複素数30講 (数学30講シリーズ)

は

し

が

き

 実 数 の体 系は,実 は 無 限概 念 の上 に 立 った,ほ とん ど見 通 しの きか な い も の と い って よい ほ ど,複 雑 な数 学 的対 象で あ るが,こ の実 数 が比 較 的 自然 な もの と し て誰 にで も受 け 入 れ られ るのは,数 直 線上 の点 として 表現 され て い る こ とに よ っ て い るか らだ ろ う.そ の ほか に も,時 空 の1つ の直 観形 式 として,実 数 の連 続 性 がい つ しか 私 た ちの 意識 の 中に 育 て られ て き た とい う理 由 もあ るか もしれ な い. それ に反 し,複 素 数 は,ガ

ウス平面 へ の 表 示 を 認 めて も,な お どこか実 数 の よ う

に 素 直 には な じめ ない 感 じが残 って し ま うの は,な ぜ だ ろ うか.こ の ことは,こ の 『複 素 数30講 』 を執 筆 す るに あ た って,最 初 に 私 の 中 に湧 い た疑 問 で あ って, この疑 問 が,そ の ま ま動 機 とな って,本 書執 筆 の構 想 が しだ い に湧 い て きた の で あ る.   確 か に,ガ ウ ス平 面 の提 示 は,ガ ウスが 述 べ た よ うに複 素 数か ら形而 上 学 的 な もの を取 り除 くこ とには 役 立 ったか も しれ ない が,そ れ で もな お,実 数 を表 わ す 数 直線 と,複 素数 を表 わ す ガ ウス平面 を,同

じ意 識 の水 準 に お く とい う ことに は

至 らなか った よ うで あ る.   しか し,複 素 数 は,数 学 の 中で は 実数 と同 じ,あ るい は 場 合 に よって は,実 数 よ り重 要 な役 割 を果 たす 数 の体 系 で あ る.理 由は定 か では な い とし て も,量 子 力 学 の記 述 の中 に は,複 素 数 が 登場 して くる.複 素数 に は,や は り親 しみ を もって も らっ た方 が よい だ ろ う.   私 の本 書 執筆 の 中心 課 題 は,複 素 数 の 中か ら,ど の よ うに した ら'虚'な

る感

じを 取 り除 け るか に か か っ てい た.私 は,ガ ウ ス平面 の表 示 に,実 軸,虚 軸 を あ ま り強調 しす ぎ るの は,適 当 で ない か もしれ ない と考 え て みた.こ の点 を 強調 す る と,複 素数 は'既 存 の'実 数 の対 に す ぎ ない とい う観 点 が 強 ま って し ま うだ ろ う.実 数 の場 合 には,ま ず 直 線 の存 在 を 認 め て,そ こに 目盛 りを 入 れ,座 標 を導 入 して,数 直線 を完 成 させ た.同 じ よ うに,複 素数 で も,ま ず平 面 が あ っ て,そ

こに複 素 数 が 表示 され る―

複 素 数 は平 面 の 数 で あ る―

とい う立 場 を とった方

が 鮮 明 とな るの で は なか ろ うか.   本 書 の 基 調 は,全 体 と して は,'平 面 の数'と し て の複 素数 の姿 を 明 らか に す る こ とに あ る.複 素 数 上 の 関数 を 取 り扱 う関 数 論 は,い まで は 見事 に 整備 され,殊 にそ の 導 入部 分 は 一 種 の形 式 美 を伴 う理 論 とな っ てい るが,そ の 形式 の奥 に あ る 簡 明 な 姿 は な か なか つ か み難 い の で あ る.直 線 の もつ 様 相 が 関数 概 念へ と働 い て 微 積 分 を つ くった よ うに,平 面 の もつ 様 相 が,微 分 を 通 して 関数 へ 働 くと,そ こ に関 数 論 の世 界 が 展 開 す る.   複 素数 は,平 面 の 回 転や 相 似 写像 と密 接 に結 び つ い て お り微 分 可能 な 関 数― 正 則 関 数―

は,こ の よ うな複 素数 の幾 何学 的な 働 きの 中 に,あ る平 均 的 な挙 動

と微 細 な 内在 的 性 質 との 関連 を示 して くる.こ こに み え る複 素 数 の世 界 は,た だ 単 に イデ ヤ の世 界 に 漂 ってい るわけ では な く,確 か に 現 実 の相 の1つ を 表 現 して い るの で あ る.   終 りに,本 書 の 出 版 に際 し,い ろい ろ とお世 話 に な った朝 倉 書店 の方 々に,心 か らお 礼 申 し上 げ ます. 1989年2月 著

者

目

次

第1講

 負 数 と虚 数 の 誕 生 ま で 

1

第2講

  向 きを変 え る こ と と回 転

 7

第3講

 複 素 数 の定 義

  14

第4講 

複 素 平面

第5講 

複 素数 の乗 法

 27

第6講

  複 素数 と図形

 35

第7講

  単 位 円 周上 の 複素 数 関数  

  20

  42

第8講 

1次

48

第9講 

リー マ ン球 面  

57

第10講 

円 々対 応 の 原理  

64

第11講   代数 学 の 基 本定 理  

72

第12講

80

  複素 平 面 上 の領 域 で定 義 され た 関 数  

第13講   複 素 関数 の微 分  

87

第14講   正則 関 数 と等角 性  

95

第15講   正則 な関 数 と正 則 で な い関 数  

103

第16講 

ベ キ級 数 の基 本 的 な 性 質  

109

第17講 

ベ キ級 数 と正 則 関数  

116

第18講   指 数 関 数 122 第19講 

積

分  

第20講  複 素 積 分 の性 質  

131 138

第21講  複 素積 分 と正 則 性

  145

第22講   コー シ ーの積 分 定理 の証 明 

152

第23講   正則 関 数 の積 分表 示  

160

第24講   テ イラ ー展 開  

167

第25講   最 大値 の原 理

  175

第26講   一 致 の定理  

182

第27講  孤 立特 異 点 

190

第28講  極 と真 性 特異 点 第29講  留

  197

数 

205

第30講  複 素 数再 考  

212

索

引

 219

第1講 負 数 と虚数 の誕 生 まで テ ーマ

◆ 虚 数 との最 初 の 出会 い―2次

方 程 式 の 虚解

◆ 数 学 史か ら ◆ 負 数 の誕 生 過程 ◆ 負数 が 確 定 し た概 念 とし て一 般 化 し た のは17世 紀 で あ る. ◆ 虚 数 と3次 方 程式 の 出会 い―16世

紀 イ タ リー学 派

虚 数 との出会 い  複 素 数 は 虚 数 単 位i, i2=−1 に よ っ て,a+bi(a,bは 5−4iは ら,こ

実 数)と

複 素 数 で あ る.こ

表 わ さ れ る数 で あ る.た

の 複 素 数 に つ い て の 説 明 は,以

と え ば,2+3iと

か

下 で お い お いす るか

こ で は 前 奏 曲 の よ うな つ も り で 軽 く読 ん で い た だ き た い.

 複 素 数 に 最 初 に 出 会 う の は,2次

方程式

ax2+bx+c=0(a≠0) を 解 く と き で あ る.た

とえ ば x2+x+5=0

は 判 別 式 がD=1−20=−19<0と っ て 解 を 求 め て み る と,解

な っ て,虚

の 解 を も つ.実

際,解

の 公式 に従

は

と 複 素 数 で 表 わ さ れ る.  高 等 学 校 で こ の よ うな こ とを 習 っ て も,虚 に く く,何

数 とか 複 素 数 と い う も の は,な

だ か 正 体 が わ か らな い と い う感 じ が い つ ま で もつ き ま と う.し

じみ か し,

この'よ

くわ か らない'と い う感 じが また捉 え ど ころ のな い ものだ か ら,ふ つ う

の 人 は質 問 の 焦 点 を どこに 絞 って よい のか もわ か らず,虚 数 につ い て よ くわ か ら な い とい う気 分 を残 した ま ま沈 黙 して し ま う. 数 学 史 を眺 め る  数 学 史 の 上 で も,複 素数 の導 入 には,虚 数―imaginary

number―

とい う

名前 が 示 す よ うに,長 い 間 の ため らい と迷 い とが あ った.実 際 は19世 紀 に な っ て は じめ て複 素 数 が広 く数学 者 の間 に実 在感 を もつ よ うに な って き た ので あ る.  この事 実 は よ く知 って い た が,改 め て数学 史 の本 を 読 ん でみ て,複 素 数 の導 入 ど ころ で は な く,負 の数 の導 入 に も,ほ とん ど同 じ くらい の大 変 な 道 の りが あ っ た とい う こ とを 知 って驚 い て い る.私 た ち に とって,正,負

の実 数 は,複 素数 に

比べ れば,使 い な れ て よ く知 ってい る数 で あ る.こ の 正,負 の実 数 とい う数 の体 系 は,自 然数,整 数,有 理 数 としだ い に数 の範 囲を 広 げ て,最 後 に数直 線 上 で有 理 数 を 完 備化 し て得 られ た も の で あ る と理 解 してい る.し か し,数 学 史 を読 む と,こ の よ うな段 階 的 な数 の発 展史 を 見 出す こ とは で きな い の で あ る.  数 とい うも の は,現 在 の既 成概 念 の よ うに,確 か な足 ど りで一 歩,一 歩 数学 史 の上 で 組 み立 て られ て きた もの では な い.数 学史 の そ の よ うな流 れ を 知 って お く こ とは,実 数 とい う概 念 に基 づ い て,複 素数 を理 解 しよ うと して立 ち 止 ま りが ち な読 者 の 足 を,多 少 は 軽 くす るか もしれ な い.こ こで少 しだ け,数 の 歴史 の流れ を追 って み よ う. 負数の誕生 過程  い まか ら2300年 ほ ど前 に著 され た ユ ー ク リッ ドの 『原 論』 で は,線 分 ま た は 図形 を用 い る幾 何学 的 代 数演 算 に よ って す べ て の算 術 の計 算 が な され てい た.た とえば,a2は1辺

がaの 正 方形 の面 積 として 表 わ さ れ,abは1辺

がa,他

の辺

がbの 長 方 形 の 面 積 として 表わ され てい た.だ か らた とえ ば,『 原 論 』 のⅡ 巻 で は(a+b)2=a2+2ab+b2を るの に,1頁

示 す の に,幾 何 学 的 に同 値 な 命題 の形 で これ を 証 明す

半 を要 し てい る.

 この 『原 論 』 に お け る幾 何学 的 代 数演 算 の 影響 は,中 世 か らル ネ ッサ ン ス初 期

の ヨ ー ロ ッパ 数 学 の 上 に 及 ん で い た よ うで あ る.14世

紀 の 数 学 者 オ レ ー ム は,

測 定 し う る も の は す べ て 線 分 で 表 わ さ れ る と 主 張 し て い た.長 分 を 取 り除 く こ と は で き る が,短 い.し

た が っ て,数

い線分 か ら短 い線

い 線 分 か ら長 い 線 分 を 取 り 除 く こ と は で き な

を 線 分 で 表 わ す と い う観 点 を 強 め る と,負

の 数 と い う概 念 は

生 ま れ 難 い の で あ る.   16世 紀 前 半 は,ド

イ ツ で 代 数 学 が 活 発 とな っ た と き で あ っ た.1544年

テ ィー フ ェ ル に よ って か か れ た 『算 術 全 書 』 の 中 で,は

じ め て2次

に 負 の 数 が 採 用 さ れ る よ う に な り,そ れ に よ っ て,2次

方 程 式 を1つ

し て か く こ と が で き る よ う に な っ た の で あ る.し

か し,シ

程 式 の 解 と し て 負 の 数 を 認 め る こ とは し な か っ た.彼 い た が,そ は,'無

れ で も,負

数 の こ と を'不

合 理 な 数'と

方程 式 の 係 数 の形 に整理

ュテ ィー フ ェ ル は,方

は,負

の 数 の性 質 を知 って

よ ん で い た.無

限 とい う雲 の よ うな も の に お お わ れ て い る'と

にシュ

い っ て,取

理数 につ い て り扱 う こ と を

た め ら っ て い た.   16世 紀 半 ば 頃 の 状 況 に つ い て,ボ 倉 書 店)か

イ ヤ ー 『数 学 の 歴 史 』(加 賀 美,浦

ら 一 節 を 引 用 し て お こ う.

  「無 理 数 は 確 固 と し た 基 礎 づ け が な され て い な か った が,カ 1576)の

野 訳,朝

時 代 ま で に は 一 般 に 認 め られ て い た.と

易 に 近 似 で き た か らで あ る.負 か っ た が,向

き の 概 念(つ

の 数(numeri

ficti)'と

数 は 正 数 で は 容 易 に 近 似 で き な い た め も っ と難 し

ル ダ ー ノ は,そ

採 用 に よ りも っ と も ら し く

れ らの 無 理 数 や 負 数 を'つ

よ び な が ら も使 っ て い た.し

無 理 数 や 負 数 の 存 在 を 否 定 し よ う と 思 え ば,た 程 式x2=2やx+2=0は

い うの も,無 理 数 は 有 理 数 で 容

ま り直 線 上 で の 逆 方 向)の

思 え る よ う に な っ て い た.カ

ル ダ ー ノ(1501-

だ,古

か し,当

くりもの

時 の 代数 学 者 が

代 ギ リ シ ャ 人 の よ うに,方

解 け な い とい うだ け で す ん だ.」

  負 数 の 解 を 方 程 式 の 解 と し て 認 め よ う と し な い 考 え は デ カ ル トの 時 代 に な っ て も ま だ 残 っ て い た よ うで あ る.近 フ ェ ル マ(1601-1665)の

世 数 学 の 幕 を 開 い た デ カ ル ト(1596-1650)や

残 さ れ た 文 献 を 見 て も,座

標 の よ こ軸 を負 の方 へ 延 ば

し て い る も の は 見 当 ら な い そ うで あ る.よ

こ軸 は つ ね に正 の 数 だけ を 指 し示 して

い た.そ

れ に 反 し た て 軸 は,と

の 方 へ 延 び て い た そ うで あ る.こ

と は,負

の 数 の 積 極 的 な 導 入 に 対 す る,数

き に は,負

のこ

学 の 世 界 に お け る 最 後 の た め ら い とゆ

ら ぎ を 示 し て い た とい え る の か も しれ な い.   数 直 線 や 直 交 座 標 が 現 在 の よ うな 形 と な り,y=f(x)の 面 上 に 自 由 に 描 か れ る よ う に な っ た の は,こ て こ の 時 代 の 波 の 中 で,二 (1646-1716)の

人 の 巨 人,ニ

グ ラ フ が こ の 座標 平

れ か ら 少 し あ と の こ と で あ る.そ

ュ ー ト ン(1642-1727)と

し

ラ イ プ ニッ ツ

活 躍 が は じ ま る こ と に な る.

虚 数 は長 い 間姿 を 現 わ さ な か った

  負 数 の 導 入 で も こ の よ う な 長 い 歴 史 の 経 過 が あ っ た の だ か ら,さ 虚 数 を 数 学 者 が 認 め る よ う に な る に は,一   も っ と も虚 数 は,2次 い よ うで あ る.2次

の 解 を 求 め る だ け な らば,幾

も の で あ る.こ に2次

層 長 い 道 の りを 要 し た の で あ る.

方 程 式 の 解 法 と直 接 結 び つ い て 登 場 し て き た わ け で は な

方 程 式 は,完

め る こ と が で き る.こ

らに 謎 め い た

全 平 方 の 形 に 直 し て 解 く こ とが で き る か ら,正

何 学 的 代 数―

正 方 形 を 用 い る 作 図―

に よ って求

れ は 実 質 的 に は す で に 『原 論 』Ⅱ 巻 の 中 で 述 べ られ て い る

の よ うに 作 図 に よ っ て 解 を 見 出 す こ と が で き る と い う こ とは,逆

方 程 式 の 解 の 中 で'線

の 解 を 考 察 の 外 に お い て,は が な い と い え ば,そ

分'と

し て 表 わ され な い も の,す

な わ ち 負 の 解,虚

じ め か ら捨 て さ せ る こ と に な っ た.x2+2=0は

解

れ で す ん だ の で あ る.

虚 数 の 登 場―16世

  虚 数 が 最 初 に 問 題 と な っ た の は,16世

紀―

紀 イ タ リー で3次

方程式 の解法が 論ぜ

られ る よ うに な っ て か ら の こ と で あ る.   3次 方 程 式 の 一 般 解 を 最 初 に(1541年 で あ る と い わ れ て い る.し

か し,当

ノ と ボ ン ベ ッ リ(1526-1573?)で

頃 ま で に)見

出 した の は タ ル タ ー リア

時 の イ タ リ ー を 代 表 す る代 数 学 者 は カ ル ダ ー あ っ た.3次

方程式

x3+px=q の 一 般 解 は,カ

(右 辺 の 第1項

ル ダ ー ノ の 公 式 と よば れ て い る 次 の 式 で 与 え られ る.

をA,第2項

をBと

す る と,残

り の2つ

の 解 は ωA−ω2B,ω2A

こ こで   と こ ろ が こ の 一 般 解 の 式 を, x3−15x=4 に 適 用 し て み る と 少 し 妙 な こ とが お き る.こ 果(x−4)(x2+4x+1)=0と

な る か ら,正

の 方 程 式 は 因 数 分 解 さ れ て,そ の 解4を

も つ こ とが わ か る.こ

の結 の こ

とを上 の カル ダー ノの一般 解 を用 い て表 わ す と

(1) と な る.す

な わ ち,実

の 解4を

表 わ す の に,カ

ル ダ ー ノ の 公 式 を 用 い る と虚 数 が

現 わ れ て く る の で あ る!!   も っ と も カ ル ダ ー ノ は,別 を2つ

の 部 分 に 分 け て,そ

た.ふ

つ う に 解 く と,こ

と な る,し

の 問 題 で 虚 数 に 出 会 っ た こ と も あ っ た.そ れ ら の 積 を40と

導 入 し た が,そ

の 平 方 根 を'詭

解 し 難 い も の で あ る'と

  ボ ン ベ ッ リは,上

い う もので あ っ

の解 は

か し カ ル ダ ー ノ は,負

な い と と も に,理

な る よ うに せ よ'と

れ は'10

の 事 情(1)を

れ を 彼 自 身'奇

弁 的 で あ る'と

し,'役

に立 た

い っ て い た.

説 明 す る の に,共 抜 な 思 想'と

よ ん で,そ

役 複 素数 に相 当す る考 え を れ 以 上 発 展 させ る こ と は

な か っ た の で あ る.   虚 数 の 問 題 は,こ た が,し

の よ うに し て この 時 代 に 数 学 史 の 上 に 一 度 浮 か び 上 が っ て き

ば ら く し て,再

  実 際,ラ

び 沈 ん で い っ た よ うで あ る.

イ プ ニッ ツ の 功 績 の1つ

に は,忘

一 度 取 り上 げ た こ と が 数 え ら れ て い る.た

を 示 し た.こ

の よ うに,正

れ か け られ て い た 複 素 数 を 彼 が も う とえば彼 は 等 式

の 実 数 を 虚 数 に 分 解 し た こ と で,同

時代 の人 を驚 か せ

た と い う.   し か し,ラ

イ プ ニ ッ ツ は,f(x)が

実 係 数 の多 項 式 の とき

は実 数 で あ る と推 論 した が,こ の 証 明 を与 え る ことは で きなか った ので あ る.

  こ の あ と,18世

紀 に な っ て,オ

イ ラ ー(1707-1783)が

登 場 し て,オ

イ ラ ー

の 公式 eix=cosx+isinx を 通 し て,虚 は,し

数 が 有 効 な も の で あ る こ と を 示 し た が,こ

だ い に 浸 透 し て く る よ うに な っ た.

  し か し,数 は,ガ

の 頃か ら複 素数 の考 え

学 者 の 間 で,複 素 数 が 実 数 と 同 じ よ うな 実 在 感 を もつ よ うに な る の

ウ ス に よ る,複

素 数 の'ガ

ウ ス 平 面'上

用 い ら れ る よ う に な っ て か ら で あ った.こ

の 表 示 が 示 さ れ,こ

れ に つ い て は,こ

れ が積 極 的 に

れ か ら少 し ず つ 述 べ

て い く こ と に し よ う.

Tea

Time

記 号iに つ いて   数 学 で は, 

を 表 わ す の に 記 号iを

し た の は オ イ ラ ー で あ っ た.オ を 表 わ す の にiを っ た.実

際 は,iが

は,1801年

用 い て い る.こ

イ ラ ー は 晩 年1777年

使 って い た が,そ

の 記 号iを

の 日づ け の あ る 原 稿 で 

れ が 印 刷 さ れ た の は1794年

の1回

き りで あ

虚 数 単 位 の 記 号 と し て 確 固 た る 地 位 を 占 め る よ うに な っ た の

に ガ ウ ス が 有 名 な 『数 論 研 究 』(Disquisitiones

わ し て,そ

の 中 で こ の 記 号 を 用 い て か ら で あ る.

  な お,自

然 対 数 の 底eの

表 示 も オ イ ラ ー に よ る.円

arithmeticae)を

イ ヤ ー は,そ

学 の中 に定 着 した

の 著 『数 学 の歴 史 』 の 中 で,eπi+1=0と

の 中 で 最 も基 本 的 な 定 数e,π,i,お

よ び0,1と

言,注

い う,数 学

い う数 の 基 本 単 位 が 現 わ れ る こ の

重 要 な 等 式 を オ イ ラ ー が 見 出 し た に も か か わ らず,こ の 名 が 冠 せ られ て い な い こ と に,一

著

周 率 を 表 わ す 記 号 π も,オ

イ ラ ー が 多 く の 有 名 な 教 科 書 の 中 で こ れ を 用 い た こ とか ら,数 の で あ る.ボ

最 初 に 採用

の 定 数 の どれ に も オ イ ラ ー

意 を 向 け て い る.

第2講 向 きを 変 え る こ と と 回 転 テ ーマ

◆ 正 の方 だけ延 び て い る数 直 線 ◆ 半 直 線 の向 きを 変 え る ◆ 正 の方 向 の数 直 線 か ら負 の方 向 へ の 数直 線 ◆180° の 回転 と −1を か け る こ と ◆ 数 直 線 か ら平 面 へ ◆90° の 回転 とiを かけ る こ と

正 の 方 だ け 延 び て い る数 直 線   第1講 で振 り返 って み た数学 の歴 史 の流 れ は,私 た ちの数 の認 識 の あ り方 につ い て,1つ

の 示 唆 を与 えて い る よ うに見 え る.負 の数 の導 入 に,長 い ため らいが

あ った とい う ことを 振 り返 って み る と,私 た ち の話 も,正 の数 と0の 存 在,お

よ

び そ の 座 標表 示 が 可 能 で あ る とい う とこ ろか ら,ま ず は じめ て み る方 が,自 然 な こ とか もしれ な い.   そ の こ とは,歴 史 の 時 間を デ カル ト,フ ェル マ の時 代 あた りまで戻 す こ とに な るだ ろ う.そ うす る と数 直線 とい って も,起 点0か

らは じ まって,右 の方 へ だけ

ど こまで も延 び た半 直 線 を考 え る こ とに な る.  起 点Oに は 座 標0を 与 え,あ とは 座標 1を もつ 点 を この 半直 線 上 に1つ 決 め る こ とに よ って,こ の半 直 線上 の各 点 に, ち ょ う ど1つ '半数 直 線'が トの 数 直 線'と

の 正 数(座 得 られ る

標)が .こ

図1

対 応 し て く る.こ の'半

よぶ こ と に し よ う.

数直 線

の よ うに して 正 数 と0を 表 わ す

を,引

用 の 便 宜 上,仮

に'デ

カル

半 直 線 の 向 き を 変 え る―180°

の 回転

  さて,負 の数 の 表 わ し方 が まだ十 分 わか って い な い時 代 を想 定 す る とき,線 分 に よ って負 の数 まで 表わ そ うとす る には ど うした ら よい だ ろ うか.そ れ に は カル ダ ー ノの 頃 まで には,大 体 察 知 され てい た とい うよ うに,向 き とい う考 え を,線 分 の 中 にい れ て お くこ とで あ る.た と えば,長 さ3の 線 分 は,Aか た と き に は3を

表 わ し,Bか

っ た と き に は,同 考 え で あ る.こ

らAへ

らBへ と測 っ

逆 向 きに測

じ 線 分 が −3を 表 わ す とい う の よ う に 考 え る こ と に し て も,

図2

実際 は 線 分 を 用 い て代 数 演算 を行 な うとき,こ の演 算 に用 い られ るい くつ か の線 分 の 向 きを,そ れ ぞ れ どの よ うに決 め た ら よいか が 問題 とな るだ ろ うか ら,負 数 を 線 分 を用 い て 表 わす とい う考 えは,そ れ ほ ど実効 性 が な か った の では な いか と 思 われ る.   しか し正 の 数 を 座標 に よ って表 わ す,'デ カ ル ト の 数 直 線'の

場 合 に は,事 情

は 少 し見 や す くな る.今 度 は 同 じ線 分 の 向 きを 図2の よ うに変 え る の で は な く て,半 直 線 全 体 の 向 きを変 え る と考え る考 え方 が導 入 され て くる.   す なわ ち,'デ カル トの 数 直 線'の 左 の 端 点O(座

標原 点!)を

半 直 線 を180° 回転 した もの を考 え る.こ の と き,線 分OAは へ と うつ さ れ る(図3参

照).直

中心 に して,

反 転 され て,OA′

線全体

に 左 か ら右 へ 向 か う向 き を 与 え て お く と,Oか

らAへ

い く 向 き と,Oか

らA′

へ い く向 き は 逆 に な っ て い る.し て,Aの

座 標 がaな

−aと す る こ と は,自 くる.も

っ と も,自

も,実 際 は,図2の

ら ば,A′

たが っ

の座 標 を

然 な 考 え にな って 然 な 考 え と い って

図3

よ うな1つ の線 分 の 向 きをつ け か え る考 え か ら,数 直 線上

で,こ の よ うにOの 右側 を 正,左 側 を 負 として,正 負 を 分離 して表 わす 考 えに至 る まで には,長 い 時 間を 要 した ので あ る.

数 直 線―

  こ の よ う に し て,'デ 得 ら れ た.原

正 の 数 と負 の 数

カ ル トの 数 直 線'か

ら,私

た ち の よ く見 な れ た数 直 線 が

点 を 中 心 に し て180° 回 転 す る と い う考 え は,で

ン ブ ス の 卵 の よ う に 当 り前 の こ と で あ る が,図2と

図3を

き て し まえば コ ロ

見 比 べ る と,確

かに こ

こ に 考 え の 飛 躍 が あ っ た こ と は よ くわ か る の で あ る.   読 者 の 中 には,Oに

つ い て の対 称点 を とれ ば,負 数 の導 入は そ れ で す む こ とで は ない か

と考 え る方 が い るか も しれ ない が,そ れ はす で にで き上 が った 数 直 線 を知 って い る か ら で あ る.数 を 線 分 で表 わす とい う考え が な お 強 く生 きて いた と きに は,与え

られ た 線分 か ら,

どの よ うな 操 作 に よ って 負 の 数 を 表 わ す か とい う考 え が まず 先 立 ち,図2の

よ うな考え か

らなか なか 抜 け 出 せ なか った の で は ない か,と 私 は 想 像 して い るの で あ る.   図2か

ら図3へ

うつ る と き の,最

の 回 転 とい う考え を す る と き に,知 む1つ

も大 き な 視 点 の 違 い は,図3の ら ず 識 ら ず の う ち に,私

の 平 面 を 頭 の 中 に お い て い る こ と で あ る.こ

よ う な180°

た ち は,数

の 視 点 を も っ とは っ き り し た

形 で 取 り 出 す こ と は,こ

れ か ら の 話 の 中 心 と な っ て く る の で あ る が,こ

ま ず,数

の 数 か ら負 の 数 へ の 変 換 は,Oを

直 線 上 で は,正

転 で 得 られ る と い う こ と を,も

は,上

たが って

,算

に 述 べ た 観 点 に 従 えば,原

中 心 と し た180° の 回

の よ うな 幾 何 学 的 な 観 点 を 離 れ れ ば,正

か け る と い う演 算 で 与 え られ て い る.た

−5が 得 られ る.し

こ で は,

う少 し 別 の 角 度 か ら見 て お こ う.

  正 の 数 か ら 負 の 数 へ の 変 換 は,こ に−1を

直 線を 含

と え ば,5に−1を

の数

か け る と,

術 的 な演 算

点Oを

に な る と い う こ と を 示 し て い る.簡

中 心 に し て,180°

回 転 す る と,5は−5

単 に い えば

−1を か け る と い う演 算 は ,原 点Oを

中 心 とす る180° の 回 転

で あ る.   こ の こ と は,演

算規則 (−1)×(−1)=1

が な ぜ 自 然 か とい う こ と を 端 的 に 示 し て い る.左

辺 は,180°

の 回転 を二 度繰 り

返 す こ と を 示 し,右 の 回 転,す

辺 は,そ

の 結 果 は,360°

な わ ち も とに 戻 る こ と を 示 し て い

る.   こ の 演 算 規 則 か ら,ま

た

図4

が 成 り立 つ. 平 面 の 登 場

  'デ カ ル トの 数 直 線'か

ら,こ

の よ う に 原 点Oを

中 心 に し て,180°

と に よ り,負 の 側 に も 延 び る数 直 線 を 得 る 考 え は,非 し か し前 に も注 意 した よ うに,こ

常 に 自然 な こ と に 思 え る.

の 考 え の 背 景 に は,'デ

む 平 面 が い つ し か 広 が っ て い る.実

回転 す る こ

際,図3,図4を

カ ル トの 数 直 線'を

見 て も,私

た ち は,平

含

面 の

中 で 半 直 線 を ま わ し て い る.   そ うす る と,今

度 は ご く 自 然 に,こ

90° だ け 時 計 の 針 と逆 の 向 き(正 と い う発 想 が 湧 い て くる.し と,い

の 平 面 の 中 で,'デ

の 向 き!)に

か し,こ

ま ま で 漠 然 と し て い た'デ

カ ル トの 数 直 線'を,

回転 してみ た ら ど うな るだ ろ うか

の発 想 を もっ と明確 な形 で述 べ よ うとす る

カ ル トの 数 直 線'を

含 む 平 面 が,今

度 は は っき

り と し た 形 を と っ て 登 場 す る こ と に な る.

平 面 内 で の90°

  そ こ で,'デ

カ ル トの 数 直 線'を

る こ と に す る.こ

の 回 転

含 む 平 面 を1つ

と っ て,そ

の よ うに い う と 改 ま りす ぎ る が,要

れ を 固定 し て考 え

す る に,座

標 平 面 の よ うな

も の を 頭 に お く こ と に な る.   こ の 平 面 の 中 で,'デ

カ ル トの 数 直 線'をOを

け 回 転 し て み よ う.結

果 は 図5で

表 わ す こ と に す る.ま

た,3の

ai―

ま た はia―

中 心 と し て,正

示 し て あ る.こ

うつ った 先 は3i,一

で 表 わ す.aiは,数

の と き,1の

の 向 き に90° だ うつ っ た 先 をiで

般 に正 の 数aの

うつ っ た 先 は

直 線 の 外 に あ る か ら,何

か 未 知の新 し

い 数 を 示 し て い る に 違 い な い.   正 の 数 し か 知 ら な か った 人 が,'数 転 し て 未 知 の 新 し い 数― じ 状 況 に,い

直 線'を180°

負 の 数―

回

に出 会 った と同

ま 私 た ち は 直 面 し て い る こ とに な る.

  正 の 数 し か 知 ら な か っ た 人 が,い

つ の 間 に か −1を

か け る と い う演 算 に な れ て し ま っ た よ う に,私

た ち

も,こ

ま り

の 段 階 で は,iを

か け る と い う こ と を,あ

深 く考 え ず に 進 ん で い くこ と に し よ う.そ

うす る と,負

っ て み る と,iを

か け る とい う こ と は,こ

(正 の 向 き の)回

転 を 示 し て い る と考 え る の は,ご

図5 の数 の 場合 との類 似 を 追

の 平 面 内 で の,Oを

中 心 と す る90° の

く 自然 な こ と で あ ろ う.す

わ ち

iを か け る とい う演算 は,原 点Oを 中心 とす る90° の 回転 を 示 し て い る と考 え る こ と に す る.   こ の よ うに 考 え る と

90°回 転 

90°回転

180°回 転

す なわ ち i2=−1(180°

の 回 転)

が 成 り立 つ こ とが わ か る.し

た が っ て また

図6

i3=i×i2=−i(270°

の 回 転)

i4=1(360°

の 回 転)

が 成 り立 つ.   こ の こ とか ら た と え ば 5i×3i=5×3×i×i=―15 (−2i)×3i=(−2)×3×i2=−6×(−1)=6

な

と な る. 複 素 平 面,複

素数

  この よ うに,数 直 線 に対 して,原 点Oを 通 る垂 直 な 直線 を 引 い て,こ の直 線上 の点が bi(b:実

数)

を 表わ し て い る と考 え た とき,数 直 線 を実 軸,こ れ に垂 直 な 軸 を虚 軸 とい う.   実軸 と虚 軸 が与 え られ る と,実 は,図7で あ る よ う に,こ

の 平 面 上 の 任 意 の 点 は,実

と虚 軸 の 座 標 で 一 意 的 に 表 わ され る.実 a,虚

軸 の 座 標 がbiで

a+bi,ま

あ る 点 を,和

示 して 軸の座標

軸の座標が

の 記号 を用 い て

たは a+ib 

(a,bは

実 数)と

(1)

表 わ す こ と に す る と,平

と,こ の よ うな形 の'数'が1対1に

図7

面 上 の点

対 応 す る こ とに な る.

  この よ うに誕 生 して きた平 面 を 複素 平 面,ま た この よ うに誕 生 し て き た 数 を 複 素 数 とい う.誕 生 の 経過 が わ か った 上 で,次 講 か ら改 め て 複 素数 を,さ

らに第

4講 か らは 複 素平 面 を 考 え てい くこ とにす る.   い ま,私 た ち の前 で 数 の世 界 が,数 直 線 で表 わ され る数 か ら,よ り広 い複 素数 へ と拡 張 され てい こ うとし てい るので あ る.

Tea

質 問   こ こ で は'デ 位iを

カ ル トの 数 直 線'を90°

導 入 さ れ ま し た が,45°

る と思 い ま す.数 せ ば,今

Time

回転 して も同 様 の議 論 が で き

直 線 上 の1を45°

度 はi4=−1に c+id 

回転 して虚 数単

回 転 し た も の をiで

な る と思 い ま す.そ (c,dは

実 数) 

(*)

表わ

うした ら 図8

で 表 わ さ れ る数 は,複

素 数 とは 違 う新 しい 数 と な る の で は な い で し ょ うか.

答  着 眼 点 は す ぐれ て い るが,そ け で は な くて,や と(*)の う.し

の よ う に 考 え て み て も,新

し い 数 が 生 まれ るわ

は り複 素 数 と 同 じ も の を 考 え て い る こ と に な る.確

表 示 は 違 っ て い る.ま

たi2=−1,i4=−1だ

か ら,iとiの

か に(1) 性 質 も違

か し図か ら も明 らかな よ うに

とい う関 係 が 成 り立 っ て い る か ら,こ 入 し て み る と,(1)で

の 関 係 を そ れ ぞ れ(*)式

表 わ さ れ る 数 も,(*)で

と(1)式

表 わ さ れ る数 も,全

に代

体 と して は

同 じ も の を 表 わ し て い る こ とが わ か る.   実 際 は,180°

以 外 の 回 転(も

応 じ て,(*)と

同 様 の 表 示 を もつ 数 の 集 ま りが 得 られ る こ と に な る.し

こ れ ら は,複 で,か

ち ろ ん360°

も除 く)な

ら ば,そ

れ ぞれ の 回転 に

素 数 の 別 の 表 わ し 方 を して い る に す ぎ な い こ と な る.こ

け 算 の 規 則 が 一 番 簡 単 な の は,90°

の 場 合 な の で あ る.

の 回 転 の 場 合,す

か し,

の よ うな 中

な わ ち(1)の

表示

第3講

複 素数 の定 義 テー マ ◆ 複素 数 の 定 義 ◆ 複素 数 の 演 算 の 規則 ◆ 共役 な複 素 数 ◆ 実数 部 分,虚 数 部 分 ◆ ハ ミル トンに よる複 素 数 の 導 入法

複素数の定義   前 講 ま で の 話 の 流 れ を 少 し止 め る よ うで あ るが,ま

ず 素 朴 な形 で複 素 数 の定 義

を 与 え て お こ う. 【定 義 】 実 数a,bに

対 して a+ib 

と表 わ され る 数 を 複 素 数 と い う.aを   注 意   複 素数 を 表 わ す の に,a+ibと とか い て も よい し,ib+aと

(i2=−1) 実 数 部 分,bを

虚 数 部 分 と い う.

い う表 わ し方 が一 定 して い るわ け で は な くてa+bi

か いて も よい.

  2つ の 複 素 数 α=α+ib,β=c+id に 対 し て,α 減 乗 除―

と βが どの よ うな と き 等 し くな る か と い う こ と と,四 を 次 の よ うに 定 義 す る.

  複 素 数 の 同 等:a=c,b=dの

と き,α=β

加 法: 

α+β=(a+c)+i(b+d) 

(1)

減 法: 

α− β=(a−c)+i(b−d) 

(2)

乗 法: 

αβ=(ac−bd)+i(ad+bc) 

(3)

除 法: 

β≠0の

とき

と定 義 す る.

則 演 算―

加

(4)   こ の 除 法 の と こ ろ で,β ≠0と か い た の は,少 も し れ な い.実

数 部 分 も虚 数 部 分 も0で

わ さ れ る 複 素 数 を,い

あ る よ うな 複 素 数,す

つ も と 同 じ記 号 で0(ゼ

た が っ て β≠0は,cとdの

しは っ き り し な い ことだ ったか

ロ)と

な わ ち0+i0と

表

表 わ し て い る の で あ る.し

うち 少 な く と も一 方 は ≠0,す

な わ ちc2+d2≠0と

同

値 で あ る.   また 上 の 演 算 規 則 を,特

に 虚 数 部 分 が0の

場 合,す

なわち

α=a+i0,β=c+i0 の 場 合 に 適 用 し て み る と,ち

ょ う ど実 数 部 分a,cに

な っ て い る.そ

の こ とか ら α=a+iOと

て お い て も,少

し も 差 しつ か え な い こ と が わ か る.

四則 演 算 を ほ ど こした ものに

表 わ され る 複 素 数 を,実

数aと

同一 視 し

演 算 の 規 則

  こ の よ うに 四 則 演 算 を 定 義 し て お く と,実 数 の 場 合 と 同 じ よ うな 演 算 の 規 則 が 成 り立 つ.

結 合 則: 可換 則: 単 位元: 逆

元:

分 配 則:   こ こで,左 側 は 加 法,右 側 は 乗 法 の規 則 を示 して い る.た とえば,単 位元 とか いて あ るの は,加 法 につ い ては0が 単 位元(す な わ ち演 算 を ほ ど こ して も変 わ ら ない),乗 法 に つ い ては1が 単 位元 で あ る ことを示 して い る.  分 配則 は,加 法 と乗 法 の2つ の演 算規 則 の 関係 を与 え てい る もの で あ る. 共役 な複素数  複 素 素 α=a+ibに

対 して

と お き,aを

α の 共 役 複 素 数 とい う.こ

が 成 り立 つ こ と が わ か る.ま

の 定 義 か ら直 ち に

た

(5)

が成 り立 つ.上 の方 の式 は明 らか で あ ろ う.下 の方 の式 は

か らわ か る.   い ま,α=a+ibの

実 数 部 分a,虚

を 用 い る こ と に し よ う(こ し て い る).そ

数 部 分bを

こ で〓 と〓 は,そ

表 わ す の に,記

号

れ ぞ れ ドイ ツ文 字 のRとIを

表わ

うす る と(5)は

と か い て も よ い こ と に な る. な お,除

と して,分 母 を実 数 に して計 算 した も

法 の 公 式(4)は, 

の に な っ て い る.   簡 単 な ことで あ るが

αが 実数 お よび αが 純 虚 数 に も注 意 して おい た方 が よいか も しれ ない.こ

こで純 虚 数 とは,実 数 部 分 が0で

あ る よ うな 複素 数,す な わ ちib(b:実

数)と い う形 で表 わ され る 数 の ことで あ

る.  共 役 複 素数 に関 す る最 も基 本的 な性 質 は次 の性 質 であ る.

下 の 方 の 式 だ け 証 明 して お こ う.α=a+ib,β=c+idと

す る.こ

のとき

した が って

一 方α=a−ib

と な り,α

,β=c−idに

よ り

β=α ・β が 示 さ れ た.

定 義 の 素 朴 性   こ の 講 の 最 初 に 与 えた 複 素 数 の 定 義 で も う十 分 の よ う で あ る が,こ は,何

か あ い ま い で は っ き り し な い とい わ れ る お そ れ も あ る.そ

の 定義で

れは

a+ib(i2=−1) とか い た が,ま は 実 数 の2乗

ずi2と

い うの は 何 の こ と か と 聞 か れ る と 困 る の で あ る.私

は 知 っ て い る が,iな

ど と い うま だ 正 体 不 明 の も の を2乗

た ち

する こ と

は 知 らな い の で あ る.   こ の 点 を 補 正 す る に は,複 (1)か

ら(4)ま

素 数 と は,a+ibと

表 わ さ れ る 数 で,前

に述 べ た

で の 四 則 演 算 の 規 則 を み た す も の と定 義 し直 す と よ い.そ

す る とか け 算 の 規 則(3)か

う

ら i2=i・i=−1

と な る こ と が 導 か れ る.   しか し,そ

れ で も ま だ 明 確 で は な い,と

とか い た と き,+と

か,ibと

い わ れ る か も し れ な い.そ

は 何 の こ と か と 聞 か れ る と,や

れ はa+ib

は り答 に 窮 す る か

ら で あ る. ハ ミ ル トン に よ る 複 素 数 の 導 入 法

  こ ん な こ とで,せ で,こ

っ か くわ か りか け て き た 複 素 数 の 理 解 を 妨 げ られ て は 困 る の

の 論 点 を 避 け る た め に,数

【定 義 】

複 素 数 と は,2つ

学 者 は 次 の よ うに 工 夫 す る.

の 実 数 の 組(a,b)で

あ っ て,次

の 加法 と乗法 の 規 則

を み た す もの で あ る.  加

法:(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

 乗

法:(a,b)・(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

  こ の と き 減 法(a,b)−(c,d)は,(a,b)=(c,d)+(x,y)を し て 定 義 で き る.除

  こ の よ うな 演 算 規 則 を も つ 実 数 の 組(a,b)の 注 目 して,こ

れ を 実 数aと

い う対 応 で,加   ま た(0,1)をiで

み た す(x,y)と

法 も乗 法 の 逆 演 算 と し て 定 義 で き る.

同 一 視 す る.そ

中 で,特

に(a,0)の

形 の ものに

う し て も よ い の は,(a,0)〓aと

法 と 乗 法 の 演 算 規 則 も そ の ま ま保 た れ て い るか らで あ る. 表 わ す こ と に す る. i=(0,1)

こ の と き,上

の 乗法 の規 則か ら

(最後 にか い て あ る等号 は,上 に述べ た 実数 との同 一視 に よ る).  また 上 の加 法 と乗法 の 規則 か ら

となるこ a+ibと

とか わ かる.この

ようにしして,実数の対(a,b)を経由す

る こ と に よ り,

い う記 法 に 紛 らわ し さが な くな っ た.こ れ はハ ミル ト ン(1805-1865)に

よ る 複 素 数 の 導 入 法 と よば れ て い る.

Tea

Time

ラ イプ ニ ッツの推 測 の 確証   第1講

で 述 べ た よ うに,ラ

f(x+iy)+f(x−iy)は は で き な か った.し

イ プ ニッ ツ は,f(x)が

実 係 数 の 多 項 式 の と き,

実 数 と な る だ ろ う と 予 想 し た が,そ か し 私 た ち は,こ

の 証 明 を与 え るこ と

こ で 述 べ た 共 役 複 素 数 の 性 質 を 用 い て,こ

の 予 想 が 正 し い こ と を 示 す こ とが で き る.   そのため

と お く.仮

定 か ら,係

数a0,a1,…,anは

実 数 だか ら

(*) が 成 り立 つ こ と に 注 意 す る.ま

たz=x+iyと

お く と,z=x−iyで

あ る.ラ

イプ

ニ ッツの 予想 は

(**) が 実 数 で あ る と い う こ と で あ る.   さ て,一

般 にzn=z・z・

… ・z=z・z・ … ・z=znに

注 意 す る と,

((*)を

用 い た)

し た が っ て(**)は

に 等 し い.こ い.し

れ は,複

素 数f(z)の

た が っ て 実 数 で あ る.こ

実 数 部 分 の2倍,す

な わ ち2〓(f(z))に

れ で ラ イ プ ニ ッ ツの 予 想 が 確 か め られ た.

等 し

第4講

複

素

平

面

テーマ ◆ 複 素平 面,ガ

ウス平 面

◆ 加法 の 図 示 ◆ 複素 数 の ベ ク トル表 示 ◆ 減 法 の 図示 ◆ 弧 度(挿 記) ◆ オ イ ラー の関 係 式

複素 平 面   前 講 の 終 りで 述 べ た 複 素 数 の ハ ミル ト ン 流 の 導 入 法 に よ れ ば,複 は,2つ

素 数a+ib

の実 数 の組 (a,b)

で 与 え られ て い る の だ か ら,こ (a,b)を

の 表 示 か ら 複 素a+ibを,座

もつ 点 と し て 考 え る こ と は,ご

標 平面 上 の 座 標

く 自然 の こ と に 思 え て く る.

  もっ と も歴 史的 に は こ の順 序 は逆 で あ って,複 素数 を平 面 上 の点 と し て表 示 し よ う とす る 考え は,複 素 数 を 抽象 的 に 実 数 の対 と して考 え よ う とす る着 想 よ り早 く,1800年

前後 か

ら試 み られ て いた.し か し,こ の 複 素数 の平 面表 示 の考 えが,数 学 者 に 広 く認 め られ る よ う にな った の は,大 数 学 者 ガ ウス(1777-1855)の

権威 に よ る ところ が大 きか った の で あ る.

  平 面 上 に 直 交 座 標 を と る.こ

の と き 平 面 上 の 点Pは

る.私

複素数

た ち は,こ

の と き 点Pは

座 標(a,b)で

表 わ され

a=a+ib を 表 わ す と考 え る こ と に し よ う.す し,y座

標bは,虚

標aは

複素 数 αの実 数 部 分 を表 わ

数 部 分 を 表 わ す と 考 え る.

  こ の よ うな 約 束 に よ っ て,平 き,こ

な わ ちx座

の 平 面 を 複 素 平 面,ま

面 上 の 点 の1つ1つ

が 複素 数 を表 わ す と考 えた と

た は ガ ウ ス 平 面 と い う.

  こ の と き,x軸

を 実 軸,y軸

を 虚 軸 と い う.

実 軸 上 に の っ て い る 点 は, a+i0 と表 わ さ れ る点 で あ っ て,こ 視 され る.虚

れ は 実 数aと

同一

軸 上 に の って い る点 は 0+ib=ib

と表 わ さ れ る 点 で あ っ て,純

虚 数 を 表 わ す. 図9 加 法 の 図示

 複 素 数 αは,複 を 始 点 と し てPを い て,こ

素 平 面 上 の 点Pで

表 わ さ れ て い る と し よ う.こ

終 点 と す る ベ ク トルOPを

の と き,原

点O

引

の ベ ク トル が 複 素 数 αを 表 わ す と 考え

る こ と も 多 い.   2つ の 複 素 数 α=a+ib,β=c+idの は,α

和 α+β

を 表 わ す ベ ク トル と,β を 表 わ す ベ ク ト

ル の 和―

α,βを そ れ ぞ れ1辺

形 の 対 角 線―

とす る 平 行 四 辺

と し て 与 え られ る(図10).

図10

複 素 数 の ベ ク トル表 示   複 素 数 を,原 点Oを 始 点 とす るベ ク トル で表 わ す とい う考 えを推 し進 め て,複 素 平 面上 の任 意 の ベ ク トルABも

また1つ の 複素 数 を表 わ す と考 え る こ と に し よ

う.す なわ ち ベ ク トルABの

表 わ す 複 素 数 は,ABを

を 始点 とす るベ ク トルOPの

表わす複素数であると

平 行 移 動 して得 られ る原点

約 束 す る.   た と え ば 図11で,ベ

ク トルABは

複 素 数2+iを

表 わ し て い る.  平 面上 の ベ ク トル の概 念 を 知 って い る人 は,こ の場 合 ベ ク トルABと

ベ ク トルOPは,同

じベ ク トルを 表 わ して い

る と考 え て い た こ とを思 い 出 して お こ う.

図11

関 係a1+a2+…+an=0の

図 示

  こ の よ う な 複 素 数 の ベ ク トル 表 示 を 用 い る と,α1+α2は

図12(a)の

表 わ す こ とが で き,し

よ う に 表 わ す こ とが

で き る.そ

た が っ て ま た α1+α2+α3は(b)の

の こ と か ら,も

し α4と い う複 素 数 が,α1,α2,α3を 順 次 つ な い で 得 ら

れ る 図 形 を 最 後 に 閉 じ る ベ ク トル と し て 与 え られ て い る な らば,α4と は 長 さ と方 向 が 同 じで 向 きだ け が 違 うの だ か ら α1+α2+α3+α4=0

(c)

(b)

(a)

図12 と な る こ とが わ か る(図12(c)).逆 +α4=0な と,'回

らば,ベ 路'が

に α1+α2+α3

ク ト ル α1,α2,α3,α4を順 次 つ な ぐ

閉 じ て,四

辺 形 が 得 られ る.

  同 様 に 考 え る と,α1,α2,…,αnと が 関 係 α1+α2+…+αn=0を

い うn個

の 複素 数

み た す と い う こ と と,ベ

ク トル α1,α2,…,αnを 順 次 つ な い で 得 られ る'回 路'が 閉 じ て い る こ と と同 値 で あ る こ とが わ か る(図13).

図13

減 法 の 図 示

  複 素 数 α,βが 与 え られ た と き,α− β を 表 わ す 複 素 数γ は,図14で 与 え られ る.実   特 に α=0の トル は,β

示 さ れ て い る よ うな ベ ク トル で 際 こ の と き β+γ は α と な っ て い る. と き を 考え る と,−

βを表 わ す ベ ク

を 表 わ す ベ ク トル の 向 き を 逆 に し た も の

に な っ て い る.

よ うに

図14

α1+α2+α3

共役複素数の表示   複 素 数 α=a+ibの は,複

共 役 複 素a=a−ib

素 平 面 上 で は,実

軸 に 関 して αと

対 称 な 点 と な っ て い る.   図15で

は,α

を 図 示 し た だ け で は な く,

前 講 で 示 した 関係

も 示 し て お い た.

図15

弧

度(挿 記)

  複 素 数 の 極座 標 表 示 とい うもの を述 べ る前 に,平 面上 の角 を 測 る単 位 を,角 度 か ら弧 度(ラ ジ ア ン)へ と切 り替 えて おか な くて は な らない.   弧 度 と は,角

θの 大 き さ を 測 る の に,図16

の よ うに 半 径1の

円 を 描 い て,角

ABに

の弧 長 を θの 大 き さ として 採

注 目 し,こ

θの つ く る 弧

用 し た も の で あ る.   も う少 し正 確 に い う と,角 て,始

線OAか

ら 出 発 し て,動

θに は 向 き を つ け 径OBが

時計の

針 と逆 向 き に まわ る と き は 正 の 向 き と し,こ

の

とき

の弧 長 ま た,OBが

図16

時 計 の 針 と 同 じ 向 き に ま わ る と き に は 負 の 向 き と し,こ

のとき

の弧 長 と 定 義 す る.  以 下 θコ ドの コ ドは 省 い て,角

θ とい う と き に は,つ

ね に 角 は,弧

度で表わさ

れ て い る とす る.   半 径1の

円 周 は2π で あ り,し

た が って 360°

は2π

180°

は

π

90° はπ/2 と な る.

オ イ ラー の 関 係式  座標 平 面 上 で,原 うに,動

点Pが

標 は 角xの

点Oを 中心 と した半 径1の 円周 上 を,図17で

動 く と き,Pのx座

関 数 と な る.こ

cosx,sinxと

標,y座

の関 数が それ ぞれ

し て 表 わ さ れ る の で あ った.

xと し て 弧 度 を 用 い て い る と,cosx,sinx は,テ

イ ラ ー 展 開 され て,次

の よ うに ベ キ 級

数 で 表 わ さ れ る.

図17  虚 数 単 位iは,乗

法 に つ い て 周 期4で

っ て い る こ と に 注 意 す る と,

と 表 わ さ れ る こ とが わ か る.  こ の 式 をeixと

表 わ す こ とに し

を オ イ ラ ー の 関 係 式 とい う.

右 の よ うに ま わ

示 してあ る よ

  ここで は 形 式 的 にeixを 導 入 した が,eは と本 質 的 な 導 入法 につ い て は第18講   これ も い ま の 段 階 で は,上 ら っ て よ い の だ が,'指

自然対 数 の 底 を表 わ して い る.こ の関数 の も っ

で 改め て 述 べ る.

の 定 義 か ら導 か れ る 形 式 的 な こ と で あ る と 考 え て も

数 法 則'

(1) が 成 り立 つ. 【証 明 】 左 辺

右辺

Tea

Time

質 問   この講 で のお 話 を 聞 く限 りで は,複 素 数a+ibは,2つ

の 実数 か らな る対

(a,b)を 考 え た とい えばす む よ うな気 が し ます.実 際,複 素 数 を 複 素平 面 上 の ベ ク トル とし て表 わ して しま えば,加 法 や 減法 は 平 面 上 の ベ ク トル の 演算 と して, 私 た ち が よ く知 っ てい る もの に な って い ます.特 に 新 しい も のが 登場 した とい う 気 が しな い の です が. 答   複 素 数 を 加法 的 な面 だ け で捉 えれ ば,確 か に そ うい え るか も しれ な い.し か し複 素 数 の特 徴 的 な 性 格 は,i2=−1が

示 す よ うに乗 法的 な 面 に 強 く現 わ れ て い

る.乗 法 的 な面 で見 る と,複 素 数 を 実 数部 分 と虚 数 部 分 にわ け る表 わ し方 だ け で は,取

り扱 い難 い し,本 質 的 な部 分 を理 解 し難 い状 況 もお き る の であ る.た とえ

ば3つ の 複 素 数 α1=a1+ib1,α2=a2+ib2,α3=a3+ib3 が 与 え られ た とき,こ の3つ の積 α1α2α3を 表 わ す 式 は,実 数 部 分 と虚数 部 分 に +と −が 入 り混 じ って,複 雑 な式 とな る.も っ とた くさん の 数 の複 素 数 を かけ た 式 を 取 り扱 う とき,実 数 部 分 と虚 数 部 分 にわ け る見 方 しか な い な らば,誰 に も近 づ きや す い 複 素数 の理 論 を つ くる こ とな ど絶 望 的 とな った だ ろ う.

  しか し実 際 は,複 素 数 の乗 法 は,複 素 平 面 の 回転 と拡大(縮 小)写 像 とに密 接 に 関係 して お り,こ の 関係 を 表 わ す の に,複 素 数 の極形 式 に よ る表 示 とい う表 わ し方 が,実 数部 分,虚 数部 分 に わ け る表 わ し方 よ りも一 層適 して い る.こ れ は 次 講 の テ ー マ とな る ので あ るが,そ

こへ 進 む と,複 素 数 は単 に実 数 の対 と して見 る

見方 よ り,は るか に深 い 内容 を 含 ん で い る こ とが わ か るだ ろ う.

第5講

複 素数 の乗 法 テーマ ◆iを

かけ る こ と―π/2の

回転

◆ 極 形 式 に よる表 示;絶 対 値,偏 角 ◆ 複 素 数 の乗 法―

絶 対 値 は 積,偏 角 は 和

◆ 乗 法 の図 示 ◆ 除 法 の図 示 ◆1/α の図 示

iを か け る こ と  第2講 で 述べ た よ うに,虚数単位iを

か け る こ とは正 の実 数 をπ/2(直 角!)だ

け 回転 す る ことを意 味 して い る.実 は 任 意 の複 素 数 α=a+ib

に 対 し て も,iαは,α い る.実

をπ/2だけ 回 転 し た も の とな っ て

際 iα=−b+ia

で あ っ て,図18か

らわ か る よ う に,iα

αを,原 点Oを中心に

は,ベ

ク トル

図18

し てπ/2だけ 回 転 した もの とな ってい る.

 す なわ ち,iを か け る とい う演 算 は,複 素平 面 全 体 をπ/2だけ回転 す る写 像 と見 な せ る.   こ の こ とか らまた,任 意 の複 素 数 αに2iを か け る とい う演 算 は,

と分 解 して み る とわ か る よ うに,α をπ/2だけ 回 転 し て,次 に2倍 だ け延 ば す とい

う写 像 に な って い る ことがわ か る.   この よ うな 複 素数 の乗 法 の もつ幾 何 学 的 な意 味 を も っ とよ く調 べ るため には, 複素 数 の 極 形 式 に よる表 示 を用 い る ことが適 し てい る. 複 素 数 の 極 形 式 に よ る表 示   α を0と は,複

異 な る 複 素 数 と す る.こ

素 平 面 上 で,原

さ れ る.Pは,ベ

点Oと

の とき α

異 な る 点Pで

ク ト ルOPの

表わ

長 さrと,OP

が 実 軸 の 正 の 部 分 と な す 角 θに よ っ て 一 意 的 に 決 ま る.Pの

実 数 部 分 はrcosθ

部 分 はrsinθ

で あ る.

  α に 戻 れ ば,こ

で あ り,虚 数

図19

の こ とは

(1) と表 わ さ れ る こ と を 示 し て い る.複

素 数 α を こ の よ う に 表 示 す る こ と を,α

の

極 形 式 に よ る 表 示 とい う.   極 形 式 とい う言 葉 を 用 い る のは,一 般 に平 面 上 の点Pを 原 点O)か

らの動 径 の長 さrと,始

この よ うに,極(い

線(い まの場 合,正 の 実軸)か

まの場 合,

らの 角 θの対(r,θ)で

表 わ す こ とを,極 座 標 表 示 とい うか らで あ る.   (1)でr>0で

あ り,rを

α の 絶 対 値 とい う.記 号 ￨α￨=r

で 表 わ す.一 と る と,残

方,(1)で

θ の 方 は α に よ っ て 一 意 的 に は 決 ま ら な い.1つ

θを

りの θは θ+2nπ(n=0,±1,±2,…)

と 表 わ さ れ る(n回

ま わ っ て か らOPへ

到 達 す る!).θ

を α の 偏 角 とい い

argα=θ と 表 わ す.(実 あ る が,ふ

際 はargα=θ+2nπ(n=0,±1,±2,…)と

つ うはargα=θ

  注 意   記 号argは,偏

か いた 方 が正 確 な の で

とか い て こ の 事 情 を 了 承 す る こ と に し て い る.)

角 を 表 わす 英 語argumentの

頭3字 を と った もので あ る.

  絶 対 値rを

正 と か い た の は,は

る.α=0の と し て,や

と き は,偏

角 は 決 ま ら な い.し

は り表 示(1)を

素 数 α に 対 し て,α

じ め か ら α=0の

用 い る.し

場 合 を 除外 して いた か ら で あ

か し この と き は,r=0の

場合 で ある

た が っ て こ の 約 束 の も と で は,任

意 の複

の 絶 対 値￨α￨は

と な る.  な お

の とき

が 成 り立 つ こ とは,a=rcosθ,b=rsinθ

か ら 明 ら か で あ ろ う(図19参

照).

複 素 数 の 乗 法

 複 素 数 の 極 形 式 に よ る 表 示(1)は,オ

イ ラ ー の 関 係 式を 用 い る と,簡単

に

と表 わす こ とが で きる.こ の 形 にか き表 わ して お くと,複 素 数 の 乗法 の規 則 は 簡 明 に 述べ る こ とが で き る.す なわ ち,

に 対 し て,前

と な る.こ

講 で 述 べ た'指

数 法 則'(1)を

の式 は

の こ と を 示 し て い る.r=￨α￨,r1=￨β￨,θ=argα,θ1=argβ の 結 果 は

適用す ると

に 注 意 す る と,こ

と か く こ とが で き る.あ

るい は標 語 的 に

複 素 数 の 積 で は,絶

対 値 は 積 と な り,偏

角 は和 に な る

と い っ て も よ い.   注意   もち ろ ん この 結 果 は,オ イ ラー の関 係式 を用 い な く とも,(1)か

ら直 接 確 か め ら

れ る ことで あ る.

乗 法 の 図 示

  こ の こ と を 図 を 用 い て い い 直 し て み よ う.α を 表 わ す ベ ク ト ル をOP,β わ す ベ ク トル をOQと

す る.こ

の と き αβ を 表 わ す ベ ク トルORは

を表

次の よ うに し

て 得 られ る.   まずOPを

β の 偏 角 だ け 回 転 す る.次

じ方 向 に￨β￨倍 だ け 延 ば す と よ い(も な らば,実

に こ の よ うに し て 得 られ た ベ ク トル を 同

っ と も一 般 的 に こ の よ う に か い て も￨β￨<1

際 は 縮 小 し て い る こ と に な る!).こ

￨α￨￨β￨で あ り,ORが

図20

の と き,ベ

ク トルORの

実 軸 の 正 の 部 分 とな す 角 は,argα+argβ

図21

長 さは

と な っ て い る.

こ の こ と は,点Rは

複 素 数 αβを 表 わ す 点 と な っ て い る こ とを 示 し て い る(図20).

  こ の 状 況 が 理 解 さ れ る と,実 と に 気 が つ く.そ し,三

れ に は 次 の よ うに す る と よ い.実

角 形OEPを

角 形OQRを

は,α βを 求 め る も う少 し簡 単 な 作 図 法 が あ る こ

考 え る.OEがOQに

つ く る と,Rが

  実 際OR:OP=OQ:OEか

軸 上 で1を

表 わ す 点 をEと

対 応 す る よ う に し て,こ

れ と相似 な三

αβを 表 わ す 点 と な って い る(図21). らOR=OP・OQ,す

なわ ちORの

な って い る こ とがわ か り,ま た 図 か ら明 らか に,ORがOEと

長 さはOP,OQの

長 さ の積 と

なす 角 は α の 偏 角 と βの 偏

角 との和 にな って い る. コ メ

  複 素 数 で は,図21の

よ う に,か

ン

ト

け 算 ま で 作 図 が で き る とい う こ と は,本

当に

数 の か け 算 は 作 図 で 求 め られ な か っ た の に,複

素数

驚 くべ き こ と で あ る.   しか し,読

者 の 中 に は,実

の か け 算 は 作 図 で 求 め ら れ る とい うの は お か し い と 思 う人 が い る か も し れ な い. α が 正 の 実 数 の と き に は,argα=0と し ま う.し

た が っ て △OQRの

の と き 図21で

方 も つ ぶ れ て し ま っ て,作

の 方 向 に α 倍 す る だ け で あ る(図22の 求 め る よ りは,実

な り,こ

左 の 図).α

△OEPは

つ ぶれ て

図 と い えば,OQを

こ

倍 とい って も この 場 合作 図 で

際 は 計 算 し て 求 め る こ と に な る.

  α が 負 の 実 数 の と き も,△OEPは =π とな っ て い る.こ

つ ぶ れ て い る.た

だ し こ の と き は,∠EOP

の と き 上 の 作 図 を 行 な う と,ORは,OQと

図22

は 逆 の 方向に

￨α￨倍 さ れ て い る こ とが わ か る(図22の

右 の 図).特

に β自身 も 負 の 実 数 な ら

ば,α β は 正 の 実 数 とな る の で あ る.

複 素 数 の 除 法   複 素 数 α,β(≠0)が

と な る.こ

与 え られ た と き,α=reiθ,β=r1eiθ

と表 わ す と

の こ とか ら,α/β の 絶 対 値 と偏 角 に つ い て 公 式

が得 られ る.  α,βが 与 え られ た と き,複 素 平 面 上 で α/β を求 め る作 図 は,乗 法 の とき の作 図 を ち ょ うど逆 に行 な う とよい(図23参

照). 図23

1/α を 求 め る

 特 に α(≠0)の 逆 数1/αを 複 素平 面 上 で 求 め て お こ う.上 に述べ た こ とか ら, arg1=0に

注意 す る と

図24

の こ とが わ か る.  こ の こ とか ら0<￨α￨<1,￨α￨=1,￨α￨>1の3つ を 図 示 す る と 図24の

の 場 合 に わ け て,1/

α の場 所

よ うに な る.

  図 か ら も 明 らか な よ う に

の とき

で あ る.

Tea

Time

2つ の 複 素数 α と βが等 しい とい う こと   2つ の 複 素

α と βが 等 し い と い う こ とは,α

し い と い う こ と,す

と β の 実 数 部 分,虚

な わ ち〓(α)=〓(β),〓(α)=〓(β)が

こ れ 以 上 つ け 加 え る こ とは な い.そ ゆ っ た り と し た とき に は,や

れ は そ うで あ る が,Tea

は りも う1つ

数 部 分が 等

成 り立 つ こ と で,も Timeの

う

よ うな 少 し

注 意 し て お き た い こ と が あ る.そ

れは

α と β の 極 形 式 に よ る表 示 の 方 を 注 目 す る と き に は   'α=β とい う こ と は,￨α￨=￨β￨,argα=argβ(2π

の 倍 数 を 除 い て)が

立 つ こ と で あ る' と い う い い 方 の 方 が 応 用 の 広 い と き が あ る とい う こ と で あ る.   た とえば

と お くと,￨η￨=1でargη=π/3で

あ る.い

ま

(*) を み た す α,βの 関 係 を 調 べ た い と す る.こ

の とき

上 の 結 果 に よれ ば,

で あ る.し

た が っ て,α

と β を 表 わ す ベ ク ト ルOP

図25

成 り

とOQは,頂

角 がπ/3(=60°!)の

て い る(図25参 数γ を と っ て,α

照).(も

二 等 辺 三 角 形―

ち ろ ん,α,β

正 三 角 形―

の2辺

は 一 意 的 に は 決 ま らな い.0で

の 代 り にaγ,β の 代 り に βγ を と っ て も,や

は り(*)は

を つ くっ ない 複 素 成 り立

つ か ら で あ る.)   こ の 結 論 を,(*)の

実 数 部 分,虚

こ の よ うな こ とか ら も,複

数 部 分 か ら導 く こ と は 容 易 な こ と で は な い. 数 部 分,虚

数 部分 の対 とし

て 表 わ さ れ る数 で あ る と い う見 方 に あ ま り固 執 し す ぎ る の は,適

当 で な い こ とが

わ か る だ ろ う.

素 数 と い う の は,単

に,実

第6講

複 素 数 と図 形 テ ーマ ◆ 図形 の条 件 の複 素 数 に よる表 示 ◆ 複素 数 α,β,γ が一 直線 上 に あ る条 件 ◆2つ

の線 分 が垂 直 とな る条 件

◆2つ

の三 角 形 が相 似 とな る条 件

◆4点

が 同一 円 周上,ま た は 同一 直 線上 に あ る条件

複素数と平面上の図形

  平面 上 のい ろ い ろ な 図形 の性 質 は,こ の平面 を複 素 平面 と考 え る と,複 素 数 の 間 の 関係 式 に よ って い い表 わ され る こ と が 多 い.複 素 数 の取 扱 い にな れ るた め に,こ の講 で は,こ の種 の話題 を少 し集 め て み よ う.記 号 を簡 単 にす るた め に, 複 素数 を複 素 平 面 上 の 点 と同一 視 して,た とえ ば αβ とか くとき に は,複 素数 α を 表 わす 点 か ら βを 表 わす 点 へ 引 いた ベ ク トルを 表 わ す と す る.こ のベ ク トル は,複 素数 β−αを 表 わ してい る こ とを思 い 出 して お こ う.   また 複素 数 δ(≠0)に

対し

δが 実 数 ⇔argδ=0ま δが 純 虚数 ⇔argδ=π/2ま

たは π た は3/2π

が 成 り立 つ こ とを 注 意 し て お こ う.(右 辺 は ±2nπ(n=1,2,…)を

加 え て も よ い.)

3点 が 一 直 線 上 に あ る 条 件

  平 面 上 の 相 異 な る3点

を 表 わ す 複 素 数 を α,β,γとす る.こ

の とき

が実数

α,β,γが 一 直 線 上 に あ る 

が 成 り立 つ. 【証 明 】  α,β,γが 一 直 線 上 に 並 ぶ 条 件 は,α γが,α

βの 延 長 上 に あ る か,あ

は αβ の 向 き を 逆 に した 方 向 に あ る か の い ず れ か で あ る.前

るい

の場 合 は

が成 り立 つ ときで あ る し,あ との場 合 は

が成 り立 つ ときで あ る.い ず れ の場 合 も は0か

で あ っ て,こ

の こ と は 複 素 数 

π

が 実数 とな る こ とと同値 であ る.

2つ の 線 分 が 垂 直 と な る条 件 とす る.こ

点 αを 始点 とす る2つ の 線 分 を 

のとき

が純虚数

【証 明 】 

が垂 直 に交 わ る条 件 は, 

こ とで 与 え ら れ る(図26参

照).こ

と

の こ とは,

図26

の な す 角 がπ/2か,3/2π

とな る

また は

が 成 り立 つ こ と で あ る.   こ の ど ち ら の 条 件 も,複

素数

が 純 虚 数 で あ る こ と と 同 値 で あ る.

2つ

  相 異 な る3点

の三 角 形 が 相 似 とな る 条件

α,β,γお よ び α′,β′,γ′ が 与 え ら れ る と,△

る こ とが で き る.こ

αβγ,△ α′ β′ γ′ を考 え

の とき

(1)

が 成 り立 つ. 【証 明 】 △ αβγに お い て,点

α を 通 る2辺

は β−α,γ−

α

で あ り,△ α′ β′ γ′ に お い て,点

α′を 通 る2

辺は 図27

β′− α′,γ′−α′

で あ る.相 似 とな る条 件 は,2辺

の比 と夾 角が 等 しい,す な わ ち

が 成 り立 つ こ とで あ る.   この 条 件 はち ょう ど

が 成 り立 つ 条 件 と な っ て い る(前   この 系 として

講,Tea

Time参

照),こ

れ で 証 明 さ れ た.

△ αβγは 正 三 角 形

【証 明】 △αβγが 正三 角 形 にな る条 件 は

(2) で 与 え られ る こ と に 注 意 す る と,(1)の (2)は,α

結 果 が そ の ま ま使 え る の で あ る.実

際

に お け る 頂 角 と,β に お け る 頂 角 と,γ に お け る 頂 角 が 一 致 す る こ と

を 示 し て い る.   さ て,(1)の

結 果 を(2)に

用 い て み る と,△ αβγが 正 三 角 形 に な る条 件 は

で与 え られ る ことがわ か る.こ の式 を分 母 を は ら って か き直 す と

と な る.

4点 が 同 一 円周 上,ま た は 同 一 直 線 上 に 並 ぶ 条 件

  4つ の 異 な る点 α,β,γ,δ が 同 一 円 周 上,ま

た は 同 一 直 線 上 に 並 ぶ 条 件 を か き表

わ して み よ う.   い ま,α,β,γ,δ の ど の3点

も 同 一 直 線 上 に は な い と し よ う.こ の と き,α,β,γ,

δが 同 一 円 周 上 に 並 ぶ 条 件 は,α,β,γ,δ の 配 列 の 仕 方 に よ っ て,2通

りの 場 合 に

わ け て 述 べ ら れ る.   (ⅰ)α

βを延 長 し て 得 ら

れ る 直 線 上 の一 方 の 側 に γ,δ が あ る と き.   この と き,同

一 円周上 にあ

る条 件 は,γ,δ

か らα,βを 見

(ⅰ)

こむ 角 ∠ γ,∠ δが 等 しい(円 周 角 が 等 し い)こ   (ⅱ)α

とで 与 え ら れ る:∠

γ=∠ δ.

βを 延 長 し て 得 られ る 直 線 の 両 側 に,γ

  この と き 同 一 円 周 上 に あ る 条 件 は

(ⅱ)

図28

と δが わ か れ て い る と き.

 

で 与 られ る.   (ⅰ)の

場合は

(3) が 成 り立 つ と き,す な わ ち

(4) が 成 り立 つ と き で あ る.逆 側 に あ っ て,(ⅰ)が

に こ の 関 係 が 成 り立 っ て い れ ば,γ,δ は αβ の 一 方 の

成 り立 つ こ とは 容 易 に 確 か め られ る.(も

側 に わ か れ て い る と,(3)の (ⅱ)の

し γ,δが αβ の 両

両 辺 は 互 い に 符 号 が 異 な る こ と に な る!)

場 合 は, 

は,そ

れ ぞ れ γβ か ら γαへ 向 か う向 き

と,δ β か ら δα へ 向 か う向 き を 考 慮 し て い る こ とを 注 意 し よ う.し 2つ の 偏 角 は,符

号 が 逆 に な っ て い る.し

た が って この

た が って

とい う条 件 は

(5) と表 わ さ れ る.   (4)と(5)は

ま とめ て

は実数

  (6)

と い い 表 わ せ る.   逆 に,α,β,γ,δ の ど の3点

も1直

線 上 に な く,条

件(6)を

み た し て い れ ば,

い ま の 議 論 を 逆 に た ど る こ と に よ り,α,β,γ,δは 同 一 円 周 上 に あ る こ と が わ か る.   次 に,少 の 条 件(6)が

な く と も3点

が 同 一 直 線 上 に あ る と き を 考 え て み よ う.こ

成 り立 っ て い る と,円

が つ ぶ れ た 場 合 に な っ て,他

図29

の 場 合,上

の1点

も この

直 線 上 に あ る こ とがわ か る.逆 に,4点 成 り立 つ こ とは,図29を

が1直 線 上 に の っ てい れ ば条 件(6)が

参 照 す れ ば 明 らか で あろ う.

  これ で結 局,次 の命 題 が 示 され た こ とにな る.

相 異 な る4点

α,β,γ,δ が 同 一 円 周 上,

また は 同一 直線 上 にあ る条 件 は

が実数 で 与 え られ る.

Tea

Time

質 問   △ αβγが 正 三 角 形 に な る 条 件 は α2+β2+γ2− βγ−γα− αβ=0で と い う こ と を 見 て 思 っ た の で す が,こ

与 え られ る

の条 件 は

(α− β)2+(β − γ)2+(γ− α)2=0 と か い て も よい わ け で す.実 す な わ ち α=β=γ も,各

項 が0と

が 得 られ た の で す が,複

の 関 係 か ら,α=β,β=γ,γ=α,

素 数 に な る と2乗

で 与 え られ る.実

際,複

番 簡 単 な 例 は,α=1,β=iの

あ って

と き,α2+β2=1+i2=0

素 数 の 中 で 考 え れ ば α2+β2=(α+iβ)(α

解 さ れ る か ら,α2+β2=0と

い う関 係 は,α=−iβ,α=iβ

な わ ち 任 意 の 複 素 数 β に 対 し て,α2+β2=0を

つ ね に2つ

の 和 が0で

は 限 ら な い の で す ね.

答   そ の 通 り で あ っ て,一

る.す

数 の と き に は,こ

−iβ)と

因数 分

とい う関 係 と 同 値 に な

み た す α は,β ≠0の

と き,

あ る の で あ る.

  こ の よ うに 説 明 して み る と,ご に な れ す ぎ て い る の で,実 思 う こ と も あ る.こ

く当 り前 の こ とで あ る が,私

た ち は実 数 の 扱 い

数 の と き の 考 え で 複素 数 を 理 解 し よ う と し て 不 思 議 に

の よ うな 点 に 注 意 を 喚 起 し て お い て も らい た い の で,も

つ 例 を あ げ て お こ う.関

う1

係式 α2+β2=1

は,α

と β が 実 数 な ら ば,座

標(α,β)を

もつ 点 は,2次

元 の 実 平 面 で,原

点中

心,半

径1の

円 周 を 表 わ し て い る.し

く変 わ っ て く る.そ

か し,α,β が 複 素 数 な らば,事

れ を 見 る た め に,2つ

情 は ま った

の 複 素 数 γ,δを

す なわ ち

に よ っ て 導 入 し て,変

数 変 換 す る.こ

の とき

α2+β2=(γ+δ)2−(γ と な る か ら,α2+β2=1と

− δ)2=4γ δ

い う関 係 は

とい う 関 係 に お き 直 さ れ る.す

な わ ち γ≠0に 対 し て,複

素 数 δが た だ1つ

決 ま

る とい う 関 係 に な る の で あ る.  こ こ で も 注 意 深 い 人 は,実

数 の と き,た

とえ ば 

2つ 決 ま っ た の に,複

素 数 δが γに よ っ て た だ1つ

思 うか も しれ な い.し

か し,こ れ は α2+β2=1を

素 数 γ,δを 決 め て い る こ とに よ っ て い る.実 の ときには

の と き,β

は 

と

決 ま る と い う の は お か しい と

み た す α と βが 対 に な っ て,複

際, の ときには

第7講

単位 円周上の複素数 テ ーマ ◆

単 位 円 と単 位 円 周

◆

単 位 円 周 上 のzに

対 し,znは,argzだ

けn回zを

回 転 した と ころ

に あ る. ◆zn=1の

解

◆

複 素 数zとeiθ

◆

写 像z→z2

の 積―

θだ け の回 転

単

位

円

 複 素平 面 上 で,原 点 中心,半 径1の 円を 単 位 円 とい う.単 位 円 は

また は

と 表 わ さ れ る.

単 位 円周  単 位 円 の周 上 の点 は

と 表 わ さ れ る.1は る.1か

単 位 円 周 上 に あ っ て 偏 角0で

ら 出 発 し てπ/2だ け ま わ っ て

に到着 す る.さ らにπ/2だけ まわ って

あ り,し た が っ て,1=ei0で

あ

さ らにπ/2だけ まわ って

と な っ て い る.

単位円周上の複素数と回転 次 の こ とは,積

の 定 義 か ら 明 らか で あ る.

単 位 円 周 上 に あ る2つ

の 複 素数eiθ,eiθ1の 積 は

ei(θ+θ1)で あ り,こ れ は 再 び 単 位 円 周 上 に あ る.

  図30か

ら も 明 ら か な よ うに,単

位 円 周 上 に あ る 複 素数eiθ,eiθ1の積 は,角

θ,θ1

の 回 転 を 繰 り返 し て 行 な う と見 た 方 が わ か りや す い の で あ る.

図30   た と え ば1か

図31

ら出 発 し て,θ

だ け の 回 転 を 繰 り返 し て 行 な っ て い く こ と は,eiθ

のベ キ を と っ て い く操 作 θ-回転

  θ-回転

  θ-回転

  θ-回転

に 対 応 し て い る.   図31で

は

に 対 し て,z2,z3,…,z11,z12が

ど こ に あ る か を 示 し て い る.こ

の 図 を見 る と

と な っ て い る.

zn=1の

解

さ て, z12=1 

は,zを

未 知 数 と す る12次

は,い

いかえる と

が,こ

の 方 程 式 の1つ

…z11も,方

の 代 数 方 程 式 と見 る こ とが で き る.上

の 解 で あ る と い う こ とで あ る.と

程 式(1)の

と な る か ら で あ る.こ

(1)

解 と な って い る .た

の よ う に し て,12次

で示 した こ と

こ ろ が,図31でz2,z3,

と え ば 

とす る と

の 方 程 式(1)の12個

の解 が

(2) で 与 え られ る こ と が わ か っ た.  も っ と も,こ

れ ら の 点 が 全 円 周2π の12等

いえ ば 

分 を 与 え て い る こ と,す

なわ ち角 で

の と こ ろ に あ る こ とを 明 示 し た い と きに

は,(2)を

とか いた 方 が よい か もしれ な い.  この こ とか ら容 易 に類 推 され る よ うに,一 般 に 自然 数nに 対 して,n次

の 代数

方 程式 zn=1 を 考 え る と,こ の解 はn個 あ って,そ れ らは単 位 円周2π のn等 分 点 を与 える点 と して

で 与 え られ る.こ

れ らの解 は,単

の 頂 点 とし て並 ん で い る.

位 円周 上 にz=1を1つ

の頂 点 とす る正n角 形

図32  図32で,n=2,3,4,5,6の 解 は,z=1以

場 合 にzn=1の

解 を 図 示 し て お い た.特

にz3=1の

外 に

と

と で 与 え られ て い る.

複 素 数zとeiθ との 積  複 素 数zに 対 し て,eiθzを 対 応 させ る対 応 は,複 素 平 面 上 で は,原 点 を 中心 と して 角 θだ け の回 転 をす る こ とを意 味 し てい る(図33参  実 際 

か ら,eiθzとzは

照).

原点 か ら等 距 離 に あ り,偏 角は

とな るか らで あ る.  この よ うに,原 点 中 心 の 回転 とい う幾 何 学 的 な こ とが,複

素 平 面上 では,eiθ を か

け る とい う演 算 で 表 わ され る と ころ に,複 素 数 の もつ1つ の 特 徴的 な性 質が あ る. 写 像z→z2  この講 の テ ー マ とは 多 少 はず れ るか も し れ な い が,複

素 数zに 対 してz2を 対 応 さ

図33

せ る 対 応 は ど の よ う に 記 述 され る か を 考 え て み よ う.  まず￨z￨=1の

と き を 考 え よ う.z=eiθ

とお く とz2=e2iθ で あ る.し

が 単 位 円 周 上 で 偏 角 θの と こ ろ に あ る と,z2は ろ に あ る.し 転)し

た が っ てzが1か

た と き,z2は

て い る.zが

−1か

ら1へ

位 円 周 上 を も う1回 方 は2倍

と,単

転 す る.す

だ け の 回 転)し

る よ うな 時 計 の2つ 針 は12回

な わ ち,zが

に 短 針zが1回

単 位 円 周 を1回 局2回

向 き に まわ り出 し た と き(短

て,も

とへ 戻 っ

れ はz→z12と 針!),z12が

単

転 す る と き に,z2の

転 し て し ま う. ず3時

の場所 に 時計 の 長 針 と

転 す る と き,長

の 針 の 動 き に 似 て い る.(実 転 す る.こ

πだ け の 回

位 円 周 上 の 下 半 分 を ま わ っ て い る 間 に.z2は

む 向 き は 負 の 向 き と な る が)ま

短 針 を 重 ね 合 せ て お き,次

間 に,長

位 円 周 上 を 半 回 転(角

転(角2π

の 速 さ で 単 位 円 周 上 を まわ っ て,結

 こ の 状 況 は,(進

同 じ 単 位 円 周 上 の 偏 角2θ の と こ

ら −1ま で,単

単 位 円 周 上 を1回

た が っ てz

針z2の

際 の 時 計 は,短

方 が2回

針 が1回

い う写 像 で,￨z￨=1で,zが ど の よ う に 動 くか(長

転す 転す る 負の

針!)を

示 して

に 対 し てz2=r2ei2θ

を 対応 さ

い る と 見 る と よ い の で あ る!)   一 般 のzに

対 して

,z→z2と

せ る こ と に な る.し

(r=1/2!)に 上 を1周

た が っ て,た

とえ ばzが

原 点 中 心,半

径1/2の

円 周C1/2上

あ る と き,z2は 原 点中 心,半 径1/4の円周C1/4の 上 にあ って,zがC1/2

す る と き,z2はC1/4上

一 般 に,原

い う対 応 は,z=reiθ

点 中 心,半

径rの

を2倍

の 速 さ で まわ っ て,2周

円 周 をCrで

表わ す と,z→z2と

す る こ と に な る. い う対 応 で

Cr→Cr2 へ と うつ り,zがCrを1周

す る と き,z2はCr2を2周

図34

す る こ と に な る.

Tea

質 問  複素数zに ま した.こ

対 し てz2が

Time

ど の よ うに 対 応 し て い る か,こ

こ で の お 話 を お 聞 き す る ま で は,何

の だ ろ う と思 っ て い ま し た.と

こ ろ が 図34を

こで は じめ て知 り

か 放物 線 の よ うな もの が で て くる 見 る と,放

物 線 な ど現 わ れ な くて,

ぐ る ぐる と ま わ る 円 周 の 点 の 動 き だ け が 示 さ れ て い ま す.い

っ た い,放

物線は ど

こへ い っ た の で し ょ うか. 答  実 に も っ と も な 疑 問 で あ る.私

た ち は 実 数 の 範 囲 で 考 え る と き,y=x2の

グ

ラ フ は 原 点 を 通 る 放 物 線 で あ る こ と を 知 っ て い る.い

や,知

い る と い っ て よ い の で あ る.し

対 応 を 図 示 す る と き に は,

か し,複

放 物 線 は 図 の 上 に 現 わ れ て こ な い.実

素数w=z2の

数 は 複 素 数 の 一 部 分 だ っ た の に,な

に 放 物 線 が で て こ な か っ た の か と い う よ うな,納 と,複

素 数 に 近 づ く道 が し だ い に 遠 ざ か っ て い く こ と に な る.

示 は され て い な い が,ち

い え ば,短

針 と,(短

て い る.短

針zの

16,…

と な る.だ

ゃ ん と残 さ れ て い る.そ

転 に 対 し て2回

長 さ が1,2,3,4,…

実 軸 か ら 実 軸(≧0)へ  し か し,複

針1回

か ら,短

出 し て か く と,y=x2の

ら,こ

ぜ ここ

得 の いか ない 気 分が 残 って い る

 しか し 講 義 の 中 で 述 べ た 説 明 を よ く読 ん で み る と,y=x2と は,図

りす ぎ る ほ ど知 っ て

転 す る)長

い う放 物 線 の 対 応

れ は 時計 の 針 のた とえ で 針 の長 さで い い表 わ さ れ

と な る と,対 応 す る 長 針z2の

長 さ は1,4,9,

針 の 長 さ に 対 し て 長 針 の 長 さが ど うな る か だ け を 取 り

グ ラ フ と な る の で あ る.そ

し て そ れ が,w=z2に

おける

の 対 応 と な っ て い る.

素 平 面 の 中 で,実

軸 は た だ 一 本 の 直 線 と し て 含 まれ て い る だ け だ か

の 実 軸 の 対 応 に 注 目 す る よ りは,平

面 上 の 点 の 動 き と し て,zが

円周 上 を

ま わ る と き ど うな る か を 調 べ る方 に 重 点 が うつ る.し た が っ てz→z2を2つ 素 平 面 を 用 い て 図 示 す る と き,放

物 線 は ひ と ま ず 視 界 か ら 消 え る の で あ る.

の複

第8講 1次

関

数

テーマ

◆1次 関数 ◆1次 関数の分解 ◆ 円々対応の原理 ◆ 直線 の方程式 ◆ 円の方程式 ◆ 対応w=1/z

1次

関 数

こ の 講 で は,

(1) と い う式 で 与 え られ るzか

らwへ

式 で 与 え ら れ る 関 数 を,1次

の 対 応 に つ い て 調 べ る こ と に す る.こ の よ うな

関 数,ま

た は1次

分 数 関 数 と い う.

 注 意  1次 分 数 関 数 とい うよび名 は よい として も,1次

関 数 とい うい い方 には,多

抗 が あ るか もしれ な いが,こ れ は慣 用 な の で あ る.(1)をz-平

少抵

面 か らw-平 面 へ の変 換 と

考え て1次 変 換 とい ういい 方 もよ く用 い られ てい る.   複 素 数 を 変 数 と し て 複 素 数 の 値 を と る 関 数 に つ い て の 一 般 的 な 取 扱 い は,第12 講 で 与 え るが,こ

こ で は そ の 最 も 基 本 的 な 例 と し て,式(1)で

を 考 え る こ と に す る.変 る の で あ る が,こ (z-平 面!)上 (w-平 面!)上

数zが

い ろ い ろ な 値 を と る と き,wの

の よ うな と き に は,複

を 変数zが

動 く と き,対

素 平 面 を2つ 応 す るwの

与 え られ る関 数 変化 の模 様 を調 べ

用 意 し て,1つ 値 が,も

を ど の よ う に 動 くか を 考 え る こ と に す る.

う1つ

の 複素 平 面 の 複素 平 面

1次

  1次 関 数(1)をγ=0の

関 数 の 分 解

場 合 と,γ ≠0の 場 合 に わ け て 変 形 す る と次 の よ うに

なる ・   (ⅰ)γ=0の

とき.

  こ の と き 条 件 αδ−βγ≠0に よ り,δ ≠0で あ る こ とを 注 意 し よ う.し た が って

(2) (ⅱ) γ ≠0の と き.

(3)   (2)と(3)は,1次

関 数(1)が

合 成 さ れ て い る― (Ⅰ)w=Az 

次 の 形 の 関 数 か ら組 み 立 て られ て い る―

こ と を 示 し て い る. (A≠0)

(Ⅱ)w=z+B (Ⅲ)w=1/z こ こでA,Bは z≠0の

複 素 数 の 定 数 で あ り,ま た(Ⅲ)の

関数 が 定義 さ れ て い る の は

と こ ろ で あ る.

  実 際(ⅰ)の

と お く と,(2)か

場合は

ら,対

応(1)は

((Ⅰ)の

形 の 関 数)

((Ⅱ)の

形 の 関 数)

合 成写 像

に 分 解 さ れ る こ と が わ か る.   (ⅱ)の

場 合 は,(3)を

見 な が ら順 次

z1=γz 

((Ⅰ)の

形 の 関 数)

と お く と,対

応(1)は

((Ⅱ)の

形 の 関 数)

((Ⅲ)の

形 の 関 数)

((Ⅰ)の

形 の 関 数)

((Ⅱ)の

形 の 関 数)

合成 写像

に 分解 され る こ とが わ か る. 円 々対 応 の 原 理 次 の結 果 は,円

々対 応 の 原理 とよばれ て い る.

1次 関 数

に よ っ て,z-平

面 上 の 円 ま た は 直 線 は,w-平

面上の円ま

た は 直 線 に うつ る.

  こ こで 述 べ て い る こ と は 誤 解 を 招 き や す い.結 円 は,w-平

面 の 円 ま た は 直 線 に うつ る し,ま

論 を 正 確 に 述 べ る と,z-平

たz-平

面 の 直 線 も,w-平

面の

面の円ま

た は 直 線 に うつ る とい う こ とで あ る.   円 が 直 線 に うつ る こ と も あ る の に,な が 当 然 で る と 思 う.実 る.そ

ぜ 円 々 対 応 と い うの か とい う素 朴 な 疑 問

際 は 直 線 も 円 の 特 別 な も の で あ る とい う見 方 が あ る の で あ

れ に つ い て は 次 講 で 詳 し く述 べ る が,そ

1次 関 数 は,円   さ て,こ

節 の(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の

々対 応 の 原 理 が 成 り立 つ こ と を 示 す と よ い.な

れ に 対 し て,つ 般 の1次

い 意 味 で,

を 円 に 対 応 さ せ て い る と い っ て よい の で あ る.

の 円 々対 応 の 原 理 を 示 す に は,前

に 対 して,円

れ を 認 め た 上 で は,広

ね に 円 々対 応 の 原 理 が 成 り立 て ば,こ

関 数 に 対 し て も,当

  した が っ て,こ

ぜ な ら,こ

形 の関 数 のそ れ ぞ

れ らを 合 成 し て 得 られ る 一

然 円 々 対 応 の 原 理 が 成 り立 つ か ら で あ る.

れ か ら,(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の

形 の 写 像 の 性 質 を 調 べ,円

々対

応 の原 理 が実 際 成 り立 っ てい る こ とを確 か め て い くこ とに し よ う. 写 像w=Az(A≠0)   Aとzを

それ ぞれ 極形 式 で 表わ して

とす る.R(>0)もΘ

も 定 数 で あ る.こ

の と きw=Azは

と表 わ さ れ る.   す な わ ち,zは

まずeiΘ

を か け る こ と に よ っ て, 原 点 中 心 の角 Θ だけ の 回 転 を う け,次

にRを

か け る こ と に よ っ て,拡 大(R≧1の

と き),ま

は 縮 小(R<1の

た

と き)

さ れ る.   し た が っ て,z-平

面の

図35

任 意 の 図 形 は,w=Az(A≠0)と うけ,さ

ら に 相 似 比Rで

い う写 像 に よ っ て,原 拡 大(R≧1の

と き),ま

点 中心 の 角 Θ の 回転 を

た は 縮 小(R<1の

と き)さ

れ

る.   回 転 と相 似 写 像 に よ っ て,円

は 円 に,直

線 は 直 線 に うつ る か ら,こ

の 場 合,円

々対 応 の 原 理 は 成 り立 つ.

写 像w=z+B   w=z+Bと

い う関 数 は,zを

い う関 係 を 示 し て い る.こ

な り,複

け 平 行 移 動 す る とwが

得 られ る と

の こ とは 加 法 の 定 義 か ら 明 らか で あ る が,念

し て お く と,z=x+iy,B=b1+ib2と れx+b1,y+b2と

ベ ク トルBだ

す る と,wの

実 数 部 分,虚

素 平 面 上 に 図 示 し て み る と,wは,zを

だ け 動 か し た と こ ろ に あ る こ とが わ か る.

の た め記

数部 分 は それ ぞ ベ ク トルB

  平 行移 動 に よって,円 は 円 に直 線 は直 線 に うつ るか ら, この場合,円

々対 応 の 原理 は

成 り立 ってい る. 直線の式 と円の 方程式 図36

  残 った1つ の場合,す なわ ち関数

に対 し て,円

々 対 応 の 原 理 が 成 り立 つ か ど うか を み る た め に は,複

線 の 式 と 円 の 方 程 式 を,複

素 数zと

共 役 複 素 数zを

素 平面 上 の直

用 い て 表 わ して お く必 要 が あ

る.   複 素 平 面 上 の 点z=x+iyを,実 座 標 平 面 の 点(x,y)と

数 部 分x,虚

数 部 分yに

同 一 視 し て お く と,直 線 の 式 はx,yに ax+by+c=0 

と表 わ さ れ る.ま

よ っ て,2次

元 の 実

よって

(4)

た 円 の方程 式 は x2+y2+2ax+2by+c=0 

(5)

と表 わ さ れ る.   た だ し こ の 円 の 方 程 式(5)は (x+a)2+(y+b)2=a2+b2−c とか き直 し て み る と わ か る よ う に, a2+b2−c>0  とい う条 件 が,半

(6)

径 が 正 で あ る と い う条 件 を 表 わ す た め に 必 要 で あ る こ とが わ か

る.   さ て,こ

の 関 係 を 複 素 平 面(z-平

わ す た め に は,関

面!)上

の 点 の 関 係 と し てzとzを

係

(7) を 用 い る と よい.こ

の と き直 線 の 式(4)は

用 い て表

と な る.し

た が っ て 

だ か ら,

と お く と, 

直 線 の 式:Az+Az+c=0,cは

実数  

(8)

が 得 られ た.   同 様 に(7)を

円 の 方 程 式(5)に

した が っ て,A=a−ibと

代 入 し て,zz=x2+y2に

お き,付 帯 条 件(6)は

注意 す る と

こ の と きAA−c>0と

か き直

さ れ る こ とを 注 意 す る と,結 局

円 の 方 程 式:zz+Az+Az+c=0,cは

実数

 

(9)

が 得 られ た.

写 像w=1/z

w=1/zと

い う対 応 に よ って,直

線 の 式(8)は,w-平

面上 では

cは 実 数 す なわ ち cは 実 数  

(10)

とい う関 係 式 へ と うつ され る.   こ こで,c=0な  またc≠0な

とな り,BB>0だ

らば(10)は らば,(8)か

か ら,こ

円 の 方 程 式 と な っ て い る.

原 点 を 通 る 直 線 の 式 を 表 わ し て い る. らA≠0で

あ る.そ

こ でB=A/cと

お く と(10)は

れ は 円 の方 程 式 を 表 わ し て い る.実

際 は原点 を通 る

直 線 の式(8)で  c=0⇔

原点 を 通 る直線

 c≠0⇔

原点 を 通 らな い直 線

図37 を 注 意 す る と,ま

ず 次 の こ と が 示 さ れ た こ と に な る.

に よ って:z-平 面 上 の 原 点 を 通 る直 線 は,w-平 面 上 の原 点 を通 る直 線 に うつ る.原 点 を通 らない 直線 は 円 に うつ る.   次 に 円 の 方 程 式(9)が,w-平 て み よ う.そ

面 上 の ど の よ うな 関 係 式 へ と うつ され る か を み

れ に は(9)でz=1/wを

代 入 す る と よ い.結

果 を整 理 してか くと

と な る.   c=0の

と き,こ

れ は 直 線 の 式 で あ る.

  c≠0の

と き に はB=A/cと

お くと

を み た し て い る.し

と な り, 

式 で あ る.   円 の方 程 式(9)で  c=0⇔  

c≠0⇔

原 点 を通 る円 原 点 を通 らな い 円

た が って これ は 円 の方 程

図38 を 注 意 す る と,結

局 次 の こ とが 示 され た こ と に な る.

に よ っ て:z-平

面 上 の 原 点 を 通 る 円 は,w-平

面上

の 直 線 へ と うつ る. 原 点 を 通 ら な い 円 は 円 に うつ る.

  これ で 関数w=1/2に

対 して も円 々対応 の原 理 が 成 り立 つ こ とが わ か った.

  これ で この節 の主 題 で あ った1次 関数 に よ る円 々対 応 の原 理 が 完全 に証 明 され た こ とに な る. Tea

質 問  w=1/zと さ れ た こ とは,円

い う対 応 で,円

Time

は 円 ま た は 直 線 に うつ る と い っ て も,こ

周 は 円 周 ま た は 直 線 に うつ る と い う こ とだ っ た と思 い ま す.円

周 で 囲 まれ た 円 の 内 部 は ど こ に うつ さ れ て い る の で し ょ う か. 答   3つ の 場 合 が あ る.   (ⅰ)  z=0が

こで 証 明

円の 外 部 に

あ る と き.   こ の と き は 図39で

示 した

図39

よ う に,円

周 で 囲 まれ た 部 分 の 内 部

は,w=1/zに

よ っ て,w-平

面上 でや

は り 円 周 で 囲 ま れ た 部 分 の 内 部 に うつ る.同

時 に,円

の外 部 は 円 の外 部 へ と

うつ っ て い る.   (ⅱ)  z=0が

円 の 内部 に含 ま れ て

図40

い る と き.   この と き は 図40で

示 し た よ う に,zが

す る 円 周 上 を 負 の 向 き に まわ る.こ で は 円 の 外 部 へ と うつ る.z-平 す るwは,￨w￨が

円 周 を 正 の 向 き に ま わ る と,wは

の と き に は,z-平

面 で 円 の 内 部 に あ るz=0にzが

どん ど ん 大 き くな って,究

対応

面 で の 円 の 内 部 は,w-平

極 的 にz=0に

近 づ く と,対

面 応

対 応 す る 点 は,w-平

面 上 で 見 失 っ て し ま う.   (ⅲ)  z=0が   こ の と き は,円

円 周 上 に あ る 場 合. 周 はw-平

線 に うつ っ て い る.円

面上 の 直

の 内 部 は,図41

で 示 して あ る よ うに直 線 の一 方 の側 へ と うつ る.   こ の よ うな 対 応 関 係 を 調 べ る に は, w=1/zと

い う対 応 に よ っ て,z=0に

応 す る点 が,￨w￨→

対 図41

∞ と な る は て に,

1点 存 在 し て い る と 考 え る とわ か りや す い の で あ る.複 素 平 面 に,こ '無限 遠 点'を つ け 加 え る 考 え に つ い て は 次 講 で 述 べ よ う .

の よ うな

第9講 リ ー マ ン 球 面

テー マ ◆

リー マ ン球 面

◆ 立体射影 ◆ 無 限遠 点―

リー マ ン球 面 上 の北極

◆ ∞ の演 算 規 則 ◆

リー マ ン球面 上 の 座 標 と複 素 数 の対 応

回転 と球面   複 素 数 の 乗 法が,平 面 の 回転 とい う性 質 と密 接 に結 び つ い てい る ことが しだ い に明 らか とな って くる と,複 素 平面 上 で,点 が 原 点 の まわ りを 回転 して い る よ う な描 像 が ご く自然 に得 られ て くる.   しか し,こ の よ うな描 像 は,実 数 の場合 の2次 元 の 座標 平 面 か らは,あ ま り直 接 に感 取 され る も ので は なか った こと に注意 して お こ う.2次 ふ つ う関 数y=f(x)の

グラ フ表示 に用 い られ るた め,x軸

元 の座 標 平面 は,

とy軸 の役 割 が 歴 然

と して い て,回 転 す る とい う考 えが あ ま りな じまな い の で あ る.実

際,y=f(x)

とい う関 数 の グラ フを,原 点 を 中心 に して 回転 す れ ば,そ の結 果は,一 般 には グ ラ フ とい う属 性 を失 った 図形 とな る.   さて,複 素 平 面 は 原点 を 中 心 に して 回転 して も,ま った く均 質的 な 様相 を 保 っ て い る とい う視 点 を 強め る と,複 素 数 を表 わ す の に,平 面 よ り球 面 の 方が よい か も しれ な い と思 え て くる.地 球 儀を ぐ る ぐる まわ して み る 日常 的な 経験 か ら受 け る感 じは,回 転 に対 す る球 面 の 均質 性 を私 た ちに よ く伝 え て い る よ うにみ え る.

リー マ ン球 面   この よ うな考 え に 導か れ て,球 面 上 の点 と して 複素 数 を 表わ す1つ の考 え方 を

述 べ て み よ う.   い ま,複 素 平 面 の単 位 円を 赤道 とす る よ うな 半径1の 球 面 を 描 く.こ の球面 上 の北 極 に相 当す る点 をNと す る.'北 極'Nと,球 を 結 ぶ 線 分 を 引 く と,こ

の線

分,ま

たは この 線 分 の延 長

は,複

素 平 面 と た だ1点P′

で 交 わ る.こ

の 対 応 に よ っ

て,'北

極'以 外 の 球 面 の 点P

と,複

素 平 面 上 の 点P′ と が

1対1に

面 上 のNと 異 な る任 意 の 点Pと

対 応 す る.こ

の球 面

か ら複素 平面 上 へ の対応 P→P′ 図42 を,Nか

ら の 立 体 射 影 とい う.

  図42か

ら も 明 らか な よ うに,北

よ っ て,単

位 円 の 外 の 点,す

  赤 道 面 上 の 点 は,自

半 球 上 の 点 は(北

な わ ち￨z￨>1を

分 自身 に,し

極Nを

除 い て),立

み た す 点zに

体射影に

うつ る.

た が っ て 複 素 平 面 上 の 点 と し て は,単

位 円周

上 の 点 に うつ る.   南 半 球 上 の 点 は,立 み た す 点zに

体 射 影 に よ っ て,単

うつ る.特

  こ の よ うに,球

位 円 の 内 部 の 点,す

に 南 極 に はz=0が

面 上 の 北 極N以

対 応 し て い る.

外 の 点Pに

の 複 素 数P′ が 対 応 し て い る の だ か ら,Pは,複 よい.北

極Nだ

け が,対

北 極 以 外 の 点 が,立

な わ ち￨z￨<1を

は,立

体 射 影 に よ っ て,た

だ1つ

素 数P′ を 表 わ し て い る と 考 え て

応 す る 複 素 数 を もた な い が,こ

の よ うに し て,球 面 上 の

体 射 影 を 通 し て あ る 複 素 数 を 表 わ し て い る と考 え た も の を,

リ ー マ ン球 面 と い う.

無   と こ ろ が,こ だ け が,複 め て'北

限 遠

点

の よ う に し て 得 られ た リー マ ン 球 面 上 で,北

極Nに

素 平 面 上 に 見 つ け る こ と が で き な い よ うに な っ て い る.私

極'Nを,無

限 遠 点 で あ る と い う こ と に し て,記

対 応 す る点 た ち は,改

号 ∞ で 表 わ す こ とに す

る.   この無 限遠 点 とい う言葉 は,次 の こ とを い い表 わ して い る.地 球 上 で い えば, 北 極 は緯 度90° の地 点 で あ る.北

半球 では,赤 道 が 北緯0° であ り,北 へ 進 む に

したが って緯 度 は しだ い に大 き くな って くる.た とえば 京 都 は北 緯35° の ところ に あ り,モ ス ク ワ は 北 緯 56°の と ころ にあ る.緯 度 の 等 しい と ころを 結 ん で得 られ る等緯 線 は,立 体射 影 に よって,複 素 平 面 上 で原 点 中心 の 円 の周 に うつ され る.こ の 円は,球 面 上 の点 図43

Pが 北 極 に近 づ くに つれ て ―

緯 度 が90° に近 づ くにつ れ て―

な る円の 外部 が,リ

どん どん大 き くな る.こ の どん どん大 き く

ーマ ン球 面 上 で は北 極 の まわ りを 囲ん で い る とい うこ とにな

って い る.   そ の意 味 で,リ ーマ ン球 面 上 の 点Pが,北

極Nに

近 づ くとき,立 体 射 影 に よ

って対 応 す る複素 平 面 上 の点P′ は原 点 か ら どん どん遠 ざか る.P′ を表 わ す 複 素 数 をz′ とす る と,こ の こ とは

を示 して い る.  す なわ ち,複 素 平 面上 では,無 限遠 点 は,複 素 数 が どん どん 原点 か ら遠 ざか っ た は て にあ る と考 え られ る架 空 の 点 で あ るが,リ ーマ ンの 球 面 上 では 実 在 の点 と して表 わ され てい るの で あ る.そ の点 を ∞ とか くとい うので あ る. ∞ の演算 規則  球 面 上 の点 と して は,ど の点 も回転 で うつ り合 え るのだ か ら,北 極 も南 極 も, 特別 にほ か の点 と区 別 す る理 由 もな い.も ち ろ ん,リ ー マ ン球 面 の点 と して は, 北 極 は無 限遠 点 として,多 少 特 殊 な点 とな って い る.し か し,南 極は0で あ り, 0に 対 して は,割 る こ と以外,任 意 の複 素 数 と四 則 演算 が 可 能 で あ る.同 じ よ う

に,∞ に対 して も,次 の よ うな い くつ か の 演 算 規則 を 形式 的 に定義 して お く方 が 有 効 であ る場 合 が多 い.   (ⅰ)  αが 複 素 数 の とき.

  (ⅱ)  複 素 数 β≠0に 対 し て.

し か し, 

は 考 え な い.

や, 

  こ こ で,(ⅱ)で0で

割 る こ とを は じ め て 定 義 し た こ と に 注 意 し て お こ う.し

か し こ れ ら の 規 則 は,多

少 便 宜 的 な も の で あ っ て,ふ

た とえ ば 

つ うの 数 の 割 り算 の 規 則,

な ら ば α=β の よ うな も の は み た さ れ て い な い こ と を 注 意 し て

お こ う.   た だ,こ

の 規 約 に よ って

で,z=0に

は,w=∞

が 対 応 し て い る と考 え ら れ る よ う に な った の で あ る.

リ ー マ ン球 面 上 の 座 標 と 複 素 数 の 対 応

  リー マ ン 球 面 は,3次

元 の 実 ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 中 で 半 径1の

球 で あ る と考 え

る と,

(1) と 表 わ さ れ る.こ で あ る.複 る.し

こ で(ξ,η,ζ)は3次

素 平 面 は,(ξ,η,0)と

元 実 コ ー ク リ ッ ド空 間 の 点 を 表 わ す 座 標 い う座 標 平 面 上 に 重 な っ て の っ て い る と 考 え

たが って z=x+iy 

(2)

とす る と x=ξ,y=η で あ る.   さ で,(1)で

表 わ され る球 面 上 の 点P(ξ,η,ζ)が

立 体 射 影 に よ っ て,(2)で

表 わ され る 複 素 平 面 上 の 点P′ に う つ さ れ た とす る.こ とz=x+iyの

の と き,(ξ,η,ζ)

関係 は どの よ う に な

っ て い る だ ろ うか.   そ れ に は,補

助 的 にPか

らONへ

下 ろ し た 垂 線 の 長 さ を ρ と し,図44 で￨z￨=rと

ρ を 見 な が ら,相

似三

角 形 の 考 え を 用 い る と よ い.そ

うす

ると 図44

が 得 ら れ る.こ

れか ら

した が って

(3)

と な る. 逆 に,ξ,η,ζ をzとzで

表 わ す に は,ま

ず ((1)に

よ る)

に注 意 して

(4) を 得 る.し

た が っ て(3)(の

分 母 を は ら っ た 式)と(4)か

ら

(5) が 得 られ る.

Tea

質 問   実 数 の と き に は,正

Time

の 方 へ どん ど ん 大 き くな っ て い く と き+∞,負

どん ど ん 小 さ くな っ て い く と き− ∞ と し ま し た が,こ

の ± ∞ と,リ

の方 へ

ー マ ン球 面 上

で 得 られ た 無 限 遠 点 ∞ と は 性 格 が 違 うの で し ょ うか. 答   無 限 の 方 へ 向 か っ て い く数 の 動 き を 感 覚 的 に 捉 え た い とい う意 味 で は,同 記 号 ∞ が 実 数 の 場 合 も,複

素 数 の 場 合 も用 い られ て い る.し

い る と き に は,x→+∞,x→− 上,右

∞ で 示 さ れ て い る こ とは,そ

の 方 へ ど こ ま で も 進 む,ま

て,+∞,−

か し実 数 で ± ∞ を 用 れ ぞ れxが

∞ を 実 在 の 点 と し て 考 え て い る わ け で は な か った.実

れ をz→ ∞ と す る の で あ る.そ

も述 べ た よ う に,必

要 な らば い つ で も リー マ ン 球 面 の 描 像 の 中 で,北

現 さ れ て い る と考 え る の で あ る.そ は'動

数 の場 合 に は

素 数 の 場 合 に は 方 向 性 を 無 視 して,￨z￨さ

え 大 き くな れ ば,そ

素 数 の 場 合 に は,∞

数直線

た は 左 の 方 へ ど こ ま で も進 む とい う こ と で あ っ

左 右 の 方 向性 が 強 く働 くの で あ る.複

た が,複

じ

の 意 味 で,実 詞'と

し て この ∞ は,講

数 の 場 合,∞

同 時 に,北

義 の中 で 極 として 実

は'動

詞'で

極 を 指 し示 す'名

あっ

詞'と

な っ た の で あ る.

質 問  も う1つ 外 側 は,は と,た

質 問 し た い の で す が,複

素 平 面 上 で 円 を 描 い た と き,円

の内 側 と

っ き り し た 概 念 だ と思 っ て い ま し た が,リ

ー マ ン 球 面 に うつ し て み る

と え ば 単 位 円 周 が 赤 道 とな っ て し ま い ま す.こ

の とき北 半 球 を赤 道 の つ く

る 円 の 内 側,南

半 球 を 外 側 と考 え る の が よ い の か,あ

ど うや っ て 判 定 す る の で し ょ う.

る い は こ の 逆 が よ い の か,

答   確 か に球 面 上 で 円周 を 考 え る と,内 側 と外側 が は っき りしな くな る.複 素平 面 上 で も,必 要 に応 じて ∞ をつ け 加 えて 考 え る こ とにす れ ば,∞ を通 る円― 線

直

― の 内側 と外 側 を ど う決 め た ら よい のか が 問題 とな っ て くる.質 問 は リー マ

ン球 面上 で あ った が,内 側 と外側 を どの よ うに決 めた らよい か が問 題 にな る こ と さえわ か れ ば,複 素平 面 上 で 考 えた 方 がわ か りやす いだ ろ う.私 た ちは,円 の内

図45

部,外 部(ま た は 直線 の内 部,外 部)は,円 進 む 向 き)を1つ

周 を まわ る向 き(ま たは 直 線 を点 が

指 定 す る こ とに よ って,は じめ て 決 ま る もの だ と考 え る こ とに

す る.1つ

向 き を 決 め た と き,左

を 内 部,右

側 に 見 え る 側 を 外 部 とい う こ と に す

手 に 見 え る側

る の で あ る.   も ち ろ ん,平

面 上 で,円

っ て い る 限 り,円 側 で あ る.し と が,ど 46).

周 を 正 の 向 き に まわ

の 内 部 は,常

識 的 な意 味 で 内

か し 直 線 で は,正

の 向 き とい うこ

う も は っ き り し な く な る の で あ る(図 図46

第10講 円 々対 応 の原 理 テー マ ◆ 複 素 平面 上 の円 は リー マ ン球 面上 の 円に 対 応す る. ◆ 複 素 平面 上 の 直 線 は,リ ーマ ン球 面 上 の ∞ を通 る円 に対 応 す る. ◆ 円 々対応:リ

ーマ ン球 面 上 で は,1次

関 数 に よ り,円 は円 に 対応 す

る. ◆ 単 位 円 を単 位 円に うつす1次 関 数 ◆1次

関 数 は,反 転 の 関 係 を保 つ.

◆ 上半 平 面 を 単位 円の 内 部 に うつ す1次 関 数

  第8講

で 述 べ た 円 々 対 応 の 原 理 を も う一 度 こ こ で 取 り上 げ よ う.も

上 げ る 理 由 は,第8講

で 述 べ た 定 理'1次

た は 直 線 に うつ る'と

い うい い 方 が 何 か 中 間 的 で,も

ず る か ら で あ る.実

関 数 に よ っ て,円

ま た は 直 線 は,円

ま

う1つ は っ き り し な い と感

は 複 素 平 面 か ら リ ー マ ン 球 面 へ と うつ る と,円

は な くな っ て し ま う.実 際,次

う一 度 取 り

と直 線 の 区 別

の 結 果 が 成 り立 つ.

(#)  複 素平 面 上 の円 ⇔ 複 素平 面 上 の直 線 ⇔

リーマ ン球 面 上 の ∞ を 通 らない 円 リー マ ン球 面 上 の ∞ を通 る円

 す なわ ち 複素 平 面 上 の 円 また は直 線 とい う概 念 は,リ ーマ ン球 面 上 で は,す べ て 円 とい う概念 に包 括 され て し ま う.た だ ∞ を通 るか通 らな い か の性 質 だ け が, 複 素平 面 上 に お として み る と,直 線 と円 とい う異 な った 形 とな って 投影 され て く る.   したが って 円 々対 応 の 原理 は,簡 明 に次 の よ うに述べ る こ とが で き る よ うにな った. 1次 関 数 に よ っ て,リ

ー マ ン 球 面 上 の 円 は 円 に うつ さ れ る.

リ ー マ ン球 面 上 の 円   さて(#)の

証 明 を試 み て み よ う.そ の た め には,第8講

の(9)で

与 えた 円

の方 程式 cは 実 数  

(1)

(2) を,実

数a,b,c,dを

用 い て

(3) の 形 に か き 直 し て お く方 が よ い.そ (3)の

れ に は,適

当 なa,b,c,dを

と る と,(1)は

形 に 表 わ せ る こ と を み る と よい.

  (3)式

は 展 開 して整理 す る と (3)′

とな る か ら,(1)式

と見 比 べ て,c+d≠0と

を み た す よ うに と る と(1)に 的 に 決 ま る 数 で あ る.条

な る実 数c,dと,実

な る.a,b,c,dは

数a,bを

比 を 除 け ば,A,cに

よ って一 意

件(2)は

(4) に お き か わ る.   逆 に,(3)式

で,c+d≠0,か

つ(4)を

み た す な らば,(3)は

円 の方 程式

と な っ て い る.   一 方,(3)′

の 式 を 見 る とわ か る よ うにc+d=0な

て また(3)は,一 き(4)は は,aかbか   結 局,ま

らば,(3)′

般 の 直 線 の 式 を 表 わ し て い る(第8講,(8)参

は,し 照).こ

たが っ の と

自 動 的 に み た され て い る こ と を 注 意 し よ う(直 線 の 式 と い う と き に 少 な く と も1つ

は0で

な い!).

とめて 述べ る と

(3) は 実 数(少

な くと も1つ

は ≠0)

(4)

は 複 素 平 面 上 の,円

ま た は 直 線 の 式 を 表 わ して い る こ と に な っ た.c+d=0が

直

線 の 式 を 表 わ す 条 件 とな って い る.   こ の 形 に し て お く と,円 換 し や す く な る.実

ま た は 直 線 の 式 は リー マ ン球 面 の 座 標(ξ,η,ζ)に

際,(3)の

辺 々 をzz+1で

割 っ て 前 講 の(5)を

変

用い ると

(5) と な る こ とが わ か る.こ

れ は,3次

元 の 座 標 空 間 の 中 の方 程 式 と 見 た と き 平 面 の

方 程 式 と な っ て い る.原

点 か ら平 面(5)ま

で の 距 離(原

点 か ら この平 面 にお ろ

し た 垂 線 の 長 さ)は

で 与 え られ る か ら,条

件(4)は,こ

し た が っ て 平 面(5)は,リ (と 付 帯 条 件(4))を

の 距 離 が1以

ー マ ン球 面 を 切 る.こ

下 で あ る こ と と 同 値 で あ る. の 切 口 に 現 わ れ る 円 が,(3)

み た す 複 素 平 面 上 の 円 ま た は 直 線 を,リ

ー マ ン 球 面 上 に表

わ し た も の と な っ て い る.

図47   特 に こ の リ ー マ ン球 面 上 の 円 が ∞ を 通 る条 件 は,す (0,0,1)を

通 る 条 件 は,(5)式

に ξ=0,η=0,ζ=1を

な わ ち 平 面(5)が

北 極

代 入 し て み る とわ か る よ

うに c+d=0 で 与 え ら れ る.こ

の 条 件 は 前 に 述 べ た よ う に,(3)が

と 同 値 で あ る.   こ れ で(#)が

完 全 に 証 明 さ れ た.

直線 を 表 わ して い る条件

単 位 円 を 単 位 円 に う つ す1次

関数

  円 々対 応 の原 理 で 円は 円 に うつ るが,そ れ ではz-平 面 の単 位 円￨z￨≦1を,w平 面 の単 位 円￨w￨≦1に

うつす1次 関数 で,単 位 円 内 の1点 ζを,単

位 円 の 中心

0に うつ す ものは どの よ うな もの であ ろ うか.こ れ につ い て は次 の結 果 が あ る. 単 位 円を単 位 円に うつ し,単 位 円 内 の1点 ζを 0に うつ す1次 関数 の一 般 の形 は

(6) で 与 え られ る.

  ま ず(6)で

与 え られ る1次

関 数 は,確

か に単 位 円 を 単 位 円 に うつ し,ζ を0

に うつ し て い る こ と を み て お こ う.   (6)の

両 辺 の絶 対値 を とる と

で あ る.特

にzが

で あ って,し

単 位 円 周 上 に あ る と き￨z￨=1,ま

た

た が って この とき

が 成 り立 つ.こ

の こ とはz-平

面 の 単 位 円周 がw-平

面 の 単 位 円 周 に うつ さ れ る こ

とを 示 し て い る.   ま た,z=ζ

を(6)に

点 を と っ て い た か ら,こ

代 入 す る と 明 らか にw=0で の こ とか ら,(6)が

次 関 数 で あ る こ とが わ か る.(逆 に 限 る こ と は,こ

あ る.ζ

は単 位 円 の内 部 の

望 ん で い る 性 質 を み た して い る1

に 望 ん で い る性 質 を み た す1次

関 数 が(6)の

形

の 講 の 次 節 以 下 で 論 ず る.)

  注 意   こ こで 前講 のTea

Timeで

述 べ た よ うな 意味 で,1次

円 の 内部 へ と うつ る こ とを 用 い て い る.こ

の事 実 は,平

関 数 に よって,円

の 内部 は

行 移 動 と相似 写 像 の場 合 は 明 らか

の と き は,第8講Tea

で, 

Timeで

そ の 事 情 を 述 べ て あ る.

反

転

  そ れ で は,単 位 円 を単 位 円 に うつ し,ζ(￨ζ￨<1)を0に

うつ す1次 関 数は(6)

の形 に限 る のは なぜ か と聞 か れ る と,こ れ に は少 し説 明が い る.   ど うせ 説 明 を 要 す る な らば,も

う少 し一 般 的 な こ と もあわ せ て 述 べ た 方 が よ

い.そ のた め 反 転 とい う概 念 を説 明 す る.   い ま複素 平 面 上 に,中 A)に

心A,半

対 して,線 分APの

径rの 円が 与 え られ た とす る.任 意 の点P(≠

延 長 上 に あ る点P′ で

をみ たす ものを,(こ の 円 に 関す る)Pの

反 転 とい う.ま た 中心Aの

反転 は ∞,

∞ の反 転 はAと 定 義す る.   中心Aを 表 わ す 複 素 数 を α,Pを 表 わ す 複 素数 をzと す る.こ の とき複 素数z′ がPの 反転P′ を 表 わす た め の 必要 十 分 条件 は

(7) が 成 り立 つ こ とで あ る.   そ れ を見 る には(7)を

か き直 して(z− α)(z′− α)=r2と

とって み る と よい,な お,arg(z−   ま た,直

線lが

し て,両 辺 の絶 対 値 と偏 角 を

α)=−arg(z− α)で あ る こ とを 注意 して お こ う.

与 え ら れ た と き,点Pのlに

関 す る 反 転 とは,Pのlに

関す る

対 称 点P′ の こ と で あ る と定 義 す る.

図48   P′がPの

反 転 な ら ば,PはP′

の 反 転 と な っ て い る.し

た が っ て,PとP′

は

互 い に 反 転 の 関 係 に あ る とい うい い 方 が で き る.ま たPが

内 部 に あ れ ば,反

転P′

は 外 部 に あ る.   こ の と き次 の 定 理 が 成 り立 つ.

【定 理 】1次

関数

に よ っ て 円Cは

円C′ に うつ る とす る.こ の と きz,z′ が 円Cに

の 関 係 に あ れ ば,z,z′ こ で 直 線 は,∞

の 像w,w′

つ い て互 い に反 転

は 円C′ に関 し て 互 い に 反 転 の 関 係 に あ る.こ

を 通 る 円 と 考 え て い る.

  この 証 明に つ いて 少 し触 れ て お こ う.反 転 の定 義 か ら1次 関数 が平 行 移動w=z+β,相 似拡 大(縮 小)w=αzの とき には,こ の定理 が成 り立つ こ とは,す ぐにわ か る.問 題 はw =1/zの とき,こ の定理 が 成 り立 つ かを 確 かめ る こ とで あ る.そ れ に は￨z− α￨=rと い う円 Cが,w=1/zに

よ って どの よ うな円C′ に うつ るか を表 示 して,次 に,Cに

が成 り立つz,z′ に対 して,w,w′

関 して関 係(7)

が 円C′ に つ いて 同 じ関 係を み た して い る こ とを,計 算 で

確か め る とよい.

単 位 円 を 単 位 円 に う つ す1次

  こ の 定 理 を 用 い る と,単 つ す1次

関 数 は(6)の

関 数(つ

位 円 を 単 位 円 に うつ して,か

づ き)

つ ζ(1ζ1<1)を0に

う

形 で 与 え られ る こ とが わ か る.

 な ぜ か とい う と,ζ が0に

うつ る と,戦

円 に 関 し ζ と反 転 の 場 所 に あ る1/ζ は,

∞ に うつ ら な くて は な ら な い. 互 いに 反転

こ の こ とか ら 求 め る1次

 互 い に 反転

関数 は

の 形 を と ら な くて は い け な い こ と が わ か る.し か し67頁 で 示 し た よ うに￨z￨=1の とき

 で,こ

の と き￨w￨=1で

な くて は な ら な い.こ

の こ とか ら

が 結 論 され る.そ

こ で− λζ=eiθ と お く と,(6)の

形 と な る.こ

れ で望 ん だ結 果

が 証 明 され た.   同 じ 考 え で,実

を,単

軸 の 上 の 部 分,す

位 円 の 内 部 に うつ す1次

に うつ す こ の よ うな1次

なわ ち

関 数 を 求 め る こ と が で き る.簡

関 数 を 求 め て み よ う.下

単 の た め,iを0

の 図 の 関 係 が 成 り立 つ.

図49  単位円に 関 し反転

実軸に 関 し反転

この こ とか ら前 と同様 に考 えて,求 め る1次 関数 が

(8) で 与 え られ る こ とが わか る.

Tea

Time

質 問  実軸 よ り上 の,複 素 平面 の上 半 分全 体 が,単 位 円 の 中 にそ っ く りそ の ま ま お さ ま って しま うとい う,上 の1次 関 数(8)の

対 応 が ど うも よ くのみ こめ ませ

ん.こ の対 応 の模 様 を式 の上 だ け で は な くて,も

う少 し納得 で き る よ うに 話 して

いた だ け ませ んか. 答  複 素 平面 だけ で 考 え てい る と,上 半 平 面 が単 位 円の 中 に ち ょ うど うつ され る

よ うな 写 像 は,誰

で も考 え に くい の で あ る.よ

くの み こめ な い とい う感 じ は,私

に も よ くわ か る.   こ うい う と き に,リ

ー マ ン球 面 を 使 っ て み る と,対

とが で き る の で あ る.説 合,す

応 の模 様 を大 体 感 じ とる こ

明 の 簡 単 の た め に,(8)の

中 で 特 に θ=0と

とった場

なわ ち

(*) の 場 合 を 考 え る こ と に し よ う.こ の と き い くつ か のzで る と,次

(z=∞

対 応 す るwを

求 め て み

の よ うに な っ て い る.

の と き のwの

ら,z=∞

値 を 求 め る に は,(*)の

右 辺 の 分 母,分

子 をzで

割 ってか

と お く.)

  リー マ ン 球 面 で は,上

半 平 面 は 右 側 の 半 球 面 に 対 応 し,実

通 っ て 地 球 を 東 西 に わ け る 子 午 線 と し て 表 わ され て い る.単

軸 は,北

極 と南 極 を

位 円 は,南

半球 と し

て 表 わ さ れ て い る.図50 を 見 る と,(*)の

対 応 が

どの よ うな ものか につい て 大 体 想 像 が つ くだ ろ う.実 際 は,リ

ー マ ン球 面 上 で

は,(*)は,右

半 球 を90°

回 転 し て 下 半 球 へ と うつ す 対 応 と な っ て い る.   この こ とを計 算 で確 か め る の も 容 易 で あ る.右 は,(ξ,η,ζ)→(−

図50

半 球 を90° 回 転 し て 下 半 球 へ うつ す リー マ ン球 面 の 対 応

η,ζ,ξ)で与 え られ る.そ

こ で 実 際(*)の

右 辺 を 前 講 の(5)式

に 代入 す る とち ょ うど この対応 を 与 え てい る こ とを確 か め てみ る と よ い の で あ る.

第11講

代数学の基本定理 テー マ ◆ ガ ウス の学 位 論 文 ◆ 代 数学 の基 本 定 理 ◆ 背理 法 に よる証 明 ◆￨f(z)￨が

正 の最 小値 を とる とし て矛 盾 を 導 く.

ガ ウ スの 学 位 論 文   ガ ウ ス(1777-1855)が

複素 数 の 積極 的 な 導 入を 最 初 に 明 らか に した のは,21

歳 の ときヘ ル ム シ ュテ ッ ト大学 に提 出 した 学 位 論文 「1変 数 の代 数 的有 理 整 関数 は,1次

また は2次 の実 因 数 に分 解 で き る とい う定 理 の新 しい 証 明」 に おい て で

あ った.   この学 位 論 文 で ガ ウスが 示 した こ とは,任 意 の 複 素係 数 のn次 の代 数方 程 式

は,必 ず 複素 数 の 中 に 解 を もつ とい うこ とであ った.学 位 論 文 の 標題 の最 後 にあ る'新 しい証 明'は 紛 らわ しい.こ れ につ い て一 言,コ ウス が の ち に,'代 数 学 の基 本定 理'と

メン トを つけ て お く.ガ

名 づ け た この定 理 は,す

で に フ ラ ンスで

は ダ ラ ンベ ー ル の定 理 と して知 られ て お り,ガ ウ ス よ り一 時 代 前 の オ イ ラーや ラ グ ラ ンジ ュ もそ の証 明 を試 み て い たが,ガ

ウスは これ らの 証 明が すべ て不 十 分で

あ る こ とを 示 し て,こ の学 位 論 文 で,は じめ て完 全 な 証 明 を与 え た の で あ る.ガ ウ スが こ こで 与 え た証 明 法 には,複 素 数 の平 面 表 示 が は っき りと意 識 され て お り, 幾 何 学 的 考 察 が 深 くに じみ 出 てい る もので あ った.(こ の ガ ウス に よ る 最 初 の証 明が どん な もの か 知 りた い人 は,た

とえ ば 片 山孝 次 『複素 数 の 幾何 学 』(岩 波書

店)を 参 照 され る と よい.)   この代 数 学 の 基 本 定理 は,複 素 数 が 数学 史 の 中 で,最 初 に明確 な形 を とって 登

場 した 記 念碑 の よ うな もの だか ら,こ の 本 で も,こ の段 階 で1つ の証 明 を与 えて み た い.こ の証 明 で は,複 素 平面 上 で,任 意 の 複素 数 は,あ る点 の まわ りを一 まわ りまわ る こ とが で き る とい う性 質が 決 定 的 な役 目を 演 じてい る.数 直 線 上 では, 実 数 を 平 行移 動 させ る こ とはで きた が,回 転 させ る こ とは で き なか ったの で あ る. 代数学 の基本 定理   まず,証 明す べ き定 理 を記 して お こ う. 代 数 学 の 基 本 定 理:複

素 数 を 係 数 と す るn次

の 代数 方 程 式

f(z)=zn+a1zn−1+…+an−1z+an=0 は,必

ず 少 な く と も1つ

  す な わ ち,f(z)は

の 複 素 数 の 解 を もつ.

必 ず あ る 点z=z1でf(z1)=0と

  代 数 学 の 基 本 定 理 は,f(z)=0が,重

な る の で あ る.

解 も 含 め てn個

の解 を 複素 数 の 中 に もつ

こ と を 主 張 し て い る の で は な か った か と思 わ れ る 読 者 もい る か も し れ な い.し し,あ

る 点z=z1でf(z1)=0に

な る こ と が わ か る と,剰

f(z)=(z−z1)F(z),F(z)はn−1次 と な り,こ

のF(z)に

0と な る.こ

か

余定理か ら の整式

ま た 上 の 定 理 が 適 用 され る.し

た が っ て あ るz2でF(z2)=

の こ と を 順 次 繰 り返 し て い く と f(z)=(z−z1)(z−z2)…(z−zn)

が 得 られ る.し

た が っ て 結 局f(z)=0は,n個

の 解z1,z2,…,znを

もつ こ と が 結

論 さ れ る の で あ る.

証 明 の ス タ ー ト―

背 理 法

  証 明 に は 背 理 法 を 用 い る.し

た が っ てf(z)=0が

の 生 ず る こ と を 見 る と よい.そ

の た め これ か ら

(H)f(z)=0は

―

解 を もた な い と仮定 し て矛盾

解 を もた ない

と仮 定 す る.   こ の 仮 定(H)は,す

べ て の 複 素 数zに

対 し てf(z)≠0,し

た が っ て￨f(z)￨>0

が 成 り立 つ こ と を 意 味 し て い る が,実 は も う 少 し 強 く,次 の こ と も 導 い て し ま う.

(〓)  ￨f(z)￨は,あ す な わ ち,す

る 点z=aで

べ て のzに

最 小 値 を と る.

対 して

を み たす 点aが 存 在す る. 【証明 】(概 要)ま

に 注 意 し よ う.￨z￨→

ず

∞ の とき

と な る.し

た が っ て￨z￨が

十 分 大 き くな る と

と な る.し

た が っ て￨z￨が

十 分 大 き い と こ ろ で は(∞

の 近 くで は!)

(1) が 成 り立 つ.   仮 定(H)に

よ っ て,f(z)≠0だ

を 考 え る こ と が で き る.f(z)は 数 と な る(複   (1)か

素平 面 上 で定 義 され た 関 数

多 項 式 で,連

続 関 数 だ か ら,g(z)も

素 平 面 上 の 連 続 関 数 に つ い て は,次

ら,￨z￨が

が 成 り立 つ.し

か ら,複

ま た連 続 関

講 参 照).

十分 大 きい とき

た が っ て￨z￨→

∞ の と き,￨g(z)→0で

無 限 遠 点 ∞ に 近 づ く と読 み か え て み よ う.そ

あ る.￨z￨→

∞ を,zが

うす る と こ の こ とか ら,リ

ーマン

球 面 上 の関 数g(z)を zが 複 素 数 の と き z=∞ と 定 義 す る と,g(z)は,リ が っ て ま た￨g(z)￨も

の とき

ー マ ン 球 面 上 の 連 続 関 数 とな る こ とが わ か る.し

連 続 関 数 と な る.

  と こ ろ が リー マ ン 球 面 は コ ン パ ク ト(R3の ン 球 面 上 で 定 義 さ れ た 実 数 値 連 続 関 数￨g(z)￨は を と る.最

小 値 は0で

あ っ て,こ

こ とは な い の だ か ら,あ い.￨g(a)￨>0で   g(z)の

た

れ はz=∞

る 複 素 数z=aで,最

中 の 有 界 閉 集 合)だ

か ら,リ

ーマ

有 界 で あ っ て,最

大 値,最

小値

で と る.￨g(z)￨は 大 値￨g(a)￨を

恒 等 的 に0と

い う

と らな くては な らな

あ る.

定 義 に 戻 っ て 考 え て み る と,

で あ っ て,か

つ￨g(a)￨は￨g(z)￨の

逆 数 の 関 係 に あ っ た の だ か ら,こ

最 大 値 を 与 え て い る こ と が わ か る.fとgは れ で(〓)が

 注意  なお,上 に述 べ た こ とか ら,z=∞

示 され た.

の ご く近 くで はg(z)は 

に近 似 的 に 等 し く

な って い る こ と もわ か る だ ろ う.

(〓) 

の 意 味 す る も の

  (〓)  か ら矛盾 を導 け ば それ で証 明 は終 るの で あ るが,形 式 的 にす ぐに この証 明 に 入 る こ とは,あ

ま り望 ま しい こ とで は ない.ま ず 読 者 に,(〓)が

矛盾 を含 み そ うだ とい うこ とを感 じ と って も ら うこ とが 先 決 で あ る.   (〓)の 51で

い っ て い る こ と は,図

い うと,w=f(z)に

よ っ て,

z-平 面 の 像 が,w-平

面 上 で原 点 中

心,半

円 の 内部 を含

径￨f(a)￨の

ま な い と い う こ と で あ る.だ 図51の 分 にz-平

か ら

右 で 示 した よ う な 斜 線 部 面 の 全 体 が うつ さ れ る

と い う こ とで あ る.こ

の図 を 見 て

図51

いか に も

も,z-平

面 のaの

近 くがw-平

ら な くな っ て,何   (〓)が た 形,す

面 の 斜 線 部 へ と ど の よ うに うつ る の か,よ

か 妙 だ と感 じ ら れ る の で は な か ろ うか.

起 こ りそ う に も な い 感 じを も っ と強 め る た め に は,(〓)の な わ ち リ ー マ ン 球 面 か ら リー マ ン球 面 へ の 写 像gを

も し れ な い.こ は 図52の

くわ か

逆 数 を とっ

考 え て み る と よい か

の とき対 応

よ うに 表 わ され,

gの 像 は 北 極 の 近 くを 含 ん で い な い.球

面 を,切

破 り も し な い で(gは !),ど

りも 連続

うして こ の よ うな

写 像 を つ く る こ とが で き る

図52

の だ ろ うか.紙 風船 を,半 分 につ ぶ す よ うにす る とよいか も しれ ない が,そ ん な こ とは,多 項 式 の逆 数gで で きる のだ ろ うか.読 者 は,こ こで は,こ の よ うな 写 像 は なか なか つ くれ そ うにな い と感 じて もらえ ば よいの で あ る.そ の 感 じが(〓) に 矛盾 を見 出す 糸 口にな る.   な お,図52で,左

図 には 北 極 を一 周す る 曲線 を,右 図 には 南 極 を ぐ る ぐる まわ

る 曲線 を か い て おい た のは,g(z)は,zが

北 極 の近 くに あ る ときは,大 体  に

近 く,し た が って,北 極 を 一周 す る曲線 を,南 極 の まわ りをn周(正 周)す

確 には−n

る 曲線へ と近 似的 に うつ して い る様 子 を描 いた の で あ る.こ の性 質 が あ る

と,gは,上

に述 べ た紙 風 船 をつぶ した よ うな写 像 で は ない こ とが察 せ られ て く

るだ ろ う―(〓)は

矛 盾 を含 む に違 い な い. (〓)は

矛盾を導 く

  次 の(〓 〓)が 示 され れ ば,(〓)は

矛盾 を含 ん で い る こ とが わ か り,背 理 法

に よ って 証 明が 完成 す る.

と な るzが

存 在 す る.こ

のzは

aに い く ら で も近 く とれ る.

【証 明 】z=a+hと

お くと

の形 とな る(実 際 は   f(z)は い.い

定 数 で は な い か ら,A1,A2,…,Anの

ま 簡 単 の た めA1≠0と

こ の 右 辺 の{}の

中 を1+Θ

で あ っ て,￨h￨→0の

仮 定 し よ う.こ

の とき

あ る.

次 の よ うに と る.ま

ず 絶 対 値￨h￨を

十 分小 さ くとって

が 同時 に成 り立つ よ うにす る.次 にhの 偏 角 を

が 成 り立 つ よ うに,す

の よ うにhを

なわち

決 め る.

  この と き,f(a),A1h, A1hΘ

を 表 わ す 点 はw-

平 面 上 で 図53の(a)の よ う に 示 さ れ る(こ ￨A1hΘ￨<￨A1h￨に せ よ).し

たが って

こで 注 意

(b)

(a) 図53

は 図53の(b)で

は0で

とお く と

と き,Θ →0で

  そ こで 複 素 数hを

うち の 少 な く と も1つ

示 され た よ うな 場 所 に あ る.明

らか に

な

であ る.   これ で(〓 〓)が 示 され て,背 理法 に よ る証 明が 終 った.  代 数学 の基 本 定 理 が 証 明 された の で あ る.

Tea

Time

質問  代 数学 の基 本 定 理 の 証明 を お 聞 き して,改 め て感 じた こ とは,言 葉 は適 切 で ない か も しれ ませ ん が,'複 素数 は 平面 上 の数'な

のだ とい うこ とで した.実

数 の とき,座 標 平 面 上 で 整式 の グ ラ フをか くよ うな こ とでは,予 想 もで きな い議 論 で した.こ

こで1つ お 聞 き した い こ とは,証 明は 背理 法 を使 って 行 なわ れ ま し

たか ら,解 が どの あた りに あ るか な ど とい うこ とは 少 し もわ か りませ ん.解 が ど の あた りにあ るか を 知 らな くとも,解 は複 素平 面 上 の ど こか にあ る とい うだ け で 数学 者 は 満 足 してい るの で し ょ うか. 答  な か な か厳 しい 質 問 で,こ れ で満 足 してい るか ど うか につ い て は,私 の 個 人 的 な感 じを述 べ る以外 に道 は な い よ うで あ る.5次

以上 の 代 数方 程 式 に 対 し て

は,一 般 的 な 解 の公 式 は な い のだ か ら,解 を 具体 的 に表 示 して,複 素 平面 の こ こ に解 は あ る と指 し示 す わ け には いか な い のは や む を得 な い こ とで あ る.し か しそ うは い って も,教 室 で教 え る と き多 少 た め らい を感 ず る と き もあ る.た とえば 行 列 の固 有 値 問題 を述べ る と き,「 代 数 学 の基 本 定理 に よっ て,固 有 多項 式 はn個 の解 を もつ.そ れ を固 有値 とい う」 な どと教 え る と き,心 の片 隅 で これ で よい の か とい う感 じが 少 し残 る.ふ つ うの教 科 書 に載 って い る例 題 は,固 有 多 項 式 の解 がす ぐわ か る形 に な ってい て,こ の説 明 に あ ま り疑 念 を は さ まない よ うに な って い る.し か し も し 「5次 以 上 の行 列 に,固 有 値 を求 め る方 法 は あ るの です か 」 と 質 問 され て 「い や,実 際 上 は な い」 と答 えれ ば,講 義 は 混 乱 して し ま うだ ろ う.   数学 の定 理 は,数 学 の形 式 の 中 では 完 全 に整 って いて も,具 体 的 にそ の結 果 を 適 用 して数 値 を 求 め よ うと思 うと,計 算 の 手段 が,証 明 の過 程 の 中 に見 出せ ない 場 合 もあ るの で あ る.背 理 法 や 選 択公 理 を 用 いた 証 明 では,そ の よ うな こ とが お きる.た とえ て い っ てみ れ ば,あ の山 に ダ イヤ モ ン ドが あ る こ とは 確か だ とい っ て も,ど こ にあ るか は全 然 指 し示 し てい ない よ うな もの で あ る.数 学 者 は,ダ イ ヤ モ ン ドが 存在 す る こ と さえ保 証 され てい れば 十 分 だ と い う だ ろ うが,実 際 家

は,ダ イ ヤ モ ン ドの あ る ところ ま での 道順 を 示 して くれ な けれ ば,な い とい うに 等 しい とい うだ ろ う.   代 数 方程 式 の解 に つ い ては,こ の数 学 者 と実 際家 の溝 を 埋 め るた め に,解 の 近 似 値 を 具体 的 にい か に 求 め るか とい うこ とが,数 値 解 析 の 分 野 で い ろい ろ調 べ ら れ て い る.私 は,こ の よ うな 方 向が,こ れか ら ます ます 重要 に な って くる ので は ない か と思 うが,歴 史 的 には,数 学 は この150年 間,も っぱ ら数 学 の中 で の形 式 の 完 備 さ を 求 め続 け て きた か ら,数 値 解 析 の よ うな分 野 は 疎 外視 され て きた よ う な観 が あ る.   質 問 に対 す る私 の 個 人的 な 答 は,代 数学 の基 本 定理 です べ て が終 った とい うよ うな 見 方 に は,最 近 は 少 し後 ろめ た さの よ うな もの を感 じて い る,と い うこ とに な るだ ろ うか.

第12講 複素平面上の領域 で定義 され た関数 テーマ ◆ 複 素変 数 の 関数 ◆ 関数 の定 義域 ◆ 領域―

開集 合 で,そ の中 の2点 が連 続 曲線 で結 べ る.

◆ 連続 関 数 ◆ 連 続 関 数 の表 示:f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

複 素 変 数 の 関 数

  い ま ま で も,1次 般 に,複

素 数zに

関 数 やn次

の 整 式 な ど を 扱 っ て きた が,こ

対 し複 素 数wを

れ か ら は も っ と一

対 応 さ せ る対 応 w=f(z)

を 考 え る こ と に す る.   こ の よ うな と き,wはzの 複 素 数 値wを   ま た,z-平

と る 関 数fが 面 か らw-平

こ の と き に は,z-平

関 数 で あ る と い う.も

っ と 正 確 に は,複

素 変 数zの

与 え ら れ た と い う. 面 へ の 写 像w=f(z)が

面 の 図 形 はw-平

と い う こ と に も 関 心 が 広 が っ て,関

与 え ら れ た と い う こ と も あ る.

面 の 図 形 へ ど の よ う に うつ る だ ろ うか な ど 数 と い う と き よ り も,多

少 幾 何学 的 な感 じが

強 ま っ て く る.   し か し,関 る.私

数 と い お うが,写

た ち は これ か ら,関

ず に,同

像 と い お うが,実

数 と い うい い 方 も,写

質的 には 同 じ ものを示 し て い 像 と い うい い 方 も,特

に 区別 せ

じ よ うに 用 い て い く こ と に す る.

関 数 の 定 義 域

  関 数w=f(z)が

与 え ら れ た と い う と き に は,変

数zが

動 く範 囲 も 指 定 し て お

か な くては な らない.   もち ろ ん,複 素平 面 の どん な 範 囲 に限 って関 数 を考 えて も よい の だ か ら,関 数 の 定義 され る場所 ―

定義域―

は,ま った く任 意 の場 所 に とって お い て も よい

の で あ る.場 所 とか い た のは,複 素平 面 を頭 にお い て い るか らで あ るが,も っ と 数学 ら し くい えば,複 素 数 の集 合 の任 意 の部 分 集 合 を,関 数 の定 義域 と考 えて も よい とい うこ とであ る.   した が って,関 数 の定 義 域 をSと す る と, 'w=f(z)はz∈Sに 対 して定 義 され て い る' とい うい い方 に な る.

領

域

  関 数 の 定義 域 は,ど ん な 範 囲 で も よい のだ が,私 た ち の これ か らの話 で は,関 数w=f(z)の

微 分 につ い て 論 ず る こ とが 多 くな って くる.そ の よ うな とき には,

関 数 の 定義 域 と して,複 素平 面 上 の領 域Dを   複 素 平面 の領域Dと

考 え るこ とが 自然 な こ とにな る.

は 次 の よ うに 定義 され る.

【定義 】 複 素 平面 の部 分集 合Dが

次 の 条件 を み たす と き領域 とい う.

  (ⅰ)  Dは 開 集 合   (ⅱ)  Dの 相 異 な る2点z0,z1は,Dの

中 の連続 曲線 で 結べ る.

  この定 義 に現 わ れ た言 葉 を 説 明 して お こ う.ま ず(ⅰ)の か ら点zを

が,Dに

開集 合 とは,Dの

とった とき,正 数 εを 十 分 小 さ くと って お くと,zの

中

ε-近傍

含 まれ て い る とい う こ と で あ る:Vε(z)⊂D.

  ま た,(ⅱ)で

述 べ て い るz0とz1がD内

実 軸 上 の 閉 区 間[0,1]か

らDの

の 連 続 曲 線 で 結 べ る と い う こ と は,

中 へ の 連 続 写 像rが

存 在 して

r(0)=z0,γ(1)=z1 と な る こ とで あ る.rの

こ と を,z0か

い い 方 を す る と き に は,連

続 写 像rを

らz1へ の 道 で あ る と い う こ と も あ る.こ と る こ と を,z0とz1を,Dの

の

中 の道 で結

ぶ と い うい い 方 もす る.   読 者 は,図54で

示 し た い くつ か の 領 域 の 例 を 見 て,領

域 とは こ うい う も の か

(a)

(d)

(c)

(b) 図54 と,納

得 し て も ら え ば 十 分 で あ る.

  図54で,(a)は の 場 合,開

単 位 円 の 内 部 を 少 し つ ぶ した よ うな 形 を し た 領 域 で あ る.こ

集 合 で あ る とい う性 質 は,境

れ て い る.(b)は(a)の (c)は3つ

界 が 含 ま れ て い な い と い う性 質 に 表 わ さ

よ うな領 域 か ら,真

穴 を あ け た も の で あ る.こ

中 に1つ

の 場 合 も,穴

穴 を あ け た も の で あ り,

の 境 界 は,カ

し て あ る領 域 の 中 に は 含 ま れ て い な い.(a),(b),(c)は る が,(d)は る.特

右 の 方 へ ど こ ま で も 延 び て い く,有

別 な 場 合 と し て,複

素 平 面 全 体 は1つ

  お の お の の 領 域 に,2点z0,z1を

  こ れ か ら は,複

有 界 な 領域 の例 で あ 界 で な い領 域 の 例 を示 してい

の 領 域 を つ く っ て い る.

と っ て,z0とz1を

連 続

ゲをつ け て示

結 ぶ 道 の 例 を 示 し て お い た.

関 数

素 平 面 の あ る 領 域D上

で定 義 され た 複 素数 値 を とる関 数

w=f(z) を 考 え る こ と に す る.   f(z)がD上

で 連 続 で あ る と い う定 義 を 述 べ る前 に,点

列 の収束 につ い て簡 単

に 述 べ て お こ う.   D内

の 点 列z1,z2,…,zn,… n→

がzに

近 づ く とい う こ とは,

∞ の と き￨zn−z￨→0

と な る こ と で あ る.   z1,z2,…,zn,…,zを

表 わ す 複 素 平 面 上 の 点 をP1,P2,…,Pn,…,Pと

の こ と は ご く ふ つ う の 感 じ で,平

面 上 の 点 列P1,P2,…

,Pn,…

す る と,こ がPに

近 づ く とい

うこ とであ る.た だ し この 近 づ き方 は,図55で

示 し

て あ る よ うに多 様 で あ る.   連 続 性 の定 義 を,ま ず 直 観 的 にわ か りや す い形 で 与 え て お こ う. 【定義 】D上

図55

で定 義 され た

関 数w=f(z)がDの

各 点zで 次 の条 件 を み たす と き,fはD上

で連 続 であ る と

い う: な らば   実 数 の と き の 連 続 関 数 と 同 様 に,fとgがD上 f−g,fgはD上

の 連 続 関 数 と な る.ま

たD上

で 連 続 な 関 数 な ら ば,f+g, でg(z)≠0な

ら ばf/gもD上

で

連 続 な 関 数 と な る.   ま たfが1)上 D上

で 連 続 な と き,f(z)の

絶 対 値 を と っ て 得 ら れ る 関 数￨f(z)￨は,

で 定 義 され た 実 数 値 連 続 関 数 と な る.実

とfの 連 続性 か ら,zn→zの

際,不

等式

とき,￨f(zn)￨→￨f(z)￨が

結 論 で き る か らで あ る.

  微 分 ・積 分 の教 科書 な どで,実 数 の場 合 の連 続 関 数 の性 質 を学 ばれ た 読 者は, 特 に'閉 区 間[a,b]で

定 義 され た連 続 関 数 は有 界 で あ って 最 大値,最

小値 を と

る'と い う定 理 は 印 象が 強 か った の では ない か と思 う.そ うす る と,複 素 数 の場 合 に も似 た よ うな 定理 が あ るので は なか ろ うか と,漠 然 と推 測 され るの で は なか ろ うか.   しか し,複 素 数 に は大 小 関係 は な い の であ る.1+100iと100+iは

どち らが大

き いか な どを 判 定 す る規 準 は,私 た ちは 複 素 数 の 中に は 導 入 し てお か なか った. 私 た ちが 大 小 を 比 較 で き るのは,複 と4+iの

素数zの 絶 対 値￨z￨で あ る.た

大 小 は 比 較 は で きな いが,

か ら,￨2+3i￨<￨4+i￨で

あ る こ とは わ か る.

とえば2+3i

  こ の こ とか ら,D上 た とえD内

で 定 義 さ れ た 連 続 な 複 素 数 値 の 関 数w=f(z)に

の 有 界 閉 集 合 に 限 っ て 考 え て み て も,最

対 し て,

大 値 や 最小 値 な どを い うこ

と は,ま

っ た く意 味 の な い こ とで あ る こ と が わ か る だ ろ う.私 た ち に い え る こ と

は'D内

の 有 界 な 閉 集 合 上 で,実

最 小 値 を と る'と

数 値 連 続 関 数￨f(z)￨は

い うこ とだ け で あ る.こ

  関 数w=f(z)がDの1点z0で

有 界 で あ っ て 最 大 値,

の 証 明 は こ こ で は 省 略 し よ う.

連 続 で あ る こ とを,実 数 の 場 合 と同 様 に εδ-式

に い い 表 わ す こ と も で き る.す

な わ ち,f(z)がz=z0で

は,'zn→z0⇒f(zn)→f(z0)'と

連 続 で あ る とい う こ と

い っ て も よ い し,'ど

ん な正 数 εを と っ て も,

あ る 正 数 δで

が 成 り立 つ こ と で あ る'と い っ て も よ い の で あ る.   な お,こ

の ε δで い い 表 わ さ れ て い る 状 況 が 成 り立 つ と き, の とき

また は

とか く.こ れ も実数 の と き と同様 で あ って,い まの場 合,複 素 数 の 絶対 値 を 用 い て,zがz0へ,ま

たf(z)がf(z0)へ

近 づ く模様 を い い表 わ して い る ので あ る.

連 続関数 の表示   複 素平 面 上 の領 域D上 に よ って は,zの

で 定義 され た連 続 関 数w=f(z)を

表 示す る の に,場 合

方 は実 数 部 分,虚 数 部 分 を変 数 と して,wの

方 は 実 数 部 分,虚

数部 分 とに わけ て表 示す る方 が つ こ うの よ い と き も あ る.こ の こ とを 説 明 し よ う.

と,zとwを

そ れ ぞ れ 実 数 部 分 と虚 数 部 分 に わ け る.こ

つ う の 座 標 平 面 の よ う に 考 え れ ば,zは(x,y)と は(u,v)と

し て 表 わ され る 点 で あ る.し

に 対 し て,点(u,v)を

の と き 複 素 平 面 を,ふ

し て 表 わ され る 点 で あ り,w

た が っ て,関数w=f(z)は,点(x,y)

対 応 させ る 写 像 で あ る と み る こ とが で き る.

こ の 表 わ し 方 で は,u,vは

と 表 わ さ れ,し

そ れ ぞ れ(x,y)の

関 数 と な り,

た が って

と か け る こ と に な る.u(x,y),v(x,y)は,実

数 値 の 関 数 で あ る(例1,例2参

照).   fが 連 続 で あ る こ と と,u(x,y),v(x,y)が,2変 こ と は 同 値 で あ る.こ

数 の関 数 と して連 続 で あ る

の こ とは

と表 わ す と

と い う こ とは

が 成 り立 つ こ と と 同 値 の こ とか ら わ か る. 【例1】 

【例2】w=z3の

の と き, 

と き, 

Tea

で あ って,し

たが って

で あ っ て,し

たが って

Time

質 問   1次 関 数 や,代 数学 の基 本 定理 の証 明 で も,複 素平 面 上 の関 数 を,リ ー マ ン球 面 か ら リー マ ン球 面 へ の写 像 と考 えた 方 がず っ とわか りや す い とい うこ とが

あ りま し た.複

素 平 面 上 で 関 数w=f(z)を

考 え る の と同 様 に,リ

ー マ ン球 面上

で 複 素 数 の 値 を と る関 数 を 考 え て も よ い の で は な い で し ょ うか. 答  確 か に1次

関 数 の と き に は,円

平 面 上 で 考 え る よ りは,リ こ とは あ っ た.ま ろ で も,そ

た,リ

の 点 は ∞(無

だ け な の で あ る.一 は,驚

限 遠 点!)へ

母 が0に

な る よ うな と こ

うつ る 場 所 だ とい え ば す ん だ.

素 平 面 上 の 関 数 を リー マ ン 球 面 上 の 関 数 と考 え

た ち が こ れ か ら 考 え よ う と す る 関 数 の 中 で は,有

般 に はz→

理関数

∞ の と き,複 素 平 面 上 で 定 義 され た 関 数w=f(z)

く よ うな 複 雑 な 振 舞 い を み せ る.私

と き の よ う に,直

素

ー マ ン 球 面 上 で 考 え た 方 が ず っ とわ か りや す い と い う ー マ ン 球 面 上 で 考 え た 方 が,分

  しか し こ の よ うな 考 え 方 で,複 る こ と の で き る の は,私

々 対 応 の 説 明 の と こ ろ で も見 た よ う に,複

た ち は,z→

∞ と い う こ と が,実

数の

線 の 左 右 に 単 純 に 点 が 進 ん で い く と い う こ と で は な くて,平

上 の す べ て の 方 向 に 向 か っ て￨z￨が

面

大 き くな っ て い く とい う こ とで あ る こ と を 想

起 し て お か な くて は な ら な い.   ま だ 複 素 数 の 指 数 関 数 を 定 義 し て い な い が,そ

で 与 え られ る.い

ま こ れ を 認 め る と,た

は,x→+∞

か,x→−

に 沿 っ てz→

∞ と な る と き に は,x=0だ

と え ば,実

∞ か に 従 っ て,ez→

軸 に 沿 っ てz→

∞ か,ez→0と

か ら,上

∞ へ い く と き の 状 況 を 調 べ る こ と に な る.し ぐ る ぐ る まわ っ て い る だ け で あ る.z→

れは

知 し難 い も の に な っ て い る.

  私 た ち は,リ

ー マ ン球 面 を 必 要 に 応 じ て 考 え る が,一

が,リ

る と い う描 像 を も つ こ とが,ず

か し虚軸

式 か らcosy+isinyのy→

か しcosy+isinyは,単

た く多 様 な,予

と い う状 況 を 考 え る と き,点

な る.し

∞ と な る 方 に よ っ て,ezの

領 域 で 定 義 さ れ た 関 数 を 考 え る こ と に す る.そ

∞ の と きに

般 的 に は,複

れ で も,z→

ー マ ン 球 面 上 で,北

∞,ま

位 円上 を 挙 動 は まっ

素 平面 上 の た はw→

∞

極 点 へ 向か って走 ってい

っ と 考 え や す い と い う こ とが 多 い の で あ る.

第13講 複素関数 の微分 テーマ ◆ 実 数 の ときの 微 分 の定 義 ―1変

数 の とき と2変 数 の と き

◆ 複 素関 数 の微 分 の 定 義 ◆ 実 数 の場 合 と,複 素 数 の場 合,微 分 の 定 義 は形 式 的 に は 同 じで あ る が,本 質的 な 内容 は ま った く違 う. ◆ コー シ ー ・リーマ ンの関 係 式

実数 の ときの微分 の定義   い よい よ これ か らは,複

素数 の 関 数w=f(z)に

対 し,微 分 の 考 えを 導 入す る

こ とが主 題 とな って くる.そ の主 題 に入 る前 に,実 数 の ときの 微分 の定 義 につ い て,ご

く基 本的 な こ とだけ 復 習 して お こ う.

  い ま数 直 線上 で定 義 され た 実 数値 関数 q=f(p) を考 え る(記 号 は,複 素数 の と き との違 い を は っき りさせ るた め に,通 常 のx,y で は な くて,p,qを

用 い て あ る).数 直 線 の1点p0でfが

が 存 在 す る こ と で あ る.そ と い う.す

し て こ の 値 をf′(p0)と

微 分可 能 で あ る とは

か き,p0に

お け るfの

微係数

なわち

(1) で あ る.f′(p0)は,q=f(p)の

グ ラ フ の 点(p0,f(p0))に

表 わ し て い る.   (1)は

分 母 を は ら っ て,極

限値 の定 義 に 戻 る と

おけ る接 線 の傾 きを

とか い て も よ い.こ

こ で εは,p→p0の

  簡 単 な 注 意 で あ る が,逆

と き,0へ

近 づ く数 で あ る.

に 関 数q=f(p)が,点p0の

近 くで 適 当 な 定 数Aに

よ

って

(2) の と き  とか き 表 わ さ れ て い る な らば,p-p0で り立 ち,か

辺 々 を 割 っ てp→p0と

す る と(1)が

成

つ

とな っ て い る.し

た が っ て(2)を,点p0に

お け る微 分 可 能性 の 定義 として も

採 用 し て よ い の で あ る.   2変 数 の 実 数 値 関 数 s=f(p,q) に 対 し て,微

分 可 能 性 を 定 義 す る に は,(2)の

て 考え よ う とす る の が 最 も 自 然 で あ る.す 微 分 可 能 で あ る と は,適

当 な 定 数A,Bを

考 え を,2変

数 に ま で一 般 化 し

な わ ち,1点(p0,q0)でf(p,q)が とる と

(3)

の と き  が 成 り立 つ こ とで あ る.   こ の と き,A,Bは

そ れ ぞ れ 上 式 で,q=q0,p=p0と

と す る こ と に よ り求 め られ る.す

で あ る.A,Bを,そ

お い て,p→p0,q→q0

なわ ち

れ ぞ れ 点(p0,q0)に

お け るfのpに

関 す る 偏 微 係 数,qに

関 す る 偏 微 係 数 とい っ て

で 表 わ す.   用 語 に つ い て1つ

コ メ ン トを 与 え て お く と,(3)が

成 り立 つ と き,fは

点

(p0,q0)で 全 微 分 可 能 で あ る とか い てあ る教 科 書 も多 い.全

微 分可 能 とい うい い

方 は,歴 史 的 な もの で あ るが,最 近 の数 学 の観 点 か らい え ば,私 は単 に微 分 可能 とい った方 が す っき り してい る と思 う. 複素 関数の微分 の定義   複 素 平 面 の あ る領 域Dで

定義 され た 複素 数値 を とる関 数 w=f(z)

が 与 え られ た とす る.z0を 領 域D内

の1点 とす る.

【定 義】 極 限値

が 存 在 す る と き,fは,z0で

微 分 可 能 で あ る と い い,こ

の 極 限 値 をf′(z0)で 表 わ

す:

(4) す な わ ち,あ

る 複 素 数Aが

と な る と き,fはz0で   こ の 定 義 を,数 み る と,実 ―

あ っ て,￨z−z0｜ →0の

微 分 可 能 で,A=f′(z0)と

と き,

定 義 す る の で あ る.

直 線 上 で 定 義 され た 実 数 値 関 数 の 場 合 の 定 義(1)と

は ま っ た く対 照 的 な2つ

の面 ―

形 式 の 類 似 と,内

見比べて

容 の本 質 的 な違 い

が この 対比 の 中か ら浮 か び上 が って くるの で あ る.

  実 際,(4)の て お り,違

定 義 の 形 式 は 見 た と こ ろ 実 数 の 場 合 とそ っ く り 同 じ 形 式 を と っ

っ た と こ ろ な ど,ど

の よ うな 命 題 は,実   (ⅰ)  f(z)がz0で

数 の 場 合 と 同 様 に 導 か れ る こ と は,す 微 分 可 能 な らば,f(z)はz0で

  (ⅱ)  f(z),g(z)がz0で で あ って

こ に も見 当 ら な い よ うで あ る.こ

の こ とか ら,次

ぐ に 類 推 さ れ る.

連 続 で あ る.

微 分 可 能 な らば,f+g,f−g,fgもz0で

微 分 可能

ま たg(z0)≠0な

ら ば,f/gもz0で

微 分 可 能 で あ って

  実 際 これ らを 証 明せ よ,と い われ れ ば,微 積分 の教 科 書 を見 な が ら,実 数 の と きの 証 明を そ っ く りその ま まなぞ らえれ ば よい の で あ る. 実 数 の場 合 と本 質 的 に異 な る様 相   定 義 の形 だ けを 表面 的 に見 てい る 限 りで は,実 数 の場 合(1)と,複 合(4)と (4)の

は,同

じ定義 の 仕方 を と ってい るが,も

素数の場

う少 し立 ち 入 っ て(1)と

述 べ てい る こ とを比 べ てみ る と,本 質 的 に違 う微分 の様相 が現 わ れ て く

るので あ る.そ れ は 実数 と複素 数 の違 いか ら くる.   そ の意 味 で,(1)と(4)の

対 比 の 中 か ら,外 観 の類 似 と内容 の違 い とい っ

た2つ の面 が で て くる とい って よい.た とえ てい えば,実 数 と複 素数 とい う本 来 ま った く異 な ってい る2つ の もの に,同 じ'微 分'と い う衣裳 を 与 えて み た とい うこ とに な って い るの で あ る.   では,ど の よ うな 点が 実 数 の場 合 と本 質 的 に違 うの か,そ れ を これか ら少 しず つ 明 らか に してい きたい.   その た め,ま ず2つ の複 素数 α,βが等 しい とい うこ とは,実 数 部 分 と虚 数部 分 に注 目す る と (Ⅰ)

が成 り立つ こ とであ り,ま た 極形 式 に注 目す る と (Ⅱ)

が 成 り立 つ こ と で あ った こ と を 思 い 出 し て お こ う.   (Ⅰ)に

し ろ,(Ⅱ)に

の 立 場 か ら見 る と2つ し て い る の で あ る.

し ろ,2つ

の 複 素 数 α と βが 等 しい とい う こ とは,実

の 実 数 の 組 が 等 し い と い う関 係 ―2つ

の情 報

数

―を提 供

そ うす る と,等 式

(4) も,(Ⅰ),(Ⅱ)に

対 応 し て,実

数 に つ い て の 何 か2つ

の情 報 を 与 えて い る の だ ろ

う と予 想 さ れ て く る.   そ れ を 見 る に は,(4)の (2)に

よ う な 極 限 の 形 で は な く て,実

か き 直 し た よ うに,(4)を

数 の 微分 の定義 を

等 式 の 形 に か き 直 して お い た 方 が よ い.す

な

わ ち(4)を

(5)

の と き  と表 わ し て お い た 方 が よ い.   こ こ で 注 意 す る こ と は,Aも

εも 複 素 数 で あ る と い う こ と で あ る.

コ ー シ ー ・ リ ー マ ン の 関 係 式((Ⅰ)に

  (5)は,複 数 部 分,虚

素 数 に 関 す る 等 式 の 形 と な っ た か ら,(Ⅰ)を 数 部 分 が 等 し い と い う,2つ

  そ の た め,f(z),A,ε

と お く.ま

たz0=x0+iy0と

適 用 し て,両

辺の実

の 関 係 式 を 導 くこ と が で き る.

を そ れ ぞ れ 実 数 部 分,虚

お く.こ

対 応 し て)

数 部 分 にわ け て

の と き(5)は

とい う式 に な る.   この実 数部 分,虚 数部 分 を 見比 べ る と

(6) (7) とい う2つ の 関 係式 が 得 られ る. の とき

と い う関 係 は,こ

こでは の と き,

と 表 わ さ れ る.   こ こ で(3)を が(x0,y0)で

参 照 す る と,(6)は2変

数x,yに

つ い て の 実 数 値 関 数u(x,y)

微 分可 能 で あ って

(8) で あ る こ と を 示 し て い る.同 v(x,y)が(x0,y0)で

様 に,(7)は2変

数x,yに

つ い て の 実数 値 関数

微分 可能 であ って

(9) で あ る こ と を 示 し て い る.   (8)と(9)か

が 得 ら れ た.こ

ら,関

係式

れ を コ ー シ ー ・ リ ー マ ン の 関 係 式 と い う.

  そ れ で は(5)に,(Ⅱ)の る の だ ろ うか.こ

見 方 を 適 用 し て み る と,ど

の よ うな 結 果 が 得 られ

れ は 次 講 で 述 べ る こ と に し よ う.

Tea

Time

質 問   コ ー シ ー ・ リ ー マ ン の 関 係 式 の 証 明 は わ か りま し た が,こ

の よ うな 数 学 的

に 明 快 な 証 明 と い うの は,水

の 関 係 式 を どの

よ う に 考 え て よ い の か,僕

が 澱 み な く流 れ て し ま う よ うで,こ

た ち に は これ 以 上 手 が か りが な くな っ て し ま い ま す.

も し で き る こ と で し た ら,も

う少 し説 明 を 補 足 し て い た だ け ま せ ん か.

答  こ の コ ー シ ー ・ リー マ ン の 関 係 式 の 証 明 は,そ

れ ほ ど深 刻 な も の で は な い

が,や

は り結 果 の 意 味 し て い る も の は,わ

明 を 加 え て み よ う.複 素 数 の 関 数f(z)に

が成 り立 つ とい うこ とは,zがz0に

か りに くい か も しれ な い.も

う少 し 説

対 し

どん な 近 づ き方 を して も,左 辺 の 極 限値 は

いつ で も,f′(z0)と い う決 ま った 複 素数 に近 づ くとい うこ とで あ る.   実数 の ときに対 応 す る こ とは,右 か ら近 づ いた ときの 右 側微 係 数 と,左 か ら近 づ いた ときの 左 側微 係 数 が 一致 す る とき,微 分可 能 で あ る とい うい い方 に な る. と ころが,複

素数 の場 合 に は,前 講 の図55で 示 して あ る よ うな点 列 の 収 束 の模

様 か ら,z→z0の

多 様 さを思 って み る と,事 情 が 全 然違 う とい うこ とが 察せ られ

るだ ろ う.   特 に,zがz0に

近 づ く近 づ き方 に,実 軸 に平 行 な 方 向か ら近づ くと き と,こ れ

に垂 直 な方 向,す な わ ち虚 軸 に平 行 な 方 向か ら近 づ くとき とい う,典 型 的 な2つ の場 合 が あ る. とお くと,実 軸方 向か ら近 づ くとは

であ り,虚 軸方 向か ら近 づ くとは

と い う こ と で あ る(図56).   こ の そ れ ぞ れ の 場 合 にf(z)=u(x,y)+iv(x,y) のz=z0に

お け る微 分 を 求 め て み る.ま

方 向 か ら近 づ く場 合:

次 に虚 軸 方 向か ら近 づ く場 合:

ず実軸 図56

  こ の2式

が 等 し い(=f′(z0)!)の

だ か ら,両

式 の 実 数 部 分,虚

数部 分 を比 較 し

て

が 得 られ る.こ

れ は コ ー シ ー ・ リー マ ン の 関 係 式 に ほ か な らな い.

質 問   コ ー シ ー ・ リー マ ン の 関 係 式 と い い ます が,コ

ー シ ー と リ ー マ ン は,2人

の 数 学 者 の 名 前 な の で す か. 答   そ の 通 りで あ っ て,コ

ー シ ー(1789-1857)は,解

残 した フ ラ ン ス の 数 学 者 で あ る.ド

析学 でた くさん の業 績 を

イ ツの 人 が ガ ウ ス の 名 を 挙 げ る と,フ

ラ ンス

の 人 は コ ー シ ー の 名 前 を 挙 げ る く ら い 有 名 な 数 学 者 で あ る.コ

ー シー は複 素 数 の

関数 の理 論―

素 数 の 関数 の線積

分 が,道

関 数論 ―

の 創 始 者 と し て 知 られ て い る が,複

の と り方 に よ らな い(第21講

参 照)条

件 と し て,1825年

の 論文 で上 の

関 係 式 を 最 初 に 見 出 し た の で あ る.   一 方,リ

ー マ ン(1826-1866)は

ドイ ツの 数 学 者 で,19世

紀 の 数学 者 の 中 で

も最 も 深 い 洞 察 力 と予 見 力 を もつ 天 才 的 な 数 学 者 で あ る.リ

ー マ ン は,1851年

発 表 し た 学 位 論 文'複

中 で,こ

素 変 数 の 関 数 の 理 論 に対 す る 基 礎'の

こ に 述 べ た.

コ ー シ ー ・ リ ー マ ン の 関 係 式 を 複 素 関 数 論 の 出 発 点 に お い た の で あ る.

A.L.コ

ー シ ー

G.F.B.リ

ー マ

ン

に

第14講 正則関数 と等角性 テー マ ◆ 微 分 可能 性 と'無 限 小 にお け る'相 似 性 ◆ 正 則 関数 ◆ 導関数 ◆ 正 則 性 とコ ー シ ー ・ リー マン の関 係 式 の 同値 性 ◆2曲

線 の なす 角

◆ 等 角写 像 の原 理

相

似

性((Ⅱ)に

  こ の 講 は 前 講 か らの 続 き と な っ て い る.前 め て(5)を

対 応 し て) 講 の(5)でA=f′(z0)と

して,改

も う一 度 か く と

 (1)

のとき で あ る.   こ の 両 辺 の 絶 対 値 と偏 角 が 等 し い とい う こ とか ら,ど か を 調 べ た い と い うの が(Ⅱ)の   (1)の

右 辺 を(z-z0)で

の よ うな 結 論 が 導 か れ る

観 点 で あ った.

ま とめ て か ら,両

辺 の 絶 対 値 と偏 角 を と る と

(2) (3) と な る.  い ま

とす る.こ

の 仮 定 の も と で,(2)と(3)が

どん な こ とを 意 味 し て い る か 考 え て

み よ う.  f′(z0)≠0だ

か ら,zがz0に

十 分 近 くな り,

し た が っ て εが 十 分 小 さ くな る と,

と な る.〓

は 近 似 的 に 等 し い と い う意 味 で あ

っ て,z→z0の

と き,こ

の 両 辺 の 比 は1に に2番

近

づ く.(f′(z0)≠0と

い う仮 定 は,特

目

の 式 でargf′(z0)が

確 定 した値 を もつ とい う

図57

こ と に 必 要 で あ る.)   し た が って(2),(3)は (2)′ (3)′ と か け る.   も と も と 絶 対 値 と 偏 角 は,複 た も の だ か ら,(2)′,(3)′

素 数 を 複 素 平 面 上 に表 示 す る こ と に よ っ て 得 られ

の 意 味 す る も の は,複 素 平 面 上 に 図 示 され る よ うな,

あ る幾 何 学 的 な もの で あ る に違 い な い.実 の 比 が,zがz0に る.一

方,(3)′

十 分 近 け れ ば,一 は ベ ク トル 

際,(2)′

定 値￨f′(z0)￨に の 偏 角 は,ベ

は￨f(z)−f(z0)￨と￨z−z0￨ ほ ぼ 等 しい こ とを い って い ク トル 

argf′(z0)を

加 え た も の に ほ ぼ 等 し い こ とを い っ て い る.

  さ て,z0に

近 い3点z1,z2,z3を

の よ う に な る(図

と っ て こ の 状 況 を 図 示 し て み よ う.こ れ は 図58

を わか り

や す くす る た め,z1,z2,z3 はz0か ら だ い ぶ 離 し た と こ ろ に か い て あ る).こ

こで

￨f′(z0)￨は2,argf′(z0) はπ/3(=60°)に る.右

と って あ

図 の ベ ク トル の 先 の

あ た りに 斜 線 を つ け て あ る

の 偏 角 に一 定 値

図58

の は,f(z1),f(z2),f(z3)は,大

体 こ の あ た りに あ る こ と を 示 唆 し て い る.

  こ の 図 を 見 て す ぐ に わ か る こ と は,z0を で は あ る が,ほ

ぼ 相 似 に,f(z0)の

う思 っ て 改 め て(2)′,(3)′

始 点 とす る ベ ク トル の 模 様 が,近

近 くへ うつ さ れ て い る と い うこ と で あ る.そ

を 見 る と,(2)′

(3)′ は 回 転 角 がargf′(z0)で

似的

は 相 似 比 が￨f′(z0)￨で

あ る こ と,

あ る こ とを 表 わ す 近 似 式 と な っ て い る.

  こ の こ とを,  

'w=f(z)がz=z0で

微 分 可 能 で あ って,か

つf′(z0)≠0な

ら ば,z=z0で,f

は 無 限 小 の 意 味 で 相 似 写 像 と な っ て い る' と い い 表 わ し た 方 が,一

層 状 況 を 鮮 明 な も の に す るか も し れ な い.

正

  い ま ま で1点z0に 能 性 は,も は,い

則

関

数

お け る 微 分 可 能 性 を 論 じて き た.し

か し,1点

ち ろ ん 微 分 の 概 念 の 導 入 に 対 す る 第 一 歩 で あ る.私

た る と こ ろ 微 分 で き る よ うな 関 数 を 取 り扱 い た い.そ

で の 微 分可

た ちは これ か ら

のた め 次 の定 義 をお

く. 【定 義 】 領 域Dで をD上

定 義 され た 関 数w=f(z)が,Dの

の 正 則 関 数 とい う.

  fが 正 則 な と き,Dの D上

各 点 で 微 分 可 能 な と き,f

各 点zに

対 し てf′(z)を

で 定 義 さ れ た 関 数 に な る.f′(z)を,f(z)の

  こ こで 新 しい 言 葉'正 則 関数'が 導 入 され た.複

考 え る こ とが で き る.f′(z)は 導 関 数 と い う.

素 数 の と きに は,微

分可 能 な関 数 とい

うい い 方 は ふ つ うは しな い.こ れ に は歴 史 的 な 由 来が あ って,前 世 紀 の半 ば頃,コ が,現

ーシー

在 関 数 論 と よ ば れ る よ うにな った 複素 関 数 の 微分 の理 論 をつ くった とき,各 点 で

f′(z)が 存 在 して連 続 とな る関 数 を正 則 な 関 数 と よん だ こ とに よっ てい る.い の連 続 性 は 仮 定 し な くて もよ い ことが 知 られ てい る(第23講

まで はf′(z)

参照).

  確 か に 上 に見 た よ うに,実 数 の場 合 と複 素 数 の場 合 とで は'微

分'の

意 味 す る もの がか

な り違 うの だ か ら,概 念を 明確 に 区別 す るた め に は,'正 則'と い う言 葉 を用 い るの は効 果 的 で あ る と思 う.   さ て,w=f(z)をD上

で 正 則 な 関 数 と す る.f(z)はDの

各点 で微 分可 能 だ

か ら,

と す る と,u(x,y),v(x,y)も

ま た(2変

数 の 実 数 値 関 数 と し て)各

点 で微 分 可

能 とな る.さ

ら にDの

各 点 で コ ー シ ー ・ リー マ ン の 関 係 式

が 成 り立 つ.   逆 に,前

講 の'コ

て み る と,次

ー シ ー ・ リー マ ン の 関 係 式'の

項 にお け る議論 を逆 に た ど っ

の こ と が 成 り立 つ こ と もわ か る. D上

で 定 義 され た2つ

が 次 の2つ

の 実 数 値 関 数u(x,y),v(x,y)

の 条 件 を み た す とす る.

(ⅰ)  u(x,y),v(x,y)は

微 分可 能

(ⅱ) この とき f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy と お く と,f(z)はD上

で 正 則 な 関 数 と な る.

  こ の 意 味 で コ ー シ ー ・ リー マ ン の 関 係 式 は,f(z)が

正 則 関 数 とな るた め の 必

要 十 分 条 件 を 与 え て い る.   な お,f(z)を 導 関数f′(z)は,実

こ の よ うに 実 数 部 分,虚

数 部 分 に わ け て 表 わ し て お い た と き,

軸 方 向 か ら微 分 した 形 に よ って

と表 わ され る こ とを 注 意 し て お こ う.虚 軸 方 向 か ら微 分 した 形 は

とな る.  な お,89頁 で述 べ た よ うに,微 分可 能 な らば連続 なの だか ら,正 則関数 は連 続 な関 数 とな ってい る.

2曲 線 の な す 角  領域D上

で定 義 された 正 則関数w=f(z)が

与 え られ た とき,z-平 面 上の 領域

Dか

らw-平 面 へ の写 像が 与 え られ た と考え る こ とが で き る.こ

点 で,こ の 講 の最 初 に述べ た意 味 で,相 似 性(無 限小 の!)が

の ときDの

各

成 り立 って い る.

この うち,長 さ の比 を ほ ぼ保 つ とい うい い方 は,こ れ 以 上正 確 な 言葉 にお き直 し て述 べ る こ とは 難 しい のだ が,角 で,も

を ほぼ 保 つ とい う性 質 は,極

限 に うつ った 形

う少 し明確 な性 質 として捉 え るこ とが で きる.

  それ を 説 明す る準 備 として,2曲

線 の なす 角 につ いて まず 述 べ て お こ う.

  そ のた め,複 素 平 面上 の微 分可 能 な 曲線

を 考 え る.す

な わ ち,z(t)は,数

直 線 上 の 区 間[0,1]か

ら複 素 平 面 へ の 連 続 写

像 で,

が 各 点 ｔ0∈[0,1]で

存 在 す る よ うな も の で あ る.z(0)を

始 点,z(1)を

終 点 とい

う.   い ま,z0∈Dを

始 点 とす るD内

が 与 え られ た とす る.こ

の2つ

の微 分 可 能 な 曲線

こで (Ⅰ)

を 仮 定 す る.図59で

示 し て あ る よ う に ベ ク トル 表 示 で

と表 わ す こ とに し よ う.こ の と き

(2) で あ る.

図59

  t→0の

と き,C1上

で はQ→P,C2上

は,点Pに

お け る2曲

線C1,C2の

角 は,(2)式 こ とに よ り,

で はR→Pと

な る.こ

の と き,∠QPR

接 線 の つ く る 角 へ と 近 づ く.こ の 接 線 の つ くる

の 右 辺 に 表 わ れ る 分 数 の,分

母,分

子 をtで

割 っ て,t→0と

す る

で 与 え ら れ る こ と が わ か る.   こ れ を,z0に

お け る,2曲

線C1,C2の

等

  w=f(z)を

領 域Dで

C1,C2を,上

もつ,z0を

お き,f′(z0)≠0が

と お く と,C1,C2は,w0を

角 写 像

定 義 さ れ た 正 則 な 関 数 と す る.z0をD内

に 述 べ た 性 質(1)を

  w0=f(z0)と

な す 角 とい う.

の1点

始 点 とす るD内

成 り立 っ て い る とす る.こ

の2曲

と し,

線 とす る.

の とき

始 点 と す る 微 分 可 能 な 曲 線 と な る.た

と え ばt=0に

お け る 微 分 の 値 は 次 の よ う に求 め ら れ る.

同様 に

特 に,仮

定 か らw1′(0)≠0,w2′(0)≠0の

  し た が っ てw-平 き る.こ

面 上 の2曲

こ と が わ か る.

線C1,C2のw0に

お い て な す 角 を 考 え る こ とが で

の角は

で あ る.こ

の 右 辺 は,

C1,C2のz0に

お い て

な す 角 と な っ て い る!   す な わ ち,C1,C2の w0に

お い て な す 角 は,

C1,C2のz0に

お い て

な す 角 に 等 し い.正 関 数w=f(z)は2曲

則 図60

線 の なす 角 を保 つ の で あ る.こ れ を等 角 写像 の原理 とい う.   これ は重 要 な ことだ か ら,ま とめ て述 べ て お こ う. w=f(z)を

領 域Dで

定 義 さ れ た 正 則 関 数 と し,領

f′(z0)≠0が 成 り立 っ て い る と す る.w0=f(z0)と に お い て2曲

線 の な す 角 は,fに

よ っ て,等

域 内 の1点z0で, お く.こ

角 に,w0に

の と き,z0 お け る2曲

線

の な す 角 へ と う つ さ れ る.

  これ が,具 体 的 な例 で は どの よ うな状 況 とな って反 映 す るか は,次 講 以 降 で見 てい くこと に し よ う.

Tea

Time

質 問   今 回 は 質 問 の 時 間 が まわ って く る の を,待 に 気 が つ い た の で す.相 のfに

よ る行 く先 が 決 ま る と,ベ

う,z0の

近 く に あ る 点z2やz3の

ど う し てz2やz3の 関数f(z)がDで す ね.関

ク トルf(z0)f(z1)が 行 く先f(z2),f(z3)も

妙 な こと

見 て い る と,z0とz1

決 ま っ て,そ

うす る と も

ほ ぼ 決 ま っ て し ま い ま す.

行 く先 は も っ と 自 由 に 決 め る こ と が で き な い の で し ょ うか. 正 則 な ら ば,各

点 で い つ も こ ん な 妙 な こ とが お き て い る わ け で

数 の 値 は か な り 自 由 に とれ る も の と思 っ て い た の に,な

な こ と が お き る の で し ょ うか.僕 似 性'の

ち 構 え て い ま し た.奇

似 性 の と き の 説 明 に あ った 図58を

項 に あ っ た,'ほ

ぜ こ の よ うな 妙

は 何 か 勘 違 い し て い る の か も し れ ま せ ん.'相

ぼ'図58の

よ うに な る と い う説 明 に 原 因 が あ る の で し

ょ うか. 答  こ の 奇 妙 さ を 感 じ と っ た の は 正 し い 状 況 を 把 握 した の で,け ど で な い.原

因 は,'ほ

複 素 関 数f(z)の

ぼ'と

微 分 可 能 性―

い う条 件 を 課 し て も,関

て い る と 思 っ て い る.と な 関 数 は,異

い う近 似 的 な 状 況 の 説 明 の 仕 方 に あ る の で な くて, 正 則 性―

に あ る.実

数 の と き は,微

数 は い わ ば 自 由 に羽 ば た い て い る.私

勝 手 に グ ラ フ を か い て も,'か

っ して勘 違 いな

ど'さえ

こ ろ が,複

分 可能 と

た ちは 座 標平 面 に

な け れ ば,こ れ は 微 分 可 能 な 関 数 を 表 わ し

素 数 へ うつ る と,こ

の 事 情 は 一 変 す る.正

な る 点 で と る値 が 互 い に 関 係 し 合 っ て い て,勝

則

手 に一 部 分 だ け で 値

を 変 え る とい うわ け に はい か ない の で あ る.こ の正 則関 数 の 強い性 質― 剛 性 とい っ て も よい もので あ るが―

につ い て は,あ

べ るが,'相 似性'の 説 明 の中 か ら,こ の よ うな'奇 れ た 注意 力 だ と思 う.何 度 も繰 り返 す よ うだ が,複

と(第26講)で

それは 詳 し く述

妙 さ'を 見 出 した の は す ぐ 素関 数f(z)で

は,微 分 の 定

義 が,複 素 平 面 の どの方 向 か ら近 づ い て も,方 向 に関 係 な く,一 定 の値f'(z0)に 近 づ くとい うこ とが,実 数 の とき と比 べ て,は るか に強 い 制約 をfに 与 え て い る の で あ る.

第15講 正 則 な関数 と正 則 で ない関 数 テー マ ◆ 正 則 関数 の和 と積 ◆zの

整 式 と有理 式 の 正 則 性

◆w=z2の

正 則 性―

コ ー シー ・リー マ ン の 関 係式 と等 角性 の検 証

◆ 正 則 で な い関 数 の例:w=z,w=〓(z)

正則関数の和 と積   第13講

で 見 た よ うに,f(z),g(z)がz=z0で

(g(z0)≠0)もz=z0で

f(z)−g(z),f(z)g(z), 

  fとgが

領 域Dで

に な る.し

た が っ て 次 の こ とが い え る.

f(z),g(z)を f(z)g(z)もDで もDで

正 則 な 関 数 な らば,こ

領 域Dで

の こ とはDの

微 分 可 能 で あ る. 各 点z0で

成 り立 つ こ と

正 則 な 関 数 と す る と,f(z)+g(z),f(z)−g(z),

正 則 な 関 数 と な る.ま

た 領 域Dでg(z)≠0な

らば 

正 則 な 関 数 と な る.

zの

f(z)=zは

微 分 可 能 な ら ば,f(z)+g(z),

整 式 と有 理 式

も ち ろ ん全 平 面 で 正 則 な 関 数 で あ っ て f′(z)=(z)′=1

で あ る.ま

たf(z)=α(定

  こ の こ とか ら,定

数)も

数 とzか

全 平 面 で 正 則 な 関 数 で あ っ てf′(z)=0で

あ る.

ら和 と 積 を と っ て 得 ら れ る 整 式

f(z)=α0+α1z+α2z2+…+αnzn も 全 平 面 で 正 則 な 関 数 で あ る こ とが わ か る.   ま たg(z)=β0+β1z+β2z2+…+βmzmが

領 域Dで0と

な ら な い な らば,D上

で

有理式

も正 則 な 関 数 とな る.

w=z2

  最 も 簡 単 な 正 則 関 数w=z2の ど の よ う に な っ て い る か,調   z=x+iyと

と き に,コ

ー シ ー ・ リ ー マ ン の 関 係 式 と等 角 性 が

べ て み よ う.

お くと z2=(x+iy)2=x2−y2+2ixy=u(x,y)+iv(x,y)

したが って u(x,y)=x2−y2,v(x,y)=2xy で あ る.u,vを

偏 微 分 し て

し た が っ て こ れ ら を 見 比 べ て,コ

ー シ ー ・ リー マ ン の 関 係 式

が 成 り立 っ て い る こ とが わ か る.   等 角 性 に つ い て は,虚

軸 と 実 軸に,そ

れ ぞ れ平 行 な直 線

y=bとx=a が,ど   y=bの

の よ う に うつ る か を 見 て み よ う. と き, u =x2−b2,v=2bx

し た が っ て,y=bのz2に

よる像 は

(1) を み た すu+ivで   x=aの

と き,

与 え られ る.

し た が っ て,x=aのz2に

よ る像 は

(2) を み た すu+ivで

与 え られ る,

  (1)と(2)はw-平

面 上 の放 物 線 の 式 を 表 わ し て い る.y=bと,x=aと

直 交 し て い る か ら,(1)と(2)も くて は な ら な い.念 直 線 は,1+iを w=z2に

て い る.Sに

等 角性 に よっ て原 点以 外 で は直 交 し て い な

の た めy=1,x=1の

と き に 確 か め て み る とy=1とx=1の

表 わ すz-平 面 上 の 点Pで

よ るPの

像 は,w-平

直 交 し て い る(図61の

面 上 の 点Sで

おいてu=1/4v2−1の

だ か ら,確 か にSに

は

お い て,2曲

あ っ て,複

素 数2iを

左 図 参 照). 表 わす 点 とな っ

接 線 の 傾 き は1,u=−1/4v2+1の 線 の 交 角 はπ/2(直 角!)で

傾 きは−1

あ る と い う性 質 は

保 た れ て い る.   これ で,点PとSに は,図61に

お い てw-平

お け る 等 角 性 は 確 か め られ た の で あ る が,注 面 の 点Tで2曲

線 が 直 交 し て い る と い う こ と は,w=z2

の 等 角 性 に は 無 関 係 で あ る とい う こ とで あ る.Tは,w=z2に 像 が 重 な っ て い る の で あ って,z-平

意す る こ と

よ っ てQとQ′

の

面 の あ る 交 点 が うつ っ て い る わ け で は な い.

図61

 一 般 に あ る領域D上

で 定 義 され た1対1の

正 則 関数w=f(z)が

与 え られ た と

し よ う.こ の とき,実 軸 に平 行な 直線 群 と虚 軸 に平 行 な直 線 群に よってつ くられ るD内

の格 子 は,w-平

面 上 のあ る直 交 す る 曲線群 に うつ され る.こ の よ うな こ

図62

とか らも,正 則関 数 とは非 常 に特 殊 な性 質 を もった 関数 で あ る こ とが推 察 され る だ ろ う. 正 則でな い関数   正 則 でな い 関数 の 中 で最 も簡 単 な例 として は,zに

対 して共 役 複素 数 を 対応 さ

せ る関数 z→z  や,z=x+iyに

対 して,そ

(3)

の 実 数 部 分 を 対 応 させ る 対 応 z→x 

(4)

な ど が あ る.   (3) 

の 対 応 が 正 則 関 数 を 与 え て い な い こ とを み る に は,コ

の 関 係 式 が 成 り立 た な い こ と を み る と よ い.z=x+iyに ら,u(x,y)=x,v(x,y)=−yに

対 し て,コ

ーシ ー ・リーマ ン

対 し て,z=x−iyだ

か

ー シ ー ・リー マ ン の 関 係 式 が 成 り立

た な い こ とを み て み よ う.  実際

(5)

で, 

 (4)の

て,や

と な っ て い る. と き に は,u(x,y)=x,v(x,y)=0だ

か ら, 

は り コ ー シ ー ・ リー マ ン の 関 係 式 は 成 り立 た な い.

とな っ

  この よ うな説 明 は,数 学 的 に は十 分 な の だが,多 少形 式 的 に 見 え るか も しれ な い.zがzの で な い こ とを,も

正則関数

う少 し具 体 的 に説 明 して み よ う.

  図63で はzにzを

対 応 させ る対応 を,同

じ複素

平 面 上 にか い てあ る.こ の と き,実 軸 方 向か らzに 近 づ く矢 印→ で示 して あ る方 向 は,zに

対 して も同

じ方 向を 示 して い る.し た が って この方 向か ら微 分 し てみ る と,そ の 微係 数 は1と な るだ ろ う.そ れ が (5)で 

と い う こ と で あ る.一

向 き が 逆 転 す る.こ

方,縦

図63

方 向 の 矢 印 はzかzへ

うつ る と き,

とい う式 で 表わ され てい る.何 度 も繰 り

の こ とが 

返 し て述 べ て きた よ うに,複 素 関数 の微 分 で は,zに

近づ くすべ て の方 向 に つ い

て,同 じ微 係数 を もつ こ とが 要 求 され て い る.い まの 場合,一 方 の方 向だ け が 向 きが 逆 転 してい るか ら,こ の要 求が み た され てい な い の で あ る. Tea

Time

質 問  正 則 関 数 とい う感 じは少 しわ か って き ま したが,ま だ不 思 議 な感 じが す る の は,複 素 数へ くる と,微 分 で き る とい う性 質 を 付与 した 途端 に,関 数が 魔 法 に か け られ た よ うに,等 角 性 を示 した り,勝 手 に値 を変 え られ な くな った りす る こ とです.し か し この よ うな正 則 関 数 はた くさん あ るの で し ょ うか.zも

正則関数

で な い し,実 数部 分,虚 数 部 分 を とる こ と も正 則 関 数 には な りませ ん.zの 以 外 に,正 則 関数 な ど ど うや っ て見 つ け る の で し ょう.zの

整式

整 式 や 有理 式 以 外

に,正 則 関 数 は あ るの です か. 答  整 式 や 有理 式 以 外 に 正 則 関数 は ない の では な い か とい う疑 問は も っ と もな こ とで あ る.し か し実 際 の と ころ は,整 式 や有 理 式 で 表わ され る関数 が,す べ て等 角性 を 示 す とい うこ と自体,す で に1つ の驚 き には な っ てい る.   関 数 を つ くる手 段 として,数 学 では,整 式 を 拡 張 す る1つ の 手段 が 許 され てい る.そ れ は 整式 の次 数 を どん どん高 め て い って究 極 の形 とした もの,す な わ ちベ キ級 数 とよばれ る関 数

を考 え る こ とが で き るか らであ る.こ ん な に項 の 数 を無 限 に して し ま うと,値 な どな くな って しま うの で は ないか と思 うか も しれ な いが,最

も よ く知 られ て い る

ベ キ級 数

は,￨z￨＜1の

と き,関

数 

を 表 わ し て い る(こ

の こ と は,実

数 の場 合 の 等

比 級 数 の 和 の公 式 を 求 め る場 合 と,同 じ考 え で 示 す こ とが で き る).関 数 

は

￨z￨＜ 1で 正 則 で あ る.こ の場 合 は,ベ キ級 数 がす で に知 って い る有理 関数  を 表 わ し て い た が,一   この 例 は,一

般 に はベ キ 級 数 は 有 理 関 数 を 表 わ して い る とは 限 ら な い.

般 に,ベ

キ 級 数f(z)は,収

束 す る範 囲 の 中 で は 正 則 関 数 を 示 し

て い る だ ろ う と い う こ と を 予 想 させ る も の で あ る.そ 質 問 し て,'そ

れ で はベ キ 級 数 以 外 に 正 則 関 数 は あ る の で す か'と

'あ る 意 味 で は,そ は,こ

し て 実 際 は,君

れ 以 外 に は な い の だ'と

い う答 に な っ た ろ う.こ

れ か ら お い お い 明 らか に し て い く こ と に し よ う.

が も う一 度 聞 くな らば, れ につ い て

第16講 ベキ級数の基本的 な性質 テーマ ◆ベキ

級数

◆ 収 束 半 径,収 束 円 ◆ベキ

級数 の基 本 的 な性 質

(Ⅰ)z0で

収 束す る と￨z￨＜￨z0￨で

絶 対 収 束す る

(Ⅱ)収

束半 径 につ い て の コ ー シー ・ア ダマ ール の定 理

(Ⅲ)項

別微 分

◆(Ⅰ),(Ⅱ)に

対 す る コ メント

ベキ級 数 ベキ 級 数 と は,複

素 数 列 α0,α1,…,αn,…

と 表 わ さ れ る式 の こ と で あ る.式 形'を

に対 して

と い う よ りは,こ

の よ うに 表 わ され る'式

の

指 す と い った 方 が よ い か も しれ な い.

  要 す る に こ の よ うに か い て み て も,一 あ ま りな い の で あ る.た

般 に は,何

か を 意 味 す る と い う こ と は,

とえ ば 数 列1,22,33,…,nn,…

に 対 応 し て 得 られ るベキ

級数

(1) を 考 え て み る.こ 意 に0で

のベキ 級 数 に 何 か 値 を 付 与 し て,意

な い 複 素 数zを

味 を つ け よ う と思 っ て,任

と っ て,和

の 記 号+の

指 示 に従 っ て,順

次和 を と ってい

大 き く な る と,こ

の 値 は,複

素 平 面 上 で ど ん ど ん0か

っ て み る.

  と こ ろ が,nが

っ て い く.複 素 平 面 の 代 り に リ ー マ ン 球 面 上 で 考 え れ ば,nが

ら遠 ざ か

大 き くな る に つ

れ,上 の部 分 和 の系 列 は,し だ い に無 限遠 点 に近 づい て い く様 相 を 呈 して くる. だ か ら強 い て(1)に

意 味 をつ け る とす れ ば

とお くと

(z≠0の とな る.だ

が,こ

  し か し,こ る.た

と き)

れ で は つ ま ら な い.

の 例 とは 正 反 対 に,ベキ

と え ば,ベキ

級 数 に は っ き り と し た 意 味 が つ く こ とが あ

級数

(2) は,ど

ん な 複 素数zを

き くな る と き,あ

と っ て も,部

る 決 ま った 複 素 数 へ 近 づ くこ と が わ か る.こ

と お く と,f(z)は,複   (1)の

はnが 大

分 和 

素 平 面 全 体 で 定 義 さ れ た1つ

場 合 は,z=0以

外 で は 発 散 し て い る.(2)の

の ときは

の 複 素 関 数 を 与 え て い る. 場 合 は,す

べ て のzに

対

し て 収 束 し て い る.   一 般 的 な 観 点 か ら見 る と,(1)も(2)も

極 端 な 場 合 で あ っ て,ふ つ う のベキ

級 数 は,ち

ょ う ど こ の 中 間 に あ る よ うな 振 舞 い を す る.そ

前 講 のTea

Timeで

の よ うな 例 と し て は,

も 述べ た

(3) が あ る.こ ￨z￨＜1で,正

のベキ 級 数 は￨z￨＜1で 則 関 数 

とお くと,￨z￨＜1の

収 束 し,￨z￨≧1で

を 表 わ し て い る.し

た が っ て(3)のベキ

して実 際 級数は

と こ ろだ け で定 義 され た 複 素 関数 を表 わ して い る こ と に な

る. 収 束 半 径,収   一般 にベキ 級 数

発 散 し て い る.そ

束円

(4) が 与 え られ た と き,こ

の 収 束,発

散 に つ い て 次 の3つ

の うち の い ず れ か1つ

の状

況 が 生 ず る.   (ⅰ)  z=0以

外 で は,す

べ て のzに

  (ⅱ)  す べ て のzで

収 束 す る((2)の

  (ⅲ)  あ る 正 数rが

存 在 して

対 し て 発 散 す る((1)の

よ うな 場 合).

よ うな 場 合).

￨z￨ ＜rで は 収束 ￨z￨＞rで は 発散   ((3)の

よ うな 場 合).

【定 義 】(ⅰ)の

と き は,ベキ

級 数(4)の

と き は 収 束 半 径 は ∞ で あ る と い う.(ⅲ)の 半 径 はrで   (ⅲ)の

収 束 半 径 は0で

あ る と い う.(ⅱ)の

ときは 収束

あ る と い う. と き,複

内 部{z￨￨z＜r}をベキ キ 級 数(3)の

素 平 面 上 で 原 点 中 心,半 級 数(4)の

と き に は,収

径rの

円の

収 束 円 と い う.ベ

束 半 径 は1で

あ っ て,収

束

円 は 単 位 円 と な っ て い る.  ベキ 級 数(3)の =1を

み た すzに

場 合 に は,収 対 し て は,(3)は

束 円 の 周 上 の 点,￨z￨ 発 散 し て い た.し

の 境 界 を つ く っ て い る 収 束 円 の 周 上{z￨￨z￨=r}で,ベキ

図64 か し 一 般 に は,収

束 と発散

級数 の行 動 は 複 雑 で あ

る.  た とえ ば

の収 束 半 径 は1で あ るが,収 束 円 の周 上 で は,z=1だ

け で発 散 す るが,そ れ 以外

で は収 束 す る.   また

の収 束 半 径 も1で あ るが,収 束 円 の周 上 にあ るす べ て のzで 収 束 し てい る.

ベキ級 数 の 基 本 的 な 性 質 まず,ベキ 級 数 の もつ 基 本 的 な性 質 を 列 記 し てみ よ う. (Ⅰ) ベキ

級 数(4)がz=z0の

を み た す すべ て のzに

こ こで 絶対 収 束 とは,(4)の

と き 収 束 す れ ば,￨z￨＜￨z0￨

対 し て 絶 対 収 束 す る.

各項 の絶 対 値 を とった級 数

が 収 束 す る ことで あ る.こ の級 数 は 正項 級 数 で あ る ことを 注意 し よ う. (Ⅱ) ベキ 級 数(4)の

で 与 え られ る.た

収 束 半 径rは

だし 

の と き は,収

 の と き は 収 束 半 径 は0と

束 半 径 は ∞,

な る.

(Ⅲ)  収束 円内 の点zに 対 し

と お くと,f(z)は,収 関 数 は,右

束 円 上 で 定 義 さ れ た 正 則 関 数 と な る.f(z)の

辺 のベキ 級 数 を 項 別 に 微 分 す る こ と に よ り得 ら れ る:

し た が っ てf′(z)は,再 径 は,f(z)を

びベキ 級 数 と し て 表 わ さ れ る が,こ

対 す る コ メ ン トを 以 下 で 与 え る こ と に し よ う.

(Ⅰ)に

(4)は

の 収 束半

定 義 し たベキ 級 数 の 収 束 半 径 に 等 し い.

  この(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)に

  (Ⅰ)は,ベキ

導

級 数(4)が1点z0で

原 点 中 心,半

径￨z0￨の

い う こ と を い っ て い る.し

対 す る コ メ ン ト

収 束 し て い る こ とが わ か り さ え す れ ば,

円 の 内 部 で 必 ず 収 束 し て い る こ とが 結 論 で き る と

た が っ て こ の こ とは

収束半径 を 意 味 してい る.   この事 実 は 次 の よ うに用 い られ て,1つ

の原 理 と して,数 学 の視 界 を広 げ るの

に役立 つ ので あ る.   微 分 ・積 分 で,す べ て の実 数xに 対 して

と い う展 開 が 成 り立 つ こ とを 知 っ て い る(テイラー 注 目 し て,こ る と,zに

れ をベキ 級 数 と 見 て,変数xを

展 開!).こ

複 素 数zに

の右 辺 の 展 開 に

お き か え て み る.そ

うす

関 す るベキ 級 数

(5) が 得 ら れ る.こ

のベキ 級 数 は,zが

知 っ て い る.た

と え ばz=100で

た が っ て(Ⅰ)か

ら,ベキ

も ち ろ ん,100は,任

任 意 の 実 数xに

は 収 束 す る―

対 し て は 収 束 し て い る こ とは

収 束 す る 値 はsin100で

級 数(5)は￨z￨＜100で

収 束 す る こ とが 結 論 で き る.

意 の 正 の 実 数 に お き か え て よ い の だ か ら,(5)は

全 体 で 収 束 し て,1つ

あ る.し

複 素平 面

の 複 素 関 数 を 表 わ す.

  同 じ よ うに 考え る と,対

数 関 数 のテイラー

展 開 と し て 微 積 分 で よ く知 られ た 公

式

は,−1＜x≦1で

成 り立 つ.し

た が っ て こ の こ と か ら複 素 数 のベキ 級 数

(6) は,￨z￨＜1で

収束 して お り,単 位 円 内 で 定義 され た1つ

の 複 素関 数 を 定義 して

い る こ とが わ か る.   この よ うに,実 数 の範 囲 で与 え られ たベキ 級数 は,実 数 を 複 素 数の 中 に うめ て 考 え る と,ち ょ うど水が 堤 防 を 破 って 平 野 へ あふ れ 出 て い くよ うに,実 軸 とい う 枠 を 破 って,複 素 平 面 の収 束 円へ と,そ の 収 束範 囲を広 げて い くので あ る.こ の 状 況 は 実 数 の上 で展 開 され た 微 分 ・積 分 が,テイラー

展 開 を媒 介 としな が ら,複

素 数 上 の解 析 学 へ と広 が って い く端 緒 を 得 た とい って も よい だ ろ う.

(Ⅱ)に

対 する コ メン ト

  収 束 半 径 を 知 りたい だ け な らば,ベキ 級 数 が具 体 的 に表示 され て いれ ば,そ の 係 数 か ら直接 求 め る こ とが で き る とい うの が(Ⅱ)の

公 式 で あ って,こ の結 果 は

コー シー ・ア ダマ ール の定 理 と して 引用 され る こ とが 多 い.   (Ⅱ)で 与 え た 公 式 の右 辺 で,limの

記 号 の上 に横 棒 が お いて あ る記 号limは,

上 極 限 を 表 わ して い る.(一 般 に実 数 列 が 与え られ た と き,極 限値 は 存在 す る と は 限 らな い が,+∞

ま で許せ ば,上 極限 は 集 積値 の中 の最 大 な もの と して必 ず 存

在 す る.こ の 定 義 につ いて は 『解 析 入 門30講 』 を 参 照 して いた だ き たい.)   実 際 の 応 用 で は,次 の定理 の方 が 有用 で あ る. (#) ベキ

級 数(4)で,も

し

が 存 在 す るな らば,こ の値 は 収 束半 径rと 一 致す る. た とえばベキ 級 数(6)で

は

とな ってい るか ら

し た が っ て(#)か

ら,ベキ

級 数(6)の

と き に は α2n=0(n=1,2,…)だ

か ら,こ

Tea

(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の   こ こ で は,(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の の 理 由 は,こ 数'と

収 束 半 径 は1で

あ る.ベキ

級 数(5)の

の 定 理 は 直 接 に は 使 え な い.

Time

証明 につ い て 証 明 を 特 に 述 べ る こ と は し な か っ た.そ

の1つ

の 証 明 を 述 べ る に は い ろ い ろ な 準 備 的 考 察 が 必 要 とな っ て,'複 素

い う こ の 講 義 の 一 貫 し た 流 れ か ら 少 し 外 れ る こ と を お そ れ た か ら で あ る.

実 際,(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)は'複

素 数'と

の 主 題 の 中 で 述 べ た 方 が よい.こ た が,(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)に 証 明 し て お い た.そ

い う主 題 の 中 で 述べ る よ りは,'解 析 教 程'

の30講

シ リー ズ の 中 で も,実

対 応 す る 定 理 は 『解 析 入 門30講 の 証 明 は,ほ

場 合 に も適 用 さ れ る の で あ る.

数 の 場合 であ っ

』 第12講,第13講

で

と ん ど修 正 す る こ と な く,複 素 数 のベキ 級 数 の

第17講 ベ キ級 数 と正 則関 数 テーマ

◆(Ⅲ)に

対 す る コ メン ト(前 講 の つづ き)

◆ 項 別 微 分 に つ い ての 注 意 ◆ ベキ 級 数 と高階 微 分 ◆ ベ キ級 数 とテ イ ラー 展 開 の形 ◆ ベ キ 級 数 の一 意 性 ◆ ベ キ級 数 か ら生 まれ た 正 則関 数

(Ⅲ)に   前 講 で,ベ

対 す るコ メン ト

キ 級 数 に 関 す る 基 本 的 な 性 質 の う ち,(Ⅰ),(Ⅱ)に

を 加 え た が,し

か し(Ⅲ)に

つ い て コ メン ト

対 す る コ メ ン トは ま だ 残 って い た.こ

の 講 は,そ

こ

か ら 話 を は じめ て い く こ と に し よ う.   (Ⅲ)で

述 べ て い る こ との 最 初 の 部 分 は,ベ

キ級数

(1) は,収 束 円の 内部 で 正 則 関 数f(z)を

表 わ して い る とい うこ とで あ る.整 式 や 有

理 式 以 外 に,正 則 関 数 の例 をつ くってみ せ る こ とは,い ま までは 非 常 に難 しい こ とで あ った.し か し こ こで は じめ て,ベ キ 級数 を通 して正 則 関数 を つ くる道 が 拓 け た の であ る.   (Ⅲ)の 後 半 で述 べ て い る こ とは,こ を 微 分す る よ うに して(1)を

の正 則 関数 の導 関数 を求 め る には,整

式

微 分す れ ば よい とい うこ とで あ る.こ の こ とに は

何 の 問題 もな い と思 われ る読 者 が い るか も しれ ない の で少 し注 意 を 述べ て お く.  級 数 の収束 の定 義 に戻 ってみ る と,ベ キ級数(1)がf(z)を

表わ す とは

が 成 り立 つ こ と で あ る.し 分 す れ ぼ よ い と い う(Ⅲ)で

た が っ てf′(z)を

求 め る の に は,(1)を

述 べ て い る こ と は,正

系 列 が,逐

次 成 り立 っ て い く と い う こ とで あ る.

こ こ で=と

か い て あ る 部 分 が,極

な 橋'を

は この'危

確 にか い て み る と次 の 等 式 の

限 の 交 換 と い う,一 般 に は 成 り立 た な い'危

渡 っ た こ と に な っ て い る.f′(z)を

い う保 証 は,実

項 ごとに 微

険 な 橋'を

険

求め るの に項 別 に微 分 して も よい と

この 場 合 無 事 渡 れ る と い う保 証 を 与 え た こ

と に な っ て い る.   極 限 の 交 換 が,一

般 に は 渡 り き れ な い'危

険 な 橋'で

あ る こ と は,次

の例から

も 推 察 さ れ る だ ろ う. n=1,2,…

で あ る.し

だか ら

に よ ら ず 

かし

だ か ら, 

は 存 在 しな い.

高階 導関数 の存在  さ らに(Ⅲ)は,f′(z)を

表 わ す ベ キ級 数 が,f(z)を

表 わす ベ キ級 数 と同 じ収

束 半 径 を も っ て い る こ と を 述 べ て い る.し を 適 用 で き る.す f"(z)が

な わ ち,f′(z)を

得 られ る.f"(z)も

  こ の よ うに して,ベキ て,項

た が っ て,f′(z)に

対 し て,再

び(Ⅲ)

表 わ す ベ キ 級 数 を 項 別 微 分 す る こ とに よ り,

同 じ 収 束 円 上 で 定 義 さ れ て い る.

級 数 で 定 義 され た 正 則 関 数 は 何 回 で も 微 分 可 能 で あ っ

別 微 分 を 繰 り返 して い く こ と に よ り,高

が得 られ る.こ れ らの 関数 は,す

階導 関 数 の系 列

べ て 同 じ円上―f(z)の

収 束 円上―

で定 義

され てい る正則 関 数 で あ る. ベキ級 数 と 高 階 微 分   この よ うに,ベキ 級 数 で表 わ され た 正 則 関数f(z)は,何

回で も微分 で き る こ

とがわ か る と,項 別 微 分 した 結 果

か ら,z=0と

お く こ と に よ り,f(0)=α0,f′(0)=α1,…,f(n)(0)=n!αn,…

が得 ら

れ る.   す な わ ち,ベキ 表 わ さ れ る.し

級 数 の 係 数 は,f(z)の た が っ て,テイラー

高 階 導 関 数 のz=0に

おけ る値 に よって

展 開 に 現 わ れ る の と 同 じ式 の 形 で,f(z)が

表 わ さ れ る こ と に な っ た.

ベキ級数 の一 意 性  この こ とか ら次 のベキ 級数 の 一 意性 に 関 す る結 果 が 導 かれ る.

2つ のベキ 級 数  は 正 と し,z=0の

は ともに収 束 半径 近 くで は

(2) が 成 り立 つ とす る.こ は 一 致 す る.す

の と き,こ

の2つ

のベキ 級 数

なわ ち

が 成 り立 つ.

  【証 明 】 十 分 小 さ い 正 数 εを と っ た と き,￨z￨＜

εで(2)が

成 り立 った とす る.

￨z￨＜ εで

と お く と,こ

の こ と は,￨z￨＜

=g(n)(z)(n=0,1,2,…)が

と な り,2つ

εでf(z)=g(z)を 成 り 立 つ.ゆ

意 味 し,し

た が っ て ま たf(n)(z)

えに

のベキ 級 数 は 一 致 す る.

  さ て,ベキ 級 数 は収束 円の 中で 何 回 も微 分 で き る正 則 関数 を表 わ してい る こと はす でに 知 って お り,一 方,正 則 関 数 を微 分す るに は どの方 向 か ら微 分 して も同 じ値 にな るのだ か ら,特 に実 軸方 向 に 沿 って微 分 して も よい.   この こ とに 注意 して,改 め て上 の証 明を見 る と,も う少 し弱 い形 で,ベキ 級 数 の一 意 性 の定 理 を 述べ るこ とが で き る ことがわ か る.

2つ のベキ 級数 

は ともに収 束 半径 は正 と し,

実 軸 上 の原 点 の十 分 近 くのxで は

が成 り立 つ とす る.こ の とき2つ のベキ 級数 は 同 じ収束 半 径 を もち,収 束 円上 で完全 に 一致 す る.

  この結 論 は もち ろ ん α0=β0,…,αn=βn,…が成 り立 つ とい うこ との い いか え で あ る.

ベキ級 数 か ら 生 ま れ た 正 則 関 数  ベキ 級 数 が この よ うに正 則性 と密接 に関 係 してい る こ とが わ か る と,正 則 関数 をベキ 級 数 を用 い て 導 入す る考 えは,し だい に 自然 な こ とに思 えて くる.実 際 こ の よ うに して多 くの 正 則 関数 が誕 生 して くる.   い ま,f(z),g(z)を

同 じ収 束半 径 を もつベキ 級 数 に よ って 定 義 され た 正 則 関

数 とす る:

こ の と き,αf(z)(α

は 複 素 数),f(z)+g(z),f(z)−g(z),f(z)g(z)もfとg

の 共 通 な 収 束 円 の 中 で はベキ 級 数 に 表 わ さ れ る 正 則 関 数 と な る.た

とな る.積

の 方 に は,少

とえば

し証 明 が い る の だ が こ こ で は 省 略 す る こ と に し よ う.要

す る に 整 式 の か け 算 の と き と 同 じ よ うに 形 式 的 に2つ

のベキ 級 数 を か け て,znの

係 数 を ま と め れ ば よ い と い う こ と で あ る. Tea

Time

z0を 中心 とす るベキ 級 数   い ま まで は,原 点 を中 心 とす るベキ 級 数を 考 え て きた か ら,収 束 円 はす べ て原 点 中心 の 円 とな って い た.し か しそ れ は 説 明の 便 宜上 とい う面 が 強 い の で あ っ て,実 際 はベキ 級 数 を いつ も原 点 中心 で 考 え る必要 もな い わ け で あ る.た とえ ば,z0を 中 心 とす るベキ 級 数 とは

(*) の 形 を し たベキ 級 数 の こ と で あ る.こ

の と き 座 標 を 平 行 移 動 し てw=z−z0と

お

く と,wに

つ い て は 原 点 中 心 のベキ 級 数 α0+α1w+…+αnwn+…

こ と か ら,z0を 同 じ で あ っ て,た

中 心 と す る 級 数(*)を だ 収 束 円 がz0を

考 え て も,収

と な る.こ

の

束 半 径 を 求 め る公 式 は前 と

中 心 とす る円 にか わ るだ け で あ る こ と が わ か

る.   も っ と大 胆 な 発 想 も あ る.そ で あ る.そ

の と きw=1/zと

に うつ し て い る.し

れ は 複 素 平 面 か ら リ ー マ ン球 面 へ と 目を うつ す の

い う写像は,リ

ー マ ン球 面 上 で は,0を

∞ に,∞

を0

たが って

は,∞ を 中心 とす るベキ 級 数 と見 る ことが で き る.こ れ は い わ ば北 極 中 心 のベ キ 級 数 で あ る.こ れ は南 極 中心(原 点 中心)の 見 なれ た形 の ベ キ級 数 に変換 す るに は,w=1/zと

おいて

を 考 え る と よい.

第18講 指

数

関

数

テー マ ◆

複素 数 の指 数関 数

◆(ez)'=ez ◆ 指 数 法 則:ez1+z2=ez1ez2 ◆

オ イ ラ ー の 公 式:ex+iy=ex(cosy+isiny)

◆w=ezに ◆ezの

よ るz-平 周 期 性―

◆(Tea

面 か らw-平

面 へ の写 像

周 期2πi

Time)log(-1)

複素数の指数関数   この 講 では,実 数 の とき微 分 ・積 分 で 最 も基 本 的 な関 数 と考 え られ る指 数 関 数 y=exを,複

素数zに

まで定 義 され る よ うに,関 数 の定 義 され て い る範 囲を 拡 張

した い.私 た ち の 目標 は,す べ て の複 素 数zに 対 して定 義 され た 関 数 w=ez

を つ くっ て,こ な くて,y=exと ― が,複

れ がzが

実 数 の と き は,よ

く知 っ て い る 指 数 関 数 に な る だ け で は

い う関 数 の もつ 基 本 的 な 性 質―(ex)'=ex,ex1+x2=ex1ex2な

ど

素 数 の 範 囲 で もや は り成 り立 つ よ うに した い の で あ る.

  そ の た め,指

数 関 数y=exが,テ

イラ ー展 開 に よ って

(1) と表 わ さ れ る こ と に 注 目す る.こ

の 右 辺 の(実

す べ て のxに

た が っ て,第16講

対 して 収 束 す る.し

で 述 べ た よ うに,こ も の は,す

の 右 辺 の ベ キ 級 数 で,変

べ て の 複 素 数zに

う に し て,複

変 数xに

つ い て の)ベ

の'(Ⅰ)に

数 を 実 数xか

ら,複

キ 級 数 は,

対 す る コ メ ン 卜' 素 数zに

対 し て 収 束 す る こ と に な る(収 束 半 径 ∞!).こ

かえた の よ

素 平 面全 体 で 収束 す るベ キ級 数 に よっ て定義 され た正 則 関 数 が 決 ま

る.こ

れ をezと

表 わ す こ と に す る.す

なわ ち

(2)

で あ る.   注 意  記 法 上 の こ とで あ るが,ezをexpzと 式,た

表わ す こ と もあ る.特 にzの と ころ に複 雑 な

とえ ばz5−100z3が 代 入 され た とき,eの

の中 にexp(z5−100z3)と

肩 の上 に,こ

の式 を のせ る よ り は,exp

か い た方 が鮮 明だ とい う事 情 も あ る.expは'指

数 の'の 英語

exponentialの 略 であ る.   (2)の

右 辺 がezの

定 義 を 与 え て い る の だ か ら,ezに

関 す る 性 質 は,す

ベて こ

の ベ キ 級 数 の 性 質 と し て 導 か れ て くる は ず で あ る.   ま ず,こ

の 定 義 に よ っ て,zが

て い る 指 数 関 数exと

特 に 実 数xの

と き に は,eｚ は 私 た ち の よ く知 っ

な っ て い る こ と を 注 意 し よ う.そ

exの テ イ ラ ー 展 開 を 経 由 し て,(1)の

れ は,上

に 見 た よ うに,

定 義 が 成 り立 っ て い る か ら で あ る.

  読 者 は,複 素平 面 を 思 い浮 か ベ て,実 軸上 で しか 定 義 され て い なか った 関 数exが,一

テ イ ラー展 開

気 に,

複 素 平 面全 体 で定 義 され た 関数ezへ と拡 張 され

定義

複 素数 のベ キ 級 数

た さ まを想 像 してみ る と よい.

  ベキ 級 数(2)の (1)が

収 束 半 径 は ∞ で あ る.こ れ は上 に述 べ た よ うに 実数 の場 合,

す べ て のxで 収 束 してい る こ とを既 知 とす れ ば,そ

確 か め た けれ ば,収 束 半 径 を 求 め る式(第16講(#))を

の 結論 と な る.直 接

参照 して

か らわ か る.  そ の 結 果,ezは,複

素 平面 全 体 で 定義 され た正 則 関 数 で あ って,何 回 で も微 分

で き る関 数 と な って い る ことが わ か る.ezの 分す る こ とに よ り得 られ る.す な わ ち

導 関数 は,(2)の

右辺 を項 別 に 微

  した が って 実数 の とき の よ く知 られ た微 分 の公 式 が,複 素 数 の ときに も,そ の まま成 り立 つ こ とが わ か る.

指 数 法 則

  (2)の

よ うに ベキ級 数 を 用 いて,正 則 関 数eｚ を定 義 して も,実 数 の場 合 の指

数 法 則 に対 応 す る公 式

(3) が 成 り立 つ.   【証 明 】z2を

ひ と ま ず 固 定 して,z1の

方 を 変 数 と し て 考 え る.証 明 す べ き 左 辺

は定 義 に従 え ば

(4) で あ る.こ る(こ

の 各 項 を 展 開 し て,全

体 をz1の

ベ キ 級 数 と して ま とめ る こ と が で き

こ で 項 の 順 序 を と りか え て よ い こ とは,実

こ と に よ っ て い る).こ

は ベ キ級 数 が絶 対 収 束 してい る

の 結果 を

(5) と 表 わ す と,ｎ!Anは(4)をz1に な っ て い る(前 し てz1=0と

講,'ベ

つ い てn回

キ 級 数 と高 階 微 分'の

微 分 し て,z1=0と 項 参 照).実

お くと

と な る こ とが わ か る.こ

れ を(5)に

代入す ると

お いた もの と

際,(4)をn回

微分

この式 は,証 明 すべ き式 の右 辺 で あ る.こ れ で 左辺=右 辺が 示 され て,証 明 が終 った.   この実 数 の場 合 の指 数 法則 に対応 す る公 式 が成 り立 つ の だ か ら,(2)で され たezを 実数 の場 合 と同 様 に,指

数 関 数 と よん で も,ご

定義

く自然 な こ とに感 じ

て も らえ るだ ろ う.   な お,こ の よ うに実 数 の とき成 り立 つ 指 数 法 則 が,複 素 数 で も成 り立 つ こ と は,第26講

で 述 べ る一 致 の定 理 の1つ の原 型 とな って い る.

オ イ ラ ーの 公 式  指 数 法 則(3)を

特 に,複 素数zを 実 数部 分,虚 数部 分 に わ け て, z=x+iy

に対 して 適用 す る と

と な る.こ

こ で 右 辺 に あ るeiyは,三

角 関 数 で 表 わ す こ とが で き る.実

際,(2)

か ら

と な る.最

後 の 等 式 へ うつ る と こ ろ でcos

4講 参 照).   これ で 有 名 な オ イ ラ ー の 公 式

y,sin

yの テ イ ラ ー 展 開 を 用 い た(第

が,ezの

定 義 か ら出 発 し て,完

  特 に,こ

全 に 証 明 さ れ た の で あ る.

の 公 式 に よ っ て,第4講

以 来,オ

イ ラ ー の 関 係 式 と し て 私 た ち が しば

しば 用 い て きた

が,複 素数 の立 場 に立 って,正 しい 等 式 として正 当 化 され る こ とに な った.

ｗ=ezに

よ る対 応

  この オ イラ ーの 公式 に よ って,指 数 関数 に よるz-平 面 か らw-平 面へ の対 応 z→w=ez

が,ど

の よ う な 状 況 に な っ て い る か を 調 ベ る こ とが で き る.

  オ イ ラ ー の 公 式 を 見 る と,xが0の w=eiyに

よ っ て,w-平

と き,す

面 上 の 単 位 円 周cos

な わ ちz-平

y+i

sin yへ

w-平 面 上 で は 偏 角 を 示 し て い る こ と に な る.yがz-平 と進 ん で い く と,w-平   z-平 面 上 で,虚

面 上 で は,そ

軸 を1だ

の 像 は,単

面 の 虚 軸 上 の 点iyは,

と うつ さ れ て い る.yは 面 上 で 虚 軸 を下 か ら上 へ

位 円 周 上 を ぐ る ぐ る まわ る.

け 右 に平 行 移 動 した 直 線 は z=1+iy

と表 わ され る が,こ

の 直 線 のw-平

で 与 え られ て い る.こ yは,や

面へ の像 は

れ は 原 点 中 心,半

は り こ の 対 応 で は,w-平

径eの

円 周 の 式 で あ っ て,zの

虚 数部 分

面 上 で は 偏 角 を 指 示す るパ ラ メー タの 役 目を

演 じ て い る.   こ の よ うに し て,オ

イ ラ ー の 公 式 を 改 め て 見 直 し て み る と,z=x+iyと

の 実 数 部 分,虚

数 部 分 へ の 分 解 は,w=ezに

表 示 ｅx(cos y+i

sin y)に

部 分 ｘは,wの

よ っ て,w-平

うつ され て い る と み る こ とが で き る.こ

絶 対 値 がexで

あ る こ とを 指 示 し,虚

い うz

面 で は極 形 式 に よ る の と き,実

数 部 分yは,wの

数

偏 角 がy

で あ る こ と を 指 示 し て い る.   こ の 状 況 は,次 虚 軸 と,虚

の よ うに 図 を 用 い て 示 す こ とが で き る.図65で

軸 を 右 の 方 へ1だ

け ず ら し たz=1+iyと

は,z-平

い う直 線 が,w-平

の よ う に うつ され る か を 示 し て あ る.上 に 述 べ た よ う に,こ の2直

面 の

面 上へ ど

線 は,w-平

面

上 の原 点 を 中 心 とす る2つ の 円 ―

半 径 が そ れ ぞ れ1とe―

の周 へ と うつ され て い る.   図66で は,zの が,w-平

実 数 部分x

面 上 で は 円 の 半 径ex

と して対 応 す る模 様 を 図示 して あ る.こ の とき,真 中 の 図は, 複 素平 面 を表 わ して い るわ け で は な くて,ｘ が0か

図65

ら正 の方 へ

図66

図67

進 む と,対

応 し て 半 径exは1か

方 へ 進 む と,対 え て,挿   図67で

ら 出 発 し て 急 速 に 大 き くな り,xが0か

応 し て 半 径 は1か

入 し て み た 図 で あ る.こ は,zの

ら負 の

ら急 速 に 小 さ くな る こ と を 明 示 す る よ う に,考 れ を 投 影 す る と,w-平

虚 数 部 分 がwの

面 と な る.

偏 角 に 対 応 し て い る有 様 を 描 い て い る.こ

の

図 か ら も 明 らか な よ う に,eｚ は 虚 数 方 向 に 周 期 性 を も っ て い る.

対 応z→ezの   上 に述 べ た こ とで,w=ezの

直観的な感 じ

対応 の状 況 は 語 りつ くされ てい るのだ が,虚

数方

向 に 周期 性 を もつ描 像 が,ま だ 十 分頭 の 中で 描 け ない か もしれ な い.蛇 足 か も し れ な いが,も を,z-平

う少 し直観 的 な説 明 を 加 えて お く.い ま,半 径1の 無 限 に 長 い 円筒

面 上 に横 にお き,次

(これ は 虚 数方 向の 周期 性―

に この 円 筒 にz-平 面 を ぐる ぐる と 捲 きつ け て い く 周 期2πｉ― を 表 わす).次

に この 円筒 が,柔 らか

い飴 の よ うな材 質で で き てい る と して,円 筒 の左 の 方 をず っ と細 くして,右 へ 進 む と半 径 が 急速 に大 き くな る よ うに,縦

方 向 に縮 め た り,引

き延 ば した り す る

(半径 がexで 与 え られ て い る こ とに 対応 す る).こ の よ うに して得 られ た ス ピ ー カ ーの よ うな ものを,切 口方 向 か ら見 て,w-平

図68

面 へ 射影 す る.

  こ の よ うに して 得 られ た,z-平

面 か らw-平

面 へ の 対 応 が,w=eｚ

の対 応 を 与

え て い る.

注

意

  い ま ま で の 説 明 か ら も わ か る よ うに,w-平 を み た すzは

存 在 し な い.原

存 在 す る(虚

数 方 向 の 周 期 性!).wが

zをz0と

す る と,残

点 以 外 のwに

面 の 原 点w=0に

対 し て は,w=ez

対 し て は,w=ezを

み た すzは

与 え られ た と き,w=ezを

無数に

み た す1つ

の

とい う関 係 で 対 数 関 数 を 定 義 し た.実

数

りのzは

で 与 え られ る.

Tea

Time

log(−1)は?   実 数 の と き に は,  の 範 囲 で は,x=eｙ 数xの

と な るxは

と り う る 値 は,正

よ う とす る と,や

に よ っ て,対

つ ね に 正 で あ っ た か ら,対

の 値 だ け で あ っ た.複

数 関数y=logxで,変

素 数 に 対 し て も対 数 関 数 を 導 入 し

は り同 様 の 関 係

数 関 数 を 定 義 す る こ と は 自然 な こ とだ ろ う.上 で 見 た よ うに,こ

右 辺 のz=ewで,wが

複 素 数 を い ろ い ろ 動 く と,zは0以

る.そ

れ も無 限 回 と る!こ

のzに

対 し て,logzは

  た と え ば,こ

の こ と は,左

存 在 し て,無

外 のす べ て の値 を と

辺 に うつ し て み る と,0以

外 のす べ て

限 個 の 値 を と る とい う こ と に な る.

の 定 義 に 従 っ てlog(−1)が

ｗ が 虚 軸 に 沿 っ て0か

ど の よ うな 値 に な る か 見 て み よ う.

ら πｉま で 上 っ た と き,ewは1か

ら 出 発 し て,単

上 半 部 を ま わ っ て πiに た ど りつ く.し た が っ て−1=eπi,す

位 円周 の

なわ ち

log(−1)=πi と な る.し

か し,指

数 関 数 は 虚 軸 方 向 に,2πiの

eπi+2nπi(ｎ=0,±1,±2,…).し

の

た が っ て 結 局,求

周 期 性 が あ る の だ か ら,−1= め た いlog(−1)の

値は

で あ る.   複 素 数 の 対 数 関数w=logzは,こ た 素 顔'無

限 多 価 性'を

現 わ す.複

の よ うに 実 数 の 中 で は け っ し て 見 せ な か っ 素 数 の 中 で 考 えれ ば,2の

け で は な くて,log2+2nπi(n=0,±1,±2,…)と に 限 る と し て お く と,も

ち ろ ん,2の

対 数 はlog2だ

な る.し

対 数 も,log2だ

か し,と

け で あ る.

る値 は実 数

第19講 積

分

テーマ ◆ 実 数 の と きの定 積分 の定 義,置 換 積 分 の公 式 ◆ 複 素 平 面上 の2点 を 結ぶ 道 ◆ 有 限 個 を 除 け ば滑 らかな 道 ◆ 複 素 積 分 の 定義 ◆ パ ラ メー タに よ る積 分 の表示 ◆ 積 分 を 実数 部 分 と虚 数 部 分 にわ け る

実 数 の と きの 定積 分   複 素 関数w=f(z)に

対 して も,積 分 の 考 え を導 入 した い.積

実数 の場 合 には,不 定 積 分 と定 積分 が あ った.こ

分 とい って も,

こで問 題 と したい の は,aか

ら

bま で の定 積 分

(1) の概 念 を,複 素 関 数 に対 して 複素 平 面上 へ 拡 張 して み たい とい うことで あ る.   (1)は

もち ろん 微分 ・積 分 の範 囲 の 中 でか い た式 だ か ら,y=f(x)は

実 数値

の連 続 関 数 で あ る.定 積分 の定義 に戻 る と,

(2) で 与 え ら れ て い た こ と を 思 い 出 し て お こ う.こ

で あ っ て,ξiはxi≦

こで

ξi＜xi+1を み た す 任 意 の 値 で あ る.limは,分

Max(xｉ+1−xi)を0に

近 づ け る よ うに,分

点 の最 大 幅

点 を ど ん ど ん 細 か く と っ て い った と

き の 極 限 値 を 意 味 し て い る.   (1)は

閉 区 間[a,b]に

お け るfの

積 分 で あ る.(1)は

置換 積 分 の 公式 に よ

っ て,新

し い パ ラ メ ー タtに つ い て の 積 分 と し て 表 わ す こ と も で き る.そ

べ る た め に,時

間t=0の

出 し て,ｔ=1の

と きbに

に 属 す る 点xは,こ

と き,aに

い た 自 動 車 が,数

到 着 し た と い う状 況 を 考 え よ う.こ

の 時 間tを

走 っ て い っ た と仮 定 す る.こ

向か って走 り

の と き 閉 区 間[a,b]

パ ラ メー タ として

と表 わ され る:x(0)=a,x(1)=b.私

て,x′(t)は

直 線 をbに

れ を述

た ち は,自

動 車 はaか

の 仮 定 は 数 学 的 に はx(t)は

らbま

で,滑

らか に

微 分 可 能 な関 数 で あ っ

連 続 を 仮 定 し た こ と に な る.

  こ の と き 置 換 積 分 の公 式 に よ る と

(3) が 成 り立 つ.

複素平面 上の道

  さて,こ の 講義 の流 れ の 中 では,数 直 線 は,複 素 平面 の 中 で,い わ ば 西 か ら東 へ と ど こまで も一直 線 に延 び る一 本 の道―

実軸―

として 実現 され て い る とい

う立 場 を とって い る.そ こで 改 めて 複 素平 面 の立 場 か ら上 の 考 察 をみ て み る と, た とえ 数直 線 上 の(実 軸 上 の)2点a,bと 動 車 の 進 路 として,こ の一 本 の 道―

して も,aか 実 軸―

ら出発 してbへ 向 か う自

だけ に限 って し ま うのは 少 し狭 い

の では な いか とい う感 じが して くる.自 動 車 は,複 素 平面 の中 を,勝 手 にの び の び と走 って よい の で は ない か.   一 般 に,複 素 平 面 上 に あ る2点 α,βを と って,α か ら βへ 向か って走 って い く 自動 車 を 考 え る こ とにす る.複 素平 面 は,数 直 線 に比 べ れ ば,広 い 野原 の よ うな ものだ か ら,α か ら βへ 行 くの に,特 に決 ま った 道 は ない.む

しろ,こ の 自動 車

が 進 んだ 軌跡 が,α と βを結 ぶ1つ の 道 を決 め た のだ と考 えた 方 が よいだ ろ う. そ こで次 の 定義 を お く.   【定 義 】 複素 平 面 上 に2点 α,βが 与 え られ た とす る.区 間[0,1]か 面 へ の連 続写 像z(t)で

ら複 素 平

を みた す もの を,α と βを結 ぶ 道 とい う.  注意 この定義は第12講 で領域 の定義を与えた際に述べたもの と一致 してい る. 有 限 個 の 点 を除 け ば 滑 らか な 道 α と βを結 ぶ 道

が 与 え られ た と す る.各tに

対 し てz(t)を

実 数 部 分,虚

数 部分 に よ って

と表 わ す こ と が で き る.   私 た ち は,α

と β を 結 ぶ 道Cに

つ い て は,次

の条 件 をみ た して い る も のを考 え

る こ と に し よ う. 【条 件 】x′(t),y′(t)は   こ の 条 件 は,自 が,有

有 限 個 の 点 を 除 い て 存 在 し て 連 続 で あ る.

動 車 の動 き

限 個 の点 を 除け ば ス ム

ー スで あ る こ と を 示 し て い る.図

の 上 で は,道

線 に 沿 っ て,有

を示す曲

限個 の 点 を 除

け ば 速 度 ベ ク ト ル(x′(t), y′(t))が 引 け て,そ

図69

れが時間

tと と も に 連 続 的 に 変 わ る こ とを 意 味 し て い る.   な お,α=β

の 場 合 も考 え る こ と に す る.α=β

z(t1)≠z(t2)が

成 り立 つ な らば,こ

い う(【 条 件 】 を つ け て い る か ら,正 う).こ

の 場 合 は,自

の と き,0≦t1＜t2＜1に

の 道 を 単 一 閉 曲 線,ま 確 に は,部

分 的 にC1-級

素 平 面 の 領 域D上

で 定義 され た連 続 関数 w=f(z)

を 考 え よ う.D内

の 単一 閉 曲線 とい

動 車 が サ ー キ ッ ト コ ー ス を 一 周 す る よ う な 感 じ で あ る.

複 素 積 分 の 定 義

  い ま,複

対 し て,

た は ジ ョル ダ ン 曲 線 と

の2点

α,βと,α

と βを 結 ぶD内

の道

が 与 え ら れ た とす る.こ 義 し た い.そ (2)で

の と き,道Cに

れ に は,実

沿 う,α か ら β ま で のf(z)の

軸 上 に あ る道 に 沿 う,aか

定 義 さ れ て い る の に 見 習 っ て,こ

らbま

積 分 を定

で の 積 分(1)が,

の 定 義 を そ っ く り そ の ま ま拡 張 し た 形

で 用 い る と よ い. 【定 義 】 道Cに

沿 う,α か ら β ま で のf(z)の

複 素 積分 を

(4) に よ っ て 定 義 す る.こ

こ で 右 辺 の 極 限 値 は,α

(t1＜t2＜ … ＜tｎ)を い ろ い ろ に と っ て,こ

を0に

と β の 間 のC上

の分 点

の 最 大幅

近 づ け た と き の 極 限 値 を 示 し て い る.ξ ｉ

は,C上

でziとzi+1の

間 に あ る任 意 の 点 で あ る.

  こ の 極 限 値 が 存 在 す る こ と は,f(z)の 性 か ら(実

際 はf(z)をC上

に制 限 した とき に

一 様 連 続 性 を も つ こ とか ら)示 る.そ

の 証 明 は,微

連続

す こ と が で き

積 分 の教 科 書 に あ る(2)

の 右 辺 の 存 在 証 明 と 同 様 で あ る(『 解 析 入 門30 講 』 第20講   (4)で

図70

参 照). 注 意 す る こ と は,右

辺 のzi+1−ziは,複

素 数 の 差 で あ っ て,ziとzi+1

を 結 ぶ 線 分 の 長 さ を 示 し て い る わ け で は な い と い う こ と で あ る.zi+1−ziは,複 素 平 面 上 で は,ベ

ク トルzizi+1で あ り,し

ク トル が 適 当 に 拡 大(￨f(ξi)￨倍),回 て い る.(4)の

た が っ てf(ξi)(zi+1−zi)は,こ

転(argf(ξi)だ

右 辺 に 現 わ れ る 和 は,こ

け!)さ

のベ

れ た ものを 示 し

の よ うな ベ ク トル の 和 と し て 表 わ さ れ

る 複 素 数 を 示 し て い る.   そ の 意 味 で,定 ∫c(z)dzに

は,も

義 の 形 式 だ け は 実 数 の 場 合 の(2)を

借 用 し た が,複

う グ ラ フ の つ くる 面 積 な ど とい う意 味 は 消 滅 し て,関

の 平 均 的 な 挙 動 を 示 す,ま

っ た く別 な も の と な っ て い る.と

こ ろ が,こ

素積分 数 ∫(z) の 複 素積

分 の定 義 は,正 則 性 と深 くか かわ り合 って い る.そ れ が これ か らの主 題 に な って くる ので あ る. パ ラ メー タ に よ る 表 示   複 素 積 分 の定 義 式(4)は,そ ら,置 換 積 分 の公 式(3)が

の形 式 だ け でみ る限 り,(2)と 成 り立 った 状況 は,そ

場 合 に も引 き継 が れ る.特 に,道Cを

同 じな の だ か

っ く りそ の ま ま,複 素 積 分 の

示 す パ ラ メー タt(0≦t≦1)に

よって 複 素

積 分 ∫cf(z)dzを 表 わす こ とが で き る.   実 際,

とお くと

と な る.   な お,こ

の よ うな 積 分 の パ ラ メ ー タ表 示 は,一

点 で0,終

点 で1と

般 に 成 り立 つ こ と で あ って,始

な る パ ラ メ ー タ だ け に 限 っ て 成 り立 つ とい うわ け で は な い.

  た と え ば,α=1,β=ｉ

の と き,1か

ら 出 発 し て 単 位 円 周 に 沿 っ てiに 至 る 道 は

と表 わ され る.こ の 道 に沿 う複素 積 分 は

とな って,パ

ラ メー タ θに関 す る積 分 として表 わ され る.

  いず れ に して も,こ

こで改 め て 複 素 積分(4)の

定義 を 見 直 して み る と,道

Cを 表 わ す パ ラ メー タの と り方 に は よ らな い形 で積 分 が 定義 され てい る こ とに気 が つ くだ ろ う.同 じ道 を 自動 車 が速 く走 ろ うが,ゆ 値 に は関 係 しな いの で あ る.

っ くり走 ろ うが,複 素 積 分 の

実 数 部 分 と虚 数 部 分 に よ る 表 示 与 え られ た連 続 関 数f(z)を

実 数 部分,虚 数 部 分 にわ け て

と表わ す と,対 応 して 複素 積 分(4)も,実

数 部 分,虚 数 部分 にわ け て表 示 す る

こ とが で き る.

こ こ で,第2式 (4)式

か ら第3式

へ うつ る と き,dzをdx+idyに

お き か え た の は,

の 右 辺 でzi+1−ziを

に お き か え て,極

限へ う

つ った式 を 表 わ し て い る.   した が っ て た と え ば ∫cudxは,図71の

右

で 示 し た よ う に,C上

で

のu(x,y)の

値 に,Cを 図71

階 段状 にわ け た ときの 横 の 進 みxi+1−xiを

か け て,加

え て 極 限 を と っ た も の と な って い る. Tea

Time

質 問   αか ら βへ 行 く道 の と り方 な ど,い くらで もあ ります.た

とえば,東 京 か

ら名 古屋 へ 行 く道 に して も,東 海 道 を通 るか,甲 府 の方 を まわ る中 仙 道 を通 るか, あ るい は 上 越か ら北 陸 へ 出 て,大 き く迂 回 して名 古 屋へ 行 く道 だ って考 え られ ま

す.ふ

つ うの 常 識 で は,遠

ま わ りし た 方 が,旅 費 に し て も,距 離 に して も,ず っ と

大 きな 値 とな ります.複 素 積 分∫cf(z)dzの に よ って い ます が,こ

値 は,α か ら βへ 行 く道Cの

と り方

うした 日常的 な 考 え の入 る余 地 は な い の で し ょうか.

答  そ の よ うな考 え は,複 素 積 分 に対 して は適 用 され ない の で あ る.そ れ は 講義 で も述 べ た よ うに,複 素 積分 の値 は 複素 数 で あ って,積 分 は ベ ク トルの 和 の極 限 で あ る.ベ ク トル に,大 小 の 関係 は な いの で あ る.い くつ もの ベ ク トルを,次 々 に 終点 を始 点へ つ な ぎ なが ら和 を と ってい くとき,も し,こ の図 形が 閉 じた多 角 形 とな って しま えば,こ の 和 は0で あ る.複 素積 分 の値 に対 して,実 数 の よ うな 大 小関 係 を ど こか頭 の隅 で 予 想 して い る と,こ れ か らの議 論 を 誤 解 させ る こ とに な るか もしれ な い.複 素 積 分 は,Cに

沿 うf(z)の

の 極 限 で あ る とい う見 方 を 忘 れ な いで ほ しい.

あ る挙 動 を 示 す ベ ク トル の和

第20講 複素積分の性質 テーマ ◆ 複 素 積分 は,始 点,終 点 を 決 め て も,道 の と り方 に よ って,一 般 に は異 なる値 を と る. ◆ 複 素 積 分 につ い ての 基 本 的 な性 質:道 のつ な ぎ,逆 向 き の道,積 分 路 の細 分 ◆ 閉 曲線 に沿 う積 分

複 素 積 分 は 一 般 に は 道 の と り方 で 違 う   複素 積 分 につ いて ご く基 本 的 な性 質 を述 べ るこ と か ら は じめ よ う.複 素 積 分 ∫cf(z)dzは,端

点 α,βの と り方 だ け に よ る の で は な く,α か ら βへ 行 く道 の と

り方 に も よ っ て い る.そ 【例1】z=x+iyに

の よ うな 例 を あ げ て お こ う.

対 し て,そ

の実 数部 分 を とる関 数 ｆ(z)=x

を 考 え る.α=0,β=1+ｉ

と し,α か ら βへ 行 く道 と し て2つ

の 道C1,C2を

考 え

る.   C1は,ま

ず 実 軸 に 沿 っ て0か

ら1ま

進 ん で1+iに

達 す る 道 とす る(図72).こ

  C２ は,0か

ら1+iへ,線

の 道 はt+it(0≦t≦1)と

で 進 み,1か

ら虚 軸 に 平 行 な 方 向 に1だ

のとき

分 に 沿 っ て 直 進 す る 道 と す る(図72).こ 表 わ され る.こ

け

の とき には

の線 分 上

した が って

で あ る. 【例2】z=x+iyに

対 し て,そ

の 共 役 複素 数 を対 応

させ る関数 図72

を 考 え る.α=0,β=1と ら1ま

し て,α

で 行 く道 を と る と,実

  ま た,0か

ら1へ

達 し,次

と る.こ

に1+ｉ

の 道 をC2と

軸 上 で はg(z)=xだ

行 く別 の 道 と し て,ま

で 虚 軸 に 沿 っ て 進 み,次 +iに

か ら β へ 行 く道C1と

ず0か

し て,実

軸 に 沿 って0か

か ら

らiま

に 実 軸 に 平 行 な 方 向 を 進 ん で1

か ら1へ す る.こ

と縦 方 向 に 直 進 す る 道 を 図73

の とき

した が って

で あ る.

い くつ か の 性 質

 こ の よ うな 例 を 見 て い る と,∫cf(z)dzの

積 分 す る道Cの

端 点 α,βだ け で は な くて,

と り方 に も よるの は,む しろ 当然 の こ とだ と思 えて くる.そ れ で

は 関 数 に よ っ て は,∫cf(z)dzの で,α

値 は,Cの

値 が,α

か ら βへ 行 く道 の と り 方 に は よ らな い

と βだ け で 決 ま る とい う こ とが あ る の だ ろ うか.実 は こ の 性 質 は 関 数f(z)

が 正 則 で あ る と い う性 質 と密 接 に 関 連 し 合 っ て い る.   こ の 主 題 に 入 る 前 に,複

素 積 分 に つ い て い くつ か の 基 本 的 な 性 質 を 述 べ て お こ

う.   (Ⅰ)道

のつ な ぎ

  αか ら βへ の 道C1:z=z1(t)(0≦t≦1)と,β t≦1)が

あ る と,C1とC2を

が 得 られ る.z3(t)と

βで つ な ぐ こ と に よ り,α か ら γへ の 道C3:z=z3(t)

し て は,た

を と る こ とが で き る.こ

か ら γ へ の 道C2:z=z2(t)(0≦

とえ ば

のとき

(1) が 成 り立 つ.   読 者 の 中 に は,C3を

表 わ す道 の パ ラ メー タを

の よ う に と りか え て も(1)が

成 り立 つ の か と 思 う人 が お られ る か も し れ な い

が,前

講 で も注 意 し て お い た よ う に,も

道Cを

表 わ す パ ラ メ ー タ に よ らな い よ う に 定 義 し て お い た の で あ る.実

を 示 す に は,パ

と も と 複 素 積 分 の 定 義(前

講(4))は,

ラ メ ー タ表 示 に お き 直 さ な く と も,

こ の 複 素 積 分 の 定 義 に 直 接 戻 っ て 確 か め る と よ い.   (Ⅱ)  逆 向 き の 道   α か ら β へ の 道C:z=z(t)(0≦t≦1)が れ る と,こ

の 道 を 逆 に た ど っ て い く こ と に よ り,

βか ら αへ の 道 が 得 ら れ る.こ す.

 こ の と き

与 え ら

の 道 を−Cで

表わ

図74

際(1)

が 成 り立 つ.   こ れ を 示 す に は,前

講(4)の

む 向 き が 逆 に な っ て),−Cに

式 でzi+1−ziを,zi−

ｚi+1と お き か え る と(進

沿 っ て の β か ら α へ の 複 素 積 分 とな っ て い る こ と

に 注 意 す る と よ い.   (Ⅲ)  積 分 路 の 細 分   領 域Dが

与 え られ て い る と す る.Dの2点

ら βへ 行 く道Cは,始 と し よ う.す な わ ちCは 終 点 β(=α)に

α と βが 一 致 し て い る と き,α

点 と 終 点 が 一 致 し て,閉

か

じ た 曲 線 に な る.Cは

単 一 閉 曲線

自分 自 身 と交 差 す る こ とは な い とす る.Cが

始 点 αか ら

向 け て 進 む と き,左

手 に 見 え る 側 をCの

内 部 とい う こ と に す る.

こ の と き 次 の 条 件 を お く こ と に す る. (☆)Cの

内 部 はDの

  こ の 条 件 の 意 味 す る も の は,図75を た し て い る.(b)は,Cの

内 部 にDに

た し て い な い.(c)は,Cの は(☆)を   (☆)を き る.こ

点 か ら な る.

見 る と は っ き りす る.(a)は(☆)を

み

属 し な い 点 を 含 ん で い る か ら(☆)を

向 きが(a)の

場 合 と 逆 に な っ て お り,こ

み

のとき

み た し て い な い. み た すD内

の 単 一 閉 曲 線Cは,い

くつ か の 単 一 閉 曲 線 に 細 か く分 割 で

の 分 割 で き る と い う こ と に 関 す る 形 式 的 な 定 義 を 与 え る よ りは,図76

(b)

(a)

(c)

図75 を 見 て も ら っ た 方 が わ か りや す い.要 い て,そ

す る に,Cの

内 部 に い くつ か の 分 断 線 を 引

の 分 断 線 を 往 復 す る と い う コ ー ス を 加 え る の で あ る.注

こ う し て も,Cに

沿 っ て は,道

は1回

意 す る こ とは

,

き り し か 通 っ て い な い と い う こ と で あ る.

図76で

は,Cは,C1,C2,…,C8に

細 分 され て い る.図76の C1,C2,…,C8の

道 を,ひ

分 離 し て か い て み た.上

下 の 図 で は, とまず 別 々に の 図 で,P,Q

を 通 る 分 断 線 は,C1で1回,C2で1 回 通 る が こ れ は 逆 向 き の 道 で あ る. (Ⅱ)で

述 べ た こ とか ら,C1に

素 積 分 と,C2に

沿 う複

沿 う複 素 積 分 は,こ

と こ ろ で は 打 消 し 合 う.お

の

の お の の分

断 線 で こ の こ と が 成 り立 っ て い る.し た が っ て 結 局,D上 関 数.f(z)に

図76

で 定 義 され た 連 続

対 して

が 成 り立 つ こ と に な る.

閉曲線に沿 う積分   領 域D内

の1点

え る.Cは(☆)を   C上 Cは,α

周 し て α に 戻 るD内

の 単 一 閉 曲 線Cを

考

み た し て い る とす る.

に あ る,α 以 外 の1点

γを と る.こ

か ら γへ 行 く道C1と,γ

に 戻 る 道C2を て,D上

α か ら 出 発 し て,一

の と き,道

か らさ らに進 ん で α

つ な い だ もの と な っ て い る.し

で 定 義 さ れ た 連 続 関 数f(z)に

たが っ

対 して

図77 い ま,C2=−C2と こ の と き(Ⅱ)か

が 成 り立 つ.

お く.C2は ら

α か ら γへ,C1と

別 の 道 を 通 っ て 行 く道 で あ る.

し た が っ て,も

し

(2) か成 り立 つ な らば

(3) が 成 り立 つ.す

な わ ち,α

複 素 積 分 し て も,同

(2)の

の 異 な る道C1,C2に

成 り立 て ば(2)が

の と り方 に よ ら な い で,始

成 り立 っ て い る.す

な わ ち,複

素

点 と 終 点 に し か よ ら な い とい う性 質 は,

性 質 と 密 接 に 関 係 し て い る こ と が 推 察 さ れ る の で あ る.

Tea

Time

質 問   この講 の最初 の例 を 見 て い ます と,複 素積 分  に よ る の は,ご な い で,こ

く当 り前 の こ と に 思 え て き ま した.か

が,道Cの え っ て,道

と り方

の と り方 に よ ら

の 値 が 始 点 と終 点 だ け で 決 ま っ て し ま う よ うな 場 合 が 本 当 に あ る の だ

ろ うか とい う こ とが,疑

わ し い 気 分 に な っ て き ま す.も

Cの と り方 に は よ ら な い で,始 ―

沿 ってf(z)を

じ 値 と な る とい う こ と で あ る.

  逆 に こ の 場 合,(3)が 積 分 が,道

か ら γへ 行 く2つ

し  の値 が,道 点 α と終 点 βに しか よ らない 場 合 が あ るな らば

そ れ は 正 則性 と関係 す る とい うお 話 で した が―,そ

の と き は 複素 積 分 は 

とか い て も よ い こ と に な りま す ね.

  複素 数 の 世 界 の こ ととは 別 の こ とか も しれ ませ ん が,私 た ち の 日常 の経 験 の 中 で,ど の 道 を 通 った か は 無 関 係 で,始 点 と終 点 に しか よ らない 例 とい うのは,あ るの で し ょ うか. 答   確 か に,日 常 の 経 験 の 中 で,長 い 道 の りを 歩 ん で も,短 い道 の りを 歩 ん で も, 結 果 に関 係 は な く,始 点 と終 点 とだ け で 決 ま る量 とい うの は少 な い か も し れ な い.し か し,た とえ ば,富 士 山麗 の あ る地 点 か ら,富 士 山 頂 へ 上 る とき,実 際 に どれ だ け の 高 さを 上 った か とい うこ とは,登 山道 の選 び 方 には 関 係 は な い.す な わ ち,実 際 に上 った'高 さ'は,登 た ’ 高 さ'に 関係 す る量,た

った道 の と り方 には よ らな い.し た が って ま

とえば 気圧 差 とか,重 力差 な ども,道 の と り方 に よ

ら な い.道

が 上 下 を 繰 り返 せ ば,気

頂 に 着 い た と き に は,上

圧 は 上 が っ た り下 が っ た りす る だ ろ うが,山

が っ た り下 が っ た り し た 分 は 相 殺 さ れ て,い

と な っ て し ま う の で あ る.

つ も同 じ値

第21講 複素積分 と正則性 テーマ ◆ 積 分 路 の と り方 に よらず 積 分 が確 定 す る場 合:不 定 積 分 が存 在 す る とき ◆f(z)が

整 式 の とき,積 分 路 の と り方 に よ らな い.

◆f(z)が

ベ キ級 数 の とき,積 分 路 の と り方 に よらな い.

◆ コー シ ーの 積分 定 理 の定 式 化 ◆ 微 分 可 能性 と複 素 積 分(局 所 的 な様 相) ◆ コー シ ーの積 分 定 理 に つ いて の解 説:局 所 性 か ら大域 性 へ

道 の と り方 に よ ら な い 場 合   い ま,領 域D上

で 定義 され た連 続 な複 素 関数f(z)が,あ

る正 則 関 数F(z)の

導 関 数 と して表 わ され てい た とす る: f(z)=F′(z)  この とき,D内 も,複

(1)

の2点 α,βに対 し,α と βを結 ぶD内

素 積 分 

の どの よ うな道 を と って

の値 はCに は よら ない一 定 の 値 を とる.す

なわ ち次 の 命

題 が 成 り立 つ.

f(z)が(1)を

み た す と き,α

【証 明 】 道Cをz=z(t)(0≦t≦1)と =α,z(1)=β

パ ラ メ ー タtに

で あ る.F(t)=F(z(t))と

分 の 定 義 に 戻 る と(実

微 分 可能 な関 数 で

対 して

よ っ て 表 示 し て お く.z(0)

お くと ,F(t)は,区

義 され た 複 素 数 値 を と る 関 数 と な る.微 数 の 微 分 と同 様 の 考 え で),F(t)は

と β を 結 ぶ 道Cに

間[0,1]上

で定

数 の ときの合 成 関

が 成 り立 つ こ と は,す

ぐ に 確 か め られ る.し

た が っ て,第19講

の'パ

ラ メー タ

に よ る 表 示'の 項 を 参 照 す る と

これ で証 明 され た.  た とえばzの 多項 式

は,

に よ って, f(z)=F′(z) と表 わ さ れ る.し は,道   す な わ ち,私 分 路Cを

た が っ て,上 の 結 果 に よ っ て,多 項 式f(z)に の と り方 に よ ら ず,始

た ち は,多

つ い て は 複 素 積 分 

点と 終 点 だ け で 値 が 決 ま っ て し ま う.

項 式 に つ い て は,始

点 と 終 点 さ え わ か っ て い れ ば,積

特 に 指 定 し な い で 積 分 を 計 算 し て も よ い の で あ る.た

とえ ば

理論の構 図  誰 で も考 え る こ とで あ ろ うが,多 項 式 で 正 しけ れ ば,ベ キ級 数 で も正 しい に違 い ない.実 際,ベ キ 級数

が 与 え られ,こ

の 収 束 半 径 は 正 とす る.こ

の と きf(z)は,収

束 円 の内 部 の領域

Dで正 則 関数 を表 わ す.こ の ときベ キ級 数

は,fと

同 じ収 束 半 径 を もち f(z)=F′(z)

と い う関 係 が 成 り立 つ(第16講,'ベ

キ 級 数 の 基 本 的 な 性 質'の(Ⅲ)参

照).し

た が って

ベ キ級 数 で 表 わ され る正 則 関数f(z)に は,道Cの

前 講 の'閉

対 して,収 束 円 内 での 複 素積 分 

と り方 に よ らず,始

曲 線 に 沿 う積 分'の

点 と終 点 だ け で 値 が 決 ま る.

項 と参 照 す る と,こ

れ は次 の よ うにい いか え て

も よ い.

ベ キ級 数 で表 わ され る正 則 関数 をf(z)と る任意 の単 一 閉 曲線Cに

す る.こ の とき収束 円内 に あ

対し

が 成 り立 つ.

  そ れ で は,こ の結 果 は'ベ キ級 数 で表 わ され る正 則 関 数'に 対 して だけ 成 り立 つ 性 質 な の だ ろ うか.   ところ が驚 くべ き こ とに,こ 部 分 が,領 域Dの

の結 果 は'単

一 閉 曲線Cに

囲 まれ て い る 内 部 の

中 に含 まれ てい る'と い う条件 を お くだ け で,'任 意 の'正 則

関数 に対 して も成 り立 って し ま うの であ る.こ れ を コ ーシ ーの 積分 定理 とい う. 以下 で この 証 明 の 筋道 を 順次 追 ってみ よ う. コ ー シ ー の 積 分 定 理―

序曲

  まず コ ー シー の積 分 定理 を明 確 な形 で 述べ て お こ う.

【定 理(コ ー シーの 積 分 定理)】f(z)を

領 域Dで

を領 域D内

よっ て囲 まれ る有 界 な 部分 は すべ て領 域

に あ る単 一 閉 曲線 と し,Cに

定 義 され た 正 則 関数 とす る.C

Dに

属 して い る と す る.こ

のとき

(1) が 成 り立 つ.

  単 一 閉 曲線 に 関 す る1つ の 性質 と して,単 一 閉 曲線 は平 面 を2つ の部 分 にわ け る こ とが知 られ て い る.一 方 は有 界 な範 囲(内 部)と な り,他 方 は￨z￨→ るzを 含む 非 有 界 な範 囲(外 部)で あ る.仮 定 は,こ 界 な範 囲 の方 が 完全 にDに

のCに

∞ とな

よ って 限 ら れ た有

含 まれ てい る とい うこ とであ る.Cの

内部 に(Dに 属

して い な い)'穴'な どあ い て いな い,と い った方 が わ か りや す いか も しれ な い.   この コー シー の 定理 の 最 も興 味 あ る点 は,な ぜ各 点 で微 分 可 能 で あ る とい う正 則 性 の 性質 が,ぐ る りと積 分 路 を一 周 す る と0に な る とい う性 質 を導 くこ とが で き るの か,と い う こ とで あ る.正 則 性 は,各 点 の まわ りで関 数 の もつ 局 所 的 な 性 質 で あ るが,積 分 路 を一 周 して0に な る とい う性質 は,明

らか に 関数 の大 域 的 な

性 質 に関係 して い る.   これ に相 当 す る よ うな定理 は,実 数 の微 分 ・積 分 に は なか った の だか ら,こ の 定 理 の 背景 に は,複

素 平 面 上 で の微 分 の 定義 と,複 素 積 分 とい う考 え方 が あ っ

て,そ れ らが 色 濃 く複 素数 の性 質 を 反 映 して い る に違 い な い.ま ず そ の点 を 解 明 して い こ う.

微 分 可 能 性 と 複 素 積 分(局 関数f(z)がz=z0で

所 的 な 様 相)

微 分 可能 であ る とい うこ とは

が成 り立 つ こと であ る.し た が ってzがz0に

十 分 近 い範 囲 では 近似 式

(2) が 成 り立 っ て い る.

右辺 はzに 関 す る1次 式 だ か ら,任 意 の単 一 閉 曲線Cに

沿 って

が 成 り立 つ.し

た が っ て(2)か

ら,z0を

中 に 含 む 十 分 小 さ い 単 一閉 曲線Cに

沿

って は

(3) と な る こ とが わ か る.

微 分 可 能 性 と 均 質 的 な様 相   こ の 近 似 式 を 導 い た だ け で は,何

の こ とか よ くわ か ら な い か も し れ な い か ら,

も う少 し 説 明 を 加 えて お こ う.   z0に お い て,fの

微 分 可 能 性 を 示 す 式(2)は,複

素 平 面 上 でf(z)は

うな 場 所 に あ る こ と を 示 し て い る.い

まf′(z0)≠0と

は,f(z0)を

始 点 と し,長

長 さ の￨f′(z0)￨倍

argf′(z0)だ

け 回 転 さ せ て 得 ら れ る ベ ク トル の ご く近 く に あ る.

  図78で う に,こ

さ をz0zの

次の よ

し よ う.ベ ク トルf(z0)f(z) に と り,偏

角 をz0zか

ら

見 る とわ か る よ の こ と は,f(z)の

値 の分 布 の 状 況 が,f(z0)の ま わ りで,大 体 均 質 と な っ て い る こ とを 意 味 し て い る. す な わ ち,z0で

水 が四 方 に

広 が って い く状 況 に 対 応 し て,f(z0)か

ら も,大

体 同

じ よ うな状 況 で水 が広 が っ て い く.等

図78

角 性 の と こ ろ(96頁)で

も,似

た よ うな 話 が あ っ た こ と を 思 い 出 さ

れ る 読 者 も 多 い か も し れ な い.   (3)で は,複

述 べ て い る こ と は,こ

の よ うな 値 の 分 布 が ほ ぼ 均 質 で あ る と い う 状 況

素 積 分 で 一 周 し て み る と,近

こ とで あ る.実

際,1次

あ り,こ の と き に は,一

似 的 に0で

式 の と き に は,値

あ る とい うこ とで示 され る とい う

の 分 布 し て い る 状 況 が,完

周 し た 複 素 積 分 の 値 は0に

全に均質で

等 し く な っ て い る.

局 所 性 か ら大 域 性 へ   こ の 正 則 性 に 関 す るf(z)の で 述 べ られ て い る よ う な,大   今 度 は,複

局 所 的 な 様 相(3)を,コ

域 的 な 形 に ま で 定 式 化 で き る の は なぜ だ ろ うか.

素 積 分 の 道 は,い

く らで も 細 分 で

き る と い う性 質 が 効 い て く る.い め,コ

ー シ ー の 積 分 定 理(1)に

路 と し て,D内

て い る,小

ま簡単 の た 現 わ れ る積 分

の 三 角 形 の 周Cを

で 示 し た よ う に,Cは

ー シ ー の 積 分 定 理(1)

と る.図79

この 三 角 形 の 中 に か か れ

さ な 三 角 形 の 周 を まわ る 積 分 路 か ら

図79

組 み 立 て ら れ て い る と み て よ い.

  この小 さな三 角 形 の周 の1つ を△ とす る.も し 三角 形が 十分 小 さけ れば,こ の 三 角 形 で のfの 正 則 性 が,△ を まわ る複 素積 分 に反 映 して,(3)か

と な る.△

→0と

す る と,こ

ら

の 近 似 の 度 合 は ど ん ど ん よ くな っ て 

と な る.

 しか し,も

と も との 積 分 

は,こ

れ ら小 三 角形 の周 上 の積 分 の和 とな

っ て い る.

(4)   1つ1つ

が 小 さ い も の を 加 え た と き,小

い く場 合 とが あ る.小

さ くな っ て い く場 合 と,大

さ くな っ て い く場 合 と し て は,た

と え ば1つ1つ

の 速 さで0に 近 づ くものをn個 加 えた とき には,全 体 の和 は  て,n→

∞ の と き0に

  次 講 で 示 す よ う に,実 さ が,全

辺 →0と

の 項 が  とな っ

近 づ く. 際 は(4)で,1つ1つ

の 

部 を 加 え た 結 果 を 押 え る く らい 速 い の で,(4)で

くす る と,右

き くな っ て

な り,結 局

が 小 さ くな る 速 細 分を どん どん 細か

が 示 され るの であ る.   ここ に述 べ た のは,コ ー シー の積 分 定理 の証 明 の ア イデ ィア で あ る.最 後 の 論 点 は 微 妙 で,こ れ は 数学 的 に厳 密 に証 明 しな い限 り,成 り立 つか ど うか,誰

にも

想 像 で きな い こ とで あ る.   この数 学 的 な証 明 は,次 講 で 与 え る こ とに し よ う.

Tea

Time

質 問   複 素 数 の 意 味 で 微 分 可 能 と い うこ とは,関

数 が1点

て い く よ うな 状 況 に な っ て い る こ とだ と い う説 明 は,本 た.複

素 数 で は,直

線 に 沿 っ て の 微 分 で は な くて,こ

か わ か り ま せ ん が,`平 し た.こ

面 に 沿 う'微

の よ うな 考 え で,コ

の 近 くで,水

が広 が っ

当 に新 鮮 な感 じが しま し うい うい い 方 が 適 切 か ど う

分 を 考 え て い る の だ な と い う実 感 が 湧 き ま

ー シ ー の 積 分 定 理 を 説 明 し て い た だ くこ と が で き ま

す か. 答   `た と え'で しか し,大 で'水

は,コ

ー シ ー の 積 分 定 理 を 説 明 す る こ とは,な

体 の 感 じ を 伝 え る こ と は で き る か も し れ な い.実

か な か 難 し い.

際 の 水 面 で も`各

点

が 広 が っ て い く模 様 は な か な か 想 像 し に くい か ら,少

し 状 況 を 変 え て,1点z0に

入 る ベ ク トル で,ち

側 に あ る も の の 向 き を 逆 に す る.そ

ょ う ど反 対

うす る と,z0に1つ

の方

向 か ら入 る 水 量 と 同 じ 水 量 が 出 て い く と い う状 況 に な っ て, こ の 状 況 が,近

似 的 に,fで

うつ した と きf(z0)の

近 くで も

成 り立 つ こ と に な る.

 各 点 で こ の状 況 が起 きて い るな らば,Cと

図80

い う堤 防を つ くって,こ の堤 防 に沿

って のfの ベ ク トル で示 され る水 の 全変 量 を観 測 して も,入 って きた水 は 同 じ量 だけ必 ず 出て い くとい う状況 は 変 わ らな い だ ろ う.す なわ ち,各 点 の まわ りで お き る局 所 的 な状況 が,堤 防 に沿 う大域 的 な状 況 へ と反 映 した の であ る.こ の局 所 性か ら大 域 性へ の移 行 が,複 素積 分 の 概 念 に よって,う ま く捉 え られ る.こ れ が, ご く大 雑 把 に コー シ ーの 積分 定理 を 説 明 した こ とに な っ てい る.

第22講 コ ー シ ーの 積 分 定 理 の 証 明 テー マ ◆ 積 分 の 絶対 値 に関 す る不 等 式 ◆ コー シ ー の積 分 定理 は,積 分路 が 多 角形 の周 の とき示 す と よい. ◆ コー シ ー の積 分 定理 は,積 分路 が 三 角形 の 周 の とき示 す と よい. ◆ コー シー の積 分 定理 の証 明 ◆ 単 位 円 周 に沿 って のzn(n=0,±1,±2,…)の ◆(Tea

積分

Time)

積 分 の 絶 対 値 に関 す る 不 等 式 次の不等式が成 り立つ.

この右 辺 の積 分 の意 味 は,以 下 の証 明 か ら明 らか とな るだ ろ う. 【証 明】

  す な わ ち,右

辺 でd￨z￨と

￨z3−z2￨,…,￨zn−zn−1￨に も しf(z)が

恒 等 的 に1に

か い た の は,分

点z1,z2,…,znの

注 目 し て￨f(z)￨をC上

間 の 長 さ￨z2−z1￨,

で 積 分 した こ と を 示 し て い る.

等 し い な らば,

の長 さ とな る(こ れ を微 分 可 能 な 曲線 の長 さの 定義 と して よい!).し

た が って また

な らば LはCの

長さ

が成 り立つ. 積 分 路 を 三 角 形 の周 に と る   前 講 の コ ーシ ー の積 分 定理 に述 べ られ て い る条 件 を 改 め て設 定 す る.領 域D,D内 の 内部 が す べ てDの

で正 則 な関 数f(z),そ

点 か らな る単 一 閉 曲線Cが

与え

られ た とす る.   Cの 各 点 で 接 線 が 引 け るか ら,Cは

多角 形 の周Lに

よっ て近 似 され る こ とは 直 観 的 には 明 らか な こ とだ ろ う(図81).す

なわ ち,Cがz=z(t)(0≦t≦1)と

メ ー タ で 表 わ さ れ る と き,任 曲 線L:z=z(t)が

意 の 正 数 εに 対 し て,あ

あ っ て￨z(t)−z(t)￨<ε

な 証 明 に つ い て は,た   こ の と き,ε →0と

パラ

図81 る多 角形 の 周 とな って い る

が 成 り立 つ よ うに で き る.(こ

と え ば 小 平 邦 彦 『複 素 解 析 』(岩 波 基 礎 数 学 講 座)参

の厳 密 照.)

すると

(1)   こ の証 明 は,fのCの るが,こ

近 傍 にお け る一様 連 続 性 を用 い る と比 較 的簡 単 に示 され

こで は 省略 し よ う.

  した が って,も

し内部 が す べ てDの

任 意 の多 角 形 の周Lに

点か らな る

つ い て は,つ ね に

(2) と な る こ とが 示 さ れ た な らば,(1)に

が 結 論 され,コ に な る.

よって

ー シ ー の 積 分 定 理 が 証 明 され た こ と 図82

  多 角形 の 周か らな る閉 曲線 は,図82で

示 す よ うに,三 角 形 の周 か らな る 閉 曲

線 へ と細 分 され る.し た が って あ る三 角形 の周 とな って い る よ うな任 意 の 閉 曲線 △(内 部 はDの

点 か らな る!)に

対 して,つ ね に

(3) が 成 り立つ こ とが 示 され るな らば,(2)が

正 しい こ とにな って,結

局 コー シ ー

の積 分 定理 が 証 明 され た こ とに な る. 積 分 定 理 の 証 明(積

分 路 が 三 角 形 の 周 の と き)

  そ こで,い

よい よ(3)の

証 明 に 入 ろ う.

  内部 はDの

点 か らな る三 角 形 の 周 とな って い る よ うな閉 曲線 △ を1つ

と る.

このとき

と お い て,A=0の

こ とを 示 し た い.

  図 で 示 し て あ る よ うに,三 っ て,△

を4つ

角形 の 各辺 の中 点 を と

の 合 同 な 三 角 形 の 周 △1,△ ′1,△"1,

△"′1に 細 分 す る.こ

の とき

図83

した が って,右 辺 に現わ れ た4つ の積 分 の 中 で,絶 対 値 が 最大 な もの を(記 号 の 簡 便 さ もあ って) 

と す る と,

す なわ ち

が 成 り立 つ.△1の

長 さ は,△

も う一 度 細 分 す る と,△1は4つ る と そ の うち の1つ

の 長 さ の1/2で あ る.△1を

同 じ よ うに 中 点 を と っ て

の 合 同 な 三 角 形 の 周 に 分 け られ る.同

△2が 存 在 し て

様 に考 え

が 成 り立 つ こ とが わ か る.   この操 作 を繰 り返 す と,し だ い に小 さ くな る三 角形 の 系列

(4) が 得 られ

(5) が 成 り立 つ.△nは の周 をLn,△

△ を1/2nに相 似縮 小 した 三 角形 の 周 で あ って,し た が って △n

の周 をLと

す る と,

で あ る.   系 列(4)の

つ く る 三 角 形 の 減 少 列 は,D内

で 正 則 だ か ら,正

の1点z0に

数 εが 任 意 に 与 え られ た と き,nを

収 束 す る.f(z)はz0

十 分 大 き く と る と,△nの

内 部 と周 上 で

(6) が 成 り立 つ.左

辺 の{}の

中 はzに

つ い て の1次

の 中 は △nを 一 周 す る 複 素 積 分 に 対 し て 値 が0に

式 で あ る.し

な る.こ

の こ とに注 意 して

((6)に (zが

(5)と

すなわち

あわ せ て

た が っ て,{}

△nの 周 上 の と き￨z−z0￨
よ る)

が 得 られ た.ε

は 任 意 に 小 さ い 正 数 で よか っ た か ら,こ

の こ とはA=0を

示 して

い る.   こ れ で コ ー シ ー の 積 分 定 理 が 証 明 さ れ た.

単 位 円 周 に 沿 っ て のznの Cを,正

積分

の 向 き に まわ る単 位 円周 とす る.Cは

と パ ラ メ ー タ θに よ っ て 表 わ さ れ る.   n=0,1,2,…

に 対 し て は,w=znは

正 則 な 関 数 だ か ら,コ

ー シ ー の積分 定 理 に

よっ て

で あ る.   n=−1,−2,…

の 場 合,す

の と き に は,原 な い.パ

n=1の

n=2,3,4…

なわ ち

点 で 正 則 で な い か ら,コ

ー シ ー の 積 分 定 理 を 用 い るわ け に は い か

ラ メ ー タ θを 用 い て 実 際 計 算 し て み る と

と きは

の ときは

(eiθ の 周 期 性!).

ま とめ る と

同 様 に し て,aを

中 心 に し て,正

の 向 き に ま わ る 半 径rの

円 周 をCと

す るとき

が 成 り立 つ.

Tea

Time

につ い て 実 数 の と き,x>0に

対 し て 対 数 関 数log

と 積 分 の 形 で 表 わ す こ とが で き る(こ い 出 す と よ い.こ

の 式 を1か

らxま

の 背 景 を 複 素 平 面 に と っ て,改 対 し て,対

の 形 を 見 な れ な い 人 は,(logx)′=1/xを

で 積 分 す る と,上

の 式 に な る).そ

め て こ の 式 を 見 直 す と,任

思

こで全 体

意 の 複 素z(≠0)に

数 関logzを

と定 義 す る こ とは,い で の,0を

xは

か に も 自 然 な こ と に 思 え て く る.こ

こ でCは,1か

らzま

通 ら な い 道 で あ る.

  し か し,こ

の 定 義 が 可 能 な た め に は,右

ず,終

点zだ

け で 決 ま っ て い な くて は な ら な い.と

こ ろ が,一

は,終

点zを

決 め て お い て も,道Cの

ろ い ろ な 値 を と る の で あ る.

そ の 事 情 は,z=0の 定 理 がz=0の

と こ ろ で1/zは

と り方 で,い

定 義 さ れ て い な く て,し

位 円周 の 上 半 分 で あ って

辺 の積 分

たが って コー シー の

場 合 に も う少 し 詳 し く説 明 し て み よ う.

と き は,Cは,単

と り方 に よ ら

般 に,右

まわ りで 使 え な い こ と に よ っ て い る.

  こ の こ と をz=−1の   図84(a)の

辺 の 積 分 の 値 が,道Cの

(b)で

示 され た 道Cに

つ い て は,C−Cで

囲 まれ る 領 域 で1/zは 正 則 だ か ら,コ

ー シー の定 理 に よ って

した が って

こ の と き は,Cに

沿 う積 分 も,Cに

沿 う積 分 も同 じ 値 と な る.

(a)

(b) 図84

  しか し,図85(a)の ら−1へ

い くと,単

と な る.(b)の

よ うに,1か 位 円 周 を1回

ら 出 発 し て,単

位 円 周 を3回

ま わ る た び に 積 分 の 値 は2πiだ

よ うな と き に は

と な る.   一 般 に1か

ら−1へ

行 く道Cが,0をn回

まわ っ て い る と き

(b)

(a) 図85

まわ っ て か

け増 え るか ら

と な る.す

なわち

  こ の よ うに し て,第18講

のTea

Timeで

述 べ たlog(−1)の

多 価 性 が,積

分

定 義 し て も,指

数

の 方 か ら も 確 か め られ る よ うに な っ た の で あ る.  な お,対

数 関 数 をlogz=∫c1/zdz(Cは1か

らzへ

の 道)で

関数 の逆 関数 と して 定義 して も同 じ結 果 とな る こ とは,導 関数 が と も に1/zとな っ てい る こ とか ら示 す こ とが で きる.

第23講 正則関数の積分表示 テー マ ◆ コ ーシ ー の積 分 公式 ◆ 積 分 公式 の証 明:z=0の

場合

◆ 積 分公 式 の 証 明:一 般 の場 合 ◆ 積 分公 式 に お け る変 数 の あ り場 所

積 分 表 示 の 式

  ま ず,コ

ー シ ー の 積 分 公 式 と よ ば れ て い る 式 を,定

理 の 形 で 述 べ て,次

に その

説 明 に 入 って い く こ と に し よ う.

【定 理 】f(z)を を,zを

領 域Dで

定 義 さ れ た 正 則 関 数 とす る.zをD内

内 部 に み なが ら正 の 向 き に 一 周 す るD内

部 は す べ てDの

点 か ら な る と す る.こ

の1点

と し,C

の 単 一 閉 曲 線 と す る.Cの

内

のとき

(1) が 成 り立 つ.

z=0の

場 合

  こ の 定 理 の 証 明 を す ぐ に は じ め る よ りは,ま   こ の と き に は,Dは0を な る.f(z)はD上

含 む 領 域 で,Cは0を

ずz=0の

場 合 を 示 し て お こ う.

正 の 向 き に ま わ る単 一 閉 曲 線 と

で 定 義 され た 正 則 関 数 で あ る.(1)は

(2)

こ の 場 合z=0だ

か ら

と な る.   こ の(2)式

の 右 辺 の 積 分 の 中 に 現 わ れ た 変 数 ζは,C上

意 し よ う.し た が っ て 右 辺 に お い てfに だ け で あ る.(2)は,し

だ けを 動 くこ とに注

関 係 し て い る も の は,fのC上

た が っ て,fのC上

で とる値

で の 値 の と り方 で,fのz=0に

お

け る 値 が 完 全 に決 ま っ て し ま う こ とを 示 し て い る.

(2)の

  (2)の

証 明 に は,次

  (i)原

点 中 心,半

の2つ 径rの

証 明 の 準 備

の 事 実 を 用 い る((ⅰ)は 円Crを

前 講 で も示 し て あ る).

正 の 向 き に まわ る と き

(3)

【証 明 】Cr:z=reiθ(0≦

θ≦2π)で

あ る.し

  (ⅱ) 0を 内 部 に 含む 単一 閉 曲線Cに

たが って

沿 って,正 の 向 き に一 周す る と き,rを

十 分 小 さい正 数 に とっ てお くと

た だ しC,お 【証 明 】

よ びCの

図86を

内 部 は 完 全 にDに

見 て み よ う.正

数rを

含 まれ て い る とす る. 十 分 小 さ く と る と,Cの

図86

中 に0を

中心 と

す る 半 径rの 結 ぶ(Lは 発 してCを

円 周Crを

と る こ とが で き る.CとCrを

曲 が っ て い て も よ い).こ 一周 し てPに

に 一 周 し てQに

戻 る;次

戻 る;Qか

の と き,次

にLに

らLに

図 の よ うに,1つ

の よ うな 道 を 考 え る.Pか

沿 っ てQに

沿 っ て 再 びPに

行 き,Qか

に な る(実

際 は,右

図 の よ うにLに

別 々 の 道 を 通 る よ うに し て(単 重 ね る).す

らCrを

負の向き

は 正 則 で あ る.し

の積 分 は0

の 道 を 一 周 す る と, 

沿 う道 を,少

一 閉 曲 線!),次

ら出

戻 る.

 この 曲線 は 閉 曲 線で,内 部 は0を 含 ん で い ない か ら,  た が っ て コ ー シ ー の 積 分 定 理 に よ っ て,こ

の 道Lで

し離 し て お い て 行 き と 帰 り に に こ の 極 限 と し て,2つ

の 道を

なわ ち

明 らか に

した が って上 式 左 辺 の2項 と4項 は 打 消 し合 う.結 局

が 証 明 され た.

と な り, 

(2)の  す ぐ上 に述べ た(ⅱ)に

証明

よって

(4) で あ る.こ

の 右 辺 でr→0と

し た と き の 状 況 を 調 べ て み る.

  正 数 εが 与 え られ た と き,f(z)のz=0に

お け る連 続 性 か ら,あ

る 正 数 δが 存

在 して

が 成 り立 つ.   そ こ で 正 数rを0
を み た す よ うに と る.こ

の と きCr上

でつ ね に

が 成 り立 っ て い る こ と に な る.こ

の とき ((3)に

に 注 意 す る.し

た が って(4)か

ら

εは い く ら で も小 さ い 正 数 で よ か った か ら,こ

を 示 し て い る.こ

れ で(2)が

の こ とは

証 明 さ れ た.

積 分 表 示 の 公 式(1)の (1)式

を 示 す た め に,(1)のzを,0に

証明

ま で 平 行 移 動 し て,(2)に

せ よ う.   図87で

見 る よ う に,zを

0ま で 平 行 移 動 す る と,zを ま わ る 閉 曲 線Cは,0を る 閉 曲 線Cへ

まわ

と うつ る.こ

こで

(5) と お く と,図 よ うに,ζ

か らも明 らか な

がCを

一巡す ると

よ る)

図87

帰着さ

き,ζ はCを =dζ

一 巡 す る.ま

た 一 般 にPP′=QQ′

も 明 らか で あ ろ う.与

わ りで 定 義 され た 関 数g(z)に る 値 を,点Qでg(z)が

か ら,(こ こ は 記 号 的 に か くが)dζ

え られ た 正 則 関数f(z)も,こ うつ し て お き た い.そ

の 平 行 移 動 で,0の れ に は,点Pでf(z)の

ま と

と る 値 で あ る と 定 義 し て お く と よ い.

  Pを 表 わ す 複 素 数 は ζ+zだ

か ら,

(6) 一 般 に は,g(z)=f(z+z)と   そ こ で,Cとgに

(5),(6)を

こ れ は(1)に

定 義 し て お く と よ い.

対 し て,(2)を

適 用 す る と,

用いると

ほ か な ら な い.こ

れ で 証 明 さ れ た.

(1)と(2)の

対 比

  こ の 証 明 で 見 る 限 り,(1)と(2)は に お い てfの

と る 値 は,C上

で のfの

さ れ る こ と を 示 し て い る が,も   しか し,実

質 的 に は,(1)の

し て い る.そ

れ は,(1)で

て,し

た が っ てzはCの

  そ う思 っ て(1)を は,C上

同 じ こ と を 述 べ て い る.(2)は,z=0

ち ろ ん 同 様 の こ とは(1)で 方 が(2)に

は 左 辺 のzが,Cの

比 べ て,は 内 部 の`任

で の 積 分 で表 わ

も成 り立 っ て い る. るか に広 い こ とを 意 味 意 の 点'で

よ くな っ

内 部 を 動 く変 数 と 考え て よ くな っ た 点 で あ る. 改 め て 見 て み る と,(1)は,Cの

に お け るfと 

て い る こ とを 示 し て い る.こ

内 部 に お け るfの

挙動

とい う関 数 の挙 動 に よ って完全 に 決 ま って し ま っ れ は 正 則 性 の 示 す 驚 くべ き 性 質 で は な い だ ろ うか.

  も っ と 驚 くべ き こ と は,zがz+α よ う に 変 わ る か と い う こ とが,(1)の 上 の

値 で 完 全 に 決 ま っ て,C上

へ と うつ っ た と き,f(z)とf(z+α)が 右 辺 の 積 分 の 中 を 見 る と,本

どの

質 的 に はC

の 違 い と し て 表 わ さ れ て い る とい う こ と で あ る.こ い は 分 母 の 方 に 現 わ れ て お り,肝 心 のfは,分 る よ うな,ひ

こ で,zとz+α

に お け る違

子 の方 か らそ の違 い を 見下 して い

と ま ず 無 縁 の 形 を と っ て い る.

  こ れ は ま こ と に 注 目す べ き こ とで あ っ て,こ

の こ とに つ い て は,次

講 でもっと

詳 し く調 べ て い く こ と に し よ う.

Tea

質 問   説 明 を 聞 け ば 聞 くほ ど,コ い よ うな こ と を,い は,自

ー シ ー の 積 分 公 式 と は,私

ろ い ろ 述 べ て い る よ うに 思 い ます.し

然 な 概 念 な の で し ょ うか ら,想

十 分 で な い の で し ょ う.も 答   誰 で も,コ て く る.ま

Time

う少 し,わ

た ち の 想 像 も及 ば な

か し,正

則 性 とい うの

像 も 及 ば な い と い う の は き っ と私 の理 解 が か りや す くお 話 し し て い た だ け ま せ ん か.

ー シ ー の 積 分 公 式 の 内 容 を 少 し わ か っ て く る と,奇

ず,周

上Cでfの

と る値 が わ か る と,Cの

決 ま っ て し ま う と い う こ と が,妙

な 感 じ で,現

妙 な 感 じが し

内 部 で のfの

値 が 完全 に

実 にそ れ に近 い 状 況 が あ る のか と

考 え こ ん で し ま う.   し か し,全

然 な い わ け で も な い.た

石 け ん 液 に 浸 し て と り 出 す と,薄

と え ば,針

金 の 枠 を1つ

い 膜 が で き る.こ

れ は,君

つ く っ て,そ

れを

も 子 供 の 頃,シ

ャボ

ン玉 で 遊 ん だ と き に よ く経 験 し た こ と だ ろ う.こ の 膜 の 形 は い つ も一 定 し て い る. す な わ ち,内 あ る.な

部 に 貼 ら れ る膜 の 形 は,周

の 形 に よ っ て 完 全 に 決 ま っ て し ま うの で

ぜ こ の よ うな こ とが お き る か とい う と,膜

す べ て の 方 向 に 働 い て い る か ら で あ る.こ

先 で つ っ つ く よ うな 微 小 な 力 を 加 え て み る と,一 に 四 散 し て な くな っ て し ま う.こ う な 状 況 が,正 第21講

の 各 点 で,表

面 張 力 が 一様 に

の 一 様 に働 い て い る 力 に 対 し て,針 様 性 が 破 られ,膜

の

は 一 瞬 の うち

の 一 様 に す べ て の 方 向 に 働 く表 面 張 力 に 似 た よ

則 な 関 数 に お い て もお き て い る こ と を 思 い 出 し て ほ し い.そ

れは

で 述 べ た こ と で あ っ た.

ま た,(1)の

右 辺 で 積 分 の 中 に 

が でて くるのは,な

ぜ か とい う疑 問が

は,い わ ばzに お い て`渦'が あ っ て,渦 か ら の 水 の 湧 くか も しれ な い.  `湧 出 量'が ,複 素 積 分 で 測 る と2πiに な る よ う な こ とを 示 す 関 数 で あ る と 思 う と よ い.も

ち ろ ん,`湧

出 量'と い っ て も,複

素 数2πiな の だ か ら,こ

れ は あ くま で

も た と え で あ る.講 に は,積

分 路Cは,こ

義 の中 で の証 明 を 見 るとわ か る よ うに複 素積 分 の値 を求 め る の 渦 の 湧 出 口zに

コ ー シ ー の 積 分 定 理 に よ っ て,渦 い る か ら で あ る!コ

ど ん ど ん 近 づ け て と っ て 測 っ て も よ い.

の な い と こ ろ で は,水

ー シ ー の 積 分 定 理 は,積

の 流 出 総 量 は0と

分 の 値 を 求 め る に は 渦 の 近 くだ け

で 考 え れ ば よ い こ と を 保 証 し て い る.渦 の 湧 出 口 に 近 づ く に つ れ て,分 はf(z)に

近 づ い て くる.し

出 量 ′が2πif(z)で

た が っ て 結 局(1)の

右 辺 は,zに

あ る 渦 の 大 き さ を 測 っ て い る こ と に な る.し

っ て お く と,f(z)が 得 ら れ る の で あ る.  `渦'と い うい い 方 で た と え て み た が ,コ ζの 関 数 と見 た と き,ζ=zで の よ う に 働 い て い る か,も

特 異 性(正

な って

子 のf(ζ)

お い て 水 の`湧 た が っ て2πiで 割

ー シ ー の 積 分 表 示 の 式 で 

則 で な い 場 所)を

う一 度 証 明 を 見 て,よ

が,

も っ て い る こ と が,ど

く確 か め て お い て ほ し い.

第24講 テ イ ラー展 開

テー マ

◆ 積 分 公 式 を微 分 し てみ る. ◆ 導 関 数f′(z)の 積 分 表 示 ◆ 高 階 導 関 数f(n)(z)の

存 在 と積 分表 示

◆ 積 分公 式 か ら テ イ ラー展 開 を 導 く. ◆ 正 則 関 数 は,各 点 の まわ りで テ イラ ー展 開 が可 能 で あ る.

積 分 公 式 と微 分   f(z)は 領 域Dで 内部 に含 むD内

定 義 され た 正 則 関数 とす る.D内

の単 一閉 曲線Cを

とる.Cの

の1点zに

内部 はす べ てDの

注 目 して,zを 点 か らな る とす

る.こ の と き,コ ー シー の積 分 公 式 に よって

(1) と表 わ され る.   複 素 数hを,￨h￨が

十 分 小 さ い よ うに と っ て お く と,z+hもCの

内 部 に あ る.

したが って再 び 積 分 公 式 に よって

(2) と 表 わ さ れ る.   (1)と(2)か

ら,fのzに

お け る導 関 数 の 値

を,積 分 公 式 を用 い て計 算 す る ことが で き る.す なわ ち

(こ の 最 後 の等 式へ うつ る とき,極 限 と積 分 の交 換 を行 な った.こ

の碓 認 は い ま

の場 合 容 易 な ことな の で省 略す る.)  結 局,導 関数 に関 す る公 式

(3)

が 示 され た.こ の 式 は,Cの

内部 に あ るす べ て のzに 対 して成 り立つ 式 で あ る.

高階導関数  公 式(3)を

よ く見 てみ る と,右 辺 の分 母 に現 わ れ た

をzで

は, 

微 分 し た も の,

に 等 し い こ とが わ か る.  コ ー シ ー の 積 分 公 式(1)の

積 分 記 号 の中 の 

示 し て い る こ とは,fのzに

の 変 化 に反 映 し て い る と い う こ と で あ る.し

の 導 関 数 を 求 め る には,積 分 記 号 の 中 で  述 べ た(3)で

を,zに

た が っ てf

を 微 分す れ ば よい.そ

れ が上 に

あ る.

  そ れ で は 同 じ よ う に 考 え れ ば,f(z)の 存 在 し て,そ

関 す る変 化 の 模 様 は,

れ は,積

分 公 式(1)に

高 階 の 導 関 数f(n)(z)(n=1,2,…)も おい て

つ い てn階 微 分す れ ば よい の では な い か と考 え られ る.

  実 際,極 限 と積 分 の交 換 に関 す る議 論 を 少 し して お くな らば この予 想 は正 しい

の であ る.こ の議 論 につ いて は こ こ では 触れ ない で 結果 だけ 述べ て お くこ と に し よ う.ま ず

と な る こ と を 注 意 し よ う(こ

れ は,nに

つ い て の 帰 納 法 で 簡 単 に 示 す こ とが で き

る).   こ の こ とか ら 次 の 定 理 が 成 り立 つ こ とが 証 明 で き る.

【定 理 】 正 則 関 数f(z)は,何

回 で も微 分 可 能 で あ っ て,f(z)のn階

の導 関 数

f(n)(z)(n=1,2,…)は

(4) と 表 わ さ れ る.

ζがzに

近 づ く と き, 

近 づ い て い く.た

は,nが

大 き い ほ ど,速 い ス ピ ー ドで ∞ へ と

は, 

と え ば 

よ り,は

るか に速 く ∞ へ近 づ

い て い く.

 そ の意 味 で,前 講 のた とえを 繰 り返 せ ば, は  か に 深 い と こ ろ か ら湧 き上 るzに

よ り,は

る

お け る 渦 で あ る と考え て よい の で あ る.nが

大

き くな る に つ れ,ζ がzに

近 づ くと き,こ

こ ま れ る.こ

特 異 性―

fのn階

の 深 い 渦―

の 導 関 数 のzに

  読 者 の 中 に は,た

の 渦 の 深 み に,ζ

か ら湧 き 上 っ て 表 わ さ れ る`量'と

お け る 値f(n)(z)が

と え ば ∫(z)=z5の

は ま す ま す 深 く吸 い し て,

浮 上 し て く る の で あ る.

とき

と な る こ と を,こ の 公 式 で 実 際 確 か め て み た い と い う 人 が お られ るか も し れ な い.   そ れ は 次 の よ うに す る.zを は

中 心 と し て,半

径rの

円 をCと

す る.C上

の点 ζ

と表 わ さ れ る.ま し て,3階

た 

で あ る.し

た が っ てf(z)=z5に

公 式(4)を

適用

の導 関 数 を 求め てみ る と

(5) と な る.こ

こ で 整 数nに

対 し

(6) が 成 り立 つ こ と に 注 意 し て,(z+reiθ)5を

と な る.し

た が って (5)の

右辺

と な る((z+reiθ)5の と0に

展 開 し てei3θ の 項 を と り出 す と

な る!).こ

展 開 か ら で る ほ か の 項 は,(6)か れ で(3)を

ら,e-i3θ か け て 積 分 す る

用 い て も(z5)"′=5・4・3z2と

な る こ とが 計 算 で き

る こ とが わ か っ た.   z5の ほ か の 高 階 導 関 数 に つ い て も,同

様 に 計 算 で き る.

テ イ ラ ー展 開

  コ ー シ ー の 積 分 公 式 は,さ 則 関 数 は,各

らに 深 い 結 果 へ と 私 た ち を 導 い て い く.そ れ は,正

点 の 近 くで は 必 ず ベ キ 級 数 と し て 表 示 さ れ る とい う こ と で あ る.結

果 を 少 し 先 に い え ば,正

則 関 数f(z)は,各

点z=aの

近 くで は 必 ず

と表 わ され るの で あ る.正 則 関数 が,こ の よ うに整 式 の極 限 と して の ベ キ級数 と して 表 わ さ れ る とい うこ とは,複 素 数 の 関数 に対 して 微 分可 能 性 の 概念 を 導入 し た ときに は,ほ とん ど予 想 もで き ない こ とで あ った.実 数 の場 合 に は,微 分可 能 な関 数 とい っ て も,そ

の関 数 は どの程 度 の関 数 まで 含 む の か,つ

ね に漠 然 とし

て い て 私 た ちは グ ラ フを想 像 して,`か

ど′

が な け れ ば微 分 可 能 で あ る とい うよ うな感 じ方 で納 得 し てい た.と ころ が,複 素 数へ くる と,微 分 可 能性 は,関 数 の素 顔 を 明 ら か に して し ま うの で あ る.こ れ は驚 くべ き こ とでは なか ろ うか.

図88

  さ て,話 を も とに戻 して,こ の結果 を積 分公 式 か ら導 い て み よ う.   f(z)を

領 域D上

中心 としてD内 す る.Cで

で定義 され た正 則関 数 と し,aをD内

に含 まれ る 円を 描 き,こ

の1点 とす る.aを

の 円周 を正 の方 向 に一 周す る道 をCと

囲 まれ た 円 の 中 に任 意 の点zを と る(図88参

照.い ず れ,zは

この 円

の 中 を動 く変 数 と考 え るの で あ る).   C上 を 動 く変 数 を ζとす る と (zは

円 の 中 に あ る か ら)

した が って

(7) で あ る.  積 分 公 式 を変 形 して

(8)

こ こで 次 の結 果 を 用 い る. 複 素 数 λが￨λ￨<1を

こ の 等 式 は(1−

み た して い る とき

λ)(1+λ+λ2+…+λn)=1−iλ+1で,n→

∞ とす る と 得 られ る.￨λ￨n+1

→0(n→

∞)に 注 意 し よ う(こ れ は 複素 数 の とき の等 比 数列 の公式 にほ か な らな い).

  (7)に

注 意 す る と,(8)の

積 分 の 中 にあ る式

に この結 果 を用 い る こ とが で き るの で あ る 

と 考 え る の で あ る .し

た が って

(9) こ こ で  と  を と りか え る と(Tea

Time参

照)

(10) この 右辺 で(z−a)nは

積 分 変 数 ζとは 無 関係 だ か ら,積 分 記 号 の 外 に 出 して よ

い.ま た

に 注 意 し て,(10)を

見 直 す と,結

局

が 成 り立 つ こ とが わ か っ た.   こ の 右 辺 は,テ

【定 理 】 領 域D上

イ ラ ー 展 開 の 形 と な って い る.こ

れ で 次 の 定 理 が 証 明 さ れ た.

で定 義 され た正 則 関 数f(z)は,D内

の1点aを

中 心 と して,

D内 に 含 まれ る円 内 で,テ イ ラー展 開 が 可 能 で あ る:

Tea

Time

積分と無限和の交換 第17講 で も少 し触 れ た よ うに,極

限 の交 換 は 一般 には 成 り立 た ない か ら,極

限 の交 換 を 行 な うの は,`危

険 な橋'を 渡 る よ うな慎 重 さが 要 求 され る.こ

の状

況 は積 分 と無 限 和 の 交換 につ い て も 同 じ こ とで あ る.積 分 に 極限 は 入っ て い ない と思 うか も しれ ない が,た とえ ば実 数 の場 合

を,定 義 に戻 って か い て み る と

と

と な る.こ

れ は 明 らか に,極

限 の 交 換 の 式 で あ っ て,一

般 に は 成 り立 つ とは 限 ら

な い の で あ る.   講 義 で(9)か

ら(10)へ

うつ っ た と こ ろ は 次 の よ う に し て,極

限 交 換 の`橋'

を 渡 っ た の で あ る.

と お く と,zを

と め た 場 合,λ は ζ の 関 数 と な る.し

き,ζ に は よ らな い λ0,0<λ0<1が

か し ζが 円 周C上

存 在 し て￨λ￨<λ0と

  い ま 正 数 εが 与 え ら れ た とす る.こ

の と き 番 号Nさ

を動 くと

な っ て い る. え十 分 大 き く と っ て お く

と

と な る.   そ こ で,(9)か

ら(10)へ

うつ る と こ ろ を,乗

数 

を 省略 して 確 か め る

と 次 の よ うに な る.

(11) この 右 辺第2項 は

し た が っ てN→

∞ の と き,こ

の 項 は →0と

な る.こ

れ で(11)の

右 辺 でN→

∞

と す る と,

と な る こ とが わ か り,無 事 に(9)か

ら(10)へ

の`橋'を

渡 り き った の で あ る.

第25講 最 大 値 の 原理 テー マ ◆ 正 則 関数 の絶 対値 が 定数 な らば,f(z)自

身 が 定数 とな る.

◆ 円 の中 心z0に お け る￨f(z0)￨の 値 は,円

周 上 の￨f(z)￨の

最 大値,

最小 値 の 間 にあ る. ◆ 最 大 値 の 原理:￨f(z)￨の ◆

最大 値,最 小値 は,周 上 で とる.

リュー ヴ ィユ の定 理:全 複 素平 面 で 定義 され た 有 界な 正則 関 数 は定 数 に 限 る.

正則関数 の絶対値   領 域D上 D上

で 定 義 され た正 則 関数f(z)を

考 え よ う.f(z)の

の実数 値 連 続 関数 とな る.実 際,f(z)=μ(x,y)+iv(x,y)と

絶対 値￨f(z)￨は, す ると

と表 わ さ れ る.   ま ず 次 の こ と を 注 意 し よ う.

￨f(z)￨が

【証 明 】K=0な =f(z)f(z)=K2.し

f(z)は

定 数Kに

ら ば,￨f(z)￨=0,し

身,定

た が っ てf(z)=0.K≠0な

数 で あ る.

ら ば,￨f(z)￨2

た が って

定 数 で な け れ ば,け

の 式 か らf(z)が

等 し け れ ば,f(z)自

っ し て 正 則 関 数 に は な り得 な い こ と に 注 意 す る と,こ

定 数 の こ とが わ か る.

円 周 上 の￨f(z)￨の D内

の1点z0を

最大値

と る.正 数rを 十 分 小 さ く と って,円 周

お よ び,Crの 内 部 は,す べ てDの 集 合 だか ら,￨f(z)￨は で必 ず最 大 値M0を

点 か らな る とす る.Crは,複

素平面の有界な閉

実 数 値 連 続 関 数 で あ る こ とに注 意 す る と,￨f(z)￨はCr上

と る.と

は,円 周 上 の最 大 値M0の

ころ が この と き,円

の 中心z0に お け る￨f(z0)￨の 値

値 を け っ して越 え る こ とが な い とい う こ とが結 論 され

て しま うの で あ る.す な わ ち

(1) が 成 り立 つ. 【証 明 】M0はCr上

し た が っ て,コ

で の￨f(z)￨の

最 大 値 で あ っ た こ と に注 意 す る と

ー シ ーの 積 分公 式 に よっ て

(2) (3) に よる

こ れ で(1)が

証 明 さ れ た.

等 号 の 成 り立 つ とき   上 の 証 明 で 等 号 が 成 り立 つ 場 合 と は?そ 等 号 が 成 り立 つ よ うな 場 合 で あ る.も し くな け れ ば,￨f(ζ)￨のCr上 Crの

あ る 部 分 弧C上

で

れ は(2)か

し,￨f(ζ)￨が,Cr上

で の 連 続 性 か ら,十

ら(3)へ

うつ る と き,

で 恒 等 的 にM0に

等

分 小 さ い 正 数 εを と る と,

と な る だ ろ う.こ

の と き(2)を

とわ け て み る と,容

易 に(2)か

ら(3)へ

うつ る と こ ろ が 不 等 号<と

な って し

ま う こ とが わ か る.   した が って

(#) が 導か れ た.

最 大値の原理   い ま,Dは

複 素 数 平 面 の 中 の有 界 な領 域 とし,f(z)に

あ る とい う仮 定 のほ か に,Dの

対 して は,Dで

境 界 まで こめた 閉領 域D上

仮 定 もつ け 加 え て お く.こ の と き,￨f(z)￨はD上

正則で

で連 続 で あ る と い う

で定 義 され た 実数 値 連 続 関数

とな る.   よ く知 られ た連 続 関 数 の 性 質 に よ って,￨f(z)￨はD上 Mを

で 有界 であ っ て 最 大 値

と る.

  い ま,Dの

内 部 の あ る 点z0で￨f(z)￨が

この と きz0を

中 心 と し て,円

ま ず こ の 仮 定 か ら(1)式 意 し よ う(何

か き,こ

と っ た と仮 定 して み よ う.

れ に 対 し て 上 の 議 論 を 適 用 す る.

の 右 辺 で は 等 号 が 成 り立 た な くて は な ら な い こ と を 注

し ろ￨f(z0)￨は,Dの

し た が っ て(#)がM0=Mと   と こ ろ が,こ

周Crを

最 大 値Mを

の 議 論 は,z0を

中 で 一 番 大 き い 値 を と っ て い る の で あ る!). し て 成 り立 つ. 中 心 と して,Dに

含 ま れ る 任 意 の 円 周Crで

成 り

立 つ の で あ る.   半 径rを と し て,Dに

い ろ い ろ に 動 か す こ と に よ っ て,こ

の こ とか ら,￨f(z)￨はz0を

中心

含 ま れ て い る 任 意 の 円の 中 で 定 数 で あ っ て,

と な る こ と が わ か る.   した が っ て,こ

の 講 の 最 初 に 述 べ た こ と に よ る と,￨f(z)が

定 数 と い うだ け で

な くて,f(z)自

身 が 定 数 に な る.す

な わ ちz0を

中 心 と し て,Dに

含 まれ て い る

円 の 中 で は, f(z)≡ 定 数 と な っ て い る.   次 講 で 述 べ る一 致 の 定 理 を 用 い る と,こ し い こ と を 導 く こ と が で き る.す

れ か ら,f(z)は,D内

な わ ち,￨f(z)￨がDの

で 定 数Mに

等

内 点 で 最 大 値 を と る と,

f(z)は 必 然 的 に 定 数 とな っ て し ま うの で あ る.   対 偶 を と っ て,次

の 定 理 が 得 ら れ た.

【定 理 】 有 界 な 領 域D上 は な い とす る.こ

で 定 義 され た 正 則 関 数f(z)がDで

の と き,￨f(z)￨の

最 大 値 は,Dの

連 続,か

つ 定数 で

境 界 上 で と る.

これ を最 大値 の原 理 とい う.

リ ュー ヴ ィ ユ の 定 理 次 の リ ュー ヴ ィユ の 定 理 は 有 名 で あ る.

【定 理】f(z)は

複 素平 面全 体 で定 義 され た正 則 関数 で,あ る定数Mが

が 成 り立 つ と す る.こ

の と きf(z)は

【証 明 】

対 し て,f′(z)=0と

す べ て のzに

あ って

定 数 で あ る.

  導 関数f′(z)が 恒 等 的に0な らば,f(z)は

な る こ と を 示 し さ え す れ ば よ い. 定 数 で あ る とい う ことは,ほ とん ど明 らか な

こ とであ ろ うが,次 の よ うに して もわ か る.f′(z)≡0か ら,f"(z)=…=f(n)(z)=… した が って,f(z)の(た   さ て,zを 中 心 と し て,半

任 意 に1つ 径Rの

≡0.

とえ ば原 点 にお け る)テ イラ ー展開 は,定 数項 しか 残 らない. と っ て,そ 円 を 描 き,こ

こ でf′(z)=0と の 円 周CRを

な る こ と を示 そ う.原

点を

正 の 方 向 に まわ る積 分 路 に 沿 っ

て,f′(z)に

こ こ でR→

対 す る 積 分 表 示 を 適 用 し て み る.

∞ とす る と,最

後 の 式 は →0と

な る.し

た が っ て,f′(z)=0で

な く

て は な ら な い.

Tea

Time

代数学の基本定理の別証明   コ ー シ ー の 積 分 公 式 に よ っ て,理

論 全 体 が こ の よ う な 高 み に ま で 達 す る と,代

数 学 の 基 本 定 理 は,リ

ュ ー ヴ ィユ の 定 理 に よ っ て 簡 単 に 証 明 す る こ と が で き る.

  い ま,n≧1と

の整 式

が,f(z)=0の

は,全

しn次

解 を も た な か っ た とす る.こ

平 面 で 定 義 さ れ た 正 則 関 数 で あ っ て,か

っ て リ ュ ー ヴ ィユ の 定 理 か らg(z)は と な る.n≧1の

と き,f(z)は

え に,f(z)=0と

な るzは

も っ と も`代

数 学 の'基

つ￨g(z)￨は

定 数 と な り,し

で も述 べ た よ う に

有 界 とな る.し

た が っ て ま たf(z)も

明 ら か に 定 数 で な い か ら,こ

必 ず 存 在 す る.こ

たが 定数

れ は 矛 盾 で あ る.ゆ

れ で 代 数 学 の 基 本 定 理 が 証 明 され た.

本 定 理 と い っ て も,こ

解 析 学 の 檜 舞 台 に 上 げ て,純 て,こ

の と き 第11講

の 証 明 は,整

式 を 正 則 関 数 とい う

解 析 的 な 観 点 か ら これ に 証 明 を 与 え た も の で あ っ

の よ うな 証 明 を 好 ま な い 人 も い る か も し れ な い.

質 問  複 素 数 に 関す る結 果 とい うの は,次 々にわ か らな い こ とが でて くる よ うで, 本 当 に困 って し まい ます.実

数 の場 合,た

とえ ば 区 間[0,1]で

可 能 な関 数 で,任 意 に与 え られ た 点x0,0≦x0≦1,に

定 義 され た 微分

お い て最 大 値 を とる よ うな

もの は必 ず 存 在 し ます.最 大 値 を とる場所 は,端 点0と1の

どち らか で あ るな ど

とい う,そ ん な おか しな こ とは あ りませ ん.と ころが,正 則 関数 では,￨f(z)￨の 最 大 値 を とる場 所 は,必 ず 境 界上 に きて しま うといい ます.こ れ はい った い ど う した こ とで し ょ う. 答   最 大値 の原 理 とい うの は,確 か に少 し説明 を 加 え て おか な い と,妙 な感 じが す るか も しれ ない.い え よ う.f(z)は

ま,簡 単 のた め,単

位 円 で定 義 され た正 則 関 数f(z)を

考

円 の 内部 で正 則,円 の周 まで こめた ところ で連 続 とし て お くの

で あ る.説 明 の便 宜 上,最 大 値 の原 理 が成 り立 た な い よ うな 状 況 が お きた と考 え て み よ う.た とす る.そ

とえ ば 実 軸 上 の1/2 の と こ ろ で,ち

ょ う ど￨f(z)￨は

最 大値 を と った

うす る と

が成 り立 つ(こ れ も説 明の 便 宜上,ほ か の点 で は最 大 値 を と らなか った と仮 定 し て い る).   これ は,図89で

示 して あ る よ うな状 況が お きた こ とを意 味 して い る.図89を

見 る には 多 少 想像 力が い る.fに た の だ か ら,z-平

よ って1/2が0か

ら一 番 離 れ た と ころへ うつ され

面 の1/2 を通 る ど こ か で 折 り返 しが お き て い な くて は な ら な い.

図89

図89で

は,単

位 円 の 左 側 の 方 が,虚

軸 を 切 る 上 の 部 分 へ と うつ さ れ,右

が 下 へ 延 び る よ う に折 り曲 げ られ て い る.と と,単

位 円 の 中 で 水 が 一 様 に 広 が る状 況 が,折

っ て そ の ま ま うつ され な くな って く る.こ f′(z)=0と

こ ろ が この よ うに 折 り 曲 げ ら れ る れ 線 の と こ ろ で は 正 則 関 数fに

よ

の こ とは,折 れ 線 に 沿 っ た と こ ろ で は,

な っ て い る こ と を 示 す だ ろ う.

  し か し,こ

の よ うに 折 れ 線 上 だ け で もf′(z)=0と

単 位 円 内 で 恒 等 的 にf′(z)=0と f(z)は

側 の方

い う こ と が お き て し ま う と,

な っ て し ま う の で あ る(次

定 数 と な っ て し ま っ て,こ

講 参 照).し

たが って

と した 仮

の こ と は 

定 に 矛 盾 し て し ま う.   こ の 説 明 か ら もわ か る よ うに,最 う よ う な こ と は,正 い る の で あ る.こ

則 写 像fに

大 値 の 原 理 は,Dの

周 を中 に折 りこん で しま

よ っ て は お き な い の だ と い う こ と を,大

の こ と が わ か る と,最

大 値 の 原 理 と は,実

体示して

数 の 場 合 の 最 大,最

小 と は ま っ た く別 な 事 実 を い っ て い る こ と に 気 が つ くだ ろ う.

第26講 一 致 の 定 理 テー マ ◆ 一致の定理 ◆

◆

一致 の定 理 の 証 明 第1段

階:f(n)(z0)=g(n)(z0)(n=0,1,2,…)

第2段

階:z0を

第3段

階:一

中 心 とす るfとgの

致 す る 場 所 を 接 続 し て い く.

三角 関 数 の 定義

◆sinz,coszの ◆

テ イ ラ ー 展 開 は 一 致 す る.

加法 定 理

オ イラ ーの公 式

◆(Tea

Time)解

析接続について

一 致の定理   f(z),g(z)を

領 域D上

とg(z)がD上

の ご く小 さ い と ころ で 一 致 し て い れ ば,実

D上

で 定 義 さ れ た2つ

の 正 則 関 数 とす る.こ

の と き,f(z)

はf(z)とg(z)は

で 完 全 に 一 致 し て い る と い う驚 くべ き 結 果 が あ る.

  ご く小 さ い と こ ろ で,と

上 に か い た 部 分 を も う少 し 正 確 に 述 べ るた め に 正 則 な

道 と い う概 念 を 導 入 し て お こ う.D内 (0≦t≦1)が 道Cのtに

の 相 異 な る2点z0,z1を

正 則 で あ る と は,z′(t)≠0が

結 ぶ 道C:z=z(t)

つ ね に 成 り立 つ こ と で あ る.z′(t)を

お け る 速 度 ベ ク トル と考 え る と,速 度 ベ ク トル が つ ね に0に

な らな い

と い う条 件 で あ る.   z0とz1を

結 ぶ 線 分 は(も

しD内

と し て 表 わ す こ と が で き る.こ

に 完 全 に 含 ま れ て い る な ら ば),道

の と き,z′(t)=z1−z0だ

か らz′(t)≠0で

これ は 正 則 な 曲 線 と な る.

【定 理 】f(z),g(z)をD上

で 定 義 さ れ た 正 則 な 関 数 とす る.f(z)とg(z)が,

あ っ て,

D内

の2点z0,z1を

結 ぶ 正 則 な 道C上

で 一 致 す れ ば,実

は,D上

でf(z)とg(z)

は 恒 等 的 に 等 し い.

  こ の 定 理 を 一 致 の 定 理 とい う.z0とz1は

どん な 近 くに と っ て も よ い.だ

た と え ば 図 の 上 で は 表 わ す こ とが で き な い く ら い の,ミ 分 上 で で も,も

しfとgが

一 致 し て い れ ば,そ

か ら,

ク ロ ン単 位 の ご く短 い 線

の こ とか ら,D全

体 でfとgが

一 致 し て い る こ とが 結 論 され て し ま うの で あ る .

証   一 致 の 定 理 を 証 明 し よ う.証 明 は3段   第1段

明 階 に 分 か れ る.

階:

(Ⅰ) が 成 り立 つ.

【(Ⅰ)の

証 明 】C上

の 点z(t)(0≦t≦1)で,仮

定か ら

(1) が成 り立 つ か ら,両 辺 をtで 微分 して

す なわ ち

が Ｃ 上 で成 り立 つ.Cは 辺 を 

正 則 曲線 で あ る とい う仮 定 か ら 

した が って両

で割 って

(2) が 成 り立 つ こ とが わ か る.   (1)か

ら(2)を

導 い た と 同 様 に し て,今

度 は(2)か

ら

が 得 られ る.帰 納 的 に この論 法 を繰 り返 して い くこ とに よ り

が 得 ら れ る.し

た が っ て 特 にCの

始 点z0に

おいて

が 成 り立 つ.   第2段

階:

(Ⅱ)z0か

らDの

z0を 中 心 と し,半

境 界 ま で の 最 短 距 離 をrと 径rの

円 の 内 部 で,つ

す る.こ

のとき

ねに

が 成 り立つ. 【(Ⅱ)の

証 明 】0
任 意 に と る.z0を の 円 を 描 く と,こ

み た すr′ を

中 心 と し て,半

径r′

の 円 の 内 部 も周 も,D

に 完 全 に 含 まれ て い る.し

た が っ て,テ

イ ラ ー 展 開 す る こ と に よ り,こ の 円 の 内 部 の 任 意 の 点zで

図90

が 成 り立 つ.   (Ⅰ)の

結 果 を 参 照 す る と,こ

く ら で も 近 く とれ る か ら,結

れ か らf(z)=g(z)が

局 半 径rの

結 論 で き る.r′

はrに

い

円 の 内 部 の す べ て の 点zでf(z)=g(z)

が成 り立 つ こ とがわ か る.  第3段 階: (Ⅲ)Dの

【(Ⅲ)の す る.Dが

証 明 】z0とzをD内

任 意 の 点zに

の 道Cで

全 平 面 の よ うな と き はr=∞

は 適 当 な 正 数 を と っ て お く も の とす る.

対 し てf(z)=g(z)

結 ぶ.CとDの と な る が,こ

境 界 の 最 短 距 離 をrと の と き は 以 下 の 証 明 で,r

  z0を 中 心 と し て,半

径rの

円C0を

た が っ て この 円 の 内 部 で は,(Ⅱ)に

描 く.C0の

周 も内 部 もDの

点 か ら な り,し

よ り

で あ り,し た が っ て ま た

(3) で あ る.  次 にz0を

中 心 と して 半径r/2の 円 を 描 き,こ

の 円 周 と 道Cが

最 初 に交 わ る点 をz1と

を 中 心 と し て 半 径rの はDの

円C1を

す る.z1

描 く.C1の

点 か らな り,ま た(3)か

らz1で

内部 は

が 成 り立 っ て い る.し た が って,z1を 中 心 と す る テ イ ラ ー 展 開 を 考 え る こ と に よ り,C1の

内部 で

図91

が 成 り立 つ こ と が わ か る.  今 度 は,z0の 周 と 道Cが

代 りにz1を

と っ て,z1を

最 初 に 交 わ る 点 をz2と

上 と 同 様 にC2の

中 心 と して 半r/2の

す る.z2を

円 を 描 き,こ

中 心 と して,半 径rの

円C2を

の円 描 く.

内部 で

が成 り立つ こ とが わか る.   この よ うな操 作 を有 限回繰 り返 す と,道Cの

終点zを 内部 に含む 円Ckが 得 ら

れ て,結 局

と な る こ と が お か る.   (Ⅲ)の

内 容 は,一

致 の 定 理 そ の も の だ か ら,こ

され た.

三 角 関 数 の 定 義   複 素 数zに

対 し て,sin

zとcos

zを ベ キ 級 数

れ で 一 致 の 定理 が 完 全 に証 明

に よ っ て 定 義 す る.こ の 右 辺 の ベ キ 級 数 の収 束 半 径 は ∞ だ か ら,sin

z,cos

zは,

全 複 素 平 面 上 で 定 義 され た 正 則 関 数 と な る.   ま た,zが

特 に 実 数xの

角 関 数 と な っ て い る.そ

と き に は,sinx,cos

れ は,微

xは

分 ・積 分 で 学 ん だsin

私 た ち の よ く知 っ て い る 三 x,cos

xの テ イ ラ ー 展 開

の 式 に よ っ て い る.

sinz,coszの

  この と き,実

加 法 定 理

数 の 場 合 に よ く知 ら れ て い る 三 角 関 数 の 加 法 定 理 が そ の ま ま の 形

で 複 素 数 で も成 り立 つ の で あ る.す

なわち

【証 明 】 この よ うな証 明 に は,一 致 の 定理 が 有効 に 用 い られ る.   まず 実aを

固定 して

が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.f(z)=sin(z+a),g(z)=sinzcosa+coszsinaと く と,三

角 関 数 の 加 法 定 理 か ら,実

が 成 り立 つ こ とが わ か る.実 に よ っ て,す

べ て の 複 素zに

が成 り立 つ.こ

こでfとgが

軸 上 でfとgは

対 して

一 致 し て い る の だ か ら,一 致 の 定 理

対 して

全 複 素 平面 で 定義 され た 正則 関 数 で あ る ことが 用 い

られ てい る.   したが って任 意 の実 数aに 対 して

が 成 り立 つ こ とが わ か っ た.

数xに

お

  今 度 は 複 素zを1つ

変 数xに 注 目 して,こ

固 定 し て,aを

実 変 数xに

お きか え て み る.

こに一 致 の定理 を 使 うと,上 と同様 に して,任 意 の複 素数

wに 対 して

が 成 り立 つ こ と が わ か る.   zとwは

任 意 の 複 素 数 で よか った の だ か ら,こ

れ でsin

zの 加 法 定 理 が 複 素 数

に つ い て 成 り立 つ こ とが 証 明 さ れ た. coszの

加 法 定 理 も,同

様 に し て 示 す こ とが で き る.

オ イ ラ ーの 公 式 オ イ ラー の公 式

は,い

ま ま で も し ば し ば 用 い て き た.こ

値,右

辺 は 正 則 関数cosz+isinzの

の 左 辺 は,正

則 関 数eizの 実 軸 上 で と る

実 軸 上 で と る値 で あ る こ と に 注 意 す る と,

一 致 の 定理 に よ って

すべ ての 複 素数zに 対 して

が 成 り立 つ こ とが わ か る.

Tea

Time

解 析 接続 に つ いて   一 致 の 定 理 の 証 明 の 第3段 か る.z0を

中 心 と す る 円C,こ

階 を 見 る と,次

の 考 えが 基 本 とな って い る ことが わ

の 円 内 に あ るz1を

中 心 とす る 円C′ に 対 し,Cの

内 部 で 収 束 す る テ イ ラ ー 展 開 の 形 で 与 え られ た 正 則 関 数fc(z)と,C′ 束 す る テ イ ラ ー 展 開 の 形 で 与 え られ た 正 則 関 数fc′(z)が

上で

あ って,

の内 部 で収

が 成 り立 っ て い る と す る(図92の

斜 線 部 でfcとfc′

一 致 し て い る と す る) .fc′ は,fcのz1を

は

中 心 とす る テ

イ ラ ー 展 開 を 表 わ し て い る こ と を 注 意 し て お こ う.こ と きfcとfc′

は,貼

り合 わ さ れ て,C∪C′

れ た 新 し い 正 則 関 数fを

生 む.こ

の 定 義 域 を 広 げ よ う と す る と き,広 る.C上

でfc(z)と

の 中で 定義 さ

のfは,fcに

意 的 に 決 ま っ て し ま って い る.fcは,正

よ って一 図92

則 関 数 と してそ

げ る 仕 方 ま で も う決 め て し ま っ て い る の で あ

一致 す る よ うな 正 則 関 数 がC∪C′

必 然 的 にf(z)と一致

の

上 に あ る と す れ ば,そ

れ は

し て し ま う(一 致 の 定 理!).

  第24講

で 見 た よ うに,正

則 関 数 は1点

っ た.テ

イ ラ ー 展 開 は,い

わ ば 正 則 関 数 の 局 所 的 な 構 成 分 子 の よ うな も の で あ

る.上

に 述 べ た こ と を,こ

の 近 くで は,テ

の 観 点 で 見 直 す と,正

イ ラー展 開 が可 能 で あ

則 関 数 とい うの は,テ

イラ ー展

開 で 表 わ さ れ る この 構 成 分 子 を,次

々 と 貼 り合 わ せ て で き 上 が っ て い く もの で は

な い か とい う考 え が 生 じ て く る.一

意 性 の 定 理 の い っ て い る こ とは,こ

何 回 か 貼 り合 わ せ て,ず は,出

の と き,

っ と 先 ま で 接 続 さ れ て つ く られ た 関 数 の も つ 情 報 も,実

発 点 に と っ た 最 初 の 構 成 分 子―

テ イ ラ ー 展 開―

の 中 に,原

理 的 にはす

べ て 含 ま れ て い る と い う こ と で あ る.   こ の よ うな 考 え で,関

数 を 構 成 し て い く こ と を,解

析 接 続 とい う.

質 問   い ま お 話 を し て い た だ い た ば か り の 解 析 接 続 と い う考 え に つ い て な の で す が,こ

の 考 え で,w=log

け 加 わ る―

は 定 義 さ れ て い な い.そ

の 特 異 点 で あ る.い

を 考 え る と,こ

ら 出 発 し て,順

単 位 円 周 を 正 の 向 き に 一 周 す る と2πiだ

を 説 明 で き る の で し ょ うか.

答w=logzは,z=0で

き,対logxを

zの 多 価 性―

まz=1を

の 意 味 で,z=0は,w=logz

中 心 とす る テ イ ラ ー 展 開

の ベ キ 級 数 の 収 束 半 径 は1で 表 わ し て い る.解

あ っ て,zが

実x,0<x<2の

析 接 続 の 考 え に よ る と,こ

次 解 析 接 続 を して い っ て,複

素 数zに

と

の テ イラ ー展 開 か

対 し てlogzを

定義 しよ う

と試 み る こ と に な る.   と ころ が,実

際 順 次 テ イ ラ ー 展 開 を つ くっ

て み て も,こ

れ ら の ベ キ 級 数 は,z=0で

束 し な い.し

た が っ て,テ

域 は,z=0に 参 照).こ

イ ラー展 開 の収 束

接 す る 円 の 内 部 に な る(図93 の と き,単

か ら 出 発 し て,正 て,接

は収

位 円 周 上 に あ る1点z

の向 きに単 位 円周 を一 周 し

続 し 終 っ て,も

と のlogzの

とへ 戻 っ て み る と,も

値 に,2πiだ

け 加 え られ て い る

こ とが 判 明 す る の で あ る.こ 価 性 の 生 ず る理 由 は,解

図93

の よ う に して 多

析 接 続 の 考 え か ら もわ か る.こ

の 場 合,z=0を

て,ぐ

る ぐ る ま わ り な が ら 解 析 接 続 を 繰 り返 し て 関logzを

は,ち

ょ う ど らせ ん 階 段 を 昇 っ て い く よ うな 感 じ とな っ て い る.

  `一意 性 の 定 理'は,こ て み て も,こ

の 場 合,0を

中心 に し

溝 成 し て い くこ と

まわ る曲線 に沿 って 同様 な接 続 を 行 な っ

の 状 況 が 一 意 的 に お き る こ と を 保 証 し て い る こ と に な る.

第27講 孤 立 特 異 点 テー マ ◆ 孤立 特 異 点 ◆ 孤立 特 異 点 の まわ りの ロー ラ ン展 開 ◆ 除去 可 能 な 特異 点 ◆ リー マ ンの 定理

孤立特異点   領 域D内

に1点aが

あ る と き,Dか

らaを

除 い た 領 域 を,Daで

表わ す こ とに

し よ う.   Da上

で 定 義 さ れ た 正 則 関 数f(z)の

則 関 数 と い う.f(z)のaに

こ と を,aを

孤 立 特 異 点 とす るD上

お け る 値 は 与 え られ て い な い が,aの

の正

近 くで はf(z)

の 値 は 決 ま っ て い る の だ か ら, z→aの

と き,f(z)→?

と い う こ と を 考 え る こ と が で き る.   実 際,aの

ま わ りで はf(z)が

点 の ま わ りに お け るf(z)の

正 則 で あ る とい う性 質 が 強 く働 い て,孤

挙 動 を,か な り詳 し く調 べ る こ と が で き る の で あ る.

孤 立 特 異 点 の ま わ り に お け るf(2)の

  0
す る.f(z)の

立特異

孤 立 特 異 点aを

表 示

中 心 に し て,半

の 円 を 描 き,こ

れ を そ れ ぞ れC'とCで

表 わ す.C'はCの

円 で あ る.rを

十 分 小 さ く と っ て,Cの

内 部 は す べ てDの

径r',半

径rの2つ

内 側 に あ る半 径r'の 点 か ら な る と す る.C

の 周 上 の1点AをC'の

周 上 の1点Bへ,向

き の つ い た 線 分Lで

示 した よ うに,C,C'の

周 上 をAま

ら 出 発 し て 正 の 向 き に 一 周 す る 道 も,

同 じ 記 号C,C'で

表 わ す.こ

た はBか

の と き,Aか

ら 出 発 し てAに

戻 る道

結 ぶ.図94で

図94

は,図94で

斜 線 部 分 で示 され た 円環領 域 を 囲 む道 で あ る.

  この 円環 領 域 でf(z)は

正 則 な 関数 だ か ら,コ ー シー の積 分 公式 を 用 い て,こ

の 円環 領 域 内 で の任 意 の 点zで,f(z)は

(1) と 表 わ さ れ る(L上

の 積 分 は,往

復 す る こ と で 打 消 し合 う).

  ここ で   (ⅰ)  ζがC上

を 動 く と きは￨z−a￨<￨ζ

−a￨

  (ⅱ)  ζがC′ 上 を 動 く と き は￨z−a￨>￨ζ−a￨ で あ る こ と に 注 意 し よ う.   し た が っ て,無

限 級 数 の収 束性 に注 意す る と

  (ⅰ)  ζがC上

を 動 くと き

(ⅱ)  ζがC′ 上 を 動 くと き

と表 わ さ れ る.   こ の 式 を(1)に

代 入 す る.こ

24講,Tea

述 べ た と 同 様 な 議 論 を 行 な う こ とに よ り,こ

Timeで

の と き 積 分 記 号 の 中 に 無 限 和 が 現 わ れ る が,第

分 記 号 の 外 へ 出 し て も よ い こ と が 示 さ れ る.そ

の 無 限 和 は,積

の 結 果 だ け か く と次 の よ うに な

る.

(2)

ロー ラ ン展 開

(2)式

は,右

辺 の(z−a)n(n=0,±1,±2,…)に

注 目して

(3)

と表 わ した 方が 見 や す い.  こ こで

こ こ で,コ

ー シ ー の 積 分 定 理 を,前

と な る こ とが わ か る.そ

に述 べ た 円環 領 域 に使 って み る と

こ で,an,a−nを1つ

の 式 に ま とめ てか くこ とが で き て

(4)

と な る. 【定 義 】f(z)を

孤 立 特 異 点aの

aの まお りでロー

ま わ りで,(2)の

ラ ン 展 開 す る と い う.こ

よ うに 表 わ す こ と を,f(z)を

の と き 係 数anは(4)で

与え られ て

い る.   ロ ー ラ ン展 開 の 式 で,zはaに が っ てz→aの

い く ら で も近 くと れ る こ と に 注 意 し よ う.し

と き,f(z)が

ど の よ うな 挙 動 を 示 す か は,ロ

た

ー ラ ン展 開 を 通 し

て 調 べ る こ とが で き る.

除去可能な特異点   zが 孤 立 特 異 点aに

近 づ く と き に,￨f(z)￨が

よ う な 場 合 を 考 え て み よ う.す

あ る有界 な範 囲 に とどまって い る

な わ ち あ る 正数Mで,aの

近 く,0<￨z−a￨<ε

で

(#) が 成 り立 つ と す る.   い ま,ε て,こ

よ り小 さ い 正数rを

のCrを

と っ て,aを

中 心 とす る 半 径rの

正 の 向 き に 一 周 す る 積 分 路 に 沿 っ て,ロー

を 評 価 し て み る.

円 周 をCrと

し

ラ ン 展 開 のa−1,a−2,…

に注 意)

同 様 に して

の こ とが わ か る.   し た が っ て,条

件(#)が

成 り立 つ と き は

と な る.   し た が っ てf(z)のaの

ま わ りの ロ ー ラ ン 展 開 は

(5) と な る.   こ の と き, の とき の とき と 定 義 す る と,f(z)はD上

で 定 義 さ れ た 正 則 関 数 と な る.実

わ りの テ イ ラ ー展 開 は(5)で   こ の よ うに,aに 数f(z)が,D上

際,f(z)のaの

ま

与 え られ て い る.

お け る値 を 適 当 に 決 め る と,Da上 の 正 則 関 数f(z)へ

で 定義 され ていた 正 則 関

と 拡 張 さ れ る と き,孤

立 特 異 点aを,除

去

可 能 な 特 異 点 で あ る と い う.

【定 理 】f(z)の

孤 立特 異 点aが,除

去 可能 な特 異点 とな るた め の必 要か つ 十 分

な条 件 は,0<￨z−a￨<ε

で

を成 り立 たせ る正 数Mが

存 在 す る こ とで あ る.

  条 件 が 十 分 な こ とは 上 に 示 し た.条

件 が 必 要 な こ と は,も

異 点 な らば,f(z)は,D上

の 正 則 関数f(z)へ

で 有 界(￨f￨の

の だ か ら,￨f(z)￨も

連 続 性!)な

しaが

除去 可 能 な 特

拡 張 され る.￨f(z)￨はaの

近 く

有 界 の こ と が わ か る.

  な お こ の 定 理 を リー マ ン の 定 理 と い う.

Tea

Time

質 問  除去 可 能 な特 異 点 につ いて,実 数 の と きに対 応 す る よ うな ことが あ った ら 教 えて 下 さい. 答   実 数 の 関 数y=f(x)で,1点

を 除 いた ところ で連 続 だが,1点

では 値 が 定

義 され て い な い例 と して

が あ る.こ

の 関 数 はx=2の

と き 定 義 さ れ て い な い ・ しか し,x≠2で

は

だ か ら,

とす る と,f(x)はf(x)の

連 続 的 な 拡 張 と な っ て い る.

 質 問 が,`実 数 の 中 で'と

制 限 が つ い て い た の で,こ

の よ うに 述 べ た が,実

数 に

こ だ わ ら な くて よ い な らば

と お く と,f(z)は,z=2を

孤 立 特 異 点 とす る 正 則 関 数 で あ っ て,z=2は,除

可 能 な 特 異 点 と な っ て い る.こ

の 場 合f(z)=4+(z−2)が,ロ

去

ー ラン展 開 とな

っ て い る.   実 数 の と き に は,微 の ま わ りで,￨f(x)￨≦Mと

分 可 能 な 関 数f(x)が,`孤

立 特 異 点'(徴

な っ て い て も,f(x)が,特

的 に 拡 張 さ れ る と は 限 ら な い.そ

の よ うな 例 と し て は

分 の で き な い 点)

異点 の と ころ まで連 続

が あ る.こ

の 関 数 は,x=0を

原 点 の 近 くで,+1と−1の よ うが な い!除 明 で あ る が,こ

孤 立 特 異 点 に も っ て お り,￨f(x)￨≦1で 間 を 無 限 に 振 動 す る.x=0に

去 可 能 な 特 異 点 に 関 す る,こ の 簡 明 さ は,本

来,正

あ るが,

お け る値 を 定 義 し て み

の講 義 で述 べ た結 果 は ま こ とに簡

則 性 に 由 来 す る の で あ る.

第28講 極 と真性特異点 テーマ ◆ 極z=a:z→aの ◆n位

ときf(z)→

∞

の極

◆ 真 性特 異点z=a:aは

除 去可 能 な特 異点 で も極 で も な い 孤 立特 異

点 ◆ 真 性特 異点z=aの

まわ りで,ロ

ー ラ ン展 開 は負 ベ キ の 項 が い くら

で も現 わ れ る. ◆

ワ イエ ル シ ュ トラス の定理

極   f(z)は,aを

孤 立 特 異 点 と し て もつ,領

【定 義 】z→aの

と き,￨f(z)￨→

域Da上

∞ とな る と き,孤

の 正 則 関 数 とす る. 立 特 異 点aは,fの

極であ

る と い う.   極 は,英

語poleの

訳 で あ る.z→aの

極 点 に 近 づ い て い る.極 しれ な い.￨f(z)￨→   孤 立 特 異 点aはfの

と き,リ

と い う の は,こ

ーマ ン 球 面 上 で は,f(z)は

の よ うな 感 じ を い い 表 わ して い る の か も

∞ と い う こ と は,f(z)→ 極 で あ る と し よ う.こ

∞ と か い て も同 じ こ と で あ る. の と き,正

数 εを 十 分 小 さ く と る

と,

で と な る.し

は,aを

た が っ て,0<￨z−a￨<ε

で

孤 立 特 異点 に もつ 正 則関 数 で あ って

で あ る.し

た が っ て,aは,g(z)の

北

除 去 可 能 な 特 異 点 と な る.

  前 講 の 結 果 か ら,g(z)は,aの 開 で,最

初 に0で

と な る.z→aの でn≧1で

の展

な い 係 数 か らか き 出 す と

と き,￨f(z)￨→

あ る.(前

と,g(a)=0と

ま わ りで テ イ ラ ー 展 開 が 可 能 で あ る.こ

∞,し

た が っ て￨g(z)￨→0と

講 の よ う に,g(z)をz=aに

な る か ら,こ

ま で 拡 張 し てg(z)と

こ

して お く

な って い る.)

 ゆえに

(1) ここで

と お い た.G(a)=bn≠0だ

た が っ て, 

もaの 近 くでは 正 則 な関 数 と な る.し

か ら, 

はaの

近 くで,aを

中 心 と す る テ イ ラ ー 展 開 が 可 能 と な る.

あ との 記 号 の使 い方 とあわ す た め に,そ れ を

に よ り,a−n≠0で

と表 わ す.   そ こ で(1)式

あ る.

の 逆数 を とる と

(2) と な る.   前 講 で 述 べ な か っ た が,孤 立 特 異 点aの れ ば,こ

れ は 必 然 的 にf(z)の

近 くで,f(z)が(2)の

形 に表 わ され

ロ ー ラ ン展 開 と 一 致 す る こ とが 知 られ て い る(ロ

ー ラ ン展 開 の 一 意 性).   こ れ で 次 の 定 理 が 証 明 さ れ た.

【定 理 】f(z)の

孤 立 特 異 点aが,極

を 中 心 と す るロー ラ ン展 開 が

で あ るた め の 必 要 十 分 な 条 件 は,f(z)のa

(3) の 形 とな る こ と で あ る.こ

こ でn≧1,a−n≠0.

必 要 な こ とは 上 に 示 した. 十 分 な こ と は,も

しf(z)が

上 の 形 に な って いれ ば

(F(z)=a−n+a−n+1(z−a)+…

の と き￨f(z)￨→

は 正 則 関 数)と

n位   f(z)の

孤 立 特 異 点aが

ら,z→a

の 極

極 で あ っ て,aを

形 で 表 わ さ れ て い る と き,aをn位   第22講

表 わ さ れ,F(a)≠0か

∞ と な る.

中 心 とす る ロ ー ラ ン 展 開 が(3)の

の 極 とい う.

の 最 後 に 示 し た よ う に,aを

中 心 に し て 半 径rの

円 周Cを

正 の向 きに

一 周 す る積 分路 に沿 って

(4) が 成 り立 つ.   い ま 正 数rを,中

心a,半

て い る よ うに と る.こ

径rの

の と き(3)の

円 周Cがfの 両 辺 を,こ

定 義 され て い る 領 域 の 中 に 入 っ の 積 分 路Cに

右 辺 は 項 別 に 積 分 し て も よ い こ とが 知 ら れ て い る(こ

沿 っ て 積 分 した い.

れ はC上

で,右

辺 の 級数

両 辺 をCに

沿 って積

が 一 様 収 束 し て い る こ とか ら わ か る).   した が っ て,こ

の 項 別 積 分 の 結 果 を 認 め た 上 で,(3)の

分 す る と(4)か

らn≠−1以

外 の(z−a)nの

積 分 は す べ て0と

結局

(5)

な って し ま って

が 得 ら れ る.   な お こ の 結 果 は,前   f(z)がaで1位

講 の(4)でn=−1と

お い て も わ か る こ とで あ る.

の 極 を もつ と き に は,(5)は

わ す こ と が で き る.す

と 表 わ さ れ る.両

な わ ち,f(z)がaで1位

辺 にz−aを

も う少 し,は

っ き りした形 で表

の 極 を もつ 場 合 は,f(z)は

かけると

とな るか ら

で あ る.し

た が っ て(5)を

参 照 して,次

f(z)がaを1位

の 結 果 が 得 られ た.

の 極 と して もつ とき

が 成 り立 つ.

  こ こ で,積

分 路Cは,aを

れ て い る よ う な 円 の 周 を,正   f(z)のCに

沿 う積分 が,極

中 心 と し,そ

の 中 で(a以

外 で は)f(z)が

定義 さ

の 向 き に 一 周 し た も の で あ る. 限 で 表 わ さ れ る と い う,一 見,奇

妙 な こ とが お き

た の で あ る.

真性特異 点  f(z)は,aを

孤 立 特異 点 と して もつ,領 域Da上

の正 則 関 数 とす る.除 去 可能

な特 異 点 や極 は,い わ ば扱 い や す い特異 点 で あ った.と ころが 孤 立特 異 点 の 中 で も強 い特 異 性 を示 す ものが あ る. 【定 義 】aが,除

去可 能 な 特 異点 で もな く,極 で もな い とき,aを

真 性 特 異点 と

い う.   aが 真性 特 異 点 な らば,aを る負 ベ キ の項 

が,有

中心 と して ロー ラ ン展 開 し た と き,z−aに 限 項 で 終 っ て し ま う こ と は な い.も

aは 極 と な っ て し ま うか らで あ る.

関す

し そ う な れ ば,

  こ の こ と に 注 意 す る と,真 性 特 異 点aは,次

の よ う に ロ ー ラ ン展 開 の 言 葉 で 特

性 づ け る こ と が で き る.

孤 立 特 異点aが 真 性 特 異点 であ るため の 必 要 か つ 十 分 な条 件 は,aを

中

心 とす る ロー ラ ン展 開

に お い て,a−n≠0(n=1,2,…)と

  真 性 特 異 点aにzが うに,f(z)は,特

近 づ く と き,`真 性'(essential)と 異 な 振 舞 い を 示 す よ うに な る.す

【定 理 】 孤 立 特 異 点aは,f(z)の wに

対 し て,aに

た,aに

い う言 葉 が 示 唆 す る よ

な わ ち 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

真 性 特 異 点 と す る.そ

近 づ く適 当 な 点 列{z1,z2,…,zn,…}を zn→aの

と な る.ま

な る 項 が 無 限 に 現 わ れ る こ と で あ る.

の と き,任 とる と

と き,f(zn)→w

近 づ く 適 当 な 点 列{z1',z2',…,zn',…}を z'n→aの

意 の複 素 数

と き,f(zn')→

とる と

∞

と な る.

【証 明 】

適 当 な 点 列{zn},zn→aを

と る と,f(zn)→wと

な る こ と を 示 す に は,

任 意 に 正 数 δ,εを と っ た と き 0<￨z−a￨<δ を み た すzが

少 な く と も1つ

1,2,3,…

を と っ て,こ

存 在 す る こ と を 示 す と よ い.(読

の と き,あ

が 成 り立 つ こ とに な る.

と し て,

ま 述 べ た こ とが 成 り立 た な い と 仮 定 し て み

る 正 数 δ0と ε0が存 在 し て 0<￨z−a￨<δ0で

  した が って

者 は,δ,ε

の こ と を 確 か め て み られ る と よい.)

  背 理 法 を 用 い て 証 明 す る た め,い る.こ

で,￨f(z)−w￨<ε

つ ね に￨f(z)−w￨≧

ε0

と お く と,F(z)は0<￨z−a￨<δ0で

と な る.し

た が っ て,aはF(z)の

同 様 に,F(z)の

とす る.こ

は,n=0な

孤 立 特 異 点 に も ち,か

除 去 可 能 の 特 異 点 で あ る.極

テ イ ラ ー 展 開 を0で

つ

の と きの証 明 と

な い 項 か らか き 出 し て

の形 か ら

らば,aを

とが わ か る.こ て,背

正 則,aを

除 去 可 能 な 特 異 点,n>0な

の こ と は,aが

らば,n位

の 極 と し て もつ こ

真 性 特 異 点 で あ った こ と に 矛 盾 す る.し

理 法 に よ り適 当 な 点 列{zn}を

と る とzn→aの

と きf(zn)→wと

たが っ なるこ

とが 示 され た.   適 当 な 点 列{zn′},zn′ とが で き る.(こ

→aを

選 ぶ と,f(zn′)→

∞ とな る こと も同 様 に示 す こ

の 結 果 を 否 定 す る とf(z)は,aの

近 くで 有 界 と な り,aを

除

去 可 能 な特 異 点 と して もつ こ とに な る.) こ の 定 理 を,ワ

イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 定 理 と い う.

Tea

の グ ラ フな ど

のグ ラ フ や, 

質 問   極 の方 は,頭 の 中 で  を 思 い 浮 か べ て,大

Time

体 の 感 じ を 捉 え る こ とが で き ま し た.し

対 す る ワ ィ エ ル シ ュ トラ ス の 定 理 は,び

か し,真

性特異点に

っ く りす る よ うな 定 理 で,こ

ん な こ とが

本 当 に お き る の だ ろ うか と 疑 わ し くな りま す.実

数 の 場 合 で も,こ

れ に似 た状 況

が お き る こ とが あ る の で す か. 答   極 の 方 は,z→aの

と き,つ

ね に￨f(z)￨→

∞ で あ る.し

た が って た とえば

複素関数 

を 考 え た と き,zが

→ ∞ と な る.し

た が っ て,こ

の 中 で 見 る こ と も で き る.こ   し か し,真 wと

と し て も,実

性 特 異 点 の 方 は,aに

近 づ く適 当 な 点 列{zn}を

素 平 面 の 中 で,適

軸 だ け に 限 っ て み て も,ほ

軸 上 か らaに

  そ う は い っ て も,ワ

近 づ くと き も,￨w￨

極 で あ る と い う状 況 は,実

近 づ く点 列 は,あ

と る と,f(zn)→

当 に 点 列 を 選 べ ば 成 り立 つ と い と ん ど何 もわ か ら な い.aを

と い う関 数 を 考 え る.こ

実数

ま り に も特 殊 す ぎ る か ら で あ る.

イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 定 理 に 近 い 状 況 を,実

と の で き る 例 は 存 在 す る.い

数

れ は 君 の 質 問 の 最 初 に 述 べ て い る こ と で あ る.

い う結 果 を 述 べ て い る.複

う よ うな 定 理 は,実

特 に 実 軸 に 沿 っ て1に

の と き に は,z=1が

数 の 中で 見 るこ

ま

の 関 数 はz=0を

孤 立 特 異 点 に も っ て い て,z=0を

中心

とす る ロ ー ラ ン 展 開 は

と な り,し

た が っ て 負 ベ キ の 項 が 無 限 に 現 わ れ,z=0は,真

  そ こ で,実

数 に 限 って

とい う関 数 の グ ラ フ を 描 い て み よ う.こ の グ ラ フ は,図95に と, 

る.図95の

性 特 異 点 で あ る.

示 し た よ うに, 

の 間 を無 限 に振 動 を 繰 り返 しな が ら0に 近 づ くグラ フ とな っ て い 右 に 示 し た よ うに,こ

の と き 任 意 の 実 数y0に

図95

対 し て,0に

近 づ く適

当 な 点{xn}を

とる と

と な る.実

際 は,図

と れ る.ま

た グ ラ フ が 山 の 頂 き を た ど る よ うに0に

で 示 し た よ うに,つ

ね に 値 がy0で

あ る よ うな 点 列{xn}が

近 づ く点 列{xn}を

とる と

と な る.   これ は,ワ

ィェ ル シ ュ トラ ス の 定 理 の 述 べ て い る こ とを,実

い る こ と に な っ て い る.

数 の中 だけ で見 て

第29講 留

数

テー マ ◆ 留数 ◆ 留 数 の複 素積 分 に よ る表 示 と,極 限 に よる表 示 ◆ 有 限個 の 孤 立点 を もつ 場 合 の 留 数定 理 ◆ 留数 の計 算例 ◆ 実数 の定 積分 へ の応 用

f(z)の

孤 立 特 異 点 をaと

す る.aを

中 心 とす るf(z)の

ロー ラ ン 展 開

(1) に お い て,前 な 挙 動―

講 で も注 意 し た よ う に,  と 深 く結 び つ い て い る.そ

【定 義 】a−1を,孤 Res(a;f)と

立 特 異 点aに

の 係 数a−1が,fの

こで,こ

積 分―

のa−1に 注 目 し て 次 の 定 義 を お く.

お け るf(z)の

留 数 と い い,R(α;f),ま

の 場 合 に 示 した が,一

図 の 円 環 部 分 で,ロ に 注 意 す る と,こ

り'と か い て あ

般 の 場 合 で も,

ー ラン展 開 は一 様 に収 束す る こ と

の 円 環 部 分 に あ る 円 周Cに

正 の 向 き に 一 周 し て,(1)を

が 成 り立 つ(前

たは

表 わ す.

  注意   留 数 は 英語 でresidueと い う.residueは 英 和 辞 典 で は`残 余,残 る.こ の 術 語 は,関 数 論 の 創 始者 コー シ ーが 用 い てか ら慣 用 とな った.   前 講 で は,極

平均的

講,(4),(5)を

  孤 立 特 異 点aがfの1位

沿 っ て,

積 分 す る こ とに よ り

参 照). の 極 の とき には

図96

と 表 わ され る こ と は,す

で に 前 講 で 注 意 し て あ る.

  こ の 一 般 化 と し て,次

の 結 果 が 成 り立 つ.

孤 立 特 異点aがfのn位

【証 明 】 仮 定 か ら,fはaを

と表 わ さ れ る.し

の 極 の とき

中 心 とす る ロ ー ラ ン展 開 に よ っ て

た が って

とな る.こ の ベ キ級 数 は,Cの

内部 で一 様 に収 束 して い る.両 辺 を(n−1)回

微

分 す る と,ベ キ級 数 は 項別 微分 が可 能 だ か ら

と な る.し

た が って

が 成 り立 つ.

一

般

  これ か らは,簡 単 のた め,関 数f(z)は,複

化

素 平 面 の 中 の有 限個 の点

a1,a2,…,as

を 除 い て 定 義 され て い て,正

則 で あ る と し よ う.

  こ の よ うな と き に も,a1,a2,…,asは,f(z)の お の のaiの

近 くで は,aiを

除 け ばf(z)は

aiの 近 くで 適 用 す る こ と が で き る.特にaiの <ε2の よ うな 範 囲 で)f(z)は

孤 立 特 異 点 で あ る とい う.お 正 則 な の だ か ら,い 近 くで(正

の

ま ま で の 議 論 を,

確 に は0<ε1<￨z−ai￨

ロ ー ラ ン展 開 に よ っ て 表 わ す こ と が で き る.

  特 に,各aiに

対 し て,留

  い まa1,a2,…,asの 閉 曲 線Cを

【証 明 】

積 分 し て み よ う.こ

い ま ま で も,た

のCを

正 の向 きに一 周

の と き 次 の 結 果 が 成 り立 つ.

びた び 用 いた 論

の 向 きに まわ る

小 さ な 円 周 の 道C1,C2,…,Ckを

と る.こ

線 分 で つ な ぐ.Cか

分 を 伝 わ っ てC1へ

外 に あ る.こ

内部 に含 む 単 一

示 し た よ う に,a1,

まわ り に,正

れ ら の 道 をCと

と え ばa1,a2,…,akを

り のak+1,…,asはCの

法 で あ るが,図97で a2,…,akの

考 え る こ とが で き る.

中 の 任 意 有 限 個,た

と る.残

し て,f(z)を

数R(ai;f)を

うつ り,C1を

き に 一 周 し て 再 びCに

ら線 負の向

戻 る.こ の よ う に

し て 道 を 順 次 つ な げ て い く と,結

局,図 図97

97の

カ ゲ の つ い た部 分 を 囲む 道 が で き

る.こ

の 部 分 で はf(z)は

正 則 で あ る.ま

う.し

た が って コー シ ーの積 分 定理 に よって

第2項

以下 を 右 辺 に移 項 して

た 往 復 し た 線 分 上 の 積 分 は 打 消 し合

に注 意 す る と,こ れ は証 明 すべ き結 果 とな って い る.

例  留 数 を用 い て実 際 積 分 の値 を 求め る例 を1つ あげ て お こ う.関 数

を考 え る.分 母 は

と因数 分解 され る.   ここで

で あ る.こ れ らは単 位 円周 上 で,円 周 を4等 分す る よ うに 並 ん でい る.  つ い で に,簡 単 な計 算 も して お く.

(1) (2) さて

だ か ら, 

は,a1,a2,a3,a4を1位

同様 に(2)を

  い ま,正

の 極 と し て も っ て い る.

用 いて

数rを1よ

り大 に と り,積 分 路Cと

し て 実 軸 に 沿 っ てrま 直 ぐ左 へ−r+irま

で 進 み,次

で 進 み,下

に,虚

し て 図 に 示 す よ う に,0か

軸 に 平 行 にr+irま

が っ て−rに

き て,0に

で 進 み,そ

れ か ら真

戻 る とい う,長 方 形 の 道

を と る.   Cの 内 部 に 含 ま れ て い る 特 異 点 はa1とa2だ

ら出 発

け で あ る.し

た が って

図98

(3)

定積分

上 の 結果 を用 い て,実 関 数 の定積 分

の 値 を 求 め る こ とが で き る.図99の

よ うに 積 分 路Cの

頂 点 にP1,P2,P3,P4と

号 をつ け る と

図99

(4)

記

  こ こ でr→∞

の と き,右

辺 の 第2項,第3項,第4項

は0に

近 づ くこ とを示

そ う. (ⅰ) P2P3上

で￨z￨≧rだ

か ら

(ⅱ) P3P4上

で も￨z￨≧rだ

か ら

(ⅲ) これ は(ⅰ)の (3)か

ら,(4)式

に 等 し い.し 辺 の 第1項

場 合 と ま っ た く同 様 で あ る. の 値 はr(>1)の

た が っ て(4)式

でr→

と り方 に よ らず,つ

∞ と す る と,実

ねに

軸 上 で の 積 分 を 与 え る右

だ け 残 って

が 得 られ た.  この よ うに留 数 を用 い る と,実 関 数 の 定積 分 を比 較 的 容 易 に求 め られ る場 合 が あ る.上

の 例 で も 

の不 定 積分 を求 め て か ら,定 積 分 の 計算 へ と うつ った

わ け では なか った.実 際,不 定 積 分 を 具体 的 に求 め られ な い 関数 で も,留 数 を 用 い る こと に よ って,定 積分 を 求 め られ る こ とが 多 い.歴 史的 に も コー シ ーが1820 年 代,最 初 に,複 素 関 数 の解 析 学― 算 に留 数 を 活用 す る こ とに あ った.

関数 論―

を導 入 した動 機 は,定 積 分 の 計

Tea

Time

質 問  定 積 分 の計 算 に,複 素 数 の上 の解 析 学 が役 に立 つ こ とは,面 白い と思 い ま した.講 義 の 中 で,正 方 形 の 積 分 路 を どん どん 大 き くして い くと,結 局,実 軸上 の 積 分だ け が残 っ てい くこ と も,コ ー シ ーが,よ

くこ うい う ことに気 が つ い た も

の だ と感 心 し ま した.と

ころで,微 分 ・積 分 で は,変 数 の数 を 増 や して多 変 数 の

関 数y=f(x1,x2,…,xn)も

取 り扱 い ます.そ れ で は,複 素数 で も多変 数 の関 数

w=f(z1,z2,…,zn)を

考 え て みた らど うで し ょ うか.そ れ を調 べ る と,実 数 の 多

変 数 の微 積 分 の難 しい計 算 を,ず

っ と見 通 し よ く簡 単 にす る とい うこ とが あ るの

で は な いで し ょうか. 答   多変 数 の 複 素変 数 の関 数w=f(z1,z2,…,zn)を

調 べ る大 きな理 論 は存 在 して

い る.そ れ は 多変 数 関 数論 と よば れ て お り,今 世 紀 のは じめか ら本 格的 な研 究 が は じめ られ た.し か し,複 素 数 の 変 数 の数 を 増 す と,そ こに は1変 数 の場 合 の ア ナロ ジーを た どる だけ で は,予 想 もで きず,理 解 に も苦 しむ よ うな難 しい事 態 が 生 じて きた.ど の点 が 難 しいか を 説 明 す る ことが す で に難 しい のだ が,1変

数の

場 合 に こ こで 述 べ て きた正 則性 とい う,見 方 に よ っては 自然 な,見 方 に よ って は 奇 妙 な 関数 の もつ特 性 が,変 数 を 増 した とき,そ れ ぞれ の変 数 に 独立 にそ の 性 質 が 付 与 され,そ れ らが また,多

くの 変 数 が一 斉 に 自由 に動 き出す とき,複 雑 に相

互 に作 用 し合 う,そ の状 況 が 謎 めい て,把 握 し難 い 点 に あ る.こ の理 論 の育 成 に は,岡 潔先 生 の,一 生 を か け られ た大 きな 貢 献が あ った.   多 変 数 の複 素 関 数論 は,実 数 の場 合 の 多変 数 の微 分 ・積 分 に有 効 に使 わ れ る こ とが あ るか とい う質 問 に対 して は,現 在 の と ころ,そ の よ うな こ とは比 較 的 少 な い よ うであ る としか,私 は 答 え られ ない.

第30講 複 素 数 再 考 テーマ ◆ 複 素 数 を,さ ら に拡 張 して 新 しい 数 の 体 系 をつ く り,そ こで も四則 演 算 が 自由 に行 なえ る よ うに で き るか? ◆ この 答 は否 定 的 で あ る. ◆ 四 元数 につ いて

複 素 数 を さ ら に 拡 張 で き るか   複 素 数 を主 題 と した30講

も,こ の講 で 終 る こ とに な った.こ

の講 義全 体 を流

れ る基 調 は,複 素 数 は,`平 面 の数'と い うこ とであ った.複 素 数 は,単 に四 則 演 算 が 自由 にで き る とい うだ け では な くて,そ れ らの 演算 が,平 面 の 中 に埋 め こ ま れ て い る属 性―

回転,相 似 写 像,平 行 移動―

な どを 引 き出 して,平 面 の もつ

連 続 性 の中 で総 合 され,数 学 に新 しい舞 台を 提 供 した の であ った.   そ うす る と,誰 で も 考 え る の は,そ れ で は複 素 数 の 概 念 を さ らに拡 張 して, `立体 の数' ,一 般 に`n次 元 の 数'が あ るの で は なか ろ うか とい うこ とで あ る.   しか し,ふ つ うの よ うに四 則演 算 が で き る よ うな数 の体 系 で,複 素数 を 拡張 し て`n次

元 の数'(n≧3)を

構 成 す るこ とは で きな い の で あ る.で きな い とい う

の は,ど んな に 人工 的 な工 夫 を凝 ら して もで き ない とい うこ とで あ る.   そ の ことを概 略 だけ 簡 単 に説 明 してお こ う.   複素 数 を 拡張 した`n次

元 の数'と は,も しあ る とす れ ば

(1) と一 意 的 に 表 わ さ れ る 数 の こ と で あ る.こ iは 虚 数 単 位.,j1,j2,…,jn−2は`新   複 素a+biを,実 (第3講

参 照),上

数 の 対(a,b)と

こ で,a,b,c1,c2,…,cn−2は

し い 数'の

実 数 で,

単 位 で あ る.

表 わ し た ハ ミル トン 流 の 考 え に な ら え ば

の 数 は(a,b,c1,c2,…,cn−2)とn個

の 実 数 の 組 か らな る と 考

え ら れ る.   も ち ろ ん,こ だ か ら,た は,指

の 新 し い 数 の 体 系 に,四

とえ ば,'i2=−1の

定 され て い る.た

則 演 算 が 自 由 に で き る と仮 定 し て い る の

よ う にjkとjlを

か け た もの が,ど

と え ば,jkjl=−2i+j1の

よ うに 決 め られ て い る.こ

よ うに,i,j1,…,jn−2の

間 の か け 算 の 規 則 が 決 め られ て,さ

と し て お く と,λ と,こ

の 新 し い 数 の 体 系 の 中 に あ る別 の 数

と の,四 る.割

則 演 算 は,分

の よ うに な るか

らに

配 則 を 使 っ て 自 由 に で き る こ と に な る.特

り算 に つ い て は,λ ≠0な

1/ λ とす る の で あ る.(計

らば,λ μ=1と

の

に λ μ=μ λで あ

な る μ が 存 在 す る と 仮 定 し て,μ=

算 規 則 を と り出 して か か な いが,ふ

つ うの よ うな 演 算

は す べ て で き る と仮 定 して い る の で あ る!)   さ て,(1)で

表 わ され る λが 与 え ら れ た と き,λ,λ2,…,λnを

考 え る.こ

れ ら

のそ れぞ れ は

と表 わ さ れ る.こ とえ ばc1≠0と

れ ら の 式 か らi,j1,…,jn−2を,ふ

す る と,第1式

下 に 代 入 す る と,j1を

をj1に

含 ま な いn−1個

つ うの 方 法 で 消 去 す る と(た

つ い て 解 くこ と が で き る.こ の 式 が 得 られ る),結 (ai:実

とい う形 の 関 係式 を導 くこ とが で きる.す

数) 

れ を 第2式

以

局 (2)

なわ ち,λ は実 係 数 の方 程式 の解 とな

る.い ま係 数 の範 囲 を複 素 数 に まで広 げ て み て,そ こで λのみ たす 最低 次 数 の複 素 係数 の方 程 式 はk次 で あ った として,そ れ を

(3) と し よ う.(2)が

成 り立 つ の だ か らk≦nで

あ る.

  そ こで 複 素 数 αを

(4)

を みた す よ うに と る.す なわ ち複 素係 数 の方 程 式(4)の

解 を1つ と り,そ れ を

α とす るの で あ る(代 数 学 の 基 本 定理!).   よ く知 られ た因 数 分解 の公 式

は,い

ま の 場 合 も そ の ま ま成 り立 つ(右

い.こ

こ で 乗 法 の可 換 性 を 用 い て い る).し

た(4)式

た が っ て(3)式

か らz=α

とお い

を 引 い て,λ に つ い て 整 頓 す る と

こ こ でr2,…,rk−1は

で あ る.し

αを 含 む 式 で あ る が,複

素 数 で あ る.kの

と り方 か ら

たが って λ=α

が 得 ら れ た(こ =0な

辺を 分 配 則 に従 って展 開 して み る と よ

らば,ど

こで 暗 黙 の うち に,ふ ち らか 一 方 は0)を

 

(5)

つ う の 演 算 規 則 が 成 り立 つ と い う仮 定(λ λ′

用 い て い る.こ

の こ と は,λ ≠0な

ら ば λは 逆

数 を もつ とい う こ と に よ っ て い る).   (5)は,期

待 し て い た`n次

示 し て い る.(1)の

元 の 数'λ は,実

よ うに 表 わ し て み て も,結

は複 素数 に す ぎなか った こ とを 局 は,四

に で き る と 仮 定 し て し ま う と,c1=c2=…=cn−2=0と   こ の 証 明 を 見 て もわ か る よ うに,こ

則 演 算 が ふ つ うの よ う

な っ て し ま う の で あ る.

こ で 強 力 に 働 い た の は,複

素 数 で は,代

数

学 の 基 本 定 理 が 成 り立 つ と い う事 実 で あ った.

四

元

数

  読 者 の中 に は,`し か し四元 数 とい う ものが あ る こ とを 聞い た こ とが あ る'と い わ れ る人 が い るか も しれ ない.四 元 数 は,確 か に複 素数 の 拡 張 で,い わ ば`4次 元 の数'で あ るが,こ

こでは 乗 法 の可 換 則 が成 り立 た ない.

  四 元数 は

と 表 わ され る 数 で あ る.単

位i,j,kの

乗 法 につ い て は

とい う規 則 を お く.四 元 数 の 中 で,C=d=0を

み た す も の が,ち

ょ う ど複 素 数 と

な っ て い る.   λに 対 し て

と お く と,

と な る.λ ≠0の と き,1/λ は 存 在 し て

とな る.し な る.す

た が っ て,四

元 数 の 中 で は,非

な わ ち,λ(≠0)とkが

可 換 で は あ る が,除

法 が で き る ことに

与 え られ た と き,

を み たす μは

で 与 え られ る.   そ れ で は,と 再 び 質 問 され るか も しれ な い:四 元 数 の よ うに 乗法 の可 換 性 とい う条 件 を おか ない な らば,四 元 数 以外 に も,複 素 数 を拡 張 した上 の よ うな 数 の 体 系 は あ るの では な い か?と

ころが,上 の よ うに 除法 が で き,か つ 実 数 を ス カ ラ

ー の よ うに乗 ず る こ との で き る数 の体 系(正 確 には 実数 体 上 の 多元 体)は

,実 数

と複 素 数 と四 元 数 しか な い ので あ る.   そ の ことを 知 って み る と,複 素 数 と四元 数 を 発見 した こ とは,た だ2つ

しか な

い 鉱 脈 を探 し当 て た よ うな もの で,数 学史 上,実 に大 きな発 見 で あ った と思 われ て くる.

Tea

質 問  この30講 を 読 む まで は,僕

Time

は微 分 ・積分 しか 知 りませ ん で した.こ

のと

ころ,複 素 数 の こ と しか 勉 強 しな か った せ い か,い ま は,数 直線 は複素 平 面 の 中 の 実 軸 としか 見 え な くな って き ま した.数 学 は,実 数 か ら複 素数 へ と数 の世 界 を 広 げ たわ け です か ら,実 数 の 微分 ・積 分 は過 渡 的 な もの であ った と して,こ れ か らは 複 素数 の上 の 解析 学 だ け を勉 強 す れ ば よい の で し ょ うか. 答

質 問 の 意味 して い る もの は,深 い 内容 を 含 ん で い る よ うに 思 う.た とえば,

有 理 数 しか 知 らな か った人 が,2乗

に 比 例す る 関係 式y=3x2を,有

け で しか 考え てい なか った と して も,一 度 実 数 を知 れ ば,実 考 え る方 が,ず た の は,む

理 数 の中 だ

数 の 中 でy=3x2を

っ と考 えや す くな るだ ろ う.こ の とき,有 理 数 の 中だ け 考え てい

しろ狭 す ぎて,`過 渡 的'な

ものだ った とい うい い 方 が で き るか もしれ

ない.   と ころ で い まは,実 数 を 一 部分 に 含 む 複 素数 とい う沃 野が 広 が った の だか ら, す べ て を 複 素数 の中 で 考え た方 が,ず

っ と見 通 しが よ くな るだろ うと思 うの は,

もっ と もな こ とで あ る.   しか し,解 析 学 に限 ってい うな らば,そ れ は 正 し く な い.そ の本 質 的 な理 由 は,解 析学 の 中 の最 も基本 的 な定 義 であ る,微 分 の定 義 が,数 直 線 をそ れ 自身 と して見 るか,あ るい は 複素 平 面 の 中 の実 軸 と して見 るか に よって,本 質 的 に違 う か らで あ る.講 義 の中 で も繰 り返 し述 べ た よ うに,実 数 の場 合 の 微 分 は,数 直線 の左 右 か ら近 づ く模 様 が 問題 とな る ので あ るが,複 素 数 の 中 で考 え ると,平 面 の すべ て の方 向 か ら近 づ く近づ き方 が 問題 とな る.   実 数 の微 積 分 の 中に 現わ れ る関数 で,複 素数 の 中で 考 られ るの は,テ イ ラー展 開 で き る よ うな 関数 だ け で あ る.大 体,正 則 関数 は,1回

微 分で きれば 何 回 で も

微分 で き る とい う性 質 を も って い た のだ か ら,微 積 分 の中 に現 わ れ る,1回

きり

しか 微 分 で きな い 関数 な どは,複 素数 の中 で 考 え る ことが で き ない の で あ る.   2台 の 自動 車 が,あ る と ころ まで 並ん で走 って い て も,ど ち らか 一方 の車 が, ア クセ ルを 強 く踏 めば,車 間 距 離 は どん どん 大 き くな って くるだ ろ う.2台

の車

の運 行 を表 わ す 関 数 は,も ち ろん 微 積分 の対 象 とな る 関数 で あ るが,こ の場 合, 一 致 の 定理 は成 り立 た な い.し た が って正 則 性 の 立 場 か ら,こ の よ うな ご くあ り

ふ れ た 現 象 も理 解 す る ことは で きな い の で あ る.   複 素 平面 を沃 野 に た とえ れば,実 軸 は沃 野 を 横 切 る一 本 の道 の よ うな もの で あ る.こ の 道 の上 を,人

も歩 けば,車

も通 る.さ ま ざま な乗 物が,追 い越 した り,

追 い抜 か れ た り,時 には 止 ま った りしてい る.し か し,こ れ らの 人 も乗 物 も,沃 野 の方 へ 入 って い く ことが で きな い.沃 野 の上 を 自由 に動 い てい るのは,こ の道 を少 し も意 に介 さず に,水 の よ うに沃 野 に広 が る`正 則 性'と い う性 質 を もつ 関 数 だ けで あ る.   こ の よ うな 状況 を 想 定 してみ る と,微 分 ・積 分 の研 究対 象 の ほ とん どは,複 素 数 の解 析学 に 吸収 され な い とい う ことが わか っ て も ら える ので は ない だ ろ うか. しか し,一 方 で は 微 分 ・積 分 に現 わ れ る関数 を多 項 式 や三 角 関 数 な ど具 体 的 な 関 数 で 近 似 して調 べ よ うとす る と,こ れ らの 関数 は 正則 性 を も ってい る.こ こに 実 解 析 と複素 解 析 の深 いか らみ合 いが 生 じて くるの で あ る.   複 素解 析 の世 界 は深 い.実 解 析 の 世 界 は広 く多 様 で あ る.こ の どち らに 重 点 を お い て学 ぶ か は,数 学 者 で もさ ま ざ まで あ っ て,数 学 者 の 個性 が こ こには 強 く反 映 して い る よ うで あ る.

索

ア

行

引

高 階 導関 数   168 高階 微分  118 コー シ ー  210

1次 関数  48 1次 分数 関 数   48

―

の積 分 公式   160

一致 の定 理   182

―

の積 分 定 理   147

コー シ ー ・ア ダマ ー ル の定 理   114 ε-近傍   81

コー シ ー ・リー マ ン の関 係 式  92

円 々対 応 の原 理  50,64

弧

円 の方 程 式   53

弧立 特 異 点   190,206 サ

オ イラ ー ― の関 係 式  24 ―

解(zn=1の) 

行

三 角 関 数   185 ― の 加 法 定理   186 3次 方 程 式 の 一般 解  4

44

開 集 合   81 解 析 接 続   187

指 数 関 数   122 ― に よる対 応   126

ガ ウス 平面  20

指 数 法 則  124

カ ル ダー ノの公 式   4

実

関

実数 部 分   14

数  80

写

関 数 論  210

軸   12,21

像  80 z→z2の ―

 45

共 役 複 素 数   16

収 束 円  111

極   197

収 束 半 径  111,112

虚 虚

行

最大 値 の 原 理   177

の公 式   125 ,187 カ

度   23

1位 の―

 200

純 虚 数  16

n位 の―

  199,206

除去 可 能 な特 異点   193

軸   12,21

ジ ョル ダン 曲線  133

数 2

真 性 特 異点   200

虚 数部 分   14 ε-近傍  81

整

式   103

正則 関 数  97

―

の和 と積  103

微 分可 能(実 数値 関 数 の とき) 87,88

正 則 で な い関 数  106 積

微 分可 能(複 素数 値 関数 の とき)  89

分 znの ―

  156

閉 曲線 に沿 う― 道 に沿 う―

 142

複 素数   12,14 ― の加 法 の図 示  21

 134

積 分公 式 と微 分  167 積 分 路 の細 分   141 絶 対 収束   112 絶 対 値  28 zn=1の

解  44

全 微 分可 能   89 タ

行

―

の極 形式 に よ る表 示  28

―

の減 法 の図 示  22

―

の四 則 演算   14

―

の乗 法  29

―

の乗 法 の 図示  30

―

の除 法  32

―

の 同等   14

―

の ハ ミル トンに よる導 入法  18

―

の ベ ク トル表 示  21

一 直線 上 に あ る―

代 数 学 の基 本 定 理  73,179

単 位 円周 上 の―

対 数 関 数  113,129,157 ― の 多価 性  188

  35  43

同一 円周上 に あ る―

単 位 円  42,67

複 素 積 分  134

単 位 円 周  42

複 素 平面   12,20

 38

単 一 閉 曲線   133 ベ キ級 数  109,113 ―

直 線 の 式  52 偏

の一 意 性  118 角  28

定 義 域  81

マ

行

定 積 分 の 計算   209 テ イ ラー 展 開  118,172 デ カ ル トの数 直 線  7

道  81,133 ― の つな ぎ  140 逆 向 きの― 正則 な―

等 角 写 像   100 ナ

行

2曲 線 の なす 角  100 ハ 反

転  68

非 可 換   215

  140  182

無 限遠 点  58 無 限多 価 性  130

行

ヤ 有理 式   103

四 元数  214

行

連 ラ

行

続   83

連 続 関 数   82 立 体 射 影  58 リ ー マ ン球 面   58

ロ ー ラ ン 展 開   192

リー マ ン の 定 理   195 リ ュ ー ヴ ィユ の 定 理   178 留

数   205

領

域   81

ワ

行

ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 定 理   202

著

者 志

賀

浩

二

1930年  新潟市 に生まれ る 1955年  東京大学大学院数物系数学科修士課程修了 現

在 東京工業大学名誉教授  理学博士

数学30講 シ リー ズ6 複

素

定価 は カバー に 表 示

数30講

1989年4月10日 2008年3月10日

 初 版 第1刷  

第16刷

著 者 志

賀

浩

二

発行者 朝

倉

邦

造

発行所  株式 会社  朝

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵

便

電

話  03(3260)O141

FAX 

<検 印 省 略> C1989<無 ISBN

号  162-8707

O3(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

断 複写 ・転 載 を禁 ず> 978-4-254-11481-2 

番

新 日本 印 刷 ・渡 辺 製 本 C3341

Printed

in Japan