2-сигнализаторы конечных простых групп

Алгебра и логика, 42, N 5 (2003), 594—623

УДК 512.542

2-СИГНАЛИЗАТОРЫ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП∗)

А. С. КОНДРАТЬЕВ, В. Д. МАЗУРОВ Введение

Понятие сигнализатора, которое ввел Дж. Томпсон [1], играет важную роль в теории конечных групп, в частности, в методе сигнализаторного функтора. Если G — конечная группа, p — простое число, и P — некоторая p-подгруппа из G, то любая P -инвариантная p′ -подгруппа из G называется P -сигнализатором в G. Особый интерес вызывают 2сигнализаторы, т. е. случай, когда p = 2, а P — силовская 2-подгруппа из G. Так, второй автор [2] опроверг гипотезу Дж. Томпсона о коммутативности 2-сигнализаторов в конечных простых группах (см. [1]), построив примеры конечных простых групп с нильпотентными 2-сигнализаторами любой ступени нильпотентности и даже с ненильпотентными 2-сигнализаторами. В связи с объявлением о завершении классификации конечных простых групп, Д. Горенстейн [3, раздел 4.15.H] поставил вопрос об изучении свойств 2-сигнализаторов в известных конечных простых группах. Заметим, что упомянутые примеры из [2] дают также отрицательное решение специальных вопросов (a) и (b) о 2-сигнализаторах, сформулированных в [3, раздел 4.15.H]. ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проекты N 02-01-00495 и N 02-01-39005, Министерства образования РФ, грант N E00-1.0-77, программы ”Университеты России“, грант УР.04.01.031, а также Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-2069.2003.1. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

2-сигнализаторы конечных простых групп

595

Хорошо известна ТЕОРЕМА 1. 2-сигнализаторы в конечных простых группах лиева типа над полем четной характеристики тривиальны. Ее доказательство для полноты картины мы приведем ниже в § 2. З. Янко и Дж. Томпсон [4] получили описание 2-сигнализаторов в группах Ри 2 G2 (q). В теореме 3(б) это описание дается в уточненном виде. ЗАМЕЧАНИЕ. Нормализатор максимального 2-сигнализатора в группе 2 G2 (q) является в ней максимальной подгруппой нечетного индекса [5]. Однако в [6, 7] примитивное подстановочное представление нечетной степени группы 2 G2 (q) на смежных классах по этой подгруппе пропущено. Порядки максимальных 2-сигнализаторов в знакопеременных группах известны [3, теор. 4.255(i)]. Поскольку доказательство этого факта нигде не опубликовано, мы докажем его в § 2 в следующей слегка уточненной формулировке. ТЕОРЕМА 2. Пусть G — знакопеременная группа степени n, S — ее силовская 2-подгруппа. Тогда существует единственный максимальный S-сигнализатор F в группе G. Если n ≡ 3 (mod 4), то F — циклическая группа порядка 3, порожденная циклом длины 3; в противном случае F = 1. Основная цель данной работы состоит в определении максимальных 2-сигнализаторов в конечных спорадических простых группах и в конечных простых группах лиева типа над полем нечетной характеристики. Тем самым завершается определение максимальных 2-сигнализаторов во всех конечных простых группах. Доказываются следующие три теоремы. ТЕОРЕМА 3. Пусть G — конечная спорадическая простая группа, S — ее силовская 2-подгруппа. Тогда существует единственный максимальный S-сигнализатор F в G. Если G ∼ = M11 , то F — элементарная абелева группа порядка 9; если G ∼ = Ly, то F — группа порядка 3, порожденная элементом из класса 3A; F = 1 для всех остальных групп. ТЕОРЕМА 4. Пусть S — силовская 2-подгруппа конечной группы G, q = pa — натуральная степень нечетного простого числа p, ε — знак

596

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров

+ или − такой, что q − ε1 делится на 4. (а) Если G ∼ = Ln (q) с n = 2t1 + . . . + 2tr для некоторых r и t1 , . . . , tr , где t1 > . . . > tr > 0, то выполняются следующие утверждения: (а1) в случае, когда n = 2, а q − ε1 не равно 4 и не делится на 8, G содержит точно три максимальных S-сигнализатора. Они сопряжены в NG (S) и изоморфны циклической группе порядка (q − ε1)2′ ; (а2) во всех других случаях G содержит точно r! максимальных S-сигнализаторов Fπ , где π ∈ Sr ; подгруппа Fπ изоморфна некоторому расширению группы Pπ посредством прямого произведения [n/2] циклических групп порядка (q − ε1)2′ , max(0, [n/2] − 2) групп порядка (q − 1)2′ и циклической группы порядка ((q − 1)/(q − 1, n))2′ , где Pπ — группа всех линейных преобразований векторного пространства V размерности n над полем порядка q таких, что Pπ стабилизирует ряд подпространств 0 = V0 < V1 < . . . < Vr = V с dim(Vi /Vi−1 ) = 2tiπ и индуцирует тривиальную группу преобразований на каждом факторе Vi /Vi−1 , i = 1, . . . , r; для π, σ ∈ Sr подгруппы Fπ и Fσ сопряжены в G тогда и только тогда, когда π = σ; каждая подгруппа Fπ , π ∈ Sr , является NG (S)-инвариантной. (б) Если G ∼ = Un (q), n > 3, то G обладает единственным максимальным S-сигнализатором F , который изоморфен прямому произведению [n/2] циклических групп порядка (q − ε1)2′ , max(0, [n/2] − 2) циклических групп порядка (q + 1)2′ и циклической группы порядка ((q + 1)/(q + +1, n))2′ . (в) Если G ∼ = O2n+1 (q), то все максимальные S= S2n (q) или G ∼ сигнализаторы из G сопряжены в G и изоморфны прямому произведению n циклических групп порядка (q − ε1)2′ ; если q − ε1 равно 4 или делится на 8, то G обладает единственным максимальным S-сигнализатором. (г) Если G ∼ = O+ (q), то все максимальные S-сигнализаторы из G 2n

сопряжены в G; при четном n максимальный S-сигнализатор F группы G изоморфен прямому произведению n циклических групп порядка (q − −ε1)2′ , при нечетном — прямому произведению n − 1 циклической группы порядка (q − ε1)2′ и циклической группы порядка (q − 1)2′ ; если q − ε1 равно 4 или делится на 8, то G обладает единственным максимальным

2-сигнализаторы конечных простых групп

597

S-сигнализатором. − (q), n > 2, то все максимальные S-сигнализаторы (д) Если G ∼ = O2n из G сопряжены в G; при четном n максимальный S-сигнализатор F группы G изоморфен прямому произведению n − 2 циклических групп порядка (q − ε1)2′ и циклической группы порядка (q 2 − 1)2′ , при нечетном — прямому произведению n − 1 циклической группы порядка (q − ε1)2′ и циклической группы порядка (q + 1)2′ ; если q − ε1 равно 4 или делится на 8, то G обладает единственным максимальным S-сигнализатором. ТЕОРЕМА 5. Пусть G — конечная простая группа исключительного лиева типа над полем GF (q) нечетной характеристики p и q ≡ ε1 (mod 4), где ε = ±. Пусть S — силовская 2-подгруппа в G, и T ε — S-инвариантный максимальный тор в G, определенный ниже в § 1. (а) Если G не изоморфна группам 2 G2 (q) и E6 (q), то существует единственный максимальный S-сигнализатор в G, а именно, O(T ε ). ∼ 2 G2 (q), то существует точно семь максимальных S(б) Если G = сигнализаторов в G, которые сопряжены относительно NG (S) с циклической подгруппой O(T ε ) = O(CG (V )) порядка (q+1)/4, где V — некоторая четверная подгруппа из S. ∼ E6 (q), то S содержится ровно в двух параболических (в) Если G = максимальных подгруппах P1 и P2 из G, сопряженных относительно нетривиального графового автоморфизма группы G, оставляющего подгруппу S неподвижной, причем Pi имеет тип D5 , а Op (Pi ) — элементарная абелева группа порядка q 16 . Существует ровно два максимальных S-сигнализатора в G, а именно, Op (P1 )O(T ε ) и Op (P2 )O(T ε ). Попутно с доказательством теоремы 5 выясняется строение нормализаторов силовских 2-подгрупп в конечных простых группах исключительного лиева типа над полем нечетной характеристики, это обобщает и уточняет результат из [8, (6.3)]. ТЕОРЕМА 6. Пусть G — конечная простая группа исключительного лиева типа над полем GF (q) нечетной характеристики p, и S — силовская 2-подгруппа в G.

598

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров (а) Если G ∼ = 2 G2 (q), то CG (S) = S и NG (S) ∼ = 23 .F21 , где F21 —

группа Фробениуса порядка 21. (б) Если G не изоморфна группам 2 G2 (q) и E6± (q), то NG (S) = S. (в) Если G ∼ = E6δ (q), где δ = ±, то NG (S) = S × R, где R = = O(CG (Ω1 (Z(S)))), а R — циклическая группа порядка (q−δ1)2′ /(3, q−δ1). С помощью полученных выше результатов доказывается следующая теорема, где описываются централизаторы силовских 2-подгрупп во всех конечных простых группах. ТЕОРЕМА 7. Пусть G — конечная простая неабелева группа, S — силовская 2-подгруппа в G, и C = O(CG (S)). (а) Если G ∼ = Lδn (q), где q нечетно и n = 2t1 + . . . + 2tr для некоторых r и t1 , . . . , tr , 0 6 t1 < . . . < tr , то C = 1 при r = 1 и C = C1 × . . . . . .×Cr−1 при r > 2, где C1 , . . . , Cr−2 , Cr−1 — циклические группы порядков (q − δ1)2′ , . . . , (q − δ1)2′ , ((q − δ1)/(q − δ1, n))2′ соответственно. (б) Если G ∼ = E6δ (q), где q нечетно, то C — циклическая группа порядка (q − δ1)2′ /(3, q − δ1). (в) Во всех остальных случаях выполняется C = 1.

§ 1. Обозначения и вспомогательные результаты Используемые обозначения и терминология в основном стандартны, их можно найти в [9—13]. Для множества X через S(X) обозначается симметрическая группа на X. Если A, B — группы, и n — натуральное число, то через A.B (соответственно A : B) обозначается расширение (расщепляемое расширение) группы A посредством группы B, через A∗B — некоторое их нетривиальное центральное произведение, через An — прямое произведение n изоморфных A групп, через E(A) — произведение всех квазипростых субнормальных подгрупп (компонент) в A. Если n — натуральное, а r — простое число, то через nr и nr′ обозначаются r- и r′ -части числа n соответственно, кроме того, через n и rn — циклическая группа порядка n и элементарная абелева r-группа порядка rn . Пусть δ и ε — это переменные, принимающие значения + или −. Через Lδn (q), SLδn (q), GLδn (q),

2-сигнализаторы конечных простых групп

599

Dnδ (q) и E6δ (q) обозначаются группы Ln (q), SLn (q), GLn (q), Dn (q) и E6 (q), если значение δ равно +, и Un (q), SUn (q), GUn (q), 2 Dn (q) и 2 E6 (q), если оно равно −, соответственно. Пусть до конца параграфа G = G(q) — конечная простая группа лиева типа над полем GF (q) нечетной характеристики p и q ≡ ε1 (mod 4). Пусть S — фиксированная силовская 2-подгруппа в G. Опишем некоторые подгруппы из G, содержащие S. В G найдется максимальный тор T ε такой, что S ≤ NG (T ε ). Этот тор определяется следующим образом. Пусть G — простая присоединенная линейная алгебраическая группа над алгебраическим замыканием поля GF (q), соответствующая G, т. е. существует сюръективный эндоморфизм ′

σ группы G такой, что Op (Gσ ) = G. Далее через G∗ обозначается группа Gσ , порожденная группой G и всеми ее диагональными автоморфизмами. Пусть T — σ-инвариантный расщепимый максимальный тор в G, т. е. T содержится в σ-инвариантной борелевской подгруппе из G. Тогда W = = NG (T )/T есть по определению группа Вейля для G. Пусть w0 — самый длинный элемент из W . Если ε принимает значение +, то положим T + = = T σ ∩ G (тор T + определяется так же и в случае G = 2 G2 (q), где q = = 32n+1 > 3, хотя здесь всегда ε равно −). Если ε принимает значение −, то положим T − = (w0 T )σ ∩ G, где

w0 T

— σ-инвариантный максимальный

тор в G, полученный из тора T скручиванием посредством элемента w0 (см. [13, E.II.1.3]). Порядки максимальных торов T ε для исключительных групп G и G = L2 (q) найдены в [13, статьи E и G] и приводятся в табл. 1 (см. также [6, табл. 3]). Положим N ε = NG (T ε ) и W ε = N ε /T ε . Используя метод доказательства из [13, E.II.1.8], можно показать, что W − = W + = W для всех исключительных групп G, кроме G = 2 G2 (q), где W + = W − ∼ = 6, и G = E ε (q), 6

где

Wε

=W и

W −ε

∼ = W (F4 ).

Рассмотрим необходимые нам понятия и результаты из [8, 14], связанные с фундаментальными подгруппами из G. Пусть G отлична от групп L2 (q) и 2 G2 (q), обозначим через U длинную корневую подгруппу в G, через U − — противоположную ей подгруппу,

600

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров Таблица 1 G

|T + |

|T − |

L2 (q)

(q − 1)/2

(q + 1)/2

q−1

q+1

(q − 1)2

(q + 1)2

(q − 1)(q 3 − 1)

(q + 1)(q 3 + 1)

F4 (q)

(q − 1)4

(q + 1)4

E6 (q)

(q − 1)6 /(3, q − 1)

(q 2 − 1)2 (q + 1)2 /(3, q − 1)

(q 2 − 1)2 (q − 1)2 /(3, q + 1)

(q + 1)6 /(3, q + 1)

E7 (q)

(q − 1)7 /2

(q + 1)7 /2

E8 (q)

(q − 1)8

(q + 1)8

2G

2 (q),

q = 32n+1 > 3 G2 (q) 3D

2E

4 (q)

6 (q)

и K = hU, U − i. Тогда K изоморфна SL2 (q). Пусть Ω(G) = {K g | g ∈ G}, кроме случая, когда G изоморфна G2 (q) или 3 D4 (q), где Ω(G) = {K g , K0g | g ∈ G}, K0 порождается короткой корневой подгруппой из G и противоположной к ней, поэтому K0 ∼ = SL2 (q) при G ∼ = G2 (q) и K0 ∼ = SL2 (q 3 ) при G ∼ = 3 D4 (q). Множество Ω = Ω(G) называют множеством фундаментальных подгрупп в G. Для K ∈ Ω обозначим через z(K) единственную инволюцию из K (такие инволюции называются классическими в G) и положим V (K) = {J ∈ Ω | z(K) = z(J)}. Тогда V (K) = {K}, кроме случая, когда G изоморфна G2 (q), 3 D4 (q) или ортогональной группе (а значит, либо |V (K)| = 2, либо G ∼ = P Ω+ 8 (q) и |V (K)| = 4). Пусть ∆ = FunG (S) = {K ∈ Ω | K ∩ S ∈ Syl2 (K)}. Тогда ∆ — максимальное множество попарно коммутирующих фундаментальных подгрупп из G. Пусть k = |∆|, и ρ : NG (∆) → S(∆) — подстановочное представление степени k группы NG (∆), соответствующее ее действию на ∆ сопряжением. Возможные значения числа k и группы подстановок ρ(G) = ρ(NG (∆)) определены в [8, теор. 2] и приводятся в табл. 2. Заметим, что S ≤ NG (∆). Пусть ∆ = {X1 , . . . , Xk }, hti i = Z(Xi ) и Si = S ∩ Xi (это силовская 2-подгруппа в Xi по определению ∆). Тогда

2-сигнализаторы конечных простых групп

601

Таблица 2 G

k

ρ(G)

Ln (q)

[n/2]

Sk

P Sp2n (q)

n

Sk

Un (q)

[n/2]

Sk

P Ω+ 2n (q)

2[n/2]

2(k/2)+1−(2,n) .Sk/2

P Ω2n+1 (q)

2[n/2]

2k/2 .Sk/2

P Ω− 2n (q)

2[(n − 1)/2]

2k/2 .Sk/2

G2 (q)

2

1

2

1

F4 (q)

4

S4

E6 (q)

4

S4

2E

6 (q)

4

S4

E7 (q)

7

E8 (q)

8

L3 (2) AGL3 (2) ∼ = 23 .L3 (2)

3D

4 (q)

Z = ht1 , . . . , tk i — центр группы h∆i, и S действует сопряжением на множестве {S1 , . . . , Sk }. Из [6, табл. 2] видно, что |Z| равен 2, 2, 8, 8, 8, 16 для групп G типа G2 , 3 D4 , F4 , E6± , E7 , E8 соответственно. Кроме того, Xi — единственный элемент из Ω, содержащий Si . Будет использоваться ЛЕММА 1.1. Пусть Y — элементарная абелева r-подгруппа в G, нормализуемая некоторым элементом f ∈ K порядка 4, где K ∈ Ω и r — простое число, отличное от 2 и p. Тогда выполняется одно из следующих утверждений: (1) инволюция f 2 централизует подгруппу Y ; ∼ L± (q), и полный прообраз подгруппы Y в SL± (q) (2) |Y | = 9, G = 3 3 есть экстраспециальная группа порядка 27. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО см. в [7, лемма 3.3]. Из леммы 1.1 вытекает ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Пусть G не изоморфна группам L2 (q) и

602 2G

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров

2 (q).

Тогда каждый абелев S-сигнализатор в G, порядок которого не

делится на p, централизует Z. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F — контрпример наименьшего порядка. Тогда F — элементарная абелева r-группа для некоторого простого числа r, отличного от 2 и p. По лемме 1.1, |F | = 9, G ∼ = Lδ (q), где δ = ± и 3

e∼ q ≡ δ1 (mod 3), полный прообраз Fe подгруппы F в группе G = SLδ3 (q) есть e экстраспециальная группа порядка 27, причем Fe является S-инвариантной e Тогда k = 1, подгруппой для некоторой силовской 2-подгруппы Se из G. e Подгруппа Se изоморфна полудиэд|Z| = 2 и, следовательно, Ze ≤ Z(S).

ральной группе или сплетению циклической 2-группы порядка, большего 2, c группой порядка 2. Поэтому она имеет циклический центр. Таким образом, группа Se действует точно на Fe, централизуя Z(Fe) . Это противоречит тому, что CAut(F ) (Z(Fe)) ∼ = 32 .Sp2 (3) (см. [10, (23.10)]). Предложение доказано. ЛЕММА 1.3. Пусть G изоморфна F4 (q) или E6δ (q), где δ = ±, и S — силовская 2-подгруппа в G. (а) Z(S) — циклическая подгруппа, и централизатор CG∗ (t) в G∗ инволюции t из Z(S) есть максимальная подгруппа в G∗ , изоморфная Spin (q) при G ∼ = E δ (q). = F4 (q) и (Spinδ (q) ∗ (q − δ1)).(4, q − δ1) при G ∼ 9

10

6

(б) NG∗ (∆) содержится в максимальной подгруппе

H∗

группы G∗

со следующими свойствами: (б1) H ∗ = NG∗ (V ), где V = Z = {t1 , t2 , t3 , t4 } — четверная подгруппа; ∗ (б2) X = E(H ∗ ) = hK H i ∼ = Spin+ (q) для K ∈ ∆; (б3) фактор-группа при G ∼ = E6δ (q);

8 ∗ H /XCH ∗ (X)

изоморфна S3 при G ∼ = F4 (q) и S4

(б4) CH ∗ (X) = V при G ∼ = F4 (q) и CH ∗ (X) ∼ = (q − δ1)2 при G ∼ = E6δ (q); (б5) O(H ∗ ) = CO(H ∗ ) (S) × [O(H ∗ ), S], где CO(H ∗ ) (S) = O(CG∗ (t)) — циклическая группа порядка (q − δ1)/(q − δ1)2 (3, q − δ1) (очевидно, t ∈ V ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (а) Следует из [15, утвержд. 4.20, 4.25 и 4.26] и [16, табл. 5.1]. (б) Существование подгруппы H ∗ и справедливость ее свойств (б1)– (б4) следуют из [8, теор. 6] и вышеупомянутой таблицы. Проверим свой-

2-сигнализаторы конечных простых групп

603

ство (б5). Достаточно рассмотреть случай G ∼ = E6δ (q). Положим R = = O(CG∗ (t)). По (а), R — циклическая подгруппа порядка (q−δ1)/(q−δ1)2 . ∗ (t))H, где Из [15, док-ва утвержд. 4.25, 4.26] видно, что CG∗ (t) = E(CG

H — подгруппа Картана в G∗ , содержащая t. Теперь [17, (2.9)] влечет R ≤ Z(CG∗ (t)). Ясно, что H ∗ /CH ∗ (V ) ∼ = S3 , поэтому R ≤ O(H ∗ ) и SCH ∗ (V ) = CH ∗ (t) = NH ∗ (R1 ) для всех нетривиальных подгрупп R1 из R. Заметим, что CH ∗ (V ) = CH ∗ (O(H ∗ )), если O(H ∗ ) 6= 1. Поскольку CS (V ) — силовская 2-подгруппа в CH ∗ (V ), нормализатор NH ∗ (CS (V )) накрывает фактор-группу H ∗ /CH ∗ (V ), изоморфную S3 . Поэтому в NH ∗ (CS (V )) \ S существует 2-элемент g такой, что g 2 ∈ CS (V ). Этот элемент нормализует подгруппу R∩Rg . С другой стороны, H ∗ = hg, SCH ∗ (V )i, поэтому подгруппа R ∩ Rg нормальна в H ∗ , а следовательно, R ∩ Rg = 1 и O(H ∗ ) = R × Rg . Поскольку силовские 2-подгруппы S и hgiCS (V ) сопряжены в H ∗ , получаем требуемое. Лемма доказана.

§ 2. Максимальные 2-сигнализаторы в конечных группах лиева типа четной характеристики, в знакопеременных и спорадических группах ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1. Пусть G — конечная простая группа лиева типа над полем четной характеристики, S — силовская 2-подгруппа в G, и F — S-сигнализатор в G. По [18, лемма (1.6)] подгруппа F S содержится в некоторой параболической максимальной подгруппе P из G. Из теоремы Бореля–Титса [19, 3.12] в качестве следствия (см. [20, (13-4)]) получается, что CG (O2 (P )) ≤ O2 (P ). Поскольку F централизует O2 (P ), то F = 1. Теорема 1 доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2. Пусть X = {1, 2, . . . , n}, Sn = = S(X), и An — соответствующая знакопеременная группа. Если H ≤ Sn , то положим H 0 = H ∩ An . При Y ⊂ X отождествляем S(Y ) с поточечным стабилизатором подмножества X \ Y в S(X). Если Y — четной длины и равно {α1 , β1 , . . . , αm , βm }, то через C(Y ) обозначается централизатор в S(Y ) инволюции t(Y ) = (α1 , β1 ) . . . (αm , βm ). Этот централизатор изомор-

604

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров

фен группе 2m .Sm с естественным действием Sm на минимальном множестве порождающих элементов группы 2m . Заметим, что C(Y ) содержит некоторую силовскую 2-подгруппу из S(Y ). Поскольку t(Y ) и C(Y ) зависят от упорядочения элементов подмножества Y , зафиксируем это упорядочение. Пусть n = 2s1 + . . . + 2sr + a, где s1 , . . . , sr — натуральные числа, s1 > > . . . > sr > 2 и a 6 3. Пусть X = {1, 2, . . . , n} = ∆0 ∪ . . . ∪ ∆r , где |∆0 | = a, |∆i | = 2si для i > 0 и ∆1 = {1, 2, 3, . . . , 2s1 }. Очевидно, что подгруппа H = (S(∆0 ) × . . . × S(∆r ))0 содержит силовскую 2-подгруппу S из An . Достаточно доказать, что для некоторой такой S каждый максимальный S-сигнализатор в G совпадает с S(∆0 )0 . Докажем это индукцией по n. Для n 6 7 утверждение справедливо в силу [9]. Пусть далее n > 8. Тогда s1 > 3. Предположим, что r = 1. Положим Σ1 = {1, 2, . . . , 2s1 −1 }, Σ2 = = {2s1 −1 + 1, 2s1 −1 + 2, . . . , 2s1 }, t1 = t(∆1 ), t2 = t(Σ1 ), t3 = t1 t2 = t(Σ2 ). Очевидно, что CG (t1 ) = (S(∆0 ) × C(∆1 ))0 , CG (t2 ) = (S(∆0 ∪ Σ1 ) × C(Σ2 ))0 , CG (t3 ) = (S(∆0 ∪ Σ2 ) × C(Σ1 ))0 и CG (ht2 , t3 i) = (S(∆0 ) × C(Σ1 ) × C(Σ2 ))0 содержит 2-подгруппу T , которая является силовской 2-подгруппой в CG (t2 ) и CG (t3 ). Кроме того, T — подгруппа индекса 2 в некоторой силовской 2-подгруппе S из CG (t1 ). Пусть F — некоторый максимальный S-сигнализатор в G. Тогда CS (ti ) является 2-сигнализатором в CG (ti ). По индукции CS (ti ) = S(∆0 )0 . Поскольку F = hCF (ti ) | i = 1, 2, 3i, то F = S(∆0 )0 . Пусть теперь r > 1. Положим ∆2 = {α1 , . . . , α2s2 }, ti = t(∆i ), i = = 1, 2, t3 = t1 t2 . Очевидно, что CG (t1 ) = (S(∆0 ∪ ∆2 ∪ . . . ∪ ∆r ) × C(∆1 ))0 , CG (t2 ) = (S(∆0 ∪ ∆1 ∪ ∆3 . . . ∪ ∆r ) × C(∆2 ))0 и CG (t3 ) = (S(∆0 ∪ ∆3 ∪ . . . ∪ ∪∆r ) × C(∆1 ∪ ∆2 ))0 . Если S — силовская 2-подгруппа в CG (t3 ), то она будет такой и в G. Далее рассуждаем как и выше. Теорема 2 доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 3. Обозначим через M максимальную подгруппу из G, содержащую F S. Предположим, что F 6= 1. Поскольку O2 (M ) ≤ S, то [F, O2 (M )] ≤ F ∩ O2 (M ) = 1. В частности, CG (O2 (M )) 6≤ 6≤ O2 (M ). По [21] пара (G, M ) содержится в следующем списке (обозначе-

2-сигнализаторы конечных простых групп

605

ния как в [9]): G = M c L, M = L3 (4).2;

1) G = M11 ,

M = A6 .2;

9)

2) G = M11 ,

M = 32 : Q8 .2;

10) G = O′ N,

M = 4.L3 (4).2;

3) G = M23 ,

M = M22 ;

11) G = Co3 ,

M = 2.S6 (2);

4) G = M23 ,

M = L3 (4).2;

12) G = Ly,

M = 3.M c L : 2;

5) G = J1 ,

M = 2 × L2 (4);

13) G = Ly,

M = 2.A11 ;

6) G = M c L, M = U4 (3);

14) G = F i23 ,

M = 2.F i22 ;

7) G = M c L, M = M22 ;

15) G = F i23 ,

M = 22 .U6 (2).2.

8) G = M c L, M = 2.L4 (2); Пусть G не изоморфна группам M11 и Ly. Обозначим через L минимальную нормальную подгруппу группы M = M/O2 (M ). Из указанного списка видно, что группа L проста и M /L является 2-группой. Поэтому L содержит нетривиальный 2-сигнализатор. По замечанию из введения L не может быть группой лиева типа над полем характеристики два. По индукции можно считать, что L не является и спорадической. Это исключает из нашего списка все пары, кроме пар с номерами 1, 2, 6, 12, 13. Рассмотрим каждую из них. По теореме 1 все 2-сигнализаторы в A6 тривиальны, поэто∼ M11 содержится в M = ∼ 32 : Q8 .2. му максимальный 2-сигнализатор из G = Все такие подгруппы сопряжены в G, и по [21] любая данная силовская 2-подгруппа из G содержится в единственной подгруппе, изоморфной M . Это доказывает теорему для G ∼ = M11 . По [9], 2-сигнализаторы группы U4 (3) тривиальны, это же верно и в M c L. Осталось рассмотреть случаи: G изоморфна Ly, а M изоморфна 3.M c L : 2 или 2.A11 . Так как 2-сигнализаторы группы M c L тривиальны и (по теор. 1) порядок любого максимального 2-сигнализатора группы A11 равен 3, то и порядок любого максимального 2-сигнализатора группы Ly равен 3. По [9] только нормализатор N группы порядка 3, порoжденной элементом из класса 3A, содержит силовскую 2-подгруппу из Ly, а по [21] любая данная силовская 2-подгруппа из Ly содержится в единственной подгруппе, сопряженной с N . Теорема 3 доказана.

606

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров § 3. Максимальные 2-сигнализаторы в конечных классических группах нечетной характеристики

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 4. Пусть q = pf обозначает натуральe — ную степень нечетного простого числа p, q ≡ ε1 (mod 4), где ε = ±; G одна из классических групп GLn (q), GUn (q), Spn (q), GOnδ (q), где δ — пустой символ при нечетном n и δ = ± при четном n; V — ассоциированное векторное пространство над конечным полем характеристики p, снабженe 6= GLn (q)) соответствующей формой, причем G e можно отожное (при G дествить с одной из групп GL(V ), GU (V ), Sp(V ), GOδ (V ) при выборе подходящей базы в V . Выберем в V семейство S подпространств Vi , i = 1, . . . , m = [n/2] со следующими свойствами: e= (а) Vi невырождено при G 6 GL(V ); (б) dim Vi = 2; e = GOδ (V ), то Vi — типа ε при i < m, Vm — типа εm−1 δ (в) если G при четном n, и Vm — типа ε при нечетном n; e = GL(V )) под(г) V — ортогональная сумма (прямая сумма при G пространств V1 , . . . , Vm и некоторого пространства Vm+1 размерности 1 или 0. Семейство S называется стандартным семейством подпространств пространства V . То, что оно существует, легко следует, например, из [22]. Будем отождествлять GL(Vi ) с подгруппой из GL(V ), состоящей из всех преобразований, которые оставляют инвариантным каждое подпространство Vj и действуют тривиально на Vj 6= Vi , i, j = 1, . . . , m + 1. 3.1. 2-сигнализаторы в GLδ (V ). В этом разделе предполагается, e = GLδ (V ). Пусть Se — силовская 2-подгруппа в G, e S = Se ∩ SL(V ). что G Тогда S — силовская 2-подгруппа в SLδ (V ), где через SLδ (V ) обозначается SL(V ), если значение δ равно +, и SU (V ), если оно равно −. Случай n = 1 теоремы тривиален. Пусть n > 1. ЛЕММА 3.1.1. Если n = 2m , то S действует на V неприводимо.

2-сигнализаторы конечных простых групп

607

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V0 — собственное S-допустимое подпространство пространства V , u1 , . . . , ur — его база, ur+1 , . . . , ur — дополe переводящий ui в ui для нение этой базы до базы V , a — элемент из G, каждого i > 1 и u1 в λu1 , где λ — примитивный корень степени q − δ1 из 1. Тогда V0 является допустимым относительно подгруппы ha, Si, котоe По [22], T рая, очевидно, содержит силовскую 2-подгруппу T группы G. неприводима, поэтому V0 = V , т. е. S также неприводима. Случай n = 2 теоремы 4 рассмотрен в следующей лемме. ЛЕММА 3.1.2. Пусть G ∼ = L2 (q), где q = pf ≡ ε1 (mod 4), p — простое число, ε = ±, S и S ∗ — силовские 2-подгруппы в G и G∗ = P GL2 (q) соответственно. (а) Максимальные S-сигнализаторы в G сопряжены относительно NG (S) с циклической подгруппой O(CG (z)) порядка (q − ε1)/(q − ε1)2 , где z — некоторая инволюция из Z(S). (б) Число максимальных S-сигнализаторов в G равно 1 при q ≡ ≡ ±1 (mod 8) или (q − ε1) = (q − ε1)2 , и 3 в противном случае. (в) Циклическая подгруппа индекса 2 в диэдральной группе CG (z) совпадает с максимальным тором T ε порядка (q − ε1)/2 группы G. (г) В группе G∗ ∼ = P GL2 (q) существует единственный максимальный S ∗ -сигнализатор, а именно, O(CG (z)), где z — (единственная) инволюция из Z(S ∗ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F — нетривиальный 2-сигнализатор в G. По [6], F — нетривиальный 2-сигнализатор в максимальной подгруппе M нечетного индекса в G, изоморфной Dq−ε1 или L2 (q0 ).(2, b), где q = q0b , b — простое число. Индукцией по f покажем, что F — циклическая подгруппа порядка, делящего q − ε1. Если f = 1, то M ∼ = Dq−ε1 , и утверждение верно. Пусть f > 1 и для всех показателей, меньших f , утверждение верно. Можно считать, что F — нетривиальный 2-сигнализатор в L2 (q0 ).(2, b), а значит, и в L2 (q0 ). По предположению индукции F — циклическая группа порядка, делящего q0 − ε0 , где q0 ≡ ε0 (mod 4), ε0 = ±1. Если b = 2, то q − ε1 = = q − 1 = (q0 − ε0 )(q0 + ε0 ), и утверждение верно. Пусть b > 2, тогда

608

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров

q = q0b ≡ εb0 (mod 4) ≡ ε0 (mod 4), т. е. ε0 = ε1 и q0 − ε1 делит q − ε1. Утверждение доказано. Из описания классов сопряженных элементов в G (см. [23]) получаем, что CG (F ) — циклическая группа порядка (q − ε1)/2. Поскольку S нормализует F , то нормализатор NG (F ) изоморфен Dq−ε1 и, следовательно, совпадает с CG (z) для некоторой инволюции из Z(S). Если диэдральная подгруппа S неабелева, то максимальный S-сигнализатор единствен; в противном случае все три инволюции из S сопряжены в NG (S). Отсюда вытекают (а) и (б). (в) Следует из описания максимальных торов T ε группы G, приведенного выше в § 1. (г) Поскольку S ∗ — неабелева диэдральная группа, требуемое следует из (а) и (б). Лемма доказана. Далее можно предполагать, что n > 2. Пусть ϕi : V1 → Vi — изометрия векторного пространства V1 с Vi , i = 2, . . . , m. Для i ∈ {2, . . . , m} существует единственный элемент τi ∈ ∈ GLδ (V ) такой, что vτi = vϕi при v ∈ V1 , vτi = vϕ−1 i при v ∈ Vi , и vτi = v при v ∈ Vj , j = 2, . . . , m + 1, j 6= i. Положим T = hτi | i = 2, . . . , mi, тогда она изоморфна симметрической группе Sm . Пусть n = 2t1 + . . . + 2tr для некоторого r и t1 , . . . , tr , t1 > . . . > > tr > 0; Ω = {1, . . . , m + 1}, Ωj = {2t1 +...+tj−1 −j+1 + 1, . . . , 2t1 +...+tj −j } для j = 1, . . . , r − 1, Ωr = {2t1 +...+tr−1 −r+1 + 1, . . . , 2t1 +...+tj −r } при tr > 0, и L Vj . Тогда dim Wi = 2ti , i = 1, . . . , r, и Ωr = {m + 1} при tr = 0; Wi = V =

r L

j∈Ωi

Wi .

i=1

Пусть Se1 — силовская 2-подгруппа в GLδ (V1 ). По лемме 3.1.2 сущеe1 в GL(V1 ), он изоморфен прямому ствует единственный Se1 -сигнализатор R произведению двух циклических групп порядков (q − ε1)2′ и (q − δ1)2′ . ei = R e1 τi , i = 2, . . . , m, Sem+1 = O2 (GLδ (Vm+1 ), Положим Sei = Se1 τi , R

em+1 — циклические группы поem+1 = O2′ (GLδ (Vm+1 )). Тогда Sem+1 , R R em+1 = 1 при рядков (q − 1)2 , (q − 1)2′ при dim Vm+1 = 1, и Sem+1 = R e=R e1 × . . . × R em+1 . Тогда Se0 dim Vm+1 = 0. Пусть Se0 = Se1 × . . . × Sem+1 , R

2-сигнализаторы конечных простых групп

609

e будут T -инвариантны. иR Существует силовская 2-подгруппа T2 в T , которая оставляет инвариантным каждое подпространство Wi , i = 1, . . . , r, и действует транзитивно на множестве подпространств Vj , содержащихся в Wi . Тогда Se = Se0 T2

e аR e — Se0 -сигнализатором в G. e является силовской 2-подгруппой в G, e = GL(V ). Для подстановки π степени Пусть сначала δ = 1, т. е. G r положим Ui = W1π ⊕ . . . ⊕ Wiπ , i = 1, . . . , r. Тогда dim(Ui /Ui−1 ) = 2tiπ ,

i = 1, . . . , r, и 0 = U0 < U1 < . . . < Ur = V

(Uπ )

eS-инвариантных e есть ряд R подпространств. Через Pπ обозначается мноe таких, что Ui g = Ui и g действует тривиально на Ui /Ui−1 жество всех g ∈ G

eS-инвариантной e для каждого i = i, . . . , r. Тогда Pπ является R подгруппой, fπ = Pπ R e будет S-сигнализатором e e Поскольку Pπ = Op (F fπ ) и Pπ соиF в G. fπ , не пряжена с Pσ , σ ∈ Sr , только при π = σ, подгруппа, сопряженная с F

может содержать Pσ при π 6= σ. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1.1. Пусть n > 2 и X — максимальный Se Тогда X совпадает с F fπ для некоторого π ∈ Sr . сигнализатор в G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по n и q. Положим H = = XS и G = SL(V )H. По [24], H содержится в некотором члене семейства CG подгрупп группы G, определенном там же. Поскольку индекс |G : H| нечетен, элементарные вычисления показывают, что для M имеются следующие возможности: (а) стабилизатор в G некоторого собственного подпространства A в V, (б) стабилизатор в G некоторого собственного прямого разложения V = A1 ⊕ . . . ⊕ As с dim Ai = dim Aj для всех i, j = 1, . . . , s, (в) нормализатор в G подгруппы SL(V0 ), где V0 — некоторое пространство размерности n над полем порядка q0 и q = q0c для некоторого нечетного простого числа c. Предположим сначала, что выполняется (а). По лемме 3.1.1 подгруппа S действует неприводимо на каждом подпространстве Wi , i = 1, . . . , r.

610

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров

Поэтому r > 1 и, так как все Wi имеют различные размерности, A есть прямая сумма некоторых из них. По индукции X стабилизирует ряд (Uπ ) fπ . (Заметим, что для некоторого π ∈ Sr и, следовательно, содержится в F S накрывает (по своему действию на Ui /Ui−1 ) некоторую силовскую 2подгруппу в GL(Ui /Ui−1 ), поэтому и по лемме 3.1.2 индукция применима также и в случае, когда dim(Ui /Ui−1 ) 6 2). Если выполняется (б), то H содержится в GL(A1 ) ≀ Ss . Поэтому X содержится в GL(A1 ) × . . . × GL(As ), и можно применить индукцию. Если выполняется (в), то по индукции либо Op (H) 6= 1 и H содержится в стабилизаторе некоторого собственного подпространства, а тогда e В силу имеет место (а), либо n = 2t1 и по индукции X содержится в R. e = F fπ для тривиальной подстановки π максимальности X имеем X = R степени 1. Предложение доказано. Из предложения 3.1.1 следует теорема 4(а). e = GU (V ). Пусть теперь δ = −1, т. е. G ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1.2. При n > 3 подгруппа F из теоремы 4(б) e является единственным максимальным S-сигнализатором в G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по n и q. Пусть X — e Положим H = XS и G = SU (V )H. нетривиальный S-сигнализатор в G. По [24], H содержится в некотором члене M семейства CG подгрупп группы G, определенном там же. Поскольку индекс |G : H| нечетен, легко показать, что для M имеются следующие возможности: (а) стабилизатор в G некоторого собственного невырожденного подпространства A в V , (б) стабилизатор в G некоторого собственного ортогонального разложения V = A1 ⊕ . . . ⊕ As с dim Ai = dim Aj для всех i, j = 1, . . . , s, (в) нормализатор в G подгруппы SU (V0 ), где V0 — некоторое пространство размерности n над собственным подполем нашего основного поля. Предположим сначала, что выполняется (а). По лемме 3.1.1 подгруппа S действует неприводимо на каждом подпространстве Wi , i = 1, . . . , r. Поэтому r > 1 и, так как все Wi имеют различные размерности, A есть

2-сигнализаторы конечных простых групп прямая сумма некоторых из них. Очевидно, что H ≤ GU (A)

611 L

GU (B), где

B — ортогональное дополнение к A в V , поэтому и по индукции X содержится в F . (Заметим снова, что в случае, когда dim(A) = 2, можно применить лемму 3.1.2, так как S накрывает некоторую силовскую 2-подгруппу в GU (A) и P GU2 (q) ∼ = P GL2 (q).) Если выполняется (б), то H содержится в GU (A1 ) ≀ Ss , X содержится в GU (A1 ) × . . . × GU (As ), и можно применить индукцию. e ПредлоЕсли выполняется (в), то по индукции X содержится в R. жение доказано. Из предложения 3.1.2 следует теорема 4(б). e обо3.2. 2-сигнализаторы в GO(V ). Везде в этом разделе G значает группу GO(V ). Пусть Sei — силовская 2-подгруппа в GO(Vi ) и Fi = O(GO(Vi )), i = 1, . . . , m + 1. Тогда GO(Vi ) = Fi Sei и F = F (S) = e e для каждой силов= F1 × . . . × Fm+1 является S-сигнализатором в G e такой, что Se содержит Se1 × . . . × Sem+1 . Положим ской 2-подгруппы Se в G e ′ , S = Se ∩ G. G=G

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2.1. (а) Каждый S-сигнализатор в G абелев и его период делит q 2 − 1. (б) Все максимальные S-сигнализаторы из G сопряжены в G. (в) Если q − ε1 равно 4 или делится на 8, то F — единственный максимальный S-сигнализатор в G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (а) Аналогично лемме 3.1.2(а). (б) Используем обозначения § 1. Пусть F — нетривиальный максимальный S-сигнализатор в G. Тогда F абелев и q > 4. По предложению 1.2, F ≤ CG (Z). Покажем, что F ≤ kerρ. Если G ∼ = O8+ (q), то, по [25], NG (∆) = = CG (Z) ∼ = h∆i.2.22 и, следовательно, F ≤ h∆i ≤ kerρ. Если G 6∼ = O8+ (q), то |V (K)| 6 2 для K ∈ Ω (см. § 1), поэтому F ≤ kerρ. Так как элементы из NG (Xi ) не могут индуцировать на Xi нетривиальные полевые автоморфизмы, то |Nkerρ (Xi )/Ckerρ (Xi )| 6 2. Отсюда по теореме Ремака следует, что kerρ/h∆iCkerρ (∆) — элементарная абелева

612

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров

2-группа. Поэтому F ≤ h∆iCkerρ (∆). Заметим еще, что, ввиду [17, (2.9)], CG (∆) является абелевой группой. Если q − ε1 является степенью 2, то F = O(CG (h∆)i) = O(NG (∆)), и максимальный S-сигнализатор в G единствен. Пусть теперь q − ε1 делится на нечетное простое число l. Положим L = Ω1 (Ol (F )). По [20, (10-2)], l-ранги групп R и G совпадают, и все подгруппы, изоморфные L, сопряжены в G. Поскольку l-ранг группы G совпадает с l-рангом максимального тора T ε группы G, можно считать, что L ≤ T ε . Ввиду [17, (2.9)], CG (L) = T ε и F = O(T ε ), опять все максимальные S-сигнализаторы сопряжены в G. (в) Предположим, что q − ε1 равно 4 или делится на 8. При n 6 2 утверждение, очевидно, верно. Так как O3 (q) ∼ = L2 (q), O+ (q) ∼ = L2 (q) × 4

×L2 (q) и

O4− (q)

∼ = L2

(q 2 ),

можно предполагать, что n > 5. Пусть ci ∈

∈ GL(Vi ) — такой элемент, что vci = −v для каждого v ∈ Vi , i = 1, 2. e Тогда ci ∈ GO(Vi )′ , i = 1, 2. Пусть c3 = c1 c2 , и X — S-сигнализатор в (G). Тогда X = hCX (ci ) | i = 1, 2, 3i. По индукции CX (ci ) ≤ F для каждого i = 1, 2, 3. Предложение доказано. Из предложения 3.2.1 следуют пп. (г), (д) и часть п. (в), относящаяся к ортогональным группам, теоремы 4. e обоз3.3. 2-сигнализаторы в Sp(V ). Везде в этом разделе через G начается группа Sp(V ). Для 1 6 i 6 m пусть Ri — циклическая подгруппа порядка 4 в Sp(Vi ) ∼ = SL2 (q), Sei — силовская 2-подгруппа в Ci = C (Ri ), G

и Fei = O(Ci ). Тогда Fei — циклическая группа порядка (q − ε1)2′ , и F = e e для каждой силовской = F1 × . . . × Fm является S-сигнализатором в G e такой, что Se содержит Se1 × . . . × Sem . 2-подгруппы Se в G e абелев ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3.1. (а) Каждый S-сигнализатор в G и его период делит q 2 − 1. e сопряжены в G. e (б) Все максимальные S-сигнализаторы в G (в) Если q − ε1 равно 4 или делится на 8, то F — единственный e максимальный S-сигнализатор в G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку Sp2 (q) ∼ = L2 (q) и Sp4 (q) ∼ = O5 (q),

2-сигнализаторы конечных простых групп

613

можно предполагать, что n > 5. Далее рассуждаем как в предложении 3.2.1. Из предложения 3.3.1 следует оставшаяся часть п. (в) теоремы 4. Теорема 4 доказана.

§ 4. Максимальные 2-сигнализаторы и нормализаторы силовских 2-подгрупп в конечных исключительных группах нечетной характеристики ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 5. Приведем сначала описание максимальных 2-сигнализаторов в группах 2 G2 (q). ЛЕММА 4.1. Пусть G = 2 G2 (q), где q = 32n+1 > 3, и S — силовская 2-подгруппа в G. (а) Максимальные S-сигнализаторы в G сопряжены относительно NG (S) с циклической подгруппой O(CG (V )) порядка (q + 1)/4, где V — некоторая четверная подгруппа из S. (б) Число максимальных S-сигнализаторов в G равно 7. (в) Подгруппа V × O(CG (V )) совпадает с максимальным тором T − порядка q + 1 группы G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из [4, лемма 4.2] следует, что любой максимальный S-сигнализатор в G совпадает с циклической подгруппой O(CG (V )) порядка (q + 1)/4, где V — некоторая четверная подгруппа из S. Подгруппа NG (S) изоморфна расширению группы 23 посредством группы Фробениуса порядка 21, и все четверные подгруппы из S сопряжены в NG (S) (см. [4]). Отсюда следуют (а) и (б). (в) Следует из описания максимальных торов T ε группы G, приведенного выше в § 1. Лемма доказана. Пусть до конца § 4, G = G(q) — конечная простая группа исключительного лиева типа над полем GF (q) нечетной характеристики p и q ≡ ε1 (mod 4). Учитывая лемму 4.1 можно предполагать, что G 6∼ = 2 G2 (q). Пусть S — фиксированная силовская 2-подгруппа в G. В дальнейшем будут использоваться обозначения из § 1.

614

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров Таблица 3 G

h∆iCG (h∆i)

kerρ/(h∆iCG (h∆i))

G2 (q)

SL2 (q) ∗ SL2 (q)

2

(q 3 )

2

3D

SL2 (q) ∗ SL2

4 (q)

F4 (q)

23 .L2 (q)4

2

E6 (q)

23 .(L2 (q)4 × ((q − 1)/2)2 /(3, q − 1))

23

2E

23 .(L2 (q)4 × ((q + 1)/2)2 /(3, q + 1))

23

E7 (q)

23 .L2 (q)7

23

E8 (q)

24 .L2 (q)8

24

6 (q)

Выясним сначала строение ядра kerρ подстановочного представления ρ группы NG (∆) на множестве ∆. ЛЕММА 4.2. (а) Справедливо равенство kerρ = CG (Z). (б) Z содержится в любом S-инвариантном максимальном торе вида T ε из G. (в) kerρ = h∆iT ε , T ε содержит CG (h∆i)) и некоторый максимальный тор каждой подгруппы Xi . Строение подгруппы h∆iCG (h∆i) и фактор-группы kerρ/(h∆iCG (h∆i)) приводится в табл. 3. (г) Фактор-группа kerρ/Ckerρ (Xi ) изоморфна P GL2 (q) или P GL2 (q 3 ) для 1 6 i 6 k. В табл. 3 ((q ± 1)/2)2 /(3, q ± 1) обозначает группу, изоморфную подгруппе группы ((q ± 1)/2)2 индекса (3, q ± 1). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (а) Ясно, что kerρ ≤ CG (Z). Обратное включение выполняется, так как ρ(G) = 1 в случае, когда G изоморфна G2 (q) или 3 D4 (q) (см. табл. 2), и Xi — единственный элемент из Ω, содержащий инволюцию ti , в противном случае. (б) Пусть T ε — S-инвариантный максимальный тор, определенный в § 1, и Qε = Ω1 (O2 (T ε )). Тогда Qε ≤ S ≤ NG (Qε ). Группа S действует сопряжением на множестве {S1 , . . . , Sk }. Если hui i — циклическая подгруппа индекса 2 в Si и t ∈ Qε , то uti = sj для некоторых j ∈ {1, . . . , k} ε и sj ∈ Sj , поэтому [ui , t] = u−1 i sj . С другой стороны, [ui , t] ∈ Q , следо-

2-сигнализаторы конечных простых групп

615

вательно, |[ui , t]| 6 2, что возможно только в случае i = j. Поэтому Qε нормализует Si для каждого i, т. е. Qε ≤ kerρ. Далее, [Si , Qε ] ≤ Si ∩ Qε ≤ hti i. По [14, (3.3)], если Qε централизует Si , то Qε централизует Xi , т. е. для каждого i ∈ {1, . . . , k} подгруппа Qε централизует Xi или содержит hti i. Применяя [13, лемма E.II.4.1], можно показать, что CG (Qε ) ≤ T ε hnw0 i (см. также [6, с. 259]). Отсюда следует, что Z ≤ Qε . В самом деле, пусть Z не содержится в Qε . Тогда CG (Qε ) = = T ε hnw0 i = T ε hti i для некоторого i, T ε ∩ Si = 1 и, значит, [Qε , Si ] ≤ ≤ Qε ∩ Si = 1. По [14, (3.3)], Xi централизует Qε , получаем противоречие. (в) В силу (б) имеем h∆iT ε ≤ kerρ. Пусть группа G не изоморфна группам F4 (q) и E6± (q). В силу [6, 7], NG (∆) — максимальная подгруппа нечетного индекса в G. Эти же результаты вместе с табл. 1 и 2 показывают, что порядки подгрупп kerρ и h∆iT ε совпадают, следовательно, совпадают и сами эти подгруппы. Ввиду [17, (2.9)(v)], T ε содержит некоторый максимальный тор каждой подгруппы Xi . Справедливость остальных утверждений теперь следует из [15, леммы 4.21 и 4.22] для случая G изоморфно 3 D4 (q) или G2 (q) и из [16, табл. 5.1] для остальных случаев. Пусть группа G изоморфна F4 (q) или E δ (q), где δ = ±. Применим лемму 1.3(б). В обозначениях этой леммы положим H = G ∩ H ∗ . Тогда 1) H — максимальная подгруппа в G, содержащая NG (∆); 2) H = NG (V ), где V = Z −{t1 , t2 , t3 , t4 } — четверная подгруппа из Z; 3) если X = hK H i для K ∈ ∆, то X ∼ = Spin+ (q) и фактор-группа 8

H/XCH (X) изоморфна S3 при G ∼ = E6δ (q). = F4 (q) и S4 при G ∼ По лемме 1.3(а) подгруппа CH (X) равна Z при G ∼ = F4 (q) и изоморфна подгруппе группы ((q − δ1))2 индекса (3, q − δ1) при G ∼ = E6δ (q). Если X = X/V и ∆ = {X 1 , X 2 , X 3 , X 4 }, то X ∼ = P Ω+ (q) и, по табл. 2, 8

FunX (S ∩ X) = ∆. Ясно, что h∆i ∼ = SL2 (q)∗SL2 (q)∗SL2 (q)∗SL2 (q). Ввиду [25], N (∆) ∼ = h∆i.2.22 и C (∆) = Z(h∆i). Из [8, док-во (2.2)(7)] вытекаX

X

ет, что NX (∆) индуцирует на ∆ регулярную четверную группу подстановок ρ(X) = ρ(NX (∆)). Поэтому kerX ∼ = h∆i.2 и, по табл. 2, kerρ ∼ = 3 ∼ = (h∆iCH (X)).2 . Далее рассуждаем как в (б), используя [6, табл. 1],

616

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров

табл. 1, 2 и [17, (2.9)(v)]. (г) Заметим, что элементы из NG (Xi ) не могут индуцировать на Xi нетривиальные полевые автоморфизмы. Если G ∼ = G2 (q) или 3 D4 (q), то требуемое следует из строения группы S (см. [26, лемма 4.1]). В остальных случаях группа NG (h∆i) действует транзитивно на ∆, и требуемое вытекает из (в). Лемма доказана. ЛЕММА 4.3. В подгруппах NG (∆) и N ε (соответственно CG (Z)) существует единственный максимальный S-сигнализатор (CS (Z)-сигнализатор), а именно, O(T ε ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для NG (∆) и CG (Z) требуемое следует из табл. 2 и лемм 3.1.2, 4.2, а для N ε — из того, что CG (Ω1 (O2 (T ε ))) ≤ ≤ T ε hnwo i (см. док-во леммы 4.2(б)). ЛЕММА 4.4. Пусть G изоморфна G2 (q) или 3 D4 (q). Тогда утверждение теоремы 5 выполняется. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V — четверная подгруппа Ω1 (O2 (T ε )) для S-инвариантного максимального тора T ε из G. По лемме 4.2, Z < < V . Все инволюции из V сопряжены в NG (T ε ) = N ε , поскольку CG (V ) ≤ ≤ T ε hnw i (см. док-во леммы 4.2(б)) и W ε = N ε /T ε ∼ = D12 . По лемме 4.3 o

для каждой инволюции v = tg , где hti = Z и g ∈ N ε , в CG (v) имеется единственный максимальный S g -сигнализатор, а именно, O(T ε ). Если F — максимальный S-сигнализатор в G, то CF (v) ≤ O(T ε ) для всех инволюций v ∈ V и F = hCF (v) | 1 6= v ∈ V i ≤ O(T ε ). Поскольку F максимален, то F = O(T ε ). Лемма доказана. С учетом леммы 4.4 далее предполагаем, что G не изоморфна группам G2 (q) и 3 D4 (q). Пусть F — максимальный S-сигнализатор в G. Можно считать, что F 6= 1. Поэтому для некоторого нечетного простого числа r в F найдется нетривиальная элементарная абелева r-подгруппа A, нормальная в F S. Будем считать, что подгруппа A имеет максимальный возможный ранг, и положим M = NG (A). Рассмотрим сначала случай, когда r 6= p. По предложению 1.2, A ≤ ≤ CG (Z) и, по лемме 4.2, A ≤ h∆iCG (h∆i). Положим Ai = [A, Si ] для 1 6

2-сигнализаторы конечных простых групп

617

6 i 6 k. По [14, (3.3)], Ai = 1 тогда и только тогда, когда A централизует Xi . Поскольку A и Si являются CS (Z)-инвариантными подгруппами, то, в силу лемм 3.1.2 и 4.3, Ai — однозначно определенный CS (Z)-сигнализатор в Xi . Легко видеть, что A = [A, S1 . . . Sk ] × CA (S1 . . . Sk ) = A1 × · · · × ×Ak ×CA (h∆i), и, по лемме 4.2, A содержится в некотором S-инвариантном максимальном торе T ε из G. Предположим, что выполняется случай (1) Ai 6= 1 для всех i. Тогда так же, как в [6, § 5, с. 258], показывается, что CG (A) = = CG (A1 . . . Ak ) = T ε . Поэтому M = N ε . По лемме 4.3, F = O(T ε ). Если G 6∼ = E6 (q), то утверждение (б) теоремы 5 выполняется, поскольку Op (F ) = 1 ввиду [6 или 7]. ∼ E6 (q). По лемме 1.3(а), центр подгруппы S циклический. Пусть G = Возьмем инволюцию t из Z(S). Тогда, по [6 или 7], CG (t) содержится в некоторой параболической максимальной подгруппе P типа D5 из G. Ввиду леммы 4.2, O(T ε ) ≤ CG (t), поэтому подгруппа Op (P )O(T ε ) есть S-сигнализатор в P . Получаем противоречие с тем, что F максимален. Итак, можно считать, что выполняется случай (2) A1 = 1, т. е. A ≤ CG (X1 ). Если G изоморфна F4 (q) или E8 (q), то из табл. 2 видно, что S действует транзитивно на ∆, откуда, по лемме 4.2, A ≤ O(CG (h∆i)) = Z, получаем противоречие. Пусть G ∼ = E6δ (q), где δ = ±. По тем же рассуждениям A содержится в подгруппе O(CG (h∆i)), изоморфной подгруппе индекса (3, q − δ1) группы ((q − δ1)/(q − δ1)2 )2 . В частности, r 6 |A| 6 r2 . Применим лемму 1.3. В обозначениях этой леммы положим H = G ∩ H ∗ . Тогда H — максимальная подгруппа в G, X = E(H) ∼ = S4 и = Spin+ (q), H/XCH (X) ∼ 8

O(H) = O(CG (h∆i)). Ввиду [6 или 7] и леммы 4.3 можно считать, что M содержится в H или в CG (t), где t — инволюция из Z(S). Предположим, что M ≤ H. Ясно, что O(H) ≤ F . По табл. 1, O(H) < < O(T ε ), поэтому и поскольку F максимален, имеем O(H) < F . Принимая во внимание строение подгруппы H (см. лемму 1.3(б)), видим что

618

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров

F = O(H) × (F ∩ X), где F ∩ X — неединичный S-сигнализатор. Заменяя подгруппу A на соответствующую элементарную подгруппу A из F ∩ X, нормальную в F S, с учетом равенства FunX (S ∩ X) = ∆ получим, что [A, Si ] 6= 1 для всех i, а это разобранный выше случай (1). Пусть M 6≤ H и M ≤ CG (t). Тогда |A| = r. По лемме 1.3(а), Y = E(CG (t)) ∼ = Spinδ10 (q), F ≤ X × O(CG (t)) и A ≤ O(CG (t)) ≤ ≤ Z(CG (t)). Повторяя рассуждения предыдущего абзаца, получим, что F = O(CG (t))×(F ∩Y ), где F ∩Y — неединичный S-сигнализатор. Возьмем в F ∩ Y элементарную подгруппу A, нормальную в F S. Можно считать, что A ≤ O(CG (h∆i)), откуда |A| = r, поэтому A × A — нормальная в F S элементарная подгруппа ранга 2, что противоречит максимальности ранга подгруппы A. Пусть G ∼ = E7 (q). Ввиду [6; 7; 16, табл. 5.1] M содержится в одной из следующих максимальных подгрупп в G: NG (∆), N ε , C = CG (t) ∼ = ∼ = (SL2 (q) ∗ Ω+ (q)).2 для инволюции t из Z(S), H = NG (V ) ∼ = (SL2 (q) ∗ 12

∗SL2 (q) ∗ SL2 (q) ∗ Spin+ 8 (q)).S4 для некоторой четверной подгруппы V из Z. По лемме 4.3 первые два случая не противоречат теореме 5. Пусть M ≤ H. Тогда E(H) содержит F , и FunE(H) (S∩E(H)) = ∆. По табл. 2 группа ρ(G) ∼ = GL3 (2) действует 2-транзитивно на ∆ и на Z \ {1}. Поэтому можно считать, что E(H) = (X1 X2 X3 ) ∗ X, где Z(X1 X2 X3 ) = ∼ Spin+ (q), а подгруппа S нормализует компоненты = {1, t1 , t2 , t3 } и X = 8

X1 , X и переставляет компоненты X2 , X3 . По лемме 4.3 ввиду своей максимальности S-сигнализатор F содержит максимальные S-сигнализаторы подгрупп X1 , X2 X3 и X. Силовская 2-подгруппа S ∩ X группы X действует транзитивно на множестве FunX (S ∩ X) = {X4 , X5 , X6 , X7 } (см. док-во леммы 4.2(в)). С учетом лемм 3.1.2 и 4.2 видно, что F пересекается с каждой компонентой из h∆i по ее максимальному 2-сигнализатору. В силу табл. 1 и максимальности ранга подгруппы A получим, что A имеет ранг 7, что противоречит условию (2). Итак, M ≤ C. По лемме 4.2, t ∈ Z. Возьмем четверную подгруппу V из Z такую, что Z = hti × V . Тогда F = hCF (v) | 1 6= v ∈ V i. Для всех инволюций v ∈ V подгруппа CF (v) = CF (ht, vi) является CS (ht, vi)-

2-сигнализаторы конечных простых групп

619

сигнализатором в CG (ht, vi), и все четверные подгруппы из Z сопряжены относительно NG (∆) = NG (Z), следовательно, по предыдущему абзацу и лемме 4.3 подгруппы CF (v) для всех инволюций v ∈ V содержатся в единственном максимальном CS (Z)-сигнализаторе O(T ε ) из CG (Z). Отсюда F ≤ O(T ε ). Поскольку F максимален, то F = O(T ε ). Пусть теперь r = p. Тогда по [6 или 7], G ∼ = E6 (q) и M содержится в некоторой параболической максимальной подгруппе P1 из G такой, что P1 имеет тип D5 , Op (P1 ) — элементарная абелева группа порядка q 16 и P1 = Op (P1 )CG (t), где t — инволюция из циклического (по лемме 1.3(а)) центра группы S. Пусть P2 — образ подгруппы P1 относительно нетривиального графового автоморфизма группы G, оставляющего подгруппу S неподвижной. Ясно, что подгруппы P1 и P2 не сопряжены в G. Покажем, что S содержится ровно в двух параболических максимальных подгруппах группы G, а именно, в P1 и P2 . Предположим, что P — произвольная параболическая максимальная подгруппа в G, содержащая S. Тогда P сопряжена в G с P1 или P2 , пусть, для определенности, — с P1 . Таким образом, существует элемент g из G такой, что P g = P1 . Подгруппы S и S g являются силовскими 2-подгруппами в P1 , поэтому они сопряжены посредством некоторого элемента h из P1 , т. е. S gh = S. Отсюда gh ∈ NG (S). С другой стороны, NG (S) < CG (t) < P1 , значит, gh ∈ P1 и g ∈ P1 , т. е. P = P1 . Поскольку F максимален, имеем F = Op (P1 )F1 , где F1 = CF (t) — максимальный S-сигнализатор в CG (t). Если Op (F1 ) 6= 1, то, по лем′ ме 1.3(а), Op (F1 ) ≤ Op (CG (t)) = E(CG (t)) ∼ = Ω+ 10 (q) и, по [19], NE(CG (t)) (Op (F1 )) содержится в собственной параболической подгруппе нечетного индекса группы E(CG (t)). Ввиду [6, 7] собственных параболических подгрупп нечетного индекса в группе P Ω+ 10 (q) нет, получаем противоречие. Итак, Op (F1 ) = 1. Рассуждая как выше, получим, что F = O(T ε ) — единственный максимальный S-сигнализатор в CG (t). Теорема 5 доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 6. (а) Следует из [4]. (б) Пусть G 6∼ = 2 G2 (q). По определению множества ∆ имеем NG (S) ≤

620

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров

≤ NG (∆). В силу табл. 2 имеем NG (S) = SNkerρ (S), и NG (S) = SCG (S) по лемме 4.2. (в) Имеем G ∼ = E6δ (q), где δ = ±. Возьмем подгруппу H ∗ из леммы 1.3(б) и положим H = G ∩ H ∗ . Тогда NG (∆) < H, O(NG∗ (S)) ≤ O(H ∗ ) и O(NG∗ (S))G = G∗ . Теперь требуемое следует из свойства (б5) подгруппы H ∗ , установленного в лемме 1.3(б), поскольку |G∗ /G| = (3, q − δ1). Теорема 6 доказана.

§ 5. Централизаторы силовских 2-подгрупп в конечных простых группах ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 7. (а) Пусть X = GLδn (q), X0 = = SLδn (q), V — естественный модуль для X. Зафиксируем базу v1 , . . . , vn в V , можно считать, что X = GLδ (V ). Предположим сначала, что n = 2m и T0 = T0 (V ) — некоторая силовская 2-подгруппа из X0 . Так как G ∼ = D0 Z(X0 )/Z(X0 ). = X0 /Z(X0 ), то C ∼ По лемме 3.1.1, T0 действует на V неприводимо. Покажем, что CX (T0 )

состоит из скалярных отображений v → λv, где λq−δ1 = 1 . Это легко проверить при n = 2. Пусть n = 2m > 2 и утверждение верно для размерности 2m−1 . Рассмотрим подпространство V1 , натянутое на v1 , . . . , vn/2 , подпространство V2 , натянутое на vn/2+1 , . . . , vn , и силовские 2-подгруппы T1 , T2 групп SLδ (V1 ), SLδ (V2 ) соответственно. Вложим T1 и T2 в T0 посредством отображений T1 ∋ t1 → t1 ⊕e2 , T2 ∋ t2 → e1 ⊕t2 , где e1 , e2 — тождественные преобразования соответствующих пространств V1 , V2 , и рассмотрим силовскую 2-подгруппу T0 из X, содержащую hT1 , T2 i. Пусть H = CX (T0 ). Для i = 1, 2 подгруппа H централизует Ti и поэтому оставляет инвариантным подпространство Vi = CV (T3−i ). По предположению индукции для любых h ∈ H и v ∈ Vi справедливо равенство vh = λi v, где λi — скаляр, зависящий только от h и i, для которого λq−δ1 = 1. Пусть λ1 6= λ2 для некоторого i h ∈ H. Тогда V1 инвариантно относительно CX (h) ≥ T0 , что противоречит неприводимости группы T0 . Таким образом, λ1 6= λ2 для всех h ∈ H, и H — группа скалярных отображений. Это, в частности, дает требуемое

2-сигнализаторы конечных простых групп

621

для случая r = 1. Если теперь n = 2t1 + . . . + 2tr для некоторых r > 1 и t1 , . . . , tr , r L Vi , где dimVi = 2ti , и T = T1 × . . . × Tr , 0 6 t1 < . . . < tr , то V = i=1

где Ti , i = 1, . . . , r, — силовская 2-подгруппа из GLδ (Vi ), естественным образом вложенная в X. Ясно, что T0 = T ∩ X0 содержит T10 × . . . × Tr0 , где Ti0 = Ti ∩ SLδ (Vi ) — силовская 2-подгруппа из SLδ (Vi ). Поэтому H = r Q Hi , где Hi = CXi (Ti ) — группа невырожденных скалярных = CX (T0 ) = i=1

преобразований пространства Vi после естественного вложения последней группы в X. Рассмотрим пересечение H0 группы H с X0 , а затем факторгруппу H0 /Z(X0 ). (б) Содержится в теореме 6. (в) Вытекает из теоремы 1 для групп лиева типа над полем четной характеристики, из доказательств теорем 2 и 3 для знакопеременных и спорадических групп, а также из теоремы 6 для исключительных групп лиева типа над полем нечетной характеристики. Осталось рассмотреть простые симплектические и ортогональные группы над полем нечетной характеристики и показать, что для них C = 1. Это легко получить индукцией по размерности, переходя, как и выше, к естественному проективному накрытию X наших групп и используя то, что в рассматриваемых случаях X/X ′ и Z(X ′ ) являются 2-группами. Теорема 7 доказана.

ЛИТЕРАТУРА 1. J. G. Thompson, 2-signalizers of finite groups, Pac. J. Math., 14, N 1 (1964), 363—364. 2. В. Д. Мазуров, О 2-сигнализаторах конечных групп, Алгебра и логика, 7, N 3 (1968), 60—62. 3. D. Gorenstein, Finite simple groups. An introduction to their classification, New York, Plenum Press, 1982. 4. Z. Janko, J. G. Thompson, On a class of finite simple groups of Ree, J. Algebra, 4, N 2 (1966), 274—292. 5. В. М. Левчук, Я. Н. Нужин, О строении групп Ри, Алгебра и логика, 24, N 1 (1985), 26—41.

622

А. C. Кондратьев, В. Д. Мазуров 6. M. W. Liebeck, J. Saxl, The primitive permutation groups of odd degree, J. Lond. Math. Soc., II. Ser., 31, N 2 (1985), 250—264. 7. W. M. Kantor, Primitive permutation groups of odd degree, and an application to finite projective planes, J. Algebra, 106, N 1 (1987), 15—45. 8. M. Aschbacher, On finite groups of Lie type and odd characteristic, J. Algebra, 66, N 2 (1980), 400—424. 9. J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of finite groups, Oxford, Clarendon Press, 1985.

10. M. Aschbacher, Finite group theory, Cambridge, Cambridge University Press, 1986. 11. R. W. Carter, Simple groups of Lie type, London, Wiley, 1972. 12. Р. Стейнберг, Лекции о группах Шевалле, М., Мир, 1975. 13. Семинар по алгебраическим группам, сб. статей под. ред. А. А. Кириллова, М., Мир, 1973. 14. M. Aschbacher, A characterization of Chevalley groups over fields of odd order, Ann. Math. (2), 106, N 2-3 (1977), 353—468; Correction, Ann. Math. (2), 111, N 3 (1980), 411—414. 15. M. E. Harris, Finite groups containing an intrinsic 2-component of Chevalley type over a field of odd order, Trans. Am. Math. Soc., 272, N 1 (1982), 1—65. 16. M. W. Liebeck, J. Saxl, G. M. Seitz, Subgroups of maximal rank in finite exceptional groups of Lie type, Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser., 65, N 2 (1985), 297—325. 17. G. M. Seitz, The root subgroups for maximal tori in finite groups of Lie type, Pac. J. Math., 106, N 1 (1983), 153—244. 18. G. M. Seitz, Flag-transitive subgroups of Chevalley groups, Ann. Math., 97, N 1 (1973), 27—56. 19. A. Borel, J. Tits, El´ements unipotents et sousgroupes paraboliques de groupes r´eductifs. I, Invent. Math., 12, N 2 (1971), 95—104. 20. D. Gorenstein, R. Lyons, The local structure of finite groups of characteristic 2 type (Mem. Am. Math. Soc., 42, N 276), Providence, RI, Am. Math. Soc., 1983. 21. M. Aschbacher, Overgroups of Sylow subgroups in sporadic groups (Mem. Am. Math. Soc., 60, N 343), Providence, RI, Am. Math. Soc., 1986.

2-сигнализаторы конечных простых групп

623

22. R. Carter, P. Fong, The Sylow 2-subgroups of the finite classical groups, J. Algebra, 1, N 1 (1964), 139—151. 23. L. E. Dickson, Linear groups with an exposition of the Galois field theory, New York, Dover, 1958. 24. M. Aschbacher, On the maximal subgroups of the finite classical groups, Invent. Math., 76, N 3 (1984), 469—514. 25. P. B. Kleidman, The maximal subgroups of the finite 8-dimensional orthogonal groups P Ω+ 8 (q) and of their automorphism groups, J. Algebra, 66, N 1 (1987), 173—242. 26. D. Gorenstein, K. Harada, Finite simple groups of low rank and the families G2 (q), D42 (q), q odd, Bull. Am. Math. Soc., 77, N 6 (1971), 829—862.

Поступило 8 августа 2001 г. Адреса авторов:

Окончательный вариант 17 ноября 2002 г.

КОНДРАТЬЕВ Анатолий Семенович,

МАЗУРОВ Виктор Данилович,

РОССИЯ,

РОССИЯ,

620066, г. Екатеринбург,

630090, г. Новосибирск,

ул. С. Ковалевской, 16,

пр. Ак. Коптюга, 4,

Институт математики

Институт математики СО РАН.

и механики УрО РАН.

e-mail: [email protected]

e-mail: [email protected]