エレクトロニクスのための過渡現象―理論と演習

新訂版 エ レク トロニ クス の た め の 

過渡 現象

<理 論 と演 習> 工博 窪 田 忠 弘 著

東 京 電 機 大 学 出 版 局

Ｒ<日 本 複写 権 セ ン ター 委託 出版 物 ・特 別 扱 い 〉 本書 の 無 断複 写 は,著 作権 法上 で の例 外 を除 き,禁 じられ て い ます。 本書 は,日 本 複 写権 セ ン ター 「出 版物 の複 写 利用 規 程 」 で定 め る特 別 許 諾 を必要 とす る出版 物 で す。 本 書 を複 写 され る場 合 は,す でに 日本 複写 権 セ ンター と包 括 契約 を され て い る方 も事 前 に 日本 複写 権 セ ン タ ー(03-3401-2382)の

許 諾 を 得 て くだ さ い 。

新 訂 版 に よせ て   本 書 が 発 行 さ れ て か ら,す

で に10年

余 が 経 過 し た 。 こ の 間,エ

レ ク トロ ニ

ク ス の 発 展 は 目 ざ ま し く,工 学 の 各 分 野 へ の 浸 透 も 著 しい も の が あ る 。 こ の 度,新

訂 版 を発 行 す る に あ た っ て,本

書 の “基 本 は 確 実 に 理 解 し,そ れ に よ っ

て 応 用 力 を蓄 え る” とい う考 え 方 は 少 し も 変 わ らず,さ

ら に,よ

向 で 修 正 を 加 え る こ と に し た 。 す な わ ち,“ 第 １章 序 論 ” で は,過

り徹 底 す る 方 渡現 象に 直

接 必 要 の な い 一 節 を省 略 し,“ 第 ２章 時 間 領 域 で の 解 析 〔I〕(微 分 方 程 式 の 解 法)” で は,あ せ,そ

ま り実 用 的 で な い ２階 の 可 変 係 数 式 は 極 め て 簡 略 に 脚 注 で す ま

の 分 を 多 少 と も微 分 方 程 式 の物 理 的 対 応 に 記 述 を ま わ し た 。 第 ３章 か ら

第 ６章 ま で は 大 よそ 変 わ りな く,“第 ７章 こ の10年 で,そ

エ レ ク ト ロ ニ ク ス の 過 渡 現 象 ”で は,

間 に 実 用 電子 回 路 は ほ とん どオ ペ ア ン プが 使 われ る よ うにな った の

の 解 析 を 大 幅 に つ け 加 え た 。 パ ル ス波 の 解 析 は,ラ

好 の 演 習 問 題 の場 と も な る の で,丁

寧 に 記 述 し た 。 ま た,オ

プラス演 算 子 法 の絶 ペ ア ン プにつ い て

予 備 知 識 の な い 電 気 系 以 外 の 諸 君 に も理 解 で き る よ うに,“ 付 録 Ⅳ オ ペ ア ン プ の 基 礎 ” の 項 を設 け て 解 説 した 。 最 小 限 の 知 識 は,こ

れ だ け で 十 分 と 思 う。

  新 訂 版 の 主 眼 は “補 編 Ⅰ 過 渡 現 象 解 法 の 実 際 ” に あ る とい っ て よい 。 こ の 10年

間 の 講 義 経 験 か ら,学

生 諸 君 が 一 番 理 解 に 困 難 を 感 ず る の は,交

に 対 す る直 並 列 複 エ ネ ル ギ ー 回 路 で あ る こ とが わ か っ た の で,こ

流 入 力

の解 法 をい ろ

い ろ な や り方 で 比 較 を し な が ら詳 述 し た 。 い わ ば 過 渡 現 象 解 法 の “こ つ ” と も い うべ き 部 分 で,こ 思 う。 な お,正 倒 で あ り,ま

の 項 を よ く熟 読 玩 味 す れ ば,解

き 方 の 要 領 が 理 解 され る と

弦 関 数 を非 同 次 項 と す る ２階 微 分 方 程 式 の 解 の 計 算 は か な り面 た ラ プ ラ ス 変 換 に よ る 解 と,一

見 表 現 が 異 な る の で,そ

れ が 同一

で あ る こ と も 示 し て お い た 。 “付 録 Ⅱ 微 分 方 程 式 の 係 数 お よ び 初 期 値 と解 の 対 応 表 ” に そ の 結 果 を 整 理 し て 示 し て お い た が,計

算 の 際,手

元 にお い て 自分 の

計 算 結果 と見 比 べ なが ら解 い て い く と便 利で あろ う｡   最後 に く り返 し述 べ たい こ とは,こ れ らの 計算 は 過渡 現 象 解 析 の基 本 とな る べ き もの なの で,ぜ ひ と も一 度 は 必 ず 自分 で丹 念 に 計 算 す る こ とをす す めた い 。過 渡 現 象 の理 解 に十 分役 に立 つ か らで あ る。 昭 和58年

１月 著 者

し る す

は

  本 書 は,著 に して,大

者 が 永 年 大 学 に お い て,過

が

き

渡 現 象 論 の講 義 を行 な っ た 経 験 を も と

学 の テ キ ス トな い し は演 習 用 の 参 考 書 と し て 執 筆 し た も の で あ る 。

全 体 の 方 針 と し て は,基 で,短

し

本 事 項 を徹 底 的 に 理 解 す る こ と を 目 標 と し て い る の

大 用 と して もむ ず か し す ぎ る こ とは な い 。 また,標

題 に “エ レ ク ト ロ ニ

ク ス の た め の ” と題 し て あ る が,こ

れ は “新 し い セ ン ス で 書 か れ た ” とい うほ

ど の意 味 あ い で,電

わ ゆ る強 電)の

り,こ

気 工 学 専 攻(い

学生 が 学 ん で も適 当 で あ

の程 度 の知 識 は そ れ ら の 学 生 に と っ て も 必 要 で あ る と思 う。 従 来,わ

国 の 大 学 教 育 の レ ベ ル は,欧

が

米 の そ れ に 比 べ て む し ろ高 い とい わ れ て い る が,

一 方 ,実 社 会 に 出 て か ら の 進 歩 は 劣 る と も い わ れ て い る。 こ の こ と は,大 使 用 す る 教 科 書 は か な り高 度 の 専 門 的 内 容 を含 ん で い るが,多

学で

くの 学 生 に とっ

て 多 分 に 未 消 化 に 終 わ り,そ の た め に 十 分 知 りつ くし て い な け れ ば な らな い 基 本 的 事 項 の理 解 が お ろ そ か に な り,応 用 の 際 に支 障 を き た す か らで あ る と考 え られ る 。   本 書 の 第 １の 方 針 が,基

本 的 な 事 項 の 徹 底 的 な理 解 に お か れ て い る の は,そ

の 弊 を破 ら ん が た め で あ る 。 そ の た め,本 短 距 離 で 配 列 し,む 愛 し,そ

だ な く論 を進 め て い く う え に 直 接 必 要 で な い 部 分 は 極 力 割

の分 を基 本 的 事 項 の 詳 述 に ま わ した 。 ま た,現

終 わ ら せ る こ とは 避 け,物   さて,工

書 で は 大 学 生 と し て 必 要 な 知 識 を最

象 を単 に数 学的 叙 述 に

理 的 な意 味 をで きる だけ加 えた。

学 上 の 諸 問 題 に は,必

ず 物 理 的 な側 面 と数 学 的 側 面 が 存 在 す る が,

過 渡 現 象 の場 合 も,ま た 例 外 で は な い 。 そ の 解 析 過 程 を考 え て み る と,  ⅰ)対

象 となる現 象 を微分 方 程式 で表現 す る。

 ⅱ)そ

の 微 分 方 程 式 を 解 い て,一

 ⅲ)与

え られ た 初 期 条 件 か ら,一 般 解 に含 ま れ て い る 任 意 定 数 を消 去 す る｡

の 手 順 を た ど るが,い

般 解(特

う ま で も な く,ⅰ)は

解 と補 解 か ら な る)を

物 理 的 側 面 で あ り,ⅱ)は

求 め る。

数学的

側 面 で あ る 。ⅲ)は

一 見 数 学 的 側 面 の よ うで あ る が,実

多 少 の誇 張 を許 せ ば,過

は 物 理 的 側 面 で あ り,

渡 現 象 論 で 新 し くつ け 加 わ る の は,こ

の部 分 で あ る と

い っ て も過 言 で は な い 。 とい うの は,直 観 的 に 明 らか に 与 え られ る初 期 条 件 と, 上 記 の 一 般 解 の任 意 定 数 を消 去 す る際 に,必 致 せ ず,そ

要 な 初 期 条 件 とは 値 が 必 ず し も一

の 間 の 橋 渡 し を す る の に,現 象 の 物 理 的 な 考 察 が 必 要 な の で あ る 。

  こ の よ うに し て,新

し く物 理 的 側 面 に つ い て学 ぶ 場 合,そ

こ に入 り こん で く

る 数 学 的 側 面 に も エ ネ ル ギ ー を費 や され る とす る と,現 象 の 理 解 が 不 十 分 に な りが ち で あ る か ら,ま ず 数 学 的 側 面,す

な わ ち,微 分 方 程 式 の 解 法 は 十 分 理 解

して お か な け れ ば な らな い 。 さ ら に,微 分 方 程 式 の解 の 特 解 は,定 け る物 理 現 象 を,補

解 は 過 渡 項 を表 わ し,ま

数 と独 立 な 初 期 物 理 量(た

と え ば,電

た,一 般 解 の 中 に あ る任 意 定 数 の

気 回 路 な ら コ ン デ ン サ に た くわ え られ て

い る初 期 電 荷 や イ ン ダ ク タ ン ス を流 れ る初 期 電 流)の 学 的 側 面 の 完 全 な理 解 は,物   次 に 強 調 し た い の は,応

常 状 態 にお

数 と は 一 致 す る な ど,数

理現 象 の理解 の手助 け と もなるの で ある。

用 力 の 重 視 とい う こ とで あ る 。 “一 を聞 い て 十 を 知

る ” こ との で き る 力 を養 う こ とは,特

に今 日 の よ う に,各

分野 の 技術 的進展

の は げ し い 時 代 に は 必 要 で あ ろ う。 そ の た め に は 聞 い た “一 ” を よ く理 解 す る こ とが 肝 要 で あ る が,そ

れ と 同 時 に,そ

の 知 識 を普 遍 化 す る 力,す

な わ ち,応

用 力 を育 て る こ と も た い せ つ で あ る。   過 渡 現 象 は,電

気 回 路 の ス イ ッチ を切 った り入 れ た り し た と き に だ け お こ る

現 象 では ない。   力 学 系 で も,熱

伝 送 系 で も,化 学 系 で も生 ず る し,さ

ら に は,生

物 や社会 現

象 に お い て も存 在 す る も の な の で あ る 。 本 書 で 学 ぶ 過 渡 現 象 の解 析 の し くみ は 電 気 的 な変 化 量 や 定 数 を,そ れ ぞ れ の 系 の 変 化 量 や 定 数 に お き か え れ ば,そ ま ま そ の系 に 適 用 で き る もの で あ る こ と を強 調 し て お き た い 。 ま た,こ

の

の よう

な 考 え方 が 最 近 斯 界 で 重 要 視 され て き た “エ ン ジ ニ ア リ ン グ ・サ イ エ ン ス ” の 考 え方 に通 ず る もの で あ ろ う。   第 １章 で は,回 は,抵

路 一 般 に つ い て の 事 項 が 説 明 され て い る が,第

１章 ３節 で

抗 Ｒ や イ ン ダ ク タ ン ス Ｌ お よび コ ン デ ンサ Ｃ の よ く知 られ た,電

圧一 電

流 特性 を簡 単 な物性 論 や 電磁 気 学 に も どって説 明 してあ るが,こ れ は解 析 手順 di/

のⅰ)で 現 象 の 微 分 方 程 式 で の 表 現 の 際 必 要 とな ろ う。 単 に,υ=Ri,υ=L 1/ υ=

dt,

C 〓idt

な ど と暗記 してい るだ け で ある と,複 雑 な現 象 を解析 す る場 合 に

限 界 を感 ず る こ と と な ろ う。 １・ ４ 節 で は,他

分 野 の 現 象 を 解 析 す る場 合 の 手 が

か り を与 え る も の で あ る。   第 ２章 は,数

学 的 側 面 で あ る微 分 方 程 式 の 解 法 を,過

渡 現 象 を解 く立 場 か ら

整 理 し た も の で あ る 。 微 分 方 程 式 に初 め て の 読 者 は も ち ろ ん,ひ

と とお りの 学

習 を終 え た 読 者 も 目 を通 して お く と,今 後 の 学 習 に 有 益 で あ ろ う。   第 ３章,第

４章 は,過

渡 現 象 の 物 理 的 側 面 を述 べ た もの で あ る 。 な お,こ

で 完 全 密 結 合 の トラ ン ス の 問 題 や 電 流 源 に 直 列R-L回

路 をつ な ぐ 問 題 な ど,

実 際 に起 こ り得 な い 事 が らや あ ま り使 わ れ な い 問 題 を入 れ た の は,こ 場 合 に は,経

験 や 直 観 が 役 立 た ず,現

こ

の よ うな

象 の 純 粋 な 理 解 の み に た よ る た め,理

解

度 を た め す 好 個 の 材 料 と考 え た か ら で あ る 。   第 ５章 で は,記

号 解 析 の 問 題 に つ い て 扱 う。 記 号 解 析 の 特 長 は,そ

よ っ て 処 理 が 容 易 に な る こ とで,そ と 同様 で あ る。 そ し て,始 意 昧 を考 察 し,回

れ は定 常状 態 で の記 号解 析

の導 入 に

“jω” の 導 入

め は 単 に 記 号 演 算 子 と し て 導 入 し た “s” の 物 理 的

路 技 術 者 に と っ て必 要 な 回 路 網 理 論 の考 え方 の 基 礎 を紹 介 し

て い る。   第 ６章 は,対

象 の 幾 何 学 的 大 き さ が,現

象 の 波 長 に ほ ぼ 匹 敵 す る か,そ

上 の と き に考 え な け れ ば な らな い 分 布 定 数 回 路 の 取 扱 い を示 し,第

れ以

７章 で は,

過 渡 現 象 の 直 接 の 応 用 で あ る エ レ ク ト ロ ニ ク ス の 過 渡 現 象 を解 析 す る 。 近 年, パ ル ス や 三 角 波 回 路 が 広 く使 用 され る よ うに な っ た が,こ は,過

れ らの 回 路 の解 析 に

渡 現 象 の 手 法 が 必 要 で あ る。

  第 ８章 の 特 論 で は,や

や 高 度 の 内 容 の もの,あ

る い は 特 殊 な もの な どの 中 か

ら興 味 深 い もの を選 ん で トピ ッ ク ス ふ うに 叙 述 した 。   ま た,演

習 問 題 は,本

す る た め に は,ま 同 時 に,そ

書 の 力 点 の お か れ た 部 分 で あ る。 理 論 を 自 己 の も の と

ず 理 論 の 仕 組 み を 十 分 理 解 す る こ とが 必 要 で あ る が,そ

の理 論 お よ び 問 題 を解 く こ と に よ っ て,身

れ と

体 で 覚 え こ む こ と も必 要

で あ る。 問 題 を解 き な が ら理 論 を 覚 え る と同 時 に,そ

の 適 用 方 法 を学 ぶ の で あ

る 。 そ の 意 味 で,本

き方 も単 に 正 解 が で き れ

書 は 演 習 問 題 を強 調 し,ま

ば よい とい うの で は な く,最

た,解

も洗 練 され た 方 法 を示 す よ う に 努 力 し た 。 頭 の 中

に 理 論 が よ く整 理 さ れ て い れ ば,必

然 的 に最 も巧 妙 な 方 法 が 導 きだ され る で あ

ろ う。   本 書 は,以

上 の よ うな 内 容 で 編 修 さ れ て い る の で,過

最 小 限 身 に つ け た い と思 う読 者 は,第 章,第

７章 を,さ

５章 ま で を,余

ら に 余 力 の あ る読 者 は,第

渡 現 象 の 考 え方 を 必 要

力 の あ る 読 者 は,第

６

８章 ま で 全 部 を学 ば れ る の が よ か

ろ う。   最 後 に 一 題 。 著 者 は,過

渡 現 象 の 講 義 を始 め る に あ た っ て,い

つ も次 の 問 題

で 学 生 を テ ス トす る の を常 と し て い る 。 そ れ は,何

の 変 哲 もな い 交 流 理 論 の 問

題 で,最

書 で は交 流理 論 や微分 方 程

も基 礎 的 な知 識 を問 うて い る の で あ る(本

式 の 予 備 知 識 を仮 定 し て い な い が,過

渡 現 象 を 学 ぼ う とす る 読 者 は,こ

こ とは ひ と とお り学 ば れ た こ と と思 う)。 単 に,正

れ らの

解 を得 た だ け で は 不 十 分 で,

途 中 の 式 も す べ て 正 し くな け れ ば い け な い 。 多 くの 読 者 は,自

己 の交 流 理 論 に

対 す る理 解 が 案 外 不 確 か で あ っ た こ と に気 ず くの で は な か ろ うか 。 “学 ぶ 者 に と っ て,最

初 に 一 番 た い せ つ な こ と は,い

か に 自分 が な に も知 らな い か を 知 る

こ とで あ る ” とい うの は 確 か に 真 理 で あ ろ う。   まず,本

文 に は い る 前 に 次 の 問 題 を試 み,交

流 理 論 に対 す る 基 礎 的 な知 識 が

十 分 で あ る か を確 か め られ た い 。   問 題   図 の よ うなR-L-Cの e(t)=Emcos(ωt+θ)が 回 路 に 流 れ る電 流i(t)を 電 圧 源e(t)の

直 列 回 路 に交 流 電 圧

そ う入 され て い る と して, 求 め よ。 た だ し,i(t)は

よ う に 時 間 に関 す る 実 数 値 関 数 で 表

わ す も の とす る 。(解 答 は第 ５章 の 例 題 ２参 照) 昭和46年

５月

著 者 し る す

目 第 １章  序

論

1･1 

現 象 の 数 学 的 取 り扱 い

1･2 

定 常 状 態 と過 渡 状 態

1･3 

抵 抗･コ

      1･4 

ン デ ン サ･イ

 １   ４ ン ダク タ ンス

  ５

〔 １ 〕 抵 抗    〔2〕 コ ンデ ンサ     〔3〕 イ ン ダ ク タ ンス アナ ロジ ー 

９

第 ２章  時 間 領 域 で の 解 析 2･1 

次

〔Ⅰ〕(微 分 方 程 式 の 解 法)

一般 論

 11

〔 １〕 分類     〔 ２〕   解 の種 類 〔 ３〕 解 の存 在 と一 意 性 の定 理 2･2 

１階 の 微 分 方 程 式

 13

〔 １〕 変 係数 同次式     〔 ２〕 非 同次 式 2･3 

２階 の 定 係 数 微 分 方 程 式

 15

〔 １ 〕 同次 式 の場 合     〔 ２〕   非 同 次式 の場 合 〔 ３〕 高階 非 同 次式

第 ３章  時 間 領 域 で の 解 析 3･1 

R-L直

〔Ⅱ 〕(単 エ ネ ル ギ ー 回 路)

列 の直 流 回路

  21

〔 １〕 電 源 印加 時     〔 ２〕 電源 除 去 時 〔 ３〕 回 路定 数 の急 変 と初 期条 件 の 決 定 3･2 

R-C直

列 の直 流 回路

  26

〔 １〕 充 電 の場 合     〔 ２〕 放 電 の場 合 〔 ３〕 エ ネ ル ギ ーの移 動 3･3 

直並 列 回 路

3･4 

R-L･R-C直

  28 列 の交 流 回路  

32

〔１ 〕  R-L直

列 の交 流 回路     〔 ２〕R-C直

第 ４ 章  時 間 領 域 で の 解 析 4･1 

R-L-C直

列 の交 流 回路

〔Ⅲ 〕(複 エ ネ ル ギ ー 回 路)

列 直 流 回 路 の充 放 電

  35

〔 １〕  電源 印加 時     〔 ２〕 放 電(電 源除 去)時 4･2 

R-L-C直

4･3 

R-L-M結

4・4多

列 交 流 回 路 の充 電

  40

合 回路

  42

〔 １〕k＜1(粗

結 合)の 場 合

〔 ２〕k=1(完

全 密 結 合)の 場 合

エ ネル ギ ー 回路

  46

〔 １〕 直 並 列 回 路(３ 階)の 一 例     〔 ２〕 結 合振 動 回 路(４ 階)

第 ５章  複 素 周 波 数 領 域 で の 解 析(演 5･1      

定 常 状 態 で の 記 号 解 析(jω

算 子 法) 変 換) 

53

〔 １〕jω 法 の使 用 例     〔 ２〕jω 法 の根 拠 〔 ３〕 イ ン ピー ダ ンス の概 念

5･2 

過 渡 状 態 の 記 号 解 析(演

算 子 法) 

5･3 

演 算 子 法 の 変 換 法 則 と使 用 例  

5･4 

演算 子 法 の根拠 ― ラ プラ ス変換 の導入

5･5 

ラ プ ラス変 換 の 計算 例  

5･6 

積 分 変 換 と逆 変 換

64 64   67 68   71

〔 １〕 乗 べ き級 数 法    〔 ２〕 部 分 分数 展 開 法 5･7 

ラ プ ラス変換 の基 本 法 則

5･8 

系 の 応 答(Duhamelの

5･9 

周 期 関 数 の ラ プラ ス変換 表 示

重 畳 積 分) 

 74 76

〔 １〕 単 位応 答     〔 ２ 〕 イ ンパ ル ス応 答   81

第 ６章  分 布 定 数 回 路 6･1 

分布 定 数 回 路 の過 渡現 象 

84

6･2 

基礎 回路 方程 式

  84

6･3 

電信 方 程式 の解

〔Ⅰ〕(定 常 状 態) 

85

6･4 

電信 方 程式 の解

〔Ⅱ〕(過 渡 過 程) 

87

〔 １〕 δ2=0(LG=RC)の

場合   〔 ２ 〕 δ2〓0の 場 合

6･5 

線 路 の 充 電 

90

6･6 

分 布 定 数 回 路 に 伴 うい くつ か の性 質

 91

〔 １〕 波 動 の 進 行速 度,波 動 イ ン ピー ダ ンス 〔 ２ 〕 境 界 条 件･整 合･反 射 お よび透 過 〔 ３〕 衝 撃 進 行波 の波 形

第 ７章 

エ レ ク トロ ニ ク ス の 過 渡 現 象

7･1 

微･積

分 回路

 95

7･2 

三 角波 発 生 回 路

  101

7･3 

マル チバ イ ブ レー タ

  107

〔 １ 〕 非 安 定 マ ル チバ イ ブ レー タ 〔 ２ 〕 単 安 定 マ ル チバ イ ブ レー タ 〔 ３ 〕 双 安 定 マ ル チバ イ ブ レー タ 7･4 

第 ８章  特 8･1 

パル ス増 幅 回 路

  114

論 フ ー リエ変 換 とラ プ ラス 変換

 117

〔 １ 〕 フ ー リエ変 換    〔 ２〕 ラ プ ラス逆 変 換 〔 ３〕 フ ー リエ変 換 の拡 張 と しての ラプ ラス変 換 〔 ４ 〕 負周 波数 の 導 入(両 側 フ ー リエ変 換)と 因果 律(片 側 ラ プ ラス変 換) 8･2 

系 の安 定 性

  124

〔 １ 〕 特 有 方程 式 と特 有根 〔 ２ 〕Hurwitz-Routhの 8･3 

安 定 判 別 条件

自動 制 御 系 へ の 応 用 〔 １〕 他励 磁 直 流 電動 機 の過 渡 特 性(線 形 の例)

 127

〔 ２〕 直 巻 直 流 電 動 機 の過 渡 特 性(非 線 形 の例) 〔 ３〕 閉 ル ー プ の場 合

補 編 Ⅰ  過 渡 現 象 解 法 の 実 際 〔１〕

非 同 次 項 が 正 弦 関 数 の ２階 微 分 方 程 式 の 解 法 

134

《時 間 領域 で解 く方 法 〔Ⅰ〕》,《時 間領 域 で 解 く方 法 〔Ⅱ〕》 《ラ プ ラス 演算 子 で 解 く方 法 》 〔２〕

交 流 電 源 投 入 時 の 直 並 列 複 エ ネ ル ギ ー 回 路 の 実 例 

145

補 編 Ⅱ  演 習 問 題 お よ び 解 答 PART

PART

A  演 習 問 題 A-1 

微 分 方程 式 に関 す る問題

A-2 

単 エ ネ ル ギ ー回 路 に 関 す る問題

 155

A-3 

複 エ ネ ル ギ ー回路 に 関 す る問題

 160

A-4 

演 算 子 法に 関 す る問題

A-5 

分 布定 数回 路 に 関 す る問 題

  154

  165   168

B  演 習 問 題 の 解 答

 171

B-1 

微 分 方 程 式 に 関 す る問題 の解 答

 171

B-2 

単 エネ ル ギ ー 回路 に 関 す る問 題 の解 答

 172

B-3 

複 エ ネル ギ ー回路 に 関 す る問 題 の解 答

  188

B-4 

演 算 子 法 に 関 す る問 題 の解 答

  216

B-5 

分 布 定 数 回路 に関 す る問題 の解答

  224

付 録 Ⅰ  常 数 お よ び 主 要 公 式 表 付 録 Ⅱ  微 分 方 程 式 の 係 数 お よ び 初 期 値 と解 の 対 応 表   付 録 Ⅲ  ラ プ ラ ス 変 換 表 付 録 Ⅳ  オペ アン プの基 礎

索

 154

引

 231 233  237   240

  243

第 １章

１・１

序

論

現 象 の 数 学 的 取

り扱 い

 あ らゆ る現 象 は,励

振(excitation)に

る結 果,あ

力(input)に

る い は,入

り扱 う こ と が で き る が,こ

(circuit),回

対 す る 出 力(output)と

れ を 図 で 示 す と,図

の よ う な 四 端 子 回 路 網(４port れ る 。 ま た,対

対 す る 応 答(response),原

network)で

（network)な

表 わ さ 路 図 １・１ 現 象 四 端 子網 表 示

ど と い う。

 入 力 と出 力 の 関 係 を定 量 的 に 調 べ る の に,観  第 １の 方 法 は,対 合,そ

い う観 点 か ら取

１ ・１

象 と す る 現 象 を 系(system),回 路 網

因 に対 す

点の違 った二 つ の方 法 が ある。

象 と な る系 を 支 配 す る数 学 的 法 則 を み つ け だ し,多

くの 場

れ を微 分 方 程 式 で 表 わ し て これ を解 く。

  第 ２の 方 法 は,系

の こ ま か い 具 体 的 な性 質 ま で は 立 ち入 らず,入

力 対 出力 の

一 般 的 関 係 か ら調 べ る や り方 で あ る

。

  第 ２の 方 法 は,一

般 に,第

１の 方 法 よ りむ ず か し く,使 用 す る数 学 と し て は

複 素 関 数 論 が 必 要 で あ り,ま た,第 思 わ れ るの で,本

書 で は,第

１の 方 法 を十 分 理 解 し た後 で な い と無 理 と

８章 で そ の 一 端 を紹 介 す る に と ど め,も

っぱ

第

１の 方 法 に つ い て 説 明 す る 。   第 １の 方 法 に よ る と,解 析 の 手 順 は,   〓)対

象 とす る 系 を 微 分 方 程 式 で 表 現 す る 。

  〓)そ

の微 分 方 程 式 を解 き,一

 〓)一

般 解 に含 まれ る任 意 定 数 を初 期 条 件 に よ って 消 去 す る。

な どで あ っ た が,こ

般 解 を求 め る 。

の 場 合 対 象 が,力

現 象 とい っ た 多 種 多 様 の も の で も,そ ち,同

学 ・電 気 ・熱 ・化 学 ・生 物 あ る い は 社 会 の数 学 的 表 現 が 同 じ で あ れ ば,す

じ形 の微 分 方 程 式 で 表 現 で きれ ば,同

なわ

種 の方法 で解析 で きる。 した が っ

て,系

と して の 性 質 を き わ め て 広 い 立 場 か ら調 べ る こ とが 可 能 に な る の で あ

る。   最 も,あ

らゆ る 系 を対 象 に す る と,数 学 的 解 決 の 手 段 が 困 難 に な る の で,次

の よ うな 数 学 的 制 限 を も うけ,容

易 に 解 析 で き る もの に つ い て お も に 解 説 をす

る。   １)系

の 内 部 パ ラ メ ー タ は 時 間 に対 し不 変 で あ る 。 な お,時

間 に対 し パ ラ メ

ー タ の 変 わ る も の を可 変 系 とい う。   ２)重

ね の 理(principle

x(t)=x1(t)の

of

superposition)が

と き 出 力y(t)=y1(t),ま

とす る と,x(t)=ax1(t)+bx2（t)の が な りた つ こ と を い い,こ

な り た つ 。 こ れ は,入

た,x(t)=x2(t)の

力

と きy(t)=y2(t)

と き,y(t)=ay1(t)+by2(t)と

い う関 係

の よ う な系 を線 形 系 と い う。 重 ね の 理 が な りた た な

い 系 を非 線 形 系 とい う。   ３)独

立 変 数 は 一 つ(時

間)と

す る。 二 つ(時

間 と １次 元 空 間)の

場合 は

第 ６章 で 取 り扱 う こ と に す る 。  こ の よ う に対 象 を限 定 す る と微 分 方 程 式 は,

(１ ・１)

で 表 わ され H(S)≡ansn+an-1sn-1+…  た だ し,s≡d/dt,Sn≡

…+a1s+a0(１

・２)

≡dｎ/dtn

と お く と 形 式 的 に, (１ ・３)

と な る 。 こ のK(S)を  例 題  解 答

１ Ｒ

図

伝 達 関 数 と い う1)。

１ ・２ の 回 路 の 伝 達 関 数 を 求 め よ 。

お よび

Ｃ

に 流 れ る 電 流 をi(t),Ｃ

に た くわ え られ る 電 荷 を

ｑ と

す れ ば,   １)正

確 に は伝 達 関数 は,y(t)の

５章 に説 明が あ る)。

ラプ ラス変換 をx(t)の

ラプ ラス変 換 で割 った もの で あ る(第

x(t)=υi(t)=Ri+q/C1)

y(t)=υ0(t)=q/C 

q=〓idt

図

∴ υi(t)=Ri+q/C=Rdq/dt+q/C=CRdυ0/dt+υ0

 よ っ て ，

１・２

υ0/υi≡K(S)=1/1+CRs

 例 題 ２ 互 い に 接 し て い る物 体 の 温 度 の伝 達 関 数 を 求 む(図

１・３参 照)。 た だ し,左 側 の 物 体 の 温 度 お よ

び 熱 容 量 をTi(t),Ci,右 し,Ci》C0と

側 の そ れ をT0(t),C0と

す る。 ま た,伝

熱 係 数 をkと

  解 答  右 側 の 物 体 が え た 熱 量C0T0は,左 ら,両

す る。

図

１ ・３

側 の 物 体 か ら伝 わ っ た の で あ る か

者 を 等 しい と お き 次 式 が え られ る。

 た だ し,k′ ≡1/k   以 上 の こ とか ら,電 気 現 象 を扱 っ た例 題 １ と熱 伝 導 現 象 を扱 っ た例 題 ２ とは 同 じ伝 達 関 数 の 形,1/(1+αs)(た な お,こ

だ し,α は 定 数)で 表 わ せ る こ とが わ か っ た 。

の よ うに し て 計 算 で き る 伝 達 関 数 の 形 は,そ

多 項 式 と して み る と どん な 形 に で も な り うる が,対

れ を単 な る 数 学 上 の 有 理 象 とす る 系 が,①

に実 現 可 能 で あ る 。 ② 線 形 系 で あ る。 な ど とい う条 件 をい れ る と,か

物理的 な り制

限 され た も の に な る。 そ の 条 件 とは次 の よ うで あ る。   〓)出

力 は,入

力 を加 え る ま え に あ ら われ る こ とは な い 。

  〓)無

限 に過 去 の入 力 は,現

こ の よ うな 抽 象 的 な 制 限 が,数

在 に ほ とん ど影 響 を お よぼ さ な い 。 式 的 に どの よ う に 表 現 され て,伝

どの よ う な 制 限 を加 え るか は 興 味 あ る 問 題 で あ る が,ま

さに,そ

達 関 数 の形 に れは始 めに あ

１)あ る量が時間の関数であることを明記するために,x(t),i(t),q(t)な どとか くが,時 間の関 数であることが明 らかな場合は省略 して,単 にx,i,qな どとか くこ とが多い。

げ た 二 つ の 方 法 の う ち,第

２の 方 法 に 属 す る テ ー マ で あ り,本 書 で は 残 念 な が

ら 取 り扱 わ な い 。   １ ・２

定 常 状 態 と 過 渡 状 態(stationary

  入 力x(t)が

state   and

transient

state)

定 常 的(時 間 に 対 し 定 数 か 周 期 的 の 場 合)１)の と き出 力y(t)も

ま た 定 常 的 な ら,そ の 系 は 定 常 状 態 に あ る とい う。  一 つ の定 常 状 態 に あ る 系 が ,入

力 の急 変 を うけ て,そ

て 規 定 され る 別 の 定 常 状 態 に 移 る に は,厳 的 に は,そ

の新 しい入 力 に よ っ

密 に は 無 限 の 時 間 が か か る が,実

の 系 の 固 有 の性 質 で き ま る 一 定 時 間(そ

用

の一 つ の 目や す として時 定

数 が あ る)を 必 要 とす る 。 そ の 間 の 状 態 を 過 渡 現 象 状 態 とい う。  系 の 性 質 を調 べ る の に 二 つ の 方 法 が あ る 。  一 つ は定 常状 態 に着 目し

,い

ろ い ろ な 周 波 数 の 正 弦 波 を い れ て,出

波 の 振 幅 と位 相 の ず れ を 求 め る方 法(周

波 数 応 答 法 と よ ば れ る)で

力 の 正弦 あ り,他

一 つ は過 渡 状態 に着 目 し

,階 段 状 波 形 や イ ン パ ル ス を 入 力 と し て 与 え,ど

う な形 の 出 力 が 現 わ れ る か,出 方 法(過

で あ る が,工

あ る。

の 応 答 を 調 べ る の に 原 理 的 に は ま っ た く対 等 で,片

の 特 性 が わ か っ て い れ ば,他

の よ

力 が 定 常状 態 に達 す る まで の過 渡状 態 を求 め る

渡 応 答 法 と よば れ る)で

 こ の 二 つ の 方 法 は,系

の

方

方 の 特 性 は 計 算 に よ っ て 求 め る こ との で き る も の

学 上 の 問 題 と し て,必

ず 導 入 さ れ る 誤 差 の 問 題 を 考 え れ ば,実

に ど ち ら の 方 法 が 直 接 関 係 し てい るか で,い

際

ず れ か の 方 法 を 採 用 す る こ とに な

る。   一 般 的 な 特 徴 と して は ,周 波 数 応 答 法 は 正 確 さ に お い て ま さ り,過 渡 応 答 法 は 実 測 の 容 易 さ で す ぐれ て い る とい っ て よい で あ ろ う２)。   １)抵 抗体か ら発 する熱雑音の ようにまった く不規則な波形でありながら,統 計的性質が一定 のた め,定 常的である場合 もあるし,く り返 しパル スのように過渡状態の周期現象 と考 えられ る場合 もある。   ２)エ レク トロニクスの分野,た とえば,増 幅器 のようなものの特性 は,周 波数応答で表示 するこ とが多 く,自動制御系では過渡応答法が多い。 なお，オーディオにおけるスピー カのよ うに,以 前には周波数応答法による特性表示が普通 であったが,扱 う波形に衝撃音な ど が あ り,そ のた め,パ ルス波形 による過渡応答法が評価 されは じめたもの もある。

系 が 過 渡 状 態 を有 す る た め に は,そ 積 す る 要 素 とが 必 要 で あ り,さ

の 系 が,エ

ら に,蓄

ネル ギ ー を 消 費 す る要 素 と蓄

積 す る 要 素 が ２種 類 あ る と振 動 現 象 を

生 ず る よ う に な る 。 過 渡 現 象 の 例 と して は, １)電 が,や

車 が 発 車 す る際 の乗 客 の ゆ れ の 角(発

が て 零 に な る 。 こ の 際,乗

車 と同 時 に θ だ け 上 体 が 傾 く

客 が ま っ す ぐに な ろ う と し て,逆

れ す ぎ る こ と は まず な い で あ ろ う。 した が っ て,ふ い,こ ２)燃

れ 過 ぎ,す

に-θ

′ふ

な わ ち振 動 は な

の 定 量 的 な 解 析 は 非 線 形 現 象 で あ る か ら困 難 で あ る)。 料 を 入 れ た と き の炉 内 温 度 上 昇(燃

料 を 入 れ た か ら と い っ て す ぐに 温

度 上 昇 は し な い)。 ３)摩

擦 の あ る振 子 の ふ れ の 角(こ

の 場 合 は 振 動 を は じ め,し

まい に振 幅 が

小 さ くな っ て 最 後 に と ま る 。 振 動 す る の は 振 子 の エ ネ ル ギ ー蓄 積 要 素 と し て 運 動 の エ ネ ル ギ ー と位 置 の エ ネ ル ギ ー の ２種 類 が あ る た め で あ る 。 な お,水

あめ

の よ う な 非 常 に 抵 抗 の大 きな 液 体 中 に 入 れ る と振 子 は 振 動 し な い こ とに 注 意)。 ４)石

を水 面 に 投 げ て で き る 波 紋(こ

に あ た る 。 現 象 は,時 ５)講

間 的 に も空 間 的 に も進 行 す る)。

義 の 際 の 学 生 の 出 席 率(初

に収 束 す る 。 も ち ろ ん,こ

に,こ

め は 多 い が だ ん だ ん 減 衰 し て,あ

る一定 値

の 場 合 も定 量 的 な 解 析 は 困 難 で あ る)。

な どい ろ い ろ あ げ られ る が,こ が,常

れ は 第 ６章 で 扱 う分 布 定 数 回 路 の場 合

こ で は 電 気 回 路 で 生 ず る 現 象 の み を 取 り扱 う

こ に お い て 展 開 さ れ る考 え 方 は,広

い 応 用 が あ る こ と を念 頭 に お

くべ き で あ る 。

１・３ 抵 抗 ・コ ン デ ン サ ・イ ン ダ ク タ ン ス 電 気 回 路 素 子 に は,抵 種 類 あ る が,こ

抗 Ｒ,コ

ン デ ン サ Ｃ お よび イ ン ダ ク タ ン ス Ｌ の ３

の 電 流 ・逆 起 電 力 特 性 を簡 単 な 物 性 論 や 電 磁 気 学 の 基 礎 か ら 説

明 して お く こ と は 有 益 で あ ろ う。 〔１〕 抵 抵 抗 は,両

抗 端 の 電 圧 と 電 流 か ら Ｒ(抵 抗)=υ(両

と し て 定 義 す る 。 こ の 関 係 は,導

端 の 電 圧)/i(電

流)

体 内 の 自 由 電 子 の 考 え 方 か ら説 明 で き る。 導

体 内 の 自由電 子 に働 く力 は次 式 で示 され る。

た だ し,VD:電

子 の ド リ フ ト速 度

ｍ:電

子 の質 量

τ:緩 和 時 聞 と よば れ る も の で 摩 擦 に よ る 。 Ｆ:外

力 で,ｅ eEで

を 電 子 の 電 荷,Ｅ

を 外 部 か ら加 え た 電 界 と す る と

あ る。

こ の 微 分 方 程 式 で,t=0で

電 界 Ｅ を加 え,そ

と な り,電 流 密 度 ｉ は,t→

∞ でVD=

eτ/

の と き のVD=Oと

E,電

す る と,

子 の 数 密 度 を Ｎ とす る と,

m

i=NeVD で あ る か ら, Ne2τ

i=

/ m

た だ し,σ:電

E=σE

気 伝 導 度,ρ:固 Ne2τ

σ=

有 抵 抗 と す る と,次 1

 ρ=

/ m

/σ

式 が 導 きだ され る 。

= m Ne2τ

  な お,τ の 値 は 物 質 に よ っ て 異 な る が,お

お よ そ10-13秒

程 度 の 値 で あ り,わ

れ わ れ が 通 常 経 験 す る 現 象 よ りは る か に 短 か い もの で あ る 。 こ の よ う に し て, 電 気 伝 導 度 あ る い は 固 有 抵 抗 が 電 界 Ｅ に よ ら な い 定 数 と して 導 き だ され た 。 こ れ か ら,抵 抗 Ｒ が ま た 電 界 Ｅ に よ ら な い 定 数 で あ る こ と を導:き だ す こ と は き わ め て 容 易 で あ ろ う。   〔２〕  コ ン デ ン サ(電   二 つ の 導 体 が,異 あ っ た と す れ ば, C=

Q/ V

荷 保 存 則 の 導 出)

符 号 で等 量 の電 荷 Ｑ を た くわ えて い る とき電位 差 が Ｖ で

を も っ て そ の導 体 間 の 静 電 容 量 と 定 義 す る 。 ま た,こ ネ ル ギ ー が こ の 系 に た く わ え ら れ る 。 次 に,こ

の と きW=1/2CV2の

エ

の よ うな 導 体 系 に お い て た く わ

え られ た電 荷 Ｑ と,生 ず る電位 差 Ｖ との間 に比 例 関 係が あ る こ とを電 磁気 学 の立場 か ら説 明 し よ う。 図 １・４ で 導 体 Ａ を 包 む 任 意 の 閉 曲 面 Ｓ を 考 え れ ばGaussの

定 理 に よ っ て,

図

１ ・４

ま た,

た だ し,  ε0:真 空 中 の 誘 電 率

En:閉

曲 面 Ｓ 上 の電 界 で Ｓ に垂 直 な成 分

α,β:導 体 Ａ お よび 導 体 Ｂ 上 の 任 意 の 点

これ か ら導 体A,Bの E∞Q, 

幾 何 学 的 な形 状 お よび 位置 が 変 わ らなけ れ ば, V∞E 

よつ て, 

V∞Q

比 例 定 数 を Ｃ とお け ば, Q=CV ま た,蓄 積 され る電 荷 は,流 れ 込 む 電流 の時 間積 分 に等 しい か ら,

よ って,静 電 容量 Ｃ は た くわ え られ る 電 荷 に は よらず,導 体 相 互 間 の幾 何 学 的形 状 お よび 位置 のみ に よる こ とが わ か る。  導 体 間 に抵 抗 をつ ない で 電荷 を移 動 させ る と,そ の時 間的 変化 は次式,

で 表 わ さ れ 電 流 と な る が,こ と,そ

れ か ら,も

し電荷 に不 連続 変 化 が 起 こった とす る

の 時 間 微 分 は 無 限 大 とな る。 した が っ て,電

が あ る と,そ

こ で の 電 圧 降 下iRが

流 ｉも 無 限 大 に な り抵 抗R

無 限 大 と な っ て し ま う。 こ の こ と は,電

荷

を不 連 続 変化 させ よ うとす る と無 限大 の起 電 力 を必要 とす る こ とが わか る。 し か し,こ れ は不 可 能 で あ る。 したが っ て, 静 電容 量 に た くわえ られ た電 荷 は不 連 続 的 に変 化 す る こ とはな い １)   これ を電 荷保 存 則 と称 し,過 渡 現 象 を解 く場 合 の重 要 な よ りどころ に な る。   〔３〕 イ ンダ ク タ ンス(鎖 交 磁束 連 続 則 の導 出)   回路 に鎖 交 磁束 が あ る とエネ ル ギ ーが た くわ え られ,現 象 に時 間的 変化 が あ る とFaradayの

法 則 に し た が う 起 電 力 を発 生 す る

(図 １・５ 参 照)。 これ を数 式 で 表 わ す と, Ψ=Li,W=1/2Li2,υ=-dΨ/dt=-d(Li)/dt た だ し,Ψ:鎖

交 磁 束 で Ψ=nφ

ｎ:コ

イル の巻数

Ｌ:イ

ン ダク タ ンス

で 表 わ され る。

φ:コ イ ル を 貫 く磁 束 図

磁 束 φ は 磁 束 密 度 Ｂ を断 面 積 に つ い て 積 分 し た も の,Ｂ 空 間 の 透 磁 率 μ を 乗 じ た もの,Ｈ

はAmpereの

１ ・５

は磁 界 の 強 さ Ｈ に

周 回積 分 の 法則 か ら コイル に

流 れ る 電 流 ｉに よ っ て 規 定 され る 。 こ れ ら の 関 係 を 式 で 表 わ す と,

Ψ=nφ(鎖 φ=〓

〓BndS(磁

交 磁束 の定 義) 束 の定羨）

B=μH(磁

束 密 度 と磁界 の強 さ との関 係)

〓Hdl=ni(磁

界 の 強 さ と 電 流 と の 関 係)

た だ し,S0:コ l0:コ

イ ル の断 面 積 イ ル を 通 り抜 け る任 意 の 閉 曲 線

  これ らの 関 係 式 か ら Ｌ も ま た 電 流 に は よ らず に,コ

イル の幾何 学 的 形状 のみ

に よ っ て き ま る 定 数 で あ る こ と が わ か る で あ ろ う２)。 １)証 明 の過 程 か ら も明 らか な よ うに 連 続 性 が 保 たれ るの は,抵

抗 が そ う入 され た場 合 で あ る。

抵 抗 が零 の場 合(実 際 に は不 可 能 で あ ろ うが,考 え の うえで は許 され る)は 必 ず しも連 続 性 は 保 たれ ない 。 ２)も し,強 磁 性 体 が使 われ て い る と,そ の透 磁 率 μ は磁 束 密 度 Ｂ の 関数 なの で Ｌ は ｉに無 関 係 な 定 数 で は な くな る。 こ の よ うな場 合 は,非 線 形 系 に な る。

も し,鎖

交 磁 束 に 不 連 続 な 変 化 を生 じ さ せ る とFaradayの

法則

dΨ υ=-

か ら無 限 大 の 起 電 力 を 必 要 と して し ま う。 こ れ は 不 可 能 で あ る か ら,結

/ dt 局,次

の こ とが い え る。   鎖 交 磁 束 は 時 間 に 対 し不 連 続 に 変 化 す る こ と は な い   これ を,鎖 交 磁 束 の 連 続 則 と称 し,過 渡 現 象 を解 く場 合 の 重 要 な 法 則 で あ る 。   も し,回

路 中 の イ ン ダ ク タ ン ス に変 化 が な け れ ば 鎖 交 磁 束 の 連 続 性 は,イ

ダ ク タ ン ス を 流 れ る 電 流 の 連 続 性 に お きか え ら れ る が,イ る 場 合 は,そ

ン

ン ダ ク タ ンスが 変 わ

の 回路 全体 の鎖 交 磁 束 の連 続 性 を も とに しなけ れ ば な らない 。

  過 渡 現 象 の 問 題 を 解 く場 合,あ 回 路 素 子 の 値 を 急 変 し た り,と よ び 電 流 も,一

る時 間 の 基 準 点 で ス イ ッ チ Ｓ を 開 閉 し た り, い っ た 不 連 続 動 作 を す る の で,回

般 的 に は 不 連 続 に変 化 す る。 しか し な が ら,コ

路 中 の電圧 お ンデ ン サ にた く

わ え られ た 電 荷 や イ ン ダ ク タ ン ス に た くわ え られ た 鎖 交 磁 束 に 注 目す れ ば,連 続 で あ る と主 張 す る の が,こ も,電

の 電 荷 保 存 則 と鎖 交 磁 束 連 続 則 な の で あ る 。 しか

気 回 路 の エ ネ ル ギ ー 蓄 積 素 子 は,こ

の ２種 類 しか な い か ら,こ

れだけあ

れ ば 電 気 回 路 に 関 す る か ぎ り必 ず 解 け る の で あ る。

１・４

ア

ナ

種 々 の 現 象 で,電

ロ

ジ

ー

気 回 路 に対 応 す る量 を表 １・１ に示 す の で 参 照 さ れ た い 。

この よ う な対 応 が わ か っ て い れ ば,電

ほ ん訳 を行 な え ば,他 の力

気 現 象 で 知 り え た こ とは 対 応 す る 量 の 表

１ ・１

学現 象 とか化 学 現 象 の解 析 に役立 つ わ け で あ る。   電 気現 象 と力 学現 象 に は 回路 素 子 が ３種 類 ある が, これ は基 本的 な 回路 の微 分 方 程式 が ２階 で あ る こ とを 意 味 し,あ る条 件 下 で 自由 振 動 の 現 象 が 認 め ら れ る 。 これ に 対 し,熱 現 象 や 化 学 現 象 に は イ ン ダ ク タ ン ス

や 質 量 に 相 当 す る素 子 が 存 在 し な い 。 し た が っ て,回

路 素 子 は ２種 類 に な り,

微 分 方 程 式 は １階 に な っ て 自 由 振 動 の 現 象 は 現 わ れ な くな る 。 電 気 系 の 回 路 素 子 と 力 学 系 の 回 路 素 子 と を対 応 させ る と 表 １・２ の よ う に な る 。   図 １・６ の 回 路 で(ａ)を

表 現 す る 微 分 方 程 式 は,次

Ld2q/dt2+R-dq/dt+q/c=e 表

図(ｂ)を

表 現 す る 微 分 方 程 式 は,次

１ ・２

の よ うに な る。

(ｂ)

(ａ) 図

１ ・６

の よ うにな る。

第 ２章

時 間 領 域 で の 解 析 〔Ⅰ〕

微 分方 程 式 の解法 ２ ・１

一

〔１〕

分

般

論

類

 い くつ か の観 点 に し た が っ て,微 こ で は,そ (ａ)常

分 方 程 式 を二 つ に 分 け る こ とが で き る。 こ

の 分 け 方 に 伴 う電 気 現 象 の 差 を 説 明 す る 。 微 分方程 式 と偏微 分方 程 式

程 式 で 表 わ され,集

中 定 数(lumped

  独 立 変 数 が 二 つ(時

独 立 変 数 が 一 つ(時 constant)回

間 と距 離)以

問)な

ら常 微 分 方

路 が 表 現 で き る。

上 だ と偏 微 分 方 程 式 で 表 わ され,対

象 内で

お こ る現 象 の 伝 播 時 間 を 考 え ね ば な ら な い と き に こ の 場 合 と な り,こ れ を分 布 定 数(distributed  (ｂ)線

constant)回

路 と い う。

形 微 分 方 程 式 と非 線 形 微 分 方 程 式

積 の 項 が な け れ ば線 形 と い い,従

従 属 変 数,も

属 変 数 も し くは そ の 微 分 の 積 の 項 が あ れ ば 非

線 形 に な る 。 回 路 を微 分 方 程 式 で 表 わ し た場 合,線 た ち,解

除 く検 出 回 路,強

数,独

形 で あれば重 ね の理 が な り

析 が 容 易 に な る。

  本 書 で は,対

 (ｃ)定

象 を線 形 系 に 限 る 。 非 線 形 現 象 と し て は,発

振 回 路,同

期式 を

磁 性 体 や 強 誘 電 体 を含 む 回 路 な どが あ る 。

係 数 微 分 方 程 式 と可 変 係 数 微 分 方 程 式

係数 が定 数 で あ れ ば 定 係

立 変 数 の関 数 で あ れ ば 可 変 係 数 で あ る。 後 者 の 例 と して は 同 期 式 の検 出

回 路,パ

ラ メ ト ロ ン,ス

 (ｄ)同

イ ッ チ の ア ー ク,振

次(homogeneous)微

動 容 量 な どが ある。

分 方程 式 と 非 同 次 微 分方 程式

含 む 項 の み で 微 分 方 程 式 が な りた っ て い れ ば 同 次 式,定 が あ れ ば 非 同 次 式 と い い,こ 式,自

しくはそ の微 分 の

従属 変数 を

数 や独立 変 数 のみ の項

の 項 を 非 同 次 項 と い う。 入 力 が あ れ ば,非

由 振 動 は 同 次 式 で あ る。 な お,同

次 を 斉 次 と い う こ と も あ る。

同次

〔２〕 解 の 種 類  (ａ)一

般

解(ⅰ)与

え ら れ た 微 分 方 程 式 を 満 足 し,(ⅱ)そ

の微 分

方 程 式 の 微 分 階 数 だ け の 一 次 独 立 な 任 意 定 数 を含 む 。 こ れ が 一 般 解 に 課 せ ら れ た 条 件 で あ る 。 解 で あ る か ら に は,(ｉ)の

条 件 は あ ま り に も 自 明 で あ ろ う。

ま た,微

分 方 程 式 の 解 を 求 め る に は,実

して,本

来 的 に 微 分 階 数 だ け の 積 分 を 実 行 し な け れ ば な ら な い か ら,任

数(積 分 定 数)も

際 に 積 分 操 作 を 行 な うか ど うか は 別 に

微 分 階 数 だ け 生 ず る こ と に な り,(ⅱ)の

意定

条 件 が 必 要 とな って

く る。   過 渡 現 象 に お い て は,必

ず 微 分 階 数 だ け の 初 期 条 件 が 独 立 に 設 定 で き,こ

ら を任 意 定 数 に 代 入 し て,最  (ｂ)特(殊)解 も の で,上

終 的 な 解 を 求 め る こ と に な る。

任 意 定 数 を含 ま な い が,と

述 の(ｉ)の

れ

に か く微 分 方 程 式 は 満 足 す る

条 件 に 対 応 し て い る。 こ こ で は,一

般 解 の な か の任 意

定 数 を 零 と お い た も の と す る。  (ｃ)補(助)解 の で,非

非 同 次 式 の 一 般 解 で,上

述 の(ⅱ)の

条 件 に対 応 す る も

同 次 式 の う ち 従 属 変 数 を含 む 項 を 集 め た 左 辺 は そ の ま ま に し て,右

の 非 同 次 項 を 零 に し て つ く っ た 同 次 式 の 一 般 解 と して 求 め る 。 こ れ は,そ

辺 の求

め方 か ら して も との非 同次 式 の 微分 階 数 だ け の任 意定 数 を含 ん で い る。 非 同 次 式 の 一 般 解 は,〔 特 解+補

解 〕 の形 で 表 わ す こ と が で き る 。 補 解 は ま た,当

の こ と な が ら微 分 階 数 に等 しい 一 次 独 立 な 関 数 で 構 成 され て い る が,こ を 基 本 解 と も い っ て い る 。 物 理 的 に は 特 解 は 定 常 状 態 を 表 わ し,補 で 指 定 され る初 期 状 態 と,定

然

の 関数

解 は初 期 値

常 状 態 と の 橋 渡 し を し て お り,過 渡 的 な 性 質 は 補

解 に 含 ま れ て い る と い っ て よい 。  (ｄ)特

異

解

一 般 解 か らは 求 ま ら ず,特

別 な微 分 方 程 式 に の み 存 在 す

る 。 過 渡 現 象 の よ うな 物 理 的 に 実 現 し て い る対 象 を 扱 う場 合 に は 考 え な く と も よい 。   〔３〕 解 の 存 在 と 一 意 性 の 定 理   “ 与 え られ た 初 期 条 件 を 満 足 す る 微 分 方 程 式 の解 は 必 ず 存 在 し ,し 一 つ存 在 す る”

か もただ

 こ の 証 明 は こ こ で は 省 き専 門 書 に ゆ ず る が,こ 分 方 程 式 で も 安 心 し て 解 く こ とが で き,ま

た,い

の定 理 が あ る ため に どん な微 か な る 方 法 に せ よ,求

まっ た

解 が 与 え ら れ た 微 分 方 程 式 を 満 足 して い れ ば,た

だ一 つ の 正解 とい える の で あ

る。 これ は,回

ま った結 果 が 必 ず一 つ存 在 す

路 の 因 果 律 “あ る 原 因 に 対 し,定

る” に 対 応 す る 。

２・２  １階 の微 分 方 程 式 〔１〕 まず,変 係 数 同 次式 を考 え る dy/ dt dy/

+p(t)y=0 

(２ ・１）

=-p(t)y 

(２ ・２)

dt

変 数 分 離法 を用 い, dy

=-p(t)dt 

(２ ・３)

/y

(２ ・４)

(２ ・５)

こ こ で,Ｃ,Ａ

は任 意積 分 定 数 で あ る。

も し,微 分 方 程 式 が 定 係 数 で, dy/ a1

dt

+a0y=0(２

と 表 さ れ て い る な ら,一

般 解 は 式(２

・６)

・５)か ら 容 易 に 次 式 が 求 ま る 。

(２ ・７)

これ は,解

の形 を あ らか じ め,

y=Ａ

と仮 定 し,こ り,同

εst 

れ を 式(２

(２ ・８)

・６)に 代 入 し,定

数 Ａ と ｓを適 当 に定 め る こと に よ

式 を 満 足 させ る よ う に す る こ と に よ っ て も 求 ま る 。 式(２ ・８)を 式(２ ・６)

に 代 入 す る と, (a1s+a0)Aεst=0 

に な り,結

(２ ・ ９)

局, a1s+a0=0 

な る ｓ の 値,す

(２ ・10)

な わ ち, a0/

s=-

 (２ ・11)

a1

と して 式(２

・６)は 満 足 され る 。 した が っ て,

(２ ・12)

は,Ａ

が 任 意 定 数 で よい の で,式(２

・６)の 一 般 解 と な っ て い る 。 式(２ ・10)

を こ の 微 分 方 程 式 の 特 有 方 程 式(characteristic

equation)と

は そ の 根 で あ る。 ２階 以 上 の 微 分 方 程 式 で は,変

い い,式(２

数 分 離 法 に よ ら ず,こ

・11) の方 法

で 同次 式 の一般 解 を求 める ことに す る。   〔２〕

次 に,非 dy/ dt

同 次 式 とす る

+p(t)y=f(t)

 こ の 解 法 に は,Lagrangeの 任 意 定数 Ａ

を変 数a(t)と

(２ ・13)

定 数 変 化 法 を 使 う。 同 次 式 の 解 が,式(２ お い た と き,式(２

・13)を

・５)の

満 足 す る よ う にa(t)

を き め る こ とが で き るか ど うか た め し て み よ う。

(２ ・14)

の 両 辺 を微 分 して,

(２ ・15)

よ っ て,

 (２ ・16)

と お く と,す (２・14)は

な わ ち,式(２

式(２

・13)を

・16)を

満 足 す る よ うにa(t)を

満 足 す る こ とが わ か る 。

定 め て や る と,式

よ っ て,

(2・17)

(2・18)

  右 辺 第 １項 は 非 同 次 微 分 方 程 式 の 特 解 で あ り,第 般 解 を表 わ し て い る 。 一 般 に,非

２項 は 同 次 微 分 方 程 式 の 一

同 次 微 分 方 程 式 の 一 般 解 は こ の ２項 か ら な り

た って い る。 〔非 同 次 式 の 一 般 解 〕=〔非 同 次 式 の 特 解 〕+〔同 次 式 の 一 般 解(補 解)〕  こ れ を 回 路 の 性 質 で い え ば,第

１項 は 入 力 が 加 わ っ た 場 合 の 定 常 解 で,第

２

項 は 自 由 振 動 の 状 態 を示 す 。 過 渡 現 象 で 重 要 な の は 第 ２項 で あ る。  も し,p(t)≡k(定

係 数)な

ら簡 単 に な り,次

の よ うに な る 。

(2・19)

2・3  ２階 の定 係 数 微 分方 程式   可 変 係 数 の 微 分 方 程 式 は,１ 階 に な る と,種

階 の 場 合 に 限 っ て 一 般 的 に 解 け る の で あ り,２

に な る特 解 が 一 つ も み つ か ら な い と一 般 的 に 解 く こ と が で き な

い １)。  しか し,定

係 数 な ら容 易 に 一 般 解 が 求 ま り,ま

限 られ て お り,し

た 本 書 で 扱 う対 象 は 定 係 数 に

か も こ の場 合 は 実 際 上 重 要 な の で,定

係 数 に 限 っ て,や

や詳

し く述 べ る こ と に し よ う。 １) ２階 の可 変 係 数 微 分 方 程式y"+p(t)y′+q(t)y=0に 立 な特 殊 解(つ y=c1y1+c2y2が は,

ま り基本 解)と

す れ ば,重

お い て,y1,y2を

ね の 理,解

求 め る一 般 解 とな る。 い ま,一

こ の式 の 一 次独

の 存 在 と 一 意 性 の 定 理 を使 っ て,

つ の特殊 解 が わか って い れ ば,他

で求 め られ るが,y1も

わ か らなけ れ ば,解

求 め る こ と,ま た は 求積 法 に よっ て 求 め る こ とは不 可 能 で あ る。 な お,こ

の 特殊 解

を完 結 した 形 で

こ で微 分 方 程 式 を解

くとい うこ と は 〔未 知 関 数 ｙ〕=〔既 知 関 数 の積 分 形 〕 の 形 に す る こ とを いい,必 分 が 実行 で きな く と も よい。 これ らの取 り扱 い に つ い て は専門 書 にゆ ず る。

ず し もそ の積

〔１〕

同次 式 の場 合 (２ ・20）

  y″+ay′+by=0 y≡Aεstを

代 入 す る と,

(Aεst)′=sAεstで

あ る か ら,上

式 は,

 s2y+asy+by=0   よ っ て,y=0で

(２ ・21)

な い 解 を 求 め る に は,

s2+as+b=0 

(２ ・22)

を 満 足 す る よ うな ｓ を 求 め れ ば よ い こ と が わ か る｡式(２

・22)を

の 特 有(ま

い う の は,式(２

た は 特 性)方

程 式(characteristic

10)の 場 合 と 同 じで あ る｡式(２ 場 合 と で,解  (１)特

equation)と

式(２

・20) ・

・22)が 相 異 な る ２根 を もつ 場 合 と重 根 を も つ

の 形 が 多 少 異 な っ て く る｡

有 方 程 式 が 異 な っ た ２根 を も つ 場 合

二 つ の 異 な っ た 根 をS1,S2

と す る と,   y=Alεslt+A2εs2t 

(２・23)

は 右 辺 第 １項 と第 ２項 が 互 い に １次 独 立 で あ るか ら,こ る｡な

お,A1とA2は

任 意 定 数 で あ る｡ま

た,二

れが 求 め る一 般 解 で あ

つ の 異 な っ た 根s1,

実 根 の 場 合 と共 役 複 素 根 の場 合 と で も解 の 表 現 が 異 な っ て く る が,こ

s2が

れは第 ４

章 ま た は 補 篇 Ｉに 述 べ る こ と に す る｡  (２)  特 有 方 程 式 が 重 根 を も つ 場 合 a/

の 関 係 が あ る とs1=s2=な く な る｡し で,独

2

た が っ て,任

と な り,解

特 有 方 程 式 の 係 数 の 間 にa2-4b=0 は １次 独 立 な ２項 を 持 つ こ とが で き

意 定 数 は 一 つ し か 表 わ れ な い の で,な

立 な 項 を も う一 つ 見 出 さ な け れ ば な ら な い｡そ

ず か に 異 な っ た ２根 と し,そ  こ の よ う に し て,求 も し,で

れ に は,は

じめ重 根 は わ

れ が 等 し く な る 極 限 を 考 え て み よ う｡

め る 解 答 が で き る か ど うか は 保 証 の か ぎ りで は な い が,

き あが っ た 解 が 与 え ら れ た 微 分 方 程 式 を 満 足 し,し

られ た 条 件 を 備 え て い る な ら,そ

か も一 般 解 に 課 せ

れ が 解 の 一 意 性 と存 在 定 理 に よ っ て 正 し い 唯

一 の 一 般 解 と い っ て よい の で あ る｡  そ こ で,わ

ん らか の 方 法

ず か 異 な る ２根 をs1,s2と

す る と,一

般 解 は,

y=c1εs1t+c2εs2t

こ れ を 変 形 し て, s2→s1の

極 限 で は,s1≡s0と y=c1′

お い て,

εs0t+c2′tεs0t

あ ら た め て, y=(c1+c2t)εs0t 

 こ れ が,式(２ に,式(２ だ け(つ 〔２〕

(２ ・24)

・20)で 特 有 方 程 式 が 重 根 を も っ た 場 合 の 一 般 解 で あ る｡確

・24)は

式(２

ま り二 つ)も

・20)を

満 足 し,し

か も,１

か

次 独 立 な任 意 定数 を階 数

って い る｡

非 同次 式 の場 合

標 準 形 １)に した も の を 解 い て み よ う｡ y″+k2y=f(t) 

(２ ・25)

や は り定 数 変 化 法 を 使 う｡こ

れ の 同 次 式 の 一 般 解 は,

y=A1coskt+A2sinkt 

(２ ・26)

で あ るか ら, y=a1(t)cos

kt+a2(t)sinkt 

とお い て,a1(t),a2(t)が た め して み よ う｡な が あ る か ら,さ

お,条

(２ ・27)

式(２ ・32)を 件 は 一 つ,き

満 足 す る よ うに き め ら れ る か ど うか め る べ き関 数 形 は 二 つ で,ま

ら に,

a1′(t)coskt+a2′(t)sinkt=0 

１)最

だ冗 長度

(２ ・28)

高 階 の項 は残 し,次 に 高 い微 分 階 数 の項 を変 数 変換 に よ り消 去 した 形 を 標 準形 と称 す る｡

これ は,複 雑 な微分 方 程 式 を一 挙 に 解 くよ り,２

段 構 え に して それ ぞれ を簡 単 な形 に して解

き,全 体 と して 解 くの を容 易 に す る と きに用 い る常 と う手 段 で あ る｡２ 階 の微 分 方程 式,a2y″ +a1y′+a0y=f(t)の と きy=u・ υ とお き,こ の 式 に代 入 す る と, uに つい て ま とめ て,  u″(a2ν)+u′(2a2υ ′+a1υ)+u(a2υ ″+a1υ′+a0υ)=f(t) が求 ま り,u′ の係 数 が零 にな る よ う υ を 定 め るの で あ る｡ν

は容 易 に求 ま って

とな り,こ れ を上式 に代 入 して計 算 す る と,

に な る｡こ

れ を ｕ に つ い て 解 き,さ

らに

を乗 じて,も との式 の ｙ を求 め るの で あ の拡 張 は容 易 で あ ろ う｡

る｡こ の 手 法 は 可 変係 数 の 場合 で も同様 に使 え るが,そ

の 条 件 を お こ う｡こ

れ か ら,

(２ ・29) よ っ て,

(２ ・30)

(２ ・31)

が 求 ま る｡し

た が っ て,

(２ ・32)

が 求 ま り,こ 例題

れ が 式(２

１f(t)=Asinmtの

・25)の

一 般 解 で あ る｡ 場 合 ど うな る か(m〓k,m=kの

両 方 の場 合 を

検 討 せ よ)｡ 解 答

式(２

・25)は, 

(２ ・33)

y″+k2y=Asinmt に な り,

(２ ・34)

を計 算 す れ ば よい｡

た だ し,θ1≡(m+k)t0,も

し,

m=kな

ら,

同 様 に し て, θ2≡(m-k)t0

も し,m=kな

ら,

=(t-t0)coskt と な る｡こ

れ か ら,

m〓kな

ら,

(２ ・35) m=kな

ら,

(２ ・36)

に な る こ とが わ か る｡図

２ ・１ の 電 気 回 路 でe=Asinmtと

す れ ば,

(２ ・37)

と な り,上 記 の 例 題 １ と 同 じ微 分 方 程 式 で 表 わ さ れ る｡微

分 方 程 式 で １次 微 分 の 項 が な い と い う こ と は 抵

抗 が な い こ と に 対 応 し,こ し な い｡非

同 次 項 は,外

部 起 電 力e(t)に

c1coskt+c2sinkt 

わ す｡し

た が っ て,ｋ

い う こ と は,起 で,回

の 場 合 は,過

渡 現 象 は存 在 対 応 し, 図

の項 は 回路 の 自由振 動 を表

が こ のLC回

電 力 の 周 波 数 とLC回

路 の共 振 周波 数

２ ・１

でm=kと

路 の共 振 周波 数 が 一 致 し た とい うこと

路 は 共 振 状 態 と な り,時 間 と と も に 無 限 に 大 き くな る 電 流 お よ び 電 荷 が

生 ず るが,こ (tuning)の

れ が 式(２ ・36)の 右 辺 第 ３項 で あ る｡テ

レ ビ や ラ ジ オ で い う同 調

数 学 的 根 拠 が こ こ に 示 さ れ て い る わ け で あ る｡も

ち ろ ん,実

際 に

は 同 調 周 波 数 の 交 流 信 号 が 時 間 と と も に い く ら で も比 例 して 大 き く な る こ と は な く,飽 和 とい う非 線 形 現 象 を お こ し て,あ  例 題 ２

る 振 幅 に と ど ま る こ と に な る｡

次 式 に つ い て 例 題 １と 同 じ こ と を 試 み よ｡ y″+ay′+by=Asinmt

〔３〕 高 階 非 同次 式

高階 の定係数非 同時微分方程式 y(n)+ay(n-1)+…

の 一 般 解 は,同

…+my=f(t) 

次 式 の 一 般 解 に 非 同 時 式 の 特 解 を加 え た も の で あ り,過 渡 状 態

を 表 わ す の は 同 次 式 の 一 般 解,す う｡解

をy=Aεstと

な わ ち,補

解 で あ る か ら,そ

れ を考 え てみ よ

お け ば ｓ は特 有 方程 式

sn+asn-1+…

の 解 で あ るが,こ

(２ ・38)

…+m=0 

(２ ・39)

れ は 実 根 と複 素 共 役 根 とか ら な りた っ て い る｡し

た が っ て,

２階 の 場 合 に 比 べ 本 質 的 な 違 い は な い １)｡

１)こ

の よ うに して,ｎ 階 の 定 係 数 常微 分 方 程 式 を解 くとい うこ とは,ｎ 次 の代 数 方程 式 を解 く とい うこ とに還 元 され る｡よ く知 られ て い る よ うに,１ 次 式 と ２次 式 は解 くのが簡 単 で あ り, ３次 式 に な る とや や めん ど うで あ るが,き わめ て た いへ ん とい うほ どで も ない｡   ４次 式 に な る と相 当 に た いへ ん で あ り,５ 次 式 以 上 は,一 般 は解 け な い｡し た が っ て,５ 階

以 上 の微 分 方 程 式 の 場合 は,数 値 解析 に よ って 解 を出 す こ とに な ろ う｡ま た,式(２

・38)あ る

い は 式(２ ・39)の 係 数 は,そ れ が 単 な る数 学 上 の表 式 で あれ ば 実数 で も複 素 数 で も よいが,電 気 回路 な ど実 際 に 存 在 して い る系 を 表 現 した もの であ れ ば 実 数 に限 られ る｡さ が 抵 抗 や イ ンダ ク タ ンス お よび コ ン デ ンサ の よ うな 受動 素 子 だ け で,ト

らに,構 成 要 素

ラ ンジ ス タやICな

ど

を含 まない と係 数 は こ とご と く正 で,し か も,途 中に 欠 け た 項 が な い とい うよ うな こ とが わ か っ て い る(そ れ らの証 明 は本 書 で は行 なわ な い)｡こ の よ うな制限 を加 え る と 特有 方 程 式 の根 は,１

次 式 の場 合 は 負 の実 数,２

次 式 の場 合 は負 の ２実根 か(２ 根 も し くは重 根)実 部 が 負 の

複 素 共 役 根 に な る｡複 素 共 役 根 の場 合 は振 動 現 象 を生 ず る｡３ 実 部 が 負 の複 素共 役 根 の組 合 せ とな る｡

次 式 以 上 の場 合 は,負

の実 根 と

第３章  時 間領 域 で の 解 析(Ⅱ) 単 エ ネル ギ ー 回路   回 路 中 に,1次

独 立 な エ ネ ル ギ ー を蓄 積 す る要 素 が 一 つ の も の を 単 エ ネ ル ギ

ー 回 路 とい う 。 この 回 路 に,さ

ら に エ ネ ル ギ ー を消 費 す る要 素 が あ れ ば 過 渡 現

象 を生 ず る 。 図 ３・１(ａ) に示 した 回 路 は,イ

ンダ

ク タ ンス Ｌ や コ ンデ ンサ Ｃ が 二 つ あ っ て も一 つ で

(ａ)１ 次 独立 で ない 例

お き か え られ る の で,１

(ｂ)１

次独 立 な 例

図3・1

次 独 立 で は な い が,図(ｂ)の

回 路 は ど の よ う に し て も 一 つ の エ ネ ル ギ ー蓄 積

要 素 で は 表 わ せ な い の で,相

互 に1次 独 立 で あ る。 し た が っ て,こ

の場 合 は １

次 独 立 な エ ネ ル ギ ー要 素 が 二 つ あ る の で 複 エ ネ ル ギ ー 回 路 に な る 。

３・１R-L直

列 の 直流 回路

〔１〕 電 源 印 加 時(図

３・２ 参 照)

微 分 方 程 式 は ，Ldi/dt+Ri=E 

(３・１)

これ を解 い て,

 (３ ・２) 図3・2R-L直

t=0でi=0と

す る と １), 

A=-E/R 

列 回 路

で あ る か ら,

  (３ ・３)

E/R は

ス ィ ッ チ Ｓ を 閉 じて か ら充 分 時 間 が た っ た後 の 電 流 を 表 わ し て い る か ら, (積 分 定 数A)=(初

期 電 流)-(定

常 電 流)２)

１) 初 期 値 の与 え方 につ い て は ３・３節 を参 照 の こ と ２) ただ し,交 流 の よ うに 定常 電 流 が ｔの関 数 で ある場 合 は,そ の ｔに0を 代 入 した もの に な る。 理 由 はそ の導 出 か ら明 らか で あ ろ う。

で あ る こ とが わ か る。 よ っ て, i=(定

常 電 流)+{(初

期 電 流)+(定

の 形 で 表 わ され る 。 い ま,式(3・1)の

常 電 流)}ε-at     

補 解itがAεstの

(３・４)

形 で あ る と す る と,

(Ls+R)it=0 とい う式 が で き る が,S=jω ー ダ ン ス で あ り,sと

とお け ば, Z(jω)=jωL+Rは

し て 複 素 数-α+jω

態 を 含 む “一 般 化 され た イ ン ピ ー ダ ン ス"と

この回 路の イン ピ

を とれ ばZ(S)=sL+Rは い っ て よい 。 そ して,補

過渡 状 解にある

sは 一 般 化 され た イ ン ピ ー ダ ン ス を零 に す る値 で あ る こ とが わ か る 。 (a)時

定数

式(３ ・３)を グ

ラ フ で 表 わ す と,図

３・３ の よ う

に なる。 時 間の増 大 と ともに最終 値E/Rに

近 づ くが,そ

方 の め や す と し て,最 63.2%に

の近 づ き 終値 のほ ぼ

達 す るの に 要 す る時 間

を と り,こ れ を時 定 数 と称 して い る。 こ の 時 間 は,ま

た,任

意 の時 図 ３・３ 過 渡 電 流 の グ ラ フ

刻 にお け る電流 が その時 刻 に おけ る増 加 率 で,そ

の ま ま増 加 し て 最 終 値 に達 す る 時 間 に等 し い 。 図 ３・２ の 回 路

に お い て は,時

定数

式(３ ・３)でtに

Ｔ はL/Rで

あ る。

Ｔ を代 入 す る と,そ

の と き の 電 流iTは,

(３ ・５)

と な り,最 終 値 の63・2%に な って い る 。 結 局,時 1/ t= の値 の こ とで あ る 。 また,

定 数 とは εStと い う形 で,

S

(３ ・ ６)

任 意 の 時 刻t=t1で,

定 常 電流i=

t=t1に

E/ R

との 差 は,

の まま電流 が増 加 した とした ら,最 終 値 に

お け る電 流 増 加 率

達 す る ま で どれ だ け の 時 間 が 必 要 か とい う と,求

め る 時 間 をtoと

お き,

(３ ・７)

結 局,時

定 数 に 等 し い こ とが わ か る 。な お,時 定 数 の 逆 数 を 減 衰 定 数 とい う。

(ｂ)費

され るエネル ギ ー

電 源 か ら供 給 され る エ ネ ル ギ ー ｗ

は,

(３ ・８)

こ こ で,積

分 の 中 の 第 １項 は,積

分 変 数 をdtか らdiに か え,そ れ に と も E/ ≡1に か え る 。 下 限 はt=oの な っ 分 積 分 の 上 限 も,t→ ∞ の と き のi→ R 1/ LI2と な ってイ ソダ ク タン と きi=0で あ る か ら零 で よい,結 局 この 項 は, 2 ス に蓄 積 さ れ る エ ネ ル ギ ー を 表 わ し て い る。 第 ２項 は 抵 抗 で ジ ュ ール 熱 と な っ て 消 費 され る エ ネ ル ギ ー を 表 わ し分 い る 。 〔2〕

電 源 除 去 時(図 L

di / dt

+Ri=0  R/

t

=Aε

３・４ 参 照) (３.９)

t

L

 (３ ・10)

t=0,i=E/R 図 ∴

(３.11)

３・４R-L直

列 回 路

  式(３

・11)を

グ ラ フ表 示 す る と,図

３.５ の

よ うに な る 。 微 分 方 程 式 を 解 く立 揚 か ら い え ぱ,電

源 印 加 時 は 非 同 次 式 を,電

源除 去時 は同

次 式 を解 く こ と に な る。 〔3〕

回路 定数 の急 変 と初期 条件 の決定

  過 渡 現 象 を生 ず る も う一 つ の場 合 と し て,回 路 定 数 を急 変 し た と きが 考 え ら れ る 。 図3・6

図

３ ・５ 式(３

・11)の

グ ラフ表 示

の 回 路 に お い て ス イ ッ チ Ｓ を投 入 した とき の 過 渡 現 象 を考 え る 。 こ れ はR-L 直 列 回 路 の抵 抗 がr1+r2か イ ッチSを

ら急 にr2に

減 じた 場 合 に な る 。 回 路 方 程 式 は ス

変 化 させ た 後 の 状 態 を 描 写 す る の で あ るか ら, L

di/

+r2i=E 

dt

(3・12)

(３・13)

t=0で, 

i=

E/

図 ３・６ 回 路 定数 の急 変(１)

r1+ra

で あ る か ら, 例 題1 

 (３ ・14)

図 ３・６ の 回 路 に お い て,r1=10Ω,r2=30Ω

，L=3H,E=5V

と す る とt秒 後 の 電 流 ｉは どれ だ け か 。 解答

式(３

  次 に,図3・7の

・14)に

そ れ ぞ れ の 値 を代 入 す れ ば,

回 路 にお い て スイ ッチ Ｓ

を開 い た 後 の 過 渡 現 象 を考 え て み よ う。A1を 流 れ る 電 流 をi1と と す れ ぱ,

し,A2を

流 れ る 電 流 をi2 図 ３・７ 回路 定 数 の急 変(２)

L

di1

+(r1+r2)i1=E 

/ dt

(３ ・15)

(３ ・16)

t=0でi1=0

 (３ ・17)

t=0+でi2=0

 (３ ・18)

  i1とi2は

ス イ ッ チSを

で あ る が,ス

イ ヅチSを

動 か す 直 前(t=0-)ま

で は 異 な っ た値(0とE/rl)

動 か し た 直 後(t=0+)は,明

らか に 一 つ の 直 列 回 路 で

は 値 が 同 じで な け れ,ぱな らな い 。 し た が っ て,い

ず れ か が ス イ ッチ Ｓ を 開 い た

と き不 連 続 に な ら な け れ ば な ら な い が, こ の 場 合 はi2で t=0で

あ る(図3・8を

参 照)。

ス イ ッチ Ｓ を動 か し た と して,微

分 方 程 式 は そ の 後 の 状 態,も い え ぱt=o+以

っ と正 確 に

後 の 状 態 を描 写 し て い

る 。 した が っ て,こ

れ を解 い て生 ず る積 図 ３・８ 電 流値 の変 化

分 定 数 を消 去 す る の に 磐 要 な 初 期 条 件 はt=o+の

と き の値 で あ る が,わ

Ｓ を動 か す 直 前 の 値,す 初 期 条 件 の 値 は,そ ず る た め,一 ま で,t=0+の が,第

れ わ れ が 容 易 に 求 め られ る の は,ス

な わ ち,t=o-の

イ ッチ

ときの値 で ある。  t=o-とt=0+の

の と き ス イ ッチ Ｓ を動 か す とい う回 路 に不 連 続 な 変 化 が 生

般 に は 不 連 続 と な り,t=o-の

値 が わか っ て い た と し て も そ の ま

値 が わ か る とは か ぎ ら な い 。 こ の と き の よ り ど こ ろ に な る の

１章 で 述 べ た 鎖 交 磁 束 の 連 続 則 と電 荷 保 存 則 な の で あ る 。 こ の 場 合 は,

鎖 交 磁 束 の 連 続 則 を使 い,t=0-に 路 はt=0+に t=0+に て,t=o+に

お け る鎖 交 磁 束Li10-は

お い て も鎖 交 磁 束 は 零 。 し た が っ て,t=0+に お け るi1とi2は

同 じで あ る か らi2=0,こ

お け る初 期 条 件i1=0,i2=0が

零 だ か ら,こ

の回

お け るiiは0,

の よ う な 思 考 手 順 を経

求 ま る の で あ る 。 最 も この 場 合

は,直

観 的 にi1=0,i2=0で

る が,次

に,直

あ る と考 え ら れ

観 で はt=0+の

初 期値 が求 ま ら

な い 例 を示 そ う。 図 ３・９ の 回 路 を考 え て み よ う。 こ の 場 合 も,t<0の 流i1とA2を

と き はA1を

流 れ る 電 流i2と

な る が,t=0で

流 れ る電

は明 らか に異

ス イ ッ チ Ｓ を 開 け ばi1=i2と

な ら ざ る を え な い 。 し た が って,少

な くと もど

図

３ ・９R-L回

路

ち らか 一 方 は不 連 続 に な る。 そ の 回 路 方 程 式 は, (３ ・19)

(３ ・20) t=0_の

と き の 鎖 交 磁 束 とt=0+の

と き の 鎖 交 磁 束 が 等 し い と お い て,

L1i10-−L2i20-=(L1+L2)i0+  た だ し,i10-はt=0_に i20-はt=0_に i10-と i0+はt=0+に こ れ か らt=0+に

(３ ・21)

お け るA1を

流 れ る 電 流 で,E1/R1

お け るA2を

流 れ る 電 流 で,E2/R2

向 き が 違 うの で 負 に し て あ る 。 お け る こ の 回 路 を 流 れ る 電 流,

お け る 電 流i0+は,

(３ ・22)

(３ ・23)

この 場 合 に は,イ ン ダ ク タ ン スL1,L2を

３ ・２R-C直

列 の直流 回路

〔１〕 充 電 の場 合(図

３・10参 照)

回路 方程 式 は次 式 で表 わ され る。

流 れ る 電 流 は ど ち ら も不 連 続 に な る 。

Ri+1/C〓idt=E 

(３・24)

Ｃ に た くわ え られ る 電 荷 を ｑ と して,q=〓idt で あ る か ら, 図 ３・10 R-C直

列 回路 充電 時

(３ ・25)

(３ ・26) t=0でq=q0と

す れ ば,

(３ ・27)

ま た,上

式 を微 分 し て,

(３ ・28) も し,q0=0な

ら,

(３ ・29) にな る。

  〔２〕  放 電 の 場 合(図

３・11参 照)

  コ ン デ ン サ に 生 じ て い る電 圧v=q/Cが

起電 力

とな り,こ れ が 抵 抗 に 生 ず る起 電 力Riに

つ り合

っ て い る の で あ る か ら, Ri=

q/ C

(３ ・30)

  回 路 を流 れ る 電 流 は,コ

図 ３・11 R-C直

列 回 路放 電時

ンデ ンサ に た くわ え られ て い る 電 荷 が 流 れ 出 る の で

あ るか ら, dq/ i=

(３ ・31)

し た が っ て,式(３

dt ・30)に

式(３

・31)を

代 入 し て,

(３ ・32)

(３ ・33) t=0でq=q0=CEと

す れ ば,

(３ ・34)

(３ ・35)

とな る 。

〔３〕  エ ネ ル ギ ー の 移 動 充 電 時 の 供 給 エ ネ ル ギ ー は, (３ ・36)

Ｒ で失 わ れ る エ ネ ル ギ ーWRは,

(３ ・37)

Ｃ に た く わ え られ る エ ネ ル ギ ーWcは,

(３ ・38)

放 電 時 に Ｒ で 失 わ れ る エ ネ ル ギ ー は, (２ ・39)

と な っ て,こ う ち,コ

の場 合 は 電 源 か ら供 給 され る 全 エ ネ ル ギ ー は 有 限 でCE2,そ

ン デ ン サ に蓄 積 され る エ ネ ル ギ ー は ち ょ う ど半 分 のCE2/2,残

の りの 半

分 は 抵 抗 で 消 費 され る こ とが わ か る 。  な お,充

放 電 を有 限 時 間 で く り返 し た り,転 極(電

りす る場 合 は,お

源 の 極 性 を か え る)し

の お の の 区 間 で 微 分)方程 式 を た て,相

た

互 の区間 が つ なが る よ

うに初期 条件 をた てれ ば よい。

３・３ 直

並 列 回 路

解 き方 と し て は,直

列 回 路 の 場 合 と大 差 な い 。 キ ル ヒホ ッ フ の 法 則 に よ って

回 路 方 程 式 を た て て 解 け ば よい 。 一 例 と し て, 図 ３・12の 回 路 に つ い て 考 え て み よ う。 回 路 方 程 式 は 次 式 に な る 。 γi+Ri2=E 

(３ ・40)

Ldi1/dt=Ri2 

(３・41)

i1+i2=i 

(３ ・42)

これ か らi2を

消 去 し て,

図 ３・12直

並列 回 路(１)

(３ ・43)

(３ ・44)

(３ ・45)

(３ ・46)

(３ ・47)

t=0で,i1=0,i2=E/γ+Rだ

か ら,

(３ ・48)

で あ る こ とが わ か る。 こ の よ う に し て,回 ま るが,こ

の程 度 の 回 路 で あ れ ば,ほ

路方 程 式 を解 いて いけ ば必 ず解 は求

とん ど暗 算 で 式(３ ・48)が 求 ま る こ とを

示 そ う。   まず,式(３

・48)を み る と,γ

Ｒ を流 れ る 枝 電 流i2の

を 流 れ る 枝 電 流i,  Ｌ を流 れ る 枝 電 流i1,

どれ も が 同 じ減 衰 定 数,γR/L(γ+R)を

もってい るこ

とが わ か る が,こ

れ は 回 路 方 程 式 の 式(３ ・40),(３ ・41),(３ ・42)を み る と,

どれ も相 互 の 電 流 が 和(ま して い る か らで,指

た は差)の

形 や 微 分(ま

た は 積 分)の

形 で等 式 をな

数 形 ε-αtを含 ん だ 形 の 線 形 の連 立 方 程 式 で は,ど

の αも

同 じで な け れ ば等 式 は 成 立 し な い こ とか ら当 然 で あ る 。 こ う して み る と,一 つ の 枝 電 流 の 減 衰 定 数 α が わ か れ ば す べ て の 枝 電 流 は,   ik=B+Aε-at=(定

常 電 流)+{(初

期 電 流)-(定

常 電 流)}ε-at(３

の 形 に か け る か ら,t→

∞ の と き の 定 常 電 流 とt=0+の

か れ ば,式(３

ら電 流 が わ か る の で あ る。

・49)か

・49)

ときの 初期 電 流 が わ

例 題 １ 図 ３ ・12の 回 路 に お い て 各 枝 電 流 を 目算 で 求 め て み よ。 解 答   まず,減

衰 定 数 α の 決 定 で あ る が,過

渡 現 象 は イ ン ダ ク タ ン ス Ｌ,やコ

ン デ ン サ Ｃ に 抵 抗 Ｒ を とお し て エ ネ ル ギ ー が 蓄 積 され る過 程,ま

た は,イ

ンダ

ク タ ン ス や コ ンデ ン サ に蓄 積 さ れ た エ ネ ル ギ ー が 抵 抗 を通 し て 放 電 す る 過 程 で あ る か ら,図

３・12の 回 路 は,イ

からみ れ ば,図

ン ダ ク タ ン ス へ の エ ネ ル ギ ー の 注 入 とい う点

３・13の 回 路 の よ う に書 き な お せ る 。 これ は,イ

ン ダク タ ンス

Ｌ に 並 列 に つ な が っ た抵 抗 Ｒ と γ が接 続 さ れ た も の で あ る か ら,そ

の 減 衰 定 数 は,

α=R′/L 

た だ し,

と考 え て よ い 。 これ は,式(３ 次 に,i1,i2と

Rγ / R+γ

図 ３ ・13

・48)の 減 衰 定 数 と一 致 し て い る。

ｉの 定 常 値 と初 期 値 で あ る が,こ

と電 荷 保 存 則 か ら,ス ン ピ ー ダ ン ス,コ

ン デ ン サ は 零 イ ン ピ ー ダ ン ス,充

ンデ ンサは

無 限 大 の イ ン ピ-ダ

ンス

と考 え られ る が,こ

の性

質 か ら,i1,i2,ｉ

れ に は,鎖

交 磁 束 の連 続 則

イ ッ チ Ｓ を動 か した 直 後 は イ ン ダ ク タ ン ス は 無 限 大 の イ

ン ダ ク タ ン ス は零 イ ン ピ ー ダ ン ス ,コ

R′=

の初 期

値 お よび定常 値 を求 め る

分時 間 が た った定 常 時 はイ 表

３ ・１

と表

３ ・１ の よ う に な る 。

  よ っ て,表   次 に,や

３ ・１ か ら式(３ や 複 雑 な 回 路(図

か ら み た,一

・48)は

す く.に 求 ま る 。

３ ・14)に

つ い て 考 え て み よ う 。i1,i2お

よ びi3

般 化 さ れ た イ ン ピ ー ダ ン スZ1(s),Z2(s),Z3(s)は,

(３ ・50)

こ れ か ら,各 枝 電 流 の減 衰 定 数 は,微

分

方 程 式 の 特 有 方 程 式 を 零 に す る特 有 根 で あ るが,こ うに,一

れ は,３ ・１ 節 で も述 べ た よ

般 化 され た イ ン ピ ー ダ ン ス を零

に す る ｓ の 値 に な る 。 式(３

・50)を

み

る と,一 般 化 され た イ ン ピ ー ダ ン ス は, .Z/(s),Z2(s),Z3(s)で が,分

い ず れ も異 な る

子 は 同 じA(s)B(s)+B(s)C(s)+C(s)A(s)で

が っ て,こ

図 ３・14直

並 列 回 路(２)

表 わ され で い る 。 し た

れ を零 に す る Ｓの 値 は み な 同 じで あ る か ら,ど の 枝 電 流 も同 じ減 衰

定 数 を もつ こ とが わ か る １)。   例 題 ２ 図 ３・15の

回 路 に お け る各 枝 電 流 を求 め よ。

  解 答   式(３ ・50)の 一 般 化 さ れ た イ ン ピ ー ダ ン ス を零 に す る た め の Ｓの 値 を 求 め る と,

１)一 般 化 され た イ ン ピー ダ ンス の分 子 を零 に した とき,分 母 もま た零 に なる場 合 は注 意 を要 す る 。

B≡(定 常 電流)  A≡(初 期 電 流)-(定 常 電流) で あ る か ら,次

図 ３・15  直並 列 回路(３)

の 結 果 が ほ と ん ど目 算 で え られ る で あ ろ う。

(３ ・51)

３ ・４R-L・R-C直

列 の交流 回 路

  交 流 電 源 を 回 路 に 投 入 した と き も,考

え方 は 今 ま で と ま っ た く変 わ らず,次

の よ うな 手 順 を とれ ば よい 。 ① 微 分 方 程 式 を た て る 。 ② そ の 一 般 解,す

なわ

ち特 解 と補 解 を 求 め る。 ③ 初 期 条 件 か ら積 分 定 数 を 消 去 す る 。 しか し,② 時解(定 常 解)を 求 め る と き,直 はい か な い が,こ

で

流 電 源 の 場 合 の よ うに 簡 単 に 目 算 で 出 す わ け に

れ は 交 流 理 論 でd/dtをjω

とお い て 求 め た 場 合 と同 じで あ

り,そ の 知 識 を流 用 す れ ば よい1)。 補 解 は入 力 の な い 場 合 で あ る か ら,こ 直 流 電 源 の 揚 合 と変 わ ら な い 。 同 様 の 理 由 で,電

れは

源

除 去 時 も直 流 電 源 の 場 合 と ま っ た く変 わ らな い 。   〔１〕R-L直

列 の 交流 回路

  φ を ス イ ッチ Ｓ を閉 じた と き の 電 源 の 初 期 位 相 ２) とす る と,

図 ３・16交

流RL回

路

１)詳

し くは第 ５章 参 照 の こ と。 ２)交 流 電 源 は 回路 を接続 し よ う とし まい と正弦 波 電圧 を生 じてい る。一 方,回 路 を閉 じる ときの   時刻 は任意 で あ り， そ の と きをt=0に よ うに φ が 与 え られ る。

とる と,そ の 瞬 間 の交 流電 圧 がEmsinφ

で表 わ され る

図 ３・16の

回 路 は 次 式 で 表 わ され る。

特 解 は,交 )     

流 理 論 に よ る と1 is=ISsin(ωt+φ

一ψ)

(３ ・52)

た だ し, よ っ て,一

般 解 は,

(３ ・53) t=0でi=0で

あ る か ら,

(３ ・54)

  式(３ ・53)の 右 辺 第 ２項 は 過 渡 項 で あ る が,そ の 振 幅 は 式(３ ・54)で き ま る か ら,ス

イ ッ チ Ｓ投 入 時 の 電 源

の 位 相 φに よ っ て 大 き く変 わ り,も し,こ

の 回 路 の 位 相 角 ψ に等 し い と

A=0,し

た が っ て,過 渡 項 は 現 わ れ

ず 初 め か ら定 常 状 態 に は い って し ま う。 こ れ は,定

図 ３・17R-L直

常 項 を時 間 の 原 点 に 延 長 し た 場 合,ち

列交 流 回路 の過 渡 電 流

ょ う ど電 流 が 零 に な る よ

うな 位 相 関 係 に あ る と きで あ る 。 図 ３・17にR-L 直 列 回 路 の 過 渡 電 流 を示 す の で 参 照 さ れ た い 。   〔２〕R-C直

列 の 交流 回路

  図 ３・18に お け るR-Cの

直 列 回 路 を考 え て み よ

う。 回 路 方 程 式 は,

図 ３・18交

流RC回

路

(３ ・55)

１)詳

し くは 第 ５章 を参 照 の こ と。

２)  こ れ は 定 常 電 流 の 式(３

・52)で,t=0と

して負 に した もので あ る。

(３ ・56) た だ し,

t=0でq=0と

す る と, (３ ・57)

  こ の場 合 も や は り φ=ψ で 過 渡 現 象 は お こ ら な い 。 次 に,回

路 に 流 れ る 電 流 は,

(３ ・58)

と な る。 コ ン デ ン サ に た くわ え られ る電 荷 ｑ は 連 続 で あ る が,iは

図 ３・19 R-C直 列 の 交流 回路 の過 渡電 流

不 連 続 で あ る 。 図 ３ ・19にR-C直

示 す の で 参 照 され た い 。

列 回路 の過 渡 電流 を

第４章  時 間領 域 で の 解 析 〔Ⅲ 〕 複 エ ネル ギ ー回路   エ ネ ル ギ ー を蓄 積 す る要 素 が 独 立 に 二 つ 以 上 あ る 回 路 は,微

分方 程 式 で表 わ

す と ２階 以 上 に な り複 エ ネ ル ギ ー 回 路 とい う。 要 素 と し て は,イ の み,あ

る い は コ ン デ ン サ の み で も よい が,こ

ぎ ” は 現 わ れ ず,両 現 象,す

ンダ クタ ン ス

の場 合 は過渡 現 象 に

“振 れ す

種 の 要 素 が あ る と回 路 定 数 の 値 い か ん に よ っ て 振 れ す ぎ の

な わ ち振 動 現 象 が 現 わ れ る 。

４・１R-L-C直

列直 流 回路 の充放 電

  複 エ ネ ル ギ ー 回 路 が 単 エ ネ ル ギ ー 回 路 と著 し く 異 な る 点 は,振

動 現 象 が生 ず る こ とで あ る 。 こ れ

を調 べ る た め に,振 は,最

動 現 象 が 現 わ れ うる 回 路 で

も簡 単 なR-L-C直

列 回 路(図

４ ・１)を ま

ず と り あ げ て み よ う。

図 ４ ・１R-L-C直

列 回 路

  〔１〕  電 源 印 加 時   図 ４ ・１ に お け る回 路(ス

イ ッチ Ｓ が

ａ に つ い た と き)の 微 分 方 程 式 は,

式(４ ・１)で 表 わ され る。

(４ ・ １)

こ れ,か ら特 解qsは, 

(4.2)

9s=CE

補 解qtは,

(４ ・ ３)

を 満 足 す る 。 こ れ か らqは, q=qs+qt=CE+A1εs1t+A2εSZt

た だ し,s1,  s2は

特 有 方 程 式, 

(４ ・４) Ls2+Rs+

1 /C

=a

(４ ・５)

の 根 で,

(４ ・ ６)

で あ る 。 ま た,電

流

ｉ は,

i=s1A1εs1t+s2A2εs2t 

(４ ・ ７)

で 表 わ され る 。   今 度 は,２

階 の 微 分 方 程 式 で あ る か ら積 分 定 数 は 二 つ あ り,し た が っ て,初

期 条 件 が 二 つ 必 要 で あ る が,こ

れ は,t=0に

お け るイ ン ダ ク タ ン ス を流 れ る電

流 と コ ン デ ン サ に た く わ え られ る電 荷 で 満 た され る 。   初 期 条 件 と して,t=0でi=0,q=q0と

す れ ば,

 式(４ ・４)か ら,CE+A1+A2=q0   式(４

・７)か

(４ ・８）

ら ,s1A1+s2A2=0

こ れ か ら,

  (４ ・９)

と なる。

 過 渡 現 象 の状態 をお もに規 定 す るの は特 有 根 ｓで あ るが,回 路定 数 の 相互 関 係 か ら次 の ３種 の場 合 が でて くる。  (ａ)R2>4L/Cの

場 合(非

振 動 的,対

数 的:logarithmic

case)

  式(４ ・６)の 平 方 根 の 中 が 正 に な る か ら,特 有 根 は 二 つ の 相 異 な る 実 根 と な る 。 α ≡R/2L,

と お け ばs1=-α+γ,s2=-α-γ

と な る。 明 ら か に,￨α￨>￨γ￨で

あ る か ら ２根 と も負 で あ る。 υcを コ ン デ ン サ

Ｃ に 生 ず る 電 圧 降 下 とす れ ば,

(４ ・10)

(４ ・11)

た だ し,υ0≡q0/C,θ

γ≡tanh-1γ/α

で あ る 。

 図 ４・２ にR-L-C直

列 回 路 非 振 動 的 な過 渡 電 圧 お よび 過 渡 電 流 を示 す の で

参 照 された い。

(ａ)過

度

電

流

 (ｂ)過

図 ４・ ２L-R-C直

  (ｂ)R2<4L/Cの

場 合(振

渡

列回 路 の過 渡現 象(非 振

動 的:oscillatory

 α≡R/2L,

と お く と,

と な る か ら,簡 単 の た め以 後q0=0と

電

圧

動 的)

case) s1=-α+jβ,s2=-α-jβ

す る と,

(４ ・12)

(４ ・13)

 た だ し,θ β=tan-1β/α

で あ る。

 ま た,

(４ ・14)

を そ の 回 路 の 固 有 振 動 数 とい う。   R=0だ

と α=0と

な り,非 減 衰 の 振 動 が え られ る が,こ

と な り,共 振 周 波 数f0と

の と きfnは,

等 し くな る 。

  電 流 の １次 微 分 を 零 とお け ば 電 流 の 最 大 値(あ これ は βt=θ β で お こ る こ とが わ か り,ま

た,コ

るい は 極 大 値)が

え られ る が,

ン デ ンサ の 両 端 の 電 圧 νcは

βt=0,π,2π

… で 極 大 ・極 小 が お こ る こ とが わ か る 。 図 ４・３ にR-L-C直

列

回 路 の振 動 的 な過 渡 電 圧 お よび 過 渡 電 流 波 形 を示 す の で 参 照 さ れ た い 。

(ａ)過

渡

電

圧

(ｂ)過

図 ４・３L-R-C直  (ｃ)R2=4L/Cの

場 合(臨

特 有 方 程 式 の 根s1,s2は,重

渡

電

流

列 回路 の 過渡 現 象(振 動 的)

界 的:critical

case)

根s=-R/2L≡-α

と な る か ら,

q=CE+(A+Bt)ε-αt (４ ・15) i={B-α(A+Bt)}ε-αt   初 期 条 件 と し てt=0でq=0,i=0と

す る と,

A=-CE,B=-αCE と な る か ら,υc=E{1-(1+αt)ε-αt} 

(４ ・16)

E/ i=

L

tε-αt

 (４ ・17)

とな る 。 電 流 の最 大 値 は,式(４ そ の 値 を 式(４ ・17)に

・17)か ら

di/

=0な

ら し め る ｔの値 を 求 め

dt

代 入 し て 得 られ る 。 結 果 は,αt=1す

の と き ｉ は 最 大 とな り,そ の と き の ｉ の 値 をImaxと

,

な わ ち,t=1/α

す る と,

Imax=2E/εR=0.736E/R に な る 。 図 ４ ・４ にR-L-C直 を示 す の で 参 照 され た い 。

列 回 路 の 臨 界 的 な 過 渡 電 圧 お よび 過 渡 電 流 波 形

(ａ)過

渡

電

圧

図4・4 

  〔２〕 放 電(電

(ｂ)過

R-L-C直

列 回路 の過 渡 現象(臨

渡

電

流

界 的)

源 除 去)時

 コ ン デ ン サ に た くわ え られ た 電 荷 が を通 し て 流 れ る の で あ る か ら,図

Ｒ と Ｌ

４ ・５ の 回 路

で は,

(４・18) 図4・5R-L-C直

と な る が,i=-dq/dtで

列 回路 の放電

あ る か ら,

(４ ・19) と な っ て,式(４

・３)に 一 致 す る 。 初 期 条 件 と し て,t=0でi=0,q=q0=CE

と す る と,

(４ ・20)

(４ ・21)

図4・6放

電

時

の

過

渡

現

象

とな る 。 回 路 定 数 の 相 互 関 係 か ら三 つ の場 合 に わ か れ る の は,充

電 時 の とき と

同 じ で あ る 。 図 ４・６ に 放 電 時 に お け る 過 渡 現 象 を示 す の で 参 照 さ れ た い 。

４ ・２R-L-C直

列 交 流 回 路 の 充 電

  次 に,R-L-C直

列 の 複 エ ネ ル ギ ー 回 路 に 交 流 電 源 を 印 加 し た 場 合 を考 え て

み よ う。 わ れ わ れ は,す 合,複

で に単 エ ネ ル ギ ー 回 路 に つ い て は,直

・交 流 電 源 の 場

エ ネ ル ギ ー回 路 に つ い て は 直 流 電 源 に つ い て 考 察 を行 な って き た が,特

徴 的 な こ と を表 ４・１ に 示 そ う。 これ らの 拡 張 と し て 複 エ ネ ル ギ ー 回 路 へ の 交 流 電 源 印加 時 の場 合 が 導 き 出 せ よ う。 表 ４・１ 過 渡 現 象 の ま と め(電

  R-L-C直

源 除 去時 は 直 ・交 流 の 区 別 な し)

列 の 交 流 回 路 は,い ま ま で の 知 識 の 組 合 せ

で 解 析 で き,特

別 に 新 し い 現 象 は つ け 加 え られ ない 。

図 ４・７ に お け る 回 路 の 場 合 は 次 式 で 表 わ され る。

図4・7R-L-C直

(４ ・22)

列 の

交 流 回路

交 流 理 論 の 知 識 に よ っ て １),

定常電流 定常電荷 １)第

Em/ is=

Z

sin(ωt+φ-〓) 

Em qs=-

５章 で 求 め る 。

/ωZ

cos(ωt+φ-〓) 

(４ ・23)

(４ ・24)

た だ し, が 求 ま り,こ れ か ら,一 般 解 は 次 の とお りに な る 。 (４ ・25)

(４ ・26)

初 期 条 件 と し て,t=0でq=q0, 

i=0と

す れ ば,

(４ ・27)

に な る。

(ａ)非

(ｂ)臨

振 動 的 な 場合

界 的 な 場

合

  回 路定 数 の相互 関係 か ら,① 非 振 動 的,② 振 動 的,③

臨界 的 の三

つ の場 合 にな るの は直 流 電 源 印 加 時 と同 様 で ある。 過渡 状態 の グ ラ フ表 示 を 図 ４・８(ａ) (ｂ)(ｃ)に   ま た,過

示 す。 渡 項 をな くす (ｃ)振

た め に はA1=A2=0で

図4・

８ R-L-C直

動 的 な 場 合 列

の

交

流

回 路

な け れ ば な ら な い が,式(４ み で は 不 可 能 で,初   式(４ ・27)か

・27)か

らわ か る よ うに,電

源 印 加 時 の位 相 φ の

期 電 荷 に も よ ら ざ る を得 な い １)。

ら解 は, Em

φ=ψ, 

q0=-

で あ る こ と が わ か る が,こ

 (４ ・28)

/ωZ れ は 非 振 動 的,振

動 的 お よび臨界 的 のい ずれ の場 合

に も成 り立 つ こ と が 容 易 に 示 され る。

４ ・３  R-L-M結

合 回路

  １ 種 類 の エ ネ ル ギ ー蓄 積 要 素 を含 む 複 エ ネ ル ギ ー 回 路 の 例 と し て,相 の あ る,図

互 イ ンダ クタ ンス Ｍ

４・９ の 回 路 を考 えて み よ う。 相 互

イ ン ダ ク タ ン ス は 正 結 合 と仮 定 す る と回 路 方 程 図 ４・９ 相 互 イ ンダ クタ ンス を 含 む 回路

式 は,

(４ ・29)

  ま た,こ

の 回 路 の 等 価 回 路 は,図

４ ・10の よ

う に な る 。 こ の 連 立 方 程 式 を 解 く と,そ れ ぞ れ,

図 ４・10 前 図 の 等価 回路

(４ ・30)

に な る 。i1,  i2の

一 般 解 は,

(４.31)

１) 初期 電 流i0は

零 と した が, i〓0な ら 自由度 は も う一 つ ふ え る こ とに な る。

と 表 わ さ れ る 。 た だ し,s1,s2は

特 有方程 式

(L1L2-M2)S2+(L1R2+L2R1)s+R1R2=0 

(４ ・32)

の 根 で あ る。   k2≡M2/L1L2≦1(kを k<1の

結 合 係 数 と い う),  α1≡R1/2L1,α2=R2/2L2と

場 合 とk=1の

〔１〕   k<1(粗

お き,

場 合 を次 に説 明 す る。

結 合)の

場合

(４ ・33)

とな る 。(α1-α2)2+4k2α1α2＞0で あ る か ら,s1 ,s2は 負 の ２実 根 とな り,Ｒ,Ｌ,Ｍ の 値 い か ん に か か わ らず 振 動 を生 じな い 。 こ れ は Ｌ も Ｍ ギ ー蓄 積 要 素 だ か らで,振

も誘 導 的 な エ ネ ル

動 状 態 を 生 ず る た め に は,容 量 的 な エ ネ ル ギ ー 蓄 積

要 素 が 加 わ らな け れ ば な らな い 。 もち ろ ん,容 量 的 な エ ネ ル ギ ー蓄 積 要 素 と抵 抗 だ け で も微 分 方 程 式 は ２階 以 上 に な り うる が,振   次 に,式(４

動 的 な場 合 は 生 じな い 。

・31)の 任 意 定 数 を初 期 条 件 を使 っ て 消 去 す る こ と を 考 え て み

よ う。 こ の 回 路 の 初 期 条 件 は,t=0+に つ あ る 。 一 方,式(４

お け るi1お

よびi2の

値 で あ る か ら二

・31)に あ る任 意 定 数 の数 は 四 つ あ る。 これ で は任 意 定 数

が 消 去 で き な い よ うに 思 わ れ るが,以

下 に述 べ る よ うに,A1とB1

は 独 立 で な く片 方 が き ま れ ば 残 りの 片 方 も き ま る の で,結

局,独

, A2とB2 立 な任 意 の 数

は 二つ だけ なの で ある。 式(４

・29)に

式(４

・31)を

代 入 す る と,

{(L1s1+R1)A1+Ms1B1}εs1t+{(L1s2+R1)A2+Ms2B2}εs2t=0

｛

 {(L2s1+R2)B1+Ms1A1}εs1t+{(L2s2+R2)B2+Ms2A2}εs2t=0

式(４ ・34)が 成 立 す る た め に は{}の

(４ ・34)

中 が零 にな らなけれ ば な らない か ら

,

(４ ・35) た だ し,i=1,２

とす る 。

が 求 ま る。 等 号 の １番 目 と ２番 目 は 一 見 異 な っ た 形 を して い る が ,siの 具 体 的 な値 の式(４ ・33)を 代 入 す れ ば 両 者 等 しい こ とが 容 易 に確 か め られ よ う。 ３番

目 の 等 号 ≡ に よ るmiは,右 れ か ら,式(４

辺 を ま と め て こ の よ うに お い た だ け で あ る 。 こ

・31)は, E/

i1=

R1

+A1εs1t+A2εs2t  (４ ・36)

i2=-m1A1εs1t-m2A2εs2t

  初 期 条 件 は,鎖 交 磁 束 の 連 続 性 か ら,電 源 印 加 直 後 の 鎖 交 磁 束 が 零 で な け れ ば な ら な い とい う こ とか ら求 ま る。 電 源 印 加 直 後 の 電 流 を,i10+,i20+と

する

と,     L1i10+＋Mi20+=0 

 L2i20+＋Mi10+=0

  ∴(L1L2-M2)i10+=0 

こ れ か ら,k≠1な

A1+A2=-

  (４ ・37)

(L1L2-M2)i20+=0

ら ばi10+=i20+=0で

E/

’ 

R1

な け れ ば な ら な い 。 よ っ て,

m1A1+m2A2=0

(４ ・38)

と な る か ら,

(４ ・39)

た だ し, で あ る。

t=0の

電 流 の増 加 率 は,

(４ ・40)

とな る。L1L2-M2が

小 さい ほ ど こ の 値 は 大 き くな り,零,す

とき 無 限 大 に な る 。 増 加 率 がt=0+で べ る た め,k=1の

な わ ちk=1の

無 限 大 に な る の は ど うい うこ とか を調

場 合 に つ い て 詳 し く検 討 し て み よ う。

〔２〕k=1(完

全 密 結 合)の

場 合1)

特 有 方 程式 は １次 式 とな り, (L1R2+L2R1)s+R1R2=0 

し た が っ て,特

(4・41)

有 根 は 一 つ で, (4・42)

よ っ て, (4・43)

の 形 に か け る が,初

期 条 件 と し てk＜1の

お く と 明 らか に 式(4・43)は

場 合 と同 様 に,i10+=0,i20+=0と

矛 盾 す る。 そ こ で,i10+〓0, 

i20+〓0で,し

か も

鎖 交 磁 束 の 連 続 則 を満 足 させ る こ とが で き る か ど うか を調 べ て み よ う｡図4・ 9に

お い て 左 側 お よび 右 側 の 回 路 そ れ ぞ れ で,t=0_の

鎖 交磁 束

は 零 で あ る か ら,鎖 交 磁 束 連 続 則 に よ っ て Ψ10+=Ψ20+=0,し 37)と

Ψ10-,Ψ20-

た が っ て,式(4・

同様 に, L1i10++Mi20+=0, 

L2i20++Mi10+=0

(L1L2-M2)i10+=0 

(L1L2-M2)i20+=0

が な り た た な け れ ば な ら な い が,今 i20+〓0で

度 は,L1L2-M2=Oで

あ る か ら,i10+〓0,

も 上 式 は 満 足 さ れ る 。 こ れ か ら,

(4・44) ま た,式(4・43)か

で あ る か ら,結 局,Ａ

ら,

は, (4・45)

1)  k=1と はL1L2=M2,す なわ ち トラ ンス の １次側 も ２次側 もま った く漏れ 磁 束が な い とい う こ とで,現 実 には この よ うな こ とは 有 りえな い。 そ れ だ け に直 観 にた よ るこ とが で きず,純 粋 に 理 論 に よって 解 か なけ れ ば な らな い ので,現 象 に対 す る深 い理 解 を必 要 とす る。

に な る 。 し た が っ て,

(４ ・46)

(４ ・47)

  こ の 場 合 は,t=0_でi10_=i20_=0で な の で あ る 。k〓1だ

あ る が,t=0+でil0+〓0,i20+〓0

と,  il0+=i20+=0に

な る 。 と こ ろ で,k=1と

完 全 密 結 合 と い う こ と で あ る か ら 磁 束 の 漏 れ が な く,し ン ス の 比 は 巻 数 比 の2乗

い う こ とは

た が っ て,イ

ン ダ クタ

にな る。

(４ ・48)

  た だ し,N1,2は

イ ン ダ ク タ ン スL1,2の

巻数 であ る。

  これ か ら,初 期 電 流 を 巻 数 比 で 表 わ す こ とは 容 易 で あ ろ う。k=1の 源 印 加 に よ っ て 不 連 続 的 に 電 流 が 流 れ る が,こ 互 い に 打 ち 消 し合 っ て,系

場 合,電

れ に よ って 生 ず る鎖 交 磁 束 を お

全 体 と し て み た 場 合 零 に な って い る わ け で あ る 。 磁

束 の 漏 れ が あ る場 合(k<1)は,こ あ る た め に は,il0+=i2a+=0で

の よ うな こ と は不 可 能 で,鎖

交磁束が零で

な け れ ば な らな い の で あ る。

 ４ ・４  多 エ ネ ル ギ ー 回 路

  独 立 に エ ネ ル ギ ー を蓄 積 す る要 素 が 三 つ 以 上 あ る と,そ の 微 分 方 程 式 は ３階 以 上 に な る が,も は や 新 し い 現 象 は 現 わ れ ず,複 雑 に な る だ け で あ る 。 これ は, 数 学 的 に は 実 数 と虚 数 し か な い こ と,物 理 的 に は エ ネ ル ギ ー蓄 積 要 素 が 誘 導 的 と容 量 的 の ２種 類 し か な い こ と と対 応 して い る とい っ て よ い で あ ろ う。 こ こ で は,二

つ の 例 題(３ 次 式 と ４次 式)に

つ い て説 明 し

て み よ う。   〔１〕 直 並 列 回 路(３ 階)の 一 例   ３階 の 微 分 方 程 式 を構 成 す る 回 路 例 と し て,図 11の

回 路 を考 え て み よ う。t=0で

閉 じ る こ と に よ っ て,C1と

Ｌ,C2お

４・

ス イ ッチ Ｓ を よび Ｒ が 接 続

図4・11 

例題1の

回路

して,C1お

よ びC2に

あ っ た 初 期 電 荷q10,q20が

放 電 す る。微分 方 程 式 は次

式 で示 され る。 q1/ C1

di1/ -L

dt

=q2/ =Ri3

(４ ・49)

C2 dq1

i3=i1+i2 

   i1=-

dq2/  i2=−

/dt

dt

で あ る か ら,

(４ ・50) こ こ で,q1≡Q1εst,q2≡Q2εstと

す れ ば,簡

単 に す る た めKi=1/Ciと

(K1+Ls2)Q1εst=K2Q2εst=-Rs(Q1+Q2)εst

式(４ ・51)の 右 の 等 式 か らQ2を

して, (４ ・51)

消 去 して 左 の等 式 を使 え ば,

        (K1+Ls2)(K2+Rs)+K2Rs=0 (４ ・52) あ る い は,

と な る。 こ の 特 有 根 をS1,S2,S3と

す る 。 そ れ らが 等 根 か ど うか で,次

の三 つ

の場 合 が生 ず る。   (ａ)  三 根 が 相 異 な る(Sl〓S2〓S3)場

合

(４ ・53)

式(４

・51)か

ら,

(４ ・54)

初 期 条 件 と し て,t=0でq1=q10 

q2=920, 

q10=A1+A2+A3

i1=0と

す れ ば,

}

920=m1A1+m2A2+m3A3 0=s1A1+s2A2+S3A3

(４ ・55)

こ れ か ら,

(４ ・56)

が求 まる。 (ｂ)等

根 が あ る(s1〓s2=s3)場

合

q1=A1εs1t+(A2+A3t)εs2t} i1==−{s1A1εslt+(s2A2+Ａ3+S2A3t)εs2t} (４ ・57) q2=B1εslt+(B2-1-B3t)εs2t

i2=−{S1B1εS1t+(s2B2+B3+s2B3t)εs2t} 式(４

・50)を

代 入 し て,

(４ ・58)

q2=q20, 

︸

初 期 条 件 と し て,t=0でq1=q10, 

i1=0と

す れ ば,

q10=A1+A2

q20=B1+B2=m1'A1+m3'A2+m3'(1+m3')

A3/ s2

0=s1A1+s2A2+A3

(４ ・59)

こ れ か ら,

(４ ・60)

が求 まる。   (ｃ)三

重 根(S1=S2=S3)の

場 合

q1=(A1+A2t+A3t2)εs1t} i1=-{(s1A1+A2)+(S1A2+2A3)t+s1A3t2}εs1t  (4・61)   q2=(B1+B2t+B3te)εs1t  i2=-{(s1B1+B2)+(s1B2+2B3)t+s1B3t2}εS2t 式(４

・50)を

代 入 し て,

(４ ・62) t=0で,q1=q10,q2=q20,i1=0と

す れ ば,

(４ ・63)

こ れ か ら,

(４ ・64)

  これ で 全 部 求 ま っ た わ け で あ る が,重 で,重

根 が あ る と解 の 形 が 異 な って くる の

根 が あ るか ど うか を調 べ る こ とが 必 要 で あ る。 また,特

有 根Siが

実数

か 複 素 数 か に よ っ て 対 数 減 衰 的 か 振 動 的 か に 分 か れ る。 複 素 根 が 生 ず れ ば,必

ず複 素共 役対(実 部 は等 し くて虚部 の絶 封値 は等 しいが符 号が反 対)に な ってあ ちわれ る。   〔２〕 結 合振動 回路(４ 階) 図

４ ・12の

回 路 に お い て,C1に

わ え られ て い た初 期 電 荷q10を,ス

た く

図 ４・12例

題 ２ の 回 路

イ ッチ Ｓ を 閉 じ る こ とに よ っ て放 電 す る場

合 を考 え て み よ う。 微 分 方 程 式 は 次 の よ うに な る 。

(４ ・65)

こ こ で,q1=Q1εst,q2=Q2εstと

す る

と,

(４ ・66)

Q1,Q2が

零 で な く,し か も,式(４

・66)を

満 足 す るた め には次 の関 係 が必

要 で あ る｡

よ っ て,

(４ ・67)

こ の 特 有 方 程 式 の 根 が,全

部 実 根 な ら非 振 動 的 に な り,複 素 根 な ら振 動 現 象

が 現 わ れ る こ とは ２次 方 程 式 と同 様 で あ る｡４ 次 方 程 式 で は 解 くの が た い へ ん な の で,R1=R2=0の 生 ぜ ず,振

場 合 に つ い て 考 察 し て み よ う｡抵 抗 が 零 だ と過 渡 現 象 は

動 現 象 の み が 現 わ れ る｡

 式(４ ・67)は

次 の よ うに な る｡ (４ ・68)

ｓ の 奇 数 次 項 は な くな り,偶 数 次 項 の み が 残 る か ら,ｓ2に つ い て の ２次 式 に な っ て い る｡

と お く と,

(４ ・69) よ っ て,

(４ ・70)

1-k2>0な

の で,上

が いs2=-β12ま

式 の右 辺 は常 に負 で あ る｡そ

た は-β22と

ｓ1,2=±jβ1,

こ で,平

s3

す る と ｓ は 四 つ の 純 虚 根, ,4=±jβ2

に な る こ と が わ か る か ら,ｉ

は,

ij=K1jεjβ1t+k2jε-jβ1t+K3jεjβ2t+K4jε-jβ2t(j=1,2) 

と お く こ と が で き る｡さ (４･66)と

方 根 の 土 に した

(４･71)

ら に,式

適 当 に 与 え られ た 初 期

条 件 を 使 っ て, i1=A1sinβ1t+A2sinβ2t i2=B1sinβ1t+B2sinβ2t (４･72)

の 形 に か け る こ と を導 く こ とが で き る｡二

つの角 周波 数 の異 な った

正 弦 波 が 加 わ る と,う 生 ず るが,こ

な り現 象 を

の 場 合 も １次 側 と ２

次 側 の 共 振 周 波 数 が 異 な る と,う 図 ４・13

な り現 象 を生 ず る｡図

４･13に

結 合振 動 回路 の うな り現 象

減

衰 も考 慮 した過渡 過 程 の模様 を示 す ので参 照 され たい｡

第５章 複 素周 波数 領域で の解析 演 5・1定

算

子

法

常状態 で の記 号解 析(jω 変換)

  微 分 方 程 式 の特 解(定 常 解 に あ た る)を 求 め る の に,初 は ス タ イ ン メ ッツ で あ る 。 こ れ に よ っ て,実

め て 虚 数 を導 入 し た の

数 の 領 域 で 計 算 す る よ りは る か に

簡 単 で 同 じ正 し い 結 果 を 得 る こ とが で き る よ うに な った 。 い わ ゆ る,jω 法(ま た はjω

変 換)と

よば れ る も の が こ れ で あ る 。 こ こ で は,ま

使 うか に つ い て 説 明 し,次

に,な

ず ど の に うに し て

ぜ そ の よ う に す る と正 しい 結 果 が 簡 単 に 求 ま

る の か 証 明 し よ う〔 注〕 。

  〔注 〕  こ の方 法 を解 説 す る 前 に,も

う一 度 複 素 数 の 四 則 演 算 を復 習 し,に

く自 分 の も

の に して お く こ とが た い せ つ で あ る 。   複 素 数 を大 文 字

Ａ,Ｂ,Ｃ … で 表 わ し,各

小 文 字 で 表 わ そ う。 こ こ に,j=√-1で,数

成 分 をa1+ja2,b1+jb2,c1+jc3…

な どの

学 で は ｉ と表 わ して い る も の で あ る 。ま た,

複 素 数 は 絶 対 値 と偏 角 に よ っ て 極 座 標 表 示 を す る こ と も で き る。

(１)  複 素数 の表示(図5・1参

照)

A=a1+jQ2=￨Al(cos∠A+jsin∠A) B=b1+jb2=￨B￨(cos∠B+jsin∠B) こ こ で,￨Ａ￨:Ａ

の絶 対値

∠ Ａ:Ａ で あ る 。 と こ ろ で,指

図5・1

の偏 角 数関数

εxお

に び 正 弦 関 数cosx,sinxを

ｘ で 展 開 す る と,

で あ る か ら,εjxを

展 開 す る と,

に な る こ とが わ か る か ら,結 A=￨A￨εj∠A,

(２)加

局,次

式 で 表 わ せ る こ と が わ か る｡

B=￨B￨εj∠B,…

減 C=A±B=(a1+ja2)±(b1+jb2)=(a1±b1)±j(a2±b2)=c1+jc2

∴

c1=a1±b1

c2=α2±jba

極標 座 表示 で 表 わす こ ともで き るが,複 雑 にな るだけ で あ ま り利 点 は ない｡ (３)乗

算 C=A･B=(α1+ja2)(b1+jb2)=(a1b1-a2b2)+j(a1b2+a2b1)

∴

c1=a1b1-a2b2,

c2=a1b2+a2b1

ま た,a1=￨A￨cos∠A,a2=￨A￨sin∠A,

C=￨A￨･￨B￨{(cos∠A

b1=￨B￨cos∠B,

b2=￨B￨sin∠Bを

使

え ぱ,

cos∠B-sin∠Asin∠B) +j(cos∠A

sin ∠B+sin

∠A

cos

∠B)}

=￨A￨･￨B￨{cos(∠A+∠B)+jsin(∠A+∠B)｝ =￨A￨･￨B￨εj(∠A+∠B)

￨C￨=￨A￨･￨B￨

∠C=∠A+∠B

に な る｡極 座標 表 示 を使 う と積 の表 現 が非 常 に簡 単 に な って,絶 対値 は お のお の の絶 対 値 の積 を,偏 角 は お のお の の偏 角の 和 を とれ ば よい こ とが わか る｡も ちろ ん,こ の関 係 は複 素 数 の極 座標 表 示 を直 接使 って容 易 に求 ま る｡ (４)除

算

これ を極 座標 表 示 で表 わ せば,

とな り,絶 対 値 は 割 り,偏 角 は引 けば よい｡も ち ろん,こ の場 合 も極座 標 表示 か ら直 接 求 まる｡念 の ため つけ 加 えて お く,

こ の よ うに,複 素 数 の除 算 が極 座標 表示 を使 う ときわ めて簡 単 に求 ま る こ とは,jω 法 に とって重 要 な こ とで あ る｡な お,複 素 数 は,複 素 平面(一 方 の座標 軸 に実数 を,他 方 の 座標 軸 に虚 数 を とる)上 の一 点 として お かれ,加 減 に対 して い わゆ る平 行四 辺 形 の法 則 を満 足 してい るので,ベ ク トル として 考 えられ る｡一 方,複

素 数 と複 素 数 の積 を考 え る

と,これ は また複 素 数 で あ った｡と ころ で われ われ は,速 度,力,電

界 な どが,ベ ク トル

で あ る こ とを知 って お り,こ れ らの ベ ク トル に関 連 した ベ ク トル ど うしの積 として,ス カラ積 とベ ク トル 積 を知 って い るが,複 素 数 ど うしの積 は そ のい ずれ の演算 法則 に した が うもので もな い こ とに注 意 して お こ う｡

〔１〕jω

法 の使 用例

図 ５･２ に お け る回 路 の 微 分 方 程 式 は, L

di / dt

+Ri=Emsin(ωt+φ) 

で 表 わ さ れ る が,定

(５･１)

常 状 態 の み が 知 りた い 場 合 は,こ

の 特 解 さ え求 め れ ば よい の で あ る が,右 る 直 流 電 源 印加 時 の と き と違 っ て,簡 わ け に は い か な い｡求

単 に暗算 で 出す

め 方 と して は,時

順 に よ っ て 求 め る方 法 とが あ る｡後

辺 が定 数 で あ 図 ５･２R-L回

間 領 域 で 求 め る方 法 と,次

路

に述 べ る 手

者 の 方 法 が い わ ゆ るjω 法 で,回

路 が複 雑

に な っ て くる と,時 間 領 域 で 求 め る方 法 に く らべ 著 し く簡 単 に な る｡以

下 に,

そ の 手 順 を示 そ う｡ ①

右 辺 をEmεj(ωt+φ)と お く｡

②

左 辺 の ｉ をIεj(ωt+φ)と お く｡

③

微 分 はjω,積

④

こ の 置 換 を行 な っ て 両 辺 を等 し い とお き,未

⑤

か く し て 求 め たIεj(ωt+φ)につ い て,も し,右 辺 が 図 ５･２ の よ う にsine

分 が あ れ ば1/jω

関 数 な ら虚 部 を,cosine関 この よ う に し て,微

とお き,ｎ 階 微 分 は(jω)nと

数 な ら実 部 を とれ ば,そ

お く｡

知 量 Ｉ を 求 め る｡

れ が 求 め る定 常 解 で あ る｡

分 方 程 式 が 代 数 計 算 だ け で 解 け る こ と に な る｡

式(５

・１)を

上 述 の 手 順 に し た が っ て 解 こ う。

  (jωL+R)Iεj(ωt+φ)=Emεj(ωt+φ) ∴I=

 (５ ・ ２)

Em  (５ ・ ３)

R+jωL

微 分 方 程 式 の 右 辺 はsine関

数 だ か ら,Iεj(ωt+φ)の 虚 部 を と る。

(５ ・ ４)

〔注 〕

複 素 数 Ａ の 虚 部 をIm{A},実

部 をRe{A}で

表 わ す(図

に す る。Imはimaginary(虚),Reはreal(実)の

こ こ で,isは 例題

微 分 方 程 式,式(５

 解 答

略 で あ る。

力 ｅ がEmsin(ωt+φ)の

と き定 常

ら ど うか 。

この 回 路 の 微 分 方 程 式 は,

に な る か ら手 順 に し た が っ て, 図

右 辺 がsine関

数 で あ る か ら,

と

・１)の 特 解 で あ る 。

１ 図 ５ ・３ の 回 路 に お い て,入

電 流 を求 め よ。 ま た,Emcos(ωt+φ)な

５・１ を参 照)こ

５ ・３R-L-C回

路

に な る 。 も し,右

辺 が,Emcos(ωt+φ)な

ら,

に な る。   〔２〕jω

法 の 根拠

  図5.4に

お け る回 路 を 考 え て み

よ う。 二 つ の 四 端 子 回 路 網 が 縦 続 に つ な が れ,左

端 か らAcosωtの

入

力 が 加 わ った と き,右 端 か ら ど の よ

図 ５・４ 縦

続

接

続

回

路

うな 出力 がで るだろ うか。 左側 の四端 子 網 の入 ・出力 をむす ぶ微分 方程 式 は, (５ ・ ５)

で 表 わ さ れ る と し よ う 。 定 常 解 の み に 注 目 し て,解

の 形 を,

  x=A1cosωt+A2sinωt 

(５ ・６)

で あ る と仮 定 し よ う に の 仮 定 が 正 し い か ど うか は,式(５ 代 入 し て,等

式 を満 足 す る よ う にA1お

っ て い る)。 こ れ が,さ

よ びA2を

・６)を 式(５ ・５)に

き め られ るか ど うか に か か

らに 右 側 の 回 路 に 入 力 と し て は い る 。 この 入 ・出 力 を

む す ぶ 微 分 方 程 式 は, (５ ・７) こ の 解 は,

y=B1coswt+Bzsinωt

(５ ・８)

の 形 に な る で あ ろ う。 演 算 手 順 を図 に か け ば,図 こ こ で,第

５・５ の よ う に な る 。 ２段 階 と第 ４段 階 は,ま

と め てKcos(ωt+ψ)の とが で き る が,い

形にするこ

ず れ に せ よ,二

つ

の 量 を計 算 し な け れ ば な らな い 。 図 ５・５ 演

例 題 ２ 次 の微 分方 程式 の定 常 解 を求 む 。

算

手

順

  解答

時 間 領 域 で 解 く。 定 常 解 をx=B1cosωt+B2 

sinωtと

お い て上式 に

代 入 す る と, dx

=-ωB1sinωt+ωB2cosωt=ω(-B1sinωt+B2 

cosωt)

/ dt d2x

=-ω2B1cosωt-ω2B2sinωt=-ω2(B1cosωt+B2sinωt)

/ dt2 よ っ て,   a2(-ω2)(B1cosωt+B2sinωt)+a1ω(-B1sinωt+B2cosωt) +a0(B1cosωt+B2sinωt)=Acosωt

  両 辺 が 等 しい た め に は,左

辺 のcosωtの

係 数 の 和 がA1,sinωtの

係 数の和

が 零 に な ら な け れ ば な ら な い 。 よ っ て, (-ω2a2+a0)B1+ωa1B2=A (-ω2a2+a0)B2-ωa1B1=0 と な る 。 こ れ か ら,

が 求 ま る。   一 般 に,ｎ

階 の 微 分 方 程 式 を 解 く場 合 で も,図

５ ・４ の 回 路 の よ うに,二

あ る い は そ れ 以 上 の 回 路 が つ な が れ て い る場 合 を解 く と きで も,考 た く同 じ で あ る が,た

だ 手 間 が た い へ ん に な る 。 そ れ が,ち

つ

え方 は ま っ

ょ っ と し た くふ う

に よ っ て 簡 単 に な る の で あ る。 式(５ ・５)の 微 分 方 程 式 で,cosωtの

代 わ りに(εjωt+ε-jωt)/2を 使 う。 これ

は,εjθ=cosθ+jsinθ ε-jθ=cosθ-jsinθ か ら,両

辺 を 加 え て ２ で 割 り,θ εjωi+ε-jωt

cosωt=

/2

に

ωtを

代 入 す れ ば よ い,

同 様 に して, εjωt-ε-jωt sinωt=

/2j

も 容 易 に 求 ま る で あ ろ う。   さ て,い

ま,入

れ て や り,そ 力

力 と し てcosωtを

加 え る代 わ りに

の 出 力 を そ れ ぞ れ,X+，X_と

ｘ は,重

εjωtと ε-jωtを 別 々 に 入

お く と,cosωtを

入 れ た ときの出

ね の 理 を 使 っ て,

X++X_ x=

/2

と な る は ず で あ る。 こ の よ うに して   ま ず,A0εjωtに

ｘ を 求 め て み よ う。

対 し て は,

(5・9)

X+≡Aεjωt,A=≡Al+jA2と

お く と,

{αn(jω)n+αn-1(jω)n-1+…+α0}A=A0

べ き数 の偶 数 の項 次 に,A0ε-jωtに

べ き数 の奇数 の項

 (5・10)

対 し て は,

(5・11)

X_≡A*ε-jωt,A*=A1*+jAa*と

お

く と,

{αn(-jω)n+αn-1(-jω)n-1+…+α0}A*=A0

べ き数 の偶数 の項   式(5・10)と

式(5・12)を

に,式(5・12)で

は-jω

べ き数 の奇数 の項

く ら べ て み る と,式(5・10)のjω

 (5・12)

の代 わ り

が 使 わ れ,て い る 違 い が あ る だ け で あ る 。-1の

偶 数

乗 は １,-1の Ａ

とA*は

奇 数 乗 は-1で

あ る か ら,結 局,式(５

・10)と 式(５ ・12)か

実 部 は 同 じ,虚 部 は 絶 対 値 が 同 じで 符 号 が 反 対,す

ら

な わ ち,複

素

共 役 で あ る こ とが わ か る。 A1=A1*,A2=-A2*, よ っ て,A=A1+jA2,A*=A1-jA2 

(５ ・13)

と表 わ せ る 。 εjωtと ε-jωtはも ち ろ ん 複 素 共 役 で あ る 。 また,複 し の 積 は や は り複 素 共 役 で あ る か ら,X+とX_が

素共 役数 ど う

また 複 素 共 役 で,次

の よう

に表 わ せ る こ と が わ か る 。 X+=X1+jX2    し た が っ て,入

X_=X1-jX2 

(５・14)

力 が 余 弦 関 数 の 場 合,X+とX_を

最 終 的 に 求 め た いxを

求 め て い た が,こ

れ は,次

求 め,加

え て ２で 割 っ て

式 (５ ・15)

の 関 係 か ら,X+ま

た はX_の

ど ち らか 一 方 を求 め て,そ

の 実 部 を計 算 す れ ば

よい こ とが わ か る 。   x=Re{X+}ま   も し,入 力 がsine関

た はRe{X_} 

(５・16)

数 な ら,同 様 に し て 虚 部 を 求 め れ ば よい こ と は 容 易 に

理 解 で き よ う〔 注〕 。 (５ ・17) x=Im{X+}ま

〔注〕X+,X_の

た はIm{X_} 

(５ ・18)

どち らを求 めて も よいが,普 通 はX+を

に対 す る出 力X+の

求 め る。 この よ うに

εjωt

み を求 め,そ の実部 や虚 部 を計 算 す るこ とに よ って直接 余 弦

関 数 や 正 弦関 数 に対 す る出力 が求 ま って しま う点 が,本 節 始 め に 解 説 した時 間領 域 での解 析 に対 し,こ の方 法 が簡 単 に な る一 つ の原因 で ある。 残 りの も う一 つ の 原 因 は次 項 に示 す。 〔３〕 イ ン ピ ー ダ ン ス の 概 念 前 節 で 述 べ た よ う に,A0cosωtに

対 す る 出 力 は,

(５ ・19)

た だ し,A1=αn(jω)n+αn-2(jω)n-2+…+a0  (５ ・20) A2=αn-1(jω)n-1+an-3(jω)n-3+…+α1(jω)

(こ こ で,ｎ   式(5・19)で,実 jA2)を

は 偶 数 と し た) 部 を求 め る方 法 を 考 え て み よ う。 こ れ は εjωtに(A1+

割 り算 分て い る が,こ

の 計 算 方 法 は,第

５章 の 始 め の 〔 注 〕 で 示 分た

複 素 数 の 計 算 か らわ か る よ う に ２ とお りあ る 。 こ の 二 つ の方 法 に つ い て 求 め て み よ う。 方法

１)

(５ ・21)

(５ ・22)

た だ し,

方法

２)A1+jA2を

θ ≡tan-1

A2/ A1

極 座 標 表 示 す れ ば, た だ し,

θ=tan-

A2/ A1

こ れ か ら,

(５ ・23)

(５ ・24)

  これ で み る と,方 法 ２)で 行 な っ た ほ うが よ り簡 単 で あ る こ とが わ か る 。 さ ら に,も 23)の

し入 力 がAosinωtな

表 示 な らxは,容

ら,出 力 はx=Im{AεJωt}に

な るが,式(５

・

易に (５ ・25)

の 形 に な る こ とが わ か る で あ ろ う。 こ れ で み る と,cosと がsinに ￨Ａ￨と

な っ た だ け で,あ

書 い て あ った とこ ろ

とは 何 も変 わ らな い 。 し た が って,求

θ が 求 まれ ば す ぐに 得 られ て し ま う。 ま た,￨Ａ￨と

める出力 は

θ は,系

の回路 方

程 式 の 微 分 演 算 子 が, (５ ・26)

と な る の で, (５ ・27)

の変換 を して え られ た複 素量 Ａ の絶対 値 と偏 角 にほか な らない｡ -αn(jω)n+an-1(jω)n-1+…+α1(jω)+α0=A

  した が っ て,回 に 求 ま る し,ま

路 を 計 算 す る揚 合,こ た,回

 (５ ・28)

の量 に注 目 す れ ば 結 果 は き わ め て 簡 単

路 の 定 常 的 な 性 質 は,式(５.28)の

量 で表 現 で きるの

で あ る１)。   電 気 回 路 の 場 合,入

力 と 分 て 電 圧 を,出 力 と し て 電 流 を求 め る 場 合 が 多 い 。

この と き の 式(５ ・28)を イ ン ピ ー ダ ン ス とい っ てZ(jω)で し,式(５.28)が

表 わ し て い る。 も

複 素 量 で な く αoの み で あ る と抵 抗 に な る 。 また,入

流,出 力 が 電 圧 の 場 合 は,式(５

・28)を ア ドミ タ ン ス と よびY(jω)で

入 力 お よび 出力 と も 電 圧 で あ る とか 電 流 で あ る場 合 を含 め,式(５ と を一 般 に イ ミタ ンス と よ ん で い る 。 例 題 ３ 図 ５・６ の 回 路 に お け る出 力 電 流 を求 め よ。

解答 1)な  

微分 方 程式 は, お,積 分 が はい る ときは1/jω

方 法 ２)の 関係 が,二

のjω

にす れ ば よい こ とは前 に述 べ た とお りで あ る。

法 を有 効 な もの に してい る第 ２の性 質 で ある。

力 が電 表 わ し,

・28)の

こ

Ri+1/C〓idt=Emsinωt イ ン ピ ー ダ ン スZ(Jω)は,

図 ５ ・６

よ っ て,

図 ５ ・７

  イ ン ピ ー ダ ン ス の絶 対 値 お よ び 偏 角 を求 め る と き,図

イ ン ピーダ ンス図

５・７ の よ う に イ ン ピ

ー ダ ン スの 実 部 と虚 部 を座 標 軸 に と っ た い わ ゆ る イ ン ピー ダ ン ス 図 を か く と わ か りや す い｡ 例 題 ４ 図 ５ ・８ の 回 路 に お け る出 力 電 流 を 求 め よ 。

解 答(図

５・９ 参 照) Ldi/dt+Ri+1/C〓idt=Emcosωt

図

５・８

よ っ て,

た だ し,

図 ５・９ イ ン ピー ダ ンス図

５・２ 過 渡状 態 の記号 解析(演 算 子法)   系 の 定 常 状 態 の 出 力 を 求 め る の は 微 分 方 程 式 の 特 解 を 求 め る こ とで あ り,微 分 演 算 子d/dtの

代 わ りにjω

とお い て 計 算 し,正 弦 波 入 力 な ら与 え られ た結

果 の虚 部 を,余 弦 波 入 力 な ら実 部 を とれ ば 求 ま っ た が,過 渡 状 態 を 求 め よ う とす る と一 般 解 を 出 す こ と に な り,か な り複 雑 に な る 。 しか し,こ の 場 合 で もd/dt の 代 わ り に 複 素 数s=α+jω 積 分 の 操 作 な し に,代

とお き,定

ま っ た 手 順 に し た が っ て 計 算 す る と,

数計算 だけ で微

分 方 程 式 を完 全 に解 く こ とが で き る 。 この 方 法 を演 算 子 法 とい い,そ

の数 学

的 根 拠 が ラ プ ラ ス変 換 に よ って 与 え ら れ る。 な お,定 常 状 態 に お け る記 号jω が 正 弦 波 形 を 表 わ し て い た よ うに,過 渡 状 態 に お け る記sの の

意 味 は,虚

部

ω は 正 弦 波 形 の 角 周 波 数 を,実 部

図 ５ ・10s=α+jω

の α は振 幅 の 指 数 関 数 減 衰 の 減 衰 定 数 を表 わ し て い る(図

の意 味

５・10を 参 照 され

た い)。 な お, s=α+jω

の 代 わ りに,複

 

(５ ・29)

素 周 波 数 ω'を 次 の よ う に定 義 す る こ と も で き る。

s=jω'=α+jω=j(ω-jα) ∴

ω'ω-jα(５

  こ こ で,複

・30)

素 周 波 数 ω’の 実 部 の ω は 角 周 波 数 を,虚 部 の α は 減 衰 定 数 を 表

わ し て い る。

５・３ 演 算 子法 の変換 法則 と使用例 微分 方程 式, (５ ・31)

を次 の 手 順 に よ っ て 変 換 す る。 (１)f(t)を

ラ プ ラス 変 換 表 の規 則 に し た が っ てF(s)に

(２)x(t)をX(s)と

か え る。

お く。

(３)H(s)≡ansn+an-1sn-1+…+a0を

つ

く る 。

(４)H0(s)≡anx0sn-1+(an-1x0+anｘ0(1))sn-2+…+(a1x0+a2x0(1)+… anx0(n-1))を

つ く る 。 た だ し,x0(i)はt=0+に

る 。 し た が っ て,H0(s)は

お け る

ｘ の ｉ次 微 分 の 値 で あ

初 期 条 件 に よ る項 で あ る 。 も し, n=1な

ら ば,

H(s)=a1s+a0,H0(s)=a1x0 

n=2な

(５ ・32)

ら ば, H(s)=a2s2+a1s+a0,H0(s)=a2x0s+(a1x0+a2x0(1）) 

(５ ・33)

で あ る 。 こ こ に,

で あ る。

表 ５・１ にH0(s)の (５)以

表 ５ ・１

構 成 表 を示 す 。

上 の 結 果 か ら, H(s)X(s)-H0(s)=F(s)

∴(５

・34)

をつ く り,代 数 計 算 に よ っ て 簡 単 化 し た ｓの代 数 式 を求 め る。   (６)ラ

ブ ラ ス変 換 表 か ら対 応 す るx(t)を

求 め れ ば,こ

れ が 式(５ ・31)の

解 で あ る。   例 題1R-L,直

列 直 流 回 路 に お け る 電 源 印 加 時 の 過 渡 現 象 を,t=0でi=0

の 初 期 条 件 で 解 け。

解 答Ldi/dt+Ri=E(微

(Ls+R)I=E/s(手   

∴(手

分方程 式 をたて る)

順(１),(２),(３),(４)に

よ る)

順(５)に

よる)

∴i=E/R(1-ε-R/Lt)手

  例題 ２R-L直

順(６)に

よる

列 交 流回 路 にお け る電源 印加 時 の過渡 現 象 を,t=0でi=0

の 初期 条 件 で解 け。

解答

L

di / dt

+Ri=Emsin(ωt+φ)  =Em(cosφsinωt+sinφcosωt)

ωL た だ し,

  こ の よ うに し て,ラ ば,微

ψ=tan-1

/R

プ ラ ス 変 換 表 が 手 も と に あ り,変 換 法 則 が わ か っ て い れ

分 方 程 式 の 知 識 を知 ら な くて も,代 数 計 算 さ え で きれ ば 解 く こ とが で き

る の で あ る 。 こ の よ うな 考 え 方 を 初 め て 導 入 し た の は,Oliver  (1850∼1925)で

あ る 。 ヘ ビサ イ ドは 経 験 的 事 実 か ら上 述 の方 法 と本 質 的 に 同

じ方 法 を提 案 し た が,厳 激 しい 攻 撃 を 受 け,不 刺 激 し て,後

Heaviside

密 な 数 学 的 裏 付 け が な か った た め,正 統 的 数 学 者 か ら

偶 の うち に一 生 を終 え た 。 しか し こ の 方 法 は,数

学者 を

に ラ プ ラス 変 換 に よ って 正 し い こ とが 立 派 に 証 明 さ れ た の で あ

る 。 演 算 子 法 を用 い た微 分 方 程 式 の 解 法 を表 表

５ ・２

５・２ に ま とめ て お こ う.

  こ の 手 順 に よ っ て 得 られ た結 果 は,確

か に 原 微 分 方 程 式 を満 足 し,ま

然 の こ とな が ら時 間 領 域 で 解 い た 結 果 と一 致 す る。 単 に,微 解 く とい う立 場 だ け な ら これ だ け で よい が,よ 法 則 は ど う して で き た か,ラ ど う して,こ

分 方 程 式 を容 易 に

り深 く理 解 す る た め に は,変

換

プ ラ ス変 換 表 は どの よ うに し て 作 られ た か,ま た,

の 方 法 が 正 しい の か を知 ら な け れ ば な らな い 。 次 節 に は,ラ

ス 変 換 を導 入 し,そ

５・４

た,当

プラ

の 根 拠 が 与 え られ る こ と を示 そ う。

演算 子法 の根 拠― ラ プラス変換 の導 入

 実 数 ｔの正値 で定義 され てい る １価 関数f(t)に

ε-stを乗 じて ０か ら ∞ ま

で積 分 した とき(た だ し,ｓ は ｔ に無 関 係 な複 素数),そ の定 積 分 が有 限値 な らこれ を原 関数 の ラプ ラス変 換 とよび,F(s)で

表 わ す。 (５ ・35)

ｓ が 複 素 数 な らF(s)も

ま た 一 般 に 複 素 数 で あ る 。 こ れ を,ま

た,

F(s)⊂f(t),F(s)=〓{f(t)} な どで 表 わ す こ とに 分,“ 像 関 数F(s)は とい い,ε-stを

 (５ ・36)

原 関 数f(t)の

ラ プ ラ ス変 換 の 核(kerne1)”

ラ プ ラス 変 換 で あ る

とい う。 ラ プ ラス 変 換 の 定 義 を導

入 し た と こ ろ で 演 算 子 法 の 証 明 に うつ ろ う。   《微 分 方 程式 》  (５ ・37)

の 両 辺 に,①

同 じ数 また は 同 じ関 数 を加 え た り乗 じた り 分 て も よい 。 ②

両 辺 に,微 分 ・積 分 を施 分て も等 式 は な りた つ 。

か ら,等 式 の両 辺 に ε-stを乗 じ て ｔ に つ き=か

ら ∞ まで 積 分 分 て み る 。 そ れ

で も依 然 と して 等 式 が な りた っ て い る は ず で あ る。

(５ ・38)

右 辺 はF(s)=〓f(t)ε-stdtで,f(t)の

ラ プ ラ ス 変 換 で あ り,f(t)が

具体 的 に示 され れ ば計算 で き る。 左辺 は,各 項 別 に部分 積 分 を施 して求 める と(次 節 参 照), X(s)≡

〓x(t)ε-stdtと

お い て,

dx

〓a1 / dt

ε-stdt=a1(sX(s)-x0)

dnx

〓an / dtn

ε-stdt=an{snX-(sn-1x0+sn-2x0(1)+…+ω0(n-1))}

と な り,最 終 的 に 前 節 の 手 順(３),(４)で

導 入 したH(s),H0(s)を

使 っ て,

H(s)X(s)-H0(s)=F(s) の 形 が で き る。 あ と は,式(５

・38)の 右 辺 を計 算 し て 作 られ た ラ プ ラ ス 変 換 表

に よ っ て 結 果 が 得 られ る わ け で あ る 。

５・５ ラ プラス変換 の 計算例 (１)

f(t)=A  (５ ・39)

(２)f(t)=t  (５ ・40)1)

(３)f(t)=tn

 (５ ・41) (４)f(t)=ε-at

(５ ・42) １)二 つ の関 数 の積 の積 分 を行 な う とき,そ 札 が積 分 で き る基本 形 で なけ れ ば 部 分積 分 を施 して変 形 す る と積 分 可 能 に な る こ とが 多 く あ る｡〓f′g=fg-〓fg′,こ に

ｔを あて て い る。

の場 合 は

,f′

として

ε-st,ｇ

(5)f(t)=tnε-at

(5・43) (6)f(t)=sinωt

よ っ て,

 (5・44)

(7)f(t)=cosωt同

様 に し て,

(5・45)

(8)f(t)=ε-atsinωt

(5・46)

(9)f(t)=δ(t)た

だ し,

こ の 関 数 を デ ィ ラ ッ ク(Dirac)の

デ ル タ 関 数 とい う。

(5・47)

(10)f(t)=

(11)f(t)=

dx / dt

d2x / dt2

 (5・48)

(５ ・49)

(12)f(t)=

dnx / dtn

(数学的帰 納法 に よる)

(５ ・50)

も し,

と表 わ せ れ ば,

  n=1の nの

と き な り た つ こ と は,式(５

・48)か

ら 明 ら か で あ る か ら,す

と き な り た つ 。 も し,x0=x0(1)=x0(2)=…=x0(n-1)=0な x(n)=⊃snX(５

ら,次

べ ての

式 になる 。 ・51)

(13)

(５ ・52) も し,f(t)=〓x(α)dα

(14)

な らF(s)=s-1X(s)

F(s)=s-nX+s-nx0(-1)+s-(n-1)x0(-2)+…+s-1x0(-n) 

も し ，f(t)=〓

〓 … 〓x(α)(dα)nな

(５ ・53)

らF(s)=s-nX(s)

５・６ 積 分変換 と逆 変換 一 般 に

, g(p)=〓K(t,p)f(t)dt 

を積 牙 変 換 とい い,g(p)を

(５ ・54)

像 関 数,f(t)を

積 分 変 換 の 核 とい う。 も し,K(t,p)=ε-stた に無 関 係 な定 数)a=0,b→   式(５

∞

とお け ば,こ

・54)は 第 １種 のFredholm形

原 関 数 とい う。 ま た,K(t,p)を だ し,S≡

α+jβ で,α,β

れ は ラ プ ラ ス変 換 で あ る 。

の積 分 方 程 式 で,f(t)は,

f(t)=〓G(t,p)g(p)dp  で 求 ま り,こ

れ,を 逆 変 換(inverse

は ｔ

(５ ・55) transformation)と

い う。

 ラ プ ラ ス 変 換 の 逆 変 換 は,

f(t)= た だ し,Bγ な お,ラ

1/ 2πj 〓

 (５ ・56)

εstF(s)ds

と書 い た の は,Bromwich積

分 路 で あ る １)。

プ ラ ス 変 換 と し て,

g(p)=p〓

ε-ptf(t)dt

 (５ ・57)

を用 い る こ とが あ る 。 逆 変 換 は, (５ ・58)

と な る。 こ れ を第 ２種 の ラ プ ラ ス 変 換 と よ び 演 算 子 を普 通 ｐ で 表 わ し,第

１種

の ラ プ ラ ス 変 換 の 式(５ ・35)と 区 別 す る 。 ヘ ビサ イ ドの 考 え だ し た演 算 子 法 は む しろ 二 の 第 ２種 の ラ プ ラ ス 変 換 に よ っ て 直 接 証 明 で き る。 原 関 数f(t)と 関 数g(p)の

次 元 を 同 じ に で き る(ｐ

の 次 元 は ｔの そ れ の逆 数 で あ る)な

１)こ の 証 明 は複 素 関 数 の知 識 が必 要 で あ る。 第 ８章 を参 照 の こ と。

像 どの

利 点 は あ るが,記

号 の 簡 単 さか ら現 在 は 第 １種 の ラ プ ラ ス 変 換 が ひ ろ く使 わ れ

る よ うに な っ た の で,本 積 分 変 換 と し て,次

書 で は こ ち ら に統 一 し て あ る 。

に い くつ か の 例 を あ げ て お く。

Fourier(正

弦)変 換

Fourier(余

弦)変 換

Mellin変

換

Hankel変

換

微 分 方 程 式 を解 く最 後 の 段 階 で,X(S)か

らx(t)を

求 め るの に変 換表 か ら

対 応 す る 像 関 数 をみ つ け て そ の 原 関 数 を知 る の で あ る が,必

ず し もすべ て の像

関 数 が 関 数 表 に記 載 され て い る の で は な く,む し ろ 標 準 形 だ け で あ る 。 式(５ ・56)を 用 い れ ば よ い の で あ る が,こ

れ は 労 力 が た い へ ん で あ り,こ の

積 分 を行 な う く らい な ら,時 間 領 域 で 解 い て し ま っ た ほ うが か え っ て 簡 単 で あ る。 次 に 述 べ る二 つ の 方 法 の う ち,特

に,部 分 分 数 展 開 に よ っ て標 準 形 に な お

す 方 法 が 実 際 に は よ く使 わ れ る 。 〔１〕 乗 べ き 級 数 法 像 関 数 を Ｓで 展 開 し,各 項 別 に 逆 変 換 し て実 空 間 で ま とめ る 方 法 で あ る 。 次 に 一 例 を示 す 。

〔２〕 部分 分数 展 開法 実 際 の 回路 では, F(s)= で,n>mと

B(s) / A(s)

, B(s),A(s)は

そ れ ぞ れ ｓに 関 し て ｍ 次 とn次

い う関 数 形 で 表 わ され る こ とが 多 い 。A(s)を

の多項 式

因 数分 解 すれ ば ,

実 根 と複 素 根 に対 応 し て １次 と ２次 の 因 子 が 表 わ れ る。 これ を部 分 分 数 に 展 開 す れ ば よい 。 簡 単 な 場 合 に つ い て 次 に示 そ う。 複 雑 な 場 合 へ の 拡 張 は,た 算 が め ん ど う に な る だ け で,考 な お,A(s)とB(s)は

だ計

え方 に 新 しい 点 は 生 じ な い か ら容 易 で あ ろ う。

既 約 で あ る とす る。

１)

と し て,ξ=A+B,η=Aβ+Bα

か らA,Bを

求 め る。以 下 同様 で あ る。

２)

と お い てA,B,Cを

求 め る 。 こ の場 合 は分 母 に複 素 根 を示 す ２次 項 が あ る 。

３)

と お い て,A,B,C,D,Eを

求 め る 。 この 場 合 は,分

母 に

場 合 の展 開 方 法 を示 し て い る。 部 分 分 数 に 展 開 で き た ら,ラ い は,５ ・３ 節 に よ っ て 原 関 数 を 求 め る こ とが で き る 。

ｋ 乗 根 を生 じた プ ラ ス変 換 表 あ る

５ ・７

ラ プ ラ ス 変 換 の 基 本 法 則

以 下 に,ラ (１)線

プ ラ ス変 換 の重 要 な 基 本 法 則 をい くつ か 述 べ よ う。

形 で あ る。 λf(t)⊃

λF(S) 

一 般 的 に は ,Σcifi(t)⊃

f1(t)+f2(t)⊃F1(S)+F2(S) ΣciFi(S)(５

・59)

原 関 数 を定 数 倍 し た り加 え た り し た ら,像 関 数 も定 数 倍 され た り,そ れ ぞ れ の 像関 数 の和 に な っ た りす る。も し,g(p)=〓bK(t,p){f(t)}2dtの 積 分 変 換 を考 え た ら線 形 性 は保 た れ な くな る(証 (２)微

分(前

述)

(３)積

分(前

述)

(４)拡

大

明 は 簡 単 な の で 省 略 す る)。

(５ ・60)

(証明)

(５)移

よ うな

 た だ し,at=τ

動(図

と お い た 。,

５ ・11を 参 照 の こ と)

f(t-a)⊃

ε-asF

f(t+a)⊃

εasF

 (５ ・61)

た だ し,

ε-asを

移 動 演 算 子(shiftoperator)と

(６)像

空 間移 動

い う。 図 ５ ・11

ε-λtf(t)⊃F(s+λ) ελtf(t)=⊃F(s-λ)

(７)パ

ラ メー タに よ る演算

(５ ・62)

(５ ・63)

(８)像

空 聞で の微 分 tnf(t)⊃(-1)nF(s)(n)た

(証 明)n=1の

nキ1で

だ し,

F(S)(n)≡

dnF(s)  (５ ・64)

/ ds(n)

とき

も容 易 に拡 張 で き よ う。

(９)像

空 間 で の積分 t-nf(t)⊃

(10)合

〓 ∞〓 ∝… … 〓 ∞F(r)dr…dτds(５

・65)

成 積(convolution,FaultungSatz)

実 空 間 で の 合 成 積 は,像

空 間 で は 単 純 な 積 に 等 し い。

f1*f2⊃F1・F2 

た だ し,f1*f2≡

(５ ・66)

〓tf1(ξ)f2(t-ξ)dξ

で,こ

れ をf1(t)とf2(t)の

合成

積 とい う。 (証 明)右

辺 を ラ プ ラス 変 換 す る。  (５ ・67) { =1 

単位階段関数 

t>0

u(t)

を導 入 す れ ば,式(５  

=0 

・67)は,

t<0

(５ ・68)

で 表 わ さ れ る 。 積 分 の順 序 を変 換 し て,  (５ ・69)

単 位 階段 関数 の性 質 か ら, (５ ・70)

(５ ・71) よ っ て,F(s)=F1(s)・F2(s)

 (５ ・72)

実 空 間 で の合成 積 の よ うな複 雑 な表示 が,像 空間 で は単純 な積 で表現 で きる の が,演 算 子法 の大 きな利 点 で ある こ とが次 節 で明 らか にな ろ う。 (11)極

限 (５ ・73) (５ ・74)

(証明)

例題R-L直 解答

列 直流 回 路 の定 常 電 流 を求 め よ。

電流 の ラ プラス変換I(s)は, I(s)=

E/

s(Ls+R)'

５・８ 系 の 応 答(Duhamelの

重 畳 積 分)

あ る線 形 不 変系 の基 礎 方程 式 は, (５ ・75)

た だ し,L(

d / dt

d

)は,系

の構 成 要 素 に よって定 まる微分 演算 子 / dt

の関数

で あ り,e1(t)は

入 力 で 原 因 を表 わ す 関 数,e2(t)は

る 。 通 常,e1(t)は

既 知,e2(t)は

出力 で結 果 とな る関数 で あ

未 知 関数 で あ る。

 こ れ を 四 端 子 網 で 表 わ せ ば,図 る 。 これ か ら 問 題 に す る の は,入

５・12の よ うに な 力 がu(t)(単

位階

段 関 数)と か δ(t)(デ ル タ 関 数)で あ る こ の 系 の 出 力 がa(t)あ

るい はb(t)で

表 わ せ た と し た と き,一 般 的 な入 力e1(t)が

っ た と き の 出 力e2(t)を,e1(t)とa(t)も か 。 も し,で  式(５

き る とす れ ば,ど

・75)を

図 ５・16 回路 の 四 端子 網 表示

し くはb(t)と

加 わ

で表 わせ るで あ ろ う

の よ うな 形 に な る か とい うこ とで あ る 。

ラ プ ラ ス 変 換 し て,

L(s)E2(s)=E1(s)

1

∴E2(s)=

 こ こ で,導

/ L(s)

E1(s)≡H(s)E1(s)

入 したH(s)を

で お きか え,そ

 (５ ・76)

伝 達 関 数 とい い,原 微 分 方 程 式 の 微 分 演 算 子 を ｓ

の 逆 数 を と った も の で あ る 。 し た が っ て,出

力 の ラ プラス変 換

を入 力 の ラ プ ラ ス 変 換 で 除 した も の に な る 。 〔１〕 単 位 応 答  あ る 系 の 単 位 応 答 と は,入 う。 こ こ で は,そ

(ａ)重

力 に単 位 階 段 関 数u(t)を

れ をa(t)で

加 え た と き の 出 力 をい

表 わ そ う。

畳 原理 (５ ・77)

1/ よ っ て,L(s)A(s)=

た だ し,A(s)⊂a(t)

s’

1/

A(s)=H(s)

 (５ ・78)

s

式(５

・76)のH(s)を

式(５

・78)に

E2(s)=sA(s)E1(s) 

合 成 積 を示 す 式(５

・66)か

よ っ て 消 去 し, (５ ・79)

ら, (５ ・80)

変数 変換 な ど に よ っ て, =d / dt

〓a(t-ξ)e1(ξ)dξ

=a(t)e1(0)+〓a(t-ξ)e1′(ξ)dξ

=a(t)e1(0)+〓a(ξ)e1′(t-ξ)dξ

=a(0)e1(t)+〓a′(t-ξ)e1(ξ)dξ

=a(0)e1(t)+〓a′(ξ)e1(t-ξ)dξ

な ど を導 び く こ とが で き る 。 こ の 公 式 は,直 導 び く こ とが で き る 。 そ れ は,次

接 重 ね の 理 を使 っ て も次 の よ う に

の よ うな 手 順 で 行 な う。

①

任 意 の 入 力 波 形e1(t)を

②

一 つ 一 つ の 階 段 関 数 に対 す る応 答 を求 め る。

③

そ れ を 加 え合 わ せ てe2(t)に

 手 順 ① のe1(t)を ｔ を ｎ 分 割 し,そ

多 数 の 階 段 関 数 で 近 似 す る。

す る。

階 段 関 数 で 近 似 す る方 法 を以 下 に 示 そ う。 の 一 つ の 区 間 を ⊿ξ(表

表

５・３ 参 照)と

５ ・３

す れ ば, 表

 お の お の の 入 力 に 対 す る 応 答 は,表

５ ・４

５ ・４ に 記 し た よ う に な る 。

こ こ で,e1(t)=e1(0)u(t)+⊿e1(1)u(t-⊿

ξ)+…+⊿e1(n)u(t-n⊿

ξ)

e2(t)=e2(0)+⊿e2(1)+…+⊿e2(m)+…+⊿e2(n) で あ り,⊿e2(m)はt=m⊿

ξ に お け る階 段 関 数 入 力 に対 す る 現 時 点 ｔ に お け る

出 力 を 表 わ し て い る 。 こ こ で,n→ く と,

∞,⊿

ξ →0に

しm⊿

ξ ≡ ξ,n⊿ ξ≡tと

お

e2(t)=a(t)e1(0)+ が 求 ま る。 これ をDuhamelの

〓a(t-ξ)e1′(ξ)dξ 重 畳 積 分 とい う(図5・13参

系 の 応 答 を示 す 重 要 な 関 係 式 で あ る の で,特

照)。 こ の 関 係 は,

に数 学 的 な合 成 積 と物 理 的 な 上 述

の 方 法 と二 つ の 方 法 で 証 明 し た わ け で あ る。

図5・13デ

(ｂ)伝

ュア メル の重 畳積 分

達 関数

伝達 関数 を単位 応 答 で あ らわ して み よ う。 H(s)

A(s)=

/s

H(s) よ っ て,

/s

こ れ をCarsonの

a(t)ε-stdt

 (5・81)

無 限 積 分 定 理 とい う。 電 気 回 路 で よ く扱 わ れ る に うに,e1(t)

を入 力 電 圧,e2(t)を はH(s)の

〓

出 力 電 圧 とす れ ば,一

逆 数 で 表 わ され,こ

タ ン ス とい っ て い る。t→t-ξ

般 化 され た イ ン ピ ー ダ ン スZ(s)

の 場 合 の 単 位 応 答a(t)を と し,t＜0でa(t)=0を

イ ン デ シ ャル ア ドミ 考 え る と, (5・82)

が い える。 (ｃ)実

周 波数 に よ る解析 E1(jω)=

と お く と,

〓

e1(t)ε-jωtdt

a(t)=0,t<0を

考 え て,

(5・83)

〔２〕 イ ンパル ス 応答(影 響 関数,重 み関 数)   あ る 系 の イ ン パ ル ス応 答(あ

る い は 影 響 関 数 ま た は,重

み 関 数 と もい う)と

は 入 力 に デ ル タ 関 数 δ(ｔ)を加 え た と き の 出 力 を い う。 こ こで は,そ

れ をb(ｔ)

とす る 。 (ａ)重

畳 原 理 d

L(

/ dt

)b(t)=δ(t)

L(S)B(s)=1  よ って, 

  た だ し,B(s)⊂b(t)

B(s)=H(s)

(5・84)

E2(s)=H(s)E1(s) よ つ て,e2(t)=〓b(t−

ξ)e1(ξ)dξ

=〓b(ξ)e1(・-ξ)dξ

  こ の 関 係 をDuhamelの

重 畳 積 分 の と き と同 様 に,入 力e1(t)を

分 割 し て お の お の の 応 答 を求 め,加 え合 わ せ てe2(t)を (ｂ)伝

デル タ関数 で

合 成 す る こ とが で き る 。

達 関 数

式(5・84)か

ら,B(S)=H(s)

よ っ て,

t→t-ξ

(5・85)

(5・86) と し,t<0でb(t)=0を

H(s)=〓b(t-ξ)ε-s(t-ξ)dξ

使 っ て,

∴H(s)εst=〓b(t-ξ)εsξ

ｄξ(５

・87）

 (ｃ)  実 周 波数 に よ る解析 E1(jω)≡

と し て ，e2(t)=1/2

〓e1(t)ε-jωtdt

π〓E1(jω)dω〓b(t-ξ)εjωdξ(５

t<0でb(t)=0か

・88)

ら,

e2(t)=1/2πE1(jω)H(jω)εjωtdω(５

  以 上 の よ う に,影

響 関 数b(t)と

)との 間 に は,B(s)=sA(S)と 両 者 は,本

・89)

単 位 応 答a(t

い う関 係 が あ り,

質 的 に は 同 じ もの で あ る が,b(t)の

ほ うの 表 現 が や や 簡 略 で あ る と い う 利 点 が あ る 。 実 験 の 容 易 さ か らい えばa(t)の

ほ うが す

ぐれ て い る 。

５ ・９

周期 関数 の ラ プラス変換

       表 示(図

５・14参 照)

  t<0で

Ｔ を周期 とす る周期 関 数

零,t〓0で

f0(t)を 考 えて み よ う。 { f0(t)=O 

t<0  f0(t)=f0(t-nT) (５ ・90)

     n=0,1,2,…,nT
外 で は零 で ある次 の関 数

考 え て み よ う,

{ f01(t)=0 

t<0, 

t〓T f01(t)=f0(t) 0 <ｔ〓T(５ ・91) 図

  同 様 に して,f02(t)も

次 の よ う に定 義 す る 。

５ ・14

f02(t)=0 

t<0 

{

t>2T (５ ・92)

f02(t)=f0(t) 

ま た,そ

0
れぞ れ の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 次 の よ う に 定 義 す る 。

f0(t)⊃F0(S),f01(t)⊃F01(S)    問 題 は,F01(S)を ま ず,f02(t)を

f02(t)⊃F02(s) 

使 っ てF0(s)を

(５ ・93)

表 現 し よ う とい うの で あ る 。

さ ら に 拡 張 し て,f0n(t)をf01(t)を

使 っ て 表 わ し て み よ う。

f02(t)=f01(t)+fO1(t-T) f0n(t)=f01(t)+f01(t-T)+…+f01{t-(n-1)T}    次 に,f0(t)=1im 

(５ ・94)

f0n(t)=f01(t)+f01(t-T)+…

で あ る か ら, F0(S)=F01(S)+ε-TsF01(S)+ε-2TsF01(S)+… =F01(s)(1+ε-T3+ε-2T3+…) 右 辺 に お い て,か

っ こ の 中 は 初 項 が １,公

比 ε-Tsの

等 比 級 数 と み な せ る か ら,

結 局,

F0(S)=F01(S)/1-ε-Ts 

が え ら れ る 。 こ れ は ま た,次

(５ ・95)

の よ うに 考 え て も求 ま る。

f01(t)=f0(t)-f0(t-T) よ っ て,F01(s)=F0(s)(1-ε-Ts) 次 に,交

互 に 正 と負 の 値 を と る 関 数f1(t)を f1(t)=_f01(t-2nT) 

定 義 し よ う。

2nT
{

(５ ・96)

f1(t)=-f01{t-(2n+1)T} 

(2n+1)T
f1(t)=f01(t)-f01(t-T)+f01(t-2T)-… よ っ て,F1(S)=F01(S)(1-ε-Ts+ε

F1(S)=

(５ ・97) −2Ts-…)

F01(S)/ (５ ・98)

1+ε-Ts 1-ε-Ts/

あ る い は,F1(S)= 1+ε

−Ts

F0(S)

次 に,一

つ お き に 零 とな る 関 数f2(t)を

f2(t)=f01(t-2nT) 

{

f 2(t)=0 

定 義 し よ う。

   2nT
 

(2n+1)T
f2(t)=f01(t)+f01(t-2T)+f01(t-4T)+…

(５ ・100)

よ っ て, F2(s)=F01(s)(1+6-2Ts+ε-4Ts+…)

F2(s)=

F01(S)/ 1-ε-2Ts

あ る い は,

F2(s)= にな る。

F0(s)/ 1+ε-Ts

(５ ・101)

第６章 分布 定数 回路

６ ・１

分布 定数 回路の 過渡現 象

考 える現 象 が,時 間変 化 のみ な らず空 間的 に も移動 す る場 合,独 立変 数 は時 間 と空 間 に な り,偏微 分 方程 式 で表 わ され る。 偏微 分方 程 式 を解 くこ とは,数 理 物 理 の分 野 で 最 も困 難 で は あ る が,内

容の

豊 か な もの の 一 つ で あ る。 実 際 に 偏 微 分 方 程 式 で 解 か ね ば な ら な い もの と し て は, 対 象 とす る 現 象 の 波 長 が,装

置 の大 きさ

に匹 敵 す る 程 度 に な る と きで,た と え ば, マ イ ク ロ波(波

長 数 セ ン チ メ ー トル,装

置 の 大 き さ は お よ そ １ メ ー トル)の とか,送

領域

電 線 に落 雷 が あ っ た 場 合 な どが

例 と し て 挙 げ られ よ う。 図 ６・１ に 現 象

図 ６・１ 現 象 の 移 動

の 移動 を示 して あ るので 参照 され たい。

６ ・２

基 礎 回 路 方 程 式

  分 布 定 数 回 路 の 典 型 的 な 一 例 と し て, 送 電 線 路 を考 え て み よ う。 そ の 等 価 回 路 を 図6・2に

示 す。

図 ６・２ 送

電

線

路

  図 の よ う に記 号 を とれ ば, ｛

-⊿v=(R⊿x)i+L(⊿x)∂i/∂t (６ ・ １)

-⊿i=(G⊿x)v+C(⊿x)

∂v/ ∂t

た だ し,Ｒ,Ｇ,Ｌ,Ｃ

な ど は 単 位 長 さ あ た りの値 で あ る 。 これ か ら,

(６ ・２)

２階 １元 方 程 式 に し て,

(６ ・３)

 上 式 は,電 圧 お よび電流 に対 して同 じ形 で表 わ され,電 信 方 程式 とい う。 こ の解 は複 雑 なの で簡 単 な解 か ら始 め よ う。

６・３  電信 方程式 の 解 〔Ｉ〕(定常 状態)   t→ ∞  例 題

と お い た 定 常 状 態 の考 察 か ら始 め よ う。

１ 長 さ ｌ,一 端 の 電 圧 が Ｅ,他 端 が 短 絡 の 場 合 。

解 答     時 間 に 関 す る微 分 は零 に な る か ら,式(６ dv/ dx

・３)は 次 の よ うに な る 。

  di/

+Ri=0

d2v/ 2 =RGv dx

dx   d2i/

dx2

+Gv=0

=RGi

(６ ・ ４)

(６ ・ ５)

(６ ・ ６)

  定 常 状 態 の 解 だ か ら初 期 条 件 は 関 係 な く,境 界 条 件 の み が 必 要 で あ る 。 こ の 場 合 の境 界 条 件 は,          x=0でv=E, 

x=lでv=0

で あ る。 よ っ て,C1+C2=E, 

  ゆ え に,

C1ε √RGl+C2ε-√RGl=0 

(６ ・７)

(６ ・８)

よ っ て,

(６ ・ ９)１)

例 題 ２ 直流 電 圧 Ｅ の 代 わ りに交 流 電 圧(振 幅V0,角

周 波 数ω)が

加わっ

た場 合 。 解答

定 常 状 態 で あ る か ら,電 流 ベ ク トルＩ,電

てV→Vεjωt,i→Iεjωtと ら,式(６

表 わ せ ば,Ｖ,Ｉ

圧 ベ ク トル

Ｖ を導 入 し

は 時 間 の 因 子 を含 ま な くな るか

・３)は や は り常 微 分 方 程 式 に 還 元 で き る。

(６ ・10)

よ っ て,

(６ ・11)

(R+jωL)(G+jωC)≡k2と

お く と,

V=A1εkx+A2ε-kx (６ ・12)

今度 は,他 端 を開放 にす る と境 界条 件 は, x=0でV=V0,x=lでI=0

１)sinhx≡

εx-ε-x/2coshx≡

ク コ サ イ ン とい う。

εx+ε-x/2で

，そ れ ぞ れハイ

パ ボ リ ッ ク サ イ ン,ハイ

パ ボ リッ

で あ るか ら, A1+A2=V0,A2ε-kl-A1εkl=0

(６ ・13)

よ っ て,

(６ ・14) よ っ て,υ=V1(x)sin(ωt+V2(x)),i=I1(x)sin(ωt+I2(x)) 

(６ ・15)

の よ う に か け る 。 こ こ で,V2(x)やI2(x)は

ｋ が 複 素 数 で あ る こ とか ら生 ず

る。

 ６ ・４  電 信 方 程 式 の 解

〔Ⅱ 〕(過 渡 過 程)

  過 渡 状 態 を含 め た 解 に な る と偏 微 分 方 程 式 を 解 か ざ る を え な い 。 式(６ ・３) を 標 準 形 に す る た め,υ=ε-μtu(x,t)と =1

∂2u

∂2u ･

/ LC

/ atz

た だ し,μ

お く と,

/∂x2

+δ2u

 (６ ・16)

LG+RC

≡

 (６ ・17)

/2LC LG-RC

δ≡

 (６ ・18)

/2LC ∂u 式(６

・17)の

よ うに μ を と る こ と に よ っ て

に な って い る。 そ れ で も,式(６

/ at

の項 が消 去 され,式 が簡単

・16)は 解 くの に容 易 で は な い 。 そ こ で,次

の

簡 単 な 場 合 を 考 え て み よ う。 〔１〕 δ2=0(LG=RC)の

場合

こ の 条 件 が 満 足 さ れ る 場 合 を 無 歪(保

波 形)線

路 とい う。 そ れ は,波

が伝 播

され て も波 形 が 変 わ ら な い か らで あ る。 確 か に送 電 線 の 定 数 が, R

= G

/L

/C

 (６ ・19)

の 関 係 を満 足 す る と δ=0と ∂2u /∂t2

=α2

な り,式(６

・16)は

次 の よ うに な る。

∂2u /∂x2

 (６ ・20)

  た だ し,a2≡1/LCと か ら,そ

お い て い る 。 こ れ は波 動 方程 式 と よぼ れ る も の で あ る

の解 は, u(x,t)=∼

φ1(x-at)+ψ2(X+at)

v(x,t)=ε-μt〔ψ1(x-at)+ψ2(x+at)〕

こ れ を式(6・2)に

(6・21)

代 入 して,

(6・22)

  式(6・21)お 1(x-at)は

よ び式(6・22)の ａ とい う速 渡 でψ1と

い う波 形 がxの

正方 向に 進 む こ と

を 表 わ し,ψ2(x+at)は

負 の方 向に

図6・3波

動

の

伝

播

進 む こ と を表 わ し て い る。 ε-μtの項 に よ っ て 振 幅 が そ れ だ け 小 さ くな るが,波 形 は 変 わ らな い の で 無 歪 線 路 とい う。 図6・3に

波 動 の 伝 播 を示 す の で 参 照 さ

れ たい 。 Ｒ も Ｇ も零 で あ る と,δ が 零 で あ る ば か りか μ も零 と な っ て 減 衰 も し な い 。 こ の 回 路 を無 損 失 回 路 とい う。 初 期 条 件 と し て,t=0でv=g(x), i=,√C/Lh(x)と

す れ ば,

(6・23)

で 与 え られ る 。 も し,g(Ｘ)や に 解 け た こ と に な る が,実

際 に は 区 間(0,l)の で 知 られ て い る に す ぎ な い 。

  現 象 時 間 の 経 過 と と もに,境 る か ら,そ

こで,初

ｈ(Ｘ)が Ｘ の 全 区 間 で 与 え られ れ ば 問 題 は 完 全

界 点0お

よび ｌ で 反 射 さatiて どん どん 進 行 す

期 条 件 で 与 え られ た 関 数g(Ｘ),ｈ(Ｘ)を

る 。 い い か えれ ば,外

挿 す る必 要 が あ る が,そ

る条 件,す

界 条 件 を使 っ て,常

な わ ち,境

区 間 外 に拡 張 す

れ に はx=0とx=lに

おけ

に 境 界 条 件 が 満 足 され る よ うに 外 挿

す れ ば よい 。   例 題 １ 一 端 が 正 弦 電 圧(角 周 波 数 ω)で 他 端 が 開 放(図6・4参 条 件 は 同次(t=0でv=0,i=0)と

す る。

照),初

期

 解答

定 常 状 態 は,式(6・15)で

与 え られれ て い る か ら過 渡 電 流 の み に 注 目 し,ス イ ッチ Ｓ を 閉 じる と同 時 に 負 の過 渡 電 流 が 流 れ,そ の 結 果,t=0 で υ=0,i=0でt→ 式(6・14)に

∞

とした とき

図6・4他

端 開 放 の 送 電 線

な る と考 え て よ い 。

そ うす る と,初 期 条 件 お よ び境 界 条 件 は,

(6・24)

(6・25)

  式(6・24)か

ら ψ1(x)と

境 界 点x=0,ｌ

で

x=lで   例題

ψ2(x)の

ψ（x,t)を

関 数 形 が 求 ま り,ま

外 挿 す る に はx=0で

た,式(6・25)か

は 奇 関 数 に な る よ う に,

は 偶 関 数 に な る よ う に 延 長 す れれ ぱ よい 。 ２

初 期条 件

υ￨t=0=-E,i￨t=0=0,境

界条件

υ￨x=0=0,i￨x=l=0

で 解 け。   解答

E 式(6・23)か

ら,ψ1(x)=ψ2(x)=-

/2

(0＜x＜lの

境 界 条 件 か ら,ψ1(-x)=-ψ2(X),ψ1(l-x)=ψ2(l+x)

と き) 

(6・26) (6・27)

こ れ か ら,

(6・28)

式(6・27)の

第 ２ 式 でxにl+xを ψ2(2l+x)=-ψ2(x),ψ1(2l-x)=-ψ1(-x)

ら

代 入 す る と. (6・29)

に な る か ら,4lを

周 期 とす る こ とが わ

か る 。 υ と ｉは 図 ６・５ の よ う に変 化 す る。 〔２〕 δ2〓0の 場 合 Ｌ,Ｃ,Ｒ,Ｇ

の 相 互 関 係 が,一

般的

な 場 合 は δ は 零 に は な らな い 。

(6・30) 図6・5無

を 解 くに は か な りの予 備 知 識 が 必 要 な の で,結

歪 線路 の過 渡現 象

果 の み を 次 に示 す 。

(6・31) こ こ に, 

1(z)=J0(Jz)

で あ る 。 式(6・31)を る た め,伝

(6・32)

み る と右 辺 第 １項 が 保 波 形 の 分 で,第

２項,第

３項 が あ

播 す る に つ れ て 波 形 が くず れ て く る。 こ の よ うに な る と,波 の 伝 播

速 度 も明 確 に は 定 義 で き な くな る 。

6・5線

路 の充電

線 路 に生 ず る過 渡状 態 の例 として,無 損失 線路 で の充 電 を考 えてみ よ う。最 も,こ

の 場 合 は 無 損 失(R=G=0)な

の で,過

渡

過 程 とい う よ り も周 期 現 象 に な っ て し ま うが,分 布 定 数 回 路 の 理 解 に 好 つ こ う と思 わ れ る の で挙 げ て お く。 集 中 定 数 回 路 で い えば,L-C回 電 圧 を 印 加 し た 場 合 に あ た る。 図6・6の

路 に直流 よ うに

図6・6無

損 失線 路 の充電

無 損失 線 路 の １点 は開放 とし,他 端 を Ｅ で充 電 した場 合 を考 え る。 (１)波 I=E/Z0な

高 Ｅ,お

よび

る矩 形 波 電 圧

お よび 矩 形 波 電 流 が 速 度 で 進 行 し, l/υ の 時 間 が た つ と開 放 端 に達 す る。 (２)そ

こ で,開

放端

の 条 件 を満 足 す る よ うに 電 流 は逆符 号 で反射 さ れ,し

た が っ て,電

圧は

同 符 号 で 反 射 され る 。 (３)ふ

た た びl/υ の

時 間 が た つ と,今 度 は, 電圧側 が常 にＥ で あ る よ う に電 圧 波 が 逆 符 号(電 流 波 は 同 符 号)で

反射 さ

れ る。 (４)同 らに2l/υ

様 の こ とを さ

図 ６・７ 無 損失 回路 の電圧 ・電 流

の 時 間 く り返 す と,電 圧 ・電 流 は 始 め の 状 態 に も ど る 。 結 局,4l/υ

の 時 間 を周 期 と し て現 象 が く り返 され る こ とに な る 。  図 ６・７ に,電

圧 ・電 流 が 両 端 で 反 射 を く り返 しな が ら変 化 し て ゆ く状 況 を

示 すの で参照 され たい 。

６ ・６

分 布 定 数 回 路 に 伴 う い くつ か の 性 質

〔１〕 波 動 の進 行速 度,波 動 イ ン ピー ダ ンス 式(６ ・21)や 式(６ ・22)は,ψ とい う波形 が ａ とい う速 度 で進 ん でい るこ と を 示 し て い る 。 こ れ は,

で送 電線 や ケ ー ブル の Ｌ や Ｃ か ら計算 す る

と

に な っ て 光 速 と一 致 す る 。 も ち ろ ん,そ

れ らの伝 送路 に抵抗 や漏

れ コ ン ダ ク タ ン ス が あ り,無 歪 条 件 が 満 足 し な くな る と光 速 とは 異 な っ て く る 。 と こ ろ で,波 速 度Vpと

動 の 速 度 に は,位

群 速 度Vgと

相

が 考 え られ

る 。 位 相 速 度 は 文 字 どお り波 の 位 相 が 進 ん で い く速 度 で,そ

の例 を正弦 波 動

y=Asin(kx-ωt)に

と っ て み よ う。

こ れ は,振

2π

幅 Ａ,周 期T=

/ω

f:周 波数)波 長

λ=

トル と い う)でｘ

(ω=2πf,

2π

図

６ ・８y=Asin(kx-ωt)

(kを 波 数 ベ ク

/k

方 向 に進 行 す る正 弦 波 動 を表 わ し て い る(図

６ ・８ を 参 照)。

位 相速 度Vpは, ω

Vp=

 (６ ・33)

/k

で 定 義 さ れ る が,kx-ωt=一 Vg=

定 の 点 の 進 行 速 度 を表 わ し て い る。 群 速 度 は,

dω  (６ ・34)

/ dk

で 定 義 され る が,こ

れ は 包 絡 線 の 進 行 速 度 を表 わ し て い る 〔 注〕 。

〔 注〕 振 幅が 同 じで,周 波 数 ω お よび 伝 播 定 数 ｋ が,わ ず か異 な る二 つ の波 の合 成 を考 え よ う。 ω1=ω0+⊿

｛

 ω2=ω0-⊿

ω 

k1=k0+⊿k

ω 

k2=k0-⊿k

y=A{cos(k1x-ω1t)+cos(k2x-ω2t)} =2Acos(⊿kx-⊿

ωt)cos(k0x-ω0t)

包 絡 線 の 動 く速 度Vgは,⊿k→0の 極 限 で,

に な る。

 通信 ・ラ ジオ な どの信 号 波形 は包 絡

図 ６・９ 変

調

波

線 波形 で あ り,そ の移 動 速 度が情 報 伝 送 速 度 に な る。 一 方,簡 単 の た め 完 全 変調 波,図

６・９ を 考 え る と,Ｐ,Ｑ

点 は 常 に 零 で あ る か ら,こ

他 に 流 出 す る こ と は な い。

し た が っ て,エ

の 間 に 閉 じ こ め ら れ た エ ネ ル ギ ー は,

ネ ル ギ ー 伝 送 速 度 は,Ｐ,Ｑ

点 の移 動 速 度 に

等 しい。

 し た が っ て,群

速 度 は 情 報 伝 達 速 度 と もい え る し,波 動 エ ネ ル ギ ー 伝 播 速 度

と もい え る。 波 動 速 度 で 本 質 的 な の は 群 速 度 で あ り,位 相 速 度 は む し ろ 見 か け の 速 度 で あ る とい っ て よ い。 実 際,導 波 管 内 の 電 磁 波 の 位 相 速 度 は,光 速C0を こ え る。 こ の こ とは,か

つ て ア イ ン シ ュ タ イ ン の 相 対 性 原 理 を否 定 す る も の と

して さ わ が れ た こ とが あ っ た が,上 え 光 速 を こ え た と し て も,な る。 ち な み に,群  と こ ろ で,伝

述 の よ う に見 か け の 速 度 で あ るか ら,た

と

ん ら相 対 性 原 理 と矛 盾 す る も の で は な い の で あ

速 度 は い か な る 場 合 に も光 速 を こ え る こ と は な い。

送 路 の損 失 を無 視 で き ず,ま

(６・31)で 示 し た よ うに 波 形 は ひ ず み,完

た,無

歪 条 件 を 満 た さ な い と,式

全 変 調 を して も Ｐ,Ｑ 点 は 完 全 に 零

で は な くな る。 し た が って,情 報 伝 達 と し て の,あ る い は,エ ネル ギ ー伝 達 と し て の 群 速 度 は,は っ き り と定 義 で き な くな る。最 近 の 研 究 に よ れ ば,前 ぶ れ(fore runner)と

称 す る ご く微 弱 な 電 磁 波 が 光 速 で 伝 わ り,そ の あ とか ら徐 々 に 主 体

の 波 動 が 伝 わ っ て い くこ とが わ か っ て い る。 また,V/Iを

求 める と

な り,こ れ を波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス とい っ て い る。 も ち ろ ん,一

に

般 の 回路 の場 合

に は 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス は 複 雑 に な る。   〔２〕 境 界 条 件 ・整 合 ・反 射 お よ び 透 過  開 放 端 で は,i=0,接 る と き はV=ZLI,起 零)が

地 端 で は,υ=0,イ

ン ピ ー ダ ン スZLで

電 力 が あ る場 合 に は,υ=e(電

終端 され てい

源 内部 イ ン ピー ダ ンスは

境 界 条 件 とな る。 集 中定 数 回 路 の 場 合 と違 っ て,外

部 電 源 の投入 は偏 微

分 方程 式 の 中 には はい らず,境 界 条件 と して は い る こ とに注 意 し よ う。偏 微分 方程 式 の 中に起 電 力 が はい るの は,線 路 に分布 して い る起 電力 が存 在 す る場 合 で あ る。  い ま,抵

抗 Ｒ で 一 端(x=l)を

終 端(図

６ ・10

参 照)し た と し よ う。 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス をZ0

図 ６・10Ｒ

で終 端 した送 電 線 路

と す る と,

(6・35)

と な る 。 こ れ か ら,atの

代 わ りに ｘ

と お く と,

(6・36)

とな る。(R-Z0)/(R+Z0)を ン ピ ー ダ ン スZLで

反 射 係 数 γ と名 づ け る。 負 荷 Ｒ は,も

も よい 。R=Z0で

こ れ,を整 合(matching)と

は ψ2(l+x)=0と

な り反 射 が な くな る 。

い う。 また,開 放 端 で は  i=0,し

は 符 号 を変 じて 反 射 され,電

ちろん イ

た が って,電 流 波

圧 波 は 同 符 号 と な って ２倍 の 大 き さ に 上 昇 す る。

  反 射 が あ る と定 在 波 を生 じ,振 幅 が 場 所 に よ っ て 変 わ り,振 幅 の 大 き さ を ｘ に そ っ て 測 定 す る こ と に よ っ て波 動 イ ン ピー ダ ン ス と接 続 負 荷 の 比,お

よび 波

長 λ を 求 め る こ とが で き る 。 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス の 異 な る線 路Z1,Z2を

つな

い だ と き,波 の 電 力 の 透 過 は, (6・37)

で表 わ され る 。   〔３〕 衝 撃 進 行 波 の 波 形(図6・11参

照)

衝 撃 進 行 波 の波 形 を定 義 す る の に, (１)波

高:波

形 の最高値

(２)波

頭:進

行 波 の 先 端 か ら波

高 点 まで の 部 分 (３)波

尾:波

高値 以後 の部分

(４)極

性:波

高 の 正:負の 別

ま た,波 頭 長Tfは,波 と90%の 尾 長Ttは,波

高 の10%

点 を結 ぶ 線 が,基

図6・11衝

撃 進 行 波 の 波 形

準 線 と波 高 値 の 線 と交 わ る間 の 時 間 で 定 義 し,波

頭 か ら後 方50%に

減 ず る まで の 時 間 で定 義 す る。

第 ７章 の パ ル ス 波 形 で の対 応 諸 量 と比 較 して み る と よい で あ ろ う.

第 ７章

エ レ ク トロ ニ ク ス の 過 渡 現 象

 電 子 計算 機 や レ ー ダ,あ るい は テ レ ビや種 々 の計 測 回路 では,単 な る正 弦 波 や連 続 波 よ りもパ ル ス波 形 が 使 わ れ る こ とが 多 い。 そ して,こ れ らの パル ス波 形 の解 析 に は過 渡現 象 の考 え方 が重 要 なの で,い くつか の基 本 的 な例 に つい て 解 析 し よ う。

７・１ 微・ 積 分 回路  入 力 波形 を微 分 した波 形 が 出 力 と して得 られ る回路 を微分 回路 とい い,入 力 波 形 を積分 した波 形 が 得 られ る回路 を積分 回路 とい う。図 ７・１ の回 路 は, 1

e= /

c

〓idt

 i=C

de/

で 表 さ れ る。 た だ し,Ｉ や ∈ は,ｉ に な る か ら,入

 I=Cs∈

dt

  (７・ １)

や ｅの ラ プ ラス変換 形

力 を 電 圧 源 ｅ,出 力 を 電 流 ｉに と れ ば 微 分 図 ７・１ 微 分 回路

回 路 に な っ て い る。  と こ ろ で,電

流 は ど の よ うに し た ら観 測 で き る だ ろ うか。 ま ず,ペ

シ ロ グ ラ フ や 可 動 コ イ ル 形 電 流 計 の よ うに,電 る。 す な わ ち,こ  次 に,比

磁 力 を 利 用 した も の が 考 え ら れ

れ は 回 路 中 に イ ン ダ ク タ ン ス を そ う入 し た こ と に な る。

較 的 速 い 現 象 を 観 測 す る の に よ く使 わ れ る 方 法 と し て,回

抗 を そ う入 し,そ

ン書 きオ

の 両 端 の 端 子 電 圧e0を

方 が あ る。 抵 抗 の 端 子 電 圧 は,も

路 中 に抵

ブ ラ ウ ン管 オ シ ロ グ ラ フ で 見 る や り

ち ろ ん 流 れ る電 流 に 比 例

す る か ら,観 測 波 形 は 電 流 波 形 と 同 じ で あ る。 しか しな が ら,抵

抗 が 入 っ た た め に,図

７・１ の よ う に 理 想 的 な 微 分

回 路 で は な く な る。 抵 抗 の 入 っ た,図 し て み よ う。

７・２ の 回 路 を解 析 図 ７・２ 微 分 回路

こ こ に,τ

≡CR

(７ ・２) も し,τS《

１ な ら ば,

(７ ・３)

ｓ と い う微 分 演 算 子 の 入 っ た 不 等 式 τs《 １ の 意 味 は 本 来 不 正 確 で あ る が , Ｃ や Ｒ が小 で な りたつ で あ ろ うこ とは 推 測 が つ く。 ま た,式(７

・３)か らe0

は ｅ に比 べ て振 幅は 一般 に 小 さ い。 図 ７・３ の 回 路 で も よい 。 次 に,積

図 ７・３ 微 分 回路

分 回 路 を 考 察 す る た め に,図

図 ７・４ 積 分 回路

７ ・４ の 回 路 を 解 析 し て み よ う。

(７ ・４)

 し た が って,入

力 電圧

ｅ に 対 し,出

力 電 流 は 積 分 さ れ た 形 に な っ て い る。

こ の 場 合 も,電 流 波 形 を観 測 す る た め に抵 抗 を そ う入 す る と近 似 に な る。 元 来,イ 導 体 抵 抗 が あ る た め,純 い の で,図

ン ダ ク タ ンスに は漂 遊 容 量 や

粋 な イ ン ダク タ ンスが 得 られ な

７・５ の 回 路 を用 い て 解 析 して み よ う。 図 ７・５ 積 分 回路

(７ ・ ５)

も し,τs》

１ な ら ば,

そ の た め に は,Ｃ

(７ ・６)

や Ｒ を 大 に す れ ば よ い 。 こ の場 合 も,近 似 度 を よ く し よ う

とす る と 出 力 電 圧 が 入 力 電 圧 に比 べ て 小 さ く な る 。   次 に,具

体 的 な 入 力 波 形 を 加 え て,τsが

意 味 を 調 べ て み よ う。

１ よ り小 さい とか 大 き い とか い う

図 ７・２ の 回 路 に お い て, e=0,t<0 

e=t,t>0

を 加 え て み よ う。〓{t}=1/s2で

(７ ・７)

あ る か ら,

(７ ・８)

よ っ て,

(７ ・９) t=10τ

な ら ば, e0=τ(1−

  e=tの

ε-10)≒

τ

微 分 は,e′=constで

(７ ・10) あ る か ら,入

力 が 加 わ っ た と き か ら10τ

後 で

は お よそ1／22000の 誤 差 で 定 数 と み な す こ とが で き る か ら， 微 分 波 形 が え ら れ た と して よい こ とが わ か る 。 図 ７ ・６ に 微 分 波 形 を示 す の で 参 照 され た い 。  次 に,図  

７ ・５ の 回 路 に お い て,

e=0,t<0 

e=1,t>0 

(７ ・11)

の 入 力 を加 え て み よ う。 こ の 積 分 形 は,式(７ に な る こ と は 明 らか で あ る。

・６) 図 ７・６ 微 分 波 形

(７ ・12)

よ っ て,

t／ τ《1 

な ら ば

,

(７ ・13)

t/τ=1/10と

す

る と,

ｅ0=t/τ(1-1/20+1/600-…

  1/20の

…)

 (７ ・14)

誤 差 で 積 分 形 が え られ て い る 。 図 ７ ・７ に 積 分 波 形 を 示 す の で 参 照 さ

れ たい 。

 微 分 回路 は,定 常 的 動 作 の立 場 か らみ る と 高域 強 調 回路， 積 分 回 路 は低 域 強 調 回路 に な って い る。 それ は 次式, y=Asinωt,dy/dt=ωAcosωt,

〓 ydt=-A/ω-cosωt

 (７ ・15)

か ら振 幅 は 微 分 す る と ω に,積 ろ う。 一 般 に,微

分 す る と1/ω

に 比 例 す る に とか ら 明 ら か で あ

分 方 程 式 を 電 子 回 路 を 使 っ て 解 く場 合,微

で 積 分 回 路 を使 うが,そ い のが 普 通 で,微

図 ７ ・７ 積 分波 形

れ は 雑 音 を 考 え た 場 合,雑

音 は 周波 数 の高 い 成 分 に 多

分 回 路 を 使 う と雑 音 成 分 が 強 調 され る か らで あ る。 理 想 的 な

積 分 器 を 得 る に は τ を大 に し な け れ ば な ら な い が,そ な る。 し た が っ て,増 ー の 積 分 器(Miller

分 回 路 を使 わ な い

幅 さ せ る 必 要 が あ る が,そ Integrator)が

うす る と 出 力 が 小 さ く

の う ま い 組 合 せ と し て,ミ

ある

。

図 ７ ・８ の 回 路 を 解 析 し て み よ う。 等 価 回 路 を 図 ７ ・９ に 示 す 。

(ａ)

(ｂ) 図7・8ミ

(ｃ) ラ ー

積

分

器

ラ

(７ ・16)

こ れ らか ら, 図7・

９

(７ ・17) τ が(1+A)倍

に な っ て お り ,(１+A)τs》

ミラー 積 分 器 の 等価回路

１ と す る と,

(７ ・18)

eiを 単 位 階 段 関 数u(t)と

す る と,

(７ ・19)

A》1な

らばA/

１+A≒1で

， 誤 差 は1/（1+A)だ

け 小 さ く な っ て い る こ とが

わ か る。

  次 に,実

際 に 使 わ れ て い る オ ペ ア ン プ(Operation 

Amplifier)を

使 っ た微

分 回 路 と積 分 回 路 を 示 し て お こ う。

(ａ)基 本 回 路

(ｂ)実 用 回 路 図7・10微

図 ７・10(ａ)は

分

回

路

微 分 回 路 の 基 本 形 で,

(７ ・20) τ=CR,A》1と

し て,

(７ ・21)

1》 τ/(1十A)で, 〓≒-τs

(７ ・22)

と な っ て 微 分 回 路 と な る。 これ で は,高

周 波 の 雑 音 成 分 の 増 幅 が 大 き い の で,

実 際 に は 高 周 波 で の 増 幅 を お さ え る た め 図 ７ ・10(ｂ)の Rsを

そ う入 し て い る｡こ

よ うに,入

力端子に

の場 合 は,

(７ ・23) ≡CRで

τ/Asと

た,τss》1で

〓

  た だ し,τs≡CRs,τ

し て い る｡ま

=‐R/Rs〓

と な る 。 次 に,積

あ り,1》

τss,

あれ ば

分 回路 につ

い て 示 す と 図 ７ ・11に な る 。 図 ７・８(ｃ)は 積 分 回 路 の 基 本 形 で, (７ ・24) τ=CR,A》1と

し て,

図 ７・11交

流 積 分回 路

(７ ・25)

1《Aτsで,

(７ ・26)

  次 に,図

７ ・11の

交 流 積 分 回 路 で は,周

期 波 形 の 積 分 の よ う にあ る基 本 周

波 数 以 下 の 低 周 波 を 積 分 す る 必 要 の な い と き使 わ れ る も の で,〓 償 抵 抗Rcが,フ て い る。Rcは

入 力端 子 に 補

ィー ドバ ック コ ン デ ン サ Ｃ に 並 列 に シ ャ ン ト抵 抗Rsが オ フ セ ッ ト電 流 補 償 の た め で あ り,Rsは

入 っ

直流 を含 む 超低 周波 利

得 を お と す た め に あ る 。 こ の 回 路 を 解 析 す る と,    

ei−eg=Ri-Aeg=e0 〓i1dt   eg−e0=

(７ ・27)

/C

i=i1+i2 〓ildt/ =Rsi2 C こ れ ら を ラ プ ラ ス 変 換 分て,

こ れ か ら, -AR3∈i/ ∈o=

 (７ ・28)

(1+A)R+R3+s(1+A)RR3C

こ こ で,A》1,AR》Rsを

仮 定 す れ ば,

(７ ・29) も し,sCRs》1な

ら,

Rs/ ∈0=-

sCRs《1な

∈i

 (７ ・30)

/sCRs ら,

(７ ・31)

と な っ て,ｔ

の 小 さ い と こ ろ で 積 分 回 路 と な っ て い る。 こ の と き,図

回 路 と比 べ る と,同

じ精 度 と す る と利 得 がRs/R倍(お

よそ10倍)に

７・5の なる。

７・２ 三 角波 発 生 回路  簡 単 に三 角 波 を発 生 で き る 回 路 と して,ネ を 考 え て み よ う。 こ の 回 路 で は,ネ く異 な る とい う性 質 が 重 要 で あ る 。

オ ン管 を 使 っ た,図

７・12の 回 路

オ ン管 が放 電 時 と しゃ断 時 で抵 抗 値が 著 し

  ネ オ ン管 は,図 で 放 電 し,放

７・12(ｂ)の

よ うに,端

子 電 圧 を 零 か ら増 や して い く とE1

電 し た ネ オ ン管 は 端 子 電 圧 を 減 ら し て い く とE2で

消 え る もの と

し よ う。   こ の 回 路 の 動 作 は, 始 めネ オ ン管 は 消 えて お り,コ

ンデ ンサ Ｃの

端 子 電 圧 もE1以

下 で (ａ)回

あ る とす る。

①

路

電 源 か ら抵抗 Ｒ を

(ｂ)ネ オ ン管 の 静 特 性 図7・12

通 っ て 電 荷 が Ｃ に た くわ え られ,そ

三角波発生回路

の 端 子 電 圧ecは

し だ い に 上 昇 し てE1に

ま で 達 す る。 ②E1に

達 し ネ オ ン管 が 点 灯 す る と 同 時 に そ

の 内 部 抵 抗 が 小 さ く な っ て,Ｃ い た 電 荷 は,ネ

に蓄 え られ て

オ ン管 を 通 し て 放 電 し,ecは

減 少 す る。 ③ecがE2ま

で 減 少 す る と,ネ

オ ン管 は消

図7・13

ネオ ン管の端子電圧波形

え,ふ

た た び Ｅ か ら の 充 電 が 支 配 的 と な り,①

の過程 に も どる。 以 上 の過 程

を,図

７・13に 示 す の で 参 照 さ れ た い 。 これ ら の 関 係 を式 に 表 わ し て み よ う。

《充 電 時》  (７ ・32)

t=0で,ec=E2の

初 期 条 件 を 入 れ る と,

E/ =(sCR+1)∈c-CRE2

S

こ れ か ら,

(７ ・33) た だ し,τ1≡CR ecがE1に

な る時 間

ｔ をT1と

お く と,

E-E2

∴   T1=τloge

(７

・34)

/ E-E1

《放融痔》   こ の と きは,ネ

オ ン 管 の放 電 痔 の 有部 抵抗

γは省

略 で き な い 。 図 ７ ・14に 等 価 回 路 を示 す の で 参 照 され たい 。 図 ７・14等 E=Ri+γi1,

1/ ri1=

C

価回 路

 i1+i2=i｝  1 〓i2dt,

/C

〓i2dt=e

 (７ ・35) c

(７ ・36) r=0で

,ec=E1の

初 期 条 件 を 使 っ て,

こ れ か ら,

 (７ ・37)

こ こ で,τ2≡C

ｔ がT2の

rR /r+R と き,ecがE2に

とおい て い る 。 な る と す る と,

よ っ て,

(７・38)

(E>E1,E2>E) r

/ R＋r

  ネ オ ン 管 の 内 部 抵 抗 γ
とれ ば

τ1>τ2,し

た が っ て,T1>T2に

とれ

る。 三 角 波 は ブ ラ ウ ン管 オ シ ロ グ ラ フ の 時 間 掃 引 の と き な ど に 使 うが,T1が ブ ラ ウ ン 管 表 示 時,T2は  次 に,実

帰 線 時 と す る と,T1》T2が

望 ま しい。

用 的 な オペ ア ン プ

を使 っ た 三 角 波 発 生 回 路 の 一 列を 図 ７ ・15に 示 す 。 方 形 波 と三 角 波 を 同 時 に 発 生 す る 回 路で,図

７ ・16は そ こ で 使 わ

れて い る シ ュ ミ ッ ト回 路 の み 図 ７・15方

を示 し た も の で あ る 。 シ ュ ミ ッ ト回 路 の 動 作 原 理 は,後

形 波 と三 角 波発 生 回路

に 述 べ る マ ル チ バ イ ブ レ ー タに 使 わ れ て い る 。

  始 め に ， 図 ７ ・16に 示 し た シ ュ ミ ッ ト回 路 に つ い て 説 明 し よ う。  い ま,e0が

飽 和 状 態 に あ れ ば, R1/

eg=ei-e+=ei-

e0

R1+R2

-Aeg=e0

に 大 きい(104∼105)の 内 の 電 圧 降 下1∼2Vを

で,e0は

り低 け れ ばegが 飽 和 状 態(電

る。 し た が っ て,一

らオ ペア ン プ な り,一

定 値 に止

度 は反 転 入 力 な の

今 まで も 絶 対 値 は 同 じ で あ る が 負 の 値 と な

度 逆 転 が お こ る と,eiは-R1es/(R1+R2),よ

な る まで こ の 状 態 を続 け る。 そ して,こ

き,出

し よ う)と

り少 し で も 大 き く な る と,今

負 の 飽 和 状 態 と な りe+は

ュ ミ ッ ト回 路

ご くわ ず か で も Ａ は 非 常

源 電 圧Vcc≒12Vか

引 い た 値 で こ れ をesと

ま っ て い る。 逆 に,eiがe+よ

度 は 正 のesに

図 ７ ・16シ

 (７ ・40)

の 関 係 が あ る 。 も し,eiがe+よ

で,e0は

 (７ ・39)

り小 さ く

の 値 よ り小 さ く な っ た 瞬 間 にe0は

な る の で あ る。 こ の よ うに して,入

今

力 が あ る基 準 値 を こ え る と

力が あ る二 つ の値 を不連 続 的 に とる ので あ る。

  入 力 が 正 弦 波 の と き の 出 力 波 形 を 図 ７・17に 示 す 。   次 に,図

７ ・15の 動 作 を 解 析 し よ う。 前 段 の オ ペ ア ン プA1が

路 構 成 に な っ て お り,後 段A2は

シ ュ ミ ッ ト回

ミ ラー積 分器 で ある。

(ｂ)三角波と方形波発生回路 の動作

(ａ)正 弦波 入 力が 加 わっ た と きの シュ ミ ッ ト回 路 の動 作 図 ７・17回

路

の

波

形

《解析》 e1-eg2=R3i

 (７ ・41)

〓idt eg2-e2=

 (７ ・42)

/d

-Aeg2=e2

 (７ ・43)

R2/

eg1=e1-

Rl+R2

(e1-e2)

= R1e1+R2e2/ R1+R2

 (７ ・44)

こ れら を ラ プ ラ ス変 換し て, ∈2/ ∈1+

A

=R3I

 (７ ・45)

(７ ・46)

(７ ・47) -A(∈i+R3q0)/ ∈2=

1+(1+A)CR3s

 (７ ・48)

CR3≡

τ と お き,

(７ ・49)

es ∈2= /s

と お く と(e2=esu(t)と

い う 入 力 が 加 わ っ た と し て い る),

(７ ・50)

R1/

t=0_でe2=

/es(こ

R2

の と きe1=es,eg1=0ゆ

え)で

あ る か ら,

(７ ・51)

よ っ て,

(７ ・52)

と な る 。e1がesを

持 続 し て い る の はeg1が

ぎ っ た と き-esに と きの

負 の と き で あ り,eg1が

反 転 す る 。 そ れ はe2=-R1es/R2の

ｔを Ｔ

零 点 を よ

と き で あ る か ら,そ

と お け ば,

(７ ・53)

(７ ・54)

こ れ か ら,

(７ ・55)

A》1で, (７・56)

周 期 は2Tで

あ る か ら周 波 数 ｆ は, (７ ・57)

の

で あ る。

7・3マ

ル チ バ イ ブ レ ー タ(multivibrator)

 マ ル チ バ イ ブ レ ー タは,二 で,出

つ の 増 幅 素 子 を 正 帰 還 に な る よ うに つ な い だ も の

力 状 能 の 違 い か ら,次

①

非 安 定(astable)マ

②

単 安 定(monostable)マ

③

双 安 定(bistable)マ

の 三 つ に 分 け られ る。 ル チバ イ ブレ ー タ ル チ バ イ ブ レ ータ ル チバ イ ブ レ ー タ

 非 安 定 マ ル チ バ イ ブ レ ー タ の 出 力 波 形 は (図7･18(ａ)の

よ う に,矩

く り返 しで あ る),矩 形 を得 た い と き,ま で い る の で,高

形 波 パル ス の (ａ)非

形 波 パ ル ス の 周期 波 た,高

安

定

(ｂ)単 安

定

(ｃ)双 安

定

調 波 成 分 に富 ん

調 波 を得 たい と きに使 わ れ

る 。 単 安 定 マ ル チ バ イ ブ レ ー タ は,ト 入 力 が 一 つ 入 る と,自

リガ

己 の時 定数 で存 続時

間 の き ま る矩 形 波 パ ル ス を 一 つ 発 生 す る 。 こ の 動 作 を 応 用 して パ ル ス の 整 形 な ど に 使 わ れ る(図7・18(ｂ),図7・21参

照)。 双

安 定 マ ル チ バ イ ブ レ ー タ は,ト

リガ入 力が

一 つ入 る ご とに二 つ の 状 態 を 交 互 に とる

図7・18マ

(図7・18(ｃ),図7・22参

リ ップ フ ロ ッ プ回路 な どの記 憶 ・

照)。 これ は,フ

ル チ バ イブ レー タ の 出力 波 形

演 算 回 路 な ど に 使 わ れ る。 〔１〕 非 安 定 マ ル チ バ イ ブ レ ー タ   トラ ン ジ ス タ と オ ペ ア ン プ を 使 っ た 非 安 定 マ ル チ バ イ ブ レ ー タ回 路 を,図 7・19(ａ),(ｂ)に ①

示 す 。 まず,図7・19(ａ)の

な ん らか の 原 因(た のic1がic2よ

②

υc1がRc1δic1だ

と え ば,電

子 流 の 統 計 的 ゆ ら ぎ で も よい)で,Tr1

りわ ず か に 多 く(δic1)流 け下 が る。

回 路 の 動 作 を 説 明 し よ う。

れ た とす る。

(ｂ)

(ａ)

図7・19ト

③C1を ④

通 っ て νb2が そ れ だ け 下 が る 。

し た が っ て,ic2が

⑤C2を ⑥ic1が ⑦

ラ ン ジス タ を使 った 非 安定 マル チバ イブ レー タ 回路

減 少 し νc2が 上 が る 。

通 って νb1が 上 が る 。 ます ます増 える。

以 上 の 変 化 が く り返 し行 な わ れ て,ic1が

⑧ic2は

零 に な り,Tr2は

⑨C1に

た ま っ た 電 荷 は,Rb2を

たち ま ち飽和 す る。

カ ッ トオ フ に な る 。

⑩

νb2は 指 数 的 に 減 少 し,零

⑪

νc2がRc2ic2だ

⑫

した が っ て,ic1は

通 して放 電 す る。

に な る や い な やic2が

け 上 が り,νb1が

流 れ始 め る。

そ れ だ け 下 が る。

減 少 し,νc1がRclic1だ

け 正 に な りC1を

介 し て,

νb2が 上 が る 。 ⑬

こ の よ う に し て,た

ち ま ちic2は

飽 和 し,iclは

カ ッ トオ フ に な る。 以

下 こ れ ら の 動 作 を く り返 す 。 同 様 の 経 過 を オ ペ ア ン プ を 使 っ た 図 ７・19(ｂ)で ①

電 源 を 入 れ た と きe0がes(電 た 値 で12-2〓10V程

②e2はR1es/(R1+R2)で ③

度)で

た ど っ て み よ う。

源 電圧 か らオ ペ ア ン プの吸 収 電 圧 を引 い あ っ た と す る。

あ る。

Ｃ に 初 期 電 荷 は な か っ た と し てe1=0。

④e2>e1故e0はesの

ま ま で あ る 。 Ａ の 利 得 は 大 な の で わ ず か で もe2>

  e1な

らe0は

飽 和 し てesの

⑤

こ の と き,Ｃ

⑥

も し,Ｃ

はR3を

介 し てe0に

の端 子 電 圧e1がe2よ

か ら即 座 にe0は-esに ⑦e2は ⑧

充 電 して,そ

よ り充 電 され,徐

々 に電 位 が 上 が る 。

り高 く な れ ば,今

度 は反 転 入 力 で ある

な る。

同 じ く-R1es/(R1+R2)に

Ｃ は 放 電 し,さ

e2よ

状 態 に あ る。

反 転 す る。

らに負 に

の端 子 電 圧 が

り低 く な る と 即 座 に

今 度 はe0はesに ⑨e2は

な る。

同 時 にR1es/(R1+R2)

と な り,e1が e1>e2に

充 電 して

な る まで そ の値 に

保 持 され る。 ⑩

Ｃ の 充 電 が 進 み,e1>e2 に な る とe0は

瞬 時 に-es

    に な る。 ⑪

以 下,こ

の 現 象 を く り返

す。  図 ７ ・20にeI,e2,e0の

波

図7・20各

部 の 波 形

形 を示 す 。 《解 析》 e1-e0=R3i 

e1=

(7・58)

〓idt /C

 (７ ・59)

-A(e1-e2)=e0 

(７ ・60)

R1/ e2=

R1+R2e0

E∈=(1+q0)/sCを

考 慮 して ラ プ ラ ス 変 換 を 施 す と,

 (７ ・61)

∈0-R3q0/ ∈1=

 (７ ・62)

1+R3Cs

こ こ で,t=0でe1=-R1es/(Ri+R2)で

あ る か ら,

- Rles/ q0= ∈2=es/sと

 (７ ・63)

(R1+R2)C

し て 結 局,

 (７ ・64)

た だ し,τ

≡R3Cで

ある。

  反 転 す る と き のe1はR1es/(R1+R2)で

あ る か ら,そ

の と きの ｔを

Ｔ とお

く と,

(７ ・65) よ っ て,

(７ ・66)

周 波 数fは1/2Tで

求 め られ る。

〔２〕 単 安 定 マ ル チ バ イ ブ レ ー タ   単 安 定 マ ル チ バ ィ ブ レ ー タ 回 路 を,図 タ 間 を 結 ぶ 線 の 片 方 が 直 流 接 続(抵

抗R2で

７・31に 示 す 。 相 互 の ベ ー ス ・コ レ ク つ な が っ て い る)に

な ってい る点

が 非 安 定 マ ル チ バ イ ブ レ ー タ の 場 合 と異 な る。 次 に,動 ①B_が

作 の 経 過 を た ど っ て み よ う。 負 な の で,Tr2は

カ ッ トオ フ に な っ て に り,Tr1は

導通 状 態 で あ

る。 ②Tr2の Tr1の ③Tr1が

コ レ ク タ に 負 の ト リ ガ 電 圧 が 加 わ る と,そ ベ ー ス に 加 わ り,νb1が カ ッ トオ フ に な る と

④

した が っ て,νc2が0電

⑤

こ の 電 圧 はC2を

負 と な っ てTr1が νc1が

の 電 圧 はC2を

カ ッ トオ フ に な る 。

正 に な っ てTr2が

位 と な っ てB+だ

介 して νb1を 下 げ,Trlは

介 して

導 通 と な る。

け 急激 に下 が る。 ト リ ガ 電 圧 が 消 滅 した 後 で

(ａ)

(ｂ) (ｃ)各 部 の波 形 図 ７・21単

  も

安 定 マ ル チバ イブ レー タ 回路

カ ッ トオ フ の 状 態 を続 け る 。

⑥   C2の

電 荷 がR1を

しTr2が

通 っ て 放 電 し,υb1が0電

位 に な る と,Tr1が

導通

カ ッ トオ フ と な る 。

⑦  こ の 状 態 は,ふ

た た びTr2の

続 く 。Tr2が,ト み よ う。C2に

コ レク タに負 の トリガパ ル スが くる まで

リ ガ パ ル ス の 到 来 に よ っ て 導 通 し て い る 時 間 を計 算 し て た く わ え ら れ る 電 荷 は2B+C2で

あ る か ら,

t

υb1=B+-2B+εt=Ｔ

で,υb1=0に

/ C2R1

 (７ ・67)

な っ た と す る と,

Ｔ=C2R1log2 で あ る 。 な お,C1は

 (７ ・68)

ス ピ ー ド ア ッ プ コ ン デ ン サ と よば れ る も の で,式(７

に は直 接 関 係 は ない 。   次 に,オ

ペ ア ン プ を 使 っ た 図 ７・21(ｂ)の

回 路 を 説 明 し よ う。

・68)

  ま ず 機 能 は,負

の 入 力 パ ル ス(ト

生 す る も の で,eiと

リガ)を

加 える と一 つ の固 有 の パ ル ス を発

い う入 力 ト リ ガ が 加 わ る と,出

力e0は

個 の 固 有 の 負 パ ル ス を 発 生 して い る 。 回 路 構 成 は,本 イ ブ レ ー タ と 同 じ で あ る が,反 あ り,Ｃ

こ れ に 対 応 して １

質 的 に は非 安定 マル チバ

転 端 子 に ダイ オ ー ド Ｄ が Ｃ に並 列 に 接 続 して

の 正 方 向 へ の 充 電 を 不 可 能 に して い る 。 し た が っ て,e1も

ドの ク ラ ン プ電 圧VDを

こす こ と は な い 。 ま た,非

ダ イオ ー

反 転 端 子 に はCiを

介 して

ト リガ 入 力 が 加 わ る よ う に な っ て い る 。 ダ イ オ ー ドＤ を は ず す と非 安 定 マ ル チ バ イ ブ レ ー タ と して 働 き,そ   ①e0がesに

の動 作 は 次 の よ うにな る。

な っ て い た とす る 。

  ②e2はR1es/(R1+R2)で ばe0は

あ り, e2>VDの

-esに

加 わ り,e2がVDよ

り下 が る とe0は

瞬時 に

変 わ る。

した が っ て,e2も-R1es/(R1+R2)に

な る。

  ⑤   Ｃ は 負 に 充 電 し始 め,e1<e2に

な る とe0は

  ⑥   e2も 瞬 時 にR1es/(R1+R2)と  ⑦

選んであれ

い つ もこ の状態 を保 って い る。

  ③   負 ト リ ガ パ ル スがesに

 ④

よ う にR1とR2を

ふ た た びesに

反転する。

な る。

Ｃ は 正 に 帯 電 しは じ め る が,ダ

イ オ ー ドの た め,そ

の 端 子 電 圧 はVDを

こ える こ とは ない。  ⑧

し た が っ て,e2に

ふ た た び 負 の ト リ ガ パ ル ス が 加 わ らな い か ぎ りこ の

状 態 を続 け る 。

《解析》 e1−e0=R3i

(７ ・69)

-〓idt e1=

(７ ・70)

/C

ラ プ ラ ス 変 換 を 行 な っ て,

(７ ・71) t=0でq0=-VD/C故

〓0=es/Sと

お い て,

(７ ・72) e1=-R1es/(R1+R2)に

な るの に要 す る

ｔ を

Ｔ

と お け ば,

(７ ・73)

VD/es≡

β と お く と,

(７ ・74)

(７ ・75）

とな る。

  〔３〕

双 安 定 マ ル チ バ イ ブ レー タ

  こ の場 合 は,相

互 のベ ース とコ レ ク タ間が

二 つ と も直 流 接 続 さ れ た も の で,Tr1かTr2 の ど ち ら か が 導 通 で,他

方 が カ ッ トオ フ に な

ってい る。導 通 の ほ うの トラ ンジ ス タの コ レ ク タ に 負 の ト リ ガ 電 圧 が 加 わ る と,カ

ッ トオ

フ に な り他 方 が 導 通 とな る。 次 に,図

７・22

を参 照 しな が ら動 作 の 経 過 を 説 明 し よ う。 ①

い ま,Tr1が フ と し,Tr1の

導 通 でTr2が

カ ッ トオ

コ レ ク タ に 負 の ト リ ガ電

図 ７.22双

安定 マル チ バ イ ブ レー タ 回路

圧 が 加 わ った とす る。 ②Tr1は

カ ッ トオ フ に な り,υc1はB+に

③

υb2が 正 に な る か らTr2は

④

υc2がB+か

⑤

υb1が 負 に な り,ト

な る。

導 通 と な る。

ら急 に ０電 位 に 下 が る 。

る 。 この 場 合 は,充

リ ガ 電 圧 が 消 滅 し て もTr1

は カ ッ トオ フ状 態 を続 け

放 電 し て べ 一 ス 電 位 を 変 化 させ る コ ン デ ン サ が な い の

で そ の ま ま の 状 態 を 続 け,過

渡 現 象 は存 在 しない。

  オ ペ ア ン プ を 使 っ た 双 安 定 マル チ バ イ ブ レ ー タ は 実 用 的 で な い 。 む し ろ 図 7・22の

原 理 を 使 っ た 回 路 が そ の ま ま集 積 回 路 化 され,論

理 回 路 と して 広 く使

われ て い る。

7・4パ

ルス 増幅 回路

  パル ス増 幅 回路 とい って も何 も特別 な回路 で は ない 。 広 帯域 増 幅 器 の こ とで あ る。理 想的 な矩 形波 パル スが,帯 域増 幅 器 を通 る と変形 を お こす 。 図7・23 に,そ の 波形 を示 す。 パル スは く り返 し周 波 数 を基 本 波 に もつ広 帯 域 の 周波 数

(ａ)高 域 が カ ッ トされ ている

(ｂ)低 域 が カ ッ ト され て い る

td:遅

延 時 間(delay 

time) 

tw:パ

ル ス 幅(pulse 

width)

図7・23パ

tr:立

ル

(ａ)ト ラン ジ スタ 回路

(ｃ)オ ペ ア ン プ 回路

(ｃ)高 域 カ ッ トを補 償 (オ ー バ ー ぎみ)

ス

上 り時 間(rise 

波

形

(ｂ)真 空管 回 路

図7・24パ

ル ス 増 幅 回 路

(ｄ)実 際 の 波 形 time)

を含 ん だ 波 形 で あ る か ら,パ

ル ス増 幅 器 も広 帯 域 増 幅 で な け れ ば な ら な い 。 図

７ ・24に,ト

空 管 お よび オ

ラ ン ジ ス タ,真

ペ ア ン プを使 った パル ス 増 幅 回 路 の 例 を 示 す 。 図 ７・25に 基 本 的 な 回 路 例 の 一 段 あ た りの 構 成 を 示 す が,こ

の素 子 の パル ス波 図 ７・25パ

形 に 及 ぼ す 影 響 を 検 討 し て み よ う。

ル ス増 幅 回路 の周 波 数 依 存

  こ の 回 路 の 伝 達 特 性 は,

(７ ・76)

に な る 。 こ の 伝 達 特 性 を １度 に 考 察 す る の は た い へ ん で あ る か ら,① 域,② ①

低 域,③

通過帯

高 域 の三 つ に分 け る。

通 過 帯 域(ωC3》1/R

2》 ωC2，1/R1》

ωC1)1)

  上 の 仮 定 が な りた つ 周 波 数 範 囲 で は,式(７

・76)は

簡 単 に な っ て, (７ ・77)

とな り,周 波 数 に 依 存 し な い 。 増 幅 す べ き 主 要 の 周 波 数 は,こ な け れ ば な ら な い 。 た だ し,A0は

②

低域(微 分 回 路)

この 場 合 に は,(た

通 過 帯 域 で の 比V0/Iiで

の 中 に入 っ てい

あ る。

(1/R2》 ωC2,1/R 1》 ωC1)

だ し,Alは

低 域 で の 比V0/Ii)

(７ ・78)

た だ し,

も し,R1《R2,R3な

らば

ωl≒

1

/ R2C3

１)S=jω

とお いた ときの

ω で あ る

。

 も し,式(７ る 回 路 に,図

・78)で 表 わ され ７・26で 示 され る

パ ル スが 加 わ っ た とす る と, 図 ７・26パ

ル ス増 幅 波 形

(７ ・79)

(７ ・80)

③

高 域(積

分 回 路)(ωC3》1/R2'wC2)

こ の 場 合 に は,(た

だ し,Ahは

高 域 で の 比V0/Ii) (７ ・81)

た だ し,

も し,R1《R2,R3な

 も し,式(７

・82)で

表 わ さ れ る 回 路 に 図 ７ ・26で

らば

ωh≒

1/

(C1+C2)R1

示 され るパ ル スが 加 わ っ

た とす る と,

よ っ て, e0=aA0〔{ut(t)-ε-ωht}-{u(t-τ)-ε-ωh(t-τ)}〕

 これ か ら,く

り返 し パ ル スが1kHzの

と きfh=105〔Hz〕,fl=10〔Hz〕

の 誤 差 で パ ル ス が 通 過 で き る こ とが わ か る 。く り返 し周 期 が1kHzの 1kHz以

下 の 低 周 波 成 分 を 含 ん で い な い に も か か わ らず,下

下 ま で(こ の 場 合 は1/100)と

ら な い と,波

で1% パ ル ス は,

限 の帯 域 をか な り

形 の ひ ず み は 無 視 で き な い 。 そ れ は,

パ ル ス の よ うな 波 形 で は 位 相 の ず れ が 問 題 に な る か ら で あ る とい っ て よ い 。

第 ８章

特

8・1フ

論

ー リエ 変 換 と ラ プ ラ ス 変 換

  周 期 現 象 や定 常 状 態 に は フ ー リ工 変 換 が 用 い られ,過 ラ ス 変 換 が 基 礎 に な る が,こ か 。 ま た,そ   〔１〕

学 的 に どの よ う な 関 係 が あ る だ ろ う

れ らの 変 換 に 含 まれ る意 味 を可 能 な か ぎ り示 し て み よ う。

フ ー リエ 変 換

  関 数f(x)が ∞)で

の 両 者 は,数

渡状 態 の解析 には ラプ

い た る と こ ろ で 不 連 続 で は な い とい う よ う な条 件 と区 間(-∞,

絶 対 積 分 可 能 な次 式 で あ る と し よ う。 た だ し,Ｍ

は あ る有 限 値 (8・1)

始 め に,f(x)が(-l,l)を リ エ 級 数 表 示 が で きて,次

こ こ に,an,bnは

基 本 区 間 とす る 周 期 関 数 で あ る とす る と,フ 式 で表 わ さ れ る 。

フ ー リ エ 係 数 で,

(8・2)

で あ る か ら,こ

れ を 式(8・1)に

代 入 して,

(8・3)

が え られ る。

とお き,上

式 に加 法 定 理 を適 用 す る と,

(8・4)

ー

に な る 。 も し,f(x)が

周 期 現 象 で な け れ ば,基

本 区 間 の ｌ を無 限 大 に す れ ば

よい 。 そ うす る と,右 辺 の 第 １項 は零 とな り,〓 ω→dω,n〓 ω→ ω とお い て,

(８ ・ ５)

に な る 。 こ れ は,

(８ ・ ６)

と書 い て も よい 。 な ぜ な ら, f(t)εjω(t-x)=f(t)cosω(t-x)+f(t)jsinω(t-x) 

に お い て,右

辺 の 第 ２項 は ω に 対 １ て 奇 関 数,第

で の 積 分 を(０,∞)か 零,第

ら(-∞,∞)に

(８ ・７)

１項 は 偶 関 数 で あ るか ら,ω

拡 張 す れ ば,第

２項 の 分 は 相 殺 され て

１項 は ２倍 に な る か らで あ る 。 こ こ に お い て, F(ω)≡

〓f(t)εjωtdt

  (８ ・ ８)

とお け ば, (８ ・ ９)

と表 わ され る。 式(８ ・８)を フ ー リエ 変 換,式(８ う。 こ の よ うに し て,フ 〔２〕

・９)を フ ー リエ 逆 変 換 とい

ー リ エ変 換 と逆 変 換 は 容 易 に 求 ま る。

ラプ ラス 逆変 換

第 ５章 で は ラ プ ラ ス 変 換 を導 入 し,逆 変 換 は 表 式 を示 し た に と ど ま っ た が, 本 項 で は,(ａ)ラ

プ ラス 逆 変 換 の表 式(ｂ)ラ

プ ラス 逆 変 換 の 使 用 例(ｃ)ラ

プ ラ ス逆 変 換 の正 当 性 の 証 明 とい う手 順 で 説 明 し よ う。  (ａ)ラ

プ ラス逆 変 換 の表式

  f(x)がx≧0で

定 義 さ れ,ｘ

に 無 関 係 な複 素 量

s=α+jβ を 導 入 し,F(s)=〓f(x)ε-sxdx(８

・10)

が 有 限 値 を示 せ ば,式(８

・10)をf(x)の

ラ プ ラ ス変 換 と称 し た 。 次 に,ラ

プ ラ ス 逆 変 換 は,

(８ ・11)

で表 わ せ る が,こ

こ に,〓dsは

そ の 積 分 路 は,図

複 素 積 分 で,

８ ・１ の よ うに,F(s)の

す べ ての

特 異 点 の 右 側 に あ る 虚 軸 に 平 行 な 直 線 で,こ

の積分 は 図

次 の よ う に書 け る。

８ ・１

ｓ 面表 示

(８ ・12)  こ の 積 分 をBromwich-(Wagner)積 記号

〓dsで

分 と い い,

表 わ す。

い ま,F(s)が￨s￨→

∞

の と き ０ に 収 束 す れ ば,

(８ ・13) と な る が,積 ≦ εrtで

分 路(図

あ る か ら,R→

F(s)→0に

８ ・２ 参 照)BCA上 ∞ で￨s￨→

な る か ら,け

で は￨εst￨

∞ に な り,

図 ８ ・２Bromwich積

分 路

っ き ょ く,

(８ ・14)

で あ る 。 し た が っ て,

(８ ・15)

が な りた つ か ら,留 数 定 理 に よ っ て,こ に お け る εstF(s)の

れ は 閉 曲線ABCAに

留 数 の和 に なる。

の留数 の和 (ｂ)ラ

囲 まれ た特 異 点

プ ラス逆 変 換 の計 算例

(８ ・16)

1/

１)F(s)=

 (８ ・17)

s

の留 数 の和 こ の 関 数 は 明 ら か に,s=0の

 (８ ・18)

とき 極 に な るか ら留 数 は,

(８ ・19)

a/

２)F(s)=

 (８ ・20)

s2+a2

の留 数 の和 こ の 関 数 の 極 は,s=±jaで

あ る か ら,留

数は

(８ ・21)

ほ か の い く つ か のF(s)に (ｃ)ラ Cauchyの

つ い て,各

自試 み られ たい。

プ ラス逆 変換 の正 当性 の証 明 積 分 定 理 に よれ ば,

(８ ・22)

で 表 わ さ れ る 。 両 辺 に 逆 変 換 を施 こ す と,

(８ ・23)

演 算 の 順 序 を交 換 して,ｓ

に 関 係 の あ る 項 を と りだ せ ば,

(８ ・24)

ζ を あ ら た め て ｓ に お きか えれ ば,

(８ ・25) に な る。

  〔３〕 フ ー リエ 変 換 の 拡 張 と して の ラ プ ラ ス 変 換   〔２〕項 お よ び 〔１〕項 で,ラ 項 で は,ラ

プ ラ ス逆 変 換 お よび フ ー リエ 逆 変 換 を求 め た が,本

プ ラ ス逆 変 換 を フ ー リエ 逆 変 換 の 直 接 の 拡 張 の 形 と して 導 い て み よ

う。 式(８ ・８)に お い て,ω

は 実 数 で あ っ た が,い

ま こ れ を複 素 数,

ω=α+jβ' 

(８ ・26)

と お く と,

 (８ ・27)

が,あ

る 定 数 ｍ に つ い て −m<β'<mで

収 束 す れ ば,

 (８ ・28)

〓 εjωxf(x)dx は 定 義 さ れ る 。 と い う の は,｜ εjωxf(x)｜=｜f(x)￨ε 式(８

・28)で

は

‐β'xだ か ら で あ る 。 た だ し,

ω は複 素数 で ある。

  通 例 に し た が っ て ，jω ≡ −sと

F(s)=〓

お く と,

ε−sxf(x)dx

 (８ ・29)

は,

〓

 (８ ・30)

ε-rxf(x)dx<∞

  た だ し,m1
とき

・29)は 図 ８ ・３ の 斜 線 で 示

され る領 域 Ａ 内 で 定 義 さ れ て い る 。 そ し て,反

転 公式

 (８ ・31)

が な りた つ。 ここで,積 分 は帯状領 域 Ａ の 内部 に含 まれ,虚 軸 に平行 な任意 の直線 に

図 ８・３ 両 側 ラプ ラス変 換 の収 束領 域

関 す る もので ある。   次 に,反 転 公 式 を証 明 し よ う。 〓

ε-rxf(x)dxは

絶 対 収 束 す るか ら, ε−rxf(x）

にフ ー リ エ の 公 式 を 適 用

し,

 (８ ・32) r-jβ

≡sと

お け ば,

 (８ ・33) し た が っ て,

 (８ ・34)

が な りた つ 。 こ の証 明 方 法 に よ る と,ラ

プ ラ ス 変 換 は フ ー リエ 変 換 の

素 量 に 拡 張 し た だ け で あ る こ とが わ か る 。 た だ し,式(８ F(s)=〓

ε-stf(t)dt

・35)を

  〔４〕 負 周 波 数 の 導 入(両

側 フ ー リ エ 変 換)と

  フ ー リ エ級 数 展 開 に よれ ば,時

図(ｂ)の (−l,l)の

よ う に表 わ され,両

因 果 律(片

側 ラ プ ラ ス変 換)

間 領 域 で 図 ８・４(ａ)の

よ うに 表 わ さ れ る 周

者 は ま っ た く等 価 で あ る 。 と こ ろ が,基

ｌを 無 限 大 に す れ ば,周

られ な い 。 と こ ろ が,式(８

本区間

期 関 数 で な く非 周 期 現 象 に な り,ω 領 域 で

ペ ク トル 密 度 と な る。 こ れ を 図(ｃ)に

は ２π を基 本 区 間2lで

積 分 し て お り,負

両 側 ラ プ ラ ス変 換 とい っ て い る。

波 数 領 域 で は ω0の 整 数 倍 の とこ ろ で 有 限 の 大 き さ を も つ

は 連 続 関 数 で 表 示 され,ス 場 合,ω

と こ ろ で は,

 (８ ・35)

の 関 係 を使 っ て い る。 式(８

期 関 数f(t)は,周

・32)の

ω を複

除 し た もの で あ る か ら,負

・９)を み る と ω に つ い て(-∞

示 す。 この

に な る こ と は考 え → ∞)の

領域 で

の 周 波 数 θい う も の を考 え て い る。 これ は い っ た い ど うい う

意 味 が あ る の だ ろ うか 。 そ の 回 答 は,そ

の 導 出 過 程 を よ く理 解 す る こ と に よ っ

て お の ず か ら得 られ る 。 す な わ ち,式(８

・ ５)か ら式(８ ・ ６)に 移 る

過 程 で 表 式 を簡 単 に す る た め,数 学 的等価性 にた よって導入 した に (ａ) 時 間領域 表 示

過 ぎ ない の で あ る。 した が って, 単 に 式(８ ・９)のみ を み て,い

たず

らに 負 の 周 波 数 の 意 味 を考 え る の は 無 意 味 な こ とで あ る 。 こ の よ う (ｂ) 周 波数 領域 表示

に,表

現 を簡 単 にす る た め の 数 学

的 手 段 を利 用 す る の は よ くあ る こ と で あ る。 式(８ ・８)のF(ω)も ま た そ の 例 で あ る とい っ て よい で あ ろ う。 直 接 物 理 量 を示 す 量 は 必

(ｃ) 非周 期関数 の周 波数 領域 表 示 図8･4 

関数 の時 間 に よび 周波 数領 域表 示

ず 実 数 で あ り,複 素 量 に な っ た 場 合 は,計 算 を簡 単 に す る た め に現 わ れ た 途 中 の段 階 と解 釈 して よ い｡た F(ω)は 複 素 量 で あ る が,実 部 はcos変 し,虚 部 はsin変

と え ば,

換 の 成 分(原 点 に対 し対 称 成 分)を 表 わ

換 の 成 分(反 対 称 成 分)を 表 わ し てい る。 また,実

部 は ω=

0に 対 し対 称,虚 部 は 反 対 称 に な る。   ゆ え に,式(８

・９)

の 左 辺 は ふ た た び 実 数 と な り,現 実 の物 理 量 を表 わ し て い る。 よ っ て,負 数 は 正 周 波 数 か らの 延 長 に よ っ て,そ

周波

の 対 称 性 か ら時 間 領 域 の 波 形 の対 称 性 を

定 め る こ とが で き る わ け で あ る。 た と えば,図

８・５(ａ)のF(ω)は,

 (８ ・36)

で 表 わ され るが,こ

れ は虚 数 で あ る か ら,sin変

し て い る。 ま た,図(ｂ)で

は,

換 の み で表 わ され る こ とを示

(8・37)

とな り実 数 で あ る か ら,cos変

換 を示 して い る。 図 (ａ)

(ｃ)で は, (8・38)

(ｂ)

とな っ て 両 変 換 成 分 を含 ん で い る。   次 に,片

側 ラ プ ラ ス変 換 で あ る が,式(8・29)の (ｃ)

m1＜ γ＜m2の でm1＜

制 限 は か な り きつ い 。 も し,m2→

γ の み の 条 件 で,式(8・30)が

た め に は,f(x)は,け

∞

意 味 を もつ

図8・5 

非 対称 波 形 の合 成

っ き ょ く,

f(x)=0 

 (8・39)

x＜0

の 関 係 が な け れ ば な ら な い 。 し た が っ て,式(8・30)は,

(8・40)

と書 け る 。 これ が,片   f(x)に

こ の に うな 制 限 が 許 され る の は,ｔ

あ る系 にt=0で f(t)〓0は

側 ラプ ラス変換 で あ る。 の 関 数 と し てf(t)と

入 力 を入 れ た 場 合 の 出 力 とす れ ば に い 。 こ の 場 合,t＜0で

原 因(入

力)の

前 に 結 果(出

不 可 能 で あ る 。 こ の よ うに し て,あ

力)が

現 わ れ る こ とで あ り,物 理 的 に

る 系 の 応 答 を調 べ る 場 合

片 側 ラ プ ラ ス変

換 は 有 効 で あ る こ とが わ か る 。 も し,定 常 状 態 を調 べ る な ら ば,t→ 入 力 をt=0で

し た 場 合,

∞

と な り,

入 れ る こ と事 態 が 無 意 味 に な る。

  こ の に うに して,“ 定 常 状 態 を調 べ る に はFourier変

換 ” が,“ 過 渡 状 態 を

調 べ る に は 片 側 ラ プ ラ ス変 換 ” が 有 効 な こ とが わ か る。

  8・2系

の

安

定

性

〔１〕 特 有 方 程 式 と 特 有 根 任 意 の 回 路 網 を入 力 と出 力 の 観 点 か らみ る と,図8・6の

よ うに 表 わ せ た が,

い ま,そ

の 微 分 方 程 式 が 次 式 で 表 現 で き た と し よ う。

(８ ・41)

  この系 が安定 で ある か不安 定 で あ るかは 図 ８・６ 四 端 子 回路 網 表 示

入 力 の い か ん に よ らな い で あ ろ うか ら,け っ き ょ く,次 式

 (８ ・42)

の 解,す

な わ ち,こ

の 系 の 自 由 振 動 に 着 目 す れ ば よい 。 系 が 安 定 で あ る か ど う

か は,そ

の 系 に 入 力 を入 れ な く と も,出 力 が 存 在 し,時 間 と と も に 無 限 に大 き

くな る か ど うか で き ま る 。1)自 由 振 動 姿 態 は 特 有 方 程 式 を解 け ば よ い か ら, ansn+an-lsn-1+…

の 根,す

…+a0=0

 (８ ・43)

な わ ち 特 有 限 を求 めれ ば よい こ と に な る。

こ こ で,

x=A1εs1t+A2εs2t+…

系 が 安 定 で あ る た め に は,特 る 。 した が っ て,特

…

 (８ ・44)

有 根 の 実 部 が こ と ご と く負 で あ る こ とが 必 要 で あ

有 根 ｓ を算 出 す れ ば よい が,そ

れ に は,式(８

・43)の

ｎ

次の 代 数 方 程 式 を 解 か な け れ ば な ら な い 。衆 知 の よ うに,一 般 に は,５ 次 式 以 上 の 代 数 方 程 式 は 解 き えず,３ 眼 は,式(８ る,す

次 式 で もか な りめ ん ど うで あ る 。 本 節 の 主

・43)を 解 か な く と も,係 数 か ら特 有 根 の 実 部 が こ と ご と く負 で あ

な わ ち,系

  本項 では ，

次 式,４

が 安 定 で あ る と い う こ と を判 定 で き な い か とい う点 に あ る 。

こ れ ま で に扱 って き た抵 抗

Ｒ

やイ ンダ クタ ンス Ｌ お よび コ ン

デ ンサ Ｃ の い わ ゆ る受 動 回 路 素 子 に よ る 回 路 に つ い て 考 察 して み よ う。   あ る 回 路 網 に,キ を た て,式(８

ル ヒホ ッ フ の 第 １お よ び 第 ２法 則 を適 用 して,回

・41)や

式(８ ・43)を 導 く と,an,an-1,…,a0と

路 方程 式

い う係 数 は 回

路 中 の Ｒ や Ｌ お よび Ｃ な ど で 構 成 され る か ら当 然 実 数 で あ り正 数 で あ る 。２)  １)実 際 には飽 和 の現 象(非 線 形)が 存 在 す るの で,出 力が 無 限 に大 き くな る こ とはな い 。 また, こ の とき,右 辺 が零 で も ｘ が 零で な い た めに は,初 期条 件 の こ とご と くが 零 で はな い こ とが必 要 で あ る｡  ２)ト

ランジ ス タや 真 空管 の含 まれ る｡い わゆ る能 動 回路 網 で は係 数が 負 に な る こ とが あ る｡

こ の 条 件 で,特 (ａ)１

有 根 が どの よ うな 制 限 を う け る か 検 討 し て み よ う。

階 の場 合 a0 a1s+ao=0 

∴s=-

 (８ ・45)

/ a1

a1,a0が

実 数 で 正 で あ る か ら Ｓ は 実 数 で 負,す

な わ ち,解

は時

間 と と も に必 ず 減 衰 す る 。 (ｂ)２

階 の場 合 a2s2+als+a0=0 

  2根

(８ ・46)

を,s1=α1+jβ1 

S2=α2+jβ2 

(８ ・47)

と お く と, {s-(α1+jβ1)}{S‐(α2+jβ2)}=0 よ っ て, s2−{(α1+α2)+j(β1+β2)}s+{(α1α2-β1β2)+j(α1β2+α2β1)}=0 (８ ・48)   式(８

・46)と

式(８

・48)を

比 べ て,

a1/

al+a2=−

  β1+β2=0 

a2

∴

β1=-β2≡

β

a0/

α1α2+β2=

 β(α1-α2)=0 

a2

∴

α1=α2≡

α

}

(８ ・49)

と な っ て, s1=α+jβ   で 表 わ さ れ,２

s2=α-jβ 

根 は 必 ず 複 素 共 役,実

な ら ばS1=α1,S2=α2で

部 は 負 とな ら ざ る を え な い 。 も し,β=0

よ い 。 これ か ら,係 数 が 正 で 実 の ２階 微 分 方 程 式 の特

有 根 は 相 異 な る 負 の ２実 根(重 素 共 役 根 の 場 合,虚

(８・50)

根 も可)か

複 素 共 役 根 に な る こ とが わ か る 。 複

部 が 振 動 の 角 周 波 数 を表 わ す こ とは す で に 学 ん だ とお りで

あ る。   例 題   同 様 の こ と を ３階 の 場 合 に つ い て 試 み よ。 〔2〕Hurwitz-Routhの

安 定 判別 条件

  系 の 中 に 能 動 素 子 が 含 ま れ る と不 安 定 な場 合 が で て く る。A.Hurwitzは, 1895年 の ス イ ス の ダ ボ ス に あ る 水力 発 電 所 の 設 計 に際 し,上 回 答 を え た が,そ

述 の 問 題 に対 す る

れ に先 立 つ こ と18年,E.J.Routhが"Atreatise 

stability of a given  state of motion"と

on the

い う論 文 を発 表 し,本 質 的 に 同 じ

結 果 を 出 し て い た こ とが 判 明 し た 。 こ こ で は,Routhに

したが ってそ の条件

を説 明 し よ う。 dnx/ an

dtn

+an-1

dn-lx dtn-1

+…

…+a0x=0 

(８ ・51)

の 解 が 安 定 で あ る た め に は, １)任

意 の 係 数 ａ;に 欠 け て い る も の が な く,ま た,全

部 同符号 で あ る こ

と。 ２)

た だ し,

  上 の 行 列 のan,an-1,b1,C1…

…

の す べ て が 同 符 号 で あ る こ と。

  こ の 証 明 は 専 門 書 に ゆ ず るが,こ の よ うな 方 法 に よ っ て,Siの 具 体 的 な 数 値 を 求 め る こ とな し に,系

が 安 定 で あ る か ど うか を比 較 的 容 易 に 判 定 す る こ とが 可

能 に な っ た わ け で あ る 。こ の安 定 判 別 に対 し て,1932年,H.Nyquistが

複素関

数 論 の 知 識 を巧 み に 使 っ て,別 の 方 法 を考 案 して い る こ と を つ け加 え て お こ う。 ８ ・３ 

自動 制 御 系 へ の 応 用

  自 動 制 御 で よ く使 わ れ る 直 流 サ ー ボ モ ー タ の 動 特 性 を 解 析 して み よ う。 始 め

に,線 形 の 例 と し て他 励 磁 式 を,次 わ れ て い る が,本

に,初 期 トル クが 大 きい た め実 際 に よ く使

質 的 に は 非 線 形 の た め,解 析 の 困 難 な 直 巻 式 に つ い て,そ

オ ー プ ンル ー プ特 性 を調 べ,最

の

後 に,他 励 磁 式 を 閉 ル ー プ に し た 揚 合 に つ い て

取 り扱 うこ とに し よ う。 〔1〕

他 励 磁 直 流 電 動 機 の 過 瀬 特 性(線

形 の例)

図 ８ ・７ に 他 励 磁 式 の サ ー ボ 電 動 機 を示 す が,こ の 場 合 の入 力 は,A・B間

に加 え る電 圧 Ｅ で あ り,

出力 は電機子 の 回転 角 であ る。 この系 の微分方 程式 を次 に 示 す 。 τ=kｉ=J

d2θ

E=Ri+L

dθ/

+f

/ dt2 di

dt

(８ ・52)

dθ

+k

/dt

図 ８・７ 他 励 磁 直流 電動 機 +α 

(８ ・53)

/dt

ただ し,  τ;電 動機 の トル ク  Ｌ:電 機 子 イ ンダク タンス Ｒ:電 機子 抵抗  

Lf:界 磁 イ ンダク タンス

Rf:界 磁 抵抗 Ｊ:電 動機 お よび負荷 の合成 慣性能 率 ｆ:電 動 機 お よび負荷 の合成 粘性 摩擦 係数 ａ:電 動 機 お よび負荷 の合成 静摩 擦係 数 ｋ:比 例定 数 

Ｅ:電 動機 へ の印加入 力 電圧

θ:電 動機 の回転 角  ｉ:電機 子電 流 if:界 磁電 流  dθ / dt

>0の

と き α>0,

aθ / dt

Ef:界 磁 電圧 <0の

と き α<0,で

あ る 。 こ こ で,式(８

・52)は

電 動 機 に発 生 す る トル ク が 電 機 子 電 流 に 比 例 す る こ と を意 味 し て い る 。 また, こ の トル クは 何 に費 され るか と い う と,系 の 機 械 的 な慣 性 能 率 に 角 加 速 度 を乗 じた も の と,粘 性 摩 擦 や 静 摩 擦 に よ る逆 トル ク で あ る。 次 に,式(８

・53)は 電

気 的 な平 衡 関 係 を示 す もの で,印 加 電 圧 が 抵 抗 お よび イ ン ダ ク タ ン ス に生 ず る 逆 起 電 力 と,電 機 子 の 回 転 に 伴 う逆 起 電 力 に 等 しい こ とを表 わ し て い る 。 両 式

に あ る ｋ は,エ

ネ ル ギ ー不 変 性 か ら等 しい もの で あ る こ とが 導 き だ せ る。

い ま簡 単 の た め,静 止 摩 擦 は無 視 す る もの と し て こ の 系 を解 い 分 み よ う。 ラ プ ラ ス 変換 して, (８ ・54)

た だ し,

で あ る。 機 械 的 な慣 性 に 比 べ,電

気 的 な慣 性 は小 さい とし,L=0と

お く と,  (８ ・55)

さ ら にf=0と

す る と,

 (８ ・56)

とな っ て,い

わ ゆ る １次 遅 れ'の伝 達 関 数 を 有 す る こ とに な る 。 次 に,時

間関 数

に逆 変 換 す る と，  (８ ・57)

とな る。 図 ８ ・８ に 階 段 状 入 力 電 圧 を加 え た と きの 回 転 速 度 を示 す 。

図 ８。８ 階段 状入 力電圧 を加 えた ときの他 励磁 式 の回 転速 度

図 ８・９ 直捲 直 流 電動 機

〔2〕 直巻 直流 電動機 の過 渡 特性(非 線形 の例)1)  今 度 は,界 磁 お よび電 機子 が 直列 につ なが ってい る図 ８・９ の直巻 式 の直 流 電動機 の端 子 に階段 状電 圧 を加 えた場 合 の過渡特 性 を考 察 して み よう。微 分 方 程 式 は, １)詳 し くは,窪 田忠 弘著 “直流 電 動機 の制 御 特性"計 測 と制御 昭38・11月号(計 測 自動制 御 学会) 参 照 の こ と。

(８ ・58)

(８ ・59)

  こ の 場 合 の トル ク τ は,界 す る 。 こ のkは,式(８

磁 電 流 と電 機 子 電 流 が 同 じiな

・52),お

例 係 数 で あ る 。 上 式 は,非

よび,式(８

の でi2に

・53)のkと

比例

は値 の 異 な る比

線 形 な の で ラ プ ラ ス 変 換 は使 え ず,時

聞領域 で解 か

ざ る をえ ない。   Ｅ とい う印 加 電 圧 が 加 わ っ た と き の 電 動 機 の 回 転 速 度 を 求 め た の で あ る が, dB/ ≡xと お き,R+Rfを あ らた め て Ｒ と お く こ とに す る。 簡 単 の た め, dt 式(８

・58)と

式(８

・59)か

ら

ｉ を 消 去 す れ ば,

(８ ・60)

い ま こ れ を,

(８ ・61)

と お く と,解

はt=0で,X=0の

初 期 条 件 を 入 れ て,

(x-ξ)kl(x-η)k2(x-ζ)ｋ3=(-ξ)k1(-η)k2(-ζ)k3ε た だ し,

‐φt  (８ ・6２)

であ る。

  式(８ ・62)で 印 加 電 圧 対 回 転 速 度 の 伝 達 特 性 を表 わ す こ とが で き た の で あ る が,こ

れ で は 複 雑 す ぎ て 実 用 性 に 乏 しい の で 種 々 の 簡 略 化 を施 そ う。

  (ａ)f=0,α=0,す 62)は

な わ ち,摩

擦 負 荷 が 存 在 し な い 場 合 で あ る が,式(８

・

次式 の よ うに変形 され る。

(８ ・63)

(８ ・64)

ｔ→ ∞

で 発 散 す る が,こ

ウ ェイ(run (ｂ) 

away)の

α=0,R=0と

れ は 直 巻 式 で既 知 の 無 負 荷 運 転 を し た場 合 の ラ ン ナ

現 象 を示 し て い る 。 す れ ば,

(８ ・65)

ｔ → ∞ で 有 限 で あ り,定 常 角 速 度 は Ｅ の2/3乗   (ｃ)f=0,R=0と

す れ ば,こ

に比 例 す る。

の 場 合 が 普 通 の 位 置 サ ー ボ で 許 され る 近 似

な の で あ る が,

(８ ・66)

と な り,t→ ∞ で 定 常 角 速 度Xcは, E Xc=

 (８ ・67)

/√ αk

と な っ て 印 加 電 圧 に 比 例 す る 。 さ ら に,Rキ0 と した 場 合 の 拡 張 は 容 易 で あ る か ら記 述 す る の を 省 略 す る 。 図 ８・10に 過 渡 特 性 の 比 較 を 図 ８・10直

示 す の で参照 された い。

巻 式 と他励 磁 式 の 回転

速 度 ・過 渡 特 性 の比 較

〔３〕 閉 ル ー プ の 場 合   実 際 に他 励 磁 式 の サ ー ボ モ ー タ を 自 動 制 御 に 組 み 込 ん だ,図

８ ・11に お け る

系 を 考 察 し て み よ う。 シ ス テ ム の微 牙 方 程 式 は, d2θ/

τ=ki=J

dt2 E-β θ=Ri+L と な る 。 た だ し,β

+f

dθ

/dt di/ dt

+k

+α 

(８ ・68)

dθ  (８ ・69)

/ dt

は フ ィ ー ドバ ッ ク 定 数,こ

の 解 はL=0,f=0と

して次 の

よ うにな る。

図 ８・11他

励 磁式 電 動機 を組 込ん だ 自動制 御 系 の例

図 ８・12サ

ー ボ系 の応 答

ラ プ ラ ス 変 換 し て,

(８ ・70)

k2 た だ し,

/2JR

逆 変 換 す る と,

≡

A′

(８ ・71)

特 性 を図 ８・12に 示 す 。   こ の 動 作 は 左 側 の ポ テ ン シ ョ メ ー タ の 可 動 点 Ａ を動 か す と左 右 の ポ テ ン シ ョメ ー タ に 電 位 差 が 生 じ,サ

ー ボ モ ー タ の 電 機 子 の 両 端 に 電 圧 が 加 わ り電 機 子

が 回 転 す る 。 そ うす る と,電 機 子 に接 続 し て い る右 側 の ポ テ ン シ ョ メ ー タ の 可 動 点 Ｂ が 移 動 し,Ａ ー タは止 まる

点 と同 電 位 に な っ た と き モ ー タへ の 入 力 は 零 に な っ て モ

。 こ の よ うに して,Ａ

点 を変 え る と遠 隔 に あ る Ｂ 点 の 電 位 が 追

縦 し て 変 わ る の で あ る 。 自 動 制 御 的 な 見 地 か らす れ ば,い 少 な くす る か が 問 題 な の で あ る が,系 れ が あ り,そ こ で,位

か に してそ の誤差 を

の利 得 を あ げ す ぎ る と不 安 定 に な る お そ

相 進 み 回 路 や 遅 れ 回 路 を用 い る こ と に な る 。 ど の よ うな

も の を使 え ば 最 適 な制 御 が で き る か が 自動 制 御 技 術 者 の腕 の み せ ど こ ろ に な る の で あ る。

〓補 編 〓

過渡現象解法の実際  過 渡 現 象 の なか で 難 しい 問題 と して は,完 全 密結 合 の変 成 器 とか,電 源 に直 列 に抵 抗 が 接続 され て い ない(鎖 交 磁 束 や電 荷 の 連続 則 が 成 立 しない)場 合, あ るい は整 流 素 子 が 含 まれ て い る回路 とか の あ る意 味 で特 殊 な場 合 を除 く と, 直並 列 の複 エ ネル ギ ー回路 に交 流 電源 を印加 す る場 合 で あ ろ う。 また,実 際 の 計 算 もなか なか 手 間 が か か り,こ の種 の 問題 が 自在 に解 けれ ば,大 学 課 程 で の 過 渡現 象は 卒 業 で きた とい っ て よい で あ ろ う。 数 学 的 に は,非 同 次項 が 正弦 関 数 であ る ２階 の微 分 方 程 式 を解 くこ とに あた る ので,始 め に この 解法 を具 体的 に列挙 し,次 に い くつか の 実例 を解 く こ とに す る。   〔１〕 非 同 次項 が正 弦 関 数 の ２階 微分 方 程 式の 解 法   この 問題 は, (１ ・ １)

を初 期 条 件, t=0で

ｙ=y0,y(1)=y0(1) 

(１ ・２)

の も と に解 く こ と で あ る。 こ れ を 解 く に は 次 の 方 法 が あ る 。   (１)  時 間 領 域 で 解 く方 法(Ⅰ) 

特 解 と補 解 を 求 め て,こ れ ら を加 え て 一

般 解 を 導 び く。 初 期 条 件 を 使 っ て 一 般 解 の 中 に 含 ま れ る任 意 定 数 を 消 去 し,最 終 解 を 出 す 。 特 解 を 求 め る の に 正 弦 関 数 の 形 を仮 定 し,未 定 係 数 法 に よ って 係 数 を定 め る 。   (２)  時 間 領 域 で 解 く方 法(Ⅱ) 

特 解 を 求 め る の にjω 法 を使 う点 が 上 述

の 方 法 と異 な る だ け で あ る 。jω 法 は 記 号 解 析 の 一 種 な の で,厳

密 には 時 間 領

域 で の 解 法 と演 算 子 に よ る 解 法 の 組 み 合 わ せ で あ る 。   (３)  ラ プ ラ ス 演 算 子 で 解 く方 法 を使 う の で,一

  ラ プ ラ ス 演 算 子 を適 用 す る 際,初

度 に 最 終 解 が 得 られ る。 しか し な が ら,交

期値

流 電 源 印加 の場 合 の

計 算 の 手 間 は 必 ず し も 少 な くは な ら な い 。 以 下 に,(１),(２),(３)で

述 べ た 手 順 を 示 そ う。

《時 間 領域 で解 く方 法(Ｉ)》 式(Ｉ

・１)の

一 般 解 を

ｙ と お く と,

y=ys+yt  こ こ に,ys:特

ysは

(Ｉ ・３)

解, 

とに が く式(Ｉ

yt:補

解

・１)を 満 足 す る解 で あ る が ら,右

正 弦 関 数 で あ る と 推 定 す る。 た だ し,sin関 で,ysと

辺 が 正 弦 関 数 な らysも

数 は 微 分 す る とcos関

数 になるの

し て は, ys=B1sin(ωt+φ)+B2cos(ωt+φ) 

を仮 定 し,式(Ｉ

(Ｉ ・４)

・１)に 代 入 し,同 式 を 満 足 す る よ うにB1とB2を

で あ る。 結 果 は ５・１ 節(53ペ

ー ジ)に

き める の

示 し た よ うに,

(Ｉ ・５) と な る 。 さ ら に, ys=Ksin(ωt+φ-θ) 

(Ｉ ・６)

た だ し,

(Ｉ ・７)

の 形 に ま と め る と,系

の 性 質 が み や す く て 便 利 で あ る。K/Aは

入 力 と出力 の

振 幅 比 で あ る し,θ は 入 力 に 対 す る 出 力 の 位 相 遅 れ を 示 し て い る 。ytは,Aεst の 形 を仮 定 し て 式(Ｉ

・１)に 代 入 し,ｓ

を,

α2s2+α1s+α0=0 

(Ｉ ・８)

の 根 と して,

(Ｉ

・９)

あ る い は,

yt=(A1+A2t)εs0tた

だ

し,s0=-a1/2a 2 

(Ｉ

・10)

も ち ろ ん,式(Ⅰ で あ る｡こ

・10)は 式(Ⅰ

れ らか ら,相

・９)で 判 別 式a12-4a0a2=0の

重 根 の場 合

異 な る ２根 の 場 合 は,

y=Ksin(ωt+φ-θ)+A1εs1t+A2εs2t

(a12-4a0a2〓0) 

(Ⅰ ・11)

が 求 ま り,一 次 微 分 は, y(1)=ωKcos(ωt+φ-θ)+s1A1εs1t+s2A2εs2t 

で あ る か ら,初

期 条 件t=0でy=y0,

(Ⅰ ・12)

y(1)=y0(1)を

用 い る と,

y0=Ksin(φ-θ)+A1+A2 y0(1)=ωKcos(φ-θ)+s1A1+s2A2 

(Ⅰ ・13)

か ら,

(Ⅰ ・14)

が 求 ま る｡重

根 の 場 合 は,同

様 に 計 算 す る と,

y=Ksin(ωt+θ-φ)+(A1+A2t)εs0t 

(Ⅰ ・15)

A1=y0-Ksin(φ-θ),

A2=y0(1)-s0y0+K{s0sin(φ-θ)-ωcos(φ-θ)} 

が 求 ま る｡な

お,相

(Ⅰ

・16)

異 な る ２根 の 場 合 で 判 別 式 が 負 の 場 合 は, (Ⅰ ・17)

と お く と,式(Ⅰ

・11)は

次 の よ う に 変 形 で き る｡

y=Ksin(ωt+φ-θ)+A1ε(-α+jβ)t+A2ε(-α-jβ)t Ksin(ωt+φ-θ)+(A3+jA4)ε(-α+jβ)t+(A3-jA4)ε(-α-jβ)t  (Ⅰ ・18)

(Ⅰ ・19)

こ れ ら か ら,

(Ｉ ・20)

が 求 ま る。   《 時 間 領 域 で 解 く方 法(Ⅱ)》   特 解 を求 め る の にjω は ５・１節(53ペ

法 に よ る の が(１)の

ー ジ)に 詳 述 して あ る が,こ

場 合 と異 な る だ け で あ る 。jω れ に よ る と式(１

法

・１)の 特 解 は,

H=a2(jω)2+a1(jω)+a0=(a0-ω2a2)+jωa1 

(Ｉ ・21)

とお い て′

(Ｉ ・22)

が た ち ど こ ろ に 求 ま る。 も ち ろ ん,こ

れ は(１)の 方 法 で 求 め たysと

る こ とは 容 易 に わ か る 。 補 解 以 下 の 求 め 方 は,(１)の ま た も し,式(１

・１)の 右 辺 がcos関

図 Ｉ ・１H-面

数 の と き,す

図

一 致 して こ

方 法 と全 く 同 じで あ る、 な わ ち,

(Ｉ ・23) の と き は,

(Ｉ ・24)

と な り,sinを

そ の ま まcosに

す るだけ で

Ｈ,∠Hは

式(Ｉ

・22)と

同 じで

ー ジ)に 詳 述 した ラ プ ラ ス 演 算 子 を 使 っ て 式(１

・１)を

あ る。   《 ラ プ ラ ス 演 算 子 で 解 く方 法 》   次 に,５

・２節(64ペ

計 算 し て み よ う。

t=0でy=y0,y(1)=y0(1)

こ れ を 展 開 して, (Ｉ ・25)

の 形 に して ラ プ ラ ス変 換 を 施 す 。 始 め に 重 根 で な い 場 合 に つ い て 計 算 す る 。

(Ｉ ・26)

相 異 な る ２根 の場 合:

a2s2+a1s+a0=a2(s-s1)(s-s2) と因 数 分 解 し,

(Ｉ ・27)

こ こ に,

を 得 る。 これ を ラ プ ラ ス 逆 変 換 し て 解 を 求 め る こ とに な る 。 式(Ｉ ・27)の 右 辺 の{}の

中 が 第 １項 の み だ と,初

期値 が 零 の場 合 の交 流 入 力 に対 す る応 答 を

表 わ し,第

２項 の み だ と初 期 値y0,y0(1)の

場 合 の 自 由 応 答 を 表 わ し て い る。

こ れ ら を三 つ に 分 け る 。

(Ｉ ・28)

(Ｉ ・29)

(Ｉ ・30)

こ れ ら は 上 か ら順 に, t=0でy=0,y(1)=0 (Ｉ ・31) t=0でy=0,y(1)=0 (Ｉ ・32) t=0でy=y0,y(1)=y0(1) (Ｉ ・33)

の ラ ブ ラ ス 変 換 表 示 に な っ て い る。 式(Ｉ

・28),(Ｉ

・29),(Ｉ

・30)は 部 分 分

数 に 展 開 し,

(Ｉ ・34)

(Ｉ ・35)

(Ｉ ・36)

こ れ ら を逆 変 換 し て,

(Ｉ ・37)

(Ｉ ・38)

(Ｉ ・39)

(Ｉ ・40)

y=y1+y2+y3 で 最 終 解 が え られ る こ と に な る 。 も ち ろ ん,こ 致 して い るが,表

の 解 は 時 間 領 域 で 求 め た 解 と一

現 が 異 な っ て い る の で 同 一 で あ る こ と を念 の た め 算 出 し て お

こ う。   ま ず,y3で

あ るが,こ

れ は 式(Ｉ

・33)の

解 で あ る。

y=A1εs1t+A2εs2t y(1)=s1A1εs1t+s2A2εs2t

よ っ て,y0=A1+A2,y0(1)=s1A1＋s2A2

 (Ｉ ・41)

が 求 ま る 。 式(Ｉ

・39)で,

(Ｉ ・42)

の 関 係 を使 っ て い る。   次 に,y=y1+y2は, t=0y=0y(1)=0 の 解 で あ る か ら,時 の 中 でy0=0,y0(1)=0と

間 領 域 で 求 め た 対 応 す る 解 は 式(Ｉ ・11)お よ び 式(Ｉ ・41) し た も の と,式(Ｉ

・37)と 式(Ｉ

・38)を 加 え た も の

と が 等 し い こ と を示 さね ば な ら な い 。 これ を再 び 示 す と 時 間 領 域 で 求 め た 解 は, y=Ksin(ωt+φ-θ)+A1εs1t+A2εs2t

(1･43)

で あ る 。 した が っ て,式(1･37)と

式(1･38)を

加 え た も の と式(1･43)

の 対 応 す る 関 数 の 係 数 が 等 し くな る こ と を示 せ ば よい 。   εS1tの 係 数:

(1･44) で あ れ ば よ い 。s1,２

は 式(Ⅰ･27)の

関 係 が あ る か ら,

(Ⅰ･45)

し た が っ て,式(1･44)は,

(Ⅰ ・46)

と な っ て 一 致 した こ とが 示 さ れ た 。 同 様 に して, εs2tの 係 数: 〔式(Ⅰ

・43)のA2〕

(Ⅰ ・47)

で あ る こ とは 容 易 に 算 出 で き よ う。 最 後 に, cosωtお

よ びsinωtの

係数

式

の

の係数 (Ⅰ ・48)

=式(Ⅰ

・43)

の係数 (Ⅰ ・49)

を示 さね ば な らな い 。 そ れ に は,

(Ⅰ ・50)

等 の 関 係 を用 い,

(Ⅰ ・51)

(Ⅰ ・52)

が 導 きだ さ れ 式(Ⅰ ・48)と 式(Ⅰ ・49)が 証 明 され た 。 こ れ に よ っ て,式(Ⅰ

・2)

の 初 期 条 件 の も と で 式(Ⅰ･1)を (Ⅰ･14)と

解 く の に,時 間 領 域 で 解 い た 結 果 の式(Ⅰ･11),

ラ プ ラ ス演 算 子 法 に よ り解 い た 結 果 の 式(Ⅰ･40)が

同一 の もの で あ

る こ とが 示 さ れ た。   重 根 の 場 合: S1=S2=S0=-

の 場 合 は 式(Ⅰ･1)を

a1 /2a2

(Ⅰ･53)

ラ プ ラ ス変 換 し て,

(Ⅰ･54)

を 得 る。 前 述 の 相 異 な る ２根 の 場 合 と 同 様 に ， こ れ を 三 つ に 分 解 し,そ

れぞれ

の 解 を求 め て 合 成 し よ う。

(Ⅰ･55)

(Ⅰ･56)

(Ⅰ･57)

これ ら を部 分 分数 展 開 して, (Ⅰ･58)

(Ⅰ･59)

(Ⅰ･60)

こ れ ら を 逆 変 換 して,

(Ⅰ･61)

(Ⅰ･62) y3={y0+(y0(1)-Soy0)t}εs0t 

(Ⅰ･63)

y=y1+y2+y3 

(Ⅰ･64)

  こ れ が 時 間 領 域 で 求 め た 式(Ⅰ･15),式(Ⅰ･16)と よ い 。 式(Ⅰ･15)のsinωtに

よ びcosωtの

一 致 す る こ とを示 せ ば 係 数 は そ れ ぞ れ,

Kcos(φ-θ),Ksin(φ-θ)  に な る 。 式(Ⅰ･61)と

式(Ⅰ･62)を

(Ⅰ･65) 加 え てsinωtに

よ びcosωtの

係数 を

求 め る と,   sinωtの

係 数:

(Ⅰ･66) cosωtの

係 数:

(Ⅰ･67) た だ し,

(Ⅰ･68) の 関 係 を使 っ て い る。 εs0tの

係 数:

(Ｉ ・69)

と な っ て,時

間 領 域 で 求 め た 式(Ｉ

・16)に 一 致 す る こ とが 示 され た 。

  〔２〕 交 流 電 源 投 入 時 の 直 並 列 複 エ ネ ル ギ ー 回 路 の 案 例   Ｌ,Ｃ,Ｒ

素 子 を １個 ず つ 使 っ た 直 並 列 回 路 は,次

に つ い て順 次 計 算 し て み よ う。 な お,重

の 三 種 類 に 限 る の で これ ら

根 の 場 合 とか 振 動 的 の 場 合 の 検 討 は 省

略 した の で 。 各 自 実 行 され た い 。   (１)右

図 Ｉ・２ の 回 路 で,t=0で

ス イ ッチ

Ｓ を 閉 じた 後,電

源 を 流 れ る 電 流 ｉを 求 め て み

よ う。 た だ し,初

期 値 はi2=0,q=q0と

  (ａ)時

間領 域 で の解 法 では 特解 を求 め るの

に 交 流 入 力 の 場 合 はjω で,今

す る。

法 が 文 句 な く簡 単 な の

後 は 特 解 へ の 導 出 は こ れれ に よる。

R(i1+i2)+L

di2/ dt

=Emsin(ωt+φ)

図

１ ・２

(Ｉ ・70)

(Ｉ ・71) 式(Ｉ

・70)か

ら 式(Ｉ

・71)を

使 っ てi2の

み の 式 に す る 。 そ の 結 果 は,

(Ｉ ・72)

(Ｉ ・73) (た だ し,s1〓s2と

し よ う)

よ っ てi2の

ら

・74)

(Ｉ

・75)

初 期 条 件 と し て は,

t=0でi2=0,i2(1)=q0/Lc こ こ れ か

(Ｉ

,

(Ｉ ・76) よ っ て,

(Ｉ ・77)

次 に,

(Ｉ ・78)

で 最 終結 果 が求 まる。   (ｂ)jω

法 が 十 分 理 解 で きて い れ ば,特

以 下 に 示 す よ うに,視

に微 分 方 程 式 を つ く ら な く と も,

察 に よ り解 が 求 め られ る。

  ま ず 一 般 解 は,  

i=iis+it

こ の形 で 求 まる

。itは(重

根 の場 合 で な い と し て)

it=A1εs1t+A2εs2t

(Ｉ ・79)

の 形 で 示 さ れ る。 ｓは この 回 路 の 一 般 化 イ ン ピ ー ダ ン ス を ０な ら しめ るsの で,

値

次 にisは,

(Ｉ ・80)

  次 に,初

期 値 で あ るが,直

接 ｉの形 で 初 期 値 が 与 え られ て い な い か ら,与

ら れ た 初 期 値 か ら誘 導 す る 必 要 が あ る 。t=0の 部 イ ン ピ ー ダ ン ス0の

電 圧 源,Ｌ

瞬 間,Ｃ

は 端 子 電 流i0,内

の 電 流 源 と して 考 えて よい か ら,t=0の

は 端 子 電 圧q0/C,内

部 イ ン ピ ー ダ ン ス 無 限 大(

ｉは,

(Ｉ ・81) i0(1)に

つ い て は,

を微 分 し,t=0を

代 入 して,

(Ｉ ・82)

た だ し,t=0で こ れ ら を使 っ てA1,A2を

で あ る。

消 去 す れ ば よい 。

えこ

な お,(ａ)の LC

d2i2

方 法 に お い て,i=i2+LC

/ dt2

で あ る か ら,〔 式(Ⅰ ・72)〕+

/ d2 / dt2

〔 式(Ⅰ

と し て 式(１

・72)〕 を 構 成 し て や れ ば 求 め た い ｉの み の 式 に な り,初 期 条 件

・81),(１

・82)を

使 っ て も解 を 求 め る こ とが で き る 。 す な わ ち,

=(1-ω2LC)Emsin(ωt+φ) d2i/

∴LCR

+L

dt2

di/ dt

 (１ ・83)

+Ri=Em(1-ω2LC)sin(ωt+φ)

 (１ ・84)

(１ ・85)

式(Ⅰ

・84)を 式(Ⅰ

  次 に,ラ

・85)の も と で 解 け ば よい 。 結 果 は も ち ろ ん 同 じ に な る 。

プ ラ ス 演 算 子 を使 っ て 解 い て み よ う。 ふ た た び 式(Ⅰ ・70),(Ⅰ ・71)

を か か げ る と,

R(i1+i2)+L

L

di2/

=q/

dt

q’

di2

=Emsin(ωt+φ)

/ dt dq/ i1

dt'

 i=i1+i2

t=0,i2=0,q=q0 で あ っ た 。ラ プ ラ ス 演 算 子 を 使 う と き は 連 立 方 程 式 の 段 階 で 適 用 す る の が よい 。

R(I1+I2)+L(sI2-0)=Em L(sI2-0)=

I2=

I+q0/ 1+s2LC

I1+q0/ sC’

か ら式(Ⅰ

cosφ

・ω+sinφ

・s

/s2+ω2

I=I1+I2

・87)に

 (１ ・86)

(１ ・87)

代 入 し て,

(Ⅰ ・88)

こ れ か ら,

(I・89)

(I・90)

相 異 な る ２根 の と き,

(I・91)

と書 き な お せ る。 当 然 の こ と な が ら式(I・91)は ラ プ ラス変換 し

式(I・82),(I・85)を

直接

え られ た 結 果 と一 致 して い る。 これ は,

(I・92)

とな る。   こ の よ うに し,

い く つ か の 方 法 で 図 Ⅰ・２ の 回 路 の過 渡 現 象 を解 い て き た

が,時

間 領 域 で 解 く方 法 で は,多

元 連 立 方 程 式 の い く つ か の 従 属 係 数 を 消 去.

代 入 して 一 つ の 従 属 変 数 の み の 一 元 方 程 式 に 変 換 す る 場 合 に,多 要 と な る 。 ま た,与

え られ た 初 期 条 件 か ら最 終 的 に 求 め た い 従 属 変 数 の 初 期 条

件 に 変 換 す る 際 も 考 慮 が 必 要 で あ ろ う。 一 方,過 (あ る い は 時 定 数)は,一

渡 現 象 で 最 も重 要 な 減 衰 定 数

般 化 され た イ ン ピ ー ダ ン ス を 零 と お い て 容 易 に 求 め ら

れ る の は 利 点 で あ る。 ま た,定 あ ろ う。 さ ら に,イ

少 の考 察 が 必

常 解 も ｊω 法 に よ り比 較 的 容 易 に 求 め られ る で

ン ピ ー ダ ン ス の 概 念 が よ く理 解 で き て い れ ば,微

を き ち ん と た て る こ と な し に 定 常 解 が 求 ま る は ず で あ る 。 ま た,与 期 値 か ら必 要 な従 属 変 数 の 初 期 値 に 変 換 す る に は,イ 端 子 電 流 とす る 内 部 イ ン ピ ー ダ ン ス 無 限 大 の 電 流 源,静

分 方程 式 え られ た初

ン ダク タ ンスは 初 期値 を 電 容 量 は,初

期 電荷 を

静 電 容 量 で 除 した 値 を 端 子 電 圧 と す る 内 部 イ ン ピ ー ダ ン ス 零 の 電 圧 源 と考 え れ ば よ い 。 ラ プ ラ ス 演 算 子 法 は,変

換 法 則 さ え わ か っ て い れ ば 最 終 解 が 全 く機 械

的 に 導 び か れ て 解 く の に 困 難 さ は な い が,得 の よ い 形 に 直 す の に 大 変 で,単 や は り,イ

られ た結 果 が 概 して冗 長 で見 通 し

純 では あるが 計 算 の 手 間が か か る欠 点が ある。

ン ピ ー ダ ン ス の概 念 を よ く理 解 し(こ

い と思 わ れ る の で),初

の 段 階 で は そ れ ほ ど難 し くな

期 値 の 変 換 に も な れ て,な る べ く視 察 で 解 が 求 ま る よ う

訓 練 して ほ し い も の で あ る。   (２)右

図

Ⅰ・3の 回 路 の 電 源 を流 れ る 電 流

の 過 渡 現 象 を 求 め て み よ う。   初 期 条 件 はt=0でi=0,q=qoと

す る。 相

異 な る 負 の ２実 根 の 場 合 に つ い て で き る だ け 視 察 に よ っ て 解 い て み よ う。 ま ず,一

i=

Em cos(ωt+φ /￨Z￨

般 解 は,

− θ)+A1εslt+A2εs2t

図1・3

(I・93)

こ こ に,

(I・94)

よ っ て,

(Ｉ ・95) ま た,

(Ｉ ・96)

で あ る か ら,

(Ｉ ・97)

と な る 。 初 期 条 件 は,t=0でi=0,q=q0と

す る と,i0=0は

よ い がi0(1)に

つ い て は,

か ら,

(Ｉ ・98)

が 容 易 に 求 ま る で あ ろ う。 こ れ か ら,

(Ｉ ・99) よ っ て,

(Ⅰ ・100) が 求 ま る。

  〔問題 〕 前述 の回路 を,多 元連 立 微分 方 程式 お よび ラ プラス演 算子 法 に よ っ て 求 め,そ の結 果が 上記 の結果 と等 しい こ とを 確 め よ。   初 期 条 件 は 同 じ くi10=0,q0と   (３)右

す る。

図 Ⅰ・4の 回 路 の 電 源 を 流 れ る 電 流

ｉを 求 め て お こ う。 これ も で き る だ け 視 察 に よ 図

っ て 解 を求 め る 。 Z=

Ｅm/ sin(ωt+φ ￨Z￨

一 θ)+A1εs1t+A2εs2t

Ⅰ・4

(Ⅰ ・101)

た だ し,

(Ⅰ ・102) し た が っ て,

(Ⅰ ・103)

Sに

つ い て は,

(Ⅰ ・104)

  式(Ⅰ ・104)の 結 果 は 図 Ⅰ・2か ら 図 Ⅰ・4ま で の 三 つ の 回 路 で み な 同 じ結 果 に な っ て い る こ と に 注 意 す る。 次 に,

(Ｉ ・105) 初 期 条 件 は,t=0でq=q0,i1=0で

あ る 。 こ れ を ｉ に な お す と,

t=0で,

よ っ て,

 (Ｉ ・106) よ っ て,

(Ｉ ・107)

(Ｉ ・108) であ る。

 〔 問 題 〕 上 記 の 回 路 を,多 っ て 求 め,そ

元 連 立 微 分 方 程 式,お

よ び ラ プ ラ ス演 算 子 法 に よ

の 結 果 が 上 記 の 結 果 と等 しい こ と を確 め よ。

〓補

編

Ⅱ〓

演習問題および解答

PART 

A演

習

問

題

A-1微

分 方 程 式 に関す る問題     (解答は171頁)

１.y’+ay=t

t=0でy=1

２.

３．y'+tant・y=1/2sin2t４.y”+4y’+3y=0, 

５.y”-2y'+5y=0, 

t=0でy=1, 

t=0でy=2, 

y'=1

y'=0

６.  〓+18y”+81y=0 ７.  y”+4y=t+3 ８.y”+4y=12t2, 

t=0でy=1, 

９.  cos  t・y”+sin 

t・y’+sec 

y’=2 t・y=0

10.   y”-5y'+6y=Asint 11.   y”+5y'+6y=εt 

  12. 

Show 

vanishes,  general 

sin  t

that  if y(t)is 

then  it is  possible 

asolution 

of eq.(a)for 

to  separate 

which 

the  variables 

ay+b 

never

and  drive 

the

solution.

eq.(a) when 

a and  b are  constant 

  13.  Find  a particular 

and  a〓0.

solution 

of the  epuation

           y”-y=3t+1 having 

the  form  y=at+b. 

  14.When 

Then 

find  the general 

a and  A  are  constants 

solution  of the  epuation.

and  a is positive,  a  puick  glance

at the equation y″+a2y=A

shows Find

that

it will be satisfied if y is an

this constant.

Then

appropriately

find the general

solution

Ａ ‐２ 単 エ ネ ル ギ ー 回 路 に 関 す る 問 題   １.R=20Ω,L=100Hの

か 。

constant.

of the equation

加 え た と き,ス

達する

(電 検 Ⅱ 大 ６)

２.図

１ の ご と く,Ｒ,Ｌ

流 れ て い る と き,ス 圧 Ｅ をi0と

の 直 列 回 路 に 電 流i0が

イ ッチ Ｓ を ｂ 側 に 倒 して 直 流 電

反 対 方 向 に加 え,t0秒

後 に 電 流 を-i0 図

１

図

２

な ら し め る に は Ｅ の値 をい く ら に す べ きか 。 (電検 Ⅰ 大12) ３．

図

２ の ご と く,Ｒ,Ｌ,の

が 流 れ て い る と き,ス 流 電 圧2E0をi0と

直 列 回 路 に 定 常 電 流i0

イ ッ チ Ｓ を ｂ 側 に 倒 し て,直 反 対 方 向 に 加 え た と き,-i0の

流 が 流 れ る の は 何 秒 後 か 。 た だ し,R=5Ω,  loge10=2.303,log103=0.4771と

４. 図 ３ の よ う に,イ

電

L=3H,

す る。

ン ダ ク タ ン ス Ｌ,と抵 抗 Ｒ と

を 直列 に接 続 した 回 路 に お い て,ス

イ ッチ Ｓ を 閉 じ,

急 に直流 電圧 Ｅ を 加 えて電 流 ｉ を 流 す場合 の ｉ の 変 化 を示 す 方 程 式 を求 め,か

つ,そ

を簡 単 に 説 明 せ よ。

図

３

図

４

の式 の物理 的 意味 (Ｉ 技

５. 図 ４ に 示 す 回 路 に お い て,ス

昭34.６)

イ ッチ Ｓ を 閉 じ

た と き の 電 流 変 化 を示 す 式 を誘 導 せ よ。 た だ し,電 池 の内部 抵抗 お よび コイ ル

Ｌ の抵 抗 は 無 視 す る も の と

す る。

昭34.12,電

(Ｉ 技

検

.

(解答 は172頁)

直 列 回 路 に ,E=100Vを

Ｓ を閉 じて か ら幾秒 で 電流 は最 終値 の90%に

chosen

Ｉ 昭26)

イ ッチ

  ６.図

５ に 示 す 直 流 回 路 に お い て,ス

閉 じ直 流 電 圧 Ｅ を 加 え た 場 合,定 に静 電 容 量

常 状 態 に な る まで

Ｃ に た くわ え られ た エ ネ ル ギ ー と等 しい

エ ネ ル ギ ーが,必

ず抵抗

証 明 せ よ。(Ｉ

無予

  ７.容

イ ッチ Ｓ を

Ｒ の 中 で 消 費 され る こ と を 昭43.12,技

Ｉ 昭40.12)

図

５

量 Ｃ な る コ ン デ ン サ に抵 抗 Ｒ を 直 列 に接 続 し,こ れ に不 変 な る 起 電 力

Ｅ を加 え た場 合 に,抵 明 せ よ。 た だ し,コ  ８.C〔

抗 Ｒ に お け る総 オ ー ム 損 は Ｒ の 値 に 無 関 係 な こ と を証

ン デ ンサ に は 初 め 電 荷 は な い もの とす る 。(電 検

Ｆ〕 の 容 量 とR〔 Ω 〕 の 抵 抗 と を,図

うに 直 列 に接 続 し,不 変 な電 位 差E〔V〕 間 に加 え た と きは,ど   ９.あ

６のよ

を急 に ａ・ ｂ

ん な 電 流 を生 ず る か 。

る コ ンデ ンサ にE0な

図

る電 圧 を与 え て 充 電 し,次 に,１

抵 抗 を通 じ電 気 量 の １部 分 を放 電 し た と き,コ

る コ ン デ ン サ に1kΩ

６

秒 間 Ｒ なる高

ン デ ンサ の端 子 電 圧 はE1に

じ た とい う。 コ ン デ ン サ の 容 量 を算 出 せ よ｡(電   10.あ

Ｉ 大14)

減

検 Ｉ 大 ５)

の抵 抗 を つ な い で ５秒 間 放 電 した と こ ろ,端

子 電 圧 が ３分 の １に 減 った 。 そ の と き の 蓄 積 電 荷 が0.01〔

ク ー ロ ン〕で あ っ た

と い う。 始 め の端 子 電 圧 は何 ボ ル トで あ っ た か 。   11.二

つ の 静 電 容 量C1,C2が

あ る 。C1とC2を,図 よ う に に 接 続 し て,こ

７(ａ)の

圧 Ｖ

れ を直流 電

で 充 電 す る 。 次 に,こ

A1,B1,A2,B2で

れ,を

切 り放 し て 図 (ｂ)

(ａ)

(ｂ)の

よ う に接 続 す る 。

合,C1,C2の

図

この場

７

電 荷 の 時 間 に対 す る変 化 を示 す 式 を導 き 出 せ 。 た だ し,γ は無 誘

導 抵 抗 とす る。(電  12.問11.で,図

検 Ｉ 昭31) ７の(ａ)と(ｂ)で

ル ギ ー を比 べ て み よ(た だ し,図(ｂ)で 費 され た か 。 ま た,も し図(ｂ)で

コ ン デ ン サ に た くわ え られ て い る エ ネ は 定 常 状 態 を と る)。 こ の 差 は ど こ で 消

γ=0の

導 線 で つ な い だ と し た ら ど う な るか 。

  13.図

８ に示 す 回 路 に お い て,ス

イ ッチ Ｓ を

閉 じた と き,抵 抗 Ｒ に 流 れ る電 流iRと ク タ ン ス Ｌ に 流 れ る電 流iLを

イ ンダ

計 算式 も示 して

求 め よ。 た だ し,電 源 電 圧 Ｅ は 一 定 とす る 。 (Ｉ 技

  14.図

図

昭36.12)

８で Ｓ を 閉 じて か ら Ｒ に 通 ず る電 流 と Ｌ に 通 ず る電 流 とが 相 等 し

くな る まで の 時 間 を 求 め よ。(電   15.前

検 Ｉ 昭 ２,Ｉ 技39.12)

間 で,R=r=1ΩL=3Hと

し た ら 求 め る 時 間 は 何 秒 か 。 た だ し,

1oge10=2.303,1og102=0.3010,logl03=0.4771で  16.前

８

ある。

間 で,R=1Ω,r=2Ω,L=3Hに

な った

ら ど う か 。 ま た,R=3Ω,r=2Ω,L=3Hに

な っ

た ら ど うか 。

 17.図

９ の よ うな 直 流 回 路 で,Ｓ

を閉 じて 定 常 図

状 態 に な っ た後,Ｓ

を開 い た場 合 の 過 渡 現 象 と,こ

の 過 渡 電 流 でR1中

に消 費 され るエ ネル ギ ー とを求

９

め よ。 た だ し,Ｓ を 開 い た と き ア ー ク を生 じな い も の とす る。(電  18.図10の

検 Ｉ 昭23) 回 路 に お い て,ス

イ ッチ Ｓ を閉 じ

図 10

て か ら ｔ 秒 後 に γ を流 れ る電 流 を求 め よ。 (電検  19.図11の

回 路 で,初

Ｉ 昭 ８)

め ス イ ッチ Ｓ を 開 放

し,コ

ン デ ン サ Ｃ の 両 端 の 電 位 差 が 零 で あ る と き,

t=0の

瞬 間 後 Ｓ を τ 秒 間 だ け 閉 じ,次 の τ 秒 間

図 11 は Ｓ を開 き,さ

ら に 次 の τ 秒 間 は Ｓ を 閉 じ る。

こ の よ うに Ｓ を 周 期 的 に 断 続 し,回 路 が 定 常 状 態 に 達 し た場 合,コ

ンデ ンサ Ｃ の 両 端 の 電 位 差 υcと抵

抗 γ を流 れ る電 流 ｉ と を 求 め よ。(電 検  20.図12に

示 す 回 路 に お い て,抵

Ｉ 昭34)

抗R0を

急 に

図 12

短 絡 し た と き,コ  21.図13の

ン デ ン サ Ｃ を流 れ る過 渡 電 流 を計 算 せ よ。(Ｉ 技

昭38.6)

よ うに ３個 の 金 属 板 ａ,ｂ,ｃ を有 す る

コ ンデ ンサ が あ る 。 ａ・ ｂ 聞 お よ び ｂ・ ｃ 間 に おい て測定 し た静 電 容 量 お よ び 漏 れ コ ン ダ ク タ ン ス は そ れ ぞ れC1, C2,g1,g2で

あ る。 い ま,急 に ス イ ッチ Ｓ を閉 じ,一 定 の

後 にお け る ｂ の 電 荷 の 瞬 時 値 ｑ は い く ら に な るか,た デ ン サ に は残 留 電 荷 は な い も の と し,ま な どは 無 視 す る も の とす る 。(電  22.図14に

検

だ し,Ｓ

の投入 前 コ ン

た,外 部 回 路 の抵 抗,イ

ンダ クタ ンス

Ｉ 昭 ７)

示 す よ うな 回 路 に お い て,Ｓ

じた 後 の い か な る瞬 間 に お い て も,e1とe2と が 不 変 で あ る た め に は,C1,C2,R1,R2の な 関 係 が あ る か 。(電  23.図15の

を閉 の比

間 に どん 検 Ⅱ

図

14

図

15

昭14)

ブ リ ッ ジ の 平 衡 条 件 と検 流 計 Ｇ を

流 れ る 電 流 波 形 を 示 せ 。 た だ し,切 は,１

13

図

直 流 電 圧 Ｅ を ａ・ ｃ 間 に加 え る と き,こ の 瞬 時 か ら ｔ秒

換 ス イ ッチ Ｓ

お よ び ２ に交 互 に 毎 秒 ｎ 回 ず つ接 続 す る も

の とす る 。 また,R3は

Ｓ が ２ に接続 してい る間

に Ｃ が ほ とん ど全 部 を放 電 す る ほ ど小 さ い も の と す る。(電

検 Ｉ 昭28)

 24.図16に

示 す 回 路 に お い て,ス イ ッチ Ｓ を 閉 じた と き,回

路 の電 流 を表

わ す 式 を導 け 。(Ｉ  25.図17に

技36.6)

示 す 回 路 で,ス イ ッチ Ｓ を ａ か ら ｂ に切 換 え た と こ ろ過 渡 電

流 が 流 れ なか っ た とい う。 電 源 の 初 期 位 相 θ を求 め よ。

図

16

図 17

図

18

 26.図18に

示 す 回 路 で 定 常 状 態 に あ る もの と し,t=0で

開 い た と き の電 流 を求 め よ。 また,過   27.50Hzの

スイ ッチ Ｓ を

電 圧 をC=5μFの

渡 状 態 を生 じな い 場 合 は どん な と き か 。 コ ン デ ン サ とR=2kΩ

の抵 抗 の 直 列 回 路

に 加 え る とき,過 渡 現 象 を 生 じ ない た め に は どん な 位 相 で 加 え れ ば よい か 。 ま た,も 荷5×10-5〔

し コ ン デ ン サ に初 期 電

ク ー ロ ン〕 が た くわ え られ て い た ら ど う

か 。 た だ し,電 源 電 圧 の 尖 頭 値 は141Vと   28.図19に t=0で し,電

す る。

図 19

示 す 回 路 が 定 常 状 態 に あ る も の と し,

Ｓ を 開 く と き Ｒ に 流 れ る 電 流 を 求 め よ。 た だ 圧 源 はe=Emsin(ωt+θ)と

  29.図20の

す る。

回 路 で,t=0で

つ な ぎ,t0秒

ス イ ッチ Ｓ を ａ に

後 ｂ に つ な ぎ か え た と き ｔ 秒 後(t>t0)

図 の

ｉ を 求 め よ 。 た だ し,e=Emcos(ωt+θ)と

30.図21の

20

す る。

回 路 で ｉ は定 電 流 源

I0と す る。t=0で

Ｓ を閉 じた と き Ｒ

を流 れ る 電 流 を求 め よ。 31.図22の

回 路 に お け る定 電 流 源

端 子 電 圧 ν を 求 め よ。

32.In

the circuit of Fig.23

changed Write

from

assuming

for the charge

was and

time and evaluate

b at t=0. in

is in position

b,

a steady-state

the switch

is

for the current

after the switch that

the switch

position a to position

the integral equation

the system

while

図 22

21

図

i=I0の

was

in position current,as

the arbitrary

established a and

solve

a function constant

図 23

of

from

the initial condition. 33.In

the

circuit shown

in the figure 24

図

24

the curren

tin

the current ed at

2-henry

inductance

at

t=O

in the circuit for t is positive

t equals

A-3複

the

is 5 ampere.

assuming

示 す 回 路 に お い て,コ

荷 Ｑ を 与 え て お き,ス

答 は188頁)

イ ッチ Ｓ を 閉 じた とき の 回 路 電

周 波 数 を求 め よ。

つ,そ

の振 動 の

  (I技

示 され る 回 路 で,

昭40.6)

変 化 を 図 示 せ よ。 た だ し,t=0でi=0,q=q0と

れ る電 荷q,お

図

な る関係 が

あ る と き の 電 荷 お よ び 電 流 の 変 化 を表 わ す 式 を導 き,か

  ３.L-C直

is open-

ンデ ンサ Ｃ に電

流 が 減 衰 振 動 す る た め の 条 件 を求 め,か

  ２.図25で

the switch

is

0.

エ ネ ル ギ ー 回 路 に 関 す る 問 題(解

  １.図25に

What

つ,電

25

荷 お よ び電 流 の

す る 。(I技

昭35.6)

列 回 路 に 直 流 起 電 力 Ｅ を 加 え た と きの コ ン デ ン サ に た くわ え ら よ び 回 路 電 流iを

求 め よ。 また,イ

ン ダ ク タ ン ス お よび コ ン デ

ン サ の端 子 電 圧 は 最 大 どれ だ け に な る か 。   ４・L=50mHな

る コイ ル にI0=200Aの

直 流 を通 じ,急

にC=20μFの

コ ン デ ン サ に接 続 す る と き,回 路 に生 じ うる 電 圧 お よ び 電 流 の 最 大 値 な らび に 周 波 数 を算 出 せ よ,た だ し,回 路 の 抵 抗 は 無 視 す る 。   ５.図26の

 

(電検I大

回 路 の ス イ ッチ Ｓ を閉 じ た と き,

コ ンデ ン サ Ｃ の 電 圧 を 求 め て こ れ を 図 示 せ よ。 た だ し,と

し,ま

た,Ｄ は ダ イ オ ー ドを示 し,

そ の順 電 圧 降 下 お よ び 逆 電 流 は 零 と す る。 (電 検I昭41)   ６.抵

抗 Ｒ,イ

図

26

ンダク タ ンス Ｌ お よび コ ンデ ン

サ Ｃ か ら な る 図27の

よ うな 回 路 に お い て,開

Ｓ を 閉 じ,直 流 電 圧Eを

急 に 加 え る と き,通

閉器 じう

る過 渡 電 流 が 振 動 的 と な る た め の Ｒ の 範 囲 を求 め, か つ 振 動 の 周 波 数 を算 出 せ よ。  (電 検I昭10)

図 27

６)

  ７.図28の

よ うな 回 路 に,直

流 電圧

Ｅ を急 に

加 え た と き 生 ず る 自 由振 動 の 周 波 数 を求 め よ。 た だ し,電 源 の 内 部 抵 抗 は無 い も の と し,Ｌ は4mHの 自己 イ ン ダ ク タ ン ス,Ｃ 100Ω

は5μFの

静 電 容 量,Ｒ

の 抵 抗 とす る。(電

  ８.図29に

お い て,ス

は

検 Ｉ 大15)

図 28

イ ッチ Ｓ を閉 じた と き振

動 の 発 生 す る 条 件 を求 め よ。R1=1kΩ,R2=2kΩ, C=5μFの

とき振動 が発 生 す るた めの イ ンダ クタ ン

ス の範 囲 を示 せ 。   ９.図30の

よ う に容 量 Ｃ を イ ン ダ ク タ ン ス Ｌ

図 29

と直 列 に 接 続 し,起 電 力 Ｅ の 電 池 で 充 電 した 後, ス イ ッチ Ｋ を閉 じて 抵 抗 γ を Ｃ に並 列 に 接 続 す る 場 合 に,振

動 を 生 じ な い よ う に す る に は,γ,Ｃ,Ｌ の

間 に どん な関 係 が あ れ ば よい か 。 た だ し,電 池 の 内 部抵 抗 を 無 視 す る も の と す る 。(電   10.図31に

お い て,初

検 Ｉ 大13)

図 30

め

Ｓ を 閉 じて,コ ン デ ン サ Ｃ を 電 圧 Ｅ で 充 電 し て お き,t=0 に お い て Ｓ を 開 い て Ｌ,Ｒ 図 31

を 通 じて 放 電 さ せ た と き どの よ うな 電 流 が 流 れ る か 。(電 検  11.図32の

次 に,Ｔ

秒 後 にS2を

お よびt>Tの 電流

と き Ｌ に 流 れ る電 流 と Ｃ の端 子 電 位 差

瞬 時 にS1を

閉 じ,

閉 じ る も の とす る。0
お の お の 揚 合 に お い て,Ｌ

ｉ の過 渡 値 を求 め よ。  

   12.図33に

Ｉ 大 ８)

回 路 に お い て,t<0の

とは い ず れ も零 とす る 。t=0の

図 32

(電検

示 す 回 路 に お い て,電

を流 れ,る Ｉ 昭35)

池 を流 れ る

電 流 が ス イ ッチ Ｓ を閉 じた 瞬 間 か ら引 き つ づ き一 定

図 33

で あ る た め のR1,R2,Ｌ

お よび Ｃ の 間 の 関 係 を示 す 式 を導 け 。 た だ し,電 池 の

起 電 力 Ｅ は 一 定 と し,そ

の 内 部 抵 抗 は 無 視 す る も の とす る 。

 (電 検

  13.図34の

Ⅱ 昭16,Ｉ

技37・

６)

回 路 に 直 流 電 圧 を急 に加 え た と き,

回 路 に 流 れ る電 流 が 非 振 動 的 とな る よ う な 抵 抗 Ｒ の 臨 界 値 を求 め よ。 た だ し,Ｒ

が 無 限 大 な る と きは

過 渡 電 流 は振 動 的 で あ る とす る 。 (電検 Ｉ,昭   14.図35(ａ),(ｂ),(ｃ),(ｄ)に じた と き電 池 Ｅ

図  34

６)

示 す 回 路 で,t=0で

スイ ッチ Ｓ を閉

を流 れ る電 流 を求 め よ。

(ｂ)

(ａ)

(ｄ)

(ｃ)

図 35

  15.図36の

よ うに,抵

抗

Ｒ の 無 誘 導 抵 抗,静

電容

量 Ｃ の 容 量 とイ ン ダ ク タ ン ス Ｌ の コ イ ル と を並 列 に 接 続 し た 回 路 が あ り,開 閉 器 Ｓ を投 入 し た 瞬 間 か ら引 続 い て電 流 Ｉ を一 定 に す る た め に は,印 加 す べ き起 電 力 ｅ は い か ほ どか 。 た だ し,Ｓ を投 入 す る以 前 に は Ｃ に は 電 荷 が な く, Ｌ に は 鎖 交 磁 束 は な い も の と す る 。    16.L‐C直

(電検 Ｉ 昭19)

図  36

列 回 路 に,t=0でEmsin(ωt+θ)の

電 圧 を加 え た と き の 電 荷 ｑ お よび 電 流 ｉ を求 め よ。   17.図37の

回 路 の端 子 ａ・ｂ間 にe=Emsin(ωt

+θ)の 交 番 電 圧 を加 え た と き,容 量 Ｃ の充 電 々 流 は どれ だ け か 。 

(電検 Ⅱ 大 ３)

図  37

  18.L=0.15H,C=1.2μF,R=2.0kΩ,En=14.1V,f=60  φ=45°,e=Emsin(ωt+φ)の (ａ)過

直 列R-L-C回

渡 状 態 を グ ラ フ に 描 け 。(ｂ)臨

Hz, 路 の ス イ ッチ

Ｓ 投 入後 の

界 的 の 場 合 の 抵 抗 を 求 め(Ｌ,Ｃ

は

そ の ま ま),そ

の と き の 過 渡 状 態 を グ ラ フ に 描 け 。(ｃ)同

じ こ と を抵 抗 を臨

界 抵抗 の半分 に して描 け。   19.図38の

よ うな 回 路 に お い て,開

閉器 Ｓ を開

きa・b間 に一 定 の 交 番 電 圧 を 加 え て 電 流i=Imcosωt を通 じ て お き,i=Imな

る 瞬 間 に Ｓ を 急 に 閉 じる と

きどん な 過 渡 現 象 を 生 ず るか 。 た だ し,Ｌ

図  38

と Ｃ とは

電 源 の 周 波 数 に お い て 同 調 条 件 に あ る も の と し,ま た,電 は 無 視 す る も の とす る。    20.図39の

(電検

源 のイ ンダ クタ ンス

Ｉ 昭10)

よ うな イ ン ダ ク タ ン ス Ｌ と静 電 容 量

Ｃ との 直 列 回 路 に お い て,ス 短 絡 し て お き,交

イ ッチ Ｋ に よ っ て Ｃ を

流 起 電 力Ecosωtを

加 え て,定

状 態 の 交 流 を Ｌ に 流 して あ る とす る 。 時 刻t=0の

常 図  39

と

き 突 然 Ｋ を 開 い た 後 に お け る Ｃ の端 子 電 圧 を 求 め よ。  (電検  21.図40の た後,回

Ｉ 昭28)

回 路 に お い て,開 閉 器 Ｓ を閉 じ

路 に 流 入 す る 電 流 の 瞬 時 値 を求 め よ 。

ただ し,回 路 はL=CR2な 電圧 はe=Emsinωtと  22.図41の

る関 係 を有 し,電 源 す る 。 (電検

回 路 に お い て 図(ａ)と

Ｉ 昭 ６) 図(ｂ)

図  40

を 区 別 す る方 法 を考 え よ。  23.図42の

回 路 に お い て,ス

して い る。 い ま,t=0の

イ ッ チ Ｓ は 閉 じ られ て 後,充

時 刻 に Ｓ を開 い た 場 合,Ｃ

分 時 間が 経過

に流 れ る 電 流

ｉ を 求 め,

これ の 時 間 的 変 化 を図 示 せ よ 。 た だ し,Ｅ

は 電 源 の 電 圧,L1,L2は

ダク タ ンス,Ｍ

は 静 電 容 量, Ｒ は 抵 抗 で あ っ て,

は 相 互 イ ン ダ ク タ ン ス,Ｃ

(ｂ)

(ａ)

図  41

図  42

自己 イ ン

Ｓ を開 く と き に は火 花 を発 生 せ ず に 電 流 を し ゃ断 で き る も の とす る 。  (電検   24.図43に

Ｉ 昭43)

お い て,１ 次 回 路 の抵 抗 を Ｒ,自 己

イ ン ダ ク タ ン ス を Ｌ とす る 。 これ に 不 変 電 圧 Ｅ を急 に 加 え た 場 合 に,開

放 し た ２次 回 路 に誘 起 す

図

43

図

44

る 最 大 電 圧 は い く らに な る か 。 た だ し,両 回 路 の 相 互 イ ン ダ ク タ ン ス を Ｍ とす る 。  (電検 Ｉ 大 ８)    25.図44に

示 す 回 路 に お い て,ス イ ッ チ Ｓ を

閉 じた と き,１ 次 回 路 に 流 れ る電 流 を求 め よ。 た だ し,１ 次 お よび ２次 巻 線 は と も に漏 れ 磁 束 が な い も の とす る。  26.図45の 電 流I0が

 

(Ｉ 技

回 路 に お い て,コ

流 れ て い る と き,t=0に

チ Ｋ を 閉 じ,ｔ

昭37.12)

イ ル Ｐ に直流 お いて スイ ッ

秒 後 に 回 路 を流 れ る電 流 を求 め

図 45

よ。 た だ し,コ イ ル Ｐ お よ び Ｓ の抵 抗 は 無 視 す る。  (電 検 Ｉ 大12,昭32)   27.図46の

相 互 誘 導 回 路 で,１ 次 側 に一 定 の

正 弦 電 圧 ｅ を 加 え て い る と き,２ 次 線 輪 の 両 端 子 を Ｋ に よ り短 絡 し た とす る。 短 絡 瞬 時 のeが (ａ)零

な る場 合 と,(ｂ)最

大 な る場合 におけ る

２次 電 流 の 式 を求 め,(ｃ)か

つ,そ れ,らの 最 大 瞬

図 46

時 値 を比 較 せ よ。 た だ し,１,２ 次 線 輪 のL1,L2お よ び Ｍ の み を考 え抵 抗 は 無 視 す る も の とす る。  (電検 Ｉ 大15)   28.

イ ン ダ ク タ ン ス コ イ ルPQ,静

電容 量 Ｃ

お よ び 起 電 力 の 相 等 し い ２個 の 電 池E0を の よ うに 接 続 し た 回 路 が あ る 。 い ま,そ Ａ・ Ｂ 間 にEmsinωtな t=0な

図47 の両端 子

る 交 番 電 圧 を加 え て お き

図

47

る瞬 間 に 開 閉 器 Ｓ を急 激 に 閉 じ た と き,回 路 の 各 部 分 を流 れ る 電 流 の

瞬 時 値 ｉ,i1,i2

を算 出 せ よ。 た だ し Ｏ はPQ間

の 中 央 で,PO,QOの

イ ン

ダ ク タ ン ス は い ず れ も Ｌ,抵 抗 は い ず れ も Ｒ,相 互 間 の イ ン ダ ク タ ン ス は Ｍ と し,Ｌ

と Ｍ

か つ,そ

の 内 部 抵 抗 は 無 視 す る もの とす る 。 

 29.   

A  series

R=dohm. in

circuit

There

the

Then

とは 大 き さ が 相 等 し い とす る 。 な お,電

is

capacitance this

current   30.

brium

In

is

the capacitance

A‐4演 １.次

of

no

circuit

a

and

of

of

(電 検 Ｉ 昭 ７) henry,

C=b

farad,and

exists.

t=0,

find

function

of

Fig.48,

t=0,

L=a 

し,

kcoulomb

current at

as

is reached,

composed

charge

closed

charge the

a and

circuit and

is

池 の起 電 力 はE0と

an

the time.

Fig.48

equili‐

switch

S is opened.

Find

the voltage

across

C2.

算 子 法 に 関 す る 問 題(解

答 は216頁)

の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ。 1

(ａ)(t+1)2 

(ｂ)tεat 

 (ｅ)1-εat 

２.次

(ｄ)

(1-cosωt)

/ω2

(ｆ)cos(wt+θ)

の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ。

(ａ)tεatsinωt 

３.ベ

(ｃ)tsinωt 

(ｂ)εatsinω1t・sinω2t 

が,次

ッセ ル 関 数

(c)δ(t)+εatcosωt

式 で 展 開 さ れ る こ と を知 っ て ラ プ ラ ス 変

換 せ よ。

４.次

の 関 数 の ラ プ ラ ス逆 変 換 を求 め よ。 1

(ａ)

５.次

/(s+ａ)2

 (ｂ)

cs+d /(s+a)2+b2

 (ｃ/(s2+a2)2 )s

）

の 関 数 の ラ プ ラ ス 逆 変 換 を求 め よ。

6s2+23s+19

3s+1/ (ａ/s2 )s

 (ｄ

-1

 (ｂ)

s2+5s+6

 (ｃ)

/(s+1)(s2+5s+6)

s /s2+2as+b

4s+2/ (ｄ)

1/ (ｅ)

s3+3s2+2s

６.像

S2+4s+5

空 間 の 微 分 則 を使 っ て 次 の 関 数 の 逆 変 換 を求 め よ。 1/

s/

(ａ)

(ｂ)

(s2+a2)2

(S2+a2)

７.ε ± ｊωｔの ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め,そ

の 結 果 を使 っ てcosωtとsｉnωt〓

の ラ

プ ラ ス 変 換 を算 出 せ よ。 ８.合

成 積 を使 っ て 次 の 関 数 の 逆 変 換 を 行 え 。 1/

(ａ) (s+ａ)(s+ｂ)

９.ラ

3s+1

s/

(ｂ)

(ｃ)

(s2+a2)2

/S2+5s+6

プ ラ ス変 換 を使 っ て 次 の 微 分 方 程 式 を 解 け 。

(ａ)x(1)+2x=A4cosωt

x0=0

(ｂ)x(2)+9x=Ash1ωt

x0=0,

x0(1)=0

x0=0,

x0(1)=1

(ｃ)x(2)24x=6

cosωt

(ｄ)x(2)+3x(1)+2x=sinωt

x0=0,

(ｅ)x(2)-4x(1)+13x=0

x0=1,

(ｆ)x(3)+x(1)=Aεat

x0=x0(1)=x0(2)=0

  10.問

x0(1)=0 x0(i)=0

９ の(ａ),(ｂ),(ｃ),(ｄ),(ｅ)は

電 気 回 路 で は どの よ うな 回 路

で実 現 す るか。 11.次

の 微 分 方 程 式x(2)+9x=f(t)x0=x0(1)=0の

x(t)=1/3〓tf(t-ξ)sin3ξdξ

とか け る こ とを 示 せ 。

12.問11.でf(t)と (ａ) 

解 は,

し て,

ｔ,(ｂ)ε-at,(ｃ)costの

と きx(t)を a

13.問11.でf(t)と

して

{

O＜t＜

π

Ot>π

π/2

求 め よ。

の と きx(t)を

求 め よ。 ま た,πが

に な っ た ら ど うか 。   14.図49の

回 路 でe=Eｍcosωt,t=0でi=0,q=q0

変 換 を 使 っ て 電 流iを

求 め よ。

として ラ プ ラス

図49

15.図50の

図51

γ に 流 れ る 電 流 ｉ を ラ プ ラ ス変 換 を使 っ て 求 め よ。

16.図51の め,そ

図50

イ ンパ ル ス応 答(デ ル タ 関 数 入 力 電 圧 に 対 す る 出 力 電 流)を 求

れ を使 っ て 次 の 入 力 電 圧 が 加 わ っ た と き の 電 流 を求 め よ。

(ａ)ｔ 

(ｂ)εat 

17.図52に

(ｃ)sinωt

示 す波形

を像 関 数 表 示 せ よ。 18.図53に

示 す 周期

パル ス波形 を像関 数表 示 せ

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

よ。 19.図54(ａ)の

回路

に,図52(ａ)の

入 力 を加

(ｄ)

(ｅ)

(ｆ)

図52

え る と,図54(ｂ)の が 得 られ る が,サ

波形 グ を １%以 内 に した い と き,こ

ん だ ら よい か 。 ま た,τ=1msec,R=500kΩ

の 回 路 の 時 定 数 をい く らに 選 の と き Ｃ は どれ ほ どか 。

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

(ｄ) (ｅ)

図53

20.図55(ａ)の

回 路 に 図52(ａ)

の 入 力 を加 え る と,図55(ｃ)の え られ るが,遅

延 時 間tdを

以 内 に す る た め に は,こ

波 形が τ の １%

の 回路 の時定 数 (ｂ)

(ａ)

図 54

を どれ だ け に し た ら よい か 。ま た,図55 (ｂ)の

回 路 の γ の 影 響 を検 討 せ よ。

(ｂ)

(ａ)

(ｃ)

図

21.IfF(s)is

55

Laplace Transformation off(t),show

that

tnf(t)⊃(-1)nF(s)(n),

22.Solve

the problem18in

page133by

using Laplace

Transformation

calculus.

A-5分

布 定 数 回 路 に 関 す る 問 題(解

１.図56の

回 路 に お い て,長

答 は224頁)

さl,単

位 長 さ 当 た りの抵 抗 γ,同 じ く漏 れ コ ン ダ ク タ ン スgの

導 線 で 集 中 定 数 抵 抗RL

図 56

に 電 力 を供 給 した い 。RLで 消 費 され る電 力 を最 大 な ら し め るRLの ２.図57の

値 は い く らか 。

よ う な送 電 線 が あ る。 開

閉 器 Ｓ を閉 じ,電 圧 Ｅ を加 え た場 合 の 中 間 点 Ｍ に お け る電 位 の 変 化 を,開 器S2を

開 い た 場 合 と,閉

電 線 の全 長 をl,進

閉

図 57

じ た 場 合 の 二 つ の 場 合 に つ い て 図 示 せ よ。 た だ し送

行 波 の 進 行 速 度 を υ と し,送 電 線 の 損 失 な らび に 電 源 の 内

部 イ ン ピ ー ダ ン ス は 無 視 す る も の とす る。(電

検 Ⅱ

昭23)

  ３.図58の

よ う な,長

さ ｌの 無 損 失

送 電 線 が あ る 。 こ の 線 路 の1km当

た り

の イ ン ダ ク タ ン ス を Ｌ,静 電 容 量 を Ｃ と 図  58

す る。 受 電 端 を イ ン ピ ー ダ ン ス Ｚ で 終 端 し た場 合,受

電 端 に お い て 反 射 の 起 こ らな い た め の 条 件 を求 め よ。 ま た,こ

の 場 合 送 電 端 に お け る 電 圧 をEOと

し て,受

電 端 に お け る電 圧 お よび 電 流 を 求

め よ。(電

検 Ⅰ 昭44)

  ４.図59の

よ う に無 限 長 の 単 線 送 電 線 に お い て,

電 圧 進 行 波 ｅ お よび 電 流 進 行 波 Ｉ が 進 行 し て い る と き,e=ZI(た た だ し,Ｌ,Ｃ

だ し,な

ること を証 明 せ よ。 図   59

は そ れ ぞ れ の 送 電 線 の 単 位 長 当 た りの

イ ン ダ ク タ ン ス お よび 静 電 容 量 と し,抵 抗 お よ び 漏 れ コ ン ダ ク タ ン ス を無 視 す る もの とす る 。 な お,こ   ５.図60の

の 場 合I2Zは

電 線 路 は,長

ン ピ ー ダ ン スZo,伝

何 を意 味 す る か 。  

(電検

Ⅰ 昭24)

さ ｌ,波 動 イ

搬 速 度Voと

し,損 失

は 無 視 で き る も の とす る 。 ス イ ッチSを 閉 じて か ら,そ

れ ぞ れ2l/vo,6l/voお

よ

び無 限の 時聞 を経過 した 後 に お け る Ｒ の 端 子 電 圧 Ｖ を求 め よ。 た だ し,電 源 の 電 圧 を Ｅ と し,ま

図   60

た,3R=Zoと (電 検

  ６.波 Zoな

す る。 Ⅰ 昭42)

動 イ ン ピ ー ダン ス

る 架 空 地 線 に,波

高

値 Ｅ なる矩 形 の電圧 波 が侵 入 し て くる と き,終 端 鉄 塔 の頂 点 Ａ の電位 はい く らと な る か 。 た だ し,鉄

塔 の接

地 イ ン ピ ー ダ ン ス は 図61 の ご と く,Ｌ,R1お

よ びR2

図  61

図  62

か ら な る 等 価 回 路 を も っ て 表 わ す もの とす る 。        ７.図62の

よ うに,波

動 イ ン ピー ダ ン スZoな

(電検

る単線 半 無 限長無 損失 電 線

路 の 一 端 を イ ン ピ ー ダ ン ス で 接 地 した もの と し,波 来 す る と き,イ

ン ピ ー ダ ン ス の端 子 Ａ に お い,反

を 求 め よ。   ８.一

(電 検

Ⅰ 昭16)

高 値 ｅ な る矩 形 進 行 波 の 襲

射 を生ぜ しめない た めの条 件

Ⅰ 昭18)

端 に 静 電 容 量 Ｃ の コ ン デ ンサ が 接 続 され て

い る波 動 イ ン ピ ー ダ ン スＺ の き わ め て 長 い 線 路 が あ る 。 図63の

よ うにEε-atの

が 進 行 して き た と き,コ

波形 を もっ た 電圧 波 図  63

ン デ ンサ の 端 子 電 圧e2を

計 算 せ よ。

(電検

Ⅰ 昭22)

  ９.図64の

よ う な ２種 類 の 無

損 失 分 布 定 数 線 路 の 接 合 点 にR1, R2の

純 抵 抗(集 中 定 数)を 置 き,

Ａ,Ｂ

両端 い ず れ の側 か らの進行

波 に 対 して も接 合 点 で 無 反 射 と し た い 。R1,R2は

図  64

ど ん な値 とす べ き か 。 た だ

し,Ａ ・ Ｃ 間, Ｂ・ Ｄ 閥 の 各 線 路 の 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス は,そ し,Z1>Z2と   10.伝

す る。(電 送 線 路 に お け る 無 歪 条 件 とは 何 か 。

れ ぞ れ',Z1,Z2と 検

Ⅰ 昭39)

PART 

Ｂ 演 習 問題 の解答

B-1微

分 方 程 式 に関す る問題 の解答

１.特

解 は 目 算 でt/a-1/

一般解は

a2で

あ る こ と が わ がかる で あ ろ う｡

, y=t/a-1/a2+Cε-at

２.本

文 第 ２章 の 式(２

・19)の

初期条

公式 を適 用 すれ ば

件 を入 れ て 任 意定 数 を消 去 すれ ば,

４.y=C1ε-t+C2ε-3t初 ５.特

期 条 件 を 入 れ てC1,C2を

有 方 程 式 は,s2-2s+5=0よ

t=0でy=2,y'=0を

消 去 す れ ば, y=2ε-t-ε-3t

っ て,

入 れ る とC1=1+j/2'C2=1-j/2'

よ っ て,

  〔別 解 〕  s2-2s+5=(s-1)2+22に

な る か ら,y=εt(Acos2t+Bsin2t)と

お け る 。 初 期 条 件 を 入 れ れ ば 同 じ結 果 が え られ る 。 ６.特

有 方 程 式 は,s4+18s2+81=0よ

っ て,(s2+32)2=0こ

れ は,３

を角

周 波 数 と す る 正 弦 波 の 重 根 を あ ら わ して い る か ら,

y=(A+Bt)cos3t+(C+Dt)sin3t ７.補

解 が,Clcos2t+C2sin2tで

よ う 。ys=At+Bと

あ る こ とは 明 らか で あ るか ら特 解 を 求 め

お い て み る とys"=0で

け っ き ょ く解 は,y=1/4(t+3)+C1cos2t+C2sin2t(微 の 問13を

参 照 の こ と)。

あ る か ら,4A=1,4B=3で

よい 。

分 方 程式 に関 す る問題

８.こ

の 特 解 は,ys=3t2+At+Bと

お け る 。A=0,B=-

3/ 足 す る。

し た が っ て,一

3

を 入 れ る と,y=3t2-

９.特

般 解 は,y=3t2-

/2

2

+C1cos2t+C2sin2t,初

解 は,ys=costで

解

期 条 件

+5/2cos2t+sin2t. あ る こ とは 目 算 で 見 出 さな け れ ば な ら な い 。

こ れ か ら,y=cost{C1log(sect+tant)+C2}が

10.特

3/ 2で 与 式 を満

求 まる。

は,ys=C1′cost+C2′sint,与

式 に 代 入 す る とC1′=C2′=A/10が

求 ま る か ら,

11. 12.変

数 分 離 法 に よ っ て 解 け とい うの で あ る か ら,与 式 を変 形 し て,

両辺 を積 分 して,

よ っ て,

13.y=at+bの

形 を もつ 特 解 を 求 め よ とい うの で あ る か ら,与 式 に 代 入 す

る と,-(at+b)=3t+1.し

た が っ て,a=-3,b=-1.一

を加 え れ ば よい 。yt=C1εt+C2ε-tで 14.与

般 解 は,補

解yt

あ る か ら,y=-3t-1+C1εt+C2ε-t

式 で ｙ に 適 当 な 定 数 を代 入 す る と等 式 が な りた つ が,そ

の定 数 を目

算 で 求 め よ とい うの で あ る 。 こ れ は 与 式 の特 解 に あ た っ て い る 。yt= A/

この a2.

関 係 は,電 気 回 路 に直流 起電 力 を加 えた ときの定 常 電流 を求 め る ときにで て く る 。 ゆ え に,一

B-2単 １.回

般 解 は,y=

A / a2+

C1cosat+C2sinat.

エネ ル ギー 回路 に関す る問題 の解答 路 方 程 式 は,L

こ の 一 般 解 は,i=(定

di / dt

+ Ri=E

常 値)+{(初

期 値)-(定

常 値)}

で あ る 。 初 期 値 は ０,定 常 値 はE/Rで

最 終 値(=定

常 値)の90%に

あ る か ら,

達 す る 時 間 をt0秒

とす る と,

よ っ て,

答11.515秒 ２.回

路 方 程 式 は,

Ldi/ dt+Ri=E t=0でi=-i0の

も とに 解 け ば よい 。

こ れ か ら Ｅ を求 め れ ば よい 。

よ っ て,

３.Ldi/dt+Ri=2E0,t=0でi=-i0=-E0/R を解 け ば よい 。

答0.6593秒

４.回

路 方 程 式 は,Ldi/dt+Ri=E

こ れ は,定

係 数 の 線 形 １階 非 同 次 微 分 方 程 式 で あ る か ら,右 辺 を ０ とお き,

Ldi/dt+Ri=0

変 数 分離 形 に して,

こ こ で,A≡

εA'

Ａ を 関 数 と考 え,回 路 方 程 式 を満 足 な ら し め る よ う に す る と次 の よ う に な る,

こ こ で,t=0でi=0の   こ の方 法 は,交

初 期 条 件 を入 れ る と,

流 電 源(Emsin(ωt+θ))を

投 入 す る と き で も可 能 で あ るが,

直 流 電 源 の 場 合 は 次 の 方 法 で も解 け る 。

〔別解 〕 Ldi/dt+Ri=E

 

E-Ri=Ldi/dt

初 期条 件 を入 れ,   こ の 式 の 物 理 的 意 味 は,イ

ン ダ ク タ ン ス の も つ 鎖 交 磁 束 連 続 則,あ

よ り基 本 的 に は はFaradayの

逆 起 電 力 の 法 則 に よ っ て 電 源 を 投 入 して も,イ

ダ ク タ ン ス を流 れ る 電 流 は 連 続 的 に 変 化 す る の で ０

る い は, ン

から徐 々 に ふ え て 定 常 値

E / Rに

達 す る こ と を表 わ し て い る。

  ５.回

路 方 程 式 は,ス

イ ッ チ Ｓ を 動 か した 後 の 回 路 に つ い て た て る の で あ る

か ら,

初 期 値 は,t=0_でi=E/R

1+R2で

あ る が,こ

の 場 合 は 明 ら か にi0_=i0+

で あ る か ら,

 ６.回

路 方 程 式 は,

コ ン デ ン サ に た くわ え られ る エ ネ ル ギ ーWcは,

時 間変 数 に変 換 す る と,

抵 抗 で 消 費 さ れ る エ ネ ル ギ ーWRは,

とな っ て コ ン デ ンサ に 蓄 積 す る エ ネ ル ギ ー と同 じ で あ る 。 な お,電 す る全 エ ネ ル ギ ー は,

源 か ら供 給

７.単

エ ネ ル ギ ー 回 路 に 関 す る問 題 の 問 ６.を 参 照 の こ と｡

８.

９.

t=0でq0=CE0

10.前

間 か ら,

一方

答6.593〔V〕 11.図7(a)でC1とC2に q10,υ10とq20,υ20と

蓄 積 さ れ て い る 電 荷 と端 子 電 圧 を そ れ ぞ れ す る と,

q10=q20=q0

図(ｂ)で,C1
し て,  υ1-υ2=γi,

とす る。

t=0でq=0で

あ る か ら,

q2も

同 様 に求 ま る 。

12．

図(ａ)で

  上 式 はC1=C2の

の 蓄 積 エ ネ ル ギ ー は,

場 合 に 等 し い ほ か は 必 ず 正 で あ る。 こ の 差 は,抵 抗 ｒの 導

線 を つ な い だ と き の ジ ュ ー ル 損 とな っ て 消 費 され た も の で あ る。 も し,ｒ で あ る と,C1とC2を ギ ー に 変 換 し,そ

結 ん だ と き に 流 れ る 電 流,つ れ がC1とC2の

両 端 に あ る ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー と関 連

し て 振 動 現 象 を生 ず る こ と に な る 。 13． iRを

回 路１ 方 程 式 は, 消 去 し て,

t=0でiL=0で

14．iLは

あ る か ら,

前 問 で 求 ま っ て い る 。iRは,

両 者 を等 し い とお き,

15．

が ０

ま り,電 子 の 運 動 エ ネ ル

前 問 の 解 を使 っ て,

答2.433秒

16.(ａ)

答2.300秒 (ｂ) こ こ でlog7は

問 題 に与 え られ たlog2とlog3か

らは 求 ま ら な い が,近

似

的 に 求 め る こ と を考 え て み よ う。 １)log6とlog8の

算 術 平 均 か ら求 め る。

対 数 関 数 は 上 に 凸 で あ る か ら,実 は ま た,７

を,√48と

際 の 数 は こ れ よ り大 き い は ず で あ る 。 こ れ

み な して い る こ と に な る 。

２)log7≒log8-(log9-log8)=2log8-log9=6log2-2log3=0.8518 こ れ は,７

を64/9と

み な し た こ と で,実

際 は こ れ よ り小 さ い は ず で あ る 。

３)

こ れ か ら,log7≒0.8448実

際 に は こ れ よ り も大 き い は ず で あ る。

４)

こ れ か らlog7≒0.8453実

際 は これ よ りも小 さい は ず で あ る 。

以 上 の こ と か ら,0.8406
と ２ か

適 当 に 選 ぶ と か な り正 確 に 求 ま る 。 こ れ は,７

１)と

２)か

ら〕

３)と

４)か

ら〕

あ る 。 こ の よ う に,２

か

３

３ の乗 除 で で き て い る数 の 三 つ を に か ぎ っ た こ と で は な く,す

べ

て の 素 数 の対 数 はlog2とlog3さ

え 知 っ て い れ ば か な りの 精 度 で 求 め る こ と

が で き る 。 工 学 的 な 感 覚 の 問 題 と し て つ け 加 え て お い た し だ い で あ る。 17.  回 路 方 程 式 は, L

di

+(R1+R2)i=0

/ dt

をt=0でi=E/R1の

初 期 条 件 の も と に 解 け ば よい 。

が 容 易 に 求 ま る 。 次 にR1で

に なる。

18.  回 路 方 程 式 は,

irを

消 去 し て,

t=0でq=CE

1＋

R1/ r

≡aと

お く と,

消 費 され る エ ネ ル ギ ー Ｗ は,

a

た だ し,

19. 

放 電 時(ス

す る と,

t=τ

す る と,

充 電 時(ス

こ れ か らirを

１

消 去 し て,

あ る か ら,

t=τ

お く と,

定 常 状 態 に 達 して い る な らば,q2=q0で

こ れ か ら,

解図

イ ッチ Ｓ を閉 じ る)

t=0でq=q1で

でq=q2と

=r+R1 /R1R2+R2r+rR1

イ ッ チ Ｓ を 開 く)

t=0でq=q0と

でq=q1と

/ R1+aR2

な け れ ば な らな い か ら,

が 求 ま る。こ れ か ら， スイッ チ Ｓ 開 放 時 と閉 じだ 時 のvc=q/C，ir求 た だ し,ｔ

ま る。

は ス イ ッ チ Ｓ を動 か し た と き を 基 準 に し て あ る 。

  開 放 時 のvcは,

短 絡 時 のvcは,

  電 流 は 微 分 し て 求 ま る 。 ス イ ッチ Ｓ を 開 閉 し た と き の過 渡 状 態 を解 図 １ に 示 す。 20.回

路 方 程 式 は,R2を

流 れ る電 流 をi2, Ｃ を 流 れ る電 流 をic=

電 荷 を ｑ とす る と, R1(i2+

dq/dt)+

q/ C=E

こ れ か ら,

q=

+Aε

R1＋R2

R2CE/ t=0でq=

21.解

ECR2/

- R1+R2/ CR1R2

t

で あ る か ら,

R0+Rl+R2

図 ２ の よ う に等 価 回 路 が か け る が,回

        i=i1+i2=i3+i4 q1 / C1

=i2/

g1

q2

i4

/ C2=

/g2

  

路 方 程 式 は,

dq/ dt，

q1/ q2/ =E +/ C1 C2 dq1/

  dq2/

=i1

dt

=23

dt

こ れ か ら,

こ れ を 解 い て, q1=

-ε 1+g2/

g2C1E/

解図

t

C1+C2

+Bε-g1

C1+C2

g1+g2

+Aε

２

同 様 に し て, q2=

+g2/

g1C2E/ g1+g2

t

求 め る ｂ 板 上 の 電 荷 ｑ は,

t=0でq0=q20-q10=0で

あ る か ら,B-Aが

  〔注 意 〕  こ こ で,t=0の

と き のq1とq2の

い て は い け な い 。 確 か に,t=0.の れ た と き,抵 t=0+の

q10 + / C1

q20は

初 期 電 荷q10とq20を

と き そ れ ら は ０ で あ る が,ス

０ とお イ ッ チ Ｓ を入

で あ る か ら,こ

次 の よ うに な る。

q20/=E C2

ｂ 板 上 の 電 荷 は,t=0-で

０ で あ り,こ

こ で は 連 続 則 が な り た ち,し

q10=q20=q0

C1C2/ よ っ て, 

め ら れ,

抗 が 直列 に は い らな い か ら電 荷 保 存 則 は な りた た な い の で あ る。

と き のq10, 

       

求

q10=q20=q0=

に な る 。 し た が っ て,

C1+C2E

こ へ の 電 荷 の 流 入 はg1,  g2を た が っ て,

通 して

に は な ら な い の で あ る 。 た だ こ の 場 合 は,要 で,こ

の よ うに して も,答

求 して い る答 がq=q2-q1な

は ま ち が い が 相 殺 さ れ,同

の

じ結 果 が 得 られ る が 正 し

い 方法 で は ない。   22,前

間 と同 じ よ うに し て 解が求 め られ る 。 ま た,一

般 化 され た イ ン ピ ー

ダ ン ス の 比,

が Ｓ の 関 数 に な ら な け れ ば よい 。 そ れ に はC1R1=C2R2の   23.題

意 に よ っ て,R3は

関 係が 必要 で あ る。

Ｃ に 充 電 し た電 荷 を ス イ ッ チ Ｓ が ２ に 接 続 さ

れ て い る 間 に 全 部 放 電 させ る 役 割 を し て い る に す ぎ な い か ら,結 果 に は い っ て

(ｃ) 解図 ３ (ａ)

(ｂ)

こな い こ とが わ か る 。 １) Ｓ を ２ に つ な い だ と き,回

路 は,解

図3(a)

路 は,解

図3(b)

の よ うに な る か ら,

(ｄ)

２) Ｓ を １ に つ な い だ と き,回 の よ うに な る か ら,

と こ ろ で,i3に

ま た,初

つ い て は こ の 系 の 時 定 数 が 解 図 ３(ｃ)に 示 し た よ うに な るか ら,

期 電 流 は 解 図 ３(ｄ)に

示 すi30で

あ る か ら,

よ っ て,

上 記 の連 立 方 程 式 か らi4を

消 去 して,

i3の 値 を代 入 し て,

１ お よび ２ に接 続 し て い る 時 間 を Ｔ とお く(T=1/2n),

〓ig2dt+ig1T=0 よ っ て,

こ れ か ら,

が 求 ま る 。 も し,

24.回

路 方 程 式 は, Ｌ di/ dt+Ri=Esin(ωt+θ)

定 常 解isは, 一 般 解 は,

と で きれ ば 解 の 形 は 簡 単 に な る 。

t=0でi=0で

あ る か ら,

        i=Imsin(ωt+θ-ψ)-Imsin(θ-ψ)ε-R/Lt 25.回

路 を 流 れ る 電 流 は,

        i=Imsin(ωt+θ-ψ)+Aε-R/Lt ｔ

=0でi=E0/ Rで

あ る か ら,

過 渡 電 流 が 流 れ な か っ た の で あ る か ら, θ=ψ+sin−1

26.回

E0/

RIm

路 を 流 れ る 電 流 は,

        i=lmsin(ωt+θ-ψ)+Aε-R/Lt t=0でi=0で

あ る か ら,

        i=Imsin(ωt+θ-ψ)-Imsin(θ-ψ)ε-R/Lt 過 渡 電 流 が 流 れ な い の は,  27. 

θ=ψ ±nπ, 

n=0,1,2,…

回 路 方 程 式 は,

       Rdq/dt+q/C=Emsin(ωt+θ)         q=Qmsin(ωt+θ

− ψ)+Aε-t/CR

ψ=tan-1ωCR

t=0でq=q0と

す れ ば,

        q=Qmsin(ωt+θ-ψ)+{q0-Qmsin(θ-ψ)}ε-t/CR 過 渡 現 象 を 生 じ な い た め に は,

C=5μF,R=2kΩ,ω=2π

  1)qo=0の

×50と

  2)q0=5×10-5〔

×5×10-6×2×103=tan-1π=72゜20′

ク ー ロ ン 〕,Em=141Vと

28.回

路 方 程 式 は,

t=0で

のq=q0は,

消 去 し て,

定 常 状 態 の ｑ を求 め る と,

t=0と

と,

と き,  θ=tan-1102π

iRを

す る

お い て,

す る

と,

これ がA′

29.回

で あ る か ら求 め るiRは,

路 方 程 式 は,

t=t0で

で あ るか ら,

よ っ て,

  別 の解 法 と し て,t=0で と き,τ=t-toと

ス イ ッチ Ｓ を ａ か らt=t0で

して 交 流 電 源 投 入 の 方 程 式 を τ で と き,最

ｂ に 切 り換 えた 後 にふ たた び ｔ

に 変 換 し て も よい 。   30.も

ち ろ んI0で

あ る 。 こ の 場 合,電

流 の連 続性

は な りた た な い が,そ れ は 定 電 流 源 を投 入 し た か ち で, こ の と きの 必 要 な起 電 力 は,t=0で

無 限 大 で あ る。 こ

の 回 路 に双 対 な 回 路 は 解 図 ４で,こ

の 回 路 の と き電 荷

保 存 則 は な りた た な い が,定   31.回

路 方 程 式 は,

電 圧 源 はt=0で

解図

４

無 限 大 の 電 流 を要 求 され て い る 。

t=0でLi=ω=0  よ っ て,

32.こ

の系 の電 流 に よ る積 分 方 程 式 は,

  1/C〓idt+(γ+R)i=O  t=0でq=q0=CE   電 荷 お よ び 電 流 は,

33.回

路 方 程 式 は,

(L++L1)

di / dt

+Ri=0

初 期 条 件 は,Ψ0-=L2i0-=2×5=Ψ0+=(L1+L2)i0+=(2+1)i0.

よ っ て ・t=0でi0+=10/3

ゆ え に,

B-3 

複 エ ネ ル ギ ー 回 路 に 関 す る 問 題 の 解 答 

１.回 路方程 式 は,

減 衰 振 動 す る た め に はs1,2が

複 素 共 役 に な る こ とが 必 要 で あ る か ら,

そ の とき の 振 動 周 波 数 ｆ は,

  ２.前

で

を代 入 す る と,

間 か ら,

重 根 と な る か ら, q=(A+Bt)ε-αt i=-{(B-αA)-αBt}ε-at

t=0でq=q0,i=0か

電 荷 お よび 電 流 の 変 化 は,解 ３.回

が 求 ま り,

ら,A=q0,

図 ５ の よ うに な る 。 解図

路 方 程 式 は, L

d2q/ dt2

+

q =E C

q=CE+A1εjβt+A2ε-jβtた   i=jβ(A1εjβt-A2ε-jβt) t=0でq=0 

i=0と

 A 1=A2≡A=-CE/2 が 求 ま る か ら, q=CE(1-cosβt)

し て,

だ し,

５

イ ン ダ ク タ ン ス の 端 子 電 圧 νLは, di

νL=L

=Ecosβt

/ dt

コ ン デ ン サ の 端 子 電 圧 νcは , νC

=q =E(1-cosβt) /C

よ っ て,νLの 4.回

最 大 値 はE,νcの

最 大 値 は2Eに

な る。

路 方 程 式 は, L d2q/ +

dt2

q/ C=0 dq

をt=0でq=0,i=

=i0=200Aの

/ dt

も と に 解 け ば よ い.

q=A1εjβt+A2ε-jβt

  i=jβ(A1εjβt-A2ε-jβt)  

A1+A2=O 

i0=jβ(A1-A2)

よ っ て,

Ai=

-i0

i0/

2jβ

 

A2=

/2jβ

ゆ え に,

q=i0/βsinβt 

i=i0cosβt

電 圧 の最 大値 は, で あ り,

電 流 の 最 大 値 は200Aで

５.Ｓ

あ る 。 また,周

波 数 ｆ は,

を い れ る と始 め は 導 通 で あ るか ら,

q=CE+A1cosβt+A2sinβt 

(１)

i=β(A2cosβt-A1sinβt) 

(２)

とか け る 。 t=0でq=0,i=0で

あ る か ら,

CE+A1=O,A2=O 

∴A1=-CE

よ っ て, q=CE(1-cosβt) 

(1′) (２')

t=

π/

で ダ イ オ ー ドは し ゃ断 で Ｒ が は い り,回 路 方 程 式 は,

β

よ っ て,

{

q=CE+ε-αt{B1cosβ

′t+B2sinβ

 i=ε-αt{(-αB1+βB2)cosβ

′t} 

′t-(αB2+β

(３) ′B1)sinβ

′t} 

(４)

こ こ で,

こ の 場 合 の 初 期 条 件 は,式(1′)と の 初 期 条 件 をq1,i1と q1=2CE  これ,を,式(３)お

式(2′)でt=π/β

を代 入 す れば よ い 。 こ

お き, i1=0 よび(４)に

代 入 し て,t=0と

おいて

α

B1=CE,B2= が 求 ま る。 な お,ｔ

/β

CE は ダ イ オ ー ドが 導 通 し た りし ゃ断 した りす る と き を い ち い

ち 原 点 に 選 ぶ こ と に す る 。 導 通 し た 時 間 を τ と す れ ば,τ で あ ろ う。

とtの

変 換 は容 易

こ れ か ら,

q=CE(1+ε-αtcosβt+α/βsinβt) 

(3′)

i=-CE( +β)ε-αtsinβt  /β

(4′)

α2

t=π/β(τ= 2π/ β )に

な っ た と き ふ た た び 導 通 とな り,式(1)お

う 。 初 期 条 件 は,式(3′)お でt=π/β

よ び(２)を

使

よ び(4′)

と お け ば よ い,

よ っ て,

解図

６ (1′) (2′)

3π

t=π/β(τ=

/β )の

と きふ た た び 非 導 通 に な り,式(３)お

よ び(４)を

使 う。

π/

初 期 条 件q3,i3は,式(1″)お

よ び(2″)の

ｔ に

β

を代 入 し,

こ れ か ら, (3″)

(4″)

が 求 ま る 。 以 下 同 様 の 計 算 を く り返 す とコ ン デ ン サ Ｃ の 両 端 に 生 ず る端 子 電 圧 νcは し だ い に Ｅ に 収 束 す る こ とが わ か る。 コ ン デ ン サ Ｃ の 電 圧 を解 図 ６に 示 す。

６.回

路 方 程 式 は,

qを 消 去 し て 整 理 す る と,

特 有 方程 式 は, RCLs2+Ls+R=0

判別 式 が負 に なる た めには, 求 め る周 波数 ｆ は, ７.回

路 方 程 式 は,

qを 消 去 す る と,

特 有方 程 式 は, LCRs2+Ls+R=O

L=4mH,C=5μF,R=100Ω

８.

を 代 入 す る と,

こ れ か らicを

消 去 し て,

特 有方 程 式 の根 は,

こ れ か ら,振

動 発 生 条 件 は,

  4R1CL(R1+R2)>(CR1R2+L)2 R1,R2お

よび

Ｃ

に 与 え ら れ た 数 値 を 代 入 す る と,

     L2-40L+100<0 よ っ て,2.7
qを

路 方 程 式 は,

消 去 す る と,

特 有 方程 式 の根 は,

よ って,振 10.回

動 が 生 じな い た め に は,L〓4Cγ2

路 方 程 式 は,

t=0でq=CE,i=0を

q=AiεSlt+A2εs2t

解 け ば よい 。

i=s1A1εs1t+s2A2εs2t CE=Al+A2,0=s1A1+s2A2

よ っ て,

CE/ q= 4L/

R2>

4L/

R2=

C,

i=

{-s2εs1t+s1εs2t}, S1-S2

C,

R2<

4L/ C

CEs1s2 /S1-S2

に し た が っ て,対

{-εs1t+εs2t}

数 減 衰 的,臨

振 動 的 に な る の は 本 文 で 述 べ た とお りで あ る 。 11.0
間 の 回 路 方 程 式 は, L

t>Tの

qを

di/ dt

+Ri=E

と き 回 路 方 程 式 は,

消 去 し て,

diL/

t=Tで

q=0よ

E

i0=

/R

+A1εs1T+A2εs2T

0=s1AIεs1T+s2A2εs2T

をiLの

式 に代 入 し て,

っ て,

dt

=0

界 的 お よび

12.R1を

流 れ る 電 流 をi1,R2を

流 れ る 電 流 をi2と

題 意 に よ っ て,

右 辺 の 第 ２項 を ０ に す る 必 要 が あ る。 そ れ に は, R1=R2=R, で あれ ば よい 。 13.回

iRを

路 方 程 式 は,

消 去 して,

特有 方程 式 の根 は,

こ れ か ら,

(r2C2-4LC)R2-2LCrR+L2>0 (L-rCR)2>4LCR2

す る。

と ころ で,R→

∞ の と き振 動 的 で あ る か ら,

し た が っ て, 14.図35の(ａ),(ｂ),(ｃ),(ｄ)に (ａ)回

つ い て の 解 は 次 の よ うに な る。

路 方 程 式 は,

t=0でq=0 

i=dq/dt=0の

も

解 け ば よい｡

特 有 根 は,

{

q=CE+A1εs1t+A2εs2t i=s1A1εs1t+s2A2εs2t

こ れ か ら任 意 定 数A1,A2は

次 式 に よ っ て 算 出 す る｡

A1+A2=-CE

{

s1A1+s2A2=0

以 後 の計 算 は 本 文 を参 照 され た い｡ (ｂ)回

路 方 程 式 は,

R(iL+ dq/

｛

)+L

dt

L これ か らiLと

diL/ dt

diL/ dt

=q /C

ｑ を 消 去 し て,

=E,

 iL+

dq/ dt

=i

t=0でiL=0,q=0で

解 け ば よい 。 これ は ｉ に な お さ な け れ ば な ら な い 。

に お い て,

ま た,

の初期 条 件 を使 えば よい。

よ っ て,t=0で

特 有 根 は,

こ れ か ら,

(ｃ)回

路 方 程 式 は,

こ れ か らiRとqを

消 去 して,

t=0でi=0q=0で

解 け ば よい 。iの

初 期 条 件 に 変 換 して み よ う｡

t=0で,

初 め の 式 に代 入 し て,

を う る か ら,

よ っ て,t=0でi=0,

を用 い れ ば よい こ とが わ か る 。

特 有 根 は,LCRs2+Ls+R=0,

(ｄ)

か らiL,iRを

t=0で,iL=0,q=0で

消去 して

ｑ の式 にす る と

解 け ば よい。 で あ る か ら,け

っ き ょ く,

E/

dq/

t=0でq=0,

dt=

Rの も とに 解 け ば よい 。

q=CE+A1εs1t+A2εs2t

{

dq/

 i=

dt

=s1A1εs1t+s2A2εs2t

A1+A2=-CE

{

 s1A1+s2A2=E/R

 これ らか ら,(ａ),(ｂ),(ｃ),(ｄ)の

回 路 の うち減 衰 定 数 は,図(ａ)は

る が 他 の 三 つ は 同 じで あ る こ とが わ か る 。 これ は,特 え ば,い

ずれ も Ｒ

と Ｌ

異 な

有 根 を 求 め る見 地 か らい

と Ｃ が 並 列 に接 続 さ れ た 回 路 で あ る か ら当 然 で あ

る。 もち ろ ん 振 幅 や 定 常 値 な どは 異 な る。  15.題

意 に よ っ て,I=iL+iR+ic

よ っ て,

ま た, こ れ,か ら, e=A1εs1t+A2εs2t

  次 に,t=0+で て し ま う。

Ｉ で あ る か ら,ｅ そ こ で,t=0+の

な る よ う にA1,A2を

A1+A2=0

{

と きiLは

き め て や れ ば よい 。

よ っ て,

 s1A1+s2A2=

がt=0+で

I/ C

有 限 値 だ とicは ０(ｅ

に 関 係 な く)iR=0,

無 限 大 に な っ iC=Iに

e=

16.回

I / C(s1-s2)

(εs1t-εS2り

路 方 程 式 は,

{ q=qs+A1εjω0t+A2ε-jω0t  i=is+jω0(A1εjω0t-A2ε-jω0t),

 こ れ を解 け ば よい 。 ω〓 ω0の と き,ω=ω0の た い せ つ で,ω=ω0の

と き と区 別 して 解 析 す る こ とが

場 合 は共 振 状 態 を あ ら わ し,tsin(ω0t+δ)の

形 を含 む,

具 体 的 な 大 き さ に つ い て は 本 文(ま た は 演 算 子 法 に 関 す る 問 題)を 参 照 の こ と。  17.回

路 方 程 式 は,

q =RiR /C t=0でiL=iR+ic=0,q=0で iRを

解 け ば よい 。

消 去 し て,

よ っ て,

dq こ れ か ら,ic=

/ dt

を求 め れ ば よ い 。

特 有根 は,

と お く。

(ａ)非

振 動 的 の場 合 ic=Imsin(ωt+θ-ψ)

(ｂ)臨

界 的 の場 合

(ｃ)振

動 的 の場 合

こ こ で,

で あ る。   18.問

題 と し て は と りた て て む ず か し い こ とは な い が,複

エ ネル ギー の交

流 回 路 の数 値 計 算 が い か に め ん ど うで あ る か を示 す 例 で あ る,一 問 題 を解 き,実

度 こ の よ うな

際 に 計 算 し て 計 算 力 を養 っ て お く と よい 。 ま た,実

際 にグ ラ フ

を 描 い て み る と実 感 と し て 理 解 で き る も の で あ る 解 図 ７(ａ),(ｂ),(ｃ)参  さ て,回

こ れ か ら,

路 方 程 式 は,

照)。

た だ し,

 こ の 場 合 はq0も

０ とす る。

(ａ)L=0.15H,C=1.2μF,R=2×103Ω,Em=14.1V,f=60Hz,φ=45° で あ る か ら,

ω=2πf=6.28×60=376.8≒377 ωL=376.8×O.15=56.52 1/wC=1/376.8×1.2×10-6=2.21×103

ωZ=377×2.94×103=1.108×106

こ の場 合 は,

非 振動 的 で ある。 ま た は,

こ れ ら か ら,

{

q=-1.27×10-5cos(377t+92°6′)-8.65×10-7ε-430t+4.0×10-7ε-12900t   i=4.80×10-3sin(377t+92°6′)+3.72×10-4ε-430t-5.16×10-3ε-12900t

-12900

が 求 ま っ た 。 と こ ろ で,得

られ た 結 果 が 計 算 違 い を し て は い な い だ ら うか 。 検

算 に は,t=0でq=0,i=0に

な っ て い る か ど うか を確 め れ ば よい 。

q0=1.27×10-5sin(2°6′)-8.65×10-7+4.0×10-7 =4.57×10-7-8.65×10-7+4×10-7=0.08×10-7 i0=4.8×10-3×0.9993+3.72×10-4-5.16×10-3=0.01×10-3  い ず れ も 完 全 な ０ に は な ら な い が,あ こ れ は,丸

め の 際 に で た 誤 差 で 近 似 的 に ０ とみ て さ しつ か え な い だ ろ う。

解図

(ｂ)臨

つ か っ て い る量 よ りお よ そ ２桁 小 さい 。

７ (ａ)

界 抵 抗 を 求 め よ う。 R2=

q=

i=

4L /C Em /ωZ

=5×105

 

R=7.07×102Ω

cos(ωt+φ-ψ)+(A1+A2t)εs0t

/Em -sin(ωt+φ-ψ)+(A1s0+A2+A2s0t)εS0t Z

s0=-2357 Z=2.27×103 ψ=-tan-13.047=-71°50′ Al=-7.44×10-6,A2=-2.35×10-2

な どが 計 算 さ れ て,

q=-1.65×10-5cos(377t+116°50′)-(7.44×10-6+2.35×10-2t)ε-2357t

{

 i=6.21×10-3sin(377t+116°50′)+(-5.96×10-3+55.4t)ε-2357t

が 求 ま る。

解図 (ｃ)R=7.07×102/2=354Ω

７ (ｂ)

の 場 合,

ψ=tan-1(-6.08)=-80°36′ ωZ=8.22×105

{ q=-1.71×10-5cos(377t+125°36′) -2ε-1180t{1

.60×10-6cos2040t+4.99×10-6sin2040t}

i=6.47×10-3sin(377t+125°36′) +2ε-1180t{2.63×10-3cos2040t-1.207×10-2sin2040t} に な る。

解図

７ (ｃ)

19.ま

ず,ど L

の よ う な 電 源 が 加 わ っ て い る か 調 べ て み よ う。

di/

+Ri=Emcos(ωt+θ)

dt

と お く と, θ0=tan-1

ωL/ R

で あ る か ら, で あ る こ とが わ か る 。 こ の 回 路 方 程 式 は,

ｑ を消 去 し て,

diL/ をt=0,iL=Im 

q=CL

=0の

も とに

dt

動 的 の場 合

dq/ iC=

d2iL

=LC

dt

/ dt2

は 容 易 に 求 ま る で あ ろ う。

 (ｂ)臨

界 的 の場 合 Imsin(ωt+θ0) iL=

/sinθ0

 (ｃ)振

た だ し,

動 的 の場 合

1/ LC

ば よい 。

 (ａ)振

ω2=

-ImR/ L

tε-αt

の関係 を使 って解 け

な どが 求 ま る 。  20．

ス イ ッ チ Ｓ を開 い た 後 の 回 路 方 程 式 は, d2q/ + dt2

L

q/ =Ecosωt C

 こ れ を,t=0でq=0 

i=

dq/

E/

dt=

ωL

sinωt=0の

も とに 解 け ば よい 。

ゆ え に解 は,

も し,

の 関 係 が あ る と同 調 条 件 に な る。 この 場 合 の 解 に つ い て は,本

文 ま た は 〓演 算

子 法 に 関 す る 問 題 を参 考 に し て 求 め て み よ。  21．

Ｃ お よ び Ｌ と並 列 に あ る Ｒ を流 れ る 電 流 を そ れ ぞ れi1,i2と

電 流 を ｉ とお く。 Ri1=

q /C

,

dq/

i1+

Ri2=L-

diL/ dt

=i2+iL=i

dt

R(i1+i2)=Emsinωt が な り た ち,ｉ

につ いて解

く と,

φ1=tan-1ωCR

ωL/R φ2=tan-1

こ こ で,L=CR2の

関 係 を 使 う と φ1=φ2と

な り,

し,全

t=0でi=0で

あ るか ら,A=0よ

っ て,過

渡 現 象 は 生 じな い 。 さ ら に,任

の 電 源 位 相 の と き ス イ ッ チ Ｓ を入 れ て も,常

意

に 過 渡 現 象 を生 じ な い こ と は 容

易 に確 め られ よ う。 22．

こ の 問 題 は,数 年 前 あ る外 国 の 学 会 誌 の コ レ ス ポ ン デ ン ス に 戴 って い た

もの で あ る。 図(ａ)の ない 。 した が っ て,過

回 路 は前 問 の 関 係 を満 た し て い る の で 過 渡 現 象 を生 じ 渡 応 答 か ら で は 図(ｂ)の

回 路 と区 別 が つ か な い 。 も ち

ろん,周

波 数 特 性 をみ て も だ め で あ る。 し か らば 両 者 の ど こが 異 な る か と い う 1/ 1/ LI2の 電 磁 エ ネ ル ギ ー を,Ｃ に CV2の 静 と,図(ａ)の 回路 で は Ｌ に 2 2 電 エ ネ ル ギ ー を た くわ え て い る は ず で あ り,し の 回 路 よ り ジ ュ ール 熱(RI2)の

た が って,そ

の 分 だ け 図(ｂ)

発 生 が 少 な い こ と に な る 。 そ の 点 に 注 目 して

区 別 す る こ と に な ろ う。 23．t=0で

ス イ ッ チ Ｓ を開 け ば 回 路 方 程 式 に １ 次 側 は 関 係 が な い か ら, L

d2q/ dt2

q/ =0 C

+

  ど の よ う な 初 期 条 件 を 入 れ た ら よい か が こ の 問 題 の ポ イ ン トに な る が,そ に は 鎖 交 磁 束 連 続 則 を 使 えば よい 。 ２ 次 側 のt=0_に

れ

お け る鎖 交 磁 束 は Ｍ を

か い し て １次 側 か らは い っ て き た の で あ る か ら,

で あ る 。 した が って,上

述 の 回 路 方 程 式 をt=0でq=0,

dq/ = ME/ i=

dt

も と に解 け ば よい 。 q=A1cosω0t+A2sinω0t i =ω0{-A1sinω0t+A2cosω0t} よ っ て,A1=0 ω0A2=

で あ る か ら,i=

ME/ L2R

ME/ L2R

cosω0t

が 求 め る解 で あ る 。 作 図 は あ ま りに も容 易 で あ る か ら省 略 す る。

L2R

の

  24．

２ 次 側 は 開 放 で あ る か ら,i2=0.し

束 の 時 間 変 化 に よ る分 で あ る が,そ

れは Ｍ

た が っ て,そ

の端 子電 圧 は 鎖交 磁

を か い し てi1の

時間 変化 に よる

分 で あ る。 dΨ/ υ2=-

と こ ろ で,１

di1/

dt

＋ Ri1=E

dt

に よ る 分 はi2が

i1=0の

di1/

=-M

次 側 の 回 路 方 程 式 は,

L  Ｍ

dt

常 に ０ で あ る か らは い っ て こ な い 。 こ の 解 はt=0で

も と に,

 よ っ て,

 こ の 値 を初 め の 式 に代 入 し て,

 25．

回 路 方 程 式 は,

こ れ か らi2を (L

消 去 す る と,

d2i1 １L2-M2)

  題 意 に よ っ て,漏 M2にな り,微

+(L2R1+L1R2)

/dt2

+RiR2i1=R2E

れ 磁 束 が な い とい う こ と は 完 全 密 結 合 で あ る 加 う,L1L2=

分 方 程 式 は １階 に な る.i2に

(L2R1+L1R2)

{

di1 / dt

(L2R1+LlR2)

di1 / dt di2 /dt

+R1R2i1=R2E

+R1R2i2=O

対す る 弍 もか き加えて,

こ れ か ら,

  こ こ で,t=0_の

と きi10_=0,i20_=0だ

か ら, t=0+で

で あ る と し て は い け な い 。 そ う す る と,明 は 鎖 交 磁 束 で,Ψ10_=Ψ20_=0(１  

もi10+=0,i20+=0

らか に上 式 は 矛 盾 す る。 注 目 す べ き

次 側 と ２次 側 の 鎖 交 磁 束)

よ っ て,Ψ10+=Ψ20+=0 Ψ10+=L1i10++Mi20+=0 Ψ20+=L2i20+＋Mi10+=0

L1L2=M2を

使

っ て,

E/

一 方,

i10+=

A=

か ら,

R1

R1/ ・ L2/

+A,

i20+=

R2

M

A

EL1R2

/ R1(L1R2+L2R1)

が 求 ま り,

が 求 ま る 。 ４・３ 節 で す で に 得 た 結 果 で あ る が,特 26．

回 路 方 程 式 は,

こ れ か ら2次 側 の 電 流i2を

(L1L2-M2) こ れ をt=0でi=I0の

消 去 し て,

di1 / dt

+L2Ri1=0

も と に解 け ば よい 。

に再 掲 し た。

２次 側 に流 れ る電 流i2は,

Ｂ は鎖交 磁 束連 続 則 か ら求 めれ ば よい。 それ に は, Ψ20-=Mlo=ψ20+=Ml0+L2i20+ 

∴i20+=0

よ っ て,

t→

∞

M

の 定 常 状 態 で は,i1→0,i2→

/ LZ 次 に,完

i0に

な る。

全 密 結 合 の場 合 を 考 え て み よ う。(LiL2=M2)

(LiL2-M2)

di1 dt

次 に ２次 側 の 電 流i2を

+R1i1=0か

ら た だ ち にi1=0が

求 め よ う, (∵i1=0)

任 意定 数 Ｂ は鎖交 磁 束連 続 則 か ら求 め る。 Ψ1o-=Lli1o‐+Mi20‐=Lli0=Ψ10+=Llilo+Mi20+=Mi20+

(∵i10+=0)

こ れ か ら,

が求 まる。 一 方 ,２

次 側 の鎖 交磁 束

Ψ20に

つ い て は,

Ψ20-=L2i20-+Mi10-=0+Ml0=Ψ20+=Liti20++Mi10+=L2i20++0 こ れ か ら,

と な っ て １次 側 か ら求 め た結 果 と矛 盾 が な い 。 よ っ て,

で る。

に な る。 27．

図 路 方 程 式 は ス イ ッチ Ｋ を 閉 じ る と き をt=oに

と り電 源 の 位 相 を θ

とお き,

こ れ,か らi1を

消 去 し て,

(M2-LiL2) (ａ)t=oで

diz/ dt

=MEmsin(ωt+θ)

電 源 が ０に な る に は θ=0で

t=0でi2=0で

よ い 。解 は ，

あ る か ら,A=-1

よ っ て,

絶 対 値 が 最 大 に な る の はcoswt=-1の

(ｂ)t=0で

電瀦

圧撮

大 に な る のは

てi2は,

t=oでi2=0よ

i2の 最 大 値 は,

っ てA=0で

あ る か ら,

と きで,

の ときで ある。 したが っ

  (ｃ)(ａ)は(ｂ)の

２倍 で あ る。 こ の 違 い は ス イ ッチ Ｓ を閉 じた と き の 鎖

交 磁 束 に よ る蓄 積 エ ネ ル ギ ー の 違 い に よ る 。 28．

解 図 ８の よ う に 回 路 電 流 を 同 方 向 の 分

とル ー プ電 流ilに

分 解 し て 考 え る と よい 。 これ か

ら，

解図

に な る 。 ｉ に つ い て は,

こ れ か らL=Mを

８

考 慮 し て,

ま た は,

  これ をt=0でq=0,Z=0の

も と に解 け ば よい 。 こ の 導 出 に つ い て は 同 じ

形 の もの が く り返 し で て い る の で,こ

こ で は 省 略 す る 。 次 にilに

で,

と な り, で求 まる。 次 に,L=-Mと

し よ う 。 こ の と き は,

つ い て は,

これ か ら

ilに

つ い て は,

2L

dil / dt

+RiL=E0

こ れ か ら,

が 求 ま る。 29.R-L-C回

路 で初 期 電 荷 ｋ ク ー ロ ン の も とに ｉ と ｑ に つ い て 解 け ば

よい 。 L

d2q / dt2

+R

dq/ dt

+

q/ =0 C

q=A1εslt+A2εa2t,i=s1A1εslt+s2A2εS2=

で あ る。 30.回

路 方 程 式 は,

回 路 方 程 式 のic1を R1C2 iR2をecに

dec / dt

消 去 し て, +R2iR2+ec=E

変 換 す る に は,

diR2

iR2+iC1=tR2+C1Rl2

/ dt

の 形 をつ くれ ば よい 。 そ れ に は,回

路 方 程 式 の 両 辺 にC1R2

d/ dt

の演 算 を施 し,

も との 回 路 方 程 式 に加 え れ ば よい 。 結 果 は, C1C2R1R2

d2ec / dt2

+(R1C2+C1R2+R2C2)

dec / dt

+ec=E

R3C2E 初 期 条 件 は,t=0でq20= q10= dec / dt

R2C1E / R1+R2+R3

/ R1+R2+R3'

で あ る が,こ

れ をecと

の 初 期 条 件 に 変 えね ぱ な ら な い 。ec0は

容易 だが て 求 め る 。t=Oの

は 次 の よ うにし と き の こ の 回 路 は,解

解図

図 ９ の よ う に な る か ら,

９

B-4演

算 子 法 に 関す る問題 の解 答 (ｂ)

１.(ａ)

(ｄ)

(ｃ)

(ｆ)

(ｅ)

２.(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

３.

４.(ａ) 

tε-at

(ｂ)

(ｄ)

(ｃ) ５.(ａ)  (ｄ) 

６.(ａ)

７.

よ っ て,

cosht

(ｂ) 

8ε-3t-5ε-2t

1+2ε-t-3ε-2t

(ｅ)ε-2tsint

(ｂ)

(ｃ) 

ε-t+3ε-2t+2ε-3t

1

８.(ａ)

/s+a

 1 ⊂ ε-at

/s+b

⊂ ε-bt

(ｂ)

(ｃ) 

8ε-3t-5ε-2t

９.(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

(ｄ)

(ｅ)

(ｆ)

  10.問

９ の(ａ),(ｂ),(ｃ),(ｄ),(ｅ)の

(ｃ),(ｄ),(ｅ)の

よ う に な る。

電 気 回 路 は 解 図.10(ａ),(ｂ),

d   L i/ dt

(ａ)

+Ri=Emsinωt

L=1[H]R=2[Ω]

Em=A[V]i0=0

(ｂ)

  L

d2q/ dt2

解 図10

(ａ)

解 図10

(ｂ)

解 図10

(ｃ)

解 図10

(ｄ)

解 図10

(ｅ)

q/ =Emsinωt

＋

C

LC=1/9[H][F]i0=0 Em /L =A[V]/[H]q0=0

(ｃ)

  L

d2q / dt2

+q/C=Emcosωt

LC=1/4[H][F]i0=1[A] /Em L=6[V]/[H]q0=0 (ｄ)

  L

d2q / dt2

+R

dq / dt

=Emsinωt + q/ C

L=1〔H〕R=3[Ω]i0=0

C=1/2[F]Em=1[V]q0=0 (ｅ)  

L

d2q / dt2

+R

dq / dt

L=1[H]  C=1/13[F] 

+q/C=0 R=-4[Ω] q0=1〔C〕i0=0

この 場合 Ｒ は 負性 抵抗 で あ り能 動 回路 とな る

11.x(2)+9x=f(t)

両 辺 に ラ プ ラ ス変 換 を ほ ど こ す と,

  x0=x0(1)=0

(s2+9)X=F(s)

 ∴

1/

∴x=

3 〓f(t-ξ)sinξdξ

t/ -sin3t

12.(ａ)

 (ｂ)

/27

9

cost-cos3t (ｃ)

/8 1/

13 .x(t)=

あ る い は,

3 〓f(t-ξ)sin3ξdξ

f(t)=a{u(t)-u(t-π)}で

x(t)=

3 〓a{u(ξ)-u(ξ-π)}sin3(t-ξ)dξ

t>

14.

2

x(t)=

の と き,

t>π

π/

表 わ さ れ る か ら,

1/

よ っ て,0
πが

1 /3 〓f(ξ)sin3(t-ξ)dξ

の と き,

/2

3 〓asin3(t-ξ)dξ=a/9(1-cos3t)

1/

x(t)=

3 〓asin3(t-ξ)dξ=0

π

に な る と,0
1/

  x(t)=

1/

a/

3 〓asin3(t-ξ)dξ=

9

(1-cos3t)

π/

2 d2q

L

/ dt2

+R

dq/ dt

+q/C =Emcosωt

 q0,i0=0

両 辺 に ラ プ ラ ス変 換 を ほ ど こ す と, 1

Ems

/C

/S2+ω2

(Ls2+Rs+ )Q-(Lq0s+Rq0)= よ っ て,

上 式 の逆 変換 を求 めれ ば よい。

I=sQ

15.図50の

回 路 方 程 式 は,

{r(iR+iL)+RiR=E  

L diL

RiR=

/ dt

 i=iR+iL

上 式 を ラ プ ラ ス 変 換 し て,

こ れ か ら,

(R＋sL)E

I=

/{rR+(r+R)Ls}s

こ れ を逆 変 換 す れ ば 求 め られ る。 16 .回

路 方 程 式 は, L

di0/

+Ri0=δ(t)

dt

ラ プ ラ ス 変 換 し て,(sL+R)I0=1

1 ∴I0=

/sL+R

逆 変 換 す る と, こ の 場 合 は,t=0で

無 限 大 の 入 力 が 加 わ る た め 電 流 が 不 連 続 に な る。

一般 に 入 力ei(t)が

加 わ る と出 力 ｉ は ,

i=〓t

i0(t-ξ)ei(ξ)dξ

で 表 わ され る。   (ａ) 

 (ｂ) 

ei=tの

ei=εatの

と き,

と き,

(C)ei=sinωtの

と き,

Y(s)=

17.(ａ)y(t)=a{u(t)-u(t-τ)},

a/ s

（1−

(ｂ)

(Ｃ)

(ｄ)

(ｅ ）

(ｆ)

18.(ａ)

 (ｂ)

(ｄ) 19.回

よ っ て,

路 方 程 式 は,

 (c)

 (ｅ ）

ε-τs)

ラ プ ラス 変 換 して,

t=τ

を考 え る か ら右 辺 第 ２項 は考 慮 し な い で よい 。

t=τ

に お け る誤 差 の 割 合 η は,

よ っ て,T=CR≒100τ

に とれ ば よい 。

C≒100τ/R=100×10-3/5×105=2×10-7F 

20.回

答0.2〔

路 方 程 式 は,R dq/ dt

q + /C

=ei, 

e0=

q/ C

よ っ て,

CR

de0 / dt

+e0=ei

ラ プ ラ ス変 換 し て, a

(CRs+1)∈0=

/s

逆 変 換 し て,

e0=a/2に

す る よ う なtをt0と

よ っ て,

γ が あ る と,

す る と,t0<0.01τ

に す れ ば よい 。

μF〕

時 定 数 は Ｒ に γ が 並 列 に加 わ っ た 分 だ け 少 さ くな る 。 21.F(s)がf(t)の

ラ プ ラ ス 変 換 で あ る か ら,

上式 の微 分 と積 分 の順序 を交換 して,

22.回

路 方 程 式 は,

ｑ を 求 め て み よ う。 E/ (R1+７)Iγ+R1sQ-R1ｑ0=

1 γIγ=

/C

+sR2)Q-R2ｑ0

こ れ か らIγ を消 去 して,

よ っ て,

s

B-5分 １.回

布 定 数 回路 に関 す る問題 の解 答 路 方 程 式 は, dυ

/ dx d2υ

=γgυ

/ dx2

x=0で

  di

+γi=a

/ dx d2i ,

υ=E,x=lで

+gυ=0

=γgi

/ dx2

υ=Riと

し て 解 く と,

こ れ か ら,

Ｒ で 消 費 され る 電 力 Ｐ は,と

お い て,

に な る, こ こ で,dP/dR=0な

ら し め る Ｒ を 求 め れ ば よい 。 そ れ に は,

よ っ て,

C1

1

/E=

/1-A4

の 関 係 が あ れ ば よ い,

こ れれか ら,

２.開

閉 器 Ｓ を開 い た 場 合 と閉 じた 場 合 は,解

スイ ッチs2開

放 の とき 

図11の

ス イッ チs2導 解 図11

３.時

間 微 分 をjω

で お き か え る と回 路 方 程 式 は,

境 界 条 件 は,x=0でV=E0,x=lでV=ZI よ っ て,

E0=C1+C2

よ う に な る.

通 の とき

反 射 が な い た め に は,  

C2=0

よ っ て,

  C1=E0

で な け れ ば な らな い 。 ま た,電

源 をe=E0sinωtと

す る と受 電 端 の 電 圧 お よび 電 流 は,

で あ る。   ４． 本 文 ６ ・４ 節 か ら抵 抗 お よ び 漏 れ コ ン ダ ク タ ン ス を無 視 し た 送 電 線 に お け る 進 行 波 は,

で 表 わ され る こ とが 導 か れ て い る か ら,

で あ る。ZI2=eIは

送 電 線 を 伝 わ る エ ネ ル ギ ー を表 わ して い る。

  ５． 本 文 ６・６ 節 か ら,送 電 線 の 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス をZ0,負 ダ ン ス をZ1と

す る と負 荷 に お け る電 圧 反 射 係 数 Ｒ と,電 力 透 過 係 数 Ｔ は 次

式 で 表 わ さ れ る。 R=

ZL‐Z0/

T=1-

Z0+ZL

(ZL-Z0/ Z0+ZL)2=

       (ただ し,Ｔ は電 力透 過 係 数) こ こで,電 圧 透過 係 数Tυ E+＋E-/ Tυ=

荷 イ ン ピー

E+

=1+R=

と電流 透過 係 数Tiは, 2ZL / Z0+ZL

4ZLZ0 (Z0+ZL)2

Ti=

I+＋I-

E+-E-

/ I+=

/ E+

=2Z0

=1-R

/ Z0+ZL

で 電 力 透 過 係 数T=TυTiは4ZLZ0/(Z0+ZL)2に こ の 場 合,

Z0/

ZL=RL=

R= ま た,電

な る。

3

で あ る か ら,負 荷 側 の Ｒ は,

-1 /2

源 側 の Ｒ はZL=0と

おいて

R=-1 に な る。 し た が っ て,電 t=

圧 波 頭 の進 行 は 次 の とお りに な る 。

l

E+=Eの

波 頭 がx=Iに

到着

/υ0

1

た だ ちに‐E/2の 波頭 が 出発

t=

 ‐

2l/

E

の 波 頭 がx=0に

/2

υ0

た だ ちに

t=

  E

3l/

E

た だ ち に4l/

t=

 −

υ0

E

(2n-1)l /υ0

 

E /4

E

の 電 圧 はt=

の波 頭 が出 発(R=-

1 /2

だか ら)

到着

の 波 頭 が 出 発   (R=‐1だ

の 波 頭 がx=Iに

か ら)

到着

/ 2n‐1

た だ ち に-

x=lで

か ら)

到着

の波 頭 がx=0に

/4

ただ ち に

t=

/4

だか ら)

到着

の 波 頭 が 出 発   (R=-1だ

/2

の 波 頭 がx=lに

/2

υ0

E

(R=‐ /2

(2n-1)l /υ0

E /2n

の波頭 が 出発

よ り大 き く(2n+1)l

/ v0

よ り小 さな範 囲 で

で 表 わ され る 。 2l/

t= υ0

はn=1で

よ い か ら,

はn=3で

よ い か ら,e=

υ0

t→

∞   はn→

∞

過 係 数 を使 っ てTυE+で Tυ=

t=0の

/8

E

で よ い か ら,  e=E

  ６． Ａ 点 の 電 位 は 進 行 波E+と

反 射 波E-の

和 で表 わ され,こ

示 さ れ る 。 い ま,E+=Eで

2ZL

た だ し,ZL=R2+

/ Z0+ZL

れ は電 圧透

あ る。

sLR1/ R1+sL

と きZL=R1+R2

よ っ て,電

圧 波 が Ａ 点 に 到 着 した と き をt=0に

2(R1+R2) Z0+R1+R2

eA=

t→

E/ 2 7

6l/

t=

e=

∞

と る と,

E

で,  ZL=R2

2R2 eA=

E

/ Z0+R2

こ の 系 の 時 定 数 は,解 α=

1 /T=

図12で

き ま るか ら,

R1(R2＋Z0) /(R1+R2+Z0)L

こ れ か ら,

解 図12

R1+R2 / Z0+R1+R2=

R2 / Z0+R2

よ っ て,

７． 反 射 が な い た め に は,

+B,

B=

Z0R1/ (Z0+R2)(Z0+R1+R2)

Z0=ZL た だ し,ZLは t=0で

 

負 荷 の 一 般 化 され た イ ン ピ ー ダ ン ス で あ る。 ZL=r1 

t→ ∞

でZL=r2で

あ る か ら,

Z0=r1=r2=r

で な け れ ば な ら な い 。 さ ら に,問21．(複 を使 え ばL=Cr2の

関 係 が あれ ば よ い 。 け っ き ょ く,

  ８． 進 行 波 をe+,反 電 圧,電

エ ネ ル ギ ー回 路 に 関 す る 問 題)

射 波 をer,Ｃ

の 端 子 電 圧 をecと

す る と,こ

の点 で の

流 関 係 は,

これ か らerを CZ ec=ecs＋ectと

消 去 し て, dec/ +ec=2Eε

dt お

  特 解ecsは,Aε

‐at

く と,

‐atの形 を し て い る こ とは 推 測 が つ くか ら,こ

入 し,両 辺 相 等 し く して Ａ を定 め れ ば よ い 。 (‐aCZ+1)Aε

‐at=2Eε

よ っ て,

A=

補 解 は,

t=0でec=0だ

2E /1-aCZ

とお け る か ら,

か ら,

‐at

れ を同式 に代

1

も し,a=

の と き の回 路 方 程 式 は,

/ CZ dec/

+aec=2Eaε-at

dt

特 解ecsは,Atε-atの

形 と見 当 を つ け る と,

(1-at)Aε-at+aAtε

‐at=2Eaε-at

よ っ て,

A=2Ea 一 般解 は

, ec=2Eatε-at+Kε

t=0でec=0で

‐at

あ る か らK=0,よ

っ て,

eL=2Eatε-at ９．

点 Ｃ か ら 右 を み た イ ン ピ ー ダ ン ス がZ1に

ダ ン ス がZ2に

,点

Ｄ か ら左 を み た イ ン ピ ー

な れ ば よい 。

Z1=R1+

R2Z2 / R2+Z2

Z2=

こ れ を 解 い てR1,R2をZ1,Z2に

R2(Z1+R1) R2+R1+Z1 つ い て 求 め れ ば よい 。

10． 波形 が伝 送 線 路 を 伝播 す る際,形 を 変 えな い た めの回 路定 数条 件 で, 波形 が歪 またい た め には,回 路方 程 式が 波動 方程 式 ∂2u =a2 /∂t2

∂2u /∂x2

の 形 に表 わ せ な け れ ば な ら な い 。 そ の た め に は,回

の 関 係 が 必 要 で あ る 。 さ らに,R=G=0な

ら,こ

路 定 数 の 間 に は,

の伝 送線 路 は無 損失 にな る。

付 １.常

録 Ｉ   常数および主要公式表

数

√2 

1.4142135624 

log103 

√3 

1.7320508076 

lrad 

π 

3.1415926536 

π2 

9.8696044011

√ π 

1.7724538509

ε 

2.7182818285

1/ε 

0.3678794412

loge10 

2.3025850930

log10e 

0.4342944819

log102 

0.3010300

２.公

0.4771213 57゜2957795131 57゜17′44″.80625

式表

(ａ)三

角 関 数

sin2θ+cos2θ=1 1+tan2θ=sec2θ 1+cot2θ=cosec2θ

sin(α ± β)=sinαcosβ

±cosαsinβ

 

tan(α ± β)=

cos(α ± β)=cosαcosβ

〓sinasinβ

 

cot(α ± β)=

α± β sinα ±sinβ=2sin

cosα+cosβ=2cos

/2

α〓 β cos

α+β/ 2

cos

/2 α-β

/2

 tanα

±tanβ=

  cotα ±cotβ=±

tanα

±tanβ/

1〓tanαtanβ cotαcotβ

〓1

/ cota±cotβ sin(α

士 β)

/ cosacosβ sin(α ± β) /sinasinβ

cosα-cosβ=-2sinα+β/2si

sin2α=2sinαcosα 

nα-β /

2 2tanα/

tan2α=

1-tan2α cos2α=cos2α-sin2α

=1-2sin2α 

cot2α-1

cot2α=

/ 2cotα =2cos2α-1 sin3α=3sinα-4sin3α 

sinαcosβ=

sinαsinβ

cosαcosβ=

(ｂ)級

cos3α=4cos3α-3cosα

1 / 2{sin(α+β)+sin(α-β)} 1 /2{cos(α-β)-cos(α+β)}

1/ 2{cos(α-β)+cos(α+β)}

数 の展 開

(ｃ)不

定 積 分

付

録 Ⅱ

微分方程式の係数および初期値 と解の対応表

(ａ)１

階 の微 分方 程 式の 場合

(ⅰ) a1dy/dt+a0y=0

y=yoεst  a0 S=-

 t=0 

y=y0

/ a1

(ⅱ) a1

dy / dt

t=0 

+a0y=K  y=y0

K y= /a0 +Aεst  A=y0-

K/ S=a0’

a0/ a1

(ⅲ)

t=0 

H=a0+jωa1

y=y0

ao

A=y0-sin(φ-∠H)

s=/ a1

(ⅳ)

t=0 

a0

H,∠H,s=-

y=y0

a1

A=y0-cos(φ

(b)２

階 の微 分 方程 式 の場 合 ① a12-4a2a0＞0

(ⅰ)

t=0 

一 ∠H)

y=y0 

y(1)=y0(1)

A1=s2y0-y0(1) 

A2=y0(1)-s1y0

② a12-4a2a0＞0

③ a12-4a2a0=0 

a1 s0=-

/ 2a2

y=(A1+A2t)εs0t A1=y0 

①a12-4a2a0＞0(s1,2,α,γ

(ⅱ)

同 じ)

t=0 

A2=y0(1)-S0y0

y=y0 

y(1)=y0(1)

は(b)−(ⅰ)−

①

項 と

②a12-4a2a0＜0(s1,2,α,β

は(b)−(i)−

②

項 と

同 じ)

③a12-4a2a0=0(S0は(b)−(i)−

(ⅲ)

①a12-4a2a0＞0(s1,2,α,β 同

t=O 

y=y0 

y(1)=y0(1)

③ 項 と 同 じ)

は(b)−(i)−

①

項 と

は(b)−(i)−

②

項 と

じ)

H=a0-ω2a2+jωa1

②a12-4a2a0＜0(s1,2,α,β 同 じ)

③a12-4a2a1=0(S0は(b)-(i)-③

項

と 同 じ)

K y= /H sin(ωt+φ-∠H)+(Al+A2t)εs0t K/ H

 

A1=y0-

 

A2=y0(1)-S0y0

K + / H

(iv)   a2

sin(φ-∠H)

{S0sin(φ-∠H)-ωcos(φ-∠H)}

  ①a12-4a2a0>0(s1,2,α,γ

d2 / dt2

+a1

dy / dt

+a0y

K y= / H cos(ωt+φ-∠H)-

=Kcos(ωt+φ)  t=O 

y=y0 

は(b)-(i)-①

項 と

同 じ)

y(1)=y0(1)

1 / 2γ

(A1εs1t+A2εs2t)

(H,∠Hは(b)-(ⅲ)-①

項 と 同 じ)

A1=S2{y0K/H

cos(φ-∠H)

-{y0(1)+ sin(φ-∠H)}

}

ωK

/ H

 

ωK

A2=y0(1)+

/ H

sin(φ-∠H)

-s1{y0cos(φ-∠H)} K

/ H

②a12-4a2a0＜0(S1,2,α,β

は(b)-(i)-②

項

と

同 じ)

Al=y0-

/K H

cos(φ+∠A)

③a12-4a2a0=0(S0は(b)-(i)-③ K y=/ H

cos(ωt+φ-∠H)+(A1+A2t)εs0

Al=y0-Kcos(φ-∠H)  

A2=y0(1)-s0y0

K + / H

{S0cos(φ-∠H)+ωsin(φ-∠H)}

項 と 同 じ) t 

付

録 Ⅲ

ラプラス変換表

１.常 微 分 方 程 式 の ラプ ラス変 換

(y0,y0(1),…

(ａ)１

…y0(n-1))

階 の場 合

H(s)=a1s+a0 

(ｂ)２

H0(s)=a1y0

階 の場 合

H(s)=a2s2+a1S+a0 

(ｃ)３

Ha(S)=aay0s+(a1y0+a2y0(1))

階 の場 合

H(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0

Ha(S)=a3y0s2+(a2y0+a3y0(1))S+(a1y0+a2y0(1)+a3y0(2)) (ｄ)ラ

プ ラス逆 変 換 表

F(s) 1

 

f(t)  δ(t)

S

1/ s

  １,単 位 階 段 関数u(t)

1 /Sn

 tn-1/〓(n)

1   ε〓at

/s±a 1

 tε 〓at

/(s±a)2  tn-1

1/

ε 〓at

(s±a)n

/(n-1)!

1/ s2+a2

  1/ a

s/

sinat

cosat

s2+a2 

s+m s2+a2  1

1/ s2-a2

a

sinat

s/

  coshat s2-a2

1/ s(s+a)

  1/ a

1/ (s+a)(s+b) s+m (s+a)(s+b)

(1-ε-at)

 1 (ε-at-ε-bt)

/b-a  1 /b-a

{(m-a)ε-at+(b-m)８-bt}

1/ s2+2bs+c s/ s2+2bs+c

ms+n /(s+a)2

 

1/ s(s+a)(s+b)

  1/

bε-atｰaε-bt/

+

ab

1/ s2(s+a) 1 /(s+a)(s+b)(s+c)

mε-at(1-at)+ntε-at

ab(a-b)

  1/ (ε-at+at-1)

a2

 ε-at (b-a)(c-a)

+

ε-bt/ (c-b)(a一b)

+

ε-ct /(a-c)(b-c)

s/

(s+a)(s+b)(s+c)

 

-aε-at/

s2 /(s+a)(s+b)(s+c) 

-bε-bt/ (c-b)(a-b) b2ε-bt/

a2ε-at

+

/(b-a)(c-a)

/(a-c)(b-c) c2ε-ct/

+

(c-b)(a-b)

1/ s(s2+a2) s2+ms+n /(s+a)2(s+b)

-cε-ct

+

+

(b-a)(c-a)

(a-c)(b-c)

  1-cosat /a2

 (b2+n-mb)ε-bt

+

{ a2-2ab-n十mb

+(a2+n-ma)t

/(a-b)2

/(a-b)2

/b-a}ε-at

s2+ms+n /{(s+a)2+b2}(3十c)

1 /(s2+a2)2

  sinat-atcosat /2a3   a2tsinat

s/

(s2+a2)2

/2a3

1/ (s2+2bs+c)2 s/

(s2+2bs+c)2 1 /s2(s2+a2) 1/ (s2+a2)(s2+b2)  s

/(s2+a2)(s2+b2) s2+ms+n (s2+a2)(s2+b2)

1/ {(s+a)2+b2}(s2+c2)

sinat /a3

 t / a2-

1/ b2-a2   1/ a2-b2

sinat

(

/a

-sinbtb)

(cosbt-cosat)

erf√t

a/

1 ε /s

J0(2√at)

s

付

録Ⅳ

オ ペ ア ンプ の基 礎1)

  第 ７章 エ レ ク トロ ニ ク ス の 過 渡 現 象 で,実 の 回 路 を取 り扱 っ た の で,オ

際 に よ く使 わ れ て い る オ ペ ア ン ブ

ペ ア ン プ に 始 め て の諸 君 に も一 通 り の 動 作 が 理 解

で き る よ うに ご く簡 単 に 解 説 して お こ う。   オ ペ ア ン プ,正

し く は オ ペ レ ー シ ョ ン ・ア ン プ

リ フ ァ イ ア(Operation

Amplifier)は

演算増幅

器 と訳 され る も の で,ア

ナ ロ グ コ ン ピ ュー タの 図

(積 分)演 算 用 に 開 発 されれ た の で この名 が あ る。 内 容 は 高 利 得(1∼10万

倍)の

直 流(厳

密 に は 直 流 を 含 む 交 流)増

Ⅳ ・１

幅 器 で あ る。 構

成 は い くつ か の トラ ン ジ ス タ に よ り 入 力 段 の差 動 増 幅 器 と 出 力 段 の 電 力 増 幅 器,お

よ び そ の 他 の 付 属 回 路 か ら な る 。 電 源 は 正 負 そ れ ぞ れれ12V程

電 圧(し

た が っ て,出

力 最 大 電 圧 は お よ そ10V程

度),入

度 の直 流

力端 子 は 〓 と記 した

反 転 入 力 端 子 と〓 と記 し た 非 反 転 入 力 端 子 と が あ る 。 反 転 入 力 端 子 か ら 入 れ た 入 力 は,出

力 で は 正 負 が 逆 の 反 転 波 形 と な り,非 反 転 端 子 か ら入 れ た 入 力 は,

そ の ま ま の 位 相 で 出 力 に あ らわ れれ る 。 増 幅 で き る 周 波 数 帯 域 は100kHz程 で で あ る が,高

性 能 の も の は500kHzく

よ り上 の 周 波 数 で は,浮

度 ま

らい ま で の び て い る も の も あ る 。 こ れ

遊 容 量 な ど に よ り利 得 が お ち る 。 オ ペ ア ン プ の 伝 達 特

性A(s)は,

A(s)=

A0 /1+τs

とお く こ と が で き,A0〓104∼105,τ=10-5∼5×10-6秒

程度 で あ る。 高 周波 で

の 利 得 の 降 下 を考 え な く と も よい 範 囲 で はA0で

近 似 し て よい 。 こ の ま ま で 使

１)詳

しい取 扱 い と して は,例

えば 角 田秀 夫 著 “オ ペ ア ンプ 回路 と その解 析"電

大 出 版 が あ る。

(ａ)反転増幅器

(ｃ)非 反 転 増幅 器

(ｂ)バイアス電流補償の 反転増幅器 図 Ⅳ ・２ オ ペ ア ンプ を使 っ た増 幅 器

う こ とは な く,線

形 増 幅 器 と して 使 う と きは 負 帰 還,非

線 形 処 理 を す る場 合 は

正 帰 還 をほ ど こ し て 使 う の が 普 通 で あ る ゜ 高 利 得 の 直 流 増 幅 器 な の で,バ ス 電 流 の ゆ っ く り した 変 動 とか,周 の 影 響 を受 け や す い が,い っ て い る。 ま た,オ

囲 温 度,あ

イア

るい は 経 年 に よ る 特 性 の 変 化 等

ろ い ろ な 回 路 補 償 等 に よ り実 用 に 耐 え得 る よ うに な

ペ ア ン プ 自 体 へ の 入 力 電 流 は 非 常 に 少 な く,高

入 力抵 抗 回

路 と な っ て い る 。普 通 に 増 幅 器 と し て 使 わ れ る 反 転 増 幅 器 の 回 路 を 図 Ⅳ ・２(ａ), (ｂ)に 示 す 。 これ は,負

帰 還 増 幅 器 に な っ て お り,以

幅 度 は 外 付 け の 抵 抗R1とR2の し て の 入 力 抵 抗 は ほ ぼR1と

《解

比-R1/R2に な り,必

下 の 解 析 に 示 す よ うに 増

な ってい て 安 定 で あ る。 増 幅 と

ず し も高 く な い 。

析》 ei-eg=R1i eg-e0=R2i -Aeg=e0

こ れれら か ら,

が 求 ま る 。 ま た,入

と な り,ほ

力 抵 抗Riは,ei/iで

求 め ら れ るが,

とん どRl、 に 等 しい 。 オ ペ ア ン プ 自 体 の 入 力 抵 抗 は 非 常 に 大 きい と

い う性 質 は,R1に

流 れ る 電 流 もR2に

使 っ て い る。 図(ｂ)の

回 路 で は,〓

流 れ る電 流 も同 じ ｉと して い る ところ で 端子 に 凡

と い う抵 抗 が 入 っ て い る が,こ

れ は 入 力 端 子 に ご く わ ず か 流 れ る バ イ ア ス 電 流 を打 消 す た め に そ う入 され'てい る も の で,Rcの R1とR2の

値 はR1とR2の

値 を,例

え ば1:10程

程 度 とす る と 入 力 は0.1V程 電 圧egはe0/Aで 1/1000と

並 列 接 続 の 値R1R2/(R1+R2)に 度 に す る と 増 幅 度 も10で

と って あ る 。 あ り,出

力 が1V

度 と な る。 オ ペ ア ン プ の 入 力 端 子 に 実 際 に か か る

あ り, A〓104と

な る。 した が っ て,オ

す る と0.1mVと

な り,入

力 電 圧eiの

ペ ア ン プ の 入 力 端 子 間 に は ほ と ん ど電 圧 が 加 わ

っ て い な い と い っ て よい 。 こ の 状 態 を イ マ ジ ナ リ-シ

ョー ト(仮 想 短 絡)と

い

う。 ま た も し,非 反 転 端 子 が 接 地 の 状 態 な ら反 転 端 子 も 同 様 に ほ とん ど接 地 の 状 態 に あ る 。 こ の 状 態 を イ マ ジ ナ リー ア ー ス(仮 非 反 転 増 幅 回 路 が 示 し て あ る が,こ A=1+

想 接 地)と

い う。 図(ｃ)に

の 場 合 の 利 得 Ａ は,

R2/ R1

こ に な る こ と は 容 易 に 求 め ら れ る で あ ろ う。   オ ペア ンプに は ど う し て も時 間遅 れ が あ るた め,理

想 的 な パ ル ス波 形 が 加 わ っ て も 出 力 は 同 じ

形 に は な らず 図 Ⅳ ・３の よ うに い く らか な ま っ て し ま う。 こ の ⊿V/⊿tを ス ル ー レ ー ト(Slew SR)と

い う。

Rate,

図

Ⅳ ・３

スル ー レー ト

は

索

引 鎖 交 磁 束 の連 続 則

あ

  9

行

イマ ジ ナ リーア ー ス 

242

イマ ジナ リ-シ ョー ト

時定数

  22

スル-レ ー ト

  242

整

  94

  242

イ ンダ ク タ ンス

  8

イ ンパ ルス 応 答

  80

移 動演 算 子 一 般解

  74  12

合

積 分 回路

 95

積 分 変換 の核  

71

演 算 子法

  64

線

オペアンプ

 240

双 安 定 マ ルチ バ イ ブ レー タ 

か Carsonの

  11

像 関数 行

無限 積 分 定 理

形

 71

粗 結合  

43

  79

仮想接地

た

 242

仮 想 短 絡 

242

完 全 密 結合  

45

単 安定 マ ルチ パ イ ブ レー タ

  71   110   77

  12

逆変換 

71

重畳原理 

77,80

直 並 列 回 路  結 合 振 動 回路

46

 50

原関数 

71

通過帯域 

コンデ ンサ

 6

Duhamelの

高

116

低

域 

高階 非 同次 式   さ 次

行

第 ２種 の ラ プ ラス変 換

単 位応 答 基本解

斉

13

20

域

115

重 畳 積分

 79  115

電荷保存則

 8

伝達関数 

79,80

行   11

同次 式  

11

索

  引

特異解

 12

複 エ ネ ル ギ ー回 路

  35

特(殊)解

 12

複 素 数 の表 示

  53

特有方程式

 16

分 布 定 数 回路

 11

補(助)解

 12

は Hurwitz-Routhの

  行 安 定 判 別 条 件 

126

パ ル ス増 幅 回路

 114

波 動 イ ン ピー ダ ンス

  93

非 安定 マ ルチ バ イ ブ レー タ 非線形

  107

 11

微 分 回路

  95

フ ー リエ 逆 変 換 フ ー リエ 変 換

 行

マル チ バ イ ブ レー タ

  107

ミラー の積 分 器

  98

 11

非 同次 式

Bromwich-(wagner)積

ま

分

無損 失 回路

  88

無 歪(保 波 形)線 路 ら

  119  118   117,118

ラ プ ラス 逆変 換

  87,88  行  118

〈著者紹介〉 ぐぽ

た

ただ

ひろ

学

歴

職

歴

 東京大学工学部電気工学科 卒業(1954) 東京大学大学院博士課程修 了 工学博士  東京電機大学教授 同大学電子工学科学科長 同大学工学部学部長

窪 田忠 弘

理 工 学 講座 エ レク トロニ

クスのための

過 渡 現 象

1971年 ６月30日

第 １版 １刷 発 行

1980年 ４月20日

第 １版 ６刷 発 行

1983年 ３月30日

第 ２版 １刷 発 行

1996年 ３月20日

第 ２版 ７刷 発 行

〈 理 論 と演 習〉

著 者

窪

田 忠

発行者  学 校 法 人 代 表 者

弘

東 京 電 機 大 学 廣

川

利

男

発行所  東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2-2 振 替 口座00160-5-71715 電 話(03)5280-3433(営 (03)5280-3422(編

印刷

㈱ 秀好堂印刷

製本

㈱ 徳住製本所

〓Kubota

Printed

Tadahiro

in

1971,1983

Japan

*無 断 で 転 載 す る こ とを禁 じ ます 。 *落 丁 ・乱丁 本 は お取 替 えい た し ます 。 ISBN4-501-00350-2 〓

〈日本 複 写 権 セ ン タ ー 委 託 出 版 物 ・特 別 扱 い 〉

業) 集)

電気工学図書 理工学講座 基 礎 電 気 ・電 子 工 学

理工学講座 改 訂 交 流 回路

宮 入 庄 太/磯 部 直 吉 監修 前 田明 志 他 著 A5判308頁 ２色刷

宇 野 辛 一/磯 部 直 吉 共 著 A5判318頁

電 気 ・電 子 技術 全般 を理 解 で きる よ うに編 集 した。 大 学理 工学部 の基礎課 程 のテ キス トに最適。 ２色刷

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専門教育研究会 編 A5判198頁

専門教育研究会 編 A5判188頁

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理工学講座 高周 波電磁気学 三輪 進 著 A5判228頁

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専門教育研究会 編 A5判224頁 短 大,高 専,専 修学校 の学 生を対象 に,電 磁現 象の理 解 に重 点をおい てや さし く,し か も正 確に解説 した。

電磁気学の基礎 Ｐ.ハ モ ン ド 著 秋 月影雄 他訳 A5判192頁

電 磁気 学 を基礎 に,ア ンテ ナ,電 波 伝搬,高 周 波回 路等 を理解 す るのに必 要な理 論 を簡 潔 に解 説。

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磯 部直吉 著 A5判370頁 大 学にお ける箸者の20年 余の電 気機器 の講 義 と研 究 か ら得 た経験 を基 に して 執筆 した。大 学専 門学科 の 教 科書 と して 最適 であ る。

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