4-dimensionale Translationsebenen

Math. Z. 128, 129-151 (1972) 9 by Springer-Verlag 1972

4-dimensionale Translationsebenen Dieter Betten

Einleitung und Definitionen Eine ,,topologische projektive Ebene P =(P, !~, I)" besteht aus einem Punktraum P, einem Geradenraum ~ und einer Inzidenzrelation I_~ P x ~ derart, daB je zwei verschiedene Punkte mit genau einer Geraden inzidieren, je zwei verschiedene Geraden sich in genau einem Punkt schneiden, und Verbinden und Schneiden stetige Operationen sind. Zwei Ebenen P = (P, ~, I) und P ' = (P', !T, I') heiBen isomorph, wenn es HomSomorphismen n: P-*P' und 2: ~--+~' gibt, so dab ftir alle p e P, L e !~ gilt: p I L genau wenn p~ I' L~. Die Ebene P heigt 2-dimensional, wenn P und ~ hom6omorph zur Fl~iche der reellen projektiven Ebene sind und die Punktreihen [L] (Menge der Punkte auf der Geraden L) und Geradenbtischel I-p] (Menge der Geraden durch den Punkt p) homSomorph zur Kreislinie sind. Die volle Kollineationsgruppe F einer 2-dimensionalen Ebene ist eine hSchstens 8-dimensionale Lie-Gruppe, und die 2-dimensionalen (oder auch ebenen) projektiven Ebenen mit dim F > 3 sind vollst~indig klassifiziert. Insbesondere gibt es vier Scharen nicht desarguesscher Ebenen: die Moulton-Ebenen (dim F=4), die Ebenen mit einfacher Kollineationsgruppe (F=PSL 2 (R)), die Ebenen t~tir die F eine 3-dimensionale Gruppe ist und genau zwei Punkte und zwei Geraden festl~igt, und schlieBlich die Ebenen, deren volle Kollineationsgruppe 3-dimensional ist und genau eine Fixfahne hat. Eine f0bersicht tiber diese Klassifikation gibt [21]. Auf einer 3-dimensionalen Punktmannigfaltigkeit gibt es keine topologischen projektiven Ebenen, und ohne auf axiomatische Feinheiten einzugehen - siehe dazu [5, 23-] - definieren wir: Eine ,,4-dimensionale Ebene" ist eine topologische projektive Ebene, deren Punktraum und Geradenraum hom6omorph zur komplexen projektiven Ebene sind und deren Punktreihen [L] und Geradenbtischel [p-] 2-Sph~iren sind. Eine 4-dimensionale Ebene verh~ilt sich also topologisch wie die gew6hnliche projektive Ebene tiber den komplexen Zahlen, ist aber als topologischgeometrische Struktur m6glicherweise nicht zur komplexen Ebene isomorph. Auf dem Weg zur Klassifikation 4-dimensionaler Ebenen bewies Salzmann unter anderem folgendes [24, 25]: Die volle Kollinea-

130

D. Betten:

tionsgruppe F einer 4-dimensionalen Ebene ist eine Lie-Gruppe einer Dimension < 16. Die Ebene ist desarguessch, falls sie eine zusammenh~ingende punkttransitive Gruppe yon Kollineationen zuliil3t, oder wenn dim F > 10 ist. Jede 4-dimensionale Ebene mit 9-dimensionaler Kollineationsgruppe ist eine Translationsebene, das heiBt, es gibt eine Gerade W derart, dab zu je zwei verschiedenen nicht auf W liegenden Punkten p und q eine Kollineation existiert, die jeden Punkt yon W und jede Gerade durch (p w q)c~ W festh~ilt und p nach q tiberft~hrt. Die ersten Beispiele nicht desarguesscher 4-dimensionaler Ebenen finden sich in E4, 17], es sind durchweg Translationsebenen. In der vorliegenden Arbeit wird folgendes bewiesen: Jede 4-dimensionale Translationsebene entsteht, indem man eine geeignete Partition ~3 des R 4 in 2-dimensionale Teilrgume nimmt, diese Partition starr im e 4 verschiebt, und die so entstehende affine Ebene topologisch projektiv abschliel3t. Jede solche Partition kann mit Hilfe eines ,,transversalen Hom6omorphismus" z der reellen Ebene konstruiert werden, und die zugeh6rige Translationsebene P(v) ist genau dann desarguessch, wenn "clinear ist (Satz 1). Der Kern einer 4-dimensionalen Translationsebene ist isomorph zu C oder zu R je nachdem, ob die Geometrie desarguessch ist oder nicht. Es folgt, dab im nicht desarguesschen Fall die volle Kotlineationsgruppe F die Translationsachse festhglt und dab die Standgruppe F0 auf einem eigentlichen Punkt als lineare Gruppe des R 4 wirkt (Satz 2). Man kann somit die Theorie der Darstellungen linearer Gruppen anwenden. Da Fo ferner auf der zur 2-Sphiire hom~omorphen Partition als Transformationsgruppe wirkt, hat man als zweites Hilfsmittel die Theorie der Transformationsgruppen zur Hand, insbesondere den schon bei ebenen Ebenen so niitzlichen Satz yon Brouwer fiber die Transformationsgruppen auf eindimensionalen Mannigfaltigkeiten. Wir beweisen, da6 aus der Transitivit~it yon F auf der Translationsachse der Satz von Desargues folgt (Satz 3). Hieraus ergibt sich, dab 4-dimensionale Translationsebenen mit dim F > 9 desarguessch sind (Satz4). Zusammen mit dem oben erw~ihnten Resultat yon Salzmann hat man damit: Jede 4-dimensionate Ebene mit dim F > 9 ist desarguessch. Die Zahl 9 ist Grenzdimension in dem Sinn, da6 schon ftir dim F = 8 nicht desarguessche Ebenen existieren. Wir geben n~imlich eine Schar nicht desarguesscher Translationsebenen mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe an. Diese Ebenen entstehen, indem man eine HNfte des desarguesschen Btischels mit Hilfe eines Parameters w> 1 aNindert. Verschiedene Werte w4:w' liefern dabei nicht isomorphe Geometrien (Satz 5). W~ihrend bei 2-dimensionalen projektiven Ebenen jede Translationsebene desarguessch ist, gibt es im 4-dimensionalen Fall eine Ftille nicht desarguesscher Translationsebenen (auch fiir dim F =7 er-

4-dimensionaleTranslationsebenen

131

geben sich nicht desarguessche Translationsebenen, die aber an anderer Stelle behandelt werden sollen). Diese Tatsache verleitet zu der Hoffnung, dab es erst recht eine grol3e Vielfalt von 4-dimensionalen NichtTranslationsebenen gibt. Allerdings scheint bisher noch kein Beispiel einer solchen Ebene angegeben worden zu sein. Hilfsmittel und Bezeichnungen

Wir zitieren einige bekannte S~itze, die st~indig benutzt werden und geben einige Hilfss~itze, die wir vorziehen, um sp~iter den Beweisgang nicht zu unterbrechen. Zur Terminologie sei auch auf [-21] verwiesen. Die topologische Gruppe G wirke als Transformationsgruppe auf dem topologischen Raum M. Fiir S~_M setzen wir Gs={gEG; Sg=S} und GtsI = {g~G; sg=s fiir alle seS}. Falls S = {b} nur aus einem Punkt besteht, schreiben wir kurz Gb ftir G~b~. Ftir b ~ M sei bG= {bg; g~G} die Bahn yon bunter G. Die Abbildung ~bb = (g ~ bg): G -~ b G bildet G stetig auf die Bahn b Gab. Es gilt Lemma (fiber homogene R~iume). Wenn G lokalkompakt und yon abziihlbarer Basis und b G lokalkompakt ist, dann ist ~bb often. Dieses Lemma findet man in allgemeinerer Form in [3]. Es folgt, dab 4~b einen HomiSomorphismus vom Restklassenraum G: Gb auf die Bahn b G induziert. Dimensionsformel. Die Lie-Gruppe G wirke als Transformationsgruppe auf dem Raum M. Dann silt fiir b 6 M :

dim Gb > dim G - dim b G. Beweis. Die Bahn b Gist eineindeutiges stetiges Bild des lokalkompakten Restklassenraumes G: Gb, und daher ist dim (G: Gb) < dim b ~. Zusammen mit dim G - d i m Gb=dim (G:Gb) folgt die Behauptung. In vielen F~illen gilt sogar das Gleichheitszeichen, zum Beispiel bei lokalkompakter Bahn (vgl. voriges Lemma). Unter einem Viereck verstehen wir ein 4-Tupel yon Punkten, von denen keine drei auf einer Geraden liegen. In [24, 4.1] wird bewiesen: Viereck-Lemma. Lfifit eine Kollineation y aus der Zusammenhangskomponente F 1 die Ecken eines Vierecks fest, so ist y = 1. Satz von Brouwer. Jede lokalkompakte, zusammenhiingende, transitive und effektive Transformationsgruppe der Kreislinie ist als Transformationsgruppe isomorph zur Rotationsgruppe SO 2 oder zu einer endlichbliittrigen Uberlagerung der Gruppe f2=PSL2(R ). Jede lokalkompakte, zusammenhiingende, transitive und effektive Transformationsgruppe der Zahlengeraden ist isomorph zur Translationsgruppe R = {x P, x + b; b~R},

132

D. Betten:

zur linearen Gruppe L 2 = {x ~-~ a x + b; a > O, b ~ R} oder zur einfach zusammenhangenden Oberlagerungsgruppe f2 ~176 yon f2.

Fiir diesen Satz aus [7] wird in [20] ein moderner Beweis gegeben. Es gilt aul3erdem: Die Standgruppen der Gruppe L 2 auf einem Punkt sind genau die eindimensionalen nicht normalen Untergruppen yon L 2 . Die Standgruppen yon ~ auf einem Punkt sind genau die 2-dimensionalen Untergruppen yon f2.

Hilfssatz 1. Es sei (p : R z --~ R 2 stetig und injektiv, dann ist q~ offen. Der Beweis ergibt sich als einfache Folgerung aus dem Jordanschen Kurvensatz [8, Chap.XVII, 5.4]. Als Korollare erhalten wir: Ist ~p: R 2 - , R 2 stetig und bijektiv, so ist q~ topologisch. Ist q~: R 2 -+ R 2 stetig und injektiv, dann ist (p (R 2) often in R 2.

Hilfssatz 2. Es sei T eine offene, konvexe Teilmenge des R 2, und T werde yon jeder gew6hnIichen Geraden getroffen. Dann gilt T = R a. Beweis. Angenommen, es giibe einen Punkt p e R 2 - T. Dann sei die Kreislinie der yon p ausgehenden Halbgeraden, und wir setzen 9 2 = { H e ~ ; Hc~ T : ~ } und ~ 3 = { H e ~ ; Hc~ T = ~ } . Dann ist 92 often in ~, 92 und ~ liegen diametral zueinander, und wegen 9.1u ~3 = ~ ergibt sich ein Widerspruch zum Zusammenhang yon ~.

Hiifssatz 3. Die zusammenhgmgende Gruppe G wirke als Transformationsgruppe auf der KreisIinie S. Dann wirkt G transitiv auf S oder hat einen Fixpunkt. Beweis. Falls G nicht transitiv auf S ist, hat G auf S eine zu einem offenen Intervall hom/5omorphe Bahn. Ein Randpunkt dieses Intervalles bleibt dann unter G lest.

Hilfssatz4. Die Gruppe S02 wirke auf der 2-Sphgtre und halte drei Punkte fest. Dann ist die W~rkung trivial. Beweis. Aus [12, 6.7.1] folgt, dab die Gruppe SO 2 auf der 2-Sph~ire folgendermagen wirkt: SO 2 hiilt zwei Punkte (etwa den Nordpol und Siidpol) fest und wirkt als Gruppe yon Rotationen um die Nord-SiidAchse. Mit einem weiteren Punkt bleibt daher alles fest.

Konstruktion 4-dimensionaler Translationsebenen Eine Partition ~3 des R 4 in 2-dimensionale Teilr~iume besteht aus einem System 2-dimensionaler TeiMiume, so dab jeder yon Null verschiedene Punkt auf genau einem Teilraum des Systems liegt. Insbesondere sind dann je zwei verschiedene Teilr~iume des Systems komplement~ir. Sei I; die Gruppe der gew/Shnlichen starren Schiebungen des R 4, dann gilt offensichtlich, vgl. auch [2]: A(~3)=(R 4, ~ ) ist eine affine

4-dimensionaleTranslationsebenen

I33

Ebene mit ~ als Translationsgruppe. Wir nennen die Partition 23 desarguessch (nicht desarguessch), wenn die Ebene A(N) desarguessch (nicht desarguessch) ist. Die Partition 23 heiBe topologisch, wenn die projektive Abschlie6ung P(23) von A(~) eine 4-dimensionale Translationsebene ist. Lemma 1. Jede 4-dimensionale Translationsebene ist darsteIlbar als P(23) ffir eine geeignete Partition 23.

Beweis. Sei W die Translationsachse und E = P - E W ] , dann ist E hom6omorph zum R 4. Nach E24, 3 . 2 - 7] ist die Translationsgruppe G eine Lie-Gruppe, die eine abz/ihlbare Basis hat und keine echten kompakten Untergruppen besitzt. G wirkt als topologische Transformationsgruppe auf dem R 4, und nach dem Lemma fiber homogene Riiume ist fiir x E R 4 die bijektive stetige Abbildung ~x = (g b. xg): G ~ R 4 often, und daher ist G hom/5omorph zum R 4. G i s t also eine zusammenh~ingende und (als Translationsgruppe) abelsche Lie-Gruppe und folglich das Produkt einer Torusgruppe und einer Vektorgruppe. Da G keine nicht trivialen kompakten Untergruppen besitzt (oder aus Homotopiegriinden) entf~illt der Torusanteil, und G i s t eine Vektorgruppe. Da die unterliegende Mannigfaltigkeit der R 4 ist, handelt es sich um die Vektorgruppe R 4. Sei nun we W, dann ist der topologische Raum von G[w] hom6omorph zu R 2, und daher ist G[w] isomorph zur Vektorgruppe R,2. Die Kongruenz yon G = R 4 [2] besteht also aus einer Partition des R '~ in 2-dimensionale Teilr~iume. Als n~ichstes wollen wir ein Verfahren angeben, mit dem man jede Partition des R * in 2-dimensionale TeiMiume gewinnen kann. Dazu definieren wir: Die Bijektion 1: der reellen (e, f)-Ebene heil3e transversal, wenn ftir je zwei gew/Shnliche paralMe Geraden H, K gilt [H*c~KI = 1. In Koordinaten sei ~ gegeben durch 7=((~,fl)~-,(f(~,f),g(~,fl))). Im R * = { ( x , y , u , v ) ; x , y , u , vER} sei V~,~,~ der durch u = a x + f y , v= f(a, fi)x +g(a, f ) y gegebene 2-dimensionale Teilraum, ferner sei S der Teilraum, der durch x = y = 0 definiert wird. Dann gilt: Lemma 2. Sei "c eine transversale Bijektion der reellen (~, fi)-Ebene, dann bildet das System 23(z)=Su {V~.~,~; ~, flieR} eine Partition des R 4 in 2-dimensionale Teilriiume.

Beweis. Die von Null verschiedenen Punkte mit x = y = 0 liegen genau auf S. Jetzt sei ein von Null verschiedener Punkt (x, y, u, v) mit (x, y) 4: (0, 0) gegeben. Wir betrachten die parallelen Geraden H = {(c~,~);u=ex+13y}, K = { ( c q f ) ; v = ~ x + ~ y } der (c~,/~)-gbene. Da transversal ist, existiert genau ein (c~,/~)EH mit (f(~,/~), g(e,//))EK, der Punkt (x, y, u, v) liegt also genau auf der Ebene V~,~.~des Systems 23(7).

134

D. Betten:

Bemerkungen. Lemma 2 gilt entsprechend auch ftir andere K6rper. Beispiele fiir transversale Bijektionen liefern die affinen elliptischen Abbildungen, das sind die affinen Abbildungen, die keine Parallelschar in sich fiberftihren. Die transversale Bijektion z=((e,/3)~-~ (-/~, e)) liefert die TeiMiume u=c~x+3y, v= - 3 x + e y , zusammen mit S also die gew6hnliche desarguessche Partition der Geraden mit komplexer Steigung in der komplexen affinen Ebene. Eine transversale Bijektion z definiert nach Lemma 2 eine Partition ~3(z), und diese Partition liefert durch Verschieben und projektives Abschliel3en eine Translationsebene P(~3(z)), die wir kurz mit P(z) bezeichnen. Es gilt Satz 1. (a) Wenn ~ e i n transversaler Hom6omorphismus der reeIlen (~, ~)-Ebene ist, dann ist P(z) eine 4-dimensionale TransIationsebene. (b) Jede 4-dimensionale Translationsebene ist darstellbar als P(z)fiir einen geeigneten transversalen Hom6omorphismus der reellen (~,~)Ebene.

(c) Die Ebene P(z) ist genau dann desarguessch, wenn ~ linear ist. Bevor wir Satz 1 beweisen, ftihren wir in der Ebene P(T)=P(~3(z)) Koordinaten ein und berechnen den Tern~irk6rper: Durch Koordinatentransformation im R 4 kiSnnen wir annehmen, dab -c(0, 0)=(0, 0) ist, dab also der Teilraum W = {(x, y, 0, 0); x, y e R } = V~.o,o zur Partition ~(z) gehiSrt. Wir w~ihlen W als waagrechte Achse, S als senkrechte Achse eines Koordinatensystems, die Translationsachse sei die uneigentliche Gerade, (1, 0, 1, 0) der Einheitspunkt. Die Einheitsgerade I, die 0 und (1, 0, 1, 0) verbindet, wird gegeben durch u = X + ~ l y , v = g l y . Dabei ist gi :#0, sonst w~ire z(1, 31)=(0, 0)='c(0, 0) im Widerspruch zur Injektivit~it von z. Die Ebene der Steigung o-=(crl, a2), das ist die Verbindung von O und (1,0, o-a,o-2), hat die Form u = a l x + ~ y , v= 0 2x+g~y. Die Komponenten von 0"o~ erh~ilt man, indem man die Parallele zu W durch (0, 0, ~-l, 42) mit I schneidet und den x- und y-Wert des Schnittpunktes in die Gleichung der Ebene der Steigung o- einsetzt: Das Gleichungssystem Y = 42 . E i n s e t z e n

~=x+3zy,

ergibt

~2=gly

liefert x = ~ l - J ~ k ~ 2 , gl

gl

(a~, a2) ~ (r 42) = (05 ~l

3~ a

1

31

Ferner ergibt sich die Addition komponentenweise, und die Tern~iroperation ist linear.

4-dimensionaleTranslationsebenen

135

Beweis yon Satz la. Um zu zeigen, dab die Tern~irmultiplikation stetig ist, gentigt es laut Formel nachzuweisen, dab/3~ und g~ stetig von a a und 0-2 abh~ingen: Sei q~ die Abbildung der (,, p)-Ebene in die Ebene $1,0 = {(1, 0, u, v); u, v ~ R}, gegeben durch q)= ((e,/3) ~ V~,,,~ r $1, o). Die Abbildung ~o l~igt sich in Komponenten ausdriicken als ~p= ((Pl, q~ mit (Pl = ~ , ( P 2 = f ( ~,/3), ist also stetig, da z ein HomiSomorphismus ist. Da ferner jeder Punkt (1, 0, o-1, o-2) auf genau einem Teilraum der Partition ~3(z) liegt, ist q~ eine Bijektion, und nach Hilfssatz i ist ~o-~ stetig, das heigt e = % und/3 = fi~ h~ingen stetig yon a = (0-~, 0-2) ab. Da z stetig ist, h~ingt dann go stetig von % und/3~, also auch stetig von 0-~ und 0-2 ab. Die Tern~irmultiplikation ist folglich stetig, und da die Addition komponentenweise erkl~irt und die Tern~iroperation linear ist, folgt die Stetigkeit der Tern~iroperation. Zur Stetigkeit der inversen Operationen hat man folgendes nachzuweisen: c~) In (u, v)=(0-1,0-2)o(x,y)+(tl, t2) hiingt (q, t2) stetig von (0-1, 0-2), (x, y) und (u, v) ab. fi) In (0-1, 0-2) o (X, y) + (q, t2) = (41, 42) o (X, y) + (rl, r2) mit (%, a2):4= ({1, {2) h~ingt die eindeutig bestimmte L6sung (x, y) stetig yon (ol, 0-2), ({i, {2), (q, re) und (q, r2) ab. 7) In (q,r2)=(~l,%)o(x,y), (sl,s2)=(0-1,%)o(x',y') mit (x,y)~= (x', y') h/ingt die eindeutig bestimmte L/Ssung (0-,, 0-2) stetig yon (q, r2), (S1, $2) , (X, y) und (x', y') ab. Die Richtigkeit v o n , ) folgt aus der Stetigkeit der Tern~irmultiplikation und der komponentenweise Definition der Addition. Das gesuchte (x, y) in/3) ist L6sung des Gleichungssystems & x+ -7-1 42) :'+ [ -

y=q-t (0-2-

y-- r2- t2.

Hier h~ingen die Koeffizienten der Matrix und die absoluten Glieder stetig von (~ %), (~1, ~2), (q, r2) und (q, t2) ab, also aueh die L6sung

(x, y). Im Fall y) ergibt sich folgendes Gleichungssystem fiir 0-1, 0-2:

rl- sl =crl [(x- x ' ) - ~ (y- y')] + ~ /3~(y-y') r2-s2=0-2 [ ( x - x ' ) - gl/31(y_y,)] +~11g~(y_ y,).

136

D. Betten:

Wegen ( x - x', y - y')+ (0, 0) ist auch

((x-x')-~a

g~

(y-y'),

1 (y-y'))+(0,0) gl

und zum Beweis yon 7) geniigt es nachzuweisen, dab die Abbildung ~c= ((x, y, u, v) ~ ((x, y, u, v) ~ 0) n $1, o): R4 - S -~ $1,o stetig ist. Wir setzen St. s = {(x, y, u, v); x = r, y = s} und zeigen zun~ichst, dab fiir (r, s) =t=(0, 0) die Beschr~inkung =/Sr.~: S,,s--+S,. o ein Hom6omorphismus ist. Wir betrachten die inverse Abbildung ~o: Da fl~ und gr stetig yon (1, 0, o-z, ~2) abh~ingen und folglich auch u = oh r + ~, s, v = a2 r + g, s, ist ~o stetig, und nach Hilfssatz 1 ist 7c/S~.~ein Hom6omorphismus. Jetzt sei (xo, Yo, uo, vo) mit (xo, Yo) 4=(0, 0) gegeben, und es sei (1, 0, ~ , 6a) = (0 ~ (x o, Yo, Uo, vo)) c~ $1. o. Sei K eine offene Kreisscheibe um (61, if2) in St. o m i t Rand D, sei ferner V eine abgeschlossene Kreisscheibe um (Xo, Yo) mit (0, 0)~ V. Sei f: D x V ~ R definiert durch f = (((al, az), (x, y)) ~-~((Pl x + ~o y-- ~ x + fie y)Z + (a2 x + g~ y - ~Y2x + g~ y)~). Die Funktion f i s t stetig und nimmt auf dem kompakten Definitionsbereich D x V ihr Minimum # an. Es ist # > 0 , sonst 1/ige der Punkt (~i, ~2) auf D. Wir setzen w=

y, u,

(x, y)~ Inn (V) und ((u - ~1 x + / ~ )02 + ( v - ~2 x + gs y)2)r < p}. Dann ist W eine offene Umgebung yon (x o, Yo, uo, Vo), und da die Beschr/inkung 7c/S~,s ein Hom/5omorphismus ist, gilt 7r(Wc~S~,~)cK f'tir jedes (r, s)E Inn (V), also auch re(W)c K. Die Abbildung 7c:R 4 - S---+ S1, o ist also stetig. Damit ist gezeigt, dab der Tern/irk6rper der Ebene P(7) topologisch ist, und nach einem Satz yon Skornjakov [-26, 21, 7.16] ist die Translationsebene P(z) topologisch.

Beweis yon Satz 1 b. Sei eine 4-dimensionale Translationsebene gegeben, dann wird sie nach Lemma 1 yon einer Partition ~3 des R 4 erzeugt. Wir wiihlen ein (x, y, u, v)-Koordinatensystem des R 4 so, dab der Teilraum S={(0, 0, u, v); u,v~R} zur Partition geh/Srt. Jeder andere Teilraum der Partition hat dann die Form u = e x + ~ y , v = f x + g y . Da je zwei Teilr~iume der Partition komplementiir sind, gilt ffir einen zweiten Teilraum u=e'x+~'y, v = f ' x + g ' y , dab det \

f-f

,

g-g'

4=0 ist,

insbesondere liefern verschiedene Paare (e,/~) 4=(e',/?') verschiedene Teilr~iume. Wir setzen T={(e,/~); (~,/?) kommt in der Partition vor} und beweisen

4-dimensionaie Translationsebenen

137

c0 T wird von jeder gewShnlichen Geraden H der (~, fi)-Ebene R 2 getroffen. Zum Beweis sei die Gerade gegeben durch H = {(e,/3); u o =~Xo+/3y0, (Xo, yo)+(0, 0)}. Sei voeR beliebig gew~ihlt, dann geht durch (x o, Yo, Uo, Vo) genau eine Ebene der Partition, es gibt also Zahlen c~, /3, f g mit Uo=eXo+/3yo, Vo=fXo+gy o, und es folgt (e,/3)eTcaH. /?) T ist offen in R 2,

Beweis. Da die Partition eine topologische Transtationsebene erzeugt, ist die Projektion der Ebene Sl, o von 0 aus auf die Ebene So, 1 topologisch. Daraus folgt, dab die injektive Abbildung (p: St, o-* R2, die jedem Paar (c~,f)eS1. o das Paar (a, fl(o~,f))eR 2 zuordnet, stetig ist. Nach Hilfssatz 1 folgt, dab T = q0(S1, o) often in R 2 ist. 7) T ist konvex. Beweis. Sei H die Gerade H = {(c~,/3); u o = ~ x o +/3 Yo, (Xo, Yo)=~(0, 0)}. Sei veR, dann schneidet die Verbindung Ow(xo,Yo,Uo,V ) die Ebene S1, o in (e, f ) und die Ebene So. 1 in (/3, g). Da die Translationsebene topologisch ist, h~ingen c~ und/3 stetig von v ab. Wir haben also eine stetige Abbildung q~: R -* H mit q~(R) = H c~ T. Als stetiges Bild yon R ist H c~ T zusammenh~ingend, und da H beliebig war, folgt die Konvexitiit yon T. Aus e),/3) und ~) folgt nach Hilfssatz 2, dab T = R 2 ist, dab also jedes Paar (e,/3) in der Partition vorkommt. Die Abbildung q ~ = ( ( ~ , f ) ~ (e,/3)): S1. o ---' R2 ist also ein HomiSomorphismus. Entsprechend ist auch O = ( ( e , f ) ~ ( f , g ) ) : S l , o - * R 2 ein Hom6omorphismus, und es folgt = ~o- 10 = ((e,/3) ~ ( f g)) ist eine topologische Abbildung der reellen Ebene auf sich. Um zu zeigen, dab ~ transversal ist, seien H und K parallele Geraden: H={(c~,/3); uo =C~Xo+ /3yo} , K = {(f g); vo = fXo + gYo}, mit (Xo,Yo)=~(0,0). Dann geht durch (Xo,Yo, Uo, %) genau eine Ebene der Partition, es gibt also genau ein Viertupel reeller Zahlen e,/3, f, g, welches das Gleichungssystem Uo=C~xo+flyo, v o = f x o + g y o l~ist, das heil3t, das ~-Bild yon H schneidet die zu H parallele Gerade K genau einmal. Beweis yon Satz 1 c. Sei zuniichst z linear, wobei wir wieder annehmen k6nnen, dab ~ (0, 0) = (0, 0) ist. ~ hat also die Form f = a ~ + b fl, g = c c~+ d/3, und wegen der TransversaliQit yon ~ gilt S 2 - 4 D < 0, wobei D = a d - b c und S = a + d gesetzt ist. Aus S 2 - 4 D < 0 folgt D + 0, und wegen S 2 - 4 D = (a--d)2+ 4 b c < 0 gilt b 4=0. Die dem Paar (e,/3) entsprechende Ebene hat die Gestalt u=ccx+fiy, v=(ac~+b/3)x+(cc~+d/3)y. Ftir den Teilraum 0w(1,0, al,~rz) gilt a l = % , a2=ao:a+b/3~, und dies liefert % = a l ,

138

D. Betten:

D

d

L = 0"2' flc~= (0"2 -- a 0-1 )/b, g~ =- c o{a -}- d/~c~ = - b - 0-1 q- y 0-2. Falls (0-1, a2) =

(1, 0) ist, erhalten wir fil = - a / b , gl = - D / b , und Einsetzen in die Formel ffir die Tern~irmultiplikation liefert 1

S

%, %) ~ (~1, ~2) = (0-1~i - ~ G2 ~2, 0-1~2 + ~2 ~i - ~ ~2 ~ ) Wir wollen jetzt zeigen, dab dieser Terniirk6rper isomorph zum KSrper C der komplexen Zahlen ist. Ftir das Element, das der Zahl i entspricht, S 1

mug gelten (ai, 0-2)o(0-1, 0-2) =

(0-12 - O

0_2

20-10-2-O- ~) =(- 1, 0). /

2 1 2 Es ist 0-24-0, sonst w~ire 0-2= - 1 , und es folgt 0 - 1 - ~ - 0-2 = - 1 , 2 % S D Gz=0' Es ergibt sich 0 - 1 = S ( 4 D - $ 2 ) - ~ , 0 - 2 = 2 D ( 4 D - S 2 ) --~, und q0= ((x, y) v+ (x + S(4 D - S2)--~y, 2D(4D - $2)- ~y)): C --+ T K liefert einen Isomorphismus vom KSrper C d e r komplexen Zahlen auf den Tern~irk6rper. Nun sei umgekehrt die Geometrie P(z) desarguessch. Dann ist die Tern~irmultiplikation kommutativ, und es gilt ftir alle ~ = ( ~ 1 , ~ 2 ) ,

0_=(0-,,0-~):

(-/~10-1 +/~o) ~, =(-/~ ~i +3~) 0-~, gl 0-2 ~1 @go"~2 = g l ~2 0-1 +gg 0-2"

(1) (2)

Da ~0= (({i, ~e) ~ (~i, fi~)): Si. o --~ R2 eine topologische Abbildung und insbesondere surjektiv ist, gibt es ein ~ = (~1, ~2) mit r 4- 0 und - 3 1 ~1 + 3e4-0. Dann folgt aus (1) --ill ~2

~2

und aus (2) ergibt sich 0-1+

g~--gi~i

fi~.

g~- -31~-i + 3~ 0-2 und g~ h~ingen also linear von 0-1 u n d / ~ ab, das heiBt, der transversale HomSomorphismus z ist linear. Bemerkung. Im letzten Beweisschritt haben wir nur die Kommutativit~it der Terniirmultiplikation benutzt. Daher gilt: Eine 4-dimensionale Translationsebene ist genau dann desarguessch, wenn sie einen TernS.rk/Srper mit kommutativer Terniirmultiplikation besitzt.

4-dimensionale Translationsebenen

139

Die Kollineationsgruppe Die Partition ~ des R 4 in 2-dimensionale Teilr~iume liefert das Btischel der Geraden durch den Nullpunkt. Dieses Btischel ist ein zur 2-Sphiire hom6omorpher Unterraum des Geradenraumes. In diesem Abschnitt beweisen wir einige Tatsachen tiber Btischel und untersuchen die Kollineationsgruppe der Translationsebene.

Lemma3. Die Translationsebene P(~3) ist genau dann nicht desarguessch, wenn es auJ3er den 4-reihigen reellen Diagonalmatrizen keine lineare Abbildung des R 4 auf sich gibt, die jeden Teilraum der Partition f3 in sich iiberJ~hrt. Beweis. Die komplexen Diagonalmatrizen im C 2 lassen jede Gerade mit komplexer Steigerung fest und bilden eine 2-dimensionale Gruppe. Um die andere Richtung zu beweisen, w~ihlen wir ein Koordinatensystem im R 4 so, dab W, S und E = {(x, y, u, v); u = x, v =y} zur Partition geh6ren. Die Partition ~3 sei durch die transversale Bijektion r=((e, fi)~-~ (f(c~, fi), g(e, fi))) gegeben, und es sei mit (o:fi) f g derdnrchu=~:x+fly,

v = f x + g y gegebene Teilraum bezeichnet. Jede lineare Abbildung, die t/V,S und E in sich iiberftihrt, hat die Form (O O). Sie h~ilt genau dann den Teilraum D = /(c~ f g/~)" lest, wenn AD=DA gilt. Es folgt ftir alle ~,fl:

B

c~

B

(: bd) (f(:~,fi) g(a, fi))=(f(o:,fl) g(a, fl)) (a ~), also

cc~+df(e, fl) c/3+dg(e, fl)

f(e, fl)a+g(ctfi)c f(ctfl)b+g(e, fl)d "

W~ire b 4=0 und c 4=0, dann folgte aus der Gleichheit an der Stelle 1, 1 und an der Stelle 2, 1, dal3 ~ linear ist, ein Widerspruch. Sei nun zun~ichst c = 0, dann folgt aus der Gleichheit an der Stelle 2, 2 und wegenf(e, fi)~ 0, da6 b = 0 ist, und Vergleich der Stellen 2, 1 liefert a = d. Ahnlich folgt ftir b = 0 aus der Gleichheit an der Stelle 1, 1, dab c = 0 ist, und die Gleichheit an der Stelle 1, 2 ergibt a--d.

Lemma4. Der Kern einer 4-dimensionalen Translationsebene ist entweder der KSrper R der reellen Zahlen oder der KSrper C der komplexen Zahlen. Genau im zweiten Fall ist die Geometrie desarguessch. Beweis. Der Kern [2; 16, 8.2] besteht aus allen Endomorphismen der abelschen Tr~igergruppe R 4 auf sich, die die Kongruenz respektieren,

140

D. Betten:

also jeden 2-dimensionalen Teilraum der Partition in sich tiberffihren. Nach Lemma 3 ergibt sich im nicht desarguesschen Fall der K6rper R. Andererseits liest man an der gew/Shnlichen Darstellung der 4-dimensionalen desarguesschen Ebene ab, dab ihr Kern der K6rper C ist. Lemma 5. Die volle Kollineationsgruppe F einer nicht desarguesschen Translationsebene hgdt die Translationsachse W fest. Beweis. Nach Lemma 4 ist die Charakteristik einer 4-dimensionalen Translationsebene +2. Angenommen, es g~be eine Kollineation 7 s F mit W~#: W,,dann w~ire nach [16, Seite 188 und Seite 207] die Ebene eine Moufang-Ebene und nach [10; 21, 7.23, 25] desarguessch. Sei Fo die Untergruppe der vollen Kollineationsgruppe F, die den eigentlichen Punkt 0eR 4 festh~ilt. Dann gilt Satz 2. Ffir eine nicht desarguessche 7?anslationsebene P(~3) stimmt Fo iiberein mit der Gruppe der linearen Abbildungen des R 4 auf sich, welche ~ in sich fiberffihren. Beweis. Nach [-2, 3. Satz 19; 16, 8.3.8] sind die Kollineationen, die den Nullpunkt festlassen, genau die semilinearen Abbildungen der Trggergruppe, aufgefagt als Vektorraum fiber dem Kern. Da nach Lemma 4 im nicht desarguesschen Fall der Kern der K6rper R ist und keine echten Automorphismen hat, ist jede semilineare Abbildung linear. Korollar. Die nicht desarguesschen Partitionen ~1 und ~2 des R 4 sind genau dann linear isomorph, wenn die Translationsebenen P(~31) und P(~B2) isomorph sind. Die volle Kollineationsgruppe F einer 4-dimensionalen projektiven Ebene ist nach [24] eine hSchstens 16-dimensionale Lie-Gruppe. Ffir nicht desarguessche 4-dimensionale Translationsebenen ist F semidirektes Produkt yon Fo und der Translationsgruppe R 4 und besteht nur aus stetigen Kollineationen. Ferner gilt dim F = d i m F o + 4 . Wir werden im folgenden nur nicht desarguessche Translationsebenen betrachten und F0 als lineare Gruppe des e 4 auffassen. Lemma 6. Es sei G eine mindestens 2-dimensionale Kollineationsgruppe einer 4-dimensionaIen Translationsebene, und G halte drei Geraden durch einen eigentlichen Punkt fest. Dann ist die Geometrie desarguessch. Beweis. Wir kSnnen annehmen, dab G zusammenh/ingend ist, linear auf dem R ~ wirkt und die 2-dimensionalen TeiMiume S, W und E = {(x, y, u, v); u=x, v=y} festh~ilt. Angenommen, G hielte einen eindimensionalen Teilraum yon W fest, dann lieferte Festhalten eines Punktes dieses Teilraumes wegen des Viereck-Lemmas einen Wider-

141

4-dimensionaleTranslationsebenen

spruch. Nach Hilfssatz 3 folgt, dab G transitiv auf dem Raum der eindimensionalen Teilr~iume von W wirkt. Da Fo alle 4-dimensionalen reellen Diagonahnatrizen enth~lt, folgt, dab Fw, s, ~ die Gruppe der Drehstreckungen yon W enth~ilt. Insbesondere gibt es eine Gruppe S02, die S, W, E und nach Hilfssatz 4 alle Geraden durch den Nullpunkt festh~ilt. Nach Lemma 3 ist die Geometrie desarguessch. Lemma 7. Die Kollineationsgruppe G einer 4-dimensionalen Translationsebene halte zwei Geraden dutch OeR 4 fest und wirke auf der einen Geraden trivial und auf der anderen Geraden als Gruppe yon Drehstreckungen. Dann ist die Ebene desarguessch.

(1

Beweis. Wir k6nnen das Koordinatensystem des R 4 so w~ihlen, dab G die Teilr~iume W und S festh~ilt und aus den Matrizen der Form

besteht, und dab ferner der Teilraum E={(x,y, u, v); u=x, v=y} zum Geradenbtischel durch Null geh6rt. Dann entsprechen die Geraden des Biischels durch Null den Matrizen Geometrie ist also desarguessch.

(~ba)(l)-t=( 1

aba ) -b

die '

Homogene 4-dimensionale Translationsebenen

Wir folgern aus Homogenit~tsvoraussetzungen den Satz yon Desargues, und zwar beweisen wir: Ist F transitiv auf der Translationsachse oder ist dim F =>9, so ist die Ebene desarguessch. Satz 3. Die Kollineationsgruppe F einer 4-dimensionalen Translationsebene wirke transitiv auf der Translationsachse. Dann ist die Translationsebene desarguessch.

Beweis. Wir k6nnen annehmen, dab Fo den Punkt 0~R ~ festh~ilt und linear auf dem R 4 wirkt. Nach Voraussetzung ist Fo transitiv auf dem zur 2-Sph~ire hom6omorphen Bfischel der Geraden durch den Nullpunkt, und wir zeigen: (a) Es gibt eine kompakte, zusammenh~ingende Untergruppe K yon Fo, die transitiv auf dem Btischel ~ wirkt. Beweis. Fo ist als lineare Gruppe yon abz~ihlbarer Basis, daher hat nach dem Lemma tiber homogene R~ume die offene Untergruppe A =(Fo) 1 auf ~ nur offene Bahnen, ist also transitiv auf ~. Da die 2-Sph~ire s kompakt und einfach zusammenh~ngend ist, gibt es nach 10 Math. Z., Bd. 128

142

D. Betten:

[11; 12, 5.6] eine kompakte Untergruppe K yon A, die auch transitiv auf ~3 wirkt. Wie oben bleibt die Transitivit~it beim 1Jbergang zur Zusammenhangskomponente erhalten. (b) K ist als topologische Gruppe isomorph zu Spin(3), der einfach zusammenh~ingenden Uberlagerungsgruppe der Gruppe S 0 3 . Beweis. Die effektiv gemachte kompakte zusammenh~ingende Gruppe K / K ~ 1 wirkt auf der 2-Sph~ire ~3 wie die Gruppe SO 3 [13; 14; 18]. Nach Lemma 3 ist KE,1eine kompakte Untergruppe der multiplikativen Gruppe der reellen Zahlen und folglich isomorph zu 1 oder zu Z 2. W~ire Kt~l=l, dann wiirde K = S O 3 linear auf dem R 4 wirken. Nach [9,35.4] ist die Wirkung der kompakten GruppeSO 3 vollst~indig reduzibel, und da nach [15, Seite 269] die Gruppe SO 3 irreduzible reelle Darstellungen nur in ungeraden Dimensionen hat, folgt, dab K einen eindimensionalen Teilraum des R 4 festliiBt. Dann bleibt auch die durch diesen Teilraum bestimmte Gerade lest, im Widerspruch zur Transitivit~it yon K auf ~. Es folgt KE~1= Z2, und daraus ergibt sich die Behauptung. (c) K-Spin(3) wirkt als lineare Gruppe wie die reell aufgefagte spezielle unit~ire Gruppe SU(2, C). Beweis. Dies entnimmt man entweder der allgemeinen Theorie der Darstellungen yon Lie-Gruppen [9; 28] oder sieht es unter Benutzung der Geometrie wie folgt: Die Standgruppe K w auf einer Geraden We ~3 ist isomorph zu SO z und hiilt nach Hilfssatz4 noch eine Gerade S ~ 3 lest. W~ire K w nicht transitiv auf dem Raum Pw der eindimensionalen Teilr~iume yon W, so wtirde K W auf W die Identit~it induzieren, und nach Lemma 7 oder nach dem Viereck-Lemma erg~ibe sich ein Widerspruch. Es folgt, dab K transitiv auf dem Raum der eindimensionalen Teilr~iume des R 4 ist. Nach [9, 35.1] kann man annehmen, dab K = Spin(3) orthogonal auf dem R 4 wirkt und damit transitiv auf der Einheitssph~ire M des R 4 operiert. Sei m s M , dann ist K~ 0-dimensional und folglich zentral, das heigt, K,,=0 oder K m = Z 2. Im zweiten Fall wtirde folgen, dab der reelle 3-dimensionale projektive Raum hom6omorph zur 3-Sph~ire ist, ein Widerspruch. Es gilt also K,,= 0, und die Wirkung yon Spin(3) auf M i s t iiquivalent zur Wirkung der Spin(3) durch Rechtstranslationen auf sich selbst. Hieraus ergibt sich die Behauptung. (d) Die Translationsebene ist desarguessch. Beweis. Die Gruppe SU(2, C) k6nnen wir darstellen auf dem R a m H der Quaternionen als Gruppe der Rechtsmultiplikationen mit Quaternionen der Norm 1: K = Spin (3) = {p~; s e H, Isl = 1}. Um zu zeigen, dab Spin(3) normal in SO 4 ist, betrachten wir die Uberlagerungsabbildung qo= ((a, b) ~-~(x ~-+a x b- 1, x E H)): K x K ~ SO 4 tier einfach zusammenh~ingenden Uberlagerungsgruppe K x K yon SO 4 auf SO 4 und benutzen

4-dimensionale Translationsebenen

143

die Surjektivit~it von ~0 [27, Seite 74]: Sei seH, Isl = 1 und q)(a, b)eSO 4 gegeben, dann ist [q~(a, b)] -1 p~q~(a, b)=~0(a -1, b -1) p~o(a, b)=pbsb_~ wieder Rechtsmultiplikation mit einer Quaternion der Norm 1. Sei nun w~SO~ so, dab ftir eine Gerade E des Btischels ~3 gilt EW= W= {(x, y, u, v); u = v = 0 } . Wir weisen nach, dab unter w die K-Bahn yon E tibergeht in die K-Bahn von W: Da K Normalteiler von SO 4 ist, gilt: (EK)W=(E~KW-1)w=WK. Das Biischel ~3 ist also linear isomorph zum desarguesschen Biischel der Geraden mit komplexer Steigung in C 2 und daher selbst desarguessch. Satz4. Jede 4-dimensionale desarguessch.

Translationsebene mit dim F > 9

ist

Beweis. Ftir die Zusammenhangskomponente A = (F0)1 gilt dim A > 5, und wit zeigen: (a) A h~ilt eine Gerade Se~3 fest und wirkt transitiv auf ~ = ~ - { S } . Beweis. A hat auf ~3 keine eindimensionale Bahn, sonst lieferte Fixieren dreier Geraden dieser Bahn nach Lemma 6 den Satz von Desargues. H~itte A nur 2-dimensionale Bahnen auf ~3, so w~iren diese often und A w~ire transitiv auf ~3: Dann liefert Satz 3, dab die Geometrie desarguessch ist. A halt folglich eine Gerade Se~3 fest. H~itte A auf eine 0-dimensionale oder eine 1-dimensionale Bahn, so erg~ibe sich mit Lemma 6 der Satz von Desargues. Daraus folgt, dab A a u f ~ nur 2-dimensionale Bahnen hat und folglich transitiv auf ~ ist. (b) Ats ] hat auf ~ eine eindimensionale Bahn 3E. Beweis. Es gilt dim A m > 1, da die lineare Wirkung auf S h6chstens 4-dimensional ist. Sei zun~ichst dim A~sj= 1, dalm hat A[s] auf ~ nur 0- oder 1-dimensionale Bahnen. W~iren alle Bahnen 0-dimensional, so erg~ibe sich ein Widerspruch zum Viereck-Lemma. Jetzt sei dim A is]> 2. Falls Ats] transitiv auf ~ wirkt, dann ist nach [16, 3.5.40] der Tern~irk6rper distributiv und nach [10; 21, 7.25] isomorph zu C. Es gibt also noch 0oder 1-dimensionale Bahnen. Es k/innen aber keine 0-dimensionale Bahnen mehr auftreten, sonst hielte (A[s])~ noch eine Gerade We~3 lest, und mit Hilfssatz 3, Lemma 7 und dem Viereck-Lemma wiirde folgen, dab die Geometrie desarguessch ist. (c) Da Ats ] Normalteiler yon A ist, bilden die 1-dimensionalen Mengen {3s~, 6~A} Imprimitivitiitsgebiete fiJr die Wirkung von A auf ~. Die Standgruppe A w auf W e ~ ist mindestens 3-dimensional und halt das eindimensionale Imprimitivit/itsgebiet [IV] fest. Fixieren einer Geraden K ~ [ W ] liefert nach Lemma 6, dab die Geometrie desarguessch ist. Lemma 8. Die 2-dimensionale Torusgruppe T wirke als Kollineationsgruppe einer 4-dimensionalen Translationsebene und halte den Punkt O~R4 fest. Dann ist die Geometrie desarguessch. 10"

144

D. Betten:

Beweis. Sei ~ das zur 2-Sphiire homtiomorphe GeradenbiJschd durch 0. Eine zu SO 2 isomorphe Untergruppe yon T halt nach Hilfssatz 4 zwei Geraden S, We ~3 lest und hat sonst nur Kreisbahnen. Die Gruppe T hat auf ~3 die gleichen Bahnen, und Festhalten einer Geraden einer solchen Kreisbahn liefert eine eindimensionale Gruppe, die ~ elementweise festh~ilt und keine Diagonalmatrizen enth~ilt. Nach Lemma 3 folgt die Behauptung.

Eine Klasse nicht desarguesscher 4-dimensionaler Translationsebenen mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe Satz ft. Gegeben sei eine nicht desarguessche 4-dimensionale Translationsebene mit dim Fo = 4. Ferner halte (Fo)1 keine Gerade des Biischels fest und wirke reduzibel auf dern R 4. Dann wird die Ebene bis auf lsomorphie yon folgendem B~schel erzeugt : ~3~={S}w

_

;fl>O

~

-wfl

;fl<<-O

mit w > l .

Urngekehrt gibt es zu jedem w > 1 eine Translationsebene Pw =P(~3~) der genannten Art, und zwei Ebenen Pw und P,r w, w ' > l , sind genau dann isornorph, wenn w = w' ist. Die Gruppe (I"o)I wirkt als Matrizengruppe

l(:cadb)

; ad-bc>O

und hat auf fB drei Bahnen, yon denen genau eine hom60morph zur Kreislinie ~ ist. Es gilt Fo/(Fo)1 = Z 2 x Z2, und die Nebenklassen entsprechen den Kollineationen, welche die Orientierung yon ~ iindern oder die beiden Teilbi~schel vertauschen oder beides gleichzeitig bewirken. Beweis. (a) d =(Fo) 1 hat auf ~5 drei Bahnen, yon denen genau eine homBomorph zur Kreislinie ~ ist, und es gilt A/At| auf ~. Beweis. Nach Satz 3 ist d nicht transitiv auf ~, und d a d keine Gerade des B~ischels ~Bfestl~iBt, hat d auf ~ mindestens eine eindimensionale Bahn. W~ire die effektive Wirkung yon A auf dieser Bahn wie R auf R, wie L 2 auf R, wie f2~ auf R, wie SO 2 auf S oder wie eine echte Oberlagerung von f2 auf S, dann erg~ibe sich durch Festhalten zweier Geraden dieser Bahn eine 2-dimensionale Gruppe, die mindestens drei Geraden der Bahn festNilt, und die Geometrie w~ire nach Lemma 6 desarguessch. Nach dem Satz yon Brouwer folgt, dab die eindimensionale Bahn ~ homi3omorph zur Kreislinie ist und dab A / A t ~ - f 2 auf ~.

4-dimensionale Translationsebenen

145

Angenommen, es g~ibe eine zweite Kreisbahn ~', darm ware auch A/At| 1~_f2 auf ~ ' und Festhalten einer Geraden L e ~ hielte auch eine Gerade E E ~ ' lest. Durch Fixieren einer weiteren Geraden K ~ ~ erg~ibe sich eine 2-dimensionale Gruppe mit drei Fixgeraden, und die Geometrie w~ire nach Lemma 6 desarguessch. Nun sei/-/= { ~ A , det ~ = 1}, dann gilt (b) H~-SL2(R), und wir k6nnen das (x, y, u, v)-Koordinatensystem des R 4 so wiihlen, dab H als Matrizengruppe

/(:blt a d

c

; ad-bc=l

/

wirkt, und dab der durch x = y = 0 gegebene Teilraum S zur Geradenbahn ~ geh/Srt und die Standgruppe H s durch b = 0 gegeben wird.

Beweis. Da Fo die Streckungsgruppe R* und folglich A =(Fo) 1 die positive Streckungsgruppe R >~ enth~ilt, gilt dim H = 3 . Ferner ist die Zusammenhangskomponente H t transitiv auf ~ und H1/H~| ~_PSL 2(R). Es folgt, dal3 H 1 eine Uberlagerungsgruppe von f~--PSLE(R ) ist, also H 1 =f2~/nZ t'fir ein neZ, insbesondere ist H = H ~ und H ist halbeinfach. Nach dem Conducible Theorem [9, 35.4] ist die Darstellung von H auf R 4 vollst~indig reduzibel. Die Gruppe H l~iBt keinen eindimensionalen Teilraurn des R 4 lest, sonst bliebe auch die durch diesen Teilraum bestimmte Gerade lest, im Widerspruch zur Wirkung yon A (und H) auf ~. D a nach Voraussetzung A und folglich H auf dem R 4 reduzibel wirkt, h~ilt H zwei 2-dimensionale komplement~ire Teilr~iume F u n d G des R 4 lest. Seien q~F und q~ die Darstellungen von H a u f F und auf G, und sei ~ die Determinantenabbildung. Wegen des Zusammenhangs von H gilt dann H~F~ oo) oder ={1}. Der erste Fall scheidet aus, sonst w~ire der Kern von OF ~~ ein 2-dimensionaler Normalteiler von H. Die Gruppe/-/wirkt nicht trivial aufF, sonst blieben drei eindimensionale Teilr~iume von F u n d die durch sie bestimmten Geraden fest, und die Geometrie w~ire nach Lemma 6 desarguessch. Da alle echten Normalteller yon H 0-dimensional sind, ist die zusammenh~ingende Gruppe H ~" 3-dimensional und stimmt mit SL(F) iiberein. Daraus folgt ftir die Zentren Z(H) ~ cZ(SL(F)) = { - 1, 1}. W~ire Z(H) ~~ = {1}, dann wtirde folgen Kern 9 e = Z ( H ) und H/Z(H)=PSL2(R)=SLz(R), ein Widerspruch. Daher ist Z ( H ) * v = { - 1 , 1}, und es folgt Kern CpFC~Z(H)= Z(H)/2. Entsprechend gilt Kern q)ac~Z(H)=Z(H)/2. Wegen Kern ~0e c~ Kern q)a = 1 folgt Z (H)/2 = 1, also ]Z (H) I = 2 und folglich H = SL 2(R).

146

D. Betten:

Wir erhalten also H =

SL z (R), und

H wirkt als Matrizengruppe

; ad-bc=l .

a c

Man beachte jedoch, dab die beiden ausgezeichneten Teilr~iume F u n d G nicht zu 23 geh/Sren, denn das widerspr~iclae der Wirkung yon A auf 23. Die Gruppe SL2(R ) wirkt transitiv auf dem Raum Pv der eindimensionalen TeiMiume yon F und transitiv auf PG. Da jedes Element yon Pv genau eine Gerade bestimmt, und zwar verschiedene Elemente verschiedene Geraden, bestimmt P~ eine zur Kreislinie hom6omorphe Geradenbahn. Entsprechendes gilt f'tir PG, und da es genau eine zur Kreislinie hom6omorphe Geradenbahn gibt, stimmen die beiden Geradenbahnen mit ~ iiberein, das heigt, die Geraden aus ~ verbinden die eindimensionalen Teilr~,ume yon F und diejenigen yon G paarweise. Indem wit eine dieser Geraden als ausgezeichnete Gerade S nehmen und ein (x, y, u, v)-Koordinatensystem des R 4 geeignet w~ihlen, k/Snnen wir die Wirkung yon H =SL2(R ) annehmen als

t/ bl)/ a

9 ad-bc=l

d

~

~

.

c

wobei die Standgruppe auf S durch b = 0 gegeben wird. (c) Konstruktion des Bt~schels ~ aus der Kollineationsgruppe. Die Bahn der Geraden S unter H besteht aus S und den durch u = r x, v = r y, r e R, gegebenen Teilr~iumen, das heiBt

Die Bahn des Teilraumes (~ ; ) , r + 0, unter Hs besteht aus den Matrizen [(c

c)+(d d)(~

i)]

{(cd if'l=

dZr

(a a)-l, undwegenad=l

ergibt sick die Bahn

d2 ). r,s~R, r~O feat ) das+cd 'c, dcR, d,#O variabelJ"

4-dimensionaleTranslationsebenen

Entsprechond or ibt s ch a,s

147

Bahndot Oeraden ( o

~_~ __f{ cd --d 2 fest w#:O 2-~\wd2 d2z+cd~;] w,z~R, c,d~R, d~O variabelJ" Das System ~ u ~1 w ~2 liefert folgende Abbildung z der (~, fi)-Ebene: Ftir fi__>0 stimmt z tiberein mit der linearen Abbildung

~1 =((~,/?)~ (r/?, ~+ s/?)),

r,0,

~2 =((~,/?)~ (-w/?, ~-z/?)),

w,0.

t'fir fl =<0 mit

Da die Geometrie nach Voraussetzung nicht desarguessch ist, sind die beiden Beschr~inkungen von z 1 und T2 bei der (/?=0)-Achse schief zusammengesetzt. (d) z ist ein transversaler Hom/5omorphismus genau dann, wenn s 2 + 4 r < 0 und z Z - 4 w < 0 gilt. (Das heil3t r < 0 , w > 0 und z~ und z z elliptisch.)

Beweis. Sei zun~ichst (etwa) z 1 nicht elliptiseh, dann h~ilt za eine Gerade durch den Nullpunkt lest, und diese Gerade wird unter z nicht transversal abgebildet. Jetzt seien umgekehrt beide Bedingungen erfiillt. Dann zeigen wit zun~ichst, dab z ,,schlicht" ist, dab also fiir je zwei gewtihnliche paralMe Geraden H, K gilt [H~c~K] < 1, das heil3t, dal3 fiir alle (cq,/?~)+(ct/,/?2) gilt

fl gl -

f2

4=0. Da ~1 und %

elliptisch sind, ki3nnen wir uns auf den Fall/71 > 0,/72 < 0 beschfiinken. Aul3erdem k6nnen wir A = e l - % 4=0 annehmen. Wir setzen/?2 =/?>0, f12= - P / ? mit p > 0, dann ergibt sich

= A 2 + A ( s - z p ) /?+(1 +p)(p w-- r)/?2. Wit zeigen, dab die Diskriminante D dieser quadratischen Funktion in fi negativ ist: D / A 2 = p e ( z 2 - 4 w ) + p ( - 2 s z + 4 r - 4 w ) + s 2 + 4 r . Falls - 2 s z + 4 r - 4 w < = O , dann gilt wegen p > 0 und wegen z 2 - 4 w < 0 , s 2 + 4 r < 0, dab D/A 2 < 0 ist. Wir k6nnen also annehmen, dab - 2s z + 4 r - 4 w > 0 ist. Dann berechnen wir die Diskriminante d der quadratischen Gleichung f'fir p und schgtzen diese mit Hilfe der Ungleichungen - 2 s z + 4 r - 4 w > O , s 2 + 4 r < 0 , z 2 - 4 w < 0 ab:

d/4=(-sz+2r-2w)2-(z2-4w)(s2+4r)<

-4(r+w)2 =0.

148

D. Betten:

Die Diskriminante d ist negativ, und daher ist D/A 2 wegen s Z + 4 r < O stets negativ, und folglich f(fl) flit p > 0 stets positiv. Damit ist die Schlichtheit von z gezeigt. W~ire z nicht transversal, dann g~ibe es eine Gerade H, die nicht transversal abgebildet wird. Das Bild H besteht aus zwei geraden Linien, die bei e = 0 schief zusammengesetzt sind, daher schneidet H einige Parallelen yon H zweimal im Widerspruch zur Schlichtheit von z. Schlieglich ist r als Zusammenheftung der Beschr~inkungen zl/~e o und ~2/~_<0 ein HomSomorphismus. (e) Uberfiihrung in die Normalform Pw, w > 1. Auf die Partition ~(r, s, w, z) wenden wit die lineare Abbildung .~1 ~

/

1

-s(-s2-4r)-~

\

0 2(--s2-4r)-~

1

0

i"

_s(_s2_4r)--~ 2(_s2_4r)

Diese Abbildung ftihrt das Halbbfischel ~( a das Halbbfischel

fl

3/

~; f i > 0 ; fiber in

3

; fl>0~, wir erhalten also r ' = - 1, s'=0,

und w , z gehen u n t e r h I fiber in Zahlen w', z' mit (w', z')4:(1, 0). Nun wenden wit die Abbildung

~2=

(b t lb -bl

an, dann geht das durch r ' = - 1 und s' = 0 bestimmte Halbbtischel in sich tiber und z' geht fiber in z " = ( z ' b E + 2 ( w ' - 1)b-z')/4:O. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ffir b im Z~ihler ist D = 4 ( w ' - 1 ) 2 + 4 z ' 2 > 0 , daher l~igt sich die Zahl b in der Abbildung 2 2 so finden, dab z" = 0 wird. Falls w" > 1, dann sind wit fertig, und ftir w" < 1 ffihren wir noch die lineare Abbildung

)~3=

-

0 0 -

1

4-dimensionale Translationsebenen

149

aus. Sie fiihrt das durch r = - 1, s = 0 gegebene Halbbiischel in sich fiber, und w " < l geht fiber in w'"=1/w">1, w&ihrend z'"=z"=O gilt. Bei allen Abbildungen geht die Geradenbahn ~ in sich fiber. (f) Berechnung der vollen Standgruppe Fo. Zun~ichst zeigen wir, dab

A=

a d ; ad-bc>O c

in Fo enthalten ist: Anwendung eines Elementes aus A auf die Gerade (e

~) fl<0, ergibtdieGerade

( f ' gfi,')=[(a

a)+(b b)(-;fi

fi)] [(c

c)+(d d)(-;fl

~)j-a

Man rechnet nach, dab f ' = -wfl' und g'=c~'gilt, die Bildgerade liegt also wieder im ,,unteren" Halbbfischel. Entsprechend ergibt sich, dab das obere Halbbfischel in sich fibergeht und dab ~ orientierungstreu auf sich abgebildet wird. Nun beweisen wir, dab jedes Element 7eFo, welches ~ elementweise festh/ilt und ~1 und ~a jeweils in sich fiberfiihrt, Diagonalform hat: Das Element 7 hat die Form (ab c d fiber in a

i) und ffihrt die Gerade (.__aflfi) fi > 0,

c

'

{adc~-bdfi-ac fl-bcc~ b2fi+a2fl ~ 1 =k -d2fi-c2fl -bca+bdfi+acfl+adc~!"DDie Bildgerade soll wieder im oberen Halbbiischel @1 liegen, und dies liefertbd+ac=0, e 2 + b 2 = c 2 + d 2,ad-bc>O.DieGerade fl < 0, des unteren Halbbfischels ~2 geht fiber in

-wfi

'

b2wfl+a2fi ~ 1 (adc~-bdwfl-acB-bce -dZwfl-c2fl -bc~+bdwfl+acfi+adcd "D" Sie liegt wieder im unteren Halbbfischel, wenn -waZ-wZb2+c2+ wd2=O, bdw+ac=O und ad-bc>O gilt. Aus diesen Gleichungen ergibt sich bd=bdw, also wegen w > l bd=O. W~ire d=0, dann folgte

150

D. Betten:

b4= 0, c + 0 , a = 0 , b 2 = c 2 und b Z = w 2 b 2. Dies lieferte W 2~-- 1, ein W i d e r spruch. Es folgt d#:0, b = 0 , a ~ 0 , c = 0 u n d d a r a u s a 2 = d 2, W e g e n D = a d > 0 ergibt sich die Diagonalit~it y o n y. A u s der letzten B e h a u p t u n g folgt, daB A der N o r m a l t e i l e r y o n F0 ist, welcher aus den E l e m e n t e n besteht, die ~ o r i e n t i e r u n g s t r e u a b b i l d e n und ~1 u n d ~2 jeweils in sich iiberftihren. D a ftir jedes E l e m e n t ~ E Fo n u r die vier M 6 g l i c h k e i t e n bestehen, $ o r i e n t i e r u n g s t r e u o d e r orient i e r u n g s i i n d e r n d auf sich a b z u b i l d e n und ~1 u n d ~2 zu belassen o d e r zu vertauschen, folgt [Fo: (FJ[__<4. DaB alle drei N e b e n k t a s s e n auftreten, zeigen wir d u r c h A n g a b e y o n Repr~isentanten: Seien

Q -1

~

=

0 -

1

72 =

1/

0 0

w

73 =

0

w

1

'

0

d a n n ~indert 71 die O r i e n t i e r u n g y o n ~ u n d fiihrt ~1 u n d ~2 jeweils in sich fiber, 72 fiihrt | o r i e n t i e r u n g s e r h a l t e n d in sich tiber und vertauscht ~1 u n d ~ z , u n d 73 ~indert die O r i e n t i e r u n g y o n ~ u n d v e r t a u s c h t ~ u n d ~2. W i r e r s p a r e n uns die einfachen R e c h n u n g e n . Literatur

1, Adams, J.F.: Lectures on Lie groups. New York, Amsterdam: Benjamin !969. 2. Andr6, J.: Ober nicht-Desarguessche Ebenen mit transitiver Translationsgruppe. Math. Z. 60, 156-186 (1954). 3. Arens, R.: Topologies for homeomorphism groups. Amer. J. Math. 68, 593-610 (1946). 4. Betten, D.: Nicht-desarguessche 4-dimensionale Ebenen. Arch. der Math. 21, I00-102 (1970). 5. Breitsprecher, S.: Projektive Ebenen, die Mannigfaltigkeiten sind. Math. Z. 121, 157 - 174 (1971). 6. Breuning, P.: Translationsebenen und Vektorraumbiindel. Mitt. Math. Sere. GieBen, Heft 68, 1970. 7. Brouwer, L.E.J.: Die Theorie der endlichen kontinuierlichen Gruppen, unabh~ingig von den Axiomen von Lie. Math. Ann. 67, 246-267 (1909). 8. Dugundji, J.: Topology. Boston: Allyn and Bacon 1966. 9. Freudenthal, H., Vries, H. de: Linear Lie groups. New York and London: Academic Press 1969. 10. Hofmann, K.H.: Topologische distributive Doppelloops. Math. Z. 71, 36-68 (1959). 11. Montgomery, D.: Simply connected homogeneous spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1, 467-469 (1950). 12. Montgomery, D., Zippin, L.: Topological transformation groups. New York: Interscience 1955. 13. Montgomery, D., Samelson, H.: Transformation groups of spheres. Ann. of Math. 44, 454- 470 (1943). 14. Mostow, G.D.: The extensibility of local Lie groups of transformations and groups on surfaces. Ann. of Math. 52, 606-636 (1950).

4-dimensionale Translationsebenen

151

15. Murnaghan, F.D.: The theory of group representations. New York: Dover 1963. 16. Pickert, G.: Projektive Ebenen. Berlin-G6ttingen-Heidelberg: Springer 1955. 17. Plaumann, P., Strambach, K.: Zweidimensionale Quasik6rper mit Zentrum. Arch. der Math. 21,455-465 (1970). 18. Poncet, J.: Groupes de Lie compact de transformations de l'espace euclidien et les spheres comme espaces homogenes. Commentarii Math. Helvet. 33, 109-120 (1959). 19. Salzmann, H.: Kompakte zweidimensionale projektive Ebenen. Math. Ann. 145, 401 - 428 (1962). 20. Salzmann, H.: Zur Klassifikation topologischer Ebenen. Math. Ann. 150, 226-241 (1963). 2t. Salzmann, H.: Topological planes. Advances Math. 2, 1 - 6 0 (1967). 22. Salzmann, H.: Homomorphismen komplexer Tern~irk6rper. Math. Z. 112, 23-25 (1969). 23. Salzmann, H.: Kompakte vier-dimensionale Ebenen. Arch. der Math. 20, 551-555 (1969). 24. Salzmann, H.: Kollineationsgruppen kompakter vier-dimensionaler Ebenen. Math. Z. 117, 112-124 (1970). 25. Salzmann, H.: Kollineationsgruppen kompakter vier-dimensionaler Ebenen II. Math. Z. 121, 104-110 (1971). 26. Skornjakov, L.A.: Topologische projektive Ebenen. Trudy Moskov, Mat. Obg~. 3, 347-373 (1954). 27. Tits, L: Tabellen zu den einfachen Lie-Gruppen und ihren Darstellungen. Lecture Notes in Math. 40. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1967. 28. Tits, J.: Liesche Gruppen und Algebren. Vorlesung Bonn 1963/64. Dr. D. Betten Mathematisches Institut der Universitgt D-7400 Tiibingen H/51derlinstrage 19 Bundesrepublik Deutschland ( Eingegangen am 13. April 1972)