) и преобразования получаем

ww dy  ³ ³ δ dxdy wx 0 0 0 wx

y b

dx  ³

0

x

ww y ww dx  ³ ³ δ dxdy ³M yδ wy y 0 wy 0 0 0 wy

y b

³ M yG

wx

x

a b wM

x a

a

w w ³ ³ M y δ 2 dxdy wx 00 a

x a

b

³

x a y b

dy 

или с учётом (1.19) и (1.9)

x 0

xy

wxwy

Gw dxdy,

§ w4w w4w w 4w · D¨¨ 4  2 2 2  4 ¸¸ wx wy wy ¹ © wx

y b

a b wM ww xy ww dx  ³ ³ δ dxdy ³ M xy δ wx y 0 wx 0 0 0 wy

a

28

Из равенства нулю одномерных интегралов в (1.55) приходим к краевым условиям на контуре плиты: 29

при x

0, x

a wM xy wM x 2 wx wy

при y

0, y

ww wx

2

wx

wM xy

χ1

ww 0. wy Кроме того, в угловых точках контура M xy 0 или w 0 . В работе в качестве граничных будем рассматривать два вида условий: 1) жёсткая заделка при x

0 или

0, x

a

w 0,

ww wx

ww 0, y b w 0, wy 2) шарнирно-неподвижная опора при y

0, 0;

(1.58)

0, x

a

w 0,

w w wx 2

0,

(1.59) w2w 0. 2 wy Рассмотрим далее пологие оболочки малого прогиба, находящиеся под действием поперечной нагрузки q( x, y ) (см. рис. 1.7). Для пологих оболочек деформации в срединной поверхности принимают вид при y

0, y

εx

b w 0,

wu  k x w, wx 30

w2w  2 , χ2 wx



w2w , χ12 wy 2



w 2w . wxwy

(1.61)

Вводя усилия и моменты (1.20), функционал полной энергии деформации для оболочки (1.39) можно записать в виде Э ab

П А

>

@

1 ³ ³ ^ H x N x  H y N y  J xy N xy  F1M x  F 2 M y  2F12 M xy  2qw`dxdy. 200 (1.62) Исходя из принципа возможных перемещений вариационное уравнение для этого функционала будет иметь вид GЭ

2

при x

wu wv  . wy wx

(1.60)

Деформации в слое, отстоящем на z от срединной поверхности имеют вид (1.11), где

0 или w 0 ,

wx

My

γ xy

0;

b wM y

wv  k y w, wy

0 или w 0 ,

0 или

Mx

εy

ab

³ ³ ^>N x GH x  N y GH y  N xy GJ xy  M x GF1  M y GF 2  2M xy GF12 @  00

 qδw`dxdy

0.

(1.63)

Преобразуя уравнения (1.63) (применяем дважды интегрирование по частям) и учитывая (1.60), (1.61), получим

GЭ

abª wN · wN xy · § wN § wN ¸¸Gu  ¨¨ y  xy ¸¸Gv   ³ ³ «¨¨ x  wx ¹ wy ¹ © wy 0 0 ¬© wx

§ · º w 2 M xy w 2 M y w 2M x ¨ ¸ δw» dxdy   kx N x  k y N y     q 2 2 2 ¨ ¸ » wxwy w x w y © ¹ ¼ 31

Таким образом, если края оболочки, например, закреплены шарнирно-неподвижно, то при x 0 , x a u v w 0 , M x 0 ;

x a

wM xy · § wM x ww º ¸¸ δw  M x δ » dy  2  ³ « N x δu  N xy δv  ¨¨ wx ¼ x 0 wy ¹ © wx 0¬ bª

при y

y b

wM xy · § wM y ww º ¸¸ δw  M y δ » dx  2  ³ « N yx δu  N y δv  ¨¨ wx ¹ wy ¼ y 0 © wy 0¬ aª

 M xy δw

x a y b

0.

x 0 y 0

wN y wy kx Nx  k y N y 

w2M x wx

2



(1.64)

wx

2

w 2 M xy wxwy

M

0; 

(1.65) w2M y wy

2

q

при y

0 или w 0 , M x

ww 0 или wx

0;

wM y wy

2

0 или u

wM xy wx

0, Ny

0 или v 0 ,

0 или w 0 , M y 32

0 или

ww wy

MУ MП

EIF  EIF

E ( I  I )F ,

I

h3 , 12

I

h/2

2 ³ z Z(H i ) dz .

0.

(1.66)

(1.67)

h / 2

Для функционала полной энергии деформации стержня, находящегося под действием поперечной нагрузки q (x) (1.43), с учётом (1.66) будет справедливо выражение

Э









l 1 l h/2 У z П z ³ ³ V x H x  V x H x dxdz  ³ q( x) wdx 2 0 h / 2 0 l 1l 2 2 EI F  E I F dx  ³ ³ q( x) wdx . 20 0

0, y b N xy

0.

где

0.

Из равенства нулю одномерных интегралов получим краевые условия на контуре оболочки: при x 0 , x a N x 0 или u 0 , N xy 0 или v 0 , wM xy wM x 2 wx wy

w 0, M y

Получим уравнения равновесия на основе принципа возможных перемещений при учёте физической нелинейности для стержня плиты и оболочки. Для стержня физические соотношения имеют вид (1.23). Интегрируя напряжения по z в пределах от  h / 2 до h / 2 , получим изгибающий момент в виде

0;

wN xy

v

1.8.2. Нелинейно-упругие задачи

Отсюда, приравнивая сомножители при δu , δv , δw в двойном интеграле нулю, получим уравнения равновесия wN x wN xy  wx wy

0, y b u

(1.68)

Если при варьировании величина I не изменяется, то вариационное уравнение примет вид 33

GЭ

l

³ ( EIF  EIF)GF  q( x)Gw dx

Э

0

³ ( M l

У



П

 M )GF  q ( x)Gw dx



0.

q

0,

(1.69)

где M имеет вид (1.66). Для плиты из нелинейно-упругого материала (работающей только на изгиб) моменты можно представить в виде Mx

M xУ

 M xП ,

M yУ

My

 M yП ,

M xy

У M xy

П ,  M xy

(1.70)

У определены формулами (1.19), а моменты, соответетгде M xУ , M yУ , M xy ствующие пластическим деформациям, следующие:

EI

M xП

1 P2

M yП

F1  P F 2 ,

EI 1 P2

П M xy

F 2  P F1 ,





(1.72)

формации и учитывая, что величина I не изменяется при варьировании деформаций, получим уравнения равновесия в том же виде, как и для линейно-упругих задач (1.56), но моменты будут иметь вид (1.70) с учётом (1.19) и (1.71). Для оболочек, когда физические соотношения принимают вид Vx

П VУ x  Vx , Vy

Nx Mx

N xУ  N xП , N y M xУ  M xП , M y

N yУ  N yП , N xy

У П , N xy  N xy

M yУ  M yП , M xy

У П . M xy  M xy

(1.73)

Здесь составляющие с индексом У имеют вид (1.20), а составляющие с индексом П записываются в виде N xП

(1.71)

Здесь через I обозначен интеграл (1.67). Функционал полной энергии деформации Э при изгибе прямоугольной пластины (1.44) с учетом (1.70) можно представить в виде

П WУ xy  W xy ,

V Уy  V Пy , W xy

где составляющие с индексом У имеют вид (1.15), а составляющие с индексом П имеют вид (1.30), усилия и моменты можно представить в виде

N yП

EI F12 . 1 P

34



Исходя из принципа минимума функционала полной энергии де-

Преобразуя это вариационное уравнение двукратным интегрированием по частям и приравнивая сомножитель при Gw в интегральном м члене к нулю, приходим к уравнению

dx 2



У П  M yУ  M yП F 2  2 M xy  M xy F12  2qw dxdy .

0

d 2M





1ab M xУ  M xП F1  ³ ³ 200

E 1  P2 E 1  P2

M yП

>I1 H y  PH x  I 2 F 2  PF1 @,

>

@

E I1J xy  2 I 2 F12 , 21  P

П N xy

M xП

>I1 H x  PH y  I 2 F1  PF 2 @,

E 1 P E 1  P2

>I H  PH y  I 3 F1  PF 2 @, 2 1 x >I 2 H y  PH x  I 3 F 2  PF1 @, 35

(1.74)

П M xy

Здесь

Ik

>

@

Если применяется итерационный процесс по временной координате t и отрезок интегрирования [t 0 , t ] разбивается на части точками

E I 2 J xy  2 I 3 F12 . 21  P

ом 't t 0 , t1 , …, t k , … с шагом но принять

h/2

k 1 ³ z Z(H i ) dz , k 1, 2, 3 .

(1.75)

Функционал полной энергии деформации оболочки (1.44) после интегрирования по z в пределах от  h / 2 до h / 2 в усилиях и моментах ах будет иметь вид

Э

M C (tk )

h / 2

1 ab ³ ³ ^ N xУ  N xП H x  N yУ  N yП H y  N xyУ  N xyП J xy  200

>

@

`

Э(tk )

(1.76)

чины I k не меняются при варьировании деформаций) и приравнивая её нулю, получим уравнения равновесия в усилиях и моментах такого же вида, как и для линейно-упругих задач (1.65), но усилия и моменты будут заданы равенствами (1.73) с учётом (1.20), (1.74). 1.8.3. Задачи ползучести Для стержня, когда физические соотношения при учёте ползучести материала имеют вид (1.33), (1.34), изгибающий момент

M

M У  M С,

(1.77)

где M У задан формулой (1.18), а M С имеет вид

M C (t )

EI ³ F(W) R (t , W)dW . t0

36

(1.78)

k

EI ¦ F(t j 1 )R1 (tk , t j 1 )'t .

(1.79)

j 1





l 1l У C ³ M (tk )  2M (t j 1 ) F(tk ) dx  ³ q w dx , 20 0 j 1, 2, , k .

(1.80)

Используя правила вариационного исчисления, найдём и приравняем нулю первую вариацию функционала (1.80), учитывая, что вариации GF(t j 1 ) , j 1,2, , k равны нулю:

GЭ(t k )

³ M l

0

У



l

(t k )  M C (t j 1 ) dx  ³ q Gw(t ) dx

0.

0

После преобразования этого вариационного уравнения (применяем два раза интегрирование по частям) получим уравнение равновесия в виде (1.50), где момент M задан формулой (1.77). Аналогично уравнения равновесия в усилиях и моментах для плит и оболочек не будут не зависеть от проявляемых свойств материала и будут иметь тот же вид, что и для линейно-упругих задач, с учётом изменений в выражении усилий и моментов. Так, для рассматриваемой плиты уравнение равновесия будет иметь вид (1.57), где Mx

t

1 сут , тогда можно приближён-

Функционал полной энергии деформации стержня при длительном нагружении и учёте ползучести материала (1.45) после интегрирования по z в пределах от  h / 2 до h / 2 и с учётом (1.77) примет вид

У П  M xУ  M xП F1  M yУ  M yП F 2  2M xy  M xy F12  2qw dxdy .

Находя первую вариацию функционала (1.76) (с учётом, что вели-

t j  t j 1

M xУ  M xС ; M y

M yУ  M yС ; M xy

У С . M xy  M xy

(1.81)

У С совпадают с (1.19), составляющие M xС , M С Здесь M xУ , M yУ , M xy y , M xy

принимают вид 37

M xC M yC

Eh3

k

12(1  P 2 ) Eh3

j 1

¦ F 2 (t j 1 )  PF 2 (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )'t , k

12(1  P 2 ) C M xy

¦ F1 (t j 1 )  PF 2 (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )'t , (1.82)

j 1

k Eh3 ¦ F12 (t j 1 )R2 (tk , t j 1 )'t . 12(1  P) j 1

2.1. Вариационные методы расчёта элементов строительных конструкций

Для оболочки уравнения равновесия будут иметь вид (1.65), где Nx

N xУ  N xС ; N y

Mx

M xУ  M xС ; M y

N yУ  N yС ; N xy M yУ  M yС ; M xy

У С ; N xy  N xy У С . (1.83) M xy  M xy

Здесь составляющие с индексом У имеют вид (1.20), а составляющие с индексом С можно представить в виде

N xC N yC

M xC M yC

¦ H x (t j 1 )  PH y (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )'t , k

Eh 1  P2

Математические модели, используемые при расчете НДС строительных конструкций, описаны в работах [3, 4, 5, 8, 11, 15, 19]. Рассмотрим здесь только два метода: метод Ритца, позволяющий найти неизвестные функции перемещений из условия минимума функционала полной энергии деформации, и метод Бубнова – Галеркина, применяемый для решения уравнений равновесия. Оба эти метода дают практически совпадающие решения поставленных задач, но метод Ритца проще в реализации, так как в функционале полной энергии деформации порядок производных искомых функций в два раза ниже, чем в уравнениях равновесия.

j 1

2.1.1. Метод Ритца

¦ H y (t j 1 )  PH x (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )'t , k

Eh 1  P2

j 1

C N xy

k Eh ¦ J xy (t j 1 ) R2 (tk , t j 1 )'t , 2(1  P) j 1

Eh3 12(1  P 2 ) Eh3

¦ F1 (t j 1 )  PF 2 (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )'t , k

j 1

¦ F 2 (t j 1 )  PF 2 (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )'t , k

12(1  P 2 ) C M xy

Глава 2. АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЁННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ УЧЁТЕ РАЗЛИЧНЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

j 1 3

k Eh ¦ F12 (t j 1 )R2 (tk , t j 1 )'t . 12(1  P) j 1

38

Рассмотрим функционал энергии

J (1.84)

ab

³ ³ ) (u ( x, y ), v( x, y ), w( x, y )) dxdy .

00

(2.1)

Требуется найти минимум функционала (2.1), т. е. найти функции u ( x, y ) , v( x, y ) , w( x, y ) , заданные в некоторой области D {0 d x d a; 0 d y d b} , удовлетворяющие некоторым однородным краевым условиям на границе Г, при которых функционал (2.1) имеет минимальное значение. Приближённое решение поставленной задачи будем искать в виде u ( x, y ) u N

N

(1) (1) (1) ¦ ci M i \ i ,

i 1

39

v ( x, y ) w( x, y )

2.1.2. Метод Бубнова – Галеркина

N

( 2) ( 2) ( 2) ¦ ci M i \ i ,

vN

(2.2)

i 1

Рассматривается краевая задача: найти решение уравнений равновесия (системы линейных дифференциальных уравнений)

N

(3) (3) (3) ¦ ci M i \ i .

wN

L(u ( x, y ), v( x, y ), w( x, y ))  f

i 1

Здесь ci(1) , ci( 2) , ci(3) – неизвестные числовые параметры; Mi(1) , Mi( 2) , Mi(3) – известные аппроксимирующие функции переменной x, удовлетворяющие при x 0, x a заданным краевым условиям; \ i(1) , \ i( 2) , \ i(3) – известные аппроксимирующие функции переменной y , удовлетворяющие при y

0, y

b заданным краевым условиям. Функции Mi(k ) , \ i(k )

1, 2, 3 ) называются базисными функциями. Подставляя (2.2) в (2.1) и выполняя интегрирование от известных функций, сведём функционал (2.1) к функции (k

J ci(1) ,



J c1(1) ,, c N(1) , c1( 2) ,, c N( 2) , c1(3) ,, c N(3)

ci( 2) ,



(2.3)

ci(3) ,

по переменным

wJ wcm(1)

ci( 2) , 0,

ci(3) , wJ

wcm( 2)

i

ль: 1,, N , должны обращаться в нуль: 0,

wJ wcm(3)

0 , m 1,  , N .

(2.4)

Система (2.4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, для решения которой можно применять метод Гаусса. жеНайденные значения параметров ci(1) , ci( 2) , ci(3) подставляем в разложения (2.2) и получаем приближённое решение поставленной задачи. Существование минимума функционалов полной энергии деформации элементов строительных конструкций (стержень, плита, оболочка) доказано [6, 7, 15]. 40

(2.5)

в некоторой области D {0 d x d a; 0 d y d b} , удовлетворяющее на границе Г области однородным краевым условиям. Возьмём приближённое решение в виде (2.2). Подставляя (2.2) в (2.5) получим невязку L(u N , v N , wN )  f Gf . Если u N , vN , wN – точное решение уравнения (2.5), то невязка Gf равна нулю. Если невязка близка к нулю, то можно считать, что она ортогональна к аппроксимирующим функциям. Условие ортогональности имеет вид ab

(1) (1) ³ ³ >L(u N , v N , wN )  f @M m \ m dxdy 0 ,

00 ab

i 1, , N . параметров Чтобы функция (2.3) имела минимум, её частные производные ci(1) ,

0

( 2) ( 2) ³ ³ >L(u N , v N , wN )  f @M m \ m dxdy 0 ,

(2.6)

00 ab

(3) (3) ³ ³ >L(u N , v N , wN )  f @M m \ m dxdy 0 .

00

Система (2.6) – система линейных алгебраических уравнений. 2.2. Алгоритмы решения линейно-упругих задач Для нахождения НДС стержня, плиты, оболочки, находящихся под действием поперечной нагрузки и закреплённых по контуру определённым образом, будем к соответствующим функционалам полной энергии деформации применять метод Ритца. В результате для стержня, пластины и оболочки придём к системе линейных алгебраических уравнений вида (2.7) AC B , 41

из которой определяются коэффициенты разложения приближённого решения по базисным функциям.

Решение системы (2.7) c1 , c2 , , c N , подставляем в (2.93) и получаем приближённое решение линейно-упругой задачи для стержня.

2.2.1. Стержень

2.2.2. Пластина

Представим функционал полной энергии деформации линейноупругой задачи (1.47) с учётом (1.7) в виде

Рассмотрим функционал полной энергии деформации плиты (1.53) с учётом (1.19) и (1.9)

Э

l 1l EI wcc dx  ³ qwdx . ³ 20 0

(2.8)

2 2 2 § w2w · º w2w w 2w D a b ª§ w 2 w · § w 2 w · ¸ ¨ ¸  2P 2 2  2(1  P)¨¨ ¸¸ » dxdy  ³ ³ «¨ wx wy 2 0 0 «¨© wx 2 ¸¹ ¨© wy 2 ¸¹ © wxwy ¹ »¼ ¬

Э

Согласно методу Ритца для приближённого решения вариационной задачи примем w | wN ( x )

ab

 ³ ³ qw dxdy ,

N

¦ ci Mi ( x) ,

(2.9)

i 1

1 l §¨ § N · §N · ·¸ c c EI c 2 q ( x ) c M  M ¨ ¸ ¨ ¦ ¦ i i i i ¸ dx. ³ 2 0 ¨© © i 1 ¹ ©i 1 ¹ ¸¹

Eh 3

– цилиндрическая жесткость плиты. 12(1  P 2 ) Для дальнейших вычислений удобно перейти к безразмерным переменным. Введём безразмерные координаты и перемещения

где D

где Mi (x) – последовательность базисных функций. Подставляем wN (x) из (2.9) в функционал (2.8) и получаем функцию нескольких переменных

(2.10)

Неизвестные параметры c1 , c2  , c N будем искать из условий

0,

wЭ wc2

0, ,

wЭ wc N

0.

ami

aim

l

(2.11)

³ EI Mcic( x) Mcmc ( x) dx ; bm

0

42

l

³ q ( x)M m ( x) dx .

0

(2.12)

a. b

w, λ h

(2.14)

adξ, dy bdη , ξ  [0;1], η  [0;1] ,

w2w

Выполнив дифференцирование, получим систему линейных алгебраических уравнений (2.7), где

y , W b

Учитывая, что

dx

wЭ wc1

x, η a

ξ

2

Э(с1 , c2 , , c N )

(2.13)

00

wx 2

w § ww · ¨ ¸ wx © wx ¹

w2w

h

wy 2

a

O2 2

h w 2W

w § h wW · ¨ ¸ wx © a w[ ¹

w 2W

w2w , wxwy wK2

a 2 w[ 2 h

a

O 2

,

(2.15)

w 2W , w[wK

преобразуем функционал (2.13) к виду

Э

2 2 11ª 2 2 2 § w 2W · 1 Eh 5 ab 4§ w W · «¨ 2 ¸  λ ¨ 2 ¸  2μλ 2 w W2 w W2  ³ ³ 2 4 2 12(1  P )a 0 0 «© wξ ¹ wξ wη © wη ¹ ¬

43

§ 2 ·  2(1  μ )λ 2 ¨ w W ¸ © wKw[ ¹

2º

2 §N ·º §N ·  2(1  P)O2 ¨ ¦ ci Mci \ci ¸  2 ˜ 12(1  P 2 ) P ¨ ¦ ci Mi \ i ¸» d[ dK . ©i 1 ¹»¼ ©i 1 ¹

11

» dξ dη  abh ³ ³ q([, K)Wdξdη . »¼ 00

(2.19)

Введём обозначения

D

5

Eh ab 12§¨1  P 2 ·¸a 4 © ¹

, P

4

a q, Eh 4

(2.16)

wЭ 0, wЭ 0, wЭ 0 . wс1 wс2 wс N В результате получаем систему уравнений

тогда

Э

D Э, wЭ w cm

где

Э

Находим производные функции Э (2.19) по переменным c1 , c2 , , c N и приравниваем к нулю:

2 2 11ª 1 «§¨ w 2W ·¸  O4 §¨ w 2W ·¸  2μλ 2 w 2W w 2W  ¨ wη 2 ¸ 2 0³ 0³ «¨© wξ 2 ¸¹ wξ 2 wη 2 © ¹ ¬ 2 º § 2 ·  2(1  μ )λ 2 ¨ w W ¸  2 ˜ 12(1  μ 2 ) P W » dξdη . © wηwξ ¹ ¼»

11 N N 1 ª2§¨ ¦ c Mcc\ ·¸Mcc \  2λ 4 §¨ ¦ c M \cc ·¸M \ cc  ³ ³ i i i m m i i i m m « 2 00 ¬ ©i 1 ©i 1 ¹ ¹

­ §N ·½ §N ·  2PO2 ®Mcmc \ m ¨ ¦ ci Mi \ cic ¸  M m \cmc ¨ ¦ ci Mcic\ i ¸¾  ©i 1 ¹¿ ©i 1 ¹ ¯ (2.17)

Согласно методу Ритца минимум функционала (2.17) будем искать в виде

º §N ·  2(1  P) ˜ 2¨ ¦ ci Mci \ ci ¸Mcm \ cm  2 ˜12(1  P 2 ) P M m \ m » d[ dK 0 , ©i 1 ¹ ¼ (2.20) m 1, 2, , N , или в матричном виде (2.7), где

W (ξ, η) | WN

N

¦ ci Mi ([)\ i (K) ,

i 1

(2.18)

где Mi (ξ ) , \ i (K) – базисные функции, удовлетворяющие однородным краевым условиям; c1 , c2 , , c N – неизвестные параметры. Подставляя (2.18) в функционал (2.17), получаем функцию Э переменных c1 , c2 , , c N

Э

2 2 11 ª N N N N 1 «§¨ ¦ c Mcc\ ·¸  O4 §¨ ¦ c M \cc ·¸  2PO2 ¦ c Mcc\ ¦ c M \cc  ³ ³ i i i i i i i i i i i i 2 0 0 «© i 1 ¹ ©i 1 ¹ i 1 i 1 ¬

44

aim

ami

11

11

00

00

4 ³ ³ Mcic\ i Mcmc \ m d[dK  O ³ ³ Mi \cicM m \cmc d[dK  11

 PO2 ³ ³ ^ Mcmc \ m Mi \cic  Mm \cmc Mcic\ i `d[dK  00

11

 2(1  P)O2 ³ ³ Mci \ ci Mcm \ cm d[dK ; 00

bm

2

11

12(1  P ) ³ ³ P M m \ m d[dK . 00

45

(2.21)

Введём обозначения

I1 (i, m) I 2 (i, m) I 3 (i, m) I 4 (i, m)

I 5 (i, m)

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

³ McicMcmc d[ , J1 (i, m)

2 2 2 ª § w 2w · º w 2 w w 2 w §¨ w 2 w ·¸ h 2 «§¨ w 2 w ·¸ » ¨ ¸   2P 2 2  ¨ 2 ¸  4P1¨ ¸ » w w 12 «¨© wx 2 ¸¹ x y wx wy w y © ¹ © ¹ ¼ ¬

³ \cic\cmc dK ,



³ Mi Mm d[ , J 2 (i, m) ³ \ i \ m dK , ³ Mi Mcmc d[ , J 3 (i, m) ³ \ i \cmc dK ,

0

1

1

(1  P) . 2 Введём безразмерные параметры

(2.22)

[

³ Mci Mcm d[ , J 5 (i, m) ³ \ci \cm dK ,

0

U

0

тогда I1 J 2  O4 I 2 J1  PO2 ( I 3 J 4  I 4 J 3 )  2(1  P)O2 I 5 J 5 .

Решение системы (2.7) ci , i 1, 2, , N , подставляем в (2.18) и получаем приближённое выражение функции прогиба в безразмерном виде. Размерные перемещения будут связаны с найденными безразмерными WN соотношением

w( x, y ) WN h .

(2.23)

Учитывая

Hx

46

au h

2

K ,

1 , a

wK wy

y , b bv

V

kK

O

h

2

,

b2k y h

a , b W

,

P

w , h

(2.25)

a 4q Eh 4

.

1 , получим b

h 2 wU h  k [ hW a 2 w[ a 2

h 2 § wU ·  k W ¨ ¸ [ a 2 © w[ ¹

h2 a2

Hx .

Аналогично

Hy

Для оболочки функционал полной энергии деформации имеет вид (1.62), а после подстановки в него (1.20) и учёта (1.61) получим Eh a b 2 ³ ³ ^H x  2PH x H y  H 2y  P1J 2xy  2(1  P 2 ) 0 0

w[ wx

wu  kx w wx

2.2.3. Оболочка

Э

x , a

a 2kx , h

k[ a mi

(2.24)

где P1

³ McicM m d[ , J 4 (i, m) ³ \cic\ m dK ,

0

2(1  P 2 ) ½ qw¾ dxdy , Eh ¿

wv  k yW wy J xy

wu wv  wy wx

h 2 § wV ·  k KW ¸ ¨ 2 wK b © ¹ h 2 § wU wV ·  ¨ ¸ ab © wK w[ ¹

h 2 O2 a2

Hy ,

h2 a

O J xy , 2

(2.26)

где Hx

wU  k[W ; H y w[

wV  kKW ; J xy wK 47

wU wV  . wK w[

(2.27)

Переходим к безразмерным величинам в функционале (2.24) и учитываем формулы (2.15): Э

1 1 ­h4

Eh 2

³³®

2(1  P ) 0 0 ¯ a

H2 4 x

 2P

h4 a

4

2

O HxH y 

h4 a

4

4

O

H 2y

 P1

h4 a

4

O2 J 2xy 

2 ª h 2 « h 2 §¨ w 2W ·¸ h h 2 w 2W w 2W   P O  2 12 « a 4 ¨© w[ 2 ¸¹ w[2 wK2 a2 a2 ¬



4§ ¨w

2

W· h 2 § w 2W ·¸  4 O ¨ 2 ¸¸  4P1 4 O2 ¨¨ ¸ a a © wK ¹ © w[wK ¹ h2

2

2(1  P 2 )a 4

2º

2

2

k1

Э

(2.28)

U

^

W

(2.29)

Выразим безразмерные деформации через перемещения по формулам (2.27):

Э

2

· wU wV wU wV ¸  2PO2  2P1O2  ¸ w[ wK wK w[ ¹ 48

(2.31)

N

(1) (1) (1) ¦ ci M i \ i , N

( 2) ( 2) ( 2) ¦ ci M i \ i ,

(2.32)

i 1

2 2 2· § 2 2 w 2W ·¸ w 2W ·¸ ¸ 1 ¨ §¨ w 2W ·¸ 2w W w W 4§ 2§ ¨ ¨  ¨ ¨ 2 ¸  2PO  O ¨ 2 ¸  4P1O ¨  w[wK ¸¹ ¸¸ 12 ¨ © w[ ¹ w[ 2 wK 2 wK ¹ © © © ¹

2 °§ wU · 2 § wU ³ ³ ®¨ ¸  P1O ¨¨ 0 0 °© w[ ¹ © wK ¯

P k[  O2 kK ;

i 1

2 2 4 2 2 2 ³ ³ H x  2PO H x H y  O H y  P1O J xy 

`

(2.30)

k[2  2P O2 kK k[  O4 kK2 .

V

 2(1  P 2 ) P W d[dK.

¸ ¸¸ ¹

В соответствии с методом Ритца безразмерные перемещения U , V , W будем искать в виде

00

11­

k[  P O2 kK ; k 2 k3

где 11

2·

Здесь

» » ¼

Э,

2 2 · 1 § § w 2W · w 2W w 2W 2§ 4§ w W · ¨w W ¸ ¨ ¸ P O 4  O   ¨ ¨¨ 2 ¸¸  2PO2 2 1 ¨ wK2 ¸ ¨ w[wK ¸ 12 ¨ © w[ ¹ w[ wK2 © ¹ © ¹ ©

`

Отсюда Eh 5 ab

2

 2(1  P 2 ) P W d[dK.

½ 2(1  P 2 ) Eh 2 hP ([, K)W ¾ abd[dK . 4 Eh a ¿

Э

2

wV wU § wV · § wV · W  O4 ¨ W  k3W 2   2k1 ¸  P1O2 ¨ ¸  2O2 k 2 w K w[ w K w [ ¹ © ¹ ©

N

(3) (3) (3) ¦ ci M i \ i .

i 1

Здесь ci(1) , ci( 2) , ci(3) – неизвестные числовые параметры; Mi(1) , Mi( 2) , Mi(3) – известные аппроксимирующие функции переменной [ , удовлетворяющие при [

0, [ 1 заданным краевым условиям; \ i(1) , \ i( 2) ,

\ i(3) – известные аппроксимирующие функции переменной K, удовлетворяющие при K 0, K 1 заданным краевым условиям. Теперь выражения U , V , W подставляются в функционал полной энергии деформации, записанный в безразмерном виде, и в результате 49

функционал (2.30) становится функцией неизвестных параметров ci(1) ,

wЭ (1) wcm

ci( 2) , ci(3) :

11 N N ­ 2 ³ ³ ® ¦ ci(1) Mi(1)c\ i(1) M(m1)c\ (m1)  P1O2 ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1)cM(m1) \ (m1)c  i 1 0 0 ¯i 1 N

Э

11­ N °§

(1) (1)c (1) · ³ ³ ®¨ ¦ ci Mi \ i ¸ ¹ 00° ¯© i 1

2

2§

 P1O

c· ¨ ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1) ¸ ©i 1 ¹ N

 PO2M(m1)c\ (m1) ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2)c  i 1

2

N

N

N

N

i 1

i 1

i 1

i 1



N N ½  P1O2M(m1) \ (m1)c ¦ ci( 2) Mi( 2)c\ i( 2)  k1M(m1)c\ (m1) ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¾ d[dK 0, ¿ i 1 i 1

 2PO2 ¦ ci(1)Mi(1)c\ i(1) ¦ ci( 2)Mi( 2)\ i( 2)c  2P1O2 ¦ ci(1)Mi(1)\ i(1)c ¦ ci( 2)Mi( 2)c\ i( 2)  2

wЭ ( 2) wcm

11 N N ­ 2 ³ ³ ®PO2 ¦ ci(1) Mi(1)c\ i(1) M(m2) \ (m2)c  P1O2 ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1)cM(m2)c\ (m2)  i 1 i 1 00¯

N N §N ·  2k1 ¦ ci(1) Mi(1)c\ i(1) ¦ ci(3)Mi(3) \ i(3)  O4 ¨ ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2)c ¸  ©i 1 ¹ i 1 i 1

N

i 1

2

N N §N ·  P1O2 ¨ ¦ ci( 2)Mi( 2)c\ i( 2) ¸  2O2k2 ¦ ci( 2)Mi( 2)\ i( 2)c ¦ ci(3)Mi(3)\ i(3)  ©i 1 ¹ i 1 i 1

(3) wcm

2

N ½  2(1  P 2 ) P ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¾ d[dK . i 1 ¿

 k3 ¦ ci(3)Mi(3) \ i(3) M(m3) \ (m3)  i 1



Э c1(1) ,, c (N1) , c1( 2) ,, c (N2) , c1(3) ,, c (N3)

2º

» »¼

N N º cc  O4 ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) M(m3) \ (m3)cc  4P1O2 ¦ ci(3) Mi(3)c\ i(3)cM(m3)c\ (m3)c »  ¼ i 1 i 1

(2.33)



авычисляем производные от функции Э по cm(1) , cm( 2) , cm(3) и приравниваем к нулю: 50

1 ª N (3) (3)cc (3) (3)cc (3) ¦ ci Mi \ i Mm \ m  12 «¬i 1

N N § ·  PO2 ¨ M(m3)cc\ (m3) ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3)cc  ¦ ci(3) Mi(3)cc\ i(3) M(m3) \ (m3)cc ¸  © ¹ i 1 i 1

Для нахождения минимума функции (2.33) Э

11 N N ­ 2 ³ ³ ® k1 ¦ ci(1) Mi(1)c\ i(1) M(m3) \ (m3)  O2 k 2 ¦ ci( 2) Mi( 2)\ i( 2)cM(m3)\ (m3)  i 1 i 1 00¯ N

N N · 1 ª§ N cc cc cc  «¨ ¦ ci(3)Mi(3) \ i(3) ¸  2PO2 ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3)  12 «© i 1 ¹ i 1 i 1 ¬ 2

N N ½  P1O2 ¦ ci( 2) Mi( 2)c\ i( 2) M(m2)c\ (m2)  O2 k 2M(m2) \ (m2)c ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¾ d[dK 0, ¿ i 1 i 1

wЭ

2

§N ·  k3 ¨ ¦ ci(3) Mi(3)\ i(3) ¸  ©i 1 ¹

§N §N cc · c c· O4 ¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸  4P1O2 ¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸ ©i 1 ¹ ©i 1 ¹

c

 O4 ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2) M(m2)\ (m2)c 

 (1  P 2 ) P M(m3) \ (m3) ½¾ d[dK 0. ¿ Вводим обозначения: I1 (i, m) I 2 (i, m)

1

c

(1) (1) c ³ Mi M m d[ , J1 (i, m)

0

1

(1) (1) ³ \ i \ m dK ,

0

1

1

0

0

(1) c (1) c (1) (1) ³ Mi M m d[ , J 2 (i, m) ³ \ i \ m dK ,

51

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

( 2) (1) c ³ Mi M m d[ , J 3 (i, m)

I 3 (i, m)

0

1

0

0

1

( 2) c ( 2) c ³ M i M m d[ , 0

I12 (i, m)

( 2) ( 2) ³ \i \ m 0

J 7 (i, m)

1

1

0

0

1

1

(3) (3) ³ Mi M m d[ , 0

I 9 (i, m)

I11 (i, m)

a 2 N  m, i

dK ,

1

(3) cc (3) cc ³ M i M m d[ , 0

J 9 (i, m)

(2.34)

1

1

k3 I 9 J 9 

0

0

1

1

( 3) c

1

0

0

(1  P 2 ) P I13 J13 ,

(2.36)



(2.37)

вектор неизвестных имеет вид

c

(1) (1) ( 2) ( 2) (3) (3) T . 1 ,, c N , c1 ,, c N , c1 ,, c N

c

\ (m3) dK ,

( 3) (3) ³ M m d[ , J13 (m) ³ \ m dK .

В результате приходим к системе линейных алгебраических уравí åí èé (2.7), ãäå ýëåì åí òû ì àòðèöû A вычисляются по формулам

I1 J1  P1O2 I 2 J 2 ,

0 , b2 N  m m 1, 2, ..., N ,

C

³ \i

1

52

@

0 , bN m

bm

0

a m, i

>

1 I10 J 9  O4 I 9 J10  2PO2 I11J11  4P1O2 I12 J12 , 12 m 1, 2, ..., N , i 1, 2, ..., N ;

(3) (3) cc (3) (3) cc ³ Mi Mm d[ , J11 (i, m) ³ \ i \ m dK ,

I13 (m)

O2 k 2 I 8 J 8 ,

dK ,

(3) cc ( 3) cc ³ \ i \ m dK , 0

0

k1 I 5 J 5 ,

a2 N  m,2 N  i

1

(3) c (3) c ³ Mi M m d[ , J12 (i, m)

(2.35)

элементы вектора B

(3) (3) ³ \i \ m 0

J10 (i, m)

k 2 O2 I 8 J 8 ,

a 2 N  m, N  i

(3) ( 2) (3) ( 2) c ³ Mi M m d[ , J 8 (i, m) ³ \ i \ m dK ,

I 8 (i, m)

I10 (i, m)

1

O4 I 6 J 6  P1O2 I 7 J 7 ,

a N  m,2 N  i

( 2) c ( 2) c ( 2) ( 2) ³ Mi Mm d[ , J 6 (i, m) ³ \ i \ m dK ,

I 6 (i, m) I 7 (i, m)

a N  m, N  i

0

1

PO2 I 3 J 3  P1O2 I 4 J 4 ,

a N  m, i

(3) (1) c ³ Mi Mm d[ , J 5 (i, m) ³ \ i(3) \ (m1) dK ,

I 5 (i, m)

k1 I 5 J 5 ,

a m,2 N  i

( 2) (1) c ( 2) c (1) ³ Mi M m d[ , J 4 (i, m) ³ \ i \ m dK ,

I 4 (i, m)

PO2 I 3 J 3  P1O2 I 4 J 4 ,

a m, N  i

c

( 2) (1) ³ \ i \ m dK ,

После подстановки решения системы (2.7) в (2.32) получаем приближённое решение линейно-упругой задачи для пологой оболочки. 2.3. Алгоритмы решения нелинейно-упругих задач При решении нелинейно-упругих задач, как отмечается в работе Л. М. Качанова [11], удобно применить метод итераций (метод упругих решений А. А. Ильюшина). В этом случае на каждом этапе итерации решается линейно-упругая задача, но с дополнительными членами, учи53

тывающими физическую нелинейность. Функционал полной энергии деформации будем представлять в виде

Э

Э У  ЭП ,

(2.38)

где Э У – функционал, содержащий составляющие линейно-упругой задачи, а Э П – составляющие физической нелинейности. После применения процедуры метода Ритца придём к системе нелинейных уравнений (2.39) AC  B D , где матрица А и вектор B соответствуют линейной задаче (2.7), а вектор D содержит нелинейные слагаемые. Для решения системы (2.39) можно использовать метод итераций, т. е. рассматривать последовательность уравнений AC (0)

AC (1)  B D (С (0) ) , ………… AC  B D(С …………

( k 1)

),

(2.40)

В качестве критерия остановки итерационного процесса можно принять (k ) ( k 1)  Wmax Wmax (k ) Wmax

1l 2 ³ EI F dx , 20

(2.42)

где I задано соотношением (1.67). Если для Z(H i ) принять выражение (1.22), то

I

4 h5 2 m F 3 80

h/2

4 4 m z dz h / 2 3

F2 ³

4 h5 2 m wcc . 3 80

(2.43)

Согласно методу Ритца после подстановки приближённого решения wN (x) из (2.9) в функционал (1.68) получаем функцию параметров c1 ,..., c N

Э(c1 , ..., c N ) Э У (c1 , ..., c N )  Э П (c1 , ..., cN ) ,

(2.44)

где функция Э У (c1 ,..., c N ) определена формулой (2.24), а

B,

(k )

ЭП

 H,

(2.41)

Э П (c1 , ..., c N )

1 l §¨ § N · EI ¨ ¦ ci Mcic ¸ ³ 2 0 ¨© © i 1 ¹

2·

¸ dx. ¸ ¹

(2.45)

Неизвестные параметры c1 , c2 , , c N найдём из системы уравнений (2.39) методом итераций, в которой ami и bm вычисляются по формулам (2.12), а коэффициенты

dm

wЭ П wcm

l

§

0

©i

N

·

³ EI ¨ ¦ ci Mcic( x) ¸ Mcmc ( x) dx , 1

¹

(2.46)

m 1, 2,, N ,

где H  1 – заданная точность. 2.3.1. Стержень Для стержня при решении нелинейно-упругой задачи функционал полной энергии деформации (1.68) можно представить в виде (2.38), где Э У задан формулой (2.8), а 54

при условии, что величина I

4 h5 § N · m ¨ ¦ ci Mcic( x) ¸ 3 80 © i 1 ¹

известна на каждой итерации. 55

2

(2.47)

2.3.2. Пластина Для пластины из нелинейно-упругого материала функционал полной энергии деформации (1.72) приводится к виду (2.38), если через Э У обозначить функционал (2.13), а Э П принять следующим:





1 ab П П П ³ ³ M x F1  M y F2  2M xy F12 dxdy . 2 00

ЭП

(2.48)

Для функции Z(Hi ) используем аппроксимацию (1.22), тогда с учётом (1.29) и (1.8) получим Z(H i )

4 m z 2b , 3

где D

Eh 3 12(1  P 2 )

2 2 2º ª h 2 «§¨ w 2 w ·¸ §¨ w 2 w ·¸ w 2 w w 2 w §¨ w 2 w ·¸ »   2  I1 m . 5 «¨© wx 2 ¸¹ ¨© wy 2 ¸¹ wx wy 2 ¨© wxwy ¸¹ » ¬ ¼ В функционале (2.51) перейдём к безразмерным переменным (2.14). В результате преобразований получим

h2 mb 5

Э DЭ

ЭП

(2.49)

В результате подстановки в интеграл (1.67) получим h 2

4 m b z 4 dz 3 h

³

I



2 2 · º w W  2(1  P)O ¨ ¸ » d[dK . © wξwK ¹ ¼»

1 m h 5b . 60

(2.50)

(2.53)

Здесь величина

2

>

@

D ab 2 2 2 ³ ³ I F1  F1  2PF1F 2  2(1  P)F12 dxdy 2 00

ª § w2w · w2w w2w D a b «§¨ w 2 w ·¸ §¨ w 2 w ·¸ ¨ ¸   P I1 ¨ 2 ¸  ¨ 2 ¸  2P 2 2 ( 1 ) ³ ³ ¨ wxwy ¸ 2 0 0 «© wx ¹ © wy ¹ wx wy 2 © ¹ ¬ 2

(2.52)

2 2 11 ª 1 I «§¨ w 2W ·¸  O4 §¨ w 2W ·¸  2μλ 2 w 2W w 2W  ¨ wη2 ¸ 2 0³ 0³ 1 «¨© wξ 2 ¸¹ wξ 2 wη2 © ¹ ¬ 2§

Учитывая выражения для моментов (1.71) и (1.9), функционал (2.48) преобразуем к виду

ЭП

D Э У  Э П ,

где D и ЭУ заданы формулами (2.16), (2.17), а

где 2 b F12  F 22  F1F 2  F12 .

– цилиндрическая жесткость плиты;

2

56

2º

» dxdy , » ¼ (2.51)

I1

2 2 2º 2 · 2 2 2 h 4 m ª«§¨ w 2W ·¸ 4§ W w ¨ ¸  λ 2 w W w W  O2 §¨ w W ·¸ »  O (2.54) ¨ wη 2 ¸ 5a 4 «¨© wξ 2 ¸¹ wξ 2 wη 2 © wξwK ¹ » © ¹ ¬ ¼

согласно методу упругих решений на каждой итерации рассматривается как известная величина. Таким образом, в результате осуществления процедуры метода Ритца получим систему уравнений (2.39), в которой правая часть примет вид dm

w ЭП wcm 57

N · · h 4 m 1 1 ª§ N 8§ c c c c « c M \ M \  O ci Mi \cic ¸ Mm \cmc  O4 (1  P) u ¨ ¸ ¨ ¦ ¦ ³ ³ i i i m m 4 5a 0 0 «¬© i 1 ¹ ©i 1 ¹ 3

2 2 ­°§ N ½° ·§ N · §N · §N · c c c c c c c c u ®¨ ¦ ci Mi \i ¸ ¨ ¦ ci Mi \i ¸ Mm\ m  ¨ ¦ ci Mi \ i ¸ ¨ ¦ ci Mi \cic ¸Mm \cmc ¾  ¹©i 1 ¹ ©i 1 ¹ ©i 1 ¹ °¯© i 1 °¿ 2

3

Функционал полной энергии деформации оболочки (1.62) в усилиях и моментах будет иметь вид (1.38), где Э У определён формулой (2.24), а

^

`

1 ab П П П П П П ³ ³ H x N x  H y N y  J xy N xy  F1M x  F 2 M y  2F12 M xy dxdy , 2 00

3

ЭП

2

или с учетом (1.74)

§N · §N · §N ·  O (1  P)¨ ¦ ci Mcic\ i ¸ ¨ ¦ ci Mi \cic ¸Mcmc \ m  O2P¨ ¦ ci Mcic\ i ¸ M m \ cmc  ©i 1 ¹ ©i 1 ¹ ©i 1 ¹ 2

2.3.3. Оболочка

3

§N · §N ·§ N ·  O6P¨ ¦ ci Mi \ cic ¸ Mcmc \ m  O6 (1  P)¨ ¦ ci Mcic\ i ¸¨ ¦ ci Mi \ cic ¸ M m \ cmc  ©i 1 ¹ ©i 1 ¹© i 1 ¹

(2.56)

ЭП

2

· §N ·§ N  O2 ¨ ¦ ci Mcic\ i ¸¨ ¦ ci Mci \ci ¸ Mcmc \ m  ¹ ©i 1 ¹© i 1



2

2

ЭП

N

2 2 ­°§ N ½° · ·§ N · §N ·§ N u ®¨ ¦ ci Mi \cic ¸¨ ¦ ci Mci \ci ¸ Mcmc \ m  ¨ ¦ ci Mcic\i ¸¨ ¦ ci Mci \ci ¸ Mm\cmc ¾  ¹© i 1 ¹ ©i 1 ¹© i 1 ¹ °¿ °¯© i 1 3 ­°§ N · c c  2O (1  P)®¨ ¦ ci Mi \ i ¸ Mcm \cm  ¹ °¯© i 1 4

½º · ·§ N §N ·§ N  ¨ ¦ ci Mi \cic ¸¨ ¦ ci Mcic\ i ¸¨ ¦ ci Mci \ci ¸Mcm \cm ¾» d[ dK . ¹ ¹© i 1 ©i 1 ¹© i 1 ¿¼ 58

(2.57)

(1  P) . 2 Подставляя в (2.57) выражения (1.61), получим

§ · § ·  2O6 (1  P)¨ ¦ ci Mi \cic ¸ ¨ ¦ ci Mci \ci ¸Mcm\cm  O4P u ©i 1 ¹ ©i 1 ¹ N

`

где P1

·§ N ·  O ¨ ¦ ci Mi \cic ¸¨ ¦ ci Mci \ci ¸ Mm \cmc  ©i 1 ¹© i 1 ¹ N



2  I 3 F12  F 22  2PF1F 2  4P1F12 dxdy ,

2

6§



 2 I 2 H x F1  H y F 2  PH x F 2  PH y F1  2P1J xy F12 

§N · §N ·  2O (1  P)¨ ¦ ci Mcic\ i ¸ ¨ ¦ ci Mci \ci ¸Mcm\cm  ¹ ©i 1 ¹ ©i 1 2

1 E ab ³ ³ ^I1 H 2x  2PH x H y  H 2y  P1J 2xy  2 1  P2 0 0

(2.55)

1 E 2 1  P2

³ ³ ^I1 H x  2PH x H y  H y  P1J xy  ab

2

2

2

00

§ w2w w2w w2w w2w w 2 w ·¸  2 I 2 ¨¨ H x 2  H y 2  PH x 2  PH y 2  2P1J xy  wxwy ¸¹ wy wy wx © wx 2 § § 2 ·2 § 2 ·2 2 2 § w 2 w · ·¸½° w w w w w w w w ¨ ¸ ¾ dxdy  I 3 ¨ ¨¨ 2 ¸¸  ¨¨ 2 ¸¸  2P 2  4P1 ¨¨ . wxwy ¸¹ ¸¸° ¨ © wx ¹ © wy ¹ wx wy 2 © © ¹¿

(2.58)

Для функции Z(H i ) имеем аппроксимацию (1.22) Z(H i ) mH i2 , в которой величина квадрата интенсивности деформаций для оболочки (1.29) будет иметь вид 59

Hi2



4§ z ¨ Hx 3©

2



 H zx H zy  H zy

2





1 z J xy 4

2·

¸ ¹

4§ 1 2 2 2· ¨ H x  zF1  H x  zF1 H y  zF 2  H y  zF 2  J xy  2 zF12 ¸ 3© 4 ¹



b1

b3

(2.59)

2 . F12  F 22  F1F 2  F12

4 h4 1 1 m ³ ³ ^ I1 H x2  2PO2 H x H y  O4 H y2  P1O2 J 2xy  3 a4 0 0

2 2 ª§ 2 · 2 2 2 § w 2W · § w 2W · º ½° w W w W w W 2 4 2 « ¸ » ¾ d[dK  I 3 ¨¨ 2 ¸¸  O ¨¨ 2 ¸¸  2PO  4P1O ¨¨ , 2 2 ¸ » w [ w K «© w[ ¹ w[ wK © wK ¹ © ¹ ¼ °¿ ¬ (2.63)

Тогда для оболочки

Z(H i )



, ЭУ имеет вид (2.30), а

§ w 2W w 2W ·¸ w 2W w 2W w 2W 2 2  2 I 2 ¨¨ H x 2  O4 H y  PO H  PO H  2 P O J  x y 1 xy w[wK ¸¹ wK 2 wK2 w[ 2 © w[

где

b2

2(1  P 2 )a 4

ЭП



4 b1  zb2  z 2b3 , 3

1 H 2x  H x H y  H 2y  J 2xy ; 4 2H x F1  H y F1  H x F 2  2H y F 2  J xy F12 ;

Eh 5 ab

Здесь D

4 h5 m I1 , I1 3 a4

I1



4 m b1  zb2  z 2b3 . 3

(2.60) I2

С учётом (2.60) вычислим интегралы I1 , I 2 , I 3 :

I1



h/2

h/2

I2 I3



4 2 ³ m b1  zb2  z b3 dz 3 h / 2

h/2

4 §¨ h3 · m¨ h b1  b3 ¸¸ , 3 © 12 ¹ 3

³ 3 mb1  zb2  z 2b3 zdz 3 m 12 b2 , h / 2 4

4





4 2 2 ³ m b1  zb2  z b3 z dz h / 2 3

h

(2.61)

b2

4 §¨ h 3 h5 · m¨ b1  b3 ¸¸ . 3 © 12 80 ¹

2H x

w 2W w[ 2

Преобразуем функционал (1.38) к виду

Э

D  ЭУ  ЭП ,

(2.62)

4 h5  m 4 I2 , I2 3 a

b2 , 12

(2.64)

4 h5 m I3 , I3 3 a4

b1

1 H x2  O2 H x H y  O4 H 2y  O2 J 2xy , 4

 O2 H y

w 2W w[ 2

 O2 H x

w 2W wK 2

1 1 b1  b3 ; 80 12

 2O4 H y

w 2W wK 2

 O2 J xy

w 2W , (2.65) w[wK 2

2

2 2 § 2 · § w 2W · § 2 · ¸  O4 ¨ w W ¸  O2 w W w W  O2 ¨ w W ¸ . ¨ ¨ w[ 2 ¸ ¨ wK 2 ¸ ¨ w[wK ¸ w[ 2 wK 2 © ¹ © ¹ © ¹

После преобразования (2.63) с учётом (2.27) получим

переходя к безразмерным переменным по формулам (2.25). 60

1 b3 , 12

I3

2

b3

b1 

61

2 2 § wU · wU wV 4 h 4 1 1 ­° ª§ wU ·  m 4 ³ ³ ® I1 «¨ ¸  P1O2 ¨ ¸  2PO2 w[ wK wK ¹ 3 a 0 0 ° «¬© w[ ¹ © ¯

ЭП



ЭП ci(1) , ci(3) , ci(3)

2 2 4 h 4 1 1 ­° ª§ N (1) (1)c (1) · §N c· m 4 ³ ³ ® I1 «¨ ¦ ci Mi \ i ¸  P1O2 ¨ ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1) ¸  3 a 0 0 ° «© i 1 ¹ ¹ ©i 1 ¯ ¬

wU wV wU  2k1  2P1O2 W wK w[ w[ 2 2 º wV · 2 § wU · W  k3W 2 »  O ¨ ¸  2O2 k 2 ¸  P1O ¨ wK »¼ © wK ¹ © w[ ¹

 PO2

2

N

i 1

i 1

N

2

2

c

N

c

 2P1O2 ¦ ci(1)Mi(1)\ i(1) ¦ ci( 2)Mi( 2) \ i( 2) 

ª wU w W wU w W wV w W w W w W  2I 2 «  O4  k1W  k 4W  PO2  2 2 2 2 2 w [ w K w [ w [ w K w [ w K w K ¬ 2

N

 2PO2 ¦ ci(1) Mi(1)c\ i(1) ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2)c 

4 § wV

2



i 1

i 1

N

N

i 1

i 1

 2k1 ¦ ci(1) Mi(1)c\ i(1) ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) 

2 2 wV w 2W 2 wV w W º 2 wU w W  2 P O  2 P O » 1 1 wK w[wK w[ w[wK ¼ wK w[ 2

2

2 2 º½ ª§ 2 · 2 2 2 w W¸ w 2W ·¸ w 2W ·¸ » ° 4§ 2w W w W 2§ « ¨ ¨ ¨  4P1O ¨  I 3 ¨ 2 ¸  O ¨ 2 ¸  2PO ¾ d[dK . w[wK ¸¹ » ° «© w[ ¹ wK ¹ w[ 2 wK 2 © © ¼¿ ¬

(2.66)

2

§N · §N ·  O4 ¨ ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2)c ¸  P1O2 ¨ ¦ ci( 2) Mi( 2)c\ i( 2) ¸  ©i 1 ¹ ©i 1 ¹ 2

 2O

N

N c k 2 ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2) ¦ ci(3) Mi(3)\ i(3) i 1 i 1

§N ·  k3 ¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸ ©i 1 ¹

ª§ N · ·§ N  2 I 2 «¨ ¦ ci(1) Mi(1)c\ i(1) ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3)cc\ i(3) ¸  ¹ ¹© i 1 ¬© i 1

Здесь

k4

k K  P O2 k [ .

(2.67)

§N ·§ N ·  O4 ¨ ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2)c ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3)cc ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

В соответствии с методом Ритца безразмерные перемещения U , V , W , обеспечивающие минимум функционала (2.62), будем искать в виде (2.32). После подстановки U , V , W (2.32) в функционал (2.68)

§N ·§ N · cc  k1¨ ¦ ci(3) Mi(3)\ i(3) ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

получаем функцию неизвестных параметров ci(1) , ci( 2) , ci(3) :

§N ·§ N ·  k 4 ¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3)cc ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹



Э ci(1) , ci( 2) , ci(3)











Э У ci(1) , ci( 2) , ci(3)  ЭП ci(1) , ci( 2) , ci(3) ,

(2.68)

§N ·§ N ·  PO2 ¨ ¦ ci(1) Mi(1)c\ i(1) ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3)cc ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

где Э У совпадает с (2.33), а 62

63

2º

» »¼

·§ N · §N  PO2 ¨ ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2)c ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3)cc\ i(3) ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

· ·§ N §N cc  k5 ¨ ¦ ci(3) Mi(3)\ i(3) ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸  ¹ ¹© i 1 ©i 1

· §N ·§ N  2P1O2 ¨ ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1)c ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3)c\ i(3)c ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

· §N ·§ N  O2 ¨ ¦ ci( 2)Mi( 2)\i( 2)c ¸¨ ¦ ci(3)Mi(3)cc\ i(3) ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

·º §N ·§ N  2P1O2 ¨ ¦ ci( 2)Mi( 2)c\ i( 2) ¸¨ ¦ ci(3)Mi(3)c\ i(3)c ¸»  ¹¼ ©i 1 ¹© i 1

§N ·§ N c cc ·  O2 ¨ ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1) ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸ – ¹ ©i 1 ¹© i 1

2 ª§ N N N (3) (3)cc (3) ·  I 3 «¨ ¦ ci Mi \ i ¸  2PO2 ¦ ci(3)Mi(3)cc\i(3) ¦ ci(3)Mi(3)\i(3)cc  ¹ i 1 «¬© i 1 i 1

§N ·§ N ·  O2k6 ¨ ¦ ci(3)Mi(3)\ i(3) ¸¨ ¦ ci(3)Mi(3)\ i(3)cc ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

2

§N §N cc · c c·  O4 ¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸  4P1O2 ¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸ ©i 1 ¹ ©i 1 ¹

§N ·§ N ·  2O4 ¨ ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2)c ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3)cc ¸  ¹ ©i 1 ¹© i 1

2 º½

° » ¾ d[dK. »¼ °¿

(2.69)

§N ·§ N ·  O2 ¨ ¦ ci(1)Mi(1)\ i(1)c ¸¨ ¦ ci(3)Mi(3)c\ i(3)c ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

Так как на каждой итерации метода упругих решений необходимо

§N ·§ N ·  O2 ¨ ¦ ci( 2) Mi( 2)c\ i( 2) ¸¨ ¦ ci(3)Mi(3)c\ i(3)c ¸ ; ©i 1 ¹© i 1 ¹

заново вычислять I1 , I 2 , I 3 , запишем выражения для b1 , b2 , b3 . 2

b1

2

§ N (1) (1)c (1) · §N c· ¨ ¦ ci Mi \ i ¸  O4 ¨ ¦ ci( 2)Mi( 2)\ i( 2) ¸  ©i 1 ¹ ©i 1 ¹

§N § N (3) (3) cc (3) · cc · ¨ ¦ ci Mi \ i ¸  O4 ¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸  ©i 1 ¹ ©i 1 ¹

b3

2 N N (3) (3) cc (3) ·§ (3) (3) (3) cc · (3) (3) c (3) c · 2§ ¨ ¦ ci Mi \ i ¸¨ ¦ ci Mi \ i ¸  O ¨ ¦ ci Mi \ i ¸ , ©i 1 ¹© i 1 ¹ ©i 1 ¹

2§

O

§N ·§ N · c  k5 ¨ ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1) ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

N

§N ·§ N · 2¨ ¦ ci(1)Mi(1)c\ i(1) ¸¨ ¦ ci(3)Mi(3)cc\i(3) ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹ 64

2 k[  O2 kK ; k6

k5

2

b2

(2.72)

где

N §N · §N · c ·§  O k 6 ¨ ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2) ¸¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸  k 7 ¨ ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) ¸ ; (2.70) ©i 1 ¹© i 1 ¹ ©i 1 ¹ 2

2

2

§N ·§ N ·  O2 ¨ ¦ ci(1) Mi(1)c\ i(1) ¸¨ ¦ ci( 2)Mi( 2) \ i( 2)c ¸  ©i 1 ¹© i 1 ¹

(2.71)

k7

k[  2O2 kK ;

Для нахождения минимума функции (2.68) Э

(2.73)

k[2  O2 kK k[  O4 kK2 .



Э c1(1) , , c N(1) , c1( 2) , , c N( 2) , c1(3) , , c N(3) 65



вычисляем производные функции Э по cm(1) , cm( 2) , cm(3) , m 1, 2, ..., N , и приравниваем к нулю. При этом согласно методу упругих решений при дифференцировании величины I1 , I 2 , I 3 считаются постоянными. В результате получим систему нелинейных уравнений (2.39), в которой компоненты матрицы A и вектора B заданы формулами (2.35), (2.36), а элементы вектора D следующие: 1 w ЭП 2 wcm(1)

dm

N º½  2P1O2M(m2)c \ (m2) ¦ ci(3) Mi(3)c\ i(3)c » ¾d[dK , i 1 ¼¿

1 wЭП 2 wcm(3)

d2N m

N

N

N

i 1

i 1

c

i 1

N º  2k3 ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) M(m3) \ (m3) »  i 1 ¼ N ªN  2 I 2 « ¦ ci(1)Mi(1)c\ i(1)M(m3)cc\ (m3)  O4 ¦ ci( 2)Mi( 2)\i( 2)cM(m3)\ (m3)cc  ¬i 1 i 1

i 1

N

N 2 h4 1 1 ­ ª c m 4 ³ ³ ® I1 «  2k1 ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1) M(m3) \ (m3)  3 a 00¯ ¬ i 1

 2O2 k 2 ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2) M(m3) \ (m3) 

2 h 4 1 1 ­ ª N (1) (1)c (1) (1)c (1) m ³ ³ ® I1 2 ¦ ci Mi \ i Mm \ m  3 a 4 0 0 ¯ «¬ i 1

 2P1O2 ¦ ci(1)Mi(1)\i(1)cM(m1)\ (m1)c 

(2.74)

 2PO2M(m1)c\ (m1) ¦ ci( 2)Mi( 2)\ i( 2)c  2P1O2M(m1)\ (m1)c ¦ ci( 2)Mi( 2)c\ i( 2) 

N

N

i 1

i 1

N

N

i 1

i 1

 k1M(m3) \ (m3) ¦ ci(3) Mi(3)cc\ i(3)  k1 ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) M(m3)cc\ (m3) 

N º  2k1M(m1)c\ (m1) ¦ ci(3)Mi(3) \ i(3) »  i 1 ¼

 k4M(m3)\ (m3) ¦ ci(3)Mi(3)\ i(3)cc  k4 ¦ ci(3)Mi(3)\ i(3)M(m3)\ (m3)cc 

N N ª  2 I 2 «M(m1)c\ (m1) ¦ ci(3)Mi(3)cc\ i(3)  PO2M(m1)c\ (m1) ¦ ci(3)Mi(3)\i(3)cc  ¬ i 1 i 1

 PO2 ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1) M(m3) \ (m3) cc  PO2 ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2) M (m3) cc \ (m3) 

c cº ½  2P1O2M(m1) \ (m1)c ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) » ¾ d[dK , ¼¿ i 1 N

d N m

1 wЭП 2 wcm( 2) N

N 2 h4 1 1 ­ ª c c m 4 ³ ³ ® I1 « 2PO2 ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1) M(m2) \ (m2)  3 a 00¯ ¬ i 1 N

c

c

N

N

c

i 1

c

i 1

N N º c c  2P1O2 ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1) M (m3) c \ (m3) c  2P1O2 ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2) M (m3) c \ (m3) c »  i 1 i 1 ¼ N ª N cc  I 3 «2 ¦ ci(3)Mi(3)cc\ i(3)M(m3)cc\ (m3)  2O4 ¦ ci(3)Mi(3)\ i(3) M(m3)\ (m3)cc  ¬ i 1 i 1 N

N

 2P1O2 ¦ ci(1) Mi(1) \ i(1) M(m2)c\ (m2)  2O4 ¦ ci( 2) Mi( 2) \ i( 2) M(m2) \ (m2)c 

 2PO2M(m3)cc\ (m3) ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3)  2PO2M(m3) \ (m3)cc ¦ ci(3) Mi(3) \ i(3) 

N N º  2P1O2 ¦ ci( 2)Mi( 2)c\ i( 2)M(m2)c\ (m2)  2O2k2M(m2)\ (m2)c ¦ ci(3)Mi(3)\ i(3) »  i 1 i 1 ¼

N º½  8P1O2 ¦ ci(3)Mi(3)c\ i(3)cM(m3)c\ (m3)c » ¾ d[dK , i 1 ¼¿ m 1, 2, ..., N .

i 1

i 1

N N ª cc cc  2 I 2 «M(m2)\ (m2)c ¦ ci(3)Mi(3)\ i(3)  PO2M(m2)\ (m2)c ¦ ci(3)Mi(3) \ i(3)  i 1 i 1 ¬

66

cc

i 1

i 1

67

cc

2.4. Алгоритмы решения задач ползучести

2.4.1. Стержень

При учёте ползучести материала решается квазистатическая задача. При этом функционал полной энергии деформации конструкции представляется в виде

Функционал полной энергии деформации для стержня с учётом ползучести материала имеет вид (1.80) или (2.75), где Э У задан формулой (2.8), а с учётом (1.79)

Э(t k ) Э У (t k )  Э С (t k ),

(2.75)

Э С (t k ) где Э У – функционал, содержащий составляющие линейно-упругой задачи, а Э С содержит составляющие задачи ползучести. Минимум м функционала (2.75) также будем искать методом Ритца, в результате применения которого получим систему уравнений вида

AC (t k )  B

DC (t0 ), C (t1 ), , C (tk 1 ) ,

(2.76)

где матрица A и вектор B соответствуют линейной задаче (2.7), а вектор D содержит слагаемые, связанные с учётом ползучести материала. Для решения системы (2.76) согласно методу упругих решений составляем итерационную последовательность

AC (t0 )  B AC (t1 )  B

0

j 1

(2.78)

или

Э С (t k )

l

w 2 w(t )

0

wx 2

³ EI

k

w 2 w(t j 1 )

j 1

wx 2

¦

R1 (t k , t j 1 )'t dx .

(2.79)

Приближённое решение будем искать в виде w | wN ( x )

N

¦ ci (t k )Mi ( x) ,

(2.80)

i 1

где c1 , c2 , c N – параметры, зависящие от времени tk . Подставляем

DC (t0 ) ,

(2.77)

t0 решение поставленной задачи совпадает

с решением упругой задачи AC (t 0 )

k

³ EI F(t ) ¦ F(t j 1 )R1 (t k , t j 1 )'t dx ,

0,

AC (t 2 )  B DC (t 0 ), C (t1 ) , ……………………………… AC (t k )  B DC (t0 ), C (t1 ), , C (tk 1 ) . В момент времени t

l

B . Последовательно увеличивая t

(2.79) в функционал (2.75), где Э С имеет вид (2.78). В результате получим функцию

Э(c1 , ..., cn ) Э У (c1 , ..., c N )  ЭС (c1 , ..., c N ) ,

(2.81)

где Э У (c1 , ..., c N ) имеет вид (2.24), а для Э С (c1 , ..., c N ) справедливо выражение

от t0 до t k , вычисляем коэффициенты разложения C (t j ) для различных моментов времени t j , j 1, 2, , k . Из решения этой системы находим коэффициенты разложения метода Ритца в каждый момент времени. Параметр t увеличивается до тех пор, пока прогибы не начнут резко возрастать или стабилизируются. 68

Э С (c1 ,, c N )

l§

N

k

N

·

0©

i 1

j 1

i 1

¹

³ ¨¨ EI ¦ ci (t k )Mcic ¦ R1 (t k , t j 1 )'t ¦ ci (t j 1 )Mcic ¸¸ dx . (2.82)

69

Следуя методу Ритца, составляем уравнения вида (2.76), вычисляя производные функции (2.81) и приравнивая их к нулю. При этом учитываем, что в момент времени tk значения параметров ci (t j 1 ) ,

ami

l

k

j 1

 O4

i 1

В результате получаем систему уравнений вида (2.76), в которой и bm вычисляются по формулам (2.12), а коэффициенты

dm

k

N

j 1

i 1

¦ R1 (t k , t j 1 )'t ¦ ci (t j 1 )ami , m 1, 2, , N .

(2.83)

2.4.2. Пластина Функционал полной энергии деформации для пластины имеет вид (1.46). Интегрируя этот функционал по z в пределах от  h / 2 до h / 2 и учитывая выражения для внутренних моментов (1.19) и (1.81), получим выражение (2.75). Здесь Э У вычисляется по формуле (2.13), а с учётом (1.82)

Э С (t )

2 w W (t ) k w W (t j 1 ) R1(tk , t j 1 ) 't  « ³³ 2 ¦ 2 w [ w [ 1 j 00« ¬

N

³ EI Mcmc ¦ R1 (t k , t j 1 )'t ¦ ci (t j 1 )Mcic dx .

0

11 ª 2

ЭС

j 1, 2, , k , уже известны, т. е. wЭ C wcm (t k )

где D и ЭУ заданы выражениями (2.16), (2.17), а

abª k D ³ ³ «F1 (t ) ¦ F1 (t j 1 )  PF 2 (t j 1 ) R1 (t k , t j 1 )'t  j 1 00¬

 F 2 (t ) ¦ F 2 (t j 1 )  PF 2 (t j 1 ) R1 (t k , t j 1 )'t 

­° w 2W (t ) k w 2W (t j 1 )  PO2 ® R1 (tk , t j 1 ) 't  2 ¦ 2 °¯ w[ j 1 wK 2 ½° w 2W (t ) k w W (t j 1 )  R ( t , t ) ' t ¦ ¾ 1 k j  1 wK2 j 1 w[ 2 °¿  2(1  P)O2

2 º w 2W (t ) k w W (t j 1 ) R2 (t k , t j 1 ) 't » d[dK . ¦ w[wK j 1 w[wK »¼

(2.86)

Следуя методу Ритца, искомую функцию прогиба будем искать в виде W ([, K, t ) | WN

N

¦ ci (t k )Mi ([)\ i (K) ,

i 1

(2.87)

где Mi ([) , \ i (K) – известные базисные функции, удовлетворяющие заданным краевым условиям. После подстановки (2.87) в функционал

k

j 1

2 w 2W (t ) k w W (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 ) 't  ¦ wK2 j 1 wK2

(2.84)

(2.85) придём к задаче отыскания минимума функции Э (c1 , c2 , , c N ) параметров c1 (tk ), c2 (tk ), , c N (tk )

º  2(1  P)F12 (t ) ¦ F12 (t j 1 ) R2 (t k , t j 1 )'t » dxdy . j 1 ¼ k

Э (c1 , c2 , , c N )

Перейдём в функционале (2.75) к безразмерным переменным (2.14). В результате придём к безразмерному функционалу вида Э DЭ 70

D ( Э У  ЭС ) ,

(2.85)

Э У (c1 , c2 , , c N )  ЭC (c1 , c2 , , c N ) ,

(2.88)

где Э У (c1 , c2 ,, c N ) имеет вид (2.19), а ЭС (c1 , c2 ,, c N )

11ª N

k

N

³ ³ «¦ ci (t k )Mcic\ i ¦ ¦ ci (t j 1 )Mcic\ i R1 (tk , t j 1 ) 't  j 1 i 1 0 0 ¬i 1 71

N

k

i 1

j 1i 1

2.4.3. Оболочка

N

 O4 ¦ ci (t k )Mi \cic ¦ ¦ ci (t j 1 )Mi \cicR1 (t k , t j 1 ) 't 

Функционал полной энергии деформации для оболочки с учётом ползучести материала имеет вид (1.46). После интегрирования этого функционала по z в пределах от  h / 2 до h / 2 и введения внутренних усилий (1.20) и (1.84) получим выражение (2.75), где Э У (t k ) имеет вид

k N §N  PO2 ¨¨ ¦ ci (t k )Mcic\ i ¦ ¦ ci (t j 1 )Mcic\ i R1 (t k , t j 1 ) 't  j 1i 1 ©i 1

·

N

k

i 1

j 1 i 1

N

N

k

j

¹

º ¦ ci (t j 1 )Mci \ci R2 (tk , t j 1 ) 't » d[ dK . (2.89) 1 i 1 ¼

 2(1  P)O2 ¦ ci (t k )Mci \ci ¦ i 1

(2.24), а для Э С получим выражение

¦ ci (t j 1 )Mi \cicR1 (t k , t j 1 ) 't ¸¸ 

 ¦ ci (t k )Mi \cic ¦

N

Для определения неизвестных параметров c1 (tk ) , c2 (tk ) , cN (tk ) , обеспечивающих минимум функции (2.89), необходимо составить систему уравнений вида wЭ wЭ wЭ 0, 0, , 0. wc1 (t k ) wc2 (t k ) wc N (t k ) В результате придём к системе нелинейных уравнений (2.76), где аami , bm заданы формулами (2.21), а коэффициенты d m можно представить в виде

1ab ³ ³ 2^H x (tk ) N xС  H y (tk ) N yС  J xy (tk ) N xyС  200

Э С (t k )

С`  F1 (t k ) M xС  F 2 (t k ) M yС  2F12 (t k ) M xy dxdy ,

(2.92)

или с учётом (1.84)

Э С (t )

k 1 Eh a b ª 2 ( t ) H H x (t j 1 )  PH y (t j 1 ) R1 (t k , t j 1 )'t  ¦ « ³ ³ x k 2 1 P2 00 ¬ j 1





 H y (tk ) ¦ H y (t j 1 )  PH x (t j 1 ) R1(tk , t j 1 )'t  k

j 1

k

d m (tk 1 )

k

§

j 1

©i

N

 P1J xy (t ) ¦ J xy (t j 1 ) R2 (tk , t j 1)'t 

·

j 1

c ¸ ¦ R1(tk , t j 1)'t ¨ ¦ ci (t j 1)ami 1

¹

§ · cc ¸ .  ¦ R2 (tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci (t j 1 )ami j 1 ©i 1 ¹ Здесь с учётом обозначений (2.22) k



N

(2.90)

k h2 ­ ®F1 (t k ) ¦ F1 (t j 1 )  PF 2 (t j 1 ) R1 (t k , t j 1 )'t  12 ¯ j 1





 F 2 (tk ) ¦ F 2 (t j 1 )  PF1 (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )'t  k

j 1

c aim

I1 J 2  O4 I 2 J1  PO2 ( I 3 J 4  I 4 J 3 ) , cc aim

2(1  P )O2 I 5 J 5 .

(2.91)

k ½º  4P1F12 (t k ) ¦ F12 (t j 1 ) R2 (t k , t j 1 )'t ¾» dxdy . j 1 ¿¼»

(2.93)

Перейдём к безразмерным переменным по формулам (2.25)–(2.27). В результате получим безразмерный функционал 72

73

Э (t k )

Eh5 ab ЭУ (tk )  ЭC (tk ) , 2(1  P 2 )a 4

j 1

11

ª wU (tk )

³ ³ 2« 0 0 ¬ w[

k

¦

wU (t j 1 )

j 1

w[

R1(tk , t j 1 )'t 

wU (t k ) k wU (t j 1 ) R2 (t k , t j 1 )'t  ¦ wK j 1 wK

 P1O2

 PO2

wU (tk ) k wV (t j 1) R1(tk , t j 1 )'t  ¦ w[ j 1 wK

 PO2

wV (tk ) k wU (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )'t  ¦ wK j 1 w[

wU (tk ) k wV (t j 1) R2 (tk , t j 1 )'t   P1O ¦ wK j 1 w[  P1O2

wV (tk ) wU (t j 1 ) R2 (tk , t j 1 )'t  ¦ w[ j 1 wK wU (tk ) k ¦W (t j 1) R1 (tk , t j 1 )'t  w[ j 1

 k1

k

 k1W (tk ) ¦

wU (t j 1 )

j 1

 O4

w[

R1 (tk , t j 1 )'t 

wV (tk ) k wV (t j 1 ) R1 (tk , t j 1 )'t  ¦ wK j 1 wK

wV (t k ) k wV (t j 1 ) R2 (t k , t j 1 )'t   P1O ¦ w[ j 1 w[ wV (tk ) k  O2k2 ¦W (t j 1) R1 (tk , t j 1 )'t  wK j 1 2

74

R1 (tk , t j 1 )'t 

k

j 1



2 1 ­° w 2W (tk ) k w W (t j 1) R1 (tk , t j 1) 't  ¦ ® 12 ° w[ 2 j 1 w[2 ¯

4

O

w 2W (tk ) wK2

k

¦

w 2W (t j 1 )

j 1

wK2

R1 (tk , t j 1 ) 't 

§ w 2W (t ) k w 2W (t j 1) k  PO2 ¨ R1 (tk , t j 1 ) 't  ¦ ¨ w[2 j 1 wK2 © 

2

k

wK

 k 3W (t k ) ¦ W (t j 1 ) R1 (t k , t j 1 )'t 

где Э У равно (2.33), а для ЭC имеем выражение ЭС (tk )

wV (t j 1 )

k

 O2 k 2W (tk ) ¦

(2.94)

 4P1O2

w 2W (tk ) wK2

k

¦

w 2W (t j 1 )

j 1

w[ 2

· R1 (t k , t j 1 ) 't ¸  ¸ ¹

2 ½°º w 2W (t k ) k w W (t j 1 ) ' R ( t , t ) t ¦ ¾» d[dK . 2 k j 1 w[wK j 1 w[wK °¿»¼

(2.95)

В соответствии с методом Ритца безразмерные перемещения будем искать в виде (2.32), где ci(1) (t k ) , ci( 2) (t k ) , ci(3) (t k ) , k 1, 2, , – неизвестные числовые параметры в момент времени tk . После подстановки (2.32) в функционал полной энергии деформации, записанный в безразмерном виде (2.94), получаем функцию неизвестных параметров ci(1) (t k ) , ci( 2) (t k ) , ci(3) (t k ) , минимум которой надо найти: Э (ci(1) (tk ), ci( 2) (tk ), ci(3) (tk )) ЭУ (ci(1) (t k ), ci( 2) (t k ), ci(3) (t k ))  ЭC (ci(1) (t k ), ci( 2) (t k ), ci(3) (t k )) , где Э У (ci(1) (t k ), ci( 2) (t k ), ci(3) (t k )) имеет вид (2.33), а 75

(2.96)

ЭС (t k )

11

ªN

00

¬i

³ ³ 2 «¦ ci 1

(1)

k

N

(t k )Mi(1)c\ i(1) ¦ ¦ ci(1) (t j 1 )Mi(1)c\ i(1) R1 (t k , t j 1 )'t  j 1i 1

N

k

N

i 1

j 1i 1

N

k

i 1

j 1i 1

 P1O2 ¦ ci(1) (t k )Mi(1) \ i(1)c ¦ ¦ ci(1) (t j 1 )Mi(1) \ i(1)c R2 (t k , t j 1 )'t  N

 PO2 ¦ ci(1) (t k )Mi(1)c\ i(1) ¦ ¦ ci( 2) (t j 1 )Mi( 2) \ i( 2)c R1 (t k , t j 1 )'t  N

k

N

i 1

j 1i 1

 PO2 ¦ ci( 2) (t k )Mi( 2) \ i( 2)c ¦ ¦ ci(1) (t j 1 )Mi(1)c\ i(1) R1 (t k , t j 1 )'t  N

k

N

i 1

j 1i 1

 P1O2 ¦ ci(1) (t k )Mi(1) \ i(1)c ¦ ¦ ci( 2) (t j 1 )Mi( 2)c\ i( 2) R2 (t k , t j 1 )'t  N

k

N

i 1

j 1i 1

 P1O2 ¦ ci( 2) (t k )Mi( 2)c\ i( 2) ¦ ¦ ci(1) (t j 1 )Mi(1) \ i(1)c R2 (t k , t j 1 )'t  N

 k1 ¦

i 1

ci(1) (t k )Mi(1)c\ i(1)

k

N

¦¦

j 1i 1

ci(3) (t j 1 )Mi(3) \ i(3)

N

k

i 1

j 1i 1

N

k

i 1

j 1i 1

R1 (t k , t j 1 )'t 

N

 k1 ¦ ci(3) (t k )Mi(3) \ i(3) ¦ ¦ ci(1) (t j 1 )Mi(1)c\ i(1) R1 (t k , t j 1 )'t  N

 O4 ¦ ci( 2) (t k )Mi( 2) \ (i 2)c ¦ ¦ ci( 2) (t j 1 )Mi( 2) \ i( 2)c R1 (t k , t j 1 )'t  N

k

i 1

j 1i 1



k N 1 ­ N ( 3) (3)cc ( 3) ( 3) (3)cc ( 3) ®¦ ci (t k )Mi \ i ¦ ¦ ci (t j 1 )Mi \ i R1 (t k , t j 1 ) 't  12 ¯i 1 j 1i 1

N

k

N

i 1

j 1i 1

 O4 ¦ ci(3) (t k )Mi(3) \ i(3)cc ¦ ¦ ci(3) (t j 1 )Mi(3) \ i(3)cc R1 (t k , t j 1 ) 't  N

k

i 1

j 1 i 1

 PO2 ¦ ci(3) (t k )Mi(3)cc \ i(3) ¦

N

cc

¦ ci(3) (t j 1 )Mi(3)\ i(3) R1 (tk , t j 1 ) 't 

N

k

N

i 1

j 1i 1

 PO2 ¦ ci(3) (t k )M(i 3) \ i(3)cc ¦ ¦ ci(3) (t j 1 )Mi(3)cc\ i(3) R1 (t k , t j 1 ) 't  N k N ½º  4P1O2 ¦ ci(3) (t k )Mi(3)c\ i(3)c ¦ ¦ ci(3) (t j 1 )Mi(3)c\ i(3)c R2 (t k , t j 1 ) 't ¾» d[dK. i 1 j 1i 1 ¿»¼ (2.97)

Для определения неизвестных параметров ci(1) (tk ) , ci( 2) (tk ) , ci(3) (t k ) , i 1, 2, , N , для момента времени tk , обеспечивающих минимум функции (2.96), составляем систему уравнений вида (2.76) из условий wЭ wcm(1)

wЭ wcm( 2)

0,

0,

wЭ wcm(3)

0, m 1, 2, , N .

N

 P1O2 ¦ ci( 2) (t k )Mi( 2)c\ i( 2) ¦ ¦ ci( 2) (t j 1 )Mi( 2)c\ i( 2) R2 (t k , t j 1 )'t  N

k

N

i 1

j 1i 1

N

k

i 1

j 1i 1

N

k

i 1

j 1i 1

 O2 k 2 ¦ ci( 2) (t k )Mi( 2) \ i( 2)c ¦ ¦ ci(3) (t j 1 )Mi(3) \ i(3) R1 (t k , t j 1 )'t  N

 O2 k 2 ¦ ci(3) (t k )Mi(3) \ i(3) ¦ ¦ ci( 2) (t j 1 )Mi( 2) \ i( 2)c R1 (t k , t j 1 )'t  N

В этой системе amj , bm заданы формулами (2.35), (2.36), а dm

k

§

j 1

©i

N

·

(1) ¦ R1(tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci (t j 1 )amc ,i ¸  1

¹

k §N · cc ,i ¸   ¦ R2 (tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci(1) (t j 1 )am j 1 ©i 1 ¹

 k3 ¦ ci(3) (t k )Mi(3) \ i(3) ¦ ¦ ci(3) (t j 1 )Mi(3) \ (i 3) R1 (t k , t j 1 )'t 

k §N · c , N i ¸   ¦ R1 (tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci( 2) (t j 1 )am ©i 1 ¹ j 1

76

77

c , N i am

k · §N cc , N i ¸   ¦ R2 (tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci( 2) (t j 1 )am j 1 ©i 1 ¹

a cN  m, i

k §N ·  ¦ R1 (t k , t j 1 )'t ¨ ¦ ci(3) (t j 1 )a m,2 N  i ¸ , ©i 1 ¹ j 1

a cN  m, N  i a2c N  m, 2 N  i

§ N (1) · ¦ R1(tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci (t j 1 )acN  m,i ¸  j 1 ©i 1 ¹ k

d N m

§N ·  ¦ R2 (tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci(1) (t j 1 )acNc  m,i ¸  j 1 ©i 1 ¹

cc , i PO2 I 3 J 3 ; am PO2 I 3 J 3 ; a cNc  m, i

(2.98)

k3 I 9 J 9 

>

>

j 1

©i

·

N

(1) ¦ R1(tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci (t j 1 )a2 N  m,i ¸ 

¹

1

k §N ·  ¦ R2 (tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci( 2) (t j 1 )a2 N  m, N i ¸  j 1 ©i 1 ¹ k §N ·  ¦ R1 (tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci(3) (t j 1)a2c N  m, 2 N  i ¸  j 1 ©i 1 ¹ k §N ·  ¦ R2 (tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci(3) (t j 1 )a2cc N  m,2 N i ¸ , j 1 ©i 1 ¹

где с учётом обозначения интегралов (2.34) a cm, i

I1 J1 ; am cc , i 78

@

1 4P1O2 I12 J12 ; 12 m 1, 2, ..., N , i 1, 2, ..., N .

k §N ·  ¦ R1 (t k , t j 1 )'t ¨ ¦ ci(3) (t j 1 )a N  m,2 N  i ¸ , j 1 ©i 1 ¹

§

(2.99)

@

k §N ·  ¦ R2 (tk , t j 1 )'t ¨ ¦ ci( 2) (t j 1 )acNc  m, N i ¸  j 1 ©i 1 ¹

k

P1O2 I 7 J 7 ;

1 I10 J 9  O4 I 9 J10  2PO2 I11 J11 ; 12

k §N ·  ¦ R1 (tk , t j 1)'t ¨ ¦ ci( 2) (t j 1 )acN  m, N  i ¸  j 1 ©i 1 ¹

d2N m

P1O2 I 4 J 4 ;

O4 I 6 J 6 ; a cNc  m, N  i

ac2cN  m, 2 N  i

k

P1O2 I 2 J 2 ;

P1O2 I 2 J 2 ; 79

Глава 3. ПРОГРАММИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ВИЗУАЛЬНЫМ ИНТЕРФЕЙСОМ В MATLAB MATLAB представляет собой одну из современных компьютерных систем, разработанных для решения математических и прикладных задач. Эта программа содержит большое количество встроенных команд и функций, предназначенных для решения задач из различных областей математики, а также позволяет программировать вычислительные алгоритмы. MATLAB обладает высокоуровневой графикой и предоставляет возможность пользователю разрабатывать собственные визуальные приложения. Применение пакета MATLAB для решения различных математических задач и основы программирования в MATLAB можно найти в литературе, например в [2, 12, 17]. В настоящем пособии рассмотрим работу в среде GUIDE, предназначенной для написания приложений с графическим интерфейсом пользователя. Ï åðåéòè â ñðåäó GUIDE ì î æí î , âû ï î ëí èâ êî ì àí äó guide в командной строке. Появляется редактор окна приложения untitled.fig (рис. 3.1). Редактор приложения содержит строку меню, панель инструментов управления приложения, заголовок окна с нанесённой сеткой, панель инструментов для добавления элементов интерфейса на окно приложения. На панели инструментов находятся следующие стандартные компоненты: кнопка, полоса прокрутки, переключатель, флажок, область ввода текста, метка (статический текст), раскрывающийся список, список, кнопка в утопленном состоянии, оси, обычная панель, панель для объединения переключателей или флажков, компоненты Active-X. Для размещения компонента требуется нажать соответствующую кнопку на панели инструментов и поместить выбранный объект в требуемое место на форме окна приложения. Удалить любой объект с окна можно при помощи . Компоненты являются объектами MATLAB с определёнными свойствами. Вызвать окно редактора свойств компонента можно двойным щелчком мыши по выделенному компоненту. 80

Рис. 3.1. Шаблон пустого приложения

Сохранить приложение в файле под именем с расширением .fig можно, выбирая в меню File редактора приложения пункт Save as. Запуск приложения производится при помощи кнопки Run строки меню. После запуска будет создан ещё один файл с расширением .m, имя которого будет таким же, что и с расширением .fig. В файле с расширением .m будут храниться основная функция для работы с приложением и несколько подфункций для обработки событий Callback. Рассмотрим основные принципы создания приложений в среде GUIDE на примере решения линейно-упругой задачи изгиба балки прямоугольного сечения. На первом этапе вводим исходные данные. Исходными параметрами задачи являются геометрические параметры: длина балки L, м, высота поперечного сечения H, м, – физические параметры: модуль упругости материала E, Па и коэффициент Пуассона P . Разместим на форме рамку с помощью кнопки Panel. Вызовем редактор свойств компонента и в появившемся окне Property Inspector в свойстве Title устанавливаем значение Параметры балки (рис. 3.2). 81

Аналогично вводим кнопки editH, editE, editMU для задания высоты, модуля упругости и коэффициента Пуассона. Над кнопками ввода параметров разместим текстовые области Static Text. В свойстве String указываем имя параметра и размерность (рис. 3.4).

Рис. 3.2. Окно редактора свойств компонента Panel

Для ввода длины стержня в рамке панели размещаем кнопку ввода текста (метку) Edit Text. В окне Property Inspector в свойстве Tag вводим имя editL, а в свойстве String устанавливаем значение 1.0 (рис. 3.3). Рис. 3.4. Редактор свойств компонента Static Text

Предоставим пользователю возможность выбора способа закрепления концов балки из раскрывающегося списка. Для этого разместим компонент – список Pop-Up Menu на форме и в редакторе свойств установим в свойстве Tag значение pmENDS, а в раскрывшемся свойстве String вносим список (рис. 3.5).

Рис. 3.3. Редактор свойств компонента Edit Text

Рис. 3.5. Окно для редактирования элементов списка

82

83

Сохраним приложение под именем Gui_beam_lin_el.fig. Запустим приложение с помощью кнопки меню Run. В результате создаётся M-file Gui_beam_lin_el.m, который имеет определённую структуру и содержит функцию pmENDS_Callback обработки события раскрывающегося списка. Имя функции состоит из имени компонента, символа подчёркивания и имени события. В переменной hObject хранится указатель на объект, событие которого обрабатывается в настоящий момент, в данном случае – это раскрывающийся список, переменная handles является структурой с указанием на все объекты приложения, и чтобы обратиться к любому компоненту, необходимо писать handles.name, где name совпадает со значением свойства Tag нужного компонента. Сохранение структуры handles для использования в других подфункциях осуществляется с помощью команды guidata(gcbo,handles). Установка значений свойств объектов производится при помощи функции set, которая вызывается с тремя входными аргументами:

guidata(gcbo,handles); end Над списком разместим метку Text и в свойстве String устанавливаем закрепление. Исходные данные введены как строки. Для их использования в дальнейших расчетах необходимо преобразовать их в действительные числа. Для обработки входных параметров разместим на форме кнопку Push Button и запрограммируем события, состоящие в считывании из компонентов Edit строки и преобразовании её в вещественное число. Кнопка является элементом интерфейса. Ей следует дать имя. Для этого выделяем кнопку и вызываем редактор Property Inspector. В появившемся окне в свойство Tag заносим значение btnDATA, а в свойство String – ввод (рис. 3.6).

set(Объект,’Свойство’,’Значение’). Функция get, предназначенная для получения значений свойств объекта, вызывается с двумя входными компонентами: get(Объект,’Свойство’). Осталось написать текст функции pmENDS_Callback. Обработка события Callback раскрывающегося списка состоит в выборе способа закрепления концов балки. Свойство списка Value содержит номер выбранной строки (строки списка нумеруются с единицы). Далее используем оператор swich для присвоения переменной handles.ends значения 0 или 1 в зависимости от номера выбранной строки списка (листинг 3.1). Листинг 3.1 function pmENDS_Callback(hObject, eventdata, handles) Num = get(hObject, ‘Value’); switch Num case 1 handles.ends = 0; % выбрано шарнирное закрепление guidata(gcbo,handles); case 2 handles.ends = 1; % выбрана заделка 84

Рис. 3.6. Окно редактора свойств элементов Push Button

Запрограммируем действия, которые будут происходить при нажатии этой кнопки. Для этого изменим функцию btnDATA_Callback (листинг 3.2). 85

Листинг 3.2 function btnDATA_Callback(hObject, eventdata, handles) handles.L = str2double(get(handles.editL, ‘String’)); guidata(gcbo,handles); handles.H = str2double(get(handles.editH, ‘String’)); guidata(gcbo,handles); handles.E = str2double(get(handles.editE, ‘String’)); guidata(gcbo,handles); handles.mu = str2double(get(handles.editMU, ‘String’)); guidata(gcbo,handles); После установки компонентов окно приложения будет иметь вид, представленный на рис. 3.7.

Следующий этап – ввод нагрузки. Будем рассматривать три типа распределённой нагрузки q (x) , Па: равномерную, линейную, квадратичную. Для задания равномерной нагрузки достаточно указать одно значение функции q (x) в точке x 0 ; для задания линейной нагрузки укажем два значения функции q (x) в точках x 0 и x L ; для квадратичной нагрузки зададим три значения функции q (x) в точках x 0 , ов x L / 2 и x L . Для этого разместим в окне приложения компонентов Panel и в свойстве Title окна Property Inspector устанавливаем значение Нагрузка. Для ввода значений функции q (x) разместим области ввода теста editQ1, editQ2, editQ3. Для выбора типа нагрузки будем использовать раскрывающийся список, при этом свойству Tag присвоим значение pmLOAD. Обработка события pmLOAD_Callback раскрывающегося списка состоит в определении выбора пользователя и соответствующем изменении типа нагрузки. При этом если выбрана равномерная нагрузка, то при запуске будет доступна только одна область ввода – editQ1, если выбрана линейная нагрузка, то будут две области ввода: editQ1 и editQ3. Для этого используется свойство Enable, которое отвечает за возможность доступа к нему пользователя. Значение on разрешает доступ, а off соответственно запрещает (листинг 3.3). Листинг 3.3

Рис. 3.7. Окно приложения после установки свойств компонентов

Запускаем программу. В результате выполнения программы все значения входных параметров будут вещественными числами и станут доступными для использования в других подфункциях. 86

function pmLOAD_Callback(hObject, eventdata, handles) Num = get(hObject, 'Value'); switch Num case 1 handles.LentQ = 1; guidata(gcbo,handles); set(handles.editQ1,'Enable','on') set(handles.editQ2,'Enable','off') set(handles.editQ3,'Enable','off') case 2 handles.LentQ = 2; guidata(gcbo,handles); set(handles.editQ1,'Enable','on') set(handles.editQ3,'Enable','on') 87

set(handles.editQ2,'Enable','off') case 3 handles.LentQ = 3; guidata(gcbo,handles); set(handles.editQ1,'Enable','on') set(handles.editQ2,'Enable','on') set(handles.editQ3,'Enable','on') end

Преобразование значений нагрузки в вещественные числа осуществим в подфункции, образованной после размещения компонента Push Button со значением btnLOAD свойства Tag и значением ввод свойства String. Текст функции, выполняемой при нажатии кнопки ввод, приведён в листинге 3.4. Листинг 3.4 function btnLOAD_Callback(hObject, eventdata, handles) if handles.LentQ = = 1 handles.q(1) = str2double(get(handles.editQ1, 'String')); guidata(gcbo,handles); end if handles.LentQ = = 2 handles.q(1) = str2double(get(handles.editQ1, 'String')); guidata(gcbo,handles); handles.q(2) = str2double(get(handles.editQ3, 'String')); guidata(gcbo,handles); end if handles.LentQ = = 3 handles.q(1) = str2double(get(handles.editQ1, 'String')); guidata(gcbo,handles); handles.q(2) = str2double(get(handles.editQ2, 'String')); guidata(gcbo,handles); handles.q(3) = str2double(get(handles.editQ3, 'String')); guidata(gcbo,handles); end

После добавления компонентов окно приложения будет иметь вид, представленный на рис. 3.8. 88

Рис. 3.8. Окно приложения после изменения свойств компонентов

Следующий этап – построение расчётной схемы балки и действующей нагрузки. Предварительно создадим файл-функцию fig_graf, текст которой приведён в листинге 3.5. Листинг 3.5 function fig_graf(L,q,ends) % построение расчетной схемы % входные параметры: % L – длина балки, % q – вектор нагрузки, % ends – способ закрепления концов балки. set(gcf,'Color','w'); xp = [0:0.01:L]'; if length(q) = = 1 for i=1:length(xp) fq(i) = q(1); end 89

end if length(q) = = 2 for i=1:length(xp) fq(i) = q(1) + (q(2)-q(1))*xp(i)/L; end end if length(q) = = 3 mxq = [0 L/2 L]; ps = polyfit(mxq, q, 2); for i=1:length(xp) fq(i) = ps(1)*L^2*(xp(i)/L)^2+ps(2)*L*(xp(i)/L) + ps(3); end end q_max = max(fq); X(1) = 0; Y(1) = 0; X(2) = L; Y(2) = 0; gr1 = line([X(1) X(2)], [Y(1) Y(2)]); set(gr1,'Color','b','LineWidth',4); grid hold on switch ends case 0 gr2 = line(X(1),Y(1)); set(gr2,'Marker','o','MarkerFaceColor', 'w','MarkerEdgeColor','k','Markersize',8) gr3 = line(X(2),Y(2)); set(gr3,'Marker','o','MarkerFaceColor',… 'w','MarkerEdgeColor','k','Markersize',8) case 1 gr2 = line(X(1),Y(1)); set(gr2,'Marker','s','MarkerFaceColor',… 'k','MarkerEdgeColor','k','Markersize',8) gr3 = line(X(2),Y(2)); set(gr3,'Marker','s','MarkerFaceColor',… 'k','MarkerEdgeColor','k','Markersize',8) end gr4 = line(X(1),Y(1)); set(gr4,'Marker','v','MarkerFaceColor',… 'm','MarkerEdgeColor','m','Markersize',4) gr5 = line(X(2),Y(2)); 90

set(gr5,'Marker','v','MarkerFaceColor',… 'm','MarkerEdgeColor','m','Markersize',4) X(3) = X(1); Y(3) = Y(1) + abs(fq(1))/q_max; X(4) = X(2); Y(4) = Y(2) + abs(fq(end))/q_max; plot([X(1) X(3)], [Y(1) Y(3)],'m','LineWidth',3); plot([X(2) X(4)], [Y(2) Y(4)],'m','LineWidth',2); plot(xp, fq/q_max, 'm','LineWidth',2); set(gca,'YLim', [-1 1.5], 'XLim', [0 L]); axis off

Для доступа к этой функции из окна приложения создадим кнопку Push Button с именем btnSCHEME и компонент Axes, в которых будем изображать графики. В результате окно приложения примет вид, представленный на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Окно приложения после размещения на нём объектов btnSCHEME и Axes

Осталось написать функцию – обработчик события кнопки btnSCHEME (листинг 3.6). 91

Листинг 3.6 function btnSCHEME_Callback(hObject, eventdata, handles) fig_graf(handles.L,handles.q,handles.ends) Добавим кнопку с именем btnCLEAR. В функцию btnCLEAR_ Callback записываем команду cla (листинг 3.7). Листинг 3.7 function btnCLEAR_Callback(hObject, eventdata, handles) cla Проверим, что эта кнопка очищает график. Будем решать поставленную задачу методом Ритца. Алгоритм метода реализуем в функции ritz_lin_elast.m, текст которой приведён в листинге 3.8. Листинг 3.8 function C = ritz_lin_elast(L,E,H,q,nf,ends) % метод Ритца для расчёта балки прямоугольного сечения % линейно-упругая задача % входные параметры: % L – длина балки, % H – высота поперечного сечения балки, % E – модуль упругости материала, % q – вектор нагрузки, % nf – число базисных функций, % ends – способ закрепления концов балки. % выходной параметр: % C – вектор коэффициентов разложения по базисным функциям syms x A = zeros(nf,nf); B = zeros(nf,1); % ввод базисных функций и производных базисных функций switch ends 92

case 0 for k=1:nf fi(k) = sin(k*pi*x/L); ddfi(k) = -(k*pi/L)^2*sin(k*pi*x/L); end case 1 for k = 1:nf fi(k) = x^(k+3)-2*L*x^(k+2)+L^2*x^(k+1); ddfi(k) = (k^2+5*k+6)*x^(k+1)-2*L*(k^2+3*k+2)*x^k… + L^2*(k^2+k)*x^(k-1); end end % вычисляем элементы матрицы системы метода Ритца for i = 1:nf for j = 1:nf F = ddfi(i).*ddfi(j); a(j) = int(F, x, 0, L); I = H^3/12; A(i,j) = eval(a(j))*(E*I); end end % вычисляем вектор правой части системы метода Ритца switch length(q) case 1 fx = 'q(1)'; case 2 fx = 'q(1) + (q(2)-q(1))*x/L'; case 3 mxq = [0 L/2 L]; ps = polyfit(mxq, q, 2); fx = 'ps(1)*L^2*(x/L)^2+ps(2)*L*(x/L) + ps(3)'; end for i = 1:nf pf(i) = fi(i)*fx; b(i) = int(pf(i), x, 0, L); B(i) = eval(b(i)); end % решаем систему и находим вектор C C = A\B; 93

Теперь в окне приложения разместим текстовое поле Edit для ввода количества базисных функций со значением editNF свойства Tag, рядом с ним – соответствующую метку с текстом и кнопку решение с именем btnSOLVE. Для вывода информации об окончании расчета разместим рядом с кнопкой метку, куда после решения будет занесён текст решение выполнено. Обработаем событие ptnSOLVE_Callback (листинг 3.9). Листинг 3.9 function btnSOLVE_Callback(hObject, eventdata, handles) handles.nf = str2double(get(handles.editNF, 'String')); guidata(gcbo,handles); handles.C = ritz_lin_elast(handles.L,handles.E,handles.H,handles.q,… handles.nf, handles.ends); guidata(gcbo,handles); set(handles.textSOLVE, 'String','РЕШЕНИЕ ВЫПОЛНЕНО');

Следующий этап – визуализация результатов. Предварительно создадим две функции: fig_w.m для изображения прогибов w(x) и fig_def.m – формы деформированной оси балки. Текст функций приведён в листингах 3.10 и 3.11. Листинг 3.10 function fig_w(L,H,C,nf,ends) % построение функции прогибов syms x switch ends case 0 for k = 1:nf fi(k) = sin(k*pi*x/L); ddfi(k) = -(k*pi/L)^2*sin(k*pi*x/L); end case 1 for k = 1:nf fi(k) = x^(k+3)-2*L*x^(k+2)+L^2*x^(k+1); ddfi(k) = (k^2+5*k+6)*x^(k+1)-2*L*(k^2+3*k+2)*x^k… 94

+L^2*(k^2+k)*x^(k-1); end end yr = 0; for k =1:nf yr = yr + C(k)*fi(k); end xp = [0:0.01:L]'; w = subs(yr, x, xp); set(gcf,'Color', 'w'); grw = plot(xp,w); set(grw,'Color', 'c','LineWidth', 3) ; set(gca, 'Box', 'off'); set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',10); set(gca,'YLim', [-H 5*H ], 'XLim', [0 L]); xlabel('{\itx} [м]') ylabel('{\itw} [м]') grid on

Листинг 3.11 function fig_def(L,C,nf,ends) % построение формы деформированной оси балки syms x switch ends case 0 for k = 1:nf fi(k) = sin(k*pi*x/L); ddfi(k) = -(k*pi/L)^2*sin(k*pi*x/L); end case 1 for k=1:nf fi(k) = x^(k+3)-2*L*x^(k+2)+L^2*x^(k+1); ddfi(k) = (k^2+5*k+6)*x^(k+1)-2*L*(k^2+3*k+2)*x^k… +L^2*(k^2+k)*x^(k-1); end end yr = 0; 95

for k = 1:nf yr = yr + C(k)*fi(k); end xp = [0:0.01:L]'; w0 = 0*xp; w = subs(yr, x, xp); w_max = max(max(w)); set(gcf,'Color','w'); gr = plot(xp,(-1)*w, xp,w0); set(gr(1),'Color','b','LineWidth',4) ; set(gr(2),'Color','k','LineWidth',2,'LineStyle','--'); set(gca,'YLim', [-w_max*4 w_max], 'XLim', [0 L]); X(1) = 0; Y(1) = 0; X(2) = L; Y(2) = 0; switch ends case 0 gr2 = line(X(1),Y(1)); set(gr2,'Marker','o','MarkerFaceColor',… 'w','MarkerEdgeColor','k','Markersize',8) gr3 = line(X(2),Y(2)); set(gr3,'Marker','o','MarkerFaceColor',… 'w','MarkerEdgeColor','k','Markersize',8) case 1 gr2 = line(X(1),Y(1)); set(gr2,'Marker','s','MarkerFaceColor',… 'k','MarkerEdgeColor','k','Markersize',8) gr3 = line(X(2),Y(2)); set(gr3,'Marker','s','MarkerFaceColor',… 'k','MarkerEdgeColor','k','Markersize',8) end axis off

Для доступа к этим функциям разместим в окне приложения две кнопки с именами btnW и btnDEF и напишем тексты функций – обработчиков событий btnW_Callback и btnDEF_Callback (листинги 3.12 и 3.13). 96

Листинг 3.12 function btnW_Callback(hObject, eventdata, handles) fig_w(handles.L,handles.H,handles.C,handles.nf,handles.ends) Листинг 3.13 function btnDEF_Callback(hObject, eventdata, handles) fig_def(handles.L,handles.C,handles.nf,handles.ends) Для сохранения входных параметров и результатов расчёта в текстовом файле с именем beam_lin_elast.txt создадим функцию print_FW.m (листинг 3.14). Листинг 3.14 function print_FW(L,H,E,mu,ends,q, nf,C) % ВЫВОД ВХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ И ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ПРОГИБА % В ТЕКСТОВОМ ФАЙЛЕ beam_in_elast.txt switch length(q) case 1 fx = 'q(1)'; case 2 fx = 'q(1) + (q(2)-q(1))*x/L'; case 3 mxq = [0 L/2 L]; ps = polyfit(mxq, q, 2); fx = 'ps(1)*L^2*(x/L)^2+ps(2)*L*(x/L) + ps(3)'; end %----------------------------------------------------------------------------------filename = 'beam_lin_elast.txt'; disp(результаты расчета сохраняются в текстовом файле') disp('beam_in_elast.txt') [FW, mes] = fopen(filename, 'w'); fprintf(FW,'-------------------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW, расчет балки прямоугольного сечения по методу Ритца\n'); fprintf(FW, линейно-упругая задача\n'); 97

fprintf(FW,'-------------------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW, 'длина балки = %7.3f М\n', L'); fprintf(FW, 'высота поперечного сечения = %7.3f М\n',H); fprintf(FW, модуль упругости материала E = %10.3e … Па\n', E); fprintf(FW, 'коэффициент Пуассона mu = %4.3e \n', mu); fprintf(FW,'------------------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW, 'способ закрепления концов стержня: \n'); switch ends case 0 fprintf(FW, 'шарнирно-неподвижный \n'); case 1 fprintf(FW, 'жесткая заделка \n' ); end fprintf(FW,'****************************************\n'); fprintf(FW, 'поперечная нагрузка:\n'); for k = 1:length(q) fprintf(FW, 'q(%1d) = %9.3f Н/М \n',k, q(k)); end fprintf(FW, 'q(x) = %s\n', char(fx)); if length(q) == 3 fprintf(FW, ' ps = \n'); fprintf(FW, '%9.5f \n',ps); end fprintf(FW,'****************************************\n'); syms x switch ends case 0 for k = 1:nf fi(k) = sin(k*pi*x/L); ddfi(k) = -(k*pi/L)^2*sin(k*pi*x/L); end case 1 for k=1:nf fi(k) = x^(k+3)-2*L*x^(k+2)+L^2*x^(k+1); ddfi(k) = (k^2+5*k+6)*x^(k+1)-2*L*(k^2+3*k+2)*x^k… +L^2*(k^2+k)*x^(k-1); end end 98

yr = 0; for k = 1:nf yr = yr + C(k)*fi(k); end fprintf(FW,'------------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW, число базисных функций N = %2d:\n',nf); fprintf(FW,'------------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW,'------------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW,'таблица коэффициентов и базисных функций \n'); fprintf(FW,'------------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW,' Ci * Fi \n'); fprintf(FW,'------------------------------------------------------------\n'); for k = 1:nf fprintf(FW,'%7.6e * %s\n',C(k),char(fi(k))); end xp = [0:0.01:L]'; w = subs(yr, x, xp); [w_max,N_max] = max(abs(w)); x_max = xp(N_max); fprintf(FW,'максимальный прогиб w_max = %8.7f м … в точке x = %4.3f м\n',w_max,x_max); fprintf(FW,'------------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW,'------------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW, 'таблица приближенных значений прогибов w[м] \n'); fprintf(FW, '-----------------------------------------------------------\n'); fprintf(FW, ' x[м] w(x) [м] \n'); fprintf(FW, '----------------------------------------------------------\n'); xp1 = [0:0.1:L]'; w1 = subs(yr, x, xp1); for k = 1:1:length(xp1); fprintf(FW, '%6.3f %9.7f \n',xp1(k),w1(k)); end fclose(FW);

Для обращения к функции print_FW.m из окна приложения разместим кнопку с именем btnPRINT и запрограммируем действия, которые будут происходить при нажатии этой кнопки. Для этого изменим функцию события Callback, как показано в листинге 3.15. 99

Листинг 3.15 function btnPRINT_Callback(hObject, eventdata, handles) handles.nf,handles.C) После изменения свойств компонентов окно приложения будет иметь окончательный вид, представленный на рис. 3.10.

Рис. 3.11. Общий вид запущенного приложения

Аналогично можно создать графические приложения для решения нелинейно-упругих задач и задач ползучести для стержней, пластин и оболочек.

Рис. 3.10. Окончательный вид окна приложения

В заключение изменим заголовок графического окна. Для этого щёлкнем мышью по области заготовки окна (клетчатая область) и в открывшемся окне Property Inspector в разделе Name вводим решение линейно-упругой задачи изгиба балки. Теперь работающее приложение будет иметь более наглядный интерфейс (рис. 3.11).

100

101

Тогда

Э Глава 4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЁТА НАПРЯЖЁННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

где

Э

4.1. Решение линейно-упругих задач в первом приближении Алгоритм расчёта НДС строительных конструкций при линейноупругом деформировании материала приведён в гл. 2. Получим расчётные формулы для случая N 1 в разложении (2.2) метода Ритца.

1§

2 2 · ¨ §¨ d W ([) ·¸  2W ([) ¸ d[ . ³ ¨ ¨ d[ 2 ¸ ¸ ¹ 0©© ¹

W (0) W (1) 0,

Найдём приближённое решение w(x) вариационной задачи об изгибе шарнирно закреплённой балки прямоугольного сечения, находящейся под действием равномерно распределённой нагрузки q( x) const [Па]. Требуется найти функцию w(x) , обеспечивающую минимум функционалу 2 · 1 l §¨ § d 2 w · ¸ dx , ¨ EJ 2 q w ¸  ³ ¨ ¸ ¸ 2 0 ¨ © dx 2 ¹ © ¹

(4.1)

при заданных граничных условиях 2

w(0)

w(l ) 0,

d w dx

d w

2

dx 2

x 0

0.

(4.2)

x l

d 2W d[ 2

d 2W [ 0

d[ 2

0.

Mi ([) sin iS [ (i 1, 2, , N ) ,

c1M1 ([) c1 sin S [ .

Следовательно, dW1 d[

c1S cosS [ ,

d 2W1 d[ 2

c1S 2 sin S [ ,

и [

102

EJ ql 4

w([) .

(4.3)

(4.6)

удовлетворяющих граничным условиям (4.5). Пусть N 1 , M1 ([) sin S [ . Согласно методу Ритца первое приближение будем искать в виде

Перейдём к безразмерным величинам x и W ( [) l

(4.5)

[ 1

В качестве базисных функций можно рассмотреть систему функций

W ([) | W1

2

(4.4)

Таким образом, требуется найти минимум функционала (4.4), удовлетворяющий граничным условиям

4.1.1. Стержень

Э

q2 l5 Э, 2 EJ

1

Э (с1 )

³ sin 2 (S[)S4c12  2c1 sin(S[) d[ Ac12  Bc1, 0

103

(4.7)

где

A

4

1

S ; B 2

2 4 ³ sin (S[)S d[

0

1

2 ³ sin( S[) d[ 0

ª d 4W « d[ 4 1, [  (0, 1), « « d 2W «W (0) W (1) 0, d[ 2 ¬«

4  . S

Из условия dЭ dc1

2 Ac1  B

B 1§ 4· 2 4 .  ¨ ¸ 4 2A 2© S¹ S S5 Таким образом, в первом приближении безразмерный прогиб (4.7)

4 S5

sin S [ .

d 2W d[ 2 (4.8)

1 : 2

Максимальное значение прогиба будет в точке [ §1· W1 ¨ ¸ ©2¹

d 4w dx 4

Из условий

d 2W d[ 2

0и [ 0

4 | 0,013071. S5

d 2W d[ 2

d 2W

(4.9)

q, x  (0, l ),

(4.10)

d[ 2

0 находим С2

(4.12)

0 , С1

[ 1

1  . 2

[2 [  . 2 2

(4.13)

Дважды интегрируем уравнение (4.13), получаем W Из условий W (0)

[ 4 [3   C3 [  C 4 . 24 12

0 и W (1) 0 следует, чтоо C 4

0 , C3

1 . 24

В итоге получаем точное решение задачи (4.11)

и граничным условиям

w(0)

1 2 [  С1[  С2 . 2

Значения постоянных подставляем в (4.12) и приходим к уравнению

С другой стороны, зависимость поперечного изгиба w(x) от продольной координаты x удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (уравнению равновесия) EJ

0. [ 1

Можно получить точное решение краевой задачи (4.11). Дважды интегрируя дифференциальное уравнение, получим



W1

(4.11)

0

находим: c1

[ 0

d 2W d[ 2

d 2w w(l ) 0, dx 2 x

0

d 2w dx 2 x

0.

W ( [)

[4 [3 [   . 24 12 24

(4.14)

l

Перейдём в дифференциальном уравнении и граничных условиях к безразмерным величинам (4.3):

Из точного решения найдём точку, в которой прогиб будет наибольший. В этой точке значение безразмерного прогиба

104

105

§1· W¨ ¸ © 2¹

5 | 0,013021. 384

Сравнивая значения (4.15) и (4.9), видим, что относительная погрешность вычисления по методу Ритца в первом приближении составляет 0,4 %.

I3

Рассмотрим задачу изгиба прямоугольной пластины, находящейся под действием равномерно распределённой нагрузки q( x, y ) const.

J3

Функция безразмерного прогиба W (ξ, η) , обеспечивающая минимум м функционалу (2.17), ищется в виде (2.18). Если пластина закреплена по контуру шарнирно-неподвижно, то

0, [ 1 W

0,

w 2W w[ 2

0,

wW 0 , wK2 0. В первом приближении решение задачи будем искать в виде

1

1

0

0

2 4 2 ³ \1 dK ³ sin (SK)S dK

1

0, K 1 W

W (ξ, η) | W1

с1M1 ([)\1 (K) c1 sin(S[) sin( SK) .

Уравнение (2.7) для определения параметра с1 примет вид

a11c1

где a11

b1 ,

1

1

0

0

2 2 ³ \1\1cc dK  ³ sin (SK)S dK 

1

1

0

0

1

1

0

0

2 2 2 ³ M1c d[ ³ cos (S[)S d[

2 2 2 ³ \1c dK ³ cos (SK)S dK

I1 J1

1

1

0

0

1

1

0

0

2 2 4 ³ M1cc d[ ³ sin (S[)S d[

2 2 4 ³ \1cc dK ³ sin (SK)S dK

106

4

S , 2 S4 , 2

1

1

0

0

(4.17)

S2 , 2

S2 , 2 S2 , 2

b1 12(1  P 2 ) P ³ M1 d[ ³ \1dK

(4.16)

1

1

4

0

0

S2

12(1  P 2 ) P ³ sin( S[)d[ ³ sin( SK)dK 12(1  P 2 ) P Пусть P

.

0,3 , λ 1 , тогда да

b1 0,0454 P . a11 Максимальный безразмерный прогиб в центре плиты

a11 | 97,4091 , b1

I1 J 2  O4 I 2 J1  PO2 ( I 3 J 4  I 4 J 3 )  2(1  P)O2 I 5 J 5 ,

S2

1

2

при K

1 , 2

2 2 ³ M1M1cc d[  ³ sin (S[)S d[  2 , 0 0

J4

J5

1

2 ³ sin (S[)d[ 2 , 0

0

I4

I5

1

2 ³ M1 d[

J2

4.1.2. Пластина

при [

1

I2

(4.15)

Wmax

4,4257 P , c1

§1 1· W ¨ , ¸ | 0,0454 P , где P ©2 2¹

a 4q Eh 4

.

4.1.3. Оболочка Рассмотрим пологую оболочку прямоугольного плана, находящуюся под действием равномерно распределённой нагрузки. Безразмер107

ные функции перемещений U , V , W , доставляющие минимум функционалу (2.30), представляют в виде (2.32). Если оболочка закреплена по контуру шарнирно неподвижно, то на краях должны выполняться условия при [

0, [ 1 U

V

w 2W w[ 2

W

Вычисляем входящие в (4.20) интегралы (2.34): 1 0

0, K 1 U

V

W

U | U1

c1(1) M1(1) \1(1)

c1(1) sin( 2S[) sin(SK) ,

V | V1

c1( 2) M1( 2) \1( 2)

c1( 2) sin( S[) sin( 2SK) ,

W | W1

c1(3) M1(3) \1(3)

b1 ,

a21c1(1)  a22c1( 2)  a23c1(3)

b2 ,

a31c1(1)  a32c1( 2)  a33c1(3)

b3 ,

(4.19)

a 21

PO2 I 3 J 3  P1O2 I 4 J 4 ; a13

I1 J1  P1O2 I 2 J 2 ; a12

PO2 I 3 J 3  P1O2 I 4 J 4 ; a 22

a31 a33

k3 I 9 J 9  b1

O4 I 6 J 6  P1O2 I 7 J 7 ; a 23

k1I 5 J 5 ; a32

k1 I 5 J 5 ;

O k 2 I 8 J 8 ;

1 >I10 J 9  O4 I 9 J10  2PO2 I11J11  4P1O2 I12 J12 @; 12 0 ; b2

0 ; b3 108

(1  P 2 ) P I13 J13 .

1 , 2

³ M d[

1

0 1

0

0

³ \ dK

1

1

1

0

0

2 ³ sin (2S[) d[ 2 , 0

S2 , 2

1

(1) c 2 1

0

1

(1) 2 1

2 2 ³ S cos (SK) dK

0

4

4

( 2) c (1) ³ \1 \1 dK ³ 2S cos(2SK) sin(SK) dK  3 ,

J3

J4

1

1

c

( 2) (1) ³ M1 M1 d[

0 1

4

³ S cos(S[) sin(2S[) d[ 3 , 0 1

c

4 , 3

( 2) (1) ³ \1 \1 dK ³ S sin( 2SK) cos(SK) dK

0

0

1

1

0

0

4

(3) (1)c ³ M1 M1 d[ ³ 2S sin(S[) cos(2S[) d[  , 3

J5

k 2 O2 I 8 J 8 ;

2

1

2

1

I5

где



(1) 2 ³ \1 dK ³ sin (SK) dK

( 2) (1) c ³ M1 M1 d[ ³ 2S sin(S[) cos(2S[) d[  3 , 0 0

I4 a11c1(1)  a12c1( 2)  a13c1(3)

0

1

I3

c1(3) sin(S[) sin(SK) .

Неизвестные параметры определяем из системы уравнений метода Ритца, которая в первом приближении будет иметь вид

a11

1

I2 J2

(4.18)

1

2

J1

0,

w 2W 0. wK2 В первом приближении безразмерные перемещения будем искать в виде при K



(1) c d[ ³ 4S 2 cos 2 (2S[) d[ 2S 2 , ³ Mi

I1

1

I6

(4.20)

J6

1

1

(3) (1) ³ \1 \1 dK ³ sin(SK) sin(SK) dK 2 , 0 0

1



1



1

2

1

( 2) 2 ³ M1 d[ ³ sin (S[) d[ 2 , 0 0



2

1

( 2) c dK ³ 4S 2 cos 2 (2SK) dK 2S 2 , ³ \1

0

0

109

³ M d[

1

I7

( 2) c 2 1

0

1



1

1

0

0

1

1

Если P

k3

1 , 2

4 ³ 2S sin(SK) cos(2SK) dK  , 3 0



1

2

1

1



1

2

1

(3) 2 4 ³ \1 dK ³ sin (SK)S dK 2 , 0 0

J9

³ M d[

1

(3) cc 2 1

0 1

³

0





cc 2 \1(3) dK

1

2 4 ³ sin (S[)S d[

0

1

2

4

³ sin (SK)S dK

0

1

1

1

1

S4 , 2

I12

³

0



c 2 M1(3) d[

S4 , 2 S2

2

³ \

1

0

I13

(3)c 2 1

dK

1

2 2 ³ cos (S[)S d[

0

1

2 2 ³ cos (SK)S dK

0

1

1

0

0

(3) ³ M1 d[ ³ sin( S[)d[

110

2 , S

0

0

2 . S

k K 16 , тогда да P1

0,35 , k1

20,8 ,

k2

665,6 (формулы (2.31)) и система (4.19) имеет вид 10,7332c1(1)  1,1556c1( 2)  13,8667 c1(3)

0,

1,1556c1(1)  10,7332c1( 2)  13,8667 c1(3)

0,

13,8667c1(1)  13,8667c1( 2)  174,5174c1(3)

0,3688 P .

a 4q

§1 1· W ¨ , ¸ | 0,0026 P , где P ©2 2¹

Eh 4

.

4.2. Расчёт балок с учётом различных свойств материала

S (3) (3) cc 2 2 ³ \1 \1 dK  ³ sin (SK)S dK  2 , 0 0 1

1

(3) ³ \1 dK ³ sin(SK)dK

0,3 , λ 1 , k [

Wmax

(3) (3) cc 2 2 ³ M1 M1 d[  ³ sin (S[)S d[  2 , 0 0

I11

1

( 2) 0,0030P , c1(3) 0,0026P . Решение системы: c1(1) 0,0030 P , c1 Максимальный безразмерный прогиб в центре оболочки

(3) 2 ³ M1 d[ ³ sin (S[)d[ 2 , 0 0

I9

J 12

J13

1

(3) ( 2) c ³ \1 \1 dK 0

J11

1

2

1

J10

0

(3) ( 2) 2 ³ M1 M1 d[ ³ sin (S[) d[

I8

I10

2 2 ³ S cos (S[) d[

( 2) 2 ³ \1 dK ³ sin (2SK) dK 2 , 0 0

J7

J8

S2 , 2

1

2

S , 2 S2 , 2

Приведём результаты решения линейно-упругих, нелинейно-упругих задач и задач ползучести для балок прямоугольного сечения по алгоритмам, описанным в гл. 2. Будем рассматривать два варианта граничных условий. 1. Жёсткая заделка: w(0)

w(l ) 0,

dw dx x

0

dw dx x

0.

(4.21)

l

В этом случае в качестве базисных функций принимают систему многочленов Mi ( x)

xi 1 (l  x )2 , i 1, 2, , N .

(4.22)

2. Шарнирно-неподвижные опоры: w(0)

w(l ) 0,

d 2w

d 2w

dx 2

dx 2

111

x 0

0. x l

(4.23)

Базисные функции, удовлетворяющие однородным граничным условиям, имеют вид (4.24) Mi ( x) sin iS x / l (i 1, 2,  , N ) .

–-w,

м 0.02 0

Решения были получены для девяти приближений в разложении (2.9).

–-0.02

Пример 4.1 Геометрические параметры: длина l 1 м , высота поперечногоо сечения h 0,01 м . Физические параметры: модуль упругости материала

–-0.04

E 2,1 ˜1011 Па , параметр функции Ильюшина для нелинейно-упругой задачи m 10 5 . Нагрузка равномерно распределённая q( x) 3,0 ˜ 104 Па (рис. 4.1). Граничные условия – шарнирно-неподвижные опоры. 4 4

q,q,Па x 10 Па˜ 10 66

–-0.06

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x, м

Рис. 4.2. Функция прогиба w(x) решения линейно-упругой задачи ,м wmax w max, м 0.025 0.024 0.023

4 0.022 2 0 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x, м

Рис. 4.1. Расчётная схема балки и приложенной нагрузки

Функция прогиба w(x) решения линейно-упругой задачи приведена на рис. 4.2. Максимальный прогиб wmax

0,0223 м в точке x 0,5 м.

2

3

4

5

6

N

Рис. 4.3. Зависимость максимального прогиба wmax от шага итерации –-w, м 0.02

0

1

–-0.02

Функция прогиба w(x) , полученная из решения нелинейно-упругой

–-0.04

задачи с точностью H 10  7 , имеет максимальное значение wmax 0,0245 м в точке x 0,5 м. На рис. 4.3 приведена зависимость максимального прогиба w(x) от шага итерации при решении нелинейно-упругой задачи. На рис. 4.4 приведены функции прогиба, полученные при решении линейно-упругой и нелинейно-упругой задач.

–-0.06

112

1

0

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x, м

Рис. 4.4. Функции прогиба w(x). Кривая 1 (пунктирная линия) – решение линейно-упругой задачи; кривая 2 (сплошная линия) – решение нелинейно-упругой задачи 113

Пример 4.2 Геометрические параметры: длина l 1 м , высота поперечногоо сечения h 0,02 м . Физические параметры: модуль упругости материала E 2,9 ˜ 1010 Па, параметр функции Ильюшина для нелинейно-упругой задачи m 4,9 ˜ 10 4. Нагрузка линейно распределённая q ( x) 10 4 (7  3 x / l ) (рис. 4.5). Граничные условия: жёсткая заделка. 4

4 q, q, Па Па˜ x1010

Максимальное значение функции прогиба w(x) нелинейно-упругой задачи, полученное с точностью H 10  7 , wmax 0,00861 в точкее x 0,49 . На рис. 4.7 приведена зависимость максимального прогиба w(x) от шага итерации при решении нелинейно-упругой задачи. -3

wwmax,, м x 10–3 max м ˜ 10 10 9 8

10

7 6

5

0 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x, м

Рис. 4.5. Расчётная схема балки и приложенной нагрузки

Функция прогиба w(x) решения линейно-упругой задачи приведена на рис. 4.6. Максимальный прогиб wmax

0,0074 в точке x

0,49.

-3

–3 -w, мм ˜ x1010 –w,

5

10

15

N

20

Рис. 4.7. Зависимость максимального прогиба wmax от шага итерации

На рис. 4.8 приведены функции прогиба, полученные при решении линейно-упругой и нелинейно-упругой задач. -3

–3 x 10 -w,, ммu 10 –w

0 1 –-10

0

–-20

–-10

0 –-20

0

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x, м

x, м

Рис. 4.6. Функция прогиба w(x) решения линейно-упругой задачи

Рис. 4.8. Функции прогиба. Кривая 1 (пунктирная линия) – решение линейно-упругой задачи; кривая 2 (сплошная линия) – решение нелинейно-упругой задачи

114

115

Пример 4.3 Геометрические параметры: длина l = 1 м, высота поперечного сечения h = 0,03 м. Физические параметры: модуль упругости материала E

0,33 ˜1010 Па. Нагрузка квадратично распределённая

q( x) 104 (6 x 2  6 x  3) (рис. 4.9). Граничные условия – шарнирно-неподвижные опоры. 4 4 q, Па Па ˜ x1010 q, 6 6

Пример 4.4. Решение задач ползучести для балок из различных материалов и при различных значениях равномерно распределённой нагрузки 1. Геометрические параметры: длина l = 1 м, высота поперечного сечения h = 0,02 м. Физический параметр – модуль упругости материала E = 2,9 ˜ 1010 Па. Нагрузка – равномерно распределённая q( x) const. Жёсткая заделка. Зависимости максимального прогиба wmax от времени t для различных значений нагрузки приведены на рис. 4.11. wwmax , ,мм max

4 0.015

3

0.01

2

0.005

1

2 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x, м

Рис. 4.9. Расчётная схема балки и приложенной нагрузки

Функция прогиба w(x) решения линейно-упругой задачи приведена на рис. 4.10. Максимальный прогиб wmax 0,0312 м в точке x 0,5 м .

0 0

100

200

300

400

t, сут 500

Рис. 4.11. Решение задачи ползучести для q1 = 1,5 ˜ 104 Па (кривая 1), q2 = 2,5 ˜ 104 Па (кривая 2), q3 = 3,5 ˜ 104 Па (кривая 3)

–w, -w,мм 0.02

Шарнирно-неподвижное закрепление. Зависимости максимального прогиба wmax от времени t для различных значений нагрузки приведены на рис. 4.12. 2. Геометрические параметры: длина l = 1 м, высота поперечного сечения h = 0,025 м. Физический параметр – модуль упругости

0 –-0.02 –-0.04 –-0.06

материала E 0,33 ˜1010 Па . Нагрузка – равномерно распределённая

–-0.08

x, м

Рис. 4.10. Функция прогиба w(x) решения линейно-упругой задачи

q( x) const. Жёсткая заделка. Зависимости максимального прогиба wmax от времени t для различных значений нагрузки приведены на рис. 4.13.

116

117

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

wwmax , ,мм max

w ,м wmax max, м

0.05

0.07 0.04

3

0.03

2

3

0.06 0.05

2

0.04 0.02

1

0.03

1

0.02

0.01

0.01 0 0

100

200

300

400

t, сут 500

Рис. 4.12. Решение задачи ползучести для q1 = 1,0 ˜ 104 Па (кривая 1), q2 = 1,5 ˜ 104 Па (кривая 2), q3 = 2,0 ˜ 104 Па (кривая 3)

100

200

300

400

t, сут 500

Рис. 4.14. Решение задачи ползучести для q1 1,0 ˜ 104 Па (кривая 1), q2 1,5 ˜ 10 4 Па (кривая 2), q3 2,0 ˜ 10 4 Па (кривая 3)

wmax, ,мм w max 0.025

4.3. Решения линейно-упругих задач, нелинейно-упругих задач и задач ползучести для пластин

3

0.02

В данном параграфе приведены результаты расчёта прямоугольных пластин с различными способами закрепления краёв: 1) жёсткая заделка:

2

0.015 0.01

1

при ξ

0.005 0 0

0 0

100

200

300

400

t, сут 500

Рис. 4.13. Решение задачи ползучести для q1 = 1,5 ˜ 104 Па (кривая 1), q2 = 2,5 ˜ 104 Па (кривая 2), q3 = 3,5 ˜ 104 Па (кривая 3)

Шарнирно-неподвижное закрепление. Зависимости максимального прогиба wmax от времени t для различных значений нагрузки приведены на рис. 4.14. 118

при K

0, ξ 1 W

0,

wW w[

0,

0, η 1 W

wW 0, wη

0;

(4.25)

2) шарнирно-неподвижные опоры:

при ξ

0, ξ 1 W 119

0,

w 2W w[ 2

0,

при K

0,

w 2W

(4.26) 0. wη 2 В качестве базисных функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям (4.25), в разложении (2.18) рассматривалась система многочленов Mi (ξ )

0, η 1 W

[i 1 (1  ξ ) 2 , \ i (K)

0 –-0.02 –-0.04

Ki 1 (1  K) 2 ,

i 1, 2, , N .

–w, -w, м

(4.27)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

x, м

1

0.5 y, м

Для краевой задачи (4.26) использовалась система синусов

Mi (ξ ) sin(iSξ ) , \ i (K) i 1, 2, , N .

Рис. 4.16. Функция прогиба w( x, y ) при q = 6,0 ˜ 104 Па и шарнирно-неподвижной заделке краёв

sin(iSK) , (4.28)

Решение нелинейно-упругой задачи выполнялось с точностью H 10  7 . Пример 4.5. Решение линейно-упругой задачи Параметры плиты: a b 1 м , h 0,01 м ; характеристики материала: E

q

2,1 ˜ 10 Па , P 11

0,3 ; нагрузка – равномерно распределённая,

6,0 ˜ 10 Па . Расчётная схема показана на рис. 4.15. 4

2. Жёсткая заделка (рис. 4.17). -3

-w, м 10–3 –w, м ˜x10 0 –-10 –-20

0

0.2

0.4

0.6

0.8 x, м

1

0

0.5

1

y, м

Рис. 4.17. Функция прогиба w( x, y ) при q = 6,0 ˜ 104 Па и при жёсткой заделке краёв

Максимальное значение прогиба в центре плиты в точке с коордиРис. 4.15. Расчётная схема плиты с равномерно распределённой нагрузкой

1. Шарнирно-неподвижное закрепление (рис. 4.16). Максимальное значение прогиба в центре плиты в точке с координатами

x

y 0,5 м wmax | 0,0130 м. 120

натами x

y 0,5 м wmax | 0,00573 м.

Пример 4.6. Решение линейно-упругой задачи для плиты с шарнирнонеподвижным закреплением краёв, находящейся под действием неравномерно распределённой нагрузки 121

Геометрические размеры: a 18 м , b

E

2,0 ˜ 1010 Па , P

24 м . Параметры материала:

0,18 . Нагрузка задана соотношениями [13] (рис. 4.18)

q( x, y ) 1500 q1  1900 q2  600 q3 Па, e  6 x / a  e  6( a  x ) / a ,

q1 q2

q3

e  6 y / b  e  6 (b  y ) / b ,

(4.29)

e6 x / a  e6( a  x) / a e6 y / b  e6(b y) / b .

Пример 4.7. Решение нелинейно-упругой задачи Исходные данные: a b 1 м , h 0,01 м , E 2,1 ˜ 1011 Па , P 0,3 , нагрузка – равномерно распределённая q = 6,0 ˜104[Па]; закрепление краев – шарнирно-неподвижное. Решение линейно-упругой задачи в точке с координатами

x x

y 0,5 м wmax | 0,0130 м. Решение нелинейно-упругой задачи в точке с координатами y 0,5 м wmax | 0,0136 м (рис. 4.20). wmax м max,, м 0.0136 0.0134

Рис. 4.18. Расчётная схема плиты с неравномерно распределённой нагрузкой

Допустимая толщина плиты hдоп

0,282 м рассчитывалась из ус-

1 h . Функция прогиба w(x, y) приведена на рис. 4.19. 20 Максимальное значение прогиба в центре плиты в точке с координатами x 9 м , y 12 м wmax | 0,0140 м.

ловия wmax d

–-w, м

0

0.013 0

1

2

3

4

5

6

7

8

N

Рис. 4.20. Зависимость функции прогиба wmax ( 0,5; 0,5) в центре плиты от числа итераций

Пример 4.8. Решение задачи ползучести для плит с шарнирнонеподвижным закреплением из различных материалов и при различных значениях равномерной нагрузки 1. Размеры плиты: a b 1 м ; h = 0,02 м; физические характеристики материала: E

–-0.02

0,33 ˜1010 Па ; P 0,354 (оргстекло); нагрузка –

постоянная q 1,5 ˜ 10 4 Па.

–-0.04

0

0.0132

5

10

15 x, м

0

10

20

y, м

В момент времени t 0

0 величина прогиба в центре пластины

wmax (0,5; 0,5) 0,01867 м ; в момент времени t0

прогиба в центре пластины wmax (0,5; 0,5) 0,0231 м (рис. 4.21).

Рис. 4.19. Функция прогиба плиты с неравномерно распределённой нагрузкой 122

500 сут величина

123

w wmax,, мм

4.4. Решения линейно-упругих задач, нелинейно-упругих задач и задач ползучести для пологих оболочек прямоугольного плана

max

0.026 0.024

В данном параграфе приведены результаты расчёта пологих оболочек прямоугольного плана с граничными условиями

0.022 0.02 0.018

при ξ

0.016 0

100

200

300

400

t, сут 500

Рис. 4.21. Зависимость wmax (t ) при учёте ползучести материала для оргстекла

2. Размеры плиты: a тики материала: E ная q

при K

2,9 ˜ 10 Па ; P

0,3 (бетон); нагрузка – постоян-

V

W

0,

0, (4.30)

w W

sin(2i Sξ ) , \ i(1) (K) sin(iSK) , (4.31)

i 1, 2, , N . Решение осуществлялось для N 9 (девяти приближений в разложении (2.32)). Решение нелинейно-упругой задачи выполнялось с точностью H 10  7 .

wwmax м ˜x10 10–3 max,, м 15

Пример 4.9. Решение линейно-упругой задачи для равномерно распределённой нагрузки Линейные размеры оболочки: a b 20 м ; характеристики мате-

10

риала: E

5 0

0, η 1 U

500 сут величина про-

-3

w[ 2

Mi(3) (ξ ) sin(i Sξ ) , \ i(3) (K) sin(i SK) ,

0 величина прогиба в центре пластины

гиба в центре пластины wmax (0,5; 0,5) 0,0140 м (рис. 4.22).

0,

Mi( 2) (ξ ) sin(i Sξ ) , \ i( 2) (K) sin( 2i SK) ,

2,5 ˜10 Па.

wmax (0,5; 0,5) 0,0049 м ; в момент времени t0

W

2

Mi(1) (ξ )

4

В момент времени t 0

V

0, wη 2 отражающими шарнирно-неподвижное закрепление оболочки по краям. В качестве базисных функций рассматривалась система

b 1 м ; h = 0,02 м; физические характерис10

0, ξ 1 U

w 2W

100

200

300

400

t, сут 500

Рис. 4.22. Зависимость wmax (t ) при учёте ползучести материала для бетона

2,9 ˜1010 Па , P

0,3 . Расчётная схема приведена на рис. 4.23.

Решения задачи в безразмерном виде для различных значений параметров k [

k K приведены в табл. 1, где P

рассчитывалась из условия Wдоп t Wmax , где Wдоп 124

0,0057 h для q

3,8 ˜103 Па. 125

a4q Eh 4

. Толщина оболочки

Рис. 4.25 иллюстрирует форму деформированной срединной поверхности.

Рис. 4.23. Расчётная схема пологой оболочки и действующей равномерно распределённой нагрузки

Радиус кривизны оболочки определялся из уравнения

Рис. 4.25. Форма деформированной поверхности оболочки

2

a . hR

k[

Таблица 1 k[

kK

16 32 64 128

Wmax / P

h, м

0,0026484 0,0007125 0,0001864 0,0000480

0,314 0,226 0,162 0,115

R1

R2 , м

79,577 55,247 38,623 27,113

Пример 4.10. Решение линейно-упругой задачи для неравномерно распределённой нагрузки q( x, y ), заданной соотношениями (4.39) (рис. 4.26) Линейные размеры оболочки: a 18 м , b 24 м , параметры кривизны: k [

P

30 , k K

40 и параметры материала: E

2,0 ˜1010 Па ,

0,18 .

На рис. 4.24 изображён график безразмерной функции прогиба, отнесённой к параметру P, для k[ kK 16 . -3 –3

W / P ˜x10 10 W/P

4 2 0 0

5

10

15 x, м

20

10

0

y, м

Рис. 4.24. Безразмерная функция прогиба 126

20

Рис. 4.26. Расчётная схема пологой оболочки и действующей равномерно распределённой нагрузки

Допустимая толщина оболочки hдоп ловия wmax d

1 h. 20 127

0,101 м рассчитана из ус-

Радиусы кривизны оболочки: a2 b2 106,756 м, R2 142,341 м. R1 hk[ hkK Функция прогиба w( x, y ) приведена на рис. 4.27. Максимальноее значение функции прогиба в центре оболочки в точке с координатами x 9 м , y 12 м wmax | 0,00514 м.

мального прогиба wmax в центре оболочки при последовательном увеличении нагрузки q (кривая 1). Для сравнения приведена зависимость wmax от q решения линейно-упругой задачи (кривая 2). 5

105 q, Па ˜x10 2 1.8

2

1.6

w, м 0.01

1

1.4 1.2 1

0.005

0.8

0 0

5

10

15 x, м

0

0.6

20

10

0.4

y, м

0

0.1

0.15

0.2 wwmax,, мм max

Рис. 4.29. Зависимость wmax от нагрузки q = const. Кривая 1 – решение нелинейно-упругой задачи; кривая 2 – решение линейно-упругой задачи

Рис. 4.27. Функция прогиба пологой оболочки с неравномерно распределённой нагрузкой

На рис 4.28 изображена форма деформированной поверхности оболочки при неравномерно распределённой нагрузке.

0.05

Пример 4.12. Решение задачи ползучести для пологих оболочек из различных материалов и различных значениях нагрузки qi 1. Геометрические размеры: a b 20 м , h 0,1 м , R1 R2 100 м ; характеристики материала (бетон): E 2,9 ˜1010 Па , P ты расчёта приведены в табл. 2 и на рис. 4.30.

а0,3 . Результа-

Таблица 2

Рис. 4.28. Форма деформированной поверхности оболочки

Пример 4.11. Решение нелинейно-упругой задачи Исходные данные: a b 20 м, h 0,313 м, E

P

2,9 ˜10 Па , 10

i

qi, Па

wmax (t0 ), м

wmax (t500 ), м

1

3

4,0 ˜ 10

0,01017

0,05094

2

8,0 ˜ 10

3

0,02034

0,10189

3

1,5 ˜ 10

4

0,03814

0,19104

4

2,5 ˜ 10

0,06356

0,31841

4

0,3 , m 4,9 ˜10 4 . На рис. 4.29 приведены результаты расчёта макси128

129

wwmax , м, м max

Таблица 3

0.3

i 1 2 3 4

4

0.25 0.2

3

qi, Па 4,0 ˜103 8,0 ˜ 103 1,5 ˜104 2,5 ˜ 104

wmax (t0 ), м

wmax (t500 ), м

0,0248651 0,0497302 0,0932442 0,1554069

0,0322625 0,0645249 0,1209843 0,2016404

0.15 2

0.1

1

0.05 0 0

100

200

300

400

t, сут 500

Рис. 4.30. Кривые 1, 2, 3, 4 – решение задачи ползучести для бетонной оболочки при значениях нагрузки q1 , q2 , q3 , q4

2. Геометрические размеры: a b 20 м , h 0,3 м , R1 R2 100 м ; ехарактеристики материала (оргстекло): E 0,33 ˜1010 Па , P 0,35 . Результаты расчёта приведены на рис. 4.31 и в табл. 3. ,м wwmax ,м max 0.2 4 0.15

3

0.1 2 0.05 0 0

1

100

200

300

400

t, сут 500

Рис. 4.31. Кривые 1, 2, 3, 4 – решение задачи ползучести для оболочки из оргстекла при значениях нагрузки q1 , q2 , q3 , q4 130

131

Заключение

Список литературы

Расчёты напряжённо-деформированного состояния элементов строительных конструкций при учёте различных свойств материала позволяют получить более точные знания о деформировании конструкции и аргументированно задавать коэффициент запаса прочности, что будет способствовать уменьшению материалоёмкости конструкций и удешевлению проекта строительства. Пластические деформации до разрушения достигают 10–20 %, в то время как упругие – 0,3–0,5 %, поэтому расчёты на прочность, основанные на допустимости только упругих деформаций, часто нецелесообразны и технически, и экономически. Даже в геометрически нелинейной постановке для оболочек учёт физической нелинейности может привести к потере устойчивости; аналогичная картина может наблюдаться и при длительном нагружении, когда учитывается ползучесть материала. Допустимые нагрузки, найденные при линейно-упругом деформировании, существенно снижаются, когда расчёт проводится с учётом неупругого деформирования.

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга; под ред. Н. П. Абовского. – М.: Наука, 1978. – 228 с. 2. Алексеев, Е. Р. MATLAB 7 / Е. Р. Алексеев, О. В. Чеснокова. – М.: НТ Пресс, 2006. – 464 с. 3. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н. И. Безухов. – М.: Высшая школа, 1968. – 512 с. 4. Власов, В. З. Общая теория оболочек и её приложение в технике / В. З. Власов. – М.; Л.: Гостехиздат, 1949. – 784 с. 5. Вольмир, А. С. Гибкие пластины и оболочки / А. С. Вольмир. – М.: Гостехиздат, 1956. 6. Ворович, И. И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек / И. И. Ворович // Изв. АН СССР. Сер. Математика. Т. 19. – 1955. – № 4. – С. 203–206. 7. Горшков, А. Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций / А. Г. Горшков, Э. Н. Старовойтов, А. В. Яровая. – М.: Физматлит, 2005. – 576 с. 8. Ильин, В. П. Численные методы решения задач строительной механики / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Масленников. – Минск: Вышейшая школа, 1990. – 349 с. 9. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с. 10. Карпов, В. В. Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчёте строительных конструкций / В. В. Карпов, А. Ю. Сальников. – СПб.: СПбГАСУ, 2009. – 75 с. 11. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. – М.: Наука, 1969. – 420 с. 12. Кетков, Ю. Л. MATLAB 7: программирование, численные методы / Ю. Л. Кетков, А. Ю. Кетков, М. М. Шульц. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 752 с. 13. Ледовской, И. В. Снеговые нагрузки на некоторые пространственные покрытия зданий / И. В. Ледовской // Вестник гражданских инженеров. – 2009. – № 1(18). – С. 22–24. 14. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. – М.: Машиностроение, 1968. – 400 с. 15. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. – М.: Наука, 1970. – 512 с. 16. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. – Л.: Судпромиздат, 1962. – 431 с. 17. Потёмкин, В. Г. Введение в MATLAB / В. Г. Потёмкин. – М.: ДиалогМИФИ, 2000. – 245 с. 18. Прокопович, И. Е. Прикладная теория ползучести / И. Е. Прокопович, В. А. Зедгонидзе. – М.: Стройиздат, 1980. – 240 с.

132

133

19. Роботнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Роботнов. – М.: Наука, 1988. – 712 с. 20. Ржаницын, А. Р. Строительная механика / А. Р. Ржаницын. – М.: Высшая школа, 1982. – 400 с. 21. Харлаб, В. Д. Новый вариант теории нелинейной ползучести и длительной прочности нестареющего бетона / В. Д. Харлаб // Вестник гражданских инженеров. – 2009. – № 3(20). – С. 24–28.

134

Оглавление Введение ....................................................................................................................3 Глава 1. Математические модели деформирования элементов строительных конструкций в зависимости от проявляемых свойств материала .................................................................................................................4 1.1. Основные характеристики напряжённо-деформированного состояния конструкции ..................................................................................4 1.2. Геометрические соотношения для элементов строительных конструкций ....................................................................................................8 1.3. Физические соотношения для элементов строительных конструкций при линейно-упругом деформировании ............................... 11 1.4. Усилия и моменты для элементов строительных конструкций при линейно-упругом деформировании ......................................................12 1.5. Физические соотношения для элементов строительных конструкций при нелинейно-упругом деформировании............................14 1.6. Физические соотношения для элементов строительных конструкций при учёте ползучести материала ...........................................18 1.7. Принцип возможных перемещений. Полная энергия деформации ...................................................................................................22 1.8. Уравнения равновесия ...........................................................................26 1.8.1. Линейно-упругие задачи .............................................................26 1.8.2. Нелинейно-упругие задачи..........................................................33 1.8.3. Задачи ползучести ........................................................................36 Глава 2. Алгоритмы исследования напряжённо-деформированного состояния строительных конструкций при учёте различных свойств материала ...............................................................................................................39 2.1. Вариационные методы расчёта элементов строительных конструкций ..................................................................................................39 2.1.1. Метод Ритца .................................................................................39 2.1.2. Метод Бубнова – Галеркина ........................................................41 2.2. Алгоритмы решения линейно-упругих задач ......................................41 2.2.1. Стержень .......................................................................................42 2.2.2. Пластина .......................................................................................43 2.2.3. Оболочка .......................................................................................46 2.3. Алгоритмы решения нелинейно-упругих задач ...................................53 2.3.1. Стержень .......................................................................................54 2.3.2. Пластина .......................................................................................56 2.3.3. Оболочка .......................................................................................59 2.4. Алгоритмы решения задач ползучести ................................................68 2.4.1. Стержень .......................................................................................69 2.4.2. Пластина .......................................................................................70 2.4.3. Оболочка .......................................................................................73 135

Глава 3. Программирование алгоритмов расчета элементов строительных конструкций с визуальным интерфейсом в MATLAB .........80 Глава 4. Результаты расчёта напряжённо-деформированного состояния элементов строительных конструкций ........................................102 4.1. Решение линейно-упругих задач в первом приближении .................102 4.1.1. Стержень .....................................................................................102 4.1.2. Пластина .....................................................................................106 4.1.3. Оболочка .....................................................................................107 4.2. Расчёт балок с учётом различных свойств материала ....................... 111 4.3. Решения линейно-упругих задач, нелинейно-упругих задач и задач ползучести для пластин ................................................................. 119 4.4. Решения линейно-упругих задач, нелинейно-упругих задач и задач ползучести для пологих оболочек прямоугольного плана ..........125 Заключение ............................................................................................................132 Список литературы ...............................................................................................133

Учебное издание Карпов Владимир Васильевич Рябикова Татьяна Владимировна КОМПЛЕКСНЫЙ РАСЧЁТ ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В СРЕДЕ MATLAB Учебное пособие Редактор А. В. Афанасьева Корректор К. И. Бойкова Компьютерная вёрстка И. А. Яблоковой Подписано к печати 24.12.09. Формат 60×84/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 7,9. Уч.-изд. л. 8,5. Тираж 300 экз. Заказ 181. «С» 99. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 5.

136