集合への30講 (数学30講シリーズ)

は

し

が

き

  集 合 に関す る30講 を 書 くに当 って,集

合論 を どの よ うな 観 点 に立 って 見 るの

が一 番 よい だ ろ うか とい うこ とが,ま ず 最 初 の 問題 とな った.集 合 論 の記 述 の仕 方 と して は,集 合 概 念 を あ ま り限 定 しない,ゆ るや か な枠 組 の 中 で述 べ る述べ 方 と,公 理 に よって 集 合 を 規定 して,論 理 的 に厳 密 な理 論 構 成 を 目指 す,公 理 論 的 集 合 論 に した が うもの とが あ る.後 者 は,数 学 の専 門家 向 きの もの であ って,専 門家 以 外 の人 が この理 論 に な じめ る とも思 え ない.も っ と も,数 学 を 専 門 に学 ん で い る人 た ちに して も,公 理 論 的集 合 論 に は無 縁 な人 も多 い.集 合 概 念 は,水 が 平 野 を潤 す よ うに,現 代 数 学 全 体 の 中に 静 か に広 が って い る.こ の集 合 の もた ら す 感 触 は,必 ず し も純 粋 に論理 的 な ところ か ら生 ず る もの で は な くて,何 か もっ と 自然 に数 学 者 の 意識 に融 け こん でい る よ うな気 が して い る.こ の意 識 は,無 限 概 念 を育 て る,豊 か な,し か し把 え難 い数 学 の 深奥 か らや っ て くる もの の よ うに みえ る.   一 般 の人 た ち に,集 合 論 へ の 関心 を もって も ら うた め に は,ま ず無 限 に対 す る 興 味 を よび お こ して も らわ な くては な らない だ ろ う.そ のた め に は,公 理 論 的 集 合 論 の立場 は適 当 で な く,い わ ば ゆ るや か な枠 組 の中 で,集 合 概念 を 波 打 た せ, 揺 り動 かす のが よい と思 う.こ れ は,ふ つ う素朴 集合 論 の立 場 と よば れ て い る. しか し,素 朴 集 合論 とい う よび 名 は誤 解 を招 きや す い.   公 理論 的 集 合 論 の樹 立 と,そ こか ら連 続 体仮 設 や選 択 公 理 な どの い くつ か の基 本 命 題 の独 立 性 を示 した こ とは,20世

紀 数学 の一 つ の 金 字 塔 だ った の か も しれ

な いが,私 の 考 えで は,こ の 演繹 理 論 の壮 麗 な 体 系 も,カン

トルの 精 神 を捧 げ て

克 ち とった,集 合 論 本 来 の もつ 独 創 性 に は及 ば な い と思わ れ る.   実際,集 合論 の本 質 は,数 学 の根 源 的な 意 味 で のそ の 素朴 性 にあ る とい って よ い の では な か ろ うか.私 が 本 書 で 示 した か った こ とは,カ ン トル を 捉 えて 離 さな か った,ど

うに も動 か し よ うの な い,集 合 論 の中 に ひ そむ 永遠 の素 朴 性 と'無 限'

の秘 密 とで もい うべ き もの を,で きる 限 り明 らかに してみ た い とい う ことで あ っ た.こ こで は,数 学 史 家 の 眼で もの を見 るわ け には い か な い のだ が,数 学 を通 し て,カン

トル の 中 で生 じた 思 想 の劇 を,な るべ くわ か りや す く述べ て み た い と思

った.   数学 の もつ 堅 固な 論理 の形 式 と,私 た ち の中 に 育 っ てい る無 限 に対 す る茫漠 と した 思 い の葛 藤 の中 に,集 合 論 の世 界 が,た ゆ と うよ うに広 が って い る.集 合 論 を近 くに 引 き寄 せ よ うとす る と,無 限 が遠 ざか る よ うな,不 思議 な感 触 を,私 は 今 まで時 々感 じた.こ の本 を 通 して,読 者 ひ と りひ と りが,集 合 論 の創 った数 学 の世 界 を,自 らの 心 の中 に 感 じ と って頂 けれ ば よいが,と 望 ん で い る.   終 りに,本 書 の 出版 に際 し,い ろい ろ とお世 話 に な った 朝倉 書 店 の 方 々に,心 か らお礼 申 し上 げ ます. 1988年4月

著

者

目

次

第1講

  身近 な と ころ に あ る集 合

第2講 

自然 数 の集 合 

6

第3講

 集 合 に関 す る基 本 概 念

第4講

 有 限集 合 の 間 の演 算,個 数 の 計算

第5講 

可 算 集 合

第6講 

可 算 集 合 の和 集 合 と直積 集 合    数 直 線 上 の可 算 集 合

第8講

  実 数 の 構造―

第10講

2進 法,3進

 11   17   25

第7講

第9講 

 1

小 数展 開 法,…

 実 数 の 集 合

第11講 

一 般 的 な 設定 へ

第12講 

写

像

30   36  42   49   56   63  70

第13講   直 積 集 合 と写 像 の集 合

 77

第14講  濃

度

 84

濃度の大小

  90

第15講 

第16講   連 続 体 の濃 度 を もつ 集 合 第17講   連 続 体 の濃 度 を もつ集 合(つ づ き)  第18講   ベ キ集 合 の濃 度

 95 101  107

第19講   可 算集 合 を並 べ る

  113

第20講 

  119

順 序集 合

第21講 

整列 集 合

  124

第22講 

整列 集 合 の 性 質

  130

第23講   整列 集 合 の 基 本定 理 第24講 

順

序

数

第25講 

比 較可 能 定 理,整 列 可能 定 理

第26講 

整 列可 能 定 理 と選 択公 理

 136   142   148   153

第27講   選択 公 理 の ヴ ァ リエ ー シ ョン

 158

第28講   選択 公 理 か らの帰 結

 165

第29講   連 続体 仮 設

 170

第30講

 175

 ゲオ ル グ ・カン トル

問 題 の解 答 索

引 

 183 185

第1講 身近 な と ころ に あ る集合 テーマ

◆ もの の 集 りとそ の元 ◆ 地 球 上 に あ る砂 粒全 体 の 集 合 ◆ 日本 全 国 の家 庭 に あ る皿全 体 の集 合 ◆ 一 つ の ま とま った もの と して の,全 体 の 認識

ま わ りを 見 回 し て み る   私 た ちの まわ りにあ る もの を 見 回 して み る と,本 箱 の 中 に あ る本 も,食 器棚 の 中 に並 ん で い る皿 も,果 物 屋 の 店先 に積 ん で あ る リンゴ も,そ の総 数 は す べ て有 限 で あ る.た とえば,本 は全 部 で220冊 あ り,皿 は 全 部 で85枚 あ り,リン 全 部 で60個 あ る とい うよ うに,こ れ らは すべ て 数 え 上げ る こ とが で きる.も

ゴは

少 し視 野 を 広 げ て み て も,A中

う

学 の生 徒 の 総 数 は1370人 で あ る とい うよ うに,

や は り有 限で あ る.   この よ うに,有 限で,個 数 の少 な い ものは,そ の全 体 の集 りも,必 要 な らば, い つ で も1つ に ま とめ て み る ことが で き る.た

とえ ば,1370人

の 中学 生 の集 り

を み た けれ ば,生 徒全 員 を 校庭 に集 め る と よい.   私 た ち が生 きて 経験 す る世 界 の 中 にあ る'も のの 集 り'は,こ

の よ うにす べ て

有 限 個 の ものか らな ってい る.も ち ろん,こ こで,'も の の集 り'と は 何 か を,も う少 しは っき りさせ てお か な くて は な らな い だ ろ う.私 た ちは,集 'もの'の1つ1つ

りを構 成 す る

が,互 い には っき りと区別 で き る よ うに 識 別 で き,ま たそ の

集 りの 全 体 を指 定 す る範 囲が 明確 に与 え られ て い る よ うな とき,こ れ を'も の の 集 り'と い うこ とにす る.た とえば,現 在 世 界 に棲 息 す るパ ン ダの全 体 も,ま た 昨 年1年 間 に,日 本 で 生産 され た 自動 車 の全 体 も,'も のの 集 り'と な っ てい る.   しか し,「 あ の 谷 川 のあ た りか ら湧 き上 っ てい る霧 の水 滴 の全 体 」 とか,「 東 京

近 辺 に 住 ん で い る 人 の 全 体 」 な ど は,考

え る範 囲 が は っ き り し な い か ら,'も

の

の 集 り'と は 考 え な い.ま

た 「落 葉 を 焚 火 した と ぎ 出 た 煙 の 全 体 」 とい っ て も,

1つ1つ

の 場 合 何 を 考え て い る の か は っ き り しな い か ら,こ

も'も

の も の と し て,こ の の 集 り'と

 'も の の 集り'と

は 考 え な い. い うい い 方 は,少

し ま わ り く ど い の で,こ

い う こ と に し よ う.集 合 と い う言 葉 は,単 け で は な くて,講

が 進 む に つ れ て,も

れ か ら は'集

に 日常 見 な れ て い る'も

の'を,こ

  た と え ば,本

箱 に あ る220冊

の 本 は,1つ

元 は,1冊1冊

の 本 で あ る.ま

た 食 器 棚 に 並 ん で い る 皿 も,1つ

1つ1つ

の 集 合 の 元 と か,要

本 全 国 に あ る 中 学 校 全 体 も1つ

の 中 学 校 が,こ

合'と

の の 集 り'だ

っ と広 い 対 象 も含 む よ う に な る.集

成 し て い る'も

て い る.日

れ

合 を構

素 と い う.

の 集 合 を つ く っ て お り,こ

の集 合 の

の集 合 をつ くっ

の 集 合 を つ く っ て い る.こ

の と き は,

の 集 合 の 元 で あ る と考 え て い る.

『 砂 の 計算 者 』   上 に述 べ た 集 合 の例 よ りも,も っ と も っと元 の個 数 の 多 い集 合 を 考え て み よ う とす る と,世 界 に あ る砂 粒 全 体 のつ くる集 合 とい った もの も考 えて み た くな る.   古代 ギ リシ ャの,か

の 有 名な 数学 者,科 学 者 で あ った ア ル キ メデス に,『 砂の

計 算者 』 とい う著 作 が あ る.ボ スは,こ

イヤ ーの 『数 学 の 歴史 』 に よ る と1),ア ル キ メデ

こで,全 宇 宙 を うめ つ くす ため に必 要 な 砂 の粒 よ りも,さ ら に大 き な数

を書 き表 わ す こ とが で き る と 自慢 してい るそ うで あ る.ア ル キ メデ スは,そ のた め,西 暦 前3世 紀 の 中 頃 に,サ モ ス の ア リス タル コス の提 唱 した考 え,す なわ ち 地 球 を太 陽 の まわ りを め ぐる軌道 上 にお くとい う考 え に した が って,当 時 の観 測 か ら推 定 され る量 を 用 いて,全 宇 宙 と考 え られ て い た太 陽 と地 球 軌 道 の つ くる部 分 の面 積 を評 価 し,こ れ と,砂 粒 一 つ の 大 き さを比 較 す る こ とに よ り,全 宇宙 を み たす の に必 要 な 砂粒 の数 は,1051を 越 え な い と結論 した の で あ る.

地球上にある砂粒全体の集合 今か ら2200年

も前 に,す

で に 『砂 の計 算 者』 の よ うな 著 述 が あ った とい う こ

1)  ボ イヤ ー 『数 学 の歴 史 』(加 賀 美 鉄雄 ・浦 野 由 有 訳)第2巻(朝

倉 書 店)参

照.

とは,本 当 に驚 くべ き こ とで あ る.し か し,大 き な集合 を思 い 浮 かべ よ うとす る と,ア ル キ メデ ス の よ うに,宇 宙全 体 に まで視 野 を広 げ な い と して も,地 球 上 に 現 に存 在 して い る砂 粒全 体 の集 合 とは どん な も のか と考 えて み た くな る.   そ こで まず 問 題 とな るの は,こ の よ うな 砂粒全 体 の集 合 は,確 定 した集 合 と し て 存 在 して い る と考 え て よい だろ うか とい うこ とで あ る.砂 粒 とい って も,ど ん な微 小 な もの もあ るか も しれ ないか ら,直 径 何 ミ リ以 上 か ら何 ミ リ以下 まで と, 砂 粒 の 大 きさ を指 定 して おか な くて は な らない だ ろ う.ま た,セ

メン トの小 片 は

砂 粒 とは いわ ない だろ うか ら,あ る もの が 砂粒 か ど うか,選 別 で き る よ うな規 準 も与 え て おか な くて は な らない.1つ

の 砂粒 が2つ に割 れ る こ と もな い としな く

て は な らな い.衣 類 に 付着 して い た り,空 中を 浮遊 して い る砂粒 な どを ど うす る か も決 め てお か な くて は な ら ない.   この よ うな ことが す べ てで きた として も,私 た ち は,地 球 上 の 砂粒全 体 の 集合 を,1つ

に ま とめ て,そ の存 在 を確 認 す る よ うな現 実 の 操 作 をす る こ とは,も ち

ろ ん不 可 能 で あ る.   しか し,も

しか りに,「 地 球上 にあ る砂 粒」 とい う概 念 が 明確 に定義 され る も

の と仮 定 して み るな ら ば,そ の とき私 た ちは,地 球 上 にあ る 砂粒全 体 の集 合 が存 在 す る と考 え るの に,そ れ ほ ど抵 抗 は ない だ ろ う.実 際,明 確 な概 念 は,そ の概 念 を みた す 個 々の もの を規 定 して い るだけ で は な くて,そ の概 念 に よって 与え ら れ る もの全 体 の 範 囲 も同時 に 規定 して い る.し

たが って,「 地 球 上 にあ る砂 粒全

体 の集 合 」 とい うもの も,現 実 にそ の存 在 を確 認 す る手 段 は ない と して も,概 念 そ の もの に よ って 自立 した対 象 とな り,1つ

の ま とま った も の と して考 え る こと

が で き る よ うに な る.

皿の 集合   砂 とい うも と も と多 少概 念 的 な もの よ り,日 常,食 事 のた び に,い つ も手 に取 っ て い る皿 を 考え てみ る方 がわ か りや す い か もしれ な い.1枚1枚

の皿 の 実体 は

誰 に と って も明 らか な もので あ って,こ の存 在 の 確 か ら しさ につ いて 改 め て議 論 す る こ とな どは,意 味 の な い こ とに思 われ る.   しか し,視 点 を かえ て,「 日本全 国の家 庭 に あ る皿 全 体 の つ くる集 合」 を考 え

よ うと した ら,一 体 ど うい う ことに な る だ ろ うか.こ の よ うな集 合 が 存在 す るか ど うか とい うこ とは,1枚

の皿 が 存在 す るか ど うか とい うこ と と,全 然 別 の認 識

で あ る ことに 気が つ くだ ろ う.日 本全 国 の家 庭 に あ る尨大 な量 か らな る皿 の集 り を,現 実 に確 認 して,そ の存 在 を確 かめ る な ど とい うこ とは,も ちろ ん で き る こ とで は ない.だ が,'日 本全 国 の家 庭 にあ る皿'と い うい い方 が,明 確 な'も の' を指 示 して い る と考 え るな らば,こ の総 体 も,1つ

の ま とま った もの と して,確

か に存 在 して い る と,私 た ちは 考え る こ とが で き る.そ れ は,私 た ち の 中 に あ る 認 識 の力 に よって い る.   ア ルキ メデ ス に な らえば,「 日本 全 国 の 家庭 にあ る皿 全 体 の 個 数 は1051よ りは 小 さ い」 とい うよ うない い 方 に,私 た ち は ふつ うは何 のた め らい も感 じな い.た め らい を 感 じ ない の は,私 た ち が この よ うな全 体 の存 在 を,意 識 す る にせ よ,無 意 識 で あ るにせ よ,す で に認 め てい るか らで あ る.

1つ1つ

の 認 識 と全 体 の 認 識

  考 え て い る対 象全 体 の 個 数 が小 さい とき には― る対 象 はそ の よ うな もの で あ るが―,1つ1つ

日常,私 た ち がつ き合 って い の'も の'の 認識 と,そ の'も

の'全 体 が つ くる'も の の集 り'の 認 識 とは,そ れ ほ ど異 な る もの とは 考 えて い な い.1冊

の本 の存 在 と,本 箱 の 中 に あ る本全 体 の存 在 とは,私 の感 じ方 か らい

え ば何 の違 い もない.し か し,上 でみ て きた よ うに,1つ 象 の個 数が 多 くな って くる と,1つ1つ

の概念 に包 括 され る対

の'も の'の 認 識 の 仕方 と,全 体 を1つ

の ま とま った もの と して認 識 す る仕 方 は 異 な って くる.   数 学 で い えば,た

とえば,1つ1つ

つ くる集 合 を,1つ

の まと ま った もの と考 え る認 識 の仕 方 は 異 な って い る.こ れ

の 自然数 を認識 す る こ と と,自 然 数 全 体 の

か ら少 しず つ述 べ,明 らか に して い きた い 集合 論 の考 えは,こ の,全 体 を1つ の まと ま った もの と して 考 え る,私 た ち の 認 識 の 仕方 を 基 盤 と して で き上 って い る.   実 は,こ の よ うな,私 た ち の 中に ひ そか に育 て られ て い た認 識 の場 所 を,数 学 とい う学 問 の 中に,は

っ き りと して 取 り 出 して みせ た と ころに,集

者,ゲ オル グ ・カン トル(1845-1918)の

合論 の 創 始

独創 性 が あ った とい って よい ので あ る.

Tea

Time

質 問  僕 の まわ りを見 回 して も,実 に い ろ い ろな 集合 が あ ります.「 ボ ー ルペン の集 合 」 「ノー トの集 合 」 「カ セ ッ トテ ー プの集 合」 な ど.こ ん な多 種 多様 の もの が,数 学 の対 象 に な る とい うこ とは,信 じ られ ませ んが,数 学 で は 集 合 の どん な こ とを問 題 とす る ので し ょ うか. 答   この 段 階で この 質 問 に 答 え る こ とは難 しい が,た とえば,5つ くる集 合 と,5本

の リン ゴの つ

のボール ペ ン のつ くる集 合 は,共 有 す る性 質 と して,個 数 が 同

じ とい う性 質が あ る とい え る.す

なわ ち,こ の2つ の 集 合 は,'も の'が ただ単

に存 在 して集 ま って い るに す ぎ ない とい う見 地 に立 てば,と

もに 同 じ5つ の'も

の'か らな る集 合 で あ る といえ るだ ろ う.集 合 論 で は,2つ

の集 合 が与 え られ た

とき,そ

の 集合 を つ くる'も の'の 性 質 は一 切 無 視 して,単

に抽 象的 な'も の'

の集 りとみた と き,共 有 す る 性 質 が あ るか ない か を 調 べ るの で あ る.し た が っ て,1つ1つ

の'も の'の

え去 って しま う.

もつ,さ

まざ まな 多様 な相 は,集 合 論 の 観点 か らは 消

第2講 自然 数 の 集 合 テー マ

◆ 自然数 の機 能―

基 数 と序数

◆ 自然数 の集 合N ◆ 有 限集 合 と無 限 集合 ◆ 自然 数 の集 合 は,偶 数 の 集合 と1対1に ◆ 全 体 と部 分 の1対1対

対応す る

応:無 限 集 合 の特 性

自然数の機能   自然 数1,2,3,… も う1つ

に は,2つ

ょ う ど9個

とえ ば リン ゴの 集 合 が あ っ た と き,そ

を 示 す 働 き で あ る.こ

ゴ と,1か

の 場 合,数

い か え れ ば,図1で ら9ま

れ を数 え て み

あ っ た と い う よ う な 働 き,

す な わ ち 集 合 の 元 が 何 個 か ら な る か,そ

とは,い

は 基 数 と し て の 機 能 で あ り,

は 序 数 と して の 機 能 で あ る.

  基 数 と し て の 機 能 とは,た た ら,ち

の 機 能 が あ る.1つ

の個数

え る とい うこ

示 す よ うに,リ

で の 自然 数 を1対1に

  中 学 校 の 生 徒 の 総 数 が1370人

ン

図1

対 応 さ せ る こ と で あ る.

で あ る とい う と き,こ

中 学 校 の 生 徒 全 員 の つ く る 集 合 と,1か

ら1370ま

の1370と

い う 自然 数 は,

で の 自 然 数 の 集 合 と が,1対

1に 対 応 で き る こ と を 示 し て い る.   こ れ に 対 し,序

数 と して の機 能 とは,順

に 番 号 を つ け て,そ

あ る も の を 特 定 で き る よ うな 働 き で あ る.た 番 号 で も何 で も よ い が)1番

か ら1370番

と え ば,1370人

ま で の 番 号 を つ け て お け ば,「1番

50番 ま で の 生 徒 は グ ラ ン ドの 清 掃 」 「51番 か ら100番 の よ うに,1人1人

の 生 徒 は す べ て,番

の 番 号 に よ っ て, の 中 学 生 に,(学

籍 か ら

ま で の 生 徒 は 残 って 補 習 」

号 に よ っ て 特 定 す る こ と が で き る.

  日本 語 の イ チ,ニ,サン,…

とい う 呼 び 方 は,基

し て の 働 き を 区 別 し て い な い が,英

数 と し て の 働 き と,序

数 と

語では

  基 数:one,two,three,four,…   序 数:first,second,third,fourth,… と は っ き り区 別 さ れ て い る.   野 球 で は,ア い る が,塁

ウ トの 数 は,ワ

ン ・ダ ゥン,ツ

ゥ ・ダ ゥン と基 数 を 用 い て 数 え て

の 方 は 順 序 の 指 定 が 重 要 だ か ら,フ

ァ ー ス ト,セ カ ン ド,サ

ー ド,と

序 数 を 用 い て 並 べ て い る.   原 始 社 会 で,自 比 べ る こ と― あ る い は1番 機 能― が,私

然 数 が 最 初 に 誕 生 した 契 機 は,2つ

基 数 と して の 機 能― 目,2番

目,3番

の'も

の の 集 り'の

個数 を

を 抽 象 化 す る こ と に よ っ て 生 じ た も の か,

目 と 目 印 し を つ け る よ うな こ と―

を 抽 象 化 す る こ と に よ っ て 生 じ た も の か,い

序 数 と して の

ろ い ろ の 説 が あ る よ うだ

は 詳 し い こ と は 知 らな い.

自然 数 全 体 の つ く る集 合   さ て,1か か し,基

ら1000ま

数 に し て も序 数 に して も,た

を つ け 加 え て,こ 1000ま

で の 自 然 数 を ひ と ま ず 用 意 し て お い た と し て み よ う.し の リ ン ゴに も う1つ

ら に1001と

い う数 を 必 要 とす る.こ

ん な 大 き な 自 然 数 を と っ て も 生 ず る こ と で あ る.自

自 由 に 行 な え る よ う に し て お くた め に は,自 こ と は で き な くな っ て,自 て は な ら な い.こ

リン ゴ

の リ ン ゴ の 総 数 を 数 え 上 げ た り並 べ た りす る た め に は,こ

で の 数 で は足 りな くな っ て,さ

う な こ と は,ど

とえ ば1000個

の の よ

然数 の働 きを

然 数 の系 列 を 途 中で 断 ち切 って お く

然 数 は ど こま で も続 い て存 在 して い る と して おか な く

の よ うに して,自

然数 の無 限 系 列 1,2,3,4,…

が 生 ま れ て く る.こ

の 最 後 の … は,途

い て い る の だ が,こ

こ で 私 達 は,考

が1つ

中 で 止 め る こ とが で き な い と い う意 味 で か え 方 の 上 で1つ

の ま と ま っ た 集 合 を つ くっ て い る と考 え, N={1,2,3,4,…}

と お く.Nを

自 然 数 の 集 合 とい う.

の 飛 躍 を 行 な っ て,こ

の全 体

  この集 合Nの

存 在 を 認 め る の は,前 講 で 述べ た よ うな,全

った もの とみ る こ との で きる,私

体 を1つ の ま とま

た ち の認識 の 力 に よ って い る.末 尾 の … と書

か れ て い る 部 分 に あ る 自然 数 を1つ1つ

全 部 確 か め る こ と に よ って,Nの

存在

を確 認 して い る とい うこ とでは な い ので あ る.

有限集合と無限集合 私 達 は,自 然 数 の集 合Nの 集 合Mが

存 在 は 認 め る とい う立場 を とる.

有 限集 合 で あ る とは,適 当 な 自然kを

と る と,Mと

集合

{1,2,3,…,k}

とが1対1に

対 応 す る と きで あ る と定 義 す る.こ の ときMの

元 の個 数 はkで あ

る とい う.私 達 が 日常 出会 う集 合 は,す べ て 有 限集 合 で あ る.そ して そ こでは, 集 合 をつ くる元 の個 数 はい くつ か とい う ことは いつ も きま って い る.   MとNを

有 限 集 合 とす る.そ の とき 明 らか に MとNの ⇔

 Mの

元 の 間 に は1対1の 元 の個 数 とNの

対 応 がつ く 元 の個 数 は等 しい

が 成 り立 つ.   た と え ば,12個 1対1の

の リン ゴ か ら な る集 合 は,12冊

対 応 が つ くが,8個

の 本 か ら な る集 合 との 間 に は,

の ナ シ か らな る集 合 と の 間 に は,1対1の

か な い.

 有限集合 でない集合を無 限集合 とい う.Nは 無限集合である. Nの 無 限 集 合 と して の1つ の 性 質   自然 数 の 中 で,特

に 偶 数 全 体 の つ く る集 合 をE0と

す る:

E0={2,4,6,8,…} E0も

ま た 無 限 集 合 で あ る.E0はNの

一 部 分 に す ぎ な い.し

か し

対 応 がつ

とい う対 応 に よ って,E0の

元 は,Nの

わ ち 「一 部 分 が全 体 と1対1に

元 と完全 に1対1に

対 応 して い る.す な

対 応 して い る」 とい う こ とが お きた ので あ る.

  有 限 個 の元 か らな る 集 合 で は,決

して こん な こ とは お き な い.10個

と,そ の 一 部 分 で あ る5個 の リンゴ とは,決 して1対1に   Nの 一 部 分 で あ るE0が,Nと1対1に

の リンゴ

対 応 しな い.

対 応 して い る とい うこ とは,Nが

無

限 集 合 で あ る こ との1つ の特 性 で あ る.実 は集 合 論 の主 要 な テ ー マは,有 限 集合 で はな くて,無 限集 合 を 調べ る こ とに あ るが,有 限性 と無 限 性 とは,こ の よ うに そ の一 部 分 と1対1の

対 応が 存在 す るか ど うか とい う観 点 か らみ て も,全 く異 な

った 様 相 を呈 して い るの で あ る.

Tea

Time

大 きな数 自然数 の集 合 N ={1,2,3,4,…}

の,こ の … と書 いた 部 分 に は,10100と か,1010000と か,そ

の程 度 の 大 き さの 自

然 数 だけ で は な く,私 達 の想 像 を絶 す る よ うな大 きな 自然数 も含 まれ て い る.も ち ろ ん,集

合Nを,1つ

の ま とま った もの として,そ

の存 在 を認 めて し ま うだ

け な らば,こ の よ うな大 きな 自然数 が,… の 中 に含 まれ て い る こ とな ど,あ ま り 気 に しな くと も よい.し か しいつ で も気軽 に … と書 くだけ で,こ の … の 意 味す る,果 て しな く続 く自然数 の 系列 の こ とを,す っか り失 念 して し ま うの も,あ ま りよい ことで は な い だ ろ う.   実 際 の と ころ,現

在 の数 学 で も,こ の … の世 界 に積 極 的 に踏 み こんで い った

とき,ど の よ うな こ とが お き るの か は,ま だ ほ とん ど調べ られ てい な い.エ ル ゴ ー ド理 論 や ラ ムジ ー理 論 と よばれ る もの の 中 に,い くつ か の興 味 あ る結 果 が 見 出 され る だけ で あ る.   この大 き な数 の 世 界 に強 い 関 心 を も って 眼 を 向け た の は,む し ろ古 代 イ ン ドの 数 学 だ った か も しれ な い.こ の こと につ いて,つ い で だか ら,多 少 触 れ て お こ う. 私 は数 学 史 の 専 門 家 で は ない か ら,全 く常 識 的 な こ と しか い え ない の だが,イン ドで は,億,兆,京(け

い),垓(が

い)と どん どん大 きな単 位 を導 入 して,夢 の

よ うな大 き な数 の世 界 を現 出 させ てみ せ た.大 きな単 位 を導 入 して い くこ とは, 大 きな 数 の世 界 を,ど ん どん 眼 の前 に引 き寄 せ て くる ことに対 応 して い る.た と え ば 兆 とい う単 位 を 導 入す れ ば,2350億

とい う大 きな数 は0.2350兆

位 を捨 て て し まえば,私 た ち は0.2350と

い う数 をみ て い る ことに な る.

とな り,単

  数学 的 に いえ ば,自 然 数 の 限 りな く大 き くな る方 向へ と走 っ てい く現 象 を,大 きな 単 位 を どん どん導 入 して観 察 してみ よ う とす る こ とは,こ の現 象 を,く し,く

り返 し[0,1]区

ことに な る.[0,1]区

間へ と引 き 戻 して,眼

り返

の 前 の現 象 と して捉え よ うとす る

間 に 引 き戻 され た 場所 を,点 と して し る してお くと,無 限

の方 向 に走 って い く現 象 の 列 に対 応 して,[0,1]区

間 の 中で の無 限点 列 が得 られ

る.こ の 無 限点 列 は必 ず 集 積 点 を もつ.集 積点 に近 づ く点 列 を,単 位 を か け て, 再 び,も との大 き くな る 自然 数 へ と戻 してみ る と,こ の 自然 数 列 は,単 位 を無 視 す る と,し だ いに,現 象 が く り返 して い くよ うな様 子 を示 して い く よ うに な る こ とが わ か る だ ろ う.   大 きな 数 の世 界 に踏 み こん で い くと,現 象が く り返 され る よ うな状 況 が 時 々お きる よ うで あ る.こ れ は,ど こか で輪 廻 とか,永 遠 回 帰 の思 想 とか に結 び つ くと ころが あ るの だ ろ うか と,Tea 空 想 す る こと もあ る.

Timeに

ふ さわ し く,お 茶 を飲 み なが ら,勝 手 に

第3講 集合 に関す る基本概念 テー マ

◆ 集 合 と元 ◆ 部分集合 ◆ 空集合 ◆Mの

元aと,aか

らな る部 分 集 合{a}

◆Mの

部 分 集 合 全体 のつ くる集 合〓(M)―

ベ キ集 合

集 合 と元   数学 にお け る集 合 論 の 関 心 は,主 に無 限集 合 で あ るが,も ち ろん 有 限集 合 も集 合 論 の対 象 とな る.し た が って,リン

ゴ3個 か らな る集 合 も,集 合 論 の対 象 とな

る とい って よい の だが,こ の と き も

M={a,b,c} の よ うに記 号 を 用 い て表 わ し,各a,b,cは

リン ゴを表 わ す と注 をつ け て お くのが

ふ つ うで あ る.こ の 表 示 の仕 方 を あ らか じめ 了承 して おい て も らえば,こ れ か ら は,集 合 とそ の 元 を表 わ す の に,具 体 的 な 事物 を 特 に表 わ さな くとも,数 学 で用 い るふつ うの記 号 を 用 い て も よい だ ろ う.   集 合Mが

元aを 含 む と き a∈M

と 記 す.(と が,こ

き に は,aとMの

左 右 の 位 置 を と りか え てM∋aと

の よ うな 便 宜 上 の い れ か え は,以

Mに 属 し て い る と い う.aがMに

と記 す.  自然 数 の集 合 をNと

すると

記 す こ ともあ る

後 い ち い ち 断 ら な い.)こ

属 して い ない こ とを

の と き,aは

で あ る が,

で あ る. 集 合Mが,元a,b,c,…

か ら な る こ とを 明示 す る とき M={a,b,c,…}

の よ うに表 わす.し た が って,自 然数 の 中で 偶 数全 体 のつ くる集 合E0は E0

={2,4,6,…,2n,…}

と表 わ され る.こ の場 合

と表 わ す こ とも あ る.こ の記 法 で は,E0の 定 され て い る.す なわ ち,m=2nで とき得 られ る数 全 体―

元mは,右

あ って,こ

偶数 全 体―

がE0で

辺 の た て ケイ の右 側 に指

こでnと して1,2,…

を代 入 した

あ る こ とが 示 され てい る.

  た とえ ば 同 じ記 法 を 用 いれ ば,自 然 数 の 中 で 奇数 全 体 のつ くる集 合E1は

と 表 わ され る.

部 分 集合 集 合Nが

集 合Mの

一 部 分 で あ る と き,す なわ ち,Nの

って い る とき,NはMの

元 は必 ずMの

部 分集 合 で あ る とい い,記 号 で

N⊂M と表 わ す.M自

身 もまたMの

部分集合 であ る

と考 え る.   た とえば,Nを

自然 数 の 集 合,E0を

その中

で 偶数 全 体 のつ くる集合 とす る と E0⊂N で あ り,ま

で あ る.

た

図2

元 とな

明 らか に

で あ り,ま た包 含 関 係 の推 移 性

が 成 り立 つ.  NがMの

部 分 集 合 で あ るが,Mと

違 う とい うこ とを 明示 した い とき には,NはMの

真 部 分集 合 で あ る といい,記 号 で

と表わす.   これか ら,い ろい ろ の集 合 を 考 え る とき,元 を 何 も もた な い集 合―

空 集 合―

も考 えて,こ の集 合 は,任 意 の集 合 の部 分 集 合 とな っ てい る と考 え る方 が 都 合 の よい こ とが 多 い.部 分 集合 の中 に空 集 合 も 自然 に 含め る よ うにす るに は,部 分集 合 の定 義 を 改 めて,次 の よ うに して お くとよい.   集 合Mが

与 え られ た と き,M,お

る集 合 を,Mの

よびMか

らい くつか の元 を 除 いて得 られ

部 分集 合 とい う.

  この定義 に したが え ば,Mか

らMの

す べ て の元 を 除 い た もの も,Mの

部分

集 合 とな る.こ の 部 分集 合 を空 集 合 とい い,φ で 表わ す.   した が って,た

とえ ば 集 合M={1,2,3}の

部 分集 合 は,次

の8つ の集 合 か ら

な る: ,φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

元aと,aか   すぐ 上 の 例 で も,{1},{2},{3}と で あ る が,{1}⊂Mで 表 わ して い る が,{1}と

あ る.1と

ら な る部 分 集 合{a} い うMの

部 分 集 合 が 現 わ れ て い る.1∈M

書 く と き に は,集

書 く と き に は,元1だ

合M={1,2,3}の1つ

け か ら な るMの

の元 を

部 分集 合 を 表 わ

し て い る.   こ の 違 い は わ か りに くい か も し れ な い か ら,例

を 述 べ て お く.い

まA市

に住 ん

で い る 人 全 体 の 集 合 をMと 1人 の 人 で あ る.A市 は,Mの

す る.Mの

元 は,こ

に 住 ん で い る 人 た ち は,そ

部 分 集 合 を つ く っ て い る.夫

ら な るMの

の 市 民 だ か ら,a∈Mで

調 べ が き た と き,'aさ {a}⊂Mで

あ る.1人

  こ の 例 で,私

ん'は,1人 の 人 と,1人

達 は,さ

ら に,A市

に 住 ん で い る1人

れ ぞ れ 家 族 を も っ て い る.家

婦2人,子

部 分 集 合 と な っ て い る.い

'aさ ん'はA市

の 場 合,A市

供1人

ま,'aさ あ る.し

の 家 族 は,3つ

ん'は か し,市

役 所 か ら 家 族 調査 の 族 とい う立 場 で は

念 が 違 うの で あ る.

に お け る 家 族 全 体 の つ く る集 合 とい う も の も

考 え る こ と が で き る だ ろ う.1つ1つ

の 家 族 は,Mの

た が っ て,家

部 分 集 合 の 集 りで あ る.こ

族 全 体 の 集 合 は,Mの

部 分 集 合 の つ くる 集 合 と い う も の が,ご ろ ん,Mの

部 分 集 合 の 中 に は,家

の 中 学 生 全 体 と か,い

部 分 集 合 と考 え ら れ る.し の よ うに し て,

く自 然 に 考 察 の 対 象 と な っ て く る.も

ち

族 だ け で は な く,美 術 館 の 職 員 全 体 と か,A市

ろ い ろ な もの が 含 ま れ て い る.こ

の つ く る 集 合 を 考え る こ と が,す

の元か

家 族 が い な い とす る.

家 族 だ とい うだ ろ う.家 家 族 は,概

族

の よ うな,部

分集 合 全体

ぐ次 に 続 く話 題 と な る.

部分集合全体のつ くる集合 M={1,2,3}の

と き,Mの

部 分 集 合 全 体 の つ くる 集 合 は

{φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} と な る.

N={1,2}の

と き,Nの

部 分 集 合 全 体 の つ くる 集 合 は {φ,{1},{2},{1,2}}

で あ る.   一 般 に,集 合Mが と表わ し,Mの

与 え られ た と き,Mの

部 分 集 合全 体 のつ くる集 合 を〓(M)

べ キ集 合 とい う.こ の よ うな 考 え の 重 要 さは,Mと

い う1つ の

集 合 が与 え られ る と,そ の部 分集 合 全 体 を集 め る こ とに よ り,ま た1つ の新 しい 集 合〓(M)が

〓(M)も1つ

生 まれ て くる とい う点 にあ る:

の集 合 だか ら,〓(M)か

ら,ま た 新 しい集 合〓(〓(M))が

生

ま れ て く る だ ろ う.ま

たMと

して 自 然 数 の 集 合Nを

と った と き,〓(N)は

ど

ん な も の だ ろ うか.   こ の よ う に し て,集

合 論 が 少 しず つ 動 き 出 し て くる の で あ る.

問   M={1,2,3,4}の

と き,〓(M)は

ど の よ う な 集 合 か.

Tea

Time

質 問  集 合 の包 含 関 係 を示 す の に,ど の 本 で も大 体 図2の 円 に 近 い形 にか い て い ます が,ど

よ うに,集 合 を 円か,

う して な ので し ょ うか.僕 は図2よ

りも,図3

の よ うに か いた 方 が も っ と楽 し く変 化 が あ る よ うに 思 い ます が. 答  集 合 を 円 の よ うな もの で表 わす 特 別 の理 由 は ない と思 う.包 含 関係 を示 す だけ な らば,も ち ろん 図3の が,図3を

よ うにか い て も 同 じ こ と で あ る

見 る と,集 合 の 包含 関係 を この図 が

示 してい る と感ず る よ り先 に,右 の 方 に延 び て い る のは,手 の よ うだ とか,Nを

表 わす 図形 は

図3

何 か に似 て い る よ うだ とか,い ろい ろの こ とを 思 って し ま う.そ う した 余 分 な こ とを思 わ ぬ よ うに す る ため に は,円 を か い て お くのが 一 番無 難 な の だ ろ う.

  この質 問 で 思 い 出 したが,以 前 次 の よ うな こ とが あ った.あ る 日,私 の と ころ へ,よ

くで き る 知 り合 い の高 校 生 が遊 び に来 て,「 平 面 上 に あ る三 角形 全 体 のつ

くる集 合 とい うのは,ど

うも よ くのみ こめ ませ ん」 とい う.彼 の納 得 いか な い点

を 問 い 質 して みた ところ,「 この 集合 を,教

科 書 で集 合 を 図 示 して あ る よ うに,

円 の中 に お さめ る よ うに考 え るた め に は,ど の よ うに想 像 した ら よい のか,イ ー ジが 湧 か な い ので す 」 とい う答 で あ った.

メ

  これ は笑 い 話 と して は 済 ま され な い だ ろ う.抽 象 的 な記 号 に比べ れ ば,図 の 方 が は るか に 印 象 が強 い.だ か ら,図 を用 い る と きに は,か え って 慎 重 さが要 求 さ

れ る.こ の高 校生 の よ うな誤 解が 生 じな いた め に は,一 切,図

を用 い な い で集 合

を 説 明 して い く こ とが,一 番 よい の で あ る.し か し,そ うは い って も,や は り図 を 用 いた 方 が,説 明 しや す く,わ か りやす い とい う こと もあ る.こ の 本 で も,時 時,図 を 挿 入す る.だ が,読 者 は,図 は あ くまで便 宜 的 な も ので あ る こ とを い つ も注意 して 頂 きた い.

第4講 有限 集 合 の間 の演 算,個 数 の計 算 テーマ

◆ 有限集合の元 の個数 ◆ 有限集合 の和集合 と共通部分 ◆ 有限集合の直積集合 ◆ 集合MN ◆Mか

らNへ の写像全体 のつ くる集合Map(M,N)

◆ 部 分集合の個数:￨〓(M)￨

有限集合の元の個数 有 限 集 合Mに

対 して,Mの

元 の個 数 を￨M￨と

表 わ す.た

とえば

￨{a,b,c,d}￨=4 Mを ア ル フ ァベ ッ トの つ く る集 合 と す る:￨M￨=26

空 集 合 φ も有 限 集 合 と考 え る こ とが あ る.こ の と き￨φ￨=0と

定 義 す る.

和集合と共通部分   2つ の有 限 集 合MとNに

対 し,MとNの

少 くと も一 方 に は含 まれ て い る元

全 体 のつ くる集 合 を

M∪N と 表 わ し,MとNの とNの

和 集 合,ま

た はM

結 び とい う.

  また,Mの

元 で あ る と と もにNの

元に

もな って い る元 全 体 のつ くる集 合 を

M∩N と表 わ し,MとNの

共 通部 分,ま た はM

図4

とNの

交 わ りとい う.MとNに

共有 す る 元 の な い ときに は,M∩N=φ

とお

く.  た とえば

M={1,2,3,4,5,6},N={3,6,9,12} の とき M∪N={1,2,3,4,5,6,9,12} M∩N={3,6}

で あ る.  和 集 合 と共 通 部 分 の元 の個数 につ き,次 の公 式 が 成 り立 つ.

【証 明 】 Mの

元 でM∩Nに

属 してい な い もの全 体 のつ くる集 合 をA,Nの

M∩Nに

属 して い ない もの 全 体 のつ くる 集

合 をBと

す る.明 らか に

またM∪Nは,互

元で

い に 共 通 の 元 の な い3つ

の 集 合,A,M∩N,Bの した が っ て,M∪Nの

和 と な っ て い る. 各 元 は,こ

の3つ

図5

の

集 合 の どれ か1つ に配 分 され て い る.し た が っ て また

が成 り立 つ.

直 積 集合   2つ の 有 限集 合M,Nが

与 え ら れ た と き,Mの

(a,b)を 考 え る.こ の よ うな1つ1つ った 集 合 と考 え た ものを

元aとNの

元bか

らな る対

の対 を元 と考 え,こ の全 体 を1つ の まと ま

M×N と表わ し,MとNの

直 積 集 合 とい う.

 た とえ ば

M={1,2},N={a,b,c} の とき M×N={(1,a),(1,b),(1,c), (2,a),(2,b),(2,c)} M={1,2,3,4,5},N{a,b,c}

とな る.

の と き のM×N

図6

  直 積集 合 の元 の個 数 に つ いて 次 の 公 式 が成 り立 つ.

【証 明 】 ￨M￨=m,￨N￨=nと

し,M={a1,a2,…,am},N={b1,b2,…,bn}と

表

わ す と

この こ とから￨M×N￨=mn=￨M￨×￨N￨が

  3つ の有 限 集合L,M,Nに

成 り立 つ こ とが わ か る.

対 して も同様 に 直 積 集合L×M×Nを

定義 す る こ

とが で き る:

  さ らに 一 般 にk個 の 有 限 集合M1,M2,…,Mkが

与え られ た とき,こ

積 集合

も考 え る ことがで き る.

集 2つ の有 限集 合M,Nが

合MN

与 え られ た とき,ベ キ の形 で かか れ た集 合 MN

を 考 え る こ とが で き る. 一 般 的 な定 義 を か く前 に,ま ず い くつ か の例 を 与 え てみ よ う.

れ らの 直

  この よ うに,集 合MNは,Nの

元 の個 数 だけ,Mを

直 積 した もの として 定義

す る. N={b1,b2,…,bn} の とき,MNは

で あ り,し た が っ てMNの

元cは

c =(a1,a2,…,an)(各aiはMの と表 わ さ れ る.Nの

元b1,b2,…,bnは,MNの

cのb1-成 分 はa1,cのb2-成

元) 座 標 成 分 を 指 示 し て い る と考 え て,

分 はa2,…,cのbn-成

分 はanで

あ る とい うこ とも

あ る. ￨M￨=m,￨N￨=n とお く と,積

集 合 の 元 の 個 数 の 公 式 か ら,

が 成 り立 つ こ と が わ か る.

Mか   M,Nを

らNへ

有 限集 合 とす る.Mの

仕 方 が 与 え られ て い る と き,Mか っ て,Mの

元aがNの

元bへ

の写 像 全 体 の つ くる 集 合 各 元aに 対 して,Nの らNへ

あ る元bを

対 応 させ る

の 写像φ が 与 え られ た とい う.φ に よ

うつ さ

れ るとき φ(a)=b と 表 わ す.   た と え ば,M={p,q,r},N={0,1}

の と き,Mか る.

らNへ

の写 像 は,次 の8個

図7

の 対 応 の ど れ か1つ で与 え られ てい

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

(ⅳ)

(ⅴ)

(ⅵ)

(ⅶ)

(ⅷ)

を 元 と 考 え て,そ

の全 体 を1つ

一 般 に,Mか

らNへ

の 写 像 の1つ1つ

の まと

ま っ た 集 合 と考 え た も の を

Map(M,N) で 表 わ す.(Mapと の 例 で(ⅰ)か

か い た の は,写 ら(ⅷ)ま

像 を 英 語 でmappingと

い うか ら で あ る.)上

で の 対 応 に よ っ て 与 え ら れ る 写 像 をφ1,φ2,…,φ8と か

くと Map({p,q,r},{0,1})={φ1,φ2,…,φ8}

で あ る.   Map(M,N)の

個 数 に つ い て 次 の 公 式 が 成 り立 つ.

し た が っ て￨M￨=m,￨N￨=nと

【証 明 】 M={a1,…,am,N={b1,…,bn}と る と,φ は,Mの

元a1,…,amが,Nの

す る と,￨NM￨=nmだ

す る.φ

か ら

をMap(M,N)の

元 とす

ど の 元 に 移 る か で 完 全 に き ま る.す

なわ

ちφ は (φ(a1),φ(a2),…,φ(am))  (1)

に よ って完全 に き ま る.φ(a1)∈N,φ(a2)∈N,…,φ(am)∈Nだ

か ら,(1)は

見方をかえると

と な っ て い る と し て よい. 逆 にNMの

元c=(bi1,bi2,…,bim)が

与 え られ る と,Mか

らNへ

の 写 像φ が,

φ(a1)=bi1,φ(a2)=bi2,…,φ(am)=bim で き ま る.し 元φ と,NMの 等 し い.こ

元 が1対1に

対 応 し て い る.し

た が っ てMap(M,N)の

た が っ て こ の2つ

の集 合 の個 数 は

れ で 公 式 が 証 明 され た.

  た と え ば 前 に 述 べ たM={p,q,r},N={0,1}の

と き に は,Map(M,N)の8

つ の 元φ1,φ2,…,φ8に 対 し て

の よ うに,ベ

キ 集 合{0,1}{p,q,r)の

元 が 対 応 し て い る.

部分集合の個数  Mの

部 分集 合 全 体 の つ くる 集 合〓(M)の

元 の個 数―

す な わ ち,Mの

部分

集 合 の個 数 を知 りた い.   最初 に 例 と して

M={p,q,r} の 場 合 を 考 え て み よ う.Mの 定 義 し て お い た か ら,ど ま る.取

部 分 集 合 と は,い

くつ か の 元 を 取 り除 い た 残 り と

の 元 を 取 り除 くか 目 印 しを つ け て お く と,部

り除 く元 に 目印 し と し て0を

1と い う 目 印 し を つ け て お く.そ

つ け て お く.つ い で に,残

うす る と1と

分 集 合が き

され た 方 の元 に

い う目 印 し の つ い た 元 だ け が,1

つ の 部 分 集 合 を つ くる こ とに な る.た

とえ ば,pに0,qとrに1の

け る とい う こ と は,部

取 り 出 した と い う こ と に な る.pとqに

0,rに1と

い う 目 印 しは,部

  そ う思 っ て,改 る と,こ

分 集 合{q,r}を

分 集 合{r}に

め て 前 節 の{p,q,r}か

れ は,p,q,rに

どれ を 取 り除 き,ど

の とみ る こ と が で き る.こ

目印 しを つ

対 応 す る.

ら{0,1}へ

の 対 応(ⅰ)∼(ⅷ)を

み

れ を取 るか とい う目 印 しをつ け た も

の よ うに み た と き,(ⅰ)∼(ⅷ)と

部 分 集 合 との対 応 は

と な っ て い る こ と が わ か る.こ q,r}の

れ で{p,

す べ て の部 分 集 合が つ くされ て

い る か ら,部

分 集 合 の 個 数 は23=8で

あ

る.   同 じ よ うに 考 え る と,有

限 集 合Mに

対 し て,そ

の 部 分 集 合Sを1つ

と は,Mか

ら{0,1}へ

とるこ

の 写像φ を1つ

が わ か る.こ

の 写 像φ に よ って1に

部 分 集 合Sを

つ く る と 考 え る(図8).

  した が っ て〓(M)の 対1に

対 応 す る.こ

元(Mの

図8 き め る こ と と1対1に

うつ さ れ る元 が,こ

対 応 して い る こ と

の 写像 に 対 応 す るMの

部 分 集 合!)と,Map(M,{0,1})の

元 と が1

の こ と か ら,￨〓(M)￨=￨Map(M,{0,1})￨の

た.￨Map(M,{0,1})￨=2mに

注 意 す る と,結

こ とが わ か っ

局 次 の 公 式 が 得 ら れ た こ と に な る.

問1  を 示せ. 問2

を 示 せ.

Tea

質 問  MとNが

有 限集 合 で,M,Nの

通 な 元が な い ときに は,M∪Nの

Time

元 の個 数 をm,nと 個 数 が,mとnの

らか な こと と思 い ます.し か し,自 然数 の 積mnは

します.MとNに

和m+nと

な る こ とは,明

直 積 集合 の個 数 として,ベ キ

mnは,写 像 の つ くる集 合 の個 数 か ら出て くるの には驚 き ま し た.そ よ うに考 えれ ば,m≧nの

と きの 自然 数 の差m−nに

共

れでは同じ

対 応 す る 集合 演 算 が あ って

も よ い と思 い ま す. 答  確 か に そ うで あ る.M⊃Nの M−Nと

か い て,MのNに

ら 述 べ る と き に は,Mに

と き,Mの

元 で,Nに

よ る差 集 合 と い う.(あ 対 す るNの

属 し て い な い も の を,

とで,も

補 集 合 と い う.)こ

う少 し別 の 視 点 か

の とき

で あ る.   しか し,一 般 的 に は,M⊃Nで

ない

と きに も差 集 合 を 考 えた い.こ

の とき

は,図9で 元 でNに

斜 線 の部 分,す なわ ち,Mの 属 して い ない も の を,や

はり

差 集 合 とい って,

M＼N

図9

とい う記 号 で 表わ す.こ の 記号 は妙 に み え るか も しれ な いが,マ め におか れ た とみ る とよい.

イナ ス記 号 が 斜

第5講 可

算

集

合

テー マ

◆ 個数 と1対1対 応 ◆1対1対

応 と濃度

◆ 可算集合 ◆ 可算集合の例 ◆ 高々可算集合

個 数 と1対1対   基 数 の立 場 か らみ る と き,自 然 数 は,た ナ シの集 合 との 間 に1対1の

応

とえば1O個 の リン ゴの集 合 と10個 の

対 応 が あ るが,こ

そ うとい うことか ら生 まれ て きた.第2講

の と き共 有 す る 性 質 を10で 表 わ

で述 べ た よ うに,こ の よ うに,有 限 個

の もの か ら な る個 数 とい う概念 か ら抽 象 され て きた 自然 数 は,全 体 と して 一つ の ま と ま った もの と して 認 識 され て,そ こに 自然 数 の集 合 N={1,2,3,…

 }

が 形 成 され て きた.し か し,こ のN「 は もはや 有 限集 合 で は ない.   このNと

い う集 合 の 存在 を 認 めた とい うこ とは,数 学 は,単 に 有 限集 合 だけ

で は な く,無 限集 合 とい う対 象 に も,考 察 の範 囲 を広 げ る こ とが で きる とい うこ とを 意 味す る もの であ る.   さて,無 限 集合 を数学 の対 象 とす る と き,最 初 に 問題 とな るのは,有 限集 合 の と きの'元 の個数'に 対 応 す る概 念 を どの よ うに 導 入 した ら よいか とい うこ とで あ る.   有 限集 合 の場 合,{1,2,3,…,10}と は,す べ て 同 じ個 数10を 集 合Nと1対1に

い う標 準 的 な 集合 と1対1に

対 応 す る集 合

もつ として い る.同 じ よ うに考 え るな らば,自

対 応 して い る集 合 は,Nと'同

じ個数 の元'を

然数の

もつ と考え て

よ い だ ろ う.し か し,無 な い の だ か ら,'同

限 集 合 の 場 合,元

じ 個 数'と

を す べ て 数 え 上 げ る とい う こ と は で き

い うい い 方 は,適

当 で な い.私

た ち は,1対1の

対 応 が 存 在 す る と い う点 だ け に 注 目す る こ と に す る.

1対1対 【定 義1】  集 合MとNが 対 応 し,ま たNの

応 と濃度

与え られ た とす る.Mの

任 意 の元bに 対 して,Mの

元aにNの

元aで,aがbに

のが た だ1つ 存 在 してい る とき,MとNは1対1に

元bが た だ1つ 対応 して い る も

対 応 して い る とい う.

  有 限 集合 の場 合 と同様 に,一 般 の 集合 に 対 し て も,Mか

ら

Nへ の写像 と い う 概念 を定 義 す る こ とが で きる.す なわ ち, Mの

各 元aに 対 し て,Nの

あ

る元bを 対 応 させ る仕 方 が与 え られ て い る と き,Mか

らNへ

図10

の 写 像φ が 与 え られ た と い う.

  こ の 写 像 の 言 葉 を 用 い る と,定 義1は 【定 義1′ 】  集 合Mか

ら 集 合Nへ

の 写 像φ で,次

も の が 存 在 す る と き,MとNは1対1に   (ⅰ)a,a′   (ⅱ)任

∈Mでa≠a′ 意 のb∈Nに

この と き,φ 【定 義2】

はMか

集 合Mと

次 の よ うに い っ て も 同 じ こ と に な る. の(ⅰ),(ⅱ)の

性 質 をみ たす

対 応 し て い る とい う.

な らば,φ(a)≠φ(a′). 対 し て,あ

らNへ

るa∈Mが

の1対1対

集 合Nが1対1に

存在 して

応 で あ る と い う. 対 応 し て い る と き,MとNは

同 じ濃度

を もつ とい う.   こ の 言 葉 で は,10個

の リン ゴ の 集 合 と,10個

つ とい う こ と に な る.10個 つ.こ

の ナ シ の 集 合 は,同

の リン ゴの 集 合 と,10匹

じ濃度を も

の 犬 の 集 合 も 同 じ濃 度 を も

れ ら の 集 合 が,「 同 じ 濃 度 を もつ 」 と い う こ と を 指 示 す る の に,基

用 い た と い う こ と に な る. 【定 義3】   自 然 数 の 集 合Nと

同 じ 濃 度 を も つ 集 合 を,可

算 集 合 とい う.

数10を

  す な わ ち,Mが

可 算 集 合 で あ る と い う こ と は,Nか

らMへ

の1対1対

応φ が

存 在 す る こ と で あ る.   Mが

可 算 集 合 の と き,Mは

ロ と よむ.〓

は,ヘ

濃 度〓0を

ブ ラ イ文 字 のAに

ントル が この 文 字 を 使 っ て か ら,集 た.〓0は,自 目 は,有

も つ と い う.記

号'〓0'は

相 当 す る 文 字 で あ っ て,集

ア レ フ ・ゼ

合 論 の創始 者 カ

合 論 で は こ の 文 字 の 使 用 は慣 用 の も の と な っ

然 数 の 濃 度 を 示 す 一 つ の 基 数 と 考 え られ る も の で あ っ て,こ

限 集 合 の 濃 度(個

数!)を

示 す 基 数1,2,3,…

と 同 じ 役 目 を,可

の役 算集合

に 対 し て 果 し て い る と い え る.

可算集合の例  (1)  自然数 の集 合N,偶

数 の 集合E0,奇

数 の集 合E1は

可算 集 合 で あ る.

 (2)  整 数 の集 合 Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}

は 可 算 集合 で あ る.   な ぜ な らNか

らZへ

の写 像φ を

に よっ て定 義 す る と,φ はNか

らZへ

の1対1写

像 を 与え て い るか らで あ る.

φは,偶 数 を正 の整 数 に,奇 数 を0と 負 の整 数 に うつ してい る.)   (3)  Mを

可算 集 合 とす る.SをMの

部 分 集 合 で,か

つ無 限 集 合 とす る と,

Sは 可 算 集 合 で あ る.   なぜ な ら,Nか

らMへ

の1対1対

応 を1つ 与 えて お くと,Mは

M={a1,a2,a3,…,an,…}

と表 わ す こ と が で き る.Sの に 現 わ れ る も の をai2,…

元 で,こ

の 並 び 方 の 最 初 に 現 わ れ る もの をai1,次

とす る と,Sは S={ai1,ai2,ai3,…,ain,…}

と表 わ され る.Sは

無 限集 合 だか ら,こ

の 系 列 が 途 中 で 止 ま る こ とはな い.N

か らSへ の写 像φ を φ(n)=ain

と定 義 す る と,φ は1対1写   この応 用 と して,た

像 で あ る.し た が ってSは 可 算 集 合 で あ る.

とえば

  (3a)  整 数 の 中で,5で

割 りきれ る もの全 体 は可 算 集合 をつ くる.

 (3b)  素 数全 体 のつ くる集 合 は 可 算集 合 で あ る.  素数 とは,1よ

り大 きい 自然 数 で,自 分 自身 と1以 外 に は約 数 を もた な い数 の

こ とで あ る.素 数 の最 初 の部 分 を か くと次 の よ うにな る: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,…

任 意 の 自 然 数 は,素

数 の 積 と して 表 わ さ れ る.

  素 数 が 無 限 に あ る こ と は,背 限 個 し か な か っ た と し て,そ 5,…,pn}と

表 わ さ れ る.自

理 法 を 用 い て 次 の よ うに 示 さ れ る.い の 総 数 をnと

っ て も1余

る.し

割 っ て も,3で

た が っ て,こ

に な り,矛 盾 で あ る.し

数 全 体 は,{2,3,

…pn+1

割 っ て も,5で

の 自 然 数qは,ど

た が っ て,素

  素 数 の つ く る 集 合 は,Nの

の と き,素

然数 q =2・3・5・

を 考 え る と,qは,2で

す る.そ

ま素 数 が 有

割 っ て も,ど

の素 数 で割

ん な 素 数 で も割 りき れ な い こ と

数 は 無 限 に 存 在 す る.

部 分 集 合 で,か

つ 無 限 集 合 だ か ら,可

算集合であ

る.   (4) 

自 然 数 の 対(m,n)(m,n=1,2,3,…)全

体 のつ くる 集 合 は 可 算集 合 で

あ る.   実 際,自

然 数 の 対(m,n)に

は,次

と に よ り,自 然 数 の 集 合Nと1対1に

の よ うに 斜 線 に 沿 っ て 順 次 番 号 を つ け る こ 対 応 さ せ る こ と が で き る:

高々可算集合

  集 合Mが,有

限 集 合 か,可

  可 算 と い う形 容 詞 は,英 bleの 訳 で あ る.ぎ

算 集 合 の と き,Mを

語 でcountableで

あ り,高

こ ち な い 日 本 語 だ が,数

と い う 言 葉 を 用 意 し て お く と,た

高 々可 算 集 合 とい う. 々 可 算 はat

most

学 で は 慣 用 とな っ て い る.高

counta 々可 算

と え ば 次 の よ うな 事 実 を 述 べ る の に 便 利 で あ

る.

Mを 可 算集 合 とす る と,Mの   この こ とは,Mの

任 意 の部 分 集 合 は高 々可 算 集 合 で あ る.

部 分集 合 は,有

限集 合 な らば(3)に

限集 合 か 無 限集 合 か の どち らかで あ り,無

よ り可 算 集合 とな って い る こ とか ら,す ぐに わ か る.

Tea

質 問  高々 可 算 と は,数 most

countableと

た.つ

い で で す か ら,集

答  集 合 は,英

学 の 用 語 と し て は,妙

い う英 語 を 聞 い て,か 合 とか,濃

語 で はsetと

数 学 で は リン ゴ の 集 合 もa natural

numbersと

Time

な も の だ と思 っ て い ま し た が,at

え って納 得 した よ うな 気 分 に な りま し

度 の 英 語 も 教 え て 頂 け ま せ ん か.

簡 明 に い う.応 接 セ ッ トは 日本 語 と な っ て い る が, set of applesで

な る.濃

度 は,potencyま

基 数 と い う英 語 を そ の ま ま使 っ て,cardinal

あ り,自

然 数 の 集 合 はthe

た はpowerで numberと

あ るが,あ

も い う.日

度 の こ と を こ の 英 語 ど う りに カ ー ジ ナ ル 数 とい う こ とが あ る.た な い い 方 を す る.'可 setで

算 集 合 の カ ー ジ ナ ル 数 は〓0で

よい が,enumerable

setと い うい い 方 も,よ

あ る'.可

set of るい は

本語 で も濃

とえ ば 次 の よ う

算 集 合 はcountable

く用 い ら れ る.

第6講 可算集合の和集合 と直積集合 テーマ

◆ 自然 数 の集 合Nを,可

算 集合に 分 け る.

◆ 可 算 集 合 の和 集 合:有 限個 の和 集 合,可 算 個 の 和 集 合 ◆2つ

の可 算 集 合 の 直 積 集合

自然数の集合の分解   可 算 集 合 に 対 して も,有

限 集 合 の場 合 と 同 様 に 和 集合 を 定義 す る ことが で き

る.た とえ ば,自 然 数 の 集 合Nは,偶

数 の つ くる集 合E0と,奇

数 のつ くる集 合

E1の 和 集合 と な って い る: N=E0∪E1 

(1)

も う少 し見 やす くか くと {1,2,3,4,5,…}={2,4,6,…}∪{1,3,5,…}

で あ る.   和 集 合(1)の

右 辺 に 現 わ れ るE0とE1に

強 調 し た い と き,Nは,E0とE1の

は,共

直 和(ま

通 の 元 が な い.こ

た は 直 和 集 合)で

の こ とを

あ る と い っ て,

記号

(2) で表 わ す.記 号 〓は,和 集 合 の記 号 ∪が少 し角 ば って も の もの し くな った と見 る と よい.記 号 の こ とよ りは,可 算 集合Nが,2つ

の 可算 集 合E0,E1か

ら組 み立

て られ て い る こ とに注 意 す べ きで あ る.有 限 集 合 の とき に は,た とえば100個 か らな る'も の の集 り'が,同

じ個 数100個

の もの を2つ 合 わ せ て で きる な ど とい

う ことは,絶 対 に お こ り得 な い.し た が って,こ 個 の'個 数'と は,全  実 は,Nは,も

の点 で は 可算 濃 度N0は,有

く異 な る状 況 を示 す ので あ る.

っ と多 くの可 算 集 合 の直 和 に 分解 す る.そ れ を み るた め に,

限

E0′={1}∪E0={1,2,4,6,8,…}

と お く.次

にE(3)に

よ り,3の

倍 数 で,2で

割 りき れ な い も の 全 体 か ら な る 集

合 を 表 わ す: E(3)={3,9,15,21,…}

次 にE(5)に

よ り,5の

倍 数 で,2で

も3で

も割 りき れ な い も の 全 体 か ら な る 集

合 を 表 わ す. E(5)={5,25,35,55,…}

以 下 同 様 に し て,た

と え ばE(7)は,7の

体 で あ る と定 義 す る.E(7)の E(7)は

無 限 集 合 で あ る.各

倍 数 で,2,3,5で

中 に は,7,72,73,…,7n,… 素 数pに

割 りきれ ない もの全 が 含 ま れ て い る か ら,

対 して,E(p)を,pの

倍 数 で,pよ

さ い 素 数 で 割 り き れ な い 数 全 体 か らな る集 合 と し て 定 義 す る.E(p)は

り小

無 限集 合

で あ る.   そ の と き,Nは

(3) と分 解 され る.各E(p)は 分 集 合E(p)の

可 算集 合 で あ って,pが

素 数全 体 を わ た る とき,部

全 体 は可 算 で あ る.

  標 語 的 に い え ば,自 然 数 の集 合Nは,可

算 個 の 可算 集 合 の 直和 と して 表 わ さ

れ る.   もち ろ ん,自

然数 の集 合Nは,任

意 の有 限個 の,た

とえ ば,100個

合 の 直 和 と して表 わ す こ と もで き る.そ れ に は,素 数2,3,5,… 2番 目 と数 えて い った とき,100番

と,か

の 可 算集

を順 に,1番

目に くる素 数 をp100と し,(3)の

分解 を

き 直 し て お く と よ い.

可算集合の和集合

M,Nを

可 算 集 合 とす る と,和 集 合M∪Nも

可 算 集 合 で あ る.

目,

【証 明 】  こ の 証 明 に は,第4講 る.第4講

で は,有

Ｎ＼Mは,Nの

のTea

Timeで

述べ て あ る 差 集 合の 概念 を 用 い

限 集 合 の場 合 し か 取 り扱 わ な か っ た が,そ

元 で,Mに

の と き と同 様 に,

属 し て い な い も の 全 体 か ら な る 集 合 とす る.そ

の と

き

が 成 り立 つ(図11).N＼Mが 比 べ て,Mの

元 をE0の

可 算 集 合 な らば,こ 元 と1対1に

の 分 解 を,(2)の

対 応 させ,N＼Mの

に 対 応 させ る こ とに よ り,M∪NとNと

の 間 の1対1対

元 をE1の

分 解 と見 元 と1対1

応 が 得 られ る.

図11   N＼Mが

有 限 集 合 で,た

とえ ば{b1,b2,…,bn}と

表 わ され て い る と き に は,M

の元 を {n+1,n+2,…}

と1対1に

対 応 さ せ,N＼Mの

と の 間 の1対1対

元 を{1,2,…,n}に

対 応 さ せ る と,M∪NとN

応 が 得 られ る.

  この こ とか ら,M1,M2,M3が で あ る こ とが わ か る.な

可 算 集 合 な ら ば,M1∪M2∪M3も

また 可算 集合

ぜなら

で あ り,一 方M1∪M2は

上 の 結 果 か ら可 算 集 合 だ か ら,M1∪M2とM3に,も

う

一 度 上 の 結 果 を 用 い る こ とが で き る か ら で あ る.   同 様 の 推 論 を く り返 す こ と に よ り, M1,M2,…,Mnが M1∪M2∪

可 算 集 合 な らば,

… ∪Mnも

可 算 集 合 で あ る.

  も う一 歩 進 め て 可 算 個 の 和 集 合 の 場 合 も考え て お こ う.M1,M2,…,Mn,… 可 算 集 合 の 系 列 とす る.こ

の と き,少

く と も1つ のMnに

を

含 まれ る元全 体 を 考え

る こ とに よ っ て,和

集合

が 得 られ る.こ れ を簡 単 に

とか く こ と も あ る.こ

の と き,次

の こ と が 成 り立 つ.

各Mn(n=1,2,…)が

可 算 集 合 な らば

も また可 算 集合 で あ る. 【証 明 】 M1,M2,…,Mn,… も 共 有 す る 元 が な い 場 合,す

の ど の2つ

を と って

なわ ち

Mi∩Mj=φ(i≠j) が 成 り立 つ 場 合 だ け 示 し て お こ う.こ

の と き,

(4) と 表 わ せ る.Nの

分 解(3)と

見 比 べ て,M1と

E0′,M2とE(3),M3とE(5),…,MnとE(pn) と を1対1に る.こ

対 応 さ せ て お く と,結

れ で 証 明 さ れ た.(な

M1,M2,…,Mn,…

図12 局(4)とNと

おMiとMj(i≠j)の

の 系 列 を,共

の 間 の1対1対

応 が 得 られ

間 に 共 通 の 元 の あ る と き に は,

有 点 の な い系 列

に 直 して か ら,同 様 に考 え る.こ の系 列 に有 限 集合 が 現 わ れ る と きは,適 当 に補 正 す る.)

  可 算 集合 だけ で は な くて,有 限集 合 も考 えに 入れ る と きに は,上 の命 題 よ り, 次 の形 の 命題 の方 が使 い やす い こ と もあ る. 各Mn(n=1,2,…)が

高 々 可 算 集 合 な ら ば,

も また 高 々可算 集 合 で あ る.

可算集合の直積集合

M,Nを

可 算 集 合 とす る と,直 積 集 合M×Nも

【証 明 】

可 算 集合 で あ る.

  M={a1,a2,…,am,…},N={b1,b2,…,bn,…}

と す る と, M×N={(am,bn)￨m,n=1,2,…}

で あ る.前 あ る.こ

講(4)に

よ り,自 然 数 の 対(m,n)全

の 集 合 とM×Nと

に よ っ て,1対1に

は,対

体 の つ くる 集 合 は 可 算 集 合 で

応

対 応 し て い る.し

た が っ てM×Nも

可 算 集 合 で あ る.

  こ の こ と を く り返 し て 用 い る と M1,M2,…,Mnが Ml×M2×

可 算 集 合 な らば,直

… ×Mnも

積集 合

可 算 集 合 で あ る.

こ とが わ か る.   こ こ でM1×M2×

…×Mnは,M1か

らai1,M2か

らai2,…

…,Mnか

らainを

任 意 に と って 並 べ た (ai1,ai2,…,ain)

の よ うな形 の 元全 体 か らな る. Tea

Time

質 問   和集 合 と直 積集 合 の結 果 を見 比べ てみ る と,和 集 合 の方 は,可 算個 の和 集 合M1∪M2∪

… ∪Mn∪ … まで考 え て い る の に,直 積 集合 の方 は,有 限個 の直 積

しか考 え なか った の は,何 か理 由が あ る こ となの で し ょ うか. 答  確 か に理 由は あ った ので あ る.可 算 集 合 の 系列M1,M2,…,Mn,…が れ た とき,私 た ち は,直 積集 合

与え ら

M1×M2× を 考え る こ とが で き る.し

か し,あ

… ×Mn×

…

と の 講 で み る よ うに,こ

算 集 合 で は な い の で あ る.可

算 集 合 よ り,'も

ま う.可 算 個 の 和 集 合 と,可

算 個 の 直 積 集 合 と は,濃

の 集 合 は,も

っ と 濃 度 の 高 い'集

はや可

合 とな って し

度 の 点 か ら み る と,全

く異

な っ た 様 相 を 呈 し て く る.   有 限 集 合 の 場 合 を ふ り返 っ て み る と,い そ れ ぞ れ の 元 の 個 数 は10で

あ る とす る.こ

ま 有 限 集 合M1,M2,M3,M4が

あ っ て,

の とき

で あ るが

で あ る.す なわ ち,直 積 集 合 を とる方 が,和 集 合 を と る とき よ り,は るか に元 の 個 数 が多 くな る.こ の状 況 が,無 限 個 の 直積 集 合 を と った とき,も っ と強 い形 で 反 映 して くるの で あ る.実 際,驚

くべ き こ とに,2つ

の元 か らな る集 合{0,1}の

可 算個 の直 積 集合 {0,1}×{0,1}×{0,1}×

で さ え,も

は や 可 算 集 合 で は な く な っ て,'も

の こ とに つ い て も,第8講

…×{0,1}×…

っ と 濃 度 の 高 い'集

合 と な る.こ

以 下 で 少 しず つ 説 明 し て い く こ と に す る.

第7講 数直線上の可算集合 テー マ

◆ 数 直線 ◆ 有 理 数 の集 合Q ◆ 有理 数 の集 合 は 可 算 集合 ◆ 数直 線 上 の 有 理 点 の稠 密 性 ◆ 互 い に重 な り合 わ な い線 分 の つ くる集 合 ◆(Tea

Time)代

数 的 な数

数   直 線 上 に 相 異 な る2点OとEを りO,Eに

目盛 り1を

与え る と,こ

直

と り(ふ つ うEはOの

の 方 向 に2,3,4,…

ぶ 点 に は,0に

等 間 隔 に 並 ぶ 点 を,Eの

と 目盛 り を つ け る.Oの

近 い 点 か ら 順 に−1,−2,−3,…

ｎ等 分 して,0に一番

右 側 に と る),Oに

れ を 基 準 点 と し て 数 直 線 が 得 られ る.す

ち 物 差 し の 目盛 りを 刻 む の と 同 じ要 領 で,OEと に,右

線

近 い 分 点に1/nと

左 の 方 向 にOEと

て,m/n(m=0,1,2,…;−1,−2,…)の目盛

なわ

右 か ら順 等 間 隔 に並

と 目 盛 り を つ け る.次

目 盛 りを つ け る.今

目盛

にOEを

度 は これ を基準

とし

りを つ け る点 が き ま っ て く る.

図13 こ の よ う に し て,ど

んな有理数m/nを

と っ て も,m/nの

目盛 りを もつ 点 が,直

線

上 の ど こにあ るか が確 定 す る.実 際 は,数 直 線 とい うと きに は,さ らに,任 意 の 実 数 に対 して も,直 線 上 の点 を対 応 させ て,直 線上 の点 は,必 ず あ る1つ の実 数 を 表わ して い る と考 え るの で あ るが,さ

しあた りは,有 理 数 の 目盛 りが きめ られ

て い る上 の よ うな直 線 を,数 直 線 とい う ことにす る.

有理数の集合 分 数 と い っ ても有理数 n=0,±1,±2,…)と

と い っ て も本 質 は 同 じ こ とで,そ

表 わ さ れ る数 の こ とで あ る.し

こ の 表 わ し方 ま で 注 目 し て い る こ と が 多 い.そ は,表

わ し方 は 無 視 し て,た

は,'有理数1/4は2/8に

れはn/m(m=1,2,3,…;

か し,分

数 と い う と き に は,

れ に 反 して 有 理 数 とい うときに

とえ ば

等 し く,0.25と表わ

され る'と い うよ うな いい方も で き

る.以 下 で は,有 理 数 とい う用 語 の方 を 採 用す る こ とにす るが,こ れ は数 学 で は 慣 用 の こ とで あ る.   有理 数 全 体 のつ くる集 合 をQと て,よ

りわ け て み る と,Qは

こ こでm=1,2,3,…

表わ す.有 理 数 を 表 わ す 分 数 の 分母 に 注 目 し

次 の よ うな部 分 集 合 か らな って い る ことがわ か る.

で あ る.Q(m)に属

す る有理数は,数直線上

で 等 間 隔 に お か れ た 分 点 と し て 表 わ さ れ て い る.   す な わ ち,

と な っ て い る.

では,1/mの

幅

  Q(2)の

中 で,約

分 す る と 整 数 と な る も の を 除 い た も の をQ(2)'と

の 中 で,Q(1),Q(2)に

す で に 属 して い る もの を 除 い た も の をQ(3)'と

般 にQ(m)'はQ(m)か

ら,Q(1),Q(2),…,Q(m−1)に

い た も の 全 体 とす る.Q(m)か

らQ(m)'へ

し,Q(3) す る.一

属 して い る 有 理数 を除

と移 る こ と は,数

直 線 の 点 で い え ば,

0か らは じ ま って1/mの 幅 で 等 間 隔 に並 ん で い る分 点 の 中で,整

数 点 お よび 

の 幅 で並 ぶ 分点 と重 な って い る もの を取 り除 くこ とに相 当 して い る.   こ の と き,明

らか に

(1) と な る.   各Q(1),Q(2)',…,Q(m)',… 果 か ら,次

は す べ て 可 算 集 合 で あ る.し

たが って 前 講 の結

の こ とが 示 さ れ た.

有理 数 の集 合Qは

可 算 集 合 で あ る.

有理数の集合 と積集合   有理 数 の 集 合Qが

可算 で あ る ことは,次

の よ うに 考 え て もわ か る.説 明 の簡

単 の た め に,正 の有 理 数全 体 のつ くる集 合Q+が,可

算 で あ る こ とを 示 す こ とに

す る.   自然数 の集 合Nの

直 積集 合N×Nは,自

って,し たが って第5講(4)か

然 数 の対(m,n)か

ら,N×Nは

らな る 集 合 で あ

可算 集 合 で あ る.正 の有 理数 を,

約 分 した分 数 の形 n/m(mとnに で か い て お く と,こ

Sは,N×Nの

外 に共通 の約 数 は ない)

の 表 し方 は 一 通 りで あ る.

し た が っ てn/mに(m,n)を 部 分 集 合Sの

は,1以

上 へ の1対1対

対 応 さ せ る こ と に よ り,Q+か

ら,N×Nの

ある

応φ が 得 られ る:

無 限部 分 集 合 と して可 算 だ か ら,し

たが って またQ+も

可算集合

と な る.

数直線上の有理点   数 直 線 上 で,有 理 数 の 目盛 りを もつ点 を 有 理 点 とい う.PとQが ば,PとQの

中 点Rも

また有理 点 で あ る.な ぜ な ら,点Pが

点Qが 表わ す有 理 数 をr′ とす る と,Rの

で あ っ て,こ

有理点 なら

表 わ す 有 理 数 をr,

目盛 りは

れ は また有 理 数

だ か ら で あ る.   図14か

ら もわ か る よ うに, 図14

こ の こ と か ら ま た,PとRの

中点R′,RとQの

中点R"も

また 有 理 点 とな る.こ

れ を く り返 して い くと,P

とQの 間 に,す き間 の ない くら い,ぎ っ し りと有 理 点 が存 在 して い る こ とが わ か る.   PとQは,ど

この有 理 点 を とって も よい のだか ら,結 局,数 直線 か ら どん な短

い 線 分 を取 り出 してみ て も,必 ず そ の 線分 の中 に,有 理 点 が(実 は無 限 に)含 ま れ て い るわ け で あ る.こ の事 実 を,有 理 点 は数直 線 上 に稠 密 に存 在 す る とい い表 わ す.   有理 点 は稠 密 に存 在 して い るが,数 直線 上 にあ る点全 体 か らみれ ば,実 は,有 理 点 は まば らに しか 存在 してい ない と数 学 者 は感 じて い る.こ の'ま ば ら'と い う感 じ は,稠 密 に存 在 して い る とい う感 じ と相反 す る よ うで あ が,そ れ は 無 限 に 存 在 す る有理 点 の状 態 を,日 常 の 言葉 を用 い て表 現 して い るか らで あ る.こ こで は有 理 点 の全 体 は,等 間 隔 に並 ぶ点 を 順 次数 え上 げ て い くこ とでつ くされ る とい う状 況 を 想像 す る こ とに よって,'ま

ば ら'と い った 言 葉 の響 きを 少 しは 感 じ と

って も らえ るので は な か ろ うか.

互 い に 重 な リ合 わ な い線 分 の つ くる 集 合 有 理 点 の全 体 が,数 直線 上 に稠 密 に存 在 して,か つ可 算 で あ る とい うこ とは,

図15

い ろい ろな こ とを示 す の に用 い られ る.   た とえ ば,図15の

よ うに,数 直 線 上 で,互

与え られ た とす る.こ の線 分 の1つ1つ 集 合Aは

を元 と考 えた 集合 をAと

とる.有 理 点 の集 合Qは Q∩I≠

た が っ てQの

す る.

高 々可 算 集 合 で あ る.

【証 明 】  Aに 属 す る線 分Iを1つ

で あ る.し

い に重 な り合 わ ない 線 分 の集 りが

分 解(1)を

稠 密 だ か ら,

φ

考 え る と,

で あ るが Q(m)'∩I≠ と な るmが

存 在 す る.(m=1か

こ の と き 線 分Iの

も しれ な い.こ

し,そ

の 中 で 一 番 左 に あ る も の をrIと

す る.

  こ の よ うに し て,Aに 属 す る2つ

rI∈I,rJ∈Jだ

か ら,rI≠rJで ら,Qの

の 線 分I,Jに

対 し て,有

対 し て,I≠Jな

あ る.し

あ る部 分 集 合Sの

φ で あ る.)

は 含 ま れ る.ち

ょ うど

うで な い と き は こ の 形 の 有 理 点 の 中 で,I

属 す る 各 線 分Iに

が で き る.Aに

SはQの

の と き はQ(1)∩I≠

中 に はn/mの 形 の 有 理 点 が 少 く と も1つ

1つ の と き は こ の 有 理 点 をrIと

応 は,Aか

φ

た が っ てIに

上 へ の1対1対

部 分集 合 と して高 々可 算 だか ら,Aも

理 点rIを

対応 させ る こ と

ら ばI∩J=φ 対 してrIを

で,一

方

対 応 させ る対

応 ψ を 与 え る:

また 高 々可 算 な集 合 とな る.

Tea

Time

代数 的 な数 全体 の つ くる集 合   や 

は有理 数 で ない ことは知 られ て い るが,そ れ ぞ れ は2次 方 程式 x2−2=0,x2−3=0

の 解 に な っ て い る. 

も有 理 数 で はな いが,3次

方程式

(x−2)3−2=x3−6x2+12x−10=0

の 解 に な っ て い る.

この よ うに,一 般 に整 数 を係 数 とす る代数 方 程 式 (a0≠0)(2) の 解 と な っ て い る数 を,代

数 的 な 数 と い う.n=1の

の解 とな る 代 数 的 な 数 は,ち

場 合,す

な わ ち1次

方程式

ょ う ど有 理 数 で あ る.実 際 

で あ る.し たが って代 数 的 な数全 体 の つ く る 集 合 は,有 理 数 の 集合Qを 部 分 集 合 として含 んでい る.   方 程式(2)の

解 とな る代数 的 な数 をn次 の代 数的 な数 とい うこ とにすれば,

代 数 的 な数 の集 合 は,1次,2次,…,n次,… い る.こ の こ と と,1次

の代 数 的 な数 の和集 合 とな って

の 代数 的 な 数 の全 体Qが

可算 集 合 で あ る こ とに 注 意す

る と,次 の結果 が 成 り立 つ ことが予 想 され るだ ろ う. 代 数的 な数全 体 のつ くる集 合 は可 算 集合 で あ る. この証 明 の要 点 は,代 数方 程式(2)に

対 して

h =n+￨a0￨+￨a1￨+…+￨an￨

とい う数 を考 え る ことに あ る.hを(2)の

高 さ とい うが,高 さhを 与 え た とき,

この高 さを もつ 代数 方 程式 は 有 限個 で あ る.た

とえばh=5と

す れ ば,少

方程 式 の 次数 は5以 下 で,係 数 の絶 対値 も5以 下 で な くて は な らない.1つ

くと も の代

数方 程 式 は,有 限個 の解 しか もた な い か ら,結 局,高 さhの 代 数 方 程式 の 解 の個 数 は有 限 個 で あ る.h=1,2,…

と動 か す と,代 数 的 な数全 体が 得 られ るの だか ら,

したが って代 数 的 な数全 体 のつ くる集 合 は,可 算 で あ る.

第8講 実数の構造―

小数展開

テーマ

◆10進

法 と小 数

◆ 無限小数展開 ◆ 無 限 小 数展 開 と数 直 線上 の点 ◆ 数 直 線 と実 数 ◆(Tea

Time)デ

デキ ン トの切 断

10進

法

私 た ち は,ふ つ う10進 法 を 用 い て数 を表 わ して い る.た とえば 10.561と

か121.863401

な ど で あ る.数

直 線 を 用 い て,こ

て お き た い.私

た ち に 特 に 関 心 の あ る の は,小

況 で あ る.そ

の た め に は,あ

の 範 囲 を0と1の

法 を,も

う 一 度 よ く見 直 し

数 点 以 下 の と こ ろ に 続 く展 開 の 状

ま り大 き い 数 ま で 考 え る 必 要 も な い の で,考

え る数

間 に 限 っ て お く こ と に す る.

  数 直 線 の0と1の お く.も

の 使 い な れ た10進

間 を10等

分 し,得

う少 し正 確 に い う と,区

ら れ た 区 間 を 左 か ら 順 にJ0,J1,…,J9と

間[0,1)={x￨0≦x<1}を10等

分 し,

J0=[0,0.1),J1=[0.1,0.2),…,J9=[0.9,1)

とお く.(区 間 を 表わ す 記 号[a,b)で が,右 の端 点bは

は,左 の端 点aは 区 間 の 中 に 含 まれ て い る

区間 の 中 に含 まれ て い な い ことを示 して い る.)

  この と き,小 数 の意 味 を 考 え てみ て も,あ るい は物 差 しの 目盛 りの ことを思 い 出 して みて も,す ぐわ か る よ うに

J0に 含 まれ て い る 数 は,0.0…

と 表 わ さ れ,

J1に 含 まれ て い る 数 は,0.1…

と表 わ さ れ,

J9に 含 ま れ て い る 数 は,0.9…

  次 に,J0か て,J3を

らJ9ま

ま た10等

で の 中 の1つ 分 して,左

の 区 間,た

と表 わ さ れ る.

とえ ば 区 間J3に

注 目す る こ と に し

か ら順 に この 区 間 を J 30,J31,…,J39

と お く.た

と え ばJ32=[0.32,0.33)で

あ る.

  この と き

J30に 含 ま

  さ ら に,た ば,今

て い る数 は,0.30…

と表 わ さ れ,

J31に 含 ま れ て い る数 は,0.31…

と表 わ さ れ,

J39に 含 ま れ て い る 数 は,0.39…

と 表 わ さ れ る.

と え ば 区 間J35に

注 目 し て,J35を10等

分 して,同

様 に進 め てい け

度は

J350に 含 ま れ て い る 数 は,0.350…

と表 わ され,

J351に 含 ま れ て い る 数 は,0.351…

と表 わ さ れ,

J359に 含 ま れ て い る数 は,0.359…

と 表 わ され る,

  この よ うに して,小 数 点 以下 の 桁数 が1つ ず つ 増 え るた び に,そ の数 のあ る範 囲が,前

よりは,1/10の

小 さい範囲 へ と限定 され て くる.

無限小数展開 小 数 点 の桁 数 が どん どん 増 え て,た とえば 0.358201362274501 の よ うに な る と,図16の

よ うな 図 を次 か ら次へ と 用意 して い か ない と,こ の小

数 を 数 直線 上 に 図示 で きな くな って くる.上 の 小数 は,小 数点 以 下15桁 だ か ら, 15回,区

間[0,1)の10等

分 の細 分 を く り返 した 末 に,現 わ れ た 区間J358201362274501

図16

の左 側 の端 点 として,こ の数 が,数 直線 上 に 表 現 され て い る ことを示 して い る.  想 像 力 を働 か せ て この状 況 を 思 いや っ てみ て も,何 か 気 の遠 くな る よ うな話 で あ る.   しか し,こ の話 は,も っ と先 へ と続 け て いか な くて はな らない.  上 に書 い た小 数 は,15回 ったが,区 間[0,1)の

目の 細分 で,首 尾 よ く,一 つ の細 分 区 間 の左 端 に乗

中 の あ る点 を とった と き,も

し この 点 が ど こまで い って

も,細 分 区 間 の左 端 の点 と一 致 しな けれ ば,こ の 点 を表 わす 小 数 展 開 は ど こまで も ど こまで も続 いて い くこ とに な るだ ろ う.小 数 点 以下n位 まで の 値 が 求 め られ れ ば,こ

の 点 は, 

きる,だ

が,こ

の長 さの,あ

る小 さ な区 間 の 中に あ る こと まで は 限定 で

の点 が,こ の細 分 区 間 の左 端 に 一致 しなけれ ば,さ

らに10等 分

を くり返 して,こ の 点 の あ り場 所 を 限 定 してい か な くて は な らない だ ろ う.そ し て この こ とが,小 数 点 の桁 数 をnか らn+1へ

と上 げ て い く ことに対 応 して い る.

た とえば,1/3を表わ す 数直 線 上 の 点 をPと す る と

だ か ら,点Pは,ど 左 か ら4番目

ん な に 上 の よ う に 区 間 の 細 分 を く り返 し て い っ て も,つ

に あ る 区 間 の 中 の(左

と は 一 致 し な い.そ

か ら)1/3の場所に

あ っ て,決して区間

ね に

の端点

し て ど こ ま で も こ れ と 同 じ 状 況 が 続 い て い く.

  も ち ろ ん,0.333…33…

とい う無 限 小 数 は,有

限 小 数 の系 列

a1=0.3,a2=0.33,a3=0.333,…

の 近 づ く先 と な っ て い る.数 a2はJ33の

直 線 上 で い え ば,a1は

左 端 の 点,a3はJ333の

の左 端 の点 が,し だ い に  し て,点Pが

区 間J3の

左 端 の 点 と な っ て い る.こ

左 端 の 点 で あ り, の よ うな 細 分 区 間

の 間隔 で 間 を狭 め なが ら,密 集 して い っ た極 限 と

表 わ さ れ て い る.

しか し,数 学 の立 場 では1/3だ け を特別 扱 いす る必 要 もない だ ろ う.任 意 に 0.7,0.71,0.715,0.7155,0.71556,…

の よ うな,小 数点 の桁 数 が増え て い く有 限小 数 の 系列 が 与え られ れ ば,こ の近 づ く先 の 極 限の 点 が,数 直 線 上 にや は り存 在 す る と考 え るの は,む しろ 自然 の こ と と な って くる.   この よ うに して,無 限 小 数 0.α1α2α3…αn…

(αiは0か ら9ま で の 自然 数)と,こ

の無 限小 数 を 表わ す 数 直 線 上 の点 が 存 在 す

る とい う考 え が 数学 の 中に 確定 して きた.

0.999…99…=1

  a1=0.9,a2=0.99,a3=0.999,…

とい う有 限 小 数 の 系 列 は,ど

こ に 近 づ き,

ど の よ うな 数 を 表 わ し て い る と考 え た ら よ い だ ろ うか.こ

れ らの 数 を 表 わ す 数 直

線 上 の 点 は,区

らか に こ の 点 列 は,1

間J9,J99,J999,…

へ と近 づ い て い く.し

の 左 端 の 点 で あ っ て,明

た が っ て,近

づ く極 限 を,無

0.999…99…=1

と な る.   同 じ よ うに 考 え る と 0.2=0.1999…99… 0.563=0.562999…99…

限 小 数 の 値 と し た の だ か ら,

で あ る.   この よ うに して,有 限小 数 は無 限小 数 に よって か き表 わ す こ とが で きる.

実数と数直線 小数 を 用 いて α.α1α2α3…αn…

と 表 わ さ れ る 数 を 実 数 とい う.こ 9ま で の 自然 数 とす る.た

こ でα は 整 数 で,α1,α2,…,αn,…

だ し,あ

る番 号 か ら 先0が

続 く―

は,0か

ら

有 限 小 数―

は,そ れ ぞ れ α>0 の と き (α−1).999…99… α≧0 の と き α.α1α2α3…(αn−1−1)999…9… と 同 じ 数 を 表 わ す とす る,α<0の

と き は,た

とえ ば

−1=−0.999…9…

の よ うに,正

の 場 合 の 同 一 項 の 両 辺 に マ イ ナ ス 記 号 を つ け た も の と す る. 0=0.00…0…

の場 合 は例 外 的 で あ っ て,無 限 小 数 と しての 表 わ し方 は この一 通 りで あ る.   相 異 な る実 数 は,数 直 線 上 の相 異 な る2点 を表 わ して い る.ま た,数 直 線 上 の 点 に は,必 ず1つ の実 数 が対 応 して い る と考 え る.   以下,数 直 線 とい うと きに は,こ の よ うに,1つ1つ

の数 直 線 上 の点 が,あ る

実 数 を表 わ して い る と考え る もの とす る.時 に は,点 と,そ の点 が表 わ して い る 実数 を,区 別 しな いで,同 じ もの と見 な して,考 え る こ と もあ る. Tea

Time

質 問   デ デ キン トとい う数 学 者 に よ って は じめ て 考 え られ た とい う'実 数 の連 続 性'を 聞 い た こ とが あ ります.そ れ に よ ります と,実 数 は,上 の組,下 の組 と2

つ の 組 に わ け,上

の組 に 属 す る数 は,下

の組 に 属 す る どの 数 よ りも大 きい とす

る;そ の とき次 の2つ の場 合 の どち らか一 方 だ け が必 ず お きる:   (1)  上 の組 に最 小 数 が あ るが,下 の組 に最 大 数 は ない.   (2)  下 の 組 に最 大 数 が あ るが,上 の組 に最 小数 は ない. この'実 数 の連 続 性'を,い

まの よ うな無 限 小 数 の立 場 で 述べ る と,ど うい うこ

とに な る ので し ょ うか. 答  前 の説 明 に合 わ す た め に,上 の組 に属 す る数 も,下 の組 に属 す る数 も,と も

図17 に 区 間[0,1)の

中 に 存 在 し て い る 場 合 を 考 え る こ と に す る.

  区 間[0,1)を

最 初 に10等

1つ の 区 間 が 存 在 し て,た

分 し て 得 ら れ る 区 間J0,J1,…,J9の と え ば そ れ をJ5と

す る と,J5の

中 に,必

中 に は,上

ず ただ の 組 と下

の 組 の 数 が 同 時 に 含 ま れ て い る. も し,J5で

この状 況 が お き て い

れ ば,J0,J1,J2,J3,J4は

下 の組 に

属 す る 数 だ け か ら な る し,J6,J7, J8,J9は

図18

上 の組 に 属 す る 数 だけ か

ら な る.   次 のJ5の

細 分 で も 同 様 の こ とが お き て,J50か

らJ59の

の 中 に 上 の 組 と 下 の 組 の 数 が 同 時 に 含 ま れ る.J51の て,上

の 組 の 数 と,下

中 の1つ,た

の 組 の 数 を 同 時 に 含 む 区 間 の 列,た J5⊃J51⊃J517⊃J5173⊃

とえば

…

の よ うな もの が得 られ る.こ の と き無 限小 数 0.5173…

で 表 わ され る実数 γは,ち

ょうど

と え ばJ51

細 分 で も 同 様 の こ とが お き

(1)の 場 合

上 の組 と下 の 組 の切 断 を与 え る数 とな って い る.   も し,こ のγ が 上 の組 に属 して

(2)の 場 合

い れ ば,γ は上 の 組 の最 小 数 で あ

図19

る.こ

の とき 0.5,0.51,0.517,0.5173,…

は下 の 組)に属 して,い

くらで も γに 近 づ け るか ら,下 の組 に最 大数 はな い.す な

わ ち,'実 数 の連 続 性'の(1)の

場 合 が 生 じてい る.

  も し,こ のγ が下 の組 に属 してい れ ば,γ は下 の組 の 最大 数 で あ る.こ

のとき

0.6,0.52,0.518,0.5174,…

は上 の組 に 属 して,い

くらで もγに近 づけ るか ら,上 の 組 に最 小 数 は な い.す な

わ ち,'実 数 の連 続 性'の(2)の場合

が 生 じ て い る.

  図 を参 照 しな が ら,自 分 で 少 し考え てみ る と,デ

デ キン トが'実 数 の連 続 性'

で どの よ うな 性 質 を述 べ よ うとした かが わ か るだ ろ う.

第9講 2進 法,3進

法,…

テー マ

◆2進

法

◆2進

法 に よ る無 限 小数

◆3進

法

◆3進

法 に よ る無 限 小数

◆

カン トル集 合

◆0≦x<1を

満 た す 実数xの'自

然 数展 開'

2進   実 数 は,10進 考 え れ ば,実

法

法 に よ る 小 数 展 開 に よ っ て 表 わ す こ と が で き た が,同 数 は,0と1し

か 現 わ れ な い2進

じ よ うに

法 に よる小 数 展 開 に よって表 わ す

こ と も で き る.   こ の こ と を 説 明 す る た め,簡 る こ と に す る.前 代 りに,今

講 で,区

度 は,区

単 の た め に 区 間[0,1)に

間[0,1)を10等

間[0,1)を2等

J0′とJ1′に 属 す る数 には,小

属す る 実数 だけ を 考 え

分 し て 区 間J0,J1,…,J9を

分 して,区

間J0′,J1′ を つ く る:

数 点 以下 第1位 に 現わ れ る数 として,そ れ ぞれ0

と1を 割 りふ って お く.   次 に,J0′,J1′ を それ ぞ れ2等 分 して,区 間 J00′,J01′,J10′,J11′

を つ くる.そ

作 った

して J00′に 属 し て い る 数 に は,0.00を

割 りふ り,

J01′に 属 し て い る 数 に は,0.01を

割 りふ り,

J10′に 属 し て い る 数 に は,0.10を

割 りふ り,

I0

J11′に 属 して い る数 に は,0.11を 以 下,同

様 の 操 作 を,10進

割 りふ る.

法 の 場 合 と 同 じ よ うに く り返 し て い く こ と によ り,

一 般 的 には,極 限 の状態 で,区 間[0,1) に属 す る任 意 の実 数 は 0.β1β2β3…βn… と表 わ さ れ る.こ … は0か1か い.こ

こ で β1,β2,β3,…,βn,

い ず れ か の値 し か と らな

れ を 実 数 の2進

展 開 とい う.

  10進 法 に よ る 展 開 と 同 じ よ う に,細 分 して い く と き 現 わ れ る 区 間 の 左 端 の 点 (≠0)は,有 2通

限 小 数 と無 限 小 数 と に よ る

りの 表 わ し方 が あ る.た

とえば 図20

0.01011=0.010101111…

3進 区 間[0,1)を3等

分 し て,左

法

か ら順 に この 区間 を ,I1,I2

と し,以 下 く り返 し,こ て,区

間[0,1)に

れ ら の 区 間 の3等

属 す る 数 の3進

分 を 行 な っ て い く.こ

小数

に よ る展 開 が 得 ら れ て く る.   3進 小 数 に よ る 実 数 の 表 示 で,用 れ る数 字 は0,1,2の3つ で,点Pは0.12を

で あ る.図21

表 わ す 点 で あ る.ま

た 点Qは0.022,点Rは0.121を 点 で あ る.一

い ら

般 に は[0,1)に

表わす 属 す る数

は 0.1011212201002…

の よ うに 無 限 小数 で 表 わ され る.   こ こで も各 区間 の 左 端 に 現 わ れ る点

図21

の操 作 に対 応 し

(≠0)に は,有

限 小数 と無 限小 数 に よ る2通

りの表 示 が あ る.た

とえ ばI1の 左

端 に現 わ れ る点 は 0.1=0.0222…

と表 示 され る.

カ ン トル 集 合 区間 

を 考 え る.[0,1]か

ら,ま

を取 り除 く.そ の とき残 った 集合 は区 間[0,1]から真 2つ の 区 間 か らな るが,こ

ず 開 区間

中 の1/3の 部 分がぬけ て,

の それ ぞ れ の 区 間 の真 中 の1/3の 部 分(長

さに して 

の区 間)を 再 び取 り除 く.す なわ ち,こ の第2段 階 で 取 り除 かれ る区 間 は と

で あ る.   残 され た そ れ ぞ れ の 区 間か ら,ま た 真 中 に あ る1/3の 部 分(長

さに して 

の 区 間)を 除 く.こ れ は第3段 階 の操 作 で あ る.   この操作 を 次 か ら次 へ と続 け て い く の だが,こ の各 段 階 で の操 作 は,図22 を見 た方 が わ か りや す い.   区間[0,1]か

ら,こ の よ うに して

開 区間 を どん どん 取 り除 い て い った と

図22

き,最 後 まで除 か れ ない で 残 った点全 体 のつ くる集 合 を,カ ン トル 集 合 とい う.   カ ン トル集 合 を 生 成 す る各段 階 の操 作 は図 示す る こ とは で きて も,カ ン トル集 合 そ の もの を図 示 す る こ とはで きな い.カン

トル 集 合 は,[0,1]の

中 で み る限

り,ま るで隙 間 だ らけ な の で あ る.眼 で見 て 確 か め られ な い の だか ら,カン

トル

集 合 に属 す る点 は本 当 に た くさん あ るの だ ろ うか とい う疑 問 が 当然 生 じて くる. 実 は,カ

ン トル 集 合 は た くさ んの 点 を 含 んで い る.す なわ ち,次

の こ とが い

え る.

カ ン トル集 合 に 属す る実 数 は,区 わ した とき,0と2だ

間[0,1]の

数 を,3進

小 数 で書 き表

けで 書 き表わ せ る実 数 全 体 か ら な る.

  この こ とを み るに は,取

り除 かれ た 集 合 は,ち

ょ うど実数 を3進 小 数 展 開 して

い く過 程 で,小 数展 開 に1を 割 りふ って い く場 所 とな って い る こ とに注 意 し さえ す れ ば よい.た だ し,取 り除 かれ た 区 間 の 中 に は,左 端 の点 は含 まれ て い な か っ た.た

とえ ばI1の 左 端 の 点 は,取

り除 か れ ず に残 って,カ

い る.し か し この点 は,前 の注 意 の よ うに0.1=0.0222…

ン トル 集 合 に 属 して と 表 わ さ れ て い るか

ら,問 題 な い の で あ る.

区 間[0,1)に   以 下 で 述 べ る こ と は,実

属 す る 実 数 の'自 然 数 展 開'

数 の 集 合 と い う も の が,い

か とい う こ と を 感 じ と っ て も ら うた め の,一   区 間[0,1)を,次

か に 複 雑 な 様 相 を もつ もの

つ の エ ッ セ ー で あ る.

の よ うに 可 算 個 の 区 間 の 直 和 集 合 と して 表 わ す:

(1)   こ の 分 割 に 対 応 し て,区 …,n,…

を 割 りふ る.す

間[0,1)に

属 す る 数xの

小 数 点 第1位

の 所 に0,1,2,

なわ ち

に 属 す る 数 に は,0.0を

割 りふ り,

に 属 す る 数 に は,0.1を

割 りふ り,

に 属 す る 数 に は,0.2を

割 りふ り,

に 属 す る 数 に は,0.(n−1)を

割 りふ り,

と い う よ うに す る.   さ て,(1)の

右 辺 に 現 わ れ た 各 々 の 区 間 は,区

間[0,1)を

相 似 写 像 で縮 小 す

る こ と に よ っ て 得 ら れ て い る.た

写像 

とえ ば

によ り

の縮 小

写像 

に より

の縮 小 等 で あ る.   [0,1)の

分 割(1)は,こ

れ ら の 相 似 写 像 に よ っ て,(1)の … の 上 の 分 割 へ と,う

それ ぞれ の 区 間, 

右辺 に 現 われ た つ さ れ て い る.す

なわ ち,そ れ ぞれ の区 間 が,再 び可 算 個 の 区 間へ と分割 され て い く.こ の状 況 は,10進 進 法,3進

法,2

法 の場 合 に述 べ た も

の と似 通 って い る.違 う点 は, 前 に 述べ た場 合 は 等分 点 に よ る 分 割 が順 次 く り返 され て い った の に,今 度 は,分 割(1)を

標

準 的 な形 と して,こ れ を 相似 写

図23

像 に よ っ て うつ し て い る こ と で あ る.   こ の 違 う点 だ け を 除 け ば,分 第2段

階,第3段

階,…

割(1)を

相 似 写 像 に よ っ て うつ す こ とに よ っ て,

と,得 ら れ た 区 間 を 次 か ら 次 へ と 分 割 して い く こ と が で

き る だ ろ う.分 割 は 常 に,可

算 無 限 個 の 分 割 で あ る.

  こ の 各 細 分 の 段 階 に お い て,順

次,小

数 点 以 下 に0,1,2,…,n,…

を 割 りふ っ て い く こ と に よ り,任 意 の 実 数x(0≦x<1)に 数 進 法'に 1)は,た

の どれ か1つ

対 して,い わ ば'自

よ る 小 数 展 開 とい うべ き も の が 得 られ て く る:任 意 の 実 数x(0≦x< だ1通

りに x=0.n1n2n3…nk…

と 表 わ され る.こ

こ で 各nkは0,1,2,…

 

(2)

の ど れ か1つ

の 値 を と る.

然

  逆 に,0.n1n2n3…nk… [0,1)の

と い う表 現 が 任 意 に 与 え られ れ ば,そ

中 の あ る1点

れ に よって 区 間

が 確 定 す る.

 い ま

nk=10k に と っ た と き,(2)は

ど の よ うな 実 数 を 表 わ し て い る の だ ろ うか.ま

た

nk=k! に と っ た と き,(2)は る と,隠

どの よ うな 実 数 を 表 わ し て い る の だ ろ うか と想 像 し て み

さ れ て い る 謎 め い た 実 数 の 素 顔 が の ぞ い て くる よ うで あ る.

  ま た,{0,1,2,…,n,…}の

と お く と,Sは

部 分 集 合Sが

与 え ら れ た と き,

一 種 の カン トル 集 合 の よ う な もの で あ る が,こ

よ う な 部 分 集 合 と な る の だ ろ うか.実

れ は[0,1)の

どの

数 の も つ 謎 は 深 い の で あ る.

Tea

Time

カ ン トル集 合 の もつ1つ の性 質   カン トル集 合 は,そ の構 成 を 数 直線 で 追 う限 りで は,霞 の よ うな,あ るか ない か は っ き りし な い集 合 にみ え るが,実 際 は,非 常 に多 くの 実数 を含 ん で い る妙 な 集 合 で あ る.カ ン トル集 合 に 関 す る次 の シ ュ タ インハ ウス の結 果 も,や は り奇 妙 で,興 味 を惹 く. 0≦a≦2を

み た す 任 意 の 実 数aは,カ

実 数x,yを

ン トル 集 合 に 属 す る 適 当 な2つ

の

と る こ とに よ り x+y=a

と表 わ す ことが で きる. 【証 明(概 略)】  カ ン トル 集 合 をCと す る.Cは[0,1]の

部 分集 合 だか ら,座 標

平 面 上 で,直 積 C×C={(x,y)￨x∈C,y∈C} を つ く る と,C×Cは,正 1]×[0,1]か

ら,カ

方 形[0,1]×[0,1]の

部 分 集 合 とな る.C×Cは,[0,

ン トル 集 合 を つ く る と き に 除 い た 開 区 間 と[0,1]の

直積 を

除 い た も の と して 得 られ て い る.(図24で, 斜 線 の部 分(境 界 は 含 まれ て い ない)が 除か れ た 部 分 の 一 部 を示 し て い る.)容 易 に確 か め られ る よ うに, x+y=a(0≦a≦2) と い う式 で 与 え ら れ る 直 線 は,[0,1]×[0,1] を 斜 め に 横 切 る と き,必

ず,ど

し な い 点 を 通 っ て い る.こ

こか斜 線 に属

の こ と は,上

の結

果 が 成 り立 つ こ と を 示 して い る. 図24

第10講 実 数 の 集 合 テー マ

◆ 実 数 の 集 合Rは

可 算 集 合 でな い.

◆ 対 角 線 論法 ◆ 連 続 体 の濃 度〓 ◆ 無 限 集 合 と高 々可 算 集 合 の 直和 ◆ 無 理 数 の つ くる集 合 ◆ 連 続 体 の濃 度 を もつ 集 合 の例 ◆(Tea

Time)超

越数の集合

実数の集合R   実 数全 体 のつ くる集 合 をRと

す る.実 数 と数 直線 上 の点 と は1対1に

て お り,私 た ち は この2つ を 同一 視 して い るの だか ら,Rは,数

対応 し

直 線 上 の 点全 体

のつ くる集 合 とい って も同 じ ことで あ る. 前 講 の 終 りで 述 べ た こ とか ら,読 者 は,Rは,有

理 数 の集 合Qと

か重 厚 で,底 知 れ ない 対 象 で あ る よ うな感 じを も たれ た の で は なか ろ うか.   実 際,次 の定 理 は,こ の感 じ のい くらか を確 か め る ことに な って い る.

【定 理】  実数 の集 合Rは

可算 集 合 で は ない.

  この 証 明 を与 え る 前 に,開 る 点 全 体 の 集 合 をR(0,1)と R(0,1)は1対1に

区 間(0,1)に

属す

表 わ す と,Rと

対 応 し,し た が って 同 じ濃 度

を もつ こ とに注 意 し よ う.実 際,写 像

図25

違 って,何

は,R(0,1)か

らRの

定 理 を 示 す に は,次

上 へ の1対1写像

を 与 え て い る(図25参

照).し

た が って

の こ とが 成 り立 つ こ とを 示 す と よ い.

集 合R(0,1)は

可 算 集 合 で は な い.

対角線論法   この こ との証 明に,カ

ン トル は1874年 に最 初 に 示 した とき に は,区 間 縮 小法

に基 づ く背 理 法 を 用 い たが,後 に有 名 な対 角 線論 法 を適 用 した.こ

こで は この対

角 線 論法 を 紹 介 し よ う.こ の 論法 は 背理 法 か ら出 発す る.   い ま,R(0,1)は

可算 集 合 と仮 定す る.そ

実数 は,Nと1対1に

の とき,0<x<1を

み た すす べ て の

対応 し,し たが って,番 号 を つ け て R(0,1)={x1,x2,x3,…,xn,…}

と並 べ る こ とが で き る.各xnを

と す る.こ

の と き,次

無 限 小数 に展 開 し

の よ うな 無 限 小 数xを

こ こ で ω1,ω2,ω3,…,ωn,… は,0で ≠γ3,…,ωn≠μn,… で よ い し,β2が8な 表 わ し て お り,し と も一 致 しな い.な 小 数 点 第2桁

も9で

と っ て み る.

も な くて,か

を み た し て い る とす る.(た ら ば,ω2は2で

よ い.)こ

た が っ てx∈R(0,1)で ぜ な ら,xとx1は

目が 違 っ て お り,一

つ,ω1≠

α1,ω2≠ β2,ω3

とえ ば α1が3な

のxは,確

ら ば,ω1は4

か に0と1の

間 の 実数 を

あ る が,xは,x1,x2,…,xn,…

の どれ

小 数 点 第1桁 般 にxはxnと

目が 違 っ て お り,xとx2は

小 数 点 第n桁

目が 違 って い るか

ら で あ る.こ れ は 明 ら か に 矛 盾 で あ る.し

た が っ てR(0,1)は

可 算 集 合 で は な い.

連続体の濃度   上 の 定理 に よって,実 数 の集 合 は可 算 集 合 で な い ことがわ か った.実 数 の集 合 Rは,自

然 数 の 集合Nに

比 べ て,は るか に多 くの元 を含 む集 合 なの で あ る.

【定義 】  実数 の集 合Rは,連

続 体 の濃 度〓 を もつ とい う.

  この よ うに して,有 限 の基 数1,2,3,…,n,… 濃 度―〓0と〓

の ほ か に,さ らに 無 限 の基 数―

が存 在 す る こ とに な った.

  私 た ち は,ふ つ う,無 限 とは,有 限で ない もの と漠 然 と考 え て お り,無 限 の 中 に さ らに い くつ か の 階層 が あ る とは思 って い な い.'無

限'と い う言 葉 が,日

常

的 な感 覚 を離 れ て,私 た ちの 思 考 の確 実 な対 象 とな るの は,数 学 とい う学 問が, 長 い 間 築 き上 げて きた形 式 の 中 だ けで あ るが,こ の数学 の形 式 の 中で さえ,無 限 に は,〓0と は 別 な〓 とい う階 層 が あ る とい うこ とを見 出 した ことは,驚 発 見 で あ った.こ の発 見 は,カン

くべ き

トル に よ るので あ る.

無限集合と高々可算集合の直和   連 続 体 濃 度 を もつ 集 合 の例 を挙 げ る前 に,次 の一 般 的 な 命題 を述べ てお く方 が つご うが よい. (*)Mを

無 限集 合,Aを

の 間 に は,1対1の

高 々可 算集 合 とす る.こ の と きMと

対 応 が あ り,し た が っ て,こ

の2つ

の 集 合 の濃 度 は

等 し い.

【証 明 】 Mか

ら1つ

1つ の 元b2を

と る こ と が で き る.以

っ た と き,残

りの 集 合M―{b1,b2,…,bn}か

が で き る.Mは

の 元b1を

と る.M―{b1}は

無 限 集 合 だ か ら,こ

空 集 合 で な い か ら,こ

下 同 様 に し て,Mか ら さ ら に1つ

の 中か ら

ら元b1,b2,…,bnを の 元bn+1を

の 操 作 は ど こ ま で も続 け ら れ る.そ

と

とる こ と こで

B={b1,b2,…,bn,…}

とお くと,BはMの

部 分 集 合 で あ って,か

つ 可 算集 合 で あ る.第6講

を 参照 す

る と,可 算集 合 と可 算集 合 の 和 は(し た が って,当 然,可 算 集 合 と有 限 集 合 の和

は)可 算 だ か ら,直 和 集 合 

は可

算 集合 で あ る. したが っ てBと 

は,あ

像φ に よ っ て1対1に こ の と き,写

対 応 して い る.

像

を,x∈M−Bの x∈Bの

図26

と き は,φ(x)=x;

と き は,φ(x)=φ(x)と

の 左 辺,右

る写

定 義 す る.φ

は 明 ら か に1対1写

像 で あ る.こ

辺 に 現 わ れ る集 合 は

で あ る こ とに 注意 す る と,こ れ で 命 題 が証 明 され た.   この証 明を 読 んで み る と,無 限 集 合Mの

中 に は,必 ず 可 算集 合Bが

い うこ とが,証 明の要 点 で あ る こ とがわ か る.Bの る よ うに,全

とれ る と

存 在 は,上 の証 明か ら もわ か

く自明の よ うで あ るが,実 は ここで私 た ち は選 択 公理 とい うもの を

暗 に仮 定 し,そ れ を使 ってい た の で あ る.こ の論 点 は 微妙 で,ま た'無 限'に 関 す る深 い洞 察 を必 要 とす る.選 択 公 理 につ いて は,第27講 に す る.(な お,第28講

も参 照.)

  な お,こ の 命 題 は,す

ぐこの あ とで,Mが

この よ うな具 体 的 な集 合 の ときに は,Mの えば,Bと

で詳 し く論 ず る こ と

無 理数 の集 合 の と き に 用 い るが, 中 に可 算 集合Bが

あ る ことは,た

と

して

を とれ ば よいか ら問題 は 何 もな い ので あ る.

無理数全体のつ くる集合 有 理 数 で な い実 数 を無 理 数 とい う.た とえば, 

な どは

無 理 数 で あ り,ま た 円周 率 πも無理 数 で あ る ことが 知 られ て い る.無 理 数 全 体 の つ くる集 合 をKと

す る と,実 数 の集 合Rは

と直和 に分 解 され る.有 理 数 の 集 合Qは

可 算 集合 で あ る.し た が っ て,前 の 命

題 が 使 え て,RとKの

間 に は1対1の

対 応 が 存在 す る.し た が っ て,次

の定 理

が示 され た. 無 理 数 の集 合 は,連 続 体 の濃 度〓 を もつ.

濃度〓 をもつ集合の例   濃 度〓 を もつ い ろ い ろ な 集 合 の 例 は,一 講,第17講   (1) 

で 与 え る が,こ

こで は2,3の

般 的 な 準 備 を 済 ませ た あ と で,第16 ご く基 本 的 な も の だ け を 述 べ て お こ う.

開 区 間(a,b)に

属 す る す べ て の 点 か ら な る集 合.

開 区 間(0,1)に

属 す る 点 全 体 の集 合

は 濃 度〓

で あ る.一

と 区 間(a,b)と

方,区

間(0,1)

は,図27で

う に,1対1に

示す よ

対 応 して い るか ら同 じ

濃 度〓 を も つ.あ (b−a)x+aに

る い は 写 像:x→

よ っ て1対1に

対応 し

て い る か ら と い っ て も よ い. (2) 

半 開 区 間[a,b),お

よび,閉

図27 区 間[a,b]に

属 す るす べ て の点 か ら な る

集 合.   と も に,開 だ か ら,命 (3) 

区 間(a,b)に1点,ま 題(*)か

た は2点

を つ け 加 え て 得 ら れ る集 合

ら 明 らか.

カ ン トル 集 合   カ ン トル 集 合 に 属 す る 点 を,3進 限 小 数 展 開 に は0と2だ る.た

法 に よ っ て 無 限 小 数 展 開 す る,こ

け が 現 わ れ る が,こ

こ で2を1に

の無

お きか えて み

とえ ば 0.02220020…→0.01110010…

と す る.こ 区 間[0,1]の と,区

の と き得 られ た0と1か

ら な る無 限 小 数 を,2進

実 数 の 小 数 展 開 と み る こ と に よ り,カ

間[0,1]の

点 と が1対1に

合 の 濃 度 は〓 で あ る.

対 応 す る.し

法 に よ る,

ン トル 集 合 の 点

た が っ て,カ

ン トル 集

Tea

Time

超越数の集合   第7講 のTea

Timeで,代

数 的 な数 に つ い て述 べ て お い た.代 数 的 な数 で な

い 実 数 を 超越 数 とい う.円 周 率 πや2  は,Rの

中で 可 算部 分 集 合 をつ くって お り,ま た R=(代

だ か ら,命

な ど は 超 越 数 で あ る.代 数 的 な数全 体

題(*)に

数 的 数 の集 合)〓(超

越 数 の 集 合)

よって

超越 数 の集 合 は,濃 度Rを

もつ.

こ とが わ か っ た.

質 問   無理 数 の 集 合 の 濃 度 がRで

あ る こ との 証 明 はわ か りま したが,気

分 の上

で は,何 か す っき りしな い もの が残 って い ます.数 直 線 上 で考 えて み る と,無 理 数 の 間 に は有 理 数 が 稠密 に ま じ り合 って い て,無 理 数 だ け を選 別 して,純 粋 に取 り出 して み る こ とは,本 当に 難 しい ことだ と思 い ます.こ の,際 限 な く不 連 続 に 並 ぶ とい って よい 無 理 数 の集 合が,連 続 的 につ なが って い る直 線 上 の点 と1対1 に対 応 して い る とい うこ とが,何

とも妙 に 思 え る のです.上

に与 え られ た 証 明 は

間接 的 で,こ の点 に 触 れ られ て い ない よ うです.こ の対 応 を具 体 的 に表 わ して み る こ とはで き ない で し ょ うか. 答  一 般 的 な 観 点 か らい って,こ

の質 問 の 意 味す る と ころ は 深 い よ うに 思 われ

る.論 理 的 な帰 結 と して の理 解 と,感 覚 的 な理 解 と の間 に は,時 に は ギ ャ ップを 生 じ,不 調 和 なひ ず み を残 す こ と もあ る.数 学 は,こ の ひず み を 取 り除 くよ うに 努 め な くて は な らな い だ ろ う.数 学 そ の もの は,つ ね に,よ

り明 晰 で あ る こ とを

望 む 内面 的 な志 向 性 を もって い るが,こ の 明晰 さ は,単 に論 理 的 な 簡潔 さを 求 め るだ け で は な く,人 間 的 な感 性 に対 して,論 理 性,抽 象 性 の あ り場 所 を明 示 して い く方 向 も,あ わ せ て もって い る ことが 必 要 の よ うに思 う.   閑 話休 題! 

どれ だ け満 足 して も らえ るか わ か らない が,質 問 に答 えて み よ う.

0<x<1を

み たす 無 理 数 は,た だ1通

りに無 限 連分 数 に よって

(1)

と 表 わ さ れ る こ とが 知 ら れ て い る.逆 nk,…)に

対 し,上

に,任

意 の 自 然 数 の 無 限 系 列(n1,n2,…,

の 形 の連 分 数 に よ っ て,0<x<1を

み た す1つ

の無理数がき

ま る.   し た が っ て,0<x<1を …,nk,…)全

み た す 無 理 数 全 体 の つ くる 集 合 は,自

体 の つ くる 集 合 と1対1に

  無 理 数(1)に

対 し て,前

然 数 列(n1,n2,

対 応 して い る こ と に な る.

講 の終 りに 述 べ た[0,1)区

間 の 数 の'自

然 数 展 開'

に よる表 示 を用 い て 0.n1n2n3…nk…

と対 応 させ る と,無 の'カン

理 数 全 体 は,ち

トル 集 合'と1対1に

xに 対 し て,'自

ょ う ど'自 然 数 展 開'で0の

対 応 して い る こ とが わ か る.し

現わ れ ない一 種 た が って,(1)の

然 数 展 開' 0.(n1−1)(n2−1)…(nk−1)…

を 対 応 させ る と,0と1の

間 に あ る 無 理 数 の 全 体 と,区

1に 対 応 して い る こ と に な る.

間[0,1)の

点 とが1対

第11講 一 般的 な設定 へ

テー マ

◆ 集 合 と元 ◆ 部分集合 ◆ 和 集 合,直 和,共 通部 分 ◆ 集 合 の演 算 規 則 ◆

ド ・モ ル ガン の 規 則

は じめ に   今 まで の話 か ら,集 合論 とい うものが,ど の よ うな 考 え に よって創 り出 され て きた か,ま

た理 論 全 体 の 底流 に は,'無 限'と い うもの に対 す る数学 者 の強 い 関

心 が,尽 き る こ とな く流 れ てい る こ とも感 じ とって も らえた と思 う.   さて,こ

こまで くる と,個 々の 具体 的 な 集合 の例 だ け で は な くて,集 合 に対 す

る一 般 的 な取 扱 い 方 を整 理 して 述べ てお い た方 が,は

るか に見 通 しが よ くな って

くる.こ れ か ら取 り扱 い た いい ろ い ろな集 合を,俯瞰

して見 渡 し,そ の相 互 の 関

係 が よ くわ か る よ うな,視 点 を設 定 して お きた い ので あ る.   したが って,こ れ か ら少 し,「 集 合論 」 として の 一 般 的 な 定義 や,定 て い く こ とにす る.建 は,今

築 で いえ ば,足

まで す で に述 べ た定 義 を,も

場 づ く りの仕 事 で あ る.な

理 を 述べ

お,こ の 講 で

う一度 く り返 して述べ て い る よ うな こ と もあ

る.

集 合 と元   集 合 の 定 義は,第1講

で 述べ た素 朴 な ものを 採 用す る.公 理 論 的立 場 もな いわ

け で は な い が,そ れ は いか に も専 門 家 向 き につ くられ てい る.集 合 を 公 理 で 規定 され た 記 号 で お きか えて み て も,'も の の集 り'と い う素朴 な 認 識 の 強 さを ど う

し て も 押 え こ む こ とは で き な い よ うに み え る.第1講 は,い

か に も 数 学 ら し く な い も の で あ る が,こ

う.こ

の こ と は,集

て,個

々 の 具 体 例 に よ っ て,'集

う観 点 に 立 っ て,話   集 合 は,元 Mに

た ち の 認 識 の 中 に 深 く隠 さ れ て い

は じ めて 明確 な形 を と って 現 われ る とい

を 進 め て い く こ と を 意 味 し て い る.

ま た は 要 素 と よば れ る もの の 集 りか ら な っ て い る が,元aが

属 して い る こ と をa∈Mで

て い な い こ と)を 

  Mの

こで は そ れ で 満 足 す る こ と に し よ

合 の 一 般 的 な 定 義 は,私 合'は

で 述 べ た よ うな 集 合 の 定 義

表 わ す.こ

の 否 定(す

集合

な わ ち,元aがMに

属 し

元xで,性

みた

で 表 わ す.

元 に 関す る性 質P(x)が

与 え られ た と き,Mの

質P(x)を

す もの全 体 は また 集合 をつ くる.こ の集 合 を {x￨x∈M,P(x)}

あ るいは 簡単 に

{x￨P(x)} で 表わ す. 【例1】

  {x￨x∈N,xは5の

倍 数}={5,10,15,20,…}.

【例2】   元 を もた ない 集合 も考 え る こ とに し,こ れ を 空集 合 といい,φ で 表わ す.空 集 合 を導 入 して お くと,た とえば,実 数 の2乗 は 決 して負 に な る ことは な い こ とを

の よ うに表 わ す こ ともで きて,便 利 な こ とが 多 い.   2つ の集 合M,Nが 属 す る元 はMに

与 え られ た とき,Mに

属す る元 はNに

属 し,逆

属 す る とき,す なわ ち は'な

が 同 時 に 成 り立 つ と き,MとNは

等 し い とい い,M=Nで

部分 集合 2つ の集 合M,Nが

与 え られ て

ら ば'と

よむ)

表 わ す.

にNに

が 成 り立 つ と き,MはNの  M⊂Nで,N⊂Mな

部 分集 合 で あ る とい い,記 号M⊂Nで らば,M=Nで

表わ す.

あ る.

  また,

が 成 り立 つ.   空 集 合 φ は 任 意 の 集 合Mの   Mの

部 分 集 合 全 体 は(部

の 集 合 を〓(M)と

部 分 集 合 で あ る と 考 え る. 分 集 合 を 元 と 考 え て)ま

表 わ し,Mの

た1つ

の 集 合 を つ く る.こ

べ キ 集 合 とい う.

【例3】  〓({a,b,c})={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.

和 集 合,直 和,共 通 部 分 2つ の集 合M,Nが

与 え られ た とす る.MとNの

は,ま た1つ の集 合 をつ くる.こ の集 合 をM∪Nで

いず れ か に属 す る元 の全 体 表わ し,MとNの

和 集合 と

い う.   Mに

属 す る元 とNに

も のを,M〓Nで 属 す る元yをyNと

属 す る元 は 異 な る と考え て,MとNの

表 わ し,MとNの

直 和 とい う.Mに

和集 合 を と った

属 す る元xをxM,Nに

表 わす こ とにす れ ば

と表 わす こ とが で き る.   MとNに

と もに属 す る元全 体 のつ くる集 合 を,M∩Nで

共 通 部 分 とい う.MとNに

共 通 元 が な い と きはM∩N=φ

図28

和 集 合 と共通 部 分 につ い て,次 の 演 算規 則 が成 り立つ. (ⅰ)  M∪M=M,M∩M=M.

表わ し,MとNの で あ る.

 

(ⅱ)  (ⅲ)   (ⅳ) 

(ⅴ)

  (ⅲ)を

結 合 則,(ⅳ)を

分 配 則,(ⅴ)を

れ も 同 じ よ うに で き る か ら,(ⅳ)の

吸 収 則 と い う こ と が あ る.証

最 初 の 等 式 と,(ⅴ)の

明は ど

右 側 の等 式 だ け示 し

て お こ う.

の 証 明: した が って

だ か ら, 

一 方

か,ま

とす る と, 

, 

でx∈Mか

た は 

つx∈Nで

か つ 

な くて は いけ な い.ゆ

し たが って 

え に 

した

が って

両 方 の包 含 関 係 が 成 り立 った か ら

の 証 明 の要 点:   (ⅳ)の 分 配 則 を使 って も よい し,あ るい は,直 接 左辺 ⊃右 辺,左 辺 ⊂右 辺 を確 か め てみ て もよい.い ず れ に して も簡 単 で あ る.

ド ・モ ル ガ ン の 規 則

  和集 合 と共 通 部 分 の演 算 規 則 に関 す る公 式(ⅰ)か 集 合 を とる演 算∪

ら(ⅴ)ま

で を み る と,和

と,共 通 部 分 を とる演 算 ∩ との 間 に,強 い双 対 性 が あ る こ と

に気 がつ く.す なわ ち,一 つ の演 算 規 則が あ る と,そ の両 辺 の式 で,一 斉 に,∪ を ∩ に代 え,∩

を∪ に代え る と,や は り同種 の公 式が 成 り立 ってい る.

  簡 単 な 注 意 だが,整 数 の加 法+と 乗 法 ×の間 には この よ うな 双対 性 は存 在 しな い.た

とえ ば a×(b+c)=a×b+a×c

で あ るが,こ

こで+を

×に代 え,× を+に 代 えた 式 は 一般 には成 り立 た な い: ａ+(b×c)≠(a+b)×(a+c)

集合 演 算 にみ られ る この独 特 な双対 性 の成 り立 つ理 由を説 明 す る もの と して, ド ・モ ル ガ ンの 規 則が あ る. い ま,集 合Mが

与 え られ た とす る.A⊂Mに

と お き,AcをAのMに complementの Ac⊂Mで

対 して

関 す る 補 集 合 と い う(肩

に つ け たcは,補

集合 の英 語

頭 文 字 を 表 わ し て い る). あ り,

が 成 り立 つ.ま

た

(1) も 明 ら か で あ ろ う.   こ の と き,ド

・モ ル ガン の 規 則

が 成 り立 つ.た

とえ ば,上

の 式 が 成 り立 つ こ とは,図29を

み れ ば 明 らか で あろ

う.   ド ・モ ル ガ ンの規 則 は, 補 集 合へ と うつ る と,和 集 合 が 共 通 部 分へ,共 通 部 分 が和 集 合 へ と逆 転 す る こと を示 し て い る.こ

の 事実

は,上 に 述べ た2つ の集 合 演 算∪ と ∩の双対 性 を示 す の に,次

図29

の よ うに 用 い られ る.い

す べ て の 集 合 に対 して,成

ま,た

と え ば(ⅳ)の

り立 つ こ とが わ か っ て い る とす る.任

Cが 与 え ら れ た と き,M=A∪B∪Cと

し て,こ

モ ル ガン の 規 則 を 使 う こ と を 考 え る.Ac,Bc,Ccに を用 い る と

分配 則 の最 初 の方 の式 が

のMの

意 に 集 合A,B,

部 分 集 合 に対 して,ド 対 して,分

配 則 の 第1の

・ 式

で あ る.こ の両辺 の補 集合 を とる と

こ の 左 辺 に,ド

・モ ル ガン の 規 則 を く り返 し て 使 う と

左辺 (2) 同様 な計算 を右 辺 に対 して行 うと

右辺

(3) (2)と(3)が

等 しい とい う式 は,ち ょ うど分配 則 の第2式 で あ る.す なわ ち,

分配 則 の第1式 が成 り立 つ ことを認 めれ ば,必 然 的 に,∪ と∩を 取 りか えた 第2 式 が 導か れ る ので あ る.   同 じ よ うな考え を 用い れ ば,集 合 間 に成 り立 つ恒 等 式 が あ って,そ れ が∪ と ∩ に よって 表 わ され て い るな らば,こ の恒等 式 で,∪ と∩を そ っ くり入 れ代 え た式 も また成 り立つ こ とを示 す ことが で き る.そ の意 味で,∪ と ∩に,演 算規 則 と し て の,双 対 性が 存在 す るの で あ る.

Tea

Time

質問  ド ・モ ル ガン の規 則 を示 す の に,図 を 用 い ない で証 明す る方 法 は な い ので し ょうか. 答  その よ うな証 明法 は存 在す る.証 明 の方 針 は,Aの

補 集合Acは,(1)の

性

質 に よって 完全 に特 性づ け られ る こ とに注 意 す る こ とに よっ て得 られ る.す なわ ち,ま ず 'A∪X=M

とな る集 合XはAcに  実 際,Xを

,A∩X=φ

限 る'こ とを示 す.こ の証 明 に は分 配 則 を用 い る.

この よ うな集合 とす る と

ゆえに また

ゆえ に これ でX=Acが   した が って,ド

示 され た. ・モ ル ガ ンの規 則 を 示す には

(4) を 示 す と よい.実 際 この こ とが いえ れ ば,い ま示 した補 集 合 の一 意 性 か ら

が 得 ら れ て,ド

・モ ル ガ ン の 規 則 が 示 さ れ た こ と に な る.(4)の

問 題 と し て 残 し て お こ う.

証 明 は,演

習

第12講 写

像

テー マ

◆ 写像 ◆ 像 集 合,上 へ の 写像 ◆1対1写像 ◆1対1対

応;対 等M〓N

◆ 合 成 写像,逆 写 像 ◆(Γ を添 数 とす る)集 合族 ◆ 集 合族 と集 合 列 の和 集 合,直 和,共 通 部 分 ◆ 上 極 限集 合

写   2つ の集 合M,Nが

像

与 え られ た とす る.Mの

を対 応 させ る規 則fが 与え られ た と き,Mか う.Mの

元xに 対 応 す るNの

元がyで

各 元xに 対 して,Nの らNへ

あ る元y

の写像fが 与 え られ た とい

あ る とき

y=f(x) と か き,yはxの(fに

よ る)像 で あ る と い う.

【例1】   自 然 数nに る 対 応 は,Nか

対 し て,nの(1以

【例2】  xに

らNへ

対 応 さ せ る対 応 は,Rか

【例3】  無 理 数x=α.α1α2α3… らQへ

【例4】  実 数xに キ 集 合〓(R)へ 【例5】 〓(M)の 〓(M)へ

数 の 中で 最 小 な もの を対 応 させ

の 写 像 を 与 え る.

対 し てx3を

数 の 集 合Kか

外 の)約

らRへ

に 対 し て,y=α.α1α2を

の 写 像 を 与 え る. 対 応 させ る対 応 は,無

理

の 写 像 を 与 え る.

対 して,区

間(−x2,x2+1)を

対 応 さ せ る 対 応 は,Rか

らベ

の 写 像 を 与 え る. 元Aに

対 し て,補

の 写 像 を 与 え る.

集 合Acを

対 応 さ せ る対 応 は,〓(M)か

ら

像 集 合,上 へ の写 像   Mか

らNへ

全 体,す はNの

の 写像fが 与 え られ た と き,あ るx∈Mに

なわ ち 適 当 なxに

よ ってy=f(x)と

対 してfの 像 とな るy

表わ せ るy全 体 を考 え る と,こ れ

部 分集 合 に な る.こ の部 分 集

合 をfの 像 集 合 とい い,Imfで す.Imは

英 語Imageの

表わ

最 初 の2文

字 を と った もの で あ る.   Imf=Nの

と き,fはMか

らN

図30

の上 へ の写 像 とい う.同 じ ことを,fはMか

らNへ

の全 射 で あ る とも い い 表わ

す.   写像fが,必

ず し もMか

た い ときに は,fはMか

らNの らNの

上へ の写像 で はな い ことを 明 らか に して お き

中へ の 写像 とい う.

1対1写 Mか

らNへ

の写 像fが

を み た す と き,fは1対1写 な って い る.用

像 で あ る と い う.例2,例5は,1対1写

語 だ け の こ と で あ る が,1対1写

1対1対   Mか

らNの

像

上 へ の写 像fが1対1写

応 を与 え る とい い,こ の と き,MとNは

た 単 射 と も い う.

応,対 等 像 の とき,fはMか

らNへ

対 等 で あ る,ま た は,同

とい う.   MとNが

像 を,ま

像 の例 と

対 等 で あ る こ とを示 す 記号

を導 入 して お くと,以 下 の説 明 で便 利 で あ る.

の1対1対 じ濃 度 を もつ

合 成写 像,逆 写 像   L,M,Nを3つ

の 集 合 と し,Lか

が 与 え られ た と す る.そ

の とき

と お く こ と に よ り,Lか

らNへ

らMへ

の 写 像fと,Mか

の 写 像gofが

らNへ

の 写 像g

得 ら れ る.gofを,fとgの

合成

写 像 と い う:

fがLか

らMへ

と きに は,合

の1対1対

応 で あ り,gがMか

成 写 像gofは,Lか

らNへ

らNへ

の1対1対

の1対1対

応 であ る

応 を 与 え てい る.こ の こ と

は,対 等 の 記 号 を用 い て かけ ば

が 成 り立 つ こ と を 示 し て い る.   fがMか

らNへ

の と き,任

意 のy∈Nに

=f(x)と

な るxが

る か ら,yに

の1対1対

対 してy

た だ1つ

対 し てxを

る こ と に よ り,Nか

らMへ

きま

対 応 させ

らMへ

像 を 考 え る こ と が で き る.こ に,f−1はNか

応

の写

図31

の 写 像 をfの

の1対1対

逆 写 像 と い い,f−1で

応 で あ る.こ

表 わ す.明

らか

の こ と は,

が 成 り立 つ こ とを 示 してい る. 集

合

族

  第3講 で述 べ た例 を も う1度 引用 し よ う.A市 こ の と き,A市 〓(M)の

の1つ1つ

の家 族 は,Mの

元 で あ る と考 え られ る.A市

の市 民全 体 の集合 をMと

す る.

部 分 集 合 を 与 え て お り,し た が って

の家族 を,記 号 で 一 般 的 にFで

表わす こ

とにす る と,F∈〓(M)で

あ る.

  い ま,そ れ ぞれ の家 族が も ってい る電 話 の 番 号 に注 目す る こ とに し よ う.A市 の家 族 を 適当 に抽 出 した い とき に,た とえ ば,あ る局 番 の電 話番 号 で,1番

から

7100番 まで の 電 話 を もつ 家族 を 考 え る こ とが で き る.こ の よ うな 電 話 番号 と家 族 との 対応 は,集 合 Γ={1,2,3,…,7100}

か ら,〓(M)へ

の1つ

の 写 像 が 与 え ら れ た とみ る こ と が で き る.す な わ ち,1番

の 電 話 番 号 を もつ 家 族 をF1,2番 す と,一

般 に,写

の 電 話 番 号 を も っ て い る 家 族 をF2,…

と表 わ

像は

(1)

で 与 え られ て い る.   この と き1番 と す る(Mの

か ら7100番

部 分 集 合 か ら な る)集

1つ の 家 族 が,2つ と,5180番

ま で の 電 話 を もつ 家 族 の 集 り{Fr}r∈rを,Γ 合 族 と い う.こ

こ で1つ

電 話 を も っ て い る こ と もあ る か ら,た

を添 数

注 意 す る こ と は,

とえ ば,120番

の電 話

の 電 話 を も っ て い る 家 族 が いれ ば {F1,F2,…F120,…,F5180,…,F7100}

とか か れ て い て も,F120=F5180と   す な わ ち,集

な っ て い る.

合 族{Fr}r∈ Γを 与 え た 写 像(1)は,1対1と

  一 般 の 集 合 族 の 定 義 は,次

の よ うに 述 べ られ る.

【定 義 】 Γ を 空 で な い 集 合 とす る.Mは の 写 像 γ(∈ Γ)→Aγ(∈ 部 分 集 合 か ら な る)集

は 限 っ て い な い.

〓(M))が

任 意 の 集 合 とす る.Γ 与 え られ た と き,Γ

か ら,〓(M)へ

を 添 数 とす る(Mの

合 族 が 与 え られ た と い い {Ar}r∈Γ

と表 わ す.   写 像 の 例 の 中 で 述 べ た 例4は,Rを

添 数 と す る.Rの

の集合族 {(−x2, x2+1)}x∈R

部 分 集 合 か ら な る1つ

を 与 え て い る こ とに な っ て い る.

集 合 族 の 和 集 合,直 和,共 通 部 分  Γ を添 数 とす る 集 合 族 

が 与 え られた とき,和 集 合,直 和,共

通部 分

を,前 講 で述 べ た2つ の集 合 の場 合 と,同 じ よ うに定 義す る ことがで きる. は あ るArに

和 集 合: 

属 す る}

直 和:  はすべ て のArに 共 通 に含 まれ てい る}

共 通 部 分: 

  こ こ で 直 和 を 定 義 す る式 の 右 辺 でxr∈Arと

か い た の は,同

がArに

別 し て 考 え た 上 で,和

属 して い る かAr′ に 属 し て い るか,区

じ 元xで

も,そ

れ

集合 を とっ

て い る こ と を 示 し て い る.   例 と し て,区

間[0,1]に

属 す る 点tに

対 し,

とお き,集 合 族

を 考 え て み る.こ

の 場 合,集

合 族 の 最 初 の 定 義 に 戻 れ ば,[0,1]か

の写像 が 与 え ら れ て い る と考 え て い る わ け で あ る.各t∈[0,1]に は,座

標 平 面R2上

に あ る,中

心(t,0),半

径2の

円Ctで

ら〓(R2)へ 対 応 す る もの

あ る.

図32

この場 合 の和 集合,共 濃 度 を もつ 

通部 分 につ い て は図32で 示 してお い た.直 和 は,連 続

を,1つ1つ

す る ことは不 可 能 であ る.

分 離 して,和

集 合 を と っ た も の だ か ら,図

示

集 合 列 の和 集 合,直 和,共 通 部 分 添 数 の 集 合 Γ が,特

に 自然 数 の 集 合Nの

と き,集

合 族{Ar}r∈Γ

は

{A1,A2,A3,…,An,…}

と表 わ され る.こ れ を集 合 列 とい う. 集 合 列 の和 集 合,直 和,共 通 部 分 はそ れ ぞれ

と表 わ す. た とえ ば集 合 列 

に 属 す る 点xは,ま

に 対 して

ず 

か ら,す

ま れ て い る こ と を 意 味 して い る.と に 対 し てx∈Akを

示 す.す

べ て のnに

対 し て 

は,k≧nを

こ ろ で 

に含

み た す あ るk

なわ ち す べ て のnに

この集 合 を,集 合 列 

対 し,あ

るk≧nが

存 在 してx∈Ak}

の 上極 限 集 合 とい い lim

supAn 

ま た は   lim An

と表 わ す.

問1 

1im

sup An={x￨無

限 に 多 くのkに

対 し てx∈Ak}と

表 わ せ る こ とを 示

せ. に 対 して,同

問2 

様 の 考 察 を 試 み よ.

この問2に 現 わ れ た 集 合 を  lim Anと

の 下 極 限 集 合 とい い,1im

infAnま

たは

表 わ す.

Tea

Time

関数 と写像   1次 関 数y=2x−3,2次 る し,ま

た 関 数 記 号y=f(x)も

関数y=x2+xな

ど,関

よ く知 っ て い る.し

数 と い う言 葉 は 使 い な れ て い か し,こ

れ ら の 関 数 も,こ

こ で 述 べ た 見 方 に し た が え ば,実

数Rか

じ め か ら,y=2x−3,y=x2+xは,そ た 方 が よ か っ た の で は な い か,と   関 数―function―

ら,Rへ

と,写

像―mapping―

つ くる 集 合 か ら'数'の

る よ うで あ っ て,た

と え ば5個

れ で は,は

写像 とい って お い

は,数

学 上 の 定 義 と し て は,

か し,ふ つ うの 用 法 で は,関

つ く る 集 合 へ の 写 像 の 場 合 に,主

の リン ゴ の 集 合 か ら,10個

数 が 与 え ら れ た と は あ ま り い わ な い.だ う こ とに は 抵 抗 は な い.そ

写 像,2次

い う疑 問 が 生 ず る.

は っ き り と 区 別 で き る も の は な い よ うで あ る.し は,'数'の

の 写 像 で あ る.そ

れ ぞ れ1次

の ミ カン の 集 合 へ の 関

が,y=2x−3は,1次

の 意 味 で は,写像

の 方 が,関

数

に 用 い られ

写 像 で あ る とい 数 よ り,多

少広 い ニ ュア

ン ス を も っ て い る.   た だ し,関

数 とい う と き に は,集

合 の 元 を 対 応 さ せ る と い う見 方 以 外 に,数

もつ 機 能 性 が ど の よ うに 移 り合 っ て い る か,た と き に は,xとy+3は,比

と え ば1次

関 数y=2x−3と

例 関 係 に あ る と い う こ とに 注 目す る よ う な,そ

の い う の よ

うな 見 方 の 感 じ は あ る よ うで あ る.   い ず れ に し て も,多 立 場 か ら,写 か ら,こ

の2つ

状 況 に あ る.

分,最

初 に 関 数 と い う用 語 が 定 着 し,そ

像 と い う用 語 が,よ の 用 語 を,厳

の あ と に,集

合 の

り一 般 的 な 場 所 を 占 め る よ うに な っ た の だ ろ う

密 に 区 別 し て 使 い わ け る こ とな ど,で

きな い よ うな

第13講 直積集合 と写像の集合 テー マ

◆ 直積集合 ◆ 集 合Ar ◆ 写 像 の 集合Map(M,N) ◆ 写 豫 と直積 集 合 ◆ ベ キ集 合〓(M)とMap(M,{0,1})と

の1対1対

応

◆ ベキ の公 式

直積 集合 集合族 

と お い て, 

が 与 え られ た とす る.そ の とき

を, 

直 積 集 合 とい う.こ

般 の 集 合 の と き に は,w=(…,xr,…)で,何 い 点 も あ るが(こ Γ={1,2,…,n}の

の こ とに つ い て は,あ と き に は,定

の 定 義 で は,Γ

を 表 わ して い る の か,は

が 全 く一 っき りしな

と で ま た 述 べ る 機 会 が あ る),少

義 は 明 快 で あ る.す

な わ ち,こ

くと も

の ときに は

で あ り,

で あ る.こ の とき

と も 表 わ す.w=(x1,x2,…,xn)のx1,x2,…,xnは,A1,A2,…,Anの の 成 分 を 表 わ し て い る と み る こ と が で き る.  Γ={1,2,3,…n,…}の

と きに も

座 標方 向

と表 わ す こ とが あ る.こ の 右辺 の表 示 の方 が,直 積 集 合 らし くて,意 味 も よ くわ か るの だ が,Γ が 連 続体 の濃 度 を もつ よ うに な って くる と,こ の右 辺 の よ うな表 示 は で きな くな って くる.

集 集合族  と き,す

で,特

に,す

合AΓ

べ て のArが,1つ

の き ま っ た 集 合Aに

等 しい

なわ ち Aγ=A(γ

∈Γ)

が 成 り立 つ と き,

と 表 わ す.   この 右 辺 の 記 号 は,1つ

の 集 合Aが,'Γ

回 く り返 して か け られ て い る'と

い

う よ うな 感 じ を 示 唆 し て い る も の だ と 思 わ れ る.

写像の集合   2つ の 集 合M,Nが

与 え られ,M≠

φ とす る.こ の と きMか

らNへ

の 写像 全

体 のつ くる集 合 を

Map(M,N) で 表 わ す.   この と き,Map(M,N)と,集

合NMと

の 間 に 自然 な1対1対

応 が存 在 す る.

す なわ ち,次 の結 果 が成 り立 つ.

(1)   この よ うな 自然 な1対1対 第4講

応 が 存 在 す る こ と は,M,Nが

で 詳 し く述 べ て お い た.そ

の と き の 考 え 方 は,そ

有 限 集 合 の とき に は, の まま上 の一 般 の場 合 に

も 適 用 す る こ とが で き る.   す な わ ち,φ ∈Map(M,N)を1つ Nの

あ る元yx(=φ(x))を

る と い う こ と は,各x∈Mに

と る とい う こ と は,Mの

指 定 す る こ とで あ る.見 対 して,x-座

各 元xに

方 を か え れ ば,写

標(!)yx(∈N)の

対 し て,

像φ を 与 え

値 を指 定 す る こ

とで あ る と い っ て も よい.そ

の よ うに 考 え れば,対

が 成 り立 つ こ と が わ か る だ ろ う.こ か りや す い の か も しれ な い.右 Map(M,N)と

集 合NMの

が 成 り立 つ こ と を,も

の 右 辺 は(…,φ(x),…)x∈Mと

辺 はNMの

か い た方 がわ

元 と 考 え ら れ る か ら,こ

間 に,自 然 な1対1対

  例 と し て,M={1,2,3},N=Rを

応

れ で,

応 が 存 在 す る こ とが 証 明 さ れ た.

と り,対 応

う少 し は っ き

りみ て お こ う.右 辺 のR×R×Rと い う集 合 は,直

交 座 標 を とれ ば,3

次 元 の 座 標 空 間 と し て 表 わせ の と き,w=(x1,x2,x3)と

る.こ

い う空 間

の 点 に対 して φ(1)=x1,φ(2)=x2,φ(3)=x3 と い うφ ∈Map({1,2,3},R)が

し て い る.た

図33

対 応

と え ば(−15,3,1/2)とい

う点 に は,φ(1)=−15,(2)=3,φ(3)

＝1/2と い う写 像 が 対 応 し て い る.   読 者 は,そ

れ で は,ふ

う関 数 を,Rか

らRへ

つ う見 な れ て い る,y=3x+5やy=x+sin の 写 像 と考 え た と き,上

の 対 応 で,こ

うな 集 合 の 点 に 対 応 し て い る の か と 思 うだ ろ う.そ れ は,上

xな

ど とい

の 関 数 は,ど

のよ

の 結 果 か ら,驚

くほ

ど大 きな空 間 RR の 点 に 対 応 し て い る の で あ る.   な お,以

下 で は,Map(M,N)と

集 合NMを,こ

の 対 応 に よ っ て,同

て 考え る こ と に す る.

写像と直積集合 上 に 述べ た よ うな対 応 を知 った 上 で,改 め て,直 積 集 合

一視 し

の 定 義 を み て み る と,こ

の 集 合 は,Γ

か ら,直

へ の 写 像φ で あ っ て,

和 

φ(γ)∈Aγとな る も の全 体 のつ くる 集 合 で あ る とい って もよい こ とが わ か る.し か し,直 積集 合 の感 じを捉え るに は,や は り前 の よ うな形 で直 積 集 合 の定 義 を 述 べ てお い た方 が よい よ うに思 う.

〓(M)とMap(M,{0,1})   ベ キ集 合 〓(M)は,Mの

部 分 集合 全体 か ら な る集 合 で あ る.Mの

部分集合

Aに 対 し

と お く と,φAは,Mか 全 体 が,ち

ら{0,1}へ

ょ う どAに

な っ て い る.逆

れ ば,B={x￨ψ(x)=1}と

にMか

な っ て い る.

  す な わ ち,A∈

〓(M)に

対 し て,φAを

の1対1対

値1を

ら{0,1}へ

お く こ と に よ り,Mの

に 対 し,ψ=ψBと

Map(M,{0,1})へ

の 写 像 と な る.φAが

と る よ う なxの

の写 像 ψが 与 え られ

部 分 集 合Bが

き ま る.こ

対 応 さ せ る 対 応 は,〓(M)か

応 を 与 え て い る.し

のB

ら,

た が って

(2) で あ る.   な お,こ

の1対1対

応 は,Mが

有 限 集 合 の と き に は,第3講

です で に述 べ て

あ る.   (2)の

結 果 を(1)と

見比 べ る と

(3) も成 り立 つ こ と が わ か る.

'公

Γ1,Γ2を空 で な い集 合,Mを

式'

任 意 の集 合 とす る.そ

の と き,次 の よ うな1対

1対 応 が 存 在 す る.

(4)

(5)

(4)の

の 元 は,(1)に

証 明: 

あ る と考 え て よ い.と 写 像φ1と,Γ2か

らMへ

か らMへ

ころ で,  の 写 像φ2に

か らMへ

よ っ て, 

の写 像Φ は,Γ1か

の写 像 で らMへ

の

よ っ て 決 ま る:

の とき の とき し た が っ て,対

応

か らMap(Γ1,M)×Map(Γ2,M)へ

は, 

て い る.す

応を与え

なわ ち

こ の 両 辺 を(1)を   (5)の

の1対1対

用 い て か き 直 す と,(4)が

証 明:(1)を

得 られ る.

用 い る と,(5)は

(6) が 成 り立 つ こ とを 示 す と よい. Φ∈Map(Γ2,Map(Γ1,M)) を と る と,γ2∈Γ2に

対 して φ(γ2)∈Map(Γ1,M)

し た が っ て,任

意 の γ1∈Γ1に 対 し,写

像Φ(γ2)の

γ1で と る'値'が

き ま る:

Φ(γ2)(γ1)∈M す な わ ち,Φ

が 与 え ら れ る と,各(γ1,γ2)∈Γ1×Γ2に

い い か え れ ばΓ1×Γ2か

らMへ

の1つ

の 写像Φ

対 し てMの

元 が き ま る.

が き ま る:Φ(γ1,γ2)=Φ(γ2)(γ1).

で あ る. Φ に Φ を 対 応 さ せ る こ と に よ っ て,(6)の1対1対

Tea

公 式(4),(5)と 自然 数m,k1,k2が

応 が 得 ら れ る.

Time

べ キ の公 式

与 え られ た と き

(7) (8) と い うベ キ の 計 算 の 規 則 が 成 り立 つ.こ と し て,そ

れ は(4)と(5)の

れ ぞ れ 

を み たす 有 限 集 合 を と って,

両 辺 の 個 数 を 等 し い と し て 得 られ た も の と な っ て い る(第14講   も ち ろ ん(7),(8)だ (と い っ て も厳 密 に はk2に

け な ら ば,自

わちkが

の 世 界 で は,公

ぐに

す こ と が で き る.公

集 合 の 立 場 か ら 見 直 し て 一 般 化 した も の で あ る. 式(7),(8)を

一 般 化 す る の に 別 の 道 を 辿 る.す

正の有理数k=q/p(p,q>0)の

と し て ベ キ を 定 義 す る.ま

お く.こ の よ うに して,す べ て の有 理 数 γに対 して まで,mの

の 定 義 を拡 張 した ときに も,(7),(8)が

な

と して ベ キ の 定 義

と き, 

を 拡 張 し,次 に 負 の数− γに対 して は  m0=1と

参 照).

然 数 の べ キ の 定 義 を 思 い 出 す と,す

つ い て 数 学 的 帰 納 法 を 用 い て)示

式(4),(5)は(7),(8)を   一 方,数

公 式 で,M,Γ1,Γ2

た

ベ キmr

成 り立 つ こ とを 確か め る.

  す なわ ち,集 合 を 背 景 と して考 え るか,数 の世 界 を背 景 と して 考 え るか に よ っ て,自

然 数で の公 式(7),(8)は,そ

れ ぞれ 別 の道 を 歩み なが ら一般 化 され て

い く.数 学 で は,概 念 とか公 式 を一 般 化す る場合,そ れ は常 に背 景 に あ る世 界 の 広 が りの中 で考 え られ て い る.

質 問  こ こで の話 以 外 に,数 N)―

学 の い ろ い ろな 分野 で 写像 のつ くる 集 合Map(M,

これ は 僕 に は まだ 想 像 しに くい 集 合 な ので すが―

な どを考え る 場 合 が

あ る の で し ょ うか.僕

た ち が ふ つ う 出 会 う関 数,y=3x2−5x+2やy=cos 

3xな

ど に 対 し て は,1つ1つ

の 関 数 の グ ラ フ を か い た り,微 分 した り し て 調 べ て い ま

す.こ

の 関 数 も,Map(R,R)の1つ

の よ うな1つ1つ

る とい う こ とで す が,こ

の よ う な 観 点 が,現

の 元 と見 な す こ とが で き

実 に必 要 とな る ことが あ るので し ょ

うか. 答   最 近 の 数 学―20世

紀 に な っ て 発 展 し て き た 数 学 の 中 で,実

際,こ

の よう

な 観 点 が 重 要 な も の と な っ て き た.   質 問 に 答 え る 前 に,少

し脇 道 に 入 る.2次

因 数 分 解 して 解 い て み る と,解 こ の 式 に 含 ま れ て い るxに と だ け で あ る.一 −5x+8が,い

方,関

つ2と

y=x2−5x+8と

はx=2,x=3と

項 して

い う こ と が わ か る.す

つ い て の 情 報 は,xは2か,ま 数 とい う立 場 で,こ

た は3で

い うRか

らRへ

の 方 程 式 を み る と,2次

の 写 像 を ま ず 考 え て,次

値 しか と らな か っ た の に 比 べ て,今

の と き,最

な わ ち,

あ る とい うこ

い う値 を と るか と い う問 題 に な っ て い る.い

と な る の は い つ か と 聞 く の で あ る.こ

上 をxが

方 程 式x2−5x+8=2を,移

関 数y=x2 い か え る と,

に こ の 値(像!)が2

初 の 方 程 式 の 未 知 数xが2つ

の

度 の 観 点 で は,ま ず 連 続 濃 度 を も つ 集 合Rの

動 い て い る こ と に 注 意 す る必 要 が あ る.

  同 じ よ う に,た

と え ば,微

分 方程 式 ｙ′+2y=x2

を解 くと き,こ れ を 微分 方 程 式 の解 法 に した が って 解 く考 え 方 と(こ れ は上 の話 で2次 方程 式 を 解 く考 え に対 応 す る),あ

る 関数 の集 合 か ら,あ

る 関数 の集 合へ

の写 像 y→y′+2y

が与え られ て,こ

れ がx2と 一 致 す るの は いつ か と問 う 観 点 もあ る(こ れ は上 の

話 で2次 関数 を 考 え る考 え に 対 応 す る).こ く ことは で きな い が(な ぜ な ら,yは きない か ら),Map(R,R)の

の とき,yはMap(R,R)全

体 を動

微 分 で きる関 数 で ない と上 の写 像 は定義 で

あ る部 分 集合 上 を 動 くと考 え て い る.こ の よ うに,

関数 方 程式 を 解 くと きに は,そ の背景 にあ る関数 の 集 りを考 え る こ と も,ご く自 然 な ことで あ る と,考 え られ る よ うにな って きた の で あ る.

第14講 濃

度

テー マ

◆MとNは

同 じ濃 度 を もつ

◆ 濃 度 の 演 算:和,積,ベ

キ

◆ ◆

濃度を表わす記号 濃 度 の定 義 は,第5講

の 定義2で す で に 与 え てあ る.2つ

と い う関 係 が あ る と き,MとNは

  集合Mの

の 集 合M,Nが, 

同 じ濃 度 を もつ と い うの で あ っ た.

濃度 を表わ す の に,対 応す る ドイ ツ文 字 の小 文字mを

例 で あ る.同 様 に,集 合A,B,L,Nな

用 い るのが 慣

どの濃 度 を 表わ す の に,対 応 す る ドイ ツ

小文 字a,b,I,nを 用 い る.し た が って,濃

度 の定 義 を記 号 を用 い て簡 単 に書 くと

(1) と な る.   ま た,Map(M,N)や,集 の 記 号 の 上 に,2本

と表わ す.た

で あ り,ま

た

とえば

合{a,b,c,d}な の 横線 を引 い て

ど の 濃 度 を 表 わ す と き に は,集

合

で あ る.

濃度の演算― 濃 度 の和:集

合M,Nの

和

の濃 度 を

直 和  m+n

と 表 わ し,mとnの

和 と い う. か ら,(1)に

よ り ｍ+n=n+m

か 成 り立 つ こ と が わ か る.ま

た 

(第11講

の(ⅲ)

参 照)か ら Ｉ+(m+n)=(I+m)+n

が 成 り立 つ.   M,Nが

有 限集 合 の ときに,濃 度 の和 は,自 然 数 の 和 とな って い る.

  第6講 か ら,2つ

の可 算集 合 の和 集 合 は可 算集 合 だか ら

で あ る.ま た,有 限集 合 と可 算集 合 の和 集 合 は可 算 集合 だか ら

と な る.

濃 度 の 積:集

合M,Nの

濃度の演算―

積

直 積集 合M×Nの

濃度 を

mn

で 表 わ し,mとnの

積 と い う.   で あ る.実

N×Mの

際,M×Nの

元(x,y)(x∈M,y∈N)に

元(y,x)の を対 応 させ る対 応 は,M×Nか

与 え る.し た が って(1)と

濃 度 の積 の定 義 か ら

らN×Mへ

対 し,

の1対1対

応を

mn=nm

同 じ よ うに考 え て Ｉ(mn)=(Im)n

も成 り立 つ.   3つ の 集 合L,M,Nに

が 成 り立 つ.実

対 して

際,左

辺 に 属 す る 元 は,(w,x)(w∈L,x∈M)と

か,(w,y)(w∈L,y∈N)と

表 わ され る元

表 わ さ れ る 元 の い ず れ か か ら な り,こ

を 分 け て か く と,右 辺 に な る.し

た が っ て 濃 度 へ 移 っ て,等

の それ ぞれ

式

Ｉ(m+n)=Im+In

が示 され た ことに な る.  M,Nが

有 限 集 合 の ときは,濃 度 の積 は,自 然数 の 積 とな って い る.

 第6講 か ら,2つ

の可 算 集 合の 直 積 集 合は,可 算 集 合 だ か ら

(1) で あ る.ま た,有 限集 合 と可 算集 合 の直 積集 合 は,可 算集 合 だか ら

(2) と な る.

濃 度 の 演算― 濃 度 の ベ キ:集

合M(≠

ベキ

φ),Nに 対 し,集 合NMの

濃度を

ｎm

で 表 わ し,nのmべき 第13講

の(4)と(5)か

とい う. ら,次

の 等 式 が 成 り立 つ こ と が わ か る:

(3)

(4)   M,Nが

有 限 集 合 で,そ

の 濃 度(自

濃 度 は,ち

ょ う ど 自 然 数 の べ キ 乗nmと

然 数!)を

そ れ ぞ れm,nと

な っ て い る(第13講,Tea

Map(M,N)と〓(M)の

第13講

の(1)と,濃

す る と,NMの Time参

照).

濃度

度 の べ キの 定義 か ら

(5) で あ る.   第13講

の(3)と,濃

度 のベ キ の定 義 か ら

(6) で あ る.

〓(N)の 自然 数 の集 合Nの  だ か ら,(6)に

で あ る.し

濃度

部 分集 合全 体 のつ くる集 合〓(N)の

濃 度 を 求 めて み よ う.

よ り,

た が っ て2〓0を 求 め る と よい.こ

れ に つ い て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

【定 理】

【証 明 】  濃 度2を

も つ 集 合 と して,{0,1}を

と る.こ

P={0,1}×{0,1}×{0,1}×…×{0,1}×

の 濃 度 に 等 し い.一

方,区

間(0,1]の

の と き,2〓0は,直

積集 合

…

実 数 全 体 の つ く る集 合 の 濃 度 は〓 で あ

る.し

た が っ て,定

理 を示 す に は

(7) を 示 す と よ い.   Pの

元 は,0と1か

ら な る数 列 と し て (α1,α2,α3,…,αn,…)

と表 わ さ れ てい る.こ れ に対 して,2進

小数 で か き表 わ された 実 数

0.α1α2α3…

αn…

を考 え た い.こ こで まず,有 限2進 小 数 は,無 限2進 小 数 と して も表 わ さ れ る こ とを思 い 出 して お こ う.た とえ ば 0.001(=0.00100…00…) =0.000111…11…

で あ る.ま た,(0,1]に

属 す る実数 を無 限2進 小 数 と して 表わ す こ とに す れ ば,

この表 わ し方 は,た だ1通   い ま,区 間(0,1]に の つ く る集 合 をSと で あ る),SはQの

りで あ る.

属 す る実 数 の 中で,有

す る.Sの

限2進 小 数 に表 わ され る もの 全 体

元 は 有 理 数 だ か ら(た と え ば0.01101は 

部 分 集 合 で,し

た が って

(8) で あ る. そ こで,Pか

へ の写 像φ を 次 の よ うに 定義 す る.

ら 

x∈Pが x=(α1,α2,α3,…,αn,0,0,0,…,0,…)

と,あ

る 所 か ら 先 す べ て0と

な っ て い る と き に は, φ(x)=0.α1α2…αn∈S

と し,そ

うで な い と き, x=(α1,α2,α3,…,αn,…)

に対 して φ(x)=0.α1α2…αn…

を対 応 さ せ る.上 の 注意 か ら,φ は,Pか い る.

∈(0,1]

ら 

へ の1対1対

応 を与 え て

した が って

が 証 明 さ れ た.   第10講,(*)と(8)に (7)が

よ り,こ

に 等 し い か ら,こ

の 右 辺 は, 

証 明 さ れ た.

  この定 理 の重 要 さ は,可 算 濃度〓0と,連

続 体 の濃 度〓 との 間 に,1つ

が得 られ た こ とに あ る.こ の 定理 の,い ろ いろ な応 用 は,第16講

Tea

た ら1,裏

が 出 た ら0と

n回 投 げ た と き,表 際 は,無

で述 べ る.

の銅 貨 を投 げ る とき,表

し て 記 録 を と っ て い く こ と に し ま す.で

す か ら,銅

と 裏 の 出 た 仕 方 はα1α2…αn(αiは0か1)と

貨 を 無 限 回 投 げ 続 け て い く こ と を 考 え る こ と に し ま す.そ

が出 貨を

して 記 され ま

限 回 投 げ 続 け て い く こ と な ど で き な い の で す が,'頭

ろ い ろ な 仕 方 は,ち

の 関係

Time

の証 明 を み て 思 った のです が,1枚

質問 

す.実

れで

の と き,裏

の 中 で'銅 表の出るい

ょ うど P={0,1}×{0,1}×…×{0,1}×…

の点 と1対1に

対 応 してい ます.し た が って銅 貨 を無 限 回投 げ 続 け る とい う試 行

で,裏 表 の 出 る'仕 方 の個 数'は,連

続 体 の濃度〓 も あ る こ とに な ります が,こ

の推 論 は 正 しい で し ょ うか. 答  この 推 論 は 正 しい.銅 ら,区 間(0,1]の1点

貨 を 投 げ る各 々の無 限 回 試行 に対 して,上

が(可 算 個 の 集合Sに

の 証 明か

対 して は 補 正 は あ るが)対 応 して

い る こ とに な る.こ の こ とか ら,た とえば,銅 貨 をn回 投げ た と きの 裏表 の 出方 を,2進

小数 で0.α1α2…αnと表 わ した と き,こ の2進 小 数 が,投

どん どん 大 き くして い くと き,区 回 の試 行 の うち,1回 的 な 考 え方 で あ る.

間(0,1/4)の

げ る 回数nを

中 にあ る よ うなことは,大

体4

は お き る だろ うとい うこ とが 推論 され る.こ れ は,確 率論

第15講 濃 度 の 大 小 テ 一 マ

◆ 濃 度 の大 小 関係 ◆ ベ ル ン シ ュタ イ ンの定 理: な らば, 

◆L⊂M⊂Nで 

濃度の大小関係  有 限個 の もの か らな る2つ の集 合 で は,ど ち らの 方 が 多 いか 少 な いか を 比 べ る こ とが で き る.そ して,そ れ は 個 数 の上 で は,2つ

の 自然数 の大 小 関係 に反 映 し

て くる.一 般 の濃 度 に 対 して も,大 小 関係 を 定 義 した い.  いま

とす る. 【定 義 】 Mか

らNの

中へ の1対1写

像 が存 在 す る とき m
と表 わ し,mはnよ

り大 き くな い と い う.

 m≦nでm≠nの

とき

m
り小 さ い,nはmよ

  無 限 濃 度 に 対 し て,大 り適 当 で な い の か,ふ 表 わ す.ま

たnはmよ

  た とえ ば,集 あ るの で

き い,小

り大 き い と い う.

さ い と数 量 を 感 じ さ せ る よ うな い い 方 は,あ

つ うは 単 に 記 号m≦n,m
の2つ

ま

の濃 度 の関 係 を

り高 い 濃 度 を も つ と い う こ と も あ る.

合{1,2,…,n}か

ら,N={1,2,…n,…}の

中 へ の1対1対

応が

で あ る.ま た 

で あ るが,Nか

ら実数 の集合Rの

中へ の1対1対

応がある

ので

で あ る.

  3つ の 集 合L,M,Nが 中へ の1対1写像

あ り,Lか

らMの

中へ の1対1写

ψが存 在 す れ ば,合 成写 像 ψoφは,Lか

像φ,Mか らNの

らNの

中へ の1対1

写像 を 与 え る.こ の こ とか ら,濃 度 の大 小 に関 す る推 移法 則

が 成 り立 つ こ と が わ か る.

ベ ル ン シ ュタ イ ンの 定 理 次 の 定 理 を ベ ルン シ ュ タ イン の 定 理 と い う.

【定 理】

とす る.定

【証 明】  φ,Nか

らMの

か らNへ

中へ の1対1写

の1対1対

  ψはNか

らMの

理 の 仮 定 は,Mか

らNの

中 へ の1対1写

像

像 ψが 存在 す る こ とで あ る.こ の仮 定 か ら,M

応 が 存在 す る こ とを 示 す とよい. 中へ の1対1写

像 だか ら Φ=ψoφ

と お く と,Φ Mの

はMか

らMの

中 へ の1対1写像

と な る.こ

部 分集 合 の系 列 M⊃M1⊃M2⊃

で (ⅰ) (ⅱ) を み た す もの を つ く りた い.

… ⊃Mn⊃

…

の 写像 Φ を 用 い て,

  ま ず,偶

数 番 目の部 分 集 合

列M2,M4,…,M2n,…

をつ く

ろ う. M2=Φ(M) と お く と,M⊃M2で,ま Φ はMか

らM2の

た 上 の1対

とな

1写 像 だ か ら,  る.次

図34

に M4=Φ(M2)

と お く と,同

じ理 由 で 

と な る.以

下 同 様 に し て,一

般に

M2n+2=Φ(M2n),n=1,2,… と お く と, 

と な る.

次 に,奇 数 番 目の部 分集 合 列 を つ くるに は,ま ず Ｍ1=ψ(N) と お く.M1⊂Mで,ま

た ψ はNか

で あ る.こ のM1か

が得 られ る.    N⊃φ(M)の

ら出発 して,前

の1対1対

応 を 与 え て い る か ら, 

と同 様 の操 作 を く り返す ことに よ り

で, 

と な る.

両 辺 にΨ を ほ ど こ し て,Ψ(N)⊃

得 ら れ る.M⊃M1⊃M2に M2n+2が

らM1へ

Φ(M),す

順 次Φ を ほ ど こ して い く と,一

な わ ちM1⊃M2が 般 にM2n⊃M2n+1⊃

成 り立 つ こ とが わ か る.

  これ で(ⅰ),(ⅱ)を

み た す 部 分 集 合 の 系 列M⊃M1⊃M2⊃

… が 得 られ た.

  そ こで

と お く.こ

の と き,MとM1は,次

の よ うに 直 和 に 分 解 され る.

この右 辺 に現 わ れ た 最 初 の2つ の 直和 の 間 に は,次 の よ うな1対1対 る:

応が存在す

は恒等写像

同 様 にn=1,2,…

に 対 し,1対1対

応

は恒等写像

が 存 在 す る.   各 直 和成 分 では,こ の対 とな って 得 られ る1対1対 像 を と る こ とに よ り,Mか

らM1へ

の1対1対

応 を 用 い,K上

で は恒 等 写

応 が 構成 され る.し た が って

で あ った か ら,こ れ で 望 ん だ結 果

で あ る. 

が 証 明 され た.

定理の系と注意 この定 理 か ら直 ち に次 の よ うな こ とが わ か る.

部分集合の系列 L⊂M⊂N に お い て,も

  な ぜ な ら,上 よ り,n≦mと

た と えば  部 分 集 合Sに

し 

な らば,必 ず 

の 包 含 関 係 か らm≦nは な り,し

明 らか で あ り,一

た が っ て 定 理 か らm=nが は わ か っ て い る.し

対 し て,(0,1]⊂S⊂Rに

  なお,上 の定 理 の証 明 の 中 で,Mは

が 成 り立 つ.

方,仮

結 論 さ れ る か ら で あ る.

た が っ て,(0,1]を

よ り 

定 か らn=I≦m

含 む 任 意 のRの

とな る.

無 限個 の集 合 の 直 和 に分 解 され て い るが,

Mが

有 限集 合 の と きは ど うな るのか と 疑 問 を 感 じた 読 者 が い るか も しれ ない.

Mが

有 限 集合 な らば,Mの

て,MとNの

中 に1対1に

写 像 され るNも

また 有限 集 合 で あ っ

元 の 個 数 は一 致 して いな くて は な らな い.し た が って,φ と ψ は,

そ れ 自 身 す で に1対1対 る.し

の 場 合 に はM=M1=M2=…

た が っ て ま たM−M2=M1−M2=M2−M3=…=φ

問   Mの 〓Mが

応 と な っ て い て,こ

共 通 点 の な い2つ

の 部 分 集 合 をA,Bと

とな

で あ る.

す る.も

しB〓Mな

ら ば, Ac

成 り立 つ こ と を 示 せ.

Tea

Time

質 問  濃 度 の 大 小 関 係 はわ か りま した が,2つ

の濃 度m,nが

与え られ た と き,

必ず ｍn

の どれ か1つ が 成 り立 つ ので し ょ うか.僕 は少 し考 え て み ま した が,2つ あれ ば,1つ1つ

集合が

元 を と って対 応 させ てい け ば,必 ず いつ か は,ど ち らか1つ の

集 合 か ら他方 へ の1対1写

像 が 得 られそ うに思 い ま した が,何 し ろ,相 手 が 無 限

集 合 で,こ ん な推 論 で よい のか,あ や し くな りま した. 答  考 察 の仕 方 も,あ や し くな った 感 じ さえ,正

しい とい って よい の で あ る.質

問 に述 べ られ て い る こ とは,濃 度 の 比較 可 能定 理 とい って,集 合 論 に お け る基 本 定理 で あ るが,ふ つ うの 日常 の感 じで 正 しい と 考え られ て い る論理 だ けを 用 い て,こ の定理 を示 す こ とは で きない.こ の定 理 を示 す に は,選 択 公 理 とい う,無 限 に 関す る基 本 的 な命 題 を 認 め る ことが まず 必 要 とな る.選 択公 理 につ い て は, 第26講 で詳 し く述 べ るか ら,そ の と きまた この話 題 に 戻 る こ とに し よ う.

第16講 連続体の濃度 を もつ集合 テー マ

◆ ◆ 平面上の点の集合の濃度は〓 ◆ 平面上の円全体のつ くる集合の濃度は〓 ◆ 平面上の 凸多角形全体 のつ くる集合 の濃度は〓

公

式

次 の 公式 が成 り立 つ.

(Ⅰ)

【証 明】 第14講

一般 に

で 述べ た定 理 に よ り

した が っ て,自 然 数nに 対 し

(第14講(4)) (第14講(2))

平面上の点の集合   平面 上 の点 は,座 標 を 用 い る と,実 数 の組(x,y)の で 表 わす こ とが で き る.し たが って

平面上の点の集合 

と な る が,公

で あ る.し

式(Ⅰ)か

ら

たがって

平 面 上 の点 全 体 のつ くる集 合 の濃 度 は〓 で あ る.

  す なわ ち,平 面 上 の点 全 体 は,直 線 上 の点 と1対1に

対 応 す るの で あ る.こ の

結 果 は,私 た ち の素朴 な直 観'直 線 上 の 点 に比 べ て,平 面 上 の点 の方 が は るか に 多 い'を 戸 惑 わ せ る もの で は ない だ ろ うか.こ 〓2=〓 の結 果 を 少 しい い直 して(上 のR2の

の 状 況 を 説 明す るた め に,同

代 わ りに[0,1]×[0,1]を

じ

と って)

1辺 が1の 正 方 形 の 点 と,長 さ1の 線 分 上 の点 とは1対1に

対 応 す る.

と い っ て お く.   こ の と き,読

者 の 中 に は,も

長 い 糸 を も っ て き て(長 し て!),そ

さ1の

線 分 を,ず

っ と引 き の ば

れ を 重 な ら な い よ うに し て 正 方 形 の 中 に 折

り こ ん で い っ た と き,正 も の だ が,そ

し こ の 結 果 を 認 め れ ば,

方 形 の 全 部 を う め つ くせ そ う な

ん な こ と は,も

ち ろ ん で き そ うに も な い,

上 の 結 果 は 何 か お か し い とい う感 じ を もつ 人 が い る か も しれ な い.   上 の 結 果 の 述 べ て い る こ と は,こ

の よ うに,つ

なが っ

図35

た糸 を 複雑 に おい て,正 方形 を うめ つ くす な ど とい う ことで は ない の で あ る.次 の よ うな た とえ の方 が 理 解 を 助 け る ので は な い だ ろ うか,正 方形 を した 机 の 上 に,微 小 な紛 末 状 の 砂が 一面 に撤 か れ て い た とす る.こ の 砂 を全 部 集 めて まず袋 の中 に 入れ る.こ の袋 に,ち ょ うど1粒 の 砂 だけ が こぼ れ る よ うな 小 さ な穴 を あ け,こ の袋 を も って,直 線上 の道 を ず っ と歩 いて 行 くこ とを想像 し よ う.そ の と き,こ の 砂 は一 つず つ こぼれ 落 ちて い って,こ の 直線 上 に,微 小 な点 と な って, 点 々 と並 んで い くだ ろ う.こ の よ うに して,正 方形 を 占め てい た 砂 の全 体 と,直

線 上 の 砂 と が1対1に で あ る.は

じ めに あ っ た 正 方 形 と

い う図 形 は,点 れ,袋

対応するの

が1つ1つ

ば らさ

に 入 れ られ た と き,完

全 に

消え て し ま っ た の で あ る.し

たが

っ て,こ

の 袋 か ら,直 線 上 に こ ぼ

れ 落 ち て い く砂 粒 は,も

う正 方 形

の ど こ に あ っ た 砂 粒 か は,わ 線 上 で は,全

読 者 は,こ

方 形 の 中 に ご く近 くに あ っ た 点 も,直

く離 れ 離 れ に お か れ て い る か も しれ な い.

  す な わ ち,正 とみ る と,こ

か らな い.正

方 形 の 中 に あ る 点 を,完

れ は 線 分 上 の 点 と1対1に

の 結 果 か ら,集

全 に1つ1つ

に ば ら して,単

対 応 す る と い う のが,上

合 論 の 観 点 と は ど の よ うな も の か,察

に集 合 の 元

の 結 果 で あ る. 知 され た ので は

な か ろ うか.   こ の た と え 話 か ら,今 体 も,区

間[0,1]の

う.実際,そ

度 は 逆 に,そ

点 と1対1に

れ で は,1辺

が1の

立 方 体 に 含 ま れ る点 全

対 応 す る の で は な い か と 考 え ら れ て くる だ ろ

の こ とが 正 し い と い う こ と を 保 証 す る の が,公

式(Ⅰ)でn=3の

場 合 の式

で あ る.   一 般 に上 の公式(Ⅰ)の

は,Rのn個

の直 積Rnの 点 全 体 と,直 線 上 の点全 体―R―

とが1対1に

対

応 して い る こ とを示 して い る.

平 面 上 の 円全 体 の つ くる集 合   コン パ ス を 用 い て,私 る.こ

た ち は,平

面 上 に,実

に さ ま ざ ま な 円 を 画 く こ とが で き

の よ う な 平 面 上 の 円 全 体 の つ くる 集 合Cの

濃 度 を,ど

の よ うに し て 求 め

る か を 述 べ て お こ う. 平 面 上 に,直

交 座 標 を 導 入 し て お く.こ

の と き,円 は 中 心(x0,y0)と,半

径

r(>0)に

よ っ て 完 全 に き ま る.(円

こ とを 思 い 出 し て お こ う.)す

の 方 程 式 は,(x−x0)2+(y−y0)2=r2で

なわ ち,円

と,3つ

ある

の 数 の 組(x0,y0,r)と

は1対

1に 対 応 して い る.   した が っ て

で あ る.こ

こでR+={r￨rは 公 式(Ⅰ)か

だ か ら,右 辺 の集 合 の濃 度 は 

正 の 実 数},  ら これ は〓 に 等 しい.し

た が って

で あ る.

平 面 上 の 凸5角 形 全 体 の つ く る集 合   円 全 体 の つ くる 集 合Cの

濃度 は,比 較 的簡 単 に 求 め られ た が,座 標 平面 上 の

凸5角 形 全 体 のつ くる 集 合Dの そ れ は,凸5角

濃 度 を 求 め るため に は,も

う少 し工夫 が い る.

形 は,頂 点 の5つ の 点で き まるが,勝 手 に 平面 上 に5つ の点 を も

って きて も,こ れ は 凸5角 形 の頂点 にな る とは 限 らな い か らで あ る(図36の

破

線 の 図形). まず 

で あ る ことを注 意 し よ う.な ぜ な ら,1つ

っ て き て,そ R+か

ら,集

  一 方,任

れ を 相 似 比rで,r倍 合Dの

中 へ の1対1対

意 の 凸5角

の 頂 点 の うち,1番 そ の と き は,下

した も の をrSと

か く と,対

任意 に と

応r→rSは,

応 と な る か らで あ る.

形 の 頂 点 に,次

の よ うに 番 号 を つ け る こ とが で き る.5つ

左 に あ る も の に 注 目す る.こ

に あ る 方 の 点 を と り,こ れ を1番

図36

の 凸5角 形Sを

の 点 は2つ

あ るか も しれ な い.

目 の 頂 点P1と

図37

す る(図37).以

下,こ

の 点 か ら 出 発 して,時

計 と逆 向 き に 凸5角

出 て くる 頂 点 をP2,P3,P4,P5と

す る.こ

形 の 周 上 を1周

す る と き,順

に

れ らの 座 標 を

(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5) とす る.   こ の よ う に して,凸5角 が,1対1に れ た.ゆ

形 の1つ1つ

対 応 し て い る.し

に,10個

た が っ てDか

の 実 数 の 組(x1,y1,…,x5,y5) らR10の

中 へ の1対1対

応 が得 ら

えに

(公式(Ⅰ))

結局

が 得 ら れ て,ベ

ル ン シ ュ タイ ンの定理 か ら

が 証 明 され た.   ベ ルン シ ュ タ イン の 定 理 は,こ   同 じ 証 明 で,平 る こ とが 示 され,し ら れ る,平

面 上 の 凸n角

の よ うな 場 合 に し ば し ば 有 効 に 用 い られ る. 形(n≧3)の

た が っ て ま た,す

全 体 の つ く る 集 合 の 濃 度 はRで

べ て のn=3,4,…

面 上 の 凸 多 角 形 全 体 の つ くる 集 合 も,ま

あ

につ い て 直和 を とって 得 た 濃 度〓 で あ る こ とが わ か

る.

Tea

Time

次 元 につ い て   こ こで 述 べ た よ うに,集 合 とい う立 場 か らみ る 限 り,1次 次 元 もす べ て 同 じ濃 度〓 を もつ 集合 とな って,何 ま う.集 合 論 の世 界で は,4次

元 も,2次

元 も,3

の区 別 もない こ とにな って し

元 の世 界 に フ ァン タジ ーを く りひ ろ げ る よ うな,

SFの 夢 は 消滅 して し ま うので あ る.   しか し,た とえ ば,R1とR2と 違 う.R1で

で は,点 が 連 続 的 につ なが ってい る模 様 は全 然

は,原 点Oを 除い て しま うと,負

の数 を 少 しず つ 連 続 的 に動 か して

い っ て,最

後 に 正 の 数 へ 辿 りつ か せ る よ うな こ と は,絶

あ い て い る か ら で あ る.だ

が,R2で

は,原

点0を

対 に で き な い.0で

除 い て も,任

意 の 点Pを,少

しず つ 連 続 的 に 動 か し て 任 意 の 点Qへ

辿 りつ か せ る こ と は,常

ぜ な ら,原

の 道 が つ くれ る か らで あ る.

点Oを

通 ら な いPか

らQへ

  この こ と は,単

に 集 合 の 観 点 だ け で は な くて,'連

て 考 え れ ば,1次

元,2次

よ うな,異 際,次

元,3次

元,…

続 性'と

の そ れ ぞ れ は,は

穴が

に 可 能 で あ る.な

い う性 質 も あ わ せ っ き りと 区 別 で き る

な っ た 性 質 を も つ に 違 い な い と い う こ と を 示 唆 す る も の で あ る.実

の 定 理 は よ く知 ら れ て い る.

  m≠nな

ら ば,Rmか

らRnの

質 問   い ま まで の 話 だ け で,こ つ うの 数 学 で は,有

上 へ の1対1の

連 続 な 写 像 は 存 在 し な い.

ん な こ と を 考 え る の は 速 断 か も し れ ませ ん が,ふ

限 濃 度1,2,…,n,…

と 可 算 濃 度〓0と,連

続 体 濃 度〓

しか 出

て こ な い の で し ょ うか. 答   私 が 数 学 を 学 ん で き た 経 験 か ら い え ば,そ 第18講

で み る よ うに,〓

し,'ふ

つ うの 数 学'で

よ い の で あ る.こ

か

こ の よ うな 集 合 を 取 り扱 う機 会 は ほ と ん ど な い と い っ て

の 理 由 の 一 つ は,数

学 を 表 現 す る形 式 が,非

然 数 と 実 数 とい う数 学 の 中 の 動 か し難 い2つ い か と 思 う.

うい っ て よ い と 思 う.も ち ろ ん,

よ りも っ と 高 い 濃 度 を もつ 集 合 も存 在 し て い る.し

の'実

在'に

常 に 深 い 所 で,自

よ って い るか らで は な

第17講 連 続 体 の 濃 度 を もつ集 合(つ づき) テーマ

◆ ◆ 自然 数 列 の つ くる集 合 の 濃度 は〓 ◆ 実 数 列 の つ くる集 合 の濃 度 は〓 ◆ 区 間[0,1]上

で定 義 され た連 続 関 数

◆ 連 続 関 数 の集 合C[0,1]の

濃 度 は〓

公

式

次 の公 式 が 成 り立 つ.

(Ⅱ)

【証 明 】  まず 下 の 等式 か ら示 そ う.第14講

の定 理 か ら 

したが って

(第14講(4)) (第14講(1))

これ で下 の等 式 が 示 され た.上 の等 式 は

と,ベ

ル ン シ ュ タ イ ン の 定 理 か ら得 ら れ る.

自然 数 列 の つ くる集 合 公 式(Ⅱ)で

示 され て い る 

の濃 度 が〓 で あ る とい うこ とで あ る:

は,自 然 数 の 集合Nの

可 算個 の直 積 集 合

す なわ ち,自 然数 のつ くる数 列 (n1,n2,…nk,…)

全 体 の つ く る集 合 の 濃 度 は〓 で あ る.第10講 か る よ うに,こ う ど1対1に が,濃

のTea

の よ うな 自然 数 列 に 対 して,区

対 応 し て い る.し

  つ い で な が ら,自

間(0,1)に

見直 して み る とわ 属す る無理 数 が ち ょ

と い う 結果 は,無 理 数 の集 合

た が っ て 

度〓 を もつ と い う こ と と,同

Timeを

じ こ と を 述 べ た こ と に な っ て い る.

然数 の増 加列 n1
全 体 の つ くる集 合 も,濃 度〓 を もつ こ とを示 して お こ う.   この よ うな,自 然数 の増 加列 に 対 して,無 限 級数

を 考 え て み る.こ き,ち

ょ う ど,小

の 無 限 級 数 は,(0,1]区 数 点 以 下n1位

こ の よ うな 形 の 無 限2進

間 の 数 を,無

に1,n2位

に1,…

小 数 展 開 に よ っ て,区

表 わ さ れ て い る こ と は 明 らか で あ ろ う.し (0,1]の

実 数 と が1対1に

の つ く る集 合 の 濃 度 は,〓

対 応 して い る.こ

限2進

小 数 展 開 した と

と な る 数 を 表 わ して い る:

間(0,1]に

た が っ て,自

属 す るすべ ての 数 が 然 数 の 増 加 列 と,区

の こ と か ら,自

間

然数 の 増 加 列全 体

で あ る こ と が わ か る.

実数列のつくる集合 公 式(Ⅱ)で

示 され て い る 

は,実 数 の集 合Rの

可 算 個 の直 積集 合 の濃

度 が 〓 であ る とい うこ とで あ る:

す な わ ち,実

数 列(x1,x2,…,xk,…)全

  実 数 列 全 体 の つ くる 集 合 をR∞ (n次

元 空 間!)の

体 の つ く る 集 合 の 濃 度 は 〓 で あ る. と表 わ す こ とが あ る.Rのn個

点(x1,x2,…,xn)に

対 し て,R∞

の点

の 直 積 集 合Rn

(x1,x2,…,xn,0,0,0,…)

を 対 応 させ る こ と に よ り,Rnか 応 を 通 して,Rnは,R∞

らR∞ の 中 へ の1対1対

応 が 得 ら れ る.こ

の対

の 部 分 集 合 と な っ て い る と見 な す こ と も で き る.こ

の見

方 をす る と きには R1⊂R2⊂R3⊂

… ⊂Rn⊂

… ⊂R∞

とな る.前 講 の結 果 か ら,こ れ らのR∞ の部 分 集 合 の濃 度 はす べ て 〓 で あ る.  なお,直 和

は,R∞

の中 で有 限 数 列全 体 のつ くる 部 分集 合 とな って い る ことを 注 意 してお こ

う.

連 続 関数   区 間[0,1]で

考え て も,R全

い こ と も あ っ て,区   区 間[0,1]上 続 で あ る と は,区 き,x0に

体 で 考 え て も,違

間[0,1]で

い は な い の だ が,図

で 定 義 さ れ て い る連 続 関 数 をy=f(x)と 間[0,1]の

示 しや す

考 え る こ と に す る.

中 の 数 列x1,x2,…,xn,…

す る.こ が,nが

こで 関数 が連 大 き くな る と

近 づ く な ら ば, f(x1),f(x2),..,f(xn),…

も,し

だ い にf(x0)に

近 づ くと い う性 質 を もつ こ と で あ る.

  直 観 的 に い え ば,y=f(x)が

連 続 で あ る と は,y=f(x)の

グ ラ フ が つ なが っ

て い る と い う こ と で あ る.図38の (Ⅰ)で

は,3つ

の 連続 関数 の グ ラ

フ を 示 し て お り,(Ⅱ)で

は 不連 続

関 数 の グ ラ フを 示 し て い る.   す ぐあ と で 用 い る 連 続 関 数 の 一 つ の 性 質 を 述 べ て お こ う.   (★)fとgを

区 間[0,1]上

定 義 さ れ た 連 続 関 数 と す る.こ き,す べ て の 有 理 数r(0≦r≦1)で,

で のと

(Ⅰ)

(Ⅱ)

図38

f(r)=g(r)が =g(x)が

成 り立 つ な ら ば,実

は,す べ て の 実 数x(0≦x≦1)に

対 してf(x)

成 り立 つ.

【証 明 】 fとgが

任 意 の 無 理 数xで

理 数x(0<x<1)を

同 じ 値 を と る こ と を 示 し さえ す れ ば よ い.無

無 限小 数 で表 わ し x=0.α1α2α3…

αn…

とす る. r1=0.α1,r2=0.α1α2,r3=0.α1α2α3,…

とお

く と,r1,r2,r3,…,rn,…

は 有 理 数 か ら な る 数 列 で, rn→x(n→

で あ る.仮

∞)

定か ら f(rn)=g(rn)(n=1,2,…)

が 成 り立 ち,fとgは

連 続 だ か ら,こ

こ でn→ ∞ と す る と

f(x)=g(x) と な る.こ

れ で 証 明 さ れ た.

連続関数のつ くる集合   区 間[0,1]上

で 定義 され た連 続 関数 全 体 の つ くる集 合 をC[0,1]で

表わ す.こ

の と き,次 の結 果 が 成 り立 つ. C[0,1]の

濃 度 は 〓 で あ る.

で あ る.

【証 明】(ⅰ) 

なぜ な ら,任 意 の実 数 αに対 して,定 数 関数 f(x)=α を考 え る と,α

に 対 してfを

対応 を 与 え て い る.し

対 応 さ せ る 対 応 は,Rか

らC[0,1]の

中 へ の1対1

た が って

(ⅱ) 

で あ る.

い ま区 間[0,1]に

含 まれ る 有 理数 全 体 のつ くる 集 合 を考 え る.こ の集 合 は可

算集 合 だ か ら

{r1,r2,r3,…,rn,…} 

(1)

と 表 わ す こ とが で き る. f∈C[0,1]に

対 し て,数

列

(f(r1),f(r2),f(r3),…,f(rn),…)

を 対 応 さ せ て み よ う.こ f≠gな

ら ば,必

の 数 列 をR∞

の 元 と 考 え る こ と に す る.(★)に

ず あ る 有 理 数r(0≦r≦1)が

のrは,(1)の

中 に 含 まれ て い る.し

存 在 し て,f(r)≠g(r)と

た が っ て,R∞

よ っ て, な る.こ

の元 と して

(f(r1),f(r2),…)≠(g(r1),g(r2),…)

と な る.こ

の こ と は,対

応 f→(f(r1),f(r2),…,f(rn),…)

が,C[0,1]か

らR∞ の 中 へ の1対1対

応 を 与 え て い る こ と を 示 して い る.し

た

が って

(ⅲ)(ⅰ)と(ⅱ)か

ら,ベ

ル ン シ ュ タ イ ン の 定 理 に よ って, 

が

証 明 され た.   図38(Ⅰ)を C[0,1]の

見 て もわ か る よ うに,連 続 関 数 の グ ラフ な ど 自由に書 け るか ら,

濃 度 は,実 数 の濃 度 〓 よ りは るか に 多 い よ うにみえ る.し か し,上 で

み た よ うに,結 局 の ところ,連 続 関数 全 体 の つ くる集 合 の濃 度 は,定 数 関数― グ ラ フがx軸 に平 行 な 関数―

全 体 の つ くる集 合 の濃度 〓 に等 し くな って しま う

ので あ る.こ の発 見 は 驚 くべ き こ とに思 わ れ る.

Tea

質 問  C[0,1]の

Time

濃 度が 〓 で あ る とい う上 の証 明 は,ベ ル ン シ ュ タ インの 定理 な

どを 用 いて お り,間 接 的 で,何 か も う一 つ は っ き りしな い よ うな感 じが残 ります. 解析 学 の結 果 な どを用 い て も よい こ とにす れ ば,も

う少 し見 通 し よい証 明 が あ っ

て も よい よ うに思 い ます. 答   区 間[0,1]で

定 義 され て い る ハ ール の直 交 関数 系 とい うもの が あ る.こ の

関数 列 は,ふ つ う

の よ うに 表 わ す.こ

こ でm=1,2,…

で,各mに

対 し て1≦k≦2mで

あ る.こ

の

関数 列 を簡 単 に番 号 を つ け て {x1,x2,…,xn,…}

と表 わ す こ とに し よ う.こ の関 数 列 は

とい う性 質 を も っ て い る が,さ

ら に,区

は,こ

ず た だ1通

のx1,x2,…

を 用 い て,必

と表 わ され る こ と が 知 ら れ て い る.右

間[0,1]で

定 義 され た 任 意 の 連 続 関 数

りに

辺 の 級 数 は 区 間[0,1]で

一 様 にf(x)に

収 束 し て い る.   こ の解 析 学 の 結 果 を 用 い る と,f∈C[0,1]に

対 し て,上

の級 数 の係 数

(C1,C2,…,Cn,…)

を 対 応 させ る こ と に よ り,C[0,1]か

らR∞ の 中 へ の1対1対

応 が 得 ら れ る.し

た が って

が結 論 され る こ とにな る. し か し,  こ こ で も これ か ら 

を 導 くに は ベ ル ン シ ュ タ イ ン の 定 理 が

必要 とな る.ベ ル ン シ ュ タ イ ンの定 理 は,無 限集 合 の濃 度 につ い て の結 論 を導 く た め には,非 常 に強 力 な 定理 な ので あ る.

第18講 ベ キ集 合 の濃 度 テー マ

◆ よ り高 い 濃 度 の 集合 を 求 め て ◆m<2m ◆Rか

らRへ

の写 像 全体 の つ くる集 合 の濃 度 は 〓 よ り大 きい.

◆ 無 限の 段 階 ◆ 集 合 の 実在 感?

よ り高 い 濃 度 の 集 合   今 まで に 登場 して きた 無 限濃 度 は,〓0と

〓 で あ る.そ れ で は,〓

よ り高 い濃

度 を もつ集 合 は存 在す る のだ ろ うか.こ の ことを考 え る手 が か りは,2〓0=〓 とい う関 係 に あ る.こ

の 式 は,可

算 集 合Nの

部 分 集 合全 体 のつ くるベ キ集 合 〓(N)

は,可 算濃 度 を 越 え て,連 続 体濃 度 に 達す る こ とを示 して い る.   そ の ことか ら次 の ことが 予 想 され る.Rの

ベ キ集 合 〓(R)の

濃 度 は,〓 を 越

え て い る ので は な か ろ うか.   実際,こ の 予 想 は正 しい の だが,実 は もっ と一 般 に,ど も,ベ キ集 合 〓(M)の

濃度 は,Mの

と って

濃度 よ り大 き くな る こ とが 示 され るの で あ

る.す な わ ち 次 の定 理 が 成 り立 つ.

【定 理】  任意 の集 合Mに

ん な集 合Mを

対 し,

が 成 り立 つ.   この定 理 は m<2m

と書 い て も 同 じ こ と で あ る.

定理の証明   Mの

元xに

対 し て,〓(M)の

で あ っ て,Mか

元{x}を

ら 〓(M)の

対 応 さ せ る 対 応 は,明

中 へ の1対1写

ら か に1対1

像 を 与 え て い る.し

たが って

m≦2m

が 成 り立 つ.   ここで 等号 が 成 り立 た ない こ とを示 す に は,Mか

ら 〓(M)へ

の1対1対

応ψ

が 存 在 した と して,矛 盾 の生 ず る こ とをみ る と よい.   この よ うな ψが存 在 した と し よ う.ψ は,Mの 分 集 合 を1対1に

各 元xに 対 し て,Mの

対 応 させ て い る 写 像 で あ る.こ の と き,Mの

あ る部

任 意 の 元xに 対

して,次 の2つ の場 合 の ど ち らか一 方 だけ が 必ず お きる. (ⅰ) 

x∈cψ(x)

(ⅱ)   こ の と こ ろ は す ぐに は わ か り に くい か も し れ な い か ら,Mか 写 像 の 場 合 に,対   M={a,b,c,d}と こ の と き, 

中 へ の1対1

し,ψ(a)=φ,ψ(b)={b,d},ψ(c)={b},ψ(d)={a,b,c,d}と だ か ら,aに

つ い て(ⅱ)の

bに つ い て は(ⅰ)の

場 合 が 成 り立 っ て い る.同 場 合 が 成 り 立 っ て い る.

つ い て は(ⅰ)の

成 り 立 つ よ う なx全

す る.

場 合 が 成 り立 っ て い る.b∈{b,d}だ

dに

  い ま,(ⅱ)が

ら 〓(M)の

応 す る こ と を 例 で 説 明 し て お こ う.

様 に し てcに

つ い て は(ⅱ)の

体 の つ く る 部 分 集 合 をZと

か ら, 場 合 が,

す る:

(1) Zは 空 集 合 か も しれ な い が,そ す ぐ上 の 例 では,Zに   Z∈ 〓(M)だ

れ は 構 わ な い.

相 当 す る集 合 は{a,c}で

か ら,Mの

中 に あ る 元zが

あ る. あ って

ψ(z)=Z

と な っ て い る は ず で あ る(ψ   zに つ い て(ⅰ)の な り,Zの

定 義(ⅰ)に

  zに つ い て(ⅱ)の

は1対1対

応!).

場 合 が 成 り立 っ て い る と し よ う.そ

の と きz∈Z=ψ(z)と

反 す る. 場 合 が 成 り立 っ て い る と し よ う.そ の と き 

とな

り,し た が ってZの

定 義 か らzに

つ い て は(ⅰ)が

成 り立 つ こ と に な っ てz∈Z,

こ こ で も再 び 矛 盾 した 結 果 に 導 か れ た.   (ⅰ),(ⅱ)の 'Mか

場 合,と

ら 〓(M)へ

も に 矛 盾 と な っ た の だ か ら,こ

の1対1対

応 が 存 在 す る'が

の こ と は 最初 の仮 定

成 り 立 た な い こ と を 示 して い

る. Rか 定 理 を 実数 の 集合Rに

とな る.す なわ ち,Rの

らRへ

の写 像

適 用 して み る と,

部 分 集 合全 体 のつ くる集 合 を考 え る こ とに よ って,は じ

め て私 た ち は連 続 体 の濃 度 を越 え る集 合 に 出会 った こ とに な る.   次 に,Rか

らRへ

の写 像 全 体 の つ くる 集 合Map(R,R)を

考 え てみ よ う.ふ

つ うのい い 方 をす れ ば,こ れ は,数 直 線上 で 定義 され た(連 続,不 連 続 な)す べ て の関 数 の集 合 で あ る.こ の 集 合 の濃 度 は,第14講

の(5)か

ら

で あ る が,

か ら, 

(注意: 

し た が って, 

に よ り, 

で あ る.

  前 講 で,連 続 関数 全 体 のつ くる 集 合 の 濃 度 は 〓 の ことを 示 してお いた か ら, この結 果 は,不 連 続 関 数全 体 の集 合 が,連 続 関数 の集 合 に比 べ て,は るか に 高 い 濃 度 を もつ こ とを 示 して い る.

よ り高 い 濃 度 の 集 合 Nか

ら出発す る と して,

さ らに

で あ る.こ

こ で 

は,〓(N)を1つ

の 集 合 と 考 え た と き の,部

分 集合

全 体 のつ くる集 合 で あ る.   この集 合 の構 成 は くり返 して い くこ とが で き る.帰 納 的に

と お く.そ

うす る と,濃

度の 増 加列

が 得 られ る. す な わ ち,定

理 は,い

く ら で も濃 度 の 高 い 集 合 が 存 在 す る こ とを 主 張 し て い る

の で あ る.   こ の 可 算 列 の 先 に は,も い.し

うな い か も しれ な い と 考 え る 読 者 も い る か も し れ な

か し

と お く と,す

べ て のnに

対 して

で あ り,し た が っ て 再 びMか

ら は じ め て,さ

ら に 濃 度 の 高 くな って い く集 合 列

が 得 ら れ て い く.   こ の 操 作 に は,果

て し が な い.

無 限 の 段 階,集

  上 に 述 べ た こ と は,カ で き る,も

合 の 実 在

ン トル の 集 合 論 の 見 出 し た,誰

に も そ の 内 容 が よ く理 解

っ と も 画 期 的 な 結 果 だ った の か も しれ な い.集

り,無 限 集 合 は,無

合 の 濃 度 を み て い く限

限 の 段 階 を も っ て お り,果 て し な い 操 作 に よ っ て,い

も大 き な 無 限 集 合 を 生 産 し続 け る こ とが で き る の で あ る.無 身 の 中 に,本

限 の 概 念 は,そ

れ 自

質 的 な 無 限 の 姿 を 内 蔵 して い た とい っ て よ い.

  これ か ら先 は,こ い た,私

くらで

の 集 合 論 の も た ら し た 驚 き に 対 す る,多

少 ア ン チ ・テ ー ゼ め

の 感 想 で あ る.

  論 理 的 な 演 繹 と,数 学 の 形 式 の 中 で,見 事 に 結 晶 して き た こ の 無 限 の 世 界 像 に, もち ろ ん 非 の うち ど こ ろ な どな い の だ が,〓(M),〓(〓(M)),…,〓n(M),… か れ た 集 合 列 に,私

た ち は,第1講

で 述 べ た よ う な,集

合―

も の の 集 り―

と書 と

して の 認識 感 を ど こ まで保 ち続 け られ るで あ ろ うか.構 成 して い る1つ1つ

のも

の を 識 別 し,そ の全 体 を1つ の ま とま った もの とみ る よ うな認 識 の 力が,〓n(M) とい う対 象 に 向か った ときに も,な お 私 た ちに 残 され て い るの だ ろ うか.   す なわ ち,集 合 の 実在 感 とで もい うべ き もの は,記 号 の 中 に託 され た概 念 と, そ の 間 を縫 う論理 の 中に あ る のか,そ れ と も,第1講

で述 べ た よ うな,本 来 素 朴

な形 を とる,私 た ち の'も のの 集 り'に 対 す る認 識 の 中 に あ るの か.換 言 す れ ば, 集 合 論 が 示 した驚 嘆す べ き世 界 像 を,数 学 の中 で は,虚 構 の影 を論理 に託 した形 式 の世 界 であ る とみ るの か,あ るい は,実 在 の 世 界 とみ るの か,こ れ は厄 介 な難 しい問 題 で あ る.カ ン トル の集合 論 をめ ぐって,20世 紀 初頭,多 され,激

くの逆 理 が 提起

しい議 論 が 湧 き上 った が,こ の逆 理 の背 後 に あ って,1人1人

の数学 者

に対 峙 す る よ うに して 問 いか け て きた の は,無 限 の認 識 に か らむ,こ の避 け が た い,難 し い問題 で あ った と思 わ れ る.

Tea

Time

質 問  集 合 論 の逆 理 とい うの は どん な もの な の です か. 答  ラ ッセル の逆 理 と よばれ て い る も のだ け を述 べ て お こ う.集 合 を次 の よ うに 2つ の種 類 に分 類 す る.   第1種 の集 合:自 分 自身 を元 と して もた な い 集合   第2種 の集 合:自 分 自身 を元 と して もつ集 合 これ を 読 ん だ だけ で は,第1種,第2種

の分類 が何 を述べ てい るの か,よ

くわ か

らな い だ ろ う.ふ つ う考 え る集合 は第1種 で あ る.し か し   「食 べ られ な い もの全 体 のつ くる集 合」 といえ ば,食 べ られ ない ものをす べ て集 め た もの は,や は りそ れ 自身食 べ られ な い の だか ら,こ の 集合 の中 に含 まれ て い る.す

なわ ち この 集合 は,第2種

であ

る.   そ こで ラ ッセ ル は次 の よ うな 逆理 を提 起 した.   す べ て の第1種 で あ る.

の集合 全 体 の つ く る 集 合 をXと

す る．Xは

第1種 か,第2種

  も し,Xが

第1種

とす る と,Xは

自分 自身 を元 と して もた な い のだ か ら,Xは

第1種 で は な く矛盾 とな る.   も し,Xが

第2種

とす る と,Xは

自分 自身 を 元 と して もつ の だか ら,Xの

義 か ら,Xは

第1種

とな り矛 盾 で あ る.し た が っ てXは

第1種 で も,第2種

定 で

もな い.こ の よ うに して,正 しい推 論 か ら矛 盾 が 生 じた のだ か ら,こ れ は逆 理 で あ る!!し

か し,こ の全 体 の推 論 の 中 に,何 か 妙 な もの―

と,形 式 論 理 との 間 の亀 裂 の よ うな もの―

集 合 の 素朴 な 概 念

を感 じな い だ ろ うか.こ の逆説 は,

集 合 とは 何 か を,改 め て問 うて い る よ うに,み え て くるだ ろ う.

第19講 可 算集 合 を並 べ る テ ー マ

◆ 序 数 としての自然数の働 き ◆ 可算集 合を並べてみる ◆ 有 限集合 と無限集合の並ばせ方の違い ◆ 順序数 ω,超限順序数

序

数

第2講 で 述べ た よ うに,自 然 数 に は基 数 と して の機 能 だ け では な くて, first,second,third,…

と い う序 数 の 機 能 も も っ て い る.序 を つ け て い く 働 き で あ っ て,ご る.果

物 屋 の 店 先 に,雑

号'が

つ け ら れ れ ば,「17番

い 方 が 可 能 に な る.つ くる の で あ る.こ え方 で あ る

数 と し て の 機 能 は,も

の を1列

く 日常 的 に い え ば 背 番 号 を つ け て い く こ とで あ

然 と 積 ま れ て い る100個 目 の リ ン ゴ と,83番

の リ ン ゴ の 集 りに,も

れ は 確 か に,個

数 を 数 え る―

し'背

番

目 の リン ゴ を 下 さ い 」 と い うい

ま り番 号 を つ け る こ と に よ っ て,集 濃 度―

合 の 元 が,特

定 され て

考 え 方 とは,違

った 考

然 数 の もつ 基 数 と い う働 き に 注 目 し て,そ

れをさ

.

  今 ま で 示 し て き た よ うに,自

ら に 無 限 集 合 に ま で 拡 張 し て 考 え て み よ う とす る こ と に よ っ て,濃 を 得 た.そ

に並 べ て番 号

れ で は 今 度 は,自

度 と い う概 念

然 数 の もつ 序 数 と し て の 働 き に 注 目 し て,こ

限 集 合 に ま で 拡 張 し よ う とす る な ら ば,一

体,そ

れ を無

こ に は ど の よ うな 概 念 が 誕 生 し

て く る だ ろ うか.

1つ の 注 意 い ま,校 庭 の グ ラ ン ドで 野 球 を は じめ よ うとす る前 に,体 育 備 品置場 か らベ ー

ス を も っ て き て,グ

ラ ン ドに ベ ー ス を お こ う とす る.同

を も っ て き て,そ

れ か ら 一 つ ず つ 適 当 に と って,1塁

の場 所 に お く.こ

の お き 方 は1通

め て,フ

ァ ー ス ト ・ベ ー ス,セ

序 数3は,こ

りで あ っ て,所

の 場 所,3塁

定 の 場 所 に お か れ た 上 で,は

カ ン ド ・ベ ー ス,サ

じ

ー ド ・ベ ー ス の 名 前 が つ く.

列 や 組 合 せ を 知 っ て い る 人 は,3つ

通 りあ る の で は な い か と思 うか も しれ な い.そ

を1番

の 場 所,2塁

のベース

の よ う な 順 序 の つ い た 並 べ 方 を 指 し て い る.

  並 べ 方 に つ い て,順

る場 合,た

じ 形 を した3つ

と え ば,田

目 にす る か,佐

中 君,山

藤 さ ん を1番

る と い っ て い る の で あ る.序 別 も な い,'集

合'の

田 君,佐

れ は3つ

藤 さ ん を1列

の も の の 並 べ 方 は,6 の もの に名 前 が つ い て い

に 並 べ る 並 べ 方 は,田

目 に す る か な ど を 考 え る と,全

数 の 考 え は も っ と基 本 的 で あ っ て,元

元 を,順

部 で6通

中君 りあ

の 間 に何 の区

序 を つ け て 並 べ る仕 方 と い う こ と だ け に 注 目 して

い る.

可算集合を並べてみ る   可 算 集 合 の 代 表 的 な も の は,自 元 に 名 前 が つ い て い て,'並 る お そ れ が あ る.そ くる こ と は,あ

然 数 の 集 合N={1,2,3,…}で

べ る'と

の た め,説

い う と き に,上

れは

の注 意 の よ うな 誤 解 の生 ず

明 の 最 初 の 段 階 で は,例

ま り適 当 で な い と思 わ れ る.そ

あ る が.こ

と し て 集 合Nを

と って

こで可 算集 合

X={*,*,*,…,*,…}

を と る こ と に す る.1つ1つ

の*が,Xの

元 を 表 わ し て い る.こ

のXの

元を順

に 並 べ て い く こ とを 考 え よ う.   Xの

元 を 適 当 に 順 次,1番

目,2番

目,…

な る無 限 系列 {a1,a2,a3,…an,…}

が 得 ら れ る.   こ こ で3つ

の 場 合 が 生 じ て く る.

(Ⅰ) 有限個

(Ⅱ)   無限個

(Ⅲ)

と取 り出 し て い く と,Xの

元か ら

  (Ⅰ)の

場 合 は,Xの

元 を 適 当 に 取 り出 し て 番 号 を つ け て い っ た と こ ろ,自

数 の 番 号1,2,3,…

を つ け 終 っ た と き,Xの

況 で あ る,(Ⅱ)は

い くつ か の 有 限 個 の 元 に,番

元 が ち ょ う ど な く な っ て し ま った 状

ま った 状 況 で あ る.(Ⅲ)の

場 合 に は,番

  た とえ ば,Xと

と っ て み る.こ

し てNを

りに そ の ま ま 並 べ て い く と(Ⅰ)の と に し て,5,6,7,…

号 の な い 元 が,ま

ま う と,全 ま ま,'番

部 番 号 を つ け た と きに,奇 残 さ れ る.こ

目,3番

と 自然数 の順 番 通 あ と まわ しにす る こ

目と 番 号 をつ けて い く

け が 残 っ て し ま う.こ れ が(Ⅱ)の

数 だ け に 注 目 し て,2,4,6,8,…

号 な し'で

だ 無 限 に 残 っ て い る.

の と き,1,2,3,…

目,2番

と,全 部 番 号 を つ け た と き,{1,2,3,4}だ 合 で あ る.偶

号 が つけ られ な い ま ま残 って し

場 合 に な る.1,2,3,4を

か ら は じ め て1番

然

に 最 初 に 番 号1,2,3,…

数 の 集 合{1,3,5,7,…}が,そ

れ が(Ⅲ)の

場

をつけて し っ く りそ の

場 合 で あ る.

有限集合と無限集合の並ばせ方の違い   上 に 述 べ た こ と は,た

と え て い え ば,無

る 野 球 の ゲ ー ム で は,フ

ァ ー ス ト,セ カ ン ド,…

で な い こ と を 示 して い る.(Ⅰ)の a2,a3,…}と

限個

―〓0個 ―

ベ ース を 必 要 とす

とベ ー ス を 並 べ る 仕 方 は1通

り

よ う に ベ ー ス を 並 べ て ゲ ー ム を す る と,{a1,

ベ ー ス を 回 っ て き た ラ ン ナ ー が い れ ば,得

よ うに ベ ー ス を 並 べ た と き に は,さ

点 が1点

入 る が,(Ⅱ)の

ら に も う 有 限 個 の ベ ー ス{*,*,*,…,*}

を 踏 ま な い と 得 点 に な ら な い.(Ⅱ)の

場 合 に は,ラ

ン ナ ーは さ らに まだ 無 限個

の ベ ー ス を 踏 ま な け れ ば 得 点 に な ら な い.   同 じ ベ ー ス を 用 い て も,並 個 の と き に は,ベ

べ 方 で ゲ ー ム の 規 則 が 変 っ て し ま うの で あ る.有

ー ス の 並 べ 方 で,ゲ

意 味 で,3個

の ベ ー ス に 対 して,そ

て,基

対 し て 序 数3が

数3に

能 を,同

が1対1に

の 並 べ 方 は 本 質 的 に1つ

対 応 し,結

時 に 表 わ す こ と が で き た.し

〓0と な る と,濃

ー ム の 規 則 が か わ る こ と は な か っ た.そ

局 同 じ 数 字3で,基

か し,ベ

で あ る.し

の

たが っ

数 と 序 数 の2つ

の機

ー ス の 数 が 有 限 で は な くな っ て,

度 だ け で は 並 び 方 が 一 意 的 に 決 ま ら な い の で あ る.基

対 応 し て い る 状 況 は,無

限

限 に な る と 崩 れ て く る.

数 と序 数

順 序 数 ω   数1(the

first),2(the

な 立 場 で は,こ

second),3(the

れ を 順 序 数 とい う.も

third),…

は 序 数 で あ る が,一

般的

う少 し 正 確 に い う と

1は:1 2は:1,2

この右 辺 は,単 に 集合 の元 を 表わ 3は:1,2,3

して い る ので は な く,左

か ら右

へ,順 序 をつ け て 元 が並 んで い る と考 え て い る.

nは:1,2,3,…,n

と い う順 序 を 表 わ し て い る とみ る.   こ の よ うな 順 序 数1,2,3,…,n,…

の 自 然 な 拡 張 と して, 1,2,3,4,…,n,…

と並 ぶ 順 序 を ω で 表 す.ω …,n,…}に1つ は,超

も1つ

の 順 序 数 と考 え る.ω

の 順 序 の 与 え 方 を 指 定 して い る.こ

は,無

限 集 合{1,2,3,4,

の こ とを強 調 した い ときに

限 順 序 数 と い う.

  た とえ ば 可 算 集 合 X={*,*,*,…,*,…}

が a1,a2,a3,…,an,…

と並 べ られ,こ

れ でXの

元 が すべ てつ くされ て い る と きに は,Xは,順

序数 ω

の型 で 並 べ られ た とい う.   また,Xの

元 を並 べ た と きに a1,a2,σ3,…,an,…,a

とい う形 に な った とき には,Xは,順  同様 の い い方 で,Xの

序 数 ω+1の 型 で並 べ られ た とい う.

元 の並 べ 方 が a1,a2,a3,…,an,…,a1,a2,…,am

と,終

りの 方 に,m個

で 並 べ ら れ た と い う.

の 元 が 順 に 並 ん で い る と き に は,Xは,順

序 数 ω+mの

型

この よ うに して有 限 の順 序数 か ら,超 限順 序 数 へ とつ なが って い く系列 1,2,3,…,n,…,ω,ω+1,…,ω+m,…

が得 られた.   この先 を 続 け てい くと 1,2,3,…,n,…,ω,ω+1,…,ω+m,…,ω+ω

とい う順 序 数 の系 列が 得 られ る.ω+ω 密 な定 義 は,第24講

と表わ す 意 味 は 大 体 明 らか と思 うが,厳

で述 べ る.

  た とえば,自 然 数Nを 2,4,6,…,2n,…,1,3,5,…,2m+1,…

の順 序 で 並べ る並 べ方 は,順 序 数 ω+ω に したが う並べ 方 であ る.

Tea

Time

整数の集合の並び方 整数 の全 体 は,小 さい方 か らしだ い に大 き くな る順 で,左 か ら右 へ 順 に …,−3,−2,−1,0,1,2

と並 ん で い る.こ

の並 び 方 を 表 わ す'序

意 さ れ て い な い.'序

数'と

,3,…

数'に

い う と き に は,や

相 当 す る も の は,数 は り1番

数 え 上 げ ら れ て い く も の で な く て は い け な い.整 び て い る.し

た が っ て,1番

目,2番

学 では 特 に用

目,3番

目 と順 次

数 の 列 は 左 の 方 に ど こ ま で も延

目 と数 え は じ め る 出 発 点 と な る 数 が な い の で あ る.

質 問  有理 数全 体 のつ くる集 合Qは

可 算集 合 で,有 理 数 は,数

直線 上 に 稠密 に

並 ん で い る と思 い ます.こ の よ うな並 び 方 は,上 の順 序 数 の説 明で の並 び 方 と様 子 が全 然 違 うよ うに思 い ます.こ の場 合,並 んで い る とい って も,1番

目,2番

目 と番号 が つけ られ る よ うな状 況 で はあ りませ ん.無 限集 合 の並 べ 方 とい うとき に は,一 体,ど の よ うな 並べ 方 を考 え よ うとして い るの か,は っ き りい うこ とは で き るの です か.

答   この講 で は,順 序 数 の概 念 とは どん な ものか を 知 って も ら うた め に,ご 単 な例 で しか話 を しなか った.実 際,無 理 数 の 集 合 とか,〓(R)な

く簡

ど とい う無 限

集 合 に,序 数 の 拡 張 を試 み る こ とは,難 しい問 題 で あ って,こ の よ うな 問題 を取 り扱 う前 に は,質 問 に あ った よ うに,'並

べ 方'と は何 か を,明

確 に述 べ て お か

な くて は な らな い.数 直 線上 に並 ぶ 有理 数 の よ うな並 び 方 で は,1番

目,2番

目

と,並 ん で い る順 に数 え上 げて い くこ とはで きな い か ら,序 数 の概 念 の拡 張 を考 え るに は 適 しな い.   無 限集 合 で,'元 を並 べ て い く'と い う操 作 は,何 を 意 味す るの だ ろ うか.カ ン トル は,こ の操作 を,無 限 集合 に導 入 す る こ とを ひ と まず 避 け て,も っ と抽 象 的 な整 列 集 合 とい う概 念 を導 入 して,そ

こか ら議 論 を は じめ よ うと した.し

か

し,そ うしてみ て も,本 質 的 な難 しさ は変 らな か った ので あ る.こ の こ とにつ い て は,次 講 以 下 で 述べ てい くこ とにす る.

第20講 順

序

集

合

テー マ

◆ 無 限 集 合 を並 べ る? ◆ 順 序,順 序 集 合 ◆ 全順序集合 ◆ 順 序 集合 の同 型 ◆ 上 界,下 界:最 大 元,最 小元

問題の設定   集 合 論 の 対 象 と な る も の は,単 な い.集 Rの

ベ キ 集 合,た

と え ば 〓120(R)な

無 限 と い う対 象 に 対 し て,'元 ざ す,序

数 の 集 合Rだ

た 認 識 で あ っ て,集

か し,序

と い う考 え が 基 本 で あ る.た と き は,1つ

詮,無

けで は

漠 とした

い う 日常 的 な 考 え に 根

理 な こ と で は な か ろ うか. の ま とま った総 合的 な もの と し

数 の 考 え の 導 入 に は,元

を1つ

ずつ 並べ てい く

界 中 の 砂 粒 の 集 合 を,基

数 の立場 で み る

の ま と ま った も の と した 見 方 で よ い が,序

対 象 と な っ て,恐

次の

で 囲 っ た 図 で 済 ま し て し ま う よ うな 捉 え 方

とえ ば,世

界 中 の 砂 粒 が 集 め ら れ,整

の よ うな,茫

並 べ て い く,と

で も述 べ た よ うに,1つ

合 を 画 くと き,円

が 基 本 と な っ て い る.し

ど も 含 ん で い る.こ

を1つ1つ

数 の 拡 張 を 望 む こ と な ど,所

  集 合 の 認 識 は,第1講

ば,世

に 自 然 数 の 集 合Nや,実

合 に 対 す る 実 在 感 を ど の よ う に も っ た ら よ い か わ か らぬ よ うな,高

理 さ れ て,1粒,1粒

数 の 立場 か ら み る な ら が は っ き り と した 認 識 の

しい よ うな 長 さ を も つ 一 直 線 上 に全 部,一

斉 に配列 され てい る

さ ま を 思 っ て み る こ と に な る.   世 界 中 の 砂 粒 を こ の よ うに1列 に は,も

に 並 べ る こ と を 想 像 し て み る こ と さえ,私

う想 像 力 の 限 界 に あ る こ と を 感 じ させ る.ま

上 に 書 い た 〓120(R)な

ど とい う集 合 の 元 を,ひ

して,実

たち

数 の 集 合Rや,

と ま ず ば ら ば らに して,整

理 し

て,全 部 並 べ て い くな ど とい う考 え は,想 像 を絶 して い る.   自然 数 の 中に あ る2つ の機 能,基 数 と序数 の うち で,基 数 の概 念 は,濃 度 とい う概 念 に お き代 って,無 限集 合 に対 して も ご く自然 に 拡張 され て い った が,序 数 の概 念 の 拡張 に は,こ の よ うに,い や で も無 限 の深淵 を覗 き こま ざ るをえ な い よ うな認 識 の問 題 が 含 まれ て いた.   集 合 論 の創 始 者 カ ン トル の直面 せ ざ るを得 なか った,最 も深刻 な問 題 は,こ の 点 にあ った と思 わ れ る.カ ン トル は,無 限集 合 に対す る序 数

―超 限 順 序 数―

を 導 入す る登 山 口を,整 列 集合 とい う大道 か ら近 づ い て見 出 そ うと した の で あ る が,こ の大 道 の行 きつ く先 に は,や は り,こ の 大 きな 問題 が,山 の よ うに行 く手 を はば ん で いた の で あ る.   これか らは,カ ン トル にな ら って,整 列集 合 か ら,超 限順 序 数 へ の道 を 歩 んで み る こ とにす る.そ のあ とで,カ ン トル の行 く手 を は ばん だ問 題 ―

整 列 可能 定

理 ― へ と話 を進 め てい きた い.

順序 集 合 【定 義 】 集 合Mの2つ

の 元 の 間 に 成 り立 つ 関 係x≦yが

与 え ら れ て,

  (ⅰ)  x≦x   (ⅱ)  x≦yでy≦xな

ら ばx=y

  (ⅲ)  x≦y,y≦zな を み た す と き,こ

らばx≦z

の 関 係 ≦ を 順 序 と い い,順

序 の 与 え られ た 集 合 を 順 序 集 合 と

く と も 自 分 自身 と の 間 に は,こ

の 関 係 ≦ が 成 り立 つ と い う こ とを

い う.   (ⅰ)は,少

示 して い る.(ⅱ)と(ⅲ)は'も て い る条 件 文 で あ る.し

し,…

た が っ て 極 端 の 場 合,集

と い う関 係 は あ るが,xとyが (ⅲ)を

み た し,こ

り小 さ い,ま

合Mの

が 成 り立 つ'と

い っ

各 元 に 対 し て は,x≦x

異 な る と き に は 何 の 関 係 は な い と し て も,(ⅰ)∼

れ も 順 序 と な る.

  順 序 集 合 で,x≠yで,ω はyよ

が 成 り立 て ば,…

≦yと

た は,yはxよ

【例1】   自 然 数 の 集 合N,実

い う関 係 が 成 り立 つ と き,x
表 わ し,x

り大 き い と い う.

数 の 集 合Rは,ふ

つ うの 数 の 大 小 関 係 で 順 序 集 合

と な る. 【例2】

英 和 辞 典 に の っ て い る す べ て の 単 語 の 集 りは 順 序 集 合 と な る.た

ば,brother,boat,bookはboat,book,brotherの こ の よ うに,前 brotherと

順 で 辞 書 に の っ て い る.

の 方 に の っ て い る 単 語 の 方 が 小 さ い,す

し て 単 語 全 体 に 順 序 が 入 っ て い る.私

迷 わ ず に 辞 書 が 引 け る の は,ア

とえ

な わ ちboat
た ち が,こ の 順 序 に し た が っ て,

ル フ ァ ベ ッ トa,b,c,…,x,y,zに

順序 が入 って い

る こ と が 基 本 と な っ て い る. 【例3】

集 合M(≠

φ)の べ キ 集 合 〓(M)を

合 で あ る.A,B∈

〓(M)に

考 え る.〓(M)の

対 し て,A⊂Bの

き こ の 関 係 は 順 序 と な り,〓(M)は

元 はMの

と き,A≦Bと

順 序 集 合 と な る.た

部分集

定 義 す る.こ

の と

と え ば,M={1,2,3,4}

の とき φ<{1}<:{1,2}<{1,2,3}<{1,2,3,4}

で あ る が,{1,2}と{1,3}と

の 間 に は,

順 序 の 関 係 は な い. 【例4】   図39の

よ うな,○

で示 し て あ

る 元 か ら な る 集 合(a),(b),(c)は,2 つ の 元x,yが,下

か ら 上 へ 行 く線 分 の

道 で 結 ば れ て い る と き,x≦yの

関 係が

あ る と定 義 す る こ と に よ り,順 序 集 合 と な る.た

と え ば,(b)の

(a)

(b)

(c)

図39

場合では

x1<x2<x4,x1<x3<x4 で あ る が ,x2とx3の

間 に は,何

の 順 序 関 係 も な い.

全順序集合   この例 で み る よ うに,Mを とき,xとyの 関 係 はx≦xだ

順 序 集 合 と して も,Mの

任 意 の2元x,yを

とった

間 に必 ず し も順 序 の関 係 が あ る とは限 らな い.極 端 な場 合,順 序 け で あ る とす る と,Mの

相 異 な る2元 の間 に は,何

の順序関係

もない こ とに な る.し た が って,す べ て の元 の 間 に,辞 書 の単 語 の よ うに,大 小 の順 序 関 係が あ る のは,順 序 集 合 の中 で は特 別 な もので あ る.そ の こ とを理 解 し

て も ら っ た 上 で,次

の 定 義 を 見 る と,定

【定 義 】 順 序 集 合Mで,Mの

義 の 意 味 す る こ と が わ か るだ ろ う.

任 意 の2元x,yを

と っ た と き,必

ず

x≦yかy≦x の い ず れ か が お き て い る と き,Mを

全 順 序 集 合 とい う.

  上 の 例 で は,例1,例2,例4の(a)だ

け が 全 順 序 集 合 と な っ て い る.

順序集合の同型 順 序 集 合M,Nが

与 え られ た と き,Mか

が成 り立 つ と き,MとNは

らNへ

の1対1対

応ψ が 存在 して

同 型 な順 序 集 合 で あ る とい う.MとNは,同

じ順

序 型 を もつ と もい う.ψ を(順 序集 合 として の)同 型対 応 とい う.   Mを 順 序 集 合 とし,Sを x≦aを みた すMの の を,Sの

元aをSの

坦

とい う.Sの

すべ ての元xに

上 界 で,Sの

対 して,

元 とな って い る も

最 大元 とい う.

  また,Sの う.Sの

そ の 部 分集 合 とす る.Sの

す べ て の 元xに 対 して,x≧aを

下 界 で,Sの

  自然 数 の集 合 で,順 に1>2>3>…

み た すMの

元 とな って い る もの を,Sの 序 を1<2<3<…

下 界 とい

最 小元 とい う.

で 与 え た順 序 集 合 をNと

で与 えた 順序 集 合 をN'と

合 と して 同型 で な い.な ぜ な ら,Nに

元aをSの

し,順 序 を逆

す る.こ の とき,NとN'は,順

は 最 小元1が あ るが,N'に

序集

は 最小 元 が な

い か らで あ る.   また,ふ つ うの大 小 関係 で順 序 を い れ た とき,自 然 数全 体 の つ くる順序 集 合N と,有 理 数全 体 のつ くる順 序 集 合Qと   なぜ な ら,い まQか

らNへ

の同 型対 応ψ が 存在 した とす る.Qの

を 考 え る. 

とす る.大

順序 は

だ か ら,自

は 同型 で な い.

然 数 列n1,n2,…,nk,…

も

数列

小 関係 に よる

n1>n2>…>nk>… と な っ て い な くて は な ら な い.n1よ ら,こ

れ は 矛 盾 で あ る.し

り 小 さ い 自 然 数 はn1−1個

た が っ て,同

Tea

しか な い のだ か

型 対 応ψ は 存 在 し な い.

Time

環 状 線 の駅 は 順 序集 合 に はな って いな い   東 京 の 山手 線 は環 状 線 で あ って,1周

約60分 を か けて,電

車が ぐる ぐる回 っ

て い る.東 京 駅 か ら出発 して,時 計 と逆 回 りの方 向 の電 車(内 回 りの 電 車 とい っ て い る)に 乗 る と 東京

→神 田 → 秋葉 原

→ 御 徒町

→上野

→…

と駅 が続 い て い く.こ の とき,山 手 線 の駅 全 体 の 集合 に,電 車 が 順 次 到 着 す る順 に 東 京<神 田<秋 葉 原<… と 順 序 を 導 入 し よ う と 思 っ て も,こ

れ は 順 序 に は な っ て い な い.な

ぜ な ら,1周

す ると

→新橋 と な り,上

の 順 序 で は,こ

→有楽町

→東 京

の こと は

新橋<有 楽町<東 京 と書 け る.順 序 の定 義 の(ⅲ)を

見 直 す と,

神 田<…<有 に よ り,神 ら,東

田<東

京 と な る.一

方,東

楽 町<東 京 京<神

京 駅 と神 田駅 が 異 な る駅 で あ る 以 上,絶

田 で あ っ た.順

序 の 定 義(ⅱ)か

対 こ の よ うな こ と は 生 じ な い!!

第21講 整

列

集

合

テーマ

◆ 整列集合 ◆ 整 列 集 合 の例 ◆ 連 結 され て い く'整 列集 合 列 車' ◆ 長 い,長 い整 列 集 合 の列

整列集合の定義   全 順 序 集 合 の 中 で も,特 マ と な る.ま

れ か らの主要 な テ ー

ず 次 の 定 義 を お こ う.

【定 義 】 全 順 序 集 合Mに と き,Mを

に 整 列 集 合 と よば れ る も の が,こ

お い て,Mの

任 意 の 部 分 集 合S(≠

φ)が 最 小 元 を もつ

整 列 集 合 と い う.

  こ こ でSの

最 小 元 は,た

の 最 小 元 が2つ 元 だ か らa≦b;一

だ1つ

し か な い こ と を 注 意 し て お こ う.な

あ っ た と し て,そ 方,bもSの

れ をa,bと

ぜ な ら,S

す る と,a,b∈Sで,aはSの

最 小 元 だ か らb≦a.し

た が っ てa=bで

最小 な くて は

な ら な い.   Mを

整 列 集 合 とす る.SをMの

与 え ら れ て い る 順 序 関 係 を,Sの 全 順 序 集 合 と な る.さ て,す

ら に,Sの

部 分 集 合 とす る.そ

の と き,Mの

元 の間 に

元 だ け に 限 っ て 考 え る こ とに す れ ば,Sは 任 意 の 部 分 集 合(≠ φ)は,Mの

で に 最 小 元 を も っ て い る.し

た が っ てSは

また

部 分集 合 と考 え

ま た 整 列 集 合 と な る こ とが 示 さ

れ た.   こ の'整

列 集 合'Sを,Mの

整 列 部 分 集 合 と い う.

整列集合の例 自然 数 の 集 合Nに,ふ

つ うの 数 の大 小 関 係 を いれ て得 られ る順 序 集 合 は,整

列 集 合 で あ る.Nは

全 順 序 集 合 で あ って,Nか

(n1
と る と,Sは

  任 意 の 自然 数nに

対 し,有

ら 部 分 集 合S={n1,n2,n3,…}

最 小 元n1を

も っ て い る.

限順 序集 合 {1,2,3,…,n}

は,整 列 集 合Nの

整列 部 分集合 とな ってい る.

  次 に集 合 M={1,2,3,…,n,…,ω,ω+1,…,ω+n,…}

を 考 え て み よ う.ω,ω+1,… る と思 っ て も よ い し,こ

な どは,第19講

で述べ た 超限 順序 数 を表 わ してい

こ で は 単 に 記 号 と 思 っ て い て も よい.Mの

ら 右 へ 進 む に つ れ て 大 き くな っ て い る と して,順 列 集 合 で あ る.ど

ん な 部 分 集 合S(≠

元 は,左

序 を い れ て お く.Mも

か

また整

φ)を と っ て も,最 小 元 の あ る こ と は 容 易 に

わ か る.   さ らに続 け て M'={1,2,…,n,…,ω,ω+1,…,ω+n,…,ω2,ω2+1,…

ω2+n,…}

を考 え て み る.(ω2の 超 限 順序 数 と して の意 味 は あ とで述 べ るが,こ る記 号 と思 って よい.)M'も   M'の

こで は単 な

また整 列 集 合 とな ってい る.

よ うに,自 然数 列 が いわ ば3つ も'連 結 した'よ

うな整 列 集合 な ど,現

実 に ど こにあ るの か と思 うか も しれ ない.   数 直線 上 の点 の集 合―

を 考え る(図40).こ こ の 集 合 に,ふ

点列 ―

の 点 列 は,1と2と3に

つ うの 大 小 関 係 を い れ る と,順

左 か ら近 づ く点 列 と な っ て い る. 序 集 合 とな る.こ

の 順 序 集 合 は,

図40

明 らか にM'と

同型 な整 列 集合 とな って い る.

 数 直線 上 の点 の集 合 として,こ の よ うに,整 列集 合M'が

実現 された のをみ る

と,誰 で も,こ の 操作 を3で 止 め る ことな く,4,5,6,… と,ど こま で も続 け て い けば,そ

れ に 応 じて,自 然 数 の集 合Nと

れ て'き て,長

同型 な整 列 集合 が,ど

ん どん'連 結 さ

い長 い 整 列集 合 が 生 まれ て くる と 思 うだ ろ う.'連 結 され て'と

書 いた の は,Nが1つ

の車 輌 の よ うに な って,長

同 じ型 の 車輌 が 連 結 され て,'整

い長 い線 路 の上 に,ど

ん どん

列 集 合列 車'と い うべ き ものが 生 まれ て くる さ

ま を想 像 した か らで あ る.連 結機 に相 当す る所 に,ω とか,ω2が あ る.   図40で 画 か れ て い る点 列 の パ タ ー ンを,こ どん右 の方 へ 書 き続 け て い った とす る.そ

の よ うに考 え て,数

直 線 上 に どん

うす る と究極 的 に は,Nと

同 じ型 の

整 列 集 合 が,可 算 個 つ な が った よ うな,長 い長 い整 列集 合 が 得 られ る ことに な る (図41).

図41

それ は {1,2,…,ω,ω+1,…,ω2,ω2+1,…,ωk,ωk+1,…,…,…}

と書 かれ る よ うな整 列 集 合 とな るだ ろ う.

さ ら に続 け る   も う こ の 連 結 し て 続 け て い く操 作 は 終 りだ ろ う と思 う人 が い る か も し れ な い. し か し,実

際 は,ま

だ ま だ 続 け て い く こ と が で き る.そ

れ は,次

の よ うに 考 え る

と よ い.   区 間(0,1)とR+={x￨x>0}の た と え ば 区 間(0,1)の

間 に は,大 点xに

に よ っ て 対 応 さ せ る と よ い.直

対 し て,Rの

小 関 係 を 保 つ1対1の

対 応 が あ る.

点yを

観 的 に い え ば,R+は

区 間(0,1)へ

縮 小 可能 で あ

る.   こ の よ うにR+を うな,長

い'整

区 間(0,1)へ

列 集 合 列 車'も,順

縮 小 し て し ま う と,上

の 図41で

序 集 合 と して は 同 型 の ま ま,区

表わ され る よ 間(0,1)へ

と納 ま っ て し ま う.こ 整 列 集 合 は,区

の よ う に し て で き 上 っ た(0,1)の

間(1,2),(2,3),…

ま た す べ て 連 結 す る.(こ

の 中 に も も ち ろ ん 存 在 し て い る.こ

の よ うに し て 得 ら れ た'整

で 示 し て あ る 整 列 集 合 を,右

中 の整 列 集 合 と 同 型 な

列 集 合 列 車'は,実

の 方 へ 可 算 個 並 べ て(ω-型!)接

れ らを は 図41

続 した も の と 同 型

で あ る.)   こ の よ うに し て で き 上 っ たR+上 納 め る.そ を,順

こで ま た,区

の 整 列 集 合 を,再

間(1,2),(2,3),…

び 前 の 写 像 で(0,1)の

中に

の 中 に あ る こ れ と同 型 な 整 列 集 合

次 連 結 し て い く.

  く り返 し,く (0,1)に

り返 し こ の操 作

戻 す―

―R+の

全 体 に ま で 連 結 され る と,こ

が 行 な わ れ る.

  こ の よ うに し て,整

列 集 合 は,果

て し な く延 び て い く.

N,M,M′   こ の よ うに,ど

は同型で ない

ん ど ん 整 列 集 合 を つ くっ て み て も,こ

と な っ て し ま う こ と は な い の だ ろ うか.無 識 が 通 用 し な い こ と は,今 の は,自

れを 区 間

れ ら は,同

限 集 合 に 対 し て は,私

ま で もた び た び み て きた か ら,こ

型 な整 列 集 合

た ち の 日常 の 常

の よ うな 疑 問 を 抱 く

然 な こ と で あ る.

  だ が,実

際 は,こ

れ ら の 整 列 集 合 は,す

  こ こで は ま ず,NとMが   い ま,か

りに,Mか

同 型 で な い こ とを 示 し て お こ う. らNへ

の 同 型 対 応 ψが 存 在 し た と し て,ど

が お き る か 調 べ て み よ う.ψ は1対1対 最 小 元 は,ψ て,ψ(1)=1で

に よ っ て,Nの

応 で,順

の よ うな こと

序 を 保 っ て い る の だ か ら,Mの

最 小 元 へ と うつ っ て い な け れ ば な ら な い.し

たが っ

あ る:

  この こ とか ら,ψ は また,M−{1}か とが わ か る.Mの 合N−{1}の

べ て 同 型 で は な い.

らN−{1}へ

整 列部 分 集 合M−{1}の

の 同型 対 応 を 与 え て い る こ

最 小元 は2で あ り,Nの

整列 部 分 集

最 小 元 は2で あ る.最 小 元 は,最 小 元 へ と うつ って い るはず だか ら ψ(2)=2

で あ る.   した が っ て,同 る.そ

じ論 法 がM−{1,2}とN−{1,2}に

の 結 果,ψ(3)=3が

再 び 適 用 され る こ とに な

結 論 さ れ る.

  こ の 論 法 を く り返 して い け ば(厳

密 に は 数 学 的 帰 納 法 に よ っ て),一

般に

ψ(n)=n,n=1,2,…

が 成 り立 つ こ と が わ か る.ψ はMか の 元,ω,ω+1,…,ω+n,… し た が っ て,Mか   MとNは,整

らNへ

の1対1対

応 な の に,こ

の 行 く先 が な くな っ て し ま う.こ

らNへ

の 結 果,M

れ は 矛 盾 で あ る.

の 同 型 対 応 ψ は 存 在 し な い.

列 集 合 と し て,本

  同 様 の 考 え で,M'か

らMへ

質 的 に 異 な っ て い る.

の 同 型 対 応 ψ も 存 在 し な い こ とが わ か る.も

し

存 在 し た とす れ ば ψ(n)=n,n=1,2,…

が成 り立 た な けれ ば な らな い ことは,ψ の場 合 と 同様 であ る:

こ の と き,ψ

はM'−{1,2,…,n,…}か

え て い な くて は な ら な い.そ

らM−{1,2,…,n,…}へ

れ ぞ れ の 集 合 の 最 小 元 は,ω

の 同型 対応 を与 で あ り,ψ

に よ って最

小 元 は 最 小 元 へ と うつ る か ら ψ(ω)=ω が 成 り立 っ て い な くて は な ら な い.こ ω2,ω2+1,…

こ か ら ま た 同 じ議 論 が く り返 さ れ,結

局,

の ψ に よ る 行 く先 が な くな っ て 矛 盾 が 導 か れ る.

  こ の よ うに し て,N,M,M′

は,す

べ て本 質 的 に異 な る 整 列集 合 とな って い る

こ とが わ か った.   こ の 議 論 を よ くみ て み る と,同 得 ら れ る2つ

の 整 列 集 合,た

じ よ うに し て,M′

とえ ば {1,2,…,ω,ω+1,…,ω+m}

と {1,2,…,ω,ω+1,…,ω2,ω2+1}

と は,決

し て 同 型 に な ら な い こ と が わ か る.

を異 な る所 で途 中 で切 って

Tea

質 問  まず 整 列集 合Nを,区 れ を接 続 させ て,R+全 び(0,1)に

Time

間(0,1)の

点 列 として 同型 に 表現 して お い て,こ

体 の 各 区間 に わ た る長 い整 列集 合 をつ くる と,こ れ を再

納 め て しま うとい う操 作 は,無 限 の織 りなす 手 品 をみ て い る よ うで,

興 味 を覚 え ま した.し か し,こ の 操作 を何 回 く り返 して も,現 わ れ る点 列 の集 合 は,濃 度 として は可 算 だ と思 い ます.そ

の 意 味 で は,こ の 講 の例 は第19講

の話

の続 きな の で し ょ うが,そ れ で は 一体,可 算濃 度 を 越 えた 整 列 集合 とい うの は あ るの で し ょ うか. 答   どこ まで も続 く,'整 列 集合 列 車'を 考 えて み よ う として も,私 た ち の認 識 の達 す るの は,可 算 個 連 結 され た長 い長 い車 輌 まで で あ って,そ れ か ら先 の こ と は,想 像 してみ る こ とはで きな い.カ ン トル の無 限 認識 の,最 も難 しい 問 題 が こ こに 現 わ れ て くる.し か し,そ

うい って も質 問 の答 に は な らな い.

  この 段 階 で,質 問 に答 え るた め に は,次 の よ うに述 べ て お くに とどめ よ う(第 26講 参 照).い

ま,有 限 の 整 列集 合 {1},{1,2},{1,2,3},…,{1,2,3,…,n},…

(順序 は,ふ つ うの大 小 関係)を 考 え る と,こ

の1つ1つ

は有 限 集合 だが,こ

れ

をす べ て併 せ て得 られ る {1,2,3,…,n,…}

は,濃 度 が 〓0へ と上 った整 列集 合 とな る.同 整 列 集合 の構 成―

整 列集 合 列 車―

果 て ま で全 部 見通 して,1つ

じ よ うに,上

に述 べ て きた よ うな

を,ど こ まで も続 け て い く.こ の全 体 を,

の ま と ま った 整 列 集 合 とみ る とす る.そ

うす る と こ

の 整 列集 合 の,集 合 と して の 濃 度 は,〓0の 次 の無 限濃 度 〓1と な る.だ が,こ 見 通せ な い もの を,言 葉 の上 だけ で 見通 した とい って,1つ

の

の ま と ま った もの と

み る こ とには,誰 に も抵 抗 が あ る.こ の抵 抗 感 と,集 合 論 の論 理 体 系 と して の完 備 さ を求 め る相 剋 の 中 に,選 択 公 理 が 登場 して くる(第26講

参 照).

第22講 整列集合の性 質 テー マ

◆ 整列集合 の定義 と,元 を並べ るとい う操作 ◆ 超 限帰納法 ◆ 整列集合 における同型対応 の一意性 ◆ 整列集合の切片

整列集合に対する注意   整 列 集 合 の 定 義 は 前 講 で 与 え て あ り,例

も 述 べ た の だ か ら,こ

整 列 集 合 の も つ 性 質 を 調 べ は じめ て も よい の で あ る が,そ

れ か らす ぐに,

の 前 に,も

う1つ だ け

注 意 を 与 え て お こ う.   整 列 集 合M(≠

φ)が 与 え られ た とす る.定

Mと

は 最 小 元 が あ る.そ

お く),Mに

定 義 に よ っ て,M−{a1}に {ａ1,a2}に 最 小 元a3が が で き る.も

しMが

れ をa1と

は 最 小 元a2が あ る.以

義 に よ っ て(整 列 集 合 の 定 義 でS= す る.M−{a1}≠

あ る.M−{a1,a2}≠

下 同 様 に 先 へ 先 へ と,こ

有 限 集 合 で な け れ ば,こ

φ な らば,再

び

φ な らば,M−

の操 作 を 続 けて い くこ と

の よ うに し てMの

整 列部 分集 合

{a1,a2,a3,…,an,…}

が 得 ら れ る.こ

の 部 分 集 合 は,Nと

  も しM−{a1,a2,a3,…,an,…}≠

同 型 な 整 列 集 合 で あ る. φ な ら ば,こ

そ れ をaω と す る.M−{a1,a2,…,an,…,aω}に

の 左 辺 の 集 合 に 最 小 元 が あ る. 対 し て,ま

た 同 じ議 論 が 続 け ら れ

る.   これ は,ち M'へ

と,整

ょ う ど前 講 で,有

限 整 列 集 合 か らNへ

移 り,Nか

らM,Mか

ら

列 集 合 が 延 長 し て い っ た の と 同 様 の こ とで あ る.

  す な わ ち,整

列 集 合 の 定 義 に は,巧

み に 隠 さ れ て い る が,定

義 の ヴ ェール を と

っ て み る と,前

講 に 述 べ た よ うな 操 作 の 可 能 性 が こ の 集 合 の 中 に 内 蔵 さ れ て い る

こ と が わ か る の で あ る.だ

が,整 列 集 合Mを1つ

規 定 す る 概 念 そ の も の に よ っ て,Mは 上 の よ うな 構 成 的 な 操 作 に よ っ て,Mの   し か し,注

意 す べ き こ と は,こ

在 す る の か?'と

と っ て 考 え る と い え ば,定 義 の

自立 し,十 分 考 察 の 対 象 と な る の で あ っ て, 存 在 を 確 認 す る必 要 は な くな っ て くる.

の こ と は,'十

い う問 題 に 対 し て は,何

分 高 い 濃度 を もつ整 列 集 合 は存

の解 答 も与 え る も ので は な い とい う こ

とで あ る.   た とえ ば,平 行 線 の 公 理 を 認 めれ ば,そ

れ に よ って,ユ

ー ク リ ッ ド幾 何学 が 構 成 され

る.し か し,ユ ー ク リ ッ ド幾 何 は,平 行 線 の 存在 につ いて,何 球 上 に平 行 線 が 存在 す るか ど うか とい う問題 は,ユ

の 確 証 も与え て いな い.地

ー ク リ ッ ド幾 何 の体 系 とは,別

の所 に

あ る 問題 で あ る.   た だ,読

者 は 以 下 の 整 列 集 合 に 関 す る議 論 の 背 景 に は,長

列 が あ る こ と を,思

く続 い て い く元 の 系

い 出 し て お い た 方 が よ い だ ろ う.

超限帰納法   Mを

整 列 集 合 とす る.Mは

存 在 す る.こ の元 をMの

以 下 で は空 で な い 集合 とす る.Mに

は最 小 の 元 が

最初 の元 とい うことに し よ う.

  次 の定 理 を 超 限帰 納 法 とい う. 整 列 集 合Mの

各元 に 関 す る 性 質Pが,次

の 条 件 を み た して い る とす

る.   (ⅰ)  Mの

最 初 の元 に対 して は,性 質Pは

  (ⅱ)  任 意 のx∈Mに 成 り立 て ば,xで

も性 質Pが

  結 論:こ の とき,Mの 【証 明 】Mの

元xの

対 し,y<xな

中 で,性

す る.仮

す る.Mの

の 元 で は な い.ま る.し

たy<x0な

た が って(ⅱ)か

成 り立 つ.

質Pが 質Pが

定 に よ っ て,S≠

最 初 の 元 で は,性

るす べ て のyに 対 して性 質Pが

すべ て の元 に対 して性 質Pが

の 生 ず る こ と を み る と よ い.性 をSと

成 り立つ.

成 り立 た な い も の が 存 在 す る と し て,矛 成 り立 た な い よ うな,Mの

φ で あ る.し 質Pが

た が って,Sに

対 し て は,性

は 最 小 元x0が

対 し て も性 質Pが

質Pは

盾

元全 体 の集 合

成 り立 っ て い る の だ か ら,x0はMの

る す べ て のyに

ら,x0に

成 り立つ.

存在 最初

成 り立 っ て い

成 り立 た な くて は な ら な い.

こ の こ と は, 

を 示 す か ら,x0がSの

最 小 元 で あ っ た こ と に矛 盾 す る.

  ふ つ う超 限帰 納 法 を述 べ る と きは,(ⅰ)は Mの

最 初 の 元 の とき には,y<xと

書 か な い.そ の理 由 は,(ⅱ)で,特

な るyは 存在 しな い.し

た が って(ⅱ)の

文 とな って,結 論 は 必 然 的 に成 り立 つ と,読 む か らで あ る.す な わ ち,最 が 成 り立 つ の であ る.(ⅱ)を

こ の よ うに解 釈 す る と,条 件(ⅰ)は

にxが 条 件文 が空

初 の元 で性 質P

条 件(ⅱ)の

中 に含 ま

れ てい る.   帰 納 法 が 成 り立 つ の は,自 しれ な い.し

か し,上

然 数 の と き だ け で は な か っ た か と 思 う人 も い る か も

に も大 体 述 べ た よ うに,整

そ の 次 の 元 に うつ る 状 況 は,あ と い っ て よ い の で あ る.こ

列 集 合 に お い て,あ

る元 か ら,

る 自然 数 が 次 の 自 然 数 に うつ る 状 況 と,全

の 事 実 が,超

く同 じ

限 帰 納 法 を 成 り立 た せ る 背 景 に あ る.

同型対応の一意性   ま ず 次 の 結 果 を 示 し て お こ う.   (*)Mを

整 列 集 合 とす る.Mか

ば,ψ(x)≦ψ(y)を

らMの

中 へ の1対1写

み た す も の が 与 え られ た とす る.こ

像 ψ で,x≦yな

の と き,す

ら

べ て のx∈M

に 対 して x≦ψ(x) が 成 り立 つ. と お く.S=φ

【証明 】  S≠ φ と 仮 定 し て,矛 x0∈Sだ

で あ る こ とを 示 す と よ い.そ

盾 の 生 ず る こ と を み よ う.Sに

は 最 小 元x0が

のため

存 在 す る.

から x0>ψ(x0) 

(1)

こ の 両 辺 に ψ を 適 用 す る と,ψ は1対1で,順

序 を保 つ か ら

ψ(x0)>ψ(ψ(x0))

と な る.こ

の 式 は,ψ(x0)∈Sを

示 し て い る が,(1)を

み る と,x0がSの

最小

元 で あ った こ とに矛 盾 して い る ことが わ か る.   背 理 法 を 使 った こ の よ うな 証 明 か ら で は,(*)の い か も し れ な い.い

ま,Mの

て み る.図42(a)か

ら わ か る よ う に,も

xに 対 して は,左

か ら 押 さ れ る 形 でx<ψ(x)が

意 味 す る こ と を 読 み と りに く

最 初 の 方 の 元 を 順 に{a1,a2,a3,…}の しa1<ψ(a1)な

ら ば,a1よ

成 り立 っ て し ま う.ま

よ う に書 い り大 き い 元 た,図42

(b)

(a) 図42 (b)の

よ う に,a1=ψ(a1),a2=ψ(a2)で

a3よ

り大 き い す べ て の 元xに

  この こ と か ら,(*)の る.(*)の は,ど

あ って も,1度a3<ψ(a3)と

対 して,同

じ理 由 でx<ψ(x)が

い っ て い る こ と は,大

仮 定 の 下 で は,x=ψ(x)が,す

果 と して,xよ

り大 き い す べ て のyに

  同 型 対 応 の 一 意 性 に つ い て,次

  (ⅰ)  Mか

らMへ

  (ⅱ)M,Nを た だ1つ

  は,Mか

対 して,y<ψ(y)が

な り,そ

の結

の 定 理 が 成 り立 つ.

の 同型 対 応 ψは,ψ(x)=xに

に 対 し て(*)を

らNへ

用 い る と,x≦

なわ ち ψ(x)≦x.こ

の 同 型 対 応 が2つ

らMへ

限 る. らNへ

ψ(x).ま

の2式

の 同 型対 応 は

成 り立 ち,(ⅱ)が

示 さ れ た.

よ る切 片 と い う.

 た とえ ば,整 列 集 合 M={1,2,3,…,n,…,ω,ω+1,…,ω+n,…}

に対 して M〈1〉=φ,M〈3〉={1,2}

対 して

得 ら れ る.

れ を ψ,ψ とす る と,

た が っ て(ⅰ)か

整 列集 合 とす る.そ の とき,任 意 のa∈Mに

を,Mのaに

た ψ−1に対 し て(*)

か ら ψ(x)=xが

あ っ た と し て,そ

の 同 型 対 応 で あ る.し

な わ ち ψ(x)=ψ(x)が

とお き,M〈a〉

るい

成 り立 っ て し ま う.

整列集合の切片 Mを

成 り立 つ か,あ

る 元xでx<ψ(x)と

同型 な整 列集 合 とす る と,Mか

を 用 い る とx≦ ψ−1(x),す

.す

体 次 の こ とで あ ろ う と 推 察 され

しか ない.

【証 明 】  (ⅰ)ψ

  (ⅱ)Mか

成 り立 っ て し ま う.

べ て のx∈Mで

こ か で 等 号 が 成 り立 た な く な っ て,あ

な れ ば,

ら, 

 

であ る. 切 片 に つ い て は,次

Mを

の よ うな 性 質 が 基 本 的 で あ る.

整列 集 合 とす る.

  (ⅰ)  Mの

部 分集 合Sが, b∈Sで,x
ら ばx∈S

と い う性 質 を もて ば,S=Mか,あ

る い は,あ

るa∈Mが

存 在 して

S=M〈a〉 (ⅱ)  M〈a〉 とM〈b〉 が 順 序 集 合 と して 同 型 な ら ばa=b.   (ⅲ)  切 片M〈a〉

はMと

【証 明(概 略)】  (ⅰ)S≠Mと もつ.こ

のaに

同 型 に な ら な い.

す る.こ

対 し て,S=M〈a〉

  (ⅱ)  M〈a〉

とM〈b〉 は,順

と りか え れ ば よ い か ら,は

の と きSc≠ φ だ か ら,Scは

最 小 元aを

と な る. 序 集 合 と し て 同 型 と す る.必

じ め か らa≧bと

要 な らば,aとbを

仮 定 し て お い て よ い.ψ

をM〈a〉

か

らM〈b〉 へ の 同 型 を 与え る 対 応 とす る と

し た が っ て(*)か   も しa>bと

ら,x≦

ψ(x)が

す る と,b∈M〈a〉

と な り,矛 盾 で あ る.ゆ   (ⅲ)  Mか

らM〈a〉

成 り立 つ. だ か らb≦ ψ(b)と

え にa=bが

な る.し

た が っ て 

成 り立 た な くて は な ら な い.

へ の 同 型 対 応 ψが あ った とす る と, 

M〈a〉 か ら矛盾 が 生ず る.

Tea

Time

質 問   超 限 帰納 法 を使 って 証 明 す る例 を1つ 示 して 下 さ い. 答  同型対 応 の一 意 性 の所 で 示 した 命題(*)を,超

限 帰納 法 を 用 いて 証 明 して

み よ う.   Mの

最 初 の 元a1に

  x∈Mを

対 し てa1≦ ψ(a１)が 成 り立 つ こ とは 自 明 で あ る.

任 意 に と っ た と き,す

べ てy<xに

対 してy≦ ψ(y)が 成 り立 っ た と仮

定 す る.   こ の 仮 定 の 下 で,x>ψ(x)と の と き,y=ψ(x)と り立 っ て い る.ま

な っ た と して 矛 盾 の 生 ず る こ とを み る と よ い.こ

お く と,y<xに たy<xに

よ り,超

限 帰 納 法 の 仮 定 か らy≦ ψ(y)が

よ り,ψ(の<ψ(x)で

あ る.し

た が って

y≦ ψ(y)<ψ(x) と な り,y=ψ(x)に   し た が っ て,超

注 意 す る と,こ

こで 矛 盾 が 得 ら れ た.

限 帰 納 法 に よ り,す べ て のxに

対 し てx≦

ψ(x)が 成 り立 つ.

成

第23講 整列集合の基本 定理 テーマ

◆ 整 列 集 合 の 基 本定 理:  2つ の 整 列 集 合は,互

い に 同型 か,あ

るい は,一

方 は他 方 の切 片 に同 型

とな る.   この 証 明 に は,切 片 の対 応 を 細 か く調 べ る.

基 本 定理 次 の定 理 は,整 列集 合 に と って,最 も基 本 的 な定 理 であ る.

【定 理 】M,Nを2つ ち ょ う ど1つ

の 整 列 集 合 とす る.こ

の と き,次

の3つ

の 場 合 の うち の,

の 場 合 だ け が 必 ず お き る.

  (a) 

あ るb0∈Nを

  (b) 

MとNは

  (c) 

あ るa0∈Mを

と る と,MとN〈b0〉

は 同 型 と な る.

同 型 で あ る. と る と,M〈a0〉

  この 定 理 の述 べ て い る こ とは,2つ

とNは

同 型 と な る.

の整 列 集合 が 同型 で な い ときに は,必 ず 一

方 は,他 方 の切 片 にな って い る と考 え.てよい とい うこ とで あ る.こ の 定理 か ら, 私 た ち は,整 列 集 合 は,先 へ先 へ と延 び て い くとい う感 じを つ か む ことが で き る.   この証 明 に は,整 列 集 合 の もつ 性 質 を,十 分 に 使 い き る こ とが 必要 とな る.前 講 の切 片 に つ い て の基 本 的 な性 質(ⅱ)で 同 型 とが1対1に

み た よ うに,整 列 集合 の元 と,切 片 の

対 応 して い る.整 列 集 合 の1つ1つ

の元 を み るか わ りに,切 片

の方 に注 目す る な らば,切 片は,そ の元 に まで達 す る,元 の並 び 方 につ いて の 情 報 を十 分 含 ん で い るか ら,一 層精 密 な議 論 が で きる に違 いな い.た とえ て い えば, 列 車 のつ なが り方 を 調べ るの に,1つ1つ

の車 輌 を切 り離 して 調べ る よ りは,1

輌 目か ら,考 え る車輌 まで ひ とつ な ぎの列 車 と して 考 えた方 が,ず っ と調 べ や す い だ ろ うとい うこ とであ る.   定理 の証 明 に は,こ の 切 片の 考 えを 活用 す る.

証明の組み立て   定 理 の 証 明は,次 の よ うなMとNの

切片 の対 応 に関 してお こる可能 姓 が あ る

3つ の 場 合 か ら総 合 して,結 論 を 導 くよ うな組 み立 て とな って い る.   (A)  Mの

各 切 片 に対 して,そ れ と同型 なNの

  (B)  Mの

各切 片 に 対 して,そ れ と同型 なNの

切 片 に対 して,そ れ と同型 なMの   (C)  Mの

切 片で,Nの

切 片が存 在 す る. 切 片が 存 在 し,逆 にNの

各

切 片 が存 在 す る.

どの切 片 と も同 型 に な らな い ものが 存在 す る.

  この とき このそ れ ぞれ の場 合 に応 じて

(#)

(A)⇒

定 理 の(a)ま

た は(b)が

成 り立 つ.

(B)⇒

定 理 の(b)が

成 り立 つ.

(C)⇒

定 理 の(c)が

成 り立 つ.

こ とを 示 す.   これ が 示 され た とす る.ま ず,(A),(B),(C)は,お

こ る可 能性 が あ るす べ

て の場 合 をつ くして い る ことに注 意 し よ う.(A)と(B)に

重 な りが あ るか ら,

それ が 完全 に選 り分 け られ て,基 本 定 理 が導 かれ て い るか ど うか だ け確 か めて お く必 要 が あ る.   (A)の

中 で(B)が

  (A′)Mの で,Mの

成 り立 た ない場 合を 取 り出す と,

各切 片 に対 して,そ れ と同型 なNの

切 片 が存 在す るが,Nの

切片

どの切 片 と も同型 に な らな い もの が あ る.

とな る.こ の傍線 部 分 は,(C)の   したが って,上 の 結 果(#)が

場 合 が 適 用 され る形 とな ってい る. 示 され た とす る と

(A′)⇒(a)ま

た は(b)が

あ るb0を が 結 論 さ れ る.し

か し,切

と る と, 

片 の 性 質(ⅲ)か

成 り立 ち,か

つ,

とな る ら,NとN〈b0〉

は 同 型 で な い か ら,

結 局(b)が

除 外 さ れ る.

  す な わ ち,実

際 は,M,Nの

切 片 の 相 互 関 係 と 定 理 の(a)∼(c)と

と対 応 して い る ので あ るが,そ れ よ りも少 し弱 く,(#)を

は

示 せ ば 十 分 で あ る とい

う ことがわ か った の で あ る. (A)⇒(a)ま   (A)の

た は(b),の

場 合 が 成 り立 つ と す る.そ

の と き,任

証明

意 のa∈Mに

対 し,あ

るb∈N

が 存 在 し て,

同型対応 が 成 り立 つ.a1
対 し て も,あ

るb1が

あ って

同型対応 が成

り 立 つ.こ

ψa(a1)に

のb1は,実

は,

等 し い: b1=ψa(a1)

な ぜ な ら,ψaに は,Nの

よ るM〈a1〉

中 で,M〈a1〉

片 とな り,同

43).特

と同型 な切

型 な 切 片 は,た

つ な の だ か ら(切

図43

だ1

片 の 性 質(ⅱ)),b1=ψa(a1)が

に,b1
成 り立 た な くて は な ら な い(図

な る.

し た が っ て,各a∈Mに と に よ り,Mか

の 像

らNの

で き ま るbを 対 応 させ る こ

対 し,  中 へ の1対1対

をみ た

応 Φ で, 

す も の が 得 ら れ る.   そ こ で,Φ

に よ るMの

像 をS

とお く: S=ImΦ

SはNの

部 分 集 合 で あ る が,

図44

さ らに, 1)順 序集合 としての同型対応も,集 合の対等 と同 じ記号〓 を用いて表わす.

b∈Sでy
で あ る こ とを 注 意 す る.Φ(a)=bと

て 

.こ

の 同 型 対 応 に よ って,あ

上 に 述 べ た こ と か ら,こ   した が っ て,切

の と き Φ(x)=yで

片 の 基 本 性 質(ⅰ)を S=Nか,あ

こ れ は(b),ま

るx∈M〈a〉 あ る.ゆ

か,ま

るb0∈N,あ

るa0∈Mが

の 対 応 で,b0に

立 た な くて は な ら な い.切 お き な い の だ か ら,後

示 さ れ た.

証明 成 り立 つ な らば

存 在 して

が 同時 に 成 り立 つ か の いず れ か で あ る.し と, 

え に,y∈Sが

な る.

成 り立 つ こ とを 示 し て い る.

場 合 に証 明 した結 果 を 用 い る と,(B)が

た は,あ

で,ψa(x)=yと

よっ

あ っ てS=N〈b0〉

(B)⇒(b)の (A)の

型 対 応ψaに

参照す ると

るb0∈Nが

た は(a)が

お く と,同

か し,後

の 場 合 が 成 り立 った とす る

うつ さ れ る 元 をa0′ とす る と 

片 の 基 本 性 質(ⅲ)か

の 場 合 は 生 じ な い.し

ら,こ

が成 り

の よ うな こ と は,決

た が っ て 

して

が 成 り立 つ こ とが

示 され た.

(C)⇒(c)の (C)の

場 合 が 成 り立 つ とす る.Nの

を 与 え るMの と に し よ う.仮

証明 どの切 片 と も 同型 に な らない よ うな切 片

元 の集合 を考 えるこ 定 に よ っ て,こ

合 は 空 集 合 で は な い.し

の集

た が っ て,

こ の 集 合 に 最 小 元 が 存 在 す る が,そ れ をa0と

す る.a0の

と り 方 か ら,

図45

次 の こ と が 成 り立 っ て い る. (1)a
ら ば,必

ず あ るb∈Nが

存 在 して

(図45).  逆 に  (!!)任

意 にb∈Nを

と る と,必 ず あ るa
存 在 し て, 

とな る

こ と を 示 そ う.   (!!)の

証 明:も

し(!!)が

成

り立 た な い と す る と,Mの

どの

切 片 と も同 型 に な ら な い よ うな 切 片 を 与 え るNの

元 が,少

くとも

1つ 存 在 す る こ と に な る.し っ て,こ

の よ うなNの

ら ば,N〈b〉

る な ら ば,こ

れ ば な らず,ま

ど の 切 片 と も 同 型 に な ら な い.(も もMの

切 片 と 同 型 に な っ て し ま う.) と な るbは,b
と り方 か ら,b
し同 型 に な

るbに

対 して,必

み た して いな け ず あ るa∈Mが

存

が 成 り立 っ て い る.

  こ の こ と はM〈a0〉

(!!)が

は,Mの

と き 

たb0の

在 して 

た が っ て,す

と な る.し

存 在 す る(図46).

の 同 型 対 応 で,N〈b0〉

し た が っ て,a
る.し

図46

元 の集 合

は 空 で は な く,最 小 元b0が   b0≦bな

たが

とN〈b0〉

に 対 し て(B)の

場 合 が 成 り立 つ こ とを 示 し て い

で に 証 明 した こ とか ら

か し こ の こ と は,a0の

と り方 に 反 す る.し

た が っ て 背 理 法 に よ り,

成 り立 た な くて は な ら な い.

  結 局,(!)と(!!)が

同 時 に 成 り立 つ こ と に な っ た.も

を 適 用 して み る と

が成 り立 つ ことがわ か る.す なわ ち(c)が   これ で基 本 定理 の証 明が 完 了 した.

い えた.

う1度(B)の

場合

Tea

Time

切片について   切 片 は英 語 でcutと した の は,ツ

い う.整 列 集 合 に おけ る切 片 の概 念 の重 要 さを 最初 に認識

ェル メ ロだ った の か もしれ な い.実 数 の集 合Rは,ふ

関 係 で全 順 序集 合 とな って い る.Rは,こ

つ うの 大小

の順 序 で 整 列 集 合 で は な いが,切

片

R〈a〉 を考 え る こ とは で きる.た とえ ば R〈2〉={x￨x<2} で あ る.し

か し こ の と き に は,任

意 のa,bに

対 し て,順

とい う同 型対 応 が成 り立 って しま う.た とえば,a,b>0の

序 集 合 と して

ときに は,R〈a〉 の元

xに 対 して,R〈b〉 の 元y=b/   した が って,Rの

axを 対 応 させ る と同型 対応 とな るか らで あ る. 場 合 には,切 片を 考 えて も,整 列 集 合 の とき の よ うに,切 片

の順 序 集合 として の違 いか ら,元 のつ な が って い く模 様 な どを調 べ る こ とな どで きな い の で あ る.   そ う思 って,改 め て,前 講 の終 りに述 べ た 切 片 の基 本 性 質や,上 の基 本 定 理 の 証 明 を見 直 す と,整 列 集合 の概 念 と切 片 の考 え が,実 に,ぴ った りと適 合 して い る こ とがわ か るだ ろ う.

第24講 順

序

数

テーマ

◆ 順序数,超 限順序数 ◆ 順序数の和 ◆ 順序数の積 ◆ 順序数の系列

順   2つ の 整 列集 合M,Nが,順

序

数

序 集 合 と して 同型 の と きMとNは

同 じ順 序 数 を

もつ とい う.   整 列 集合{1,2,…,n}(順 序 数nを

序 は 大 小 関係 に よ る順 序)に 同型 な 整 列 集合 は,順

もつ とい う.こ の よ うに して,有 限 順 序数(序 数!) 1,2,3,…,n,…

が,整 列集 合 の パ ター ンを 示す もの と して 定 義 され た.空 集 合 φ も整 列 集 合 とみ る とき,こ の順 序 数 は0と す る.   整 列 集合 {1,2,3,…}

(お よび これ と同型 な整 列集 合)は,順

序 数 ω を もつ とい う.

無 限整 列 集 合 の もつ 順 序 数 を,超 限順 序 数 と もい う.

順序数の和   順 序 数 α,βが 与 え られ た と き,和 α+β を定 義 し よ う.α は,整 列 集合Aの わ す 順 序 数 と し,β は,整 列集 合Bの

 直和集合 

に,次

表 わす 順 序 数 とす る.

の よ うに順 序 を 導 入す る.集 合Aに

Bに 属 す る2元 に対 して は,A,Bの

表

属 す る2元,集

中 にあ る順 序 関係 を そ の ま ま与 え,

合

x∈A,y∈Bに

対 し て はx
と定義 す る. は整 列 集合 とな る. 

  この順 序 で,  で あ ろ う. 

小 元 が,整

が 順 序 集合 と な る こ とは 明 らか

とす る.S∩A≠ に お け るSの

列集 合 

で あ っ て,SのBに

φ な ら ば,S∩AのAに

最 小 元 と な る.S∩A=φ

お け る 最 小 元 が, 

お け る最 な らば,S⊂B

にお け るSの 最 小元 とな る.

の 表 わ す 順 序 数 を,α と β の 和 とい い,α+β

【定 義 】  整 列 集 合 

  整 列 集 合A={1,2,…,m},B={1,2,…,n}に

で 表 わ す.

対 し て 

で あ り,順 序 はふ つ うの大 小 関 係 で与 え られ て い る.明 らか に (順序 集合 として) で あ る.こ

の こ とか ら順 序 数mとnの,上

の 和m+nと

つ うの 数 と して

な っ て い る こ と が わ か る.

  整 列 集 合A={1,2,3,…}(こ 序 数n)に

の 意 味 で の 和 は,ふ

対 して,整

の 順 序 数 ω),整

列 集 合B={1,2,…,n}(こ

の順

列集合

の表 わ す 順 序数 が,ω+nと

な る.こ の表 わ し方 は,第19講

で 用い た 表 し方 と一

致 して い る.   次 に,AとBの

こ の 

和 の 順序 を と りか えた 整 列 直和 集 合 

を 考 えて み よ う:

は対応

に よ っ て,{1,2,3,…}と

同 型 と な る.し

た が って

n+ω=ω

で あ る.す なわ ち ω+n≠n+ω とな っ て し ま う. 一 般 に α+β ≠ β+α で あ る.も

ち ろ ん,α,β が 有 限 順 序 数 な ら ば,α+β=β+α

で あ る.

順序数の積 整 列集 合A,Bが

与 え られ た とき,直 積 集合B×Aに (b,a),(b′,a′)∈B×Aに

次 の よ うに 順 序 を いれ る.

対 して

 か b=b′

でa
  こ の 右 辺 で 定 義 され る よ うな 順 序 を 辞 書 的 順 序 と い う.英 は,ま

ず ア ル フ ァベ ッ トに 大 小 の 順 序 を い れ て お く.次

ら が 先 に あ る か は,語

どち

頭 か ら 調 べ て い っ て,最

初 に ア ル フ ァベ ッ トの 違 っ た 所 で

字 の 単 語 に 限 れ ば,こ

れ は ア ル フ ァベ ッ ト26文 字 の つ

大 小 を 比 べ て い る.4文 く る整 列 集 合 をAと

和 辞 典 の 語 の順 序

にboatとbookが

す る と,A×A×A×Aに,上

と 同 様 な ル ー ル で,順

序を導

入 し た こ と に な っ て い る.   単 語 が 英 和 辞 典 で 迷 う こ と な く引 け る と い う こ と は,こ て い る こ と を 示 し て い る.実 か め ら れ る が,辞

際,す

の順 序 が 全 順序 とな っ

ぐに 確

書 的 順 序 でB×Aは,全

順 序 集 合 と な っ て い る.   さ ら に,B×Aは る.そ

整 列 集 合 に もな っ て い

れ は 次 の よ うに 示 す こ とが で き る.

  B×Aの

空 で な い 部 分 集 合Sを

と る.S

に 最 小 元 が あ る こ とを み る と よい.πBに ょ っ て,B×Aの 元bを

元(b,a)に

対 応 さ せ る 写 像 ―Bへ

対 し てBの 図47

の 射 影―

を 表 わ す. SB=πB(S)

と お く と,SBは,Bの

空 で な い 部 分 集 合 で あ る.SBの

最 小 元 をb0と

す る.次

Sb0={a￨(b0,a)∈S}

と お く.Sb0は,Aの

空 で な い 部 分 集 合 だ か ら,最

小 元a0を

もつ.(b0,a0)は,

に

整 列 集 合B×Aに   整 列 集 合Aの

お け るSの

最 小 元 と な っ て い る.

表 わ す 順 序 数 を α,Bの

【定 義 】 整 列 集 合B×Aの   整 列 集 合AとBが

有 限 集 合 の と き,整

表 わ す 順 序 数 を,α

有 限 集 合 で,そ

序 数 と し て の 積 は,自

表 わ す 順 序 数 を β とす る. と β の 積 と い い,α β で 表 わ す.

れ ぞ れ がmとnの

然 数 と し て の ふ つ うの 積mnと

列 集 合 の 型 は,個

数(基

数!)だ

順 序 数 を もつ と き,順 な っ て い る.こ

の こ と は,

け で完 全 に き ま ってい る こ

と に 注 意 す る と よ い.   整 列 集 合A={1,2,3,…}(こ に 対 し て,.B×AとA×Bを   B×Aの

元 は,Bの

の 順 序 数 ω),整 列 集 合B={1,2}(こ

の順 序 数2)

考 え て み よ う. 元1,2をAの

元 と区 別 す る た め,1,2と

表 わ し て お く と,

(1,1),(1,2),…,(1,n),…,(2,1),(2,2),…,(2,n),… の 順 で 並 ん で い る.こ

の 整 列 集 合 は,順

序 数 ω+ω を もつ.し

た が っ て,定

義か

ら ω2=ω+ω

で あ る.   A×Bの

元は (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),…

の 順 で 並 ん で い る.こ

の 整 列 集 合 は,順

序 数 ω を もつ.し

た が っ て,定

義から

2ω=ω

で あ る.   す な わ ち,ω2≠2ω

で あ る.こ

の こ とか ら,一 般 に は αβ≠βα の こ と が わ か る.

順序数の系列   順 序 数 の 和 と積 を 用 い る と,順 序 数 の 最 初 の 出 発 点,first,second,thirdに 続 く,順 序 数 の 系 列 を 次 の よ うに 書 い て い く こ とが で き る.

こ こ で ω2=ω ・ ω,ω3=ω ・ω・ ω,…

で あ る.こ

れ ら は,す

べ て可 算 集 合 の あ る整 列

集 合 と し て 並 べ 方 を 表 わ し て い る.た

と え ば,ω4は,Ｎ

n2,n3,n4)の

ら 順 に 大 き さ を み て,辞

順 序 を,'後

の 語',n4か

×N×N×Nの

元(n1,

書 を 引 く よ うに 導

入 し た 整 列 集 合 の 順 序 型 を 表 わ し て い る.   さ て,誰 て も,順

で も,こ

序 数 は,こ

の 先 は ど うな る か と 思 うだ ろ う.厳 密 な 定 義 は 述 べ な い と し の 先,次

の よ う な 形 で 表 わ さ れ て,続

い て い く.

  こ こで大 切 な注 意 が あ る.そ れ は,ω ωは,ど の よ うな集合 の 整 列 順 序 型 を表 わ して い るか とい うこ とで あ る.ω ωは,可 算 集合 のあ る並 べ 方 ― を 表 わ して い る.ω ωは,決

して 集 合NN(濃

整列順序 ―

度 〓!)の あ る並 べ方 を表 わ して い

るわ け で は ない ので あ る.  ωωは,ω,ω2,…,ωk,… の並 べ 方 を 寄 せ集 め た よ うな,整 列 集 合 か ら得 られ て い る.た とえ てい えば,こ の 整 列集 合 のつ く り方 は,高 々2つ の 文字 か らな る単 語 を 引 く辞 書,高 々3つ の文 字 か らな る単 語 を 引 く辞 書,…,高 な る単 語 を引 く辞 書,…,こ

々k個 の文 字 か ら

れ らをす べ て集 め て,任 意有 限 個 の文 字 か らな る単

語 を 引 け る辞 書 をつ くる よ うな操 作 に対 応 して い る.こ の よ うな操 作 で は,可 算 個 の もの か ら,可 算個 の もの しか 生 まれ て こな い.   実 は,上 の系 列 に現 わ れ る順 序数 は,す べ て 可算 集合 の,あ る整 列順 序 に対 応 して い る.第19講

で述 べ た の は,こ

の 系列 の序 の 口を述 べ た にす ぎ なか った の

で あ る.   さ らに

とお く.ε0か ら,再

び順序数の系列

を続 け て い く.こ れ ら もまた,す べ て可 算 集 合 の あ る整 列順 序 に対 応 して い る.   ま こ とに,超 限順 序 数 は恐 るべ きか な!

Tea

Time

質 問   上 の系 列 の よ うな表 し方 を可 算 回 く り返 して,超 限 順 序数 を い くらつ くっ て み て も,結 局 は,可 算 集 合 の あ る並 べ 方 しか 表 わ してい ない とい う話 は,無 限 の深 淵 を み る よ うで,気 が 遠 くな る よ うで した.と て,結 合 則や 分 配 則 な どが,成

り立 つ のか,成

ころで,順 序 数 の演 算 につ い

り立 た ない の か教 え て下 さ い.

答  和,積 につ い て 結合 則 (α+β)+γ=α+(β+γ),α(β

γ)=(α β)γ

は成 り立 つ.   分配 則 は,左 か らの 分配 則 γ(α+β)=γ

α+γ β

(α+β)γ=α

γ+β γ

は成 り立 つが,右 か らの分 配 則

は,一

般 に 成 り立 た な い.こ

み る と よ い.

の 成 り立 た な い 例 と し て,α=β=1,γ=ω

に と って

第25講 比 較 可 能 定理,整 列 可能 定理 テー マ

◆ 順序数の大小 ◆ 順序数の比較可能定理 ◆ 整列可能 定理 ◆ 整列可能 定理は本当に成 り立つのだろ うか. ◆ 背番号のない大群 衆と,背 番号をつ けた大群衆

順序数の大小 【定 義 】 整 列 集合Mの Mが

順 序 数 を α,整 列 集合Nの

順 序 数を βとす る.あ るa0∈

存 在 して

が 成 り立 つ と き,α   次 の こ と は,定

は β よ り大 で あ る と い っ て,α>β

で 表 わ す.

義 か ら ほ と ん ど明 ら か な こ と の よ うに 思 わ れ る が,ひ

とまず 証

明 し て お こ う.

α>β とな るた め の必 要 かつ 十 分 な条 件 は,適

当 な順 序 数 γ>0を と る と

α=β+γ と 表 わ さ れ る こ と で あ る.

こ こで,γ>0は,γ 【証 明 】

が,空

必 要 性:α>β

で な い 整 列 集 合 の 順 序 数 と な っ て い る こ とを 示 す.

とす る.し た が っ て あ るa0∈Mが

が

存 在 し て 

成 り立 つ. L={a￨a≧a0}と Lの

お く.L≠

φ で,LはMの

整 列 部 分 集 合 で あ っ て,明

順 序 数 を γ と す れ ば,γ>0で

十 分 性:α=β+γ,γ>0と

す る.Lを

ら か に 

α=β+γ が 成 り立 つ.

γを 順 序 数 とす る整 列 集 合 とす れ ば,こ

の ことは,整 列 集 合 と して の 同型

を 示 して い る.Lの て,c0に

最 初 の 元 をc0と

対 応 す るMの

元 をa0と

す る と, 

で あ る.し

す る と, 

と な り,α>β

たが っ

が 示 され た.

比較可能定理 次 の定 理 を,順 序 数 の比 較可 能 定理 とい う.

【定理 】 任 意 の2つ の 順 序数 α,βに対 して α<β,α=β,α>β の う ち の1つ,か

つ た だ1つ

  この 定 理 は,第23講

の 場 合 だ け が お き る.

に 述 べ た 整 列 集 合 の 基 本 定 理 と,上

の 定 義 か ら,直

ちに

導 か れ る.   一 般 の 順 序 数― とな る よ う に,構 常 に,ど

超 限 順 序 数―

は,自 然 数 の 序 数first,second,…

成 す る こ と が 望 ま れ て い た.し

ち ら が 長 い か,短

た が っ て,1列

般 の 順 序 数 は,そ

に 並 べ た と き,

い か が い え る よ うに な っ て い な くて は,並

は っ き り し な くな っ て 困 る だ ろ う.上 の 定 理 は,整 の 要 請 を み た し て い る,す

の一 般 化

べ た意 味 が

列 集 合 を 経 由 し て 導 入 した 一

な わ ち,順

序 数 の 定 義 が,成

功であ

っ た こ と を 示 す も の で あ る.

整列可能定理 ― 序曲― さて,い よい よ,深 い問 題 を は らむ 整列 可 能定 理 へ と入 る ときがや って きた. カン トル は,次 の定 理―

整 列 可 能定 理―

が 成 り立 つだ ろ うと予想 した.

【定理 】 任 意 の集 合 は,適 当 な順 序 を いれ る こ とに よ り,整 列 集 合 とす る こ とが で きる.

  読 者 は,た ぶ ん,今 まで の無 限に つ いて の 多 くの 話 か ら,こ の定 理 に否 定 的 な

感 じ を も た れ る か,あ

る い は,成

り立 ち そ うだ が,証

明 す る 手 段 が あ る の か と,

定 理 の 真 偽 に 疑 問 を 感 じ ら れ る の で は な い か と思 う.無 限 集 合 は,こ 張 す る よ うに,果   私 た ち の'も

して 整 然 と 並 べ ら れ る の か. の を 並 べ る'と

い う経 験 は,私

早 い 時 期 か ら は じ ま る よ うで あ る.あ る こ と に よ っ て,1つ1つ た ち に と っ て は,先

る い は,こ

の よ うに し て,'も

とえ ば,50個

に 並 べ て,校

の 中 学 生 の 場 合 な ど で は,1年1組

並べ

の の 集 り'を 認 識 す る 仕 方 は,私

の を 並 べ る'こ

の 中 学 生 を 順 に1列

常 に

の'を

験 的 な も の で あ る と い っ て よい の か も し れ な い.し

数 の 多 い 集 合 に 対 し て で は な い.た

る.こ

た ち の 発 育 過 程 に あ っ て,非

の 元 を 確 認 し て'も

実 に 考 え て み る と,私 た ち が'も

精 々2000人

の定 理 の主

か し,現

とを 経 験 す る の は,そ の リン ゴ を1列

れ ほ ど個

に 並 べ る と か,

庭 か ら 教 室 へ 導 く程 度 の こ と で あ

か ら入 る よ うに どか,す

で に大 体並 べ

る 規 準 が き ま っ て い る.   こ こ で は しか し,1つ1つ 'も の の 集 り'を

,1列

の'も

の'に

何 の 区 別 も な い,も

に 並 べ て み る こ と を 想 像 して み よ う.た

の 指 導 者 の 演 説 を 聞 くた め に 集 っ た,大

とえ ば,あ

る国

き な 広 場 を 埋 め つ くす 大 群 衆 を,テ

レビ

の ニ ュ ー ス で 映 し 出 さ れ る こ とが あ る.こ か,10万

の 人 ま た 人 の 波 を 見 て い る と,5万

の 区 別 もな い よ う な50万

ま を 考え て み る こ と に し よ う.さ よ う と す る.そ

の た め に は,最

て,こ

人 の 大 群 衆 が,雑

目に くる 人 を,誰

選 ん だ とす る.次

うや っ て,100人

群 衆 の 騒 然 と した 様 相 は,少

し も 変 っ た よ うに は み え な い.

  こ の よ うな 状 況 を 想 定 して み る と,私

人 な ら ば,時

間 を か け,人

人 の

目に くる人 を誰

ま で 並 べ て み て も,残

って い る大

た ち が 日常 の 経 験 の 中 で,'も

分 違 っ た 感 じ が,こ

に並 べ

か ひ と り,50万

に は,2番

か 選 ば な け れ ば な ら な い.こ

い う感 じ とは,大

然 と集 っ て い る さ

の 大 群 衆 を 整 理 す る た め に,1列

初 の1番

中 か ら 選 ば な け れ ば な ら な い.1人

し,50万

と

と か い う数 の 実 感 が 湧 い て く る.

  そ こ で い ま,何

る'と

っ と もっ と大 き な

の を並 べ

こ に あ る よ うに 思 わ れ て く る.し

手 を か け れ ば,い

つ か は1列

か

に並 べ 得 る こ

と は あ る の だ ろ う.   数 学 の 世 界 で は,も

っ と多 くの 人 数,可

子 を 想 像 す る必 要 も 生 ず る.こ

算無 限 の大 群 衆が 雑 然 と集 ってい る様

の 可 算 無 限 の 大 群 衆 を,1列

に 並 べ る こ とは で き

る の だ ろ うか.1番

目,2番

目 と選 ん で,順

次 並 べ て い く こ と は で き る.だ

い く ら こ の よ うに 並 べ て い っ て み て も,い

つ ま で た っ て も,後

限 の 大 群 衆 が 控 え て い る.本

態 は 何 に も進 展 し て い な い の で あ る.

こ の 大 群 衆 を,最

後 に は,1列

  実 際 の と こ ろ,こ

列 可 能 定 理 に は,単

続 濃 度 の 大 群 衆 も,も

る と,述

べ られ て い る.こ

じ可 算無

に 並 べ き る と い う保 証 は あ る の だ ろ うか.

の 保 証 を 与え る も の は,ど

  カ ン トル の 提 起 した,整 く,連

質 的 に は,事

に は,同

が,

こ に も な い の で あ る. に,可

算 無 限 の大群 衆 だ け で は な

っ と濃 度 の 高 い 大 群 衆 も,1列

に 並べ る こ と が で き

の よ う な 定 理 の 成 立 を 信 じ ら れ る だ ろ うか.

背 番 号 の あ る,な し   も し,集 った 大 群衆 の1人1人

が,み ん なゼ ッケ ンを つ け て,背 番号 で 表 示 さ

れ てい るな らば,状 況 は全 く異 な った もの とな る.大 群 衆 を1列 に並 ば せ るた め に は,「 背 番 号 の順 に 並べ 」 と号 令 を か けれ ば済 む ので あ る.   また,集

った 大 群 衆が,い

くつ か の グル ー プに 分 かれ た とき,そ れ ぞれ の グル

ー プか ら代表 者 を 出す ことに も,背

番号 が あれ ば 混 乱 は生 じな い.「 グ ル ー プの

中 で,番 号 の1番 若 い人 が,代 表者 に な って下 さい」 とい え ば よい.   この こ とか ら,同 じ大 群 衆 の 集 りで も,背 番 号 をつ け てい る とき と,つ けて い な い ときで は,こ の 集 りの性 格 が全 く異 な った もの とな って い る ことがわ か る. 背 番 号が つ け られ て い れば,特 定 の1人 を いつ で も群衆 の中 か ら名指 す こ とが で き る か ら,も はや 雑 然 と した 大 群 衆 で はな くな って い る.背 番 号 の順 に よっ て, 必 要 な らば い つ で も整 然 と並 ぶ こ との で き る,秩 序 あ る集 団 とな った の で あ る.   カ ン トルの 整列 可 能 定理 は,集

って きた どん な大 群衆 に対 して で も,1人1人

に 背 番号 が つ け られ るか と聞い て い る ので あ る. Tea

Time

基数 と序数再考  基 数 と序 数 につ い て は,第2講

です で に述 べ た.自 然 数 の もつ2つ の 機 能,基

数 と序 数 は,日 本 の数 の読 み 方,イ チ,ニ,サ

ンで は区 別 され な い よ うに,有 限

集 合 の場 合 に は,ほ

とん ど無 意 識 の うちに 混 用 され て い る こと もあ る.し か し,

無 限集 合 に 対 して,基 数 と序 数 の概 念 を 拡張 し よ うとす る と,こ の2つ の概 念 は, ち ょ うど2つ に割 れ て 大洋 へ と流 れ 出 した2つ の氷 山 の よ うに,全

く異 な った方

向へ と,別 々に動 き 出す.あ るい は,有 限集 合 か ら,無 限集 合 へ と移 って,こ の 2つ の概 念 の違 い が,は っき りと露呈 して きた とい って よい のか も しれ な い.   カ ン トル の集 合 論 に と っては,こ れ は全 く新 しい,困 難 な問題 を提 起 す る こと と な った.カ

ン トル の最初 の立場 に よれ ば,集 合 は,第1講

で述べ た よ うに,全

体 と して1つ に ま とま った もの と して の認 識 か ら出発 して い る.濃 度 の考 え は, この全 体 と して ま とま った ものの,大 小 を 比べ る考 え に よっ てい る.   実 数 の 集 合Rの

濃 度 を 考 え る とき に も,私 た ちは,Rを

し て認 め る こ とで十 分 で あ った.実 数 を1つ1つ 考 え は,ど 念―

こに も必 要 なか った.ベ

部 分 集 合―

数 直 線上 の点全 体 と

ば ら して並 べ て み る な ど とい う

キ集 合〓(R)を

考 え る と きに も,1つ

の概

に よ って規 定 された もの の全 体 として,比 較 的 自然 に 受 け入

れ る ことが で き た.カ ン トル の集 合論 は,こ の立 場 に 立 つ 限 り,比 較 的 安 泰 で あ っ た と思 わ れ る.   と ころ が,カ ン トル は,序 数 の概 念 の 無 限へ の拡 張 に 当 っ て,い つ しか,最 初 の 集 合 に対 す る考 え と反 す る よ うな集 合認 識 を,明 確 に す る よ う迫 られ る よ うに な って きた.順 序 数 の理 論 が,無 限集 合 に対 して成 立 す る た め に は,無 限集 合 が,単 に ま と ま った総 体 では な く,1つ1つ

の 元 の存 在 が 検 討 され,規

定 され

て,順 序 立 て て並 べ る こ との で き る対 象 で な くて は な らな くな って きた.集 合 概 念 の 中 に包 み こ まれ て沈 黙 して い た1つ1つ

の元 が,集 合論 の中 に,は っ き りと

した 認 識 の対 象 と な って きた の で あ る.   基 数 と序 数 の違 い か ら,誘 い 出 され る よ うに して 明 ら か とな った,無 限集 合 の 排 反 す る この2つ の認 識 形 態,こ れ が,私 の考 え で は,カ ン トル の直 面 せ ざ るを 得 な か っ た,最 も困難 な,深 い問 題 で な か った か と思 う.こ の2つ の認 識 の違 い の,か け橋 と もな るべ き もの が,カ ン トル の夢 み て い た整 列 可能 定 理 で あ った. そ の意 味 で は,整 列 可能 定 理 は,集 合 論 の頂 点 に あ る.   この整 列 可 能 定理 は,1904年

に,ツ

ェル メロに よって 解 決 され た が,こ

の解

決 に は,選 択 公理 とい う,数 学 史 上 か つ てみ た こ との なか った よ うな,奇 妙 な響 きを もつ 公 理 を,数 学 者 が 認 め る こ とを,要 請 され て いた の で あ る.

第26講 整列可能定理 と選択公理 テ − マ

◆ 選 択公理の出現 ◆ 選択公理に対する批判 ◆ 明確に表示す る とい うこと ◆ 整列可能 定理 と選択公理 の同値性 ◆ 整列可能定理〓選択公理

の証明

選択公理の出現   1904年,ゲ

ッ チ ン ゲ ン大 学 で 研 究 し て い た ツ ェ ル メ ロ は,短

可 能 定 理 の 証 明 を 発 表 した.世 の 論 文 の 中 で,ツ (Axiom

ェル メ ロが,原

of Choice)と

界 の 数 学 者 の 眼 は,こ

い 論 文 で,整

列

の 論 文 に 向 け られ た が,こ

理 と して 述 べ て い る事 柄 が,や

が て 選 択公 理

よば れ る よ うに な り,数 学 界 に 大 論 争 を ひ き お こ す,き

っ か け と な っ た.   選 択 公 理 は 次 の よ うに 述 べ る こ とが で き る.

選 択 公 理: Γ ≠φ とし,Γ を添 数 とす る集合 族  各γ に対 してAγ ≠φ とす る.こ

の とき,各Aγ

が 与 え られ た とす る.

か ら,代 表 元aγ を 選 び 出す こ と

が で きる.

  結論 の部 分 を,も

う少 し数 学 ら し くいえ ば 'Γか ら直 和集 合  へ の 写 像 φ で, φ(γ)∈Aγ と な る も の が 存 在 す る'

と な る.   こ のφ を 選 出 関 数 と い う.φ(γ)がAγ

の 代 表 元 を 与 え る こ と に な って い る.

  ツ ェ ル メ ロは,こ

の 原 理 を 認 め さ え す れ ば,整

示 し た の で あ る.ツ

ェル メ ロ は,整

か に,数

列 可能 定 理 が 証 明 で き る こ とを

列 可 能 性 に 比 べ れ ば,選

択 公 理 の 方 が,は

る

学 者 に と っ て 容 認 し や す い こ と で あ ろ う と考え た よ うで あ る.

  だ が,実

際 は そ う で は な か った.

選択公理に対する批判   ツ ェル メ ロの選 択 公 理 に対 して は,直 ち に強 い批 判 が 湧 き上 った1).特 に,フ ラ ン スの解 析 学 者,ア ダ マ ール,ル ベ ー ク,ボ レルた ち は,選 択 公 理 は認 め難 い とい う立場 を 明 らか に した.   批 判 の核 心 は,各Aγ

か ら代 表 元 を取 り出す とい って も,そ の取 り方 が,具

的 に,明 確 に示 され て い ない 限 り,選 出関 数が存 在 す るか ど うか な ど,少

体

くと も

数学 の上 で議 論 で き な い こ とで あ る,ま た議 論 で きない もの を数 学 の 中 に取 り入 れ,こ れ を認 め よ とい うの は無 理 な こ とで ない か とい う点 に あ った.批 判 す る数 学 者た ち は,数 学 の 対 象 は,エ フ ェ クテ ィヴに与 え られ て い な くて は な らな い と か,構 成 的 に定 義 され て い な くて は な らな い とい った が,こ の言 葉 自身 が,当 時 そ れ ほ ど明確 に定 義 され て いた もの で はな か った の で あ る.今 とな って み れ ば, あ れ ほ ど親 し く,柔 らか な感 触 を もっ てい た数 学 が,ツ

ェル メ ロの選 択 公 理 に よ

って,実 無 限 の存 在 と私 た ち の認識 に関 わ る深 く難 しい問 題 の 中 間 に,突 然 浮上 し,私 た ち に問 題 を つ きつ けて きた ことに対 す る,当 惑 と苛立 ちが,渦 巻 き,泡 立 った とみて よい よ うで あ る.実 際,多

くの徹 底 した 批 判 も,結 局 は,選 択 公 理

を 数学 の 中か ら抹 消 す る こ とは で きなか った し,一 方,現 在 に至 る まで,選 択 公 理 に対 す る一 抹 の 不 安 を,数 学 者 の心 か ら,拭 い 去 る こと もで き ない で い る.   前 講 の話 か ら,読 者 はむ しろ,選 択 公 理 に対 す る批 判 に対 して,多 少 と も共 感 を覚 え られ る側 に 立 た れ て い るの で は な いか と 思 う.実 際,可

算個 の集合族か

ら,一 斉 に代 表 元 を選 び 出す こ とさえ,信 じ難 い とい え ば,や は り信 じ難 い ので あ る.

1)  こ こで 述べ る こ とに つ い て,も (遊 星 社)を 参 照 され る とよ い.

っ と詳 しい こ とを知 りた い 読者 は,田

中 尚夫 『選 択公 理 と数 学 』

明 確 に表 示 す る と い う こ と   選 出関 数 は,明 確 に 表 示 され て い な くて は な らな い とい う批 判 に対 して,も

う

少 し コ メン トを述 べ て お こ う.集 合 か ら集 合 へ のあ る対 応 を 明示 す る た め には, 集 合 が 具 体 的 に与 え られ,そ の1つ1つ

の 元 を特 定 で き る よ うな,あ る性 質,ま

た はあ る表示 の仕 方 が 与 え られ て い なけ れ ば な らな い だ ろ う.た とえ ば,(−1,1) からRへ

の1対1対

う対 応 を1つ

応 が あ る とい うしいい 方 で は 不十 分 な らば,y=tanπ/2xと

い

とって,こ の対 応 を 明示 す る必 要が あ る.し か しこの よ うな表 示が

可 能 な の は,実

数 の性 質 を 用 いて,対

応 を 関 数 に よ って 表 わ して い る か らで あ

る.   今 まで の よ うに,集 合 論 を,全

く抽 象的 な 枠組 の中 で 取 り扱 って い る 限 り,選

出 関数 を 記 述 し よ うに も,記 述 す る方 法 な ど何 もな い だ ろ う.集 合論 の よ うに, で き るだ け 普 遍的 な適 応 性 を もたせ よ うと,抽 象 化 を 目指 す と,今 度 は逆 に,そ の理 論 全 体 の 中 で通 用 す る よ うな,対 象 を 具 体的 に 明示 す る一 般 的 な方 法 を,し だ いに 見 失 って し ま うの で あ る.こ れ は,無 限 の認識 とは,ま た 多 少別 の問題 で あ る.   選 出関 数 を 明示 しな い 限 り,選 択 公 理 は 認 め難 い とい う立 場 を 徹 底す る と,集 合論 の抽 象 的 な理 論 構 成全 体 の枠 組 を否 定 す る方 向 へ と,私 た ち を 導 いて い くの か もしれ な い.

整列可能定理と選択公理の同値性   しか し,選 択 公 理 に よ って,1度,整

列 可 能定 理 が示 され て しま うと,集 合 の

各元 は,整 列 され た 順 序 に よって,完 全 に識 別 され て くる.2つ 像 も,原 理 的 に は,'何 番 目の元',が,'何

の 集 合 の間 の写

番 目の元'へ と移 るか を 述 べ る こ とに

よ って,明 示す る道 が 開 け て くる.   整 列 可 能 定理 が成 り立 て ば,個 々の集 合 とそ の元 は,い わ ば 整 列 され た 順序 に よ って 自立 して きて,集 合概 念 の 中に ひそ む,あ る曖 昧 さが 消 え て しま うこ とに な る.こ の こ とは,選 択 公理 の もつ,あ る超 限的 な威 力 を示 す もの とい って よい だ ろ う.

  だが,考 えて み る と,集 合 族{Aγ}γ∈Γか ら,1つ1つ

代 表 元 を選 ぶ こ とを,一

斉 にす る こ と―

取 り出 して 最 後 ま で並 べ

き る―

選 択公 理 ―

整 列 可 能 定理―

と,集 合 の元 を1つ1つ

と,ど

ち らが,ど

れ だ け認 め や す い とい うの だ ろ う

か.選 択 公 理 は,結 局 の と ころ,整 列 可能 定 理 と同 じ ことを 述べ て い るので は な い か とい う疑 問 が,当 然 生 じて くる.   ツ ェル メ ロの 論 文 で は,そ の点 には 触れ て い なか った が,実 際 は,選 択 公 理 を 認 め る こ と と,整 列可 能 定理 を認 め る こ と とは,同 じ こ とで あ る.選 択 公 理 ⇒ 整 列 可能 定 理 が,ど

の よ うに して 示 され る か の大 筋 は第27講 で 述 べ るか ら,こ

こで は

整列可能定理⇒

選択公理

を 示 し て お こ う.   い ま,集

が 与 え られ た とす る.

合 族 

とお く.整 列 可 能 定理 が 成 り立 つ こ とを 仮定 して い る と,集 合Mに

適 当 な 順序

を いれ て,整 列集 合 とす る ことが で き る.そ の とき,選 出関 数φ として φ(γ)=Aγ の 最 小 元

とお くと よい.す なわ ち,選 択 公理 が成 り立 つ.

Tea

Time

質 問  現在,数 学 者 は,選 択公 理 を 用 い る こ とを,ど の よ うに 感 じて い るので し ょ うか. 答   数学 者 に よ って,選 択公 理 に 対 す る考 え方 は,さ ま ざ まで,一 概 に い え ない よ うに思 う.ま ず,数 学 の 分野 に よ って は,ほ とん ど選 択 公 理 を必 要 と しない 所 もあ る.た と えば,整 数 論 や,幾 何学 や,常 微 分 方 程式 論,関 数論 な どが そ うで あ る.一 方,位 相 空 間論 や 関数 解 析学 な ど,無 限 次元 の空 間 を積 極 的 に取 り扱 う 分 野や,ま

た 代 数 学 な どで は,選

択 公理 を,基

本 的 な い くつ か の 定理 の証 明 の

中 に,組 み こんで い る.一 般 的 に い えば,で き るだ け,選 択公 理 の使 用 を 避 け た い とい うと ころが,心 情 で は なか ろ うか.   しか し,一 方 で は,数 学 が'無 限'を 主 な対 象 と して 取 り扱 って い る以 上,数 学 の 中で 是認 され た,無 限 の認識 形 態 の 導 入が 必 要 で あ り,そ の1つ と して選 択 公 理 を受 け 入 れ るべ きだ とい う考 え もあ る.   こ こで も また意 見 が 微妙 に分 か れ る ので あ って,可 算集 合 族 A1,A2,…,An,… (An≠φ)

に対 して は,選 出関 数 の存 在 を認 め る こ とに抵 抗 は な いが,も っと濃 度 の 高 い, 一 般 の場 合 の選 出関数 の存 在 を認 め る こ とに は,躊 躇 を感 ず る とい う数学 者 もい る.   現 在 ま で の と ころ,可 算 集 合 族 に対 して は,選 択 公 理 の 適用 に よって,'無 限' が 驚 くべ き姿 を とって,私 た ちの前 にそ の素 顔 を現 わ した とい うこ とは ない よ う で あ る.可 算無 限 は,い わ ば,お

とな しい 無 限 で あ る,と い うのが,数 学 者 の 実

感 だ と思 う.   しか し,連 続 濃 度 の集 合 族 に対 して,選 択公 理 を 適 用す る と,バ ナ ッハ ・タル ス キ の逆 理 と通 常 よば れ て い る,想 像 を 絶す る次 の 定 理が,論 理 的 に 演 繹 され て くる.   バ ナ ッハ ・タル ス キの 定 理1):n≧3と 界 な集 合 とす る.こ の とき,A,Bは,同

に分 割 され て,各Aiは

す る,A,BをRnの

内 点 を 含 む,有

じ有 限 個 数 の部 分集 合

合 同 変換 でBiに 移 る よ うにで きる.

  Aを 半径1cmの 球,Bを 半径2cmの 球 と して,こ の 定理 を適 用 して み る と, ここで 述 べ られ て い る ことの 不思 議 さが わ か る.   この よ うな 定 理 が,選 択公 理 か ら 演繹 され て くる のを 見 てい る と,選 択 公 理 は,無 限 とい う存 在 に対 して,私 た ち の達 し得 ぬ 操作 を代 行 す る役 割 を演 じ てい るの だ と思 うの は,錯 覚 だ った のか も しれ な い と も思 えて くる.'無

限'は,選

択 公 理 を通 して,単 な る形 式 論 理 の 世 界へ 入 って い く契 機 を得 た の だ ろ うか.   この よ うな,私 た ち の経 験 か らは 信 じ難 い結 果 が,将 来,再 び,選 択 公 理 か ら 演 繹 され て くるか もしれ な い.選

択公 理 に何 か 不安 を 感 ず るの は,'無

限'の 認

識 に対 す る,私 た ち の無 力を 端 的 に物 語 って い るのだ ろ う. 1)  こ の定 理 に つ いて は,志

賀浩 二 『無 限 か らの光 芒 』(日 本 評 論 社)に 詳 しい 解説 が あ る.

第27講 選 択 公 理 の ヴ ァ リ エ ー シ ョン テー マ

◆ ツ ォルンの補題 ◆ 順序集合の部分集合の上端 ◆ 帰納的順序 集合 ◆ 選択公理 ⇒ 帰納的順序集合定理 ◆ 帰納的順序集合定理⇒

整列可能定理

◆ 同値性 ◆ 選択公理 のヴァ リエーシ ョン:い くつかの同値 な命題

は じめ に   前 講 で 述 べ た よ うに,選 あ っ た.一

方 を 仮 定 す れ ば,他

定 理 が 導 か れ る こ と は,こ 述 べ 方 に,ま 連 の,選

択 公 理 は,本

質 的 に は,整

列 可 能定 理 と同値 な命 題 で

方 が 導 か れ る の で あ る.(選

の 講 で 示 す.)1930年

択公 理 か ら整列 可 能

代 に な っ て,実

は,選

択 公 理 は,

だ い ろ い ろ の ヴ ァ リエ ー シ ョ ソが あ る こ と が 見 出 さ れ た.こ

択 公 理 に 同 値 な 命 題 を,ふ

  こ の 講 で は,ツ

れ ら一

つ うツ ォ ル ン の 補 題 と い っ て い る.

ォル ン の 補 題 に つ い て,そ

の 内 容 と,選

択 公理 との同 値性 を述

べ て い こ う.

帰納的順序集合   帰 納 的 順 序 集合 の定 義 を述 べ る前 に,順 序 集 合Mの 上 端supSの

部 分 集 合Sに 対 し,Sの

定 義 を 与 えて お か な くて は な らな い.

【定 義 】  順 序 集 合Mの す る とき,x0をSの

部 分 集 合Sに 対 して,次 上端 といい,x0=supSと

  (ⅰ)  す べ て のx∈Sに

対 してx≦x0.

  (ⅱ)  す べ て のx∈Sに

対 してx≦yを

の性 質 を もつMの

元x0が 存 在

表 わ す.

み たす 元y∈Mを

と る と,x0≦yが

成

り立 つ.   supSは,存

在 し て も,Sに

属 し

て い な い こ と も あ る し(図48(b)), 存 在 しな い こ と も あ る(図48(c)). (図48で,Sに

属す る元 は黒丸 で 表

わ さ れ て い る.順

序 関 係 は,上

へ向

(a)

か う線 分 で 表 わ さ れ て い る(第20講 の 図39も

(b) 図48

参 照)).

  定 義 の(ⅰ)と(ⅱ)を

(c)

見 る とす ぐわ か る よ うに,supSは,も

し存 在 す れ ば,

そ れ は た だ1つ で あ る. 【定義 】  順序 集 合M(≠

φ)が,帰

納 的 順序 集 合 で あ る とは,Mの

任 意 の空 で な

い全 順序 部 分 集 合 は,必 ず 上端 を もつ こ とで あ る.

図49

  この定 義 の意 味 して い る もの は,わ か り難 い.図49に,概 集 合 の例 を 画 い て お いた.こ

こで,Mの

元 は,点

念的 に 帰 納 的順 序

の代 りに,白

丸で 表 わ してあ

る.線 分 で 結 ばれ て い る点 は,左 の 方が 小 さ く,右 の方 が 大 きい として,順 序 を 導 入 して い る.し たが って,図49で て い る と見 て よい.M自

は,全

体 に,右

の方 へ行 くほ ど大 き くな っ

身 は,全 順 序 集合 で は な いか ら,線 分 で つ なが り合 っ

て い な い点 もあ る.  Mの

全 順序 部 分 集 合 とは,右 へ右 へ と,線 分 を 伝 わ って 進 ん で い く点 列 とし

て表 わ され る.図 で,濃 い線 分 で 結 ばれ て い る点 の 集 りSは,全

順

序 部 分 集 合 と な っ て い る.上 端 は,こ の 点 列 の 行 き つ く先 で あ

図50

る・ 図 で は ◎ で示 して あ る.図49の

場合supS∈Sで

あ る.

  図50の よ うな と きは,supS〓Sで

あ る.い ず れ に して も,帰 納 的順 序 集合 と

は,枝 分 れ した 道 を適 当 に選 び なが ら右 へ 右 へ と歩 い て行 くと,い つで も行 きつ く果 て の地 点 が あ る こ とを保 証 して い る順 序集 合 で あ る.   こ こで 道 を適 当 に選 び なが ら と,な にげ な く書 い た と こ ろに,帰 納 的 順序 集 合 が,選 択 公理 と同値 な命 題 を 述 べ る のに,適 当 な概 念 で あ るこ とが 含 まれ てい る ので あ る.

帰納的順序集合定理 【定理 】 Mを

帰 納 的 順 序集 合 とす る.そ の ときMの

中 に,必 ず 次 の 性 質 を もつ

元 α0が存 在 す る:   (*)α0<xと

な るMの

元xは 存在 しな い.

  この 定理 を 帰納 的 順 序集 合 定理 と い う.(*)の 大元 とい う.こ の 言葉 を使 え ば,結

論 は'Mに

性質 を もつ元 α0を,Mの

極

は 極大 元 が存 在 す る'と 簡 明 に

述 べ る こ とが で きる.  選 択 公 理 を仮 定 す る と,帰 納 的 順序 集 合 定理 が 成 り立 つ こ とを示 す こ とが で き る:

選択公理⇒

帰納的順序集合定理

  この 証 明 の考 え方 だけ を 述 べ て み よ う.図49で,極

大元 は ど こに あ るか とい

うと,も うこれ 以上 先 に は,点 は 存 在 しな い とい う,そ れ ぞれ の道 の1番 右端 の 点 と して表 わ され て い る.図 を見 れ ば,右 端 の点 の存在 は 明 らか で あ る と思 う人 が い るか も しれ な い.そ も し,こ

れ は 図49を,右

の方 で 終 る よ うに書 いた か らで あ る.

の よ うに 枝 分 か れ しなが ら,左 か ら右へ と走 る図 に,元

が連 続濃 度〓

もあ って,右 へ 右 へ と果 て しな い よ うに続 い てい った ら ど うな るか.さ の 高い とき は ど うな る か.―

らに濃 度

私 た ち には想 像 す る ことは不 可 能 で あ る.

  私 た ち は,右 端 の元 の存 在 を 確認 す るた め には,あ る点か ら は じめ て,右 へ進 む 道 を適 当 に選 び なが ら,右 へ 右 へ と進 んで 行 か なけ れ ばな らな い.ど の よ うに

進 ん で も,あ る所 まで進 んだ とき,そ こに進 ん で行 きつ く先―

上端 の点―

は

あ る.そ れ が 帰 納 的 順序 集 合 の保証 で あ る.こ の 行 きつ く先 へ と辿 りつ い た ら, 再 び こ こか ら出発 して道 を選 ん で,右 の方 向を 目指 して 先 へ 先へ と進 ん で いか な くて は な らない.こ の 果 て しな い無 限 の旅 路 に 終 りは あ るか?   選択 公 理 は,こ の旅 に,終

りが あ っ て,最

終的 には 必ずMの

極 大 元 に達 す る

と保証 す る ので あ る.こ れ が,帰 納 的 順序 集 合 定理 の 内容 で あ る.   最後 の所 まで 達 す る ことが で き る とい うた め に は,道 が 確 実 にそ こま で延 び て い る とい う数 学 的 保証 が い る.'適

当 に選 べ ば'と い うい い方 で は,終

りまで 達

し得 る保 証 が な い.い ま,こ こで選 択公 理 を 仮 定 した とす る.そ の とき任 意 の空 で な い 部 分集 合Sに,代

表元 を 指 定 して お くこ とが で き る.道 を 順 次選 んで,

こ の道 の上 端x0ま で は 達 した とす る.こ の とき

Sx0={a￨a>x0} と お く.Sx0=φ き に は,Sx0の

な ら ば,x0は 代 表 元 をy0と

す で に 求 め る極 大 元 と な っ て い る.そ す る.こ

(今 ま で の 説 明 で は,図49で,線 て き た が,そ

の と き,x0の

次 にy0へ

うで な い と

進 む と指 定 す る.

分 上 の 両 端 の 点 を 辿 っ て 右 へ 進 む よ うに 説 明 し

れ は 便 宜 上 で あ っ て,実

際 はMの

中に

a0
とい う,整 列 され た 部 分集 合 を と って,こ の よ うな整 列 集 合 の極 大 な もの の存在 を 示す こ とにな る.)   この よ うに,道 の 指定 が,各 ―

また は背 理 法 の使 用―

段 階 で で きる と,超

が 可能 とな って,も

限帰 納 法 を 適 用 す る 考 え方

うこれ 以 上,右 へ は 延び ない と

い う道 の存 在 が,証 明 され るの で あ る.こ の よ うに して,極 大 元 の存 在が 証 明 さ れ る.

帰納的順序集合定理⇒ 整列可能定理   次 に標 題 に 書 い た結 果,す なわ ち,帰 納 的 順 序集 合 定 理 が成 り立 つ こ とを仮 定 す る と,整 列 可 能 定理 が 導 か れ る ことを示 そ う:

帰納 的順序集合定理⇒ 整列可能定理

  これ も,考 え方 だけ の説 明 に とどめ る.   Mの

部 分集 合Aで,Aに

は少 くとも1つ の整列 順序 が 入 る よ うな ものを 考 え

る.有 限部 分 集合 には,必 ず 整 列 順 序 が入 る こ とを注 意 し よ う.Aに 整 列順 序 を考 えて,AとAに 別 の部 分集 合Bと,Bに

入 る整 列 順序 の対(A,<α)を 入 る整列 順 序(B,<β)を

導 入 され る

考 え る対 象 とす る.

とった とき

(A,<α)<(B,<β) と は,(A,<α)が,整

列 集 合 と し て,(B,<β)の

切 片に な って い る とき と定義

す る.   い ま,た

と え ばM={a,b,c,…}と

す る.こ

の と き,こ

の順 序 は

図51

と図 示 さ れ る.た (a
と えば,こ

こで{a,b}―{a,b,c}と

列 集 合{a,b,c}(a
書 い た の は 整 列 集 合{a,b}

切 片 と な って い る こ とで あ る.し

の 順 序 関 係 は,右

た

へ 進 む ほ ど大 き くな る よ う に 表 わ され

て い る.   こ の よ うに 表 わ す と,こ れ は,図51の (A,<α)全

体 か ら な る 順 序 集 合 は,帰

状 況 に な っ て い る.実

大 元 が 存 在 す る.こ

Mの

れ に,ど

整 列 集 合 と は な り得 な い よ うな も の で あ る.こ な くて は な らな い.す

な わ ち,Mが

れ らの対

納 的 順 序 集 合 と な る こ と が 証 明 さ れ る.帰

納 的 順 序 集 合 定 理 を 仮 定 す る と,極 整 列 順 序 を もつ 部 分 集 合 で,こ

際,こ

ん なMの

の 場 合,極

大 元 と は,

元 を つ け 加 え て も,も

の よ うな 部 分 集 合 は,M自

整 列 集 合 と な る こ とが 示 さ れ た.

う

身で

同

値

性

  前 講 で示 した よ うに,整 列 可 能 定理 を仮 定す る と,選 択 公理 が 導 か れ る.し た が って,リ ン ク

選択公理 

帰納的順序集合定理 

整列可能定理 が 閉 じて,3つ

の命 題 の 同値 性 が 証 明 され た. ヴ ァ リエ ー シ ョン

選択 公 理 は,次 の よ うな命 題 と も同値 で あ る こ とが 証 明 され る. 次 の命 題 は,選 択 公理 の ほ とん ど直接 のい いか え で あ る. Γ ≠φ と し,Aγ ≠ φ(γ ∈ Γ)と す る.こ

順 序集 合Mに

は,必 ず 極 大 な全 順 序部 分 集 合 が存 在 す る.

  こ こで,極 大 な全 順 序 部 分集 合Sと   (ⅰ)  Sは,(Mの

のとき

は,S⊂Mで

あって

順 序 で)全 順 序 集合 とな って い る,

  (ⅱ) x〓Sと す る と,S∪{x}は,Mの

部 分集 合 と して,全

順 序集 合 と はな

って い な い, をみ た す もので あ る.   この命 題 は,帰 納 的順 序 集 合 定理 と同値 で あ る こ とを示 す のが,選 択公 理 との 同値 性 を 示す と きに も っ と も直 接 的 で あ る こ とだ けを 注意 して お こ う. 集 合Mの

部 分 集合 に関 す る性 質Pで,有

られ た とす る.こ の と き,性 質Pを

限 性 の性 質 を もつ ものが 与 え

み た す,Mの

極 大 な部 分 集 合 が存

在 す る. 部 分集 合 に関 す る性 質Pが,有

限性 の性 質 を もつ とは,'Sが,性

質Pを

みた

す ため の,必 す'こ

要 かつ 十 分 な条 件 は,Sの

任 意 の有 限部 分 集 合 が,性

みた

とで あ る: SがPを

みた す ⇔

任 意 の 有 限 個a1,a2,…,as∈Sに {a1,a2,…,as}がPを

  た とえ ば,Mを

順 序 集合 と した とき,Mの

意 にSか

ら2つ の元x,yを

る か ど うか―x,yに

あ る.し た が って この命 題 を仮 定 す る と,す

順 序集 合 で あ る

全 順 序集 合 で あ るか ど うか

と った と き,{x,y}が

大 小 関係 が あ るか ど うか―

対 し

み た す

部 分 集 合Sが,全

とい う性 質 は,有 限性 の性 質を もつ.な ぜ な ら,Sが は,任

質Pを

全 順 序 集合 とな って い

だけ を 確 か めれ ば よい か らで

ぐ上 に述 べ た,'順 序集 合 には極 大

な全 順 序 部 分 集合 が 存 在 す る'が 直 ち に導 か れ る こ とに な る.   また この 命 題 を,帰 納 的 順序 集 合 か ら導 くた め に は,性 質Pを

み たすMの

部

分 集 合 全 体 が,包 含 関係 に よって,帰 納 的 順序 集 合 とな る こ とさえ示 せ ば よい.

Tea

Time

質 問   選 択 公 理 の ヴ ァ リエ ー シ ョ ソ は,ま 答  そ れ ほ ど 多 くは な い が,ま れ て い る.そ

の 中 か ら2つ

だ あ る の で し ょ うか.

だ い くつ か の ヴ ァ リエ ー シ ョ ン が あ る こ と は 知 ら

だ け 述 べ て お こ う.

  位 相 空 間 論 に お け る チ ホ ノ フ の 定 理 は,次 の よ うに 述 べ ら れ る: 'コ ン パ ク ト空 間 の 直 積 空 間 は コ ン パ ク トで あ る'

この定 理 は選 択公 理 と同値 な命 題 で あ る ことが 知 られ て い る.   また,次 の一 般 の(無 限次 元!)ベ

ク トル空 間 の 基 底 の存 在 定 理 は,選 択公 理

を用 い て 示 され る最 も よい例 と して,よ

く引 用 さ れ て い る が,最 近,こ の 定理

は,実 は選 択 公 理 と同値 な命 題 で あ る こ とが 証 明 され た1). '体K上 のベ ク トル 空 間 に は ,基 底 が存 在 す る'

1)文

献 に つ い て は,前

出,田 中 尚夫 『選 択公 理 と数学 』 参照.

第28講 選択公理 か らの帰結 テ ー マ

◆ 選 択 公 理 を認 め る. ◆ 無 限 集 合 の中 の可算 集 合 の存 在 ◆ 濃 度 の比 較 定 理 ◆ 濃 度 と順 序 数 ◆ 高 々2級 の順序 数 ◆ 高 々3級 の 順序 数 ◆ 濃 度 の 集 合 は,整 列 集合 を つ くる. ◆ 無 限 の 生成

選択公理を認める   前 講 で く り返 し述 べ て きた よ うに,選 択 公 理 は,多

くの深 い問題 を 内蔵 しなが

ら も,現 代 数学 の 中 に し っか りと根 を広 げ て い る.数 学 の豊 か な 稔 りを 期 待す る た め に は,多 少 の危 惧 は あ るにせ よ,選 択公 理 を用 い る こ とは,結 局 は 認 め ざ る を得 な い のだ ろ う.   集 合 論 に限 って も,選 択 公理 を認 め さ えす れ ば,無 限集 合 に お いて も基 数 と序 数 との対 応が 明確 に な って,い わ ば,集 合 論 の全 容が,霧 の 中か ら明 る い光 の 中 に浮 か び上 っ て くる,と い うことに な る.こ の 講 で は,選 択公 理 を 認 め た と き, どの よ うな数 学 の世 界が 開 けて くるの かを 見 て み よ う.

無限集合の中の可算集合の存在 ま ず,第10講

で 述 べ た こ と と関 連 し て い る の で,次

任 意 の無 限集 合Mは,可 【証 明 】 Mに

の 結 果 を 示 し て お こ う.

算 部 分集 合 を含 む.

適 当 な順 序 を入 れ て,整 列 集 合 とす る(整 列 可 能 定理!).Mは

無

限 集合 だ か ら,少 くと も,ω 以 下 の 順序 数 に対 応 す る可 算 部 分集 合 {a1,a2,a3,…,an,…}

を 含 ん で い な くて は な ら な い.こ

れ で 証 明 が 終 っ た.

濃度の比較可能定理

任 意 の2つ

の 濃 度m,nに

対 し

mn の いず れ か た だ1つ の場 合 だ けが,必 ず お き る. 【証 明 】  集 合M,Nを

の よ うに とる.MとNに,適

当 に順 序 を入 れ て,整 列 集 合 とす る.こ

の とき,

第23講 の整 列 集 合 の基 本 定 理 に よって か  か,ど

れ か た だ1つ

の 場 合 だ け が お き て い る.

 の とき に は,Mか き,濃

度 の 大 小 の 定 義(第15講)か

の とき は,順 =nで

か

らNの

中 へ の1対1写

ら,m≦nで

序 まで 保 つ1対1対

像 が 存 在 す る.こ

のと

あ る.

応 が 存在 す るの だ か ら,も

ちろ んm

あ る.

の と きに は,Nか

らMの

中へ の1対1写

像 が 存在 す るか ら,m≧n

で あ る.   一 方,ベ い.し

ル ン シ ュ タ イ ン の 定 理(第15講)か

た が っ て,上

の3つ

ら,mnは,両

の 場 合mnの

た だ1つ

立 しな の 場 合 だ け が,

必 ず お き る.

濃度と順序数   1,2,3,…,ω,…

か ら は じ ま る 順 序 数 の 長 い 長 い 系 列 を1度

す べ て の 順 序 数 の つ く る 整 列 集 合(!!)と る.こ

の 整 列 集 合 の 順 序 数 は,ど

い う概 念 は,そ

に 考 え た い の だ が, の中 に 矛盾 を 含 ん で い

こに あ る の か と 聞 か れ た と き,答

え られ な くな

って しま うか らで あ る.   そ こで い ま,十

分 大 き い順序 数 まで のつ くる整 列集 合 Ω を 考 え る ことにす る.

十 分濃 度 の 高 い 集 合 は存 在す る のだ か ら,そ の よ うな集 合 を1つ と って,整 列 さ せ る こ とに よ って,十

分 先 まで の 順序 数 が 並 ん で い る整 列 集 合Ω の存 在 を 認 め

る こ とは で き る.(も ち ろ ん,す べ て選 択公 理 を 仮定 した 上 で の こ とで あ る.)  Ω に 含 まれ て い る超 限 順序 数 ηで,η は,あ

る非 可 算 整列 集 合 の 順序 型 を 与 え

て い る よ うな もの全 体 を 考 え,そ の集 合 をS1と す る: は,非 可 算 無 限整 列 集 合 の 順序 数} S1⊂ Ω で,S1≠

φ だか ら,S1の

中 には,最

小 の順 序 数(最 小 元!)ω1が

存在 す

る.   この と き,ω1は 次 の性 質 を もつ.   (ⅰ)  ω1自身,あ

る非 可算 無 限 な整 列 集合M1の

順 序 数 を与え て い る.

  (ⅱ)  α∈Ω〈ω1〉をみ た す 順序 数 α(す なわ ち,α<ω)は,有

限 順 序数 か,可 算

整 列 集 合 の 順序 数 で あ る.   有 限 順 序 数 を,第1級

の順序 数 とい うこ とが あ る.

【定 義】 Ω〈ω1〉に属 す る順 序 数 を,高 々2級 の 順 序数 とい う.   高 々2級 の順 序数 と は,高 々可 算濃 度 を もつ整 列 集 合 の順 序 型 と して現 わ れ る もので あ る.高 々2級 の 順序 数 自身が,す で に恐 るべ き長 さの系 列 を形 づ くる こ とは,第24講

で 見 て きた.

  最 初 の 超 限 順序 数 ωが,有 限順 序 数1,2,…,n,…

の果 て に 現わ れ た よ うに,ω1

は,高 々2級 の 順序 数 の果 て にあ って,そ こで一 段 上 った無 限 の タ イ プを 表 わ し て い る.   集 合 の 濃度 の観 点 か らい えば,順 序 数 ω1を与 え る整 列集 合M1の

とお く と,〓

は,〓

の 次 に くる 無 限 濃 度 で あ る.M1は,実

れ て い る のだ か ら

で あ る.   次 に,Ω の部 分集 合S2を

濃度 を

際Ω 〈ω1〉で 与 え ら

をみ た す もの の順 序数 を 表 わす}

 は,整 列集 合Mで,  と お く.S2の  ω2は,次

中 に は 最 小 の 順 序 数 ω2が 存 在 す る. の 性 質 を も つ.

  (ⅰ)  ω2自身,あ る濃度>〓

の 整列 集 合M2の

(ⅱ)  α∈Ω〈ω2〉を み たす 順序 数 αは,高

順序 数 を 与 えて い る. 

々濃度〓

の整 列 集合 の 順 序 数 で あ

る. 【定 義 】 Ω〈ω2〉に属 す る順 序 数 を,高 々3級 の順 序 数 とい う.   順 序 数 ω2を与 え る整 列 集 合M2の

とお く と,〓

は,〓

この よ うに して,濃

濃度を

で あ る.

の 次 に 大 き い 濃 度 で あ る.  度 の系 列

(1) と,こ の濃 度 を もつ整 列 集 合 の 中 で の最 小 の順 序 数 を与 え る,超 限 順序 数 の系 列 ω,ω1,ω2,…,ωω,…

が,順 序 を 保 って,1対1に

 

(2)

対 応 して い る.系 列(2)は,整

列 集合 Ω の 部 分

集 合 と して 整 列 集合 で あ る.し た が って ま た,有 限濃 度 も含 めて,濃 度 の 系 列

は,濃

度 の 大 小 関 係 に よ って,整

列 集 合 を つ く っ て い る こ と が わ か る.す

なわ ち

濃 度 の集 合 は,大 小 関係 に よ って,整 列 集合 をつ くる こ とが 示 され た.   この よ うに して,選 択 公 理 の 帰結 として,無 限 濃 度 の系 列(1)と,超 数 のつ くる系列(2)が,1対1に と序 数 との対 応 の仕 方 が,ひ

対 応 して,'無

限順 序

限'の 世 界 にお い て も,基 数

とまず 樹 立 され た の で あ る.

無限の生成   この こ とか ら,無 限集 合 が生 成 され て い く過 程 がわ か る.有 限 の 順序 数 をす べ て並べ る と, {1,2,3,…,n,…}

とな るが,こ れ は,可 算 濃 度  を もち,こ の整 列 集合 の順 序 数 は ωで あ る.  高 々2級 の順 序 数全 体

の つ く る 集 合 の 濃 度 は  は, 

か ら 

へ と,階

  系 列(1)と(2)の

で あ り,こ

段 を1段

の 整 列 集 合 の 順 序 数 は ω1で あ る.'無

上 った の で あ る.

対 応 を 見 な が ら,同

与 え ら れ た と き,高

々濃 度 

順 序 数 の 系 列 を 考 え て み る.こ

限'

じ よ う な 考 え で,濃

度 

の集 合 が

の 集 合 に 入 る すべ て の 整 列 順 序 を 考 え,対 の と き こ の 系 列 は, 

つ 集 合 と な る.こ の 整 列 集 合 は,(2)の

の 次 に くる 濃 度 

系 列 の 中 で 

応す る を も

に 対 応 す る 順 序 数 ωα+1

を も つ.   '無 限'は,こ

の よ うに,1段

階,1段

階 と,無

限 の 段 階 を 上 っ て い く こ とに

よ り生 成 さ れ る.   こ れ が,カ

ン トル の 達 し た,'無

い の か も しれ な い が―

限'に

関 す る最 後 の 思 想―

啓示 とい って よ

で あ った. Tea

Time

質 問  濃 度 の集 合 が 整 列 集合 をつ くってい るな らば,濃 度 の問 題 につ いて も,超 限 帰納 法 の 考 えが 効 果 的 に使 わ れ る こ とが あ るの で し ょ うか. 答  使 わ れ る ことは あ る.た と えば,任 意 の 無 限 濃度 

に対 して,

が 成 り立つ が,こ の証 明 に も,濃 度 のつ くる集 合 が 整 列集 合 で あ り, 

と

い う事 実か ら出 発 して,超 限 帰納 法 を用 い て 証 明す る方 法 が あ る.し か し,証 明 に少 し準備 が い るの で,こ

こで は,そ の証 明 まで立 ち入 らない.

  しか し これ が 示 され れ ば,ベ ル ンシ ュタ イ ンの定 理 に よって,任 意 の無 限 濃度  に対 して

が成 り立 つ ことが,直 ち に導 か れ る こ とを 注 意 して お こ う.

第29講 連 続 体 仮 設 テ ー マ

◆ 連 続体 仮 設,一 般 連 続 体仮 設 ◆ 連 続 体 仮 設 の提 起 とそ の後 ◆ シ ェル ピ ンス キ の 『連 続 体仮 設 』 ◆ 連 続 体 仮 設 の,公 理 論 的集 合 論 か らの 解 決

問題 のお こ り   カ ン トル は,可 算 濃 度〓 の次 に くる 濃 度 は,連 続 体 の 濃 度2〓 で は な い か と 考 え た.自 然 数 の集 合 の濃 度 の 次 に,実 数 の集 合 の濃 度 が くる ので は ない か とい うこ とは,深 い理 由は な い と して も,ご く自然 な推 測 で あ ろ う.   無 限 集 合Mが

与 え られ た とき,ベ

の 段 階 が 確 実 に 上 って い く.〓 る.ま た,Mか

キ集 合〓(M)を

と る こ とに よ って,無

か ら2〓 へ の 移 行 は,こ の 最 初 の ス テッ プで あ

ら よ り高 い濃 度 の 集合 を 得 るた め に,こ れ 以 外 の 本質 的 に新 し

い 方 法 は知 られ て いな い.こ の 状況 に 注 目す る と,一 層 一 般 に,Mの で は な い か と,大

濃 度 は,    実 際,こ 設,一

の2つ

限

の 問 題 は,カ

次 に くる

胆 に 推 測 し て み た く な る.

ン トル に よ っ て 提 示 され,そ

れ ぞ れ,連

続体仮

般 連 続 体 仮 設 と して 知 られ る こ と に な っ た.

連 続 体仮 設:  一 般連 続 体 仮 設:  任 意 の無 限 濃 度〓

  も し,こ

の 一 般 連 続 体 仮 設 が 正 し け れ ば,無

と に よ り,確 実 に,無 は,こ

に対 して

限 の 階 段 を,1段1段

の よ う に 構 成 的 に,秩

  カ ン トル は,結

局,こ

限 集 合 は,そ

のベ キ 集 合 を と る こ

と上 っ て い く こ と に な る.無

限集 合

序 正 し く認 識 さ れ て い く も の な の だ ろ うか.

の 問 題 に 対 し て 解 答 を 与 え る こ と は で き な か っ た.連

続

体 仮 設 は,選

択 公 理 を 仮 定 し て お くな ら ば,実

高 々可 算 集 合 と,連

数 の 集 合Rの

続 体 の 濃 度 を も つ も の 以 外 に,私

た ちが まだ 出会 った こと

も な い よ うな この 中 間 の 濃 度 を もつ 部 分 集 合 が あ る の か,と る.実

数 の 集 合 な ど,よ

く知 っ て い る 集 合 で は な い か,こ

在 す る か し な い か な ど,す   し か し,謎 体 仮 設―

は,予

聞 いて い る こ とにな

の よ うな 部 分 集 合 が 存

ぐに わ か りそ うな も の で は な い か.

想 を 越 え て,は

る か に 深 か った の で あ る.こ

の 問 題―

連続

を 追 求 し よ う とす る と,あ れ ほ ど 親 しか っ た 実 数 の 集 合 が,突 然 固 い

殻 を か ぶ っ た よ う に な っ て,頑

な に 沈 黙 し て し ま うの で あ る.

  19世 紀 の 終 りに は,集 合 論 は,整 を か か え な が ら,多 て,当

時,世

  Aus

dem

treiben

部 分 集 合 の 中 に,

列 可 能 定 理 と連 続 体 仮 設 と い う未 解 決 の 問 題

くの 批 判 に さ ら さ れ て い た.こ

の カ ン トル の 集 合 論 に 対 し

界 数 学 界 の 指 導 的 位 置 に あ っ た ヒ ル ベ ル トは Paradies,

konnen.(カ

das

Cantor

uns

geschaffen,

ン トル の創 った 楽 園 か ら,誰

soll uns

niemand

ver

も 我 々を 追 い や る こ と な ど

で き な い の だ) と 述 べ て,は

っ き りと カ ン トル を 擁 護 す る 立 場 を 表 明 し た.そ

ベ ル トは,1900年,有 当 って の23の

名 な パ リの 国 際 数 学 者 会 議 に お け る,新

問 題 提 起 の 第1番

  20世 紀 に な って,カ

目 に,こ

して,実

際,ヒ

ル

しい世 紀 の 出発 に

の 連 続 体 仮 設 を お い た の で あ る.

ン トル の 集 合 論 が,数

学 全 体 を 支 え る礎 石 と し て,も

はや

必 須 の も の と な っ て い る と い う認 識 が 数 学 者 の 間 に し だ い に 浸 透 して くる よ うに な っ た.そ

れ に つ れ て,残

され た 問 題,連

の 挑 戦 と,試 行 錯 誤 が く り返 さ れ た.だ 体 仮 設 は,ま

続 体 仮 設 の 解 決 へ 向 け て,さ が,不

思 議 な こ とに,時

す ま す 近 寄 り難 い 峻嶮 な 山 容 を と って,数

らに多 く

と と も に,連

続

学 者 の前 に立 ち は だか っ

た の で あ る.

シ エ ル ピ ン ス キ の 『連 続 体 仮 設 』

  連 続 体 仮 設 の 解 決 を 目指 す 多 くの 数 学 者 の 隠 れ た 努 力 の 中 に あ っ て,ポ ドの ワル シ ャ ワ大 学 の教 授 で あ った シ ェル ピ ソ ス キ は,1934年,『 い う標 題 を もつ,不 中 で,も

し,連

思 議 な 調 べ の す る 本 を 著 した.シ

続 体 仮 設2〓

連 続 体 仮 設 』と

ェル ピ ソ ス キ は,こ

が 正 し い とす る な ら ば,実

ーラ ン

数 は,ど

の本の

の よ うな 姿

を 私た ち の前 に現 わ して くるか,い ろい ろ の面 か ら詳 し く調 べ て み た ので あ る. そ うす る こ とに よって,連 続 体仮 設 が 意 味す る もの を 明 らか に した い と,彼 は望 んで い た.ま た万 一,こ の よ うな実 数 の姿 の中 か ら,何 か,す で に知 られ て い る 実 数 の 性 質 と矛 盾 す る もの が生 じて くる な らば,そ の こ とは,最 初 に お いた 前 提, 2〓

が正 し くなか った こ とを 示 す ことに な る だ ろ う.

  だ が,矛 盾 は何 も生 じな か った の で あ る.私 た ち の前 に次 々 と示 され た の は, 実 数 の深 い淵 か ら湧 き上 って くる よ うな,ど の よ うに 理 解 して よい のか わ か らな い,謎 め い た さ ま ざ ま な命 題 であ った1).   こ こで は,そ の中 の一 つ の定 理 を 述べ て お こ う.こ れ は,カ ン トル の創 った 楽 園 の 中 に咲 いた,美

しい 一 輪 の花 と もみ え る結 果で あ る.

【定理 】  連 続 体 仮 設 は,次 の命 題 と同値 で あ る.   平面R2は,2つ

こ こでAは,x軸

の部 分 集 合A,Bの

直 和 として 表 わ され る:

と平 行 な 任 意 の 直 線 と 高 々可 算 個 の 点 で し か 交 わ らず,Bは,

y軸 に 平 行 な 任 意 の 直 線 と 高 々 可 算 個 の 点 で し か 交 わ ら な い.

  連 続 体 仮 設 を認 め れ ば,こ の命 題 が 成 立 す る こ とだ け を 示 して お こ う.連 続体 仮 設 を仮 定 す る と,実 数 の 濃 度 は〓

とな るか ら,適 当 に 順 序 を い れ て 整 列 集 合 とす る こと に よっ

て,実 数全 体 は

(1) と並べ る こ とが で き る.こ こで ω2は,第3級

と お く.任 意 の実 数bを

とる.bは,系

の順 序 数 で最 小 の も ので あ る.

列(1)の

中 に 現 わ れ て い るか ら,b=tβ

と表 わ さ

れ て い る.し た が って,Aと 直 線y=bと の交 わ りは,集 合{(tλ,tβ)￨λ ≦ β}と な るが,{t1, … ,tω,…,tλ}は可 算 だ か ら,こ れ は可 算 集 合 で あ る.   次 に,任 意 の実 数a=tα を とる.直 線x=a上 の集 合{(tα,tμ)￨μ<α}を 除 け ば,残 線x=aと   な お,シ

りはAに

の点{(tα,tλ)￨λ<Ω}の うち,高 属 す る.し た が って,Aの

々可算 個

補 集 合Bと,直

の交 わ りは 高 々可 算 で あ る. ェ ル ピ ン ス キ も 注 意 し て い る こ と で あ るが,連

1)  これ に つ い て は,前

出,『 無 限 か ら の光 芒 』の中 の,'無

続 体 仮 設 が 成 り立 て

限 へ の志 向 の一 軌 跡'参

照.

ば,実 数 の部 分 集 合 は,か な り簡 単 な性 質を 示 して くる ことに な る.実 際,あ る 部 分 集合 が連 続 体 の濃 度 を もつ こ とを 示す には,そ れが 高 々可算 で ない こ とさ え 示 せ ば よい こと に な る.

連続体仮設の解決   連 続 体 仮 設 を 素 朴 な いい 方 で,可 算集 合 と連 続 体濃 度 の集 合 の 間 に別 の濃 度 を もつ集 合 が あ るか,と 設 問 して み る とわ か る よ うに,こ の問 題 を厳 密 に 考 えて い こ うとす る と,'集 合 とは何 か'を,改

め て 数 学 的 に は っ き りさせ て お くことが

必 要 で は な いか と 思 わ れ て くる.漠 然 と した,'集 合 の 大 袋'の 中 か ら,こ の よ うな 集合 が あ る か ない か を見 出 そ うとす る よ うな こ とで は,立 場 が 曖 昧 す ぎ て, 厳 密 な 論理 を展 開 して い くこ とは不 可 能 だ ろ う.   そ の よ うな,数 学 内 部 か らの要 請 に 答 え るた め に,集 合 を,公

理 か ら 出発 し

て,厳 密 な論 理 の演 繹体 系 の 枠 に お さめ て,集 合 論 を展 開 し よ うとす る理 論 が あ る.こ れ を公 理 論 的 集合 論 とい う.   公理 論 的 集 合 論 に対 して,今 まで 述べ て きた よ うな集 合 論 の取 扱 い を,素 朴 集 合 論 とい う.   集 合 論 の公 理 と して,ふ つ う採 用 され て い る もの は,Zermelo-Fraenkelの 理 系(ZFと   (こ のZFを

公

略 記 す るのが 慣 行 で あ る)で あ る. や さ し く解 説 してみ る ことな どは,厳 密 な演 繹 体 系 を 目指 す公 理 論

的 集合 論 と逆 方 向 に歩 む よ うな もので あ って,そ の試 み はほ とん ど不 可能 な こ と で あ る.ZFが

ど の よ うな もの か を知 るだけ な らば,「 数 学 辞 典」(岩 波書 店)を

参照 され る と よい だ ろ う.)   1963年 に,P.J.コ

ーエ ンは,連 続体 仮 設 も,一 般 連 続 体仮 設 も,ZFと

で あ る こ とを 示 した.そ

の こ とは,ZFか

は 独立

ら出発 して 集 合 論 を 組 み立 て て い った

場 合,連 続 体 仮 設 が成 り立 つ とい う公 理 をそ こに 新 た につ け加 え れ ば,一 つ の集 合 論 が で き る し,連 続体 仮 設 が成 り立 た な い とい う公理 をつ け 加 えれ ば,ま た別 の,前 の もの と は全 然 矛盾 しな い集 合 論 も構 成 され る とい うこ とで あ る.こ の よ うに して,た ぶ ん,カ ン トル の全 く予 想 しなか った よ うな形 で,現 在 の と ころ, ひ とまず 連 続 体仮 設 は,解 決 をみ た の で あ る.

Tea

Time

質 問  P.J.コ ー エ ン に よ る,肯 定 と も否 定 と もつ か ない 連 続体 仮 設 の 解 決 に つ い て,ど

うお考 え な の です か.

答   私 は,公 理 的 集 合論 や 数学 基礎 論 は詳 し くな い ので,こ の方 面 の 専 門 家 が, どの よ うに 考 え て い る のか わ か らない.私 は,ご の感 じ しか 述べ られ な い が,や が て 将 来,ZFと

くふつ うの数学 者 として の,私 は別 の 集合 に関 す る 公理 体 系が

考 え られ て,こ の体 系 の中 で は,連 続 体 仮 設 が は っ き りと した 結 論 を もつ よ うに な る のか ど うか につ いて は,多 少 関心 が あ る.実 数 の部 分集 合 の あ り方 を,完 全 に 規定 で き る よ うな公 理 が 有 り得 る の だ ろ うか.私 た ち は,誰 も,π の 無 限小 数 展 開 の最 後 まで見 通 す わ け に は い か ない.し か し,カ ン トルが 考え た よ うに,実 数 を1つ1つ

ば ら して,元 の 集 りと して 見 るた め に は,π と,π で な い 実 数 を は

っ き りと見 分 け る こ とが で きな くて は な らな い だ ろ う.大 体,無 限 小 数 展 開 の最 後 まで誰 も確 か め られ ない の に,2つ

の 異 な る実 数 を とる とは,現 実 に 何 を意 味

して い る のだ ろ うか.実 数 の集 合 を認 め れば,2つ で あ る と考 え られ るか も しれ な いが,2つ

の 異 な る元 とい う概 念 は 明確

の元 を識 別す る方 法 の な い 実 数を,何

故,集 合 と見 る こ とが で きた か と,ま た 問題 は一 巡 して しま うだ ろ う.し か し, 私 の空 想 の よ うな こ とを 述 べ て,読 者 を 迷 わ す ことは,あ ま りよい こ とで は ない だ ろ う.   た だ,実 数 の集 合 を,数 直線 上 の点 と して の,一 つ の ま とま った もの として の 認 識 か ら,集 合 論 が 示す よ うに,完 全 に1つ1つ

分 離 され たatomicな

元 と して

の集 りと見 る見 方 に,移 行 す る た めに は,私 た ちの無 限 に対 す る理 解 の仕 方 が な お十 分 で ない の か も しれ な い し,あ る い は,実 数 の もつ 無 限性 は,そ の よ うな認 識 の仕 方 を拒 否 して い るの か も しれ な い.   この よ うな問 題 を 追 って いけ ば,再 び カ ン トルが 考 え た立 場 で の,解 決 の道 も ない よ うな連 続 体仮 設 の問 題 へ と,戻 って い くこ とにな るのだ ろ う.コ ー エ ンの 結 果 を 読 んで み て も,私 の心 の 中 で の連 続 体 仮 設 の問 題 は,ま だ終 って い な い よ うな気 が してい る.

第30講 ゲ オ ル グ ・カ ン トル

集 合 論 と カ ン トル   集 合 論 は,カ

ン トル の 天 賦 の 才 とい う よ り,何

か 天 賦 の 力 と で も い うべ き もの

に よ って 創 ら れ た 理 論 で あ る.カ

ン トル は,無

自 然 数 と実 数 の 中 か ら 抽 出 し,そ

れ を 概 念 化 し,数

で あ る.こ 限 が,数

限 とい う空 々漠 々 と し た も の を, 学 の 対 象 と化 し て し ま った の

の カ ン トル の 辿 っ た 思 索 の 道 を ふ り返 る と き,カ

ン トル に よ っ て,無

学 の 形 式 を 通 し て 実 在 化 さ れ 具 現 化 さ れ た と考 え る の だ ろ うか,あ

は 論 理 と記 号 の 中 に 実 体 を 失 っ て 抽 象 化 され た と考 え る の だ ろ うか,と い 問 題 が,幻

るい

い う難 し

の よ うに 浮 か び 上 って く る.

  い ず れ に せ よ,集

合 論 は,カ

え る わ け に は い か な い.こ

ン トル と い う個 人 の 思 索 体 験 を 切 り離 し て は,考

の 最 後 の 講 で は,カ

ン トル の 生 涯 に つ い て,簡

単 に綴

っ て み る.

カ ン トルの 生 い 立 ち   集 合 論 の 創 始 者 カ ン トル,正

確 に はGeorg

Cantorは,1845年3月3日,ロ

シ ア の ペ テ ル ス ブ ル ク(現

で,富

裕 な 商 人,ゲ

Ferdinand

親 も純 粋 な ユ ダ ヤ 系 で あ っ た.カ

トで あ っ た が,母

Philipp

在 の レ ニ ン グ ラ ー ド)

オ ル グ ・バ ル デ マ ー ル ・カ ン トル の 長 男 と し て 誕 生 し た.母

親 の マ リ ア は,芸 術 的 資 質 に 恵 ま れ た 家 庭 に 生 ま れ,そ 父 親 も,母

Ludurig

親 は カ ソ リ ッ クで あ った.父

の 資 質 を 受 け 継 い で い た.

ン トル は 父 親 と同 じ く プ ロ テ ス タ ン 親 の 病 気 の た め,1856年,ド

イツ

の フ ラ ン ク フ ル トへ 移 住 し た.   カ ン トル は,非 が,父

親 は,息

常 に 早 くか ら,数

学 を 学 び た い と い う 強 い 希 望 を も って い た

子 の 数 学 へ の 望 み を,す

ぐ に 認 め,か

な え て くれ た わ け で は な か

った.父

親 は,将

来 の 生 活 の 安 定 の た め に,カ

つ か せ よ う と,頑   カ ン トル が17歳

ン トル を 有 望 な 技 術 方 面 の 仕 事 へ

な な 努 力 を 続 け て い た の で あ る. に な り,ギ

ム ナ ジ ゥム を 優 秀 な 成 績 で 卒 業 した と き,父

や っ と大 学 で 数 学 を 専 攻 す る こ と を 許 して くれ た.こ 宛 て た 喜 び の 手 紙 が 今 も残 っ て い る.ス の 死 の た め,ベ

ル リ ン大 学 へ 移 り,そ

ン 大 学 の 数 学 教 室 に は,整

親は

の と き の カ ン トル の 父 親 に

イ ス の チ ュ ー リ ッ ヒ に 少 しい た 後,父 こで 数 学 と物 理 学 と 哲 学 を学 ん だ.ベ

親 ル リ

数 論 で イ デ ヤ ル 数 を 導 入 し た ク ン マ ー と,解 析 学 の 大

家 ワ イ エ ル シ ュ トラ ス と,数 論 の ク ロ ネ ッ カ ー が い た.ク

ロ ネ ッ カ ー とは,や

が

て 運 命 的 な 対 決 を す る こ と に な る.   1867年,カ 位 を 得 た.こ

ン トル は22歳

の 学 位 論 文 か ら は,後

き な い.1869年,24歳 な り,1870年

の と き,2次

の 不 定 方 程 式 に 関 す る論 文 に よ っ て 学

年 の カ ン トル の 思 想 の 萌 芽 を 見 出 す こ と は で

の と き,決

し て 一 流 と は い え な い ハ ル レ大 学 の 私 講 師 と

に は 助 教 授 に な り,1879年

正 教 授 に任 命 さ れ た.

三 角 級 数 の一 意 性   カ ン トル の 数 学 へ の 興 味 は,ワ

イ エ ル シ ュ トラ ス 学 派 の 影 響 を 受 け な が ら,し

だ い に 解 析 学 へ と 向 い て き て,三

角 級 数 の 一 意 性 の 問 題 へ と 入 って い っ た.

  三 角 級 数 の 一 意 性 の 問 題 とは,周

期2π を も つ 関 数f(x)を

(1) と 三 角 級 数 に 展 開 し た と き に,(も 通 りに 限 る だ ろ うか,と っ た とす る と,辺

し 展 開 可 能 な ら ば)こ

い う問 題 で あ る.も

し,f(x)を

の よ うな 表 し方 は,一 表 わ す 別 の 表 し方 が あ

々 引 い て み る と わ か る よ う に,

(2) と い う式 が,a0=0,an=bn=0以   1870年,カ

ン トル は,'一

「す べ て の 実 数xに

意 性 定 理,

つ い て(2)が a0=0, 

と い う結 果 を 示 した.

外(n=1,2,…)で

成 り立 つ な ら ば,

an=bn=0 

(n=1,2,…)」

も成 り立 つ こ と に な る.

  しか し,す

で に フ ー リエ が 示 し て い た よ うに,(1)の

必 ず し も 連 続 関 数 に 限 る 必 要 は な い.い

くつ か の 点 で 不 連 続 性 が 現 わ れ て,そ

で 値 が 定 義 され て い な い よ うな 関 数 に 対 し て も,残 り立 つ よ うな 場 合 が あ る.こ ま だ 十 分 で は な い.カ

りの 点 で は(1)の

の よ うな 場 合 を 考 慮 す る と,上

ン トル は,続

い て,上

を 「有 限 個 の 実 数 値 を 除 くす べ て のxに と して も よ い こ と を 示 し,さ

こ

展 開 が成

の 一 意 性 の 結 果 は,

の 結 果 の 「す べ て の 実 数xに

つ い て」

つ いて 」

らに

  「い か な る 有 限 区 間 に も,有 …,x −1,x0,x1,x2,…

左 辺 に 現 わ れ る 関 数 は,

限 個 し か 含 ま れ て い な い よ うな,無

を 除 くすべ て のxに

限 個 の実 数 値

つ いて 」

と し て も成 り立 つ こ とを 示 した.   こ の 研 究 は,2年

後 の1872年

い た ・ カ ン トル は,た

に 発 表 さ れ た 論 文 の 中 で は,さ

らに 深 め られ て

とえば

と い う集 合 に 属 す る 実 数 値 を 除 くす べ て のxに

つ い て 」 と して も,一

意性定理が

成 り立 つ こ と を 示 した の で あ る.Pに

属 す る 実 数 は,0と,1/n(n=1,2,…)の

と こ ろ に 無 限 に 集 積 し て き て い る.す

な わ ちPの'集

で あ る.P′ の'集 積 点 の集 合'P"は

今 度 は0だ け で あ る.す なわ ちP"={0}で

積 点 の集 合'P′

は

あ る.し た が ってP"′=φ で あ る.   これ は一 例 で あ るが,カ

ン トル は,こ の よ うに,集 積 点 の集 合 を,く

り返 し と

って い った と き,有 限 回 の 段 階で,集 積 点 の集 合 が空 集 合 とな る よ うな,実 数 の 中 の'薄 い無 限 集 合'を 除 い て も,や は り,一 意 性 の定 理 が成 り立 つ こ とを 示 し た ので あ る.   この よ うに,除 外集 合 の 考察 を,有 限集 合 か ら,無 限 集合 へ,さ

らに,無 限 集

合 の集 積 点 の集 合 に注 目 し,そ れ を く り返 し追 って い くとい う,カ ン トル の示 し た 研 究志 向の 中 に,段 階 的 に無 限 の概 念 を得 て い った,後 年 の 思索 の道 を は っ き りと感 じ とる こ とがで きる.

実数の非可算性   1874年 は,集

に,ク

レ ル レ 誌 上 に 発 表 さ れ た 論 文'代

合 論 の 誕 生 を 告 げ る 論 文 で あ っ た.

  こ の 中 で,カ は,自

ン トル は,代

然 数 全 体 とは1対1に

数 的 実 数 全 体 は 可 算 で あ る こ と,お 対 応 しな い こ と を 示 し た.カ

の往 復 書 簡 に よれ ば,こ の  た だ し,こ

多 重 な る もの― の 驚 き を,'Je

で に,次

り,さ

らに

へ と眼 を 向

の デ デ キ ン ト宛 の 書 簡 に,RとRnが1対1

に 対 応 し て い る 証 明 が 得 られ た こ と を 伝 え,こ め て ほ しい と 依 頼 し た.カ

数 の 集 合Rよ

元 空 間 の 点 全 体 の つ く る 集 合Rn―

い 間 考 え た 末,1877年7月

と あ た わ ず)と

の こ と で あ った.

で 示 し た 対 角 線 論 法 に よ る もの

応 と い う考 え に 基 づ い て,実

大 き い と 思 わ れ る 集 合―n次

で,こ

数全体

間 縮 小 法 に 近 い 考え に 基 づ く背 理 法 に よ る も の で あ っ た.

  カ ン トル は,1対1対

け た.長

よ び,実

ン トル と デ デ キ ン トと

の 発 見 は,1873年12月7日

こ で の カ ン トル の 証 明 法 は,第10講

で は な く,区

―

数 的 実 数 の あ る 性 質 につ い て'

ン トル は,自

の 証 明 に 誤 りが な い か ど うか 確 か

ら の 見 出 し た こ の 結 果 に よ って,'次

元'

と い う空 間 の 形 式 が 崩 れ 去 っ た よ う な 驚 き を 感 じ た よ う le vois,

mais

je ne

le crois pas.'(見

い う言 葉 で い い 表 わ して い る.な

元 の 本 質 は,単

な る1対1対

お,デ

れ ど も,信

デ キ ン トは,こ

ずるこ

の ときす

応 で は な く,連 続 的 対 応 を 考 え る こ と で 捉

え ら れ る だ ろ う と,問 題 の 核 心 を 見 抜 い て い た.

集合論の誕生   1878年

の カ ン トル の 論 文'集

踏 ま え な が ら,は の 中 に は,連 生,集

合 論 へ の 一 寄 与'で は,上

に 述 べ た よ うな 成 果 を

じ め て 集 合 の 濃 度 の 概 念 が 明 確 に 導 入 さ れ た.さ

続 体 仮 設 の 問 題 が,提

出 され て い る.カ

ン トル は,こ

らに この論 文 の と き か ら終

合 と して の 実 数 の 謎 を か かえ て し ま っ た よ うで あ る.

  この 論 文 で 立 脚 点 を得 た カ ン トル は,1879年 集 合 論'と

い う標 題 で,6つ

の 論 文 を 発 表 し,こ

か ら84年

に か け て,'無

の 中 で,超

限 線状点

限順 序 数 の概念 が 育

って い った.   し か し,こ

の よ う に 集 合 論 が,カ

ン トル の 思 索 の 中 で 創 造 さ れ,そ

の枠 組が 明

ら か に な る に つ れ,ベ ー の,強

ル リン大学 の クロ ネ ッカ

い 批 判 と,反 対 を 受 け る こ と に な っ た.

  カ ン トル の 後 半 生 を 襲 っ た 精 神 障 害 の 原 因 の 一つは

,集 合 論 と カ ン トル 個 人 に 対 す る こ の ク

ロ ネ ッ カ ー の 激 し い 攻 撃 に あ っ た と考 え ら れ て い る よ うで あ る.1884年

の 春,カ

ン トル40歳

の と き,病

気 の 最 初 の 兆 候 を 経 験 した.病

発 作 は,そ

の 後,彼

も お こ り,遂

気の

が 生 涯 を 終 え る ま で,何

に,彼

度

を 社 会 か ら精 神 病 院 へ と 追

い や っ た の で あ る.   この あ と の,カ の で あ る.発

ン トル の 無 限 論 に 関 す る論 文 は,発

作 か ら 回 復 した と き,彼

  カ ン トル は,1918年,1月6日,ハ

作 と発 作 の 間 に 書 か れ た も

の 頭 は 異 常 に 澄 み き っ て い た1). ル レ の 精 神 病 院 で そ の 生 涯 を 閉 じ た.

Tea

Time

質 問   ク ロネ ッカ ーの カン トル に対 す る,激 しい 執拗 な攻 撃 とは,一 体,集 合 論 の ど こに 向け られ て いた の です か. 答   ク ロネ ッカー の カ ン トルへ の攻 撃 の 中に は,個 人 的 な 感情 も多 く含 まれ て い た のだ ろ う.し か し,そ の点 につ い て は,数 学 史 家 の研 究 に まつ と して,こ こで は,ク

ロネ ッカー の集 合 論 に 向け て の批 判 を,私 の感 想 も適 当 に ま じえ なが ら述

べ てみ よ う.   ク ロネ ッカ ーの 批 判 は,集 合 論 の 非 構成 的 な性 格 と,非 構 成 的 な枠 組 の 中で, 累 々 と築 き上 げ られ て い く概 念 形 成 の 中 にみ る実 体 の な い姿 に 向け られ て いた. ク ロネ ッカ ーに と って は,数 学 の対 象 が存 在 す る とは,厳 密 な構 成 手 段 が与 え ら れ た もの に 限 るの で あ って,数 学 者 が 数学 の実 在 を確 かめ る努 力 とは,結 局,そ の 数学 的 対 象 の中 か ら,余 分 な一 般 的 な概 念 をで き るだ け切 り離 し,対 象 そ の も 1)E.T.ベ

ル 『数 学 をつ くった 人び と』(田 中  勇,銀 林  浩 訳)下

巻(東 京 図 書)参 照.

の の もつ 内在 的 性 質 を 明 らか にす る ことに あ る と考 えて いた よ うで あ る.そ の よ うな考 え方 を徹 底 す る と,'無 限'と い う概 念 は数学 の 中で 希 薄 とな り,崩 れ て い くの で あ る.   ク ロネ ッカ ーは,自 然 数 の存 在 は,'神 の 創 り給 い し もの'と して 認 め たが, π とい う実数 の 存在 は疑 って い た.3 .141592の 先 に,何 の規 則性 もな く続 いて い く小 数 の 系 列 な ど,ど の よ うに して そ の存 在 を 認 め,実 在 す る といい きれ る の か.こ

の よ うな 観 点 か ら見 れば,カ

ン トルが,実

数 の 濃 度 が 非 可 算 とい うこと

と,代 数 的 な実 数 が 可算 集 合 をつ くる とい うこ とか ら,超 越 数 は 無 限 に(非 可 算!)存

在 す る と結論 した ことに対 して は,論 理 的 に この結 論 を認 めて も,数 学

的 には 許容 す る こ とな どで きな か った ので あ る.ク ロネ ヅカ ーは,た ぶ ん,カ ン トル に,「 そ ん な に超 越 数 が た くさん あ る とい うの な らば,そ れ を机 の上 に どん どん出 してみ て くれ 給 え 」 とい ってみ た か った ろ う.し か し,カ ン トル の集 合 論 の 中に は,1つ

の超 越 数 も,具 体 的 に提 示す る方法 は,盛

りこまれ て い なか った

ので あ る.1つ

の超 越 数 も提 示 で きな くて,超 越 数が 無 限 に あ る とい うこ とは,

概 念 に 包 まれ た詭 弁 で は ない か.   した が って ク ロネ ッカ ーの立 場 で は,「 有 理 数 で ない 実 数 を 無理 数 とい う」 と い う定義 が,す で に認 め 難 か った ので あ る.こ の よ うな,否 定 概 念 に よ って 定 義 され た 数学 的 対 象 に,ど れ だ け 自立 して存 在 を主 張す る力 が あ る の だ ろ うか.   クロネ ッカ ーの い うこ と もわ か るの で あ る.た とえ ば 無理 数 を この よ うに定 義 し,次 に,無 理 数 の集 合 の 中 で  をPと

し,次

に,Pの

中 で 

と 表 わ され な い 実 数 の 全 体 と表わ され な い 実 数 の全 体 をQと

して,こ の よ うに続 けて い った とき,私 た ち は可 算 回の 操 作 の あ とで 得 られ た 集 合 の 実 在 を どの よ うに考 え た ら よい のだ ろ う.こ の よ うな 集合 に属 す る1つ の実 数 も特定 で きな い の に,た だ 概念 だ けで,そ の存在 を確 認 して い る と は,一 体, 数 学 とは何 か とい う こ とに もな りかね な い.   クロネ ッカ ーは,非 構 成 的 な概 念 で 囲 まれ た 集合 論 に 対 して,徹 底 した批 判 を く り返 した のだ が,こ の 批 判 の 中心 に,ま さ に カ ン トル の集 合 論 の独 創 性 と斬 新 性 が あ った か ら,問 題 は 深 刻 だ った ので あ る.無 限 は,構 成 的 に理 解 し よ うと思 って も,何 も語 って くれ な い.カ ン トル は,概 念 を総 合 す る 力 を,数 学 の 中に 積 極 的 に取 り入 れ る こ とに よ り,無 限 の様 相 を知 ろ うとした の で あ る.   クロネ ツカ ー も,カ ン トル も,数 学 の2つ の立場 をそ れ ぞれ 代 表 して お り,そ れ は大 ざ っぱ にい え ば,概 念 の もつ 内包 的 な方 向へ と数 学 を 向 け るか,外 延 的 な

方 向 へ と 数 学 を 向 け る か と い う,本 質 的 に 妥 協 で き な い2つ し て い た の で あ る.実 と して も,集   しか し,ク

際,ク

ロ ネッ カ ー の 批 判 は,カ

の方 向 を 象徴 的 に示

ン トル 個 人 の 悲 劇 を 招 い た

合 論 を 数 学 の 中 か ら 追 放 す る こ と は で き な か っ た の で あ る. ロ ネ ッ カ ー の 集 合 論 に 対 す る 批 判 も ま た,数

学 史 の 一 挿 話 と し て,

消 え て し ま う も の で も な い よ うに 思 う.   最 近 の よ うに,コ と,た

と え ば,コ

ン ピ ュ ー タ ー の 普 及 で,デ

ィジ タ ル 化 が 急 速 に 進 ん で くる

ン ピ ュ ー タ ー に い くつ か の 実 験 デ ー タ を イ ン プ ッ トす れ ば,や

が て プ ロ グ ラ ム に し た が っ て,あ

る 整 理 され た デ ー タ が,実

験 の 精 度 さ と必 要 に

応 じ て ど こ ま で も 計 算 さ れ て,小

数 の 形 で 現 わ れ て くる だ ろ う.キ

ィを 押 す と,

小 数 は ど こ ま で も 画 面 に 現 わ れ て く る.   誰 も,こ

の 数 は,有

い か け な い の か,な

理 数 な の か,無

ぜ,問

理 数 な の か と聞 い か け は し な い.な

い か け て も意 味 が な い と考 え る の か.眼

ぜ,問

の前 に並 ぶ 有

限 小 数 の 数 の 配 列 を 見 な が ら,そ

の よ うな こ と を 考 え て い る と,ギ

有 理 数,無

わ しそ うに 立 ち つ くす ク ロ ネ ッ カ ー の 姿 が 見 え

理 数 の 概 念 の 先 に,疑

隠 れ す る よ う で あ る.   実 際,無

限 と は 何 で あ ろ う か.

リシ ャ以 来 の

問 題 の 解 答

第3講 問  M={1,2,3,4}の

とき

第4講 問1 

M∪N⊃M,Nだ

か ら,L∩(M∪N)⊃L∩M,L∩Nで

N)⊃(L∩M)∪(L∩N).逆 x∈Lで,x∈Mかx∈Nで と で あ る.す

あ り,し た が っ てL∩(M∪

の 包 含 関 係 を 示 す た め に,x∈L∩(M∪N)と あ る.こ

す る.

の こ とはx∈L∩Mかx∈L∩Nと

な わ ちx∈(L∩M)∪(L∩N)と

い って も同 じこ

な り,L∩(M∪N)⊂(L∩M)∪(L∩N)が

い え た.こ の 両 方 の 包 含 関 係 か ら,問 題 に 与 え ら れ て い る 等 式 の 成 り立 つ こ とが わ か る. 問2 

2つ

の 集 合 の 場 合 の 和 集 合 と共 通 集 合 の 元 の 間 の 関 係 と,問1を

この 式 の最 後 の項 は,明 らか に 

用 い て,

で あ る.こ れ で証 明 され た.

第12講 問1 

x∈lim

あ るkが

sup Anと

存 在 し,そ

す る.xは,あ

れ をk2と

x∈Aκ1,x∈Aκ2,…,a∈Aκs,… 無 限 に 多 くのkに   逆 に,無

infAn={x￨あ ={x￨有

あ る.k≧k1+1を

るnが

み たす

様 に し てk1
と な る.

対 し てx∈Aκ

と な る も の が 存 在 しな く て は な ら な い.し 問2 lim

対 しx∈Aκ1で な る.同

と な る も の が 存 在 す る こ とが わ か る.す

対 し,x∈Aκ

限 に 多 く のkに

るk1≧1に

す る と,x∈Aκ2と

を み た せ ば,任 た が っ てx∈1im

存 在 し て,k≧nな

限 個 のAnを

除 く と,残

意 のnに supAnで

る す べ て のkに り の す べ て のAκ

対 し て,k≧nでx∈Aκ あ る. 対 しx∈Aκ} に 含 ま れ て い る}

で

第15講 問  A,Bは

共 通 点 が な い か らAc⊃Bで

あ る.し た が って B⊂Ac⊂M

で, 

か ら, 

が 成 り立 つ.

索

ア

行

引

吸 収 則  66 共 通部 分   17,65,74

Rn  97

極大 元   160

R∞  102

極大 な全 順 序 部分 集 合   163

ア レ フ ・ゼ ロ  27 空 集 合   13,64 1対1写

像  71

偶 数 の集 合  27

1対1対

応  26,71

ク ロネッ カー  176,179

一 般 連 続 体仮 設   170 結 合 則  66 元   2,64

上 へ の写 像  71

―

の個 数   17

大 きい(順 序 数)  120 同 じ順 序 型   122

合 成写 像   72

同 じ濃 度   26 ― を もつ  71

公 理 論 的集 合 論   173 ,84 サ

ω  116 カ 下

行

界   122

最 小 元   122 最 大 元   122 差 集 合   24

下 極 限 集 合  75

3進 展 開  50

可 算 集 合  26 ― の 直積 集 合   34

3進 法  50

―

の 和集 合  31

次   元  99

関  数  75

辞 書 的 順 序  144

カン トル  4,57,58,175

自然 数  6,7 ― の 集 合  7

カン トル集 合   51,54,60

― 基

数   6,151

奇 数 の集 合   27 帰 納 的 順 序 集 合   159 逆 写像   72

の濃 度  27

自然 数 展 開  52 実 ― ―

数  46 の集 合   56 の連 続 性  46

行

写

整 列集 合   124

像  20,26,70,75 上 へ の―

整 列部 分 集 合  124

 71

中へ の―   71 ― の 集 合  78 集

片   133

全

射  71

選 出関 数   153

合   2,64 奇数 の―  偶 数 の―

切

全 順序 集 合   122

27

選 択公 理   153

 27

自然数 の―

 7

実数 の―56

像  70

写 像 の―78

像 集 合  71

整 数 の―

双 対 性  67,68

  27

平 面上 の点 の―

素

 95

無 理数 のつ く る―

数  28

 59

連 続関 数 のつ くる―

タ

  104

集 合 族  73

対 角 線 論法   57

集 合 列  75

代数 的 な 数  41

集 合 論 の逆 理   111

対

10進 法  42

代表 元   153

順

高 々可 算 集 合  29

序  120

行

等  71

順 序 集 合   120

高 々2級 の順 序 数  167

同型 な―

高 々3級 の 順序 数  168

  122

順 序 数   116,142

単

高 々2級 の― 

167

高 々3級 の―  ― の 積   145

168

射   71

小 さ い(順序 数)  120 チ ホ ノフの 定 理   164

の 大小   148

超 越 数  61

―

の和   143

超 限帰 納 法   131

上

―

界  122

上 極 限集 合  75 上

端   158

序

数  6,113,151

超 限 順序 数  116,142 直 積 集合   19,77 可 算 集合 の― 直

 34

和  65,74

真 部 分集 合   13 ツ ェル メ ロ 153 数 直 線  36,46

ツ ォル ン の補 題   158

整 数 の集 合  27

デ デキ ン ト   46

整 列 可能 定 理   149

同型 な 順 序 集 合  122 マ

ド ・モ ル ガン の規 則   67,68

行

交 わ り  18 ナ

行

中 への 写 像  71

無 限 集 合  8,110 無 限 小 数  45

2進 展 開  50

無 限 小 数展 開   43

2進 法  49

無 限 の 生成   168 結

濃

び  17

度  84 ― の 積  85

無 理 数 のつ くる 集合   59

―

の大 小関 係  90

も

―

の比 較 可 能 定理   166

― ―

の ベ キ  86 の和   85 ハ

―

ヤ 行

バナ ッハ ・タル ス キ の定 理   157

比較 可 能 定 理   149

有 限 性 の性 質   163 有 理 数  37 の集 合  38

有 理 点  39

の集 合 が)  64 要

素  2,64

部 分集 合   12,13,65 ― の個 数  22 分

行

有 限 集合   8

―

等 しい(2つ

の  2 の集 り  1

数   37

分配 則  66

ラ

行

連 続 関数   103 ― のつ くる 集合   104 連 続体 仮 設   170

平 面上 の点 の集合   95

連続 体 の濃 度  58

ベ キ集 合   14,65,80

連 分数   62

―

の濃 度  107 ワ

ベ ル ン シ ュ タ イン の定 理   91 和 集 合  17,65,74 補 集 合  67

可 算集合 の―

 31

行

著 者 志

賀 浩

二

1930年  新 潟市 に生 まれ る 1955年  東 京大学 大学院 数物 系数学科 修士 課程修 了 現 在  東 京工 業大学 名誉教 授 理 学博 士

数学30講 シ リー ズ3 定価 は カバーに 表示

集 合 へ の30講 1988年5月20日 2008年3月10日

  初 版 第1刷  

第19刷

著

者  志

賀

浩

二

発 行 者  朝

倉

邦

造

株式 発 行 所  会社

朝 倉

書 店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵

便

電

話 03(3260)0141

FAX 

〈 検 印省 略〉 C1988〈 ISBN

号  162-8707

O3(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 978-4-254-11478-2 

番

新 日本 印刷 ・渡 辺 製 本 C3341

Printed

in

Japan