© LAVOISIER, 2003 LAVOiSIER
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; Le. ÇA1de:d,~)p.\l3i:?'Qfij.Î~J~I,Wtellec!uelle n'autorisant. aux termes de l'article L. 122-5, d'une part,qllc··lcs.,'!copics ou l-épl.:Oa·lIctions slliclcmenl réservées il l'usage pdvé du copisle et non destinées il une utilisation collecLivc" ct, d'autre part, que les analyses clIcs cmu-tes citations dans un but d'cxemple el d'illustration. "taule l'cprésentation ou reprodllcjjon intégrale, al! partielle, faite sans le consentement de l'aUleur ou de ses ayants droit al! nyants enliSe, est illicile ll (nrticle L. 122-4), Celte représentation ou repmductiol1, par quelque procédé que ce soit, constitucrait donc une contrefaçon sanctionnée pnr les articles L. 335-2 cl suivants du Code de la pmpriélé intellectuelle.
Commandes non linéaires
sous la direction de
Fra11çoise LanlJ1abl1i-Lagarriglle Pierre R01ICl1011
Il a été liré de ce! ol/vrage 20 exemplaires hors cOl/1merce réservés al/X lIIembres du comité scieJ1ti(ique, {ilLY a1lleu/'s et il l'éditeur IIJI111érolés de J à 20
C0111111a11des 11011 li11éaires salis la direcli011 de Françoise LaJ11llabhi-Lagarrigue el Pierre ROllclwn fait partie de la série SYSTÈMES
TRAITÉ IC2
AUTOMATlSl~S
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INFORMATION - COMMANDE
COMMUNICATION
sous la direction scjentifique de Bernard DubuÎsson Le traité Information, Commande, C01l1munication répond au besoin de disposer d'un ensemble complet des connaissances et méthodes nécessaires à la maîtrise des systèmes technologiques. Conçu volontairement dans un espIit d'échange disciplinaire, le traité IC2 est 1'état de l'art dans les domaines suivants retenus par le comité scientifique: Réseaux et téléco111s Traitement du signal et de l'image Informatique et systèmes d'information Systèmes automatisés Productique Chaque ouvrage présente aussi bien les aspects fondamentaux qu 'expérinlentaux. Une classification des différents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur vers ses points d'intérêt immédiats: celui-ci dispose ainsi d'un guide pour ses réflexions ou pour ses choix. Les savoirs, théories et métl10des rassemblés dans chaque ouvrage ont été choisis pour leur pertinence dans l'avancée des connaissances ou pour la qualité des résultats obtenus dans le cas d'expérimentations réeHes.
Liste des auteurs
Georges BASTIN CESAME
Université catholique de Louvain Belgique Françoise LAMNABHT-LAGARRIGUE Supélec Gif-sur-Yvette Philippe MARTlN CAS
Ecole nationale supérieure des mines de Pmis Laurent PRALY CAS
Ecole nationale supérieure des mines de Paris Pien"e ROUCHON CAS
Ecole nationale supérieure des mines de Paris Vincent
WERTZ
CESAME
Université catholique de Louvain Belgique
Table des lnatières
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Françoise LAMNABHI-LAGARRIGUE et Piene ROUCHON
13
Chapitre 1. IVlodélisation IJOtll' la commande dcs systèmcs Georges BASTIN, Philippe MARTIN, Vincent WERTZ
15
1.1. Systèmes dynamiques el modèles d'étut ... 1.2. 1'vlodélisation des systèmes mécaniques articulés. 1.2.1. Dynamique d'un corps rigide dans le plan 1.2.2. Mise en équation du modèle d'étaL . . . . . 1.2.2.1. Dél1niLion des coordonnées . . . . . . 1.2.2.2. Expression des contraintes géométriques . 1.2.2.3. Equations du mouvement. . . . . . , ... 1.2.204. Elimination des coordonnées redondantes 1.2.3. Propriétés de la matrÎce d'inertie 1.204. Articulations élastiques .. 1.2.5. FrottemenL . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Systèmes non holonomes . . , . 1.3. Modélisation des réseaux électriques 1.3.1. Déf,nitions et équations constÎlutives 1.3.1.1. Les impédances . . . . . . . . . 1.3.1.2. Les sources . . . . . . . . . . . 1.3.2. Mise en équations du modèle d'étaL. lA. Les systèmes é1ectromécaniques . . . . . . 104.1. Définitions el équations constitutives 104.2. Mise en équatÎons du modèle d'élal . 104.3. Les machines éleclriques . . . . . . . 104.4. Les moLeurs à induction . . . . . . . 104.4. J. Modèle triphasé du moteur à induction
15
J6 17
20 20 21 21
22 26 27
29 30 31
31 31 33 35 38
38 39
4] 44 45
10
Commandes non linéaires
1.4.4.2. Modèle diphasé du moteur à induction 1A.4.3. Elimination de l'angle rotOlique . . . 1.5. Conclusion .. 1.6. Biblîographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 2. Une introduction à l'utilisation de fonctions de Lyapunov pour la stabilisation ct l'atténuation de perturbations . . . . . . . . . Laurent PRALY 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . 2. 1.1. Cc que nOLIs proposons 2.1 .2. Ce que nous ne proposons pas 2.2. Les bases . . . . . . . . . . . 2.2.1. Cas sans perturbation . . . . . 2.2.2. Cas avec perturbation . . . . . . 2.3. Fonctions de Lyapul10v assignables (CLF) 2.4. Ajout de dérivaleur et systèmes sous fOl1l1e de Ieedback (bllcksteppÎng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Fonction de Lyapunov assignable point par point par réduction ou extension dynamique 2.4.1. i. RéductÎon .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1.2. ExtensÎon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. 11lustration de la technique d'ajout de dérivateur par des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Ajout de dérivateur avec perturbations 2.5. Annexe: lexique et notations. 2.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 3. Systèmes plats de dimension finie Philippe MARTIN et Pierre ROUCHON 3.1. Introduction . . . . . . . . . . 3.2. Systèmes linéaires de dimension finÎe . 3.2.1. Commandabilîté . . . . . 3.2.1. 1. Définition . . . . . . 3.2.1.2. Intégrale première .. 3.2.2. Commandabilîté Unéaire . 3.2.2.1. Matrice ùe cOlTImandabilité 3.2.2.2. Invmiance . . . . . . . . . . 3.2.2.3. Un exemple . . . . . . . . . 3.2.2.4. Critère de Kalman et forme de Bmllovsky 3.2.2.5. Planification el suivi de trajectoires 3.2.3. Linéarisation par bouclage statique 3.2.3.1. Equivalence statique . . . . . 3.2.3.2. CNS de linéarisation statique
48 49 50 50
51 51 51
52 54 54 56 62 73 73 74
75 80
94 102 108 113
113 114 114
115 115 117 118 120 12 t
122 125 128 128 129
Table des matières
3.2.3.3. Bouclage dynamique . 3.3. Systèmes plats . . . . . . . . . . . 3.3.1. Equivalence et platilude .. 3.3.1.1. Champs de vecteurs en dimension infinie. 3.3.1.2. Equivalence de systèmes . . . . . . . . . . 3.3.1.3. Platitude difTérentielle . . . . . . . . . . . . 3.3.1.4. Application il in planification de trajectoires 3.3.1.5. Planification sous contraÎntes . . . . . . . . 3.3.1.6. Planification de trajectoires avec singularités. 3.3.2. Bouclage eL équÎvalence . . . . . . . 3.3.2.1. De I"équiva1ence au bouclage 3.3.2.2. Bouclages endogènes . . . . . . 3.3.2.3. Suivi de trajectoires . . . . . . . 3.3.2.4. Suivi de trajectoires: singularités et échelles de temps 3.3.3. CaraclérisaLÎon de la platitude 3.3.3.1. La question de base . 3.3.3.2. Résultats connus. 3.3.4. Commande optimale .. . 3.3.5. Symétries . . . . . . . . . . 3.3.5.1. SOltÎe plate invariante. 3.3.5.2. Sortie plate, potentÎel el degré de liberté de jauge 3.4. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 4. Systèmes plats de dimension infinie
11
131
133 135 135 139 142 144
145 146
147 147 150
J51 153
153 153 155
159 160 160 162 162
169
Philippe MARTIN et Pierre ROUCHON
4.1. Retards et équations des ondes . 4.1.1. Exemples de base 4.1.2. Barre en torsion . . ... . 4.1.3. Chaîne pesante . . . . . . . 4.1.4. Réacteur chimique avec recyclage. 4.1.5. Serpent non holonome . . . . . . . 4.1.6. Equation de Burger suns diffusion. 4.1.7. Mélange . . . . . . . . 4.2. Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Equation de la chaleur '. . . . . . . 4.2.2. Réacteur chimique tubulaire (convection/diffusion) 4.2.3. Poutre en flexion (Euler-Bernoulli) . 4.2.4. Flexion non linéaire . 4.3. Bibliographie . . . . . . . . . . .
Chapitre 5. Catalogue de s~'stèmes plats
170 170 171
171 173 175
175 J77 180
180 183 185 188 189
191
Philippe MARTIN et Pierre ROUCHON 5.1. Robots complètement commandés ..
191
12
Commandes non linéaires
5.2. Systèmes mécaniques non holonomes .. , , . . . . 5.2. L Voiture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Voiture uvec 17 remorques il auaches centrées 5.2.3. Voiture avec une remorque à attache déportée . 5.2.4. Systèmes mécaniques non holonomes complètement commandés . . . . . . . . 5.3. Systèmes pendulaires . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Pendule inversé sur un rail . . . . . . . . . 5.3.1. Le double pendule du musée de Il.! VilleHe 5.3.3. Une infinité de pendules inversés 5.3.4. Grues et ponts roulants . . . . . . 5.3.5. Le robot 2/\~7r . . . . . . . . . . . . 5.3.6. Solide plan piloté par deux forces 5.3.7. Le câble aérotracté .. 5.4. Divers systèmes mécaniques . 5.4.1. Avion classique . . . . . 5.4.2. Satellite à deux moteurs 5.4.3. Tige de forage . . . . . 5.4.4. Gamelle d'eau . . . . . . 5.5. Systèmes éleclromécaniques . 5.5.1. Le convertisseur de tensions 5.5.2. Paliers magnétiques .. 5.5.3. Moleurs à induction .. 5.5.4. Ligne de transmission. 5.6. Réacteurs chimiques 5.7. Bibliographie Index . . . . . . . . . .
191
192 192 194 196 197 197 198 198
200 200 202 203 206 206 207 208 209 210
210 211 211 212 213 213
217
Avant-propos
Le présent ouvrage faÎt suite Ù lin premier intitulé S~\'slè/JIes IIOIl linéaires. Le premier chapitre aborde la modél1satÎon et montre clairement qu'il est très important de connaître l'origine physique des non-l Î néari tés que l'on a Ù contrô 1er. L'étude des systèmes non linéaires sans autre précision conduit souvent ù des problèmes très diftldIes ou 11 des impasses. Pmll- être pertinente. une élude des non-linéarités nécessite un minimum de structure et d'hypothèse. Chaque non-linéarité est spéciflque. Elle correspond sOLivent Ù des lois de conservation ou des propriétés lrès liées au système et à sa physique. Ainsi, le premier chapitre esl une illustratÎon des non-linéarités propres aux systèmes électro-mécaniques décrits par des équations différentielles ordinaires. Le second chapitre est représentatif d'une approche qui structure une partie importante de l'autollmtique. Elle est fDndée sur les foncLÏons de Lyapl1nov et forme un prolongement naturel des méthodes d'énergie. C'est lIne voie très puissante pour la synthèse de c011lrôleurs stabilisants, pouvant rendre le système peu sensible 11 certaines perturbutions extérieures. Ce chapitre reprend des résultats récents, m'lÎs qui sont en train de devenir classiques, sur le back-sreppillg et les fonctions de Lyupunov assignables. Les méthodes présentées ici constiluent un bon point de départ pour aborder la synthèse de bouclage stabilisant et respectant des contraintes sur le contrôle el/ou l'état. Les trois derniers chapitres présentent les systèmes différentiellement plats. une classe de systèmes souvent rencontrés en pratique et pour lesquels on dispose d' otails efficaces pour la planifkation et le suivi de trajectoires. C'est une approche complémentaire à celle décrite au chapitre 2 qui illustre également une partie importante de l'automatique d'aujourd'hui. li s'agit ici d'une approche géométrique car elle s'appuie sur des changements de variables, la notion de forme normale et certilÎns groupes de transformations incluant divers types de bouclage. L'idée principale est alors de trouver un repère, c'est-ù-dire un ensemble de variables inclLUlIlt ù la fois l'élal et la commande. où les équations de la dynamique sont particulièrement simples et pour
14
Commandes non linéaires
lesquelles l'on dispose de méthodes efficaces de contrôle. Les développements de ceUe méthode datent des années] 990 et ont pour origine les techniques de linéarisation exacte et de découplage, techniques décrites dans le volume précédent. Un système gouverné par des équations différentielles ordinaires est dît plat si, et seulement si, par des changements de variables astucieux pouvant mélanger l'état et le contrôle et faisant intervenir leurs dérivées en temps. il est possible de rendre ses équations linéaires. Ainsi, un système est plat si. dans le bon repère, sa représentation devient linéaire. La constrLlction du bon repère et des bons changements de variables passe par la notion centrale de sortie plaIe. Elle donne directement une description explicite des trajectoires. Plus précisément, ces chapitres sont structurés aÎnsi. Après un rappel sur la forme de Brunovsky des systèmes linéaires commandables, le troisième chapitre de ce volume traite des systèmes plats décrits par des équations différentielles ordinaires. Le quatrième chapitre montre sur des exemples que la notion de platitude et la paramétrisation explicite des trajectoires qu'elle implique peuvent être étendues aux systèmes décrits par des équations aux dérivées partielles. Enfin, le cinquième chapitre est un catalogue de systèmes plats. Pour chaque système. de dimensions finie ou infinie. ce dernier chapitre rappelle l'origine des équations ainsi que l'interprétation physique de la sortie plate.
Françoise LAMNABHI-LAGARRIGUE Pierre ROUCHON
'Chapitre 1
Modélisation pour la cOllllllande des systèllles
1.1. Systèmes dynamÎ(IUCS ct modèles d'état Un système dynamique, tel que nous le concevons dam; ce chapitre, est une partie de la réalité physique qui semble pertinente dans un problème d'ingénierie particulier et que nous choisissons d'isoler par la pensée pour en déclire le comportement en termes mathématiques à l'aide d'un modèle. NOLIS nous sommes intéressés en particulier à caractériser quantitativement l'évolution, au cours du temps, de r état du système. NOLIS utilisons pour cela une représentation du système par un ensemble d'équations dilTérentielles du premier ordre de la forme:
fI (:r L, :l' '2 ~
... ~ :1: Il , 1J.1 ~ 1/2. . .. l '/1 1/1
/'2 ( :r l , ;'>2, ... l .1; 11
, '/,/
J , 1/'2, ... , 'li Hl
) )
lI. J J ou
représente la dérivée de la variable :1'i par rapport au temps. Les variables sont appelées variables d'étal et contiennent toute l'information nécessaire sur l'état du système à l'instant présent pour pouvoir calculer l' évolutÎon de celui-ci dans le futur, au moyen des équations r1.11, étant donné les valeurs futures des vmiables VI, 112, ... , 11 m' Celles-ci, appelées el11rées du système. représentent l'influence de l'environnement extérÎeur sur le système étudié. :L'i
.1"1, :Z:2: "', :l'n
Chapitre rédigé par Georges
BASTIN.
Philippe
MARTIN.
Vincent
WERTZ.
16
Commandes non linéaires
On écrim souvent, de manière condensée:
.1' = I(:r, II)
[ 1.2]
où :1: et Il sont des [onctions vectorielles du temps. Un tel système d'équations est appelé II/odèle d'étoT. Lorsque J'entrée u (1) est une fonction du temps qui peut être choisie libremenl, on dit que le système :i- = f(:r, '/1) est un système./iHcé ou encore un système COII1IIWIUlé. Le qualilkatiffi:Jrcé est utilisé pour signiller qu'au départ d'un état initial :1.'0. l'allure cie la trajectoire :rU) est en quelque sorte forcée pilr le choix que l'on a fait d'une entrée Il (1.). De même, dans un contexte d'automatique, le qualîllcatif cOlI/II/muté signi lie que l'état du système peut être piloté dans l'espace d'état par une manipulation appropriée de l'entrée u(I.). L'objet de ce chapitre est de traiter de la 11/odélis{ftioll, c'est-à-dire de l'obtention des équations du modèle dans diverses applications des sciences de l'ingénieur et en particulier pOlir résoudre des problèmes de commande par les méthodes et les techniques présentées dans les chapitres suivants. Plus précisément, la modélisation d'un système dynamique est l'exercice qui vise, au départ d'une description discursive et qualitative du système, à en établir une c1escliption mathématique quantitative sous la forme d'un modèle c1'état. Sans être inutilement compliqué, le modèle ainsi obtenu doit être un outil efllcace pour la résolution du problème d'ingénierie posé pour le système considéré. Les hypothèses adoptées pour la modélisation doivent être clairement formulées et mises en évidence. Le modèle d'état d'un système dynamique est une représentation mathématique sil11pliflée du comportement du système. Pourtant, lorsque cela ne nuit pas à la clarté de l'argumentation, il arrive souvent dans la littérature que J'on confonde les deux notions ct qu' 011 les considère comme des synonymes. On parle alors du système dynamique j. = f(:r. u) en signifiant par là que l'on parle en réalité d'un modèle de ce système. Nous allons montrer comment la démarche de modélisation peut être systématisée pour différentes classes de systèmes relevant de l'ingénierie. Nous aborderons successivement les systèmes mécaniques articulés, les réseaux électriques et les systèmes électromécaniques. Dans chaque cas, nous décrirons les principes physiques de base et la manière dont ceux-ci sont mis en œuvre pour obtenir des modèles d'état.
1.2. 1\tlodélisation des systèmes mécani(IUeS articulés L'objet de celle section est la mise en équation des modèles cl' état des systèmes mécaniques formés cl' un ensemble de corps rigides reliés entre eux par des articulations. La méthode systématique de modélisation que nous allons étudier s"applique ~l
Modélisat.ion pour ln commande des systèmes
17
de nombreux exemples pratiques de systèmes mécaniques tels que les véhicules (uutomobiles, trains, avions ... ) ou les robots (manipulateurs, mohiles ... ). Cette méthode résulte d'une application systématique de la loi de Newton. Dans le but de simplifier les notntions et les calculs, nous nous limilerons ~I rétablissement des équations du mouvement dans un espace à deux. dimensions (c'cstà-dire dans un plan). L'extension -au cas d'un mouvement dans un espace à trois dimensions est conceptuellement élémentaire mais plus diff1èile à visufJUser. NOLIS considérons totH d'aborclle cas (l'un corps rigide unique en rabsence de frottement.
1.2.1. DYllamique d'un corps rigide dans le plall NOLIS considérons un corps rigide se déplaçant dans lin plan dans lequel une base inertielle orthonormale O~ -\1)' 1 11 est fixée arbitrairement (voir ligure 1.1).
!J
l il o '------------'-------------.. . .- . . . . -.. . . . ---.... ,1'
Figure 1.1. CoordOll1lées d' 11/1
C01]).I"
rigide dalls le plan
Une base orthonormale 0 , X I I I ' ) ~n est attachée au centre de masse G du corps. La position du corps est complètement spécifiée par les trois coordonnées :1', li, () : :1:,!J sont les coordonnées cartésiennes du centre de musse G dans la base fixe
0 , Xl" )/);
o est
J'OIientation de la base mobile 0'.\/71.1 ~n par rapport ü la base fixe
0, Sb, li,. Nous déllllissons le vecteur de dimension 3 décrivant la position du eorps :
q
~
(;;) (1
fI.JI
18
Commandes non linéaires
Une application directe des lois de Newton, coordonnée par coordonnée, conduit alors aux équations générales du mouvement suivantes: - équations de translation du centre de masse: 177..1:=
mjj
= 1~J
- équation de rotation autour du centre de masse:
I{)
T
où 111 est la masse du corps, où l est son moment d'inertie par rapport au centre de masse, où Fr et Fu désignent les projections de la résultante des forces appliquées au corps sur les axes OX1) el 01/! respectivement et Oll T est la résultante des moments des forces appliquées pour la rotation du corps autour du centre de masse. Ces équations générales du mouvement constituent la base de l'établissement du modèle d'état du système comme nous allons l'illustrer dans l'exemple suivant. EXEMPLE 1.1 (MODÉLISATION DE LA DYNAMIQUE D'UNE FUSÉE).- NOLIS considérons une fusée se déplaçant dans un plan perpendiculaire il la Terre. La fusée est propulsée par deux moteurs à réaction disposés symétriquement par rapport au corps de la fusée comme indiqué sur la figure 1.2. Les équations du mouvement sont établies d'après l'h)ï)othèse de modélisation selon laquelle la fusée constitue un corps rigide de masse constante.
Equations de translation:
rn:ï: mjj
(F1 + F'2) ('050 Fy = (Pl + 1~) sin (J - Tllgo l~r =
[ 1.41
[ 1.5]
Equation de rotation:
Jjj
= T = (F2
-
FI )d sin ft
La constante go désigne la constante de gravitat.ion. Ces équalions se mettent aisémenl sous la forme standard d'un modèle d'état = f(.1;, li) de dimension 6 avec deux entrées si l'on introduit les notations suivantes:
x
!'{friables d'élal : :r
:1>2
=y
l'ariab/es d'enlrée:
:i:
:C5
= Û
ModélîsalÎon pour la commande des systèmes
19
Le modèle d'état s'écrit comme suit: :/.'·1
;1:6
eOS:l:3
---(III III
-Do +
:i: o
+ 1I2)
sill :C'\ --' (Ill + Il::!) ni
d sin Cl' ( - - I - 112
-
/.JI
)
)/J1
0'----XII
Figure 1.2. ModélisrttioJ1 de la dynamique d'lIl1ejilsée
Une situation particulière apparaît lorsque le corps considéré est soumis il un ensemble cie forces dont la résullanle est nulle mais qui ne sont pus toutes appliquées au même point. Les équations du mouvement s'écrivent "lors:
mj;
{}
=0 Iii
T
Dans un tel cas, il est d'usuge, dans certaines applications, cie ne pus spécifier les forces qui sonl à l'origine du moment T mais de considérer directement celui-ci comme la cause du mouvement. On dit, pour simplifler. que le corps est soumis il un couple, C'est ainsi. par exemple, que l'on parlera du couple foumi par un moteur pour faire tourner un segment de robot manipulateur.
10
Commandes non linéaires
Le modèle d'état obtenu dans l'exemple de la fusée est 110n linéaire par rapport aux variables d'état et linéaire par rapport aux variables d'cntrée. Ce sera le cas pour la plupart des applications qui nous intéressent el pour lesquelles les équations de translation el de rotation décrivant la dynamique d'un corps rigide peuvent s'écrire sous la forme matricieHe générale: ,lij + b(q) = B(q)u
Dans cette équation,,l est la mat.rice (diag011i.1le el constante) d'inertie, b(q) rcprésente l'effet de la gravitation et B(q) est une matrice (dite cinématique) dépendant non linéairement des variables d'étaL On en déduit que le modèle d'état s' écrit sous la forme générale slIival1le:
q=v il = J-l [-b(q)
+ B(q)u]
où u ~ (j est appelé l'ecreur des vitesses gé1léralisées. 1.2.2. Alise en équation du modèle d'état
articulé quelconque Nous considérons maintenant le cas d'Lm système comportLlnt JV corps. La procédure générale de mise en équations du modèle d'état peut se résumer comme suit: - fixer un repère inertiel dans l'espace de conflguration du mobiles attachés aux centres de masse des N corps du
et JV repères
- écrire les équations des contraintes de parcours et de liaÎson Lluxquelles est soude liberté: mis le mouvement du système. En déduire le nombre de - écrire les équatÎons du mouvement (translatÎon et rotation) pour chacune des coordonnées en y incluant les forces de liaison relatives aux contraintes (méthode des multiplicateurs de Lagrange); - éliminer les multiplicateurs de Lagrange elles coordonnées redondantes. Nous allons détailler celte procédure, expliciter les nouveaux (degrés de Iiberlé, multiplicateur de LagrLlnge. coordonnées redondantes) qui ont été mentionnés et l'illustrer avec un exemple typique: le développement du modèle dynamique d'un robot munipllimeur à deux degrés de liberté. 1.2.2.1. D~fiIIifioll des coordonnées
Un repère inertiel est fixé dans r espace de configuration n du système. 1V repères mobiles sont attachés aux centres de masse des ,N corps du système. La position du système est à tout moment caractérisée pnI' le vecteur des coordonnées: :rN
UN
ON)
T
de dimensÎon 3JV
Modélisation pour ln commande des systèmes
:!l
1.2.2.2. E\pressÎr!1l des ('rHl/mimes gérJ11fétriqltl'S
Le mouvement d'un système mécanique articulé peut être soumis à deux types de contraintes (dites géométriques ou holonomes): des contraintes de pnrcours d'une part et des contraintes de liaison entre corps d'autre part. Ces contraintes s'expriment SOLLS la forme cl 'Lm ensemble de relations algébriques entre les coordonnées que nous noterons:
w(O
= (1
olt tIJ est une application n -~ RP de chlssc Cl et jJ désigne le nombre de contraintes. Selon Je théorème des fonctions implicites, dans un voisinage de tout point ç de 1" espace de confîguration, il existe une partition ç (q, du vecteur des coordollnées telle que: - la dimension (notée cr) de lj est au n:mg de la matrice jacobienne de l'applicalion W:
in
cr
ê.
Dw
= diuH] = ral1g-.- (Jç
-les coordonnées ij sont exprimées en fonction des coordonnées q:
11.61 Il en résulte que l'on pourra utiliser l'expression Il.61 pour éliminer Jes coordr)/lnées redmu/al1tes ij de la description du système. La dimension du vecteur q des coorest le nombre de degrés de données qui seront conservées (coordonnées liberté du système, noté () :
J .2.2.3. EqUaTions dlll110uvemenl On écrit ensuite les équations du mouvement (translation et rotation) pour chacune des coordonnées en y incluant les forces de liaison relat.ives aux contraintes. La partition (q, ij) des coordonnées induit une partition similaire de r ensemble des équations du mouvement comme suit: Jéj + b(q, ij) = B(q, ij)u
.J(j + b(q, q)
B(t], ij)1l
+ '0 +V
11.71
r1.8]
Dans ces équations. les vecteurs v el 'fi les forces de liaison qui garantissent que les contraintes sont satisülÎles à tout instant au cours du mouvement du
22
Commandes non linéuircs
système. On montre dans les ouvrages de buse en mécanique que ces forces de liaison s'exprimenl comme suit: '0
= -A(q),\
fi
/\
où 1\ est le vecteur des 111l11liplical{!llrs de Lagrange (de dimension a) et A( q) la matrice de dimensions () ;.:: (j définie comme f.luiL:
(:,} )T ((~qJ Dl]
A(l])
1.2.2.4. Elimillation des coordollllée.\' redonda11les A partir de l'équation [1.8], A s'explime:
+ b(q, ij) - 13(q, ij)n
,\ =
En substituant cette expression dans 11.7] et en utilisant 11.6], on obtient: Jij + A(q)Jij + b(q, (/J(q))
+ A(q)b(q, (i?(q)) = (B (I}. (M fi )) + A (fi) B (q. (M q ) ) )'li
Il ne reste plus ;Jlors qu'à éliminer sion 11.61.
[1.91
q. Pour cela, on différencie deux fois l'expres-
i}=AT(q)q
[ 1.10]
if
11.11]
AT(q)ij+JiT(q)(j
r
En substituant cette dernière expression 1.1 1] dans [1.91 et en introduisant les notations sUÎvanles :
1\J(q) ~ J
+ A(q)JAT(q)
f(q,(j) ~ A(q)JAT(q)rj
+ A(q)b((j!<;)(q)) ~ B(l}, (/J(q)) + A(q)B(q, (ji(q))
g(q) ~ b(q,qJ(q))
G(q)
on obtient finalement 1e modèle dynamique général d'un système mécanique articulé sous la forme suivante (équation de Lagrange) :
JU(q)ij + f( q, q)
+ g(q) = G(q)u
l1.l21
Dans cette équation: - Cf est le vecteur (de dimension 6) des coordonnées nécessaires à lu description du système;
Moùélisation pour la cOlllmanùe des systèmes
23
- l1I(q) est la mattice d'inertie (de dimensions {) x ()) symétrique et définie posÎLive:
- f(q, fj) est le vecteur (de dimension J) qui représente les forces et les couples résultant des liaisons relatives aux contraintes: il peut aussi s"écrire sous la forme: f(q, fj)
C(q, q)q
où C(q, q) est la matrice de dimensions â x â définie comme suit:
C (li, (j) ~ A (q ) J ~iT (q) - U( q) est un vecteur (de dimensÎon S) représentant les forces et les couples résultant de la gravité; - '/1
est le vecteur (de dimension
'III)
des forces et couples appliqués au système:
- G(q) est une matrice cinématiquc de dimensions J x m. Une fois le modèle dynamique général [1.12<1 établi, il ne reste qu'à déduire le modèle d'état du système:
q = 'l' il
=
J11- 1 (q)[ -f( q, 11) - g(q)
+ G(q)lI]
Dans ces équations d'état, q est Je vecteur des coordonnées ùe position el vecteur des coordonnées de vitesse.
li
= q le
EXEMPLE 1.2 (MODÈLE DYNAMIQUE n'UN ROBOT MANIPULATEUR).- Un robot
manipulateur est formé cl' un ensemble de segmel1ls rigides articulés. Les articulations sont de type rotoïde ou de type prismatique. Une articulation rotoïde permet un mouvement relatif de rotation entre deux segments. Une articulation prismatique permet un mouvement relatif de translation entre deux segments. Les robots sont actÎonnés par des moteurs encastrés produisant des forces de translatîon pour les articulations prismatiques et des couples de rotation pour les articulations rotoïdes. NOLIS considérons le robot manipulateur représenté par la figurc 1.3 et formé d'un segment rigide se déplaçanl horizontalemenl (corps 1) auquel est articulé un deuxième segment rigide pouvant effectuer un mouvement de rotation (corps 1). Le mouvement du système est provoqué par la force F appliquée horizontalement au premier segment el le couple de rotation T appliqué au deuxième segment. Le repère inertiel et les différentes coordonnées sont inùiqués sur la figure.
Ce système est soumis aux contraintes suivantes: - contraintes de parcours:
24
Commandes non lînéaires
- contraintes de liaison: .r2 - li sÎn O'J !/2
.r 1 -
+ b ('os fh
(J.
= Cl
Cl
Figur'c 1.3. Modélisatiol/
d'lIT1 robol 1JI1l1Jilm/ml:!ffr
Les contraintes de parcours expliment le fait que le corps 1 ne peUL se déplacer qu'horizontalement. Les contraintes de liaison expriment lu relation existant entre les coordonnées cartésiennes des centres de masse cles deux corps en raison de leur articulation. La matrice jacobienne des contraintes s'écrit comme suit: 1
0
()
0
0
0
1
()
CI
-1
0
n
1
0
-1) (:os 0"
Cl
0
[)
[}
1
-b SÎlI rh
(0
o0 )
On observe que celle matrice est de plcin lï.mg (J = ~1 et donc que le système possède â = 2 degrés de liberté (comme on pouvait s'y attendre). On observe aussi que l'on peut définir la partition (q, q) des coordonnées comme suit:
q
(;:)
11 )
q
(
:::.' !/'2
Modélistltion pour la commande des systèmes
25
JI est aisé de vérifier que dans tout l'espace de configuration, les coordonnées il peuvent s'exprimer comme une fonction explicite iJ 4)( q) des coordonnées lJ : !Il
=0
IL131
ll. J 4.1
Hl = Cl
+ bsill ()':.!. + (1
;1''2
:f(
.112
-bcosth,
ll.151
ri .161
On pourra donc éliminer les coordonnées lj = (111; (JI. :/':2. Y2)T dc la description du système ct ne conserver que les coordonnées q = (;1: 1 • rh,)'I'. La matrice A (q) s'écrit:
A(q)
=
GD"
0 0 (o 0
/'») T
(ri
(
1
n )
b sin ()2
Les équations du mouvemenL !:;'écrivent: n/l j~ 1
J'2 iJ2
1T1'lih =
1l.171
F - /\;\ -
"\J b l'Of:;{)2
-Hl)!]O
-\.1 b sin
th
+T
11.18j
+ ..\1
1I.19J
+ /\1
11.211 [1.2:rl
.J,01 = ,1\2 m'2:i;2 = .\3 rn2ih
-m2!JO
1.1.20]
En combinant les contraintes [1.1 lL141 avec les équations du mouvement [1. 19], [l.20], on déduit les valeurs suivantes de /\ l ct ..\2 :
Ces valeurs expriment les forces de liaison appliquées aux deux corps pour salisfnire les contnlÎntes de parcours le long du mouvement du systèmc. D'autre part, en éllminant '.\3 ct Ai entre les équations du mouvement [1.18J, 11.211, r1.221, on obtient:
F
)
1J1/12Un sin f)2,
/1.171.
11.131
En dérivemtdctIx fois les contraintes 1'1.151,1 L161. on obtient: [ 1.24]
26
Commandcg non linéaires
En substituant f1.24J dans [1.231. on obtient finalement le modèle du système sous la forme désirée:
lII(q)ij + C(q, ft)r)
+ 9(q)
= G(q)u
[ 1.251
avec:
JH(q) =
C(q, rj)
g(q) = (
0 ) lnH290 sin O2
G( q) = matrÎce unüé 11
=
(F) T
1.2.3. Propriétés de ftl matrice d'illertie La matrice d'inertie Al(q) est symétrique et définie positive. En effet, elle est la somme d'une matrice diagonale J dont les éléments sonL positifs et d'une matrice symétrique et semi-définie positive A (q).7 j-p' (q). La dérivée temporelle de la matrice cl' inertie 1'1f (q) vérifie lu relation suivante:
JÙ(q)
A(q).fj-i1'(q) = C(q, li)
+ A(q)JAT(q)
+ CT(q, i))
lL261
Cette relation implique que la matrice:
lÙ(q) - 2C(q,i))
[1.27J
soit antisymétrique. La matrice d'inertie JH(q) vérifie la relation suivante:
rt .281
Modélisation pour la commande des systèmes
17
1.2.4. Articulatio1ls élastiques Nous avons considéré jusqu'à présent des systèmes mécaniques articulés formés uniquement de corps rigides sans possibilité de flexibilité ou de souplesse dans les liaisons et les articulations. Une telle hypothèse n'est pas réaliste dans de nombreuscs applications. Une manière simple d'introduire de la souplesse dans les articulations d'un système mécaniquc articulé èst de placer un petit ressort (f1ctiI) de masse nulle dans les liaisons entre corps. Ce ressort exerce une force de rappel sur chacun des deux corps auxquels il est attaché. Celle force s'applique au point de /lxatÎon du ressort et est une fonction monotone croissante de l'élongation du ressort. Elle s'ajoute aux autres /-orccs appliquécs au système dans l'écriture des équations du mouvement. Lorsque de l'élasticité est ainsi introduite dans une articulation entre deux corps du système, il va de soi que la ou les contraintes de liaison correspondantes disparaÎssent et que le nombre de degrés de liberté est augmenté corrélativement. Nous illustrons la méthode sur un exemple simple. 1.3 (UN TRAIN PENDULAIRE).- Un train pendulaire est un train qui peut se déplacer il très grande vitesse dans les virages sans qu'il soit nécessaire dïncliner les voies. Pour cela, chaque voiture est munie d'un dispositif actif qui applique une force verticale il la caisse de la voiture pour contrebalancer l'effet de la force centrifuge. Ccci est illustré sur la I1gurc lA Oll une section de la caisse d'une voiture est représentée schématiquement avec F!] la force de gravité (appliquée au centre de masse G), l~~ la force centrifuge et Fa la force appliquée. On suppose que la ligne d'action de la force Fil est verlicale quelle que soit la position angulaire (j de la caisse. D'autre part, la suspension de la voiture est schématisée par un ressort vertÎcal qui exerce une force proportionnelle à son élongation. Le point d'application P du ressort est contrail/t de se déplacer verticalell/ent. EXEMPLE
Les équations de base du mouvement sont les suivantes: n/;l: = -Fc
lnjj
=
~l
-
JiJ = Cl -
~J
-
F"
CI'
en
olt F,. désigne la force du ressort, Cr le couple du ressort et le couple produit par la force appliquée Fa. Les coordonnées du point P par rapport au centre de masse G s'écrivent: :1: -
(J
sin ()
:Li - (/,(:os 0
On en déduit:
Fr' = k(y - a cosO) C" = k(y - a cos O)a sin () Cn = Fil (a sin () - bcosfJ)
28
Commandes non linéaires
Figure 1.4. Ull tra;n pendu/aire
Le fuit que le poinl P est contraint de se déplacer verticalement se traduit par la contrainte de parcours: :r
= CI sin f}
Celle contrainte permet d'éliminer la coordonnée .r et de garder les deux autres coordonnées (j = (y, {nT. Le modèle ainsi obtenu s'écrit:
j\l (q )ij + C( (j. fj)ri
+ g( (j) + k( (j)
G( fJ)u
avec:
JU(q)
(':)'
C(ql q)
(00
!J(q)
(~)
l
o
+ m(a. cos 0)2
o
- 'J 11 (/ () sill
')
)
0 COR ()
)
[1.29]
Modélisation pour la commande des systèmes
19
Cet exemple montre que dans le cas d'un système mécanique articulé. le modèle dynumique général (exemple 1.12) comporte le terme additiollnel k( fj) qui repn::!sente l'effet des forces de rappel dü à la présence d'articulations élastiques ùans le système.
1.2.5. Frottemellt La présence de forces de frottement est un autre phénomène physique que nous avons négligé jusqu ïci et qui a souvent un effet important sur le mouvement des systèmes mécaniques. En particulier. dans le cas cr articulations élastiques modélisées comme ùans le paragraphe précédent, la présence d·ull amortissement par le froUement est indispensable si l'on veut évlter de développer des modèles qui soient le siège d'oscillations persistantes peu conformes ~I la réalité expérimentale. Il y a plusieurs manières d'introduÎre Je frottement dans la description d'un système mécanique articulé. NOLIS retiendrons ici la plus simple qui consiste ~I supposer que le mouvement de chacune des coordonnées I.j i du vecteur des coordonnées généralisées q = (ql) (j',2, ••• , (H;) est affecté par une force de J'rottement séparée ne dépendant que de la vitesse (ri;) de cette même coordonnée et notée Il i ((Îi). Le vecteur de ces forces de frottement est lui-même noté:
h(rj)
[
;:~~~:~l h,5(:QS)
de sorte que le modèle dynamique général
l\I(q)ij + C(q, tj)q
Il.291 est
+ U{q) + l.·(q) + 11(1])
augmenté comme suit:
G(q)u
r1.30]
Le modèle le plus courant pour les fonctions h Î (I]i) est le suivant:
Dans cette équation, le premier terme fi isigll((jj) représente le frottement sec tandis que le deuxième terme (ili) représente le frottement visqueux. Le coefiicient ( l i
30
Commandes non linéaires
est constant. La fonction (Ji est monotone croissante avec Ij( (]) O. 011 remarquera que la fonction 11 est discontÎnue il l'origine, ce qui pCUl entraîner des difficultés pour la simulation et l'analyse du système.
1.2.6. Systèmes II01l
/WllJ1IOI1lCS
Les systèmes non holonomes sont des systèmes mécaniques articulés dont les contraintes de parcours peuvent dépendre non seulement des positions fj mais aussi des vÎtesses q. Lorsque ces conlnlÎntes ne peuvent être intégrées pour produire des contraintes de parcours qui dépendent exclusivement des coordonnées de conl1guration, elles sont appelées 11011 llOlol1ollu s. Celte situation se présente dans de nombreuses applications pratiques, notamment dans le domaine de l'automobile, dans le domaine aéronautique et en robolique. Nous considérons le cas parliculier d'un système ayant /) degrés de liberté qui est soumis à m (nI < â) contraintes nOll holonomes indépendantes et linéaires par rapport aux vitesses: J
NT ((j){j
()
avec la matrice .N T (q) de dimensions (m x 8) et de plein rang. En définissant la matrice S (fi), de cl i mensions () x (8 ITl) et de plein rang, telle que:
Les contraintes sont équivalentes au f::lit que le vecteur des vitesses q appartient à matrÎce S( q) ou, autrement dit, qu'il existe un vecteur '1 de dimension (8 ln) tcl que:
r espace engendré par les colonnes de la
[1.311 Les équations du mouvement s'écrivent sous la forme standard:
l\J(fj)ij + f(q: ij)
+ g(q) + lV(q)/\
G(q)n
en y ajoutant lc terme N(q)/\ qui représcnte les forces de liaison qui garantissent que les contraÎntes sont satisfaites le long du mouvemenl (voir paragraphe 1.2.2). On élimine les multiplicateurs de Lagrange /\ en prémuHiplîant cette équation par S T(q) :
Finalemenl, en utilisant la relation [1.311, on obtient r expression:
Il.32] avec:
J(q)
ST(q).l'J(q)S(q)
F( (j, 'I}) = .'P" (q ).l'J( q){ [OqS( q) )S( q)'1) }'/} + ST (q)f( q, S( q)1])
Modélisation pour la commande des systèmes
31
Le modèle dynamique général d'un système non holonome est ainsi constitué des équations [1.31] et [1.32] que l'on peut écrire sous la forme d'un modèle d'état:
ri = S(q)1] il = .1- 1(q)[-F(q,
1))
+ ST(q)G(q)u]
On observe que le vecleur d'état:
est de dimension (28 - 111) avec les coordonnées 17 homogènes à des vitesses.
1.3.lVlodélisation des réseaux électriques
1.3.1. Définitions et équations COllstitutÎJ'es Un réseau électIique est constitué d'un ensemble d'éléments appelés dipôles (voir figure 1.5). Chaque dipôle comporte deux accès permettant le passage du courant i(t) dont le sens, indiqué sur la figure, est arbitrairement fixé. Lorsqu'un courant traverse le dipôle, il existe entre les deux bornes une Lension électrique 'p(t). Olt différence de pOlent.iel, qui représente r énergie nécessaire pour déplacer une charge électrique unitaire à travers le dipôle. Nous considérons deux types de dipôles: les impédances el les sources.
ni(t)
"(I)( 0 1
• Figure 1.5. Dipâle électriqlle
1.3.1.1. Les impédances Les résisfll1lces sont des éléments qui transforment r énergie électrique en chaleur. Elles sont représentées par le symbole de la figure 1.6 et sont caractérisées pnr L1ne relation algébrique entre la tension v(f:) el le courant i(t):
r('/J(t) , i(t)) = 0
32
Commandes non linéaires
r
• Figure 1.6. Impédal/ces : résistance, cap a citl.:,
indlle/tIIlCe
Duns le cas d'une résistance linéaire. cette relation se particulnrisc comme suit (loi d'Ohm) : p(t)
= Ri(l)
Les capacités sont des éléments qui accumulent les charges électriques. Elles sont représentées par le symbole de la figure 1.(, et sont caractérisées par la relation suivante entre la charge (j (t) el le courant i (t) :
dq(l) -iU)=dt
La charge q(l) est une fonction de la tension: q( vU)). Cette relation peut aussi s'écrire sous la forme suivante: ((l J ))dv(t) l'() i =C t-dt
,
ou c(u)
!::,
=
[)q
Dans le cas d'une capacité linéaire, celte relation se particularise comme suit:
q(t)
=
CuU)
ou
"(" ) -_ C';rI/'( t) Il -dt
Les inductal/ces sont des éléments qui emmugnsinent l'énergie d'un champ magnétique. Elles sont représentées par le symbole de la figure 1.6 et sont caractérisées, en vertu de la loi de Faraday. par la relation suivante entre le flux magnétique (/J("i) et la tension v(l) : dd)
dl
Il
On dit que la tension u(t) est indllite par la variation de flux (/)(t). d'ollIe nom d'inductance. D'une manière générale. cette variation de flux peut être produite par
Modélisation pour la commande des systèmes
33
un matériau magnétique en mouvement dans les parages de l'inductance, ou encore par un courant électrique variable circulant dans Ull conducteur situé à proximité de l'inductance. Dans ce paragraphe, nOlis considérerons uniquement le cas particulier des alllo-Îlrdllclmicrs olt le flux est produit uniquement par le courant traversant le dipôle lui-même. Dans ce cas. le flux est une fonction du courant: cj)(i (t)) et la relation [1.33] s'écrit aussi sous la [orme suivante:
l(i(t)) di(/,)
dt où l(i) 4 Dans le cas d'une auto-indllctance linéaire, cette relation se pl.lrticularise comme suit:
(/>(1)
= Li(t)
ou
di(l) l 1t
v (l ) = L --
1.3.1.2. Les sOllrces Les sources de leI/sion représentées par le symbole de la figure 1.7 sont des dipôles définis par la tension nU) indépendamment du courant qu'ils débitent.
Les SOl/l'ces de courant représentées par le symbole de la figure 1.7 sont des dipôles dél1nis pur le courant i (1.) qu'ils débitent indépendamment de la tension à leurs bornes.
Figure 1.7. Sources de
ICl/siOIl
ef de
COl/mm
11 est important de bien comprendre que les impédances et les sources sont des modèles conceptuels idéaux qui n'ont pas d'existence physique. Les différents éléments dont sont constitués les circuüs électriques réels comme par exemple des bobines, des condensateurs ou des batteries sont en pratique modélisés par des assemblages appropriés d'inductances et de sources. Un réseau électrique est défini comme la mise en connexion d'un ensemble fini de dipôles (impédances et sources). Il est clair qu'un réseau a une structure cie graphe
34
Commandes non linéaires
dont les branches sont formées par les dipôles. Un exemple de réseau et de graphe associé est donné à la figure 1.8 qui représente Ull pont d'impédances. Les flèches sur le graphe îndiquentle sens convenUonnel choisi pour le courant dans chacune des branches. NOLIs considérons des réseaux électliques connexes comportant JV nœuds et lI! branches ct qui satisfont/'hypothèse suivante (voir figure 1.9): loutes les sOllrces de tension SOl1! inc0I1JOrées dalls fine branche avec ulle résistance illterne en série, Ioules les sources de COlirant possèdenll1ne résistance interne en parallèle. Un graphe est connexe lorsqu'il existe toujours lin chemin du gmphe reliant deux nœuds quelconques .
.i.
Figure 1.8. POIlf d'impéd{l/1ces
R r-------~--------.
t
R
~---------------.
Figure 1.9. SOI/l'ces m't'C
risisfl111CC.\· imemcs
Dcux notions sonl importulltes pour la mise en équation des modèles d'état des réseaux électriques: les mailles et les coupes. La maille est un chemin fermé possédanL deux bnmchcs incidentes en chaque nœud. La coupe est un ensemble de branches dont rexlrnctlon partage un réseau connexe en deux sous-réseaux connexes séparés.
Modélisation pour la comm:.l1lde des syslèmes
35
1.3.2. Alise ell équatiolls du modèle d'état L'établissement du modèle d'étal d'un réseau électrique est basé sur les lois de Kirchhoff qui s'énoncent comme suit: loi de lUrchhoff des courants: ]a somme algébrique des courants dans les branches incidentes à un nœud est nulle; IOÎ de Kirchhoff des tensions: la somme algébrique des tensions dans une maille est nulle. Les vm;ables d'état d'un réseau sont les courants dans certaines inductances elles tensions aux bomes de certaines capacités. Pour établir le modèle d'état d'un réseau, il sufl1t de procéder comme sUÎt: - éclire N éctire 111 tensions;
l équations de Kirchhoff pour les courants:
N
+ 1 équations de Kirchhoff linéairement indépendantes pour les
- écrire les lois de définition des impédances conespondant aux tensÎons ou aux courants intervenant dans les équations de Kirchhoff: - éliminer les tensions et les courants redondants, Lorsque le réseau ne contient pas de mailles de capacités, toutes les tensions uux homes des capacités sont des vUliables d'étaL De même, lorsqu'un réseuu ne contient pas de coupes d'inductances, LOUS les courants dans les inductances sont des variables d'état. Duns ce cas, on peut d'emblée réduire le nombre 111 de branches et le nombre JV de nœuds en convenant qu'une branche peut être définie comme un ensemble de dipôles placés en série et comportant au plus une capacité ou une inductance. EXEMPLE 1.4 (CIRCUIT REDRESSEUR AVEC FILTRE LC).- La figure 1.10 représente un circuit redresseur à diode avec un filtre formé d'une capacité et d'une inductance. La diode est une résistance non linéaire dont la caractéristique courant-tension s'explime comme suit:
1] où n esl une constante proportionnelle à la température et inversement proportionnelle à la charge de l'électron, tandis que i 0 désigne le courant de fuite de lu diode. Tl est clair que ce circuit ne contient ni maille de capacités ni coupe d'inductances. Donc, son modèle ct' état comportera deux variables d'état: la tensÎon v (; aux bornes de ln capaci té elle courant il dans l'inductance. Le circuit comporte ]\1 2 nœuds et .111 = :3 branches. Pour établir le modèle d'état du système, on écrit lV 1 = l équation de Kirchhoff pour les courants:
36
Commandes non linéaires
Figure 1.10. Circuit redressellr
el J.\I - N
1
Ve
= 2 équations de Kirchhoff pour les tensions:
V2
()
+ 'Url + VL
119
-1-
'VI
+ Vt: -
e=0
Ces équutions sont complétées par les équUlions de définition des divers éléments du circuit:
/Jel
io -1-
=
(1'
ln --.-
h
'10
L di 1 cl/.
VL
dl
011
En éliminant les sepl variables Î'2. i e , Uu,lld, VL, obtient aisément les deux équations suivantes: J(
. g
Il
. io + il . di l + nln - - + Ldt- + R)71 +0 C ~
dpI;
Cdl
.
-71
V
+ Rc
VI ,ll:]
entre ces neuf équations,
e = 0
.
=0
2
En définissant les variables d'état et d'entrée comme suit: ,1'1
=
il
'Il
e
Modélisation pour la commande des systèmes
37
on obtient flnalement les équations d'état:
R,+ L
0:
L
ln ( i (]
~ ;1: 1 ) ln
1.
-:t,}
L -
1 +-if L
1
C·r1
-
Lorsque le réseau contÎent des mailles de capacités ou des coupes d'inductances. la détermination du nombre de variables d'étal par inspection du réseau est moins immédiate. On introduit les définitions suivantes:
arbre: un arbre est un sous-réseau connexe qui contient tOtlS les nœuds du réseau mais ne comporte aucune maille (tous les arbres d'un réseau ont le même nombre de branches: JV 1); - coarbre: un com'bre est le sous-réseau complémentaire d'un arbre (tous les coarbres d'un réseau ont le même nombre de branches: j\1 1V -1- 1). Le nombre de variubles d'état peut alors être déterminé par la règle suÎvante: - trouver un arbre qui contienne le plus gmnd nombre possible de capacités et tel que le coarbre contienne le plus grand nombre possible d'inductances; - alors, le nombre de variables cl' étal est la somme du nombre de capacités de l'arbre et du nombre d'inductances du coarbre.
e
]i'igurc
1.11. Circuit éql/il'l11clIt d'un trmrsformalcur
EXEMPLE 1.5 (CIRCUIT ÉQUIVALENT D'UN TRANSFORMATEUR).- Le circuitéquivalent d'ull tranSf0l111ateur est représenté sur la figure 1.11. Le réseau comporte clairement une coupe de trois Înductances et L1ne maille de trois capacités. En appliquant la règle ci-dessus, on déduit qu'il y aura quatre variables d'état: deux courants d'induclances et deux tensions de capacités.
38
Commandes non linéaires
1.4. Les systèmes électromécaniques 1.4.1. Définitions et équation."; CfJ11stÎtlltÎ1'es Un système électromécanique est définÎ comme un système mécanique articulé (à p degrés de liberté) qui peut être construit partiellement dans un maléliau magnétique et dont certains corps portent un ou plusieurs circuits électriques inductifs (bobines, enroulemen ts ... ). Les équations constilutives d'un système électromécanique comporlent dès lors une partie mécanique et une partie électrique. Les équations de la partie mécanîque prennent la f0l11le génél1l1e que nous avons obtenue à la section 1.2:
11.341 Dans cette équation, U cm représente les forces généraJisécs d'origine électromagnétique (équation de Lorentz) tandis que 'Ua désigne les autres forces généralisées qui s'appliquent éventuellement au système, q est un vecteur de dimension p.
Figure 1.12. Circu;t é1émellla;re
Chacun des circuits électliques du système peut être conceptualisé par le circuit élémentaire représenté sur la figure 1.12 où Ri représente la résistance propre du circuit et Ei représente la tension induite par les variations de flux magnétiques produits par les différents circuits (y compris l'auto-induction) et par le mouvement du système (loi d" induction électromagnétique ou loi de Lenz). Si l'on suppose que le système comporte 1/1 circuits, on obtient un ensemble d'équations de Kirchhoff de la forme: i = 1, ... , ln
Dans ces équations, Vi représente la tension aux bornes du dipôle équivalent du réseilu connecté au circuit. Le plus souvent, il s'agit simplement soit d'une source
Modélisation pour la commande des systèmes
39
de tension ou de courant, soit d'une impédance de charge. L'ensemble des équations électriques peul aussi s'écrire sous t'orme matricielle:
V=RI+E
lJ.35J
où R est la matrice diag{ Ri, i suit: ( 'l', 1, '11<03 ~ a~ a,
= 1, nI,} et les vecteurs li, l
et E sont tléfinÎs comme
'l') /1'11
(h.h, ... ,Im ) ... ,EIII)
1.4.2.111ise ell équatio1ls du modèle d'état
La mise en équation complète du modèle d'état d'un système électromécanique particulier requielt l'explicitation des couplages entre la partie mécanique [1.34] et la partie [1.35], c'est-à-dire l'expression des forces généralisées électromagnétiques '/I,eT/! d'une part et des tensions induites E d'autre part comme des fonctions des coordonnées mécaniques fIl il et des courants électriques 1:
E(qJJ,I) Chacune des tensions Ei peut se décomposer comme suit: [ 1.36] où CJi représente la tension induite par le circuit représente l'auto-induction du circuit i).
.i sur le circuit i
(en paniculier,
C if
Par application de la loi de Faruday, chacune de ces tensions s'exprime comme suit : Cji
où
q)ji
est le flux induil par le circuit j sur le circuit i.
Le flux
cPji
vLlrie en fonction du courant Jj dans le circuit Înducteurel de la position
q du système:
On en déduit que la tension Cji s'écrît:
+
Ôt.pji .
ai. )
fi
11.37J
40
Commandes non linéaires
D'autre part, d'après l' hypothèse selon laquelle les flux de fui te sont négligeables, la composante d'indice /t; du vecteur des forces généralisées 'li e1/! s'écrit: [1.381
Finalement, en combinuntles équations r1.341, l1.35], [1.361, l1.371 [1.381. on obtient un modèle d'état comportunt2p + 'In variables d'état q, q, l. EXEMPLE 1.6 (RELAIS ÉLECTROMAGNÉTIQUE).- Le schéma de principe d'un relais électromagnétique est indiqué sur la figure 1.13. L'électro-aimant il est muni d'une bobine inductrice dans laquelle circule lin courant inducteur l, La pièce métnllique 13 est mobile et soumise à une force de rappel linéaire par le ressort C.
B
Figure 1.13. Relais électromagllétique
Le flux magnétique vnrie proportionnellement au courant l et inversemenl proportionnellement à la distance: dans l'entrefer:
La tension indllite dans le circuit s'écrit donc:
dq'J dl
a(J~
dl
Dr/> <.1.:
= al dT
a:: dt
0'
dl dl
(1
0/11
(1,::
+ /j~)2
dl,
La force d'origine électromagnétique s'exerçant sur la pièce mobile s'écrit: (Ij)
:2
(_1_)2 1 + (3:
Modélisation pour la commande des systèmes
En accord avec l'intuition physique, on observe que cette force tend la pièce 13 de l'électro-aimant quel que soit le sens du courant I.
~l
41
rapprocher
On peut alors écrire les équations dynamiques du système: éqIllltÎo/l/1/écal/it]lIe:
[ 1.39J l1.401 Otl 117, désigne la masse de la pièce 13, l,: la constante de rappel du ressort et .:: 0 la position du ressort au repos:
- équatiolJ électrique:
11
Rl+e
r1.41] [1.42]
où R désigne la résistance du circuit électrique. En introduisant les définitions suivantes des variables d' état:
et de la variable d'entrée: 11
11
on obtient flnalement le modèle d'état du système:
r1.43] ll.44J
r1.45] 1.4.3. Les machines électriques Les machines électriques constituent une catégorie particulière de systèmes électromécaniques formés de deux corps. Le premier, appelé roUn; est en rotation autour d'un axe dont la position est fixe par rapport au second appelé sflltor. Ces deux corps sont munis de différents enroulements inducteurs ayant pour fonction de réaliser les conversions électromécaniques dont ces machines sont le siège.
41
Commandes non linéaires
Lorsque le stator est lui-même fixe par rapport au repère inertiel, une machine électrique ne comporte qu'Lm seul degré de liberté mécanique: l'angle de rotation du rotor noté (J. La partie mécanique [1.341 de la dynamique du système se réduit dès lors à une équation unique de la forme:
/1.46] où h( iJ) représente le couple de frouement, T em le couple d'origine électromagnétique et 7~1 l'ensemble des autres couples extérieurs appliqués au rotor. D'autre part, lu partie électrique de la dynamique
il
la forme générale r1.35] :
F=RI+E Dans la plupart des machines courantes, lorsque les effets de saturation magnétique sont négligeables (ou négligés), on peut représenter les flux 9'> fj par une expression de la forme:
qui est linéaire pur rapport tlU courant inducteur limais qui dépend de la position angulaire 0 du rotor suivant une loi L iJ (f)) généralement périodique. On définit la matrice (symétrique) des inductances:
et sa dérivée par rapport à 0 :
} '(8) 4: iJD. (8)
\
D8
Alors, r application de la théorie qui a été présentée à la section précédente conduit fi des équations générales de couplage électromécanique de la forme suivante:
E
= L(O) dl + cl{
r
Tf: //1
dO J{(O)I dl
1 T • 1\ (f)) l
= 3, l
[1,47]
Il,481
En combinant les équations [1.35J, [1.46], [1.47] et 11,48], on obtient le modèle général des machines électriques:
L(fJ)Î
= -wI((fJ)I -
RI + 1/
w .Jw
~ITI((O)r 2 '
[1.49]
h(w)+Tn
Modélisnt.ion
pOUf
la commande des systèmes
43
C'est ce modèle général qui est à lu base de rétablissement des modèles d'étal particuliers dans les applications. Sou vent, mais cc n' est pas une norme, le vecteur des tensions 17 ou le couple 'J'n sont paramétrés par tics variables cl' entrée convenablement choisies qui représentent}' influence extérieure sur le comportement de la machine. Voici un exemple simple. EXEMPLE 1.7 (MACHINE ÉLÉMÈNTAIRE À DEUX ENROULEMENTS).- Nous considérons une machine électrique dont le rotor et le stator sont des cylindres concentriques avec un enroulement sur le stator et un enroulement sur le rotor. Les autoinductances statorique et rotorique L., el LI" sont constantes. L'inductance mutuelle LsT' est une fonction périodique cosinusoïdale de l'angle 0:
L,,,,, (fJ)
eos ()
Les matrices L(f)) et
I\.~(fJ)
s'écrivent comme suit:
0 ( - Lo si11 ()
L(O)
sin fJ)
n
Les vecteurs des courants et tensl0ns induites sont notés:
J=
(1,;) II'
E
( ~,,) C"
Les équations de couplage électromécanique [lATI. [1.481 se particularisent comme suit:
= L.J,~ + e r = Lrt· + Lo cos OÎs es
Tc:
111
-
OL o sin 01.".
Lo sin 0/8 Ir
Une teHe machine peut être utilisée soit comme génératrice soit comme moteur. Dans les deux cas, le circuit rotorique est alimenté par une source de courant constant:
I" = constante Nous allons détailler ces deux possibilités et donner dans chaque cas le modèle d'état correspondant. FOl1ctioJ1llelJlellf en générmrice
La génératlice a pour fonction de transformer la puissance mécanique fournie par le couple extérieur Ta en puissance électrique débitée par le circuit statorique sur une résistance de charge R L .
44
Commandes non linéaires Le système possède trois variables d'état: :rl = I.~ ,1:2
:r~l
()
=
f)
et une variable d'entrée:
Le modèle d'état du système s'écrit comme suit:
:f2
= :l::{
-11(.[:3) - L(,1,.:1:1 sin:l'2
J:i:a
+ l/.
FOllctiol/nement en I/Joteur
Le moteur Il pour ronctÎon de transformer la puissance électrique fournie au stator par la source Il,.. en puissance mécanique délivrée par le couple électromagnélique T cm . Le système possède trois variables d'état: :1'1
=
;7:;3
1.-; (j
,1:2
=
il
et deux variables d'entrée: 1.11
=
lI2
= 1~1
'Ils
Le modèle d'état du système s'écrit comme suit:
Ljf:1:1 = .1:'2
LoI,.;r~1
sin.1:2
+ R s:Z: 1 + 0.1
= .r~l
Ji;] = -h (:I::J) - L l J,.:Dl sin :r2
+ 112
1.4.4. Les moteurs li induction A titre d'illustration, nous terminons ce chapitre pur la modélisation des moteurs à induction qui sont largement répandus dans r industrie en raison de leurs nombreux
Modélisation pour lu com.mande des systèmes
45
avantages (absence de commutations électriques, fiabilité, robustesse, faible coûL.). Le stator d'un moteur il induction se compose de trois enroulements identiques, distribués sinusoïdalement et décalés de 1::mo. Dans la majorité des cas. le rotor se compose de barres de mélal uniformément distribuées reliées électriquement entre elles Il chaque extrémité par un anneau (rotor il cage d'écureuil); il ce niveau de modélisatÎon. on peut considérer qu'un tel dispositif est équivalent ~l un rotor bobiné, composé de trois enroulements idcntiques, distribués sinusoïdalement et décalés de 120°.11 n'y a aucun contact électrique entre le rotor et le slator, le couple électromagnétique est produit par effet d'induction cntre les bobinages du stator et du rotor. Mais il n'y n d'induction, donc de couple, que si le rotor ne tourne pus en synchronismc avec le champ magnétique créé par le stator, d'où le nom de moteur asynchrone également donné au moteur il induction: ainsi en régime permanent, quand on applique aux bornes du moteur trois tensions sinusoïdales de pulsation W,,, et déphasées de 120°, ]e rotor tourne il une vitesse constante W r différente de l'k'", et qui dépend entre autres de lu charge mécanique, Pour ulle présentation plus détai1!ée de la modélisation des moteurs à induction. le lecteur ponna se reporter par exemple 11 la référence 1KRA 951. 1.4.4.1. Modèle Iriplwsé du moleur il indllction
Le schéma électrique du moteur est représenté figure 1.14. Le moteur est alimenté en triphasé pur les tensions vs" • Vs l, el os,-. Les tensions U S1: aux bornes des enroulements statoriques leur sont reliées par:
li"SI, --
1
'L''s,>
li",,)
+ tiN
-3 ('JII, - ' .Iot. e - 'u·8 n
V,cl,)
l/. ~'V .1'.
3' ('JII -
'SI> -
1
,<
où l'on a posé liN::'::: ~ ('liB" + 'U.~I, ). On montrera que la symétrie géométrique du moteur entraîne Il N = 0 et donc que les tensions Il .'il.. sont inchangées si r on décale les tensions d'alimentation 'o.',;~, d'une même tension v. Autrement dit, il n'y a que deux commandes indépendantes. Pour que le moteur tourne il vitesse constante (en supposant la charge mécanique indépendante de la position rotorique), il faut que les tensions 'U. sJ: soienL sinusoïdales, de pulsatÎon el d'amplitude constantes et déphasées de 120°, On Lire immédiatement de la figure 1.14 les équations électriques:
k = a.b~c
46
Commandes non linéaires
•
1
lm
.Irh ,
,
1
Ire
rü'
Rotor Figure 1.14. Sché/l/a électrique du lJIoteur li Éndllclion
'PSI; et CP,,,,, sont les flux induits au stator et CP~'il' tp~,) et tp~.,. les flux induits au rotor. Les autres notations sont celles de la figure. Pour simplifier ultérieuremenlles équations magnétiques, il est d'usage de ramener au stator les grandeurs roloriques par le changement de variables (qui conserve la puissance):
ail tps",
, . lV,._, Ir
= /\T'l,.
Rr'
h8
où l\'." et l\i,. représenlenlle nombre de spires des bobinages stator et rotor. Les équations électriques s'écrivent alors:
k
(1.,
b, C
Il.50]
En négligeant les saturations magnétiques, les couplages entre flux et courants prennent la forme:
[1.5Ial
[1.51 b 1
Modéli~atioll
pour la commande des systèmes
47
où les matrices Ls, LI' et Lm sont données par:
Ls
L.,J
Lr:::=:: L,.}'
((~
0
:t
0) +Lm ( cos 0
()
()
1
()
~Lm
cos
CUST
. - . ., '1_ _1.
0
1
0) +
(]
()
1
r (
Lm
()
CI
Lm
("080
L'OS ·IIT '"
:\
CDS
+ 'l:~) L'OS('IIO/, + ~;;)
C080 ('OS ·lrr " .- ::1
cos
cos \ .~
"~)
27r
tORT
e080
t'Os~r ) ')
C080 CO::;
cos -:_~ C050
+
('os(IIOr
cos nO/,
cos(n(),.
cos(nO/,
GooI18"
e08('1I0 ,.
cos
cos(nO,.
+ ,13' )
+';)) + ~_~) ')
cosnO
"
L'inductance de fuite slatorique L sI- "inductance de fuile rotOJiquc L r}', l'inductance mutuelle L III et le nombre de paires de pôles n sont des constantes. On notera la symétrie des équations, conséquence de la symétrie géométrique du moteur. Donc, comme nous l'avons indiqué au paragraphe IA.3, on il bien une matrÎce d'inductance symétrique:
Un moteur ù inductance est un exemple typique d'un système électromécanique où les inductances de fuiles (L sf el L 1'f) doivent être prises en compte pour obtenir un modèle réaliste. Les flux de fuile correspondants ((P,'f = L.sfÎ.<; et )1"1' = Ll'fi,,) ne contribuant pas il la conversion électromécanique d'énergie ne doivent pas être pris en compte pour le calcul du couple développé par le moteur. Cependant, comme dans notre modélisation, ces flux sont indépendants de l'angle de rotation 8,., l'expression [1.38-1 est applicable et l'on en tire alors l'expressÎon du couple électromagnétique:
Ton
1 2
(1
Str
'ÎSI>
'/1'1)
'/"'/'
i r,,)
CL, ao,.
OLm1' UO,.
(i'~q, l
. I s (.)
ln·
DL DO,.
'")
l",.
f~L," âO"
)
[ 1.52]
48
Commandes non IinéaireB
Sill( nO,.
+
sin nO,. sin (nO,.
+ ,1; )
,1-)) (''/ )
nu," + -:J' . (li sin(r~.(},. + 2~~) sm nB"
SIIl
l'"
10"[,
',,1'
Les équations [1.501,11.51] et [1.521 constituent ce que l'on appelle le modèle triphasé ou abc du moteur à induction.
1.4.4.2. A10dèle diphasé du moteur ù indllclioll Le modèle triphasé contient de nombreuses variables redondantes. En effet, d'après le schéma électrique de la figure 1.14, 011 a:
i""+i,,,+
=0
On déduit de [1.51]: i.p,~., lPr"
+ 'PSI, + 'Pst: = L s f(1 s" + '1 + ) = 0 + tp"/I + 'Pre L"f (i ,'., + il'II + i 1'1") = () RI,
En utilisant les équations électriques [1.50], on u alors: '/1. .... "
Il,,
+ lJ.,s/, + 11 =0
Sc
= ()
On voit ainsi que la somme des composants de toutes les grandeurs triphasées dans le moteur est nul1e. Ceci permet de simplifier les équations IL50], [1.51] el 11.52] grâce à la transformation suivante, souvent appelée transformation de Clarke: à tout triplet (.1: 1/ 1 :tIJ • :cc) tel que J:fI + :r" + .Tf: = 0, on associe de manière unique Je couple (:1:1\ •.l'i1 ) défini par:
La transformation inverse est donnée par:
·l'b
T
• '0:
('0' S ' •.
211
""3
,1 .T'f:1 COS' T ..
211 ;)
Modélisation pour la commande des systèmes
49
Orûce à cette transformation, [1.50"1, Il.511 et Il.521 se réécrivent en neuf équations au lieu de treize: on obtient ainsi le modèle diphasé ou CI ,Ô du moteur. Les équations de cc modèle peuvent s'écrÎre exactement dans la forme des équations constÎtuLÎves [1.35"1, r1.471 et r1.481. Combinées avec l'équation dynamique de bi.lse [1.46 [. elles permettent d'établir un modèle d'état de la forme générale [1.491. Une façon encore plus compilcte d'exprimer ce modèle est de représenter les couples (:I.· n .:1:(j) par le nombre complexe :L: n + .1:ra, où.J = J=T: [1.50J. [1.511 ct Il.521 deviennent alors:
·
Rsls
·
RI'II'
tp$
+
d'P." cH
=
[1.53]
Ils
d'PI"
-1- - - = 0
r1.541
+ j1J cjll{)"Î r j\J c-'jnIJ"i + LI"i r
f 1.551
cH
= =
LsÎs
H
3 .. ~JI'Hl (:I"~e . . -jIlO,"'J".). -2"'1.-
T.CIII --
[1.561 [ 1.57]
où l'on a posé:
et où
'Î~
dési gne le complexe conj ligué de i.'i.
1.4.4.3. Elimil/ll/ioll de l'allgle r%rique
On peut encore simplifier le modèle diphasé [1.53] à (1.57] grâce à la transformation suivante, souvent appelée transformation de Park (certains auteurs utilisent celle terminologie avec un sens plus précis):
En posant W,. := (~~)/, 1I.53J à [l.57] deviennent illors : ·
R.~1.5
_
R r J'1"
, clips T
dt. = 't/. 8 dÇj,. .
+ -dl,
[1.58J
_
= ]nwrtpr
.
+ JU"" = lU if; + L/i,"
[1.59]
[1.601
(jJ,.
[1.61 J
T~'1ll = - ~nJUI11l( ;;1,.) et l'on voit que le modèle ne dépend plus de l'angle rolorÎquc.
[ 1.61.1
50
Commandes non linéaires
1.5. Conclusion La modélisation d'un système dynamique esl l'exercice qui vise, au départ d'une descripLion discursive ct qualitative du système, à en élablir une description mathématique quantitative sous la forme d'un modèle d'étaL Nous avons montré dans ce chapitrc comment la démarche de modélisation peut être systématisée pour les systèmes mécaniques articulés, les réseaux électliques elles sysLèmes électromécaniques.
La même démarche de modélisalion peul être adoptée pour de nombreuses autres classes de systèmes dynamiques dans les sciences de l'ingénicur. On en trouvera LIn exemple pour les syslèmes à bilan massique el les systèmes ft compartiments dans la référence [BAS OI 1. 1.6. Bibliographie rBAS 011 BASTTN G.,
« Modelling and conlrol of mass-balancc systems )', dans LamnabhiLugan'igue E, Montoya FJ. (dir.), Adl'onces iu the COllTrul (~(N()I1/illear Syslcms, SpringerVerlag, Lecture Notes in Control and InfDrmation Sciences 264, p. 229-252, 200l.
lKRA 95J KRAUSE P.C., WASYNCZUK O., SUDHOFr S.D .. Alla/ysis ofE/ectrico/ Machillcl)I. IEEE Press, 1995.
· Chapitre 2
Une introdllction à l'utilisation de fOl1ctions de Lyapunov pour la stabilisation et l' atténllation de perturbations
2.1. Introduction 2.1.1. Ce que llOlIS proposons
Ce texte est une inLroduction aux techniques de synthèse de lois de commande stabilisant asymptotiquement ou atténuant les perturbations. La plupart des termes techniques utilisés sont expliqués dans l'annexe 2.5 à la fin de ce chapitre. Les ""'~'''''rnp" dynamiques considérés admettent la représentation: ;i;
= f(:L u. d)
12.11
Ol! :D est l'état à valeurs dans r espace euclidien IR" de dimension 11, 1.J la commande à valeurs dans JR:11l et d une perturbation dans JAU'), l'espace des fonctions dans IRIJ. Plus spécilocalement essentiellement bornées de l'intervalle de temps fiquement, nous nOLIs intéressons aux techniques déduites directement du souhait de rendre définie la dérivée, le long des solutions, d'une fonction de Lyapunov. elle-même à définir.
Les l'onctions de Lyapunov sont connues pour donner un outil très effkace d'analyse de stabilité. TI est aussi reconnu que, pour un système donné, trouver une fonction Chapitre rédigé pur Laurent PRALY.
52
Commandes non linéaires
de Lyapul10v appropriée est une tâche difficile. La situatÎon que nous considérons ici est différente cur il s'agit de stabilisation et non de stabilité et donc de synthèse et non d'analyse. Précisément, le système considéré est sous-déterminé, la commande n' étunt pas donnée {/ priori. L'idée est de choisir L1ne fonction de Lyapunov en premier Heu pour, en second lieu, spécifier le système par le choix de la commande. Cependant, toutes les fonctions de Lyapunov ne conduisent pas nécessairement Il une loi de commande admissible. Celles donnant un résultat sont appelées fonctions de Lyapunov assignables (CLF pour control Lyapwwl'frmclhms en anglais). histoire. Le lecCette approche pour obtenir des lois de commande a une teur intéressé pourra par exemple consulter les ouvrages [BUT 68, GRA 63, KAL 60, LEF 65, LET 61. MON 651 donnés en référence. NOLIS nous intéressons ici à la stabilisation asymptotique globale. Ceci ne signilie pas que nous voulons que le point d'équilibre considéré admette l'univers en entier comme domaine d'attraction, lllais plus simplement que nous vou Ions imposer li prinri à son bassin d'aLtraction de contenir un ouvert donné, difféomorphe il m: n • Alors, .1: dans lJ dénote les coordonnées données par ce difféomorphisme et satisfait donc la propriété que lorsque la norme I:r 1tend vers l'infini, le point considéré tend vers la frontière de l'ouvert donné (voir l'exemple 2.8 pour une illustration). Nous ne pOrLons aucune attention à la régularité des lois de commande si ce n'est à sa continuité. Alors, les équations différentielles ordinaires n'ont un second membre que continu. Ce type d'équations étant moins dans leg connaissances communes, nous commençons par des rappels à leur sujet à la section 2.2. Dans la section nous donnons ulle définÎtÎon précise des fonctions de Lyapunov assignables et nous montrons comment elles mènent à l'expression de loi de commande stabilisant asymptotiquement globalement. Nous présentons il la sectÎon 2.4 une méthode de construction de fonctions de Lyapullov assignables qui s'applique aux systèmes ayant une structure récursive en cascnde de taille croissante en allant vers lu commande et dits de forme feedback. Ce sont des systèmes construits récursivement en ajoutant des dérivateurs. C'est la méthode connue sous le nom de backsteppil1g en anglais. Un lexique et les notations génériques sont donnés à la fin de ce texte. Nous recommandons HU lecteur une lecture. rapide au moins, de cette annexe, section 2.5, avant d'entrer dans la partie technique de ce texte.
2.1.2. Ce que
II01iS
/le proposons pas
Nos ambitions dans cette introduction sont très limitées. Les thèmes abordés ne sont qu'ébauchés. Les références bibliographiques que nous donnons devraient cependant permettre au lecteur d'oblenir des compléments d'information suffisants, Un exposé plus complet mais plus compact peut être trouvé dans [KaT 01].
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
53
Aussi nous limitons-nous aux synthèses de Lyapunov sans toutes les traiter. Nous n'étudions donc pas la méthode d'ajout d'intégrateur qui s'applique aux systèmes admettant une forme récursive dite fe N(!cJ/ll'a rd et connue sous le nom clefol1\'(/rdillg. Celle-ci est présentée selon une approche similaire à celle adoptée ici dans [PRA 011 (voir aussi [SEP 97]).
Il Y a bIen d'autres méthodes de synthèse proposées dans la liUérature pour traiter les problèmes de stabilisation asymptotique et d'atténuation cie perturbations (voir rISI 99:1 par exemple). Elles reposent sur: - la théorie des perturbations régulières ou singulières (voir [KHA 961 par exemple) ; -le théorème des petits gains non linéaires (voir [lIA 94, TEE 961 par exemple) ou la passivité (voir [aRT, SEP 97] par exemple); - la linéarisation partielle ou total par bouclage (voir [IS l 95 J par exemple) ; - etc. Nous n'abordons que le problème de la stabilisation asymptotique, l'aspect performance par exemple n'est pas considéré. En d'autres termes. nous nous préoccupons d'existence et n011 du choix parmi les solutions existantes. Enfin, nous ne considérons que des bouclages statiques stationnaires d'état. De nombreux résultats sont aussi COIlIlUS pour les bouclages dynamiques ct/ou instationnaires d'état eUou de sortie (voir [PRE 96, KRS 98a, KRS 95, MAR 95, NU 99] par exemple). Comme le lecteur pourra s'en rendre compte de lui-même, la synthèse de loi de commande stabilisant asymptotiquement requiert une étape préliminaire d'écriture de la dynamique dans des coordonnées appropriées permetlant d' exhiber certaines structures. Nous n'abordons pas cel aspect pourtanl essentiel. 11 relève en général de la géométrie différentielle alors que nOLIs n'utilisons ici que de l'analyse. Les ouvrages rISI 95, MAR 95, NU 90J contiennent de nombreuses informations pertinentes sur cet aspect. Nous illustrons notre présentation par de nombreux exemples. Mais, dans un souci de clarté et de concision, ils sont tous de nature académique, bien que parfois inspirés d'applications bien réelles. Cependant, toutes les techniques que nous introduisons ont été envisagées, au moins, pour la synthèse de loi de commande pour des applications. Ainsi, des expérimentations de lois de commande obtenues par !J{/cks!epp;l1g sont rapportées par exemple pour des moteurs électriques dans r DAW 981, la commande en position de bateaux dans [FOS 99] ou la commande de véhicule dans [CI-lE 98]. Le lecteur ne doit pas non plus compter trouver dans ce texte une solution à son problème particulier de stabilisatÎon asymptotique s'il en a un. En revanche. il trouvera
54
Commandes
110n
linéaires
une série de techniques et plus généralement une attitude à adopter qui devraient lui permettre de construire IUÎ-même celte solution ... si elle existe. 2.2. Les bases
Soit f
: 1F!:rI
X ~p ---;.
I!?ll une ronction continue.
2.1.- Etalll dOl/né 1111 poillt .1; de R II L~C(lP~+llR[!), ...\"(:r, i; cl) l'sI dite soll/lio/1 tltl syslème:
DÉFINITION
IIIU! fOllction cl da/1s
./'(,1:, ri)
:z: s'il existe
el
llll
L2.2]
;nstollt T
> 0 tel que: ---;. !PL??
est/Ille fonction conlÎnue;
2) 1I0llS avolls: .t
X (:r, t; ri)
;r +
f(X (:1:, .'i; li), d(s) )C1.5
'lit E [0, T)
[2.3]
/ .0
THÉORÈME 2.1.- POlir chaqlu.' point :t: de JR/l et pOlir chaque fOl1ction ri dans LI;;jIR:- i-,IlV1 ), le système 12.2} ac/meIl/lie solu/ion (l'oir IHAL80, théorème 1.5.J) par exemple). REMARQUE 2.1 La différence principale avec le cas plus connu où f est Lipschitz continue est dans le rail que les solutions ne sont pas nécessairement uniques.
2.2.1. Cas salls perturbatioll
Pour le cas où il n'y n pas de perturbation d. nous avons la définition sUÎvante. DÉFINlTION
2.2.- Supposons l'orÎgine de JR:.II SOll/lioll cons/anle de:
:i: = f(:1:)
t2.4]
Elle est dite: - globalemelll slable .'il' il existe ulle fonction Cl de classe 9C telle que, pOlir chaque point:c dl' lP~n. fOuies les solllliol1s ",\"(:1:, t) sOl1l d~fillies slIr el satisfolll:
VI 2: ()
l2.5]
globolemel1/asymptotiqueJl1ent slable s'il existe 1111(.' .lallctioll ;3 de classe :JCC telle ql/e, pOlir c/wqlle poillt ;1: de IR: 11 , IOlltes les sollltiol/s ...\ (:D ~ 0 sont définie,li sur IR+ et sai ;.~rol1t
: VI 2: 0
f2.61
Fonctions pour la stabilisation de perturhations
55
REMARQUE 2.2.- Des définitions équivalentes de la stabilité asymptotique globale peuvent être trouvées par exemple dans [LIN 96, remarque 2.4. proposition 2.51 et [CLA 981.
La propriété de stabî1ité asymptotique globale est robuste par nature (voir théorème suivant). THÉORÈME 2.2 nCLA 98, KRA 63]).- L'origine esT tille solutioll globalemellt asymptotiqllemelll stable si et sel/lemel1t s'il existe IIl/e./rJ/lction définÎe positive li telfe qlle, pour chaquelà/lctioll fr5 : JR~n - i - R/I COl1tilll1e eT \'(!r{/iallf:
lu - :fl
+ 1/,)(·1') -
f(IJ)1 :S S(:r)
12.71
l'origine est aussÎ li/le solutiol1 globalellle1lt as.vmplOtiqlIement stable de: J~
=
l2.8j
L'interprétation de [2.71 est que la stabilité asymptotique globale est robuste à des perturbations de l'état et des perturbations régulières du second membre de l'équation différentielle pourvu que ces perturbations soient bornées par une fonction définie positive de l'état ;r qui tend typiquement vers 0 lorsque I:rl tend vers l' inflni. Il est possible d'écrire des conditions suffisantes (el même nécessaÎres) des diverses notions de stabilité que nous venons de rappeler en termes de fonction de Lyapunov. DÉFINITION 2.3.~ Un l'II semble
S est diT qlfosi ùn'ariallt si. pOlir chaqlle point:1: dans S, il existe alf moins /Ille solutioll .Y (:r l) défillie sur IF!: et prenant ses l'lIlellrS dans S. 1
THI~ORÈME2.3
([RYA 931,
THÉORi~ME 2).- SoiT:
- U 1/1/ sOlls-ellsemble non l'ide de 18),11
;
- F lmefollcliOll de classe Cil salÎ.~f{/is{//1t l'illégaliTé:
---V(:r)
L.rV(.T)::; 0
V;r
- X(.T, t) une solwiol1 définie slir
U bornée et prellant ses l'alellfS dan. . U.
Il existe 1/11 nombre réel v tel que. lorsque l lend vers -I-oc,. alors X (:1:, t) tend l'ers le pills grond ensemble quasi invaria1Jt COJ1fenll dUlls l'el/semble:
{.1:
E
closure(U) : F(:t')
= '0, LJV(:r) = O}
De l'II/s. si V esl définie jJo.\'itÏl'e (respectiv['ment propre), alors l'orÎginc est glo-
balement stable.
56
Commandes non linéaires
Dl;FINITION 2.4.- Le système [2.4 J m'ec fOl1ctiol1 de sortie h continue l'sI dit étatzéro détectable si clIaqlle SOllllioll X (:1:, définie maximalement à dmÎte slIr [O~ T),
n,
pOlir 1111 réel stricteme1lt posit(fT, eT l'ér~fùl1ll:
Yt
E
[0, T)
[2.101
l'II fait définie slIr [0, +c~c) et felld 1'el:~' J'origille lorsque 1 tend vers +00. Vn ensemble S est dit qllasi invariallt si. pour chaq/le point :1: dans S, il existe au 1110ins lI11e solut;ol1 .,(Y(:r) t) déJillie .11111' JP2 et prenant ses "oleurs dans S.
est
THÉORI~ME 2.4 (USl 99]. P. 44).- Si le système est état-:.ém détectable al'ec h COlH1IIeJlmctimi de sortie et il existe une fl)J/cti{)JJ de Lyapll1101' de classe Cl l'ér(fiant:
.----:---..
L iV (:1:) ::;
Ille)
-1 li (:L' ) 1
Y.T E IR: n
12.11J
alors l'origine est globalelllelll a,',Tmplotiqllement stable.
2.2.2. Cas m'cc perturbatio1l
Dans le cas où une perturbation cl est présente, nOLIs pouvons quantifier son action sur les solutions comme suit. DÉFINITION
2.5.- Le système:
f(;1: 1 d)
:r
est dit stable elllrée état (= SEE) (Input to Slate Stable, ISS. eHllnglais) s'il existe ulle
fonction
Î'
de classe X, appelée le gain L=
11011
linéaire, el /Ille fOllclion /3 de classe
9([, lelles que, ]Jour chaque fOllctioll cl dans L~D(IR:.+ 1 el cllaqlle poillt ;r de JRIl IOllles les solutions X (,T, t; li) sonl définies sur IR+ el safi,~/ont:
J
l2.13] EXEl'vlPLE
2.1
;1:1
:1·;1 -
SEE).- Montrons que le système suivnnl est SEE:
+(/3
=
'. :
1
(UN SYSTÈME
-~l:'J + ,';a + :rl d
l2.l4]
-'Z'2
Nous commençons par étudier le sous-système en r2 .366 J, nous obtenons:
.1;1.
Avec l'inégalité de Young
[2.151 [2.161
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
57
Nous avons donc l'implication:
:; -1 [1 - (~)' 1J:1't
[2.17j
Utilisant le fait que Il dl [O,/J Il ,:x; est Ulle fonction non décroissante du temps et que les fonctions .rI (t) satisfaisanl l'inégalité: ~
1. ,:2
<
1 2")
-lJ
[.1
(1.2·1.'1.2)2
[2.) 81
vérifient:
[2.191
nous pouvons déduire que loutes les solutions du sous-système en :r l satisfont:
[2.201
Ce sous-système en :l'l est donc SEE avec le gain L'= non linéaire:
12.211
,d8)=28
Etudions maintenanlle sous-système en (:r2~:ra) en considérant (.fl' cl) comme entrée. Nous posons:
Avec l'inégalilé:
et en complétant les carrés. nous obtenons la dérivée:
---
+ (2,1:::!
F(:1::;!. :L'::i)
< <
<
1· -) ,>:1
J
T
l/(:r::.!~ :r::d \
r ( _,. 1
.'
". _ )
2. ,f-:J
.ra) .1.'1 ri
",.2) -, L r: -1. 2 (J2 '41 (1.21 '-2 -r ·f-~l Û. -1 -
+ 5 .1:î (z2 + rr 'lA-1 + 152 (l-l-1)
l2.24J [2.25]
l2.261 [2.271
Avec la notation:
V· (t) = V (..!\2 (,1:2, :1:;:1, t; ,1-' l, ri), Xa (:/,'2 •.1:;J, t; :1: 1. ri))
/2.281
58
Commandes non linéaires
il s'en suit: F(I,)
exp( -l/2) F(O) 'f
j
+ .
ctl (8)] dB
C'xp(-(1
.11
:; exp( -1./2) 17 (0) .1
+
exp ( -(t ./ n
+ :; (exp ( -/'/2) F(O) -1-
ctl (8)] Ils
# !'f pxp( -(t -
[2.30]
S)/2)/11(1:1'1/' t)'l)
,CI
f2.31J Avec [2.23], nous concluons qu'il existe une fonctÎon /323 de classe ;JCC telle que, pour toutes les solutions X 2:3(:1:2, :l';j. t; :rl, d), nous avons: IX2:i(:Z:2, :l~g,t; :r1, cl)
1
:;
f12:J( (/:1:1/ + 1;7~21
+ 1:1:;1/), t) + 0 (lIdl 10,1) //00) 2
[2.321
En regroupant [2.201 et [232J. nous avons [2.13]. Ceci établît que le système 12.141 est SEE. Pour résumer, le point-clé de cet exemple est l'utilisation d'une fonction de Lyapunov pour mettre en évidence la propriété de stabilité entrée élat (voir le théorème 2.6). REM 1\ RQUE 2.3.- D'autres façons de quantifier J'effet des penurbations sur les solu-
tions ont été proposées et étudiées (voir par exemple [SON 98] pour le cas déterministe et [KRS 98a] pour le cas stochastique). REIVIARQUE 2.4.- Par la suite, nous nous occupons d'un système sous la forme:
:i' = f(:t,
li,
d)
et nous cherchons une fonction continue ~b : ~~n fellllée:
[2.33] -i-
JR:.111 telle que le système en boucle
[2.341 est SEE avec un gain LOC' non linéaire 1 aussi petit que possible. Ce problème s'appelle le problème d'atténuation de perturbations. NOLIS ne l'étudions que dans le cas LOO (c'est-tl-dire dans le contexte SEE). Il a été étudié dans d'autres contextes comme le cas L 2 (voir par exemple [IS195, section 9.51 ou [PRE 96, KRS 981.1, PAN 98, SCHA 96, TEE 991.
FonClions pour la stabilisation de perturbations
59
La capacité d'obtenir des lois de commande atténuant]' effet de perturbations permet de traiter des problèmes de stabilisation asymptotique globale plus complexes. En particulier. nous pouvons interpréter comme perturbation des termes qui seraient trop compliqués à prendre en compte ou qui seraient mal connus. Précisément, nous pouvons travailler avec des modèles de complexité réduite (voir l'exemple 2.14). Pour vérifier si une telle approche est valige, nous avons à notre disposition le théorème des peLits gains non linéaires suivant (voir aussi [ING 02, TSI 991). THÉORÈME
2.5 ([.nA 94J).- COl1sidérons l'intercollnexioll:
û g(!J,e) { ri h(y,c)
l2.35]
de dellx systèmes SEE. En parliel/liel; soil f3c et j3d des.f(mclÎons de classe :XC. "ie el Id des/onctions de classe 9C telles ql/e, pOlir chaqlle.!lmctiOll ri daus L~~:(JR~+ l IR~'pd). chaque foncli011 e dans Lh:c(J~+, lRP,). chaque poi1tl ,T de JR:II et c"{lqlle point y de m;m, loutes les sol1l1iolls X(,1;, t; ri) et Y(y, l; e) sont d~fillies surlM:+ el satü:tèmt, pOlir presque f01l1 l, 2': 0:
Ik(.X·(:r, l; cl))1
max{/3L,(I:tl,l.), le (1Idllo,il Il,X))}
[2.36]
~fd(llel[n"111(X») }
[2,37J
Ih(Y(Yl t; c), c(l.))1 :Ç max{/3d (I.'JI: 1), SOIIS
ces conditions, si: (respeclivemenl l
d(,c(S))
s)
\/,5
>0
12.38'1
alors l'origine esllllle solll1ioll globall'lIlellt asymptotiquement stable du sy,\'tèl11e C01l1plet /2.35]. REMARQUE
2.5.- Des versions locales de cet énoncé existent Voir par exemple
95"1· EXEMPLE
2.2
(APPLICATION DU THÊORÈl'vlE DES PETITS GAINS).-
Considérons le
système:
.1:2 (
Û=
-:1'1
+ ,T~ J;2
-J'2
:r2
+ lJ'2
12.39]
- II + ~ l,]' 1 1j
Montrons que J'origine est globalemenL asymptotiquement stable en appliquant le théorème des petils gains. Pour ce faire, nous considérons le système l2.39] comme étant constitué de l'interconnexion des sous-systèmes en :L' et en y.
60
Commandes non linéaires
Pour étabHr que Je sous-système en .1' est SEE, posons: [2.401 En complétant les carrés, nous obtenons:
-"-;---( .. ".)" _ \:1' .1.1,·1.2 -
-
<
(.1... 2 +:12 .2) 1
1 l.2 - ~'"I
-
., (.:3_.) .1'1'[2
-I-.l,(
l 't.:.! 2"' 2
-
l TG "l.2 '2' 1"2
.U .. 2
..
-,1'1.1 2 +J'2U
2
+ '21 ",l'} 1
[2.4 1]
l2.421
s: -VI: -1- ~.I/
[2,43J
Ceci implique, avec la même notation que dans [2.28] :
[2.441 11 est donc établi que le ,mus-système en :r est SEE et donc qu'il existe une fonction de classe 9(L tel1e que, pour toutes les solutions et tous les temps positifs, nous avons: [2.45J où:
12.46] Dc même, pour le sous-système en lJ, nous posons:
Vy (1}) = •
[2,47]
1./}2 2 '
L'inégalité 12.366] de Young nous donne:
Il s'en suit que,
--.
pOUf
chaque f dans (0,1), nous avons:
1/~/(Y) =
r2,49J Î.I
<- -
-
-<
I}
8'
_ Îf 2
3 -1- -
8
0
[2.50j
.r-:-]
ifil·(_1])2 _ --2-..c...
(1' ( )') III
3 'J)
y - - 28 (1 _ ê) ;rï
[2.51 J
Ceci établit que le sous-système en !J est SEE et donc qu' iJ ex iste une fonction {Ji! de classe :JCC telle quc, pour toutes les solutions et les temps positifs, nous avons: 12.52]
Fonctions pour la stabilisation de
pcrturbation~
6\
avec: l1.53J
Ayunt établi les inégalités l:2.36J et l2.37]. il nous reste à vérifier la condition f2.381 de petit gain. Nous avons, pour ,<; strictement positif:
t s~ )
(
2
f2.541
1
ïJ
s<s Avec le théorème nous en concluons que l'orîgine est Ulle solutÎon globalement asymptotiquement stable de l2.39 J. Comme pour la stabilité asymptotique, les fonctions de Lyapunov se révèlent fournir un outil très efficace pour traiter les problèmes de SEE. Ainsi, nous avons le théorème suivant. (lSON 95aJ).- Le système [2.11] l'sI SEE si el seulemenf il 'il existe /Ille f011ction de Lyapl11101' li de classe Cl, Hile JOI1CliOI1 1 fi de classe :J(';x, et /Ille fonction b de classe :Je telles que: THÉORÈME 2.6
, d)
]p; Il
1R}) [2.56]
PlliS précisément, celfe il/égalité implique qlle le gain L'= 11011 linéaire es! pln'l pelil que la flmetion 0 (J.-l 0 b, oit (1' l'sr 1II/e pme/iou de classe :JCX) salisfaisanl:
f2.571 NOliS avons en fait déjll utilisé ce résultat dans l'exemple 2.1 pour montrer que le système l2.14J est SEE. Dans le contexte de la propriété de SEE écrite il raide d'une fonction de Lyapunov, nOlis avons une autre version du théorème des petits gains qui s'avère Lrès utile en synthèse de lois de commande.
THÉORÈME 2.7 ([PRA 931).- Considérons
l'inrercoJrl1ex1rm 12.35] oit le
SOli.\'-
s.vslème en y est SEE Ql'ec en parriculier des fonctions f3t! de classe ~(L el '"'ld de classe :Je telles que, pour clll1qlle Jonction e dans \ )RfJ) et c!taque point .IJ de R", fO/ltes les solwiol1S Y (y, t; c) sont définies sitr el s{/Ii.~/(ml :
Vt 2::
1. Sans perte de généralité, nous pouvons prendre (1 (oS)
= s (voir 1PRA 96 n.
(1
12.581
62
Commandes non 1i néaires
Soit VI: Imefonction de L)'apll1lOl'de classe Cl,
/:1: 1I1lefimclioll
de 9C et A llll rée!
strÎctement posil({ \'ér(fùmt :
SOIIS
ces condilÎons, si, pour 1/11 réel é dans (0, 1). IUJll.\' {/\,011S: V:c E JH:1I
f2.601
alors l'origine est ulle soll/l;017 globalement asymptotiquement stable du système CO/Hp/et /2.35}.
2.3. Fonctions de Lyapunov assignables (CLF) Considérons le système affine en la commande:
.i: = f (:r)
+ .f1 (:r) li
[2.61 ]
Sail V" une fonction de Lyapullov de classe Cl. La dérivée de F Je long des solu-
tions de f2.61] vérifie:
--V (;J~)
=
L J 11 (:L')
+ Lfi F (.1: ) 1J,
[2.62] ~
Pour chaque.7: te] que ILg l1(:c) [ est non nul, cette dérivée F(:r) peut être rendue strictement négative en prenant la commande par exemple comme:
_ L.rV(;J;)
+ I.l:[l
Ir 1712 lx,
\7(, .)'1'
.JrJ.1
l2.63]
.Jfl
MaÎs, en chaque point:r où [Lg F(:r) 1 s'annule, la commande n'a pas d'action sur la dérivée de V puisque nous avons seulement: ~
F (.r) = L f V'(:r )
[2.64]
11 s'en suit qu'une fonction de Lyapullov F ne peut être éligible pour conduire à une loi de commande stabilisant asymptotiquement gJobalement uniquement si elle vérine J'implîcation: [2.651 En d'autres termes. la fonction F doit être telle que la fonction L f F restreinte à l'ensemble {:D : 1L!J li (.7:) 1 = Cl} est il valeurs non positives.
Fonctions pour la
stubi1i~ation
de perturbations
63
DÉFINITION 2.6.- Une fonction de Lyopwuw 17 de classe est dÎ((;~ slrÎClemel11 assignable point par point (CLF) aIl système [2.6/ J. l~llil1e eu la commande, si elle l'érUie la propriété:
r2.661 DÉFINITION 2.7.- Ulle fOllctioll dl' Lyl1pwJOI' V de classe est dite strictemenf assignable point pOl' point (CLF) lIli système fl. 6 Jl, q!lille l'II ln COlllllwllde, si elle \'ér(fie'2 :
"
LJF(:/;)
hml::lu,p 1 1/( ')1 :; 0 1:t:I-1l Ly :z' EXEMPLE 2.3 (FONCTION DE LVAPUNOV ASSIGNABLE POINT PAR POINT ET LOCALEMENT CONTINÛMENT).-
Considérons le système: f2.68]
ct ln fonction de Lyapunov: 17(," 1 .Z
",) -_ 2"j (,,2 ,t 1
l "Z,2
+ (,..1'2 + ,.3)2) 1
12.691
.1,
Vérifions qu'elle est strictement assignable poinl par point. Nous avons: [2.70]
Ainsi, Lu \:"(:1:J, :/;2) est nul si et seulement si: [2.71 ]
Dans ce cas, nous avons: [2,72J qui, avec [2.71]. est strictement négatif si le point (:l:1 • .1'2) n'est pas J'origine. Nous remarquons aussi que nOLIS avons: •
f; (
1
O}
l'
"l'O" )-
'"1:'"2
l2.73 J
Ceci permet de conclure que V est localement continClment strictement assignable. 2. La IimÎte sLlpérieure peut très bien être -00.
64
Commal1des non linéaires
THÉORI~ME 2.8 (/FRE 96, HAM 01, SON 89u]).- Soit V IlIle.frJ11Clioll de Lyap1f1IOI' de classe Cl strÎctellU!lIl assignable pOÎHI par point ml syslème {2.61J :
- si 17 est al/ssi loclIlemelll cOll1Î11IÎmenl striclemelU assignable. les fonctiolls (/)8 et ÔP suivanles ,\'0111 cOlltiuues et dOlll/elll des lois de COl11111aJule stabilisant asymptotiqllement globalement l'origine:
(b,..,.(:r) = _.4+ _ _'--_ _ _ B T
sÎ
IBI =
si
IBI ::J 0
0 [2.741
qJF(.T) = avec la 1I0lation :
/2.751 - s'i! exisle Urt réel
0'
> 1. tel que nOlis m'mis: [2.76J
a/ors il exÎste 1l1leJànctioll de classe Cl dé./il1ie positil'e et propre Cdoulla dérÎ\lt'e est positÎl'(' et telle qlle :
C/>.d:r)
[2.77]
esllllle loi de cOIllI1l(11/de stabilisant asymptoliqllew{JlIl globalemelll.
REMARQUE 2.6.- Le théorème 2.8 il été étendu au cas où
la commande est sujeUe à
unc contrainte d'amplltude (voir IMAL 991 par exemple). REMARQUE 2.7.- Il est montré dans fEF] 02] que la condition [2.661 de stricte assignabilité peul être relâchée. Précisément, le résultat du théorème 2.8 esL encore juste si la fonction de Lyapunov F vérifie seulement:
L_ F(:r) I1m su p -,---'J __ IL'i \1(;1:)1-·0 IIf) F(:r)1
o
[2.78J
Mais alors, il [nuL ajouter que, pour tout réel non négaLif v, le plus grand enscmble quasi invariant de: [2.79] contenu dans r ensemble:
est réduit li l'origine.
Fonctions pour ]a stabilisation de perturbations
65
REMARQUE 2.8.- La loi de commande 12.771 est parfois appelée c01ll1lllmde graditmt ou commande Lg1f. Lorsque (l'est égal à 2, son intérêt est dans le rail que le système:
:r = f(:r) + !](:l')[I,b,.(:r) + v] { lJ rjJL(:Z:)
r2.801
d'entrée u et sortie y est strictement possil Cette propriété garantit par exemple la robustesse de la stabilisation asymptotique globale malgré la présence de dynamiques négHgées au nÎveau des actionneurs. Observons cependant qu'elle est fondamentalement de nature grand gain. Pour plus de détails, le lecteur peut se reporter tl la lecture de lSEP 97] (voir aussÎ IHAM 01 1). REMARQUE 2.9.- Si la fonction de Lyapunov n'est pas localement contÎnûment strictement assignable ou ne vérifie pas la propriété [2.76J, nous pouvons perdre la contiImÎté à l'origine ou même la bornitude locale des lois de commande. Mais ces IOÎs de commande peuvent malgré tout être utilisées pour rendre globalement asymptotique stable un voisinage de l'origine. EXEMPLE 2.4 (SYNTHÈSE DE COMl",IANDE A PARTIR D'UNE FONCTION DE LVAPUNOV STRICTEMENT ASSIGNABLE POINT PAR POINT).- Pour le système i2.68J, nous avons vu dans)' exemple 2.3 que:
Tl( ,) -_ 2'1 (,,2 ..2)2) 1 .1,.1 ••.12 .1, 1 -1- (,. .L.'2 -+ .l, l
[1.81 ]
est strictement assignable point par point et localement continûment. Nous déduisons avec le théorème ::!.8 que la fonction:
1>8(:r) = 0 si
+ :efl = 0
08(:r) si
1:['2 +
1f::
0
l2.8::!J
ou: SI.
l:r'2 + :rj')1
o
si 1:l'2 + .rÏ 1f:: 0 [2.83] est continue et donne une loi de commande stabilisant asymptotiquement globalement l'origine. Nous pouvons uussi tirer profit de la décomposition particulière 12.731 de
66
Commandes non linéaires
LI li pour déduire une IOÎ de commande
~1
partir de V. En effet. nous obtenons:
Ainsi, nous voyons que la fonction: [2.851
est continue et donne L1ne loi de commande swbilisant asymptotiquement globalement l'origine. Les éwpes ci-dessus sont typiques dans la synthèse de Lyapunov. Précisément, en es consistent à écrire une majoration de la dérivée li comme une somme d'un terme non posÎtif et d'un terme ayant Ly 11 en fac le ur. Une (eHe majoration est non unique. Ainsi par exemple, nous avons aussi: [2.861
A parlir de ces majorations, nous pouvons procéder par an/1ulation en définissant la commande cie sorte qu'elle annule le facteur de Lg"V et le remplace par un terme négatif multiplié par L!J V. Nous pouvons aussi lirer parti d'inégalilés comme [2.3661 et procéder par dOlllil1a1Îrm. Par exemple: dans la décomposition [2.84], nous voyons qu'il n'est pas nécessaire d'annuler le produit: ,,')( - ').....1'1 A L gl1i(q .lJ,.I2
+ -.11.2L 1)
1 'yi'
r(".1),.1<2 ,.))
lorsqu'il Il' est pas positif. Ainsi, une synthèse par domination donne par exemple Ul comparer avec [2.831): (f) (.1: 1 , :1'2) = -
---'----'''-------'''-----'=--:::-..----'----''----'-----'-
[2.871 - dans la décomposition [2.861, en complétant les carrés, le produit Lg F:rT peUl êlre majoré comme: r2.88]
Nous obtenons ainsi l'inégalité:
< 1.),,1 --2"1
+ l'"'!JIlT(r,1",2 J')(]J'..Iyl' L rr(T
'Z,·) -..:.? T + 'h ..'2,,· -j- li) ["_.891 -'1 ~.
',]"''2
Une autre loi de commande stabilisant asymptotiquement globalement est donc: l2.90]
Fonctions pour la stabilisation de perturbalions
67
Maintenant, pour savoir s'il existe une commande gradient. nous vérifions si la condition [1.76] est satisfaite. Nous observons qu'avec la décomposition [2.73] nous obtenons: Lf 1/(.1:1. ,1:::!)
=
-(:d
+
~ ,),,6) T_.ll
l
')
,2
'-_.1'1
(l'./fJ\'i(,", )):! '/'I,J'2 'L
r2.911
Le premier tenne entre parenthèses dans le membre de droite est déllni positif en 1.1:11 < J2. Ceci implique:
;1~2 pour tout
r2.921 Donc, de la formule [2.77]. nous déduisons la commande gradient:
t2.931 où la fonction C' reste II déterminer. En utÎlisant l'inégalité 12.3661, nous pouvons montrer que cette IOÎ de commande rend la dérivée déllnie si [î' (V) satisfait la contrainte:
,;C2
dans [2.86], négative
t2.94] Par ailleurs, nOlis déduisons de [2.81] :
t2.95 ] Ainsi. une expression appropriée pour (' est par exemple:
c' (11) =
LJ '2
+ 4 '0 + 3
En résumé, les points importants de
[2.961 cet
exemple sont:
la majoration de la dérivée 17 comme: l2.97J
Ol1 T _ est un terme non positif el T un terme quelconque:
la synthèse d'une loi de commande à partir de cette majoruLinn [2.971 approche d'annulation: 'II
= -T - Q(:r) Lu '/(;1;)1'
Fia
une
[2.98J
où Q est une matrice définie posÎlÎve ou avec une approche de dominatÎon en pOllssanl plus loin la majoration [2.97] avec cn particulier la possibilité d'obtenir une C0111mande gradicnt.
68
Commandes non linéaires
Pour des systèmes sans perturbat.ion. nous venons de voir que la connaissance d'une fonction de Lyapul10v strictement assignable point par point nous permet d'écrire une loi de commande stabilisant asymplotiquement globalement. Pour le cas avec perturbation, la même approche peut être suivie (voir aussi [KRS 95, lemme 5.2]); voir le théorème suivant.
2.9 (lSON 95bl).- Soi/ F unefolle/iml de LyapUl101' de classe Cl strictement assignable poilll par point ef localement contÎlllÎmellt ail syslème [2.61 j. Si et seulement si J101IS m'0I1S : THÉORÈME
lillI
1:':1--:;.;:;
LJF(:t:) \L)7(:r)1
l2.99]
LilF(:l:)=O
alors il existe l/IIe.flwctiol/ comiT/lIt' (1) qui rend le systè1l1e suÎ\'m/t SEE:
.1;
= f(:r) + g(.T) (p(:r) + p(.l') ri
[2.100]
REMARQUE 2.10.- La preuve de ce théorème est constructive. En effet, la condition
/2.99] garantitl' existence d'une fonction
0:
de classe :)(= vérifiant la propriété:
f2.101 J A partir de là, une loi de commande appropriée est donnée par théorème 2.8 en y prenant A comme:
~b8
ou
rj)P
dans le
r2.102] REMA RQUE 2.11.- Pour le cas général où le système Il' est pas afflne en d, comme dans 12.1 00], la condition [2.99] est plus complexe. Les fonctions de Lyapunov qui donnent encore accès à une loi de commande sont dites robustement strictement assignables (RCLF pour Ro/mst COl/trol LyapwlOl' FUI/clions en anglais). Elles ont été introduites et étudiées dans lFRE 961. EXEMPLE 2.5 (RENDRE UN SYSTÈME SEE PAR BOUCLAGE).- Pour le système:
12.103] nous cherchons une loi de commande rendant le système bouclé SEE. Avec l'exemple 2.3, nous savons que la fonction de Lyapullov: ,.) 1,T ('[' ," Il.''2
;:;"_1 "
(.'1. 21
+ (.-",_, .1,
,
_1_
.,[.,2)
)2)
[2.1041
est strictemenL assignable point par point el localement continûment (au système non perturbé). Etudions donc si la condition [2.991 est satisfaite.
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
69
Nous obtenons:
L J 11(.1'1, .1;2) = :l'I:J:2
Ly 1'"(:1'1 \ .T:.d
IL F(:r'l"l':.d p
+ (.1'2 + :J'T
= :r:..! + ;1~î = .1'] + 2.7:1
l2.105]
J'f)
(.1'2
Ainsi. lorsque Lu1! est nul, nous avons: L 1J l1(;r J, :r2)
12.1061
:1:1
Ceci implique: 12.1071
Nom; sommes donc ussurés de l'existence d'une loi de commande appropriée. Pour en obtenir une expression, nous écrivons (voir l2.86J, avec l'inégalité dc Young [2.366]) :
-,d + :1:J d + LyV(:l'J, ;L:2)(:rT
+ 2:ri:r2 + 11 + 2J:1 d )
:1:2
l2.I08j :; -E:cj
+ Lu V(:1:1 , :r2)
Cri -
+
:1:2
'. .1-::!
+ 11 ...L 1
27 , A .. , (.l,'. l , .I.:.d '. ,1. ) -,:\.1, 1 L q 1,
--"
25üE"
'
+aldl* où
ê
est n'importe quel réel dans (Cl, 1) et:
109]
(1.=
11 s'cn suit que, en prenanlla IOÎ de commande comme:
nous obtenons:
-E(J:';
+ Lg F (,Tl ~ .1,'2 yI)
:; - 2 E 11 (:r l, :D2 ) 2 -1- a
1
dl i
Idl i
[2.111 ] 12.1121
Ainsi, puisque nous avons:
[2.I13J
70
Commandes
linéaires
nOI1
le théorème 2.6 dit que le gain LX 110n linéaire 1 du système ell boucle fermée satis-
fait: [2.114] Observons que ce gain ne peut être rendu arbitrairement petÎt. En effet, minoré par ~ .1J2 .
(1.
est
De nouveau, il ressort de la condition l2.99 J que ce que nous pouvons faire avec une fonction de Lyapunov est complètement dicté par la restriction il r ensemble {:l' : ILyF(:r)! O}. Ce point a été étudié dans r.TEE 99J par exemple. En particulier, si ILpV(:t)1 eSlllullorsque ILyF(:r)1 est nul, alors il n'y a pas de limÎte dans l'atténuation de la perturbation. Précisément, nous avons le théorème suivant. THÉORÈME 2.10 (fPRA 96J).- Soit Y 1I11efollclion de Lyapllllol' de classe Cl strictement assignable point par poillt el localemenl c0l11inlÎme11l au système /2.61 f. S'il existe lIllefonctioll P : }R:n -;. [0, +(0) contiJ/ue sati~'1'aisalll:
[2.115] alors. pOlir toutes IrJ11diol1s )'11 et Tl' de classe :]('XJ, il exisle mu' '/ollclÎml contillue q) l'f des fOllctions (3 11 ef de classe 9CC leI/es que, pOlir chaque .!lJ/1CtiOI1 li dal1s L~cCiP~+, !R:iJ) et chaqlle POi1l1 :1: de jp{ll. lOI/tes les so!mhms X (:1', h cl) dIl syslème ell
bOIf{:leferJ/lée: :i' = f(.r) sont déjil/ies s/lr
+ g(:r) r/>(:r)
-1- p(.1:) cl
12.1161
et sali.\:follt. pOlir IOll/temps t posit~f: [2.117]
el, lorsque p(.s) ::; s ..
[2.118] REMARQUE 2.] 2.- Celle fois encore, la preuve de ce théorème est constructive (voir l'exemple 2.6).
2.13.- Le gain L= non linéaire 1;/: étant arbitraire, l'inégallté 12.117J montre que )' action de cl sur l'élat peut être arbitrairemenl alténuée. De plus, lorsque la fonction p esl majorée par la fonction identité, cette atténuation peul êlre réalisée avec une commande dont la norme .u"::.: est aussi proche que nous voulons de celle de la perturbation. REMARQUE
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
71
2.14.- La condition
1151 est une de ces conditions dite dl' coïl/ciri était mesurée, nous pourrions complètement annuler (faire coïncider) sa contribution aux termes positifs dans la dérivée de V en prenant la commande:
REMARQUE
dence (nw/ching cOlldilion en anglais). Elle tient au fait que, si la perturbation
4>(:1:) = -Idl p(:r) ---=-=---
119]
REMARQUE 2.15.- Comllle il est remarqué dans lSON 89b], lorsque la fonction de Lyupunov strictement assignable point par point V el la loi de commande associée (/) sont telles que la fonction:
1201
est propre 3, alors la loi de commande:
= cj{r)
[2.121]
rend le système en boucle fermée SEE mais sans que nous puissions contrôler le gain L non linéaire ~f. ('XJ
EXEMPLE
2.6 (ATTÉNUATION DE PERTURBATION COMME SYNTHÈSE DE BOUConsidérons le système:
CLAGE D'ÉTAT PARTIEL).-
il =
-:'(1 -1- x:~
= -:r:.! x:\ + Xl :\:.1
[2.122]
Nous cherchons une fonction continue, ne dépendant que de :r.1 et donnant une loi de commande stabi1isant asymptotiquement globalement]' origine. La voie que nous suivons pour résolldre ce problème résulte des deux observations suivantes: 1) le sous-système en (:r l, :r2. :ra) avec X.l comme entrée 11' est rien d'autre que le système r2.141 que nous avons montré être SEE dans l'exemple 2.1 ; 2) dans le sous-système en X.\. la perturbation (:t;l, :'(1) satisfait la condition de coïncidence puisque nous pourrions annuler son effet. avec la commande li si eUe était connue. Avec le théorème 2. JO, nous savons que nous pouvons obtenÎr une loi de commande (/) ne dépendant que de :\:.1 et aUénuanl alitant que nous voulons l'action de cette perturbation. 3. Cc qui pellt toujours être obtenu d'après ISON 89b 1.
72
Commandes non linéaires
De ces deux. points découle que nous devrions être capable de satisfaire une condition de petit gain comme 12.381 ou l2.60J. Plus précîsémenl. avec [2.20], [2.32] et le théorème 2.7, nous savons que notre problème sera résolu si, pour le système (voir le sous-système en T.I) :
i2.123"1 nous pouvons trouver une fonction de Lyapunov V strictement assignable point par point et une fonction continue ) telles que nous avons l'inégalité suivante pour la dérivée de F :
----,
1l(:r) :Ç -~\ 1/(.1;)
+ ~f1 (Idll) + 12(1rl2 1)
l2.1241
et Ay'2 sont des fonctions de classe :K et /\ est un réel strictement positif védfiant (voir [2.20] cl l2.32]) :
Oll ~y'l
12.1251 avec E: un réel strictement positif quelconque. Le théorème 2.10 nous indique qu'il est toujours possible de trouver de telles fonctions li et ~ù. Exprimons donc ces fonctions. Nous commençons par observer qu'il est suffisant d'avoir:
[2.126] avec a, b et c des nombres réels. Prenons donc la fonction de Lyapunov strictement assignable point par point:
1--t .,'1'"
V(.1:)
12.127]
Avec l'inégalité de Young l2.366/, nous obtenons:
--'1('[')' - "'1':.1 ' .' -
1 LI
$ "," u
$
+ .[;,.:1 (l,~
+
(r
G
- !- "'1,-1 cl "1
[2.128]
~:) + (
:,,(u +.r" + 3::;~) -1-
,]
4-1- 4
j
d ) +4
l2.129] [2.130]
Ainsi, en prenant:
r2.13I] nous obtenons l' inégaliLé [2.124J sous la forme:
f2.1321
Fonctions pour lu slubilisatiol1 de perturbations
73
Ceci nous donne: ~ll
(oS)
133]
Nous pouvons donc maintenant écrire la contrainte [2.125 J de façon explicite comme:
81 .1 -I--x :;(I-e) .0:1
,\
'ï/:c
:1
r2.134]
Notre objectif est donc atteint en prenant:
/\ > 97
[2. J 35]
et donc, par exemple, la loi de commande:
(jJ(:c) = -24 :1;
-
3
(
:t: -1-
3;Z:~)
[2.1361
-1-
.:1
En résumé, les points importants de cel exemple sont: - le choix très spécifique de la fonction 17 dans [2.127]. Nous avons utilisé [2.126.1 pour nous guider dans ce choix. De façon générale, l'idée est de ne pas préciser tout de suite V. A la place, nous continuons les calculs en accumulant toutes les contraintes que cette fonction doit satisfaire. Le choix de F est alors faÎt il la fin ; - traiter les termes de perturbations en manipulant des inégalités. Dans tout ce paragraphe, nous avons vu que, pour résoudre le problème de la stabilisation asymptotique globale ou le problème d'atténuation de perturbations, 11 est sufflsant de chercher une fonction de Lyapunov li satisfaisant: [2.137J et peut être une condition supplémentaire au voisinage de l'origine. La prochaine seclion est dédiée il une technique de construction d'une telle fonction pour des systèmes dont la dynamique peUL être écrite sous une forme récursive.
2.4. Ajout de dérivateur et systèmes sous forme dcfeedback (backsteppillg) 2.4.1. Fonctioll de LyapllllO,f assignable poi"t par ]Jo;nt par réductioll dy"amique
011
exte1lsion
Considérons un système dont la dynamique peut être écrite sous la forme triangulaire suivante:
f(:z:, y) h(:r:),I))
+ 11.
12.1381
74
Commandes non linéaires
avec :r dans lP~1l et !J et 1.1 duns IR:. Nous voulons savoir si, connaissanl une [onction de Lyapunov strictement assignable point par point au système complet [2.138], nous pouvons en déduire une pour le système réduit:
:i'
= f (:1: Il)
[2.139]
l
et inversement. 2.4.1.1. RéduclioJ/ Supposons que nous connaissions une fonction de Lyapunov gnable point par point au système complet [2.138] :
\/~J
strictement assi-
(JV (J:t:' (:r.l/) f(.'I:, y) < 0 [2.1401 La condition {~~~I (~t-\ li) = () est une condition de stationnarité en 11 de la roncHon \~/' il
:1: fixé. Or, puisque \/~I est une fonction de Lyapunov de classe Cl, pour chaque ,r fixé, clIe admet un mÎnimum global en !J et donc au moins un point stationnaire. Dénotons (!>;I~(X) l'un de ces points stationnaires. Nous avons alors:
av
11 (". -;::;.û. u]) et,
\/~I
(i) i ;1:
('l')) .' -- 0
[2.1411
étant définie positive, nous pouvons sélectionner 9;1: pour satisfaire:
[2.142] Définissons la [onction
VI'
comme:
[2.143] NOliS avons le lemme suivant.
2.1.- Si lafollction \~I est de classe C 2 et III jl}llcrion1);t: pellt être sélection1/ée pOlir être HOider continue d'ordre strictement plus grand que aloJ~ç la fonction \/~I: est wre.fl}JZctioJl de LyapwlOl' de classe Cl strictement assignéê au système réduit [2.139] par la loi de COIlllllllllde cominlfe ri):!'> LEMME
t
REMARQUE 2.16.- La continuité de ~b;,: n'est en général pas impliquée par le fail que \/11 soit une fonction de Lyapunov satisfaisant [2.140]. Nous pouvons trouver, dans [COR 9]j, un système de la forme r2.138-' dont l'origine est globalement asymptoti-
quement stabilisable mais tel que le résultat du lemme 2.1 est faux pour le système réduit [2.139] associé.
Fonctions pour la stabilisation de pertmbalions
75
Avec le lemme 2.1, nous avons une condition sufllsante pour que, étant donné Ull système sous la forme triangulaire 12.1381. nOLIs puissions déduire une fonction de Lyapunov strictement assignable point par point au système réduit r2.1391 ü partir de celJe du système complet [2.1381. Ce fait est important cnr ÎI m0!ltre que des problèmes de stabilisation peuvent être étudiés, au moins dans certains cas, avec des systèmes de dimension réduite.
2.4.1.2. Extensio1/ Etudions maintenant la question inverse. ~1 savoir: si nous connaÎssons une fonction de Lyapunov strictement assignable pOÎnt par point au système [2.) 39], pouvonsnous en déduire une pour le système étendu [2.) 38]? Pour obtenir une réponse tl celle question, nous inversons les arguments présentés dans la réponse à la question de réduction: C1 : SOiL VI: une fonction de Lyapul10v strictement assignable point par pOÎnt au système [2.139]. Soit : lRn -;. lP~ une fonction continue assignant strictement cette fonction à ce système, c'est-il-dire satisfaisant:
av"
~ (.7:) u;r
, < .f.(:r, q(:r))
0
l2.144]
Nous remarquons que, pour toute fonction C qui est de classe CI, dénnie positive et propre, et dont la dérivée est positive, la fonction t(Ve) est aussi une fonction de Lyapunov strictement assignable point par point au système [2.1391 ;
- C2: ft partir de ces données, pour créer ce qui sera la fonction f~)Vll, ( y nous infroduisons une [onction'}l : IR:/l x IR: -;. IR~ qui est de classe Cl, telle que la fonction:
[2.)451 de classe Cl et vérifie:
1/)(:1', y)
=0
> ()
'l,b(:c, y)[y Hm 'li Cr, li) lui--x TI-Il~ORÈME 2.11
<=?
-j-cx;,
Y ==
V(:c, y) E 'If:r
r2.1461 RH X lP~
: li =1-
[2.1471 [2.148]
([PRA 91J).- Sous les cOllditio/1.\' Cl et C2 ci-desslIs, la fonction :
12.149J
76
Commandes non linéaires
est /llIe.liJJ1cljoll de LyapltllOl' de classe Cl strictement assig1lable point par poi1lt ail système /2.138]. De plI/s, si:
111)(:1;~ !J)
' . f' l un 1Il
1]/ - ç/>A;r)!
1:1'1+lyl-"'o
alon;
\~I
1
>0
[2.1501
est 1IIissi localement c01/timÎmenf strÎCtement assigl1able.
2.7 (CONSTRUCTION D'UNE FONCTION DE LYAPUNOV STRICTEl'vlENT Revenons au système [2.68] de l'exemple 2.3 et voyons comment a été construite la fonction de Lyapunov l2.69]. EXEMPLE
ASSIGNABLE POINT PAR POINT).-
Ce système est: ;: {
y
;c
y
= -y +'lJ
[2.151]
Tl peuL être vu comme le système: l2.l52] étendu en lui ajoulantle dérivaleur: [2.1531 PrécÎsément, pour construire le système completl2.151] à partir du sysrème réduit
[2. J521. nous avons besoin de dériver la commande de ce dernier. Le système réduit [2,152] ét::mt monodimensîonnel, nous prenons simplement: Tl ( .. ) -_ 1 :/:.l.
2'l
.::!
J~
[2.154]
comme fonction de Lyapunov strictement assignable point par point. Nous obtenons: ~
1/(.7;)
'1
= :r- 11.:
1:
f2.J 55]
Il s'en su i t que, par exemple: 1./..1:
= qJ:1; ( :t:)
=
[2.156]
donne une loi de commande de classe Cl stabilisant asymptotiquement globalement son origine. Pour revenir maintenant au système complet [2.15 J], nous appliquons le théorème 2.11. La formule [2.1491 nous donne en effet une fonction de Lyapunov strictement assignable point par pOÎnt. Par exemple, en prenant:
CCv) 1jJ(J.:, y}
= 'u y - q)a:(.T) = U + .1:'2
[2. J57] l2.1581
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
77
dans cette formule, nous obtenons la fonction de Lyapunov:
[2.159] r2.1601 C'est exactement l'expression r2.691- De plus, puisque nous avons: I~',(:t:, y)1 1
=1
U - 9\r (:r )
cette fonction
1~f
[2.161J
1
est aussi localement continûment strictement assignable.
REMARQUE 2.17.- De la [oncLÎon de Lyapunov strictement assignable point par point 1/~1' une loi de commande stabilisant asymptotiquement globalement l' origine est donnée par la [onction cP.',· ou la [onction rPF ou la commande gradient du théorème 2.8. Mais nous pouvons aussi appliquer une synthèse par annulation ou domination.
REMARQUE 2.18.- L'existence d'une fonction 'I,b satisfaisant la condition C2 est garantie si la fonction q):l' est Holder continue (voir rCOR 911). En fait, dans la plupart des cas, la fonction (/;:r est de classe Cl. Alors le choix le plus simple 4 pour 1/' est:
l2.162J En prenant la fonction C comme la fonction identité, la formule 12.1491 donne l'expression plus commune (voir [TSI 89]): [:2.163] REMARQUE 2.19.- La fonction de Lyapunov [2.163] est obtenue dans [KOT 89] par
un autre moyen connu aujourd'hui sous le nom de backsfeppillg. 11 a été extensivement développé dans [KRS 95, KRS 98a] en le combinant avec d'autres techniques pour obtenir un très vaste répertoire de procédures. Il consiste en l'introduction d'une nouvelle coordonnée (voir [KOT 89J), dite variable d'écart: [2.164] Avec cette coordonnée, la dynamique du système [2.138] s'écrit:
.~~ = f (.1:, ',) + (j):r: (.1: )) { Il = [J ( :r, Il) + 'lI 4.
D'Lill
point de vue mathémalique, peul-être pas pratique!
12.165"1
78
Commandes non linéaires
avec maÎntenant:
IJ (:1:, Il) = h (:L:, Il
+
(!);!' (
:r ))
+ : : l (;r) f (J', Il + u:r
q);I'
(,r ) )
f2.166]
Une propriété importante du soufol-système en :r de [2.165], mise en évidence dans [KOT 89], est que nous avons:
.
V(;)" =
av ;:)'X
ua:
(;r) f(:r, Il
+ (/),1'(:/:))
= -lV/:(:r)
+ WT1)
l2.1671
avec H·~!: définie positive et :
(;.,1
= av/: (:1: )
/,1 a; aJ (:1:, sn + , " (:t )) cl,'; (t):!:
.()
[2.168]
j
Le sous-système en :L: est donc strÎctement passif avec IJ comme entrée et w comme sortie. La synthèse d'une loi de commande stabîllsant ~lsymptotÎquement globalement )' origine du système L2.165] peut alors être vue comme le fait de rendre, grâce à la commande n, le sous-système en Il strictement passif avec -w comme entrée et 1.1 comme sortie. Pour ce rnire, nous pouvons suivre une synthèse d'annulatÎon pour obtenir:
[2.169] REMARQUE 2.20.- Après avoir déduit de i~J une loi de commande
(j)y stabi]jsant asymptOliqucment globalement l'origine du système [2.138]. nous sommes avec cc système dans exactement la même situation que celle dans laquelle nous étions avec le système [2.J 39]. Ceci signifie que nous sommes prêts pour continuer avec une nouvelle extension et considérer Je système:
i
= /(:1:, JJ)
il
+z = k (:t, U' .:) + 'li
l f;
h(:f~ U)
l2.1701
Ainsi, la procédure que nous avons introduite pour lraiter l'ajout de dérivateurs et le backsfeppillg en particulier montre tout son intérêt. Elle nous pCl111et de résoudre par récurrence (voir l'exemple 2.14) le problème de synthèse de Lyapunov pour des systèmes sous la forme:
:h = ./'1 (:Cl, :Z:::!) .i:'J
f2(.Tl,:r2)
+ f}l(:rl ..l~::d:l'J l2.171 ]
Fonctions pour la stabilisation de perturbatîons
79
où les fonctions [Ji ont un signe constanL. Cette forme est appelée rormefecdback. El1e est obtenue en ajoutant de façon récursive un dérivateur de hl coordonnée qui peut être utilisée comme commande pour le système précédemment obtenu. REMARQUE 2.21.- Bien que, dans la formule l2.149] pour la fonction de Lyapunov strictement assignable point par poinl, nous ayons déjà des degrés de liberté uvec les fonctions Cet '1/' (comme l' iHustren( les exemples ci-dessous), une formule encore plus générale peut être donnée. En effet, nous savons, avec le théorème 2.2, qu'il existe toujours une fonction S : Rn -'- IP~ qui est de classe CI et définie posiLive telle que toute fonction de valeur en .1.' dans l'intervalle [(/J,r(.r) - 8(:1'). (/):1:(:1:) + 8{:r)] donne encore une loi de commande stabilisant asymptotiquement globalement l'origine du système [2.139]. Il s'en suit que, au )jeu de [2.1461, nOlIS pouvons prendre:
,il)
0
Par dans le cas où 4);1; est de classe Cl, ceci conduit à la fonction de Lyapunov de classe Cl strictement assignable point par pOÎnt et localement continûment:
u)
C(Vr(:r))
+~
rnax{l.lj
(j).I·(:1.:)I- â(:l'),
of
Cette fonction de Lyapullov est plate selon les .IJ autour du point rjJA.r). Cette pro93a]. Elle est utile pour résoudre priété a été mise en évidence et exploitée dans des problèmes où le gradient de la commande joue un rôle comme dans les cas olt il y a un bruit de mesure de l'état, un retard dans la commande. ou encore lorsqu'il y a une contrainte sur la vitesse de la commande (voir [FRE 93b. FRE 98]). REMARQUE 2.22.- Nous avons mentionné que lu version backsfepping de l'ajout de dérivuteur exploite une propriété de passivité. En [ait, il existe aussi une version liée à la stabi1ité SEE et au théorème des petits gains. Elle est proposée dans 1SON 901 et exploitée par exemple dans lARC 99] : pour le système p,.138]. soit Vr une fonction de Lyapunov strictement assignable point par point el 4):1: une fonction de crusse Cl qui l'assigne de sorte que la fonction: Hr(:r)
BF. -
.!
(:1') f (:t l
q);l:
(:1: ) )
[2.174'1
est définie positive et propre. Il est montré dans [SON 90] (voir aussi la remarque 2.12), qu'ù partir de ces données, nous pouvons obtenir une fonction l.p : JP~'I . . . . . JP2 strictement positive et de classe Cl telle que, en posant (comparer avec r2.164J) : 12.175J
1)
la dynamique du système 1"2.1381 s'écrive sous la forme:
f{:r, y(:r)11 [J(:r, 11)
+
+ cf)J·(;-r))
12.176J
SO
COl11lmmdcs
11011
linéaÎres
où Je sous-système en;J: est SEE avec tJ comme entrée. Alors, à l'aide du théorème 2.5, nous pouvons déduire la stabilité asymptotique globale de l'origine pour le système r2.165] si la commande est choisie pour rendre Je sous-système en Il indépendant de :r el faire de son origine un point globalement asymptotiquement stable. Une telle commande est par exemple:
p.l77J où k est une fonction définie positive continue quelconque.
2.4.2.11ltlstratioll de la tech1Jique d 'aiollt de dérivateul' par des exemples Dans ce paragraphe, nous illustrons certaines des potentialilés de la synthèse de Lyapunov déduite de la technique d'ajout de dérivateur. EXEMPLE
2.8 (EN PRÉSENCE DE SINGULARITÉS (VOIR [LI 97]).- Pour le sys-
tème:
o () + w { W = w + (1
[2.178J
- w)u
ilestpossibledemontrerqueI'ensemble{(O,w): 0 S; -louw ~ l}estînvariant quelle que soit Ja commande 11. L'origine ne peut donc être globalement asymplotiquement stabi1isée. Construisons alors une loi de commande faisant du complément de cet ensemble le domaine d'attraction de l'origine. Ce complément est difféomorphe à lR? comme le montre le changement de coordonnées (avec singularité) suivant: :r = log(l { !J
+ 0)
[2.179]
-log(1 - w)
C'est une bijection de l'ensemble {(e,w) : e > -1 et w < I} avec JR:.2. Avec ces nouvelles coordonnées, la dynamique du système [2.1781 s'écrit:
exp(:-c + 71) - 1 . 'c------, - exp(xl+ y) {
[2.180J
ù = [exp(y) - 1] + 11
Ce système est fait du système:
exp(:l: + u;r) - 1 exp(:c + '11./:)
(2.1 81]
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
81
qui est élendu par r ,üout du dérivateur:
Ii = [cxP(II) - 1] +" { "li:!, = Il
r2.182]
Cette vision du système complet nous incite deux étapes.
1:1
synthétiser la loi de commande en
Elape 1. Nous considérons le système l2.181 J. Nous vérifions que: [2.1831 est une loi de commande assignant globalement (dans les nouvelles coordonnées) la fonction de Lyapunov : Tl ( ,) _
L ,2 -"2.1.
I:r .1~
l2.184]
Etape 2. Nous considérons le système 12.1801. La formule
1/~(,T. y)
1631 nous donne:
= VI; (:r) + ~ (y + 2J:)2 = !J .1: 2 + ~ (,IJ +
[2.185]
comme fonction de Lyapunov strÎctement assignable point par point. En effet. nous obtenons: T'
,1
exp(:r + 0) - 1 exp (:r + y)
-L~~--~---
!I -
•
+ (y + 2,,) ([exP(Y) - 1] +" + =
12.1861
x (1 - exp (.r ) )
+ (11 + 2:1:) ("' exp ( -(J'
11))
~~---
+'l1+
1] l2.l87 J
Alors, une synthèse d'annulation donne la IOÎ de commande: 'U
= -
( :t exp ( - (:r + '!J ))
+ [exp () IJ .
exp(l} + 2:1:) y + 2:r
1
~~'----~-
exp (.1: + 11) 1 ) 1] + 2 ---'-------:-exp(:r + !J)
(y -1- 2:L:)
12.1881
En résumé, les points importants de cet exemple sont: -le changement de coordonnées avec singularité qui transforme le bassin d'attraction désiré en l'espace euclidien lout entier. Nous verrons dam; l'exemple 2.13 qu'une autre façon de réaliser un tel objectif est d'utiliser une fonction de Lyapunov singulière;
82
Commandes non linéaires
-la synthèse de lu loi de commande qui est faîte en deux étapes. Celles-ci suivent la structure en [orme defeedback du système à commander; - l'utilisation de la formule [2.163"1 qui permet de construire une fonction de Lyapunov strictement assignable point par point lorsqu'un dérivateur est ajouté. EXEMPLE 2.9 (EN PRÉSENCE DE LIMITATIONS DE LA CorvIMANDE fFRE 98]).Considérons le système:
{ ;~:
= !J
[2.1891
y=1.I
Nous cherchons une l'onction de classe Cl, qui donne une loi de commande stabilisanl asymptotiquement globalement l'origine el satisfait: - un effet zone morte avec:
~1)Y (O. 0)
= Dat/l1/ (0, 0)
0
l2.190]
li
u:l'
- une limitation: I
[2.) 911
ô!y (:/..'. 'II) 1 < 5 .,J
_
Pour résoudre ce problème de stabilisation sous contrainte sur la commande, nous procédons récursivement. Nous commençons par étudier le problème de stabilisation, sous les mêmes contraintes, pour le système réduit:
12.192] Nous traitons ensuite le système complet
Etape 1. Nous considérons le système l2.192]. Pour satisfaire la contrainte de zone morte. il est suffisant de prendre la fonction 0:1: (:r) d'ordre strictement plus grand que 1 au voisinage de l'origine. Pour satisfaire lu contrainte de limitation, il est suffisant de prendre la fonctÎon rj);/ê (:1') bornée. Ces considératÎons nous conduÎsent au choix: 1
(j) , .1-,(:r:)
-'i (1
r2.193J
+ l,ri::!)
Comme fonction de Lyapunov (",) 1!';I:·L
--
1~l"
nous prenons simplemcnl:
l2
[2.194]
Etape 2. Nous considérons Je système complet el utilisons la Formule [2.149] avec:
nu) II'( ;1:, 11 )
8
[2.195]
Il 1-1- 2u
(y - (/);r(;r))
+ (ylyl- ),,:(.1:)I
[2.1961
Fonctions pour la stabilisallon de perturbations
83
Ces choix non triviaux résultenL en faiL d'une analyse des termes qui apparaissent dans r équation l2.198] ci-dessous. Ils conduisent il la fonction de Lyapunov strictemenl assignable point par point el localement continüment: (:r) Ir/>.r (:r)1) ds [2.197] Sa dérivée est:
(1
+ 21 ), (.r) 1) 4/'. (:r ) !J1 r2.19S1
où nous avons:
f2.1991
Une synthèse d'annulation donne la loi de commande: 1
(.
(Py
,Il
)
_
U -
(1
+ 214);1:(:(:)1) lI~~;(.r)!J -
e(l/~!:(.1:)):I:
0\'
1+
y(.LY)
_(.....:1'-.'_ - - , -
Il -
<)", (:r)
où Hat est la fonction de saturation standard:
l2.201] Nous pouvons vérilier que, avec les choix faits pour les fonctions fonction (/)1/ répond aux spécifications données.
4):1;'
Cet d" la
En résumé, le point important de cet exemple est dans les expressions très spécifiques f2.195"] et 12.196J que nous avons choisies pour les fonctions f et l!' impliquées dans la formule P..149). Aussi nous avons résolu le problème en deux étapes, en imposanlies contraintes à chacune d'elles. Ceci peut être ni le seullli le meilIeur moyen de procéder. Par exemple, il est suffisant de prendre la fonction 1(/>:1: (;1.')1 non pas bornée mais avec une croissance de l'ordre dé celle de (et C(v) comme v 1 ) lorsque I:tl devient grand. Pour Je système réduit, ccci résulte d'une limitation sur la .vitesse de la
M
commande, c'est-à-dire la fonction EXEMPLE
2.10 (LORSQUE
lri):!:1 est non bornée, mais la dérivée ri>;/: l'est.
N'EST PAS DE CLASSE
(VOIR
[COR 91])).-
Considérons le système:
{ y=u.
,~: = .1: - Ua
[2.202]
84
Commandes non linéaires
L'approximation au premier ordre à l'origine de ce système n'est pas stabHisable. TI n'existe donc pas de fonction de classe Cl donnant une loi de commande stabilisant asymptotiquement l'origine. Pour obtenir une fonction de classe en, nous procédons en deux érapes.
Etape 1. Considérons le système: r2.203] La fonction: 1: ( ,) -_ 2'.11 ,.. 2 ,~:.1
[2.2041
est tlne fonction de Lyapunov qui est strictement assignée par la fonction de classe Cf) muis non de classe Cl: [2.205J
Etape 2. Nous considérons le système complet [2.202J. Pour nous aider dans notre ehoix d'une fonction 1/-' appropriée pour la formule [2.149]. nous remarquons que (1):1:(.1:) est une solution de l'équation polynômialc: q')~, - 2:r
()
[2.206]
Ainsi la fonction/j! sera de classe Cl si nous la choisissons comme:
= ,/- 2:z:
1/)(.1;, y)
[2.2071
Mais alors, la condition [2.150] n'est pas satisfaite. Néanmoins, dans ce cas très particulier, nous pouvons tout de même obtenir une fonction de Lyapunov localement continûment strictement assignable grâce à un choix appropdé de la fonction l! (voir lCOR 911). Par des arguments d'homogénéité (voir lHER 91]), nous arrivons au choix (voir 1PRA 91]): [2.208] Ceci nous conduit à: 11 :r~
T/ y 1
(
li
)
J1 y'J - 2 :t li
3 ')2/a
-1 ... (')' .),1/3 + -----4-_.1,
[2.209]
comme fonction de Lyapunov striclement assignable point par point au système l2.202]. Avec cette fonction, une synLhèse de domination donne la loi de commande stabilisant asymptotiquemenL globalement l'origine: [2.210] En résumé; le point important de cet exemple est constitué par les expressions r2.208] et [2.207] des fonctions Cet '//' utilisées dans la formule f2.149].
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
85
Dans le cas des systèmes avec plusieurs commandes, il est plus judicieux de les prendre en compte l'une après l'autre. EXEMPLE 2.11 (SYSTÈMES MULTICOMMANDES (VOIR rSCHW 991)).- Considé-
rons le système avec deux commandes:
l2.211J
Pour obtenir une loi de commande stabilisant asymptotiquement globalement l'origine, nous procédons en trois étapes 5. Elape J. Nous considérons le système linéaire:
[2.212]
Une fonction cie Lyapunov strictement assignable point par point possible est: [2.213J Elle est strictement assignée par: [2.2141
E/ape 2.
NOLIS
:î: 1
!
= :L"2
:Î: 2
= -2(:rl
:Î.'.j
=
considérons le système:
+ :r2) 'u[l + 2(.1;} + ;7;2)]
r2.2151
avec v comme commande. Vu sa structure et après la première étape, nous pouvons proposer ln fonction de Lyapunov:
[2.216] [2.217]
5. En rait. une voie plus directe est possible après avoir remplacé la coordonnée 11.J
= :/:·1 + :r:.! ;r::I·
:1'.1
par
86
COlllmandes non linéaires
Sa dérivée est: ;.,--~--
\/2(.7: l, ;[::!: :I:,()
il
= -.T 1
(:rl
+ ;r:zf + .1:.1 [1 + 2(:r 1 + ,1:2)J V
[2.218]
Elle est donc striclement assignée par: [2.219]
Etape 3. Nous considérons le système complet [2.2111. Il est déduÎt du système l2.2151 en ajoutant le dérivateur: [2.2201 Avec les choix:
[(11)
=V
11'(.7:1. :r2, :t.]: ,',')
= .'l
r2.221] -
4)2 (:1: 1, :1:2 ~ ·7:-d
l2.222]
la formule [2.149.1 donne la l'onction de Lyapunov strictement assignable point par point:
Une synthèse d'annu1ation par exemp1e conduit à la loi de commande: 1/,2
=
q):1 (J~l , .17 2: :/.',1, ;1'3)
-(.1:.1
+ :ra[1 + 2(.7:1 + :L':df + 2 ;1:,d:7:2 + :r:,dl + 2(:/.'1 + :l~2)])
[2.2251
2(:cl
+ ;7:2)])
- (:1::1
En résumé, le pOÎnt important de cel exemple est sa décomposition ell troÎs étapes: 1) dans l'étape J, nous étudions le sous-système en une loi de eommande pour 1.1 1 ;
(.1'1, ;'':2).
Nous en déduisons
2) dans l'étape 2, nous éludions le sous-système en (.1~1, '/;2, :r.:,]) avec :r3 comme commande. Ceci cst rendu possible par le fait d'avoir choisi 111 comme fonction de
(:r 1 , .1;:.1)
;
3) dans l'étape 3. nous obtenons le système complet après avoir ajouté un dérivateur. EXEMPLE 2.12 (PLACEMENT DE PÔLES (VOIR rEZA 00]) ).- Considérons un système linéaire écrit sous la forme canonique commandablc de Brunovsky; sous la forme
Fonctions pour la stabilisatÎon de perturbations
87
d'une chaîne de dérivateurs:
f
= "" [2.2261
Ln=II ou de façon plus compacte:
i
.A.. x
+ 13 11
[2.2271
Avec cette notation, soit:
u=-Xx
[2.228]
une loi de commande linéaire stabilisant asymptotiquement l'origine. Soit aussi Q des matrÎces définies positives reliées par r équation de Lyapul10v : (JI - 13~J() T~) + :P (JI
139()
:P et
[2.229]
Nous voulons montrer que la même loi de commande peut être obtenue en appliquant la technique d'ajout de dérivatcur: ln [onction de Lyapunov strictement assignable ainsi construite el sa c1éIivée sont données par les formes quadratiques associées aux matrices ::P et Q respectivement. Pour réaliser cet objectif, nous réécrivons le système 12.226] avec des coordonnées appropriées. Nous considérons la factorisation de Choleski de Q avec une matrice L triangulaire inférieure ayant des 1 sur la diagonale:
[2.230] Dénotons:
B := L 13
23
A:=L.A..
La matlice A peut être décomposée comme:
* 1 * *
o ]
o o
Cl
A
* * *
*
1
0
*
1.
*
(~, {/.
il)
c
[2.232]
88
Commandes non linéaires
avec la matrice A de dimension (TI. - 1) x (Tl - l) et ayant la même structure que A. Introduisons alors les notations:
.1:) (y
=
. .c:r
et, comme pOlIr A, décomposons les matrices P et diag( qi ) en blocs: p II Il
dia.g(qi)
)
r2.234]
Avec ces notations, nous observons que, puisque P est. définie positive, il en va de même pour Aussi 12.229] donne les trois équations suivantes:
P(A - bpT)
+ CA
1-
-T
Il
bpT)Tp
Pb+a.+.4 p=o:+
2/1
-Q - qnppT
p
l2.2351 l2.236] [2.2371
Enfin, nOlIS pouvons réécrire le système [2.226] comme:
= A :r + b !J { Ü = a T :1: + C li + li :i:
[2.238]
En prenant: l2.239] nous obtenons une fonction de Lyapunov strictement ussignable point par point et une loi de commande associée pour le sous-système en ;1.' de l2.238]. En particulier. de [2.235}, nous déduisons:
~(,z·)· l:l~·J
-
Ll·T l.:~ n ..l' -21'
.!-
[2.240]
Maintenant, pour le système complet 12,238], la formule r2.149 J donne la fonction de Lyapunov strictement assignable point par point:
1~1 (.T, y)
V,JI;) =
-1- ~ (y - ç0;1'(:r))2
! :z;'fP;r + i (,1} + p1':r) 2
= 1.2 ,.\-.\"T ,r_\.
fT) .\"
[2.241] [2.2421
[2.243]
Sa déri vée est:
i~/(:~:l?}) = :[;T]5(1.1: + by) + Il (li + pT .1;) ((l T ::z: + cy -1- 'li + J?' [A:I: + by])
[2.244]
Fonclions pour la stabilisation de perturbations
.1:
T -
(Q
89
+ q,dJ]J T ).1'
+ Ti (y + jJ T :l') (
;t;T Pb
T
--;- -1- (/ :1:
+ cu + 11 +}J T [A.7: + by] )
l2.245]
Ainsi le changement de comm:mùe : r2.246l
donne: [2.247]
TI s'en suÎt que, en prenant:
v
[2.2481
nous obtenons: 12.249"1 [2.250] Enfin. avec [2.246] et [2.248J el en utilisant f2.2361, f1.237] et [2.233], nous voyons que la loi de commande est:
(TT [.; Pli + a + :ïï1"p1+ [pI'IH cl Il) CI'
-
~ (II -
}7:/.')
f2.251 :1 [2.252]
l' .IJ
-9C:r
[2.253.1
Ainsi, la synthèse de Lyapunov nous a-[-elle permis d'atteindre la loi de commande mais aussÎ lu fonction de Lyapunov el sa dérivée données. En résumé. les points importants de cel exemple sont: 1) le choix des coordonnées qui rendenlla matrÎce Q diagonale tout en préservant la structure triangulaire de la matrÎce Il ~ 2) la décomposition de la matrice P comme [2.234] et les troÎs relations [2.235J il [2.237] qui en résultent; 3)
les choix des fonctions
V,; et
dans f2.2391.
En fait, nous n'avons effectué que la dernière étape de la procédure d'ajout de dérivateurs, mais la forme récursive de la matrice.4 nous permet de conclure que nous aurions obtenu le même résultat en suivant la même voie pOUf chaque composante de l'état récursivement rune après 1'autre.
90
Commanùes non linéaires
Ce fair doit être mis en relation avec la remarque suivante. Pour un système général sous formeIeedback, les termes d'ordre strÎctement plus grand que 1 ~ll'origine ne contribuent pas dans l'approximation au premier ordre de la loi de commande obtenue ~1 la fin de l'application récursÎve de la technique d'ajout de dédvateurs avec une synthèse d' annulatÎon.
JI en résulte que la technique
d'~iout
de dérivateurs nous permet d'obtenir des il l'avance. Cette particularité a été mise en évidence et exploitée dans [EZA 00] (et généralisée dans [PAN 01 J) pour obtenir des lois de commande ayanl des propriétés locales imposées par une synthèse Hoc" IOÎs de commande ayant localement autour de l'origine. des propriétés imposées
Nous terminons ce paragraphe en présentant un exemple où les diverses potentialilés que nous avons mentionnées sont mises il profit. 11 est directement inspiré d'une solution, présentée dans lKRS 98b], d'un problème de stabilisation asymptotique globale pour un modèle de compresseurs exhibant des phénomènes de décrochage et de pompage. II montre comment. face à des problèmes pratiques. il est nécessaire de combiner diverses techniques. EXEMPLE 2.13 (COMBINAISON DE TECHNIQUES (VOIR [KRS 98b])).- Considé-
rons le syslème :
~(:tl+ 1)(TI : ',,~)
i:1 : ,1,'] -
.Z;1
.i-:~
li.
1 olt
f
=
.l.'2.t (.L.2) ,
.11
t2.254]
est tlne fonction continue inconnue minorée par un réel F connu:
F
~
inf f(.s)
[2.255]
$
Nous cherchons une loi de commande linéaire en (.Tl l :l:::h ,ta) rendant l'origine asymptotiqucment stablc avec pour bassin d'attraction: l2.256J Nous observons que le système l2.254] est faiL du système:
{
<~'I. :1'2
-(:1.'1
=
111
+ 1 )(:Z:! + :l:~) :1.'2f(:r2) + .f!
[2.2571
auquel est ajouté le dérÎvaleur:
l2.258]
FoncLÎons pour la stabilisation de perturbations
91
NOlis construisons donc la loi de commande en deux étapes. Etape 1. Nous considérons le système [2.257]. Puisque nous limÎlons notre attention à l'ensemble n, nous choisissons pour le sous-système en :1:1 une fonction de Lyapunov de classe déllnie seulement sur cet ouvert: -:/:1 ; ,n
R
- "- cl", = .., + 1
:1:1' -
log;(:r1
+ 1)
[2.2591
L'intérêt de ce choix vient de l'implîcatÎoll:
111
12.260]
c
satisl'aite pour tout. réel non négatif c. Nous obtenons la dérivée: [2.261J 12.262j
Soit alors V' une fonction de Lyapunov de classe que nous spécilierons plus tard de façon à préserver un degré de liberté dans la seconde étape. Nous déllnÎssons:
Pour tout:v 1 > -1, nous obtenons les majorations suivantes pour la dérivée de \/2 - :l'2.1'(.t:2)
:
+ :l'd 12.264J
::; -.ri + :L:~ <
V'(:r2) :r2 .1'(.1'2)
+ F'(:t>2)[Ul + .rd
[2.2651
o\-:ri + V'(.1:,) [-''',./I:r,) + P(:r, + 1/1 + V'(:r,)] 12.266.1
Ainsi nous voyons que. si nous imposons à V de satisfaire la contrainte 6: r2.2671
6. Puisque V esl une fonction de Lyapunov, nous devons :lvoir :
F' (:1::2) :1::2 > n La contrainte 11.167 J eSl donc salisfaîle par exemple par:
92
Commandes non lînénircs
pour un réel l,: quelconque, ct que nous choisissons la commande comme: r2.268] la dérivée de
1,~
satisfait, pour tout
.1:1
> -1. :
------=-------
\12(.7:1, :r2) ::;:
[2.2691
Ceci montre que cf)2 donne une loi de commande stabilisant asymptotiquement avec pourdomaÎned'nttrnctÎon l'ensemble {(:r,,:f2) 1.1;1 > -l}.
Etape 2. Nous considérons le système complet l2.2541. Nous appliquons ln formule [2.149] avec: e('U) = v I!J((:r] , :r2), :1:::\)
[2.2701
a(:ra
+ 1.:.1:2)
l2.2711
où a est un nombre réel strictement positif à préciser plus tard. Ceci nous donne la fonctÎon de Lyapunov strictement assignable point par point: [2.2721 Pour tout :t' 1
>
-1, sn dérivée satisfait:
----
'/3(:rJ ..1'2::r 3)
< -1
-1I{(:D1) Cr! -+ 1) (:Cl + .1~~) + F'(.T::d ['111 - :r2f(.1:2) + :C]] + a (:r:J + h:r2)[u + k(.T~~ - :r2f(.7:2) + :r1)] 12.273]
- 11'(,1:2) :1:2
+ a (;7:;i + k:f2) [F/(J::d + lJ + k(:t';!, (J
:1'2f(:r2) +
;r!)]
[2.274]
<
où nous avons utilisé l2.2691 pour écrÎre 12.274] et complété lcs canés pour éctire l2.275l Une synthèse d'annulation nous conduit à la loi de commande:
Elle donne, pour tout :r 1
>
-1 :
12.277]
Fonctions pour la stabilisation de perturbaLÎons
Ceci établit la stabilité asymptotique de l'origine avec tion.
93
n comme bassin d'attrac-
Maintenant, pour satisfaire la contrainte de linéarité de la loi de commande el donc de u dans 12.2761. nous devons avoir: ["2.2781
l,: :r::!
a
où b est un réel que1conque. En effel. dans ce cas, la loi de commande est simplement: 12.279] avec les trois paramètres a, b et k. D'après notre construction, cette loi est appropriée si nous pouvons trouver une fonction de Lyapunov de classe (''2 satisfaisanL [2.267] et L2.278j. Mais la contrainte [2.2781 impose que F s'écrive: r2.2801 Heureusement celte fonction est définÎe positive et propre sur n si le réel il sntisfait:
b> -kF
l2.281]
Avec [2.280], l' inégaIilé 12.2671 devient: l2.282]
Nous pouvons donc conclure que le problème de stabilisation asymptotique posé est résolu si les inégalités [2.281] et l2.282] sont satisfaites. Elles le sont si nOLIs choÎsissons les paramètres (a, b k) de la loi de commande par exemple comme: 1
k;::::2
c
1 (].=-
k
h
cl.'
l2.283J
oÏl :
c ;:::: l
+ lllax{O,
[2.284]
En résumé et voulant ne citer qu'un point dans cel exemple, nOlis insistons sur l'importance. comme dans l'exemple 2.6. de ne pas choisir F (1 priori mais au contraire seulement à la fin, lorsque toules les contraintes sont connues.
94
Commandes non 1inénires
2.4.3. Ajout de déril'atellr opec perturbati()Il.\'
Les inégalités telles celles présentées dans [HAR 891 constituent un autre outil à combiner avec la technique d'ajout de dérivateur pour traiter des systèmes sous forme j'eedbock soumis à des perturbations. Par exemple, nous pouvons montrer que la propriété SEE peul être propagée au travers de dérivateurs (voir IlIA 94, HA 971 el [KRS 98a, lemme 1.10]) en utilisant la version la plus simple de la formule [1.163], pour oblenir une fonclion de Lyapunov strictement assignable pOÎI1l par point. et l' inégalité suivante. LEMME
1?1l;« jp~JI -;. IR~ el
1.1.- Soit F
lP~fl
G
-;. lPL des fOI/cI ions COl/tÎlllles
saIÎ.~{ais{mr :
F(:r. 0)
[2.2851
0
1/ existe deux/onctions contil/lles 6x
l)d(O)
: lR~17
-;.
salÎ.~r{lisant :
()
IG(:r) F(;r, lI)1
12.286]
:s; G(.Tf 8AI.l:I) + 8r1 (1dl)
V' (;1', d) E
lEt: r
[2.287 J
x IR:'/J
Précisément. considérons le système perturbé sUÎvant (comparer à 12.138]):
.l (:1', lJ, d:,: )
:i:
{ Ù = II. (:r, :Il, d ) y où les fonctions
l2.288]
+ 9 (:1:, .IJ, cl!l ) 'li
j, g et Il sont continues et nous avons: [1.289]
avec
1] :
JR: Il
X IP~ -~
une fonction continue. Nous avons le théorème suivant.
THI~ORÈME 2.12.- S'il existe lI11ej'ol1cI;0I1 de Lyap/lIIOl' VI: de classe Cl 1IIIe.fiJJ1ctioll de classe X':xJ, Illle fonction -1'.1: de classe X el tille fOlrctioll r/);I: de classe C J tel/es que nous ayolls : J
li.!'
av/;
. ,
--;::) (:l:) j (:f, (P,I: (:r), d.l:)
-a.1' (VI: (,1:))
U.L:
+ "Y:.r' (Id.l")
r2.290J
pour tOllt (:r, da.) dalls JP~Jl >( lRP,,., a/ors il existe /lllefonctioll de Lyapl/rlOl' 1~J de classe Cl, 1l1lefrJUcfirm 0y de classe 9Co, lIIlefollc/ion 111 de classe ~( ct tmefollction (iJy de classe CO tel/es q/le l/OlIS awms :
al~I
av
7
1 ',1
U.1'
(:r, y) f(:1', y, d.!,) + uy ~!I (J', u) {h(:1', y, d l/ ) ,
S
-a!l(\~/(:r, !J))
+ '"'ill(ld;r:1 + Idy!)
+ g(:r, y, d,,)(ji'l . .
y)] [1.191.1
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
95
REMARQUE 2.23.- Ce théorème nous dit que, si le sous-système en ;J; pellt être rendu SEE par une loi de commande de classe Cl. il peut être étendu en ,~ioutant un c1érivateur en un système qui peut être rendu SEE par une loi de commande de classe Co. En fait, si par chance la deuxième loi de commande est elle aussi de classe Cl. alors nous pouvons continuer le processus d' extension par ajoUl de c1érivateur et ainsi traiter des systèmes du type:
:h
= h(·17l •.l''2,dd
:i' 2 = h(:r l, :l'2. d 2 )
+ !}2 (:r l, :C2, d2 ) .1':.\ [2.292"1
.i.·
Il
= /2 ( .r 1 ..... .r Il , ri /1)
2.14 (PRISE EN COl'vIPTE Considérons le système:
EXEMPLE TlON),-
.
~: 1
\
+ [J /1 (.1' 1 .... , J'
:
.1.~2
.1.2 -
.1.:{
:r:! =
'/1
11 '
ri /1)
Il
D'INCERTITUDES CO~H\'tE UNE PERTURBA-
') t·( ) + .1'ï, .1' 1 ••172 •.1':~, 'II, t [2.293]
Ol! f est une fonction continue inconnue prenant ses valeurs dans l'intervalle [-:1,1]. Nous cherchons une loi de commande stabilisant asymptotiquement globalement l'origine. Puisque / dépend de :l'J et 'LI (sans même mentionner le fait qu'elle est inconnue) nous ne sommes pas en présence d'un système sous forme feedback et ne pouvons donc pas appliquer de façon nominale la technique d'ajout de dérivateur. Pour cette raison, nous considérons le système: '
:~:1 =
./:'2
') 1
+ .ri (,
·1.2 =·1.:1
\ .Ï;3
l2,294J
= 11
où ri est n'importe quelle fonction dans L~~_,(lR.+1 [-1.1]). Le premier imérêt de ce système est que toule solution de l2.293J est aussi solution de l1.194J, Donc si nous résolvons le problème de stabilisation asymptotique globale pour le système [2.194]. nous l'aurons fait pour le système [2,293]. Le second intérêt du système r2.294] est que c'est un système sous forme Ieedback perturbée que nous pouvons considérer comme construit par l'ajout de deux dérivateurs. Nous faisons donc notre synthèse en trois étapes.
Etape J, Nous considérons le système: r2'295'[
96
Comnmndes
nOI1
linéaires
Une fonction de Lyapunov strictement assignable point par poinl appropIiée est simplement: [2.296] Elle est strictement assignée. unifonnément pour cl dans L~c(1K+, [-1~ 1]). par la loi de commande: l2.2971 En effet, en complétant les carrés. nous obtenons:
--
1/] (:I:j) =
1-
< -
1 '1'2
:r't + .1::t cl
-'2"1
1 1,1
2"1
\;/(.1:11 ri) E \;/(:1:1 ~ cl) E
1ft ><
r2.298J 1, 1]
r2.299J
Etape 2. Nous considérons le système: [2.300J La formule [2.1631 donne: t7(·. , .. ) _ 1 2 .r l , .L:.! -
'1,.2 2 ,z, 1
+ 21 (.;"'2 +".1 1 + ..:3)2 1 .1,
[2.301]
comme fonction de Lyapunov strÎctement assÎgnable point par point. En utilisanl [2.2991, nous pouvons vérifier que la dérivée de I~ satisfait:
,---=------
\/2(:1:] •.r2) ~
~ :rî -
k:d + [:1:2 +;1:1 +:dl[:rt +U2 + (1 + 3:fT)(:r2 +J:id)]
pourtollt (.1'1, ,T2, d) dans
pOUf
tout (:r! . :D2. ri) dans
,------
1/2 (:l'I
<
x
><
[2.3021
1]. Mais, en complétant les canés. nous obtenons:
[-1, 1]. Nous en déduisons:
• ;L!~)
l2"1 '1,2
_
l,1'1 '1.4
[_".304'1
+ [:r2 + :ft + ,1::i][:1:1 + 1I'2 + [1 + ;j:dJ[:t:2 + (:r2 + :1:\ + .1:{)(1 + 3:fÎ)]] Une synthèse d' annulation nous conduit [1 la loi de commande:
[2.305J
Fonctions pour la stabîlîsalion de perturbations
97
Elle donne: '--;---(, ,,l ,:! l, ,,1 \':2 .1"11,1,:2):::; -~,1,1 - J , I l -
V(,7.'1 1.1-'2, ri) E lP~2
X
[", , ,', ",:,1]:2 ,L:2 , , / 1 , , 1 1
l2,30TI
[-L 1]
Etape 3. Nous considérons le syst,ème complet [2.293]. La formule l2.163J donne la fonction de Lyapunov: 1 "1,:2 1 ("[' + ."l',1 -f- ,'Z,:'1)2 2"' '1 + 2".:2 1 [3' ./,1 " + ')./.2 ')" + 'J, .~l (J".2. 6,,:1 "",.1, 1 + ..1 1.1 2 + .1]
r,r 'z,) -I:J ('l' ,,1.,'l'':2"':,1
+ 2"J (,. ,./,;\ +
---L 0' ",7 , + lr:·;:) iH] , ,1 l '
l2.3081 1\),' "l", 1)2 ,0,1, 1,1:2
Sa dérivée vérifie, pour tau t (:1: l , :C:2, :1'~-l. d) dans lR~:J >< [-l, 1] :
-----------
\/:1(:1'1, :f2. :r:.l) :::; -~:d
-
~
.r,11 -
+ .-df
[:1:2 -1- .T}
[2.309'1
+ (:Z:J + [:3:l'J + :3:1'2 + 2:r:jl + O;rT:r2 + G:d -1- l5.r7 + !J;r; + 18:r,ll:r2 ]) x [[,1,'2 + ,l', + :l'n + v + (3 + G,TT + 18:1'].1":2 + 18:rf + 75:/:-,1 + G3:l'ji + 72:l}C2) (:f2 + :dd) + (3 + !J:l'T + 18:t'}):rJl En suivant exactement les mêmes pas que dans l'étape précédenle, nous obtenons la loi de commande: (/)J (:r 1 • :C2, :rJ)
+ :r~) (:3 + G.r~ + 18.1.']:1.'2 + 18:1'~ + 75,/,'11+ G:3:r(l) + 72,1'\1.L'2).1.'2
= -(:r2 -1-
-
/2.3101
:1.'1
+ O.r~ + 18.1": ):l'J (:l'~-l + [:3:CI + 3:C2 + '2:d + O:rT:f2 + G:l·:f + 15:1'~ + fh'; + 18:r-::r2]) (3 + G:rT + 18:tl:r2 + 18:d + 75.r, + ü;3:r(; -1- 72:d.f2)2
- (3 -
1 1
Elle donne la dérivée:
-
" +[3".L, +.-"d,t2 T')_,z.,:'1+(\ .. 2,. (,l-:J 1 ~.l-].l-'2
,:'I+]r::.,G, . . u.l l '
'(j'..,l. 1
T
(\"ï, ~.l. l '
l2.31l J ](.\",,1, ])2 ,,0,1.1,1.:2
,pourtout(:I-'1,.r2 ..1-'~I,d) dansn:t J x [-1,1]. En résumé, le point important de cel exemple est la combinaison de:
- l'utilisation récursivc de la formule r2.163] pour, dans chaquc étape, trailer l'ajout de dérÎvateur; -l'ulilisation de la complétion des carrés pour traiter les termes impliquant la perturbation.
98
Commandes non linéaires
Nous avons vu dans le théorème 2.1 () que. lorsqu 'une condition de coïncidence est satisfaite, nous pouvons atténuer arbitrairement J'action de la perturbation sur l'état. Cette propriété, bien qu"affaiblie, est encore vraie pour les systèmes sous formefeedback perturbée. Précisément, nous pouvons auénuer arbitrairementl' action de la perturbation sur la première composante ùe l'état dans cette forme, c'est-tt-dire :l'l dans ,2.171]. Considérons le système perturbé suivant:
= f(.I') + g(.l') (U -1- d. { li = Il (.r, y) -1- u + du ,i:
olt les fonctions
f
l ·)
ct !J sont de classe
[2.3121
c"+ l
et la fonction Il est de classe Cl;. Nous
avons (voir aussi IJlA 94, nA 97, KRS 95, KRS 98a]) le théorème suivant. THÉORÈME 2.13 (lPRA 93j).- Supposons l'existence d'lInefollcTi01I de LyapwlOl' VI: de classe , d '1/11 réel A strÎctement pOsif(( et d '1/ne fOllctiol/ de classe C',:+ 1
tels ljue la déril'ée de 1~l" (:1')
Soit
Cl,
l'~l; sati.~'lait
= Lf VI" (:r)
:
+ Ly \/~r(;r) (jJ,r (:r) ::; -,,\ VI: (J,')
(2.3131
IIlle/ollethm de classe :)(=' sati4l1isllnl :
12.3141 SOIIS ces cOl/ditions, pour TOull' jàl1ctùm Ilon négali\'e -(d Telle lJlle nOlis p01Il'ons Imlll'er pOlir des réels Ho > (1 e[ l' pOlir sa1i.~laire 7 :
Vs E [0,80]
[2.3151
ilexis/e Ifllej{)J/ctÎlm de Lyoplllwl' \/1/ de classe
1
et .'i'oti.\j"aislllll.·
V(.l', lJ) réel E sati·\faÎI:
pOUl' 1111
l~J
> 0,
el fll1eFmClion
: JR:/I
--7
lR de classe Cl;
/2.3161 telle que
la déripée de
r2.317 J 7. La condition ll.3151 cst utile pour garantir r existence d' L1ne fonction \~I qui est de dusse Cl au voisinage ùe l'origine. Une explication li cela eSl que les inégalités fl.314j et ll.3151 donnent, pour '.rl surtisammcl1l petit, lïnégnlité :
il comparer il [2.316].
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
99
2.24.- Les inégalités [1.316] et l1.317] sont exactement sous la forme requise pour appliquer le théorème 2.7 des petits gains. En particulier. le {'ail que, pour toute fonction "/d donnée, nOlis pouvons faire en sorte que l'inégalité l1.316j est satisfaite nous indique que nous avons ici un résultat d'assignation de gain L= non linéaire. Observons cependant que l'argument de "'Id dans r1.3161 est .1.' el non (.r. !J). Ceci signifie que ce n'est que le gain L::::G non linéaire de (d. I ·• ri.'!) ü.r que nous sommes capables d'assigner.
REMARQUE
REM ARQUE 2.25.- Comme le théorème 2.12, le théorème 2.13 peut être utilisé récur-
sivement pour traiter des :1:1
sous la forme:
h
) + g] (.fI )
rI
+
+dd , :r::d (:1';1
+ cl'],) r2.3181
in
:l'Il)
!ln (.t 11'
••••
:1' ri)
(1/
+ ri
/1 )
et obtenir unc loi de commande qui rend le système en boude fermée SEE el aUénue arbitrairemenll'action des perturbations (dl ..... d ll ) sur .r,. 1.15 (ASSIGNATION DE GAIN ET BOUCLAGE D'ÉTAT PARTIEL).Considérons le système:
EXErvlPLE
12.3191
Nous cherchons une loi de commande stabilisant asymptotiquement glob'.llement l'origine mais ne dépendant que de (:CI, :\:(i). Pour résoudre ce problème. nous observons que le système [2.3191 n'est rien d'autre que le système 12.1 auquel est ajouté un dérivnteur perturbé. Nous continuons donc selon les mêmes lignes que dans l'exemple 2.6. Des inégalités 12.20J er 12.321. obtenues pour les solutions du système r2.141, c' cst-à-dire le sous-systèmc en 1 \ :\:2, ~'(;d avec :'(.1 comme entrée, et grâce au théorème 2.7, nOlis savons que lc problème peut être résolu en trouvant. pour le système: j' =!J {
.Il
11
d'], -1- d: l
+ dl !J
[2.3101
100
Commandes non linéaires
une [onction de Lyapunov strictement assignable point par point l/~J et une fonction continue (j>!I telles que. avec la commande:
12.321] nous obtenons)' inégal ité suivante pour la dérivée de
1/~J :
[2.322J oli"YI et Î'] sont des foncLions de classe :Je et /\ est un réel strictement positif vérifiant:
VCr, y) E
[2.323.1
avec e: un réel strictement positif quelconque. Le système [2.3201 est [ait du système (voir [2.12TI):
f2.324J auquel est ajouté le dérivateur perturbé: 1./
+ d~1
[2.325j
Avec l'exemple 2.6, nous savons que nOlis pouvons strictement assigner poinl par point au système réduit [2.324] la fonction de Lyapul1ov:
[2.326] En particulier la commande:
3:l.'~) . __ (:1:.:1+ LJ
l2.3271
donne: [2.3281 Pour le système complet [2.320j, la formule Lyapullov strictement assignable point par point:
163 J donne la fonction de
[2.329 J En utilisant [2.3281, nOlis obtenons ainsi:
r2.330]
Fonclions pour la stabilisation de perturbations
{!'I
+ -} + (y 1
+
1
+ (3(.1/
. (;'i.1'
'
(.1')) [:1'.1
cl}) ~1
d~
(1"/
+ (y
12.3311
r) + ((u rp:l·(:C))-q.e(:r), "" ') + d~_1 )
1>:I:(.1~))j (1/t:(;l')j;r i +
4
,1
m.l:(:r).I/]
d~
-1
::; -,,\ VI' (a:) +
+ Il
101
+ -J + . .2 :. . +4+4 [
1
".:1 - .<
Il.'
-
JI (P.l'
(/1')'11 ." •
+
!J
2' (:1') + (lJ -
ri)'I'
,
.,
(/>,1: ( :r ) ) (t>,1'
')
( ;,. )-
, 3(y1
où nous avons complété les carrés et utilisé l'inégalité de Young pour déduire l2.3311. Une synthèse cl' annulation conduit alors à la loi cie commande: n
= ~Du ( .r ~ !J )
[2.3331
/\
=
-2 (!J
[2.334] "
(/).1: ( :r ) ,1}
+
!I - (i>;/" (:1') 2
+ (!J
+ 3(u Elle donne: /2.3351 Ceci montTe que nous avons obtenu [2.322] avec les fonctions:
,'2:.1(8 )
12.336J
2
Il s'en suit que la contrainte [2.3231 s'écrit:
'V:r
La stabilité asymptotique globale est donc obtenue si
/\ > lGD
L2.337J nOLIS
choisissons: [2.338]
En résumé, le point important de cel exemple est de nouveau la combinaison de la formule r2.163] pour traiter l'ajoul de dérivatcur ct l'utilisation d'inégalités pour traiter les termes impliquanlla perturbation.
10.2
Commandes non linéaires
2.5. Annexe: lexi(IUe et notations (/'
Pour une fonction a : IFt ---.. IR: de classe Cl, nous notons
f' sa dérivée.
---
(/ (.1.') Pour toute solution ..:\(:1.', 1; d), il valeurs dans
f(.r, fi)
:i:
jp~lI,
de:
X (:1'; d, 0) = .r
dél1nic sur [0, T) (voir la définition 2. J) et toute fonction nous avons:
!
[2.339J 0. :
IRn
~ IP~ de classe Cl,
a(X(.r, 1; d)) = Da (X (.1'. l; ri)) .n-y(.7:. i; ri), dU))
[2.340J
pour presque tout t E (O. T) Par ailleurs. nous pouvons déllnir une fonction h : JP~'1
M:/', d)
IR: comme:
av'
-ü (.1:) f(.1:, d)
[2.341]
.1'
Const.atant 1:.1 similarité de l2.340] et 12.341 J. nous adoptons la notatÎon :
---'-. Da (.1.') = -;-- ( :1') f (:r. d)
li
o:r
12.342J
--
Mais nous insistons sur le fait que a(.l') est une fonction de (:r, d) et en aucun cas du temps t.
al.s' Pour une fonction li : IF!.1l m:nJ et un sous-ensemble 5' de IP!./l, nOlis notons la reslriction de a à /3. C'est donc une fonction sur 5' à valeurs dans ]p~m .
(IL.,
Ajout de dérh'oll'llr
Etant donné un système:
.i'
f (.1;, 1~, d,l' )
l2.343]
d'état ;1:, commande 1) et perturbation d,)', nous disons que nOLIs lui ajoutons un dérivateur si nous considérons le système augmenté:
.i: = f(:r,
1'.
{ iJ = h(:L v,
(1;,:) r2,3441 /l,
d,,)
d'étal (,l', v), commande 11 et perturbation (ri;!:, d!l)' Ainsi, la commande,' du système [2.343J est devenue une composanre de l'élat du système l2.344]. Pour ce dernier la commande Il n'agit que sur la dérivée de v.
FoncLÎons pour la stabilisation de perturbalions
103
Ajout d'i1ltégratellr Etant donné le système:
[2.345"[ d'état :l', commande Il el perturbation d. r , nOLIs disons que nOlis lui ajolllolls lin intégrateur si nous considérons le système augmenté:
l2.346] d'état (:r, ,1]). commande 1/ ct perturbation (d,I" rI!J)' Ainsi. l'état,l] intègre une fonction de li mais surtout aussi de (:1.', li, d y ). Attél1l1a/ÎOII de pertl/rbmioll
Le problème d'atténuation de perturbation pour un système:
.1' = ./'(:1'. 'IL cf) d'état '11
=
.1.'.
commande
f2.347] 1/,
perturbation ri est celui de définir une loi de commande
(/J(.T) telle que les solutions du système bouclé dépendent le moins possible de d.
Voir la remarque 2.4. BacksfeppÎl1g
Voir ajout ùe ùérivLlteur et la remarque 2.19.
Classe C"
C',
Une [onction est dite de classe si elle admcl des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre 1.:. Ainsi Ulle fonction de classe C n est simplement une fonction continue.
Classes
~J(
e/ 9CX.
Une fonction Cl' : J~+ ----è- iP~+ est dite de classe ~J( si elle est continue. strictement croissante el nulle en zéro. Elle est de classe :JCX: si clle est de classe 9( et non bornée.
Classe JCC Une fonction i3 : lF~+ >< lP~+ ----è- IR:+ est dite ùe classe ~K[' si. pour chaque t 2:: 0 fixé, la fonction (-J(-, t) est cie classe ~)(, et, pour chaque /' > 0 fhé, la fonctÎon . .3( /', .) est slrictement décroissante et vérifie:
lim ,/J( 1',1.) = 0
12.3481
J-·,x
Avec la 1 SON 98, proposition 71. nOLIS savons que ./3 eSlllne fonction de classe ~cc si et seulement s'il existe des fonctions c\ 1 et (\'2 de classe ~J(=' vérifiant:
'\I( r. 1)
12.349]
104
Commandes non linéaires
CLF CLF est l'abrégé de l'expression anglaise: Control Lyap 1111 Ol , FUl1CIÎ01l. Nous l'avons traduile ici par l'expression: l'onction de Lyupunov assignable (voir la détJnition 2.6).
C01l/mande gradient ml La li' Une commande est dite de gradient ou La V si ene est dans la direction opposée fi )a dérivée de Lie d'une fonction de Lyapunov V dans la direction du champ de commande g. Elle est donc de la forme générale: r2.3501
où (J est une malrice définie positive.
Compléter les carrés Voir inégalité de Young.
Condition dt' coïncide1lce Voir la remarque 2.14.
Définie négatÎI'l' Une l'onction F : 1Fl lI D(~fil1ie
-,'
.iPl_ est dite définie négative si - V est définÎe positive.
posiTive
Une fonction 11 : lR n
F(:z:) FOIICtioll
----+
=0
est dite définie positive si elle vérine: :r=O
r2.351J
de Lyaplll1ol'
Une fonction V : }R1l est dite une fonction de Lyapunov de classe elle est de classe C", définie positive el propre (radialement non b0111ée).
cr si
Fonction propre Soit n un sous-ensemble de l~n , une [onction F : chaque réel Ci cl cs, l'ensemble:
{:r : ::;
Ci ::;
n ----+ JtI~ est dite propre si, pour
V(:r) :::; ('.'i}
cslun sous-ensemble compact (peut-êlre vide) de n. Voir [SCHW 70]. Lorsque n est l'ensemble lR:.fJ tout ent.ier, cette déflnition est équivalente au fait que nous ayons:
Hm
l;rl~+x
V'(:r)
= +00
12.352]
Fonclions pour la stabilisation de perturbations
105
Forme feedback Un système est dit être sous formefeedback si nOLIs pouvons trouver des coordonnées telles que sa dynamique s'écrive: .1:] =
J'J (:rl' :r::!)
= f'2(;t:t, :/.''.:d
[JI
(:l'l, :r::1) .1.':!
12.353J
Une telle forme est obtenue par une succession d'ajouts de dérivaleur.
Forme feedforward Un système est dit être sous formcfeeLN(J}1I'ard si nous pouvons trouver des coordonnées telles que sa dynamique s'écrive:
L2.3541
f2(:1: l, :r2. 1/) .1: 1 =fl(:l'},l1) Une telle forme est obtenue par une succession d'ajouts d'intégrateur. ForwardÎl1g
Voir :.yout d'intégrateur.
Hii/der C011fÎUlIe Une fonction f : JR:.1i ----!o lR~m est dite Bolder continue d'ordre ü en réels strictement positifs ,\~ et c5 tels que nous ayons:
:1,'
s'il existe des
[1.355]
ISS JSS est l'abrégé de l'expression anglaise: Input-Io-Slale Swbilil)'. Nous l'avons traduite ici par l'expression: stl.lbilité entrée état (voir la définition 2.5).
Commandes non linéaires
106
LJll" Ln notation Lr V représente la dérivée de Lie au point :r de la fonction F le long des solutions X(:r, f) de l'équmion différentielle: .Î: =
f(:r)
[2.356]
Elle vérifie donc. une fois des coordonnées fixées:
L J F (:t:) = Hm ----'------'-1-0
r2.357j
Si Il est de classe Cl une expression est:
Si
f
est en fail un champ de matrice, LI II est un vectcur lignc.
Lh;'c(JR+ ' La notation mesurables cl :
iP.~}J)
est utilisée pour désigner l'ensemble des fonctions il existe un
JRP telles que. pour tout compact !\..- dans
réel c satisfaisant:
Id(t)1 ::; c.
pour presque tout t E !{
[2.359]
Origine Dans tout ce texte, pour le système général r2.1], nous supposons l'existence d'un point de JR~1l , un point de ]PUI et un poil1l de JR:tll, chacun appelé origine de leur espace respectif et dénoté /] tels que:
./'(0,0,0)
0
f2.3601
:ie = I(>:, fi) { li = h(.I'. Il)
r2.3611
Pass{j'
Un système:
est dit (respectivement strictement) passif s'il existe une fonction de Lyapunov V de classe Cl et une fonction nOllnégative (respectivement définie positive) telles que, pour tous les couples (:1', li). nous ayons:
nT
[2.362]
Fonctions pour la stabilisation de perturbations
107
1P2
lit est J'ensemble des réels,
JP.~+
est
r enscmblc
des réels non négatifs.
!
est
r ensemble des réels strictemenL POSiLi l's. SCP
sep est l'abrégé de l'expression anglaise: 81/1all COl/trol Prol'crty. Nous l'avons traduite ici par l'expression: localement contÎnüment strictement assignable (voir ln définition '2.7). SEE SEE est l'abréviation de stabilité entrée état (voir la définition 2.5).
Synthèse d'annulation
Lorsque la dérivée d'une foncLÎon de Lyapunov F vérHle:
X (II
+ T)
[2.3631
où T _ est un terme non posiLif et T cst un terme quelconque, une synthèse d'annulation de la commande consiste il prendre la commande sous la forme: [2.364:1 où
q est une matrice définie positive.
Synthèse de
domÎlUlfÎlm
Lorsque la dérivée d'une fonction de Lyapunov \! satisfait [2.363], une synthèse de domination de la cDmmande consÎste li prendre la commande en général sous la forme: li
= -Q(.1') Lu F(.1:)1'
où Q est une matrice définie positive sufl1samment grande. YOUl1/i
(inégalité de)
Pour toul réel p (1.
b< l -
JI
(I P
-1- E.::.l fi
Dans le cus où P
les carrés.
1 ct tout couple ((/., b) de
nous avons: 12.3661
2, J'inégalité de Young est connue sous l'expression: compléter
lOS
Commandes
110n
1inéaires
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'Chapitre 3
Systèlnes plats de dinlension finie
3.1. Introduction
L'objectif eSL ici de présenter des résultats récents et en cours d'élaboration sur une classe de systèmes très souvent rencontrés en pratique, les systèmes plats [FLI 92, FLI 93a, FLI 93h, FLI 95h, FLI 991. Leur commandabilité est particulièrement simple. Elle se ramène, grâce à une paramétrisatÎon explicite des trajectoires, à celle des systèmes linéaires de dimension finie. On en déduit alors des algorithmes particuJièrernent simples de planification de trajectoÎres eL. pour les systèmes de dimension finie, de suivi de trajectoires. Dans la section 3.2, nous abordons la commandabilité des systèmes;1' = f(.r~ 11). Après de courtes définitÎons, nous étudions les systèmes linéaires stationnaires. Nous mettons l'uccent sur la forme canonique de Brullovsky.la planification de tn~iectoircs et ln stabilisation par placement de pôles. Ce chapitre se termine avec la linéarisi.ltion par bouclage statique: il s'agit de reconnaître si un système est linéaire après changements de coordonnées (a priori non linéaires) sur r étal et sur la commande. Cette section est lin résumé de résultats classiques que l'on trouvera plus amplemenL décrit dans d'aulres volumes de la collection. Cette section prépare la section 3.3 où nous abordons les systèmes plats, systèmes gouvernés par des équations différentielles ordinaires et équivalents aux systèmes linéaires cOl11mHndabJes. La relation d'équivalence ulilisée est une c011'espondance entre les trajectoires. correspondance déjà suggérée en 1912 par David Hilbert et reprise peu après par Elie Cartan (équivalence absolue) pour les systèmes différentiels sous-déterminés. Avec de lels systèmes, la planifkation elle Chapitre
pur Philippe
MARTIN
el Pierre ROUCHON.
J 14
Commandes
11011
linéaires
suivi de trajectoires sont nettement plus faciles à résoudre. POUf des définitions mathématiques précises el simples. nous utilisons le langage des diftiété!-ll, une géométrie sur des variétés CI'X.' de dimension infinie développée pnr l'école russe. La car:lctérisalion des systèmes plats étant un problème Ollvert, nous listons les quelques résultats disponibles.
3.2. Systèmes linéaires de dimension finie Après de courtes dénnitions, nous étudions en détail les systèmes linéaires explicites:
.i:
A.I:
+ B·u
Leur cOI1l111undabilité est caractérisée par Je critère de Kalman et la forme normale dite de Brunovsky. Cette dernière permet un paramétrage expliciLe de toutes les trajecy(t) et d'un nombre fini toires en fonctions de m. foncLions scalaires arbitraires {, de leurs dérivées. Ces quantités !J. dites sorties de Brunovsky, sont des combinaisons linéaires de :1:. Elles jouent d'une certaine façon le rôle d'un potentiel. Elles permcttent surtout de calculer très simplement les commandeslJ pour aller d'un étm vers un autre (planification de trajectoire). Elles permettent également de construire le bouclage qui assure le sUÎvÎ asymptotique d'une trajectoire de référence arbitraire (stabilÎsmion par placement de pôles).
3.2.1. Commll1ulabilité On considère le systèmc explicite
c1:r =.f'( :1.', 'II ) ,
:1:
cr fonction régulière):
E IR/!,
[D. T] ::>
[3.11
1 H //(1)
?
('spacp ri '~j at
.1'
Figure 3.1. La planificllIio/l de fl'{{;ec(oire
1. Le Lenne dirrlété est dll il Vînogardov. Le mathématicien français Bemard Malgrange lui préfère le terme de D-variélé.
Systèmes plats de dimension finie
3.2.1.1.
115
D(~fjllilioll
appelle trq;ecloÎre du s)'sthl1c [3.Il/ollle .!f)J/clio1/ régulii'lT l 3 t!---t (.r(1), 1/(1)) E 1I:l?1l lR~m q/li sati.~'fl-lil ideJ1tiqllemenl SUrtll1 illfen'olle d'iII/trieur 11011 vide l de lP2/cs équatio1ls /3.1 J.
DÉFINITION 3.1,- 011
DÉFINITION 3.2.- Le système [3./1 eSl dit c01111/wl/{llIble ell rell/ps T > (] si el );C'/lleme1l1 si, pO/lrp.fj E }Rn, il existe ulle loi horaire [(LT] ::3 t 1 - /l(i) E RIII, dile ('0111momie l'Il bOllcle Ollverte, qui amène le système de l'état :r(O) p il l't/o! (j. c'est-à-dire lelle qlle la solmioll dit problème dl' Cl/I/chy:
= f(:LU(t)) pOlli·t E [O,T] :r(O) = p :i'
"ér~fie .1'(1') q. Le système est dit cOl11l1ullldahle lorsqu'il esl C0111/1It1//llable pOlir ([11 moins 1111 temps T O.
D'autres déHnitions sont possibles: elles cOl1'espondent toutes li des variantes plus ou moins subtiles de la détlnition 3.2. Nous renvoyons il [COR 991 pour de plus amples développements. . Commc l'îllustre [a figure 3.1. la commandabilité est une propriété topologique très naturelle. En général, la cOlJllJ1l1IJdl' l'1/ bOllcle Olll'('rte [CL Tl ::3 t J--i. /1(1) Il' est pas unique, il en existe une infinité. CeUe étape s'appelle pllll1 (ficat io 11 dl' tl'lûecloires : ca1cu]er t f--'- nU) fi partir de la connaissance de f, pet q constitue l'une des queslions majeures de l'automatique. Cette question est loin d'être résolue acluellcmcnt. Très souvent, l'absence de commandabilîté est due à l'existence d'intégrales premières non triviales. Ce sont des observables qui reSlel1L constantes le long de toute trajectoire et qui ne sont pas Înftuem:ées par la commande li. 3.2.] .2. Imégrale premÎl>re
Considérons le réacteur exothermique de la figure 3.2. Les équalions de bilan matière et énergie donnent alors les équutions diiTérentÎelles suivantes: D(.1 j t
.i;l
-
.1,'1)
-1\~oexp(-:..-EjRT).{,'l
-D:C2 +ko exp(-EjRT).rl
t
=
D(T
ill
T)
+ n!::.Jfexp(-EjRT).f] + 11
[3.2a] l3.2bl
[3.2c]
La cinétique est linéaire du premier ordre, les constantes physiques usuelles (D. E, Till, ü el !::.}J) sont toutes positÎvcs, la commande Il est proporlionneHe Ü la puissance thermique échangée avec l'extérieur. :l~i est la concentration de l'espèce chimique ~""\.i, i = L 2. On reconnaît l'effet non linéaire essentiel de la loi d'Arrhenius k '\'0 exp( -E j RT) qui relie la constante de vitesse k il la température T. Il est :1'~1l, 1.'0.
[16
Commandes non lînéaîres
assez facile de voir que ce système J1' est pas commandable. En effet, le bilan global sur Xl + "'Y2 élimine le terme non linéaire pour donner:
Ainsi donc la quantité ç ;1') + .7::J véritie une équaLion différentielle autonome n ç D(.r;" - ~). Donc E. + En exp( -Dt) où (n est la valeur initiale de ç. Si. dans la déflnition 011 prend l' é(a( initial p (cl que ~ = :1: 1 + :l'2 ;1'~1l ct fJ LeI que E. = .1'1 + :r2 0, il n'existe pas de commande qui amène le système de p vers q. En effet, pour toute trajectoire démarntl1t en un tel p. la quantité :1:1 -1- :1:2 reste constante et égale ù .r1" . Cette partie non commandnble du système représentée par la variable E. admet ici un sens physique précis, EUe est bien connue des chimistes. C'est un invariant chimique.
:d
clüréc
agii.nHon
"olmBe V COl1st mil, l,aux de dillltion D :::::: F
ecllangrll1'
IF
1/
sortir ~--------------------~--------------~
Figure 3.2. UII réacteur chilllique e.wlherlllÎquc édit/liges 'hermiqlll's {/l'CC l'cxtériellr
(lÙ 1/ correspo/ld al/x
L'exemple ci-dessus nous indique que l'absence de commandabîlîté peut être liée à l'existence d'invariants, c'est-à-dire à des combinaisons des variables du système (on poun,..1it les appeler des observables) et éventuellement du temps, qui sont conservées Je long de toute trajectoire. Pour il de (:l:1 + :t2 :rin ) exp(Dt) correspondant il çn. Nous sommes donc conduits ù prolonger la notion d'intégrale première pour les systèmes commandés.
r3.::n
3.3.- Ul/l'.flmclionrég1l1ièrerP~xIR":3 (t,:r:) I--i- h(t,;r) E ffi;es1a[Jpelée Îllfégrale première du système {3.} ] sÎ elle l'Si constante le long de lm/le trq;ectoÎre dll syslèllle. Une Înlégmle première est dite IrÎI'Îale si c'est IIllefrJl1ctioll constante slIr DÉFINITION
IR x lRL lI ,
Systèmes plaLs de dimension finie
117
Si 11 est une intégrale prcmièrc, sa dérivée le long d'une trajectoire arbitraire est nul1e:
ah
~h dl
ah
+ 7l,.i' == 0 (j;r
pour toure trajectoire (/1-+ (.r(l.L lift)) du système. Si [3.1] ndmct une intégrale première non triviale tH' h(t, :1') alors l3.IJ n'est pas comllulIldable. Sinon. il existe T > 0, leI que pour tout p.l] E IP!.II et tout instant initial t. h(t,dJ) !I(t -1- T,I]) (il existe une trajectoire reliant p à l] sur ft, t + T». DOllc Il eslune fonction périodique du temps et indépendante de :r. Mais alors lu dérivée de Il le long des trajectoires du système correspond h Comme elle est nul1e. h est une constante, ce qui contredit!' hypothèse. Nous avolls montré la proposition suivante. PROPOSITION 3.1
Si h· système [3./] est comlJwndnble, a/ors ses illtégmles pre-
mières SOl1t tril'iales,
TI est possiblc dc camctériser à partir de f et dc ses dérivées panieJles r existence d'intégraJcs premières non triviales (voir par exemple IPLI 97b, ISI 891). L'existence de telles premières est liée ~l celle de sous-systèmes di rférentiels autonomes. D'une façon plu~ précise si. à u tixé, r algèbre de Lie : . { . a(n)f
LlC 1. --,-.
}
. . aa(u) nEI!'"
est de rang '/1. alors il n'existe pas d'intégrale premièrc non triviale ne dépendant que de :t:. L'algèbre de Lie L est engendrée par tous les crochets de Lie (en :r) de n'importe quelle longueur qu'il est possible de faire fi partir de f et de ses dérivées partielles en '/.1. Le système e~t dît faiblement accessible. Si, dans l'algèbre de Lie .c, l'idéal de Lie engcndré !Jar les ~,)I(';,JI avec (\" E Nil', au moins l'un des CIl nOB BuIs est de rang 11 alors il n'existe pas d'intégrale première non triviale dépendant de :r et/ou det. Le système est alors dit fortement accessible (voir [SUS 721). Nous renvoyons aux notes de Coron [COR 991 pour des énoncés plus détaillés et en rapport direct avec la c0111mandabilité. ('II
3.2.2. COlllmalulabilité linéaire NOLIS considérons ici les systèmes linéaires stationnaires du type: i où l'état ;1' tailles fi x
A:r + Bu.
11
[3.31
JP~ li, la commande 1.J, E IH:1ll et les matrices A et B sont constantes et de et n x rn., respectivement.
118
Commandes
11011
linéaires
3.2.2. J. A1atrice de C0111111{l1ldabililt'
Supposom: que [3.31 admette une intégrale première Il : lR x JR:]} :3 (t. ;1:) H Il (L .1') E lR. Soit le changement de variables sur :r détlni par:r = exp(t A )~. Avec les vilriables (::. u), l3.3J devient:; exp(-fA)13u et l'intégrale première h(t,l'xp(tA)::) l(t, ::). Comme la valeur de 1 est constante le long de toute trajectoire nous avons, en dériva11l le long d'une trajectoire arbitraire l H (:::(t). /I(t)):
exp( -tA)13Ii., pour toute valeur de :: et
Comme': z)
Dl
.
.
+ -;:-(t. :)exp(-tA)Bu 0::
/1
on a ridenLÎté suivante:
Cl
En prenant 11 = 0, ::; et t arbitraires, on en déduit (prendre. par exemple,la toire du système qui passe par:: à l'instant 1 et dont la commande 7J. est nul1e) :
Donc nécessairement l esl uniquement fonction de .:. Ainsi:
Dl
( .:; ) exp ( - tA) 13 ::::; ()
En dérivant celle relation par rapport à i, on il :
Dl
(:) exp( -1 A)AB ::::; 0
car 1& (e.rp(-tA)) = -exp(-iil)A. Plus généralcment, une dérivation à n'importe quel ordre k ~ 0 donne:
Dl
(:: ) PX]) ( -
En prenant t
fJ!
t .."l').f1'-'B =: 0
0 on obtient:
(::)A"B = 0,
\lk ~
(::)
n
Ainsi le vecteur R~ appartient à l'intersection des noyaux à gauche de la famille infinie de malrice (AI'·Bh->o. Le noyau ü gauche cie A"B n'cst autre que Im(A"13)J·, l'orthogonal cie l'image de-AkB. Donc:
al (.:;) E
n I.-?:o
Im( ..4"B)-.L
Système~
plats de dimension Ilnie
119
Mais:
n
Im(A"B)J.
(Im(B)
+ + Im(AkB) + ,.. )..l ,<,
"20
Lu suite d'espace vectoriel El, Illl( l3) .,_ + Im(A"B) est une suite croissante pour l'inclusion, E,,.' C . Si pour un cerWÎn k. El, E',-I-J, cela signifie que 1111(..4"-;-1 B) C E", donc A(E ) C E,,<. Mais Im(A k -I-2 B) = " IIl1(AAl;+J B) C .A.(E"+l). Ainsi Im(A',+2 B) C Bk. On voÎt donc que pour toul l' > 0, Tm(.4/,+rB) CE,... d'Ol! = E,... Ainsi. la suite des est une suite de sous-espuces vectoriels de IP2J1 emboîtés les uns dans les autres. Cetle suite stationne dès qu'elle n'esl plus, pour un certain k. strictement croÎssanle. 11 sufflt donc de ne considérer que ses ri premiers termes soit Eo . .. ., E II _ 1 , car automatiquement EIl-l Ell+r pour tout 'J' > 0, En revenant à la suite des noyaux à gauche de A'" B, nous voyons que g~ dans (_) le noyau à gauche de la suite infinie de matrices (A"
o. est équivalenl à dans le noyau à gauche de la suite./inie de matrices ("4/"B)~~,1"S;Il-1 1. Ainsi,
e
pOUf
tout.:, :'f~ (.:) appartient au noyau il gauche de la matrice 11 x
(11111):
(B, AB, A:! B . ... ~ A I1 - 1 B)
dite matrice de cOllll1l11l1dabilité de Kalman. Si e est de rang JI, son noyau à gauche est nuL donc 1 ne dépend pas de .: : 1est alors une fonclion constante ct Il également. Réciproquement. si la matrice de commandabilité en' est pas de rang maximal, a10ni il existe un vecteur 10 E: 1R:. 11 / fO}, dans le noyau à gauche de [3.4l. En remontant les calculs avec 1(:::, t) = w'::::, on voit que ,\ = CI le long des trajectoires. En passant aux variables (:1:: 11), on obtient une inlégra)e première non lriviale = h( t:.r) =w' exp( -lA ).T. Toute trajectoire du sy~tème se situe dans un hyperplan orthogonal à w. <
En résumé, nous avons démontré la proposition suivante.
2. On pourrait i.lussi utiliser le théorème de Cayley-Hamilton qui donne un résultat plus précis: toute Ilu.ltrice CalTée est racine de son polynôme caractéristique. Celn vellt dire. A étnnt de taille n. que An est une combinaison linéaire des (A")O::;/,::;11 1: 11-1
.0'1
11
=L
PI;A"
1;=1.1
ntlles Pk sont définis par d(~t,( . HIl -.ri) Ali 1 JJ}..~\"'. NOLIS avons préféré un argumenl plus simple avec lu suite des Ek l1lilÎS qui a l'avantage de passer au non linéaire et qlli correspond au calcul de l'algèbre de Lie de commandnbilité.
120
Commandes non linéaires
e
PROPOSITION 3.2.- La /Ilatrice de cOIllIlwut/abilité = (B, AB: A2 B, .,,: AlI-l B) Il. si el se/llelllent si les seules intégrales premÎl>re.\' du système /3.3 J SOllt
es! de rang t ril'Îales.
Des propositions 3.1 et 3.2, il vÎent: si le système l3.3j est commandable, sa matrice de commandabilHé est de fang n. Nous allons voir que la réciproque est vraÎe. Pour cela, nous avons besoin de certaines propriétés d'invariance. 3.2.2.2. Irll'a riance DÉFINITION 3.4.- Vil clumgl!llIen/lilHfaire de coordonnées:1: 1-, :1: es! défini pal' unt! II/atrice lU il1l'ersÎble d'ordre 11 : :L' lUi. Un bOllclage sflltiqlle régI/lier 'li ;..--;. Ù est d(.:jiIlÎ par /lne motrice lV im'ersible d'olTlre 111 et tlne {fI1/re matrice !\-, ln
= K.r.: l'élat. 1.1
+ JV'Ù.
TI :
e'es/lm cluI1Igeme11l de l'arfables slIr les cOlIll/wndes paramétré par
L'ensemble des transformations:
( :~.) ('T) = (Ji ~ lV0) (.~.) 1--1
li
l\.
1/
[3.5]
Il
forment un groupe lorsque les ITlalrÎces lU, lV et I\'. varient (lU et JV restant inversibles). Si :i: = A:c + Bu est commandable (respectivement n'admet pas d'intégrale première) alors il est évident que :Î- = iÎi: + B/i obtenu avec [3.5] est cOllll11ilndable (respectivement n'admet pus d'intégrale première). Les notions de conul1ilndabilité et d'intégrale première sont intrinsèques. c' estsont à-dire indépendantes des coordonnées avec lesquelles les équations du établies. Si la mutrice de commandabilité dans les coordonnées (:r,ll,) est de rang n, la matrice de cOl11l11andabilité dans les coordonnées îi.) sera aussi de rang 'Il,. Cette simple remarque conduit au résultat non évident suivant: ra.ug(B, où..:1 et
.111-1B) = n
... ,j1.
B s'obtiennenlen écrivant.i~ =
;1:
JU- I (A1\1
équivaut à raug(B. AB. "')
A;r + Bn dans les coordonnées (:ï:: 'Ù):
+ BI\'.):i: + )\1-1 BJVù
Soit Ji (A.111 + BI\'.) et Ë = B1V. En faÎt, 11 est possible cl' aller beaucoup plus loin et de montrer que les Îndices de cOl11l11andabilité définis ci-dessous sont aussi invariants. DÉFINITION 3.5.- POlir tout t'Iltier ',:, nous Ilolons CJk le rang de la matrice (B, AB 1 ..4:1 B, " ' 1 Al.: B). Les (a.".) so1l1 appelés indices de cOI1/J1Imldobililé du système linéaire [3.3].
Systèlllc~
plats de dimension fmie
121
La suite (1"/.. est croissante, majorée par 11. Ainsi, J'absence d'intégrale première est équivalente il O"n-l = IL PROPOSITION 3.3.- Les Îndices de cOlll1l1andabililë de :i: ..4:1.' + Bu sOlfl ÎI1wlria1l1s par c/rongement de l'ariable sur :1: et bOIle/age statiq1le régulier sur II.
Nous laÎssons la preuve de ce réslillat par récurrence sur k en exercice. J] est important de comprendre la géométrie derrière cette invarÎance. Les transformatÎons (:1:, '/l) ~ (:l', ft) du type [3,5] forment un groupe. Ce groupe dél1nil une relation d'équivalence entre deux systèmes ayant le même nombre d'états el le même nombre de commandes. La proposition précédente signifie simplement que les indices de commandabilité sonl les mêmes pour deux systèmes appartcnant à la même classe d'équivalence: le même objet géométrique est vu dans deux repères différents. En fait, on peut montrer que lcs Îndices de commandabilité sont les seuls invariants: il y a autant de classes d'équivalcnce que cl' indices de commi.111c1abilité possibles. Nous ne montrerons pas directement ce résultat. Tous les éléments nécessaires preuve se trouvent dans la construction de la l'orme de Brunovsky ci-dessous (voir aussÎ [KAT 80, SON 90J).
3.2.2.3. VII exemple
SoiL le système mécanique il deux degrés de liberté et une seule commande de la figure 3.3. Il s'agît d'un système mécaniquc sous-actÎonné. En négligeant les frottements et en supposant le ressort linéaire de raideur Il", on est conduit au modèle suivant:
',:(:r'2 -
;1:1)
k(:Cl -
;1.'2)
-1-
Il
13.61
Montrons que ce système est commandnblc. Il suffit pour cela de remarquer que la quantité .L'l, r abscisse de la masse qui n'est pus directement soumise ü la force Il. joue un rôle très particulier (sortie de Brunovsky). Si au lieu de donner t f-,. /l(t) et d'inLégrer L3.6j il partir de positions ct vitesses initiales. on the f 1 - :/''2(t) = y(t). Alors :L1 + li et donc Il rn Ij~l + ln2:Ï'';2 = 1111/,1'2 Ill) + (tH J + w-2)fj. Ainsi on peut écrire le système en faisant jouer Ù :/:2 un rôlc privilégié: :L1
(1Il_'] / I,:) fi
.'1,:2
!J
( 11
(111 J1W!/ k)
+ Il y(-l)
+ iii l + 1//2)jj
On obtient ainsi une paramétrisutÎon explicite de toutes les trajectoires du système. Les relations précédentes établissent une cOlTespondance biunivoque et régulière entre les trajectoires de [3.6] et les fonctions régulières t ,-- !JO).
122
Commandes non li néaires
'U.
Figure 3.3. Deux max/les couplées }Jlll' 1/11 ressort, le
lolil pi/Olt> IW/" UIIC
sel/Il' force
11
Cela permet ùe calculer de la façon la plus élémentaire possible une commande [n~T] :3 t f-). 11.(1.) qui fait passer cie l'état p = (;];;J,vf,:l:~,v~) à l'état q = (:rj, I/{, :rj, vg) (I)i correspond à :h). Comme: :l~ 1 PJ
( 111 '2 /
k) jj
y
= (ni2/ k) y(:1) + Ü
imposer p en l = 0 revient ft Împoser y et ses dérivées jusqu'à r ordre :3 en O. Il en est de même en t T. li suffil donc de trouver une fonction régulière [0, Tl :3 t H yU) dont les dérivées jusqu'à l'ordre :3 sont données CI priori en 0 et en T: un polynôme de degré 7 en temps répond ft la question mais il existe bien d'autres possibilités. NOliS allons voir. avec la forme nonmtle de Brunovsky, qu'une telle cOl1'espondance entre y et les trajectoires du système est générale. Il sumt que l3.3] soil COlllmandable. Tout revient donc ~l trouver la sortie de Bmnovsky JJ de même dimension que la commande il.
3.2.2.4. Critère de Kalmall etforme dl' BmllOl'sky THÉORÈME 3.1
matrice de
Le système :i:
COII1111wldabililé
e
A:I' + Bv l'ST cOIJ/1Jumdable si et sel/lelll(;.'111 si la (13, AB . . ,,~ An-l B) eSI de rang 1'1 = dirn(:I:).
La paire (..4, B)'esl dite COI11J1/lllldab/e si le rang de la matrice de commandabilité
e est maximum.
Lu preuve que nous allons donner de ce résultat n' est pas lu plus courte possible. Cependant, elle permel de décrire explicitement. pour taule durée T > 0 el pour P: (j E iR'.p. les trajectoires du système qui parlent de p cl arrivent en q. Cette preuve utilise la forme dite de Brunovsky. Celle dernière se construit gnice il une méthode d'élimination, proche de celle très classique du pivot de Gauss.
Systèmes plats de dimension Ilnie
123
3.2.- Si la II/mrice de cOl1llllandabiliuf. (.13, AB, .. ., AII- J .13), du systèllll' A:!' + Bu est de nlllg 1/ = dilu(;r) el si B l'ST de rang 'J11 dim(u), alors il exisTe 1111 cluJ11gelll(JJtI d'état:; = J\I:( (JU matrice ;,n'ersible Il x n) el 1111 bOllclage Sloliqlle régI/lier 1/. = A-.: + JV u (IV matrice im'ersihle m 171), tels qlle les ('qua/iolls dll système dOl1s les l'oriables (.::~ II) adllU!flem la/orme suivante (écriTllre SOI/S la forme de ni équatio1ls d(fférelltielles d'ordre 2:, 1): THÉORÈME j' =
Ij(n 1 ) . I
=
'U
·1,
,
'1/(11",)
',: III
= unI
( ( 1 ) . (nl-1)
{Il'ec C011l111l' etaI .: !JI, lh étaut de ... emÎers posil(f:Ii.
, ... , lh
[3.7] '
(1)
(0,,,
"JIII d)'" , ... , lin)
1))
•
1 es (\ i
Les m quantités ?Jj' qui sont des combinuisolls linéuires de l'état :1.', sont appelées
sorties de BnIJ1Ol'sky. Pour une paire (.ft B) commandable, les indices de commandabilité ŒI;; sonl directemenl reliés aux rn entiers ni de la forme de Brunovsky. Il est facile de vOÎr que. dans le cas commandable, sc donner les (1'/.. revienl il se donner les ni. Ainsi. deux systèmes commandables ayant les mêmes indices de commandabilité admet la même forme de Brunovsky. ils sont donc équivalents. Ce n'est plus vrai si ces deux systèmes ne sont plus commandnbles avec les mêmes indices de cOllîmandabilité. Il n'y aura équivalence que de lu parlÎe eOll1mandable. L'équivalence sera complète si les parties non commandables sont équivalentes, c'est-à-dire si les matrices déflllissant les dynamiques autonomes des parties non commandables som semblables ct donc admettent ln même forme normale de Jordan.
Preuve du théorème 3.2 Elle repose sur: 1) une mise sous forme triangulaire des équalions d'état et l'élimination de
il ;
2) l'invariance du rang de (B, .4B, ... , AlI-1 B) par rapport aux transformations [351; 3) une récurrence sur la dimension de l'étaL l'vEsc sous forme triangulaire On suppose que B est de rang rn = dil11(1I) (sinon, raire un regroupement des commandes en un nombre plus petit que 'HI de façon à se ramener à ce cas). Alors. il existe une partition de rélal:r = (:r1' ..1'II) avec dilll(:f/,) II II/ et diIu(:l:u) 'III telle que les équations 13.31 admeHenL la struclure bloc suÎvante : .i~r j'II
= =
+ AI'I/:f + BrU AlII';!:I' + A11ll:r + Bull An·J'r
ll
ll
114
Commandes non linéaires
oll 13" est une matrice carrée inversible. Cette partition n'est pas unique, bien sûr. En tira11l1l de ln seconde équation et en reportant dans la première, on obtient:
= An,:I:/" + Aru'/;u ;i'1/ =
AuI"'I' I ,
-1- 131'13;;1 (:i: 11
AUI':rr
A lI ,,:1:I/)
+ ./-1!1I/:ru + Bl/'/I
En regroupant]cs dérivées dans la première équation, on il:
Avec une transfonllation 13,5] définie par:
les équations :i~
A,I'
+ Bu deviennent:
Fi
:1:/1
(A'T J .:'.1 /11 ,) et Ail (Arr 13,.13;;1 A1Ll,)B,.13;;1 + (A/"II BI'B;~ 1 Al/II)' Dans ceUe structure triangulaire où la commande 'Ïl Il 'Întervient pas
OÙ
dans la première équation, nous voyons appuruître un système plus petit d'état â\ et de commande .1:/1' Cela nOLIs permet de réduÎre lu dimension de :z: et de raisonner par récurrence. Invariance Un simple calcul par blocs nous montre que si (13, AB, .. " .4 11 - 1 13) est de rang
alors (..41/, A 1'.4 111 ••• ~ .<4~~-,n-l AI/) est de rang '11 nt. Du système de taille n 011 passe ainsi au système de taille réduite n - ln, :t,]' = AI':1:,. + .!tJ:II (i:]' l'état, :7: 11 la commande),
11
Récunellce sur le nombre d'états Supposons donc le résultat vrai pour toutes les dimensions d'état inférieures ou égales à n - 1. Considérons un système:l~ A.T -1- Bu avec n dîlll{:v), sa matrice de c011ll11andabililé de rang 11 et B de rangm = diIn ('li) > O. L'élimination de 11 donne, après une transformation de type 13.5J : ;"i,'r
=
Ar;!'r
;i~1I
=
11
où dim(lI) de rang TI
+ AI/:c ,1
= dim('/'lI) = '/11 et dim(.T r ) IH
= /1 m avec (Au) A,.AII' .4 Il) < n (les - onl été enlevés pour alléger les notations), Notons th le rang "'1
.
Systèmes plats de dimension finie
de AI/' Comme '/71 ~ m, un changement de variable sur .1:'/0 (.T II • ,r ll ) inversible, permet d'écrire le système sous la forme:
avec P
A,.:1: -1"
[3.Sal 13.8bl
=ll
.ï:/1 =
] 25
[3.Scl
'ÎÎ
avec (ïi., 'li.) Pu, dilll(:?u) /Îl cL_)L de rang fiL Comme le rang de la maLrice de ./1,.:/.',. + AI/.T II (.1'1' est l'élal et ;r ll la commandc) esL égal commandabilité de ,c,. ü ri nI cJilll(:r,.), l'hypothèse de récurrence assure l'existence d'un changement !\-:; + IV/' (fi est la de variable :1'1' = Jlr:; et d'un bouclage statique régulîer :E u nouvelle commande ici) metLant ce SOLIS système SOllS forme de Brunovsky. Alors le changcl11cntd'étnt (.7:,. ..Tl/ •.r u ) défini par:
o
0)n (':;) ii
o
l
:['1/
et Je bouclage statique régulier sur (il, fi) :
) + 1VIJ.
ù = li
transforme alors Ic système [3.8J sous forme de Brunovsky avec u nouvelle commande.
(fi,
ÎI)
comme
Prel/I'e du théorème 3.1
La commandabîlité est indépendante du choix des variables sur:r et d'un bouclage sLatique régulier sur /1. On peut donc supposer le système sous sa forme de Brunovsky, Dans ces coordonnées, aller d'un état il un autre est élémentaire. 11 se ramène il étudier la commandabiJjté du système scalaire y(n) P. L'état initial (u(/ • ... ~ !I(\n-I») et r état flnal Cllb, ... ~ 'IJ~n -]») ainsi que la durée T'étant donnés, les lois horaires 1. 1----.,- vU) assurant le passage entre ces deux états pendant la durée T correspondent alors ~\ la dérivée O'-ième de fonctions [CL T] :3 t 1----.,-
(T)
(1')
!h .
'l',
CL .... 0
Il existe bien sûr une infinité de telles fonctions polynôme de degré 20' l, par exemple).
Lp
-
1
(on peut prendre pour lP un
3.2.2.5. Phl11{/icarioJ/ el slfÎl'i de trq;ecfoires
De la preuve des deux théorèmes précédents, il est important de retenir deux choses: dire que le système:i: = A.r + Bu est commandable. est équivalent il l'existence !\- Z + iV Il el d'un changement cl' état :r 111 : :. d 'un bouclage statique régulier 11
116
Commandes non linéaires
se ramenant à la forme cIe Brunovsky l/o) = .
(
notation lJ = , -
• l_ -
lil. ·· ..
l'J(I,'~,
1\
) _
(0)
ll/1) et Y'
1«(\-1)) :
... ,.~
(_ (rll)
=!II Il
11
et :;;
(n m
, ... , Hm
))
(!J •... , y(n-l)) (par abus de . ). A'Il1S1:
= L(y, ... , lin))
où la matrice L cst construite avec K, Iv el JI r. Lorsque l'on considère une fonction régulière ûrbîtraire du temps t ,----
:r(l) = .lIJ(cp(t), .... rp(n-llU)}, alors t
.1'(1-)
f---io
.1'1:1'(1)
u(t)
= L(cp(t) .... ,:p(tI)(t))
Cr(l), '11(1)) est une trajectoire du système: on a identiquement Bu(t) = O. Réciproquement, toules les trajectoires régulières du
système se paramétrisent de cetle façon, grâce à m fonclions scalaires arbitraires 'Pl (1), .... :.pm (1) et un nombre fini de leurs dérivées par les formules ci-dessus; la commandabilité de j' = A;r + Bu implique la stabilisation par retour d'étaL En effet, il sufllt de considérer la fonne ùe Brunovsky et dans la forme de Brunovsky, d = '/Ii. SoiL 0i valeurs propres, chacun des -rH sous-systèmes indépendants AJ, ... , '\0, ' conespondant
y;Ü
TI (X ni
.I\d =
sn,
8l
XI.l,-.. j
+ 82~\,,"nl-2 + ... + (_1)1\; 8(\,
/'-=1
Alors, dès que les #\1.- sont li parties réelles strictement négatives, le bouclage:
assure la stabilité cie y;OI) = IIi: en erfet, les exposants caractéristiques (on dit aussi les pô/es) du système bouclé sont les '\,.,. Aussi de la forme de Brunovsky l'on déduÎl direcLement le résultat suivant dit placement de pôles. THÉORI~rv1E 3.3.-
Si /(1 paire (..4: B) l'ST COll/JI1wu/ab/e a/ors, pour toute matrice réelle F 11 >< n, il existe 1Ille matrice m x n. K (n01l nécessairement IlI1iqtlt tellt' que le spectre de A + BI\- cO;I/cfde m'ec ce/IIi de P. J
),
De retour dans les coordonnées de modélisation,:i' = A.l' + Bu, la planification de trajectoire nOLIs donne une trajectoire du système (par exemple la lrajectoire que doit suivre une fusée au décollage, la manœuvre ù' atterrissage d'un avion. eLc.). Nous la notons 1 1-" (:l'r(l-). IIrU)) avec J'indice r pOlir référence. En pratique, et li cause des aléas de l'existence, il convient. comme l'illuslre la figure 3.4, de corriger en fonction de l'écart .6,.1', la commande de référence 'Ur (il est rare de piloter un système en
Systèmes plals de dimen!-lion finie
] 27
aveugle. uniquement en sachant ct' où ]' on part et olt l'on veut aHer). Le problème est donc de calculer ln correction .6.1L à partir de .6..:1' de façon à revenir sur la trajectoire de référence. On peut alors utiliser un bouclage stabilisant en plaçant les pôles sur la forme de Brunovsky. V'l:
+
Il'li ?
1ra.jel'I DÎre 1'(~('lk· .1'
Figure 3.4. Le SIl;I'; de /rqjL'L'/oire
D'une façon plus précise: comme j',. = A:r r avec.1' = A.T + Bv, l'équation d'erreur suivante:
+ Bltr. on obtient,
par différence
rl( .6.:[:) - - =A.6..:1'+B.D..1I dt
.r,. cl.6.lI Il III' ~ le système étant commandable. il existe ]{, matrice m x n. telle que les valeurs propres de /1 + BJ....- soienl il parties réelles strictement négatives (plnccmenL de pôles). Ainsi la correction:
Ol! ,6.:1: =.r
assure le suivi asymptotique de la trajectoire de référence 1 1--+ :rl·(t). La stabilité structurelle des points d'équilibres hyperboliques garantil que toute erreur assez faible (petite incertÎlude sur il el B. effets non linéaires faibles. erreurs de mesure. erreurs de troncature dues ft la discrétisation de la loi de contrôle obtenue. etc.) ne sem pas amplifiée au cours du temps: :r restera ainsi proche de .Tf" Nous termÎnerons par une constatation d'ordre expérimemal: lorsque le modèle A:r + B li est d'origine physique. il n'est pas rare que sa partie dynamique :i' non comlllandable, c'est-à-dire ses intégrales premières. aiL une signiilcation physique immédiate, tout comme les grandeurs !J. fonctÎon de .r et Îmervemml dans ln forme de Brullovsky (voir théorème 3.2) de sa partie commandable. Cet état de fait n"est vraÎsemblablement pas dO entièrement au hasard: en physique. les grandeurs qui admettent une siglliLkation intrinsèque. c' est-à-dire les grandeurs physiques, sont celles qui ne dépendent pas du repère de )' observateur. En automatique, le passage d'un repère il un autre correspond, entre autres, ft une transformation de type [3.51. 11
118
Commandes
110n
linéaires
est alors clair que le sous-espace engendré par les sorties de Brunovsky est un invariant. Il a donc toutes les chances d'avoir un sens physique immédiat. De plus, les sortÎes de Brunovsky admettent un équivalent non linéaire pour de nombreux systèmes physiques. On les appel1e alors sorties plates.
3. J.- Pour le système [3.6], calculer explicitement un bouclage d'état qui place les pôles. Connaissant les paramètres m 1. 1n2 et h:, que choisir comme pôles pour assurer la stabilité asymptotique du système bouclé ainsi que la robustesse par rapport à des dynamiques négligées? EXERCICE
EXERCICE 3.2.- Soit le système de la ligure 3.3. On rajoute un amortisseur linéaire enlre les deux masses. Ainsi [3.hl devient (0 > D est le coefficÎent de frottement):
rn 1~: 1 = Il: (:t::.! - :1: 1) + (f ( :~::! {
k (.1. l
111 2.1. 2
,T 2)
-
.~: 1) + 11
+ il (.t 1 -.1, 2 )
Montrer que le système reste commandable et calculer sa sortie de Brunovsky.
3.2.3. Li1léarisatio1l par bouclage statique 3.2.3.1. EqIlÎl'(/lellC(J statique La relation d'équivalence qui permet de mettre un système linéaÎre j: = ..4:1" + B lJ. commandable sous forme de Brunovsky peut être prolongée de la manière suivante. Au lieu de considérer des transformations du type:
avec lU et lV matrices inversibles, considérons des transformations inversibles plus générales et non linéaires suivantes:
x] [Il
[_ I-i'
l'
0(X)]
= k(:r, Il)
où cù est un difféomorphisme et il ,],' bloqué, 'li I-i' /.:(.1', n) également. Il est donc logique de considérer Illaintenant les systèmes non1inéaires de la [orme:i~ = f(;r, li) et leur classification avec le groupe de transformations ci-dessus. La relation d'équjvalence qui en résulte est appelée équivi.llencc par bouclage statique régulier et changement de coordonnées (d'une façon plus abrégée équivalence statique). Décider si deux systèmes avec les mêmes 110111 bres cl' états et des commandes. j~ = f (,1: \ Il) et ;:; = 9 (:: ~/)) (f, fi régulières), sont équivalents est un problème de géométrie très compliqué et largement ouvert. En revanche, il existe une caractérisation explicite des systèmes non linéaires équivalents aux systèmes linéaires commandnbles: ces systèmes sonl dits li1léarisables par bouclage statique régulier.
Systèmes plats de dimension finie
129
3.2.3.2. CNS de linéarisatioll SIl/tique
L'intérêt pratique est le suivant. Les équations issues de la physique:i' = f(:r,ll) sont en général non linéaires dans les coordonnées de modélisation.r et Il. La question ({ Existe-t-il des coordonnées . .:; = 4>(:1") et v = "'(:1:. Il). qui rendent les équations il.: + Ev avec (A, B) commandable? ), est alors d'importance. En linéaÎres, :.: effet, unc réponse positive signHie que le système est faussement non linéairc. Il sumt de changer de pour que tout devienne linéaire. A partir de maintenant, nous considérons le système:
f (:r, 11 ),
:i'
mZ Il ,
:t
1/.
E IP~ III
avec f régulière et /(0, Cl) O. Notre point de vue sera local autour de J'équilibre (,f~ u) = (0,0).11 peut être élargi à l"espnce tout entier sans difficulté importante en considérant des points génériques. LEMME 3.l.~ Les del/X propositions sltÎl'lmles S01l1 éqIlÎ\'afenfe,\':
1) le système élel/dll :
.~.
.~ (.1', 11 )
[3.9]
{ II=U esf linéarisable par bouclage stmiqllt' (fi. est ici la commande);
2) le ,\)wlème :
.1: = f(.T. 1./.)
[3.101
est linéarisable par bouclage s/otiql/e. Démonstratiol1. Si :r (iJ(.:) et li- = k(.:,v) transforment [3.101 en un système linéaire cOl11mundabJc:: = .4.: + Et l , alors (.r~ Il) = ((N-),k(::;, 0)) et ,fi = ~~~(A::; + Bv) + ~~~':ïJ tnmsrormenll3.91 en:
.: = ..4.: + Ev,
il
=v
système linéaire commandable. AinsL la seconde proposition implique la première. Supposons maintenant la première proposition vraie. Comme tout système linéaire commnndable peut s'écrire sous la forme L3.J 1] avec (Jl, B) commandable (voir u)) et forme de BrunovskYl, il existe une transformation (:t, u) = (~h(:::., 'u): fi k(:::., 1), v) qui met l3.9] sous la forme 13.111 avec dÜl1(:;) = dim(;r). Cela veut dire que pour tout (::: \ 1', fi) :
Donc 1) ne dépend pas de u et la transformation inversible a: transforme [3.101 en !:, = A: + Bv.
=
ô(.:),
1/
= 1/'(.:,0)
0
130
Commandes non linéaires
Ainsi. quitte à étendre r état en posant 'ù fi et en prenant comme entrée ft., on peut toujours supposer que f est atline en 11. c'est-à-dire que le système admet les équations: [3.I 21 où f el les lli sont des champs de vecteurs. Il est alors facile de voir que les transforet 11 k(.:. /}) qui rendent le système linéaire sont nécessairement mations .1: = afllnes cn v, c'est-à-dire k(.1:. v) = o'(;t:) + (3(.r)IJ avec (3 inversible pour lout :L~. A partir des champs cie vecteurs définissant l3.12]. on déflnit une suite de distributions croissantes par la récurrence suivante: où [f. g] est le crochet de Lie de deux champs de vecteurs. Ces dislributions et le crochel sont invariants par changement de coordonnées. Le résultat suivant est issu de [JAK SOj. THI:ORÈME 3.4.- Awollr de l'équilibre (.1:.1J) = (0,0), le système /3.12} est linéarisable par b01lclage statique régulier sÎ ('1 seulement si les dislribulioll.\' Ei' i 1. ... , 11 1 défillies ci-desslls sont illl'olHfÎl'es (stables par le crochet de Lie), de rang COl/stallt al/tol/r de :r = 0 et Il' rang de 1 t'alft n, la dimensioll de :J:.
Bi, qui som des objets intrinsèques par rapport aux coordonnées :l:. restent également inchangées par bouclage statique li 0'(:1') + /J(:r) 0 avec /3(;7:) inversible. Comme pour un système linéaire commanconespondcnt à l'image de (B. AB~ ... , Ai B), les conditions dable :i' = A:r + Bu, sur les Bi sont donc nécessaÎres. Leur côté suffisant repose essentiellement sur le théorème de Frobenius [GOD 691. Si les vérifient les conditÎons du théorème. alors il existe un système de coordonnées locales (:1:), .. ., .f ll ) autour de Cl LeI que:
D(hmmstratiofl. 11 est évident CJue les distributions
{ aD} D:r Ü;T) .... ,
crJ
est le rang de Dans ces coordonnées locales, :i:i pour i > CTo ne dépend pas de la commande v. Ainsi. en remplaçant '/.1 par 0'(:1') + fl(.r)u. avec une matrice inversible (3 bien choisie. la dynamique [3.12J s'écrit nécessairement ainsi:
OlI
ai
L .... an
.ri
1/ i:
:r i
fi (:r ) .
ao
+ 1, .. " n
Un raisonnement simple montre que, pour j al, .l'î ne dépend pas de (:1: l, ... , .1:(1(1) car El involutive. Ainsi nous avons ln structure suivante: j'i=lli, :Cj
i=J, ... ,CTo
J'1(:1-') . ... ,.f ll ),
an
+ 1, .... (Tl
Systèmes plats de dimension flnie
131
De plus, le rang de (frrn+l1 ... ~ ferl ) par rapport à (:/:1, ... , ;r('fo) vaut cri - ao. Donc s: 0"1 ao. Quitte il faire des permutations sur les (To composantes de :r, on peut supposer quc (:1"1, ... , .rlYl -('fo) f---, (./'(10+ J, •• .,./'a 1) eSl inversible. Cela permct de définir un nOllveau système de coordonnées en remplaçant les al - a() prelll1ereS de :r par (fuo+ 1 ..... frrl ). Dans ces nouvelles coordonnées et après bouclage statique régulier 'il 1-+ j3(.r)u avec /-1(:r) inversible bien choisi. nous avons la structure suivante (les notations avec u. :1: et f sont conservées): af)
1, ...•. f n ).
i =
al
+ 1. .... 1/
On sait que ce système est linéarisable si et seulement si le système réduit: :i:i
= ;1:i- ero'
cro
+L
.. ·.0"1 al
+ 1, ... ,'1/
avec (:r l, ... , :C('fl -cro) comme commande. Comme les distributions aSSOClces il ce système réduit se déduisent simplement de celles du système étendu en élimÎnanlles ... , ,f--, on voit qu'elles vérifient. elles aussi. les conditions champs de vecteurs (,./ "'1 du théorème. Ainsi est-il possible de réduire encore le système. A chaque étape, la linéarisatÎon du système étendu est équivalente l, celle du système réduit..Au bout de celle élimÎnation (71 ] étapes au plus), la linéarisation du système de départ est alors équivalente II celle d'un système réduÎt de la forme: :r
f(:r, li)
où le rang de triviale.
f par rapport ~l li est égal à la dimension de .1'. linéarisution qui est alors 0
EXERCICE 3.3.- Soil le système de la figure 3.3. On suppose que le ressort est non linéaire. Dans [3.6] la raideur k est fonction de .Cl - .f:} : k = ko + o(.r] .f::!)2 avec ko et a > D. Montrer que ce système est linéarisnble. Quelle est la sortÎe de Bnmovsky du système linéairc équÎvalelll? Que se passe-l-il si l'on ajoute du frotlemenL? EXERCICE 3.4.- Prenons l'exemple r3.21 en ne considérant que les deux équations différentielles relatives Ù :1:1 et T (noLIs ne considérons que la partÎe commundable). Montrer que cc sous-système ft deux étals et LIne commande est linéarisable. Calculer le bouclage statlque qui linéarise le système.
3.1.3.3. BOllclage dynamique
Le lemme 3.1 estlrompeur. Il semble suggérer que le fait d'étendre un système en ajoutant des dérivées de la commande dans l'état n'ajoute rien pour la linéarisation. Ceci est vrai si l'on ajoute Je même nombre d'intégrateurs sur toutes les commandes
J31
CommHndes non linéaires
(prolongation totale). Par contre, des nombres différents peuvent permettre de gl.lgner quelque chose. Par exemple le système:
:ï'
-1J.l
sinO,
~
=
111
cosO - L
ë = U2
n'est pas linéarisable par bouclage statique bien que le syslème étendu: ;'1.;
=
-Ill
sin 0:
/JI
cosR
de commande (il] , 1.12) le soit. Ce rait n'est nullement contraire au lemme 3.1 puisque seule l'entrée '//1 a été prolongée deux rois. Pour un système à une seule commande, on ne gagne évidement rien ICHA 891. Cette remarque est tl l'origine de la linéarisation par bouclage dynamique Lelle qu'elle a été posée dans [CHA 891. Un système :i' f(:1.', 11) est dit linémisable par bouchtge dynamique régulier si et seulement s'il existe un compensateur dynamique régulier:
tel que le système bouclé: :i:
f(;r.
soit linéarisable par bouclage statique régulier. Noter que la dimension de ~ est libre.
La dimension de l'espace dans lequel on doit travailler peut être arbilrairement grande. Noter égalemenL que les compensateurs dynamiques qui consistent à ne prolonger que les entrées sont des compensateurs particuliers. Ils ne permellent pas de linéariser certains systèmes comme celui-ci (voir l'exemple 3.5) : 111
iJ,1
sin f)
+ EH2 ('os 0
cos 0 + EII:2 sin f)
-
1
() =/1.2
En effet. on peut montrer que, quel que soit le compensaleur dynamique de la forme lI~frt} = fi l, v~(·l:"d = U2 (01 et 0':2 entiers arbitraires), le système étendu n'est pus linéarisable par bouclage statique. En revanche. il est linéarisable par le bouclage dynamique endogène construit en 3.5. Cette quesLÎon est à l'origine des systèmes plals, les syslèmes linéarisables par des bouclages dynamiques dits endogènes et auxquels est associée une relation d'équivalence (une géométrie)" Nous ne savons pas s'Îl existe des systèmes non linéarisables par bouclage dynamique endogène et cependant linéarisables par des bouclages dynamÎques réguliers encore plus généraux dits exogènes. Tous les exemples que nOLIs connaÎssons el qui sont IÎnéarisables par bouclage dynamique le sont par bouclage dynamique endogène.
Systèmes plats dc dimcnsion flllic
133
3.3. Systèmes plats Un système:1: = /(.1.', 'H) est ici VLl comme un système sous-déterminé d'équatiolls différentielles. Les variables (:v, Il) sont soumises aux contraintes .i:- f(;L Il) = O. Les systèmes plats forment une classe pour lesquels nous disposons d'une paramétrisation explicite de toutes leurs solutions. Par explicite. nous signifions ici sans intégration, uniquement à partir d'opérations de nature statique (combinaison algébrique ... ) el d'un nombre fini de dérivntioll en Lemps.
Les solutions t (O(t} u(l,)) d'un simple bras de robot d'angle () cl de couple /1 sont soumises aux lois de la mécanique. Prenons Îci un modèle très sÎmple. celui du pendule:
.Iii
rng/sin f}
1/
0
oil .1, '111 et 1sont les usuels, TI est évident que l'on peut paramétrer explicitement toutes les solutions à l'aide d'une fonction scalaire arbitraire du temps 1 i--+ !lU) supposée assez régulière par morceaux suffit) grâce aux formules explicites suivantes:
o=
fj.
il
.Iii
w!}1 sill!J
Ces formules sont celles du couple calculé. Elles consistent tl utiliser les équations de la mécanique tll'envers. Au lieu de f1xer la force et les position et vitesse inithlles, pour en déduire le mouvement en intégrant une équation différentielle du second ordre (opération en général délicate explicitement), il sufflt d'imposer le mouvement et d'en déduire la force. Comme, pour le bras de robot, lu force est notre commande, ce calcul a un sens. NOLIS dirons que le bras est plat avec comme sortie plate (J. A l'origine, la platitude a été déJ1nie IFLI 92, FLI 95bJ dans le cadre de l'algèbre différentielle. Ull système est ulon; Vll comme une extension différentielle de degré fini de transcendance différentielle. Le degré de transcendance différentielle correspond alors au degré de sous-détermination. c' est-tl-dire au nombre de commandes indépendantes. Un système est alors plat sïl est une extension différentielle transcendante pure. Les généruteurs d'une telle extension forment alors la sortie plale. L'avantage d'une telle approche est sa capacité il truite!' les systèmes mixtes, d'équations différentielles et d'équations algébriques, ainsi que les systèmes diflërentic1s implicites. En langage plus ordinaire, nous avons la dél1nltiol1 suivante. Un système d'élat f(:r, '1/) régulière) est plat s'il existe y E JP~11I de la forme: ;"J;
E IPll!, de commande '1.1 E EIlI, :i:
cr
134
COlllmandes non linéaires
tel que: ,}:
9(Y, Û, ... ~ ,li))
li
= CI:(Y, Û, .... y(q))
(les fonctions Il, 9 et :r
ü
sont régulières). D'un point de vue formel, le passage de
l (:1:, Ii) h: .T
"P(!J. Jj, .... //(/))
u = (\ (!J, Û' .... y(IJ))
revient il ajouter Hl variables supplémentaires qui rorment la sortie plate y = h(,');, 11. il, .... u(I')) et il Lout exprÎmer en fonction de cette dernière. Le passage inverse s'obtienL en éliminant!J. Au cours de celte élimination, nous obtenons au passage la li ) fonclion h donnant U en fonction de :l'el 1/. Ainsi, il cst équivalent de se donner nu ("P, 0). Le problème fondamental est alors le suÎvant: étant donné la fonction l. c'est-à-dire les équaLÎons issues de la physique du système, existe-t-i1 une telle fonclion de sortie Il telle que le systèmc déterminé implicite:
cr
.i: =
f (;t. Il).
.Il
= h (:r, Il, ... , u( r) )
où y est une fonction régulière du temps donnée. puisse être résolu sans intégration par des formules générales du type: ,1'
• ( 9y,!J, .... y ( /1 ) ) ,
_ ( • , (I[))' /J-üy,y .... ,.Il
Ce problème est un problème ouvcrt. Il a été posé par David Hilbert en 1912 IHIL 12], pour l'équation de 'Monge du second ordre:
d:!y
ŒJ. r
.., (
]<
CL::)
dU a;, !J, -, -1 '-1. l;1'
(:r
un système différentiel sous-déterminé (une équation différcntielle ordinaire ell ;1.' reliant deux fonctions de :1', y(:r) et .:(.1')). Hilbert parle alors de solution sans imégrale. Hilbert montre aussi que cette question est lîée il la classiikalion des systèmes différentiels sous-déterminés l'ia un groupe de transformations. dites inversibles sans intégrale. I-lîlben note une analogie suggestive avec les transformations birationnelles et la classification des variétés algébliqllCS. Peu après, Elie Cartan ICAR 151 reprend la question posée par Hilbert ct montre comment des calculs sur les systèmes de PfafT (le drapeau) permettent de caractériser les équations de Monge du second ordre qui admettent une solution générale sans intégrale. Il en déduit une description explicite de tOUles les courbes de l'espace euclidien lR.:,1 dont le rapport de lu courbure cl la torsion soit constant Les résultats d'Elie Cartan sont complets pour les systèmes de Pfaff de codimension 2, c'est-il-dire les
Systèl11c~
plats de dimenslon finie
135
systèmes différentiels sous-déterminés de codimension l ne faisant intervenir qu"une seule fonction arbitraire (pour nous ne faisant intervenir essenticllement qu'une seule commande). Elie Cartan [CAR 141 suggère aussi lu notion d'équivalence absolue mais ne la définit pas avec précision. Il note que pour les systèmes de PfalJ de codimension supérieure il 2 (faÎsant intervenir au moins deux commandes), la question se complique notablement. A notre connaissance, elle reste aujourd'hui très largement ouverte. Nous allol1s maintenant donner un cadre formel pour délinir t'analogue en théorie de la cOlllmande des systèmes différentiels ordinaires sous-déterminés résolubles sans intégrmion. Cc cudre a été pour la première [ois proposé en 1993 dans [FLI 93b1. 11 est relié à lPOME 92, POME 931. D'autres approches reprenant plus directement les systèmes de Pfaff et l'équivalence absolue sont également possibles [NIE 94. SLU 92].
3.3.1. EquÎI'alt11lce et platitude 3.3.1.1. Champs de peetel/n; en dimensiol1 iJ{fil1ie Un système dynamique:
:i'
f(:l:),
.r E X C
13]
}RTl
est par ùéfinitÎon une puire (X, .l'), Ol!}{ eSl un ouvert de FL TI et f un champ de vecteurs sur X. Une solution, ou trajectoire, de [3.13] est une applicalion Cl i. ,-" telle que: ;i'(/,)
./'(,r(t))
'rJt
~
0
Notons que si a; 1---+ h(:r) est un application régulière sur X el 1 trüjectoirc ùe [3.13], alors:
oh
cl
- Il (:r (f; )) = -:- (;r (1 )) . ;i: U) dt· éJ,t' Pour cette raison, la ch/rivée .1:
ln/ail',
éJh (:r(l)) . f(:1:(t)
Vt
1---+
,rU) une
?: Cl
c'est-tl-dire l'application:
ah (:1:) . .f'(. :r)
est souvent appelée dérivée en Lemps de " et notée
il.
Nous voudrions avoir une description similaire, c'est-à-dire un espace et un champ de vecteurs sur cet espace. pour un système commandé: :j:
f (.r \ Il )
13.141
Commundes non linéaires
136
où I est régulière sur un ouvert )( >< U C ]Rn X ll{m. Ici f n'est plus un champ de vecteurs sur _\, muis plutôt une collectio1l ir~fini(' de champs de vecteurs sur X paramétrés par u: pour chaque 11 E U, rapplicntion: .1' 1-;'
III (:D")
=
f (:1: ~ li)
est un champ de vecteurs sur X. Une telle description n'est pas aduptée au boucluge dynamique, c,est_ü_dire au rajout d'intégrateurs. Si J'on prend comme commande l' = il îlulieu de il, on obtient alors LIll système étendu:
.1:
= ./'(.1;, u)~
il = {'
qui cOlTespond en un certaÎn sens au même système mais pour leque1 la notion d'élat classique n'a plus cours: l'espuce X doit être prolongé il l'espace X x U. Tl est cependant possible d'associer à f3.14J un champ de vecteurs avec les mêmes solutions et pour lequel1e fait de considérer 11 ouo = il comme entrée ne change rien. Pour cela. nous allons maintenunt supposer que toutes les fonctions manipulées sont régulières, c'est-à-dire Cc=-:::. Soit une solution régulière de f3.] 4], c'est-à-dire une application"
f---+
(:rUlll.(t))
ft valeur dans X x U telle que:
f (:1.' (t),
;i:(l-)
LI. (1. ) )
On peUL considérer r application il{{il/ie :
t
f---+
~(t") =
(:r{t), v(t), ù(l.), ... )
R;;;
prenant ses valeurs dans X x U x IR~, Ol! = Ifr.m X iR: 1I1 ••• représente le produit infini dénombrable de RIII. Un point de est de la forme (11 1, li?, ... ) avec 1/ i E lR.rn. Cette application satisfait:
~(t) = (f(:r(l), u(t)), ù.(t),D(f), ... )
VI ;:::: 0
et donc peut être interprétée comme la trajectoire d'un champ de vecteurs iJ{/illi:
sur 4\
U x
JFlL~.
Inversement, chaque application:
qui est une trajectoire de ce champ de vecteurs infini nécessairement prend la [orme (:D(t), 1I(t), 'Ii Ct), ... ) avec ;i'(1) f(.7;(t), u.(t)) et donc correspond à une solution de l3. 141, Ainsi F est réellement un champ de vecteurs et non une famille paramétrée de champs de vecteurs.
Systèmes plats de dimension Il nie
137
Avec une telle construction, le système /3.14] est déflni par la donnée d'un espace X x U x et d'un champ de vecteurs F sur cet espace. Comme pour un système dynamique classique sans commande, la dérivation en temps d'une fonction régulière (.1.', Il, /11, ••. ) l - t 11 (:r, 1./, 111, , .. , Il) dépendant d'un nombrefin; de variables s'écrit: Dl1 rro,
( . 1 ._ I.1.,Il,1f , ...• U 1.-+ 1·) . -
Dl
"
Î
•
f(:/", 1/)
ail
-:- • 1.1
1
+
Dh
. u'2 -1- .. ,
01.1
La somme est icifil1Îl' car h dépend d'un nombre fini de variables. Pour être rigoureux, il faut définir la topologie et la structure différentiable de pour pouvoir parler d'objet régulier [ZHA 92j. Cette topologie est celle de Fréche/. Elle fait en sorte que tout se passe comme si l'on manipule des fonctions régulières sur k copies de iP~m pour un k assez grand. Pour la suite, il est suffisant de savoir qu'une base d'ouverts est composée de produits infinis Uo x U I )< ••• d'ouverts de Jftlll, qu'une fonction de lR:~ à valeur dans rn~ est régulière si elle dépend d'un nombre tini de varÎable et est régulière au sens usuel. Ainsl, une application 'I> -7 lR;~ est régulière si chacune de ces composantes est une fonction régulière. R~ avec sa topologie de Fréchet admet peu de propriétés. Des théorèmes utiles comme celui des fonctions implicites, celui de Frobenius et le théorème de redressement d'un champ de vecteurs ne sont plus valables.
Ccpendant, les notions de sous-variétés de 1ft;;;' et aussi de v:Jriétés de dimension infinie existent dans ce cadre. Il suffit de recopier les définitions de la dimension nnie, en utilisant coordonnées locales. cartes ct atlas. Un lecteur non intéressé par ces développements techniques ne perdra pas grand-chose pDur la sUÎle s' il remplace variété par ouvert de lR~7,'; . Nous sommes en mesure de donner une définition précise de système (voir définition suivante). DI~FINrTION SiOI1 ÎI~fi1lÎe
3.6.- Vn système est Iflle paire (9Jt, F) où 9)1 eS/lflle l'ariéré de mode/à' sur el F 1111 champ de 1't'CfiJl/r.\' rr/gulh'/' sur 9.n.
diIlU.'Il-
Localement un système est défini par RII (CI non nécessairement fini) avec comme coordonnées (ç'). .... ) et un champ de vectcur: ~ I~
F(é,)
= (PI (Ç'L ... ,
(~))
où toutes ses composantes sont des l'onctions d'un nombre /lni de coordonnées. Une Irc{Îl'CloÎre est alors un upplîcation régulière t f-~ ~(t) telle que ~(I) = P(~(I)). Nous avons vu qu'une telle définition permet de prendre en compte les systèmes traditionnels:Î: = f(:f, 'li). Elle comporte une différence essentielle: la notion d'état
138
Commandes non
1inéaircs
n'existe pl us ici. En effet: :r
f(:r, li),
(.1.', {f)
E ..Y x
U C iR ll
X iP~m
[3.15]
et: :i' = f(:r, '/1.),
Ù
13.161
Il
admettent lu même description (X· x U x
R~,
F), avec:
Dans notre formalisme: l i--'- (:r( t), 'II (t)) est une trajectoire de 13.15] si et seulement si i 1-; Cr(t) , 11 (t), ù (f)) est une trajectoire de t3.161. Cette situation n'est pas surprenante car le bouclage dynamique ne préserve pas la dimension de l'étal. Cependant, le nombre de commande est préservé. EXEMPLE 3.1 Le ,\ystèml! fril'ial (IR;=;;. PI/I), avec les coordonnées (y, yI ,y2, ... ) et le champ de vecteur: 1"
Fm(lJdJ ,y- .... )
=
l
')
'1
(y ,1r,// , ... )
décrit n ïmpone quel système traditionnel composé de rn chaines d'intégrateurs de longueurs arbitraÎres (lu forme normale de Brunovsky des systèmes linéaires COIllmandables) et en particulier le transfert direct y = Il. En pratique, nous identifions le champ de vecteurs infini (f(:L': uL u 1 • 1].'2: . .,) avec J'équation ,i; = f(:1\ 11) qui le définit. La principale motivation de ce f0l111alisme tient il ce que les notions d'équivalence et de platitude y sont particulièrement naturel1es et simples à définir.
3.1.- Si la variété 9J1 est de dimension finie alors il s'agit d'une équation différentielle classique. c'est-à-dire d'un système différentiel ordinaire déterminé avec autant de variables que d'équations. Dans le cus d'un système :î; = f(.T, Il), le système devient sous-déterminé, il comporte plus de variables (:1.', li) que d'équations. La variété 9)1 associée est alors de dimensÎon infinie. REMARQUE
3.2.- Notre définition est adaptée de la notion de dimété introduite dans lKRA 86] (voir aussi [ZHA 92J pour une introduction plus abordable) pour trailer les systèmes aux dérivées partielles. Par déflnition, une diffiété est une paire (9J1, CT9J1) Ol! 9Jl est une variété régulière, de dimension finie ou infinie, est CT9J1 une distribution (dite de Cartan) involutive sur 9J1, c'est-à-dire le crochet de Lie de deux champs de vecteur apparlenant à CT9Jl reste dans CT9Jt La dimension de CT9J1 est égale au nombre de variables indépendantes, c'est-rl-dire au nombre de dérivation. Comme nous considérons les systèmes gouvernés par des équations différentieUes ordinaires. nous utilisons des difriélés avec des distributions de Cartan de dimension 1. REMARQUE
Systèmes plats de dimension flnie
] 39
3.3.1.2. Equil'{lIcllcc de systèmes Nous définissons ici une relation d'équivalence en formalisant l'idée que deux systèmes sont équivalents s'il existe une transformation inversible qui échange leurs trajectoires. Comme nous le verrons plus loin. la pertinence d'une telle d'équivalence vient du fait qu'elle admet une imerpréLatlon en termes de bouclage dynumique. Soit deux systèmes. (9J1, F) et (\)1: G), et une application régulière \II : 9Jt \)1. Rappelons que, par déflnitioll, chaque composanle de tT' dépend d'un nombre Hnl de variables. Si 1 t------+ E,(t) est une trajectoire de (9.11, F), c'est-à-dire:
~(t) = F(E,(f))
\:jE"
Alors la composée t
1-,.
((t)
. éhfJ ((t) = DE. (E,(t))·
\.11 (E, (1)) satisfait:
. F(ç(t))
La somme ci-dessus ne comporte qu'un nombre 11ni de termes même si les matrîces eL les vecteurs admettent un nombre inllni de composantes: en [ait, une ligne de l:~\~ ne contient qu'un nombre fini de termes non nuls. u.., Maintenant, supposons que les champs de vecteurs F et 0 soient ID-conjugués. c'est-ii-dire: .
G(tlJ(ç)) =
DID
(ç) .
Alors:
~(t)
= G(ID(ç(t))) =
signifie que l t------+ ((1) = \]f (E, (t) ) est une lrajeclOl re de (\)1, G). Si de plus \TJ admet une applicatÎon inverse régulière iD alors F, G sont également
3.7.- Del/X s.l'slèl1le.\' (9Jl. et (\)1, G) sol11 dits équivalents en (p, lJ) E 9n x \)1 si et selflt'me111 s'il existe une tr(m,~formatiol1 endogèl1e d 'lIl11'fJÎsilIage
DÉFINITION
de ]J l'ers III/ \'oÎsÎnage de (j. (9J1. F) el (\)1, so111 équivalents s'ils sont équivalellls pOlir lOI/le paht' de fJoil11s (p. q) dal1s 1111 O/ll'erl del1.\'e de 9n x \)1. Si ml et \)1 ont la même dimcnsion .finie, les systèmcs sont équivalents il causc du théorème de redressement (avec des conditions restrictives évidentes sur les points critÎques des deux champs de vectcms). Ce n'est plus le cas en dimension infinie.
140
Commandes non linéaires
Avec des coordonnées, les notions précédentes s'expriment comme suit. Considérons les deux systèmes (X x U rn:~, F) et (Y x V >< ,G) décrivant les dynamiques:
:i: = ./'(:L': u.), !J(!J~
:tJ
(:,;,
E
(y, v)
71 ) ,
X x U C lR~fl x JR: nJ Y x 11 C 1R1. I ' x ]Pt'
[3.171
l3.l8]
Les champs de vecteurs F, G sont définis par:
F(:r, 11.,11 1 ~ •.. )
=
(f(;r, 11), 1/1, u 2 , ... ) j
'J
(!J(!J,/}}~/.I .1.'-, ... )
G(u, 'P, 111, ... )
Si ces deux systèmes sont équivalents. In transformation endogène W prend la forme suivante:
fi), ... ) Ici nous utilisons la notution abrégée fi = (li, /11, "', '/JI.:), olt k est un entier fini mais arbitraire. Ainsi West complètement déterminé par les app1ications 1/) et c'esttl-dire par l'expression de li, D en fonction de :1:, iL De même, l'inverse ifj de W prend la forme:
Comme 'II et ID sont inverses l'une de
l/J(tp(!J,
TiL ü(y, fi))
= Y
(j(tp(y, li), ü(y, îJ)) =
11
et
r autre. nous avons: n)j3(:r:n)) 0'(11'(;1': fi), j3(:r, 'Ü}) =
.1; 1l
De plus, F et G \li-conjugués impliquent:
f(
Dtp(U, v) ,1)(,1}, D}
où li conespond il (09, v J , ... ,Il). c'est-à-dire une troncature de G pour un entier ,,: Hssez grand. Inversement:
.r;(IjJ(:r, ü), f3(:c, iJ)) En résu mé, dès que l.
t
1---+
ho
D4'(:r, iJ) ·l(:r, Ti.)
(:r( t) ~ li (t)) est une trajectoire de f3. 17J :
(y(t), ·v(l:)) = (~J(:r:(t.), iJ.(t)), ,8(:/'(1,), fi(t)))
est une trajectoire de [3.181 ct réciproquement. EXEMPLE 3.2 (AVION À DÉCOLLAGE VERTICAL).- Le système associé ft:
sin()
;1.'
-Ul
.: =
11.1 COS
+ éiJ.',.! cos f)
0 + EI/2 sin () - :\.
Systèmes plats de dimensîon I1nie
14\
est globalement équivalent au système:
ih
lh
= -~ sin 0,
= ~ cos () - :1.
où E, et () sont les commandes. En eiTet, avec:
X
:= (,1',~,
U :=
('Hl,
.1.', :, f), fi)
1~ := CI}} d}2.
et
li l, Ù'1)
F:= ((0)
'U:;)
et avec les notations abrégées ci-dessus (discussion après la définition 3.7), nous définissons les applications 1 ~ = 'INX, U) et F = /3CY, 0) par:
et
pour obtenir la transformation endogène llJ. La transformation inverse
-1-
.'JI
li2 -
!lI
E sÎl1 (} E cosO
-1- djcos(~
. -.
ct
Ù2 - ê{} sin ()
0'(1 ,1/) :=
(E. -1-0EiP)
(}
(j
Une importante propriété des transformations endogènes est qu'elles préservent le nombre de commandes. THÊORÈME 3.5.- Si les del/X systèmes (X x U x IR~', F) el (Y x Y x ffi1-:~, G) so1l1 équivalents a/ors ils adlllettent le lJIL'lIIe nOl/lbre de com/Ilandes. c'est-tl-dire Til = 8.
Délllollstratioll. Considérons la troncature
<1>'1: ~Y x U x (Ittfll·j·"')ll
--'t
(1)p
cie
X
(ffi.//J Y :
Y x Vx (JR1.8)11
(:z:, u, 1'], ... , Hl'~+ll) 1-, ('P,
0:, Ù, ... ,
nUt))
c'est-à-dire les premiers 1-' -1- 2 blocs des composantes de tlJ ; 1-1 est juste un entier ussez grand. Comme tlJ est inversible, tlJ i' est une submersion pour tout Il. Donc la dimension de son espace de départ est supérieure nu égale à celle de son espace d'arrivée: TI,
-1- .,n(1.: + Il -1- 1) 2:: S(l/.
Ce qui implique 'ln
2::
+ 1)
s. De même avec
"il' > 0 tlJ on obtient s 2::
'J/I.
o
J42
Commandes non linéaires
3.3,- CeUe délinition de l'équivalence est adaptée de J'équivalence entre deux diniétés. Elanr dOllné deux diffiélés (ml, CT9J1) el (~1, CT~l), on dit qu'une application régulière \ft d'un ouvert de 911 vers 91 est Lie-Biickhmd ou un UlI C-II/O/'lJhisme si son application tangenle T\fJ satisfait T(T?(CT9Jl) CT91. Si de plus W' admet une inverse régulière fI' telle que T\T'( CT~l) C CT91L alors \II est lin iS0I1WI]1hisll/e de Lie-Biicklulld ou Ull C isomorphisme, Lorsqu'ull tel isomorphisme existe. les di métés sont dites éq/fll'alel/tes. Une transformation endogène Il' esl donc qu'un isomorphisme spécial de Lie-Blicklund qui préserve le paramétrage en temps ùes courbes intégrales. li est possible de déllnir un concept plus général, l'équivalence orbitale lFLI 93b, FU 97a] avec les isomorphismes de Lie-Bllcklund ne préservant que le lieu géométrique des courbes imégrales (voir par exemple le paragraphe 5.4.2), REMARQUE
3.3.1.3. Platitude d(tfëre1Jtielle NOliS mellons en évidence une classe de systèmes. les systèmes équivalents aux ~ .f".) (voir exemple 3.1 ). systèmes triviaux
DI~FINITION
3.8.- Le système (9JL F) est plat en p
E
9Jl (respecTh'e1llL'lIt plat) si el système Tri l' la "
selllement s'il est éqlfil'oleJJt en jJ (rl'5]J('cfÎl'el1lelll équÎl'alel1t) li 1II1
D'après la définition 3.7, considérons un système plut (_\ x U
lR~~
associé
à: :i'
= f (.1:, li).
(:r, u)
X
>< U
c
jl{ /1 X
lIt III
Par dét1nition. le système est équivalent au système trivial formation endogène q, prend la forme:
, F'i) où la trans13.19j
En cl' autres termes, ID est le prolongement infini de l'applicalion Il. L'inverse iD de hl formc :
\[1 prend
Comme if) et \II sont des applicalions inverses, on Il :
Dc plus, F et Ci (I)-conjugués implique que si t 1-, y( t,) est une trajectoire de JI
= l', c'est-~l-dire rien d'autre qu'une l'onction régulière orbitraire du temps, alors: t
1--'-
(:t: (t), 'li ( t ))
est une trajectoire de
= (IN J7 (t ) ), ;3 ([ï (l ) ))
j: =
f(:r, LI) et l'ice "l'l'sa,
L'application h de l'exemple ci-dessus est importante.
Systèmes plats de di mcnsion li nie
143
3.9.- Soil (ml, F) un système plo! el \fI la IlYIlIs}lJrJllariolt el1dogène le trÎl'ililc. Le premier bloc des cUlllposanles ch, c 'est-b-cNre l'applicatioll Il dm/s [3./9J. est appelé sortie plate (011 linéarisante). DÉFINITION
11/('110111 SOIlSjlJr/lIC
Avec cette définition, une conséquence évidente du théorème 3.5 est la suivante. COROLLAIRE
égale
3.1.- Considérons 1111 ,\~yslèll1e pica. La dimension d',me sortie plate est de cOIl1IIulIldes, c'est-ii-dire.9 = m.
l1tl11OIIlbre
La sortie plate 11' est pas unique. Si !J eSL une sortie plate, est è.1ussi une sanie plate dès que, est un difféornOl1Jhisme régulier. Pour les systèmes à une f-Icule commande, c'csl-à-dire une sortie plate scalairc (,5 = 11) 1), il est facile de démontrer que ]'on passe d'unc sortie plate ü une autre par un simple changement de variable purement statique. Le cas 1l1ultÎvarîabie esL nettement plus complexe. Pur exemple. 'ln 2, il est facile de voir que si (!JI. !};2) est une sortie plate alors pour fi CIJI, !J2 + ,(:IJf'))) est aussi une sortie plate quels que soient Î' régulière et r O. Le choix étant loin d'être unique, il faut prendre une sortie plate qui conduit aux calculs de planification et de bouclage (voir ce qui suit) les plus simples. A ce niveau. le sens physique el surtout les symétries naturelles du système peuvent être d'une grande ul1lîté dans un LeI choix (voir paragraphe 3.3.5), EXEMPLE 3.3 (AVION À 3.2 est plat, avec:
!J
h(X.tJ)
DÉCOLLAGE VERTICAL (SUITE)).-
(:r
E
sill ()~ :;
.Le système étudié en
+ ECOS 0)
(J'un qui engendrenL
comme sortie plate. En effet, les applications X = rpW) ct U l'inverse de (1) peuvent être obtenues par les fonclions implicites:
+ (U'2 ::;)~ .1:)(fh + 1) C!J':! - :;)jh ( ,Ill Uh + 1) siu 0 + ih cos () = () CUI
= CI
Nous résolvons directement :r. ::;. () :
Il surfil de différentier pour avoir j:, .:. O. 'il en fonctÎons des dérÎvées de !J. Noter que la seule singularité est jH + Uh + 1)2 = 0: elle est liée aux deux bnmches de solutions.
144
Commilndes non linéaires
3.3. 1.4. Application cl la plallUicatirJll de fr{{;l'C1oÎres Nous îlJuslrons maintcnan( commcnt la platitude peut être utilisée pour résoudre des problèmes de comnumde. Soit un système non linéaire:
= f(:L '/1)
:i:
avec comme sortie plate:
= 11(:1',
JJ
'1.1,
ù, ... , u(r))
Ainsi, les trajectoires (:rU) , lI(t)) s'écrivenl en fonctÎon de 'If et ses dérivées: :1: =
ü·(y,]j, .... y(q))
II.
Nous commençons par le problème de la planification de trajectoire entre un élat de départ et un élat d'anivée. Nous supposons la sortie plate (référence) donnée !Ji. j = L ... , III par:
LAijÀ.i(t)
JJiU)
.i où les "\i (t), .i = 1, .... lV SOllt des fonctions de base. Nous réduisons le problème trouver une ronction dans un espace de dimension finie, l'espace vectoriel sur 1R~ engendré par les 1'\) (t). ~l
Supposons donnés l' élat initial :l:(J au lemps TO et l'état final :z'I au temps TI > 7j). Pour un système plat, ce problème est très simple. Il suffit de calculer, au départ et à ]' arrivée, la sortie plate et ses dérivées à partÎr des états de départ et d'arrivée. Ensuite, les coefl1cÎenls A ij vérifient les contraintes suivantes:
lh(TO)
= LAÎj/\i(TO) j
l3.211 )q) (if) -)
[Ji
" '1 i;j/,(q) = 'L....t" j (./0 )
Yi(lJ)( Tf )
.i
" 1.1 ,(q)( = 'L....t - iF'} Tf ) j
Nous détaillons le cas 1Il01lOdimensÎonnei (sortie plate de dimension l, une seule commande). Le cas Illultidimensionnel est similaire: il suffit de dupliquer pour chaque composunte de ln sortie pl~lte le cas monodimensionnel. Notons A(t) la mattice q + 1 par N d'élément Aij(t)
Ho =
(!J J ( TO ),
••. ,
.\y) (t) et posons:
uiIl) ( TO ) )
= (ud Tf), ... , U: Il ) (Tf)} [j = (:00, Tir )
Ü.r
[3.2:Ij
Systèmes plats cie dimensÎon finie
145
Alors la contrninte dans l'équation [3.:11] s' écrÎt :
__ (1\(
,1) -
ï O)) ()
A
ïf
A
nA
f3.231
Les coefficients de A appartieni1ent à la sous-variété amnc cl' équation 13.231. La seule condition est que la matrice n soit de rang plein pour que [3.131 aittnujours une solution. Cela signifie que l'espace des foncLÏons \i doit être suffismml1ent riche. Formellement. la planifîcationde trajectoires se ramène, pour de l'algèbre linéaire élémentaire.
lIll
système plat.
~l
3.3.1.5. Planification sous con/railltes
Nous cherchons maintenant une trajectoire aHanl de Cl vers il qui satisfait des contraintes ll:(:l', 'il, ... : u{p)) ::; 0 il chaque Înstant. Dans les coordonnées plates cela consiste ~1 trouver T () et une fonction [0, Tl :3 f 1--+ y( 1) avec (!J y(l])) donné en t = 0 eL Tet surtoUl vérifiant 'tIt E [fLT], !{(y, .. ., y(l1))(t) 0 pour un certain // et une fonction J{ obtenue il partir de k,
Supposons ici simplement que les états initial et final sOÎent deux états d'équilibre. Supposons aussi qu'un mouvement quasi stulique si1lÎsfaisanlles contraintes soit pos1"(a) tel que l"(O) et sible: il existe un Chel1lÎ11 (pas une trajectoÎre) [CL 1] :3 a r(l) correspondent aux équilibres de départ et d'arrivée et, pour toUl a E [CL 1], !((1"(a),O, ... ,O) < O. Alors il existe T > 0 et [O,T]:3 1 y(f) solution du problème.lI suffit de prendre 1"( Il( t /T)) où T est assez grand, et avec 1] fonclÎon régulière 0.1](1) 1 ct (0.1) = () pour croissante [0,1] S 1--+ 17(S) E [0,1] avec nUl) 'i = l, ... : max(q, 1)). Dans [ROT 961 cette méthode est utilisée sur un réacteur chimique il cieux commandes. Dans rRAC 971 le Lemps minimum sous contrainte d'état eSl étudié pour divers systèmes mécaniques comme ceux intervenant pour la commande numérique des machines-outils et le problème de l'usinage à grande vitesse. Enfin, [SEI< 961 aborde, pour les systèmes non holonomes, la planification avec obstacles. A cause des contraintes non holonomes la méthode précédente ne marche plus: il n'est plus possible de metlre les dérivées de .Il à zéro car elles ne correspondent plus à des dérivées en temps mais des dérivées en longueur d'arc. Cependant, plusieurs expériences numériques montrent claÎrementl' importance de classer les contraintes en fonction de l'ordre des dérivées cie /J.
146
COl11lllnndcs
nOI1
linéaires
3.3.1.6. Plcm{jicatiol1 de trqjectoires CII)ee singJllarités
Dans la section précédente, nous avons toujours supposé que la transformation endogène:
engendrée par la sortie plate n = h (:r. 'il) est partout déHnie, régulière et inversible de sorte qu'il est toujours possible d'exprimer:r et li en fonction de!J et de ses dérivées:
Cependant, il peut arriver qu"une singularité se situe juste [1 J'endroit ail j\ est ÎntéresRanL de piloter le système. Comme <J n'est pas définie en un tel point, les calculs précédents deviennent caducs. Une façon de contourner le problème est d'éclater la singularité en considérant ùes trajectoires bien choisies t 1""";' !lU) telles que:
puisse êLre régulièrement prolongé en temps là olt il> 11' est pas défini. Une telle procédure nécessite une étude détaillée et au cas pHr cas de la singularité. NOLIS nllons il1ustrer cette idée sur un exemple simple. Nous renvoyons le lecteur aux exemples de robots mobiles avec ou sans remorques tROU 93a, ROU 93b, FLI95bl et à la construction d'une trajectoire de référence pour retourner le pendule sphérique du robot 2k7ï 1LEN 98]. EXEMPLE
3.4.- Considérons la dynamique plate:
0, c' cst-à-dire!l1 = nla transformaavec la sortie plate y := (.r1, ;r:-d. Dès que Ll1 tion endogène dél1nie avec la sortie pJatc est singulière et son inverse:
Il' est
t
pas définie. Cependu11l, si nous considérons des trajectoires de la forme
;!J(I):= ((T(t), p((T(t))), avec u et p fonctions régulières, nOlis trouvons que:
ÛI
dp (ut ( )) ·at .( ) ccr l (rU)
Ainsi. nous pouvons prolonger t
t
I-é
_cl)) ( cr (t),
et !-;.
th !12
;l1'21J 1
.lit (jJ(u(f;), Û( 0, üU)) partout en Lemps avec:
)), p(cr(t)), â(t):
Systèmes plats cie dimension finie
147
La planification de trajectoire se rail alors de la même façon que précédemment: en effet. les fonctions cr et p et leurs dérivées sont contraintes au départ et il l'arrivée.
Ailleurs clics sont libres. Sur cet exemple. le passage de la singuliJrité est intimement lié à une symétrie du système. Les équations: 1I1 •
sont linéaires en 111 ; la transformation t 1---7 i = cr (1 ) et u 1 ih III / &(1), où seuls le temps t et la commande Il l changent, laisse les équations invariantes.
3.3.2. Bouc/age et éqllil'alence 3.3.2.l. De /' éqIIi\'(I1ence lUI bOIfclage
La relation d'équivalence que nous avons déllnie est très naturelle: c'cst essentÎellement une COlTespondance entre les trajectoires fondée sur un point de VLlC boucle ouverte. Nous allons malmenant aborder la boucle fermée en interprétant l'équivalence en termes de bouclage. Pour cela. considérons deux dynamiques: i
!1 et
. LI ) • g(y,p).
(:1", LI) E _\:" x U c (y,u) E
1~ ~<
V
lP~ I! >< lP~ III
c lP: r
;.(
lR: 8
Dam; (lotre formalisme, elles cOlTespondent aux deux systèmes (X , Ci), Ol! F et Ci sont déf1nis par:
U
. F)
CV x 11 x
F(:r.l1.,
1/1, ... )
:= (f(;r. Il),
'/11, I?, ... )
Supposons maintenant que ces deux systèmes soient équivalents. c'est-à-dire qu'ils aient les mêmes trajectoires. Est-ce que cela implîquc que notls pouvons aller .f'(.r, If) au système .Ii = g(lJ, 1.') par tin bouclage (dynamique évendu système:i~ tuellement) :
.:. = o(.r. ::. l'), = /.'(.r.::, v)
.: : EZe
lP~{l
if
ct l'tce ,'ersa? La question peut pilraîlre stupide au premier abord puisque tlll bouclage ne peut qu'augmenter la dimension de "état du système. Cependant., llOUS pouvons lui donner un sens si nous acceptons de trilvailler à des intégrateurs purs (rappelons que cela ne change pas, d'après la définition 3.6, le système).
3.6.- S/ljJpOS011S que :Î' = f(:c, u) el Ji = g(,Ij. u) SO΀.'1It équÎ\'(tlell(s. .i: = f(.l', Il) pc/(f ètrc lrall.~'lom/(J par UH bOllc/age (dynamiqIfe) el challgement
THÉORÈME
A/ors
de coordonnées ell :
148
Commandes non linéaires
pOlir lm enlier fl assez
grand.
1111 'e rse111 l'Il t,
Ji
g(/J, v) peul ëlfl' lraJ1.~j'()rmé par WI
bOllclage (dYllamique) et change1llent de coordol1nées l'JI :
.i· p01lr 1111
= f(:r,
ù ll
'lU
ellfÎer Il assez. grand.
92}. Notons F et G les champs de vecteurs infinis représentant les deux systèmes. L'équivalence signilie qu'il existe une applicaLion inversible:
Démonstration [FL199, MAR
c"D(IJ, ü)
=
(tp(y.
o(y. fi}. C]'(y, [1),
o •• }
telle que: [3.24J 1 Posons:ïJ := (!J. U, 1)1 • ••.• /Jil) et 1.LI V 'I + • Pour l' assez grand, (respectivement cd dépend uniquement de Ü (respectivement de fi ct 1/1). Avec ces notatÎons, q, s'écrit:
{I>(.ij. ID)
(y(fJ). n(ü, /li), à(y.tfr), ... )
et l'équation [3.24] implique en particulier: f(y(û), Cl(Ü. lU))
Di.p(fj) ..q(jj, 'ID)
[3.25]
où [; := (g. 1'1, .... ok). Comme
est inversible, cp est de rang plein et donc peut être complétée par une application 7ï pour obtenir un changement de coordonnées:
Considérons maintenanL le bouclage dynamique: CI ( ~b - 1 ( .1; •
U) ) )
D rr ( (/) -] (.r ~ ,:; ) ).lH 1) - 1 (:t ~ .:; ). /li) ) qu i transforme :i~
f (:l'. 11) en :
Utilisant [3.25], nous avons: f(i;J(ü). f\'W. W))~ = ( Drr(ü).g(ü) w)
(DY(;ij)).,._, . q(I). w) Diftij)' .'
Ainsi .P et .iJ sont CfJ-conjugués, ce qui termine ln preuve. Un échange des rôles 0 entre .f et 9 conduÎt au bouclage dans l'autre sens.
Systèmes plals de dimension finie
149
Comme un système plat est équivalent à un système trivial, on obtient immédiatement le théorème suivant. COROLLAIRE 3.2.- Ulle dynamique plate es/liJ/éarisable par bOllclage (dYl1amique) el changement de coordon11ées.
3.4.- Comme le montre la preuve du théorème ci-dessus, de nombreux bouclages réalisant l'équivalence sont possibles, iJutant que de fonctions Ti. Noter que tous ces bouclages ne sont pas déflnis et explosent en général au point ail lP est singulière (c'est-ii-dire là ail son rang chute). Plusieurs détails sur la construction de bouclages linéarîsants à partir de la sortie el les Ilens avec l'algorithme d"extension dynamique se trouvent dans [MAR 93bJ. Noter ennn qu'il est SOllvent possible de construÎre, pour les systèmes plats. des bouclages dits quasi statiques. Ils n'ajoutent . pas d'état supplémentaire et permettent de linéariser la dynamique sans nécessairement passer par une forme d"état explicite. Pour ulle excellente référence sur le sujel. nous renvoyons à [DEL 981. REMARQUE
EXEMPLE 3.5 (AVION À Ol2COLLAGE l'exemple 3.3 que la dynamique:
,1:
-111
VERTICAL (SUITE)).-
Nous Sl.1vons de
sÎu () + ê1/.2 l'OS 0
admet comme sortie plate: 11 = (:1: - Esinf),.::
+ .scosO)
Elle sc lnmsforme en :
avec le bouclage dynamique: ~
-V1
III
E, + -1
el'
sin
e+ V2 cos 0 + elP'
cos 0 + 112 sin ()
+ 2~iJ)
le changement de coordonnées:
La seule singularité de ce bouclage esl quand ç = O. c'est-~l-c1ire iif+Uh -1- 1)2 = [) (physique, l'avion est en chute libre). Notons enfin que l'avion il décollage vertical n'est pas linéarisable par bouclage statique: îl sumt d'appliquer le théorème 3.4.
150
Commandes non linéaires
3.3.1.1, BOl/clages endogènes Le théorème 3.6 assure l' exislence cl' un bouclage tel que:
f (:r, N ( :1', ~. LU))
:1'
[3.26aJ
.: = o(.1~:::,
[3.16bl
s'écrit, à un chungemenl de coordonnées près: li
= g(y,
b
uI ,
Mais 13.171 eSl équivalent il .Il 1ui-même équivalent il i: conduit à lu définition suivante. DÉFINITION U
[3.171
/0
JJCij, 'LI) (voir la remarque après la définition 3.6), Ainsi, [3.161 est équivalenl à :i' = f(:D~ 11). Cela
3.10.- Considérons III dynamique:i:
= f(:1:, li).
Le bouclage:
= fl',(.T, _, w)
.: = a(:r,~, w) l'sI dit
endogène si la dynamiqlle
l'II
boucle Olll'erte .i:
=
f(:z:,
11,)
est équil'a/ente il la
dy1la11lique en bonclefermée: j. =
f (;D, 1\ ( :l', ~. w))
.: = a(:/:,
z, lD)
Le terme endogène traduîLle fait que les variab1es du bouclage z et III sont, en un certain sens, engendrées par les variables originales :Z:, fi (voÎr [MAR 92, MAR 94a1 pour plus de détails sur ces bouclages).
3.5.- Il est aussi possible de considérer, sans coût supplémentaire, des bouclages généralisés dépendant nOIl seulement ùe t.v, mais aussI des dérivées de 'll'. Les bouclages quasi statiques en font partie rDEL 981. REMARQUE
Nous avons aÎnsi une caractérisation encore plus précise de l'équivalence cl de la platitude (voir théorème suivant). THÉORÈME 3.7.- Deilx dynamiq/les . .1: = f(.1:. /J.) el Û = g(y, v), SOIlI éqttiw.tlelltes f(:I:, 11) peul êlre trall.~rom/(/ pur bouc/age endogènl' el changesi et seillement si .i: me11f de coordo1lllées i:'1! :
b'l pOlir 1/11 l'Illier 1/ assez.. el rlcipmqlleml'I/I.
= Hl
[3.181
Systèmes plats de dimension finÎe
151
COROLLAIRE 3.3.- Une dy1lal17ique est plaie si cf selilement si elle est linéarisable par bOllc/age dYllamique endogè1le el clwllgelllenr de coordo1l1/ées.
Une autre conséquence élémentaire et importante du théorème 3.6 est qu'un bouclage dynamique endogène peut être défait par un autre bouclage endogène (voir résultat suivant). COROLLA 1RE
i
3.4.- Considérons la dynamiql/e:
= f(:l', H(:r,::, w))
.: = a(:r, _, ur) 0// : li
h: ( :1',
::, '1,1))
Z = a(:r,::, w)
est /lI1 bOllclage endogè1le. Elle pelll être Irtlm.'/(}f/IJù par bOllclage emlogènc cn: .1:
= f(:r, 1.1),
li =
111,
w
f3.291
pOlir l/ll emier f-I asse::, grand.
Cela montre clairement les propriétés préservées par équivalence: les propriétés qui sont préservées par l'ajout d'intégrateurs purs et les èhangemenls de coordonnées. en parLÎculier la commandabilité.
Un bouclage endogène est réellement réversible, à des intégrateurs purs près. Tl est lmportant de mentionner qu'un bouclage qui esl im'ersihle dans la terminologie standard - mais peut-être malheureuse - [NU 90] n'est pas nécessairement endogène. Par exemple, le bouclage:; v. 'li = u agissant sur le système scalaire .i: = 11 n'est pus endogène. En effet, li] dynamique en boucle fermée 5: = v, .: u n'est plus commandable, ce qui est impossible à changer paf n'importe quel autre boucluge! 3.3.2.3. SuÎl'i de
trc~iecloires
Un problème important en pratique est celui du slIh'j de trqjeL'lOires: étant donné une dynamique .1: = f(:l', li), nous cherchons un contrôleur cap<'lble de suivre n'importe quelle trajectoire de référence l' 1-+ (:r,,(t), 11. 1.(0): il convient d'ajouter à la commande en boucle ouverte une correction ~1l en fonction des erreurs sur l'état ~:r :t :f,.. Pour les syslèmes plats, une méthode systématique existe pour calculer ~1l à partir de ~;r el de la trajectoire de référence. Si la dynamique admet comme sortie plate :u h(.r~ ft), nous pouvons utiliser le corollaire 3.2 pour la transformer par bouclage dynamique (endogène) ct changement de coordonnées en y(/I+l) w. Avec:
v
.IJ}."+ 1) (1.) - I~ ~Ü
t 52
Commandes non linéaires
ct une matrice gain A- dont les valeurs propres sont à parties réelles positives, nous obtenons tIne dynamique de l' ell'eur asymptotiquement stable:
(.T,.(t), TiI'(f.)) et Ü := (!J.li, ... , ]Ill) CL ~~ représente
où .lJ1'(i.)
f. -
~J.(t).
Une telle loi de cOlllmande assure le suivi asymptotique. Il existe une transformation inversible:
il> ( y)
(
qui conjugue les champs inllnis F(:L n) := (I(a:, u),
Il, Ill,
ct GUï)
(U,!)l, ... ).
De la preuve du théorème 3.6, cela signifie que: :1'
~D)
=
où nous avons utilisé le résultat classique de factorisaLÎDI1 : .1
Rp(1-!~Y);=
D
tD.Y)df.
•/ 0
Rn 0", w, D.1-,
~tll):= t .In
Dn·(Y
+ t~Y, w + lD.w) dt
Comme D.y.......;. 0 quand t -, (x), cela signifie que.1: -" :/;,.(1.) et 11. -;. 'U.r(l.). Il est clair qu'un tel algorithme de suivi a des perfoI1mmces qui vont se dégrndant (robustesse, sensibililé aux eneurs) au furet li mesure que l'on s'approche d'une singularité de la transforma(Îon y, c'est-il-dire de (1) et donc de la sorlie plate. Nous terminons ce paragraphe par quelques commentaires sur l'utilisation de la linéarisation pur bouclage. Un bouclage linéarisant doiL toujours être nourri par un générateur de trajectoires, même si le problème original n'est pas posé en termes de suivi de trajectoires. Supposons que l'on désire stabiliser un poÎnl d'équilibre. L'application brutale d'un bouclage linéarisant sans planification de trajectoires
Systèmes plats ùe ùimension finie
153
conduit il des commandes très importantes si l'on est loin de l'équilibre. Le rôle du générateur de trajectoires est de définir une lrajectoire boucle ouverte raisonnable ramenant progressivement le système à r équilibre - c'est-à-dire satisfaisant cenaines contraintes sur l'état et/ou la commande - que le contrôleur linéarisant devra suivre.
3.3.2.4. Suil'i de trqjec{oires : sing,lI/ad/t's c/ échelles de temps Le suivi de trajectoire est possible uniquement IOÎn des singularités de la transformation engendrée par la sortie plate. Si la trajectoire de référence passe près ou traverse la singularité il n'est plus possible de procéder comme ci-dessus. Cependant, tout n'est pas perdu comllle le montre l'exemple qui suit Il peut être utile parfois de changer le paramétrage du temps.' L'intérêt est alors. dans le nouveau temps, de retrouver une transformation régulière et inversible el d'assurer ainsi le suivi exponentiel. EXEMPLE 3.6.- Soit la trajectoire de référence 1 !I,.(I) = (a(t).p(a(t)) pour l'exemple 3.4. Considérons le compensateur dynamique dépendant du Lemps 11 1 çà (i) el ~ = UI à (t). Le système en boucle fermée s' écri t : c
(."
avec' pour d! d(J. Une formulation équivalente est:
Pour E, loin de zéro, le bouclage statique mique:
1I2
=
-<1'2 /'1
dans le temps (J. Si le système reste proche de sa référence. certain t, à(1) = O. Prenons: ()-Sigll(cr)o.l(E,
1)
- signe(u)a] (:",(
(./.2(:1:1 -
-rI])
dO"
)
(/2(.t':1 -
~
;::::; 1. même si pour
[3.30n]
a) -
)!t,::! linéarise la dyna-
p)
l3.30bj
avec al > Cl ct ([.2 > O. Alors la dynamique de l'erreur devient exponellLielIement (). stable en échelle a (le Lenne signe( 0") est pour le cas à Des calculs similaires sont possibles pour les robots mobiles IFLI 9Sa. FLI 97u. GUI98j. 3.3.3. CaractérisatÎol1 de la platitude
3.3.3.1. La question de base L'existence d'un critère calculable pour décider si j. = f (:1', Il ). :1' E lR:", /1 E lRI1l est plat reSle une question ollverte. Cela signifie qu'il n'existe pus de méthode systématique pour construire une sortie plate. La situation est un peu analogue il celle
154
Commandes
nOIl
linéaires
des fonctions de Lyapunov ou des intégrales premières uniformes pour un système dynamique. Elles sont très utiles il la rois d'un point de vue théorique et pratique bien qu'elles ne soient pas systématiquement calculables. La principale diffkulté dans le calcul d'une sorrie plate y=h(:I:, 11, .•• ,1/.(/.)) réside dans sa dépendance par rapport aux dérivées en 1/ d'ordre r arbitrairement grand. Savoir si cel ordre J'admet une borne supérieure (en termes de Il et 111.) reste une énigme. NOLIS ne savons même pas, pour une dimension d'état et un nombre de commandes donnés, si une borne finie existe. Par la suite. nous dirons qu'un système est l'-plal s' il admet L1ne sortie plate dépendant de n dérivé au plus '1' fois. Pour îllustrer le fait qu'une telle borne doit être au mieux linéaire en la dimension de 1'élat, considérons l'exemple suivanl : '1·(L\~) ~
".(CII) = l' 1',1
"2
.L
avec
0']
-
,/.
l2
> 0 et n2 > O. Il admet comme sortie plate: 01
YI =
:l'~1
-+
V( )1 (ul-i) (i~l) L -1 .t: j 1l 2 • i=1
Ce syslème est l'-plat avec /' := lllin( (\ l, t:i(2) -1. Nous conjecturons qu'il n'existe pas de sottie pinte dépendant des dérivées de Il d'un ordre inférieur ou égal ù r - 1. Admettons qu'une telle borne 11.(lI l m) soit connue, le problème de caractériser la p-platitude pour un p ~ Id'll. m) drJHJ/(' peut être résolu uU11loÎns théoriquemenl. Cela revient (voir [MAR 92]) tl trouver fi) fonctions hl, ... , h rn dépendant de (.1:: 'H, ...• u(p)) tel que:
où IJ := Il + pm. Cela revienl il vérifier rintégrabilité d'un système aux dérivées partielles avec comme condition de transversalilé: dh(IJ)
= 0
du) 1\ dh 1\ .,.1\ dh(l')
0
d.Ti 1\
dll 1\ ... 1\
i = 1. ... ,11
.1
= 1, ... , m
dh 1\ ... 1\ dh(") =F () où dll(/I) représente d,,~/l) 1\ ... J\ clll::/). Il est en théorie possible de conclure par un critère calculable lBRY 91, POMM 781. bien que les calculs généraux soient inextricables en pratique. Cependant, on peut espérer utiliser ln structure spéciale du problème pour mettre en évidence des simplifications majeures. En bref, tout reste à faire.
Systèmes plars de dimension nnie
155
3.3.3.2. Résullats COIUlllS
3.3.3.2.1. Systèmes linéarisables par bouclage statique Nous avons vu qu'un tel système admettait une forme normale dc Brunovsky. 11 est donc plat. les sorties de Bruilovsky, fonction de :r uniqucment, forment alors une sortie plme. La condition nécessaire el sufflsanLc fHUN 83 . .lAK 801 du théorème 3.4 est de nature purcment géométrique. Noter qu'un système plat n'est pas, en général, linéarisable par bouclage statique (voir r avion à décollagc vertical 3.3) sauf pour les systèmes avec une seule commande.
3.3.3.2.2. Systèmes il une seule commande Avec une seule commandc, la linéarisation par bouclage dynamique implique la linéarisation par bouclage statique lCHA 891. Ainsi la platitude est, dans ce CLlS, entièrement ci.Iractérisée par le théorème 3.4. 3.3.3.2.3. Systèmes affines en commande de codimension 1. Un systèmc de la forme: 11-]
;i' =
.Ii-lT) + L
/ljfjj(.r)
:i=1
c'est-à-dire avec une commande de moins que d'état est O-plat dès qu'il est COl11mandable fCHA 89] (plus précisément fortement accessible en :r). La situatioIl se C0111p1iquc très sensiblemenllOl'squc la dépendance en 1.1 n' est plus amne (voÎr [fvlAR 93aJ pour des conditions suffisHntes de nature géométrique). 3.3.3.2.4. Systèmes affines cn commande h deux états et quatre commandes Des conditions nécessaires et suffisantes cie I-pIatilude de tels systèmes se trouvenl dans lPOME 971. E11cs donnent une bonne iclée de la difl1cullé calculatoire du test effectif de la J'-platitude même pour r petil.
3.3.3.2.5. Systèmes sans dérive Pour les systèmes de la forme :Î' nibles rMAR 94b]. TllÉORÈrvlE
:L;:l .ld:r)ui d'autres résultats sont dispo-
3.8.- Le système:
est pIaf si el seulel11ellf si le rang génériqlle de El. esr égal il k +- ~ pour k où Eo {fI, l:?}, E,,+J { [E"., El.. ]). k D.
O.....
JI ~:!
156
Commandes non linéaires
Un système plat sans dérive à deux commandes est toujours O-plat. Un te1 système satisfaisant des conditÎons supplémentaires de régularité (voir lNJUR 941) peut être mis pllr bouclage statiquc régulicr ct changement de coordonnées sousforme chaÎ1Iée
[MUR 931: 'lIJ,
:l'Il-lUl
la sortie plate étant alors U = (:1'1 , :l')I ). THÉORI":.ME
3.9.- Le système salls dérÎI'e,
'H
états,
'/J
r
2 COlll11wlldes MAR 950.
AJAR 95bj:
.1:
L
Udi('V),
:r E ]!fIl
i '--:-1
esl plat dès qu'il L'st c011lmondable (c 'esI-b-dire ./iJrfemellt accessible pOlir presque
lOfll :r).
Pltls précÎsémerll. il est 0-17101 si '/1
est hllpair et I-plat S; II- est }Jail:
Tous les résultats ci-dessus utilisent les systèmes différentiels extérieurs et s'appuient sur certains Lravaux d'Elie Cartan.
3.3.3.2.6. Ccrtains systèmes mécaniques Lorsque le nombre des commandes (c'est-à-dire de moteurs) est égal au nombre de degrés de liberté géométrique moins lIll, une caractérisation très intrinsèque d'une sort je plate ne dépendanl que des variables de configuration est disponible. Duns [RAT 98], l'existence d'une tc])e sortie plate est caractérisée il partir de la métrique issue de r énergie cinétique et de la codisLributÎon des commandes.
3.3.3.2.7. Une condition nécessaire Commc 011 ne suit pas si la platitude peut être testée de manière nnie, voir paragraphe 3.3.3.1, il est souvent très difficile de ll1ontrerqu'un système n'cslpas plat. Le critèrc de la variété réglée donne L1ne condition sufllsante simple. 11 permet de montrer de façon élémentaire que certains systèmes ne sont pas plats [ROU 951. THÉORÈME 3.10.- SUppOSOIlS que :i: f(:/:, 11.) soÎt plat. La projection sur le p-espace de la SOli.\'-I'arÎt'Ié d'équation p = f(:l'. '/1) da1/s le (p, 'I.I,)-espace (.1: est ici lm paramètre) eSllllle sOlls-l'ariété réglée pOlir 10111.1'.
Ce critère signifie que l'élimination de 'II des n équations :i' f(:r: 'li) conduit m équations F(;r,.z.) = (] avec la propriété suivante: pour tout p) tel que F(:r,p) = 0, il eXiste (1 E 1Ft", a. i= 0 tel que:
il
1/
Systèmes plaIs de dimension Ilnie
F(:r, p)
157
oest donc réglée puisqu'elle contient la droite passant par p de direc-
tion n. La preuve de ce résultat est directement dans l'esprit de l'article de Hilbert 2 [RTL 12J qui montre que l'équation de Monge n'cst pas résoluble sans intégmIe. Une version restreinte est, proposée dans lSLU 931 pour des systèmes linéarisables par des bouclages dynamiques très parliculiers (prolongements purs).
c::n
li f(:I':' -li). Génériquement. f est de rang ni = diln(u) par rapport il II (sinon, il suffir d'enlever ccrtaines commandes). Aussi. l'élimÎnation de II des équations est possible. Cela conduit il Il m équations ne faisHnt intervenir que:1' et p, F(.T. p) O. Nous avons la contrainte sur les trajectoires autour de Ur~ fi) : F(:f: 5:) = O. Si le système est plat alors: Démolls/ra/ioll. Soit (.r, iïjJ). tel que
Û' .. "
.r
y(IJ))
où y est une sortie plate et J'application '-P une submersion, Ainsi, il existe (y, y, ;V(q)) lei que ,l' = tp(ü, y, ,.. ~ y(q}), Quelle que soil la fonction régulière du temps y, on a l'identité suivante: h"
1.' "j{rJ+ 1}) Y!/"ll,
()
En prenanl une fonction li dont les dérivées en t 0 jusqu'à l'ordre q sont impoy{I') (0) = r/"). l' 0, .,,~ q et y{q) (0) = 17«(}) + ç OIJ E, est un veCleur arbitraire de JR:/J), on a, en particulier, l'identité suivante pour tout E, E iR:/IJ :
sées
F(;r,:r +
Ç)
0
où YY''l) est évalué en (H, li, .. " U(I])). Par le poinL (:r, fi) de F'(:I'.])) 0 passe l'cspace affine paraHèle il r image de !.puÎI/). un espacc vectoriel de dimension au plus égale à 'J/I. et au moins égale il 1. 0 Ce résultat est particulièrement simple. Il constitue cependant le seul moycn de montrer que certains systèmes avec plusieurs commandes ne sont pas plats. EXEMPLE
3.7.- Le système:
:h =
'UI,
TI'est pas plat, car ]a SOlls-\Tariété JJ:3 fi E ]p~;I, a =f. CI, leI que:
==
JJ7
+
En effet. le terme cubique en ,..\ jmplique
donc (1;1
= o.
fi']
n'est pas
: il n' existe pas de
= O. le terme quadratique
(f)
= 0 et
158
Commandes non linéaires
EXEMPLE 3.8.- Le système :i':J j'T + ne définît pas une sous-variété réglée de pas plat dans lPL En revanche, il déllnit une sous-variété réglée de C:J : il est plat dans C, avec comllle sortie plate:
1R~~1 : il n'est
!J
= (,T~!
- (il
:i'']
EXEl'vIPLE 3.9 (LA BILLE SUR UNE RÈGLE lHAU 911).- Considérons le système de la ligure 3.5 décrit par les équations: r
(1111''2 -+.J + J1,)ii
-13g sin ()
=ï
-
-+ Bl'iP
'];tnrj·Ô
mgrC'osO
oi! ('/'.i', 0, (~) est l'état et T la commande. En tant que système à une commande. nOlis savons qu'il n'est pas linéarisable par bouclage statique et donc qu'il ne peut pas être plat (voir paragraphe 3.3.3.:2.:2). Cependant, il est très instructif de le montrer avec le critère des variétés réglées. Cela permet de comprendre pourquoi la caractérisation des systèmes plals à une seule commande est une question résolue.
Figure 3.5. La bille ml/le Sims glisser Silr la n"gle d01/l
L'élimination de i'
l',.
il"
T
011
pilOie l'illclil/aiso1/
donne: - B!] sin f)
-+ Brrp Ô
110
qui déllnil ulle sous-variété réglée de l'espace (.,.., 'Ù r , iJ, "0) pour chaque r, Vl'~ O~ V(J. On ne peut pas conclure directement. Cependant., le syslème est équÎvalenl à: sin ()
-+ Bd)!.
qui ne déHnÎL pas une sOlls-variété réglée pour chnque (r, v,., 0). Donc. ce sysLème n'est pas plaL. L'exemple qui précède montre clairement pourquoi les systèmes plats à une commande coïncident avec les systèmes linéarisables par bouclage statÎque. Pour un système lllonoentrée plat. l'élimination de 1.1 conduit à une sous-variéré de dimension :1 dans l'espace des p = :i:. Or, les seules sous-variétés réglées de dimension 1 sont des droites. TI est alors toujours possible de faÎre un changement de variable sur :7: pour avoir des droiles parallèles il une direction flxe, indépendante de:r: et ainsi se rumener fI un système équivalent avec un état de moins et toujours une seule commande. On
Systèmes plats de dimension finie
159
se ramène ainsi de proche en proche. par changement de variables eL élimination, à un système avec un étut et une commande. La sortie plate cst alors l'étal monodÎmcnsionnel restant. Cette simplc procédure montre clairement que le système est linéarisable pour bouclage statique. Pour lin système plat à deux entrées, r élimination de li conduit il une sous-variélé de dimension 2 qui n'est pas en général un plan et donc n' LI aucune raison d'être un espace affine. Le faiL que la géométrie des variétés réglées de dimension 2: 2 soit bien plus complexe que celle de dimensÎon l explique la clinërencc entre le cas monoentrée et le cas ll1uJtie11lrée.
3.3.4. COlllmande optimale Considérons le problème classique: .1'
ll~:n J (u) =.1, avec:i:
L(:r(t), Il (t)) dl
= f(:r. 'li) . .1'(0) = ((. et :r:(T)
b, Ol! a. b ct T > 0 sont donnés.
Il) soit plat avec .Il
Supposons que :i' plate:
= 11(.1', II~ .... H(I'))
comme sortie
La résolution numériquc de lllÎUI! .1('11) nécessite la discrétisation de l'espace d'étaL une approximation de dimension finie, Une autre façon c~ll1siste à discrétiser la sortie plate. Comme au paragraphe 3.3.1.4, posons !Ji (l) L~\' ,Ai.i /\i (t). Les conditions initiales et Ilnales sur :r signifient que les AU sont dans 11n sous-espace affIne. noté F. Ainsi, nous sommes conduÎts ml programme non linéaire suivullt: ·T
11IÎI1 AE\'
.1(11)
!
.n
L( i.p,"( !h···,!J,(11)) . CI,,( .lJ......Il (II))) ( If
Cette méthode a déjil été lILilisée pour la génération de tmjectoires optimales: elle cst fi la base du code NTG développé au Caltech IIvlIL 00. MIL 02, NIE 98, PET 01 b, PET 021. Elle peut également être uLilisée pour lu commande prédictive Ol! optimale IOLD 02, PET OlaJ. Le principal intérêt réside dans des gains importants en temps de calculs et une meilleure stabililé numérique. En eHet, la quadrature exacte de la dynamique cOlTespondant à la discrétisation exacte de la dynamique grâce il des signaux de commande bien choisis avec (Y évite les problèmes usuels liés il r intégration de :î: f(.17. Il) et à la contrainte fInale = b.
160
Commandes non linéaires
3.3.5. Symétries 3.3.5.1.
SOr/il'
plate Îll\'ar;antc
Soit une dynamique .1,' f(:r: v), (;v, n) E )( >< U c IPi.n x lR~m. Selon le pamgraphe 3.3.1. elle engendre un système (F 9J1). où 9]1 := X >< U x et F(:r, 1/. 11\ ... ) (f(:r. li), u l , 11.'1 • ••• ). Au cœur de notre notion d'équivalence se trouvent les applications endogènes qUÎ envoient les solutions d'un système vers celles d' lin autre système. NOLIS aHons maintenanl considérer une sous-classe importante de transformatÎons endogènes, celles qUÎ envoient les solutions du système sur d'autres solutions du mi;ml' système. DÉFINITION
dll syslème
3.11.- Ul1e l1ïl11.!diJ17uarioll endogène
: 9)1
f-----i.
911 l'sI ulle symétrie
CF', 9]1) si:
'd~:= (:r,
Il.111 • ... )
E ml,
F(clJ!l(ç))
D(:P!l(~)' F(ç)
Plus généralement, nous pouvons considérer un grollpe de symétries. c'est-ù-dire une collection «T)q)gEG de symétries Vg) ,g2 E G, (P g1 0
EXEMPLE 3.1 () (LA VOlTURE).-
:1;
;i: = 111 COR f)
li 1
sin f)
admet, comme groupe de symétries, le groupe S'E(2) des déplacements du plan (:l\ y) préservant l'orientation: chaque translation de vecteur (a, lJ)' et rotation d'angle n conduit ù Il.l trallsformndon endogènc :
x = .Tcosn 1-
=
,1;
sin Q'
ysil1O'
+a
+ If l'OS il + b
(-:-)=(1+c\,
=
!JI
qui est une symérrie, puisque les équations d'état restent les mêmes:
Systèmes plats de di mcnsÎon finie
161
Ce système est plat avec.: := (;1:, 'JJ) comme sortie plate. Evidemment, une multitude de sorties plates est possible comme:; := (:r,l) + :i:). Cependant, .: est un choix bien plus naturel quc 5, car :::; cOI1'espond aux coordonnées cartésiennes de r essieu arrière alors que la seconde composante de 5 n'a physiquement aucun sens en tant que somme d'une position et d'une vilesse. Une façon plus formelle serail de dire que :; préserve les symétries alors que Z. ne les respecte pas. En fait, chaque symétrie sur le système induit une transformation sur:::; :
Cette transformation ne fail pas apparaître les déril'ées de :::;: c' est une transformation ponctllelle. Cette transformation engendre une transformation endogène (.:, .:, ... ) 1--;' (Z, Z, ... ) par simple prolongement. Selon [ORO 861 nous dirons qu'une telle transformation qui est le prolongement d'une transformation ponctuelle est holo-
nome. La transformation induite de façon similaire sur .: :
n'est pllls une transformation ponctuelle (elle comporte des dérivées de ':). Elle n'est pas holonome. Soit un système (F, ml) admeltant une symétrie cI> (respectivement un groupe de Il (,'/.:, u, ... ,11(1])) symétries (q~[J)[JEG). Supposons que ce système soil plat avec !I comme sortie plate. Notons w := (11., il, i;, .... ) la transformation endogène engendrée par h. L'exemple ci-dessus nous suggère la dét1nÎtion suivante de sortie plate invarÎante.
3.12.- La sortie plate li l'SI cHte invariante par rapport à la symélrie cp grollpe de sYll1ét ries (cI>u )f/EG) si el se/llell1elll si la 1rall.~lorl1laIÎoll W 0 cI> 0 \f.i-I l'sI holonome (respeclil'emenl les 'rall.~rormalimls W 0 (Pt] 0 \f.i-I S01l1 hololJomes pOlir tOllt g E G).
DÉFINITION
(respectÎl'elJll>111 aIl
Sc pose alors la question fondamentale suivante: soit (cI> il )fjEG un groupe de symétries d'un système plat. Sous quelles condiUons existe-t-jf une sorUe plate invariante par rapport li un tel groupe? Cette question peut être vlIe comme le cas particulier du problème général suivant: soit un système différentiel SOifs-déterminé :i: f(:r~ 1/.) = 0 avec un groupe de symétrics; peut-il être réduit ü un système plus pelit? Contrairement au cas déterminé où ce problème il été étudié et résolu depuis longtemps, 11 semble que. pour les systèmes sous-déterminés, cette question a été très peu étudiée [OLV 93].
162
Commandes non linéaires
Il est aussi clair que cette question est directement liée au problème du suivi de trajecLoire invariant (voir [ROU 991 pour une première étude du problème et quelques résultais préliminaires). 3.3.5.2. Sortie plate, pOleHtiel et degré de liberté de jauge
Symétries et potentiel sont des concepts très importants en physique. Pour clore ce chapitre, nous ne pouvons pas résister à la tentation de montrer que la problématique des systèmes plats s'inscrit très naturellement dans ce cadre. Les équations de Nlaxwell dans le vide indiquent que le champ magnétique JI est li divergence nulle, v· JI = O. En coordonnées euclidiennes (:1;1, :r2. ;1::3). cela conduÎt au système sous-déterminé aux dérivées partielles suivanL:
Une observation-clé est que ]a solution générale de ce système dérive d'un polentie] vecteur II V x .4: la contrainte V . H = 0 est alors automatiquement vériflée quel que soit le potentiel vecleur A. Ce potentiel paramétrise toutes les solutions du système sous-déterminé V . II Cl (voir rPOMM 95] pour une théorie générale dans le cadre Hnéaîre avec la notion de systèmes parmnétrisables), .4 n'est pas uniquc car il est déf1ni, à partir de H, à un champ de gradient près, le degré de liberté de jauge, Les symétries du problèmc indiquent souvent comment utiliser ce degré de liberté pour définir Ull potentiel A naturel de façon ü avoir les calculs les plus simples par la suite. La sÎtuation est très analogue pour les systèmes plals. La sortie plaLc est l1l1 potentiel pour le système différentiel sous-déterminé :i: - f(:r, u) = O. Les transformmions endogèncs sur la sortie plate correspondent aux degrés de liberté de jauge. La sortie plate naturelle est également détermÎnée par les symétries naturelles du système. Avec une telle sortie plate, les bouclages deviennent aussi invariants et donc préservent la physÎque du système. Une fuçon moins ésotérique et plus pragmatique pour se convaincre que la platitude est une notion qui s'articule bien avec la physique consiste ù parcourir le petit catalogue de systèmes plats du chapitre 5.
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Chapitre 4
Systèlnes plats de diInension infinie
Une façon cl' étendre la platitude aux systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles est la paramétrisatÎon explicite des tmjectoires. Bien que l'on soit 10În d'une déHnition claire de ]a platitude en dimension infinie (une voie intéressante semble être, dans le cas linéaÎre, la théorie des modules et la notion de li-liberté). nous traitons quelques exemples signitkatifs. Tel est l'objet de ce chapitre. La correspondance entre les trajectoires est il la base de la notÎon d'équivalence et de platitude. Une telle correspondance peut être étendue à des systèmes qui ne sont plus nécessairement gouvernés par des équations différentielles ordinaires. Des prolongements sont possibles pour les systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles avec commande sur lu frontière. Ici, 11.1 situation est bien mOÎns claire que pour les équations différentielles ordinaires. Cependant, de tels prolongements peuvent être très utiles pour la planification de trajectoires comme le montre rROU 01 a].
Le cadre théorique qui permettrait de regrouper sous une même fonne les exemples qui suivent reste à déflnir. Nous renvoyons à [FLI94, FLI 98a, rvIOU 95a] pour un début de formalisation dans le cas linéaire. NOLIS nous contentons de retenir ici le côté explicite des paramétrisations à l'aide de grandeurs jouant le rôle de sorties plates el dont la dépendance en temps est arbitraire. Chl.lpilre rédigé par Philippe MARTIN
cl
Pierre
ROUCHON.
170
Commandes non linéaires
4.1. Retards et équations des ondes 4.1.1. Exemples de base Soit le système différentiel à retard:
Avec y(t) := :r)
(1)
.1:}
(t), nous avons une paraméttisatlon explicite des trajectoires:
:r2(t)
y(t),
= :iJU).
v.(t) = ü(i
+ 1) + if(/. + 1)
y(t
+ 1)
Ainsi, !I(t) := :r, (t) joue ici le rôle d'une sortie plate quitte à utiliser dans les formules des valeurs avancées de y. Cette idée est étudiée en détail dans [MOU 95aj, Ol! la classe des systèmes li-libres est définie (8 est ici l'opérateur de retard). Plus précisément, rMOU 95al considère les systèmes linéaires avec retard de la forme:
JU(d/dt, li)w
=0
Oll J1! eSl une matrice (TI m) x n dont les éléments sont des polynômes en cl/dt et li et où W (IU1, ... , w n ) correspond aux variables du système. Un tel système est alors dît â-libre s'il est relié au système libre Il (,/JI ~ ... , UIII) engendré par 'ITI fonctions arbitraires du temps par: IL'
l'(cl/dt,â.o-1)y
!J
Q(c1/dI,8,
)w
avec P (respectivement Q) une matrice polynômiaux en cl/dt, li et â- 1 .
'Il
xm. (respectivement 'In x 'Il) à éléments
De nombreux systèmes linéaires sont â-Iibres. Par cxemple, :i'U) = .4:r(t) + Bu(t - 1), avec B) commandablc. est S-libre, avec la sortie de Brunovsky de :i: = .lb: + Bv comme sortie o-Iîbre. Les modèles suivants, très souvent utilisés en commande de procédés:
1, ... ,p
(.S est la variable de Laplace,
temps du transfert entre
Il)
et
I~! le gain statique, ()f le rctard et Zi)
Tl
la constante de
sont ()-libres [PET 97].
D'autres exemples de systèmes o-lîbres sont obtenus par l'équation des ondes.
Systèmes plals de dimension infinie
171
4.1.2. Barre Cil tors;oll [PLI 95] Lu dynamique en torsion d'une barre élastique avec d'un côté un moteur et de l'autre une inertie est, en variables réduites, une équation des ondes (voir I1gure 4.1):
rl;o(:r. t) = D,;8(.1', D./:O(O,t) = -1/(1.) 0;1;0(1, f)
:z: E [0,1]
= -üfrJ(l, t)
O(.r,1-) est l'angle de torsion et 1/(1) la commande proportionnelle au couple du moteur. Des formules de d'Alembert, O(:r, t) + t) + /1'(.1: 1), on déduit sans peine:
Oll
2rJ(t,:r)=-üU
2u(t)
ij(t
:t
l)+Ù(t
+ 1) + jj(t
:r+l)+u(l
1) + û(f
+ 1) -
:{'
l)+U(t
:1:+1)
Û(t - 1)
avec y(t) 0(1, t). Ce système est clairement t5-libre avec 0(1, t) comme sortie {)-plate. Nous renvoyons il [FLI 95, MOU 95bl pDur les calculs et l'application il la planilkation de trajecLOires (démarrage d'une machine tournanle).
Figure 4.1. Vile! harre ell torsÎolI arec illertie pOl/e/lfdle
Les paramétrisations précédentes utilisent des retards ponctuels. Sur certains systèmes où la vitesse de propagation des oncles dépend de l'espnce, îl est utile d'introduire des retards répartis, comme le montre l'exemple d'une chaîne pesante.
4.1.3. ChaÎl1e pesallte [PET (JI]
Les équations de ln dynamique d'une chaîne pesante (voir figure 4.:2) sont:
a2 -"\ fJt2
pour:.; E [0, L]
X(L, t) = D(I)
172
Commandes non linéaires
avec la commande au bord DU}. Je déplacement du chariot. Ce modèle est un modèle linéarisé autour de l'équilibre){ = D(tL _\"(.::, t-) étnnl l'abscisse il ,'insta11l t du mai1lon il la cote.::. Nous allons l1l0ntrerque la sortie plate est yU) := _.\(0, t) avec:
XC::) t)
j.-;r
1
= ')_ ... 11
(y(t + 2J.:/gsin~) + !lU
[4.1 ]
• ()
Une fuçon de faire est de vérifler a posteriori que, queUe que soit la fonction t J---io y(t} deux fois dérivable, le profil _\(.::, l) ci-dessus vérilie les équations de la dynamique avec comme commande: D(t)
,)1 .... 7f
Jo{-;r(y(t+ 2JL/gsÎnç) + U(t -
2!L/gSinE,)) dE,
Une autre manière de procéder est le calcul symbolique il IH Heaviside ou Mikusi1Î.ski. Formellement, cela revient tt uLîliser la transformation de Laplace en temps et à remplacer la dérivée en temps avec la multiplication par s, la variable de Laplace ct désigne la transformée de Laplace de X):
II est bien connu [WAT 441 que la solmion fondamentale de cette équation du second ordre qui n'est pas infinie en .:: = () s'exprime avec la fonction de Bessel Jo (il s'agit de la fonction de Clifford): Jo( - 2i;-;;;;8) Comme .10 (0)
1, on a:
,hd -2i;-;;;;s) X(O, 8)
_t(:, B)
Avec la représentation intégrale de Poisson:
.lo(f.).
=
1
/'71' (exp(i~sin()) +cx:p(-i~8inO))clB
27f . ()
on obtient:
_t(.::8) =
')~ ... 11
r-;r(pxP(2)J;/gssinB)i;(s)
./0
+cxp(-2~ssinB)û(s))d(J
avec lJ = X(OI 1,). Comme la transformée de Laplace de y(t + a) est exp(as)D, on en déduit direclemenlla formule [4.1]. L'opérateur qui il li associe le profil .,Xl::) t) est à support compact. Il est facile de construire des trajectoires allant d'une position stutique vers une autre en temps fini. Les formules [4.1] fournissent une réponse élémentaÎre à la planification de trajectoires.
Systèmes plaLs de dimension innnie
173
DU)
,
_Y(z,t) - ~ ,..... ,~ "--
,
Figure 4.2. Lu chaÎnc pe.\'ollte
4.1.4. Réacteur chimique avec recyclage Cet exemple est issu de [ROU OIb]. Dans [ARI 58]. Aris et Amundson considèrent une classe de réacteurs chimiques ne faisant intervenir qu'une seule réaction et dont le prototype (ici il -,. B et deux espèces il et B) est décrit sur la figure 4.3 sur laquelle nous avons ajouté un recyclage et une dynamique de transfert thermique représentée par un retard pur TQ constant. Sous des hypothèses classiques (agitation parfaite, volume constant, échange thermique instantané, thermodynamique simplifiée), les bilans de matière et d'énergie conduisent aux équations suivantes:
{
:~~U)
D(::~r - ::~U)) + DT<(.:'~l - TH) - .1~~t)) - 1'(:1'(1.), T(,?! 1 (-t) = D(1 F -1 (t)) + D R (1 (t; - TR) -1 (t)) + nr(:r(t), 1 (1.)) + CJ(t =
TCJ)
[4.1] La concentration de l'espèce A est notée :r et la température, T. La commande
CJ est directement proportionnelle à la puissance échangée avec l'extérieur. Les paramètres suivants sont supposés constants: C\', proportionnel à l'enthalpie de réaction: D, le taux de dilution; :1' F et TF, les composition el température d'entrée. Le recyclage est ici représenté par un retard pur TR (absence de réaction ct écoulement piston). Si V R est le volume du circuit de recycle et FR son débit, alors TH = VR/Fj{. Ainsi, le modèle du réacteur est un système non linéaire à retards. Pour son intégration, il est nécessaire de flxer la valeur initiale de :r ct T non seulement dans le réacteur mais aussi dans le circuit de recyclage. Ainsi. la condition initiale porte sur les valeurs de :r et T entre les instants -TH et () : elle est de dimension infinie.
Commandes non linéairc.s
174
FR
F :tp
T(t-Tu)
J:(I. -
TR.)
~B T(I.) Figure 4.3. Le réac{e/fr de Ar;.\' l'f Allllflldso/l al'(,c WI recyclage
Supposons maintenant que .l;(t) yU) soit fixé. Le bilan matière (la première équation de [4.21) donne une équation implicite définissant la température en fonction de y(t), Ù(t) et yU Tn) :
Le bilan énergie fournît le flux thermique: (J (t -
TC{ )
T(t) -
D (TF' -1' (t ) ) - D 17 (T (t -
ln) -
T (t ) )
(l
r
(il (t ), T (t ) )
d'oh:
QO)
i(t
+ Iq) Du(T(t
D(Tp - 1'(1 TH
+ TQ)
+ TQ)) T(t + IQ))
0'
r(y(t + TO), TU
11 s'en suit que Q(t) dépend de yU + TQ), Ü(t + TQ), jj(t + TQ), !J(t !l(t - '.!.TR + TQ) et ù( 1. TIl' + Tc}). Formellement, nous avons: Q(I)
A[.lJ(t -1-
TQ).
!l(t
ûU +
TQ). jj(t
+ TQ)Ù(l.
+ TQ), y(lTIl' + TQ)]
Tr;
Tii'
+
+ IQ),
+ Tq).
Ainsi, ln valcur de Q(t) sur J'intervalle [O~ ' •. ] dépend de la valeur de n(t) sur l'Întervalle [-'JTU + TQ." iq]. Pour trouver unc commande Q qui connecte deux états stationnaires en temps flni, il surfil alors de définÎr une fonction t f---;. yU) qui ne varie que sur [0, t •. ]. Dnns ce cas. la lransition vers le nouvel étal slationnaire commencera au temps -iq pour 1:.1 commande (J, au temps n pour l' Cl ,1.'. Le nouveau régime stationnaire .sera alors atteint au temps t .. pour :r, au temps L + TR pour T et au temps t", + 2Tn iQ pourQ.
Systèmes plats de dimension inflnie
175
4.1.5. SCI1JCnt 11011 holo1lome Un exemple de système plat est la voiture avec remorques (voir chapitre 5), la sortie plate étant la position de la dernÎère remorque. Lorsque le nombre de remorques est important, 11 est tentant, comme le montre la f1gurc 4.4, de considérer l'approximation conünue par le serpent non holonome. Les remorques sont repérées par une variable continue, 1 E [0, L] et un pOÎnt dans le plan 1\1 (l, t). Les équations aux dérivées partielles vérillées par 111 sont les suivantes:
Il
aA/11 Dl
= 1
all1
'
EJl 1\
Dj\! .=0
La première équation dit que 1 1-+ lU (l, t) est une paramétrÎsation en longueur d'arc du serpent (les attaches des remorques sont inextensibles). La seconde équation traduit les conditions de roulement sans glissement, les contraintes non holonomes: la vitesse de la remorque 1 est parallèle à la direction de la remorque 1. c'est-à-dire la tangente à la courbe 11---+ 1\! (1,1). TI est évident que la solution générale de ce système est tTès simple: J\l(1. i) = P(s(t)
1),
1E
[O. L]
011 P correspond à la tête du serpent avee s 1-+ P( s) une paramétrisation en longueur d"arc de la courbe suivie par P. De la même façon:
j\J (1. t.)
Q( 8(1")
+ 1)
1 E rO, L]
Q conespond à la queue du serpent. la sortie plate pour le système avec un nombre fini de remorques. Le lien avec la dimension finie est alors simplement le développe2::;>0 Q(i)(8)~. La formule avec le ment en série de Q(s + 1) en S l'Îll Q(s + 1) retard est cependant bien plus simple ct pratique. Avec beaucoup de remorques (typiquement plus de cinq), il est économe de ronder la planilkaLion de trajectoires sur 111(1, = Q(s(1) -1- 1). Ainsi, le modèle réduit du système, c'est-à-dire le modèle qui conduit aux calculs les plus simples, est ici de dimension infinie. Oil
n
4.1.6. Equatioll de Burger :mlls dijJils;olllPET 981
Elle représente un gaz de particules sans interaction et en mouvement inertiel dans un tuyau de longueur 1 :
uv + V-;- = 0 ü:r 01.1
v(OJ)
]a
.r E [0,1]
[4.3]
= 'LI(1)
Le champ;1: t--+ v(:r: t) est la vitesse des particules en vitesse d'entrée dans le tuyau u(t) > O.
.7:
E [D, 1]. La commande est
176
Commandes non linéaires
('0111'1)('
C
queue
Figure 4.4. Le sCI]JeJ1l 1/01/ /Jo[o//ollle: (lpproximatiol1 par lf1l ,\'Ys/hlle COmill11 tle [a voi/lIre avec beallL'Oltl' de relllorques
4
v(x t)
3.5
3 2.5
2
1.5
o
0
Figure 4.5. U1/ écoulement obéissl.l1l1 il l'équation de Bw:r:cr: /remsifiol/ d'I/lle V;/eSSC basse '/l 1 l'('}:\' tille pi/esse hOllte Il ::= Ll salis d/Oc tic cOllllJrcssiOlI
La vitesse en sortie est notée yU) v(1, t). Comme l'accélération de chaque particule est nuHe, sa vÎtesse reste constante tout au long de son trajet dans le tuyau, La parlicule qui en 1 sort admet comme vitesse y(t). Au temps /. '/y(t), cette même particule était à l'entrée, c'est-tl-dire en:t = O. Sa vitesse était alors de v(t l/y(t)).
Systèmes plats de dimension infinie
177
D'où: ,l} ( 1")
'li
U
1/ li (f ) )
Symétriquement, nous avons:
u(t)
y(t
+ 1/1I(t))
Plus généralement, nous avons:
yU)
uU
.r E [0,1]
:c)/u(l.), .1:)
(1
et:
+ :rla(f), :r)
v(t)
.1:
E [0.1]
Formellement, nous avons une cOITespolldance entre les trajectoires t. 1--:- /1(111.1), solution de 14.3J, et t I--i' yU). Cette correspondance est cf'fective dès que .IJ > () est (1 - :r)/y(t) croissante pour tout;1: E [0,/], c'est-ii-dire tel différenliable et t 1--;- t que pour tout temps t, Ù(t) > _y2(t). Cette condit.ion cOlTespond il des solutions sans choc ICHO 901. 11 est alors fucile de générer des commandes t 1-+ 'tl (t) allant des basses vitesses v(III,O) == Vi 0 vers les hautes vitesses v(liI, /)2 'VI en un temps T pas trop court en évitant la formation d'onde de choc (ce problème est typique des coups de bélier en hydraulique). Notons que les calculs restent valables pour tout VI
+ A(v)'/):I:
v(O, t)
()
:l'
E
de la forme:
[n, l]
u(t)
car les relations entre yU) = v(l, t),
y(t)
cllclf.i.Il'IP
u[1
l/A(lJ(t))].
11
el/.' sont (voir par exemple lCOU 62, p. 41]):
yU)
II[t
(l-:r)j,\(y(t)),:r]
4.1.7. il1élallge L'exemple de la figure 4.6 est Îssu de fPET 981. un système où le retard dépend de la commande. A partir des trois bacs de couleurs pures, il convient d'obtenir, dans le buc de sortie, un mélange de couleur et quantité Ilxées à l'avance. Du fait que les volumes des tuyaux sont importants. des retards apparaissent. On suppose ici les écoulements pistons dans les tuyaux (:l et (J. Connaissant les quantités de couleurs dans le bac de sortie, 1 I--i' }. = (YJ ,)'2,) ~I). il est possible de calculer explicitement les trois commandes li = (1./1, U'2, '/1;{) elles profils de couleurs dans les tuyaux (\ elj] avec 1- et sa dérivée en temps Les notations sont les suivantes (voÎr l'lgurc 4.6):
)<
une couleur (ou composition) est un triplet
o ::; Ci :s; 1 et Cl + C2 + C:.I = :1. ;
(Cl, C2, CJ)
avec 'Vi =
1, 2.:3
178
Commandes non linéaires
= (t)jj
- bi
,2.::1
conespond aux couleurs fondmnenlales des trois bacs d'entrée
i,'Î=1,2,3: =
- 7/
(11 1,1/2, '1/;d
T
:
les débits de soutirage des trois bacs d'entrée (la com-
mande) ; -
= (r.\'}, 0'2, 0)1' : couleur au nœud mélangeur [\:
(1'
= (;31,
-/3 7
- 1
:
;3:1) T : cDuleur HU nœud mélangeur /:1:
volume dans le bac de sortie: ~\":j)
- X = (Xl,
: couleur du bac de sortie; r -)" = (1"1, )'3,1::l = (F.XI~ VX2 • F.X:I)T les rétentions dans le bac de sanie. 1-1, 1 2, 13 sont des fonctÎons croissantes du temps;
-
\~I
r
: volume du tuyau
(l ;
: volume du tuyau fj.
noeud ~
v
Figure 4.6. Mélallge de colllcllr.\' .- les déhlis variables mm I/égligeables ,\'01/1
dm' lI//X rétellfioJ/s \~\ et "~3
drl11.'i
les 1lIyallx
Noter que: (.ll
+
(.l'2
1
1
Systèmes plats de dimension infinie
J 79
L'utilisation des équations de bilûn couleur par couleur permet de construire Il. n f---,. Œ(I) t---;. 1- (Œ( t)) est donnée avec 1 f---,. Œ(I) une fonction croissante différentiable el (J" H )'i (cr) posîtive, différentiable el strictement l~ 2~:3. Les calculs se déroulent en parlant de la sortie pour aller croissante pour i vers rentrée en remonlant le sens des fluides. Les étapes sont les suivantes (' signiJ1e d/du) : el (J ù partir de J -, Supposons que 1.
1) résoudre (avec. par exemple, une méthode de Newton) l'équation scrllaire: :.1
a
i=1
i=1
L 1"i(cr/1) = L avec
(Jfl
j'i(Œ(t))
+ ljJ
comme inconnue;
2) résoudre de même [' équation scalaire:
avec
Uo
comme inconnue;
3) poser:
et:
/3(1) avec F
=
] F' [1>'
= 1; +
+ Yl ;
4) poser: Î = L2
et:
Supposons maintemmt que nous ayons rl produire une série de mélanges de cou= ((n, Q2 \ Q~D. QI, = (Q'L Qg, QC, .. sans leurs différentes définies par possibilité de purger les tuyaux ü et tJ entre chaque mélange. 11 sufflt de définir une courbe croissante pour ch~lqlle composante de )~, I I-i- Œ 1-" 1 i comme sur la ligure 4.7. La loi horaire t 1-- aU) udmet des tangentes horizontales aux instants Ill, 1'\ I C , •• pour assurer des transitions douces entre les divers mélanges.
(r
Q!o,
180
Commandes non linéaires
q, r
q;1 -f· q:' 1 (t,"-_ ........................................... q;'
fi,
l,.
Figure 4.7. PlonUÎcafio/l tle la production el/ dé.fÎIIÎ.\'.wlI/t /l1It' bOl/llc trajccfoire pour la sortie plate 1 1 - Y(I)
4.2. Diffusion Dans la section précédenœ, nous avons vu comment utiliser les retards (linéaires et non linéaires) pour résoudre la planification de trujecloires de systèmes avec propagation Il vitesse finie et sans diffusion. Nous aHons maintenant vOÎr des calculs très différents avec des séries faisant intervenir un nombre innni de dérivées de '!J. La foncy doit être d' un tion t i-i- yU) est alors C:-:x,. Pour assurer la convergence des ordre Gevrey finllRAM 93j.
4.2.1. Eqllatioll de la elm/eur [LAR (JOn, LAR OOb, LAR (J2]
Soit!' équation de la chaleur linéaire: Df 8(:r, t) = o;;O(:r, t),
:r
[C1,I]
[4.4]
D.I' () ((), t) = () 0(1, t) = 1/.(t)
[4.5]
14.6]
avec O( :t:, I) le profil de température et 11 (t.) la commande. Nous allons voir que: y(/.) := f)(CL t)
est une sOttie plate. Comme pour la chaîne pesante, nous allons commencer par un calcul formel. Avec la variable de Laplace 8, le système s'écrit:
sÔ(;t:, s)
= f)"(.r, s)
avec
Ô'(O, s)
= 0, Ô(l, s)
û(s)
(' signifie D;r et - tram;{'ormée de Laplace). La solution est clairement donnée par cosll(:rft)D.(s)j cosh( JS). Comme Ô(O, s) cosh( JS), nous avons:
Ô(:r, s)
û(s) = cosh( VS) fJ(s)
et
rJ(:r, 8)
= coslI(:rJS) fJ(s)
Systèmes plats de dimension infinie
Puisque cash
O(:c,
JS
:L~~~
+=
y(i)
n = I: i=l
Bi
j(2i)!, nous avons formellement:
(t) H·7]
(3i)! y(i)(t)
'l/,(t) =,
181
H.8]
(2i)!
1=1
Noter que ces calculs sont connus depuis longtemps (voir l VAL 50. p. 588 ct 594J ou encore lGEV 18]). Us sont il l'origine des fonctions Gevrey-l, fonctions ex telles que les séries ci-dessus convergent. Regardons un peu ces questions de convergence. D'un côté, t fonction régulière telle que:
y( l,) doit être une
pOUf que les séries [4.7] et H.8] convergent. D'un autre côté, /, 1---1 y(t) ne peut pas être anaJytique partout, si 1'011 souhaite utiliser ces séries pour aller d'un pronI vers un autre. En effet, si le système est fi piloter d'un profil initial 8(:r. to} croCr) en III au profil final O(.T,l.j) üï(:r) en (-j,l'équation [4.41 implique que:
'Vt.
[CL 1], 'Vi
O.
y(i)(I)
üjO(Cl. t)
â.;iO(n. f)
et en particulier:
'Vi 2:: D, Si, par exemple Ltn(:I:) = C pour tout ,T E [0.1] (c'est-ii-dire pronI uniforme). alors y(to) = cet y(i) (10) = 0 pour tout i 2:: 1, ce qui implique y(t) = c pour toutt si f est analytique. Il est alors impossible, avec une telle classe de fonctions, de générer des trajectoires autres que 0 c. Les fonctions 1. E [t.o ~ t d H' yU) qui vérifient;
sont connues sous le nom de fonction Gevrey d'ordre a [RAM 79-] (elles sonl aussi reliées aux fonctions de classe S [GUE 641) 1. Pour tout a > 1. il existe une fonction d'ordre Gevrey a il support compact sans être nulle. Citons, comme prototype, la fonction ~t'T en forme de cloche de support [CI, 1] et détlnie par: = exp(-lj(l.(1
-1-))1/(7)
pour lE [CL IJ
1. Nous avons retranché 1 ü l'ordre Gevrey déflni dans [RAM 79] pour être en accord avec la convention introduite récemment par Bernard Malgrange. Les fonctions analytiques s0111 alors les fonclÎons Gevrey cl' ordre::; O.
182
Commandes non linéaires
Enfin. la classe des [onctions Gevrey composition. dérivation et intégration.
(J'
~
0 est stable par addition, multiplication,
Ainsi. pour la planification de trajectoires nous avons besoin de fonctions Gevrey d'ordre> Cl, et pour la convergence des séries d" ordre ~ l. Avec de telles fonctions, nous pouvons calculer, grâce à [4.7], la commande en boucle ouverte qui assure la transition d'un profil vers un autre en temps fini. Par exemple, la figure 4.8 conespond au passage de f)
t
=
0 en 1.
oà 0 =
1 en
= 1 avec la fonction:
IP~
:3 1 f----.
yU)
:=
[~_,
'
./n 6 1 (T) dT
.1;)1 ~I
si l
< Cl
si t
>1
si t
E [0.1]
Des essais numériques 2 indiquent que les calculs peuvent également être conduits avec des fonctions d'ordre Gevrey> 1. Les séries divergent alors mais une sommation aux plus petits termes (voir rRAM 931) donne des résultats numériques très encourageants. Les commandes semblent plus douces qu'avec des séries convergentes. Nous n'avons pas d'explication fi ce phénomène. 2
8(.T 1;)
1.5
0.5
o 1
t
x o o
Figure 4.R. Equatioll de la chalel/r : profil dl' telllpératl/re c//tre dCl/x états stflf;olllwires 1 E [0, J 1
2. Ces essais anL été conduits suÎle à une discussion avec Jeal1-PiCll'C Ramis.
Systèmes plats de dimension inlinie
183
4.2.2. Réacteur chimique tublliaire (colll'ectiol1/tl{lliudoll) [FLI 98b] Nous reprenons ici [FLI 98b, ROU Dl bl La seule différence vient du faiL que le système est vectoriel et les coefficients som des fonctions de J'abscisse ::. La convergence des séries est encore assurée bien que moins évidente que pour l'équation de ln chaleur [LAR 98]. Le réncteur tubuJaire est uniquement piloté par les flux de matière et d'énergie à rentrée. Il est possible de paramétrer les trajectoires avec la conccmraLion ct la température en sortie .1:(l, t) et T (l,
TF P
F !(l,1)
1'(:.:,1) ,r(: ./)
.....
:rF
;r(l,l)
o Figure 4.9. Ré{[cfeur 1ltlmlain' il parois adiabatiqlles
Un premier modèle, linéarisé autour d'un régime stationnaÎre, est de la [orme (convection-diffusion) : [)2
r-
[:1:(;:;,1)]
0:;'2 T(:;:t)
il [.r(~,
-IJ-:-
iJ:
1)] + [-'/';1:
1"(:,/)
01',1:
:l'(::.;,.t.)] [T(:.t)
r4.91 pour:; E
v
[0,11, avec les conditions aux bords: :r;(o, f)] [ T(O, i)
o [;]
1
r
:0 [;]
1.
Il,f
=
[::;:i:~]
= (]
l,f
Le système est piloté avec les flux totaux 'lI.r etlq- il l'entrée du réacteur (_ = 0). Les Hux de diffusion sont nuls à la sortie du réacteur (.: = 1). La vitesse de l' écoulement est v. Ln matrice de diffusion est est proportionnel à l'enthalpie de réaction. Les dérivées partielles de la cinétique T) par rapport à.1: et T sont notées 1':1: et l'T. Tl est possible de conduire les calculs avec C n, '/':t' et FT fonctions analytiques en :r, et v Gevrey 1 en temps: les réculTences qui suivent sont alors plus complexes mais les séries convergent sous les mêmes hypothèses (voir ILAR 98]). Pour simplil1er, nous présentons les calculs en supposant v, r, n, 'l'a: el 1'1' constants.
r ;(\
Les concentration et température, :r(l, l) et 1"(/,1), à la sanie du réucteur forment une sortie plate. Notons yU) le vecteur [.7:(1, t). T(l: 1.)]'.
184
Commandes non linéaires
En effet, considérons un développement en série de puissances de (.: - 1) :
:r:J [T r
olt les
(1 Î
(:,t)=
DO
(:
_l)i :1
Î=O
(/.i(t)
1.
sont des vecteurs de dimension 2. Ainsi:
ao(/.)
= lJ(t)
ec [a condition au bord.:;
/ donne:
= 0
(JI
L'équation [4.9] impose après identification terme à terme la récUlTence suivante: i
>
0
r4.10]
avec:
1'T]
[r:l'
R
-{],1';1:
Ainsi,
(Ji
-(\'1"1'
s'exprime en fonction de li et de ses dérivées jusqu'à J'ordre 3 E(i /2).
Formellement, la commande est obtenue en évaluant pour .:
Cl les séries donnant
r T 'î):; D.I' el
•"
[;] (CU) et:
(_I)i
2: -,,DO
i=O
1.,
(/'i+l
(1;)
Ainsi: (_/)i L= -.-, i=1I
1.
(vai -
[4.111
Les profils.r et T ainsi que le contrôle n(t) dépendent de lJ et d'un nombre infini de ses dérivées en Lemps. Les développements précédents sont formcls. Ils doivent être complétés par l'analyse de la convergcnce des séries. La classe des fonctions y pour IaqueHe ces séries admettent un rayon de convergence non nul est, comme pour l'équation de la chaleur, celle des fonctions d'ordre Gevrey 1. 3.
EU /2) eSI la partie entière de i /'2.
Systèmes plats dt: dimension infinie
4.2.3. Poutre
Cil
185
flexion (EllIer-Bernoulli)
Nous reprenons lAOU 97, FLI 96j. Ici le calcul symbolique est particulièrement important.
J.11
/
/'
/ /
HIot,eu!"
l'
'\ ()
= 0
Figure 4.10.
Ulle pOl/1re .flexible Cil mtalioll alltollr d'I/II axe
Nous ne développerons pas le cadre formel avec le calcul opérationnel de MikusÎllski. Pour cela, nous renvoyons à [FLI 96]. Nous allons uniquement présenter les calculs symboliques qui consÎstent comme toujours à remplacer la dérivée en temps par la multiplication par 8. Le cadre formel donne un sens précis aux calculs que nous allons [aire. Les équations de l'élasticité linéaire conduisent au modèle 1D suivant:
X(Cl, t) = D.
H(t)
a.1:X(D, t-) = O(/.)
= 1/(1) + 1,:(J.I';/:-'Y(O, t)
O/:,r-Y(l, t) = -/\01/;/:_\'(1, t)
O/;,I':t:-\' (L t)
= l'ail _\' (L t)
Ol! la commande est le couple du moteur 1/., _\'(r, t) est le profil de la poutre, k, /\ et J.I sont des paramètres positifs liés aux inerties du moteur et dc la masse en /' = 1 (1 et r sont en échelles réduites sans dimension). Nous allons démontrer que formellemcnt la solution générale de ce système s'exprime à l'aide de .IJ une fonction scalaire arbitraire (d'ordre Gevrey::; 1 pour la
eoc'
186
Commandes 11011 linénires
convergence) :
(-1)/1 y(2n)(t) (
Fil (:r)
1
,111 ).
+L
( :l~)
[4.12]
Il;::0
Re eL lm signif1enl partie réelle et partie imaginaire, respectivement):
uvec (1 =
+
(lm - Re) (1 - .1: + ')( 1 __ ~n +) 1.
}) ·111 + 1
+ plm(l
et: 2 (,JII
+ d)(~11I + 3)(-111 + 2)( (Tm
,\(L1n + 4)(4n
Hc)(l
:1:
+ 1)111+1
_
:1:"[,.-1-
1)
+ :J)Rc(l-:1: + IrJll +::!
Noter que les autres quantités B et 1f se déduisent sans difficulté de la série [4.12]. Il :mfnl de dériver terme à terme. Il 0 (pas de masse en Nous allons uniquement montrer la formule pour A 1, JU J Cl). La méthode reste la même dans le cas généra1. La question est alors la suivante: d'où vient la série:
,. =
[4.13]
avec: ÎÎn
(.r)
flll+l
(Jm- Re)(l-.1' + l)"ln+1
-------+------------------2(4n + 1)
Avec la variable de Laplace
8.
nous avons le système différentiel ordinaire:
x
Les dérivées portent sur l'espace et s est ici un paramètre. La solution générale de ce systeme dépend d'une constante arbitraire, c'est-il-dire d'une fonction arbitraire de 8, puisque nous n'avons que trois conditions aux limites. Avec les quatre solutions élémentaires suivuntes :
C_ (.7.:)
+ cosh((l :1') vs~) - cosh( (1
(cosh((l - ,1:)JS~)
:I:)~/O)/2
(cosh( (1 -
:r:) vs/~)) / (2/)
Systèmes plats de dimension inlinie
8+(.1_:) = (1 sinh((l - ;T)JSE)
+ sinh((l
- :l')JS/~))/(2~JS)
8_(:1.7) = ç(uiÎnh((l - :r)JSç) - sinh((l où
187
.r)/s/O)/(2JS)
f. = f'xp(lÎï/4), _\" s'écrit: X(:r)
= aC+(:r) + bC-Cl') + ('5'-1_(:1') + d8. __ (:1')
Les trois conditions aux limites donnent trois équations reliant les quantités (/, b, c ci cl:
aC-dO) .sb = 0 sc
+ bC_(lJ) + cS'+(O) + rlS_ ((1) = 0
=n
Ainsi, il nous reste une seule contrainte entre les deux quantités ([ et ri :
nC+ (0)
+ dS'_ (0) = 0
Comme:
C-dO) = Re(cosh(Ç"JS),
8_(1.))
= Im(çsinh(Ç"JS//s)
sont des fonctions entières de .s très similaires à cosh( \/3) et siull \/3/ fi. nous pouvons leur associer des opérateurs algébriquement indépendants qui eommutent:
(voir le calcul opérationnel de Mikusillski : ce sont aussi des ultradistributions définies comme le dual des fonctiol1s d'ordre Gevrey:.s; 1 à support compact. voir IGUE 64]). Nous avons donc ul1l11odule engendré par les deux éléments (a, cl) vérifiant!' équation ILa + (Ld = D. C'est un IR~[â+. ILl-module. Ce module n'est pas libre. En revanche, il est ()--;.--libre [MOU 95a]. En effet:
avec II = - ù--1 + (.1
La quantité y sert ici de sortie plate. En effet. nous avons:
Des calculs un peu fastidieux utilisant la trigonométrie hyperbolique conduisent alors à la formule:
Un simple développement en série de la fonction entière 8_ donne la formule [4.13].
J88
Commandes non linéaires
La quantité !J qui intervient ici n'a pas de sens physique direct (Je module n'était
pas libre). Ccpendant, nous conjecturons que le y choisi ici doit s'expdmer avec des intégrales en espace de ~\ (sorte de centre de flexion).
4.2.4. Flexioll 11011 linéaire Sur un plan [ormel, il est possible d'effectucr des calculs similaires au linéaire. Considérons la structure flexible déjà étudiée dans [LAO 961. Les équations sont les suivantes:
pw 2(t)u(.r,1) - Elô.'l~l1(J:, 1.),
pôtu(:r,t)
w(t)
=
r:1(t)
,
:r E
[0.1]
2w (t) (li ))1 11 ) (t,)
Id
+ (II, 1I)(t)
avec comme conditions aux limites: Il (
0, i,) = à.ru (O. t)
= ()
p, E T, Ici sont des constanles physiques positives, u(.r. t) est la déformation de la poutre, wU) la vitesse angulaire (./',g)(1) := J~ pf(:r, t)y(:r:, t) ch. NOliS avons trois commandes r 1(t), 1'2(1), r 3(t). Formellement:
est une sortie plate. En effet. considérons ]e système sous la forme de CauchyKovalevsky suivante:
E J ü,~~ 'u (:1'. t, )
py~(i:)U(,T. t) - pÜfu(:!:J)
et
=0 a;I'1/,(O, t) = ()
l
l/(O,!)
û,;u(O, t) ü;~ Il ( (], t)
Alors. si l'on pose 11(:1.'. f) 11[J
= ()
fi 1
ct la récunencc Vi (Lli
= Cl
(/ .Ii-j-]
1]2 ( t
)
les équations ci-dessus donnent:
=0
2:: 0, Elai-L.l (/..li+::!
0
(t,i(i)
= ,Ill (t)
a,li+:l
=
= P!J~ai - pni. Ainsi, pour
El (yja'li-'2
(j'.11-2)
EI(.IJ~(LIi-]
ii"i-I)
i 2:: 1:
Il s' Llgît d'une conespondance (formelle) entre les solutions du système elles fonctÎons arbitraires t 1-· yU) : ce système esl formeIIcmcnt plat.
Systèmes plats de dimension infinie
189
4.3. Bibliographie [AOU 971 AOUSTIN Y.. FLIESS M.. MOUNIER H.. ROUCI-ION P.. RUDOLPII L Theory and pructicc in the Illmion planning and control or a Ilexiblc robot arll1l1sing Mikllsillski opcrators )', dans Proceedi/lgs (!j'I!JC Fijl/J IFAC SY/J/fJosil/m 011 Rohot Con/roi (Nol/les. Frallce). l(
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J
90
Commandes non linéaires
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1
(~f't"e Tlteory (~rl3csscl Fll11CtioH.I',
Cambridge University
Chapitre 5
Catalogue de systèll1es plats
Nous donnons icÎ une liste non exhaustive de systèmes plats rencontrés dans les applications. Nous renvoyons tl ILEV 99 J pour des applications aux systèmes mécaniques.
5.1. Robots complètement commandés La dynamique d'un système mécanique holonome avec lJut:ll1l de commandes que de degrés de liberté géométrique est:
(DL) rit ôrj rI
aL =
-r
oq
111(q) Il
+ D(q, lj)
avec q les variables de configuration, L( q, lj) le lagrangien (énergie cinétique énergie pOlentielJe), dirn(u) dün(q) et 111(1]) inversible. Il admet q comme sortie plate. même si est singulière. En effet, Il s'exprime en fonction de Ij. lj. li par les formules du couple ci:l1culé : I.J
dl1 -D"' aL) - -0DL - D(q. lj) ) = J\l(q)-l ( -1 ct\ fi
"q
5.2. Systèmes mécanî(IUCS non holonomes De nombreux robots mobiles avec contraintes de roulement sans glissement (contraÎntes non holonomes), comme CCLIX considérés dans [CAM 96. MUR 93, Chapitre rédigé par Philippe MARTIN cL Pierre ROUCHON.
192
Com mandes non linéaires
TIL 94], sont plats. NOLIs considérons ici les systèmes du type voiture avec remorques lFLI 9511, FLI 97. ROU 93u, ROU 93bJ. L'invariance pur le groupe des déplacements du plan et J'homogénéité de degré 1 par rapport à la commande li rendent très naturelles les dérivations avec des formules de Frénet.
5.2.1. Voiture Les conditions de roulement sans glissement sont les suivantes: :i: = v ('080
l
Ù=
.
11
sin (-)
v
o= T tan i.p
avec v lu vitesse et i.p l'angle de braquage comme commande, 1 la distance entre les deux essieux.
Figure 5.1. Cinéma/iqlle
d'fme WJifltre
La sortie pinte est la positÎon cartésienne de la voiture P l,'OS
/I=±IIPII
(
f)) =p./
sin tJ
'/1
Ces formules disent simplement que par P et tau !p /1 sa courbure.
5.2.2. l'oÎturc al'CC
'/1
(:r: .Il) :
f)
est J'angle de la tangente
~l
la courbe suivie
remorques il atlaches ccntrées [ROU 93aJ
Le système de la flgure 5.2 admet comme sortie plate les coordonnées cartésiennes (:1: n, Un). Pour montrer cela, il n'est pas utile d'écrire de la dernière remorque Pn
Catalogue de
"\1".11'11111"1<.
plats
193
les équations d'état du système avec comme commandes la vitesse de la voiture et son angle de braquage. li suffit de faire un dessin. Prenons le cas 11 l (figure 5.3), le cas général s' en déduit aussi tôt.
Figure 5.2. Voi/tlre
Figure 5.3. Voiwrc orcc
Itl/C
(lI'CC Il
remorquc.\·
alti/clle centrée, III sor/ie platl'
CS!
Pl
Supposons donnée hl courbe Usse el suivie par Pl' PrenOnS.'il -,. Pl (s 1 ) un paramétrage naturel de t\. Alors le roulement sans glissement de la remorque implique Pl + dÔ:l (Tl. tangent unitaire ü el). En dérivant par rapport ~l SJ, on que obtient:
avec normale unitaire il el el tangent fi la courbe en suivie par
sa courbure. Mais Donc:
Hl
-=f=.
0 est le vecteur
194
COlllmandes non li néaires
En dérivant par rapport à braquage cf) :
u(t)
'0
ds o
J1
+ (dl ""1)2 r181.
on obtient l'angle de
l d n -----;====::;::
tau > = do n'fi La vitesse
8/),
de la voiture est aussi donnée par :
= Noter que dans ces calculs, q'> et 00
8 J (f).
pour toute loi horaÎre et toujours entre
-
{h
restent
5.2.3. Voiturc m'cc uue remorque à attache déportée [ROU 93b] Ici, la dîfl1culté vient du raÎl que l'aHache de longueur b de la remorque n'est plus lixée sur l'essieu anière cie la voiture mais à une certaine distance (1.. Nous supposons J'attache en arrière de l'essieu. Il est possible de faire les mêmes calculs avec une attache devant comme sur certains poids lourds. Les conditions de roulement sans glissement donnent la forme d'état suivante: j-
cosnv
.II
Sill nI'
à. /
=
1
1 tanrpo
(a
[S. 1]
(
l 1 tan 9 cos (\ b
j
)
;J) - sin(o -
;3))
l'
Les notations sont sur la ligure S.4. Les commandes sont la vitesse et r angle cie braquage ép.
'U
de la voiture
Le syslème l5.l J est plat avec comme sonie plate: !JI = ;1: .112
li
+ /)cos/3 + L(O' + b sil! t3
'1 f. )
b sill;3 - (1 Bill Ü' 2abeos(a - 11)
Ja'!. -1- b'1 fi.
cos CI'
)0 2 + lJ2
-
b cos /1
- 2abeos({}' - fJ)
fS.2hl
où:
L(rr Noter que (YI ~
(lb
cos cr --;::;=;:;==::::~=====:=== d cr 2 + lP - 211b cos cr
Jn
[S.3]
sont les coordonnées cartésiennes du point P de la figure 5.4.
Catalogue de systèmes plats
Ii'igure 5.4. Voimrc avc:c
1I1/L'
195
remorque il attache dépor/{:e
Pour trouver ces sorties plates, il convÎent d'utiliser la condition nécessaire et suffisante (théorème 3.8) pour les systèmes sans dérive ü deux commandes. Les calculs de YI ct U2. se simplifient en utilisant l'invariance du système par nIppon au groupe des déplacements du plan. n
81 1
+
1-. 11 ./1)
I{ (CI -
1
c Figure 5.5.
COl/slrl/clio1/
géollll'[riqrœ m'cc /cs/iJl'lllliles de Frël/t'l
Comme le montre la figure 5.5, le vecteur Langent T à la courbe suivie par Pest parallèle il la droite AB. Sa courbure N, est une fonction de 8 = 0' i3 : 15.4j Noter que l'invariance par rapport au groupe des déplacements implique que "', soiL une fonction de (\ - /3 uniquement. La fonction l\- est Ulle bijection croissante de h', 27r I[ vers IR. La constante 1 E [0, ÎÏ /2] est définie par l'équation implicite
196
Commandes non linéaires
suivante: . / ') cos ~y' V (J.~
+ ù-') -
'l
'2ab cos,' = aù sin,'
j
.lT
Pour a = 0, " =
7ï
cos cr
----;;::::::;:;:::=:::;:;::==0:=== 2 +b'2-2abcoscr
/a.
da
/'2 et P coïncide avec B.
Des calculs simples montrent que D est donné par D = P - L( {))iJ avec 17 le vecteur normal unitaire. Ainsi, (:r,!}, (}, /3) est une fonction de (P, T, '{,). L'angle de braquage cp dépend donc de fi et dl,,/ cl8 où .5 est la longueur d'arc de la courbe suivie par 1"), La vitesse u de la voiture 1) s'exprime en fonction de li, dli,/ds et .5. Une appliculÎol1 du théorème 3.8 montre que la voiture avec plus de deux remorques ù attaches décentrées n'est pas un système plut.
5.2.4. Systèmes mécaniques 11011 holonomes complètemel1t commandés Commençons par l'exemple d'une pièce de monnaie qui roule sans glisser sur un plun:
:i';
= /\ sin cp + u 1 COS r.p
:ij = -,\ cos 9
cp =
+ Il 1 sin y
'112
li cos 9
:1.' Sill y =
U, cp sont les varÎables de configuration, À est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte :i: sin y = ÙcOS!.p, 'U 1 et li']. sont les deux commandes. Une sortie plate est (,T, y): avec une paramétrisation en longueur d'arc s de la courbe '- f----C. (:r(t). yU)), nous avons:
Oll :7',
c1:r c1s
C'oscp = -
où
1\
.
SIlly
dy cl8
= -
Il'1
= ,5
11.'2
=
est la courbure. Ces formules restent valables même si
..
li (.5) .5 li 1
cl h', els
+-
• ') ,C;-
= Il'2 = D.
Cet exemple est représenlalif d'un système mécanique soumis à 'Ir! contraintes non holonomes et avec n - rII commandes (des forces) indépendantes des efforts de liaisons (11 eSL la dimension de la variété de configuration). Ces systèmes sont, par définition, les systèmes non holonomes complètement commandés (voir [CAM 96] pour d'autres exemples). 11 est ulors facile de montrer qu'un système non holonome complètement commandé et dont les liaisons non holonomes sont phües est automatiqucmcnt plat, les sorties platcs étant celles de scs liaisons non holonomes. Ainsi, à cause du théorème 3.9, les systèmes mécaniques complètcmcnt commandés et soumis fI deux contraintes non holonomes sont uutomatiquemcnt plals, Les liaisons non holonomes dc la pièce de monnaie (p. 4), de la sphère qui roule (p. 96) et de
Catnlogue de systèmes plats
197
la bicyclette (p. 330) décrites dans le traité classique russe [NEI 72] sont plates. Les systèmes non holonomes complèLement commandés qui s'en déduisent restent donc plats,
5.3. Systèmes pendulaires Les exemples qui suivent sont des systèmes mécaniques holonomes sousactionnés, c'est-à-dire avec moins de commandes que de degrés de liberté géométrique.
5.3.1. Pe1ldule i1l1'ersé sur ml l'ail
Un pendule inversé sur un rail admet la dynamique suivante (approximation des petits angles) : ') ( l-'-') (D dt-
+ lB)
= gf),
cl 2 ( l-
1\1-] "D
-mgO
:r
où la commande est la force ~ appliquée au chariot et 1 est la distance du centre d'oscillation à r axe de rotation du pendule. Il est cJair que la sortie plate est !J = D + UJ. En effet:
0= Ü/g
D
= y -lÜ/g
Un bouclage grand gain sur le chariot (li est la _~"~".,,._ de position du chariot) : ~
=
-llJk l D -111k'}.(D - u)
JïTY
avec 1.:1 ~ ID/T, k 2 ~ 10/72 Ol1 T = est le Lemps caractéristique du pendule, permet d'accélérer par la commande le porteur. On obtient ainsi une commande hiérarchisée avec un asservissement rapide en position du porteur et ulle stabilisatÎon lente du pendule à partir du modèle lent: cl 2 , I J - 11 -(lf) g(lJ - 'lI)/1 = -'T' 2 dt;· = ., Le simple bouclage:
assurent le suivi d'une trajectoire de référence 1 I---i> IJr(l.) pour l'abscisse du cenLre d'oscillation du pendule. Sans l'approximation des petits angles, le système
Il' est
plus plat.
J98
Commanùes non linéaires
F
...
o D
.D + If)
Figure 5.6. Pelldule im'l'l'si slIr 1/11 l'aU
5.3.2. Le double pendule du musée tle la Villette 115' agit d'une des expositions permanentes du musée des sciences el de l'industrie de la ViHeHe, section mathématiques. Le système se compose de deux balTes homogènes de longueur ll'une au-dessus de l'autre. le tout sur un chariot linéaire actionné par un moteur. Avec J'abscisse du chariot D comme commande (commande grand gain du porteur) les équations de la dynamique, après approximation des petits angles, sont (après quelques transformations qui font intervenir !J ... ):
1/ 2)
f}I = -'-
fJ ly(-I)
(12
il
/J =
11 .:1
+ -( ') Og35 7 -!01 36 12 7(1 y(4)
=:y-
Og
1
--
'!.7ri
Comme pour le simple pendule, sans r approximation des petits angles, ce n'est pas plat.
C'H:t"'1I'n,"
5.3.3. Vile illfinité de pe1ldules illl'ersés
Il s'agit du modèle de la chaîne pesallte de la figure 4.2 avec la gravité dans J'autre sens. Les équations sont: pour z E
fn, L],
~~(L, 1.) =
D(t)
[5.5]
Catulogue de systèmes plats
D
199
Il,e 5 l f).) + 12 1 12 -
Figure 5.7. Le double peudllie dI/lili/sée de la VillelIe
avec la commande uu bord D( l), le déplacement du chariol qui se trouve maintenant en bas. La sortie plate est alors en haut et la formule /4.1J s'écrit avec un temps complexe:
X(::J}
1
= ')~ .... 11
avec
1
j,rr (y(r+2IJ:l • ()
fJ sin O + Y (l
=
Cette relation signifie que, pour taule fonction holomorphe C 3 ( f----"l' U( () dont la restriction ô l'axe réel est réelle, le champ de déplacement X(.::;, l) calculé par l'intégrale ci-dessus est réel et vérine identiquement: [PX
Dt 2 Avec cette formule, nous avons la possibilité d'associer à taule fonction holomorphe sur une bande horizontale centrée autour de l'axe des réels et de demi-hauteur 2 L ln une trajectoire du système. Cel ensemble de trajectoires est sumsammcnt riche pour obtenir d'une façon approchée des trajectoires allant en temps finÎ d'un état d'équilibre vers un autre. 11 suffit par exemple de définir !J par convolution avec une
J
200
COI11Jmmdcs non linéaires
gaussienne (fT
> 0 donné) :
avec lE. 3 7 f--i. f(7) E lE. mesurable et bornée et de tronquer l'intégrale. Avec une telle construction, il est possible de montrer des propriétés de commandabilité approchée pour ce système. Il est bien connu que le problème de Cauchy associé il [5.5 J, une équation e1lipn'est pas bien posé au sens de Hadamard. Physiquement, c'est tout à fait compréhensible. Nous avons vu que la constante de temps d'instabilité d'un pendule inversé de longueur 1 est Jf!ü: un pendule de longueur infiniment petite est instable d'une façon infiniment rapide. Malgré cela, nous pouvons donner lin sens à la planification de trajectoires, bien que le système soit un système ma) posé, en construisant exp]icÏlcmcnt des fami1Ies de trajectoires régulières allant d'un état vers un autre (d'une façon approchée, cependant). tiqlJe~
5.3.4. Grues et pOllts roulants Nous reprenons un exemple traité dans ["PLI 95a]. Les équations de Newton d'une masse rn déplacée par pont roulant sOl1tles suivantes (modèle dans un plan vertical): In.l'
-1' Sill 0
'ln::::
-T cos ()
:r = RsinO rng
+D
.: = RcosO
avec :r, '::;,0 les variables de configuration, T la tension du câble d'inertie négligeable et inextensible. Les deux commandes sont D, la position du chariot. et R, la longueur du câble. Ce système est plat avec la position (:r, .::;) de la charge comme sortie plate. L'ajout d'une seconde dimension horizontale ne change rien: la sortie plate reste la position de la charge. D'autres types de grues ou de ponts roulants cOlTespondant il diverses géométries du système de levage restent également plats, la position de la masse transportée étant la sortÎe plate (voir rIOS 99, LEV 971 pour les grues de débarquement de [a marine américaine).
5.3.5. Le robot 2kii C'est un robot trois axes portant un pendule avec deux axes (voir ligure 5.8). L'objectif est de retourner Je pendule et le maintenir en position instable. Parmi les cinq degrés de Hbcrté, seuls trois sont directement commandés par des moteurs (les angles 0), O2 , Oa). En revanche, les deux degrés de liberté du pendule ne sont pas directement aClÎOImés.
Catalogue de systèmes plats
pendule
101
111
(x, y, :)
z
X
J-y
S
19
(a,b,c)
li:?
moteur
Figure 5.8. Le mimI 2kiï (ri l'adre.\·sc hllp:I/cas.ellslllp ../iJCASl2kPili,/{lex.htllll SOIlt téléclwrgea/J/es desfillIIs QllickTi111C 11/01llral/lle rolJol
L'II
actiol/)
La position P = (:r, lJ, .:) du cen tre d'oscillation du pendu le (se reporter aux travaux de Huyghens sur les horloges à pendule) est la sortie plate du système. En effet, les relations entre P et S sonlles suivantes:
=
(n, h, c), le point de suspension du pendule,
(:r - 0)(': -1- g) = i(.: - c) (y - b)(5
(:r - of
+ !J) = Ü(z - c) + (y - b)'2 + (.: -
C)2 = 1'2
où 1 eslla distance entre S et P. Ces relations viennenl simplement des équations de Newton du pendule ponctuel isochrone de même masse m ('1--:; est la tension dans la tige) :
'J11P
=
'm[j+T
de la condition de rotation parfaite sans frottement:
fil
PS
et de la contrainte de rigidité:
102
Commandes
nOI1
linéaires
Géométriquement, 8 est à l'intersection de la sphère de centre P de rayon 1 avec la droite passant par I) el parallèle à fi - fi Comme la géométrie du robot implique (a, b, c) = 'J( 01 , O:.d (conversion des coordonnées angulaires en coordonnées cartésiennes). les couples à appliquer aux moteurs s'obtiennent en inversant cette relation algébrique cl en dérivant deux fois de plus. En tout, P apparaît avec ses dérivées jusqu'à l'ordre d. Pour plus d'informalion sur la commande du robot, voir rLEN 981.
5.3.6. Solide plall piloté lJar lieux forces Soil un corps dans un plan verlical soumis à la gravité et commandé par deux forces ft\ et F';!. de directions fI et ë:h lixes par rapport au solide (voir ligure 5.9). Ces forces sont appliquées à des points 8. et S2 fixes par rapport au solide. Nous supposons que nous avons effectivement deux forces indépendantes, c'est-à-dire lorsque 8 1 = 8 2 alors les directions ne sont pas colinéaires. EnHn, le cas où G est exclu car alors le système n' est plus commandable, le moment cinétique étant constant.
q+
l
J + m ()G"l '\: 1~
Cr (JU
l' \
,
•q Figure 5.9.
VII COIl),I'
de (lirecticmsJixt's.
.l'o/ide 2D piloté par del/x/oree,\' cl (~, par l'apport {/JI solide
(ï,
Soit (; le centre de gravité et 0 l'orientation du solide. On note k le vecteur orthogonal au plan. Notons '-'III la masse, .J son inertie par rapport il l'axe parallèle à k passant par (; et Ji le champ de gravité. Les équations de la dynumique sont alors (conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétique) :
Catalogue de systèmes plats
20)
Comme le montre la 5.9. la sortie plate correspond à P le centre d'oscillation de Huyghens lorsque r axe de rotatÎon est au point d'intersection des deux droites qui supportent les forces ct le centre de poussée Q sur la figure 5.9:
P=Q+
QG
avec a = QG. Noter que lorsque les deux droites sont parallèles Q est rejeté il l'infini et P coïncide avec G. Comme pour le pendule du robot 2kÏl, le point P est le seul tel que fi - li soit colinéaire il la direction PO. c'est-il-dire il l'orientation (J. Avec cette propriété, il est alors facile de montrer que le système est pl al. Certains des exemples traités dans !"pLI 951.1, MAR 95, MUR 95, NIE 951 sont de ce type. Par exemple, l'avion ü déc.:olluge vertical de IMAR 95J d'équation:
+ ê /1.2 l'OS 0 :; = III ('OS 0 + EU'}. sin f) {j = 11·2
.1~
= -
Il 1
sin f)
1
admet comme sortie plate Il (:1' - E siu ()~:; + cos 0) olt poussées des réacteurs ne sont pas parraitement parallèles.
E ;:::::;
0 vient du fait que les
Dcs prolongements sont possibles pOlir des corps solides dans r espace à trois dimensions mais avec des symétries. Le pendule de 2kÏl en est un exemple avec une symétrie de révolution. Un autre exemple rort proche avec les mêmes symétries est une fusée ml un missile avec poussée vectorielle. Les équations sont:
më: ft + Hlf] d .... ::.. J- (bAh) c1t
où
b
... AF
S'C~'/ SC' (les notations sont sur la ligure 5.10). La sortie plate est alors:
p=s+ En effet.
ft - !l est colinéaire il la direction bde la fusée.
Notons enfin que ln généralisation il la dimension 3 d'espace (sans symétrie) reste un problème ouvert. Nous ne savons pas si un corps solide dans )' espace à trois dimensions contrôlé pnr r action de trois forces indépendantes, de directÎons et de points d'application fixes par rapport au solide, est un système plat. 5.3.7. Le l:âble aéro/racté
Nous reprenons ici [MUR 961 pour ce qui est du modèle de dimcnsÎon finÎe. Le système illustré sur la figure 5. J 1 est composé d'un avion Cil vol circulaire qui tracte
204
Commandes non linéaires
P=s+
1+
J
-\
L'G"l Se-:
1/1 ,_~T-
Figure 5.10. LaIusée el sa sor/ie plate P
un long cùble auquel est attaché une charge pesante. Sous certaines conditions, le câble atteint un régime stabilisé oit sa forme ne variant plus admet également un mouvement circulaire. Avec des paramètres COlTectement choisis, il est possible que le rayon de la trajectoire de la charge qui se trouve bien en dessous de celle de l'avion soit d'un diamètre neHement inférieur. Un tel système existe en vraie grandeur. Il il été utilisé par l'armée américaine en Amérique du Sud pour des parachutages précis à basse altitude (sans utiliser le fait que le système soit plat, malheureusement pour nous). Le câble peut être vu comme une successÎon de petits pendules ponctuels connectés les uns aux autres par leurs centres de masse. Les forces agissant sur lin petit pendule (tension, traînée aérodynamique, poids ... ) sont alors concentrées au centre de masse (confondu ici avec son centre d'oscillation). L'uvionjoue ici le rôle commande comme S joue le rôle de commande pour le contrôle du pendule pOrLé par le robot 2h7r.
L'objectif est de générer des trajectoires de transilion entre un équilibre relatif et un autre. Ce système est plat avec comme sortie plate la position de la charge. Nous renvoyons il I.MUR 96J pour des calculs plus détaillés et d'autres références sur le sujet. Il est cependant possible formellement de considérer le modèle contÎnu du câble. Pour des raisons de simplicité, nous ne considérons que le modèle parfait sans froltement avec uniquement la dynamique inertieUe et la gravité g. Le câble est décrit à l'instant t, par une courbe [O,L] :;:, s I-t 11/(,';, t,) E JR:.~1 paramétrée en longueur d'arc. En notnnt T(8, /.) E ml 1;] tension en 8, p sa densité linéaire et m la musse de la charge,
Catalogue de systèmes plats
205
'~--: - ~~
--
,, .." -!-""--.:-::---:
Figure 5.11. Le câh/e (lérot mett> et .\'0// approximat iOIl
1es équations de Newton sont:
JH(L, 1)
= 1/(t)
. E}Jl! .
T(O, t) Ds (D, t) =
r/1
D'2 J11 . ür2 (0, t) -
... '/I/g
L'avion est en s = L. Par rapport à la dynamique du d,bIc, sa trajecloire f ~ '/1 (t) E IttJ est ponctuelle et considérée ici comme une entrée. La charge ponctuel1c de masse 111 est en s = O. Remarquons que ce système cl' équations aux dérivées partielles n'est pas sous forme involutive: Test déJ-lni implicitement par la contrainte de non-extensibilité. Cependant, en prenant .N(s, t) = ./;;" iH(a, t) da au lieu de JU(s. t.) comllle variables (transformation de Backlund), on a avec les inconnucs JV cl T le système
206
COl11mandc~
non 1inéaires
suivant:
II~:;II aiV
(L.1)
1
= v(t)
N(O, t)
a: i\l 1
T(CL l) cr.!..1V
t) =
11)
ü.{,-'J-a s (0, t) -
'mg
0
Supposons que l'on fIxe la trajecloire de la charge t 1""" yU) = (0, t) au lieu de la trajectoire de ]'av10n. Alors on peut facilement calculer la tension par (nous prenons la valeur positive pour T) : T(s, 1)
Ainsi,
011
p a2Jv Dt'). (8,1) - (pi:! -1- Tn)lj
+ ni jj(/.) Il
obtient une forme standard de Cnuchy-Kovalevsky:
{)2jV
(8, t)
-""(0,1.) EJJV
Il
(0,1.)
1 " s, t
-;:---1"( )
(8
2
jV
p~ rA-
1.) - (ps -1- 1I/)[j -1- mÜ(I))
=0 y(t)
Pour t, H· y(t) analytique. le système ci-dessus admet une solution analytique en autour de () dès que T(n, t) i= O. c'est-à-dire :U i= fi. Ce développement en série est très similaire aux calculs effectués dans rMUR 96] sur un modèle discrétisé avec beaucoup de petits pendules ponctuels. II n'est pas sûr, compte tenu des calculs sur ln chaîne pesante de ln figure 4.2, qu'un tel développement soit utilisable en pratique sauf s'il est complété par des techniques de séries divergentes [RAM 93]. S
5.4. Divers systèmes mécani
Les modèles représentant des avions conventionnels sont plats dès que l'on néglige certains effets aérodynamÎques de faibles amplitudes. La sortie plate est le centre de gravité et r angle de dérapage. Nous renvoyons à [MAR 921 pour une étude détaillée.
Catalogue de systèmes plats
207
5.4.2. Satellite à deux llwtell,..'! Nous ne savons pas si ce système est plat ou non. Cependant, il est orbitalement plat WU 931, une propriété moins restrictive OLI des changements de temps sont possibles. Comme dans rBYR 91], considérons un sateJlile il deux moteurs (le troisième est en panne) Hl, 02 :
Wl
= III
[S.6aJ
[5.6bl l5.6cl
cp
w[ cos ()
+ W:J f'in f)
[S.6d]
si li 0 - Wa cos 0) t",au+"
+ w:.!
[S.6e]
[S.6fj
cos cp
où a. = (.JI - J2)/.J~1 <']i sonlles moments principaux d'inertie); pour des raÎsons physiques 1(/1 :S 1. L'élimination de Il l, /12 ct de Ll,,'I. W2 avec: -wasin(-J cusO
et
ô+ li, sin +'1
w'.:!
donne le système équivalent suivant: [5.71 .
w:!
SÎltO
'l/t=-----
[5.81
cos cp cos
lui-même équivalent à: sin
obtenu en su bstiruant Wa
+ sin ()(i.{! + m//2 SÎll
JI cos cp cos () -1- 'f-:" sin f) dans l5. 7].
Si a. l, () est alors fonction de y, 1/' et de ses dérivées. Ainsi, l5.6] est plat avec (9, -d') comme sortie plate. Par des arguments de symétrie sur le choix des angles d'Euler. un calcul similaire peut être fait pour {/ - L Ainsi, ce système est plat pour les cas limites lai = 1.
Lorsque 10.1 < l, nous ne savons rien dire. Cependant, i1 est possible de se ramener à a = 1 pur un changement de paramétrage du Lemps. Le système est orbi/a/Cillent plat
20S
COl11m~ll1des nOI1
linéaires
[REG 95"1. SOÎt le nouveau paramétrage la dérivation en Cf.
CT
dé/lni par ir
W::1.
Alors j.
=
a:l'I
où 1 est
En posant: -ljaw:J et en éliminant les commandes, l5.6] devient: w~
WIW2
= W1
sÎu 0
cosB
+ W2
(WI sill 0 - cos 0) tau cp
(Jf
(i - WI Sill (J) t'OS
'-P
Ces équations sont indépendantes de a. Cela veut dire que le système avec a =1- 1 est orbitalement équÎvalent au système avec (J = 1.
5.4.3. Tige de forage Lu dynamique ell torsion d'une tige de l'orage de quelques kilomètres de longueur peut être représclltée par une équation des ondes avec une condition aux limites non linéaires cn fond, condition représentative de l'outil qUÎ taHIe la roche (voir figure 5.12). Nous avons ainsi comme dynamique:
a?fJ = 0.;0, i)J)(O, t)
;1'
[5.9a]
E [CL 1]
-u(t)
15.9b]
O,JJ(l, i) = -F(ô(O(l. t))
ô~O(I,t)
15.ge]
où [0, 1] :3 :r f--..-+ O(:r,1) est le profil de torsion il l'instant t, 11 est lu commande le couple exercé par un moteur au sommet du train de tige. Les équations sont nonn(llisées et prennent en compte ['inertie des masses tiges au-dessus de l'outil. La IOÎ de comportement de l'outil est dOllnée pur un frottement non linéaire PCv). D'autres lois plus complexes sont possibles, le système restant plal dès qu'elles ne dépendent que de l'angle .tJ = t) de l'outil, la sottie plate du système. Un calcul simple avec les formules de d'Alembert montre que:
en,
2fJ(.t: 1.) = y(t j
+l
:r)
+ y(t
Û(t - (1- ;c))
- (1 - .1;))
+
j
+ '!l(t + 1
:r)
'h-(J-:l:)
• 1-(1-:1:)
F(Û(T)) dT
Catalogue de systèmes plats
209
11(1)
Il
.1'
O( .1'. f)
a~o 1
Figure 5,] 2. Tige dc jin'lIge Cil torsio/l
5.4.4. Gamelle d'eau Nous reprenons ici [DUB 99, PET 02]. Il s'agît de transporter horizontalement un fluide dans un récipient. La question est de contrôler les vagues engendrées par les mouvemcnts du récipient el de trouver des pmnJs d'accélération el de freinage pour aller d'une position fixe il unc autre. Un modèle de commande simple issu des équations de la mécanique des fluides s'obtient avec les équations cie Saint-Vcnanl
lLAN 86]:
ah
a
.
-a. =0 -t + n(/1V) v.T () (hu) + a (ll'ir -. rI
Dt
1)
'lJ
1
( t. DU) -
(l,
-L
D(I)
l' 2:)
+ ~)
'J) = 0
g -11-
2
D(t) =
iJU)
et le système linéaire tangent autour d'une profondeur constante h. L'élude de cc linéaire tangent montre qu' au premier ordre le système n'est pas commandablc. En revanche, les points stationnaires sont lous sur la même feuille de commundabilité, ce qui signîllc qu'il est toujours possible d'aller d'un étal stationnaire il un autre (au
210
CDmmandes non linéaires
premier ordre). Les formules qui assurent détails. voir IDUB 99]):
Ull
v(L.r)
~ [ù (t + ,f ~(t)) + ç} (t
h(t,.]:) =
l r. +
D(f)
V Il
1 (. ( rr;:;- ~l t v·1g ,
:l' -
leI transfert sont les suivantes (pour les
__:1: _ _
D (t) ) c
l.J( ( t
+ ,r
D(t) c
(~}(t+ ~) +1:1(1"- ~))/2
=
avec t j---;o 'lJ( t) une fonction arbitraire du temps, c = JhfJ la vitesse de propagation des vagues et ~ = Ile le temps que met une vague pour aller d'un bord à l'autre. La sorlÎe plate ~J admet L1ne interprétation physique simple. Elle résume la répunition droite/gauche du fluide dans le récipient. Comme l'illustre la figure 5.14, lJ est r abscisse du centre de gravité de deux masses: l1r-r-
=
· I
DU )
h(l,s)ds
. D(f)-1t
situées aux extrémités. À
h(t . .1') - -
tl. ~_·_-.,-_-____
,'(l, ,.)
1
C"j",._·_._·_·_________........ · .r
1 DU) - 'ï
D(I) -1-
Figure 5.13. FIl/ide jJm:!ilÎ{ dal1s
1
2
lm récipiellt se dép/of,,'(J1/f IlOri:011{a/emenf
5.5. Systèmes électromécaniques 5.5.1. Le cOIwertisseur de lel1sÎolls Un convertisseur de tension continue en tension continue par modulation de largeur d'impulsions (PWM) obéit aux équations suivantes: :C')
E
L
L
) 1-=-+
oil
Il
.Il :=
est la cOlllmande, le rapport cyclique. L'énergie électromagnétique est la sortie plate [KAR 97, SIR 89] .
Catalogue de systèmes plats
1
D
D-'
'21 ]
D+(j JI'!
Figure 5.14. La .1'Or/il' plaie tllI
/il/éc,;rl' 1/Il/ge11l
5.5.2. Paliers magnétiqlles Une solution simple à la planificatiDn de trajectoires et à la stabilisation des paliers magnétiques.est proposée dans ILEV 96'1. Le contrôle obtenu assure qU'lI chaque ÎnstnnL, seul un des deux électro-aimants est actif. Cela permet de réduire le nombre d'aimants par un placement plus astucieux de ces derniers.
5.5.3. ~lo(ellrs li Înductioll Le lllodè1c standard d'un moteur à induction s'écrit avec des variables complexes pour les grandeurs électrlques (voir [LEO 851 pour plus de détails) : RslH
+
=
'1/"
et /'.'i (respectivementl!),. et 1l') sont valeurs complexes des flux et courants stator (respectivement rotor), () est l'angle du rotor et j J=]. La commande est la tcnsion complexe H.~ appliquée au stator. OÙ '1/'.,
Avec '1,1\.
=
pe:i ù
,
la dynamique du rotor cst donnée par:
oit ID est le couple de charge. Ce système est plat avec les deux angles ((). n') comme sortie plate rMAR 96] (voir aussi 1CHI 93
n.
2]:2
Commandes non linéaires
5.5.4. Lig11e tle transmissioll IFLI99J aborde la tnmsmission d'un signal au moyen d'une ligne décrite par l'équatÎon des télégraphistes avec une précompensation des distorsions dues à ln ligne directement au niveau du signal d'entrée. La propagation d' un signal électrique l'ia une ligne de longueur {' obéit aux IOÎs de Kirchhoff (voir par exemple [ROC 711) :
L
o' ô;, =
ov
-Ri 0'
c Du = of
~-Gu a:r
avec 0 S; .r ::; C. Pur unité de longueur, la résistance est R, l'inductance L, la capacité
C et la perditance G. L'élimination du courant i donne l'équation des rélégraphisla:
8 2 1'(:[: t)
[5.101
0;1:'1
Les conditions aux limites sont;
v(CL l)
=/1 (t)
u(e, f")
= Zi(C, t)
où Z est la résistance en bout de ligne. La commande est la tension d'entrée /I(t) = 0(0. t). Nous allons voir que y(t) = v( t'. t) est la sortie plate. Avec s, la variable de Laplace, [5.10] devient une simple équation différentielle ordinaire en :1: :
·[,I/(.r, s) Dli
w(s)
= w(s)'Û(:t, s)
[5.111
= (R + Ls)(G + C ..,). Les conditions aux limites donnent:
ND, s) = il,
(R
+ Ls)D(t, P.)
Z[lf( C, 8)
[5.121
Ln solution générale de [5.IIj est: .f, ( :r,
.'3) = A (s ) cosh ( ( C
.1: )
J w ( s)) + B (s ) sînh ( ( t
:1:) J w (8 ) )
avec .11(8) el B(8) indépendants de .1: et déduits des condîÜons aux bords l5.t::n Au lieu de considérer la relation entre Ct et tI, regardons la relation entre D et !J ( .9) =v ( Cl s) :
" (() ( cos1l '-
.) r::::r:\(.))
-.1.
V
W\S}
+ R+LSSinh((e-.l;)~)),(,) r = T : \ . I l .':i V w(8)
[5.131
Catalogue de systèmes plats
Noter que le transfert entre 'fi et sortie plate.
:0 est une
fonction entière de s. Ainsi,
213
Dest une
Pour:f = 0, r5.13J donne:
R
D( .<) = (eDSh(
+ Ls sinh(C
JW(S))) '( ) "1/ S
y'w(.s)
,
f5.14J
Supposons G = (} pour plus de simplicité. La formule [5.14J donne, de rclour dans w(s) = RCs + LCs'!.}: le domaine temporel (/\ c.JI]5, Cl' = 1
u(t) = 2
avec .10 et JI les fonctions de Bessel (voir les tubles de transformatÎons de Laplace dans LDOE 56]). Ainsi, la relaLÎon entre li el 'li passe par un mIre il support compact mais non causa] : u(l) dépend des valeurs de y sur [t ,,\,1 + Al. Il est alors très naturel d'utiliser cc
filtre pour construire un précompensateur.
5.6. Réacteurs chimiques Nous renvoyons à l'ROU 01] pour une liste assez complète de réacteurs chimiques plals.
5.7. Bibliographie [BYR 911 B YRNES C.L, ISIDOR! A., « On the attitude stabilization of rigid spncecraft lIIatica, vol. 17. p. 87-95, 1991.
H.
1\1110-
[CAM 96] CAMPION G., D'ANDREA NOVEL B .. BASTIN G., ( Structural propertîes and clussi (kation of kinematic and dynamic mode 1s or whccJed mobile robots ), JEEE Tranwcfioll.\' ml Robolic.\' AutOllW1Î011, vol. 12, n° l. p. 47-62, 1996.
[CHI93] CHiASSON J.,
«
or
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Dynamic I"ccdback linearization
Tm/lsactÎoJ/s 011 AWOJ/U/IÎC COli/roI,
1DOE 56] DOESTCH G., HOl/dlmch tler I_ap!ace-7imvi}I)J"Jl1l1/ùm, Birkhiiuser, B
214
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Index
variables d' 15
B hacksteppillg 73. 77, 78, 103 bOllclage dynamique 147 dynamique endogène 150 statique réglliier 120
Brunovsky 86. 1 14, 122
C CLF 63.104 commandubiliié 115 commande gradient 65, 67 contrainte holonome 21 non holonome 30, 191 coordonnée généralisée 21 critère de la variété réglée 156
-zéro délectable 56
F fonction de Lyapullov 52. 104 fonction Gevrey 181 fonction propre 104 forme Jéedhack 105 I(w{!lJ/warû 105 froiielllcnt 29
H.I
D
BOlder continu 105 impédance 31 indice de commandabilité 120 inégalité de Young 107 intégrale première 116 lSS 56. 105
difliété 138 dipôle 31
L
Lagrange
E ensemble quasi invariant 55
équation de la chaleur 180 des ondes 171 étal
changement d' 120 modèle d' 16. 51
éq ualion de 22. 191 multiplîcatcur 20. 22, 30. 196 linéarisation par bouclage dynHmique 132 par bouclage stalique 128, 130 loi de Faraday 39
de Kirchhorr 35
~ J8
Commandes nOI1 linéaires
de Lenz 38
M /liatclJillg condilion 71
matrice d'înertie 23, 26 de commandabîlilé 1J 9
P,R passir 65, 78, 106 placemellt de pôles 86. 126 planification de trajecLOircs 115. 125. 144, 172 robustesse 55
s SCP 107
SEE 56. 61, 68. 79. 94. 95, 107 sortie de B rUJ10vsky 123
8-plate 171 plate 134. 142 plaie invariante 161 stable globalement 54 globalement asymptotiquement 54 suivi de trajectoires 125, 151 symélrie 47, 160 système il retard 170 équivalent 139 orbÎlalcl11eI1l plal 207 plal 133, 142 T théorème des petits gains 59 Lrajectoi re J 15 transformation de Clarke 48 Jc Park 49 groupe de 120
CET OUVRAGE A ÉTÉ COMPOSÉ PAR HERMÈS SClENCE PUBLICATIONS ET ACHEVÉ D'rMPRIMER PAR L'IMPRIMERlE FLOCH À MAYENNE EN JANVIER
2003.