Тригонометрия

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Издательство ТГТУ

Министерство образования Российской федерации Тамбовский государственный технический университет

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Учебное пособие

Тамбов Издательство ТГТУ 2003 УДК 514(083) ББК В151.я73 Г87 Рецензент Доктор технических наук, профессор В.М. Тютюник

Авторы:

Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, О.Г. Иванова, Ю.А. Костылев, А.В. Лагутин, А.Ю. Сизикин Г87

Тригонометрия: Учебное пособие / Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, О.Г. Иванова и др. Тамбов: Издво Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. 104 с. ISBN 5-8265-0088-3 Учебное пособие знакомит иностранных учащихся с основными тригонометрическими функциями и их свойствами, также в нем приводятся основные методы решения тригонометрических уравнений. Пособие содержит тексты, лексико-грамматический материал и задачи, позволяющие студентам-иностранцам овладеть основами курса математики на русском языке. Учебное пособие предназначено для студентов-иностранцев, проходящих предвузовскую подготовку. УДК 514(083) ББК В151.я73

ISBN 5-8265-0088-3

 Тамбовский государственный технический университет (ТГТУ), 2003  Авторы, указаны на обороте титульного листа, 2003

Учебное издание Громов Юрий Юрьевич, Земской Николай Александрович, Иванова Ольга Геннадьевна, Костылев Юрий Александрович, Лагутин Андрей Владимирович, Сизикин Александр Юрьевич ТРИГОНОМЕТРИЯ Учебное пособие Редактор В. Н. Митрофанова Компьютерное макетирование Е. В. Кораблевой Подписано к печати 7.07.2003 Формат 60 × 84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная Объем: 6,04 усл. печ. л.; 6,00 уч.-изд. л. Тираж 150 экз. С. 463 Издательско-полиграфический центр ТГТУ 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14

1 Тригонометрические функции 1.1 Единичная окружность Пусть имеется прямоугольная система координат Oxy (рис. 1.1.1). Проведём окружность радиуса R = 1 с центром в начале координат. Эту окружность будем называть единичной окружностью. Часть плоскости, ограниченную единичной окружностью будем называть единичным кругом. Координатные оси Ox и Oy прямоугольной системы координат делят координатную плоскость на четыре части. Эти части называют квадрантами. Единичный круг также делится на четыре равные части. Их мы тоже будем называть квадрантами.

В центре окружности поместим вектор ОА такой,

что ОА = 1 . При вращении этого вектора вокруг точки О в плоскости xOy, конец вектора всегда будет находится на единичной окружности. Угол α = ∠ АОВ образован вращением подвижного единичного радиуса-вектора в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Другими словами под углом мы понимаем часть единичного круга, ограниченную двумя положениями подвижного радиусавектора (рис. 1.1.1).

I

I R

α x

III

IV Рис. 1.1.1

R R

B O O

Рис. 1.1.2

AA

R R OO

A

A

В B

Рис. 1.1.3

Другая часть единичного круга также называется углом. Он получается при вращении единичного радиус-вектора против часовой стрелки от положения ОВ к положению ОА. Если начальное положение ОА и конечное положение ОВ подвижного радиус-вектора лежат на диаметре как указано на рис. 1.1.2, то каждый из двух углов образуемых ими совпадает с половиной единичного круга. Такие углы мы будем называть развёрнутыми. Если начальное положение ОА и конечное положение ОВ подвижного радиус-вектора совпадают (рис. 1.1.3), то один из углов называется нулевым, а другой полным углом. Полный угол занимает весь единичный круг. Угол, равный одной трёхсотшестидесятой (1/360) части полного угла, принимают за единицу измерения углов. Эту единицу измерения углов называют градусом. Ясно, что полный угол равен 360°, а развёрнутый угол – 180°. В первом квадранте угол изме-

няется в пределах от 0° до 90° (0 o ≤ α ≤ 90 o ), во втором – от 90° до 180° (90 o ≤ α ≤ 180 o ), в третьем – от 180° до 270° (180 o ≤ α ≤ 270 o ), в четвёртом – от 270° до 360° ( 270 o ≤ α ≤ 360 o ). Если подвижный радиус-вектор описал угол ∠ АОВ , то его конец описал дугу окружности АВ. Дуги также как и углы измеряются в градусах. Существует другая единица измерения углов и дуг. Эта единица называется 1 радиан. Угол в один радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности. Прямой угол равен π / 2 радиан, развёрнутый – π радиан и полный угол – 2 π радиан. Очевидно, что 2 π = 360°. Отсюда π радиан = 180°. n – число полных оборотов раУгол, больший полного, представляют в виде 2πn + α , где диуса-вектора. Вращение подвижного радиуса вектора против часовой стрелки принято считать положительным, а по часовой стрелке – отрицательным. Угол, описанный при положительном вращении радиуса-вектора, называется положительный. Положительный угол измеряется положительным числом. Угол, описанный при отрицательном вращении радиуса-вектора, называется отрицательным. Отрицательный угол измеряется отрицательным числом. Упражнения и задания 1) Углом какого квадрата является угол, равный: 75°; 320°; 135°; 280°; 92°; 280°; –35°; –135°; –92°; –300°; –89°; –271°. 2) Запишите угол α в виде α = 360°, n + β , где n – целое число, а О° ≤ β < 360°; 270°; 415°;835°; 960°; 1,600°; –475°;

–920°; –1,340°. 1.2 Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть радиус-вектор R = ОА точки А образует угол α с осью Ох. Абсциссу и ординату точки А обозначим х и y соответственно. Величину угла α будем измерять в градусах или радианах. Определение 1. Синусом угла α называется отношение ординаты у к длине радиуса-вектора R . Синус угла α обозначается так: sin α . Итак, sin α =

y

y O

′

Рис. 1.2.1

y . R

(1.2.1)

Определение 2. Косинусом угла α называется отношение абсциссы х к длине радиуса-вектора R . Косинус угла α обозначается так: cos α . Итак, cos α =

x . y

(1.2.2)

Определение 3. Тангенсом угла α называется отношение ординаты у к абсциссе х. Тангенс угла α обозначается так: tg α . Итак, y . x

tg α =

(1.2.3)

Определение 4. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы х к ординате у. Котангенс угла α обозначается так: сtg α . Итак, х . у

(1.2.4)

sin α ; cos α

(1.2.5)

cos α . sin α

(1.2.6)

сtg α =

Легко убедиться (проделайте это самостоятельно), что tg α =

ctg α =

Определение 5. Секансом угла α называется величина обратная cos α . Секанс угла α обозначается sec α . Итак, sec α =

1 . cos α

(1.2.7)

Определение 6. Косекансом угла α называется величина обратная sin α . Косеканс угла α обозначается cosec α . Итак, cosec α =

1 . sin α

(1.2.8)

Мы рассматриваем единичную окружность. Её радиус-вектор R = 1. Поэтому определения тригонометрических функций перепишем в виде: sin α = y ; tg α =

y ; x

sec α =

1 ; x

cos α = x ;

(1.2.9)

x ; y

(1.2.10)

ctg α =

cosec α =

1 . y

(1.2.11)

Мы видим, что синус угла α равен ординате конца подвижного единичного радиуса-вектора. Косинус угла α равен абсциссе конца подвижного единичного радиуса-вектора. Для геометрического истолкования тангенса и котангенса вводят понятия оси тангенсов и оси котангенсов (рис. 1.2.2 и 1.2.3). y y

β

O

A x

Рис. 1.2.2

O

A x

Рис. 1.2.3

Осью тангенсов называется перпендикуляр, восстановленный в точке А (рис. 1.2.2) к радиусувектору ОА . Положительное направление на оси тангенсов – это направление снизу вверх. Введём понятие соответствующей точки оси тангенсов. Рассмотрим угол α = ∠ АОВ . Если точка В единичной окружности расположена справа от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов называем точку В1 (рис. 1.2.4). y 1

1

y1 $

O

$ Рис. 1.2.4

1

y

y

2

Ось тангенсов

1

α

$ 2

2

O

1

=1

1

x

A

1

x

y1 -1

$

1

Рис. 1.2.5 Если точка В единичной окружности лежит слева от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов назовём точку В1 (рис. 1.2.5). Тангенс угла α всегда численно равен ординате у1 соответствующей точки оси тангенсов, т.е. tg α = y1 . Докажем это для углов первой и второй четвертей. 1) 0 o ≤ α < 90 o (рис. 1.2.4). tg α =

y1 y1 = = y1 ≥ 0 , где у1 – ордината точки В1. x1 1

2) 90 o < α ≤ 180 o (рис. 1.2.5). tg α = ∆ОВВ2 tg α =

~ ∆ОВ1А. Поэтому

y2 x2

=

y2 ≤ 0 , где х2 и у2 – абсцисса и ордината точки М. Из рис. 1.2.5 x2

y1 x1

=

y1 1

или

y2 − y1 y = или 2 = y1 . Итак, и в этом случае − x1 1 x2

y2 = y1 ≤ 0 . Аналогично доказывается, что tg α = y1 для углов третьей и четвёртой четвертей. x2

Если точка В лежит на оси ординат, то соответствующей ей точки оси тангенсов не существует. В этих точках tg α не существует. Осью котангенсов называется перпендикуляр, восстановленный в точке В конца радиуса-вектора ОВ , образующего с осью Ох угол 90°. За положительное направление оси котангенсов принимаем на-

правление слева направо. Введём понятие соответствующей точки оси котангенсов. Если точка С единичной окружности лежит над осью абсцисс, то соответствующая ей точка оси котангенсов это точка С1 (рис. 1.2.6).

y 1

ось котангенсов

С1

x1

В

С

y1=1

α

α

-1

A 11 x

О

-1

Рис. 1.2.6

y С1

x1

В

ось котангенсов

1

y1=1 α

–1

О

A

С2

x2

1

x

С –1 Рис. 1.2.7 Если точка С единичной окружности лежит под осью абсцисс, то соответствующей ей точкой оси котангенсов называют точку С1 (рис. 1.2.7). Можно легко доказать, что всегда котангенс угла α равен абсциссе х1 соответствующей точки оси котангенсов, т.е. ctg α = x1 . Если точка С лежит на оси абсцисс, то соответствующей ей точки оси котангенсов не существует. В этом случае сtg α не существует. Упражнения и задания 1) Может ли синус угла быть равным: 5 6 3 2 5 6 2 3 1 5 4 8 ; − ;− . ;− ;− ;− ; ; ; ; ; ; 4 5 2 2 3 2 2 2 6 5 7 2

2) Может ли косинус угла быть равным: 0,2; 0,5; 0,75; 0,9; 1,05; 1,52; –0,3; –0,7; –0,99; –2,3; –1,25. 3) Углом какого квадранта является угол α , у которого: а) sin α < 0, cos α > 0; б) sin α > 0, cos α < 0; в) tg α > 0, sin α < 0 ? 4) Как изменяется секанс и косеканс при изменении угла от 0° до 360°? 1.3 Возрастающие и убывающие функции Функция y = f (x) называется возрастающей в некотором промежутке, лежащем в её области определения, если для любых двух значений х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1 < х2 следует f (x1) < f (x2). Другими словами, функция y = f (x) называется возрастающей, если бóльшему значению аргумента соответствует бóльшее значение функции. Например, функция, график которой изображён на рис. 1.3.1 возрастает в интервале ]х1; х2 [. Функция y = f (x) называется убывающей в некотором промежутке, лежащем в области её определения, если для любых двух значений х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1 < х2 y y = f(x)

х1 О

х2

х1 х

Рис. 1.3.1 следует f (x1) > f (x2). Другими словами, функция y = f (x) называется убывающей, если бóльшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Например, функция, график которой изображён на рис. 1.3.1 убывает в интервале ]х2 ; х3 [. Интервал, на котором функция убывает или возрастает, называется интервалом монотонности функции. Для функции, график которой изображён на рис. 1.3.1 интервалами монотонности служат интервалы ]х1; х2 [ и ]х2; х3 [. На первом из них функция монотонно возрастает, на втором монотонно убывает. 1.4 Характер изменения тригонометрических функций Теперь выясним, как изменяются введённые нами тригонометрические функции по абсолютной величине и знаку при изменении угла α от 0 o до 2 π . 1) sin α . Мы знаем (см. 1.2.9), что sin α = y , где у – ордината конца подвижного единичного радиуса-вектора (см.

рис. 1.2.1).

а) 0 ≤ α ≤

π π (первый квадрант). Если α1 и α 2 таковы, что 0 ≤ α1 < α 2 ≤ 2 2

(рис. 1.4.1), то у1 < у2.

Следовательно, sin α1 < sin α 2 . Другими словами при возрастании угла α от 0 до

π sin α монотонно 2

возрастает от 0 до 1. π π ≤ α ≤ π (второй квадрант). Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам ≤ α1 < α 2 ≤ π (рис. 2 2 π до π 1.4.2). Из рисунка видим, что у1 > у2. Следовательно, sin α1 > sin α 2 . При возрастании угла α от 2 sin α монотонно убывает от 1 до 0.

б)

y 1

B A

α2 α1

O

x O

-1

y2

y1

x

1

-1

Рис. 1.4.1 y 1 A B

α1

y2 y1 -1

α2

О

1

x

-1

Рис. 1.4.2 3π 3π в) Третий квадрант  π ≤ α ≤  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам π ≤ α1 < α 2 ≤ (рис.



2 

2

1.4.3). Из рисунка видно, что у1 > у2. Следовательно, sin α1 > sin α 2 . При возрастании угла α от π до 3π sin α монотонно убывает от 0 до –1. 2

3π 3π г) Четвёртый квадрант  ≤ α ≤ 2 π  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам ≤ α1 < α 2 ≤ 2 π 

 2

2

(рис. 1.4.4). Из рисунка видим, что у1 < у2. Следовательно, sin α1 < sin α 2 . При возрастании угла α от

3π 2

до 2 π sin α монотонно возрастает от –1 до 0. Итак: sin α – это монотонная функция угла α и при любом угле α абсолютная величина sin α не превосходит единицы, − 1 ≤ sin α ≤ 1 . y 1

α2 α1 y2

y1

-1

1

O

x

A B

-1

Рис. 1.4.3 y 1

α2

α2

α1

α1

-1

О

1 x

y1 y 2

B -1

A

Рис. 1.4.4 2) cos α . Из 1.2.9 cos α = х, где х – это абсцисса конца подвижного единичного радиуса-вектора. π π а) Первый квадрант  0 ≤ α ≤  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам 0 ≤ α 1 < α 2 ≤ (рис. 

2

2

1.4.5). Из рисунка видно, что х1 > х2. Следовательно, cos α 2 < cos α 1 . При возрастании угла α от 0 до π 2

cos α монотонно убывает от 1 до 0. π π б) Второй квадрант  ≤ α ≤ π  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам ≤ α1 < α 2 ≤ π (рис.

2



2

1.4.6). Из рисунка видим, что ОВ1 < ОВ2 или х2 < х1. Следовательно, cos α 2 < cos α 1 . При возрастании угла α от

π до π cos α монотонно убывает от 0 до –1. 2

y 1

B

α2

A

α1 O

-1

B1 A1 x1

1

x

x2

-1

Рис. 1.4.5 y

1

A B

α1

y1 -1

B1

A1

О

x2

x1

α2

1

x

-1

Рис. 1.4.6 y 1

x1 x2

α2 α1

A1 B1 y1 y2

-1

O A B

-1

1

x

Рис. 1.4.7 3π 3π (рис. в) Третий квадрант  π ≤ α ≤  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам π ≤ α1 < α 2 ≤

2 



2

1.4.7). Из рисунка видно, что х1 < х2. Следовательно, cos α1 < cos α 2 . При возрастании угла α от π до 3π cos α монотонно возрастает от –1 до 0. 2 3π 3π ≤ α1 < α 2 ≤ 2 π г) Четвёртый квадрант  ≤ α ≤ 2 π  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам 2  2 

(рис. 1.4.8). Из рисунка видим, что х1 < х2. Следовательно, cosα1 < cosα 2 . При возрастании угла α от

3π до 2

2 π cos α монотонно возрастает от 0 до 1. y 1

α2 α1 -1

О

A1 B1 x1 x2

1

x

B -1

A

Рис. 1.4.8 Итак, cos α – это монотонная функция угла α и при любом угле α абсолютная величина cos α не превосходит единицы, т.е. − 1 ≤ cos α ≤ 1 . 3) tg α . Тангенс угла α численно равен ординате соответствующей точки оси тангенсов, так как для всех точек оси тангенсов х = 1 (см. 1.2.10). π π а) Первый квадрант  0 ≤ α ≤  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам 0 ≤ α1 < α 2 ≤ (рис. 

2

2

1.4.9). Из рисунка видно, что у2 > у1. Следовательно, tg α 2 > tg α 1 . При возрастании угла α от 0 до π 2

tg α неограниченно возрастает.

π 2

б) Второй квадрант  < α ≤ π  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам 1.4.10). Из рисунка



π < α1 < α 2 ≤ π (рис. 2

y

B1

1

B

A A1

α2 α1

O

-1

1

x

-1

Рис. 1.4.9

y 1

A B

α2

α2

α1

α2

-1

О

1

-1

x

B1 A1

Рис. 1.4.10 видно, что у1 < у2. Следовательно tg α 1 < tg α 2 . При возрастании угла α от нуля. Если угол α стремится к

π до π tg α возрастает до 2

π π , оставаясь больше , то tg α неограниченно возрастает по абсолют2 2

ной величине, но всегда отрицателен. 3π 3π в) Третий квадрант  π ≤ α <  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам π ≤ α1 < α 2 < (рис. 

2 

2

1.4.11). Из рисунка видно, что у1 < у2. Следовательно, tg α1 < tgα 2 . Тангенс в третьем квадранте при возрастании угла α от π до

3π 3π возрастает от 0 до +∞. Если угол α приближается к , оставаясь 2 2

3π , то tg α стремится к плюс бесконечности. 2 3π 3π г) Четвёртый квадрант  < α ≤ 2 π  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам < α1 < α 2 ≤ 2 π 2 2  

меньше

(рис. 1.4.12). Из рисунка видим, что у1 < у2. Следовательно, tg α1 < tgα 2 . При возрастании угла α от

3π 3π 3π до 2π tg α возрастает от –∞ до 0. Если α приближается к , оставаясь больше , то tg α стре2 2 2

мится к минус бесконечности. 4) сtg α . Котангенс угла α численно равен абсциссе соответствующей точки оси котангенсов, так как для всех точек оси котангенсов у = 1 (см. 1.2.10). y

B1

1 A1

α2 α1

-1

O

1

x

1

x

A B

-1

Рис. 1.4.11 y 1

α2 α1 -1

О

B A -1

B1 A1

Рис. 1.4.12 π π а) Первый квадрант  0 < α ≤  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам 0 < α1 < α 2 ≤ (рис. 2 2 

1.4.13). Из рисунка видно, что х1 > х2. Следовательно, сtg α1 > сtg α 2 . При возрастании угла α от 0 до π 2

ctg α убывает до 0. Если α стремится к нулю, оставаясь больше нуля, то сtg α стремится к плюс

бесконечности. π π б) Второй квадрант  < α < π  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам ≤ α1 < α 2 < π (рис.

2



2

1.4.14). Из рисунка видно, что х1 > х2. Следовательно сtg α1 > сtg α 2 . При увеличении угла α от π ctgα убывает от 0 до –∞. Если угол α

π до 2

y B1

1

B

A1

A α2

-1

x

1

O

-1

Рис. 1.4.13 y A1

B1

B

A

1

α2 α1 -1

О

1

x

-1

Рис. 1.4.14 приближается к π , оставаясь меньше π , то ctg α стремится к минус бесконечности. в) Третий квадрант  π < α ≤ 

3π  3π (рис.  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам π < α1 < α 2 ≤ 2 2 

1.4.15). Из рисунка видно, что х1 > х2. Следовательно, сtg α 1 > сtg α 2 . При увеличении угла α от π до 3π 2

ctg α убывает +∞ до 0. Если угол α приближается к π , оставаясь больше π , то ctg α стремится к

плюс бесконечности. 3π 3π ≤ α1 < α 2 < 2 π г) Четвёртый квадрант  ≤ α < 2 π  . Углы α1 и α 2 удовлетворяют неравенствам

 2



2

(рис. 1.4.16). Из рисунка видно, что х1 < х2. Следовательно, сtg α1 > сtg α 2 . При увеличении угла α от 3π до 2π ctg α убывает от 0 до –∞. Если угол α приближается к 2 π , оставаясь меньше 2 π , то ctg α 2

стремится к минус бесконечности.

y

B1

1

α2

A1

α1 -1

1

O

x

A B -1

Рис. 1.4.15 y A1

B1

1

α2 α1 -1

1

О

x

B A -1

Рис. 1.4.16 1.5 Чётные и нечётные функции Функция y = f (x), область определения которой симметрична относительно начала отсчёта называется чётной, если для любого значения независимой переменной выполняется равенство f (–x) = f (x). Например, функция y = x2 – чётная. Действительно f (–x) = (–x)2 = х2 = f (x). С функцией y = x2 мы хорошо знакомы. Её графиком является парабола (рис. 1.5.1). Она симметрична относительно оси Оу. Это общее свойство графиков чётных функций. Функция y = f (x), область определения которой симметрична относительно начала отсчёта называется нечётной, если для любого значения независимой переменной выполняется равенство f (–x) = –f 1 2

(x). В качестве примера рассмотрим функцию у = х 3 . Её графиком является кубическая парабола (рис. 1.5.2). Кубическая парабола симметрична относительно начала координат. Это общее свойство нечётных функций.

y

4

4 3 2 1 –3

–2

–1

0

1

2

3

x

Рис. 1.5.1 y 3 2 1 –3

–2

–1

0

#1

–1

#2

–2

#3

–3

x

1

2

3

x

Рис. 1.5.2 Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными. Например, функция y = x2 + х не является ни чётной, ни нечётной. 1.6 Чётность и нечётность тригонометрических функций Применим представления о чётности и нечётности функций к тригонометрическим функциям. Теорема. Функции cos α и sec α являются чётными, а функции sinα, tg α, сtg α и соsес α являются нечётными. Доказательство: а) В начале докажем чётность cos α и sec α . Для этого достаточно убедиться, что cos ( −α ) = сos α . С этой целью обратимся к рис. 1.6.1. На этом рисунке α = ∠ COA и − α = ∠ COB . Мы видим, что абсцисса х точек А и В одна и та же. Согласно определения косинуса угла имеем: сos α = х и cos ( −α ) = x . Следовательно cos ( − α ) = сos α . Это равенство справедливо для любого числа α . Итак, мы доказали, что:

y

y

A

y

#y

C

α

#α

y

α

C C x

-y

C

О

x

−α

C В

Рис. 1.6.1 cos ( − α ) = сos α .

(1.6.1)

т.е. функция у = сos α является чётной функцией. Чётность функции у = sec α доказывается следующим образом sec ( −α ) =

1 1 = = sec α . cos ( − α ) cos α

Итак: sec ( − α ) = sec α .

(1.6.2)

б) Теперь докажем нечётность sin α, tg α, ctg α и cosec α. По определению sin α = AC и sin( − α ) = BC . Но АС = у и ВС = –у. Поэтому sin α = y и sin( − α ) = − y . Отсюда следует, что sin( − α ) = − sin α . (1.6.3) Другими словами функция y = sin α является нечётной. Доказательство нечётности остальных трёх функций основывается на только что доказанных свойствах sin α и cos α . tg( − α) =

sin( − α ) − sin α = = − tg α . cos( − α ) cos α

Итак: tg ( −α ) = − tg α ; ctg ( −α ) =

cos ( −α ) cos α = = − ctg α . sin ( −α ) − sin α

(1.6.4)

Итак: ctg ( − α) = −ctg α ; cos ec ( −α ) =

(1.6.5)

1 1 = = −cosec α . sin( − α ) − sin α

Итак cosec ( −α) = −cosec α .

(1.6.6)

Таким образом, теорема полностью доказана. Упражнения и задания 1) Покажите, что следующие функции являются чётными: а) y = x 2 + ctg 2 x ; б) y = sin x ; в) y = sin x ; 1 + 2 cos x ; x4 sin x ⋅ cos x д) y = ; tg x + ctg x

г) y =

е) y =

sin x − tg x . sin x + ctg x

2) Покажите, что следующие функции являются нечётными: а) y = x + tg x ; б) y = − tg 3 x ; в) y = ctg 5 x ; 1 + cos 4 x ; sin 3 x x 2 ctg x ; д) y = 1 + sec x x + sin x . е) y = 2 tg α + ctg 2 x

г) y =

3) Установите какие функции являются чётными, а какие нечётными: а) y = sin x + tg x ; б) y = sin x + cos x ; в) y = x 4 + sin 2 x + 1 ; г) x 3 + sin 3 x + 1 ; д) y = xtg x ;

е) y = tg x + sin 2 x . 1.7 Периодичность тригонометрических функций Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т ≠ 0, если для любого х выполнено условие f (х + Т) = f (x). Число Т называется периодом функции y = f (x). Если Т период функции y = f (x), то любое из чисел nT, где n = –1; ±2; ±3; ±4; …, также является периодом функции y = f (x). Наименьший положительный период Т функции y = f (x) называется основным периодом. Периодичность – это одно из важных свойств тригонометрических функций. Функции sin α , cos α , sec α и cosec α являются периодическими функциями с основным периодом 2π. Функции tg α и ctg α также являются периодическими функциями. Основной период tg α и ctg α равен π. Упражнения и задания 1) Какие из следующих функций являются периодическими? а) y = cos2 x ; б) y = xtg x ; в) y = sin x + cos x ; г) y = ctg x + 2 . 2) Укажите основной период (если он существует) следующих функций: 1 2 б) y = xtg x ;

а) y = sin x ; x 2 г) y = cos x + ctg x ;

в) y = sin ;

д) y = 2 tg x + sin x ; е) y = 2 tg x + 3ctg x . 1.8 Свойства функции y = sin x и ее график Свойства функции y = sin x

3

Область определения функции – множество всех действительных чисел: D ( y ) = R . Множество значений – промежуток [−1; 1] : E ( y ) = [− 1;1] . Функция y = sin x является нечетной: sin (− x ) = − sin x .

4

Функция периодическая, наименьший положительный период равен 2π: sin ( x + 2 π ) = sin x .

5

График функции пересекает ось Ох при x = πn , n ∈ Z . Промежутки знакопостоянства: y > 0 при (2πn + 0; π + 2πn) , n ∈ Z и y < 0 при (π + 2πn; 2 π + 2πn ) ,

1 2

6

n∈Z . 7

Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: (sin x )′ = cos x .

8

Функция

y = sin x

возрастает

при

x ∈(− π 2 + 2πn; π 2 + 2πn ) ,

n∈Z ,

и

убывает

x ∈ (π 2 + 2 πn; 3π 2 + 2 πn ) , n ∈ Z . 9

Функция имеет минимум при x = − π 2 + 2 πn , n ∈ Z и максимум при x = π 2 + 2 πn , n ∈ Z .

График функции y = sin x называется синусоидой и имеет следующий вид:

при

Слова и словосочетания

Область определения функции

Промежуток знакопостоянства

Множество значений

Синусоида

? 1 Что называется синусом? Какова область определения синуса? Каково множество значений синуса? Четная или нечетная функция у = sin x? Чему равен наименьший положительный период синуса? В каких точках график синуса пересекает ось Ох? Каковы промежутки знакопостоянства синуса? При каких значениях аргумента синус имеет производную? Чему равна производная синуса? При каких значениях аргумента синус возрастает? Убывает? При каких значениях аргумента синус имеет минимум? Максимум? Как называется график функции у = sin x? 1.9 Свойства функции y = cos x и ее график Свойства функции y = cos x 1 2 3

Область определения функции – множество всех действительных чисел D ( y ) = R . Множество значений – промежуток E ( y ) = [− 1; 1] . Функция y = cos x является четной: cos (− x ) = cos x .

Функция периодическая, наименьший положительный период равен 2π: cos ( x + 2 π ) = cos x . 5 График функции пересекает ось Ох при x = π / 2 + πn , n ∈ Z . 6 Промежутки знакопостоянства: y > 0 при x ∈ (− π 2 + 2 πn; π 2 + 2 πn ) , n ∈ Z и y<0 при x ∈ (π 2 + 2 πn; 3π 2 + 2 πn ) , n ∈ Z . 4

Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: (cos x )′ = − sin x . 8 Функция y = cos x возрастает при (− π + 2 πn; 2 πn ) , n ∈ Z , и убывает при (2 πn, π + 2 πn ) , n ∈ Z . 9 Функция имеет минимум при x = π + 2 πn , n ∈ Z и максимум при x = 2 πn , n ∈ Z . График функции y = cos x имеет следующий вид: 7

? 1 Что называется косинусом? 2 Какова область определения косинуса? 3 Каково множество значений косинуса? 4 Четная или нечетная функция у = cos x? 5 Чему равен наименьший положительный период косинуса? 6 В каких точках график косинуса пересекает ось Ох? 7 Каковы промежутки знакопостоянства косинуса? 8 При каких значениях аргумента косинус имеет производную? 9 Чему равна производная косинуса? 10 При каких значениях аргумента косинус возрастает? Убывает? 11 При каких значениях аргумента косинус имеет максимум? Минимум? 12 Как называется график функции у = cos x ? 1.10 Свойства функции y = tg x и ее график Основные свойства функции y = tg x Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел x = π / 2 + πn . 2 Множество значений – множество всех действительных чисел 3 Функция y = tgx является нечетной: tg (− x ) = − tg x . 1

4 5 6 7

Функция периодическая, наименьший положительный период равен π: tg ( x + π ) = tg x . График функции пересекает ось Ох при x = πn , n ∈ Z . Промежутки знакопостоянства: y > 0 при x ∈ (πn; π 2 + πn ) , n ∈ Z и y < 0 при x ∈ (− π 2 ; πn ) , n ∈ Z . Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области опреде-

ления функции: (tg x )′ = 1 / cos 2 x . 8 Функция y = tg x возрастает в каждом промежутке (− π / 2 + πn; π / 2 + πn ) , n ∈ Z . График функции y = tg x называется тангенсоидой и имеет следующий вид:

? 1 Что называется тангенсом? Какова область определения тангенса? Каково множество значений тангенса? Четная или нечетная функция у = tg x? Чему равен наименьший положительный период тангенса? В каких точках пересекает ось Ох график тангенса? Каковы промежутки знакопостоянства тангенса? При каких значениях аргумента тангенс имеет производную? Чему равна производная тангенса? В каких промежутках функция у = tg x возрастает? 1.11 Свойства функции y = ctg x и ее график Катангенсом числа α называется отношение косинуса этого числа к его синусу: ctg α = cos α / sin α . Основные свойства функции y = ctg x 1 2 3 4 5 6

x ∈ (π 7

Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел x = πn . Множество значений – множество всех действительных чисел. Функция y = ctg x является нечетной: ctg (− x ) = − ctg x . Функция периодическая, наименьший положительный период равен π: ctg ( x + π ) = ctg x . Нули функции: у = 0 при x = π / 2 + πn , n ∈ Z . Промежутки знакопостоянства: y > 0 при x ∈ (πn; π 2 + πn ) , n ∈ Z и y < 0 при 2 + πn; π( n + 1) ) , n ∈ Z . Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области опреде-

ления функции: (ctg x )′ = −1 / sin 2 x . 8 Функция y = ctg x убывает в каждом промежутке (πn; π( n + 1) ) , n ∈ Z . График функции y = ctg x имеет следующий вид:

? 1 Что называется котангенсом? 2 Какова область определения котангенса? 3 Каково множество значений котангенса? 4 Четная или нечетная функция у = ctg x? 5 Чему равен наименьший положительный период котангенса? 6 В каких точках график котангенса пересекает ось Ох? 7 Каковы промежутки знакопостоянства котангенса? 8 При каких значениях аргумента котангенс имеет производную? 9 Чему равна производная котангенса? 10 В каких промежутках убывает котангенс? 1.12 Обратные тригонометрические функции 1 Арксинус (y = arcsin x). Арксинус – это функция обратная функции y = sin x. На всей оси Ох функция y = sin x однозначной y = sin x

y

а x4

x2 – π

−

π 2

0

x1

π 2

x3

π

x5

x

Рис. 1.12.1 обратной функции иметь не может. Это станет очевидным, если вспомнить некоторые свойства функции y = sin x. Область определения функции y = sin x вся ось Ох, а область значений – отрезок [–1; +1] оси Оу. Пусть y = sin x = а, где –1 ≤ а ≤ 1. Сколько значений х удовлетворяет этому уравнению? Таких значений бесчисленное множество. Действительно, любое из значений (х1, х2, х3, …) удовлетворяют этому уравнению (см. рис. 1.12.1). Поэтому об обратной функции по отношению к функции y = sin x можно говорить только на отрезке [–1; +1] оси Оу и на отрезке оси Ох, где функция y = sin x монотонно возрастает или монотонно убывает. Функция y = sin x монотонно возрастает от –1 до +1 на люπ π бом отрезке оси Ох вида  − + 2 nπ, + 2 nπ  , где n = 0; ±1; ±2; … .  2

2



3π π Функция y = sin x убывает от –1 до +1 на любом отрезке оси Ох вида  + 2 nπ, + 2 nπ  , где n = 0; 2

2



π π

±1; ±2; … Выберем один из этих отрезков. Пусть это будет отрезок оси Ох вида  − ,  . На этом от 2 2 резке функция y = sin x монотонно возрастает от –1 до +1. Следовательно, для любого у0 из отπ π резка [–1, +1] оси Оу существует единственное значение х0 из отрезка  − ,  оси Ох такое, что y0 = sin  2 2

x0. Другими словами для функции y = sin x на рассматриваемом отрезке существует однозначная обратная функция. Эту функцию принято называть арксинусом и обозначать y = arcsin x. Известно, что график обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов. Поэтому график функции y = arcsin x будет иметь вид, показанный на рис. 1.12.2. Перечислим свойства функции y = arcsin x: 1) Область определения: отрезок [–1, +1]. π π 2) Область значений: отрезок  − ,  .  2 2

3) Функция y = arcsin x нечётная: arcsin (–x) = –arcsin x. 4) Функция y = arcsin x монотонно возрастающая. 5) График функции y = arcsin x проходит через начало системы координат. ≥ 0 при 0 ≤ х ≤ 1; . < 0 при − 1 ≤ х < 0.

6) Аrcsin x 

y=arcsinx

y

y=sinx

−

π 2

π 2

0

Рис. 1.12.2 y

y = cos x

1

а

-2 π

x

−

3π 2

−π

−

π 2

x2 0

x1 -1

π 2

π

3π 2

x3

2π

x

x

Рис. 1.12.3 2 Арккосинус (y = arcсos x). Функция y = cos x определена на всей оси Ох и принимает значения на отрезке [–1, +1] оси Оу. Пусть y = cos x = а. Этому уравнению удовлетворяет бесчисленное множество значений х. Это можно видеть на рис. 1.12.3. Это означает, что для определения функции, обратной функции y = cos x, нужно взять наибольший отрезок оси Ох, на котором она монотонно возрастает или монотонно убывает. Функция y = cosx монотонно возрастает от –1 до +1 на каждом отрезке вида [(2n – 1)π, 2nπ], где n = 0, ±1, ±2, ±3… . Эта функция монотонно убывает от –1 до +1 на каждом отрезке вида [2nπ, (2n +1)π]. Выберем в качестве отрезка, на котором будет определяться обратная функция отрезок [0, π]. На этом отрезке функция y = cos x монотонно убывает от значения +1 до –1. Следовательно, для любого у0 ∈ [–1, 1] оси Оу существует только одно значение х0 ∈ [0, π], такое, что у0 = cos x0. Другими словами, на отрезке [0, π] для функции y = cosx существует однозначная обратная функция. Эту функцию называют арккосинусом и обозначают y = arccos x. График функции y = arccos x симметричен с графиком функции y = cos x относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (рис. 1.12.4). y π

у = arccosx

π 2 y

-1

0

1

x

Рис. 1.12.4 Свойства функции y = arccos x следующие: 1) Область определения: отрезок [–1, +1]. 2) Область значений: отрезок [0, π]. 3) Функция y = arccos x ни чётная, ни нечётная. Для неё выполняется тождество arcсos (–x) = π – arccos x. 4) Функция y = arccos x монотонно убывающая. π 5) График функции y = arccos x пересекает ось Ох в точке (1, 0), а ось Оу в точке  0,  . 

2

6) Y = arccos x ≥0 на всём отрезке [–1, 1]. 3 Арктангенс (y = arctg x). Функция y = tg x определена всюду на оси Ох, за исключением точек π 2

вида х n = (2 n + 1) , где n = 0, ±1, ±2, ±3… . Область значений функции y = tg x – вся ось Оу. Поэтому об обратной функции по отношению к функции y = tg x можно говорить для всей оси Оу. Пусть tg x = а. Это уравнение имеет бесчисленное множество решений. В этом легко убедиться, рассматривая рис. 1.12.5.

y

а

−

3π 2

−π

x1

−

π 2

0

x1

π 2

π x3

3π 2

x

Рис. 1.12.5 Для нахождения однозначной обратной функции нужно выбрать какой-либо наибольший интервал оси Ох, на котором функция y = tg x монотонно возрастает. Функция y = tg x монотонно возрастает от –∞ до +∞ на любом интервале вида [ −

π π + 2 nπ, + 2 nπ ], где n = 0; ±1; ±2; … . В качестве интервала 2 2

оси, на котором функция y = tg x, а также однозначная обратная функция существуют одновременно π 2

выберем интервал ] − ,

π [. На этом интервале функция y = tg x монотонно возрастает от –∞ до +∞. 2

Следовательно, для любого у0, лежащего на оси Оу существует единственное значение х0 из интервала π 2

]− ,

π [ такое, что y0 = tg x0. Другими словами, для функции 2

π 2

y = tg x на интервале ] − ,

π [ су2

ществует однозначная обратная функция. Эту функцию называют арктангенсом и обозначают y= arctg x. График функции y = arctg x симметричен с графиком функции y = tg x относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (рис. 1.12.6). y

π 2

y=arctg x

0

−

x

π 2

Рис. 1.12.6

Функция y = arctg x обладает следующими свойствами, вытекающими из соответствующих свойств функции y = tg x: 1) Область определения: интервал ]–∞, +∞ [. π π 2 2

2) Область значений: интервал ] − , [.

3) 4) 5) 6)

Функция y = arctg x нечётная: arctg (–x) = –arctg x. Функция y = arctg x монотонно возрастающая. График функции y = arctg x проходит через начало координат. Функция аrctg x < 0 при –∞ < х < 0 и аrctg x > 0 при 0 < х < +∞.

7) Функция y = arctg x имеет две горизонтальные асимптоты y = −

π π и y= . 2 2

4 Арккотангенс (у = arcctg x). Функция у = ctg x определена всюду на оси Ох за исключением точек вида хn = nπ, где n = 0, ± 1 , ± 2 ,… . Область её значений – это вся ось Оу. Рассматривая рис. 1.12.7 легко убедиться, что уравнение у = tg x имеет бесчисленное множество решений. y

а

−

3π 2

x1

−π

x3

−

π 2

0 x1 π π x2 2

3π 2

x

Рис. 1.12.7

Поэтому для нахождения функции обратной к функции у = tg x, достаточно рассмотреть какой-либо наибольший интервал оси Ох, на котором она монотонно убывает. В качестве интервала оси Ох, на котором рассматривается функция у = ctg x и обратная к ней функция берут обычно интервал ]0, π[. На этом интервале функция у = ctg x монотонно убывает от + ∞, –∞. Следовательно, для каждого у0, лежащего на оси Оу, существует единственное значение х0 ∈ ]0, π[, такое, что у0 = ctg x0. Другими словами, на интервале ]0, π[ существует однозначная функция обратная к функции у = ctg x. Эту функцию называют арккотангенсом и обозначают у = arcctg x. График функции у = arcctg x симметричен с графиком функции у = ctg x относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (рис. 1.12.8). Функция у = arcctg x обладает следующими свойствами: 1) Область определения: интервал ]–∞, +∞[. 2) Область значений: интервал ]0, π[. 3) Функция у = arcctg x ни чётная, ни нечётная. Для неё выполняется тождество arcctg (–x) = π – arcctg x.

y π

π 2

y = arcctg x

y

0

x

Рис. 1.12.8 4) Функция у = arcctg x монотонно убывающая. π 5) График функции у = arcctg x пересекает ось Оу в точке  0,  . 

2

6) Функция у = arcctg x > 0 при любых значениях х. 7) Функция у = arcctg x имеет две горизонтальные асимптоты у = 0 и у = π. 1.13 Операции над обратными тригонометрическими функциями Из свойств тригонометрических функций вытекают следующие формулы: sin (arcsin x ) = x, x ≤ 1 ;

(1.13.1)

cos (arccos x ) = x, x ≤ 1 ;

(1.13.2)

tg (arctg x ) = x, − ∞ < x < + ∞ ;

(1.13.3)

ctg (arcctg x ) = x, − ∞ < x < + ∞ ;

(1.13.4)

sin (arccos x ) = + 1 − x 2 , x ≤ 1 ;

(1.13.5)

cos (arcsin x ) = + 1 − x 2 , x ≤ 1 ;

(1.13.6)

tg (arctg x ) =

1 , x ≠ 0; x

(1.13.7)

ctg (arcctg x ) =

1 , x≠0; x

(1.13.8)

tg (arcsin x ) =

x

1 − x2

, x <1;

(1.13.9)

x

sin ( arcctg x ) =

1+ x2

sin ( arcctg x ) =

tg (arccos x ) =

cos ( arctg x ) =

(1.13.10)

, − ∞ < x < +∞ ;

(1.13.11)

x 1 + x2

1 − x2 , 0 < x ≤ 1; x x

1+ x2 x

cos ( arcctg x ) =

, −∞<x<+∞;

1+ x2

, −∞<x<+∞;

(1.13.13)

, −∞<x<+∞;

(1.13.14)

1 − x2 , 0 < x ≤ 1; x

ctg (arcsin x ) =

ctg (arccos x ) =

(1.13.12)

x 1 − x2

, x <1 ;

(1.13.15)

(1.13.16)

Доказательство этих формул достаточно простое. Продемонстрируем это на примере формул (1.13.5), (1.13.7) и (1.13.9). а) у = sin (arccos x). Положим arccos x = α . Отсюда x = cos α . Итак, sin(arccos x ) = sin α = + 1 − cos 2 α = + 1 − x 2 .

б) y = tg (arcctg x ). в) y = tg (arcsin x ).

tg (arcctg x ) = tg (arcsin x ) =

1 1 . ctg (arcctg x ) x

sin (arcsin x ) x = . cos (arcsin x ) 1− x2

С помощью формул (1.13.16) получаются следующие формулы: sin ( 2 arcsin x ) = 2 x 1 − x 2 , x ≤ 1 ;

(1.13.17)

sin( 2 arccos x ) = 2 x 1 − x 2 , x ≤ 1 ;

(1.13.18)

cos ( 2 arccos x ) = 2 x 2 − 1, x ≤ 1 ;

(1.13.19)

tg (2arctg x ) =

2x , x ≠1; 1 − x2

(1.13.20)

sin ( 2arctg x ) =

2x , −∞< x<+ ∞; 1 + x2

(1.13.21)

cos ( 2arctg x ) =

1 − x2 , −∞<x <+∞; 1+ x2

(1.13.22)

Теперь получим формулы для тригонометрических функций от половины обратной тригонометрической функции. Рассмотрим cos  arccos x  . Обозначим arccos x = α . Тогда cos 1 2

α = arccos x , то 0 ≤ α ≤ π . Значит, 0 ≤



1 + cos α α . Так как =± 2 2

α π ≤ . Поэтому перед корнем нужно взять знак "+". 2 2

Итак: 1+ x 1  cos  arccos x  = , x ≤1; 2 2 

(1.13.23)

1− x 1  sin  arccos x  = , x ≤ 1; 2 2 

(1.13.24)

Аналогично,

Используя формулы сложения для тригонометрических функций можно получить следующие формулы: sin (arcsin x + arcsin y ) = x ⋅ 1 − y 2 + y ⋅ 1 − x 2 ;

(1.13.25)

sin (arccos x + arccos y ) = y ⋅ 1 − x 2 + x ⋅ 1 − y 2 ;

(1.13.26)

cos(arccos x + arccos y) = y ⋅ 1− x 2 + x ⋅ 1− y 2 , x ≤ 1 и y ≤ 1 ; (1.13.27)

tg (arctg x + arctg y ) =

x+ y , xy ≠ 1 ; 1 − xy

(1.13.28)

и многие другие. ? 1 Что называется арксинусом? 2 Какова область определения функции y = arcsin x ? 3 Каково множество значений функции y = arcsin x ?

y = arcsin x ? 5 Что называется арккосинусом? 6 Какова область определения функции y = arccos x ? 4 Четная или нечетная функция

7 Каково множество значений функции y = arccos x ? 8 Что называется арктангенсом? 9 Какова область определения функции y = arctg x ? 10 Каково множество значений функции y = arctg x ? 11 Четная или нечетная функция y = arctg x ?

Упражнения и задания а) Вычислите значения следующих функций: 3 4) ctg (arcctg(−245)) ; 5) sin  arccos  ; 6)

1) sin (arcsin 0,35) ; 2) cos (arccos ( −0, 24)) ; 3) tg (arctg 25) ;  cos  arcsin 

 4  −  ;  5 

1 7) tg  arcctg  ; 

5





2

; 8) tg  arcsin 2  

4 9) sin  arccos  ; 

5

5

10)

1   cos  arcsin  ; 11) cos  arcsin 3    2 15) ctg  arccos  . 3 

 2   −   ; 12) sin (arctg ( −3)) ;  3 

1 1   13) tg  arccos  ; 14) cos  arctg  −   ; 

4



 2 

б) Проверьте равенства: 1 1 1 1 1) sin  2arctg  = cos  arctg  ; 2) sin  4arctg  = sin  4arctg  . 

2





3

3



2

в) Вычислите: 3 1 1   1) sin  2 arcsin  −   ; 2) sin  2 arccos  ; 3) cos  2arctg  ;  2 



6) ctg  2 arccos 



5 ; 13 



5

3 4) sin  2arctg  ;

5) tg  2 arcsin

5 ; 13 

3) sin  arccos − arctg ( −2)  ;

4)



7



4

1 1 1 1 1 1 7) cos  arccos  ; 8) sin  arccos  ; 9) tg  arcsin  . 2

2

2

2

2

2

г) Вычислите: 3 4 1) sin  arcsin + arcsin  ; 

5

5

1 1 2) sin  arccos + arccos  ; 

  1  sin  arctg2 − arctg  −   ;  3  

3

2



1



26

5) tg  2 arcsin

− arccos

1 2

3 5



5   1   ; 6) sin 2  arctg2 − arctg  −   . 13   3  

1.14 Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Основные тригонометрические тождества и определения sin 2 α + cos 2 α = 1 .

(1.14.1)

y 1

Pα

Рα

α

–1

O

α

А

1

x

О

А

–1

Рис. 1.14.1

В

Пусть α – произвольный угол. Отметим на единичной окружности точку Pα (см. рис. 1.14.1). OAPα : OA = cos α , APα = sin α , OPα = 1 . По теореме Пифагора треугольнике

OA 2 + APα 2 = OPα 2 , т.е. cos 2 α + sin 2 α = 1 . tg α =

sin α π , α ≠ + πn, n ∈ Z по определению. (1.14.2) cos α 2

ctg α =

cos α , α ≠ πn, n ∈ Z по определению. (1.14.3) sin α

Из (1.14.2) и (1.14.3) следует: tg α ⋅ ctg α = 1 α ≠

πn , n∈Z . 2

(1.14.4)

Разделив почленно (1.13.1) на cos 2 α ≠ 0 получим: 1 + tg 2 α =

1 cos 2 α

,

(1.14.5)

.

(1.14.6)

Разделив же на sin 2 α ≠ 0 , получим: 1 + ctg 2 α =

1 sin 2 α

Выражение одних тригонометрических функций через другие Из (1.14.1) следует sin α = ± 1 − cos 2 α . Из (1.14.6) следует sin α =

1 ± 1 + ctg 2 α

.

Отсюда вытекает, что sin α =

так как ctg α =

tgα ± 1 + tg 2 α

.

1 (см. (1.13.4)). tg α

Из (1.14.1) следует cos α = ± 1 − sin 2 α . Из (1.14.5) следует cos α =

1 ± 1 + tg 2 α

.

Отсюда вытекает, что cos α =

так как tg α =

1 (см. (1.14.4)). ctg α

Понятно, что

ctg α ± 1 + ctg 2 α

.

tg α =

sin α ± 1 − sin 2 α

;

± 1 − cos 2 α ; cos α 1 tg α = . ctg α tg α =

Заметим, что в формулах, содержащих радикалы, знак следует брать в зависимости от того, в какой четверти оканчивается угол α. Упражнения и задания

1) Докажите тождества: а) sin 2 α + tg 2 α =

1 2

cos α 1 + ctg α tg α + 1 б) = ; 1 − ctg α tg α − 1

в) г) д)

−

1 sec 2 α

;

sin 2 α cos 2 α + = 1; sec 2 α − 1 cos ec 2 α − 1 cos 2 α − sin 2 α ctg 2 α − tg 2 α

=

sin 2 α sec 2 α

;

tg α ctg 2 α − 1 ⋅ = 1; 1 − tg 2 α ctg α

е) tg 2 α − sin 2 α = tg 2 α ⋅ sin 2 α. 2) Упростите выражения: а) sin 4 α + cos 4 α + 2 sin 2 α ⋅ cos 2 α; б)

(1 + ctg 2 α) (sec 2 α − 1) ; (1 + tg 2 α) cosec α

в) tg 2 α − sin 2 α − sin 4 α ⋅ sec 2 α. 3) Получите формулы, выражающие sin α, сos α, сtg α через tg α. 4) Вычислите, sin α, сos α, сtg α, если sin α = 0,8 и

π < α < π. 2

1.15 Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции от аргументов − α,

через функции от аргумента α. Таблица формул приведения

π 3π ± α, π ± α, ± α, 2 π ± α 2 2

Угол Функция sin

–α

π– 2

α

π+ 2

α π–α π+ α

3π – 2

3π + 2

α

α

2π – 2π + α α

–sin –sin –сos –сos –sin сos α сos α sin α sin α α α α α α

сos сos α sin α

–sin –сos –сos –sin –sin сos α сos α α α α α α

tg

–tg α сtg α

–сtg –сtg –tg α tg α сtg α –tg α tg α α α

сtg

–сtg –сtg –сtg tg α –tg α сtg α tg α –tg α сtg α α α α

При пользовании формулами приведения можно пользоваться правилами: 1 если угол α откладывается от горизонтального диаметра, то в обоих частях формулы функция имеет одно и то же название; от вертикального – функция меняет название на сходное; 2 знак приведенной функции совпадает со знаком приводимой функции, т.е. чтобы определить знак, с которым следует брать функцию в правой части, достаточно, считая угол острым, определить знак по знаку левой части. Формулы приведения в особом доказательстве не нуждаются. Так, формулы первого столбца выражают свойства четности и нечетности функции. Последние два столбца получены с учетом периодичности тригонометрических функций. Другие формулы вытекают из теорем сложения для тригонометрических функций. И так далее… Например, 3π 3π  3π  cos + α  = cos cos α − sin sin α = 0 + sin α = sin α , 2 2   2

т.е.  3π  cos + α  = sin α;  2  sin (π + α ) = sin π cos α + cos π sin α = 0 − sin α = − sin α ,

т.е.

sin (π + α ) = − sin α;  3π  − α = tg  2  

т.е.

 3π  sin  − α  2  − cos α = = ctg α ,  3π  − sin α cos − α  2 

 3π  tg  − α  = ctg α.  2 

Упражнения и задания 13π . Найдите sin α, cos α, tg α, ctg α. 3 2) Дан угол α = −1410 o . Найдите sin α, cos α, tg α, ctg α.

1) Дан угол α =

3) Доказать тождество.  π cos 2  + α  2  + cos ( 2 π − α ) = 1; 2 а) sec 2 ( π + α ) − 1 cosec 2 ( 2 π + α ) − 1 3π   − α  + sin4 (3π + α) − 2 2  

 6 π   6 sin  2 + α  + sin (5π − α) = 1.   3π 10 4) Найдите ctg  + α  , если ctg α = . 11  2   

б) sin4 

5) Вычислите: 13π π 2π ; + 4 cos + 6 sin 6 3 2 1 1 б) 2 tg180 o − sin ( −270 o ) + cos 180 o . 2 2

а) 3 sin

6) Упростите выражение: π  π  cos  α −  ⋅ cos  − α  4 4 .  π   sin 2  α +  4 

1.16 Формулы для синуса и косинуса суммы двух аргументов

Рассмотрим единичную окружность с центром в O(0, 0), а на ней точки Pα , Pα+β , P−β (см. рис. на стр. 56). Им соответствуют углы α, α + β, −β. Очевидно, что Pα P−β = P0 Pα +β .

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . α=

( x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 .

(1.16.1)

у

Рα + β Рα х

О

Р−β

У нас Pα (cos α , sin α ), P−β (cos β, − sin β ), Pα +β (cos(α + β ), sin (α + β ));

и теперь из равенства (1.15.1) получаем:

(cos(α + β ) − 1)2 + (sin (α + β ) − 0 )2 = =

(cos α − cos β )2 + (sin α + sin β )2 ,

т.е. cos 2 (α + β ) − 2 cos(α + β ) + 1 + sin 2 (α + β ) = = cos 2 α − 2 cos α cos β + cos 2 β + sin 2 α + 2 sin α sin β + sin 2 β.

т.е. т.е.

− 2 cos(α + β ) + 2 = 2 − 2 cos α cos β + 2 sin α sin β , cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β.

Заменим β на −β, получаем: cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β.

Получим теперь формулу для синуса суммы двух аргументов:  π  π   sin (α + β ) = cos − (α + β )  = cos  − α  − β  = 2    2  π  π  = cos − α  cos β + sin  − α  sin β = sin α cos β + cos α sin β, 2  2 

т.е.

sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β.

Заменяя β на −β и учитывая, что sin (− β ) = − sin β,

получаем:

sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β.

cos(− β ) = cos β,

Упражнения и задания 13π ; cos 105 o ; cos 285 o. 12 13π ; sin 105 o ; sin 285 o . 2) Вычислите sin 12

1) Вычислите cos

1.17 Формула тангенса суммы двух аргументов Имеет место формула tg α + tg β , 1 − tg α tg β π π π α ≠ + πn, β ≠ + πn, α + β ≠ + πn. 2 2 2 sin (α + β ) sin α cos β + cos α sin β = = tg (α + β ) = cos (α + β ) cos α cos β − sin α sin β tg (α + β ) =

sin α cos β cos α sin β + cos α cos β cos α cos β tg α + tg β = = . cos α cos β sin α sin β 1 − tg α tg β − cos α cos β cos α cos β

При выведении формулы учитывали, что cos α cos β ≠ 0 , т.е. функции tg α и tg β определены. Заменяя β на −β и учитывая, что tg (− β ) = − tg β получим tg (α − β ) =

tg α − tg β . 1 + tg α tg β

Упражнения и задания 5π 13π ; tg105 o ; tg15 o ; tg . 12 12 13π 5π ; ctg105 o ; ctg15 o ; ctg . 2) Вычислите ctg 12 12

1) Вычислите tg

1.18 Тригонометрические функции двойного аргумента

1) cos 2α = cos 2 α − sin 2 α.

(1.18.1)

cos 2α = cos(α + α ) = cos α cos α − sin α sin α = cos 2 α − sin 2 α .

Заменив cos 2 α на 1 − sin 2 α , получим cos 2α = 1 − 2 sin 2 α .

(1.18.2)

cos 2α = 2 cos 2 α − 1 .

(1.18.3)

Заменив sin 2 α на 1 − cos 2 α , получим

Наконец, получим еще одну формулу для косинуса двойного угла: cos 2α =

cos 2α cos 2 α − sin 2 α 1 − tg 2 α = = 1 cos 2 α + sin 2 α 1 + tg 2 α

(разделили числитель и знаменатель на cos 2 α ≠ 0 ), т.е. cos 2α =

2) sin 2α = 2 sin α cos α.

1 − tg 2 α 2

1 + tg α

, α≠

π + πn, n ∈ Z . 2

(1.18.4)

(1.18.5)

sin 2α = sin (α + α ) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α .

И еще: sin 2α =

2 tg α 2 sin α cos α 2 sin α cos α = = 2 2 1 sin α + cos α 1 + tg 2 α

(разделили числитель и знаменатель на cos 2 α ≠ 0 ), т.е. sin 2α =

3) tg 2α =

2 tg α π , α ≠ + πn, n ∈ Z . 2 2 1 + tg α

2 tg α π π π , α ≠ + πk , α ≠ + k , k ∈ Z . 2 2 4 2 1 − tg α tg 2α = tg (α + α ) =

Заметим, что аналогично рассуждая, можно получить ctg 2α =

ctg α − 1 . 2 ctg α

Упражнения и задания 1 2 3 б) sin 6 α + cos 6 α = 1 − sin 2 2α ; 4 в) ctg α − tg α − 2 ctg 2α − 4 tg 4α = 8 ctg 8α .

а) sin 4 α + cos 4 α = 1 − sin 2 2α ;

2) Упростите: а) 2(sin 6 α + cos 6 α ) − 3(sin 4 α + cos 4 α ) ; α α α б) 1 + tg α ⋅ tg  :  ctg + tg  . 2 

2

tg α + tg α 2 tg α = . 1 − tg α tg α 1 − tg 2 α

формулу

2

1) Докажите:



(1.18.6)

2

1.19 Тригонометрические функции половинного аргумента

(1.18.7)

Положим α =

x в формулах 2

cos 2α = 2 cos 2 α − 1, cos 2α = 1 − 2 sin 2 α.

Получим cos x = 2 cos 2

x x − 1, cos x = 1 − 2 sin 2 . 2 2

Отсюда находим, что cos

x x 1 + cos x 1 − cos x =± , sin = ± . 2 2 2 2

Стало быть, 1 − cos x x ± 1 − cos x x 2 2 = =± tg = , x 2 1 + cos x 1 + cos x cos ± 2 2 sin

т.е. tg

1 − cos x x =± , 2 1 + cos x

x ≠ π + 2 πk , k ∈ Z .

Знак перед радикалом зависит от того, в какой четверти оканчивается угол α. Например, 1 − cos 30° sin 15° = + = 2

1−

3 2 = 1 2 − 3. 2 2

Упражнения и задания

1) Найдите sin α, cos α, tg α, ctg α если α = 22 o 30 . 3π α α и cos , зная, что sin α = −0,8 , где < α < 2π . 2 2 2 5 1 1 ⋅ Упростите: ⋅ . 2 α 9 α   cos 2  5 tg + 4  2 2  1+  3      

2) Найдите sin 3)

4) Докажите тождества: cos 2 α 1 = sin 2α ; α α 4 ctg − tg 2 2 π α (1 + sin α ) (tg − ) 4 2 = ctg α . б) sin α

а)

1.20 Преобразование в сумму выражений sin α ⋅ cos β, cos α ⋅ cos β и sin α ⋅ sin β

Возьмём формулы для синуса суммы и разности двух углов: sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β .

Сложим их и разделим на 2. Тогда получим: sin α ⋅ cos β =

sin( α + β) + sin( α − β) . 2

(1.20.1)

Возьмём формулы для косинуса суммы и разности двух углов: cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β

(*)

Сложим их и разделим на 2. Тогда получим: cos α ⋅ cos β =

cos(α + β) + cos(α − β) . 2

(1.20.2)

cos(α − β) − cos(α + β) . 2

(1.20.3)

Возьмём из формулы 2 (*) формулу 1 (*). Тогда получим: sin α ⋅ sin β =

Упражнения и задания

1) Вычислите: а) sin 52 o 30′ ⋅ cos 7 o 30′ ; б) cos 52 o 30′ ⋅ cos 7 o 30′ ; в) sin 52 o 30′ ⋅ sin 7 o 30′ ; г) sin 20 o sin 40 o sin 80 o ; д) sin 20 o sin 50 o cos 80 o ; е) cos10 o cos 50 o cos 70 o ;

π 2

ж) cos ⋅ cos

2π . 5

1.21 Преобразование в произведение сумм sin α ± sin β, cos α ± cos β, tg α ± tg β, и ctg α ± ctg β

1 Сумма синусов Перепишем формулу: sin α′ ⋅ cos β′ =

1 [sin(α′ + β′) + sin(α′ − β′)] 2

в виде: sin( α′ + β′) + sin( α′ − β′) = 2 sin α′ ⋅ cos β′ . α+β α −β и β′ = . 2 2 Очевидно, α ′ + β ′ = α, α ′ - β′ = β .

Положим: α′ =

Тогда: sin α + sin β = 2 sin

α+β α −β . ⋅ cos 2 2

(1.21.1)

Сумма двух синусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов 2 Разность синусов Заменим в формуле (1.21.1) β на − β и учтём нечётность синуса. Тогда получим: sin α − sin β = 2 sin

α −β α+β ⋅ cos . 2 2

(1.21.2)

Разность двух синусов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы их аргументов

3 Сумма косинусов Запишем формулу: cos α′ ⋅ cos β′ =

cos(α′ + β′) + cos(α′ − β′) 2

в виде: cos(α′ + β′) + cos(α′ − β′) = 2 cos α′ ⋅ cos β′ .

Положим в этой формуле α′ = Тогда:

α+β α −β и β′ = . 2 2

cos α + cos β = 2 cos

α+β α −β . ⋅ cos 2 2

(1.21.3)

Сумма двух косинусов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов. 4 Разность косинусов Запишем формулу: sin α′ ⋅ sin β′ =

cos(α′ − β′) − cos(α′ + β′) 2

в виде: cos(α′ − β′) − cos(α′ + β′) = 2 sin α′ ⋅ sin β′ .

Положим: α′ =

α+β α −β и β′ = . Тогда получим: 2 2 cos α − cos β = −2 sin

α+β α −β . ⋅ sin 2 2

(1.21.4)

Разность двух косинусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности их аргументов, взятому со знаком минус. 5 Сумма тангенсов tg α + tg β =

sin α sin β sin α cos β + cos α sin β + = . cos α cos β cos α ⋅ cos β

Отсюда: tg α + tg β =

sin (α + β) . cos α ⋅ cos β

(1.21.5)

Сумма двух тангенсов равна частному от деления синуса суммы их аргументов на произведение косинусов этих же аргументов. 6 Разность тангенсов Заменим в формуле (1.21.5) β на − β . Тогда с учётом чётности косинуса и нечётности тангенса получим: tg α − tg β =

sin (α − β) . cos α ⋅ cos β

(1.21.6)

Разность двух тангенсов равна частному от деления синуса разности их аргументов на произведение косинусов этих же аргументов. 7 Сумма котангенсов сtg α + сtg β =

cos α cos β cos α sin β + sin α cos β sin (α + β) + = = . sin α sin β sin α ⋅ sin β sin α ⋅ sin β

Итак: сtg α + сtg β =

sin (α + β) . sin α ⋅ sin β

(1.21.7)

Сумма двух котангенсов равна частному от деления синуса суммы их аргументов на произведение синусов этих же аргументов. 8 Разность котангенсов Заменим в формуле (1.21.7) β на − β . Тогда с учётом нечётности синуса и котангенса. Тогда получим: сtg α − сtg β = −

sin(α − β) . sin α ⋅ sin β

(1.21.8)

Разность двух котангенсов равна взятому со знаком минус частному от деления синуса разности их аргументов на произведение синусов этих же аргументов. Упражнения и задания

1) Упростите: α α 2  19  − cos  π +  ; 2 2  8 б) sin 5α ⋅ sin 4α + sin 4α ⋅ sin 3α − sin 2α sin α ; 9 8

а) sin 2  π +

в) ctg80 o + tg40 o + ctg40 o + tg80 o ; 4 3

1 3

г) sin 7 α − sin 5α − sin 9α + sin 3α . 2) Доказать тождества: 1 + cos α + cos 2α + cos 3α = 2 cos α ; cos α + 2 cos 2 α − 1 3α α б) sin α − sin 2α + sin 3α = 4 cos cos α sin ; 2 2 α 5 в) cos α + cos 2α + cos 3α + cos 4α = 4 cos cos α cos α . 2 2

а)

1.22 Использование вспомогательного аргумента

Рассмотрим некоторые виды сумм, которые можно свести к произведениям, подобрав подходящим образом вспомогательный аргумент. 1) a ⋅ sin α + b ⋅ cos α где a ≠ 0 и b ≠ 0. Подберём аргумент ϕ и положительный множитель ρ , так, чтобы: a = ρ ⋅ cos ϕ и

b = ρ ⋅ sinϕ .

Возведём выражения для a и b в квадрат и сложим полученные равенства. Мы получим ρ 2 = a 2 + b 2 . Отсюда:

ρ = + a2 + b2 .

Вспомогательный аргумент ϕ найдём из соотношений: cos ϕ =

a a b b = и sinϕ = = . 2 2 2 ρ + a +b ρ + a + b2

Теперь выражение a ⋅ sin α + b ⋅ cos α преобразуем так: a ⋅ sin α + b ⋅ cos α = ρ cos ϕ sin α + ρ sin ϕ cos α = = ρ(sin α cos ϕ + cos α sin ϕ) = ρ sin( α + ϕ).

Итак: a ⋅ sin α + b ⋅ cos α = ρ sin( α + ϕ) .

2) a ⋅ sin α + b и a ⋅ cos α + b, 0 < b ≤ a .

Вначале

преобразуем

первое

(1.22.1) выражение.

b a b  ≤ 1 . Поэтому можно положить = sin ϕ . a ⋅ sin α + b = a ⋅  sin α +  . По предположению b a a  α+ϕ α−ϕ . Тогда a ⋅ sin α + b = a ⋅ (sin α + sin ϕ) = 2 a ⋅ sin ⋅ cos 2 2

Итак: a ⋅ sin α + b = 2 a ⋅ sin

Второе выражение преобразуем аналогично. Положим

α+ϕ α−ϕ ⋅ cos . 2 2

(1.22.2)

b = cos ϕ . Тогда a

b α+ϕ α−ϕ a ⋅ cosα + b = a ⋅ (cosα + ) = a ⋅ (cosα + cosϕ) = 2a ⋅ cos ⋅ cos . a 2 2

Итак: a ⋅ cos α + b = 2 a ⋅ cos

α+ϕ α−ϕ . ⋅ cos 2 2

(1.22.3)

3 ) a ⋅ tg α + b, a ≠ 0. Так как тангенс угла изменяется в пределах от –∞ до + ∞, то можно положить b = tg ϕ . a

Тогда: a ⋅ sin (α + ϕ) b  . a ⋅ tg α + b = a ⋅  tg α +  = a ⋅ (tg α + tg ϕ) = a cos α ⋅ cos ϕ 

Итак: a ⋅ tg α + b =

a ⋅ sin (α + ϕ) . cos α ⋅ cos ϕ

(1.22.4)

Упражнения и задания

Преобразуйте в произведение: 2 sin α +1; 2cosα + 2 ; 3 - 4cos2 α; 3tgα + 3; sinα - 3 cos α; sinα - cosα : 3 − 2 sin α; 3 - 4sin2 α;

3tg2α + 3; 1- 3tg2 α; 3 - 9tg2 4α.

1.23 Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Тождественным преобразованием называется замена одного выражения другим, ему тождественно 2 равным (например, a 2 − 2ab + b 2 можно заменить на ( a − b ) ).

При решении примеров на упрощение тригонометрических выражений производят ряд тождественных преобразований с использованием формул параграфов 1.14 – 1.22. При доказательстве тригонометрических тождеств используются приемы: Более громоздкая часть доказываемого тождества с помощью тождественных преобразований приводится к менее громоздкой, простой; 2 Если обе части тождества громоздкие (не упрощенные), то их преобразуют до полного совпадения; 3 В ряде случаев удобно (целесообразно) найти разность между доказываемыми частями тождества и убедиться, что она равна нулю. В отдельных случаях применяются специальные приемы. 1

Примеры. 1) Доказать тождество tg2 α + ctg 3β tg 2α = . ctg2 α + tg 3β tg 3β

Решение. Обозначим, для краткости записи, левую часть доказываемого тождества через A, а правую через B и найдем их разность:

tg 2α tg 3β + ctg 3β tg 3β − tg 2α ctg 2α − tg 2α tg 3β = (ctg 2α + tg 3β ) tg 3β 1−1 = = 0. (ctg 2α + tg 3β ) tg 3β

A− B=

значит A = B. Тождество доказано. 2) Доказать тождество

3 − 4 cos 2α + cos 4α = tg 4 α . 3 + 4 cos 2α + cos 4α

Решение. Преобразуем левую, более громоздкую, часть: 3 − 4 cos 2α + cos 4α 3 − 4 cos 2α + 2 cos 2 2α − 1 = = 3 + 4 cos 2α + cos 4α 3 + 4 cos 2α + 2 cos 2 2α − 1

=

=

 1 − tg 2 α  1 − tg 2 α   + ⋅ 2 2−4 2  1 + tg 2 α  1 + tg α 

2

 1 − tg 2 α  1 − tg 2 α   + ⋅ 2+4 2 2  1 + tg 2 α  1 + tg α 

2

=

1 + 2tg 2 α + tg 4 α − 2 + 2tg 4 α + 1 − 2tg 2 α + tg 4 α = tg 4 α. 2 4 4 2 4 1 + 2tg α + tg α + 2 − 2tg α + 1 − 2tg α + tg α

В ходе решения воспользовались формулой 1.18.4. Тождество доказано. 3) Доказать тождество cos (3π − 2α ) 5   = tg α − π . 4   5  2 sin2  π + α   4

Решение. Упрощаем левую часть доказываемого тождества: cos(3π − 2α ) cos(π − 2α ) − cos 2α = = = 5 π     π  2 sin 2  π + α  2 sin 2  π +  + α   2 sin 2  + α  4  4  4   =

cos2 α − sin 2 α cos α − sin α − cos 2α − cos 2α . =− = =− 2 cos α + sin α π  1 + sin 2α cos sin ( ) α + α 1 − cos + 2α  2 

Теперь упрощаем правую часть 5  π    π  tg  α − π  = − tg  π + − α  = − tg  − α  = 4  4    4  (cos α − sin α ) ⋅ cos α 1 − tg α cos α − sin α =− =− =− . 1 + tg α cos α ⋅ (cos α + sin α ) cos α + sin α

Как видим, левая и правая части одинаковы. Тождество доказано. 4) Доказать, что

cos

2π 4π 6π 1 + cos + cos =− . 7 7 7 2

π 7

Решение. Применим искусственный прием: умножим и разделим левую часть тождества на 2 sin , а затем воспользуемся формулой 1.20.1. 2π 4π 6π = + cos + cos 7 7 7 π π π 2π 4π 6π + 2 sin cos + 2 sin cos 2 sin cos 7 7 7 7 7 7 = = π 2 sin 7 π 3π 5π 3π 5π − sin + sin π − sin sin − sin + sin 7 7 7 7 7 = = π 2 sin 7 π − sin 7 = −1. = π 2 2 sin 7 cos

Итак, тождество доказано. 5) Доказать, что tg 20° ⋅ tg 40° ⋅ tg 80° = 3 . Решение. Преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части тождества. 1 (cos 20° − cos 60°) ⋅ sin 80° = 2 1 1  =  sin 80° ⋅ cos 20° − sin 80°  = 2 2  11 1  =  (sin 100° + sin 60°) − sin 80°  = 2 22 

sin 20° ⋅ sin 40° ⋅ sin 80° =

=

 1 3 1 3 11  sin 80° + ⋅ , − sin 80°  =  22 2 2 2  8

(воспользовались равенством sin100° = sin 80° ). 2 sin 20° ⋅ cos 20° ⋅ cos 40° ⋅ cos 80° = 2 sin 20° 1 sin 80° cos 80° 1 sin 160° 1 sin 40° cos 40° cos 80° 2 = = = = . 2 sin 20° 2 sin 20° 8 sin 20° 8

cos 20° ⋅ cos 40° ⋅ cos 80° =

Таким образом,

tg 20° ⋅ tg 40° ⋅ tg 80° =

sin 20° sin 40° sin 80° 3 /8 = = 3. cos 20° cos 40° cos 80° 1 / 8

Тождество доказано. Замечание: Если воспользоваться формулами 1.21.1 и 1.21.5, то легко получить

tg 3α = tg α ⋅ tg (60° − α ) ⋅ tg (60° + α ).

Положив здесь α = 20°, получаем сразу

3 = tg 20° ⋅ tg 40° ⋅ tg 80°.

6) Упростить 3    3 tg  α + π  ctg  π − α  2    + 1 − cos(4α − π ) − 2 . 3 3  π  sin 2α 2 2 2sin  α − π  2cos  α −  2  2   Решение. Обозначим, для краткости записи, данное выражение через A. Прежде всего, воспользуемся формулами приведения. г) Преобразовать в произведение. 1) 3 + 4 cos 4α + cos 8α;  α 3π  5  2) 2 cos 2  −  + 3 cos  π + α  − 1; 2 2  2  α α − 1 − sin , 0 < α ≤ 180°; 2 2 4) 2 − tg 4α − ctg 4α;

3)

1 + sin

5    9 sin  π − 2α  + 2 sin 2  2α − π  − 1 2    2 . 5) 3  π π    1 + sin  2α +  − sin  4α −  + sin  6α − π  2  2 2    2 sin α +1; 2cos α + 2 ; 3 − 4 cos2 α; 3 tg α + 3; sin α − 3 cos α; sin α − cos α : 3 − 2 sin α; 3 − 4sin2 α; 3 tg 2α + 3; 1 − 3tg2 α; 3 − 9tg2 4α.

1.24 Решение уравнений sin x = α , cos x = α, tg x = α 1) sin x = α . Уравнение имеет смысл при –1 ≤ α ≤ 1. Так как функция y = sin x имеет период 2π, то достаточно найти решение уравнения sin x = α на участке длиной 2π. π 3π π π π 3π π π Возьмем участок  − ,  . Он состоит из двух участков  − ,  и  ,  . Если x ∈  − ,  ,  2 2 2 2   2 2  2 2 то решением уравнения sin x = α является

x = arcsin α ,

(1.24.1)

по определению арксинуса. π 3π   , то уравнение sin x = α запишем в виде sin (π − x ) = α . Это верно, так как

Если x ∈  − ,  2 2

 π π sin x = sin (π − x ) , но аргумент π − x ∈  − ,  , что вытекает из следующей цепочки  2 2 π 3π 3π π π π ≤x≤ ⇒ − ≤ −x ≤ − ⇒ − ≤ π − x ≤ . 2 2 2 2 2 2 π π Из равенства sin (π − x ) = α , π − x ∈  − ,  следует, что π − x = arcsin α , т.е.  2 2

x = π − arcsin α .

(1.24.2)

Все решения уравнения sin x = α получим, прибавив к найденным решениям (1.24.1) и (1.24.2) выражение 2πk, k ∈ Z. Получим: x = arcsin α + 2 πk

и

x = − arcsin α + π + 2 πk .

Найденные решения обычно записывают в виде одной формулы: x = (− 1)n arcsin α + πn, n ∈ Z .

(При n = 2k получается первое решение, при n = 2k + 1 – второе решение.) 2) cos x = α , − 1 ≤ α ≤ 1. Найдем решение этого уравнения на участке [–π, π]. На второй его половине, (x ∈ [0, π]) решением уравнения cos x = α является x = arccos α (1.24.3) по определению арккосинуса. Если x ∈ [−π, 0], то уравнение cos x = α перепишем в виде cos(− x ) = α, так как cos(− x ) = cos x , но при этом –x ∈ [0, π]. По определению арккосинуса находим − x = arccos α , т.е. x = − arccos α .

(1.24.4)

Прибавив к полученным решениям (1.24.3) и (1.24.4) числа 2πk, k ∈ Z, получим все решения уравнения, а именно: x = ± arccos α + 2 πk , k ∈ Z .

3) tg x = α . Найдем решение уравнения tg x = α на участке длиной π. π π π π Возьмем участок  − ,  . Тогда из равенства tg x = α , x ∈  − ,  следует  2 2



2 2

x = arctg α ,

(1.24.5)

по определению арктангенса. Прибавив к найденному решению (1.24.5) числа πn, n ∈ Z получим все решения уравнения tg x = α , а именно: x = arctg α + πn, n ∈ Z .

2 Тригонометрические уравнения. Основные методы решений 2.1 Простейшие уравнения

К простейшим уравнениям относятся уравнения вида sin x = α, cos x = α, tg x = α, ctg x = α. Они решаются по формулам: sin x = α , − 1 ≤ α ≤ 1,

x = (− 1) arcsin α + πn, n ∈ Z ;

cos x = α , − 1 ≤ α ≤ 1,

x = ± arccos α + 2 πk ,

k ∈ Z;

tg x = α ,

x = arctg α + πl ,

l ∈ Z;

ctg x = α ,

x = arcctg α + πm,

m∈ Z.

n

В частных случаях при α = 0, α = 1, α = –1 решение уравнения можно находить не по готовой формуле, а исходя из тригонометрического круга. Так, π + πn, n ∈ Z 2 π    по формуле x = ± + 2 πk ; 2   π sin x = 1 ⇒ x = + 2 πn, n ∈ Z 2   n π + πn ;  по формуле x = (− 1) 2   π sin x = −1 ⇒ x = − + 2 πn, n ∈ Z ; 2 cos x = −1 ⇒ x = π + 2 πn, n ∈ Z . cos x = 0 ⇒

x=

При использовании формул решения тригонометрических уравнений учитывать, что arcsin (− α ) = − arcsin α , arctg (− α ) = − arctg α,

arccos (− α ) = π − arccos α ,

arcctg (− α ) = π − arcctg α.

Примеры. 1) tg 3 x = 1995. Решение. 1 πl 3 x = arctg1995 + πl , т.е. x = arctg1995 + , l ∈ Z . 3 3 1 π  2) cos x −  = − . 4 2  

Решение. 1 π   1 = ± arccos  −  + 2 πk = ±  π − arccos  + 2 πk , 4 2   2 π π 2  x − = ±  π −  + 2 πk = ± π + 2 πk , т.е. 4 3 3  π 2 x = ± π + 2 πk . 4 3 x−

Полученное решение можно записать в виде двух формул: x=

3) sin

11 π + 2 πk 12

и

x=−

5 π + 2 πk , k ∈ Z . 12

1 π x= . 2 3

Решение : x ∈ ∅, так как

π > 1. 3

π  1 4) sin  − x  = . 3   2 π 1 Решение. Запишем уравнение иначе sin  x −  = − . 

3

2

π  1 n = (− 1) arcsin  −  + πn, 3  2 π n +1 π т.е. x = + (− 1) + πn, n ∈ Z . 3 6 x−

Полученное решение можно записать в виде двух формул: π + 2 πk 6 π если n = 2 k − 1 ( нечетное), то x = − + 2 πk , k ∈ Z . 2 если n = 2 k ( четное), то x =

5) ctg x =

1 3

. 1

Решение: x = arcctg

3

+ πm, т.е. x =

π + πm, m ∈ Z . 3

Решить уравнения. π  1) sin  3 x +  = 1; 4  2 2) cos x = 1; 3) tg 2 x =

1 7− 2

;

π π π ⋅ cos x − sin ⋅ sin x = ; 6 6 6 5) 2 x − 2 cos x = x − 2. 4) cos

2.2 Общий прием

Он заключается в том, что все тригонометрические функции, которые входят в уравнение, выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента. Примеры. 1) 2 cos 2 x + 5 sin x − 4 = 0. Решение. Заменяем cos 2 x на 1 − sin 2 x.

(

)

2 1 − sin 2 x + 5 sin x − 4 = 0, т.е. 2 sin 2 x − 5 sin x + 2 = 0.

Отсюда sin x =

1 1 и sin x = 2. Так как 2 > 1, то остается только вариант sin x = , из которого получа2 2

ем π 6 4 2 2) 4 sin x − 2 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2 cos 3 x − sin 2 2 x + 2.

Ответ: x = (− 1)n ⋅ + πn, n ∈ Z .

Решение. Перейдем к функции cos x.

4 (1 − cos 2 x ) − 2 (1 − cos 2 x ) cos x + 4 (2 cos 2 x − 1) = 2 cos 3 x − 2

− 4 cos 2 x (1 − cos 2 x ) + 2,

т.е. 4 − 8 cos 2 x + 4 cos 4 x − 2 cos x + 2 cos 3 x + 8 cos 2 x − 4 − − 2 cos 3 x + 4 cos 2 x − 4 cos 4 x − 2 = 0, т.е. 4 cos x − 2 cos x − 2 = 0, т.е. 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 ⇒ 1 cos x = 1 и cos x = − . 2 2 Ответ: x = 2 πk , k ∈ Z и x = ± π + 2 πn, n ∈ Z . 3

Решить уравнения. x ; 2 2) 3 sin 3 x + sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 cos 2 x − 3 sin x cos 2 x;

1) cos 2 x − 3 cos x = 4 cos 2

3) 6ctg 2 x − 2 cos 2 x = 3; 4) sin 4 x + cos 4 x − 2 sin 2 x + sin 2 2 x = 0; 5) 8 sin 6 x + 3 cos 2 x + 2 cos 4 x + 1 = 0

(перейти к cos 2 x );

6) 25 sin x + 100 cos x = 89. 2

2.3 Методы группировки

Путем группировки слагаемых уравнение привести к виду, когда левая часть разложена на множители, а правая часть равна нулю. Уравнение распадается на несколько более простых уравнений. Примеры. 1) sin x + sin 2 x + sin 3 x = 1 + cos x + cos 2 x. Решение. Запишем уравнение в другом виде

(sin x + sin 3 x ) + sin 2 x = (1 + cos 2 x ) + cos x, т.е. 2 sin 2 x cos x + sin 2 x = 2 cos 2 x + cos x , т.е. sin 2 x (2 cos x + 1) − cos x (2 cos x + 1) = 0, т.е.

(2 cos x + 1)(sin 2 x − cos x ) = 0,

но sin 2 x = 2 sin x cos x , поэтому (2 cos x + 1) ⋅ cos x ⋅ (2 sin x − 1) = 0. Отсюда 2 cos x + 1 = 0; 1 cos x = − ; 2 2 x = ± π + 2 πk , 3

cos x = 0; π x = + πn, 2

2 sin x − 1 = 0; 1 sin x = ; 2 π x = (− 1)m + πm. 6

Ответ: 2 x = ± π + 2 πk , k ∈ Z ; 3 π x = + πn, n ∈ Z ; 2 π x = (− 1)m + πm, m ∈ Z . 6 2) cos 4

x x − sin 4 = sin 2 x. 2 2

Решение. x  x x  2 x + sin 2   cos 2 − sin 2  = 2 sin x cos x ,  cos 2 2  2 2  т.е. 1 cos x − 2 sin x cos x = cos x (1 − 2 sin x ) = 0. 1 2

Отсюда cos x = 0 и sin x = . Следовательно, получаем Ответ:

x=

π + πn, n ∈ Z ; 2

x = (− 1)m

π + πm, m ∈ Z . 6

Решить уравнения. 1) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0; 2) 3 sin 2 x = 5 sin x; 3) sin x − 1 = sin x cos x − cos x; 4) sin 3 x + sin 4 x + sin 5 x = 0; π  5) sin 3 x = 2 cos − x . 2 

2.4 Уравнения, решаемые понижением степени

Если тригонометрическое уравнение содержит sin x, cos x в четной степени, то применим формулы понижения степени sin 2 α =

1 1 (1 − cos 2α ), cos 2 α = (1 + cos 2α ). 2 2

Примеры. 1) sin 2 3 x + sin 2 4 x = sin 2 5 x + sin 2 6 x. Решение. 1 − cos 6 x 1 − cos 8 x 1 − cos10 x 1 − cos12 x + = + , т.е. 2 2 2 2 2 − cos 6 x − cos 8 x − 2 + cos10 x + cos12 x = 0, т.е.

(cos10 x + cos12 x ) − (cos 8 x + cos 6 x ) = 2 cos11x cos x − 2 cos 7 x cos x = = 2 cos x(cos11x − cos 7 x ) = −2 cos x sin 9 x sin 2 x = 0.

Отсюда cos x = 0; x=

π + πn, 2

sin 9 x = 0; 9 x = πk ; x=

πk , 9

sin 2 x = 0; 2 x = πl ; x=

πl π + πn является частью множества корней x = 2 2 πk πl Ответ: x = , k ∈ Z ; x = , l ∈ Z . 9 2  x π 2) 4 + 2 cos x = 3 cos 2  − . 2 4

Решение x =

πl . 2

(при l = 2 n + 1)..

Решение. π  1  4 + 2 cos x = 3 ⋅ 1 + cos x −  , т..е. 2 2   8 + 4 cos x = 3(1 + sin x ), т.е. 3 sin x − 4 cos x = 5.

Это уравнение можно решать разными способами (см. 5). Решим его, перейдя к функции cos x (см. 2): ± 3 1 − cos 2 x − 4 cos x = 5, т.е. 5 + 4 cos x = 3 1 − cos 2 x

(берем знак ''+'', так как слева выражение положительное). 25 + 40 cos x + 16 cos 2 x = 9 − 9 cos 2 x , 25 cos 2 x + 40 cos x + 16 = 0, т.е.

(5 cos x + 4 )2 = 0,

отсюда 5 cos x + 4 = 0, cos x = −

4 и получаем 5

4 Ответ: x = ±  π − arccos  + 2 πk , k ∈ Z . 

5

Решить уравнения. x 3 + cos 2 x = sin 2 2 x + sin 2 4 x; 2 2 2 2 2) 6 tg x − 2 cos x = cos 2 x;

1) cos 2

π 1  3) cos 4 x + cos 4  x −  = ; 4 4  4) sin 3 x + sin 5 x = 2 (cos 2 2 x − sin 2 2 x ); π  π  5) sin 2  + t  = sin t + sin 2  − t . 8   8 

2.5 Универсальная подстановка

При решении уравнений вида a cos x + b sin x = c удобно применять универсальную подстановку tg

2t x , а = t . Тогда sin x = 2 1+ t2

cos x =

1− t2 . Уравнение становится рациональным. После нахождения его 1+ t2

решения надо проверить, не удовлетворяют ли исходному уравнению числа x = π + 2πn, n ∈ Z . x 2

(Делая подстановку tg = 0 , считаем, что cos

x ≠ 0, т.е. x ≠ π + 2πk ). 2

Примеры. 1) 3 sin x − 4 cos x = 5 (см. 4, п. 2). x x Решение. Сделаем подстановку tg = t  cos ≠ 0  . 2

Тогда 3 ⋅ 2t

−

2

(

4 1− t2 2

) = 5,





2

т.е. t 2 − 6t + 9 = 0,

(t − 3)2 = 0, t = 3.

1+ t 1+ t x Значит tg = 3 . Отсюда x = 2arctg3 + 2 πk , k ∈ Z . 2 Проверяем, является ли x = π + 2πn решением данного уравнения: 3 sin (π + 2 πn ) − 4 cos(π + 2 πn ) = 4 ≠ 5 ,

значит, не является. Ответ: x = 2arctg3 + 2 πk , k ∈ Z . Замечание. Сравнивая найденный ответ с ответом в предыдущем примере (4, п. 2), видим лишь x 2

внешнее различие. Но если tg = 3 , то x 1− 9 4 2 cos x = = =− . x 1+ 9 5 1 + tg 2 2 1 − tg 2

2) 3 sin 5 z − 2 cos 5 z = 3. x 2

Решение. Можно положить 5z = x, а затем сделать подстановку tg = t . Тогда

(

)

6t 2 1− t2 − = 3. 1+ t2 1+ t2

Далее ясно. Ответ: z =

π 2 πk + , 10 5

z=

2 2 πk arctg5 + , k ∈ Z. 5 5

Решить уравнения. x 1) 2 + cos x = 2 tg ; 2 x 2) 2 sin x + cos 2 + 2 + cos x = 0; 2 3) 3 sin x + cos x − 2 = 0; 4) sin 3 x + 5 cos 3 x = −1; 5) 4 sin x + cos x = 4.

2.6 Однородные уравнения и приводимые к ним

Однородные уравнения, т.е. уравнения вида a cos x + b sin x = 0, a cos 2 x + b sin x cos x + c sin 2 x = 0

и т.д. (у всех слагаемых сумма показателей одинакова) приводятся к алгебраическим относительно tg x путем деления обеих частей уравнения на cos x ≠ 0 и cos 2 x ≠ 0 соответственно. Некоторые уравнения можно сделать однородными путем замены 1 на cos 2 x + sin 2 x , путем различных преобразований функций, входящих в уравнение и т.д. Например: x x x x  a cos x + b sin x = c ⇒ a  cos 2 − sin 2  + 2b sin cos = 2 2 2 2  x x x x x  = c  cos 2 + sin 2  ⇒ (a − c ) cos 2 + 2b sin cos − 2 2 2 2 2  x − (a + c ) sin 2 = 0, 2

получили однородное уравнение (сравнить с 5 п. 2, 4 п. 2). Примеры. 1) sin 2 x − 2 sin x cos x − 3 cos 2 x = 0. Решение. Делим обе части уравнения на

cos 2 x ≠ 0 (если cos x = 0 , то получим, что и sin x = 0 ,

что невозможно: sin 2 x + cos 2 x = 1 ). Получаем tg 2 x − 2 tg x − 3 = 0, tg x = 3, tg x = −1.

Отсюда сразу следует π 4

Ответ: x = arctg3 + πn и x = − + πk , k , n ∈ Z . 2) 3 sin x cos x − 2 cos 2 x = 0.

Решение. Это однородное уравнение, но делить на cos x нельзя, так как

cos x может быть равен

π нулю. Запишем уравнение иначе: cos x (3 sin x − 2 cos x ) = 0. Отсюда cos x = 0,  x = + πn  и 

2 cos x = 0 – однородное уравнение 1-ой степени. Разделим на 3tg x − 2 = 0, tg x =

Ответ: x =

2 , 3

cos x ≠ 0 .

x = arctg

2 + πk . 3

π 2 + πn, n ∈ Z ; x = arctg + πk , k ∈ Z . 3 2

3) sin x cos x − cos 2 x = 1.

Решение. Так как 1 = sin 2 x + cos 2 x , то уравнение принимает вид sin x cos x − cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x , т.е. sin 2 x − sin x cos x + 2 cos 2 x = 0;

это уравнение – однородное! Делим на

cos 2 x ≠ 0 :

2



3sin x –

tg 2 x − tg x + 2 = 0 ⇒ tg x =

1± 1− 8 , 2

x ∈ ∅.

Ответ: Решений нет. 4) 2 cos 3 x + sin x − 3 sin 2 x cos x = 0.

Решение. Это уравнение легко привести к однородному, заменив sin x на sin x (sin 2 x + cos 2 x ).

2 cos 3 x + sin 3 x + sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x = 0 , делим на cos 3 x ≠ 0 : 2 + tg 3 x + tg x − 3tg 2 x = tg 3 x − 3tg 2 x + tg x + 2 = 0.

Перепишем это уравнение так: tg 3 x − 2tg 2 x − tg 2 x + 2tg x − tg x + 2 = 0, т.е.

tg 2 x ⋅ ( tg x − 2) − tg x ⋅ ( tg x − 2) − ( tg x − 2) = ( tg x − 2)(tg 2 x − tg x − 1) = 0.

Отсюда tg x = 2 x = arctg 2 + πk ,

tg 2 x − tg x − 1 = 0

и

( tg x )1, 2 =

k ∈Z

1± 5 . 2

Ответ: x1 = arctg 2 + πk , k ∈ Z ;  1± 5   + πn, n ∈ Z . x 2, 3 = arctg  2  

5)

t t  40 sin 3 − cos 3  2 2   = sin t . t t 16 sin − 25 cos 2 2

Решение. Из условия следует t t  t t  40 sin 3 − cos 3  =  16 sin − 25 cos  sin t , 2 2  2 2  t t t 25 16 sin ≠ 25 cos , т.е. tg ≠ . 2 2 2 16 t 2

t 2

Заменим sin t на 2 sin ⋅ cos . Получаем t t  t t t t  40 sin 3 − cos 3  =  16 sin − 25 cos  ⋅ 2 sin ⋅ cos , 2 2  2 2 2 2  t t t t t t 20 sin 3 − 16 sin 2 cos + 25 sin cos 2 − 20 cos 3 = 0, 2 2 2 2 2 2 t т.е. однородное уравнение. Делим на cos 3 ≠ 0 : 2

t x = tg ; 2 2 4 x (5 x − 4 ) + 5 (5 x − 4 ) = 0, (5 x − 4 ) (4 x 2 + 5 ) = 0 ⇒

20 x 3 − 16 x 2 + 25 x − 20 = 0, где

5x = 4 x=

4x 2 + 5 = 0

и

4 5

x ∈ ∅.

t 2

4 5

Итак, tg = , т.е. получаем 4 5

Ответ: t = 2arctg + 2 πk , k ∈ Z . Решить уравнения. 1) sin x − 2 cos x = 0; 2) 1 − 3 cos 2 x = sin 2 x; 1 3) cos 6 x + sin 6 x = sin 2 2 x; 4 x 4) 8 sin 2 + 3 sin x − 4 = 0; 2 3 5) 2 sin x = cos x; 6) sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0; 1 7) = 4 sin x + 6 cos x. cos x

2.7 Способ подстановки

Рассмотрим уравнения, для решения которых удобно применить различные подстановки. 1 Примеры. 1) sin 4 x + cos 4 x − sin 2 x + = 0 . 2 Решение.

Воспользуемся формулой a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ) − 2 a 2 b 2 и перепишем данное уравнение иначе: 2

(sin 2 x + cos 2 x )2 − 2 sin 2 x cos 2 x − 2 sin x cos x + 1 = 0, 2

т.е. 2 (sin x cos x ) + 2(sin x cos x ) − 2

3 = 0. 2

Обозначим sin x cos x = t , т.е. sin 2 x = 2t . Тогда получаем 3 = 0, т.е. 4t 2 + 4t − 3 = 0, 2 − 2 ± 4 + 12 1 3 = , t1 = , и t1 = − . 4 2 2

2t 2 + 2 t − t1, 2

Тогда sin 2 x = 1 2x =

π + 2 πk 2

и

sin 2 x = −3 x ∈ ∅.

Ответ: x =

π + πk , k ∈ Z . 4

2) 5(1 − sin 2 x ) − 16(sin x − cos x ) + 3 = 0 .

Решение. В примере встречаются разность синуса и косинуса и их произведение. Обозначим sin x − cos x = t . Отсюда следует sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x = t 2 , т.е. 2 sin x cos x = sin 2 x = 1 − t 2 .

Уравнение принимает вид 5(1 − (1 − t 2 )) − 16t + 3 = 0. 1 5

Решаем его. 5t 2 − 16t + 3 = 0, t1 = 3, t 2 = . Стало быть, sin x − cos x = 3 ⇒

x ∈ ∅, так как

sin x − cos x ≤ 2

π 1  2 sin  x −  = . 4 5 

1 и sin x − cos x = , т.е. 5

Отсюда x −

π 2 n = (− 1) ⋅ arcsin + πn. 4 10

Ответ: x =

π 2 n + (− 1) ⋅ arcsin + πn, n ∈ Z . 4 10

Замечание. Можно было бы сразу уравнение переписать: 5(sin x − cos x ) − 16(sin x − cos x ) + 3 = 0, 2

так как 1 − sin 2 x = (sin x − cos x ) . 2

 π 3) 2(1 + sin 2 x ) = tg  + x .  4 π π Решение. Обозначим x + = t , т.е. x = t − . 4 4

Тогда получаем  2  1 + sin 

π    2t −   = tg t , 2  

т.е. 2 − 2 cos 2t = 2 (1 − cos 2t ) = tg t ⇒ 2 ⋅ 2 sin 2 t =

Отсюда: а) sin t = 0, t = πk , т.е. x = −

π + πk 4

и

1 , 2 π π 1   т.е. sin 2  x +  = sin  2 x +  = cos 2 x = , 4 2 2   π π 2 x = ± + 2 πk т.е. x = ± + πk . 3 6 π π Ответ: x = − + πk , x = ± + πk , k ∈ Z . 4 6 б) 4 sin t cos t = 1, sin 2t =

Решить уравнения.

sin t cos t

1) sin 2 x + 12 = 12(sin x − cos x ); 2) 3) 4)

1 (sin 4 x + cos 4 x ) = sin 2 x cos 2 x + sin x cos x; 2 1 + cos 3 x = 2 cos 2 3 x; 2 − cos 3 x 3

2 − tg x + 3 7 + tg x = 3;

 π 3x   3π x  − . 5) sin  +  = 2 sin   10 2   10 2 

2.8 Введение вспомогательного угла

Суть метода в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента ϕ, а затем производят тригонометрические преобразования. Поясним на примерах.

1)

3 sin x − cos x = 1.

Решение. Данное уравнение можно решить многими способами: свести к однородному; применить универсальную подстановку; сгруппировать и разложить на множители и т.д. Решим уравнение следующим образом: введем угол ϕ такой, что tgϕ = 3 , т.е. ϕ = 60°. Тогда получаем: tg60° ⋅ sin x − cos x = 1, т.е. sin 60° ⋅ sin x − cos x ⋅ cos 60° = cos 60°, 1 т.е. cos x ⋅ cos 60° − sin x ⋅ sin 60° = − , 2 1 т.е. cos ( x + 60° ) = − ⇒ x + 60° = ±120° + 360° k , 2  x = −180° + 360°k , или   x = 60° + 360° k .

Ответ: x = −60° ± 120° + 360°k , k ∈ Z . 2) 8 cos x + 15 sin x = 17.

Решение. Разделим обе части уравнения на 15: 17 8 cos x + sin x = . 15 15

Введем угол ϕ такой, что tgϕ =

8 8 , т.е. ϕ = arctg ≈ 28°. 15 15

Тогда получаем tg ϕ cos x + sin x =

17 , 15

т.е. sin ϕ cos x + cos ϕ sin x =

17 cos ϕ, 15

17 cos ϕ, 15 17 17 1 17 1 но cos ϕ = ⋅ = ⋅ = 1. 15 15 1 + tg 2 ϕ 15 1 + 64 / 225

sin ( x + ϕ ) =

Имеем: sin ( x + ϕ ) = 1, т.е. x + ϕ =

Ответ: x = − arctg

π + 2 πn, 2

x = −ϕ +

π + 2 πn. 2

8 π + + 2 πn, n ∈ Z . 15 2

Решить уравнения. 1) 2 sin 17 x + 3 cos 5 x + sin 5 x = 0; 2)

3 sin 2 x + cos 2 x − 2 = 0;

3) sin 5 x − cos 2 x = 3 (cos 5 x + sin 2 x ); 4) 4 sin 2 x − 3 cos 2 x = 5; 5)

1 3 3 sin x + cos x = . 2 2 2

2.9 Искусство

Ищем решение данного нестандартного тригонометрического уравнения путем рассуждений, путем сведения к системе уравнений и т.д. 1 Примеры. 1) 2 cos x = cos x + . cos x Решение. Левая часть уравнения не больше 2, т.е. 2 cos x ≤ 2, так как cos x ≤ 1. Равенство возможно лишь при условии, что cos x = 1. Правая часть должна быть положительна, так как 2 cos x > 0, а значит, cos x > 0. Кроме того, из этого 1 следует, что cos x + ≥ 2. Равенство возможно лишь при условии, что cos x = 1. cos x Таким образом, исходное уравнение имеет решение только при условии, что cos x = 1. (тогда 1 21 = 1 + ). Отсюда следует 1 Ответ: x = 2πk , k ∈ Z . 2) sin 2 5 x + 1 = cos 2 3x. Решение. Перепишем уравнение в виде sin 2 5 x + 1 − cos 2 3 x = 0, т.е. sin 2 5 x + sin 2 3 x = 0. Но это возможно лишь при условии, что sin 5 x = 0 и sin 3 x = 0, т.е. данное уравнение равносильно системе уравπk , k ∈Z, 5 отсюда (1) πn , n∈ Z. 3 πk πn Приравнивая правые части этих равенств, получаем уравнение = , т.е. 3k = 5n, где k и n – 5 3 k = 5l , целые числа. Это уравнение имеет решение  где l ∈ Z . . Подставляя значения k и n в равенства n = 3l ,

sin 5 x = 0, нений  sin 3 x = 0,

(1), получаем x = πl . Ответ: x = πl , l ∈ Z . 5 3) cos 3 x + cos x = 2. 2

  x = 5 x = πk , k ∈ Z , т.е.   3 x = πn, n ∈ Z , x = 

Решение. Так как cos 3 x ≤ 1 и

cos

5 5 x ≤ 1 , то сумма cos 3 x + cos x равна 2 только в том случае, 2 2

5 2

когда cos 3 x = 1 и cos x = 1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений   x =  x = 

cos 3 x = 1, 3 x = 2 πk ,   т.е.  5 т.е. 5  cos x 1 , x = 2 πn, =   2 2

2 πk , 3 4 πn. 5

Отсюда получаем 2 πk = 4 πn, т.е. 5k = 6n, где k и n – целые числа. Это уравнение имеет реше3

5

 k = 6l , где l ∈ Z . Следовательно, исходное уравнение имеет решение x = 4 πl . n = 5l ,

ние 

Ответ: x = 4 πl , l ∈ Z . 1   2 4)  cos 2 x +  ⋅ (1 + tg 2 y ) ⋅ (3 + sin 3 z ) = 4. 2 cos x  

Решение. Очевидно, что cos 2 x +

1 ≥ 2, 1 + tg 2 2 y ≥ 1, 3 + sin 3 z ≥ 2. cos 2 x

Перемножив почленно эти неравенства, получаем 1   2 2  cos x +  ⋅ (1 + tg 2 y ) ⋅ (3 + sin 3 z ) ≥ 4. cos 2 x  

Левая часть равна правой лишь при условии, что cos 2 x = 1 и tg 2 2 y = 0 и sin 3 z = −1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений cos 2 x = 1,  2  tg 2 y = 0, sin 3 z = −1, 

отсюда

 x = 0,   y = 0,  o  z = −30 .

ЗАДАЧИ

Доказать тождества: π 4

π 4

1) sec  + α  ⋅ sec  − α  = 2 sec 2α .   sin ( 2α + β) sin β . 2) − 2 cos (α + β) = sin α sin α α α 3) 2 cos ec 2α + ctg 2α = ctg − tg . 2 2 cos α + sin α = tg ( 45 o + α ) . 4) cos α − sin α

cos α + sin α = tg ( 45 o + α ) . cos α − sin α π π sin 2α . 6) sin 2  + α  − sin 2  − α  = 8  8  2

5)

7)

8)

2 cos 2 − 1 =1. π   2 π 2 tg  − α  ⋅ sin  + α  4  4  π  1 − sin 2α tg 2  − α  = . 4  1 + sin 2α

9)

cos 2α 1 = sin 2 2α . 2 2 ctg α − tg α 4

10)

sin α + cos ( 2β − α ) π  = ctg  − β  . cos α − sin ( 2β − α ) 4 

11)

cos 2α 1 = sin 2 2α . 2 2 ctg α − tg α 4

12)

sin α + cos ( 2β − α ) π  = ctg  − β  . cos α − sin ( 2β − α ) 4 

13)

1 + sin 2α 1 + tg α π  = = tg  + α  . cos 2α 1 − tg α 4 

14)

sin α + cos ( 2β − α ) 1 + sin 2β = . cos α − sin ( 2β − α ) cos 2β

15) tg 2 α − tg 2 β = sin (α + β) ⋅ sin (α − β) ⋅ sec 2 α ⋅ sec 2 β . 2(sin 2α + 2 cos 2 α − 1) = cosec α . cos α − sin α − cos 3α + sin α π α 1 − sin α = 1. 17) tg  +  ⋅  4 2  cos α

16)

2(sin 2α + 2 cos 2 α − 1) = cosec α . cos α − sin α − cos 3α + sin α sin α − sin 3α + sin 5α = tg 3α . 19) cos α − cos 3α + cos 5α

18)

α −β α−γ β−γ sin cos . 2 2 2 21) 2 (sin 6 α + cos 6 α ) − 3 (sin 4 α + cos 4 α ) + 1 = 0 .

20) sin(α − β) + sin(α − γ ) + sin(β − γ ) = 4 cos 22) sin α + sin  α + 

π 4

4π  2π   =0.  + sin  α + 3  3   π 6

23) sin 2  + α  − sin 2  − α  − sin 



π π  cos  + 2α  = sin 2α . 12  12 

24) cos β + cos (α + β) − 2 cos α cos β cos (α + β) = sin 2 α . 2

2

Решить уравнения: 1) sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = 0 . 2) sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x . 3) cos 2 x − cos 8 x + cos 6 x = 1. 4) cos x − cos 2 x = sin 3 x. 5) sin 5 x + sin x + 2 sin 2 x = 1. 6) cos 4 x + 2 cos 2 x = 0.

1 sin x. 8) sin 3 x = cos 2 x. x x 5 9) sin 4 + cos 4 = . 3 3 8 2 2 10) 3tg x − sec x = 1.

7)

sin x + cos x =

11) sin 4 x + cos 4 x = cos 4 x. 12) 3 cos 2 x − sin 2 x − sin 2 x = 0. 13) 6 sin 2 x + 3 sin x cos x − 5 cos 2 x = 2. 3 2

5 2

14) sin 2 x + cos 2 x = sin x cos x. 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27)

28)

29) 30)

sin x + 3 cos x = 1. sin x + cos x = 1. sin x + cos x = 1 + sin 2 x. sin 3 x + cos 3 x = 2 . sin x ⋅ sin 7 x = sin 3 x ⋅ sin 5 x. cos x ⋅ sin 7 x = cos 3 x ⋅ sin 5 x. 1 sin x ⋅ sin 2 x ⋅ sin 3 x = sin 4 x. 4 2 2 cos x + 4 cos x = 3 sin 2 x. 5 cos 2 x = 4 sin x. π  tg  + x  + tg x − 2 = 0. 4  x 8 tg 2 = 1 + sec x. 2 sin x − cos x − 4 cos 2 x sin x = 4 sin 3 x. sin x ctg x + = 2. 1 + cos x x 1 − tg 2 = 2 sin x . x 2 1 − ctg 2  3π  sin( π − x ) + ctg  + x  = sec( − x ) − cos ( 2 π − x ). 2   π  sec 2 x − tg 2 x + ctg  + x  = cos 2 x sec 2 x. 2  

31) sin 3 x (1 + ctg x ) + cos 3 x (1 + tg x ) = cos 2 x. 32) tg x + tg 2 x = tg 3 x. π 4

33) 1 + sin x + cos x = 2 cos  − . x 2

π 2

34) 1 − cos 2 2 x = sin 3 x − cos  + x . π 4



π 4

35) (sin x + cos x ) 2 = 2 sin  + x  ⋅ sin  − x .  36) (1 − tg x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tg x.

37) (1 + sin 2 x ) (cos x − sin x ) = 1 − 2 sin 2 x.



38) sin 3 x = 4 sin x cos 2 x. π π π π 39) tg  x +  + tg  x −  = 2 tg  x −  tg  x +  tg x. 4 4    40) tg ( x + α ) + tg ( x − α ) = 2ctg x.

4



Вычислить:

1)

1  3  sin  arctg  −   . 2  4  

2)

1  2 2   . sin  arcsin  − 3     2

3)

1 ctg  arccos 2

4) 5) 6)

 4   −  .  7 

 3 3 1 . tg  5arctg − arcsin 2  3 4  1  sin  3arctg 3 + 2arcos  . 2   3  1  + arccos  −   . cos 3 arcsin 2  2  

Доказать тождества:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

arctg(3 + 2 2 ) − arctg

2 π = . 2 4

2 6 +1 π − arccos = . 3 6 2 3 4 5 16 π arcsin + arcsin + arcsin = . 5 13 65 2 1 1    13  arccos + arccos  −  = arccos  −  . 2  7  14  1 1 32 2arctg + arctg = arctg . 5 4 43 1 π 1 1 1 arctg + arctg + arctg + arctg = . 8 4 7 5 3 arccos

Решите уравнения: 1) 4arctg ( x 2 − 3 x − 3) − π = 0.

2)

6 arcsin ( x 2 − 6 x + 8,5) = π.

3)

arctg ( x + 2) − arctg ( x + 1) =

4) 5) 6) 7)

π . 4

1 π − arctg x = . 2 4 1 2 arcsin − arcsin 1 − x = arcsin . 3 3 x arcsin 3 x = arccos 4 x. 10 x arcsin x = arcsin . 13 2arctg

4

Список литературы 1 Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа. М.: Просвещение, 1998. 2 Лидский В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.Н., Шабу-нин М.Н., Федосова Б.В. Задачи по элементарной математике. М.: Наука, 1973. 3 Дерофеева Г.В. Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. М.: Наука, 1973. 4 Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике. М.: Наука, 1983.