物理学30講シリーズ6 戸 田盛和 著
電磁気学30講
朝倉書店
は
し
が
き
本 書 で は,電 気 と磁気 に 関 す る基 本 的 な現 象 か らは じめ て,で
きる だ け統 一 的
で簡 潔 な電 ...
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物理学30講シリーズ6 戸 田盛和 著
電磁気学30講
朝倉書店
は
し
が
き
本 書 で は,電 気 と磁気 に 関 す る基 本 的 な現 象 か らは じめ て,で
きる だ け統 一 的
で簡 潔 な電 磁 気 学 の 解説 を試 み た. 電 流 の 磁 気 作 用 や 電 流 ど う しの相 互 作 用 を調 べ た ア ンペ ー ル は,こ れ らを遠 隔 作 用 と して 把 えた 数 学 的 理 論 を構 築 したが,そ の 後 間 もな くフ ァ ラデ ー は電 磁 誘 導 な どの 現 象 を発 見 し,電 磁 現 象 を広 く説 明 す る電 磁 場 の概 念 を導 入 した.電 磁 場 の理 論 はマ クス ウ ェル の 電磁 気 学 と して 完成 され,さ
らに ヘ ル ッ,ロ ー レン ッ
を経 て,ア イ ン シ ュ タ イ ンの特 殊 相 対 性 理 論 へ とつ な が る の で あ る. 本 書 は 3つ の 部 分 で構 成 す る考 え で執 筆 した.そ の 第 1の部 分 で は,主 に真 空 中 の 電 磁 現 象 を扱 う.電 磁 場 の基 本 的 な あ り方 は,物 質 の な い真 空 中 の 場 で あ り,電 場E と磁 場 H とで 記 述 さ れ る.複 雑 さ を避 け る た め,真 空 中 の 電 束密 度 D=ε0Eと
磁 束 密 度B=μ0Hと
は,原 則 と して 用 い な か っ た が,ロ
ー レ ン ツ力
の記 述 で は慣 用 に した が って 磁 束密 度 を使 った.磁 荷 や双 極 子 な どの説 明 も含 め た の で,こ の 第 1の 部 分 は 予 定 よ り も長 くな った き らい が あ る. 第14講
に は じま る 第 2の部 分 で は,電 気 力線 と磁 気 力 線 の束,す
管 と磁 力 管 に よ る圧 力 と張 力(マ ら解 説 した.そ
クス ウ ェ ルの 応 力)を,具
な わ ち電 力
体 的 な例 を挙 げ なが
して 次 に,こ れ を用 い てマ クス ウ ェル の 電磁 場 の 方 程式 を導 入 す
る.こ の ときニ ュ ー トン力 学 の アナ ロ ジ ーか ら,運 動 量 の 時 間 的 変化 が力 に等 し い こ とを用 い る. 電 磁 場 の運 動 量 は,次 の よ う に量子 論 の簡 単 な知識 を援 用 す れ ば理 解 しやす い と思 う。 量 子 論 に よれ ば,光(電
磁 波)は 光 子 とい う粒 子 の 流 れ で あ り,光 子 の
運動 量 をp,光 速 度 を cとす る と,そ の エ ネル ギ ー はcpで あ る.光 の平 面 波 のエ ネ ル ギ ー 密 度 は(ε0E2+μ0H2)/2=ε0E2=μ0H2=√ε0μ0EHで
あ る か ら,光 の 運
動 量 密 度 をgemと す る と,比 例 関 係p:cp=gem:√ε0μ0EHが
成 り立 つ.こ
c=1/ε0μ0な
とH お よび光の進
の でgem=√ε0μ0EH/c=ε0μ0EHと
な る が,E
こで
行 方 向 は た が い に 垂 直 な の で,運
動 量 密 度 の ベ ク トル と してgem=ε0μ0E×H
を得 る.こ の式 を用 いて 第16講 で はマ ク ス ウ ェル の 方 程式 を導 き,次 の 第17講 で エ ネル ギ ー保 存 則 とエ ネル ギ ー の流 れ(ポ イ ンテ ィン グ ・ベ ク トル)を 扱 う. 第18講 以 下 の 第 3の部 分 は,い わ ば 電磁 気 学 の 応 用 で あ る.こ こ で は物 質 内 の 電磁 場,誘 電 体,光 の圧 力,光
の反 射 と透 過,な
シ ャル,荷 電 粒 子 に よる 電磁 波 の 輻 射,ト
ど を扱 い,さ
らに遅 延 ポ テ ン
ム ソ ン散 乱 と レイ リー散 乱,電 磁 場 の
ゲ ー ジ 変換 な ど も解 説 した. 上 に も述 べ た よ う に,量 子 論 を援 用 す る と古 典 的 な事 柄 が か え って わ か りや す くな る こ とが しば しば あ る.古 典 物 理 学 の 面 白 さの 1つ は,量 子 論 や 相対 論 との 間 に こ の よ うな関 係 が見 出 さ れ る こ とで あ る.さ らに電 磁 気 学 に は,高 速 で運 動 す る観 測 者 に対 す る光 の伝 播 や電 磁 場 の 変 換 則(ロ ー レ ンツ変 換)の
よ うに,相
対 性 理 論 に直 接 結 び つ く問題 もあ り,ま た,光 の放 出 ・吸 収 の 問 題 の よ うに量 子 力 学 の発 端 と な った もの もあ る.こ れ らは 本書 に続 く,こ の シ リーズ の テ ー マ で あ る. な お本 書 の 執 筆 に あ た って は,い
くつ か の 本 を参 考 に させ て い た だ い た.こ
に今 井 功 著 『 電 磁 気 学 を考 え る』(サ イ エ ン ス社,1990)に
と
は,統 一 的 な 観 点 の
重 さ に関 して 教 え られ る こ とが 多 か った. 本 書 の 出 版 に 際 してい ろい ろ お 世話 に な った朝 倉 書 店 の 方 々 に厚 くお礼 を 申 し 上 げ た い.
1996年
9月
著
者
目
次
第
l 講 電 荷 と静 電 場
Tea Time:電
1 気 の正 と負 7
第 2 講 電 荷 の保 存 Tea Time:電 第 3 講 電 場 と電 荷div Tea Time:静
9 子 はす べ て同 じ 14 E=ρ/ε0
16
電 誘 導 20
第 4 講 電 荷 に は た ら く力 Tea Time:力 第 5 講 静
電
22
と電 磁 作 用 25
場
Tea Time:キ
26 ャベ ン デ ィ ッシ ュ 34
第 6 講 静 電 場 は 渦 な し の 場rot
Tea Time:微
E=0
第 7 講 磁 場 とロ ー レ ンッ力 Tea Time:ロ
49
ァラデ ー とゼ ーマ ン効 果 56
第 9 講 ビ オ-サ バ ー ル の 法 則 第10講
Tea Time:電
Tea Time:水
59
気 と磁 気 61
真 空 中 の 磁 場div
42
ー レン ツ 46
第 8 講 電 磁 場 の 中 の運 動 Tea Time:フ
35
分 法 則 と積 分 法 則 40
H=0
の 流 れ の アナ ロ ジ ー 67
63
第11講
静 電 場rot H=i Tea Time:磁
第12講
磁
102
111
存則 114 115
ーモアの反磁性 と原子 の大 きさ 122 124 石 の磁 力 線 127
誘 電 体 と導体 Tea Time:分
96
クス ウ ェ ル 109
不 連 続 面 Tea Time:磁
第20講
動量 101
物 質 中 の 電 磁場 Tea Time:ラ
第19講
ァ ラデ ー の力 線 93
エ ネ ル ギ ー保 存 則 Tea Time:保
第18講
89
マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 Tea Time:マ
第17講
82
ン ツの 法則 87
電 磁 場 のエ ネル ギ ー Tea Time:運
第16講
石 の お もち ゃ 80
電 気 力 線 の応 力 Tea Time:フ
第15講
76
円 電 流 と磁 気 双 極 子 Tea Time:レ
第14講
気 と渦 74
荷
Tea Time:磁 第13講
69
128 極 率 と分 子 の 大 きさ 137
第21講
分極 の具 体 例 Tea Time:誘
第22講
Tea Time:光
165
波 の 発 見 と利 用 173 174
年 177 179 ェ レ ンコ フ放 射 183 184 質 中の 光 速 186 188 ー ジ不 変 性 194
ラグ ラ ンジ ュ形 式 Tea Time:数
索
射 防 止 膜 164
種々のゲージ Tea Time:ゲ
第30講
160
電磁 波 の散 乱 Tea Time:物
第29講
の 圧 力 158
電磁 波 の輻 射 Tea Time:チ
第28講
152
遅延 ポ テ ン シ ャ ル Tea Time:光
第27講
単 な ラ ジ オ 150
導体 中の 電 磁 波 Tea Time:電
第26講
145
反 射 と透 過 Tea Time:反
第25
光 と電 磁 波
第24講
電 率 の カ タス トロフ ィー 143
コ ン デ ンサ ー と イ ン ダ ク タ ン ス Tea Time:簡
第23講
139
引
196
学 的 実 在 201
203
第 1 講
電 荷 と 静 電 場
―テー マ
◆ 電 流,電
気量 の単位
◆ 電 位差 ◆Tea
Time:電
気 の正 と 負
電流の単位 基 本 単 位 は m,kg,s(秒)と
電 流 の 単 位 ア ンペ ア(A)で
あ り,MKSA単
位
系 とい う.磁 場 も含 め て,電 磁 気 学 で 用 い られ る諸 単 位 はす べ て これ らか ら導 か れ る. 【 電 流 の単 位 ア ンペ ア 】 平 行 に 張 っ た 2本 の 導 線 に 平 行 な 電 流 を 流 す と,導 発 力(斥
線 の 間 に引 力 また は反
力)が
は た ら く(図
1).
電 流 の単 位 は こ の力 を も とに して 決 め ら れ て い る.1mの
間隔で真
空 中 に平 行 に張 っ た無 限 に長 い 2 本 の 導 線 に 同 じ大 き さ の 電 流 が 流 れ て い て,こ
の 導 線 の1mあ
に は た ら く力 が2×10-7ニ
た り ュー ト
図 1 電 流 の 間 に は た ら く力
ン(N)で
あ る と き,こ
の 電 流 は 1ア ンペ ア(A)で
あ る.こ
れ が 電 流 の単 位 ア
ンペ ア の 定 義 で あ る. 実 際 に は,無 流 を 流 し,コ
限 に 長 い 導 線 は あ り得 な い か ら,平
行 に お い た 2つ の コ イ ル に 電
イ ル の 間 に は た ら く力 を 測 定 す る.な
お 電 流 の 間 に は た ら く力 に つ
い て は 第 9講 で 詳 し く述 べ る.
電荷 と電場 あ る 導 体 に1Aの (電気 量)を
電 流 が 流 れ て い る と き,1 秒 の 間 に 導 体 の 断 面 積 を 通 る 電 荷
1ク ー ロ ン(C)と
い う.す
な わ ち 1ク ー ロ ン=1
ア ン ペ ア ・秒,あ
るい は
(l)
【ク ー ロ ン の 法 則 】 真 空 中 に お い た 2つ の 電 荷 の 間 に は,そ q2の 積 に 比 例 し,電
れ ら の 電 気 量q1,
荷 の 間 の 距 離r の 2乗 に 反 比 例 す る 力 が は た ら く.こ
れ を
ク ー ロ ン の 法 則 と い う。 こ の 力 の 大 き さ を F ニ ュ ー ト ン と す れ ば
(2)
こ こで (2')
で あ る.ま
た
(2")
と お く と き, (3)
これ を真 空 の 誘電 率 とい う(第20講
参照).
電 荷 に はプ ラス とマ イ ナ ス の 2種 類 が あ る.同 符 号 の電 荷 の 間 に は反 発 力(斥 力)が は た ら くが,こ
れ は 上 式 でF>0の
場 合 で あ る.異 符 号 の電 荷 の 間 に は引
力 が は た ら き,引 <0で
力 の 場 合 はF
あ る.F>0は
2つ の 電 荷
の距 離 が 増 す 向 き に力 が は た ら く こ と を 意 味 し,F<0は
この距離
が減 る向 き に力 が は た ら くこ とを 意 味 して い る(図
図 2 電荷 の 間 に は た ら く力 2).
【電場 】 静止 させ た電 荷 に力 が はた ら く場 所 を電場(電 界)と い い(いまは重 力 な ど の電 気 的 で な い力 は 考 え ない こ とにす る),こ の と きの 力 を静 電 的 な 力 と い う.一 般 的 に い う と,電 荷 を も ち込 め ば,ま わ りの物 体 の 中で 電 気 の 移 動 が 生 じて そ の た め に電 場 が 変 化 す る.し か し十 分小 さな電 荷 な らば,そ の よ うな 変 化 は無 視 で きる ので,十 分 小 さな 電 荷 を使 って電 場 の様 子 を調 べ る こ とが で きる. この た め に も ち込 む電 荷 を qクー ロ ン とす れ ば,q は 十 分 小 さ くな けれ ば な らな い.こ の電 荷 に は た ら く電場 の 力 は qに比 例 し,電 荷 を移 動 させ る に要 す る仕 事 もqに 比例 す る. 仮 に こ の 比 例 関 係 が,q
を 1ク ー ロ ン に し て も 保 た れ る と 考 え,以
下 で は 1
ク ー ロ ンの 電 荷 の 単 位 に し て 電 場 の 強 さ な ど を 定 義 して い く こ と に し よ う.
電 あ る 点 か ら他 の 点 へ1Cの あ る と き,こ (電位 差)が
電 荷(単
場 位 電 荷)を
運 ぶ 仕 事 が 1 ジ ュ ー ル(J)で
れ ら の 2点 の 間 に は 1ボ ル ト(V)の あ る と い う.電
圧,起
電 位(ポ
テ ン シ ャ ル)の
差
電 力 に つ い て も 同 じ定 義 が 用 い ら れ る.こ
れ
は, (4)
と書 く こ とが で き る. 【 電 子 ボ ル ト】 電 子 1個 の 電 荷 の 絶 対 値 を e(電 荷 の 素 量)と
書 く.電
子 の電
荷 は マ イ ナ スで あ って (5)
で あ る.1Vの
電 位 差 の あ る 2点 の 間 に 電 子 を 運 ぶ 仕 事 を 1電 子 ボ ル ト と い い,
leVと
書 く.そ
の 大 き さは (6)
で あ る.1Vの
電 圧 で 電 子 を加 速 す れ ば,電 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は1eVだ
け増
す こ とに な る. 【電場(電
界)と 電 位 】 プ ラス の電 荷 は電 位 の低 い 方 へ 向 く力 を受 け る(マ イ
ナ ス の 電 荷 は電 位 の高 い方 へ 向 く力 を受 ける).プ
ラ ス の電 荷 に対 して電 位 は重
力 の場 の高 さ の よ うに考 えて よ く,場 所 に よ る電 位 の 変 化 の 割 合 は斜 面 の勾 配 に た と え る こ とが で きる(図3).電
位 の 勾 配 が あ る場 所 を電 場(電
界)と
い う.
電 場 にお い た電 荷 は電 場 の た め に 力 を 受 け る.距 2点 間 に1Vの
離lmの
電 位差 があ る
よ う な 一 様 な 電 場 に1Cの 荷 を お く と,こ
れ に は1Nの
力 が は た ら く.こ
の と き,電
場 の 強 さ は1V/mで い う.電
電
あ る と
場 の 強 さ がE(V/m)
の と こ ろ に 電 荷q(C)を
お く
図3 電位 差Vと 勾 配 と き,こ (N)と
れ に は た ら く力 をF
すれば (7)
と な る.こ 2点1,2の で あ る.ま
れ は 電 場 の 強 さEの
定 義 式 で も あ る.
電 位 を そ れ ぞ れ φ1,φ2と す れ ば,こ た,た
れ ば 電 場 の 強 さEは
と え ばx方
れ ら2点
間 の 電 位 差 は φ2―φ1
向 に 電 位 が 変 わ っ て い る と き,こ
れ を φ(x)と
す
φの勾 配 (8)
で 与 え ら れ る.位 は
置x、 とxzに
お け る 電 位 を そ れ ぞ れ φ1,φ2と す れ ば,電
位差
(9) と な る. 電 位 を ポ テ ン シ ャ ル と い う こ と も あ る.
【ク ー ロ ン場 】 電 荷 の まわ りには 電 場 が あ る.1 つ の点 電 荷 qが 静 止 して い る と き,こ れ か らrの 距離 に お け る 電場 の強 さは
(10) で あ る.こ
こ に 他 の 点 電 荷q'を
お け ば,こ
れ に は た ら く力 の 大 き さ は
(11) と な り,こ
れ は ク ー ロ ン の 法 則 に ほ か な ら な い.
点 電 荷 の ま わ り の 電 位 は,無
限 遠 の 電 位 を 0 と して
(12) で 与 え ら れ る.な
ぜ な ら ば,こ
の 場 合,電
場 の 強 さは
(13) とな り,こ れ は上 に述 べ た ク ー ロ ン場 と一 致 す る か らで あ る.点 電 荷 の ま わ りに は球 対 称 の 電場 が あ る.こ れ を 2次 元 的 に表 す と図 4の よ う に な る.こ の 図 で 高 さは電 位 を表 し,平 面 上 の点 は空 間の 位 置 を表 す.
正 の電 荷(q>0)
負 の電 荷(q<0)
図 4 点 電 荷 に よ る電 位 の様 子
【ベ ク トル場 と して の 電 場 】 多 くの 電 荷 が空 間 内 に分 布 し て い る よ うな と き は,電 場 の 向 き は各 点 に お い て異 な る.こ の場 合 に も電荷 qをお い た と きこ れ に
は た ら く力 の ベ ク トル を F と す る と き,電
場 の 強 さ(ベ
ク トル)E
は
(14) に よ って 定 め ら れ る.各 点 に お け る電 場 E の ベ ク トル を つ らね た線 を電 気 力 線 と い う.電
気 力 線 は+電
は 無 限 遠 か ら 来 て-電
荷 か ら 出 て-電 荷 に 入 る(図
( a)
荷 に 入 る か,無
るい
5).
(b)
q>0
限 遠 へ 行 くか,あ
(c)
q<0
図 5 点 電 荷 の まわ りの 電 場
単 位 系 に つ い て 磁 石 の 近 くで 電 流 を 流 す と磁 石 は 電 流 に 垂 直 に な ろ う と し て 動 く.電 を つ く る か ら で あ る.こ
れ を も と に して 電 流 の 単 位 を決 め る こ とが 提 唱 さ れ,こ
れ が 発 展 して 現 在 の ア ン ペ ア の 定 義 に な っ た の で あ る.そ
して 1ア ン ペ ア の 電 流
が 1秒 間 に 運 ぶ 電 気 量 と し て 電 気 量 の 単 位 ク ー ロ ンが 定 め ら れ る.こ て い るMKSA単
流 が磁 場
位 系 は,し
の 本 で用 い
た が っ て 電 流 の 磁 気 作 用 を 基 礎 と して い る.
他 方 で 静 電 的 な クー ロ ンの 法 則 を基 礎 と した単 位 系 を用 い た 本 が む か しは多 か っ た.こ
れ を 静 電 単 位(esu)系
用 い る.真
空 中 に 距 離1cmを
が 1 ダ イ ン で あ る と き,こ
と い う 。 こ の 単 位 系 で はcm,g,s(CGS)を
隔 て て お い た 2つ の 等 量 の 電 荷 の 間 に は た ら く力 の 電 荷 を1esuの
電 荷 と す る の で あ る.ク
ー ロ ン との
間には
(15) の 関 係 が あ る. こ こ で3×109と
い う 数 値 は 光 の 速 さ と 関 係 が あ る.こ
さ れ る が,μ0=4π
×10-7N/A2と
い う量 を 用 い て,光
れ は 第23講
で 明 らか に
の 速 さ c はc=1/√μ0ε0で
与
え ら れ る.ク =8
ー ロ ン の 法 則 に 現 れ たk0はk0=1/4π
.99×109の8.99はc=2.99…
ε0=10-7/μ0ε0な
×108m/sのc=2.99…
の で,数
値k0
の 2 乗 で あ る.
(16) は,光
の 速 度c≒3×108m/sを
与 え る.い
距 離 に お い た と す る と,ク
ま1Cの
電 荷 を 2 個,1cm=10-2mの
ー ロ ン 力 は(1N=105ダ
イ ン)
(17) こ れ は√8.99×109esuの い.し
た が っ て,1
esuは,k0=1と ギ ー にesuを -e2/rと
電 荷 が1cmの
距 離 を隔 て て お か れ た と き の力 に等 し
ク ー ロ ン は√8.99×109esu=3×109esuで お い た 電 気 量 が 単 位 で あ る.量
用 い る こ と が 多 く,た
書 くが
,MKSA単
子 力学 な どで は静電 エ ネル
とえ ば 陽子 と電 子 の相 互 作 用 の エ ネ ルギ ー を
位 系 で 書 け ば-k0e2/rで
あ る.
Tea
あ る.
Time
電 気 の 正 と負 電 気 に は 正(プ い.磁
イ ナ ス)の
2種 類 が あ る が,第
3の 種 類 は な
気 に も N 極 と S極 の 2種 類 が あ り,第
ラ ス)と
負(マ
3の 種 類 は な い.こ
れ は あ た り前
な よ う で 不 思 議 で も あ る. 異 な る 物 を こ す り合 わ せ る と,い は 引 き合 っ た り,反
わ ゆ る 電 気(静
電 気,摩
発 し合 っ た りす る こ と が あ る.ま
北 を 指 す 不 思 議 な 石 の 存 在 も 古 く知 ら れ て い た.電
擦 電 気)が
生 じて 物
た 鉄 を 引 きつ け る磁 石,南 気 と磁 気 と は 明 ら か に 異 な
る. 16世 紀 に イ ギ リ ス の エ リ ザ ベ ス 1世 の 侍 医 で あ り,科 ト(W.Gilbert,1544−1603)は 象 を エ レ ク トロ ン と呼 ん だ.こ
コ ハ ク(琥
珀)な
学 者 で あ っ た ギ ルバ ー
ど を こ す る と物 を引 き つ け る 現
れ は ギ リ シ ャ語 で コ ハ ク を 意 味 す る 言 葉 で あ る.
18世 紀 に な る と フ ラ ン ス の 科 学 者 デ ュ フ ェ イ(C.F.C.Dufay,1698−1739)は, ガ ラ ス を絹 で こす っ た と き に ガ ラ ス に 生 じる 電 気 と コ ハ ク を 毛 布 で こ す っ た と き に コ ハ ク に 生 じ る 電 気 を 区 別 し,前
者 を ガ ラ ス 電 気,後
者 を 樹 脂 電 気 と 呼 ん だ.
電 気 の 2流 体 説 で あ る.こ
れ に 対 し ア メ リ カ の フ ラ ン ク リ ン(B.Franklin,
1706−1790)は 電 気 の 1流 体説 を唱 え た.ち が う物 を こす った と き,一 方 の物 が もつ 電 気 が他 方 の物 へ 移 る こ と に よ って,一 方 の物 は電 気 を余 分 に もち,他 方 の 物 は電 気 が足 りな い状 態 に な る.電 気 を余 分 に もっ た物 ど う しや 電気 の足 りな い 物 ど う しは反 発 し合 い,電 気 を余 分 に もつ 物 と足 りな い物 と は引 き合 う とい う説 で あ る.こ れ も説 得 力 を も って い る. 電 気 に 2種 類 あ る と い う こ とが確 実 に わ か っ たの は,物 質 が負 の電 気 を もつ 電 子 と,正 の電 気 を もつ 陽 子(あ る い は原 子 の 中心 にあ る原 子核)の か らで きて い る こ とが 実 験 的 に 明 らか に な った 時 で,こ
2種 類 の粒 子
れ は19世 紀 の終 りか ら
20世 紀 の 初 め の 頃 の こ とで あ る. フ ラ ンク リ ンは ガ ラス の摩 擦 電 気 は電 気 を余 分 に もつ状 態 で あ る と考 え,こ れ をプ ラ ス電 気 と呼 び,コ ハ クの摩 擦 電 気 は電気 の足 りな い状 態 で あ るか らマ イ ナ ス電 気 と呼 ん だ.こ の よ うに して 定 義 され た プ ラス 電気 とマ イ ナ ス電 気 と を陽子 と電 子 に あ て はめ たの で,電 子 は マ イ ナ ス,陽 子 は プ ラス の 電 気 とい う こ と に な っ た の で あ る(も
し も フ ラ ンク リ ンが プ ラ ス とマ イ ナ ス を逆 に定 義 して い た
ら,電 子 は プ ラス,陽 子 はマ イナ スの 電気 を もつ とい うこ とに な るが,こ れで も い っ こ う差 支 えな い).電 子 の電 気 が マ イナ ス と され た の は い わ ば偶 然 で あ る. 磁 気 に つ い て は,マ グ ネ シ ア とい う鉄 を引 きつ け る性 質 の あ る石 を吊 るす と, 地球 の北 極 を指 す こ とか ら,こ の 磁 極 を N 極 と呼 び,反 対 の 磁 極 を S極 と呼 ぶ よ うに な った の で あ る.静 電 気 と磁 石 とは似 た点 もあ るが,磁 気 の原 因 は む しろ 電 流 で あ る.
第2 講 電 荷 の 保 存
―テー マ ◆ 電 荷 の 保 存 の 式(連
続 の 方 程 式)
◆ ガ ウスの積 分定 理 ◆Tea
Time:電
子 はす べ て 同 じ
電流と電荷の運動 時 間 的 に 変 化 し な い電 流 を定 常電 流 とい う.定 常 電 流 が 流 れ て い る部 分 の定 まった 領 域 に 単 位 時 間 に 入 り込 む電荷 の量,す
な わ ち電 流 の 総 量 は,こ こか ら出
て行 く電 流 の 総 量 に等 し くな けれ ばな らな い.定 常 電 流 の 流 れ て い る領域 の どの 部 分 にお い て も新 た に電 荷 が 生 じた り,消 え た りす る こ とが な い か らで あ る.こ れ は も と も と実験 的 に示 され た こ とで あ るが,電 流 が 電 子 な どの 電荷 を も った物 質粒 子 に よ る もの で あ る こ とを認 め れ ば 当然 の こ と とい え る.定 常 電 流 は定常 な 水の 流 れ の よ う に考 え る こ とがで き る. 電 流 の 向 き に垂 直 な 単 位 面積 を単 位 時 間 に通 過 す る電 荷 量 を電 流 密 度 とい う. これ は電 流 の 向 き に よ り,電 流 の大 き さに 比例 す る長 さを もっ たベ ク トル矢 と考 え る こ とが で き る.位 置χ に お け る電 流 をi(χ)で 表 し,そ のx,y,z成 分 を,ix (χ),iy(χ),iz(χ)とす る. 図 6の よ うに小 さな 直方 体(x∼x+Δx,y∼y+Δy,z∼z+Δz)を
と り,単 位
時 間 に 出 入 りす る 電 荷 を 計 算 す る,ま
ず,直
体 の 位 置x に あ る 面 積 はΔyΔzで あ り,こ 垂 直 な 電 荷 の 流 れ はix(x,y,z)△y△zで ま た,位
置x+Δxに
方 れに
あ る。
あ る面 を 通 っ て 直 方 体 か
ら 出 て 行 く電 荷 は 単 位 時 間 にix(x+Δx,y,z)
図 6 電流密度
Δ yΔzで あ る.し
た が っ てx 軸 に 垂 直 な 2つ の
面 に つ い て は,直
方 体 か ら 出 て 行 く電 荷 は 差 し
引 き (1)
で あ る,同
様 にy 軸 に 垂 直 な 2つ の 面 に つ い て は(∂iy/∂y)ΔxΔyΔzの
出 が あ り,z 軸 に 垂 直 な 2つ の 面 に つ い て は(∂iz/∂z)ΔxΔyΔzの る.し
か し,定
常 電 流 で は 直 方 体ΔxΔyΔzか
で な け れ ば な ら な い.し
電荷 の流
電荷の流出があ
ら の 電 荷 の 流 出 は,全
体 と して 0
たが って (2)
で な け れ ば な ら な い.一
般 に ベ ク トル 場X
に対 して (3)
と 書 き,こ
れ をdiv(ダ
イ バ ー ジ ェ ン ス),あ
る い は 発 散 と呼 ぶ.こ
の記 号 を用
い れ ば 定常 電 流 の保 存 則 は (4)
と書 か れ る.
連続の方程式 次 に,電 流 が 時 間 的 に変 わ る場 合 の 電 荷 の 保 存 則 に つ い て考 え よ う.前 節 と 同 様 に空 間 に定 まっ た小 さ な直 方 体 の 領 域(x∼x+Δx,y∼y+Δy,z∼z+Δz)を とる と,こ こに単 位 時 間 に入 り込 む電 荷 の 量 は (5)
で 与 え ら れ る.こ
こ で マ イ ナ ス記 号 を つ け た の は,こ
行 く電 荷 の 量 が,前
節 の 計 算 に よ り,divi・ΔxΔyΔzで
の 領 域 か ら単位 時 間 に 出て あ っ た の に 対 し,こ
は 逆 に 入 り込 む 電 荷 の 量 を 問 題 に し て い る か ら で あ る.ま は,電
流 は 時 間 に も よ る の でi(χ,t)と
く と,こ
な わ ち 電 荷 密 度 を ρ と す る と,領
の 電 荷 の 量 はρΔxΔyΔzと な る.電
xの 関 数 で あ る と 同 時 に,一
た 定常 電 流 で な い と き
書 い た.
こ の 領 域 に お け る 単 位 体 積 の 電 荷 の 量,す 域ΔxΔyΔz内
こで
荷 密 度 は 領 域 の あ る 場 所x,y,
般 に 時 間t の 関 数 で あ る か ら,こ
れ を ρ(χ,t)と 書
の領 域 内 の電 荷 の時 間 的増 加 の割 合 は (5')
で あ る.こ れ は こ の領 域 に単 位 時 間 に入 り込 む電 荷 に等 し くな け れ ば な らない か ら (5")
した が っ て
(6)
を得 る.こ れ が電 荷 の保 存 則 で あ る.電 流 を水 の 流 れ にた とえ れ ば,こ れ は水 量 の 保存 則 で あ り,途 中で 消 えた り生 じた り しない(湧
口や 吸 込 み 口 が な い)水 の
連 続 した流 れ を表 す ので,し ば しば連 続 の 方 程 式 と呼 ば れ る.
ガ ウ スの積 分 定 理 電 磁 気 学 で は,電
場,磁
場,電
な わ ち ベ ク トル 場 を 扱 い,ベ
流 な ど の よ う に 各 点 で 与 え ら れ る ベ ク トル,す
ク トル 場 に つ い て の 積 分 が よ く用 い ら れ る.こ
しば し ば 使 わ れ る 積 分 定 理 に,ガ
ウ ス の 定 理 と ス トー ク ス の 定 理 と が あ る.ス
トー ク ス の 積 分 定 理 は 後 に 第 6講 に お い て 述 べ る こ と と し,こ 分 定 理 に つ い て 述 べ よ う(な 3講 参 照),ま い ま,位 V,表
の際
こで は ガ ウ スの 積
お 電 場 に 関 す る ガ ウ ス の 法 則 と い う の が あ っ て(第
ぎ ら わ し い か ら混 同 し な い よ う に 注 意 し な け れ ば な ら な い). 置χ の 関 数∫(χ)のx
面 積 Sの領 域 で積 分 す る と
に 関 数 す る 微 分 ∂f/∂xを 考 え て,こ
れ を体積
(7) と な る.こ
こ でa,b
は 図7(a)の
よ う に,(y,z)を
一 定 に 保 っ た と き の,領
域
Vに お け るx の 下 限 と上 限 で あ る.
(a)
(b)
図 7 ガ ウス の 積 分定 理
xの上 限 にお い て 曲 面 Sの 法 線 を(領 域V の 外 へ 向 け て)立
て,こ れ がx 軸
とな す 角 を α とす れ ば (8) と な る.こ
こ でdSは
図 7の よ う に 断 面 積dydzの
る.x の 下 限 に つ い て はx=aの z)とf(a,y,z)は
場 合,α
曲 面 上 の 点x,y,z
角 柱 が 曲面 S を切 る 面 積 で あ
> π/2, cosα <0と な る.ま に お け るfの 値 で あ る.こ
た,f(b,y, れ らの こ と を
考 慮 す れ ば(dV=dxdydz) (9)
と書 くこ とが で きる.こ の 式 は領 域V が 図7(b)の よ うに 凹 凸 を もつ 場 合 で も成 立 す る.こ の 場 合 に も左 辺 は 全 領 域V に わ た る 体積 積 分 で あ り,右 辺 は この 領 域 を囲 む閉 曲面 全 体 にわ た る面 積 分 で あ る.
f
同 様 に して,閉 曲面 Sの 外 向 きの法 線 がy 軸 と なす 角 を β とす れ ば (9')
で あ り,法 線 がz 軸 とな す角 を γとす れ ば (9")
と な る.こ
れ らの公 式 を ガ ウス の 定 理 とい う。
(x,y,z)と
し て ベ ク トル X のx 成 分Xx,y
記 の 3式 を書 き,こ
成 分Xy,z
成 分Xzを
と って 上
れ らの 和 を つ く る と ガ ウ ス の 定 理 は
(10) と な る.こ
こ で 曲 面dSの
外 向 き の 法 線 をn と す る と き,n
の 成 分 は(cosα,
cos β, cosγ)で あ る か ら
(11) で あ る.こ
こ でX・nは
ち X の 法 線 成 分Xnに
X とn の 内 積 で あ り,こ 等 し い.ま
れ はn 方 向 の X の 成 分,す
た 上 の 積 分 の 左 辺 はdivXの
なわ
積 分 で あ る.し
た
が って
(12) と な る.こ
れ も ガ ウ ス の 積 分 定 理 と呼 ば れ て い る.と
ク トル を と っ て そ の 大 き さ をf(x,y,z)と
くに X と し てx 方 向 の ベ
す れ ば(12)は(9)を
にy 方 向,z 方 向 の ベ ク トル に 限 定 す れ ば(9'),(9")が
与 え,同
様
与 え ら れ る.
ガ ウ スの定 理 と連 続 の方 程 式 ガ ウ ス の 定 理(12)に
お い て,ベ
ク トル X を電 流i に と れ ば
(13) とな る.こ こ で ∫sindSは 領 域V か ら単 位 時 間 に外 へ 出 て 行 く電荷 に等 しい が, 領 域V の 電 荷 は∫ρdVで
あ るか ら
(14) した が って 電 荷 の保 存則 は
(15) と書 け る.こ こで 領 域V は任 意 で あ る か ら(微 小領 域 と して も よい),任 意 の位 置で
(16) が 成 立 す る こ と に な る.こ の よ う に ガ ウス の定 理 とい う数学 的 な 道具 を使 え ば, 直 観 にあ ま りた よ らず に電 荷 の 保存 則 を導 くこ とが で き る((6)を
導 い た方 法
と比べ て み る と よい).
Tea
Time
電 子 は すべ て同 じ 古 代 ギ リ シ ャの原 子 論 で は,同 じ性 質 を もつ 元 素 の 原 子 は す べ て 同 じで あ る と い う考 えで あ っ た.電 子 が 発 見 され た と き,ど の よ うな 物 質 の 電 子 もす べ て 同 じ で あ る とい うこ とが す で に認 め られ た の は,こ の よ うな 原 子 論 の 歴 史 が そ の 底 に あ った か らであ ろ う. 電 子 が すべ て 同 じとい う こ とは,電 子 の電 荷,質 量,磁 気 モ ー メ ン トな どが, す べ て の電 子 につ い て 同 じで あ る とい うこ と に よ って認 め られ る.も
し も異 な る
性 質 を もつ 電 子 が 見 つ か った とす れ ば,電 子 は 1種類 で は な い こ とに な っ て し ま うが,そ の よ う な こ とは 見 出 され て い な い とい うこ とで あ る. 考 え てみ れ ば 不 思 議 な こ とで あ る.世 の 中 に 同 じ人 は 2人 と い な い し,詳 し く 見 れ ば皿 で も椅 子 で も ま った く同 じ物 は 2つ と存 在 しな い.こ れ は世 の 中で 絶 対 的 な正 しさ を もつ真 理 で あ る.そ れ に もか か わ らず,電 子 は どの 電 子 もま った く 同 じで あ り,陽 子 は どの 陽子 も まっ た く同 じで あ る と され る,こ れ は,同
じ元 素
の原 子 はす べ て 同 じて あ る とす る古 代 か らの考 え方 の 流 れ に沿 う もの で あ る(し か し原 子 の 方 は 同位 体 が 一 般 に何 種 類 もあ る ので,古 代 か らの 考 え 方 は 正 し くは なか った). 電 子 は どの電 子 も同 じで ま った く区 別 がつ か ない とい う こ とは,量 子 論 的 な考
え方 に一 致 して い る.古 典 物 理 学 で は基 本 粒 子 ど う しで も,何 らか の 方 法 に よ っ て 区別 で きる と考 え て い る.こ こで も,古 典 物 理 学 と量 子 力 学 との 間 に は 大 き な 本 質 的 な違 い が あ る わ けで あ る. しか しマ ク ロ的 な電 磁 気 学 で は,こ の ちが い は 問 題 に な ら ない よ うに思 え る.
第3講
電 場 と電 荷divE=ρ/ε0
―テー マ ◆ 電場 とガ ウスの法 則 ◆ 微 分 形 の ガウスの 法則 ◆Tea
Time:静
電誘 導
電場 と ガ ウス の法 則 真 空 中 に た だ 1個 の 電 荷q が あ る と き,そ の 位 置 を 原 点 に選 ぶ と,r だ け 隔 た った 点 の 電場 の強 さは ク ー ロ ンの法 則 に よ り (1)
で 与 え ら れ,電
場 の ベ ク トル E は 原 点 か ら そ の 点 rへ 引 い た ベ ク トル の 向 き に あ る.そ と,放
こ で 各 点 の 電 場 を 表 す ベ ク トル を 描 く
射 状 の ベ ク トル 場 が で き る(図
8).
原 点 の 電 荷 を 中 心 と す る 半 径r の 球 面 の 面 積 4πr2を E に か け る と (2)
と な る.こ の 場 合,E は 球 面 の 法 線 方 向 の E の 成 分Enそ 図 8 ガ ウ ス の法 則(1)
の もの で あ るか ら,上 式 を球 面 全
体S0に 対 す る積 分 と考 え て
(3)
と書 い て も よい.図
9の よ う に 電荷 を 囲 む任 意 の 閉 曲面 S上 の 点 Pの微 小 な面
積 をdSと す る.こ の 点 を通 り電荷 を中心 とす る球 面 の対 応 す る面 積 をdS0と dSの 法 線 とOPの
な す 角 を θ とす れ ば,電 場 E のdSの
し,
法 線 方 向 の 成 分En(外
向 き)は (4)
であ り (5)
の 関 係 が あ る.し
た が って (6)
で あ り,閉 曲 面 Sの 全 体 に わ た る積 分は
図 9 ガ ウ スの 法 則(2)
(7)
こ れ は 球 面 S0に対 す る積 分 と同 じで あ り,電 荷 を囲 む 閉 曲面 の と り方 に よ ら な い. 【ガウ スの 法 則 】 上 に述 べ た こ と は多 数 の電 荷 が あ る と きに も成 り立 つ.す な わ ち,図10の え,そ
よ う に 任 意 の 閉 曲 面 S を考
の 中 に 含 ま れ る 電 荷 をq1,q2,…,qNと
し,S 上 の 電 場 の 法 線(外
向 き)成
分 をEn
とす れ ば
(8)
が成 り立 つ.こ れ をガ ウ ス の法 則 とい う.閉
図10 ガ ウス の 法 則(3)
曲 面 の 外 に あ る電 荷 は こ の 積 分 に 寄 与 し な い.と
くに閉 曲 面 Sの 中 に電 荷 が な け れ ば,そ の外 に多 数 の電 荷 が あ って も (9)
と な る.ガ ウ スの 法 則 は,対 称 性 のあ る電荷 分布 な どの と きに,そ の電 場 を求 め るの に役 立 つ.
微 分 形 の ガ ウ ス の法 則 図11の ∼x+Δx
よ う に 小 さ な 直 方 体(x ,y∼y+Δy,z∼z+Δz)
が 電 場 の 中 に あ る と し,こ
の 直方 体
の 表 面 に つ い て ガ ウ ス の 法 則(積 形)を
分
適 用 し よ う.
図11
位 置x に あ る 面 の 面 積 はΔyΔzで
あ り,こ の 面 に対 す る積 分 ∫EndSは
(10) と書 け る,こ こでExは 電 場 E のx 成 分 で,こ の面 で 外 向 きの法 線 はx と逆 向 き なの で マ イナ ス をつ け た.ま た位 置x+Δxに
お け る積 分 は
(11) と書 け る.し たが って 十 分 小 さ なΔxに 対 して,こ れ ら 2つ の面 に対 す る積 分 を 合計す ると
(12) とな る.同 様 な寄 与 はy 軸,z 軸 に垂 直 な面 につ い て もあ る ので,小
さな直 方 体
に対 す る積 分 は
(13) と な る.こ
の 直 方 体 内 に あ る 電 荷 の 総 量 をq1+q2+…+qNと
す れ ば,
(14) は この 位 置 に お け る電 荷 密 度 で あ る.こ れ を用 い る と ガ ウス の 法 則 は
(15)
と な る.こ
れ を微 分 形 の ガ ウ ス の 法 則 と い う.
記 号divを 用 い れ ば(9)は
(16) と表 され る. 電磁 波 の存 在 か ら もわ か る よ う に,電 磁 場 は光 速 度 で伝 播 す る.そ の た め,電 荷 が動 く場 合 に は電 磁 場 の 変動 が 瞬 間 的 に遠 方 へ 伝 わ る こ とは な い.し た が って 電荷 が運 動 す る と きは積 分 形 の ガ ウス の法 則 は一般 に成 り立 た な い わ け で あ る. しか し十 分 小 さな 領域 を とれ ば,電 場 の変 動 が 伝 わ る 時 間差 は考 え な くて よ い か ら,こ れ か ら導 か れ る微 分 形 の ガ ウ スの 法 則 は,電 荷 分 布 が 時 間 的 に変 動 す る場 合 に も成 立 す る.ρ(χ,t)を 時 刻t に お け る電 荷 密 度 と し,電 場 をE(χ,t) とす れば,時 間 を含 む ガ ウ スの 法 則
(17) が成 り立 つ わ けで あ る.
電 気 力 線 空 間 に 1個 の正 電 荷 qだ け が あ る場 合,各 点 の 電 場 ベ ク トル E は 放 射 状 に外 へ 向 か う(負 電荷 な らば E は内 へ 向 か う).電 場 の強 さ は電 荷 か ら rの 距 離 で
(18) で あ る か ら,電 面 積 はS=4πr2な
荷q を 中 心 と す る 半 径r の 球 面 S の 上 で E を積 分 す る と ,球 の で,す
面の
で に述 べ た よ うに
(19) とな り,こ れ は球 面S の半 径r に よ らな い. そ こで 電 場 の 向 き に(放 射 状 に)線
を引 き,球 面 Sの 単 位 面 積 を貫 く本 数 を
電 場 の 強 さ E に比 例 す る よ うに す れ ば,こ れ ら の線 は電 荷 か ら と ぎれ る こ と な く放 射 状 に無 限遠 まで続 くこ とに な る.こ の よ うな線 が 電 気 力 線 で あ る,電 気 力 線 上 の す べ て の点 に お け る接 線 は電 場 の 方 向 と一 致 す る.ま た,電 気 力 線 は正 電
荷 か ら出 て 無 限 遠へ 向 か うか 負 電荷 へ 入 り,あ る い は無 限 遠 か ら きて負 電 荷 へ 入 る.途 中 で と ぎれ た り,途 中 か ら生 じた りす る こ とは な い.電 気 力 線 は 正 電荷 か ら出 て負 電荷 へ 入 る水 の流 れ の よ うな もの と考 え る こ とが で きる. こ の こ とは電 荷 が た くさん存 在 す る と き,あ る い は電 荷 が 空 間 に分 布 して い る と き も成 立 す る.そ して,任 意 の 領 域 をV,こ れ を囲 む閉 曲面 をS と し,S を貫 く電 場 ベ ク トルE の面S に垂 直 な成 分 をEnと す る と き
(20) が 成 り立 つ.こ
こ で ρ は電荷 密 度,Q は領 域V の 中 の全 電荷 で あ る.す な わ ち,
任 意 の 閉 曲 面S 上 でε0Enを 積 分 した もの は こ れ が 囲 む 全 電 荷Q に等 しい.こ れ はす で に述 べ た積 分形 の ガ ウ ス の法 則 で あ るが,微 分 形(16)か
ら直 接(20)を
導 くこ と もで き る. 【 証 明 】 前講(13)の
ガ ウ スの 積 分 定 理 を電 場E に適 用 す る と
(21) こ の 左 辺 に(17)を
代入す ると
(22) す な わ ち(20)を
得 る.
Tea
Time
静電誘導 空 気 が ひ ど く乾 燥 した と ころ で は,下 着 をぬ い だ と き静 電 気 が 起 こ り,壁 に下 着 がひっ つ い た りす る.こ の よ うに静 電 気 を帯 び た物 体 は,電 気 を帯 び て い な い 物 体 を引 きつ け る性 質 を も って い る.こ れ は帯 電 体 の静 電 気 に よ って 近 くの物 体 (誘電 体 また は 導 体)に 分 極 が 生 じる か らで あ る(第20講 気 が 正 電 気(負 電 気)で
参 照).帯
電体の静電
あ る とす る と,こ れ に引 き寄 せ られ て 物 体 内 の 負 電 気
(正電 気)が 帯 電 体 に 近 い側 に現 れ,物 体 内 の 正 電 気(負 電 気)は 帯 電 体 の 静 電 気 に反 発 され て遠 い側 に現 れ る.こ の よ う な現 象 を静 電 誘 導,あ
るい は静 電 感 応
とい う. 分 極 を起 こす には 物体 内 の 正負 の電 気 を分 離 させ る た め に エ ネ ル ギ ー が必 要 で あ る(エ ネル ギ ーが 高 ま る)が,帯
電 体 の 静 電気 に よる引 力 の た め に エ ネ ル ギ ー
が 下 が り,全 体 と して は 静電 誘導 に よ って エ ネ ル ギ ー は低 下 す る の で あ る. 静 電 誘 導 は静 電気 に よ っ て物 体 が 引 きつ け られ る現 象 で あ り,広 い 応 用 が あ る.粉 体 の 分 離,微 粒 子 の 除去,空 気 の 清 浄 な どに使 わ れ,サ
ン ドペ ー パ ー の製
造 な ど に も用 い られ る.高 電 圧 発 生 装 置 に も静電 誘 導 を用 い た ものが あ り,ヴ ァ ン ・デ ・グ ラー フ加 速 器 もそ の 1つ で あ る.
第4 講 電荷 に は た ら く力
―テ ー マ ◆ 電 荷 に よ る力 ◆ 帯 電 体 に は た ら く力 ◆Tea
Time:力
と電 磁 作 用
点 電 荷 に よ る力 位 置χ'に あ る 電 荷q'に た と き,こ
よ る 静 電 場 をE'(χ)と
す る と,電
荷q を位 置χ に お い
れ に は た ら く力 は (1)
で 与 え ら れ る.こ
こ で 電 場E'(χ)の
大 きさは (2)
で あ る が,電
場 の ベ ク トル と して は (3)
と 書 け る.さ
ら に 電 荷q1',q2',…,qN'が
そ れ ぞ れχ1',χ2',…,χN'に
あ る と きの電 場
は
(4)
で あ る.電 荷 が連 続 的 に分 布 して い る と考 えて (5) とお く と ρ'(χ')は 位 置χ'に お け る 電 荷 密 度 で あ る.Δχ'→0と
した 極 限 で 上 式 の
静 電 場 は 積 分 の形 で
(6)
と書 け る.た
だ し,こ
こでV'は
電 荷 ρ'の あ る 領 域 で あ る.
こ の 電 場 に 電 荷 密 度 ρp(χ)の 帯 電 体 P が あ る と き,こ
れ に は た ら く力 F は (7)
で 与 え ら れ る.こ
こ でV
占 め る 領 域 で,V'と
は帯 電 体 の
重 な る ところ は
な い もの と す る(図12). (7)に
お い て,E'は
帯 電 体 Pの 電
荷 ρp以 外 の 電 荷 ρ'に よ る 電 場 で あ る.全
電荷密度は 図12 離 れ て い る 領域V とV' (8)
で あ り,帯 電 体 の 電荷 に よる電 場 (9)
を含 め た電 場 は
(10) で あ る.こ
こで
(11) は帯 電 体 Pの つ くる 電 場 Ep(χ)の た め に帯 電 体 自身 が 受 け る力,す 力 で あ る.(9)を(11)に
代入する と
なわち自己
と な る が,こ
こ でχ とχpを 入 れ か え る とFp=-Fpを
得 る.し
た が って
(12) 言 い か え れ ば,静 限,す
電 場 に お け る 自 己 力 は 0で あ る(帯
な わ ち 点 電 荷 で も,こ
わ り に 全 電 場E=Ep+E'を
の こ と は 成 立 す る).そ 用 い て,帯
電 体 の 体 積 を小 さ く し た 極 こ で(7)右
辺 でE'の
代
電 体 に は た ら く力 を
(13) と書 くこ とが で きる. この よ う に静 電場 の場 合 に は,自 己 力 を含 め ない式(7)と
含 め た 式(13)は
同 じで あ る.し か し帯 電 体 が 運 動 す る場 合 は,こ れ らは 一 般 に異 な る値 を 与 え る.た とえ ば,帯 電 体 が 加 速 度 運 動 をす る場 合 は,ア
ンテナ の 中 で 振動 す る電 子
が 電 波 を出 す の と同 じよ う に,帯 電 体 の まわ りに は電 波 が 生 じるが,こ れ は 帯 電 体 自身 がつ くる電 磁 場 に よ る波 で あ る.電 波 が 出 る ため エ ネル ギ ー が 送 り出 され る わけ で あ る か ら,帯 電 体 は 当然 そ の 反動 力 を受 け る こ とに な る.こ の 力 は帯 電 体 には た ら く自 己力 で あ る.し た が って帯 電 体(あ は(7)で
るい は点 電荷)に
な く,そ の帯 電体 自身 のつ くる電 場 を と り入 れ た(13)で
は た ら く力 あ る.
帯 電 体 に は た らく力 さ ら に,領
域V
を ρ=ρp+ρ'で
に お い て は ρ'=0で
あ る こ と を 考 慮 す れ ば,(13)の
右 辺 の ρp
お きか え て
(14) とす る こ とが で きる(時 間 的 変化 の あ る場 合 を含 め て時 間 変 数 を加 えた).ま
た
電 荷 密 度 ρ と電 場 E の 間 に は一 般 に
(15) が 成 り立つ.し
たが って 領 域V の 中 に あ る帯 電体 Pに はた ら く力 F は
(16) で 与 え ら れ る.
Tea
Time
力 と電磁作用 電 場 E を単 位 電 荷 に は た ら く力 と して 定 義 す るの は,力
とい う力 学 的 な もの
を電 磁気 学 に導 入す る こ とに な り,電 磁 気 学 の基 礎 づ け に力 学 が 必 要 で あ る よ う で 気 持 が わ るい 点が あ る.学 問 の 分野 は力 学 を前 提 と して電 磁 気 学 が 立 つ とす る か,電 磁 気 学 は 力学 を前 提 と しな い で立 つ とす る か と考 え る と,後 者 の 方 が 本物 で あ る よ うな気 がす る. 力 学 で い う力 は物 体 と物 体 の 間 の作 用 で あ るが,物 体 を詳 し くみ れ ば,原 子 や 分 子 の 集 ま りで あ り,し たが って,物 体 の 間 に は た ら く力 も原 子 や 分 子 の 中 の電 子 や 原 子核 の 間 に は た ら く電 磁気 的 な力 で あ る.だ か ら力 と い う もの も,力 学 で な く電磁 気 学 で始 め な け れば 一 貫 しな い.そ
うい うふ うにみ れば,力 学 の概 念 な
しに 電磁 気 学 を構 成 しそ の あ とで 力学 を立 て る とい う順 序 が 考 え られ て よい. も しも人 間 が もっ と小 さ く,ミ クロ の世 界 の住 人 で あ っ た とす れ ば,電 子 ど う しが は た ら き合 って,運 動 して い るの が 日常 茶 飯 事 なの で,電 磁 気 学 か ら始 め て 物 理 学 をつ くる か も知 れ ない.そ の住 人 に とっ て はマ ク ロの 世 界 は,わ れ わ れが 考 え る宇 宙 の よ うに大 き な世 界 の こ とで あ り,わ れ われ が 力 学 とい って い る もの は,宇 宙 の 力学 の よ うに大 きな 世 界 の物 理 学 と思 わ れ る に ちが い ない. も しも,水 中 に だ け棲 む生 物 が物 理 学 をつ くっ た な ら ば,彼 等 は流 体 力学 か ら 始 め る だ ろ う か.も
し も砂 の 中 や 土 の 中 だ け で 生 活 して い る 生 物 が物 理 学 をつ
くった ら,粉 体 力学 か何 か か ら始 め る で あ ろ うか. い ず れ に して も人 間の つ くった物 理 学 は,人 間の 大 き さ,知 性 の 程度,感 性 の 範 囲 な どに よ って,そ の 進 む道 が選 ば れ制 限 さ れて きた もの で あ る.
第5 講 静
電
場
―テー マ ◆
ラ プ ラ ス-ポ ア ソ ン方 程 式
◆ 電 気的 双極 子 ◆Tea
Time:キ
ャベ ンデ ィ ッシ ュ
静 電 場 の電 位
空 間 に 1個 の 正 電 荷 が 静 止 して い る と き,無 限遠 か ら単 位 電 荷 をは こぶ 仕事, す な わ ち電 位 は図13の
よ うに な る(第
1講 図 4参 照).こ
の場 合,電
の に 要 す る仕 事 が 道 筋 に よ ら な い こ と はす ぐに わか る.た
とえ ば,図 で 無 限 遠
∞か ら まっす ぐに点 Pへ 近 づ く仕 事 と,∞ →P1→P2→P3→Pの
図13 電 位 をは こぶ 仕 事
荷 をは こぶ
よ うに途 中 で まわ
り道 を し た と き の 仕 事 と は 相 等 し い.な と こ ろ をP1→P2あ
る い はP3→Pの
ぜ な ら ば,中
よ う に 移 動 す る と き は,〓
は た ら く の で 仕 事 を 要 し な い か ら で あ る.こ る.し
た が っ て 静 電 場 の 場 合,単
(ポ テ ン シ ャ ル)は
心 の 電 荷〓
か ら等 距 離 の
に よ る力 に 垂 直 に
の こ と は任 意 の道 筋 につ い て い え
位 電 荷 を無 限 遠 か ら は こ ぶ 仕 事,す
道 筋 に よ ら ず に 一 義 的 に 定 ま る.実
は,そ
な わ ち電 位
のために電位 を山
の 高 さ に た と え て 図 示 す る こ と が で き た の で あ る. 空 間 に 多 数 の 電 荷 が 静 止 し て い る と き も 同 様 で あ っ て,電 の で,山
の 高 さ と して 図 示 す る こ と が で き る.山
と す る と き,電 で あ っ て,空
場 の 強 さ E は,山
位 は一 義 的 に定 ま る
の高 さに た とえ られ る電 位 を φ
の 斜 面 の 傾 き で 与 え ら れ る.電
間 の 位 置χ=(x,y,z)の
Δ xま で 移 っ た と き の φ の 変 化 は,Δxが
関 数 で あ る.そ
し て,x
位 はスカ ラー
方 向 にx か らx+
十分小 さいとき (1)
で 与 え ら れ る.偏
微 分 ∂φ/∂xは 斜 面 中 のx 方 向 の 傾 き で あ る.同
方 向 の 傾 き ∂φ/∂y,z方 向 の 傾 き ∂φ/∂zに つ い て も い え る.そ
様 な こ と はy
し てΔx,Δy,Δz
が十 分 小 さい と き
(2) と な る(図14).電
位 は単 位 の 正 の テ
ス ト電 荷 に は た ら く 力(電
場 E)に
さか ら っ て テ ス ト電 荷 を は こ ぶ の に 要 す る 仕 事 で あ る.し
たが って 電 場 は 電
位 の 傾 き ∂φ/∂x,∂ φ/∂y,∂ φ/∂zの 符 号 を 変 え た も の に 等 し い.し
た が って
電場の成分 は
(3) 図14 電 位 φ
x
で あ る.こ れ ら を ま とめ て 静 電場 を (3')
と書 く こ と が で き る.あ
るい は (3")
と書 く.grad(グ
ラ ジ エ ン ト)は 勾 配 と 呼 ば れ,∇(ナ
ブ ラ)と
も書 く.こ
れは
,y,z 成 分 が
(4) で 与 え ら れ る ベ ク トル と み な す こ とが で き る. 【点 電 荷 に よ る ポ テ ン シ ャル 】 点 電 荷q1,q2,…,qNに
よ る ポ テ ンシ ャル は (5)
で あ る. 【証 明 】
こ こで (6)
な の で,
(7)
同様 な式 はy,zに関 す る微 分 係 数 につ い て成 り立 つ. したが って (8) で あ り,(3')が
成 り 立 つ.
ポ ア ソ ン方 程 式 電 位 φ と電 場 の 強 さ E との 間の 関係 は (9)
で あ っ た.こ
れ を ガ ウ ス の 法 則divE=ρ/ε0(第
3講(17))に
代入す る と
(10) と な る.こ
こで
(11) で あ るか ら
(12) こ こ で∇2は
ラ プ ラ ス 演 算 子(ラ
プ ラ シ ア ン)
(13) で あ る.し た が っ て電 位 の 満 た す 方 程 式 は
(14) と な る.こ
れ を ポ ア ソ ン(Poisson)方
程 式 と い う.
と くに 電 荷 の な い と こ ろ で は
(15) と な る.こ
れ は ラ プ ラ ス 方 程 式 と呼 ば れ る.(14),(15)を
合 わ せ て ラ プ ラ ス-ポ
ア ソ ン 方 程 式 と い う こ と も あ る.
ア ー ン シ ョ ウ の 定 理 空 間 に 電 荷 を含 ま な い 静 電 場 を 考 え る と,電
テ ン シ ャ ル)は
この 領 域 内
に お い て 極 大 値 を と る こ と も な く,ま
た 極 小 値 を と る こ と もな い.こ
れ をアーン
シ ョ ウ(Earnshaw)の
様 の こ と は 重 力 場 に つ い て も 成 り立 つ).
【 証 明】
定 理 と い う(同
位(ポ
静 電場 φは電 荷 の な い領 域 に お いて ラ プ ラス方 程 式
(16) を 満 た す.仮 ∂φ/∂x=0と
に φ が 極 大 値 を も つ と す る と,た な り,そ
の 付 近 で φ は 図15の
と え ばx 方 向 の 微 分 は こ の 点 で
よ う に な って ∂2φ/∂x2<0と な る.こ
の と き,同
様 に こ の 点 で ∂2φ/∂y2<0,∂2φ/∂z2<0,し
た が って
(17) とな り,こ れ は ラプ ラス 方程 式(15)と
矛 盾 す る.極 小 値 を とる点 があ る と して
も同様 に矛 盾 を生 じる.ゆ え に静 電 場 に は電 位 が 極 大 に な る点 も極 小 に な る点 も な い.
図15 極 値
図16 格 子 空 間
こ の 定 理 に よ れ ば,電 い.簡
単 に い え ば,静
荷 の 群 が 静 電 気 力 だ けで 安 定 平 衡 を保 つ こ とは で き な
電 場 に は 安 定 位 置 が な い.ま
た,電
荷 の な い 領域 に お いて
こ の 領 域 を 囲 む 閉 曲 面 の い た る と こ ろ に お い て 電 位 が 一 定 の 値 φ0を と る な ら ば, 領 域 内 部 の 電 位 は い た る と こ ろ で φ0で あ る. 【 格 子 空 間 の ラ プ ラ ス 方 程 式 】 空 間 を 一 様 な 格 子 空 間 に す る φ(x,y,z)→ φl,m,nと し て(図16),ラ
プ ラ ス 方 程 式 は 2階 差 分 方 程 式
(18) と な る.こ
れ を書 き直 す と
(19) と な る.こ
れ は 1つ の 格 子 点(l,m,n)に
お け る φ の 値 は こ れ を 囲 む 6個 の 格 子
点 に お け る φ の 値 の 平 均 値 に 等 し い こ と を 表 す.し と は あ り得 な い.こ
たが っ て φが 極 値 を と る こ
れ は 格 子 空 間 に お け る ア ー ン シ ョ ウ の 定 理 で あ る.
静 電 遮 蔽 静電 場 の 中 に導 体 が お か れ る と,導 体 とそ の表 面 で は電 場 は 0に な る.そ れ は も しも電 場 が あ れ ば電 流 が 流 れ,電 場 が 0に な っ て電 流 が 止 ま るか らで あ る.し た が って静 電 場 にお か れ た 1つ の 導 体 とそ の表 面 の電 位 は ど こで も同 じ(一 定) で あ る. 導 体 に 囲 まれ た空 間 の 中 に ま った く電荷 が な い とす る と,導 体 の と こ ろで は電 位 は 一定 で あ り,し か も ア ー ン シ ョウの 定理 に よ って この 空 間 内 に 電位 の極 大値 も極 小 値 もない か ら,結 局 この 空 間 内 の 電位 は ど こで も一 定 で あ り,電 場 は な い こ とに な る.外 の 電 場 が 変 わ って も導体 で 囲 ま れ た空 間 内 の電 場 は 0に と ど まる の で あ る.こ れ を静 電遮 蔽 と い う.こ れ は も と をた だ せ ば クー ロ ンカ がr2に 反 比例 す る こ とか ら き て い る.静 電 遮 蔽 を検 証 して クー ロ ンカ が 測 定 の 範 囲 内 で r-2に 厳 密 に比例 す る こ とが 示 され て い る.
静電場の特異点 静 電 場 の 特 異 点 は 電 荷 に よ っ て 与 え ら れ る.ラ (15)は
線 形 で あ る か ら,静
プ ラ ス-ポ ア ソ ン方 程 式(14),
電場 は いろ い ろ な電 荷 の 分 布 に よ るポ テ ン シ ャル を
加 え合 わ せ て 与 え る こ とが で きる.場 合 に よ り,特 別 な電 荷 分 布 を考 え る の が便 利 な こ とが あ る. 【(i) 独 立 した電 荷 】 原 点 に電 荷 qが あ る 場 合 の電 位 は
(20) で 与 え ら れ る.
図17 電気 双 極 子
【(ⅱ) 双 極 子 】 る と き,P
図17の
よ う に 2つ の 電 荷 ±qが 距離l を 隔 て て お か れ て い
に お け る電 位 は
(21) で 与 え ら れ る.-qか
ら+qへ
向 か う 方 向 にz 軸 を と り,点
Pがxz面
にあ ると
きは
(22) こ こで
(23) に 比 べl
が 十 分 小 さ い と き,O[(l/r)2]を(l/r)2の
程 度 の 量 と して
(24)
した が っ て,(l/r)2の
項 を無 視 す れ ば
(25) た だ し,こ
こ でl→0と
す る と,同
時 にq→
∞ と して
(26) を 有 限 に 保 つ.こ =qlを
の よ う な 接 近 し た 電 荷 ±qを 電 気 2重 極(双
双 極 子 モ ー メ ン トと い う ,-qか
極 子 を 表 し,OPを
ら+qへ
極 子)と
呼 び,p
向 け た 長 さ p の ベ ク トル p で 双
r と書 け ば
(27) と書 け る.ま
たp と rの 間 の な す 角 を θ とす れ ば,z/r=cosθ
な の で(25)か
ら
(28) で あ る.双
極 子 に よ る 電 場 は(25)か
ら
(29)
あ るい は
(29')
こ れ ら を合 わせ て
(30) と 書 け る.図18に
双 極 子 に よ る 電 気 力 線 を 示 す.
図18 双 極 子 の 電 気 力 線
【4重 極 】 モ ー メ ン トが等 しく向 きが 反対 の 双 極子 が接 近 して存 在 して い る と き,こ れ を電 気 4重 極 とい う.電 気 4重 極 テ ン ソル
(31) を用 い る と 4重 極 に よる電 位 は
(32) と書 け る. 【多 重 極 】
同 様 に して,た
が い に 接 近 して 大 き さ の 等 し い 正 負 の 電 荷 が あ る 場
合 の 高 次 の 電 気 多 重 極 を 考 え る こ と が で き る.原 n)が
分 布 す る と き,r=(x,y,z)に
点 の 付 近 に 電 荷ei(i=1,2,…,
お け るポ テ ン シ ャル は
(33) と 書 け る.こ は,そ
こ で,α+β+γ=lの
れ ぞ れ2l重
項 で ξi,ηi,ζi→0,ei→
∞ と した 適 当 な極 限
極 を 与 え る.
Tea
Time
キ ャ ベ ン デ ィ ッ シ ュ キ ャベ ン デ ィ ッ シ ュ(H.Cavendish,1731−1810)は あ る.両
きわ め て 特 異 な 物 理 学 者 で
親 が と も に イ ギ リ ス の 公 爵 と い う貴 族 で あ っ た が,ケ
学 ん だ 後,主
に 私 邸 内 の 実 験 室 で,す
と ん ど他 人 と の 交 際 を しな か っ た.実 よ っ て 地 球 の 全 質 量,平
験 室 内 で 万 有 引 力 の 定 数 を 測 定 し,こ
の 他,電
気 に 関 す る 重 要 な 研 究,水 か し,彼
の他 に
素 の 発 見,水
の 組 成,
は 自 分 の 発 見 を外 へ 発 表 す る こ と
くの 研 究 が 知 ら れ ず に 埋 も れ て い た.キ
ャベ ンデ ィ ッシ ュ
家 の 寄 付 に よ っ て キ ャベ ン デ ィ ッシ ュ教 授 と い う席 が で き た と き,マ が 就 任 し,キ
れに
電 気 力 が 高 い 精 度 で 距 離 の 2乗 に 反 比 例 す る こ と を
空 気 の 組 成 な どの 研 究 も して い る.し も しな か っ た の で,多
ンブ リ ッジ大 学 で 涯 独 身 で 過 ご し,ほ
均 密 度 が 知 ら れ た 研 究 は き わ め て 有 名 で あ る.そ
同 心 の 球 形 導 体 を 用 い て,静 実 験 的 に 証 明 し た.そ
ぐ れ た 研 究 を し た.生
クス ウェ ル
ャベ ンデ ィ ッ シ ュ が 残 し た 研 究 記 録 を整 理 した こ と に よ っ て,彼
が
時 代 に 先 ん じ て 多 くの 発 見 を して い た こ と が 明 ら か に さ れ た. 科 学 者 に も い ろ い ろ な タ イ プ の 人 が い る.フ
ァ ラ デ ー,ギ
ブ ス,ロ
ー レ ンツ な
ど の 生 涯 に は 研 究 に 一 生 を さ さ げ た さ わ や か さ と あ こ が れ が 感 じ ら れ る が,キ
ャ
ベ ンデ ィ ッシ ュは む しろ人 間 界 をは な れ た研 究 心 の権 化 とで もい い た い よ うな気 が す る.
第6 講 静 電 場 は 渦 な しの 場rotE=0
―テ ー マ ◆ 静 電 場 は 渦 な しの 場 ◆ ス トー ク ス の 定 理 ◆Tea
Time:微
分 法 則 と積 分 法 則
静 電 場 は渦 な し 静 電 場 は 渦 の な い 場 で あ る と い う性 質 が あ る.こ こ れ に つ い て 説 明 し よ う.電
れ はrotE=0と
書 か れ る.
流 が あ る と そ の ま わ り に あ る 種 の 渦 が 生 じ る.こ
れ
に対 し て 静 電 場 は 渦 な しで あ る と い う こ と に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る の で あ る. 単 位 の テ ス ト電 荷 を 曲 線 C に 沿 っ てΔsだ
け 移 動 させ る の に 要 す る 仕 事 は
(1)
で あ る.た
だ しESは
トル,E・Δsは
C の 接 線 方 向 の E の 成 分,Δsは
E とΔsの ス カ ラ ー 積 で あ る.電
接 線 方 向 の 長 さΔsの ベ ク
荷 を あ る道 筋 C に沿 って O か ら
P ま で 移 動 させ る 仕 事 は(図19)
(2)
と書 か れ る.こ の積 分 を道 筋 C に沿 う線 積 分 とい う.線 積 分 は
(3) と書 い て も よ い が,こ Ez(x,y,z)は
こ でEx(x,y,z),Ey(x,y,z),
曲線 C上 の 値 を と らな け れ ば な らな
い(x,y,z に 関 す る 3つ の 積 分 を 別 々 に 勝 手 に 行 っ て は な ら な い). 図19 線 積 分 出 発 点 O と 終 点 P と が 同 じ場 合,図20の C は 閉 曲 線 に な る.静 に 位 置(x,y,z.)に
電 場 の電 位 は 山 の高 さの よ う
よ っ て 決 ま る か ら,閉
曲線 に対
し て は φ(O)=φ(P)=0と
な る.す
中 に と っ た 閉 曲 線 をC0と
す る と き(図20),C0に
沿 っ て 1周 す る 積 分 は 0 に な る.こ
図20 閉 曲線
よ うに
なわち静電場 の
れ を次 の よ う に
書 く.
(4)
これ も静 電 場 に対 す る式 で あ る(時 間 的 に変化 す る電 場 に は成 り立 た な い).
静 電 場 でz 軸 に 垂 直 な 微 小 な 四 辺 形(x∼x+Δx,y∼y+Δy)を こ れ を 1周 す る 閉 曲 線 をC0と が,ス
カ ラ ー 積E・dsを
す る と,こ
考 え(図21),
れ に 沿 う 線 積 分 は∫E・ds=0で
詳 し く書 い て み る と,Δx,Δyが
あ る
十分 小 さい と して
(5) したが って
(6)
を得 る.同
様 に,x 軸 に 垂 直 な 領 域(y∼y+Δy,z∼z+Δz)の
積分は (6')
を 与 え,y 軸 に 垂 直 な 領 域(z∼z+Δz,x∼x+Δx)か
らは (6")
を 得 る.そ
こで (7)
で 与 え られ るベ ク トル場 を考 えれ ば,静 電 場 に対 して
(8)
が 成 り立 つ こ と が わ か る. こ れ も静 電 場 を 特 徴 づ け る 重 要 な 式 で あ る. 一 般 の ベ ク トル 場 X に 対 し てrotXは ョ ン,あ
ロ ーテ ー シ
る い は 回 転 と呼 ば
れ る ベ ク トル 場 で あ る.こ 図21 微 小 な積 分 路 れ は (9)
を 用 い て,ベ
ク トル 積 の 形 で
(10) と書 い て も よ い. ベ ク トル 場 X が ス カ ラ ーf(x ,y,z)を
用 いて
(11) と書 け る も の で あ れ ば,rotXのx
成分 は
(12) と な り,他
の 成 分 も 0に な る か ら,恒
等的 に
(13) が 成 り立 つ こ と が わ か る . 逆 にrotX=0な X=gradfと
ら ば,f を あ る 1価 の ス カ ラ ー と し て
書 け る こ と が 示 さ れ る.
静 電 場 が 1価 の 電 位 φ を 用 い てE=-gradφ =0が
と書 け る こ と を 用 い れ ば,rotE
再 び導 か れ る .
こ こ で,gradfやrotXが
ベ ク ト ル 場 で あ る と い っ た が,こ
トル で あ る こ と を 示 す に は,座
れ らが 本 当 にベ ク
標 変 換 に よ る 成 分 の 変 化 が ベ ク トル と し て の 条 件
を 満 た す こ と を 確 か め な け れ ば な ら な い.こ
の 証 明 は 略 す が,座
位 置 ベ ク トルχ と 同 様 な 変 化 を す る こ と と,rotX=∇ ル 積 で あ る こ と に 注 意 す れ ば,こ
×Xが∇
標 変 換 で∇
は
と X のベ ク ト
れ が 証 明 さ れ る こ と を つ け 加 え て お く.
ス トー ク ス の 定 理 ベ ク トル 場X(χ)に
お け る 任 意 の 閉 曲 線 をC0と
面 を S,そ の 法 線 方 向 のrotXの
成 分 を(rotX)nと
し,こ
れ を端 とす る任 意 の 曲
する とき
(14) が 成 り立 つ.こ
れ を ス トー ク ス の 定 理 と い う.
た と え ば,z 軸 に 垂 直 な 微 小 領 域(x∼x+Δx,y∼y+Δy)を C0と
し,こ
れ を 含 む 微 小 な 面ΔxΔyを
s とす れ ば,す
で に(14)の
1周 す る 道 筋 を 計 算 で 示 した
ように
(15) と な り,ス
トー ク ス の 定 理 が 成 り立 っ て い る.
X と し て 電 場 E を と れ ば,任 対 し て∫E・dχ=0で
意 の 閉曲線 に
あ る か ら,rotE=0が
直
ち に 導 か れ る. 【 証 明 】 3次 元 の 場 合 に ス トー ク ス の 定 理 の 略 証 を 述 べ よ う.図22の
よ う に 閉 曲 線C0を
境
界 と す る 面 を S とす る.S 上 の 微 小 部 分 に 接 し て x軸 とy 軸 を と れ ば,微 て(5)を
小 領 域ΔxΔyに
対 し
図22
ス トー ク ス の 定 理
適用 し
(16) を得 る.こ
こ でΔSは
面 積ΔxΔyと
で あ る.最
後 の 表 現 は ベ ク トルrotXとΔSと
x,y軸 に は よ ら な い.そ 式 を つ く り,こ
同 じ大 き さ を も ち,こ
の 面 に 垂 直 な ベ ク トル
の ス カ ラ ー 積 で あ り,仮
に と った
こ で 全 領 域 S を 小 さ な 面 に 分 割 して 各 微 小 面 に つ い て 上
れ ら を加 え 合 わ せ れ ば 微 小 面 が 重 な る と こ ろ で は 線 積 分 が 逆 向 き
の も の が 打 ち 消 す の で,C0に
対 す る 線 積 分 が 残 っ て ス トー ク ス の 定 理 が 得 ら れ
る.
な お,面
S を ど の よ う に と っ て も∬(rotX)ndSは
【証 明 】
こ れ は,C0を
際,ガ
境 界 と す る 閉 曲 面S0を
同 じ に な る. 考 え て 示 す こ と が で き る.実
ウ スの 定理 に よ り
(17) と な る.な
ぜ な らば
(18) すなわち
(19) は 恒 等 的 に 成 り 立 つ か ら で あ る.S0はC0を
境 界 と す る 2つ の 面S1とS2か
らな
る と み る こ と が で き る が,ガ とS2の
ウ ス の 定 理 で 法 線 に は 外 向 き に と っ て い る の で,S1
一 方 の 法 線 を逆 向 き に と る こ と に す れ ば
(20) と な る わ け で あ る. 【 静 電 場 は 渦 な し 】 あ る 場 X がrotX=0を と い う.渦
満 た す な ら ば,X
な し の 場 X は 1価 の 関 数 φ を 用 い てX=-gradφ
は渦 な しで あ る と 書 け る.静
は 渦 な しの 場 で あ る の で,1 価 の ポ テ ン シ ャ ル φ を 用 い てE=-gradφ
電場
と書 け る
の で あ る.
Tea
Time
微分法則 と積分法則 電 磁 気 学 の 特 徴 の 1つ は,1 つ の 同 じこ と を表 す 法 則 と して微 分 法 則 と積 分 法 則 とが あ る こ とで あ る.た
と え ば,divE=ρ/ε0は
な積 分 法 則 と して ガ ウス の 法 則∫E・dS=Q/ε0が
微 分 法則 で あ り,こ れ と同等 あ る.こ の よ うに,電 磁 気 学 の
基 本 的 な法 則 に は微 分 形 の微 分 法 則 と積 分 形 の積 分 法則 とが あ り,一 方 か ら他 方 が 導 か れ,た が い に 同等 な内 容 を も って い る.見 た と ころ は 大 変 ちが うが,見 方 に よ って どち らかの 形 の 方 が わか りや す く,ま た場 合 に よ って ど ち らか の 形 の方 が 求 め る結 果 を導 き やす い.電 磁 気学 以外 で も微 分 法則 に は,こ れ と同等 な積 分 法則 が あ る こ とが 多 いの だが,電 磁気 学 で は これ が 目立 つ の で あ る.こ れ は電 磁 場 とい う 「場 」 に特 有 な こ とで あ る と考 え られ る. た とえ ば,力 学 の 場 合,保 存 力 が は た ら く 1次 元 の運 動 で は ニ ュー トンの運 動 方 程式d2x/dt2=-dU/dxは
微 分 法 則 で あ り,エ ネ ルギ ーの 法 則υ2/2+U=Eは
分 法 則 で あ る.1 次 元 の 場 合,こ
積
の 2つ は まっ た く同 等 で あ る.2 次 元,3 次 元
の場 合 はそ う簡 単 で は な い が,エ ネ ル ギ ー保存 の法 則,運 動 量 保 存 の 法 則,角 運 動 量 保 存 の 法則 な どは,そ れ ぞ れ の制 限 の 下 で成 り立 つ 積 分 法 則 で あ る. 物 理 学 で よ く用 い ら れ る法 則 に変 分 法 則 とい うの もあ る.た と え ば,2 点 を結 ぶ 最短 曲線 は直線 で あ る とい う よ うな法則 で あ る.こ れ は曲 線 に 少 しの 変 化(変 分)を 与 えた と きに,曲 線 の長 さが か な らず大 き くな って し ま う よ うな 曲 線 とい う意味 で あ る.変 分 法則 は変 分 原 理 と呼 ば れ る こ と も多 い.変 分 法 則 は多 分 に数
学 的 で あ るが 物 理 的 な 意 味,あ る い は形 而 上 学 的 な 意 味 をつ けて 考 え られ た こ と もあ っ た.た とえ ば 光線 は最 短 距 離 を通 っ て 2点 間 を結 ぶ.運 動 の 経 路 は作 用 と い う量 Lの積 分∫Ldtが 極 値 を とる とい う法 則 に よ って定 め られ る.こ の よ う な 変分 法 則 は 「自然 は む だ を しな い」 とい う よ う な意 味が こ じつ け られ て 考 え られ た こ と もあ る.
第7 講 磁 場 と ロ ー レン ツ 力
―テー マ ◆
磁 場
◆
ロー レンツ力
◆Tea
Time:ロ
ー レンツ
磁
場
磁 石 は 鉄 な ど を引 きつ け るの で,磁 石 の両 端 の まわ りの空 間 に は磁 気 の作 用 を もつ 場 が あ る こ とが わ か る.こ れ を磁 場(磁 界)と
い う.長 い棒 磁 石 の 両 端 に は
磁場 の 原 因 に な る もの が あ る と考 え られ,こ れ は磁 荷 と呼 ばれ て い る.磁 石 に は N 極 と S極 と が あ る か ら,磁
荷 も N と S と が あ る.電
荷 の 場 合 と 同 じ よ う に,
同 極 の 磁 荷 は 反 発 し合 い,異
極 ど う し は 引 き 合 う.磁
荷 の N極 が 受 け る力 の 向
き を そ の 磁 場 の 向 き と 定 義 す る.磁 磁 針(コ
ンパ ス)の
場 の 向 き を つ ら ね た 線 を 磁 力 線 と い う.
近 く に 導 線 を お い て 電 流 を 流 す と,磁
れ は エ ー ル ス テ ッ ド(H.Oersted,1777−1851)が1820年 電 流 は そ の ま わ り に 磁 場 を つ く る の で あ る.直 を 中 心 と す る 向 き を も ち,磁
針 は 力 を受 け る.こ
に 発 見 し た 現 象 で あ る.
線 電 流 が つ く る 磁 場 は,こ
力 線 は 電 流 を と り か こ む 同 心 円 で,電
の電 流
流 に 対 し右 ね
じの 進 む 向 き で あ る(図23). 電 流 が 磁 針 に 力 を 及 ぼ す な ら ば,磁 は ず で あ る.ま
た,磁
針 の まわ りの磁 場 は逆 に電 流 に力 を及 ぼ す
場 は 電 流 に よ っ て も つ く ら れ る か ら,2 つ の 電 流 は た が い
に相 手 のつ くる磁 場 に よ って 力 を受 け な け れ ば な ら な い.実 さ れ て,ア は,平
際,エ
ー ル ス テ ッ ドの 発 見 に 刺 激
ン ペ ー ル(A.Ampere,1775−1836)
行 で 同 方 向 の 電 流 の 間 に は 引 力 が,反
対
向 きの電 流 の 間 に は斥 力 が はた ら くこ とを示 し た.こ
図23 電 流 の磁 気作 用
の現 象 を用 い て 電 流 の 単位 が定 め られて
い る こ と は,す
で に 第 1講 で 述 べ た 通 りで あ る.
磁場の単位 磁 場 の 中 に お い た 電 流 に は 力 が は た ら く.こ 現 象 を利 用 し,次
の よ う に して 磁 場 の 大 き さ,単
に よ っ て 電 流 に は た ら く 力 は,電 り,こ
れ を ア ンペ ー ル の 力 と い う.こ
の 力 の 向 き は,電
流 に 垂 直 で,磁
場
場 の 向 き に 対 し て も垂 直 で あ
流 の 向 き か ら磁 場 の 向 きへ 右 ね じ を 回 し た と き に 右 ね じ
が 進 む 向 き に あ る(図24).電
流 の 流 れ て い る 導 線 に 沿 っ て 長 さ sの 微 小 部 分 を
考 え,電
流 の 向 き に 長 さ sの ベ ク トル s を
と る.こ
の 微 小 部 分 に は た ら く力 を F,電
流 の 大 き さ をI と し,そ
位 を決 め る こ と が で き る.磁
の
の 場 所 の 磁 場 を表
す量 B を
(1)
に よ っ て 定 義 す る.こ ル の 力 で あ る.こ
の 力 F が ア ンペ ー
こ で,s×Bは
s と B と の ベ ク ト ル 積 で あ る.電 <π)と し,sinθ
す る と,力
流 の 向 き と 磁 場 の 向 き と の 間 の 角 を θ(0< θ
F の 大 き さ F はIsに
に 比 例 す る.す
図24 電 流 が 磁 場 か ら受 け る 力 ベ ク トル
比 例 し,磁
場 の 大 き さB=│B│に
比 例
なわち (1')
こ れ が 実 験 で 確 か め ら れ る の で,F る の で あ る.
は 上 の よ う にIsと
B と の ベ ク トル 積 で 書 け
上 に 定 義 し た 磁 場 の 量 B は,磁 が 多 い.こ
束 密 度(磁
れ は 歴 史 的 な 事 情 に よ る こ と で あ る が,一
う意 味 の 磁 場 と 区 別 す る に は,磁
で 測 る と き,(1)に い い,T
般 に磁 力 の は た ら く場 と い
F,電
流 I,長 さ s を そ れ ぞ れ の 単 位 N,A,m
よ り磁 束 密 度 B の 単 位 はN/A・mと で 表 す,す
呼ばれ るこ と
束 密 度 と い う 方 が よ い わ け で あ る,
上 の 定 義 か ら わ か る よ う に,力
(tesla)と
気 誘 導 と も い う)と
な る が,こ
れ をテ ス ラ
なわ ち
(2)
磁 束 密 度 の ベ ク トル B をあ る範 囲 で た ば ね て,そ
の全 体 を磁 束 と い う.狭 い ,.,.,.
範 囲 の B を た ば ね た と考 え,B
に垂 直 な面 積 を S とす る と き (3)
を 磁 束 と い う の で あ る,そ
の 密 度 B が 磁 束 密 度 と い う わ け で あ る.MKSA単
系 で 磁 束 の 単 位 を ウ ェ ー バ ー(Wb)と
位
い う.(Wb)=(T・m2)=(N・m/A),あ
る
い は (4)
で あ る.
ロ ー レ ン ツ 力
電 流 Iに よ って 流 れ る電 荷 の密 度 を ρ,そ の 速 さ をυ と し,導 線 の 断 面 積 を S とす れ ば (5)
で あ る.微
小 な 長 さ sの 中 の 電 荷 を 1つ の か た ま り と考 え て,こ
こ こ で 導 線 の 微 小 部 分 に つ い てυs=υSで
これ を書 き直 せ ば
あ る か ら,こ
れ をq と す れ ば
の 部 分 に は た ら く力 F は
(6)
これ は 電 荷 qに は た ら く力 を表 す.電 子 の よ うな点 電 荷 に対 して磁 場 が 及 ぼす 力 は こ の式 で 与 え られ る.電 場 E も存 在 す る と き,速 度υ の 電 荷q に は た ら く力 は
(7)
で 与 え ら れ る.こ
れ を ロ ー レ ン ツ(Lorentz)力
ロ ー レ ン ツ カ の 式(7)に
と い う (図25).
お いて E と
Bは電荷q に外 か ら与 え ら れた 電 場 と磁 場 で あ る と考 え る こ と が 多 い.言 ば,E
いか えれ
とB は電荷q 自 身 が つ くる 電 場 と
磁 場 を含 まな い と考 え る こ とが 多 く,電 荷 の 速 度υ が 一 定 の と き,こ
の解 釈 は 正 し
い
図25 運 動 す る電 荷 には た ら く力
しか し電 場 に関 して 第 4講 で も注 意 した よ うに,電 荷q が 加速 度 運 動 をす る と,そ の まわ りに電 磁 波 が 出 る.こ の 電磁 波 は そ の電 荷q が つ くる電磁 場(自 己 場)か
らエ ネル ギ ー が送 り出 され る こ とを意
味 す る.こ の た め 電 荷 は 反 動 の 力 を受 け る.し た が って(7)の
E,B は 自己 場
を含 む もので な け れ ば な ら ない. 電 荷 密 度 ρ と電 流 密 度i に は た ら く単位 体積 あ た りの力 は,(7)に
対 応 して
(8)
と書 け る.こ
れ を ア ンペ ー ル の 力 と い う こ とが あ る.
磁 場 の強 さ これ か ら しば ら く,真 空 中 に電 荷 や電 流 が あ る場 合 を と り扱 う こ と にす る(物 質 の 中の 電 場 や 磁 場 は後 に第18講 以 下 で扱 う).真 空中 の 電磁 場 だ け を扱 う と き は磁 束 密 度 B で な く
(9)
を 用 い る こ と に し よ う.H
は磁 場 の 強 さ と呼 ば れ る.真
空中では
(9')
で あ る(μ0の
単 位N/A2に
つ い て は 第12講
物 質 中 の 電 磁 場 に 対 して は 電 気 変 位(電 用 い な け れ ば な ら な い が,そ
参 照). 束 密 度)D=εEと
磁 束 密 度B=μHも
れ ま で は 記 号 を 少 な くす る た めD,B
は用 い な い こ
と に す る.
Tea
Time
ロ ー レ ン ツ ロ ー レ ン ツ(H.A.Lorentz,1853−1928)は 世 紀 を 結 ぶ 大 御 所 で あ っ た.彼 経 営 者 の 息 子 と し て 生 ま れ た.子
理 論 物 理 学 の 歴 史 で は19世
紀 と20
は オ ラ ン ダ 東 部 の い な か 町 ア ル ン ヘ ム で,苗 供 の と き か ら異 例 の 秀 才 で あ っ た.ラ
木園
イ デ ン大
学 を 卒 業 して か ら い な か へ 帰 り,高 校 の 先 生 を し な が ら学 位 論 文 「光 の 反 射 と 屈 折 に つ い て 」 を 書 い た.1878年 数 人 の 子 供 に 恵 まれ,幸
に ラ イ デ ン 大 学 教 授 と な り,1881年
せ な 家 庭 生 活 を お く っ た.友
に 結 婚 して
人 や 同 輩 の 中 に は,気
体の
液 化 の 理 論 で 有 名 な フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス や 低 温 の 実 験 研 究 で 有 名 な カ マ リ ン グ ・オ ネ ス な ど が い る.や 時 期 を 迎 え る の で あ る が,こ
が て オ ラ ン ダ は 低 温 物 理 学 の 研 究 で 世 界 を リ ー ドす る れ は ロ ー レン ツの偉 大 さ もあ ず か って い る と思 わ れ
る. ロ ー レ ン ツ の 第 1の 業 績 は マ ク ス ウ ェ ル の 電 磁 気 学 を 美 し く仕 上 げ 発 展 させ た こ とで,そ
の仕事は
『 電 子 論 』 と して 知 ら れ て い る .若
ん だ ア イ ン シ ュ タ イ ン は 次 の よ う に 述 べ て い る(エ 学 を創 っ た 人 々 』 久 保 亮 五 ・矢 崎 裕 二 訳,み 「H.A.ロ
り,そ
『 古典物理
す ず 書 房,1992年).
ー レ ン ツ が 論 文 を書 き 出 し た 頃 に は,マ
知 ら れ て い た.と
い 頃 に こ れ を注 意 深 く読
ミ リ オ ・セ グ レ著
ク ス ウ ェ ル の 理 論 は も う広 く
こ ろ が この 理 論 に は 基 本 的 な 点 で 妙 に込 み 入 った と こ ろ が あ
の た め に 本 質 的 な 特 徴 が 明 瞭 に 浮 か び 上 が ら な い き ら い が あ っ た.…
考 え 方 で は 物 質 が 場 の 担 い 手 と み な さ れ て い る の で,電
場 や 磁 場 は,物
この
質の運動
状 態 に 対 して 独 立 な も の と は な り得 な い こ と に な っ て し ま う の で あ る.…H.A. ロ ー レ ン ツ が 知 性 の 解 放 を 図 っ た の は ま さ に こ の 点 で あ っ た.偉 合 性 の も と に,彼
は 以 下 の 仮 説 を そ の 研 究 の 土 台 に 据 え た.電
質 の な い 空 間 で あ る.こ つ あ る だ け で あ る.電
の 場 に は,電
大 な る論 理 と整
磁 場 の 在 り方 は 物
場 の ベ ク トル が 1つ,磁
場 の ベ ク トル が 1
磁 場 は 原 子 的 な 電 荷 に よ っ て 作 り 出 さ れ,ま
の 電 荷 に 作 用 して 動 き を 生 じ る.…
た電 磁 場 が こ
こ う い う 簡 明 化 し た 土 台 の 上 に,ロ
ーレンツ
は 当 時 知 ら れ て い た 電 磁 現 象 をす べ て お お い 尽 く す 完 壁 な 理 論 を 築 き上 げ た.そ の 中 に は 運 動 物 体 の 電 磁 気 学 も含 ま れ て い る.そ 一 貫 性 を も つ 美 しい 理 論 で あ り
,経
れ は稀 に見 る 明瞭 さ と論 理 的 な
験 に 基 づ く科 学 に お い て こ う い う も の が 作 り
上 げ られ た 例 しはめ った に な い… 」 ア イ ン シ ュ タ イ ン は ま た 次 の よ う に も 述 べ て い る(セ
グ レの上 に挙 げ た本 に よ
る). 「今 世 紀 へ の 変 り 目 の 頃 に は,理
論 物 理 学 者 な ら ば ど の 国 の 人 も 皆,H.A.ロ
レ ン ツ を 指 導 精 神 と し て 仰 い だ もの で あ る が,そ あ っ た の で あ る.と
こ ろ が,今
れ に は 十 分 もっ と も な理 由が
や 若 い 世 代 の 物 理 学 者 に は,H.A.ロ
理 論 物 理 学 の 基 本 的 な 法 則 の 形 成 に 果 た し た 決 定 的 な 役 割 を,よ 人 が 多 い.こ
の 奇 妙 な 事 実 の 原 因 は こ う い う と こ ろ に あ る.つ
ン ツ の 基 本 的 な 考 え 方 を す っ か り吸 収 し尽 し た た め に,か 胆 さや,そ
ー
ー レ ンツが くわ き ま え な い
ま り彼 ら は ロ ー レ
え っ て そ の 考 え方 の 大
れ が 物 理 学 と い う学 問 の 土 台 を い か に 簡 明 な もの に し た か と い う こ と
な ど が ピ ン と こ な くな っ て い る の で あ る 」 ロ ー レ ン ツ の 仕 事 の 重 大 さ を 簡 明 に よ く述 べ て い る と 思 う の で 少 し長 い 文 章 だ が 引 用 させ て も ら っ た. 相 対 論 の 前 ぶ れ と な っ た ロ ー レ ン ツ 変 換 は1895年 1896年
に 導 入 し て い る.ま
に は ラ イ デ ン で 発 見 さ れ た ゼ ー マ ン 効 果 に 説 明 を 与 え,こ
た,
れ に よって
ゼ ー マ ン と と も に ノ ー ベ ル 賞 を 得 て い る(1902年). ロ ー レ ン ツ は 外 国 語 に お い て も 異 例 の 熟 達 ぶ り を 示 し,講
義 は 明 快 で あ り,す
ば ら し く ま た 沈 着 な 人 柄 に よ り国 際 会 議 の ま と め 役 に 選 ば れ,こ は じ ま る ソ ル ヴ ェ イ 会 議 で は 初 回 か ら1927年
と に1911年
に
ま で ロ ー レ ンツ は常 に主 宰 者 と し
て 活 躍 し た. ロ ー レ ン ツ は オ ラ ン ダ の ゾ イ デ ル 海 を 横 切 る ダ ム の 建 設 に 際 し,オ の 人 と し て こ れ を指 導 し成 功 に 導 い た 仕 事 が あ る.果 を も つ オ ラ ン ダ に と っ て,北
ラ ンダ最 高
て し な く海 と た た か う運 命
海 の 暴 風 と荒 波 か ら ゾ イ デ ル 海 を ふ せ ぎ そ こ に 開 拓
地 を つ く る こ と は 重 大 な 国 家 的 仕 事 で あ っ た.ゾ 上 に 並 ん だ い くつ か の 島 が あ り,ゾ
イデ ル 海 の外 側 に は ほ ぼ一 直 線
イ デ ル海 を ダ ムで 仕切 った と き にそ の 島 との
間 に定 常 波 の よ うな もの が で きて ダム に損 害 を与 え る お そ れ が あ った よ うで あ
る.ロ
ー レ ン ツ は,こ
の よ う な 波 の 振 舞 い を詳 し く予 測 す る仕 事 な どで 著 し い 成
功 を お さ め た と い う こ と で あ る. 著 者 は こ の 話 を 朝 永 振 一 郎 先 生 か ら 聞 い て 大 き な 感 銘 を受 け た こ とが あ る.先 生 は い ろ い ろ な 点 で ロ ー レ ン ツ を思 わ せ る 人 柄 で あ る が,先 強 く惹 か れ る と こ ろ が あ っ た に ち が い な い.ゾ
生 自 身 ロ ー レ ンツ に
イ デ ル 海 を仕 切 っ た 際 の ロ ー レ ン
ツ の 仕 事 に つ い て 朝 永 先 生 が 書 い た 一 文 が あ る(「 ゾ イ デ ル 海 の 水 防 と ロ ー レ ン ツ」(1960)朝
永 振 一 郎 著 作 集 4,み す ず 書 房,1982年).
第8 講 電磁場 の中の運動
―テー マ ◆ 電子 の運動 ◆ ゼ ー マ ン効 果 ◆Tea
Time:フ
ァ ラ デ ー とゼ ー マ ン効 果
静 電場 に よ る加 速 電 子(質 量m,電 荷-e)を
電 場 Eで 加 速 す る場 合,運 動 方 程式 を (1)
と す る.vdt=dxを
両 辺 に 掛 け て 積 分 す れ ば,エ
ネ ル ギ ーの 式 (2)
を 得 る.こ
こ でV0は
電 位 差,υ0は
初 速 度 で あ る.初
速 度υ0=0と
す る と (3)
電 子 の 電 荷 の 絶 対 値 はe=1.603×10-19C た と え ば 加 速 電 圧 をV0=10キ
質 量 はm=9.108×10-31kgで
ロ ボ ル ト とす る と,加
あ る.
速 に よ って得 られ る速 度 は
と な る.
電 場 に よ る電 子 線 の 曲 げ 図26は,電
子 の 流 れ(電
子 線)を
その 進 行 方 向 に垂 直 な電 場 に よっ て 曲 げ る 実 験 を行 う た め の 装 置 で あ る(こ れ は,電
子 を 発 見 し たJ.J.ト
(J.J.Thomson)の あ る).電 図26 ブ ラ ウ ン管
の 電 圧 に よ っ て加 速 され,最
ム ソ ン
実験 装 置 の一 部 で
子 は 陰 極(加
ラ メ ン ト C)か
熱 され た フ ィ
ら 出 て,陽
極 A まで
後 に は A と同 じ電 位 の ス ク リー ン蛍 光 板 Sに到 達
す る.途 中 の P に は電 子 の 進 行 方 向 に平 行 な 2枚 の 電 極 Pが あ り,こ れ に加 え る電圧 に よって 電 子 は図 の 上 下 方 向 の速 度 成 分 を与 え られ る. 図27で,2
枚 の 電 極 Pの 間 の 電 場 の 強 さ を E と し,電 極 の 水 平 方 向 の 幅 をl
とす る.水 平 方 向 に 走 る 電 子 の 速 度 をυ と し,こ れ が 電 極 Pを 通 りす ぎ る時 間 をt,電 極 間の 電 場 に よ って 上 下 方 向 に与 え られ る速度 をυxとす る と (4)
した が っ て (5)
これ は 電極 間 を通 る こ とに よっ て電 子 線 の進 む 方 向 が ず れ た角 θのtan を表 す.電 図27 電 場 に よ る電 子 線 の 曲 げ
極 Pを 通 りす ぎ た 電 子
はそ の 後 直進 す る か ら (6)
ここ で L は電 極 Pか らス ク リー ン Sまで の距 離,z はス ク リー ン上 の 電 子 の到 達 位 置 が上 下 方 向 に ず れ た長 さ を表 す.こ れ は (7)
で 与 え ら れ る.
静磁場による電子線の曲げ 電 子 が 磁 場 の あ る と こ ろ を 通 る と, ロ ー レ ン ツ 力 を受 け て 曲 げ られ る.磁
場
B に垂 直 に電 子 が 進 む と きに加 わ る ロー レ ン ツ 力 の 大 き さ はeυB(υ 度)で
あ り,こ
は電 子 の速
の力 は絶 え ず電 子 の進 行
方 向 と磁 場 の 方 向 に 垂 直(ロ
ー レ ンツ力
F=eυ
様 な磁場 B
×B)で
あ る か ら,一
図28 磁 場 に よ る電 子 線 の 曲 げ
の 中 で 電 子 は 円 運 動 を す る(図28).そ の 半 径 をa と す る と,向
心 力 が ロ ー レン
ツ力 に 等 しい こ と か ら (8) あ る い はυ=aω
と お く と ω は 角 周 波 数 で あ り,
(9)
と な る.こ
れ を サ イ ク ロ ト ン振 動 数 と い う.
半 径a の円 周 上 の 1点 O にお ける接 線 を x軸 に とる と円 の方 程 式 は
(10) と な る.し
た が っ て 点 O の 近 くでx/aが
小 さい と きは
(10') で 近 似 さ れ る.y=x2/2aは
放 物 線 で あ り,接
線の方向は
(11) で 与 え ら れ る. 電 子 が 一 様 な 磁 場 B の 中 を x方 向 にl1だ
け 進 ん で か ら こ の 磁 場 の 外 へ 出 て,
そ の 後 は L だ け 直 進 し て ス ク リ ー ン に 当 た る と す る と,y 方 向 の ず れ はLtanφ
(x=l1,と
お く)に
等 しく
(12) で 与 え ら れ る. 【J.J.ト ム ソ ン の 実 験 】 電 場 と 磁 場 を た が い に 平 向 に か け て 電 子 線 を 曲 げ る. 電 場 の た め に 曲 が る 方 向 を z方 向,磁
場 の た め に 曲 が る 方 向 をy 方 向 と す る.l,
l1は そ れ ぞ れ 一 定 と み な して よ い か ら,(7)と(12)
か らυ を 消 去 す る と,い
ろ い ろ の 速 度 の電 子 が ス ク リ ー ン に 到 達 す る 点 は 放 物 線
(13) の 上 に乗 る こ とが わ か る.こ れ を測 定 して 電子 の比 電 荷e/mの
値 が 求 め られ た.
ゼ ー マ ン効 果 ゼ ー マ ン(P.Zeeman,1865−1943)は
ナ ト リ ウ ム の ス ペ ク トル 線(D
源 を 磁 場 の 中 に お い た と き 数 本 に 分 か れ る こ と を 発 見 し た(1896年).こ な 現 象 を ゼ ー マ ン効 果 と い う.こ
線)が
光
の よう
れ は 原 子 の 中 で 電 子 が 振 動 して い る と い う模 型
を 用 い て ロ ー レ ン ツ に よ っ て 説 明 さ れ た. こ の 模 型 に よ れ ば,磁
場 がz 方 向 に あ る と き,電
荷q を も つ 粒 子 の 運 動 方 程 式
は
(14)
で 与 え られ る.z 方 向 の 運 動 は独立 で単 振 動 で あ る.x とy 方 向 に対 して は
(15) とす る と
(16)
こ こ でu∝eiωt,u∝e-iωtと
お く と 同 じ式
(17) に な り,こ
れか ら
(18) したが って振 動 数 は
(19) の 2つ に 分 か れ る.こ
れ が ゼ ー マ ン 効 果 の 説 明 で あ る.
た だ しこ こで
(20) ラ ー モア の 定 理 と く にqB/m≪
ω0の 場 合,(19)は
(21)
と な る.こ
の 近 似 で は,磁
場 を か け た と き の 運 動 は,磁
場 の な い と きの 運動 に
(22) だ け の 角 速 度 を 加 え 合 わ せ た もの で あ る こ と に な る.角 ア(Larmor)の
歳 差 運 動 と い い,ωLを
速 度 ωLの 回 転 を ラ ー モ
ラ ー モ ア の 角 速 度 と い う.
【ラ ーモ アの 歳差 運 動 】 ラー モ ア の歳 差 運 動 に よ る回転 の電 流 は加 え た磁 場 に 対 して 反対 向 きの 磁 気 モ ー メ ン トを もつ.こ
れ は物 質 の 反磁 性 を説 明す る.ビ ス
マ スが 磁 極 か ら反 発 され る 反磁 性 の 現 象 は1836年
に フ ァラ デ ー に よ っ て 発 見 さ
れ て い る.磁 気 モ ー メ ン トを調 べ る た め電 子 の 運 動 方 程式 を
(23)
と しよ う.F は単 振 動 を させ る力 な ど を意 味 す る.角 速 度 ω で 回 転 す る座 標 系 に 移 る と運 動 方 程式 は
(24) と な る.右
辺 第 3項 は コ リ オ リ カ,第
4項 は 遠 心 力 を 表 す.
(25) とお け ば,(24)右
辺 の 第 2項 と第 3項 は打 ち消 し合 う(υ ×B+B×υ=0).し
た が って 力 F に 比 べ て B の 2乗 の項 を無 視 した 近似 で,B 度 ωL=-qB/2mで
と反 対 の 向 きに 角 速
回転 す る座 標 系 で見 れ ば,体 系 の 運 動 は磁 場 の ない と き と同
じで あ る.こ れ を ラ ーモ アの定 理 とい う. こ こ で電 子 の 電 荷 はq=-eで
あ る こ と を注 意 しな け れ ば な らな い.し た が っ
て 電 子 に対 して は
(26) が ラ ー モ ア の 角 速 度 で あ り,こ の 場 合,電
れ は 外 部 磁 場 B の 方 向 を 向 い て い る.し
子 の ラ ー モ ア 回 転 に よ る 電 流 は(ρ(r)は
か しこ
電 子 に よ る 電 荷 密 度 で,ρ
(r)<0)
(27) で あ り,こ の 電 流 は 図29で
わか るよ
う に,外 部 電 場 B に対 して 反 対 向 き の 磁 気 モ ー メ ン トの 磁 場B'を
つ く
る.言 い か え れ ば外 部 磁 場 に よ って 生 じる ラー モ ア 回転 は,外 部 磁 場 に対 し て 反対 向 きの磁 気 モ ー メ ン トを誘 起 さ せ る.こ れ は一 般 的 に は物 質 に反磁 性 図29 円 電 流 の つ くる磁 場
を与 え るが,電 子 ス ピ ンな ど に よ る常
磁 性 の な い物 質(ビ ス マ ス な ど)に 限 って現 れ る. 原 子 内 の 電 子 が 半 径a の 円 軌 道 上 を動 い て い る と した場 合,電 荷 の線 密 度 は -e/2πa ,ラ ー モ ア 回転 に よ る速度 はωLaな の で,誘 起 され た電 流 は
(28) で あ り,ラ
ー モ ア 回 転 に よ る 磁 気 モ ー メ ン ト(第13講(3)参
照)は
(29) と な る.電 て,原
子 に よ る 電 荷 密 度 が 3次 元 的 に 広 が っ て 電 子 雲 を形 成 し て い る と考 え
子 の 中 心 か ら 測 っ た 電 子 の 位 置 を x,y,zと しx2+y2+z2=r2の
と す る.他
方 で 電 子 が 円 運 動 を し て い る と す る 模 型 で はa2=<x2+y2>な
平 均 を
a2=2/3.し
の で,
た が っ て(29)は
(30) と な る(第18講Tea
Time参
照).
ホ ー ル 効 果 金 属 や 半 導体 は よ く電 気 を伝 え るの で,こ れ らの 導 体 の伝 導 電 子 は 自 由 に運 動 す る 自由 電子 で あ る と しよ う.導 体 に電 流 が 流 れ て い る と き,電 流 に垂 直 な方 向 の磁 場 を加 え る と,電 流 は ロ ー レ ンッ力 の た め に運 動 を 曲 げ られ,導 体 の 片 方 に 寄 せ ら れ て,そ
図30 ホ ー ル 効 果
の た め に 生 じ る 電 圧 を受 け る こ と に な る.こ
れ をホール
効 果 と い う.
電 流Ixがx方
向 に流 れ て い る と し,z 方 向 に 磁 場Bzを 加 え た と き,y 方 向 に
生 じる電 場 をEyと す る(図30).
(31) を ホ ー ル 係 数 と い う.
単 位 体 積 内 の 電 子 の 個 数 をn と し,x 方 向 の 電 子 の 平 均 速 度 をυxと す る と, 電流 は
(32) で あ る(-eは
電 子 の 電 荷).磁
場 Bzに よ る ロ ー レ ン ッ 力 は 電 場Eyに
よる力 と
打 ち消 し合 う状 態 で 電流 が 流 れ るの で,こ の条 件 は
(33) と 書 け る,よ
って
(34) 1価 金 属 の場 合(34)は
実 験 とだ い た い 一 致 す る値 を与 え る.し か し半 導 体 で
は ホ ー ル係 数 の符 号 が ちが う こ とが あ る.電 気 を伝 え る粒 子,す な わ ち電 気 を運 ぶ粒 子(担 体,キ
ャ リ ヤ ー)が 電 子 の と きは ホ ー ル 係 数 は 負 で あ る が,キ
ャリ
ヤ ーが 正 孔 で あ る と きは ホ ー ル係 数 は正 で あ る.こ の よ うに ホ ー ル係 数 は その 導 体 の キ ャ リヤ ー の性 質,個 数 な どに関 す る情 報 を与 えて くれ る. なお,ガ
ウ ス単 位 系 で は(34)は
(35) と な る.
Tea
Time
フ ァ ラ デ ー と ゼ ー マ ン 効 果 マ イ ケ ル ・フ ァ ラ デ ー(Michael と い わ れ て い る.彼 1829)の
Faraday,1791-1867)は
最 大の実験物 理学者
は 製 本 職 人 で あ っ た が 化 学 者 デ イ ビ ー(H.Davy,1775-
講 演 を き い た の が 契 機 に な っ て,は
じめ デ イ ビ ー の 助 手 と な っ た が,間
も な くす ば ら し い 業 績 を 挙 げ る よ う に な っ た.ヘ の 最 大 の 物 理 学 者 の 1人)に
ル ム ホ ル ツ(19世
か け ら を 使 う だ け で 最 大 級 の 発 見 を や っ て し ま う 人 」 で あ っ た.彼 (Royal
Institution)で
演 」 を 創 設 し,こ
紀 の ドイ ツ
よ れ ば フ ァ ラ デ ー は 「木 の 切 れ っ ぱ し や 針 金 や 鉄 の
最 後 ま で 研 究 生 活 を 送 っ た が,こ
れ は現 在 で も続 い て い る し,そ
こで
は王 立 研 究所
「金 曜 日 の 夜 の 講
の 他 に も子 供 た ち の た め に 「ク
リ ス マ ス 講 演 」(そ の 1つ に 有 名 な 「ロ ー ソ ク の 科 学 」(岩 波 文 庫 に 訳 本 が あ る) が あ っ た)を
行 っ た.
フ ァ ラデ ーは 化学 に お け る数 々の 発 見 や気 体 の 液化 な どのす ぐれ た研 究 を した が,何
と い っ て も 最 大 の 仕 事 は 電 磁 気 学 に 関 す る 研 究 で あ る.彼
は数 学 な どの学
問 を した 時期 が な く,学 術 用 語 に必 ず しも詳 し くな か っ たが,そ
の代 りす ば ら し
い 直 観 力 を も って電 磁 気 学 を切 り開い て い った とい え る だ ろ う.彼 は まだ用 語 す ら生 み 出 され て い な か っ た新 しい世 界 を進 んで い っ た と もい え る し,な ま じっか 数 学 の技 法 を知 らな か っ た た め に他 人 が まねで きな い方 法 で 実 験 か ら イ メ ー ジ を 膨 ら ませ る こ とがで きた ので もあ ろ う.マ ク ス ウ ェ ル は これ こそ 本 当 の 数 学 で あ る とい っ て い る. フ ァラ デ ー の行 っ た最 大 級 の発 見 の 中 で最 大 の もの は,電 磁 誘 導 の 発 見 だ った とい わ れ て い る.こ れ は1831年
ご ろ に行 わ れ たが,電 磁 誘 導 に よ っ て電 流 を発
生 させ る ため に は,導 線 が 磁 力 線 を切 らね ば な らな い,と い う こ と を彼 は は っ き りとつ か ん だの で あ る.磁 力 線 とい う概 念 に生 命 を与 え,こ れ を活 用 して 電磁 現 象 を 明 白 に イ メ ー ジで き る よ うに した の は フ ァラデ ー の 大 きな 功 績 で あ る.彼 は こ う してモ ー タ ーだ けで な く発 電機 や変 圧 器 を発 明 した の で あ る.こ の 頃,あ る 政 治家 に,あ なた の 発 見 は何 の役 に立 つ か と きか れ て,フ
ァ ラデ ー は 「 今 はわか
り ませ んが,い ず れ そ れ に税 金 をか け られ る 日が くる で し ょ う」 と答 え た とい う 話 が あ る.研 究 と社 会 との 関 係 に つ い て考 え させ られ る話 で あ る. フ ァラデ ーは 力 学 的 な 力,電 気 的 な力,磁 気 的 な力 な どが た が い に 関係 し合 っ て い る とい う イ メー ジ を も って い た.こ と に光 と電 磁 気 的 な力 との 関連 を実 証 し よ う と した. は じめ に彼 は ガ ラス や結 晶 に電 場 をか け た と き,こ れ を通 る光 の偏 光 面 が 変 わ る か を調 べ た が 成 功 しな か った(1875年
に カ ー(Kerr)と
に よ って 電場 に よる偏 光 面 の 回転 を発 見 した― つ いで1845年
い う人 が 精 密 な 実 験
カ ー効 果).
に彼 は 自分 で 発 明 した重 しガ ラ ス に磁 場 をか け た と き,こ れ を
通 る光 の偏 光面 が 回 る こ とを発 見 した.こ れ は フ ァラデ ー効 果 と呼 ば れて い る. さ らに彼 は磁 場 か ら反 発 され る物 質 を発 見 して い る(反 磁 性 の 発 見). 1849年 か ら フ ァ ラデ ー は 重力 と電 気 の 相 互 作 用 を見 つ け 出 そ う とす る実 験 を 何 度 も行 っ て い る.彼 は 高 い と ころ か ら物 体 を 落 と して,こ れ が 電 気 を帯 び る か,と い う よ うな こ とを調 べ たが,結 果 は否 定 的 で あ った. 1862年 に フ ァ ラデ ー は最 後 の 実験 を行 った.そ れ は 光源 を磁 場 の 中 に お いて, そ こか ら出 る光 に磁 場 が 与 え る影 響 を見 つ け よ う とい う試 み で あ った が,こ れ は 成 功 しなか った.こ の で あ る.フ
の効 果 はそ れ か ら34年 た って ゼ ーマ ンに よ って 発 見 され た
ァラデ ーの 用 い た 実験 装 置 は精 度 が 不 十 分 だ った の で あ り,ゼ ー マ
ンは精 度 の 高 い 装 置 で この 効 果 を発見 す る こ とが で きた わ け で あ る. フ ァラデ ー は彼 の 行 った 実 験 を詳 し く記 して い る.こ れ が 『電気 に 関 す る実 験 的研 究 』 とい う大 著 で あ る.若 き 日のゼ ーマ ンは こ れ を熱 心 に読 み,フ の遺 志 をつ い で ゼ ー マ ン効 果 を発 見 した.
ァラ デ ー
も し も重 力 と電 気 との 間 に,フ
ァラ デ ーが 考 え た よ うな 関係 が 検 証 され る 日が
来 た とす れ ば,そ れ は アイ ンシ ュ タイ ンの一 般 相 対 性 理 論 や 大統 一 理 論 に と って また とな い有 力 な手 が か り とな る はず で あ る. 「自然 界 のす べ て の力 は 同 じ起 源 を もって 相 互 に依 存 し合 い,た
った 1つ の 基
本 的 な力 が異 な った形 で現 れ た もの だ とす る信 念 を,私 は長 い こ と変 わ らず に も ちつ づ け て きた.そ こで,実 験 に よ って 重 力 と電 気 の 関係 を 明 ら か に し,磁 気, 化 学 的 な力,熱
を含 む 多様 な力 の 現 れ 方 を 1つ の 関係 で結 びつ け る試 み の 中 に,
重 力 も一 緒 に組 み 込 め る ので は ない か と考 え て み た 」 とフ ァラデ ー は述べ て い る (小山 慶 太 著 『フ ァラデ ーが生 きた イ ギ リス」 日本 評 論 社,1993年).
第9 講 ビ オ ーサ バ ー ル の 法 則
―テ ー マ
◆
ビ オ-サ バ ー ル の 法 則
◆ 直 線 電 流,円 ◆Tea
電 流 の つ くる磁 場
Time:
電 気 と磁 気
ビ オ-サ バ ー ルの 法 則 す で に 述 べ た よ う に,平
行 な 電 流 の 間 に は 引 力 が は た ら き,電
ア は こ の 現 象 を用 い て 定 義 さ れ て い る.電
流 の単 位 ア ンペ
流 間 に 力 が は た ら くの は,一
が つ く る 磁 場 に よ っ て も う 一 方 の 電 流 が 力 を 受 け る か ら で あ る.距 隔 て て 無 限 に 長 い 2本 の 定 常 電 流I,I'(A)が は,電
あ る場 合,こ
流 に 垂 直 で 電 流 を 含 む 面 内 に は た ら き,導
さ をF(N)と
方 の電 流
離R(m)を
れ ら の 間 に は た ら く力
線 のl(m)に
は た ら く力 の 大 き
す ると (1)
で あ る(第
1講 参 照).こ
の 場 合,電
=μ0HI'lの
力 を 受 け る(第
7講(1))
流I'は,電 .し
流I が つ く る 磁場 H に よ っ て F
た が っ て 電 流 II が 距 離 Rの と こ ろ につ
くる磁 場 の大 き さは (2)
で あ る.こ
の磁 場 H の
向 きは電 流 に沿 っ て お い た右 ね じを 回す 向 きで, 磁 力 線 は電 流 を 中心 とす る 同心 円 を形 づ くる(図 31). 【ビ オ ーサ バ ー ル の 法 則 】 電 流 の つ く る磁 場
図31 電 流I の つ くる磁 場 H
は,電 流 の各 部 分 が つ く る磁 場 を合 わせ た もので あ る と考 え る こ とが で き る.こ の 考 え に よれ ば,電 流 I の微 小 部 分dsが
こ こか ら rの と こ ろ につ くる磁場 をdHと
する と (3)
で 与 え ら れ る.電 係 は 図32の
流 素 片Idsと
関
よ う に な る.
こ れ を ビ オ-サ
バ ー ル(J.Biot,1774-1862,
F.Savart,1791-1841)の dHの
r とdHの
法 則 と い う.磁
場
大 き さは
(4)
た だ し θ はdsと
r と の 間 の 角 で あ る.す
な
わ ち 定 常 電 流 に 対 し て 成 立 す る.
【 例 1 直 線 電 流 の つ くる磁 場 】 ビ オ ーサ バ ール の 法 則 が正 しい結 果 を与 え る こ と を示 図32 ビオ ーサ バ ー ルの 法 則
す た め,直 線 電 流 の つ くる磁 場 を計 算 して み る.図33の う.図
よ う に 直 線 電 流 に 沿 っ て 長 さ s を と り,点
Pに お け る磁 場 を 求 め よ
にお い て (5)
で あ り,
(6) こ の 場 合,電
流 素 片Idsが
つ く る 磁 場dHは
い て 紙 面 に 垂 直 で あ り,そ れ ば よ い.し
の 大 き さdHは
Pに お 単 に加 え
た が って Pに お け る磁 場 の 大 き さ を
H と す る と(4)か
ら
図33 直 線 電 流
(7) と な り,こ 【 例2
れ は(2)と
一 致 し て い る.
円 電流 の中心軸上 の磁 場】
ル の 法 則(4)に
お い て,図34の
ビ オ ーサ バ ー
よ う に θ=π/2,
ds=adψ,r2=z2+a2.半
径a の 円 電 流 Iが 中 心 軸 に
つ く る磁 場 H は(4)を
sに つ い て 積 分 した も の で
(8) 図34 円電 流 のつ くる磁 場
とな る。
Tea
Time
電気 と磁気 電 気 とい う もの は眼 に見 え ない の で,中 学校 や高 等 学 校 の物 理 の 中で あ ま り人 気 が な い よ うで あ るが,そ
う か と思 う と電 気 の 授 業 が 大 好 き な先 生 方 もお られ
る. 電 気 を使 って モ ー ター を使 う とい うの は,多
くの子 供 に とって 1つ の夢 で あ る
ら しい.今 で はい ろ い ろの 材 料 が 手 に 入 る の で む か しほ ど むず か し くは な い と思 うが,子 供 の 頃 に モ ー ター をつ くろ う と して うま く回 らなか った 覚 えは私 に もあ
る.最 近 に な っ て,あ ち ら こ ち らで や さ しい 科 学 の話 な ど を た の まれ,簡
単な
モ ー タ ーや 電気 ブ ラ ンコ な ど を 自作 して演 示 実験 を してみ せ る こ とが あ る.ま た 簡 単 な磁 針(コ
ンパ ス)を つ くっ て見 せ る こ と もあ る.
電 流 や磁 気 な ど,眼 に見 え な い もの が い ろい ろ の作 用 をす る.そ の 作 用 に よ り 予 期 しなか った よ うな大 きな動 き な どが 見 られ る と き,そ れ は 驚 き に変 わ る. 電 気 ブ ラ ンコ とい うの は,電 流 が 磁 場 か ら力 を受 け る こ と を利 用 す る.太 い 銅 の 針 金 で ブ ラ ンコの 2本 の 柱 に相 当 す る枠 をつ く り,そ の 間 に 同 じ針 金 で ぶ らぶ らゆ れ るブ ラ ンコ をか け,ブ ラ ン コの 座 る とこ ろ は強 い 馬蹄 形 磁 石 の 両極 の 間 に あ る よ うに す る.2 本 の柱 を通 して 電池 の電 流 を流 せ ばブ ラ ン コ は磁 石 か らカ を 受 けて 一瞬 飛 び はね る よ うな 運 動 をす る.た あ い も ない よ うな もの だ が,針 金 を 太 くす る と大 きな力 が 出 て くるの で,ち
ょ っと び っ くりす る よ うな は げ しい運 動
が 見 られ る. これ に類 す る電 気 の お もち ゃは い ろ い ろ あ る.少
し凝 れ ば相 当高 尚 な ものが つ
くれ る だ ろ う. ア イ ンシ ュ タ イ ンは 子供 の と きに,お 父 さんが くれ た磁 石(コ
ンパ ス)の 動 き
に心 を奪 われ た そ うで あ る.磁 針 が 眼 に見 え ない 力 を受 け て南 北 の 方 向 を向 こ う と努 力 して い る様 子 は,彼 に とっ て 大 きな驚 きで あ った.空 間 を隔 てて 及 ぼ し合 う力 が 彼 の 一 生 の研 究 テ ー マ に な っ た 1つ の 原 因 は,幼 か った と きの そ の 驚 きで あ ったの だ ろ う.
第10講 真 空 中 の 磁 場div
H=0
―テー マ ◆
真 空 中 の 磁 場 div H=0
◆
ベ ク ト ル ・ポ テ ン シ ャ ル
◆Tea
Time:
水の 流れ の アナ ロジー
磁 場 は磁 荷 と電 流 に よ って生 じる.磁 荷 の 正 体 は電 子 の ス ピ ン(古 典 的 な モ デ ル で は 自転)と 電 子 の 運動 で あ るが,こ
れ を小 さ な永 久磁 石(分 子 磁 石 とい う)
の極 が そ の端 に現 れ た もの で あ る と考 え る の も便 利 で あ る(図35).永 N 極 と S極 と を も ち,こ
久磁 石 は
れ を 2つ に 切 っ て も
必 ず そ の 断 面 に 極 が 現 れ て,1 つ の 永 久 磁 石 の N の 磁 荷 と Sの 磁 荷 と は い つ も 大 き さ が 等 し い.分
子 磁 石 も そ の 両 端 に N 極 と S極
が あ り,こ
れ ら の 磁 荷 の 大 き さ は等 し い と考 図35 分 子 磁 石 と永 久 磁 石
え ら れ る. した が っ て,ど
の よ う に 小 さ な 領 域 を と っ て も,そ
荷 密 度 は 0 で あ り,単
位 体 積 内 の 全 磁 荷,あ
の 中 の 全 磁 荷,あ
るい は磁
る い は 磁 荷 密 度 は 常 に 0で あ る.電
荷 に つ い て は 電 荷 密 度 を ρ と す る と き,divE=ρ/ε0が
成 り立 つ(第
3講).こ
れ に対 応 して,磁 荷 密 度 が 0で あ る こ とは
(1)
を意 味 す る.こ れ は磁 場 が 時 間 的 に変 わ る場 合 に も成 り立 つ. ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル 磁 場H
に 対 し てdivH=0で
あ る こ と は,磁
場H
が あ る 場 の 量A(x,t)を
用
いて
(2)
と表 さ れ る こ と を 意 味 して い る.こ
こ でrotは
で 与 え ら れ る ベ ク トル で あ り, (3)
が 恒 等 的 に 成 り 立 つ.(2)に
お い てA(x,t)を
ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル と い
う.
電 流 が つ くる磁 場 前 節 で は,磁
荷 に よ っ て 磁 場 が 生 じ る と して 直 観 的 にdivH=0を
か し実 際 に は,磁
場 は 電 流 に よ っ て 生 じ る も の で あ る.定
磁 場 に 対 し て は 前 講(3)の 磁 荷 を 考 え ず,磁 み よ う.電
導 い た.し
常 電 流 に よ って 生 じる
ビ オ ーサ バ ー ル の 法 則 が 成 り立 つ.
場 は す べ て 電 流 に よ っ て つ く ら れ る と考 え て(2)を
流 に す こ し広 が り を も た せ,電
導いて
流素片 を (4)
と 書 き 直 す.こ dxdydzを
こ でi は 電 流 密 度,dxは
意 味 す る . こ の 電 流 がx'に
バ ー ル の法 則 に よ り
3次 元 の 素 体 積(体
あ る と き,x
積 要 素)dx=
に つ く ら れ る 磁 場 は ビ オ ーサ
(5)
で あ る か ら,こ れ を電 流 全 体 に わ た っ て積 分 す れ ば,電 流 が位 置x に つ くる磁 場 と して ( 6) を得 る.た だ しV は電 流i が存 在 す る全 空 間で あ る. こ こで
(7)
な どに注 意 す れ ば,x に 関す る演 算rotのx 成 分 と して
(8) を得 る.y,z成
分 に つ い て も 同 様 で あ る.
した が っ て,(6)の
H は
(9)
電 流I が導 線 を流 れ る と きは (9')
と 書 け る.こ
れ が 定 常 電 流 に よ る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル で あ る.こ
示 し た よ う に 一 般 にdiv
rot=0で
あ る か ら,電
こで す で に
流 に よる磁 場 につ い て
(10) が再 び導 か れ る.
こ の 結 果 は,磁
荷 の 正 体 は 電 流 に あ る と して 導 い た.こ
法 則 を用 い た が,こ わ る と き は,こ
の 際 ビ オ ーサ バ ー ル の
れ は 定 常 電 流 の と き正 し い 式 で あ る.電
れ に よ る 磁 場 は 光 速 度 で 伝 わ る の で,ビ
の ま ま で は 正 し く な い.し あ る い はdivB=0を
流 が 時 間 と とも に変
オ ーサ バ ー ル の 法 則 は そ
た が っ て 上 の 計 算 は 変 動 す る 電 流 の 場 合 はdivH=0
証 明 し た こ と に な ら な い.し
か し,後
に示 す よ うに 電流 の
影 響 が 光 速 度 で 伝 播 す る こ と を 考 慮 し た 電 磁 場 で もdivB(x,t)=0で が っ て 磁 場 B は 時 間 を 含 む ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ルA(x,t)を
あ る.し
た
用 い てB=rotA
と 書 け る こ と に な る.
ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャル の任 意性 ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル A に は あ る 任 意 性 が あ る こ と を 注 意 し て お こ う。 こ れ は 次 の よ う な こ とで あ る.磁 き,す
場 H が あ る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ルA を もつ と
なわち
(11) で あ る と き,f を任 意 の ス カ ラ ー 関 数 と し て
(12) とお く と
(13) が 直等 的 に 成 立 す る た め,
(14) す な わ ちA'も
同 じ 磁 場 の ベ ク ト ル ・ポ テ ン シ ャ ル で あ る.変
rotA=rotA'の
と き こ の 変 換 を ゲ ー ジ 変 換 と い う.(12)は
換A→A'を
して も
ゲ ー ジ変 換 の一 例 で
あ る.
一 般 に はdivAは
0 で は な い .し
か し,ゲ
ー ジ 変 換(12)を
行 うと
(15)
と な る.こ
こ で 静 磁 場 に 限 定 し,A
が 時 間 に よ ら な い と して
(16) と い う 方 程 式 を 考 え る と,こ
れ は 電 荷 密 度 が ρ=ε0divAで
を 与 え るポ ア ソ ン の 式 で あ っ て,解
を もつ.こ
あ る 場 合 の 静 電 場f
の 解f を用 い れ ば
(17) と な る.言
い か え れ ば,ベ
divA=0と
す る こ と が で き る の で あ る.ど
あ る か ら,divA=0と
ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル の 任 意 性 を 利 用 し て 静 磁 場 で は の よ うな ゲ ー ジ を用 い て も よ い の で
した 方 が 理 論 的 に は 電 磁 場 の 方 程 式 が 簡 単 に な る わ け で
あ る. な お,ゲ
ー ジ 変 換 に つ い て は 第29講
Tea
で 再 び 述 べ る こ と に す る.
Time
水 の 流 れ の ア ナ ロ ジ ー 磁 石 の 力 は眼 に 見 えな い が,磁 石 の上 に紙 をお い て鉄 粉 を ふ りか け る と磁 石 の N極 と S極 の 間 をつ な ぐ鉄 粉 の模 様 が で き る.こ れ は磁 石 の力 が伝 わ る磁 力線 が 空 間 の中 にあ る こ と を示 して い る,電 気 につ い て も正電 気 と負 電 気 との 間 に電 気 の力 が 伝 わ る電気 力線 が考 え られ る(第14講
参 照).電 気 力 線 と磁 力 線 は電 気 力
や磁 気 力 を眼 に見 え る よ うに表 して くれ るの で,こ れ らを理 解 す る の に大 変 役 に 立 つ. 磁 力 線 は N 極 か ら出 て S極 に入 る(そ の よ う に向 き を定 め る).そ の パ タ ー ン は水 が 湧 き 口か ら出 て吸 口へ 入 る流 れ に似 て い る(実 際,磁 極 と磁 極 の 間 の空 間 で は磁 場 はdivH=0を
満 たす が,こ れ は縮 まな い流 体 の流 速v がdivv=0を
満
たす の と まっ た く同 じで あ る).電 気 力線 に つ い て も同 様 で,正 電 気 と負 電 気 の 間の 電気 力線 は湧 き口 か ら 出て 吸 口へ 入 る水 の流 れ と ま った く同 様 で あ る.力 線 の様 子 を詳 し く計 算 す る の は大 変 で あ るが,水 の流 れの イ メ ー ジ を借 りれ ば力 線 の だ い た い の様 子 を知 る こ とが で き る.パ ソコ ンを使 い こなせ る人 は力 線 を描 く の に そ れ ほ ど苦 労 しない か も知 れ な い が. マ クス ウェ ルが 書 い た論 文 に は電 荷 の 間 の力 線 や,コ
ンデ ンサ ー の 極板 の まわ
りの 力 線 の 様 子 を見 事 に描 い た図 が あ る.コ ン ピ ュー タの な い 時代 に どの よ う に して これ らの 図 を描 い た の だ ろ うか.筆 算 で詳 し く計 算 した の だ ろ うか.計 算 し て くれ る特 別 な 助手 が い たの だ ろ うか.
第11講 静 磁 場rotH=i
―テー マ
◆ ア ンペ ールの法 則 ◆ 磁位 ◆Tea
Time: 磁 気 と渦
ア ンぺ ール の 法則 電 場 E に 対 して はdivE=ρ/ε0,rotE=0を 続 性 を 表 す も の で あ り,第
導 い た. 第 1の 式 は 電 気 力 線 の 連
2の 式 は 電 位 φ を 用 い てE=-gradφ
を 表 して い る. し た が っ て,こ
れ ら の 式 は 電 場 の 性 質 を 表 す 重 要 な 式 で あ る.
同 様 な こ と は 磁 場 に つ い て も い え る だ ろ う か.す を 導 い た.こ
にrotHを
調 べ な け れ ば な ら な い.電
導 く前 に 閉 曲 線 に 沿 う線 積 分∫E/dsを 沿 う∫Hdsを 【 例 1】
で に 前 講 に お い てdivH=0
れ は 単 磁 極 が な い こ と を表 し て い る も の で,重
明 ら か で あ る.次
と書 け る こ と
調 べ た.そ
要 な 式 で あ る こ とは
場 の 場 合 はrotE=0を
こで 磁 場 の 場 合 に も閉 曲線 に
調 べ る こ と か ら は じめ よ う. 簡 単 な 場 合 と し て,直
は 電 流 を と り ま く向 き に あ り,そ
線 電 流 Iを 考 え る と,こ
れ か ら R の距 離 の磁 場
の大 きさ は (1)
で あ っ た.こ
の 電 流 を 1周 す る 道 筋 C0に沿 っ て 積 分 す れ ば
(2)
を 得 る.こ ら,図36の
れ はR によ らない か よ う に,電
流 を 1周
す る道 筋 な らば ど ん な形 の もの で あ っ て も∫Hsds=Iで
あ る.
【 例 2】 半 径a の 円 電 流 Iが 中 心 軸 上 に つ く る磁 場 は,第 図36
ア ンペ ー ル の 法 則
(8)に
9講 の
よ り軸 の 方 向 を 向 き, (3)
で 与 え ら れ る(図37).軸
に 沿 っ てz=-∞
か ら ∞ まで
積分する と (4)
こ こ で,z=asinhζ
と お く とdz=acoshζdζ
な の で
(4')
したが って (4")
図37 と な る.こ
の 場 合,積
け 加 え て,閉
分 路 に 無 限 遠 でz=-∞
じた 曲 線 に して も よ い だ ろ う.こ
上 の 2例 に 限 らず,閉
か ら∞
まで をつ な い だ 部 分 を つ
の 閉 曲 線 は 電 流I
曲 線 C0が用 む 電 流 をIと す れ ば,C0に
囲 ん で い る. 沿 う線 積 分 につ
いて
(5)
が 成 り立 つ.こ
れ を ア ンペ ー ル の 法 則 と い う.次
に こ れ を 証 明 し よ う.
ア ン ぺ ー ルの 法 則 の 証 明 平 面 上 の 閉 曲線 に沿 っ て電 流 が 流 れ て い る場 合 に つ い て証 明 す る.図38に
お
いて 平 面 閉 曲線 L を流 れ る電 流 を Iと し,任 意 の 点 Pに お け る磁 場 を H とす る. ビオーサ バ ー ル の法 則 に よ り (6) た だ し,dlは
曲 線 L の 線 分,r
る,(5)でds=│⊿r│と
はdlか
ら Pへ 引 い た ベ ク トル,r は そ の 長 さ で あ
し てHsdSをH・Δrと
書 くと (7)
こ こ で,図38の
よ う に,L
を-⊿rだ
け 平 行 移 動 さ せ た も の をL'と
す る.図
か
図38
ら わ か る よ う に(dl×r)・⊿
rは ベ ク トルdl,r,⊿rが
(⊿r×dl)・rと 書 け る 。⊿r×dlは⊿rとdlの
つ く る 平 行 6面 体 の 体 積 で,
つ く る 平 行 4辺 形 の 面 積 を も ち,こ
の 平 行 4辺 形 に 垂 直 な ベ ク トル で,こ
れ と r と の ス カ ラ ー 積 をr3で 割 っ た も の
を 閉 曲 線L に つ い て 積 分 す る と,P'と
P と か らL を 見 た と き の 立 体 角 の 差⊿Ω
に 等 しい.し
た が って (8)
と な る. 図39で
A は 平 面 閉 曲 線 L の 面 上 の 1点 で あ る,P
が A か ら出 発 して 閉 曲線 L
の 中 を 通 過 し て A に 戻 る と,P 立 体 角Ω
は 0か ら2π を 経 て4π に な る.し
が っ て,こ
の 曲 線C0に
・⊿r=Iと で あ る.さ
な る .こ
た
沿 う 積 分 に 対 し て〓H れ は ア ンペ ー ル の 定 理
ら に 電 流 が い くつ か あ る 場 合 に は,
各 電 流 に 対 す る∫H・⊿rを 図39 点 P にお け る磁 位 φm
か ら L を見 た
の 寄 与 が 得 ら れ る.そ
加 え合 わせ れ ば全 体
の 結 果,閉
通 す る 電 流 をI1,I2.…,Inと
曲 線 C0を 貫
す る と き,ア
ン
ペ ー ル の法 則 は (9)
とな る. 【磁 位 】 単 位 磁 荷 を無 限 遠 か ら点 P まで は こぶ の に 要 す る仕 事 を磁 位 とい う. 点 Pか ら電流 の流 れ る閉 曲 線 を見 た 立 体 角 をΩ(P)と
す れ ば磁位 φm(P)は
(10) で与 え られ る こ とが 示 され る.磁 位 と磁 場H の 間 に は
(11) の 関 係 が あ る. ス トー ク ス の 定 理 を 用 い る と
(l2) を 得 る.こ i(x)を
こ で S は 閉 曲 線C0を
用 い れ ば,ア
ふ ち と す る 任 意 の 面 で あ る.他
方 で,電
流密度
ンペ ー ル の 法 則 は
(13) と書 け るか ら
(14) こ こ でC0,し
た が っ てS は 任 意 で あ る か ら
(15) を得 る. ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル を 使 っ て こ れ を 直 接 証 明 し よ う. 【 証 明 】rotHを
ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル A で 表 す と
(16) と な る が,一
般 の ベ ク トル 場 X に 対 し て,rotrotXのx
成 分 を計 算 す る と
(17) と な り,y,z 成 分 も 同 様 に 計 算 さ れ る.し
た が って 恒 等 式
(18) が 成 り立 つ. 上 の 恒 等 式 を ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル A に つ い て 適 用 す れ ば
(19) を得 る.定 常 電 流 の 場 で は
(20) で あ る.こ の微 分 を書 き直 して部 分 積 分 を行 う と
(21)
を得 るか ら,定 常 電 流 に対 す る電 荷 の 保 存 の式
(22) を用 い る と
(23) を得 る. 次 に,よ
く知 ら れ た よ う に
(24) が ポ ア ソ ン方 程式
(25) の解 で あ るこ とか ら
(26) な の で(19),(20),(23)か
ら
(27) を得 る.
Tea
Time
磁気 と渦 地 球 を大 きな磁 石 だ と考 え たの は,磁 気 の学 問の 創 始 者 とい わ れ る ギ ル バ ー ト (イギ リス の エ リザ ベ ス 1世 の 侍 医)で
あ っ た.地 球 の 中 に大 きな 永 久 磁 石 が あ
る と考 えた の で あ る.し か し,鉄 の磁 石 は強 磁 性 の α鉄 だ とす る と770℃(キ リー 温 度)以 上 で 磁 石 で な くな って しま う.地 球 内 部 の1000℃
ュ
以 上の ところに
永 久磁 石 が あ る と は思 え な い. 地磁 気 の原 因 は,地 球 の 内 部 の 電流 であ る と考 え られ て い る.地 球 内部 の熱 に よ って 対 流 が 起 こ る.こ こ に 弱 い 磁 場 が あ った とす る と対 流 に は 誘 導 電 流 が 生
じ,こ れ が磁 場 を強 め,そ れ が さ らに対 流 に誘 導 電 流 を生 じ させ る.こ う して あ る程 度 の 地磁 気 が つ くられ る とい うの で あ る.こ れ を地 磁気 の ダイ ナモ 理 論 とい う.地 磁気 は地 球 外 の 惑 星 で も存 在 す る. 電 流 はそ の まわ りに磁 気 を と もな う.そ の磁 力 線 は電 流 の まわ りを回 る渦 にた と え られ る(こ れ は rotH=iと
い う式 に そ の まま定 式 化 され て い る).
電 流 が 円形 に 閉 じて 円 電流 に な る と,円 電 流 が つ くる磁 場 は そ の 円 を貫 く磁 束 を形 成 す る.円 電 流 を少 し遠 くで 見 る と,NS極
を もつ 磁 石 と 同 じ磁 場 が で きて
い るの で あ る.こ の と き,円 電 流 と い う回 転 が 磁 場 をつ くる とい う こ とが で き る. 常 磁 性 や 強磁 性 は電 子 の ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トに よ る もので,ス
ピ ン は角 運 動
量 を もつ とい う意 味 で 回転 で あ る.磁 性 体 を 1つ の 回 転軸 の ま わ りに回 転 で き る よ うに 吊 る して お き,こ れ に鉛 直 方 向 の 磁 場 をか け る とス ピ ン回運 動 量 が そ の 方 向 を向 く と同時 に これ を打 ち消 す ため,磁 性 体 は反 対 の 向 きに 回転 を起 こす.こ れ を ア イ ン シ ュ タ イ ンード ・バ ー ス効 果 とい う.著 者 は高 校 生 の と きに大 学 生 向 きの テ キ ス トで これ を知 って大 い に感 銘 を受 けた 覚 えが あ る.こ の 効 果 は磁 気 回 転 効 果 と もい う.ま た逆 に,磁 性 体 を高 速 回 転 させ る とス ピ ン角 運 動 量 が 逆 向 き に な って 全 体 の 角 運 動 量 を打 ち 消 そ う とす る た め,磁 化 が 生 じる.こ ネ ッ ト効 果 とい う.
れはバー
第12講 磁
荷
―テー マ ◆ 電 流 と磁荷 の相 互作 用 ◆ 磁 荷 ど う しの 力 ◆ 磁 荷,μ0な ◆Tea
どの次元
Time: 磁 石 の お も ち ゃ
電流 と磁荷の相互作用 エ ルス テ ッ ドが示 した よ うに,電 流 は磁 針 に力 を及 ぼす .磁 針 はそ の 両 端 に磁 荷 を もち,電 流 が つ くる磁 場 が 磁 荷 に 力 を及 ぼす と考 え られ る.実 験 に よれ ば, 直線 電 流 Iが磁 荷qmに
及 ほす 力 は 図40
の よ う に,電 流 を と り囲 む 向 きで あ り, そ の 力 の 大 き さ F は電 流 と磁 荷 の 間 の 距 離 R に 反 比 例 す る.し
たが っ て こ の
力 の 大 き さは (1)
図40 電 流Iが 磁 荷qmに
及ぼす力 F
と書 く こ とが で きる(こ こで 右 辺 の 係 数 2π は,後
の 便 宜 の た め に つ け た もの で あ る〉.こ の 式 に よ っ て,磁
qmを 定 義 す る こ と に す る.
荷 の大 きさ
直 線 電 流 Iが R だ け隔 た った と ころ に つ くる磁 場 は (2)
で あ った.し た が っ て電 流 が 磁 荷 に及 ぼ す 力 は (3)
と書 け る.こ れ は磁 場 H が 磁 荷 に及 ぼす 力 の 大 き さで あ る. さて,ビ オーサ バ ー ルの 法 則 に よ り,電 流 のつ くる磁 場 H は,電 流 素 片 に よ る 磁 場dHを
加 え合 わ せ た もの で与 え ら れ,磁 場dHは
磁 荷 に対 してdHの
向 きに
力 (4) を 及 ぼ す(図41).電 サ バ ー ル の 法 則(第
流 素 片 か ら 磁 荷 へ 引 い た ベ ク トル を―rと 9講(3))に
す る と,ビ
オ-
よ り (5)
した が っ て (6)
【 磁 荷 が 電 流 に 及 ぼす 力 】 電 流 が 磁荷 に力 を及 ぼす とき,磁 荷 は 電 流 に対 し反作 用 を及 ぼ さな けれ ば な らな い.も
し もこの 反 作 用 が
な けれ ば,電 流 と磁 荷 を合 わ せ た 体 系 全 体 は 電流 が磁 荷 に及 ぼ す 力 の 向 きに 加 速 さ れ る こ と に な る
図41 電流 素 片Idsと 磁 荷qm
が,こ れ は 外 力 が は た らか な い体 系 は,は
じめ 静止 して い れ ば いつ まで も静 止 して い る とい う慣 性 の 法 則,あ
るい
は運 動 量 保 存 の 法則 に反 す る.電 流 が 磁 荷 に力 を及 ぼす と きは,磁 荷 は大 きさが 等 し く向 きが 反 対 の 力 を電流 に及 ぼす わ け で あ る.こ の 力 をdF'と =−dFで
あり
す る と,dF'
(7)
こ れ が,磁
荷qmが
電 流 素 片Idsに
及 ぼす 力 で あ る.
磁 荷 が 電 流 に 力 を 及 ぼ す と い う こ と は,磁 う こ と で あ る.磁 素 片Idsに
荷qmが
荷 が そ の ま わ りに 磁 場 をつ く る とい
そ の ま わ り に つ く る 磁 場 をHmと
及 ぼ す 力 は,第
7講(1)に
す る と,こ
れが電流
よ り (8)
で 与 え ら れ る 。 こ れ を(7)と
比 べ れ ば,磁
荷qmが
rだ け 隔 た っ た と こ ろ に つ
くる磁 場 は (9) で あ る こ とが わ か る.こ
れ は 電 場 の 式E=(q/4π
ε0)r/r3と 同 形 の 式 で あ る.
【 磁 荷 ど う し の 力 】 磁 荷qmは
そ の ま わ り に(9)で
こ と が わ か っ た.こ
中 に 他 の 磁荷qm'を
の 磁 場Hmの
与 え ら れ る磁 場 をつ くる お く と,(3)よ
り力
(10) が は た ら く こ と に な る.し
た が っ て,磁
荷qmとqm'の
間 に は た ら く力 は
(12) で 与 え ら れ.そ
の 大 き さは
(13) と な る.す
な わ ち 磁 荷 の 間 に は た ら く力 は,磁
の 距 離r の 2乗 に 反 比 例 す る.こ に は N と Sの 2種 類 が あ り,同
荷qm,qm'の
積 に 比 例 し,そ
の間
れ を磁 気 に 関 す る ク ー ロ ン の 法 則 と い う 。 磁 荷 種 の 磁 荷 ど う し は 反 発 し合 い,異
種の磁荷 は引
き合 う.
磁 荷,μ0な どの 次 元 と単 位 こ こで,磁 荷 な どの 次 元 と単 位 を明 らか に して お こ う.第 した μ0も実 は次 元 を もつ 量 で あ る. 次 元 とMKSA単
7講(9')で
導入
位 系 に お け る次 元 と単 位 を
と も に 括 弧[]で す で に 第7講 ア ンペ ア,m=メ
表 す こ と に す る. で 述 べ た よ う に,磁 ー トル)
磁 荷 に つ い て は(F=力,R=距
磁 束 φ は(J=エ
束 密 度 の 次 元 は(N=力(ニ
離,I=電
ネ ル ギ ー(ジ
流)
ュ ー ル),C=電
荷(ク
ー ロ ン)
磁 場 H につ い て は
したが って
電 場 に 関 す る 量 に つ い て はC=ク
ー ロ ン と して
電荷 ク ー ロ ンの 法 則F=(1/4π
ε0)qq'/γ2によ り,誘
電率の次元は
した が っ て
速度 実際
は 光速 度 で あ る こ とが示 され る, また電 荷qと 磁 荷2mの 積 の次 元 は
=[作 用 量]
ュ ー ト ン),A=
と な り,こ
れ は 作 用 量 と呼 ば れ る 量 で あ る.こ
れ は ま た,
[作用 量]=[ エ ネ ル ギ ー ・時 間]=[ 運 動 量 ・長 さ]
で あ る.量 子 力 学 の基 本 定 数 で あ る プ ラ ンク 定 数h の 次 元 は作 用 量 で あ る. 作 用 量 は単 に作 用 と も呼 ばれ る. 磁 束 φ に つ い て は
超 伝 導 体 の環 を貫 く磁 束 φ は,磁 束 量 子h/2eの プ ラ ン ク 定 数,-e=電
整 数 倍 に量 子 化 され る(h=
子 の 電 荷).
Tea
Time
磁 石 の お も ち ゃ 地 磁 気 の大 き さ は場 所 に よっ て ちが い,変 動 もあ る が磁 束 密 度 で 表 す とだ い た い10-4テ ス ラ(1 ガ ウ ス)程 度 で あ る.地 磁 気 の 中 で 針 金 を縄 飛 び の よ う に 回 せ ば誘 導 起 電 力 が 生 じる とい う話 で あ る. ゼ ム ク リ ップな どの鉄 の 針 金 を真 直 ぐに して ガ ス の火 で 赤 熱 させ,南 北 方 向 に お い て 冷 やせ ば 地磁 気 に よ って 磁化 され て小 さ な コ ンパ ス磁 石 が で きる.こ れ を 中 央 で 支 え れ ば,簡 単 なお も ち ゃの磁 針 が で き る. ね じ回 しな どの鉄 の 器 具 は,叩 い た りす る と地 磁 気 の た め に 自然 に磁 化 され る ら しい.強 い磁 場 に入 れ た り,強 い永 久 磁 石 で こす った りす れ ば磁 化 す るの は も ち ろ んで あ る.磁 化 され た ね じ回 しは鉄 の ね じ りな ど を磁 石 の 力 で保 持 す るこ と が で きる ので,工 作 に便 利 で あ る. フ ェ ラ イ ト磁 石 は,メ モ な どを鉄 の 黒板 や 冷蔵 庫 に く っつ け た りす るの に広 く 用 い られ て い る。 石〓 に鉄 片 をつ けて,こ れ を磁 石 で洗 面 台 な ど に吊 る して お く 用 具 が あ るが,こ れ も大 変 便 利 で あ る. 磁 石 を利 用 した お もち ゃ は数 え切 れ な い ほ ど た く さん あ る.台 の 中 に か くれ て い る磁 石 か ら反発 力 を受 けて 空 中 に静 止 す る コマ は,最 近 の 傑作 お もち ゃで あ ろ う.た だ しう ま く空 中 に 浮 か ばせ る に は相 当 な練 習 が 必 要 で あ る.Top
secretと
い う永 久 に止 ま らな い(電 池 が な くな らな い 限 り)コ マ が あ るが,あ れ は コマ が 磁 石 で で きて い て,土 台 の 下 に は トラ ン ジス タの セ ンサ ー が あ り,コ マ が 近 づ く
と電 磁 石 に 瞬 間 的 な 電 流 が 流 れ て コ マ に シ ョ ッ ク を与 え て 加 速 す る よ う に な っ て い る の で あ る.同
様 に,振
り子 に シ ョ ッ ク を与 え る カ オ ス 的 振 子 や ブ ラ ン コ な ど
が イ ン テ リ ア の 店 な どで よ く見 か け ら れ る .
第13 講 円電流 と磁気 双極 子
―テ ー マ
◆円 月電 流 ◆ ボ ーア磁子 ◆Tea
Time:
レ ン ツの 法 則
円電 流 の 磁 気 モ ー メ ン ト 電 気 双 極子
〔第5講)で
メ ン トは かp=qsで ら り,これ
ば,電
荷 ±qが 距 離s を隔 て て あ る と きの 双 極 子 モ ー
に よ っ て つ く ら れ る 電 場 は 十 分 遠 く(r≫s)に
おい て
(1)
で あ っ た.これ
と同じ よ う に,磁
荷 ±qmが距離
子 の 磁 気 モ ー メ ン トはpm=qmsであり,これ r≫s ,)に
おい
s を隔 て て あ る と き の 磁 気 双 極
に よ って つ くられ る磁 場 は 十 分遠 く
て
(2)
で与 え られ る. 磁 気 双 極 子 の磁 場(2)は,半
径a の 円 電 流 Iが 十 分遠 く(r≫a)に
お い てつ
くる磁場 と同形 で あ り,こ の と き
(3)
と と れ ば,そ
の 磁 場 は(2)に
よ っ て 与 え ら れ る.
【証 明 】 円 電 流 の 中 心 を 原 点 と し,円 電 流 が xy 面 に あ る と す る.対
称 性 か ら 磁 場 はz 軸 に
対 し て 軸 対 称 で あ る か ら,磁 (r,θ,ψ)はxz面 い.第11講
上(ψ=0)に
場 を求 め る点 P あ る と して よ
で 述 べ た 磁 位 φmを 用 い よ う.十
分 遠 方(r≫a)か
ら円 電 流 を見 た と きの立 体 角
をΩ とす る と,
(4)
とな る(図42参
照).し
に よ り,点P(r,θ)に
図42 円 電 流 と磁 気 双 極 子
た が っ て 第11講(10) お け る磁 位 φmは
(5)
よっ て
(6)
こ れ は(2),(3)と
一 致 して い る.
【 ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル を 用 い た 証 明 】 内 に あ り,中
同 じ 円 電 流 に つ い て,こ
心 が 原 点 に あ る と す る と,第11講(20)の
ル の 式 に お い て 電 流i(x')はz す な わ ち 点P(r,θ,0)に
成 分 を も た な い の で ,そ
れ がxy面
ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ のz 成 分Azは
お け る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル のz 成 分 は
Oで あ る.
(7) ま た,点
P はxz面
上 に あ る と し て よ く,こ
は そ のr 成 分irは る.す
反 対 称 な の で,ベ
の と きxz面
に 対 して 電 流i,あ
るい
ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル A のr 成 分 も 0で あ
なわち (8)
図43
し た が っ て,ベ で あ る(図43).
円 電 流 に よ る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル
ク トル ・ポ テ ン シ ャ ルA はxy面 点(a,θ',ψ')に
内 に あ り,残
る 成 分 はAψ だ け
お け る電 流 の ψ 成 分 は (9)
よ っ て 点P(r,θ,0)に
お け る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル の ψ 成 分 は
(10) た だ し,こ =rsinθ
こ で R は 円 電 流 上 の 点Q(x=acosψ',y=asinψ',z=0)と
,y=0,z=rcosθ)の
点P(x
間 の距 離 で
(11)
したが っ て
(12) を得 る.こ の 右 辺 の積 分 は楕 円積 分 で あ る . r≫a とす る と
(13) と な る.た こ こ で,極
だ し高 次 の 項 は 省 略 した. 座 標 に 対 す るgradの
公 式 を用 い れ ば
(14)
を 得 る.こ
れ ら の 式 は(2),(3)と
一 致 して い る.
ボ ーア 磁 子 電 子(電 荷‐e,質
量me)が
半 径a の 円 軌 道 上 を速 さvで 回 って い る と き,そ
の角 運 動 量 L は
(15) で あ る.こ
れ を 円 電 流 と み る と,電
荷 の 線 密 度 はe/2πaで
あ り,電 流 の 大 き さ は
(16) で あ る.さ
ら に,こ
の 円 電 流 を 遠 方 で み た と き の 磁 気 双 極 子 モ ー メ ン ト をpmと
す る と,(3),(10),(15)に
よ り,関
係式
(17) を 得 る. 【ボ ー ア 磁 子 】 量 子 論 的 な 考 え に よ れ ば,角 と し て,〓=h/2π
の 整 数 倍 に 等 しい.そ
こで
運 動 量L は,プ
ラ ン ク 定 数 をh
(18) は 磁 気 モ ー メ ン トの 単 位 と 考 え ら れ る 。
(19) を ボ ー ア磁 子 と い う.電 の 値 に ほ ぼ 等 し い.し よ り0.116%だ
子 の 磁 気 モ ー メ ン トは ス ピ ン に よ る も の で あ る が,(19)
か し,主
に 放 射 補 正(量
子 電 磁 力 学 的 効 果)に
よ り (19)
け 大 き い.
陽 子 な ど の 核 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト は(19)でmeの た もの に等 し く は な い.こ
代 わ りに 核 子 の 質 量 を お い
れ は陽 子 な どが ク ォー クか ら構 成 され た 構 造 を もつ た
め と さ れ て い る.
磁場の中の円電流 一 様 な磁 場 H の 中 にお い た 円電 流(半 径a,電 流 I)に は た ら く力 の モ ー メ ン トは(磁 場 と円電 流 の面 の法 線 の なす 角 を θと して)
(20) に 等 し い.こ
れ は 磁 気 双 極 子 モ ー メ ン トpm=μ0Iπa2の
で 受 け る 力 の モ ー メ ン トに 等 し い(図45参 【証 明 】 図44の 直 な 成 分Hcosθ
よ う に,円
れ ば よ い,電
照).
電 流 の 1点 P に お け る 磁 場H
と こ の 面 内 の 成 分Hsinθ
メ ン ト は P とP'と
に 分 け て 考 え る.前
で 打 ち 消 し 合 う か ら,後
流 素 片Idsが
dsと 磁 場 の 成 分Hsinθ
磁気双極子 が磁場 H の中
を,円
電 流 の面 に垂
者 に よ る力 の モ ー
者 に よ る 力 の モ ー メ ン トだ け を 考 え
磁 場 の 成 分Hsinθ
か ら受 け る 力 をdFと
の な す 角 はψ な の で)
図44 磁 場 内 の 円 電 流 が受 け る 力
す る と(線
素
(21) し た が っ て 力 の モ ー メ ン トの 大 き さ は
図45 磁場内の磁気双極子
(22) と な る.こ
の モ ー メ ン ト は 図45の
【 注意】
よ う な 磁 気 双 極 子 で も得 られ る.
コ イ ル がx 軸 の ま わ りに 自 由 に 回 転 で き る と し,そ
ト をIcと す る と,コ
の慣性 モー メン
イルは
(23) で表 され る振 動 をす る.そ の 周 期 を測 れ ば 磁 束 密 度 B を知 る こ とが で きる.
Tea
Time
レンツ の 法則 コ イル(ソ
レノ イ ド)の 導線 の両 端 をつ な いで お い て棒 磁 石 をつ っ込 む と,コ
イ ル に 誘導 電 流 が 流 れ る.も
し も,こ の 電 流 が 棒 磁 石 を加 速 して吸 い込 む よ う な
もの で あ っ た とす る と,電 流 の エ ネ ルギ ー も棒 磁 石 の 運動 エ ネ ル ギ ー も増 加 して し ま う.こ れ はエ ネ ル ギ ー保 存 の法 則 に反 す る こ とで あ る.ゆ え に この と き コ イ ル に流 れ る電 流 は,棒 磁 石 がつ っ込 まれ るの に反 抗 しよ う とす る力 を及 ぼ す もの で な け れ ば な ら ない. 手 回 し発 電 機 で は,こ れ を豆 電 球 につ な い で発 電機 を手 で 回 して 豆 電球 を点灯 させ る と き は,手 に 大 きな反 抗 力 を感 じ る.豆 電 球 をつ け てお か な けれ ば そ の よ う な力 はな く,発 電 機 は軽 く回 る.自 転 車 を こ ぐ と点 灯 す る発 電機 で もラ ンプが つ くよ うに ス イ ッチ を入 れ れ ば,自 転 車 をこ ぐの に大 きな力 が い る よ うに な る. この よ うに棒 磁 石 をつ っ こん だ り,発 電 機 を 回 した りす る仕 事 が 電流 に な る. した が って,誘 導 電 流 は外 か ら加 え る力 が こ の電 流 に よ って 反抗 力 を受 け る よ う な 向 きに 流 れ る.こ れ を述べ た のが レ ンツの 法 則(1834年)で
あ る.
レ ンツ の 法 則 は,電 磁 誘 導 の 向 き に 関 す る 法 則 で あ り,次 の よ う に述 べ られ る.電 磁 誘 導 に よ って起 こ され る電 流 は,そ の原 因 と な る磁 石(あ の(相 対 的 な)運 動 を阻 止 す る よ う な 向 きに 流 れ る.ま た,磁 流)を,誘
るい は電 流)
石(あ
るいは電
導 電流 が減 少 す る 向 きに動 か す と きは,こ の 動 き を阻 止 す る力 が磁 石
(あ る い は電 流)に
はた ら く.
い ず れ に して も,誘 導 電 流 は,こ れ を起 こす 原 因 にな る外 部 か らの 力 に 抵抗 す る.誘 導 電流 は あ る種 の慣 性 を もって い て,変 化 を少 な くす る よ うに 抵抗 す る の で あ る. 物 理法 則 に は レ ンツの 法 則 の よ うな,や や 擬 人 的 な述 べ 方 も許 され る.
第14 講 電気力線 の応 力
―テー マ
◆ 電気 力線 ◆ 応力 テ ンソル ◆Tea
Time:
フ ァラデ ーの力線
電 気 力 線 す で に第 3講 な どで述 べ た よ う に,電 場 の様 子 は電 気 力 線 に よ って 表 され る. 電 気 力 線 は正 電荷 か ら出 て無 限遠 へ 達 す るか負 電荷 に入 る.あ るい は 無 限 遠 か ら きて 負 電 荷 に入 る.こ れ は,縮
まな い 水 の よ うな 流 体 の 流線 の よ う な もの で あ
る. 例 と して,電 気 量 の等 しい 2つ の 電 荷 の まわ りの電 気 力 線 は図46(a)の よ う に な る.ま た,電 気 量 の 等 しい正 負 の 電 荷 の ま わ りの電 気 力 線 は 図46(b)の よ う
(b)
(a)
図 46
に な る.図46(a)の
場 合 に 2つ の電 荷 の 間 に は反
発 力 が は た ら くが,こ
れ は電 気 力 線 が 横 に押 す 力
(圧力)を 及 ぼ し合 うた め と解 釈 で きる.ま た 図 46(b)の 場 合 に は 電 荷 の 間 に は引 力 が は た ら く が,こ れ は電 気 力 線 が 力 線 の 方 向 に縮 も う とす る 力(張 力)が 作 用 す るた め と解 釈 で き る,こ の よ うに,電 荷 の 間 の 力 は 電 場 を通 して は た ら く と考 図47 電 気 力 線 の 束 の応 力
え る こ とが で きる.
【電力 管 の 及ぼす 力 】 電気 力 線 の 束 を電 力 管 と呼 べ ば,電 力管 の側 面 に は側 面 に垂 直 に 単位 面積 あ た り (1)
が は た ら く.ま た,電 力 管 に はそ の 断 面 に垂 直 に単 位 面 積 あ た り
(1')
が は た ら く.こ
れ は 次 の よ う に し て 確 か め ら れ る. 【 例(i)】
反 発 力 の 場 合.2
にq で あ る と す る.こ
つの電荷が と も
れ ら を結 ぶ 線 を点 O に
お い て 2等 分 す る 面 上 で O か らr の 距 離 に お け る2電 図48の
荷 に よ る 電 場 は こ の 面 S の 中 に あ る. 記 号 を 用 い れ ば,a/2=Rcosθ
な の で,
面 S 上 に お け る電 場 E の 大 き さ は (2) 図48
電 力 管 の側 面方 向 に は た ら く圧 力 の大 きさ を ε0E2/2と仮 定 す る と,面
力(こ
れ が 電 荷 の 間 の 力 と考 え る)は(r=(a/2)tanθ,dr=(a/2)dθ
S を 通 して 押 し合 う /cos2θ)
(2')
こ こ で 電 荷 間 の 距 離 はa で あ る か ら,f は 確 か に 2電 荷 間 の ク ー ロ ン反 発 力 に 等 し い. 【例(ⅱ)】
引 力 の 場 合.2
る.図49か
つ の 電 荷 を ±qと す
ら電 場 の 強 さ は
(3)
そ こ で 電 力 管 の張 力 の 大 き さ を ε02/2と 仮 定 す
図49
る と,全 体 の張 力 は
(3')
と な る.こ
れ は 確 か に 2電 荷 間 の ク ー ロ ン引 力 に 等 し い.
応 力 テ ン ソル
媒 質(電 磁 場)の
中 に 図50の
よ う な小 さ
な面△Sを 考 え,こ れ に 垂 直 な単 位 ベ ク トル の 方 向余 弦 を (4)
と す る.△sを
通 し て は た ら く力 のx,y,z 成 図50 法線n の 方 向 余 弦(α,β,γ)
分△Fx,△Fy,△Fzが
(5)
で 与 え ら れ る と す る と き,
(6)
と書 き,こ
れ を 応 力 テ ン ソ ル と い う.こ
れ を テ ン ソ ル と 呼 ぶ の は,座
標 系 を変換
(回転)し た と きに(Tik)が
(7)
と 同 じ変 換 を 受 け る と い う こ と で あ る. 【 マ ク ス ウ ェ ル の応 力 テ ン ソル】
電 場E=(Ex.Ey,Ez)に
おい て
(8)
ただ し
(8') を マ ク ス ウ ェ ル の 応 力 テ ン ソ ル(の
電 場 に よ る 部 分)と
【 電 力 管 に は た ら く 力 】(5),(8)を
用 い れ ば,電
い う. 力 管 に は(1),(1')の
力 が は た ら く こ と を 証 明 で き る. 【証 明 】
電 力 管 の 縮 小 部 分 を 考 え,簡
単 の た め 電 場 E の 方 向 にz 軸 を と る.
こ の とき (9) で あ る. 応 力 テ ン ソ ル(8)は
この とき
(10)
図51
と な る.
電 力 管 の 側 面 に 微 小 面 積△S1を と る と(図51),法
線 はz軸 に 垂 直 で あ る か
ら,そ の 法 線 の 方 向 余弦 の 中で
(11) で あ る.し たが って△S1に は た ら く力⊿Fは 単位 面積 あ た り
(12)
これ は,電 力 管 の 側 面ΔS1を 通 して
(13) の力(圧 力)が
はた ら くこ と を意 味 して い る.
次 に,電 力 管 の 垂 直 断 面(等 電 位 面)上
に微 小 な面 積ΔS2を 考 え る と,そ の
法線 ベ ク トルの 方 向 余 弦 は
(14) で あ る.し
た が っ て,こ
の 面ΔS2に
は た ら く力⊿F2は
(15)
で あ る.こ れ は電 力 管 に沿 っ て単 位 面 積 あ た り
(16) の 張 力 が は た ら く こ と を 意 味 して い る.
Tea
Time
フ ァラデ ー の 力線 フ ァ ラ デ ー に つ い て は 第 8講 のTea
Timeに
お い て す で に 述 べ た.こ
こ で は,
フ ァ ラ デ ー に よ っ て 活 用 さ れ た 電 磁 場 の 力 線 に つ い て 述 べ た い. 磁 石 の 上 に 紙 を お き,そ
の 上 に 鉄 粉 を ふ り か け る と,鉄
極 を 結 ぶ パ タ ー ン を つ く る.こ
粉 が 磁 石 の N極 と S
れ は よ く知 ら れ た 事 柄 で あ り,磁
場 の様 子 を わか
り や す く示 して くれ る 現 象 で あ る. しか し こ れ を重 大 に 受 け と め,こ 場 と い う概 念 を 誕 生 さ せ た の は フ ァ ラ デ ー(電 使 い は じ め た の か も し れ な い)で
あ っ た.理
こ か ら電 磁
磁 場 と い う用 語 は マ ク ス ウ ェ ル が 論 物 理 学 の 系 譜 か らみ れ ば フ ァラ
デ ー の 第 1の 業 績 は 場 の 概 念 の 樹 立 で あ ろ う が,こ
の大 きな業 績 が 理 論物 理 学 者
で な く実 験 物 理 学 者 に よ っ て な さ れ た と い う こ と も,自 え さ せ る 事 柄 で あ る.し
か も こ れ が,数
然 科 学 の 根底 につ いて 考
学 につ い て ほ とん ど無 知 で あ った フ ァラ
デ ー に よ っ て な さ れ た こ と も 興 味 深 い. フ ァ ラ デ ー は まず 磁 力 線 に つ い て 考 え た が,こ
れ に つ い て 確 信 を も っ た の は,
電 磁 誘 導 な ど の 現 象 が 磁 力 線 と い う概 念 を 用 い て み ご と に説 明 で き る こ と を 知 っ た と きで は な か っ た だ ろ う か.磁
力 線 に 次 い で,彼
は 電 気 力 線 も考 え る よ う に
な っ た. し か し,電 よ っ て)説
磁 気 の 現 象 は ア ン ペ ー ル な ど の 理 論 に よ っ て(遠
明 さ れ る 時 代 で あ っ た.こ
作 用 に よ っ て 電 磁 現 象 を説 明 す る もの で,彼 も の で あ っ た に ち が い な い.そ
隔作 用の考 えに
れ に対 しフ ァ ラデ ー の力 線 の考 え方 は近 接 以 外 の 人 に とっ て は思 い も よ らな い
の よ う な た め も あ っ た と思 う が,フ
ァ ラデ ー は 自
分 の 考 え を あ え て 公 表 し よ う と しな い で い た. と こ ろ が1846年
に,ホ
イ ー トス トー ン と い う学 者 を フ ァ ラ デ ー は 王 立 研 究 所
の 金 曜 講 演 の 講 師 と し て 招 待 した.こ す る と き に な っ て,急
の と き,ホ
イ ー トス ト ー ン は 研 究 の 報 告 を
に お じけ つ い て こ っ そ り逃 げ 出 して し ま っ た(こ
のた め 金
曜 講 演 の 講 師 は 講 演 の 前 に 部 屋 に 閉 じ こ め られ る よ う に な っ て 今 ま で こ の 習 慣 が 続 い て い る).司 な っ た が,時
会 者 の フ ァ ラ デ ー は 仕 方 な く,自
間 が 余 っ て し ま っ た の で,彼
話 を持 ち 出 さ ざ る を 得 な くな っ た.そ
分 で 即 席 の 話 をす る は め に
は長 い 間 ひそ か に温 め て い た電磁 場 の
の と き 彼 が した 話 は プ リ ン トさ れ て 「光 線
の 振 動 に 関 す る 考 察 」 と い う短 い 論 文 に な っ た そ う で あ る が,こ
れ は彼 の電 磁 場
の 概 念 だ け で な く,電 磁 場 の 横 振 動 が 光 な の で あ ろ う と い う臆 説 ま で 含 む も の で あ る と い わ れ て い る. フ ァ ラ デ ー は,光
が 電 磁 気 的 な 波 で あ る こ と を実 験 的 に 示 す と い う 点 に 強 い 執
念 を も っ て い た.1832年 ち 込 ん だ が,こ た.こ
に彼 は 王 立 協 会
れ は106年
後 の1938年
(Royal Society) に 封 印 し た 書 類 を も
に イギ リスの 科 学 者 た ち の 前 で 開 封 され
れ に は次 の よ う な こ と が 書 か れ て い た(カ
涯 』 早 川 光 雄 ・金 田 一 真 澄 訳,東 「私 は 次 の 結 論 に 達 した.つ
わ る と考 え て い る.私 る と考 え る.…
『マ ク ス ウ ェ ル の 生
京 図 書,1976年).
ま り,磁
か と わ か る 時 間 が 要 求 さ れ る.私
ル ツ ェ フ著
気 作 用 の 伝 播 に は 明 らか に きわ め て わ ず
は ま た,電
磁 誘 導 も ま っ た く 同 じ よ う に して 伝
は 磁 極 か ら の 磁 気 力 の 伝 播 は 波 立 っ た 水 面 の 振 動 に似 て い
こ の 発 見 を 一 定 の 日付 で 予 約 し,実 験 実 証 の 暁 に は,そ
私 の 発 見 の 日付 と して 声 明 す る 権 利 を 持 ち た い と 思 う.現
の 日付 を
在 私 の 知 る 限 りで は,
私 を 除 い て 誰 も同 じ よ う な 見 解 を も っ て い る も の は な い 」 こ う い う こ と は あ っ た け れ ど も,フ
ァ ラ デ ー は 清 貧 に 甘 ん じ,科
学 の研 究 に ひ
た む きで 高 潔 な 人 で あ った.彼 は国 か らの特 別 な年 金 を 固辞 した こ と もあ り,王 立研 究所 の所 長 や王 立 協 会 の 会 長 に押 され なが ら辞 退 して い る.「 私 は最 後 まで, た だ の マ イ ケ ル ・フ ァラ デ ーで い た い 」 とい うのが 彼 の言 葉 で あ った.
第15講 電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー
―テー マ
◆ 電荷 のエ ネ ルギー ◆ 磁場 のエ ネル ギー ◆Tea
Time: 運 動 量
点電荷の相互作用 2つ の 電 荷q1とq2が
位 置x1とx2に
お か れ て い る と き,こ
れ らの 相 互 作 用 に よ
るエ ネ ル ギ ー は
(1)
で あ る.こ
れ を 書 き直 す と
(2)
と 書 け る.こ 電 位 のx2に 一 般 に,電
こ で φ1は 電 荷 2に よ る 電 位 のx1に
お け る 値,φ2は
電 荷 1に よ る
お け る 値 で あ る. 荷qi(i=1,2,…,N)が
そ れ ぞ れ 電 位 φi,にあ る と き の エ ネ ル ギ ー は (3)
で あ る.
(2)に
お い て φ1はq2に
う に(3)に
よ る 電 位 で あ り,φ2はq1に
よ る 電 位 で あ る.同
お い て φiはqi以 外 の 電 荷 に よ る 電 位 で あ り,qiに
含 ま れ て い な い.し
か し 第 4講 に も 注 意 した よ う に,時
よ る電 位 は φi,に
間 的 に 変 化 す る 電 場 を考
え る と き に は 自 己 の つ く る 電 場 の 影 響 も 考 慮 し な け れ ば な ら な い.さ 線 の 考 え 方 に よ れ ば,電
荷 ど う しの 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー は,電
れ る と い っ て も よ い は ず で あ る,ま だ け が あ る場 合 に も,そ る.こ
じよ
た こ の 考 え に よ れ ば,空
ら に電気 力
場 に た くわ え ら
間 に た だ 1個 の 電 荷
の 電 荷 が つ くる 電 場 の 空 間 が エ ネ ル ギ ー を も つ は ず で あ
れ ら の こ と を考 慮 す る た め,ま
【 帯 電 導 体 球 のエ ネル ギ ー】
ず 少 し具 体 的 な 例 か ら始 め よ う.
電
荷q を も つ 導 体 球 1個 だ け が あ る 場 合 を考 え る.導
体 内 部 で は電 場
は な い か ら(E=0),divE=ρ/ε =0で
あ り
荷)は
存 在 し な い.し
,自
由 な 電 荷(真
。 電
た が って導
図52 導 体 に与 え た電 荷 は表 面 だ け に分布 す る
体 に与 え られ た真 電 荷 は すべ て そ の表 面 だ け に 分布 す る(図52).空
間 に 1個 の 導体 球 が あ る だ けの 場 合 は,対 称
性 か らわ か る よ うに電荷 は表 面 に一 様 に分 布 し,電 気 力 線 は 放射 状 に無 限 遠 まで ま っす ぐ広 が って い る.こ れ に ガ ウス の 法 則 を適 用 す れ ば,球 の外 で 球 の 中心 か らrの 距 離 の 電 場 は 全電 荷q が 中心 に集 ま った と きの もの に等 し く,E=q/4π
ε0r2
で あ る こ と に な る.し た が っ て 球 の 外 部 の 電位 は φ=q/4π ε0rであ り,と くに導 体球の電位 は (4)
(aは 導体 球 の 半径)で
あ る,
い ま,無 限 遠 か ら微 小 電 荷dqを 導 体 球 まで は こぶ と き,そ の 仕事 は (5)
で あ る.し た が って,導 体 球 に電 荷 が な い 状 態(q=0)か 帯 電 させ る の に必 要 な仕 事 は
ら電 荷 がq に な る まで
(6) で あ る.多
数 の 導 体 が あ る 場 合 も同 様 で あ る.
【 導 体 の 集 ま りの エ ネ ル ギ ー 】 導 体 が 多 数 あ る と き を 考 え よ う.各
導体の表面
が そ れ ぞ れ 一 定 の 電 位 に あ る こ と は 明 ら か で あ る.0<
導体の電荷
が αq1,αq2,…,αqNで (αqN)と
す る.電
α<1と
し,各
あ る と き の 電 位 を そ れ ぞ れ φ(αq1),φ2(αq2),…,φN
場 は線 形 で あ り (7)
が 成 り立 つ.い
ま,無
与 え る こ と に よ り,各
限 遠 か ら 電 荷q1dα,q2dα,…,qNdα
をはこんで各導 体 に
導 体 を 一 様 に 帯 電 さ せ る とす る と,こ
れ に要 す る仕 事 は
(8) で 与 え ら れ る.こ
の エ ネ ル ギ ー は 全 空 間 に た くわ え ら れ る と 考 え ら れ る.実
際,
これ は次 の よ うな書 きか え に よ って 示 す こ とが で きる.
電 場 の エ ネル ギ ー 電 位 φ1の 導 体 表 面 の 微 小 部 分(面
積ΔS1)か
力 管 を 考 え,こ
ら出 る細 い 電 れ を 図53の
よ
う に 微 小 間 隔 の 等 電 位 面(面 ,ΔSA,ΔSB,…,電 φB,…)で
図53 静電場 の電気力線
積ΔS1
位 φ1,φA
細 分 割 す る.簡
単 の
た め等 電 位 面 間 の 間 隔 をす べ て
⊿xと す る と,等 電 位 面 上 の 電 場 の 強 さは (9)
とな る. 電 力 管 が 導 体 を切 る微 小 断 面 に あ る導 体 の表 面 電 荷 を⊿qと す れ ば,こ
れ を含 む微 小 な台 形(底 面 積△S1と△SA)に
お け る電場 は 導体 内部 で 0,外 部 で
E1で あ る か ら,こ の 台 形 に ガ ウ ス の法 則 を適 用 す る と
(10) を得 る.し
たがって
(11) これ を書 き直 す と
(12) と な る が,電
気 力 線 は△S1,△S2,…
を 貫 くか ら
(13) が成 り立 つ の で
(14) を得 る.た だ し,こ こで相 次 ぐ台 形 部 分 の 体 積 を
(15) と書 いた . 最 後 に全 空 間 を電力 管 に分 割 して,総 和 を とれ ば(14)の
左 辺 の半 分 は(6)
の右 辺 を与 え るの で,全 エ ネル ギ ー は
(16) を得 る. この よ う に して,電 場 の 存 在 す る 空 間 は単 位 体積 あ た り
(17) の エ ネ ル ギ ー を もつ こ とが わ か る.こ
れ は 次 の よ う に して 計 算 す れ ば 解 析 的 に 導
か れ る. ま ず,電
荷 が 電 荷 密 度 ρ(x)で
分 布 して い る と す る.ρ(x)=ε0d
ivEな
の で,
φ(x)を 電 位 とす る と,任 意 の体 積V に対 して
(18) こ こで恒 等 式
(19) を用 い,さ ら に ガ ウ スの 積 分 定 理 を使 う と,任 意 の 体 積V に対 して
(20) (gradφ=-E)を こ こ で,電
得 る.S
は 領 域V
を 囲 む 閉 曲 面 で あ る.
荷 は 有 限 の 領 域 に 存 在 し て い る と し,S
と して こ の 領 域 か ら き わ め
て 大 き な 距 離.rに あ る 球 面 を と れ ば
(21) の 程 度 な の で,r→ る 積 分 と な る.ま
∞ で(20)の た,こ
右 辺 第 1項 は 0 に な り,第
の と き(20)の
け に対 し て 積 分 す れ ば よ い.こ
左 辺 は 電 荷 ρ(x)の
2項 は 全 空 間 に 対 す 存 在 す る 空 間V0だ
う して 全 エ ネ ル ギ ー の 式 と して
(22) が 得 られ る.
電磁 場 の エ ネル ギ ー 磁 場 の 存 在 す る空 間 に つ い て も同 様 で あ っ て,単 位 体 積 の もつ 磁 場 の エ ネ ル ギーは
(23) で あ る.電 場 と磁 場 とが 存 在 す れ ば,そ のエ ネ ル ギ ー は単位 体積 に つ き
(24) で あ る.
Tea
Time
運動量 世 間で 運 動 量 とい う と,ジ ョギ ング とか,エ ア ロ ビ クス な どの運 動 を どの く ら い続 け るか とい う よ うな意 味 で使 わ れ る言 葉 で あ る.し か し,物 理 学 で い う運 動 量 は まっ た くちが う,こ れ は世 間 的 な用 語 と物 理 学 の 用 語 が 大 き くちが う例 の 1 つ で あ る. 物 理 学 で い う運 動 量 とは 何 か,と い う問 い に ひ と こ とで答 え るの は む ず か し い.ニ ュー トン力 学 で は,運 動 量 は質 量 と速 度 の積 で 与 え られ る ベ ク トル量 で あ る.相 対 論 的力 学 で は,第 4成 分 をエ ネル ギ ー とす る 4次 元 の ベ ク トル で あ り, 速 度 が小 さい極 限 で ニ ュー トン力 学 の運 動 量 に な る. 電磁 気 学 で は,力 学系 と電 磁 場 を合 わせ た体 系 で 力学 系 の運 動 量 と電 磁 場 の 運 動 量 の和 が 保 存 され る.そ の よ うな量 と して 電 磁場 の運 動 量 が あ る,電 磁 場 の 運 動 量 を も と にす れ ば,こ れ と合 わせ た もの が 保 存 され る のが 力 学 系 の 運 動 量 で あ る とい う こ とに な る。 電 磁場 の 運動 量 が 力 学 系 に吸 収 され る と きは,力 学 的 な衝 撃 と して現 れ る.運 動 量 とは,こ の意 味 で,衝 撃 を表 す ベ ク トル量 で あ る.
第16講 マ ク ス ウ ェル の 方 程 式
―テー マ
◆ 応 力 と運 動 量 ◆ マ クス ウ ェルの方程 式 ◆Tea
Time: マ クス ウ ェ ル
応力と運動量 力学 に お い て は,運 動 量 P の増 加 の 割 合 は F に等 しい とい うこ と,す な わ ち (1)
が 基礎 に な る.こ こで 運 動 量 を (2)
と お け ば,ニ
ュ ー トン の 運 動 方 程 式 が 得 ら れ る.ま
た (3)
とお けば,相 対 論 的 な 運 動 方 程式 と な る. 電 磁 場 に荷 電粒 子 や そ の 流 れ(電 流)が あ る場 合 は,粒 子 の 力 学 的 な全 運動 量 GM(t)と 力F(t)に
電 磁 場 の 運 動 量Gem(t) の和 の増 加 の割 合 が,こ の 体 系 に外 か ら加 わ る 等 しい.す な わ ち
(8)
(4)
こ れ は こ の体 系 に 対 す る運 動 量 保存 の式 で あ る. 【力 学 的 運 動 量 】 粒 子i の もつ 質 量 をmi,電
荷 をei,速 度 をviと す る.粒 子
は ニ ュ ー トン力学 に した が う と し,さ らに電 磁 場 か らロ ー レ ンツ力 を受 け る とす る。 粒 子jがi に及 ぼす 力 学 的 な力 をfijと す る と,粒 子i の運 動 方 程 式 は (5)
で あ る.力 学 的 な全 運 動 量 は (6)
で あ る が,力 学 的 な力fijは 作 用 ・反 作 用 の 法則 (7)
に したが うか ら,電 磁 場 の作 用 の ほ か に外 力 が ない とす る と
と な る.た
だ し こ こ で,電
荷 密 度 ρ(x,t)と
電 流 密 度i(x,t)を
用 い た表 現 に改 め
た. 電 磁気 的 な力 はマ ク ス ウ ェ ルの 応 力 テ ン ソル
(9)
ただ し
(9')
を用 い て次 の よ うに表 され る:
(10) 書 き直す と
(11) こ こ で,divE=ρ/ε0,divH=0,(∂Ex/∂z-∂Ez/∂x)=(rotE)yな
ど を用 い る と
(12) を 得 る.
電磁運動量密度 力学 的 な力 と運 動 量 お よび電 磁 気 的 な力 が わ か った か ら,こ こ で電 磁 気 的 な 運 動 量 を定 義 す れ ば,電 磁 場 が したが うべ き運動 方 程 式 が 得 られ る はず で あ る.そ こ で電 磁 運 動 量 密 度 と して(「 は しが き」 の記 述 参 照)
(13) を仮 定 す る.全 電磁 気 運 動 量 は
(14) で あ り,そ の 時 間 的 変化 は
(15) そ こ で(8),(15)と(12)を(4)に
代 入す る と
(16) と な る.書
き 直 す と(E×
∂H/∂t=-(∂H/∂t)×E)
(17) こ こで積 分領 域 は任 意 で あ る か ら
(18) が 成 り立 つ こ とが わ か る. (18)は λ1,λ2を 定 数 と す る と き
(19) に よ っ て 満 足 さ れ る.し か め ら れ る.そ
か し,λ1,λ2〓0で
あ る よ うな 場 は 存 在 し な い こ と が 確
こ で わ れ わ れ は,λ1,λ2=0と
おい て次 に述 べ る マ クス ウ ェル の
方 程 式 を 得 る.
真空 中 の マ ク ス ウ ェル の 方程 式 基 礎 方 程 式 を ま とめ る と
(20)
(20)に
お い て 第 3式 は フ ァ ラ デ ー の 法 則(電
ウ ェ ル ーア ンペ ー ル の 法 則 と 呼 ば れ る.な ウ ェ ル に よ っ て 導 入 さ れ た 項 で,変
お,第
磁 誘 導 の 法 則 〉,第
4式 は マ ク ス
4式 で 右 辺 の ε0∂E/∂tは マ ク ス
位 電 流 と い う.ま
た,電
荷の保存 は
(21) で 表 さ れ る. 【 積 分 形 】(20)の
第 1式.第
2式 の 積 分 形 は
(22)
で あ る(q はV
を 囲 む 閉 曲 面 S の 中 の 金 電 荷).(21)の
積分形は
(23) で あ る(こ
の 式 は 面 S が 動 い て も 成 り立 つ.S
が 動 く場 合 を 含 め てt 微 分 をd/dt
と 書 く). (20)の
第 3式 の 開 曲 面 S に 対 す る 積 分 形 は,ス
トー ク ス の 定 理 に よ り
(24) (C は 開 曲 面 Sの ふ ち の 曲 線)と
な る.こ
こで
(25) は S を 貫 く磁 束 で あ り,rotH=0で
あ る た め,φ(S)は
閉 曲 線 C で 決 ま る.(24)
に より
(26) が 成 り立 つ. (20)の 第 4式 は同様 に して積 分 形 で
(27) と な る.た
だ し,こ
こで
(28)
は 電 束 で あ る,φ(S)と 〓C の み な ら ず,こ
異 な り,(一
般 にrotE〓0で
あ る た め)Ψ(S)は
閉 曲線
れ を ふ ち と す る 開 曲 面 S の と り方 に 依 存 す る.(25),(27)は
開 曲 面 Sの ふ ち で あ る 閉 曲 線 C が 空 間 に 固 定 して い る場 合 に 成 り立 つ. 【 面 Sが 時 間 的 に 変 わ る 場 合 】 ル の 法 則(27)は
こ の 場 合 は フ ァ ラ デ ー の 法 則(26),ア
ンペ ー
面 の 移 動 速 度 をv と し て
(29)
と書 き か え ら れ る. 【証 明 】 F を空 間 ・時 間 に 対 し て 定 義 さ れ た ベ ク トル と す る と き,∫F・dSの
時 間 的 変 化 は,①
F の 時 間 的 変 化 ∂F/∂t,②
面 Sの 各 点 の 移 動
(速 度v),③
S を 囲 む 閉 曲 線 C の 移 動 の 3つ の
原 因 で 生 じ る. 図54 ① は 単 に ∂F/∂tの 積 分 を 与 え る. ②
S 上 の 点 の 移 動⊿rに
っ た と す る と(図54),S'の 体 の 流 れ の 速 度,F・dSを
よ っ て 面 S がS'に
移
上 の F の 積 分 と S の 上 の F の 積 分 の 差 は,F
を流
流 量 の よ うに み れ ば わ
か る よ うに
(30) ③
開 曲 面 S の ふ ち C の 上 の 点 の 移 動 を⊿rと
す る.C
上 の 微 小 ベ ク ト ル を⊿sと
し,F
と⊿sで つ く ら れ る 微 小 な 6面 体(図55)を る と,そ
と⊿r 考え
図55
の 体 積 加⊿Ω は ベ ク トル の 3重 積
(31) で あ り,C'と
C の 間 の 全 領 域 の 体 積 が ふ ち の 移 動C→C'に
よ る∫F・dSの
変化
を 与 え る. こ れ ら①,②,③
を 加 え 合 わ せ て⊿tで 割 り,v=⊿r/⊿tと
す れ ば,ベ
ク トル 公
式
(32) を 得 る. F と し て μ0Hを div(μ0H)=0で (32)か
と れ ば,マ あ り,ス
ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 か ら ∂(μ0H)/∂t=-rotE,
ト ー ク ス の 定 理 に よ り∫rotE・dS=∫E・dsな
の で,
ら
(33) を 得 る.こ
れ は(29)の
次 に,F=ε0Eと div(ε0E)=ρ (32)か
第
1式 で あ る.
す れ ば,マ で あ り,ス
ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 に よ り ∂(ε0E)/∂t=rotH-i,
ト ー ク ス の 定 理 に よ り∫rotH・dS=∫H・dsな
の で,
ら
(34) を得 る.こ
れ は(29)の
第 2式 に ほ か な ら な い.
【 動 く観 測 者 】(26),(27)と(29)を 一 様 な 場 合 は観 測 者 Sに対 して E で 動 く面S',あ
る い は 観 測 者S'に
比 べ る と,静
止 した 面 S,あ る い はv が
,H で 与 え ら れ る 電 磁 場 は,こ
れ に 対 し速 度v
対 して
(35)
で あ る こ とに な る.こ れ は観 測 者 の運 動 に よ る電 磁 場 の 変換 式 で あ るが,こ
の変
換 式 は│v│が 光 速 度c に比 べ て 小 さい と き に正 しい式(非 相 対 論 的 な 近 似 式)で あ る.相 対 論 的 な電磁 場 の変 換 は ロ ー レ ンツ変 換 で 与 え られ る が こ こで は省 略 す る.
Tea
Time
マ ク ス ウ ェ ル フ ァ ラ デ ー は19世 ク ・マ ク ス ウ ェ ル
紀 最 大 の 実 験 物 理 学 者 で あ っ た が,ジ (James Clerk Maxwell,1831-1879)
ェー ム ス ・ク ラ ー
は ガ リ レ イ,ニ
ュ ー ト ン,
ア イ ン シ ュ タ イ ン と と も に 最 大 の 理 論 物 理 学 者 に 数 え ら れ る 人 で あ る.マ
クス
ウ ェ ル の 仕 事 で は 電 磁 気 学 の 創 立 が 第 一 で あ り,気 体 分 子 運 動 論 が 第 2,熱 力 学 が 第 3 の 貢 献 で あ っ た と い っ て よ い だ ろ う.そ
の ほ か に も 色 の 感 覚,土
コ マ の 運 動 な ど 彼 は い ろ い ろ の も の に 興 味 を も っ た.ま
星 の 環,
た晩 年 には キャベ ン
デ ィ ッ シ ュ の 仕 事 を 掘 り起 こ して い る. 彼 の 父 は エ ジ ン バ ラ の 名 門 の 一 族 で(そ 弁 護 士 で あ り,母
は 判 事 の 娘 で あ っ た.マ
コ ップ やそ の他 い ろ いろ の もの を集 め て は
の 兄 は 準 男 爵 で あ っ た),科
学 好 きの
ク ス ウ ェ ル は 子 供 の と き か ら,鍵
や
「こ れ は ど う や っ て つ くる の 」 と 父 に
説 明 を 求 め,少
し大 き くな っ て か ら も 偏 光 器(ニ
ら も ら っ た)や
自家 製 の磁 石 や電 池 な どの
コル の プ リズ ム をニ コ ル 自身 か
「ガ ラ ク タ 」 を 大 切 に し て い た し,父
が 出 席 して い た エ ジ ン バ ラ王 立 協 会 に 父 に つ れ ら れ て つ い て い っ た り し た.マ
ク
ス ウ ェ ル が 少 年 時 代 に卵 形 線 に 関 す る 論 文 を書 い て エ ジ ン バ ラ の 学 会 を お ど ろ か せ た と い う の も,こ
う い う育 ち だ っ た か ら で あ る.
フ ァ ラ デ ー は1791年
生 ま れ だ か ら マ ク ス ウ ェ ル よ り40年 で あ る が,こ
上 で あ る.マ
ウ ェ ル が 生 ま れ た の は1831年
6月13日
デ ー は 彼 の 最 も偉 大 な 発 見,電
磁 誘 導 の 現 象 を 見 出 し て い る.マ
の 年 の 8月29日
にフ ァラ
ク ス ウ ェ ル は,
電 流 の 作 用 に 関 す る ア ン ペ ー ル の 遠 隔 作 用 の 理 論 に 満 足 し な い で,フ 力 線 の 考 え を発 展 させ て 電 磁 気 学 を樹 立 し た の で あ る が,こ (1864年)に
は フ ァ ラ デ ー は 老 齢 で,こ
ァラデ ー の
れ が 完 成 され た と き
れ を 理 解 す る こ と も で き な か っ た.マ
ス ウ ェ ル は ケ ン ブ リ ッ ジ で 学 ん で い た こ ろ に 7歳 上 の W.ト ム ソ ン(後 ン喞)と
知 り合 い,そ
ク
のケル ビ
の 後 マ ク ス ウ ェ ル は 読 書 や 研 究 に つ い て トム ソ ン に絶 え ず
手 紙 を 送 っ て そ の 意 見 を 求 め て い る.1854年 ツ ェフ 著
クス
に は 次 の よ う に 書 い て い る(カ
『マ ク ス ウ ェ ル の 生 涯 』 早 川 光 雄 ・金 田 一 真 澄 訳,東
ル
京 図 書,1976年,
に よ る). 「僕 は,電 を 読 み,ま
気 の 基 礎 原 理 を か な り容 易 に 呑 み 込 め ま した.… っ た く感 心 し ま した.…
導 入 し た 方 法 で,そ せ ん.で
も,僕
と は い え,ア
れ ら の 法 則 を発 見 し た と い う こ と は,僕
は,い
そ れ は フ ァ ラ デ ー が,ほ
ア ンペ ール の 研 究
ン ペ ー ル 自 身 が,そ
れ も自分 の
は 何 の 疑 い も持 ち ま
つ か 貴 方 か ら,『 磁 力 線 』 の 話 を 聞 い た こ と が あ り ま す. か の 者 た ち が 電 流 の エ レ メ ン トの 直 接 的 な 相 互 作 用 の 考
え を と って い る と き に,(フ
ァラ デ ー は力 線 の考 え方 を利 用 して)大
き な成 果 を
挙 げ た とい う,例 の あ れ で す.現 在,僕 は,各 電 流 は磁 力線 をつ く り出 し,そ の 磁 力 線 に指 令 され て い る とお りに作 用 す る と考 え てい ます … 」 トム ソ ンはマ ク ス ウ ェル に弾 性 体 の 力学 を手 本 に して 電磁 場 の理 論 を つ くる こ と を提 案 して い る. そ うい うわ け で,電 磁 気 学 の 創 立 には トム ソ ン も大 きな貢 献 を して い る といわ なけ れ ば な らな い.も
っ と もマ クス ウ ェル が こ う して電 磁 気 学
の研 究 に ス タ ー トした 頃 は,ト ム ソ ンは大 西 洋 に海 底 電線 を敷 設 す る仕 事 に熱 を 入 れ て い た(1858年
に完 成)の
で電 気 の技 術 的指 導 に忙 しか っ た こ とで あ ろ う.
彼 は この仕 事 に よ って ナ イ トの爵 位 を贈 られ て ケ ル ビ ン卿 とな っ たの で あ る. 電 磁気 学 に関 す るマ ク ス ウ ェ ル の 最 初 の 論 文 は1856年
に発 表 され た 「フ ァラ
デ ー の 力 線 につ い て」 で あ る. さ らに電 磁 誘 導 の現 象 を と り入 れ る た め,1861 年 に は奇 妙 な力学 的 な電 磁 場 の モ デ ル を考 察 して い る.し か し最 終 的 に は,彼 は 全 く抽 象 的 な 数学 的理 論 を構 成 して い る.
第17講 エ ネル ギ ー保 存 則
―テー マ
◆ エ ネル ギー ◆ エ ネル ギーの保 存 ◆Tea
Time: 保 存 則
電 磁 場 の エ ネル ギ ー 前 講 で電 磁 場 の運 動 方 程 式(マ ク ス ウ ェル の 方 程 式)が 得 られ た か ら,こ れ を 用 い て電 磁 場 に お け るエ ネル ギ ー保 存 の 法則 が どの よ うに な る か を調 べ よ う. UMを 力 学 的 エ ネ ル ギ ー,す なわ ち (1)
ただ し (1')
(φ(xi-xj)は
粒 子i とj の 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャ ル)と
し,Uemを
電磁場のエ ネ
ルギー (2)
とす る.体 系 を 囲 む 閉 曲 面 を S と し,そ の 単 位 面 積 か ら流 出 す るエ ネル ギ ー の 流 れ をNn(n は面 Sの法 線)と す れ ば,エ ネ ルギ ー保 存 の 法則 は
(3)
と 表 さ れ る.(1)か
ら (4)
こ こで純 粋 に力 学 的 な外 力 が な い とす る と,運 動 方 程 式 は (5) (gradiはχiに
関 す るgrad)で
あ り,ま
た
(6)
し た が っ て(5),(6)を(4)に
入 れ る とgradiの
項 は 打 ち 消 し合 い (7)
と な る が, (8) で あ り,υiとυi×Hと
は直交するか ら (9)
で あ る. したが って
(10) こ こで恒 等 式 とマ ク ス ウ ェ ルの 方 程 式(電 磁 誘 導 の 式)rotE=-μ0∂H/∂tよ
り
(11) な の で,
(12)
さ ら に マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式rotH=i+ε0∂E/∂tと(12)か
ら
(13) を 得 る.よ
っ て(10)と(2)に
よ り
(14) あ るい は
(15) を得 る.こ こで Sは積 分 領 域V を囲 む閉 曲面 で あ る. (3)と(15)を
比べ れ ば,面
Sの 単 位 面 積 を流 した単 位 時 間 に流 れ出 るエ ネ ル
ギ ー(エ ネ ルギ ーの 流 れ)は
(16) で 与 え られ る こ とが わ か る.N
を ポ イ ンテ ィ ン グ(Poynting)・
ベ ク トル と い う.
工 ネ ル ギ ー の保 存 (10)を 用 い て(15)を
書 きな お す と
(17) と な る.こ
の 式 で 左 辺 第 1項 は 電 磁 エ ネ ル ギ ー の 増 加,第
2項 は 電 流 に よ っ て な
さ れ る 仕 事 で あ り,右
辺 は こ の 領 域 へ 流 入 し て く る エ ネ ル ギ ー を 表 す.(17)は
こ れ ら の バ ラ ン ス,す
な わ ち エ ネ ル ギ ー の 保 存 を 与 え る 式 で あ る.電
な さ れ る 仕 事i・Eは
多 くの 場 合,電
て 発 生 す る 熱 に 変 化 す る(式(10)参
流 によって
流 が 導 体 の 正 イ オ ン と衝 突 す る こ と に よ っ 照). 出 て 行 く電 磁 エ ネ ル ギ ー に 着 目 す れ ば
(17)は
(18)
と な る.こ
の 式 で,右
辺 は 体 系 内 に あ る エ ネ ル ギ ー の 減 少 に ほ か な ら な い.
Tea
Time
保存則 た とえ ば,1 次 元 の 鎖(格 子)の 運 動 でn 番 目の 質 点 の 運 動 量 をPnと し,そ の時 間 的 変 化 がn 番 目の 質 点 の 座 標xnとn±1番 目の 質 点 の 座 標xn±1の 差 で 決 ま る と し,
で 与 え られ る場 合 を考 え よ う.運 動 が あ るn の 範 囲 だ け に 限 られ て い て
が有 限で あ る とす る と
とな る. した が っ て この 場 合,全
運 動 量 Pは 時 間 的 に変 わ らな い,す
な わ ち保
存 され る. 電 磁 場 にお け る運 動 量 や エ ネ ル ギ ーの 保存 則 もこ れ に似 た形 で 書 かれ る.た と え ば,密 度 や 電荷 密 度 ρの 時 間 的 変化 は
の よ う に書 か れ る. 1次 元 化 す れ ば
で あ る.x で 積 分 す れ ば
した が っ て 遠 方 でJn→ ∞ (n→± ∞ ) と す れ ば
は保 存 され る.M
は全 質 量 あ るい は全 電 荷 で あ り,J は そ の 流 れ と解釈 され る.
第18講 物質 中の電磁場
―テー マ
◆ 分極 ◆ マ クス ウ ェ ル の 方 程 式 ◆Tea
Time:ラ
ー モ ア の 反 磁 性 と原 子 の 大 き さ
電 気分 極,磁 気 分 極 誘 電 体 に 電場 が 加 わ る と,誘 電 体 中 の正 負 の電 荷 が 移 動 す る.こ れ を分 極 す る とい う.分 子 の分 極 は分 子 の 中 に電 気 の 分 布 を正負 の 2つ の電 荷 ±qで 代 表 させ て 表 す こ と が で き る(図56).こ の と き,負
の 電 荷-qか
ら正 の 電
荷q へ 引 い た ベ ク トル をr と した とき (1)
を 分 子 の 分 極(2
重 極 あ る い は双
極 子 の モ ー メ ン ト)と い う. 単 位 体 積 の 中 にn 個 の 分 子 が あ る と き,そ
れ ぞ れ の 分 極 をp1,p2,…,
pnと す る と き
図56 電 気 分 極
(2)
を電 気 分 極 とい う.模 型 的 に は図56の
よ うに な る.P は 単 位 面 積 を通 して 移 動
す る電 荷 に よ る分 極 と考 え る こ とが で き る.そ して分 極 に よ って現 れ た電 荷(分 極 電 荷)に
よ る電 気 力線 が電 場 に加 わ る.そ こで (3)
と 書 き,D
を 電 束 密 度(電
気 変 位)と
い い,こ
れ を 束 ね た も の を 電 束 と い う.
また
(4)
と書 き,ε をそ の 物 質 の 誘 電 率,χeを 電 気 感 受 率 とい う.誘 電 率 εと真 空 の 誘 電 率 ε0の比 (5)
を比 誘 電 率 とい う.ふ つ うの 物 質 の 光 あ るい は電 磁 場 の屈 折 率 は 誘 電 率 で 決 ま る.真 空 に対 す る屈 折 率 をn とす る と (6) の 関 係 が あ る.
物 質 の 分 極 は,物 質 内 の 正 電 荷 が 負 電 荷 に対 してず れ る こ と に よっ て 起 こ る (図56参 照).物
質 内 に考 え た単 位 面積 を通 して 通 過 す る正 電 荷 の 大 き さ と方 向
が 分 極 ベ ク トル P なの で あ る.分 極 が な く,帯 電 して い な い 物 質 で は 物 質 中 の 電 気 は 中和 して い る.分 極 に よ って現 れ る電 荷 を分極 電荷 とい い,物 体 に加 え ら れ た帯 電 電 荷 を真 電 荷 とい う. 分 極 電荷 の 密 度 をρpと す る と,こ れ は分 極 P の 変 化 と と も に変 化 す るが,全 体 と して 電 荷 は保 存 され る.こ れ を式 に 書 く と,任 意 の 閉 曲 面 Sに よ って 囲 ま れ る体 積 をV と して (7)
とな る. ガ ウ ス の積 分 公 式 に よ り第 2項 を書 き直 せ ば
(8)
これ は任 意 の体 積 につ い て成 り立 つ の で (9)
が 得 られ る. 誘 電 体 の 内 部 で は真 電 荷(密 度 ρ)と 分 極 電 荷ρpが あ る こ と を考 慮 す る と, 電 荷 に対 す る ガ ウ ス の法 則 は
(10) と な る.し
た が って
(11) そ こ で,(3)に
よ り 電 束 密 度D=ε0E+Pを
導 入 す れ ば,電
場 に対 して
(12) と い う 式 が 得 ら れ る. (12)に
よ れ ば,真
る こ と が な い.電 来 る か,無 り,電
電 荷 が な い と こ ろ(ρ=0)で
束 密 度 D は連 続 で 消 え
束 密 度 は 正 の 真 電 荷 か ら 出 て 負 の 真 電 荷 で 終 る か,無
限 遠 へ 去 る か で あ る.誘
電 体 の 外 と 内 の 境 界 面 で も,真
限遠か ら
電 荷 が ない 限
束 密 度 は 連 続 で あ る.
同 様 な こ と は 磁 気 に つ い て も い え る.各 pm)と
は,電
分 子 の 磁 気 2重 極 モ ー メ ン ト をm(=
し,単 位 体 積 中 の 分 子 の 磁 気 モ ー メ ン トをm1,m2,…,mnと
す ると き
(13) を磁 気 分 極 とい う.
(14) を磁 束 密 度,こ れ を束 ね た もの を磁 束 とい う. また
(15)
と お き,μ
を 透 磁 率(μ0は
真 空 の 透 磁 率),χmを
磁 気 感 受 率 と い う.
磁 気 に は真 電 荷 に相 当 す る もの は な い.し た が って(12)に
相 当す る式 は,磁
場 に対 して
(16) と な る.
電気力線と磁力線 誘 電 体 が 固体 で あ れ ば,弾 性 や 剛性 な ど の よ う な 固 体 固 有 の 力 が は た ら くの で,物 質 内 の 電 気 力線 や磁 力 線 の 力 が そ の ま ま現 れ る こ とは少 な い.し か し,水 な どの 誘 電 液 体 で は静 電 場 あ るい は 静磁 場 に お い て,電 気 力 線 や磁 力線 の力 が 認 め られ る.種 々 の例 につ い て は 後 に も説 明す る こ と にす るが,こ
こで は い くつ か
の場 合 に つ い て触 れ る こ と に した い. 電 気 力 線 の 束(電 力 管)は 側 面 方 向 に単 位 面 積 あ た り
(17) を及 ぼ す.ま
た,電 力 管 は電 力 線 の 方 向 に垂 直 な単 位 面 積 あ た り
(17') を及 ぼ す. 【例① 】 一様 な 誘 電 液体 中 に 2つ の点 電荷(等
しい 電 荷q)を お い た場 合(距
離a).点 電 荷 の まわ りに は誘 電 分 極 に よ る 反対 符 号 の 電荷 が 現 れ て 点電 荷 の 電 荷 を一 部 打 ち消 す.そ の 結 果,点 電荷 は あ た か も(ε0/ε)q の電 荷 を もつ よ うな 電 場 を つ くる.そ の た め 2つ の 電 荷 を結 ぶ 線 分 を 2等 分 す る 平 面 上 に お け る電 場 は,第
4講(2)の
代 わ りに
(18) とな り,こ の 面上 の電 束 の 大 き さは
(18')
した が っ て こ の 面 上 で 圧 力 を 計 算 す れ ば,第14講(2')の
代 わ り に,
(19) を得 る. こ れが,誘 電 体 中 にお い た 2つ の点 電 荷 の 間 に は た ら く反発 力 で あ る. ε>ε0なの で,誘 電 体 中 で は ク ー ロ ン力 は弱 くなる. 【 例②】 引 力 の場 合.誘 電 分 極 の た め,点 電 荷q は あ た か も電 荷(ε0/ε)qを も つ よ うな電 場 を つ く る.2 つ の 点電 荷±qを 結 ぶ線 分 を 2等 分 した 面 上 で は た ら く張 力 を例① と同 様 に 計 算 す れ ば,2 点 電 荷 の 間 に は た ら く引 力 と して
(20) を得 る. 【 例 ③ 】 平 行 平 板 コ ン デ ンサ ー(平 板 コ ンデ ンサ ー)の 場 合(図57).
これも
後 に説 明す るが,平 板 コ ンデ ンサ ーの 極板 に単位 面 積 あ た り ±σの 電 荷 を与 え た と き,極 板 の 間 に 生 じる電 場 は
(21) で 与 え ら れ る.
図57
平 板 コ ンデ ンサ ー
極 板 の 間 に誘 電 率 εの誘 電流 体 を入 れ た と きの電 場 は
(22) とな る.極 板 の 間 に は電 荷 の ため の 引力 が は た ら くが,こ の力 は単 位 面 積 に つ き
(23) と な る.
この 引 力 に抗 して 極板 を距 離 dだ け引 きは なす 仕 事 は
(24) と な る.こ の 仕 事 は エ ネ ル ギ ー と して,極 板 の 間 の 空 間 に蓄 え ら れ る と考 え られ る.極 板 の 距 離 は dで あ り,こ の 仕 事 W は単 位 面 積 の 極板 に つ い て の値 であ る. した が って,単 位 体 積 の空 間 に蓄 え られ る静 電 エ ネ ル ギ ー は
(25) で 与 え ら れ る こ と に な る.
電磁 場 の エ ネル ギ ー 電 磁 場 の エ ネ ルギ ー密 度 は
(26) で あ る.電 磁 運 動 量 密度 は
(27) ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル は
(28) これ ら を も とに して,真 空 中 の場 合 と同様 に,物 質 内 を含 む電 磁 場 の 基礎 方 程 式(マ
クス ウ ェル の方 程 式)を 導 くこ とが で きる.
物 質 中 の マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を ま と め て 書 い て お こ う.
(29)
(30) こ こで ρは物 体 に 与 え た 電 荷(真 電荷)の
電荷 密 度,i は伝 導 電 流 密 度 で あ る.
また
(31)
エ ネ ル ギ ー密 度 と電 磁 運 動 量 密度 は
(32) (33)
ま た,ポ
イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル と応 力 テ ン ソ ル は
(34) (35)
で 与 え ら れ る.
【 基 礎 方 程式 の積 分 形 】 上 の基 礎 方 程 式 を積 分 形 で表 せ ば
(36) (37) (38) 磁束 は
(39) で あ り,フ
ァラデ ーの 電磁 誘 導 の法 則 は
(40) 電束 は
(41)
ア ンペ ー ル の 法 則 は
(42) と な る. さ ら に 開 曲 面S,し
た が っ て そ の ふ ちC の 各 点 が 運 動 す る 速 度 をυ と す れ ば,
(41)と(42)は
(43) と な る.
Tea
Time
ラ ー モ アの 反 磁 性 と原 子 の 大 き さ 磁 化 M が 原子 の誘 起 磁 気 双 極 子pmに の 原 子 の 数)
で あ る(χmは
よ る もの で あ る とす る と(N は体 積V 内
磁 気 感 受 率).
ビ ス マ ス で は 原 子 内 の 電 子 ス ピ ン が 対 に な っ て い て,ス 打 ち 消 さ れ て い る.ビ 回 転 を 起 こ し,そ
ス マ ス に 磁 場 が か か る と原 子 内 の 電 子(Z
個)が
ラー モ ア
れ に よ る 誘 起 双 極 子 モ ー メ ン トは(〈r2〉 は 電 子 の 軌 道 半 径 の 2
乗 の 平 均)
で 与 え ら れ る(第
ピ ン 磁 気 モ ー メ ン トは
8講(30)参
照).
した が っ て
ビス マ ス の 原子 番 号 は
また,ビ ス マ ス の結 晶 の単 位 体 積 中 の 原 子 の 数 は
で あ る.し
たが って
とな る.ビ ス マ ス の磁 気 感 受 率 の 実 測値 は
で あ る. した が って上 式 と比 べ て
これ は原子 内 電子 の軌 道 半 径 と して もっ と もら しい 値 で あ る.
第19講 不
連
続
面
―テー マ ◆ 不 連続面 の条 件式 ◆Tea
Time:磁
石 の磁 力 線
不連続面の条件 誘 電 率 と 透 磁 率 が(ε1,μ1)の
物 質 ① と(ε2,
μ2)の 物 質 ② の 境 界 面 を 考 え る.こ 包 む き わ め て うす い 扁 平 な 領 域V,こ 閉 曲 面 S を と り,第18講(36)を 図58
の境 界 面 を れ を囲 む
用 い る と,不
連 続 面 の 法 線 をn と し て(図58)
(1)
を得 る. こ こ で,σ
は 不 連 続 面 の 真 電 荷 の 密 度 で あ る.第18講(38)か
らは
(2)
を得 る. 不 連 続 面 の任 意 の接 続 方 向t(図59)に
対 して は,境 界 面 に ま たが る微 小 な 長
方 形 の 閉 曲線 C を考 え る. ス トー ク ス の定 理 に よ り
(3)
で あ る が,C を限 りな く平 た くす れ ば右 辺 は 0に な
図59
るか ら (4) を得 る(C
の 長 さ を2lと
し た).し
た が って接 線 成 分 に対 し
(5)
が 成 り立 つ. 同様 に
(6)
こ こ で,閉
曲 線 Cの 幅 を 限 りな く小
さ くす れ ば,上 式 の右 辺 第 2項 は 0に な る.し たが って,表 面 に集 中 した 表 面 電 流 が な い とき は (7)
図60
とな る. 導 体 で は表 面 電 流 が あ りうる.こ の と きは表 面 電 流 をJsと す る と (8)
こ こ で 図60の
よ う にt,Js,n は 右 手 座 標 系 を つ く る 向 き に あ る.
E
とD
誘 電 体 の 中 に電 場 に 沿 って 細 い 針 状 の 空 洞 をつ くる.誘 電 体 内 の 電 場 を E,
空 洞 内 の 電 場 をE'と
す る と,(5)に
よ り(図
61) (9)
で あ る.す な わ ち,電 場 方 向 の 針 状 の 空 洞 の 電 場 は 誘 電 体 内 の 電 場 E に等 しい.こ
こ で,誘
電 体 内 を ミク ロ的 にみ る と,原 子 な どが つ くる 電 場 が重 な っ てつ くられ る ジ グザ グな もの で あ る(図62).誘
図61
電 体 内 の 電 場 E は,こ
の ミク
ロ的 な電 場 を その 平 均 的 な方 向(縦 方 向)に 平 均 した もので あ る. 次 に,電 場 に垂 直 な 薄 い板 状 の 空洞 をつ くる (図63).誘
図62 ミク ロな 電 場 と マ ク ロな 電 場
電 体 内 の 電 束 密 度 を D と して,空
洞 内 の 電 束 密 度 をD'と
す る と,空 洞 表 面 に真
電荷 は な いの で(1)に
より
(10) とな る.す なわ ち,電 束 密度 に垂 直 な板 状 空 洞 内 の電 束 密 度 は,誘 電 体 内 の 電 束 密 度 と等 しい.ミ
ク ロ的 に み れ ば板 状 空 洞 の 表 面 に は 分極 電 荷 σが 現 れ る.こ れ を 囲 ん で 図63の
よ う に単 位 面 積 の 底
面 を も つ 閉 曲 面S を と り,誘 電 体 内 の 電 場 を E,板 状 空 洞 の 中 の 電 場 をE"と する と
(11) と な る.誘
電 分 極 を P と す る と σ=-
P な の で, 図63
(12) こ れ か ら わ か る よ う に,電
束 密 度 D は 板 状 空 洞 内 の ε0E"に 等 し い.
Tea
Time
磁石の磁 力線 一 様 に 磁 化 し た 磁 性 体 に つ い て,M,H, う に な る.た な い.こ
だ し,こ
B の 関 係 を模 式 的 に 描 く と 図64の
よ
の 図 は あ く ま で も模 式 的 な 概 念 図 で あ っ て 正 確 な も の で は
れ ら の 量 はB=μ0H+Mで
結 ば れ,μ0は
次 元 を もつ の で B お よ び M は
同 じ次 元 の 量 で あ る が,H
は 次 元 の ち が う 量 で あ っ て,こ
で 表 す こ と は で き な い.そ
こ で,M
と μ0Hと
れ ら を 同 じ矢 印 な ど
B を 図 示 した も の と考 え て ほ し
い.
(a)一 様 に 磁化 した棒 で は,磁 化 の 方 向 の上 と下 に磁 荷 N と S とが 現 れ る. 磁 気 モ ー メ ン ト(磁 化)M
は,S か ら出 て N に入 る一 様 な密 度 の線 で 表 され る.
(b)磁 力 線H は磁 荷 N か ら 出 て,磁 荷 Sで 終 わ る か,N か ら 出 て 無 限 遠 で 終 わ るか,無
限 遠 か ら き て Sで終 わ る か で あ る.H の 密 度 は磁 性 体 と外 の 境 界
面 で 不 連 続 で あ る.H の様 子 は,平 板 コ ンデ ンサ ー の 端 の 部 分 に お け る電 気 力 線 の様 子 に似 て い る. (c)磁 束 密 度 B は M とH をベ ク トル 的 に重 ね た もの で,端 が な く,不 連 続 な とこ ろの ない,閉
じた 曲線 の 群 れ に な る.
(a)
(b)
図 64
(c)
第20講 誘 電 体 と導 体
―テー マ
◆ 分極電 荷 ◆
コンデ ンサ ー
◆Tea
Time:分
極 率 と分 子 の 大 き さ
分 極 によ り現 れ る電 荷 誘 電 分 極 に 関 す る 事 項 を ま とめ,こ 電 荷 に は た ら く力,エ 分 極 は 第18講
ネ ル ギ ー な ど を 考 察 す る こ と に し た い.
で も 扱 っ た が,今
け る 分 極 をP(χ)と あ っ てdV=dxdydz内 お け る 電 位 は(1/4π
れ を も と に して い くつ か の 場 合 に つ い て,
す る.P
回 は 分 極 に よ る 電 位 を考 え よ う.位
置χ に お
は 単 位 体 積 内 の 分 極 に よ る電 気 双 極 子 モ ー メ ン トで
の 分 極 はP(x)dVで ε0)P・Rdv/R3で
て 空 間 に 分 極 が 広 が っ て い る と き,位
あ る.こ
与 え ら れ る(第
こか らR だけはな れた点に 5講(27)参
照).し
たが っ
置χ に お け る 電 位 は
で 与 え られ る.こ の式 の右 辺 の積 分 を書 き直 す と,ガ ウ スの 定 理 を用 い て
(1)
と な る.S
は 体 積 V を 囲 む 閉 曲 面 で あ り,dS'は
の 単 位 ベ ク トル で あ る.こ
そ の 面 積 要 素,n
はそ の外 向 き
こで (2) (2')
とお くと,σpは 分 極 に よ っ て現 れ た 表 面 電 荷, ρpは分 極 に よ っ て現 れ た空 間 電 荷(分 極 電 荷)を 意 味 す る こ とが わ か る(第18講
参照).
ガウ ス の定 理 に よ り (3) した が っ て(2')に
よ り (4)
こ こで,Qpは
閉極 面 S で囲 まれ る領 域 内 の分 極 電荷 で あ る.
また,閉 曲 面 Sで 囲 まれ る領 域 に あ る真 電 荷 を Q,分 極 電荷 をQpと
す れ ば,
ガ ウス の法 則 は (5) と な る.こ
れ と(4)と
か ら (6)
これ は基 本 法 則
(6') (ρは真 電 荷 密 度)の 積 分 形 で あ る. 【P/E=一
定 の 場 合 】P/Eが
場 所 に よ らず 一 定 の場 合,真
電荷 のない領域 の
内 部 に分 極 電 荷 が 生 じる こ とは な い. 【 証 明 】 この 領 域 で(5)に よ りQ=0の
とき (7)
他 方 でP=ε0χE,χ=一
定 とす る と(4)に
より (8)
こ れ らの 式 が 両 立 す る ため (9) で あ る(ま
た 逆 に,ε=一
定 の 領 域 で は P は E に 比 例 す る).
【 D の 連 続 性 】 誘 電 率 ε=ε0 (1+χ)=一
定 の 領 域 で は,前
項 に述 べ た よ うに分 極 電 荷 は生 じな い.分 極 電 荷 が 現 れ るの は 不 連 続 面 あ るい は境 界面 で あ る. 【例:平 板 コ ンデ ンサ ー 】 極 板 に 与 えた 単 位 面 積 の電 荷 を σ
図65
とす る と(図65) 極板 の 間 の真 空 中 の電 場 は 誘 電 体 の 中 の 電場 は
(10)
誘 電 体 の 中 の 分極 は
分 極 電荷 の密 度 は(2)に
より
で あ る.
帯 電 導 体 球 の まわ りの分 極 半 径a の 導 体 の もつ 電 荷 を Q とす る.こ
れ だ け が 誘 電 体 中 に あ る と き(図
66),電 気 力 線 は放 射 状 に外 へ 向 か い,分 極 P もこ れ と同様 に放 射 状 にな る. この場 合 の 分極 電荷 を求 め よ う.誘 電率 は一 定 と して い る か ら,導 体 を囲 む誘 電 体 の 中 に分 極 電荷 は 生 じな い.分 極 電荷 は導 体 に接 す る面 だ け に生 じるの で あ る.そ こで,分 極 電 荷 をQpと す る と外 か らみ た と き導体 はQ+Qpの
電荷 を もつ
よ う にみ え るの で,電 場 は
(11) で 与 え られ る.
D=εE=ε0E+Pで
あ る か ら,分
極 に
よ る 表 面 電 荷 密 度 は こ の 場 合(2)で
P
とn が 逆 向 き なa で
(12) したが って 図66
(13) こ れ をQpに
つ い て解 く と
(14) と な る.こ
れ を(11)に
入れる と
(15) こ れか ら
(16) を 得 る. 【 2個 の 電 荷 の 間 の ク ー ロ ン力 】 て 与 え ら れ る か ら,こ
1つ の 帯 電 導 体 球 の つ く る 電 場 は(15)に
の 球 か ら 距 離 γの 場 所 に お い た 電 荷Q'に
よっ
は
(17) の ク ー ロ ン力 が は た ら く.
導体表面の電荷 導 体 中 で は静 電 場 は存 在 しない.そ れ は,も
しも存 在 す る とす る と電 流 が 流 れ
て電 場 の な い状 態 に お ちつ くか らで あ る.こ の た め 帯 電 した導 体 で は,電 荷 は た が い に 反発 して 導 体 の 表 面 に集 ま り,導 体 内 部 の 電場 を打 ち消 す よ うに 分 布 す る.導 体表 面 の電 荷 に よ る電 場 を考 察 しよ う. まず真 空 中 に 1つ の平 面 を考 え,こ れ に一 様 な電荷 分 布 を与 え た と しよ う.こ
の場 合,対 称 性 か らわ か る よ うに,電 気 力 線 は この 平 面 か ら 垂 直 に 左 右 に 出 る(図67).こ
の 電場 をE1と
し,電 荷 の 面
密 度 を σと して単 位 面 積 に対 して ガ ウ ス の 法 則 を適 用 す る と
(18) した が って 図67
電 荷 と電 場
(19) と な る.
次 に,導 体 表 面 に 同 じ面 密 度 σで,電 荷 が 分 布 して い る と しよ う.こ の場 合 も,こ の 表 面 電 荷 の た め に左 右 に電 気 力 線E1が 導 体 内 部(図68で
左 側)に
生 じ るが,
は電 場 は な くな る
はず で あ る か ら,導 体 内 でE1を
打 ち消 す 電 場
E2が 存 在 す る こ と に な る. こ の電 場 は,平 板 コ ンデ ンサ ー で は も う l枚 の極 板 の 電荷 に よ る 図68
電場 で あ っ た りす るが,ど の よ うな 体系 で も他 の場 所 の 電 荷 分 布 が こ の よ うな 電 場E2を
る は ず で あ る.こ
の電 場 は 導 体 内 部 でE1を
打 ち消 し,導 体 の 外 で はE1と
生じ 重な
り合 っ て
(20) の 電 場 と な る.こ
れ が 導 体 の外 の 電 場 で あ
る. E1に よ る 力 は左 右 で 打 ち 消 す の で,表 電 荷 に は 電 場E2=σ/2ε0に
面
よ り単 位 面 積 あ
たり
(21) 図69 導体 の球 殻 内 の電 場 は な い
の力 が 外 向 きに は た ら く. この 場 合,電 気 力
線 は導 体 表 面 に垂 直 なの で,こ の 力f は電 気 力線 に よ るマ ク ス ウ ェル の 応 力(こ の場 合 は 張 力)
(22) に ほか な らな い. 【 球 殻 】 導 体 の 球 殻 に電 荷 を与 え た と き,電 荷 は球殻 の外 面 に 一様 に分 布 し,球 殻 内 の 電場 は 0に な る(図69). 【同 心 球 コ ン デ ンサ ー】 球 A に電 荷QA を与 え る.同 心 の 球 殻 に は 分極 が 生 じて 球 殻 内面 に生 ず る 電 荷Q'は,球
殻 の導体内
部 の電 場 を打 ち消 す もの で あ るが,こ の 電 場 はQAとQ'が
中 心 に 集 ま っ た と考 え た
と きの 電 場 に 等 しい か ら,Q'=-QAで る(図70).球
殻 に外 か ら電 荷QBを
る と,球 殻 の 外 面 にQA+QBの
あ 与え
図70 同 心球 コ ンデ ンサ ー QA,QBは 外 か ら与 え た 電荷.
電荷が分布
す る.
同心 球 コ ンデ ンサ ー 平 板 コ ンデ ンサ ー は一 番 簡 単 に み え るが,末 端 の 効果 を無 視 した り,こ れ を消 す た め に無 限 大 の 板 を考 え るな どの た め に取 扱 い が い くらか不 便 で あ る.そ れ に 比べ,同 心 球 コ ン デ ンサ ーで は この よう な心 配 りは 必要 で な く,取 扱 い は一 貫 し た もの に な る.コ
ンデ ンサ ーに 蓄 え られ るエ ネル ギ ーの 意味 を明 らか に す る た め
に,3 つ の 方 法 で扱 って み る. (1) まず,真 空 中 に導 体 球,お
よび これ と同心 の 導体 球 殻 と を考 え る.導 体
球 の半 径 をa,球 殻 の半 径 をb と しよ う. これ らが 別 々 に あれ ば 導 体 球 に 電荷Q1を 与 え る仕 事
(23) 球 殻 に電 荷Q2を 与 え る仕 事
で あ る.し
か し,実 際 に は 球 の 電 荷Q1と
よ る 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー が あ る.球 の 位 置r=bに Q2と
お い てQ1/4π
球 殻 の 電 荷Q2と
の 間 に は ク ー ロ ン力 に
の 電 荷 が つ くる 場 の ポ テ ン シ ャ ル は,球
ε0bで あ る.し
た が っ て,球
の 電 荷Q1と
殻
球殻の電荷
の 相 互作 用 のエ ネ ルギ ーは
(24) で あ る.こ
れ ら を加 え 合 わ せ れ ば,こ
の 体 系 の 全 エ ネ ル ギ ー U と して
(25) と な る.
(2) 他 方 で,こ
の エ ネ ル ギ ー は 球 の 電 位 をV1,球
殻 の 電 位 をV2と
して,電
荷 を与 え る仕 事
(26) と して 求 め ら れ る.実 【 証 明】
際W=Uで
ま ず(26)を
あ る こ と を 示 そ う.
導 い て お く.一
般 にn 個 の 導 体 が あ る と き,こ
間 に 固 定 し て お い て,い
っせ い に 蓄 電 す る 過 程 を考 え る.各
の 電 荷 を与 え た と き,こ
れ ら の 電 位 が(無
に な っ た とす る と,各
そ れ ぞ れαV1,αV2,…,αVnと
な る(線
導 体 にQ1,Q2,…,Qn
限 遠 で 電 位 は 0 とす る)V1
導 体 にαQ1,αQ2,…,αQnの
れ ら を空
,V2,…,Vn
電 荷 を 与 え た と き の 電 位 は,
形 性). そ こ で α=0か
ら 1ま で 蓄 電 す る
仕 事 は各 導 体 につ き
(27) これ を加 え合 わせ れ ば
(28) とな る.n=2の
場 合 が(26)で
あ る.
半 径a の 導体 球 に電 荷Q1を 与 え,同 心 球 殻 に電 荷Q2を 与 え た とす る. 球 殻 の 電 位 は静 電 力 に抗 して 単 位 電荷 を無 限 遠 か ら球 殻(半 径 b)ま で運 ぶ の に要 す る 仕 事 と して 求 め ら れ る.こ の単 位 電 荷 には,原 点 にQ1+Q2の
電荷 が あ る と き の
ク ー ロ ン 力 が は た ら くか ら,球
殻 の 電 位V2は
(29) で あ る.次 び(こ
に,原
点 に あ る 球 の 電 位V1を
の 仕 事 はV2),さ
て 求 め ら れ る.r=bか
求 め る に は,単
ら に 球 殻 を 通 っ てr=aま ら γ=aま
で の 間 に は,導
位 電 荷 をr=bま
で はこ
で は こぶ の に要 す る仕 事 と し 体 球 の 電 荷Q1に
よ る ク ー ロ ン力
が は た ら くか ら
(30) よ っ て,こ
の 体 系 の エ ネル ギ ー は
(31) と な る.こ
れ と(25)を
比 べ れ ば,U=W.
(3) 導 体 球(半 径a)の 電荷Q1と エ ネ ル ギ ーUemを
球 殻(半 径b)の 電 荷Q2に
よ る電 磁 場 の
直接 計 算 す る.
a<r<bの 間 の電 場 は
(32) した が っ て,こ の領 域 の 電 磁 場 の エ ネ ルギ ーU(1)emは
(33) 次 に,b<
γ<∞ の 間 の 電 場 は
(34) した が っ て,こ の領 域 の電 磁 場 の エ ネ ルギ ーU(2)emは
(35) これ ら を加 え合 わせ れ ば,電 磁 場 のエ ネ ル ギ ー は
(36) こ れ は(25)のU
と 等 し く,(33)のW
こ れ か ら わ か る よ う に,電
と も等 しい .
磁 場 の エ ネ ル ギ ーUemは
導 体 を蓄 電 す る 仕 事 と導
体 ど う しの 静 電 力 の エ ネ ル ギ ー を 含 め た 全 体 の エ ネ ル ギ ー で あ る.
コ ンデ ン サ ー の容 量 導 体 球 に 電 荷 Q を 与 え,同 (25)に
心 球 殻 に 電 荷-Qを
与 え た と き の エ ネ ル ギ ー は,
より
(37) で あ る.こ
の と き の 球 と 球 殻 の 間 の 電 位 差 は(30)に
より
(38) した が っ て,同
心 球 コ ンデ ンサ ー の 電気 容 量 は
(39) で あ る. 【平 板 コ ン デ ン サ ー 】 (37),(38),(39)は
b-a=d,4πa2=S,Q/S=σ
平 板 コ ン デ ン サ ー の エ ネ ル ギ ー,電
と お き,a,b→ 位 差,電
場,容
∞
と す る と, 量 と して
(40)
を与 え る. 平 板 コ ン デ ンサ ー の 極 板 の 間 に い っ ぱ い 誘 電 体(誘
電 率 ε)を つ め た と き の コ
ン デ ンサ ー の エ ネ ル ギ ー は
(41)
と な る.ε > ε0な の で,電
荷 σ を一 定 に して お け ばU<U0,す
れ た 方 が エ ネ ル ギ ー は低 くな る.そ
の た め,コ
な わ ち誘 電 体 を 入
ンデ ンサ ー は 誘 電 体 を 極 板 の 間 へ
引 き込 も う とす る 力 を 及 ぼ す. 同 じ よ う な こ と は 常 磁 性 体 で も起 こ る.た
と え ば,電
流 の流 れ て い る ソ レノ イ
ドは 鉄 の 棒 な ど を 引 き込 む は た ら き が あ る. 極 板 の 間 に 誘 電 体 を入 れ る と,エ
ネル ギ ーが
(42) だ け低 下 す るが,こ れ は ミク ロ的 にみ れ ば 分子 が 分極 して,分 極 電 荷 が 極板 の電 荷 と引 き合 うた め で る.
Tea
Time
分 極 率 と分 子 の 大 き さ 無極 性 の 分 子 か らな る 気体(た と す る と,比
とえ ば 空気)の
誘 電 率 を ε,真 空 の 誘 電 率 を ε0
誘 電 率 εrは
と な る.こ
こ で α は 分 子 1個 の 分 極 率 で,N
と え ば,酸
素 で は(空
は 体 積V
中 の 分 子 の 数 で あ る.た
気 で も だ い た い 同 じ)
標準状態で分子数密度は
したが って
と な るが,こ れ は だ い た い分 子 の 大 き さに等 しい. α/ε0がだ いた い分 子 の大 き さ に等 しい こ と を証 明 し よ う. 分 子 の 模 型 と して 半 径a の球 に一 様 に負 電 荷-Zeが
分 布 した もの を考 え る
(中心 にはZeの 正 電 荷 の 原 子 核 が あ る もの とす る). 負 電 荷 が 正 電 荷 に対 してx
だ け ず ら し た と き,も
と 計 算 され る.こ
とへ 戻 ろ う とす る力 は
の ず れ に よ る 双 極 子 モ ー メ ン ト はp=Zeⅹ
で あ り,こ
れ が電 場
E に よ って起 こ され た もの で あ る とす る と
これ らの式 か ら
した が って
こ の 場 合,分 で あ る.上
子 の 体 積 は(4π/3)a3で の 数値 を用 い る と
これから
こ れ は分 子 の半 径 に ほ ぼ等 しい.
あ る か ら,α/ε0は ほ ぼ 分 子 の 大 き さ の 3倍
第21講 分 極 の 具 体 例
―テー マ
◆ 一様 な分極 ◆ ロ ー レ ン ツの 分 子 場 ◆Tea
Time:誘
電 率 の カ タ ス トロ フ ィー
一 様 な 電荷 を も つ球 半 径a の 球(誘
電 率 ε)が 一 様 な 電 荷 密 度 ρ を も つ と き(図71),中
の と こ ろ の 球 の 内 部(0≦
γ≦a)に
心 か らr
お け る電 場 は
(1)
で あ る.ま
た,球
の外 部 の電 場 は (2)
【 証 明 】 球 の 中 心 0 を 中 心 とす る 半 径 γの 球 面 を 考 え る と,こ れ る 電 荷 は4πr3ρ/3で
れ に含 ま
あ る.こ
れ に
ガ ウ ス の 法 則 を適 用 す る と(r≦a)の 図71 一 様 な 電 荷 密度 を もつ球(半 径a) とき (3)
し た が っ て,E=ρr/3ε(r≦a).次
に,球
れ る 電 荷 は(4π/3)a3ρ
ウス の 法則 に よ り
な の で,ガ
の 外 部(r≧a)で
は 半 径r の 球 面 に 含 ま
(4) し た が っ て,E=ρa3/3ε0r2.
一 様 に分 極 した球
半 径a の 球(誘 と す る(図72).球 も ち,0'は
電 率 ε)を
2つ 考 え,O,O'
O は 一 様 な 電 荷 密 度-ρ
一 様 な 電 荷 密 度+ρ
こ れ ら を 距 離χ0だ
を
を も つ と し,
け 離 し て お い た と き,こ
れ
らの球 が 重 な る部分 に お け る 電場 E は (5) こ こ で,|χ0| →0,ρ 図72 空 洞 内 に現 れ る分 極 電 荷
→ ∞,ρ|χ|=有 限 と す れ ば,
E に 一 様 な 電 場 と な り, (6)
は分 極 を表 す.こ の と き,表 面 に 現 れ る分 極 電 荷 の 密 度 は 図72か
らわ か る よ う
に (7) と な る.こ
こ で,P=χ0ρ
は 分 極 で あ り,分
極電荷の表面密度は (8)
この分 極 電 荷 に よ る電 位 を計 算 す れ ば,球 の 内 部 で は (9)
また,球 の外 部 で は
(10) と な る.外 あ る.
部 で は,(4πa3/3)ρx0=(4πa3/3)Pの
双 極 子 モ ー メ ン トに よ る 電 位 で
こ の 場 合 の電 場 は図73の
よ う に な る.
電 場 を計 算 す る とP=ρx0と
して,球 の 内
部 で は一様 な電 場
(11) と な り,球
の外 部 で は原 点 に お い た 双極 子
モ ー メ ン ト(4πa3/3)Pを
お い た と きの 電
場
(12) 図73 一 様 に分 極 した誘 電 体 球 (球の 内 と外 の 電 場E)
と な る.球 の表 面 に お け る表 面 電 荷 の た め,内 部 と外 部 に お け る E は連 続 につ なが らな い. 【 一 様 な 真 空 電 場E0内
の 誘 電 体 】 外 部 電 場E0
の た め誘 電体 は一 様 に分 極 す る(図74).分
極は
(13) とな る こ とが 示 され る.球 の 内部 の電 場 は一 様 で
(14) と な る.外
部 に対 し て は 球 の 中 心 に お か れ た モ ー メ
図74 一 様 な電 場 内 の 誘 電 体 ン ト
(15) に よ る電荷 がE0に 重 な る とみて よい. 外 部 の電 場 は
(16)
とな る. 【一 様 な 電 場 内 の 導 体 球】 外 部 か ら加 え た 電 場 をE0と
す る.導 体 の 表 面 に
は,球
内 の 電 場 を打 ち 消 す よ う な 電 荷 が 現 れ る(こ
れ は 一 様 な 電 場-E0を な い(図75)).こ
つ く る も ので な け れ ば な ら
の 表 面 電 荷 は(7),(11)に
よ り
(17) 【分 子 場 】 外 部 電 場 E を加 え た と き,誘 電 率 ε 図75 一 様 な電 場 内 の導 体 球
の無 極 性 誘 電体 中 に お い た分 子 に は た ら く電場 は, 分 子 を球 とみ な した と き
(18) で あ る.こ
れ を ロ ー レ ン ツ の 分 子 電 場 と い う.
【 説 明 】 外 か ら加 え た電 場 は,平 板 コ ン デ ンサ ー の電 極 に よ る もので あ る と し よ う (図76).極
板 は電 荷 密 度 ± σの 電 荷 を与
え られ,こ
れ は一 定 で あ る とす る. 誘 電 体
が な い とき の電 場 は
(19) で あ る.誘 電 体 を極 板 の 間 に入 れ る と,誘 電 体 に は 分 極 電 荷 ±σpが生 じ,そ の 面 密 図76 分 子 場
度は
(20) とな る.こ
こで E は 誘電 体 内 の電 場 で
(21) の 関係 が あ る. さて,誘 電 体 中 の分 子 に はた ら く電 場 を考 え るた め,こ の 分 子 を囲 む分 子 よ り 少 し大 きな球 を誘 電 体 か ら切 りとる と,そ の 空 洞 の 中 に は分極 電荷 が現 れ る.分 子 に は た ら く電 場 は 電 極 の と ころ の ±(σ-σ0)の
電 荷 に よ る電 場 E と この 空 洞
の 分 極 電 荷 σp=Pに よ る電 場 との和 で あ る.後 者 は 図75の
よ うな 分 極 電 荷 に よ
る も の で,(11)に した が っ て,分
お い て P を σp,ε を 空 洞 の 誘 電 率 ε0で お き か え た も の で あ る. 子 に は た ら く電 場 の 大 き さ をELと
する と
(22)
Tea
Time
誘 電 率 の カ タ ス トロ フ ィー ロ ー レ ンツ は物 質 の 中 の 分子 に は た ら く電場ELは は比 誘 電 率 で 与 え られ る と考 え た(E
は外 か ら加 えた 電 場).こ
れ は無 極 性 の 分 子 か ら な る
液 体 や気 体 に対 して は よ い近 似 で あ る と考 え られ る.こ の と き,分 子 の 分 極 率 を α とす る と
が 得 ら れ る.こ 2乗nzで
れ は ク ラ ウ ジ ウ ス ーモ ソ ッ テ イ の 式 で あ る.ま
た ε,を 屈 折 率nの
お き か え た 式 は ロ ー レ ン ッ ーロ ー レ ン ス の 式 で あ る.
有 極 性 の 分 子 の 場 合 で も,気
体 で は 分 子 間 の 距 離 が 大 き い の で 双 極 子 ど う しの
相 互 作 用 は 無 視 で き る の で,分
子 の 電 気 双 極 子 モ ー メ ン トをpと
し て,静
電場 に
対 す る式
(kは ボ ル ッマ ン定 数,Tは
絶 対 温 度)が 成 り立 つ.こ
れ はデ バ イ(P.Debye)の
式 と呼 ばれ て い る. デ バ イ の 式 は無 極 性 液 体 に 有 極 性 分 子 を溶 か した稀 薄 溶 液 に対 して も,溶 媒 (p=0)と
溶 質 と か ら の別 々の 寄 与 の 中 の溶 質部 分 に対 して も用 い られ て い る.
しか し,デ バ イ の式 は純 粋 な有 極 性液 体 に用 い る こ と はで き ない.そ れ は双 極 子 ど う しの静 電 的 相 互 作 用 が 無 視 で きな い か らで あ る.実 際,上 の デ バ イの 式 で
を 満 た す 温 度Tcに
お い て は εr=∞
の 矛 盾 を ヴ ァ ン ・ヴ レ ッ ク
と な っ て し ま う.こ
(Van Vleck)
れ は 実 験 と 矛 盾 す る.こ
は カ タ ス ト ロ フ ィ ー と 呼 ん だ.こ
れ は
永 久 双 極 子 を もつ 液 体 に は ロ ー レ ン ツ の 電 場 が 正 し く な い こ と を意 味 し,有
極性
液 体 を扱 う に は 双 極 子 ど う し の 相 互 作 用 を ロ ー レ ン ツ の 電 場 よ り も く わ し く考 慮 し な け れ ば な ら な い こ と を物 語 っ て い る. オ ンサ ガ ー
(L.Onsager)
を 考 慮 す れ ば,こ
は,双
極 子 が 分 子 の ま わ りの 液 体 を分 極 さ せ る こ と
の カ タ ス トロ フ ィ ー が な く な る こ と を示 し た.
第22講 コ ンデ ンサ ー とイ ン ダ ク タ ン ス
―テー マ ◆
平 板 コ ンデ ンサ ー
◆
ソ レノイ ド
◆Tea
Time:簡
単 なラ ジオ
平 板 コ ン デ ン サ ー 平 板 コ ン デ ンサ ー(平 サ ー)は,平
行 平 板 コ ンデ ン
板 の導 体 電 極 2枚 を平 行 にお い
た もの で あ る.こ れ が真 空 中 に あ って,周 囲 か ら絶 縁 さ れ て い る と し,電 荷 に そ れ ぞ れ ±Qの 電 荷 を 与 え た と す る.電 場 E は電 極 か ら垂 直 に 出 て プ ラス電 極 か らマ イナ ス 電極 に 向 か う(図77).
図77 真 空 平板 コ ンデ ンサ ー
電 極 の面 積 を S と し,電
極 を囲 む図 に破 線 で示 して あ る 閉 曲面 にガ ウ ス の法 則 を適 用 す る こ と に よ り (1)
を 得 る.た
だ し真 空 中 の 電 束 密 度 をD0,電
場 をE0と
書 い た.電
場 は(l)か
ら (2)
で 与 え られ る.電 極 の 間隔 を d とす る と,電 位 の 差 は (3)
で あ るか ら (4)
C0は
こ の 場 合 の コ ン デ ン サ ー の 容 量 で あ る.蓄
2で あ る か ら,全
え ら れ た エ ネ ル ギ ー 密 度 は ε02E2/
エ ネル ギ ー は (5)
で 与 え ら れ る. 【フ ァ ラ ッ ド】 一 般 に,コ
ン デ ン サ ー の 電 荷 を Q,電 圧 をV と す る と き,そ
の 容 量 を C と す る と,C が 定 数 の と き (6) で あ る. コ ン デ ンサ ー の 容 量(コ
ン ダ ク タ ン ス,キ
ャパ シ タ ン ス)の
単位 はフ ァ
ラ ッ ドとい い (7) で あ る.し
か し,こ
ド と い い,こ い,1pFと
れ は 大 き す ぎ る の で10-6フ
れ を1μFと
表 す.ま
た10-12フ
ァ ラ ッ ド を 1マ イ ク ロ フ ァ ラ ッ ァラ ッ ド を 1ピ コ フ ァ ラ ッ ドと い
表 す.
誘
電
図78の
体 よ うに,平 板 コ ンデ ンサ ーの 電 極 の
間 に誘 電 体 をい っぱ い入 れ る と,誘 電 体 は分 極 し,電 極 に接 す る誘 電体 の表 面 に は分 極 に よ る 電 荷 が 現 れ,こ
れ が 電 極 に与 え られ た 電 荷 Q
の 作 用 の 一 部 を打 ち消 す.分 極 に よ り誘 電 体 の プ ラ ス電 荷 が マ イナ ス 電 荷 か らxだ け 離 れ る と 図78
平 板 コ ンデ ンサ ー
し,そ の た め 誘 電体 の両 面 に現 れ る表 面 電 荷 を
単 位 面 積 に つ き σ と し,プ
ラ ス と マ イ ナ ス の 電 荷 の 密 度 を ρ'と す る と (8)
とな る.誘 電 体 を模 型 的 に考 え,単 位 面 積 内 の 分 子 数 をn,各 分 子 が ±qの 電 荷 か らな る とす る とnq=ρ'な の で (9)
こ こで,qxは
分 極 に よっ て 各分 子 に生 じた誘 導 双 極 子 モ ー メ ン トで あ りP=nqx
は単 位 体 積 あ た りの分 極 を表す. 分 極 の た め 電 極 の 電 場 を E とす る と,電 極 の 電 荷 はPSだ ら,(2)の
け 打 ち消 さ れ る か
代 わ りに(Q は電 極 の もつ真 電荷)
(10) が 成 り立 つ. した が って
(11) とお けば
(12) とな るが,こ れ は この場 合 の ガ ウス の法 則
を 表 し て い る.こ こ の 場 合,電
こ で Q は 閉 曲 面 S で 囲 ま れ る 領 域 内 の 真 電 荷 で あ る.
位 はV=Edで
あ り
(13) し た が っ て,誘
電 体 コ ン デ ンサ ー の 容 量 C
と真 空 コ ン デ ンサ ー の 容 量C0の
比 は
(14) で あ る.ε を こ の 誘 電 体 の 誘 電 率 と い う.
この場 合 に コ ンデ ンサ ー に蓄 え られ る エ ネ ルギ ー は,遠 方 か ら電 荷 を は こん で 充電
図79
コ ン デ ンサ ーの 蓄 電
す る仕 事 と して 求 め る こ と が で き る.問 ス して お く(図79).他 (α)は,無
限 遠(あ
題 を 簡 単 化 す る た め,電
方 の 電 極 に αQ(0< α<1)の る い は ア ー ス)の
極 の一 方 をア ー
電 荷 を 与 え た と き の 電 位V
電 位 を 0 と して
(15) で あ る.こ
こ へd(αQ)=Qdα
の 電 荷 を無 限 遠 か ら もっ て くる仕 事 は
(16)
(17) こ れ が コ ンデ ン サ ー に 蓄 え ら れ た エ ネ ル ギ ー で あ る.書
き直 す と
(18) と な る.電
気 的 エ ネ ル ギ ー が 単 位 体 積 に つ き(1/2)EDで
あ る こ とが これ で 確 か
め ら れ た.
イ ンダ ク タ ンス 長 い ソ レ ノ イ ド(ら せ ん 状 の コ イ ル)に が 流 れ た と き に は,ソ 磁 場 が で き る.単 Iと し て,図80の 電 流 はnIな 図80 ソ レノ イ ド内 の 磁 場
電流
レ ノ イ ドの 内 部 に 一 様 な
位 長 さ の 巻 き 数 をn,電
流 を
単 位 長 さ の 閉 曲 線s を 貫 く
の で,ソ
レ ノ イ ド内 の 磁 場 の 大 き
さ を H とす る と
(19) した が っ て,ソ
レ ノ イ ドの 中 の 磁 場 は
(20) で 与 え られ る. 電流 が 時 間 的 に変 化 す る と きは,電 磁 誘 導 に よ り(ソ レ ノ イ ドの 長 さ をl とす る とnl巻 きなの で)
(21) の 電 位 差(起
電 力)を
生 じ る(S'は
ソ レ ノ イ ドの 断 面). こ れ を
(22) と書 けば
(23) と な る.Lを
ソ レ ノ イ ドの 自 己 イ ン ダ ク タ ン ス と い う.
【イ ン ダ ク タ ン ス の 単 位 】MKSA単 と い う.長
さ を メ ー
位 系 で イ ン ダ ク タ ンス の単 位 は ヘ ン リ ー
ト ル で 測 る と き 自 己 イ ン ダ ク タ ン ス は4π
・10-7n2lS'ヘ
リ ー で あ る.
ン
【LC回 路 】
イ ン ダ ク タ ン スL と
コ ン ダ ク タ ン ス C と す る と,図81 の よ うな回路 で振 動 的電流 が あ る と,イ
ンダ ク タ ンス の起 電 力 が コ ン
ダ ク タ ンス の電 位差 に等 しい こ とか
図81
LC回
路
ら
(24) こ こで
(25) で あ るか ら
(26) と な る. この 回路 の 固有 振 動 数 は
(27) と な る.こ
れ に ア ン テ ナ,ア
を つ け,レ
シーバ ー をつ けれ ば 簡
単 な ラ ジ オ に な る(図82).放
ース
送
図82 簡単 な ラジ オ
電 波 が 強 け れ ば これ で 放 送 な ど を聴 くこ とが で きる. (26)は 力 学 的 な単 振 動 の式
(28) と 同 じ形 で あ る.こ
の こ とか ら,イ
の 慣 性 抵 抗 の 係 数 で あ る.ま
ン ダ ク タ ン ス は 質 量 に 相 当 す る.こ
た,コ
ン ダ ク タ ン ス の 逆 数1/Cは
れ は電 流
バ ネ 定数k に 相
当 す る.
Tea
Time
簡単 な ラ ジ オ 銅 の 針 金 で 腕 ぐ ら い の 大 き さ の コ イ ル をつ く り,金 よ う な 大 き さ の コ ン デ ンサ ー を つ く っ て,ラ る こ と が で き る.こ
の 場 合,590kHz(キ
で き る よ う に す る に は,た
属板 で 人 形 ケ ース の 引 戸 の
ジ オが 聴 け る よ うな もの を組 み 立 て
ロ ヘ ル ツ)ぐ
らい の放 送 を聴 くこ とが
と え ば 次 の よ う な コ イ ル や コ ン デ ン サ ー を用 い れ ば よ
い. 【コ イ ル 】
半 径a,長
でS'=πa2,nl=Nと
さl,巻
き 数 N の ソ レ ノ イ ド の イ ン ダ ク タ ン ス は,(23)
お い て
例 と して
とす る と
【 平 板 コ ン デ ン サ ー 】 面 積 S,極 板 の 間 隔d とす る と, 電 気 容 量 は(13)に
例 と して
とす る と
よ り
と な る.
【LC回 路 の 固 有振 動 】 上 の例 の数 値 を用 い る と
そ こ で 図81の
と な る.こ て 図82の
よ う なLC回
れ に ア ー ス,ア
路 を つ く っ た と す る と,そ
ン テ ナ を つ け,ダ
よ う な ラ ジ オ を つ く れ ば,近
の 固 有 振 動 は(27)か
ら
イ オ ー ドの 整 流 子 と イ ヤ ホ ン を つ け
く のAM放
送 を聴 くこ とが で き る だ ろ
う. ち な み に,東 ま た,NHKのFM放
京 でNHKのAM第 送 は82.5MHz(メ
l放 送 は594kHz=594×103ヘ ガ ヘ ル ツ)=82.5×106ヘ
ル ツ で あ る. ル ツ で あ る.
第23講 光 と 電 磁 波
―テーマ ◆ 電磁 波 ◆ ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル ◆Tea
Time:光
の圧 力
自由空間の電磁波 真 空 中,あ る い は 空気 中 の よ うに,電 荷 も電 流 もない 一 様 な 空 間 を伝 播 す る電 磁 波 を調 べ よ う.誘 電 率 を ε,誘 磁 率 を μ とす る と き,電 荷 も電 流 もな い場 合 の マ クス ウェ ル の方 程 式 は (1)
(2)
(3)
と な る.(1)のrotを
と り,(2)を
用 い る と
(4)
とな るが,恒 等 式
(5)
に お い て(3)に
よ りdivE=0な
の で,(4)は (6)
とな る. こ れ は波動 方程 式 で,波 の伝 わ る速 さ は (7) で あ る.同
様 に (8)
で あ り,電 場 も磁場 も速 さcで伝 わ る こ とが わか る. x方 向 の電 場 を もちz 方 向 に進 む波E=(Ex,Ey,Ez)(図83),
(9)
図83 電 磁 波
(波長 λ と振 幅E0は 定 数, δは位 相 定 数)は 明 らか に(6)を 満 た す.こ の と き, 磁場H はy 方 向 を向 い て い て(図83)
(10)
で あ る.(10)は
明 ら か に(8)を
満 た す が,さ
ら に こ れ は(1),(2)を
こ と が 次 の よ う に して 確 か め ら れ る. 【 証 明 】(1)の
左 辺,(9),お
よ び(10)か
ら
満 たす
(11) し た が っ て(1)が (7)か
満 た さ れ る.同
ら得 ら れ る 関 係 式1/λc=εcに
様 に(2)の
左 辺 は,(10),(9),お
よび
よ り
(12) と な り(2)も
満 た さ れ る.
な なめ に進 む平 面 波 (9),(10)はz
方 向 に 進 む 電 磁 波 で あ り,E
直 交 す る. 任 意 の 時 刻 に お い てxy面 と 呼 ば れ る.(9),(10)は
とH はxy面
に あ って た が い に
上 の 場 E と H は 同 じ で あ り,こ
れ は波 面
波 面 が 進 行 方 向 に 垂 直 な 平 面 で あ る の で,平
面波 を
表 す こ と に な る.
(13) は長 さ2π の 中 にい くつ 波 長 が あ る か を表 し,波 数 と呼 ば れ る. 任 意 の方 向 に進 む平 面 波 は (14) と お い て み る.こ 向 を与 え る.(14)を
こ で,eEは
電 場 の 方 向 を 表 す 単 位 ベ ク ト ル で,波
波 動 方 程 式(6)に
の 偏 りの 方
入れ ると
(15) とす れ ば,(6)が
満 足 さ れ る こ と が わ か る.
(16) は振 動 数 で あ る.
1.
(14)の
位 相kxx+kyy+kzz-ωtは
各 時 刻tに,平
面
(δ=定 の 上 で 同 じ値 を もつ.す
な わ ち(14)は(17)を
数)
(17)
波 面 と す る 平 面 波 で あ り,ベ
ク ト
ル
(18) の方 向 に 進 み,そ の波 長 を λ とす る と波 数 は
(19) で 与 え ら れ る.kを
波 数 ベ ク トル と い う.
2. 偏 りeEはkに
垂 直 で あ る.す
なわち
(20) で あ り,し たが って この 波 は横 波 で あ る.自 由 な空 間 で進 む電 磁 波 は横 波 な の で あ る. 3. 電 場 が(14)で
与 え られ る波 に付 随 す る磁 場 は
(21) で 与 え ら れ る.こ
こ で,eEは
磁 場 の 方 向(偏
表 す 単 位 ベ ク トル で あ り,kとeEと す な わ ち,eE,eH,K/kは
り)を
に 垂 直 で あ る.
た が い に 直 交 す る右 手 座 標
図84
系 を な す(図84). 【証 明 】 1. 各 時 刻 に 対 し て 平 面 一 定 (22)
は 波 面 を 与 え る(図85).こ y,z) を 定 ベ ク トルKの kと の 積 で あ り,こ
こ でK・rはr=(x, 方 向 に射 影 した 長 さ と
れ が 一 定 と い う こ と はkが
波 面 に 垂 直 で あ る こ と,す
な わ ちkは
方 向 を 与 え る こ と を 意 味 す る.そ
波 の 進行
こ でkの
方向
図85
に軸 ξを とれ ば
(23) と な る の で,ξ が2π/k乃 だ け 進 む と 位 相 は2π だ け 変 わ る. し た が っ て2π/k=λ は 波 長 で あ る.こ
れ は(19)に
2. divE=0に(4)を
ほ か な ら な い.
代 入 す る と
(24) こ れ が 任 意 の 点,任
意 の 時 刻 で 成 り立 つ た め に はeE.K=0で
3. divH=0に(21)を
代 入 す る と,(24)と
また,rotE=-μ(∂H/∂t)に(14),(21)を
な け れ ば な ら な い.
同 様 に してeH.k=0が
代 入 す る と,そ
導 か れ る.
のx 成 分 か ら
(25) を得 る の で
(26) 同様 に
(26') したが って
(27) を考 慮 す れ ば
(28) を 得 る.ゆ
え に,eE,eH,K/kは
右 手 座 標 系 を な す.
電磁 工 ネ ル ギ ー (9),(10)を
用 い て,平
面 波 の単 位 体 積 あ た りの電 磁 エ ネ ル ギ ー
(29) を 求 め よ う.
(30)
こ こ で,1/c2=ε
μ を用 い る と
(31) を得 る.し
た が っ て,電
場 に よ る エ ネ ル ギ ー と 磁 場 に よ る エ ネ ル ギ ー は 等 し く,
全 工 ネ ル ギ ー密 度 は
(32) 【 エ ネ ル ギ ー の 流 れ 】 ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル は
(33) こ こ で,1/cμ=εcを
用 い る と
(34) す な わ ち,単 位 体積 の エ ネ ルギ ーuemが 電 磁 波 の 速 度c で移 動 す るの が 電 磁 波 の エ ネ ルギ ー流 で あ る. 【運動 量 密 度 】 電磁 波 の 運動 量 密 度g は
(35) す な わ ち,電 磁 波 に 垂 直 な単 位 面 積 を単 位 時 間 に流 れ る運 動 量 はuem/cに 等 し い.
【光 の圧 力】 光(電 磁 波)が そ の進 行 方 向 に垂 直 な面 に 当 た っ て吸 収 され る と
きは,運 動 量 の流 れ に等 しい圧 力 を受 け る.光 が 面 に 当 た って 完 全 に 正 反射 され る と き はそ の 2倍 の圧 力,す な わ ち
(36) の 圧 力 を 受 け る こ と に な る.こ ア の レ ベ デ フ(Lebedev)に
れ が 光 の 圧 力 で あ る. 光 の 圧 力 は1899年
よ っ て は じめ て 観 測 さ れ た.い
にロシ
まで は 強 い レ ーザ ー
光 を使 っ て 光 の 圧 力 の 応 用 が い ろ い ろ 試 み ら れ て い る. 【光 子 】 光 が 運 動 量p の 粒(光 ギ ー は,電
子,光
量 子)か
ら な る と す る と,そ
磁 波 の 運 動 量 とエ ネ ル ギ ー の 関 係 式(35)に
のエ ネル
よ り
(37) あ るい は
(38) で 与 え ら れ る こ と に な る.相
対 性 理 論 や 量 子 力 学 で は,光
子 はcpの
エネルギ ー
を も つ と考 え ら れ て い る.
Tea
Time
光 の圧力 海 岸 に打 ち寄 せ る波 は,防 波堤 な どに大 きな 力 を及 ぼす.打 ち寄せ る 波 の エ ネ ル ギ ー は海 岸 に 当 た って 大 きな仕 事 をす る こ とがで きるの で あ る. 一般 にエ ネ ル ギ ーの 流 れ が壁 な ど に当 た り,進 む方 向 を 曲げ られ た りす る と きに は力 が 作 用 す る.エ ネ ル ギ ー の流 れ は空気 や水 の流 れ だ けで な く,波 が 進 む場 合 に は その 進 む 向 きに エ ネ ル ギ ーが 運 ば れ る. 光 が 当 た っ た と こ ろは あ た たか くな る こ とか ら も,光 は エ ネ ル ギ ーの 流 れ で あ る こ とが わ か る.ま た 光 が 波 で あ る こ と もホ イヘ ンス の 時 代 か ら想 像 さ れ て い た.し か し,光 が 当 た っ た と きに圧 力 が は た ら くこ と を理 論 的 に は っ き り予 言 し た の はマ ク ス ウ ェル で あ っ た.彼 は,電 磁場 が圧 力 を及 ぼす こ と,光 が 電磁 波 で あ る こ と を理 論 的 に示 したの で あ った.実 際 に光 の圧 力が 実 験 的 に示 され た の は マ クス ウ ェル の 死後 で あ り,こ れ は ロ シ ア の レベ デ フ に よ る実 験 で あ った(1899
年). 夏 目漱 石 の 小 説
『 三 四 郎 』 の 中 に,野
を 試 み て い る 話 が で て く る.こ と り入 れ た の で あ っ て,当 な い(ち
なみに
の 間 で あ る).野
々宮 宗 八 と い う理 学 士 が 光 の 圧 力 の 実 験
れ は漱 石 が 弟子 で あ っ た寺 田寅 彦 か ら きいた 話 を
時 日本 で そ の よ う な 実 験 が さ れ て い た と い う こ と で は
『 三 四 郎 』 が 書 か れ た の は,明
治41(1908)年
の 9月 か ら12月
々 宮 宗 八 の モ デ ル は も ち ろ ん 寺 田 寅 彦 で あ る.
『三 四 郎 』 の 始 め の 部 分 に 実 験 室 で の や り と りが あ る.
「… そ の と き 野 々 宮 君 は 三 四 郎 に 「覗 い て 御 覧 な さ い 」 と す す め た … や が て 度 盛 りが 明 る い 中 で 動 き 出 し た.2 が 消 え た.あ
と い っ た 具 合 で あ る.ま
た
と か ら 3が 出 る … 」
『 三 四 郎 』 の 終 り に 近 い 方 で も,あ
る博 士 を中心 に し
た 会 合 の 中 で 光 の 圧 力 の 話 が で て く る.
「… そ れ か ら あ ら た ま っ て 野 々 宮 さ ん に,光 ど う して 実 験 す る の か と 聞 き 出 した.野 母 か 何 か で,薄
い 円 板 を 作 っ て,水
線 に 圧 力 が あ る も の か,あ
れば
々 宮 さ ん の 答 は 面 白 か っ た.―
雲
晶 の 糸 で つ る して,真
こ の 円 板 の 面 ヘ ア ー ク燈 の 光 を 直 角 に あ て る と,こ く,と
空 の 中 に お い て,
の 円板 が 光 にお され て動
い うの で あ る …」
「ど う も 物 理 学 者 は 自 然 派 ぢ ゃ 駄 目 の よ う だ ね 」,「 し か し ロ ー マ ン 派 で も な い で し ょう… 」
と い う よ う な や り と り が い く ら か 長 く続 く.こ 『三 四 郎 』 か ら の 引 用 は,正
の 部 分 も な か な か 面 白 い(上
確 で は な い こ と を 断 っ て お き た い).
の
第24講 反 射 と 透 過
―テーマ ◆ 電 磁 波 の 反 射 と透 過 ◆ 屈折 率 ◆Tea
Time:反
射 防止 膜
境界面に当たる電磁波 2つ の 誘導 体 1と 2の 境 界 面 に お け る電 磁 波 の反 射 と透 過 を調 べ よ う.電 磁 波 は平 面 波 は境 界 面z=0に
垂 直 に,1 の 側 か ら 2の 側 へ 入 射 す る と す る.マ
クス
ウ ェル の 方程 式 は (1)
(2) こ こ で 誘 導 体 lで は ε=ε1,μ=μ1,誘 =0に
お け る 条 件 は ,第19講
導 体 2で は ε=ε2,μ=ε2で
あ る.境
界 面z
に よ り
法線成分: (3)
接 線 成 分: (4)
で あ る. 入 射 波 はx 方 向 の 偏 り を も つ と す る と,Ey=Ez=0でEx成
分 は複 素 表示 で (5)
と 書 け る(添
字inは
入 射 波 を 表 す).こ
の と き,(2)に
よ り入 射 波 の 磁 場 は y
方 向 に あ っ て(Bx=Bz=0) (6)
と な る(こ れ は(2)か
ら容 易 に確 か め ら れ る).
この と き反射 波 も透 過 波 も入 射 波 は 同 じ偏 り を もつ.こ
れ らは
反射 波:
(7)
透過波:
(8)
の 形 を も つ(こ
れ も(2)か
こ こ で,El',E2は
ら 容 易 に 確 か め ら れ る).
境 界 条 件(4)に
E1t=E1+E1',E2t=E2,H1t=(E1-E1')/c1μ1,
よ っ て 定 ま る.
す な わ ちz=0と
H2t=E2/c2μ2な
お く と,
ので
(9)
入 射 波 のE1が
与 え ら れ て い る と す る の で,E1'とE2をE1で
表せ ば
(10) と な る.
工 ネ ル ギ ー の流 れ エ ネ ル ギ ー の 流 れ は ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル
(11) に よ り与 え られ,こ れ は 複 素 表示 を用 い る と時 間 的 平 均 に対 して
(12) と な る(こ
の 式 は 伝 導 性 媒 質 に 対 して も通 用 す る).
【証 明 】E1,E2,H1,H2を
実 数 と し て 複 素 表 示 に∧
をつ けて
(13)
と 書 こ う.
(14) なの で
(15) 他 方 で,複
素 表 示(13)は
実 数 で 書 い た 式((13)の
実 部)
(16) を意味 す る.こ れ ら を掛 け て 時 間平 均 を とる と
(17) こ の 関 係 を ベ ク トル E と H に あ て は め れ ば(12)と
な る.
反射率と透過率 (5)と(12)を
用 い れ ば,入
射 波 の エ ネ ル ギ ー 流 はz=0に
おいて
(18) 反 射 波 に つ い て は(7)よ
り
(19) よ って 反射 率 は
(20) を得 る. 透 過 波 に つ い て は,(8)に
より
(21) した が っ て透 過 率 は
(22) (20)と(22)を
み ると
(23) す な わ ち,反 い.こ
射 波 と透 過 波 の エ ネル ギ ー の 和 は入 射 波 の エ ネ ル ギ ー の 和 に等 し
れ は エ ネ ル ギ ー の 保 存 を 表 して い る.な
お,(20),(22),(23)な
係 式 は 誘 電 体 1 と 2 を と りか え て も 変 わ ら な い.た ス に 入 る と き の 透 過 率 は,ガ
と え ば,光
どの 関
が 空 気 中 か らガ ラ
ラ ス か ら 空 気 中 に 入 る と き の 透 過 率 に 等 しい.
【 屈 折 率 】 真 空 の 誘 電 率 を ε0,透 磁 率 を μ0と す る と,真
空 中 の 光 の速 さは
(24) で あ り,
(25) はそ れ ぞ れ誘 電 体 1と 2の 光 速 と真 空 中の 光 速 の比 で あ って,屈 折 率 を表 す. ふ つ う の 物 質 の 透 磁 率 は 真 空 の 透 磁 率 に ほ と ん ど等 し い.そ
こ で μ1=μ2=μ0
とお く と
(26) と な る.
Tea
Time
反射防止膜 ガ ラス に垂 直 に光 が 入 る と き,約4%は (n+1)]2で
反 射 す る.そ れ は反 射 率 が[(n-1)/
与 え られ る か ら で あ る. た とえ ば,ガ
とす る と,反 射 率 は約0.04,す
な わ ち4%と
空 気 中へ 出 る と き も同 じ く約4%が は,外 か ら きた 光 の8%は ば,眼 鏡 をか け る と約8%だ
ラ ス の屈 折 率 をn=1.5=3/2
な るか らで あ る. 光 が ガ ラ ス か ら
反 射 す るか ら,ガ ラ スで つ くら れ た 眼 鏡 で
反 射 の た め に 眼 まで 来 な い こ と に な る.言 い か え れ け世 の 中 が暗 くな る.
これ で は具 合 が わ るい か ら,ふ つ うの眼 鏡 で は ガ ラス表 面 の 反射 率 が小 さ くな る よ うな くふ うが され て い る.反 射 防止 膜 とい うの が そ れ で あ る.ガ に きわ め て うす い膜 をつ け る.膜 の 表 で反 射 され た 光 の 波が,膜
ラス の表 面
の裏 で 反射 され
た 波 と干渉 で 打 ち消 し合 う よ う に膜 の厚 さを選 ぶ. これ に は,膜 の厚 さ を光 の 波 長 の1/4に す れ ば よ い.す べ て の 波 長 の光 の反 射 をな くす こ とは で きな い の で, 赤 と紫 との 中間 の 黄 色 の 光 の 反 射 を打 ち消 す よ う にす る.そ の た め,反 射 防止 膜 をつ け た ガ ラ ス は黄 色 の 補 色 の 紫 が か った色 に見 え る. 写真 機 の レン ズ も同 じ理 由 で,う す い膜 が つ けて あ る. 反射 防止 膜 の 厚 さ を波 長 の1/4に
す る わ け は,光 が疎 な媒 質(空 気)か
ら密 な
物 質(ガ ラ ス)へ 入 る と きの 反 射 と,密 な物 質 か ら疎 な物 質へ 入 る と きの 反射 で は,位 相 に1/2波 長 だ け差 が で き るた めで あ る. ガ ラス の表 面 に ガ ラ ス よ りも屈 折 率 が小 さい膜 をつ け れ ば,膜 の厚 さに か か わ らず 反射 率 は小 さ くな る こ とが 示 され る.こ の こ と も考 慮 し,反 射 率 をで きる だ け小 さ くす る に は,膜 の 厚 さ を1/4波
長 に す る だ け で な く,膜 の 屈 折 率 がn1=√n
(nは ガ ラ スの 屈 折 率)に な る もの を選 んで つ け る.
第25講 導体 中の電磁波
―テー マ
◆ 導体 ◆ 導体 に当た る電磁波 ◆Tea
Time:
電波 の発 見 と利用
導体に対する基礎方程式 電 気伝 導 度g の 導 体 にお い て,電 場 E は電 流i=gEを
生 じる と考 え て(オ
ムの 法則),基 礎 方 程 式 を
(1)
と す る.空
間 電 荷 が な い と して (2)
と お こ う.こ
の と き E とH に 対 し て 電 信 方 程 式
(3)
ー
が 成 り立 つ. 【証 明 】 ベ ク トル 公 式 (4) を用 い る.左
辺 は(1)に
よ り
(5)
(4)の
右 辺 は(2)に
よ り (6)
(5),(6)を(4)に
入 れ れ ば E に対 す る(3)を
得 る.H
につ い て も 同様 で あ
る.
導体中の電磁波の伝播 電 磁 波 はz方 向 に進 み,そ の 電 場 E はx 方 向 にあ る とす る と,磁 場 はy 方 向 にあ る. そ こ で こ れ らを複 素 表 示(i=√-1)で
(7)
と お き, (8)
と書 く と,(1)の
第 1式 と 第 2式 か ら
(9)
を 得 る. さ ら に(1)の
第 3式 か らi はx 方 向 に あ っ て,(9)に
よ り
(10) と な り,こ
れ か らr は
(11)
の 根 と し て 定 ま る(こ
の と き 電 信 方 程 式(3)は
自 然 に 満 た さ れ る)。(11)か
ら
(12) の 関係 が あ る. 電気 伝 導 度9が 小 さけ れ ば
伝播速度 (13)
振幅減衰率 と な る.電
気 伝 導 度9が
大 き け れ ば,g》
ωεの と き
伝播速度
(14)
波長 と な る,波 の振 幅 は 距 離
(15) だ け 進 む ご と にe-1に
な る の で,1波
を 表 皮 効 果 と い い,δ
を表 皮 深 さ と い う.9→
合,電
長 進 め ばe-2π に 減 衰 す る.こ
磁 波 は 導 体 内 に 侵 入 で き な い で,表
∞ の と き は δ→0と
面 で 完 全 反 射 す る.9→
の よ う な効 果 な る.こ
の場
∞ の 導 体 は完
全 導体 と呼 ばれ る.
エ ネ ル ギ ー の 流 れ と発 熱
導 体 中 を伝 わ る電 磁 波 のエ ネ ルギ ー は電 流 をひ き起 こ し,電 気 抵 抗 の た め に熱 に変 換 され る.こ れ を確 か め よ う. 【証 明 】 電 磁波 は,(7)で
与 え られ る.こ の 式 の 実 部 を と る と(8),(9)を
使 って
(16)
と な る.エ
ネ ル ギ ー の 流 れ を 表 す ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク ト ル の 大 き さN は,こ
の場 合
(17) と な る が,時
間 平 均 を とる と
(18) で あ り,エ
ネ ル ギ ー の 流 れ はz 方 向 に
(19) と な る.一
方 で,ジ
ュ ー ル熱 に よ る発 熱 は単 位 時 間 につ き
(20) と な る. z 軸 に 垂 直 な 単 位 断 面 積 の 面z1とz2(図 86)を
と り,こ
え る と,こ
れ ら を 含 む 閉 曲 面S を 考
の 中 に 流 れ 込 む エ ネ ル ギ ー と,
こ こ を 出 て 行 くエ ネ ル ギ ー の 差 は,単
位時 図86 エ ネ ル ギ ーの 流 れ
間 に
(21) で 与 え られ る. 他 方 で,こ こ にお け る単 位 時 間 の 発 熱 量 は
(22) で 与 え ら れ る.し か る に,(12)に
よ り α=ω μg/2β と い う 関 係 が あ る か ら
(23) と な る.こ
れ はz 方 向 に 進 む 電 磁 波 の エ ネ ル ギ ー の 減 少 が,こ
の 区 間(z1∼z2)
で 発 生 す る ジ ュ ー ル 熱 に 等 し い こ と を 示 す エ ネ ル ギ ー 保 存 の 式 で あ る(こ な 場 合 に は,電
磁 場 の エ ネ ル ギ ー(εEx2+μHy2)/2の
時 間 的 変 化 は な い).
の 定常
導体面での反射 と透過 z<0の
媒 質 は 誘 電 体 で,z>0は
(1)か に,磁
ら 導 体(2)の
導 体 で あ る と き,境
界 面z=0に
電 磁 波 が 入 射 す る と き を 考 え る.電
場 はy 方 向 に あ る と す る.こ
垂 直に誘電体
磁 波 の 電 場 はx 方 向
の とき
入 射波:
(24)
と 書 け る(添
字 1 は 媒 質 1 を 表 す).
反射 波:
(25)
と お き,
透 過 波:
(26) と す る.こ
こ で(11)に
よ り導 体(z≧0)に
おいて
(27) で あ る. 【 境 界 条 件】 (7), (2)に
境 界 面z=0に
電 荷 が な い と す る と 第19講(5),(1)(σ=0),
よ り
(28)
で あ る.い
まの 場 合,法
線n 方 向 の 成 分 は 0で あ る か ら,(24)∼
(28)に よ り
(29)
これ か ら
(30)
を得 る. 【反 射 率 】
ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル N の 平 均 は 第24講(12)に
よ り
(31) ここ で
(32)
し た が っ て,反
射率 Rは
(33)
と な る.ま
た,透
過 率 T はReγ=α
を考慮 して
(34)
と な る.こ
れか らわか る よ う に
(35) で あ る が,こ
れ は反 射 波 と透 過 波 の エ ネ ルギ ー流 の和 が 入射 波 の エ ネル ギ ー流 に
等 し い こ と,す な お,媒 T=0,す
な わ ち 境 界 面 に お け る エ ネ ル ギ ー の 保 存 を 表 し て い る.
質 2が 完 全 導 体g→
∞ の と き は(14)に
よ り α=β=∞
な の でR=1,
な わ ち 完 全 反 射 に な る.
ま た,g→0の
と きは
(36) で あ る こ と に 注 意 す れ ば,反 透 過)(20)に
な り,透
射 率(33)は
過 率(34)は
前 講(誘
前 講(22)に
電 体1 と 2 の 境 界 面 の 反 射 と
な る こ と が 確 か め ら れ る.
完全導体面での反射 g→
∞
と す る と,(30)に
よ り
(37) す な わ ち,完
全 導 体 の 面 で 電 場 は 逆 転 して 反 射 す る.こ
の と き(24),(25)の
係
数 に対 して
(38) す な わ ち,こ
の 面 で 磁 場 の 位 相 は 変 わ ら な い.さ
ら に こ の と き(30)に
よ り
(39) す な わ ち,透 で あ る.さ
過 波 の 振 幅 は 0に な る.完 ら に(24),(27)を
全 導 体 中 で は電 場 は な い か らこ れ は 当然
用 い る と,こ
の 場 合(26)の
係数
(40) す な わ ち,磁 場 の 波 も透 過 しな い こ とが わ か る. 【境 界面 の 影響 】 媒 質1(z<0)が
真 空 で あ る と き,z>0の
側の完全導体の存
在 は 表 面 電 流Jsで 置 き換 え る こ とが で き る.こ れ らは境 界 面 の 両 側 に次 の よ う な電 磁 波(表 面 波)を 放 出 す る.こ れ はz<0に
対し
(41)
z>0に
対 し
(41')
で あ る. 【証 明 】(41)が
z<0で
入 射 波,Ein,Hin((24)でc1=c,μ1=μ0と
お く)と
重 な っ て,
は
(42)
z>0で
は
(42')
と な る.す
な わ ち,電
流 に よ っ て 放 出 さ れ る 波 はz<0で
は 反 射 波 と な り,z>0
で は 入射 波 を打 ち消 して完 全導 体 と同 じ状 況 をつ くる. 【 表 面 電 流 】 表 面 電 流 の 大 き さ は,完 19講(8))で
で 与 え ら れ る.
決 ま る.こ
全 導 体 の 表 面(z=0)に
れ は(24),(41),(42)に
よ り
お け る 条 件(第
Tea
Time
電 波の発見 と利用 ヘ ルツ
(H.R. Hertz,1857-1894)
で 有 名 で あ る が,短
は,電
磁 波 の 存 在 を 証 明 した 実 験(1888年)
い 生 涯 の 間 に い くつ か の 著 し い 研 究 を 成 し遂 げ た す ば ら し い
学 者 で あ っ た ら しい.彼
は 初 め 技 師 に な ろ う と し た が,物
動 か ら 電 磁 波 が 発 生 す る こ と を 確 か め,こ 質 を も つ こ と を 示 し た.理
論 的 分 野 で も い くつ か の 仕 事 が あ る.弾
押 しつ け た と き の 接 触 面 の 大 き さ,変 的 と い え る 研 究 で あ る.力 概 念 を と り さ り,質
気振
形 を 計 算 し て い る が,こ
性 体 ど う しを
れ は技術 的 に基 礎
学 にお い て は力 や ポ テ ンシ ャル と い った 観 察 で きな い
量 問 の 関 係 に よ っ て 運 動 が 定 ま る と い う 力 学 原 理 か ら力 学 を
構 築 し よ う と し た.ま い た の を改 め て,現
理 学 に 転 じた.電
れが 光 と まっ た く同様 に反 射 な どの性
た,マ
ク ス ウ ェ ル の 電 磁 気 学 は 大 変 わ か り に く く書 か れ て
在 わ れ わ れ が マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 と呼 ん で い る も の に 近 い
形 を 与 え た. ヘ ル ツ は 裕 福 な 家 に 生 まれ,若 ム ホ ル ツ に 見 出 さ れ て,並 な っ た.し
か し,残
い と き か ら 当 時 ドイ ツ 第 一 の 学 者 で あ っ た ヘ ル
み はず れ た解 析 力 と抜 群 の 実 験 能 力 を発 揮 す る よ うに
念 な こ と に 悪 性 の 骨 腫 瘍 の た め に 早 く亡 く な っ た の で あ る.
電 磁 気 学 に つ い て い え ば ヘ ル ツ は,マ
ク ス ウ ェ ル の 電 磁 気 学 を 不 動 の も の と し,
さ ら に ロ ー レ ン ツ や ア イ ン シ ュ タ イ ンへ の 橋 渡 し を し た 人 物 で あ る と い う こ とが で き る. ヘ ル ツ は,電
波 の 実 用 的 な 重 要 さ ま で は 考 え な か っ た よ う で あ る,し
タ リ アの マ ル コ ーニ 実 験 を 拡 張 し て,電
(G.Marconi,1874-1937)
は ヘ ル ツ の 研 究 を 読 み,ヘ
波 を 通 信 に 用 い る こ と に 成 功 し た.彼
海 峡 を 隔 て て 無 線 通 信 に 成 功 し,1901年 (マ ル コ ー ニ は こ の 功 績 に よ っ て1909年 ノ ー ベ ル 物 理 学 賞 を 受 け て い る).こ
か し,イ
は1899年
ルツの
に イ ギ リス
に は 太 西 洋 を隔 て て の 通信 に成 功 した に ブ ラ ウ ン
(K.F. Braun)
とと もに
れ が 現 在 の 電 波 時 代 の 幕 明 け で あ る.
第26講 遅 延 ポ テ ン シ ャル
―テー マ
◆ 電 磁ポ テ ンシ ャル ◆ 遅 延ポ テ ンシ ャル ◆Tea
Time:光
年
電磁 ポ テ ン シ ャル 静 電場,静 磁 場 に対 す るマ ク ス ウ ェル の 方程 式
(1)
に お い て 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,A)を (2)
に よ っ て 導 入 す る と,こ
れ らは
(3)
に よ っ て 与 え ら れ る((1)と(3)は
等 価 で あ る).(3)の
解 は
(4)
と書 け る.こ
れ を 合 わ せ て 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル と い う.
時 間 的 に変 わ る電 磁場 に対 して,マ ク ス ウ ェ ルの 方 程 式 は
(5)
で あ り,さ
らに (6)
と お く と,電
磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,A)は
(7)
を満足 す る.こ れ らの 方 程 式 の解 は
(8)
で 与 え ら れ る.右
辺 の 積 分 で,ρ(x',t-│x-x'│/c)はx'か
らx ま で 光 速 度 で 変 動
が 伝 わ る 時 間 だ け 前 の 時 刻 に お け る 電 荷 密 度 を 表 して い る.i(x',t-│x-x'│/c) も 同 様 で あ る.(8)を (8)に
遅 延 ポ テ ン シ ャ ル と い う.
お い て,ρ(x',t-│x-x'│/c),i(x',t-│x-x'│/c)を
│x-x'│/c ),i(x',t+│x-x'│/c)で 先 進 ポ テ ン シ ャ ル と い う.こ 現 在(t)の
置 き 換 え た も の も,(7)を れ は 未 来(t+│x-x'│/c)の
そ れ ぞ れ ρ(x',t+ 満 足 す る.こ
れ を
φ,A を 与 え た 場 合,
φ,A を い か に と る べ き か と い う 問 題 の 解 を 与 え る.
双極子近似 電 荷 密 度 ρの 時 間 変 化 が 小 さな 領 域v 内 に限 られ た 場 合 の近 似 を求 め よ う. この領 域x'は 原 点 の 近 くに あ る とす る と
(9)
と近 似 で き る.た
だ し ここ で
(9') で あ る.電 荷 密 度 に対 して は
(10) た だ しこ こで
(11) とお い た, (9),(10)を(8)に
代入 する と
(12) と な る.こ
こ で 右 辺 第 1項 の
(13) は ρが 変 動 す る全 領 域v 内 の電 荷 で,一 定 値 を保 つ.第
2項 で
(14) は 電 荷 分 布 ρ に よ る 双 極 子 モ ー メ ン ト を 意 味 す る . ま た,第
3項 で(t0=t-
r/c ) (15)
は 双 極 子 モ ー メ ン トの 時 間 変 化 を 与 え る. した が っ て,p=dp/dtと
書 くと き
(16)
と な る.こ
の 近 似 で ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル は
(17) で 与 え ら れ る こ と が 示 さ れ る. (16),(17)は
この近 似 で ロ ー レ ンツ の条 件
(18) を 満 た す. 【 証 明 】 p がz 方 向 に あ る と し,z/r=∂r/∂z=cosθ
を 用 い れ ば,(17)に
よ り
また
し た が っ て,divA+ε0μ0∂
φ/∂t=0.
Tea
Time
光年 光 が 1年 間(365.2422日)に
旅 す る 距 離 を 1光 年 と い う が,光
距 離 を 1光 秒 と い う こ と も あ る. 光 の 速 さ は
で あ る か ら,
1光 秒=約30万km 1光
年=0.94605×1013km
が 1秒 間 に 進 む
で あ る. 光 秒,光
年 の ほ か に 光 分,光
時 な ど を 考 え る と次 の よ う に な る.
地 球 か ら 月 ま で の 距 離=約1.27光
太 陽 か ら 地 球 ま で の 距 離=1
秒
太 陽 か ら 木 星 ま で の 距 離=5.20天
文 単 位=約0.7光
時
太 陽 か ら 土 星 ま で の 距 離=9.54天
文 単 位=約1.3光
時
太 陽 か ら 天 王 星 ま で の 距 離=19.19天
太 陽 系 に 最 も 近 い 恒 星 ま で の 距 離=約
宇 宙 の 半 径=100∼150億
天 文 単 位=1.496×108km=約8.3光
光年
文 単 位=約2.7光 4光 年
分
時
第27講 電 磁 波 の 輻 射
―テー マ
◆ 電気双 極子 輻射 ◆ 輻射 に よる減衰 ◆Tea
Time:チ
ェ レ ン コ フ放 射
電気双極子輻射 荷 電粒 子 が加 速 度 運 動 をす る と,そ の 粒 子 の周 囲 に付 随 す る 電 磁 場 が 変 動 し, 変 動 はマ クス ウェ ルの 方 程 式 に した が って 電磁 波 と して 広 が る,こ れ が 電 磁 波 の 放 射 で あ る.ラ ジ オや テ レ ビな どの 送信 ア ンテ ナか ら電 波 が放 射 され る の も,ア ンテ ナ の 中 の電 子 の 加 速度 運 動 に よる の で あ る. 2つ の 電 荷-qが
原点 にあ り,+qがz=z(t)に
あ る と きの 電 気 双 極 子 モ ー メ
ン トの大 きさ は (1)
で あ る.双
極 子 が 原 点 付 近 に あ る と き,こ
お け る ポ テ ン シ ャ ル は 前 講(16),(17)に
れ か ら遠 く は な れ た 点x=(x よ り(t0=t-r/c,z/r=cosθ)
,y,z)に
(2)
で 与 え ら れ る. 簡 単 の た め,双 極 子 モ ー メ ン トは単 振 動 をす る と して,そ の複 素表 示 を (3)
とお くと (4)
した が っ て (5) と な る.ベ
ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル は (6)
とな るが,こ
れ を極 座 標 表 示 をす る と
(7)
と な る. 電 場 E と磁 束 密 度 B の 成分 はベ ク トル 公 式 に よ り
(8)
で 与 え られ るが,具 体 的 に 書 く とkr≫1の 領 域(輻 射 領 域 とい う)で はr-1の 低 次 の項 を ひ ろ って
(9)
と な る. そ こ で,エ
ネ ル ギ ー の 流 れ を み る た め ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル N の 時 間 的
平 均 を 求 め る と,双
極 子 か ら rの 距 離 の 単 位 面 積 を 通 し て θ方 向 に 流 れ る 輻 射 エ
ネ ル ギ ー と して
(10) を 得 る.輻
射 の エ ネ ル ギ ー はr 方 向 に 流 れ,輻
射 の全 エ ネ ルギ ー は
(11) と な る.
加 速 に よ る輻 射 こ こ で 得 た(10),(11)は る.荷
電 粒 子 の 位 置 をz(t)と
荷 電 粒 子 が 単 振 動 を して い る と し た と き の 輻 射 で あ す る と(1),(3)に
よ り
(12) (z0は 振 幅).し
た が って
(13) で あ る,さ ら,輻
ら に,時
射 と して
間 平 均 は=1/2を
与 え る こ と を 考 慮 す れ ば(10)か
(14) を 得 る.同
様 に,(11)か
ら は 全 輻 射 強 度 と して
(15) が 得 ら れ る.(15)を
ラ一 モ ア(Larmor)の
公 式 と い う.(15)は,荷
電粒子が加
速度 運動 をす る と きに成 り立 つ 式 で あ る(単 振 動 に限 らない).
減
衰
力
荷 電 粒 子 が 輻 射 を出 す と きは エ ネ ルギ ー を失 うが,こ れ は粒 子 が減 衰 力 を受 け る こ と を意 味 す る.こ の力 をK(t)と
し よ う.時 刻t1とt2の 間 に減 衰 力 が す る仕
事 は粒 子 のエ ネ ル ギ ーの 減少 に等 し く,こ れ は(15)を 用 いて
(16) と計 算 さ れ る(v(t)=z(t)は
速 度).さ
ら に こ の 右 辺 の 積 分 は,部
分積分 によ り
(17) こ こ でv cosωtと る よ う に,一 き る.し
お く と,右
辺 の 第 1項 は 平 均 と し て 0 に な る こ と か ら も わ か
般 に 第 1項 は 第 2項 に 比 べ て(t2-t1,を
十 分 大 き く とれ ば)無
視 で
た が っ て(16)は
(18) と な る.こ
の 両 辺 を比 較 す る こ と に よ り,減
衰 力 と して
(19) を 得 る 。 た だ し,こ
こ で ε0μ0=1/c2(c
は 光 速 度)を
用 い た.
Tea
Time
チ ェ レ ン コ フ放 射 音 よ り も速 い 物 体 が 空 気 中 に飛 ぶ と き,た き に は,い
わ ゆ る 衝 撃 波 が 現 れ る.こ
と え ば 超 音 速 機 や 弾 丸 な どが 飛 ぶ と
れ は,圧
力 や 温度 な どが急 激 に変 化 す る不
連 続 面 で あ る. 真 空 中 の 光 速 は 実 現 さ れ る 最 高 の 速 度 で あ る が,物 さ い.荷 は,光
電 粒 子 が 物 質 中 を,そ
を 放 つ 衝 撃 波 が 認 め ら れ る.こ
連 の チ ェ レ ン コ フ(P.A. 測 さ れ る.こ と も に1958年
質 中 の 光 速 は こ れ よ り も小
の 物 質 中 の 光 速 よ り も 速 い ス ピ ー ドで 走 る と き
Cherenkov)に
れ を チ ェ レ ン コ フ 放 射 と い う.1937年 よ っ て 発 見 さ れ た.原
の 現 象 を 説 明 し た タ ム(I.E.Tamm)と に ノ ー ベ ル 物 理 学 賞 を 受 け た.
フ ランク
ソ
子 炉 な ど で も観 (I.M.Frank)
と
第28講 電 磁 波 の 散 乱
―テー マ
◆
トム ソ ン散 乱
◆
レイ リ ー 散 乱
◆Tea
Time:物
質中の光 速
トム ソ ン散 乱 X線 回 折 で は,結 晶 内 の 原 子 の そ れ ぞ れ が X 線 を散 乱 す る,こ の と きの よ う な場 合,電 磁 波 は 自由電 子 に よ って散 乱 され る と考 えて よ く,こ れ を トム ソ ン散 乱 と い う.
入 射 す る電 磁 波 を (1)
とす る と,自 由電 子 の 運 動 方 程式 は (2)
と 書 け る.こ
の 加 速 度 に よ り,電
子 は 2次 的 な 電 磁 波 を 出 す.入
射波の エネ ル
ギ ー の時 間平 均 は (3)
で あ る.こ
れ に 対 し,単
位 立 体 角 に 散 乱 さ れ る エ ネ ル ギ ー は(Einの
方 向 と散 乱
方 向 と の な す 角 を θ と す る)前
講(14)か
ら
(4)
で与 え られ る.し たが って 単 位 強 度 の 電磁 波 が 入 射 す る と き,単 位 時 間 に単 位 立 体 角 に散 乱 され る電 磁 波 の強 度 を(dσ/dΩ)Tと 書 くと,こ れ は (5) で 与 え ら れ る.こ の 方 向OPと
の 式 で,θ
は 図87の
よ うに点 P
図87 電 磁 波 の散 乱(l)
E の 偏 りの 方 向 とが な す 角 で あ る.
入 射 波 の 進 行 方 向 と 点 P の 方 向OPの を散 乱 角 と い う.こ
こ で E がOPと
な す 角
入 射 波 を含 む
面 内 に あ る と き の 散 乱 角 をΘpと す る と,θ=90。― Θpで あ る.し E'がOPと
か し 図88の
=90° で あ る .入 か ら,こ
よ う に,入
射 波 の電 場
入 射 波 の 方 向 を含 む 面 に 垂 直 な と き は θ 射 波 の E の方 向 は ま ち ま ちで あ る
れ ら 2つ の 場 合 を 平 均 す る と 自 由 電 子 の 散
乱 強 度 と して
図88 電 磁 波 の 散 乱(2) (6)
を得 る.こ
れ が トム ソ ン 散 乱 の 式 で あ る.dσ/dΩ
は トム ソ ン散 乱 の 微 分 断 面 積
と い う.
レ イ リ ー 散 乱 電 荷e が弾 性 的 に束 縛 され て い て,そ の 角 周 波 数 は ω0で あ る と しよ う.こ れ に角 周 波 数 ω の電 磁 波 が入 射 す る と き,電 荷 の運 動 方 程 式 は (7)
とな る.こ れ は強 制 振 動 の 方 程式 で あ って,そ の 解 (8)
か ら,加
速度 は (9)
と な る.こ
れ と(2)を
比 べ る と,こ
ソ ン 散 乱 の 強 度(dσ/dΩ)Tを
の 振 動 子 に よ る 散 乱 強 度(dσ/dΩ)Rは
トム
用 いて
(10) と書 か れ る こ と が わ か る.ω0≫
ω の と きは
(11) と な る(λ リ ー(Lord
は 入 射 波 の 波 長).こ Rayleigh)に
の よ う に 波 長 の 4乗 に 反 比 例 す る 散 乱 は レ イ
よ っ て 研 究 さ れ た の で,レ
イ リ ー 散 乱 と い う.
原 子 内 部 の電 子 の振 動 数 は紫 外 線 の 領域 に あ り,こ れ に比 べ て 可視 光 の振 動 数 は は るか に 小 さい.空 が 青 い の は,空 気 の 分子 に よ って 青 い 光 が赤 い光 よ りも強 く散 乱 され る か らで あ る,も ちろ ん 空 の色 は,空 気 の密 度 の ゆ ら ぎに よる散 乱 や ゴ ミな どに よる散 乱 に よ って も影 響 され る,日 の 出や 日の 入 りの太 陽 の光 が赤 い の は,途 中 で青 い光 が 散 乱 され,波 長 の長 い光 が 空 気 中 を よ く通 過 して くる た め で あ る. レ イ リーの 計 算 に よ れ ば,波 長 λの光 が屈 折 率n0の 媒 質 内 の 体 積v0,屈
折率
nの 部 分 に よ り,単 位 立体 角 内 に散 乱 され る強 さiは
(12) で 与 え られ る.た だ し単 位 断 面積 に対 す る入 射 光 の 強 さ をⅠと し,散 乱 光 が 入 射 光 となす 角 をΘ とす る.
Tea
Time
物 質中の光速 物 質 中 の 光速 は真 空 中 の 光 速 よ りも小 さい.こ れ は光 が 物 質 中 を進 む と き,物 質 の 電 子 な どを ゆ り動 か す の に少 し余 分 に時 間が か か るか らで あ る とい うこ と も
で きる.し か し,ミ ク ロ的 にみ る と電 子 な どは 小 さな粒 子 で あ っ て,電 子 や 原子 核 の 間 は真 空 であ る.物 質 は電 子 な どが 点在 す る が,ほ
とん ど どこ も真 空 な の で
あ る.光 が 通 る と き,物 質 内 の真 空 部 分 を通 る光 は真 空 中 の光 速 で 進 むの で は な いか,し たが って 物 質 中 の光 速 が 真 空 中 の 光 速 よ りも小 さい の は おか しい,と も 考 え られ る. 物 質 中 の光 速 は,電 子 な どに よ って 散 乱 され な が ら進 む光 や まっす ぐ進 む光 の 波 な どが たが い に干 渉 し合 ってで き る光 の 波 面 が進 む速 さで あ る.干 渉 し合 って で きる波 面 が 進 む速 さが物 質 中 の光 速 な の で あ って,こ れ は真 空 中の 光 速 よ りも 小 さい. 物 質 中 の電 磁 波(光
も含 め て)が 真 空 中 の 電 磁 波 と異 な る も う 1つ の 特 徴 は,
分散 が あ る こ とで あ る.す な わ ち真 空 中 の 電磁 波 の 速 度 は波 長 に よ ら ない が,物 質 中 の電 磁 波 の速 さ は波長,あ
るい は振 動 数 に よ って異 な る.無 限 に高 い 振動 数
の光 は,物 質 中で も,真 空 中 の速 度 で 伝 わ る. あ る瞬 間 か ら光 が 物 質 内 を進 み出 した とす る と,光 の振 幅 は そ の瞬 間 に0 か ら あ る値 に,階 段 状 に変 わ る.こ れ を光 の 波 と して 表 せ ば,多
くの波 長 の波(成 分
波)の 重 ね合 わせ で 表 す こ とに な る.各 成 分 波 の 速 度 は 異 な る の で,先 端 の形 は しだ い に 階段 状 か ら くず れ た形 に な って くるが,先 端 の 速度(先 端 速 度)は 真 空 中 の光 速 に等 しい こ とが 示 され る.こ れ はい わ ば,物 質 中 の真 空 部 分 を通 り抜 け た 波 に よ る 光 の 速 度 で あ る.こ の よ う な先 端 速 度 は ゾ ンマ ー フ ェ ル ト(A.T. Sommerfeld)や
ブ リュ ア ン(Brillouin)に
な お,電 磁 波 を金 属 の 管 で 導 く装 置(導
よ っ て詳 し く計 算 され て い る. 波 管 とい う)で は電 磁 波 の 干 渉 の結
果,光 の波 面 が伝 わ る速 度 が真 空 中 の光 速 を超 え る こ とが あ る.
第29講 種 々 の ゲ ー ジ
―テー マ ◆
ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ
◆
放射 ゲ ー ジ
◆
ク ー ロ ン ・ゲ ー ジ
◆Tea
Time:ゲ
ー ジ不 変 性
電 磁 ポ テ ン シ ャル マ ク ス ウ ェル の方 程 式 の うちで
(1)
の 2式 は
(2)
と お く こ と に よ っ て 自 動 的 に 満 た さ れ る.(φ,A)は る.こ
れ ら は 真 空 中 の 場 合,マ
電 磁 ポ テ ン シ ャル と呼 ば れ
ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 の 残 りの 式
(3)
を満 た す よ うに定 め なけ れ ば な らな い.恒 等 式
(4)
に よ り,(3)に(2)を
代入す ると
(5)
と な る が,こ
れ を少 し整 理 して 書 く と
(6)
と な る.電
磁 ポ テ ン シ ャ ル の 時 間 の 空 間 的 な 変 化 は,マ
の 2式,す
な わ ち(3)を(φ,A)で
書 い た(6)に
クス ウ ェル の方 程式 の 中
よっ て 決 定 さ れ るべ き もの で
あ る. しか し,も
と も と(3)に
電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,A)は 与 え る(φ,A)は
よ っ て 電 磁 場 E,B を 与 え る も の と して 定 義 さ れ る 一 義 的 に 定 ま ら な い.言
い か え れ ば,同
じ E,A を
無 限 に 存 在 す る.
ゲ ー ジ変 換 (φ,A)と(φ',A')が
同 じ E,B
を 与 え る と き,す
な わ ち
(7)
で あ る と き,変
換(φ,A)→(φ',A')を
に つ い て は す で に 第10講 こ と は,次
で 述 べ た).電
の よ う な 変 換 が(1)を
い ま,(φ,A)が(1)を
ゲ ー ジ 変 換 と い う(時
間 を含 ま な い場 合
磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,A)に
任意性があ る
変 化 さ せ な い こ とか ら も わ か る.
満 た す と き X を 任 意 の ス カ ラ ー 関 数 と し て,
(8)
と お く と,(φ',A')も(1)を
満 足 す る.
【 証 明】
(9)
とお くと
(10) こ こで,右 辺 第 2項 と第 4項 とは打 ち消 し合 うか ら
(11) ま た,(9)の
第 2式 と(8)の
第 2式 か ら
(12) と な る が,恒
等 式rotgradX=0に
よ り
(13) し た が っ てE'=E,B'=Bと
な り,(7)が
成 り立 つ.
ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ
電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,A)は る(6)を
一 義 的 に 決 ま ら な い こ と を 利 用 し,(φ,A)を
簡 単 化 す る こ とが で き る.有
名 な の は ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ で,こ
定め れは
(14) で 条 件 づ け ら れ る.こ
の と きALと
φLは(6),(14)か
ら
(15)
を満 た す こ と に な る .(14),(15)を
両 立 さ せ れ ば,(2)で
マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式(1)と(3)を る.つ
ま り,(14),(15)は
与 え ら れ る E,B は
満 足 す る こ と を直 接 証 明 す る こ とが で き
マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 と 等 価 な の で あ る.(14)
を ロ ー レ ン ツ条 件 と い い,こ
の 条 件 を 満 た す 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,A)を
ン ツ ・ゲ ー ジ の 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル と い う.こ
ロー レ
れ は 最 も広 く用 い ら れ る ゲ ー ジ で あ
る. ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ の 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル は ま だ 一 義 的 に 決 ま ら な い.こ の よ う に して 示 さ れ る.い
れ は次
ま
(16) を満 たす 任 意 の関 数x0を 用 い て
(17) と お く.こ
の と き(φL,AL)が(14),(15)を
満 た す な ら ば,(φL,AL')も
同形 の
式
(18)
を 満 た し,し
た が っ て(φL,AL)と(φL',AL')は
同 じ電 磁 場 E と B を 与 え る こ と
が示 され る.
放 射 ゲ ー ジ 電 荷 と電 流 が な い と き,す な わ ち
(19)
の と き,(17)のX0を
と くに
(20) とす る と,新
しい ゲ ー ジ は
(21) と な り,Arの
満 た す べ き方 程式 は
(22) と な る.こ
の よ う な 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(0,Ar)を
の な い 真 空 の 場 で は φ=0の 【 例:平
面波】
ゲ ー ジ で よ く,こ
放 射 ゲ ー ジ と い う.電
荷,電
流
れ が 放 射 ゲ ー ジ で あ る.
放 射 ゲ ー ジ を とっ て平 面 波 を
(23) と お く(a
は 振 幅,e
は 偏 りの 方 向 の 単 位 ベ ク トル).こ
の と き(22)第
1式 よ り
(24) した が っ て
(25) ま た,(22)第
2式 に よ り
(26) したが っ て
(27) こ れ はe⊥k,す
な わ ち平 面 波 の偏 りの方 向が 波 の 進 行 方 向k に垂 直 で あ る こ と,
あ るい は横 波 で あ る こ と を表 して い る.な お,こ の と き φr=0な の で平 面 波 の 場 は
(28) と な る.こ
こ で,e'は
e とk に 垂 直 な 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る.す
場 と磁 場 は た が い に 垂 直 で,波
なわち電
の 進 行 方 向 に垂 直 で あ る.
ク ー ロ ン ・ゲ ー ジ
(5)は
(29) と書 け る . こ こ で,条
件A
と して
(30) を満 た す も の を と る こ と が で き る.こ
の と き の φ を φcと し,A
をAcと
書 こ う.
Acは
(31) に し た が う こ と に な る が,(29),(30)に
よ り φcに 対 し て は 単 純 に
(32) を得 る,そ
の た め,こ
れ は ク ー ロ ン ・ゲ ー ジ と呼 ば れ る.(32)か
ら,φcは
(33) と求 め られ る. な お,(31)のdivを
と る と(30),(32)に
よ り
(34) と な る が,ε0μ0=c-2な
の で
(35) を得 る.こ
れ は 電 荷 の 保 存 を 表 す 式 で あ る.
【注 意 】
同 じ磁 場 を 与 え る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル A は 一 義 的 で な い(い
ろ
い う な ゲ ー ジ が あ る)が,1 る.そ
つ の 閉 曲 線 C に つ い て の 線 複 合∮A・dsは
同 じで あ
の値 は
た だ し,S は C を 周 辺 と す る 面 で あ る. 【 証 明 】B=rot
Aで
あ る か ら,ス
Tea
トー ク ス の 定 理 を 用 い て
Time
ゲ ー ジ不 変 性 ゲ ー ジ と い う の は 尺 度,あ ゲ ー ジ 不 変 性,ゲ
る い は 物 差 し の こ と で あ る が,ゲ
ー ジ 理 論 な ど と い う と き に は,も
ー ジ 変 換 と か,
っ と広 い 意 味 で 用 い られ る言
葉 で あ る. 一 般 に,あ
る 方 程 式(ux=∂u/∂n,uxy=∂2u/∂x∂yな
を 考 え る.こ
こ で変 換
ど)
を行 っ た と き,v に つ い て 同 じ方 程 式
が 成 り立 つ な ら ば,こ
の 方 程 式 は ゲ ー ジ 変 換v=F(n)に
の よ う な 理 論 を ゲ ー ジ 理 論 と い う.た
はu の ゲ ー ジ(尺 度)を 変 え る変換,す
に 対 し て 不 変 で あ る. ま た,た
とえば
対 し て 不 変 で あ る.こ
とえ ば
な わ ち ゲ ー ジ変 換
と し,u に対 して あ る方 程 式
が 成 り立 つ とす れ ば,こ の方 程式 は ψ の ゲ ー ジ変 換
に対 して不 変 で あ る. この よ うに い ろ い ろ の場 合 が考 え られ るが,ゲ ー ジ不 変 性 を要 求 す れ ば,そ れ に よ って そ の方 程式 の性 質が 制 限 され る こ とに な る.
第30講 ラ グ ラ ン ジ ュ形 式
―テー マ
◆
ラ グ ラ ン ジ ュ関 数
◆ ハ ミル トン 関 数 ◆Tea
Time:数
学的 実在
ラ グラ ン ジ ュ 関数 電 場 と磁 場 が あ る空 間 にお け る荷 電粒 子 の運 動 を力 学 の原 理 に沿 って扱 っ て み よ う.粒
子(電
荷e)に
は ロ ー レ ンツ カ (1)
が 作 用 す る とす る.ニ
ュー トンの運 動 方 程 式 は (2)
で あ る .
解 析 力 学 で は ラ グ ラ ンジ ュの運 動 方 程 式 (3)
を 使 う.(3)が
関 数 と い う.
運 動 方 程 式 を 与 え る よ う なL(x,y,z,x,y,z,t)を
ラグ ラ ン ジ ュ
(2)に
対 す る ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 は
(4)
で あ る こ と を 証 明 し よ う.た テ ン シ ャ ル で あ る.す
だ し,φ=φ(x,y,z,t),A=A(x,y,z,t)は
電 磁 ポ
な わ ち (5)
【証 明 】 まず (6)
ゆえに
(7)
他方で (8) した が っ て,ラ
グ ラ ン ジ ュ の 方 程 式(3)は
(9)
移項す れば (10) こ れ は ニ ュ ー ト ン の 運 動 方 程 式(2)のx
成 分 で あ る,y
成 分,z
成 分 につ い て
x
も同様 ハ ミル トン関数 ,y,z に 正 準 共 役 な 運 動 量(一
般 化 さ れ た 運 動 量)px,py,pzは
(11) で 定 義 さ れ る .(4)に
よ り
(12) ま と め て 書 く と,運
動 量p=(px,py,pz)は
(13) したが って 速度 は
(14) と な る. 【 ハ ミ ル トン 関 数 】
(15) をつ くる と,運 動方 程 式(2)は
い わ ゆ る正 準 運動 方程 式
(16)
で 与 え ら れ る.た
だ し,ハ
ミル ト ン 関 数 は
(17) で あ る. 【証 明 】
ま ず(17)を
証 明 す る.(15),(14),(4)に
よ り
(18) こ れ で(17)は
導 か れ た . 次 に,(16)の
第 1式 か ら
(19) こ れ は(14)を
与 え る.さ
ら に(16)の
第 2式 か ら
(20) こ れ を 使 い,(19)か
ら
(21) こ れ は(2)を
与 え て くれ る.
電磁 場 の ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 真 空 中 の 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル に 対 す る 運 動 方 程 式(ロ
ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ,第29
講(15))
(22) (c-2=ε0μ0)は
ラ グ ラ ン ジ ュ関数
(23) か ら 導 か れ る(L 【 証 明】 る)は
は φ,A,∂φ/∂x,∂A/∂x,∂A/∂tの 関 数).
ラ グ ラ ン ジ ュ の 方 程 式((3)を
拡 張 し てx,y,z,t を 独 立 変 数 と す
φ成分 につ いて
(24) と な る が,ロ
ー レ ン ツ 条 件divA+c-2∂
φ/∂t=0は
(25) な の で(24)は
(26) を与 え る.こ 次 にAx成
れ は(22)の
第 1式 で あ る.
分 につ い て は
(27) を得 る が,ロ
ー レ ン ツ 条 件(25)に
よ り,こ
れは
(28) を 与 え る.こ る.
れ は(22)の
第 2式 のx 成 分 で あ る.y,z 成 分 に つ い て も 同 様 で あ
Tea
Time
数学的実在 科 学 で は,自 然 界 に おけ る存在 と現 象 を調 べ,こ
れ に よ く対 応 す る 論理 的構 築
物 をつ く り上 げ る.こ の 論 理 的構 築物 は,物 理 学 に お い て は数 学 的 な もの で あ る とき に き わめ て有 効 に機 能 す る.数 学 の論 理 に乗 せ れ ば,論 理 を間 違 え な く進 め る こ とが で き るか らで あ る. 数 学 は完 全 に抽 象 的 な もの もあ るが,お そ ら く多 くの場 合,な
ん らか の意 味 で
の心 象 に導 か れ て 理解 され る もの で あ ろ う.そ の よ うな心 象,あ
るい はイ メ ー ジ
な しに数 式 を変形 す る作 業 を して も,そ の結 果 に は ほ とん ど意 味 が ない. 導 き手 に な る心 象 は,ト ポ ロ ジ カル な もの か ら力 学 的,機 械 的 な もの まで さ ま ざ まな ものが あ りうる.普 遍 的 を認 め て い る もの,あ る い はす で に慣 れ 親 しん で よ く知 っ て い る と思 って い る もの が,こ の よ うな心 象 とな り うる.力 学 的 な もの で い え ば,質 点 の 運 動,渦,波 車,ベ
ル ト,鎖,ひ
の運 動 な どが こ れ で あ り,機 械 的 な もの で は 歯
も,て こ な どが これ で あ る.こ れ ら を組 み合 わせ た心 象 をつ
くる と きに,た と えば 万有 引 力 の法 則,逆 う遠 隔作 用,あ
2乗 法則,電
気 力線,磁 力 線 な ど とい
るい は近接 作 用 とい った 抽 象 的 な概 念 も参 画 す る.
こ う して ニ ュー トンは太 陽系 の模 型 をつ く り上 げ た.模 型,あ る い はモ デ ル と は,主 に 力学 的,機 械 的 な心 象 で あ る.マ ク ス ウ ェル も電磁 気 学 を構 築 す る にあ た って,電 流 に よ る磁 場 を歯 車 の 回転,あ
るい は渦 糸 の よ うに と らえ た機 械 的 な
モ デ ル を最初 に は考 えて い る.彼 は そ こか ら 出発 して ま った く数学 的,抽 象 的 な 電磁 場 の 理論 へ と飛 躍 した の で あ る. 理 論 に 使 わ れ る モデ ル は 自然 そ の もので は ない.こ れ らの 間 の対 応 は結 局 の と こ ろ心 象 で あ り,比 喩 にす ぎな い.し たが っ て理 論 的 モ デ ルの 各 部分,概 念 が, そ の ま ま 自然 の 中 に見 出 され る とは 限 らな い.古 典 的 な電 磁 場 の 波 は電 磁 波 と し て 観 測 され る実在 で あ るが,量 子 力 学 に お け る波 動 関 数 はそ の ま ま波 と して観 測 され るわ けで な く,こ れ にあ る演算 を行 っ た ものが 観 測 され る量 を与 え る. 観 測 され る量 だ け を実 在 と して,こ れ だ け を用 い た理 論 を構 築 しよ う とす る の は行 きす ぎで あ る.観 測 され な い量 をす べ て排 除 しよ うと した 試 み は挫 折 す る, と い うの は歴 史 の教 え る と こ ろ ら しい.自 然 は そ れ ほ どナ イ ー ブで な く,ア イ ン シ ェ タ イ ンが い う よ う に 「神 は老獪 で あ る(subtle)が,い
じわ るで は な い 」.
次 の よ うに 言 い か え て もい い だ ろ う.「 自然 は と ら え難 いが,絶 学 的 モ デ ル に対 して ほ ほ えみ を見 せ る」
えず す ぐれ た 数
索
ア 行
引
エ ー ル ス テ ッ ド 42
ゲ ー ジ変 換 66,189
円電 流
減 衰 力 182
―が つ くる磁 場 61
ア イ ン シ ュ タ イ ン 62
―の磁 気 モ ー メ ン ト 82
ア イ ン シ ュ タ イ ン −ド ・ハ ー ス 効 果 75 圧
応 力 テ ン ソ ル 91
力 90 光 の―
マ ク ス ウ ェ ルの―
157,158
ア ー ン シ ョ ウ の 定 理 29
92,103
光
子 158
光
年 177
勾
配 28
光 量 子 158 コ ン デ ンサ ー 119,133,145
オ ンサ ガ ー 144
―の 容 量 136
ア ンペ ア 1
力 行
ア ン ペ ー ル 43 ―の 力 43
回
―の 法 則 70
ガウス
一 般 化 さ れ た運 動 量 198 イ ン ダク タ ンス 148
コ ンパ ス 42
転 37
サ 行
―の 定 理 13
サ イ ク ロ トン振動 数 51
―の 法 則 17
作
微 分 形 の―
の 法 則 19
用 80
作 用 量 79
加 速 に よ る輻 射 181 CGS 6
動 く観 測者 108
偏
り 154
渦 な しの場 35
完 全 導 体 167
ウ エー バ ー 44
完 全 導 体 面 で の 反 射 171
J.J.ト
磁
運 動 方 程式 相 対 論 的 な―
102
ニ ュー トンの―
102
運 動 量 101,102 一 般 化 さ れ た―198 正 準 共役 な―198
ム ソ ン 50
―の 実 験 52 荷 63 ―が 電 流 に 及 ぼ す 力 77
起電力 3 キ ャベ ンデ ィ ッ シ ュ 34
磁 荷 ど う しの 力 78
キ ャ リヤ ー 56
磁
キ ュ リ ー温 度 74
磁 気 感 受 率 118,122
ギ ルバ ー ト 8,74
磁 気 作 用(電 流 の) 42
界 42
磁 気 双 極 子 83
運 動 量保 存 の式 103 屈 折 率 116,163
磁 気 に関 す る ク ー ロ ンの 法則 78
ク ラ ウ ジ ウス ーモ ソ ッテ ィの 式 143
磁 気 2重 極 モ ー メ ン ト 117
永 久 磁 石 63
グ ラ ジエ ン ト 28
磁 気 分 極 115,117
エネルギー
ク ー ロ ン 2
磁 気 誘 導 44
運 動量 密 度 157
―の流 れ 157 帯伝 導 体 球 の―97
―の 法 則 2 磁 気 に関 す る―
次 元 と単 位 78 の 法 則 78
自己 イ ン ダ ク タ ンス 149
電磁 場 の―100
ク ー ロ ン ・ゲ ー ジ 193
自己 力 23
電場 の―
ク ー ロ ン場 5
磁
石 42
磁
針 42
系 6
磁
束 44,106,117
ゲ ー ジ不 変 性 194
磁 束 密 度 44,46,87,117
98
エ ネ ル ギ ー保 存 則 111 MKSA単
位 系 1
LC回 路 149 ―の固 有 振 動 151
―の磁 力 線 127
クー ロ ン力 131
磁 束量 子 80
電 流 が 磁場 か ら受 け る―
磁
電流 が磁 荷 に 及 ぼ す―
場 42,43 ―の 強 さ 46 円電 流 が つ くる―
61
直線 電 流 の つ くる― 電流 が つ くる―
60 60,65
43
電
77
場 3 ―内 の 導 体 球 141
地 磁 気 74
―内 の 誘 電 体 141
遅 滞 ポ テ ン シ ャル 175
―の エ ネ ルギ ー 98
張
―の 強 さ 4
力 90
直線 電 流 の つ くる 磁場 60
電
流
ジ ュー ル熱 168
チ ェ レン コ フ 183
―が 磁 場 か ら受 け る力 43
磁 力線(磁 石 の) 127
チ ェ レン コ フ放 射 183
―が つ くる磁 場 60,65
真 空 中の マ クス ウ ェ ル の 方 程式 105
―が 磁 荷 に及ほす 力 77 ―の 磁 気 作 用 43
定 常 電 流 9
―の 単 位 1
真 空 の誘 電 率 2
テ ス ラ 44
真 電 荷 97,116,121,129
デバ イの 式 143
電流密度 9
デ ュ フ ェ イ 7
電 力 管 90
ス トー クス の定 理 38
電
圧 3
電
位 3,26
透 過 波 161,169
正 準 運 動 方 程式 198
電 位 差 3
透 過 率 163,170
正 準 共 役 な 運動 量 198
電
透 磁 率 118
静 電 感 応 20
荷 2 ―の 保 存 則 11
静 電 気 7
電 子 の―
導 体 中 の 電 磁 波 166
3
導 波 管 187
静 電 遮 蔽 31
電
静電単位 6
電 気 感 受 率 116
静 電 場 26
電 気 双 極 子 31
静 電 誘 導 20
電 気 双 極 子 輻射 179
積 分 法 則 40
電 気 2重 極 32
ゼ ーマ ン 52
電 気 の 正 と負 7
ゼ ーマ ン効 果 52
電 気 分 極 115,116
先 進 ポ テ ンシ ャ ル 175
電 気 変位 46,116
線 積 分 35
電 気 4重極 33
先 端 速 度 187
電 気 力線 6,19,89
波
数 154
電磁 運動 量 密 度 104
発
散 10
双 極 子 32
電 子 の電 荷 3
波 数ベ ク トル 155
双 極 子 モ ー メ ン ト 32,115
電磁 波 152
波 動 方 程 式 153
相 対 論 的 な運 動 方 程 式 102
界 3
トム ソ ン散 乱 184 ―の微 分 断 面積 185
ナ ブ ラ 28
ニ ュ ー トンの 運動 方 程式 102 ハ
導 体 中 の―
166
電磁 場
タ 行 帯 伝 導体 球 の エ ネ ル ギ ー 97
ハ ミル トン 関 数 198 反 磁 性 53,54,122
―のエ ネ ルギ ー 100
反 射(完 全 導 体 面 で の) 171
―の ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 199
反 射 波 161,169
ダ イナ モ理 論 75
電磁 ポ テ ン シ ャル 175,188
反 射 防 止 膜 164
ダイ バ ー ジ ェ ンス 10
電子 ボ ル ト 3
反 射 率 163,170
多 重極 33
電 磁 誘 導 の 法 則 105
半 導 体 56
担
電 信 方 程 式 165
体 56
電 力 25 ア ンペ ー ルの―
束 107
ビ オーサ バ ー ル の法 則 60,64
電 束 密 度 46,116,126 43
行
バ ー ネ ッ ト効 果 75
―の輻 射 179
ソ レ ノイ ド 148
ナ 行
誘 電 体 内 の―
126
光 の 圧 力 157,158 ビス マ ス 122
微 分形 の ガ ウス の 法 則 19
変 位 電 流 105
真 空 の―
微 分 断面 積(ト ム ソ ン散 乱 の) 185
変分 法 則 40
誘 電 流 体 119
微 分法 則 40
ヘ ン リー 149 横
比 誘電 率 116 表 皮効 果 167
ボ ー ア磁 子 86
表 皮深 さ 167
ポ ア ソ ン方 程 式 29 ポイ ンテ ィ ング ・ベ ク トル 113,157
表 面 電 流 172
輻
電 荷 の―
射 加 速 に よ る― 電 磁 波 の―
180 178
ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 196
ラ プ ラ ス演 算 子 (ラプ ラ シア ン) 29
11
ポ テ ンシ ャ ル 3
ラ プ ラ ス−ボ ア ソ ン方 程 式 29
ホ ー ル効 果 55
ラ プ ラ ス方 程 式 29
ボ ル ト 3
ラーモア
輻 射 領 域 181
マ 行
物 質 中 の マ ク ス ウ ェ ルの 方 程 式 120
ラ 行
ラ グ ラ ン ジ ュの 運 動 方 程 式 196
保 存 則 114
―の法 則 105
波 155
電 磁 場 の―199
放 射 ゲ ー ジ 191 フ ァ ラデ ー 56,93
2
マ クス ウ ェ ル 109 ―の 応 力 テ ン ソル 92,103
プ ラ ン ク定 数 80,85
―の角 速 度 53 ―の公 式 182 ―の定 理 54 ―の歳 差 運 動 53
―の 方 程式 105
フ ラ ン ク リ ン 8 不 連 続 面 の 条件 124
真 空 中 の―
の 方 程式 105
分
物 質 中 の―
の 方 程 式 120
極 115
量 子 化 80
マ クス ウェ ル−ア ンペ ール の 法 則
レイ リー 186
分 極 した 球 140
レイ リー 散 乱 186
分 極 電 荷 129
摩 擦 電 気 7
レベ デ フ 158
分 極 率 137
マ ル コー 二 173
連 続 の 方 程 式 11
―に よ り現 れ る電 荷 128
分
105
レ ンツ の 法 則 87
散 187
分 子 磁 石 63 分子 電 場(ロ ー レン ツの) 142
平 行 平 板 コ ンデ ンサ ー 119 平 面 波 154 ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャル 64 ―の 任 意 性 66 ヘ ル ツ 173
無 線 通 信 173 ロ ー テ ー シ ョ ン 37
ヤ 行
ロ ー レ ン ツ 46 ― の 分 子 電 場 142
誘 電 体 146 ―内 の 電 束 密 度 126
ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ 190
―内 の 電 場 E 126
ロ ー レ ン ツ 条 件 191
電 場 内 の― 誘 電 率 116,147
141
ロ ー レ ン ツ 力 44 ロ ー レ ン ツ ーロ ー レ ン ス の 式 143
著 者 戸
田 盛
和
1917年 東京 に生 まれ る 1940年 東京大 学理 学 部物理 学科 卒業 現
在 東京教 育 大学 名誉教 授 ノル ウ ェー王立 科学 ア カデ ミー会員 理学博 士
物 理 学30講
シ リーズ 6
電磁 気学30講
定価 は カバ ーに表 示
1996年11月15日 初 版 第 1刷 2004年 4 月20日 第 5刷
著 者 戸
田
盛
和
発行者 朝
倉
邦
造
発行所 株式
会社 朝
倉
書
店
東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町 6-29
〈 検 印省 略〉 〓1996〈
ISBN
便
電
話
FAX
無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉
4‐254‐13636-6
郵
C3342
番
号 162‐8707
03(3260)Ol41 03(3260)0180
シ ョウ ワ ドウ ・ イ ー プ レス/ 渡 辺 製 本
Printed in Japan
物 理 学30講
シ リー ズ 〈 全10巻 〉
著者 自 らの言葉 と表 現で 語 りか け る大 好評 シ リー ズ 戸 田盛和著 物理学30講 シ リーズ 1
一
般
力
13631-5 C3342
学30講
A5判
208頁 本 体3600円
戸 田盛和著 物理学30講 シ リーズ 2
流
体
力
13632-3 C3342
学30講
A5判
216頁 本 体3600円
戸 田盛 和 著 物 理 学30講 シ リー ズ 3
波 動 と 非 線 形 問 題30講 13633-1 C3342
A5判
232頁 本 体3700円
戸田盛和著 物理 学30講 シ リー ズ 4
熱
現
象30講
13634-X C3342
A5判
240頁 本 体3700円
戸田盛和著 物理 学30講 シ リー ズ 5
分
子
運
13635-8 C3342
動30講
A5判
224頁 本 体3600円
戸田盛和著 物理学30講 シリー ズ 7
相
対
性
13637-4 C3342
理 A5判
論30講
244頁 本 体3800円
戸 田盛和著 物理学30講 シ リーズ 8
量
子
力
13638-2 C3342
A5判
学30講 208頁 本 体3800円
戸 田盛和著 物理学30講 シ リー ズ 9
物
性
物
13639-0 C3342
A5判
理30講 240頁 本 体3500円
戸田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ10
宇
宙
13640-4 C3342
と
素 A5判
粒
・ 子30講
212頁 本 体3800円
力 学 の 最 も基 本 的 な と こ ろ か ら問 い か け る。 〔内 容 〕力 の 釣 り合 い/ 力 学 的 エ ネ ル ギ ー / 単 振 動 / ぶ らん こ の 力学 / 単 振 り子 / 衝 突 / 惑星 の運 動 / ラ グ ラ ン ジ ュ の運 動 方 程 式 / 最 小 作 用 の 原理 / 正 準 変 換 / 断 熱定 理 / ハ ミル トン−ヤ コ ビの 方 程 式
多 くの親 しみや すい話題 と有名 なパ ラ ドックスに 富む流体 力学 を縮 まな い完全流体か ら粘性 流体 に 至 るまで解 説。 〔内容〕球形渦/渦糸/渦列/粘性 流体 の運動方程 式/ ポア ズイユの流 れ/ ス トー ク スの抵抗/ず りの流れ/境界層/他 流体 力学に続 くシ リー ズ第 3巻 では,波 と非線 形 問題 を,著者 自身の発見の戸 田格子 を中心 に解説。 〔内容〕ロ トか ヴ ォルテ ラの方程 式/逆散 乱法/ 双対格子 /格子 のN ソ リ トン解/ 2次元KdV方 程 式/ 非対称 な剛体 の運動/他 熱 の伝 導,放 射,凝 縮 等 熱 を と り ま く熱 現 象 を熱 力学 か らて いね い に展 開 して い く。 〔内容 〕熱 力 学 の 第 l,2 法 則 / エ ン トロ ピー / 熱 平 衡 の 条 件 / ミ クロ状 態 とエ ン トロ ピー/ 希 薄 溶 液 / ゆ ら ぎの 一 般 式 / 分 子 の 分 布 関 数 / 液体 の 臨 界 点 / 他
〔 内容〕気体 の分子運動/初等 的理 論への反省/気 体の粘性/ 拡散 と熱伝導/熱 電効 果/光の散乱/ 流体力学 の方程式/重 い原子 の運動 /ブ ラウン運 動/拡散 方程 式/拡散率 と易動度/ ガウス過程 / 揺動散逸定理 / ウィナー ・ヒンチンの定理/ 他 〔 内容 〕 光 の速さ/時間/ ロー レンツ変換/運 動量 の保存 と質 量/特殊 相対論的 力学/保 存法則/電 磁場の変換/ テ ンソル/一般相対性理 論の出発点 /ア インシュタイ ンの テンソル/ シュワルツ シル トの時空/光 線の湾曲/相対性理論 の検証/他 〔 内容 〕 量子/粒 子 と波動/ シュレー ディンガー方 程式/古典的 な極 限/不確定性原理/ トンネル効 果/非線形振動/水 素原子/角運動量/電磁場 と 局所ゲー ジ変換/散 乱問題/ ヴ リアル定理/ 量子 条件 とボア ソン括弧/ 経路積分/調和振動子他 〔内容〕水素分子/ 元素 の周期律/分子性物質/ ウ ィグナー分布関数/理 想気体/ 自由電子気体/ 自 由電子の磁性 とホー ル効 果/ フォ トン/ スピン波 / フェル ミ振子 とボース振子/低温の電気抵抗/ 近 藤効 果/超伝導/超伝 導 トンネル効果/他 〔 内容〕宇宙 と時間/ 曲面 と超曲面/閉 じた空間 ・ 開いた空間/重力場 の方程 式/膨張宇宙モデ ル/ 球対称 な星/相対性理論 と量子力学/ 自由粒子/ 水素類似 原子/電磁場 の量子化 / く り込み理論/ ラム ・シフ ト/超 多時 間理 論/ 中間子の質量/他 上 記 価 格(税 別)は2004年
3月 現 在