Алгебра, и логика, 39, N 6 (2000), 648-661
У Д К 512.542
РАСПОЗНАВАНИЕ ПО М Н О Ж Е С Т В У П О Р Я Д К О В ЭЛЕМЕНТОВ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП СТЕПЕНИ г + 1 И г + 2 Д Л Я ПРОСТОГО г И ГРУППЫ СТЕПЕНИ 16*) А. В. ЗАВАРНИЦИН В ведение Для конечной группы G обозначим через u(G) множество поряд ков ее элементов. Будем говорить, что группа G распознается по своему множеству порядков элементов CJ(G), если равенство u(G) = w(H) влечет изоморфизм G и Я для любой конечной группы Я . Определение графа Грюнберга—Кегеля GK(G) и множеств fii(G) содержится, например, в [1]. Через s(G) будем обозначать число связных компонент в GK(G). В [1] доказывается, что знакопеременная группа Аг простой степени г ^ 5 распознаваема по своему множеству порядков элементов. Это доказа тельство опирается на тот факт, что граф GK(Ar)
— несвязный и простое
число г образует его компоненту связности. Таким же свойством обладает граф Грюнберга—Кегеля знакопеременной группы А п , где п = г + 1 или г + 2 для простого г, что позволяет перенести доказательство распознавае мости из [1] на случай таких групп. Значит, все простые знакопеременные группы с несвязным графом Грюнберга—Кегеля, кроме А 6 , распознава емы. Среди остальных знакопеременных групп Аю, -Aie» M2, • • • лишь о группе Аю было известно, что она не является распознаваемой (см. [2]). *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00550, Федеральной целевой программы "Интегра ция" и СО РАН, грант для коллективов молодых ученых, постановление Президиума N 83 от 10.03.2000. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
Распознавание по множеству порядков элементов
649
Во второй части настоящей работы доказывается, что группа А 1б распознается по своему множеству порядков элементов. Таким образом, получен первый пример простой распознаваемой группы со связным гра фом Грюнберга—Кегеля, в то время как у всех до сих пор известных про стых распознаваемых групп этот граф является несвязным. В настоящей работе используются следующие обозначения. Пусть В — группа с нормальной подгруппой А, фактор-группа у которой изо морфна В. Для конечной группы G через Soc(G) обозначается произве дение минимальных нормальных подгрупп в G, через (A(G) — множество максимальных по делимости элементов из u{G). Множество u(G) одно значно восстанавливается по fi(G) и наоборот. Через On(G) обозначается наибольшая нормальная 7г-подгруппа B G , а через 0 7r (G) — наименьшая нормальная подгруппа в G, фактор-группа по которой является ^-груп пой. Пусть ¥я — конечное поле из q элементов, a Zk ~- циклическая группа порядка к.
§ 1. Знакопеременные группы степени г + 1 и г + 2 для простого г Т Е О Р Е М А 1. Пусть G — конечная группа такая, что u(G) = = uj(An), где Ап — знакопеременная группа степени п = г + 1 или г + 2 для простого г > 5. Тогда G изоморфна Ап. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО,, Можно считать, что п не является простым числом, поскольку в противном случае утверждение следует из [1]. Тогда число г является максимальным простым делителем порядка группы G и образует компоненту связности несвязного графа GK(G). По [3] можно считать, что г ^ 13. Л Е М М А 1.1. Пусть т — натуральное число. (а) Если т ^ 32 и т ф 37, то существует простое р, удовлетворя ющее неравенствам 5т/8 < р ^ т — 9. (б) Если т ^ 18, то существует простое р, удовлетворяющее нера венствам т/2 < р $С т — 7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится как в [4, док-во леммы 1].
650
А. В, Заварницин Л Е М М А 1.2. Если к ^7,
то и{Ак) £
u{Sk~i).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если А: ^ 18, то согласно п. (б) леммы 1.1 су ществует простое р такое, что к/2 < р $С к — 7. Поскольку к — р ^ 7, по индукции найдется s Е и(Ак-р) \u(Sk-p-i).
Так как р > fc/2, то р не
делит s и ps Е ь>(>Ц) \o;(5fc-i). Для fc, удовлетворяющего 7 ^ & ^ 17, утверждение легко проверить непосредственно. Лемма доказана. С Л Е Д С Т В И Е . ДЛЯ простого г ^ 7 имеют место и(А г +2) ф ф u(Sr+i),
a;(A r+2 ) # w ( S r ) , w(A r + 1 ) / Ц 5 Г ) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, поскольку w(Sr) С w(S r +i). Л Е М М А 1.3. Пусть р, г — простые числа, г ф 2 и Н = Zp X Аг. Тогда и(Н) £ а;(Л г + 2 ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если р ^ г> т о и(Н)\и(Аг+2)
по
лемме 4 из [4] в множестве
содержится числорг, в противном случае — число 2р. Лемма
доказана. Л Е М М А 1.4. Пусть Н — полупрямое произведение
элементарной
абелевой 2-группы V на группу Ат- Если т ^ 6, т ф 8 и А.т действует на V точно, то ш(Н) £ и>(Ат+2)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, и пусть Н — контр пример наименьшего порядка. Тогда Ат действует неприводимо на V. Можно считать, что V является векторным пространством над полем F2 и Ат — группа его линейных преобразований. Дальнейшие рассуждения разобьем на серию вспомогательных утверждений. 1. Справедливо т > 19. По условию, в Ат существует подгруп па Фробениуса порядка 10, которая действует точно на V и дополне ние которой порождено элементом d порядка 2. По лемме 5 [4] получа ем dimCv(d) = (dimV)/2. В Ат найдется элемент Ъ порядка 4 такой, что d = b2. Следовательно, минимальный многочлен элемента Ь при действии на V равен (х - I) 4 , иначе выполнялось бы dimCV(d) > (dimV)/2. Зна чит, 8 Е <*>(#), т.е. т ^ 9. Из таблицы 2-модулярных характеров группы Л 9 (см. [2]) следует, что в OJ(H) лежит либо 2 • 9, либо 2 • 15, и поэтому т ^ 10. Тогда в Ат существует подгруппа Фробениуса порядка 9 • 4, ко торая действует точно на V и дополнение которой порождено элементом
Распознавание по множеству порядков элементов
651
/ порядка 4. Кроме того, в Ат найдется элемент g порядка 8 такой, что Как и выше, отсюда следует, что минимальный многочлен элемен та g при действии на V равен (х ~ I) 8 , т.е. т ^ 16. Ненулевое факторпространство Vi = V/kev(g - I) 7 инвариантно относительно действия цен трализатора Сд т ( 19. 2. Имеет место т = 2" или т = 2 n -f 1 для п ^ 5. Поскольку т > 19, для некоторого п ^ 4 справедливо 2П ^ га < 2 n + 1 . Как и в лемме 1,2 [4], можно показать, что 2П <С ?п < 5 • 2П~2 и, значит, n ^ 5. Согласно п. (а) леммы 1.1 существует простое р, удовлетворяющее неравенствам 5/8 • 2П < р ^ 2П — 9. Допустим, что цикл с длины р из Ат централизует нетривиальное подпространство VQ в V. Поскольку ш-р
^ 9, то в силу ми
нимальности контрпримера в полупрямом произведении Vo^m-p имеется элемент (и,а) порядка s ^ u;(Am_p+2)> г де ^ € VQ и а £ Л т _ р + 2« Поскольку р > т / 2 , то |(v,ac)| = ps £ с^(Я) \u(Am+2),
получили противоречие. Зна
чит, с действует на V без неподвижных точек. Достаточно доказать, что т < 2 п + 2 . Пусть, напротив, т >, 2 п +2. Тогда в Ат найдется элемент Ь по рядка 2 П , минимальный многочлен которого равен (х - I) 2 " (см. [4, док-во леммы 1.3]), откуда 2 n + 1 £ u(H) \u;(A m+ 2)> получили противоречие. Теперь можно завершить доказательство леммы 1.4. Если какой-либо цикл длины 3 из Ат централизует нетривиальное подпространство Vb, то в Ат имеется подгруппа, которая изоморфна Л ш _з и которая либо действует точно на Vb, либо централизует Vo. В первом случае 5 • 2 П " 3 ^ т - 3 < < 2 П , и снова применив рассуждение из [4, док-во леммы 1.2], получим, что 3 * 2П £ и(Н) \oj(Am+2)> вопреки предположению. В силу леммы 9 [4], второй случай противоречит тому, что Ат действует неприводимо и точно на V", причем т > 6.
652
А. В. Заварницин Итак, никакой цикл длины 3 не централизует нетривиальных эле
ментов в V. Обозначим через d произведение двух независимых циклов а и Ь длины 3. Тогда dimCv(d) = (dimV)/2. Это доказывается так же, как лемма 1.5 [4], следует лишь заметить, что элементы аЬ и ab~~l сопряжены в Ат. В Ат содержится подгруппа Фробениуса порядка 7 • 3 с ядром, порожденным циклом с длины 7 и дополнением, порожденным элемен том d. Если с не имеет нетривиальных неподвижных точек в V, то эта группа Фробениуса действует точно на V, и по лемме 5 [4] получаем dimCV(d) = (climV")/3 вопреки доказанному выше. Поэтому VQ = Су {с) — нетривиальное подпространство, инвариантное относительно подгруппы, изоморфной Ат_7> которая либо действует точно на VQ, либо централизует VQ. В первом случае 5 • 2"~~3 ^ т - 7 < 2", и из [4, док-во леммы 1.2] сле дует, что 7 • 2 n £ ш(Н) \w(i4m+2)« Получили противоречие. В силу леммы 9 [4] второй случай противоречит тому, что Ат действует неприводимо и точно на У, причем т > 14. Лемма доказана. Л Е М М А 1.5. Пусть Я — полупрямое произведение
элементарной
абелевой 3-группы V на группу Ат. Если т ^ 4 и Ат действует на V точно, mouj(H) g и(Ат+2)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, и пусть Я — контр пример наименьшего порядка. Тогда Ат действует неприводимо на У. В Ат существует подгруппа Фробениуса порядка 4 • 3 с дополнением, поро жденным циклом с длины 3. По лемме 2 [4] в Я найдется элемент порядка 9, т. е. т ^ 7. Фактор-пространство \\ — V/ker(l — с) 2 нетривиально и инвариантно относительно действия централизатора С^ т (с), содержащего нециклическую подгруппу К порядка 4. Поскольку группа К не имеет точных неприводимых представлений над полем F3, в ней найдется эле мент порядка 2, который централизует нетривиальный элемент из V\. По лемме 3 [4] число 9 • 2 лежит в си (Я), и поэтому т ^ 11. Теперь в Агп имеется подгруппа Фробениуса порядка 4 • 3 с дополнением, порожденным произведением d трех независимых циклов длины 3 таким, что d = b3
Распознавшие по множеству порядков элементов
653
для некоторого цикла Ь длины 9. Повторяя рассуждение из [4, док-во лем мы 1.3], находим, что 27 £ ш(Н) и m > 11. Существует натуральное t ^ 1 такое, что 4-3'^m<4-3*+1.
(1)
По лемме 8 [4] в Ат содержится подгруппа Фробениуса, действующая на 4 * 3 е символах с циклическим дополнением, порожденным элементом с порядка 3* +1 , откуда т ^ 3* + 2 -2. Пусть s = m-4-З*, тогда s ^ 5-3*—2 ^ 13 и, значит, существует натуральное u ^ 1 такое, что 5-2 U < s < 5 - 2 u + 1 .
(2)
Поэтому в Ал имеется подгруппа Фробениуса с циклическим дополнением порядка 2 W+2 , а в и(Н) лежит число З*4"2 • 2и+2. Поэтому га + 2 ^ 3 i + 2 + + 2 u + 2 + 2. Вместе с (2) получаем ш > 3'+2 + 2s/5. Поскольку s = m - 4 - З * , имеем m ^ ^ • 3*, что противоречит (1). Лемма доказана. Л Е М М А 1.6. Пусть р — простое число, р ^ 5 и II — полупрямое произведение элементарной абелевой р-группы V на группу Am, где rn ^ 4 и Ат действует точно на V. Тогда и)(Н) % u(Am+2)« ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, и пусть Я — контр пример наименьшего порядка. Тогда Ат действует неприводимо на V. Рас суждения, аналогичные приведенным в [4, док-во леммы 3.4], показыва ют, что если р = 5, то т ^ 1186, а если р ^ 7, то m ) 150. Поэтому, как следует из заключительной части доказательства предложения 3 [4], в II существует элемент #, порядок которого четен и не лежит в о;(5 ш ), а значит, порядок g также не лежит в и(Ат+2)- Получили противоречие. Лемма доказана. Л Е М М А 1.7. Пусть Н — конечная группа, V — собственная нор мальная подгруппа группы Н, и фактор-группа H/V изоморфна знакоперемепой группе Аг простой степени г > 5. Тогда и(Н) £ и(Аг+2)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Без ограничения общности можно считать, что Н — полупрямое произведение элементарной абелевой р-групиы V на
654
А. В. Заварницин
Аг для некоторого простого р [4, док-во теор.]. По лемме 1.3 можно пола гать, что Аг действует точно на V. Утверждение следует из лемм 1.4, 1.5 и 1.6. Лемма доказана. Л Е М М А 1.8. Существует нильпотентная нормальная подгруппа N группы G такая, что Р < G/N < Aut(P) для некоторой неабелевой простой группы Р с несвязным графом GK(P) и fii(P) = {г} для некото рого числа г > 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это утверждение доказывается как лемма 3 [1]. Необходимо лишь произвести следующие изменения. В п. (а), если г делит | F | , аналогично доказывается, что найдутся различные нечетные простые числа р\,...
, р*, отличные от г и такие, чтоте— 2 ^ р\-\-..
, + pt ^
^ п. Тогда 2р\.. .pt Е и (С) \ ы(Ап)< Если же г не делит | F | , то \С\ — г. Существует натуральное t такое, что 2* + 2 < п < 2t+1 + 2. Если q — наибольшее простое число, меньшее г, то по лемме 1 [1] q > те/2 > 2 и 2fq G OJ(F) \и(Ап).
В доказательстве п. (б) необходимо заметить, что
при п ^ 18 по лемме 1 [4] найдутся различные простые pi, p2 такие, что п/2 < ргУр2 ^ г - 1, и тогда pip2 & и(Ап).
Поэтому п — 14 или 15,
следовательно, в качестве р\ и р2 можно взять 7 и 11. Лемма доказана. Л Е М М А 1.9. Пусть Р и N такие, как в лемме 1.8. (а) Существует самое большее одно простое число р ^ (г + 1)/2, делящее порядок подгруппы N. (б) Группа Р не изоморфна спорадической группе,
знакопеременной
п
группе или группе £,2(г ), n > 1. (в) Имеет место г ^ 17, существует самое большее s(P) простых чисел s £ тг(Р) таких, что (г + 1)/2 < s < г и порядок фактор-группы Апг(Р)/Р
не делится на s.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (а) Допустим противное, т. е. существуют про стые pi > р2 £ (г + 1)/2, делящие |iV|. В силу нильпотентности N имеем Pip2 e u(G). Однако рг + р2 ^ (г + 1)/2 + 2 + (г + 1)/2 = г + 3 > те, т. е. PiP2 £ и(Ап)-
Получили противоречие.
(б) Пусть Р изоморфна спорадической группе. Множество 7r(G) со стоит из простых р ^ г, и г составляет компоненту связности графа
Распознавание по множеству порядков элементов GK(P). Fhs,
655
Поэтому из леммы 4 [1] и из п. (а) следует, что Р изоморфна Fif24,
Р*22
или
Suz. В первых двух случаях \N\ делится на 19, и по [5] в Р
найдется подгруппа Фробениуса порядка 17 • 16. Значит, в G содержится элемент порядка 19 • 17 или 19 • 16, но в Ап нет элементов такого порядка, поскольку п ^ г + 2 ^ 3 1 , получили противоречие. Если Р изоморфна F%22 или Suz, то г = 13, п ^ 15 и в Р есть подгруппа Фробениуса по рядка 1 1 - 5 . Значит, jA^| не делится на 5, поскольку в противном случае в u(G) \ ш(Ап) лежит либо 1 1 - 5 , либо 25, получили противоречие. По скольку в и(An) \u)(Aut(P)) в u(An) \ u(Aut(P))
содержится число 5 • 7, то 7 делит \N\. Далее,
также лежит 3 • 11, что вместе с п. (а) показывает,
что \N\ делится на 3. Так как элемент порядка 13 из Р действует на N без неподвижных точек, то из существования в Р подгруппы Фробениуса порядка 13 • 3 следует, что 9 • 7 € u(G) \u(An),
получили противоречие.
Пусть Р изоморфна знакопеременной группе Ат. Тогда по лемме 4 [1] имеем т = г, г + 1 или г + 2. Из леммы 1.7 следует, что Лг = 1. Так как Aut(A m ) = 5 m , то лемма 2 |1], следствие из леммы 1.2, а также тот факт, что и(Ат) ф ^(Sm))
влекут т = п и б = Л п , получили противоречие,
Предположим, что Р изоморфна Ь2(гк),
к > 1. Положим т — (гк -
— б)/2, где е = ± 1 такое, что гк+е делится на 3. В Ап содержится элемент х порядка га, и га не является степенью простого числа, в противном случае m ^ n < .С г + 2 < (г 2 - 1)/2 ^ (гк — 1)/2 ^ т. В остальном рассуждения повторяют [1, док-во п. (б) леммы 6]. (в) Если г ^ 17, то утверждение следует из п. (в) и (г) леммы 6 [1]. В противном случае г = 1 3 и п = 14 или 15. Тогда по п. (а) и по лемме 4 [1] группа Р изоморфна Ss(8), G 2 (3), G 2 (4), С£(3), S6(3) или О т (3), и \N\ делится на 11. В Р имеется подгруппа Фробениуса порядка 13-4 или 13-6 и, значит, в OJ(G)\u(An)
лежит либо 114, либо 11-6, получили противоречие.
Лемма доказана. Л Е М М А 1.10. Если s(P) = 2,тог^
17. Если s(P) ^3,mor<^
37.
Если s(P) = 4, то г ^ 41. Если s(P) = 5, то г ^ 47. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.. Лемма вытекает из леммы 1.9 и леммы 1 [1]. Л Е М М А 1.11. Все случаи, указанные в лемме 1.10, невозможны.
А. В. Заварницин
656
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если s(P) = 2, то г = 17,те= 18 и из таблицы 1а [1] получаем Р = Ci(2), 2Z>4(2) или 2D$(2). В первом и втором случаях 11,13 0? w(Aut(P)), что противоречит лемме 1.9(a). Если Р = 2 и 5 ( 2 ) , то 13 € 7r(JV). В Р имеется подгруппа Фробениуса порядка 17 • 8 и, значит, в u(G) \ ы(Ап) лежит либо 13 • 17, либо 13 • 8. Если s(P) > 2, то г ^ 47 только в следующих случаях: (а) Р = 2 В 2 (32),г = 41; ( 6 ) P = 3 G 2 ( 2 7 ) , r = 37; (в)Р-2^б(2),г=19; (r)P = Ai(9)l9^96. В случаях (а) и (б) \N\ делится на 23 и 29, что невозможно по п. (а) леммы 1.9. Предположим, что выполняется случай (в). Тогда п = 20 или 21. В Ап содержатся элементы порядков 7-13, 5 • 11 0 u;(Aut(P)), поэтому, согласно п. (а) леммы 1.9, \N\ делится на 5 • 7, 5 • 13 или 11 • 7, Элемент порядка 17 из Р не централизует в N элементов порядка 5, 7, 11, 13, и поэтому из существования в Р подгруппы Фробениуса порядка 17 * 8 сле дует, что в u(G) \u(An)
лежит одно из чисел 5 • 7 • 8, 5 • 13 • 8 или 11-7-8=
Получили противоречие. В случае (г) легко проверить прямыми вычислениями, что существу ют два простых числа > (г + 1)/2, делящие |iV|, вопреки лемме 1.9(a). Лемма и теорема доказаны.
2. Распознаваемость знакопеременной группы А\е Т Е О Р Е М А 2. Пусть G — конечная группа UOJ(G) = u(Aw).
Тогда
G изоморфна Aw. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем ц(в)
= р(Аг6)
= {13-3, 11-5, 11-3,
11-2, 7-5-3, 7-5-2, 74-3, 7-9, 5-9, 54-3, 5-8, 94, 8-3}. Пусть N - максимальная нормальная разрешимая подгруппа в G. Л Е М М А 2.1. Порядок группы N не делится на 13. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, напротив, 13 | \N\. Тогда выполняется одно из условий:
Распознавание по множеству порядков элементов
657
(1) силовские 11-подгруппы в G — циклические порядка 11, а силовские 2-подгруппы — циклические или обобщенные кватернионные; (2) силовские 13-подгруппы в G — циклические порядка 13. В самом деле^ при р ф- 3 силовская р-подгруппа в G изоморф на силовской р-подгруппе в GfOz{N). Oiz(N/03(N))
Поскольку N разрешима, то либо
ф 1, либо 0{2,bjM}(N/°3(N))
Ф !• И з теоремы Томпсона в
первом случае имеет место (1), а во втором — (2). Пусть выполняется (1). Рассмотрим силовскую 11-подгруппу Т из G. Все такие подгруппы сопряжены, поэтому /л(Со{Т)) = {11 • 5,11 • 3, 11-2}. В силу распознаваемости группы А$ имеем CQ(T)/T CQ(T)
~ А5 и, значит,
~ Т х А5 по теореме Шура. Однако в А$ имеется нециклическая
подгруппа порядка 4, это противоречит тому, что силовская 2-подгруппа в G — циклическая или обобщенная кватернионная. Итак, имеет место (2). Пусть 5 — силовская 13-подгруппа в N. По скольку S имеет порядок 13 и CQ(S) — {3,13}-группа, то простыми дели телями NQ(S) могут быть только 2, 3, 13. Порядок \G/N\ не делится на 13, и G/N ~ NG(S)/(NnNG(S)).
Значит, G/N - {2,3}-группа. Поэтому
она разрешима. По определению подгруппы N получаем G = ЛГ. Поскольку в G отсутствуют элементы порядка 7-11, то либо силов ская 7-подгруппа, либо силовская 11-подгруппа в G будет циклической простого порядка. В первом случае рассмотрим холлову {7,13}-подгруппу в G. Ее порядок равен 7fc-13, и поскольку 7-13 ^ u(G)} то k ^ 2 и силов ская 7 подгруппа имеет составной порядок. Получили противоречие. Во втором случае аналогичное рассуждение с холловой {11,13}-подгруппой также приводит к противоречию. Лемма доказана. Л Е М М А 2.2. Пусть S = Pi х .. .X Рг, где Pi ~ изоморфные неабелевы простые группы. Тогда Aut(S) ~ (Aut(Pi) х . . . х Aut(P r )).5 r , ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Р < S, причем Р изморфна Р г . Тогда Р совпадает с одним из прямых сомножителей Р,\ В самом деле, есте ственные проекции щ : Р -> Р,- являются гомоморфизмами и поэтому либо тривиальны, либо биективны. Биективной может быть ровно одна из
658
А. В.
Зашрницин
проекций 7Г,, иначе Р не являлась бы нормальной подгруппой. Поэтому Р совпадает с одной из Р;. Итак, пусть (р £ Aut(S). Тогда <р(Р{) < 5 . В силу вышесказанного существует индекс j = ia* такой, что
(£) С w(G). Значит, 13 делит |0ut(5)| по лемме 2.1. С другой стороны, Out(S) ~ Out(Si) х . . . х Out(Sf), где группы Sj — прямые про изведения изоморфных Р{ такие, что S ~ S\ х . . . х St. Поэтому для неко торого j число 13 делит порядок группы внешних автоморфизмов прямого произведения Sj изоморфных простых групп Pj в количестве г экземпля ров. Поскольку n(Pi) С {2,3,5,7,11}, то Out(P a ) не делится на 13 (та ких простых групп — конечное число, они все перечислены в [3] вместе с группами автоморфизмов). По лемме 2.2 порядок группы |Aut(5j)| равен |Aut(P,)| r -r!. Поэтому г ^ 13, и у группы Sj есть автоморфизм порядка 13, централизующий элемент (а, а,... , а) порядка 2 из Sj, где а — произ вольный элемент порядка 2 из P t . Таким образом, 13-2 G ^>(Сг). Получили противоречие. Лемма доказана. Простых групп Р , удовлетворяющих условию 13 € тг(Р) С {2, 3, 5, 7, 11, 13}, существует конечное число (см. [6], замечание после леммы 2). Все они перечислены в списке: £ 2 (13), I 2 (25), L 2 (27), L 2 (64), X 3 (3), L3(9), L4(3), L5(3), L e (3), 5 4 (5), 5 4 (8), 5 e (3), C/3(4), £74(5), 0 7 (3), 0+(3), G 2 (3), G 2 (4), 3£>4(2), A 13 , A14, A16, Sz(8),
2
F 4 (2)', Suz,
Ai5,
Fi22.
Л Е М М А 2.4. Пусть Н = Д.Ахз, где i? — нетривиальная мая {2, 5,7,11}~группа. Тогда UJ(H)
%U{AIQ).
разреши
Распознавание по множеству порядков элементов
659
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Группа Н имеет фактор-группу Нх ~ где Ri ~~ это р-группа для р = 2, 5, 7, или 11. Пусть CH1(RI)
ЯгЛ13}
< Ri- При
р = 2, 7, или 11 существование в А\з подгруппы Фробениуса порядка 9-8 влечет 8р € u)(H)\u(A\e).
Если р = 5, то существование в А х з подгруппы
Фробениуса порядка 32-5 влечет 25 Е w(#)\u?(Ai 6 ). Поэтому # i = Дх х А 13 и 13р Е <*>(#) \ C J ( A I 6 ) . Лемма доказана. В доказательстве следующей леммы проверку существования необхо димых элементов и подгрупп в большинстве рассматриваемых групп мож но осуществить, используя [5]. Л Е М М А 2.5. Выполняются следующие неравенства: (1)P^L2(64),S4(8); (2)P^L3(9),Fi22; ( 3 ) F / A i 3 , A 1 4 ,A 1 5 ; (4)P^L5(3); (5)P^I6(3); (6) P # L 2 (27); (7) P ф L 3 (3), L 2 (5), t/ 3 (4), S 4 (5), L 4 (3), 2 F 4 (2)'; (8) P -/ 5t*2r; (9) P ^ 3 £> 4 (2), Ss(8), L 2 (13), G 2 (3), 5 6 (3) f 0 7 (3), 0+(3), C/4(5). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (1) В S4(8) имеется подгруппа, изоморфная L 2 (64),H65€a>(L 2 (64)); (2) Группы Хз(9) и Рг 22 содержат элемент порядка 16. (3) В противном случае G содержит подгруппу, изоморфную ЛГ.А13. Поскольку 3 • 13 6 CJ(G) \u;(A), то 3 ) |iV|, т.е. подгруппа N нетривиальна. Тогда О 3 (N) = JV, иначе в силу леммы 2.4 группа G/O3 (N) содержала бы элемент порядка, не лежащего в u(Ai$). Далее, К = Оз'(ЛГ) ^ 1, поскольку 11-5 6 ^(G) влечет 11 | \N\ или 5 | \N\. Фактор-группа G/K
содержит
подгруппу 5 = T,Ai3, где Т — 3-группа. Докажем, что S — Т х А13. Фактор-группа TCs{T)/T
изоморфна Ахз, иначе она была бы триви
альна и существование в А13 подгруппы Фробениуса порядка 26-9 означало бы, что 27 G w(S). Таким образом, Cs(T) является центральным расши рением абелевой 3-группы с помощью Ахз- Тогда коммутатор Cs(T)' изо-
660
А. В. Завярницин
морфен Ai3, поскольку порядок мультипликатора Шура группы A i 3 не делится на 3. По лемме 2.4 в расширении К.А\з имеется элемент порядка, не ле жащего в и>(Ахб). Получили противоречие. (4) Предположим противное. Так как 7 не делит |Aut(L 5 (3))j, то 7 | \N\. Поскольку И 2 | |£s(3)| и силовская 11-подгруппа в А должна быть циклической, то 121 6 u(G). Получили противоречие. (5) Группа Le(3) содержит подгруппу, изоморфную £з(3) X £з(3) и, значит, элемент порядка 13-2. (6) Предположим противное. Порядок N делится на 5 и 11. Кроме того, в Aut(Z/2(27)) отсутствует элемент порядка 8, и поэтому 2 | |ЛГ|. Пусть Н — холлова {2, 5,11}-подгруппа в N. Тогда в NQ{H) имеется элемент порядка 13, который действует на Н регулярно. Значит, Н нильпотентна и 2 • 5 • 11 £ u(G). Получили противоречие. (7) Предположим противное. Порядок группы N делится на 7 и 11. Холлова {7Л1}-подгруппа в N нильпотентна, и поэтому 7*11 6 uiiG). Получили противоречие. (8) Если Р = Suz, то А — Р , так как 16 £ cj(Aut(P)). Поскольку 7-5 £ о;((У)\и>(Р),толибо7, либо 5 делит \N\. Поскольку 7-4 €
u{G)\u{P),
то либо 7, либо 2 делит \N\. Если 7 | |iV|, то 11 не делит |JV|. Тогда су ществование в G элементов порядков 2-11 и 5-11 влечет 2, 5 | |JV|. Можно считать, что |ЛГ| не делится на 11. Тогда все подгруппы порядка 11 со пряжены в G. и поскольку холлова {2,5}-подгруппа в N нильпотентна, существует элемент порядка 11 из G, который централизует элементы по рядков 2 и 5 из N. Поэтому 2-5-11 £ и;(СУ), получили противоречие. (9) В противном случае 11 | \N\ и, значит, \N\ не делится на 7. По скольку 5-7 £ a;(Aut(P)), то 5 | \N\. Докажем, что в G имеется элемент порядка 2-5-11 и тем самым придем к противоречию. Это верно, если 2 | \N\. Предположим, что \N\ не делится на 2. Пусть Я — холлова {5,11}подгруппа в N. Тогда NN(H) — это {3, 5,11}-группа. В Р содержится подгруппа Фробениуса F порядка 13-2, а в G — подгруппа, изоморфная NN(H).F.
ЭТО
расширение расщепляемо по теореме Шура и, значит, F
Распознавание по множеству порядков
элементов
661
действует на Я . Тогда элемент порядка 2 из F централизует элементы по рядков 5 и 11 из II. В силу нильпотентности Я получаем 2 - 5 - 1 1 G u(G). Лемма доказана. Из леммы 2,5 следует, что Р = Аг6. Из [4] имеем JV = 1. Поскольку u)(S\e) ф w(Aie),
получаем А = Р = G = Ai6. Теорема доказана.
Автор выражает искреннюю благодарность В. Д. Мазурову за идей ную поддержку и полезные консультации относительно содержания насто ящей работы.
ЛИТЕРАТУРА 1. А.С.Кондратьев,
В.Д.Мазуров,
Распознавание знакопеременных групп
простой степени по порядкам их элементов, Сиб. матем. ж., 4 1 , N 2 (2000), 360-371. 2. The GAP Group, GAP — Groups, algorithms and programming, Version 4b5, Aachen, St Andrews, 1998 (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/ ~gap). 3. В.Д. Мазуров, Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов, Алгебра и логика, 37, N6 (1998), 651—666. 4. А. В. Заварницин, В. Д. Мазуров, О порядках элементов в накрытиях сим метрических и знакопеременных групп, Алгебра и логика, 38, N 3 (1999), 296-315, 5. J. H.Conway у R.T.Curtis,
S.P.Norton,
R.A.Parker,
R.A. Wilson, Atlas of
finite groups, Oxford, Clarendon Press, 1985. 6. В.Д. Мазуров, О множестве порядков элементов конечной группы, Алгебра и логика, 33, N 1 (1994), 81-89.
Адрес автора: З А В А Р Н И Ц И Н Андрей Витальевич, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: [email protected]
Поступило 7 апреля 1999 г. Окончательный вариант 28 сентября 1999 г.
