Das Kontinuum diskret berechnen

Springer-Lehrbuch Matthias Beck · Sinai Robins Das Kontinuum diskret berechnen Aus dem Englischen von Kord Eickmeyer...

Author: Matthias Beck | Sinai Robins | Kord Eickmeyer

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Springer-Lehrbuch

Matthias Beck · Sinai Robins

Das Kontinuum diskret berechnen Aus dem Englischen von Kord Eickmeyer

123

Prof. Matthias Beck Department of Mathematics San Francisco State University 1600 Holloway Ave San Francisco, CA 94132 USA [email protected]

Prof. Sinai Robins Department of Mathematics Temple University 1805 North Broad Street Philadelphia, PA 19122 USA [email protected]

Übersetzer: Kord Eickmeyer Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin Unter den Linden 6 10099 Berlin Übersetzung der englischen Ausgabe Computing the Continuous Discretely von Matthias Beck und Sinai Robins. Copyright © Springer Science+Business Media 2007. Alle Rechte vorbehalten.

ISBN 978-3-540-79595-7

e-ISBN 978-3-540-79596-4

DOI 10.1007/978-3-540-79596-4 Springer-Lehrbuch ISSN 0937-7433 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2000): 05A, 11D, 11P, 11H, 52B, 52C, 68R © 2008 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Datenerstellung durch den Übersetzer unter Verwendung eines TEX-Makropakets Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

F¨ ur Tendai F¨ ur meine Mutter, Michal Robins mit all unserer Liebe.

Vorwort

The world is continuous, but the mind is discrete. David Mumford

Unser Ziel ist es, einige kritische L¨ ucken zwischen diversen Gebieten der Mathematik zu schließen, indem wir das Zusammenspiel zwischen dem stetigen und dem diskreten Volumen von Polytopen untersuchen. Beispiele f¨ ur Polytope in drei Dimensionen sind unter anderem Kristalle, Quader, Tetraeder und beliebige konvexe Objekte, deren Oberﬂ¨ achen alle ﬂach sind. Es ist unterhaltsam zu sehen, wie viele Probleme aus der Kombinatorik, Zahlentheorie und vielen weiteren mathematischen Gebieten in die Sprache von Polytopen, die in einem euklidischen Raum existieren, u ¨ bersetzt werden k¨onnen. Umgekehrt liefert uns die ﬂexible Struktur von Polytopen zahlentheoretische und kombinatorische Informationen, die auf nat¨ urliche Weise aus ihrer Geometrie hervorquellen. Das diskrete Volumen eines K¨ orpers P kann intuitiv als die Anzahl der Rasterpunkte, die in P liegen, beschrieben werden, wenn ein festes Raster im euklidischen Raum gegeben ist. Das stetige Volumen von P hat die u ¨ bliche intuitive Bedeutung des Volumens, das wir allt¨aglichen Gegenst¨anden in der wirklichen Welt zuordnen.

Abb. 0.1. Stetiges und diskretes Volumen.

VIII

Vorwort

Den Unterschied zwischen den beiden Volumenbegriﬀen kann man sich physikalisch wie folgt denken. Auf der einen Seite liefert uns das Raster auf Quantenebene, das von der molekularen Struktur der Wirklichkeit vorgegeben wird, einen diskreten Begriﬀ des Raums und damit ein diskretes Volumen. Auf der anderen Seite liefert uns der Newton’sche Begriﬀ des stetigen Raums das stetige Volumen. Wir betrachten die Dinge stetig auf der Newton’schen Ebene, aber in der Praxis berechnen wir oft Dinge diskret auf der Quantenebene. Mathematisch gesehen hilft uns das Raster, das wir in den Raum legen – entsprechend dem durch die Atome, aus denen ein Gegenstand besteht, gebildeten Raster – auf u ¨ berraschende Weise dabei, das u ¨ bliche stetige Volumen zu berechnen, wie wir noch sehen werden. Um das stetig-diskrete-Zusammenspiel der drei Felder Kombinatorik, Zahlentheorie und Geometrie in Aktion zu sehen, konzentrieren wir uns zun¨achst auf das leicht zu stellende M¨ unzenproblem von Frobenius. Die Sch¨onheit dieses konkreten Problems besteht darin, dass es leicht zu verstehen ist, ein n¨ utzliches Berechnungstool liefert und trotzdem die meisten Zutaten der tiefergehenden Theorien, die hier entwickelt werden, enth¨alt. Im ersten Kapitel geben wir detaillierte Formeln, die sich auf nat¨ urliche Weise aus dem Frobenius’schen M¨ unzwechselproblem ergeben, an, um die Verbindungen zwischen den drei oben genannten Gebieten aufzuzeigen. Das M¨ unzenproblem gibt uns ein Ger¨ ust, um die Verbindungen zwischen diesen Gebieten zu identiﬁzieren. In den nachfolgenden Kapiteln entfernen wir dieses Ger¨ ust und konzentrieren uns auf die Verbindungen selbst: (1) Aufz¨ ahlung ganzzahliger Punkte in Polyedern – Kombinatorik, (2) Dedekind-Summen und endliche Fourier-Reihen – Zahlentheorie und (3) Polygone und Polytope – Geometrie. Wir legen besonderen Wert auf Berechnungstechniken und auf die Berechnung von Volumina durch Z¨ ahlen ganzzahliger Punkte unter Benutzung diverser alter und neuer Ideen. Daher sollen die Formeln, die wir erhalten, nicht nur sch¨ on sein (was sie wahrlich sind!), sondern sie sollen es uns auch erlauben, Volumina eﬃzient zu berechnen, indem wir einige sch¨one Funktionen verwenden. In den wirklich seltenen F¨ allen mathematischer Darstellungen, in denen wir eine Formulierung haben, die sowohl leicht zu schreiben“ als auch schnell ” ” berechenbar“ ist, haben wir ein mathematisches Juwel gefunden. Wir haben uns bem¨ uht, dieses Buch mit solchen mathematischen Juwelen zu f¨ ullen. Vieles vom Material in diesem Buch wird vom Leser in den mehr als 200 Aufgaben entwickelt. Die meisten Kapitel enthalten Aufw¨arm¨ ubungen, die nicht auf dem Material in dem Kapitel aufbauen und gestellt werden k¨onnen, bevor das Kapitel gelesen wird. Einige Aufgaben sind von zentraler Bedeutung, in dem Sinn, dass das aktuelle oder sp¨ atere Material von ihnen abh¨angt. Diese Aufgaben sind mit ♣ markiert, und wir geben detaillierte L¨osungshinweise dazu am Ende des Buches. Die meisten Kapitel enthalten auch eine Liste oﬀener Forschungsprobleme.

Vorwort

IX

Es stellt sich heraus, dass sogar ein F¨ unftkl¨assler eine interessante Arbeit u ahlung schreiben kann [144], w¨ahrend das Thema sich ¨ ber Gitterpunktaufz¨ zur tiefergehenden Untersuchung anbietet, die die aktuellen Anstrengungen f¨ uhrender Forscher anzieht. Es handelt sich also um ein Gebiet der Mathematik, das sowohl unsere unschuldigen Kindheitsfragen als auch unsere verfeinerte Einsicht und tiefere Neugierde anzieht. Das Niveau der Untersuchung ist sehr angemessen f¨ ur eine vertiefende Grundstudiumsvorlesung in Mathematik. Da die drei oben skizzierten Themen sich zur weiteren Untersuchung anbieten, wurde unser Buch auch mit Erfolg f¨ ur einen einf¨ uhrenden Hauptstudiumskurs verwendet. Um dem Leser dabei zu helfen, die Tragweite der Verbindungen zwischen dem stetigen und dem diskreten Volumen voll zu erfassen, beginnen wir unsere Abhandlung in zwei Dimensionen, wo wir leicht Skizzen machen und schnell experimentieren k¨ onnen. Wir f¨ uhren behutsam die Funktionen, die wir in h¨ oheren Dimensionen brauchen (Dedekind-Summen) ein, indem wir das M¨ unzenproblem geometrisch als das diskrete Volumen eines verallgemeinerten Dreiecks, auch Simplex genannt, betrachten. Die Techniken sind am Anfang recht einfach, im Wesentlichen nichts weiter als Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen. Daher ist das Buch f¨ ur einen Studenten, der die u ¨blichen Vorlesungen u ¨ ber Analysis und lineare Algebra geh¨ ort hat, leicht verst¨ andlich. Hilfreich w¨ aren ein grundlegendes Verst¨andnis der Partialbruchzerlegung, unendlicher Reihen, oﬀener und abgeschlossener Mengen im d , komplexer Zahlen (insbesondere Einheitswurzeln) und modularer Arithmetik. Ein wichtiges Berechnungstool, das wir uns das ganze Buch ∞hindurch zu Nutze machen werden, ist die Erzeugendenfunktion f (x) = m=0 a(m) xm , wobei die a(m) eine beliebige Folge von Zahlen bilden, die wir untersuchen m¨ ochten. Wenn die unendliche Folge von Zahlen a(m), m = 0, 1, 2, . . . , in einer einzigen Funktion f (x) zusammengefasst wird, stellt sich oft heraus, dass wir aus bis dahin unvorhergesehenen Gr¨ unden die ganze Reihe f (x) in u ¨ berraschend kompakter Form aufschreiben k¨ onnen. Es ist diese Umformulierung der Erzeugendenfunktionen, die es uns erlaubt, die Kombinatorik der zugrundeliegenden Folge a(m) zu verstehen. F¨ ur uns k¨onnte die Folge zum Beispiel die Anzahl der m¨ oglichen Zerlegungen einer ganzen Zahl mit gegebenen M¨ unzwerten oder die Anzahl der Punkte in einem immer gr¨oßer werdenden K¨orper sein, und so weiter. Hier ﬁnden wir noch ein weiteres Beispiel f¨ ur das Zusammenspiel zwischen dem Diskreten und dem Stetigen: Wir bekommen eine diskrete Menge von Zahlen a(m) und f¨ uhren dann die Untersuchung auf der Erzeugendenfunktion f (x) in der stetigen Variable x durch. Was ist das diskrete Volumen? Die oben gegene physikalisch intuitive Beschreibung des diskreten Volumens steht auf einem soliden mathematischen Fundament, sobald wir den Begriﬀ des Gitters einf¨ uhren. Das Raster wird mathematisch durch die Sammlung

X

Vorwort

aller ganzzahligen Punkte im euklidischen Raum beschrieben, n¨amlich d = {(x1 , . . . , xd ) : alle xk ∈ }. Diese diskrete Sammlung gleichm¨aßig verteilter Punkte wird Gitter gennant. Zu einem gegebenen geometrischen K¨orper P ist sein diskretes Volumen einfach als die Anzahl der Gitterpunkte in P deﬁniert, also als Anzahl der Elemente der Menge d ∩ P. Intuitiv erhalten wir, wenn wir das Gitter um einen Faktor k verkleinern und die Anzahl der so geschrumpften Gitterpunkte in P z¨ahlen, eine bessere Ann¨ aherung an das Volumen von P, relativ zum Volumen einer einzelnen Zelle des geschrumpften Gitters. Es stellt sich heraus, dass, nachdem dass Gitter um einen ganzzahligen Faktor k geschrumpft wurde, die Anzahl # P ∩ k1 d geschrumpfter Gitterpunkte in einem ganzzahligen Polytop P wie von Geisterhand ein Polynom in k ist. Diese Z¨ahlfunktion # P ∩ k1 d ist als Ehrhart-Polynom von P bekannt. Wenn wir das Gitter durch Grenzwertbildung immer weiter schrumpfen, dann kommen wir nat¨ urlich beim durch das Riemann-Integral aus der Anaylsis deﬁnierten stetigen Volumen heraus: 1 d 1 vol P = lim # P ∩ . k→∞ k kd

Wenn wir aber bei festgelegten Streckungen des Gitters stehenbleiben, erhalten wir u at f¨ ur die Berechnung des Volumens von P ¨ berraschende Flexibilit¨ und f¨ ur die Anzahl der Gitterpunkte, die in P enthalten sind. Wenn also der K¨ orper P ein ganzzahliges Polytop ist, verhalten sich die Fehlerterme, die die Diskrepanz zwischen dem diskreten und dem stetigen Volumen messen, recht erfreulich; sie sind durch Ehrhart-Polynome gegeben, und diese Aufz¨ ahlungspolynome bilden den Inhalt von Kapitel 3 Die Fourier-Dedekind-Summen sind die Bausteine: Zahlentheorie Jedes Polytop hat ein diskretes Volumen, das durch gewisse endliche Summen, die als Dedekind-Summen bekannt sind, ausgedr¨ uckt werden kann. Bevor wir deren Deﬁnition geben, motivieren wir diese Summen zun¨achst mit einigen Beispielen, die ihr Verhalten als Bausteine der Gitterpunkt-Aufz¨ahlung illustrieren. Konkret betrachten wir als Beispiel ein 1-dimensionales Polytop, gegeben durch das Intervall P = [0, a], wobei a eine beliebige positive reelle Zahl ist. Es ist klar, dass wir die Gauß-Klammer x ben¨otigen, um die Gitterpunkte in P zu z¨ ahlen, und tats¨ achlich ist die Antwort a + 1. Als n¨ achstes betrachten wir einen 1-dimensionalen Geradenabschnitt in der 2-dimensionalen Ebene. Wir w¨ ahlen unseren Geradenabschnitt P so, dass er im Koordinatenursprung beginnt und im Gitterpunkt (c, d) endet. Wie nach kurzem Nachdenken klar wird, enth¨ alt die Anzahl der Gitterpunkt auf diesem endlichen Geradenabschnitt einen alten Bekannten, n¨amlich den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von c und d. Die genaue Anzahl der Gitterpunkte auf dem Geradenabschnitt ist ggT(c, d) + 1. Um diese beiden Beispiele zu vereinheitlichen, betrachten wir ein Dreieck P in der Ebene, dessen Ecken rationale Koordinaten haben. Es stellt sich heraus,

Vorwort

XI

dass eine bestimmte endliche Summe v¨ ollig nat¨ urlich ist, da sie gleichzeitig die Gauß-Klammer und den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler verallgemeinert, obwohl letzteres weniger oﬀensichtlich ist. Ein Beispiel f¨ ur eine Dedekind-Summe in zwei Dimensionen, die auf nat¨ urliche Weise in der Formel f¨ ur das diskrete Volumen eines rationalen Dreiecks P auftaucht, ist das Folgende: s(a, b) =

b−1 ma ma 1 m 1 − − − . b 2 b b 2 m=1

Die Deﬁnition benutzt die Gauß-Klammer. Warum ¨ahneln diese Summen auch dem gr¨ oßten gemeinsamen Teiler? Gl¨ ucklicherweise gen¨ ugen die DedekindSummen einem bemerkenswerten Reziprozit¨ atsgesetz, ganz ¨ahnlich dem euklidischen Algorithmus, der den ggT berechnet. Dieses Reziprozit¨atsgesetz erlaubt es, Dedekind-Summen in etwa log(b) Schritten zu berechnen, anstatt der b Schritte, die die obige Deﬁnition nahelegt. Das Reziprozit¨atsgesetz f¨ ur s(a, b) bildet das Herzst¨ uck einiger erstaunlicher Zahlentheorie, die wir elementar behandeln, die aber auch aus dem tiefergehenden Gebiet der Modulformen und anderer moderner Hilfsmittel kommt. Wir beﬁnden uns in der gl¨ ucklichen Position, eine wichtige Spitze eines enormen Ideenbergs zu sehen, der in die Wasser der Geometrie getaucht ist. W¨ ahrend wir immer tiefer in diese Gew¨ asser eintauchen, zeigt sich uns immer mehr versteckte Sch¨ onheit, und die Dedekind-Summen sind ein unverzichtbares Hilfsmittel, das es uns erlaubt, je weiter zu sehen, desto tiefer wir dringen. Die relevanten K¨ orper sind Polytope: Geometrie Die Beispiele, die wir benutzt haben, n¨ amlich Geradenabschnitte und Polygone in der Ebene, sind Spezialf¨ alle von Polytopen in beliebigen Dimensionen. Ein Weg, Polytope zu deﬁnieren, ist es, die konvexe H¨ ulle einer endlichen Menge von Punkten im euklidischen Raum d zu betrachten. Das heißt, angenommen, jemand gibt uns eine Menge von Punkten v1 , . . . , vn im d . Das durch die gegebenen Punkte vj bestimmte Polytop ist deﬁniert als die Menge aller Linearkombinationen c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn , wobei die Koeﬃzienten cj nichtnegative reelle Zahlen sind, die der Bedingung c1 + c2 + · · · + cn = 1 gen¨ ugen. Diese Konstruktion wird V-Beschreibung des Polytops genannt. Es gibt eine weitere a ¨quivalente Deﬁnition, die H-Beschreibung des Polytops. Wenn uns n¨ amlich jemand die linearen Ungleichungen gibt, die eine Sammlung von Halbr¨ aumen im d deﬁnieren, dann k¨onnen wir das dazugeh¨ orige Polytop als Durchschnitt aller durch die gegebenen Ungleichungen deﬁnierten Halbr¨ aume deﬁnieren. Es gibt einige oﬀensichtliche“ Tatsachen u ¨ber Polytope, die den meisten ” Studenten intuitiv klar sind, die aber in Wirklichkeit vertrackt sind und deren Beweis aus elementaren Axiomen nicht trivial ist. Zwei dieser Tatsachen, n¨ amlich dass jedes Polytop sowohl eine V- als auch eine H-Beschreibung hat, und dass jedes Polytop trianguliert werden kann, bilden eine unabdingbare

XII

Vorwort Kapitel 1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

Kapitel 2 Eine Gallerie diskreter Volumina

@ R @

Kapitel 3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

? Kapitel 7 Endliche Fourier-Analysis

?

? Kapitel 4 Reziprozit¨ at

9

XX

z X

Kapitel 8 Dedekind-Summen

Kapitel 6 Magische Quadrate

? Kapitel 5 Seitenzahlen und die Dehn-Sommerville-Gleichungen

C CW Kapitel 12 Eine diskrete Version des Satzes von Green

Kapitel 9 Die Zerlegung eines Polytops in seine Kegel

Kapitel 10 Euler-MacLaurinSummation im d

@

R @ Kapitel 11 Raumwinkel

Abb. 0.2. Die partiell geordnete Menge der Kapitelabh¨ angigkeiten.

Basis f¨ ur das Material, das wir in diesem Buch erarbeiten werden. Wir beweisen beide Tatsachen sorgf¨ altig in den Anh¨ angen. Die beiden Hauptaussagen der Anh¨ ange sind intuitiv klar, so dass Neulinge die Beweise u ¨ berspringen k¨ onnen, ohne dass ihre F¨ ahigkeit zur Berechnung stetiger und diskreter Volumina Schaden nimmt. Alle S¨ atze im Text (auch die in den Anh¨angen) werden aus grundlegenden Axiomen hergeleitet, mit Ausnahme des letzten Kapitels, in dem wir einige Grundbegriﬀe der Funktionentheorie voraussetzen. Der Text ist in zwei Teile gegliedert, wie wir jetzt erl¨autern.

Vorwort

XIII

Teil I Wir haben uns sehr bem¨ uht, den Inhalt der ersten sechs Kapitel nahtlos zu einem Text zusammenﬂießen zu lassen. • • •

Die Kapitel 1 und 2 f¨ uhren einige Grundkonzepte von Erzeugendenfunktionen ein, im visuell ansprechenden Kontext diskreter Geometrie, mit einer F¨ ulle detaillierter motivierender Beispiele. Die Kapitel 3, 4 und 5 entwickeln die gesamte Ehrhart-Theorie diskreter Volumina rationaler Polytope. Kapitel 6 ist ein Nachtischkapitel“ in dem Sinn, dass es uns Gelegenheit ” gibt, die entwickelte Theorie auf die Aufz¨ ahlung magischer Quadrate anzuwenden, einem antiken Thema, das sich aktiver gegenw¨artiger Forschung erfreut.

Teil II Wir fangen jetzt noch einmal von Vorne an. •

•

•

• •

Nachdem wir Erfahrung mit einer Vielzahl von Beispielen und Ergebnissen u ¨ ber ganzzahlige Polytope gesammelt haben, sind wir bereit, mehr u ¨ ber die Dedekind-Summen aus Kapitel 8 zu lernen, die die atomaren Einheiten der diskreten Volumenpolynome bilden. Auf der anderen Seite m¨ ussen wir uns, um Dedekind-Summen vollst¨ andig zu verstehen, mit endlicher Fourier-Analysis vertraut machen, die wir daher aus elementaren Grundlagen in Kapitel 7 entwickeln, wobei wir lediglich Partialbruchzerlegungen verwenden. Kapitel 9 beantwortet eine einfache aber vertrackte Frage: Wie l¨asst sich die endliche geometrische Reihe in einer Dimension auf h¨oherdimensionale Polytope erweitern? Der Satz von Brion gibt die elegante und endg¨ ultige Antwort auf diese Frage. Kapitel 10 erweitert das Zusammenspiel zwischen dem stetigen und dem diskreten Volumen eines Polytops (das wir bereits im ersten Teil im Detail untersucht haben) durch Einf¨ uhrung von Euler-Maclaurin-Summationsformeln in allen Dimensionen. Diese Formeln vergleichen die stetige Fourier-Transformation eines Polytops mit dessen diskreter FourierTransformation, dabei ist das Material v¨ ollig in sich abgeschlossen. Kapitel 11 entwickelt eine spannende Erweiterung der Ehrhart-Theorie, die Raumwinkel eines Polytops deﬁniert und untersucht; diese sind nat¨ urliche Erweiterungen 2-dimensionaler Winkel auf h¨ohere Dimensionen. Schließlich enden wir mit einem weiteren Nachtischkapitel“, das funk” tionentheoretische Methoden verwendet, um eine Integralformel f¨ ur die Diskrepanz zwischen diskreten und stetigen Fl¨achen, die von einer geschlossenen Kurve in der Ebene umschlossen sind, zu ﬁnden.

XIV

Vorwort

Da Polytope sowohl von theoretischem Nutzen (in triangulierten Mannigfaltigkeiten zum Beispiel) als auch in der Praxis unverzichtbar (in Computergraﬁk zum Beispiel) sind, werden wir sie benutzen, um Ergebnisse aus der Zahlentheorie und der Kombinatorik zu verbinden. Viele Forschungsarbeiten werden u ange geschrieben, noch w¨ahrend wir dies schrei¨ber diese Zusammenh¨ ben, und es ist unm¨ oglich, diese alle hier abzudecken; wir hoﬀen allerdings, dass diese bescheidenen Anf¨ ange dem Leser, der nicht mit diesen Gebieten vertraut ist, ein gewisses Gef¨ uhl f¨ ur ihre Sch¨onheit, grenzenlose Verbundenheit und N¨ utzlichkeit geben. Wir laden den allgemeinen mathematischen Leser herzlich ein in das, was wir f¨ ur eine atemberaubende Welt des Z¨ahlens und der Verbindungen zwischen Gebieten der Kombinatorik, Zahlentheorie und Geometrie halten. Es gibt eine Reihe hervorragender B¨ ucher, die sich nichttrivial mit unserem u ¨berschneiden und Material enthalten, das die hier behandelten Themen erg¨ anzt. Wir empfehlen herzlich die Monograﬁen von Barvinok [12] (¨ uber Konvexit¨ at allgemein), Ehrhart [80] (die historische Einf¨ uhrung in EhrhartTheorie), Ewald [81] (¨ uber Verbindungen zur algebraischen Geometrie), Hibi [95] (¨ uber das Zusammenspiel algebraischer Geometrie mit Polytopen), MillerSturmfels [131] (¨ uber algorithmische kommutative Algebra) und Stanley [171] (¨ uber allgemeine Aufz¨ ahlungsprobleme in der Kombinatorik). Danksagungen Wir hatten das große Gl¨ uck, w¨ ahrend des Schreibens an diesem Buch Hilfe von vielen freundlichen Menschen zu erhalten. Zu allererst bedanken wir uns bei den Studenten der Kurse, in denen wir dieses Material ausprobieren konnten, an der Binghamton University (SUNY), der San Francisco State University und der Temple University. Unser Dank gilt unseren Studenten bei der MSRI/Banﬀ 2005 Graduate Summer School. Insbesondere danken wir Kristin Camenga und Kevin Woods, die die Tutorien zu diesem Sommerkurs abgehalten, zahlreiche Tippfehler entdeckt und uns viele interessante Anregungen f¨ ur dieses Buch gegeben haben. Wir sind dankbar f¨ ur die großz¨ ugige Unterst¨ utzung des Sommerkurses durch das Mathematical Sciences Research Institute, das Paciﬁc Institute of Mathematics und die Banﬀ International Research Station. Viele Kollegen haben dieses Unterfangen unterst¨ utzt, und wir sind besonders all denen dankbar, die uns u ¨ber (Tipp-)Fehler informiert und uns gute Vorschl¨ age gemacht haben: Daniel Antonetti, Alexander Barvinok, Nathanael Berglund, Andrew Beyer, Tristram Bogart, Garry Bowlin, Benjamin Braun, Robin Chapman, Yitwah Cheung, Jessica Cuomo, Dimitros Dais Aaron Dall, Jesus De Loera, David Desario, Mike Develin, Ricardo Diaz, Michael Dobbins, Jeﬀ Doker, Han Minh Duong, Richard Ehrenborg, David Einstein, Joseph Gubeladze, Christian Haase, Mary Halloran, Friedrich Hirzebruch, Brian Hopkins, Serkan Ho¸sten, Benjamin Howard, Piotr Maciak, Evgeny Materov, Asia Matthews, Peter McMullen, Mart´ın Mereb, Ezra Miller, Mel Nathanson,

Vorwort

XV

Julian Pfeiﬂe, Peter Pleasants, Jorge Ram´ırez Alfons´ın, Bruce Reznick, Adrian Riskin, Steven Sam, Junro Sato, Kim Seashore, Melissa Simmons, Richard Stanley, Bernd Sturmfels, Thorsten Theobald, Read Vanderbilt, Andrew Van Herick, Sven Verdoolaege, Mich`ele Vergne, Julie Von Bergen, Neil Weickel, Carl Woll, Zhiqiang Xu, Jon Yaggie, Ruriko Yoshida, Thomas Zaslavsky, G¨ unter Ziegler und zwei anynomen Referees. Wir werden Errata, Aktualisierungen usw. auf der Internetseite math.sfsu.edu/beck/ccd.html sammeln. Wir sind der Redaktion des Springer-Verlags dankbar, allen voran Mark Spencer, der uns den Prozess der Ver¨ oﬀentlichung stets auf freundliche und unterst¨ utzende Art vereinfacht hat. Wir danken David Kramer f¨ ur das makellose Redigieren, Frank Ganz daf¨ ur, dass er uns an seinem LATEX-Wissen teilhaben ließ, und Felix Pertnoy f¨ ur den nahtlosen Produktionsprozess. Matthias Beck m¨ ochte seine tiefste Dankbarkeit gegen¨ uber Tendai Chitewere ausdr¨ ucken, f¨ ur ihre Geduld, Unterst¨ utzung und bedingungslose Liebe. Er dankt seiner Familie daf¨ ur, dass sie immer f¨ ur ihn da ist. Sinai Robins m¨ ochte Michal Robins, Shani Robins und Gabriel Robins f¨ ur ihre unerm¨ udliche Unterst¨ utzung und ihr Verst¨ andnis w¨ ahrend der Fertigstellung dieses Projekts danken. Wir beide danken allen Caf´es, die wir in den letzten f¨ unf Jahren besucht haben, daf¨ ur, dass sie uns ihren Kaﬀee in Theoreme umwandeln ließen.

San Francisco Philadelphia June 2007

Matthias Beck Sinai Robins

Inhaltsverzeichnis

Teil I Die Grundlagen der Berechnung diskreter Volumina 1

Das M¨ unzenproblem von Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Warum Erzeugendenfunktionen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Zwei M¨ unzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Partialbr¨ uche und eine u ¨ berraschende Formel . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Der Satz von Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Drei und mehr M¨ unzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oﬀene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 5 7 12 13 16 18 25

2

Eine Gallerie diskreter Volumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Die Sprache der Polytope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Der Einheitsw¨ urfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Der Standardsimplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Die Bernoulli-Polynome als Gitterpunktz¨ahler von Pyramiden . 2.5 Die Gitterpunktz¨ ahler von Kreuzpolytopen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Der Satz von Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Polygone mit rationalen Eckpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Die Euler’sche Erzeugendenfunktion f¨ ur allgemeine rationale Polytope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oﬀene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 28 31 34 38 40 43

Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie . . . . . . . . 3.1 Triangulierungen und spitze Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Gitterpunkttransformationen f¨ ur rationale Kegel . . . . . . . . . . . . 3.3 Erweitern und Z¨ ahlen mit Ehrharts urspr¨ unglichem Ansatz . . . 3.4 Die Ehrhart-Reihe eines ganzzahligen Polytops . . . . . . . . . . . . . .

59 59 62 66 69

3

48 51 53 58

XVIII Inhaltsverzeichnis

3.5 3.6 3.7 3.8

Vom diskreten zum stetigen Volumen eines Polytops . . . . . . . . . Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rationale Polytope und Ehrhart-Quasipolynome . . . . . . . . . . . . . Reﬂektionen u unzenproblem und die Gallerie aus ¨ ber das M¨ Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oﬀene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 76 78

4

Reziprozit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Erzeugendenfunktionen f¨ ur ein wenig irrationale Kegel . . . . . . . 4.2 Stanleys Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur rationale Kegel . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at f¨ ur rationale Polytope . . . . . . 4.4 Die Ehrhart-Reihe eines reﬂexiven Polytops . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Weitere Reﬂexionen“ u ¨ber die Kapitel 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . ” Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oﬀene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 88 90 91 92 94 94 95 97

5

Seitenzahlen und die Dehn-Sommerville-Gleichungen . . . . . . 99 5.1 Die Dehn-Sommerville-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Dehn-Sommerville Erweitert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 Anwendungen auf die Koeﬃzienten eines Ehrhart-Polynoms . . 102 5.4 Relatives Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6

Magische Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.1 It’s a Kind of Magic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.2 Semimagische Quadrate: Punkte im Birkhoﬀ-von NeumannPolytop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.3 Magische Erzeugendenfunktionen und Konsttanttermgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.4 Die Aufz¨ ahlung magischer Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Oﬀene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

79 79 80 85

Inhaltsverzeichnis

XIX

Teil II Jenseits der Grundlagen 7

Endliche Fourier-Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.1 Ein motivierendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2 Endliche Fourier-Reihen periodischer Funktionen auf . . . . . . . 131 7.3 Die endliche Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften . . . 135 7.4 Die Parseval-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.5 Die Faltung endlicher Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8

Dedekind-Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.1 Fourier-Dedekind-Summen und wieder das M¨ unzenproblem . . . 145 8.2 Die Dedekind-Summe, ihre Reziprozit¨at und Berechnungskomplexit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.3 Rademacher-Reziprozit¨ at f¨ ur Fourier-Dedekind-Summen . . . . . . 150 8.4 Der Mordell-Pommersheim-Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Oﬀene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

9

Die Zerlegung eines in seine Kegel . . . . . . . . . . . . . . . 161 Polytops m 9.1 Die Gleichung z = 0“ . . . oder Viel L¨arm um nichts“ 161 ” m∈ ” 9.2 Tangentialkegel und ihre rationalen Erzeugendenfunktionen . . . 165 9.3 Der Satz von Brion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.4 Brion impliziert Ehrhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Ê

10 Euler-Maclaurin-Summation im d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.1 Todd-Operatoren und Bernoulli-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 10.2 Eine stetige Version des Satzes von Brion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 10.3 Polytope haben ihre Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.4 Vom stetigen zum diskreten Volumen eines Polytops . . . . . . . . . 180 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Oﬀene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 11 Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 11.1 Ein neues diskretes Volumen unter Benutzung von Raumwinkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 11.2 Raumwinkel-Erzeugendenfunktionen und ein Brion-artiger Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

XX

Inhaltsverzeichnis

11.3 Raumwinkel-Reziprozit¨ at und die Brianchon-Gram-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 11.4 Die Erzeugendenfunktion von Macdonalds Raumwinkelpolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Oﬀene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 12 Eine diskrete Version des Satzes von Green mit elliptischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.1 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.2 Die Weierstraß’schen ℘- und ζ-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 12.3 Eine Wegintegral-Version des Satzes von Pick . . . . . . . . . . . . . . . 205 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Oﬀene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 V- und H-Beschreibungen von Polytopen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 A.1 Jeder H-Kegel ist ein V-Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.2 Jeder V-Kegel ist ein H-Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Triangulierungen von Polytopen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 L¨ osungshinweise zu den ♣-Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Teil I

Die Grundlagen der Berechnung diskreter Volumina

1 Das Mu ¨nzenproblem von Frobenius

The full beauty of the subject of generating functions emerges only from tuning in on both channels: the discrete and the continuous. Herb Wilf [186]

∞

Angenommen, wir untersuchen eine unendliche Folge von Zahlen (ak )k=0 , die geometrisch oder rekursiv deﬁniert ist. Gibt es eine gute Formel“ f¨ ur ak in ” Abh¨ angigkeit von k? Erf¨ ullt die Folge Gleichungen in mehreren ak s? Indem wir die Folge in ihre Erzeugendenfunktion F (z) = ak z k k≥0

einbetten, erhalten wir auf erstaunlich einfache und elegante Art Antworten auf die obigen Fragen. In gewisser Weise hebt F (z) dabei unsere Folge ak aus ihrem diskreten Kontext in die stetige Welt der Funktionen.

1.1 Warum Erzeugendenfunktionen? Um diese Konzepte zu veranschaulichen, w¨ armen wir uns mit der klassischen Folge der Fibonacci-Zahlen fk auf, die nach Leonardo Pisano Fibonacci (1170–1250?)1 benannt und durch die Rekursion ur k ≥ 0 f0 = 0, f1 = 1 und fk+2 = fk+1 + fk f¨ ∞

deﬁniert sind. Dadurch erhalten wir eine Folge (fk )k=0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . ) (siehe auch [164, Sequence A000045]). Jetzt wollen wir schauen, was Erzeugendenfunktionen f¨ ur uns leisten k¨ onnen. Wir setzen 1

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Fibonacci siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Fibonacci.html.

4

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

F (z) =

fk z k

k≥0

und u ¨ bersetzen beide Seiten der Rekursionsgleichung in Aussagen u ¨ ber ihre Erzeugendenfunktionen: fk+2 z k = (fk+1 + fk ) z k = fk+1 z k + fk z k . (1.1) k≥0

k≥0

k≥0

k≥0

Die linke Seite von (1.1) lautet k≥0

fk+2 z k =

1 1 1 fk+2 z k+2 = 2 fk z k = 2 (F (z) − z) , 2 z z z k≥0

k≥2

w¨ ahrend die rechte Seite von (1.1) gleich

fk+1 z k +

k≥0

fk z k =

k≥0

1 F (z) + F (z) z

ist. Also kann (1.1) als 1 1 (F (z) − z) = F (z) + F (z) z2 z umformuliert werden, bzw. F (z) =

z . 1 − z − z2

¨ Es ist eine nette Ubung, (z.B. mit dem Computer) nachzurechnen, dass wir, wenn wir F als Potenzreihe entwickeln, tats¨ achlich die Fibonacci-Zahlen als Koeﬃzienten bekommen: z = z + z 2 + 2 z 3 + 3 z 4 + 5 z 5 + 8 z 6 + 13 z 7 + 21 z 8 + 34 z 9 + · · · . 1 − z − z2 Wir wenden nun unser Lieblingswerkzeug im Umgang mit rationalen Funktionen an: Die Partialbruchzerlegung. In Fall

unserem zerf¨allt der Nenner in √ √ 1+ 5 1− 5 2 die Faktoren 1 − z − z = 1 − 2 z 1 − 2 z , und die Partialbruchzerlegung lautet (s. Aufgabe 1.1) √ √ 1/ 5 z 1/ 5 √ √ = F (z) = − . 1 − z − z2 1 − 1+2 5 z 1 − 1−2 5 z

(1.2)

Die beiden Terme legen es nahe, die geometrische Reihe k≥0

xk =

1 1−x

(1.3)

1.2 Zwei M¨ unzen

(siehe Aufgabe 1.2) mit x =

√ 1+ 5 2

5

√

z bzw. x =

1− 5 2

z zu verwenden:

√ k √ k 1+ 5 1 1− 5 z z −√ 2 2 5 k≥0 ⎛ ⎞ √ k √ k 1 1 + 5 5 1 − ⎠ zk. √ ⎝ = − 2 2 5

1 z √ = F (z) = 1 − z − z2 5 k≥0

k≥0

Indem wir die Koeﬃzienten der z k in der Deﬁnition von F (z) = k≥0 fk z k und dem neuen Ausdruck oben vergleichen, erhalten wir eine geschlossene Form f¨ ur die Fibonacci-Zahlen: √ k √ k 1 1 1+ 5 1− 5 −√ . fk = √ 2 2 5 5 Diese Methode, von einer rationalen Erzeugendenfunktion zu ihrer Partialbruchzerlegung u ¨ berzugehen, ist eines unserer wichtigsten Werkzeuge. Da wir Partialbruchzerlegungen das ganze Buch hindurch immer wieder verwenden werden, halten wir das Ergebnis, auf dem diese Methode beruht, fest. Satz 1.1 (Partialbruchzerlegung). Zu jeder rationalen Funktion p(z) ek , k=1 (z − ak )

F (z) := m

wobei p ein Polynom vom Grad kleiner als e1 + e2 + · · · + em ist und die ak s paarweise verschieden sind, gibt es eine Zerlegung

m ck,1 ck,2 ck,ek F (z) = , + 2 + · · · + (z − a )ek z − ak k (z − ak ) k=1

wobei die ck,j ∈

eindeutig bestimmt sind.

Ein m¨ oglicher Beweis dieses Satzes basiert auf der Tatsache, dass die Polynome einen euklidischen Ring bilden. F¨ ur Leser, die mit diesem Konzept vertraut sind, skizzieren wir den Beweis in Aufgabe 1.35.

1.2 Zwei Mu ¨ nzen Angenommen, wir f¨ uhren ein neues M¨ unzsystem ein: Anstatt 1, 2 und 5 Cent sowie Zehnerpotenzvielfache davon zu verwenden, einigen wir uns auf M¨ unzen zu 4, 7, 9 und 34 Cent. Der aufmerksame Leser wird eine Schwachstelle in diesem System bemerken: Bestimmte Betr¨ age lassen sich damit nicht herausgeben, z.B. 2 oder 5 Cent. Gerade diese Unzul¨anglichkeit macht unser neues

6

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

System aber auch interessant, denn sie wirft folgende Frage auf: Welche Be” tr¨ age k¨ onnen wir mit diesem M¨ unzsystem darstellen?“. In Aufgabe 1.20 werden wir zeigen, dass es nur endlich viele ganzzahlige Betr¨age gibt, die nicht herausgegeben werden k¨ onnen. Eine naheliegende Frage, die als erstes von Georg Frobenius (1849–1917)2 und Joseph Sylvester (1814–1897)3 bearbeitet wurde, lautet: Welches ist der gr¨oßte Betrag, der in unserem neuen M¨ unzsys” tem nicht dargestellt werden kann?“. Als Mathematiker m¨ochten wir unsere Fragestellungen so allgemein wie m¨ oglich halten und suchen f¨ ur M¨ unzen mit Werten a1 , a2 , . . . , ad , die positive ganze Zahlen ohne einen gemeinsamen Teiler sind, nach einer Formel f¨ ur den gr¨ oßten Betrag, der mit diesem M¨ unzsystem nicht herausgegeben werden kann. Dieses Problem ist als M¨ unzenproblem von Frobenius bekannt. Genauer nehmen wir an, dass eine Menge A = {a1 , a2 , . . . , ad } mit ggT (a1 , a2 , . . . , ad ) = 1 gegeben sei. Wir nennen eine ganze Zahl n darstellbar, falls es nichtnegative ganze Zahlen m1 , m2 , . . . , md gibt, so dass n = m1 a1 + · · · + md ad gilt. F¨ ur unser M¨ unzsystem bedeutet das, dass wir den Betrag n mit M¨ unzen mit den Werten a1 , a2 , . . . , ad herausgeben k¨onnen. Das Frobenius-Problem (oft auch lineares diophantisches Problem von Frobenius genannt) besteht nun darin, die gr¨ oßte nicht darstellbare ganze Zahl zu ﬁnden. Wir nennen diese Zahl die Frobenius-Zahl und bezeichnen sie mit g(a1 , . . . , ad ). Der folgende Satz gibt uns eine elegante Formel f¨ ur den Fall d = 2. Satz 1.2. F¨ ur teilerfremde nat¨ urliche Zahlen a1 und a2 gilt g (a1 , a2 ) = a1 a2 − a1 − a2 . Inspiriert durch diese einfach aussehende Formel f¨ ur g wurde mit betr¨achtlichem Aufwand nach Formeln f¨ ur g (a1 , a2 , . . . , ad ) geforscht, allerdings nur mit begrenztem Erfolg; siehe die Anmerkungen am Ende dieses Kapitels. F¨ ur d = 2 fand Sylvester folgendes Resultat: Satz 1.3 (Satz von Sylvester). Seien a1 und a2 teilerfremde nat¨ urliche Zahlen. Dann ist genau die H¨alfte der ganzen Zahlen zwischen 1 und (a1 − 1) (a2 − 1) darstellbar. Unser Ziel in diesem Kapitel ist der Beweis dieser beiden S¨atze (und etwas mehr), indem wir die Maschinerie der Partialbruchzerlegung anwenden. Wir 2 3

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Frobenius siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Frobenius.html.

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Sylvester siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Sylvester.html.

1.3 Partialbr¨ uche und eine u ¨ berraschende Formel

7

n¨ ahern uns dem Frobenius-Problem, indem wir die eingeschr¨ ankte Partitionsfunktion pA (n) := # (m1 , . . . , md ) ∈ d : alle mj ≥ 0 und m1 a1 + · · · + md ad = n ,

also die Anzahl der additiven Partitionen von n mit Teilen aus A, untersuchen.4 Im Hinblick auf diese Partitionsfunktion ist g(a1 , . . . , ad ) die gr¨oßte ganze Zahl n, f¨ ur die pA (n) = 0 gilt. Es gibt eine sch¨ one geometrische Interpretation der eingeschr¨ankten Partitionsfunktion. Dazu deﬁnieren wir zun¨ achst die Menge P = (x1 , . . . , xd ) ∈ d : alle xj ≥ 0 und x1 a1 + · · · + xd ad = 1 . (1.4) Die n-te Streckung einer beliebigen Menge S ⊆

d

ist

{(nx1 , nx2 , . . . , nxd ) : (x1 , . . . , xd ) ∈ S} . Die Funktion pA (n) z¨ ahlt genau diejenigen Gitterpunkte, die in der n-ten Streckung von P liegen. Der Streckungsprozess ist in diesem Zusammenhang gleichbedeutend damit, x1 a1 + · · · + xd ad = 1 in der Deﬁnition von P durch x1 a1 + · · · + xd ad = n zu ersetzen. Die Menge P stellt sich als ein Polytop heraus. Man kann es f¨ ur Dimensionen d ≤ 3 leicht graphisch darstellen; Abbildung 1.1 zeigt den dreidimensionalen Fall.

1.3 Partialbru ¨che und eine u ¨ berraschende Formel Wir konzentrieren und zun¨ achst auf den Fall d = 2 und betrachten p{a,b} (n) = # (k, l) ∈ 2 : k, l ≥ 0, ak + bl = n ,

wobei a und b wie bisher teilerfremd sind. Zun¨achst experimentieren wir ein wenig mit Erzeugendenfunktionen. Wir betrachten das folgende Produkt zweier geometrischer Reihen: 1 1 = 1 + z a + z 2a + · · · 1 + z b + z 2b + · · · a b 1−z 1−z (siehe Aufgabe 1.2). Wenn wir alle Terme ausmultiplizieren, erhalten wir eine Potenzreihe, in der alle Exponenten Linarkombinationen von a und b sind. Der Koeﬃzient von z n in dieser Potenzreihe z¨ ahlt n¨amlich gerade, auf wieviele Arten n als nichtnegative Linearkombination von a und b geschrieben werden 4

Eine (additive) Partition einer nat¨ urlichen Zahl n ist eine Multimenge (d.h. eine Menge, in der Wiederholungen erlaubt sind) {n1 , n2 , . . . , nk } nat¨ urlicher Zahlen, so dass n = n1 + n2 + · · · + nk . Die Zahlen n1 , n2 , . . . , nk heißen die Teile der Partition.

8

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

y n b

1 b

1 a

n a

x

1 c

z

n c Abb. 1.1. d = 3.

kann. Mit anderen Worten heißt das, dass diese Koeﬃzienten exakt die Werte unserer Z¨ ahlfunktion p{a,b} sind: 1 1 = z ak z bl = p{a,b} (n) z n . a b 1−z 1−z n≥0

k≥0 l≥0

∞ Also ist diese Funktion die Erzeugendenfunktion der Folge p{a,b} (n) n=0 von ganzen Zahlen. Die Idee besteht nun darin, die kompakte Funktion auf der linken Seite zu untersuchen. Wir werden nun eine interessante Formel f¨ ur p{a,b} (n) aufdecken, indem wir uns die Erzeugendenfunktion auf der linken Seite genauer ansehen. Um unsere Berechnungen zu vereinfachen, untersuchen wir den konstanten Term einer verwandten Reihe; es ist n¨ amlich p{a,b} (n) der konstante Term von f (z) :=

1 = p{a,b} (k) z k−n . (1 − z a ) (1 − z b ) z n k≥0

1.3 Partialbr¨ uche und eine u ¨ berraschende Formel

9

Die letzte Reihe in dieser Gleichungskette ist nicht mehr ganz eine Potenzreihe, da sie auch Terme mit negativen Exponenten enth¨alt. Solche Reihen nennt man Laurent-Reihen, nach Pierre Alphonse Laurent (1813–1854). F¨ ur eine (um 0 zentrierte) Potenzreihe k¨ onnten wir die dazugeh¨orige Funktion einfach bei z = 0 auswerten, um den konstanten Term zu erhalten; sobald wir aber auch negative Exponenten haben ist dies nicht mehr m¨oglich. Wenn wir jedoch zun¨ achst alle Terme mit negativen Exponenten abziehen, bekommen wir eine Potenzreihe, deren (unver¨ anderter) konstanter Term nun durch Auswerten der restlichen Funktion bei z = 0 errechnet werden kann. Um diesen konstanten Term berechnen zu k¨onnen, werden wir f in Partialbr¨ uche zerlegen. Als Aufw¨ arm¨ ubung im Umgang mit Partialbruchzerlegungen betrachten wir zun¨ achst ein eindimensionales Beispiel. Wir bezeichnen die erste a-te Einheitswurzel mit ξa := e2πi/a = cos

2π 2π + i sin . a a

Die a-ten Einheitswurzeln sind dann 1, ξa , ξa2 , ξa3 , . . . , ξaa−1 . 1 Beispiel 1.4. Wir wollen die Partialbruchzerlegung von 1−z a bestimmen. Die Pole dieser Funktion liegen bei den a-ten Einheitswurzeln ξak f¨ ur k = 0, 1, . . . , a − 1. Also erweitern wir zu

Ck 1 = . 1 − za z − ξak a−1 k=0

Wie k¨ onnen wir nun die Koeﬃzienten Ck bestimmen? Es gilt: 1 1 ξak k , = lim Ck = lim z − ξa = − k k −a z a−1 1 − za a z→ξa z→ξa wobei wir die Regel von de l’Hospital in der vorletzten Gleichung verwendet haben. Also gelangen wir zu der Zerlegung 1 1 ξak =− . a 1−z a z − ξak a−1

k=0

Wir kommen zur¨ uck zu den eingeschr¨ ankten Partitionsfunktionen. Die Pole von f liegen bei z = 0 mit Vielfachheit n, bei z = 1 mit Vielfachheit 2, und bei allen anderen a-ten und b-ten Einheitswurzeln mit Vielfachheit 1, da a und b teilerfremd sind. Also sieht unsere Partialbruchzerlegung wie folgt aus: f (z) =

a−1 b−1 Ck A1 A2 Dj B2 An B1 + 2 +· · ·+ n + + + + . (1.5) z z z z − 1 (z − 1)2 z − ξak j=1 z − ξbj k=1

¨ Dem Leser sei die Berechnung der Koeﬃzienten zur Ubung empfohlen (Aufgabe 1.21):

10

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

Ck = −

1

, k(n−1) a (1 − ξakb ) ξa 1 . Dj = −

j(n−1) ja b 1 − ξb ξb

(1.6)

Um B2 zu berechnen, multiplizieren wir beide Seiten von (1.5) mit (z − 1)2 und bestimmen den Grenzwert f¨ ur z → 1. Wir erhalten (z − 1)2 1 , = z→1 (1 − z a ) (1 − z b ) z n ab

B2 = lim

indem wir beispielsweise die Regel von de l’Hospital zweimal anwenden. Um die interessantere Konstante B1 zu bestimmen, rechnen wir

1 1 1 n 1 1 ab − − − , = B1 = lim (z − 1) − 2 a b n z→1 (1 − z ) (1 − z ) z ab 2a 2b ab (z − 1) wieder mit der Regel von de l’Hospital. Wir brauchen die Koeﬃzienten A1 , . . . , An gar nicht auszurechnen, da sie nur zu den Termen mit negativen Koeﬃzienten beitragen, und die k¨onnen wir einfach vernachl¨assigen, da sie sich nicht auf den konstanten Term von f auswirken. Sobald wir die anderen Koeﬃzienten haben, ergibt sich der konstante Term der Laurent-Reihe von f – wie oben erl¨autert – durch Auswerten der folgenden Funktion bei 0: ⎛ ⎞ a−1 b−1 B C D B 1 2 k j ⎠ ⎝ p{a,b} (n) = + + + z − 1 (z − 1)2 z − ξak j=1 z − ξbj k=1 z=0

= −B1 + B2 −

a−1

b−1 Dj

Ck − . j ξk j=1 ξb k=1 a

Mit Hilfe von (1.6) vereinfachen wir dies zu p{a,b} (n) =

a−1 b−1 1 1 1 n 1 1 1 + + + + . (1.7) 2a 2b ab a (1 − ξakb )ξakn b j=1 (1 − ξbja )ξbjn k=1

Ermuntert von diesem anf¨ anglichen Erfolg machen wir uns nun daran, die einzelnen Summen in (1.7) zu untersuchen, in der Hoﬀnung, sie als bekannte Objekte zu erkennen. F¨ ur den n¨ achsten Schritt m¨ ussen wir zun¨achst die Gauß-Klammer x deﬁnieren, die die gr¨ oßte ganze Zahl kleiner als oder gleich x bezeichnet. Eng mit ihr verwandt ist die Nachkommaanteilsfunktion {x} = x − x. Lesern, die mit den Funktionen x und {x} nicht vertraut sind, seien die Aufgaben 1.3 bis 1.5 zur Bearbeitung empfohlen.

1.3 Partialbr¨ uche und eine u ¨ berraschende Formel

11

Als n¨ achstes betrachten wir einen Spezialfall, n¨amlich b = 1. Er ist deswegen interessant, weil p{a,1} (n) gerade die Gitterpunkte in einem Intervall z¨ ahlt: p{a,1} (n) = # (k, l) ∈ 2 : k, l ≥ 0, ak + l = n

= # {k ∈ : k ≥ 0, ak ≤ n} n =# k∈ : 0≤k≤ a n +1. = a (siehe Aufgabe 1.3). Auf der anderen Seite haben wir in (1.7) nur einen anderen Ausdruck f¨ ur diese Funktion berechnet, so dass a−1 n 1 1 1 n 1 + + + +1. = p (n) = {a,1} 2a 2 a a (1 − ξak ) ξakn a k=1

Mit Hilfe der Nachkommaanteilsfunktion {x} = x−x haben wir eine Formel f¨ ur die folgende Summe u ¨ ber a-te Einheitswurzeln hergeleitet: a−1 n 1 1 1 1 + − . =− k kn a (1 − ξa ) ξa a 2 2a

(1.8)

k=1

Damit sind wir fast fertig: Wir laden den Leser in Aufgabe 1.22 ein, zu zeigen, dass a−1 a−1 1 1 1 1 = , (1.9) bk kn k a (1 − ξa ) ξa a (1 − ξa ) ξab−1 kn k=1 k=1 wobei b−1 eine ganze Zahl ist, f¨ ur die b−1 b ≡ 1 mod a gilt, und folgern, dass −1 a−1 1 1 1 1 b n + − . =− a (1 − ξabk ) ξakn a 2 2a

(1.10)

k=1

Jetzt m¨ ussen wir nur noch diesen Ausdruck zur¨ uck in (1.7) einsetzen und wir erhalten die folgende sch¨ one Formel, die auf Tiberiu Popoviciu (1906–1975) zur¨ uckgeht. Satz 1.5 (Satz von Popoviciu). F¨ ur teilerfremde a und b gilt −1 −1 b n a n n p{a,b} (n) = − − +1, ab a b wobei b−1 b ≡ 1 mod a und a−1 a ≡ 1 mod b.

12

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius y 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

Abb. 1.2. 4x + 7y = n, n = 1, 2, . . .

1.4 Der Satz von Sylvester Bevor wir Satz 1.5 anwenden, um die klassischen S¨atze 1.2 und 1.3 zu beweisen, kehren wir f¨ ur einen Moment zur Geometrie hinter der eingeschr¨ankten Partitionsfunktion p{a,b} (n) zur¨ uck. Im zweidimensionalen Fall (¨ uber den Satz 1.5 eine Aussage macht) z¨ ahlen wir Gitterpunkte (x, y) ∈ 2 auf Geradenabschnitten, die durch die Bedingungen

ax + by = n ,

x, y ≥ 0

bestimmt sind. Wenn n gr¨ oßer wird, werden diese Geradenabschnitte gestreckt. Es ist nicht zu abwegig (obwohl Aufgabe 1.13 uns lehrt, mit solchen Aussagen vorsichtig zu sein) zu erwarten, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Gitterpunkt auf dem Geradenabschnitt liegt, mit wachsendem n gr¨ oßer wird. Tats¨ achlich k¨ onnte man sogar annehmen, dass die Anzahle der Punkte auf dem Geradenabschnitt linear mit n ansteigt, da der Geradenabschnitt ein eindimensionales Objekt ist. Satz 1.5 quantiﬁziert diese Aussage sehr pr¨ azise: p{a,b} (n) hat den Leitterm“ n/ab, und die weiteren Terme sind ” als Funktionen von n beschr¨ ankt. Abbildung 1.2 zeigt die Geometrie hinter der Z¨ ahlfunktion p{4,7} (n) f¨ ur die ersten paar Werte von n. Man beachte, dass die dickgedruckte Strecke f¨ ur n = 17 = 4 ·7 − 4 − 7 die letzte ist, die u ¨berhaupt keinen Gitterpunkt enth¨ alt. Lemma 1.6. Falls a und b teilerfremde positive ganze Zahlen sind und n ∈ [1, ab − 1] kein Vielfaches von a oder b ist, gilt p{a,b} (n) + p{a,b} (ab − n) = 1 .

1.5 Drei und mehr M¨ unzen

13

Mit anderen Worten, f¨ ur n zwischen a und ab − 1, das weder durch a noch durch b teilbar ist, ist genau eine der beiden Zahlen n und ab − n als Kombination von a und b darstellbar. Beweis. Diese Gleichung folgt direkt aus Satz 1.5: −1 −1 b (ab − n) a (ab − n) ab − n − − +1 p{a,b} (ab − n) = ab a b −1 −1 −b n −a n n − − =2− ab a b −1 −1 b n a n n () + = − + ab a b = 1 − p{a,b} (n) . Dabei folgt () aus der Tatsache, dass {−x} = 1 − {x} falls x ∈ Aufgabe 1.5).

(siehe

Beweis von Satz 1.2. Wir m¨ ussen zeigen, dass p{a,b} (ab − a − b) = 0 und dass p{a,b} (n) > 0, falls n > ab − a − b. Die erste Behauptung folgt aus Aufgabe 1.24, die besagt, dass p{a,b} (a + b) = 1, und Lemma 1.6. Um die zweite Behauptung benutzen wir, dass f¨ ur jede ganze Zahl m die zu zeigen, 1 Ungleichung m ≤ 1 − gilt. Daher gilt f¨ u r jede positive ganze Zahl n, dass a a 1 1 n ab − a − b + n − 1− − 1− +1 = > 0. p{a,b} (ab − a − b + n) ≥ ab a b ab Beweis von Satz 1.3. Wir erinnern uns zun¨ achst an Lemma 1.6, das besagt, dass f¨ ur n zwischen 1 und ab − 1, das weder a noch b als Teiler hat, genau eine der beide Zahlen n und ab − n darstellbar ist. Es gibt ab − a − b + 1 = (a − 1)(b − 1) Zahlen zwischen 1 und ab − 1, die weder durch a noch durch b teilbar sind. Schließlich beachten wir, dass p{a,b} (n) > 0 falls n ein Vielfaches von a oder b ist, was aus der Deﬁnition von p{a,b} (n) folgt. Daher ist die Anzahl der nicht darstellbaren ganzen Zahlen genau 12 (a − 1)(b − 1). Damit haben wir sogar mehr gezeigt. Im wesentlichen wegen Lemma 1.6 gilt, dass jede positive ganze Zahl kleiner als ab h¨ochstens eine Darstellung hat. Daher sind die darstellbaren Zahlen, die kleiner als ab sind, eindeutig darstellbar (siehe auch Aufgabe 1.25).

1.5 Drei und mehr Mu ¨ nzen Was passiert mit der Komplexit¨ at des Frobenius-Problems, wenn wir mehr als zwei M¨ unzen haben? Wir kommen auf die eingeschr¨ankte Partitionsfunktion

14

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

pA (n) = # (m1 , . . . , md ) ∈

d :

alle mj ≥ 0, m1 a1 + · · · + md ad = n

zur¨ uck, wobei A = {a1 , . . . , ad }. Mit genau der gleichen Argumentation wie in Abschnitt 1.3 k¨ onnen wir ganz leicht die Erzeugendenfunktion von pA (n) aufschreiben: 1 1 1 n ··· . pA (n) z = 1 − z a1 1 − z a2 1 − z ad n≥0

Wir wenden die gleichen Methoden an, die wir in Abschnitt 1.3 benutzt haben, um unsere Funktion pA (n) als konstanten Term einer n¨ utzlichen Erzeugendenfunktion zu erhalten, n¨ amlich 1 pA (n) = const . (1 − z a1 ) (1 − z a2 ) · · · (1 − z ad ) z n Jetzt zerlegen wir die Funktion auf der rechten Seite in Partialbr¨ uche. Der Einfachheit halber nehmen wir im Folgenden an, dass a1 , . . . , ad paarweise teilerfremd sind; d.h. keine zwei der ganzen Zahlen a1 , . . . , ad haben einen gemeinsamen Teiler. Dann sieht unsere Partialbruchzerlegung wie folgt aus: 1

f (z) =

z a1 ) · · · (1

(1 − − z ad ) z n A2 B2 A1 An B1 Bd + 2 + ···+ n + + = + ···+ 2 z z z z − 1 (z − 1) (z − 1)d +

a 1 −1 k=1

(1.11)

a a 2 −1 d −1 C1k C2k Cdk + + · · · + . z − ξak1 z − ξak2 z − ξakd k=1

k=1

Inzwischen sind wir ge¨ ubt im Umgang mit Partialbruchkoeﬃzienten, so dass der Leser leicht nachpr¨ ufen kann, dass (Aufgabe 1.29) C1k = −

a1 1 −

ξaka1 2

1−

1

ξaka1 3

. k(n−1) · · · 1 − ξaka1 d ξa1

(1.12)

Wie vorher m¨ ussen wir auch hier die Koeﬃzienten A1 , . . . , An nicht berechnen, da sie nicht zum konstanten Term von f beitragen. F¨ ur die Berechnung von B1 , . . . , Bd k¨ onnen wir ein Computeralgebraprogramm wie Maple oder Mathematica benutzen. Wieder gilt, dass wir, sobald wir diese Koeﬃzienten berechnet haben, den konstanten Term von f berechnen k¨onnen, indem wir alle negativen Exponenten weglassen und die u ¨ brig bleibende Funktion bei 0 auswerten:

a a 1 −1 d −1 C1k Cdk Bd B1 pA (n) = + ··· + + + · · · + z−1 (z − 1)d z − ξak1 z − ξakd k=1

= −B1 + B2 − · · · + (−1)d Bd −

a 1 −1 k=1

k=1

C1k − ξak1

a 2 −1 k=1

z=0

a d −1 C2k Cdk − · · · − . k ξa2 ξakd k=1

1.5 Drei und mehr M¨ unzen

15

Wenn wir zum Beispiel die Ausdr¨ ucke, die wir f¨ ur Clk gefunden haben, in die letzte Summe u ¨ber die nichttrivialen al -ten Einheitswurzeln einsetzen, ergibt sich a1 −1 1 1

. a1 1 − ξaka1 2 1 − ξaka1 3 · · · 1 − ξaka1 d ξakn k=1 1 Dies motiviert die Deﬁnition der Fourier-Dedekind-Summe ξbkn 1

. (1.13) b 1 − ξ ka1 1 − ξ ka2 · · · 1 − ξ kam b−1

sn (a1 , a2 , . . . , am ; b) :=

k=1

b

b

b

Wir werden diese Summen im Detail in Kapitel 8 untersuchen. Mit dieser Deﬁnition sind wir bei folgendem Resultat angelangt. Satz 1.7. Die eingeschr¨ankte Partitionsfunktion f¨ ur A = {a1 , a2 , . . . , ad }, wobei die ak s paarweise teilerfremd sind, kann durch pA (n) = −B1 + B2 − · · · + (−1)d Bd + s−n (a2 , a3 , . . . , ad ; a1 ) + s−n (a1 , a3 , a4 , . . . , ad ; a2 ) + · · · + s−n (a1 , a2 , . . . , ad−1 ; ad ) berechnet werden. Dabei sind B1 , B2 , . . . , Bd die Partialbruchkoeﬃzienten in der Zerlegung von (1.11). Beispiel 1.8. Wir geben die eingeschr¨ ankte Partitionsfunktion f¨ ur d = 3 und 4 an. Diese geschlossenen Formeln haben sich in der verfeinerten Analyse der Periodizit¨ at, die der Partitionsfunktion pA (n) inh¨arent ist, als n¨ utzlich erwiesen. Zum Beispiel kann man den Graph von p{a,b,c} (n) als eine gewellte ” Parabel” visualisieren, wie aus der Formel oﬀensichtlich wird. n 1 1 1 1 3 3 3 a b c n2 p{a,b,c} (n) = + + + + + + + + + 2abc 2 ab ac bc 12 a b c bc ac ab 1 1 1 1 + + a (1 − ξakb ) (1 − ξakc ) ξakn b 1 − ξbkc 1 − ξbka ξbkn +

a−1

b−1

k=1

k=1

c−1 1

c

k=1

1 , (1 − ξcka ) (1 − ξckb ) ξckn

n3 n2 1 1 1 1 p{a,b,c,d} (n) = + + + + 6abcd 4 abc abd acd bcd 3 3 3 3 3 3 a b c d n + + + + + + + + + + 12 ab ac ad bc bd cd bcd acd abd abc

16

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

a a b b b c c c a + + + + + + + + bc bd cd ad ac cd ab ad bd d d 1 1 1 1 1 d + − + + + + + ab ac bc 8 a b c d

+

1 24

+

1 1 a (1 − ξakb ) (1 − ξakc ) (1 − ξakd ) ξakn a−1 k=1

1 1 kc b 1 − ξb 1 − ξbkd 1 − ξbka ξbkn b−1

+

k=1

1 1 c (1 − ξckd ) (1 − ξcka ) (1 − ξckb ) ξckn c−1

+

k=1

1 1 + . d 1 − ξdka 1 − ξdkb 1 − ξdkc ξdkn d−1

k=1

Anmerkungen 1. Die Theorie der Erzeugendenfunktionen hat eine lange und m¨achtige Tradition. Ihre N¨ utzlichkeit streifen wir hier nur. Den Lesern, die ein wenig tiefer im weitl¨ auﬁgen Garten der Erzeugendenfunktionen graben m¨ochten, seien Herb Wilfs Generatingfunctionology [186] und L´ aszl´o Lov´ aszs Combinatorial Problems and Exercises [121] sehr empfohlen. Der Leser mag sich vielleicht wundern, dass wir Konvergenzaspekte der Erzeugendenfunktionen, mit denen wir hantieren, nicht betonen. Die sind jedoch ausnahmslos geometrische Reihen, die triviale Konvergenzeigenschaften haben. Um eine klare mathematische Darstellung nicht zu tr¨ uben, lassen wir solche Konvergenzdetails weg. 2. Das Frobenius-Problem ist nach Georg Frobenius benannt, der es anscheinend gerne in Vorlesungen stellte [40]. Satz 1.2 ist ein ber¨ uhmtes Resultat in der mathematischen Folklore und vielleicht eines der am h¨auﬁgsten falsch zitierten mathematischen Ergebnisse u ¨ berhaupt. Viele Autoren zitieren James J. Sylvesters Problem in [176], aber sein Aufsatz enth¨alt Satz 1.3, nicht Satz 1.2. Tats¨ achlich war Sylvesters Problem bereits als ein Satz in [175] aufgetaucht. Es ist nicht bekannt, wer Satz 1.2 als erstes entdeckt oder bewiesen hat. Es ist durchaus denkbar, dass Sylvester diesen Satz kannte, als er Satz 1.3 aufstellte. 3. Das lineare diophantische Problem von Frobenius sollte nicht mit dem Briefmarkenproblem verwechselt werden. Letzteres fragt nach der Bestimmung einer ¨ ahnlichen Gr¨ oße, beschr¨ ankt allerdings unabh¨angig die Gr¨oße der ganzzahligen L¨ osungen der linearen Gleichung.

Anmerkungen

17

4. Satz 1.5 hat eine interessante Geschichte. Das fr¨ uheste uns bekannte Auftauchen dieses Ergebnisses ist in einem Aufsatz von Tiberiu Popoviciu [147]. Popovicius Formel ist seitdem mindestens zweimal wiederbelebt worden [160, 182]. 5. Fourier-Dedekind-Summen sind das erste Mal implizit in Sylvesters Arbeit aufgetreten (siehe z.B. [174]), und das erste Mal explizit im Zusammenhang mit eingeschr¨ ankten Partitionsfunktionen in [103]. Sie wurden in [24] erneut entdeckt, in Verbindung mit dem Frobenius-Problem. Die Aufs¨atze [82, 156] enthalten interessante Verbindungen mit Bernoulli- und Euler-Polynomen. Wir werden die Untersuchung von Fourier-Dedekind-Summen in Kaptitel 8 wieder aufnehmen. 6. Wie wir oben bereits erw¨ ahnt haben, ist das Frobenius-Problem f¨ ur d ≥ 3 wesentlich schwieriger als im Fall d = 2, den wir behandelt haben. Jenseits von d = 3 ist das Problem zweifelsohne noch v¨ ollig oﬀen, obwohl bereits erhebliche Anstrengungen zu seiner Untersuchung unternommen wurden. Die Literatur zu diesem Problem ist weitl¨ auﬁg, und es gibt immer noch viel Raum f¨ ur Verbesserungen. Der interessierte Leser sei auf die umfassende Monographie [152] verwiesen, die Referenzen auf fast alle Aufs¨ atze, die das Frobenius-Problem behandeln, sichtet und etwa 40 oﬀene Probleme und Vermutungen im Zusammenhang mit dem Frobenius-Problem angibt. Als Kostprobe erw¨ahnen wir zwei Meilensteine, die u ¨ ber d = 2 hinaus gehen: Der erste behandelt die Erzeugendenfunktion r(z) := k∈R z k , wobei R die Menge aller ganzen Zahlen, die durch eine gegebene Menge teilerfremder positiver ganzer Zahlen a1 , a2 , . . . , ad darstellbar sind, angibt. Es ist nicht schwer einzusehen (Aufgabe 1.34), dass r(z) = p(z)/ (1 − z a1 ) (1 − z a2 ) · · · (1 − z ad ) f¨ ur ein Polynom p. Diese rationale Erzeugendenfunktion enth¨alt s¨ amtliche Informationen u ¨ ber das Frobenius-Problem, z.B. ist die Frobenius1 Zahl gerade der Totalgrad der Funktion 1−z −r(z). Daher wird das FrobeniusProblem darauf reduziert, das Polynom p, das im Z¨ahler von r steht, zu ﬁnden. Marcel Morales [133, 134] und Graham Denham [72] haben die bemerkenswerte Tatsache entdeckt, dass f¨ ur d = 3 das Polynom p entweder 4 oder 6 Terme hat. Dar¨ uberhinaus gaben sie halbexplizite Formeln f¨ ur p. Der Satz von Morales-Denham impliziert, dass die Frobenius-Zahl im Fall d = 3 schnell berechnet werden kann; ein Ergebnis, das urspr¨ unglich, in unterschiedlichen Gestalten, auf J¨ urgen Herzog [94], Harold Greenberg [88] und J. Leslie Davison [64] zur¨ uckgeht. Genauso wie es scheinbar eine klare Grenze zwischen den F¨ allen d = 2 und d = 3 gibt, scheint es auch zwischen den F¨allen d = 3 und d = 4 eine Grenze zu geben: Henrik Bresinsky [42] hat bewiesen, dass f¨ ur d ≥ 4 keine absolute Schranke f¨ ur die Anzahl der Terme im Z¨ahler p existiert, im starken Kontrast zum Satz von Morales-Denham. Auf der anderen Seite haben Alexander Barvinok und Kevin Woods [14] bewiesen, dass f¨ ur feste d die rationale Erzeugendenfunktion r(z) als kurze“ ” Summe rationaler Funktionen geschrieben werden kann; insbesondere kann r

18

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

eﬃzient berechnet werden, wenn d fest ist. Ein Korollar dazu ist, dass die Frobenius-Zahl f¨ ur feste d eﬃzient berechnet werden kann; dieser Satz geht auf Ravi Kannan zur¨ uck [104]. Andererseits hat Jorge Ram´ırez-Alfons´ın [151] gezeigt, dass es aussichtslos ist, die Frobenius-Zahl eﬃzient berechnen zu wollen, solange d variabel gelassen wird. W¨ ahrend die obigen Ergebnisse die theoretische Komplexit¨at der Berechnung der Frobenius-Zahl kl¨ aren, sind praktische Algorithmen ein v¨ollig anderes Thema. Sowohl Kannans als auch Barvinok-Woods Ideen scheinen komplex genug zu sein, dass bisher niemand versucht hat, sie zu implementieren. Der derzeit schnellste Algorithmus wird in [31] vorgestellt.

Aufgaben ¨ 1.1. ♣ Uberpr¨ ufen Sie die folgende Partialbruchzerlegung (1.2): √ √ z 1/ 5 1/ 5 √ √ = − . 1 − z − z2 1 − 1+ 5 z 1 − 1− 5 z 2

2

1.2. ♣ Es sei z eine komplexe Zahl und n eine positive ganze Zahl. Zeigen Sie, dass (1 − z) 1 + z + z 2 + · · · + z n = 1 − z n+1 , und benutzen Sie dies, um zu zeigen, dass f¨ ur |z| < 1 gilt:

zk =

k≥0

1 1−z

1.3. ♣ Finden Sie eine Formel f¨ ur die Anzahl der Gitterpunkte in [a, b] f¨ ur beliebige reelle Zahlen a und b. 1.4. Zeigen Sie das Folgende. Soweit nicht anders angegeben, sei n ∈ x, y ∈ . (a) x + n = x + n. (b) x + y ≤ x+ y ≤ x + y + 1. 0 falls x ∈ , (c) x + −x = −1 sonst. (d) F¨ ur n ∈ >0 , x = nx . n

und

(e) − −x ist die kleinste ganze Zahl gr¨ oßer als oder gleich x, geschrieben x. (f) x + 1/2 ist die n¨ achste ganze Zahl zu x (und falls es zwei solche Zahlen gibt, die gr¨ oßere der beiden). (g) x + x + 1/2 = 2x. (h) Falls m und n positive ganze Zahlen sind, ist m n die Anzahl der ganzen Zahlen im Bereich 1, . . . , m, die durch n teilbar sind.

Aufgaben

19

−n = − (i) ♣ Falls m ∈ >0 , n ∈ , dann n−1 m m − 1. n−1 (j) ♣ Falls m ∈ >0 , n ∈ , dann ist m + 1 die kleinste ganze Zahl gr¨oßer als oder gleich n/m.

1.5. Schreiben Sie so viele der obigen Gleichungen in Erzeugendenfunktionsgleichungen um, wie Ihnen sinnvoll erscheinen. 1.6. Es seien m und n teilerfremde positive ganze Zahle. Zeigen Sie, dass m−1 k=0

n−1 jm 1 kn = = (m − 1)(n − 1) . m n 2 j=0

1.7. Zeigen Sie die folgenden Gleichungen. Wir werden sie mindestens zweimal gebrauchen: Wenn wir Partialbr¨ uche untersuchen, und wenn wir endliche Fourierreihen behandeln. F¨ ur φ, ψ ∈ , n ∈ >0 , m ∈ gilt:

i0

(a) e = 1, (b) eiφ eiψ = ei(φ+ψ) , (c) 1/eiφ = e−iφ , (d) ei(φ+2π) = eiφ , (e) e2πi= 1, (f) eiφ = 1, d iφ (g) dφ e = i eiφ , n−1 n falls n|m, (h) k=0 e2πikm/n = 0 sonst, n−1 n (i) k=1 k e2πik/n = e2πi/n . −1

und n > 0. Finden Sie eine geschlossene Formel f¨ ur 1.8. m, n ∈ 2πikm/n n−1Es kseien (als Funktion von m und n). k=0 n e 1.9. ♣ Es seien m und n teilerfremde ganze Zahlen, und n positiv. Zeigen Sie, dass e2πimk/n : 0 ≤ k < n = e2πij/n : 0 ≤ j < n und

e2πimk/n : 0 < k < n = e2πij/n : 0 < j < n .

Folgern Sie daraus, dass f¨ ur eine beliebige komplexwertige Funktion f gilt n−1

n−1

f e2πimk/n = f e2πij/n j=0

k=0

und

n−1 k=1

f e

2πimk/n

=

n−1 j=1

f e2πij/n .

20

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

1.10. Es sei n eine positive ganze Zahl. Falls Sie wissen, was eine Gruppe ist, zeigen Sie, dass die Menge e2πik/n : 0 ≤ k < n eine zyklische Gruppe der Ordnung n bildet (unter Multiplikation in ).

ur eine ganze Zahle m sei (m mod n) die 1.11. Wir halten ein n ∈ >0 fest. F¨ kleinste nichtnegative ganze Zahl in G1 := n , zu der m kongruent ist. Wir bezeichnen mit die Addition modulo n, und mit ◦ folgende Verkn¨ upfung: m m m + m 1 2 1 2 ◦ = , n n n m die auf der Menge G2 := : m∈ deﬁniert ist. Wir deﬁnieren die n folgenden Funktionen:

φ ((m mod n)) = e2πim/n , m

, ψ e2πim/n = n

m χ = (m mod n) . n Zeigen Sie das Folgende: φ ((m1 mod n) (m2 mod n)) = φ ((m1 mod n)) φ ((m2 mod n)) ,

ψ e2πim1 /n e2πim2 /n = ψ e2πim1 /n ◦ ψ e2πim2 /n ,

m

m

m m 1 2 1 2 ◦ =χ χ . χ n n n n Zeigen Sie, dass die drei oben deﬁnierten Abbildungen, n¨amlich φ, ψ und χ, injektiv sind. Wieder f¨ ur Leser, die mit dem Begriﬀ einer Gruppe vertraut sind, sei G3 die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln. Was wir gezeigt haben ist, dass die drei Gruppen G1 , G2 und G3 isomorph zueinander sind. Es ist sehr hilfreich, zwischen diesen drei isomorphen Gruppen herumzuwechseln. 1.12. ♣ Zu gegebenen ganzen Zahlen a, b, c und d bilden Sie den Geradenabschnitt in 2 , der den Punkt (a, b) mit (c, d) verbindet. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Gitterpunkte auf diesem Geradenabschnitt ggT(a − c, b − d) + 1 ist. 1.13. Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine Gerade mit (a) keinem Gitterpunkt; (b) einem Gitterpunkt; (c) unendlich vielen Gitterpunkten. Geben Sie in jedem der F¨ alle, sofern es angemessen ist, notwendige Bedingungen an die (Ir)Rationalit¨ at der Steigung an.

Aufgaben

21

1.14. Angenommen, eine Gerade y = mx + b geht durch die Gitterpunkte (p1 , q1 ) und (p2 , q2 ). Zeigen Sie, dass sie auch durch die Gitterpunkte p1 + k(p2 − p1 ), q1 + k(q2 − q1 ) , k ∈

geht. 1.15. Zeigen Sie f¨ ur gegebene irrationale Zahlen p und q mit p1 + 1q = 1, dass >0 die disjunkte Vereinigung der beiden Ganzzahlfolgen {pn : n ∈ >0 } und {qn : n ∈ >0 } ist. Dieser Satz von 1894 geht auf Lord Rayleigh zur¨ uck und wurde im Jahr 1926 von Sam Beatty erneut entdeckt. Folgen der Form {pn : n ∈ >0 } werden oft Beatty-Folgen genannt.

1.16. Seien a, b, c, d ∈ . Wir nennen {(a, b) , (c, d)} eine Gitterbasis von falls jeder Gitterpunkt (m, n) ∈ 2 als

2 ,

(m, n) = p (a, b) + q (c, d)

geschrieben werde kann. Zeigen Sie, dass, wenn f¨ ur bestimmte p, q ∈ {(a, b) , (c, d)} und {(e, f ) , (g, h)} Gitterbasen von 2 sind, es eine Matrix M mit ganzzahligen Eintr¨ agen und Determinante ±1 gibt, so dass ef ab . =M gh cd ab gleich ±1 ist. Folgern Sie daraus, dass die Determinante von cd

1.17. ♣ Zeigen Sie, dass ein Dreieck mit Eckpunkten auf dem Gitter der ganzen Zahlen genau dann keine weiteren Gitterpunkte im Inneren bzw. auf dem Rand hat, wenn seine Fl¨ ache 12 misst. (Hinweis: Beginnen Sie damit, das Dreieck zu einem Parallelogramm zu verdoppeln“.) ” 1.18. Wir deﬁnieren einen Nordost-Gitterpfad als einen Pfad durch Gitterpunkte, der nur die Schritte (1, 0) und (0, 1) benutzt. Sei Ln die Gerade, die durch x + 2y = n deﬁniert ist. Zeigen Sie, dass die Anzahl der NordostGitterpfade vom Ursprung zu einem Gitterpunkte auf Ln gerade die (n+1)-te Fibonacci-Zahl fn+1 ist. 1.19. Berechnen Sie die Koeﬃzienten der Taylorreihe von 1/(1−z)2 um z = 0 ... (a) . . . durch ein Abz¨ ahlargument, (b) . . . durch Ableiten der geometrischen Reihe. Verallgemeinern Sie.

1.20. ♣ Zeigen Sie, dass f¨ ur a1 , a2 , . . . , ad ∈ >0 , die keinen gemeinsamen Teiler haben, die Frobenius-Zahl g(a1 , . . . , ad ) wohldeﬁniert ist.

22

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

1.21. ♣ Berechnen Sie die Partialbruchkoeﬃzienten (1.6). 1.22. ♣ Zeigen Sie (1.9): F¨ ur teilerfremde positive ganze Zahlen a und b gilt 1 1 1 1 = , bk kn a (1 − ξa ) ξa a (1 − ξak ) ξab−1 kn a−1

a−1

k=1

k=1

wobei b−1 b ≡ 1 mod a, und folgern Sie daraus (1.10), n¨amlich −1 a−1 1 1 1 1 b n + − . = − a (1 − ξabk ) ξakn a 2 2a k=1

(Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 1.9.) 1.23. Beweisen Sie, dass f¨ ur teilerfremde positive ganze Zahlen a und b die Aussage p{a,b} (n + ab) = p{a,b} (n) + 1 gilt. 1.24. ♣ Zeigen Sie, dass, wenn a und b teilerfremde positive ganze Zahlen sind, p{a,b} (a + b) = 1 gilt. 1.25. Um das Frobenius-Problem zu erweitern, bezeichnen wir eine ganze Zahl n als k-darstellbar, falls pA (n) = k; d.h. falls n auf genau k Arten unter Benutzung der Zahlen aus A dargestellt werden kann. Wir deﬁnieren gk = gk (a1 , . . . , ad ) als die gr¨ oßte k-darstellbare ganze Zahl. Zeigen Sie:

(a) Sei d = 2. Zu jedem k ∈ ≥0 gibt es ein N , so dass alle ganzen Zahlen gr¨ oßer als N mindestens k Darstellungen haben (und daher gk (a, b) wohldeﬁniert ist). (b) gk (a, b) = (k + 1)ab − a − b. (c) Zu gegebenem k ≥ 2 ist die kleinste k-darstellbare ganze Zahl ab(k − 1). (d) Das kleinste Intervall, das alle eindeutig darstellbaren ganzen Zahlen enth¨ alt, ist [min(a, b), g1 (a, b)]. (e) Zu gegebenem k ≥ 2 ist das kleinste Intervall, das alle k-darstellbaren ganzen Zahlen enth¨ alt, das Intervall [gk−2 (a, b) + a + b, gk (a, b)]. (f) Es gibt genau ab − 1 ganze Zahlen, die eindeutig darstellbar sind. Zu gegebenem k ≥ 2 gibt es genau ab k-darstellbare ganze Zahlen. (g) Erweitern Sie all dies auf d ≥ 3 (see auch die oﬀenen Probleme). 1.26. Finden Sie eine Formel f¨ ur p{a} (n).

Aufgaben

23

1.27. Beweisen Sie die folgende Rekursionsformel: p{a1 ,...,ad−1 } (n − mad ) p{a1 ,...,ad } (n) = m≥0

(Dabei benutzen wir die Vereinbarung, dass pA (n) = 0 falls n < 0). Benutzen Sie dies im Fall d = 2, um einen alternativen Beweis von Satz 1.2 zu geben. 1.28. Zeigen Sie die folgende Erweiterung von Satz 1.5: Sei ggT(a, b) = d. Dann gilt nd − αn + 1 falls d|n, − βn ab a b p{a,b} (n) = 0 sonst, wobei β

b d

≡ 1 mod

a d,

und α ad ≡ 1 mod db .

1.29. ♣ Berechnen Sie den Partialbruchkoeﬃzienten (1.12). ur den Fall ggT(a, b, c) = 1. 1.30. Finden Sie eine Formel f¨ ur p{a,b,c} (n) f¨

1.31. ♣ F¨ ur A = {a1 , a2 , . . . , ad } ⊂ >0 sei p◦A (n) := # (m1 , . . . , md ) ∈ d : alle mj > 0, m1 a1 + · · · + md ad = n ;

d.h. p◦A (n) z¨ ahlt die Anzahl der Partitionen von n mit Elementen von A als Teilen, wobei jedes Element mindestens einmal verwendet wird. Finden Sie Formeln f¨ ur p◦A f¨ ur A = {a}, A = {a, b}, A = {a, b, c} und A = {a, b, c, d}, wobei a, b, c und d paarweise teilerfremde positive ganze Zahlen sind. Beachten Sie, dass in allen Beispielen die Z¨ ahlfunktionen pA und p◦A die algebraische Gleichung p◦A (−n) = (−1)d−1 pA (n) erf¨ ullen. 1.32. Zeigen Sie, dass p◦A (n) = pA (n − a1 − a2 − · · · − ad ) (hier sei, wie u ¨ blich, A = {a1 , a2 , . . . , ad }). Folgern Sie, dass in den Beispielen von Aufgabe 1.31 die algebraische Gleichung pA (−t) = (−1)d−1 pA (t − a1 − a2 − · · · − ad ) erf¨ ullt ist. 1.33. F¨ ur teilerfremde positive ganze Zahlen a und b sei R := {am + bn : m, n ∈

≥0 }

die Menge aller durch a und b darstellbaren ganzen Zahlen. Zeigen Sie, dass k∈R

zk =

1 − z ab . (1 − z a ) (1 − z b )

Benutzen Sie diese Erzeugendenfunktion, um alternative Beweise der S¨atz 1.2 und 1.3 zu geben.

24

1 Das M¨ unzenproblem von Frobenius

1.34. F¨ ur teilerfremde positive ganze Zahlen a1 , a2 , . . . , ad sei R := {m1 a1 + m2 a2 + · · · + md ad : m1 , m2 , . . . , md ∈

≥0 }

die Menge aller durch a1 , a2 , . . . , ad darstellbaren ganzen Zahlen. Zeigen Sie, dass p(z) r(z) := zk = (1 − z a1 ) (1 − z a2 ) · · · (1 − z ad ) k∈R

f¨ ur ein Polynom p. 1.35. Beweisen Sie Satz 1.1: Zu jeder rationalen Funktion Qm p(z) ek , wobei k=1 (z−ak ) p ein Polynom von kleinerem Grad als e1 + e2 + · · · + em ist und die ak s verschieden sind, gibt es eine Zerlegung

m ck,1 ck,2 ck,ek , + e 2 + ···+ z − ak (z − ak ) k (z − ak ) k=1

wobei die ck,j ∈ eindeutig bestimmt sind. Wir skizzieren einen m¨ oglichen Beweis: Zun¨achst erinnern wir uns daran, dass die Menge aller Polynome (¨ uber oder ) einen euklidischen Ring bildet, d.h. zu beliebigen Polynomen a(z) und b(z) = 0 gibt es Polynome q(z) und r(z) mit deg(r) < deg(b), so dass

a(z) = b(z)q(z) + r(z) . Wenn wir diese Prozedur wiederholt anwenden (also den euklidischen Algorithmus durchf¨ uhren), erhalten wir den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler von a(z) und b(z) als Linearkombination der beiden. Das bedeutet, dass es Polynome c(z) und d(z) gibt, f¨ ur die a(z)c(z) + b(z)d(z) = ggT (a(z), b(z)). Schritt 1: Wenden Sie den euklidischen Algorithmus an, um zu zeigen, dass es Polynome u1 und u2 gibt, f¨ ur die u1 (z) (z − a1 )

e1

e2

+ u2 (z) (z − a2 )

= 1.

Schritt 2: Folgern Sie daraus, dass es Polynome v1 und v2 mit deg (vk ) < ek gibt, so dass p(z) v1 (z) v2 (z) e e = e + e . (z − a1 ) 1 (z − a2 ) 2 (z − a1 ) 1 (z − a2 ) 2 (Hinweis: schriftliche Division.) Schritt 3: Wiederholen Sie diese Prozedur, um zu einer Partialbruchzerlegung f¨ ur p(z) e1 e e (z − a1 ) (z − a2 ) 2 (z − a3 ) 3 zu gelangen.

Oﬀene Probleme

25

Oﬀene Probleme 1.36. Entwerfen Sie einen neuen Ansatz oder einen neuen Algorithmus f¨ ur das Frobenius-Problem im Fall d = 4. 1.37. Es gibt eine sehr gute untere [64] und mehrere obere Schranken [152, Chapter 3] f¨ ur die Frobenius-Zahl. Finden Sie eine bessere obere Schranke. 1.38. L¨ osen Sie Vladimir I. Arnolds Probleme 1999-8 bis 1999-11 [7]. Um einen Geschmack davon zu geben, erw¨ ahnen wir zwei davon explizit: (a) Untersuchen Sie das statistische Verhalten von g (a1 , a2 , . . . , ad ) f¨ ur typische große a1 , a2 , . . . , ad . Es wird vermutet, dass g (a1 , a2 , . . . , ad ) asym√ ptotisch wie eine Konstante mal d−1 a1 a2 · · · ad w¨achst. (b) Bestimmen Sie f¨ ur typische große a1 , a2 , . . . , ad , welcher Bruchteil der ganzen Zahlen im Intervall [0, g (a1 , a2 , . . . , ad )] darstellbar ist. Es wird vermutet, dass dieser Bruchteil asymptotisch gleich 1d ist. (Satz 1.3 impliziert, dass diese Vermutung im Fall d = 2 wahr ist.) 1.39. Untersuchen Sie vektorielle Verallgemeinerungen des Frobenius-Problems [154, 163]. 1.40. Es gibt einige Spezialf¨ alle f¨ ur A = {a1 , a2 , . . . , ad }, in denen das Frobenius-Problem gel¨ ost ist, z.B. arithmetische Folgen [152, Kapitel 3]. Betrachten Sie diese Spezialf¨ alle im Lichte der Erzeugendenfunktion r(x), die in den Anmerkungen und in Aufgabe 1.34 deﬁniert wurde. 1.41. Untersuchen Sie die verallgemeinerte Frobenius-Zahl gk (deﬁniert in Aufgabe 1.25), z.B. im Zusammenhang mit dem in den Anmerkungen erw¨ahnten Satz von Morales-Dunham. Leiten Sie Formeln f¨ ur Spezialf¨alle, z.B. arithmetische Folgen, her. 1.42. F¨ ur welche 0 ≤ n ≤ b − 1 ist sn (a1 , a2 , . . . , ad ; b) = 0?

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

Few things are harder to put up with than a good example. Mark Twain (1835–1910)

Ein roter Faden dieses Buchs ist die Untersuchung der Anzahl von Gitterpunkten in Polytopen, wobei die Polytope in einem reellen euklidischen Raum d leben. Die Punkte aus d bilden ein Gitter in d , und wir nennen diese Punkte mit ganzzahligen Koordinaten oft Gitterpunkte. Dieses Kapitel f¨ uhrt uns durch konkrete Beispiele f¨ ur Gitterpunktaufz¨ahlungen in verschiedenen Polytopen mit ganzzahligen oder rationalen Eckpunkten. In diesem Bereich wird auch jetzt, w¨ ahrend der Leser diese Seiten liest, in erheblichem Maße Forschung betrieben.

2.1 Die Sprache der Polytope Ein Polytop in Dimension 1 ist ein abgeschlossenes Intervall; dieAnzahl der Gitterpunkte in ab , dc ist, wie sich leicht nachpr¨ ufen l¨asst, gleich dc − a−1 b (Aufgabe 2.1). Ein zweidimensionales konvexes Polytop ist ein konvexes Polygon: Eine kompakte konvexe Teilmenge von 2 , die von einer einfachen, geschlossenen Kurve begrenzt ist, welche aus endlich vielen Geradenabschnitten besteht. In allgemeiner Dimension d ist ein konvexes Polytop die konvexe H¨ ulle endlich vieler Punkte in d . Genauer gesagt ist f¨ ur jede endliche Menge von Punkten {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ d das Polytop P die kleinste konvexe Menge, die diese Punkte enth¨ alt; d.h. P = {λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn : alle λk ≥ 0 und λ1 + λ2 + · · · + λn = 1} . Diese Deﬁnition heißt V-Beschreibung (vom Englischen vertex f¨ ur Eckpunkt) von P, und wir benutzen die Schreibweise

28

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

P = conv {v1 , v2 , . . . , vn } , die konvexe H¨ ulle von v1 , v2 , . . . , vn . Insbesondere ist ein Polytop eine abgeschlossene Teilmenge von d . Viele der Polytope, die wir untersuchen werden, sind allerdings nicht auf diese Art deﬁniert, sondern vielmehr als (beschr¨ankter) Durchschnitt endlich vieler Halbr¨ aume und Hyperebenen. Ein Beispiel ist das Polytop P, das durch (1.4) in Kapitel 1 deﬁniert wird. Diese HBeschreibung (f¨ ur Hyperebene) eines Polytops ist in der Tat ¨aquivalent zur V-Beschreibung. Die Tatsache, dass jedes Polytop sowohl eine V- als auch eine H-Beschreibung hat, ist hochgradig nichttrivial. Wir erarbeiten sorgf¨altig einen Beweis in Anhang A. Die Dimension eines Polytops P ist die Dimension des aﬃnen Raums span P := {x + λ(y − x) : x, y ∈ P, λ ∈

},

der von P aufgespannt wird. Wenn P die Dimension d hat verwenden wir die Notation dim P = d und nennen P ein d-Polytop. Man beachte, dass P ⊂ d nicht notwendigerweise die Dimension d hat. Zum Beispiel hat das Polytop P, das von (1.4) deﬁniert wird, die Dimension d − 1. gegebenen Polytop P ⊂ d sagen wir, die Hyperebene H = Zu einem d : a · x = b sei eine unterst¨ utzende Hyperebene von P, wenn P x∈ d : a · x ≤ b oder vollst¨ andig auf einer Seite von H liegt, d.h. P ⊂ x ∈ P ⊂ x ∈ d : a · x ≥ b . Eine Seite von P ist eine Menge der Form P ∩ H, wobei H eine unterst¨ utzende Hyperebene von P ist. Man beachte, dass P selbst eine Seite von P ist, die zur entarteten Hyperebene d geh¨ort;1 ebenso ist die leere Menge ∅ eine Seite von P, die zu jeder Hyperebene geh¨ort, die P nicht schneidet. Die (d − 1)-dimensionalen Seiten werden Facetten, die 1-dimensionalen Seiten Kanten und die 0-dimensionalen Seiten Ecken genannt. Ecken sind die Extremalpunkte“ eines Polytops. ” Ein konvexes d-Polytop hat mindestens d + 1 Ecken. Ein konvexes dPolytop mit genau d+1 Ecken wird d-Simplex genannt. Jedes 1-dimensionale konvexe Polytop ist ein 1-Simplex, n¨ amlich ein Geradenabschnitt. Die 2dimensionalen Simplizes sind die Dreiecke, die 3-dimensionalen Simplizes die Tetraeder. Ein konvexes Polytop P heißt ganzzahlig, wenn alles seine Ecken ganzzahlige Koordinaten haben, und P heißt rational, wenn alle seine Ecken rationale Koordinaten haben.

2.2 Der Einheitswu ¨ rfel Als Aufw¨ arm¨ ubung fangen wir mit dem d-Einheitsw¨ urfel 2 := [0, 1]d an, der gleichzeitig eine einfache Geometrie und eine unersch¨opﬂiche Quelle an For1

Im Rest des Buchs werden wir den Begriﬀ Hyperebene f¨ ur nicht-entartete Hyper¯ ˘ ebenen reservieren, d.h. Mengen der Form x ∈ d : a · x = b , wobei nicht alle Eintr¨ age von a gleich null sind.

2.2 Der Einheitsw¨ urfel

29

x2

6

x1

6

Abb. 2.1. Die sechste Streckung von 2 in Dimension 2.

schungsproblemen bietet. Die V-Beschreibung von 2 ist durch die Menge der 2d Ecken {(x1 , x2 , . . . , xd ) : alle xk = 0 oder 1} gegeben. Die H-Beschreibung ist 2 = (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ d : 0 ≤ xk ≤ 1 f¨ ur alle k = 1, 2, . . . , d . Also gibt es die 2d begrenzenden Hyperebenen x1 = 0, x1 = 1, x2 = 0, x2 = 1, . . . , xd = 0, xd = 1. Wir berechnen nun das diskrete Volumen einer beliebigen ganzzahligen Streckung von 2. Das bedeutet, wir suchen die Anzahl der ganzzahligen Punkte t 2 ∩ d f¨ ur alle t ∈ >0 . Hier bezeichnet tP das gestreckte Polytop

{(tx1 , tx2 , . . . , txd ) : (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ P} f¨ ur ein beliebiges Polytop P. Was ist das diskrete Volumen von 2? Wir strecken mit der positiven ganzen Zahl t, wie in Abb. 2.1 dargestellt, und z¨ahlen: # t 2 ∩ d = # [0, t]d ∩ d = (t + 1)d .

Im Allgemeinen bezeichnen wir den Gitterpunktz¨ ahler f¨ ur die t-te Streckung von P ⊂ d als LP (t) := # tP ∩ d ,

ein n¨ utzliches Objekt, das wir auch das diskrete Volumen von P nennen werden. Wir k¨ onnen uns auch vorstellen, dass wir P fest lassen und das Gitter schrumpfen: 1 d LP (t) = # P ∩ . t

Mit dieser Konvention ist L2 (t) = (t + 1)d , ein Polynom in der ganzzahligen Variablen t. Man beachte, dass die Koeﬃzienten dieses Polynoms die Bino mialkoeﬃzienten kd sind, welche durch

30

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1) m := n! n

(2.1)

f¨ ur m ∈ und n ∈ ≥0 deﬁniert sind. Was ist mit dem Inneren 2◦ des W¨ urfels? Die Anzahl der inneren Gitterpunkte in t 2◦ ist L2◦ (t) = # t 2◦ ∩ d = # (0, t)d ∩ d = (t − 1)d .

Bemerkenswert ist, dass dieses Polynom gleich (−1)d L2 (−t) ist, also bis auf das Vorzeichen der Auswertung des Polynoms L2 (t) bei negativen ganzen Zahlen entspricht. Wir f¨ uhren nun ein weiteres wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung eines beliebigen Polytops P ein, n¨ amlich die Erzeugendenfunktion von LP : LP (t) z t . EhrP (z) := 1 + t≥1

Diese Erzeugendenfunktion wird auch die Ehrhart-Reihe von P genannt. In unserem Fall nimmt die Ehrhart-Reihe von P = 2 eine besondere Form an. Um das zu illustrieren, deﬁnieren wir die Euler-Zahl A (d, k) durch

d d

j

j z =

j≥0

A (d, k) z k . (1 − z)d+1

k=0

(2.2)

d Es ist nicht schwer zu zeigen, dass das Polynom k=1 A (d, k) z k der Z¨ahler der rationalen Funktion d d d d 1 1 z = z ···z dz 1−z ! dz "# dz$ 1 − z d-mal

ist. Die Euler-Zahlen haben viele faszinierende Eigenschaften, darunter A (d, k) = A (d, d + 1 − k) , A (d, k) = (d − k + 1) A (d − 1, k − 1) + k A (d − 1, k) , d

A (d, k) = d! ,

k=0

A (d, k) =

k j=0

(2.3) d+1 (k − j)d , (−1) j j

f¨ ur alle 1 ≤ k ≤ d. Der ersten paar Euler-Zahlen A (d, k) f¨ ur 0 ≤ k ≤ d sind

2.3 Der Standardsimplex

d = 0: d = 1: d = 2: d = 3: d = 4: d = 5: d = 6:

1 0 0 0 0 0 0

31

1 1 1 1 4 1 1 11 11 1 1 26 66 26 1 1 57 302 302 57 1 .

(Siehe auch [164, Folge A008292].) Mit dieser Deﬁnition k¨ onnen wir nun die Ehrhart-Reihe von 2 mithilfe der Euler-Zahlen ausdr¨ ucken: Ehr2 (z) = 1 + d =

(t + 1)d z t =

t≥1

(t + 1)d z t =

t≥0

1 d t t z z t≥1

A (d, k) z k−1 . (1 − z)d+1

k=1

Zusammenfassend haben wir den folgenden Satz bewiesen. Satz 2.1. Sei 2 der d-Einheitsw¨ urfel. (a) Der Gitterpunktz¨ahler von 2 ist das Polynom d d k t . L2 (t) = (t + 1) = k d

k=0

(b) Dieser ergibt, ausgewertet bei negativen ganzen Zahlen, die Relation (−1)d L2 (−t) = L2◦ (t) . (c) Die Ehrhart-Reihe von 2 ist Ehr2 (z) =

Pd

A(d,k)z k−1 . (1−z)d+1

k=1

2.3 Der Standardsimplex Der Standardsimplex Δ in Dimension d ist die konvexe H¨ ulle der d+1 Punkte e1 , e2 , . . . , ed und 0; dabei ist ej der Einheitsvektor (0, . . . , 1, . . . , 0) mit einer 1 an der j-ten Stelle und 0 der Koordinatenursprung. Abbildung 2.2 zeigt Δ f¨ ur d = 3. Auf der anderen Seite kann Δ auch durch seine H-Beschreibung realisiert werden, n¨ amlich Δ = (x1 , x2 . . . , xd ) ∈ d : x1 + x2 + · · · + xd ≤ 1 und alle xk ≥ 0 . Im Fall des Standardsimplex ist die Streckung tΔ durch tΔ = (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ d : x1 + x2 + · · · + xd ≤ t und alle xk ≥ 0

32

2 Eine Gallerie diskreter Volumina x2

1

0 x1

1 1 x3

Abb. 2.2. Der Standardsimplex Δ in Dimension 3.

gegeben. Um das diskrete Volumen von Δ zu berechnen, m¨ochten wir die Methoden, die wir in Kapitel 1 entwickelt haben, anwenden, aber es gibt eine Kleinigkeit zu beachten: Die Z¨ ahlfunktionen in Kapitel 1 waren durch Gleichungen deﬁniert, w¨ ahrend der Standardsimplex durch eine Ungleichung deﬁniert ist. Wir versuchen, alle ganzzahligen L¨osungen (m1 , m2 , . . . , md ) ∈ d ≥0 zu m 1 + m2 + · · · + md ≤ t (2.4)

zu ﬁnden. Um diese Ungleichung in d Variablen in eine Gleichung in d + 1 Variablen zu u uhren wir eine Schlupfvariable md+1 ∈ ≥0 ein, die ¨ bersetzen, f¨ den Unterschied zwischen der rechten und linken Seite von (2.4) aufnimmt. Also gleicht die Anzahl der L¨ osungen (m1 , m2 , . . . , md ) ∈ d≥0 von (2.4) genau der Anzahl der L¨ osungen (m1 , m2 , . . . , md+1 ) ∈ d+1 ≥0 von

m1 + m2 + · · · + md+1 = t . Nun k¨ onnen wir die Methoden aus Kapitel 1 anwenden: # tΔ ∩ d ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛⎛ z m1 ⎠ ⎝ z m2 ⎠ · · · ⎝ z md+1 ⎠ z −t ⎠ = const ⎝⎝

= const

m1 ≥0

1 (1 − z)d+1 z t

m2 ≥0

.

md+1 ≥0

(2.5)

Im Gegensatz zu Kapitel 1 ben¨ otigen wir keine Partialbruchzerlegung, sondern benutzen einfach die binomische Reihe

2.3 Der Standardsimplex

1 (1 − z)d+1

d + k zk = d

33

(2.6)

k≥0

f¨ ur d ≥ 0. Gleichung (2.5) der konstanten Terme erfordert es, dass wir den Koeﬃzienten von z t in der binomischen Reihe (2.6) ﬁnden, und dieser ist d+t d+t gegeben, d . Daher ist das diskrete Volumen von Δ durch LΔ (t) = d ¨ was ein Polynom vom Grad d in der ganzzahligen Variable t ist. Ubrigens haben die Koeﬃzienten dieses Polynoms ein zweites Leben in der traditionellen Kombinatorik: 1 (−1)d−k stirl(d + 1, k + 1) tk , d! d

LΔ (t) =

k=0

wobei stirl(n, j) die Stirling-Zahl der ersten Art ist (siehe Aufgabe 2.11). Wir bemerken schließlich noch, dass (2.6) per Deﬁnition die Ehrhart-Reihe von Δ ist. Wir wollen diese Berechnung f¨ ur das Innere Δ◦ des d-Standardsimplex wiederholen. Diesmal f¨ uhren wir eine Schlupfvariable md+1 > 0 ein, so dass eine strikte Ungleichung erzwungen wird: LΔ◦ (t) = # (m1 , m2 , . . . , md ) ∈ d>0 : m1 + m2 + · · · + md < t = # (m1 , m2 , . . . , md+1 ) ∈ d+1 >0 : m1 + m2 + · · · + md+1 = t .

Nun gilt ⎛ LΔ◦ (t) = const ⎝ = const ⎛

m1 >0

z 1−z

z m1 d+1

z m2

⎛ ···⎝

m2 >0

⎞

⎞

z md+1 ⎠ z −t ⎠

md+1 >0

z −t

⎞ d + k zk⎠ = const ⎝z d+1−t d k≥0 t−1 = . d ¨ Es ist eine sch¨ one Ubung, zu zeigen, dass d−t t−1 = (−1)d d d (siehe Aufgabe 2.10). Wir sind an unserem Ziel angelangt: Satz 2.2. Sei Δ der d-Standardsimplex.

(2.7)

34

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

(a) Der Gitterpunktz¨ahler von Δ ist das Polynom LΔ (t) = d+t d . (b) Seine Auswertung bei negativen ganzen Zahlen ergibt (−1)d LΔ (−t) = LΔ◦ (t). 1 (c) Die Ehrhart-Reihe von Δ ist EhrΔ (z) = (1−z) d+1 .

2.4 Die Bernoulli-Polynome als Gitterpunktz¨ ahler von Pyramiden Es gibt einen faszinierenden Zusammenhang zwischen den Bernoulli-Polynomen und bestimmten Pyramiden u urfeln. Die Bernoulli-Poly¨ ber Einheitsw¨ nome Bk (x) sind durch die Erzeugendenfunktion Bk (x) z exz = zk ez − 1 k!

(2.8)

k≥0

deﬁniert und sind in der Untersuchung der Riemann’schen ζ-Funktion (und anderer Objekte) allgegenw¨ artig; sie sind nach Jacob Bernoulli (1654–1705) benannt.2 Die Bernoulli-Polynome werden eine wesentliche Rolle in Kapitel 10 im Zusammenhang mit der Euler-Maclaurin-Summation spielen. Die ersten paar Bernoulli-Polynome sind B0 (x) = 1 , B1 (x) = x −

1 , 2

B2 (x) = x2 − x +

1 , 6

3 1 B3 (x) = x3 − x2 + x , 2 2 1 , 30 5 5 1 B5 (x) = x5 − x4 + x3 − x , 2 3 6 5 4 1 2 1 6 5 B6 (x) = x − 3x + x + x + , 2 2 42 7 7 7 1 B7 (x) = x7 − x6 + x5 + x3 + x . 2 2 6 6

B4 (x) = x4 − 2x3 + x2 −

Die Bernoulli-Zahlen sind Bk := Bk (0) (siehe auch [164, Folgen A000367 & A002445]) und haben die Erzeugendenfunktion Bk z = zk. ez − 1 k! k≥0

2

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Bernoulli siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Bernoulli Jacob.html.

2.4 Die Bernoulli-Polynome als Gitterpunktz¨ ahler von Pyramiden

35

x3

1

x1

1 1 x2

Abb. 2.3. Die Pyramide P in Dimension 3.

Lemma 2.3. F¨ ur ganze Zahlen d ≥ 1 und n ≥ 2 gilt n−1

k d−1 =

k=0

1 (Bd (n) − Bd ) . d

Beweis. Wir spielen mit der Erzeugendenfunktion von Bd (n) − Bd d≥0

d!

Bd (n)−Bd : d!

n−1 n−1 (kz)j enz − 1 kz = z e = z ez − 1 j! k=0 k=0 j≥0 n−1 n−1

z j+1 zj j j−1 = . = k k j! (j − 1)!

zd = z

j≥0

k=0

j≥1

k=0

Nun vergleichen wir die Koeﬃzienten auf beiden Seiten.

Wir betrachten einen in den d eingebetteten (d − 1)-dimensionalen Einheitsw¨ urfel und bilden eine d-dimensionale Pyramide, indem wir eine weitere Ecke bei (0, 0, . . . , 0, 1) hinzuf¨ ugen, wie in Abb. 2.3 dargestellt. Genauer gesagt hat dieses geometrische Objekt die folgende H-Beschreibung: P = (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ d : 0 ≤ x1 , x2 , . . . , xd−1 ≤ 1 − xd ≤ 1 . (2.9) Per Deﬁnition ist P im d-Einheitsw¨ urfel enthalten, denn seine Ecken bilden eine Teilmenge der Ecken des d-Einheitsw¨ urfels. Wir z¨ ahlen nun die Gitterpunkte in ganzzahligen Streckungen von P. Diese Zahl ist gleich

36

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

# (m1 , m2 , . . . , md ) ∈

d : 0 ≤ mk ≤ t − md ≤ t f¨ur k = 1, 2, . . . , d − 1 .

In diesem Fall z¨ahlen wir einfach die L¨ osungen von 0 ≤ mk ≤ t − md ≤ t direkt: Sobald wird die ganze Zahl md zwischen 0 und t festlegen, haben wir t − md + 1 unabh¨ angige Auswahlm¨ oglichkeiten f¨ ur jede einzelne der ganzen Zahlen m1 , m2 , . . . , md−1 . Daher gilt LP (t) =

t

d−1

(t − md + 1)

=

md =0

t+1

k d−1 =

k=1

1 (Bd (t + 2) − Bd ) d

(2.10)

nach Lemma 2.3. Dies ist nat¨ urlich ein Polynom in t. Wir richten jetzt unsere Aufmerksamkeit auf die Anzahl der inneren Punkte in P: 0 < mk < t − md < t . LP ◦ (t) = # (m1 , m2 , . . . , md ) ∈ d : f¨ ur alle k = 1, 2, . . . , d − 1

Mit einem ¨ ahnlichen Z¨ ahlargument folgt LP ◦ (t) =

t−1

d−1

(t − md − 1)

md =1

=

t−2 k=0

k d−1 =

1 (Bd (t − 1) − Bd ) . d

¨ Ubrigens besitzen die Bernoulli-Polynome bekannterweise (Aufgabe 2.15) die Symmetrie Bd (1 − x) = (−1)d Bd (x) . (2.11) Diese Gleichung, zusammen mit der Tatsache (Aufgabe 2.16), dass ur alle ungeraden d ≥ 3, Bd = 0 f¨

(2.12)

gibt uns die Gleichung 1 1 (Bd (−t + 2) − Bd ) = (Bd (1 − (t − 1)) − Bd ) d d 1 = (−1)d (Bd (t − 1) − Bd ) = (−1)d LP ◦ (t) . d

LP (−t) =

Als n¨ achstes berechnen wir die Ehrhart-Reihe von P. Wir k¨onnen das sogar in etwas gr¨ oßerer Allgemeinheit durchf¨ uhren, wir deﬁnieren n¨amlich f¨ ur ein (d − 1)-Polytop Q mit Ecken v1 , v2 , . . . , vm die Pyramide Pyr(Q) u ulle von (v1 , 0) , (v2 , 0) , . . . , (vm , 0) , (0, . . . , 0, 1). ¨ber Q als die konvexe H¨ In unserem obigen Beispiel ist das d-Polytop P gleich Pyr(2) f¨ ur den (d − 1)-ten Einheitsw¨ urfel 2. Die Anzahl der Gitterpunkte in t Pyr(Q) ist, nach Konstruktion, gleich LPyr(Q) (t) = 1 + LQ (1) + LQ (2) + · · · + LQ (t) = 1 +

t j=1

LQ (j) ,

2.4 Die Bernoulli-Polynome als Gitterpunktz¨ ahler von Pyramiden

37

x3

x1

x2 Abb. 2.4. Z¨ ahlen der Gitterpunkte in t Pyr(Q).

denn in t Pyr Q gibt es einen Gitterpunkt mit xd -Koordinate t, LQ (1) Gitterpunkte mit xd -Koordinate t − 1, LQ (2) Gitterpunkte mit xd -Koordinate t − 2, usw., und schließlich LQ (t) Gitterpunkte mit xd = 0. Abbildung 2.4 zeigt den Fall t = 3 f¨ ur eine Pyramide u ¨ ber einem Quadrat. Diese Gleichung f¨ ur LPyr(Q) (t) erlaubt es uns, die Ehrhart-Reihe von Pyr(Q) aus der Ehrhart-Reihe von Q zu berechnen: Satz 2.4. EhrPyr(Q) (z) =

EhrQ (z) . 1−z

Beweis. EhrPyr(Q) (z) = 1 +

LPyr(Q) (t) z t = 1 +

t≥1

t≥1

⎛ ⎝1 +

t

⎞ LQ (j)⎠ z t

j=1

1 + LQ (j) zt 1 − z t≥0 t≥1 j=1 j≥1 t≥j j j 1 + L (j) z 1 z j≥1 Q + = . = LQ (j) 1−z 1−z 1−z =

zt +

t

LQ (j) z t =

j≥1

Unsere Pyramide P, mit der dieser Abschnitt angefangen hat, ist eine Pyramide u urfel, so dass ¨ber dem (d − 1)-Einheitsw¨ d−1 d−1 k−1 k−1 1 k=1 A (d − 1, k) z k=1 A (d − 1, k) z EhrP (z) = = . (2.13) 1−z (1 − z)d (1 − z)d+1

38

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

¨ Ubrigens f¨ uhrt diese Ehrhart-Reihe zu einer Erzeugendenfunktion (die von der in (2.8) verschieden ist) f¨ ur die Bernoulli-Polynome Bd (siehe Aufgabe 2.22). Wir fassen zusammen, was wir f¨ ur die Pyramide u urfel ¨ ber dem Einheitsw¨ gezeigt haben: Satz 2.5. Sei P die d-Pyramide P = (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ d : 0 ≤ x1 , x2 , . . . , xd−1 ≤ 1 − xd ≤ 1 . (a) Der Gitterpunktz¨ahler von P ist das Polynom LP (t) =

1 (Bd (t + 2) − Bd ) . d

(b) Seine Auswertung bei negativen ganzen Zahlen ergibt (−1)d LP (−t) = LP ◦ (t). P (c) Die Ehrhart-Reihe von P ist EhrP (z) =

d−1 k=1

A(d−1,k)z k−1 . (1−z)d+1

Es zeigen sich Muster. . .

2.5 Die Gitterpunktz¨ ahler von Kreuzpolytopen Wir betrachten das Kreuzpolytop 3 in d , das durch die H-Beschreibung 3 := (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ d : |x1 | + |x2 | + · · · + |xd | ≤ 1 (2.14) deﬁniert ist. Abbildung 2.5 zeigt den 3-dimensionalen Fall von 3, einen Oktaeder. Die Ecken von 3 sind (±1, 0, . . . , 0) , (0, ±1, 0, . . . , 0) , . . . , (0, . . . , 0, ±1). Um das diskrete Volumen von 3 zu berechnen, gehen wir a¨hnlich vor wie in Abschnitt 2.4, und zwar deﬁnieren wir f¨ ur ein (d − 1)-Polytop Q mit Ecken v1 , v2 , . . . , vm die Bipyramide u ber Q als die konvexe H¨ ulle von ¨ (v1 , 0) , (v2 , 0) , . . . , (vm , 0) , (0, . . . , 0, 1) und (0, . . . , 0, −1) . In unserem obigen Beispiel ist das d-dimensionale Kreuzpolytop die Bipyramide u ¨ ber dem (d − 1)-dimensionalen Kreuzpolytop. Die Anzahl der Gitterpunkte in t BiPyr(Q) ist nach Konstruktion LBiPyr(Q) (t) = 2 + 2LQ (1) + 2LQ (2) + · · · + 2LQ (t − 1) + LQ (t) =2+2

t−1

LQ (j) + LQ (t) .

j=1

Diese Gleichung erlaubt es uns, die Ehrhart-Reihe von BiPyr(Q) aus der Ehrhart-Reihe von Q auf ¨ ahnliche Weise wie im Beweis von Satz 2.4 zu berechnen. Wir lassen den Beweis des folgenden Ergebnisses als Aufgabe 2.23.

2.5 Die Gitterpunktz¨ ahler von Kreuzpolytopen

39

x2

x1

x3

Abb. 2.5. Das Kreuzpolytop 3 in Dimension 3.

Satz 2.6. Falls Q den Koordinatenursprung enth¨alt, gilt EhrBiPyr(Q) (z) = 1+z 1−z EhrQ (z). Mit diesem Satz k¨ onnen wir die Ehrhart-Reihe von 3 m¨ uhelos ausrechnen: Das Kreuzpolytop 3 in Dimension 0 ist der Koordinatenursprung, mit der 1 Ehrhart-Reihe 1−z . Die h¨ oherdimensionalen Kreuzpolytope k¨onnen rekursiv mit Satz 2.6 als (1 + z)d Ehr3 (z) = (1 − z)d+1 berechnet werden. Da Ehr3 (z) = 1 + t≥1 L3 (t) z t k¨onnen wir L3 (t) zur¨ uckgewinnen, indem wir Ehr3 (z) als Potenzreihe um z = 0 entwickeln: d d k z (1 + z)d = k=0 kd+1 Ehr3 (z) = d+1 (1 − z) (1 − z) d d d k t+d t d t−k+d t z z = z = k d k d k=0

=

t≥0

d

k=0

d t−k+d t z. k d

k=0

t≥k

t≥0

= 0 f¨ ur Im letzten Schritt haben wir die Tatsache benutzt, dass t−k+d d 0 ≤ t < k. Aber damit gilt d d t−k+d t 1+ z , L3 (t) z t = k d t≥1

und daher L3 (t) =

d

t≥0 k=0

dt−k+d

k=0 k

d

f¨ ur alle t ≥ 1.

40

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

Zum Schluss dieses Abschnitts z¨ ahlen wir die inneren Gitterpunkt in t3. Zun¨ achst bemerken wir, dass, da t eine ganze Zahl ist, L3◦ (t) = # (m1 , m2 , . . . , md ) ∈ d : |m1 | + |m2 | + · · · + |md | < t = # (m1 , m2 , . . . , md ) ∈ d : |m1 | + |m2 | + · · · + |md | ≤ t − 1

= L3 (t − 1) .

Andererseits k¨ onnen wir (2.7) anwenden: L3 (−t) =

d d −t − k + d

k d d d d t−1+k = (−1) k d k=0 d d t−1+d−k d = (−1) d−k d k=0

k=0

= (−1)d L3 (t − 1) . Wenn wir die letzten beiden Berechnungen vergleichen, sehen wir, dass (−1)d L3 (−t) = L3◦ (t). Wir fassen zusammen: Satz 2.7. Sei 3 das Kreuzpolytop in

d

.

(a) Der Gitterpunktz¨ahler von 3 ist das Polynom L3 (t) =

d d t−k+d . k d k=0

(b) Seine Auswertung bei negativen ganzen Zahlen ergibt (−1)d L3 (−t) = L3◦ (t). (1+z)d (c) Die Ehrhart-Reihe von P ist Ehr3 (z) = (1−z) d+1 .

2.6 Der Satz von Pick Wir kehren zu grundlegenden Konzepten zur¨ uck und geben eine vollst¨andige Beschreibung von LP f¨ ur alle konvexen ganzzahligen Polygone. Die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren des Polygons P bezeichnen wir mit I, und die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand von P mit B. Das folgende Resultat, das zu Ehren seines Entdeckers Georg Alexander Pick (1859–1942) Satz von Pick genannt wird, liefert die erstaunliche Tatsache, dass die Fl¨ache A von P einfach durch Z¨ahlen von Gitterpunkten berechnet werden kann:

2.6 Der Satz von Pick

41

P2 P1

Abb. 2.6. Zerlegung eines Polygons in zwei.

Satz 2.8 (Satz von Pick). F¨ ur ein ganzzahliges konvexes Polygon gilt 1 A = I + B −1. 2 Beweis. Nun¨ achst zeigen wir, dass Picks Gleichung additiven Charakter hat: Wir k¨ onnen P in die Vereinigung zweier ganzzahliger Polygone P1 und P2 zerlegen, indem wir, wie in Abb. 2.6 gezeigt, zwei Ecken von P mit einem Geradensegment verbinden. Wir behaupten, dass die G¨ ultigkeits von Picks Gleichung f¨ ur P aus der G¨ ultigkeit von Picks Gleichung f¨ ur P1 und P2 folgt. Die Fl¨ache, Anzahl innerer Gitterpunkte sowie die Anzahl der Gitterpunkt auf dem Rand von Pk bezeichnen wir jeweils mit Ak , Ik und Bk , f¨ ur k = 1, 2. Oﬀensichtlich gilt A = A1 + A2 . Außerdem gilt, wenn wir die Anzahl der Gitterpunkt auf der gemeinsamen Kante von P1 und P2 mit L bezeichnen, I = I1 + I2 + L − 2

und

B = B1 + B2 − 2L + 2 .

Daher gilt 1 1 1 I + B − 1 = I1 + I2 + L − 2 + B1 + B2 − L + 1 − 1 2 2 2 1 1 = I1 + B1 − 1 + I2 + B2 − 1 . 2 2 Dies zeigt die Behauptung. Man beachte, dass unser Beweis ebenso zeigt, dass die G¨ ultigkeit von Picks Gleichung f¨ ur P1 aus der G¨ ultigkeit von Picks Gleichung f¨ ur P und P2 folgt. Jedes konvexe Polygon kann in Dreiecke zerlegt werden, die eine gemeinsame Ecke haben, wie in Abb. 2.7 dargestellt ist. Daher gen¨ ugt es, den Satz von Pick f¨ ur Dreiecke zu beweisen. Um die Situation weiter zu vereinfachen,

42

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

Abb. 2.7. Triangulierung eines Polygons.

J J J

,

,

, ,

, ,

Abb. 2.8. Einbettung eines Dreiecks in ein Rechteck.

k¨ onnen wir jedes ganzzalige Dreieck wie in Abb. 2.8 angedeutet in ein ganzzaliges Rechteck einbetten. Damit wird der Beweis des Satzes von Pick darauf reduziert, den Beweis f¨ ur ganzzahlige Rechtecke zu beweisen, deren Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen, sowie f¨ ur rechtwinklige Dreiecke, deren Kanten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Diese beiden F¨alle sind dem Leser in Aufga¨ be 2.24 als Ubung u ¨ berlassen. Der Satz von Pick erlaubt es uns nicht nur, die im Inneren des Polygons P enthaltenen Gitterpunkte zu z¨ ahlen, sondern auch die Gesamtzahl der in P enthaltenen Gitterpunkte, denn diese Zahl ist 1 1 I +B = A− B +1+B = A+ B +1. 2 2

(2.15)

Mit dieser Gleichung ist es jetzt einfach, den Gitterpunktz¨ahler von LP zu beschreiben: Satz 2.9. Sei P ein ganzzahliges konvexes Polygon mit Fl¨ache A und B Gitterpunkten auf seinem Rand. (a) Der Gitterpunktz¨ahler von P ist das Polynom 1 LP (t) = A t2 + B t + 1 . 2 (b) Seine Auswertung bei negativen ganzen Zahlen liefert die Gleichung LP (−t) = LP ◦ (t) .

2.7 Polygone mit rationalen Eckpunkten

(c) Die Ehrhart-Reihe von P ist A− EhrP (z) =

B 2

+ 1 z2 + A + (1 − z)3

B 2

−2 z+1

43

.

Man beachte, dass im Z¨ ahler der Ehrhart-Reihe der Koeﬃzient von z 2 gleich LP ◦ (1) und der Koeﬃzient von z gleich LP (1) − 3 ist. Beweis. Aussage (a) folgt aus (2.15) wenn wir zeigen k¨onnen, dass die Fl¨ache von tP gleich At2 ist, und dass die Anzahl der Punkte auf dem Rand von tP gleich Bt ist, was der Inhalt von Aufgabe 2.25 ist. Aussage (b) folgt mit LP ◦ (t) = LP (t) − Bt. Schließlich ist die Ehrhart-Reihe gleich EhrP (z) = 1 + LP (t) z t t≥1

B A t2 + t + 1 z t = 2 t≥0

z z2 + z B 1 =A + + (1 − z)3 2 (1 − z)2 1−z A − B2 + 1 z 2 + A + B2 − 2 z + 1 . = (1 − z)3

2.7 Polygone mit rationalen Eckpunkten In diesem Abschnitt werden wir Formeln f¨ ur die Anzahl der Gitterpunkte in einem beliebigen rationalen konvexen Polygon und seinen ganzzahligen Streckungen aufstellen. Ein naheliegender erster Schritt ist es, eine Triangulierung von P festzuhalten, was unser Problem darauf zur¨ uckf¨ uhrt, Gitterpunkte in rationalen Dreiecken zu z¨ ahlen. Allerdings verdient dieses Vorgehen einige Bemerkungen. Nachdem wir die Gitterpunkte in den Dreiecken gez¨ahlt haben, m¨ ussen wir diese wieder zum urspr¨ unglichen Polygon zusammensetzen. Dabei m¨ ussen wir aber aufpassen, dass wir Gitterpunkte auf den Geradenabschnitten (in denen sich die Dreiecke treﬀen) nicht mehrfach z¨ ahlen. Die Anzahl der Gitterpunkte auf rationalen Geradenabschnitten zu z¨ ahlen ist wesentlich einfacher als das Aufz¨ ahlen von Punkten in zweidimensionalen Gebieten; es ist jedoch immer noch nichttrivial (siehe den Satz von Popoviciu, Satz 1.5). Nachdem wir P trianguliert haben k¨ onnen wir die Situation noch weiter vereinfachen, indem wir ein beliebiges rationales Dreieck in ein rationales Rechteck einbetten wie in Abb. 2.8. Um die Gitterpunkte in einem Dreieck zu berechnen, k¨ onnen wir erst die Punkte in einem Rechteck mit achsenparallelen Seiten z¨ ahlen, und dann die Anzahl der Punkte in drei rechtwinkligen Dreiecken abziehen, von denen jedes zwei achsenparallele Seiten hat, sowie gegebenenfalls die Anzahl der Punkte in einem weiteren Rechteck, wie in Abb. 2.8

44

2 Eine Gallerie diskreter Volumina „ y

„

a r − ea/d , d f

a b , d d

«

«

„

r − f b/d b , e d

«

x

Abb. 2.9. Ein rechtwinkliges rationales Dreieck.

dargestellt. Da Rechtecke sehr einfach im Umgang sind (siehe Aufgabe 2.2) reduziert sich das Problem darauf, eine Formel f¨ ur ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei achsenparallelen Seiten zu ﬁnden. Wir passen nun unsere Erzeugendenfunktionen-Maschinerie an diese rechtwinkligen Dreiecke an und erweitern sie wo n¨otig. Ein solches Dreieck T ist eine Teilmenge des 2 , die aus allen Punkten (x, y) besteht, f¨ ur die x≥

b a , y ≥ , ex + f y ≤ r d d

f¨ ur ganze Zahlen a, b, d, e, f und r gilt (mit ea + f b ≤ rd; ansonsten w¨are das Dreieck leer). Da die Anzahl der Gitterpunkte invariant unter ganzzahligen horizontalen und vertikalen Translationen und unter Spiegelungen an der xoder y-Achse ist, d¨ urfen wir a, b, d, e, f , r ≥ 0 und a, b < d annehmen (¨ uber diese Tatsache sollten wir jedoch eine Minute nachdenken). So gelangen wir zu dem Dreieck T , das in Abb. 2.9 dargestellt ist. Um uns das Leben zu erleichtern, nehmen wir f¨ ur den Augenblick an, dass ¨ e und g teilerfremd seien; den allgemeinen Fall werden wir in den Ubungen behandeln. Also sei b a 2 T = (x, y) ∈ (2.16) : x ≥ , y ≥ , ex + f y ≤ r . d d Um eine Formel f¨ ur LT (t) = # (m, n) ∈

2

tb ta , n ≥ , em + f n ≤ tr : m≥ d d

herzuleiten, wollen wir Methoden ¨ ahnlichen denen in Kapitel 1 anwenden. Wie in Abschnitt 2.3 f¨ uhren wir eine Schlupfvariable s ein:

2.7 Polygone mit rationalen Eckpunkten

45

tb ta , n ≥ , em + f n ≤ tr LT (t) = # (m, n) ∈ 2 : m ≥ d d tb ta , n ≥ , s ≥ 0, em + f n + s = tr . = # (m, n, s) ∈ 3 : m ≥ d d

Diese Z¨ ahlfunktion kann nun, genau wie vorher, als Koeﬃzient von z tr in der Funktion ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎝ z em ⎠ ⎝ z f n⎠ ⎝ zs⎠ m≥ ta d

s≥0

n≥ tb d

interpretiert werden. Dabei bedeutet der Index (z.B. m ≥ ta d ) unter einem Summenzeichen Summiere u ¨ber alle ganzen Zahlen, die diese Bedingung ” erf¨ ullen“. Zum Beispiel beginnen wir in der ersten Summe % ta & mit der kleinsten ganzen Zahlgr¨ oßer als oder gleich ta bezeichnet und ; diese wird mit d d + 1 nach Aufgabe 1.4 (j). Daher kann die obige Erzeugenist gleich ta−1 d denfunktion als ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ta tb z d e z d f 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ em fn s⎠ ⎝ z z ⎠⎝ z ⎠ = ⎝ 1 − ze 1 − zf 1 − z tb s≥0 m≥ ta n≥ d d =

z u+v (2.17) (1 − z e ) (1 − z f ) (1 − z)

geschrieben werden, wobei wir, um die Notation zu vereinfachen, die Bezeichnungen ) * ) * ta tb u := e und v := f (2.18) d d eingef¨ uhrt haben. Um den Koeﬃzienten von z tr aus unserer Erzeugendenfunktion (2.17) zu bestimmen, wenden wir bekannte Methoden an. Wie u ¨blich verschieben wir diesen Koeﬃzient auf den konstanten Term: z u+v−tr LT (t) = const (1 − z e ) (1 − z f ) (1 − z) 1 . = const (1 − z e ) (1 − z f ) (1 − z)z tr−u−v Bevor wir die Partialbruchszerlegungsmaschinerie auf diese Funktion anwenden sollten wir uns vergewissern, dass es sich in der Tat um eine echte rationale Funktion handelt, dass also f¨ ur den Totalgrad gilt u + v − tr − e − f − 1 < 0

(2.19)

(siehe Aufgabe 2.31). Wir entwickeln dann in Partialbr¨ uche (hier benutzen wir unsere Annahme, dass e und g keine gemeinsamen Teiler haben!):

46

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

1 (1 −

−

z e ) (1 =

z f ) (1

e−1

Aj

j=1

z − ξej

− z)z tr−u−v

+

f −1

Bj

j=1

z − ξfj

+

3 k=1

tr−u−v Dk Ck + . k (z − 1) zk

(2.20)

k=1

Wie bereits mehrfach zuvor tragen die Koeﬃzienten Dk nichts zum konstanten Term bei, so dass wir LT (t) = −

e−1 Aj j j=1 ξe

−

f −1 l=1

Bl − C1 + C2 − C3 ξfl

(2.21)

erhalten. Wir ermuntern den Leser, die in dieser Formel auftretenden Koeﬃzienten auszurechnen (Aufgabe 2.32): j(v−tr+1)

ξe , Aj = −

e 1 − ξejf (1 − ξej ) l(u−tr+1)

ξf , Bl = −

f 1 − ξfle (1 − ξfl )

1 1 1 (u + v − tr)2 u + v − tr 1 1 1 − + + + + + −1 2ef 2 ef e f 4 e f 1 f 1 e + + , (2.22) − 12 f ef e 1 1 u + v − tr + 1 C2 = − + + , ef 2e 2f 1 C3 = − . ef C1 = −

Wenn wir diese Zutaten in (2.21) einsetzen, erhalten wir die folgende Formel f¨ ur unsere Gitterpunktanzahl: Satz 2.10. F¨ ur das durch (2.16) gegebene rechtwinklige Dreieck T , wobei e und g teilerfremd sind, gilt 1 1 1 1 1 2 LT (t) = (tr − u − v) + (tr − u − v) + + 2ef 2 e f ef 1 1 1 e f 1 1 1+ + + + + + 4 e f 12 f e ef +

l(u−tr) f −1 e−1 j(v−tr) ξf 1 ξe 1

+

. e j=1 1 − ξejf f le 1 − ξej 1 − ξfl l=1 1 − ξf

2.7 Polygone mit rationalen Eckpunkten

47

Diese Gleichung kann auch mit Fourier-Dedekind-Summen, die wir in (1.13) eingef¨ uhrt haben, ausgedr¨ uckt werden: 1 1 1 1 1 2 LT (t) = (tr − u − v) + (tr − u − v) + + 2ef 2 e f ef 1 1 1 e f 1 1 1+ + + + + + 4 e f 12 f e ef + sv−tr (f, 1; e) + su−tr (e, 1; f ) . Die allgemeine Formel f¨ ur LT – ohne die Annahme, dass e und g teilerfremd sind – ist der Inhalt von Aufgabe 2.34. Wir wollen einen Moment innehalten und das Wesen von LT als Funktion von t untersuchen. Abgesehen von den letzten beiden endlichen Summen (welche wir in Kapitel 8 ins Scheinwerferlicht r¨ ucken werden) und dem Auftreten von u und v ist LT ein quadratisches Polynom in t. Und in den beiden Summen kommt t nur im Exponent von Einheitswurzeln auf, n¨amlich als Exponent von ξe und ξf . Als Funktion von t ist ξet periodisch mit Periode e, und analog ist ξft periodisch mit Periode f . Wir sollten auch nicht vergessen, dass u und v Funktionen von t sind, aber sie k¨ onnen leicht vermittels der Nachkommaanteilsfunktion geschrieben werden, was wiederum auf periodische Funktionen von t f¨ uhrt. Also ist LT (t) ein (quadratisches) Polynom“ in t, dessen Koeﬃzi” enten periodische Funktionen von t sind. Das erinnert an die Z¨ahlfunktionen aus Kapitel 1, die ein ¨ ahnliches periodisch-polynomielles Verhalten gezeigt haben. Inspiriert von diesen beiden Beispielen deﬁnieren wir ein Quasipolynom Q als einen Ausdruck der Form Q(t) = cn (t) tn + · · · + c1 (t) t + c0 (t), wobei c0 , . . . , cn periodische Funtionen von t sind. Der Grad von Q ist n,3 und die kleinste gemeinsame Periode von c0 , . . . , cn ist die Periode von Q. Alternativ gibt es f¨ ur ein Quasipolynom Q eine positive ganze Zahl k und Polynome p0 , p1 , . . . , pk−1 , so dass ⎧ Q(t) = p0 (t) falls t ≡ 0 (mod k), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨Q(t) = p1 (t) falls t ≡ 1 (mod k), Q(t) = . .. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Q(t) = pk−1 (t) falls t ≡ k − 1 (mod k). Das kleinste solche k ist die Periode von Q, und f¨ ur dieses minimale k sind die Polynome p0 , p1 , . . . , pk−1 die Konstituenten von Q. Mit den Triangulierungs- und Einbetten-in-einen-Kasten-Argumenten, mit denen dieser Abschnitt begonnen hat, k¨ onnen wir jetzt ein allgemeines strukturelles Resultat f¨ ur rationale Polygone formulieren. Satz 2.11. Sei P ein beliebiges rationales Polygon. Dann ist LP (t) ein Quasipolynom vom Grad 2. Sein Leitkoeﬃzient ist die Fl¨ache von P (und damit insbesondere eine Konstante). 3

Hier gehen wir stillschweigend davon aus, dass cn nicht die Nullfunktion ist.

48

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Wir haben bereits die Technologie, um auch die Periode von LP zu untersuchen; wir u ugen, sich mit den n¨otigen Details ¨ berlassen dem Leser das Vergn¨ auseinanderzusetzen (siehe Aufgabe 2.35). Beweis. Nach Aufgaben 2.2 und 2.34 (der allgemeinen Form von Satz 2.10) gilt der Satz f¨ ur rationale Rechtecke und rechtwinklige Dreiecke, deren Kanten achsenparallel sind. Wir benutzen nun die Additivit¨at sowohl von Grad2-Quasipolynomen als auch von Fl¨ achen, sowie den Satz von Popoviciu (Satz 1.5).

2.8 Die Euler’sche Erzeugendenfunktion fu ¨r allgemeine rationale Polytope Inzwischen haben wir mehrere Beispiele von Z¨ahlfunktionen berechnet, indem wir eine Erzeugendenfunktion erstellt haben, die zu dem konkreten Problem, an dem wir interessiert waren, gepasst hat. In diesem Abschnitt erstellen wir solch eine Erzeugendenfunktion f¨ ur den Gitterpunktz¨ahler eines beliebigen rationalen Polytops. Ein solches Polytop ist durch seine HBeschreibung als Durchschnitt von Halbr¨ aumen und Hyperebenen gegeben. Die Halbr¨ aume sind algebraisch durch lineare Ungleichungen gegeben, die Hyperebenen durch lineare Gleichungen. Falls das Polytop rational ist, k¨onnen wir die Gleichungen und Ungleichungen so w¨ahlen, dass sie ganzzahlige Koeﬀzienten haben (Aufgabe 2.7). Um beide Beschreibungen zu vereinheitlichen k¨ onnen wir Schlupfvariablen einf¨ uhren, um die Halbraum-Ungleichungen in Gleichungen zu u uhren. Außerdem k¨ onnen wir, indem wir unser Polytop ¨ berf¨ in den nichtnegativen Orthanten verschieben (wir k¨onnen ein Polytop jederzeit um einen ganzzahligen Vektor verschieben, ohne die Anzahl seiner Gitterpunkte zu ver¨ andern), davon ausgehen, dass alle seine Punkte nichtnegative Koordinaten haben. Zusammengefasst k¨ onnen wir, nach einer harmlosen ganzzahligen Verschiebung, jedes beliebige rationale Polytop P als P = x ∈ d≥0 : A x = b (2.23)

f¨ ur eine ganzzahlige Matrix A ∈ m×d und einen ganzzahligen Vektor b ∈ m schreiben. (Man beachte, dass d nicht notwendigerweise die Dimension von P ist.) Um die t-te Streckung von P zu beschreiben, skalieren wir einfach einen Punkt x ∈ P um 1t , oder multiplizieren alternativ b mit t: x tP = x ∈ d≥0 : A = b = x ∈ d≥0 : A x = tb . t Also die der Gitterpunktz¨ ahler von P die Z¨ ahlfunktion LP (t) = # x ∈ d≥0 : A x = tb .

(2.24)

Beispiel 2.12. Angenommen, P sei das Viereck mit den Ecken (0, 0), (2, 0), (1, 1) und 0, 32 :

2.8 Die Euler’sche Erzeugendenfunktion f¨ ur allgemeine rationale Polytope

49

@

@

@ HHt @ 3 H H@ (1, 1) 0, 2 H@ Ht HH @ @HH @ HH HH t @t HH @ (0, 0) (2, 0) H @ Die H-Beschreibung von P ist x + 2x2 ≤ 3, . P = (x1 , x2 ) ∈ 2 : x1 , x2 ≥ 0, 1 x1 + x2 ≤ 2 Also gilt x1 + 2x2 ≤ 3t, 2 LP (t) = # (x1 , x2 ) ∈ : x1 , x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 2t x1 + 2x2 + x3 = 3t, 4 = # (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ : x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0, x1 + x2 + x4 = 2t 3t 1210 . x= = # x ∈ 4≥0 : 2t 1101

Unter Benutzung der Ideen aus den Abschnitten 1.3, 1.5, 2.3 und 2.7 konstruieren wir nun eine Erzeugendenfunktion f¨ ur diese Z¨ahlfunktion. In den vorherigen Abschnitten konnte der Gitterpunktz¨ahler mit nur einer nichttrivialen linearen Gleichung beschrieben werden. Im Gegensatz dazu haben wir jetzt ein System solcher linearen Beschr¨ ankungen. Wir k¨onnen jedoch den gleichen Ansatz benutzen und die linearen Gleichungen in eine Erzeugendenfunktion kodieren; wir ben¨ otigen lediglich mehr als eine Variable. Wenn wir die Funktion f (z1 , z2 ) :=

1 (1 − z1 z2 ) (1 −

z12 z2 ) (1

− z1 ) (1 − z2 ) z13t z22t

als geometrische Reihe entwickeln, erhalten wir

n2 n1 n3 n4 2 f (z1 , z2 ) = z1 z2 (z1 z2 ) z1 z2 n1 ≥0

=

n2 ≥0

n3 ≥0

n4 ≥0

1 z13t z22t

z1n1 +2n2 +n3 −3t z2n1 +n2 +n4 −2t .

n1 ,...,n4 ≥0

Wenn wir den konstanten Term (sowohl in z1 als auch in z2 ) berechnen, z¨ahlen wir L¨ osungen (n1 , n2 , n3 , n4 ) ∈ 4≥0 von

50

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1210 1101

⎛

⎞ n1 ⎜ n2 ⎟ ⎜ ⎟ = 3t , ⎝ n3 ⎠ 2t n4

d.h. der konstante Term von f (z1 , z2 ) z¨ ahlt die Gitterpunkte in P: LP (t) = const

1 (1 − z1 z2 ) (1 −

z12 z2 ) (1

− z1 ) (1 − z2 ) z13t z22t

.

Wir laden den Leser dazu ein, diesen konstanten Term tats¨achlich auszurechnen (Aufgabe 2.36). Er stellt sich als 7 2 5 7 + (−1)t t + t+ 4 2 8

heraus.

Wir kehren zum allgemeinen Fall eines durch (2.23) gegebenen Polytops P zur¨ uck, wobei wir die Spalten von A mit c1 , c2 , . . . , cd benennen. Wir setzen z = (z1 , z2 , . . . , zm ) und dr¨ ucken die Funktion 1 (1 − zc1 ) (1 − zc2 ) · · · (1 − zcd ) ztb

(2.25)

durch die geometrische Reihe aus: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎝ zn1 c1 ⎠ ⎝ zn2 c2 ⎠ · · · ⎝ znd cd ⎠ tb . z n1 ≥0

n2 ≥0

nd ≥0

cm f¨ ur die Hier benutzen wir die abk¨ urzende Schreibweise zc := z1c1 z2c2 · · · zm m m Vektoren z = (z1 , z2 , . . . , zm ) ∈ und c = (c1 , c2 , . . . , cm ) ∈ . Wenn wir alles ausmultiplizieren, sieht ein typischer Term aus wie

n1 c1 + n2 c2 + · · · + nd cd − tb = An − tb ,

wobei n = (n1 , n2 , . . . , nd ) ∈ d≥0 . Das heißt, wenn wir den konstanten Term unserer Erzeugendenfunktion (2.25) nehmen, z¨ahlen wir ganzzahlige Vektoren n ∈ d≥0 , die An − tb = 0 , also An = tb

erf¨ ullen. Dieser konstante Term wird also genau die Anzahl der Gitterpunkte n ∈ d≥0 in tP angeben:

Satz 2.13 (Euler’sche Erzeugendenfunktion). Das rationale Polytop P sei durch (2.23) deﬁniert. Dann kann das Ehrhart-Quasipolynom von P wie folgt berechnet werden: 1 LP (t) = const . (1 − zc1 ) (1 − zc2 ) · · · (1 − zcd ) ztb

Anmerkungen

51

Wir schließen dieses Kapitel ab, indem wir diese Gleichung u ¨ber den konstanten Term mithilfe der Ehrhart-Reihe umformulieren. Korollar 2.14. Das rationale Polytop P sei durch (2.23) deﬁniert. Dann kann die Ehrhart-Reihe von P wie folgt berechnet werden:

1 . EhrP (x) = const (1 − zc1 ) (1 − zc2 ) · · · (1 − zcd ) 1 − zxb Beweis. Nach Satz 2.13 gilt EhrP (x) =

t≥0

const ⎛

1 (1 − zc1 ) (1 − zc2 ) · · · (1 − zcd ) ztb

xt

⎞ xt 1 ⎠ = const ⎝ (1 − zc1 ) (1 − zc2 ) · · · (1 − zcd ) ztb t≥0 1 1 . = const (1 − zc1 ) (1 − zc2 ) · · · (1 − zcd ) 1 − zxb

Anmerkungen 1. Konvexe Polytope sind wundersch¨ one Objekte mit einer reichhaltigen Geschichte und interessanten Theorie, von der wir hier nur einen ﬂ¨ uchtigen Eindruck bekommen haben. Als eine gute Einf¨ uhrung in das Thema Polytope empfehlen wir [46, 89, 192]. Polytope tauchen in einer F¨ ulle aktueller Forschungsgebiete auf, darunter Gr¨ obnerbasen und kommutative Algebra [173], kombinatorische Optimierung [158], Integralgeometrie [109] und Geometrie der Zahlen [162]. 2. Die Unterscheidung zwischen V- und H-Beschreibung eines konvexen Polytops f¨ uhrt zu einer interessanten algorithmischen Frage, n¨amlich: Wie schnell kann man die erste aus der zweiten berechnen und umgekehrt [158, 192]? 3. Ehrhart-Reihen sind nach Eug`ene Ehrhart (1906–2000) benannt,4 aus Vorgriﬀ auf die S¨ atze, die wir in Kapitel 3 beweisen werden. Die Ehrhart-Reihe eines Polytops, das der speziellen Klasse der normalen Polytope angeh¨ort, gleicht einer weiteren rationalen Erzeugendenfunktion, der Hilbert-Poincar´eReihe. Diese Reihen tauchen in der Untersuchung graduierter Algebren auf (siehe z.B. [95, 170]). Ehrhart-Reihen treten auch im Zusammenhang mit torischen Variet¨aten auf, ein weitl¨ auﬁges und fruchtbares Thema [63, 83]. 4

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Ehrhart siehe http://icps.u-strasbg.fr/∼clauss/Ehrhart.html.

52

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

4. Die Euler-Zahlen A (d, k) sind nach Leonhard Euler (1707–1783)5 benannt und treten in Statistiken u ¨ber Permutationen auf: A (d, k) z¨ahlt die Permutationen von {1, 2, . . . , d} mit k − 1 Aufw¨ artsschritten. F¨ ur mehr u ¨ber A (d, k) siehe [61, Section 6.5]. 5. Die Pyramiden aus Abschnitt 2.4 haben eine Interpretation als Ordnungspolytope [171]. Eine erstaunliche Tatsache u ¨ber die Gitterpunktz¨ahler dieser Pyramiden ist, dass sie beliebig große reelle Nullstellen in wachsenden Dimensionen haben [23]. 6. Die Z¨ ahlfunktion L3 f¨ ur das Kreuzpolytop kann u ¨ brigens auch geschrieben werden als min(d,t) d t . 2k k k k=0

Insbesondere ist L3 symmetrisch in d und t. Die Z¨ahlfunktionen der Kreuzpolytope sind verbunden mit Laguerre-Polynomen, dem d-dimensionalen harmonischen Oszillator und der Riemann’schen Vermutung. Diese Verbindung ist in [50] erschienen, wo Daniel Bump, Kwok-Kwong Choi, P¨ar Kurlberg, und Jeﬀrey Vaaler auch eine bemerkenswerte Tatsache u ¨ ber die Nullstellen der Polynome L3 herausgefunden haben: Alle haben Realteil − 12 (ein Beispiel einer lokalen Riemann’schen Vermutung). Diese Tatsache wurde davon unhabh¨ angig von Peter Kirschenhofer, Attila Peth˝ o und Robert Tichy [108] bewiesen; siehe auch die Anmerkungen in Kapitel 4. 7. Satz 2.8 markiert den Beginn allgemeiner Untersuchungen zur Aufz¨ahlung von Gitterpunkten in Polytopen. Seine erstaunlich einfache Aussage wurde von Georg Alexander Pick (1859–1942)6 im Jahr 1899 entdeckt [142]. Der Satz von Pick gilt auch f¨ ur nichtkonvexe Polygone, sofern ihr Rand eine einfache Kurve bildet. In Kapitel 12 beweisen wir eine Verallgemeinerung des Satzes von Pick, die nichtkonvexe Kurven einschließt. 8. Das Ergebnis von Abschnitt 2.7 ist in [28] erschienen. Wir werden in Kapitel 8 sehen, dass die endlichen Summen u ¨ber Einheitswurzeln auch durch Dedekind-Rademacher-Summen ausgedr¨ uckt werden k¨onnen, die – wie wir in Kapitel 8 sehen werden – sehr schnell berechnet werden k¨onnen. Die S¨atze aus Abschnitt 2.7 werden dann implizieren, dass das diskrete Volumen eines beliebigen rationalen Polygons eﬃzient berechnet werden kann. 9. Wenn wir tb in (2.24) durch einen variablen ganzzahligen Vektor v ersetzen, wird die Z¨ ahlfunktion 5 6

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Euler siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Euler.html.

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Pick siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Pick.html.

Aufgaben

f (v) = # x ∈

d≥0 : A x = v

53

eine Vektorpartitionsfunktion genannt: Sie z¨ ahlt die Partitionen des Vektors v durch die Spalten von A. Vektorpartitionsfunktionen sind die multivariaten Analoga unserer Gitterpunktz¨ ahler LP (t); sie haben viele interessante Eigenschaften und f¨ uhren zu faszinierenden oﬀenen Fragen [19, 39, 62, 172, 177]. 10. Obwohl Leonhard Euler h¨ ochstwahrscheinlich nicht an Gitterpunktaufz¨ ahlung im Sinne von Ehrhart gedacht hat, schreiben wir Satz 2.13 ihm zu, denn er hat deﬁnitiv mit Erzeugendenfunktionen dieses Typs gearbeitet und sie dabei wahrscheinlich als Vektorpartitionsfunktionen aufgefasst. Das Potential der Euler’schen Erzeugendenfunktion f¨ ur Ehrhart-Polynome wurde schon von Ehrhart erkannt [78, 80]. Mehrere moderne Ans¨atze zur Berechnung von Ehrhart-Polynomen basieren auf Satz 2.13 (siehe z.B. [18, 45, 118]).

Aufgaben 2.1. ♣ Wir halten positive ganze Zahlen a, b, c und d mit a/b < c/d fest und lassen P das Intervall ab , dc sein (P ist also ein 1-dimensionales rationales konvexes Polytop). Berechnen Sie LP (t) = # (tP ∩ ) und LP ◦ (t) und zeigen Sie direkt, dass LP (t) und LP ◦ (t) Quasipolynome mit Periode kgV(b, d) sind, die LP ◦ (−t) = −LP (t)

erf¨ ullen (Hinweis: Aufgabe 1.4 (i).) 2.2. ♣ Wir halten positive rationale Zahlen a1 , b1 , a2 und b2 fest und lassen R das Rechteck mit den Eckpunkten (a1 , b1 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), und (a1 , b2 ) sein. Berechnen Sie LR (t) und EhrR (z). 2.3. Wir halten positive ganze Zahlen a und b fest und lassen T das Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0), (a, 0) und (0, b) sein. (a) Berechnen Sie LT (t) und EhrT (z). (b) Benutzen Sie (a), um die folgende Formel f¨ ur den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von a und b abzuleiten: b−1 ka ggT(a, b) = 2 + a + b − ab . b k=1

(Hinweis: Aufgabe 1.12.) 2.4. Zeigen Sie, dass f¨ ur zwei Polytope P ⊂ # (P × Q) ∩ m+n = # (P ∩

Daher gilt LP×Q (t) = LP (t) LQ (t).

m

und Q ⊂

n

gilt

m ) · # (Q ∩ n ) .

54

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

2.5. Zeigen Sie, dass falls F eine Seite von P und G eine Seite von F ist, auch G eine Seite von P ist (und somit die Seitenrelation transitiv ist). 2.6. ♣ Sei Δ ein d-Simplex mit Ecken V = {v1 , v2 , . . . , vd+1 }. Zeigen Sie, dass f¨ ur jede nichtleere Teilmenge W ⊆ V die konvexe H¨ ulle conv W eine Seite von Δ ist, und andersrum, dass jede Seite von Δ von der Form conv W f¨ ur ein W ⊆ V ist. Leiten Sie aus dieser Charakterisierung der Seiten eines Simplex die folgenden Korollare ab: (a) Eine Seite eines Simplex ist wieder ein Simplex. (b) Der Durchschnitt zweier Seiten eines Simplex Δ ist wieder eine Seite von Δ. 2.7. ♣ Zeigen Sie, dass ein rationales konvexes Polytop durch ein System linearer Ungleichungen und Gleichungen mit ganzzahligen Koeﬃzienten beschrieben werden kann. 2.8. ♣ Zeigen Sie die Eigenschaften (2.3) der Euler-Zahlen f¨ ur alle ganzen Zahlen 1 ≤ k ≤ d, n¨ amlich: (a) A (d, k) = A (d, d + 1 − k) ; (b) A (d, k) = (d − k + 1)A (d − 1, k − 1) + kA (d − 1, k) ; d (c) A (d, k) = d! ; k=0

d+1 (k − j)d . (d) A (d, k) = (−1) j j=0 k

j

2.9. ♣ Zeigen Sie (2.6); n¨ amlich, f¨ ur d ≥ 0,

1 (1−z)d+1

=

d+k

k≥0

d

zk.

2.10. ♣ Zeigen Sie (2.7): F¨ ur t, k ∈ und d ∈ >0 gilt t+d−1−k d −t + k (−1) = . d d 2.11. Die Stirling-Zahlen der ersten Art, stirl(n, m), sind durch die endliche Erzeugendenfunktion x(x − 1) · · · (x − n + 1) =

n

stirl(n, m) xm

m=0

deﬁniert (siehe auch [164, Folge A008275].) Zeigen Sie, dass 1 (−1)d−k stirl(d + 1, k + 1) tk = d! d

k=0

der Gitterpunktz¨ ahler f¨ ur den d-Standardsimplex.

d+t , d

Aufgaben

55

2.12. Geben Sie einen direkten Beweis daf¨ ur, dass die Anzahl der L¨ osungen d+t (m1 , m2 , . . . , md+1 ) ∈ d+1 ist. von m + m + · · · + m = t gleich 1 2 d+1 ≥0 d (Hinweis: Stellen Sie sich t aufgereihte Objekte vor, die durch d W¨ande getrennt sind.)

2.13. Berechnen Sie LP (t), wobei P der regul¨ are Tetraeder mit Ecken (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1) und (0, 1, 1) ist. 2.14. ♣ Zeigen Sie, dass die Potenzreihe Bk zk, k!

k≥0

die die Bernoulli-Zahlen deﬁniert, den Konvergenzradius 2π hat. 2.15. ♣ Zeigen Sie (2.11), n¨ amlich Bd (1 − x) = (−1)d Bd (x). 2.16. ♣ Zeigen Sie (2.12), n¨ amlich Bd = 0 f¨ ur alle ungeraden d ≥ 3. 2.17. Zeigen Sie f¨ ur jede positive ganze Zahl n die Gleichung n n n xn−1 = Bn−k (x) . k k=1

Dies gibt uns einen Basiswechsel f¨ ur die Polynome vom Grad ≤ n und erlaubt es uns, jedes beliebige Polynom als eine Summe von Bernoulli-Polynomen darzustellen. 2.18. Zeigen Sie als Gegenst¨ uck zur vorigen Aufgabe, dass wir auch einen Basiswechsel in die andere Richtung haben. Das heißt, wir k¨onnen ein einzelnes Bernoulli-Polynom durch Monome wie folgt ausdr¨ ucken: n n Bn (x) = Bk xn−k . k k=0

2.19. Zeigen Sie, dass f¨ ur alle positiven ganzen Zahlen m, n und alle x ∈ gilt m−1 1 k = m−n Bn (mx) . Bn x + m m k=0

(Dies ist eine Gleichung der Hecke-Operator -Art, sie wurde urspr¨ unglich von Joseph Ludwig Raabe in 1851 entdeckt.) 2.20. Zeigen Sie, dass Bn (x + 1) − Bn (x) = n xn−1 . 2.21. Eine alternative Deﬁnition der Bernoulli-Polynome besteht darin, elementare Eigenschaften anzugeben, die diese eindeutig charakterisieren. Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften die Bernoulli-Polynome, so wie sie im Text durch (2.8) deﬁniert wurden, eindeutig bestimmen:

56

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

(a) B0 (x) = 1. n (x) (b) dBdx = n Bn−1 (x) f¨ ur alle n ≥ 1. /1 (c) 0 Bn (x) dx = 0 f¨ ur alle n ≥ 1. 2.22. Zeigen Sie, dass f¨ ur d = 1 gilt

B1 (t) z t =

t≥0

3z − 1 , 2(1 − z)2

und dass f¨ ur d ≥ 2 gilt t≥0

t

Bd (t) z =

d

d−1

A (d − 1, k) z k+1 Bd . + d+1 (1 − z) 1−z

k=1

2.23. ♣ Beweisen Sie Satz 2.6: EhrBiPyr(Q) (z) =

1+z 1−z

EhrQ (z).

2.24. ♣ Sei R ein ganzzahliges Rechteck, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, und sei T ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei achsenparallelen Seiten. Zeigen Sie, dass der Satz von Pick f¨ ur R und T gilt. 2.25. ♣ Sei P ein ganzzahliges Polygon mit Fl¨ache A und mit B Gitterpunkten auf seinem Rand. Zeigen Sie, dass die Fl¨ache von tP gleich At2 ist, und dass die Anzahl der Punkte auf dem Rand von tP gleich Bt ist. (Hinweis: Aufgabe 1.12.) 2.26. Sei P das sich selbst kreuzende Polygon, das durch die Geradenabschnitte [(0, 0), (4, 2)], [(4, 2), (4, 0)], [(4, 0), (0, 2)] und [(0, 2), (0, 0)] deﬁniert ist. Zeigen Sie, dass der Satz von Pick nicht f¨ ur P gilt. 2.27. Seien P und Q ganzzahlige Polygone, so dass Q vollst¨andig in P enthalten ist. Dann ist das von den R¨ andern von P und Q umschlossene Gebiet, das wir mit P − Q bezeichnen, ein zweifach zusammenh¨angendes Polygon“. ” Finden und beweisen Sie das Analogon zum Satz von Pick f¨ ur P − Q. Verallgemeinern Sie Ihre Formel f¨ ur Polygone mit n L¨ochern“ (anstatt einem). ” 2.28. Wir betrachten den Rhombus R = {(x, y) : a|x| + b|y| ≤ ab} , wobei a und b feste positive ganze Zahlen sind. Finden Sie eine Formel f¨ ur LR (t). 2.29. Wir deﬁnieren die n-te Farey-Folge als Menge aller rationalen Zahlen ab im Intervall [0, 1], f¨ ur die a und b teilerfremd sind und b ≤ n. Zum Beispiel ist die sechste Farey-Folge gleich 01 , 16 , 15 , 14 , 13 , 25 , 12 , 35 , 23 , 34 , 45 , 56 , 11 . (a) F¨ ur zwei aufeinanderfolgende Br¨ uche Sie, dass bc − ad = 1 gilt.

a b

und

c d

in einer Farey-Folge, zeigen

Aufgaben

(b) F¨ ur drei aufeinanderfolgende Br¨ uche c a+e zeigen Sie, dass d = b+f gilt.

a c b, d

und

e f

57

in einer Farey-Folge,

2.30. Sei x die kleinste ganze Zahl gr¨ oßer als oder gleich x. Zeigen Sie f¨ ur alle positiven ganzen Zahlen a und b, dass a + (−1)b

a

bm (−1) a ≡ b + (−1)a

m=0

b

an (−1) b ( mod 4) .

n=0

(Hinweis: Dies ist eine Abwandlung von Aufgabe 1.6. Ein Weg diese Gleichung zu erhalten besteht darin, die Gitterpunkte in einem bestimmten Dreieck zu z¨ ahlen und dabei nur die Parit¨ at zu ber¨ ucksichtigen.) ¨ 2.31. ♣ Uberpr¨ ufen Sie (2.19). 2.32. ♣ Berechnen Sie die Partialbruchkoeﬃzienten (2.22). 2.33. Seien a und b positive ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass −1 ab − 1 1 ξak z − ξak = − + 1 − z ab ab 2ab + Terme mit positiven Potenzen von z − ξak . 2.34. ♣ Sei T durch (2.16) gegeben, und sei c = ggT(e, f ). Zeigen Sie, dass 1 1 1 1 1 2 (tr − u − v) + (tr − u − v) + + LT (t) = 2ef 2 e f ef 1 1 1 e f 1 1 1+ + + + + + 4 e f 12 f e ef c−1 c−1 k(−tr+1) 1 u + v − tr ξc−ktr 1 1 ξc + − + − 2e 2f ef 1 − ξck ef (1 − ξc )2 k=1

+

1 e

e−1 j=1 e|j c

j(v−tr) ξe

1−

ξejf

1−

ξej

+

1 f

f −1 l=1 f |l c

k=1 l(u−tr) ξf

. 1 − ξfle 1 − ξfl

2.35. Sei P ein rationales Polygon und sei d das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Ecken von P. Zeigen Sie direkt (unter Benutzung von Aufgabe 2.34), dass die Periode von LP die Zahl d teilt. 2.36. ♣ Vervollst¨ andigen Sie die Berechnung in Beispiel 2.12, berechnen Sie also 1 const . (1 − z1 z2 ) (1 − z12 z2 ) (1 − z1 ) (1 − z2 ) z13t z22t

58

2 Eine Gallerie diskreter Volumina

2.37. Berechnen Sie die Vektorpartitionsfunktion des in Beispiel 2.12 gegebenen Vierecks, d.h. berechnen Sie die Z¨ ahlfunktion v1 1210 x= f (v1 , v2 ) := # x ∈ 4≥0 : 1101 v2

f¨ ur v1 , v2 ∈ ab.)

. (Diese Funktion h¨angt von der Beziehung zwischen v1 und v2

2.38. Suchen Sie im Internet nach dem Programm polymake [85]. Sie k¨onnen es kostenlos herunterladen. Experimentieren Sie.

Oﬀene Probleme 2.39. W¨ ahlen Sie d + 1 der 2d Ecken des d-Einheitsw¨ urfels 2 und bezeichnen Sie mit Δ den durch deren konvexe H¨ ulle deﬁnierten Simplex. (a) Welche Auswahl an Ecken maximiert vol Δ? (b) Was ist das gr¨ oßte Volumen eines solchen Δ? 2.40. Finden Sie eine Klasse von ganzzahligen d-Polytopen (Pd )d≥1 , f¨ ur die LPd (t) symmetrisch in d und t ist. (Die Standardsimplizes Δ und die Kreuzpolytope 3 bilden zwei solche Klassen.) 2.41. Wir haben in den Anmerkungen bereits erw¨ahnt, dass alle Nullstellen der Polynome L3 Realteil − 12 haben [50, 108]. Finden Sie andere Klassen von Polytopen, deren Gitterpunktz¨ ahler ein solch besonderes Verhalten zeigen.

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

Ubi materia, ibi geometria. Johannes Kepler (1571–1630)

¨ Nach diesem Uberﬂuss an Beispielen, in denen die Gitterpunktz¨ahlfunktion LP (t) polynomielles Verhalten f¨ ur spezielle Polytope P gezeigt hat, fragen wir jetzt, ob es ein allgemeines Strukturtheorem gibt. W¨ahrend wir diese Ideen ausbreiten ist der Leser eingeladen, auf die Kapitel 1 und 2 als Appetith¨appchen und Spezialf¨ alle der hier entwickelten S¨ atze zur¨ uckzuschauen.

3.1 Triangulierungen und spitze Kegel Da die meisten der folgenden Beweise f¨ ur Simplizes besonders einfach ablaufen, zerlegen wir zun¨ achst ein Polytop in Simplizes. Diese Zerlegung ist in der folgenden Deﬁnition festgehalten. Eine Triangulierung eines konvexen d-Polytops P ist eine endliche Sammlung T von d-Simplizes mit den folgenden Eigenschaften: 0 • P= Δ. •

Δ∈T

F¨ ur beliebige Δ1 , Δ2 ∈ T ist Δ1 ∩ Δ2 eine gemeinsame Seite von Δ1 und Δ2 .

Wir sagen, P sei ohne neue Ecken triangulierbar, falls es eine Triangulierung T gibt, so dass die Ecken aller Δ ∈ T bereits Ecken von P sind. Satz 3.1 (Existenz von Triangulierungen). Jedes konvexe Polytop ist ohne neue Ecken triangulierbar. Dieser Satz scheint intuitiv klar zu sein, ist aber nicht ganz trivial zu beweisen. Wir erarbeiten sorgf¨ altig einen Beweis in Anhang B.

60

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

Abb. 3.1. Zwei (sehr unterschiedliche) Triangulierungen des 3-W¨ urfels.

Ein spitzer Kegel K ⊆

d

ist eine Menge der Form

K = {v + λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λm wm : λ1 , λ2 , . . . , λm ≥ 0} , ahlt sind, dass es eine Hyperebene H wobei v, w1 , w2 , . . . , wm ∈ d so gew¨ gibt, f¨ ur die H ∩ K = {v}; d.h., K \ {v} liegt strikt auf einer Seite von H. Der Vektor v heißt die Spitze von K, und die wk s sind die Erzeuger von K. Der Kegel ist rational, falls v, w1 , w2 , . . . , wm ∈ d . In diesem Fall k¨onnen wir w1 , w2 , . . . , wm ∈ d w¨ ahlen, indem wir mit dem Hauptnenner multiplizieren. Die Dimension von K ist die Dimension des von K aufgespannten aﬃnen Raums; falls K von Dimension d ist sprechen wir von einem d-Kegel. Der d-Kegel K ist simplizial, falls K genau d linear unabh¨angige Erzeuger hat. Genau wie Polytope haben auch Kegel eine Beschreibung als Durchschnitt von Halbebenen: Ein rationaler spitzer d-Kegel ist der d-dimensionale Durchschnitt endlich vieler Halbebenen der Form x ∈ d : a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd ≤ b

mit ganzzahligen Parametern a1 , a2 , . . . , ad , b ∈ , so dass die dazugeh¨origen Hyperebenen der Form x ∈ d : a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd = b sich in genau einem Punkt treﬀen. Kegel sind aus mehreren Gr¨ unden wichtig. Der f¨ ur uns praktischste ist eine Konstruktion namens Kegel ¨ uber einem Polytop. Gegeben ein Polytop P ⊂ d mit Ecken v1 , v2 , . . . , vn , heben wir diese Ecken in den d+1 , indem wir 1 als ihre letzte Koordinate hinzuf¨ ugen. Wir setzen also w1 = (v1 , 1) , w2 = (v2 , 1) , . . . , wn = (vn , 1) . Jetzt deﬁnieren wir den Kegel u ¨ ber P als cone(P) = {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λn wn : λ1 , λ2 , . . . , λn ≥ 0} ⊂

d+1

.

Dieser spitze Kegel hat den Koordinatenursprung als Spitze, und wir k¨onnen unser Ausgangspolytop P zur¨ uckgewinnen (genaugenommen handelt es sich

3.1 Triangulierungen und spitze Kegel

61

x3

x2

x1 Abb. 3.2. Ein Kegel u ¨ ber einem Polytop.

um die verschobene Menge {(x, 1) : x ∈ P}), indem wir cone(P) mit der Hyperebene xd+1 = 1 schneiden, wie in Abb. 3.2 dargestellt. In Analogie zur Sprache der Polytope sagen wir, die Hyperebene H = {x ∈ d : a · x = b} sei eine unterst¨ utzende Hyperebene des spitzen d-Kegels K, falls K vollst¨ andig auf einer Seite von H liegt, also K ⊂ x ∈ d : a·x≤ b oder K⊂ x∈ d : a·x≥b . Eine Seite von K ist eine Menge der Form K∩H, wobei H eine unterst¨ utzende Hyperebene von K ist. Die (d − 1)-dimensionalen Seiten heißen Facetten und die 1-dimensionalen Seiten Kanten von K. Die Spitze von K ist die einzige 0-dimensionale Seite. Genauso, wie Polytope in Simplizes trianguliert werden k¨onnen, k¨onnen spitze Kegel in simpliziale Kegel trianguliert werden. Dabei ist eine Menge T simplizialer d-Kegel eine Triangulierung des d-Kegels K, wenn sie folgende Bedingungen erf¨ ullt: 0 • K= S. S∈T

62

•

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

F¨ ur beliebige S1 , S2 ∈ T ist S1 ∩ S2 eine gemeinsame Seite von S1 und S2 .

Wir sagen, dass K ohne neue Erzeuger trianguliert werden kann, falls eine Triangulierung T existiert, so dass alle Erzeuger jedes S ∈ T Erzeuger von P sind. Satz 3.2. Jeder spitze Kegel kann ohne neue Erzeuger in simpliziale Kegel trianguliert werden. Beweis. Dieser Satz ist ein Korollar zu Satz 3.1. Zu einem gegebenen spitzen d-Kegel K existiert eine Hyperebene H, die K nur in der Spitze schneidet. Jetzt verschieben wir H in den Kegel hinein“, so dass H ∩ K aus mehr als ” einem Punkt besteht. Dieser Durchschnitt ist ein (d−1)-Polytop, dessen Ecken durch die Erzeuger von K bestimmt sind. Nun triangulieren wir P ohne neue Ecken. Der Kegel u ¨ ber jedem Simplex der Triangulierung ist ein simplizialer Kegel. Diese simplizialen Kegel triangulieren, nach Konstruktion, K.

3.2 Gitterpunkttransformationen fu ¨ r rationale Kegel Wir wollen die Information, die in den Gitterpunkten in einer Menge S ⊂ d enthalten ist, kodieren. Es stellt sich heraus, dass die folgende multivariate Erzeugendenfunktion uns dies auf eﬃziente Art erlaubt, falls S ein rationaler Kegel oder ein Polytop ist: σS (z) = σS (z1 , z2 , . . . , zd ) := zm . m∈S∩

d

Die Erzeugendenfunktion σS listet einfach alle Gitterpunkte in S in einer besonderen Form auf: Nicht als Liste von Vektoren, sondern als eine formale Summe von Monomen. Wir nennen σS die Gitterpunkttransformation von S; die Funktion σS l¨ auft auch unter dem Namen Momenterzeugendenfunktion oder einfach Erzeugendenfunktion von S. Die Gitterpunkttransformation σS oﬀnet uns die T¨ ur sowohl zu algebraischen als auch zu analytischen Methoden. ¨ Beispiel 3.3. Als Aufw¨ arm¨ ubung betrachten wir den 1-dimensionalen Kegel K = [0, ∞). Seine Gitterpunkttransformation ist unser alter Freund σK (z) =

m∈[0,∞)∩

zm =

m≥0

zm =

1 . 1−z

Beispiel 3.4. Nun betrachten wir den zweidimensionalen Kegel K := {λ1 (1, 1) + λ2 (−2, 3) : λ1 , λ2 ≥ 0} ⊂

2

,

der in Abb. 3.3 dargestellt ist. Um die Gitterpunkttransformation σK zu erhalten, kacheln wir K mit Kopien des Fundamentalparallelogramms

3.2 Gitterpunkttransformationen f¨ ur rationale Kegel

Π := {λ1 (1, 1) + λ2 (−2, 3) : 0 ≤ λ1 , λ2 < 1} ⊂

2

63

.

Genauer gesagt verschieben wir Π um nichtnegative ganzzahlige Linearkombinationen der Erzeuger (1, 1) und (−2, 3), und diese Translate decken K exakt ab. Wie k¨ onnen wir die Gitterpunkte in K als Monome auflisten? Wir wollen zun¨ achst alle Ecken der Translate von Π auflisten. Diese sind nichtnegative ganzzahlige Linearkombinationen der Erzeuger (1, 1) und (−2, 3), also k¨onnen wir sie aufz¨ ahlen, indem wir die geometrische Reihe verwenden:

zm =

m=j(1,1)+k(−2,3) j,k≥0

zj(1,1)+k(−2,3) =

j≥0 k≥0

1 . (1 − z1 z2 ) 1 − z1−2 z23

Jetzt benutzen wir die Gitterpunkte (m, n) ∈ Π, um eine Teilmenge von 2 zu erzeugen, indem wir zu (m, n) nichtnegative ganzzahlige Linearkombinationen der Erzeuger (1, 1) und (−2, 3) addieren. Wir erhalten n¨amlich L(m,n) := {(m, n) + j(1, 1) + k(−2, 3) : j, k ∈

≥0} .

Es ergibt sich unmittelbar, dass K∩ 2 die disjunkte Vereinigung der Teilmengen L(m,n) ist, wobei (m, n) die Menge Π ∩ 2 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (−1, 2), (−1, 3)} durchl¨ auft. Also zm σK (z) = 1 + z2 + z22 + z1−1 z22 + z1−1 z23

m=j(1,1)+k(−2,3) j,k≥0

=

1 + z2 + z22 + z1−1 z22 + z1−1 z23 . (1 − z1 z2 ) 1 − z1−2 z23

¨ Ahnliche geometrische Reihen gen¨ ugen zur Beschreibung der Gitterpunkttransformationen simplizialer d-Kegel. Das folgende Resultat benutzt geometrische Reihen in mehreren Richtungen gleichzeitig. Satz 3.5. Sei K := {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : λ1 , λ2 , . . . , λd ≥ 0}

ur v ∈ d die ein simplizialer d-Kegel, wobei w1 , w2 , . . . , wd ∈ d . Dann ist f¨ Gitterpunkttransformation σv+K des verschobenen Kegels v + K gerade die rationale Funktion σv+K (z) =

σv+Π (z) , (1 − zw1 ) (1 − zw2 ) · · · (1 − zwd )

wobei Π das halboﬀene Parallelepiped Π := {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : 0 ≤ λ1 , λ2 , . . . , λd < 1} ist.

64

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie x2

(−2, 3)

(1, 1) x1 Abb. 3.3. Der Kegel K und sein Fundamentalparallelogramm.

Das halboﬀene Parallelepiped Π wird das Fundamentalparallelepiped von K genannt. m Beweis. In σv+K (z) = listen wir jeden einzelnen Gitterm∈(v+K)∩ d z m punkt m in v + K als das Monom z auf. Ein solcher Gitterpunkt kann, nach Deﬁnition, als m = v + λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd f¨ ur bestimmte Zahlen λ1 , λ2 , . . . , λd ≥ 0 geschrieben werden. Da die wk s eine Basis des d bilden, ist diese Darstellung eindeutig. Wir schreiben jedes der λk als Summe von Vor- und Nachkommaanteil: λk = λk + {λk }. Also gilt m = v+ {λ1 } w1 +{λ2 } w2 +· · ·+{λd } wd +λ1 w1 +λ2 w2 +· · ·+λd wd , und wir sollten beachten, dass wegen 0 ≤ {λk } < 1 der Vektor p := v + {λ1 } w1 + {λ2 } w2 + · · · + {λd } wd

in v+Π enthalten ist. Tats¨ achlich gilt p ∈ d , da m und λk wk ausschließlich ganzzahlige Vektoren sind. Wieder ist die Darstellung von p durch die wk s eindeutig. Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass jedes m ∈ v + K ∩ d eindeutig als m = p + k1 w1 + k2 w2 + · · · + kd wd (3.1)

f¨ ur bestimmte p ∈ (v + Π) ∩ d und bestimmte ganzzahlige k1 , k2 , . . . , kd ≥ 0 geschrieben werden kann. Andererseits wollen wir die rationale Funktion auf der rechten Seite des Satzes als Produkt von Reihen schreiben:

3.2 Gitterpunkttransformationen f¨ ur rationale Kegel

⎛ (1 −

σv+Π (z) w z 1 ) · · · (1 −

zwd )

=⎝

p∈(v+Π)∩

⎞⎛ zp ⎠ ⎝ d

⎞

⎛

zk1 w1 ⎠ · · · ⎝

k1 ≥0

65

⎞ zkd wd ⎠ .

kd ≥0

Wenn wir alles ausmultiplizieren, sieht ein typischer Exponent exakt wie in (3.1) aus. Unser Beweis enth¨ alt eine entscheidende geometrische Idee: Wir kacheln den Kegel v + K mit Translaten von v + Π um nichtnegative ganzzahlige Linearkombinationen der wk s. Es ist diese Kachelung, die auf die eleganten Gitterpunkttransformationen in Satz 3.5 f¨ uhrt. Algorithmisch bevorzugen wir daher Kegel vor Polytopen, da wir in der Lage sind, einen simplizialen Kegel mit Kopien des Fundamentalbereichs zu kacheln, wie oben. Einen weiteren Grund, Kegel vor Polytopen zu bevorzugen, liefert der Satz von Brion in Kapitel 9. Satz 3.5 zeigt, dass die wahre Komplexit¨ at beim Berechnen der Gitterpunkttransformation σv+K in der Lage der Gitterpunkt im Parallelepiped v + Π liegt. Indem wir die Voraussetzungen von Satz 3.5 ein wenig abschw¨achen, erhalten wir eine etwas einfachere Erzeugendenfunktion; ein Ergebnis, das wir in Abschnitt 3.4 und Kapitel 4 brauchen werden. Korollar 3.6. Sei K := {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : λ1 , λ2 , . . . , λd ≥ 0}

ein simplizialer d-Kegel, wobei w1 , w2 , . . . , wd ∈ d und v ∈ Rand von v + K keinen Gitterpunkt enth¨alt. Dann gilt σv+K (z) =

(1 −

zw1 ) (1

d

, so dass der

σv+Π (z) , − zw2 ) · · · (1 − zwd )

wobei Π das oﬀene Parallelepiped Π := {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : 0 < λ1 , λ2 , . . . , λd < 1} ist. Beweis. Der Beweis von Satz 3.5 geht beinahe w¨ortlich durch, außer, dass v + Π nun keine Gitterpunkt auf dem Rand hat, so dass es nicht schadet, Π als oﬀen anzunehmen. Da allgemeine spitze Kegel stets in simpliziale Kegel trianguliert werden k¨ onnen, addieren sich die Gitterpunktz¨ ahler nach dem Prinzip von Einschluss und Ausschluss auf (man beachte, dass der Durchschnitt von simplizialen Kegeln einer Triangulierung wieder ein simplizialer Kegel ist, nach Aufgabe 3.2). Daher haben wir das folgende Korollar:

66

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

Korollar 3.7. Zu einem beliebigen spitzen Kegel K = {v + λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λm wm : λ1 , λ2 , . . . , λm ≥ 0}

mit v ∈ d , w1 , w2 , . . . , wm ∈ d ist die Gitterpunkttransformation σK (z) eine rationale Funktion in den Koordinaten von z. Mit etwas weiterem Philosophieren kann man zeigen, dass die urspr¨ ungliche unendliche Reihe σK (z) nur f¨ ur z aus einer Teilmenge von d konvergiert, w¨ ahrend die rationale Funktion, die σK repr¨asentiert, uns eine meromorphe Fortsetzung liefert. Sp¨ ater, in Kapitel 4 und 9, werden wir von dieser Fortsetzung Gebrauch machen.

3.3 Erweitern und Z¨ ahlen mit Ehrharts urspru ¨ nglichem Ansatz Hier ist das grundlegende Theorem u ¨ber die Anzahl der Gitterpunkte in einem ganzzahligen konvexen Polytop. Satz 3.8 (Satz von Ehrhart). Wenn P ein ganzzahliges konvexes d-Polytop ist, dann ist LP (t) ein Polynom in t vom Grad d. Dieses Ergebnis geht auf Eug`ene Ehrhart zur¨ uck, zu dessen Ehren wir LP das Ehrhart-Polynom von P nennen. Selbstverst¨andlich gibt es eine Erweiterung des Satzes von Ehrhart auf rationale Polytope, welche wir in Abschnitt 3.7 besprechen werden. Unser Beweis des Satzes von Ehrhart benutzt Erzeugendenfunktionen der Form t≥0 f (t) z t , die im wesentlichen denen ¨ahneln, u ¨ ber die wir am Anfang von Kapitel 1 geredet haben. Falls f ein Polynom ist, nimmt diese Potenzreihe eine besondere Form an, welche wir den Leser zu beweisen einladen (Aufgabe 3.8): Lemma 3.9. Falls

f (t) z t =

t≥0

g(z) , (1 − z)d+1

dann ist f ein Polynom vom Grad d genau dann, wenn g ein Polynom vom Grad h¨ochstens d ist und g(1) = 0. Der Grund, warum wir in Abschnitt 3.2 Erzeugendenfunktionen der Form m σS (z) = eingef¨ uhrt haben, ist, dass sie uns bei Gitterpunktm∈S∩ d z problemen extrem n¨ utzlich sind. Die Verbindung mit Gitterpunkten ist oﬀensichtlich, da wir einfach u ¨ ber diese summieren. Wenn wir an der Anzahl der Gitterpunkte interessiert sind, werten wir einfach σS bei z = (1, 1, . . . , 1) aus: 1m = 1=# S∩ d . σS (1, 1, . . . , 1) =

m∈S∩

d

m∈S∩

d

3.3 Erweitern und Z¨ ahlen mit Ehrharts urspr¨ unglichem Ansatz

67

(dabei bezeichnen wir mit 1 einen Vektor, dessen Komponenten alle 1 sind.) Selbstverst¨ andlich sollten wir diese Auswertung nur vornehmen, wenn S beschr¨ ankt ist; Satz 3.5 lehrt uns bereits, dass es wenig Spaß macht, σK (1) f¨ ur einen Kegel K auszuwerten. Aber die Magie der Erzeugendenfunktion σS h¨ort hier nicht auf. Um dies im Wortsinn auf die n¨ achste Ebene zu heben, bilden wir den Kegel u ¨ ber einem konvexen Polytop P. Wir erinnern uns daran, dass wir, falls P ⊂ d die Ecken v1 , v2 , . . . , vn ∈ d hat, diese in den d+1 heben, indem wir 1 als ihre letzte Koordinate hinzuf¨ ugen. Also setzen wir

w1 = (v1 , 1) , w2 = (v2 , 1) , . . . , wn = (vn , 1) . Dann gilt cone(P) = {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λn wn : λ1 , λ2 , . . . , λn ≥ 0} ⊂

d+1

.

Man beachte, dass wir unser urspr¨ ungliches Polytop P zur¨ uckerhalten, wenn wir cone(P) mit der Hyperebene xd+1 = 1 schneiden. Wir k¨onnen mehr als nur das Ausgangspolytop aus cone(P) zur¨ uckgewinnen: Indem wir den Kegel mit der Hyperebene xd+1 = 2 schneiden, erhalten wir eine um den Faktor 2 gestreckte Kopie von P. (Der Leser sollte kurz dar¨ uber nachdenken, warum dieser Schnitt eine 2-Streckung von P ist.) Allgemeiner k¨onnen wir den Kegel mit der Hyperebene xd+1 = t schneiden und erhalten tP, wie in Abb. 3.4 angedeutet. Wir wollen nun die Gitterpunkttransformation σcone(P) von cone(P) bilden. Aus dem gerade gesagten folgt, dass wir die verschiedenen Potenzen von 0 zd+1 betrachten sollten: Es gibt genau einen Term (n¨amlich 1) mit zd+1 ; die1 ser entspricht dem Koordinatenursprung. Die Terme mit zd+1 entsprechen den Gitterpunkten in P (aufgelistet als Monome im z1 , z2 , . . . , zd ), die Terme mit 2 zd+1 entsprechen den Punkten in 2P usw. Kurz gesagt, σcone(P) (z1 , z2 , . . . , zd+1 ) 2 = 1 + σP (z1 , . . . , zd ) zd+1 + σ2P (z1 , . . . , zd ) zd+1 + ··· t σtP (z1 , . . . , zd ) zd+1 . =1+ t≥1

Wir spezialisieren dies zum ahlen noch etwas weiter und erinnern uns, Aufz¨ dass σP (1, 1, . . . , 1) = # P ∩ d und deshalb t σtP (1, 1, . . . , 1) zd+1 σcone(P) (1, 1, . . . , 1, zd+1 ) = 1 +

t≥1

=1+

# tP ∩

t d zd+1 .

t≥1

Aber nach Deﬁnition sind die Z¨ ahler auf der rechten Seite gerade Auswertungen von Ehrharts Z¨ ahlfunktion, das heißt σcone(P) (1, 1, . . . , 1, zd+1 ) ist nichts anderes als die Ehrhart-Reihe von P:

68

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

Abb. 3.4. Streckungen von P in cone(P).

Lemma 3.10. σcone(P) (1, 1, . . . , 1, z) = 1 +

LP (t) z t = EhrP (z) .

t≥1

Mit all dieser Maschinerie zur Verf¨ ugung k¨onnen wir jetzt den Satz von Ehrhart beweisen. Beweis von Satz 3.8. Es gen¨ ugt, den Satz f¨ ur Simplizes zu beweisen, da wir jedes ganzzahlige Polytop in ganzzahlige Simplizes triangulieren k¨onnen ohne neue Ecken zu benutzen. Man beachte, dass diese Simplizes sich dabei in niedriger-dimensionalen ganzzahligen Simplizes schneiden. Nach Lemma 3.9 gen¨ ugt es, zu zeigen, dass f¨ ur einen ganzzahligen dSimplex Δ die Gleichung EhrΔ (z) = 1 +

t≥1

LΔ (t) z t =

g(z) (1 − z)d+1

f¨ ur ein Polytop g vom Grad h¨ ochsten d mit g(1) = 0 gilt. In Lemma 3.10 haben wir gezeigt, dass die Ehrhart-Reihe von Δ gleich σcone(Δ) (1, 1, . . . , 1, z)

3.4 Die Ehrhart-Reihe eines ganzzahligen Polytops

69

ist, also wollen wir die Gitterpunkttransformation, die zu cone(Δ) geh¨ort, untersuchen. Der Simplex Δ hat d + 1 Ecken v1 , v2 , . . . , vd+1 , also ist cone(Δ) ⊂ d+1 simplizial, mit Spitze im Koordinatenursprung und Erzeugern w1 = (v1 , 1) , w2 = (v2 , 1) , . . . , wd+1 = (vd+1 , 1) ∈

d+1.

Wir benutzen jetzt Satz 3.5: σcone(Δ) (z1 , z2 , . . . , zd+1 ) =

(1 −

σΠ (z1 , z2 , . . . , zd+1 ) w z 1 ) (1 − zw2 ) · · · (1 −

zwd+1 )

,

wobei Π = {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd+1 wd+1 : 0 ≤ λ1 , λ2 , . . . , λd+1 < 1}. Dieses Parallelepiped ist beschr¨ ankt, also ist die zugeh¨orige Erzeugendenfunktion σΠ ein Laurent-Polynom in z1 , z2 , . . . , zd+1 . Wir behaupten, dass der zd+1 -Grad von σΠ h¨ochstens d ist. Denn da die xd+1 -Koordinate jedes wk gleich 1 ist, ist die xd+1 -Koordinate eines Punkts in Π gleich λ1 + λ2 + · · · + λd+1 f¨ ur bestimmte 0 ≤ λ1 , λ2 , . . . , λd+1 < 1. Aber dann ist λ1 + λ2 + · · · + λd+1 < d + 1, so dass diese Summe, falls sie ganzzahlig ist, h¨ ochstens d ist, woraus folgt, dass der zd+1 -Grad von σΠ (z1 , z2 , . . . , zd+1 ) h¨ ochstens d ist. Folglich ist σΠ (1, 1, . . . , 1, zd+1 ) ein Polynom in zd+1 vom Grad h¨ ochstens d. Die Auswertung σΠ (1, 1, 1, . . . ,1) dieses Polynoms bei zd+1 = 1 ist nicht null, da σΠ (1, 1, 1, . . . , 1) = # Π ∩ d+1 und der Koordinatenursprung ein Gitterpunkt in Π ist. Wenn wir schließlich in zwk die Werte z1 = z2 = · · · = zd = 1 einsetzen, 1 erhalten wir zd+1 , so dass

σcone(Δ) (1, 1, . . . , 1, zd+1 ) = Die linke Seite ist EhrΔ (zd+1 ) = 1 +

σΠ (1, 1, . . . , 1, zd+1 )

t≥1

(1 − zd+1 )

d+1

.

t LΔ (t) zd+1 nach Lemma 3.10.

3.4 Die Ehrhart-Reihe eines ganzzahligen Polytops Wir k¨ onnen unseren Beweis des Satzes von Ehrhart sogar noch einen Schritt weiter f¨ uhren, indem wir das Polynom σΠ (1, 1, . . . , 1, zd+1 ) untersuchen. Wie k oben erw¨ ahnt z¨ ahlt der Koeﬃzient von zd+1 einfach die Gitterpunkt im Parallelepiped Π geschnitten mit der Hyperebene xd+1 = k. Halten wir dies fest. Korollar 3.11. Sei Δ ein ganzzahliger d-Simplex mit Ecken v1 , v2 , . . . , vd+1 , und sei wj = (vj , 1). Dann gilt EhrΔ (z) = 1 +

t≥1

LΔ (t) z t =

hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h1 z + h0 , (1 − z)d+1

wobei hk gleich der Anzahl der Gitterpunkte in

70

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

{λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd+1 wd+1 : 0 ≤ λ1 , λ2 , . . . , λd+1 < 1}

ist, deren letzte Variable gleich k ist.

Dieses Ergebnis kann in der Tat benutzt werden, um EhrΔ , und damit das Ehrhart-Polynom, eines ganzzahligen Simplexes Δ in niedrigen Dimensionen sehr schnell zu berechnen (was der Leser in einigen der Aufgaben herausﬁnden darf). Wir bemerken allerdings, dass die Dinge f¨ ur beliebige ganzzahlige Polytope nicht ganz so einfach liegen. Nicht nur ist die Triangulierung im Allgemeinen eine nichttriviale Aufgabe, sondern man muss auch beachten, dass dort, wo sich die Simplizes einer Triangulierung treﬀen, Gitterpunkte mehrfach gez¨ ahlt werden. Korollar 3.11 impliziert, dass der Z¨ ahler der Ehrhart-Reihe eines ganzzahligen Simplexes nichtnegative Koeﬃzienten hat, da diese Koeﬃzienten etwas z¨ ahlen. Obwohl letzteres nicht u ¨ber die Koeﬃzienten der Ehrhart-Reihen beliebiger Polytope gesagt werden kann, u ¨ berlebt die Nichtnegativit¨at der Koeﬃzienten magischerweise. Satz 3.12 (Nichtnegativit¨ atssatz von Stanley). Sei P ein ganzzahliges konvexes d-Polytop mit Ehrhart-Reihe EhrP (z) =

hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h0 . (1 − z)d+1

Dann ist h0 , h1 , . . . , hd ≥ 0. Beweis. Wir triangulieren cone(P) ⊂ d+1 in die simplizialen Kegel K1 , K2 , . . . , Km . Aufgabe 3.14 stellt nun sicher, dass ein Vektor v ∈ d+1 existiert, so dass cone(P) ∩ d = (v + cone(P)) ∩ d

gilt (das heißt, dass wir weder Gitterpunkte gewinnen noch verlieren, wenn wir cone(P) um v verschieben) und weder die Facetten von v + cone(P) noch die Hyperebenen der Triangulierung irgendwelche Gitterpunkte enthalten. Daraus folgt, dass jeder Gitterpunkte in v + cone(P) zu genau einem simplizialen Kegel v + Kj geh¨ ort: cone(P) ∩

d

= (v + cone(P)) ∩

d

=

m 0

(v + Kj ) ∩

d ,

(3.2)

j=1

und diese Vereinigung ist eine disjunkte Vereinigung. Wenn wir die letzte Gleichung in die Sprache von Erzeugendenfunktionen u ¨bersetzen, erhalten wir m σcone(P) (z1 , z2 , . . . , zd+1 ) = σv+Kj (z1 , z2 , . . . , zd+1 ) . j=1

Aber nun erinnern wir uns, dass die Ehrhart-Reihe von P nur eine spezielle Auswertung von σcone(P) ist (Lemma 3.10):

3.4 Die Ehrhart-Reihe eines ganzzahligen Polytops

EhrP (z) = σcone(P) (1, 1, . . . , 1, z) =

m

σv+Kj (1, 1, . . . , 1, z) .

71

(3.3)

j=1

Es gen¨ ugt, zu zeigen, dass die rationalen Erzeugendenfunktionen σv+Kj (1, 1 , . . . , 1, z) f¨ ur die simplizialen Kegel v + Kj nichtnegative Z¨ahler haben. Aber diese Tatsache folgt, wenn wir die rationale Funktion aus Korollar 3.6 bei (1, 1, . . . , 1, z) auswerten. Dieser Beweis zeigt ein wenig mehr: Da der Ursprung in genau einem simplizialen Kegel auf der rechten Seite von (3.2) enthalten ist, erhalten wir auf der rechten Seite von (3.3) genau einen Term, der 1/(1 − z)d+1 zu EhrP beitr¨ agt; alle anderen Terme tragen zu h¨ oheren Potenzen des Z¨ahlerpolynoms von EhrP bei. Das bedeutet, der konstante Term h0 ist gleich 1. Der Leser k¨ onnte das Gef¨ uhlt haben, dass wir uns hier selbst in den Schwanz beißen, da wir von Anfang an davon ausgegangen sind, dass der konstante Term der unendlichen Reihe EhrP gleich 1 ist und daher h0 gleich 1 sein muss, wie ein kurzer Blick auf die Entwicklung der rationalen Funktion, die EhrP darstellt, zeigt. Das obige Argument zeigt lediglich, dass diese Konvention geometrisch schl¨ ussig ist. Wir halten dies fest: Lemma 3.13. Sei P ein ganzzahliges konvexes d-Polytop mit Ehrhart-Reihe EhrP (z) =

hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h0 . (1 − z)d+1

Dann gilt h0 = 1.

F¨ ur ein allgemeines ganzzahliges Polytop P hat der Leser sicher schon herausgefunden, wie man das Ehrhart-Polynom von P aus seiner EhrhartReihe extrahieren kann: Lemma 3.14. Sei P ein ganzzahliges konvexes d-Polytop mit Ehrhart-Reihe EhrP (z) = 1 +

t≥1

LP (t) z t =

hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h1 z + 1 . (1 − z)d+1

Dann gilt LP (t) =

t+d−1 t+1 t t+d + · · · + hd−1 + hd . + h1 d d d d

Beweis. Wir erweitern in eine Binomialreihe:

72

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h1 z + 1 (1 − z)d+1 t + d t d d−1 z = hd z + hd−1 z + · · · + h1 z + 1 d t≥0 t + d t + d t+d z z t+d−1 + · · · = hd + hd−1 d d t≥0 t≥0 t + d t + d z t+1 + zt + h1 d d t≥0 t≥0 t t + 1 z t + hd−1 zt + · · · = hd d d t≥d t≥d−1 t + d t + d − 1 + h1 zt + zt. d d

EhrP (z) =

t≥1

t≥0

In allen unendlichen Reihen auf der rechten Seite k¨onnen wir den Index t bei 0 beginnen lassen, ohne die Reihen zu ver¨ andern, nach Deﬁnition (2.1) des Binomialkoeﬃzienten. Daher gilt EhrP (z) t t+1 t+d−1 t+d hd + hd−1 + · · · + h1 + zt. = d d d d t≥0

Die Darstellung des Polynoms LP (t) durch die Koeﬃzienten P von Ehr t+d kann als das Ehrhart-Polynom, ausgedr¨ uckt in der Basis dt , t+1 d ,..., d , aufgefasst werden (siehe Aufgabe 3.9). Diese Darstellung ist sehr n¨ utzlich, wie das folgende Resultat zeigt. Korollar 3.15. Falls P ein ganzzahliges konvexes d-Polytop ist, dann ist der konstante Term des Ehrhart-Polynoms LP gleich 1. Beweis. Wir benutzen die Erweiterung aus Lemma 3.14. Der konstante Term ist d−1 1 0 d d + · · · + hd−1 + hd = = 1. + h1 LP (0) = d d d d d Dieser Beweis ist deshalb besonders interessant, weil wir hier zum ersten Mal den Deﬁnitionsbereich eines Ehrhart-Polynoms u ¨ber die positiven ganzen Zahlen hinaus erweitern, wo der Gitterpunktz¨ ahler urspr¨ unglich deﬁniert war. Genauer gesagt impliziert der Satz von Ehrhart (Satz 3.8), dass die Z¨ahlfunktion LP (t) = # tP ∩ d ,

3.4 Die Ehrhart-Reihe eines ganzzahligen Polytops

73

die urspr¨ unglich f¨ ur positive ganze Zahlen t deﬁniert ist, auf alle reellen oder sogar komplexen Argumente t erweitert werden kann (als ein Polynom). Es stellt sich eine naheliegende Frage: Gibt es gute Deutungen von LP (t) f¨ ur Argumente t, die keine positiven ganzen Zahlen sind? Korollar 3.15 gibt eine solche Deutung f¨ ur t = 0. In Kapitel 4 werden wir Interpretationen von LP (t) f¨ ur negative ganze Zahlen t geben. Korollar 3.16. Sei P ein ganzzahliges konvexes d-Polytop mit Ehrhart-Reihe hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h1 z + 1 . (1 − z)d+1 Dann ist h1 = LP (1) − d − 1 = # P ∩ d − d − 1. EhrP (z) =

Beweis. Wir benutzen die Erweiterung aus Lemma 3.14 mit t = 1: d 2 1 d+1 + · · · + hd−1 + hd = d + 1 + h1 . + h1 LP (1) = d d d d

Der Beweis von Korollar 3.16 deutet darauf hin, dass es auch Formeln f¨ ur h2 , h3 , . . . in Abh¨ angigkeit von den Auswertungen LP (1), LP (2), . . . gibt, und wir laden den Leser ein, diese zu ﬁnden (Aufgabe 3.10). Ein letztes Korollar zu Satz 3.12 und Lemma 3.14 sagt, wie groß die Nenner der Ehrhart-Koeﬃzienten werden k¨ onnen: Korollar 3.17. Sei P ein ganzzahliges Polytop mit Ehrhart-Polynom LP (t) = cd td + cd−1 td−1 + · · · + c1 t + 1. Dann gilt f¨ ur alle Koeﬃzienten d! ck ∈ .

Beweis. Nach Satz 3.12 und Lemma 3.14 gilt t+d−1 t+1 t t+d + · · · + hd−1 + hd , + h1 LP (t) = d d d d wobei die hk s ganze Zahlen sind. Daher erhalten wir, wenn wir diesen Ausdruck ausmultiplizieren, ein Polynom in t, dessen Koeﬃzienten als rationale Zahlen mit Nenner d! geschrieben werden k¨ onnen. Wir beenden diesen Abschnitt mit einem allgemeinen Resultat, das einen Zusammenhang zwischen den Nullstellen eines Polynoms bei negativen ganzen Zahlen und seiner Erzeugendenfunktion herstellt. Dieser Satz wird uns in Kapitel 4 n¨ utzlich werden, wo wir eine Deutung der Auswertung eines Ehrhart-Polynoms bei negativen ganzen Zahlen ﬁnden werden. Satz 3.18. Sei p ein Polynom vom Grad d mit rationaler Erzeugendenfunktion hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h1 z + h0 p(t) z t = . (1 − z)d+1 t≥0

Dann ist hd = hd−1 = · · · = hk+1 = 0 und hk = 0 genau dann, wenn p(−1) = p(−2) = · · · = p (−(d − k)) = 0 und p (−(d − k + 1)) = 0.

74

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

Beweis. Sei hd = hd−1 = · · · = hk+1 = 0 und hk = 0. Dann liefert der Beweis von Lemma 3.14, dass t+d t+d−k+1 t+d−k p(t) = h0 + · · · + hk−1 + hk . d d d Alle Binomialkoeﬃzienten sind null f¨ ur t = −1, −2, . . . , −d + k, also sind dies Nullstellen von p. Auf der anderen Seite sind alle Binomialkoeﬃzienten außer dem letzten gleich null f¨ ur t = −d + k − 1, und wegen hk = 0 ist −d + k − 1 keine Nullstelle von p. F¨ ur die Umkehrung sei p(−1) = p(−2) = · · · = p (−(d − k)) = 0 und p (−(d − k + 1)) = 0. Die erste Nullstelle −1 von p ergibt d−1 d−2 0 −1 −1 0 = p(−1) = h0 + h1 + · · ·+ hd−1 + hd = hd , d d d d d also muss hd = 0 gelten. Die n¨ achste Nullstelle −2 erzwingt hd−1 = 0, und so weiter, bis zur Nullstelle −d + k, die hk+1 = 0 erzwingt. Es bleibt zu zeigen, dass hk = 0 gilt. Aber falls hk gleich null w¨are, w¨ urde eine ¨ahnliche Argumentation wie im ersten Teil des Beweises p(−d + k − 1) = 0 liefern, im Widerspruch zur Voraussetzung.

3.5 Vom diskreten zum stetigen Volumen eines Polytops d Zu einem geometrischen ist sein Volumen, deﬁniert durch / Objekt S ⊂ das Integral vol S := S dx, eine grundlegende Kenngr¨oße von S. Nach der Deﬁnition des Integrals, etwa im Riemann’schen Sinn, k¨onnen wir uns vorstellen, dass vol S berechnet wird, indem wir S durch d-dimensionale Boxen ann¨ ahern, die immer kleiner werden. Genauer gesagt hat jede Box, wenn wir eine Kantenl¨ ange von 1/t annehmen, das Volumen 1/td . Wir k¨onnen uns ferner die Boxen so vorstellen, dass sie gerade den Platz zwischen den Punkten d des Gitters 1t ausf¨ ullen. Das bedeutet, dass die Berechnung des Volumens d durch das Z¨ ahlen von Boxen oder, gleichbedeutend, Gitterpunkten in 1t angen¨ ahert werden kann: d 1 1 vol S = lim d · # S ∩ . t→∞ t t

Es ist nur ein kleiner Schritt zum Z¨ ahlen von Gitterpunkten in Streckungen von S, denn d 1 # S∩ = # tS ∩ d . t

Wir fassen zusammen:

3.5 Vom diskreten zum stetigen Volumen eines Polytops

Lemma 3.19. Sei S ⊂

d

75

eine d-dimensionale Teilmenge. Dann ist 1 · # tS ∩ d t→∞ t

vol S = lim

d .

Wir betonen hier, dass S eine d-dimensionale Teilmenge ist, denn anderenfalls w¨ are (da S niedrigerdimensional sein k¨ onnte, obwohl es im d-dimensionalen Raum lebt) nach unserer derzeitigen Deﬁnition vol S = 0. (Wir werden unsere Deﬁnition von Volumen in Kapitel 5 erweitern, um Objekten, die nicht volldimensional sind, ein von null verschiedenes relatives Volumen zu geben.) Ein Teil der Magie des Satzes von Ehrhart liegt in der Tatsache, dass wir f¨ ur ein ganzzahliges d-Polytop P keinen Grenzwert bilden m¨ ussen, um vol P zu berechnen; wir m¨ ussen nur“ die d + 1 Koeﬃzienten eines Polynoms ” berechnen. Korollar 3.20. Sei P ⊂ d ein ganzzahliges konvexes d-Polytop mit EhrhartPolynom cd td + cd−1 td−1 + · · · + c1 t + 1. Dann ist cd = vol P. Beweis. Nach Lemma 3.19 gilt cd td + cd−1 td−1 + · · · + c1 t + 1 = cd . t→∞ td

vol P = lim

Auf der anderen Seite sollte uns das nicht all zu sehr u ¨berraschen, denn die Anzahl der Gitterpunkt in irgendeinem Objekt sollte, wenn wir das Objekt immer gr¨ oßer machen, in etwa proportional zum Volumen des Objekts wachsen. Allerdings sollte uns Tatsache, dass wir das Volumen als einen Koeﬃzienten eines Polynoms berechnen k¨ onnen, in der Tat u ¨ berraschen: Das Polynom ist eine Z¨ ahlfunktion und als solche etwas diskretes, und wir erhalten, indem wir es (und seinen Leitterm) berechnen, eine stetige Information. Dar¨ uberhinaus k¨ onnen wir sogar – zumindest theoretisch – diese stetige Eigenschaft (das Volumen) des Objekts berechnen, indem wir einige Werte des Polynoms berechnen und dann interpolieren; dies kann als ein vollst¨andig diskretes Vorgehen formalisiert werden! Zum Abschluss dieses Abschnitts zeigen wir, wie das stetige Volumen eines ganzzahligen Polytops aus seiner Ehrhart-Reihe extrahiert werden kann. Korollar 3.21. Sei P ⊂ EhrP (z) = Dann ist vol P =

d

ein ganzzahliges konvexes d-Polytop und

hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h1 z + 1 . (1 − z)d+1

1 (hd + hd−1 + · · · + h1 + 1) . d!

Beweis. Wir benutzen die Erweiterung aus Lemma 3.14. Der Leitkoeﬃzient ist 1 (hd + hd−1 + · · · + h1 + 1) . d!

76

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

3.6 Interpolation Wir benutzen jetzt das polynomielle Verhalten des diskreten Volumens LP eines ganzzahligen Polytops P, um das stetige Volumen vol P und das diskrete Volumen LP aus endlichen Daten zu berechnen. Zwei Punkte bestimmen eine eindeutige Gerade. Es gibt eine eindeutig bestimmte Quadrik zu beliebigen drei gegebenen Punkten. Im Allgemeinen ist ein Polynom vom Grad d durch d + 1 Punkte (x, p(x)) ∈ 2 bestimmt. Wenn wir p(x) = cd xd +cd−1 xd−1 +· · ·+c0 an verschiedenen Punkten x1 , x2 , . . . , xd+1 auswerten, erhalten wir n¨ amlich ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cd p (x1 ) ⎜ cd−1 ⎟ ⎜ p (x2 ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3.4) ⎟ = V ⎜ .. ⎟ , ⎜ .. ⎝ . ⎠ ⎠ ⎝ . c0

p (xd+1 ) wobei

⎛

xd1 xd−1 · · · x1 1 ⎜ xd2 xd−1 · · · x2 2 ⎜ V=⎜ . . .. .. ⎝ .. . · · · x xdd+1 xd−1 d+1 d+1 ⎛

so dass

cd

⎞

⎛

⎞ 1 1⎟ ⎟ .. ⎟ , .⎠ 1

p (x1 ) p (x2 ) .. .

⎞

⎜ cd−1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ .. ⎟ = V−1 ⎜ ⎟. ⎝ . ⎠ ⎠ ⎝ p (xd+1 ) c0

(3.5)

(Aufgabe 3.16 stellt sicher, dass V invertierbar ist.) Gleichung (3.5) liefert die ber¨ uhmte Lagrange’sche Interpolationsformel. Dies liefert uns einen eﬃzienten Weg, um LP zu berechnen, zumindest, sofern dim P nicht allzu groß ist. Das stetige Volumen von P ergibt sich direkt daraus, da es der Leitkoeﬃzient cd von LP ist. Im Fall eines Ehrhart-Polynoms LP wissen wir, dass LP (0) = 1, so dass (3.4) sich zu ⎞ ⎛ d d−1 x1 x1 · · · LP (x1 ) − 1 ⎜ LP (x2 ) − 1 ⎟ ⎜ xd2 xd−1 · · · 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟=⎜ . ⎜ .. .. . ⎠ ⎝ . ⎝ . . d d−1 LP (xd ) − 1 xd xd · · · ⎛

⎞⎛ ⎞ x1 cd ⎜ ⎟ x2 ⎟ ⎟ ⎜ cd−1 ⎟ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ . ⎠⎝ . ⎠ xd

c1

vereinfacht. Beispiel 3.22 (Reeves Tetraeder). Sei Th der Tetraeder mit den Eckpunkten (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (1, 1, h), wobei h eine positive ganze Zahle ist (siehe Abb. 3.5).

3.6 Interpolation

77

z 2h

(2, 2, 2h)

h (1, 1, h)

1

2

y

1 2 x Abb. 3.5. Reeves Tetraeder Th (und 2Th ).

Um das Ehrhart-Polynom LTh (t) aus seinen Werten an verschiedenen Punkten zu interpolieren, schließen wir mit Hilfe von Abb. 3.5 folgendes: 4 = LTh (1) = vol (Th ) + c2 + c1 + 1 , h + 9 = LTh (2) = vol (Th ) · 23 + c2 · 22 + c1 · 2 + 1 . Mit der Volumenformel f¨ ur eine Pyramide erhalten wir vol (Th ) =

h 1 (Grundﬂ¨ ache)(H¨ohe) = . 3 6

Also ist h + 1 = h + 2c2 − 1, und wir erhalten c2 = 1 und c1 = 2 − h6 . Damit gilt h 3 h 2 LTh (t) = t + t + 2 − t+1. 6 6

78

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

3.7 Rationale Polytope und Ehrhart-Quasipolynome Wir m¨ ussen nicht viel ¨ andern, um Gitterpunktz¨ahler rationaler Polytope zu ¨ untersuchen, und der Großteil dieses Abschnitts wird aus Ubungsaufgaben f¨ ur den Leser bestehen. Das strukturelle Resultat parallel zu Satz 3.8 ist das folgende. Satz 3.23 (Satz von Ehrhart f¨ ur rationale Polytope). Falls P ein rationales konvexes d-Polytop ist, dann ist LP (t) ein Quasipolynom in t vom Grad d. Seine Periode teilt das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Koordinaten der Ecken von P. Wir nennen das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Koordinaten der Ecken von P einfach den Nenner von P. Satz 3.23, der ebenfalls auf Ehrhart zur¨ uckgeht, erweitert Satz 3.8, da der Nenner eines ganzzahligen Polytops P gleich eins ist. Die Aufgaben 3.21 und 3.22 zeigen, dass das Wort teilt“ in Satz 3.23 mitnichten durch gleicht“ austauschbar ist. ” ” Wir beginnen den Weg in Richtung eines Beweises von Satz 3.23, indem wir das Analogon von Lemma 3.9 f¨ ur Quasipolynome formulieren (siehe Aufgabe 3.19): Lemma 3.24. Falls

f (t) z t =

t≥0

g(z) , h(z)

dann ist f genau dann ein Quasipolynom vom Grad d, dessen Periode p teilt, wenn g und h Polynome sind, f¨ ur die deg(g) < deg(h) gilt, alle Nullstellen von h p-te Einheitswurzeln sind und h¨ochstens die Vielfachheit d + 1 haben, und es eine Nullstelle mit Vielfachheit genau d + 1 gibt (dabei nehmen wir immer an, dass g/h vollst¨andig gek¨ urzt ist). Unser Ziel ist jetzt oﬀensichtlich: Wir werden beweisen, dass, wenn P ein rationales konvexes d-Polytop mit Nenner p ist, die Gleichung EhrP (z) = 1 +

t≥1

LP (t) z t =

g(z) d+1

(1 − z p )

,

f¨ ur irgendein Polynom g vom Grad kleiner als p(d + 1) gilt. Wie in Abschnitt 3.3 m¨ ussen wir das nur f¨ ur den Fall eines rationalen Simplex beweisen. Also nehmen wir an, der d-Simplex Δ habe Ecken v1 , v2 , . . . , vd+1 ∈ d , und der Nenner von Δ sei p. Wieder bilden wir den Kegel u ¨ ber Δ: Sei

w1 = (v1 , 1) , w2 = (v2 , 1) , . . . , wd+1 = (vd+1 , 1) ; dann gilt cone(Δ) = {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd+1 wd+1 : λ1 , λ2 , . . . , λd+1 ≥ 0} ⊂

d+1

.

Anmerkungen

79

Um Satz 3.5 anwenden zu k¨ onnen, m¨ ussen wir erst sicherstellen, dass wir eine Beschreibung von cone(Δ) mit ganzzahligen Erzeugern haben. Aber da der Nenner von Δ gleich p ist, k¨ onnen wir jeden Erzeuger wk durch pwk ∈ d+1 ersetzen und sind damit bereit, Satz 3.5 anzuwenden. Von hier an verl¨auft der Beweis von Satz 3.23 genau wie der von Satz 3.8, und wir laden den Leser ein, ihn zu vervollst¨ andigen (Aufgabe 3.20). Obwohl die Beweise von Satz 3.23 und Satz 3.8 beinahe identisch sind, ist die arithmetische Struktur von Ehrhart-Quasipolynomen wesentlich subtiler und weniger bekannt als die von Ehrhart-Polynomen.

3.8 Reﬂektionen u ¨ber das Mu ¨ nzenproblem und die Gallerie aus Kapitel 2 An diesem Punkt ermuntern wir den Leser, einen Blick zur¨ uck auf die ersten beiden Kapitel im Lichte der grundlegenden Ergebnisse der Ehrhart-Theorie zu werfen. Der Satz von Popoviciu (Satz 1.5) und sein h¨oherdimensionales Analogon geben eine spezielle Klasse von Ehrhart-Quasipolynomen. Auf der anderen Seite sind wir in Kapitel 2 vielen Polytopen begegnet. Der Satz von Ehrhart (Satz 3.8) erkl¨ art, warum ihre Gitterpunktz¨ahler stets Polynome waren.

Anmerkungen 1. Triangulierungen von Polytopen und Mannigfaltigkeiten sind eine Quelle aktiver Forschung mit vielen interessanten oﬀenen Problemen; siehe z.B. [68]. 2. Eug`ene Ehrhart hat die Grundlage f¨ ur das zentrale Thema dieses Buchs in den 1960er Jahren gelegt, angefangen mit Satz 3.8 in 1962 [78]. Der Beweis, den wir hier geben, folgt Ehrharts urspr¨ unglichen Gedankeng¨angen. Interessant ist die Tatsache, dass er den sch¨ onsten Teil seiner Arbeit als Lehrer an einem lyc´ee in Strasbourg (Frankreich) vollbrachte und seinen Doktortitel im Alter von 60 Jahren auf dr¨ angen einiger Kollegen erhielt. 3. Zu d linear unabh¨ angigen Vektoren w1 , w2 , . . . , wd ∈ d ist das von ihnen erzeugte Gitter die Menge aller ganzzahligen Linearkombinationen von w1 , w2 , . . . , wd . Alternativ kann man ein Gitter als eine diskrete Untergruppe von d deﬁnieren und zeigen, dass diese beiden Begriﬀe identisch sind. Man k¨ onnte sich nun fragen, ob wir, wenn wir das Gitter d in allen Aussagen durch ein beliebiges Gitter L ersetzen (und entsprechend verlangen, dass die Ecken unserer Polytope in L liegen), andere Ergebnisse erhalten. Dass alle S¨ atze dieses Kapitels dabei unver¨ andert bleiben folgt daraus, dass jedes Gitter durch eine umkehrbare lineare Abbildung auf d abgebildet werden kann.

80

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

4. Richard Stanley hat viel von der Theorie der Ehrhart-(Quasi-)Polynome entwickelt, urspr¨ unglich von einem kommutativ-algebraischen Standpunkt aus. Satz 3.12 geht auf ihn zur¨ uck [169]. Der Beweis, den wir hier geben, ist urspr¨ unglich in [29] erschienen. Eine Erweiterung von Satz 3.12 wurde von Takayuki Hibi gefunden; er hat gezeigt, dass, falls hd > 0 ist, hk ≥ h1 f¨ ur alle 1 ≤ k ≤ d − 1 gilt (in der Notation von Satz 3.12) [97]. 5. Der Tetraeder Th aus Beispiel 3.22 wurde von John Reeve benutzt, um zu zeigen, dass der Satz von Pick in 3 nicht gilt (siehe Aufgabe 3.18) [153]. ¨ Ubrigens zeigt die Formel f¨ ur LTh auch, dass die Koeﬃzienten eines EhrhartPolynoms (eines abgeschlossenen Polytops) nicht notwendigerweise positiv sind. 6. Es gibt viele interessante Fragen (von denen einige noch oﬀen sind) u ¨ ber die Perioden von Ehrhart-Quasipolynomen. Einige besonders sch¨one Beispiele daf¨ ur, was mit den Perioden passieren kann, haben Tyrrell McAllister und Kevin Woods gegeben [125]. 7. Die meisten Ergebnisse bleiben g¨ ultig, wenn wir konvexes Polytop“ durch ” polytopalen Komlex“, also eine endliche Vereinigung von Polytopen, erset” zen. Eine wichtige Ausnahme bildet Korollar 3.15: Der konstante Term eines Ehrhart-Polynoms“ eines ganzzahligen polytopalen Komplexes C ist die ” Euler-Charakteristik von C. 8. Der Leser fragt sich vielleicht, warum wir keine Polytope mit irrationalen Eckpunkten betrachten. Die Antwort ist einfach: Niemand hat bisher eine Theorie gefunden, die den Ergebnissen dieses Kapitels entspricht, nicht einmal in Dimension zwei. Eine beachtenswerte Ausnahme bildet [11], in dem irrationale Erweiterungen des Satzes von Brion gegeben werden; wir werden den rationalen Fall des Satzes von Brion in Kapitel 9 behandeln. Andererseits ist Ehrharts Theorie auf andere Funktionen als striktes Gitterpunkt-Z¨ahlen erweitert worden; ein Beispiel wird in Kapitel 11 beschrieben.

Aufgaben 3.1. Mit einer beliebigen Permutation π ∈ Sd auf d Elementen assoziieren wir den Simplex Δπ := conv 0, eπ(1) , eπ(1) + eπ(2) , . . . , eπ(1) + eπ(2) + · · · + eπ(d) , wobei e1 , e2 , . . . , ed die Einheitsvektoren in

d

bezeichnen.

urfels (a) Zeigen Sie, dass {Δπ : π ∈ Sd } eine Triangulierung des d-Einheitsw¨ [0, 1]d ist.

Aufgaben

81

(b) Zeigen Sie, dass alle Δπ kongruent zueinander sind, d.h. jeder kann durch Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen in jeden anderen u uhrt ¨ berf¨ werden. (c) Zeigen Sie, dass f¨ ur alle π ∈ Sd gilt: LΔπ (t) = d+t d . 3.2. ♣ T sei eine Triangulierung eines spitzen Kegels. Zeigen Sie, dass der Durchschnitt zweier simplizialer Kegel in T wieder ein simplizialer Kegel ist. 3.3. Finden Sie die Erzeugendenfunktionen σK (z) der folgenden Kegel: (a) K = {λ1 (0, 1) + λ2 (1, 0) : λ1 , λ2 ≥ 0} ; (b) K = {λ1 (0, 1) + λ2 (1, 1) : λ1 , λ2 ≥ 0} ; (c) K = {(3, 4) + λ1 (0, 1) + λ2 (2, 1) : λ1 , λ2 ≥ 0} . 3.4. ♣ Sei S ⊆ m und T ⊆ n . Zeigen Sie, dass σS×T (z1 , z2 , . . . , zm+n ) = σS (z1 , z2 , . . . , zm ) σT (zm+1 , zm+2 , . . . , zm+n ) . 3.5. ♣ Sei K ein rationaler d-Kegel, und sei m ∈ σm+K (z) = zm σK (z).

d .

Zeigen Sie, dass

sei −S := {−x : x ∈ S}. Zeigen Sie, dass 1 1 1 . , ,..., σ−S (z1 , z2 , . . . , zd ) = σS z1 z2 zd

3.6. ♣ F¨ ur eine Menge S ⊂

d

3.7. Zu einem spitzen Kegel K ⊂ d mit Spitze im Koordinatenursprung sei S := K ∩ d . Zeigen Sie, dass f¨ ur x, y ∈ S auch x + y ∈ S gilt. (Algebraisch ausgedr¨ uckt bedeutet das, dass S ein Monoid ist, denn 0 ∈ S und die Assoziativit¨ at der Addition in S folgt trivialerweise aus der Assoziativit¨at in d .)

3.8. ♣ Beweisen Sie Lemma 3.9: Falls

f (t) z t =

t≥0

g(z) , (1 − z)d+1

dann ist f genau dann ein Polynom vom Grad d, wenn g ein Polynom vom Grad h¨ ochstens d ist und g(1) = 0. x+n−1 3.9. Zeigen Sie, dass x+n , . . . , nx eine Basis des Vektorraums Poln n , n der Polynome (in der Variablen x) vom Grad kleiner als oder gleich n bilden. 3.10. F¨ ur ein Polynom p(t) = cd td + cd−1 td−1 + · · · + c0 sei Hp (z) durch t≥0

p(t) z t =

Hp (z) (1 − z)d+1

deﬁniert. Wir betrachten die Abbildung φd : Pold → Pold , p → Hp .

82

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

(a) Zeigen Sie, dass φd eine lineare Abbildung ist. (b) Berechnen Sie die Matrixdarstellung von φd f¨ ur d = 0, 1, 2, . . . . (c) Leiten Sie Formeln f¨ ur h2 , h3 , . . . ¨ ahnlich denen in Korollar 3.16 her. 3.11. Berechnen Sie die Ehrhart-Polynome und die Ehrhart-Reihen der Simplizes mit den folgenden Ecken: (a) (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) und (0, 0, 3); (b) (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 3, 0) und (0, 0, 0, 4). 3.12. Wir deﬁnieren den Hypersimplex Δ(d, k) als konvexe H¨ ulle von {ej1 + ej2 + · · · + ejk : 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ d} , wobei e1 , e2 , . . . , ed die Standard-Basisvektoren im d sind. Zum Beispiel sind Δ(d, 1) und Δ(d, d − 1) regul¨ are (d − 1)-Simplizes. Berechnen Sie das EhrhartPolynom und die Ehrhart-Reihe von Δ(d, k). 3.13. ♣ Sei H die durch H= x∈

d

: a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd = 0

gegebene Hypereben, f¨ ur a1 , a2 , . . . , ad ∈ , welche wir ohne Einschr¨ankung als teilerfremd annehmen urfen. Zeigen Sie, dass ein v ∈ d existiert, f¨ ur d¨ 1 d das n∈ (nv + H) ∩ = d gilt. (Daraus folgt insbesondere, dass die Punkte in d \H alle zumindest einen gewissen Minimalabstand von H haben; dieser Minimalabstand ist im wesentlichen durch das Skalarprodukt von v mit (a1 , a2 , . . . , ad ) gegeben.)

3.14. ♣ Eine Hyperebene H ist rational, wenn sie in der Form H = x ∈ d : a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd = b

f¨ ur a1 , a2 , . . . , ad , b ∈ geschrieben werden kann. Ein Hyperebenenarrangement in d ist eine endliche Menge von Hyperebenen in d . Zeigen Sie, dass ein Hyperebenenarrangement H so verschoben werden kann, dass keine Hyperebene in H einen Gitterpunkt enth¨ alt. ¨ 3.15. Wir k¨ onnen die Aussage der vorigen Ubungsaufgabe versch¨arfen: Zeigen Sie, dass ein rationales Hyperebenenarrangement H so verschoben werden kann, dass keine Hyperebene in H irgendwelche rationalen Punkte enth¨alt. 3.16. Zeigen Sie, dass zu paarweise verschiedenen Zahlen x1 , x2 , . . . , xd+1 die Matrix ⎛ d d−1 ⎞ x1 x1 · · · x1 1 ⎜ xd2 xd−1 · · · x2 1 ⎟ 2 ⎜ ⎟ V=⎜ . .. .. .. ⎟ ⎝ .. . . .⎠ d−1 d xd+1 xd+1 · · · xd+1 1 nichtsingul¨ ar ist. (V ist als Vandermonde-Matrix bekannt.)

Aufgaben

83

3.17. Sei P ein ganzzahliges d-Polytop. Zeigen Sie, dass

d d 1 d d−k (−1) + (−1) vol P = LP (k) . d! k k=1

3.18. Wie in Beispiel 3.22 sei Tn der Tetraeder mit Ecken (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (1, 1, n), wobei n eine positive ganze Zahl ist. Zeigen Sie, dass das Volumen von Tn unbeschr¨ ankt ist, wenn n → ∞, und dass dennoch f¨ ur alle n der Tetraeder Tn keinen Gitterpunkt in seinem Inneren und genau vier Gitterpunkte auf dem Rand hat. Diese Beispiel zeigt, dass der Satz von Pick nicht f¨ ur dreidimensionale ganzzahlige Polytope P gilt, in dem Sinn, dass es keine lineare Beziehung zwischen vol P, LP (1) und LP ◦ (1) gibt. 3.19. ♣ Beweisen Sie Lemma 3.24: Falls g(z) f (t) z t = , h(z) t≥0

dann ist f genau dann ein Quasipolynom vom Grad d, dessen Periode p genau dann teilt, wenn g und h Polynome sind, f¨ ur die deg(g) < deg(h) gilt, alle Wurzeln von h p-te Einheitswurzeln mit Vielfachheit h¨ochstens d+1 sind, und es eine Wurzel mit Vielfachheit genau d + 1 gibt (wobei wir stets annehmen, dass g/h eine gek¨ urzte Darstellung ist). 3.20. ♣ Erg¨ anzen Sie die Details im Beweis von Satz 3.23: Falls P ein rationales konvexes d-Polytop ist, dann ist LP (t) ein Quasipolynom in t vom Grad d. Seine Periode teilt das kleinste gemeinsame Vielfache der Koordinaten der Ecken von P.

3.21. Sei T das rationale Dreieck mit Ecken (0, 0), 1, p−1 und (p, 0), wobei p p eine feste ganze Zahl ≥ 2 ist. Zeigen Sie, dass LT (t) = insbesondere ist LT ein Polynom.

p−1 2 2 t

+

p+1 2

t + 1;

3.22. Zeigen Sie, dass es zu beliebigem d ≥ 2 und beliebigem p ≥ 1 ein dPolytop P gibt, dessen Ehrhart-Quasipolynom ein Polynom ist (d.h., es hat Periode 1), so dass trotzdem P eine Ecke mit Nenner p hat. 3.23. Zeigen Sie, dass die Periode des Ehrhart-Quasipolynoms eines eindimensionalen Polytops immer gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Ecken ist. 3.24. Sei T das Dreieck mit den Ecken − 12 , − 21 , 12 , − 21 und 0, 32 . Zeigen Sie, dass LT (t) = t2 + c(t) t + 1, wobei 1 falls t gerade ist, c(t) = 0 falls t ungerade ist. (Das zeigt, dass die Perioden der Koeﬃzienten“ eines Ehrhart-Quasipolynoms ” nicht notwendigerweise mit fallenden Potenzen wachsen.) Finden Sie die Ehrhart-Reihe von T .

84

3 Gitterpunkte in Polytopen z¨ ahlen: Ehrhart-Theorie

3.25. Beweisen Sie die folgende Erweiterung von Satz 3.12: Sei P ein rationales d-Polytop mit Nenner p. Dann gilt EhrP (z) =

f (z) (1 − z p )d+1

,

wobei f ein Polynom mit nichtnegativen ganzzahligen Koeﬃzienten ist. 3.26. Finden und beweisen Sie eine Aussage, die Lemma 3.14 auf EhrhartQuasipolynome erweitert. 3.27. Beweisen Sie die folgende Erweiterung von Korollar 3.15 auf rationale Polytope: Das Ehrhart-Quasipolynom LP eines rationalen konvexen Polytops P ⊂ d erf¨ ullt LP (0) = 1. 3.28. Beweisen Sie das folgende Analogon zu Korollar 3.17 f¨ ur rationale Polytope: Sei P ein rationales Polytop mit Ehrhart-Quasipolynom LP (t) = cd (t) td + cd−1 (t) td−1 + · · · + c1 (t) t + c0 (t). Dann gilt f¨ ur alle t ∈ und 0 ≤ k ≤ d, dass d! ck (t) ∈ .

3.29. ♣ Zeigen Sie, dass Korollar 3.20 auch f¨ ur rationale Polytope gilt: Sei P ⊂ d ein rationales konvexes d-Polytop mit Ehrhart-Quasipolynom cd (t) td + cd−1 (t) td−1 + · · · + c0 (t). Dann ist cd (t) gleich dem Volumen von P; insbesondere ist cd (t) konstant. 3.30. Sei P ein rationales konvexes Polytop. Zeigen Sie, dass, als rationale Funktionen, √ √ 1 Ehr2P (z) = EhrP z − EhrP − z . 2 3.31. Seien f und g Quasipolynome. Zeigen Sie, dass die Faltung F (t) :=

t

f (s) g(t − s)

s=0

ebenfalls ein Quasipolynom ist. Was k¨ onnen Sie u ¨ ber den Grad und die Periode von F sagen, wenn die Grade und Perioden von f und g gegeben sind? 3.32. F¨ ur zwei positive, teilerfremde ganze Zahlen a und b sei 1 falls b|t, 1 falls a|t, f (t) := und g(t) := 0 sonst, 0 sonst. Bilden Sie die Faltung von f und g. Welche Funktion ergibt sich? 3.33. Seien P ⊂ m und Q ⊂ n rationale Polytope. Zeigen Sie, dass die Faltung von LP und LQ dem Ehrhart-Quasipolynom des Polytops gleicht, das durch die konvexe H¨ ulle von P × {0n } × {0} und {0m } × Q × {1} gegeben ist. Dabei bezeichnet 0d den Koordinatenursprung im d .

Oﬀene Probleme

85

3.34. Wir deﬁnieren die unimodulare Gruppe SLd ( ) als die Menge aller (d × d)-Matrizen mit ganzzahligen Eintr¨ agen und Determinante ±1.

(a) Zeigen Sie, dass SLd ( ) auf dem Gitter d als Bijektion operiert. D.h., wir halten ein A ∈ SLd ( ) fest. Dann bildet A das Gitter d bijektiv auf sich selbst ab. (b) F¨ ur einen beliebigen oﬀenen Simplex Δ◦ ⊂ d und A ∈ SLd ( ) betrachten wir das Bild von Δ◦ unter A, welches durch A (Δ◦ ) := {A x : x ∈ Δ◦ } deﬁniert ist. Zeigen Sie, dass # Δ◦ ∩ d = # A (Δ◦ ) ∩ d .

(c) Sei P ein ganzzahliges Polytop und sei Q := A (P), wobei A ∈ SLd ( ), so dass P und Q unimodulare Abbilder voneinander sind. Zeigen Sie, dass LP (t) = LQ (t) gilt. (Hinweis: Schreiben Sie P als disjunkte Vereinigung oﬀener Simplizes.) 3.35. Suchen Sie im Internet nach dem Programm LattE: Lattice-Point Enumeration [65, 114]. Sie k¨ onnen es kostenlos herunterladen. Experimentieren Sie.

Oﬀene Probleme 3.36. Wieviele Triangulierungen gibt es f¨ ur ein gegebenes Polytop? 3.37. Was ist die minimale Anzahl von Simplizes, die ben¨otigt werden, um den d-Einheitsw¨ urfel zu triangulieren? (Diese Zahlen sind f¨ ur d ≤ 7 bekannt.) 3.38. Klassiﬁzieren Sie die Polynome eines festen Grads d, die EhrhartPolynome sind. Dies f¨ ur d = 2 vollst¨ andig durchgef¨ uhrt worden [159], und teilweise bekannt f¨ ur d = 3 und 4 [23, Section 3]. 3.39. Untersuchen Sie die Nullstellen von Ehrhart-Polynomen ganzzahliger Polytope in einer festen Dimension [23, 36, 41, 93]. Untersuchen Sie die Nullstellen der Z¨ ahler von Ehrhart-Reihen. 3.40. Entwerfen Sie einen eﬃzienten Algorithmus, der die Periode eines Ehrhart-Quasipolynoms berechnet. (Siehe [187], wo Woods einen eﬃzienten Algorithmus beschreibt, der pr¨ uft, ob eine gegebene ganze Zahl die Periode eines Ehrhart-Quasipolynoms ist.) 3.41. Seien P und Q ganzzahlige Polytope mit dem gleichen Ehrhart-Polynom, also LP (t) = LQ (t). Welche weiteren Bedingungen m¨ ussen wir an P und Q stellen, um sicherzugehen, dass ganzzahlige Verschiebungen von P und Q unimodulare Abbilder voneinander sind? D.h., wann ist Q = A (P) + m f¨ ur ein A ∈ SLd ( ) und m ∈ d ?

3.42. Finden Sie eine Ehrhart-Theorie“ f¨ ur irrationale Polytope. ”

4 Reziprozit¨ at

In mathematics you don’t understand things. You just get used to them. John von Neumann (1903–1957)

Aus Aufgabe 1.4 (i) haben wir die elementare Gleichung t−1 −t =− −1 a a

(4.1)

f¨ ur t ∈ und a ∈ >0 erhalten, aber diese ist nur ein Spezialfall eines wesentlich allgemeineren Schemas, denn Gleichung (4.1) stellt den einfachsten (eindimensionalen) Fall eines Reziprozit¨atsgesetzes dar. Solche Gesetze bilden den Kern der Ehrhart-Theorie. Sei I := [0, 1/a] ⊂ , ein rationales 1-Polytop (siehe Abb. 4.1). Sein diskretes Volumen ist (wir erinnern uns an Aufgabe 1.3) t LI (t) = +1. a Auf der anderen Seite ist der Gitterpunktz¨ ahler f¨ ur das Innere, I ◦ = (0, 1/a), gleich t−1 LI ◦ (t) = (4.2) a (siehe Aufgabe 4.1). Gleichung (4.1) besagt, dass, algebraisch, LI ◦ (t) = −LI (−t) .

t a

0 Abb. 4.1. Gitterpunkte in tI.

88

4 Reziprozit¨ at

In diesem Kapitel widmen wir uns dem Beweis, dass eine ¨ahnliche Gleichung f¨ ur Polytope in beliebigen Dimensionen gilt: Satz 4.1 (Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at). Sei P ein rationales konvexes Polytop. Dann liefert die Auswertung des Quasipolynoms LP an negativen ganzen Zahlen LP (−t) = (−1)dim P LP ◦ (t) . Dieser Satz geh¨ ort zu einer Klasse ber¨ uhmter Reziprozit¨atsgesetze. Ein h¨ auﬁges Vorgehen in Kombinatorik besteht darin, von einem interessanten Objekt P auszugehen und 1. eine Z¨ ahlfunktion f (t) zu P zu deﬁnieren, die einen physikalischen Sinn f¨ ur positive ganzzahlige Werte von t ergibt; 2. die Funktion f als ein Polynom in t zu bestimmen; 3. negative ganzzahlige Werte f¨ ur t in die Z¨ahlfunktion einzusetzen und in f (−t) die Z¨ ahlfunktion eines neuen mathematischen Objekts Q zu erkennen. F¨ ur uns ist P der Abschluss eines Polytops und Q sein Inneres.

4.1 Erzeugendenfunktionen fu ¨ r ein wenig irrationale Kegel Unser Ansatz zum Beweis von Satz 4.1 verl¨ auft parallel zu den Schritten in Kapitel 3: Wir folgern Satz 4.1 aus einer Gleichung f¨ ur rationale Kegel. Wir starten mit einem Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur simpliziale Kegel.

Satz 4.2. Wir halten linear unabh¨angige Vektoren w1 , w2 , . . . , wd ∈ d fest und bilden K = {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : λ1 , . . . , λd ≥ 0}, den von den wj erzeugten simplizialen Kegel. Dann gilt f¨ ur die v ∈ d , f¨ ur die der Rand des verschobenen simplizialen Kegels v + K keinen Gitterpunkt enth¨alt, dass 1 1 1 σv+K = (−1)d σ−v+K (z1 , z2 , . . . , zd ) . , ,..., z1 z2 zd Anmerkungen. Dieser Satz ist auf der Ebene formaler Potenzreihen bedeutungslos; allerdings gilt die Gleichung auf der Ebene von rationalen Funktionen. Wir werden feststellen, dass σv+K eine rationale Funktion ist, w¨ahrend wir diesen Satz beweisen. Beweis. Wie in den Beweisen von Satz 3.5 und Korollar 3.6 haben wir die Formel σv+Π (z) σv+K (z) = , (1 − zw1 ) (1 − zw2 ) · · · (1 − zwd ) wobei Π das oﬀene Parallelepiped

4.1 Erzeugendenfunktionen f¨ ur ein wenig irrationale Kegel

89

w2 v

w1

v+Π

−v + Π

− (−v + Π)

− (−v + Π) + w1 + w2

Abb. 4.2. Von −v + Π zu v + Π.

Π = {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : 0 < λ1 , λ2 , . . . , λd < 1}

(4.3)

ist. Dies beweist auch, dass σv+K eine rationale Funktion ist. Man beachte, dass nach Voraussetzung v + Π keine Gitterpunkte auf dem Rand enth¨alt. Nat¨ urlich gilt σ−v+K (z) =

(1 −

σ−v+Π (z) , − zw2 ) · · · (1 − zwd )

zw1 ) (1

also m¨ ussen wir die Parallelepipede v+Π und −v+Π zueinander in Beziehung setzen. Diese Beziehung ist in Abb. 4.2 f¨ ur den Fall d = 2 dargestellt; die Gleichung f¨ ur allgemeine d ist (siehe Aufgabe 4.2) v + Π = −(−v + Π) + w1 + w2 + · · · + wd .

(4.4)

Jetzt u ¨bersetzen wir die Geometrie von (4.4) in Erzeugendenfunktionen: σv+Π (z) = σ−(−v+Π) (z) zw1 zw2 · · · zwd

= σ−v+Π z11 , z12 , . . . , z1d zw1 zw2 · · · zwd (die letzte Gleichung folgt aus Aufgabe 3.6). Wir k¨ urzen den Vektor . . . , z1d durch 1z ab. Dann ist die letzte Gleichung ¨aquivalent zu 1 = σ−v+Π (z) z−w1 z−w2 · · · z−wd , σv+Π z

1 1 z1 , z2 ,

90

4 Reziprozit¨ at

und folglich σv+Π 1z 1 = σv+K z (1 − z−w1 ) (1 − z−w2 ) · · · (1 − z−wd ) σ−v+Π (z) z−w1 z−w2 · · · z−wd = (1 − z−w1 ) (1 − z−w2 ) · · · (1 − z−wd ) σ−v+Π (z) = w1 (z − 1) (zw2 − 1) · · · (zwd − 1) σ−v+Π (z) = (−1)d (1 − zw1 ) (1 − zw2 ) · · · (1 − zwd )

= (−1)d σ−v+K (z) .

4.2 Stanleys Reziprozit¨ atsgesetz fu ¨ r rationale Kegel F¨ ur das allgemeine Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur Kegel setzen wir die simplizialen Kegel einer Triangulierung zusammen, ¨ ahnlich wie in unserem Beweis von Satz 3.12. Satz 4.3 (Stanley-Reziprozit¨ at). Sei K ein rationaler d-Kegel mit Spitze im Koordinatenursprung. Dann gilt 1 1 1 σK = (−1)d σK◦ (z1 , z2 , . . . , zd ) . , ,..., z1 z2 zd Beweis. Wir triangulieren K in die simplizialen Kegel K1 , K2 , . . . , Km . Dann stellt Aufgabe 3.14 sicher, dass ein Vektor v ∈ d existiert, f¨ ur den der verschobene Kegel v + K gerade die inneren Gitterpunkt von K enth¨alt, also K◦ ∩

d = (v + K) ∩ d ,

(4.5)

und so, dass keine Gitterpunkte auf dem Rand eines der Kegel der Triangulierung liegen: ∂ (v + Kj ) ∩

d = ∅

f¨ ur alle j = 1, . . . , m

(4.6)

d = ∅

f¨ ur alle j = 1, . . . , m.

(4.7)

sowie ∂ (−v + Kj ) ∩

Wir laden den Leser ein (Aufgabe 4.3) sich klarzumachen, dass (4.5)-(4.7) die Gleichung K ∩ d = (−v + K) ∩ d (4.8)

implizieren. Jetzt folgt mit Satz 4.2, dass

4.3 Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at f¨ ur rationale Polytope

σK

1 z

= σ−v+K

1 z

=

m

σ−v+Kj

j=1 d

1 z

=

m

91

(−1)d σv+Kj (z)

j=1 d

= (−1) σv+K (z) = (−1) σK◦ (z) . Man beachte, dass die G¨ ultigkeit der zweiten und vierten Gleichung aus der G¨ ultigkeit von (4.7) bzw. (4.6) folgen.

4.3 Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at fu ¨r rationale Polytope Als Vorbereitung f¨ ur den Beweis von Satz 4.1 deﬁnieren wir die EhrhartReihe f¨ ur das Innere des rationalen Polytops P als EhrP ◦ (z) := LP ◦ (t) z t . t≥1

Unsere Vereinbarung, die Reihe mit t = 1 beginnen zu lassen, ergibt sich aus der Tatsache, dass diese Erzeugendenfunktion eine Auswertung der Gitter◦ punkttransformation des oﬀenen Kegels (cone(P)) ist: Analog zu Lemma 3.10 haben wir EhrP ◦ (z) = σ(cone(P))◦ (1, 1, . . . , 1, z) . (4.9) Wir sind nun soweit, dass wir das Gegenst¨ uck f¨ ur Ehrhart-Reihen zu Satz 4.1 beweisen k¨ onnen. Satz 4.4. Sei P ein konvexes rationales Polytop. Dann liefert die Auswertung der rationalen Funktion EhrP bei 1/z die Gleichung 1 = (−1)dim P+1 EhrP ◦ (z) . EhrP z Beweis. Sei P ein d-Polytop. Wir erinnern uns an Lemma 3.10, welches besagt, dass die Erzeugendenfunktion des Ehrhart-Polynoms von P eine Auswertung der Erzeugendenfunktion von cone(P) ist: EhrP (z) = LP (t) z t = σcone(P) (1, 1, . . . , 1, z) . t≥0

Gleichung (4.9) oben gibt eine analoge Auswertung von σ(cone(P))◦ , die EhrP ◦ liefert. Jetzt wenden wir Satz 4.3 auf den (d + 1)-Kegel K = cone(P) an: 1 σ(cone(P))◦ (1, 1, . . . , 1, z) = (−1)d+1 σcone(P) 1, 1, . . . , 1, . z Satz 4.1 folgt nun m¨ uhelos.

92

4 Reziprozit¨ at

Beweis der Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at (Satz 4.1). Wir wenden zun¨achst Aufgabe 4.5 auf die Ehrhart-Reihe von P an: Es gilt n¨amlich, als rationale Funktionen, dass 1 EhrP = LP (−t) z t = − LP (−t) z t . z t≤0

t≥1

Jetzt kombinieren wir diese Gleichung mit Satz 4.4 und erhalten 1 t d+1 ◦ = (−1)d LP (t) z = (−1) EhrP LP (−t) z t . z t≥1

t≥1

Indem wir die Koeﬃzienten der beiden Potenzreihen vergleichen erhalten wir das Reziprozit¨ atsgesetz. Mithilfe der Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at k¨onnen wir jetzt Satz 3.18 mit Ehrhart-Polynomen umformulieren: Satz 4.5. Sei P ein ganzzahliges d-Polytop mit Ehrhart-Reihe EhrP (z) =

hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h1 z + 1 . (1 − z)d+1

Dann gilt hd = hd−1 = · · · = hk+1 = 0 und hk = 0 genau dann, wenn (d − k + 1)P die kleinste ganzzahlige Streckung von P ist, die einen inneren Gitterpunkt enth¨alt. Beweis. Satz 3.18 besagt, dass hk genau dann der h¨ochste von null verschiedene Koeﬃzient ist, wenn LP (−1) = LP (−2) = · · · = LP (−(d − k)) = 0 und LP (−(d − k + 1)) = 0. Jetzt benutzen wir Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at. (Satz 4.1). Das gr¨ oßte k, f¨ ur das hk = 0 gilt, nennen wir den Grad von P. Der obige Satz besagt, dass der Grad von P genau dann k ist, wenn (d − k + 1)P die kleinste ganzzahlige Streckung von P ist, die einen Gitterpunkt enth¨alt.

4.4 Die Ehrhart-Reihe eines reﬂexiven Polytops Als eine Anwendung von Satz 4.4 untersuchen wir jetzt eine spezielle Klasse von ganzzahligen Polytopen, deren Ehrhart-Reihen eine zus¨atzliche Symmetrie aufweisen. Wir nennen ein Polytop P, das den Koordinatenursprung enth¨ alt, reﬂexiv, wenn es ganzzahlig ist und die H-Beschreibung P = x ∈ d : Ax ≤ 1 hat, wobei A eine ganzzahlige Matrix ist. (Hier steht 1 f¨ ur den Vektor, dessen Koordinaten alle 1 sind.) Der folgende Satz liefert eine Charakterisierung reﬂexiver Polytope u ¨ber ihre Ehrhart-Reihen.

4.4 Die Ehrhart-Reihe eines reﬂexiven Polytops

93

Satz 4.6 (Hibis Palindromsatz). Sei P ein ganzzahliges d-Polytop, das den Koordinatenursprung in seinem Inneren enth¨alt und die Ehrhart-Reihe EhrP (z) =

hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h1 z + h0 (1 − z)d+1

hat. Dann ist P genau dann reﬂexiv, wenn hk = hd−k f¨ ur alle 0 ≤ k ≤

d 2

gilt.

Die beiden Hauptzutaten f¨ ur den Beweis dieses Ergebnisses sind Satz 4.4 und das folgende Lemma:

Lemma 4.7. F¨ ur a1 , a2 , . . . , ad , b ∈ gelte ggT (a1 , a2 , . . . , ad , b) = 1 und b > 1. Dann gibt es positive ganze Zahlen c und t, so dass tb< c < (t + 1)b und (m1 , m2 , . . . , md ) ∈ d : a1 m1 + a2 m2 + · · · + ad md = c = ∅ gelten.

Beweis. Sei g = ggT (a1 , a2 , . . . , ad ); nach unserer Voraussetzung ist ggT(g, b) = 1, also k¨ onnen wir ganze Zahlen k und t ﬁnden, f¨ ur die kg − tb = 1

(4.10)

gilt. Ferner k¨ onnen wir k und t so w¨ ahlen, dass t > 0. Sei c = kg; Gleichung (4.10) und die Bedingung b > 1 implizieren, dass tb < c < (t + 1)b. Schließlich gibt es wegen g = ggT (a1 , a2 , . . . , ad ) ganze Zahlen m1 , m2 , . . . , md ∈ , f¨ ur die a1 m1 + a2 m2 + · · · + ad md = kg = c

gilt.

Beweis von Satz 4.6. Wir erinnern uns, dass P genau dann reﬂexiv ist, wenn P = x ∈ d : A x ≤ 1 f¨ ur eine ganzzahlige Matrix A (4.11) gilt. Wir behaupten, dass P genau dann eine derartige H-Beschreibung hat, wenn P◦ ∩

d = {0}

und f¨ ur alle t ∈

>0 ,

(t + 1)P ◦ ∩

d = tP ∩ d .

(4.12)

¨ Diese Bedingung besagt, dass die einzigen Gitterpunkte, die wir beim Ubergang von tP zu (t + 1)P gewinnen, diejenigen auf dem Rand von (t + 1)P sind. Die Tatsache, dass (4.12) aus (4.11) folgt, ist Gegenstand von Aufgabe 4.11. Umgekehrt gibt es, falls P Gleichung (4.12) erf¨ ullt, keine Gitterpunkte zwischen tH und (t + 1)H, falls H eine Hyperebene ist, die eine Facette von P deﬁniert eine Facettenhyperebene (Aufgabe 4.12). Das heißt, wenn durch H = x ∈ d : a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd = b gegeben ist, wobei wir ggT (a1 , a2 , . . . , ad , b) = 1 annehmen d¨ urfen, dann gilt x ∈ d : tb < a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd < (t + 1)b = ∅ .

Aber dann impliziert Lemma 4.7, dass b = 1, und daher hat P eine HBeschreibung der Form (4.11).

94

4 Reziprozit¨ at

Wir haben also gezeigt, dass P genau dann reﬂexiv ist, wenn es (4.12) erf¨ ullt. Nun gilt wegen Satz 4.4, dass h0 z d+1 + h1 z d + · · · + hd−1 z 2 + hd z 1 EhrP ◦ (z) = (−1)d+1 EhrP = . z (1 − z)d+1 Nach Bedingung (4.12) ist P genau dann reﬂexiv, wenn diese rationale Funktion gleich LP (t − 1) z t = z LP (t) z t = z EhrP (z) t≥1

t≥0

=

hd z d+1 + hd−1 z d + · · · + h1 z 2 + h0 z (1 − z)d+1

ist, also genau dann, wenn hk = hd−k f¨ ur alle 0 ≤ k ≤

d 2

gilt.

4.5 Weitere Reﬂexionen“ u ¨ber das Mu ¨ nzenproblem ” und die Sammlung aus Kapitel 2 Uns sind bereits mehrfach Spezialf¨ alle der Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at begegnet. Bemerkenswert ist, dass wir mit Satz 4.1 folgern k¨onnen, dass das Z¨ ahlen der inneren Gitterpunkte in einem rationalen Polytop gleichbedeutend mit dem Z¨ ahlen der Gitterpunkte in seinem Abschluss ist. Die Aufgaben 1.31, 2.1 und 2.7, sowie Teil (b) jedes Satzes in der Sammlung von Kapitel 2 best¨atigen, dass LP (−t) = (−1)dim P LP ◦ (t) .

Anmerkungen 1. Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at (Satz 4.1) war bereits ein Jahrzent lang von Eug`ene Ehrhart vorausgesagt (und in Spezialf¨allen bewiesen) worden, als I. G. Macdonald 1971 einen allgemeinen Beweis fand [122]. Man kann die Bedingung f¨ ur Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at sogar noch abschw¨achen: Sie gilt f¨ ur polytopale Komplexe, die hom¨ oomorph zu einer d-Mannigfaltigkeit sind. Der Beweis, den wir hier geben (einschließlich des Beweises von Satz 4.3), ist in [29] erschienen. 2. Satz 4.3 geht auf Richard Stanley zur¨ uck [168], der allgemeinere Versionen dieses Satzes bewiesen hat. Der Leser erinnert sich vielleicht, dass die rationale Funktion, die die Ehrhart-Reihe eines rationalen Kegels darstellt, als seine meromorphe Fortsetzung aufgefasst werden kann. Stanley-Reziprozit¨at (Satz 4.3) liefert uns eine Funktionalgleichung f¨ ur solche meromorphen Fortsetzungen.

Aufgaben

95

3. Der Ausdruck reﬂexives Polytop wurde von Victor Batyrev gepr¨agt, der aufregende Anwendungen dieser Polytope auf Spiegelsymmetrie in physikalischer Stringtheorie gefunden hat [16]. Batyrev hat bewiesen, dass die von einem reﬂexiven Polytop P deﬁnierte torische Variet¨ at XP Fano ist, und dass jede generische Hyperﬂ¨ ache von XP Calabi-Yau ist. Dass die Ehrhart-Reihe eines reﬂexiven Polytops eine unerwartete Symmetrie ausweist (Satz 4.6), wurde von Takayuki Hibi entdeckt [96]. Die Anzahl der reﬂexiven Polytope in Dimension d ist f¨ ur d ≤ 4 bekannt [116, 117]; es gibt zum Beispiel genau 16 reﬂexive Polytope in Dimension 2, bis auf Symmetrien (siehe auch [164, Sequence A090045]). Ein erstaunliches Resultat ist, dass die Summe der Anzahlen von Gitterpunkten auf den R¨ andern eines reﬂexiven Polygons und seines dualen Polygons immer gleich 12 ist [146]. Ein ¨ ahnliches Ergebnis gilt in Dimension 3 (mit 24 an Stelle von 12) [17], aber f¨ ur letzeres ist kein elementarer Beweis bekannt [21, Section 4]. 4. Es gibt eine ¨ aquivalente Deﬁnition reﬂexiver Polytope: P ist genau dann reﬂexiv, wenn sowohl P als auch sein duales Polytop P ∗ ganzzahlige Polytope sind. Das duale Polytop von P (oft auch polares Polytop genannt) ist durch P ∗ := x ∈ d : x · y ≤ 1 f¨ ur alle y ∈ P deﬁniert. Das Konzept (polarer) Dualit¨ at ist nicht auf Polytope beschr¨ ankt, sondern kann f¨ ur jede nichtleere Teilmenge von d deﬁniert werden. Dualit¨ at ist ein wesentliches Kapitel in der ¨ Theorie der Polytope, und eine seiner Anwendungen ist die Aquivalenz von V- und H-Beschreibungen eines Polytops. F¨ ur mehr u ¨ ber (polare) Dualit¨at sei der Leser auf [12, Chapter IV] verwiesen. 5. Die Kreuzpolytope 3 aus Abschnitt 2.5 bilden eine spezielle Klasse reﬂexiver Polytope. Wir haben in den Anmerkungen zu Kapitel 2 erw¨ahnt, dass die Nullstellen der Ehrhart-Polynome L3 alle Realteil − 12 haben [50, 108]. Christian Bey, Martin Henk und J¨ org Wills haben in [36] bewiesen, dass ein ganzzahliges Polytop P das unimodulare Bild eines reﬂexiven Polytops ist, falls alle Nullstellen von LP Realteil − 21 haben.

Aufgaben 4.1. ♣ Beweisen Sie (4.2): F¨ ur a ∈

>0

t−1 . gilt L(0,1/a) (t) = a

4.2. ♣ Erkl¨ aren Sie (4.4): Wenn w1 , w2 , . . . , wd ∈ d linear unabh¨angig sind und Π = {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : 0 < λ1 , λ2 , . . . , λd < 1} , dann gilt v + Π = −(−v + Π) + w1 + w2 + · · · + wd . 4.3. ♣ Zeigen Sie, dass (4.8) aus (4.5)-(4.7) folgt; das heißt, falls K ein rationaler spitzer d-Kegel mit Spitze im Koordinatenursprung ist, und v ∈ d so gew¨ ahlt ist, dass

96

4 Reziprozit¨ at

d = (v + K) ∩ d , ∂ (v + Kj ) ∩ d = ∅ f¨ ur alle j = 1, . . . , m, K◦ ∩

und ∂ (−v + Kj ) ∩

d = ∅

f¨ ur alle j = 1, . . . , m,

gilt, dann folgt K∩

d = (−v + K) ∩ d .

4.4. Zeigen Sie die folgende Verallgemeinerung von Satz 4.3 auf rationale spitze Kegel mit beliebiger Spitze: Sei K ein rationaler spitzer d-Kegel mit Spitze im Koordinatenursprung und v ∈ d . Dann ist die Gitterpunkttransformation σv+K (z) des spitzen d-Kegels v + K eine rationale Funktion, f¨ ur die 1 = (−1)d σ(−v+K)◦ (z) σv+K z gilt.

+ → ein Quasipolynom. Wir wissen, dass RQ (z) := 4.5. ♣ Sei Q : t t≥0 Q(t) z eine rationale Funktion liefert. − (a) Zeigen Sie, dass auch RQ (z) := t<0 Q(t) z t eine rationale Funktion liefert. + − (b) Sei Q(t) = 1. Zeigen Sie, dass RQ (z) + RQ (z) = 0 als rationale Funktionen gilt. + − (c) Sei Q ein Polynom. Zeigen Sie, dass RQ (z) + RQ (z) = 0 als rationale Funktionen gilt. + − (d) Sei Q ein Quasipolynom. Zeigen Sie, dass RQ (z) + RQ (z) = 0 als rationale Funktionen gilt.

4.6. ♣ Sei P ein rationales d-Polytop, f¨ ur das LP ◦ (t) = LP (t − k)

und

LP ◦ (1) = LP ◦ (2) = · · · = LP ◦ (k − 1) = 0

f¨ ur eine ganze Zahl k gelten. (Dies ist bei einigen der Polytope aus der Sammlung in Kapitel 2 der Fall.) Zeigen Sie, dass 1 = (−1)d+1 z k EhrP (z) . EhrP z 4.7. Sei P ein ganzzahliges d-Polytop mit Ehrhart-Reihe EhrP (z) =

hd z d + hd−1 z d−1 + · · · + h1 z + 1 . (1 − z)d+1

Zeigen Sie, dass hd = LP ◦ (1).

Oﬀene Probleme

97

4.8. Sei P ein konvexes ganzzahliges d-Polytop. Zeigen Sie, dass die Streckung (d + 1)P einen inneren Gitterpunkt enth¨ alt. 4.9. Sei P ein konvexes ganzzahliges Polytop. Wir bezeichnen den Rand von P mit ∂P. Zeigen Sie, dass L∂P (t) ein Polynom ist, dass weder gerade noch ungerade ist. Bestimmen Sie seinen konstanten Term. 4.10. Wir erinnern uns an die eingeschr¨ ankte Partitionsfunktion p{a1 ,a2 ,...,an } (t) := # (m1 , . . . , md ) ∈ d≥0 : m1 a1 + · · · + md ad = t

aus Kapitel 1. Zeigen Sie, dass, als Quasipolynome, p{a1 ,a2 ,...,an } (−t − a1 − a2 − · · · − an ) = (−1)n−1 p{a1 ,a2 ,...,an } (t) und dass p{a1 ,a2 ,...,an } (−1) = p{a1 ,a2 ,...,an } (−2) = · · · = p{a1 ,a2 ,...,an } (−a1 − a2 − · · · − an + 1) = 0 . 4.11. ♣ Zeigen Sie, dass (4.12) aus (4.11) folgt,das heißt zeigen Sie, dass falls das Polytop P durch P = x ∈ d : A x ≤ 1 f¨ ur eine ganzzahlige Matrix A gegeben ist, dann P ◦ ∩ d = {0} und (t + 1)P ◦ ∩ d = tP ∩ d f¨ ur alle t ∈ >0 gilt.

4.12. ♣ Sei P ein ganzzahliges Polytop, das (4.12) erf¨ ullt: P ◦ ∩ d = {0} und ◦ d d f¨ ur alle t ∈ >0 gilt (t + 1)P ∩ = tP ∩ . Dann gilt f¨ ur jedes t ∈ und jede Facettenhyperebene H, dass keine Gitterpunkte zwischen tH und (t + 1)H existieren.

Oﬀene Probleme 4.13. Sei P ein 3-dimensionales reﬂexives Polytop. Wir bezeichnen mit e∗ die Kante des dualen Polytops P ∗ , die der Kante e in P entspricht. Geben Sie einen elementaren Beweis daf¨ ur, dass L¨ ange (e) · L¨ ange (e∗ ) = 24 . e ist Kante von P

4.14. Bestimmen Sie die Anzahl der reﬂexiven Polytope in Dimension d ≥ 5.

5 Seitenzahlen und die Dehn-Sommerville-Gleichungen

”

Data! Data! Data!“ he cried, impatiently. I can’t make bricks without clay.“ ”

Sherlock Holmes ( The Adventure of the Copper Beeches“, Arthur Conan Doyle, ” 1859–1930)

Unser Ziel in diesem Kapitel ist zweigeteilt, oder genauer, es ist ein Ziel, das in zwei verschiedenen Gestalten auftritt. Zum einen wollen wir einige faszinierende Gleichungen beweisen, die lineare Beziehungen zwischen den Seitenzahlen fk liefern. Sie heißen Dehn-Sommerville-Gleichungen, zu Ehren ihrer Entdecker Max Wilhelm Dehn (1878–1952)1 und Duncan MacLaren Young Sommerville (1879–1934).2 Unser zweites Ziel ist es, die Dehn-SommervilleGleichungen (Satz 5.1 unten) und die Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at aus Satz 4.1 zu vereinheitlichen.

5.1 Die Dehn-Sommerville-Gleichungen Wir bezeichnen die Anzahl der k-dimensionalen Seite von P mit fk . F¨ ur k zwischen 0 und d kodieren die Seitenzahlen fk intrinsische Informationen u ¨ ber das Polytop P. Das d-Polytop P ist einfach, wenn jede Ecke von P auf genau d der Kanten von P liegt. Satz 5.1 (Dehn-Sommerville-Gleichungen). Wenn P ein einfaches dPolytop ist und 0 ≤ k ≤ d, dann gilt k j d−j fk = fj . (−1) d−k j=0 1 2

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Dehn siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Dehn.html.

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Sommerville siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Sommerville.html.

100

5 Seitenzahlen und die Dehn-Sommerville-Gleichungen

Dieser Satz nimmt f¨ ur k = d eine besonders sch¨one Form an, n¨amlich die der ber¨ uhmten Euler-Gleichung, die f¨ ur beliebige Polytope (nicht nur f¨ ur einfache) gilt. Satz 5.2 (Euler-Gleichung). Wenn P ein konvexes d-Polytop ist, dann gilt d

(−1)j fj = 1 .

j=0

Diese Gleichung ist weniger trivial als sie vielleicht aussieht. Wir geben einen kurzen Beweis f¨ ur rationale Polytope, f¨ ur die wir Ehrhart-MacdonaldReziprozit¨ at (Satz 4.1) verwenden k¨ onnen. Beweis von Satz 5.2, f¨ ur rationale P. Wir z¨ ahlen die Gitterpunkte in tP u ¨ ber die (relativ) oﬀenen Seiten, die sie enthalten:3 LP (t) = LF ◦ (t) = (−1)dim F LF (−t) . F ⊆P

F ⊆P

Hier und im Rest dieses Kapitels nehmen wir die Summe u ¨ ber alle nichtleeren Seiten. (Alternativ k¨ onnten wir L∅ (t) = 0 vereinbaren.) Der konstante Term von LF (t) ist 1 f¨ ur jede Seite F (nach Aufgabe 3.27). Daher liefern die konstanten Terme der obigen Gleichung 1=

(−1)dim F =

F ⊆P

d

(−1)j fj ,

j=0

was unsere Behauptung beweist.

Es gibt eine nat¨ urliche Struktur auf der Menge der Seiten eines Polytops P, welche durch die mengentheoretische Inklusionsbeziehung F ⊆ G bestimmt ist. Diese Relation gibt eine partielle Ordnung auf der Menge aller Seiten von P, die wir den Seitenverband von P nennen. Eine n¨ utzliche Art, diese partiell geordnete Menge darzustellen, ist u ¨ ber einen Graph, dessen Ecken den Seiten von P entsprechen, und in dem zwei Ecken durch eine Kante verbunden sind, wenn eine der entsprechenden Seiten die andere enth¨alt. In Abb. 5.1 geben wir den Seitenverband f¨ ur ein Dreieck an. Aus Aufgabe 2.6 folgt, dass der Seitenverband eines beliebigen Simplexes ein boolescher Verband ist, also die partiell geordnete Menge, die alle Teilmengen einer endlichen Menge enth¨alt, wiederum durch mengentheoretische Inklusion geordnet. Wir haben bereits erw¨ ahnt, dass wir die Dehn-Sommerville-Gleichungen (Satz 5.1) und die Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at (Satz 4.1) vereinheitlichen werden. Dies ist der Grund, warum wir Satz 5.1 nur f¨ ur rationale Polytope beweisen werden. Um die Konzepte der Seitenzahlen und der Gitterpunktz¨ahler zu kombinieren, deﬁnieren wir 3

Man beachte, dass das relative Innere einer Ecke gerade die Ecke selbst ist.

5.2 Dehn-Sommerville Erweitert

101

Δ v3 E2

E3

E2

E1

v1

v2

v3

E1 v1

E3

v2 ∅

Abb. 5.1. Der Seitenverband eines Dreiecks.

Fk (t) :=

LF (t) ,

F⊆P dim F=k

wobei wir u ¨ ber alle k-Seiten von P summieren. Nach dem Satz von Ehrhart (Satz 3.23) ist Fk ein Quasipolynom. Wegen LF (0) = 1 f¨ ur alle F gilt Fk (0) = fk , die Anzahl aller k-Seiten von P. Wir bemerken außerdem, dass der Leitkoeﬃzient von Fk das relative Volumen des k-Skeletts von P misst, d.h. der Vereinigung aller k-Seiten; siehe Abschnitt 5.4 f¨ ur eine genaue Deﬁnition des relativen Volumens. Unsere gemeinsame Erweiterung der S¨ atze 5.1 und 4.1 ist das Thema des n¨ achsten Abschnitts.

5.2 Dehn-Sommerville Erweitert Satz 5.3. Falls P ein einfaches rationales d-Polytop ist und 0 ≤ k ≤ d, dann gilt k d−j Fk (t) = Fj (−t) . (−1)j d−k j=0 Die klassischen Dehn-Sommerville-Gleichungen (Satz 5.1) – wieder nur f¨ ur rationale Polytope – erh¨ alt man aus den konstanten Termen der Z¨ahlfunktionen auf beiden Seiten der Gleichung. Auf der anderen Seite ergibt Satz 5.3 f¨ ur k = d (mit t durch −t ersetzt) LP (−t) = Fd (−t) =

d j=0

(−1)j Fj (t) = (−1)d

d

(−1)d−j Fj (t) .

j=0

Die Summe auf der rechten Seite ist eine Einschluss/Ausschluss-Formel f¨ ur die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren von tP (z¨ahle alle Punkte in P, subtrahiere diejenigen auf den Facetten, addiere die mehrfach gez¨ahlten usw.), so

102

5 Seitenzahlen und die Dehn-Sommerville-Gleichungen

dass wir in gewisser Weise wieder die Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at erhalten. Beweis. Sei F eine k-Seite von P. Dann gilt, wieder durch abz¨ahlen der Gitterpunkte in F entsprechend der relativ oﬀenen Seiten von F , dass LF (t) = LG ◦ (t) , G⊆F

oder, nach Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at (Satz 4.1), LF (t) =

(−1)dim G LG (−t) =

G⊆F

k (−1)j LG (−t) .

(5.1)

G⊆F dim G=j

j=0

Jetzt summieren wir sowohl die linken als auch die rechten Seiten u ¨ber alle k-Seiten auf und ordnen die Summe auf der rechten Seite um: Fk (t) =

k F⊆P dim F=k

=

k

k

k

=

j=0

LG (−t)

LG (−t)

F⊆P G⊆F dim F=k dim G=j

(−1)j

fk (P/G)LG (−t)

G⊆P dim G=j

d − j LG (−t) d−k G⊆P

(−1)j

j=0 k

(−1)j

j=0

=

G⊆F dim G=j

j=0

j=0

=

(−1)j

dim G=j

(−1)j

d−j Fj (−t) . d−k

Hier bezeichnet fk (P/G) die Anzahl der k-Seiten von P, die eine gegebene d−j j-Seite G von P enthalten. Da P einfach ist, ist diese Zahl gleich d−k (siehe Aufgabe 5.4).

5.3 Anwendungen auf die Koeﬃzienten eines Ehrhart-Polynoms Wir werden jetzt Satz 5.3 auf die Berechnung des Ehrhart-Polynoms eines ganzzahligen d-Polytops P anwenden. Der einzige Seiten-Gitterpunktz¨ahler, der die Seite P mit einbezieht, ist Fd (t), wof¨ ur Satz 5.3 sich zu

5.3 Anwendungen auf die Koeﬃzienten eines Ehrhart-Polynoms

LP (t) = Fd (t) =

d

103

(−1)j Fj (−t)

j=0

spezialisiert. Dabei m¨ ussen wir gar nicht annehmen, dass P einfach ist, da diese Gleichung lediglich seitenweise Gitterpunkte z¨ahlt. (Wir erinnern uns daran, dass (−1)j Fj (−t) die Gitterpunkte in den t-Streckungen des Inneren der j-Seiten z¨ ahlt.)4 Der letzte Term auf der rechten Seite ist (−1)d Fd (−t) = (−1)d LP (−t) = LP ◦ (t) nach Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at. Wenn wir diesen Term nach links verschieben, erhalten wir LP (t) − LP ◦ (t) =

d−1 (−1)j Fj (−t) .

(5.2)

j=0

Die Diﬀerenz auf der linken Seite dieser Gleichung hat eine nat¨ urliche Interpretation: Sie z¨ ahlt die Gitterpunkte auf dem Rand von tP. (Und tats¨achlich ist die rechte Seite wiedereinmal eine Einschluss/Ausschluss-Formel f¨ ur diese Zahl.) Wir schreiben LP (t) = cd td + cd−1 td−1 + · · · + c0 . Dann ist LP ◦ (t) = cd td − cd−1 td−1 + · · · + (−1)d c0 , so dass LP (t) − LP ◦ (t) = 2cd−1 td−1 + 2cd−3 td−3 + · · · , wobei diese Summe mit 2c0 endet, falls d ungerade ist, und mit 2c1 , falls d gerade ist (das sollte uns bekannt vorkommen; siehe Aufgabe 4.9). Wir kombinieren diesen Ausdruck mit (5.2) und erhalten das folgende Resultat. Satz 5.4. Sei LP (t) = cd td + cd−1 td−1 + · · · + c0 das Ehrhart-Polynom von P. Dann gilt 1 (−1)j Fj (−t) . 2 j=0 d−1

cd−1 td−1 + cd−3 td−3 + · · · =

Wir k¨ onnen die Aussage dieses Satzes pr¨ aziser (allerdings auch komplizierter) machen, indem wir Fj (t) = LF (t) = cj,j tj + cj,j−1 tj−1 + · · · + cj,0 F⊆P dim F=j

schreiben. Dann erhalten wir, wenn wir die Koeﬃzienten von tk in Satz 5.4 aufsammeln, die folgenden Gleichungen. 4

Daher k¨ onnte man einwenden, dass wir die Dehn-Sommerville-Maschinerie f¨ ur die Berechnungen in diesem Abschnitt gar nicht brauchen. Der Einwand ist korrekt, allerdings liefert Satz 5.3 eine starke Motivation.

104

5 Seitenzahlen und die Dehn-Sommerville-Gleichungen

Korollar 5.5. Falls k und d von ungleicher Parit¨at sind, gilt 1 (−1)j+k cj,k . 2 j=0 d−1

ck =

Falls k und d die gleiche Parit¨ at haben, muss die linke Seite durch 0 ersetzt werden. Der erste Koeﬃzient ck des Ehrhart-Polynoms eines d-Polytops P, das die Parit¨ atsbedingung erf¨ ullt, ist cd−1 . In disem Fall sagt uns Korollar 5.5, dass cd−1 gerade 12 mal die Summe der Leitterme der Ehrhart-Polynome der Facetten von P ist. Der n¨ achste interessante Koeﬃzient ist cd−3 . Zum Beispiel k¨onnen wir f¨ ur dim P = 4 Korollar 5.5 benutzen, um c1 ausschließlich aus den EhrhartPolynomen (bzw. ihren linearen Koeﬃzienten) der Seiten von Dimension ≤ 3 zu berechnen.

5.4 Relatives Volumen Es ist an der Zeit, zum stetigen Volumen zur¨ uckzukehren. Wir erinnern uns an Lemma 3.19: Falls S ⊂ d eine d-dimensionale Teilmenge ist, dann gilt vol S = limt→∞ t1d · # tS ∩ d . In Kapitel 3 haben wir betont, wie wichtig es ist, dass S Dimension d hat, denn ansonsten (d.h. falls S zwar im d-Raum lebt, aber dennoch von niedrigerer Dimension ist) gilt nach unserer Deﬁnition vol S = 0. Allerdings ist der Fall, dass S ⊂ d nicht von Dimension d ist, oft besonders interessant; ein Beispiel ist das Polytop P, das uns im Zusammenhang mit dem M¨ unzenproblem in Kapitel 1 begegnet ist. Wir w¨ urden auch in diesem Fall gerne das Volumen eines solchen Objekts ausrechnen, relativ gesehen. Das f¨ uhrt zu einigen Komplikationen. Sagen wir, S ⊂ d sei von Dimension m < d, und sei span S = {x + λ(y − x) : x, y ∈ S, λ ∈ } die aﬃne H¨ ulle von S. Nach dem gleichen Verfahren wie oben (n¨amlich durch Z¨ahlen von Quadern oder Gitterpunkten) berechnen wir das Volumen relativ zum Untergitter (span S) ∩ d ; wir nennen dies das relative Volumen von S. 2 Der Geradenabschnitt L von (0, 0) nach zum Beispiel hat das (4, 2) in2 relative Volumen 2, denn in span L = (x, y) ∈ : y = x/2 wird l durch zwei Geradenabschnitte abgedeckt, die Einheitsl¨ange“ in diesem Unterraum ” haben, wie in Abb. 5.2 dargestellt. Ein dreidimensionales Beispiel, das uns aus Kapitel 1 bekannt vorkommen sollte, ist in Abb. 5.3 gezeigt. Falls S ⊆ d die volle Dimension d hat, ist das relative Volumen gleich dem volldimensionalen“ Volumen. Von jetzt an meinen wir mit vol S das ” relative Volumen von S. Mit dieser Vereinbarung k¨onnen wir Lemma 3.19 umformulieren, damit es auch auf m-dimensionale Mengen S ⊂ d anwendbar wird: F¨ ur deren relatives Volumen gilt

vol S = lim

1

t→∞ tm

· # tS ∩

d .

Anmerkungen

105

(4, 2)

(0, 0)

Abb. 5.2. Der Geradenabschnitt von (0, 0) nach (4, 2) und sein aﬃnes Untergitter.

Falls # tS ∩ d die spezielle Form eines Polynoms annimmt – zum Beispiel, falls S ein ganzzahliges Polytop ist – k¨onnen wir diesen Satz weiter vereinfachen. Sei P ⊂ d ein ganzzahliges m-Polytop mit Ehrhart-Polynom

LP (t) = cm tm + cm−1 tm−1 + · · · + c1 t + 1 . Dann gilt, aufgrund der obigen Diskussion und im Einklang mit Lemma 3.19, dass 1 cm tm + cm−1 tm−1 + · · · + c1 t + 1 L (t) = lim = cm . P t→∞ tm t→∞ tm

vol P = lim

Das relative Volumen von P ist der Leitterm der entsprechenden Z¨ahlfunktion LP . Im letzten Abschnitt haben wir beispielsweise herausgefunden, dass aus Korollar 5.5 folgt, dass der Leitkoeﬃzient cd−1 des Ehrhart-Polynoms eines d-Polytops P gerade gleich 12 mal die Summe der Leitterme der EhrhartPolynome der Seiten von P ist. Der Leitterm f¨ ur eine Facette ist einfach das relative Volumen dieser Facette: Satz 5.6. Sei LP (t) = cd td + cd−1 td−1 + · · · + c0 das Ehrhart-Polynom des ganzzahligen Polytops P. Dann gilt cd−1 =

1 2

vol F .

F Facette von P

Anmerkungen 1. Die Dehn-Sommerville-Gleichungen (Satz 5.1) traten zum ersten Mal in der Arbeit von Max Dehn zutage, der sie 1905 f¨ ur Dimension 5 bewiesen hat [70]. (Die Dehn-Sommerville Gleichungen sind nicht sonderlich kompliziert f¨ ur

106

5 Seitenzahlen und die Dehn-Sommerville-Gleichungen

y 20

5 x 2 z y + z2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 deﬁnierte Dreieck. Der Abb. 5.3. Das durch x5 + 20 schattierte Bereich ist der Fundamentalbereich eines Untergitters, das im aﬃnen Erzeugnis des Dreiecks liegt.

d ≤ 4; siehe Aufgabe 5.3.) Einige Jahrzehnte sp¨ater hat D. M. Y. Sommerville den allgemeinen Fall bewiesen [166]. Satz 5.1 war in der ersten H¨alfte des zwanzigsten Jahrhunderts weder besonders bekannt noch wurde es h¨auﬁg benutzt, das geschah erst nach seiner Wiederentdeckung durch Victor Klee [110] und seinem Auftreten in Branko Gr¨ unbaums ber¨ uhmten und vielgelesenen Buch [89]. 2. Die Euler-Gleichung (Satz 5.2) kann f¨ ur d = 3 leicht direkt bewiesen werden (dieser Fall wird Euler zugeschrieben), aber f¨ ur h¨ohere Dimensionen muss man etwas vorsichtig sein, wie wir bereits im Text angemerkt haben. Der klassische Beweis f¨ ur allgemeine d wurde 1852 von Ludwig Schl¨aﬂi gefunden [157], allerdings setzt er (wie viele sp¨ atere Beweise) voraus, dass der Rand eines konvexen Polytops auf gute“ Art und Weise induktiv aufgebaut werden kann. ” Diese nichttriviale Tatsache – die Sch¨alung eines Polytops genannt wird –

Aufgaben

107

wurde 1971 von Heinz Bruggesser und Peter Mani bewiesen [49]. Sch¨albarkeit wird sehr sch¨ on in [192, Lecture 8] besprochen. Es gibt kurze Beweise der Euler-Gleichung, die keine Sch¨ alung eines Polytops benutzen (siehe z.B. [119, 138, 183]). 3. Der Leser k¨ onnte vermuten, dass der Beweis der S¨atze 5.1 und 5.2 f¨ ur rationale Polytope bereits f¨ ur den allgemeinen Fall ausreicht, da es so scheint, als k¨ onnten wir ein Polytop mit irrationalen Ecken ein wenig verformen, um eines mit nur rationalen Ecken zu erhalten, ohne die Seitenstruktur des Polytops zu ver¨ andern. Das stimmt zwar in unserer Alltagswelt, schl¨agt aber in Dimension ≥ 4 fehl (siehe [155] f¨ ur Dimension 4 und [192, pp. 172/173] f¨ ur eine allgemeine Betrachtung). 4. Satz 5.3 geht auf Peter McMullen zur¨ uck [126], der dieses Ergebnis sogar in etwas gr¨ oßerer Allgemeinheit bewiesen hat. Eine weitere Verallgemeinerung von Satz 5.3 ﬁndet sich in [58].

Aufgaben 5.1. Wir betrachten ein einfaches 3-Polytop mit mindestens f¨ unf Facetten. Zwei Spieler spielen das folgende Spiel: Jeder Spieler schreibt reihum seinen Namen auf eine bislang unbeschriebene Seite. Gewonnen hat der Spieler, dem es als erstem gelingt, drei Facetten zu beschriften, die eine gemeinsame Ecke haben. Zeigen Sie, dass der Spieler, der das Spiel beginnt, das Spiel stets gewinnen kann, wenn er optimal spielt.5 5.2. Zeigen Sie, dass f¨ ur den d-W¨ urfel fk = 2d−k kd gilt. 5.3. Geben Sie einen elementaren Beweis der Dehn-Sommerville Gleichungen (Satz 5.1) f¨ ur d ≤ 4. 5.4. ♣ Sei P ein einfaches d-Polytop. Zeigen Sie, dass die Anzahl der k-Seiten d−j von P, die eine gegebene j-Seite von P enthalten, gleich d−k ist. 5.5. ♣ Zeigen Sie direkt, ohne Satz 5.2 zu benutzen, dass f¨ ur einen d-Simplex gilt: d+1 (a) fk = k+1 . d (−1)k fk = 1. (b) k=0

5.6. Beweisen Sie Satz 5.1 direkt (und damit ohne die Voraussetzung, dass P ein ganzzahliges Polytop ist). (Hinweis: Orientieren Sie sich am Beweis von Satz 5.3, aber beginnen Sie mit der Euler-Gleichung (Satz 5.2) f¨ ur eine gegebene Seite F anstelle von (5.1).) 5

Dies war eine der Aufgaben beim Putnam-Wettbewerb 2002.

108

5 Seitenzahlen und die Dehn-Sommerville-Gleichungen

5.7. Sei F eine Seite eines einfachen Polytops P. Zeigen Sie, dass dim G dim G d dim F = (−1) , k = 0, . . . , d. (−1) k d−k G⊇F

5.8. Zeigen Sie, dass die Gleichungen in Satz 5.3 ¨aquivalent zu den folgenden Gleichungen sind: Falls P ein einfaches d-Gitterpolytop ist und k ≤ d, dann gilt k d d−j i Fd−j (−n) = Fi (n) . (−1)k−j (−1)i−k k − j k j=0 i=k

5.9. Zeigen Sie, dass die Gleichungen aus der vorigen Aufgaben die folgenden Gleichungen implizieren, welche die Anzahl der Gitterpunkte in Seiten und relativen Inneren von Seiten des einfachen Polytops P vergleichen: k d i j d−j d = (−1) # F∩ # G◦ ∩ d , k − j k F⊆P G⊆P j=0

i=k

dim F=d−j

dim G=i

wobei k = 0, . . . , d = dim P. F¨ ur k = 0 erhalten wir zum Beispiel # G◦ ∩ d , #(P ∩ d ) =

G⊆P

und f¨ ur k = d erhalten wir die Einschluss/Ausschluss-Formel ◦

#(P ∩

)= d

d

(−1)d−j

# F∩

d .

F⊆P dim F=j

j=0

5.10. Eine weitere sch¨ one Formulierung von Satz 5.3 ist das folgende verallgemeinerte Reziprozit¨ atsgesetz. F¨ ur ein ganzzahliges d-Polytop P deﬁnieren wir das verallgemeinerte Ehrhart-Polynom durch Ek (t) :=

k j=0

(−1)j

d−j k−j

LF (t) ,

k = 0, . . . , d.

F⊆P dim F=d−j

Beweisen Sie das verallgemeinerte Reziprozit¨ atsgesetz Ek (−t) = (−1)d Ed−k (t) ,

k = 0, . . . , d,

welches f¨ ur k = 0 die Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at (Satz 4.1) impliziert. 5.11. Was passiert, wenn P nicht einfach ist? Geben Sie ein Beispiel, f¨ ur das Satz 5.3 nicht gilt. 5.12. Geben Sie einen alternativen Beweis von Satz 5.6, indem Sie LP (t) − LP ◦ (t) als den Gitterpunktz¨ ahler des Rands von P auffassen.

6 Magische Quadrate

The peculiar interest of magic squares and all lusus numerorum in general lies in the fact that they possess the charm of mystery. W. S. Andrews

Ausger¨ ustet mit einer soliden Grundlage an theoretischen Ergebnissen sind wir nun bereit, uns wieder Berechnungen zuzuwenden. Wir benutzen EhrhartTheorie als Hilfsmittel, um magische Quadrate zu z¨ahlen.

Abb. 6.1. Magisches Quadrat am Temple de la Sagrada Fam´ılia (Barcelona, Spanien).

110

6 Magische Quadrate 4

9

2

3

5

7

8

1

6

Abb. 6.2. Das Lu` o-Sh¯ u-Quadrat. 3

0

0

1

2

0

0

1

2

0

1

2

0

2

1

2

0

1

Abb. 6.3. Ein semimagisches und ein magisches Quadrat.

Grob gesagt ist ein magisches Quadrat eine (n × n)-Matrix ganzer Zahlen (die u ¨ blicherweise als positiv vorausgesetzt und oft auf den Zahlenbereich 1, 2, . . . , n2 eingeschr¨ ankt werden), deren Summe entlang jeder Zeile, Spalte und Hauptdiagonale den gleichen Wert, die sogenannte magische Summe ergibt. Magische Quadrate sind zu verschiedenen Zeiten immer wieder aufgetaucht, einige im Zusammenhang mit Mathematik, andere in philosophischen oder religi¨ osen Kontexten. Einer Legende nach wurde das erste magische Quadrat (das antike Lu` o-Sh¯ u-Quadrat) in China irgendwann vor dem ersten Jahrhundert v.Chr. auf dem R¨ ucken einer aus einem Fluss steigenden Schildkr¨ote entdeckt. Es handelte sich um das in Abb. 6.2 dargestellte Quadrat. Unsere Aufgabe in diesem Kapitel wird es sein, eine Theorie zum Z¨ahlen bestimmter Klassen magischer Quadrate zu entwickeln, welche wir im Folgenden einf¨ uhren.

6.1 It’s a Kind of Magic Zun¨ achst f¨ allt uns auf, dass das Lu`o-Sh¯ u-Quadrat die verschiedenen Eintr¨age 1, 2, . . . , 9 hat, also positive, verschiedene ganze Zahlen aus einer bestimmten Menge. Solche Beschr¨ ankungen sind zu restriktiv f¨ ur unsere Zwecke. Wir deﬁnieren ein semimagisches Quadrat als eine quadratische Matrix, deren Eintr¨ age nichtnegative ganze Zahlen sind und deren Zeilen und Spalten (die wir in diesem Zusammenhang Reihen nennen) jeweils dieselbe Summe ergeben. Ein magisches Quadrat ist ein semimagisches Quadrat, dessen Hauptdiagonalen ebenfalls die Reihensumme ergeben. Abbildung 6.3 zeigt zwei Beispiele. Vorsicht ist geboten, da in der Literatur teils unterschiedliche Deﬁnitionen verwendet werden. Zum Beispiel verwenden einige Autoren den Begriﬀ ma” gisches Quadrat“ nur f¨ ur das, was wir traditionelle magische Quadrate

6.1 It’s a Kind of Magic ♥

t−♥

t 2

t 2

t−♥

♥

t 2

t 2

111

Abb. 6.4. Semimagische und magische Quadrate f¨ ur n = 2.

nennen, n¨ amlich Quadrate der Ordnung n, deren Eintr¨age die verschiedenen ganzen Zahlen 1, 2, . . . , n2 sind. (Das Lu` o-Sh¯ u-Quadrat ist ein Beispiel eines traditionellen magischen Quadrats). Andere sind etwas weniger restriktiv und benutzen den Ausdruck magisches Quadrat“ f¨ ur magische Quadrate ” mit paarweise verschiedenen Eintr¨ agen. Wir betonen, dass wir das in diesem Kapitel nicht voraussetzen. Unser Ziel ist es, semimagische und magische Quadrate zu z¨ahlen. Im traditionellen Fall ist das nicht sonderlich interessant:1 F¨ ur jede Ordnung gibt es eine feste Anzahl traditioneller magischer Quadrate. Zum Beispiel gibt es 7040 traditionelle magische (4 × 4)-Quadrate. Die Situation wird interessanter, wenn wir die Bedingung der Traditionalit¨ at weglassen und die Anzahl der magischen Quadrate als Funktion der Reihensumme untersuchen. Wir bezeichnen die Gesamtanzahl semimagischer und magischer Quadrate der Ordnung n mit Reihensumme t durch Hn (t) bzw. Mn (t). Beispiel 6.1. Wir veranschaulichen diese Begriﬀe f¨ ur den Fall n = 2, der nicht sonderlich kompliziert ist. Hier ist ein semimagisches Quadrat komplett bestimmt, sobald wir einen seiner Eintr¨ age kennen, etwa den linken oberen, den wir in Abb. 6.4 mit ♥ bezeichnen. Aufgrund der oberen Zeilensumme muss der rechte obere Eintrag gleich t − ♥ sein, genau wie der linke untere Eintrag (aufgrund der linken Spaltensumme). Aber dann muss der rechte untere Eintrag gleich t − (t − ♥) = ♥ sein (aus zwei Gr¨ unden: Wegen der unteren Zeilen- und oder rechten Spaltensumme). Der Eintrag ♥ kann eine beliebige ganze Zahl zwischen 0 und t sein. Da es t + 1 solche ganzen Zahlen gibt, folgt H2 (t) = t + 1 .

(6.1)

Im magischen Fall m¨ ussen wir auch die Diagonalen ber¨ ucksichtigen. Wir wenden uns wieder unserem semimagischen Quadrat in Abb. 6.4 zu und erhalten f¨ ur die Summe der ersten Diagonale 2 · ♥ = t bzw. ♥ = t/2. In disem Fall gilt t − ♥ = t/2, also muss ein magisches (2 × 2)-Quadrat identische Eintr¨age in allen Positionen haben. Da wir verlangen, dass die Eintr¨age ganze Zahlen 1

Es ist allerdings nichtsdestotrotz ein unglaublich schwieriges Problem, alle traditionellen magischen Quadrate einer gegebenen Gr¨ oße n zu z¨ ahlen. Gegenw¨ artig sind diese Zahlen nur f¨ ur n ≤ 5 bekannt [164, Sequence A006052].

112

6 Magische Quadrate

sind, ist das nur m¨ oglich, wenn t gerade ist, und in dem Fall erhalten wir genau eine L¨ osung, n¨ amlich das Quadrat auf der rechten Seite von Abb. 6.4. Das heißt 1 falls t gerade ist, M2 (t) = 0 falls t ungerade ist. Diese einfachen Ergebnisse geben uns bereits einen Hinweis auf etwas: N¨amlich darauf, dass die Z¨ ahlfunktion Hn anders beschaﬀen ist als die Funktion Mn .

6.2 Semimagische Quadrate: Gitterpunkte im Birkhoﬀ-von Neumann-Polytop So wie das Frobenius-Problem intrinsisch mit Fragen u ¨ber Gitterpunkte in Geradenabschnitten, Dreiecken und h¨ oherdimensionalen Simplexen verbunden war, haben auch magische Quadrate und ihre Verwandte ein Leben in der Welt der Geometrie. Das ber¨ uhmteste Beispiel h¨angt mit semimagischen Quadraten zusammen. Ein semimagisches (n × n)-Quadrat hat n2 nichtnegative Eintr¨age, deren Summe entlang jeder Zeile oder Spalte den gleichen Wert ergibt. Wir betrachten daher das Polytop ⎧⎛ ⎫ ⎞ ⎪ ⎪ ⎨ x11 · · · x1n ⎬ 2 xjk = 1 f¨ ur alle 1 ≤ k ≤ n ⎜ .. ⎟ . n j .. ⎠ ∈ Bn := ⎝ . , : xjk ≥ 0, ur alle 1 ≤ j ≤ n ⎭ ⎪ ⎪ k xjk = 1 f¨ ⎩ xn1 . . . xnn (6.2) das aus nichtnegativen reellen Matrizen besteht, in denen alle Zeilen und Spalten die Summe eins ergeben. Bn heißt das n-te Birkhoﬀ-von NeumannPolytop, zu Ehren von Garrett Birkhoﬀ (1911–1996)2 und John von Neumann (1903–1957).3 Da die im Birkhoﬀ-von Neumann-Polytop enthaltenen Matrizen h¨ auﬁg in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik auftreten (die Zeilensumme 1 entspricht der Wahrscheinlichkeit 1), wird Bn oft als Menge der doppelt stochastischen (n × n)-Matrizen bezeichnet. 2 Geometrisch ist Bn eine Teilmenge von n und als solche schwer darstellbar, sobald n den Wert 1 u ¨ bersteigt.4 Wir k¨onnen allerdings einen Blick 4 auf B2 ⊂ erhaschen, wenn wir uns u ¨ berlegen, welche Form Punkte in B2 potentiell annehmen k¨ onnen. Im Einklang mit Abb. 6.4 ist ein solcher Punkt durch seinen linken oberen Eintrag ♥ bestimmt, dargestellt in Abb. 6.5. Dieser Eintrag ♥ ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1, was nahelegt, dass B2 wie ein 2 3 4

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Birkhoﬀ siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Birkhoff Garrett.html.

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber von Neumann siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Von Neumann.html.

Der Fall n = 1 ist nicht besonders interessant: B1 = {1} ist ein Punkt.

6.2 Semimagische Quadrate: Punkte im Birkhoﬀ-von Neumann-Polytop „

♥ 1−♥ 1−♥ ♥

113

«

Abb. 6.5. Ein Punkt in B2 .

Geradenabschnitt im vierdimensionalen Raum aussehen sollte. In der Tat sollten die Ecken von B2 durch ♥ = 0 und ♥ = 1 gegeben sein, also durch die Punkte 01 10 ∈ B2 . , 10 01 Diese Ergebnisse lassen sich verallgemeinern: Bn ist ein (n−1)2 -Polytop (siehe Aufgabe 6.3), dessen Ecken (Aufgabe 6.5) die Permutationsmatrizen sind, also jene (n × n)-Matrizen, die genau eine 1 in jeder Zeile und Spalte haben (und deren weitere Eintr¨ age gleich null sind). Aufgrund der Dimension k¨onnen wir vom stetigen Volumen von Bn nur im relativen Sinn reden, entsprechend der Deﬁnition aus Abschnitt 5.4. Die Verbindung der semimagischen Z¨ ahlfunktion Hn (t) mit dem Birkhoﬀvon Neumann-Polytop Bn wird klar, wenn wir den Gitterpunktz¨ahler f¨ ur Bn betrachten: Die Z¨ ahlfunktion Hn (t) z¨ ahlt gerade die Gitterpunkte in tBn , das heißt

2 Hn (t) = # tBn ∩ n = LBn (t) .

Wir k¨ onnen mehr aussagen, wenn wir beachten, dass die Permutationsmatrizen (also die Ecken) Gitterpunkte in Bn sind, und wir deshalb den Satz von Ehrhart (Satz 3.8) anwenden k¨ onnen: Satz 6.2. Hn (t) ist ein Polynom in t vom Grad (n − 1)2 .

Die Tatsache, dass Hn ein Polynom ist, ist nicht nur mathematisch ¨außerst ansprechend, sondern hat auch die gleiche n¨ utzliche algorithmische Konsequenz, die wir in Abschnitt 3.6 ausgenutzt haben: Wir k¨onnen diese Z¨ahlfunktion durch Interpolation berechnen. Um zum Beispiel H2 , ein lineares Polynom, zu berechnen, m¨ ussen wir nur zwei Werte kennen. Da wir dar¨ uberhinaus wissen, dass der konstante Term von H2 gleich 1 ist (nach Korollar 3.15), brauchen wir nur einen Wert. Es ist nicht schwer, sogar einen Laien davon zu u ¨ berzeugen, dass H2 (1) = 2 gilt (welche beiden semimagischen Quadrate sind das?), und wir interpolieren H2 (t) = t + 1 . Um das Polynom H3 zu interpolieren, m¨ ussen wir neben H3 (0) = 1 noch vier weitere Werte kennen. Tats¨ achlich reichen uns aber noch weniger Werte, da Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at (Satz 4.1) uns bei den Berechnungen hilft. Um das zu sehen, bezeichnen wir mit Hn◦ (t) die Anzahl der (n × n)-Matrizen

114

6 Magische Quadrate

mit positiven ganzzahligen Eintr¨ agen, deren Summe entlang jeder Zeile und Spalte t ergibt. Kurzes Nachdenken ergibt (Aufgabe 6.6), dass Hn◦ (t) = Hn (t − n) .

(6.3)

Aber es gibt einen zweiten Zusammenhang zwischen Hn und Hn◦ , denn Hn◦ (t) z¨ ahlt, nach Deﬁnition, die Gitterpunkte im relativen Inneren des Birkhoﬀvon Neumann-Polytops Bn , das heißt Hn◦ (t) = LBn◦ (t). Jetzt liefert EhrhartMacdonald-Reziprozit¨ at (Satz 4.1) Hn◦ (−t) = (−1)(n−1) Hn (t) . 2

Wenn wir diese Gleichung mit (6.3) kombinieren, erhalten wir eine Symmetriegleichung f¨ ur die Z¨ ahlfunktion f¨ ur semimagische Quadrate: Satz 6.3. Das Polynom Hn erf¨ ullt 2

Hn (−n − t) = (−1)(n−1) Hn (t) und Hn (−1) = Hn (−2) = · · · = Hn (−n + 1) = 0 .

Die Nullstellen von Hn bei den ersten n−1 negativen ganzen Zahlen folgen aus (Aufgabe 6.7) Hn◦ (1) = Hn◦ (2) = · · · = Hn◦ (n − 1) = 0 . Satz 6.3 liefert uns den Grad von Bn und impliziert, dass der Nenner der Ehrhart-Reihe des Birkhoﬀ-von Neumann-Polytops palindromisch ist: Korollar 6.4. Die Ehrhart-Reihe des Birkhoﬀ-von Neumann-Polytops Bn hat die Form h(n−1)(n−2) z (n−1)(n−2) + · · · + h0 EhrBn (z) = , 2 (1 − z)(n−1) +1 ur wobei h0 , h1 , . . . , h(n−1)(n−2) ∈ ≥0 die Gleichung hk = h(n−1)(n−2)−k f¨ 0 ≤ k ≤ (n−1)(n−2) erf¨ u llen. 2

Beweis. Wir bezeichnen die Ehrhart-Reihe von Bn mit 2

EhrBn (z) =

h(n−1)2 z (n−1) + · · · + h0 (n−1)2 +1

(1 − z)

.

Dass h(n−1)2 = · · · = h(n−1)2 −(n−2) = 0 gilt, folgt aus dem zweiten Teil von Satz 6.3 und Satz 4.5. Die Palindromeigenschaft der Nennerkoeﬃzienten folgt aus dem ersten Teil von Satz 6.3 und Aufgabe 4.6: Diese impliziert 2 1 EhrBn = (−1)(n−1) +1 z n EhrBn (z) , z was hk = h(n−1)(n−2)−k ergibt, wenn wir beide Seiten der Gleichung vereinfachen.

6.3 Magische Erzeugendenfunktionen und Konsttanttermgleichungen

115

Wir kehren zur Interpolation von H3 zur¨ uck: Satz 6.3 gibt uns, neben H3 (0) = 1, die Werte H3 (−3) = 1

und

H3 (−1) = H3 (−2) = 0 .

Diese vier Werte, zusammen mit H3 (1) = 6 (siehe Aufgabe 6.1), gen¨ ugen zur Interpolation des quartischen Polynoms H3 , und wir berechnen H3 (t) =

1 4 3 3 15 2 9 t + t + t + t+1. 8 4 8 4

(6.4)

Dieses Interpolationsbeispiel legt den Einsatz eines Computers nahe; wir lassen diesen gen¨ ugend Werte von Hn berechnen und interpolieren dann einfach. Was Berechnungen angeht sollten wir uns aber nicht allzu sehr davon beeindrucken lassen, dass wir H2 und H3 so m¨ uhelos berechnen konnten. Im Allgemeinen hat das Polynom Hn den Grad (n − 1)2 , also m¨ ussen wir (n − 1)2 + 1 Werte von Hn berechnen, um interpolieren zu k¨onnen. Von diesen kennen wir n (den konstanten Term und die durch Satz 6.3 gegebenen Nullstellen), also bleiben n2 − 3n + 1 Werte von Hn zu berechnen. EhrhartMacdonald-Reziprozit¨ at reduziert die Anzahl der zu berechnenden Werte auf (n2 − 3n)/2 + 1. Das ist immer noch eine Menge, wie jeder best¨atigen kann, der versucht hat, mit einem Computer alle semimagischen (7 × 7)-Quadrate mit Reihensumme 15 aufzuz¨ ahlen. Trotzdem ist es eine interessante Tatsache, dass wir Hn f¨ ur kleine n durch Interpolation berechnen k¨onnen. Es ist unterhaltsam, seinen Computer gegen die Berechnung u ¨ber den konstanten Term, die wir unten skizzieren, antreten zu lassen, und wir ermuntern den Leser, beides auszuprobieren. F¨ ur kleine n ist Interpolation klar der Berechnung u ¨ ber den konstanten Term a` la Kapitel 1 u ¨ berlegen. Der Wendepunkt scheint ungef¨ ahr bei n = 5 zu liegen: Der Computer ben¨otigt, wenn t w¨achst, mehr und mehr Zeit, um die Werte Hn (t) zu berechnen. St¨arkere Methoden als die Interpolation sind n¨ otig.

6.3 Magische Erzeugendenfunktionen und Konsttanttermgleichungen Jetzt werden wir eine Erzeugendenfunktion f¨ ur Hn konstruieren, wof¨ ur wir Satz 2.13 ben¨ otigen. Die semimagische Z¨ ahlfunktion Hn ist das EhrhartPolynom des n-ten Birkhoﬀ-von Neumann-Polytops Bn , welches wiederum durch (6.2) als eine Menge von Matrizen deﬁniert ist. Wir schreiben zun¨achst die Deﬁnition von Bn um, damit sie zur allgemeinen Beschreibung (2.23) ei2 nes Polytops passt. Wenn wir die Punkte in Bn als Spaltenvektoren in n auffassen (und nicht als Matrizen in n×n ), dann gilt 2 Bn = x ∈ n≥0 : A x = b ,

116

wobei

6 Magische Quadrate

⎛

1 ··· 1

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎜1 ⎜ ⎜ . ⎝ ..

⎞

⎟ ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ 1 ··· 1⎟ ⎟∈ ⎟ 1 1 ⎟ .. ⎟ .. . ⎠ . ··· 1 1 1 1 ··· 1

(wir lassen wieder Nulleintr¨ age weg) und ⎛ ⎞ 1 ⎜1⎟ ⎜ ⎟ b=⎜.⎟∈ ⎝ .. ⎠

2n×n

2

(6.5)

2n .

1 Aus dieser Beschreibung von Bn k¨ onnen wir leicht die Erzeugendenfunktion f¨ ur Hn ableiten. Nach Satz 2.13 gilt f¨ ur ein allgemeines rationales Polytop P = x ∈ d≥0 : A x = b , dass LP (t) = const

1 (1 − zc1 ) (1 − zc2 ) · · · (1 − zcd ) ztb

,

wobei c1 , c2 , . . . , cd die Spalten von A bezeichnen. In unserem speziellen Fall haben die Spalten von A eine einfache Form: Sie enthalten genau zwei 1en und u otigen in der Erzeugendenfunktion eine Variable f¨ ur ¨ berall sonst 0en. Wir ben¨ jede Zeile von A. Um die Dinge so klar wie m¨oglich zu halten, benutzen wir z1 , z2 , . . . , zn f¨ ur die ersten n Zeilen von A (diese stellen die Zeilenbedingungen von Bn dar) und w1 , w2 , . . . , wn f¨ ur die letzten n Zeilen von A (diese stellen die Spaltenbedingungen von Bn dar). Mit dieser Notation liefert uns Satz 2.13, angewandt auf Bn , den folgenden Ausgangspunkt f¨ ur unsere Berechnungen: Satz 6.5. Die Anzahl Hn (t) der semimagischen (n × n)-Quadrate mit Reihensumme t erf¨ ullt ⎛ ⎞ ⎜ Hn (t) = const ⎝

1≤j,k≤n (1 − zj wk )

1

1≤j≤n zj

1≤k≤n wk

⎟ t ⎠ .

Diese Gleichung ist sowohl von theoretischem als auch von praktischem Nutzen. Man kann sie benutzen, um H3 und sogar H4 von Hand zu berechnen. Vorerst arbeiten wir daran, sie weiter zu verfeinern, am Beispiel des Falls n = 2. Wir bemerken zun¨ achst, dass in der Formel f¨ ur H2 die Variablen w1 und w2 getrennt sind, und zwar in dem Sinn, dass wir die Formel als Produkt

6.3 Magische Erzeugendenfunktionen und Konsttanttermgleichungen

117

zweier Faktoren schreiben k¨ onnen, von denen einer nur w1 und der andere nur w2 enth¨ alt: 1 1 1 . H2 (t) = const z1t z2t (1 − z1 w1 ) (1 − z2 w1 ) w1t (1 − z1 w2 ) (1 − z2 w2 ) w2t Wir legen jetzt eine Reihenfolge f¨ ur die Berechnung des konstanten Terms fest: Wir berechnen erst den konstanten Term bez¨ uglich w2 , dann den bez¨ uglich w1 . (Wir f¨ uhren Vorerst keine Reihenfolge f¨ ur die Berechnungen bez¨ uglich z1 und z2 ein.) Da wir z1 , z2 und w1 als Konstanten ansehen, w¨ahrend wir den konstanten Term bez¨ uglich w2 berechnen, k¨ onnen wir wie folgt vereinfachen: 1 1 H2 (t) = constz1 ,z2 constw1 z1t z2t (1 − z1 w1 ) (1 − z2 w1 ) w1t 1 . × constw2 (1 − z1 w2 ) (1 − z2 w2 ) w2t Wir sehen jetzt den Eﬀekt des getrennten Auftretens von w1 und w2 : Die Gleichung in konstanten Termen zerf¨allt in Faktoren. Ein a¨hnlicher Eﬀekt kann bei Integralen in mehreren Variablen auftreten. Wir schreiben unsere Gleichung um, damit der Eﬀekt deutlicher wird: 1 1 H2 (t) = constz1 ,z2 const w1 z1t z2t (1 − z1 w1 ) (1 − z2 w1 ) w1t 1 . × constw2 (1 − z1 w2 ) (1 − z2 w2 ) w2t Aber jetzt sind die Ausdr¨ ucke in den letzten beiden Paaren von Klammern identisch, außer dass die Variable, bez¨ uglich der wir den konstanten Term berechnen, im einen Fall w1 und im anderen Fall w2 heißt. Da dies nur Platz” halter“ sind, k¨ onnen wir sie auch w nennen und zusammenfassen: 2 1 1 H2 (t) = constz1 ,z2 . constw z1t z2t (1 − z1 w) (1 − z2 w) wt (Man beachte das Quadrat!) Nat¨ urlich funktionert dieses Ausklammern auch im allgemeinen Fall, und wir laden den Leser ein, das zu beweisen (Aufgabe 6.8): n 1 Hn (t) = constz1 ,...,zn (z1 · · · zn )−t constw . (1 − z1 w) · · · (1 − zn w)wt (6.6) Wir k¨ onnen noch weiter gehen, indem wir den innersten konstanten Term constw

1 (1 − z1 w) · · · (1 − zn w)wt

118

6 Magische Quadrate

ausrechnen. Es sollte nicht u ¨berraschen, dass wir dazu eine Partialbruchzerlegung verwenden. Die w-Pole unserer rationalen Funktion sind bei w = 1/z1 , w = 1/z2 , . . . , w = 1/zn, und daher zerlegen wir in Bk 1 A1 A2 An = + +· · ·+ + . (6.7) 1 1 1 t (1 − z1 w) · · · (1 − zn w)w w − z1 w − z2 w − zn k=1 wk t

Genau wie in Kapitel 1 k¨ onnen wir die Bk -Terme ignorieren, da sie nicht zum konstanten Term beitragen, d.h. 1 (1 − z1 w) · · · (1 − zn w)wt

A1 A2 An = constw + + ··· + w − z11 w − z12 w − z1n

constw

= −A1 z1 − A2 z2 − · · · − An zn . Wir laden den Leser ein, zu zeigen, dass (Aufgabe 6.9) Ak = −

1−

= −

z1 zk

··· 1 −

zkt−1

zk−1 1− zk

zkt+n−2 . j=k (zk − zj )

zk+1 zk

··· 1 −

zn zk

(6.8)

Wenn wir diese Koeﬃzienten wieder in die Partialbruchzerlegung einsetzen, erhalten wir die folgende Gleichung: Satz 6.6. Die Anzahl Hn (t) semimagischer (n×n)-Quadrate mit Reihensumme t erf¨ ullt

n n zkt+n−1 −t . Hn (t) = const (z1 · · · zn ) j=k (zk − zj ) k=1

Bei all dieser Allgemeinheit haben wir beinahe vergessen, H2 mit unserem Partialbruchansatz zu berechnen. Der letzte Satz besagt, dass t+1 2 z1 z2t+1 −t H2 (t) = const (z1 z2 ) + z1 − z2 z2 − z1 t+2 −t z1 z2 z1 z2 z1−t z2t+2 = const . (6.9) − 2 + (z1 − z2 )2 (z1 − z2 )2 (z1 − z2 )2 An dieser Stelle m¨ ussen wir die Reihenfolge, in der wir die konstanten Terme berechnen, genauer festlegen. Berechnen wir also zun¨achst den konstanten Term bez¨ uglich z1 und danach den bez¨ uglich z2 . Also m¨ ussen wir zuerst

6.3 Magische Erzeugendenfunktionen und Konsttanttermgleichungen

constz1

z1t+2 z2−t (z1 − z2 )2

, constz1

z1 z2 (z1 − z2 )2

und constz1

z1−t z2t+2 (z1 − z2 )2

119

berechnen. Um diese konstanten Terme zu erhalten, m¨ ussen wir die Funktion 1 zerlegen. Wie wir aus der Analysis wissen, h¨ a ngt die Zerlegung von 2 (z1 −z2 ) der Anordnung der Absolutbetr¨ age von z1 und z2 ab. Falls z.B. |z1 | < |z2 | gilt, dann ist k 1 1 1 1 z1 1 = − = = − zk , k+1 1 z1 − z2 z2 zz12 − 1 z2 z2 z k≥0 k≥0 2 und daher 1 d =− (z1 − z2 )2 dz1

1 z1 − z2

=

k

z k+1 k≥1 2

z1k−1 =

k+1 k≥0

z2k+2

z1k .

Also wollen wir vorl¨ auﬁg annehmen, dass |z1 | < |z2 | gilt. Das mag komisch klingen, da z1 und z2 Variablen sind, als solche sind sie aber einfach Hilfsmittel, die es uns erlauben, eine Gr¨ oße zu berechnen, welche von z1 und z2 unabh¨ angig ist. Vor diesem Hintergrund d¨ urfen wir u ¨ ber die Anordnung der Betr¨ age der Variablen beliebige Annahmen machen. In Aufgabe 6.11 werden wir pr¨ ufen, dass die Anordnung in der Tat unerheblich ist. Jetzt erhalten wir t+2 −t z1 z2 z1t+2 −t constz1 = z const z1 2 (z1 − z2 )2 (z1 − z2 )2 ⎛ ⎞ k+1 zk⎠ = z2−t constz1 ⎝z1t+2 (6.10) k+2 1 z k≥0 2 ⎛ ⎞ k+1 z k+t+2 ⎠ = z2−t constz1 ⎝ k+2 1 z k≥0 2 = 0, da nur positive Potenzen von z1 vorkommen (wir erinnern uns an t ≥ 0). Analog (siehe Aufgabe 6.10) u uft man, dass ¨ berpr¨ z1 z2 constz1 =0 (6.11) (z1 − z2 )2 gilt. F¨ ur den letzten konstanten Term berechnen wir ⎛ ⎞ −t t+2 k + 1 k⎠ z1 z2 constz1 = z2t+2 constz1 ⎝z1−t z1 (z1 − z2 )2 z k+2 k≥0 2 ⎛ ⎞ k+1 z k−t ⎠ . = z2t+2 constz1 ⎝ k+2 1 z k≥0 2

120

6 Magische Quadrate

Der konstante Term auf der rechten Seite ist der Term mit k = t, also −t t+2 t+1 z1 z2 constz1 = z2t+2 t+2 = t + 1 . 2 (z1 − z2 ) z2 Von den drei konstanten Term u ¨ berlebt also nur einer, und mit constz2 (t+1) = t + 1 erhalten wir wieder, was wir bereits seit dem Anfang dieses Kapitels wissen: t+2 −t z1 z2 z1 z2 z1−t z2t+2 H2 (t) = const = t +1. −2 + (z1 − z2 )2 (z1 − z2 )2 (z1 − z2 )2 Das war eine Menge Arbeit f¨ ur dieses scheinbar triviale Polynom. Wir erinnern beispielsweise daran, dass wir das gleiche Ergebnis durch eine einfache Interpolation bekommen k¨ onnen. Um allerdings eine ¨ahnliche Interpolation z.B. f¨ ur H4 durchzuf¨ uhren, w¨ urden wir wahrscheinlich einen Computer ben¨otigen (um die Interpolationswerte zu bekommen). Die Berechnung von H4 als konstantem Term l¨ auft dagegen auf nur f¨ unf iterierte konstante Terme hinaus, die in der Tat von Hand berechnen werden k¨ onnen (siehe Aufgabe 6.14). Das Ergebnis ist H4 (t) =

11 9 11 8 19 7 2 6 1109 5 43 4 35117 3 t + t + t + t + t + t + t 11340 630 135 3 540 10 5670 379 2 65 t + t+1. + 63 18

6.4 Die Aufz¨ ahlung magischer Quadrate Was passiert, wenn wir die Diagonalbedingungen, die im semimagischen Fall fehlen, mit hinzunehmen? In der Einleitung zu diesem Kapitel haben wir bereits ein Beispiel gesehen, n¨ amlich die Anzahl der (2 × 2)-Quadrate: 1 falls t gerade ist, M2 (t) = 0 falls t ungerade ist. Dies ist ein sehr einfaches Beispiel eines Quasipolynoms. Die Z¨ahlfunktion Mn ist n¨ amlich, genau wie Hn , durch ganzzahlige lineare Gleichungen und Ungleichungen deﬁniert, also ist sie der Gitterpunktz¨ahler eines rationalen Polytops, und Satz 3.23 gibt uns sofort das folgende Ergebnis. Satz 6.7. Die Z¨ahlfunktion Mn (t) ist ein Quasipolynom in t.

Wir laden den Leser ein, zu zeigen, dass der Grad von Mn gleich n2 − 2n − 1 ist (Aufgabe 6.16). Wir wollen sehen, was im ersten nichttrivialen Fall, n¨amlich (3 × 3)Quadrate, passiert. Wir folgen unserem Rezept und ordnen den Eintr¨agen unserer (3 × 3)-Quadrate Variablen m1 , m2 , . . . , m9 zu, wie in Abb. 6.6.

6.4 Die Aufz¨ ahlung magischer Quadrate

121

m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 Abb. 6.6. Variablen in einem magischen (3 × 3)-Quadrat.

Die magischen Bedingungen fordern nun, dass m1 , m2 , . . . , m9 ∈

≥0 und

m1 + m 2 + m 3 = t , m4 + m5 + m6 = t , m7 + m8 + m9 = t , m1 + m4 + m7 = t , m2 + m5 + m8 = t , m3 + m6 + m9 = t , m1 + m5 + m9 = t , m3 + m5 + m7 = t , was aus den Zeilensummen (die ersten drei Gleichungen), Spaltensummen (die n¨ achsten drei Gleichungen) und den Diagonalsummen (die letzten beiden Gleichungen) folgt. Inzwischen sind wir ge¨ ubt darin, dieses Gleichungssystem in eine Erzeugendenfunktion zu u bersetzen: Wir ben¨otigen eine Variable f¨ ur ¨ jede Gleichung, also nehmen wir z1 , z2 , z3 f¨ ur die ersten drei, w1 , w2 , w3 f¨ ur die n¨ achsten drei und y1 , y2 f¨ ur die letzten beiden Gleichungen. Die Funktion M3 (t) ist der konstante Term von 1 (1 − z1 w1 y1 ) (1 − z1 w2 ) (1 − z1 w3 y2 ) (1 − z2 w1 ) (1 − z2 w2 y1 y2 ) (1 − z2 w3 ) 1 × (6.12) t . (1 − z3 w1 y2 ) (1 − z3 w2 ) (1 − z3 w3 y1 ) (z1 z2 z3 w1 w2 w3 y1 y2 ) Es ist ein ziemlicher Aufwand, aber es lohnt sich, diesen konstanten Term zu berechnen (versuchen Sie es einfach!). Das Ergebnis ist 2 2 t + 23 t + 1 falls 3|t, (6.13) M3 (t) = 9 0 sonst. Wie von Satz 6.7 vorausgesagt, ist M3 ein Quasipolynom. Es hat Grad 2 und Periode 3. Das wird vielleicht deutlicher, wenn wir es als ⎧ 2 2 2 ⎪ ⎨ 9 t + 3 t + 1 falls t ≡ 0 (mod 3), M3 (t) = 0 falls t ≡ 1 (mod 3), ⎪ ⎩ 0 falls t ≡ 2 (mod 3),

122

6 Magische Quadrate

umschreiben, und wir sehen dabei die Bestandteile des Quasipolynoms M3 . Es gibt eine alternative Beschreibungsm¨ oglichkeit f¨ ur M3 ; wir setzen daf¨ ur ⎧ 2 ⎪ ⎨ 9 falls t ≡ 0 (mod 3), c2 (t) = 0 falls t ≡ 1 (mod 3), ⎪ ⎩ 0 falls t ≡ 2 (mod 3), ⎧ 2 ⎪ ⎨ 3 falls t ≡ 0 (mod 3), c1 (t) = 0 falls t ≡ 1 (mod 3), ⎪ ⎩ 0 falls t ≡ 2 (mod 3), ⎧ ⎪ ⎨1 falls t ≡ 0 (mod 3), c0 (t) = 0 falls t ≡ 1 (mod 3), ⎪ ⎩ 0 falls t ≡ 2 (mod 3). Dann kann das Quasipolynom M3 als M3 (t) = c2 (t) t2 + c1 (t) t + c1 (t) geschrieben werden.

Anmerkungen 1. Magische Quadrate reichen ins China des ersten Jahrtausends vor Christus zur¨ uck [52]; sie durchliefen deutliche Weiterentwicklungen in der muslimischen Welt im sp¨ aten ersten Jahrtausend nach Christus und im darauf folgenden ¨ (oder fr¨ uher, die Daten fehlen) in Indien [53]. Uber den Islam sind sie im sp¨ aten Mittelalter ins christliche Europa gelangt, wahrscheinlich urspr¨ unglich u udische Gemeinschaft [53, Part II, pp. 290ﬀ.], sp¨ater evtl. nach By¨ ber die j¨ zanz [53, Part I, p. 198] und sp¨ atenstens im fr¨ uhen achtzehnten Jahrhundert (die Daten liegen in kaum erschlossenen Archiven begraben) ins Afrika s¨ udlich der Sahara [190, Chapter 12]. Die Inhalte magischer Quadrate schwanken je nach Zeit und Autor; u ¨ blicherweise waren sie die ersten n2 aufeinanderfolgenden nat¨ urlichen Zahlen, aber oft auch arithmetische Folgen oder beliebige nat¨ urliche Zahlen. Im letzten Jahrhundert haben Mathematiker einige Vereinfachungen vorgenommen, um Ergebnisse u ¨ ber die Anzahl der Quadrate mit festgelegter magischer Summe zu erhalten. Insbesondere wurden, wie in diesem Kapitel, wiederholte Eintr¨ age zugelassen. 2. Das Problem, magische Quadrate (außer traditionelle magische Quadrate) zu z¨ ahlen, scheint u ¨ berhaupt erst im zwanzigsten Jahrhundert aufgetaucht zu sein, zweifellos deshalb, weil es bis dahin keine M¨oglichkeit gegeben hatte, sich dieser Frage zu n¨ ahern. Die ersten nichttrivialen Formeln zu diesem Z¨ahlproblem, n¨ amlich (6.4) und (6.13) f¨ ur H3 und M3 , wurden von Percy Macmahon

Anmerkungen

123

(1854–1929)5 [123] im Jahre 1915 aufgestellt. In letzter Zeit ist einiges an Literatur zu exakten Formeln entstanden (siehe z.B. [79, 167] f¨ ur semimagische Quadrate; f¨ ur magische Quadrate siehe [1, 22]; f¨ ur magische Quadrate mit paarweise verschiedenen Eintr¨ agen siehe [30, 188]). 3. Eine weitere ber¨ uhmte Klassen von Quadraten bilden die lateinischen Quadrate (siehe z.B. [71]). Hier hat jede Zeile und jede Spalte n verschiedene Zahlen, und zwar die selben n Zahlen in jeder Zeile und Spalte (¨ ublicherweise die ersten n nat¨ urlichen Zahlen). Es gibt Z¨ ahlprobleme im Zusammenhang mit lateinischen Quadraten, die mit Ehrhart-Theorie bearbeitet werden k¨onnen [30] (siehe auch [164, Sequence A002860]). 4. Neuere Arbeiten beinhalten auch mathematikhistorische Forschung, wie z.B. die Entdeckung unver¨ oﬀentlichter magischer Quadrate von Benjamin Franklin [2, 140]. Abseits mathematischer Forschung sind magische Quadrate nat¨ urlich auch nach wie vor eine hervorragende Quelle von Themen f¨ ur popul¨ arwissenschaftliche Mathematikb¨ ucher (siehe z.B. [4] oder [143]). 5. Das Birkhoﬀ-von Neumann-Polytop Bn besitzt faszinierende kombinatorische Eigenschaften [37, 47, 48, 57, 191] und steht zu vielen Gebieten der Mathematik in Beziehung [73, 111]. Seinen Namen tr¨agt es zu Ehren von Garrett Birkhoﬀ und John von Neumann, die bewiesen haben, dass die Extrempunkte von Bn die Permutationsmatrizen sind [38, 185] (siehe Aufgabe 6.5). Ein seit langem oﬀenenes Problem ist die Bestimmung des relativen Volumens von Bn , das nur f¨ ur n ≤ 10 bekannt ist [164, Sequence A037302]. Die letzten beiden Rekorde (n = 9 und 10) bei der Berechnung von vol Bn st¨ utzen sich u ¨ brigens auf die Theorie von Z¨ ahlfunktionen, die in diesem Buch vorgestellt wird, genauer gesagt auf Satz 6.6 [27]. 6. Eine wichtige Verallgemeinerung der Birkhoﬀ-von Neumann-Polytope sind die Transportpolytope, die aus Kontingenztafeln bestehen. Sie haben Anwendungen in der Statistik und insbesondere auf die Anonymisierung von Daten (disclosure limitation procedures, [67]). Die Birkhoﬀ-von Neumann-Polytope sind spezielle Transportpolytope, die aus Zweiweg-Kontingenztafeln mit gegebenen eindimensionalen Randverteilungen bestehen. 7. Die Polynomialit¨ at von Hn (Satz 6.2) und seine Symmetrie (Satz 6.3) wurden 1966 von Harsh Anand, Vishwa Dumir und Hansraj Gupta vermutet [3] und sieben Jahre sp¨ ater unabh¨ angig voneinander von Eug`ene Ehrhart [79] und Richard Stanley [167] bewiesen. Stanley vermutete dar¨ uberhinaus, dass die Nennerkoeﬃzienten in Korollar 6.4 unimodal seien, was erst 2005 von Christos Athanasiadis bewiesen wurde [8]. Die Quasipolynomialit¨at von Mn (Satz 6.7) und sein Grad werden in [22] behandelt. Die Periode von Mn im 5

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber MacMahon siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/MacMahon.html.

124

6 Magische Quadrate

Allgemeinen ist unbekannt. In [22] wird vermutet, dass sie f¨ ur n > 1 stets nichttrivial ist. Die Arbeit in [1] st¨ utzt diese Behauptung, indem sie beweist, dass das Polytop der magischen (n × n)-Quadrate nicht ganzzahlig ist f¨ ur n ≥ 2. 8. Wir schließen mit einer Geschichte u ¨ber Cornelius Agrippas De Occulta Philosophia, das er 1510 geschrieben hat. Darin beschreibt er die spirituellen Kr¨ afte magischer Quadrate und konstruiert einige Quadrate von Ordnungen zwischen drei und neun. Seiner Arbeit war, obwohl sie in der mathematischen Gemeinschaft einigen Einﬂuss hatte, nur kurzer Erfolg beschert, da die Gegenreformation und die Hexenjagden der Inquisition kurz darauf begannen: Agrippa selbst wurde beschuldigt, mit dem Teufel verb¨ undet zu sein.

Aufgaben 6.1. ♣ Finden und beweisen Sie eine Formel f¨ ur Hn (1). 6.2. Sei (xij )1≤i,j≤3 ein magisches (3 × 3)-Quadrat. (a) Zeigen Sie, dass der mittlere Eintrag x22 der Durchschnitt aller xij ist. (b) Zeigen Sie, dass M3 (t) = 0 gilt, falls 3 kein Teiler von t ist. 6.3. ♣ Zeigen Sie, dass dim Bn = (n − 1)2 . 6.4. Beweisen Sie die folgende Charakterisierung der Ecken eines konvexen Polytops P: Ein Punkt v ∈ P ist eine Ecke von P, wenn f¨ ur jede Gerade L durch v und jede Umgebung N von v ein Punkt in L ∩ N existiert, der nicht in P ist. 6.5. ♣ Zeigen Sie, dass die Ecken von Bn die (n × n)-Permutationsmatrizen sind. 6.6. ♣ Sei Hn◦ (t) die Anzahl der (n × n)-Matrizen mit positiven ganzzahligen Eintr¨ agen, deren Summe entlang jeder Zeile und Spalte gleich t ist. Zeigen Sie, dass Hn◦ (t) = Hn (t − n) f¨ ur t > n. 6.7. ♣ Zeigen Sie, dass Hn◦ (1) = Hn◦ (2) = · · · = Hn◦ (n − 1) = 0. 6.8. ♣ Zeigen Sie (6.6): Hn (t) = constz1 ,...,zn (z1 · · · zn )−t constw

1 (1 − z1 w) · · · (1 − zn w)wt

6.9. ♣ Berechnen Sie die Partialbruchkoeﬃzienten (6.8). ¨ 6.10. ♣ Uberpr¨ ufen Sie (6.11).

n .

Oﬀene Probleme

125

6.11. Wiederholen Sie die Berechnung des konstanten Terms von H2 ausgehend von (6.9), aber diesmal, indem Sie erst den konstanten Term bez¨ uglich z2 berechnen und danach den bez¨ uglich z1 . 6.12. Benutzen Sie Ihr bevorzugtes Computerprogramm, um die Formel f¨ ur H3 (t), H4 (t), . . . durch Interpolation zu berechnen. 6.13. Berechnen Sie H3 unter Benutzung von Satz 6.6. 6.14. Berechnen Sie H4 unter Benutzung von Satz 6.6. 6.15. Zeigen Sie, dass n k=1

zkt+n−1 = j=k (zk − zj ) m

z1m1 · · · znmn

1 +···+mn =t

und benutzen Sie diese Gleichung f¨ ur einen alternativen Beweis von Satz 6.6. 6.16. ♣ Zeigen Sie, dass f¨ ur n ≥ 3 der Grad von Mn gleich n2 − 2n − 1 ist. 6.17. Berechnen Sie die Ecken des Polytops magischer (3 × 3)-Quadrate. ¨ 6.18. ♣ Uberpr¨ ufen Sie Gleichung (6.12) und benutzen Sie sie, um M3 zu berechnen. 6.19. Berechnen Sie M3 durch Interpolation. (Hinweis: Benutzen Sie die Aufgaben 6.2 und 6.17.) 6.20. Ein symmetrisches semimagisches Quadrat ist ein semimagisches Quadrat, das eine symmetrische Matrix ist. Zeigen Sie, dass die Anzahl der symmetrischen semimagischen (n× n)-Quadrate mit Reihensumme t ein Quasipolynom in t ist. Bestimmen Sie seinen Grad und seine Periode.

Oﬀene Probleme 6.21. Berechnen Sie die Anzahl traditioneller magischer (n × n)-Quadrate f¨ ur n > 5. 6.22. Berechnen Sie vol Bn f¨ ur n > 10. Berechnen Sie Hn f¨ ur n > 9. ur n > 1. 6.23. Beweisen Sie, dass die Periode von Mn nichttrivial ist f¨ 6.24. Die Ecken des Birkhoﬀ-von Neumann-Polytops stehen in eins-zu-einsBeziehung zu den Elementen der symmetrischen Gruppe Sn . Betrachten Sie eine Untergruppe von Sn und nehmen Sie die konvexe H¨ ulle der entsprechenden Permutationsmatrizen. Berechnen Sie die Ehrhart-Polynome dieses Polytops. (Die Seitenzahlen des Polytops, das zur Untergruppe An der geraden Permutationen geh¨ ort, wurden in [101] untersucht.) 6.25. Beweisen Sie, dass der von den Ecken und Kanten eines beliebigen 2-weg Transportpolytops erzeugte Graph hamiltonsch ist.

Teil II

Jenseits der Grundlagen

7 Endliche Fourier-Analysis

God created inﬁnity, and man, unable to understand inﬁnity, created ﬁnite sets. Gian-Carlo Rota (1932–1999)

Wir betrachten jetzt den Vektorraum aller komplexwertigen periodischen Funktionen auf den ganzen Zahlen mit Periode b. Es stellt sich heraus, dass jede solche Funktion a(n) auf den ganzen Zahlen als ein Polynom in den b-ten Einheitswurzeln ξ n := e2πin/b geschrieben werden kann. Eine solche Darstellung f¨ ur a(n) wird endliche Fourier-Reihe genannt. Wir entwickeln die endliche Fourier-Theorie hier mithilfe rationaler Funktionen und ihrer Partialbruchzerlegungen. Wir deﬁnieren die Fourier-Transformation und die Faltung endlicher Fourier-Reihen und zeigen, wie man diese Ideen dazu benutzen kann, Gleichungen u ¨ber trigonometrischen Funktionen zu beweisen und Verbindungen zu klassischen Dedekind-Summen zu ﬁnden. Je mehr wir u ¨ber Einheitswurzeln und ihre verschiedenen Summen wissen, desto tiefgehender sind die Ergebnisse, die wir beweisen k¨onnen (siehe Aufgabe 7.19); tats¨ achlich implizieren einige Aussagen u ¨ ber Summen von Einheitswurzeln sogar die Riemann’sche Vermutung! Allerdings ist dieses Kapitel elementar und stellt Verbindungen zu S¨ agezahnfunktionen und DedekindSummen her, den beiden grundlegenden Summen von Einheitswurzeln. Die zugrundeliegende Philosophie dabei ist, dass endliche Summen rationaler Funktionen von Einheitswurzeln die Grundzutaten f¨ ur viele mathematische Strukturen sind.

7.1 Ein motivierendes Beispiel Um den Leser langsam an die allgemeine Theorie heranzuf¨ uhren, wollen wir zun¨ achst die endliche Fourier-Reihe eines einfachen Beispiels ausrechnen, n¨ amlich die einer arithmetischen Funktion mit Periode 3.

130

7 Endliche Fourier-Analysis

Beispiel 7.1. Wir betrachten die folgende arithmetische Funktion mit Periode 3: n : 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . a(n) : 1, 5, 2, 1, 5, 2, . . . Zun¨ achst betten wir diese Folge wie folgt in eine Erzeugendenfunktion ein: F (z) := 1 + 5z + 2z 2 + z 3 + 5z 4 + 2z 5 + · · · = a(n) z n . n≥0

Da die Folge periodisch ist, k¨ onnen wir F (z) vereinfachen, indem wir mit der geometrischen Reihe argumentieren: F (z) = a(n) z n n≥0

= 1 + 5z + 2z 2 + z 3 1 + 5z + 2z 2 + z 6 1 + 5z + 2z 2 + · · · 3k z = 1 + 5z + 2z 2 k≥0

1 + 5z + 2z 2 = . 1 − z3 Wir wenden jetzt die gleiche Technik an wie in Kapitel 1, n¨amlich die Zerlegung einer rationalen Funktion in ihre Partialbr¨ uche. In diesem Fall sind alle Polstellen einfach und liegen bei den drei Kubikwurzeln der 1, so dass F (z) =

a ˆ(0) a ˆ(1) a ˆ(2) + + , 1 − z 1 − ρz 1 − ρ2 z

(7.1)

wobei die Konstanten a ˆ(0), a ˆ(1) und a ˆ(2) noch bestimmt werden m¨ ussen, und wobei ρ := e2πi/3 eine dritte Einheitswurzel ist. Wenn wir jeden der drei Terme einzeln als geometrische Reihe erweitern, erhalten wir F (z) = a ˆ(0) + a ˆ(1)ρn + a ˆ(2)ρ2n z n , n≥0

und sind damit bei der endlichen Fourier-Reihe unserer Folge a(n) angelangt! Die einzige Information, die uns noch fehlt, ist die Berechnung der Konstanten a ˆ(j) f¨ ur j = 0, 1, 2. Dies stellt sich ebenfalls als recht einfach heraus. Aus (7.1) oben erhalten wir die Gleichung a ˆ(0) (1 − ρz) 1 − ρ2 z + a ˆ(1) (1 − z) 1 − ρ2 z + a ˆ(2) (1 − z) (1 − ρz) = 1 + 5z + 2z 2 , die f¨ ur alle z ∈ erhalten wir

gilt. Wenn wir f¨ur z die Werte 1, ρ2 bzw. ρ einsetzen,

7.2 Endliche Fourier-Reihen periodischer Funktionen auf

131

3a ˆ(0) = 1 + 5 + 2 , 3a ˆ(1) = 1 + 5ρ2 + 2ρ4 , 3a ˆ(2) = 1 + 5ρ + 2ρ2 , wobei wir die Gleichung (1−ρ)(1−ρ2 ) = 3 benutzt haben (siehe Aufgabe 7.2). Wir k¨ onnen ein wenig vereinfachen und erhalten a ˆ(0) = 83 , a ˆ(1) = −4−3ρ und 3 −1+3ρ a ˆ(2) = 3 . Also ist die endliche Fourier-Reihe unserer Folge gleich 4 1 8 a(n) = + − − ρ ρn + − + ρ ρ2n . 3 3 3 Im folgenden Abschnitt wollen wir zeigen, dass dieser einfache Prozess ebenso leicht f¨ ur jede beliebige periodische Funktion auf funktioniert. Die anschließenden Abschnitte enthalten einige Anwendungen von endlichen FourierReihen periodischer Funktionen.

7.2 Endliche Fourier-Reihen periodischer Funktionen auf Die allgemeine Theorie ist konzeptuell genauso einfach wie das obige Beispiel, und wir entwickeln sie jetzt. Wir betrachten eine beliebige periodische Folge auf , deﬁniert durch {a(n)}∞ ur das gesamte n=0 , mit Periode b. Wir halten f¨ Kapitel die b-te Einheitswurzel ξ := e2πi/b fest. Wie bisher betten wir unsere periodische Funktion {a(n)}∞ n=0 in eine Erzeugendenfunktion a(n) z n F (z) :=

n≥0

ein und benutzen die Periodizit¨ at der Folge, um sofort die Gleichung

b−1

b−1 b−1 k k b k + a(k) z a(k) z z + a(k) z z 2b + · · · F (z) = k=0

b−1 =

k=0

k=0

k

a(k) z P (z) = 1 − zb 1 − zb

k=0

b−1 zu erhalten, wobei der letzte Schritt einfach das Polynom P (z) = k=0 a(k) z k deﬁniert. Jetzt zerlegen wir die rationale Erzeugendenfunktion F (z) wie zuvor in Partialbr¨ uche: b−1 P (z) a ˆ(m) F (z) = . = 1 − zb 1 − ξm z m=0 Wie im Beispiel aus dem vorigen Abschnitt erweitern wir jeden der Terme 1 1−ξ m z in eine geometrische Reihe, setzen in die obige Summe ein und erhalten

132

7 Endliche Fourier-Analysis

F (z) =

a(n) z n =

n≥0 b−1

=

a ˆ(m)

m=0

b−1

a ˆ(m) 1 − ξmz m=0 ξ

mn n

z =

n≥0

b−1

n≥0

m=0

a ˆ(m) ξ

mn

z n.

Koeﬃzientenvergleich f¨ ur ein festes z n liefert uns die endliche Fourier-Reihe zu a(n), n¨ amlich b−1 a(n) = a ˆ(m) ξ mn . m=0

Wir suchen jetzt eine Formel f¨ ur die Fourier-Koeﬃzienten a ˆ(n) wie im Beispiel. Zusammengefasst haben wir bisher gezeigt, dass P (z) =

b−1 m=0

a ˆ(m)

b−1 1 − zb = a ˆ(m) 1 − ξ m z m=0

b

5

1 − ξk z ,

1≤k≤b,k=m

wobei wir die Faktorisierung 1−z b = k=1 (1−ξ k z) aus Aufgabe 7.1 verwendet haben. Um nach P (ξ −n ) aufzul¨ osen, benutzen wir, dass lim−n

z→ξ

1 − zb =0 1 − ξm z

falls m − n ≡ 0 (mod b),

und lim

z→ξ −n

1 − zb bz b−1 = lim = b ξ n−m = b 1 − ξ m z z→ξ−n ξ m

falls m − n ≡ 0

(mod b).

Also ist P (ξ −n ) = bˆ a(n), und daher 1 1 a(k) ξ −nk . a ˆ(n) = P (ξ −n ) = b b b−1

k=0

Wir haben soeben den Hauptsatz u ¨ ber endliche Fourier-Reihen bewiesen, und dabei nur elementare Eigenschaften rationaler Funktionen verwendet: Satz 7.2 (Endliche Fourier-Reihenentwicklung und Fourier-Umkehrung). Sei a(n) eine beliebige periodische Funktion auf mit Periode b. Dann haben wir die folgende Darstellung als endliche Fourier-Reihe:

a(n) =

b−1

a ˆ(k) ξ nk ,

k=0

wobei die Fourier-Koeﬃzienten gleich 1 a(k) ξ −nk b b−1

a ˆ(n) =

(7.2)

k=0

mit ξ = e2πi/b sind.

7.2 Endliche Fourier-Reihen periodischer Funktionen auf

133

y

x

Abb. 7.1. Die S¨ agezahnfunktion y = ((x)).

Die Koeﬃzienten a ˆ(m) sind als Fourier-Koeﬃzienten der Funktion a(n) bekannt, und im Fall a ˆ(m) = 0 sagen wir, die Funktion habe Frequenz m. Die endliche Fourier-Reihe einer periodischen Funktion gibt uns erstaunliche Kontrolle und Einsicht in ihre Struktur. Wir k¨onnen die Funktion allein auf Grundlage ihrer (nur endlich vielen) Frequenzen untersuchen, und dieses Fenster in den Frequenzraum wird unverzichtbar f¨ ur Berechnungen und Vereinfachungen sein. Wir stellen fest, dass die Fourier-Koeﬃzienten a ˆ(n) und die urspr¨ unglichen Folgenelemente a(n) durch eine lineare Transformation zusammenh¨angen, die durch die Matrix

L = ξ (i−1)(j−1) (7.3) mit 1 ≤ i, j ≤ b gegeben ist, was aus (7.2) im obigen Beweis ersichtlich ist. Wir bemerken außerdem, dass die zweite H¨ alfte des Beweises, n¨amlich das Auﬂ¨ osen nach Fourier-Koeﬃzienten a ˆ(n), gleichbedeutend zum Invertieren dieser Matrix L ist. Einer der wesentlichen Bausteine unserer Gitterpunkt-Aufz¨ahlungsformeln in Polytopen ist die S¨ agezahnfunktion, die durch {x} − 12 falls x ∈ / , ((x)) := (7.4) 0 falls x ∈

deﬁniert ist. (Zur Erinnerung: {x} = x − x ist der Nachkommaanteil von x.) Der Graph dieser Funktion ist in Abb. 7.1 dargestellt. Wir haben bereits eine eng verwandte Funktion in Kapitel 1 kennengelernt, als wir das M¨ unzenproblem betrachtet haben. Gleichung (1.8) gab uns die endliche Fourier-Reihe f¨ ur im Wesentlichen diese Funktion aus der diskret-geometrischen Sichtweise des M¨ unzenproblems; allerdings werden wir die endliche Fourier-Reihe f¨ ur diese Funktion jetzt direkt berechnen und dabei so tun, als w¨ ussten wir nichts u ¨ ber ihr anderes Leben als Z¨ ahlfunktion. Lemma 7.3. Die endliche Fourier-Reihe der diskreten S¨agezahnfunktion ab , einer periodischen Funktion von a ∈ mit Periode b, ist durch

134

7 Endliche Fourier-Analysis

a b

=

1 1 + ξ k ak i πk ak ξ ξ = cot k 2b 1−ξ 2b b b−1

b−1

k=1

k=1

gegeben. Hier folgt die zweite Gleichung aus des Kotangens.

1+e2πix 1−e2πix

= i cot(πx), nach der Deﬁnition

Beweis. Aus Satz 7.2 dass unsere periodische Funktion eine end wissen wir, b−1 liche Fourier-Reihe ab = k=0 a ˆ(k) ξ ak hat, wobei a ˆ(k) = Wir berechnen zun¨ achst a ˆ(0) = k = 0 haben wir

b−1 1

m −mk ξ . b m=0 b 1 b

b−1 m m=0

b

= 0, nach Aufgabe 7.14. F¨ ur

b−1 b−1 1 m 1 1 1 − ξ −mk = 2 a ˆ(k) = m ξ −mk + b m=1 b 2 b m=1 2b k k ξ 1 1+ξ 1 1 = = + , k b 1−ξ 2 2b 1 − ξ k wobei wir Aufgabe 7.5 in der vorletzten Gleichung benutzt haben.

Wir deﬁnieren die Dedekind-Summe durch s(a, b) =

b−1 k ka k=0

b

b

f¨ ur beliebige teilerfremde ganze Zahlen a und b > 0. Man beachte, dass die Dedekind-Summe eine periodische Funktion der Variablen a mit Periode b ist, wegen der Periodizit¨ at der S¨ agezahnfunktion. Das heißt s(a + jb, b) = s(a, b)

f¨ ur alle j ∈

.

(7.5)

Mit der endlichen Fourier-Reihe der S¨ agezahnfunktion k¨onnen wir jetzt leicht die Dedekind-Summen als endliche Summen b-ter Einheitswurzeln und Kontangens umformulieren: Lemma 7.4. s(a, b) =

b−1 b−1 1 1 + ξ μ 1 + ξ −μa πμa 1 πμ cot . = cot 4b μ=1 1 − ξ μ 1 − ξ −μa 4b μ=1 b b

7.3 Die endliche Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften

135

Beweis. s(a, b) =

b−1 k ka

b b

b−1

b−1 b−1 1 + ξν 1 + ξ μ μka 1 νk ξ ξ = 2 4b 1 − ξμ 1 − ξν μ=1 ν=1 k=0 b−1

b−1 b−1 1 1 + ξμ 1 + ξν k(ν+μa) . = 2 ξ 4b μ=1 ν=1 1 − ξ μ 1 − ξ ν k=0

k=0

k(ν+μa) verschwindet, sofern nicht Wir beachten, dass die letzte Summe b−1 k=0 ξ ν ≡ −μa (mod b) gilt (Aufgabe 7.6). In dem Fall ist die Summe gleich b, und wir erhalten b−1 1 1 + ξ μ 1 + ξ −μa s(a, b) = . 4b μ=1 1 − ξ μ 1 − ξ −μa Wenn wir die rechte Seite als Kotangens formulieren, erhalten wir s(a, b) =

b−1 b−1 i2 −πμa 1 πμa πμ πμ cot = cot , cot cot 4b μ=1 b b 4b μ=1 b b

da der Kontangens eine ungerade Funktion ist.

7.3 Die endliche Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften

Zu einer gegebenen periodischen Funktion f auf existiert, wie wir gesehen haben, eine endliche Fourier-Reihe mit einer endlichen Sammlung von Fourierˆ Koeﬃzienten, die wir fˆ(0), f(1), . . . , fˆ(b − 1) genannt haben. Wir fassen f nun als eine Funktion auf der endlichen Menge G = {0, 1, 2, . . . , b − 1} auf und bezeichnen mit VG den Vektorraum aller komplexwertigen Funktion auf ¨ G. Aquivalent dazu k¨ onnen wir VG als den Vektorraum aller komplexwertigen periodischen Funktionen auf mit Periode b auffassen. Wir deﬁnieren die Fourier-Transformation von f , geschrieben F(f ), als die durch die Folge eindeutig bestimmter Werte

ˆ ˆ − 1) fˆ(0), f(1), . . . , f(b deﬁnierte periodische Funktion auf

. Also gilt

F(f )(m) = fˆ(m) . Satz 7.2 oben gibt uns diese Koeﬃzienten als Linearkombinationen der Werte f (k) f¨ ur k = 0, 1, 2, . . . , b − 1. Also ist F(f ) eine lineare Transformation

136

7 Endliche Fourier-Analysis

der Funktion f , aufgefasst als Vektor in VG . Wir haben mit anderen Worten gezeigt, dass F(f ) eine bijektive lineare Abbildung auf VG ist. Der Vektorraum VG ist ein Vektorraum der Dimension b; eine explizite Basis von VG kann leicht mithilfe der Deltafunktionen“ (siehe Aufgabe 7.7) ” angegeben werden, die durch 1 falls x = m + kb f¨ ur eine ganze Zahl k, δm (x) := 0 sonst deﬁniert werden. Mit anderen Worten ist δm (x) die periodische Funktion auf

, welche die arithmetische Folge {m + kb : k ∈ } herauspickt.

Aber es gibt eine weitere nat¨ urliche Basis f¨ ur VG . F¨ ur jede feste ganze Zahl a k¨ onnen die Einheitswurzeln {ea (x) := e2πiax/b : x ∈ } als eine Funktion ea (x) ∈ VG aufgefasst werden, da sie auf periodisch sind. Wie wir in Satz 7.2 gesehen haben, bilden die Funktionen {e1 (x), . . . , eb (x)} eine Basis f¨ ur den Vektorraum VG von Funktionen. Eine naheliegende Frage stellt sich: Wie h¨ angen diese beiden Basen zusammen? Eine erste Beobachtung ist

1 δ6a (n) = e−2πian/b , b was einfach aus der Berechnung 1 1 1 δa (k) ξ −kn = ξ −an = e−2πian/b δ6a (n) = b b b b−1

k=0

folgt. Um also von der ersten zur zweiten Basis zu gelangen, ben¨otigen wir gerade die endliche Fourier-Transformation! Es erweist sich als extrem n¨ utzlich, das folgende Skalarprodukt auf diesem Vektorraum zu deﬁnieren: f, g =

b−1

f (k) g(k)

(7.6)

k=0

ur die komplexe f¨ ur beliebige Funktionen f, g ∈ VG . Der Balken steht hier f¨ Konjugation. Die folgenden elementaren Eigenschaften zeigen, dass f, g ein Skalarprodukt ist (siehe Aufgabe 7.8): 1. f, f ≥ 0, mit Gleichheit genau dann, wenn f = 0, die Nullfunktion. 2. f, g = g, f . Ausgestattet mit diesem Skalarprodukt kann VG nun als ein metrischer Raum aufgefasst werden. Wir k¨ onnen jetzt Abst¨ande zwischen beliebigen Funktionen und insbesondere zwischen je zwei Basiselementen ea (x) := e2πiax/b und ec (x) := e2πicx/b messen. Jedes positiv deﬁnite Skalarprodukt induziert eine Abstandsfunktion d(f, g) = f − g, f − g.

7.4 Die Parseval-Gleichung

137

Lemma 7.5 (Orthogonalit¨ atsbeziehungen). 1 1 falls b | (a − c), ea , ec = δa (c) = b 0 sonst. Beweis. Wir berechnen das Skalarprodukt ea , ec =

b−1

ea (m) ec (m) =

m=0

b−1

e2πi(a−c)m/b .

m=0

Falls b | (a − c), dann ist jeder Summand in der letzten Summe gleich 1, also ist die Summe gleich b. Damit ist der erste Fall des Lemmas gezeigt. Falls b (a − c), dann ist ea−c (m) = e2πim(a−c)/b eine nichttriviale Einheitswurzel, und wir haben die endliche geometrische Reihe b−1

e

2πi(a−c)m b

=

m=0

eb e

2πim(a−c) b

2πim(a−c) b

−1 −1

= 0,

was den zweiten Fall des Lemmas beweist.

Beispiel 7.6. Wir erinnern uns wieder an die S¨agezahnfunktion, da sie einer der Bausteine der Gitterpunktaufz¨ ahlung ist, und berechnen ihre FourierTransformation. Und zwar deﬁnieren wir k 1 k falls kb ∈ / , b − 2 B(k) := = k b 0 falls b ∈ ,

eine periodische Funktion auf den ganzen Zahlen mit Periode b. Was ist ihre Fourier-Transformation? Wir haben die Antwort bereits gesehen, im Verlauf des Beweises von Lemma 7.3: 1 1 + ξn πn i 6 B(n) = cot = 2b 1 − ξ n 2b b 6 f¨ ur n = 0, und B(0) = 0. Wie immer ist ξ = e2πi/b .

Im n¨ achsten Abschnitt tauchen wir tiefer in das Verhalten dieses Skalarprodukts ein und beweisen die Parseval-Gleichung.

7.4 Die Parseval-Gleichung Eine nichttriviale Eigenschaft des oben deﬁnierten Skalarprodukts ist die folgende Gleichung, die die Norm einer Funktion“ mit der Norm ihrer Fourier” ” Transformation“ in Verbindung bringt. Sie ist als Parseval-Gleichung bekannt, und wird auch als Satz von Plancherel bezeichnet.

138

7 Endliche Fourier-Analysis

Satz 7.7 (Parseval-Gleichung). F¨ ur alle f ∈ VG gilt ˆ . f, f = b fˆ, f Beweis. Mit der Deﬁnition em (x) = ξ mx und der Gleichung b−1 ˆ = 1 f(x) f (m) em (x) b m=0

aus Satz 7.2 erhalten wir 8 7 b−1 b−1 1 1 ˆ ˆ f (m) em , f (n) en f , f = b m=0 b n=0 =

b−1 b−1 b−1 1 f (m) e (k) f (n) en (k) m b2 m=0 n=0 k=0

b−1 b−1 1 = 2 f (m) f (n) em , en b m=0 n=0

=

b−1 b−1 1 f (m) f (n) δm (n) b m=0 n=0

=

1 f, f , b

wobei der wesentliche Schritt im Beweis die Anwendung der Orthogonalit¨atsbeziehungen (Lemma 7.5) in der vierten Gleichung oben war. Ein im Wesentlichen identischer Beweis liefert das folgende st¨arkere Ergebnis, das zeigt, dass der Abstand zwischen zwei beliebigen Funktionen“ im ” Grunde gleich dem Abstand zwischen ihren Fourier-Transformierten“ ist. ” Satz 7.8. F¨ ur alle f, g ∈ VG gilt f, g = b fˆ, gˆ .

Beispiel 7.9. Eine sch¨ one Anwendung der verallgemeinerten Parseval-Gleichung oben gibt uns jetzt sehr schnell Lemma 7.4, die Umformulierung der Dedekind-Summen als Summen von Einheitswurzeln. Dazu halten wir zun¨ achst eine ganze Zahl a teilerfremd zu b fest und deﬁnieren f (k) = kb i und g(k) = ka . Dann gilt, mit Beispiel 7.6, dass fˆ(n) = 2b cot πn b b . Um die Fourier-Transformation von g zu ﬁnden, m¨ ussen wir einen weiteren Kniﬀ anwenden. Da b−1 i ka πm mka = cot ξ b 2b m=1 b gilt, k¨ onnen wir jeden Index m mit a−1 , dem multiplikativen Inversen von a modulo b, multiplizieren (man beachte, dass wir a und b zur Umformulierung

7.5 Die Faltung endlicher Fourier-Reihen

139

der Dedekind-Summen als teilerfremd voraussetzen). Da a−1 teilerfremd zu b ist, permutiert diese Multiplikation lediglich m = 1, 2, . . . , b − 1 modulo b, so dass die Summe unver¨ andert bleibt (siehe Aufgabe 1.9): b−1 m=1

cot

b−1 b−1 πm mka πma−1 ma−1 ka πma−1 mk ξ ξ ξ , = cot = cot b b b m=1 m=1

das heißt gˆ(n) =

b−1 i πma−1 mk ξ . cot 2b m=1 b

Also liefert uns Satz 7.8 unmittelbar die folgende Umformulierung der DedekindSumme: s(a, b) :=

b−1 ka k k=0

=b

b

b

b−1 πm πma−1 i i cot cot 2b b 2b b m=1

=

b−1 1 πma−1 πm cot cot 4b m=1 b b

=

b−1 1 πm πma cot . cot 4b m=1 b b

F¨ ur die letzte Gleichung haben wir wieder den Trick, m durch ma zu ersetzen, angewendet.

7.5 Die Faltung endlicher Fourier-Reihen Ein weiteres grundlegendes Hilfsmittel in der endlichen Fourier-Analysis ist kt die Faltung zweier endlicher Fourier-Reihen. Dazu sei f (t) = 1b b−1 a ξ k k=0 b−1 und g(t) = 1b k=0 ck ξ kt , wobei ξ = e2πi/b . Wir deﬁnieren die Faltung von f und g durch b−1 (f ∗ g)(t) = f (t − m)g(m) . m=0

Es ist gerade dieses Faltungs-Hilfsmittel (der Beweis des Faltungssatzes unten ist beinahe trivial!), das f¨ ur den schnellsten bekannten Algorithmus zur Multiplikation zweier Polynome vom Grad b in O(b log(b)) Schritten verantwortlich ist (siehe die Anmerkungen am Ende dieses Kapitels).

140

7 Endliche Fourier-Analysis

Satz 7.10 (Faltungssatz f¨ ur endliche Fourier-Reihen). Seien 1 ak ξ kt b b−1

f (t) =

1 ck ξ kt , b b−1

und

g(t) =

k=0

k=0

wobei ξ = e2πi/b . Dann gilt f¨ ur die Faltung 1 ak ck ξ kt . b b−1

(f ∗ g)(t) =

k=0

Beweis. Der Beweis ist ganz direkt: Wir berechnen einfach die linke Seite und erhalten b−1

b−1

b−1 b−1 1 k(t−m) lm f (t − m)g(m) = 2 ak ξ cl ξ b m=0 m=0 k=0 l=0 b−1

b−1 b−1 1 kt+(l−k)m a k cl ξ = 2 b m=0 k=0 l=0

=

b−1 1

b

ak ck ξ kt ,

k=0

b−1

(l−k)m verschwindet, sofern nicht l = k gilt (siehe da die Summe m=0 ξ (l−k)m Aufgabe 7.6). Im Fall l = k haben wir b−1 = b. m=0 ξ

¨ Es ist eine leichte Ubung (Aufgabe 7.22), zu zeigen, dass dieser Faltungssatz ¨ aquivalent zu folgender Aussage ist: F(f ∗ g) = b F(f )F(g) . Man beachte, dass der Beweis von Satz 7.10 im Wesentlichen mit dem Beweis von Lemma 7.4 u atten wir das Lemma durch An¨ bereinstimmt; in der Tat h¨ wendung des Faltungssatzes beweisen k¨ onnen. Wir zeigen jetzt, wie Satz 7.10 benutzt werden kann, um Gleichungen in trigonometrischen Funktionen herzuleiten. Beispiel 7.11. Wir behaupten, dass b−1 k=1

cot2

πk b

=

(b − 1)(b − 2) 3

gilt. Die Summe legt die Anwendung des Faltungssatzes nahe, mit einer Funktion, deren Fourier-Koeﬃzienten gleich ak = ck = cot πk kenb sind. Aber wir m . nen bereits eine solche Funktion! Es ist gerade die S¨agezahnfunktion 2b i b Also gilt

Anmerkungen

1 cot2 4b b−1

−

k=1

πk b

ξ kt =

141

b−1 m t−m , b b m=1

wobei die Gleichheit aus Satz 7.10 folgt. Wir setzen t = 0 und erhalten

b−1 b−1

m −m m

m =− b b b b m=1 m=1 b−1 b−1 1 2 1 1 =− 2 m + m − (b − 1) b m=1 b m=1 4

(b − 1)(b − 2) , 12b wie gew¨ unscht. Wir haben die Gleichung −m = − m in der ersten b b Gleichung oben benutzt, und etwas Algebra wurde in der letzten Gleichung angewandt. Man beachte allerdings, dass uns der Faltungssatz mehr liefert als wir gefordert haben, n¨ amlich eine Gleichung f¨ ur jeden beliebigen Wert von t. =−

Anmerkungen 1. Endliche Fourier-Analysis bietet eine F¨ ulle von Anwendungen und ist, zum Beispiel, eines der wesentlichen Hilfsmittel der Quanten-Informationstheorie. Lesern, die u ¨ ber die in diesem Kapitel skizzierten bescheidenen Anf¨ange hinausgehen m¨ ochten, empfehlen wir w¨ armstens Audrey Terras Monographie [179]. 2. Die Dedekind-Summen sind unser wichtigster Beweggrund, endliche FourierReihen zu betrachten, und daher ist Kapitel 8 einer genauen Untersuchung dieser Summen gewidmet, wobei auch die Fourier-Dedekind-Summen aus Kapitel 1 endlich wieder auftreten. 3. Der Leser ﬁndet in [115, p. 501] einen Beweis, dass zwei Polynome vom Grad N in O(N log N ) Schritten multipliziert werden k¨onnen. Der Beweis N n besteht aus den folgenden Schritten: Es seien f (x) = und n=0 a(n)x N n g(x) = b(n)x die beiden gegebenen Polynome vom Grad N . Dann n=0 wissen wir, dass f (ξ) und g(ξ) zwei endliche Fourier-Reihen sind, die wir durch f bzw. g abk¨ urzen. Wir beachten, dass f g = F(F−1 (f ) ∗ F−1 (g)). Wenn wir die Fourier-Transformation (und ihre Umkehrung) schnell berechnen k¨ onnen, dann zeigt dieses Argument, dass wir zwei Polynome schnell multiplizieren k¨ onnen. Es ist eine Tatsache, dass wir die Fourier-Transformation einer periodischen Funktion mit Periode N tats¨achlich in O(N log N ) berechnen k¨ onnen, mit einem Algorithmus, der als schnelle Fourier-Transformation bekannt ist (siehe wieder [115] f¨ ur eine vollst¨ andige Beschreibung).

142

7 Endliche Fourier-Analysis

/∞ 4. Die stetige Fourier-Transformation, die durch −∞ f (t)e−2πitx dt deﬁniert ist, kann mit der endlichen Fourier-Transformation wie folgt in Verbindung gebracht werden: Wir approximieren das stetige Integral, indem wir ein großes Intervall [0, a] diskretisieren. Genauer setzen wir Δ := ab und tk := kΔ = ka b . Dann gilt 9 a b −2πitx f (t)e dt ≈ f (tk )e−2πitk x tk , 0

k=1

eine endliche Fourier-Reihe f¨ ur die Funktion f ( ab x) als Funktion von x ∈ . Auf diese Weise ﬁnden endliche Fourier-Reihen eine Anwendung in der stetigen Fourier-Analysis als ein N¨ aherungshilfsmittel.

Aufgaben F¨ ur s¨ amtliche Aufgaben halten wir eine ganze Zahl b > 1 fest und setzen ξ = e2πi/b . b 7.1. ♣ Zeigen Sie, dass 1 − xb = k=1 (1 − ξ k x). b−1 7.2. ♣ Zeigen Sie, dass k=1 (1 − ξ k ) = b. 7.3. Betrachten Sie die Matrix, die im Beweis von Satz 7.2 aufkam, n¨amlich L = (aij ) mit aij := ξ (i−1)(j−1) und mit 1 ≤ i, j ≤ b. Zeigen Sie, dass die Matrix √1b L eine unit¨ are Matrix ist. (Eine Matrix U heißt unit¨ar, falls U ∗ U = I, wobei U ∗ die Konjugiert-transponierte von U ist.) Also zeigt diese Aufgabe, dass die Fourier-Transformation einer periodischen Funktion stets durch eine unit¨ are Transformation gegeben ist.

7.4. Zeigen Sie, dass det √1b L = 1, wobei |z| den Betrag der komplexen Zahl z bezeichnet. (Es zeigt sich, dass det(L) manchmal eine komplexe Zahl sein kann, aber wir werden diese Tatsache hier nicht gebrauchen.) 7.5. ♣ Zeigen Sie, dass f¨ ur eine beliebige zu b teilerfremde Zahl a gilt 1 −ak ξa kξ = . b 1 − ξa b−1

k=1

b−1 7.6. ♣ Sei n eine ganze Zahl. Zeigen Sie, dass die Summe k=0 ξ kn verschwindet, sofern nicht n ≡ 0 (mod b). In dem Fall ist die Summe gleich b. 7.7. ♣ F¨ ur eine ganze Zahl m deﬁnieren wir die Deltafunktion δm (x) durch 1 falls x = m + ab, f¨ ur eine ganze Zahl a, δm (x) = 0 sonst. Die b Funktionen δ1 (x), . . . , δb (x) sind oﬀensichtlich im Vektorraum VG enthalten, da sie periodisch auf mit Periode b sind. Zeigen Sie, dass sie eine Basis von VG bilden.

Aufgaben

143

7.8. ♣ Zeigen Sie, dass f¨ ur alle f, g ∈ VG folgendes gilt: (a) f, f ≥ 0, mit Gleichheit genau dann, wenn f = 0, die Nullfunktion. (b) f, g = g, f . b−1 1 7.9. Zeigen Sie, dass b−1 k=1 1−ξ k = 2 . 7.10. Zeigen Sie, dass δa , δc = δa (c). 7.11. Beweisen Sie, dass (f ∗ δa )(x) = f (x − a). 7.12. Beweisen Sie, dass δa ∗ δc = δa+c(mod b) . 7.13. Beweisen Sie, dass f (x − a) = f6(x) e

2πiax b

.

7.14. ♣ Beweisen Sie, dass f¨ ur eine beliebige reelle Zahl x gilt ((x)) = b−1 x+k . k=0 b 7.15. Zeigen Sie, dass f¨ ur ein x, das keine ganze Zahl ist, gilt b cot (πx).

b−1 n=0

= cot π n+x b

7.16. Zeigen Sie, dass f¨ ur eine beliebige zu b teilerfremde Zahl a gilt ξ

ξ a+1 − 1 = 0, (ξ a − 1)(ξ − 1)

wobei die Summe u ¨ber alle b-ten Einheitswurzeln ξ außer ξ = 1 genommen wird. 7.17. Wir nennen eine Einheitswurzel e2πia/b eine primitive b-te Einheitswurzel, falls a und b teilerfremd sind. Sei Φb (x) das Polynom mit Leitkoefﬁzient 1 und Grad φ(b)1 , deren Nullstellen die φ(b) verschiedenen primitiven b-ten Einheitswurzeln sind. Dieses Polynom ist als b-tes Kreisteilungspolynom bekannt. Zeigen Sie, dass 5 Φd (x) = xb − 1 , d|b

wobei das Produkt u ¨ ber alle positiven Teiler d von b genommen wird. 7.18. Wir deﬁnieren die durch ⎧ ⎪ ⎨1 μ(n) = 0 ⎪ ⎩ (−1)k 1

M¨ obius’sche μ-Funktion f¨ ur positive ganze Zahlen n falls n = 1, falls n durch eine Quadratzahl teilbar ist, falls n quadratfrei ist und k Primteiler hat.

φ(b) := # {k ∈ [1, b − 1] : (k, b) = 1} ist die Euler’sche φ-Funktion.

144

7 Endliche Fourier-Analysis

Folgern Sie aus der vorhergehenden Aufgabe, dass Φb (x) =

5 μ(b/d) xd − 1 . d|b

7.19. Zeigen Sie, dass f¨ ur jede positive ganze Zahl b gilt e2πia/b = μ(b) , 1≤a≤b,(a,b)=1

die M¨ obius’sche μ-Funktion. 1 k 7.20. Zeigen Sie, dass f¨ ur jede positive ganze Zahl k gilt s(1, k) = − 41 + 6k + 12 .

7.21. Zeigen Sie, dass

b−1 k=1

tan2

πk b

= b(b − 1).

7.22. ♣ Zeigen Sie, dass Satz 7.10 ¨ aquivalent zu folgender Aussage ist: F(f ∗ g) = b F(f )F(g) . 7.23. Betrachten Sie die Spur der linearen Abbildung L = ξ (i−1)(j−1) , die b−1 m2 in (7.3) deﬁniert wurde. Die Spur von L ist G(b)√:= m=0 ξ , bekannt als eine Gauß’sche Summe. Zeigen Sie, dass |G(b)| = b gilt, falls b eine ungerade Primzahl ist.

8 Dedekind-Summen, die Bausteine der Gitterpunkt-Aufz¨ ahlung

If things are nice there is probably a good reason why they are nice: and if you don’t know at least one reason for this good fortune, then you still have work to do. Richard Askey

Uns sind Dedekind-Summen bei unserem Studium der endlichen Fourier-Analysis begegnet, und wir haben uns eng mit ihnen vertraut gemacht, als wir das M¨ unzenproblem in Kapitel 1 behandelt haben. Sie haben jedoch einen Nachteil (den wir beseitigen werden): Die Deﬁnition von s(a, b) erfordert es, dass wir u ¨ber b Terme aufsummieren, was recht langsam wird, wenn z.B. b = 2100 ist. Gl¨ ucklicherweise gibt es ein magisches Reziprozit¨atsgesetz f¨ ur die Dedekind-Summen s(a, b), das es uns erlaubt, sie in ungef¨ahr log2 (b) = 100 Schritten zu berechnen. Es ist diese Art von Magie, die uns rettet, wenn wir versuchen, Gitterpunkte in ganzzahligen Polytopen von Dimension d ≤ 4 zu z¨ ahlen. Die Suche nach Wegen, diese Ideen auf h¨ohere Dimensionen zu erweitern, dauert an, aber es gibt noch viel Raum f¨ ur Verbesserungen. In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf die komplexit¨atstheoretischen Fragen, die auftreten, wenn wir versuchen, Dedekind-Summen explizit zu berechnen.

8.1 Fourier-Dedekind-Summen und wieder das Mu ¨ nzenproblem Wir erinnern uns aus Kapitel 1 an die Fourier-Dedekind-Summen (deﬁniert in (1.13)) ξbkn 1

, ka1 b 1 − ξbka2 · · · 1 − ξbkad k=1 1 − ξb b−1

sn (a1 , a2 , . . . , ad ; b) =

146

8 Dedekind-Summen

die als Hauptakteur in der Analyse des Frobenius’schen M¨ unzenproblems auftraten. Wir erkennen in den Fourier-Dedekind-Summen jetzt echte FourierReihen mit Periode b. Die Fourier-Dedekind-Summen vereinheitlichen viele Varianten der Dedekind-Summen, die in der Literatur aufgetaucht sind, und bilden die Bausteine der Ehrhart-Quasipolynome. Zum Beispiel haben wir in Kapitel 1 gezeigt, dass sn (a1 , a2 , . . . , ad ; b) im Ehrhart-Quasipolynom des d-Simplex (x1 , . . . , xd+1 ) ∈ d+1 ≥0 : a1 x1 + · · · + ad xd + bxd+1 = 1 auftaucht. Beispiel 8.1. Wir bemerken zun¨ achst, dass f¨ ur n = 0 und d = 2 die FourierDedekind-Summen zu klassischen Dedekind-Summen werden (was – endlich – den Namen erkl¨ art): F¨ ur teilerfremde ganze Zahlen a und b gilt 1 1 s0 (a, 1; b) = ka k b 1 − ξ 1 − ξ b b k=1 b−1 1 1 1 1 1 − − = b 2 2 1 − ξbka 1 − ξbk k=1 b−1

b−1 b−1 b−1 1 1 1 11 1 + − 2b 2b b 4 1 − ξbk 1 − ξbka k=1 k=1 k=1 b−1 b−1 1 + ξbk 1 1 b−1 1 1 + ξbka . + − = ka k k 4b b 4b 1 − ξb 1 − ξb 1 − ξb k=1 k=1

+

Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass die Multiplikation des Index k mit a die mittlere Summe nicht ver¨ andert. Diese mittlere Summe k¨onnen wir weiter vereinfachen, wenn wir uns an Gleichung (1.8) erinnern: n 1 1 1 1 + − , = − b b 2 2b 1 − ξbk ξbkn b−1

k=1

also b−1

1 b−1 1 + ξbka 1 + ξbk 1 − + − ka k 2 2b 4b 1 − ξ 1 − ξ b b k=1 b−1 πk b−1 πka 1 cot + cot =− 4b b b 4b

1 s0 (a, 1; b) = 4b

k=1

= −s(a, b) +

b−1 . 4b

(8.1)

8.1 Fourier-Dedekind-Summen und wieder das M¨ unzenproblem

147

Beispiel 8.2. Die n¨ achste spezielle Auswertung einer Fourier-Dedekind-Summe ist der obigen Berechnung sehr ¨ ahnlich, so dass wir es dem Leser u ¨ berlassen, zu beweisen (Aufgabe 8.5), dass f¨ ur zu b teilerfremde a1 und a2 folgendes gilt: b−1 s0 (a1 , a2 ; b) = −s a1 a−1 , (8.2) 2 ,b + 4b wobei a−1 2 a2 ≡ 1 (mod b). Wir kehren zu allgemeinen Fourier-Dedekind-Summen zur¨ uck und beweisen das erste aus einer Reihe von Reziprozit¨atsgesetzen: Gleichungen in gewissen Summen von Fourier-Dedekind-Summen. Wir erinnern uns zun¨achst, wie diese Summen in Kapitel 1 aufkamen, n¨ amlich als Partialbruchzerlegung der Funktion 1

f (z) =

z a1 ) · · · (1

(1 − − z ad ) z n A2 B2 A1 An B1 Bd + 2 + ··· + n + + = + ···+ z z z z − 1 (z − 1)2 (z − 1)d +

a 1 −1 k=1

(8.3)

a a 2 −1 d −1 C1k C2k Cdk + + · · · + . z − ξak1 z − ξak2 z − ξakd k=1

k=1

(Hier nehmen wir an, dass a1 , a2 , . . . , ad paarweise teilerfremd sind.) Satz 1.7 besagt, dass wir mithilfe der Partialbruchkoeﬃzienten B1 , . . . , Bd und der Fourier-Dedekind-Summen die eingeschr¨ ankte Partitionsfunktion f¨ ur A = {a1 , a2 , . . . , ad } berechnen k¨ onnen: pA (n) = −B1 + B2 − · · · + (−1)d Bd + s−n (a2 , a3 , . . . , ad ; a1 ) + s−n (a1 , a3 , a4 , . . . , ad ; a2 ) + · · · + s−n (a1 , a2 , . . . , ad−1 ; ad ) . Man beachte, dass B1 , B2 , . . . , Bd Polynome in n sind (Aufgabe 8.6), daher nennen wir polyA (n) := −B1 + B2 − · · · + (−1)d Bd den polynomiellen Anteil der eingeschr¨ ankten Partitionsfunktion pA (n). Beispiel 8.3. Die ersten paar Ausdr¨ ucke f¨ ur poly{a1 ,...,ad } (n) sind 1 , a1 n 1 1 1 , poly{a1 ,a2 } (n) = + + a1 a2 2 a1 a2 n2 n 1 1 1 (8.4) + + + poly{a1 ,a2 ,a3 } (n) = 2a1 a2 a3 2 a1 a2 a1 a3 a2 a3 1 3 3 3 a1 a2 a3 + , + + + + + 12 a1 a2 a3 a2 a3 a1 a3 a1 a2 poly{a1 } (n) =

148

8 Dedekind-Summen

poly{a1 ,a2 ,a3 ,a4 } (n) =

n3 6a1 a2 a3 a4 1 n2 1 1 1 + + + + 4 a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a3 a4 a2 a3 a4 1 1 1 1 1 1 n + + + + + + 4 a1 a2 a1 a3 a1 a4 a2 a3 a2 a4 a3 a4 a1 a2 a3 a4 n + + + + 12 a2 a3 a4 a1 a3 a4 a1 a2 a4 a1 a2 a3 a1 a1 a1 a2 a2 a2 1 + + + + + + 24 a2 a3 a2 a4 a3 a4 a1 a3 a1 a4 a3 a4 a3 a3 a3 a4 a4 a4 + + + + + + a1 a2 a1 a4 a2 a4 a1 a2 a1 a3 a2 a3 1 1 1 1 1 . + + + + 8 a1 a2 a3 a4

Wir werden jetzt die Ehrhart’schen Ergebnisse aus Kapitel 3 mit den Partialbruchzerlegungen aus Kapitel 1 kombinieren, die zu den Fourier-DedekindSummen gef¨ uhrt haben. Satz 8.4 (Zagier-Reziprozit¨ at). F¨ ur beliebige paarweise teilerfremde ganze Zahlen a1 , a2 , . . . , ad gilt s0 (a2 , a3 , . . . , ad ; a1 ) + s0 (a1 , a3 , a4 , . . . , ad ; a2 ) + · · · + s0 (a1 , a2 , . . . , ad−1 ; ad ) = 1 − poly{a1 ,a2 ,...,ad } (0) . Auf den ersten Blick sollte uns dieses Reziprozit¨atsgesetzt u ¨ berraschen. Die Fourier-Dedekind-Summen k¨ onnen komplizierte, lange Summen werden, aber wenn wir sie auf diese Art kombinieren, addieren sie sich zu einer einfachen rationalen Funktion in a1 , a2 , . . . , ad . Beweis. Wir berechnen den konstanten Term des Quasipolynoms pA (n): pA (0) = polyA (0) + s0 (a2 , a3 , . . . , ad ; a1 ) + s0 (a1 , a3 , a4 , . . . , ad ; a2 ) + · · · + s0 (a1 , a2 , . . . , ad−1 ; ad ) . Auf der anderen Seite besagt Aufgabe 3.27 (die Erweiterung von Korollar 3.15 auf Ehrhart-Quasipolynome), dass pA (0) = 1 gilt, so dass 1 = polyA (0) + s0 (a2 , a3 , . . . , ad ; a1 ) + s0 (a1 , a3 , a4 , . . . , ad ; a2 ) + · · · + s0 (a1 , a2 , . . . , ad−1 ; ad ) .

8.2 Die Dedekind-Summe, ihre Reziprozit¨ at und Berechnungskomplexit¨ at

149

8.2 Die Dedekind-Summe, ihre Reziprozit¨ at und Berechnungskomplexit¨ at Wir haben in (8.1) die klassische Dedekind-Summe s(a, b) als spezielle Auswertung der Fourier-Dedekind-Summe hergeleitet. Nat¨ urlich nimmt Satz 8.4 eine besondere Form an, wenn wir dieses Reziprozit¨atsgesetz auf klassische Dedekind-Summen spezialisieren. Korollar 8.5 (Dedekinds Reziprozit¨ atsgesetz). F¨ ur beliebige teilerfremde positive ganze Zahlen a und b gilt 1 a b 1 1 s(a, b) + s(b, a) = + + − . 12 b a ab 4 Beweis. Ein Spezialfall von Satz 8.4 ist s0 (a, 1; b) + s0 (b, a; 1) + s0 (1, b; a) = 1 − poly{a,1,b} (0) 3 a 1 b 1 3 +3+ + + + =1− 12 a b b ab a 1 a b 1 1 1 3 + + − − . = − 4 12 b a ab 4a 4b Jetzt benutzen wir, dass s0 (b, a; 1) = 0 ist, und Gleichung (8.1): s0 (a, 1; b) = −s(a, b) +

1 1 − . 4 4b

Dedekinds Reziprozit¨ atsgesetz erlaubt es uns, die Dedekind-Summe s(a, b) genauso schnell zu berechnen, wie der euklidische Algorithmus zur Berechnung von ggT(a, b). Wir wollen ein Gef¨ uhl f¨ ur diese Art der Berechnung von Dedekind-Summen bekommen, indem wir ein Beispiel ausrechnen. Wir erinnern den Leser an eine wesentliche Eigenschaft der Dedekind-Summen, die wir bereits in (7.5) hervorgehoben haben: s(a, b) bleibt unver¨andert, wenn wir a durch seinen Rest modulo b ersetzen, das heißt s(a, b) = s(a mod b, b) .

(8.5)

Beispiel 8.6. Seien a = 100 und b = 147. Wir wenden jetzt abwechselnd Korollar 8.5 und die Reduktionsgleichung (8.5) an:

150

8 Dedekind-Summen

1 1 100 147 + + − − s(147, 100) 147 100 14700 4 1249 − s(47, 100) =− 17640 1 47 100 1 1 1249 − + + − − s(100, 47) =− 17640 12 100 47 4700 4 773 =− + s(6, 47) 20727 773 1 6 47 1 1 =− + + + − − s(47, 6) 20727 12 47 6 282 4 166 = − s(5, 6) 441 1 166 1 1 5 6 − − s(6, 5) = − + + 441 12 6 5 30 4 2003 + s(1, 5) = 4410 2003 1 1 5 = − + + 4410 4 30 12 577 = . 882

s(100, 147) =

1 12

1 k Im letzten Schritt haben wir Aufgabe 7.20 benutzt: s(1, k) = − 14 + 6k + 12 . Die direkte Berechnung von s(100, 147) ben¨ otigt 147 Schritte, w¨ahrend wir diesen Wert hier in neun Schritten unter Benutzung von Dedekinds Reziprozit¨ atsgesetz und (8.5) berchnen konnten.

Als ein zweites Korollar zu Satz 8.4 erw¨ ahnen wir das folgende dreigliedrige Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur die spezielle Fourier-Dedekind-Summe s0 (a, b; c). Dieses Reziprozit¨ atsgesetz kann auch mithilfe von Gleichung 8.2 in klassischen Dedekind-Summen ausgedr¨ uckt werden. Korollar 8.7. F¨ ur paarweise teilerfremde positive ganze Zahlen a, b und c gilt a b c 1 3 3 3 s0 (a, b; c) + s0 (c, a; b) + s0 (b, c; a) = 1 − + + + + + . 12 a b c bc ca ab

8.3 Rademacher-Reziprozit¨ at fu ¨r Fourier-Dedekind-Summen Das n¨ achste Reziprozit¨ atsgesetz bezieht sich wieder auf allgemeine FourierDedekind-Summen. Es erweitert Satz 8.4 u ¨ber n = 0 hinaus.

8.3 Rademacher-Reziprozit¨ at f¨ ur Fourier-Dedekind-Summen

151

Satz 8.8 (Rademacher-Reziprozit¨ at). Seien a1 , a2 , . . . , ad paarweise teilerfremde positive ganze Zahlen. Dann gilt f¨ ur n = 1, 2, . . . , (a1 + · · · + ad − 1), dass sn (a2 , a3 , . . . , ad ; a1 ) + sn (a1 , a3 , a4 , . . . , ad ; a2 ) + · · · + sn (a1 , a2 , . . . , ad−1 ; ad ) = − poly{a1 ,a2 ,...,ad } (−n) . Beweis. Wir erinnern uns an die Deﬁnition p◦A (n) = # (m1 , . . . , md ) ∈ d : alle mj > 0, m1 a1 + · · · + md ad = n

aus Aufgabe 1.31, d.h. p◦A (n) z¨ ahlt die Anzahl der Zerlegungen von n unter Verwendungen von Elementen von A als Bestandteile, wobei jedes Element von A mindestens einmal verwendet wird. Diese Z¨ahlfunktion h¨angt nat¨ urlich mit pA u ¨ ber die Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at zusammen (Satz 4.1): p◦A (n) = (−1)d−1 pA (−n) , das heißt (−1)d−1 p◦A (n) = polyA (−n) + sn (a2 , a3 , . . . , ad ; a1 ) + sn (a1 , a3 , a4 , . . . , ad ; a2 ) + · · · + sn (a1 , a2 , . . . , ad−1 ; ad ) . Auf der anderen Seite folgt direkt aus der Deﬁnition, dass p◦A (n) = 0

f¨ ur n = 1, 2, . . . , (a1 + · · · + ad − 1) ,

so dass f¨ ur diese n gilt 0 = polyA (−n) + sn (a2 , a3 , . . . , ad ; a1 ) + sn (a1 , a3 , a4 , . . . , ad ; a2 ) + · · · + sn (a1 , a2 , . . . , ad−1 ; ad ) .

Genau wie die Zagier-Reziprozit¨ at eine besondere Form f¨ ur die klassischen Dedekind-Summen annimmt, spezialisiert sich die Rademacher-Reziprozit¨at f¨ ur d = 2 zu einem Reziprozit¨ atssatz f¨ ur die Dedekind-RademacherSumme b−1 k ka + n rn (a, b) := . b b k=0

Die klassische Dedekind-Summe ist nat¨ urlich die Spezialisierung r0 (a, b) = s(a, b). Um das Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur Dedekind-Rademacher-Summen formulieren zu k¨ onnen, deﬁnieren wir die Funktion 1 falls a|n, χa (n) := 0 sonst, ¨ die uns helfen wird, den Uberblick zu behalten.

152

8 Dedekind-Summen

Korollar 8.9 (Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur Dedekind-Rademacher-Summen). Seien a und b teilerfremde positive ganze Zahlen. Dann gilt f¨ ur n = 1, 2, . . . , a + b, dass n 1 1 1 1 a b 1 n2 rn (a, b) + rn (b, a) = − + + + + + 2ab 2 ab a b 12 b a ab −1 −1

a n b n n n 1 + + + + 2 b a a b 1 + (1 + χa (n) + χb (n)) , 4 wobei a−1 a ≡ 1 (mod b) und b−1 b ≡ 1 (mod a). Diese Gleichung folgt beinahe unmittelbar, sobald wir in der Lage sind, die Dedekind-Rademacher-Summen u ¨ ber Fourier-Dedekind-Summen auszudr¨ ucken. Lemma 8.10. Seien a und b teilerfremde positive ganze Zahlen und n ∈ Dann gilt −1 na 1 1 1

n 1 + − + χb (n) , rn (a, b) = −sn (a, 1; b) + 2 b 2 b 4b 4

.

wobei a−1 a ≡ 1 (mod b). Beweis. Wir schreiben zun¨ achst die endliche Fourier-Reihe (1.8) der S¨agezahnfunktion ((x)) um: 1 1 −n + − b 2 2b 1 −n 1 + χb (n) − =− b 2 2b

n 1 1 = + χb (n) − . b 2 2b

1 ξbkn =− b 1 − ξbk b−1

k=1

Also gilt auch 1 ξbkn 1 ξbka n = b b 1 − ξbka 1 − ξbk k=1 k=1 −1 a n + = b −1 a n + = b b−1

b−1

−1

1 −1 1 χb a n − 2 2b 1 1 χb (n) − . 2 2b

Jetzt wenden wir den Faltungssatz f¨ ur endliche Fourier-Reihen (Satz 7.10) auf die Funktionen

8.3 Rademacher-Reziprozit¨ at f¨ ur Fourier-Dedekind-Summen

1 ξbkn b 1 − ξbk b−1

f (n) :=

153

1 ξbkn b 1 − ξbka b−1

und

g(n) :=

k=1

k=1

an. Das liefert uns b−1 b−1 ξbkn 1 = f (n − m) g(m) = b 1 − ξbk 1 − ξbka m=0 k=1 −1 b−1 1 a m 1 n−m 1 1 + χb (n − m) − + χb (m) − . b 2 2b b 2 2b m=0

Wir laden den Leser ein, zu u ufen (Aufgabe 8.9), dass die Summe auf ¨ berpr¨ der rechten Seite sich zu

−1 b−1 m 1 a n 1

n 1 1 am + n − + + − + χb (n) b b 2 b 2 b 4b 4 m=0 vereinfachen l¨ asst, und deshalb sn (a, 1; b) = −rn (a, b) +

1 2

a−1 n b

+

1

n 1 1 − + χb (n) 2 b 4b 4

gilt. Beweis von Korollar 8.9. Wir wenden den Spezialfall von Satz 8.8, sn (a, 1; b) + sn (1, a; b) + sn (a, b; 1) = − poly{a,1,b} (−n) n 1 1 1 1 3 3 a b 1 n2 + + + − + +3+ + + , =− 2ab 2 ab a b 12 a b b a ab

an, was f¨ ur n = 1, 2, . . . , a+ b gilt. Lemma 8.10 erlaubt es uns, diese Gleichung in eine u ¨ ber Dedekind-Rademacher-Summen zu u ¨bersetzen: 2 n 1 1 1 1 a b 1 n rn (a, b) + rn (b, a) = − + + + + + 2ab 2 ab a b 12 b a ab −1 −1

n n a n b n 1 + + + + 2 b a a b 1 + (1 + χa (n) + χb (n)) . 4 Das zweigliedrige Reziprozit¨ atsgesetz erlaubt es uns, die Dedekind-Rademacher-Summen genauso schnell wie den euklidischen Algorithmus zu berechnen, wie wir es schon bei den klassischen Dedekind-Summen gesehen haben. Diese Tatsache hat eine interessante Folge: In Satz 2.10 und Aufgabe 2.34 haben wir implizit gezeigt (siehe Aufgabe 8.10), dass DedekindRademacher-Summen die einzigen nichttrivialen Zutaten der Ehrhart-Quasipolynome rationaler Polygone sind. Korollar 8.9 stellt sicher, dass diese Ehrhart-Quasipolynome fast augenblicklich berechnet werden k¨onnen.

154

8 Dedekind-Summen

8.4 Der Mordell-Pommersheim-Tetraeder In diesem Abschnitt kehren wir zu Ehrhart-Polynomen zur¨ uck und zeigen, wie Dedekind-Summen auf nat¨ urliche Weise bei der Berechnung von Erzeugendenfunktionen auftauchen. Wir werden den Tetraeder untersuchen, an dem historisch als erstes die Verbindung von Dedekind-Summen und GitterpunktAufz¨ ahlung in Polytopen ans Licht kam. Er ist durch x y z P = (x, y, z) ∈ 3 : x, y, z ≥ 0, + + ≤1 (8.6) a b c beschrieben, ein Tetraeder mit Ecken (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0) und (0, 0, c), wobei a, b und c positive ganze Zahlen sind. Wir f¨ uhren die Schlupfvariable n ein und interpretieren l m k LP (t) = # (k, l, m) ∈ 3 : k, l, m ≥ 0, + + ≤t a b c 4 : k, l, m, n ≥ 0, bck + acl + abm + n = abct = # (k, l, m, n) ∈

als den Taylor-Koeﬃzient von z abct in der Funktion ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎝ z bck ⎠ ⎝ z acl ⎠ ⎝ z abm ⎠ ⎝ zn⎠ k≥0

=

l≥0

m≥0

n≥0

1 . (1 − z bc ) (1 − z ac ) (1 − z ab ) (1 − z)

Wie wir es bereits unz¨ ahlige Male zuvor getan haben, verschieben wir diesen Koeﬃzient auf den konstanten Term: 1 LP (t) = const . (1 − z bc ) (1 − z ac ) (1 − z ab ) (1 − z) z abct Um die Anzahl der Polstellen zu verringern, bietet es sich an, diese Funkti- on etwas abzu¨ andern; der konstante Term von 1/ 1 − z bc (1 − z ac ) 1 − z ab (1 − z) ist 1, so dass z −abct − 1 + 1. LP (t) = const (1 − z bc ) (1 − z ac ) (1 − z ab ) (1 − z) Dieser Trick wird im n¨ achsten Schritt n¨ utzlich, n¨amlich bei der Zerlegung der Funktion in Partialbr¨ uche. Strenggenommen k¨onnen wir diese nicht durchf¨ uhren, da der Z¨ ahler kein Polynom in z ist. Allerdings k¨onnen wir diese rationale Funktion als Summe zweier Funktionen auffassen. Die Pole h¨ oherer Ordnung beider Summanden, die wir nicht in unsere nachfolgende Berechnung mit einbeziehen, eliminieren sich gegenseitig, so dass wir sie hier vernachl¨ assigen k¨ onnen. Die einzigen Pole von

8.4 Der Mordell-Pommersheim-Tetraeder

z −abct − 1 (1 − z bc ) (1 − z ac ) (1 − z ab ) (1 − z)

155

(8.7)

liegen bei den a-ten, b-ten und c-ten Einheitswurzeln und bei 0. (Wie bisher brauchen wir uns nicht um die Koeﬃzienten von z = 0 bei der Partialbruchzerlegung k¨ ummern.) Um uns das Leben einen Augenblick lang zu vereinfachen (der allgemeine Fall ist Gegenstand von Aufgabe 8.12), wollen wir annehmen, dass a, b und c paarweise teilerfremd seien; dann sind alle Pole außer 0 und 1 einfach. Die Berechnung des Koeﬃzienten f¨ ur z = 1 a¨hnelt dem, was wir mit der eingeschr¨ ankten Partitionsfunktion in Kapitel 1 gemacht haben. Der Koeﬃzient in der Partialbruchzerlegung einer nichttrivialen Einheitswurzel, etwa ξak , wird praktisch genauso einfach berechnet wie in fr¨ uheren Beispielen: Er ist t − (8.8) kbc a (1 − ξa ) (1 − ξak ) (siehe Aufgabe 8.11). Wenn wir diesen Bruch u ¨ber k = 1, 2, . . . , a − 1 aufsummieren, erhalten wir die Fourier-Dedekind-Summe 1 t − = −t s0 (bc, 1; a) . a (1 − ξakbc ) (1 − ξak ) a−1 k=1

Wenn wir diesen Koeﬃzienten und seine Geschwister f¨ ur die anderen Einheitswurzeln in die Partialbruchzerlegung einsetzen und den konstanten Term berechnen, erhalten wir (Aufgabe 8.11) LP (t) =

abc 3 ab + ac + bc + 1 2 t + t 6 4 1 bc ca ab 1 a+b+c 1 1 1 1 + + + + + + + t + 4 4 a b c 12 a b c abc + (s0 (bc, 1; a) + s0 (ca, 1; b) + s0 (ab, 1; c)) t +1.

Wir stellen unmittelbar fest, dass nach (8.1) die Fourier-Dedekind-Summen in diesem Ehrhart-Polynom gerade die klassischen Dedekind-Summen sind, und gelangen so zu folgendem gefeierten Resultat: Satz 8.11. Sei P durch (8.6) gegeben, wobei a, b und c paarweise teilerfremd seien. Dann gilt abc 3 ab + ac + bc + 1 2 3 a+b+c LP (t) = t + t + + 6 4 4 4 1 1 bc ca ab + + + − s (bc, a) − s (ca, b) − s (ab, c) t + 1 . + 12 a b c abc

156

8 Dedekind-Summen

Zum Abschluss dieses Kapitels geben wir die Ehrhart-Reihe des MordellPommersheim-Tetraeders P an. Sie folgt direkt aus den Transformationsformeln (zur Berechnung der Ehrhart-Z¨ ahlerkoeﬃzienten aus den Koeﬃzienten des Ehrhart-Polynoms) aus Korollar 3.16 und Aufgabe 3.10, und daher enth¨alt die Ehrhart-Reihe von P naturgem¨ aß Dedekind-Summen. Korollar 8.12. Sei P durch (8.6) gegeben, wobei a, b und c paarweise teilerfremd seien. Dann gilt EhrP (z) =

h3 z 3 + h2 z 2 + h1 z + 1 , (1 − z)4

wobei 1 abc ab + ac + bc + a + b + c 1 − − + h3 = 6 4 2 12

bc ca ab 1 + + + a b c abc

− s (bc, a) − s (ca, b) − s (ab, c) 1 2abc a + b + c 3 1 bc ca ab + + + + + + h2 = 3 2 2 6 a b c abc − 2 (s (bc, a) + s (ca, b) + s (ab, c)) 1 abc ab + ac + bc + a + b + c + −2+ h1 = 6 4 12

bc ca ab 1 + + + a b c abc

− s (bc, a) − s (ca, b) − s (ab, c) .

Interessanterweise sind die obigen Ausdr¨ ucke f¨ ur h1 , h2 und h3 nichtnegative ganze Zahlen, was aus Korollar 3.11 folgt.

Anmerkungen 1. Die klassischen Dedekind-Summen erwachten in den 1880ern zum Leben, als Richard Dedekind (1831–1916)1 die Transformationseigenschaften der Dedekind’schen η-Funktion [69] 5 η(z) := eπiz/12 1 − e2πinz , n≥1

einem n¨ utzlichen Berechnungstool im Land der Modulformen in der Zahlentheorie, untersuchte. Dedekinds Reziprozit¨ atsgesetz (Korollar 8.5) folgt aus einer der fundamentalen Transformationsgleichungen f¨ ur η. Dedekind bewies auch, dass h 12k s(h, k) ≡ k + 1 − 2 (mod 8) k 1

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Dedekind siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Dedekind.html.

Anmerkungen

157

und hat damit eine elegante Verbindung zwischen der Dedekind-Summe und dem Jacobi-Symbol hk hergestellt (dem Leser sei die h¨ ubsche CarusMonographie mit dem Titel Dedekind Sums von Emil Grosswald und Hans Rademacher empfohlen, wo das obige Ergebnis bewiesen wird [150, p. 34]), die er dann benutzt hat, um zu zeigen, dass das Reziprozit¨atsgesetz f¨ ur DedekindSummen (f¨ ur das [150] mehrere unterschiedliche Beweise angibt) ¨aquivalent zum Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur das Jacobi-Symbol ist. 2. Dedekind-Summen und ihre Verallgemeinerungen tauchen auch in verschiedenen Kontexten außerhalb der analytischen Zahlentheorie und der diskreten Geometrie auf. Andere Gebiete der Mathematik, in denen Dedekind-Summen auftreten, beinhalten Topologie [100, 130, 189], algebraische Zahlentheorie [128, 165] und algebraische Geometrie [84]. Sie haben auch Verbindungen zur Komplexit¨ at von Algorithmen [113] und zu Kettenbr¨ uchen [10, 98, 137]. 3. Die Reziprozit¨ atsgesetze (S¨ atze 8.4 und 8.8) f¨ ur Fourier-Dedekind-Summen wurden in [24] bewiesen. Satz 8.4 ist ¨ aquivalent zum Reziprozit¨atsgesetz f¨ ur Don Zagiers h¨oherdimensionale Dedekind-Summen [189]. Korollar 8.7 (in klassischen Dedekind-Summen formuliert) geht urspr¨ unglich auf Hans Rademacher zur¨ uck [148]. Satz 8.8 verallgemeinert Reziprozit¨atsgesetze von Rademacher [149] (im Wesentlichen Korollar 8.9) und Ira Gessel [86]. 4. Fourier-Dedekind-Summen bilden nur eine Art der Verallgemeinerung klassischer Dedekind-Summen. Eine lange, aber keineswegs vollst¨andige Liste anderer Verallgemeinerungen ist [5, 6, 20, 33, 34, 35, 55, 76, 77, 86, 91, 92, 112, 128, 130, 129, 149, 178, 189]. 5. Die Verbindung zwischen Dedekind-Summen und Gitterpunkt-Z¨ahlproblemen, n¨ amlich Satz 8.11 f¨ ur t = 1, wurde als Erstes von Louis Mordell in 1951 hergestellt [135]. Gut 42 Jahre sp¨ ater fand James Pommersheim einen Beweis von Satz 8.11 als Teil einer wesentlich allgemeineren Maschinerie [145]. Pommersheims Arbeit impliziert sogar, dass die klassische Dedekind-Summe die einzige nichttriviale Zutat ist, die f¨ ur Ehrhart-Polynome in Dimensionen drei und vier gebraucht wird. 6. Wir haben die Frage nach der eﬃzienten Berechenbarkeit von Ehrhart(Quasi)polynomen in diesem Kapitel angeschnitten. Leider reicht unser gegenw¨ artiges Wissen u ¨ber Dedekind-Summen nicht aus, um eine allgemeine Aussage zu treﬀen. Allerdings hat Alexander Barvinok 1994 bewiesen [15], ur feste Dimensionen die rationale Erzeugendenfunktion des Ehrhartdass f¨ Quasipolynoms eines rationalen Polytops eﬃzient berechnet werden kann. In Barvinoks Beweis werden keine Dedekind-Summen verwendet, sondern vielmehr ein Zerlegungssatz von Brion, der das Thema von Kapitel 9 sein wird.

158

8 Dedekind-Summen

Aufgaben 8.1. Zeigen Sie, dass s(a, b) = 0 genau dann, wenn a2 ≡ −1 (mod b).

8.2. Zeigen Sie, dass 6b s(a, b) ∈ . (Hinweis: Beginnen Sie, indem sie die b−1 ka b−1 2 Deﬁnition der Dedekind-Summe als 6b s(a, b) = 6a k=1 k −6 k=1 k b b − 3 b−1 k schreiben.) k=1 8.3. Seien a und b zwei beliebige teilerfremde positive ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass das Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur Dedekind-Summen impliziert, dass f¨ ur b ≡ r (mod a) gilt 12ab s(a, b) = −12ab s(r, a) + a2 + b2 − 3ab + 1 . Folgern Sie daraus die folgenden Gleichungen: (a) F¨ ur b ≡ 1 (mod a) gilt 12ab s(a, b) = −a2 b + b2 + a2 − 2b + 1 . (b) F¨ ur b ≡ 2 (mod a) gilt 1 5 12ab s(a, b) = − a2 b + a2 + b2 − b + 1 . 2 2 (c) F¨ ur b ≡ −1 (mod a) gilt 12ab s(a, b) = a2 b + a2 + b2 − 6ab + 2b + 1 . 8.4. Wir bezeichnen mit fn die Folge der Fibonacci-Zahlen, die durch f1 = f2 = 1

und

fn+2 = fn+1 + fn f¨ ur n ≥ 1

deﬁniert ist. Zeigen Sie, dass s (f2k , f2k+1 ) = 0 und 2 2 12f2k−1 f2k s (f2k−1 , f2k ) = f2k−1 + f2k − 3f2k−1 f2k + 1 .

8.5. ♣ Beweisen Sie (8.2): b−1 , s0 (a1 , a2 ; b) = −s a1 a−1 2 ,b + 4b wobei a−1 2 a2 ≡ 1 (mod b).

Aufgaben

159

8.6. Beweisen Sie, dass B1 , B2 , . . . , Bd in der Partialbruchzerlegung (8.3), 1

f (z) =

z a1 ) · · · (1

(1 − − z ad ) z n A2 B2 A1 An B1 Bd + 2 + ···+ n + + = + ···+ z z z z − 1 (z − 1)2 (z − 1)d +

a 1 −1 k=1

a a 2 −1 d −1 C1k C2k Cdk + + ··· + , z − ξak1 z − ξak2 z − ξakd k=1

k=1

Polynome in n (vom Grad kleiner als d) und rationale Funktionen in a1 , . . . , ad sind. ¨ 8.7. ♣ Uberpr¨ ufen Sie die ersten paar Ausdr¨ ucke f¨ ur poly{a1 ,...,ad } (n) in Gleichung (8.4). 8.8. Zeigen Sie, dass f¨ ur die Dedekind-Rademacher-Summe r−n (a, b) = rn (a, b) gilt. 8.9. ♣ Zeigen Sie, dass −1 b−1 1 a m 1 n−m 1 1 + χb (n − m) − + χb (m) − b 2 2b b 2 2b m=0 b−1

m 1 1 1 a−1 n −n am − n = + + − b b 2 b 2 b 4b m=0 +

1 χb (n) . 4

8.10. Formulieren Sie die Ehrhart-Quasipolynome f¨ ur rationale Dreicke aus Satz 2.10 und Aufgabe 2.34 mithilfe von Dedekind-Rademacher-Summen um. 8.11. ♣ Beweisen Sie Satz 8.11, indem Sie (8.8) veriﬁzieren und die Koeﬃzienten f¨ ur z = 1 in der Partialbruchzerlegung von (8.7) berechnen. 8.12. Verallgemeinern Sie das Ehrhart-Polynom des Mordell-PommersheimTetraeders auf den Fall, dass a, b und c nicht notwendigerweise teilerfremd sind. 8.13. Berechnen Sie das Ehrhart-Polynom des 4-Simplex x2 x3 x4 x1 (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ 4≥0 : + + + ≤1 , a b c d wobei a, b, c und d paarweise teilerfremde positive ganze Zahlen sind. (Hinweis: Sie k¨ onnen Korollar 5.5 benutzen, um den linearen Term zu berechnen.)

160

8 Dedekind-Summen

Oﬀene Probleme 8.14. Finden Sie neue Zusammenh¨ ange zwischen verschiedenen DedekindSummen. 8.15. Es ist bekannt [20], dass Fourier-Dedekind-Summen eﬃzient berechenbar sind. Finden Sie einen schnellen Algorithmus, der praktisch implementierbar ist. 8.16. F¨ ur beliebige feste ganze Zahlen b und k, ﬁnden Sie eine sch¨one Charakterisierung der Menge aller a ∈ , f¨ ur die s(a, b) = k gilt.

9 Die Zerlegung eines Polytops in seine Kegel

Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830)

In diesem Kapitel kehren wir zu Gitterpunkttransformationen rationaler Kegel und Polytope zur¨ uck und verbinden diese auf eine magische Art und Weise, die zuerst von Michel Brion entdeckt wurde. Die St¨arke von Brions Theorem ist in vielen Gebieten angewandt worden, z.B. in Barvinoks Algorithmus in der ganzzahligen linearen Programmierung und auf h¨oherdimensionale EulerMaclaurin-Summationsformeln, die wir in Kapitel 10 untersuchen werden. In gewisser Weise ist der Satz von Brion eine nat¨ urliche Erweiterung der verb b+1 −z a trauten Gleichung u ¨ ber die endliche geometrische Reihe m=a z m = z z−1 auf h¨ ohere Dimensionen.

9.1 Die Gleichung z m = 0“. . . ” m∈ . . . oder Viel L¨ arm um nichts“ ” Wir fangen langsam an, indem wir den Satz von Brion in Dimension eins veranschaulichen. Dazu betrachten wir den Geradenabschnitt I := [20, 34]. Wir erinnern uns, dass seine Gitterpunkttransformation die Gitterpunkte in I in Form von Monomen auflistet: σI (z) = z m = z 20 + z 21 + · · · + z 34 . m∈I∩

Schon in diesem einfachen Beispiel sind wir zu faul, alle ganzen Zahlen in I aufzuschreiben, und benutzen · · · , um das Polynom σI aufzuschreiben. Gibt es eine kompaktere Schreibweise f¨ ur σI ? Der Leser wird es bereits geahnt

162

9 Die Zerlegung eines Polytops in seine Kegel

haben, bevor wir die Frage gestellt haben: Diese Gitterpunkttransformation gleicht der rationalen Funktion σI (z) =

z 20 − z 35 . 1−z

Der letzte Satz ist nicht ganz richtig: Die Deﬁnition von σI (z) ergab ein Polynom in z, wohingegen die rationale Funktion oben bei z = 1 nicht deﬁniert ist. Wir k¨ onnen diese Unzul¨ anglichkeit beheben, wenn wir uns klarmachen, dass der Grenzwert dieser rationalen Funktion f¨ ur z → 1 gleich der Auswertung des Polynoms σI (1) = 15 ist, nach der Regel von de l’Hospital. Man beachte, dass die Darstellung von σI als rationale Funktion den unbestreitbaren Vorteil hat, wesentlich kompakter zu sein als die urspr¨ ungliche Polynomdarstellung. Leser, die von diesem Vorteil nicht u ¨berzeugt sind, m¨ogen die rechte Ecke 34 von I durch 3400 ersetzen. Jetzt schreiben wir die rationale Form der Gitterpunkttransformation von I etwas um: z 20 z 34 z 20 − z 35 σI (z) = = + . (9.1) 1−z 1−z 1 − 1z Es gibt eine nat¨ urliche geometrische Interpretation der beiden Summanden auf der rechten Seite. Der erste Term stellt die Gitterpunkttransformation des Intervalls [20, ∞) dar: σ[20,∞) (z) =

m≥20

zm =

z 20 . 1−z

Der zweite Term in (9.1) entspricht der Gitterpunkttransformation des Intervalls (−∞, 34]: z 34 zm = . σ(−∞,34] (z) = 1 − z1 m≤34 Also besagt (9.1), dass auf der Ebene rationaler Funktionen σ[20,∞) (z) + σ(−∞,34] (z) = σ[20,34] (z)

(9.2)

gilt. Diese Gleichung, die wir graphisch in Abb. 9.1 darstellen, sollte uns etwas u ¨berraschen. Zwei rationale Funktionen, die unendliche Folgen darstellen, kollabieren irgendwie, wenn sie addiert werden, zu einem Polynom mit einer endlichen Anzahl von Termen. Wir betonen, dass (9.2) auf der Ebene unendlicher Reihen keinen Sinn macht; die beiden fraglichen unendlichen Reihen haben n¨ amlich disjunkte Konvergenzbereiche. Sogar noch magischer ist die Geometrie hinter dieser Gleichung: Auf der rechten Seite haben wir ein Polynom, das die Gitterpunkte in einem endlichen Intervall P auflistet, w¨ ahrend auf der linken Seite jede der rationalen Erzeugendenfunktionen die Gitterpunkte in einem unendlichen Strahl, der an einer Ecke von P beginnt, aufz¨ ahlt. Die beiden Halbgeraden werden wir unten

9.1 Die Gleichung

P z m = 0“ . . . oder Viel L¨ arm um nichts“ ” m∈ ”

20

34

20

34

20

34

163

Abb. 9.1. Zerlegung eines Geradenabschnitts in zwei unendliche Strahlen.

Eckenkegel nennen, und der Rest dieses Kapitels ist dem Beweis gewidmet, dass eine ¨ ahnliche Gleichung wie (9.2) in allgemeinen Dimensionen gilt. Wir erweitern jetzt die Deﬁnition der Gitterpunkttransformation σA (z) von Kegeln A auf aﬃne R¨ aume A. Jeder solche aﬃne Raum A ⊆ d l¨asst sich als w + V f¨ ur ein w ∈ d und einen n-dimensionalen Untervektorraum d V⊆ schreiben, und falls A Gitterpunkte enth¨alt (was der einzige f¨ ur uns interessante Fall ist), dann k¨ onnen wir w aus d w¨ahlen. Die Gitterpunkte V ∩ d in V bilden einen -Modul, und daher existiert eine Basis v1 , v2 , . . . , vn von V ∩ d . Daraus folgt, dass jeder Gitterpunkt m ∈ A ∩ d eindeutig als

m = w + k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn

k1 , k2 , . . . , kn ∈

f¨ ur bestimmte

geschrieben werden kann. Mit dieser festen Gitterbasis f¨ ur V deﬁnieren wir die Schieforthanten von A als die Mengen der Form {w + λ1 v1 + λ2 v2 + . . . +λn vn }, wobei wir f¨ ur jedes 1 ≤ j ≤ n entweder λj ≥ 0 oder λj < 0 verlangen. Es gibt also 2n solcher Schieforthanten, und ihre disjunkte Vereinigung ist gleich A. Wir bezeichnen sie mit O1 , O2 , . . . , O2n . Sie sind alle (halboﬀene) spitze Kegel, so dass ihre Gitterpunkttransformationen rational sind. Lemma 9.1. Sei A ein n-dimensionaler aﬃner Raum mit Schieforthanten O1 , O2 , . . . , O2n . Dann gilt, im Sinne von rationalen Funktionen, σO1 (z) + σO2 (z) + · · · + σO2n (z) = 0 . Beweis. Sei A = {w + λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn : λ1 , λ2 , . . . , λn ∈

}.

Dann hat ein typischer Schieforthant von O die Form O = {w + λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn : λ1 , . . . , λk ≥ 0, λk+1 , . . . , λn < 0} , und seine Gitterpunkttransformation ist σO (z)

⎛

= zw ⎝

j1 ≥0

= zw

⎞

⎛

zj1 v1 ⎠ · · · ⎝

jk ≥0

⎞⎛ zjk vk ⎠ ⎝

⎞

⎛

zjk+1 vk+1 ⎠ · · · ⎝

jk+1 <0

1 1 1 1 · · · vn . ··· 1 − zv1 1 − zvk zvk+1 − 1 z −1

jn <0

⎞ zjn vn ⎠

164

9 Die Zerlegung eines Polytops in seine Kegel

Jetzt betrachten wir den Schieforthanten O mit den gleichen Bedingungen an die λs wie in O, außer, dass wir λ1 ≥ 0 durch λ1 < 0 ersetzen. Dann ist die Gitterpunkttransformation von O gleich σO (z) = zw

1 1 1 1 1 · · · vn , ··· zv1 − 1 1 − zv2 1 − zvk zvk+1 − 1 z −1

so dass σO (z) + σO (z) = 0 gilt. Da wir alle Schieforthanten auf diese Weise paarweise zusammenfassen k¨ onnen, ist die Summe aller ihrer rationalen Erzeugendenfunktionen gleich null. Da O1 ∪ O2 ∪ · · · ∪ O2n als disjunkte Vereinigung gleich A ist, k¨onnen wir nun sinnvollerweise σA (z) := 0 (9.3) f¨ ur jeden n-dimensionalen aﬃnen Raum mit n > 0 deﬁnieren. Lemma 9.1 besagt, dass diese Deﬁnition nicht so willk¨ urlich ist, wie sie zun¨achst scheint, und das folgende Resultat verst¨ arkt unsere Motivation f¨ ur Deﬁnition (9.3). Satz 9.2. Es seien halboﬀene spitze Kegel K1 , K2 , . . . , Km ⊆ d mit gemeinsamer Spitze in d so gegeben, dass die disjunkte Vereinigung von K1 , K2 , . . . , Km ein aﬃner Raum ist. Dann gilt

σK1 (z) + σK2 (z) + · · · + σKm (z) = 0 als Gleichung rationaler Funktionen. Beweis. Die disjunkte Vereinigung von K1 , K2 , . . . , Km sei der n-dimensionale aﬃne Raum A, und w ∈ d sei die gemeinsame Spitze von K1 , K2 , . . . , Km . Jetzt zerlegen wir A in die Schieforthanten O1 , O2 , . . . , O2n , welche ebenfalls spitze Kegel mit gemeinsamer Spitze w sind. Der Durchschnitt eines der Kj mit einem der Ok ist wieder ein halboﬀener spitzer Kegel, und alle diese Kegel bilden wiederum eine weitere disjunkte Zerlegung von A, die eine gemeinsame Verfeinerung der Zerlegung von A in die Kj s und Ok s ist: 0 (Kj ∩ Ok ) . A=

1≤j≤m 1≤k≤2n

12n F¨ ur jedes 1 ≤ j ≤ m ist Kj = k=1 (Kj ∩ Ok ) als disjunkte Vereinigung, so dass wir die Gitterpunkttransformation von Kj als Gleichung rationaler Funktionen 2n σKj (z) = σKj ∩Ok (z) k=1

schreiben k¨ onnen. Auf ¨ ahnliche Weise erhalten wir f¨ ur jedes 1 ≤ k ≤ 2n eine Gleichung m σOk (z) = σKj ∩Ok (z) . j=1

9.2 Tangentialkegel und ihre rationalen Erzeugendenfunktionen

165

Also gilt m j=1

2 m n

σKj (z) =

j=1 k=1

2 m n

σKj ∩Ok (z) =

2 n

σKj ∩Ok (z) =

k=1 j=1

σOk (z) = 0 ,

k=1

nach Lemma 9.1.

9.2 Tangentialkegel und ihre rationalen Erzeugendenfunktionen Das Ziel dieses Abschnitts besteht, abgesehen davon, dass wir die Sprache bereitstellen werden, in der wir den Satz von Brion beweisen k¨onnen, darin, eine Art Analogon zu (9.2) in allgemeiner Dimension zu beweisen. Wir rufen uns eine Deﬁnition in Erinnerung, die wir bisher nur oberﬂ¨ achlich in Aufgabe 3.14 ber¨ uhrt haben: Ein Hyperebenenarrangement H ist eine endliche Sammlung von Hyperebenen. Ein Arrangement H ist rational, wenn es alle seine Hyperebenen sind, d.h. wennjede Hyperebene in H von der Form x ∈ d : a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd = b f¨ ur a1 , a2 , . . . , ad , b ∈ ist. Ein Arrangement H heißt zentrales Hyperebenenarrangement, wenn seine Hyperebenen sich in (mindestens) einem Punkt alle schneiden. Unsere n¨ achste Deﬁnition verallgemeinert (endlich) den Begriﬀ eines spitzen Kegels wie in Kapitel 3 deﬁniert. Ein konvexer Kegel ist der Durchschnitt endliche vieler Halbr¨ aume der Form x ∈ d : a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd ≤ b , f¨ ur die die zugeh¨ origen Hyperebenen x ∈ d : a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd = b ein zentrales Arrangement bilden. Diese Deﬁnition erweitert die eines spitzen Kegels: Ein Kegel ist spitz, wenn die deﬁnierenden Hyperebenen sich in genau einem Punkt schneiden. Ein Kegel ist rational, wenn alle seine deﬁnierenden Hyperebenen rational sind. Kegel und Polytope sind Spezialf¨alle von Polyedern, also von konvexen K¨ orpern, die als Durchschnitt endlich vieler Halbr¨ aume deﬁniert sind. Wir ordnen jetzt jeder Seite F von P einen Kegel zu, n¨amlich ihren Tangentialkegel, der durch

KF := {x + λ (y − x) : x ∈ F , y ∈ P, λ ∈

≥0 }

deﬁniert ist. Es zeigt sich, dass KF der kleinste konvexe Kegel ist, der sowohl span F als auch P enth¨ alt. Wir bemerken zun¨achst, dass KP = span P gilt. F¨ ur eine Ecke v von P wird der Tangentialkegel Kv oft Eckenkegel genannt; er ist in diesem Fall spitz. F¨ ur eine k-Seite F von P mit k > 0 ist der Tangentialkegel KF nicht spitz. Zum Beispiel ist der Tangentialkegel einer Kante eines 3-Polytops ein Keil.

166

9 Die Zerlegung eines Polytops in seine Kegel

Lemma 9.3. F¨ ur jede Seite F von P gilt span F ⊆ KF . Beweis. Wenn x und y alle Punkte von F durchlaufen, durchl¨auft x + λ (y − x) alle Punkte von span F . Man beachte, dass dieses Lemma impliziert, dass KF eine Gerade enth¨alt, sofern F keine Ecke ist. Genauer gesagt: Falls KF nicht spitz ist, enth¨alt er den aﬃnen Raum span F , den wir ebenfalls die Spitze des Tangentialkegels nennen. (Ein spitzer Kegel hat einen Punkt als Spitze.) Ein aﬃner Raum A ⊆ d ist gleich w + V f¨ ur ein w ∈ d und einen Untervektorraum V ⊆ d . Das orthogonale Komplement A⊥ dieses aﬃnen Raums A ist deﬁniert durch A⊥ := x ∈ d : x · v = 0 f¨ ur alle v ∈ V . Wir stellen fest, dass A ⊕ A⊥ =

d

gilt, was uns das folgende Resultat liefert.

Lemma 9.4. F¨ ur jede Seite F von P hat der Tangentialkegel KF die Zerlegung

⊥ KF = span F ⊕ (span F ) ∩ KF . Also gilt, sofern F keine Ecke ist, σKF (z) = 0 . ⊥

Beweis. Aus span F ⊕ (span F ) = d folgt

⊥ ∩ KF KF = span F ⊕ (span F )

⊥ = (span F ∩ KF ) ⊕ (span F) ∩ KF

⊥ = span F ⊕ (span F ) ∩ KF , wobei der letzte Schritt aus Lemma 9.3 folgt. Der zweite Teil des Lemmas ergibt sich unmittelbar aus σspan F ⊕((span F )⊥ ∩KF ) (z) = σspan F (z) σ(span F )⊥ ∩KF (z) und σspan F (z) = 0.

Obwohl wir es im weiteren Verlauf nicht ben¨otigen werden, ist es gut zu wissen, dass (span F )⊥ ∩ KF ein spitzer Kegel ist (siehe Aufgabe 9.1).

9.3 Der Satz von Brion Der folgende Satz ist eine klassische Gleichung in der konvexen Geometrie, benannt nach Charles Julien Brianchon (1783–1864)1 und Jørgen Pedersen Gram (1850–1916).2 Er gilt f¨ ur beliebige konvexe Polytope. Allerdings ist sein 1 2

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Brianchon siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Brianchon.html.

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Gram siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Gram.html.

9.3 Der Satz von Brion

167

Beweis f¨ ur Simplizes wesentlich einfacher als der f¨ ur den allgemeinen Fall. Wir ben¨ otigen nur die Brianchon-Gram-Gleichung f¨ ur Simplizes, also beschr¨anken wir uns auf diesen Spezialfall. (Man kann den allgemeinen Fall ganz ¨ahnlich wie unten beweisen; allerdings w¨ urden wir zus¨ atzliche Maschinerie ben¨otigen, die wir in diesem Buch nicht behandeln.) Die Indikatorfunktion 1S einer Menge S ⊆ d ist deﬁniert duch 1 falls x ∈ S, 1S (x) := 0 falls x ∈ S. Satz 9.5 (Brianchon-Gram-Gleichung f¨ ur Simplizes). Sei Δ ein dSimplex. Dann gilt 1Δ (x) = (−1)dim F 1KF (x) , F ⊆Δ

wobei die Summe ¨ uber alle nichtleeren Seite F von Δ gebildet wird. Beweis. Wir unterscheiden zwei disjunkte F¨ alle: Ob x in dem Simplex liegt oder nicht. Fall 1: x ∈ Δ. Dann ist x ∈ KF f¨ ur alle F ⊆ Δ, und die Gleichung wird zu 1=

(−1)dim F =

F ⊆Δ

dim Δ

(−1)k fk .

k=0

Dies ist die Euler-Gleichung f¨ ur Simplizes, die wir in Aufgabe 5.5 bewiesen haben. Fall 2: x ∈ / Δ. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte minimale Seite F ⊆ Δ (minimal bez¨ uglich der Dimension), so dass x ∈ KF und x ∈ KG f¨ ur alle Seiten G ⊆ Δ, die F enthalten (Aufgabe 9.2). Die zu beweisende Gleichung ist jetzt 0= (−1)dim G . (9.4) G⊇F

Die G¨ ultigkeit dieser Gleichung folgt wieder mit den Argumenten aus Aufgabe 5.5; der Beweis von (9.4) ist Gegenstand von Aufgabe 9.4. Korollar 9.6 (Satz von Brion f¨ ur Simplizes). Sei Δ ein rationaler Simplex. Dann haben wir die folgende Gleichung rationaler Funktionen: σΔ (z) = σKv (z) . v Ecke von Δ

Beweis. Wir u ¨ bersetzen den Satz von Brianchon und Gram in die Sprache der Gitterpunkttransformationen: Wir summieren beide Seiten der Gleichung in Satz 9.5 f¨ ur alle m ∈ d ,

168

9 Die Zerlegung eines Polytops in seine Kegel

m∈

1Δ (m) zm =

m∈

d

was ¨ aquivalent zu σΔ (z) =

d

(−1)dim F 1KF (m) zm ,

F ⊆Δ

(−1)dim F σKF (z)

F ⊆Δ

ist. Aber Lemma 9.4 impliziert, dass σKF (z) = 0, außer, wenn F eine Ecke ist. Also gilt σΔ (z) = σKv (z) . v Ecke von Δ

Jetzt erweitern wir Korollar 9.6 auf beliebige konvexe rationale Polytope: Satz 9.7 (Satz von Brion). Sei P ein rationales konvexes Polytop. Dann haben wir die folgende Gleichung rationaler Funktionen: σKv (z) . (9.5) σP (z) = v Ecke von P

Beweis. Wir benutzen den selben irrationalen Trick wie in den Beweisen der S¨ atze 3.12 und 4.3. Wir beginnen also, indem wir P in die Simplizes Δ1 , Δ2 , . . . , Δm triangulieren (ohne neue Ecken). Wir betrachten das Hyperebenenarrangement H := {span F : F Seite von Δ1 , Δ2 , . . . oder Δm } . Jetzt werden wir die Hyperebenen in H verschieben, um ein neues Hyperebenenarrangement Hshift zu erhalten. Jene Hyperebenen in H, die P deﬁniert haben, deﬁeren jetzt, nach der Verschiebung, ein neues Polytop, das wir P shift nennen werden. Aufgabe 9.6 stellt sicher, dass wir H so verschieben k¨onnen, dass gilt: • • •

Keine der Hyperebenen in Hshift enth¨ alt einen Gitterpunkt; Hshift liefert eine Triangulierung von P shift ; Die in einem Eckenkegel von P enthaltenen Gitterpunkte sind genau jene Gitterpunkte, die in dem entsprechenden Eckenkegel von P shift enthalten sind.

Dieser Aufbau impliziert, dass • •

die Gitterpunkte in P genau die Gitterpunkte in P shift sind; die Gitterpunkte in einem Eckenkegel von P shift als disjunkte Vereinigung der Gitterpunkte in Eckenkegeln von Simplizes der Triangulierung, die Hshift auf P shift induziert, geschrieben werden k¨onnen.

Die letzten beiden Bedingungen wiederum besagen, dass Brions Gleichung (9.5) aus dem Satz von Brion f¨ ur Simplizes folgt: Die Gitterpunkttransformationen auf beiden Seiten der Gleichung k¨ onnen als Summe der Gitterpunkttransformationen der Simplizes und ihrer Kegel geschrieben werden.

9.4 Brion impliziert Ehrhart

169

9.4 Brion impliziert Ehrhart Wir schließen dieses Kapitel, indem wir zeigen, dass der Satz von Ehrhart (Satz 3.23) f¨ ur rationale Polytope (was den ganzzahligen Fall einschließt, Satz 3.8) aus dem Satz von Brion (Satz 9.7) relativ geradlinig folgt. Zweiter Beweis von Satz 3.23. Wie in unserem ersten Beweis des Satzes von Ehrhart reicht es, Satz 3.23 f¨ ur Simplizes zu zeigen, da wir jedes beliebige Polytop triangulieren k¨ onnen (ohne neue Ecken zu benutzen). Sei also Δ ein rationaler d-Simplex, dessen Ecken Koordinaten mit Nenner p haben. Unser Ziel ist es, zu zeigen, dass f¨ ur feste 0 ≤ r < p die Funktion LΔ (r + pt) ein Polynom in t ist; das heißt, dass LΔ ein Quasipolynom ist, dessen Periode p teilt. Nach Satz 9.7 gilt LΔ (r + pt) = 1 m∈(r+pt)Δ∩

d

= lim σ(r+pt)Δ (z) z→1 = lim σ(r+pt)Kv (z) . z→1

(9.6)

v Ecke von Δ

Wir haben den Grenzwert der Gitterpunkttransformation σ(r+pt)Δ und nicht den ihrer Auswertung σ(r+pt)Δ (1) berechnet, da letzteres zu Singularit¨aten in den rationalen Erzeugendenfunktionen der Eckenkegel gef¨ uhrt h¨atte. Man beachte, dass die Eckenkegel Kv alle simplizial sind, da Δ ein Simplex ist. Nehmen wir also Kv = {v + λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : λ1 , λ2 , . . . , λd ≥ 0} an, dann gilt (r + pt)Kv = {(r + pt)v + λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : λ1 , λ2 , . . . , λd ≥ 0} = tpv + {rv + λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : λ1 , λ2 , . . . , λd ≥ 0} = tpv + rKv . Zu beachten ist hier, dass pv ein ganzzahliger Vektor ist. Insbesondere k¨onnen wir gefahrlos σ(r+pt)Kv (z) = ztpv σrKv (z) schreiben (wir sagen gefahrlos“, da tpv ∈ ” Monom ist). Jetzt k¨ onnen wir (9.6) als LΔ (r + pt) = lim z→1

d , so dass ztpv ztpv σrKv (z)

in der Tat ein

(9.7)

v Ecke von Δ

umschreiben. Das genaue Aussehen der rationalen Funktionen σrKv (z) ist nicht wichtig, bis auf die Tatsache, dass sie nicht von t abh¨angen. Wir wissen,

170

9 Die Zerlegung eines Polytops in seine Kegel

dass die Summe der Erzeugendenfunktionen aller Eckenkegel ein Polynom in z ist; d.h. die Singularit¨ aten der rationalen Funktionen heben sich gegenseitig auf. Um LΔ (r + pt) aus (9.7) zu berechnen, schreiben wir alle rationalen Funktionen auf der rechten Seiten u ¨ ber einem gemeinsamen Nenner auf und benutzen die Regel von de l’Hospital, um den Grenzwert dieser riesigen rationalen Funktion zu bestimmen. Die Variable t taucht nur in den einfachen Monomen ztpv auf, so dass der Eﬀekt der Regel von de l’Hospital ist, dass wir jedesmal lineare Faktoren von t erhalten, wenn wir den Z¨ahler dieser rationalen Funktion ableiten. Schließlich werten wir die u ¨ briggebliebene rationale Funktion bei z = 1 aus. Das Ergebnis ist ein Polynom in t.

Anmerkungen 1. Satz 9.5 (in seiner allgemeinen Form f¨ ur konvexe Polytope) hat eine interessante Geschichte. In 1837 hat Charles Brianchon eine Version dieses Satzes u ¨ ber Polytope in 3 bewiesen [43]. In 1874 gab Jørgen Gram einen Beweis des gleichen Ergebnisses [87]; oﬀenbar war ihm Brianchons Arbeit unbekannt. In 1927 hat Duncan Sommerville einen Beweis f¨ ur allgemeine d ver¨oﬀentlicht [166], der in den 1960ern von Victor Klee [110], Branko Gr¨ unbaum [89, Section 14.1] und vielen anderen korrigiert wurde. 2. Michel Brion entdeckte Satz 9.7 in 1988 [44]. Sein Beweis verwendete die Baum-Fulton-Quart Riemann-Roch-Formel f¨ ur ¨aquivariante K-Theorie torischer Variet¨ aten. Ein elementarerer Beweis von Satz 9.7 wurde von Masanori Ishida einige Jahre sp¨ ater gefunden [102]. Unser Ansatz in diesem Kapitel folgt [26]. 3. Wie wir bereits erw¨ ahnt haben, f¨ uhrt der Satz von Brion auf einen eﬃzienten Algorithmus nach Alexander Barvinok zur Berechnung von EhrhartQuasipolynomen [15]. Genauer gesagt hat Barvinok gezeigt, dass man in fester Dimension eﬃzient3 die Ehrhart-Reihe t≥0 LP (t) z t als kurze Summe rationaler Funktionen berechnen kann.4 Der Satz von Brion f¨ uhrt das Problem im Wesentlichen darauf zur¨ uck, die Gitterpunkttransformationen der rationalen Tangentenkegel des Polytops zu berechnen. Barvinoks geniale Idee war, signierte Zerlegungen rationaler Kegel zu benutzen und ihre Gitterpunkttransformationen zu berechnen: Der Kegel wird als Summe und Diﬀerenz unimodularer Kegel geschrieben, welche uns in Abschnitt 10.4 begegnen werden 3

4

Eﬃzient“ bedeutet hier, dass f¨ ur jede Dimension ein Polynom existiert, das die ” Laufzeit des Algorithmus nach oben beschr¨ ankt, wenn es beim Logarithmus der Eingabedaten des Polytops (z.B. seiner Ecken) ausgewertet wird. Kurz“ bedeutet, dass die Gr¨ oße des Datensatzes, der zur Ausgabe dieser ratio” nalen Funktionen ben¨ otigt wird, ebenfalls von polynomieller Gr¨ oße relativ zum Logarithmus der Eingabedaten des Polytops ist.

Aufgaben

171

und die eine triviale Gitterpunkttransformation haben. Die Suche nach einer signierten Zerlegung beinhaltet Triangulierungen, Minkowskis Satz u ¨ ber Gitterpunkte in konvexen K¨ orpern (siehe z.B. [56, 132, 139, 162]) und den LLL-Algorithmus, der einen kurzen Vektor in einem Gitter ﬁndet [120]. Auf jeden Fall hat Barvinok bewiesen, dass man eine signierte Zerlegung schnell ﬁnden kann, was der wesentliche Schritt zur Berechnung der Ehrhart-Reihe eines Polytops ist. Barvinoks Algorithmus ist in den Software-Paketen barvinok [184] und LattE [65, 66, 114] implementiert worden. Barvinoks Algorithmus wird in [13] detailliert beschrieben.

Aufgaben 9.1. ♣ Zeigen Sie, dass f¨ ur jede Seite F eines Polytops (span F )⊥ ∩ KF ein spitzer Kegel ist. (Hinweis: Zeigen Sie, dass, falls H eine deﬁnierende Hyper⊥ ⊥ ebene f¨ ur F ist, H ∩ (span F) eine Hyperebene im Vektorraum (span F ) ist.) 9.2. ♣ Sei Δ ein Simplex und x ∈ / Δ. Zeigen Sie, dass es eine eindeutig bestimmte minimale Seite F ⊆ Δ gibt (minimal bez¨ uglich der Dimension), f¨ ur die der dazugeh¨ orige Tangentenkegel KF den Punkt x enth¨alt. Zeigen Sie, dass x ∈ KG f¨ ur alle Seiten G ⊆ Δ gilt, die F enthalten, und x ∈ / KG f¨ ur alle anderen Seiten G. 9.3. Zeigen Sie, dass Aufgabe 9.2 nicht funktioniert, wenn Δ (zum Beispiel) ein Viereck ist. Zeigen Sie, dass die Brianchon-Gram-Gleichung f¨ ur Ihr Viereck gilt. 9.4. ♣ Zeigen Sie (9.4): F¨ ur eine Seite F eines Simplex Δ gilt (−1)dim G = 0 , G⊇F

wobei die Summe u ¨ber alle Seiten von Δ genommen wird, die F enthalten. 9.5. Geben Sie einen direkten Beweis des Satzes von Brion im eindimensionalen Fall. 9.6. ♣ Erg¨ anzen Sie die Details des irrationalen Verschiebungsarguments im Beweis von Satz 9.7: Wir triangulieren ein gegebenes rationales Polytop P zun¨ achst in Simplizes Δ1 , Δ2 , . . . , Δm (ohne neue Ecken). Dann betrachten wir das Hyperebenenarrangement H := {span F : F ist eine Facette von Δ1 , Δ2 , . . . , Δm } . Wir werden jetzt die Hyperebenen in H verschieben, um ein neues Hyperebenenarrangement Hshift zu erhalten. Jene Hyperebenen von H, die P deﬁniert haben, deﬁnieren jetzt, nach der Verschiebung, ein neues Polytop, das wir P shift nennen. Zeigen Sie, dass wir H so verschieben k¨onnen, dass gilt:

172

• • •

9 Die Zerlegung eines Polytops in seine Kegel

keine Hyperebene in Hshift enth¨ alt einen Gitterpunkt; Hshift liefert eine Triangulierung von P shift ; die Gitterpunkte, die in einem Eckenkegel von P enthalten sind, sind genau die Gitterpunkte, die im entsprechenden Eckenkegel von P shift enthalten sind.

9.7. ♣ Beweisen Sie das folgende oﬀene Polytope“-Analogon zum Satz von ” Brion: Falls P ein rationales konvexes Polytop ist, dann gilt folgende Gleichung rationaler Funktionen: σP ◦ (z) = σK◦v (z) v Ecke von P

10 Euler-Maclaurin-Summation im

Ê

d

All means (even continuous) sanctify the discrete end. Doron Zeilberger

Uns hat bereits oft der Unterschied zwischen dem diskreten Volumen eines Polytops P und seinem stetigen Volumen besch¨aftigt. Mit anderen Worten, die Gr¨ oße 9 1− dy , (10.1) m∈P∩

d

P

die nach Deﬁnition gleich LP (1)−vol(P) ist, besch¨aftigt uns schon seit langem und ist ganz nat¨ urlich in vielen verschiedenen Kontexten aufgetaucht. Eine wichtige Erweiterung ist die Diﬀerenz zwischen der diskreten Gitterpunkttransformation und ihrer stetigen Schwester: 9 em·x − ey·x dy , (10.2) m∈P∩

d

P

wobei wir die Variable z, die wir oft in Erzeugendenfunktionen verwendet haben, durch die exponentielle Variable (z1 , z2 , . . . , zd ) = (ex1 , ex2 , . . . , exd ) ersetzt haben. Man beachte, dass wir durch Einsetzen von x = 0 in (10.2) die urspr¨ Gr¨ oße (10.1) / y·xerhalten. Beziehungen zwischen den beiden Gr¨oßen ungliche m·x e und e dy sind als Euler-Maclaurin-Summationsformeln m∈P∩ d P f¨ ur Polytope bekannt. Die Drahtzieher“-Operatoren, die uns mit derartigen ” Verbindungen versorgen, sind die als Todd-Operatoren bekannten Diﬀerentialoperatoren; ihre Deﬁnition benutzt auf u ¨berraschende Art und Weise die Bernoulli-Zahlen.

174

d

10 Euler-Maclaurin-Summation im

10.1 Todd-Operatoren und Bernoulli-Zahlen Wir erinnern uns an die Bernoulli-Zahlen Bk aus Abschnitt 2.4, die durch die Erzeugendenfunktion Bk z = zk z e −1 k! k≥0

deﬁniert sind. Wir f¨ uhren jetzt einen Diﬀerentialoperator u ¨ber im Wesentlichen die gleiche Erzeugendenfunktion ein, n¨ amlich Toddh := 1 +

k Bk

(−1)

k≥1

k!

d dh

k .

(10.3)

Dieser Todd-Operator wird oft als Toddh =

1

d dh d − e− dh

abgek¨ urzt, aber wir sollten stets daran denken, dass dies nur eine Kurzschreibweise f¨ ur die unendliche Reihe (10.3) ist. Zun¨achst zeigen wir, dass die Exponentialfunktion eine Eigenfunktion des Todd-Operators ist. Lemma 10.1. F¨ ur z ∈

\ {0} mit |z| < 2π gilt Toddh ezh =

z ezh . 1 − e−z

Beweis. Toddh e

zh

=

k Bk

(−1)

k≥0

=

(−1)k

k≥0

= ezh

k!

=e

d dh

k ezh

Bk k zh z e k!

(−z)k

k≥0 zh

Bk k!

−z . e−z − 1

Die Bedingung |z| < 2π wird im letzten Schritt ben¨otigt, nach Aufgabe 2.14. Der Todd-Operator ist ein diskretisierender Operator in dem Sinn, dass er ein stetiges Integral in eine diskrete Summe u uhrt, wie der folgende Satz ¨ berf¨ zeigt.

10.1 Todd-Operatoren und Bernoulli-Zahlen

Satz 10.2 (Euler-Maclaurin in Dimension 1). F¨ ur alle a < b ∈ z ∈ mit |z| < 2π gilt 9 b+h1 b Toddh1 Toddh2 ezx dx = ekz . a−h2

h1 =h2 =0

Beweis. Fall 1: z = 0. Dann ist e

175

und

k=a

zx

= 1, und somit 9 b+h1 zx e dx Toddh1 Toddh2 a−h2 h1 =h2 =0 9 b+h1 = Toddh1 Toddh2 dx a−h2

h1 =h2 =0

= b − a + Toddh1 h1 + Toddh2 h2 |h1 =h2 =0 1 1 = b − a + h1 + + h2 + 2 2 h1 =h2 =0

=b−a+1 nach Aufgabe 10.1. Da diesem Fall bewiesen.

b k=a

ek·0 = b − a + 1 gilt, haben wir den Satz in

Fall 2: z = 0. Dann gilt 9 b+h1 1 z(b+h1 ) Toddh1 Toddh2 e ezx dx = Toddh1 Toddh2 − ez(a−h2 ) z a−h2 1 Toddh1 ezb+zh1 − Toddh2 eza−zh2 = z eza ezb Toddh1 ezh1 − Toddh2 e−zh2 = z z ezb z ezh1 eza −z e−zh2 = − , z 1 − e−z z 1 − ez wobei der letzte Schritt aus Lemma 10.1 folgt. Also gilt 9 b+h1 1 1 zx e dx = ezb + eza Toddh1 Toddh2 −z 1−e 1 − ez a−h2 h1 =h2 =0

ez(b+1) − eza ez − 1 b ekz . =

=

k=a

Wir ben¨ otigen eine ¨ ahnliche multivariate Version des Todd-Operators sp¨ ater, so dass wir f¨ ur h = (h1 , h2 , . . . , hm ) deﬁnieren

176

10 Euler-Maclaurin-Summation im

Toddh :=

⎛

m 5

⎝

j=1

d

⎞

∂ ∂hj

⎠ ,

∂ 1 − exp − ∂hj

und dabei nicht vergessen, dass es sich dabei um ein Produkt unendlicher Reihen der Form (10.3) handelt.

10.2 Eine stetige Version des Satzes von Brion In den folgenden zwei Abschnitten entwickeln wir Hilfsmittel, die es uns, wenn sie mit dem Todd-Operator zusammengebracht werden, erm¨oglichen werden, die Euler-Maclaurin-Summation auf h¨ohere Dimensionen zu erweitern. Zun¨ achst folgt ein Lemma, das unabh¨ angig davon von Interesse ist, aber im Beweis der stetigen Version des Satzes von Brion benutzt wird. Lemma 10.3. Seien w1 , w2 , . . . , wd ∈

d linear unabh¨angig, und sei

Π = {λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : 0 ≤ λ1 , λ2 , . . . , λd < 1} . Dann gilt

# Π∩

d = vol Π = |det (w1, . . . , wd)|

und f¨ ur beliebige positive ganze Zahlen t gilt # tΠ ∩ d = (vol Π) td .

Mit anderen ur das halboﬀene Parallelepiped Π f¨allt das diskrete Worten: F¨ Volumen # tΠ ∩ d mit dem stetigen Volumen (vol Π) td zusammen.

Beweis. Da Π halboﬀen ist, k¨ onnen wir die t-te Streckung tΠ durch td Translate von Π kacheln, und deshalb gilt LΠ (t) = # tΠ ∩ d = # Π ∩ d td .

Auf der anderen Seite ist LΠ (t) nach den Ergebnissen aus Kapitel 3 ein Polynom mit Leitkoeﬃzient vol Π = |det (w1 , . . . , wd )|. Da wir Gleichheit dieser beiden Polynome f¨ ur alle positiven ganzen Zahlen t haben, folgt # Π ∩ d = vol Π .

Wir geben jetzt ein Integral-Analogon von Satz 9.7 f¨ ur einfache rationale Polytope. Zun¨ achst u bersetzen wir Brions Gitterpunkttransformationen ¨ σP (z) = σKv (z) v Ecke von P

in eine exponentielle Form:

10.2 Eine stetige Version des Satzes von Brion

σP (exp z) =

177

σKv (exp z) .

v Ecke von P

F¨ ur das stetige Gegenst¨ uck zum Satz von Brion ersetzen wir die Summe auf der linken Seite, m (exp z) = exp(m · z) , σP (exp z) = m∈P∩

m∈P∩

d

d

durch ein Integral. Satz 10.4 (Satz von Brion: stetige Form). Sei P ein einfaches rationales konvexes d-Polytop. F¨ ur einen Eckenkegel Kv von P halten wir eine Menge von Erzeugern w1 (v), w2 (v), . . . , wd (v) ∈ d fest. Dann gilt 9 exp (v · z) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| exp(x · z) dx = (−1)d d P k=1 (wk (v) · z) v Ecke von P

f¨ ur alle z, f¨ ur die die Nenner auf der rechten Seite nicht verschwinden. Beweis. Wir nehmen zun¨ achst an, P sei ein ganzzahliges Polytop; wir werden im Verlauf des Beweises sehen, dass diese Annahme gelockert werden kann. Wir schreiben die exponentielle Form des Satzes von Brion (Satz 9.7) aus und benutzen dabei die Annahme, dass alle Eckenkegel simplizial seien (da P einfach ist). Nach Satz 3.5 gilt m∈P∩

exp(m · z) = d

v Ecke von P

exp(v · z) σΠv (exp z) , d k=1 (1 − exp (wk (v) · z))

(10.4)

wobei Πv = {λ1 w1 (v) + λ2 w2 (v) + · · · + λd wd (v) : 0 ≤ λ1 , λ2 , . . . , λd < 1} das Fundamentalparallelepiped des Eckenkegels Kv ist. Wir w¨ urden (10.4) d gerne umschreiben und dabei das Gitter d durch das verfeinerte Gitter n1 ersetzen, da dann die linke Seite von (10.4) auf das gesuchte Integral f¨ uhrt, wenn wir n gegen unendlich streben lassen. Die rechte Seite von (10.4) a¨ndert sich dementsprechend; jeder Gitterpunkt muss mit n1 herunterskaliert werden: exp(v · z) m∈Πv ∩ d exp m n ·z

. exp(m · z) = d

wk (v) 1 − exp · z d v Ecke von P 1 k=1 n m∈P∩( n ) (10.5) Der Beweis dieser Gleichung ist im Wesentlichen der gleiche wie der von Satz 3.5; wir lassen ihn als Aufgabe 10.2. Jetzt ist unser gesuchtes Integral gleich

178

10 Euler-Maclaurin-Summation im

9 P

1 n→∞ nd

exp(x · z) dx = lim

1 = lim d n→∞ n

m∈P∩(

1 n

d

exp(m · z) )

d

v Ecke von P

exp(v · z) m∈Πv ∩ d exp m n ·z

. d

wk (v) · z k=1 1 − exp n (10.6)

An dieser Stelle sehen wir, dass unsere Annahme, P habe ganzzahlige Ecken, auf den rationalen Fall gelockert werden kann, da wir uns bei der Berechnung des Grenzwertes auf solche n beschr¨ anken k¨ onnen, die Vielfache des Nenners von P sind. Die Nenner der Terme auf der rechten Seite haben einen einfachen Grenzwert:

m lim exp(v · z) · z = exp(v · z) exp 1 n→∞ n d d m∈Πv ∩

m∈Πv ∩

= exp (v · z) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| , wobei die letzte Gleichung aus Lemma 10.3 folgt. Also vereinfacht sich (10.6) zu 9 exp (v · z) |det (w1 (v), . . . , wd (v))|

. exp(x · z) dx = d wk (v) P ·z v Ecke von P k=1 limn→∞ n 1 − exp n Schließlich haben wir mit der Regel von de l’Hospital wk (v) lim n 1 − exp ·z = −wk (v) · z , n→∞ n

und der Satz folgt.

Es stellt sich heraus (Aufgabe 10.4), dass f¨ ur jeden Eckenkegel Kv gilt 9 exp (v · z) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| exp(x · z) dx = (−1)d , (10.7) d Kv k=1 (wk (v) · z) und Satz 10.4 zeigt, dass die Fourier-Laplace-Transformation von P gleich der Summe der Fourier-Laplace-Transformationen der Eckenkegel ist. Mit anderen Worten 9 9 exp(x · z) dx = exp(x · z) dx . P

v Ecke von P

Kv

Wir bemerken außerdem, dass |det (w1 (v), . . . , wd (v))| eine geometrische Bedeutung hat: Es ist das Volumen des Fundamentalparallelepipeds des Eckenkegels Kv . Der neugierige Leser mag sich fragen, was mit der Aussage von Satz 10.4 passiert, wenn wir jeden der Erzeuger wk (v) mit einem anderen Faktor skalieren. Es l¨ asst sich leicht zeigen (Aufgabe 10.5), dass die rechte Seite von Satz 10.4 invariant bleibt.

10.3 Polytope haben ihre Momente

179

10.3 Polytope haben ihre Momente Die gebr¨ auchlichste Deﬁnition der Momente einer Menge P ⊂ 9 9 ya dy = y1a1 y2a2 · · · ydad dy μa := P

P

d

ist

f¨ ur einen festen Vektor a = (a1 , a2 , . . . , ad ) ∈ d . F¨ ur a = 0 = (0, 0, . . . , 0), erhalten wir μ0 = vol P. Als eine Anwendungen von Momenten betrachten wir das Problem, den Massenschwerpunkt von P zu ﬁnden, der durch 9 9 9 1 y1 dy , y2 dy , . . . , yd dy vol P P P P deﬁniert ist. Dieses Integral ist gleich 1 μ(1,0,0,...,0) , μ(0,1,0,...,0) , . . . , μ(0,...,0,1) . μ0 Auf ¨ ahnliche Weise kann man die Varianz von P und andere zu P geh¨orende statistische Daten deﬁnieren und Momente benutzen, um sie zu berechnen. Unsere n¨ achste Aufgabe ist es, die Momente μa durch Satz 10.4 darzustellen. Wir nehmen eine Variablensubstitution yk = exk im deﬁnierenden Integral von μa vor: 9 9 9 ya dy = ex1 a1 ex2 a2 · · · exd ad ex1 ex2 · · · exd dx = ex·(a+1) dx . μa = P

P

P

Damit liefert uns Satz 10.4 die folgenden Formeln f¨ ur die Momente eines einfachen rationalen d-Polytops P: exp (v · (a + 1)) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| μa = (−1)d d k=1 (wk (v) · (a + 1)) v Ecke von P f¨ ur alle a, f¨ ur die die Nenner auf der rechten Seite nicht verschwinden. Wenn wir einen Schritt weiter gehen, k¨ onnen wir mit Satz 10.4 Informationen u ¨ ber eine andere Familie von Momenten erhalten. Auf dem Weg dahin stolpern wir u ur das stetige Volumen eines Polytops. ¨ ber eine erstaunliche Formel f¨ Satz 10.5. Sei P ein einfaches rationales konvexes d-Polytop. F¨ ur einen konvexen Kegel Kv von P halten wir eine Menge von Erzeugern w1 (v), w2 (v), . . . , wd (v) ∈ d fest. Dann gilt

vol P =

(−1)d d!

v Ecke von P

d

(v · z) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| d k=1 (wk (v) · z)

f¨ ur alle z, f¨ ur die die Nenner auf der rechten Seite nicht verschwinden. Allgemeiner gilt f¨ ur beliebige ganze Zahlen j ≥ 0, dass 9 j+d (v · z) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| (−1)d j! (x · z)j dx = . d (j + d)! P k=1 (wk (v) · z) v Ecke von P

180

10 Euler-Maclaurin-Summation im

d

Beweis. Wir ersetzen die Variable z in der Gleichung von Satz 10.4 durch sz, wobei s ein Skalar ist: 9 exp (v · (sz)) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| exp (x · (sz)) dx = (−1)d , d P k=1 (wk (v) · (sz)) v Ecke von P was als 9 exp (s (x · z)) dx = (−1)d

exp (s (v · z)) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| sd dk=1 (wk (v) · (z)) v Ecke von P

P

umformuliert werden kann. Die allgemeine Aussage des Satzes folgt jetzt, wenn wir zun¨ achst die Exponentialfunktionen als Taylor-Reihen in s entwickeln und dann die Koeﬃzienten auf beiden Seiten vergleichen: 9 sj j (x · z) dx j! P j≥0

= (−1)d

(v · z)

v Ecke von P j≥0

=

(−1)d

(v · z)

v Ecke von P

j≥−d

j

sj−d |det (w1 (v), . . . , wd (v))| d j! k=1 (wk (v) · (z))

j+d

sj |det (w1 (v), . . . , wd (v))| . d (j + d)! k=1 (wk (v) · (z))

Der Beweis dieses Satzes enth¨ ullt noch weitere Gleichungen zwischen rationalen Funktionen, n¨ amlich dass die Koeﬃzienten der negativen Potenzen von s in der letzte Zeile des Beweises gleich null sein m¨ ussen. Dies f¨ uhrt unmittelbar auf das folgende interessante System von d Gleichungen f¨ ur einfache d-Polytope: Korollar 10.6. Sei P ein einfaches rationales konvexes d-Polytop. F¨ ur einen Eckenkegel Kv von P halten wir eine Menge von Erzeugern w1 (v), w2 (v), . . . , wd (v) ∈ d fest. Dann gilt f¨ ur 0 ≤ j ≤ d − 1, dass

v

j

(v · z) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| = 0. d k=1 (wk (v) · (z)) Ecke von P

10.4 Vom stetigen zum diskreten Volumen eines Polytops In diesem Abschnitt wenden wir den Todd-Operator auf Perturbationen des stetigen Volumens an. Das heißt, wir betrachten ein volldimensionales Polytop P, welches wir als P = x ∈ d : Ax ≤ b schreiben k¨ onnen. Dann deﬁnieren wir das gest¨orte Polytop

10.4 Vom stetigen zum diskreten Volumen eines Polytops

P(h) := x ∈

d

181

: Ax ≤ b + h

f¨ ur einen kleinen“ Vektor h ∈ m . Ein ber¨ uhmter Satz nach Askold Khovan” ski˘ı und Aleksandr Pukhlikov besagt, dass wir die Anzahl der Gitterpunkte in P durch Anwendung des Todd-Operators auf vol (P(h)) erhalten k¨onnen. Hier beweisen wir den Satz f¨ ur eine bestimmte Klasse von Polytopen, die wir zuerst deﬁnieren m¨ ussen. Wir nennen einen rationalen spitzen d-Kegel unimodular, wenn seine Erzeuger eine Basis von d bilden. Ein ganzzahliges Polytop ist unimodular, wenn jeder seiner Eckenkegel unimodular ist.1

Satz 10.7 (Satz von Khovanski˘ı-Pukhlikov). F¨ ur ein unimodulares dPolytop P gilt # P ∩ d = Toddh vol (P(h))|h=0 .

Allgemeiner gilt exp(x · z) dx P(h)

9 σP (exp z) = Toddh

. h=0

Beweis. Wir benutzen Satz 10.4, die stetige Version des Satzes von Brion; man beachte, dass P, falls es unimodular ist, automatisch einfach ist. F¨ ur einen Eckenkegel Kv von P bezeichnen wir seine Erzeuger mit w1 (v), w2 (v), . . . , wd (v) ∈ d . Dann besagt Satz 10.4, dass 9 exp (v · z) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| exp(x · z) dx = (−1)d d P k=1 (wk (v) · z) v Ecke von P exp (v · z) = (−1)d , (10.8) d k=1 (wk (v) · z) v Ecke von P

wobei die letzte Gleichung aus Aufgabe 10.3 folgt. Eine ¨ahnliche Formel gilt f¨ ur P(h), außer, dass wir hier die Verschiebung der Ecken ber¨ ucksichtigen m¨ ussen. Der Vektor h verschiebt die Facetten-deﬁnierenden Hyperebenen. Diese Verschiebung der Facetten induziert eine Verschiebung der Ecken; sagen wir, die Ecke v werde entlang der Eckenrichtung wk (die Vektoren, die den Eckenkegel Kv erzeugen) durch hk (v) verschoben, so dass P(h) jetzt die Ecke d v− k=1 hk (v)wk (v) habe. Falls h klein genug ist, ist P(h) weiterhin einfach,2 und wir k¨ onnen Satz 10.4 auf P(h) anwenden:

1 2

Unimodulare Polytope laufen noch unter zwei weiteren Namen, n¨ amlich glatt und Delzant. Der vorsichtige Leser m¨ oge [192, p. 66] konsultieren, um diese Tatsache zu best¨ atigen.

182

9

10 Euler-Maclaurin-Summation im

d

d v − k=1 hk (v)wk (v) · z exp(x · z) dx = (−1)d d P(h) k=1 (wk (v) · z) v Ecke von P

d exp v · z − k=1 hk (v)wk (v) · z = (−1)d d k=1 (wk (v) · z) v Ecke von P d exp(v · z) k=1 exp (−hk (v)wk (v) · z) = (−1)d . d k=1 (wk (v) · z) v Ecke von P

exp

Streng genommen gilt diese Formel nur f¨ ur h ∈ m , so dass die Ecken von P(h) rational sind. Da wir letztlich h = 0 setzen werden, ist dies eine harmlose Einschr¨ ankung. Jetzt wenden wir den Todd-Operator an: 9 Toddh exp(x · z) dx P(h) h=0 exp(v · z) dk=1 exp (−hk (v)wk (v) · z) d = (−1) Toddh d (wk (v) · z) v Ecke von P

d

= (−1)

v Ecke von P

h=0

k=1

d

exp(v · z)

k=1

×

d 5 k=1

(wk (v) · z)

Toddhk (v) exp (−hk (v)wk (v) · z)

.

hk (v)=0

Mit einer multivariaten Version von Lemma 10.1 folgt 9 Toddh exp(x · z) dx P(h) h=0

d

= (−1)

v Ecke von P

=

v Ecke von P

d

exp (v · z)

k=1

exp (v · z)

d 5

(wk (v) · z) k=1

d 5 k=1

−wk (v) · z 1 − exp(wk (v) · z)

1 . 1 − exp(wk (v) · z)

Allerdings besagt der Satz von Brion (Satz 9.7) zusammen mit der Tatsache, dass P unimodular ist, dass die rechte Seite der letzten Formel genau die Gitterpunkttransformation von P ist (siehe auch (10.8)): 9 Toddh exp(x · z) dx = σP (exp z) . P(h) h=0

Schließlich erhalten wir, wenn wir z = 0 setzen,

Anmerkungen

9 Toddh dx P(h) wie behauptet.

= h=0

m∈P∩

183

1, d

/

Wir halten fest, dass P(h) exp(x·z) dx nach Deﬁnition die stetige FourierLaplace-Transformation von /P(h) ist. Nach Anwendung des diskretisierenden Operators Toddh liefert uns P(h) exp(x · z) dx die diskrete Gitterpunkttransformation σP (z).

Anmerkungen 1. Die klassiche Euler-Maclaurin-Formel besagt, dass 9 n p n f (0) + f (n) B2m : (2m−1) ;n + f f (k) = f (x) dx + (x) 2 (2m)! 0 0 m=1 k=1 9 n 1 + B2p+1 ({x}) f (2p+1) (x) dx , (2p + 1)! 0 wobei Bk (x) das k-te Bernoulli-Polynom bezeichnet. Sie wurde unabh¨angig voneinander von Leonhard Euler und Colin Maclaurin (1698–1746)3 entdeckt. Diese Formel liefert einen expliziten Fehlerterm, wohingegen Satz 10.2 eine Summengleichung ohne Fehlerterm liefert. 2. Der Todd-Operator wurde von Friedrich Hirzebruch in den 1950ern eingef¨ uhrt [99], einer komplizierteren Deﬁnition durch J. A. Todd [180, 181] etwa zwanzig Jahre zuvor folgend. Der Satz von Khovanski˘ı und Pukhlikov (Satz 10.7) kann als kombinatorisches Analogon zum algebro-geometrischen Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorem angesehen werden, in welchem der ToddOperator eine wesentliche Role spielt. 3. Satz 10.4, die stetige Form des Satzes von Brion, wurde durch Alexander Barvinok auf beliebige Polytope verallgemeinert [11]. Tats¨achlich enth¨alt [11] sogar bestimmte Erweiterungen des Satzes von Brion auf irrationale Polytope. Die Zerlegungsformeln f¨ ur Momente eines Polytops in Satz 10.5 geht auf Michel Brion und Mich`ele Vergne zur¨ uck [45]. 4. Satz 10.7 wurde als erstes 1992 von Askold Khovanski˘ı und Aleksandr Pukhlikov [107] bewiesen. Der Beweis, den wir hier geben, ist im Wesentlichen ihrer. Ihr Paper [107] zieht außerdem Parallelen zwischen torischen Variet¨aten und Polytopen. In der Folge haben viele Versuche, Formeln f¨ ur EhrhartQuasipolynome anzugeben – einige auf Satz 10.7 basierend – fruchtbaren 3

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Maclaurin siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Maclaurin.html.

184

10 Euler-Maclaurin-Summation im

d

Boden f¨ ur zuk¨ unftige Arbeit bereitet; eine lange aber keinesfalls vollst¨andige Liste von Referenzen ist [9, 32, 45, 54, 59, 60, 75, 90, 105, 106, 118, 124, 136, 145, 177].

Aufgabe 10.1. ♣ Zeigen Sie, dass Toddh h = h + 12 gilt. Allgemeiner, zeigen Sie, dass Toddh hk = Bk (h + 1) f¨ ur k ≥ 1, wobei Bk (x) das k-te Bernoulli-Polynom bezeichnet. 10.2. ♣ Beweisen Sie (10.5): Sei P ein einfaches ganzzahliges d-Polytop. F¨ ur einen Eckenkegel Kv of P bezeichnen wir seine Erzeuger mit w1 (v), w2 (v), . . . , wd (v) ∈ d und sein Fundamentalparallelepiped mit Πv . Dann gilt exp(v · z) m∈Πv ∩ d exp m n ·z

. exp(m · z) = d

wk (v) 1 − exp · z d v Ecke von P 1 k=1 n m∈P∩( n )

10.3. ♣ Gegeben sei ein unimodularer Kegel K = {v + λ1 w1 + λ2 w2 + · · · + λd wd : λ1 , λ2 , . . . , λd ≥ 0} ,

d , so dass w1 , w2, . . . , wd eine Basis des d bilden,

wobei v, w1 , w2 , . . . , wd ∈ zeigen Sie, dass

σK (z) = d k=1

zv (1 − zwk )

und |det (w1 , . . . , wd )| = 1. 10.4. ♣ Beweisen Sie (10.7). Zeigen Sie also, dass f¨ ur den einfachen Kegel < d λk wk : λk ≥ 0 K= v+ k=1

mit v, w1 , w2 , . . . , wd ∈ d gilt, dass 9 exp (v · z) |det (w1 (v), . . . , wd (v))| exp(x · z) dx = (−1)d . d K k=1 (wk (v) · z) 10.5. Zeigen Sie, dass in der Aussage von Satz 10.4 der Ausdruck |det (w1 (v), . . . , wd (v))| d k=1 (wk (v) · z) invariant bleibt, wenn jedes wk (v) mit einer unabh¨angigen positiven ganzen Zahl skaliert wird.

Oﬀene Probleme

185

Oﬀene Probleme 10.6. Finden Sie alle diﬀerenzierbaren Eigenfunktionen des Todd-Operators. 10.7. Klassiﬁzieren Sie alle Polytope, deren diskretes und stetiges Volumen identisch sind, d.h. LP (1) = vol P. 10.8. Welche ganzzahligen Polytope haben eine Triangulierung in d-Simplizes, so dass jeder der Simplizes unimodular ist?

11 Raumwinkel

Everything you’ve learned in school as obvious“ becomes less and less obvious as ” you begin to study the universe. For example, there are no solids in the universe. There’s not even a suggestion of a solid. There are no absolute continuums. There are no surfaces. There are no straight lines. Buckminster Fuller (1895–1983)

Die nat¨ urliche Verallgemeinerung eines zweidimensionalen Winkels auf h¨ohere Dimensionen heißt Raumwinkel. Zu einem gegebenen spitzen Kegel K ⊂ d ist der Raumwinkel an seiner Spitze der Anteil des Raumes, den K belegt. In etwas anderen Worten: Wenn wir einen Punkt x ∈ d zuf¨allig“ ausw¨ahlen, ” dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass x ∈ K gilt, genau der Raumwinkel an der Spitze von K. Noch eine weitere Betrachtungsweise von Raumwinkeln ist die, dass es sich eigentlich um Volumina sph¨arischer Polytope, also der Durchschnittsmengen eines Kegels mit einer Kugel, handelt. Hier gibt es eine Theorie parallel zur Ehrhart-Theorie aus den Kapiteln 3 und 4, in die jedoch auch einige neue Ideen einﬂießen.

11.1 Ein neues diskretes Volumen unter Benutzung von Raumwinkeln Sei P ⊂ d ein konvexes rationales d-Polyeder. Der Raumwinkel ωP (x) eines Punktes x (bez¨ uglich P) ist eine reelle Zahl, die gleich dem Anteil eines kleinen Balls um den Mittelpunkt x ist, der in P enthalten ist. Das heißt, wir bezeichnen mit B (x) den Ball mit Radius und Mittelpunkt x und deﬁnieren ωP (x) :=

vol (B (x) ∩ P) vol B (x)

188

11 Raumwinkel

C

O B A

f¨ ur alle hinreichend kleinen positiven . Wir bemerken, dass ωP (x) = 0 f¨ ur x∈ / P gilt, und wenn x ∈ P ◦ , dann ist ωP (x) = 1; f¨ ur x ∈ ∂P ist 0 < ωP (x) < 1. Den Raumwinkel einer Seite F von P deﬁnieren wir, indem wir einen beliebigen Punkt x aus dem relativen Inneren F ◦ nehmen und ωP (F ) = ωP (x) setzen. Beispiel 11.1. Wir berechnen die Raumwinkel der Seiten des Standard3-Simplexes Δ = conv {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Wie wir gerade erw¨ ahnt haben, hat ein Punkt im Inneren von Δ den Raumwinkel 1. Jede Facette hat dem Raumwinkel 12 (und das gilt f¨ ur jedes beliebige Polytop). Interessant wird das Ganze f¨ ur die Kanten: Hier berechnen wir Diederwinkel. Der Diederwinkel einer eindimensionalen Kante ist durch den Winkel zwischen dem a ¨ußeren Normalenvektor einer ihrer beiden deﬁnierenden Facetten und dem inneren Normalenvektor ihrer anderen Facette deﬁniert. Die drei Kanten OA, OB und OC in der obigen Abbildung haben alle den gleichen Raumwinkel 14 . Wir wenden uns der Kante AB zu und berechnen den Winkel zwischen ihren deﬁnierenden Facetten wie folgt: 1 1 1 1 cos−1 √ (−1, −1, −1) · (0, 0, −1) = cos−1 √ . 2π 2π 3 3 Die Kanten AC und BC haben aus Symmetriegr¨ unden den gleichen Raumwinkel. Schließlich berechnen wir die Raumwinkel der Ecken: Der Koordinatenursprung hat den Raumwinkel 18 , und die anderen drei Ecken haben alle den gleichen Raumwinkel ω. Mit Korollar 11.9 unten (der Brianchon-GramGleichung) k¨ onnen wir diesen Winkel via

11.1 Ein neues diskretes Volumen unter Benutzung von Raumwinkeln

0=

(−1)dim F ωP (F ) = −1 + 4 ·

F ⊆P

berechnen, was ω =

1 2π

cos−1

√1 3

1 1 1 −3· −3· cos−1 2 4 2π

−

1 8

1 √ 3

+

189

1 +3·ω 8

liefert.

Wir stellen nun ein weiteres Maß f¨ ur das diskrete Volumen vor; wir setzen n¨ amlich AP (t) := ωtP (m) , m∈tP∩

d

die Summe der Raumwinkel an allen Gitterpunkten in tP; und da ωP (x) = 0 f¨ ur x ∈ / P, k¨ onnen wir dies auch als AP (t) = ωtP (m) m∈

d

schreiben. Dieses neue diskrete Volumen unterscheidet sich in einem wesentlichen Punkt von der Ehrhart-Z¨ ahlfunktion LP (t). Sei n¨amlich P ein d-Polytop, das als Vereinigung zweier Polytope P1 und P2 geschrieben werden kann, f¨ ur die dim (P1 ∩ P2 ) < d gilt, so dass also P1 und P2 entlang einer niedrigerdimensionalen Teilmenge zusammengeklebt sind. Dann gilt an jedem Gitterpunkt m ∈ d , dass ωP1 (m) + ωP2 (m) = ωP (m), so dass die Funktion AP folgende Additivit¨ atseigenschaft erf¨ ullt:

AP (t) = AP1 (t) + AP2 (t) .

(11.1)

Im Gegensatz dazu erf¨ ullen die Ehrhart-Z¨ ahlfunktionen LP (t) = LP1 (t) + LP2 (t) − LP1 ∩P2 (t) . Auf der anderen Seite k¨ onnen wir Berechnungsaufwand von den Ehrhart-Z¨ahlfunktionen auf die Raumwinkelsummen und umgekehrt verschieben, indem wir das folgende Lemma anwenden. Lemma 11.2. Sei P ein Polytop. Dann gilt AP (t) = ωP (F ) LF ◦ (t) . F ⊆P

Beweis. Das gestreckte Polytop tP ist die disjunkte Vereinigung seiner relativ oﬀenen Seiten tF ◦ , so dass wir schreiben k¨ onnen ωtP (m) = ωtP (m) 1tF ◦ (m) . AP (t) = m∈

F ⊆P m∈

d

d

Aber ωtP (m) ist auf jeder relativ oﬀenen Seite tF ◦ konstant, und wir haben diese Konstante ωP (F ) genannt, so dass gilt AP (t) = ωP (F ) 1tF ◦ (m) = ωP (F ) LF ◦ (t) . F ⊆P

m∈

d

F ⊆P

190

11 Raumwinkel

Also ist AP (t) ein Polynom (beziehungsweise Quasipolynom) in t f¨ ur jedes ganzzahlige (beziehungsweise rationale) Polytop P. Wir behaupten, dass Lemma 11.2 in der Tat von praktischem Nutzen ist. Um diese Behauptung zu untermauern, verdeutlichen wir diese Gleichung, indem wir die Raumwinkelsumme u ¨ ber alle Gitterpunkte von Δ aus Beispiel 11.1 berechnen. Beispiel 11.3. Wir fahren mit der Raumwinkelberechnung f¨ ur den 3-Simplex Δ = conv {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} fort. Wir erinnern uns aus Ab schnitt 2.3 an LΔ◦ = t−1 . Die Facetten von Δ sind die drei Standarddreiecke 3 und ein Dreieck, das im Zusammenhang mit dem Frobenius-Problem auf tauchte. Alle vier Facetten haben das gleiche innere Ehrhart-Polynom t−1 2 . Ein ¨ ahnliches Ph¨ anomen gilt f¨ ur die Kanten von Δ: Alle sechs davon haben das gleiche innere Ehrhart-Polynom t − 1. Diese Polynome addieren sich, nach Lemma 11.2 und Beispiel 11.1, zu der Raumwinkelsumme 1 1 1 t−1 1 t−1 AΔ (t) = + 3· +3· cos−1 √ +4· (t − 1) 2 2 4 2π 3 3 1 1 1 1 cos−1 √ − + +3· 8 2π 8 3 1 3 5 1 3 cos−1 √ t. − = t + 6 2π 12 3 Die magische Ausl¨ oschung der geraden Terme dieses Polynoms ist kein Zufall, wie wir in Satz 11.7 entdecken werden. Dem neugierigen Leser wird auﬀallen, dass der Koeﬃzient von t in diesem Beispiel keine rationale Zahl ist, ganz in Gegensatz zu Ehrhart-Polynomen. Das Gegenst¨ uck zum Satz von Ehrhart (Satz 3.23) in der Welt der Raumwinkel lautet wie folgt. Satz 11.4 (Satz von Macdonald). Sei P ein rationales konvexes d-Polytop. Dann ist AP ein Quasipolynom vom Grad d, dessen Leitkoeﬃzient vol P ist und dessen Periode den Nenner von P teilt. Beweis. Der Nenner einer Seite F ⊂ P teilt den Nenner von P, somit tut dies auch die Periode von LF nach dem Satz von Ehrhart (Satz 3.23). Nach Lemma 11.2 ist AP ein Quasipolynom, dessen Periode den Nenner von P teilt. Der Leitterm von AP gleicht dem Leitterm von LP ◦ , welcher gleich vol P ist, nach Korollar 3.20 und seiner Erweiterung in Aufgabe 3.29.

11.2 Raumwinkel-Erzeugendenfunktionen und ein Brion-artiger Satz Analog zur Gitterpunkttransformation eines Polyeders P ⊆ d , die alle Gitterpunkte in P auflistet, bilden wir die Raumwinkel-Erzeugendenfunktion

11.2 Raumwinkel-Erzeugendenfunktionen und ein Brion-artiger Satz

αP (z) :=

m∈P∩

191

ωP (m) zm . d

Mit der gleichen Argumentation wie in (11.1) f¨ ur AP gen¨ ugt diese Funktion einer h¨ ubschen Additivit¨ atsrelation. Falls n¨ amlich das d-Polyeder P gleich P1 ∪ P2 ist, wobei dim (P1 ∩ P2 ) < d, dann gilt αP (z) = αP1 (z) + αP2 (z) .

(11.2)

Diese Erzeugendenfunktion gen¨ ugt dem folgenden Reziprozit¨atsgesetz, parallel sowohl zur Aussage als auch zum Beweis von Satz 4.3: Satz 11.5. Sei K ein rationaler spitzer d-Kegel mit Spitze im Koordinatenursprung, und v ∈ d . Dann ist die Raumwinkel-Erzeugendenfunktion αv+K (z) des spitzen d-Kegels v + K eine rationale Funktion, f¨ ur die gilt 1 = (−1)d α−v+K (z) . αv+K z Beweis. Da Raumwinkel nach (11.2) additiv sind, gen¨ ugt es, diesen Satz f¨ ur simpliziale Kegel zu zeigen. Der Beweis f¨ ur diesen Fall verl¨auft ¨ahnlich wie der Beweis von Satz 4.2; die wesentliche geometrische Zutat ist Aufgabe 4.2. Wir laden den Leser ein, den Beweis zu vervollst¨andigen (Aufgabe 11.4). Das Analogon zum Satz von Brion u ¨ ber Raumwinkel lautet wie folgt. Satz 11.6. Sei P ein rationales konvexes Polytop. Dann haben wir die folgende Gleichung von rationalen Funktionen: αP (z) = αKv (z) . v Ecke von P

Beweis. Wie im Beweis von Satz 9.7 gen¨ ugt es, Satz 11.6 f¨ ur Simplizes zu zeigen. Sei also Δ ein rationaler Simplex. Wir schreiben Δ als disjunkte Vereinigung seiner oﬀenen Seiten und wenden den Satz von Brion f¨ ur oﬀene Polytope (Aufgabe 9.7) auf jede Seite an. Das heißt, wenn wir den Eckenkegel von F an der Ecke v mit Kv (F ) bezeichnen, dann folgt aus einer Monom-Version von Lemma 11.2, dass αΔ (z) = ωΔ (F ) σF ◦ (z) F ⊆Δ

=

ωΔ (v) zv +

v Ecke von Δ

F⊆Δ dim F>0

ωΔ (F )

σKv (F )◦ (z) ,

v Ecke von F

wobei wir im zweiten Schritt den Satz von Brion f¨ ur oﬀene Polytope (Aufgabe 9.7) benutzt haben. Nach Aufgabe 11.5 gilt ωΔ (F ) σKv (F )◦ (z) = ωKv (F ) σF ◦ (z) , F⊆Δ dim F>0

v Ecke von F

v Ecke von Δ

F⊆Kv dim F>0

192

11 Raumwinkel

so dass

αΔ (z) =

v Ecke von Δ

=

v Ecke von Δ

F⊆Kv dim F>0

ωΔ (v) zv +

ωKv (F ) σF ◦ (z)

ωKv (F ) σF ◦ (z)

v Ecke von Δ F ⊆Kv

=

αKv (z) .

v Ecke von Δ

11.3 Raumwinkel-Reziprozit¨ at und die Brianchon-Gram-Gleichungen Mit Hilfe der S¨ atze 11.5 und 11.6 k¨ onnen wir nun ein Raumwinkel-Analogon der Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at (Satz 4.1) beweisen: Satz 11.7 (Reziprozit¨ atssatz von Macdonald). Sei P ein rationales konvexes Polytop. Dann erf¨ ullt das Quasipolynom AP die Gleichung AP (−t) = (−1)dim P AP (t) . Beweis. Wir geben den Beweis f¨ ur ein ganzzahliges Polytop P und laden den Leser ein, ihn auf den allgemeinen Fall zu verallgemeinern. Die RaumwinkelZ¨ ahlfunktion von P kann durch die Erzeugendenfunktion AP (t) = αtP (1, 1, . . . , 1) = lim αtP (z) z→1

berechnet werden. Nach Satz 11.6 gilt AP (t) = lim

z→1

αtKv (z) ,

v Ecke von P

wobei Kv der Tangentialkegel von P an der Ecke v ist. Wir schreiben Kv = v + K(v), wobei K(v) := Kv − v ein rationaler Kegel mit Spitze im Koordinatenursprung ist. Dann gilt tKv = tv + K(v), da ein Kegel mit Spitze im Koordinatenursprung unter Streckungen invariant ist. Also erhalten wir, mithilfe von Aufgabe 11.3, die Gleichung AP (t) = lim αtv+K(v) (z) = lim ztv αK(v) (z) . z→1

v Ecke von P

z→1

v Ecke von P

Die rationalen Funktionen αK(v) (z) auf der rechten Seite h¨angen nicht von t ab. Wenn wir die Summe u ¨ber alle Ecken als eine große rationale Funktion auffassen, auf die wir die Regel von de l’Hospital anwenden, um den Grenzwert f¨ ur z → 1 zu berechnen, dann erhalten wir so einen alternativen Beweis daf¨ ur, dass AP (t) ein Polynom ist, passend zu unserem Beweis der Polynomialit¨at von LP (t) in Abschnitt 9.4. Gleichzeitig bedeutet das, dass wir die Gleichung

11.3 Raumwinkel-Reziprozit¨ at und die Brianchon-Gram-Gleichungen

AP (t) = lim

z→1

193

ztv αK(v) (z)

v Ecke von P

auf rein algebraische Weise betrachten k¨ onnen: Auf der linken Seite haben wir ein Polynom, das f¨ ur jedes beliebige komplexe t deﬁniert ist, und auf der rechten Seite haben wir eine rationale Funktion von z, deren Grenzwert wir berechnen, z.B. mit der Regel von de l’Hospital. Also ist die rechte Seite, als Funktion von t, f¨ ur beliebige ganzzahlige t deﬁniert. Somit haben wir die Relation AP (−t) = lim z−tv αK(v) (z) z→1

v Ecke von P

f¨ ur ganzzahlige t. Aber jetzt gilt αK(v) (z) = (−1)d αK(v) 1z nach Satz 11.5, und somit 1 −tv d AP (−t) = lim z (−1) αK(v) z→1 z v Ecke von P tv 1 1 d αK(v) = (−1) lim z→1 z z v Ecke von P 1 = (−1)d lim αtv+K(v) z→1 z v Ecke von P 1 d = (−1) lim αtP z→1 z = (−1)d AP (t) . Im dritten Schritt haben wir wieder Aufgabe 11.3 verwendet. Dies beweist Satz 11.7 f¨ ur ganzzahlige Polytope. Der Beweis f¨ ur rationale Polytope folgt dem selben Muster; man verf¨ ahrt mit den rationalen Ecken auf ¨ ahnliche Art wie in unserem zweiten Beweis des Satzes von Ehrhart in Abschnitt 9.4. Wir laden den Leser ein, die Details in Aufgabe 11.6 auszuarbeiten. Wir bemerken, dass wir den ganzen Beweis hindurch nicht einfach den Grenzwert innerhalb der endlichen Summe u ¨ ber die Ecken von P nehmen k¨ onnen, da z = 1 ein Pol jeder der rationalen Funktionen αK(v) ist. Es ist gerade die Magie des Satzes von Brion, dass diese Pole sich gegenseitig ausl¨oschen und schließlich AP (t) ergeben. Falls P ein ganzzahliges Polytop ist, dann ist AP ein Polynom, und Satz 11.7 sagt uns, dass AP stets gerade oder ungerade ist: AP (t) = cd td + cd−2 td−2 + · · · + c0 . Wir k¨ onnen noch mehr sagen. Satz 11.8. Sei P ein rationales konvexes Polytop. Dann gilt AP (0) = 0.

194

11 Raumwinkel

Dies ist eine bedeutende Nullstelle. Wir bemerken, dass der konstante Term von AP durch ωP (F ) LF ◦ (0) = ωP (F ) (−1)dim F AP (0) = F ⊆P

F ⊆P

gegeben ist, nach Lemma 11.2 und der Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at (Satz 4.1). Also folgt aus Satz 11.8 eine klassische und n¨ utzliche geometrische Gleichung: Korollar 11.9 (Brianchon-Gram-Gleichung). F¨ ur ein rationales konvexes Polytop P gilt (−1)dim F ωP (F ) = 0 . F ⊆P

Beispiel 11.10. Wir betrachten ein Dreieck T im 2 mit Ecken v1 , v2 und v3 und Kanten E1 , E2 und E3 . Die Brianchon-Gram-Gleichung sagt uns, dass f¨ ur dieses Dreieck ωT (v1 ) + ωT (v2 ) + ωT (v3 ) − (ωT (E1 ) + ωT (E2 ) + ωT (E3 )) + ωT (T ) = 0 gilt. Da die Raumwinkel aller Kanten gleich 12 sind und ωT (T ) = 1 gilt, erhalten wir eine Gleichung, die uns seit der Schulzeit vertraut ist, n¨amlich die Summe der Winkel in einem Dreieck ist 180 Grad“: ” 1 ωT (v1 ) + ωT (v2 ) + ωT (v3 ) = . 2 Also ist die Brianchon-Gram-Gleichung die Erweiterung dieser wohlbekannten Tatsache auf beliebige Dimensionen und beliebige konvexe Polytope. Beweis von Satz 11.8. Es gen¨ ugt, AΔ (0) = 0 f¨ ur einen rationalen Simplex Δ zu zeigen, da sich die Raumwinkel einer Triangulation einfach addieren, nach (11.1). Satz 11.7 liefert AΔ (0) = 0, falls dim Δ ungerade ist. Wir nehmen also jetzt an, dass Δ ein rationaler d-Simplex f¨ ur ein gerades d sei und die Ecken v1 , v2 , . . . , vd+1 habe. Sei P(n) die (d + 1)dimensionale Pyramide, die wir erhalten, wenn wir die konvexe H¨ ulle von (v1 , 0) , (v2 , 0) , . . . , (vd+1 , 0) und (0, 0, . . . , 0, n) bilden, wobei n eine positive ganze Zahl ist (siehe Abb. 11.1). Man beachte, dass, da d + 1 ungerade ist, AP(n) (0) = (−1)dim F (n) ωP(n) (F (n)) = 0 F (n)⊆P(n)

gilt. Wir werden aus dieser Gleichung F ⊆Δ (−1)dim F ωΔ (F ) = 0 schließen, was AΔ (0) = 0 impliziert. Dazu betrachten wir zwei Arten von Seiten von P(n): (a) die, die auch Seiten von Δ sind, und

11.3 Raumwinkel-Reziprozit¨ at und die Brianchon-Gram-Gleichungen

195

x3 n

x2 x1 Abb. 11.1. Die Pyramide P(n) f¨ ur ein Dreieck Δ.

(b) die, die nicht in Δ enthalten sind. Wir beginnen mit letzteren: Abgesehen von der Ecke (0, 0, . . . , 0, n) ist jede Seite F (n) von P(n), die nicht Seite von Δ ist, die Pyramide u ¨ber einer Seite G von Δ; wir bezeichnen diese Pyramide mit Pyr (G, n). Außerdem n¨ahert sich mit wachsendem n der Raumwinkel von Pyr (G, n) (in P(n)) dem Raumwinkel von G (in Δ) an: lim ωP(n) (Pyr (G, n)) = ωΔ (G) , n→∞

da wir im Grenzwert Δ × [0, ∞) bilden. Auf der anderen Seite zeigt eine Seite F(n) = G von P(n), die auch eine Seite von Δ ist, das folgende Grenzwertverhalten: 1 lim ωP(n) (F (n)) = ωΔ (G) . n→∞ 2 Die einzige Seite von P(n), die wir noch ber¨ ucksichtigen m¨ ussen, ist die Ecke v := (0, 0, . . . , 0, n). Daher gilt 0= (−1)dim F (n) ωP(n) (F (n)) F (n)⊆P(n)

= ωP(n) (v) + +

(−1)dim G+1 ωP(n) (Pyr (G, n))

G⊆Δ

(−1)dim G ωP(n) (G) .

G⊆Δ

Jetzt bilden wir den Grenzwert f¨ ur n → ∞ auf beiden Seiten; man beachte, dass limn→∞ ωP(n) (v) = 0 gilt, so dass wir

196

11 Raumwinkel

0=

(−1)dim G+1 ωΔ (G) +

G⊆Δ

1 (−1)dim G+1 ωΔ (G) = 2

G⊆Δ

1 (−1)dim G ωΔ (G) 2

G⊆Δ

erhalten, und damit AΔ (0) =

(−1)dim G ωΔ (G) = 0 .

G⊆Δ

Zusammengenommen folgt aus den S¨ atzen 11.7 und 11.8, dass das Aufsummieren der Raumwinkel in einem Polygon gleichbedeutend zur Berechnung seiner Fl¨ ache ist: Korollar 11.11. Sei P ein 2-dimensionales ganzzahliges Polytop mit Fl¨ache A. Dann ist AP (t) = A t2 .

11.4 Die Erzeugendenfunktion von Macdonalds Raumwinkelpolynomen Wir schließen dieses Kapitel mit der Untersuchung des Raumwinkel-Analogons der Ehrhart-Reihe. Zu einem gegebenen ganzzahligen Polytop P deﬁnieren wir die Raumwinkelreihe von P als die Erzeugendenfunktion des Raumwinkelpolynoms. Sie kodiert die Raumwinkelsummen aller Streckungen von P gleichzeitig: SolidP (z) := AP (t) z t . t≥0

Der folgende Satz ist das Raumwinkel-Analogon zu den S¨atzen 3.12 und 4.4, mit dem zus¨ atlichen Bonus, dass wir die Palindromeigenschaft des Z¨ahlers von SolidP umsonst bekommen. Satz 11.12. Sei P ein ganzzahliges d-Polytop. Dann ist SolidP eine rationale Funktion der Form SolidP (z) =

ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z (1 − z)d+1

Außerdem gilt die Gleichung SolidP

1 = (−1)d+1 SolidP (z) z

ur 1 ≤ k ≤ d2 . oder, ¨aquivalent, ak = ad+1−k f¨

.

Anmerkungen

197

Beweis. Die Form der rationalen Funktion SolidP folgt mit Lemma 3.9 aus der Tatsache, dass AP ein Polynom ist. Die Palindromeigenschaft von a1 , a2 , . . . , ad ist ¨ aquivalent zu der Gleichung 1 = (−1)d+1 SolidP (z) , SolidP z welche wiederum aus Satz 11.7 folgt: SolidP (z) = AP (t) z t = (−1)d AP (−t) z t = (−1)d AP (t) z −t . t≥0

t≥0

t≤0

Jetzt benutzen wir Aufgabe 4.5: d

(−1)

AP (t) z

t≤0

−t

d+1

= (−1)

t≥1

AP (t) z

−t

d+1

= (−1)

1 . SolidP z

Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass AP (0) = 0 gilt (Satz 11.8).

Anmerkungen 1. I. G. Macdonald hat die systematische Untersuchung der Raumwinkelsummen in ganzzahligen Polytopen begr¨ undet. Die grundlegenden S¨atze 11.4, 11.7 und 11.8 sind in seiner Arbeit aus dem Jahr 1971 zu ﬁnden [122]. Der Beweis von Satz 11.7, den wir hier angeben, folgt [25]. 2. Die Brianchon-Gram-Gleichung (Korollar 11.9) ist das Raumwinkel-Analogon der Euler-Gleichung f¨ ur Seitenzahlen (Satz 5.2). Der in Beispiel 11.10 diskutierte 2-dimensionale Fall ist sehr alt; er war h¨ochstwahrscheinlich schon Euklid bekannt. Der 3-dimensionale Fall von Korollar 11.9 wurde von Charles Julien Brianchon im Jahr 1837 entdeckt und wurde – soweit wir wissen – unabh¨ angig davon von Jørgen Gram im Jahr 1874 bewiesen [87]. Es ist nicht klar, wer als Erster den allgemeinen d-dimensionalen Fall von Korollar 11.9 bewiesen hat. Die ¨ altesten Beweise, die wir ﬁnden konnten, stammen aus den 1960ern, von Branko Gr¨ unbaum [89], Micha A. Perles und Geoﬀrey C. Shephard [141, 161]. 3. Satz 11.5 ist ein Spezialfall eines Reziprozit¨atsgesetzes f¨ ur einfache gitterinvariante Bewertungen nach Peter McMullen [127], der auch eine ¨ahnliche Erweiterung der Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨at auf allgemeine gitterinvariante Bewertungen bewiesen hat. Die Forschungsaktivit¨at zum Thema Raumwinkel lebt derzeit wieder auf; siehe zum Beispiel [51].

198

11 Raumwinkel

Aufgaben 11.1. Berechnen Sie AP (t), wobei P der regul¨ are Tetraeder mit Ecken (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1) und (0, 1, 1) ist (siehe Aufgabe 2.13). 11.2. Berechnen Sie AP (t), wobei P das rationale Dreieck mit Ecken (0, 0), 1 1 2 , 2 und (1, 0) ist. 11.3. ♣ Sei K ein rationaler d-Kegel, und sei m ∈ Aufgabe 3.5, dass αm+K (z) = zm αK (z) gilt.

d . Zeigen Sie analog zu

11.4. ♣ Vervollst¨ andigen Sie den Beweis von Satz 11.5: F¨ ur einen rationalen spitzen d-Kegel K ist αK (z) eine rationale Funktion, die 1 = (−1)d αK (z) αK z erf¨ ullt. 11.5. ♣ Sei Δ ein rationaler Simplex. Zeigen Sie, dass ωΔ (F ) σKv (F )◦ (z) = ωKv (F ) σF ◦ (z) . F⊆Δ dim F>0

v Ecke von F

v Ecke von Δ

F⊆Kv dim F>0

11.6. ♣ Erg¨ anzen Sie die Details im Beweis von Satz 11.7 f¨ ur rationale Polytope: Zeigen Sie, dass f¨ ur ein rationales konvexes Polytop P das Quasipolynom AP die Gleichung AP (−t) = (−1)dim P AP (t) erf¨ ullt. 11.7. Erinnern Sie sich aus Aufgabe 3.1 daran, dass wir jeder Permutation π ∈ Sd auf d Elementen den Simplex Δπ := conv 0, eπ(1) , eπ(1) + eπ(2) , . . . , eπ(1) + eπ(2) + · · · + eπ(d) zuordnen k¨ onnen. Zeigen Sie, dass f¨ ur alle π ∈ Sn die Gleichung AΔπ (t) = gilt.

1 d d! t

11.8. Geben Sie einen direkten Beweis von Korollar 11.11 an, indem Sie z.B. den Satz von Pick (Satz 2.8) benutzen. 11.9. Formulieren und beweisen Sie das Analogon von Satz 11.12 f¨ ur rationale Polytope.

Oﬀene Probleme

199

Oﬀene Probleme 11.10. Untersuchen Sie die Nullstellen der Raumwinkelpolynome. 11.11. Klassiﬁzieren Sie alle Polytope, die nur rationale Raumwinkel an allen ihren Ecken haben. 11.12. Welche ganzzahligen Polytope P haben Raumwinkelpolynome AP (t) ∈ [t]? Das heißt, f¨ ur welche ganzzahligen Polytope P sind alle Koeﬃzienten von AP (t) rational?

12 Eine diskrete Version des Satzes von Green mit elliptischen Funktionen

The shortest route between two truths in the real domain passes through the complex domain. Jacques Salomon Hadamard (1865–1963)

Wir g¨ onnen uns jetzt den Luxus, ein wenig grundlegende Funktionentheorie zu verwenden. Insbesondere nehmen wir an, dass der Leser mit Wegintegralen und dem Residuensatz vertraut ist. Wir betrachten den Residuensatz als noch ein weiteres Ergebnis, das das Diskrete und das Stetige eng verkn¨ upft: Er u uhrt ein stetiges Integral in eine diskrete Summe von Residuen. ¨ berf¨ Mithilfe der Weierstraß’schen ℘- und ζ-Funktionen zeigen wir hier, dass der Satz von Pick eine diskrete Version des Satzes von Green in der Ebene ist. Als Dreingabe erhalten wir eine Integralformel (Satz 12.5 unten) f¨ ur die Diskrepanz zwischen der von einer allgemeinen Kurve C umschlossenen Fl¨ache und der Anzahl der in C enthaltenen Gitterpunkte.

12.1 Der Residuensatz Wir beginnen dieses Kapitel, indem wir einige grundlegende Konzepte der Funktionentheorie wiederholen. Die komplexwertige Funktion f habe eine isolierte Singularit¨ at w ∈ G; das heißt, es gebe eine oﬀene Menge G ⊂ , so dass f auf G \ {w} holomorph sei. Dann kann f lokal durch die LaurentReihe n f (z) = cn (z − w) ,

n∈

ausgedr¨ uckt werden, die f¨ ur alle z ∈ G g¨ ultig ist; dabei sind alle cn ∈ . Der Koeﬃzient c−1 wird das Residuum von f in w genannt; wir werden es mit Res(z = w) bezeichnen. Der Grund, warum c−1 mit einem besonderen

202

12 Eine diskrete Version des Satzes von Green mit elliptischen Funktionen

Namen versehen ist, wird im folgenden Satz klar. Wir nennen eine Funktion meromorph, wenn sie holomorph auf mit Ausnahme isolierter Pole ist.

Satz 12.1 (Residuensatz). Sei f meromorph und C eine positiv orientierte, st¨ uckweise diﬀerenzierbare, einfache geschlossene Kurve, die durch keinen Pol von f l¨auft. Dann gilt 9 f = 2πi Res(z = w) , C

w

wobei die Summe ¨ uber alle Singularit¨aten w im Inneren von C genommen wird. Wenn f eine rationale Funktion ist, liefert Satz 12.1 das gleiche Ergebnis wie die Partialbruchzerlegung von f . Wir verdeutlichen diese Philosophie, indem wir zu den elementaren Anf¨ angen von Kapitel 1 zur¨ uckkehren. Beispiel 12.2. Wir erinnern uns an unsere Gleichung u ¨ber konstante Terme der eingeschr¨ ankten Partitionsfunktion f¨ ur A = {a1 , a2 , . . . , ad } aus Kapitel 1: 1 . pA (n) = const (1 − z a1 ) (1 − z a2 ) · · · (1 − z ad ) z n 1 Den konstanten Term der Laurent-Reihe von (1−za1 )···(1−z ad )z n um z = 0 zu berechnen ist, nat¨ urlich, ¨ aquivalent zur Verschiebung“ dieser Funktion um ” einen Exponent und Berechnung des Residuums in z = 0 der Funktion

f (z) :=

1 (1 −

z a1 ) (1

−

z a2 ) · · · (1

− z ad ) z n+1

.

Sei jetzt Cr ein positiv orientierter Kreis vom Radius r > 1 mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Das Residuum Res(z = 0) = pA (n) ist eines der Residuen, die von dem Integral 9 1 f = Res(z = 0) + Res(z = w) 2πi Cr w aufgesammelt werden, wobei die Summe u ¨ber alle von null verschiedenen Pole w von f , die innerhalb von Cr liegen, l¨ auft. Diese Pole liegen bei den a1 -ten, a2 -ten, . . . , ad -ten Einheitswurzeln. Dar¨ uberhinaus k¨onnen wir mithilfe von Aufgabe 12.1 zeigen, dass 9 1 0 = lim f r→∞ 2πi C r

Res(z = w) = lim Res(z = 0) + r→∞

= Res(z = 0) +

w

w

Res(z = w)

12.2 Die Weierstraß’schen ℘- und ζ-Funktionen

203

gilt, wobei die Summe u ¨ ber alle a1 -ten, a2 -ten, . . . , ad -ten Einheitswurzeln l¨ auft. Mit anderen Worten, pA (n) = Res(z = 0) = − Res(z = w) . w

Um die eingeschr¨ ankte Partitionsfunktion pA zu erhalten, m¨ ussen wir noch die Residuen an den Einheitswurzeln berechnen, und wir laden den Leser ein, sich zu vergewissern, dass diese Berechnung gleichbedeutend zur Partialbruchzerlegung aus Kapitel 1 ist (Aufgabe 12.2). Analoge Residuenberechnungen k¨ onnten jede der Konstantterm-Berechnungen, die wir in fr¨ uheren Kapiteln durchgef¨ uhrt haben, ersetzen.

12.2 Die Weierstraß’schen ℘- und ζ-Funktionen Die Hauptrolle in unserem St¨ uck spielt die Weierstraß’sche ζ-Funktion, deﬁniert durch

1 z 1 1 + + + . (12.1) ζ(z) = z z − (m + ni) m + ni (m + ni)2 2 (m,n)∈

\(0,0)

Diese unendliche Reihe konvergiert gleichm¨ aßig auf kompakten Teilmengen der Gitter-punktierten Ebene \ 2 (Aufgabe 12.4) und deﬁniert daher eine meromorphe Funktion von z. Die Weierstraß’sche ζ-Funktion besitzt die folgenden hervorstechenden Eigenschaften, die direkt aus (12.1) folgen:

(1) ζ hat einen einfachen Pol in jedem Gitterpunkt m + ni und ist ansonsten holomorph. (2) Das Residuum von ζ in jedem Gitterpunkt m + ni ist gleich 1. Wir k¨ onnen leicht nachpr¨ ufen (Aufgabe 12.5), dass

1 1 1 ℘(z) := −ζ (z) = 2 + , 2 − 2 z (z − (m + ni)) (m + ni) (m,n)∈ 2 \(0,0) (12.2) die Weierstraß’sche ℘-Funktion. Die ℘-Funktion hat einen Pol der Ordnung 2 in jedem Gitterpunkt m + ni und ist ansonsten holomorph, aber ihr Residuum ist gleich null in jedem Gitterpunkt m + ni. Allerdings gen¨ ugt ℘ einer sehr angenehmen Eigenschaft, die ζ nicht erf¨ ullt: ℘ ist doppeltperiodisch auf . Wir k¨ onnen dies konkreter formulieren:

Lemma 12.3. ℘(z + 1) = ℘(z + i) = ℘(z) .

204

12 Eine diskrete Version des Satzes von Green mit elliptischen Funktionen

Beweis. Wir laden den Leser zun¨ achst ein, die folgenden Eigenschaften von ℘ zu beweisen (Aufgaben 12.6 und 12.7): 9

z1

℘ (z + 1) = ℘ (z) ,

(12.3)

℘ (z) dz ist wegunabh¨angig.

(12.4)

z0

Nach (12.3) gilt d (℘ (z + 1) − ℘(z)) = ℘ (z + 1) − ℘ (z) = 0 , dz so dass ℘ (z + 1) − ℘(z) = c f¨ ur eine Konstante c. Andererseits ist ℘ eine gerade Funktion (Aufgabe 12.8), so dass z = − 21 uns c = ℘ 12 − ℘ − 12 = 0

liefert. Dies zeigt, dass ℘ (z + 1) = ℘(z) f¨ ur alle z ∈ \ 2 gilt. Ein analoger Beweis, zu dessen Konstruktion wir den Leser in Aufgabe 12.9 einladen, zeigt ℘ (z + i) = ℘(z).

Lemma 12.3 impliziert, dass ℘(z + m + ni) = ℘(z) f¨ ur alle m, n ∈ gilt. Das folgende Lemma zeigt, dass die Weierstraß’sche ζ-Funktion nur einen konjugiert-holomorphen Term davon entfernt ist, doppeltperiodisch zu sein. Lemma 12.4. Es gibt eine Konstante α, f¨ ur die die Funktion ζ(z) + αz doppeltperiodisch mit Perioden 1 und i ist. Beweis. Wir beginnen mit w = m + ni: 9 ζ (z + m + ni) − ζ(z) = −

m+ni

℘ (z + w) dw ,

(12.5)

w=0

nach Deﬁnition von ℘(z) = −ζ (z). Um sicherzustellen, dass (12.5) Sinn ergibt, sollten wir auch u ufen, dass das bestimmte Integral in (12.5) wegunab¨ berpr¨ h¨ angig ist (Aufgabe 12.10). Aufgrund der Doppeltperiodizit¨ at von ℘ gilt 9 m+ni 9 1 9 1 ℘ (z + w) dw = m ℘ (z + t) dt + ni ℘ (z + it) dt w=0

0

0

:= mα(z) + niβ(z) , wobei

9

9

1

℘ (z + t) dt

α(z) := 0

und

β(z) :=

1

℘ (z + it) dt . 0

ur jedes x0 ∈ gilt, so dass Jetzt beachten wir, dass α (z + x0 ) = α(z) f¨ α (x + iy) nur von y abh¨ angt. Aus ¨ ahnlichen Gr¨ unden h¨angt β (x + iy) nur von x ab. Aber

12.3 Eine Wegintegral-Version des Satzes von Pick

205

ζ (z + m + in) − ζ(z) = − (mα(y) + inβ(x))

muss holomorph in allen z ∈ \ 2 sein. Wenn wir jetzt m = 0 setzen, folgern wir, dass β(x) holomorph auf \ 2 sein muss, so dass β(x) aufgrund der Cauchy-Riemann-Diﬀerentialgleichungen f¨ ur holomorphe Funktionen konstant sein muss. Auf ¨ ahnliche Weise erhalten wir, wenn wir n = 0 setzen, dass α(y) konstant ist. Also gilt

ζ (z + m + in) − ζ(z) = − (mα + inβ) mit Konstanten α und β. Wir kommen zur¨ uck zur Weierstraß’schen ℘Funktion, und k¨ onnen die Gleichung (Aufgabe 12.11) ℘(iz) = −℘(z)

(12.6)

integrieren, um die Beziehung β = −α zu erhalten, da 9 1 9 1 9 1 β= ℘ (z + it) dt = ℘ (it) dt = − ℘ (t) dt = −α . 0

0

0

Zusammengefasst ergibt sich ζ (z + m + in) − ζ(z) = −mα + inα = −α z + m + in − z ,

so dass ζ(z) + αz doppeltperiodisch ist.

12.3 Eine Wegintegral-Version des Satzes von Pick F¨ ur den Rest dieses Kapitels sei C eine beliebige st¨ uckweise diﬀerenzierbare, einfache, geschlossene Kurve in der Ebene, mit einer gegen den Uhrzeigersinn laufenden Parametrisierung. Wir bezeichnen mit D das von C umschlossene Gebiet.

Satz 12.5. Die Kurve C lasse jeden Gitterpunkt aus, d.h. C ∩ 2 = ∅. Sei I die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren von C, und A die Fl¨ache des von C umschlossenen Gebiets D. Dann gilt 9 1 (ζ(z) − πz) dz = I − A . 2πi C Beweis. Wir haben 9 9 9 (ζ(z) + αz) dz = ζ(z) dz + α (x − iy) (dx + idy) . C

/

C

C

Nach Satz 12.1 ist C ζ(z) dz gleich der Summe der Residuen von ζ in all seinen inneren Polen. Es gibt I viele solcher Pole, und jeder Pol von ζ hat das Residuum 1. Also gilt

206

12 Eine diskrete Version des Satzes von Green mit elliptischen Funktionen

1 2πi

9 ζ(z) dz = I .

(12.7)

C

Auf der anderen Seite sagt uns der Satz von Green, dass 9 9 (x − iy) (dx + idy) = (x − iy) dx + (y + ix) dy C C 9 ∂ ∂ (y + ix) − (x − iy) = ∂x ∂y 9D9 = 2i D

= 2iA . Wir gehen zur¨ uck zu (12.7) und erhalten 9 (ζ(z) + αz) dz = 2πiI + α (2iA) .

(12.8)

C

Wir m¨ ussen nur noch α = −π zeigen. Dazu betrachten wir die spezielle Kurve C, die einen quadratischen Weg gegen den Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung herum beschreibt und genau eine Fl¨acheneinheit umfasst. Also ist I = 1 f¨ ur diese Kurve. Da ζ(z)+αz doppeltperiodisch ist nach Lemma 12.4, verschwindet das Integral in (12.8). Wir k¨ onnen folgern, dass 0 = 2πi · 1 + α (2i · 1) und somit α = −π.

Man beachte, dass uns Satz 12.5 Informationen u ¨ ber die Weierstraß’sche ζ-Funktion geliefert hat, n¨ amlich, dass α = −π. Dieses Kapitel bietet einen Abstecher in die unendliche Landschaft diskreter Ergebnisse, die auf ihre stetigen Gegenst¨ ucke treﬀen. Wir hoﬀen, mit den in diesem Buch beschriebenen bescheidenen Werkzeugen den Leser dazu motiviert zu haben, diese Landschaft weiter zu erkunden. . .

Anmerkungen 1. Die Weierstraß’sche ℘-Funktion, benannt nach Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897),1 kann auf jedes zweidimensionale Gitter L = {kw1 + jw2 : k, j ∈ } f¨ ur u linear unabh¨ anige w1 , w2 ∈ verallgemeinert ¨ ber werden:

1 1 1 ℘L (z) = 2 + . 2 − m2 z (z − m)

m∈L\{0}

1

F¨ ur mehr Informationen u ¨ ber Weierstraß siehe http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Weierstrass.html.

Aufgaben

207

Die Weierstraß’sche ℘L -Funktion und ihre Ableitung ℘L gen¨ ugen einer poly3 2 ur gewisse Konnomiellen Beziehung, n¨ amlich (℘L ) = 4 (℘L ) − g2 ℘L − g3 f¨ stanten g2 und g3 , die von L abh¨ angen. Dies ist der Beginn einer wundervollen Freundschaft zwischen Funktionentheorie und elliptischen Kurven. 2. Satz 12.5 ist in [74] zu ﬁnden. Dort wird auch gezeigt, dass man den Satz von Pick (Satz 2.8) aus Satz 12.5 herleiten kann.

Aufgaben 12.1. ♣ Zeigen Sie, dass f¨ ur positive ganze Zahlen a1 , ad , . . . , ad , n gilt 9 1 = 0. lim r→∞ C (1 − z a1 ) · · · (1 − z ad ) z n+1 r Diese Berechnung zeigt, dass der obige Integrand keinen Pol im Unendlichen ” hat“. 12.2. ♣ Berechnen Sie die Residuen in den nichttrivialen Einheitswurzeln von f (z) =

1 . (1 − z a1 ) · · · (1 − z ad ) z n+1

Der Einfachheit halber d¨ urfen Sie annehmen, dass a1 , a2 , . . . , ad paarweise teilerfremd sind. 12.3. Geben Sie eine Integralversion von Satz 2.13. 12.4. ♣ Zeigen Sie, dass 1 + ζ(z) = z

(m,n)∈

2 \(0,0)

auf kompakten Teilmengen von

1 z 1 + + z − (m + ni) m + ni (m + ni)2

\ 2 gleichm¨aßig konvergiert.

12.5. ♣ Zeigen Sie (12.2), also 1 ζ (z) = − 2 − z

(m,n)∈

2 \(0,0)

1 (z − (m + ni))2

−

1 (m + ni)2

.

12.6. ♣ Zeigen Sie (12.3), also dass ℘ (z + 1) = ℘ (z). 12.7. ur beliebige z0 , z1 ∈ / z1 ♣ Zeigen Sie (12.4), also dass f¨ ℘ (w) dw wegunabh¨ a ngig ist. z0

\ 2 das Integral

12.8. ♣ Zeigen Sie, dass ℘ gerade ist, dass also ℘ (−z) = ℘(z).

208

12 Eine diskrete Version des Satzes von Green mit elliptischen Funktionen

12.9. ♣ Beenden Sie den Beweis von Lemma 12.3, indem Sie zeigen, dass ℘ (z + i) = ℘(z). 12.10. ♣ Zeigen Sie, dass das Integral in (12.5), 9 ζ (z + m + ni) − ζ(z) = −

w=m+ni

℘ (z + w) dw , w=0

wegunabh¨ angig ist. 12.11. ♣ Zeigen Sie (12.6), also ℘(iz) = −℘(z).

Oﬀene Probleme 12.12. K¨ onnen wir noch mehr Informationen u ¨ber die Weierstraß’schen ℘und ζ-Funktionen bekommen, indem wir detaillierteres Wissen u ¨ber die Diskrepanz zwischen I und A f¨ ur spezielle Kurven C ausnutzen? 12.13. Finden Sie eine funktionentheoretische Erweiterung von Satz 12.5 auf h¨ ohere Dimensionen.

A V- und H-Beschreibungen von Polytopen

Everything should be made as simple as possible, but not simpler. Albert Einstein

In diesem Anhang werden wir beweisen, dass jedes Polytop eine V- und eine H-Beschreibung hat. Dabei st¨ utzen wir uns haupts¨achlich auf G¨ unter Zieglers wundervolle Einf¨ uhrung in [192]; tats¨ achlich haben wir uns f¨ ur die folgenden Seiten lediglich einige Rosinen aus [192, Lecture 1] herausgepickt. Wie in Kapitel 3 ist es einfacher, in die Welt der Kegel zu wechseln. Um so konkret wie m¨ oglich zu sein, wollen wir K ⊆ d einen H-Kegel nennen, falls K = x ∈ d : Ax ≤ 0 f¨ ur eine Matrix A ∈ m×d ; in diesem Fall ist K als der Durchschnitt von m Halbr¨ aumen, die durch die Zeilen von A bestimmt sind, gegeben. Wir verwenden die Notation K = hcone(A). Auf der anderen Seite nennen wir K ⊆ d einen V-Kegel, falls K = {B y : y ≥ 0} f¨ ur eine Matrix B ∈ d×n , das heißt, K ist ein spitzer Kegel mit den Spaltenvektoren von B als Erzeugern. In diesem Fall verwenden wir die Notation K = vcone(B). Man beachte, dass laut unserer Deﬁnition jeder H- oder V-Kegel den Koordinatenursprung in seiner Spitze enth¨ alt. Wir werden beweisen, dass jeder H-Kegel ein V-Kegel ist und umgekehrt. Genauer gesagt: Satz A.1. F¨ ur jedes A ∈ m×d gibt es ein B ∈ d×n (f¨ ur irgendein n), so dass hcone(A) = vcone(B) gilt. Umgekehrt gibt es f¨ ur jedes B ∈ d×n ein A ∈ m×d (f¨ ur irgendein m), so dass vcone(B) = hcone(A) gilt.

210

Anhang A: V- und H-Beschreibungen von Polytopen

Wir werden wie beiden H¨ alften von Satz A.1 in den Abschnitten A.1 und A.2 beweisen. Vorerst wollen wir festhalten, dass Satz A.1 unser eigent¨ liches Ziel impliziert, n¨ amlich die Aquivalenz der V- und H-Beschreibungen eines Polytops: Korollar A.2. Wenn P die konvexe H¨ ulle endlich vieler Punkte in d ist, dann ist P der Durchschnitt endlich vieler Halbr¨aume in d . Falls umgekehrt P als beschr¨ankter Durchschnitt endlich vieler Halbr¨aume in d gegeben ist, dann ist P die konvexe H¨ ulle endlich vieler Punkte in d . ur bestimmte v1 , v2 , . . . , vn ∈ d Beweis. Falls P = conv {v1 , v2 , . . . , vn } f¨ gilt, dann erhalten wir, wenn wir den Kegel u ¨ ber P (wie in Kapitel 3 deﬁniert) bilden v1 v2 . . . vn . cone(P) = vcone 1 1 1 Nach Satz A.1 k¨onnen wir eine Matrix (A, b) ∈ m×(d+1) ﬁnden, so dass cone(P) = hcone(A, b) = x ∈ d+1 : (A, b) x ≤ 0 gilt. Wir erhalten das Polytop P zur¨ uck, indem wir xd+1 = 1 setzen, also P = x ∈ d : Ax ≤ −b , was eine H-Beschreibung von P ist. Diese Schritte k¨ onnen umgekehrt werden: Sei das Polytop P als P = x ∈ d : Ax ≤ −b f¨ ur eine Matrix A ∈

und b ∈ hcone(A, b) = x ∈ m×d

m

gegeben. Dann kann P aus d+1 : (A, b) x ≤ 0

zur¨ uckerhalten werden, indem wir xd+1 = 1 setzen. Nach Satz A.1 k¨onnen wir eine Matrix B ∈ (d+1)×n konstruieren, so dass hcone(A, b) = vcone(B) . Wir k¨ onnen die Erzeuger von vcone(B), also die Spalten von B, so normalisieren, dass sie alle in der (d + 1)-ten Variable eine 1 haben: v1 v2 . . . vn B= . 1 1 1 Da P aus vcone(B) zur¨ uckerhalten werden kann, indem xd+1 = 1 gesetzt wird, k¨ onnen wir folgern, dass P = conv {v1 , v2 , . . . , vn }.

A.1 Jeder H-Kegel ist ein V-Kegel

211

A.1 Jeder H-Kegel ist ein V-Kegel Sei

K = hcone(A) = x ∈

f¨ ur eine Matrix A ∈ ein und schreiben x K= ∈ y

m×d

d+m

d

: Ax ≤ 0

. Wir f¨ uhren eine m-dimensionale Hilfsvariable y

x : Ax ≤ y ∩ ∈ y

d+m

: y=0 .

(A.1)

(Strenggenommen ist das K in einen d-dimensionalen Teilraum von d+m hochgehoben.) Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es, die folgenden beiden Lemmas zu beweisen. Lemma A.3. Der H-Kegel yx ∈ d+m : A x ≤ y ist ein V-Kegel. Lemma A.4. Falls K ⊆ f¨ ur beliebige k.

d

ein V-Kegel ist, dann auch K∩ x ∈

d

: xk = 0 ,

Die erste H¨ alfte von Satz A.1 folgt aus diesen beiden Lemmas, da wir mit (A.1) anfangen und dann der Reihe nach mit Hyperebenen yk = 0 schneiden k¨ onnen. Beweis von Lemma A.3. Wir bemerken zun¨ achst, dass x d+m K= ∈ : Ax ≤ y y x x d+m : (A, −I) ≤0 = ∈ y y ein H-Kegel ist; dabei steht I f¨ ur eine (m×m)-Einheitsmatrix. Wir bezeichnen onnen wir wie folgt zerlegen: den k-ten Einheitsvektor mit ek . Dann k¨ d m x ej 0 = + xj (yk − (A x)k ) y A e e j k j=1 k=1

d

ej |xj | sign (xj ) = A ej j=1 x

+

m k=1

0 . (yk − (A x)k ) ek

ur alle k gilt, Man beachte, dass f¨ ur y ∈ K die Ungleichung yk − (A x)k ≥ 0 f¨ x so dass y als nichtnegative Linearkombination der Vektoren sign (xj ) Aejej 0 ur 1 ≤ k ≤ m geschrieben werden kann. Aber das f¨ ur 1 ≤ j ≤ d und ek f¨ bedeutet, dass K ein V-Kegel ist.

212

Anhang A: V- und H-Beschreibungen von Polytopen

Beweis von Lemma A.4. Sei K = vcone(B), wobei B die Spaltenvektoren b1 , b2 , . . . , bn ∈ d habe; das heißt, b1 , b2 , . . . , bn sind die Erzeuger von K. Wir halten ein k ≤ d fest und konstruieren eine neue Matrix Bk , deren Spaltenvektoren alle bj mit bjk = 0 sind, sowie die Kombinationen bik bj − bjk bi f¨ ur alle i und j mit bik > 0 und bjk < 0. Wir behaupten, dass K ∩ x ∈ d : xk = 0 = vcone (Bk ) gilt. Jedes x ∈ vcone (Bk ) erf¨ ullt xk = 0 nach Konstruktion von Bk , also folgt unmittelbar vcone (Bk ) ⊆ K ∩ x ∈ d : xk = 0 . Um die umgekehrte Inklusion zu zeigen, ussen wir noch m¨ etwas arbeiten. Sei x ∈ K ∩ x ∈ d : xk = 0 , das heißt x = λ1 b1 + λ2 b2 + · · · + λn bn f¨ ur bestimmte λ1 , λ2 , . . . , λn ≥ 0 und xk = λ1 b1k + λ2 b2k + · · · + λn bnk = 0. Das erlaubt es uns, Λ= λi bik = − λj bjk i: bik >0

j: bjk <0

zu deﬁnieren. Man beachte, dass Λ ≥ 0. Jetzt betrachten wir die Zerlegung λj bj + λi bi + λj bj . (A.2) x= j: bjk =0

i: bik >0

j: bjk <0

Falls Λ = 0 ist, dann ist λi bik = 0 f¨ ur alle i mit bik > 0, so dass λi = 0 f¨ ur diese i gilt. Analog ist λj = 0 f¨ ur alle j mit bjk < 0. Also k¨onnen wir aus Λ = 0 folgern, dass x= λj bj ∈ vcone (Bk ) . j: bjk =0

Jetzt nehmen wir Λ > 0 an. Dann k¨ onnen wir die Zerlegung (A.2) zu ⎞ ⎛

1⎝ ⎠ λj bj + λj bjk λi bi − x= Λ j: bjk =0 j: bjk <0 i: bik >0 ⎞

⎛ 1 + λi bik ⎝ λj bj ⎠ Λ =

j: bjk =0

i: bik >0

j: bjk <0

1 λj bj + λi λj (bik bj − bjk bi ) Λ i: b >0 ik j: bjk <0

erweitern, was nach Konstruktion in vcone (Bk ) ist.

A.2 Jeder V-Kegel ist ein H-Kegel

213

A.2 Jeder V-Kegel ist ein H-Kegel Sei K = vcone(B) = {B y : y ≥ 0} f¨ ur eine Matrix B ∈

. Dann ist K die Projektion von x d+n ∈ : y ≥ 0, x = B y (A.3) y ur (A.3) auf den Untervektorraum xy ∈ d+n : y = 0 . Die Bedingungen f¨ k¨ onnen als x y≥0 und (I, −B) =0 y d×n

geschrieben werden. Also ist die Menge (A.3) ein H-Kegel, f¨ ur den wir der Reihe nach entlang der Komponenten von y projizieren k¨onnen, um K zu erhalten. Das bedeutet, dass es gen¨ ugt, das folgende Lemma zu zeigen, um die zweite H¨ alfte von Satz A.1 zu beweisen. Lemma A.5. Falls K ein H-Kegel ist, dann ist f¨ ur beliebige k die Projektion {x − xk ek : x ∈ K} ebenfalls ein H-Kegel. Beweis. Sei K = hcone(A) f¨ ur eine Matrix A ∈ m×d . Wir halten k fest und betrachten Pk = {x + λek : x ∈ K, λ ∈ } . Die Projektion, die wir suchen, kann aus dieser Menge als {x − xk ek : x ∈ K} = Pk ∩ x ∈ d : xk = 0 konstruiert werden, so dass es gen¨ ugt, zu zeigen, dass Pk ein H-Kegel ist. Seien a1 , a2 , . . . , am die Zeilenvektoren von A. Wir konstruieren eine neue Matrix Ak , deren Zeilenvektoren alle aj mit ajk = 0 sowie die Kombinationen aik aj − ajk ai f¨ ur alle i und j mit aik > 0 und ajk < 0 sind. Wir behaupten, dass Pk = hcone (Ak ) gilt. Falls x ∈ K ist, dann gilt A x ≤ 0, woraus folgt, dass Ak x ≤ 0 ist, da jede Zeile von Ak eine nichtnegative Linearkombination von Zeilen von A ist; das heißt K ⊆ hcone (Ak ). Allerdings ist die k-te Komponente von Ak gleich null nach Konstruktion, so dass aus K ⊆ hcone (Ak ) folgt, dass Pk ⊆ hcone (Ak ). Umgekehrt sei x ∈ hcone (Ak ). Wir m¨ ussen ein λ ∈ ﬁnden, f¨ ur das A (x − λek ) ≤ 0 gilt, das heißt a11 x1 + · · · + a1k (xk − λ) + · · · + a1d xd ≤ 0 .. . am1 x1 + · · · + amk (xk − λ) + · · · + amd xd ≤ 0 .

214

Anhang A: V- und H-Beschreibungen von Polytopen

Die j-te Bedingung lautet aj · x − ajk λ ≤ 0, also aj · x ≤ ajk λ. Dies liefert die folgenden Bedingungen an λ: ai · x aik aj · x λ≤ ajk λ≥

falls aik > 0 , falls ajk < 0 .

Ein solches λ existiert, da f¨ ur aik > 0 und ajk < 0 (wegen x ∈ hcone (Ak )) (aik aj − ajk ai ) · x ≤ 0 gilt, was ¨ aquivalent zu

ai · x aj · x ≤ aik ajk

ist. Also k¨ onnen wir ein λ ﬁnden, das ai · x aj · x ≤λ≤ aik ajk erf¨ ullt, was hcone (Ak ) ⊆ Pk beweist.

B Triangulierungen von Polytopen

Obvious is the most dangerous word in mathematics. Eric Temple Bell

Das Ziel dieses Anhangs ist der Beweis von Satz 3.1. Wir erinnern uns zun¨achst daran, dass eine Triangulierung eines konvexen d-Polytops P eine endliche Sammlung T von d-Simplexen mit folgenden Eigenschaften ist: 0 • P= Δ. •

Δ∈T

F¨ ur beliebige Δ1 , Δ2 ∈ T ist Δ1 ∩ Δ2 eine gemeinsame Seite von Δ1 und Δ2 .

Satz 3.1 besagt, dass P ohne neue Ecken trianguliert werden kann, das heißt, es existiert eine Triangulierung T , so dass die Ecken aller Δ ∈ T auch Ecken von P sind. Als Vorbereitung zeigen wir zun¨ achst, dass eine Triangulierung eines Polytops eine Triangulierung jeder der Facetten des Polytops auf nat¨ urliche Weise induziert. Lemma B.1. Sei T (P) eine Triangulierung des d-Polytops P und F eine Facette von P. Dann ist T (F ) := {S ∩ F : S ∈ T (P), dim (S ∩ F) = d − 1} eine Triangulierung von F . 1 Beweis. Um unn¨ otige Schreibarbeit zu vermeiden, schreiben wir T (F ) f¨ ur 1 Δ. Wir m¨ u ssen zeigen: Δ∈T (F ) 1 (i) F = T (F ) . (ii) F¨ ur beliebige Δ1 , Δ2 ∈ T (F ) ist Δ1 ∩ Δ2 eine gemeinsame Seite von Δ1 und Δ2 .

216

Anhang B: Triangulierungen von Polytopen

1 (i) Zun¨ achst gilt 1 T (F ) ⊆ F nach Deﬁnition von T (F). Jetzt werden wir zeigen, 1 dass F \ T (F ) = ∅ ist, und zwar durch Widerspruch. Sei x ∈ F \ 1 T (F ). Falls es eine Umgebung N von x in F gibt, die keinen Punkt aus T (F ) enth¨ alt, dann besteht N nur aus Punkten, die in Simplizes aus T (P), welche F in einer Menge von kleinerer Dimension als d − 1 schneiden, enthalten sind. Das ist jedoch unm¨ oglich, da dim N = d − 1 gilt und es nur endlich viele Simplizes in T (P) gibt. Also1enth¨alt jede Umgebung von x in F einen Punkt in einem Δ ∈ T (F). Aber 1T (F ) ist abgeschlossen, also kann so ein x nicht existieren. Folglich ist F \ T (F) = ∅. (ii) Zu gegebenen Δ1 , Δ2 ∈ T (F ) gibt es S1 , S2 ∈ T (P), f¨ ur die Δ1 = S1 ∩ F

Δ2 = S2 ∩ F

und

und die Durchschnitte sowohl von S1 als auch von S2 mit F sind (d − 1)dimensional. Jetzt gilt Δ1 ∩ Δ2 = S1 ∩ S2 ∩ F , und wegen S1 , S2 ∈ T (P) ist S1 ∩ S2 eine Seite sowohl von S1 als auch von S2 . Das heißt, es gibt Hyperebenen H1 und H2 in d , f¨ ur die S1 ∩ S2 = S1 ∩ H1

Die (d−1)-Hyperebenen H1 und H2 in h1 := H1 ∩ span F

S1 ∩ S2 = S2 ∩ H2 .

und d

induzieren die (d−2)-Hyperebenen

und

h2 := H2 ∩ span F

in span F . Wir behaupten, dass h1 ∩ Δ1 = Δ1 ∩ Δ2 = h2 ∩ Δ2 , dass also Δ1 ∩ Δ2 eine gemeinsame Seite von Δ1 und Δ2 ist. Es gilt n¨amlich h1 ∩ Δ1 = h1 ∩ (S1 ∩ F) = (H1 ∩ span F) ∩ (S1 ∩ F) = (H1 ∩ S1 ) ∩ (F ∩ span F ) = (S1 ∩ S2 ) ∩ F = Δ1 ∩ Δ2 , und eine praktisch identische Berechnung liefert h2 ∩ Δ2 = Δ1 ∩ Δ2 .

Beweis von Satz 3.1. Wir f¨ uhren eine Induktion u ¨ ber die Anzahl der Ecken des d-Polytops P durch. Falls P genau d+1 Ecken hat, dann ist P ein Simplex und {P} eine Triangulierung. F¨ ur den Induktionsschritt nehmen wir an, dass ein d-Polytop P mit wenigstens d + 2 Ecken gegeben ist. Wir halten eine Ecke v von P fest, f¨ ur die Q, die konvexe H¨ ulle der u ¨ brigen Ecken von P, immer noch Dimension d hat. Laut Induktionsvoraussetzung k¨ onnen wir Q triangulieren. Wir nennen eine Facette F von Q sichtbar von v, falls f¨ ur jedes x ∈ F der halboﬀene Geradenabschnitt (x, v] disjunkt von Q ist. Nach dem Lemma induziert die Triangulierung T (Q) von Q die Triangulierung

Anhang B: Triangulierungen von Polytopen

217

T (F ) = {Δ ∩ F : Δ ∈ T (Q), dim (Δ ∩ F) = d − 1} einer Facette F von Q. Die Menge T bestehe aus den konvexen H¨ ullen von v mit jedem (d − 1)Simplex in den Triangulierungen der sichtbaren Facetten. Wir behaupten, dass T ∪ T (Q) eine Triangulierung von P bildet. Um das zu beweisen, m¨ ussen wir zeigen: 1 (i) P = (T ∪ T (Q)) . (ii) F¨ ur beliebige Δ1 , Δ2 ∈ T ∪ T (Q) ist Δ1 ∩ Δ2 eine gemeinsame Seite von Δ1 und Δ2 . 1 (i) Dass P 1 ⊇ (T ∪ T (Q)) gilt, folgt aus den Deﬁnitionen von T und T (Q). Um P ⊆ (T ∪ T (Q)) zu zeigen, nehmen wir ein x ∈ P als gegeben an. Falls 1 x ∈ Q gilt, dann auch x ∈ T (Q). Falls x ∈ P \ Q gilt, dann betrachten wir die Gerade durch v und x (im Fall x = v ist nichts zu tun). Diese Gerade schneidet Q (da P konvex ist), sei also y ∈ Q der erste Punkt in Q, den wir erreichen, wenn wir an der Geraden entlang in Richtung Q laufen. Dieser Punkt y liegt auf einer Facette von Q, die, nach Konstruktion, von v aus sichtbar ist. Also gilt x ∈ Δ f¨ ur ein Δ ∈ T . (ii) Zu gegebenen Δ1 , Δ2 ∈ T ∪ T (Q), unterscheiden wir drei F¨alle: (a) Δ1 , Δ2 ∈ T (Q); (b) Δ1 , Δ2 ∈ T ; (c) Δ1 ∈ T, Δ2 ∈ T (Q). In jedem Fall m¨ ussen wir zeigen, dass Δ1 ∩ Δ2 eine gemeinsame Seite von Δ1 und Δ2 ist. (a) Da T (Q) eine Triangulierung ist, ist Δ1 ∩ Δ2 eine Seite sowohl von Δ1 als auch Δ2 . (b) Zu Δ1 , Δ2 ∈ T existieren S1 , S2 ∈ T (F ), f¨ ur die Δ1 = conv {v, S1 } und Δ2 = conv {v, S2 }. Da T (F ) eine Triangulierung ist, ist S1 ∩ S2 eine gemeinsame Seite von S1 und S2 . Aufgrund der Konvexit¨at gilt Δ1 ∩ Δ2 = conv {v, S1 ∩ S2 }. Aufgabe 2.6 zeigt, dass S1 ∩ S2 ein Simplex ist, und dass dieser Simplex die konvexe H¨ ulle einiger der gemeinsamen Ecken von S1 und S2 ist. Aber dann ist Δ1 ∩Δ2 = conv {v, S1 ∩ S2 } die konvexe H¨ ulle einiger der gemeinsamen Ecken von Δ1 und Δ2 , und ist daher, wieder nach Aufgabe 2.6, eine Seite sowohl von Δ1 als auch von Δ2 . (c) Wegen Δ1 ∈ T existiert ein S ∈ T (F), f¨ ur das Δ1 = conv {v, S} gilt. Nach Konstruktion gilt Δ1 ∩ Q = S, und S ist eine Seite eines Δ ∈ T (Q). Da T (Q) eine Triangulierung ist, ist Δ∩Δ2 eine gemeinsame Seite von Δ und Δ2 . Aber dann ist Δ1 ∩ Δ2 = S ∩ Δ2 = (S ∩ Δ) ∩ Δ2 = S ∩ (Δ ∩ Δ2 )

218

Anhang B: Triangulierungen von Polytopen

der Durchschnitt zweier Seiten von Δ, und damit nach Aufgabe 2.6 wiederum eine Seite von Δ und ein Simplex. Die Ecken von Δ1 ∩ Δ2 = S ∩ (Δ ∩ Δ2 ) bilden eine Teilmenge der gemeinsamen Ecken von S und Δ2 . Da S eine Seite von Δ1 ist, ist Δ1 ∩ Δ2 eine Seite sowohl von Δ1 als auch von Δ2 , nach Aufgabe 2.6.

L¨ osungshinweise zu den ♣-Aufgaben

Well here’s another clue for you all. John Lennon & Paul McCartney ( Glass Onion“, The White Album) ”

Kapitel 1 1.1 Probieren Sie f¨ ur die Partialbruchzerlegung den Ansatz z A B √ √ = + 1+ 5 1− 5 1 − z − z2 1− 2 z 1− 2 z und k¨ urzen Sie die Nenner, um A und B zu berechnen; dies kann, zum Beispiel, durch Spezialisierung von z geschehen. 1.2 Multiplizieren Sie (1 − z) 1 + z + z 2 + · · · + z n aus. F¨ ur die unendliche Reihe beachten Sie, dass limk→∞ z k = 0 f¨ ur |z| < 1. 1.3 Beachten Sie zun¨ achst, dass es x + 1 Gitterpunkte im Intervall [0, x] gibt. 1.4 (i) & (j) Schreiben Sie n als qm + r f¨ ur ganze Zahlen q, r mit 0 ≤ r < m. Unterscheiden Sie die F¨ alle r = 0 und r > 0.

1.9 Benutzen Sie die Tatsache, dass f¨ ur teilerfremde m und n zu jedem a ∈ ein (modulo n eindeutiges) b ∈ existiert, f¨ ur dass mb ≡ a (mod n) gilt. F¨ ur die zweite Gleichung von Mengen denken Sie an den Fall a = 0.

1.12 Verschieben Sie das Geradensegment zun¨achst in den Koordinatenursprung und erkl¨ aren Sie, warum diese Verschiebung die Gitterpunktaufz¨ahlung invariant l¨ asst. F¨ ur den Fall (a, b) = (0, 0) betrachten Sie das Problem zuerst unter der Einschr¨ ankung, dass ggT (c, d) = 1 gilt. 1.17 Betrachten Sie zu einem gegebenen Dreieck T mit Ecken im ganzzahligen Gitter das Parallelogramm P, das von zwei festgelegten Kanten von T

220

L¨ osungshinweise zu den ♣-Aufgaben

gebildet wird. Benutzen Sie ganzzahlige Translate von P, um die Ebene 2 zu kacheln. Folgern Sie aus dieser Kachelung, dass P genau dann nur seine Ecken als Gitterpunkte enth¨ alt, wenn die Fl¨ ache von P gleich 1 ist. 1.20 Zu einer gegebenen ganzen Zahl b stellt der euklidische Algorithmus die Existenz von m1 , m2 , . . . , md ∈ sicher, f¨ ur die b als b = m1 a1 + m2 a2 + · · · + ¨ md ad geschrieben werden kann. Uberzeugen Sie sich davon, dass wir in dieser Darstellung 0 ≤ m2 , m3 , . . . , md < a1 fordern k¨onnen. Folgern Sie, dass alle ganzen Zahlen jenseits von (a1 − 1) (a2 + a3 + · · · + ad ) durch a1 , a2 , . . . , ad darstellbar sind. (Dieses Argument kann auch verfeinert werden, um einen weiteren Beweis f¨ ur Satz 1.2 zu erhalten.)

1.21 Benutzen Sie den Ansatz Ck Dj A2 B2 A1 An B1 + 2 + ···+ n + + f (z) = + + . 2 k z z z z − 1 (z − 1) z − ξa j=1 z − ξbj a−1

b−1

k=1

Um Ck zu berechnen, multiplizieren Sie beide Seiten mit z − ξak und berechnen Sie den Grenzwert f¨ ur z → ξak . Die Koeﬃzienten Dj k¨onnen auf ¨ahnliche Weise berechnet werden. 1.22 Benutzen Sie Aufgabe 1.9 (mit m = b−1 ) auf der linken Seite der Gleichung. 1.24 Sei a > b. Die ganze Zahl a+b ist oﬀensichtlich durch a und b darstellbar, ¨ n¨ amlich als 1 · a + 1 · b. Uberlegen Sie, wie sich der Koeﬃzient von b ver¨andern w¨ urde, wenn wir den Koeﬃzienten von a ver¨ andern. 1.29 Benutzen Sie den Partialbruchzerlegungsansatz (1.11), multiplizieren Sie beide Seiten mit z − ξak1 und bilden Sie den Grenzwert f¨ ur z → ξak1 . ¨ 1.31 Uberzeugen Sie sich vom Erzeugendenfunktionsansatz a2 z z ad z a1 ◦ n ··· . pA (n) z = 1 − z a1 1 − z a2 1 − z ad n≥1

Benutzen Sie jetzt die Maschinerie aus Abschnitt 1.5.

Kapitel 2 2.1 Benutzen Sie Aufgabe 1.3 f¨ ur das abgeschlossene Intervall. F¨ ur oﬀene Intervalle k¨ onnen Sie Aufgabe 1.4(j) oder die . . . -Notation aus Aufgabe 1.4(e) verwenden. Um den quasipolynomiellen Charakter zu zeigen, schreiben Sie die Gauß-Klammer durch die Nachkommaanteilsfunktion um. 2.2 Schreiben Sie R als direktes Produkt zweier Intervalle und benutzen Sie Aufgabe 1.3.

L¨ osungshinweise zu den ♣-Aufgaben

221

2.6 Zeigen Sie zun¨ achst, dass die konvexe H¨ uller einer d-elementigen Teilmenge W von V eine Seite von Δ ist. Dies erlaubt es Ihnen, die erste Aussage durch Induktion zu zeigen (mithilfe von Aufgabe 2.5). F¨ ur die umgekehrte Aussage enthalte zu einer gegebenen unterst¨ utzenden Hyperebene H, die die Seite F von Δ deﬁniert, die Menge W ⊆ V jene Ecken von Δ, die in H enthalten sind. Beweisen Sie jetzt, dass jeder Punkt x = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λd+1 vd+1 in F der Gleichung λk = 0 f¨ ur alle vk ∈ / W gen¨ ugen muss. 2.7 Zeigen Sie zuerst, dass die linearen Ungleichungen und Gleichungen, die ein rationales Polytop beschreiben, mit rationalen Koeﬃzienten gew¨ahlt werden k¨ onnen, und multiplizieren Sie dann die Nenner aus.

1 k1 k2 kd+1 2.9 Schreiben Sie (1−z) · · · z z z d+1 = k1 ≥0 k2 ≥0 kd+1 ≥0 und ﬁnden Sie ein kombinatorisches Aufz¨ ahlungsschema, um die Koeﬃzienten dieser Potenzreihe zu berechnen. = (t+k)(t+k−1)···(t+k−d+1) und ersetzen Sie t durch 2.10 Schreiben Sie t+k d! d −t. 2.14 Denken Sie an die Pole der Funktion aus der Funktionentheorie.

z ez −1

und benutzen Sie einen Satz

2.15 Berechnen Sie die Erzeugendenfunktion von Bd (1 − x) und schreiben ze−xz Sie sie als 1−e −z um. 2.16 Zeigen Sie, dass

z ez −1

+ 12 z eine gerade Funktion von z ist.

2.23 Folgen Sie den Schritten des Beweises von Satz 2.4. 2.24 Erweitern Sie T zu einem Rechteck, dessen Diagonale die Hypothenuse von T ist, und betrachten Sie die Gitterpunkte auf dieser Diagonale gesondert. 2.25 F¨ ur die Fl¨ ache benutzen Sie elementare Analysis. F¨ ur die Anzahl der Randpunkte auf tP erweitern Sie Aufgabe 1.12 auf eine Menge von Geradenabschnitten, deren Vereinigung eine geschlossene Kurve bildet. % & % tb & 2.31 Schreiben Sie die Gleichung als ta d − 1 e+ d − 1 f ≤ tr um und vergleichen Sie das mit der Deﬁnition von T . 2.32 Um C3 zu berechnen, multiplizieren Sie beide Seiten von (2.20) mit (z − 3)2 und berechnen Sie den Grenzwert f¨ ur z → 1. Die Koeﬃzienten Aj und Bl k¨ onnen auf a hnliche Weise berechnet werden. Um C2 zu berechnen, ¨ C3 bringen Sie zun¨ achst (z−1) in (2.20) auf die linke Seite, multiplizieren dann 3 2 mit (z − 1) und bilden den Grenzwert f¨ ur z → 1. Eine ¨ahnliche, noch ausgefeiltere Berechnung liefert C1 . (Alternativ k¨ onnen Sie die Laurent-Reihe der Funktion in (2.20) bei z = 1 mit einem Computeralgebrasystem wie Maple oder Mathematica berechnen.)

222

L¨ osungshinweise zu den ♣-Aufgaben

2.34 Folgen Sie dem Beweis von Satz 2.10. Benutzen Sie Aufgabe 2.33, um die zus¨ atzlichen Koeﬃzienten in der Partialbruchzerlegung der Erzeugendenfunktion, die diesem Gitterpunktz¨ ahler entspricht, zu berechnen. 2.36 Bestimmen Sie zun¨ achst den konstanten Term von 1 (1 − z1 z2 ) (1 − z12 z2 ) (1 − z1 ) (1 − z2 ) z13t z22t bez¨ uglich z2 , indem Sie z1 als Konstante betrachten und eine Partialbruchzerlegung dieser Funktion bez¨ uglich z2 berechnen.

Kapitel 3 3.2 Schreiben Sie die simplizialen Kegel als Kegel u ¨ber Simplizes und benutzen Sie Aufgabe 2.6. 3.4 Schreiben Sie einen typischen Term des Produkts σS (z1 , z2 , . . . , zm ) σT (zm+1 , zm+2 , . . . , zm+n ) auf. 3.5 Multiplizieren Sie zm σK (z) aus. 3.6 Schreiben Sie einen typischen Term von 1 1 1 = σS z1−1 , z2−1 , . . . , zd−1 σS , ,..., z1 z2 zd auf. 3.8 Zerlegen Sie zu einem gegebenen Polynom f die Erzeugendenfunktion auf der linken Seite den Termen von f entsprechend und benutzen Sie (2.2). Falls umgekehrt das Polynom g gegeben ist, benutzen Sie (2.6).

3.13 Zeigen Sie, dass H ∩ d ein -Modul ist. Also hat es eine Basis; erweitern Sie diese Basis zu einer Basis von d .

3.14 Beweisen Sie das Ergebnis zun¨ achst f¨ ur eine einzelne Hyperebene, zum Beispiel, indem Sie sich auf Aufgabe 3.13 beziehen. 3.19 Zerlegen Sie zu einem gegebenen f die Erzeugendenfunktion auf der linken Seiten entsprechend den Bestandteilen von f ; benutzen Sie dann Aufgabe 3.8. Falls umgekehrt g und h gegeben sind, multiplizieren Sie beide mit einem Polynom, um den Nenner auf der rechten Seite in die Form (1 − z p )d+1 zu bringen; benutzen Sie dann (2.6). 3.20 Beginnen Sie mit dem Ansatz auf Seite 78, und orientieren Sie sich eng am Beweis von Satz 3.8. 3.29 Benutzen Sie Lemma 3.19.

L¨ osungshinweise zu den ♣-Aufgaben

223

Kapitel 4 4.1 Benutzen Sie Aufgabe 2.1. 4.2 Benutzen Sie die in (4.3) gegebene explizite Beschreibung von Π. 4.3 Betrachten Sie jeden simplizialen Kegel Kj gesondert und untersuchen Sie das Arrangement seiner beschr¨ ankenden Hyperebenen. F¨ ur jede Hyperebene benutzen Sie Aufgabe 3.13. 4.5 F¨ ur (a) u ¨berzeugen Sie sich davon, dass Q(−t) ebenfalls ein Quasipolynom ist. F¨ ur (b) benutzen Sie (1.3). F¨ ur (c) diﬀerenzieren Sie (1.3). F¨ ur (d) betrachten Sie jeden Bestandteil des Quasipolynoms einzeln. 4.6 In der Erzeugendenfunktion f¨ ur LP (t − k) ver¨andern Sie die Summationsvariable; benutzen Sie dann Satz 4.4. 4.11 Benutzen Sie die Tatsache, dass A nur ganzzahlige Eintr¨age hat. F¨ ur den zweiten Teil, schreiben Sie die expliziten H-Beschreibungen von (t + 1)P ◦ und tP auf.

4.12 Nehmen Sie an, dass ein t ∈ und eine Facettenhyperebene H von P existieren, f¨ ur die es einen Gitterpunkt zwischen tH und (t + 1)H gibt. Verschieben Sie diesen Gitterpunkt in einen Gitterpunkt, der Bedingung (4.12) verletzt.

Kapitel 5 5.4 Betrachten Sie ein Intervall [F, P] im Seitenverband von P: [F , P] enth¨alt alle Seiten G, f¨ ur die F ⊆ G ⊆ P gilt. Beweisen Sie, dass, falls P einfach ist, jedes solche Intervall isomorph zu einem booleschen Verband ist. 5.5 Benutzen Sie Aufgabe 2.6, um zu zeigen, dass der Seitenverband eines Simplex isomorph zu einem booleschen Verband ist.

Kapitel 6 6.1 Denken Sie an Permutationsmatrizen. 6.3 Zeigen Sie, dass der Rang von (6.5) gleich 2n − 1 ist. 6.5 Zeigen Sie zun¨ achst, dass alle Permutationsmatrizen tats¨achlich Ecken sind. Benutzen Sie dann Aufgabe 6.4, um zu zeigen, dass es keine weiteren Ecken gibt. 6.6 Stellen Sie eine Bijektion zwischen semimagischen Quadraten mit Reihensumme t − n und semimagischen Quadraten mit positiven Eintr¨agen und Reihensumme t her.

224

L¨ osungshinweise zu den ♣-Aufgaben

6.7 Denken Sie an die kleinste m¨ ogliche Reihensumme, wenn die Eintr¨age des Quadrats positive ganze Zahlen sind. 6.8 Folgen Sie der Berechnung auf Seite 116, die zur Formel f¨ ur H2 gef¨ uhrt hat.

6.9 Multiplizieren Sie beide Seiten von (6.7) mit w − z1k und bilden Sie den Grenzwert f¨ ur w →

1 zk .

6.10 Orientieren Sie sich an der Berechnung in (6.10). ¨ 6.16 Berechnen Sie das Matrix-Aquivalent zu (6.5) f¨ ur das Polytop, das alle magischen Quadrate einer gegebenen Gr¨ oße beschreibt. Zeigen Sie, dass diese Matrix Rang 2n + 1 hat. 6.18 Orientieren Sie sich an der Berechnung auf Seite 116.

Kapitel 7 7.1 Zeigen Sie, dass beide Polynome die gleichen Nullstellen und den gleichen konstanten Term haben. 7.2 Benutzen Sie Aufgabe 7.1. 7.5 Diﬀerenzieren Sie (1.3). 7.6 Benutzen Sie (1.3). 7.7 Schreiben Sie eine beliebige Funktion auf tionen δm (x) f¨ ur 1 ≤ m ≤ b.

mit Periode b mit den Funk-

7.8 Benutzen Sie die Deﬁnition (7.6) des Skalarprodukts und die Eigenschaften zz = |z|2 und (zw) = z · w f¨ ur komplexe Zahlen z und w. 7.14 Benutzen Sie Deﬁnition (7.4) und vereinfachen Sie die Nachkommaanteilsfunktion in der Summe auf der rechten Seite. 7.22 Benutzen Sie die Deﬁnition von F.

Kapitel 8 8.5 Benutzen Sie Aufgabe 1.9. 8.7 Benutzen Sie die Methoden aus den Hinweisen zu den Aufgaben 1.21 und 2.32, um die Partialbruchkoeﬃzienten f¨ ur z = 1 in (8.3) zu berechnen. 8.9 Multiplizieren Sie alle Terme auf der linken Seite aus und benutzen Sie die Aufgaben 1.9 und 7.14. 8.11 Benutzen Sie die Methoden aus den Hinweisen zu den Aufgaben 1.21 und 2.32, um eine Partialbruchzerlegung von (8.7) zu berechnen.

L¨ osungshinweise zu den ♣-Aufgaben

225

Kapitel 9 ⊥

9.1 Zeigen Sie, dass (span F ) ∩ KF ein Kegel ist. Zeigen Sie dann, dass ⊥ f¨ ur eine deﬁnierende Hyperebene H von F die Menge H ∩ (span F ) eine ⊥ Hyperebene im Vektorraum (span F ) ist. Zeigen Sie schließlich, dass diese ⊥ ⊥ Hyperebene H ∩ (span F ) die Spitze von (span F ) ∩ KF deﬁniert, und dass diese Spitze ein Punkt ist. 9.2 Betrachten Sie die Hyperebenen H1 , H2 , . . . , Hd+1 , die Δ beschr¨anken. F¨ ur jede Hyperebene Hk bezeichne Hk+ den von Hk beschr¨ankten abgeschlossenen Halbraum, der Δ enth¨ alt, und Hk− bezeichnen den oﬀenen von Hk beschr¨ ankten Halbraum, der Δ nicht enth¨ alt. Zeigen Sie, dass jeder Tangentialkegel von Δ der Durchschnitt einiger der Hk+ ist, und dass umgekehrt jeder =d+1 Durchschnitt einiger der Hk+ , mit Ausnahme von Δ = k=1 Hk+ , ein Tan+ − gentialkegel von Δ ist. Da Hk ∪ Hk = d als disjunkte Vereinigung gilt, ist f¨ ur jedes k der Punkt x entweder in Hk+ oder in Hk− . Zeigen Sie, dass der Durchschnitt jener Hk+ , die x enthalten, der gesuchte Tangentialkegel ist. 9.4 Zeigen Sie wie in Aufgabe 5.5, dass der Seitenverband eines Simplex ein boolescher Verband ist. Beachten Sie, dass jeder Unterverband eines booleschen Verbands wieder boolesch ist. 9.6 Ein Ansatz zu diesem Problem ist es, erst P und die dazugeh¨origen Hyperebenen in H um einen kleinen Faktor zu strecken. Der Einfachheit halber verschieben Sie P zun¨ achst, falls n¨ otig, um einen ganzzahligen Vektor, um sicherzustellen, dass keine der Hyperebenen in H den Ursprung enth¨alt. Benutzen Sie Aufgabe 3.13. 9.7 Passen Sie die Schritte in Abschnitt 9.3 an oﬀene Polytope an. Zeigen Sie zun¨ achst eine Brianchon-Gram-Gleichung f¨ ur oﬀene Simplizes, analog zu Satz 9.5. Das impliziert eine Brion-artige Gleichung f¨ ur oﬀene Simplizes, wie in Korollar 9.6. Passen Sie schließlich den Beweis von Satz 9.7 an oﬀene Polytope an.

Kapitel 10 10.1 Benutzen Sie (10.3), Aufgabe 2.18, und (2.11). 10.3 Benutzen Sie die Deﬁnition der Unimodularit¨at, um zu zeigen, dass der einzige Gitterpunkt im Fundamentalparallelepiped von K der Punkt v ist. 10.4 Orientieren Sie sich am Beweis von Satz 10.4; anstelle einer Summe u ¨ ber Eckenkegel benutzen Sie nur einen einzigen einfachen Kegel K.

226

L¨ osungshinweise zu den ♣-Aufgaben

Kapitel 11 11.3 Multiplizieren Sie zm αK (z) aus. 11.4 Orientieren Sie sich am Beweis von Satz 4.2. Beachten Sie, dass wir f¨ ur Raumwinkel die Bedingung, dass der Rand von K keine Gitterpunkte enthalte, weglassen. 11.5 Zeigen Sie als Aufw¨ arm¨ ubung, dass σKv (F )◦ (z) =

v Ecke von F

v Ecke von Δ

F⊆Kv dim F>0

F⊆Δ dim F>0

σF ◦ (z) .

11.6 Beginnen Sie mit dem Ansatz aus unserem zweiten Beweis des Satzes von Ehrhart in Abschnitt 9.4; das heißt, es gen¨ ugt zu zeigen, dass, falls p der Nenner von P ist, dann AP (−r−pt) = (−1)dim P AP (r+pt) f¨ ur beliebige ganze Zahlen r und t mit 0 ≤ r < p und t > 0 gilt. (Stellen Sie sich r als konstant und t als variabel vor.) Orientieren Sie sich jetzt am Beweis auf Seite 192.

Kapitel 12 12.1 Beschr¨ anken Sie das Integral von oben, indem Sie die L¨ange von Cr und eine obere Schranke f¨ ur den Betrag des Integranden verwenden. 12.2 Die nichttrivialen Einheitswurzeln sind einfache Pole von f , f¨ ur die die Residuenberechnung auf einen einfachen Grenzwert hinausl¨auft. 12.4 F¨ uhren Sie zun¨ achst die Terme Bruch zusammen.

1 z−(m+ni)

und

1 m+ni

in einen einzelnen

12.5 Diﬀerenzieren Sie (12.1) termweise. 12.6 Berechnen Sie ℘ explizit. 12.7 Benutzen Sie einen ber¨ uhmten Satz aus der Funktionentheorie. 12.8 Berechnen Sie ℘ (−z) und benutzen Sie die Tatsache, dass 2

(−(m + in)) = (m + in)2 . 12.9 Wiederholen Sie den Beweis von Lemma 12.3, aber beginnen Sie diesmal mit dem Beweis von ℘ (z + i) = ℘ (z). 12.10 Benutzen Sie einen ber¨ uhmten Satz aus der Funktionentheorie. 12.11 Benutzen Sie die Deﬁnition der Weierstraß’schen ℘-Funktion.

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Symbolverzeichnis

Die folgende Tabelle enth¨ alt eine Liste der im Buch h¨auﬁg benutzten Symbole. Die Seitennummern beziehen sich auf das erste Auftauchen bzw. die Deﬁnition des jeweiligen Symbols. Symbol Bedeutung Seite a ˆ(m) Fourier-Koeﬃzient von a(n) 133 A (d, k) Euler-Zahl 30 A⊥ orthogonales Komplement von A 166 AP (t) Raumwinkelsumme von P 189 αP (z) Raumwinkel-Erzeugendenfunktion 190 Bk (x) Bernoulli-Polynom 34 Bk Bernoulli-Zahl 34 Bn Birkhoﬀ-Polytop 112 BiPyr (P) Bipyramide u 38 ¨ber P cone P Kegel u 60 ¨ ber P const f konstanter Term der Erzeugendenfunktion f 14 conv S konvexe H¨ ulle von S 27 d-Kegel d-dimensionaler Kegel 60 d-Polytop d-dimensionales Polytop 28 dim P Dimension von P 28 δm (x) Deltafunktion 136 EhrP (z) Ehrhart-Reihe von P 30 EhrP ◦ (z) Ehrhart-Reihe des Inneren von P 91 Einheitswurzelfunktion e2πiax/b 136 ea (x) fk Seitenzahl 99 Fk (t) Gitterpunktz¨ ahler des k-Skeletts 100 F(f ) Fourier-Transformation von f 135 g (a1 , a2 , . . . , ad ) Frobenius-Zahl 6 Hn (t) Anzahl semimagischer (n × n)-Quadrate 111 mit Reihensumme t

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Symbolverzeichnis

Symbol KF LP (t) LP ◦ (t) Mn (t)

Bedeutung Seite Tangentialkegel von F ⊆ P 165 Gitterpunktz¨ ahler von P 29 Gitterpunktz¨ ahler des Inneren von P 30 Anzahl magischer (n × n)-Quadrate 111 mit Reihensumme t ωP (x) Raumwinkel von x (bez¨ uglich P) 187 pA (n) eingeschr¨ ankte Partitionsfunktion 7 polyA (n) polynomieller Anteil von pA (n) 147 P ein abgeschlossenes Polytop 27 P◦ Inneres des Polytops P 30 P(h) gest¨ ortes Polytop 180 Pyr (P) Pyramide u 36 ¨ ber P ℘(z) Weierstraß’sche ℘-Funktion 203 Π Fundamentalparallelepiped eines Kegels 63 rn (a, b) Dedekind-Rademacher-Summe 151 s(a, b) Dedekind-Summe 134 sn (a1 , a2 , . . . , am ; b) Fourier-Dedekind-Summe 15 SolidP (x) Raumwinkelreihe 196 span P von P aufgespannter aﬃner Raum 28 σS (z) Gitterpunkt-Transformation von S 62 tP t-te Streckung von P 29 Toddh Todd-Operator 174 vol P (stetiges) Volumen von P 74 VG Vektorraum aller komplexwertigen Funk- 135 tionen auf G = {0, 1, 2, . . . , b − 1} ξa Einheitswurzel e2πi/a 9 ζ(z) Weierstraß’sche ζ-Funktion 203 x Gauß-Klammer 10 {x} Nachkommaanteilsfunktion 10 ((x)) S¨ a gezahnfunktion 133 m Binomialkoeﬃzient 29 n f, g Skalarprodukt von f und g 136 (f ∗ g)(t) Faltung von f und g 139 1S (x) charakteristische Funktion von S 167 #S Anzahl der Elemente von S 7 ♣ eine Aufgabe, die im Text verwendet wird VIII

Index

Abstand, 136 aﬃne H¨ ulle, 104 aﬃner Raum, 28 Algorithmus von Barvinok, 170 Arrangement von Hyperebenen, 165 Basis, 136 Beatty-Folge, 21 Bernoulli-Polynom, 34, 55, 184 Bernoulli-Zahl, 34, 55, 174 Bestandteil, 122 Bewertung, 197 Binomialkoeﬃzient, 29 binomische Reihe, 32 Bipyramide u ¨ ber einem Polytop, 38 Birkhoﬀ-von Neumann-Polytop, 112, 123 boolescher Verband, 100, 225 Brianchon-Gram-Gleichung, 194, 197 darstellbar, 6 Dedekind’sche η-Funktion, 156 Dedekind-Rademacher-Summe, 151 Dedekind-Summe, 134, 138, 146, 154 Dedekinds Reziprozit¨ atsgesetz, 149 Dehn-Sommerville-Gleichungen, 99 Deltafunktion, 136, 142 Delzant-Polytop, 181 Diederwinkel, 188 Dimension eines Polytops, 28 eines spitzen Kegels, 60 diskretes Volumen, 29, 32, 38, 76, 87, 189

doppelt stochastische Matrix, 112 doppeltperiodische Funktion, 203 Dreieck, 21, 28, 43 duales Polytop, 95 Ecke, 28, 124 Eckenkegel, 165 Ehrhart-Macdonald-Reziprozit¨ at, 88, 100, 113, 151 Ehrhart-Polynom, 66, 70, 92, 102, 154 Berechnung durch Interpolation, 76 konstanter Term des, 72 Leitkoeﬃzient des, 75 zweiter Koeﬃzient des, 105 Ehrhart-Quasipolynom, 78 Ehrhart-Reihe, 30, 51, 70, 91, 156 einfaches Polytop, 99, 176 eingeschr¨ ankte Partitionsfunktion, 7, 13, 147 polynomieller Anteil, 147 Einheitsw¨ urfel, 28, 35 Einheitswurzel, 9 primitive, 143 endliche Fourier-Reihe, 129 endliche Fourier-Transformation, 135 endliche geometrische Reihe, 18, 137, 161 entartete Hyperebene, 28 Erzeugendenfunktion, 3, 8, 14, 30, 62, 66, 115 konstanter Term, 8, 14, 45, 121, 148, 154 Erzeuger eines spitzen Kegels, 60 euklidischer Algorithmus, 149, 153

240

Index

Euler’sche φ-Funktion, 143 Euler-Charakteristik, 80 Euler-Gleichung, 100 Euler-Zahl, 30, 52 Facette eines Polytops, 28 eines spitzen Kegels, 61 Faltung von endlichen Fourier-Reihen, 139 von Quasipolynomen, 84 Farey-Folge, 56 Fibonacci-Zahlen, 3, 158 Fl¨ ache, 40 Fourier-Dedekind-Summe, 15, 145 Fourier-Koeﬃzient, 132 Fourier-Transformation, 135 Frequenz, 133 Frobenius-Problem, 3 Frobenius-Zahl, 6 Fundamentalparallelepiped, 64 ganzzahliges Polygon, 40 ganzzahliges Polytop, 28, 66, 105, 196 Gauß’sche Summe, 144 Gauß-Klammer, 10, 18, 87, 133 geometrische Reihe, 4, 18, 63, 130 Geradenabschnitt, 12, 20, 28 Gitter, 27, 79, 206 Gitterbasis, 21 Gitterpunkt, 20, 27, 35, 62 Gitterpunkttransformation, 62, 67, 88, 161–163 eines simplizialen Kegels, 63 Gitterpunktz¨ ahler, 29, 48 glattes Polytop, 181 Grad eines Polytops, 92 eines Quasipolynoms, 47 graduierte Algebra, 51 Halbraum, 28 H-Beschreibung, 28, 51, 209 Hibis Palindromsatz, 93 Hilbert-Poincar´e-Reihe, 51 H-Kegel, 209 Hyperebene, 28, 61 entartete, 28 rationale, 82

unterst¨ utzende, 28 Hyperebenenarrangement, 82, 165 rationales, 165 zentrales, 165 Hypersimplex, 82 Indikatorfunktion, 167 Inneres, 30, 87, 91 relatives, 100, 114, 188 Interpolation, 75, 113 isolierte Singularit¨ at, 201 Jacobi-Symbol, 157 Kante eines Polytops, 28 eines spitzen Kegels, 61 Kegel, 165 u ¨ ber einem Polytop, 60, 67, 78 rationaler, 165 simplizialer, 60 spitzer, 60 unimodularer, 181 komplexe Konjugation, 136 Konstituent, 47 Kontingenztafel, 123 konvexe H¨ ulle, 27 konvexer Kegel, 165 konvexes Polygon, 27 konvexes Polytop, 27, 51 Kotangens, 134 Kreisteilungspolynom, 143 Kreuzpolytop, 38, 52 Lagrange’sche Interpolationsformel, 76 Laguerre-Polynom, 52 lateinisches Quadrat, 123 Laurent-Reihe, 9, 201 lineares diophantisches Problem von Frobenius, 6 lokale Riemann’sche Vermutung, 52 Lu` o-Sh¯ u-Quadrat, 110 M¨ unzenproblem, 3 M¨ obius-Funktion, 144 magische Summe, 110 magisches Quadrat, 110 traditionelles, 111

Index metrischer Raum, 136 Moment, 179 Momenterzeugendenfunktion, 62 Monoid, 81 Nachkommaanteilsfunktion, 10, 19, 133 Nenner, 78 Nichtnegativit¨ atssatz von Stanley, 70 Nordost-Gitterpfad, 21 Nullstelle, 73, 194 Oktaeder, 38 Ordnungspolytop, 52 orthogonales Komplement, 166 Orthogonalit¨ atsrelationen, 137 Palindromeigenschaft der Ehrhart-Reihe eines reﬂexiven Polytops, 92 der RaumwinkelErzeugendenfunktion, 196 Parseval-Gleichung, 137 Partialbruchzerlegung, 4, 9, 14, 45, 130, 147, 154 Partition, 7 Periode, 47, 78 periodische Folge, 131 periodische Funktion, 47, 129, 135 Permutationsmatrix, 113 polares Polytop, 95 Polyeder, 165 Polygon, 27 ganzzahliges, 40 rationales, 43, 47 Polynom, 29, 33, 36, 42, 66, 73, 75, 81, 105, 113, 141, 161 Interpolation eines ∼s, 76, 113 Polytop, 7, 27 Delzant, 181 duales, 95 einfaches, 99, 176 ganzzahliges, 28, 66, 105, 196 glattes, 181 normales, 51 polares, 95 rationales, 28, 48, 78, 190 unimodulares, 181 Potenzreihe, 7 primitive Einheitswurzel, 143

241

Pyramide, 35, 52, 195 u ¨ ber einem Polytop, 36 Quasipolynom, 47, 78, 83, 120, 190 Bestandteil eines, 122 Grad eines, 47 Konstituent eines, 47 Periode eines, 47, 78 Rademacher-Reziprozit¨ at, 151 Rand, 103 rationaler spitzer Kegel, 60 rationales Polygon, 43, 47 rationales Polytop, 28, 48, 78, 190 Raumwinkel, 187 ∼-Erzeugendenfunktion, 190 ∼polynom, 193 ∼reihe, 196 einer Seite, 188 Summe der ∼, 189 regul¨ arer Tetraeder, 55, 198 relatives Inneres, 100, 114, 188 relatives Volumen, 104 Residuensatz, 202 Residuum, 201 Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur Dedekind-Rademacher-Summen, 151 f¨ ur die klassische Dedekind-Summe, 149 f¨ ur Fourier-Dedekind-Summen, 148, 150 f¨ ur Gitterpunkttransformationen, 90 f¨ ur Gitterpunktz¨ ahler, 88 f¨ ur RaumwinkelErzeugendenfunktionen, 191 f¨ ur Raumwinkelsummen, 192 Riemann’sche ζ-Funktion, 34 S¨ agezahnfunktion, 133, 152 Satz von Brion, 168 f¨ ur Raumwinkel, 191 stetige Form, 177 Satz von Ehrhart, 66, 68, 78, 113 Satz von Khovanski˘ı-Pukhlikov, 181 Satz von Pick, 205 Satz von Plancherel, 137 Satz von Popoviciu, 11 Satz von Sylvester, 6

242

Index

Sch¨ alung, 106 Schieforthant, 163 Schlupfvariable, 32, 44, 48 Seite ∼nverband, 100 ∼nzahl, 99 eines Polytops, 28 eines spitzen Kegels, 61 Seitenverband, 100 semimagisches Quadrat, 110 symmetrisches, 125 sichtbar, 216 Simplex, 28, 59, 78 Seiten eines, 54 simplizialer Kegel, 60 Skalarprodukt, 136, 143 Spitze, 60, 166 spitzer Kegel, 60, 165 rationaler, 60 Standardsimplex, 31, 188 Stanleys Reziprozit¨ atsgesetz, 90 stetige Fourier-Transformation, 142 stetiges Volumen, 74, 104, 113, 190 Stirling-Zahl der ersten Art, 33, 54 symmetrisches semimagisches Quadrat, 125 Tangentialkegel, 165 Teil einer Partition, 7 Tetraeder, 28, 154

Todd-Operator, 174, 181 torische Variet¨ at, 51 traditionelles magisches Quadrat, 111 Transportpolytop, 123 Triangulierung eiens Polygons, 41 eines Polytops, 59, 215 eines spitzen Kegels, 62 trigonometrische Gleichungen, 140 trivial, 120 unendliche Folge, 3 unimodular Kegel, 181 Polytop, 181 unit¨ are Transformation, 142 Untergitter, 104 unterst¨ utzende Hyperebene, 28, 61 Vandermonde-Matrix, 82 V-Beschreibung, 27, 51, 209 Vektorpartitionsfunktion, 53 Vektorraum, 135 V-Kegel, 209 Volumen, 29, 74, 87, 104, 113, 180, 190 W¨ urfel, 28 Weierstraß’sche ℘-Funktion, 203 Weierstraß’sche ζ-Funktion, 203 Zagier-Reziprozit¨ at, 148