Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg
2 Armand Borel Institute for Advanced Study, Princeton N.J.
Cohomologie des espaces Iocalement compacts d'apr6s J. Leray Expos6s faits au Seminaire de Topologie alg6brique de I'Ecole Polytechnique Fed6rale au printemps 1951 Troisi~me Edition, 1964
1964 ~,.., il~lll 9
q#.:~i.~
Springer-Verlag. Berlin. G~ttingen. Heidelberg
Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdriickliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch cider Teile daraus aufphotomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art zu vervielf~iltigen. 9 by Springer-Verlag O H G / B e r | i n " G6ttingen - Heidelberg 1964. Library of Congress Catalog Card Number 6 4 - 2 4 7 4 6 . Printed in Germany. Titel NR. 7322 Druck : Beltz, Weinheim
Introduction & la premiere gdition
Ces exposes sont consacr~s & la th~orie des invariants topologlques d'un espace localement compact et d'une application continue gdifi~e par J. Leray (Jour.Math. pur.appl. 29 (1950), 1-139, 169-213). Ils se r6partissent en deux groupes; les cinq premiers exposes d@veloppent ce que l'on peut appeler une th~orle axiomatique de la cohomologie de Cech-Alexander d'un espace localement compact (& coefficients darts un faisceau et & supports compacts). Pour faire apparaStre aussi clairement et aussi rapidement que possible les idles essentielles, on a tout d'abord traitg le cas des coefficients constants, pour lequel le th~or~me d'unlcit@ fondamental est obtenu dans l'exp. III, No 3; les Exp. I e t II donnent des notations pr~liminaires, alg~briques et topologiques, l'Exp. IV des applications; l'Exp.V introduit les faisceaux (qul en un certain sens ggn~ralisent les syst~mes locaux de Steenrod) et ~tablit le th~or~me d'unicit~ pour la cohomologie par rapport & tun faisceau. Pour ne pas trop allonger les prgliminaires on a ~vitg dans cette premiere partie d'utiliser la notion d'alg&bre spectrale; elle n'y interviendrait du reste que darts des cas partlculiers et nous lui avons substltug un raisonnement par r~currence, antErieurement employ~ par J. Leray (of. Exp. I, P.7); remarquons tout de m@me que s i c e s moyens suffisent pour obtenir le thEor~me d'unicit~, l'emploi de l'alg~bre spectrale et des faisceaux permet de d~montrer plus simplement le lemme du No 6 de l'Exp. III. Cependant l'alg~bre spectrale d'une alg~bre diff~rentielle filtr~e est une notion extr@mement Importante et en particulier essentielle pour la deuxi~me partie, consacr~e aux applications continues, aussi l'Exp. VI en donne-t-il la definition et les principales proprigt~s. L'Exp. VII dEfinit et gtudie l'alg~bre spectrale (Er) d'une application continue f : X - @ Y , (X,Y espaces localement compacts); il s'agit tr~s en gros d'une suite d'alg~bres diff~rentielles bigraduges reliant l'alg~bre de cohomologie E 2 de Y par rapport & un certain faisceau ~ la cohomologie de X (Exp. VII, p.4). Cet expose donne en outre quelques rectifications aux exposes prEcEdents. L'Exp. VIII ~tudie le cas particulier oh f est la projection d'un espace fibr~ sur sa base, le terme E 2 prend alors une forme tr~s simple; enfln, l'Exp. IX donne des applications de cette th~orie aux espaces fibrgs. On recommande de sauter en premiere lecture les d~monstrations des Exp. VII, VIII et de lire l'Exp. IX d~s que l'on conna~t les d~finitions qui permettent de comprendre les rEsultats rappelEs au No 1.
A. Borel
Introduction ~ la deuxi~me ~dit~on. Lapremi~re 6dition de ces Notes se proposait d,~tablir de mani~re aussi directe et aussi 61~mentaire que possible les prlncipaux r6sultats de la th~orie de Leray (J~Math.Pures Appl. 29, 1-139, !69-2~ (!950))o Depuis, cette th~orie a ~t~ consid~rablement g~n~ralis~e par H. Cartan (S~m. EoN~S. 1950-51), dont l:Expos@ est maintenant bien connu, et paraissait devoir rendre ces Notes superflues. Cependant, d'assez nombrsuses demandes revues apr~s ~p~Aisement de la l~re ~dition semb~_ent indiquer qu,e?~les peuvent encore presenter une certaine u t ~" e~ ,+ " crest pou~oi
on en a fait ~ne deuxISme edition, en ~ui conservant son carac~ere ~l~-
mentaire, et en particulier saz~ sortir du cadre de la cohomologie ~ supports compacts des espaces local~ment compacts. S~uon en effet, elles ne pourralent que faire double emplol avec un livre en preparation de R~ Godement, o,~ la th~orle des faiscea-~z( sera expos~e avec le maxdmum de g~n~rallt~. A part l'int~gratlon dans le texte de divers c~npl6ments et errata aJout~s apr~s coup dans la premiere ~dition, les princlpaux changements apport~s sont les suivants s l) InTroduction dtune modification ~ la not ion de couverture, propos~e par Fary, et qui permet de cc~.sid~rer directement des ~l~ments ~ supports campacts (Exp~II). 2) Adoptlon de la d6finition des faisceaux due ~ Lazard, qui est ~ la base de la th~orie de Ho Cartan~ cela a conduit ~ une refonte compl~+~e de l~Exp. V. 3) Adjonction d,une d~monstration de la non-existence de couvertures fin~s anticommutatlves en caract~rlstlque p ~ 0 (Exp.IV, No~4). Les p o ~ t s i) 2) entraSuent des simp~tfications techniques consld~rabl2s et permettent ainsi de mleux mettre en 6vidence les points essentiels, nof,amment~ qu! sont en d~finitlves les notions de couverture fine, de faisceau et d'alge~bre spectrale, le Th~or. 6 de l~Exp. I (cas particu~-ier de la r~gle de K~ueth), et le lemme 1 de IVE~. III.
Ao Borel
Ecole polytechnique f~d~rale Printemps 1951
S~minaire de Topologie alg6brique
COHC~0LOGIE DES ESPACES LOCAIEF~NT CG~PACTS, Expos~ I 9
NOTIONS
d,aprSs
J. LE~AY
ALGEBRIQUES.
I. Introduction. Les premiers exposgs seront consacr~s ~ la d~finition donn~e par J. Leray de 1, anneau de cohomologie drun espaoe localement compact~ Le point central de cette th6orie est un th~or~me d'unicit~, affirmant en gros que 2 anneaux munis dlun opgrateur cobord attaches ~ un espace ont des anneaux de cohomologie isomorphes lorsqu,ils vgrifient deux conditions qui s 'av~reront ~tre maniables. On verra que cet anneau de cohomclogie est isomorphe ~ l'amueau de cohomologie d'Alexander-Spanier ~ supports compacts. Nous traiterons tout d'abord complStement le cas des coefficients constants, r~servant pour plus tard 1,gtude de ]m cohomologie par rapport ~ un faisceau, notion qui, en un certain sens, g6n~ralise celle des coefficients locaux. Cette th~orie, amorc~e dans [1], forms la premiere partie de [2]. Ells a ~t~ d~'elopp~e et g~n6ralisge par H@ Cartan (S~minaire de I'EoNoS., Paris, 1949-50, Exp. XII ~ ~ I I , et 195G-51), qui 1, a en particulier 6tendue au cas des supports ferm~s non n~cessairement compacts. Ici, on se bornera ~ 12 th~orie de Leray, non sans cependant faire des emprunts aux Exposes de Ho Cartan~ notamment e n c e qui concerne les exemples. Ill [2]
J. Leray, Journ~math.pur. & appl~ IXs~ t. 24, 96-248 (1945) J. Leray, ibid. t. 29, 1-139 (1950).
2. Modules et alg~bres diff6rentiels. On renvoie ~ Bourbaki, Alg~bre lin~aire et Alg~bre multilin6aire, pour les d~monstrations non reproduites ci-dessous, en particuller pour 1,~tude d~taill~e du produit tensoriel de modules. A d~signera toujours un anneau co~utatif avec ~l~ment neutre. A-modules
groupe ab~lien admettant A c o m e anneau d,ep~rateurs. On supposera tou-
Jours le A-module unitaire, clest-~-dire que 1,~16ment neutre de A induit 1Tidentit6. A-module gradu~ E:
Somme directe de sous-modules E i (i entier quelconque).
~16ments de E i sont dits (homog~nes) de degr6 i~ A-module diff~rentiel (E,d):
Los
0 a n,importe quel degr~.
A-module E muni d~un endomorphisme d A-lin~aire de
I-2 carr~ nul s c,est-~-dire que l'on suppose d(x+y)
=
dx+
dy
x)
d.d.x = 0
A, x,y
E)
Les zgros de d sont les cycles (ou cocycles), les images de d les bords (ou co__ I bords)~ Le quotient du sous-module des cycles par celui des bozds est le module d!homologie (ou de cohomologie) de E, notg H(E)e Dans la suite nous emplos
toujours les expressions cocycle, cobord# cchomologle~
Un homomorphisme f:
(E,d)
sera dit permis~ si
fd
~ (E' ,d' ) -
dlf
dans ce cas i! induit un homomorphisme de H(E) dans H(E' )o . . . .diff~rentiel-gradu~: . . . . . A-module
On suppose d E i ~ E i+r ,
r ind~pendant de is
d est
alors dit homog~ne de degr~ ro Dans ce cas, H(E) est aussi gradu~ de fa~on ~vidente. A-module canonique: A-alg~bre:
A-module diff~rentiel-gradu~, d
~tant de degr6 1.
A-module muni d.un produit v~rifiant la r~gle
(xoy)
~
(~x)
y
= x(c~y)
qui sera toujours suppos~ distributs .A-alg~bre gradu~e~
on suppose
(~&,
x ~ y ~ E)
associatif~
EI.EJr E i+j
~a]gebre diff~rent.lelle ( E , d ~ ) "
A-alg~bre munie d~un endomorphisme A - ~ a i r e
d de carr~ nul et dlun automorp~sme ~
(A-lin~aire, respectant le produit) v~ri-
flant s aid + daJ On en d~duit que ~
~ 0
d(x.y) = (dx)y +
~(x).dy
transforme cocycles~ resp~ cobords~ en cocycles~ respo cobords,
et que le produit d~un oocycle par un cobord est un cobord~ on peut alors d~finlr un produit dans H(E) qui devient une A-alg~bre. .A-a~bre diff~rentiel!e-gradu~e: AN.alg~bre 'can onique~
On suppose
~ ( E i) C
&-alg~bre diff~rentielle-gradu~e,
Ei d
~tant de degr~ l, et
~tant d~fini par ~O(x ~)
~
(-1)~
(xp e E p)
Exemples. i)
Les cha~nes simplicialss ~ coefficients dans un groupe ab611en ferment un Z-module dlff~rentielZ-gradu~, avec une diff6rentielle de degr6 -lj les cochas simpliciales ~ valeurs dans un anneau forment une Z-alg~bre canonique (apr~s choix d, un ordre des sommets pour d~finir le produit)~
2)
Les formes diff~rentielles ext~rleures sur une vari6t~ munies du produit ext~rieur et de la diff~rentielle ext~rieure, foment une R-alg~bre canonique. (R = corps des r~els)o
1-3 3.
Le produit tensoriel.
Rappelons d,abord bri~vement la d~flnition du produit tensoriel de 2 A-modules E~F. Pour llobtenir, on part du module O~xy(X,y), (O~xye A, x ~ E,
~L(E,F) des combinaisons lin~alres finles yEF), dont les paires (x,y) forment une base.
Soit N le sous-module engendr~ par les ~l~ments ayant llun des types: (x,y) (A)
(~+x2,Y)
-
( ~ x,y)
~<(x,y)
-
(xl,Y ) -
(x2,Y)
-
(x, ~ y)
(X,Yl+y2)-
(X,Y l ) -
(x,y2)
Le produit tensoriel (sur A) de E et F, not~ E n F, est alors par d~flnition le quotient
~(E,F)/N~
~xy(X,y) de
On note
~(E,F);
R~gles de oalcul:
O~xy(X m y) !,image dans E m F de l~l~ment
on en tire imm~diatement les
(Xl~)
m y
x m (yl+y2) ~(xmy)
= x I m y + x2 ~ y = x m Yl + x ~ y 2 - (c~ x) m y = x,
(~y)
Propri~t~s:
l)
EmF
2)
(EmF) mG ~
3)
EmA
4)
(E1 + E2) m F ~ E I m F + E 2 m F,
=~ F ~ E Em
=~AmE
siE ~ ZE~,
(F.G)
-~E
F =
)- Fy ,
plus g~n~ralement|
alors E m F
= Z E M ~Fy
Remarque 9. L'Isomorphisme de 2) fait correspondre ~ (x m y) m z It~l~ment xm(y m z); si i est 11~l~ment neutre de A, on obtlent un isomorphisme de E sur A ~ E, resp. E m A, en faisant correspondre ~ x l'~l~ment i ~ x, resp. x m I. H omomorphlsmes de produits tensorlels.
Soient f"
E-~E', gl F-+F' des homomor-
phlsmes de A-modules~ on v~rifie que l'on obtient bien une application unlvoque h: E z F --) E, m F' en posant h(x m y) = f(x) ~ g(Y); c'est l,homcmorphisme associ~ ~ f et g. Si E 1 C E, F I C F, ]ms injections induisent un homomorphisme de E 1 m F I dans E m F, qui nlest pas t o , ours biunivoque, on ne peut donc pas en g~n~ral consid~rer E 1 m F 1 c o m e sous-module de E m F. Par exemple Z/(2) m 2Z est isomorphe ~ Z/(2), mais son image dans Z/(2) m Z e s t nulle. Autrement dit, si ~ x i m Yi = 0 dans E m F et si Xl,...,xn" E~ dans E l m F~. A c e
yl,...,y n & FA
on n,a pas forc~ment
suJet, nous utiliserons fr~quemment le
Z l X i " Yi = 0
THEOREME I~
n ~ i x i m Yi
~
-- 0 dans E m F, .il existe des sO~S-modules E I ~ E,
F I C F .~ ~an nombre fini de g~n~rate.ur.s~ contenant respectivement Xl, ...#xn et Yl, O.O,yn te!s que x i m Yi soit d ~ 2 nul dans E 1 ~ FIO En effet,
~ xi m Yi = O signifie que dans
A~(E,F), 7" (xi.Yi) est une comb~nal-
son lin~aire finie de termes de l'un des t~q~es (A) il suffira de prendre pour E1,F I les sous-modules engendrgs par tous les e'emen~s de E, resp. F q~i flgurent dans oes son~nes. THEORENE 2o
S oit E 1 un sous-modLule de E. Si E 1 est un facteur d~rect de E, alor__,s
E1 ~ F - ~ E
m F est biunivoque.
En effet, si
E - El+E2, alors E H F = E l m F + E 2 m F.
On remarquera que la condition E 1 facteur direct est touJours v~rifi~e dsns le cas des espaces vectoriels (ice. si A est un corps). THEORF/~ 3.
12 noyau de l'homomorphisme nature! ~
est le sous-module engendr~ par !es ~l~ments y6
de E I F sur (E/E1) ~ (F/F I)
x s y o~ I, on a soi t x ~ El, so lt
Flo
Pour le d~montrer on d~finit un homomorphisme de E/~ I m F/~ I dans (E I F ) ~ de la faqon suivante s soit ~ ~ E ~ l , y ~ F ~ l , x,y des ~l~ments de leurs images r~ciproques dans E,F, on pose h(~ m ~) - f(x m y), o~ f e s t l,homomorphisme naturel de E ~ F sur son quotient ( E m F)/N. On voit licite et que
h .~
facilement que cette d@finltion est
= f, donc le noyau de y
est contenu dans N, la r~ciproque
est gvidente. Prod u.it tensor~el d:un A-module oanonique E et d,uu A-module diff6rentiel FS on v d~finit une diff~rentielle d par d(x
y)
y §
(-l)P2
xp
Ep
il est imm~d~at que d est de carrg nul, on remarquera que ce ne serait en g~ngral pas le cas si l'on omettait le (-1)p dans la dgfinition.
I-5 Produ____~i~tensoriel d,une alg~bre canonique E et d'une a lg~bre diff~rentielle (F,d,~). C,est le module introduit ci-dessus dans lequel on d~finit en outre le produit par..
(xp m y) (xq m y ' )
l~automorphisme par~
~ ( x p m y)
~
xPx q m
~q(y)oy'
=
(-l)Pxp m
~(y)
Cn v~rifie que t o u s l e s postulats d,une alg~bre diff~rentielle sont satisfaits (cf.k2S,
Nos.12,1B). On d~montre aussi ais~ment le
TR~OREME 4@ xp m yq
4.
Si E et F sont 2 A-alg~bres c anoniques~ 1,ap?lication
--~ ( - 1 ) P ~ q m x p e s t
un isomorphisme de E ~ F sur F m E.
Particularisation de A.
Sauf mention expresse du contraire, nous supposerons dor6navant toujours ~tre dans un des cas suivants l) A = Z, E est donc ~n groupe ab61ien ou un anneau 2) A est un corps, E est donc un espace vectoriel, resp~ une alg~bre sur un corps. En fait tout sera valable pour un anneau principal A, mais l) et 2) suffiront ici. Un A-module E sera dit sans torsion si ~ x ~ O, ~ # 0 implique x -- O~ cela est toujours vrai si A est un corps~ lorsque A = Z cela signifie que le groupe ab61ien E n'a pas d'~l~ment n o n m l dtordre fini 3 toujours si A = Z, nous dirons que u ~E
n'est pas divisible par un e ntier s i u -
THEORF~,~E 5.
kv
Soit E un A-zodule sans torsion, F I C
l) E m F 1 --~ E m F
(k E Z, v ~ E) implique k -- +l. F 2 A-modules ~uelconqueso Alors
est biunivoque
2) si A _- Z et s i u ~ E nTest pas divisible par un entier, alors l'application F -~E
E F
d onn6 par y - - ~ u n y est biunivo~ueo
i) est clair dans le cas des espaces vectoriels, puisque F I e s t facteur direct~ soit donc A = Z~ En utilisant le th6or~me 1 on se ram~ne au cas o~ E a un nombre fini de g~n6rateurs, mais alors E est somme directe drun nombre finl d~anneaux Z, E m F1, resp. E ~ F, est sc~me directe d'un nombre fini de copies de F l, resp. de F, et l'application envisag~e se ram~ne ~ l'injection de F 1 daus F. 2) Si u ~ y = 0 dans E m F, il llest d~j~ dans E 1 ~ F o~ E 1 a un nombre fini de g~n~rateurs; E 6tant sans torsion, il en est de m~me de E 1 qui est a~msi un groupe
I-6 ab~lien libre ~ un nombre fini de g~n6rateurs, contenant u; d,apr~s le th~or~me des diviseurs ~l~mentaires o~ peut trouver
une base xl '''''xn de E telle que
u = kXl, d,o~ u = _ ~ I puis~u~ u n'est pas divisible par un entier~
Zu m F est
facteur direct de E 1 m F, et est appliqu~ biunivoquement dans ce dernier; d'autre part l'application y
~ u m y
de F dans Zu m F est biunivoque (cf propri~t~ 3
du produit tensoriel) d'o~ le th~or~me. Etant donn~s deux modules diff~rentiels E, F, le premier ~tant canonique, il se pose la question de connaltre des rapports entre H(E), H(F) et H(E ~ F), probl~me dont 1,6tude conduit ~ la 'b~gle de K~nneth"o Nous ne traiterons ci-dessous que 2 cas tr~s particuliers, les seuls dont nous aurons besoin pour ~tablir le th6or~me d'unicit~; pour un ~nonc~ g6n~ral, cf [2]
No.18. Indiqugns simplement que si par
exemple E est sans torsion, l'homomorphisme naturel de H(E) m H(F) dans H(E ~ F) est biunivoque et que le quotient H(E m F)/H(E) m H(F) ne d~pend que de la torsion de H(E) et H(F); en particulier H(E) ~ H(F) = H(E ~ F) si A est un corps ou si l,un des 2 modules H(E), H(F) est sans torsion. THEOREME 6.
Soient E,F 2 A-modules diff~rentiels t on suppose que E est canonique
sans torsion, gradu~ ~ar des de~r~s
~_ 0 et que HP(E) = 0 pour
p~O,
H~
~ A.
Soit u le cocycle de E correspondant ~ l'~l~ment neutre de A dans cet isomorphisme. Alors y -n~ u m y induit un isomorphisme de H(F) sur H(E m F). Nous remarquons tout dVabord que si A ~ Z, u n'est pas divisible par un entier; eh effet, u = kv entraine k.dv = O, donc dv ~ 0 (E sans torsion), et k ~ + l impliquerait que l'~l~ment neutre de Z est divisible par un entier. Soit d I la "d6riv~e partielle" par rapport ~ E, c,est-~-dire l'endomorphisme d I donn~ par dl(X ~ y) = dx m y.
On a d(x p m y) = dl(xP m y) § (-1)Pd2(xP m y ) ,
si
on pose de m~me d2(x ~ y) = x m dy. La d@monstration comprend 2 parties l~.re parole!
Nous montrerons qu,un dl-cocycle de E p m F est un dl-cobord si p YO,
et de la forme u x y s i p
= O.
Examinons tout d'abord le cas o4 F a un seul g~n~rateur v, et soit h = x m v tel que dx m v
= O~ si v est fibre, cela e n t r a ~ e dx ~ O, donc x = dxt pour p ~ O
et
I-7 x = a.u pour p = 0 (a ~ Z), d,o~ l'affirmatlonj v est libre si A est un corps, il rests dons ~ examiner le cas o~ A = Z, et o~ il exists k E
Z, k ~ 0 tel que kv = 0J
si k est en valeur absolue le plus petit entier pour lequel cela se prodult on as F = Zv = Z/(k). Dans iVhomomorphisme naturel f de E ~ Z sur E m Z/(k), le noyau est E H kZ - kE m I (Th3)~ d~
f ( ~ m l) = x p x v
= k m p+I, kdm p+I = d d ~
ainsi d(xp -
knp) - 0.
si p - 0 on aura x ~
= het
f ( ~ P H l) = 0 dons
= 0 et dm p+I = 0 (E sans torsion), dons m p+l = du p e t
Sip
> O, cela donne x p = kn p + dnp-1 et h = ~ ( n p-I
kn ~ + a~u, d~o~ h - a . u m v
- u m a.v ( a ~
v),
Z).
Si maintenant F a un nc~bre fini de g~n~rateurs, clest une son,he directes dtespaces une dimension si A est un corps, de groupes cycliques, finis ou infinis, si A = Z et on se ram~ne facilement au cas qui vient dV~tre traitS. Enfin on d~montrera notre assertion pour F quelconque en utilisant le theorems 1. 2~me parties
on ~tablira les 2 affirmations s
I) tout cocycle de E m F est cohomologue ~ un ~l~ment u m y o~ y est un cocycle deF 2) si u m y est cohomologue ~ z~ro dans E m F, y est cohomologue ~ z~ro dans F. Cela est manifestement ~quivalent au th~or@me 6. Le raisonnement utilis~ icl, Joue un rgle fondamental dans ~l~, (voir en particulier Noo 4 pour un lemme analogue au theorems 6). Nous appelons poids p d,un ~l~ment de E m F itentier p tel que h ~
(E~
p-l) m F,
h E (E~
p) x F.
i) D~monstration par .r~currence sur le poids. dh = ~ h
§ d2h , dlh E E 1 m F,
~hEE
Si h est de poids O,
~ m F, dons dh = O implique ~ h
P 0 st
(l@re partie) h = u m y, dons dh - u m dy et dh = 0 entrains dy = 0 ( v u l e th~or.5 et le fait que u nlest pas divisible par un entier). Supposons maintenant l) vral pour h de poids
-~ p-1 et soit h de poids p; h - h ~ + ... + h p
avec
on peut ~crire hiE
Ei m F
Dans dh on voit imm~diatement que le seul ~l~ment contenu dans E p+l m F est dlhP , dons dh - O entrains ~ h p - 0 et (l@re partie) h p = ~ m p'l, done h p ~ dmp'I _+ d2mP-1 et ~ m p-I est de poids p-l. Alors h " h ~ + e.. + h p~I_§ d2mP-I + dm p-I - h' + d m p-I
I-8 et h' est de poids
~
p-l, donc h' = u e y
finalement h est cohomologue ~ u @ y ,
m o = uOy'
avec dy = O.
= d(m o + ...+ m p), m l"~ E i @ F .
2) Soit u @ y
et u @ y
= u@dy',
+ dm' (hypoth~se d'induction) et
= 0 on a dlmO = O, done
Sip
y = dy' (
[email protected]).Si p ~ O ,
on a dlmP = O, donc
m p = dlnP-I = dn p-1 - d2nP-I et u@y et u @ y que u @ y
= d(m ~ + ... + m p-1 + d2nP-1 )
est cobord d'un @l@ment de poids ~ p-l~ par r@currence on volt alors est cobord d'un @l@ment de poids O, cas qui a d@j~ @t@ trait@.
THEOREME 7- Soit E oanoni%ue sans torsion~ d u n e
diff@rentielle de E O F nulle
sur E (c'est-~-dire d(x O y) = x O dy). Alors Z(E O F )
= EOZ(F),
B(E @ F )
= E @B(F)
et H ( E O F )
= EOH(F).
Par Z(X) on d@signe les cocycles de X, et par B(X) ses cobords. II est clair que E ~ Z(F) ~ Z ( E O F ) !
pour voir qu'il y a @galit@ on se ram~ne ~ l'aide du
th@or~me I, au cas o~ E a un nombre fini de g@n@rateurs, pour lequel cela est imm@diat, de re@me on verra que B(E O F) = E • B(F) d'o~ H(E O F ) Z(E O F)/B(E 9 F) = E O Z ( F ) / E
9 B(F) = E O H ( F )
=
d'apr~q le th@or~me 3.
Expos6 II I
LES C~PIEXES
I. R~ppel sur les espaces localement compacts. Nous r6sumons ici bri~vement quelques points de la th~orie des espaces topologiques~ pour les d~flnitions et d~monstratious non reproduites ci-dessous, cf. AlexandroffHopf, Topologie I, Kap. I, II ou Bourbaki, Topologie g~n~ral, Chap. I~ II~ IX. X d~signera un espace localement compact s6par~, clest-~-dire v~rifiant l,axiome de Hausdorff:
2 points diff6rents possSdent des voisinages disjoints 3 ~ d~signera
l'ensemble vide, A ltadh~rence du sous~
Ao Compact est pris ici au sens
Bourbaki ~ bicompact d'Alexandroff-Hopf, i.e. un espace est compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un recouvrement fini, localement compact si tott point a unvoisinage
ferm6 compact.
Un espace localement compact est r~gulierj cela signifie que, ~tant donn~s un point p e t un ferm~ F ne contenant pas p, il existe des ouverts disjoints U,V contenant llun p e t
ltautre F; on exprime cela en disant que l'on peut s~parer un point d,un
ferm~ qui ne le contimnt pas. I1 est in~n~diat que dans un espace r~gulier on peut aussi s~parer un ferm~ et un compact disjoints, d'o~ le THEORE~J~ i.
Soit F ~
sous-espace compact de X,
VI,...,V n des ouverts de X _~
adh6rence . . compacte . . . . . recouvrant . . . . . . F, alors il existe Vo telle que V o V V l ~ ... V V n ~ X, a F
En effet~ on prendra pour V
o
un ouvert contenant X - (VI~ ...~Vn ) qui permet de le
s~parer de F. D~finition: Un recouvrement fini UI,...U n de X est propr ~ si les U i sont ouverts et si pour chaque i: ~'i ou X-U i e s t compact. En particulier le recouvrement du theoreme prgc~dent est propre~ Une propri~tg importante des recouvrements propres s texprime par le THEGLE~. 2.
- Tout recouvrement fini propre d,un sous-espace X' est induit par un
re couvrement fini propre de X. Cela signifie qu2, ~tant donn6 le recouvrement VI,...V n de Xt~ il existe un recouvre-
II
- 2
ment UI,.o.Um propre de X tel que X t ~ U
i soit l,un des V.l ou bien vide; en fait
nous verrons que l'on peut prendre m ~ n 3
si Xt-V i e s t compact e n t a n t que sous-
espace de XT, il l'est aussi en tant que sous-espace de X et en particulier est ferm~ U.I = X - (X t-Vi) a un compl~mentaire compact et X . ~ U I = Vi.
Si XI-V i
n~est pas compact, a~.crs ~. l'est et on peut trouver U. ouvert, ~ adherence comi
pacte, tel que Ui~ X' = Vi~
I
Ul~~
~U
contient naturellement X', mais aussi n
X-X~ car 1,un au moins des ensembles X~-V i e s t compact et alors Ui = X -(X'-Vi)~ X-X'~
U1,.oo,U n e s t donc un recouvrement propre (par construc-
tion) de X induisant sur X' le recouvrement V i donn~~ Un espace localement compact est non seulement r~gulier, mais encore compl~tement r~gulier; cela veut dire qu'6tant donngs un point p e t un ferm6 ne le contenant pas, deux nombres r~els a et b~ il existe unefonction continue 2 valeurs r~elles d~finie sur X, ~gale ~ a sur p, ~ b sur F et dont les valeurs sont comprises entre a et b. On en d~duit qu'~tant donn6s un compact K et un ferm~ F disjoints, on peut construire une fonction continue ~ valeurs comprises entre a et b, ~gale ~ a sur K, b sur F (pour la d6monstration de ce fait ~ partir de la complete r~gularit~, cf. Halmos, Measure Theory, p.216). Dgfinition.
On appelle partition finie continue de l'unitg sur X un ensemble fini
de fonctions fl,...,fn sur X, continues ~ valeurs r~elles v~rifiant O-Z f. ~---l, i
fl + ~.. + f "--"1. n
Etant donn~ un recouvrement fini UI,...,Un, une partition de itunit~ fl,...,fn lui sera dite subordonn~e si fl ~ 0 dans X-U i (i = 1, oo.,n)o THEOREME 3.
S oit Ul,...,Un.Un recouvrement fini propre de l,espace localement
compact X. Alors il existe une partition de 1,unit~ fl, o.~
lui est subordonn~eo
Pour l'obtenir on construit tout d,abord un recouvrement ouvert Vl~''"Vn de X tel que ~i ~ U i (m~me d~monstration que dans le cas des espaces normaux)j ensuite on prend la fonction gi comprise entre 0 et I, 6gale ~ i sur Vi' ~ 0 sur X-U., les i
V i formant un recouvrement ont (gl+o..+gn) ~ 0 (strictement) en chaque point, la partition de l'unit~ est alors donn6e par
fl = gi/(gl+'''+gn )"
II
-
3
Remarques. I) Dans une vari@t@ diff@rentiable tion de l'unit@ subordonn@e de fonctions diff@rentiables
de classe C k, on peut construire une parti-
K un recouvrement
ouvert fini quelconque
K l'aide
de classe C k.
2) Les notions relatives aux fonctions r@elles rappel@es ci-dessus n'interviendront pas dans la d@monstration m@me du th@or~me d'unicit@, applications
mats dans les
que nous en ferons.
2. Les complexes. D@finition.
Un A-complexe K s u r X
est un A-module
& chaque @l@ment duquel est
attach@e une partie ferm@e de X, son support; notant S(k) le support de k, on suppose v@rifi@s les axiomes suivants: I)
S(k+k') c: S(k) V S(k'),
2)
S(k) = ~ entralne k = 0
s(ak)c s(~)
(~.A),
s(o) -- r
s( k p +k q) : S( k p) v S( k q )
si K est gradu@ si K est diff@rentiel
: S ( ~ ) C S(k)
si K est une alg~bre
: S ( k - k ' ) ~ S(k) A S(k')
si K est une alg~bre diff@rentielle:
S( ~
(p/q)
(k)) = S(k)
K est dit sans torsion si S(ak) = S(k), il est alors sans torsion e n t a n t module vu l) et 2);
K est toujcurs sans torsion si A est un corps;
que
K est
supports compacts si S(k) est compact pour tout k. Un A-module aux 414ments duquel correspondent des supports v6rifiant les conditions ci-dussus sauf 2) est appel4 un complexe non-s@par4. Les 41@ments de support vide forment alors un sous-module et en faisant le quotient du module donn4 par ce dernier, on obtiendra un complexe satisfaisant aussi ~ 2), le complexe s4par4 associ4. Si K est muni de structures suppl4mentaires (graduation, diff4rentielle, ...) il e n e s t de m~me du complexe s4par4 associ4. Section d'un complexe par un sous-espace.
Soit K un complexe sur X, Y un sous-
espace, KX_ Y les @l@ments de K dont le support ne rencontre pas Y, c'est un sous-mcdule
(stable pour d, et un id@al si K est une alg&bre).
et notcns Yk l'image dans ce quotient de k E facilement on attribue
que Y t% S(k) = Y ~ S ( k ' )
si Y k ~ k ~
Soit YK = K/KX_y,
K! ~ l'aide de l'axiome l) on volt ainsi en posant S(Yk) = Y ~ S ( k )
II - 4
bien ~ chaque ~lgment de YK une seule partie ferm@e de Y de mani~re ~ satisfaire aux axlomes du complexe (separe), YK muni de ces supports est la section de K par Y, en partic~]~er xK sera la section par un point x. Les structures additionnelles de K se transportent ~ YK, par exemple si K est diff~rentiel, on dgfinira ~ne diff~rentielle sur YK par d(Yk) = Y(dk), ce qui de nouveau est i~gitAme car~ d ~minuant les supports, on a bien Ydk = YdkT si Yk = Yk,~ Homomorphismes de complexes. une application fs
Kt-, K
Soient K', K 2 complexes d~finis sur un m~ne espace~ est un homomorphisme de K' dans K si l) crest un homo-
morphisme pour les structures alg~briques en jeu c,est-~-dire si
2) s,il diminue les supports,
S(f(k)) C S(k); par consequent si Y ~
X, f(K'x_ Y) ~ ~ _ y
et f
induit un homomorphisme, que nous noterons f.~ de YKW dans Y~K~ En appelant pWy et py les projections de Kt sur YKI et K sur YK on a le diagramme commutatif
K'
YK~ ou, si l'on veut,
f
.....
$
K
~
YK
Yf(k') = ~oYk'J l,homomorphisme f e s t ~n isomorphisme s'il
conserve les supports (il est alors forc~ment biunivoque).
3.
Somme directe et in+~rsection de complexes.
Nous doruerons ici 2 lois de composition pour les complexes dtun espace 3 la l~re~ assez triviale, n'est pas indispensable mais sera sssez con~node, la deuxi~me par contre est fondamentale. S~T~e directe.
Soient K et Kt
2 A-complexes, leur somme directe notre K + K'
sera le A-module somme directe de K et KV dans lequel on d~finit les supports par S(k+k')
= S(k)uS(k').
~n i n t r o d u i t de maue l a somme d i r e c t e d"an nombre quelconque de complexes~ S i K e s t un complexe gradu~ pa r des sousmodules Ki ,
on p e u t e n v i s a g e r ces d e r n i e r s comme
des complexes e t , d ' a p r ~ s l e s axiomes K e s t p r ~ c i s e m e n t somme d i r e c t e des K1.
II - 5
Intersection K o KV de 2 complexes.K et KV. Ce sera un nouveau complexe. Pour le d6finir on part du produit tensoriel K m K' aux glgments duquel nous allons attribuer des supports. Soit f
lthomomorphisme X
K z K' -
~ xK m xK' assooi~ aux projections px ~ K
.~ xK, prx ~
K' - @ xK ,
et h E K m K,j nous d6finissons S(h) comme l'ensemble des points x ~ X
pour
lesquels fx h # 0. Montrons que S(h) est ferm~ ou plutSt que X-S(h) est ouvert, Soit donc x tel que f h = 0, alors h e s t une combinaison lin6aire finie de termes X
k i m k'.l o~ iTon a soit Px(ki) clest-~-dire S(k~)C X-xo
=
0 c,es~-dire
(Expol~ th~oro3).
S(ki) C X-x, soit p'x(k'i) = 0
Les S(ki) et S(k~) 6tant en nombre
fini et ferm~s on peut trouver un voisinage V
de x tel que pour y 6 V X
pyk i = 0
ou
que fyh = 0
on air X
~'k' -- 0 suivant que S(ki)~ X-x ou que S ( k ~ ) C X-x, ce qui signifie -y i pour y E Vx, X-S(h) est bien ouverto
Lea axiomes du complexe, sauf 2) se v6rifient sans difficult6. On obtient donc un complexe en ggngral non s~par~, clest le complexe s~par~ associ~ qui sera par dgfinition llintersection de K et K';
K o K' est donc un quotient de K m Kt et on d~-
signera par k o kl lf image de k m k,. Rassemblons en un premier th6or~me les propri~t~s les plus simples de ces operations. THEOREME 4. i)
S(k o k ' ) C S ( k ) t % S ( k ' ) ,
donc si l'un des 2 complexes est 2 supports compacts,
il en est de m@me de leur intersection. 2)
x(K o K')
=~ xK
~
3)
K o (Kt o K " )
4)
Si K -- Z K ~
5)
Si K et K' sont canoniques, l'application
~
xKt (K o KI) o K "
, K'--ZK~
,
alors K o K' ~
~K ~ , o k 'q
(-l)Pqk 'q o kp eat un
isomorphisme de K o K' sur Kt o K. Nous omettons les d~monstrations qui sont imm6diates. Relevons cependant que llisomorphlsme de 3) est celui qui fait correspondre (k o k') o ktW
~
k o (k'o k")~
Dans 5) il sragit dfisomorphisme au sens des complexes, c,est-2-dire drune application bi~ctive compatible avec la structure dtalgebre canonique et conservant les supports.
II-
6
Homomorphismes d t~_utersections o Soient f s K ~ K ~
et g ~ iv~--~M'
2 homomorphismes de A-complexes (los 4 complexes
~tant d~finis sur un m~me espace X). En posant
h(k o m) = f(k)
o g(m)
on d~finit
une application univoque de K o M darts K' o MV~ pour voir cola, on remarque tout dTabord que h(k m m) = f(k)
~ g(m)
d~termine un homomorphisme de K = M dans
K' m ~,~' (au point de vue alg~brique), et que pour tout x~ X f(Kx) ~ K~ ,
on a
g(~x) ~ M~ , dons h d~finit par passage am quotient un homomorphisme
h
~ xK m xM - ~ xK~ m xM,, d'o~ l'on d~duit que h diminue los supports des ~l~x ments de K m M~ en particulier h envois los ~l~ments de support vide en des ~l~ments de support vide, d'o~ par passage au quotient l~application h de K o M dens K' o M' v~rifiant
h(k o m)
= f(k) o g(m), qui est alors ~videmment ms homo-
morphisme o
4.
Complexes fins et couvertures~
Nous apporterons ici 2 restrictions essentielles ~ la notion de complexe, ifune de caract~re global, 1,autre de caract~re plutSt local. D~finition.
Un complexe K sur X est fin si pour tout recouvrement fini propre
Ul, o..,U n de X on pout trouver des endomorphismes A-lin6aires de K, rl,...,r n de K tel~ que rl(k ) + ..o + r (k) n
=
k
pour tout k ~ K
S(ri(k ) ) C Bin S(k) Si K est gradu~, on supposera que los r i conservent le degr~ mais par contre on ne fait aucune hypoth~se sur le comportement des r
l
vis-a-vis de la diff~rentielle ou
du prodult ~ Si K est une alge~bre avec ~l~ment neutre on pout exprimer plus simplement los conditions pr~c~dentes 3 soit en effet u son ~l&nent neutre, K est fin s l e t
seulement
si ~tant donn~ U1,...,U n propre il exists ul, o..,u n E K tels que Ul+e..+u n = u, S(ui) ~ ~i' en effet on d~finira r i c~mme le produit par ui: ri(k )
=
ul.k , et
r~ciproquement si l'on part d,un complexe fin on d~fir~it u i = rlu. Ce postulat exprime en somme la possibilit~ de d~c~uper tout ~l~ment en 61~ments supports petlts 3 il signifle entre autres qulun complexe fin poss~de des ~l~ments supports arbihrairement petits. Ce postulat renferme une sorts de passage ~ la limits du type de ceux que l'on fait en consld~rant un ensemble ordonn~ ~ltrant de recouvrements d,un espace donn~, ce qul somme on salt, conduit ~ la cohomologie de Cech.
II - 7
THEC~EME 5.
Soient K fin, K* l,ensemble de ses ~!~ments ~ supports compacts, Alors
l) Pour tout ouvert U et tout x ~ U, on_.__aa xK = x ~ ,
d' o~ en particulier
xK = xK*~ 2) K* est fin. I) Soit U 1 un voisinage relativement compact de x, dont 1,adherence soit contenue darts U, st soit U2, tel que x $ ~ 2
st que U I U U 2
= X~ c'est un recouvrement propre~
Soient rl~r 2 les endomorphismes de K attaches ~ ce recouvrement. On a k = rlk + r2k
avec
S(rik) ~
~i
(i = 1,2),
dto~ xk = Xrlk et notre assertion.
2) R~sulte du fait que les endomorphismes r. correspondant ~ un recouvrement diI
minuent les supports et par suite transforment K@ en lui-m~ne. Soient K un A-complexe, M un A-module. On peut envisager ce dernier comme un complexe en attribuant ~ chaque ~l~ment cher ~ comparer K m M e t PROPOSITION I.
/ 0 comme support tout lfespace et cher-
K o M. On a ~ ce sujet la proposition suivante:
Si K est fin ~ supports compacts~ 1,homomorphisme naturel de
K m M sur K o M est un isomorphisme~ Nous avons ~ d~montrer que 0 est le seul ~l~ment de support vide de K m M. Soit donc v & K
m M
tel que f v - O pour tout xJ il fait ainsi partie du noyau de x K E M - ~ x K ~x~ = xK m M~ donc de l'image naturelle de ~ - x m M dans K m M (Exp. I, Th6or. 3), que nous noterons J ( ~ - x m M)9 des remarques faites au d~but de la d~finition de l'intersection on tire ltexistence drun voisinage V x de x tel que v e j ( ~ _ V m M) et l'on peut ~videm~ent supposer ~
compact. Soit maintenant X
v = k I m m I + ... + ks m ms F = S(kl) ~ xi
V
.~. u S(ks) est compact et 1,on peut trouver un hombre fini de points
tels que les V
xi
tel que V o U V I U
correspondants ...UV
o
(i)
une representation de v comme 61~ment de K m M 3
recouvrent F 9
~.X, ~ ~ F n
v.i E j ( ~ - q i
= @,
i
x,
et soit encore
(Exp. II, Th~or.l)o i On a
o
m ~)
pour i = 0,i, oo.,n.
Soient r i les endomorphismes de K correspondant aussi r i
posons V. = V
a~
recouvrement (Vi) , et notons
iTendomorphisme de K m M donn~ par r i (k m m) = ri(k ) m mo
De
S(ri(k)) C q . ~ S ( k ) on tire que ri( ~ V ) = O, d'o~ r i ( J ( ~ _ ~ i ~ M ) ) ~ O, et i - i ensuite, vu (1), ri(v ) = 0 pour i ~ O,l,o..,n ce qui donne v = 0 puisque la somme des r i e s t
1Tidentit6.
II - 8
D~finitiono l)
Un A-complexe K sur ~ est une A-couverture si
K est un complexe canonique sans torsion, ~ supports compacts gradu~ par des degr~s --~ 0.
2)
Pour tout x ~ X ,
3)
Pour tout compact F de X il existe u ~ K tel que xu soit l~unit~ de xK pour x~F.
HP(xK) = 0
sl p ~ 0,
H~
= A
(On ~:~a que u est une unit~ relative ~ F).
Remarque.
Dans [2], Leray d~finit une couverture par les conditions l) moins
1,exigence que les supports soient compacts, 2) et remp!ace (3) par 3 t)
K est une alg~bre avec ~l~ment neutre dont le support est X.
La modification que nous avons adopt~e i c i e s t due ~ Fary 237, 552-4 (1953)).
(CoR.Acad.Scl. Paris
I1 est clair que ces deux d~finitions coTncident dans les
espaces compacts. En fait les exemples usuels de couvertures fines (donn~s plus bas)~ sont les ~l~ments ~ supports compacts de couvertures fines au sens de Leray. Nous avons cependant pr~f~r~ adopter ici le point de vue de Fary, qui n,exige pas 1,existence dt~l~ments ~ supports non compacts alors que finalement on en fair abstraction pour calculer la cohomologie ~ supports compacts dVun espace. THE(RE~. 6.
Soient K une couverture, u
l'~16ment neutre de xK. Alors u X
homo~ne de degr~ z~ro~ et du correspondre
1
- O.
~
Lrisomorphisme H~
~ la classe de u . $i A = Z, u a.
X
~
est X
= ~ est celui qui fair
n'est pas divisible ~ar un X
--
entier. Ii est imm~diat que u
est de degr~ 0 et que du X
alg~bre canonique)~ u
~ 0 (cela est vrai dans toute x
nlest pas un cobord puisque les degr~s de K sent ~ O, x
et sa classe de cohomologie est l'~l~ment neutre de H~
d~o~ notre th~or~me.
THEOREME 7o I)
La section d'un com~lexe fin est tun comploxe fin~
2)
L a section dlune couverture K est une couvert'are.
3)
LIintersection d,un comp!exe et d'un complexe fin est un complexe fin.
4)
L'~ntersection de 2 c0uverture s est une co uverture:
5)
Si C est une couverture fine et U un ouvert de X, C
est unecouverture f~ze de U. U
....
II-9 i)
Si VI,...,V n e s t
un recouvrement propre d'un sous-espace Y, il existe un re-
couvrement propre UI, Ooo,Un de X tel que U i ~ Y
= V.l (Th~oro2). Si r.l sent les
endomorphismes de K correspondants, on d~finira los endomorphismes r
. de YK
par ry, i(Yk)_ = Yr.l(k), cola est licite car si Yk = Yk, on a aussi Yri(k ) = Yri(k~ ),
(ri diminue les supports). Les conditions du eomplexe fin
sent r~alis6es. 2)
I1 suffit de remarquer que si y ~ Y,
yYK = yK~
3)
Si par exemple K est fin, on d6finit los endomorphismes r. de K o KT par I
r (k o k') = r.k o k' (ce qui est licite d'apr~s la fin du No.3)~ I
4)
I
On a x ( ~ o
K') = xK m xKt, et ce module est donc sans torsion puisque xK et
xK7 le sent, ce qui entra~ne lt absence de torsion dans M o Kt~ les autres conditions de l) se v~rifient inun~diatement, dente et du th~ore 6 de 1,Exp~ Io
2) r~sulte de 1,~galit~ pr~e~-
Enfin, si u et u' sent des unit~s de K et K~
relatives ~ F, alors u o u~ est une unit~ de K o K~ relative ~ F. 5)
r~sulte des d~finitions et du th~or. 5.1.
THEG~EME S.
Soient C une couverture, K ~
s_.~ X. Soient k ~ K uk o k
de C o K
f,k --~uk o k
et Uk6 C
complexe ~ sup errs compacts, d~finis
une unit~ de C relative 2 S(k). Alors ' lt~l~ment
ne d~pend pas de l[unit~relative choisiee I Tapplication
est un homomorPhisme injectif (dit canonique) de K dans C o K. Si
K est diff~rentiel o n a
d(uk o k) ~ u k o dke
Soit u' une deuxi~me unit~ relative 2 S(k). Alors pour x $ S(k) on a x(u' o k) = x(u k o k) = O, et pour x(u' o k) = x(u k o k) = xk,
x E S(k)
on a
d'o~ u' o k = u k o ko Comme
par un entier on a x(u k o k) / 0
xu k ntest pas divisible
si xk / O, done f e s t inJectiveo En prenant des
unit~s relatives convenables on voit tout de suite qu~elle est compatible avec les structures alg~briques en jeu~ Enfin, on a d(u k o k)
=
du k o k + u
k o dk.
Mais vu le th~or~me 6, xdu k = d~uk -- 0 pour tout x ~ S(k), dro~ la nullit~ du premier terme de droite, et notre derni~re assertion~
f est donc un homomorphisme
de modules diff~rentiels. Remarque.
Conform~ment ~ la convention introduite ~ partir du Nee 4
de IfExpol,
on suppose que A est Z ou un corps 2 en notant toutefois que la structure de A ne J oue de r61e que dans la notion de couverture.
I I - i0
5.
Exemples.
l)
Cha~nes et cog haines simpliciales d'un poly~dre
On fait du A-module des chafnes simpliciales ~ coefficients dans un A-module M un A-complexe au sens de Leray en attribuant ~ chaque simplexe comme support 1,ensemble des points qui le forment et ~ une combinaison lin~aire de simplexes la r~union des supports des simplexes qui y figurent avec un coefficient non nulj nos r@gles sont bien v~rifi6es, en particulier S(dk)~ S(k). Pour la cohomologie ies supports sont d~finis diff6remment. On attribue tout d,abord ~ chaque sommet son
~toile (ferm~e) dane la subdivision barycentrique,
c,est-~-dire l~ensemble des simplexes de la subdivision qui ont ce point comme sommet, ~ un simplexe on fait correspondre 1,intersection des supports de ses sommets et ~ une cochafne la r~union des supports des simplexes (au nouveau sens) sur lesquels elle prend une valeur non nulle, ce support est ferm~ si le poly~dre est localement fini~ ce que nous supposons. On a HP(xK) = 0
si
p > O, H~
X M.
En effet, les simplexes dont le support ren-
contre x sont toutes les faces dVun seul simplexe 3 on peut identifier xK aux cochalnes d,un simplexe, pour lequel le th6or~me est bien connu~ Si M = A, lee cochafnes ~ support compact forment une couverture. 2) Cocha~nes d!Alexander-Spaniero Soit M un
A-modulej tune cochalne d'Alexander-Spanier de degr6 p stir X est une
fonction fP(xo,...,xD) ~ valeurs dane M de p+l points de X. On d~finit
§ gP (~o,...,~p) ~ ~(Xo,.~.,~) § gP(xo,...,xp) (~)
(~o,..O,~p) ~ a.~(Xo,...,~p)
(~ e ~)
df comme cochafne de degr~ p+l par
(Xo,...,~§l) = Z (-1)i
~(~o,..~ ~i,o.~247
o@ (Xo,...,~i,.oe~Xp+l) d~signe la suite Xo,.~
1 priv~e de xi~
Si M e s t une
alg~ore, !e produit de fP et gq sera fPgq (Xo,.~
=
fP(xo,~
. gq(Xp, o~
o'est donc une cochafne de degr~ p+q, Nous obtenons ainsi un A-rood'ale ou une A-alg~bre oanonique, gradu~e par des degree >/ O~ supports. Pour cela on dira que x e X - S ( ~ )
Ii nous faut encore d~finir des
si x pose@de un voisinage V x tel que
II-ll fP(xo,...,Xp) = 0 quand Xo,...,Xp 6 Vx.
S(f) est ~videmment ferm4. Les cochalnes
de support vide sont donc les cocha~nes nulles lorsque les arguments sont suffisammerit voisins. Le complexe d'Alexander-Spanier des cochafnes ~ vale~rs dans M sera le quotient de l'ensemble des cocha~nes que nous venous de d4finir par les cocha~nes de support vide. Cela revient ~ dire que nous consid4rons comme identiques 2 fonctions qui prennent les m~mes valeurs sur des arguments voisins. Nous le noterons ~I;
~
est un complexe fin. Soit en effet U1,...,U n u n recouvrement
ouvert (qui n'a m~me pas besoin d'etre propre), rl(fP)
(xo,.o.,Xp)
r2fP
(Xo,..o.,Xp)
rn~
(Xo,.....,Xp)
-
~(Xo,~o,Xp)
-
•
=
si Xo ~ U2-UI'
fP
HP(x~) = 0
on d4finit
XoE UI, nulls sinon. nulls sinono
si Xo~ Un-(Ul~..oVUn_l) ,
I1 est clair que rlfP+'"+rn fp Ensuite, on a
si
fP~,
= fp
p > O,
st qus H~
nulls sinon.
S(rifP)c ~.~s(fP),I ~ M. Scit en sffst
A ~ A
dxfp = xdf p = O, cela signifie que df p est identiquement nulls dans un voisinage de x.
Si p~O,
proquement, d'o~
fP est donc constants au voislnage de x, ~gale ~ re@M, et r~clH~
~
M, la classe de H~
correspondant 2 m ~ M ~tant
cells qui contient la section par x de la fonction constants sur X ~gale ~ m. Si
p > O ~ d~finissons gp-1 par p-I
g (yo,...,yp.al #(X,yo,...,yp_l o En explicitant dfp = O, on verra que dans V s fP
=
dgp-l, donc xf p = xdg p-1
x
est un cobord. Enfin si M = A, la fonction ~gale A I sur un compact F, ~ 0 en dehors, est une unit4 relative pour F, et comme KA est 4videmment sans torsion, ses 414merits h support compact forment une A-couverture fine. On verra de m~me que les fonctions ~ valeurs r4elles ~ supports compacts qui sont continues pour l'ensemble de leurs arguments forment une R-couverture fine (pour d4montrer "fine", on utilisera une partition continue de l'unit~ fl,...,fn et ri(fP) sera le produit de fP par fi ) . En prenant darts une vari6t4 de classe Ck des partitions diff4rentiables de l'unit~, on verra que les cocha~nes de classe Ck forment aussi une R-couverture fine. R~sumons tout cela darts le
I I - 12
THEGREME 9.
Le complexe s~par~ ~
des cocha~nes d,Alexander-Spanier ~ valeursdans
le A-module (A-alg~bre) M est cangni~ue fin (avec prodult~, gradu~ par des degr~s
De plus H(xKM)
M.
A d~si6nant u n cor~s ou llanneau Z,
K~ est une A-couverture fine~
Les cochafnes d'Alexander-Spanier ~ valeurs r~elles continues et ~ Supports compacts forment une R-couverture fipe~ de m~ne que les cochaines ~ supports comPaCts de classe Ck dans une varigt~ de classe C k. S~ Cocha~nes altern~eso En supposant bien ordonn~s les points de X
0
par une relation <
ca peut se borner
consid~rer les fonctions #(xo, o..,x ) ~ d~f~nies lorsque xo< XlK ....(Xp, ou ce qui revient au m~me les fonctions l~(Xo, ...,xo)~ antlsymetriques, et nulles
si
2 arguments sont identlques. On d~flnira le preduit (sill y a lieu) ccmme en cohomologie simpliciale. Is complexe ainsi obtenu v~rifie un th6or&me analogue au th~or~me 9, qui se d~montre de la m~me fa~on que ce dernier (cf. K2~, Nos.16 & 38). 4) Cgchai~es singuli~res. On renvoie ~ 8.Eilenberg, Annals of Math.45, 407-47 (1944) et 48, 670-81
(47),
pour les d~finitions relatives ~ 1,homologie singuli~re. Rappelons simplement qu,un simplexe singuller de dimension p de X est une application continue T $ sP~x d'un simplexe de dimension p de 1,espace euclidien dans X. Une cocha~ne singuli~re de degr~ p ~ valeurs dans M sera une fonction ~ valeurs dans M des simplexes singuliers de dimension p~ de s~ s~ M est une alg~bre
d/P (sp+l) sera 6gal ~ la valeur de f sur le bord ~gq
(sp+q) sera ~gal ~ la valeur de ~
sur le p-sim-
plexe dgtermin6 par les p+l premiers sommets de sp+q par la valeur de gq sur le q-simplexe dgtermin~ par !es q+l derniers sommets. Soit CS~ de ces cocha~nes.
le module (ou alg~bre)
H(CS~) est le module (alg~bre) de c ohomologie sin~uli~re de X,
valeurs dans M. D~finissons maintenant les supports. On dira x~ X-S(fp) s i x a un voisinage Vx tel que ~
soit nulle sur tous les simplexes slnguliers contenus dans V . Le quotient x de CS~ par les cocha~nes de support vide sera le complexe des cochafnes slnguli~res de X ~ valeurs dans M, not@ CSM. On d~montre que ithomomorphisme naturel de CS~ sur CSM est un isomorphisme de H(CS~) sur H(CSM);
(cf~ H. Cartan, S~minaire de I'E.NoS. 48-49, Expo VIII).
Nous it admettrons icio
II - ]3
C8M e s t un complexe fin (m~me d~monstration que pour ~ ) , mais on n'a p~s forcgment H(XCSM) ~ M~ c'est cependant vrai si X est un espace HLC
(cf. Ho Cartan, lOc.cit.,
Exp. XIII, P.3 ct ExpoXIV, d~but)o Sans reproduire la d~monstration~ mentionnons q u ' ~ espace est HLC si pour tout point x~ tout voisiuage V de x p>10
et
tout entier
i l existe un voisinage V
de x tel que ~ pour p=O, tout point de V peut p o @tre reli~ ~ x par un arc de V (i.e. X est localement connexe p~r arc), pour p > 0 ! tout cycle singulier de dimension p contenu dane V
est bord d,une chalne P
singuli@re contenue dane V. 8i C ~
et C8~* sont lee ~16ments 2 supports compacts de C8 et CSt on montre aussl
que H(CS~) ~ H(CS~*)~ ce dernier d~flnit la cohomolcgie sin~uli~re ~ supports compacts de X, ~ valeurs dane M. Dane une vari~t~ diff~rentiable de classe C k on peut introduire la notion de simplexe singulier de classe C k. I1 est d~fini par une application continue f ! sP-~x
qui peut ~tre prolong~e ~ un ouvert contenant sp e n une application
de classe C k au sens usuelo Une cochai~le s~nguli~re diff~rentiable ~ valeurs dane M sera une fonction d~finie a priori uniquement sur lee simplexes singuliers diff~rentiableso 0~ en forme comme pr~c6de~ment un A-module ~ supports CS~ k et uu cornplexe s~par~ cam~
associ~. De nouveau
H(CS~ K)
~
H(CSM~)~ st de m~ne pour lee
~l~ments ~ supports compacts~ C8k
est un A-complexe canonique fin (re@me d~monstration que pour ~ ) , et de plus
H(xCS~) = H~
~ M.
Ici, en effet, X est HID (~ vrai dire, il faut un peu
modifier les d~monstrations que l~on fait pour la cohomologie singuli~re usuelle de mani@re ~ ne pas sortir du diff~rentiable). THEOREME iO.
Finalement on a l e
Le complexe s~par~ CSM des cocha~nes singuliSres ~ valeurs dane le
A-module M e s t un A-complexe canonique fin ~radu~ ~ar des degr6s ~ O~ isomorphe au module (~ig~bre) de cohomolo~ie singuli~re de Xo HLC,
H(XCSM)
=
H~
~ M et C ~
Si X est
est une A-couverture fine.
Dane une vari~t~ de classe C k le complexe s~ar~ CSk diff~rentiables . . . est . canonique fin et H(xCSk) = (CSA)* e st une A-couverture fine~ C ~
H(CSM) est
des cocha~nes sing uli~res
_-~k ~ M. En . p.artlculier, .... H o (XC~M}~
a m~me cohomolo~ie que le module de toutes
lee cochafnes sin6uli~res diff~rentiables.
I I - 14
Les ~l~ments ~ support S compacts de CS~ dora@me pour CS~k et 5)
CS k
e_~t CSM fournissent la m~me cohomologie,
(si X est une vari~t~ de classe ck).
Formes diff~rentielles ex+~rleures sur. une v ari6t~ diffgrentlable.
Elles ferment somme on salt une R-al~bre dira que
canonique. Soit w une telle forme, on
x g X-S(w) si w est identiqu@ment nulls au veisinage de x.
S(w) est
ferm~ et llensemble des formes diff~renhiellss munies de ces supports forme un R-complexe canonique que nous noterons ~
.
I1 est fin (pour le voir, utillser i
des partitions diffgrentiables de 1,unit6), sans torsion, gradu~ par des degr~s 0 et muni d,un ~l~ment neutre ~ suppcrt ~gal ~ X : l~
Enfin on a
H(x~ )
que dons un vo!sinage V boule
ouverte de R n.
X
~
H~
)
~
la fonction constante ~gale
R. En effet d ~ p ~ xdwp ~ 0 signii~le
de x d~p ~ Oj cn pout supposer que ce voisinage est une
Sip
~ 0 cela sigr~fle que w p e s t
l'on d~duit facilement que H~
~ )
w p'I telle que w p ~ dwp-I dons V
~ R. Si
constante dans Vx, dro~
p > O, il existe dons Vx une forme
(d,aprSs ce que H. Cartan appelle le lemme de X
Poincar~ et E. Caftan la r~ciproque au th6or~me de Poincar~L).
Soit enfln f une
fonction diffgrentiable nulls en dehors de Vx, et 6gale ~ 1 sur un voislnage V* de x contenu dons V o
est alors ~ne forme diff~rentielle d6flnle sur tout
X
X st darts V* on aura encore w p ~ un cobord et H p(x ~ ) THECREME Ii.
d~w~o l, dons
xw p ~ xdf~ p-1 ~ ~ l
est blen
= 0 sip >0.
Los formes diff6rentielles exterleu~es ~ supports comoacts d,une
varlgt6 forment une R-couvert~re f.~ne antico.~mutative.
Expos6 III
i.
LE T H E ~
:
HRDAMENTAL
2 lemmes de passage du local au global.
LEMME I.
Soit f u n homcmqrphisme d,uncomplexe fin K: dans tun complexe K ~ supports
compacts qui induit pour tout x un isomor2h~sme fx
de xKt sur xKo
Alors f e s t un isomorp.hisme de El sur K. Si
xE S(k'), alors xE S(f(k,)) puisq~ f
est un is~norphisme donc f conserve les X
supports et est un isomorphisme dans~
il reste ~ voir que c~est un h~nomorphisme
surjectif . Soit k ~ K , nous avons 2 trouver kY~K, tel que k = f(k,)~
f
~tant un iscmorphisme,
X
il existe en tout cas pour tout x k'-CKt
tel que
X
ainsi, x ~ S(k-f(kx) ) et comme ce dernier est fermi, il existe un voisinage V x de x sans points communs avec
S(k-f(k~))
yfk'
~ yk
donc
pour y E V
X
on peut supposer V
c~pact i
X
S(k) ~tant c~npact on peut trouver un nonbre fini
X
de points xl,~.,x n tels que VxlV V x ~ V. = V i
k! x i'
= k
i
..~
~
, donc
S(k) nous poserons
n
xi
yk Soit encore V
-
yf(kl)
pour
tel que V o ~ V I ~ o..~Vn
O
yeV.l
(i = l,...,n).
- Xj VoWS(k)
~
~B posant k'o ~ O on
peut ~crire (i)
yk
=
yf(k[)
pour
yEq i
(i variant de 0 ~ n).
Soient r.l los endomorphismes de K' correspondant au recouvrement Vo, O~.,Vn (qui est propre)3 r. diminue les supports, donc si
yf(k')
~
yf(kJt) on a aussi
i
y(f(rik'))
yf(rik,,), on d~finit donc sans ambiguit~ un endomorphlsme s de y,i yK en posant Sy, iYk -- yf(rikt ) lorsque yk - yf(k'). Evlde~ment s + ..+s y,O " y,n est llldentit~ et de plus il importe de remarquer que Sy, iYk = O si y $ ~ i ' car dans ce cas (2i)
~
S(f(rik,)) Sy, iYk
=
S(rik')~ V i ne rencontre pas y~
~ yf(rik'i)
pour
y e ~i
O~ tire ensulte de (I)
III- 2
si maintenant y ~ ~i' le ler membre est nul d,apr~s ce que nous venons de dire et il en est de re@me du 2~me membre puisque rik.~
a un support contenu dans V i.
Par consequent (2i) vaut pour y quelconque. Posons k~
=
ro ok~ + eo. + rn nk~ et
aJoutons ~es ~galit6s (2i) membre ~ membre il vient yk ~ yf(k,) donc y(k-f(k,))
=
0
pour tout y,
pour tout y ~ X k-f(k') a un support vide et est nul (ar~ome
des complexes), donc k ~ f(k')~
2o
Soit C une couverture, K ~
com21exe fin ~ supports compacts. Alors
l'homomorphisme canonique de K darts C o K (cf. Th~or.8, Exp. II) induit un isomorphisme de H(K) s_~ H(C o K). A premiere vue, ce lemme ne semble pas formuler un passage du local au global, mais pour l'interpr~ter de cette fa~on, il suffit de remarquer que xu ~tant non divisible par des entiers, lthomomorphisme f
s xK-@ u
X
m xK Induit dVapr~s le th~or~me 6 X
de l'expos~ I un isomorphisme de H(xK) sur H(xC m xK)
~
H(x(C o K)) et c,est
bien un passage de cet isomorphisme local ~ un isomorphisme global qui est 1,obJet du lemmej il y a du reste int~r@t ~ comparer les d~monstrations du th~or, pr~cit~ et de ce lemme, qui en est en quelque sorte un analogue topologique. Soit ~
la "d~riv@e partielle" par rapport 2 C, c,est-2-dire dl(C o k) = dc o k
(c,est bien un endomorphisme de complexe d'apr~s le No. 1). La d~monstration se divise en 2 parties: l~re partie. ~-cobord
Nous voulons montrer qu,un ~-cocycle de C p o K est # si p ~ 0
(forcement d'un ~l~ment de C p'I o K), s i p
un
= 0 de la forme t~ o k
(uk unit~ relative ~ S(k)). On peut identifier xC m ~
2 x (C o K),
f
devenant naturellement llappllcstion X
xk --~ u
m xk,
(u
X
unit~ de xC)~
xC v~rifie toutes les hypotheses impos~es ~ E
X
dans le th~o~. 6, Exp. I, et l'on peut appliquer la premiere pattie de sa d~monstration~ si h est un ~-cocycle, sip
il en est de m~me de xh I doncs
= 0 : il existe k(x)~ K tel que xh = u
m xk(x) = x(u(x) o k(x)) ou~ u(x) X
est une unit~ relative ~ S(k)US(k(x)) si
p~
0 : il existe m(x) E C p-1 o K
tel que xh = dl~m(x ) = xdlm(x ).
I1 en r~sulte donc yh
= y(u(x) o k(x)),
resp.
yh = Ydlm(x )
III - 3
lorsque y parcourt l'adh6rence V(x) d'un voisinage relativement compact convenable de x;
C o K ~tant ~ supports compacts, on pout faire une construction analogue
celle du lemme precedent : on prond Xl, o..,x n tels que " " on pose V,I = V(xi)' k~l = et que V o U V l V
~
k(xi)'
mi
= m(xi)'
on choisit V
o
tel que V 0
= m
= X et on pose enfin k n
V ( X l ) V . . . v V ( x n) = S(h), AS(h)
=
O
= 0. On a alors, en dAsignant O
par u une unit@ relative ~ la r~union des S(kl) yh = y(u o ki) ,
resp~
),
yh = Ydlmi,
(i
o,...,n).
Soient r i les endomorphismes de K correspondant au recouwTement V .
On les fait
i
op~rer sur C o K par ri(c o k) = c o ri(k), et a!ors r i co~mute avec la d~rlv~e partielle ~ .
On a ensuite si
p = 0 ,
Yrih
= y(u o ri(ki) )
p > 0 :
Yrih
= Yri(dlmi) =
Mais ri(h), ri(~mi)
et
( Y E ~i'
Ydl(rlmi)
ri(ki) ont leurs supports dans ~i' donc les 2 membres de
chacune de ces 2 6galit6s sont nuls si y ~ Vi' quelconque 3
en sommant on en tire s i p
k = r k + ..~ + r k oo nn m =r~+ ~.@ + r m 0
dlo~
0
Iln
h = u o k resp~
2~me partie :
i = 0,..o,n).
~ 0 :
sip>0
|
elles sont donc valables yh ~ y(u o k)
aveo
yh = Ydim
avec
pour
y
J
h = ~m
il suffit de montrer
I)
tout cocycle de C o K est cohomologue ~ un 6!&ment u o k,
2)
Si u o k est cohomologue ~ z~ro dans C o K,
k cocyole de K.
k l'est dans K.
La d6monstration se fera exactement de la m~ne fagon que celle de la 2~me partie du th6or. 6 de l'expo I, par r6currence sur le poids et elle ne sera pas ~taill6e ici. Pour #tre assur6 que l'on est dans la m~me situation alg&brique, il faut encore relever que C o K est somme directe des C p o K (Expo II, th~or.4), que k-~u
o k
est bitmlvoque (Exp. If, th&or. 8), et que pour h = u o k,
&quivaut ~ dk = 0 (ExpoII, th~or. 8).
dh = 0
IIl-
4
2. Le th@or~me fondamental. TEEOREME. Soient CI, C 2 deux A-couvertures fines. Alors H(CI) et H(C2) sont isomorphes. Plus ~@n@ralement si M est un A-module H ( C l @
M) e_~tH(C 2 @ M) sont
isomorphes~ par un isomorphisme respectant le produit si M est une al~$bre. Z1 suffit d'appliquer le lemme 2 aux homomorphismes canoniques CI ~
CI o C2
~
C2
d@finis au moyen d'unit@s relatives, pour obtenir la l&re assertion. D'apr~s la Prop.l, Exp.II, K m M (K fin & supports compacts), est l'intersection de K et de ~, ce dernier @tant envisag4 comme complexe dont les @lements non nuls ont l'espace entier comme support. On forme le diagramme C1 O M ~ C2 OM
C2 o
i' ----r C 2 o
(c I|
(c 2 o c l) | M 2'
(C 1 @ M)~,---- (C 2 o C l) |
M
l, l' sont les homomorphismes canoniques, ils induisent des isomorphismes pour les modules (ou algSbres) de cohomologie d'apr&s le lemme 2. 2, 2' sont des isomorphismes d@finis de fagon @vidente. Enfin 3 est associ@ ~ l'identit@ sur M et ~ l'isomorphisme c p o cq--~(-1)Pqc q o c p. Toutes ces applications d@finissent donc des isomorphismes pour la cohomologie~ d'oG notre assertion.
Remarque s. l) H(C1) et H(C 1 | M) ne d@pendent que de l'espace et de M, et non de la couverture fine choisie, nous les d4signerons par H(X,A) et H(X,M) respectivement. On verra dans l'expos~
IV que H(X,M) s'identifie au module (ou ~ l'alg&bre)
de cohomologie d'Alexander-SPanier ~ supports compacts et ~ coefficients dans M. 2) La d@monstration pr@c4dente a d@fini un isomorphisme f21 de H ( C I ~ H(C2~
M) sur
M) qui est canonique dans le sens suivant: si C 3 est une troisi~me
couverture fine, alors f31 = f32 o f21" On le volt en utilisant des homomorphismes de C i o Cj, (i / j,
i,j = 1,2,3) dans C 1 o C 2 o C3; pour la d@monstration
(dans le cas plus g4n@ral de la cohomologie relative ~ un faisceau) voir No. 41.
[2]
Ill- 5
3.
I~ cup-produit.
LFA~E 3,
Soit C u n e
cp o c q --@ (-i)pq
eeuverture fine. L,automprphisme f d@fini par
cq o c p
induit l'identlt~ sur H(C o C).
Soit L une deuxiSme couverture fine. On forme le diagraz~ne
I,I,,2j2, sur L e t
C oC
I~,o
(C o C ) < 2
C oC
i' ---~.L o
2~ (C o C ) ~ - - - L
sont les homomorphismes canoniques. de f.
L
3 est le produit de l,identit~
Vu le lemme 2 les applications 1,1,,2,2,
induisent des isomor-
phismes pour la cohomologie. I1 en r~sulte imm&diatement que 3, et ensuite que f* induisent llidentit6 sur la cohomologie. En particuller, v u l e Thger. 8 de l'Exp. II, on a: 4.
S.olent c une couverture finer h u n
relative ~ S(h).
THE~ Soient
I.
Alors dans C o C on a
Soient h P E
HP(x,A),
u o h - h o u
h q ~ H q (X,A).
C u n e A-couverture fine, cp, c q ~ C
ment~ comme l'homomorphisme
cocycle de C,
canonique
=
u une unit~ de C dm
Alors hP.h q
~ (-l)Pqhqh p
des repr6sentants de hPsh q respective-
c -@u o c
de C
phisme pour la cohomologie, il suffit de montrer que
dans C o C est un isomoru o c P . c q ~ u o (-1)Pqcq.c p,
.~ signifiant cohomologue, et u gtant une unit~ relative 2 S(c p) u s(cq).
Or on
a, en u tilisant le lemme 3 u o cP.c q
=
(u o cP).(u o cq ) ~ ( c p o u).(u o cq)
(-1) pg cq o cp (-I) pq
THEOREME 2. Soit
=
(u o cq~c p)
~s
h~HP(x,A)
(-1)pq =
"
(cq o u).(u e cp ) ~ ( - 1 ) pq
cp o c q (u o cq).(u o cp)
u o (-i) pq cqoc p.
~l~ments de de~r~ strictement 2ositif de H(X,A) sont nil~otents. (p > O ) J
~ montrer~ il existe un entier s tel que h s
(naturellement, s d~pendra en g~n~ral de h).
= 0
III
Soit
c ~ C
tout
xE
-
6
un repr~sentant de h daus une couverture fine. Par consequent pour
X, xc est un cobord, donc
xc = Xdmx
ou x(c-dmx) = O, c,est-~-dire
que h contient un cocycle ne rencontrant pas x.
Soit donc pour x quelconque c x un cocycle de h ne rencontrant pas x. L11ntersection des Cx, x parcourant X, est vide et c o m e les c sont ~ supports compacts, il y e n x it intersection est vide. Soit donc
S(cxl)~ C
4.
eeo
...~S(c C
x ) S
= 0
= r
donc
S(c
ce qui implique
hs
Xl
a d~j~ un nombre fini dont
c.o.C ) XS
a
= ~,
d'o~
O.
Un troisi~me lemme de passage du local au global.
Ii arrive frgquemment dans les applications que l'on ait des homomorphismes naturels de couvertures fines et il importe de savoir que ces homomorphismes induisent des isomorphismes pour la cohomologie, ce que le th6or~me d,unicit~ ne permet pas d'affirmer. CWest principalement pour cela que nous utiliserons le LEM~E 5.
Soient K', K deux complexes fins ~ supports compacts~ ~radu6s par des
>~OJ on suppose mque pour tout x, H~
,)
HP(xK ')
= H(xK)
= O
(p > 0 )
et
=~ H~
.Soit f un homomor2hisme de K, dans K induisant pour tout x un isomorphisme de H(xK')
sur
H(xK).
Alors f est un isomorphisme de H(K')
sur
H(K).
Nous n'~crirons pas en d6tail la d~monstration, qui n'exige pas d'id~e
nouvelle.
Soit C une couverture fine, on notera aussi f l,homomorphisme
~C o K
associ@ ~ f sur K et ~ l~identit6 sur C. i
K'
K
-
C o Kt
Consid~rons le diagramme co~mutatifs ~
~
C o K'
CoK
i et 11, d~flnis ccmme plus haut, ~tant des isomorphismes pour les modules (ou alge~bres) de cohomologie, il suffit de montrer que l'hemomorphisme H(C o K') ~
H(C o K)
induit par f est un isomorphisme,
monstration en 3 parties.
Nous divisons la d~-
III-
7
l&re partie: l) tout cocycle de C o K est cohomologue & un cocycle de C o K ~ , 2) si un cocycle de C o K ~ est un cobord, il est contenu dans d(C o K~
de
m6me pour C o K'. Plagons-nous par exemple dans C o K, les d6monstrations seront les m6mes pour C o K', et suivant de tr~s pr&s celle du lemme 2, dans laquelle cependant il faut changer les rSles de C et K. Soit d 2 la d~riv@e partielle par rapport ~ K, done d2(c o k) = c o dk. II faut tout d'abord @tablir qu'un d2-cocycle de C o K p ( p > O )
est d2-cobord d'un
4l@ment de C o K p-1. D4signons par H 2 le module de cohomologie par rapport & d29
on a H2(x(C o K)) = H2(xC @ xK) = xC @ H(xK) th~se faite sur H(xK) il existe mx ~
(Exp.I, Th4or.7)
,donc
vu l ' h y p o -
C o K p-I tel que xh = d2xm x = xd2mx;
on passera ensuite du local au global de la m6me fagon que dans la l~re partie de la d@monstration du lemme 2 en utilisant les endomorphismes r
de C, qui, I
agissant sur C o K par ri(c o k) = ri(c ) o k, commutent avec d2, et on obtiendra mE
C o K p-1 tel que h = dim.
On @tablira ensuite nos assertions en raisonnant par r6currence sur le poids, d@fini cette fois par le degr@ en K.
2~me partie: Notons Z2 l e s
Z2(C o K '~
cocycles
par rapport
& d2~ & m o n t r e r :
f e s t u n i s o m o r p h i s m e de
sur Z2(C o K ~
Les endomorphismes de C, commutant avec d2, op&rent sur Z2(C o K '~
et Z2(C o K ~
qui sont done des complexes fins & supports compacts. I1 suffit alors, v u l e lemme I, de montrer que f e s t
un isomorphisme sur leurs sections par chaque
point. Admettons pour un instant, (cf. lemme 6), que: (1)
xZ2(C o K') = Z2(x(C o K')),
xZ2(C o K ~ vule
= Z2(xC |
~
th~or. 7 de l'exp. I e t
xZ2(C o K '~
= xC ~ H~
sections par x.
xZ2(C o K) = Z2(x(C o K))
= xC@Z(xK ~
alors
= xC @He(x/<)
le fait que K n'a que des d e g r ~ s ~ O .
De mgme
') et f est alors bien un isomorphisme pour les
III- 8
3~me pattie : il suffit de montrer que f est un isomorphisme
b)
B(c o K' ~
(c o
sur
B(c o K ~
Z d~signe les cocycles, B les cobords.
=
O.
Or, dh, ~ C
imm~diat que ddh, dh, =
0
= ~dh,
et
d~o~
(c o
tel que
f(dh,)
=
Alors h e
Z2(C o Ko),
h = f(h'), il reste ~ voir que
dh =
O, comme ~ h '
dh, ~ Z2(C o K '~
et
f(dh,)
= 0 il est = 0 implique
(2~me partie).
Soit h ~ B ( C ~m
o K, ~
de Z(C o K'~ sur Z(C o K~
Soit h E Z(C o K~
donc il existe un seul ht ~ Z2(C o K '~ dh,
a)
= O~
o K~
ainsi m
f(h'-dm')
=
et ~ d m l
=
~
= f(m,)~
O, d'oG ddmt
(C o K~
=
h'
donc h = d m
m&
m' E Z2(C o K 'O) =
dm,~ car
C o K~
(l~re partie), et
et
dm' ~ Z2(C o K'~
vu ~ m '
=
0
O.
Nous avons admis en cours de d~monstration le L ~ N E 6.
Soit K un comp!exe fin. On suppose que les endomorphismes r i correspon-
dant ~ un recouvrement proPre quelconque commutent avec la diff~rentielle. Alors
z(xK)
=
o(x )
xO(K).
xZ(K) est ~videmment contenu dans Z(xK)~ soit invers~ment xk ~ Z(xK), il faut montrer que xk = xk,, avec
dkt = O.
On a dxk = xdk
voislnage V 1 compact de x tel que V I ~ S ( d k )
= ~.
-- O, il exlste donc un Soit V 2 un ouvert dont l'adh~r-
ence ne contient pas x et formant avec V 1 un recouvrement propre de X~ et soient rl, r2 les endomorphismes correspondantsde K. xk = Xrlk ,
dk = drlk + dr2k.
S(drlk)
S(rldk ) ~ V 1 ~ S(dk) = ~
=
On a k = rlk+r2k ,
Mais par hypoth~se drlk = rldk , doric doric drlk = O.
On peut alors prendre
k' = rlk.
D@monstration analogue pour la 2~me ~galit~ du lemme 6.
Remarque.
La d~monstration du lemme 5 est plus compliqu@e que celle des deux pre-
miers lemmes du passage du local au global. Cela tient au fait que 1,on ne dispose ici que de moyens tr~s ~l~mentaires. En falt le lemme 5 est cas particulier d,une assertion qui se d~nontre plus simplement ~ ltaide des faisceaux et de italg~bre spectrale, et qui sera ~tablie au No.7 de lIExpo VI.
III - 9
Compl~ment au !emme 5 Ii est relatif au produit~ supposons que K I e t K soient des alg~bres differentielles et que pour les ~l~ments de degr~ O
f respecte le produit, Alors 1,iscmor-
phisme H(K') -->H(K) respecte le produit d~l@ments de de~r~s quelconques. En effet dans le tableau K' --* C o KI
K
~CoK
Les homomorphismes horizontaux, qui sont des isomorphismes pour la cohomologie, respectent ~videmment le prod~it. II suffit donc de voir que fl
H(C o K,)
~
H(C o K) est multiplicatif;
f:
C o K'~
o K ~ respecte
naturellement le produit, il en est donc de re@me pour l, isomorphisme: Z(C o K '~
--* Z(C o K ~
induit par f, d'o~ l'assertion en vue, puisque ces
2 sous-alg~bres contiennent des repr~sentants de toutes les classes de cohomologie.
Expos6
IV :
APPLICATIONS
ET
CG~PLE~ENTS
I. Cohomologie d tAlexander-Spanier. Soient ~
le complexe s~par~ des cocha~nes d'Alexander-Spanier sur X, ~ valeurs
dans M, qui est une alge~bre si M en est une, et ~
ses ~l~ments ~ supports compacts~
est un complexe fin canonique, gradu~ par des degr~s>/ 0 (ExpoII, Th~oroS). Soit ~
F~, en faisant correspondre au couple (fP,m), o~ m E M, la cochalne de
d~finie par ~(ao,.o.,ap) = fP(ao,.O.,ap)om
on d~finit une application billn~-
aire de ~L(K~,M), notations de l'Expo I, dans ~ , d'o'.~par passage am quotient, un homomorphisme de K~
m M dans ~ ~
On a pour tout x,
x(K~ raM) = xK~ m M e t H(x(~ ~ M)) = H(xK~) H(xK~)
~= M
m M ~=M
(Expol, Th~or.6) st
(ExpoII, Th~oro9) et il est clair que f est un isomorphisme pour
les modules de cohomologie en chaque point. Le lemme 5 de 1.Exp.III et le th~or$me fondamental
donnent alors le :
THEOREME i.
S_~iC est une A-couverture fine~ C* l'ensemble de .ses ~l~ments ~
supports compactsp ~ un A-module, H(C* m M) est isomorphe au module de. cohomolqgie d'Alexander~Spanier de X ~ suppgrts compact s ~ valeurs dan ss M, cet isomorphlsme respectant le produit si M est une alg~bre. En particulier, si A est un corps, il r~sulte de la formule des coefficients universels que H(~) = H(K*)
n
M.
On a un th~or~me analogue pour les cochafnes altern~es ~ D,autre part ~
est un sous-complexe de ~
~ valeurs dans M.
mais si M est une algSbre, cette
injection ne respecte pas le prodait (qui dans ~
est dgfini ~ llaide drun bon
ordre des points de X, comme le cup-produit simplicial)~ sau~ cependant sur les gl~ments de degrg z6ro. Cette injection induit donc un isomorphisme sur les alg~bres de cohomologie, c om~tible avec le produit, en vertu du compl6ment au lemme 5, Exp. III. Cohomologie dlun sous-espace.
Soit C une couverture fine de X, et Y ~ X, alors
la section YC est une couverture fine de Y (Exp.II, Th~or. 7 H(YC*) donne la cohomologie de Y. YC n'est pas l'ensemble KA (Y)
l) & 2) ), donc
Si C = KA est le complexe d~A!exander-Spanier,
des cochalnes d:Alexander~Spanier de Y, ce dernier
est un quotient de YC. En effet en faisant correspondre ~ une cocha~qe de X sa
restriction ~ X on a un hom~norphisme de KA clans KA(Y ) qui est ~videmment sur et dent le noyau est 1,ensemble des cocha~nes de X nulles lorsque lss arguments sent des points suffis~ent KA
~ YKA
voisins mais situ~s sur~ ~ par centre le noyau de
est l'ensemble des cocha~nes ~ supports dans X-Y, donc nulles quand
leurs arguments sent suffisamment voislns d~un point de~ , il est donc contenu dans le noyau de
Suite
KA
) KA(Y ),
exacte de cohomplo~ie ~ supports campa ctso Coh~nglogie re~ative.
Solent F u n sous-espace ferm~ de X,
C une A-couverture f~ne de X, CX_ F
l~ensemble
de ses ~16ments 2 supports clans X-F~ C~est dcnc le noyau de la section par F. Soit encore M un A-module. Alors la suite ~)
O-~Cx_ F
m
M--~
FC ~ M
C m M
--~ 0
est exmcte. D~monstration: ac ~ CX. F
co,me C est sans torsion, l,~galit~
(aEA,
a~O,
c ~ C)
entraine c ~ CX_F, par consequent, si B e s t un
sous-module de type fini de C, ltintersectlon CX_F~B l'application de
(Cx_F ~ B )
l'application de CX_ F Chap. I I I w 1
I
M
w M
dans B m M
est un facteur direct et
est de noyau nul.
dans C ~ M est de noyau nul
ll en r~sulte que
(cf. Bourbaki, Alg.
Nee3).
II est clair que CX~ F m M est contenu dans le noyau N de C ~ M--~FC m M~ Si
x ~ F , on a xN = O, si x ~X-F, on a X(Cx_ F m M) =
XCx_ F ~ M = xC ~ M donc CX_ F m M C ~ M -~FC
=
x(C ~ M)
- xN
(on a utilis~ Iss th~or.4 et 5 de l'expoIl),
= N dTapr@s le lemme 1 de l~exp. III. x M
Enfin, il est ~vldent que
est surjective.
D'apr~s le th~or. 7 de l,Exp. II,
CX_ F
et FC
sent des couvertures fines de X-F
et FC respectivement. On d~duit donc de (1) d'apr~s le proc~d~ standard une ~ i t e exacte pour la cohqmologle 2 supports compacts (2) -~ ~(X-F,M)--y ~(X,M)
~
Hi(F,M)--~ HI§
>
Cette suite exacte ne d~pend pas de la couverture fine choisie. Plus pr4cis~ment solent C i (i = 1,2) deux A-couvertures fines,
(1)i la suite exacte (1) o~ C est
remplac6 par Ci, et (2)I la suite exacte d~rlv6e de (1)i. Alors ll y a un !somorphisme canc~ique de (2)1 sur (2)2. Pour Is volr on consid~re C I o C2~ c,est une
IV-3 couverture fine de X. D'autre part, en utilisant les th~or~mes 4s5 de l'Exp. II et le lemme i de l'exp. III on voit que C1,X_F FCl
o C2,X_ F
,"
(CI o C2)X_F
o FC2
-
F(cI
o
c2)
d' oG une suite exacte (3)
O-,CI,X_ F
o C2,X_ F m M --~C1 o C2 x M
~FC I
o FC2
~ M -#0.
En utilisant des unit~s relatives on dgfinit de fagon ~vidente un homomorphisme de (1)i dans (3) qui induitun isomorphisme pour la cohomologie d,apr~s le lemme 2 de l'Exp. IIl, d'o~ finalement un iso~orphisme de (2)I sur (2)2. Consid~rons le complexe ~
des cocha~nes d.Alexander-Spanier de X, ~ supports
compacts. Par restriction ~ F on d~finit un homomorphisme de ~
dans ~
qui est
~videmment surjectif~ Son noyau Kt est form~ des cocha~nes nulles lorsque les arguments sent sur F et voisins d'un point de F, il contient donc ~ - F
(car ce
dernier est form~ des cocha~hes nulles lorsque les arguments sent voislns dans X dlunpoint de F) et on ale diagramme commutatif, o~ les lignes et colonnes sent exactes: 0 0
-
>
KX_F
o ~
~(,
0 ---~
~
KX
~
--~
~
0
FKx
>
0
Kx/K, - . >
o
0
d'o~ le diagramme commutatif suivant, oGles ]Agnes sent exactes. HP(Kx_F) ~-~ HP(Kx)---~
~Ip
- - ~ HP(Kt ) ~ - ~
12p
HP(Kx) ~
HP(FKx) ~
~3p
HP(Kx/K')
HP+I(Kx_F )
llp+l
,> HP+I(K , )
~.
IV-4
Du lemme 5 de l'Exp. III on d@duit que 3p est un isomorphis~e: comme il enest @videmment de m@me pour 2p,
l'application lp est un isomorphisme d'apr~s le
"lemme des cinq". D'autre part, H(K')
est par d@finition la cohomologie
supports compacts relative de X mod F, que nous noterons H (X mod F; M). Lorsque X --
--
C
est compact c'est la cohomologie relative usuelle. Finalement nous avons le THEOREME 2.
Soient X un espace localement compact, F u n sous-espca ferm@~ Alors
Hc(X mod F; M) s'identifie ca~oniquement ~ H(X-F, M); on a une suite exacte ---@ HP(x-F,M)
~ HP(x~M)
) HP(F,M)
~
HP+I(x-F~M) --@
qui s'identifie ~ la suite e xacte de cohomolog~e 2 supports c0mpacts relative. En particulier, si X est compact on voit que la cohomologie relative d,un compact modulo un ferm~ est un invariant de itespace difference@ Le fait que cela vaut aussi pour X nca compact lorsque l'on consid~re la cohomologie ~ supports compacts relative m'a @t6 sig~l~ par E~ Spanier. On sait que cela est faux lorsque llon prend X non compact et que It on consid~re la cohomologie relative usuel!e. Espace de dimensions f~ule~o
Pour la th~orie de la dimension, on renvoie
Hurev~cz-Nallmann, Dimension Theory, Princeton 1948. Un espace X de dimension n, est hom6c~orphe ~ un sous-espace de R 2n+l form~ de points s6parable metr~que, " ayant au plus n coordonn~es ratlonnelles (loc~cito p.64). r~me, on peut construlre (cf. 52S,
Se basant sur ce th~o-
une Z-couverture flue de X dont les degr@s sont ~
n
No@40) et nat~rellement si A est un corps C ~ A sera une A-couverture
fine ayant la re@me propri6t~. On a donc le THE ~0REME 3.
Un espace loca!ement compact s~parab!e m~trique de d~mensi0n ' n a un~e
A-couverture fine &~nt les de~r~s sont _~- n.
En ~articulier pour la cohomq!ogle
d,Alexander-Spanier ~ supports co~pacts, ~(X,A)
=
O
s_~ii ~ n~
La derni~re assertion vaut aussi pour la cohomologie d'Alexander-Spanier ~ supports ferm@s quelconques. 0nne sait pas si une proposition analogue est vraie en cohomologie singuli~re.
(Eilenberg, On the problems of topology, Ann.Math. 50,
247-60 (50), Probl. 22).
2.
Cohomologie singuli&re des espaces HLC.
Soit CS M le complexe (s4par@) des cocha~nes singuli~res de X ~ valeurs dans M. En faisant correspondre ~ une cocha~ne d'Alexander-Spanier sa restriction aux (p+l)uples de points qui sont sommets d'un simplexe singulier de dimension p e n d4finit un homomorphisme de ~ est une alg~bre. ~ HLC,
H(xCS~)
=
sur CS M e t de ~
et CS~ H(XCSM)
sur CS~, compatible avec le produit si M
sont fins ~ supports compacts. Si maintenant X est ~
M e t est de de degr4 0 (Exp.II, Th4or.9) et il est clair
que f est un isomorphisme sur pour los modules de cohomologie en chaque point, le lemme 5 donne THEOREME 4.
S_~iX est localement compact HLC, M un A-module, il y a un isomorphiame
naturel de sa cohomolo~ie d'Alexander-SDanier ~ suDDorts comnacts sur la cohomologie s~p,~uli~re ~ supports compact~ (routes deux @tant prises ~ valeurs dams M), compatible avec le produit si M e s t une alg~bre. N.B.
Ce th~or&me vaut aussi pour la cohomologie k supports ferm4s quelconques.
Soit maintenant X compact HLC et A un corps; notons H(X,A) le i-&me groupe d'homoi logic singuli&re de X ~ valeurs darts A, Hi(X,A) son i-~me groupe de cohomologie (singuli&re ou de Spanier-Alex8nder). Nous voulons d@montrer le THEOREME 5.
S_~X est compact HLC, ~(X,A) a un nombre fini de g4n4rateurs
(i q uelconque,
A = Z
ou tun corps).
(En fait, si l'on utilise la r~gle de ~ttnneth, on voit qu'il suffit de d4montrer le th4or~me pour Z.)
D4signons par SA l e module des cha~nes singuli~res de X
coefficients dans A, posons
CS~
= Hom(SA,M) et d4signons par CS M le complexe
s4par6 des cocha~nes singuli~res, c'est un quotient de CS~ et comme nous l*avons rappel4 dams l'Exp. If, p. ll, la projection de CS~ de H(CS~) sur H(CSM).
sum C ~
est um isomorphisme
On a un homomorphisme 4vident de CSi m M dams CS~
(m~me
d6finition que pour los cocha~nes de Spanier-Alexander, Exp. IV, No.l) qui passe aux quotients, d'o~ un diagrsmme commutatif 3
csi
%
.
r.T
> CS,~,~
IV-6 CS A est icl ~ne A-couverture fine, on pourra appliquer le lemme 5 de l~Expo III et ainsi 4 est un isomorp~hlsme pour !a cohomologie, comme 1 et 2 le sont aussi, il en est de m~me de 3~ Nous avons donc un iscmorphisme 9
H(Hom(SA,A)
m M) 4 -~*-
> H(Hom(SA;M)) = H(X,M)
Disons qu~un ~l~ment de Hom(SA~M) e s t de type f i n i s i !~ensemble de ses v a l e u r s sur SA e s t un module ~ un nombre f i n i de genera~eurs. L.image de 3 e s t ~videmment 9
9
4-
fortune des ~l~ments de Hom(SA~M) qui s o n t de type fL-Zto Tout cocycle de Hom(SA~M) f o u r n i t , come on s a l t # un homomorphlsme de Hi(X~A ) d a n s M d~o~ l~on d~duit ~m homomorphisme de ~(X,M) dans Hom(Hi(X,A)~M ) qui e s t m~me s u r j e c t i f formule des coefficients universels, (ici Hi(X~A ) d~homologie singuli~re ~ valeurs dans A)o
~
d~apr@s l a
Hi(SA) est le i~me groupe
Par consequent, v~ 3*, Hom(Hi(X..A)#M)
~_e contient qu? des homomgrphismes de ~.)Te fini.
En particulier si M ~ Hi(X~A),
l~homomorphisme identique doit ~ r e de type fini, donc H. (Xo~A) est de type fini I
(i = %1,@@o).
I1 en sera de m~me pour Hi(X,A) d~apr~s la formule des coefficients
universe!s o 3 9 Cohomologie des vari~t~s diff~rentiables o Soit X une vari~t~ diff~rentiable de classe C k. On a un homomorp.hisme ~vident f
:
CSM--*CS M
=
cocha~nes singuli~res diff~rentiables, qui est un isomorphisme
sur des modules de cohomologie en chaque point, tous deux de degr~ 0 et isomorphes M, f est compatible avec le produit si M est une alg@bre. Par integration sur les simplexes singuliers diff~rentiables une forme diff~rentlelle d~finit une cochaine singuli~re diff~rentiable dlo~ un homomorp~dsme g $ ~ --~ CSk, qui n'est cependant pas compatible avec le produit, saul sur les ~l~ments de degr~ Oo
g est un isomorphisme pour les alg~bres de cohomologie en
chaque point, dToG par application du lemme 5 et de son compl~ment: THEOR~ I)
~
6.
Soit X une vari~t6 d•
de classe C k.
a un isomor2hi'sme naturel de la cohomolo~ie singul~re ~ supports compacts, valeurs dans M, s ~
la cohomol%ei.e sLn~uli~re diff~rentiable ~ su~ort s com-
pacts t ~ valeurs dans M, compatible avec !e pr~uit s~_ M est ~me alg~bre.o 2)
_On a ~n isomorph~sme naturel de l'a~.gSbre, de cohO_mc]o~ie des for~es ~f.f~rende coh~molo~ie uli~re tiel~es ~ supports compacts ,,. sur 1 ,al~ebre " ......... sin ~ ~._ . ~ ~ su campacts, ~ valeurs dans R, compatible avec le ~rodu[t~
orts
IV-7 N~B.
Ce th~or@me vaut aussi pour la cohomologie ~ supports non compacts. 2) est un des th~or~mes de de Rham.
4. Couvertures fines anticon~tatives. Nous admettrons ici le fait qu~un poS~@dre fini contractile en un point a une cohomologie triviale, et renvoyons ~
E2]
No~67 pour une d~monstration dans le
cadre de la th~orie de Leray (valable pour les espaces compacts cor~nexes). Etant donn~e ~ue A-couverture fine K de X, on a vu que sa section FK par un sousespace est une A-couvert~re fine de ce derr~er et ainsi, l~application induit un homomorp~sme H(X.A) cut~ p l ~
~ H(F~A)
en d~tail dans l~Expo VII, No.2~
k -~ Fk
que nous noterons i*, et qui sera disil est ind~pendant de K.
On salt que les formes diff~rentielles forment une alg@bre ant&commutative, crestS-dire dans laquelle on a la r~gle
uP.u q
=
(-l)pq
uq.up
comme dans l'alge~bre
de cohomologie. Puisque la section dlune couverture fine par un sous-espace est une couverture fine, on tire en particulier du th~or~me dtimmersion de Menger ~oloeling la premi@re assertion du: THECREME 7. (1)
Un esp~ce compact s~parable m~trique de dimension finie pc~s~de
une R-co~r
f~ne anticoz.mutative~
(2)
Solt p un nambre premier et soit A un cor~s de caract~rists
p.
Alors ll
n'est pas possible d'~itro~ulre sur tout pelySdre fini une A-couverture f~i~e antic ommutat!ve Ii nous reste ~ ~tablir (2)~
nous ccmmencerons par prouver l, assertion suivante:
Soient X un espace compact, F u n
sous-espace et supposons que X poss~de une A-cou-
verture fine anticommutative K. Alors pour tout h E H2S(F~A), hD ~ i*(II(X.A)). (Notations du 2@me alin~a de ce No).
(s entier ~
En effet, pulsque FK est
une A-couverture fine de F, il existe k ~ K tel que Fk repr~sente hJ anticommutative, et k de degr~ pair, k d(~)
~
j~
O)s
comme K est
est dans le centre de K~ dto~
pour tout entier J ~ O, et en particulier
d(kp) ~ Oo
Ainsi
est un cocycle~ il repr~sente une classe de cohomologie dont lYimage par i* est hp par d~finition, ce qui ~tablit notre assertion. Supposons en particulier que X soit le cGne sur F, donc que X soit le pro@~it de F par l'Intervalle
[0~l] , dans lequel on a identifi~ entre eux les points (f,l)o
IV-g Alors X est contractile en un point; donc a une cohomolcgie triViale et stil pcss~de une A-couverture fine anticommutative, il r@sulte de ce qui a ~t~ d~montr6 que pour tout
h ~S(F,A),
(s > 0), on a
h p = Oo
Comme le cSne sur un poly&dre fini est aussi un poly&dre fini.
il suffit
pour~tablir
une
(2)
d'exhiberun
poly&dre fini
F
poss~dant
classe de cohomologle ~ coefficients dans A, de degr~ pair, dont la p-ie~me puissance est non nulle. On peut prendre par exemple l,espace proJectif complexe Pm(C) ~ m dimensions complexes pour tout m >/ p. En effet, on sait que H(Pm(C),A ) est le quotient dtun anneau de pclynomes A Ix] ~ une variable de degr6 2 par ltid~al m+l qu'engendre x ~ (cela se voit par exemple en appliquant la suite exacte de Gysin (of. Exp. IX), 2 la fibration de Hopf
S2m+I/S 1
=
Pm(C)'
o~
Sn
d~signe
la sphere ~ n dimensions.)
5.
Reoouvrements simples.
D6finition:
Un recouvrement localement fini (Fi) ,
(i ~ I), par des sous-ensembles
compacts est simple (sous-entendu pour les coefficients A) si toute intersection finie non vide d'ensembles du recouvrement a une cohomologie dtAlexander-Spanier triviale
(i.e.
THEGREME 8.
H~
=~ A,
Soit (Fi)
~
= O
i~O).
un recouvrement localement fin• par des compacts de
lVes~pace localement compact X qui soit simple# et soit N le nerf de ce recouvrement e t H(N,A)
ljalg~bre de cohomolo~ie simpliciale de N calcul~e avec les cocha~nes
sim~liciales finieso Alors Solent:
H(N,A)
-~ H(X,A).
K une A-couverture fine de X,
L l'alg~bre des cocha~nes simpliciales de N~
I* ltalg~bre des cochaLues simpliclales finies~ c,est-~-dire non nulles au msximum sur un nombre fini de simplexes. A chaque simplexes p de N nous faisons correspondre un compact non vide de X,s(sP), clest ltintersection des ensembles F i correspondant ~ ses p+l sommets. A une cochai~ne cp ~ L
nous attachons un support
s(cP), c'est la r~union des S(~), o~
sp parcourt les simplexes sur Issquels op e s t non nulle. Ce support est ferm~ car le recouvrement est localement finl et les F i ~tant compacts S(c p) est cc~pact sl et seulement s i c p est une cochafne finie. Nous raisons de la sorte de L un complexe (automatiquement s~par6) et L* d6signe indiff~remment l'ensemble des co-
IV-9 chafnes finies ou des ~l~ments ~ supports compacts. L* est naturellement sans torsion et mmni d'unit~s relatives. Soient
x 6 X et sq le simplexe de N dont les
sommets sont tousles points correspondant aux F i contenant x~ il est ~m~diat que xL et xl@ s~identifient aux cochsfnes d~finies sur les faces de sq, par cons~quent H(xL)
=
H~
~
A
~
H~
=
H(xL*), par c o n s ~ e n t ,
L* consi-
d~r~ comme complexe sur X est une A-couverture~ Consid~rons les homomorphismes I,--~
K o L*~ ~
K
d~finis ~ l'aide d~unit~s relatives. Le lemme 2 de l'Exp. III montre que 2 e s t u n isomorphisme des alg~bres de cchomologie. I1 nous reste donc ~ voir que 1 en est aussi un. La d~monstration sera de nouveau analogue ~ celle du lemme 2. l~re partie:
Soit ~
la d~riv~e partielle par rapport ~ K.
dl-COcycle de Kp o I~ est: p = O,
de la forme u
o c,
sip
~ 0
A montrer: un
dl-CObord d'un ~l~m~nt de Kp-I o I~, si
u = unit~ relative ~
~(c~
C
Nous num~rotons les simplexes de N
par un ludice J
(j ~
J), et soit uj la co-
chafne ~gale ~ 1 sur le simplexe dlindice j~ nulle sur les autres. Les uj forment une base de A-module de I@ et si llon envisage Auj comme un complexe,
L~ est
aussi en tant que canplexe la son,he dlrecte des Auj~ de par la d~finition m~me des supports. Ainsi Kp
h e K p o L*
o
Kp
o
s,@crit c,
cj non nul que pour un ncmbre fini dflndices, et dlh = 0 se traduit par dcj o uj
~ O.
Soit encore Sj
morphisme naturel
le support du simplexe d'indice
K e Auj --~ S~~ SjK
o Auj.
o Auj
~
SjK
J e t fj 1,homo-
On a m
Au.j ~
SjK
la l~re ~galit~ r~sulte de la Prop. I, Exp. II,
la 2~me du th~or. 1 de 1,ExpoI~
par consequent
dSjcj = O~
dcj
o
uj
= 0
donne Sjdcj
=
SjK en est une couverture fine, et par ~poth~se Sj
Sj est compact,
a une cohomologie triviale
(c,est ici seulement que cela intervlent) dto~ si p ~
0 : il e~iste m j ~ Kp-1
tel que Sjcj =
si p = 0 : il existe a j E A tel que
Sjcj
dSjmj
~ Sjdmj
= Sjaju = ajSju
j
IV - I0 donc
S(cj
ej o uj
-
=
dmj)
=
dmj o uj
O
resp.
resp~
S(cj - aju)
cj o uj =
= 0
d'o~ l'on tire que
u o ajuj
puisque uj a un support ~gal ~ Sj, ce qui ~tablit notre assertion. 2~me p artie! l) u
m 2)
il suffit de montrer
Tout cocycle de K o L* est cohomologue 2 un cocycle de la forme o m~
m cocycle de L*,
Si um o m
est cohomologue ~ z~ro dans K o I ~
m est cohomelogue 2 s~ro
dans L*. La d~monstration est la m@me que celle de la 2~me partie du Th~or~me 6 de lWExp. I, on d~finit le poids ~ l~aide du degr~ en K et on ~tablit l)
et
2)
par r~cur-
rence sur le poids.
6.
Cohomologie d:Im espace produit.
Soient X,Y
deux espaces !ocalement compacts,
relle du produit X x Y sur X (resp~ Y). defin~t un complexe Kt sur X x Y e n l'ensemble
S' (k) =
f-l(s(k)).
au sens de 1,Exp. VII.)
f
(respo g) la projection natu-
Etant donn~ un complexe K sur X on
attachs~nt ~ tout e_emen~ k E K
comme support
(Ce complexe est l:image r~ciproque de K par f,
I1 est clair que KW est alg~briquement isomorphe
K et que la section de K t par (x,y) est ~gale ~ xK~ De m~me on assooie ~ un complexe L sur Y un complexe L, sur X x Y, image r~ciproque par ~ T~E~E I.
~e
~ ~
On conserve les notations ci-dessus et on suppose de plus ~le K et L
sont fins ~ supports compacts~ Alors 1Tap~lication naturelle de K' ~ L' s_~ur K' o L' est un Isomarjghisme. On suppose K' m L'
m~ni des supports introduits d~ns le No.3 de iIExp~ Iio II
faut donc d6montrer que seul l'~l~ment nul de Kt ~ LI a un support vide~ Soit h ~ K '
m L' de support vide, et soit (x,y)~ X x Y. On a
(x,y)(K' m L,) = (x~y)Kt m (x,y)L, h =
~ i ui m vi'
dans $I (vi) ~
=
xK m yL, donc h peut s'@crire sous la forme
o~ po~Jr chaque i (x,y) n~est pas contenu soit dans S'(ui) soit
cette somme ~tant fin!e, et les ~apports ~tant ferm6s, il en r~-
sulte ltexistence d, un voisinage V
x W ~ adherence compacte de (x,y) tel que x y ne rencontre pas S(ui) , ou bien ~ ne rencontre pas
pour chaque i, ou bien V X
Y
IV-ll S(vl). Par consequent, s i r
(resp. s) est un endomorphisme de K (respiL), dont
llimage est form~e d'~l~ments ayant leur support dans ~x (resp' ~y), et s i t est le produit tensoriel r z s, on a t(h) - O.
Nous dirons que V
Fixons une representation de h comme somme
aj m bj de produits tensoriels,
~
x
x W
annule h.
et soit F 1 (resp. F2) un cc~pact de X (resp. Y) contenant les supports des aj (resp. bj). Vu ce qui precede et la compacit~ de F 2 il existe pour et un recouvrement ouvert (Wi,x) ,
(IL--.i ~
x ~ F 1 un voisinage V x
nx) de F 2 tel que V x x Wix annule h
pour tout i.
Soient Xl,...PXm~ F tels que les ~ que nous noterons V i forment xi un recouvrement de F 1 et soit W i (1-~ i ~ n) le recouvrement intersection des recouvrements (Wi,x ). Alors V i x Wj enfin V ~
(resp. Wo~
un ouvert de X
annule h quels que soient i,J.
Soient
(resp. Y), dont l'adh~rence ne rencontre pas
F I (resp. F2) , formant avec les V i (resp. Wi) un recouvrement propre de X (resp.Y), et soient r i (resp. sj) les endomorphismes correspondants de K (resp. L)o Posons t..~ =
r i m sj.
Alors la somme des tij
est l'identit~, et chaque tij(h ) est
nul, dlo~ h = O. 7~E
2o
Si K et L sont des A-couvertures fines de X et Y, alors KV m L' est une
A-couverture fine de X x Y. On vient de montrer que K' m L' est un complexe (s~par~). Soit (Uk) un recouvrement fini propre de X x Y. Par un raisonnement ais~, analogue ~ celui qui termine la d~monstration du len~ne l, on peut trouver des recouvrements finis propres Vi, (i = l,...,m), ouverts V i x Wj
et Wj, (J ~ l,.o.,n), de X et Y respectivement, tels que les
forment un recouvrement de X x Y plus fin que (Uk).
sj sont les endomorphismes de K et L correspondant
S i r i et
aux recouvrements (Vi) et
(V~j), alors en consid~rant les endomorphismes r i m sj de K' m L t
On volt tout
de suite que ce dernier est fin. La section de KI m L' est ~gale ~ xK m xL, donc est sans torsion pulsque xK et yL le sont 3
e t a une cohomologie triviale d,apr~s le th~or. 6 de l,Exp. I; il
s'ensuit aussi que Kt m L' est sans torsion. Enfin~ si F est un compact de X x Y, on peut trouver des compacts F I e t F 2 de X et Y tels que F C F I x F2; alors un
IV-12 prodult tensoriel dtunit6s relatives ~ F I e t F 2 est une unit@ relative pour F. Ainsi Kt m LI, muni de la diff@rentielle totale Introdulte dans ItExp. I, et de la graduation totale (Kt x Ll )i
~ --~a+b=i K la x Ltb, est une A-couverture
fine. THECR~M~ 9.
Solent X,Y des espaces iocalement cc~pacts, K et L des A-couvertures
fines de X e_~tY,
M une A - a ~ o r e .
Alors
H(X x Y , M) = H ( K x L m M ) .
Cela r~sulte du lemne 2 et de la d~finition de H(X x Y,M).
Expos~
V
!
LES FAISCEAUX
Nous avons jusqu,~ pr6sent consid~r~ la cohomologie ~ coefficients constants, mais J. Leray a d6velopp6 cette th@orie pour la cohomologie par rapport ~ un faisceau, notion qui g~n6ralise celle des coefficients locaux de N. Steenrod. A c e point de vue d~j~ elle est iht~ressante, mais de plus elle stav~rera indispensable dans 1,~tude des invariants dWune application continue. Dans cet expose, nous donnerons un th~or~me dtunicit6 pour cette cohomologie, analogue ~ celui du th~or~me de ltExp. III qu'il englobe. La d~monstration est sensiblement la m@me mais on a pr~f~r~ traiter tout dlabord le cas des coefficients constants pour ~viter au d~but autant que possible les complications techniques. Comme nous iTavcns dit dans lWintroduction~ nous adopterons ici la terminologie de Cartan et Godement. i. Faisceau~ pr~faisceau. D~finition I.
Soit X un espace topologique. Un faisceau d,ensembles F sur X est
la donn@e dtun espace topologique E et d'une application continue p de E sur X qui soit un hcm~cmorphisme local. La condition impos~e ~ p signifie donc que tout u ~ E poss~de un voisinage ouvert appliqu@ par p hom~omorphiquement sur un ouvert contenant p(u). L, ensemble F
=
p-l(x)
est la fibre au-dessus de x. Une application continue s
dtune partie A de X dans E tells que p o s soit l'identlt~ est une section sur A. L'ensemble des sections sur A est not6 SA(F )
ou simplement S(F)
Iorsque A
- X.
De la d~finition ci-dessus r~sultent tout de suite ltex~stence de sections d~finies au voisinage dlun point quelconque de X et le fait que si deux sections s,t d~finies respectivement dans A,B coincident en un point x ~ A ~ B, elles coincident auasi dans un voisinage de x dans A N B. D~finition 2.
Soit A un anneau. Un faisceau de A-modules ou simplement un A-fa~sceau
est un falsceau d'ensembles dans lequel i) ii)
les fibres p-l(x) sont des A-modules. Etant donn~es deux sections s,t d@finies sur Y, l'application y -~ s(y)+t(y) est aussi une section. Pour tout a ~ A, y -~ a.s(y) est une section.
F est un faisceau de A-alg~bres si de plus les fibres sont des A-alg~bres et si y --~ s(y).t(y)
est une section sur Y.
V-2 LEMME I.
Soient F - - ~
unA-faisceau,
o
--
l'@l@ment neutre de F . Alors x - - > o
X
--X
est une.section (la section nulle)~ L'application
9
X
u --~ -u est un hom6omorphisme
de itespace total E de F. Soit x & X fix@. Soient u ~ F_x,
U,V des voisinages de o
et u appliqu@s hom@omor-
X
p h i q u e m e n t p a r p s u r un v o i s i n a g e W de x ( c o l a e x i s t e
sons pour w ~ ,
u
=
p - l ( w ) ~ U,
v
W
d'apr~s
= p-l(w) t'~ V~
la d@finition).
Alors w
~ u ~v
W
~
section sur W, ~ g a l e ~ v e n x , donc @gale ~
w ~u
Po-
est une
V~
.~rW dans un v o i s i n a g e
"ff
c~ve-
nable de x, ce qui entraine uw = ow pour w voisin de x, dto~ la premiere assertion. La deuxi@me @quivaut ~ dire que s i s est une section sur Y en est aussi une,
ou aussi que u - ~ - u
alors
y--~ -s(y)
est continue. Soient x fix@ et V un voisi-
nage de -UxJ on peut 12 supposer assez petit pour qu'il existe un voisinage U de uX tels que U et V soient appliqu@s hom~omorphiquement sur un voisinage W de x. Alors, dans les notations pr@c@dentes,
w-~u
+v W
est une section locale s @gale
W
o~r e,~ x ~ P u i s q u e l e s @l@ments n e u t ~ e s o~r f e r m e n t u n o u v e r t ,
vw =
-u
W
cel~ entra~ne ~e
pour w suffisazmment proche de x, d'o~ la continuit@ de u
Ce lemme montre que l,ensembl2 Sy(F)
~ -Uo
est muni de fa~on naturelle dVune structure
de A-module (ou de A-alg@bre si F est un faisceau d'alg~bres). On appelle support d'une section sur Y
l'ensemble des points y pour lesquels s(y) / oy. D,apr~s
le le~e, il est relativement ferm@ dans Y. compacts de Sy(F) sera not~ ~ ( F ) .
L,ensemble des @l@ments ~ supports
Ce sont aussi des modules ou alg@bres, et avec
la d@finition donn@e des supports, des complexes au sens de lVExp~ II. D@finition 3.
Soit
~
qui associe ~ tout U ~
une base des ouverts de X. Un A-pr@faisceau est une ioi ~
un A-module B(U) et ~ tout couple U,V ~ ~
un homomorphisme fL~ s B(V)
wc ucv,
~ B(U) de sorte que lion air
~
=
~U
, U C o
fUV
V, si
),
(w,u,v
Etant donn@ un pr@faisceau B on lui associe un faisceau F(B) de la fa~on sulvantel la fibre F(B)x
est la limite inductive des B(U),
x faisant partie de
~
. Soit pour u 6
B(U),
oG U parcourt les voisinages de mx(U )
l'@l@ment de F(B)x , (x ~ U),
qu,il d@finit. Alors dans la r@union des F(B)x , la topologie est d@finle par la condition que les ensembles rex(U),
(x e U,
U 6 ~
,m ~ B(U)) forment une base
des ouverts, ll est imm~diat que 1,on obtient ainsi un A-faisceau. On lfappelle souvent le faisceau des germes d'@l@ments de B.
v-3 Invers6ment, ~ un faisceau F on pout associer un pr~faisceau B(F) en posant B(F)(U)
=
Su(F),
fUV ~tant IVhomomorphisme de restmiction. II est clair que
F(B(F)) sVidentifie ~ F~. Par contre IVapplication naturelle
B(U)--~ Su(F(B) )
nlest pas touJours un isomorphisme (voir exemples 2 et 3). Exemples.
(i)
Soient x ~ X et M Un ensemble. On appelle germe dr application de X
dens M (de centre x), tune classe dV6quivalence dans 1,ensemble des applications de voisinages (variables) de x dans M relativement ~ la relation dt@quivalence ! f ~
g
si
f(y)
=
g(y) darts un voisinage convenable de x.
Pour tout ouvert U, notons B(U) l,ensemble des applications de U dans M, fUV 6tant la restriction. Alors les B(U) d~finissent un pr~faisceau B e t F(B) est le faisceau des germes d'applications de X dans M.
Si M est un espace, on d~finit
de re@me le pr6faisceau B des applications continues dans M, et F(B) est le faisceau des germes d'applications continues o (2)
Prenons en particulier M - R e t
solent B(U),
(resp. B, (U)), l,ensemble des
applications continues (respo continues et born~es) de U dans R. Alors F(B) et F(B, ) sont tous deux le faisceau des germes de fonctions continues sur X. Su(F(B)) = Su(F(B')) est l'ensemble des fonetions continues sur Up born6es ou non, done B(F(B')) (3)
/ B'.
Soit B(U) iVensemble des cochas
singuli~res de U, ~ valeurs dens un anneau
A. LIensemble des B(U)~ muni des operations de restriction, d~finit un pr~faiseeau B et F(B)
est le faisceau des germes de cochas
Alors l'~l~ment m x ~
E(B)x qu'il
d6finit,
slnguli@res. Soit m e B(U).
(x W U) est nul si et seulement sVil
existe un voisinage V de x tel que m soit nulle sur tout simplexe singulier support oontenu dans V, done si le support de m, au sens de IVExp.lls ne rencontre pas x.
II en r~sulte que dans l'application naturelle de B(U) dans SU(F(B)) les
cochafnes de support vide ont oomme image la section nullej cette application n'est dono pas inJective. Cependant on verra plus loln qu'elle est surJective. (4)
Le faiseeau constant de fibre A est celui dont itespace total est X ,< A i
(avec la topologie produit de la topologie de X et de la topologie discrete sur A), et o~ p e s t d~finie par
p((x~a))
=
x. Plus g~n~ralement, on se permettra d'appe-
ler constant tout faisceau l-isomorphe (au sons du No.2) au faisoeau ci-dessus. De m6~ne on appellera faisceau localement constant de fibre A un faisceau localement l-isomorphe au faisceau constant.
V-4 2o
Homomorphismes, sous-faisceau~ faisceauxquotients.
Un sous-faisceau G de F est d6fini par un sous-ospace ouvert E, de lVespace total E de F dont les intersections avec les fibres F
sont des sous-modules (ou des sous-
alg~bres, le cas ~ch~ant), la projection ~tant la restriction de p ~ El. On voit ais~ment que si 11 on munit la r~union des modules F / G x de celle de E par la relation d,@quivalence | u ~ v fibre Fx et si
u - v ~ G_x,
de la topologie quotient
si u et v sont dans la m@me
on en fait lWespace total d'un faisceau, appel~ le
faisceau quotient F/G. Soient E,~I f s X--~X
2 faisceatux dTespaces totauxE,E',
projections p,p', sur X et soit
une application continue. Un f-homomorphisme de E dans E' est une appli-
oation continue f : E ~ - ~ E w qui pour tout x Q X ~zvoie F
homomorph~quement dans
~X
Ef(x)"
C'est un isomorphisme si ~ est un hom~omorphisme. Lorsque f est l,identit~
on parlera de f-homomorphisme ou de l-isomorphisme. En utilisant le fait que des sections locales sur des voisinages convenables sont des hom~omorphismes,
on volt
tout de suite qu,un I-homomorphisme biJectif est un I-isomorphisme I que l'image dlun faisceau par un I-homomorphisme est un sous-faisceau, que le noyau d'un I-homomorphisme (i.e. l'image r~ciproque de la section nulle) est un sous-faisceau et que le faisceau image s'identifie au faisceau quotient F ~ . 2 faisceaux~, E, sont localement I-isomorphes si tout x ~ X poss~de unvoisinage U tel que les faisceaux induits par F et FV P-l(u), p'-I(u)
sur U~ dVespaces totaux
soient I-isomorphes.
Un faisceau E est fi__~nsi ~tant donn6 un recouvrement fini propre (Ui) il existe des endomorphismes r i de F dont la somme est 1,identit~ et tels que ri(Fx )
=
o
pour x ~ ~..
X
phismes d~finls par ri(s)(x ) = 39
I1 est clair que si F est fin, S(F), muni d,endomor-
I
ri(s(x)) , est un complexe fin.
Faisceaux et complexes.
A tout complexe K on associe un faisceau not~ K ainsi d~finl : l,espace total de K
est la r~union des xK, la projection p associe x ~ tout ~l~ment de xK~ ~tant
donn~ u ~ x K xk
=
les ensembles yk,
o~ y ~ X
et o~ k parcourt les k ~ K tels que
up ferment un syst~me fondamental de voisinages de u.
On v~rifie sans
difficult~s que les conditions des d6fo I e t 2 sont remplies. Etant donn~ k ~ K llapplication x - - ~ x k K dans S(K)
est une section de K~ d'o~ une application canonique IOK de
qui est un homomorphisme de complexes.
ll est imm~diat que K e s t ~ m si K ltest.
V-5 TF~ME 2.
Soient E un complex% K le faisceau associ~ L S(K) le complexe des sec-
tions de K ~ K (a)
l'application canonique de K d ans S(K).
Alors
~ K e st i~Jective.
(b)
Pour tout
x -~_ X, ~ K
~uduit un isomorphisme de xK sur xS(K~
lorsque K est fin. (c)
Si K est fin,
de K* (d)
S*(K*)
=
S*(K)
et
est un isomorphisme
S*(K).
Si F estfln, pour tout x ~ X , --
tout 61~ment de F
,
est la valeur en x
~m x
d'une section ~ support compact de F. (e)
~K
Par suite F(S*(F))
S~ F e st fin et gradu~ par des sous-faisceau F i,
S*(F)
= F(S(F)) = F_, =
i s.(#). Vu les d~finitions pos~es, il est clair que (a) et le fait que que si K est fin, de S(K)
modulo
Soient u ~ S ( K ) , U1,U 2
~K,x | xK --~ xS(K)
~ K conserve les supports, dlo~
est inJective. I1 faut encore montrer
I~K est surjective, autrement dit, que toute classe de restes S(K)x_x Ux
contient une section de la forme
sa valeur en x, k ~
K
tel que xk
un recouvrement propre de X tel que x @ U1,
morphismes correspondants de K.
Alors
=
x ~ ~2'
y-->Yrl(k),
y
~ yk,
Ux.
K).
Soient encore
et rl, r 2
(y~X),
(k ~
les endo-
est la section
cherch~e. De (b) et du Th6or. 5 de l'Expl II, on d~duit que les sections de S*(K)
par x
s'identifient ~ xK
=
xK*;
S*(K*)
et
(c) r~sulte alors du lemme i de
l'Exp. III. (d)
Soit a ~-xF.
On peut trouver un voisinage U I de x, d ! adherence compacte et
une section s de F sur U I ~gale ~ a en x. Soit U 2 dont l,adh6rence ne contient pas x, et formant avec U I un recouvrement propre de X, et soient rl, r 2 morphismes correspondants de F~
Alors y ~
rl(S(y))
les endo-
est une section de F9
support contenu dans ~i' donc compact, ~gale ~ a en x. (e)
Le deuxi~me compiexe est contenu dans le ler, et vu (d) les sections par
un point sont ~gales a F x.
On peut de nouveau appliquer le lemme I de l'Exp. III.
V-6 Exemple s. I)
Soit K le complexe des cochafnes d,Alexander-Spanier,
des germes de cocha~nes d'Alexander-Spanier. Ici
K est donc le faisceau
~ K est bljective. Vu le
lemme 2, il suffit de voir qu'elle est surjective. Soit donc u ~ S(K) et soit pour tout x ~ X, V x avec celle
un voisinage pour lequel la valeur de u en
y ~ Vx coincide
dlune cocha~e dtAlexander-Spanier cx d~flnie dans V x. Supposons les
points de X bien ordonn~so On d~finlra alors une cocha~ne d,Alexander-Spanler c par les conditions : C(Po,...~pk)
~
0 si les P i n e sont pas dans un m~me
Vx,
C(Po,@..,pk) = Cx(Po,...,pk) si x est le premier x
Pi"
On
2)
tel que V x contlenne les
alors ;oK(o) =
On volt de m~me que IJK est un isomorphisme lorsque K est le cc~plexe des
cocha~es singuli~res. 3)
On v~rifie tout de suite que
lhK est un isomorphisme lorsque K est le com-
plexe des formes diff~rentielles sur unevari~t~ dlff~rentiable.
4o
Operations sur les faisceaux.
Soient F i
(i ~ I,
U soit B(U)
I ensemble d,indices), des A-faisceaux sur X. Pour tout ouvert
la somme directe des modules Su(Fi).
Pour V C U
on a un homomor-
phisme B(U)--~B(V), "somme" des operations de restrictions dans les Su(Ei), d'o~ un pr~faisceau B. Is faisceau F(B) associ~ est la somme directe des faisceaux ~ . Ccmme la limlte inductive de sommes directes est la somme directe des limites inductives, on voit que F(B)x
est la somme directe des Fi~ x,
d~finition de la topologie de F(B)~ si
De plus par la
s i est une section de F i
au-dessus de U,
nulle sauf pour au plus un hombre fini d,indices, alors x--)~si(x ) tion du faisceau somme. On voit aussi que F i Soient FI,F 2
deux faisceaux sur X.
s,identifie 2 un sous-faisceau de F.
On veut d~finir un faisceau F I ~ F 2
tensoriel de F I e t F2, dont la fibre sur x sera FI~ x m F2, x. B(U)
=
S(FI)
m
S(~).
est une sec-
(U ouvert de X).
Pour
VC
U
produit
A cet effet, soit
le produit tensoriel des
op6rations de restriction envoie B(U) dans B(V). d' o~ un pr~faisceau B. C o m e une limite inductive de produits tensoriels s,identifie au produit tensoriel des limites Inductives, 12 faisceau associ6 a bien Fix H _F2x comme fibre. C'est _FI z F 2. Par d~finition de sa topclogie, si s~t sont des sections de F I e t F2 sur U, alors x --~ s(x)
x
t(x) est une section du produit tensoriel sur U s ce qui du reste
V - 7
La v~rification des propri~t~s suivantes
sufflt pour caract@riser sa topo!ogie. est imm6diate et laiss@e au lecteur. THE O R E ~ i.
(1)
-F2)
(3)
S_~ Ki
(4)
K 1 o K2
-F3 " -q " (-F2 " % >
sont dos complexes, -- K 1
m
~
Ki
-- (~_W~)
K2
(pour 4 on utilisera le th6or. 4~2 de l'Exp. II.) Homomor~his~eso
ll est @ga!ement Imm@diat que si F,F', G,G' sont des faisceaux
sur X et s i f
F --~F,.
~
g ! G --~ Gt
sont des l-homomorphismes il existe
un et un seul homomorphisme h de F_ m G_ dans F_' m G_' v4rifiant h(u ~ v)
=
_f(u) ~ ~(v), pour u et v dans la m~me fibre~ On l,appelle le produit
tensoriel de _fet _get on le note f ~ g.
On a un r~sultat analogue pour les
somme s directes. .Faisceaux gradu~s~ diff6rentiels,
On peu~ imposer ~ un faisceau des structures
alg~briques suppl~mentaires. Elles seront combinaisons d,exigences port~es sur les fibres et de conditions naturelles de continuitY. Par exemple s F est gradu6 par des sous-faisceaux F.
s'il est somme directe des Fi~ F est diff6rentiel si
chaque fibre est un module diff~rentiel et si
u --~ du
est une application
continue de F dans lui-me~me. Dans ce cas, la r~union des cocycles (resp. cobords) des fibres d~finit un sous-faisceau Z(F), (resp. D(F)) H(F)
=
Z(F)~(F)
de F et le faisceau
est appel~ le faisceau de cohomologie de F. En rant qu'en-
semble, clest donc la r~union des modules de cohomologie H(F_x). Sa topologie est d~finle en prenant comme syst~me fondamental de voisinages les sections locales d6finies par des sections locales de Z(F). On dira que F est un faisceau unitaire d'alg~bres si F un ~l~ment neutre u x (pour le produit), et si x
est une alg~bre poss6dant
~ u x est une section de F,
(ce qui du reste est une consequence des autres axiomes lorsque les fibres n Ion pas de diviseurs de z~ros, m~me d~m. que pour le l e ~ e I)~
II r~sulte des d~fi-
nitions que si K est une couverture (cf. Expo Ii), alors K est un faisceau unitaire d' alg~bres.
v-8 5. Le complexe K o F. Le th@or&me d'unicit@. Soient K un complexe et F u n S*(~|
faisceau sur X. On @crira K o F au lieu de
c'est done le complexe des sections ~ supports compacts de ~ @ E .
Cette notion remplacera ici eelle "d'intersection introduite par J. Leray. Elle lui est d'ailleurs
d'un complexe et d'un faisceau" @quivalente
lorsque K est
canonique fin sans torsion et que F correspond ~ un faisceau propre au sens de Leray, et c'est pourquoi nous utilisercns
la m~me notation que Leray. On remar-
quera que K o ~ est fin si K ou ~ l'est, et que si K est canonique diff@rentiel et si ~ est diff@rentiel, de diff@rentielle
K o ~ est muni de fagcn naturelle
d'une op@raticn
totale.
LEMME 3. Soient K un complexe, ~ un faisceau sur X. (a) Si K ou F est fin~ on a x(K o Z) = x K @ (b) __Si K___ouF est fin~ et si K = Z K o _F = ~ i , j
Ki o ~J ,
F .
Ki, -F- = ~ F
(i,j parcourant
--
j,
on
a
des ensembles quelconques
d' indices) 9 Soit K fin. Alors (c) K* o F = K o F. (d) Si K' est un deuxi~me complexe, K' (e) S._~iF est constant~
(a) Par d@finition,
isomorphe ~ X ~ M ,
o (K o _F) = (K' o K) o _F. alors K o ~ = K O M .
x(K o ~) = x S * ( K @ ~ ) .
aussi, donc (lemme 2d), xS*(_K O ~
Puisque K o u ~
Ki
o
zJ
sont compatibles
l'est
= (K 9 ~)x -- x K @ D F--x .
(b) On suppose bien entendu que K ou F est"gradu@-fin", phismes r
est fin, K ~ _ F
avec la graduation,
i.e. que les endomor-
par eons@quent
chaque complexe
I
est fin. La somme L de ces complexes est contenue dans K o _F. Vu (a)
xL et x ( •
o _F) sont tous deux ~gaux ~ x K @
F
et (b) r@sulte du lemme I de
l'Exp. III. (c) D'apr~s (a) et le Th@or. 4.2. de l'Exp. II, les sections par x de ces deux complexes sont @gales ~ x K O
F . On applique le lemme 1 de l'Exp. III.
(d) Le deuxi~me complexe est isomorphe ~ S * ( K ' @ ~ @ F ) En tenant compte de (a), on volt que @tant donn@s u ~ l'application x ~
xu|
d'apr~s le th@or. I. K',
v(x) est un @l@ment de S*(~' @ ~
v ~ @~),
K o _F, que nous
noterons h(u,v). I1 est imm@diat que h est une application bilin@aire! d@finit done
elle
V-9
une application lin~aire de K' m (K o ~) dens (K' o K) o E"
Vu la d6finitioa des
supports dans le premier membre (cf. Exp~ II), h envoie les ~16ments d~ support vide sur la section nulle, d,o~ une application lin~aire de K' o (K o E) dans (K, o K) o ~;
les sections par un point x de ces deux complexes ~tant isomorphes
xK' m xK m F
et des deux complexes ~tant fins ~ supports compacts, on peut de
nouveau appliquer le lemme I de l'Exp~ III, d~ (e)
(d).
On a une application ~vidente de K* m M dans K o ~
point de ces deux complexes s o n t x K ~
les sections par un
M dlapr~s le th~or. 4~2 de 1TExpo II et
le lemme 3a, et (e) r~sulte de nouveau du lemme 1 de l'Exp~ III. T E M ~ 4.
S oient K et L d e u x
complexes dont l,un au moins est In. Alors l'homomor-
phisme naturel de (K o L)* dans K o ~ est un isomorphisme. L'homomorphisme de (K o L)* dans L o ~ section x - - ~ x u
est celui qui associe ~
i m xv i du faisceau ~ m ~.
sections par x~ %outes deux ~gales ~ x K m x L
~u
i o vi
la
II induit un isomorphisme des
dlapr~s le Th~or.4.2 de l,Exp. II
et le lemme 3a de ltExp. V, et comme les deux complexes sont fins ~ supports compacts I c~est un isomorphisme d~apr~s le lemme 1 de lrExp. III. THEORF~ 2 (DIUNICITE).
F u n A-faisceau
Soient CI, C 2 des A-couvert -couvertures finesp
s_.~ X. Alors H(C 1 o _F) e t H(C 2 o F) sont isomorphes. On consid~re le diagramme cI
oF
C2
o F
I
2 c 2 o (c I
o
[) ~
c I o (c2
o
F> ~
11
(c 2
o
c l)
o
~3 C 2)
2T
o
F
o _F
I est d~fini par a --~ u o a
o~ u est une unit~ relative ~ a (cf. Exp. ll)j
d~finition analogue pour it)
2 et 2,
sont les isomorphlsmes du lemme 3c; enfin
3 est associ@ ~ l'identit~ de F et ~ irisomorphisme o
klq
' ('l)Pq
klq ~
~2'
ainsi
2,2',3
sont des isomorphismes, et
1,1' sont des isomorphismes pour la cohomologie d,apr~s le lemme 2 de l'Exp. III, d, o~ le th~or~me ~ Notation.
H(C o F), oG C est une couverture fine, sera not6e H(X,F),
c'est
1Talg~bre de cohomologie de X ~ supports compacts, ~ valeurs dans le faisceau F. m
Vu le lemme 3d on retrouve bien H(X,M) lorsque F stant de fibre Mo
est isomorphe au faisceau con-
V - lO Rgmarques.l)
Si F e~t unfaisceau d'alg~bres, alors C o ~
est aussi une alg~bre
et llisomorphisme du thgor~me vaut aussi pour le produit (m@me d6monstration). Si F est gradu~ et si F --
est anticommutatif pour tout x, alors H(X,~)
est aussl
--X
anticommutatif relativement au degrg total, obtenu en aJoutant les degrgs dans la couverture fine et dans F. D~monstration analogue 2 celle du Noo3 de l'Exp.llI. 2) L'isomorphisme du thgor~me ci-dessus a la propr~t~ de transitivit6 mentionn~e dans la rem. 2, No. 2 de l'Exp. III. THEGtEME3.
~(x,~)
-
Soit ~.uu falsceau fin t (sans dlffgrentielle). Alors
o pour
• > o.
Soit C une couverture finep
Alors en utillsant les endomorphismes r i de
attaches ~ des recouvrements propres, on peut consid~rer le faisceau ~ m ~ et le complexe C o F co.me fins relativement ~ des endomorphismes qui commutent avec la diff~rentielle (qui est ici celle de C). Les complexes de oocyoles et de cobords Z(C o [) et D(C o ~) sont donc aussi fins et l'on a d,apr@s le lemme 6 de ltExp. III et le lemme 3a
~(c
o F_)
z(~
=
x
_~) F
xD(C o _F) ~ D ( ~ . - x F ).
Mais l e t h ~ o r , 6 de l'Expo I donne
z(xc i ~ ~ 1
~ D(~ •
, ~)
,
(• ~- l)
o _F) ,
(i ~- l)
droP, compte tenu du lem~e 1 de ItExpo III
z(cio
F)
~
D(C i - 1
et le th6or~me.
6.
Calcul
THEOREME 4.
de H~ Bolt F un faisceau sans diff~rentielle sur X. Alor_~s H~
est
c anoniquement i somorphe ~ S*(F). Soient C une couverture fine, u x l'~l~ment neutre de xC. On a vu (Noe3) que x--~u
est une section de C. X
Comme C est gradu6 par des degr~s positifs, on a H~ a~
Z(C~ o F).
Alors xa~Z(x(C ~
o F))=
Z(xC ~
o F) = Z(C ~ o F). Soit m Fx),
(len~ne 3a)~ donc vu
le th~or. 6 de lIExp. I, il existe un ~l~ment bien d~termin~
b x ~ -xF tel que
V - Ii a x = Ux
m
bx ~
@gales ~ x ~
Si
y--~Uy
et y - - * by
sont des sections locales de_C et_F
et b
en x alors y ~ u m b est une section locale de C m F x y y (cf. No.4), ~gale ~ a en x, donc ~gale ~ a dans un voisinage convenable de x. x y I1 s lensuit que x ) b est une section de FS comme a est ~ support compact, X
il en est de re@me de la section x > b
d'o~ une application i : Z(C ~ o F_)-# S* (F) . X
R~ciproquement, on volt de re@me que si b : x - ~
b
est une section ~ support X
compact de F
alors x - , u
--
m
b
X
J : S*(F) --~C o F}
en est une pour C o F dtoG X
con~ne u
m X
une application
--
b
est un cocycle pour tout x, le support de X
d(j(b)) est vide, donc j(b) est un cocycle, et J e s t
en fait une application de
S*(F)
et
dans
Z(C ~ o F).
II est Imm~diat que i o J
j o i
sont l'identit~,
d,o~ le th~ore~me. Dans le faisceau X x M, les sections sont exactement les applications x
--~ (x,m) o~ m ne d~pend pas de x.
Par consequent, dans un faisceau constantj
de fibre M, il existe pour chaque point m ~ F
exactement une section s(m),
--X
~gale ~ m en x, et la correspondance m --~ s(m) est un isomorphisme de F
-~X
sur
S(F), et ce dernier s'Identifle ainsl de fa~on canonique ~ la fibre type. Si F
est localement constant, cela montre aussi que le support dVune section est
un ouvert~ comme il est touJours par ailleurs fermi, c,est la r~union dtun certain nombre de composantes connexes (compactes sl la section est ~ support compact) de X.
Supposons de plus X connexe. Alors deux sections qui coincident en
un point sont identiques, donc un ~l~ment m E F x tion.
Autrement dit, la correspondance s
appartient ~ au plus une sec-
) s(x)
qui associe ~
sa valeur en x est un isomorphisme de S(F) sur un sous-module -x Fc
de
s ~ S(F) -x jF
de plus,
la r~union des supports des sections de F est de fa~on ~vidente ltespace total d'un faisceau F_c
constant, isomorphe ~ X ~
"le plus pjrand sous-faisceau constant!,de F.
S(F), qui peut s,envisager comme Enfin, on volt que si X est connexe
non compact S*(F) ne contient que la section hullo, THEOREME 5.
Soient X connexe
X est non comPact ~ H~
=
et le th~or. 4 entraine le
F un faisceau l qcalemen t constant sur X. Alors sl 0, s_~ X est compact H~
s,identifie cano-
nlquement au module des valeurs en un point x des sections de F.
V-12 7.
Une suite exacte.
THEORF~E
6.
Soient K canonique_fin sans torsion , F,F' , F " des faisceaux sur X.
Si la suite de I-homomorphismes 0 - ~ F , - ~ F re@me de la suite (i,j
0 -@ K'o F' --~K o F
F ~t --~0
~)K
o F"
es t exacte~ il e n e s t de
--~0.
sont bien entendus d~finis par l~identit~ sur K et a,b respectivement).
Tout dTabord la suite
O-
x(KoF,)
..... x(KoF_)
est exacte puisque, v u l e 0 --~xK~F,
lemme 3a, elle se ram~ne
--~ x K m F
"X
~
xKmF"
"X
-~0
--X
qui est exacte d'apr~s l'expo I, Th~or. 3 et 5.1. Cela entralne en particulier que i conserve les supports, donc est injectif; K o F' s'identifie dono ~ un sous-complexe de K o F
qui est contenu dans le
noyau N de j, puisque la suite exacte pr~c~dente montre que j o i(K o F') est form~ d'~l~ments de supports videso Mais les 2 suites exactes ci-dessus montrent aussi que xN ~ x ( K
o F'), d'o~
x(K o F') =
xN,
et K o F' = N d'apr~s le
l e ~ e I de l'exp~ III, appliqu6 ~ l, injection de K o F' dans No Enfin, puisque Jx s x(K o F) --~ x(K o F " )
est surJective, il en est de re@me pour
J d'apr~s le leone l' de 1,exp~ III, ce qui termine la d~monstration.
Expos~
VI
!
L, AIGEBRE SPECTRAIE
La construction alg6brique qui est l,objet de cet expos~ est fondamentalej nous aurions pu d6j~ ncus en servir dans l,~tabllssement du th~or~me d,unicit@, comme cela est fair dans le m~moire de Leray (Journ.Math.pur.appl. 29, 1-139 (1950)), que nous citerons comme pr~c~demment par [2] j
elle s'y substitue ~ la r~currence
sur le poids que nous avons utilis~e ~ diverses reprises. Mais dans cette question elle joue plutSt le rSle d,un artifice alg~brique. Elle s,av~rera par contre indispensable pour l'~tude des invariants des applications continues. Nous ne reproduirons pas toujours les d~flnitions sous la forme g6n~rale de [2], insistant plutSt sur les cas particuliers importants dans la suiteI
certaines
d~monstrations, pour lesquelles on peut faire des renvois precis ~ [2~, ne seront pas reproduites, elles sont formul6es pour des anneaux, mais valent automatiquement pour des A-alg~bres, A d~signant comme d,habitude Z ou un corps. Nous nous tenons ici au point de vue de Leray, adapt6 ~ la cohomologie. Pour dWautres expos6s sur la suite spectrale, voir le S6minaire de Topologie de lWE.N.S., Paris 1950-51, Exp. Vlll, et J. P. Serre, Th~se, Annals of Math. 54, 425-505 (1951). 1. La notion de filtration. Nous en donnerons deux d~finitions 6quivalentes. D6finition Is
Soit S une A-al~bre. Une filtration de S est la donn~e d,une
suite de sous-modules S q (i)
Sp ~
S p+I
(q entier quelconque) v6rifiant sP.s q C
S p+q
~S p
=
S.
Cette filtration permet de d6finir une fonction f(s) ~ valeurs enti~res, on pose f(s) = Max (p, s @_ sP), d'o~ une deuxi~me d~finition! D~finition 21
Une filtration sur une A-al~@bre S est d~finie par une fonction
valeurs enti~res (ou plus l, infini) v~rifiant
f(s + s,) ~
(2) f(..s,) ~
Min (f(s),f(s,))
f(s) * f(s,)
f(as) ~ f(O)
f(s) , ..
(a ~
A)
+ c~.
Ii est clair que la fonction f d~finie avant v~rifie (2). R6ciproquement 6tant donn6e f v~rifiant (2)~ on introduit S p comme llensemble des s ~
S
tels que
VZ - 2 f(s) ~
p, et les Sp sont des A-modules v~rifiant (I).
D~finition 3.
Soit S une A-alg~bre filtr~e par les sous-modules S p. On appelle
alg~bre gradu~e associ~e ~ la filtration de S le module
G(s)
o
sP/s p§
somme directe des sP/s p+I, muni du produit associant ~ ~ q & sq/s q+l (sP~ Sp,
la projection dans SP+q/s p+q+l
sq ~ S q
se projetant sur ~P
~P~ sP/s p+I et
du produit sP.s q
et ~q
resp.).
Ce produit ne d6pend pas des repr~sentants choisis vu (i). Nous ~Irons que la filtration est born~e sup~rieurement (resp. inf~rieurement) s'il existe p tel que S p = 0
(resp. Sp = S).
La fonction f a alors une borne
sup~rieure (inf~rieure) finie sur l~ensemble des @l~ments diff@rents de zAro. Remarque s. I)
On peut naturellement d~finir la filtration pour un A-module, il suffit de
supprimer dans ce qui pr6c~de tout ce qui se rapporte au produit. 2)
La notion de filtration est prise ici dans un sens adapt~ ~ la cohomologle.
Elle a ~t~ d~finie par une suite d~croissante de sous-modules, c'est ce qui intervient en cohomologie; pour l'homologie, on d~finit la filtration par une suite croissante de modules, mais nous nlen aurons pas besoln ici.
2.
L, alg~bre spectrale d,une alg~bre dlff~rentielle filtr~e.
Soit S filtr~e, munie d,une diff~rentielle (d, ~ ). On suppose que f(~(s))
=
f(s) pour tout s ~ Sj
d~signons par
Cp
l, ensemble des cocycles de S p
Dp
lt ensemble des cobords contenus dans S p, done D p = dS ~ S p
JP
Itensemble des classes de cohomologie contenant un cocycle de Cp.
Les JP d~finissent une filtration de H(S) et G(H(S))
=
~
jp/jp+l
=
~
cP/(cP+I
+
DP).
L'alg~bre spectrale sera constitute par une suite d'alge~bres dlff~rentielles gradu~es, dont chacune est 1,alg~bre de cohomologie de la pr@c~dente, et qui, en gros, relient G(S)
~ G(H(S)).
On peut dire peut-@tre que lfalg~bre spectrale
permet le calcul par approximations successives de G(H(S)).
Solent
VI - 3
Cp r
l'ensemble des @l@ments de S p dont le cobord est dans S p+r
Dp
l'ensemble
r
d e s @l@ments de S p q u i s o n t d a ~ s dS p - r , DP = dC p-r r
donc
= sPgN dS p-r.
r
On a notament les inclusions: 9 .. cDL C D p C r+l
...
C p+I r-i
Les C p e t
~
~
Cp r
D p+I ~ r+l
Dp r
Dp
~
~
...
~
Cp r+l
Cp C q r r
D p sont stables pour
r
Cp
~
Cp r
~
...
C
Sp
~ C p+q r
0~.
r
Le terme E
de l'alg&bre spectrale est d@fini comme somme directe des sousr
modules E p r
o~ Ep
cP/cP+l + Dp r r-i r-i P ils sont donc gradu@s par les Er, on appellera p le degr@ filtrant. Le Droduit r
de e P G
Epet
eq~
E q est d@fini comme la projection dans E p+q de cP.c q oG
r
cp e t
=
r
r
c q se projettent s u r e p e t
bien que de e p e t
e q (cf.
e q respectivement;
[2], p.16). On a EP.E q C E D+q. r
9 L'automorohisme
d
sur E r
suivantes,
p
(Cr'
r
r
p+I + D r-I p et C r p invariants, CA) laisse C r-I
quotient, tun automorphisme diff@rentielle
on v@rifie qu'il ne d@pend
d'o~ par passage au
P et un automorphisme de E r 9 Pour d@finir une de Er,
consid@rons les homomorphismes
(additifs)
des paires
r
o~ le 2&me terme est contenu dans le ler
cP+l
r-1 +
Dp
r-1
)
d
r~
(CP+r P+ll) r , dC _
i
le premier est d@fini par la diff@rentielle
p+r CP+r+l p+r r~ (C r , r-I + Dr-I ) ' d, le deuxi&me par les inclusions
(rappelons que dcP+~ p+r , d'o~ en composant et en passant au quotient, un _ = Dr_l) homomorphisme dP: E p ~ E r
r
p+r r
il est clair que d p+r o d p = 0, d' o~ un endomorphisme lin@aire d de Er, de r r r carr@ nul. On v@rifie alors (voir [2], No. 9) le
VI - 4 THEORE~ i.
E r e s t une alge~brediff4rentielle ~radu~e, dont la diffErgntiell ~ d
au~mente le de~r~ de r.
Er+ 1
est 1,alg@bre de cohomologie de Er, calcul~e avec
la diff~l-entiellc d . r
On pose encore E ~
E oo
avec
= ~ EPoo
EP~Q
=
cP/c p+I + D p, autrement dit
Q(H(S)).
!I est clair que si r crol~t, toujours comme limite.
Ep
s'approche de EP@o ,
r
mais ne lWa n~anmoins pas
Dans le cas general on peut dEfinir une alg~bre l i m E
r
qui contient G(H(S)). ~ais dans des cas particuliers importants, du reste les seuls qui nous int~resseront, il y aura ~galit~. De mane on voit que s i r d~croft, Ep r
tend vers
sP/s p+l, on pourrait introduire E
=
-oo
G(S).
Cas particuliers. l)
Supposons la filtration born~e supErieurement et soit S t = 0.
Alors C p = C p r
et dr est nulle sur Cpr' qui est ainsi form6 de cocycles et applip p+l§ p qu~ sum EP ~; pour r >t-p, on ~ E p = C /C Dr_l, et ~ la limlte cP/c p • p = jp/jp+l. pour r > t-p
2)
Supposons la filtration born~e supirieurement et inf~rieurement, et soit
S u = S~ r > v-u
S v = 03 alors dr, qui augmente le degr~ filtrant de r, est nul pour et pour
r
G(S) =
d'o~
.... =
E r = Er+ I
=
Er_ I .... =
-
Er
G(H(S))
pour
r~-~ u-v
pour
r >v-u;
on a ainsi reii~ G(S) 2 G(H(S)) par un nombre fini d'alg~bres diff~rentielles. 3)
Si les sous-modules S p sont stables pour d, ce que nous n'avons pas supposE,
mais se pr~sente souvent dans les applications, on a P C1 done
=
Cp _- Sp o
Ep
=
DPl
sP/s p+l 0).
dCPll
et
o
de m~me pour E r (r ~
=
Sur
P Eo~
E
O
=
dsP+Ic
=
G(S)
S p+I
;
P celle-ci est obtenue qui est stable pour do,
par passage au quotient ~ partir de d, dtapr~s la definition, done E~
-
H(sP/s p§
enfin en remontant aux d~finitions, on voit sans peine que
VI - 5
E(sP/sp+l)---,,.E(sP+I/sp+2) est l'homomorphisme cobord de la suite exacts de cohomologie du triple (S p,
Sp+l, sP+2).
3. Homomorphisme. Soient S' et S deux alg&breg diffdrentielleg filtr@es! un homomorphisme h de S' dans S gera dit compatible a v e c l a si f ( h ( g ) ) ~ f ( g ) ,
filtration si h(s'P) ~ S p, autrement dit
h 4tant guppos4 compatible avec leg diff@rentielles,
P h(D~ p) ~ D r p alors h(C~ p) c Cr,
on a
et h induit un homomorphisme des algbbres speo-
trales~ cela veut dire qu'il ddfinit un homomorphisme, que nous noterons aussi h, de E'r dang Er, et gi Pr,r+l est la projection des cocycles de Er sur Er+ I, on a sur ces cocycles: Pr,r+l o h = h o P'r,r+l" Si h est un isomorphigme de E~ sur Ek, o'est un isomorphisme de E' gut E r
pour r ~ k ;
on utilige frdquem-
r
ment le
THEOREME 2. Soient S' e_~tS deux a l ~ b r e g
diffdrentielles filtr4es, h u n
homo-
morphisme de S' dams S compatible avec ces. gtructures. Si h induit un isomor2hisme de E k' sur E k et si les filtrations sont born@es supdrieurement, h induit un isomorphisme de E' sur E r
(r~
k) e t u n
isomorphigme de H(S') sur H(S)
r
conservsmt la filtration. On sai% ddj& que h est tun isomorphigme de E' gut E r
l'homomorphiqme
(r~k).
No%ons ioi h*
r
de H(S') dans H(S) induit par h.
a) h* est biunivoque et conserve la filtration! soit o' un cocycle de S', repr@sentant un @ldment non nul de H(S'), ayant la filtration p, donc c ' ~ c' ~
C 'p,
C 'p+l st cs n'es% pas un cobord. I1 a dang E'P=r c'P/c'P+lr r-1 + Dr pl pour r
agsez grand (cf. No. 2) une projection non nulls dont l'image par h est non nulls, dono h ( c ' ) ~
cP+lr-1 + DPr-1 pour tout ~, h(c') n'sst pas un cobord! la
clagse de h(c') ayant une image non nulls dang jp/jp+l = lim E p e s t r tion p. b) h* egt gut. Soit c u n
de filtra-
cooyole de S, ~ montrer: il est oohomologue ~ un
cooyole de h(S'). Soit p la filtration de c~ sa projection danB E p (r grand) r
_ cp+I on peut refaire egt dang l'image de h, d'o~ c = h(c~) + cp+I + dml, ~our le m~me raisonnement et voir qu'il est de la forms h(c 2') + c p+2 + dm2, et ainsi de suite~ la filtration dtant bornde sup@rieurement, on arrive finalement
~. o = h ( o ' )
+ dm.
VI-6
Remarque. Le th~or&me vaut aussi si 1 ' on suppose que les degrgs de E k'
et
Ek,
et non pas les filtrations de S' et S, sont born~s sup@rieurement.
4- Le cas de l'alg~bre canonique-filtr~e. C'est le plus important. On dira tout d'abord que S est gradu~e-filtrge si, outre sa filtration, elle admet une graduation par des sous-modules ns, compatible avec la filtration, ses
intersections
ce qui signifie que chaque S p est somme directe de
avec les ns. Si la diffgrentielle est homog~ne en le degrg n,
alors la graduation se transmet & toute l'alg~bre spectrale et les termes E
r deviennent bigradu~s. Nous nous contenterons d'expliciter cela dans le cas o~ S est canonique pour le degrg n (donc o~ d augmente le degr~ canonique de un). Alors C p e s t
somme directe de modules C p'q en posaut
r
r
C p,q = C p ~ n S r
Dp ' q r
et E p e s t
r
= Dp ~
ns
(q = n -
p)
r
somme directe de modules E p'q oG
r
r
ils sont bigradu~s par le degr~ filtrant p, par le degr~ "compl~mentaire" p+q = n e s t
q;
le degrg canonique ou total, il correspond au degrg canonique de S;
d , qui est d~finie & partir de d, augmente toujours le degr@ total de 1. r On en d@duit le
THEOREME 3. Soit S une a l ~ b r e
canonique-filtr~e.
spectrale est bigradu~ par un degr~ filtrant p e t d
Chaque terme de son alg~bre un de6T@ compl~mentaire q!
augmente p de r et diminue q de r-l, elle augmente le degr@ canonique p+q de 1. r
H(S) est naturellement gradu4 par les sous-modules Hn(S) et G(H(S)) par les sous-modules JP (~ Hn(s)/J p+l f~ Hn(s) -~CP'q/c p+l'q-1 + D p'q (q = n - p ) . Supposons de plus que 0 - ~ f ( s ) ~
degr~ canonique de s! la filtration est alors
born~e par n sur les ~l~ments de degr~ total n. Sur ces derniers d r~n+l
et E p'q = E r+l p,q . . . . . r
P'q pour p+q = n, r ~ n + l . E~
Ainsi,
r
= 0 pour
Vl - 7
m@me si l'alg~bre spectrale a une infinit~ de termes E
d'indice r ~
0 distincts,
r
il suffit pour un degr6 total, de connaftre un nombre fini dlentre eux et ici aussi on a
E~
= l i m E r.
Dans ce cas particulier la conclusion_ du th~or~me 2
vaut sans que l'on suppose la filtration born~e sup6rieurement, En effet, ses hypotheses sont v~rifi~es pour chaque degr~ canonique consid~r~ s~par~ment.
5.
Alg~bre spectrale d,un produit tensoriel K m M.
Soit K canonique, M une alg@bre diff6rentielle,
S = K z M l,alg~bre dlff@rentielle
produit tensoriel. On peut la filtrer par le degr6 en K e n Sp
=
~"
i~p
posant
K i ~ M.
Les r@gles de la filtration sont v6rifi~es, de plus ici,
d(S p) C
S p.
Nous vou-
lons calculer les premiers termes de l'alg@bre spectrale en supposant K sans torsion. Ici, comme la filtration est d@duite d,une graduation, on a E
-
G(S)
S
O
car S p = Kp m M +
S p+I
et
Ep
=
sP/s p+I
=
K p raM.
O
Calculons do, on dolt pour cela prendre d mod S p+I, or d ( k p m m)
dk p m m + ( - 1 ) p
=
~n.
kp ~
Le premier terme est nul rood S p+I
et
do(kP m m)
=
(-i) p kp ~ din,
d~riv~e "partielle" par rapport ~ }~. D~signant par Z et D l e s pour d o on a, K
et
"
Kp .
Z(M)
H(K p m M)
=
Kp m
H(M),
D(K p . M)
-
Kp
E1
=
K m H(M).
=
sP +I
ainsl
On peut aussi dire que Cp
=
Z(Kp x M )
C p+I
+ S p+I
O
Dp + l
o
dCp + l C
0
~
dC p
O
d'o~
Dp + E~
=
dS p
O
Cp+I
o
et
Sp+l
0
Dp
=
D(K p z M)
+
O
=
cocycles et oobords
6tant sans torsion, d'apr~s le Th~or. 7 de ltExp. I:
Z(K p raM)
Z(Kp I M ) ~ ( K p raM)
C p+l O
=
Kp m H(M),
d ~ est la
D(M)
Vl-
8
Cela montre que tout ~lSment ep de E~ Kp ~ Z(}~i). Pour trouve~ ~ ~ , tat darts E~ +I
=
ci = ~i ~ mi '
Kp ~ H(~!). (mi : Z(M))
est projection d,un ~l~ment cp de
il faut appliquer d sur c p, puis proJeter le r~su~Or cp c s t
somme de termes
et
=
dc i
dk. m m i 6
Kp+l m
Z(M),
la projection de c.: est le produit de dk i par la classe de mi; il slensult que d I e s t la d6riv~e partielle par rapport : K. THEOREME 4~
R~sumons cela par le
Soient K e_~tM des alg~bres diff@rentielles ~ K ~tant canonique sans
torsion@ Filtrons S = K I M
par les sous-modules S p =
Z
i~
p
~
raM.
On a
dans l'alg~brespectrale Eo
=
K m M
E1 =
K m H(M)
d o _prolonge la diff~rentielle_ de M e t
est nulle sur K~
=
E2
H(K m H(M))
d I pro longe la diff~ren-
tielle de K et est nulle surH(M). Signalons encore une application in~eressante des th6or~mes 2 et 4. THEO~
5.
Soient M' et M deux alg@bres diff~rentielles~ h tun hamomorphisme de
M' dan__~sM, K une alge~bre canonique sans torsion. S_~ h e st un isomorphisme de H(Mt ) sur H(M) et si le degr6 de K a une borne sup~rieure finie t alors llhomomorphisme, de K m Mt clans K m M induit par h est un isomorphisme de H(K m M' ) su__~rH(K m M)o Introduisons dans K m ~U et K n M la filtration d6finie plus haut 3 h est compatible avec elle et induit un homomorphisme des alg@bres spectrales. Sur E 1 = K ~ H(M) et El
=
K m H(Mt) on voit en explicitant les d6finitions que h r~sulte de itiden-
tit~ sur K et de h :
H(M') --~ H(M)~
c'est donc, vu l~hypoth@se, un isomorphisme
sur. On applique ensuite le Th~or. 2. Rem~rques.
I)
Nous avons ici Introduit sur K m M une seule filtration, ne d~pen-
dant que du degr~ en K~
si M est lui-m~me gradu~ ou filtr~, on peut aussi d6fl-
nir une filtration qui en tient compte. On peut m~me en d~finir une infinit~, en multipliant pr~alablement le degr~ de K par un entier ~ j
dans
d~signe K m M muni de cette filtration; dans ce cas, crest E ~ +I de notre E 2 (of. [2] 2)
[ 2],
K~ m M
qul Joue le r~le
No.17).
Indiquons comment on peut remplacer, dans la d~monstratlon du Th~or. 6 de
l'Exp~
I, la r6currence sur le poids par une 4tude d'alg~bres spectrales. On filtre
E m F = S par moins le degr~ en E en posant
VI - 9 s'P
p Ei
i ~
m
F
(p entier quelconque);
cette filtration est donc diff6rente de celle que nous avons introduite avant, elle correspond ~
~ =-l
de
12~.
Munissons d,autre part F de la filtration
nulle; son alg~bre spectrale est naturellement E
~ F pour
r ~ O,
E
r
pour r ~ O. LIhomomorphisme f - ~
= H(F) r
u m f conserve la filtration et donne un homomor-
phisme des alg~bres spectrales. Dans 1,alg~bre spectrale de E m F, on calcule| E1
=
G(S)
~
E
m
F
S -p
~
C~
=
Ep
x F + S-p+I
ensuite, en d~signant par Z et D los cocycles et cobords pour la d~riv~e partielle par rapport ~ E, on voit que C "p
=
F)
Z (Ep
S -p+I
+
O
D -p
-p.1
+
C_
=
Z(E p
D(E p
m
F)
F)/~(E p
m
F)
=
+
S -p+I
O
donc
E -p
m
O
mais les assertions prouvges dans la lSre pattie de la d~monstratlon du Th~or. 6 de l'Exp. I montrent pr~cis~ment que E~
=
uIF
,
Ep
o
E
o
=
O
si
est de degr~ nul 3 pour los diff6rentielles d
r ~ 0 ,
p
~
O ,
O
E 1 = H(Eo)
-- E o o
=
qulun degr6. L1homomorphisme F
G(H(E I F)) ~u m F
r
=
,
on a
H(E m F)
d
r
= 0 si
puisqu'il n'y a
induit donc un isomorphisme de E
= F O
sur E ~ =
u
~ F, done de E 1
=
H(F)
sur E 1
=
H(E m F), ce qui remplace la
2~me partie de la d~monstration.
6.
Alg~bres spectrales des complexes
K o F
et
K o L.
Nous voulons obtenir des analogues topologiques du th~or. 4 qui seront souvent utilis6sj IEN~
ils seront ~tablis naturellement par passage du local au global. I.
Soient K un complexe can onique fin sans torsion, F u n
faisceau diffgren-
tiel. On suppose S = K o F muni de la diffgrentielle nulle s u_~ K q u i prolonge celle de F@ Alors
Z(K o F) ~ K o Z(F), D(K o F)
Los endomorphismes r i qui font de K o F u n domorphismes de K m F
- K o D(F)) H(K o F) - K o H(_F).
complexe fin sont d~finis ~ partir dlen-
qui n'op~rent que sur K et ainsl commutent avec la diff~-
m
rentielle, et l'on pout appliquer le lemme 6 de l'Exp.lll. Compte tenu du Lemne 3a de l'Expo V e t
du th~or. 7 de l,Exp.l, on obtient
VI - i0
~Z(K o F) - Z(x(X o _F)) -
Z(xK
.
-
D(xK
. -Fx )
xD(K o F) = D(x(K o F))
-x F )
- ~< .
-- x(K o Z(_F))
Z(F)
xK ,o D(Fx)
x(K o D(F_))
9,
qui est un isomor-
Ii y a un homomorphisme ~vident h de K o Z(F) dans Z(K o F)
phisme pour les sections par un point x d'apr~s les ~galit~s ci-dessus# K o Z(F)
et Z(K o F) sont stables par les endomorphismes ri, ce sont done tous
deux des complexes fins ~ supports compacts, et h est un isomorphisme d,apr~s le lemme i de l~Exp. III. De re@me on voit que D(K o F) De la suite exacte
0-~D(F) --~ Z(F)--~H(F)
~ 0
=
K o D(F).
on d~duit d, aprSs le thgor. 6
de itExpo V que la suite
o.
K o D(F_) - ~ K o Z(F_)
," K o H(F_)
>
0
est e~mote~ ce qui montre que K o Z(F)/K o D(F)
K 0 H(F)
THEOREME 6.
=
Z(K o F)/D(K o F )
=
H(K o F ) ,
Soient K un complexe canonique fin t sans torsion~ _Fun faisceau.
Filtrons S - K o F
par les sous-complexes S p
=
IT i ~
P ~
o
Fo
Dans l,al~bre
spectrale correspondante, on a E~
=
G(S)
=
K o F ~
E1
=
K o H(F),
E 2 -- H(K o H(F))J
d o est une diff@rentielle pro!on~eant celle de F et nulle sur K~
d I e s t une dif-
f~rentielle prolon~eant celle de K et nulle sur H(_F). Du lemme 3b de l.Exp. V r@sulte que S p
=
K p o F + S p+I, d'o~
E
--
d(S p) C S p.
=G(S) puisque O
est la diff~rentielle indiqu~e clans it~nonc6 se voit o exactement comme dans le th6or~me 4, et le lemme 2 donne alors 11~galit@ relative E 1.
Le fait que d
Enfin pour d I raisonnement analogue ~ celui du Th~or. 4.
On remarquera
que E 1 a ainsi une structure de complexe. Soit maintenant L un complexe 3 on peut naturellement aussi fil%rer K o L par le degr@ en K et chercher les premiers termes de l,Alg~bre spectrale; on trouve pour E
O
et d
O
la re@me chose que dans le Th~or.4, mais il est assez clair ~ priori que
iron ntaura pas E 1 = K ~ H(L)j en effeb, dans le cas du produit tensoriel, on I' obtenait ~ partir de Z(K
~
L)
=
K x Z(L)
et
D(K x L) =
K ~ D(L), or les
analogues avec o au lleu de x n, ent gu~re de chance de valoir s parce que, comme S(dm) C
S(m),
il se peut fort bien que Iron ait
dm # Oj il suffit en effet que si S ( k ) ~ S(m)
~
S(dm) r~ S(k)
=
k o m / O,
k odm
= 0
mais
~, ce qui est possible m~me
~. On volt ainsi apparai~re deux sortes d~ cocycles pour do,
VI - Ii
ceux qui le sont d6j~ dans K x L et qui forment K m Z(L), et ceux qui le sont pour des raisons g~om~triques, parce que leur cobord a un support vide. Dans le calcul de E 1 il va falloir tenir compte aussi des supports de Kj
cela rend assez plau-
sible ~ priori la necessit~ dlintroduire le faisceau associ~ ~ L e t de remplacer K o L par K o L~ THEOREME 7.
ce qui permet de mieux tenir compte des supports.
Soient K un complexe canonlque fin sans torsion, L t~n comp!exe ~ sup-
~orts compactso F~ltrons S = K o L
par los sous-complexes
Sp =
~i~p
~
o L .
On a dans lValg~bre spectrale correspondante Eo
=
G(S)
=
K o L ;
E 1 = K o H(L)
;
E 2 = H(K o H(L))
do . est la . diff~rentie'~le . . . .nulle . sur . K qui . prolonge cello de L,
d I e s t la diff~rentielle hullo sur H(L) qui prolonge cello de K. Dans llisomorphisme de K o L pacts), sur K o L
(~gal ici ~ (K o L)* puisque L e s t ~ supports com-
du lemme 4 de l~Expo V la filtration se transporte en celle
du th~or. 6, d, oG le Theory7.
7.
Une application~
Dans los exposes ult~rieurs, nous utiliserons surtout los Th~or~mes 6 et 7 cldessus. Ici, nous voulons discuter une application qui se rattache au 3~me lemme de passage du local au global de l'Exp. III. THEOR~
8.
Soient K c anonique fin sans torsion, ~ de~r~s born~s sup~r~eurement,
supports I ccmpacts~ F' et F (resp. L' e~t L) des faisceaux (resp~ des complexes), f un homomorphisme de F' dans F (resp. L w dan~s L) in duisant un isqmorphlsme de H(F_~t) su__~rH(Ex) ,
(reps. H(xL' )
sur H(xL)) pour tout x. Alors f Indult un isomor-
phisme de H(K o F') stir H(K oF),
(resP. de H(K o L:) sur H(K o L))~
Soit h ithomomorphisme de K o Ft
dans K o F
induit pa~ l'identit~ sur K et f. Fil-
trons ces deux complexes par le degr~ en K- Alors h induit un homomorphisme des alg~bres spectraleso En explicitant les isomorphismes du th~or. 6 on voit sans difficult~ que sur E~, f s H(F,) --~H(F)
h est l'homomorphisme r~sultant les complexes K o H(F')
et K o
de llidentit~ sur K et de
H(F)
sont tous deux fins
supports compacts et d'apr~s le lemme 3a de l'Expe V, leurs sections par x sont respectivement 6gales ~
xK ~ H(F~I) et
~
n H(Ex)
donc sont isomorphes par h.
VI - 12
Vu le lemne i de l~Exp. III, h est donc unlsomorphisme de E~
surEl; comme les
filtrations sont born~es sup6rieurement, on peut appliquer le th~or. 2.
L,asser-
tion relative 2 L~ et L se ramSne au cas d~J2 traitg en rempla~ant L' et L par ~v et ~
et en utilisant le lemme ~ de l'Exp. V.
Remarque.
Si ~, et ~
(resp. L' et L) sont gradu~s, avec des degr~s ~
0 et des
diff6rentielles augmentant ce degrg de i~ le Th~or. 8 est valable sans supposer la graduation de K born6e sup~rieurement. La d~monstration est la cela prSs qu'~ la fin
m@me,
il faut remplacer le Thgor. 2 par 1,assertion soulign~e
la fin du No.4. De m@me le th~or. 9 vaut sur X non n~cessairement de dimension finie lorsque Li et L sont gradugs par des degrgs ~ 0 ,
avec des diff~rentielles
augmentant le degr~ de I, et g~ngralise alnsi le lemme 5 de lVExp. III. THECR~Y~ 9.
Seient X loca!ementcompact de dimension finie~ F' et F (resp. LV e t L)
des faisceaux (r~sp~ complexes) f~ms d~ff~rentiels~hun homomorphisme de ~' dans (resp~ L, dans L) induisant un isomorph!sme de H(~ v) surH(E)j sur H(xL) pour tout x E X ) .
H(S*(.F.)), S*(F)
(rest. de H(xL')
Alors h est un Isomorphisme de H(S*(~f))
sur
resp. de H(L') sur H(L).
et S.(FV) sont des complexes fins dont les sections par x sont F
et F~
(Exp. V, lemme 2d). Le cas des faisceaux dans If~nonc~ precedent se ram~ne donc celui des complexes. Soit C u n e couverture fine de X; on consid~re comme dans le lemme 5 de IrExp. III le diagramme
L' - -
% C o L'
L
)CoL
I
Les homomorphismes horizontaux sont du type m ~ u
o m
o~ u est une unlt~ relative
m et sont des isomorphlsmes pour la cohomologie dVapr~s le lemme 2 de l,Exp. III. Ii suffit donc de montrer que IVhomomorphisme vertical de droite, produit de l'identit6 sur C et de h~ est un isomorphisme pour la cohomologiej comme X est de dimension finie, on peut prendre une couverture fine 2 degr~s born~s sup~rieurement (Exp.IV, Th~or.3) et on est ramen~ au Th~or. 8.
Expos6
VII ! AIGEBRE SPECTRALE D,UNE APPLICATION CONTINUE
I. G6n6ralit~s sur les applications continues ou propres. X,Y seront toujours des espaces localement compacts, f une application continue de X dans Y~ f est propre si 1,image r~ciprcque de tout compact est un compact~ on voit facilement que f e s t propre si et seulement si 1,image d,un ferm~ est un ferm6 et l'image r~ciproque d,un point e s t u n compact. Image et image r6ciproque d,unccmplexe.
Soit L un complexe sur Y. Attachons .2
tout ~16ment de L comme nouveau support sur X 1,image r~ciproque de son support dans Y~ le quotient de L par les ~l~ments de nouveau support vide est un complexe sur X, not~ X darts Y,
f-l(L), 1,image r~giproque de L. Si f est ltinjection d'un sous-espace f-l(L) est la section de L par X, introduite dans l'Exp. II~ sl f e s t
surjective,
f-l(L) est alg~briquement isomorphe .2 Lo
Supposons f propre ou le complexe K sur X .2 supports compacts. Alors f(S(k)) est ferm6 pour k ~ K
et en prenant f(S(k)) comme nouveau support, on d~finit sur Y un
complexe, l,image de Ks not~ f(K) ou fKj alg~briquement fK est isomorphe .2 K.
TE~
io i)
2)
f-l(L o L,)
=
o Z-I(L,).
La section de f-l(L) par X' C X est al~6briquement isomorphe .2 la section de L par f(X'), en p articu~er xf-l(L) = f(x)oL.
3)
S i Y. ~ Y,
Y'f(K) est alge'briqaem?nt isomorphe ~ f-l(Yf).K.
4)
S~if est propre et K f~n,
5)
Solent K u n c omple;xe fin ~ supports compacts s!~ X, L un complexe sur Y. Alors f(f-l(L) o K)
=
f(K) est fin~
L o f(K).
Nous omettons la d~monstration des assertions (i) .2 (4) qui est immediate. 5)
f(K) est alg~briquement isomorphe 2 K, d'o~ un homomorphisme h de L m f(K)
sur f-l(L) m K j
soient x ~
yL m yf(K) = y L x FyK
X,
y = f(x),
et x(f-l(L) ~ K)
F =
= f-l(y)j on a Y y L ~ xK I donc h envoie les @l~ments de
supports vide en des ~l~ments de support vide et d~finit par passage au quotient un homomorphisme h de L o f(K)
su~r f-l(L) o K.
En le composant avec f, on ob-
tient un homomorphisme g de L o f(K) sur f(f-l(L) o K)~ les sections par y, toutes deux nulles s i y
g est un isomorphisme pour
~ f(X), ~gales .2 yL m FyK si y = f(x)J
VII
-
puisque g conserve les supports c'est
2
une application inJective~ co,me il est
d'autre part surjectif, c'est un isomorphisme. L E ~ E 2.
Soient K et L des A-couvertures fines de X et Y respectivemento Alors
f-l(L) o K est une A-couverture fine de X. f-l(L) o K est fin ~ supports compacts, puisque K a c e s deux propri~t~s. x(f-l(L) o K) = y L ~ xK est sans torsion, c o m e produit de deux alg~bres sans torsion;
H ( y L m xK) = H(xK) = H~
= ~ puisque H(yL) = H~
= A (Exp. I, Th6or.6).
Enfin, si X' est un compact de X, l,~l~ment f-l(v) o u . o ~ v (resp. u). est une unit~ relative pour f(X') (resp. X'), est une unit~ relative pour X ~.
2.
Homomorphlsme
f* : H(Y,M) --~ H(X,M)
induit par f.
Soient f une application propre de X dans Y, L et K des A-couvertures fines de Y et X, M une A-alge~bre. Etant donn6 h ~ L, assoclons-lui 1,~l~ment f-l(h) o u
de f-l(L) o K, o~ u est une unit~ relative 2 f-l(s(h))~
Cet ~l~ment
ne d~pend pas de lVunlt6 relative (ExpoII~ Th~oroS), lyon d~finit ainsi un homomorphlsme de L dars f-l(L) o K, d'o~ un homomorphisme f' de f-l(L) o K m M.
~ m ~I dans
L, homomorphisme Induit de H(L m M) = H(Y,M) dans
H(f-l(L) o K ~ M) ~ H(XsM )
(cf. Exp. III et lemme 2 cl-dessus), est f* par d~-
finition. Lorsque f nVest pas propre, on posera f* ~ 0 (parce quVil sVagit ici de cohomologie ~ supports compacts). R emarques. I) Cet homomorphisme est "ind6pendant des couvertures fines L e t K" dans le sens suivant I Soient L 1 et K I dVautres A-couvertures fines, ~ correspondant ~ f*. H(f-l(L ) o K ~ ~)
Alors si lion identlfie 2
H(f-l(~) o ~
m ~)
H(L
lthomomorphisme
m ~I) 2 H ( ~ ~ M)
et
par les isomorphismes qui permettent
d'~tablir le th~or~me d'uniclt~ (Exp. IIl), alors f* se transporte en ~ . le voir on compare f* et ~
~ l'homomorphisme ~
Pour
d~fini 2 l'aide des A-couvertures
fines L o L 1 et K o Kl~ nous omettons la d~monstration qui ne pr~sente pas de difficult~. 2)
f. a naturellement une propri~t@ de transitivit~ :
applications propres, alors (g o f)*
~
f* o g*~
Solent X ~
des
pour le voir il sufflt, si L
et N sont des A-couvertures fines de Y e t Z, de remplacer L la d~finition de f*.
Y g-~z
par g-l(N ) o L dans
VII
3)
Soient en particulier ~ ,
~,
- 3
KA, LA l e s complexes des cocha~nes d,Alexander-
Spanier ~ supports compacts de X et Y ~ valeurs dans M ou A. On a un hom~norphisme naturel de ~
dans ~
ou de LA dans KA, c'est celui qui ~ une fonotion
h(Yo,...,yp) fait correspondre la fonction
k(Xo,..~
= h(f(Xo),...,f(Xp)) ,
d'o~ tun homomorphisme g* ! H(~)---~ H ( ~ ) ~ il suffit du reste d,apr~s l'Exp. IV, Th~or.1 de consid~rer l'homomorp~sme
H(LA m M)--~H(K A m M) ainsi obtenu. Cet
homomorphisme est f*, c~est-~-dire que l~on a l e diagramme commutatif
H(K~. ~) <
i
~ H(f l(LA) o KA ~ M)
si i d~signe llisomorphisme du th~or~me d'unicit~. Nous laissons de c~t~ la d~monstration~ facile I de ce point qui ne Jouera pas de rSle pour nous. 4) Soit X un sous-espace de Y e t i 1,injection de X dans Y3 H(XL
m M)
=
dans H(X,M),
H(X,M)
et on a un homomorphisme naturel J* de H(Y,M) = H(L
c'est i. 3 en effet i-l(L )
avec lWhomomorphisme d~dult de
=
XL
i-l(L) m M ~
m M)
et i* s'obtient en composant J* i-l(L) o K m M, et qui est pr~ci-
s~ment ltisomorphisme du th~or~me d unlclte.
3.
L'alg~bre spectrale d,une application continue.
Soit f : X - ~ Y
continue, K et L des A-couvertures fines de X et
A-alg~bre. Nous filtrons S ~ f'l(L) o K
~ M =
(f-l(L) o K)
m M
Y,
M une
par les sous-
modules (qui ici sont du reste des id~aux)!
sp
~
74
i~p
~'l(Li) o K ~ M
Le degr~ naturel de f-l(L) o K en tant que ~ouverture fine de X, celui qui induit la graduation de H(X,M) par les Hn(X,M) est le degr~ total, somme des degr~s en f-l(L) et K, par rapport auquel S est canonique. D'autre part S est isomorphe L o (fK z
M) (lemme 1.5), la filtration 6tant alors donn~e par les id~aux
S o
Z
i~p
Li of(K
M)
Noussommes dans le cas de l'alg~bre canonique filtr~e, o4 la filtration v&rifie de plus 0 L f(h)
~
degr~ h, pour h / O~ homog~ne dans le degr~ total (Exp.VI,No.4)
et toutes les hypothSses du th~orSme 7 de l'Expe VI sont remplies. On a donc le
VII-
THEORE~ I.
Soit f I X --~ Y
4
une a2~lication continue, K et L des A-couvertures
fines~ M ~ue A-al~bre~ et soit F l e
faisceau a s s o c i ~
f(K
m
~).
Alors il existe ~ne algSbre s~ectrale dans laquelle
Eo =~ (~-i(L) o K ~ M)
E1
(d~ est la d~riv~e.par rapport .~ K ,
-'
L o H(F)
E2
,,
H(I, o H(F))
d I la d~riv6e ~ar rapport ~ L)
et qui se
termS.he par l'alg~bre gradu~e associ~e ~ H(X,~) convena-ble~ent filtrg, Le terme E 2 est particuli~rement int~ressantj c,est 1,alg~bre de cohomologie de Y par rapport au faisceau H(E), qui est le faisceau associant ~ y ~ Y de cohomologie H(f-l(y),M) de son image r~ciproque.
1,alg~bre
Si M est commutative, le
terme E2, et par consequent les suivants, a un produit anticommutatif pour le degr6 total (anticommutatif signifie I hPh q = (-1)pq hqh p)
(cf. Exp. V, fin).
l, alg~bre spectrale v~rifie de plus le th6or~me 3 de l'Expo VI, crest-2-dire : E
est bigradu~, sa diff~rentielle augmente le degr~ filtrant p de r, r degr~ compl6mentaire de r-l~ augmente le degr6 total de 1.
diminue le
S~pposons que f v6rifie 1Yhypoth~se suivante : Etant donn6 h E H(f-l(y),M) il existe u n v ~ I n a g e
V de y tel que h soit dans 1,image de H(f-l(v),M) par l'homo-
morphisme induit par 1TinJection~ Alors la topologie de H(E ) se d6crit als~ment: les sections locales de la forme z --~f-l(z).t (z ~ U,
U ouvert de Y,
t~H(f'l(u),M))
d~finissent un systSme fondsmsntal de
voisinages de H(E). La filtration a un sens g~om6trique assez clair~ Elle indique en somme Jusqur~ quel point on peut exprimer un 61~ment de S par les termes f-l(L).
La filtration
de h indique le degr~ minimum de la composante en f-l(L) des diff~rents monSmes qui forment h. Dans la filtration de H(X,E), une classe de cohomologie est de filtration p s i elle contient un cocycle de S p mais pas de cocycle de S p§ Soit f propre. Les cocycles de f~(L ~ ~) (cf. No.2) ont des degr~s totaux et filtrants ~gaux, les classes de cohomologie qui leur correspondent darts HP(x,~) ont le degr6 filtrant maximum p. Lrimage de f* est donc form~e d,61~ments dont les degr~s filtrants et totaux sont ~gaux. Nous reviendrons sur cette question dans le No. suivant. Remarques l)
9
En fait, le NooSO de [2~ fait correspondre ~ f une infinit~ d'alge~bres spec-
trales, chacune ~tant d6finie ~ partir drune filtration de S qui se caract6rise
VIIpar deux entlers
~ ,m, mais, au moins pour les espaces flbr~s, des filtrations
diff~rentes ne donnent pas des alg~bres spectrales essentiellement diff&rentes# lea filtrations sont plus ou moins commodes suivant les probl~mes envisages. Cells qui est utills~e Icl est la filtration
~
= O,
m = 1 de
[2].
2) Nous n'avons consid&r~ que le cas des coefficients constants M, mals on peut aussi d&flnir une alg~bre spectrale par rapport ~ un faisceau quelconque
[2] , S)
L'alge*bre spectrale est aussi "ind~pendante des couvertures fines" dans un sens
analogue ~ celul du No. 2
~.
(cf. [2], i~o.50).
L~homomorphlsme f* dans l~algSbre spectrale.
Nous reprenons les notations des Nos. 2, 3. LE~
3.
Supposons f pro pre,
f-l(y) connexe pour tout y ~ Y.
tration de S par les id~aux S p, on a
C p'~
=
f~(L p m M).
I1 revient au m~me de d6montrer que C p'~ = f(f,(L p ~ ) ) d~finition, C p'~
eat form6 des 61~ments de
Alors dans la fil-
dana L ~
f ( K m M).
Par
L p o (f(K ~ ~I))qui sont des cocycles
pour la d~riv~e partielle par rapport 2 K~ il contient ~videmment f(f' (Lp m M)) et il reste ~ 6tablir l'inclusion contralre. de C~ '~
Si y ~ Y
Soit s ~ Lp o f(K m M) un ~16ment
ne fait pas partie de f(X), on a
y(L o f(K ~ M)) ~ O, sinon,
en posant F
= f-l(y), on a y(L o f(K ~ ) ) = yL m F (K m E ) ) ; dtapr~s le No.6 Y Y de l~Exp. V, lea cocycles de Fy(K ~ ~ ~) forment 1,alg~bre Fy(u I ~), o~ u eat une unit~ relative ~ F ; par cons6quent, le Th~or. 7 de 1,Exp. I montre que les V
coeycles de yL p ~ Fv(K t ~ I~) relativement ~ la d6riv~e partielle par rapport K sont lea ~l~ments de yL p m F (u m }~)~ vu la d~finition de f' (No.2), il est Y clair qu'ils font partie de yf(f'(L p ~ ~)). Ainsi, l,inolusion de f(f'(L p ~ M)) est un isomorphlsme pour les sections par chaque point de Y;
Lp o f(K ~ M) est
supports compacts~ et l'ensemble des cocycles pour la d~rivge partielle par rapport K est fin, pulsque cette d~riv~e commute aux endomorphismes de Lp.
D'autre
part f(f,(L p m M)) est engendrg par les ~l~ments z o f(u m m) o~ u est une unitg relative ~ f-l(s(z)), et eat donc aussi stable pour les endomorphismes de L. L'inclusion de f(f~ (Lp m ~)) dans C p~o 1 de l'Exp~ III.
est donc un isomorphisme d~apr~s le lemme I
VII- 6 D,apr~s le lemme I, f-l(L) = X~
= f(X)@L.
nonique de f-l(L) dans f'l(L) o K
D,autre part l,homomorphisme ca-
d~fini ~ 1,aide dTunit~s relatives
est inJec-
tif (Exp.II, Th4or.8). par consequent f,(L m M) s,identifie 2 f(X).L ~ M. Reprenons maintenant 1,alg~bre spectrale de f. C~ ~~ est l'ensemble des cocycles de f'(L m M), D~ '~ (i)
d(f'(Lp-I ~ M)) p,o p+l,-I = C2 /CI
E~ '~
D,autre part E p~~
(r~2)
C[ +I'-~ est nul, d'o~, vu f'(L m M) = f(X) x M, + ~I'
o
= HP(f(X)'M)
est form~ de cocycles pour d
r
puisque cette derni~re
r
diminue le degr6 compl~mentaire de r-l, donc E p'~ est un quotient de EP'~ il r+l r lui est isomorphe pour r ~ p+l, donc E p'~ = E ~ ~ (car pour r ~ p+l, dr p+l e s t f o r c 6 m e n t n u l s u r l e s ~l~ments de degr~ t o t a l
pas de cobords)
Par d~finition ~p,o
et comme jp+l,-I
= O,
E~ ~
p,
Ep~~ r
= jp, o/jp+l,-!
ne c o n t i e n t donc
(notations de i'Exp. VI)
s~identifie ~ un sous-module de HP(x,M), la mani@re
p,o dont on obtient l'~galit~ (i) montre que Eoo
est l~image de f*.
Finalement on
a le
THEORE~,~ 2.
Soient f ~ X - ~ Y
propre~ et f-l(y) connexe pour tout y ~ Y . Alors
dans llalg@bre speotrale de f, E p'~ Ep'~
= HP(f(X).M),
E ~ ~ est un quotient de
et un sous-module de HP(x;M). En composant les homomorphismes
HP(f(X),M) = E2P'o
~ E p'~ ~ f* !
HP(x,M), Hp ( f ( x ) , M )
on obtient ----@ Hp(X,M).
En particulier, sous les hypotheses faites, l'image de f* est form~e de tousles ~l~ments de H(X,M) qui ont des dimensions et degr~s filtrants 6gaux.
5.
Une applications
Le th~or~me de Vietoris-Begle.
On dira que X a une cohomologie trlviale jusqu,~ n relativement 2 M sl H~
~ M,
~(X,M)
=
0
(0 ~ i ~
n)~ en particulier X est compact connexe
(Exp. V, No.6) et non vide. TREOREE~ 3.
Soit f I X -~Y proprea On suppose, que pour tout y,
ment ~ M une cohomglogie triviale ~us.qu'~.n. Hi(y~M) sur Hi(X~M)
f-l(y) .a.relative_~-
Alors f* est un isomorphisme, de
0 ~---i~ n).
Nous reprenons les notations du Th~or. l:
I1 r~sulte de lfhypoth~se et de ce the-
or@me que dans llalge~bre spectrale de f, on a
Vll - 7
EPl,~ EP~i
Lp =
0
M, pour
E~ 'i = 0
pour p ~
r ~ i,
p ~0
O,
,
l~i~
l~i~n~
total g n e E 2 se rgduit aux termes E p'~
=
n~
il sVensuit 6videmment que
ainsi pour les @l@ments de degr@ HP(Y,~I) (cf~ Th~or. 2, on remarquera
qulici f est surjectif puisque par hypoth~se f-l(y) est non vide pour tout y ~ Y), et dr e s t nulle pour r ~ 2 ,
dlo~
PE~
= E_ ~p,o
=
HP(Y,M)
(p~_.n) et le
th@or@me.
6~
Repr6sentation d, une application dans une application.
Nous nous bornerons ~ quelques indications (pour plus de d@tails cf~[2], Nos. 54-55)~ Soient fl : X I -~yT
et f : X - ~ Y
deux applications continues~ Une repr6sentation
de f' dans f est la dor~a~e de deux applications continues g : X' h : Y'-~Y
~ X
et
v@rifiant le diagramme commutatif XI
g
~
X
,.%
Y
(2) y,
Nous voulons lui associer un homomorphisme de l'alg~bre spectrale (Er) de f dans llalg@bre spectrale (E~) de f,. Nous ne le ferons ici que dans le cas o~ g est pr opr e. Soient KI,K,L.,L des A-couvertures fines de X',X,Y',Y 3 alors h-l(L) o L' est une A-couverture fine de Y,j il y a un homomorphisme de L dans h-i(L) o L', (celui qui d@finit h*), qui fournit aussi un homomorphisme de f-l(L) dans f'-l(h-l(L) o L'), vu la commutativit@ de (2) notons-le hl~
notons comme au No.2
g' l'homomorphlsme de K* m M dans (g-l(K) o Kf) m M. qui d@finit g*. Pour d~finir italg@bre spectrale de f, on partira de la couverture fine S = f-l(L) o K ~ M comme pr~c6demment, mais par contre pour (E~), nous utiliserons S' = f'-l(h'l(L) o L') o (g-l(K) o K')
m M
autrement dit, au lieu d'utiliser directement LI et Kr, on prend des couvertures fines dlexpression un peu plus compliqu~e
h-l(L) o L'
et
g-l(K) o K T.
On
filtrera naturellement S' par le degr@ total de h'l(L) o Lt, en posant donc
VII- 8
(h-l(L) o L') i
S 'p
=
7
= ~ a+b=i
h-l(L a) o L 'b
i > ~ p f'-l(h-l(L) o L')i
o
(g-l(K)
o
K')
~
M
h I e t g' d~finissent alors un homomorphisme de S dans S' compatible avec les filtrations, d'oG un homomorphisme, que nous noterons g*, de (Er) dans (E~), c'est lWhomomorphisme assooi~ ~ la representation de f' dans f donn6e. Ii ne depend pas des couvertures fines. On obtient aussi un homomorphisme de H(S) = H(K H(S:) = H~g-l(K) o K') THEORE~ 4.
m ~{) = H(X,sM )
=
H(X,M) dans
qui est bisn le g* introduit au No. 2.
Soient XI,X~Y~,Y compacts, f',f,g,h d_es applications v6rif%gnt (2)~ J .
--
on suppose que f,-l(y,) e_~tf-l(y) sont connexes f sont surjectives. E'~ ~~ =
m M)
(y, ~ Y , ,
Alors l'homomorphisme g* d_~eE~ '~ =
y 6
Y), et que f' et
H(Y,M) dan s
HP(Y',M) est le transpos~ h* d_~eh.
C1est une cons6quence facile des d6flnitions et du No.2. En effet, on peut ~crire (lemme 2)
s ' = h-1(L) o L o f((~-1(K) o K ) , M) S
= L o f(K m M)
f' et f ~tant surJectifs, les images des ~l~ments neutres de g-l(K) o K t et K ont con~e supports Y, et Y. Cela et le lemme 3 donnent c, p'~ 1
-
(h-l(L) o L,) p o f(u)
C~ '~
=
Lp o f(u) ~ M
=
Lp
et IThomomorphisme de -IC'P'~ dans C~ '~ pris pour d~finir ~ .
M -- - - (l(L) h o L,)P ~ M ~M
donn6 par g* est bien celui que nous avons
Expos@ VIII ! AIGEBRE SPECTRALE DES ESPACES FIHRES
*****
Les applications importantes de l'alg@bre spectrale d,une application continue f connues Jusqut~ present concernent presque toutes le
cas o~ f est la projection
d'un espace fibr~ sur sa base. L, alg~bre spectrale devient alors un instrument plus maniable surtout parce que le terme E 2 prend une forme simple. Cet expos~ est prlncipalement consacr@ ~ 1 ," etude de E 2 et ~ cells des ~l~ments de degr6 filtrant 0 de llalg~bre spectrale~ qui admettent une interpretation topologique simple dans le cas des espaces fibr@s. LVexpss~ IX contiendra des applications de cette th~orie. Bibliographie,I~
J+Leray~ Journ.math=pur~appl. 29~ 1-139 (1950)
[3) JoLeray, Lthomologie dtun espace fibr~ dont la fibre est connex~, Journ.math~ 29, 169-213 (1950) i. Espaces fibres ! d~finition~ D~finition~
Une fibration (E~B,F,p) est un syst~me form~ de 3 espaces E,B,F, et
d'une application ouverte p de E sur B ayant la propri~t~ suivante I pour tout b ~ B il exists un voisinage V b de b st un hom~omorphisme de p-l(Vb) sur V b x F qui applique p-l(c) s u r c x F pour tout c E Vb~ on appelle E llespace total (ou IIespace fibre), B la base, F la fibre type, p la projection de la fibration. On dit qu'une fibration est triviale s'il existe un hom~omorphisme de E sur B x F qui applique p-l(b) sur b x F pour tout b ~ B. La d~finition adopt~e ioi est dono cells de fibration localement trivlale. On d~signera par F b le sous-espace p-l(b), la fibre sur b, il est donc hom~omorphe ~ F.
2. AlgSbre spectrale des espaces fibr@s. LEMME i.
Soient B +compact , F localement compact~
ib l'inJection de F b = b x F
dans B x F. Alors
i .
a)
.
,
,
.
_
a)
i~ e s t un.. hom.omorphisme d e H(B x F,M) sur H(Fb~M)
b)
S i B est..de plus connexe~ le noyau de ~ e s t independent de b.
Soit rb la r~traction de B x F sur Fb, d~flnie par rb(c x f) - b x f, (c e B ) J
rb o ~
est l'identit~, il en est de re@me de ~
o ~,
et ainsi i*b
est surJectif.
VIII
b)
- 2
Soit fcb l'hom~omorphisme de F b sur F c donn~ par b x f
rb = fcb~ r c,
~
=
r-c, e ~ c
h a H(B x F,M), il suffit, que i~(h)
= 0
et ~ c
est un isomorphisme. Soit
B ~tant connexe, de montrer que l'ensemble des b tels
et celui des b pour lesquels
Solt tout d'abord ~(h)
.~o x f, 6videmment
i~(h)
#
0
sont toms deux ouverts.
= O, et montrons que h a un cocycle dont la section par Fb
est nulle} en effet si K est une A-couverture fine de B x F,
on peut envisager
comme l~homomorphisme dgduit de la section K ~ M -~ FbK @ M (expos~ VII, No.2, remarque 4). Si k est un cocycle de h, k' ~ K @ M
tel que Fb(k-dk~ ) = O,
Fbk est un cobord, donc il exlste
k-dk' est le cocycle eherch~
S(k-dk~)
~tant compact, on peut le sgparer de Fb, d'o'~ l~on d~d~it 1,existence d~un vois~nage V b de b tel que F c(k-dk,) = 0 s i c ~
Vb~ donc i*c(h) = 0 pour
a bien un ouvert. Soit maintenant i~(h) = h~ ~ O. ~(h) Comme
=
h'
=
~(h')
,
On peut ~crire
i~(h-~h')=
0
nous venons de le voir, il existe Vb tel que i*c(h-~hl ) i*c(h)
Remarque.
=
i*c~(h' )
Soit ~
montre que ~
~ ~
-
i*cO~cOf~c(h')
llhom6omorphisme f
=
~c(h')
~b x f
: H(B x F,M) -->H(F;M)
~ 0
de F sur F b.
= 0 s i c ~ Vb, donc
si h'
~ O~
La d~monstration
est ind~pendant de bo C'est un cas par-
ticulier dlun th~or~me sur les applications homotopes.
THEOREN~ I,
c ~ Vbo On
(cf. [2], Nos. 67-68).
Soi___~t(E,B~F,p) une .fib.ration o~. E .est looalement, compact~ connexeo
Si B est. l.ocalement connexe~, le terme E 2 de l,a.l~bre sRectrale (Er) d_~ep .est iso.morphe ..~.l'alg~bre de cohomologie H(B o H(F~.!)) de B par rapport ~ u.n.faisceau localement, cons tant,, localement .iso_m0rphe 2 H (F~M) 9 Nous say.ms (Exp~ Vll, Th~or. I) que E 2 - H(L o H(F))
o~ L e s t une couverture fine
de B et o~ H(F) est ~n faisceau dont la fibre en b e s t ~gale ~ H(Fb~M), Is fair que ce faisceau est localement constant r~sulte du 2@me alin~a qui suit 1,~nonc~ du Th~orol de ltExpo VII et d~ lemme i ci-dessus. Notations.
On d~signera par H(F.M) c
le plus grand sous-faisceau constant de
H(F~M) (of. l'Expo V, No@6)o I1 s'identifie doric 2 un sous-module de H(F,M), qul sera not~ H(F~M) c. Enfin, on ~crira H(Fb,M)c de H(Fb,M), isomorphe ~ H(F,M) c.
pour (H(FA.~)C)b, crest un sous-module
Vlll
Remarque.
Si B e s t
- 3
globalement et localement connexe ~
,
la notion de
faisceau localement constant se ram@ne ~ celle des coefficients locaux au sens de Steenrod, comme nous l'avons d~jA relev6. Ce systSme est comme on salt, d@termin~ par H(F~M) et par un homomcrphisme du groupe fondamental
~Yl(B ) de B dans le
groupe des automorphismes de H(F~M). Le cas le plus int@ressant est celui o~ dans E 1 on a un faisceau constant, et o~ par suite E 2 = H(B,H(F,M))
est 1,alg~bre de cohomologie de B 2 coefficients ordl-
naires H(F~M). Pour los coefficients locaux, cela se produit si trivialement sur H(FsM), doric en tout cas si B e s t
~l(B) agit
simplement connexe. Si de plus
M = A est @gal ~ ~ ou ~ un corps on peut appliquer la r~gle de KUnneth, et on a notamment E 2 = II(B,A) ~ H(F,A) si A est un corps, ou (pour A m ~) si H(B,~) ou H(F,Z) est sans torsion. Signalons en passant que it on a dans E 2 des coefficients ordinalres sous l~hypoth@se suivante s la fibre est un groupe topologique compact connexe qui op~re sur E, de fa~on simplement transitive sur chaque fibre (E est un espace fibr~ principal de groupe G), ou plus g@n@ralement, l~espace fibr@ (E/U,B,G/U,p) est le quotient d'un espace fibr@ principal (E,B,G,p) 2 fibre compacte connexe par un scusgroupe fern@ U de G. Pour ce th@or@me il suffit de supposer E localement connexe, il nty a aucune hypothese de trlvlallte locale 2 faire.
3o
L'homomorphisme i* : H(E,M)
) H(F,M).
Nous mettrons ici i* en relations avec les @l~ments de degr~ filtrant 0 de l'alg@bre spectrale~ Soient (E,B,F,p) une fibration d,espace total connexe, ~ base localement connexe, Fb = p-l(b), ~
1,injection de F b dans E. Nous reprenons les
notations du No~2 s S ~ p'l(L) o K | M ~p(p-l(L)
o K |
M) ~ L
o p(K
| M)
et soit SV = FbS , donc S' = b.p(p-l(L)o K |
=
bL
On a H(S') = H(FbK
@ M) ~ H(Fb~M )
de H(S)
dans H(Fb,M )
~
H(E,M)
|
b~
|
=
ainsi obtenu est i~
Filtrons S' par les modules SIp I ~i
~p
|
FbK ~ M .
(expos@ I, thgor@me 6), et l,homemorphisme
remarque 4).
s'P
bL
FbK
(DM.
(expos~ VII, No.2~
VIII - 4 On a Fb~P ) ~
S, p
et la section est un homomorphisme des alg~bres spectrales
(Er) et (Err)_de S et S t.
(E~)_ se oalcule facilement. Vu le th~or~me 4 de
l,exposd VI on aura
(2)
Ei
= bL |
H(FbK |
E~
~ H(FbK | M)
M)
~'P'q -I
= bLp @
Hq(Fb,M )
ou encore E~ p'q = Hq(Fb,M ) , E~p'q = 0
Puisque bL est sans torsion e t a une cohomologie triviale~ qui augmente p de r e s t donc nulle s i r ~ 2, donc E~ form~ unlquement dt~l~ments de degr6 filtrant O~
(p > o).
la diff~rentielle d' r
= E~
~ G(H(Fb,M)) est
cela signlfie que dans la fil-
tration de H(FbsM ) par les modules J,P, induite par les S wp, on a J tl = 0 et H(Fb,M ) est ~gal ~ G(H(Fb,M )), Ainsi ~
(j1) C
j,l
est nul.
THEOREME 2.
So it (E,B,F,p) une fibration d'espace total localement compact# -I connexe de base B localement connexe et compacte~ et posons Fb = p (b). Dans ltalg~bre spectrale (E) de p, constant Hq(F,M) ~ de E2'q ,
E~ ~q
est isomorphe au plus ,wrand sous-faisceau
de Hq(F~M) ~ ~ar cet isomorphisme E ~
correspond ~ l'image de i~
Le no~au de ~
, Hq(E,M)
est jlj il est ind~pendant de bj
qui est un sous-module
,~ Hq(Fb,M ). i~
est nul si B n'est pas
compact. Nous reprenons los notations pr~c~dentes. La section bE I = b(L o H(FtM)) = bL ~ H(Fb.M) est isomorphe ~ E ~
il r~sulte imm~diatement
des d~finitions que cet homomorphisme est induit par la section Fb : S--~S' o~q = p elle applique donc E 1 sur E~ , et si B est compact, E 2 H (L o Hq(F,M)) sur Hq(FtM) c vu le Noo6 de l'Exp. V. Les ~l~ments de E ~
ne peuvent @tre des cobords (r $ 2) puisque d
~O~q r
augmente
r
p de r, doric -r+l
est un sous-module de E ~ celui de ses cocyclesl si r r > q+l, dr e s t nul sur E r~ puisque dr diminue q de r-l. E q+2 ~ = E-oe ~ est un sous-module de E2'q , form~ des ~l~ments qui sont des cocycles pour toutes les dlffgrentielles dr. pr~sentant dans
Crest aussi ltensemble des ~l~ments de ~o~q qui ont un re-2 C~ ~c2'q donc un repr~sentant qui est un cocycle q~2 ~
Nous identifions E2'q que ~(Hq(E,M))
et Hq(Fb,M)C
= -o~'~
par l'isomorphisme section, et voulons montrer
o Soit k E E ~ q, et c un oocycle de C ~
qui se p r o -
Jette sur Iv/, alors Fb(C ) = k (avec los identifications faites), dono k = ~(h) ,
Vlll-
5
h @tant la classe de cohomologie de c, d'o~ nant h 6 H(E,M), et k - ~(h)o nous l'avons vu plus
E ~o,q C i.(Hq(E,M))
soit mainte-
Si k / O, h est de filtration nulls, puisque comme
haut i~(J l) = O.
S i c est un cocycle de h il dolt alors
@tre de filtration hullo, donc c E C~ 'q
admet une image dans E~ 'q, la classe
.
q
_o,q
de cohomologie de FbC , qui est k par definition, d'o~ i~(H ( E , M ) ) C E o o particulier, l'image de i~
est toujours contenue dans
9
s
en
Hq(Fb,M) c, ce qui
naturellement peut se voir directement@ On salt d~j~ que ~(j1) = O, il nous rests 2 voir que le noyau de ~
est con-
tenu dans jlo Supposons qus ce ne soit pas le cas et soit h tel que h ~ jIj i~(h) = Oo Un cocycle c de h est alors de filtration nulls st le raisonnemsnt fait ci-dessus montre que la classe de cohomologle k de FbC est nulls, l'image de h dans E ~ q = jo, q/j!~q-I
est nulls, d'o~ h ~ jl, q-i en contradiction
avec notre supposition~ Si B n'est pas compact,
E2'q & H~
o Hq(F,M))
est nul (exp. V No.6)} d,autre
part dans (E~) on a E tp'q - 0 si p > O, r >/ 2, d,apr~s (3)~ L,image 2 FbE 2 de E 2 par la section est doric nulls par cons@quent FbE r = 0 ( r ~ 2), FbG(H(E~M )) = 0
4~
et fJzalement i~(H(E#M)) = Oo
Repr@sentations d'espaces fibr@s.
Soisnt (E',
B'
.
F'
. P ')
et
(E,B,F,p) deux espaces fibr@s. Conform6ment ~ la
d@finition de repr@sentations dtapplications continues (expos~ VII, No~6), une rspr@sentation de (E', B,, Ft, pl) cations continues
g | E'
>E
dans (E,B,F,p)
et h ~ BI +B E
v@rifiant le diagramme commutatif I
E
p'$ B'
est la donn~e de deux appli-
h
~ B
On peut dire aussi qu ' une repr@sentation est d~finie par une application g : Et-~ E
qui applique chaque fibre de E t dans une fibre de E~
un homomorphisme g. des alg~bres spectrales [Er)
et (Err) de p e t
A g est associ@ p'; remarquons
que si E'~ F',E~F sont compacts connexes, le th~or@me 4 de l'expos@ VII s.appliquej nous vou!ons ici @tudier l'effet de g~ sur les @l@ments de degr~ filtrant O~ on suppose g propre, B3B, compacts connexes.
viii - 6
Soient
Mt~L~jKpL
des A-couvertures fines de E 1,Bt ~E~B,
s
,, p-l(L) o K ~) M
s,
- p,-l(h-l(L) o L,) o g-l(K) o K, ~ M
Soit encore bt un point de B'~ b = h(b)~ gb' la restriction de g ~ F~ 9 On a FbS
= bL ~
F~S'
FbK
@M
= b L ~ b. l l ~ (F~(g-~)
o F~K') |
M
nous noterons g llhcmomorphisme de S dans S: qui d@finit g* ! (Er)---. ( E ~ )
(expos6 VII, no.6).
On volt facilement que F~(g'lK ) ~
gbl(Fb K ). Consid@rons le diagramme commuta-
tif 1
FbS
FbK
M
(5)
Fgs,
*
e-l(FbK )
o
K'
~M
1 et 2 sont les homomorphismes utilisant les @l@ments neutres de bL et bLT, ce sont des isomorphlsmes pour la cohomologle (expos@ I, th6or@me 6),
3 est le ccm-
pos@ de la s~ot~o~ FbK
| M ~ gb'(F'~')'K | M d~ Fb~( 9 M p~r ~(F~,) ~t de l'homomorphisme qui d@finit gWb' ' H(g(F~,),M) >H(F~,,M), Si l'on veut c,est
le transpos@ de ~
o g~, ,
done plus simplement ~
o~ ~
est l'ir4ection de gb3(F~,)
J H(FbIM ) ---> H(F~pM),
dans Fb, c'est
On a alors le diagramme cormm~
tatif
H(FbS)
<
1
>
H(FbbM)
.... >
H(F~,,M)
(6) H(FI~,S, ) ~, "
So•
(Or) ~t(Gp
Z
les alg@bres spectrales de FbS
degr@ en bL I resp. le degr@ total en bL | b ILt~ 6videmment le diagramme commutatlf
et F~SV
(filtr@es par le
comme dans le num~ro 3).
On a
VIII
E~
-
g
G~ g~
(7) E ~~
5
G~2~q
e~ 4 et 5 d~signent lee homomorphismes dgflnis par los sections gtudi~s au No.3. Or on a vu dans ce No. que G ,q
s,ldentifle ~
Hq
S)
Rq(F~,,M), que 4 (resp. 5), est un isomorphlsme de E~ 'q E, 2o,q
sur Hq(F~M)C),
= Hq
,M), G~ 2
sur Hq(Fb,M)C
(resp.
d'o~ flnalement le th~orSme
THEORF~3.
Soi___~t(g,h) une representation de (E~,B,,FI,p,) dans (E,B,F,p). On o,q suppose g propre, B~B .compacts connexes. Si l~on identlfie E 'q e~tEl 2 _
Hq(Fb,M)C
et Hq(F~,,M) c
par les' Isomorphismes du th~or~me 2, alors
g* i E ~q---~E~ 2o~q .se transporte . . en IVhomomorphlsme . . . g~b~ . induit par la restriction de g ~ la fibre F~,o Dans cet ~nonc~ est implicitement contenu le fait que l,image de Hq(Fb~M) par ~ est toujours contenue dane Hq(F~,,M) c.
On volt aussi que
~,
est, ~ des Iso-
morphismes naturels pr~s~ indgpendant de b'.On pout donc parler d,un homomorphlsme g* de H(F,M) c
THEOREME 4.
dane
H(F',M)C~
Soit (g,H) une representation de (E',B',F',p t) days (E~B,F,p).
supp0se Et,E,FI,F
compacts conne~es~ et que dans lesal~bres s~ectrales de pl
et p 6crites pour les coefficients A l'on ait E~ E 2 = H(B,~) |
9
H(F',A),
~H(B',A)
et ~
est le Pr0duit tensoriel des homomorphismes
, H(F,A) --.H(F,,A)o
En effet sous lee hypotheses faites, on a ET~ 'q
= H(B,A)
H(F,A).
Alors l'homomorphisme g~ : ~ - - > E ~ , H(B,A)
On
= E'~ 'O @
E~,q . E~,O @ -2 ~O,q
9 E'~ 'q , il suffit d'appllquer le th6or~me 3 ci-dessu~ et le
th~or~me 4 de l'expos~ VII. (Pour lthypoth~se falte sur E 2
et E~
cf. remarque
au num~ro 2). 5. Autres alge~bres spectrales. Nous avons reproduit ici les th~or@mes dlexlstence d,alg~bres spectrales de Leray, qui sont relatifs ~ la cohomologie d,Alexander-Spanier ~ supports compacts. Depu•
des alg~bres spectrales ayant los m@mes propri~t~s formelles que cellos
VIII
- 8
~tudi~es ici ont ~t~ obtenues dana d~autres cohomologles et sous des hypotheses topologlques diff~rentes. A titre d~orientation, nous en direns quelques mots icl. a)
La th~orie de l.alg~bre spectrale dtune application continue quelconque a ~t~
g~n~ralis~e par HA Cartan (S~minaire de I'E.NoS., Paris, 1950~51, exposes XIV YS(1). Elle vaut pour des espaces non n~cessairement localement compacts, et pour la cohomologie d'Alexander-Spanier ~ supports quelconques. b)
J~P~ Serre a 6tabli l'existence d'une alg~bre spectrale dss espaces fibres en
homologie et cohomologle singuli~re. Les espaces consid~r~s ne sont pas ngeessalrement localement compacts~ et
"espace fibre"
es~ pris dans un sens plus g~n~ral
que celui que nous avons adopt~ ici. Les fibres nctamment ne sont p~s n~cessairement hom~omorphes, mais neanmo_ns leurs groupes d:homologie ou dThomotople le sont. Serre a appliqu~ cette th~orie ~ lV~t~de des espaces de lacets et des groupes d'homotopie des spheres (Th~se, Annals of Math. 54, 425-505 (1951)). c)
Ce qui pr6c~de concerne surtout le cas o~ la fibre est connexe. Pour celui
des rev~tements, o~ la fibre est un groupe discret, H. Caftan a aussi obtenu une alg~bre spectrale (Comptes Rendus 226, 148-150, 303-305 (1948) et S~m. de I'E.N.S. 1950-51, exposes XI et XII)3 elle a comme terme E 2 - H(F~H(E)) ltalg~bre de cohomologie de F ~ valeurs dana H(E), au sens des groupes discrets, et se termlne par l'alg~bre gradu~e associ~e ~ H(B) convenablement filtr~ Cela vaut en cohomologle sLuguli~re ou dTAlexander-Spanier. d)
En cohomologie r~elle, pour la fibration d~un groupe de Lie compact connexe
par un sous-groupe ferm~ connexe, il y a une alg~bre spectrale qui peut gtre d~finie alg6briquement ~ partir des alg~bres de Lie du groupe et du sous-groupe (J. L. Koszul, Bull. Soc. ~ath. France 78, 6~-127, (19~0)). Enfin signalons que si la base de 1,espace fibr~ (localement trivial) est un po~V~dre, on peut d~montrer l~existence d~une suite spectrale dans toute th~orie de l'homologie (S. Eilenberg, S~m. de I'E.N.S. Paris 1950-51, expos~ IX).
Expos~
IX ~ APPLICATIONS AUX ESPACES FIBRES
Cet expos~ est consacr~ ~ quelques applications simples de l~alg~bre spectrale des espaces fibr6s~ emprunt~es en grande partie ~
~3]
J~ Leray, Journ. Math~ put.
appl. 29, 169-233 (1950). Dans cet expos~ nous consid~rons exclusivement des espaces fibres localement compacts, connexes, ~ 2ibres connexes, ~ bases loca!ement cor~nexes~ Espace flbr~ est pris au sens de la d~finltion de i | expose9 VIII, c:est donc un espace fibr~ "localement trivial"
(i~
tout point de la base a un voisinage au-dessus duquel
la fibration est un produit topologique). Notation.
Pour des raisons typographlques, on d~signera par E., resp. ~.P'q
l~alge~bre terminale de l~alg~bre spectrale (Er) , resp. les modules qui d~flnissent sa bigraduation. I. Rappel de r~sultats. THEOREME i.
Solent (E,B,F,p) une fibration, M une A-algebHe. Alors il ex~ste une
al~bre spectrale (Er) sur A, q.ui se termine par l!a!g~bre gradu~e as soci~e H(E,M) convenanblement filtr6e~ et dans la~uelle E~ ~ H(B o H(F,M))est 1,alg~bre de .c~176176176 de B par rap~ozt ~ un faisceau., localement, cons~mnt,, localement isomor~he ~ H(F,M). Ce th6or~me a ~t~ d~montr~ dans les exposes VII et Vlll. Nous r~sumons maintenant les prlncipales propri~t~s de (Er) obtenues dans ces exposes. a) E r est une alg~bre diff~rentielle sur A, bigradu~e par des sous-modules E p'q" r J en particulier E p'q ~ HP(B o Hq(F,M)). (~ dira que p e s t le de~r~ base, q le degr~ fibre, p+q le degr~ total, ces degr~s seront notes respm DB,DF~D~ l~alg%bre de cohomologie de E
pour une diff~rentie!le d r
~minue DF de r-l,
augmente D de lj
Er+ I e s t
qui augmente DB de r, r
E r est une alg~bre dAff~rentielle canonlque
pour le degr~ total~ elle est (pour r ~ 2)~ anticommutative par rapport au degr~ total si M est commutativeo b) Nous notons JP les modules (qui sont ici du reste des id~aux), qui d~fln~ssent la filtration de H(E~M) et posons JPPq = jP ~% HP+q(E~M)~
On a JP ~
jp+l et
JP est somme directe des modules JP~qj la filtration est "comprise entre 0 et le degr~", ctest-~-4ire que
jo = H(E,M),
JP'q ~ 0 si q < 0 .
Dans E. on a
IX - 2
~.,q = jp, q/jp+l,q-1 ~.
et
%
"
E+~ .
E l ' n - 1 + . o . . + E~ , ~
est donc la somme directe des quotients successifs de la suite normale Hn(E,~I)
=
jo, n ~ j13n-1 ~
Si M = A est un corps, ~ .
.... ~ ~ , o ~
jn+lj-1
=
0
est isomorphe 2 Hn(E~), mais cet isomorphisme ntest
pas en g@n@ral Intrins@quej n@ar~oins l~inclusion
jn~o(Hn(E;~)
est un isomor-
phlsme naturel de En'~
dans ~(E,M),
(pour des coefficients quelconques).
e)
: H(B,M) ~
H(E,M)~-
L'homomorphisme p*
est compact~ Dans cecas on a
E~ ~~
=
ll ne peut @tre non nul que sl F
HP(B o H~
=
RP(B,~). Dtautre part
oes @l@ments de E p~~ sont tous des d-cocycles, si r ~ 2 car d dlminue DF de r r r r-l, et ~r+l ~p~o est un quotient de E p~~ r J on a une suite d~homomorphismes sur
To
>T
et iVhomomorphisme HP(B,~I) ~ d)
L'homomorphlsme i* ) H(E,M) compacte. Dans cecas E~ 'q
contenu dans HCF,~))o
~
. . . .
_-
HP(E,M) r~sultant est p*. ~)H(F,N).= ~ c
II ne peut ~tre non nul que sl B e s t , (plus grand sous-faisceau constant
D~autre part les @l@merlts de E ~ r
ne peuvent ~ r e des co-
bords (r >t 2) pour d qui augmente DB de r) E ~ e s t donc tm sous-module de E~ r r§ r l'ensemble de ses d-cocycles. On a la suite dtincluslons r Eo;q Hq(F, 0 c = E 'q D E~ 'q q§ = E.o,q .
'
La premiere ~galit~ est donn~e par un isomorphisme qui applique i*(Hq(E,M)) sur Eo, qj
llimage de i* est donc 1Tensemble des ~l~ments de E ~ qui sont des cocycles 2 pour routes les diff6rentielles. On a aussi vu que le noyau de i* est ltid~al ~ . e)
Remarques sur E2.-
Si la base est globalement et localement cormexe par arcs,
la notion de faisceau localement constant se ram~ne ~ cello de
syst~me local
au sens de Steenrod. On a des coefficients ord!naires H(F,M) dans E2 sile groupe fondamental de B agit trivialement sur H(F,M), donc en particulier si B est ss ment connexe ou encore si la fibration a&met un groupe structural co~nexeo Si llon a dans E 2 des coefficients or ~dinaires, cTest-~-dire s l l e faisceau H(F,~I) est constant~ on pout appliquer la r~gle de KU_~neth pour calculer E 2. si M = A = K est un corps, on a E 2 = H(B,K)
n
H(F,K) - H(B x F,K)~
Par exemple si
M = A = Z, H(B,Z) m H(F,~) est contenu dans E2~ le quotient E2~(B)Z ) m H(F,Z) est le produit de
torsion Tor(H(B,Z),H(F~Z)) de Cartan-Eilenbergj c'est une fonction
IX - 3 billn~aire des groupes de torsion de H(F~Z) et H(B,Z)o E 2 = H(B,Z) K H(F,Z).
Si l.un d'eux est nul on a
Si lee groupes Hi(B,Z) et HJ(F,Z) ont chacun unnombre flni
de g~n@rateurs, il suffit pour calculer Tor(H(B,Z),H(F~Z~ de savoir que Tor(Za,~)
=
Z(a~b)~ (a,b) = p.g~cod,
[2] , No.18).
de a e t b ~
(voir sur cette question
Mentionnons encore qu'au point de vue de la bigraduation on a la
suite exacte: 0 --~HP(B,Z) ~
2.
Hq(F,Z) --~ E P'q 2 --~ Tor(HP+I(B,Z),Hq(F,Z) )
-> 0
MaJorations des nombres de Betti 3 caract~ristique d~Euler-Poincar6.
Notations:
Nous dirons que H(X,A) est de type fini, si HI(X~A) a un nombre fini
de ggn~rateurs pour i quelconque~
si A e s t u n corps, on notera alors Pk(X) la
dimension de Hk(x,A). THEG~E
2.
On suppose que le faisceau H(F~M) est constant sur B, que !es modules
H(BsA ) e_~tH(F~A) sont de type fini. Alors H(E,A) est de type fini et si de plus A est un corps~ on a
pn(E)Z_
pa(B) %(F).
a+b=n Soit tout d'abord A m u corps. Alors E p'q = HP(B~A) ~ Hq(F,A) et dim E_a,b 2 = pa(B) ? ( F ) ~ Comme E r§ a'b ~st un quotient d'un sous-espace de Ea,b r 9 . _a,bI on a ev~demment ~im Er+ Pn(E) = dim ZE. = Si A = Z,
~
dim Ea, r b ' d'o~ dim E a:b ~
dim E~
+
o.. +
dim E n'~ ~
Pa(B)Pb(F) et
Pn(B x F).
E2 /
H(B;Z) ~ H(F,Z) = Tor(H(B~Z),H(F,Z)) , et d'aprSs ce que nous _a~b avons rappel~ au No.1 e), Eq a un nombre f~mi de g~n6rateurs. I1 en est alors
de m@me pour Ea'br et Ea'b' puisque _ajb Er+ 1 est quotient d~un sous-groupe de Era'b b @ Ainsi k ~ ,, et que Ea'b = Ea, a+b+2 a un nombre fini de generateurs~ c'est la somme des quotients successifs d~une suite normale de sous-groupes de Hn(E,M) qui a par consequent aussi un nombre fini de g~n~rateurs. Remarqueo
On d~montre aussl facilement que si deux des modules H(E~A), H(B~A),
H(F,A) sont de type fini, le troisi~me l'est aJssi. THEOREME 3.
.Soit K un corps,
On suppose que le faisceau H(FtK ) est consta~nt sur
B, que H(F,K) et H(B,K) sont de dimensions finies. Alors
7(E)
=
~(B)
~
~
(F)
IX
Nous notons
~(Er)
n~ne de Polncar6,
-
h
la caract~ristique d,Euler-Poincar@ de Er, P(r,t) son polYC(r,t) le polyn6~ne de Poincar~ de l,espace de ses dr-cocycles
(tout cela pris par rapport au degr~ total)~ On a ~videmment, puisque dr augmente Ddel P(r+l,t) = C(r~t) - t(P(r~t) - C(r~t)) = donc
~ (Er+l) = P(r+l,-l) = P(r,-l)
d,o
--
(l+t)C(r~t) - tP(r,t)
= ~ (Er)
7 ( E 2)
(B) o
(F)
puisque sous les hypotheses faites on a E 2 - H(B~K)
3.
H(F~K).
Fibre totalement non homologue ~ z~ro.
Notations. r~
m
2.
On dit que l'alg~bre spectrale est triviale si d r = 0 pour tout
On a dans oe cas E 2 = E 3 = ........ = E..
On dit que F est totalement non homologue ~ z6ro dans E, relativement ~ M, si i*
, H(E,M) --~
H(F,lVI)
est surJectif.
H+(X,M) d~signe l'ensemble des ~l~ments de deg2~s ~ 0 THEOREME 4.
Soit
de
de H(X.M).
(E,B;F,p) un espace flbr6 compacto Pour que F soit totalement
non homolo~ue ~ z~r 0 dans E, relativement ~ un corps K, ll faut et il suffit que llal~@bre spectrale (Ee) sur K de ia fibration soit triviale et que le faisceau H(F~K) soit constant sur B. Si H(F~K) E~ 'q
=
H(F~K) c, alors E 2
=
I ~ Hq(F,K).
=
H(B,K)
m
H(F,K) 3
Si IIalg@bre spectrale est triviale, alors i* est sur d'apr@s No. I d).
R~ci-
proquement, supposons que i* soit surjectif, alors H(F~K~ = H(FtK) c (of No. I d)) et E2
=
H(B,K)
m
H(F,K)
. E p'q
~ E p'O
~
E2'q
(la deuxi@me ~galit~ provient de ce que, F et B ~tant compacts,
H(F,K) et H(B,K)
ont des 61~ments neutres I, et i' on peut ~crire HP(B~K) m Hq(F~K)
=
(HP(B~K)
~ I) , (I z Hq(F~K))).
sur E p'~ , elle l'est aussi sur E~ 'q doric sur E ppq r~2.
et sur E2;
d r e s t naturellement nulle
d'apr@s l'h~oth@se et le No. Id)J elle l'es%
on verra de m~me par r~currence que dr = 0 pour tout
IX
THEOREME 5.
-
5
Si F est totalement non homolo~ue ~ z ~ r o relativement. ~ K .dans
l'espace ~br~..compact (E,B,F,p), alo rs H(E;K) e st add%tivement Isomorphe H(B x F,K)o
L:homomorphisme p~ applique H(B,K)
biunivoquement dans
H(E,K) . Le
noyau de i* est llid~al engendr~ par p* (H+(BsK)). On sait d~j~ que E 2 = E., done dim Hn(E,K) ~ dim nE. ~ d~m nE 2 ~ ~im Hn(B x F,K), et p~ est biur.~voque, v u l e No i c)~ Itldeal de I~(H+(B~K))~ com~2 p~(Hk(B~K)) = ~ o p~(H§
II reste ~ voir que le noyau de ~
Nous avons rappel~ au Nee I d) que ce noyau est ~ et que ja ~b ~
est contenu dans ~ .
ja+b ,
Pour obtenir
il est clair qua l,•
sur p ~ 0 ,
pour p e t
n positifs
n ~tant ~ixe, on procedera pour cela par r~currence descendante en tenant compte de ~n+l~-i
G(H(E~K))
de
l,inclusion contraire, il s u ~ i t
de montrer que jp,n-p est contenu dans l~id~al de ~ + ( B # K ) > # quelconques~
est
=
E. ~ E 2 = H(B,K)
THEORE~E 6.
~
.
0
et du fait que
H(F~K), ce qui ne pr@sente aucune difficultY.
On suppose qua pour 1,espace flbr~ compact (E,B,F,p), le. faiscesu
H(F~K) est constant sur B, 1,alg~bre H+(F,K) est en~endr~e par se s ~!~ments de .degr~ posit if paJ~ ~%nimum. S~i K est de caract~.ristlque O,
Fest
tota lement non homolo~ue ~ zOro dans E re la-
tivement ~ K. II nous suffit de montrer qua (Er) est trivialej soit s le degr@ minimum de H+(F,K), est supposons avoir d~J~ etabli " l que
d2 = ~.... = dr. I = O,
done
E r = E 2 J alors pour montrer qua dr = O, il suffit de faire voir que dr(E ~
= O; en effet crest le cas, dr qui est une diff~rentielle, est aussi
nulle sum E ~
= I m Hn(F,K) qui est engendr6 par E~
r
sur E p'~ r
r
done d
Pour 2 ~
r ~
r
est nulle sur E p'q = E p'~ r r
H
E~ r
d,autre part d
r
est nulle
et finalement sur E . r
s , il est clair que d ( E ~
m O, car il n'y a pas de DF interm@_Oj8 diaire entre 0 et s, done dr ~ 0 pour r ~ s et Es+ I = E 2. Soit x~,:s+l ' alors ds+iX = y ~ E :+l, o et y.x = y m X E ~ s_s+l,s +l " Es+l est canor~que et anticommutative pour le degr@ total, donc x est dans son centre et de plus ds+l xm
=
~ d s + i X o xm'l
=
my ~ xm-l,
Mais x est nilpotent (expos~ III, th6o-
r~me 2), il existe donc m tel que xm'l ~ O, xm = 0 et alors m-1 o my m x = dxm = 0 ~ dlo~ y = 0 puisque K est de caracterist~que
nulle;
ainsi
O,S
ds+l(Es+l)
=
0 ,
ds§ l = 0 et Es+ 1 = Es+ 2.
Pour r > s + l ,
dr qui diminue DF de
IX - 6 r-l, est nulle sur E ~
dTod par r@currence d
r
Remarques.
I)
~
pour tout r ~
2.
La conclusion du th~or~me 6 subsiste si
H(F~K) = H(FI, K ) I .o .... ~ H(Fm~K ) ,
o~ H (Fi~K) est engendr~ par ses ~l~ments
de degr@ pair minimum (i = l~...,m). 2)
= 0 r
D~monstration analogue.
On a des propositions analogues aux th@or~mes 4 et 5 pour les coefficients
entiers si H(B,Z)
ou
H(F,Z) est sans torsiono Le th~or~me 6 et sa g~n~ralisa-
tion l) valent aussi pour les coefficients entiers si H(F,Z) est sans torsion. Los d@monstrations sont los m@mes.
4.
Cocycles maxima et m~nima~ fibrations de
LEMME. a)
itespace euclidien.
On su2pose ~ue dans la f~_bration (E,BtF,p) le faisceau ~
Si Hi(B,K) = ~(F,K)
~ 0 2our i>u,
J~
v,
est constant.
_u,v = HU(B,K) m HV(F,K) est ~;2 - '
appliqu@ i s o m o r p h i q u e m e n t s u r Eu ~ v .
b)
Si ~(B,K) = ~(F,K) =
0 o~
i<
s ,
J ~t
,
E s3t = HS(B,K) ~ Ht(F,K) est appllqu~ isomorp~hi~uement sur Es't ,
a)
Pour p ~ u
ou q ~ v
s~quent dr , r-l, Eu, v 2 b)
E u'v r
=
i
, ,ii
on a ~2 'q
i
=
0 donc aussi EP'qr =
0 (r~2)
, par con-
qui augmente DB de r, est nul sur EU~Vr et comme dr diminue DF de
ne contient aucun cobord (r $ 2) d'o~ _u,v _u,v u,v E3 = "''" = Eu+v+2 = E~ .
Pour p ~
s
dr, qui d ~ n u e
ou
q~t
on a E p'q
=
DF, est nul sur E s't ~
0, donc E p'q
= 0 ( r ~ 2). Par consequent
dTautre part E s~t
ne contient pas de
d -cobord car un tel ~l~ment devrait proven~ de E ~-r't+r-1 d' o~ _s,t _s,t r ' E2 = ";3 = *'~ = E*~t ~ COROLIAIRE.
Si toutes les hSr2oth~ses du th~or~me 7 sont r~alis~es et si de plus
.le ~olyn6~ne . . . de Poincar~ de H(E,K) est t n ~ alors ceux de H(B~K) r espectivement t a e_~t tb
e t H(F3K ) sont
(a+b=n),
En effet sous les hypotheses faites~ E. est aussi de dimension i~ Ii y a un seu! couple (asb), tel que Ea'b
~ O, et alors a+b=n.
Le lemme montre alors que s ~ u - a,
t = v = b
E~ 'b
- K.
st ~(B,K)
=
Hb(F#K) -- K.
THEOREME 7.
Soit (Rn,B,F,p) une fibration de l,espace euc!idien R n ~ fibres con-
nexes. Alors B et F o n t po1~ la cohomol9~ie ' dfAlexander-Spanier ~ supports compacts les m~mespolynSmes C~OLLAIRE I.
de Poincar6 que R a" e t Rb
(a+b~n).
II n'y a pas de fibration (localement triviale) de R n ~ fibre
compacte conn exe non r~duite ~ un point. COROL!AIRE 2.
Ii n'y a pas de fibration (localement triviale) de R n 2 fibre
connexe et 2 base compacte non r~duite ~ un point~ On d~montre facilement que Hn(Rn, Z) = Z~ Hi(Rn, Z) ~ 0
(i # n) pour la cohomologie
supports compacts~ On peut en effet envisager cette derni~re comme la cohomologie relative de la sphere S
modulo un point P (expos~ IV)~ la suite exacte de cohon mologie relative donne Hi(RnsZ ) ~ ~(Sn, Z ) pour i ~ O , vu que H~ Z) = O, que p* s H~
Z) ~
H~
est un isomorphisme sur et que ~(P,Z)
La fibration ~tant localement triviale, B e t
= 0
(i # 0).
F seront localement connexes par arcs,
donc aussi connexes par arcs, puisque ils sont connexes et la suite d'homotople montre que B e s t
simplement connexe, par consequent le faisceau H(F,K) est cons+~nt
sur B. F et B sont des espaces (s6parables m6triques) de dimensions finies ~ F e s t un sous-espace de Rn
nj en effet,
et B poss~de un syste~me fondamental de voisinages qui
s'identifient ~ des sous-espaces de R n (par la trivialit~ locale de la fibration)~ par consequent I ~(B,K)
= HJ(FjK) -- 0
pour i ~ u
= dim B,
J ~v
=
dim F.
Ainsi toutes les hypotheses du corollaire au lemme i sont v@rifi~es, ce qui ~tablit notre th~or~me et ses corollaires. RE~QUE. On peut d~montrer qu'il n'y a pas de fibration localement triviale de R n fibre compacte (connexe ou non) non r~duite 2 un point. Une fois le corollaire 1 ~tabli, on volt facilement quill suffit de d6montrer cette impossibilit6 lorsque F est discr~te~ dans ce cas on peut envisager R n comme le rev~tement universel de B, donc la fibre comme un groupe fini operant sans point fixe sur R n. Si elle avait plus dlun point on en d~duirait ltexistence dtun groupe cyclique drordre premier operant sans point fixe sur Rn~ ce qui serait en contradiction avec un th~or~me de P~A. Smith. Par contre lthypoth~se F connexe n'est 6videmment pas superflue dans le corollaire 2, comme le montre l~exemple Rn/z n = Tn .
IX - 8 5.
Espaces flbr~s ~ fibres sph~riques.
THEOREME 8o
Suite exacte de W. Gysino
On suppose ~Je po'~j~iVespace fibr~ compact (E,B,F~p), le faisceau
H(F,A) est constant e.t que H(F,A) exacte ~ Hn(B,A)
Hn+k+l(B,A)
z*
=
H(Sk,A ) ,
~
(k > 0)~
Hn+k+l(E~A)
J* >
Alors on a une suite Hn+l(B~A)
z* est le cup-prcduit par ~u g]~ment z ~ ~+l(B,A) qua, si k est p air~ vgrifie 2z = O~ On a ici E 2 = H(B,A) ~ H(F,A),
(m~me pour A ~ Z, car alors H(F,Z) est sans torsion
par hypothSse)~
et E p'q = E p3q = 0 pour q / O,k , r>/ 2. Les seuls degr~s -2 r fibres gtant 0 et k, seule la diff~rentielle ~ + l peut ne pas @tre nulle. Ainsi E2
= Ek+ 1
, Ek+ 2
=
H(Ek+I)
=
E.
= G(H(E,A)).
Nous d~signons naturellement par i des g&n&rateurs de H~ encore h un g6n~rateur de ~(F,A)o Ek+ 1
=
H(B,A)
~k '~ +i
=
Hn(B,A) m
et H~
soit
On peut gcrire
m
1 + H(B,A) ~ h I {
_n-k.k ~;k+l"
= Hn-k(B,A) m h
D~signons par z l'gl~ment de ~+I(B~A) tel que ~+l(1
~ h)
=
et par Ann. z, resp. (Ann. z)n , Les cocycles de Ek+ 1
k+l, o Ek+ 1
z ~ 1 ~
l.armulataur de z dans H(B,A), resp~ dans Hn(B,A).
forment &Tidemment H(B,A) H 1
et les cobords sont H(B,A).z ~ 1 , E.
=
+
Arm.
z m h
d'o~
H(B,A)/H(B,A).z + Ann.
z m h .
%
ne contient que deux termes ~E:~ '~ et E n-k'k , donc dans la suite nornmle et ~-k+l,k-1 = ~ , o Hn(E,A) = jo, n b ~ , o D 0 , on a jo,n = ~ - k ~ k On peut eorlre " "
H (B ; A)/H -k-I(B 9 A) (Anno z)n-k
En, o o
.
.
Z
m h = En-k,,k
=
jn-k,k/~-k+!,k-1
= jo,n/~,o 9
IX - 9 Soit f* la projection de Hn(E,A) sur .E~ k'k , Hn-k(B,A) qui fair correspondre ~ y
m h
g*
l'isomorphisme de ~.-k,k
l'~!6ment Y9
J*
=
dans
g* ~ f* est alors
un homomorpP~sme de Hn(E,A) dans Hn'k(B,A) dont le noyau est jn, o .p,(Hn(B,A)) et dont l~image est (Anno z)n~k~
La suite de l'~nonc~ est alors exacteo En effet,
dans Hn(B,A), le noyau-image est (Ann~ z)n~ dans Hn+k+I(B,A) c,est Hn(B~A) dans Hn+k+l(E,A), c,est jn+k+l,o = p~(Hn~k+l(B,A)).
9
z,
On a naturellement h.h = O, donc sl k est pair ds+l(l H h.h) = 0
"
d'o~
2z m h ,
2z - 0 ,
ce qui termine la d~monstration du th6or~me 8. R emarque~ Si E n'est pas compact, on a aussi une suite exacte analogue 2 celle de 1.~nono~ du th~or~me 8, mais l'homomorphisme s* dolt ~tre d~fini dlreotement partir de d . et ne peut ~tre interpr~t~ c omme le cup-produit par une classe de s cohomologie ~ support compact~ En fait, ctest~ comme on sait, le cup-produit par la classe caract~ristique, qui ntest pas ~ support compact si B n,est pas compact (sauf si elle est n1~lle). On a aussi une suite exacte si le faisce~u H(F,K) n'est pas constant, llufaut reinplacer dans le th~or~me 8 chaque terme H~(B,A) pr~c~dant z* par H~(B o H~(F,A)).
6.
Espaces fibres ~ bases sph~riques. Suite exacte de HoC@ Wang.
THEOR~E 9.
On suppose que dartsla fibration (E,B,F,p) le faisceau H(F,A) es~t
constant et qu e H(B~A) ~(E,A) On a ici E 2 Se~le ~
=
H
(~k,A) " (k > O) .
i*) ~(F,A) =
H(Sk,A ) m
A lors on a la_ suite exacte _
g~> Hn-k+l(F,A) et E p'q
H(F,A),
J*)
~+I(E,A)
= EP'qr =
0
Q(H(E,A))
.
.~
pour p / O,k
, r >/ 2.
peut ne pas ~tre nulle et E2
=
Ek
Ek+ l
-
Soient i et h des g&n~rateurs de H~ Ek _k.n-k OU encore ~k
= =
h m
H(F~A)
h m ~ - k (F,A) ,
~k,n-k Les ~l~ments de ~k
E.
-
et ~(Sk, A). +
On a
i m H(F3A ) E k ,n
=
i ~ h~n(F,A).
_o,n sont tous des ~-cocyoles. Les ~l~ments de ":k
qui sont
des cocyoles sont alors des cocycles pour tout r, ils forment donc i*(~(E,A)) dtapr~s le Nor 1 d). les cocycles de E k sont donc
IX - i0 h ~ H(F,A)
+
i*(H(E,A)) o
Les cobordsj qui ont un DB = k, sont tous contenus dans h ~ H(F~A)~ donc E~ ~.
=
h m H(F,A)/~(Ek)
+n'a que lee termes
jn-k l~k-1 = 0 J
+
I*(H(E,A)) ,
otn e~_ _~.
Ek'n-k
par consequent E n k~k
naturelle ~ un sous-module de ~(E~A)
donc jll n-I
,
9
=
~-k,k
=
~-k,k
et
sfidentlfie ici de fagon
st i*(~(E,A)) -
jo,n/jl, n-1 = jo,n/jn-k,k est le quotient de Hn(E,A) par ce sous-module. Solt _k~ n-k f* lthomomorphisme de E k dans ~(E,A) qul r~sulte de la projection de Ek, k n-k
sur E.k'n-k
et de ltinclusion de ce dernier dans Hn(E,A). I1 est clair
que la suite suivante est exacte Hn(E,A) _ ~
Hn(F,A)
~>
_k,n-k+l
f*)_
Ek
Hn+I(E,A)
S,9
mais E k'n-k+l = h @ Hn-k+l(F,A). Soit u 1,isomorphisme 6vident de -k+l'" k~n-k+l . -1 H~ (F,A) sur E~ , si l'on pose g* ~ u o ~ , J~ = f~ D U~ t
"
,
,
k,n-k+l
et si I cn remplace dans !asuite precedente E k
par
-k+l
Hn
(F~A)
on obtlent
la suite de 11~nonc6, qui est donc exacteo P emarque. On v~rible faolismen% que Ithomomorphisme g~ s H(F,A) > H(F,A) dl~m!nuant le degr~ de k-l, que nous avons d~/inij a la propri~t~ ~r.]Itipllcative suivante: Si k ~st pair
~ g*('~P.v) - g*(uP)Qv + (-1)PuP.g~(v) .
Si k est impair
s g*(u.v)
= g*(u).v
+
u.g*(v).
