Geodäsie

de Gruyter Lehrbuch Torge · Geodäsie

Wolfgang Torge

Geodäsie 2., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage

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Walter de Gruyter Berlin · New York 2003

Prof. (em.) Dr.-Ing. Wolfgang Torge Institut für Erdmessung Universität Hannover Schneiderberg 50 30167 Hannover

앝 Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm über Haltbarkeit erfüllt. 앪

ISBN 3-11-017545-2 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über ⬍http://dnb.ddb.de⬎ abrufbar.

쑔 Copyright 2003 by Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlin. Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany. Umschlaggestaltung: Hansbernd Lindemann, Berlin. Konvertierung von WORD-Dateien des Autors: I. Zimmermann, Freiburg. Druck und Bindung: Hubert & Co. GmbH & Co. KG, Göttingen.

Vorwort

Die erste Auflage dieses Buches erschien 1975 in der Sammlung Göschen beim Verlag Walter de Gruyter & Co. Diese komprimierte Darstellung der geodätischen Bezugssysteme, der Datenerfassung und Datenverarbeitung in Erdmessung und Landesvermessung fand bei den Studierenden des Vermessungswesens und benachbarter Disziplinen, aber auch bei den Praktikern eine gute Aufnahme. In den fast 30 Jahren seit dem Entstehen dieses Buches hat sich die Geodäsie insbesondere durch die Entwicklung der Raumtechniken einschneidend verändert. Diesen Veränderungen wurde in den auf dem Göschenband aufbauenden englischen Ausgaben der „Geodesy“ (1980, 1991, 2001) schrittweise Rechnung getragen, wobei die jüngste Auflage eine vollständige Umgestaltung und wesentliche Erweiterung erfuhr. Um dem im deutschen Sprachraum gerade auch bei den Studierenden weiterhin bestehenden Interesse an einer deutschen Neuauflage Rechnung zu tragen, haben sich Verlag undAutor zu dieser zweitenAuflage entschlossen. Sie basiert auf der 3. Auflage der „Geodesy“, doch wurden einige neuere Entwicklungen aufgenommen und unter Verzicht auf ältere und teilweise schwer zugängliche Literaturstellen verstärkt deutschsprachige Referenzen zitiert. Gegenüber dem Göschenband hat sich die Zahl der Seiten von 268 auf 369 und die der Abbildungen von 101 auf 183 erhöht, die neue Unterteilung in acht Kapitel zeigt nun klar die fundamentalen Änderungen der vergangenen Jahrzehnte und ihre Auswirkungen auf die geodätischen Netze und den Beitrag der Geodäsie zu den Geowissenschaften. In der „Einführung“ findet sich wiederum die Definition und eine Zusammenfassung der über 2000-jährigen Geschichte der Geodäsie bis hin zur drei- und vierdimensionalen Modellbildung, die Übersicht über die geodätischen Institutionen wurde auf den neuesten Stand gebracht. Das neue Kapitel „Bezugssysteme“ gibt einen systematischen Überblick über die geodätischen Referenz- und Zeitsysteme, ihre Realisierung und ihre gegenseitige Transformation. Das „Schwerefeld der Erde“ wird jetzt unter Einschluss des Geoids und Erweiterung bei der Feldgeometrie und der Kugelfunktionsentwicklung behandelt. Auch wegen der Bedeutung des „Geodetic Reference System 1980“ und des „World Geodetic System 1984“ wird nun das „Geodätische Erdmodell“ in einem eigenen Kapitel präsentiert. Kern des Buches bilden die Kapitel über die Mess- und Auswerteverfahren; sie sind völlig neu organisiert und bearbeitet worden. Bei den „Messmethoden“ nimmt nun, nach einer ausführlicheren Darstellung der atmosphärischen Refraktion, die Satellitengeodäsie einen führenden Platz ein, wobei dem „Global Positioning System“ (GPS) eine besondere Rolle zukommt. Die geodätische Astronomie schließt nun die „Very Long Baseline Interferometry“ ein, und bei der Gravimetrie werden die Entwicklungen in der absoluten und in der flugzeuggestützten Schweremessung berücksichtigt. Die terrestrischen geodätischen Messungen konzentrieren sich auf die kombinierte Winkel- und Streckenmessung über kürzere Entfernungen und auf das Nivellement. Bei den „Auswertemethoden“ ist die frühere Unterteilung in astrogeodätische, gravimetrische, satellitengestützte und kombinier-

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Vorwort

te Verfahren aufgegeben worden. Einem einführenden Abschnitt über das residuale Schwerefeld folgen nun die Blöcke der Positionsbestimmung und der Schwerefeldmodellierung sowie ein Abschnitt zur gemeinsamen Modellbildung. Die Positionsbestimmung geht vom dreidimensionalen Modell aus, die klassische Vorgehensweise bei der Lage- und Höhenbestimmung wird weiterhin kurz beschrieben. Bei der Schwerefeldbestimmung wird stärker auf den Einfluss der Topographie hingewiesen, und es wird klar zwischen der globalen und der lokalen Feldmodellierung unterschieden. Der Kollokation nach kleinsten Quadraten wird ein angemessener Platz eingeräumt. Die letzten beiden Kapitel zeigen die Auswirkung der neuen geodätischen Entwicklungen auf die Grundlagenvermessung und die Geowissenschaften. Im Kapitel über die „Geodätischen und gravimetrischen Netze“ spiegelt sich insbesondere der derzeitige Übergang von den klassischen Lage- und Höhennetzen zu dreidimensionalen Referenznetzen sowie das Vordringen absoluter Schweremesstechniken. Unter der Überschrift „Aufbau und Dynamik der Erde“ wird nach einer Einführung in das geophysikalische Erdmodell der geodätische Beitrag zur Geodynamikforschung herausgestellt. Der Text ist wiederum durch zahlreiche weitgehend erneuerte Abbildungen erläutert, welche neben grundsätzlichen Prinzipien auch moderne Messsysteme und aktuelle geodätische Ergebnisse darstellen. Das umfangreiche Literaturverzeichnis erleichtert das vertiefte Studium von speziellen Fragen. Das Buch wendet sich vor allem an die Studierenden des Vermessungs- und Geoinformationswesens, aber auch benachbarter Fächer der Ingenieur- und Geowissenschaften. Dem in der Praxis stehenden Vermessungsingenieur bietet es die Gelegenheit, sich über den neuesten Stand der Geodäsie mit seinen erheblichen Auswirkungen auf das Alltagsgeschäft in komprimierter systematischer Form zu informieren und seine Kenntnisse aufzufrischen. Der Inhalt des Buches beruht zu einem erheblichen Teil auf Vorlesungen des Autors an der Universität Hannover und auf Gastvorlesungen an anderen Institutionen. Er dankt den einzelnen Personen und den Organisationen, welche Abbildungen zur Verfügung gestellt haben; entsprechende Hinweise finden sich in den AbbildungsUnterschriften. Die Zeichnungen wurden von cand. geod. Anke Daubner neu angefertigt. Die Kollegen und Mitarbeiter am Institut für Erdmessung der Universität halfen in vielfältiger Weise bei der Erstellung des Manuskripts, Dipl.-Ing. Wolfgang Paech unterstützte den Autor insbesondere bei der Textverarbeitung; für alle diese Hilfe wird gedankt. Die seit nun drei Jahrzehnten bestehende gute Zusammenarbeit mit dem Verlag setzte sich auch bei der Erstellung dieses Buches fort, hierfür geht der Dank des Autors an Dr. Manfred Karbe und die Mitarbeiter bei Walter de Gruyter. Last, but not least danke ich meiner Frau Renate für ihre ständige Ermunterung und ihr Verständnis während des arbeitsreichen letzten Jahres. Hannover, im Oktober 2002

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Einführung 1.1 Definition der Geodäsie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aufgabe der Geodäsie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Historische Entwicklung der Geodäsie . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Das sphärische Erdmodell . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Das ellipsoidische Erdmodell . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Das Geoid, Gradmessungen und Landesvermessungen 1.3.4 Dreidimensionale Geodäsie . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Vierdimensionale Geodäsie . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Organisation der Geodäsie, Literatur . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Nationale Organisationen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Internationale Zusammenarbeit . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bezugssysteme 2.1 Basiseinheiten und Fundamentalkonstanten . . . . . . . . . . . . 2.2 Zeitsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Atomzeit, dynamische Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Sternzeit und Weltzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Internationaler Erdrotationsdienst . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Zälestische Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Äquatorsystem der sphärischen Astronomie . . . . . . . . 2.4.2 Präzession und Nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Internationales Zälestisches Bezugssystem . . . . . . . . 2.5 Terrestrisches Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Globales erdfestes geozentrisches System . . . . . . . . . 2.5.2 Polbewegung, Tageslänge, Veränderung des Geozentrums 2.5.3 Internationales Terrestrisches Bezugssystem . . . . . . . . 2.6 Schwerefeldbezogene Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Orientierung der örtlichen Lotrichtung . . . . . . . . . . . 2.6.2 Lokale astronomische Systeme . . . . . . . . . . . . . . .

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Das Schwerefeld der Erde 3.1 Grundlagen der Schwerefeldtheorie . . . . . . . . . . . 3.1.1 Gravitation, Gravitationspotential . . . . . . . . 3.1.2 Gravitation der kugelsymmetrischen Erde . . . . 3.1.3 Eigenschaften des Gravitationspotentials . . . . 3.1.4 Zentrifugalbeschleunigung, Zentrifugalpotential

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3.1.5 Schwerebeschleunigung, Schwerepotential . . . . . . . . . Geometrie des Schwerefeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Niveauflächen und Lotlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Lokale Schwerefelddarstellung, Krümmungen . . . . . . . 3.2.3 Natürliche Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials . . . . . . . 3.3.1 Entwicklung der reziproken Entfernung . . . . . . . . . . . 3.3.2 Entwicklung des Gravitationspotentials . . . . . . . . . . . 3.3.3 Geometrische Interpretation der Kugelflächenfunktionen . . 3.3.4 Physikalische Interpretation der Kugelfunktionskoeffizienten Das Geoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Der mittlere Meeresspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Das Geoid als Höhenbezugsfläche . . . . . . . . . . . . . . Zeitliche Schwereänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Gravitationskonstante, Erdrotation . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Gezeitenbeschleunigung, Gezeitenpotential . . . . . . . . . 3.5.3 Nicht-gezeitenbedingte Schwereänderungen . . . . . . . . .

Das geodätische Erdmodell 4.1 Das Rotationsellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Parameter und Koordinatensysteme . . . . . 4.1.2 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Räumliche geodätische Koordinaten . . . . . 4.2 Das Normalschwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Das Niveauellipsoid, Niveausphäroide . . . . 4.2.2 Das Normalschwerefeld des Niveauellipsoids 4.2.3 Geometrie des Normalschwerefeldes . . . . 4.3 Geodätische Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . Messmethoden 5.1 Atmosphärische Refraktion . . . . . . . . . . 5.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Troposphärische Refraktion . . . . . 5.1.3 Ionosphärische Refraktion . . . . . . 5.2 Satellitenbeobachtungen . . . . . . . . . . . 5.2.1 Die ungestörte Satellitenbewegung . . 5.2.2 Die gestörte Satellitenbewegung . . . 5.2.3 Künstliche Erdsatelliten . . . . . . . 5.2.4 Messungen von Richtungen, Strecken gen: Klassische Methoden . . . . . . 5.2.5 Global Positioning System (GPS) . . 5.2.6 Laserdistanzmessungen . . . . . . . . 5.2.7 Satellitenaltimetrie . . . . . . . . . .

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82 . 82 . 82 . 86 . 89 . 92 . 92 . 93 . 99 . 101

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106 106 107 111 113 116 116 119 121 124 127 137 139

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5.2.8 Satellite-to-Satellite Tracking, Satelliten-Schweregradiometrie Geodätische Astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Optische Beobachtungsinstrumente . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Astronomische Orts- und Azimutbestimmung . . . . . . . . . 5.3.3 Reduktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Langbasis-Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gravimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Absolute Schweremessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Relative Schweremessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Schwerebezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Schweremessungen auf bewegten Plattformen . . . . . . . . . 5.4.5 Schweregradiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 Kontinuierliche Schweremessungen . . . . . . . . . . . . . . Terrestrische geodätische Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Horizontal- und Zenitwinkelmessungen . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Streckenmessungen, Totalstationen . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Nivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Neigungs- und Dehnungsmessungen . . . . . . . . . . . . . .

6 Auswertemethoden 6.1 Residuales Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Störpotential, Höhenanomalie, Geoidhöhe . . . . . . 6.1.2 Schwerestörung, Schwereanomalie, Lotabweichung 6.1.3 Statistische Schwerefeldbeschreibung, Interpolation 6.2 Dreidimensionale Punktbestimmung . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Beobachtungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Geodätisches Datum . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Horizontale Punktbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Ellipsoidische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Reduktionen auf das Ellipsoid . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Berechnungen auf dem Ellipsoid . . . . . . . . . . . 6.4 Höhenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Höhen aus dem geometrischen Nivellement . . . . . 6.4.2 Trigonometrische Höhen . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Höhenbestimmung mit GPS . . . . . . . . . . . . . 6.5 Grundlagen der Schwerefeldmodellierung . . . . . . . . . . 6.5.1 Die geodätische Randwertaufgabe . . . . . . . . . . 6.5.2 Gravitation der Topographie . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Schwerereduktionen auf das Geoid . . . . . . . . . 6.5.4 Lagerung und Maßstab von Schwerefeldmodellen . . 6.6 Globale Schwerefeldmodellierung . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Kugelfunktionsentwicklung . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Schwerefeldmodelle niederen Grades . . . . . . . .

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6.6.3 Schwerefeldmodelle höheren Grades . . . . . . . . . . . . . Lokale Schwerefeldmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Gravimetrische Geoidhöhen und Lotabweichungen . . . . . . 6.7.2 Gravimetrische Höhenanomalien und Oberflächen-Lotabweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3 Das äußere Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.4 Astrogeodätische Geoid- und Quasigeoidbestimmung . . . . . Kombinationsmethoden zur Positionsbestimmung und Schwerefeldmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Erdmodelle und optimale Erdparameter . . . . . . . . . . . . 6.8.2 Kollokation nach kleinsten Quadraten . . . . . . . . . . . . .

Geodätische und gravimetrische Netze 7.1 Lagenetze . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Anlage und Vermessung . . . . 7.1.2 Berechnung und Orientierung . 7.2 Höhennetze . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Dreidimensionale Netze . . . . . . . . . 7.3.1 Globale und kontinentale Netze 7.3.2 Nationale Netze . . . . . . . . 7.4 Schwerenetze . . . . . . . . . . . . . .

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8 Aufbau und Dynamik der Erde 8.1 Das geophysikalische Erdmodell . . . . . . . . . . . 8.2 Die oberen Schichten der Erde . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Aufbau der Erdkruste und des oberen Mantels 8.2.2 Isostasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Plattentektonik . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Interpretation des Schwerefeldes . . . . . . . 8.3 Geodäsie und rezente Geodynamik . . . . . . . . . 8.3.1 Änderungen der Erdrotation . . . . . . . . . 8.3.2 Meeresspiegeländerungen . . . . . . . . . . 8.3.3 Rezente Krustenbewegungen . . . . . . . . . 8.3.4 Zeitliche Schwereänderungen . . . . . . . . 8.3.5 Erdgezeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1.1

Einführung Definition der Geodäsie

Die Geodäsie (γ η = Erde, δαιω = ich teile) ist nach der klassischen Definition von Friedrich Robert Helmert (1880) die „Wissenschaft von der Ausmessung und Abbildung der Erdoberfläche“. Diese Definition hat im Grundsatz bis heute Gültigkeit behalten. Die Oberfläche der Erde ist wesentlich von der Schwerkraft geprägt, und auf das Erdschwerefeld beziehen sich auch die meisten geodätischen Messungen. Damit schließt die obige Definition die Bestimmung des äußeren Schwerefeldes der Erde ein. Anwendungen in der Meeres- und der Weltraumforschung haben zu einer Erweiterung dieser Definition geführt. So beteiligt sich die Geodäsie heute in Zusammenarbeit mit anderen Disziplinen auch an der Bestimmung des Meeresbodens und der Oberflächen und Schwerefelder anderer Himmelskörper (Mond: lunare Geodäsie, Planeten: planetare Geodäsie). Schließlich muss die klassische Definition auch die zeitlichen Veränderungen der Erdoberfläche und des Schwerefeldes einschließen. Mit dieser erweiterten Definition zählt die Geodäsie sowohl zu den Geowissenschaften als auch zu den Ingenieurwissenschaften mit Einschluss der Navigation und der Geomatik (z. B. Geodäsie 2000++, 1998). Die Geodäsie lässt sich in die Bereiche Erdmessung, Landesvermessung und Einzelvermessungen unterteilen. Der Erdmessung (globale Geodäsie) obliegt es, die Form und Größe der Erde, ihre Orientierung im Raum und ihr äußeres Schwerefeld zu bestimmen. Die Landesvermessung erfasst die Oberfläche und das Schwerefeld einer bestimmten Region (Land, Kontinent). Hierbei muss die Krümmung und das Schwerefeld der Erde berücksichtigt werden. Durch die Einzelvermessungen (topographische Vermessungen, Katastervermessungen, Ingenieurvermessungen) werden die Detailformen der Erdoberfläche ermittelt. Krümmung und Schwerefeld der Erde können bei diesen lokalen Anwendungen meist vernachlässigt werden. Zwischen der Erdmessung, der Landesvermessung und den Einzelvermessungen bestehen enge Wechselwirkungen. Die Landesvermessungen schließen an die von der Erdmessung eingerichteten Bezugssysteme (globale Netze) an und übernehmen die Parameter für die Figur und das Schwerefeld der Erde, andererseits tragen die Ergebnisse der Landesvermessungen zur Erdmessung bei. Die Einzelvermessungen wiederum werden i. Allg. an die Festpunktfelder der Landesvermessung angeschlossen. Sie dienen insbesondere der Entwicklung von Landeskartenwerken, dem Aufbau von Liegenschaftskatastern und Geoinformationssystemen sowie der Lösung vermessungstechnischer Aufgaben bei Ingenieurprojekten. Mess- und Auswertemethoden der Landesvermessung entsprechen heute weitgehend denen der Erdmessung, dabei spielen geodätische Raumverfahren eine herausragende Rolle. In zunehmendem Maße werden diese Verfahren auch bei den Einzelvermessungen eingesetzt, was u. a. eine verbesserte Kenntnis des Schwerefeldes auch bei lokalen Anwendungen erfordert.

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1 Einführung

Der im englischen und französischen Sprachraum üblichen Einteilung folgend, verstehen wir im folgenden unter dem Begriff „Geodäsie“ (geodesy, la géodésie, „höhere Geodäsie“ nach Helmert) nur die Erdmessung und die Landesvermessung. Unter dem Begriff „Vermessungskunde“ (surveying, la topométrie, „niedere Geodäsie“ nach Helmert) fassen wir die Einzelvermessungen zusammen. In diesem Band wird nur die Geodäsie in dem oben erläuterten engeren Sinn behandelt und auf den Planeten Erde beschränkt. Von den zahlreichen Lehrbüchern zur Vermessungskunde nennen wir Kahmen (1997) und Bannister et al. (1998). Zur lunaren und planetaren Geodäsie verweisen wir auf Nerem (1995a); numerische Werte für astrometrische und geodätische Parameter finden sich bei Yoder (1995).

1.2 Aufgabe der Geodäsie Ausgehend von der Definition [1.1] lässt sich die Aufgabe der Geodäsie folgendermaßen beschreiben: „Die Geodäsie hat die Aufgabe, die Figur und das äußere Schwerefeld der Erde und anderer Himmelskörper als Funktion der Zeit aus Beobachtungen auf den Oberflächen und außerhalb dieser Körper zu bestimmen“. Dieses geodätische Randwertproblem enthält eine geometrische (Figur der Erde) und eine physikalische (Schwerefeld) Fragestellung, beide sind eng miteinander verknüpft. Unter der Figur der Erde verstehen wir die physische und die mathematische Erdoberfläche sowie ein geodätisches Erdmodell, s. Moritz (1990). Die physische Erdoberfläche ist die Begrenzung der festen oder flüssigen Massen gegenüber der Atmosphäre, der Meeresboden als Grenzfläche zwischen dem festen Erdkörper und den ozeanischen Wassermassen wird hierbei eingeschlossen. Die unregelmäßig gestaltete Oberfläche der festen Erde (kontinentale und MeeresbodenTopographie) lässt sich nicht durch eine einfache mathematische (analytische) Funktion darstellen, sie wird deshalb punktweise durch die Koordinaten von Festpunkten beschrieben. Gestützt auf ein hinreichend dichtes Festpunktfeld kann die Detailstruktur dieser Fläche dann aus topographischen und hydrographischen Vermessungen durch Interpolation bestimmt werden (Kahmen 1997, Hake et al. 2002). Die Meeresoberfläche (70 % der Erdoberfläche) lässt sich dagegen leichter beschreiben. Vernachlässigen wir den Einfluss von Meeresströmungen und anderer „Störungen“, so bildet die Oberfläche der Ozeane den Teil einer Niveau- oder Äquipotentialfläche des Erdschwerefeldes (Fläche konstanten Schwerepotentials). Wir können uns diese Fläche unter den Kontinenten fortgesetzt denken und bezeichnen sie dann als mathematische Erdfigur, sie kann durch eine Gleichgewichtsbedingung beschrieben werden (Helmert 1880/84). J. B. Listing (1873) hat für diese Niveaufläche den Namen Geoid eingeführt. Der große Mathematiker und Geodät Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) weist bereits auf diese Fläche hin: „Was wir im geometrischen Sinn Oberfläche der Erde nennen, ist nichts anderes als

1.2 Aufgabe der Geodäsie

3

diejenige Fläche, welche überall die Richtung der Schwere senkrecht schneidet, und von der die Oberfläche des Weltmeeres einen Theil ausmacht“ (C. F. Gauß: „Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona“, Göttingen 1828), siehe auch Moritz (1977).

Die Beschreibung des äußeren Schwerefeldes einschließlich des Geoids stellt den physikalischen Aspekt der Aufgabe der Geodäsie dar. Dabei werden die Erdoberfläche und das Geoid als Randflächen im Erdschwerefeld betrachtet, auf dieses Feld beziehen sich die geodätischen Beobachtungen. Die analytische Modellierung des äußeren Schwerefeldes der Erde (oder anderer Himmelskörper) basiert auf dem Gravitationsgesetz und der durch die Rotation verursachten Zentrifugalbeschleunigung, dabei wird eine große Zahl von Modellparametern benötigt. Eine geometrische Darstellung gelingt durch die Schar der vollständig oder teilweise (wie das Geoid) außerhalb der physischen Erdoberfläche verlaufenden Niveauflächen (Abb. 1.1).

ATMOSPHÄRE

MEERESOBERFLÄCHE

H ÄC RFL E B O

E

TOPOGRAPHIE GEOID

RD HE E PHYSISC MEERESBODEN FESTE ERDE

ELLIPSOID

Abb. 1.1. Physische Erdoberfläche, Geoid und Ellipsoid

Bezugssysteme (Referenzsysteme) werden benötigt, um die Orientierung der Erde (und anderer Himmelskörper) im Raum (zälestische Bezugssysteme) sowie die Geometrie ihrer Oberflächen und ihre Schwerefelder (terrestrische Bezugssysteme) zu beschreiben. Definition und Realisierung dieser Systeme stellt eine wesentliche Aufgabe der globalen Geodäsie dar, hierbei ist die Benutzung dreidimensionaler kartesischer Koordinaten im Euklidischen Raum angemessen. Die Anforderungen der Praxis führen zur Einführung von Bezugsflächen, wobei zwischen gekrümmten Flächenkoordinaten für die horizontale Positionierung und Höhen über einer Höhen-Nullfläche für die vertikale Positionierung unterschieden wird. Zur Beschreibung der horizontalen Lage ist ein an den Polen abgeplattetes Rotationsellipsoid (einfaches Bildungsgesetz) besonders gut geeignet, es wird deshalb in der Landesvermessung als Bezugsfläche benutzt. Bei den Einzelvermessungen reicht eine Horizontalebene als Bezugsfläche meist aus. Das Geoid (oder eine andere im Erdschwerefeld definierte Fläche) eignet sich wegen seiner physikalischen Bedeutung als Höhenbezugsfläche. Ein geodätisches Erdmodell (Normalerde) wird in zahlreichen Anwendungen benötigt. Realisiert wird es durch das mittlere Erdellipsoid, welches die Geometrie (Geoid) und das äußere

4

1 Einführung

Schwerefeld optimal approximiert. Abb. 1.1 zeigt die gegenseitige Zuordnung der von der Geodäsie zu bestimmenden Flächen. Der Erdkörper und sein Schwerefeld unterliegen zeitlichen Veränderungen säkularer, periodischer und abrupter Art, welche global, regional und lokal auftreten können. Diese Veränderungen beeinflussen auch die Orientierung der Erde im Raum. Die heutigen geodätischen Mess- und Auswerteverfahren können diese Veränderungen mit hoher Genauigkeit erfassen. Sollen zeitunabhängige Resultate erhalten werden, so sind die geodätischen Beobachtungen von den zeitlichen Änderungen zu befreien. Andererseits trägt die Geodäsie mit der Bestimmung dieser Veränderungen zur Erforschung der Kinematik und Dynamik des Erdkörpers bei. Figur und Schwerefeld der Erde müssen also als zeitliche Variable behandelt werden: „vierdimensionale Geodäsie“ (Mather 1973).

1.3

Historische Entwicklung der Geodäsie

Die in [1.2] formulierte Aufgabenstellung der Geodäsie entwickelte sich erst im Laufe des 19. Jahrhunderts. Die Frage nach der Gestalt der Erde wurde jedoch bereits im Altertum aufgeworfen; die Geodäsie zählt mit der Astronomie und der Geographie zu den ältesten Wissenschaften, welche sich mit dem Planeten Erde befassen. Nachdem zunächst die Kugel als Erdmodell diente [1.3.1], setzte sich in der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts das an den Polen abgeplattete Rotationsellipsoid als Erdfigur durch [1.3.2]. Die Bedeutung des Schwerefeldes wurde im 19. Jahrhundert erkannt, und das Geoid wurde als Randfläche im Schwerefeld eingeführt [1.3.3]. In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts konnte mit Hilfe der Satellitentechnik das dreidimensionale Konzept der Geodäsie realisiert werden [1.3.4]. Schließlich erforderte die drastische Genauigkeitssteigerung der geodätischen Messungen die Berücksichtigung zeitlicher Veränderungen, was zum Konzept der vierdimensionalen Geodäsie führte [1.3.5]. Umfassende Darstellungen zur Geschichte der Geodäsie finden sich u. a. bei Perrier (1949) und Bialas (1982). 1.3.1

Das sphärische Erdmodell

Im Altertum herrschten unterschiedliche Meinungen über die Erdgestalt, z. B. die Vorstellung der vom Okeanos umflossenen Erdscheibe (Homers Ilias ∼ 800 v. Chr., Thales von Milet (∼ 600 v. Chr.). Aus ästhetischen Gesichtspunkten schlugen Pythagoras (∼ 580 – 500 v. Chr.) und seine Schule eine kugelförmige Erde vor. Zur Zeit von Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) war das sphärische Erdmodell allgemein anerkannt und durch Beobachtungen gestützt. Hierzu zählte der bei Mondfinsternissen sichtbare kreisförmige Schatten der Erde und das allmähliche Auftauchen eines Schiffes am Horizont. In China wurde die Kugelgestalt der Erde im ersten Jahrhundert n. Chr. erkannt. Begründer der Geodäsie ist der Alexandriner Eratosthenes (276 – 195 v. Chr.), welcher unter Annahme eines sphärischen Erdmodells den Erdradius aus Messungen herleitete (Schwarz 1975). Das Prinzip der von ihm entwickelten Gradmessungsmethode wurde bis in die Neuzeit angewandt. Dabei wird durch geodätische Messungen die

1.3 Historische Entwicklung der Geodäsie

5

Länge G eines Meridianbogens bestimmt, während astronomische Beobachtungen den dazu gehörenden Zentriwinkel ψ liefern (Abb. 1.2). Der Erdradius ergibt sich dann zu G R= . (1.1) ψ Eratosthenes fand, dass zur Zeit der Sommersonnenwende die Sonnenstrahlen in Syene (dem heutigen Assuan) senkrecht in einen Brunnen fielen, während sie in dem genähert auf demselben Meridian liegenden Alexandria mit der Lotrichtung einen

SONNE y

N

ALEXANDRIA

y

ÄQUATOR 0

DG

R

SYENE R

S

Abb. 1.2. Gradmessung des Eratosthenes

Winkel bildeten. Aus der Schattenlänge eines senkrechten Stabes („Gnomon“) in einer Halbkugelschale („Skaphe“) bestimmte er diesen Winkel zu 1/50 des Kreisumfangs, d. h. ψ = 7◦ 12 . Die Entfernung zwischen Syene und Alexandria schätzte er zu 5000 Stadien ab, diesem Wert liegen die Katastervermessungen der „Bematisten“ (Schrittzähler) zugrunde. Wird für die Länge eines ägyptischen Stadiums 148,5 m angenommen, so ergibt sich für den Erdradius ein Wert von 5 909 km, das Ergebnis weicht also nur um −7 % vom Radius einer mittleren Erdkugel (6 371 km) ab. Eine weitere Bestimmung aus dem Altertum wird Posidonius (135 – 51 v. Chr.) zugeschrieben. Er benutzte den Meridianbogen zwischen Alexandria und Rhodos und stellte fest, dass der Stern Canopus in Rhodos den Horizont nicht überschritt, während er in Alexandria in einer Höhe von 7◦ 30 kulmimierte. Dieser Wert entspricht wiederum dem Zentriwinkel des Meridianbogens. Im Mittelalter wurde in Europa die Frage der Erdfigur nicht weiter verfolgt. Chinesische Quellen nennen eine astrogeodätische Vermessung zwischen 17◦ und 40◦ Breite, die von den Astronomen Nankung Yüeh und I-Hsing um 725 n. Chr. zur Bestimmung des Meridianbogens durchgeführt wurde. Von den Arabern ist eine unter dem Kalifat von Al-Mámûn ausgeführte Gradmessung (∼ 827 n. Chr.) überliefert, bei der nordwestlich Bagdad ein Gradbogen von 1◦ Breitendifferenz direkt mit Seilen gemessen

6

1 Einführung

wurde. Zu Beginn der Neuzeit beobachtete der französische Arzt Fernel (1525) die geographischen Breiten von Paris und Amiens mit einem Quadranten, die entspechende Entfernung berechnete er aus der Anzahl der Umdrehungen eines Wagenrades. Die letzten noch von der Kugelgestalt der Erde ausgehenden Gradmessungen sind durch wesentliche Fortschritte in der Instrumententechnik (1611, Keplersches Fernrohr) und in der Methodik gekennzeichnet. Nach ersten Anwendungen der Triangulation durch Gemma Frisius (1508 – 1555) in den Niederlanden und durch Tycho Brahe (1546 – 1601) in Dänemark führte der Holländer Willebrord Snellius (1580 – 1626) 1615 eine Triangulation zur Bestimmung des Gradbogens zwischen Bergen op Zoom und Alkmaar durch. Damit wurde die bisherige ungenaue Schätzung bzw. direkte Messung der Länge eines Gradbogens durch ein indirektes Verfahren ersetzt. Die Winkel des Dreiecksnetzes werden hierbei mit hoher Präzision gemessen, und der Maßstab wird aus der genauen Vermessung kurzer Grundlinien abgeleitet. Nach entsprechender Reduktion der Beobachtungen auf den Meridian lässt sich dann die Gradbogenlänge mit hoher Genauigkeit ableiten. Die direkte Längenmessung mit Hilfe der Messkette wurde nochmals von Norwood bei einer Gradmessung zwischen London und York (1633 – 1635) angewandt. Die Messung gegenseitiger Zenitwinkel stellt eine andere Methode zur Bestimmung des Zentriwinkels zwischen den Endpunkten eines Meridianbogens dar. Sie wurde von den italienischen Jesuitenpatern Grimaldi und Riccioli 1645 zwischen Bologna und Modena angewandt (Abb. 1.3). Der Zentriwinkel berechnet sich dabei aus

z2

P2 z1 P1

DG KUGEL

R

y

R

0

Abb. 1.3. Zentriwinkel und gegenseitige Zenitwinkel

den in P1 und P2 beobachteten Zenitwinkeln z1 und z2 nach ψ = z1 + z2 − π.

(1.2)

Wegen der nicht mit hinreichender Genauigkeit erfassbaren Krümmung der Lichtstrahlen in der Atmosphäre (Refraktionsanomalien) liefert dieses Verfahren keine zufriedenstellenden Ergebnisse.

1.3 Historische Entwicklung der Geodäsie

7

Durch die Iniative der 1666 in Paris gegründeten Akademie der Wissenschaften übernahm Frankreich im 17. und 18. Jahrhundert die führende Rolle in der Geodäsie. Der französische Abbé J. Picard führte 1669/1670 im Meridian von Paris zwischen Malvoisine und Amiens eine Gradmessung mit Hilfe einer Triangulation durch, er verwendete dabei erstmals ein Fernrohr mit Fadenkreuz. Der von ihm bestimmte Wert für den Erdradius (Abweichung +0,01 %) diente Newton bei der Überprüfung des von ihm 1665/66 formulierten Gravitationsgesetzes. 1.3.2

Das ellipsoidische Erdmodell

Im 16. und 17. Jahrhundert kamen aus der Astronomie und der Physik neue Beobachtungen und Ideen, welche die Vorstellungen von der Figur der Erde und ihrer Bewegung im Raum entscheidend beeinflussten. N. Kopernikus (1473 – 1543) vollzieht den Übergang vom geozentrischen Weltsystem des Ptolemäus zum heliozentrischen System (1543: „De revolutionibus orbium coelestium“), welches bereits Aristarch von Samos (∼ 310 – 250 v. Chr.) postuliert hatte. J. Kepler (1571 – 1630) findet die Gesetze der Planetenbewegungen (1609: „Astronomia nova…“, 1619: „Harmonices mundi“), und Galileo Galilei (1564 – 1642) entwickelt die Grundlagen der Mechanik (Fallgesetz, Pendelgesetz). 1666 beobachtet der Astronom J. D. Cassini die Abplattung des Jupiter an den Polen. Der Astronom J. Richer findet 1672/73 in Cayenne anlässlich einer Expedition zur Bestimmung der Marsparallaxe, dass er die Länge eines in Paris justierten Sekundenpendels zu verkürzen hat, um wieder Sekundenschwingungen zu erhalten. Aus dieser Feststellung kann man auf Grund des Pendelgesetzes auf eine Zunahme der Schwerkraft vom Äquator zu den Polen schließen. E. Halley bestätigt dieses Resultat, als er Pendelmessungen in London und St. Helena (1677 – 1678) miteinander vergleicht. Aufbauend auf diesen Beobachtungen und seinen eigenen theoretischen Arbeiten zur Gravitation und zur Hydrostatik entwickelt Isaac Newton (1643 – 1727) ein physikalisch begründetes Erdmodell (1687: „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“). Auf der Grundlage des Gravitationsgesetzes erhält er ein Rotationsellipsoid als Gleichgewichtsfigur für den homogenen, flüssigen und rotierenden Erdkörper. Als polare Abplattung a−b (1.3) f = a (a = große Halbachse, b = kleine Halbachse des Ellipsoids) ergibt sich dabei 1/230. Gleichzeitig postuliert Newton eine Zunahme der Schwerebeschleunigung vom Äquator zu den Polen mit sin2 ϕ (ϕ = geographische Breite). Nachdem er das Prinzip der Pendeluhr und das Zentrifugalgesetz entwickelt hat, berechnet der holländische Physiker Christian Huygens (1629 – 1695) ebenfalls ein an den Polen abgeplattetes Erdmodell („Discours de la Cause de la Pesanteur“, 1690). Indem er den Ursprung der Erdanziehungskraft in den Erdmittelpunkt verlegt, gelangt er zu einer rotationssymmetrischen Gleichgewichtsfigur mit einer Meridiankurve 4. Ordnung und der Abplattung 1/576.

8

1 Einführung

Zur Überprüfung der vorgeschlagenen ellipsoidischen Erdmodelle wurden Gradmessungen in verschiedenen Breiten notwendig. Falls eine Polabplattung vorliegt, sollte die Länge eines 1◦ -Bogens (Meridianbogenlänge für eine Breitendifferenz von 1◦ ) vom Äquator ausgehend polwärts zunehmen. Die ellipsoidischen Parameter a, b oder a, f lassen sich dann aus zwei Gradmessungen in verschiedenen Breiten berechnen. Wir unterscheiden Gradmessungen längs eines ellipsoidischen Meridians (Breitengradmessung) und längs eines Parallelkreises (Längengradmessung) sowie Gradmessungen schräg zum Meridian. Bei der Berechnung einer Breitengradmessung (Abb. 1.4) werden aus den beobachteten geographischen Breiten ϕ1 , ϕ2 , ϕ1 und ϕ2 die Winkel ϕ = ϕ2 − ϕ1 und ϕ  = ϕ2 − ϕ1 gebildet. Die dazu gehörenden Meridianbögen G und G werN

DG´ DG

b

M´ j2´

0

j1´ j2 Dj´

M Dj

j1 a

Abb. 1.4. Breitengradmessung

den aus Triangulationen abgeleitet. Bei kurzen Bögen kann man die Meridianellipse durch den Schmiegungskreis mit dem für die Mittelbreite ϕ = 21 (ϕ1 + ϕ2 ) geltenden Meridiankrümmungsradius M = M(ϕ) ersetzen, welcher eine Funktion der Ellipsoidparameter a, f ist. Aus G = Mϕ und G = M  ϕ  lassen sich a und f berechnen, s. [4.1.2]. Die Abplattung wird umso genauer erhalten, je größer die Breitendifferenz ϕ  − ϕ ist, die Genauigkeit der großen Halbachse hängt insbesondere von der Länge der Meridianbögen ab. Längengradmessungen lassen sich mit entsprechenden Beziehungen zwischen den gemessenen Parallelkreisbögen und den an den Bogenendpunkten beobachteten geographischen Längen auswerten. Schräg zum Meridian angelegte Gradmessungen erfordern Azimutbestimmungen zur Reduktion auf den Meridian. Erste Auswertungen älterer Gradmessungen (Snellius, Picard u. a.) führten zu einem an den Polen verlängerten Erdmodell. Das gleiche Ergebnis zeigte dieAusdehnung des Picardschen Bogens nach Norden (Dünkirchen) und Süden (Collioure) auf eine Breitendifferenz von 8◦ 20 (J. D. La Hire und J. Cassini, 1683 – 1718). Die Auswertung von zwei Teilbögen führte auf eine „negative“ Abplattung von −1/95, was wohl hauptsächlich auf Fehler in den astronomischen Breiten zurückzuführen ist. Der sich anschließende heftige Streit zwischen den Anhängern Newtons und der Cassinis um die Erdfigur wurde durch zwei weitere von der französischen Akademie der Wissenschaften veranlasste Gradmessungen in hoher und niedriger Breite entschieden.

1.3 Historische Entwicklung der Geodäsie

9

An der Expedition nach Lappland (1736/37) nahmen u. a. Maupertuis und Clairaut teil, die Resultate dieser Gradmessung (mittlere Breite 66◦ 20 , Breitenunterschied 57,5 ) bestätigten die Polabplattung. In Verbindung mit der durch Cassini de Thury und La Caille 1739 – 1740 überprüften Gradmessung im Meridian von Paris ergab sich ein Abplattungswert von 1/304. Eine zweite Expedition (1735 – 1744) führte nach Peru (Gebiet des heutigen Ecuador), wo von Bouguer, La Condamine und Godin in einer mittleren Breite von 1◦ 31 S ein Bogen von 3◦ 7 Amplitude bestimmt wurde. Die Kombination mit dem Lapplandbogen führte zu einer Abplattung von 1/210. Damit war dieAbplattung der Erde an den Polen durch geodätische Messungen nachgewiesen. Eine Synthese zwischen der physikalischen und der geometrischen Begründung der ellipsoidischen Erdgestalt gelang A. C. Clairaut (1713 – 1765). Das nach ihm benannte Theorem (1743) gestattet die Berechnung der Abplattung aus zwei Schweremessungen in verschiedenen Breiten, s. [4.2.2]. Auf der Basis dieses Theorems konnte P.-S. Laplace (1799) aus nur 15 Schwerewerten eine Abplattung von 1/330 berechnen. Einer erweiterten Anwendung dieser „gravimetrischen Methode“ stand bis zum 20. Jahrhundert der Mangel an genauen und gut über die Erde verteilten Schwerewerten und die Schwierigkeit bei der Reduktion der Daten auf das Ellipsoid entgegen. Nachdem das Rotationsellipsoid als Erdmodell allgemein akzeptiert war, wurden bis in das 20. Jahrhundert hinein zahlreiche Gradmessungen ausgeführt, in den meisten Fällen dienten sie auch als Grundlage für eine Landesvermessung, s. [1.3.3]. So wurde der Meridianbogen durch Paris durch Cassini de Thury erweitert und in die erste Triangulation von Frankreich (1733 – 1750) einbezogen. Eine geodätische Verbindung zwischen den Sternwarten in Paris und Greenwich war der Ausgangspunkt für die Landesvermessung von Großbritannien, wobei der Meridianbogen durch Paris schließlich bis zu den Shetland-Inseln ausgedehnt wurde. Besondere Bedeutung erlangte die im Auftrage der französischen Nationalversammlung von Delambre und Méchain im Meridian von Paris zwischen Barcelona und Dünkirchen durchgeführte Gradmessung (1792 – 1798), die der Definition des Meters als natürlichem Längenmaß dienen sollte. Die Kombination dieses Bogens mit der peruanischen Gradmessung lieferte eine Ellipsoidabplattung von 1/334. 1.3.3

Das Geoid, Gradmessungen und Landesvermessungen

Wie bereits P.-S. Laplace (1802), C. F. Gauß (1828), F. W. Bessel (1837) und andere erkannt hatten, ist die Annahme eines ellipsoidischen Erdmodells bei genügend hoher Messgenauigkeit nicht mehr haltbar. Es können dann nämlich die Abweichungen zwischen der physikalischen Lotrichtung, auf welche sich die Messungen beziehen, und der Ellipsoidnormalen nicht mehr vernachlässigt werden; diese Differenz wird als Lotabweichung bezeichnet. Bei der Ausgleichung verschiedener Gradmessungen zur Bestimmung der Ellipsoidparameter traten Widersprüche auf, welche die Beobachtungsfehler weit überschritten. Diese Erkenntnisse führten zu einer verfeinerten Definition der „Figur der Erde“ durch Gauß und Bessel, wobei jetzt klar zwischen der physischen Oberfläche der Erde, dem Geoid als der mathematischen Erdfigur und dem Ellipsoid als einer das Geoid

10

1 Einführung

approximierenden Bezugsfläche unterschieden wurde, s. [1.2]. Mit der Definition der Geodäsie [1.1] vollzog dann F. R. Helmert den Übergang zur heutigen Auffassung von der Figur der Erde (Moritz 1990). Friedrich Robert Helmert (1843 – 1917), einer der bedeutendsten Geodäten der Neuzeit, war Professor der Geodäsie an der Technischen Hochschule Aachen und später Direktor des Preußischen Geodätischen Instituts in Potsdam und des Zentralbüros der „Internationalen Erdmessung“. Durch seine Arbeiten hat die Geodäsie entscheidende Impulse erhalten, welche bis heute wirksam sind. In seiner grundlegenden Monographie (1880/1884) begründete Helmert die Geodäsie als eigenständige Wissenschaft (Wolf 1993).

Trotz der in den Ausgleichungen auftretenden Widersprüche wurden zunächst die Gradmessungen weiterhin auf der Grundlage des ellipsoidischen Erdmodells berechnet. Dabei wurden die physikalisch bedingten und damit systematisch wirkenden Lotabweichungen wie zufallsbedingte Fehler behandelt. Dieser Ansatz lieferte dementsprechend nur Parameter für Ellipsoide, welche das Geoid im Bereich der Dreiecksketten bestmöglich approximieren: bestanschließende Ellipsoide. Viele der so berechneten Ellipsoide dienten als Bezugsfläche für die im 19. Jahrhundert beginnenden Landesvermessungen: konventionelle Ellipsoide. Die Gradmessungen wurden auf diese Weise in zunehmendem Maße Bestandteil der Landesvermessungen. Durch die Triangulationen der Landesvermessungen wurden Festpunktfelder insbesondere für die Kartenherstellung und den Aufbau von Liegenschaftskatastern eingerichtet, die bis heute die Grundlage für die meisten nationalen geodätischen Bezugssysteme bilden (Torge 1997). Schweremessungen wurden bei den meisten Gradmessungen und in besonderen Messkampagnen durchgeführt, besonders nach der Gründung der „Mitteleuropäischen Gradmessung“, s. [1.4.2]. Wir nennen hier den historisch wichtigen Gradbogen von Gauß (Gradmessung zwischen Göttingen und Altona 1821 – 1824, Erfindung des Heliotrop, Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate) und seine Erweiterung zur Triangulation des Königreiches Hannover (bis 1844). Diese Gradmessung war von dem dänischen Astronomen H. Chr. Schumacher initiiert worden, sie sollte Teil eines mitteleuropäischen Gradbogens zwischen Dänemark und Bayern (Triangulation durch J. G. Soldner, 1808 – 1828) werden und sich dann weiter nach Süden erstrecken. Bessel und Baeyer führten eine Gradmessung schräg zum Meridian in Ostpreußen aus (1831 – 1838), die die russischen Triangulationen (W. Struve, C. Tenner) mit den preußischen und dänischen Dreiecksnetzen und schließlich mit den französisch-britischen Gradmessungen im Meridian von Paris verband. Über mehr als 100 Jahre wurden durch die Verbindung nationaler Dreiecksketten eine Anzahl langer Gradbögen aufgebaut. Einige dieser Bögen wurden erst um 1950 und andere überhaupt nicht fertiggestellt, was durch das Verdrängen der klassischen Methoden durch Satellitentechniken bedingt ist. Von den neueren Gradmessungen großer Ausdehnung nennen wir den amerikanischen Meridianbogen (Alaska – Feuerland), den nordamerikanischen Längengradbogen in 30◦ Breite zwischen dem Atlantik und dem Pazifik, den westeuropäisch-afrikanischen Bogen im Meridian von Paris (Shetlands – Algerien), den Eismeer-Mittelmeer-Bogen (Hammerfest – Kreta) und den damit verbundenen afrikanischen Meridianbogen in

1.3 Historische Entwicklung der Geodäsie

11

30◦ östlicher Länge (Kairo – Kapstadt), die europäisch-asiatischen Längengradmessungen in 48◦ (Brest – Astrachan) und 52◦ (Irland – Ural) Breite sowie die Breitenund Längengradmessungen in Indien (G. Everest, W. Lambdon). Im Rahmen der nationalen Landesvermessungen wurden seit etwa 1880 Höhennetze durch geometrische Nivellements eingerichtet, diese vertikalen Kontrollnetze entstanden aber unabhängig von den Lagenetzen. Die Höhen wurden auf eine in der Nähe des Geoids verlaufende Niveaufläche bezogen, welche durch den an einem Meerespegel bestimmten mittleren Meeresspiegel definiert war. Das Geoid wurde bei dieser getrennten Behandlung von (horizontaler) Lage und Höhe nicht benötigt, spielte aber eine Rolle als geometrische Darstellung des Schwerefeldes. Eine wesentliche Voraussetzung zur Auswertung von großräumigen Gradmessungen, Triangulationen und Nivellements war die Standardisierung der Maßeinheiten. Nachdem das Meter als Längeneinheit in Frankreich bereits Ende des 18. Jahrhunderts eingeführt worden war, beschlossen auf der Internationalen Meterkonvention in Paris 1875 eine größere Zahl von Ländern eine verfeinerte Definition und die Einführung des Meters. Auf der Internationalen Meridiankonferenz (Washington, DC, 1884) wurde auf Grund einer Empfehlung der „Europäischen Gradmessung“ der Meridian von Greenwich als Ausgangsmeridian für die Zählung der geographischen Längen und die hierauf bezogene Weltzeit mit dem mittleren Sonnentag als Zeiteinheit eingeführt. 1.3.4

Dreidimensionale Geodäsie

Das dreidimensionale Konzept der Geodäsie besteht aus der gemeinsamen Behandlung von horizontaler und vertikaler Positionsbestimmung in einem mathematischen Modell. Dieser Weg war von Bruns (1878) mit dem Vorschlag angeregt worden, die Oberfläche der Erde punktweise durch ein räumliches Polyeder zusammen mit den äußeren Niveauflächen zu bestimmen. In der Praxis wurden dreidimensionale Berechnungen jedoch zunächst nicht durchgeführt. Dies lag einerseits an der Unsicherheit der trigonometrisch über größere Distanzen bestimmten Höhen, andererseits am Fehlen der zur Reduktion des Nivellements benötigten Höhen des Geoids über dem Ellipsoid. Das Konzept der dreidimensionalen Geodäsie wurde von Marussi (1949) und Hotine (1969) wieder aufgegriffen, und Molodenski zeigte 1945, dass die physische Oberfläche und das äußere Schwerefeld der Erde ohne Kenntnis des Geoids allein aus Messungen an der Erdoberfläche bestimmt werden können, Molodenski (1958). Väisälä führte 1946 die Stellartriangulation mit Hilfe von hoch fliegenden Ballonen als einen ersten Schritt zur Realisierung des dreidimensionalen Konzepts ein. In den 1950er und 1960er Jahren folgte dann die elektronische Distanzmessung mit terrestrischen und flugzeuggestützten Methoden. Ein technischer Durchbruch kam mit dem Start des russischen Satelliten Sputnik I (1957). Jetzt konnten Beobachtungen zu erdumlaufenden künstlichen Satelliten genutzt werden, um Festpunkte in einem dreidimensionalen System zu bestimmen und aus der Bahnanalyse Informationen über das Erdschwerefeld abzuleiten. Seit den 1980er Jahren wird das NAVSTAR Global Positioning System (GPS) für geodätische Zwecke benutzt, es dominiert heute die

12

1 Einführung

geodätischen Messtechniken. Die Einbeziehung der klassischen Lage- und Höhenkontrollnetze in das durch Raummethoden aufgebaute globale Bezugssystem ist nun eine aktuelle praktische Aufgabe geworden, wobei der Festlegung des Geoids gegenüber einem globalen Bezugsellipsoid besondere Bedeutung zukommt. 1.3.5 Vierdimensionale Geodäsie Der Beginn der vierdimensionalen Geodäsie kann auf die Entdeckung der Polbewegung durch F. Küstner (1884 – 1885) und erste Beobachtungen der Erdgezeiten durch E. v. Rebeur-Paschwitz (1889 – 1893) gelegt werden. Vor rund 100 Jahren begann in Japan und in den USA die geodätische Überwachung von Erdkrustenbewegungen im Zusammenhang mit seismischen Aktivitäten, ausgelöst durch Ereignisse wie das San Francisco-Erdbeben von 1906. In Fennoskandien werden seit den 1880er Jahren Präzisionsnivellements und Meerespegelbeobachtungen herangezogen, um die durch postglazialeAusgleichsvorgänge verursachte großräumige Landhebung zu bestimmen. Heute werden die Änderungen der Erdrotation und die Bewegungen der tektonischen Platten quasikontinuierlich mit Hilfe globaler Netze beobachtet. Regionale Kontrollnetze sind insbesondere an den Plattengrenzen eingerichtet worden. Großräumige Schwereänderungen lassen sich aus Satellitenbahnanalysen, kleinräumige aus der wiederholten Beobachtung terrestrischer Schwerenetze ableiten. Die Erdgezeiten können mit hoher Genauigkeit mit Hilfe von terrestrischen Daten und aus Satellitenbeobachtungen modelliert werden. Weltweit werden verstärkt große Anstrengungen unternommen, auch mit geodätischen Methoden alle möglichen Arten von geodynamischen Phänomenen zu beobachten und zu analysieren (Mueller und Zerbini 1989). In Zukunft werden die geodätischen Beobachtungen eine weitere Steigerung der Genauigkeit und der räumlichen und zeitlichen Auflösung erfahren. Längere Beobachtungsreihen werden es dann ermöglichen, langfristige Veränderungen der Erde und ihres Schwerefeldes aufzudecken, was zu entsprechenden Konsequenzen für die Modellbildung in der Erdmessung und der Landesvermessung zwingt. Der vierdimensionale Aspekt der Geodäsie wird in wachsendem Maße bei der Auswertung und Präsentation geodätischer Produkte zu berücksichtigen sein (Lambeck 1988, Brunner und Rizos 1990).

1.4

Organisation der Geodäsie, Literatur

1.4.1

Nationale Organisationen

Die Aufgaben der Erdmessung lassen sich nur durch die Zusammenarbeit der auf nationaler Ebene tätigen Institutionen mit internationalen Diensten lösen, s. [1.4.2]. Universitätsinstitute (Geodäsie, Geophysik, Astronomie, Raumforschung) führen Grundlagenforschung durch. In einigen Ländern sind auch Akademie- oder andere staatliche Institute mit geodätischer Forschung befasst (China: Institut für Geodäsie und Geophysik, Wuhan; Finnland: Finnisches Geodätisches Institut; Deutschland: Deutsches

1.4 Organisation der Geodäsie, Literatur

13

Geodätisches Forschungsinstitut, München, Geoforschungszentrum Potsdam; Russland: Institut für die Physik der Erde, Moskau). Die Landesvermessung wird je nach Struktur des staatlichen Vermessungswesens entweder von Zentralbehörden oder dezentralisierten Institutionen ausgeführt (Australien: Australian Surveying and Land Information Group; Kanada: Geodetic Survey Division, National Resources Canada; China: National Bureau of Surveying and Mapping; Frankreich: Institut Géographique National; Deutschland: Landesvermessungsämter in Zusammenarbeit mit dem Bundesamt für Kartographie und Geodäsie BKG; Grossbritannien: Ordnance Survey; Indien: Survey of India; Japan: Geographical Survey Institute; Russland: Federal Service of Geodesy and Cartography; Südafrika: Surveys and Land Information; USA: National Geodetic Survey, National Oceanic and Atmospheric Administration NOAA (früher U.S. Coast and Geodetic Survey). Zusätzlich führen verschiedene nicht-geodätische Institutionen im Rahmen ihrer speziellen Aufgaben auch geodätische Arbeiten aus. Hierzu werden theoretische Grundlagen erarbeitet, Mess-Systeme und Methoden entwickelt, vor allem aber geodätische Daten gesammelt und ausgewertet. Wir nennen speziell die Raumfahrtagenturen (z. B. Goddard Space Flight Center der NASA, Greenbelt, Md.; Centre National d’Etudes Spatiales, Toulouse), Geologische und Hydrographische Dienste (China: State Seismological Bureau; Frankreich: Bureau des Recherches Géographiques et Minières; Deutschland: Bundesanstalt für Geowissenschaften und Rohstoffe, Bundesamt für Seeschiffahrt und Hydrographie; Grossbritannien: Institute of Geological Sciences, Institute of Oceanographic Sciences; USA: U.S. Geological Survey, U.S. Naval Observatory), Universitäts-Departments (z. B. Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, Pasadena, Cal.; Lamont Doherty Earth Observatory, Columbia Univ., Palisades, N.Y.) und militärische Dienststellen (z. B. USA: National Imagery and Mapping Agency NIMA, früher Defense Mapping Agency). Weitere Angaben finden sich im Journal of Geodesy 74 (2000): 142 – 154.

1.4.2

Internationale Zusammenarbeit

Bereits bei Beginn der Gradmessung im Königreich Hannover (1821) äußerte C. F. Gauß den Wunsch nach internationaler Zusammenarbeit. Danach sollte diese Dreieckskette mit den benachbarten Dreiecksnetzen verknüpft werden und so die zentraleuropäischen Observatorien miteinander verbinden. Die organisierte internationale Zusammenarbeit geht auf eine Denkschrift des preußischen Generals J. J. Baeyer (1794 – 1885) zurück: „Über die Größe und Figur der Erde, eine Denkschrift zur Begründung einer Mitteleuropäischen Gradmessung“ (1861). 1862 wurde die „Mitteleuropäische Gradmessung“ als eine der ersten wissenschaftlichen Vereinigungen von Bedeutung in Berlin gegründet, Baeyer wurde ihr erster Präsident (Buschmann 1994). Nach Erweiterung zur „Europäischen Gradmessung“ (1867) und zur „Internationalen Erdmessung“ („Association Géodésique Internationale“, 1886) entfaltete die Assoziation eine fruchtbare Tätigkeit, die besonders durch die Arbeiten von Helmert als Direktor des Zentralbüros geprägt wurde (Torge 1993a).

14

1 Einführung

Nach dem Erlöschen der „Internationalen Erdmessung“ während des ersten Weltkrieges wurde 1919 die „International Union of Geodesy and Geophysics“ (IUGG) gegründet, dieser „non-governmental“ Organisation gehören heute 75 Länder an. Die IUGG setzt sich aus der „International Association of Geodesy“ (IAG) und sechs geophysikalischen Assoziationen zusammen. Die IAG wird von einem auf vier Jahre gewählten Präsidenten geleitet, dem ein Vizepräsident und ein Generalsekretär zur Seite stehen. IUGG und IAG treten in Abständen von vier Jahren zu Generalversammlungen zusammen. Daneben veranstaltet die IAG wissenschaftliche Symposien, Workshops und Summer Schools, besondere Bedeutung besitzt die zwischen den Generalversammlungen stattfindende Scientific Assembly. Die IAG gliedert sich nach ihrer Neustrukturierung (Schwarz 2000a) ab 2003 in vier Kommissionen: Geometrische Bezugssysteme, Schwerefeld, Erdrotation und Geodynamik, Positionsbestimmung und Anwendungen. Studiengruppen werden zur Lösung begrenzter Probleme für maximal vier Jahre eingerichtet. Die folgenden permanenten Dienste werden von der IAG, teilweise in Zusammenarbeit mit anderen wissenschaftlichen Organisationen, betrieben: International GPS Service (IGS) mit dem Zentralbüro am Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, Kalifornien; Bureau Gravimétrique International (BGI), Toulouse; International Geoid Service (IGeS), Milano; International Center for Earth Tides (ICET), Brüssel; International Earth Rotation Service (IERS) mit dem Zentralbüro am Bundesamt für Kartographie und Geodäsie (BKG), Frankfurt a. M.; Permanent Service for Mean Sea Level, Bidston Observatory, Merseyside, UK; Bureau International des Poids et Mésures-Time Section, Sèvres; International Laser Ranging Service (ILRS), International VLBI Service for Geodesy and Astrometry (IVS). Schließlich unterhält die IAG einen Informations- und einen bibliographischen Dienst. 1.4.3

Literatur

Hinweise auf Lehr- und Handbücher der Geodäsie und benachbarter Disziplinen (Mathematik, Physik, Astronomie, Geophysik, Vermessungswesen, Kartographie) werden im laufenden Text gegeben. Eine Liste geodätischer und geodätisch relevanter Zeitschriften und Schriftenreihen findet sich im Journal of Geodesy 74 (2000): 155 – 162. Wir erwähnen insbesondere das Journal of Geodesy (früher Bulletin Géodésique und Manuscripta Geodaetica, Springer Verlag: Berlin-Heidelberg-New York) als offizielles IAG-Journal. Die Ergebnisse der IAG-Generalversammlungen werden in den Travaux veröffentlicht und die vorgelegten Landesberichte im IAG-Zentralbüro gesammelt. Die Proceedings der IAG-Symposien werden in einer eigenen Reihe publiziert (Springer). Von den wissenschaftlich-technischen Zeitschriften aus den Bereichen Geodäsie, Geophysik, Navigation und Vermessungswesen nennen wir die folgenden: Acta Geodaetica, Geophysica et Montanistica Hungarica (Ungarn), Acta Geodaetica et Cartographica Sinica (China), Annali di Geofisica (Italien), Artificial Satellites (Polen), Australian Journal of Geodesy, Photogrammetry and Surveying, The Australian Surveyor, Bolletino de Geodesia e Scienze Affini (Italien), Allgemeine Vermessungsnachrichten

1.4 Organisation der Geodäsie, Literatur

15

(Deutschland), Bolletino die Geofisica Teorica ed Applicata (Italien), EOS Transactions (American Geophysical Union), Geodesia (Niederlande), Geomatica (Kanada), Geodeziya i Aerosyemka, Geodeziya i Kartografiya (Russland), Geophysical Journal International (UK), Geophysical Research Letters (USA), Geophysics (USA), GPSWorld (USA), GPS Solutions (USA), Journal of Earthquake Prediction Research (China/Russland), Journal of Geodynamics (Niederlande), Journal of the Geodetic Society of Japan, Journal of Geophysical Research (USA), Journal of Surveying Engineering (USA), Marine Geodesy (USA), The Journal of Navigation (USA), Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen und Geoinformation, Physics and Chemistry of the Earth A: Solid Earth and Geodesy (Niederlande), Reviews of Geophysics and Space Physics (USA), Revista Cartografica (Mexico), Surveying and Land Information Systems (USA), Studia Geophysica et Geodaetica (Tschechische Republik), Survey Review (UK), Surveys in Geophysics (Niederlande), Tectonophysics (Niederlande), Vermessung, Photogrammetrie und Kulturtechnik (Schweiz), Zeitschrift für Vermessungswesen (Deutschland). Schriftenreihen werden von Universitäts- und Forschungs-Instituten sowie einigen staatlichen Diensten herausgegeben. Wir nennen: Bull. d’Inf. Bureau Gravimétrique International, Toulouse; Bull. d’Inf. Marées Terrestres, Brüssel; Bull. Earthquake Research Inst., Univ. of Tokyo; Bull. Geograph. Survey Inst., Tokyo; Geod. Geophys. Arb. in der Schweiz, Schweiz. Geod. Komm., Zürich; Geowiss. Mittl. Studieng. Verm.wesen, TU Wien; IERS Techn. Notes, Paris; IGS Techn. Reports JPL, Pasadena, USA; Journal of Wuhan Technical University of Surveying and Mapping; Mitt. Bundesamt Kart. u. Geod., Frankfurt a. M.; Mitt. Geod. Inst. Univ. Bonn; Mitt. Geod. Inst. TU Graz; Mitt. Inst. Geod. Photogr. ETH Zürich; NASA Goddard Space Flight Center Rep., Greenbelt, Md.; Nat. Survey and Cadastre, Geod. Div. Techn. Rep., Copenhagen; Nederlandse Comm. voor Geodesie Publ.; NIMA Techn. Rep., Washington D.C.; NOAANOS-National Geod. Survey Techn. Rep., Rockville, Md.; Publ./Rep. Finnish Geod. Inst. Helsinki; Publ. Division of Geomatics, Univ. of Calgary; Rep. Dep. of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State Univ., Columbus, Ohio; Rep. on Geodesy, Inst. of Geodesy and Geod. Astronomy, Warsaw Univ. of Technology; Math. and Phys. Geodesy, TH Delft; Schriftenreihe d. Institute d. Fachber. Vermessungswesen, Univ. Stuttgart; Schriftenr. Univ. Studiengang Vermessungswesen, Univ. der Bundeswehr, München; Univ. Rep. School of Geomatic Engineering, Univ. of New South Wales, Sydney; Veröff. Bayer. Komm. für die Internationale Erdmessung, München; Veröff. Deutsche Geod. Komm., München; Wiss. Arb. Fachr. Vermessungswesen, Univ. Hannover.

2

Bezugssysteme

Bezugssysteme werden benötigt, um die geodätischen Beobachtungen als Funktion der gesuchten Parameter zu modellieren. Die zugehörigen Koordinatensysteme sind grundsätzlich dreidimensional, sie müssen in Bezug auf ihre Orientierung, ihre Metrik und ihre Krümmung definiert werden (Heitz 1988). Die gegenseitigen Bewegungen zwischen der Erde und anderen Himmelskörpern und die Deformationen der Erde erfordern, dass die Zeit als vierte Dimension einbezogen wird. In Analogie zur Erde lassen sich Bezugssysteme auch für den Mond und die anderen Planeten des Sonnensystems definieren. Basiseinheiten und Fundamentalkonstanten sind grundlegend für die geodätischen Mess- und Auswerteverfahren [2.1]. Zeitsysteme basieren entweder auf quantenphysikalischen Vorgängen oder auf der täglichen Rotation der Erde [2.2]. Globale Bezugssysteme (reference systems) werden durch einen Satz von Festpunkten realisiert (reference frames), wobei den vom Internationalen Erdrotationsdienst (IERS) unterhaltenen Systemen besondere Bedeutung zukommt [2.3]. Wir unterscheiden zwischen dem raumfesten zälestischen [2.4] und dem erdfesten terrestrischen [2.5] Bezugssystem (Kovalevsky et al. 1989). Zusätzlich müssen auf das Schwerefeld bezogene Bezugssysteme eingeführt werden, da fast alle geodätischen Messungen sich auf dieses Feld beziehen [2.6].

2.1

Basiseinheiten und Fundamentalkonstanten

Länge, Masse und Zeit sind die in der Geodäsie benutzten Basisgrößen. Die zugehörigen Basiseinheiten sind das Meter (m), das Kilogramm (kg) und die Sekunde (s). Sie werden durch das Internationale Einheitensystem (Système International d’Unités SI) definiert, welches 1960 durch die 11. Generalkonferenz für Gewichte und Maße (CGPM) in Paris eingeführt wurde (Simmerding 1970, BIPM 1991). Die Definitionen lauten: • Das Meter ist die Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während eines Zeitintervalls von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft (CGPM 1983). • Das Kilogramm ist die Masseneinheit, es ist gleich der Masse des internationalen Kilogramm-Prototyps (CGPM 1901). • Die Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung (CGPM 1967). Die Realisierung und Erhaltung der Standards für diese Einheiten ist Aufgabe des Internationalen Büros für Gewichte und Maße (Bureau International des Poids et Mésures) BIPM in Sèvres, Frankreich. Das BIPM arbeitet mit den entsprechen-

2.1 Basiseinheiten und Fundamentalkonstanten

17

den nationalen Laboratorien im Rahmen der Internationalen Meterkonvention (1875) zusammen. Hierzu zählen u. a. das National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, Md., USA., das National Physical Laboratory, Teddington, UK, und die Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig. Die Realisierung des Meter beruht auf interferometrischen Längenmessungen (relative Unsicherheit 10−12 ) mit frequenz- stabilisiertem Laser-Licht. Der internationale Kilogramm-Prototyp wird seit 1889 im BIPM aufbewahrt, nationale Prototypen sind hierauf mit einer Unsicherheit von 10−9 bezogen. Die Sekunde und die Atomzeitskala werden von der Zeit-Sektion des BIPM (bis 1987: Bureau International de l’Heure BIH, Paris) definiert (relative Unsicherheit 10−14 ), s. [2.2.1]. Frühere Definitionen des Meter und der Sekunde basierten auf Naturmaßen. Das Meter war ursprünglich als der zehnmillionste Teil des durch Paris verlaufenden Meridianquadranten definiert. Seine Länge wurde durch eine Gradmessung ermittelt, s. [1.3.2], und 1799 durch einen Prototyp realisiert (mètre des archives). Als Folge der Internationalen Meter-Konvention wurde ein stabilerer Meter-Standard (Platin-Iridium-Stange) angefertigt (Internationales Meter). Dieser Meter-Prototyp wird seit 1889 im BIPM aufbewahrt, die der Meter-Konvention beigetretenen Staaten erhielten entsprechende Kopien. Diese verbesserte Definition (Unsicherheit 10−7 ) blieb bis 1960 gültig, als erstmals die Wellenlänge einer bestimmten Spektrallinie des Lichts zur Definition benutzt wurde. Das Naturmaß für die Zeit wird von alters her durch die tägliche Drehung der Erde um ihre Achse geliefert. Der mittlere Sonnentag, s. [2.2.2], wird durch astronomische Beobachtungen bestimmt, und die Sekunde ist als der 1/86 400ste Teil des Tages definiert. In den 1930er Jahren wurde erkannt, dass diese Definition wegen der Unregelmäßigkeiten der Erdrotation um 10−7 unsicher ist, s. [2.5.2].

Für ebene Winkel dient der Radiant (rad) als ergänzende SI-Einheit: • Ein Radiant ist gleich dem ebenen Winkel, der als Zentriwinkel eines Kreises vom Halbmesser 1 m aus dem Kreis einen Bogen der Länge 1 m ausschneidet. Geodäsie, Astronomie und Geographie benutzen ferner die Sexagesimalteilung mit 1 Vollkreis = 360◦ (Grad), 1◦ = 60 (Minuten) und 1 = 60 (Sekunden, auch Bogensekunden). Da 2π rad einem Winkel von 360◦ entspricht, gilt für einen Winkel α die folgende Umrechnung von Radiant in Grad: α(◦ ) = ρ(◦ )α rad,

ρ ◦ = 180◦ /π.

(2.1)

Zu den in der Geodäsie benutzten Fundamentalkonstanten gehören die Lichtgeschwindigkeit und die Gravitationskonstante. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist nach Definition (1983) (2.2) c = 299 792 458 ms−1 . Für die Gravitationskonstante gilt (CODATA System der physikalischen Konstanten 1986): G = (6,67259 ± 0,00085) × 10−11 m3 kg−1 s−2 . (2.3) Die erste experimentelle Bestimmung von G wurde 1798 von Cavendish mit einer Drehwaage durchgeführt. Laufende Arbeiten haben das Ziel, die relative Genauigkeit von G auf besser

18

2 Bezugssysteme

als 10−4 zu steigern. Das schließt Untersuchungen zur Abhängigkeit von G von Material, äußeren Einflüssen, Entfernung und Richtung ein, ebenso die Frage eines eventuellen nicht invers-quadratischen Verhaltens der Gravitation (Gillies 1987, Fischbach und Talmadge 1999).

Weitere in Geodäsie, Astronomie und Geophysik benutzte Einheiten und Konstanten werden in den entsprechenden Kapiteln eingeführt, siehe auch Ahrens (1995), Groten (2000).

2.2

Zeitsysteme

Die Zeit spielt in der Geodäsie eine fundamentale Rolle. Dies liegt zum einen daran, dass die meisten Messverfahren die Signallaufzeit elektromagnetischer Wellen zur Positionsbestimmung benutzen und dass eine gleichförmige Zeitskala auch zur Modellierung der Bahnen künstlicher Satelliten benötigt wird. Andererseits ist ein Zeitsystem erforderlich, um die Relativbewegung der Erde im Sonnensystem gegenüber dem Inertialraum und die durch innere und äußere Kräfte verursachten Deformationen der Erde zu beschreiben. Zeitsysteme werden durch die Einheit für ein Zeitintervall und durch einen Zeitpunkt (Epoche) definiert. Sie beruhen entweder auf der Definition der SI-Sekunde [2.2.1] oder auf der täglichen Rotation der Erde um ihre Achse [2.2.2]. Ausführliche Darstellungen der Zeitsysteme finden sich bei Moritz und Mueller (1987) und Seidelmann (1992). 2.2.1 Atomzeit, dynamische Zeit Ein gleichförmiges Zeitmaß hoher Genauigkeit wird durch die Internationale Atomzeit (Temps Atomique International) TAI gewährleistet. Die Atomzeitsekunde entspricht der Definition der SI-Sekunde, s. [2.1], deren Länge bestmöglichst der Sekundenlänge der früher benutzten Ephemeridenzeit angepasst wurde. Letztere war durch die Bewegung der Erde um die Sonne definiert und aus astronomischen Langzeitbeobachtungen abgeleitet. Der Ursprung der Atomzeitskala wurde so festgelegt, dass ihre Epoche (1. Januar 1958, 0 Uhr) mit dem entsprechenden Zeitpunkt der Weltzeit UT1, s. [2.2.2], übereinstimmt. Der TAI-Tag enthält 86 400 s und das Julianische Jahrhundert 36 525 TAI-Tage. TAI wird durch eine große Zahl (mehr als 200) vonAtomuhren realisiert, die in rund 60 global verteilten Laboratorien betrieben werden. Überwiegend werden CäsiumFrequenznormale benutzt, sie stellen insbesondere die Langzeitstabilität sicher. Eine hohe Kurzzeitgenauigkeit wird durch Wasserstoffmaser erreicht. Einige Zeitlaboratorien führen mit Hilfe von GPS-Messungen, s. [5.2.5], Uhrenvergleiche durch, in der BIPM-Zeit-Sektion wird daraus ein gewogenes Mittel gebildet. Die relative Frequenzstabilität der Atomzeit liegt zwischen einigen 10−15 (über Minuten bis Tage) und 10−13 (über Jahre). Relativistische Effekte erfordern, dass die Atomzeitmessungen auf eine gemeinsame Höhenbezugsfläche reduziert werden (SI-Sekunde „auf dem Geoid“).

2.2 Zeitsysteme

19

Eine streng gleichförmige Zeitskala (Inertialzeit) ist erforderlich, um die Bewegungen von Himmelskörpern und künstlichen Satelliten zu beschreiben. Dies wird durch eine aus den Bewegungen von Körpern im Sonnensystem abgeleiteten dynamischen Zeit erreicht. Dynamische Zeitskalen beziehen sich entweder auf den Schwerpunkt des Sonnensystems (Temps Dynamique Barycentrique) TDB oder auf den Erdschwerpunkt (Temps Terrestre) TT.Als Einheit der TT-Skala wurde die SI-Sekunde eingeführt. Wegen der Definition der TAI-Epoche besteht eine konstante Differenz zwischen TT und TAI: TT = TAI + 32,184 s. (2.4) Die dynamische Zeit wird in der Himmelsmechanik im Zusammenhang mit den Newtonschen Bewegungsgleichungen benutzt, z. B. als Argument für die astronomischen Ephemeriden von Mond und Sonne. 2.2.2

Sternzeit und Weltzeit

Die tägliche Drehung der Erde um ihre Achse stellt ein natürliches Zeitmaß dar. Entsprechend definierte Zeitsysteme dienen zur Verknüpfung erdgebundener Beobachtungen mit einem raumfesten Bezugssystem: Sternzeit und Weltzeit (Sonnenzeit). Dabei spielen zwei periodische Bewegungen der Erde eine Rolle (Abb. 2.1): NORDPOL

DREH ACHSE

MASSENSCHWERPUNKT e = 23.5° R ATO HIMMELSÄQU FRÜHLINGSPUNKT

EKLIPTIK EBENE

ÄQUATOREBENE

HIMMELSKUGEL

Abb. 2.1. Erdrotation, Äquatorebene und Ebene der Ekliptik

• Die tägliche Rotation der Erde um ihre polare Achse. Die Rotationsachse fällt genähert mit einer Hauptträgheitsachse (maximales Trägheitsmoment) zusammen und verläuft durch den Massenschwerpunkt der Erde, s. [2.5.2]. Senkrecht hierzu liegt die Äquatorebene. • Der jährliche Umlauf der Erde um die Sonne. Die Erde beschreibt dabei nach den Keplerschen Gesetzen eine Ellipse mit der Sonne als einem Brennpunkt. Kleinere

20

2 Bezugssysteme

Bahnstörungen werden durch die Gravitation des Mondes und anderer Planeten verursacht. Die Bahnebene der Erde wird als Ebene der Ekliptik bezeichnet, sie ist um 23,5◦ gegenüber der Äquatorebene geneigt (Schiefe der Ekliptik).

H

Einfache geometrische Beziehungen ergeben sich, wenn die auf den Erdmittelpunkt bezogene Einheitskugel (Himmelskugel) eingeführt wird. Der Himmelsäquator und die Ekliptik sind dann durch die Schnitte dieser Kugel mit den entsprechenden Ebenen definiert. Der Frühlingspunkt entsteht durch den Schnitt der Ekliptik mit dem Äquator beim Übergang der Sonne von der Süd- zur Nordhalbkugel. Die Sternzeit ist unmittelbar mit der Erdrotation verknüpft. Die scheinbare (oder wahre) Ortssternzeit (Local Apparent Sidereal Time) LAST bezieht sich auf den Ortsmeridian des Beobachters, sie ist gleich dem Stundenwinkel des (wahren) Frühlingspunktes (Abb. 2.2), s. [2.4.1]. Der Frühlingspunkt unterliegt der Präzession und der ME IM

QUATOR LSÄ

STERN S

M FR ITT Ü LE PU HL RE NK ING R T S-

ER SHR G WA HLIN Ü FR KT N PU

a LAST T GAS LMST GMST

ZENIT Z

L

PN

hG R h

ORTSMERIDIA

N

M ER GR V IDI EE ON AN NW IC H

Abb. 2.2. Rektaszension, Sternzeit, Stundenwinkel und Länge

Nutation und erfährt deshalb lang- und kurzperiodische Veränderungen, s. [2.4.2]. Wird die Nutation berücksichtigt, so ergibt sich die auf den mittleren Frühlingspunkt bezogene mittlere Ortssternzeit (Local Mean Sidereal Time) LMST. Für den Meridian von Greenwich (Nullmeridian) heißen die entsprechenden Stundenwinkel scheinbare Sternzeit Greenwich (Greenwich Apparent Sidereal Time) GAST und mittlere Sternzeit Greenwich (Greenwich Mean Sidereal Time) GMST. Die astronomische Länge

des Ortsmeridians ist der Winkel zwischen den Ebenen des Ortsmeridians und des Meridians von Greenwich. Es gilt, s. [2.6.2],

= LAST − GAST = LMST − GMST.

(2.5)

Die scheinbare Ortssternzeit LAST wird unmittelbar aus astronomischen Beobachtungen zu Fixsternen und extragalaktischen Radioquellen bestimmt. In der daraus abgeleiteten mittleren Sternzeit überlagern sich die Erddrehung und die Präzessionsbewegung des mittleren Frühlingspunktes. Beide sind nahezu konstant und haben den

2.2 Zeitsysteme

21

gleichen Drehsinn, so dass eine gleichförmige Zeitskala entsteht. Zeiteinheit ist der mittlere Sterntag (kurz: Sterntag), er entspricht dem Zeitintervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen des mittleren Frühlingspunktes durch den Meridian. Aus praktischen Gründen wird im täglichen Leben die Sonnenzeit benutzt. Sie bezieht sich auf den (scheinbaren) täglichen Umlauf der Sonne um die Erde. Da diese Bewegung ungleichmäßig abläuft, wird eine mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Äquator sich bewegende „mittlere“ Sonne eingeführt, wobei mittlere und wahre Sonne zu derselben Zeit durch den Frühlingspunkt gehen. Die mittlere Sonnenzeit ist dann gleich dem Stundenwinkel der mittleren Sonne plus 12 Stunden. Bezogen auf den mittleren astronomischen Meridian von Greenwich, s. [2.5.1], wird sie als Weltzeit (Universal Time) UT bezeichnet. Zeiteinheit ist der mittlere Sonnentag als Intervall zwischen zwei Durchgängen dieser fiktiven Sonne durch den Meridian. Die Umrechnung von Weltzeit in mittlere Sternzeit ist streng möglich und durch eine von der Internationalen Astronomischen Union festgelegte Reihenentwicklung nach der Zeit gegeben (Moritz und Mueller 1987). Da die Bahnbewegung der Erde etwa 1◦ je Tag beträgt (360◦ /365 d), hat das in Sterntagen gezählte Jahr einen Tag mehr als bei Zählung in Sonnentagen. Näherungsweise gilt: 1 mittlerer Sterntag = 1 mittlerer Sonnentag − 3 min 55,90 s = 86 164,10 s. (2.6) Die Erdrotationsrate beträgt 15,041 07 /1 s, und die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist ω = 2π : 86 164,10 s = 7,292 115 × 10−5 rad s−1 . (2.7) Im Rahmen des Internationalen Erdrotationsdienstes, s. [2.3], wird die Weltzeit durch eine größere Anzahl von Stationen bestimmt. Die aus den Stationsbeobachtungen abgeleitete Universalzeit UT0 bezieht sich auf die momentane Rotationsachse, sie enthält also noch den Einfluss der Polbewegung, s. [2.5.2]. Um die Ergebnisse der verschiedenen Stationen vergleichbar zu machen, werden die Beobachtungen auf den Conventional Terrestrial Pole reduziert. Die Polbewegungsreduktion in der astronomischen Länge  P , s. [5.3.3], entspricht einer Zeitreduktion. Diese überführt UT0 in die auf das konventionelle terrestrische System, s. [2.5.3], bezogene Weltzeit UT1 = UT0 +  P .

(2.8)

Die derzeitige Präzision in der Bestimmung von UT1 beträgt etwa 0,01 bis 0,02 ms bei einer eintägigen Auflösung. UT1 enthält ebenso wie die mittlere Sternzeit Greenwich noch die Rotationsschwankungen der Erde, diese sind säkularer, periodischer und unregelmäßiger Art, s. [2.5.2]. Werden die jährlichen und halbjährlichen Änderungen modelliert, so ergibt sich die heute selten benutzte Weltzeit UT2 als Annäherung an eine gleichförmige Zeitskala. Mit der entsprechenden Reduktion  S erhalten wir UT2 = UT0 +  P +  S . (2.9)

Praktische Anwendungen etwa in der Navigation benötigen eine gleichförmige Zeitskala, die eng mit UT1 verknüpft ist. Diese Forderung führte zur Einführung der koordinierten Weltzeit (Coordinated Universal Time) UTC. Das Zeitintervall von UTC

22

2 Bezugssysteme

entspricht der Atomzeit TAI, s. [2.2.1], und die Epoche soll sich um weniger als 0.9 s von UT1 unterscheiden: |DUT1| = |UT1 − UTC| < 0,9 s.

(2.10)

Zum Einhalten dieser Bedingung werden wenn nötig Schaltsekunden in UTC eingeführt. UTC wird von der BIPM-Zeit-Sektion bereitgestellt und durch Zeitzeichensender verbreitet, während DUT1 vom IERS berechnet wird, s. [2.3]. Zu den kontinuierlich ausstrahlenden Zeitzeichensendern gehören u. a. in Europa DCF77/Mainflingen (77,5 kHz), HBG/Prangins (75 kHz) und MSF/Rugby (60 kHz), ferner WWV bzw. WWVB/Ft. Collins, Colorado (2 500 bis 20 000 kHz bzw. 60 kHz) und WWVH/Kauai, Hawaii (2 500 bis 15 000 kHz).

2.3

Internationaler Erdrotationsdienst

Der Internationale Erdrotationsdienst (International Earth Rotation Service) IERS ist für die Bereitstellung und Laufendhaltung konventioneller zälestischer und terrestrischer Bezugssysteme (reference frames) zuständig. Diese realisieren die von der International Union of Astronomy (IAU) und der International Union of Geodesy and Geophysics (IUGG) von Zeit zu Zeit empfohlenen und in Bezug auf die theoretischen Grundlagen definierten Bezugssysteme (reference systems). Der IERS stellt auch die Erdorientierungsparameter bereit, welche die gegenseitige Zuordnung zwischen dem zälestischen und dem terrestrischen System vermitteln (Seidelmann 1992, Reigber und Feissel 1997). Anmerkung: Im Englischen wird sauber zwischen „reference system“ und „reference frame“ unterschieden. Dabei wird unter dem ersten Begriff die grundlegende Definition eines Bezugssystems, unter dem zweiten seine Realisierung durch Beobachtungen verstanden. Im Deutschen ist diese begriffliche Unterscheidung bisher nicht üblich.

Der IERS wurde von der IAU und der IUGG eingerichtet, er operiert unter der Schirmherrschaft dieser beiden Organisationen seit dem 1. Januar 1988. Der IERS sammelt, analysiert und modelliert die Beobachtungen eines globalen Netzes astronomischer und geodätischer Stationen (etwa 300 im Jahre 1996), diese operieren entweder permanent oder nur über bestimmte Zeiträume. Zu den Beobachtungstechniken zählen die Langbasis-Interferometrie (Very Long Baseline Interferometry VLBI), Lasermessungen zum Mond (Lunar Laser Ranging LLR), Laserdistanzmessungen zu Satelliten (Satellite Laser Ranging SLR), das Global Positioning System (GPS) und das DORISSystem (Doppler Orbit determination and Radio positioning Integrated on Satellite), s. [5.2], [5.3]. Die Beobachtungssätze einer bestimmten Technik werden in den IERS-Koordinierungszentren bzw. den hierfür zuständigen IAG-Diensten ausgewertet und dann im IERS-Zentralbüro durch Ausgleichung kombiniert. Als Ergebnis liegen insbesondere die Positionen (Koordinaten) der extragalaktischen Radioquellen und der terrestrischen Stationen sowie die Erdorientierungsparameter (Earth Orientation Parameter)

2.4 Zälestische Bezugssysteme

23

EOP vor. Bezüglich der EOP liefert das VLBI-Verfahren Präzession, Nutation, Polbewegung und die Weltzeit UT1, s. [2.4.2], [2.2.2]; Satellitentechniken tragen insbesondere zur täglichen Interpolation von UT und zur Bestimmung der Polbewegung bei, s. [2.5.2]. Die Ergebnisse des IERS werden den Nutzern durch Bulletins, Jahresberichte und Technical Notes zugänglich gemacht. Die Kombinationslösungen haben eine Genauigkeit von ±0,0003 für die EOP und von ±0,01 m für die Positionen der terrestrischen Stationen, s. [2.4], [2.5]. Der Auswertung der Beobachtungen liegen die IERS-Konventionen zugrunde, sie sind mit den IAU- und IUGG-Empfehlungen zu den Bezugssystemen konsistent (McCarthy 1996), s. [2.4.2], [4.3]. Zu den frühen internationalen Vereinbarungen über die Positionsbestimmung und die Zeit gehört die Einführung des Greenwicher Nullmeridians und der Weltzeit (1884). Die Reihe von Sternkatalogen mit den Positionen ausgewählter Fixsterne wurde in den 1880er Jahren mit dem ersten Fundamentalkatalog eröffnet. Internationale Aktivitäten zur Bestimmung der Erdrotation reichen in das Jahr 1899 zurück. Der Internationale Breitendienst (International Latitude Service ILS) nahm damals mit fünf auf 39◦ 08 nördlicher Breite liegenden und um die Erde verteilten Observatorien die systematische ¨ Beobachtung der Polbewegung auf (Hopfner 2000). Nach Erweiterung zum Internationalen Polbewegungsdienst (International Polar Motion Service IPMS) und in Kooperation mit dem 1912 eingerichteten Internationalen Zeitbüro (Bureau International de l’Heure BIH) nahmen schließlich etwa 50 astronomische Observatorien an der Bestimmung von Polbewegung und Zeit teil, dabei wurde für die Mittelwerte über 5 Tage eine Genauigkeit von ±0,02 bzw. ±1 ms erreicht. Der IPMS und die Erdrotations-Sektion des BIH wurden durch den IERS ersetzt, während die BIH-Aktivitäten bezüglich der Zeitskala am BIPM fortgesetzt werden, s. [2.2.1].

2.4

Zälestische Bezugssysteme

Ein Inertialsystem wird benötigt, um die Bewegungen der Erde und anderer Himmelskörper einschließlich künstlicher Erdsatelliten im Raum zu beschreiben. In einem solchen System gelten die Newtonschen Bewegungsgesetze: das System befindet sich entweder in Ruhe oder es besitzt eine gleichförmige geradlinige Bewegung ohne Rotation. Ein raumfestes System (Celestial Reference System) stellt eine Annäherung an ein Inertialsystem dar, es wird durch geeignete Konventionen definiert: konventionelles Inertialsystem (Conventional Inertial System CIS). Der Koordinatenrahmen für ein solches System wird durch die sphärische Astronomie bereitgestellt [2.4.1]. Da die räumliche Orientierung dieses Rahmens sich mit der Zeit ändert, müssen diese Veränderungen modelliert werden [2.4.2]. Das Internationale Zälestische Bezugssystem (International Celestial Reference Frame) stellt eine Realisierung des zälestischen Bezugssystems dar [2.4.3], Kovalevsky et al. (1989), Seidelmann (1992). 2.4.1 Äquatorsystem der sphärischen Astronomie Die Koordinaten des zälestischen Bezugssystems sind durch das Äquatorsystem der ¨ sphärischen Astronomie gegeben (Sigl 1993, Schodlbauer 2000). Wir führen zunächst ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung im Mas-

24

2 Bezugssysteme

senzentrum der Erde (Geozentrum) ein. Die Z-Achse fällt mit der Rotationsachse der Erde zusammen. Die X- und Y -Achsen spannen die Äquatorebene auf, wobei die X-Achse zum Frühlingspunkt zeigt. Die Y -Achse ist so gerichtet, dass ein rechtshändiges System gebildet wird (Abb. 2.3), s. [2.2.2]. Z

PN S

EBENE DES STUNDENWINKELS

r 0

a

d

Y ÄQUATOREBENE

FRÜHLINGSPUNKT X

PS

Abb. 2.3. Astronomisches Äquatorsystem Wir werden im Folgenden den Ursprung dieses Systems durch Parallelverschiebung auch in den Standpunkt des Beobachters auf der Erde (Topozentrum) oder in das Massenzentrum (Baryzentrum) des Sonnensystems legen. Mit diesen verschiedenen Definitionen des Ursprungs verändern sich auch die Richtungen zu den Himmelskörpern (Parallaxen), s. [5.3.3]. Da der Erdradius im Verhältnis zu den Entfernungen zu den Fixsternen und zu extragalaktischen Radioquellen vernachlässigbar klein ist, können die Richtungsunterschiede zwischen einem geozentrischen und einem topozentrischen System jedoch vernachlässigt werden.

Wir umschreiben nun die Einheitskugel (Himmelskugel) um die Erde. Die verlängerte Rotationsachse durchstösst diese Kugel in den Himmelspolen PN (Nordpol) und PS (Südpol). Die senkrecht zum Himmelsäquator durch die Himmelspole laufenden Großkreise werden als Stundenkreise, die parallel zum Himmelsäquator laufenden Kleinkreise als Parallelkreise (Deklinationsparallele) bezeichnet. Die Rektaszension α ist der in der Äquatorebene gemessene Winkel zwischen den Stundenkreisebenen durch den Frühlingspunkt und durch den Himmelskörper S, er wird vom Frühlingspunkt aus im Gegenuhrzeigersinn gezählt. Die Deklination δ wird als Winkel in der Stundenkreisebene zwischen der Äquatorebene und der Verbindungslinie OS gemessen (positiv vom Äquator nach Norden und negativ nach Süden gezählt). Die Position eines Himmelskörpers S lässt sich entweder durch die kartesischen Koordinaten X, Y , Z oder die Kugelkoordinaten α, δ, r (r =Abstand vom Koordinaten-

2.4 Zälestische Bezugssysteme

ursprung O) festlegen. Es gilt die Transformation ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ X cos α cos δ r = ⎝ Y ⎠ = r ⎝ sin α cos δ ⎠ . Z sin δ

25

(2.11)

In der Geodäsie sind bei der Nutzung von Fixsternen und extragalaktischen Radioquellen nur die Richtungen von Interesse. Mit r = 1 wird dann die Lage von S auf der Einheitskugel durch α und δ festgelegt. Diese Winkel können auch als Längen der entsprechenden Bögen auf dem Äquator und auf dem Stundenkreis aufgefasst werden. Wir führen die örtliche Meridianebene des Beobachters ein, sie wird nach Parallelverschiebung vom Geozentrum zum Topozentrum durch die örtliche Lotrichtung (Vertikale) und die Rotationsachse aufgespannt. Der Zenitpunkt Z und der Nadirpunkt Z  ergeben sich als Schnitte der Lotrichtung mit der Einheitskugel (Abb. 2.4). Der Großkreis durch ° 90

ST

PN

-F

LA

ZENIT Z

VERTIKALKREIS q z h HIMMELSMERIDIAN S 360° - A d

h

z 0

NORDPUNKT 360° - A

360°

HIMMELSÄQUATOR

d SÜDPUNKT

a a

HIMMELSHORIZONT

-A

STUNDENKREIS PS

FRÜHLINGSPUNKT NADIR Z´

Abb. 2.4. Astronomisches Äquatorsystem und Horizontsystem

Z und die Pole wird als Himmelsmeridian bezeichnet. Der Stundenwinkel h wird in der Äquatorebene zwischen dem Himmelsmeridian durch Z und dem Stundenkreis von S gemessen und vom oberen Meridian nach Westen gezählt. Die senkrecht zum Horizont durch Z und Z  verlaufenden Großkreise heißen Vertikalkreise, die parallel zum Horizont verlaufenden Kleinkreise Höhenparallele (auch Almukantarat). Das Stundenwinkelsystem (h, δ) hängt wegen der Erdrotation von der Zeit ab. Es ist gegenüber dem α, δ-System um die Polachse mit dem Winkel der Sternzeit LAST gedreht, s. [2.2.2]. Es gilt die Beziehung (Abb. 2.2) LAST = h + α, welche bei der Zeitbestimmung von Bedeutung ist, s. [5.3.2].

(2.12)

26 2.4.2

2 Bezugssysteme

Präzession und Nutation

Die als Z-Achse eingeführte Rotationsachse der Erde verändert mit der Zeit ihre Lage im Raum. Dadurch verändert sich auch die Position (α, δ) eines Himmelskörpers, wobei sich lang- und kurzperiodische Effekte überlagern (Moritz und Mueller 1987, Seidelmann 1992, Dickey 1995). Die Lunisolarpräzession ist ein langperiodischer, durch die gravitative Wirkung von Mond und Sonne auf den Äquatorwulst der Erde verursachter Effekt. Diese Gravitationskräfte erzeugen ein Drehmoment mit dem Ziel, die Äquatorebene in die Ebene der Ekliptik zu drehen (Abb. 2.5). Als Ergebnis beschreibt die Erdachse in Verbindung PRÄZESSION (25800 a) EN

23.5°

18.6 a

w

PN 9.2´´ NUTATION DREHACHSE DER ERDE

PRÄZESSION UND NUTATION e

0 ERDE

EKLIPTIK ÄQUATOR

Abb. 2.5. Präzession und Nutation

mit dem Drehmoment der Erdrotation eine Kreiselbewegung auf einem Kegel mit dem Öffnungswinkel von 23,5◦ (entsprechend der Neigung ε der Ekliptik) um den Nordpol der Ekliptik EN . Der Frühlingspunkt bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 50,3 /Jahr im Uhrzeigersinn auf der Ekliptik, ein voller Umlauf dauert etwa 25 800 Jahre. Die Gravitation der Planeten verursacht eine langsame Verlagerung der Erdbahn und damit eine zusätzliche Wanderung des Frühlingspunktes auf dem Äquator sowie eine Änderung von ε : planetarische Präzession. Die Summe aus der lunisolaren und der planetarischen Präzession wird als allgemeine Präzession bezeichnet. Die Präzession wird von den kurzperiodischen Effekten der Nutation überlagert, welche Perioden zwischen 5 Tagen und 18,6 Jahren aufweisen. Hauptursache der Nutation sind die zeitlichenVeränderungen der Mondbahnneigung (etwa 5◦ ) gegenüber der Ekliptik. Hinzu kommen Anteile mit halbjährlichen und halbmonatlichen Perioden, die aus den Oszillationen von Sonne und Mond zwischen der Nord- und Südhalbkugel der Erde resultieren. Präzession und Nutation lassen sich mit den Ephemeriden von Mond, Sonne und Planeten als Funktion der Zeit modellieren. Die IAU (1976) Präzessions-Theorie liefert drei zeitabhängige Eulersche Drehwinkel, um die Positionen von Himmelskörpern auf eine gemeinsame Referenz zu reduzieren. Für die Bezugsepoche J 2000.0 (Julianische

2.4 Zälestische Bezugssysteme

27

Epoche 1. Januar 2000, 12h TDB, s. [2.2.1]), erhalten wir die Fundamentalkonstanten „allgemeine Präzession in ekliptikaler Länge“ (5029,0965 /Jahrhundert) und „Schiefe der Ekliptik“ (23◦ 26 21,412 ). Die IAU (1980) Nutations-Theorie beschreibt diesen Effekt durch eine Rotation um den Präzessionskegel, wobei die Abweichung des wahren Pols vom mittleren Pol durch zwei zeitabhängige Parameter dargestellt wird. Die Erde wird dabei als elliptischer, rotierender, elastischer und ozeanfreier Körper mit einem festen inneren und einem flüssigen äußeren Kern angesehen (Wahr 1981). Für die Epoche J 2000.0 beträgt die Nutationskonstante 9,2025 . Die IAU Präzessions- und Nutationsmodelle definieren den Referenzpol bei der Realisierung des internationalen zälestischen Referenzsystems: Zälestischer Ephemeridenpol (Celestial Ephemeris Pole CEP). Dieser Pol ist sowohl im raum- als auch im erdfesten Bezugssystem frei von quasitäglichen Schwingungen (Amplituden < 0,01 ) und legt so die Richtung einer fiktiven Drehimpulsachse fest. CEP entspricht dem Pol des momentanen raumfesten Äquatorsystems, s. [2.4.3]. Die Präzision der IAU-Modelle für Präzession und Nutation beträgt ±0,001 bei einer zeitlichen Auflösung von 5 bis 7 Tagen. Eine verbesserte Theorie wurde unter Nutzung von VLBI- und LLR-Daten in den letzten Jahren am IERS entwickelt, hiernach veröffentlicht der IERS regelmäßig größere (< 0,02 ) Abweichungen des momentanen Himmelspols vom CEP (McCarthy 1996). In jüngster Zeit trägt auch GPS zur Bestimmung der kurzperiodischen Nutationsterme bei (Rothacher et al. 1999). Einer IAU-Empfehlung folgend, sollen die IAU (1967/1980)-Präzessions- und Nutationsmodelle ab 1. Januar 2003 ersetzt werden. Das neue Modell IAU 2000A (Präzision ±0,0002 ) ist in den IERS Conventions 2000 veröffentlicht. Anstelle des CEP tritt dann der Celestial Intermediate Pole (CIP), wie er durch das Modell für den Periodenbereich > 2 Tage und zusätzliche vom IERS gelieferte zeitabhängige Korrektionen definiert ist.

Die momentane Position eines Himmelskörpers, s. [2.4.1], wird als wahrer Ort zur Epoche t bezeichnet. Nach Berücksichtigung der Nutation ergibt sich der mittlere Ort zur Epoche t, er bezieht sich auf den mittleren Himmelsäquator und den mittleren Frühlingspunkt, s. [2.2.2]. Wird auch die Präzession berücksichtigt, so erhält man den mittleren Ort zur Referenzepoche J 2000.0. 2.4.3

Internationales Zälestisches Bezugssystem

Das von der IAU empfohlene Internationale Zälestische Bezugssystem (International Celestial Reference System) ICRS basiert auf der alllgemeinen Relativitätstheorie, wobei die Zeit-Koordinate durch die Internationale Atomzeit, s. [2.2.2], definiert ist. Das ICRS stellt eine Approximation an ein raumfestes konventionelles Inertialsystem (CIS) mit Ursprung im Baryzentrum des Sonnensystems dar. Dabei wird unterstellt, dass das System keine globale Rotation ausführt. Dies setzt voraus, dass die zur Realisierung des Systems benutzten Quellen entweder keine Eigenbewegung (die zur Himmelskugel tangentiale Komponente der räumlichen Bewegung) aufweisen oder dass

28

2 Bezugssysteme

diese hinreichend gut modelliert werden kann. Die Koordinatenachsen werden durch den zälestischen Referenzpol und den Frühlingspunkt definiert, so wie diese von den IAU-Modellen für die Präzession und Nutation gegeben sind. Realisiert werden die Achsen durch die mittleren Richtungen zu extraterrestrischen Zielen: Stellares und Radioquellen-CIS, s. [2.4.2]. Das stellare System beruht auf den im Fundamentalkatalog FK5 (Fricke et al. 1988) enthaltenen Sternen. Es stellt die mittleren Örter (α, δ) und die Eigenbewegungen (i. Allg. < 1 /Jahr) von 1535 Fundamentalsternen für die Epoche J 2000.0 mit einer Präzision von ±0,01 bis 0,03 bzw. ±0,05 /Jahrhundert bereit. Ein FK5-Supplement enthält weitere Sterne bis zu einer scheinbaren Helligkeit von 9,5. Der mittlere Äquator und der mittlere Frühlingspunkt für J 2000.0 werden durch den FK5-Katalog mit einer Genauigkeit von ±0,05 realisiert. Wegen der Unsicherheiten in der Erfassung der Refraktion kann diese Genauigkeit durch erdgebundene astrometrische Techniken kaum erhöht werden. Astronomische Raummissionen haben die Realisierung eines stellaren CIS wesentlich verbessert. Mit dem Astrometrie-Satelliten HIPPARCOS (1989 – 1993) wurde durch die Messung großer Winkel ein Netz von etwa 100 000 Sternen (bis zur scheinbaren Helligkeit 9) aufgebaut, das den gesamten Himmel überdeckt. Der so entstandene Bezugsrahmen gewährleistet eine Genauigkeit von ±0,001 für die Position und ±0,0005 /Jahr für die Eigenbewegung (Kovalevsky et al. 1997). Aus verbesserten FK5-Daten und den HIPPARCOS-Ergebnissen ist für eine begrenzte Zahl von Fixsternen (davon 340 „astrometrically excellent“) der FK6-Katalog entwickelt worden, wobei gegenüber dem HIPPARCOS-Katalog besonders die Eigenbewegungen genauer festgelegt werden konnten (Wielen et al. 1999). Zukünftige astrometrische Raummissionen werden optische Interferometrie-Techniken verwenden und damit die Positionsgenauigkeit auf ±0,00001 erhöhen (Brosche und Dick 1996). Das Radioquellen-System stützt sich auf extragalaktische Radioquellen (Quasare und andere kompakte Quellen). Es wurde 1997 von der IAU als ICRS angenommen, seit 1998 ersetzt es das vorangegangene stellare System (FK5). Wegen der großen Entfernungen (> 1,5 Milliarden Lichtjahre) weisen die Radioquellen keine messbaren Eigenbewegungen auf. Das System wird durch den International Celestial Reference Frame (ICRF) realisiert und durch den IERS laufend gehalten (McCarthy 1996, Ma et al. 1998). Der ICRF-Bezugsrahmen enthält die Koordinaten (Äquatorialsystem Epoche J 2000.0) von mehr als 600 Objekten. Hiervon zählen etwa 200 zu den gut vermessenen „Definitionsquellen“ (defining sources), weitere 100 dienen der Verdichtung und der Verbindung zum stellaren Bezugssystem (Abb. 2.6). Da die Radioteleskope auf der Nordhalbkugel konzentriert sind, ist der Südhimmel weniger gut mit Quellen bedeckt. Die mit radioastronomischen Methoden bestimmten Koordinaten der Radioquellen weisen eine durchschnittliche Präzision von besser als ±0,001 und ±0,0003 für die am besten beobachteten Objekte auf (Brosche und Schuh 1999). Die Verknüpfung zwischen dem stellaren und dem Radioquellen-CIS ist mit einer Genauigkeit von ±0,05 bis 0,1 gegeben, dies entspricht der Unsicherheit des FK5. Mit den Resultaten neuer astrometrischer Raummissionen (optische Signale einer begrenzten Anzahl von Radio-

2.5 Terrestrisches Bezugssystem

29

quellen) wird sich diese Verknüpfung auf ±0,001 oder besser für die Epoche der Beobachtung verbessern.

Abb. 2.6. Internationaler Zälestischer Bezugsrahmen (ITRF), aus IERS (1995): Missions and goals for 2000

2.5 Terrestrisches Bezugssystem Zur Positionsbestimmung und Navigation auf und nahe der Erdoberfläche sowie zur Beschreibung des Schwerefeldes und anderer ortsabhängiger Parameter wird ein erdfestes Bezugssystem eingeführt und durch ein dreidimensionales Koordinatensystem definiert [2.5.1]. Die Orientierung dieses Systems ändert sich mit der Zeit sowohl in Bezug auf den festen Erdkörper als auch auf das zälestische Bezugssystem [2.5.2]. Realisiert wird das System durch den Internationalen Terrestrischen Bezugsrahmen (International Terrestrial Reference Frame) ITRF, welcher vom IERS einschließlich seiner Beziehung zum Internationalen Zälestischen Bezugsrahmen bereitgestellt wird [2.5.3]. 2.5.1

Globales erdfestes geozentrisches System

Als grundlegendes terrestrisches Koordinatensystem wird ein erdfestes (d. h. mit der Erde rotierendes) System räumlicher kartesischer Koordinaten X, Y , Z eingeführt (Abb. 2.7). Sein Ursprung liegt im Erdschwerpunkt (Geozentrum) O, welches für die gesamte Masse der Erde einschließlich der Hydrosphäre und der Atmosphäre definiert ist. Die Z-Achse ist zum konventionellen „mittleren“ terrestrischen (Nord-) Pol gerichtet. Die hierzu senkrechte „mittlere“ Äquatorebene wird durch die X- und die Y -Achse aufgespannt. Die Einführung einer „mittleren“ Rotationsachse und Äquatorebene ist notwendig, da die Erdachse im Laufe der Zeit ihre Lage im Erdkörper verändert, s. [2.5.3]. Die X, Z-Ebene repräsentiert die konventionelle „mittlere“ Meridianebene von Greenwich. Sie ist durch die mittlere Rotationsachse und den Greenwich-Nullmeridian

30

2 Bezugssysteme

definiert, auf den sich die Weltzeit bezieht, s. [2.2.2]. Die Z- und die X-Achse werden indirekt durch die Koordinaten von terrestrischen Festpunkten („fiducial stations“) realisiert, s. [2.5.3]. Die Y -Achse ist so gerichtet, dass ein Rechtssystem entsteht. Z MITTLERE MERIDIANEBENE VON GREENWICH

PN

MITTLERE DREHACHSE

EINHEITSKUGEL

GR

GEOZENTRUM 0 Y MITTLERE ÄQUATOREBENE X

PS

Abb. 2.7. Erdfestes geozentrisches kartesisches Koordinatensystem Die momentane Rotationsachse der Erde ist der gemeinsame Ausgangspunkt für die Definition der Z-Achsen des raum- und des erdfesten Bezugssystems. Die Zeitabhängigkeit der Systeme lässt sich durch Bezug auf eine bestimmte Referenzepoche modellieren, s. [2.4.2], [2.5.2]. Die Richtungen der X-Achsen beider Systeme unterscheiden sich um den Winkel der mittleren Sternzeit Greenwich GMST, s. [2.2.2].

Um bestimmte physikalische Eigenschaften der Erde (Schwerefeld, Magnetfeld, Topographie usw.) analytisch und anschaulich zu beschreiben, werden häufig Kugelkoordinaten r, ϑ, λ verwendet. Dabei ist r der radiale Abstand vom Geozentrum, ϑ die Poldistanz (Kobreite) und λ die geozentrische Länge. Anstelle von ϑ wird auch die geozentrische Breite (2.13) ϕ¯ = 90◦ − ϑ benutzt (Abb. 2.8). Die Position des Punktes P ergibt sich dann zu ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ X sin ϑ cos λ r = ⎝ Y ⎠ = r ⎝ sin ϑ sin λ ⎠ . Z cos ϑ 2.5.2

(2.14)

Polbewegung, Tageslänge, Veränderung des Geozentrums

Die Rotation der Erde kann durch den zum Nordpol gerichtetenVektor der momentanen Drehachse und die Winkelgeschwindigkeit ω (2.7) beschrieben werden.

2.5 Terrestrisches Bezugssystem

31

Z P

r

MERIDIANEBENE

J 0 l

j

j Y

ÄQUATOREBENE X

Abb. 2.8. Kartesische Koordinaten und Kugelkoordinaten

Richtung und Betrag des Drehvektors verändern sich auf Grund astronomischer und geophysikalischer Vorgänge mit der Zeit. Zu den auslösenden Prozessen gehören die Änderungen in der Anziehungskraft von Mond und Sonne und Massenumverteilungen in der Atmosphäre und Hydrosphäre, in der festen Erde und im flüssigen Erdkern. Diese Veränderungen verlaufen säkular, periodisch oder quasiperiodisch und unregelmäßig (Moritz und Mueller 1987, Dickey 1995), s. [8.3.1]. Unter der Polbewegung (polar motion) verstehen wir die Verlagerung der Erdachse relativ zur Erdkruste, bezogen auf das erdfeste Koordinatensystem. Sie wirkt sich direkt auf die Koordinaten von Punkten auf der Erdoberfläche und auf den Schwerevektor aus. Die Polbewegung setzt sich aus mehreren Anteilen zusammen: • Eine freie Schwingung mit einer Periode von etwa 435 Tagen (Chandler-Periode) und einer Amplitude von 0,1 bis 0,2 führt bei Sicht auf den Nordpol zu einer Bewegung im Gegenuhrzeigersinn. Diese Chandler-Schwankung (wobble) wird dadurch verursacht, dass die Drehachse der Erde nicht exakt mit einer Hauptträgheitsachse zusammenfällt. Bei einer starren Erde würde dies zu einem kreiselförmigen Umlauf der Rotationsachse um die Hauptträgheitsachse mit einer Periode von A/(C − A) Tagen (Euler-Periode) führen. Dabei ist C das polare und A das mittlere äquatoriale Trägheitsmoment (bei angenommener Rotationssymmetrie mit Gleichheit der äquatorialen Momente A = B). Der Unterschied zwischen der Chandler- und der Euler-Periode zeigt, dass die Erde von diesem starren Modell abweicht. Dabei vernachlässigen wir die Tatsache, dass die Richtungen der Rotationsachse und der raumfesten Drehimpulsachse voneinander abweichen. Diese Abweichung bleibt jedoch bei Perioden < 1 Tag kleiner als 0,001 .

32

2 Bezugssysteme

• Der Chandlerbewegung überlagert sich eine jährliche Schwingung, welche durch jahreszeitliche Verlagerungen von Luft- und Wassermassen verursacht wird. Sie verläuft in derselben Richtung wie die Chandler-Bewegung mit Amplituden von 0,05 bis 0,1 . • Eine langsam fortschreitende säkulare Bewegung wurde imVerlauf der letzten mehr als 100 Jahre beobachtet. Sie verläuft in Form einer unregelmäßigen Drift von etwa 0,003 /Jahr in Richtung des Meridians 80◦ West. Diese Bewegung wird auf das Abschmelzen der polaren Eiskappen und auf großräumige tektonische Vorgänge zurückgeführt, über geologische Zeiträume kann sie große Beträge annehmen: Polwanderung. • Über Zeiträume von einigen Tagen bis Jahren werden unregelmäßige Variationen mit Amplituden bis zu 0,02 beobachtet. Sie resultieren im wesentlichen aus Massenumverteilungen innerhalb der Atmosphäre, jedoch spielen auch Volumenänderungen der ozeanischen Wassermassen, Schwankungen des Grundwasserstandes und Massenverschiebungen bei Erdbeben eine Rolle. Die Überlagerung der einzelnen Polbewegungsanteile führt zu einer leicht gestörten spiralförmigen Bewegung des momentanen Pols mit langsam fortschreitender Mittellage (Abb. 2.9), Schuh et al. (2001). Über ein Jahr bleiben die Abweichungen

Abb. 2.9. Polbewegung 1996 – 1999 und mittlere Pollage 1890 – 1999, aus IERS Annual Report 1998

des momentanen Pols von der mittleren Lage < 0,3 , was einer Lageverschiebung von 9 m auf der Erdoberfläche entspricht. Die Bezugsrichtung zur Beschreibung der momentanen Pollage gegenüber der festen Erde wird durch den IERS Bezugspol (IERS reference pole) gegeben. Er stimmt innerhalb von ±0,03 mit dem Conventional International Origin (CIO) überein, welcher durch die zwischen 1900.0 und 1906.0 bestimmte mittlere Lage des Nordpols definiert ist. Die Lage des momentanen Pols (Celestial Ephemeris Pole, s. [2.4.2]),

2.5 Terrestrisches Bezugssystem

33

gegenüber dem Bezugspol ist durch die rechtwinkligen Koordinaten xP , yP gegeben, sie sind in der im Nordpol aufgespannten Tangentialebene definiert (Abb. 2.9). Die xAchse zeigt in die Richtung des mittleren Meridians von Greenwich (entspricht dem früheren BIH-Nullmeridian) und die y-Achse ist auf den 90◦W-Meridian gerichtet. Diese ebenen Koordinaten werden i. Allg. als sphärische Abstände (in Bogensekunden) auf der Einheitskugel ausgedrückt. Die Winkelgeschwindigkeit ω der Erdrotation verändert sich von der Erde aus betrachtet ebenfalls mit der Zeit. Die relativen Änderungen erreichen einige 10−8 , was einigen ms über einen Tag entspricht. Die Änderungen werden i. Allg. durch die Abweichung der Umdrehungszeit von 86 400 s angegeben und als Tageslänge (Length of Day) LOD bezeichnet. Bestimmt wird sie durch Vergleich der aus astronomischen Zeitbestimmungen hergeleiteten Weltzeit UT1 mit den gleichförmigen Zeitskalen TAI oder UTC, s. [2.2.2]. Die folgenden Variationen der Tageslänge sind beobachtet worden (Abb. 2.10): 0

LENGTH OF DAY (MILLISEKUNDEN) 4 2

-10 0 1980 1981 1982 1983 1984 1985

-20

UT1 - TAI (SEKUNDEN) -30 1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

Abb. 2.10. Unterschied zwischen der Atomzeitskala TAI und der Weltzeit UT1 (1962 – 1998) und Tageslänge (LOD) 1979 – 1987, nach IERS Inform. 1998

• Eine säkulare Abnahme der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation. Sie ist hauptsächlich durch die Gezeitenreibung verursacht und bewirkt eine Zunahme der Tageslänge um etwa 2 ms/Jahrhundert. • Über Dekaden verlaufende Schwankungen. Sie werden auf Massenbewegungen im flüssigen Erdkern und langsame Klimaänderungen zurückgeführt. • Die Gezeiten der festen Erde und der Ozeane verursachen lang- (jährlich) und kurz(monatlich und weniger) periodische Änderungen, welche 1 ms erreichen. • Saisonale Effekte werden durch atmosphärische Anregung und Veränderungen im globalen Wasser- und Eishaushalt erklärt. • Unregelmäßige Änderungen resultieren aus verschiedenen Quellen. Hierzu gehören terrestrische Massenverschiebungen (Erdbeben), variable Sonnenaktivität und ozeanisch-atmosphärische Vorgänge wie El Niño.

34

2 Bezugssysteme

Während die Auswirkung der Polbewegung auf geodätische Messungen vom Beobachtungsort abhängt, wirken sich Änderungen der Tageslänge an allen Orten gleich aus. Die Polkoordinaten und die Tageslänge werden ebenso wie ω als Erdorientierungsparameter (EOP) durch den IERS bereitgestellt, bei täglicher Auflösung ist die Genauigkeit dieser Parameter ±0,0003 bzw. ±0,02 ms und besser (Reigber und Feissel 1997). Die Lage des Geozentrums (Ursprung des terrestrischen Bezugssystems) gegenüber den Beobachtungsstationen verändert sich im Laufe der Zeit geringfügig. Aus Satellitenbahnanalysen konnten bisher jährliche und halbjährliche Variationen mit Amplituden von einigen mm/Jahr nachgewiesen werden. Diese Verschiebungen sind überwiegend durch Massenumverteilungen in der Atmosphäre und den Ozeanen sowie durch kontinentweite Grundwasseränderungen verursacht. Die jeweilige Lage des Geozentrums wird durch die Koordinaten der ITRF-Stationen, s. [2.5.3], mit einer Genauigkeit von wenigen mm festgelegt (Montag 1998). 2.5.3

Internationales Terrestrisches Bezugssystem

Das Internationale Terrestrische Bezugssystem (International Terrestrial Reference System) ITRS wird vom IERS durch ein globales Netz von geodätischen Stationen realisiert. Die geozentrischen kartesischen Koordinaten und die Geschwindigkeiten dieser Beobachtungsstationen bilden den Internationalen Terrestrischen Bezugsrahmen (International Terrestrial Reference Frame) ITRF. Die teilnehmenden Stationen führen die Beobachtungen entweder kontinuierlich oder nur in bestimmten Epochen aus, dabei werden oft auch verschiedene Raumtechniken angewandt (Abb. 2.11). Die

ANZAHL VERSCHIEDENER BEOBACHTUNGSTECHNIKEN: 1

2

3

4

Abb. 2.11. Internationaler Terrestrischer Bezugsrahmen: ITRF-Beobachtungsstationen 1997, nach Boucher et al. (1999)

Beobachtungsstationen sind über zwölf der größeren tektonischen Platten verteilt, so dass die mit der Plattentektonik zusammenhängenden Horizontalgeschwindigkeiten

2.5 Terrestrisches Bezugssystem

35

abgeleitet werden können, s. [8.2.3]. Der IERS veröffentlicht in jährlichen Abständen ITRF-Lösungen. So enthält z. B. ITRF97 die geozentrischen Positionen (X, Y, Z) und die Geschwindigkeiten von über 550 Stationen, die auf etwa 320 Standorte verteilt sind (Boucher et al. 1999). Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt von den verwendeten Beobachtungstechniken (und der Beobachtungsdauer) ab, höchste Genauigkeiten werden mit VLBI-, SLR- und GPS-Beobachtungen erreicht (±0,5 . . . 2 cm bzw. ±1 . . . 3 mm/Jahr). Bei den Berechnungen werden verschiedene zeitabhängige Effekte berücksichtigt, dazu gehören u. a. Punktverschiebungen durch Erdgezeiten, ozeanische und atmosphärische Auflasten sowie postglaziale Ausgleichsvorgänge, s. [8.2.2]. Die ITRF-Lösungen genügen der Bedingung, dass keine restliche „Netto“-Drehung ( residual net-rotation) in Bezug auf das Plattentektonik-Modell NNR- NUVEL 1A auftritt, vertikale Bewegungen werden überhaupt nicht zugelassen, s. [8.2.3]. Die Orientierung des ITRF ergibt sich durch den IERS-Bezugspol und den IERS-Bezugsmeridian, s. [2.5.2]. Der momentane (Zeit t) Ortsvektor r eines Punktes auf der Erdoberfläche wird aus seiner Lage zur Bezugsepoche (t0 ) wie folgt hergeleitet: r(t) = r 0 + r˙ 0 (t − t0 ),

(2.15)

wobei r 0 und r˙ 0 die Position und die Geschwindigkeit zur Zeit t0 darstellen. Die Beziehung zwischen dem zälestischen (ICRS) und dem terrestrischen (ITRS) Bezugssystem ist durch räumliche Drehungen gegeben, welche von den in [2.2.2], [2.4.2], [2.5.2] eingeführten Erdrotationsparametern abhängen, McCarthy (1996), Richter, Bu. (1995). Die vollständige Transformation vom zälestischen zum terrestrischen System lautet: r(ITRS) = R 2 (−xP )R 1 (−yP )R 3 (GAST)N (t)P (t)r(ICRS).

(2.16)

Hierbei wird der im ICRS gegebene Positionsvektor zunächst durch die Präzessionsmatrix P (t) von der Bezugsepoche t0 (J 2000.0) in die Beobachtungsepoche t transformiert. Die Nutationsmatrix N (t) bewirkt dann den Übergang vom mittleren zum momentanen wahren Äquator und Frühlingspunkt. Die in diesen Drehmatrizen auftretenden Eulerschen Winkel werden durch die Präzessions- und Nutationsmodelle bereitgestellt, s. [2.4.2]. Mit der scheinbaren Sternzeit Greenwich GAST, s. [2.2.2], wird das System anschließend um die Z-Achse gedreht: ⎛ ⎞ cos(GAST) sin(GAST) 0 R 3 (GAST) = ⎝− sin(GAST) cos(GAST) 0⎠ , (2.17) 0 1 1 wobei GAST aus UT1 berechnet wird. Schließlich werden mit den Polkoordinaten xP und yP (kleine Winkel) Rotationen im Gegenuhrzeigersinn um die X- und Y -Achsen ausgeführt, s. [2.5.2]: ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 1 0 0 1 0 xP 1 0 ⎠. R 1 (−yP ) = ⎝0 1 −yP ⎠ , R 2 (−xP ) = ⎝ 0 (2.18) −xP 0 1 0 yP 1

36

2 Bezugssysteme

Die Gleichungen (2.17) und (2.18) überführen das momentane raumfeste System in das konventionelle terrestrische System.

2.6

Schwerefeldbezogene Bezugssysteme

Die meisten an oder nahe der Erdoberfläche ausgeführten geodätischen und astronomischen Beobachtungen orientieren sich an der örtlichen Lotrichtung, sie beziehen sich also auf das Erdschwerefeld. Zur Modellierung dieser Beobachtungen werden lokale, auf das Schwerefeld bezogene Referenzsysteme eingeführt. Gegenüber dem globalen Bezugssystem sind diese lokalen Systeme durch die astronomische Breite und Länge orientiert [2.6.1]. Diese Orientierungsparameter erlauben dementsprechend auch die Transformation der lokalen Systeme in das globale System und zurück [2.6.2]. 2.6.1

Orientierung der örtlichen Lotrichtung

Die Richtung der Lotlinie (örtliche Lotrichtung) wird gegenüber dem globalen geozentrischen System durch zwei Winkel festgelegt (Abb. 2.12). Die astronomische (geographische) Breite  ist der in der Meridianebene gemessene Winkel zwischen der Äquatorebene und der örtlichen Lotrichtung im Punkte P . Sie wird vom Äquator aus nach Norden positiv und nach Süden negativ gezählt. Als astronomische (geographische) Länge wird der in der Äquatorebene gemessene Winkel zwischen der Meridianebene von Greenwich und der Meridianebene durch P bezeichnet, sie wird nach Osten positiv gezählt. Das Schwerepotential W ordnet P im System der Niveauflächen W = const. ein, s. [3.2.1]. Die örtliche astronomische Meridianebene wird dabei durch die Lotrichtung in P und eine Parallele zur Rotationsachse aufgespannt, s. [2.4.1]. Z

LOTLINIE P g

n W

=

W P

NIVEAUFLÄCHE MERIDIANEBENE VON GREENWICH 0 L

F

ÖRTLICHE ASTRONOMISCHE MERIDIANEBENE Y

ÄQUATOREBENE X

Abb. 2.12. Astronomische Breite und Länge

2.6 Schwerefeldbezogene Bezugssysteme

37

Wir führen in P die äußere Flächennormale n (Einheitsvektor) zur Niveaufläche W = WP ein. Sie ist zum Zenit gerichtet und damit entgegengesetzt zur Richtung des Schwerevektors g. Nach Abb. 2.12 gilt ⎛ ⎞ cos  cos g ⎝ (2.19) n = − = cos  sin ⎠ . g sin  Die Breite  und die Länge können mit den Methoden der geodätischen Astronomie bestimmt werden, s. [5.3]. Sie bilden zusammen mit dem Potential W ein im Schwerefeld definiertes Tripel dreidimensionaler Koordinaten, s. [3.2.3].

2.6.2

Lokale astronomische Systeme

Geodätische und astronomische Beobachtungen beziehen sich auf die Richtung der Lotlinie im Beobachtungspunkt und damit auf das Erdschwerefeld, eine Ausnahme bilden die von einem Bezugssystem unabhängigen Streckenmessungen. Die Beobachtungen bauen so lokale schwerefeldbezogene Systeme auf: Lokale astronomische Systeme (Abb. 2.13). Der Ursprung dieser Systeme liegt im jeweiligen Beobachtungspunkt P . Die z-Achse fällt in die örtliche Lotrichtung und zeigt zum Zenit. Die x-Achse (Nord) und die y-Achse (Ost) spannen die Horizontalebene auf, sie ist tangential zur Niveaufläche W = WP . Das x, y, z-System ist ein Linkssystem. Zu den in lokalen Systemen beobachtbaren geometrischen Größen gehören astronomische Azimute, Horizontalrichtungen und -winkel, Zenitwinkel, Raumstrecken und nivellierte Höhenunterschiede. Das astronomische Azimut A ist der in der Horizontalebene gemessene Winkel zwischen dem astronomischen Meridian von P (x-Achse) und der durch die Lotrichtung in P und den Zielpunkt Pi aufgespannten Vertikalebene. Es wird von der x-Achse aus im Uhrzeigersinn positiv gezählt. Horizontalrichtungen und Horizontalwinkel lassen sich als Azimute ohne Orientierung bzw. als Azimutdifferenzen betrachten. Der Zenitwinkel (auch Zenitdistanz) z ist der in der Vertikalebene gemessene Winkel zwischen der örtlichen Lotrichtung (z-Achse) und der Verbindungslinie zwischen P und Pi . Er wird von der z-Achse aus im Uhrzeigersinn positiv gezählt. Die Raumstrecke s ist die Länge der geradlinigen Verbindung zwischen P und Pi . Das geometrische Nivellement orientiert sich ebenfalls an der örtlichen Lotrichtung, es liefert über kurze Distanzen den Höhenunterschied gegenüber der Niveaufläche W = WP . Es lässt sich als Grenzfall der trigonometrischen Höhenbestimmung für einen Zenitwinkel von 90◦ ansehen. Schweremessungen und Messungen des Schweregradienten beziehen sich ebenfalls auf das lokale astronomische System. Nach Abb. 2.13 ergibt sich der Ortsvektor zwischen P und Pi aus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x cos A sin z x = ⎝y ⎠ = s ⎝ sin A sin z ⎠ . (2.20) z cos z Das lokale astronomische System wird bei astronomischen und geodätischen Aufgabenstellungen benutzt.

38

2 Bezugssysteme z ZENIT Pi

s z n

VERTIKALEBENE

P

x NORD A

HORIZONTALEBENE

y OST

Abb. 2.13. Lokales astronomisches System

In der geodätischen Astronomie werden ausschließlich Richtungsmessungen (Zenitwinkel und Azimute) zu Himmelskörpern ausgeführt. Das lokale System wird hier als Horizontsystem und sein Ursprung als Topozentrum bezeichnet. Die Durchstoßpunkte der Lotrichtung durch die Himmelskugel ergeben den Zenitpunkt Z und den Nadirpunkt Z  . Der Schnitt der Horizontalebene mit der Himmelskugel ist der astronomische Horizont. Das Azimut wird in der Astronomie i. Allg. positiv vom Südpunkt aus über Westen nach Norden gezählt, wir behalten hier die geodätische Zählweise (positiv von Norden aus im Uhrzeigersinn) bei. Das Poldreieck (Abb. 2.14) verbindet das Horizontsystem mit dem äquatorialen Stundenwinkelsystem, s. [2.4.1], siehe auch Abb. 2.4. Es wird auf der Himmelskugel durch den Nordpol PN , den Zenitpunkt Z und 90° - F PN

Z

h

360° - A

90 °-

d

z q S

Abb. 2.14. Poldreieck (Astronomisches Dreieck)

den Himmelskörper S gebildet. Das Dreieck enthält die Ergänzungen der Deklination δ und der astronomischen Breite  zu 90◦ , den Stundenwinkel h, den Zenitwinkel z, die Ergänzung des Azimuts A zu 360◦ und den parallaktischen Winkel q. Die sphärische

2.6 Schwerefeldbezogene Bezugssysteme

39

Trigonometrie liefert die folgenden Beziehungen: cos A sin z = sin δ cos  − cos δ cos h sin  sin A sin z = − cos δ sin h cos z = sin δ sin  + cos δ cos h cos .

(2.21)

Der Übergang zum α, δ-System (α = Rektaszension) ergibt sich mit Hilfe der scheinbaren Sternzeit LAST, siehe (2.12), zu: α = LAST − h.

(2.22)

Die astronomische Länge wird durch Vergleich von LAST mit der Sternzeit Greenwich GAST (2.5) erhalten:

= LAST − GAST.

(2.23)

Die Gleichungen (2.21) bis (2.23) liefern die grundlegenden Beziehungen zur Bestimmung von , und A aus Messungen von z und GAST bei gegebenem α, δ, s. [5.3.2]. Gleichung (2.21) folgt unter Berücksichtigung von (2.11) und (2.29) auch aus (2.20). Bei geodätischen Anwendungen müssen die in lokalen astronomischen Systemen durchgeführten Messungen in das globale geozentrische System transformiert werden, um anschließend in die Berechnung geodätischer Netze einzufließen. Wegen der Nichtparallelität der Lotlinien hängt die Orientierung der lokalen Systeme vom Ort ab, sie verändert sich mit wechselndem Standpunkt rasch. Berechnungen in einem einzelnen System sind deshalb nur in einem sehr begrenzten Bereich zulässig, dabei können dann Formeln der ebenen Trigonometrie angewendet werden.

Die Lotrichtung lässt sich durch die „Orientierungsparameter“ astronomische Breite  und Länge auf das globale geozentrische System beziehen (Abb. 2.15). Nach Parallelverschiebung des globalen Systems in das lokale, (Abb. 2.16), transformieren wir das letztere zunächst mit der Spiegelungsmatrix ⎛ ⎞ 1 0 0 S 2 = ⎝0 −1 0⎠ (2.24) 0 0 1 in ein Rechtssystem. Danach rotieren wir mit den Drehmatrizen ⎛ ⎞ sin  0 − cos  1 0 ⎠ R 2 (90◦ − ) = ⎝ 0 cos  0 sin  und

⎛ − cos R 3 (180◦ − ) = ⎝ − sin 0

sin − cos 0

⎞ 0 0⎠ 1

(2.25)

40

2 Bezugssysteme z ZENIT Pi x NORD

Z

z s n

A g

0 L

dn

y OST

P

Y

F

X

Abb. 2.15. Lokales astronomisches und globales geozentrisches System

das lokale System mit 90◦ −  um die (neue) y-Achse und mit 180◦ − um die z-Achse. Im geozentrischen System ergeben sich dann die Koordinatendifferenzen zwischen Pi und P zu X = Ax, (2.26) wobei x durch (2.20) gegeben ist und ⎛ ⎞ X X = ⎝ Y ⎠ . Z

(2.27)

Die Transformationsmatrix ergibt sich zu A = R 3 (180◦ − )R 2 (90◦ − )S 2 ⎛ ⎞ − sin  cos − sin cos  cos = ⎝ − sin  sin cos cos  sin ⎠ . cos  0 sin 

(2.28)

Die Inversion von (2.26) ist leicht durchführbar, da A orthonormal ist: A−1 = AT . Wir erhalten

x = A−1 X

(2.29)

2.6 Schwerefeldbezogene Bezugssysteme

41

z (ZENIT)

II Z

180°-L

x (NORD)

n P

y (OST)

F

II Y

L

90°-F

II X

Abb. 2.16. Transformation zwischen dem lokalen astronomischen und dem geozentrischen System

⎛

mit A−1

− sin  cos = ⎝ − sin cos  cos

− sin  sin cos cos  sin

⎞ cos  0 ⎠. sin 

(2.30)

Die Gleichungen (2.27) bis (2.30) bilden die Grundlage für die Auswertung örtlicher geodätischer Messungen im dreidimensionalen globalen Bezugssystem, s. [6.2.1].

3

Das Schwerefeld der Erde

Das äußere Schwerefeld spielt in der Geodäsie eine grundlegende Rolle. Die Figur der Erde hat sich nämlich unter dem Einfluss der Schwerkraft entwickelt, und die meisten geodätischen Beobachtungen beziehen sich auf die Schwere. Die geodätische Modellbildung muss also das Schwerefeld einbeziehen. Darüber hinaus liefert die Analyse des Schwerefeldes Informationen über den Aufbau des Erdinnern, die Geodäsie trägt so zur Physik des Erdkörpers bei, s. [8.2.4]. Die grundlegenden Größen Gravitation und Schwerebeschleunigung werden zusammen mit den zugehörigen Potentialgrößen in [3.1] eingeführt, dort werden auch die wichtigsten Eigenschaften des Schwerefeldes beschrieben. Die Geometrie des Schwerefeldes spielt besonders bei lokalen Problemstellungen eine wichtige Rolle [3.2]. Für die globale Schwerefeldrepräsentation steht mit der Kugelfunktionsentwicklung ein wirksamer Ansatz zur Verfügung [3.3]. Als physikalisch definierter Höhenbezugsfläche kommt dem Geoid in den Geo- und den Ingenieur-Wissenschaften eine besondere Bedeutung zu [3.4]. Zeitliche Schwereänderungen können teilweise modelliert werden (Gezeiteneffekte), sind aber weitgehend noch nicht genügend erforscht [3.5]. Die Theorie des Schwerefeldes wird in der geodätischen und geophysikalischen Literatur ausführlich behandelt (z. B. Heiskanen und Vening-Meinesz 1958, Heiskanen und Moritz 1967, Groten 1979).

3.1

Grundlagen der Schwerefeldtheorie

Auf einen mit der Erde rotierenden Körper wirkt die Gravitationskraft der Erdmassen, [3.1.1] bis [3.1.3], und anderer Himmelskörper sowie die Zentrifugalkraft der Erdrotation [3.1.4]. Die Resultierende hieraus ist die Schwerkraft [3.1.5]. Bei Erdsatelliten ist zu beachten, dass diese nicht an der Erdrotation teilnehmen, es wirkt also nur die Gravitation. 3.1.1

Gravitation, Gravitationspotential

Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz (1687) ziehen sich zwei punktförmige Massen m1 und m2 mit der Gravitation (Anziehungskraft) K = −G

m1 m2 l l2 l

(3.1)

an. Hierbei ist G die Gravitationskonstante, s. [2.1], G = 6.673 × 10−11 m3 kg−1 s−2 ,

(3.2)

und l ist der Abstand der Punktmassen. Die Vektoren K und l haben entgegengesetzte Richtungen. Die SI-Einheit der Kraft K ist m kg s−2 .

3.1 Grundlagen der Schwerefeldtheorie

43

Wir führen im Aufpunkt P die Einheitsmasse ein. Aus der Gravitationskraft (3.1) wird dann die Gravitationsbeschleunigung (im folgenden auch mit „Gravitation“ bezeichnet): ml b = −G 2 . (3.3) l l b zählt vom Aufpunkt P an und ist auf den Quellpunkt P  mit der Masse m gerichtet. Z

P´(X´,Y´,Z´) m l r´

b y

0

P(X,Y,Z) m=1

r Y

X

Abb. 3.1. Gravitation

Der Abstandsvektor l kann durch die Ortsvektoren r und r  (Abb. 3.1) dargestellt werden, beispielsweise im globalen kartesischen X, Y, Z-System: l = r − r , mit l = |l| =

r T = (X, Y, Z) und

r T = (X , Y  , Z  )

(3.4)

 (X − X )2 + (Y − Y  )2 + (Z − Z  )2 .

Die Einheit der Beschleunigung b ist ms−2 . Da die Gravitation nur vom Abstand zwischen der anziehenden Masse und dem angezogenen Punkt abhängt, ist sie von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig. Während globale Anwendungen ein geozentrisches Koordinatensystem erfordern, sind lokale Koordinatensysteme bei örtlich begrenzten Aufgabenstellungen zweckmäßig.

Die Erde setzt sich aus einer unendlich großen Anzahl von differentiellen Massenelementen dm zusammen. Die Gravitation in Bezug auf die Einheitsmasse in P ergibt sich aus dem Integral über die einzelnen Elemente. Gleichung (3.3) transformiert sich entsprechend in  r − r b = b(r) = −G dm. (3.5) |r − r  |3 Erde

44

3 Das Schwerefeld der Erde

Das Massenelement dm kann auch durch die Volumen-Dichte ρ = ρ(r  ) und das Volumenelement dv ausgedrückt werden: dm = ρdv,

(3.6)

wobei ρ in kg m−3 ausgedrückt wird. Die Darstellung der Gravitationsbeschleunigung und des Gravitationsfeldes sowie entsprechende Berechnungen vereinfachen sich, wenn von der Vektorgröße „Beschleunigung“ zur skalaren Größe „Potential“ übergegangen wird. Wegen der Wirbelfreiheit des Gravitationsfeldes: rot b = 0 (3.7) lässt sich b als Gradient des Potentials V darstellen (Sigl 1973): b = grad V .

(3.8)

Für eine Punktmasse m, siehe (3.3), erhalten wir Gm mit lim V = 0. r→∞ l Für die Erde, siehe (3.5) und (3.6), ergibt sich   dm ρ V = V (r) = G =G dv mit lim V = 0. r→∞ l l V =

Erde

(3.9)

(3.10)

Erde

Der Potentialwert in P gibt die Arbeit an, die von der Gravitation zu leisten ist, um die Masseneinheit aus dem Unendlichen (V = 0) bis P zu transportieren. Die Einheit des Potentials ist m2 s−2 . Bei bekannter Dichtefunktion ρ = ρ(r  ) könnte mit (3.5) bzw. (3.10) die Gravitation als Ortsfunktion berechnet werden. In der Realität liegt eine detailliertere Dichteinformation nur für die oberen Schichten des Erdkörpers vor, globale Modelle berücksichtigen meist nur die radialen Dichteänderungen, s. [3.1.2], [8.1]. Die Modellierung des äußeren Schwerefeldes erfordert also die Nutzung von Schwerefeldbeobachtungen.

3.1.2

Gravitation der kugelsymmetrischen Erde

Die Erde kann in erster Näherung als eine Kugel mit zentralsymmetrischem Dichteaufbau angesehen werden, zusammengesetzt etwa aus Kugelschalen konstanter Dichte, s. [8.1]. Zur Berechnung der Gravitation innerhalb und außerhalb dieses Erdmodells benutzen wir die mit (2.14) eingeführten Kugelkoordinaten r, ϑ, λ. Wir orientieren das Kugelkoordinatensystem jetzt so, dass die ϑ-Achse in die Verbindungslinie zwischen dem Koordinatenursprung O und dem Berechnungspunkt P fällt (Abb. 3.2). Das Potential einer homogenen Kugelschale mit dem Radius r  , der infinitesimalen Dicke dr  und der Dichte ρ ergibt sich in Analogie zu (3.10) durch  df V  = Gρ dr  . (3.11) l f

3.1 Grundlagen der Schwerefeldtheorie

45

P(r,J,l)

l r´sinJ´dl´

P´(r´,J´,l´) r´ dJ´ 0

J´

´ dr df r´dJ´

dl´

l´

Abb. 3.2. Flächenelement einer Kugelschale

Die Integration wird hierbei über die Schalenoberfläche f durchgeführt, wobei df = r 2 sin ϑ  dϑ  dλ das Flächenelement ist. Einsetzen von (3.12) in (3.11) ergibt  2π  π sin ϑ   2  V = Gρr dr dϑ  dλ . l λ =0 ϑ  =0

(3.12)

(3.13)

Bei der Integration ist nun zu unterscheiden, ob der Aufpunkt sich außerhalb oder innerhalb der Kugelschale befindet. Für einen im Außenraum (r > r  ) liegenden Aufpunkt ergibt sich das Potential durch Integration von (3.13) zu Ve = 4πGρ Dabei stellt

r 2  dm dr = G . r r

dm = 4π ρr  dr  2

(3.14) (3.15)

die Masse der Kugelschale dar. Für das Potential der aus homogenen Schalen aufgebauten Kugel erhalten wir  GM dm = . (3.16) Ve = G r r Erde

Es ist demnach gleich dem Potential der im Erdschwerpunkt konzentrierten gesamten Erdmasse M. Für die Gravitation folgt be = −

GM ∂Ve = 2 . ∂r r

(3.17)

46

3 Das Schwerefeld der Erde

Mit GM = 398,6 × 1012 m3 s−2 und dem Erdradius R = 6371 km beträgt der Potentialwert für dieses Erdmodell an der Erdoberfläche (r = R) V = 6,26 × 107 m2 s−2 und die Gravitation b = 9,82 ms−2 . Für einen im Innenraum (r < r  ) liegenden Aufpunkt erhalten wir nach (3.13) als Potential der Kugelschale: Vi = 4π Gρr  dr  =

G dm . r

(3.18)

Das Potential V  ist also konstant, die Gravitation demnach Null: bi = −

∂Vi = 0. ∂r

(3.19)

Das Potential innerhalb einer schalenförmig aufgebauten Erde setzt sich aus demAnteil der innerhalb der Kugel r = const. liegenden Massen (3.14) und dem Anteil der Kugelschale mit der Dicke R − r (3.18) zusammen:  R  4π G r  2  Vi = ρr dr + 4π G ρr  dr  . (3.20) r 0 r Für die homogene Erdkugel (ρ = const.) erhalten wir Vi =

 4 r2 . πGρr 2 + 2π Gρ(R 2 − r 2 ) = 2π Gρ R 2 − 3 3

(3.21)

Die Gravitation der schalenförmigen Erde ergibt sich zu bi = −

m ∂Vi =G 2, ∂r r

wobei 



m = 4π

r

ρr  dr  2

(3.22)

(3.23)

0

nach (3.15) die Masse innerhalb der Kugel r = const. ist. Die außerhalb dieser Kugel liegenden Massen haben keine gravitative Wirkung. Für die homogene Erde transformiert sich (3.22) und (3.23) in 4 (3.24) bi = π Gρr. 3 3.1.3

Eigenschaften des Gravitationspotentials

Wir untersuchen die grundlegenden Eigenschaften des Gravitationspotentials und seiner ersten und zweiten Ableitungen. Ausgehend vom Potential (3.10)  dm V =G (3.25) l Erde

3.1 Grundlagen der Schwerefeldtheorie

47

ergibt sich die Gravitation durch den Gradienten (3.8). Im X, Y, Z-System folgt so entsprechend (3.5) in Komponentenschreibweise  ∂V X − X = VX = −G dm (3.26) ∂X l3 Erde

usw. Die zweiten Ableitungen lauten   ∂ 2V dm (X − X )2 = V = −G + 3G dm XX ∂X2 l3 l5 Erde

(3.27)

Erde

usw. Wir unterscheiden nun zwischen der Lage des Aufpunkts P außerhalb oder innerhalb der Erdmassen, s. [3.1.2]. Dabei vernachlässigen wir die Masse der Atmosphäre (etwa 10−6 der Gesamtmasse) und die zeitlichen Änderungen der Gravitation (maximaler Relativeffekt etwa 10−7 ). Die Erdoberfläche S stellt dann eine Randfläche zwischen dem massenfreien Außenraum und dem Erdkörper dar. Liegt P außerhalb der Fläche S, so ist stets l > 0. Aus (3.25) bis (3.27) folgt, dass das Potential und seine ersten und zweiten Ableitungen eindeutige, endliche und stetige Funktionen sind, die im Unendlichen verschwinden. Wir wenden nun den Laplaceschen Differentialoperator  = div grad auf V an. Im X, Y, Z-System ergibt sich V = VXX + VY Y + VZZ .

(3.28)

Beim Einsetzen von (3.27) in (3.28) heben sich die Terme auf der rechten Seite gegenseitig auf. Wir erhalten die Laplacesche Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche das äußere Gravitationsfeld beherrscht: V = 0.

(3.29)

Stetige Funktionen mit stetigen ersten und zweiten Ableitungen, die (3.29) erfüllen, werden als harmonische Funktionen bezeichnet. Liegt der Aufpunkt P innerhalb des Erdkörpers, so kann der Fall l = 0 eintreten. Dies erfordert wegen der Unstetigkeit von 1/ l eine gesonderte Betrachtung. Hierzu denken wir uns P von einer Kugel K (Mittelpunkt P0 , Radius p) umschlossen; p wird hinreichend klein gewählt, so dass innerhalb von K die Dichte ρ = const. ist (Abb. 3.3). Das Potential in P setzt sich aus den Anteilen der außerhalb und innerhalb von K liegenden Massen zusammen. Aus (3.10) und (3.21) folgt mit  R = p, r = q = (X − X0 )2 + (Y − Y0 )2 + (Z − Z0 )2 für das Gravitationspotential:  V =G Erde−K

 dm q2 + 2π Gρ p 2 − . l 3

48

3 Das Schwerefeld der Erde

KUGEL K

INNERE MASSEN

q

P(x,y,z)

ÄUSSERE MASSEN

P0(x0,y0,z0) p

DICHTE r = const.

VARIABLE DICHTE r

Abb. 3.3. Gravitationspotential innerhalb der Erde

Beim Grenzübergang p → 0 und q → 0 erhalten wir Übereinstimmung mit dem Ausdruck für das Außenraumpotential (3.10). Differentiation ergibt  X − X 4 dm − π Gρ(X − X0 ) VX = −G l3 3 Erde−K

usw. Für q → 0 muss auch gelten X − X0 = Y − Y0 = Z − Z0 → 0, so dass sich wiederum Übereinstimmung mit dem Außenraumfall (3.26) ergibt. Die zweiten Ableitungen lauten   1 (X − X  )2 4 VXX = −G dm + 3G dm − π Gρ l3 3 l5 Erde−K

Erde−K

usw. Beim Grenzübergang q → 0 bleibt der letzte Term erhalten: 4 (3.30) VXX = − π Gρ 3 usw. Das Gravitationspotential und seine ersten Ableitungen sind also auch im Innenraum eindeutig, endlich und stetig. Die zweiten Ableitungen weisen nach (3.30) Unstetigkeiten bei abrupten Dichteänderungen auf. Einsetzen von (3.30) in (3.28) liefert die Poissonsche Differentialgleichung: V = −4π Gρ.

(3.31)

Im Innern der Erde ist V also keine harmonische Funktion. Schließlich nennen wir die Gaußsche Integralformel, welche die Normalenableitungen auf einer beliebigen Randfläche S (die i. Allg. keine Niveaufläche ist) und die im Laplace-Operator (3.28) enthaltenen zweiten Ableitungen miteinander verknüpft:   ∂V dS = V dv. (3.32) ∂nS S

v

3.1 Grundlagen der Schwerefeldtheorie

49

Dabei ist v das Volumen des Körpers mit der Oberfläche S (Abb. 3.4). Der Term nS

RANDFLÄCHE S

nS n P

0 VOLUMEN V

V = VP

MASSE M

Abb. 3.4. Äußere Flächennormale auf der Randfläche und auf der Niveaufläche

auf der linken Seite kann als „gravitativer Fluss“ durch S interpretiert werden. In der Potentialtheorie wird gezeigt, dass er der Gesamtmasse   dm = ρ(r  ) dv (3.33) M= v

proportional ist:



v

∂V dS = −4π GM. ∂nS

(3.34)

S

Einsetzen von (3.34) in (3.32) und Grenzübergang zum Quellpunkt P  führt zur Poissonschen Differentialgleichung (3.31), im Außenraum (ρ = 0) geht sie in die Laplacesche Differentialgleichung (3.29) über. Auf der Grundlage des Gaußschen Satzes lassen sich fundamentale Beziehungen zwischen Beobachtungen im Schwerefeld und den die Oberfläche S beschreibenden Parametern herleiten, s. [6.5.1]. 3.1.4

Zentrifugalbeschleunigung, Zentrifugalpotential

Wegen der Rotation der Erde um ihre Achse tritt im erdfesten System die Zentrifugaloder Fliehkraft auf. Wir unterstellen im folgenden eine Drehbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine gegenüber dem Erdkörper unveränderliche Drehachse. Die tatsächlich auftretenden kleinen zeitlichen Änderungen des Drehvektors können durch entsprechende Reduktionen berücksichtigt werden, s. [2.5.2]. Die auf die Masseneinheit wirkende Zentrifugalbeschleunigung z = (ω × r) × ω = ω2 p

(3.35a)

ist senkrecht zur Drehachse nach außen gerichtet (Abb. 3.5). Mit der geozentrischen Breite ϕ¯ ergibt sich der Abstand zur Drehachse p = r cos ϕ¯

50

3 Das Schwerefeld der Erde w

P

p

z

r b g 0 MASSENSCHWERPUNKT

Abb. 3.5. Gravitation, Zentrifugalbeschleunigung und Schwere

und für den Betrag der Zentrifugalbeschleunigung z = |z| = ω2 r cos ϕ. ¯

(3.35b)

Die Winkelgeschwindigkeit ω = 7,292 115 × 10−5 rad s−1

(3.36)

ist mit hoher Genauigkeit aus der Astronomie bekannt, s. [2.2.2]. Die Zentrifugalbeschleunigung z = |z| kann also bei bekannter Position von P berechnet werden. Im erdfesten X, Y, Z-System fällt die Z-Achse mit der Drehachse der Erde zusammen, s. [2.5.1]. Wir haben also ⎛ ⎞ X  p = ⎝ Y ⎠ , p = |p| = X2 + Y 2 . 0 Mit z = grad Z

(3.37)

führen wir das Zentrifugalpotential ein: Z = Z(p) =

ω2 2 p , 2

lim Z = 0.

p→0

(3.38)

Hinweis: Wir haben hier die Symbole z und Z für die Zentrifugalbeschleunigung und ihr Potential verwendet. Diese Bezeichnungen werden auch für lokale und globale Koordinaten benutzt.

Zweimalige Differentiation und Anwendung des Laplaceschen Operators ergibt Z = 2ω2 .

(3.39)

3.1 Grundlagen der Schwerefeldtheorie

51

Die analytische Funktion Z ist also im Gegensatz zum Gravitationspotential V nicht harmonisch. Für Punkte auf dem Erdäquator hat das Zentrifugalpotential einen Wert von 1,1 × 105 m2 s−2 , und die Zentrifugalbeschleunigung beträgt 0,03 ms−2 (≈ 0,3 % der Gravitation). An den Polen gilt Z = 0 und z = 0. 3.1.5

Schwerebeschleunigung, Schwerepotential

Die Schwerebeschleunigung oder Schwere g (lateinisch: gravitas) ist die Resultierende aus der Gravitation b und der Zentrifugalbeschleunigung z (Abb. 3.5): g = b + z.

(3.40)

Nach Multiplikation mit der Masse m des angezogenen Punktes erhalten wir die Schwerkraft F = mg. (3.41) Die Richtung von g wird als Lotrichtung, der Betrag g als Schwereintensität (meist ebenfalls nur Schwere) bezeichnet. Mit (3.10) und (3.38) ergibt sich das Schwerepotential der Erde:  ω2 2 ρ W = W (r) = V + Z = G dv + p . (3.42) l 2 Erde

Die Schwerebeschleunigung folgt als Gradient des Potentials: g = grad W.

(3.43)

g T = (grad W )T = (WX , WY , WZ ).

(3.44)

Im X, Y, Z-System haben wir

Mit (2.19) ergeben sich die Komponenten des Schwerevektors, wobei die Richtung durch die Lotrichtungsparameter , ausgedrückt wird: ⎛ ⎞ cos  cos g = −gn = −g ⎝ cos  sin ⎠ . (3.45) sin  Aus den entsprechenden Eigenschaften von Gravitation und Zentrifugalbeschleunigung folgt auch die Wirbelfreiheit des Schwerefeldes: rot g = rot grad W = 0,

(3.46)

was auch durch die Bedingungen WXY = WY X ,

WXZ = WZX ,

WY Z = WZY

(3.47)

52

3 Das Schwerefeld der Erde

ausgedrückt werden kann. W und seine ersten Ableitungen sind wegen der Eigenschaften von V und Z im gesamten Raum eindeutig, endlich und stetig. Ausnahmen bilden die nicht interessierenden Fälle r → ∞ (dann gilt auch Z → ∞) und g = 0 (Lotrichtung nicht eindeutig). Wegen der Eigenschaften des Gravitationspotentials V weisen die zweiten Ableitungen von W bei Dichtesprüngen Unstetigkeiten auf. Die für die Geodäsie wichtigste Unstetigkeit findet sich beim Übergang vom Außenraum in den Erdkörper. Hier tritt an der physischen Erdoberfläche ein Dichtesprung von 1,3 kg m−3 (Luftdichte) auf 2 700 kg m−3 (mittlere Dichte der oberen Erdkruste) auf. Mit (3.31) und (3.39) ergibt sich die erweiterte Poissonsche Differentialgleichung W = −4π Gρ + 2ω2 .

(3.48)

Sie geht für den Außenraum (ρ = 0) in die erweiterte Laplacesche Differentialgleichung über: W = 2ω2 . (3.49) Wegen der Bedingungen (3.47) und (3.48) bzw. (3.49) besitzt das Schwerepotential W nur fünf (von insgesamt neun) voneinander unabhängige zweite Ableitungen. Sie stehen in engem Zusammenhang mit der Krümmung der Niveauflächen und der Lotlinien, s. [3.2.2]. Wegen der Abplattung an den Polen und der Zentrifugalbeschleunigung hängt die Schwere von der geographischen Breite ab. Der für ein sphärisches Erdmodell geltende Gravitationswert von 9,82 ms−2 , s. [3.1.2], verkleinert sich für ein ellipsoidisches Modell am Äquator und vergrößert sich an den Polen. Die Zentrifugalbeschleunigung führt zu einer weiteren Verkleinerung am Äquator, verändert aber die Gravitation an den Polen nicht, s. [3.1.4]. Die Schwere variiert dann zwischen 9,78 ms−2 (Äquator) und 9,83 ms−2 (Pol), siehe auch [4.3].

3.2

Geometrie des Schwerefeldes

Geometrisch lässt sich das Schwerefeld durch die Niveauflächen und die Lotlinien darstellen [3.2.1]. Die örtlichen Feldeigenschaften werden durch die Krümmung der Niveauflächen und der Lotlinien beschrieben [3.2.2], hierauf kann ein System „natürlicher“ Koordinaten aufgebaut werden [3.2.3]. 3.2.1

Niveauflächen und Lotlinien

Die Flächen konstanten Schwerepotentials W = W (r) = const.

(3.50)

werden als Äquipotentialflächen oder Niveauflächen der Schwere bezeichnet (auch Geopotentialflächen). Aus (3.43) ergibt sich bei einer infinitesimal kleinen Verschiebung ds die Potentialdifferenz von zwei differentiell benachbarten Niveauflächen

3.2 Geometrie des Schwerefeldes

53

(Abb. 3.6) zu dW = g · ds = g ds cos(g, ds).

(3.51)

Die Ableitung des Schwerepotentials in einer bestimmten Richtung ist demnach gleich der entsprechenden Komponente der Schwere. Da nur die Projektion von ds auf die Lotlinie in (3.51) eingeht, ist dW vom Weg unabhängig. Beim Fortschreiten auf einer Niveaufläche W = const. wird also keine Arbeit geleistet, die Niveauflächen sind Gleichgewichtsflächen.

LOTLINIE

n

P W = WP

NIVEAUFLÄCHE

ds g

W = WP + dW

Abb. 3.6. Benachbarte Niveauflächen und Lotlinie

Liegt ds in der Niveaufläche W = WP , so folgt aus dW = 0, dass cos(g, ds) = cos 90◦ = 0: die Schwere steht senkrecht auf W = WP . Die Niveauflächen werden also von den Lotlinien senkrecht durchsetzt. Die Tangente an die Lotlinie in P wurde als Lotrichtung bereits in [3.1.5] eingeführt. Fällt ds in die Richtung der äußeren Flächennormalen n, so gilt wegen cos(g, n) = cos 180◦ = −1 die wichtige Differentialbeziehung dW = −g dn. (3.52) Sie liefert einen Zusammenhang zwischen dem Potentialunterschied (physikalische Größe) und dem Höhenunterschied (geometrische Größe) benachbarter Niveauflächen. Potentialunterschiede lassen sich also aus einer Kombination von Schweremessungen und (differentiellen) Höhenunterschieden berechnen, letztere können mit dem geometrischen Nivellement bestimmt werden, s. [5.5.3]. Variiert g auf einer Niveaufläche, so ändert sich nach (3.52) der Abstand dn zur benachbarten Niveaufläche. Die Niveauflächen verlaufen demnach nicht parallel, die Lotlinien sind doppelt gekrümmte Raumkurven. Aus der Schwerezunahme von 0,05 ms−2 vom Äquator zu den Polen folgt, dass die Niveauflächen der Erde zu den Polen hin relativ um 0,05 ms−2 /9,8 ms−2 oder um 5 × 10−3 konvergieren. Zwei Niveauflächen, die am Äquator 100,0 m voneinander entfernt sind, haben also an den Polen nur noch einen Abstand von 99,5 m (Abb. 3.7). Die Niveauflächen innerhalb und im näheren Außenraum der Erde sind in sich geschlossene sphäroidische (kugelähnliche) Flächen. Das Geoid ist die Niveaufläche, welche den mittleren

54

3 Das Schwerefeld der Erde

GE

LOTLINIEN D OI

0

NIVEAUFLÄCHEN W = const.

Abb. 3.7. Niveauflächen und Lotlinien in Erdnähe Meeresspiegel approximiert. Wegen seiner Bedeutung als Höhenbezugsfläche wird es in [3.4] gesondert behandelt. Als äußere Begrenzung des Definitionsbereichs der Schwere kann die Niveaufläche angesehen werden, bei der sich im Äquator Gravitation und Zentrifugalbeschleunigung aufheben. Der Äquatorradius dieser Fläche beträgt 42 200 km. Das Konzept der Niveauflächen wurde von MacLaurin (1742) eingeführt, während Clairaut (1743) die Eigenschaften von Niveauflächen und Lotlinien gründlich erörterte. Bruns (1878) schloss dann die Bestimmung der Gesamtheit der äußeren Niveauflächen in die Aufgabe der Geodäsie ein.

3.2.2

Lokale Schwerefelddarstellung, Krümmungen

Aus den Eigenschaften der Potentialfunktion W = W (r) folgt, dass die vollständig im Außenraum verlaufenden Niveauflächen analytische Flächen sind, also keine Ecken oder singuläre Punkte besitzen, s. [3.1.5]. Sie können demnach auch in Taylor-Reihen entwickelt werden. Teilweise oder vollständig im Innenraum liegende Niveauflächen weisen bei Dichtesprüngen Unstetigkeiten in den zweiten Ableitungen auf. Diese Flächen lassen sich also nur aus Teilen analytischer Flächen zusammensetzen. Für die lokale Schwerefelddarstellung benutzen wir das in [2.6.2] eingeführte lokale x, y, z-System. Die Reihenentwicklung des Potentials W lautet dann in der Umgebung des Ursprungs P  1

Wxx x 2 + Wyy y 2 + Wzz z2 2 + Wxy xy + Wxz xz + Wyz yz + · · · .

W = WP + Wx x + Wy y + Wz z +

(3.53)

Dabei sind Wx = ∂W/∂x,Wxx = ∂ 2 W/∂x 2 , Wxy = ∂ 2 W/∂x∂y usw. die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung in P . Liegt der Aufpunkt auf der durch P verlaufenden Niveaufläche, so gilt W = WP ,

Wx = Wy = 0,

Wz = −g.

Die Auflösung nach z liefert die Gleichung der Niveaufläche in der Umgebung von P : z=

 1

Wxx x 2 + 2Wxy xy + Wyy y 2 . 2g

(3.54)

55

3.2 Geometrie des Schwerefeldes

Hier haben wir die Glieder 3. und höherer Ordnung vernachlässigt, wobei z wegen der geringen Krümmung der Niveauflächen gegenüber x und y nur von zweiter Ordnung ist. Die Krümmung der Niveaufläche im Azimut A wird durch die Krümmung des entsprechenden Normalschnitts (Schnitt der Vertikalebene mit der Niveaufläche) beschrieben (Normalkrümmung). Sie ergibt sich aus der bekannten Formel für die Absenkung einer Kugel (lokale Approximation der Niveaufläche) gegenüber der horizontalen x, y-Ebene: s2 z=− (3.55) 2RA mit s = Abstand von P und RA = Krümmungsradius im Azimut A (Abb. 3.8). z(ZENIT)

LOTLINIE

n

x(NORD)

P

A

s

NIVEAUFLÄCHE W = WP

g RA y(OST)

Abb. 3.8. Krümmung der Niveauflächen und der Lotlinien

Wir ersetzen x, y durch die lokalen Polarkoordinaten s, A: x = s cos A,

y = s sin A

und führen (3.55) in (3.54) ein. Die Normalkrümmung lautet dann k=

 1 1

= − Wxx cos2 A + 2Wxy sin A cos A + Wyy sin2 A . RA g

(3.56)

Für die Krümmungen in x- und y-Richtung (A = 0◦ und A = 90◦ ) erhalten wir kx =

1 Wxx , =− Rx g

ky =

Wyy 1 , =− Ry g

(3.57)

wobei Rx und Ry die entsprechenden Krümmungsradien sind. Analog ergibt sich die geodätische Torsion in Richtung des Meridians (beschreibt die Richtungsänderung senkrecht zum Meridian): Wxy . (3.58) tx = − g

56

3 Das Schwerefeld der Erde

Die Normalkrümmung nimmt ihre Extremwerte in den zueinander senkrechten Hauptkrümmungsrichtungen A1 und A2 = A1 ± 90◦ an. Aus einer Extremwertbetrachtung folgt Wxy . (3.59) tan 2A1,2 = 2 Wxx − Wyy Einsetzen von (3.59) in (3.56) ergibt die zugehörigen Hauptkrümmungen 1 1 = − (Wxx + Wxy tan A1,2 ). RA(1,2) g

(3.60)

Die mittlere Krümmung der Niveaufläche lautet J =

1 1 (kx + ky ) = − (Wxx + Wyy ). 2 2g

(3.61)

Außerhalb der Erdmassen können auch die Lotlinien analytisch beschrieben werden. Im lokalen astronomischen System lautet die Gleichung der Lotlinie x = x(s),

y = y(s),

z = z(s),

(3.62)

wobei s die Bogenlänge in Schwererichtung ist (Abb. 3.8). Das Bogenelement ds unterscheidet sich also von der Schwere nur um den „Maßstabsfaktor“ g: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x Wx g ⎝y  ⎠ = ⎝Wy ⎠ (3.63) z Wz mit x  = dx/ds usw. Der Krümmungsvektor der Lotlinie liegt in der Hauptnormalen durch P und somit in der Horizontalebene. Er ergibt sich zu ⎛ ⎞ ⎛  ⎞ x cos A ⎝y  ⎠ = κ ⎝ sin A ⎠ , (3.64) 0 z wobei κ die Totalkrümmung und A das Azimut der Hauptnormalen ist. Wir leiten (3.63) nochmals nach s ab und berücksichtigen, dass in P dann x  = y  = 0 und z = −1 gilt. Einsetzen in (3.64) liefert κ=−

Wyz Wxz =− g cos A g sin A

(3.65)

und

Wyz . (3.66) Wxz Die Krümmung der Projektionen der Lotlinie auf die x, z-Ebene (A = 0◦ ) und die y, z-Ebene (A = 90◦ ) folgt aus (3.65) zu A = arctan

κx = −

Wxz , g

κy = −

Wyz g

(3.67)

3.2 Geometrie des Schwerefeldes

mit κ=

57

κx2 + κy2 .

(3.56) bis (3.67) zeigen, dass die Krümmungen der Niveauflächen und der Lotlinien von den zweiten Ableitungen des Schwerepotentials abhängen. Wie für die Potentialfunktion diskutiert, s. [3.1.5], weisen sie also bei abrupten Dichteänderungen Unstetigkeiten auf. Der Schweregradiententensor (Eötvös-Tensor) setzt sich aus den zweiten Ableitungen von W wie folgt zusammen: ⎞ ⎛ Wxx Wxy Wxz (3.68) grad g = grad(grad W ) = ⎝Wyx Wyy Wyz ⎠ . Wzx Wzy Wzz Er kann mit (3.57), (3.58), (3.67) und Wz = −g in den Marussi-Tensor transformiert werden: ⎛ ⎞ κx kx tx 1 − grad g = ⎝ tx ky κy ⎠ , (3.69) g κx κy g1 ∂g ∂z welcher die Geometrie des Schwerefeldes vollständig beschreibt (Grafarend 1986, Moritz und Hofmann-Wellenhof 1993). Wie bereits in [3.1.5] erläutert, enthalten (3.68) bzw. (3.69) nur fünf voneinander unabhängige Elemente. Der Eötvös-Tensor (3.68) enthält den Schweregradienten ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ Wxz ∂g/∂x grad g = − ⎝Wyz ⎠ = ⎝∂g/∂y ⎠ , (3.70) ∂g/∂z Wzz welcher die Schwereänderung in der Horizontalebene und in der Lotrichtung beschreibt. Der Horizontalgradient setzt sich aus den Komponenten ∂g/∂x und ∂g/∂y zusammen und zeigt in Richtung der maximalen Schwerezunahme in der Horizontalebene. Die vertikale Komponente (oft als vertikaler Schweregradient bezeichnet) ∂g/∂z beschreibt die Änderung der Schwere mit der Höhe. Kombinieren wir die erweiterte Poissonsche Differentialgleichung (3.48) W = Wxx + Wyy + Wzz = −2gJ −

∂g = −4π Gρ + 2ω2 , ∂z

mit der mittleren Krümmung (3.61), so erhalten wir die von Bruns (1878) gefundene Beziehung ∂g = −2gJ + 4π Gρ − 2ω2 . (3.71) ∂z Sie verbindet den vertikalen Gradienten mit der mittleren Krümmung der Niveaufläche und erlaubt so die Bestimmung dieses Krümmungsmaßes aus Schweremessungen, s. [5.4.5].

58 3.2.3

3 Das Schwerefeld der Erde

Natürliche Koordinaten

Wir führen ein System von im Schwerefeld definierten nicht-linearen „natürlichen“ Koordinaten , , W ein. Die astronomische Breite  und die astronomische Länge beschreiben die Richtung der Lotlinie im Punkt P . Sie sind bereits in [2.6.1] als Orientierungsparameter des lokalen Schwerefeldsystems gegenüber dem globalen geozentrischen System eingeführt worden. Das Schwerepotential W ordnet P in die Schar der Niveauflächen W = const. ein (Abb. 2.12). Der Punkt P ist damit durch den nicht-orthogonalen Schnitt der Koordinatenflächen  = const., = const. und W = const. festgelegt. Die Koordinatenlinien (doppelt gekrümmte Raumkurven) werden als astronomische Meridiankurve ( , W = const.), astronomische Parallelkurve (, W = const.) und Isozenitale (, = const.) bezeichnet. Die natürlichen Koordinaten können unmittelbar aus Messungen bestimmt werden. Breite und Länge werden durch astronomische Ortsbestimmungen ermittelt, s. [5.3.2]. Obwohl W nicht direkt gemessen werden kann, lassen sich aus der Kombination des geometrischen Nivellements mit Schweremessungen Potentialunterschiede ableiten, die dann auf eine ausgewählte Niveaufläche, z. B. das Geoid, bezogen werden, s. [5.5.3]. Der Zusammenhang zwischen dem globalen X, Y, Z-System und dem , , W System ergibt sich aus (3.45): ⎛ ⎞ cos  cos g = grad W = −g ⎝ cos  sin ⎠ . (3.72) sin  Auflösung nach den natürlichen Koordinaten liefert die in hohem Maße nichtlinearen Beziehungen  = arctan

−WZ

,

WX2 + WY2

WY , WX W = W (X, Y, Z).

= arctan

(3.73)

Differentialbeziehungen zwischen den lokalen kartesischen Koordinaten x, y, z (lokales astronomisches System) und dem globalen , , W -System erhalten wir mit d =

∂ ∂ ∂ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

usw., wobei dx, dy und dz aus örtlichen Messungen abgeleitet werden können, s. [2.6.2]. Die partiellen Ableitungen von  und beschreiben die bei einer Bewegung im Schwerefeld auftretende Änderung der Krümmungen. Dies ist bei einer Bewegung in

3.2 Geometrie des Schwerefeldes

59

der Horizontalebene die Krümmung der Niveaufläche und bei einer vertikalen Bewegung die Krümmung der Lotlinie. Es gelten die folgenden Beziehungen: ∂ cos ∂ ∂ ∂ = kx , = = tx , = κx , ∂x ∂y ∂x ∂z cos ∂ cos ∂ = ky , = κy , ∂y ∂z ∂W ∂W ∂W = 0, = 0, = −g, ∂x ∂y ∂z

(3.74)

wobei die Krümmungs- und Torsionsparameter durch (3.57), (3.58) und (3.67) gegeben sind. Führen wir (3.74) in die obigen Differentialbeziehungen ein, so ergibt sich ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ d kx tx κx dx ⎝cos  d ⎠ = ⎝ tx ky κy ⎠ ⎝dy ⎠ . (3.75) dW 0 0 −g dz Diese Beziehung enthält wiederum die Elemente des Marussi-Tensors (3.69), siehe Grafarend (1975), Moritz und Hofmann-Wellenhof (1993). Da die Orientierung der lokalen Systeme sich von Punkt zu Punkt ändert, liegen mit dx, dy, dz imperfekte Differentale vor, die Schleifenschlüsse weichen von Null ab:

dx  = 0, dy  = 0, dz  = 0. (3.76) Die Koordinaten , , W besitzen dagegen perfekte Differentiale mit den Schleifenschlüssen

d = 0, d = 0, dW = 0. (3.77) Mit (3.75) können lokale Beobachtungsgrößen (Azimute, Horizontalrichtungen und winkel, Zenitwinkel, Potentialdifferenzen aus Nivellement und Schwere) in das globale Schwerefeldsystem transformiert werden; dabei sind die Koordinaten astronomische Breite und Länge ebenfalls der Messung zugänglich. Aufbauend auf der Differentialgeometrie des Schwerefeldes ist von Marussi (1949, 1985) die Theorie einer „Geodesia intrinseca“ entwickelt worden, siehe auch Hotine (1969). Hierbei werden nur der Beobachtung zugängliche Größen benutzt, Reduktionen auf konventionelle Bezugssysteme werden vollständig vermieden. Die praktische Auswertung von (3.75) setzt jedoch eine detaillierte Kenntnis der Krümmung des Schwerefeldes voraus. Dies würde wegen des unregelmäßigen Verhaltens der Krümmung in Erdnähe eine hochauflösende Bestimmung der zweiten Ableitungen des Schwerepotentials erfordern. Diese Information kann von den heute verfügbaren Schwerefeldmodellen nicht geliefert werden, und die derzeitige Schweregradiometrie ist entweder sehr zeitaufwendig oder noch nicht operationell, s. [5.4.5]. Selbst bei besser bekannter Krümmung des Schwerefeldes dürften Koordinatenübertragungen wegen der komplexen Feldstruktur jedoch kaum im System der natürlichen Koordinaten vorgenommen werden.

60

3.3

3 Das Schwerefeld der Erde

Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials

Da die Dichtefunktion ρ = ρ(r  ) der Erde nicht hinreichend bekannt ist, lässt sich das Gravitationspotential V = V (r) nicht mit Hilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes (3.10) berechnen. Für den Außenraum der Erde gelingt aber eine konvergierende Reihenentwicklung von V als spezieller Lösung der Laplaceschen Differentialgleichung (3.29). Dies lässt sich leicht aus einer entsprechenden Entwicklung des im Gravitationsgesetz auftretenden reziproken Abstandes herleiten [3.3.1], [3.3.2], siehe Sigl (1973), Blakeley (1996). Die Lösung entspricht einer spektralen Zerlegung des Gravitationsfeldes [3.3.3], wobei die Koeffizienten der Reihenentwicklung die Amplituden der jeweiligen spektralen Anteile beschreiben [3.3.4]. Zur Bestimmung der Koeffizienten und damit zur globalen analytischen Darstellung des Schwerefeldes kann jedes der Beobachtung zugängliche Funktional von V herangezogen werden, s. [6.6.1]. 3.3.1

Entwicklung der reziproken Entfernung

Die Anwendung des Cosinussatzes auf das Dreieck OP  P (Abb. 3.1) liefert den in (3.10) auftretenden reziproken Abstandes 1/ l zwischen dem Aufpunkt P und dem Quellpunkt P  :  r  2 − 1 1 1 1 r 2 = (r 2 + r 2 − 2rr  cos ψ)− 2 = 1+ − 2 cos ψ . l r r r

(3.78)

Hierbei ist ψ der Zentriwinkel zwischen den Richtungen nach P bzw. P  . Entwickelt man 1/ l in eine für r  < r konvergierende Reihe und ordnet nach steigenden Potenzen von r  /r, so folgt ∞ 1 1   r  l = Pl (cos ψ). (3.79) l r r l=0

Die Pl (cos ψ)-Terme stellen dabei Polynome l-ten Grades in cos ψ dar, sie werden als Legendresche Polynome (zonale Kugelfunktionen) bezeichnet. Für das Argument t = cos ψ berechnen sie sich nach Pl (t) =

dl 2 1 × (t − 1)l . 2l × l! dt l

(3.80a)

Eine schnelle Berechnung ist mit der Rekursionsformel von Wenzel (1985) möglich: Pl (t) =

2l − 1 l−1 tPl−1 (t) − Pl−2 (t), l l

l≥2

(3.80b)

mit P0 = 1, P1 = t. Wir führen jetzt die Einheitskugel σ um den Koordinatenursprung O ein (Abb. 3.9). Die Projektionen von OP und OP  auf σ bilden zusammen mit der Projektion des Nordpols N ein sphärisches Dreieck. Es enthält die sphärischen Koordinaten ϑ, λ und

3.3 Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials

61

P´(r´,J´,l´) N J

a

l´- l

J´

r´

P(r,J,l)

y

r

0

EINHEITSKUGEL s (r = 1)

S

Abb. 3.9. Sphärisches Poldreieck auf der Einheitskugel, Kugelkoordinaten

ϑ  , λ , und der Zentriwinkel ψ tritt als sphärische Distanz auf; vgl. auch [2.5.1]. Die sphärische Trigonometrie liefert den Zusammenhang cos ψ = cos ϑ cos ϑ  + sin ϑ sin ϑ  cos(λ − λ). Die entsprechende Zerlegung von Pl (cos ψ) führt auf das Additionstheorem der Kugelfunktionen: Pl (cos ψ) = Pl (cos ϑ)Pl (cos ϑ  ) l  (l − m)!

Plm (cos ϑ) cos mλ Plm (cos ϑ  ) cos mλ (l + m)! m=1  + Plm (cos ϑ) sin mλ Plm (cos ϑ  ) sin mλ .

+2

(3.81)

Hierin sind die Pl (t) wiederum Legendresche Polynome mit dem Argument t = cos ϑ bzw. t = cos ϑ  . Die zugeordneten Legendre-Funktionen erster Art Plm (t) (l = Grad, m = Ordnung) ergeben sich aus den Pl (t) durch m-malige Differentiation nach t:  m dm

Plm (t) = 1 − t 2 2 m Pl (t). dt

(3.82)

Bis zum Grad 3 lauten die Legendreschen Polynome und die zugeordneten Kugelfunktionen wie folgt: P0 = 1,

P1 = cos ϑ,

P2 =

3 1 cos2 ϑ − , 2 2

P3 =

5 3 cos3 ϑ − cos ϑ (3.83a) 2 2

62

3 Das Schwerefeld der Erde

und P1,1 = sin ϑ, P2,1 = 3 sin ϑ cos ϑ, P2,2 = 3 sin2 ϑ,  (3.83b) 15 3 2 cos ϑ − , P3,2 = 15 sin2 ϑ cos ϑ, P3,3 = 15 sin3 ϑ. P3,1 = sin ϑ 2 2 Eine Reihenentwicklung für die Berechnung von Plm (t) findet sich in Heiskanen und Moritz (1967, S. 24). Nach Einsetzen von (3.81) in (3.79) ist die Kugelfunktionsentwicklung von 1/ l abgeschlossen. Die in (3.81) auftretenden Funktionen c Ylm (ϑ, λ) = Plm (cos ϑ) cos mλ

und

s Ylm (ϑ, λ) = Plm (cos ϑ) sin mλ

(3.84)

werden als Laplacesche Kugelflächenfunktionen bezeichnet. Sie beschreiben das Verhalten der entwickelten Funktion (hier 1/ l) auf der Einheitskugel, s. [3.3.3]. Für diese Funktionen gelten die Orthogonalitätsbeziehungen. Hiernach ist das über die Einheitskugel gebildete Integral aus den Produkten von zwei verschiedenen Funktionen gleich Null:  i k Ylm Ynq dσ = 0 (3.85) σ c oder für n = l, q  = m, oder k  = i. Für das Produkt von zwei gleichen Funktionen Ylm s Ylm gilt ⎧ 4π ⎪ ⎪ für m = 0  ⎨ 2l + 1 2 Ylm dσ = (3.86) ⎪ 2π (l + m)! ⎪ ⎩ für m  = 0, σ 2l + 1 (l − m)! siehe Heiskanen und Moritz (1967, S. 29).

3.3.2

Entwicklung des Gravitationspotentials

Wir setzen die Kugelfunktionsentwicklung von 1/ l, (3.79) und (3.81), in das Volumenintegral (3.10) ein: G   (l − m)! 1 × l Plm (cos ϑ) cos mλ k r (l + m)! r ∞

V =

l

l=0 m=0

 + Plm (cos ϑ) sin mλ

l



r l Plm (cos ϑ  ) cos mλ dm

Erde







r Plm (cos ϑ ) sin mλ dm , Erde

 k=

1 2

für m = 0 für m  = 0. (3.87)

In verkürzter Form lässt sich diese Entwicklung folgendermaßen schreiben: V =

∞  l=0

Vl =

∞  Yl (ϑ, λ) l=0

r l+1

,

(3.88)

3.3 Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials

63

wobei die Vl als räumliche Kugelfunktionen bezeichnet werden. Sie sind lineare Kombinationen der Kugelflächenfunktionen (3.84). Für l = 0 ergibt die Integration das Potential der im Massenschwerpunkt konzentrierten Erdmasse M (3.16). Wir ziehen diesen Term heraus, führen die große Halbachse a des Erdellipsoids als Konstante ein und bezeichnen die Massenintegrale mit Clm , Slm (Kugelfunktionskoeffizienten). Die Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials lautet dann:     a l GM  1+ (Clm cos mλ + Slm sin mλ)Plm (cos ϑ) . r r ∞

V =

l

(3.89)

l=1 m=0

Die Kugelfunktionskoeffizienten (auch Stokes’ Konstante) ergeben sich zu     r l 1 Pl (cos ϑ  ) dm, Cl0 = Cl = M a Erde (3.90)         2 (l − m)! r l Clm cos mλ  = für m = 0. × Plm (cos ϑ ) Slm sin mλ M (l + m)! a Erde

Besonders in der Satellitengeodäsie werden häufig die Koeffizienten Jl = −Cl ,

Jlm = −Clm ,

Klm = −Slm

(3.91)

benutzt. Berechnungen im Gravitationsfeld vereinfachen sich, wennn die (vollständig) normierten Kugelfunktionen eingeführt werden. Sie berechnen sich aus den konventionellen Kugelfunktionen (3.80) und (3.82) nach   (l − m)! 1 für m = 0 ¯ Plm (t), k = Plm (t) = k(2l + 1) (3.92) (l + m)! 2 für m  = 0 mit t = cos ϑ usw. Auch für die Berechnung der normierten Kugelfunktionen sind Rekursionsformeln verfügbar (Tscherning et al. 1983, Wenzel 1985): P¯lm (t) =



1 (2l + 1)(2l − 1) 2 ¯ t Pl−1,m (t) (l + m)(l − m)  1 (2l + 1)(l + m − 1)(l − m − 1) 2 ¯ − Pl−2,m (t) (2l − 3)(l + m)(l − m)

(3.93a)

für l > m + 1 mit P¯0 = 1, P¯1,1 =

P¯1 =

√ 3 sin ϑ,

1√ P¯2 = 5(3 cos2 ϑ − 1), 2 (3.93b) √ 1√ = 15 sin ϑ cos ϑ, P¯2,2 = 15 sin2 ϑ 2

√ 3 cos ϑ, P¯2,1

64

3 Das Schwerefeld der Erde

und der Rechenkontrolle

l 

P¯lm (t)2 = 2l + 1.

(3.93c)

m=0

Zusätzlich zu den Orthogonalitätsgleichungen (3.85), (3.86) gilt jetzt auch für die Einheitskugel σ :   2   1 cos mλ ¯ dσ = 1. (3.94) Plm sin mλ 4π σ

Mit (3.92) ergeben sich die Kugelfunktionskoeffizienten einer (3.89) entsprechenden Entwicklung des Gravitationspotentials zu       (l + m)! 1 für m = 0 C¯ lm Clm = , k= (3.95) S¯lm k(2l + 1)(l − m)! Slm 2 für m  = 0. Gleichung (3.89) bzw. die entsprechenden Gleichungen in normierten Kugelfunktionen (3.92) und (3.95) stellen sphärische Lösungen der Laplaceschen Differentialgleichung (3.29) dar. Sie lassen sich auch direkt durch Variablentrennung herleiten, wenn die kartesischen Koordinaten in (3.29) durch Kugelkoordinaten ersetzt werden (Heiskanen und Moritz 1967, S. 18 ff.). Die obige Entwicklung konvergiert außerhalb einer den Erdkörper gerade einschließenden Kugel mit dem Radius r = a (Brillouin-Kugel). Nach dem Theorem von Runge-Krarup kann eine solche Entwicklung auch bis zu einer im Erdinnern dicht an der Erdoberfläche verlaufenden Kugel benutzt werden (Bjerhammar-Kugel), Krarup (1969), Moritz (1980, S. 69). Eine solche Entwicklung setzt die beliebig gute Annäherung an das äußere Schwerefeld analytisch nach innen fort, genügt aber natürlich nicht der Poissonschen Gleichung (3.31) des aktuellen Gravitationsfeldes im Erdinnern. Bei der heute erreichten Genauigkeit in der Bestimmung des Erdschwerefeldes darf die Gravitation der Atmosphäre nicht mehr vernachlässigt werden. Da die Dichte der Atmosphäre hauptsächlich von der Höhe abhängt, können entsprechende Dichtemodelle zur Berechnung des Potentials und der Gravitation der Atmosphäre als Funktion der Höhe benutzt werden. Grundlage bilden die für das Potential innerhalb einer schalenförmig aufgebauten Erdkugel gültigen Beziehungen, s. [3.1.2]. Mit einer Atmosphärenmasse von 5,32 × 1018 kg erhalten wir einen Potentialwert von 55,6 m2 s−2 für h = 0 und 54,8 m2 s−2 für h = 100 km. Dieser Effekt kann durch entsprechende Reduktionen berücksichtigt werden, s. [4.3].

Die Kugelfunktionsentwicklung für V lässt sich durch Anfügen des Zentrifugalpotentials Z (3.38) leicht zum Schwerepotential erweitern. Wird der senkrechte Abstand p zur Drehachse durch Kugelkoordinaten (2.14) ausgedrückt, so lautet das Zentrifugalpotential ω2 2 2 r sin ϑ Z= (3.96a) 2 oder unter Benutzung des Legendreschen Polynoms P2 (3.83a) ω2 2 r (1 − P2 (cos ϑ)). (3.96b) 3 Die Addition von (3.96) und (3.89) ergibt die Reihenentwicklung für das Schwerepotential. Z=

3.3 Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials

3.3.3

65

Geometrische Interpretation der Kugelflächenfunktionen

Wir erörtern jetzt die Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen (3.84), welche das Verhalten des Gravitationspotentials auf der Einheitskugel beschreiben. Die Nullstellen dieser Funktionen teilen die Kugeloberfläche in Abschnitte unterschiedlichen Vorzeichens auf, die durch Meridiane und Parallelkreise begrenzt werden. Für die Ordnung m = 0 erhalten wir die Legendreschen Polynome Pl (cos ϑ). Sie sind von der geographischen Länge λ unabhängig, zerlegen die Kugeloberfläche also in Zonen positiven und negativen Vorzeichens: zonale Kugelfunktionen. Im Intervall 0 ≤ ϑ ≤ π besitzen sie l reelle Nullstellen. In Bezug auf den Äquator ϑ = 90° wird die Kugel für gerade l symmetrisch und für ungerade l asymmetrisch aufgeteilt. Die Plm (cos ϑ), m  = 0, weisen (l − m) Nullstellen im Intervall 0 < ϑ < π auf. Wegen der Multiplikation mit cos mλ bzw. sin mλ werden diese Kugelflächenfunktionen längenabhängig, wobei im Intervall 0 ≤ λ ≤ π dann 2m Nullstellen auftreten: tesserale Kugelfunktionen. Schließlich geht für m = l die Abhängigkeit von ϑ verloren, die J = 0°

J = 0°

J = 54.7° J = 90° J = 125.3° J = 180°

J = 180° P2 (cos J)

P7 (cos J)

ZONALE HARMONISCHE

J = 90°

J = 180°

J = 0°

l = 0°

l = 0°

J = 0°

J = 180°

P9, 6 (cos J) sin 6l

P7, 7 (cos J) sin 7l

TESSERALE HARMONISCHE

SEKTORIELLE HARMONISCHE

Abb. 3.10. Kugelfunktionen auf der Einheitskugel mit wechselndem positivem (grau) und negativem (weiß) Vorzeichen

Kugel wird in Sektoren wechselnden Vorzeichens zerlegt: sektorielle Kugelfunktionen (Abb. 3.10). Die Amplituden der einzelnen Kugelfunktionsterme werden durch die jeweiligen Koeffizienten bestimmt. So dürfen z. B. bei einer zur Z-Achse rotationssymmetrisch aufgebauten Erde nur zonale Kugelfunktionen auftreten, die Koeffizienten mit m = 0

66

3 Das Schwerefeld der Erde

müssen sämtlich Null sein. Eine zum Äquator symmetrische Massenverteilung darf keine Kugelfunktionskoeffizienten mit ungeradem l aufweisen. Zusammenfassend stellen wir fest, dass die Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials eine spektrale Zerlegung des Gravitationsfeldes bewirkt. Das Feld wird dabei in Strukturen der Wellenlänge 360◦ / l zerlegt, was einer räumlichen Auflösung von 180◦ / l entspricht. Mit zunehmender Höhe wird das Feld durch den Faktor (a/r)l geglättet. 3.3.4

Physikalische Interpretation der Kugelfunktionskoeffizienten

Durch die Kugelfunktionsentwicklung ist das Volumenintegral über die Erdmassen (3.10) in eine unendliche Reihe transformiert worden. Die in den Kugelfunktionskoeffizienten enthaltenen Massenintegrale repräsentieren jetzt den individuellen Beitrag der entsprechenden Wellenlänge zum Gesamtpotential. Für die Koeffizienten niederen Grades ist eine einfache physikalische Deutung möglich. Wie bereits festgestellt, repräsentiert der Term nullten Grades (l = 0) das Potential einer homogenen bzw. aus Schichten aufgebauten Erdkugel, vgl. (3.16): V0 =

GM . r

(3.97)

Die Terme ersten und zweiten Grades (l = 1, 2) berechnen sich aus (3.90) durch Einsetzen der harmonischen Funktionen (3.83), anschließend transformieren wir die Kugelkoordinaten mit (2.14) in kartesische Koordinaten. Für l = 1 ergibt sich:    1 1 1 Z  dm, C1,1 = X dm, S1,1 = Y  dm. C1 = aM aM aM Erde

Erde

Erde

(3.98) Aus der Mechanik ist bekannt, dass die hier auftretenden Integrale nach Division durch die Masse M die Koordinaten des Massenschwerpunktes der Erde sind. Da wir den Ursprung des Koordinatensystems in den Schwerpunkt gelegt haben gilt: C1 = C1,1 = S1,1 = 0.

(3.99)

Für l = 2 erhalten wir    1 X2 + Y 2 1 X Z  dm, Z 2 − dm, C2,1 = 2 C2 = 2 a M 2 a M Erde Erde  

 1 1 X2 − Y 2 dm, (3.100) Y  Z  dm, C2,2 = 2 S2,1 = 2 a M 4a M Erde Erde  1   X Y dm. S2,2 = 2 2a M Erde

3.3 Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials

67

In diesen Ausdrücken erscheinen die Trägheitsmomente  A=



C=

2  Y + Z 2 dm,

 B=



 X2 + Z 2 dm, (3.101)



 X2 + Y 2 dm

und die Trägheitsprodukte  D=







Y Z dm,

E=





X Z dm,

 F =

X  Y  dm

(3.102)

in Bezug auf die Achsen des globalen X, Y, Z-Systems. Unter Vernachlässigung der Polbewegung fällt die Z-Achse mit einer Hauptträgheitsachse der Erde zusammen (maximales Trägheitsmoment). Damit wird D = E = 0. F würde dagegen den Wert Null nur dann annehmen, wenn die X-Achse mit einer der äquatorialen Hauptträgheitsachsen zusammenfallen würde. Wegen der konventionellen Definition der X-Achse (Richtung zum Meridian von Greenwich) weicht F demnach von Null ab. Mit den obigen Ausdrücken für A, B, C und F lassen sich die Kugelfunktionskoeffizienten zweiten Grades auch wie folgt schreiben:  A+B 1 − C , C2,1 = S2,1 = 0, a2M 2 B −A F , S2,2 = 2 . = 2 4a M 2a M

C2 = C2,2

(3.103)

J2 = −C2 wird auch als dynamischer Formfaktor bezeichnet. C2 beschreibt die polare Abplattung des Erdkörpers durch die Differenz zwischen dem mittleren äquatorialen (mit A ≈ B) und dem polaren Trägheitsmoment. Da letzteres die bei weitem größte Abweichung von einem sphärischen Erdmodell darstellt, liegt der Zahlenwert von C2 um drei Größenordnungen höher als die Werte für die nachfolgenden Koeffizienten. Kleinere Beiträge zur ellipsoidischen Form liefern auch die geraden Zonalen höheren Grades, insbesondere l = 4 und l = 6. Die Koeffizienten C2,2 und S2,2 beschreiben die Asymmetrie der äquatorialen Massenverteilung in Bezug auf die Drehachse (Elliptizität des Äquators) und die Verdrehung der entsprechenden Hauptträgheitsachsen in Bezug auf die konventionellen X- und Y -Achsen, s. [4.2.1]. Weichen die ungeraden Zonalen von Null ab, so liegt eine zur Äquatorebene asymmetrische Massenverteilung vor, s. [3.3.3]. Ein wesentlicher Beitrag kommt dabei von C3 , er kann geometrisch als Differenz zwischen den Abplattungen der Nord- und der Südhalbkugel interpretiert werden. Zahlenwerte für die Kugelfunktionskoeffizienten finden sich in [6.6.2].

68

3.4

3 Das Schwerefeld der Erde

Das Geoid

Das Geoid ist für die Geodäsie, die Ozeanographie und die Physik der festen Erde von grundlegender Bedeutung. Seine klassische Definition muss heute wegen der gestiegenen Anforderungen und der erreichten Genauigkeiten verfeinert werden [3.4.1]. In Geodäsie und Ozeanographie dient das Geoid als Höhenbezugsfläche zur Beschreibung der kontinentalen und der Meeresflächen-Topographie [3.4.2], [3.4.3]. Die Geophysik nutzt das Geoid als Schwerefeldrepräsentation, welche die Verteilung tiefer liegender Massen aufzeigt, s. [8.2.4]. 3.4.1

Definition

Das Geoid ist von C. F. Gauß als Modell für die Figur der Erde eingeführt worden, s. [1.2]. Es wurde von ihm als die Äquipotentialfläche des Erdschwerefeldes definiert, welche mit dem mittleren Meeresspiegel der Ozeane zusammenfällt. Diese physikalische Definition setzt voraus, dass die ozeanischen Wassermassen frei beweglich und homogen sind, nur der Schwerkraft unterliegen und keine zeitlichen Änderungen aufweisen. Nach Erreichen des Gleichgewichtszustandes würde die Oberfläche dieser idealisierten Ozeane eine Niveaufläche des Schwerefeldes bilden. Wir können uns diese Fläche unter den Kontinenten fortgesetzt denken, etwa durch ein System kommunizierender Röhren. Mit dem Schwerepotentialwert W0 lautet die Gleichung des Geoids W = W (r) = W0 .

(3.104)

Aus den Eigenschaften des Schwerepotentials folgt, dass das Geoid eine in sich geschlossene und stetige Fläche ist, s. [3.1.3]. Es verläuft teilweise im Innern der Erde (unter den Kontinenten), seine Krümmung weist dann bei sprunghaften Dichteänderungen Unstetigkeiten auf. Obwohl das Geoid damit im globalen Sinn keine analytische Fläche ist, kann es durch eine Kugelfunktionsentwicklung hinreichend gut approximiert werden, s. [3.3.2]. Die Fortsetzung des Schwerefeldes in die Erdmassen hinein setzt die Kenntnis der Dichteverteilung in der Atmosphäre und in der Topographie voraus. Geoidberechnungen hängen also von den entsprechenden Annahmen ab, s. [6.5.3].

Wie aus der Ozeanographie bekannt, ist der mittlere Meeresspiegel wegen der Meeresströmungen und anderer quasistationärer Effekte keine Niveaufläche des Erdschwerefeldes. Darüber hinaus lassen sich zeitliche Änderungen der Meeresoberfläche nur teilweise durch Mittelbildung über die Zeit oder durch Modellierung reduzieren, es bleibt also eine Zeitabhängigkeit über längere Zeiträume erhalten, s. [3.4.2]. Wird in der Geoidbestimmung eine „cm“-Genauigkeit angestrebt, so ist eine verfeinerte Geoiddefinition notwendig (Rizos 1982). So lässt sich etwa eine Minimumsbedingung auf die in einem bestimmten Zeitintervall bestimmten Abweichungen zwischen dem mittleren Meeresspiegel und dem Geoid anwenden. Das Geoid wird dann

3.4 Das Geoid

69

als die Äquipotentialfläche definiert, welche den mittleren Meeresspiegel in dieser Epoche optimal approximiert (Rapp 1995a). Eine andere Möglichkeit bestände darin, das Geoid als die Niveaufläche zu definieren, welche sich dem mittleren Meeresspiegel an ausgewählten Meerespegeln bestmöglichst anpasst; hierfür würden sich die zur Festlegung des vertikalen Datums von nationalen oder kontinentalen Höhensystemen benutzten Pegel anbieten, s. [3.4.3]. Eine solche Definition würde nur kleine Korrektionen an den bestehenden Höhensystemen erfordern, aber keine beste Anpassung über die Gesamtheit der Ozeane bewirken.

Eine Geoiddefinition muss auch festlegen, wie der permanente Gezeiteneffekt zu behandeln ist, s. [3.5.2]. Hierbei sind drei verschiedene Definitionen möglich. Das mittlere Geoid enthält den direkten Einfluss der lunisolaren Gravitation und den indirekten Deformationseffekt. Es würde mit einem „ungestörten“ Meeresspiegel zusammenfallen und ist deshalb für die Ozeanographie von Interesse. Im „non-tidal“ Geoid wird der gesamte Gezeiteneinfluss eliminiert. Dies würde den theoretischen Forderungen der Geodäsie entsprechen, wonach sich außerhalb der Randfläche „Geoid“ keine Massen befinden dürfen, s. [6.5.3]. Da die Reaktion der Erde auf den permanenten Gezeitenanteil nicht bekannt ist, bevorzugt die Geodäsie das Null-Geoid (zero-tide Geoid). Hierbei wird der Attraktionsanteil reduziert, der permanente Deformationsanteil bleibt jedoch erhalten. Diese Definition berücksichtigt, dass Positionsbestimmungen sich ebenfalls auf die deformierte Erde beziehen (IAG-Resolution, Generalversammlung Hamburg 1983, Ekman 1989). Eine verfeinerte Geoiddefinition sollte schließlich auch zeitliche Veränderungen berücksichtigen, die aus terrestrischen Massenverschiebungen resultieren, s. [3.5.3]. Eine solche Definition würde sich dann auf eine bestimmte Epoche beziehen. Von einem bestanschließenden Bezugsellipsoid, s. [4.3], weicht das Geoid um ±30 m ab (r.m.s. Variation), maximale Abweichungen erreichen ±100 m, s. [6.6.3]. 3.4.2

Der mittlere Meeresspiegel

Die Meeresoberfläche fällt nicht mit einer Niveaufläche des Erdschwerefeldes (z. B. dem Geoid) zusammen, die Abweichungen werden als Meeresflächentopographie (sea surface topography, auch dynamische Meerestopographie) bezeichnet. Die momentane Meeresflächentopographie erfährt zeitliche Veränderungen langfristiger, jährlicher, jahreszeitlicher und kurzfristiger Art, die in unterschiedlichen räumlichen Maßstäben ablaufen. Mittelbildung über die Zeit (mindestens ein Jahr) oder die Modellierung der ozeanischen Gezeiten liefert einen mittleren Meeresspiegel (mean sea level MSL) für das entsprechende Zeitintervall. Selbst wenn sämtliche zeitabhängigen Anteile reduziert werden, bleibt jedoch eine quasistationäre Meeresflächentopographie erhalten. Sie wird durch genähert gleichbleibende ozeanographische und meteorologische Einflüsse verursacht, welche sich in Meeresströmungen und Neigungen der Meeresoberfläche auswirken. Die r.m.s. Variation der Meeresflächentopographie gegenüber dem Geoid beträgt ±0,6 bis ±0,7 m, und die maximalen Abweichungen erreichen ±1 m und mehr (Lisitzin 1974).

70

3 Das Schwerefeld der Erde

Kurzzeitige Veränderungen der Meeresoberfläche (Wellen) werden durch Mittelbildung über die Zeit (z. B. über eine Stunde bei Pegelregistrierungen) oder den glättenden Effekt der „footprints“ in der Satellitenaltimetrie beseitigt, s. [5.2.7]. Der Einfluss der Gezeiten unterscheidet sich in den offenen Ozeanen erheblich gegenüber den Schelfgebieten, den Randmeeren und den Küstenzonen, was auf ungleiche Wassertiefen und die hemmende Wirkung der Kontinente zurückzuführen ist. Im offenen Meer bleiben die Gezeitenamplituden kleiner als 1 m (r.m.s. Variation ±0,3 m), im Küstenbereich können sie jedoch mehrere Meter betragen (Bay of Fundy, Nova Scotia: mehr als 15 m).Ozeanische Gezeitenmodelle beruhen auf den Laplaceschen Gezeitengleichungen. Sie berücksichtigen die Wassertiefen und stützen sich auf Pegeldaten und in neueren Lösungen auch auf die Satellitenaltimetrie und Satellitenbahnanalysen. Derzeitige Modelle lösen 10 bis 12 Partialtiden (jährlich, halbjährlich, monatlich, vierzehntäglich, täglich, halbtäglich) auf, die Lösungen werden in Gitterform (1◦ × 1◦ , 0, 5◦ × 0,5◦ ) oder als Kugelfunktionsentwicklung bereitgestellt (Schwiderski 1980, 1983, Andersen et al. 1995). Ozeanische Gezeitenmodelle sind auch im Rahmen globaler Schwerefeldmodellierungen berechnet worden (Schwintzer et al. 1997, Lemoine et al. 1998). Die Genauigkeit der ozeanischen Gezeitenmodelle beträgt in den offenen Ozeanen einige cm, in den Schelfgebieten und nahe der Küste ist sie geringer. Jährliche, halbjährliche und saisonale Fluktuationen sind meteorologischer (Luftdruck, Wind) und ozeanographischer (Meeresströmungen, unterschiedliche Wasserdichte in Abhängigkeit von Temperatur, Salzgehalt und Druck) Natur, hängen aber auch vom Wasserzufluss (Schmelzwasser, Monsunregen usw.) ab. Die Amplitude dieser Veränderungen liegt in der Größenordnung von 0,1 bis 1 m, die räumliche Ausdehnung kann einige 100 km betragen, etwa bei mäandrierenden Strömungen und Eddies (Nerem 1995b). Darüber hinaus wurde über die letzten 100 Jahre ein säkularer Meeresspiegelanstieg von 1 bis 2 mm/a beobachtet. Wegen der durch die Klimaänderung hervorgerufenen thermischen Ausdehnung der Wassermassen, des Schmelzens der polaren Eiskappen und Gletscher sowie isostatischer Ausgleichsbewegungen wird eine Zunahme dieses Trends auf 0,5 bis 1 m über das jetzige Jahrhundert erwartet (Lambeck 1988).

Der mittlere Meeresspiegel kann aus Pegelregistrierungen, aus der Satellitenaltimetrie und mit ozeanographischen Methoden bestimmt werden. Meerespegel (Mareographen) registrieren laufend die Höhe des Wasserspiegels in Bezug auf eine in Geoidnähe verlaufende Höhenreferenzfläche, s. [3.4.3]. Durch Mittelbildung über einen längeren Zeitraum (Monat, Jahr) werden die meisten zeitlichen Änderungen weitgehend eliminiert. Soll auch der aus der Umlaufperiode des Mondknotens (Nutation) resultierende Gezeiteneffekt beseitigt werden, so ist die Mittelbildung über 18,6 Jahre zu erstrecken, s. [2.4.2]. Die Präzision der monatlichen und jährlichen Pegelmittelwerte ist i. Allg. besser als ±1 cm. Die Ergebnisse können jedoch systematisch verfälscht sein, wenn der Pegelstandort nicht unmittelbar am offenen Ozean liegt und die Ergebnisse deshalb durch örtliche Meeresspiegelanomalien beeinflusst sind (Staueffekte im Flachwasser, Flussmündungseffekte in Ästuarien), Lassen (1991). Zusätzlich können lokale oder regionale vertikale Krustenbewegungen (sedimentäre Kompaktion, postglaziale Landhebung usw.) auf den Pegelstandort wirken und dadurch die Pegelregistrierung systematisch beeinflussen, dabei treten Bewegungen bis zu einigen mm/a auf (Ekman 1993). Meerespegelregistrierungen liegen weltweit an mehr als 1750 Stationen vor, jedoch überdecken nur wenige Stationen einen Zeitraum von einhundert Jahren oder

3.4 Das Geoid

71

mehr (in Amsterdam reichen die Aufzeichnungen bis zum Jahr 1700 zurück), Woodworth (1997). In den offenen Ozeanen tragen Druckpegelmessungen zur Erfassung der Variabilität der Meeresoberfläche bei, sie sind jedoch nicht mit den kontinentalen Höhensystemen verbunden. Die an den kontinentalen Küsten eingerichteten Pegel sind i. Allg. an das jeweilige geodätische Höhenkontrollnetz angeschlossen, so dass die Abweichung des mittleren Meeresspiegels von der Höhenbezugsfläche (Annäherung an das Geoid) bestimmt werden kann. Auf diese Weise konnten Meeresspiegelneigungen von einigen 0,1 m/1000 km und mehr festgestellt werden, s. [3.4.3]. Die Satellitenaltimetrie liefert direkt die auf eine ellipsoidische Referenzfläche bezogene Meeresflächentopographie, s. [5.2.7]. Mit Ausnahme der Polregionen werden die Ozeane hierbei durch Wiederholungsmessungen (z. B. mit einer 10-tägigen Wiederholungsrate bei TOPEX/Poseidon) überdeckt, die Höhen der mittleren Meeresoberfläche lassen sich dann mit einer Genauigkeit von wenigen cm ableiten. Die Lösungen beziehen sich auf ein bestimmtes Zeitintervall (z. B. ein Jahr), sie werden in Gitterwerten von einigen Bogenminuten bereitgestellt (Anzenhofer et al. 1996). Die Meeresflächentopographie ergibt sich daraus durch Vergleich mit einem Geoidmodell. Werden die altimetrischen Lösungen verschiedener Epochen miteinander verglichen, so lassen sich zeitliche Änderungen der Meeresoberfläche bestimmen (Minster et al. 1995), s. [8.3.2]. Ozeanographische Methoden leiten die Meeresflächentopographie aus Messungen im Meeresbereich ab (Rummel und Ilk 1995). Beim sterischen Nivellement (steric leveling) wird angenommen, dass Äquipotentialflächen und Flächen gleichen Drucks in einer bestimmten Tiefe (z. B. 2000 m) zusammenfallen (level of no motion). Mit Hilfe der aus dem Salzgehalt, der Wassertemperatur und dem Luftdruck bestimmten Wasserdichte kann dann aus der hydrostatischen Gleichgewichtsbedingung die Differenz des Schwerepotentials (oder der dynamischen Höhe) zwischen der Meeresoberfläche und dem „level of no motion“berechnet werden. Diese Methode lässt sich in den offenen Ozeanen anwenden. Das geostrophische Nivellement (geostrophic leveling, dynamic leveling) basiert auf den hydrodynamischen Gleichungen und verwendet gemessene Geschwindigkeiten der Meeresströmungen. Es kann auch in den Schelfgebieten angewendet werden. Modelle der Meeresflächentopographie liegen bis zu einem Kugelfunktionsgrad von 36 (entsprechend einer kleinsten erfassten Wellenlänge von 10◦ ) vor, ihre Genauigkeit beträgt wenige cm bis zu 0,1 m (Levitus 1982). Die Satellitenaltimetrie liefert, teilweise in Kombination mit Schwerefeldmodellen, über Zeitabschnitte von 5 bis 10 Jahren Lösungen bis zum Grad 20 mit einer Genauigkeit von besser als 0,1 m (Schwintzer et al. 1997, Lemoine et al. 1998). Die quasistationäre Meeresflächentopographie ist durch einen Anstieg von den Polregionen zum Äquator und durch größere Neigungen entlang der Meeresströmungen charakterisiert (Abb. 3.11). 3.4.3

Das Geoid als Höhenbezugsfläche

Das Geoid wird in Geodäsie, Kartographie und Ozeanographie als Bezugsfläche für Höhen und Tiefen (kontinentale und Meeresboden-Topographie sowie Meeresflächen-

72

3 Das Schwerefeld der Erde

Abb. 3.11. Meeresflächentopographie: Kugelfunktionsentwicklung bis zum Grad 20, IsolinienIntervall 0,1 m, nach Lemoine et al. (1998)

topographie) benutzt. Ein Punkt P wird einer speziellen Niveaufläche durch seinen Schwerepotentialwert W zugeordnet (Abb. 3.12). Mit dem Geoidpotential W0 ergibt sich also die „Höhe“ von P durch die negative Potentialdifferenz zum Geoid, sie wird als Geopotentielle Kote bezeichnet. Mit (3.52) erhalten wir:  C = W0 − WP = −

P P0

 dW =

P

g dn.

(3.105)

P0

Dieses Integral ist wegunabhängig, P0 repräsentiert also irgendeinen Punkt auf dem Geoid. Die geopotentielle Kote C lässt sich aus einer Kombination von geometrischem Nivellement und Schweremessungen längs eines beliebigen Weges zwischen P0 und P bestimmen. Sie ist eine ideale Größe, um das Verhalten von Massen (z. B. des Wassers) im Schwerefeld zu beschreiben. Die geopotentielle Kote wird deshalb bei verschiedenen Anwendungen (Wasserbau, Ozeanographie) als „Höhe“ benutzt. Einer weiten Verbreitung dieses Höhenmaßes steht die Potentialeinheit m2 s−2 entgegen, welche im Gegensatz zu der offensichtlichen Forderung eines auf der „Meter“-Einheit beruhenden Höhensystems steht. Um eine genäherte Übereinstimmung mit dem für eine geometrisch definierte Höhe geltenden Zahlenwert in Metern zu erhalten, wird für die geopotentielle Kote auch die geopotentielle Einheit (geopotential unit gpu) 10 m2 s−2 oder kGalm benutzt. Mit g ≈ 9,8 ms−2 sind die Werte für die geopotentiellen Koten etwa 2 % kleiner als die entsprechenden Höhenwerte. Die dynamische Höhe H dyn ergibt sich nach Division der geopotentiellen Kote durch einen konstanten Schwerewert. Hierfür wird meist die für die Oberfläche des

3.4 Das Geoid

73

LOTLINIE

KONTINENTALE TOPOGRAPHIE MITTLERER MEERESSPIEG EL MEERESFLÄCHENTOPOGRAPHIE GEOID

MEERESBODEN

W = WP

P H

P0

W = W0 ERDKRUSTE

Abb. 3.12. Geoid, mittlerer Meersspiegel, kontinentale und Meeresflächen-Topographie

Niveauellipsoids in der Breite 45◦ berechnete Normalschwere γ benutzt, s. [4.2.2]: H dyn =

C . γ045

(3.106)

Die Flächen H dyn = const. bleiben Niveauflächen, auf derselben Niveaufläche liegende Punkte haben also dieselbe dynamische Höhe. Jedoch lassen sich die dynamischen Höhen nicht geometrisch interpretieren, und die Umrechnung der rohen Nivellementsergebnisse in dynamische Höhendifferenzen erfordert größere Reduktionen, s. [6.4.1]. Dynamische Höhen haben sich deshalb in der Geodäsie und im Vermessungswesen nicht durchgesetzt, finden aber in der Ozeanographie Verwendung, s. [3.4.2]. Nationale und kontinentale Höhensysteme benutzen ebenso wie die darauf aufbauenden Geländebeschreibungen (topographische Karten, digitale Geländemodelle) orthometrische Höhen oder Normalhöhen. Die orthometrische Höhe H ist als linearer Abstand zwischen dem Oberflächenpunkt und dem Geoid definiert und wird längs der gekrümmten Lotlinie gezählt (Abb. 3.12). Diese Definition entspricht der allgemeinen Anschauung von „Höhe über dem Meeresspiegel“. Erweitern wir die rechte Seite von (3.105) um H und integrieren längs der Lotlinie von P0 (H = 0) bis P (H ), so folgt für die orthometrische Höhe  1 H C g dH. (3.107) H = , g¯ = g¯ H 0 g¯ ist der mittlere Schwerewert längs der Lotlinie, für seine Berechnung wird der Schwereverlauf im Erdinnern benötigt. Dieser lässt sich nach Einführung eines Dichtemodells für die topographischen Massen berechnen. Da die tatsächliche Dichteverteilung jedoch nur genähert bekannt ist, hängen die berechneten orthometrischen Höhen von dem benutzten Dichtemodell ab. Darüber hinaus liegen wegen der Nichtparallelität der Niveauflächen, s. [3.2.1], Punkte mit derselben orthometrischen Höhe auch nicht

74

3 Das Schwerefeld der Erde

exakt auf einer Niveaufläche. Diese Nachteile werden jedoch dadurch kompensiert, dass die orthometrischen Höhen die Geometrie der Topographie repräsentieren. Die Ergebnisse des geometrischen Nivellements als dem wichtigsten Höhenbestimmungsverfahren können mit nur kleinen Reduktionen in Differenzen von orthometrischen Höhen transformiert werden, s. [6.4.1]. Bei den Normalhöhen H N werden Hypothesen über die Anordnung der topographischen Massen vermieden, sie sind deshalb in einer Anzahl von Ländern eingeführt worden. Dabei wird in (3.107) die mittlere Schwere g¯ durch die mittlere Normalschwere γ¯ ersetzt, diese wird längs der leicht gekrümmten normalen Lotlinie gezählt, s. [4.2.3]:  HN 1 C N H = , γ¯ = N γ dH N . (3.108) γ¯ H 0 γ¯ lässt sich im Normalschwerefeld eines ellipsoidischen Erdmodells berechnen. Bezugsfläche für die Normalhöhen ist das Quasigeoid; es liegt in der Nähe des Geoids, ist aber keine Niveaufläche des Schwerefeldes. Es weicht bei kleinen Höhen um mm bis cm vom Geoid ab, im Hochgebirge können die Abweichungen jedoch einen Meter und mehr erreichen. Auf den Ozeanen fallen das Geoid und das Quasigeoid praktisch zusammen, s. [6.1.1]. Die Höhen-Nullfläche (vertikales Datum) von nationalen Höhensystemen wird üblicherweise durch den mittleren Meeresspiegel definiert und aus Pegelregistrierungen über einen längeren Zeitraum abgeleitet. Bedingt durch die Meeresflächentopographie und lokale Meeresspiegelanomalien stellen die so festgelegten Höhen-Bezugsflächen nur eine Annäherung an das Geoid oder Quasigeoid dar, wobei Abweichungen bis zu einem Meter auftreten können, s. [3.4.2]. Die Ausgleichung von Nivellementsnetzen kontinentaler Ausdehnung liefert Höhen, die sich auf eine gemeinsame Höhenreferenzfläche beziehen. Der Vergleich mit dem aus Pegelmessungen abgeleiteten mittleren Meeresspiegel zeigt dann Neigungen der Meeresoberfläche auf. Diese stimmen teilweise mit den aus ozeanographischen Methoden bestimmten Neigungen überein, s. [3.4.2]. So liegt der MSL an der pazifischen Küste der USA um etwa 1 m höher als an der Atlantikküste (Zilkoski et al. 1995), und der mittlere Meeresspiegel der Ostsee ergab sich zu rund 0,5 m über dem MSL des Mittelmeeres. Des öfteren wurden jedoch auch Abweichungen bis zu einigen 0,1 m zwischen den Ergebnissen des geometrischen Nivellements und der ozeanographischen Methoden gefunden. Ursache hierfür können die unterschiedlich definierten Bezugsflächen, das spezielle Verhalten des MSL entlang der Küstenlinien und bei großen Entfernungen wirksame systematische Fehler des Nivellements sein. Ferner ist darauf hinzuweisen, dass ältere Nivellementsnetze häufig ohne Schwerereduktionen oder unter Benutzung der Normalschwere anstelle der tatsächlichen Schwere ausgeglichen wurden. Der Zusammenschluss von auf unterschiedlichem vertikalen Datum basierenden Höhensystemen erfordert demnach vertikale Verschiebungen auf eine einheitliche Höhen-Bezugsfläche (globale Geoiddefinition!) und die einheitliche Behandlung der Höhenmessungen (Höhendefinition!), Rummel und Teunissen (1988), s. [7.2].

3.5 Zeitliche Schwereänderungen

3.5

75

Zeitliche Schwereänderungen

Zeitliche Schwereänderungen können folgendermaßen eingeteilt werden: Auswirkungen einer eventuellen Änderung der Gravitationskonstanten mit der Zeit und von Variationen der Erdrotation [3.5.1], Gezeitenbeschleunigungen [3.5.2] und durch die Verlagerung terrestrischer Massen verursachte Änderungen [3.5.3]. Diese Änderungen sind globaler, regionaler oder lokaler Art und finden entweder periodisch mit bekannten Frequenzen (Gezeiten) oder in Zeitskalen statt, die von säkular bis abrupt reichen (Lambeck 1988, Mueller und Zerbini 1989). 3.5.1

Gravitationskonstante, Erdrotation

Auf Grund kosmologischer Erwägungen hat Dirac 1938 eine säkulare Abnahme der ˙ Gravitationskonstanten G postuliert, mit relativen Änderungen G/G = −10−10 bis −11 ˙ ˙ −10 /a (G = dG/dt). Die Hypothese G = 0 konnte jedoch bis heute weder aus Laborversuchen noch aus der Analyse von Langzeitbeobachtungen zu künstlichen Satelliten und zum Mond gestützt werden (Gillies 1987). Der Erdrotationsvektor ω unterliegt säkularen, periodischen und unregelmäßigen Veränderungen, was zu entsprechenden Schwankungen der Zentrifugalbeschleunigung z führt, s. [2.5.2]. Bei sphärischer Näherung wirkt sich die radiale Komponente von z in der Schwere aus, s. [3.1.4]. Wird (3.35b) entsprechend mit cos ϕ¯ (ϕ¯ = geozentrische Breite) multipliziert, so folgt ¯ zr = −ω2 r cos2 ϕ.

(3.109)

Differentiation ergibt die Auswirkung von Änderungen der Breite (Polbewegung) und der Winkelgeschwindigkeit (Tageslänge) auf die Schwere: δzr = ω2 r sin 2ϕ¯ d ϕ¯ − 2ωr cos2 ϕ¯ dω.

(3.110)

Die Polbewegung überschreitet Werte von einigen 0,1 /a nicht, und Rotationsschwankungen bleiben in der Größenordnung von wenigen ms. Die hieraus resultierenden Schwereänderungen bleiben demnach an der Erdoberfläche (r = 6 371 km) kleiner als 0,1 μms−2 bzw. 0,01 μms−2 . 3.5.2

Gezeitenbeschleunigung, Gezeitenpotential

Die Gezeitenbeschleunigung resultiert aus der Überlagerung der lunisolaren Gravitation (und zu einem wesentlich kleineren Teil auch der Anziehung der Planeten) mit den Bahnbeschleunigungen aus der Bewegung der Erde um das Massenzentrum (Baryzentrum) des jeweiligen Zweikörpersystems (Erde-Mond, Erde-Sonne usw.). Die Periode dieser Bahnbewegungen beträgt beim Mond etwa 28 Tage und bei der Sonne 365 Tage, der gravimetrische Gezeiteneffekt liegt in der Größenordnung von 10−7 g (Wenzel 1997).

76

3 Das Schwerefeld der Erde

Für eine starre Erde lässt sich die Gezeitenbeschleunigung in einem gegebenen Punkt aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz und den Ephemeriden (Koordinaten) der Himmelskörper (Mond, Sonne, Planeten) berechnen. Die Berechnungen werden getrennt für die einzelnen Zweikörpersysteme durchgeführt und die Ergebnisse anschließend addiert, dabei werden die Himmelskörper als Punktmassen angesehen. Wir führen ein geozentrisches Koordinatensystem ein, das sich mit der Erde im Raum bewegt, aber nicht mit dieser um die Erdachse rotiert (Revolution ohne Rotation). Alle Punkte des Erdkörpers erfahren in diesem System dieselbe Bahnbeschleunigung (siehe Abb. 3.13 für das Erde-Mond-System). Im Erdschwerpunkt heben sich die P -b0

b

bt

lm

r ERDE 0 -b0

ym

rm

MOND Mm

b0

Abb. 3.13. Lunare Gravitation, Bahnbeschleunigung, Gezeitenbeschleunigung

Bahnbeschleunigung und die Gravitation des Himmelskörpers auf, so dass im jeweiligen System Gleichgewicht herrscht. In allen anderen Punkten der Erde tritt dagegen eine Gezeitenbeschleunigung auf. Sie ist als Differenz zwischen der ortsabhängigen Gravitation b und der auf den Erdschwerpunkt bezogenen konstanten Beschleunigung b0 definiert: bt = b − b0 . (3.111) Die Gezeitenbeschleunigung verformt das Erdschwerefeld symmetrisch in Bezug auf drei zueinander orthogonale Achsen, deren Ursprung im Erdzentrum liegt. Dieses Feld der Gezeitenbeschleunigung erfährt wegen der täglichen Erdrotation zusätzlich tägliche und halbtägliche Variationen. Wir wenden nun das Gravitationsgesetz auf (3.111) an und erhalten für den Mond (m): GMm l m GMm r m bt = 2 − 2 . (3.112) lm l m rm rm Hierbei ist Mm die Masse des Mondes, und lm und rm sind die Abstände zum Mond, gerechnet vom Aufpunkt P bzw. vom Erdschwerpunkt O. Für lm = rm ergibt sich wie gefordert bt = 0. Entsprechende Beziehungen gelten für die Systeme Erde-Sonne und Erde-Planeten. Wir gehen von der Gezeitenbeschleunigung zum Gezeitenpotential über: bt = grad Vt = grad(V − V0 ).

(3.113)

Im geozentrischen System liefert das Gravitationsgesetz nach (3.9) bei Benutzung von

3.5 Zeitliche Schwereänderungen

77

Kugelkoordinaten rm , ψm für das Potential einer Punktmasse: V =

GMm lm

mit

(3.114a) 1

2 lm = (r 2 + rm − 2rrm cos ψm ) 2 .

(3.114b)

Das Potential des homogenen b0 -Feldes ergibt sich durch Multiplikation von b0 mit r cos ψm : GMm r cos ψm . (3.115) V0 = 2 rm Einsetzen von (3.114) und (3.115) in (3.113) und Hinzufügen einer Integrationskonstanten mit der Bedingung Vt = 0 für r = 0 und lm = rm liefert das Gezeitenpotential  1 1 r cos ψm Vt = GMm − − . (3.116) 2 lm rm rm Das Gezeitenpotential und seine Funktionale können entweder aus den Ephemeriden der Himmelskörper oder aus einer Kugelfunktionsentwicklung berechnet werden. Gezeitenpotential-Kataloge basieren überwiegend auf dem letzteren Ansatz, da die Reihenentwicklungen in der Nähe der Erdoberfläche (r = R) wegen r/rm = 1/60 für den Mond und einer entsprechenden Relation von 1/23 600 für die Sonne rasch konvergieren. Die mit Hilfe der Ephemeriden erhaltenen Resultate werden meist zur Kontrolle der Gezeitenpotential-Kataloge benutzt. Wir entwickeln (3.114b) entsprechend (3.79) in eine Reihe. Beim Einsetzen in (3.116) entfallen die Terme nullten und ersten Grades und wir erhalten ∞  GMm  r l Vt = Pl (cos ψm ), (3.117) rm rm l=2

wobei Pl (cos ψm ) die Legendreschen Polynome sind. Den größten Beitrag (≈ 98 %) zum Gezeitenpotential liefert der Entwicklungsgrad l = 2. Wir beschränken uns deshalb hier auf diesen Grad und setzen P2 (3.83) mit der Umformung cos2 ψm =

1 (cos 2ψm + 1) 2

ein; es ergibt sich der Hauptterm der Gezeitenpotential-Entwicklung:  r2 3 1 . Vt = GMm 3 cos 2ψm + 4 rm 3

(3.118)

Mit r = R und bei Vernachlässigung der leichten zeitlichen Veränderlichkeit von rm wird der Ausdruck vor der Klammer als Doodsonsche Gezeitenkonstante bezeichnet. Sie beträgt 2,628 m2 s−2 für den Mond und 1,208 m2 s−2 für die Sonne, die solaren Gezeiten betragen also 46 % der lunaren.

78

3 Das Schwerefeld der Erde

Differentiation von (3.118) liefert die Gezeitenbeschleunigung. Die radiale Komponente (positiv nach außen) ergibt sich zu  3 r ∂Vt 1 = GMm 3 cos 2ψm + br = . (3.119) ∂r 2 rm 3 Die tangentiale Komponente (positiv in Richtung zum Mond) beträgt bψ = −

r ∂Vt 3 = GMm 3 sin 2ψm . r∂ψ 2 rm

(3.120)

Die Gleichungen (3.118) bis (3.120) erlauben, für eine starre Erde die Gezeitenwirkung auf die Niveauflächen, die Schwere und die Lotrichtung zu berechnen. (3.118) liefert in Verbindung mit der durch (3.52) gegebenen Beziehung zwischen Potentialänderung und vertikaler Verschiebung die gezeitenbedingte Hebung einer Niveaufläche. Bei ψ = 0◦ und 180◦ beträgt sie 0,36 m für den Mond und 0,16 m für die Sonne. Bei ψ = 90◦ und 270◦ erhalten wir eine Senkung von 0,18 m (Mond) bzw. 0,08 m (Sonne). In stationären Systemen würden die Niveauflächen sich entsprechend deformieren, und eine frei bewegliche die ganze Erde bedeckende Wassermasse würde die Form dieser Niveauflächen annehmen (Gleichgewichtsflut), vgl. Abb. 3.14. GLEICHGEWICHTSTIDE

MOND

Abb. 3.14. Gezeitenbeschleunigung und Gleichgewichtsflut

Nach (3.119) variiert die Schwereänderung (entgegengesetztes Vorzeichen!) für den Mond zwischen −1,1 μms−2 (ψ = 0◦ : Zenitstellung) und +0,5 μms−2 (ψ = 90◦ bzw. 135◦ ), für die Sonne betragen die entsprechenden Werte −0,5 μms−2 und +0,3 μms−2 . Die Änderung der Lotrichtung ergibt sich mit (3.120) aus dem Quotienten bψ /g. Bei ψ = 0◦ und 90◦ ist der Gezeiteneffekt gleich Null. Maximalwerte treten bei ψ = 45◦ und 135◦ auf, die Schwankungen betragen ±0,017 (Mond) und ±0,008 (Sonne). Gleichung (3.118) legt das Gezeitenpotential in Abhängigkeit vom Zenitwinkel (und der Entfernung) zum jeweiligen Himmelskörper fest. Die zeitlichen Veränderungen des entsprechenden Potentialfeldes lassen sich besser erkennen, wenn wir den Aufpunkt im erdfesten Koordinatensystem (ϕ, ¯ λ) und den Himmelskörper im Äquatorialsystem der Astronomie (δ, h) beschreiben, s. [2.4.1]. Nach (2.21) erhalten wir für

3.5 Zeitliche Schwereänderungen

79

den Mond cos ψm = sin ϕ¯ sin δm + cos ϕ¯ cos δm cos hm ,

(3.121)

wobei der Stundenwinkel mit (2.22) und (2.23) gegeben ist: hm = LAST − αm = λ + GAST − αm .

(3.122)

Einsetzen in (3.118) ergibt die Laplacesche Gezeitengleichung für den Mond (für die Sonne gilt eine entsprechende Gleichung): Vt =

r2 3 GMm 3 4 rm



1 − sin2 ϕ¯ (1 − 3 sin2 δm ) 3



(3.123)

+ sin 2ϕ¯ sin 2δm cos hm + cos ϕ¯ cos δm cos 2hm . 2

2

In (3.123) treten die zeitlich mit verschiedenen Perioden variierenden Größen rm , δm und hm auf. Der erste Term ist von der Erdrotation unabhängig, er verändert sich nur langperiodisch (Mond: 14 Tage, Sonne: 1/2 Jahr). Er enthält außerdem einen nichtperiodischen, nur von der Breite abhängigen Anteil, welcher eine permanente Deformation der Niveauflächen einschließlich des Geoids bewirkt, s. [3.4.1]. Mit (3.52) und unter Berücksichtigung der Neigung der Ekliptik ergibt sich eine Geoidabsenkung von 0,19 m an den Polen und eine Hebung um 0,10 m am Äquator. Die tägliche Rotation der Erde (Stundenwinkel h) führt im zweiten Term zu täglichen und im dritten Term zu halbtäglichen Perioden. Langperiodische Anteile überlagern sich hier durch die Deklination δ und die Rektaszension α. Nach (3.123) verlaufen die langperiodischen und die halbtäglichen Tiden symmetrisch und die ganztäglichen asymmetrisch zum Äquator. Die tägliche Tide hat ihre Maxima bei ϕ = ±45◦ , sie verschwindet am Äquator und an den Polen. Die halbtägliche Tide ist maximal am Äquator und Null an den Polen, dort erreichen die langperiodischen Tiden ein Maximum.

Die in (3.123) auftretenden Gezeitenanteile enthalten Produkte aus unterschiedlich mit der Zeit veränderlichen Funktionen, sie variieren deshalb in komplizierter Weise. Die Ephemeriden von Mond und Sonne können jedoch als harmonische Funktionen von fünf astronomischen Fundamentalgrößen ausgedrückt werden, welche sich im wesentlichen gleichmäßig mit der Zeit verändern (Melchior 1983). Werden diese harmonischen Reihen in (3.123) eingeführt, so ergibt sich eine Spektralanalyse des Gezeitenpotentials, mit (3.119) und (3.120) erhalten wir die entsprechende spektrale Darstellung der Gezeitenbeschleunigung. Potential und Beschleunigung werden so durch eine Summe von zeitabhängigen Cosinus-Funktionen ausgedrückt, die konstante Perioden und von Breite und Höhe abhängige Amplituden und Phasen aufweisen (Partialtiden). Tab. 3.1 enthält die Perioden und Amplituden der wichtigeren gravimetrischen Partialtiden für ϕ = 45◦ .

80

3 Das Schwerefeld der Erde Tabelle 3.1. Wichtigere gravimetrische Partialtiden für ϕ¯ = 45◦ , h = 0 Symbol

Name l = lunar, s = solar

Periode (Sonnen-Zeit)

Amplitude (nms−2 )

∞ ∞ 182,62 d 27,55 d 13,66 d

102,9 47,7 14,8 16,8 31,9

langperiodische Wellen M0 S0 Ssa Mm Mf

konst. l-Tide konst. s-Tide Deklin. Tide zu S0 ellipt. Tide zu M0 Deklin. Tide zu M0

tägliche Wellen O1 P1 Q1 K1

Haupt-l-Tide Haupt-s-Tide ellipt. Tide zu O1 Haupt-ls-Deklin.Tide

25,82 h 24,07 h 26,87 h 23.93 h

310,6 144,6 59,5 436,9

Halbtägliche Wellen M2 S2 N2 K2

Haupt-l-Tide Haupt-s-Tide ellipt. Tide zu M2 Deklin. Tide zu M2, S2

12,42 h 12,00 h 12,66 h 11,97 h

375,6 174,8 71,9 47,5

Dritteltägliche Wellen M3

l-Tide

8,28 h

5,2

Eine erste harmonische Entwicklung des Gezeitenpotentials von Mond und Sonne geht auf Doodson (1921) zurück. Die Entwicklung von Cartwright und Tayler (1971) und Cartwright und Edden (1973) enthält 505 Partialtiden (Unsicherheit kleiner als 1 nms−2 ), sie wurde von der IAG für die Berechnung der Gezeiten der starren Erde empfohlen. Der Gezeitenpotential-Katalog von Hartmann und Wenzel (1995) basiert auf Kugelfunktionsentwicklungen bis zum Grad 6 (Mond) bzw. Grad 3 (Sonne) und berücksichtigt auch den Einfluss von Venus, Mars und Jupiter (vier Größenordnungen kleiner als die Gezeiteneffekte von Mond und Sonne), ebenso wie die Abplattung der Erde. Der Katalog enthält 12935 Partialtiden, die Genauigkeit der gravimetrischen Gezeiten beträgt ±0,001 nms−2 (Wenzel 1996a).

Da die Erde kein starrer Körper ist, reagiert sie in unterschiedlicher Weise auf die Gezeitenkraft. Die feste Erde verhält sich im wesentlichen wie ein elastischer Körper: Gezeiten des Erdkörpers (Erdgezeiten). In den Ozeanen hängen die Gezeitenschwingungen von der Meeresbodentopographie ab, an den Küsten und in den Schelfgebieten treten große Abweichungen auf: Ozeanische Gezeiten. Die Messung von Gezeiteneffekten wird in [5.4.6] und [5.5.4] behandelt, die Theorie der Erdgezeiten und Ergebnisse von Erdgezeitenbeobachtungen finden sich in [8.3.5].

3.5 Zeitliche Schwereänderungen

3.5.3

81

Nicht-gezeitenbedingte Schwereänderungen

Außer durch die Gezeiten wird das terrestrische Schwerefeld durch eine Anzahl weiterer zeitabhängiger Prozesse beeinflusst, welche auf Massenverlagerungen in der Atmosphäre, der Hydrosphäre und der festen Erde zurückzuführen sind. Diese Vorgänge erstrecken sich über unterschiedliche Zeitskalen, sie können von globaler, regionaler und lokaler Ausdehnung sein (Mueller und Zerbini 1989, Torge 1993b). Zu den langfristig wirkenden globalen Effekten zählen postglaziale Ausgleichsbewegungen, das Abschmelzen der polaren Eiskappen und Gletscher sowie die durch die globale Erwärmung verursachten Meeresspiegeländerungen. Verlagerungen des Erdkerns und Mantelkonvektionsströme tragen ebenfalls zu den langsamenVeränderungen bei. Senkungen in sedimentären Becken und tektonisch bedingte Hebungen sind Beipiele für regionale Vorgänge. Grundwasserstandsänderungen verlaufen überwiegend saisonal, während vulkanische und seismische (Erdbeben)Aktivitäten kurzfristige Prozesse überwiegend lokaler Ausdehnung darstellen. Die Größe der resultierenden Schwereänderungen hängt vom Ausmaß der Massenbewegungen ab und berechnet sich aus dem Gravitationsgesetz. Wie (3.5) zeigt, wird die Gravitation auch von einer Positionsänderung des Beobachters beeinflusst, wobei Höhenänderungen besonders wirksam sind. Forschung und Modellbildung zu diesen zeitlichen Schwereänderungen befinden sich noch in den Anfängen. Globale Variationen lassen sich aus Schwerefeldmodellen ableiten, in die über einen längeren Zeitraum verteilte Satellitenbeobachtungen eingeflossen sind. Kleinräumige Effekte können dagegen nur aus wiederholten terrestrischen Schweremessungen bestimmt werden. Für den Zusammenhang zwischen atmosphärischen und hydrologischen Massenverschiebungen und den daraus resultierenden Schwereänderungen sind einfache Modelle entwickelt worden, s. [5.4.1]. Im Allgemeinen überschreiten die durch Massenumverteilung hervorgerufenen Schwereänderungen die Größenordnung von 10−9 bis 10−8 g nicht, und die Geoidverschiebungen bleiben kleiner als 1 mm/a, s. [8.3.4].

4

Das geodätische Erdmodell

Als Referenz für die Oberfläche und das äußere Schwerefeld der Erde wird ein geodätisches Erdmodell eingeführt. Es soll sich einerseits dem Geoid und dem Schwerefeld möglichst gut anpassen und die Linearisierung nicht-linearer geodätischer Probleme erlauben. Andererseits soll die mathematische Modellbeschreibung einfach und wenn möglich mit geschlossenen Formeln erreichbar sein. Das Modell sollte sich als Standard für Anwendungen in Geodäsie, Kartographie und Navigation, aber auch in Astronomie und Geophysik eignen. Diese Überlegungen haben zur Einführung des Niveauellipsoids als geodätischem Erdmodell geführt. Das Ellipsoid weist eine einfache Geometrie auf, und ellipsoidische Koordinatensysteme stellen eine gute Annäherung an die „natürlichen Koordinaten“ dar [4.1] Durch Einführen der Masse und der Rotation des Ellipsoids wird ein „normales“ Schwerefeld erzeugt. Seine Berechnung wird ohne Kenntnis der inneren Massenverteilung möglich, wenn für die Ellipsoidoberfläche der Gleichgewichtszustand gefordert wird [4.2] Dem neuesten Kenntnisstand entsprechende Erdmodelle werden von Zeit zu Zeit als Standard empfohlen und als geodätisches Bezugssystem bezeichnet [4.3]

4.1

Das Rotationsellipsoid

Das Rotationsellipsoid wurde im 18. Jahrhundert als geometrische Erdfigur eingeführt, s. [1.3.2]. Werden die Dimensionen und die Orientierung des Ellipsoids an das Geoid angepasst, so wird eine Annäherung an diese Niveaufläche innerhalb von rund 100 m erreicht. Größe und Form des Ellipsoids lassen sich durch zwei Parameter beschreiben, und nach Einführung ellipsoidischer Flächenkoordinaten ist auch die Ellipsoidkrümmung leicht darstellbar [4.1.1], [4.1.2]. Dreidimensionale ellipsoidische Systeme globaler oder lokaler Art nähern die entsprechenden, auf die reale Erde bezogenen Systeme an, hierbei ist auch die für die Praxis bedeutsame Trennung von Lagekoordinaten und Höhen leicht möglich [4.1.3]. Geometrie und Koordinatensysteme des Ellipsoid werden in der geodätischen Literatur ausführlich behandelt, siehe z. B. Grossmann (1976), Heitz (1988), Heck (2002). 4.1.1

Parameter und Koordinatensysteme

Das Rotationsellipsoid entsteht durch Drehung der Meridianellipse um ihre kleine Achse. Größe und Form des Ellipsoids werden so durch zwei geometrische Parameter beschrieben, die große Halbachse a und die kleine Halbachse b (Abb. 4.1). Im Allgemeinen wird b durch eine für Reihenentwicklungen besser geeignete kleine Größe ersetzt, welche die polare Abplattung des Ellipsoids beschreibt. Verwendet werden

4.1 Das Rotationsellipsoid

83

P a

b

r1

a

r2

F1 e

e a

0

F2

Abb. 4.1. Meridianellipse

insbesondere die (geometrische) Abplattung f =

a−b , a

(4.1a)

die erste numerische Exzentrizität √ e=

a 2 − b2 a

(4.1b)

und die zweite numerische Exzentrizität √ a 2 − b2 e = . b 

(4.1c)

Zwischen diesen Größen bestehen folgende Beziehungen:  b 1 e = 1 − f = 1 − e2 = √ = . 2 a e 1+e

(4.2)

Die Ellipse ist bekanntlich als geometrischer Ort aller Punkte definiert, für welche die Summe der Abstände r1 und r2 von zwei gegebenen Punkten (Brennpunkte F ) konstant ist (Abb. 4.1): r1 + r2 = 2a. Hieraus folgt als weiteres Abplattungsmaß die lineare Exzentrizität  ε = a 2 − b2 .

(4.3)

¯ Y¯ , Z-Koordinatensystem ¯ Wir führen nun ein räumliches kartesisches X, ein ¯ (Abb. 4.2). Der Ursprung des Systems liegt im Figurenmittelpunkt O, die Z-Achse fällt mit der kleinen Ellipsoidachse zusammen. Die Flächengleichung des Ellipsoids lautet dann X¯ 2 + Y¯ 2 Z¯ 2 + 2 − 1 = 0. (4.4) 2 a b

84

4 Das geodätische Erdmodell

Das System der geodätischen Flächenkoordinaten wird durch die ellipsoidische Breite ϕ und die ellipsoidische Länge λ definiert (auch geodätische Breite und geodätische Länge). In der deutschsprachigen Literatur finden sich für ϕ und λ häufig auch die Bezeichnungen B (Breite) und L (Länge). ϕ ist der in der Meridianebene gemessene Z N p

j = jP

P

b

l=0

0 lP j=0

jP

l = lP a

Y

X S

Abb. 4.2. Geodätische Koordinaten Breite und Länge

¯ Y¯ -Ebene) und der FlächennorWinkel zwischen der ellipsoidischen Äquatorebene (X, malen im Aufpunkt P . Die Länge λ ist der in der Äquatorebene gemessene Winkel ¯ zwischen der Ebene des Nullmeridians (X-Achse) und der Meridianebene von P . Dabei zählt ϕ positiv nach Norden und negativ nach Süden, λ positiv nach Osten. Die ¯ ellipsoidische Meridianebene wird durch die Flächennormale in P und die Z-Achse gebildet. ϕ und λ sind als Winkelwerte definiert, können aber auch als krummlinige Flächenkoordinaten aufgefasst werden. Die Koordinatenlinien dieses Orthogonalsystems sind die Meridiane (λ = const.) und die Parallel- oder Breitenkreise (ϕ = const.). Mit X¯ = p cos λ,

Y¯ = p sin λ

(4.5)

führen wir den Parallelkreisradius p=

 X¯ 2 + Y¯ 2

(4.6)

als neue Variable ein (Abb. 4.2). Einsetzen in (4.4) und Differentiation liefert die Steigung der Ellipsentangente in P (Abb. 4.3):  2 b p d Z¯ =− = − cot ϕ. dp a Z¯

(4.7)

Wird p durch (4.5) ersetzt, so folgt aus (4.4) und (4.7) die Parameterdarstellung der

4.1 Das Rotationsellipsoid

85

Z

p

a

P

r

b

j + 90°

b j 0

p ( X,Y )

a j

Abb. 4.3. Geodätische, reduzierte und geozentrische Breite

Meridianellipse: X¯ =

a 2 cos ϕ cos λ

Z¯ =

b2 sin ϕ

a 2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ a 2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ

1 , 2

a 2 cos ϕ sin λ

Y¯ =

a 2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ

1 , 2

(4.8)

1 . 2

Bei verschiedenen Aufgabenstellungen wird ϕ durch einen anderen Breitenparameter ersetzt. Die geozentrische Breite ϕ¯ ist zusammen mit der Länge λ und dem geozentrischen Abstand r bereits im System der Kugelkoordinaten eingeführt worden, s. [2.5.1]. Aus Abb. 4.3 ergibt sich die entsprechende Ellipsengleichung p = r cos ϕ, ¯

Z¯ = r sin ϕ, ¯

(4.9)

wobei p aus (4.5) folgt. ¯ Die reduzierte Breite β ergibt sich durch Parallelprojektion (parallel zur Z-Achse) der Ellipse auf den mittelpunktsgleichen Kreis mit dem Radius a (Abb. 4.3). Da die Ellipsenordinaten im Verhältnis b/a zu den Kreisordinaten stehen (Ellipse als affines Bild des Kreises) gilt p = a cos β,

b Z¯ = a sin β = b sin β. a

(4.10)

Bei Nutzung von β anstelle von ϕ werden ellipsoidische Formeln formal in sphärische transformiert, s. [6.3.3]. Der Vergleich von (4.9) und (4.10) mit (4.7) liefert die Transformation zwischen ϕ, ϕ¯ und β:  2 b tan ϕ¯ = tan ϕ = (1 − e2 ) tan ϕ, a (4.11a)  b 2 tan β = tan ϕ = 1 − e tan ϕ. a

86

4 Das geodätische Erdmodell

Reihenentwicklungen ergeben die Unterschiede zwischen den verschiedenen Breiten: ϕ − ϕ¯ =

e2 sin 2ϕ + · · · = 2(ϕ − β). 2

(4.11b)

Die maximale Differenz tritt mit (ϕ − ϕ) ¯ = 690 bei ϕ = 45◦ auf. 4.1.2

Krümmung

Die Meridiane und Parallelkreise sind die Krümmungslinien des Rotationsellipsoids. Die Hauptkrümmungsradien liegen also in der Meridianebene und in der dazu senkrechten Ebene des ersten Vertikals (Abb. 4.4). Z

dl dG

p

dL M N

P

0

j

l

Y

dj

X

Abb. 4.4. Krümmung des Rotationsellipsoids

Die Krümmung des Meridians (M = Meridiankrümmungsradius) als Kurve ¯ ¯ p-Ebene ergibt sich aus Z¯ = Z(p) in der Z, 2 ¯ d 2 Z/dp 1 = − .

2  23 M ¯ 1 + d Z/dp

(4.12)

Einsetzen von (4.7) und der daraus gebildeten zweiten Ableitung ergibt mit Berücksichtigung von (4.2) den Meridiankrümmungsradius a(1 − e2 )

M=

1 − e2 sin2 ϕ

3 . 2

(4.13)

4.1 Das Rotationsellipsoid

87

Die Parallelkreisebene (schiefer Schnitt durch das Rotationsellipsoid) und die Normalebene mit derselben Tangentenrichtung schneiden sich im Punkt P unter dem Winkel ϕ. Der Satz von Meusnier liefert damit für den Querkrümmungsradius N=

p . cos ϕ

(4.14)

Wegen der Rotationssymmetrie liegt der Krümmungsmittelpunkt von N auf der Drehachse. Wird (4.6) und (4.8) in (4.14) eingesetzt, so ergibt sich a

N=

1 − e2 sin2 ϕ

1 .

(4.15)

2

Der Vergleich von (4.13) mit (4.15) zeigt, dass N ≥ M ist. An den Polen (ϕ = ±90°) folgt für den Polkrümmungsradius c = M90 = N90 =

a2 . b

(4.16)

Am Äquator (ϕ = 0◦ ) gilt

b2 , N0 = a. (4.17) a Die Krümmung eines beliebigen, unter dem ellipsoidischen Azimut α verlaufenden Normalschnitts berechnet sich nach der Formel von Euler zu M0 =

sin2 α cos2 α 1 + . = Rα M N

(4.18)

Hierin ist Rα der Krümmungsradius. Das geodätische Azimut α ist als der in der Horizontalebene gemessene Winkel zwischen der ellipsoidischen Meridianebene von P und der durch die Flächennormale in P und den Zielpunkt aufgespannten Vertikalebene definiert, α zählt von Norden aus im Uhrzeigersinn. Die mittlere Krümmung J¯ ergibt sich zu  1 1 1 ¯ + J = . (4.19) 2 M N Mit M und N lassen sich die Bogenlängen der Koordinatenlinien des ϕ, λ-Systems berechnen. Für das Bogenelement des Meridians bzw. des Parallelkreises erhalten wir (Abb. 4.4) dG = M dϕ, dL = N cos ϕ dλ. (4.20) Mit (4.13) ergibt sich hieraus die Länge des Meridianbogens (gezählt vom Äquator aus):   ϕ  ϕ

dϕ 2 M dϕ = a 1 − e (4.21a) G=

3 . 0 0 1 − e2 sin2 ϕ 2 Dieses Integral lässt sich auf ein elliptisches Normalintegral 2. Gattung zurückführen, es ist damit nicht durch elementare Funktionen darstellbar (Kutterer 1998).

88

4 Das geodätische Erdmodell

Die praktische Auswertung kann durch numerische Integration (z. B. mit der Simpsonschen Regel) oder durch binomische Entwicklung des Nenners geschehen. Die anschließende gliedweise Integration liefert dann   3 3 2 e + · · · sin2 ϕ + · · · . (4.21b) G = a(1 − e2 ) 1 + e2 + · · · ϕ − 4 8 Kurze Meridianbögen (ϕ = ϕ2 − ϕ1 < 1◦ ) lassen sich auch durch eine rasch konvergierende Taylor-Reihe berechnen. Bei Entwicklung in der Mittelbreite ϕM = (ϕ1 + ϕ2 )/2 erhalten wir  dG G1,2 = G2 − G1 = ϕ + · · · . (4.21c) dϕ ϕM Die Länge des Parallelkreisbogens zwischen den geodätischen Längen λ1 und λ2 ergibt sich nach (4.20) zu  λ2 L = N cos ϕ dλ = N cos ϕ(λ2 − λ1 ). (4.22) λ1

Mit a = 6 378 137 m, b = 6 356 752 m und e2 = 0,006 694 380 (Zahlenwerte für ellipsoidische Parameter finden sich in [4.3]) erhalten wir für die Krümmungsradien an den Polen und am Äquator c = 6 399 594 m,

M0 = 6 335 439 m,

N0 = a.

Für ϕ = 50◦ ergeben sich folgende Werte für die Bogenlängen längs des Meridians und des Parallelkreises: G(ϕ = 1◦ ) = 111 229 m, G(ϕ = 1 ) = 1 853,8 m,

L(λ = 1◦ ) = 71 696 m,

G(ϕ = 1 ) = 30,90 m,

L(λ = 1 ) = 19,92 m.

L(λ = 1 ) = 1 194,9 m,

Lokal lässt sich das Ellipsoid auch durch die Gaußsche Schmiegungskugel mit dem Radius  (4.23) RG = M(ϕ0 )N (ϕ0 ) approximieren. In der Breite ϕ0 besitzt diese Kugel dieselbe Gaußsche Krümmung wie das Ellipsoid. Globale Approximationen benutzen Kugeln mit dem mittleren Radius Rm =

1 (2a + b), 3

(4.24a)

dem aus der Forderung nach Volumengleichheit (d. h. Kugelvolumen = Ellipsoidvolumen) abgeleiteten Radius  3 RV = a 2 b, (4.24b)

4.1 Das Rotationsellipsoid

89

oder dem Radius einer oberflächengleichen Kugel, wobei sich die Ellipsoidoberfläche durch Integration über die aus dG und dL gebildeten ellipsoidischen Flächenelemente (4.20) ergibt. Eine Reihenentwicklung liefert  1 2 2 3 RS = b 1 + e2 + e4 + · · · . 3 5

(4.24c)

Die Zahlenwerte für diese drei Ansätze stimmen innerhalb weniger Meter überein, so dass als mittlerer globaler Wert R = 6371 km benutzt werden kann.

4.1.3

Räumliche geodätische Koordinaten

Das System ellipsoidischer Flächenkoordinaten (ϕ, λ) kann durch Einführung der Höhe h für einen außerhalb des Ellipsoids liegenden Punkt P zu einem räumlichen System erweitert werden, h wird dabei längs der Flächennormalen gemessen (Abb. 4.5). Die räumlichen ellipsoidischen Koordinaten ϕ, λ, h werden als geodätische Koordinaten bezeichnet. Der Ellipsoidpunkt Q entsteht durch Abbildung des Punktes P längs der Z

P h b

r n Q rQ

0

l

a j

Y

X

Abb. 4.5. Räumliche geodätische Koordinaten

Ellipsoidnormalen: Helmert-Projektion (Grafarend 2000, 2001). Die Koordinatenflächen (ϕ = const., λ = const., h = const.) dieses Systems sind orthogonal. Die Koordinatenlinien (ϕ-Linie = geodätischer Meridian, λ-Linie = geodätischer Parallelkreis, h-Linie = Ellipsoidnormale) stellen ebene Kurven dar. Wir ersetzen in (4.8) die kleine Halbachse b durch die erste numerische Exzentrizität e2 . Unter Berücksichtigung von (4.15) lautet dann der Koordinatenvektor für den

90

4 Das geodätische Erdmodell

Ellipsoidpunkt Q: ⎞ ⎞ ⎛ X¯ Q cos ϕ cos λ = ⎝ Y¯Q ⎠ = N ⎝ cos ϕ sin λ ⎠ . (1 − e2 ) sin ϕ Z¯ Q ⎛

r¯ Q

(4.25)

Für den Punkt P gilt nach Abb. 4.5 r¯ = r¯ Q + hn¯ mit der Flächennormalen

oder

⎞ cos ϕ cos λ n¯ = ⎝ cos ϕ sin λ ⎠ sin ϕ

(4.26a)

⎛

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ X¯ (N + h) cos ϕ cos λ r¯ = ⎝ Y¯ ⎠ = ⎝ (N + h) cos ϕ sin λ ⎠ . (1 − e2 )N + h sin ϕ Z¯

(4.26b)

(4.27)

Das inverse Problem hierzu lässt sich für ϕ, h nur iterativ lösen. Aus (4.27) folgt (Heiskanen und Moritz 1967, S. 183):   −1 Z¯ X¯ 2 + Y¯ 2 2 N h= − N, ϕ = arctan  , 1−e cos ϕ N +h X¯ 2 + Y¯ 2 (4.28) Y¯ λ = arctan . X¯ Der Iterationsprozess für ϕ, h kann mit h = 0 beginnen, was zu einer ersten Näherung für ϕ führt, und dann mit diesem Wert fortgesetzt werden. In Erdnähe (h N ) konvergiert diese Entwicklung sehr rasch, für große Höhen liegen ebenfalls effiziente ¨ Lösungen vor (Sjoberg 1999). Geschlossene Formeln mit vernachlässigbaren Restfehlern wurden von Bowring (1985) hergeleitet. Die Transformation (4.28) ist eine Standardaufgabe der Satellitengeodäsie, s. [6.2.1]. In Analogie zu den lokalen astronomischen Systemen, s. [2.6.2], führen wir nun lokale ellipsoidische (geodätische) Systeme ein, sie stellen Annäherungen an diese dar (Abb. 4.6). Der Ursprung eines lokalen Systems liegt im jeweiligen Aufpunkt P , durch die geodätische Breite und Länge wird es in Bezug auf die Ellipsoidnormale (äußere Flächennormale n¯ zum Ellipsoid) orientiert. Die z¯ -Achse ist zum ellipsoidischen Zenit gerichtet, und die x, ¯ y¯ Ebene liegt senkrecht hierzu. Die x-Achse ¯ zeigt zum ellipsoidischen Nord (Richtung des Meridians), und die y-Achse ¯ ist nach Osten gerichtet (Linkssystem). Der Zielpunkt Pi wird gegenüber P durch das geodätische (ellipsoidische) Azimut α (bereits in [4.1.2] eingeführt), den ellipsoidischen Zenitwinkel ζ und die geradlinige Distanz s festgelegt. Der Zenitwinkel wird in der Vertikalebene zwischen der Ellipsoidnormalen und der Verbindungslinie zwischen P und Pi gemessen und vom Zenit

4.1 Das Rotationsellipsoid

91

z ZENIT Pi s

x NORD Z

n a

z dn y OST

P h Q b

j

0

a

Y

l

X

Abb. 4.6. Globales und lokales ellipsoidisches System

aus positiv gezählt. Durch eine (2.20) entsprechende Transformation können diese Polarkoordinaten in das lokale x, ¯ y, ¯ z¯ -System transformiert werden: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x¯ cos α sin ζ x¯ = ⎝y¯ ⎠ = s ⎝ sin α sin ζ ⎠ . (4.29) z¯ cos ζ Nach Spiegelung mit der Matrix S 2 (2.24) lässt sich das lokale System durch die Drehmatrizen R 2 (90◦ − ϕ) und R 3 (180◦ − λ) entsprechend (2.25) und (2.26) in das ¯ Y¯ , Z-System ¯ globale X, überführen:

mit

¯ x¯ ¯ =A X

(4.30)

¯ Y¯ , Z) ¯ T ¯ = (X, X

(4.31)

und

⎛

− sin ϕ cos λ ¯ = R 3 (180◦ − λ)R 2 (90◦ − ϕ)S 2 = ⎝ − sin ϕ sin λ A cos ϕ

− sin λ cos λ 0

⎞ cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ ⎠ . sin ϕ (4.32)

Die Inversion von (4.32) ergibt −1

¯ x¯ = A

¯ X

(4.33)

92

4 Das geodätische Erdmodell

⎛

mit ¯ −1 A

− sin ϕ cos λ ¯ T = ⎝ − sin λ =A cos ϕ cos λ

− sin ϕ sin λ cos λ cos ϕ sin λ

⎞ cos ϕ 0 ⎠, sin ϕ

(4.34)

was (2.29) und (2.30) entspricht.

4.2

Das Normalschwerefeld

Dem Rotationsellipsoid kann ein „normales“ Schwerefeld zugeordnet werden unter der Bedingung, dass die Ellipsoidoberfläche eine Niveaufläche dieses Feldes darstellt. Dieses Erdmodell wird heute allgemein als geodätisches Bezugssystem akzeptiert, Modelle höherer Ordnung bieten i. Allg. keine Vorteile [4.2.1]. Das äußere Schwerefeld des Niveauellipsoids lässt sich eindeutig aus vier Definitionsparametern bestimmen [4.2.2]. Für geodätische Anwendungen ist die Geometrie des Normalschwerefeldes von besonderem Interesse [4.2.3]. 4.2.1

Das Niveauellipsoid, Niveausphäroide

Wir fügen den geometrischen Parametern a und f des Rotationsellipsoids die physikalischen Parameter Gesamtmasse M und Rotations-Winkelgeschwindigkeit ω hinzu, damit entsteht ein aus Gravitation und Zentrifugalbeschleunigung zusammengesetztes ellipsoidisches Schwerefeld: Normalschwerefeld. Zusätzlich fordern wir, dass die Oberfläche dieses Ellipsoids eine Niveaufläche seines eigenen Schwerefeldes ist. Nach dem Theorem von Stokes-Poincaré ist das Schwerefeld im Außenraum des Ellipsoids dann eindeutig bestimmt. Theorem von Stokes-Poincaré: Rotiert ein Körper mit der Gesamtmasse M mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine feste Achse und ist S eine Niveaufläche seines Schwerefeldes, welche die gesamte Masse einschließt, so ist das Schwerepotential im Außenraum von S eindeutig durch M, ω und die S definierenden Parameter bestimmt.

Das so definierte Erdmodell wird als Niveauellipsoid (auch Äquipotentialellipsoid) bezeichnet. Anstelle von a, f , M und ω kann auch ein anderer Satz von vier voneinander unabhängigen Parametern zur Definition benutzt werden. Werden den Parametern Werte zugeteilt, welche dem realen Erdkörper und seinem Schwerefeld entsprechen, so wird eine optimale Anpassung an die Geometrie des Geoids und das äußere Schwerefeld erreicht: mittleres Erdellipsoid, s. [6.8.1]. Die Theorie des Niveauellipsoids wurde von P. Pizetti (1894), C. Somigliana (1929) und anderen entwickelt (Heiskanen und Moritz 1967, S. 64). Vom physikalischen Gesichtspunkt aus sollte ein Erdmodell sich in hydrostatischem Gleichgewicht befinden. Die Niveauflächen fallen dann mit den Flächen gleicher Dichte und gleichen Drucks zusammen. Abweichungen der realen Erde von einem solchen Modell würden auf Spannungen im Erdkörper hinweisen, s. [8.1]. Die Theorie der Gleichgewichtsfiguren ist seit den Tagen von Newton und Clairaut, s. [1.3.2], eingehend diskutiert worden, siehe Moritz (1990).

4.2 Das Normalschwerefeld

93

In der obigen Definition des Niveauellipsoids wird über die innere Massenverteilung nichts ausgesagt. Aus der Theorie der Gleichgewichtsfiguren folgt jedoch, dass nur die homogenen Ellipsoide von MacLaurin sich im Gleichgewicht befinden können. Die Oberfläche einer dem Erdaufbau entsprechenden schalenförmig angeordneten Gleichgewichtsfigur ist dagegen kein Ellipsoid. Es lässt sich jedoch auch für das Niveauellipsoid eine geschichtete Struktur für die inneren Massen finden, welche den tatsächlichen Aufbau der Erde approximiert und sein äußeres Schwerefeld hinreichend gut reproduziert (Moritz 1968a). Die maximale Abweichung zwischen den Niveauflächen und den Flächen gleicher Dichte bleibt dabei in der Größenordnung von f 2 , und die im Modell auftretenden Spannungsunterschiede sind wesentlich kleiner als in der Realität. Das Niveauellipsoid ist damit auch als Randfläche für ein geophysikalisches Erdmodell geeignet (Marussi et al. 1974). Mit unterschiedlichen Ansätzen wurde versucht, Erdmodelle zu entwickeln, welche sich dem Geoid und dem äußeren Schwerefeld besser als das Niveauellipsoid anpassen. Eine physikalisch fundierte Approximation benutzt Bezugsflächen, die sich aus einer früh abgebrochenen Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials der Erde ergeben: Niveausphäroide. Wird Symmetrie zum Äquator angenommen und bis zum Kugelfunktionsgrad l = 2 (Bruns-Sphäroid) bzw. l = 4 (Helmert-Sphäroid) entwickelt, so ergeben sich Flächen der 14. bzw. 22. Ordnung. Die Abweichungen von einem Rotationsellipsoid derselben Achslängen liegen in der Größenordnung von O(f 2 ) für l = 2 und O(f 3 ) für l = 4. Aus den harmonischen Koffizienten C2,2 und S2,2 (3.103) lässt sich ein dreiachsiges Ellipsoid als geometrische Anpassung an das Geoid berechnen. Hierbei ergibt sich eine Differenz von 70 m zwischen den Radien der äquatorialen Hauptträgheitsachsen (entspricht einer Äquatorabplattung von 1/90 000), wobei der größere Radius in die geographische Länge 345◦ gerichtet ist. Die Abweichungen zwischen dem Geoid und dem Erdmodell werden bei diesen Modellen höherer Ordnung nicht wesentlich verkleinert. Andererseits werden geodätische Berechnungen in diesen Bezugssystemen erheblich komplizierter. Schließlich eignet sich beispielsweise das dreiachsige Ellipsoid auch nicht als physikalische Normalfigur. Zwar existieren dreiachsige Ellisoide als Gleichgewichtsfiguren (homogene Ellipsoide von Jacobi), mit den realen Werten für die Winkelgeschwindigkeit und die Masse der Erde ergibt sich für ein solches Ellipsoid jedoch eine völlig unnatürliche Form.

4.2.2

Das Normalschwerefeld des Niveauellipsoids

Das äußere Schwerefeld des Niveauellipsoids (Normalschwerefeld) kann im System der Ellipsoidkoordinaten β, λ, u durch geschlossene Formeln beschrieben werden. Die reduzierte Breite β und die geodätische Länge λ sind bereits in [4.1.1] eingeführt worden. Die dritte Koordinate u ist die kleine Halbachse eines Ellipsoids, das bei gegebener linearer Exzentrizität ε,√siehe (4.3), durch den Punkt P verläuft (Abb. 4.7). Aus (4.8) und (4.10) folgt, wenn u2 + ε 2 für die große Halbachse gesetzt wird, die

94

4 Das geodätische Erdmodell

Transformation der Ellipsoidkoordinaten in das kartesische Ellipsoidsystem: ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 2 X¯ 1 + (ε/u) cos β cos λ ⎝ Y¯ ⎠ = u ⎝ 1 + (ε/u)2 cos β sin λ ⎠ . Z¯ sin β

(4.35)

Für ε = 0 geht das β, λ, u-System mit β = 90◦ − ϑ und u = r in das System der Kugelkoordinaten (2.14) über. Z

NIVE

w

OID LIPS EL U u b A F1 e 0 a MASSE M

U=

P U0

b e F2 2 2 u +e

X,Y

Abb. 4.7. Niveauellipsoid und Ellipsoidkoordinaten

Wir bezeichnen den Vektor der Normalschwere mit γ und das Normalschwerepotential mit U . Analog zu (3.43) gilt γ = grad U.

(4.36a)

¯ Y¯ , Z-System ¯ In Analogie zu (3.72) folgt im globalen X, für die Normalschwere ⎛ ⎞ cos ϕ cos λ γ = −γ ⎝ cos ϕ sin λ ⎠ . (4.36b) sin ϕ Das Normalschwerepotential U setzt sich entspr. (3.42) aus dem Gravitationspotential VE und dem Potential der Zentrifugalbeschleunigung ZE zusammen: U = VE + ZE .

(4.37)

Das Gravitationspotential genügt im Außenraum des die gesamte Masse enthaltenden Ellipsoids der Laplaceschen Differentialgleichung (3.29). Wird die Laplace-Gleichung in Ellipsoidkoordinaten ausgedrückt, so führt die Lösung auf ellipsoidische harmonische Funktionen. Nach Addition des Zentrifugalpotentials (3.38) und unter Berücksichtigung der Rotationssymmetrie sowie der Bedingung

4.2 Das Normalschwerefeld

95

des „Niveauellipsoids“ erhalten wir eine geschlossene Darstellung für das Normalschwerepotential (Heiskanen und Moritz 1967, S. 64):  ε ω2 2 q GM 1 ω2 2 2 arctan + a (u + ε 2 ) cos2 β. U= (4.38) sin β − + ε u 2 q0 3 2 Hierin ist q eine nur von den geometrischen Größen ε und u abhängige Hilfsgröße, auf dem Ellipsoid (u = b) wird sie mit q0 bezeichnet:  ε u2 u 1 1 + 3 2 arctan − 3 , q0 = qu=b . q= (4.39) 2 ε u ε In Übereinstimmung mit dem Stokesschen Theorem, s. [4.2.1], wird das Normalschwerepotential also durch vier Parameter (a, b, M, ω) beschrieben. Von der geodätischen Länge ist das Potential unabhängig. Für u = b und q = q0 ergibt sich aus (4.38) das Potential des Niveauellipsoids U0 =

ε ω2 2 GM arctan + a . ε b 3

(4.40)

Der Normalschwerevektor γ durchsetzt das Niveauellipsoid orthogonal, so dass in Übereinstimmung mit (4.36) in der Ableitung von U (4.38) nur die vertikale Komponente auftritt. Führt man anstelle der reduzierten Breite β die geodätische Breite ϕ ein, so folgt für die Normalschwere auf dem Ellipsoid die Formel von Somigliana (1929): aγa cos2 ϕ + bγb sin2 ϕ γ0 =  . a 2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ

(4.41a)

Für numerische Rechnungen ist die Form 1 + k sin2 ϕ 1 1 − e2 sin2 ϕ 2

γ0 = γa

mit k =

bγb −1 aγa

(4.41b)

besonders geeignet (Moritz 2000). Die nur von der Breite abhängige Normalschwere wird in (4.41) durch die vier Parameter a, b, γa (Normalschwere am Äquator) und γb (Normalschwere am Pol) ausgedrückt. Die in (4.38) und (4.41) auftretenden Parameter a, b, M, ω, γa , γb sind durch das Theorem von Pizetti 2

γb 3GM γa + = 2 − 2ω2 a b a b

und das Theorem von Clairaut − 1 ω2 a

f +β = 1 + e2 2 γa



 



1 1  −1 1 − 3 1 + arctan e  2 e 1 + e

e 3 1 + e2 arctan e − e3

(4.42)

(4.43)

96

4 Das geodätische Erdmodell

miteinander verknüpft, so dass nur vier voneinander unabhängige Größen vorhanden sind. In (4.43) erscheint außer der zweiten numerischen Exzentrizität e und der geometrischen Abplattung f auch die Schwereabplattung β=

γb − γa . γa

(4.44)

Die Abkürzung β wird für die reduzierte Breite und die Schwereabplattung benutzt, Verwechslungen sind nicht zu befürchten.

Die Normalschwere im Außenraum ergibt sich durch partielleAbleitung von (4.38). In Ellipsoidnähe reicht eine Taylor-Entwicklung nach der ellipsoidischen Höhe aus (siehe unten). Die Anwendung der Formeln für das Normalschwerefeld, (4.38) bis (4.43), wird häufig durch Reihenentwicklungen nach f oder anderen Abplattungsgrößen erleichtert. Wir gehen hierzu von der Kugelfunktionsentwicklung für das Gravitationspotential aus. Wegen der Symmetrie zur Rotationsachse (tesserale Glieder = 0) und zur Äquatorebene (ungerade zonale Glieder = 0) erhalten wir nach Anfügen des Zentrifugalpotentials (3.96a) für das Potential der Normalschwere, s. [3.3.2]:  ∞  2n  a GM ω2 2 2 1− r sin ϑ. U= J2n P2n (cos ϑ) + (4.45) r r 2 n=1

Wird P2 aus (3.83a) eingeführt und die Entwicklung bei n = 1 (entsprechend dem Kugelfunktionsgrad l = 2) abgebrochen, so ergibt sich   2  3 a 1 GM ω2 3 2 cos2 ϑ − r sin ϑ . J2 (4.46) U= 1− + r r 2 2 2GM Auflösen nach r ergibt mit U = U0 den Ortsvektor des Niveauellipsoids, wobei auf der rechten Seite r = a gesetzt wurde:   GM 3 1 ω2 a 3 cos2 ϑ − sin2 ϑ . r= (4.47) 1 − J2 + U0 2 2 2GM Die Normalschwere γ folgt aus der Ableitung von (4.46) nach r:   2  a 3 ω2 3 2 1 GM 2 cos ϑ − − r sin ϑ . J2 γ = 2 1−3 r r 2 2 GM

(4.48)

Setzen wir in (4.47) und (4.48) ϑ = 90◦ (Äquator) bzw. ϑ = 0◦ (Pol) ein, so erhalten wir entweder die große Halbachse a und die Äquatorschwere γa oder die kleine Halbachse b und die Polschwere γb des Ellipsoids. Hieraus berechnet sich die geometrische Abplattung f (4.1a) und die Schwereabplattung β (4.44) zu f =

3 m J2 + , 2 2

3 β = − J2 + 2m. 2

(4.49)

4.2 Das Normalschwerefeld

Hierin ist m=

ω2 a ω2 a 2 b ≈ GM γa

97

(4.50)

das Verhältnis zwischen der Zentrifugalbeschleunigung und der Normalschwere am Äquator. Aus (4.48) und (4.49) folgen die entsprechenden Näherungen für das Theorem von Pizetti (4.42):  3  (4.51) GM = a 2 γa 1 − f + m 2 und das Theorem von Clairaut (4.43): f +β =

5 m. 2

(4.52)

Setzen wir (4.49) und (4.50) in (4.48) ein, so erhalten wir die Newtonsche Schwereformel, s. [1.3.2]: (4.53) γ0 = γa (1 + β sin2 ϕ). Sind auf dem Ellipsoid (Problem der Schwerereduktion!) zwei in verschiedenen Breiten ϕ liegende Schwerewerte γ0 bekannt, so lassen sich aus (4.53) γa und β berechnen. (4.50) liefert bei bekannter großer Halbachse a und Winkelgeschwindigkeit ω die Größe m. Das Theorem von Clairaut (4.52) ergibt dann die geometrische Abplattung f , die damit aus Schwerewerten bestimmbar ist. Die Anwendung dieses Prinzips, d. h. die Herleitung geometrischer Formparameter aus physikalischen Größen, auf die tatsächliche Erde führt zur gravimetrischen Methode der physikalischen Geodäsie, s. [6.5.1]. Die obigen, in f, β und m linearen Beziehungen lassen sich auch aus Reihenentwicklungen der geschlossenen Formeln herleiten. Sie wurden bereits von Clairaut in seinem Werk „Théorie de la Figure de la Terre“ (1743) gefunden. Die Entwicklung bis zu den Gliedern der Ordnung f 2 ergibt (IAG 1971): f =

3 m 9 15 3 J2 + + J22 + J2 m + m2 , 2 2 8 28 56

17 15 5 β = −f + m − f m + m2 , 2 14 4 m=

ω2 a 2 b , GM

γ0 = γa (1 + β sin2 ϕ + β1 sin2 2ϕ),

(4.54) (4.55) (4.56)

β1 =

1 2 5 f − f m. 8 8

(4.57)

Eine der ersten Anwendungen des Theorems von Clairaut stammt von Helmert (1901). Die Ausgleichung von etwa 1 400 freiluftreduzierten Schwerewerten auf Grund der Schwereformel (4.57) ergab γa = 9,7803 ms−2 und β = 0,005 302 sowie eine Abplattung f = 1/298,3.

98

4 Das geodätische Erdmodell

Die harmonischen Koeffizienten zweiten und vierten Grades berechnen sich aus f und m wie folgt: J2 =

m 1 2 2 f − − f 2 + f m, 3 3 3 21

4 4 J4 = − f 2 + f m. 5 7

(4.58)

Bei den heutigen Genauigkeitsansprüchen reicht meist eine Entwicklung bis n = 3 (entsprechend l = 6) aus, diese schließt die Glieder der Ordnung f 3 ein. Entwicklungen bis zur Ordnung f 5 finden sich bei Chen (1982). Zur Berechnung der Normalschwere im Außenraum reicht in Erdnähe eine TaylorEntwicklung nach der ellipsoidischen Höhe h aus:   ∂γ 1 ∂ 2γ γ = γ0 + h+ h2 + · · · . (4.59) ∂h 0 2 ∂h2 0 Die partielle Ableitung ∂γ /∂h ergibt sich durch Anwendung der Brunsschen Formel (3.71) auf den Außenraum: ∂γ = −2γ J¯ − 2ω2 , ∂h

(4.60)

wobei J¯ die mittlere Krümmung des Ellipsoids (4.19) ist. Eine Reihenentwicklung bis zur Ordnung f führt auf die vertikale Komponente des normalen Schweregradienten: ∂γ γ = −2 (1 + f + m − 2f sin2 ϕ). ∂h a

(4.61)

Die zweite Ableitung lässt sich aus der sphärischen Approximation von γ herleiten, siehe (3.17). Mit GM GM ∂γ γ γ = 2 , = −2 3 = −2 r ∂r r r erhalten wir ∂ 2γ 6GM γ = = 6 2. (4.62) ∂r 2 r4 r Einsetzen der ersten und der zweiten Ableitung in (4.59) liefert, wenn auf der rechten Seite r = a und γ = γ0 gesetzt wird, die Normalschwere als Funktion von Breite und Höhe:   3 2

(4.63) γ = γ0 1 − 1 + f + m − 2f sin2 ϕ h + 2 h2 . a a Bei größeren Höhen muss γ aus derAbleitung des Normalschwerepotentials (4.38) hergeleitet werden, wobei entweder im β, λ, u-System oder nach entsprechender Transformation auch im ϕ, λ, h- oder im ϑ, λ, r-System gearbeitet werden kann, siehe Heiskanen und Moritz (1967, S. 228). Mit γ = 9,81 ms−2 und a = 6 378 km ergibt sich ∂γ /∂h = −3,08 μms−2 / m und ∂ 2 γ /∂h2 = 1,5 × 10−6 μms−2 / m2 . Genauere Zahlenwerte finden sich in [4.3]. In Schwerereduktionen wird für den vertikalen Gradienten konventionell der Wert −3,086 μms−2 /m benutzt.

4.2 Das Normalschwerefeld

4.2.3

99

Geometrie des Normalschwerefeldes

Die Geometrie des Normalschwerefeldes wird durch die Sphäropotentialflächen und die normalen Lotlinien repräsentiert. Die Sphäropotentialflächen sind Flächen konstanten Normalschwerepotentials: U = U (r) = const.

(4.64)

Sie sind mit Ausnahme des Niveauellipsoids (U = U0 ) keine Ellipsoide und verlaufen nicht parallel zueinander. Die normalen Lotlinien schneiden die Sphäropotentialflächen rechtwinklig, in der Meridianebene sind sie wegen deren Nichtparallelität leicht gekrümmt (Abb. 4.8). Zur geometrischen Beschreibung des Normalschwerefeldes wer-

U=

NIVEAU E

UQ Q

LLIP SO

ID

U=

U 0

H

N

Q0 b

0

NORMALE LOTLINIE

Qn

j

j a

N

ÄQUATOREBENE

Abb. 4.8. Sphäropotentialflächen, normale Lotlinien, Normalhöhe

den „normale“ geodätische Koordinaten ϕ N , λN , U eingeführt, sie sind in Analogie zu den „natürlichen“ Koordinaten , , W des wirklichen Schwerefeldes definiert, s. [3.2.3]. Die normalen geodätischen Koordinaten beziehen sich auf den Punkt Q, welcher dem Oberflächenpunkt P (, , W ) durch die Bedingungen N ϕQ = P ,

λN Q = P ,

UQ = WP

(4.65)

zugeordnet ist. Die so punktweise definierte Fläche stellt eine Annäherung an die physische Erdoberfläche dar, die Abweichung bleiben kleiner als rund 100 m bzw. eine Bogenminute. Nach Hirvonen (1960) wird diese Fläche als Telluroid bezeichnet. Das Telluroid ist keine Niveaufläche des normalen Schwerefeldes, sondern ähnelt in der Form der physischen Erdoberfläche. Die normale geodätische Breite ϕ N ist der in der Meridianebene gemessene Winkel zwischen der ellipsoidischen Äquatorebene und der normalen Lotrichtung. Sie weicht von der in [4.1.1] eingeführten geodätischen Breite ϕ um den kleinen Winkel δϕ N ab, welcher als Folge der Lotkrümmung auftritt (siehe unten und Abb. 4.8). Die normale

100

4 Das geodätische Erdmodell

geodätische Länge λN entspricht der geodätischen Länge λ. Das Normalschwerepotential U ordnet den Punkt Q der Niveaufläche U = UQ zu. Anstelle von U kann auch die Potentialdifferenz zum Niveauellipsoid U0 − UQ benutzt werden. Mit der geopotentiellen Kote C = W0 − WP (3.105) und der Bedingung UQ = WP gilt auch U0 = W0 . Hieraus lässt sich die bereits in [3.4.3] eingeführte Normalhöhe W0 − W P U0 − U Q = (4.66) HN = γ¯ γ¯ ableiten. H N ist demnach längs der normalen Lotlinie als Abstand zwischen Q und dem Niveauellipsoid definiert. In guter Näherung kann H N auch längs der Ellipsoidnormalen durch den Oberflächenpunkt P gemessen werden. Nach (3.108) ist γ¯ die mittlere Normalschwere zwischen dem Ellipsoid und Q. Durch Einsetzen von γ aus (4.63) in (3.108) und Integration folgt hierfür  1 2 N γ¯ = γ0 1 − (1 + f + m − 2f sin ϕ)H . (4.67) a Die mittlere Normalschwere γ¯ lässt sich also in iterativer Weise streng berechnen. Da C aus Messungen abgeleitet werden kann, ist die Normalhöhe hypothesenfrei bestimmbar. Trägt man die Normalhöhen von der Erdoberfläche aus nach unten ab, so entsteht das Quasigeoid, welches als Höhenbezugsfläche Verwendung findet, s. [3.4.3]. Die normalen geodätischen Koordinaten ϕ N , λN , H N haben Bedeutung bei der direkten Bestimmung der physischen Erdoberfläche nach der Theorie von Molodenski, s. [6.5.1], [6.7.2]. Normalhöhen werden in einerAnzahl von nationalen Höhensystemen benutzt, s. [3.4.3], [7.2]. Die Krümmung der Sphäropotentialflächen wird in Analogie zum wirklichen Schwerefeld durch zweite Ableitungen des Normalschwerepotentials U beschrieben, vgl. (3.57), (3.58). Im lokalen ellipsoidischen System sind die Krümmungen in Richtung des Meridians und des Parallelkreises demnach durch kxN ¯ =−

Uxx , γ

kyN¯ = −

Uyy γ

(4.68)

gegeben. Die geodätische Torsion ist wegen der Rotationssymmetrie des Niveauellipsoids gleich Null: Uxy = 0. (4.69) txN ¯ =− γ Auf dem Ellipsoid berechnet sich die Krümmung aus den Hauptkrümmungsradien M und N , siehe (4.13), (4.14): 1 1 N , ky(0) (4.70) = . ¯ M N Mit (3.67) und unter Berücksichtigung der Rotationssymmetrie erhalten wir für die Krümmung der Projektionen der normalen Lotlinie auf die x, ¯ z¯ - bzw. y, ¯ z¯ -Ebene: N kx(0) = ¯

κxN ¯ =−

Uxz , γ

κyN ¯ =−

Uyz = 0. γ

(4.71)

4.3 Geodätische Bezugssysteme

Auf dem Niveauellipsoid gilt mit (4.20)   ∂γ ∂γ Uxz(0) = − =− . ∂ x¯ 0 M∂ϕ 0

101

(4.72)

Mit der Ableitung aus (4.53) erhalten wir nach Einsetzen in (4.71) mit hinreichender Näherung β κxN sin 2ϕ (4.72a) ¯ = M mit β = Schwereabplattung (4.44). Hieraus folgt für die Änderung der Normalschwere längs des Meridians  β ∂γ = γ0 sin 2ϕ = 8,2 sin 2ϕ ns−2 , (4.72b) ∂ x¯ 0 M was in 45◦ Breite einer Änderung von 8,2 nms−2 / m entspricht. Zusammen mit der Beziehung Uzz = −∂γ /∂ z¯ definieren (4.68) bis (4.72) vollständig den Marussi-Tensor (3.69) für das Normalschwerefeld. Nach (3.75) ist die Differentialtransformation vom lokalen zum globalen geodätischen System ebenfalls durch die Krümmungsparameter gegeben. Wir bilden schließlich die Differenzen zwischen den geodätischen Koordinaten ϕ, λ und den normalen geodätischen Koordinaten ϕ N , λN : ϕ = ϕ N + δϕ N ,

λ = λN .

(4.73)

Aus (4.71) und (4.72) ergibt sich 

HN

dϕ N = − 0

N κxN ¯ dH = −

β sin 2ϕ H N . M

Mit β = 0,0053 und M ≈ R = 6 371 km erhalten wir δϕ N = −0,000 17 sin 2ϕ H N ,

(4.74)

wobei H N in Metern gezählt wird.

4.3

Geodätische Bezugssysteme

Geodätische Bezugssysteme (Referenzsysteme) stellen Zahlenwerte für die Parameter eines geodätischen Erdmodells bereit. Solche Systeme werden in größeren Zeitabständen von der Internationalen Union für Geodäsie und Geophysik (IUGG) empfohlen, sie repräsentieren die besten Parameterwerte einer bestimmten Epoche. Für die Geodäsie und benachbarte Disziplinen wieAstronomie, Geophysik, Kartographie, Ingenieurwissenschaften und Navigation dienen diese Systeme i. Allg. über längere Zeitabstände

102

4 Das geodätische Erdmodell

als Standard. Aktuelle beste Werte für die Parameter des Erdmodells werden regelmäßig in kürzeren Zeitabständen bestimmt und von der Internationalen Assoziation für Geodäsie (IAG) veröffentlicht, s. [6.8.1]. Im 19. und frühen 20. Jahrhundert wurden die geometrischen Parameter von Bezugsellipsoiden aus verschiedenen, meist global verteilten terrestrischen Datensätzen berechnet, einige der so bestimmten Ellipsoide wurden als Bezugsflächen für die nationalen Landesvermessungen eingeführt, s. [1.3.3], [7.1.2]. Seit etwa 1900 wurden auch Normalschwereformeln für verschiedene Ellipsoide hergeleitet und bei den gravimetrischen Landesaufnahmen verwendet. Diese regionalen und lokalen Bezugssysteme können als Vorläufer der heutigen globalen, auf der Theorie des Niveauellipsoids beruhenden Systeme angesehen werden. Für die Bezugssysteme wird grundsätzlich eine geozentrische Lagerung gefordert, wobei die Z-Achse mit der Drehachse zusammenfallen und die X-Achse in Richtung des Meridians von Greenwich zeigen soll. Während ältere Bezugssysteme teilweise erheblich von dieser geozentrischen Orientierung abweichen, stimmen neuere Systeme in der „cm“-Größenordnung damit überein. Die Orientierung geodätischer Systeme in Bezug auf den Erdkörper wird als „Geodätisches Datum“ bezeichnet, s. [6.2.2].

Ein auf der Theorie des Niveauellipsoids basierendes geodätisches Bezugssystem wurde erstmals 1924/1930 eingeführt. Die IUGG-Generalversammlung in Madrid 1924 empfahl das Hayford-Ellipsoid als Internationales Ellipsoid mit den Parametern a = 6 378 388 m,

f = 1/297,0.

(4.75a)

Die Generalversammlung in Stockholm 1930 nahm dann die von G. Cassinis aufgestellte Schwereformel in Bezug auf dieses Ellipsoid an: γ0 = 9,780 49(1 + 0,005 2884 sin2 ϕ − 0,000 0059 sin2 2ϕ) ms−2 .

(4.75b)

Mit dieser (4.57) entsprechenden Normalschwereformel wurde das internationale Ellipsoid zum Niveauellipsoid. Die geometrischen Parameter a und f waren von J. F. Hayford (1909) aus astrogeodätischem Beobachtungsmaterial in den USA berechnet worden. W. A. Heiskanen (1928) hatte die Äquatorschwere aus einer Ausgleichung isostatisch reduzierter Schwerewerte bestimmt. Das internationale Bezugssystem von 1924/1930 ist also durch die vier Parameter a, f , γa , ω definiert. Das Bezugsellipsoid hat bei zahlreichen Landesvermessungen Anwendungen gefunden, und die Normalschwereformel fand ebenfalls weite Verbreitung.

Auf der IUGG-Generalversammlung in Luzern (1967) wurde das Bezugssystem 1924/1930 durch das Geodätische Referenzsystem 1967 (GRS67) ersetzt, siehe IAG (1971). Die Zahlenwerte der Definitionsparameter lauten: a = 6 378 160 m,

GM = 398 603×109 m3 s−2 ,

J2 = 1 082,7×10−6 . (4.76a)

Die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ω = 7,292 115 1467 × 10−5 rad s−1

(4.76b)

103

4.3 Geodätische Bezugssysteme

dient als vierter Parameter, wird aber in der IUGG-Resolution nicht explizit genannt. Das dieser Definition entsprechende Bezugsellipsoid wird zum Niveauellipsoid erklärt. Der Berechnung der großen Halbachse liegt über die Kontinente verteiltes astrogeodätisches Beobachtungsmaterial zugrunde, das durch gravimetrische Methoden in ein einheitliches System transformiert wurde. Die geozentrische Gravitationskonstante wurde aus Raumsondenbeobachtungen abgeleitet, sie schließt die Masse der Atmosphäre ein. Der dynamische Formfaktor wurde aus den Bahnstörungen künstlicher Erdsatelliten bestimmt und die Winkelgeschwindigkeit aus der Astronomie übernommen. Das GRS67 fand insbesondere bei wissenschaftlichen Problemstellungen, aber auch bei einigen in jüngerer Zeit angelegten Landesvermessungen Verwendung.

Auf der IUGG-Generalversammlung in Canberra (1979) wurde das Geodätische Referenzsystem 1980 (Geodetic Reference System 1980) GRS80 eingeführt. Es basiert wiederum auf der Theorie des geozentrischen Äquipotentialellipsoids, seine Definitionskonstanten sind (Moritz 2000): a = 6 378 137 m : GM = 398 600,5 × 109 m3 s−2 :

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Geozentrische Gravitationskonstante ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ der Erde (einschießlich ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ der Atmosphäre)

Äquatorradius der Erde

J2 = 1 082,63 × 10−6 :

Dynamischer Formfaktor (ausschließlich der permanenten Gezeitendeformation)

ω = 7,292 115 × 10−5 rad s−1 :

Winkelgeschwindigkeit der Erde

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(4.77a)

Mit Matm = 0,88 × 10−6 M ergibt sich GMatm = 0,35 × 109 m3 s−2 . Das GRS80 ist mit dem IAU(1976)-System der astronomischen Konstanten konsistent, s. [2.4.2]. Bezüglich der Orientierung wird verlangt, dass die kleine Achse des Bezugsellipsoids parallel zu der durch den Conventional International Origin definierten Richtung und der Hauptmeridian parallel zum Nullmeridian der vom BIH angenommenen Längen verlaufen soll, s. [2.5.2]. Der Äquatorradius des GRS80 wurde aus Laserentfernungsmessungen zu Satelliten, aus der Satellitenaltimetrie und aus Dopplerpositionierungen mit einer Unsicherheit von ±0,5 m bestimmt. Die Berechnung der geozentrischen Gravitationskonstante beruht auf der Beobachtung von Raumsonden sowie Lasermessungen zum Mond und zu Satelliten (±0,05 × 109 m3 s−2 ), während der Wert für den dynamischen Formfaktor globalen Schwerefeldmodellen entnommen wurde (±5 × 10−9 ).

Zahlenwerte für wichtige abgeleitete Parameter finden sich bei Moritz (2000):

104

4 Das geodätische Erdmodell

Geometrische Konstanten, s. [4.1.1], [4.1.2]: b = 6 356 752,3141 m :

kleine Halbachse

ε = 521 854,0097 m :

lineare Exzentrizität (4.3)

c = 6 399 593,6259 m :

Polkrümmungsradius (4.16)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

e2

= 0,006 694 380 022 90 :

erste numerische Exzentrizität (4.1b)

e2

= 0,006 739 496 775 48 :

zweite numerische Exzentrizität (4.1c) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Abplattung (4.1a) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ reziproke Abplattung ⎪ ⎪ ⎭ Meridianquadrant (4.21a)

f = 0,003 352 810 681 18 : 1/f = 298,257 222 101 : G = 10 001 965,7293 m :

(4.77b)

Physikalische Konstanten, s. [4.2.2]: ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

U0 = 62 636 860,850 m2 s−2 :

Normalschwerepotential auf dem Ellipsoid (4.40)

J4 = −0,000 002 370 912 22 :

Kugelfunktionskoeffizient (4.45)

J6 = 0,000 000 006 083 47 :

Kugelfunktionskoeffizient (4.45)

J8 = −0,000 000 000 014 27 :

Kugelfunktionskoeffizient (4.45)

m = 0,003 449 786 003 08 :

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Normalschwere am Äquator (4.41) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Normalschwere am Pol (4.41) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Schwereabplattung (4.44) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (4.41b)

γa = 9,780 326 7715 ms−2 : γb = 9,832 186 3685 ms−2 : β = 0,005 302 440 112 : k = 0,001 931 851 353 :

(4.50)

(4.77c)

Die Normalschwere kann mit der geschlossenen Formel (4.41) oder der Reihenentwicklung γ0 = γa (1 + 0,005 279 0414 sin2 ϕ + 0,000 023 2718 sin4 ϕ + 0,000 000 1262 sin6 ϕ + 0,000 000 0007 sin8 ϕ)

(4.78a)

berechnet werden, die auf 10−3 μms−2 genau ist. Die konventionelle Reihenentwicklung (4.57) weist dagegen nur eine Genauigkeit von 1 μms−2 auf: γ0 = 9,780 327(1 + 0,005 3024 sin2 ϕ − 0,000 0058 sin2 2ϕ) ms−2 .

(4.78b)

Setzt man die Parameterwerte für das GRS80 in (4.63) ein, so ergibt sich für die Änderung der Normalschwere mit der Höhe: γ = γ0 − (3,0877 × 10−3 − 4,3 × 10−6 sin2 ϕ)h + 0,72 × 10−6 h2 ms2

(4.79)

4.3 Geodätische Bezugssysteme

105

mit h in km. Eine bis zu Höhen von 10 km mit einer Genauigkeit von 10 nms−2 gültige Entwicklung findet sich bei Wenzel (1989). Nach der Definition von GM bezieht sich γ0 auf die Gesamtmasse der Erde einschließlich der Atmosphäre. Werden Normalschwerewerte auf dem Ellipsoid oder im Bereich der Atmosphäre benötigt, so muss der Einfluss der oberhalb des Berechnungspunktes liegenden Luftmassen von γ0 abgezogen werden. Die entsprechende Reduktion beträgt −8,7 μms−2 (h = 0), −4,7 μms−2 (h = 5 km) und −0,1 μms−2 (h = 30 km).

5

Messmethoden

Die Modellierung geodätischer Parameter basiert auf Messungen auf oder außerhalb der Erdoberfläche. Die verschiedenen Messmethoden liefern entweder geometrische oder physikalische Größen. Die geometrischen Methoden stützen sich überwiegend auf elektromagnetische Wellen, sie sind deshalb von der atmosphärischen Refraktion beeinflusst [5.1]. Die Messmethoden lassen sich folgendermaßen einteilen: • Beobachtungen, welche künstliche Satelliten und den Mond als Ziele oder Sensoren benutzen: Satellitenbeobachtungen [5.2], • Beobachtungen zu Fixsternen und extragalaktischen Radioquellen: Geodätische Astronomie [5.3], • terrestrische Schwere- und Schweregradientenmessungen: Gravimetrie [5.4], • bodengebundene Messungen zwischen Punkten auf der Erdoberfläche: Terrestrische geodätische Messungen [5.5]. Die Messmethoden werden von der zur Verfügung stehenden Technologie bestimmt, wobei die Datenerfassung und (Echtzeit-)Verarbeitung von elektronischen Messverfahren beherrscht wird (Kahmen 1978, Schlemmer 1996). Für globale und regionale Vermessungen werden fast ausschließlich Satellitentechniken eingesetzt, während die terrestrischen Verfahren überwiegend zur räumlichen und zeitlichen Interpolation der Satellitenergebnisse dienen. Insbesondere die Möglichkeiten des Global Positioning Systems haben zu einer verstärkten Anwendung kinematischer Methoden geführt. Dabei werden die Messsysteme oder einzelne Komponenten hiervon auf bewegten Plattformen (z. B. Satellit, Flugzeug, Schiff, Kraftfahrzeug) installiert. Die kontinuierliche Positionierung (Navigation) liefert dann Daten, die sich auf das globale geodätische Bezugssystem beziehen. Die Genauigkeit der Beobachtungsverfahren hängt von der messtechnischenAuflösung und Kalibrierunsicherheiten ab, nicht beseitigte äußere Störeffekte (Änderungen der Temperatur, des Luftdrucks und des Magnetfeldes, Mikroseismik, atmosphärische Refraktion, Punktinstabilitäten) setzen eine Genauigkeitsgrenze. Die Präzision einer Messmethode kann dadurch um den Faktor zwei bis drei und mehr verschlechtert werden. Die physikalischen Grundlagen gedätischer Messverfahren werden ausführlich ¨ in Heitz (1980/1983) und Heitz und Stocker-Meier (1998) behandelt.

5.1 Atmosphärische Refraktion Bei fast allen geodätischen Messungen dienen elektromagnetische Wellen als Träger von Signalen, das gilt sowohl für die Satellitengeodäsie als auch für die terrestrischen Beobachtungen und die geodätischeAstronomie. Dabei wird aus dem breiten Spektrum der elektromagnetischen Wellen das sichtbare Licht (380 bis 780 nm, entsprechend

5.1 Atmosphärische Refraktion

107

7,9 bis 3, 8 × 1014 Hz), das nahe Infrarot (bis zu 1 μms) und der Mikrowellenbereich (1 mm bis 1 m, entsprechend 300 GHz bis 300 MHz) benutzt. Beim Durchlaufen der Atmosphäre erfahren die elektromagnetischen Wellen Änderungen der Geschwindigkeit und der Strahlkrümmung (Refraktion), diese Änderungen hängen vom physikalischen Zustand der Gasmassen ab [5.1.1]. Wegen der in Troposphäre und Ionosphäre unterschiedlichen Signalfortpflanzung wird die Refraktion für diese beiden Bereiche getrennt behandelt [5.1.2], [5.1.3]. Die Auswirkung der atmosphärischen Refraktion auf die geodätischen Messungen lässt sich in verschiedener Art beseitigen oder verringern. Die entsprechenden Ansätze umfassen das Design der Messinstrumente, die Beobachtungsanordnung und die Nutzung von Atmosphärenmodellen. Die einzelnen Strategien werden bei der Beschreibung der jeweiligen Messmethoden erläutert, siehe auch Brunner (1984a) und De Munck und Spoelstra (1992). Zur Positionsbestimmung auf dem Meeresboden und dem Boden von Flüssen und Seen werden akustische Wellen verwendet, spezielle Verfahren erlauben dabei auch die flächenhafte Vermessung. Die Fortpflanzung dieser Wellen im Wasser unterscheidet sich von dem Verhalten im Vakuum und hängt von den Wassereigenschaften ab, s. [5.5.2].

5.1.1

Grundlagen

Nach dem Fermatschen Prinzip wird der Weg s einer elektromagnetischen Welle durch die Bedingung minimaler Laufzeit t bestimmt (Moritz und HofmannWellenhof 1993, S. 158):   ds = min . (5.1) t = dt = v Weg

Weg

Die Geschwindigkeit v unterscheidet sich von der Geschwindigkeit im Vakuum c (2.2) durch den Brechungsindex (auch Brechzahl) n: n=

c . v

(5.2)

In einem gasförmigen Medium ist n > 1 und proportional zur Dichte des Gases. Ist das Medium in einem bestimmten Spektralbereich dispersiv, so hängt n auch von der Wellenlänge ab: Dispersion. Nahe der Erdoberfläche gilt für n ein mittlerer Wert von 1,0003. Anstelle von n wird häufig der Ausdruck N = (n − 1) · 106

(5.3)

benutzt. Einsetzen von (5.2) in (5.1) ergibt t =

1 c

 n ds = min . Weg

(5.4)

108

5 Messmethoden

Mit n ds = d s¯ lässt sich (5.4) auch als Minimumsbedingung für die „elektromagnetische“ Weglänge ausdrücken (Abb. 5.1):   d s¯ = n ds = min . (5.5) s¯ = Weg

Weg

Die Lösung des Variationsproblems (5.5) ergibt den Weg s¯ , dabei wird die Kenntnis von n entlang des Weges vorausgesetzt. dz

n = const.

ds ds

z

r n + dn = const.

grad n

r

Abb. 5.1. Strahlkrümmung in der Atmosphäre

Der Einfluss der Refraktion auf die Strecke ergibt sich als Unterschied zwischen der wirklichen Weglänge s¯ und der geradlinigen Verbindung s (Sehne):  s¯ − s =

s n ds −

Weg

ds = 0

 

s (n − 1) ds + 0

s n ds −

Weg

n ds .

(5.6)

0

Der erste Term auf der rechten Seite berücksichtigt den durch die längere Laufzeit in der Atmosphäre verursachten Längenunterschied, der zweite Term enthält den Einfluss der Strahlkrümmung auf die Streckenlänge (Janes et al. 1991). Die Auswirkung der Refraktion auf die Strahlkrümmung lässt sich unter der Annahme einer horizontal geschichteten Luftdichte herleiten (Abb. 5.1). Das Brechungsgesetz von Snellius beschreibt in Übereinstimmung mit Fermats Prinzip die Krümmung eines Strahls beim Durchgang durch Schichten mit unterschiedlichem Brechungsindex: n sin z = const.

(5.7a)

Für zwei Punkte P1 und P2 gilt entsprechend n1 sin z1 = n2 sin z2 .

(5.7b)

5.1 Atmosphärische Refraktion

109

Unter obiger Voraussetzung ist der Winkel zwischen der Normalen zur Fläche n = const. und der Tangente an den Strahl mit der Krümmung 1/r gleich dem Zenitwinkel z. Differentiation von (5.7) liefert sin z dn + n cos z dz = 0. Mit dn = (grad n) · ds = | grad n| cos z ds folgt für die Krümmung dz | grad n| 1 = =− sin z. r ds n

(5.8)

Wird grad n in die horizontale und die vertikale Komponente aufgeteilt, so ergeben sich die Krümmungen der Strahlprojektionen in die Horizontal- bzw. Vertikalebene. Die Auswirkung dieser Krümmungen auf Horizontal- und Vertikalwinkel wird als Horizontalrefraktion (auch Seitenrefraktion) bzw. Vertikalrefraktion bezeichnet. Die Horizontalrefraktion ist um ein bis zwei Größenordnungen kleiner als die Vertikalrefraktion. Wird sie vernachlässigt, so ergibt sich ein vereinfachter Ausdruck für die Krümmung bei der Vertikalrefraktion: 1 dn 1 =− sin z, r n dh

(5.9a)

wobei h die Höhe ist, s. [4.1.3]. Bei terrestrischen geodätischen Messungen ist n ≈ 1 und z ≈ 90◦ , so dass die vereinfachte Beziehung dn 1 =− (5.9b) r dh gilt. Anstelle von 1/r wird oft der Refraktionskoeffizient k benutzt. Er ist als Verhältnis zwischen dem Erdradius R und dem Strahlkrümmungsradius r definiert: k=

dn R = −R . r dh

(5.10)

Der vertikale Refraktionswinkel δ ist die Auswirkung der Refraktion auf den Zenitwinkel (Abb. 5.2). Er ergibt sich aus der Integration von 1/r bzw. dn/dh über den Weg:  1 s dn δ= ds. (5.11a) (s − si ) s 0 dh Hierbei wird der lokale Vertikalgradient von n in Abhängigkeit vom Abstand zum Beobachter gewichtet, dichter am Beobachter liegende Werte erhalten ein höheres Gewicht. Bei einem kreisförmigen Strahlverlauf (r = const.) reduziert sich (5.11a) unter Berücksichtigung von (5.10) zu δ=

k s. 2R

(5.11b)

110

5 Messmethoden ÖRTLICHE LOTRICHTUNG ZIEL Pi si z d

s s

ÖRTLICHE HORIZONTALEBENE BEOBACHTER

Abb. 5.2. Vertikalrefraktion

Bei den meisten geodätischen Anwendungen wird das Signal durch Modulation der Trägerwelle übertragen. Dies lässt sich als Überlagerung einer Gruppe von Wellen verschiedener Frequenz auffassen. Während die in (5.2) eingeführte Phasengeschwindigkeit vph sich auf eine monochromatische Trägerwelle bezieht, breitet sich das Zentrum einer kurzen Wellengruppe (Signalenergie) mit der Gruppengeschwindigkeit vgr = vph − λ

dvph dλ

(5.12)

aus. In einem dispersiven Medium gilt n = n(λ) und dvph /dλ = 0. Mit (5.2) ergibt sich der entsprechende Gruppenbrechungsindex ngr = nph − λ

dnph dnph = nph + f dλ df

(5.13)

mit f = Frequenz, s. [5.1.2], [5.1.3]. Für eine Standardatmosphäre (Temperatur 273,15 K, Luftdruck 1013,25 hPa, Feuchtigkeit 0,0 hPa, CO2 -Gehalt 0,0375 %) wird die folgende Formel zur Berechnung der Phasenbrechzahl empfohlen (IAG-Resolution, Gen. Ass. Birmingham 1999): Nph = (nph − 1)106 = 287,6155 +

1,62887 0,01360 + , λ2 λ4

(5.14)

hierbei ist λ die Trägerwellenlänge in μm und nph der entsprechende Phasenbrechungsindex. Für die Gruppenbrechzahl gilt: Ngr = (ngr − 1)106 = 287,6155 +

4,88660 0,06800 + λ2 λ4

(5.15)

mit ngr = Gruppenbrechungsindex. Nach (5.6) und (5.11) hängt die Auswirkung der Refraktion auf Strecken und Winkel vom Brechungsindex und seinem Gradienten längs des Strahlweges ab, diese Größen verhalten sich in der Troposphäre und der Ionosphäre unterschiedlich.

5.1 Atmosphärische Refraktion

111

5.1.2 Troposphärische Refraktion Die Troposphäre ist die untere Schicht der Atmosphäre. Sie erstreckt sich an den Polen bis zu einer Höhe von etwa 9 km und am Äquator bis zu 16 km. In der Troposphäre ist fast 90 % der Atmosphärenmasse konzentriert, hier finden die Wettervorgänge statt. Von der anschließenden Stratosphäre ist die Troposphäre durch die Tropopause getrennt. Troposphäre, Tropopause und Stratosphäre sind elektronisch neutral. Der Brechungsindex n hängt von der Temperatur T , dem Druck p und der Feuchtigkeit e ab. Für sichtbares Licht verhält sich die Troposphäre als dispersives Medium, s. [5.1.1]. Der Brechungsindex nimmt mit der Höhe ab und wird in einer Höhe von etwa 40 km genähert 1. Die bis zu dieser „effektiven“ Höhe auftretende Wirkung der Strahlbrechung wird als troposphärische Refraktion bezeichnet. Oberhalb von etwa 70 km ist die Atmosphäre ionisiert, s. [5.1.3]. Die meteorologischen Parameter T , p, e hängen nicht nur stark von der Höhe, sondern auch von der geographischen Breite, der Land/Ozean-Verteilung, der Topographie und Vegetation sowie von örtlichen Gegebenheiten ab. Der Brechungsindex weist dementsprechend erhebliche Anomalien auf. Diese unterliegen außerdem zeitlichen Variationen von langzeitiger, saisonaler, täglicher und turbulenter Art. Rasche Veränderungen finden besonders nahe der Erdoberfläche in einer 10 bis 30 m mächtigen bodennahen Schicht statt. Die Temperatur T nimmt in der Troposphäre etwa linear mit der Höhe h ab: dT /dH ≈ −0,0065 ◦ C/m,

(5.16a)

in der Stratosphäre folgt ein leichter Temperaturanstieg. Der horizontale Temperaturgradient kann einige ◦ C/100 km erreichen. In Bodennähe sind Temperaturänderungen besonders ausgeprägt, hier findet sich u. a. eine nächtliche Temperaturinversion und eine mittägliche Konvektion. Der Luftdruck p nimmt exponentiell mit der Höhe ab. Unter der Annahme hydrostatischen Gleichgewichts hängt der vertikale Temperaturgradient von der Dichte ρ und der Schwere g ab. Nahe der Erdoberfläche führt dies unter Standardbedingungen (T = 288 K, p = 1013 hPa) zu dp/dh = −ρg = −0,034

p = −0,12 hPa/m. T

(5.16b)

Die Feuchtigkeit ist recht unregelmäßig verteilt. Sie konzentriert sich in einer wenige km mächtigen Schicht über dem Erdboden und variiert hier erheblich mit der Zeit. Gemessen wird die Feuchtigkeit durch den Partialdruck des Wasserdampfs e, nahe der Erdoberfläche beträgt dieser in mittleren Breiten 10 bis 20 hPa. Die Feuchtigkeit nimmt i. Allg. mit der Höhe ab, in Bodennähe gilt ein mittlerer Wert de/dh = −0,0035 hPa/m.

(5.16c)

Zwischen dem Brechungsindex und den meteorologischen Parametern sind sowohl für Licht als auch für Mikrowellen empirische Beziehungen abgeleitet worden (Langley 1998). Falls der Zustand der Atmosphäre von der Standardatmosphäre, s. [5.1.1], abweicht, lässt sich die Gruppenbrechzahl von Licht und nahem Infrarot in umgebender

112

5 Messmethoden

feuchter Luft wie folgt berechnen (IAG Resolution, Gen. Ass. Birmingham 1999): Nl = (nl − 1)106 =

273,15 p e Ngr − 11,27 1013,25 T T

(5.17)

mit T in Kelvin und p und e in hPa. Gleichung (5.17) gilt auch mit der entsprechenden Phasenbrechzahl (5.14) für unmoduliertes Licht. Die Strahlenbrechung von Mikrowellen ist von der Wellenlänge unabhängig, sie lässt sich nach der Formel von Thayer (1974) berechnen, die praktisch mit der Formel von Essen und Froome (IAG Resolution, Gen. Ass. Berkeley 1963) identisch ist: Nm = (nm − 1)106 = 77,60

e e p − 13 + 3,78 × 105 2 . T T T

(5.18)

Der erste Term auf der rechten Seite von (5.18) repräsentiert eine „trockene“ Komponente der Strahlenbrechung. Er trägt in den unteren 15 km etwa 90 % zur gesamten atmosphärischen Refraktion bei, unter der Annahme hydrostatischen Gleichgewichts lässt er sich mit Hilfe des an der Erdoberfläche gemessenen Luftdrucks modellieren. Die von e abhängigen Terme (besonders der letzte) stellen eine „nasse“ Komponente dar. Diese ist äußerst schwer modellierbar, sie nähert sich aber in rund 10 km Höhe dem Wert Null an. Soll der in (5.17) und (5.18) durch die meteorologischen Parameter verursachte Fehleranteil im Brechungsindex jeweils 10−6 nicht überschreiten, so ist die Temperatur auf etwa ±1 ◦ C, der Luftdruck auf ±3,5 hPa und die Feuchtigkeit auf ±25 hPa (Licht) bzw. ±0,2 hPa (Mikrowellen) genau zu bestimmen.

Die Ableitung von (5.17) und (5.18) nach der Höhe h liefert die Abhängigkeit der Strahlkrümmung von den meteorologischen Parametern. Mit (5.16b) und unter Vernachlässigung kleinerer Terme erhalten wir in den oberflächennahen Schichten für Licht  dNl dT p 11 de = −78 2 0,034 + − . (5.19a) dh T dh T dh Für Mikrowellen lautet der letzte Term auf der rechten Seite (nasse Komponente): +

3,7 × 105 de . T2 dh

(5.19b)

Soll der Refraktionskoeffizient k aus (5.10) mit einer relativen Genauigkeit von 1 % hergeleitet werden, so ist demnach für Licht die Temperatur auf ±2 ◦ C, der Luftdruck auf ±6 hPa und der vertikale Temperaturgradient auf ±0,0002 ◦ C/m zu bestimmen. Für Mikrowellen sind die zulässigen Unsicherheiten etwa zweimal so groß. Der Wasserdampfdruck-Gradient sollte für Licht mit einer Unsicherheit von ±0,005 hPa/m und für Mikrowellen mit ±0,0001 hPa/m ermittelt werden. Besonders kritisch sind also die vertikalen Gradienten der Temperatur und, insbesondere für Mikrowellen, des Dampfdrucks. Nach (5.11b) verfälscht ein um 1 % fehlerhafter Refraktionskoeffizient den Refraktionswinkel bei einer Zielstrahllänge von 10 km um 0,2 und bei 25 km um 0,4 .

In den bodennahen Schichten führen die großen örtlichen und zeitlichen Änderungen der meteorologischen Parameter zu entsprechenden Änderungen des Refraktionskoeffizienten, wobei ausgeprägte saisonale und Tag/Nacht-Variationen auftreten

5.1 Atmosphärische Refraktion

113

¨ (Hopcke 1964). Im Höhenbereich zwischen 40 m und 100 m über Grund gilt unter mittleren meteorologischen Verhältnissen am Tage bei klarem Himmel für Licht kl = 0,13

oder

rl = 8R

(5.20a)

km = 0,25

oder

rm = 4R.

(5.20b)

und für Mikrowellen Troposphärenmodelle basieren i. Allg. auf der Annahme sphärisch-konzentrischer Luftschichtung und vernachlässigen zeitliche Änderungen. Globale Modelle werden als „Standard-Atmosphäre“ in Form vertikaler Profile für die Temperatur, den Luftdruck und die Dichte bereitgestellt. Die US Standard Atmosphere (1976) stellt eine Annäherung an die in mittleren Breiten für trockene Luft geltenden Verhältnisse dar, breitenabhängige und saisonale Abweichungen werden in Supplements angegeben (NOAA 1966, 1976). Zur Reduktion geodätischer Beobachtungen sind verfeinerte Refraktionsmodelle entwickelt worden, in welche auch die an der Erdoberfläche gemessenen Daten einfließen (Saastamoinen 1972/73, Niell 1996). Die Zunahme der Refraktion mit dem Zenitwinkel z wird hierbei durch eine „Abbildungsfunktion“ (mapping function) berücksichtigt, bei nicht zu kleinen Höhenwinkeln stellt die Funktion 1/cos z eine gute Annäherung dar. Die Phasenverzögerung, welche die GPS (Global Positioning System) Signale beim Durchlaufen der Atmosphäre erfahren, s. [5.2.5], kann für troposphärische und ionosphärische Untersuchungen genutzt werden (Davis et al. 1996). Wird die „trockene“ Komponente aus der troposphärischen Signalverzögerung abgetrennt, so kann aus der „nassen“ Komponente die Gesamtmenge des oberhalb der Beobachtungsstation befindlichen Wasserdampfes abgeschätzt werden. Diese Information wird heute durch permanente GPS-Netze, s. [7.3.1], global und regional mit hoher zeitlicher Auflösung geliefert (Nothnagel 2000). Auf Satelliten in niedrigen Bahnen (Low Earth Orbiter: LEO) installierte GPS-Empfänger erlauben Atmosphärensondierungen mit Hilfe von Radioüberdeckungen. Beobachtet wird hierbei die durch die atmosphärische Strahlenbrechung induzierte Dopplerverschiebung, aus der sich in dichter zeitlicher Folge Profile des Drucks, der Temperatur und des Wasserdampfs sowie der Dichte herleiten lassen. Diese Ergebnisse dienen zur Entwicklung verfeinerter Troposphärenmodelle und in Zukunft auch zur Verbesserung der Wettervorhersage (Gendt et al. 2002).

5.1.3

Ionosphärische Refraktion

Die Ionosphäre als Teil der oberen Atmosphäre ist durch die Existenz von freien, negativ geladenen Elektronen und positiven Ionen gekennzeichnet. Verursacht wird die Ionisation durch die Einwirkung der ultravioletten Sonnenstrahlung, sie hängt von der Dichte des atmosphärischen Gases und der Strahlungsintensität ab. Die Ionosphäre erstreckt sich über den Bereich von etwa 60 km bis 1500 km über der Erde, die maximale Elektronendichte findet sich in einer Höhe von 200 bis 300 km. Für Frequenzen unterhalb 30 MHz wirkt die Ionosphäre wie ein Spiegel. Radiowellen höherer Frequenz durchlaufen die Ionosphäre, erfahren dabei aber eine frequenzabhängige Brechung (Dispersion). Messungen zu oberhalb der Ionosphäre befindlichen

114

5 Messmethoden

Zielen werden zusätzlich durch den Elektronengehalt in der Plasmasphäre beeinflusst; diese Schicht erstreckt sich am Äquator bis zu einer Höhe von einigen Erdradien, sie fehlt an den Polen (Klobuchar 1991, Wanninger 1995). Der Brechungsindex hängt in erster Linie von der Elektronenanzahl Ne je m3 ab: Elektronendichte. Der Phasenbrechungsindex ergibt sich in erster Näherung zu nph = 1 − K

Ne f2

(5.21)

mit der Konstanten K = 40,28 m3 s−2 und der Frequenz f . Höhere Terme der Ordnung 1/f 3 und 1/f 4 hängen auch von der Intensität des Erdmagnetfeldes und der Richtung der Signalausbreitung ab. Ne (el/m3 ) beträgt am Tage zwischen etwa 108 und 1010 (Höhenbereich 60 bis 90 km), über 1011 (105 bis 160 km), zwischen 1011 und 1012 (160 bis 180 km) und 1012 (300 bis 400 km). Aus (5.2) und (5.21) ergibt sich, dass die Phasengeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist, dies entspricht einer im Vergleich zum Vakuum größeren Wellenlänge des Signals. Da die Signalfortpflanzung mit der Gruppengeschwindigkeit erfolgt, setzen wir (5.21) in (5.13) ein und erhalten den Gruppenbrechungsindex Ne (5.22) ngr = 1 + K 2 . f Einsetzen von (5.21) bzw. (5.22) in (5.6) liefert die Differenz zwischen der elektromagnetischen Weglänge s¯ und der geradlinigen Verbindung s. Für die Messung von Trägerphasen (nph ) bzw. Strecken (ngr ) erhalten wir  K s Ne ds, (5.23) (¯s − s)ph = −(¯s − s)gr = − 2 f 0 wobei die geringfügige Auswirkung der Strahlkrümmung vernachlässigt ist. Das Integral der Elektronendichte längs des Signalweges wird als totaler Elektronengehalt (total electron content) TEC bezeichnet:  s Ne (s) ds. (5.24) TEC = 0

Es entspricht der Gesamtzahl der Elektronen entlang des Signalweges, gemessen in einer zylindrischen Säule von 1 m2 Querschnitt. Als Einheit wird 1TECU = 1016 Elektronen/m2 verwendet. Für eine sphärisch geschichtete Ionosphäre wird vom Elektronengehalt einer vertikalen Säule der Höhe h ausgegangen. Der Neigungsfaktor F (mapping function) liefert liefert dann den TEC längs des Signalweges:  h Ne (h) dh. (5.25) TEC = F 0

Für z < 70◦ gilt F ≈ 1/ cos zi , wobei zi der am Subionosphärenpunkt Pi gemessene Zenitwinkel ist (Abb. 5.3). Pi liegt in der „mittleren Höhe“ hi der Ionosphäre

5.1 Atmosphärische Refraktion

115

(Einfachschicht-Modell) mit z. B. hi = 350 km. zi lässt sich aus hi und dem am Boden gemessenen Zenitwinkel z berechnen: sin zi =

R sin z, R + hi

(5.26)

wobei R den Erdradius bezeichnet. SATELLIT zi IONOSPHÄRE Pi

hi z P R

Abb. 5.3. Ionosphärische Refraktion Der Elektronengehalt in der Ionosphäre variiert erheblich mit der Zeit. Änderungen mit täglicher, saisonaler und etwa elfjährlicher (Zyklus der Sonnenaktivität) Periode sind besonders ausgeprägt, sie werden überlagert von unregelmäßigen Störungen. Kurzzeitige Oszillationen finden besonders in der Äquatorzone, aber auch in den polaren und auroralen Regionen statt (magnetische Stürme). Ionosphärische Störungen wellenähnlicher Struktur wandern mit Horizontalgeschwindigkeiten zwischen 100 und 1000 m/s mit Ausdehnungen von einigen 10 bis 1000 km und Perioden von einigen Minuten bis zu einigen Stunden.

Ionosphärenmodelle beschreiben die räumliche Verteilung von Ne und die zeitlichen Änderungen. Grundlage hierfür ist die Abhängigkeit des Ionosphärenzustandes von der Position der Sonne. Unter der Voraussetzung einer kugelschalenförmigen Verteilung stellen die Modelle den TEC-Verlauf in vertikalen Profilen und eine Abbildungsfunktion für die schräge Signalfortpflanzung zur Verfügung. Beispiele für solche Modelle sind die International Reference Ionosphere (IRI) 1995 und das GPS-Broadcast-Modell (Klobuchar 1991). Auf Grund ionosphärischer Störungen können diese Modelle um einige 10% von der Realität abweichen. Verfeinerte Modelle berücksichtigen auch beobachtete Ionosphärenparameter und die Sonnenfleckenzahl (Kleusberg 1998). Andererseits kann wegen der Dispersion der größte Anteil des ionosphärischen Refraktionseffekts durch Verwendung von zwei Frequenzen zur Signalfortpflanzung eliminiert werden, s. [5.2.4], [5.2.5], [5.2.7]. Aus der ionosphärischen Verzögerung von GPS-Signalen lassen sich Informationen über den Aufbau und das zeitliche Verhalten der Ionosphäre gewinnen. Die Analyse der beiden zur Eli-

116

5 Messmethoden

mination der ionosphärischen Refraktion benutzten Trägerwellen, s. [5.2.5], erlaubt die Berechnung des totalen Elektronengehalts (TEC) entlang der Verbindungslinie vom Empfänger zum GPS-Satelliten. Aus den Ergebnissen globaler GPS-Netze können so TEC-Karten erzeugt werden. Durch die Nutzung von GPS-Daten aus satellitengetragenen Empfängern wird sich diese Ionosphärenerfassung (ionospheric imaging) besonders in Bezug auf die vertikale Auflösung wesentlich verbessern (Yunck und Melbourne 1996).

5.2

Satellitenbeobachtungen

Die Satellitengeodäsie benutzt künstliche Satelliten und den Mond als extraterrestrische Ziele und/oder als Sensoren. Für ein punktmassenförmiges Erdmodell wird die Bewegung des Satelliten durch die Keplerschen Gesetze beschrieben [5.2.1]. „Bahnstörungen“ werden durch die Abweichungen des tatsächlichen Gravitationsfeldes vom Punktmassenmodell und durch nicht- gravitative Kräfte verursacht [5.2.2]. Die für geodätische Aufgabenstellungen benutzten Satelliten unterscheiden sich je nach Missionszweck und Beobachtungsmethode im instrumentellen Design, in der Instrumentierung und in den Bahnparametern [5.2.3]. Die Leistungsfähigkeit der Satellitentechnik zum Aufbau großräumiger geodätischer Kontrollnetze und zur Bestimmung des Gravitationsfeldes wurde bereits in den 1960er bis 1980er Jahren mit unterschiedlichen, inzwischen teilweise klassischen Verfahren gezeigt [5.2.4]. Heute wird das Global Positioning System (GPS) in allen Maßstäben zur dreidimensionalen Punktbestimmung eingesetzt [5.2.5]. Laserentfernungsmessungen dienen hauptsächlich zum Aufbau und zur wiederholten Vermessung globaler Netze [5.2.6]. Die Satellitenaltimetrie trägt durch die laufende Bestimmung der Meeresoberfläche wesentlich zur Modellierung der Schwerefeldes bei [5.2.7]. Derzeit anlaufende „satellite-to-satellite tracking“und Schweregradiometrie-Missionen werden die hochauflösende Erfassung des Schwerefeldes und seiner zeitlichen Änderungen ermöglichen [5.2.8]. Die Theorie der Satellitenbahnen und die Satellitenmessverfahren werden in den Lehrbüchern und Monographien zur Satellitengeodäsie behandelt, z. B. in Kaula (1966), Schneider (1988), Seeber (2003). 5.2.1

Die ungestörte Satellitenbewegung

Nach Trennung des Satelliten von seinem Träger beginnt der freie Umlauf um die Erde. Wir nehmen hier ein gravitatives Massenpunktmodell (Zentralmasse) an, s. [3.1.2], die Satellitenmasse kann gegenüber der Masse der Erde vernachlässigt werden. Nicht berücksichtigt werden zunächst auch nicht-gravitative Störungen und der Einfluss anderer Himmelskörper (Zweikörperproblem). Die Bewegungsgleichung des Satelliten im Gravitationsfeld wird dann durch das zweite Newtonsche Gesetz geliefert: r¨ = grad V = −

GM r . r2 r

(5.27)

r ist der geozentrische Ortsvektor des Satelliten und r¨ = d 2 r/dt 2 seine Beschleunigung, M und V sind die Masse bzw. das Gravitationspotential der Erde, s. (3.16). Die

5.2 Satellitenbeobachtungen

117

Integration dieser vektoriellen Differentialgleichung zweiter Ordnung enthält sechs Integrationskonstanten, etwa die Position und die Geschwindigkeit zu einer bestimmten Epoche. Die grundlegende Theorie zum Zweikörperproblem wird von der Himmelsmechanik bereitgestellt. In der entsprechenden Literatur (Kovalevsky 1989, Schneider 1992/1993) finden sich auch die Grundlagen der Störungsrechnung und die Behandlung des Drei- und Mehrkörperproblems.

Johannes Kepler (1571 – 1630) leitete aus den astronomischen Beobachtungen von Tycho Brahe (1546 – 1601) drei Gesetze der Planetenbewegung her. Damit lässt sich auch die ungestörte Zentralbewegung eines Satelliten um die Erde (Erdmasse im Massenzentrum konzentriert) geometrisch beschreiben. Nach den Keplerschen Gesetzen bewegt sich der Satellit in einer Ellipsenbahn. Ein Brennpunkt der Ellipse mit der großen Halbachse a und der ersten numerischen Exzentrizität e (nicht zu verwechseln mit den entsprechenden Bezeichnungen für die Parameter des Erdellipsoids!) fällt mit dem Massenzentrum der Erde zusammen. Im Satellitenbahnsystem wird der Satellitenort durch den Abstand r vom Massenzentrum und die wahre Anomalie v beschrieben (Abb. 5.4). Hierbei ist v der geozentrische

SATELLIT (t) b

a r(t) E e = ae ERDE

v(t) PERIGÄUM

Abb. 5.4. Satellitenbahnsystem

Winkel zwischen den Richtungen zum Satelliten und zum Perigäum (erdnächster Punkt des Satelliten). Anstelle von v kann auch die exzentrische Anomalie E benutzt werden, wobei folgende Beziehungen gelten: √ 1 − e2 sin E r = a(1 − e cos E), tan v = . (5.28) cos E − e Mit dem dritten Keplerschen Gesetz führen wir die mittlere Winkelgeschwindigkeit  GM n¯ = (5.29) a3 ein, sie beschreibt eine mittlere Bahnbewegung. Die mittlere Anomalie M¯ = n(t ¯ −T)

(5.30)

118

5 Messmethoden

ist ebenfalls zur Festlegung des Satellitenortes in seiner Bahn geeignet. Sie wird häufig benutzt, da sie linear mit der Zeit t wächst. T ist der Zeitpunkt des Durchgangs durch das Perigäum. Aus M¯ kann E iterativ mit Hilfe der Keplerschen Gleichung berechnet werden: M¯ = E − e sin E. (5.31) Das Bahnsystem lässt sich durch drei Rotationen in das raumfeste Äquatorsystem, s. [2.4.1], transformieren (Abb. 5.5). Die Rektaszension des aufsteigenden Knotens  Z

SATELLIT r

ÄQUATOREBENE

FRÜHLINGSPUNKT

0

W a

PERIGÄUM

v w

d i AUFSTEIGENDER KNOTEN

BAHNELLIPSE (a,e)

Abb. 5.5. Bahn- und Äquator-System

und die Inklination i orientieren die Bahnebene im Raum. Das Argument des Perigäums ω liefert die Orientierung der Ellipse in der Bahnebene. Ergebnis dieser Transformation ist der geozentrische Ortsvektor (2.11) als Funktion der sechs Keplerschen ¯ T ): Bahnelemente a, e, , i, ω und v (oder gleichwertig E, M, ⎛ ⎞ ⎞ cos δ cos α cos(ω + v) cos  − sin(ω + v) sin  cos i r = r ⎝ cos δ sin α ⎠ = r ⎝cos(ω + v) sin  + sin(ω + v) cos  cos i ⎠ sin δ sin(ω + v) sin i ⎛

(5.32a)

mit r=

a(1 − e2 ) . 1 + e cos v

(5.32b)

Die sechs Kepler-Parameter beschreiben die Bahnbewegung des ungestörten Satelliten vollständig. Sie entsprechen den Integrationskonstanten der Bewegungsgleichung (5.27) und werden besonders bei der Approximation von Satellitenbahnen verwendet.

5.2 Satellitenbeobachtungen

5.2.2

119

Die gestörte Satellitenbewegung

Durch die Wirkung unterschiedlicher „Störkräfte“ weicht die tatsächliche Satellitenbahn von der Keplerbewegung ab. Zu den Störkräften zählen insbesondere die nichtsphärischen Anteile der Erdanziehung, die Gravitation von Mond und Sonne, der Luftwiderstand und der Strahlungsdruck der Sonne. Die Störkräfte verursachen zeitliche Änderungen der Bahnelemente (Bahnstörungen) von säkularer, lang- und kurzperiodischer Art. Die aktuelle Bahn kann als Einhüllende der Kepler-Ellipsen angesehen werden, welche in jedem Zeitpunkt durch die jeweiligen Bahnelemente gegeben sind (oskulierende Ellipsen). Um die Gravitation der Erde vollständig zu berücksichtigen, wird das Gravitationspotential der kugelsymmetrischen Erde um die Störfunktion R erweitert (nicht zu verwechseln mit dem Störpotential T [6.1.1]): V =

GM + R. r

(5.33)

Nach (3.89) bis (3.91) lässt sich R als Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials V durch die Koeffizienten Jlm , Klm (l ≥ 2) ausdrücken. Einsetzen von (5.33) in (5.27) ergibt die Bewegungsgleichung r¨ = −

GM r + grad R. r2 r

(5.34a)

Mit (5.28) und (5.32) können die in der Entwicklung von V benutzten Kugelkoordinaten r, ϑ, λ (2.14) durch die Bahnelemente ersetzt werden, s. auch Abb. 5.4. Die Störfunktion R wird dann durch die zeitabhängigen Keplerschen Bahnparameter und die Kugelfunktionskoeffizienten beschrieben: ¯ Jlm , Klm ). R = R(a, e, , i, ω, M,

(5.34b)

Die Differentialgleichung zweiter Ordnung (5.34) kann in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung transformiert werden. Diese enthalten die zeitlichen Änderungen der Bahnparameter in Abhängigkeit von den partiellen Ableitungen der Störfunktion (d. h. der Kugelfunktionskoeffizienten) nach ihnen. Diese Differentialgleichungen erster Ordnung werden als Lagrangesche Störungsgleichungen bezeichnet (Kaula 1966, S. 29, Seeber 2003): da dt de dt dω dt di dt

2 ∂R , na ∂ M¯ √ 1 − e2 ∂R 1 − e2 ∂R = , − 2 na e ∂ M¯ na 2 e ∂ω √ ∂R cos i 1 − e2 ∂R =− + , √ na 2 e ∂e na 2 1 − e2 sin i ∂i ∂R ∂R cos i 1 = − , √ √ na 2 1 − e2 sin i ∂ω na 2 1 − e2 sin i ∂

=

(5.35)

120

5 Messmethoden

∂R 1 d = , √ 2 2 dt na e 1 − e sin i ∂i 1 − e2 ∂R 2 ∂R d M¯ =n− − . 2 dt na e ∂e na ∂a Der Einfluss der lunisolaren Gravitation kann durch entsprechende Erweiterung von (5.27) berechnet werden, was auf die Bewegungsgleichung für ein Vierkörperproblem führt. Die Satellitenbahn wird hierdurch säkular und langperiodisch bis zu 100 m und mehr gestört. Niedrig fliegende Satelliten werden zusätzlich durch die Gezeiten der festen Erde und der Ozeane, s. [8.3.5], beeinflusst. Entsprechende Korrektionen lassen sich mit Hilfe der Ephemeriden von Mond und Sonne und mit Gezeitenmodellen der festen Erde und der Ozeane berechnen. Der Luftwiderstand wird durch den Zusammenstoß des Satelliten mit Luftteilchen hervorgerufen. Er ist proportional zur Geschwindigkeit des Satelliten und hängt von der Luftdichte und vom Verhältnis des wirksamen Querschnitts zur Masse ab. Mit zunehmender Höhe nimmt er rasch ab, in Höhen über 1000 km darf er meist vernachlässigt werden. Die Wirkung des Luftwiderstandes wird mit Hilfe von Hochatmosphärenmodellen wie der Cospar International Reference Atmosphere 1972 (CIRA72) korrigiert, s. [5.1.2]. Hochfliegende Satelliten werden durch den solaren Strahlungsdruck der auftretenden Photonen beeinflusst. Die resultierenden Bahnstörungen hängen von der Strahlungsenergie, der Ausrichtung des Satelliten zur Sonne, dem Querschnitt/Masse-Verhältnis und dem Reflexionsvermögen ab. Der indirekte Effekt durch die von der Erdoberfläche reflektierte Strahlung (Albedo) bleibt wesentlich kleiner. Besonders bei Satelliten mit komplexem Aufbau bereitet die Modellierung des Strahlungsdrucks Schwierigkeiten. Elektromagnetische Wechselwirkungen mit dem Magnetfeld der Erde treten in der Ionosphäre auf, sie sind aber klein und durch Korrektionen zu erfassen. Schließlich müssen bei dem heute erreichten Genauigkeitsniveau auch relativistische Effekte berücksichtigt werden. Bahnberechnungen beruhen auf analytischen oder numerischen Methoden (Montenbruck und Gill 2000). In der analytischen Lösung werden sämtliche wirksamen Kräfte durch strenge Beziehungen ausgedrückt und in geschlossener Form integriert. Eine Näherung erster Ordnung findet sich bereits durch die Lösung von (5.35). Der Ortsvektor zu einer bestimmten Epoche t wird dann durch die Bahnelemente zur Ausgangsepoche t0 und die Parameter des Gravitationsfeldes und anderer modellierter Störkräfte ausgedrückt: r = r(a0 , e0 , 0 , i0 , ω0 , M¯ 0 ; GM, Jlm , Klm ; . . . ; t).

(5.36)

Bei den numerischen Methoden werden die wirksamen Kräfte für eine definierte Satellitenposition berechnet und als Anfangswerte für eine schrittweise Integration benutzt. Hierbei finden klassische astronomische Bahnbestimmungsmethoden Verwendung, wie sie u. a. von Cowell (Integration der Gesamtkraft) oder Encke (Integration der Differenz zu einer oskulierenden Kepler-Ellipse) entwickelt wurden. Eine strenge Lösung

5.2 Satellitenbeobachtungen

121

ist mit konventionellen Integrationsmethoden durch Polynomanpassung an aufeinanderfolgende Punkte (z. B. mit dem Runge-Kutta-Verfahren) möglich. Die analytische Methode ist recht aufwendig, Schwierigkeiten treten besonders bei der Anwendung auf nicht-gravitative Kräfte auf. Sie eignet sich zum Abschätzen der Wirkung von Störkräften auf die Satellitenbahn und für die Planung von Satellitenmissionen. Numerische Methoden sind einfacher und allgemein anwendbar. Sie werden heute fast ausschließlich angewandt. Liegen präzise Modelle der Störkräfte vor, so sind Bahnvorausberechnungen für einige Satellitenumläufe möglich. Entsprechende Bahnprädiktionen werden für die einzelnen Satelliten von den zuständigen Agenturen veröffentlicht, s. [5.2.4], [5.2.5]. Hochgenaue Bahnbestimmungen werden für die Positionsbestimmung und die Satellitenaltimetrie benötigt. Bahnanalysen tragen andererseits zur verbesserten Bestimmung der Kugelfunktionskoeffizienten des Gravitationsfeldes bei, s. [6.6.2]. Bei guter Bahnverfolgung (satellite tracking) und Vorliegen von präzisen Modellen des Gravitationsfeldes und nicht-gravitativer Kräfte lassen sich die Ephemeriden von Laser- und Altimeter-Satelliten mit einer Genauigkeit von wenigen cm (kurze Bögen von Bruchteilen eines Tages) bzw. dm (lange Bögen von einigen Tagen) berechnen. Die Bahndaten von hochfliegenden Navigationssatelliten werden mit einer Genauigkeit von wenigen m vorausgesagt, eine Nach-Prozessierung unter Einschluss von Tracking-Daten spezieller Netze führt zu Bahngenauigkeiten im Sub-DezimeterBereich, s. [5.2.5].

5.2.3

Künstliche Erdsatelliten

Seit dem Start von Sputnik I (1957) sind künstliche Erdsatelliten für geodätische Zielsetzungen (Positionsbestimmung, Schwerefeldbestimmung, Bestimmung von Erdrotationsparametern) verwendet worden. Während nur eine begrenzte Anzahl von Satellitenmissionen ausschließlich geodätischen Anwendungen diente, werden zahlreiche für Zwecke der Navigation, der Fernerkundung und der Geophysik entwickelte Satelliten intensiv auch in der Geodäsie genutzt. Ein Satellit kann als bewegtes Ziel in großer Höhe angesehen und dann hauptsächlich zur Positionsbestimmung benutzt werden. Da die Satellitenbahn vom Gravitationsfeld der Erde beeinflusst wird, lässt sich ein Satellit auch als Sensor für die Gravitation nutzen. Neuerdings werden Satellitensignale auch zur Bestimmung von Atmosphärenparametern herangezogen. Schließlich kann ein Satellit auch als Träger von Sensoren dienen. Satelliten können entweder nur einfallendes Licht reflektieren (passive Satelliten) oder aktive Subsysteme (Sender/Empfänger, Uhren, Rechner, verschiedene Sensoren) an Bord tragen (aktive Satelliten). Im letzteren Fall ist eine Energieversorgung nötig, und die Lebenszeit des Satelliten ist verhältnismäßig kurz.

122

5 Messmethoden

Die mittlere Bahngeschwindigkeit eines Satelliten, der sich genähert in einer Kreisbahn (r = a) bewegt, ergibt sich nach (5.29) zu v¯ = a n¯ =

 GM/r.

(5.37)

Für einen erdnahen Satelliten (h = 1 000 km) erhalten wir mit r = R + h = 7 370 km eine Geschwindigkeit von 7,4 km/s. Aus dem 3. Keplerschen Gesetz folgt die Umlaufzeit U = 2πr/v¯ = 104 min. Der Schnitt der Bahnebene mit der nicht-rotierenden Erde erzeugt auf der Erdoberfläche einen Großkreis: Subsatellitenbahn. Wegen der Erdrotation verschieben sich aufeinander folgende Satellitenbahnen westwärts (Abb. 5.6), wobei die Verschiebung auf dem Äquator durch λ = 360◦

U = 15◦ U [h] = 0,25◦ U [ min] Sterntag

(5.38)

gegeben ist. Der von der Subsatellitenbahn überdeckte Breitenbereich ist durch die Inklination des Satelliten festgelegt.

3

2 1

Abb. 5.6. Subsatellitenbahn

Bei der Planung (Wahl der Bahnparameter) einer geodätischen Satellitenmission sind folgende Gesichtspunkte zu beachten: Für die Positionsbestimmung spielt die Netzgeometrie von Bodenstationen und Satelliten eine entscheidende Rolle. So spannen etwa gleichzeitige Richtungsmessungen von zwei Bodenstationen zu einem Satelliten eine Ebene auf, und die Schnitte von Ebenen legen in einem Netz die gegenseitigen Positionen fest. Simultane Steckenmessungen lassen sich auf den Schnitt von Kugeln zurückführen, und aus DopplerFrequenzverschiebungen abgeleitete Streckendifferenzen liefern den Beobachtungsort als Schnitt von Hyperboloiden. Ist die Satellitenbahn bekannt, so können mit solchen Relativmessungen auch die absoluten Positionen der Bodenpunkte abgeleitet werden. Dabei werden hochfliegende Satelliten wegen der kleineren Bahnstörungen durch das Gravitationsfeld und den Luftwiderstand bevorzugt.

5.2 Satellitenbeobachtungen

123

Zur Bestimmung des Gravitationsfeldes werden niedrig fliegende Satelliten benötigt. Dies ist hauptsächlich auf den in der Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials auftretenden Glättungsfaktor (ae /r)l zurückzuführen (ae = große Halbachse des Erdellipsoids), s. [3.3.2]. Hierdurch vergrößern sich die relativen Fehler der Kugelfunktionskoeffizienten bei höheren Entwicklungsgraden rasch. Beispielsweise beträgt die Amplitude der dem Grad l = 20 entsprechenden Struktur der Wellenlänge 2 000 km in 1 000 km Höhe nur noch 5 % im Vergleich zur Erdoberfläche. Dieser Effekt wird dadurch verstärkt, dass die Kugelfunktionskoeffizienten beim Ansteigen von Grad und Ordnung kleiner werden, s. [6.6.2]. Aus (5.38) folgt, dass zur äquatorialen Auflösung des Gravitationsfeldes bis zu einem Grad l der Satellit 2l Umläufe/Tag ausführen muss oder eine längere Beobachtungszeit notwendig wird. Wie (5.35) zeigt, hängt die Bestimmung der Kugelfunktionskoeffizienten stark von der Inklination des Satelliten ab. Um ein schlecht konditioniertes (ill conditioned) Netz zu vermeiden, ist eine entsprechende Verteilung der Satelliten über den Inklinationsbereich nötig, zu kleine Inklinationen und Exzentrizitäten sollten nicht auftreten. Im lang- und mittelwelligen Bereich stützt sich die Gravitationsfeldbestimmung überwiegend auf die Messung von Strecken und Streckenänderungen zwischen Satellit und Bodenstation sowie zwischen Satelliten. Eine hohe Feldauflösung wird durch an Bord niedrig fliegender Satelliten installierte Schweregradiometer erreicht. Die Satellitenaltimetrie liefert im Meeresbereich eine hochauflösende Annäherung an das Geoid und trägt damit wesentlich zur Gravitationsfeldbestimmung bei, s. [3.4.2]. Hohe Bahngenauigkeiten und Orientierung in Bezug auf das Gravitationsfeld werden bei diesen Missionen verlangt. Nicht-gravitative Bahnstörungen lassen sich durch eine kleine wirksame Querschnittsfläche und große Satellitenmasse reduzieren, vorteilhaft ist die Kugelgestalt. Der Luftwiderstand und der Sonnen-Strahlungsdruck können auch durch ein Kompensationssystem für Oberflächenkräfte (drag-free system) eliminiert werden. Dabei wird eine Prüfmasse freischwebend in einer fest mit dem Satelliten verbundenen Hüllkugel angeordnet. Während die Prüfmasse nur von der Gravitation beeinflusst wird, wirken auf die Hüllkugel zusätzlich die Oberflächenkräfte. Durch kontinuierliche Messung der Lageveränderungen zwischen Hüllkugel und Prüfmasse und Rückkopplung wird der Satellit laufend in Bezug auf die Prüfmasse zentriert. Sollen zeitliche Veränderungen von Positionen bzw. des Gravitationsfeldes bestimmt werden, so sind entsprechende Langzeitmessungen (möglichst mit demselben Satellitensystem) notwendig. In geodätisch genutzten Satelliten werden die folgenden Techniken, häufig auch in Kombination, eingesetzt: • Richtungsmessungen sind mit Hilfe einer Sonnenlicht reflektierenden Oberfläche (frühe Ballonsatelliten), mit Blitzlichteinrichtungen und durch einfallendes Licht zurückwerfende Retroreflektoren (in Arrays angeordnet) möglich, s. [5.2.4]. • Zur Messung von Strecken und Dopplerfrequenzen werden häufig modulierte Radiowellen benutzt, die kontinuierlich von an Bord des Satelliten installierten Sender/ Empfänger-Systemen ausgestrahlt bzw. empfangen werden, s. [5.2.4], [5.2.5].

124

5 Messmethoden

• Retroreflektor-Arrays aus Glasprismen (corner cube reflectors) reflektieren Laserlichtimpulse und dienen zur Laserdistanzmessung,s. [5.2.6]. • Radar-Altimeter führen senkrechte Streckenmessungen zur Meeresoberfläche durch, s. [5.2.7]. • Schweregradiometer messen den Gravitationsgradienten im Bereich des Satellitenkörpers, s. [5.2.8]. Zur präzisen Bahnbestimmung sind spezielle Mess-Systeme entwickelt worden. Sie bestehen aus einem Raum-, einem Boden- und einem Kontroll-Segment. Das französische DORIS System basiert auf einem weltweiten Netz von Bodenstationen, die kontinuierlich Radiosignale (2 GHz) aussenden, s. [2.3]. An Bord der Satelliten werden diese als Dopplerfrequenzverschiebungen empfangen und verarbeitet. Das deutsche PRARE (Precision Range and Range Rate Experiment) System ist ein ZweiwegMikrowellensystem (2,2 und 8,5 GHz), das im Satelliten installiert wird. Nach Reflektion am Bodentransponder wird im Satelliten die doppelte Signallaufzeit gemessen und weiter verarbeitet (Reigber und Hartl 1990). Diese Bahnbestimmungssysteme arbeiten seit den 1990er Jahren auf verschiedenen Satelliten, s. [5.2.7], sie werden auch zur Ortsbestimmung für die Bodenstationen genutzt. Erreicht werden radiale Bahngenauigkeiten zwischen wenigen cm und 1 dm, Geschwindigkeiten können mit einer Genauigkeit von ±0,1 bis 0,3 mm/s bestimmt werden. In zunehmendem Maße werden zur Bahnbestimmung auch GPS-Empfänger auf niedrig fliegenden Satelliten (Low Earth Orbiter: LEO) installiert, dabei werden ähnliche Genauigkeiten erreicht (Yunck und Melbourne 1996). An die Zeitbestimmung werden in der Satellitengeodäsie hohe Anforderungen gestellt. Bei Bahngeschwindigkeiten von einigen km/s muss die Zeitepoche auf ±1 μs bestimmt werden, um Bahnfehler kleiner als 1 cm zu halten. Streckenmessungen zu Satelliten erfordern die Messung von Zeitintervallen auf ±0,1 ns, damit cm-Genauigkeit erreicht wird. Dieses Genauigkeitsniveau wird mit Rubidium- oder Cäsium-Frequenznormalen erreicht, die durch Zeitsignale an UTC angeschlossen sind. Quartz-Oszillatoren können in Satellitenempfängern benutzt werden, wenn eine externe Kontrolle z. B. durch das Satellitensystem gewährleistet wird, s. [5.2.5]. Weitere Einzelheiten zu den in der Geodäsie genutzten Satelliten finden sich in den folgenden Kapiteln. 5.2.4

Messungen von Richtungen, Strecken und Streckenänderungen: Klassische Methoden

Satellitenbeobachtungen begannen 1957. Die Messung und Auswertung stützte sich zunächst auf die Methoden, die zur Beobachtung des Mondes und hoch fliegender Ballons entwickelt worden waren. Während einige der bis in die 1980er Jahre angewandten Verfahren heute keine Bedeutung mehr besitzen, sind andere weiter entwickelt worden und werden weiterhin intensiv genutzt. Resultate der frühen Satellitenmissionen sind teilweise bis heute für die Verbesserung und Orientierung klassischer geodätischer

5.2 Satellitenbeobachtungen

125

Netze und für die Berechnung von Erdmodellen von Bedeutung, s. [6.8.1]. Bis etwa 1970 herrschten Richtungsmessungen zu Satelliten vor. Sie erlaubten erstmals die Einrichtung globaler und regionaler dreidimensionaler Netze, außerdem konnten die Kugelfunktionskoeffizienten niederen Grades für das Gravitationsfeld abgeleitet werden. Bei optischen Richtungsmessungen wird ein beleuchteter Satellit gemeinsam mit den Fixsternen durch eine photographische Aufnahme auf Film oder einer Glasplatte abgebildet. Benutzt wurden das Sonnenlicht reflektierende Ballonsatelliten (z. B. Pageos, 1966 – 1972, Durchmesser 30 m, i = 87◦ , h = 2 800 bis 5 600 km) und Lichtblitze von aktiven Satelliten. Azimutal montierte ballistische Kameras (z. B. Wild BC4) besaßen große Bildfeldwinkel und waren handlich im Gebrauch. Parallaktisch (d. h. im Äquator-System) montierte astronomische Kameras ließen sich der Sternbewegung nachführen, wegen der großen Brennweiten konnten auch lichtschwache Sterne erfasst werden. Orbitalkameras konnten auch der Satellitenbewegung folgen. Nach der photographischen Entwicklung und Sternidentifizierung wurden die Satellitenund die Stern-Bildpunkte an einem Präzisionskomparator ausgemessen (±1 μm). Anschließend wurden die Plattenkoordinaten des Satelliten in räumliche Richtungen (Rektaszension, Deklination) transformiert, die Transformationsparameter ergaben sich aus den bekannten Richtungen zu den Fixsternen, s. [2.4.1]. Da der Satellit sich innerhalb der Atmosphäre befindet, ist die für Sternbeobachtungen geltende astronomische Refraktion, s. [5.3.3], um die Satellitenrefraktion (Abb. 5.28) zu reduzieren: tan z zsat = 0,48 . (5.39) h[1 000 km]

Die Genauigkeit der Richtungsmessungen betrug ±0,2 bis ±2 , eine Genauigkeitssteigerung war wegen der Komparatormessfehler, der Szintillation und der Unsicherheit der Sternkoordinaten nicht möglich. Der japanische Satellit EGS (auch Ajisai, i = 50◦ , h = 1 500 km) ist ein Beispiel für derzeit noch durchgeführte Richtungsmessungen. Die Oberfläche dieses kugelförmigen Satelliten ist mit verspiegelten Flächenstücken und Reflektorgruppen für Laserdistanzmessungen belegt. Der Satellit rotiert so um seine Achse, dass auffallendes Sonnenlicht periodisch mit zwei Blitzen/Sekunde reflektiert wird. Mikrowellen-Streckenmessungen begannen in den 1960er Jahren und sind bis heute von größter Bedeutung. Beim Secor (Sequential Collation of Range) System wurden modulierte Mikrowellen (zwei Frequenzen) von den Bodenstationen ausgesandt und vom Transponder im Secor-Satelliten zurückgesendet. Die Entfernung wurde mit der Phasenvergleichsmethode, s. [5.5.2], aus der Signallaufzeit berechnet. Entsprechend aufgebaute räumliche Trilaterationsnetze dienten insbesondere zum Anschluss isolierter geodätischer Netze an ein globales Bezugssystem. Erreicht wurde eine Präzision von wenigen m, doch traten auch systematische Fehler bis zu einigen 10 m auf.

Von den 1970er Jahren an entwickelte sich die Dopplerpositionierung zu einer operationellen Technik für den Aufbau oder die Verbesserung geodätischer Netze. Darüber

126

5 Messmethoden

hinaus konnten aus der Bahnanalyse der verwendeten Satelliten verbesserte Gravitationsfeldmodelle und Erdrotationsparameter hergeleitet werden. s3(t3)

S2(t2) S1(t1)

ENBAHN ELLIT SAT

fS

fS

s1(t1)

s3

s2

fS s1

S3(t3)

fg(t2 + Dt2) fg(t3 + Dt3)

fg(t1 + Dt1) P

Abb. 5.7. Satelliten-Dopplerpositionierung

Bei den Dopplermessungen strahlt ein Sender an Bord des Satelliten S kontinuierlich die Frequenz fs aus (Abb. 5.7). An der Bodenstation P wird ein Signal mit der Frequenz fg und der Zeitverschiebung t gegenüber der Sendezeit t empfangen. fg ist wegen der Relativgeschwindigkeit s˙ = ds/dt des Satelliten in Bezug auf den Beobachter gegenüber fs verschoben (Doppler-Effekt): fg − fs = −

fs s˙ . c

(5.40)

Die Doppler-Frequenzverschiebung ist proportional zu s˙ ; im Zeitpunkt der größten Annäherung des Satelliten an den Beobachter (˙s = 0) tritt eine Vorzeichenumkehr ein. Aus (5.40) lässt sich grundsätzlich eine Streckenänderung (range rate) durch Integration über die Zeit bestimmen. In der Praxis wird fg mit einer im Doppler-Empfänger erzeugten konstanten Bezugsfrequenz f0 ≈ fs verglichen. Integration über ein Zeitintervall ergibt den Doppler-Zählwert (Doppler count)  Nij =

tj +tj

ti +ti

(f0 − fg ) dt.

(5.41)

Mit (5.40) erhalten wir die Beobachtungsgleichung Nij = (f0 − fs )(tj − ti ) +

f0 (sj − si ), c

(5.42)

sie erlaubt die Berechnung der Streckenänderung sj − si aus den Doppler-Zählwerten. Dopplermessungen sind als Mikrowellenmessungen unabhängig von den Wetterbedingungen, innerhalb kurzer Zeit können große Datenmengen gewonnen werden.

5.2 Satellitenbeobachtungen

127

Heute werden Dopplermessungen bei verschiedenen Satellitenmissionen und bei dem DORIS-Positionierungssystem genutzt, s. [5.2.3]. Das Navy Navigation Satellite System (NNSS) oder Transit System stellte eine wichtige Anwendung von Dopplermessungen dar (Anderle 1986). Als Navigationssystem für die US Marine entwickelt, wurde es früh für zivile Anwender geöffnet und zwischen 1964 und 1996 erfolgreich genutzt. Eine Positionsbestimmung basierte auf jeweils 4 bis 7 im Umlauf befindlichen TransitSatelliten (h = 1 100 km, i ≈ 90◦ ), welche kontinuierlich Frequenzen von 150 und 400 MHz ausstrahlten. Die Bahnebenen der Satelliten waren in Bezug auf die geographische Länge gleichmäßig so verteilt, das wegen der Erdrotation am Äquator spätestens nach jeweils zwei Stunden ein Satellit sichtbar wurde. Die Satellitenbahnen wurden durch Dopplermessungen von vier in den USA gelegenen Tracking-Stationen bestimmt. Die Ephemeriden bezogen sich ursprünglich auf das World Geodetic System 1972 (WGS72) und später auf das WGS84, s. [5.2.5]. Die von den Satelliten in Zwei-Minuten Intervallen ausgesendeten „broadcast ephemeris“ besaßen eine Genauigkeit von ±10 bis 20 m, außerdem wurden UTC Zeitsignale abgegeben. Autorisierten Nutzern wurden später auch die „precise ephemeris“ (±1 bis 2 m) zur Verfügung gestellt. Unter den kommerziell vertriebenen Doppler-Empfängern befanden sich auch einige speziell auf geodätische Nutzungen abgestimmte tragbare Systeme. Hauptbestandteile dieser Empfänger waren der Referenz-Oszillator, der Mikroprozessor, eine Datenaufzeichnungseinheit, die Antenne und die Energieversorgung. Der Einfluss der ionosphärischen Refraktion konnte weitgehend durch die Benutzung von zwei Frequenzen eliminiert werden, s. [5.1.3]. Der Einfluss der troposphärischen Refraktion wurde mit Hilfe von Atmosphärenmodellen und gemessenen meteorologischen Daten berechnet, s. [5.1.2]. Aus einem Satellitendurchgang konnte die Lage auf ±10 bis 30 m bestimmt werden, bei 30 bis 50 Durchgängen reduzierte sich diese Unsicherheit auf ± 2 bis 5 m (broadcast ephemeris) bzw. ±0,5 bis 1 m (precise ephemeris). Relative Punktbestimmungen nutzten simultane Messungen auf zwei oder mehr Bodenstationen. Hierdurch reduzierten sich Bahnund Refraktionsfehler weitgehend, so dass Streckengenauigkeiten von ±0,2 bis 0,5 m erzielt wurden (Seeber et al. 1982).

Mit der vollen Operationalität des GPS-Systems wurde das NNSS-System nicht mehr weiter aufrechterhalten. 5.2.5

Global Positioning System (GPS)

Das NAVSTAR/GPS (Navigation System with Time and Range/ Global Positioning System) ist ein satellitengestütztes Radionavigationssystem. Es wird vom US Department of Defense (DOD) betrieben. Die Systementwicklung begann 1973, 1978 wurden die ersten GPS-Satelliten in Umlauf gebracht, und 1993 wurde das Sytem vollständig operationell. GPS erlaubt die Echtzeitnavigation und die Positionsbestimmung mit Hilfe von Einweg-Mikrowellen-Entfernungsmessungen zwischen dem Satelliten und dem GPS-Empfänger. Die Nutzung von GPS für geodätische Zwecke wurde früh untersucht (Seeber 1984), und die GPS-Positionierung wird heute in der Geodäsie für die unterschiedlichsten Aufgaben globaler, regionaler und lokaler Art eingesetzt, einschließlich der Bestimmung von Punktbewegungen. Zum GPS-Verfahren existieren eine Anzahl von Lehrbüchern (u. a. Leick 1995, Hofmann-Wellenhof et al. 2001),

128

5 Messmethoden

siehe auch Seeber (2003) und zum aktuellen Stand Teunissen und Kleusberg (1998a) sowie die Proceedings der Satellite Division des Institute of Navigation (ION). Das Grundkonzept von GPS besteht darin, an jedem Punkt der Erde ständig wenigstens vier Satelliten oberhalb des Horizonts verfügbar zu haben. Im Prinzip lassen sich bereits aus drei gemessenen Strecken die dreidimensionalen Koordinaten der Empfängerantenne als Schnitt von Kugelschalen berechnen. Eine vierte Streckenmessung ist erforderlich, da die Uhren im Satelliten und im Empfänger nicht synchronisiert sind, also ein Synchronisationsfehler als vierte Unbekannte auftritt. Die aus der Signallaufzeit abgeleiteten Strecken werden deshalb auch als Pseudoentfernung (pseudo range) bezeichnet (Abb. 5.8). SAT B

EU DO RE ST

TRE CKE PS EU DO ST RE CK E

SAT D

CK

PSE UDO S

PS

CKE OSTRE PSEUD

SAT A

SAT C

E P GPS EMPFÄNGER

Abb. 5.8. GPS-Positionsbestimmung

Wir unterscheiden zwischen dem Raum-, dem Kontroll- und dem Nutzer- Segment von GPS. Das Raumsegment besteht aus mindestens 21 Satelliten (+ 3 zusätzlichen Reservesatelliten), die in sechs genähert kreisförmigen Bahnen (i = 55◦ , 12 h Umlaufperiode) in einer Höhe von etwa 20 200 km angeordnet sind (Abb. 5.9, Abb. 5.10). Wegen der begrenzten Lebensdauer eines Satelliten (im Durchschnitt 10 Jahre) ist ein regelmäßiger Ersatz in Blöcken vorgesehen, wobei mit jedem Block auch technische Verbesserungen vorgenommen werden; im Mai 2001 waren 23 Satelliten vom Block II bzw. IIa und 6 Satelliten vom Block IIR (replenishment) im Orbit. Ab 2005 wird die Nachfolgegeneration Block IIF (follow-on) gestartet. Atomuhren (zwei Rubidium- und zwei Cäsium-Uhren je Satellit) mit einer relativen Langzeitstabilität von 10−12 bis 10−13 dienen als Frequenzstandard hoher Präzision, s. [2.2.1]. Sie liefern die Grundfrequenz von 10,23 MHz. Durch Multiplikation werden hieraus zwei Trägerwellen im L-Band erzeugt und kontinuierlich ausgesendet (L1: 1 575,42 MHz entsprechend 19,0 cm Wellenlänge, L2: 1127,60 MHz entsprechend 24,4 cm). Den L1 und L2 Trägern sind zwei Code-Signale und ein Datensignal (Navigationsnachricht) aufmoduliert. Bei den Codes handelt es sich um binäre Signale

5.2 Satellitenbeobachtungen

Abb. 5.9. GPS (Global Positioning System) Satellit, The Aerospace Corporation, El Segundo, CA, USA

129

Abb. 5.10. GPS-Konfiguration

(Folge von +1 und −1) mit zufallsähnlichem Charakter (pseudo-random noise PRN), Abb. 5.11. Der C/A-Code (coarse/acquisition code) ist nur auf L1 mit einer WiederhoZEIT TRÄGER PRN - +1 CODE -1 SIGNAL

Abb. 5.11. GPS-Signale

lungsrate von 1 ms moduliert (Frequenz 1,023 MHz entsprechend 293 m Wellenlänge). Der P-Code (precise code) ist auf L1 und L2 moduliert (Frequenz 10,23 MHz entsprechend 29,3 m), die Wiederholungsrate beträgt 266 Tage. Er dient hauptsächlich zur präzisen Navigation und ist autorisierten Nutzern vorbehalten. Die Navigationsnachricht (navigation message) wird auf L1 und L2 ausgesendet. Sie enthält die SatellitenEphemeriden (broadcast ephemeris) in Form von Keplerelementen, verschiedenen Zeitableitungen und Bahnkorrekturen, eine Uhrkorrektion (auf GPS-Zeit bezogen), die Koeffizienten eines troposphärischen Refraktionsmodells und Informationen über den Status des GPS-Systems. Die vorausberechneten Broadcast Ephemeriden besitzen eine Genauigkeit von einigen m und nähern sich heute der Submeter-Genauigkeit. Mit dem vollen Ausbau des GPS-Systems wurde vom DOD der Zugang für zivile Nutzer eingeschränkt. Der Präzise Positionierungsdienst (Precise Positioning Service PPS) liefert autorisierten Nutzern (in der Regel militärische Dienststellen) sämtliche GPS-Signale und damit die volle Systemgenauigkeit (±10 bis 20 m oder besser). Der Standard-Positionierungsdienst (Standard Positioning Service SPS) stellt nur den C/A-

130

5 Messmethoden

Code bereit. Der P-Code ist durch Anti-Spoofing (AS) verschlüsselt, was zu dem unzugänglichen Y-Code führt. Zwischen 1990 und 2000 waren die GPS-Signale für nicht autorisierte Nutzer nur beschränkt verfügbar: Selective Availability (SA). Erreicht wurde das durch eine systematische Verfälschung der Satellitenuhren und eine Manipulation der Ephemeridendaten. Dies führte zu größeren Fehlern in den Pseudoentfernungen, die absolute Genauigkeit der Positionsbestimmung verringerte sich auf etwa 100 m in der horizontalen Lage und 150 m in der Höhe. Bei geodätischen Anwendungen konnten diese Einflüsse weitgehend durch Differentialtechniken eliminiert werden. Die Aufhebung von SA führte dann wieder zu einer Genauigkeitssteigerung bei der Positionierung und der Zeitübertragung, heute wird fast die für autorisierte Nutzer erreichbare Genauigkeit gewährleistet.

Das GPS-Kontrollsegment ist für den laufenden Betrieb des Satellitensystems, die Bestimmung der GPS-Zeit und die Vorausberechnung und Speicherung der Navigationsdaten verantwortlich. Es besteht aus der Hauptkontrollstation (master control station) in Colorado Springs, CO, USA, und fünf global verteilten Monitorstationen. Die Stationen sind mit Cäsium-Oszillatoren und GPS-Empfängern ausgerüstet. Sie messen kontinuierlich die Pseudoentfernungen zu sämtlichen Satelliten und übertragen die Ergebnisse zur Hauptkontrollstation. Nach Berechnung der Satellitenbahnen und der Uhrkorrektionen werden die (extrapolierten) Broadcast Ephemeriden und die GPSZeit über Bodenantennen an die Satelliten übertragen und dort gespeichert. Dieses operationelle Kontrollsystem wird durch eine Anzahl zusätzlicher, von der U.S. National Imagery and Mapping Agency (NIMA) betriebenen Monitorstationen (1997: 7 Stationen) ergänzt. Die GPS Ephemeriden beziehen sich auf ein erdfestes, durch die Koordinaten der Monitorstationen definiertes System: World Geodetic System (WGS). Es wurde seit Ende der 1950er Jahre vom DOD entwickelt und mit den Bezeichnungen WGS 60, WGS 72 und WGS 84 realisiert. Das WGS soll als Grundlage für die Kartenherstellung, die Positionsbestimmung und die Navigation dienen und internationalen Standards für geodätische Bezugssysteme genügen. Die Definitionsparameter für die jüngste Version des WGS 84 lauten (Slater und Malys 1998, NIMA 2000): • große Halbachse a = 6 378 137 m, • reziproke Abplattung 1/f = 298,257 223 563, • geozentrische Gravitationskonstante GM = 398 600,4418 × 109 m3 s−2 , einschließlich des Atmosphärenanteils GMatm = 0,35 × 109 m3 s−2 , • Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ω = 7,292 115 × 10−5 rad s−1 . WGS 84 fällt damit praktisch mit dem Geodätischen Bezugssystem 1980 zusammen, s. [4.3]. Das zugehörige Schwerefeld ist durch das globale Geopotentialmodell EGM 96 (vollständige Kugelfunktionsentwicklung bis zu Grad und Ordnung 360) gegeben, s. [6.6.3]. Die Koordinaten der Monitorstationen beziehen sich auf die Epoche 1997.0, berücksichtigt ist die Auswirkung der Erdgezeiten (tide-free system), s. [3.4.1], und der

5.2 Satellitenbeobachtungen

131

tektonischen Plattenbewegungen. Die Genauigkeit der WGS 84-Koordinaten beträgt ±0,05 m, in diesem Maße stimmen auch das WGS 84 und das Internationale Terrestrische Bezugssystem (ITRF) überein, s. [2.5.3]. Die GPS-Zeit (Einheit SI-Sekunde) wird durch die Cäsium-Uhren der Kontrollsegment-Stationen definiert. Sie stimmte am 5. Januar 1980 mit UTC überein und unterscheidet sich inzwischen näherungsweise um eine ganze Zahl von Sekunden. Diese sich vergrößernde Differenz wird dadurch verursacht, dass in die GPS-Zeit keine Schaltsekunden eingefügt werden, s. [2.2.2]. Der aktuelle Unterschied (einige 10 ns) zwischen GPS-Zeit und UTC ist Teil der GPS-Navigationsnachricht (±10 ns). GPS ist damit auch ein sehr leistungsfähiges System zur Zeitübertragung. Die Genauigkeit eines Uhrenvergleichs beträgt ±100 ns, sie erhöht sich bei Differentialtechniken auf ±10 ns und besser. Zur Zeitübertragung stehen auch spezielle GPS-Zeitempfänger zur Verfügung, die als C/A-Einkanal-Instrumente automatisch operieren. Seit den 1970er Jahren wurde in der früheren Sowjetunion ein ähnliches Satelliten-Navigationssystem entwickelt: GLONASS (Global Navigation Satellite System). Es arbeitet ebenso wie GPS als Einweg-Entfernungsmesssystem und ist seit 1996 betriebsbereit (Zarraoa et al. 1997). Im Vollausbau soll das System aus 24 Satelliten (einschließlich von drei Reservesatelliten) bestehen, die in einem gleichmäßigen Abstand von 45◦ über drei genähert kreisförmige, um 120◦ gegeneinander versetzte Bahnen (i = 64,8◦ , h = 19 100 km, Umlaufzeit etwa 11,2 h) so verteilt sind, dass jederzeit fünf Satelliten sichtbar sind. Die Satelliten senden in zwei Frequenzbändern (1 602 − 1 615 MHz, 1 246 − 1 256 MHz) mit verschiedenen Frequenzen für jeden Satelliten (im Gegensatz zu GPS). Die C/A- und P-Code Modulationen sind dagegen für alle Satelliten gleich. Eine Signalverfälschung wird bei GLONASS nicht vorgenommen. Zur Bahnbestimmung sind die Satelliten mit Laser-Reflektoren ausgestattet. Das Kontrollsegment besteht aus einer Hauptkontrollstation nahe Moskau und einer Anzahl von Sekundärstationen, die über das Gebiet der früheren Sowjetunion verteilt sind. Die Ergebnisse der GLONASS Positionsbestimmung beziehen sich auf das Referenzsystem PZ90, welches auf dem sowjetischen Bezugssystem SGS85 beruht. Die Transformationsparameter des PZ90 zum WGS 84 sind mit einer Genauigkeit von einigen m bekannt (Misra und Abbot 1994). GLONASS benutzt ein eigenes Zeitsystem (UTC + 3 Stunden), das durch Einfügen von Schaltsekunden innerhalb von 1 μs mit UTC übereinstimmt. Seit einigen Jahren besteht allerdings das Problem, dass sich nur eine begrenzte Anzahl von funktionsfähigen Satelliten im Orbit befindet (2002: 6 Satelliten). Seit 1999 wird ein europäisches Navigations-Satellitensystem (GALILEO) diskutiert. Dieses Entfernungsmesssystem soll unter Verwendung von vier Trägerfrequenzen eine EchtzeitPositionsbestimmung im Sekundentakt und mit einer Genauigkeit von 10 m (95 % Vertrauensbereich) liefern (Divis 1999). Im Jahr 2002 haben die europäischen Verkehrsminister die Anschubfinanzierung für dieses Projekt bewilligt. Danach sollen 30 Satelliten bis zum Jahre 2008 in 24 000 km Höhe operieren. Als Oberbegriff für satellitengestützte Navigations- und Positionierungs-Systeme oder Kombinationen von solchen wird neuerdings die Abkürzung GNSS (Global Navigation Satellite System) benutzt.

Das Nutzersegment ist der GPS-Empfänger, wobei für die unterschiedlichen Anwendungen in Navigation, Geodäsie und Vermessungswesen die verschiedensten Geräte entwickelt worden sind. Die wichtigsten Komponenten eines Empfängers sind die Antenne, die Empfängerelektronik, der Mikroprozessor, der Oszillator, der Daten-

132

5 Messmethoden

speicher, das Benutzer-Interface und eine Energiequelle. Eine zusätzliche TelemetrieEinheit kann u. a. zur Datenübertragung zwischen verschiedenen Empfängern benutzt werden. Die vom Satelliten ausgesandten Signale werden von der Antenne empfangen und verstärkt. Nach Identifizierung werden die Signale im Signalprozessor zu Pseudoentfernungen verarbeitet, hierbei ist grundsätzlich ein Kanal für das Tracking eines Satelliten zuständig. Heutige Empfänger enthalten 12 oder mehr Kanäle für jede Frequenz (Mehrkanaltechnik). Der Mikroprozessor dient der Empfängerkontrolle und steuert die Datenerfassung, als Navigationslösung stellt er die dreidimensionale Position der Antenne im WGS 84 und bei bewegten Antennen auch die Geschwindigkeit und das Azimut bereit. Der Quarzoszillator generiert die Bezugsfrequenz, die genähert mit der GPS-Zeit synchronisiert ist. Sämtliche Daten (Pseudoentfernungen, Phasen, Zeit, Navigationsnachricht) werden im Datenspeicher registriert. Damit wird das bei geodätischen Anwendungen übliche Post-Processing von meist in mehreren Beobachtungskampagnen vermessenen Basislinien oder Netzen (Mehrstationslösung) möglich, s. [6.1.2]. Die Kontroll- und Anzeigeeinheit (user interface) enthält ein Tasten- und ein Anzeigefeld für die Kommunikation zwischen dem Nutzer und dem Gerät. Zur Stromversorgung dienen interne wiederaufladbare Nickel-Cadmium-Batterien. Während GPS-Navigationsempfänger nur die Code-Signale benutzen (siehe unten), müssen bei geodätischen Empfängern wegen der höheren Genauigkeitswünsche auch die Trägerphasen als Messgrößen verfügbar sein (Langley 1997). Geodätische Empfänger benutzen beide Frequenzen (L1 und L2) und sind als Mehrkanalgeräte mit Zugang zum P-Code und der vollständigen Trägerwelleninformation konzipiert. Weitere Charakteristika sind das niedrige Empfänger-Rauschen im Code und der Trägerphase, eine hohe Datenrate (> 1 Hz) und eine große Speicherkapazität. Das Antennenphasenzentrum soll zeitlich stabil und gegen Mehrwegreflexionen (multipath) abgeschirmt sein. Das Macrometer (1982) war der erste für geodätische Anwendungen entwickelte Empfänger (codefrei, eine Frequenz, 6 parallele Kanäle). Der Texas Instruments TI 4100 GPS Navigator (1984) stellte bereits sämtliche geodätisch bedeutsame Messgrößen bereit (P- und C/A-Code Pseudoentfernungen, Trägerphasen auf L1 und L2), eine Multiplextechnik erlaubte die Erfassung mehrerer Satelliten. Die Leistungsfähigkeit geodätischer Empfänger wird in der Literatur diskutiert (z. B. Heer und Schwieger 1999), Abb. 5.12 bis 5.14 zeigen einige neuere Geräte. Kombinierte GPS/GLONASS-Empfänger sind ebenfalls verfügbar (Abb. 5.15). Sie erlauben die Nutzung einer beliebigen Kombination von GPS-und GLONASS-Satelliten, bei voll ausgebauten Systemen werden stets 12 bis 21 Satelliten sichtbar sein. Mit der größeren Zahl verfügbarer Satelliten verbessert sich die Satelliten/Empfänger-Geometrie, die Zuverlässigkeit und die Genauigkeit der Positionsbestimmung wird erhöht.

Bei der GPS-Positionsbestimmung unterscheiden wir zwischen Code-und Trägerphasenmessungen. Codemessungen benutzen die Laufzeit t eines Signals zwischen dem Satelliten und der Empfängerantenne. Die Laufzeit wird dabei durch Vergleich der Phasenlage einer empfangenen Codefolge mit der Phasenlage einer im Empfänger erzeugten Kopie des Codes bestimmt (Korrelationstechnik). Die Multiplikation von t mit

5.2 Satellitenbeobachtungen

133

der Lichtgeschwindigkeit c ergibt die Pseudoentfernung zwischen dem Satelliten und der Antenne, vgl. [5.1.1]. Unter Berücksichtigung des Uhr-Synchronisationsfehlers δt

Abb. 5.12. Kontinuierlich arbeitende GPS Referenzstation (CORS) mit Empfänger (GPS Totalstation 4700) und Choke Ringantenne, Trimble Navigation Ltd., Sunnyvale, CA, USA

Abb. 5.13. Geodätischer GPS Zweifrequenzempfänger (GPS Totalstation SR530) mit Terminal TR500 und Telemetrieantenne, Leica Geosystems AG, Heerbrugg, Schweiz

Abb. 5.14. Geodätischer GPS Zweifrequenzempfänger (GePoS Experience) mit Antenne, Zeiss/Spectra Precision AB, Danderyd, Schweden

Abb. 5.15. GPS/GLONASS Empfänger mit Antenne, JAVAD Positioning Systems/TOPCON, Paramus, NJ, USA

lautet die Beobachtungsgleichung für die Pseudoentfernung R wie folgt: R = ct = s + cδt. Hierbei gilt im globalen Koordinatensystem für die Entfernung s: s = (Xs − Xp )2 + (Ys − Yp )2 + (Zs − Zp )2 ,

(5.43a)

(5.43b)

wobei Xs , Ys , Zs und Xp , Yp , Zp die geozentrischen Koordinaten des Satelliten bzw. der Bodenstation sind. Mit den vom Satelliten ausgesandten Broadcast Ephemeriden

134

5 Messmethoden

lassen sich damit die Koordinaten der Bodenstation und die Empfängeruhrkorrektion aus gleichzeitigen Messungen zu mindestens vier Satelliten bestimmen. In (5.43) ist vorausgesetzt, dass die atmosphärischen Refraktionseffekte durch Reduktionen hinreichend erfasst sind (siehe unten). Die Genauigkeit wird bei dieser Methode durch das Messrauschen begrenzt. Sie hängt von der Wellenlänge ab und liegt bei Verwendung des C/A-Codes im Meter- und beim P-Code im Dezimeter-Bereich. Diese Standardverfahren der Navigation liefert in Echtzeit eine Positionierungsgenauigkeit von etwa 10 m und besser. Aus der Integration von Doppler-Frequenzverschiebungen (Doppler counts) der Trägerfrequenz lassen sich nach (5.41) und (5.42) Differenzen von Pseudoentfernungen berechnen. Sie werden in der Navigation für die Geschwindigkeitsbestimmung genutzt. Dopplerlösungen spielen außerdem bei der Mehrdeutigkeitsbestimmung von Trägerphasenmessungen eine Rolle. Zur Echtzeit-Positionierung ist diese Methode wegen der erforderlichen längeren Beobachtungszeit nicht geeignet. Relative GPS-Methoden (differential GPS: DGPS) liefern Koordinatendifferenzen zwischen zwei oder mehr Stationen. Dies wird durch simultane Messung auf allen beteiligten Stationen erreicht, wobei wenigstens eine Station koordinatenmäßig bekannt sein muss. Eine andere Möglichkeit besteht im Anbringen von Korrektionen, die von einer (oder auch mehreren) kontinuierlich betriebenen Referenzstation geliefert werden. Entsprechende DGPS-Dienste sind gerade auch für Navigationszwecke in vielen Gebieten eingerichtet worden, s. [7.3.2]. Die für ein bestimmtes Einzugsgebiet geltenden Korrektionen werden dabei aus dem Vergleich der auf den Referenzstationen gemessenen mit den berechneten Pseudoentfernungen ermittelt. Über Entfernungen von 50 km bis zu einigen 100 km werden dabei Genauigkeiten von einem halben Meter bis zu wenigen Metern erreicht.

Geodäsie und Vermessungswesen verlangen Genauigkeiten, die i. Allg. um wenigstens zwei Größenordnungen höher sind als in der Navigation. Dies wird durch Trägerphasenmessungen erreicht. Das Messrauschen liegt hierbei wegen der kürzeren Trägerwellenlänge nur im mm- bis sub-mm-Bereich (Beutler et al. 1987). Nach Abzug des Codes lässt sich die Trägerphase durch Vergleich des empfangenen Trägersignals mit der im Empfänger erzeugten Referenzfrequenz ermitteln. Um L2 unter AS-Bedingungen (Verschlüsselung des P-Codes) zu rekonstruieren, sind verschiedene Techniken entwickelt worden. Hierzu zählt die Quadriertechnik (durch Multiplikation des empfangenen Signals mit sich selbst fällt der Code heraus) und die Kreuzkorrelation von L1 und L2. Die gemessene Phasendifferenz ϕ = ϕc − ϕ0

(5.44)

(φc , φ0 = Phase der Träger- bzw. der Referenzwelle) ist mit der Strecke s durch die Beobachtungsgleichung 2π ϕ = (s − N λ + cδt) (5.45) λ verknüpft, die auch bei terrestrischen Entfernungsmessungen auftritt, s. [5.5.2]. N ist eine ganze Anzahl von vollständigen Trägerwellenzügen innerhalb der Strecke s, und

5.2 Satellitenbeobachtungen

135

δt ist der Synchronisationsfehler der Empfängeruhr. Durch N wird eine Mehrdeutigkeit (ambiguity) eingeführt, die Bestimmung von N ist das Hauptproblem bei der Auswertung von (5.45). Zur Mehrdeutigkeitslösung stehen verschiedene Algorithmen zur Verfügung, u. a. das Einbeziehen von mehrdeutigkeitsfreien Dopplerlösungen, die Kombination von Code- und Trägerphasen und auf Kombinationen von L1 und L2 angewandte statistische Suchmethoden. Schwierigkeiten entstehen, wenn der Empfänger das Satellitensignal verliert. Solche plötzlichen Sprünge um eine ganze Zahl von Zyklen werden als cycle slips bezeichnet. Sie werden entweder bei der Datenvorverarbeitung entfernt oder in der Berechnung durch Einführen eines zusätzlichen Mehrdeutigkeitsparameters in der betroffenen Pseudostrecke berücksichtigt. Beim Durchlaufen der Atmosphäre unterliegen die GPS-Signale Wegverzögerungen. Die ionosphärische Refraktion, s. [5.1.3], verursacht Streckenfehler in der Meterbis 100 m-Größenordnung. Die Ergebnisse von Einfrequenzempfängern können mit Hilfe der Satellitennachricht durch eine Laufzeitreduktion verbessert werden. Bei Zweifrequenzempfängern lässt sich (5.23) auf die Frequenzen f1 und f2 anwenden. Hieraus folgt für die Strecke (Code-Messungen): s=

s1 f12 − s2 f22 f12 − f22

.

(5.46)

Die ionosphärische Refraktion ist in (5.46) eliminiert, s1 und s2 sind die auf L1 und L2 gemessenen Distanzen. Eine entsprechende Gleichung lässt sich für Trägerphasenmessungen aufstellen. Die troposphärische Refraktion kann Fehler von einem Meter (Zenitrichtung) bis zu 10 m (Horizontnähe) verursachen. Diese Wegverzögerungen können mit Hilfe von Troposphärenmodellen und an der Erdoberfläche gemessenen Wetterdaten berechnet werden, s. [5.1.2]. Dabei bleibt die „nasse“ Komponente ein kritischer Punkt. Eine verbesserte Bestimmung dieses Anteils (Wasserdampfgehalt längs des Strahlweges) ist mit Wasserdampf-Radiometern möglich. Außer dem direkten Signal können auch in der näheren Umgebung reflektierte Signale die Antenne erreichen: Mehrwegausbreitung (multipath). Hierdurch werden sowohl Code- als auch Trägerphasenmessungen beeinflusst, die Entfernungsmessungen können um cm bis dm verfälscht werden. Diese Mehrwegeffekte lassen sich durch ein entsprechendes Antennen-Design und eine sorgfältige Stationsauswahl verkleinern. Das Antennen-Phasenzentrum (liegt in der Nähe des geometrischen Zentrums) variiert in Abhängigkeit von der Höhe und dem Azimut des Satelliten, so dass eine Antennenkalibrierung notwendig wird (Menge et al. 1998). Der Fehlerhaushalt von GPS setzt sich aus den Fehlern der Satellitenbahn und der Satellitenuhr, restlichen Refraktionseffekten und Fehlern im Empfänger zusammen. Die Bahnfehler liegen in der Größenordnung von wenigen m (Standard-Positionierungsdienst). Für das Post-Processing stellt der Internationale GPS-Dienst (IGS) der IAG, s. [7.3.1], qualitativ hochwertige GPS-Daten und Bahninformationen zur Verfügung, u. a. „präzise“ (precise) und „rasche“ (rapid) GPS Ephemeriden. Die präzisen Ephemeriden sind nach 7 Tagen mit einer Präzision von ±3 bis 5 cm verfügbar. Die raschen Ephemeriden stehen bereits nach 24 Stunden

136

5 Messmethoden

zur Verfügung, sie sind nur geringfügig ungenauer. Der Satellitenuhr-Parameter wird mit einer Präzision von ±1 ns bereit gestellt. Die Genauigkeit dieser IGS-Produkte dürfte genähert der Präzision entsprechen.

Uhrfehler können sich mit etwa 1 m und mehr in der Entfernung auswirken. Restfehler der ionosphärischen Refraktion betragen bei Zweifrequenzempfängern nur wenige cm, troposphärische Modellfehler können jedoch einen Dezimeter erreichen. Das Empfängerrauschen beträgt etwa 0,1 % der Signalwellenlänge, was der dm-Größenordnung beim C/A-Code und 1 bis 2 mm beim P-Code entspricht (Langley 1997). Die Variationen des Antennen-Phasenzentrums können einige cm erreichen. Die Genauigkeit der GPS-Positionsbestimmung hängt auch von der geometrischen Konstellation der Satelliten in Bezug auf den Empfänger und der Beobachtungsdauer ab. Eine längere Beobachtungszeit erhöht die Genauigkeit, besonders bei langen Basislinien und in Bezug auf die Höhenkomponente. Im kinematischen Modus (bewegte Antenne) ist die Genauigkeit geringfügig geringer als im statischen Modus. Die Genauigkeit einer gemessenen Pseudoentfernung lässt sich durch ihre Standardabweichung (auch: user equivalent range error) ausdrücken. Die Qualität der Satellitengeometrie wird durch die Positional Dilution of Precision (PDOP) gekennzeichnet. Sie ist als Verhältnis zwischen der Standardabweichung der aus einer bestimmten Satellitenkonfiguration abgeleiteten Position und der Standardabweichung einer gemessenen Pseudoentfernung definiert (Langley 1999). Der Zähler dieses Quotienten ergibt sich dabei aus der Spur der Koordinaten-Kovarianzmatrix, die wiederum vom Netzdesign abhängt. PDOP-Werte können im Voraus berechnet werden, sie unterstützen damit die Planung der Beobachtungen und liefern eine rasche Information über die zu erwartende Positionierungsgenauigkeit. Ein PDOP-Wert von 2 (dieser Wert wird selten überschritten) bedeutet beispielsweise, dass die Genauigkeit der Positionsbestimmung zweimal schlechter als die Genauigkeit einer einzelnen Pseudoentfernungsmessung ist. Trennt man die GPS-Lösung in die horizontale und die vertikale Komponente auf, so zeigt sich, dass die Höhenbestimmung gegenüber der horizontalen Positionierung etwa um den Faktor zwei weniger genau ist. Dies resultiert aus der Tatsache, dass alle beobachteten Satelliten sich oberhalb des Empfängers befinden, aber über den gesamten Horizont verteilt sind.

Bei der relativen Positionsbestimmung (DGPS) verkleinern sich durch Differenzbildung einige der bei der absoluten Bestimmung wirkenden Fehler, vor allem die Satellitenbahnfehler und die restlichen Refraktionseinflüsse. Dies gilt besonders für kürzere Basislinien wegen der dann sehr hohen Korrelation dieser Fehler auf den zwei Bodenstationen. Die Satellitenuhrfehler fallen vollständig heraus. Der Einfluss von Bahnfehlern auf eine Basislinie der Länge b lässt sich mit einer (pessimistischen) Faustformel wie folgt abschätzen: db dr = , b s

(5.47)

wobei s der Abstand zwischen dem Satelliten und dem Empfänger ist (maximal 25 000 km). Demnach darf bei einer gewünschten Basislinien- Genauigkeit von 1 cm der Bahnfehler 2,5 m bei b = 100 km und 0,25 m bei b = 1 000 km nicht überschreiten. Werden die präzisen Ephemeriden des IGS benutzt, spielen demnach Bahnfehler nur noch eine untergeordnete Rolle.

5.2 Satellitenbeobachtungen

137

Die Genauigkeit der relativen Positionsbestimmung liegt bei kleinen PDOP-Werten im statischen Modus auch für sehr große Punktabstände im cm-Bereich und besser, die Höhenunsicherheit ist um den Faktor zwei größer. Das setzt insbesondere bei großen Distanzen längere Beobachtungszeiten und die hinreichende Korrektion von Refraktionseinflüssen und Empfängereffekten (Mehrwegausbreitung, Schwankungen des Antennenphasenzentrums) voraus, s. auch [7.3.1]. Über Entfernungen bis zu einigen 10 km lassen sich diese Genauigkeiten bei Anschluss an einen DGPS-Dienst auch in Echtzeit erreichen, s. [7.3.2]. Im kinematischen Modus tritt ein Genauigkeitsabfall etwa um den Faktor zwei ein. Das Global Positioning System (GPS) hat die Vermessungsmethoden in Geodäsie, Navigation und anderen Anwendungen dratisch verändert. Das ist hauptsächlich auf die in der statischen und kinematischen Positionsbestimmung in Echtzeit erreichbare hohe Genauigkeit und die operationelle Flexibilität zurückzuführen. Direkte Sichtverbindung zwischen Bodenstationen ist nicht mehr nötig, sondern es wird nur noch Sichtbarkeit der Satelliten verlangt. Das System ist wetterunabhängig und Tag und Nacht benutzbar. Die Anwendung von GPS nimmt immer noch zu und wird durch globale und nationale GPS-Dienste wesentlich unterstützt. 5.2.6

Laserdistanzmessungen

Laserdistanzmessungen von einer Bodenstation zum Satelliten werden möglich, wenn der Satellit mit Laserreflektoren (corner cube reflectors) ausgestattet ist: Satellite Laser Ranging (SLR). Wegen der günstigen Ausbreitungseigenschaften von Laserlicht in der Atmosphäre wird mit dieser Methode eine hohe Genauigkeit erreicht, das Raumsegment ist kostengünstig und von langer Lebensdauer. Lasermessungen sind jedoch von den Wetterbedingungen abhängig, und das Bodensegment erfordert einen hohen Aufwand. Von der Bodenstation werden zur Epoche t Laserimpulse ausgesandt, am Satelliten reflektiert und zum Zeitpunkt t + t wieder empfangen. Sind die Refraktionseffekte hinreichend erfasst, so ergibt sich die Strecke zwischen der Bodenstation und dem Satelliten zu c (5.48) s = t. 2 Die Laufzeit von Photonen lässt sich mit einer Genauigkeit von ±10 bis 100 ps messen, dass entspricht einer Streckenmessauflösung von ±1,5 bis 15 mm. Zur genauen Bahnbestimmung sind zahlreiche Satelliten (etwa 30 im Jahre 2000) mit Laserreflektor-Arrays ausgestattet, hierzu gehören z. B. die zur Vermessung der Ozeanoberfläche eingesetzten Altimeter-Satelliten, s. [5.2.7]. Spezielle SLR-Missionen wurden für die präzise Positionsbestimmung und für geodynamische Untersuchungen gestartet. Zu diesen LaserSatelliten zählen Starlette (Frankreich, Start 1975, h = 800 bis 1 100 km, i = 50◦ ), Lageos 1 und 2 (USA, 1976/1992, h ≈ 5 900 km, i = 110◦ /52◦ ), Ajisai (Japan, 1986, h ≈ 1 500 km, i = 50◦ ) und Etalon 1 und 2 (Russland, 1989, h ≈ 19 000 km, i = 65◦ ). Diese Satelliten sind kugelförmig (Durchmesser 0,2 bis 2 m) und weisen ein günstiges Oberfläche/Masse-Verhältnis auf (Abb. 5.16). Die GLONASS-Satelliten und die neueren GPS-Satelliten tragen ebenfalls Laserreflektoren an Bord.

138

5 Messmethoden

Abb. 5.16. Laser-Satellit Lageos, National Aeronautics and Space Administration (NASA)

Laserentfernungs-Mess-Systeme haben sich seit den 1960er Jahren rasch entwickelt. Sie bestehen aus der Laser-Einheit (Nd:YAG Festkörperlaser, Nd = Neodymium, YAG = Yttrium − Aluminium − Granat), der Sende- und Empfangsoptik (Teleskope) und der Empfängerelektronik (Photomultiplier, Lawinendioden). Sende- und Empfangsoptik sind so montiert, dass sie der vorausberechneten Satellitenbahn nachgeführt werden können. Wegen der Energieabnahme des Laserimpulses mit dem Weg und der Abschwächung in der Atmosphäre kommen nur einige Laserimpulse (Photonen) zurück. Die Zeitzuordnung der einzelnen Ereignisse wird mit einer Atomuhr und einem Laufzeitzähler bei regelmäßigem Vergleich mit UTC vorgenommen. Ein Prozessrechner steuert den gesamten Mess-, Registrier- und Auswertevorgang. Zur Zeit operieren weltweit etwa 50 Laserentfernungs-Messsysteme entweder im stationären oder im mobilen Modus. Das Wettzell-Laserentfernungsmesssystem arbeitet mit einem Nd:YAGLaser (532 nm) und einem zum Senden und Empfangen geeigneten 75 cm-Teleskop. Es sendet kurze Impulse hoher Energie aus (Einzelschuss mit 180 ps Pulslänge und 100 mJ Leistung), die Impulswiederholungsrate beträgt im Einzelschussmodus 1 bis 10 Hz. Mit sichtbarem und/oder infrarotem Licht ist eine Tag- und Nachtbeobachtung von Satelliten in Höhen von 800 bis 40 000 km und zum Mond möglich (Dassing et al. 1992), Abb. 5.17. Weitere Entwicklungen zielen auf die Verkürzung der Pulslänge auf einige 10 ps und die Verkleinerung der Impulsenergie. Durch das Aussenden kurzer Pulszüge erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, auch einzelne zurückkehrende Photonen zu registrieren. Mobile Systeme sind u. a. in den USA (NASA) und in Deutschland und den Niederlanden entwickelt worden. Sie arbeiten mit geringer Energie und der Einzelphoton-Registrierung und werden hauptsächlich zur Untersuchung rezenter Erdkrustenbewegungen eingesetzt, s. [8.3.3]. Am BKG (Bundesamt für Kartographie und Geodäsie, Frankfurt a. M.) ist ein transportables integriertes geodätisches Observatorium entwickelt worden, das außer der Lasereinheit auch einen VLBI-Modul und einen GPS-Empfänger enthält. Dieses System wird zur Stützung der globalen Bezugssysteme u. a. auf der Südhalbkugel eingesetzt.

Die Genauigkeit der Laserentfernungsmessung hängt auf der Systemseite von der Pulslänge, der Stabilität des Photomultipliers und der Zeitmessung ab. Atmosphärische Einflüsse können die Messung um bis zu 2 m im Zenit und und bis zu 10 m bei einem Höhenwinkel von 10◦ verfälschen, sie werden mit Hilfe von Atmosphä-

5.2 Satellitenbeobachtungen

139

Abb. 5.17. 75 cm-Teleskop, Wettzell Laser Ranging System (WLRS), Fundamentalstation Wettzell, Deutschland, Bundesamt für Kartographie und Geodäsie (BKG), Frankfurt a. M.

renmodellen korrigiert. Während eines Satellitendurchganges werden in Abhängigkeit von der Satellitenhöhe etwa 100 bis 1 000 Streckenmesungen durchgeführt, die Einzelschuss-Präzision beträgt ±5 bis 10 mm. Durch Datenkompression zu „Normalpunkten“ (z. B. Mittelbildung über 30 bis 120 s bei Lageos) wird sub-cm Genauigkeit erreicht. Auf dem Mond sind Laser-Reflektoren bei den Apollo-Missionen 11 (1969), 14, 15 und Luna 21/Lunokhod 2 aufgestellt worden, sie dienen als Zielpunkte für La¨ serdistanzmessungen (Lunar Laser Ranging LLR), Muller et al. (1992). Um das schwache Rückkehrsignal (Einzelphotontechnik) auffangen zu können, sind gepulste Laser mit eng gebündeltem Strahl und leistungsfähige Teleskope notwendig. Das Nachführsystem muss eine Zielgenauigkeit von 2 Bogensekunden ermöglichen. Mondbeobachtungen sind seit 1969 regelmäßig vom McDonald Observatory, University of Texas, und von Mess-Systemen in Hawaii und in Grasse/Frankreich ausgeführt worden, weitere Ergebnisse liegen von den Laserstationen in Australien und Deutschland (Wettzell) vor. Die Genauigkeit dieser Messungen beträgt etwa 1 cm. Die Resultate tragen insbesondere zu Untersuchungen über die Dynamik des Erde-Mond-Systems und über terrestrische geodynamische ¨ Vorgänge bei (Muller et al. 1999).

5.2.7

Satellitenaltimetrie

In der Satellitenaltimetrie sendet ein an Bord des Satelliten installiertes Radaraltimeter in derVertikalen Impulse zur Erdoberfläche aus. Diese werden an der Meeresoberfläche senkrecht reflektiert, und aus der Messung der Laufzeit t ergibt sich die Höhe des Satelliten über der momentanen Meeresoberfläche (Abb. 5.18): a=

c t. 2

(5.49a)

140

5 Messmethoden

Für die Höhe wird hier dieAbkürzung a verwendet, dies sollte nicht zuVerwechslungen mit den entsprechenden Abkürzungen für die großen Halbachsen des Erdellipsoids und der Satellitenbahnellipse führen. In (5.49a) ist vorausgesetzt, dass die atmosphärischen Refraktionseffekte hinreichend korrigiert sind. In sphärischer Näherung lässt sich eine ALTIMETER S

LI EL AT

PULSWEITE a

N TE

rS

FOOTPRINT

rP j 0

P

N

N

H BA

SST

MEERESOBERFLÄCHE GEOID ELLIPSOID

Abb. 5.18. Satellitenaltimetrie

Beobachtungsgleichung für die gemessene Höhe wie folgt formulieren: a = rs − rp − (N + SST),

(5.49b)

wobei rs und rp die geozentrischen Distanzen zum Satelliten und zum Subsatellitenpunkt P auf dem Ellipsoid sind; N ist die Geoidhöhe und SST die Höhe der Meeresflächentopographie. Aus der Satelliten-Bahnverfolgung ergibt sich rs , und die Positionsbestimmung liefert rp . Die Altimeterergebnisse enthalten also Information über das Geoid und über die Meeresflächentopographie. Ellipsoidische Formeln finden sich bei Gopalapillai (1974). Radaraltimeter arbeiten im 14 GHz Frequenzbereich mit kurzen (wenige ns) Impulsen und einer hohen Puls-Frequenz (z. B. 100 Pulse/s). Abstrahlwinkel und endliche Pulslänge bewirken, dass das Messergebnis sich auf eine „mittlere“ Wasseroberfläche innerhalb eines kreisförmigen „footprint“ (einige km Durchmesser) bezieht, kurzwellige Wasserstrukturen (Wellen) werden hierdurch weitgehend eliminiert. Durch Mittelbildung der Einzelmessungen über z. B. eine Sekunde ergibt sich eine Auflösung entlang der Bahn (along-track resolution) von etwa 7 km. Satellitenaltimeter-Missionen werden so geplant, dass sie entweder nach einer bestimmten Zeit (Tage bis Wochen) Wiederholungsmessungen auf denselben Bahnen oder eine hochauflösende Profilvermessung liefern, die verschiedenen Moden werden durch Bahnmanöver erreicht (Knudsen 1993). Die Engvermessung dient zur Bestimmung des altimetrischen Geoids entsprechend (5.49b), die Wiederholungsmessungen zur Untersuchung der zeitlichen Variabilität der Meeresoberfläche (Abb. 5.19). Die erste globale Vermessung mit einem Radaraltimeter wurde mit dem Geos-3 Satelliten (USA, 1975 – 1978) durchgeführt. Die ozeanographischen Satelliten SEASAT (1978) und GEOSAT (U.S. Navy, 1985 – 1989) führten verbesserte Altimeter-Systeme mit sich, sie operierten in Höhen um 800 km mit einer Inklination von 108◦ und Wiederholungsraten von 3 und 17 Tagen (McAdoo und Sandwell 1988). Die europäischen Fernerkundungssatelliten ERS-1 (1991)

5.2 Satellitenbeobachtungen 0˚

30˚

60˚

90˚

120˚

150˚

180˚

210˚

240˚

270˚

300˚

330˚

141

90˚

360˚ 90˚

60˚

60˚

30˚

30˚

0˚

0˚

-30˚

-30˚

-60˚

-60˚

-90˚ 0˚

30˚

60˚

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150˚

180˚

210˚

240˚

270˚

300˚

330˚

-90˚ 360˚

Abb. 5.19. TOPEX/Poseidon-Subsatellitenbahnen, 9,9-Tage Wiederholungszyklus, mit frdl. Genehmigung durch W. Bosch, DGFI, München und ERS-2 (1995) operieren in ähnlichen Höhen mit einer Bahneigung von 98◦ (Abb. 5.20). Die Wiederholungsraten betragen 35 bzw. 168 Tage, und die Subsatellitenspuren haben bei den geodätischen Missionen am Äquator einen Abstand von 80 bzw. 8 km (JGR 1998). Der in einem NASA/CNES (französische Weltraumbehörde)-Projekt entwickelte TOPEX/Poseidon-Satellit (1992, 5,3 und 13,6 GHz) bewegt sich in einer kreisförmigen Bahn in einer Höhe von 1 340 km und einer Bahnneigung von 63◦ . Die Wiederholungszeit beträgt 10 Tage, und der äquatoriale Satellitenspur- Abstand 316 km (Cheney et al. 1995), siehe Abb. 5.21.

Abb. 5.20. Europäischer Fernerkundungs(Altimeter) Satellit ERS, Europäische Weltraumbehörde ESA

Abb. 5.21. TOPEX/Poseidon-(Altimeter) Satellit, JPL/NASA, Pasadena, CA, USA

Die Satellitenaltimetrie verlangt eine hohe radiale Bahngenauigkeit. Die Satelliten sind deshalb mit Laserreflektoren ausgerüstet, daneben haben einige auch noch aktive Systeme wie Dopplersender, C-Band Radar-Transponder und GPS an Bord. Auf TO-

142

5 Messmethoden

PEX/Poseidon und ERS-2 sind die Bahnbestimmungssysteme DORIS bzw. PRARE installiert worden (Andersen et al. 1998), s. [5.2.3]. Weitere Bahnverbesserungen wurden durch „tailored“ Gravitationsfeldmodelle erreicht, die gezielt für spezielle Altimetermissionen entwickelt wurden (Tapley et al. 1996). Der Bahnfehler konnte so von etwa ±0,5 m bei der Geos-3 Mission auf ±3 cm bei TOPEX/Poseidon und ±5 bis 10 cm bei ERS-1 reduziert werden. Bei der Auswertung einer mehrfach mit hoch-auflösenden Altimeter-Profilen überdeckten Region werden die an den Profilkreuzungspunkten auftretenden Widersprüche mit Minimumsbedingungen ausgeglichen, wobei systematische Effekte durch profilweise angesetzte Polynome niederer Ordnung (z. B. Verschiebung und Neigung) modelliert werden (van Gysen und Coleman 1997). Auf diese Weise werden auch restliche Bahnfehler und andere langwellige Fehlereinflüsse weiter reduziert, s. [6.6.3]. Das instrumentelle Altimeter-Messrauschen ist heute kleiner als 2 bis 3 cm (TOPEX/Poseidon, ERS). Korrektionen sind wegen systematischer Instrumentenfehler (konstanter Bias und Drift), wegen des Zustandes der Meeresoberfläche und wegen der troposphärischen und ionosphärischen Refraktion (Modellierung, Benutzung von zwei Wellenlängen bei TOPEX/Poseidon) notwendig, s. [5.1.3]. Nach Reduktion der ozeanischen Gezeiten und großräumiger Luftdruckeffekte beziehen sich die AltimeterErgebnisse auf eine quasi-stationäre Meeresoberfläche und legen diese mit einer Genauigkeit von ±5 bis 10 cm fest.

5.2.8

Satellite-to-Satellite Tracking, Satelliten-Schweregradiometrie

Die hochauflösende Schwerefeldbestimmung aus dem Raum erfordert niedrig fliegende Satelliten und hoch empfindliche Sensoren, s. [5.2.3]. Dies wird durch Satellite-toSatellite Tracking und Satelliten-Schweregradiometrie erreicht (Balmino et al. 1999, Ilk 2000). Beim Satellite-to-Satellite Tracking (SST) werden die Entfernungsänderungen zwischen zwei Satelliten mit Mikrowellensystemen gemessen. Dabei können die Satelliten sich in einer „High-Low“ (ein hoch und ein niedrig fliegender Satellit) oder einer „LowLow“ (zwei niedrig in derselben Höhe fliegende Satelliten) Anordnung befinden, auch eine Kombination beider Konfigurationen ist möglich, Abb. 5.22. Die Originalbeobachtungen sind die auf Grund gravitativer und nicht-gravitativer Störkräfte, s. [5.2.2], auftretenden Entfernungsänderungen bzw. Geschwindigkeiten (range rate) zwischen den Satelliten und deren Änderungen (change of range rate). Nach hinreichender Reduktion der Wirkung der Oberflächenkräfte lassen sich die Gravitationsfeldparameter (Kugelfunktionskoeffizienten) herleiten (Jekeli 2001a). Um eine Schwerefeldauflösung von 100 km zu erzielen, darf die Bahnhöhe des niedrig fliegenden Satelliten einige 100 km nicht überschreiten. Die Relativgeschwindigkeit zwischen den Satelliten muss mit einer Genauigkeit von ±1 bis 10 μm/s bestimmt werden, eine präzise Bahnbestimmung lässt sich durch ein in großen Höhen angeordnetes Satellitensystem (GPS) und Boden-Trackingstationen erreichen.

5.2 Satellitenbeobachtungen a)

143

b) GPS-SATELLITEN

GPS-SATELLITEN

SAT B

s, s SAT A

SAT B

SAT A

s, s

P

P

Abb. 5.22. Satellite-to-Satellite Tracking: a) Low-Low Modus, b) High-Low Modus

SST-Experimente begannen in den 1970er Jahren, u. a. zwischen Geos-3 und dem geostationären Satelliten ATS-6 (etwa kreisförmige äquatoriale Bahn, h ≈ 36 000 km). Der CHAMP (Challenging Mini-Satellite Payload for Geophysical Research and Application) Satellit (Deutschland, Start 2000, genähert kreisförmige Bahn, i = 83◦ ) startete den Umlauf in einer Höhe von 450 km, diese wird innerhalb der Missionszeit (5 Jahre) auf 300 km abgesenkt werden. Der Satellit (Dimensionen 4 m × 1 m × 1,6 m) trägt einen GPS-Empfänger (SST High-Low Modus zwischen CHAMP und GPS-Satelliten), Laser-Reflektoren, einen Dreiachs- Beschleunigungsmesser zur Messung und späteren Kompensation der Oberflächenkräfte (±10−8 ms−2 und besser) und Magnetometer-Systeme (Abb. 5.23). Erwartet wird eine Schwerefelderfassung bis zu Grad und Ordnung 50 und mehr (Reigber et al. 2000).

Abb. 5.23. CHAMP Satellit, Geoforschungszentrum (GFZ) Potsdam, Deutschland In der GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment) Mission (USA/Deutschland, Start 2002, Missionsdauer 3 bis 5 Jahre) werden zwei Satelliten des CHAMP-Typs im Low-Low Modus mit einem Abstand von 200 bis 300 km und einer Anfangshöhe von 450 km (i = 89,5◦ ) verwendet. Die Entfernung zwischen den beiden Satelliten wird mit zwei EinwegMikrowellensystemen in zwei Frequenzen gemessen ( μm-Genauigkeit), mitgeführte GPS-

144

5 Messmethoden

Empfänger ermöglichen GPS-Tracking (High-Low Modus). Oberflächenkräfte werden wiederum durch Beschleunigungsmesser erfasst. Erwartet wird eine Schwerefeldauflösung in Grad und Ordnung von 150 bis 180, mit einer Genauigkeit von ±10 bis 30 μms−2 für die Schwereanomalien und ±0,1 m für das Geoid. Ein wesentliches Ziel ist die Erfassung und Überwachung von längerwelligen zeitlichen Schwereänderungen, mit einer Auflösung von bis zu 30 Tagen (Tapley 1998).

In der Satelliten-Schweregradiometrie werden die Komponenten des GravitationsGradiententensors (zweite Ableitungen des Gravitationspotentials) gemessen, vgl. [3.2.2], Rummel (1986). Auf der Erdoberfläche wurde die Schweregradiometrie bereits ab etwa 1900 eingesetzt und bis heute weiterentwickelt, s. [5.4.5]. Dabei wird mit einem Sensorpaar die lokale Schwerefeldänderung in einer festgelegten Richtung gemessen, durch unterschiedliche Orientierung der Sensoren lassen sich verschiedene Komponenten des Schweregradienten bestimmen. Bei der Anwendung in Raumfahrzeugen erhöhen sich die Genauigkeitsanforderungen wegen der Abschwächung des Schwerefeldes mit der Höhe (in einigen 100 km Höhe erreichen die nichtdiagonalen Elemente des Gradiententensors nur Werte von einigen 10−9 s−2 ). Erforderlich sind also in den zweiten Ableitungen Genauigkeiten von 10−11 bis 10−13 s−2 . Dies lässt sich mit konventionellen oder supraleitenden Techniken erreichen. Hohe Anforderungen werden an die Orientierung der Sensorpaare und die Erfassung der Beschleunigungsmesser-Drift gestellt. Der Einfluss von Oberflächenkräften fällt bei der Differenzbildung der Ergebnisse eines Sensorpaares heraus (Moritz 1968b). Die ESA plant die Gradiometrie-Mission GOCE (Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer, Start 2006) mit einem drag-free Satelliten (h = 250 km, i = 97◦ ) in einer sonnensynchronen genähert kreisförmigen Bahn. Das Bahn-Tracking wird mit GPS vorgenommen, für die Orientierung in Bezug auf die Erde sorgen Sternsensoren (star tracker). Geplant ist, sechs dreiachsige Beschleunigungsmesser als Paare in zueinander senkrechten Richtungen mit Basislinien von 70 cm anzuordnen, die Messgenauigkeit soll ±10−12 s−2 betragen. Bei einer Missionsdauer von 20 Monaten wird in zwei Beobachtungsperioden von je sechs Monaten eine Schwerefeldauflösung bis zu Grad und Ordnung 300 erwartet, mit einer Genauigkeit von etwa ±10 μms−2 für die Schwereanomalien und ±1 cm für das Geoid. Die Kugelfunktionskoeffizienten niederen Grades werden hauptsächlich durch das GPS-Tracking bestimmt (SST High-Low Modus), die Koeffizienten höherer Ordnung durch die Gradiometrie (Rummel et al. ¨ 2000b, Muller 2001).

5.3

Geodätische Astronomie

Die klassische geodätische Astronomie befasst sich mit der Bestimmung der astronomischen Breite und Länge sowie des Azimuts aus optischen Richtungsmessungen zu den Fixsternen (Bebachtungen zur Sonne haben nur noch historische Bedeutung), ¨ dies schließt die Zeitbestimmung ein (Sigl 1993, Schodlbauer 2000). Hierfür wurden unterschiedliche Beobachtungsinstumente [5.3.1] und eine Vielzahl von Beobachtungsmethoden [5.3.2] entwickelt. Reduktionen verschiedener Art sind notwendig, um die Beobachtungen auf das zälestische Referenzsystem zu beziehen [5.3.3].Grundlage der geodätischen Astronomie ist die sphärische Astronomie (Kovalevsky 2002).

5.3 Geodätische Astronomie

145

Mit der Entwicklung leistungsfähiger Satelliten-Positionierungsverfahren und gravimetrischer Methoden ist die Bedeutung der klassischen geodätischen Astronomie zurückgegangen. Sie beschränkt sich heute auf lokale Anwendungen im Bereich der Schwerefeld- (Lotrichtung) und Azimutbestimmung. Von extraterrestrischen Radioquellen ausgesandte Radiowellen werden dagegen intensiv genutzt, um räumliche Basislinien zwischen terrestrischen Stationen und die Erdrotationsparameter abzuleiten: Langbasis-Interferometrie (Very Long Baseline Interferometry) [5.3.4]. 5.3.1

Optische Beobachtungsinstrumente

Optische Beobachtungen der Fixsterne werden im lokalen astronomischen System (Horizontsystem) vorgenommen. Die Richtung zu einem Stern wird dabei durch das astronomische Azimut A und den Zenitwinkel z (gelegentlich auch durch den Höhenwinkel 90◦ − z) festgelegt, s. [2.6.2]. Wegen der Relativbewegung des Beobachters gegenüber den Sternen muss gleichzeitig die Zeit gemessen werden. Astronomische Instrumente werden entweder stationär in Observatorien oder als transportable Geräte im Feldbetrieb eingesetzt. Bis in die 1980er Jahre wurden vom Internationalen Polbewegungsdienst und vom Internationalen Zeitdienst mit stationären Instrumenten Beobachtungen höchster Präzision durchgeführt. Eingesetzt wurde u. a. das photographische Zenitfernrohr. Hierbei wurden zenitnahe Sterne symmetrisch zum Meridian photographiert, die Lotrichtung wurde durch einen Quecksilberhorizont realisiert. Vergleichbare Genauigkeiten (±0,05 ) wurden mit dem Danjon-Prismenastrolab erzielt, hierbei wurden die Stern-Durchgangszeiten durch einen festgelegten Höhenparallel gemessen. Da das zälestische und das terrestrische Bezugssystem heute mit anderen Raumtechniken realisiert werden, s. [2.3], haben die Observatoriumsmessungen ihre Bedeutung für die Geodäsie verloren.

Das Universalinstrument wurde für Feldmessungen hoher Genauigkeit (±0,1 bis 0,3 ) eingesetzt. Es besteht aus einem Präzisionstheodolit, s. [5.5.2], sehr stabiler Ausführung und Zusatzeinrichtungen für astronomische Beobachtungen. So erlaubt ein gebrochenes Fernrohr mit horizontalem Einblick auch zenitnahe Messungen. Zur Ausschaltung persönlicher Fehler lässt sich der bewegliche Faden eines Registriermikrometers mit dem Stern mitführen, wobei in regelmäßigem Abstand Kontakte ausgelöst und registriert werden. Neigungen der Kippachse werden mit der Hänge- oder Reiterlibelle gemessen. Die senkrecht zur Kippachse angeordnete Horrebow-Libelle kann Änderungen der Zielachsneigung erfassen. Weite Verbreitung haben die Universalinstrumente Wild T4 und Kern DKM3-A gefunden (Abb. 5.24). Das Prismenastrolab wird zur simultanen Bestimmung der astronomischen Breite und Länge benutzt. Gemessen werden Sterndurchgänge durch denselben Höhenparallel, wobei der konstante Zenitwinkel (i. Allg. ≈ 30◦ ) durch ein dem Fernrohr vorgesetztes Prisma und die Lotrichtung durch einen Quecksilberhorizont oder einen Pendelkompensator realisiert wird. Besondere Verbreitung fanden Astrolabvorsätze für einen Theodolit (z. B. Wild T3-Astrolab mit Quecksilberhorizont) oder ein automatisches Nivellier (Zeiss Ni2 Astrolab, Abb. 5.25).

146

5 Messmethoden

Abb. 5.24. Universalinstrument Kern DKM3-A, Kern/Leica Geosystems AG, Heerbrugg, Schweiz

Abb. 5.25. ZEISS Ni2 Nivellier mit Prismenastrolab, Carl Zeiss, Oberkochen, Deutschland

Zur raschen Breiten- und Längenbestimmung sind transportable Zenitkameras entwickelt worden. Eine photographische Zenitkamera besteht aus einem Fernrohr (Brennweite 300 bis 1 000 mm, relative Öffnung ≈ 1:5), das in der Lotrichtung aufgestellt und um diese azimutal gedreht werden kann. An seinem unteren Ende ist in der Brennebene der photographische Bildrahmen installiert. Zur Orientierung dienen zwei senkrecht zueinander angeordnete Libellen, eine Uhr registriert den Zeitpunkt der Zenitaufnahme (Abb. 5.26). Bei der Ortsbestimmung wird das zenitnahe Sternfeld

Abb. 5.26. Transportable Zenitkamera, Institut für Erdmessung, Universität Hannover

in zwei azimutal um 180◦ verschiedenen Lagen photographiert (Belichtungszeit 1 s). Nach der Entwicklung der Photoplatten werden die Sternspuren und die Plattenmitte mit einem Komparator ausgemessen. Auf die Bildung von Mittelwerten und die Korrektur eventueller Restneigungen folgt die Transformation der Plattenkoordinaten in

5.3 Geodätische Astronomie

147

das α, δ-System, hieraus ergibt sich die Rektaszension und die Deklination der Zenitpunktes. Diese können leicht in Breite und Länge umgeformt werden, s. [5.3.2], Gessler (1975). Neuere Entwicklungen in der CCD (charge-coupled device)-Technik erlauben, die photographische Abbildung durch eine elektronische zu ersetzen. Das CCD-Prinzip beruht auf dem bei Lichteinfall auf einer Halbleiterplatte erzeugten photoelektronischen Effekt, dabei ist die Zahl der registrierten Photoelektronen dem empfangenen Licht proportional. Eine CCD-Matrix setzt sich aus einer großen Anzahl (einige 1000 × 1000 und mehr) fester Bildelemente oder Pixel (Dimension 10 μm und weniger) zusammen. Mit einer Bildverarbeitungseinheit und einem PC lässt sich so eine Echtzeitauswertung der Sternabbildungen (Genauigkeit von 0,1 Pixel) und die Umrechnung in Breite und Länge erreichen, wobei ähnliche Genauigkeiten wie bei der photographischen Methode erreicht werden (Bretterbauer 1997, Kovalevsky 2002). Für die Zeitbestimmung wird in der optischen geodätischen Astronomie eine Genauigkeit von ±1 ms verlangt. Auf Quarzkristall-Oszillatoren basierende und durch Zeitsignale synchronisierte Quarzuhren erfüllen diese Forderung (Frequenzstabilität 10−8 bis 10−9 über einige Stunden), s. [2.2.2]. Aus praktischen Gründen werden Zeitbestimmungen heute oft mit einem GPS-Empfänger durchgeführt, s. [5.2.5]. Soll die Durchgangszeit eines Sternes durch den Horizontal- oder Vertikalfaden aufgezeichnet werden, so ist eine entsprechende Registriereinheit in das Mess-System zu integrieren. 5.3.2 Astronomische Orts- und Azimutbestimmung Grundlage für die Berechnung der astronomischen Breite und Länge sowie des astronomischen Azimuts sind die in [2.6.2] angegebenen Beziehungen, die Sternörter (α, δ) werden dabei aus den Sternkatalogen entnommen, s. [2.4.3]. Wir erläutern einige der in der geodätischen Astronomie entwickelten Methoden. Zur Herleitung der astronomischen Breite  ist nach (2.21) die Bestimmung des Zenitwinkels z und des Stundenwinkels h erforderlich. Während z direkt messbar ist, muss h aus der Rektaszension α und der gemessenen Zeit abgeleitet werden, s. (2.22). Der Einfluss von Beobachtungsfehlern auf die Ergebnisse lässt sich nach Ableitung von (2.21) aus den entsprechenden Differentialformeln abschätzen, auch optimale Beobachtungsanordnungen können so gefunden werden. Für die Breite erhalten wir 1 dz − cos  tan A dh. (5.50) cos A Ein Fehler in z wirkt sich also bei Meridiandurchgängen minimal aus, und ein Fehler in h ist in diesem Fall ohne jeden Einfluss auf . In oberer Kulmination (kleinster Zenitwinkel) gilt für einen Nordstern (A = 0◦ ) oder Südstern (A = 180◦ ), s. auch Abb. 2.4: d = −

 = δN − zN

und

 = δS + zS .

(5.51)

Die Messung von Meridian-Zenitwinkeln (z. B. zum Polarstern) ist demnach für die Breitenbestimmung besonders geeignet.

148

5 Messmethoden

Werden Sternpaare aus jeweils einem Nord- und Südstern mit etwa gleichem Zenitwinkel beobachtet, so fallen bei der Mittelbildung von (5.51) die Refraktionsunsicherheiten in z weitgehend heraus (Sterneck-Methode): =

1 1 (δN + δS ) + (zS − zN ). 2 2

(5.52)

Beim Horrebow-Talcott-Verfahren wird die kleine Differenz zwischen den MeridianZenitwinkeln des Nord- und Südsternes eines Sternpaares mit einem Mikrometer gemessen; die Zielachse wird mit der Horrebow-Libelle jeweils in denselben Zenitwinkel eingerichtet. Da genaue Teilkreisablesungen und Zeitmessungen nicht erforderlich sind, liefert diese Methode sehr genaue Ergebnisse (±0,1 bei Beobachtung von etwa 20 Sternpaaren). Die astronomische Länge ergibt sich als Differenz zwischen der Ortssternzeit LAST und der Sternzeit Greenwich GAST (2.23):

= LAST − GAST,

(5.53)

wobei eine Zeitsekunde einem Winkelwert von 15 entspricht. Nach (2.22) hängt LAST mit dem Stundenwinkel h wie folgt zusammen: LAST = h + α.

(5.54)

Bei bekannter Breite  berechnet sich h nach (2.21) aus dem Zenitwinkel: cos h =

cos z − sin  sin δ . cos  cos δ

(5.55)

Nach Umrechnung der gemessenen Weltzeit UT in GAST ergibt sich dann mit (5.53) die Länge . Differentiation von (2.21) liefert für den Stundenwinkel dh = −

cot A dz − d. sin A cos  cos 

(5.56)

Bei Beobachtungen im ersten Vertikal (A = 90◦ ) wirken sich demnach Fehler in z minimal und Unsicherheiten in  überhaupt nicht aus. Refraktionseinflüsse werden weitgehend eliminiert, wenn symmetrisch zum Meridian Ost- und Weststerne in gleicher Höhe beobachtet werden. Bei Beobachtung der Durchgangszeit durch den Meridian (h = 0) gilt LAST = α. Aus etwa 30 Sterndurchgängen ergibt sich eine Genauigkeit von ±0,01 bis 0,02 s. Die Genauigkeit der Längenbestimmung hängt haupsächlich von systematischen Fehlern des Beobachters, des Instruments und des Zeitvergleichs ab. Werden die Längenbestimmungen von demselben Beobachter mit demselben Instrument unter Verwendung desselben Zeitzeichensenders und derselben Sterne durchgeführt, so sind die Längendifferenzen weitgehend von diesen Fehlern frei. Längenbestimmungen hoher Genauigkeit sind deshalb als Differenzmessungen in Bezug auf eine Referenzstation angelegt worden.

5.3 Geodätische Astronomie

149

Ein wirtschaftliches Verfahren zur simultanen Bestimmung von Breite und Länge ist die Höhenstandlinienmethode. Beobachtet werden zur Sternzeit LAST1 , LAST2 die Zenitwinkel z1 , z2 von zwei Sternen S1 (α1 , δ1 ), S2 (α2 , δ2 ) unter den Azimuten A1 , A2 . Projiziert man S1 , S2 auf die Erdoberfläche, so stellen die Kreise um die Projektionspunkte S1 und S2 mit den Radien z1 , z2 zwei geometrische Örter P und (P ) für den Beobachtungspunkt dar (Abb. 5.27). In der Nähe von P (der Punkt (P ) kann (P) P(F,L) S1´

z2

z1 DF

S2´

A02

cosF0 DL 0

A1

P0(F0,L0)

Abb. 5.27. Höhenstandlinienmethode

bei bekannten Näherungskoordinaten ausgeschlossen werden) lassen sich die Kreise durch ihre Tangenten ersetzen (Standlinien), ihr Schnitt liefert eine Näherung für P . Rechnerisch erhält man nach Einführung des Näherungspunktes P0 (0 , 0 ) die Korrektionen  =  − 0 und  = − 0 . Bei Beobachtung mit dem Prismenastrolab, s. [5.3.1], wird der durch das Prisma vorgegebene Zenitwinkel als zusätzliche Unbekannte behandelt. Mit etwa 20 gleichmäßig über den Horizont verteilten Sternen wird eine Genauigkeit von wenigen 0,1 erzielt. Zenitkamera-Messungen, s. [5.3.1], liefern ebenfalls gleichzeitig die astronomische Breite und Länge. Die Auswertung der Sternaufnahmen ergibt zunächst die Zenitpunkt-Koordinaten αz , δz , woraus sich Breite und Länge nach  = δz ,

= αz − GAST

(5.57)

ergeben, siehe auch Abb. 2.2, 2.4. Die Beobachtung eines Punktes (mehrere photographische Aufnahmen) erfordert einschließlich Auf- und Abbau eine halbe bis zu einer Stunde. Erreicht wird eine Genauigkeit von ±0,5 und besser (Seeber und Torge 1985). Mit CCD-Technik arbeitende Zenitkameras können mit einem GPS-Empfänger kombiniert werden, sie liefern dann in Echtzeit Lotabweichungen, s. [6.7.4], Hirt und Seeber (2002). Bei bekannter Breite kann das Azimut A nach (2.21) aus dem nach (5.54) aus der Sternzeit und der Rektaszension abgeleiteten Stundenwinkel h berechnet werden: sin h . sin  cos h − cos  tan δ Aus der entsprechenden Ableitung von (2.21) ergibt sich tan A =

dA =

cos q cos δ dh + cot z sin A d, sin z

(5.58)

(5.59)

150

5 Messmethoden

wobei q der parallaktische Winkel ist, s. [2.6.2]. Fehler in h wirken sich minimal bei δ ≈ 90◦ aus (polnahe Sterne). Mit etwa 10 Beobachtungen kann eine Genauigkeit von ±0,3 bis 0,5 erreicht werden. Das Azimut eines terrestrischen Punktes ergibt sich durch Messung des Horizontalwinkels zwischen dem Stern und diesem Erdziel. 5.3.3

Reduktionen

Bei der Auswertung astronomischer Beobachtungen müssen die beobachteten Sternörter (Epoche t) durch verschiedene Reduktionen auf die in den Sternkatalogen enthaltenen mittleren Örter (Bezugsepoche t0 ) bezogen werden: • Die astronomische Refraktion führt zu einer scheinbaren Vergrößerung der Sternhöhe (Abb. 5.28). Der wahre Zenitwinkel z ergibt sich aus der bebachteten Größe

BEOB. RICHTUNG STERN ZENIT SATELLIT

z´ z TOPO ZENTRUM P

Dz¥ DzSAT ATMOSPHÄRE

0 ERDE

Abb. 5.28. Astronomische und Satelliten-Refraktion

z durch Addition des astronomischen Refraktionswinkels z∞ : z = z + z∞ .

(5.60)

Nach (5.10) und (5.11) hängt der Refraktionswinkel vom vertikalen Gradienten des Brechungsindex längs des Strahlweges ab. Für eine Standardatmosphäre (Temperatur 288,15 K, Luftdruck 1013,25 hPa) gilt für z < 70◦ : z0 = 57,08 tan z − 0,067 tan3 z .

(5.61)

Die Umrechnung in den aktuellen Atmosphärenzustand (Temperatur T , Druck p) geschieht mit p 288 . (5.62) z∞ = z0 1013 T

5.3 Geodätische Astronomie

151

Die Unsicherheit von z∞ variiert zwischen wenigen 0,01 und einigen 0,1 , sie hängt stark von den Abweichungen zum verwendeten Atmosphärenmodell ab (Turbulenzen, Neigung der Atmosphärenschichten). • Aus der endlichen Lichtgeschwindigkeit und der durch die Erdrotation verursachten Relativgeschwindigkeit des Beobachters gegenüber dem Stern folgt eine scheinbare Richtungsverschiebung: tägliche Aberration. Die entsprechende Reduktion ist leicht berechenbar, sie erreicht am Äquator ein Maximum von 0,3 . • Der Unterschied zwischen der topozentrischen und der geozentrischen Richtung wird als geozentrische (oder tägliche) Parallaxe bezeichnet, bei Sternbeobachtungen kann sie vernachlässigt werden, s. [2.4.1]. Mit diesen Reduktionen wird der „beobachtete“ Ort in den „scheinbaren“ Ort (apparent place) zur Epoche t überführt. Die Reduktion der Sternkoordinaten vom „mittleren“ Ort (Epoche t0 ) zum scheinbaren Ort (Epoche t) umfasst die folgenden Schritte: • Anbringen von Präzession und Eigenbewegung für das Zeitintervall t − t0 transformiert den mittleren Ort (t0 ) in den mittleren Ort zur Epoche t, s. [2.4.2], [2.4.3]. • Berücksichtigung der Nutation überführt den mittleren Ort (t) in den wahren Ort (t). Der Ursprung des Systems ist weiterhin das Baryzentrum des Sonnensystems. • Der Übergang zum (geozentrischen) scheinbaren Ort (t) geschieht durch Berücksichtigung der aus der Bahnbewegung der Erde um die Sonne folgenden scheinbaren Richtungsänderung (jährliche Aberration, erreicht Werte bis zu 20 ) und wegen des Unterschieds zwischen der heliozentrischen und der geozentrischen Richtung (jährliche Parallaxe, kleiner als 1 ). Anstelle der Reduktion von den mittleren Örtern (t0 ) auf die scheinbaren Örter (t) können die scheinbaren Örter für die Fundamentalsterne auch direkt für das jeweilige Jahr aus astronomischen Jahrbüchern entnommen werden (Apparent Places of Fundamental Stars, Astronomisches Recheninstitut Heidelberg). Schließlich ist zu beachten, dass die Resultate der geodätischenAstronomie (Breite, Länge, Azimut) sich auf die momentane Drehachse der Erde beziehen. Eine Polbewegungsreduktion transformiert sie auf den IERS Bezugspol (ICRF), s. [2.5.2]. Diese Reduktion folgt aus einer Multiplikation der Polbewegungs-Drehmatrix (2.18) mit dem Einheitsvektor der lokalen Lotrichtung (2.19): P = ICRF −  = −(xp cos − yp sin ),  P = ICRF − = −(xp sin + yp cos ) tan , AP = AICRF − A = −(xp sin + yp cos ) sec , wobei xp , yp die Polkoordinaten in Bezug auf den ICRF sind.

(5.63)

152

5 Messmethoden

5.3.4

Langbasis-Interferometrie

Extragalaktische Radioquellen (Quasare: quasistellare Radioquellen, Radiogalaxien) senden Radiowellen im cm- bis dm-Bereich aus, welche durch die in der Radioastronomie benutzten großen Antennen (Radioteleskope) aufgefangen werden. Die Winkelauflösung eines solchen Teleskops ist genähert durch das Verhältnis zwischen Wellenlänge und Teleskopdurchmesser gegeben, sie bleibt deshalb bei Durchmessern kleiner als 100 m auf wenige Bogenminuten begrenzt. Werden zwei weit (einige 1000 bis 10 000 km) voneinander entfernte Radioteleskope zu einem Empfangssystem zusammengefasst, so erhöht sich durch die lange Basis die Auflösung auf ±0,001 und besser: Langbasis-Interferometrie (Very Long Baseline Interferometry) VLBI (Moritz und Mueller 1987, S. 381, Schuh 1987). Der von einer extragalaktischen Radioquelle ausgehende Wellenzug trifft am Teleskop P2 mit einem Phasenunterschied  gegenüber dem Teleskop P1 ein (Abb. 5.29). l

RICHTUNG ZUR RADIOQUELLE

l

Z w

s(t)

ct

s(t) b

RADIO- P2 TELESKOP

P1 RADIOTELESKOP

r1

r2

0

Y

X

Abb. 5.29. Langbasis-Interferometrie

 ist unmittelbar mit der Laufzeitverzögerung (time delay) τ verknüpft, also der Zeit, welche die Radiowelle zum Durchlaufen der Wegdifferenz cτ (c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benötigt. Wegen der Erdrotation hängen  und τ von der Zeit t ab. Es gelten folgende Beziehungen: c (t) = 2π τ (t) = 2π ντ (t), λ

(5.64)

wobei λ und ν die jeweilige Wellenlänge bzw. Frequenz der empfangenen Radiowelle

5.3 Geodätische Astronomie

ist. Wir führen den Basislinienvektor bITRS

153

⎛

⎞ X2 − X1 = r 2 − r 1 = ⎝ Y2 − Y1 ⎠ Z2 − Z1

(5.65)

im terrestrischen geozentrischen Bezugssystem (2.14) und den Einheitsvektor zum Quasar ⎛ ⎞ cos α cos δ s ICRS = ⎝ sin α cos δ ⎠ (5.66) sin δ im zälestischen Bezugssystem (2.11) ein. Nach Transformation von s in das terrestrische Bezugssystem entsprechend (2.26) erhalten wir (s. auch Abb. 5.29) 1 τ (t) = − b · s(t). c

(5.67)

Das Minuszeichen berücksichtigt die entgegengesetzten Richtungen von s und der Wellenfortpflanzung. Beim Vergleich der in P1 und P2 eintreffenden Wellenzüge treten Interferenzen auf. Die Frequenz der Interferenzstreifen (Maxima und Minima) ändert sich wegen der Erdrotation mit der Zeit: f (t) =

1 d(t) . 2π dt

(5.68)

Mit (5.64) und (5.67) lässt sich die Streifenfrequenz durch f (t) = ν

ν dτ (t) = − b · s˙ (t) dt c

(5.69)

ausdrücken, mit s˙ = ds/dt. (5.67) und (5.69) stellen die Beobachtungsgleichungen für VLBI-Messungen dar (Campbell und Witte 1978). Die VLBI-Observablen sind die Laufzeitdifferenz τ (bzw. der Phasenunterschied ) und die Verzögerungsrate dτ/dt. Sie werden aus einem Vergleich der auf Magnetbändern registrierten Signale bestimmt, wobei die genaue zeitliche Zuordnung durch Wasserstoffmaser-Frequenznormale erreicht wird. Üblicherweise werden im Rahmen einer 24 h-Beobachtungsserie 10 bis 20 Radioquellen mehrfach über 3 bis 6 Minuten angemessen. Die Datenbänder der zwei Stationen werden in einem Korrelationszentrum zusammengeführt und weiterverarbeitet (MARK III und neuerdings MARK IV Korrelator). Aus der Korrelationsfunktion ergeben sich die Zeitverzögerung und ihre zeitliche Ableitung. Dabei repräsentiert die Observable τ eine Gruppenverzögerung, während  eine Phasenverzögerung ist, was das Mehrdeutigkeitsproblem einschließt, s. [5.2.5]. Die Streifenfrequenz (Verzögerungsrate) ist von diesem Problem frei, aber von geringerer Bedeutung, da sie weniger genau als die Zeitverzögerung ist und die Bestimmung nur einer eingeschränkten Zahl von Parametern erlaubt. An den VLBI-Messungen müssen Reduktionen wegen der täglichen Aberration, s. [5.3.3], Uhr-Synchronisationsfehlern, der troposphärischen Refraktion, s. [5.1.2], und

154

5 Messmethoden

wegen relativistischer Effekte angebracht werden. Der Einfluss der Ionosphäre wird durch die Messung in zwei Frequenzbändern (2,2 und 8,4 GHz) eliminiert, s. [5.1.3]. Hauptfehlerquellen resultieren aus der Zeitmessung (±1 ps), aus Frequenzinstabilitäten (±10−15 über einige Tage) und aus Fehlern der Troposphärenmodelle. Dabei spielt die Unsicherheit in der Bestimmung der „nassen“ Komponente eine besondere Rolle, s. [5.1.2]. Sie beeinflusst hauptsächlich die vertikale Komponente der gemessenen Basislinie. Mit Wasserdampf-Radiometern kann der hier benötigte gesamte Wasserdampfgehalt längs des Signalweges bestimmt werden, diese aufwendige Messung ist jedoch bisher nur vereinzelt durchgeführt worden. Aus den Beobachtungsgleichungen (5.67) und (5.69) lassen sich durch Ausgleichung eine größere Zahl von Parametern berechnen. Hierzu zählen zunächst die Komponenten des Basislinienvektors im terrestrischen Bezugssystem (cm-Genauigkeit). Globale Netzlösungen liefern für eine bestimmte Epoche eine Präzision von wenigen mm für die Koordinaten und von mm/a für die jährlichen Stationsgeschwindigkeiten. Da die Erdrotationsparameter durch die Transformation zwischen dem terrestrischen und dem zälestischem System in das Modell einfließen, lassen sich auch für diese Schätzwerte ermitteln. Bei einer täglichen Auflösung ergeben sich Genauigkeiten von besser als ±0,001 für die Polkoordinaten und ±0,1 ms für UT1, s. [2.5.2]. Schließlich können aus den VLBI-Messungen noch Korrektionen der Präzessions- und Nutationsmodelle hergeleitet werden (Campbell et al. 1992). Zur Zeit sind etwa 20 stationäre Radioteleskope an internationalen Programmen zur Realisierung der globalen Bezugssysteme, zur Bestimmung der Erdrotationsparameter und zur Ableitung der Stationsgeschwindigkeiten beteiligt, insbesondere im Rahmen des Internationalen Erdrotationsdienstes; die Stationen liegen überwiegend in Europa, Nordamerika und Japan, s. Abb. 5.30.

Abb. 5.30. 20 m-Radioteleskop, Fundamentalstation Wettzell, Bundesamt für Kartographie und Geodäsie (BKG), Frankfurt a. M., Deutschland

5.4 Gravimetrie

155

Zur raschen Vermessung von Zonen rezenter Krustenbewegungen (Kalifornien, östliches Mittelmeer u. a.) sind mobile Radioteleskope entwickelt worden, sie werden auch zur besseren Überdeckung der Südhalbkugel herangezogen.

5.4

Gravimetrie

Die Gravimetrie befaßt sich mit der Messung der Schwereintensität (Schwere) und des Schweregradienten durch terrestrische Methoden (Messungen auf oder nahe der Erdoberfläche), Torge (1989a). „Absolute“ Schweremessungen verwenden unmittelbar Längen- und Zeit-Standards [5.4.1], während „relative“ Messungen eine Gegenkraft zur Messung von Schweredifferenzen benutzen [5.4.2]. Ein globales Schwerebezugssystem wird benötigt, um regionale und lokale Schwerenetze auf einen gemeinsamen Standard zu beziehen [5.4.3]. Schweremessungen auf bewegten Plattformen erlauben die rasche Aufnahme schwer zugänglicher Gebiete [5.4.4]. Die Messung des Schweregradienten liefert Informationen über das lokale Schwerefeld [5.4.5]. Zeitliche Schwereänderungen (insbesondere die gravimetrischen Erdgezeiten) werden durch kontinuierliche Schwereregistrierungen erfasst [5.4.6]. Die Einheit der Schwere im SI-System ist ms−2 . In Geodäsie und Geophysik sind weiterhin die Einheiten mGal = 10−5 ms−2 und μGal = 10−8 ms−2 = 10 nms−2 verbreitet, sie sind von der Einheit Gal (nach Galilei) des früheren cgs-Systems abgeleitet. 5.4.1 Absolute Schweremessungen Bei der „absoluten“ Schweremessung wird die Schwere g aus den BeschleunigungsBasisgrößen Länge und Zeit abgeleitet. Wir unterscheiden zwischen der Pendel- und der Freifall-Methode, beide wurden von Galileo Galilei (1564 – 1642) eingeführt, Faller und Marson (1988). Die Pendelmethode beherrschte die Gravimetrie über rund 300 Jahre, wird aber heute nicht mehr angewandt. Wegen ihrer grundlegenden Bedeutung wird hier eine kurze Einführung gegeben, darüber hinaus haben Pendelmessungen zum Aufbau einer Anzahl heute noch benutzter Schwerenetze beigetragen. Die Pendelmethode beruht auf der Messung der Schwingungsdauer (Periode) und der Länge eines frei schwingenden Pendels. Für das mathematische Pendel (von einem gewichtslosen Faden der Länge l getragene punktförmige Masse m) gilt die Schwingungsgleichung ml ϕ¨ + mg sin ϕ = 0 (5.70) mit dem Phasenwinkel ϕ = ϕ(t) und der Winkelbeschleunigung ϕ¨ = d 2 ϕ/dt 2 (Abb. 5.31). Die Integration von (5.70) über eine volle Periode führt zu einem elliptischen Integral. Eine Reihenentwicklung ergibt die Schwingungszeit   ϕ2 l  (5.71) T = 2π 1 + 0 + ··· , g 16

156

5 Messmethoden 0 01

a) l

b)

a lr

j

S

j0

02

m mg

Abb. 5.31. Absolute Pendelmessung: a) mathematisches Pendel, b) Reversionspendel

wobei die Amplitude ϕ0 klein gehalten wird. Die Schwere lässt sich demnach aus der Messung von T und l herleiten. Das mathematische Pendel ist nicht streng realisierbar. Die Gleichungen (5.70) und (5.71) gelten jedoch auch für das physische Pendel, wenn l durch die reduzierte Pendellänge J lr = (5.72) ma ersetzt wird. Hierbei ist J das Trägheitsmoment in Bezug auf die Drehachse O, m die Gesamtmasse und a der Abstand zwischen O und dem Massenschwerpunkt S. Am Reversionspendel werden zwei Drehachsen so angeordnet, dass nach entsprechender Justierung an beiden Achsen dieselbe Schwingungsdauer erhalten wird. Der Abstand zwischen den Achsen entspricht dann der reduzierten Pendellänge, so dass die direkte Bestimmung von J , m und a entfällt (Abb. 5.31). Das Reversionspendel wurde von Kater (1818) eingeführt. Eine begrenzte Anzahl von Messungen wurde besonders ab etwa 1860 ausgeführt, nachdem einige transportable Geräte entwickelt waren (Fa. Repsold u. a.). Nach der fundamentalen Schwerebestimmung in Potsdam, s. [5.4.3], wurden nur noch wenige Pendelmessungen in Laboratorien durchgeführt. Besonders wegen der Fehler bei der Bestimmung der Länge des schwingenden Pendels konnte hierbei jedoch nur eine Genauigkeit von bestenfalls einigen μms−2 erreicht werden.

Die Freifall-Methode basiert auf der Bewegungsgleichung m¨z = mg(z)

(5.73)

eines frei fallenden Körpers der Masse m. z ist die örtliche Lotrichtung und z¨ = d 2 z/dt 2 die Beschleunigung (Abb. 5.32). Nehmen wir ein homogenes Schwerefeld längs der Fallstrecke an, so liefert die zweifache Integration von (5.73) die Gleichung des freien Falls g z = z0 + z˙ 0 t + t 2 . (5.74) 2

157

5.4 Gravimetrie

Gleichung (5.74) verbindet die Position z des Fallkörpers zur Zeit t mit der Schwere. Die Integrationskonstanten z0 und z˙ 0 stellen den Ort z und die Geschwindigkeit z˙ = dz/dt zu Beginn des Experiments dar (t = 0). z(m)

UMKEHRPUNKT

z(m)

a)

z1(t1)

FS

Dt2

z3(t3)

0.4 0

0.2

t(s)

Dz

AU

0.2

LL FA

z2(t2)

0.2

b)

Dt1

G

0.4

T IE

0

v0 = 3 m/s 0

0

0.2

0.4

0.6

t(s)

Abb. 5.32. Ort-Zeit-Diagramm: a) Freifall-Methode, b) symmetrischer Wurf und Fall z0 und z˙ 0 weichen geringfügig von Null ab, was auf Probleme bei der exakten Festlegung der Startposition und kleine mikroseismische Beschleunigungen zurückzuführen ist. Die Änderung der Schwere entlang der Fallstrecke (Nicht-Homogenität des Schwerefeldes) läßt sich dadurch berücksichtigen, dass der vertikale Gradient ∂g/∂z in (5.74) eingeführt und der ausgeglichene Schwerewert auf eine definierte Referenzhöhe (z. B. 1 m) bezogen wird.

Werden mindestens drei Messungen von Positions-/Zeit-Paaren durchgeführt, so lassen sich z0 und z˙ 0 in (5.74) eliminieren, und die Schwere ergibt sich zu g=2

(z3 − z1 )(t2 − t1 ) − (z2 − z1 )(t3 − t1 ) . (t3 − t1 )(t2 − t1 )(t3 − t2 )

(5.75)

Beim symmetrischen Wurf und Fall wird die Testmasse senkrecht nach oben katapultiert, nach Erreichen der Umkehrposition fällt sie in der Vertikalen zurück (Abb. 5.32). Bei dieser Methode reicht es aus, die Zeit beim Wurf und Fall an jeweils zwei identischen Positionen zu messen. Die Auswertung von (5.74) ergibt g=

8z − t12

t22

(5.76)

mit z = z2 − z1 , t1 = t3 − t2 , t2 = t4 − t1 . Im Allgemeinen werden mehr als die notwendige Anzahl von Positions-/Zeit- Messungen durchgeführt. (5.74) dient dann als Beobachtungsgleichung zur Bestimmung von g, z0 und z˙ 0 durch eine Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Die Genauigkeitsanforderungen in der Absolutgravimetrie liegen in der Größenordnung von 10−9 g oder 10−8 ms−2 . Das erfordert z. B. bei einer Fallweg-Länge von 0,2 m (Fallzeit 0,2 s) Genauigkeiten von ±0,2 nm bzw. ±0,1 ns bei der Messung von Position und Zeit. Erreicht werden diese Genauigkeiten durch interferometrische Längenmessung mit simultaner elektronischer Zeitzählung.

Derzeitige Freifall-Gravimeter verwenden Polarisations- oder Jod-stabilisierte HeliumNeon-Gas-Laser (λ = 633 nm) als Längen- und Atom- (Rubidium) Frequenznormale

158

5 Messmethoden

als Zeit-Standard. Ein Michelson-Interferometer dient zur Längenmessung, wichtigste Komponenten sind dabei zwei als Reflektor dienende Tripelprismen (Abb. 5.33). Das „feste“ Prisma stellt den Referenzreflektor, das andere den Fallkörper dar. Nach FALLTRIPELPRISMA

LANGPERIOD. FEDER

REFERENZ TRIPELPRISMA

LASER SPIEGEL

STRAHLTEILER

SPIEGEL

PHOTODETEKTOR

Abb. 5.33. Prinzip des Michelson-Interferometers

Aufteilung des Laser-Lichts in einen Mess- und einen Referenz-Wellenzug, ParallelReflektion und anschließender Überlagerung der beiden Wellenzüge entstehen LichtInterferenzen. Die Nulldurchgänge des Interferenzstreifen-Signals haben einen Abstand von λ/2, wobei die Streifenfrequenz sich wegen der nach z˙ (t) = gt zunehmenden Geschwindigkeit des Fallkörpers mit der Zeit vergrößert (Abb. 5.34). Sie werden mit einer Photodiode erfasst, in ein elektrisches Signal umgewandelt, verstärkt, getriggert und gezählt. Nach einer vorgegebenen Zahl n von Nulldurchgängen wird eine Zeitmessung (Atomuhr und Zeitintervall-Zähler) durchgeführt, das entspricht einer Fallstrecke von λ (5.77) (z) = n . 2 Um den Einfluss des Luftwiderstandes zu eliminieren, werden die Fallmessungen im Vakuum (10−4 Pa) durchgeführt. Mikroseismische Störungen werden zu einem erheblichen Teil durch Kompensationsvorrichtungen mit großer Eigenperiode (T > 10 s) absorbiert. Durch Messungshäufung (einige 100 bis einige 1 000 über ein bis zwei Tage verteilte Messungen pro Station) lassen sich langperiodisch wirkende Störungen reduzieren. Bei der Wurf- und Fall-Methode fallen geschwindigkeitsproportionale Fehler (restlicher Luftwiderstand, Zeitmessfehler) heraus. An den berechneten Schwerewerten sind verschiedene Reduktionen anzubringen. Die gravimetrischen Erdgezeiten lassen sich i. Allg. mit einer Genauigkeit von wenigen 0,01 μms−2 oder besser reduzieren, s. [8.3.5]. Die Polbewegungs-Reduktion folgt aus

159

5.4 Gravimetrie

FOTODIODE

INTERFERENZSIGNAL

NULLDURCHGANGSDETEKTOR

GEPULSTES SIGNAL

SCALER

SKALIERTES SIGNAL

FREQUENZNORMAL

ZEITINTERVALLMESSER dtn

ZEITPULSE

ZÄHLER mn

PROZESSRECHNER

Abb. 5.34. Messung der skalierten Interferenz-Impulse, nach Zumberge (1981)

(3.110) und (5.63): δgPol = −δPol ω2 R sin 2ϕ(xp cos λ − yp sin λ)

(5.78a)

mit ω = Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation, R = Erdradius, und xp und yp = Koordinaten des momentanen Pols bezogen auf den IERS Referenzpol. Die geodätischen Koordinaten ϕ, λ stellen eine hinreichende Annäherung an die astronomische Breite und Länge dar. Der Faktor δPol = 1,2 berücksichtigt die Elastizität der Erde, s. [5.4.6]. Luftdruckänderungen wirken sich durch einen direkten (Gravitation) und einen indirekten (Deformation) Effekt aus. Sie werden durch folgende Reduktion berücksichtigt: (5.78b) δgp = 3(p − pn ) nms−2 mit p = aktueller Luftdruck und pn = Normalluftdruck entsprechend einer StandardAtmosphäre, beide in hPa. Schließlich ist der ausgeglichene Schwerewert von der Referenzhöhe auf den zugehörigen Bodenpunkt (Vermarkung) zu reduzieren, die entspr. Schweredifferenz lässt sich durch relative Schweremessungen mit einer Genauigkeit von ±0,01 bis 0,02 μms−2 bestimmen, s. [5.4.5]. Die Langzeit-Stabilität der Längen- und Zeit-Standards wird durch Kalibrierung des Lasers (10−9 bis 10−10 Frequenzstabilität) und der Atomuhr (10−10 ) kontrolliert. Die auf das Gravimetersystem (Hard- und Software) bezogene Wiederholbarkeit kann durch regelmäßige Vergleichsmessungen auf einer Referenzstation (Abb. 5.35) überprüft werden, während die Genauigkeit nur durch Vergleichsmessungen mit anderen Gravimetern abgeschätzt werden kann, s. [5.4.3]. Die Genauigkeit absoluter Schweremessungen hängt wesentlich von den Stationsbedingungen ab. Stabile Standpunkte

160

5 Messmethoden ABWEICHUNG VON g -2 (mms ) 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1

MITTEL: g = 9811157.34 mms

-2

-0.15

JAHR 1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

Abb. 5.35. Langzeit-Stabilität des JILAG-3 Absolutgravimeters (Inst. für Erdmessung, Univ. Hannover) auf der Referenzstation Clausthal, Harz

(Felsuntergrund, niedriger Umwelt-Störpegel) liefern bessere Ergebnisse als Messpunkte in Sedimentgebieten, nahe der Küste oder in Städten. Die aus den einzelnen Fallversuchen berechnete „drop-to-drop“-Streuung (±0,05 bis ± einige μms−2 ) lässt sich durch eine große Anzahl von Messungen soweit reduzieren, dass der ausgeglichene Stationswert eine Standardabweichung von ±0,01 bis 0,03 μms−2 aufweist. Die Genauigkeit liegt wegen nicht modellierter systematischer Einflüsse des Instruments (z. B. Rückkopplungseffekte zwischen dem Gravimeter und dem Boden beim Fallvorgang: „instrument-floor recoil“) und der Umgebung (atmosphärische Auflast, Grundwasserstandsänderungen) bei einigen μms−2 . Systematische Unterschiede zwischen verschiedenen Absolutgravimetern können 0,05 μms−2 und mehr erreichen, s. [5.4.3]. Die Freifall-Methode wurde in den 1950er Jahren entwickelt (Volet und Sakuma am BIPM Sèvres, Cook am National Physical Laboratory, Teddington). Faller konstruierte ein transportables Instrument und setzte es 1968 erstmals weltweit ein. Zu den heute operierenden transportablen Absolutgravimetern gehören die JILA- (Joint Institute for Laboratory Astrophysics, Boulder, CO, USA) und die FG5- (Micro-g Solutions Inc., USA) Freifall-Instrumente (Niebauer et al. 1995). Je Fall-Experiment („drop“) werden etwa 200 gleichmäßig über die Fallstrecke von 20 cm verteilte Positions-/Zeit-Messungen durchgeführt, eine on-line Ausgleichung passt die Fallparabel an diese Daten an. Der Fallkörper bewegt sich bei diesen Geräten in einer widerstandsfreien („drag-free“) Kammer, welche verschiedeneAufgaben erfüllt. Durch entsprechende Beschleunigung der Kammer wird das Tripelprisma in den freien Fall versetzt, und die Kammer wird dann dem Prisma so nachgesteuert, dass der restliche Luftdruckwiderstand eliminiert wird. Nachdem das Prisma durch die Kammer weich aufgefangen worden ist, wird es zurück in die Startposition transportiert. Das Referenzprisma wird durch eine „super-spring“ (durch ein elektronisches Rückkopplungssystem zu wirksamen Eigenschwingungen zwischen 30 und 60 s angeregte Feder) von mikroseismischen Bodenbewegungen abgeschirmt. Die JILA-Gravimeter verwenden Interferometer mit einer horizontalen Basis, während bei den FG5-Instrumenten die Basis vertikal angeordnet ist (Abb. 5.36, 5.37). Im letzteren Fall wirken sich Bodenvibrationen und Neigungen nicht auf die optische Weglänge aus. Zum Transport werden die Instrumente zerlegt (FG5: 240 kg in 8 Behältern). Der Stationsaufbau erfordert etwa zwei Stunden, und die Messungen erstrecken sich in Abhängigkeit von der örtlichen Mikroseismik i. Allg. über ein bis

5.4 Gravimetrie

161

¨ zwei Tage (Roder 1994, Timmen 1996). Eine tragbare Version des FG5-Gravimeters lässt sich auf ruhigem Grund auch außerhalb von Gebäuden einsetzen und liefert nach einer Messzeit von 10 Minuten eine Präzision von±0,1 μms−2 .

FALLKAMMER

FREIFALLTRIPELPRISMA DRAG-FREE-KAMMER

ANTRIEBSMOTOR

IONENPUMPE DREIFUSS

INTERFEROMETER

STÜTZFEDERN SUPERSPRING HAUPTFEDER

LASER REFERENZTRIPELPRISMA

SERVOSPULE

Abb. 5.36. Prinzip des Freifall-Gravimeters FG5 (Micro-g Solutions, Inc., Arvada, CO, USA)

Abb. 5.37. Ansicht des Freifall-Gravimeters FG5 (Micro-g Solutions, Inc., Arvada, CO, USA)

Transportable Wurf- und Fall- Instrumente sind vom Istituto di Metrologia „G. Colonnetti“, Torino, Italien und von Jaeger S.A., Frankreich entwickelt worden. Das FG5-Gravimeter kann ebenfalls im Wurf- und Fall-Modus arbeiten. Ein Meeresboden-Absolutgravimeter wurde speziell zur Erfassung langzeitiger Schwereänderungen in geodynamisch aktiven Zonen konstruiert (Zumberge und Canuteson 1995).

5.4.2

Relative Schweremessungen

Eine „relative“ Schweremessung liefert die Schweredifferenz zwischen zwei Punkten oder die Änderung der Schwere mit der Zeit, s. [5.4.6]. Dabei werden entweder Zeitoder Längenunterschiede beobachtet, die jeweils andere Größe wird konstant gehalten. Relative Schweremessungen lassen sich deshalb leichter als absolute ausführen. Bei der Pendelmethode werden mit demselben Pendel die Schwingungsperioden T1 und T2 auf den Punkten P1 und P2 gemessen. Aus (5.71) folgt T2 g2 = 12 g1 T2

(5.79)

oder nach leichter Umformung die Schweredifferenz g1,2 = g2 − g1 = −2g1

T2 − T1 (T2 − T1 )2 + g1 . T2 T22

(5.80)

Nach der Entwicklung eines transportablen Pendelapparates (Pendellänge 25 cm, zwei in Gegenphase auf einem Stativ schwingende Pendel zur Elimination von Mitschwingeffekten durch

162

5 Messmethoden

Stativ-Boden-Kopplung) durch v. Sterneck (1887) wurden weltweit in großem Umfang relative Pendelmessungen durchgeführt. Obwohl von der Zeit und dem Ort unabhängige systematische Effekte bei dieser Differenzen-Methode herausfallen, ließ sich die Genauigkeit der Pendelmessungen nicht über einige μms−2 hinaus steigern; dies lag im wesentlichen an der Schwierigkeit, die Pendellänge auch im Feldbetrieb konstant zu halten. In den 1930er Jahren verloren die Pendelmessungen durch die Entwicklung der Federgravimeter ihre Bedeutung. Die Pendelmethode wurde jedoch noch bis in die 1960er Jahre zur Einrichtung von Gravimeter-Eichlinien benötigt, da die Ergebnisse der Pendelmessungen in der Beschleunigungseinheit vorliegen und nicht kalibriert werden müssen.

Relative Gravimeter benutzen eine Gegenkraft, um die Testmasse im Gleichgewicht mit der Schwerkraft zu halten. Örtliche oder zeitliche Schwereänderungen werden durch die entsprechenden Änderungen der Gegenkraft beobachtet und mit einer Kalibrierfunktion in die Schwere-Einheit transformiert. Bei den meisten Gravimetern wird eine elastische Gegenkraft verwendet. Instrumente, die auf bewegten Plattformen oder stationär für Registrierungen eingesetzt werden, benutzen auch magnetische Gegenkräfte, s. [5.4.4], [5.4.6]. Das elastische Federgravimeter beruht auf dem Prinzip der Federwaage. Bei Schwereänderungen verändert sich die Länge der Feder so, dass das statische Gleichgewicht zwischen Schwerkraft und elastischer Kraft erhalten bleibt. Bei kleinen Auslenkungen ist nach Hookes Gesetz die Dehnung proportional zur Kraftänderung. Wir unterscheiden zwischen Translations- und Rotations-Systemen. Beim Translationssystem (vertikale Federwaage) lautet die Gleichgewichtsbedingung (Abb. 5.38a) (5.81) mg − k(l − l0 ) = 0, wobei k die Federkonstante und l (bzw. l0 ) die Länge der belasteten (bzw. unbelasteten) Feder ist. Wird (5.81) auf eine Schweredifferenz g angewandt, so ergibt sich ein linearer Zusammenhang zwischen g und der beobachteten Längenänderung l: g =

k g l = l. m l − l0

(5.82)

Eine ungedämpfte Feder führt eine harmonische Schwingung mit der Eigenfrequenz  ω0 = k/m (5.83) und der Schwingungsdauer  T0 = 2π

 m = 2π k

l − l0 g

(5.84)

aus. Differentiation liefert die mechanische Empfindlichkeit T2 m dl = = 02 . dg k 4π

(5.85)

163

5.4 Gravimetrie b)

a)

c)

k(l-l0)

t(a0 + a)

d m

a

m

a

l-l

0

a

)

h m

b a

0

0 mg

k(

d

mg

mg

Abb. 5.38. Prinzip des elastischen Federgravimeters: a) vertikale Federwaage, b) TorsionsHebelfederwaage, c) allgemeine Hebelfederwaage

Um Schwereänderungen mit einer relativen Genauigkeit von 10−8 zu bestimmen, müssen die Längenänderungen einer 10 cm langen Feder auf ±1 nm gemessen werden. Rotationssysteme (Hebelfederwaage) bestehen aus dem die Masse m tragenden Hebel, der um die Achse O drehbar ist. Gleichgewicht wird durch eine horizontale Torsionsfeder oder eine vertikal oder schräg angreifende Schraubenfeder hergestellt. Bei der Torsions-Hebelfederwaage (Abb. 5.38b) gilt für das Gleichgewicht der Drehmomente: mg cos α − τ (α0 − α) = 0 (5.86) mit a = Länge des Hebels, α = Winkel zwischen der Horizontalen und dem Hebel, τ = Torsionskonstante, und α0 = Vorspannwinkel der Torsionsfeder. Für α = 0 ergibt sich für dieses nicht-lineare System ein linearer Zusammenhang zwischen Winkelausschlag und Schwereänderung: τ α. (5.87) g = ma Bei der allgemeinen Hebelfederwaage greift die Feder-Gegenkraft unter einem beliebigen Winkel an dem die Masse tragenden Hebel an. Die Verbindungslinie zwischen der Drehachse O und dem oberen Feder-Einspannpunkt weicht um den Winkel δ von der Vertikalen ab (Abb. 5.38c). Mit dem senkrechten Abstand h = (bd/ l) sin α

(5.88a)

zwischen dem Drehpunkt und der Feder lautet die Gleichgewichtsbedingung für die Drehmomente l − l0 mga sin(α + δ) − kbd sin α = 0. (5.88b) l Die Empfindlichkeit dieses nicht-linearen Systems lässt sich wesentlich steigern, wenn die Drehmomente von Schwerkraft und Federkraft einander angenähert werden (Asta-

164

5 Messmethoden

sierung). Für eine „zero-length“-Feder (l0 = 0) erhalten wir sin(α + δ) sin α dα = . dg g sin δ

(5.89)

Hohe Empfindlichkeit wird bei einem kleinen Winkel δ und α ≈ 90° erreicht. Mit a = 0,1 m, α + δ = 90◦ und δ = 100 müssen Verschiebungen auf ±2 μm gemessen werden, um eine relative Genauigkeit von 10−8 zu erhalten. Im Vergleich zu einem linearen System ist die Empfindlichkeit also um den Faktor 2 000 gestiegen. Die geforderten Genauigkeiten von 0,1 μms−2 und höher stellen erhebliche Anforderungen an die Ableseeinrichtung und an die zeitliche Konstanz der Gegenkraft. Die Position der Prüfmasse wird mit optischen und/oder elektrischen Abgriffsystemen erfasst. Meist werden kapazitive Abgriffe benutzt, um die Abstandsänderungen zwischen Kondensatorplatten in elektrische Größen (Spannungsänderungen) umzuwandeln, eine Ableseeinheit zeigt diese Änderung digital an. Zur Messung wird i. Allg. die Nullmethode angewandt, dabei dient eine Kompensationseinrichtung zur Rückführung des Ausschlags in eine definierte Ausgangsposition. Bei mechanischer Kompensation wird eine Mess-Schraube benutzt. Bevorzugt werden heute elektronische Rückführ- („feedback“) Systeme, da sie frei von Schraubenfehlern sind. Bei Verwendung elastischer Federn soll die Federkraft über mehrere Stunden eine zeitliche Stabilität von 10−8 aufweisen, das entspricht dem Zeitraum für den Transport eines Gravimeters zwischen zwei Messpunkten eines großräumigen Netzes, s. [7.4]. Als Federmaterialien finden NiFe-Legierungen (kleiner thermoelastischer Koeffizient) und Quarz (großer aber gut linearer thermoelastischer Koeffizient, kleiner Wärmeausdehnungskoeffizient) Verwendung. Zusätzlich wird das Messsystem gegen Änderungen der Außentemperatur (Thermostat), des Luftdrucks (druckdichtes Gehäuse) und bei Metallfedern auch des Magnetfeldes (magnetische Isolierung) abgeschirmt. Die Auswirkung von mechanischen Erschütterungen und Vibrationen wird durch Luftdämpfung und besondere Dämpfungseinrichtungen verringert. Federgravimeter der verschiedensten Konstruktion wurden seit den 1930er Jahren für die geophysikalische Exploration entwickelt. Seit den 1950er Jahren standen auch Geräte zur Vermessung großräumiger Schwerenetze zur Verfügung. Die meisten dieser frühen Gravimeter hatten nur einen begrenzten Messbereich (z. B. 2 000 μms−2 ), der Übergang in einen anderen Schwerebereich wurde mit einer besonderen Messbereichsschraube vorgenommen (Askania Gravimeter: Torsions-Hebelfederwaage, Metall-Legierung; Worden Gravimeter: astasiertes Quarzsystem mit horizontalem Balken und vertikaler Gegenfeder). Die astasierten LaCoste und Romberg Gravimeter verwenden eine „zero-length“ Metallfeder, die unter einem Winkel von 45◦ an dem horizontalen Waagebalken angreift (Model G: 70 000 μms−2 Messbereich, Mess-Schraube mit 10 μms−2 je Umdrehung), Kanngieser (1983), Abb. 5.39. In den letzten Jahren entwickelte Instrumente sind mikroprozessor-kontrolliert und weitgehend automatisiert. Sie arbeiten mit kapazitiven Abgriffen, elektronischen Feedback-Systemen und automatischer Horizontierung. Weitere Kennzeichen sind eine hohe Datenerfassungsrate und on-line Auswertung mit Datenkompression, Erdgezeitenreduktion und Driftkontrolle (Scintrx CG-3 Autograph: lineares Quarzsystem; LaCoste und Romberg Modell E Gravimeter), Falk(1995), Abb. 5.40, 5.41. Als Modifikationen der konventionellen Landgravimeter wurden Unterwasser- und

5.4 Gravimetrie

165

MESSSPINDEL GEHÄUSE ZAHNRADKASTEN ZEROLENGTHFEDER

VERBINDUNGSHEBEL

MESSSCHRAUBE

BALKEN MASSE HEBEL STOSSDÄMPFENDE FEDER

Abb. 5.39. Prinzip des LaCoste und Romberg Gravimeters (LaCoste und Romberg, Inc., Austin, Texas, USA)

Abb. 5.40. LaCoste und Romberg Gravimeter (Graviton-EG), (LaCoste and Romberg, Inc., Austin, TX, USA)

Abb. 5.41. Scintrex Autograph CG-3M Gravimeter (Scintrex, Concord, Ontario, Canada)

Bohrloch-Gravimeter entwickelt. Beim Unterwassergravimeter wird das Gravimetersystem in ein druck- und wasserdichtes Gehäuse eingebaut und auf einem Vermessungsschiff montiert. Nach Absenken des Gravimeters auf den Meeresboden wird die Messung mit Fernsteuerung und Datenübertragung vorgenommen. Unterwassergravimeter werden hauptsächlich in den Schelfgebieten bei Wassertiefen bis zu 200 m eingesetzt. Bohrlochgravimeter zeichnen sich durch besonders kleine Abmessungen und ferngesteuerten Betrieb auch bei hohen Temperaturen aus, sie werden zur Berechnung der Gesteinsdichten aus vertikalen Schwereprofilen benutzt. Flug- und See-Gravimeter werden in [5.4.4] und Registriergravimeter (Erdgezeitengravimeter) in [5.4.6] beschrieben.

Trotz aller Maßnahmen zur Ausschaltung oder Reduktion äußerer Störeinflüsse auf das Gravimeter-Messsystem treten zeitliche Änderungen der Nullpunktsanzeige auf: Gänge und Sprünge. Der Gang (Drift) setzt sich aus einem langfristigen, durch die Alterung des Federmaterials verursachten Anteil und im Feldbetrieb auftretenden kurzfristigen

166

5 Messmethoden

Anteilen zusammen. DerAlterungseffekt geht bei Metallfedergravimetern nach einigen Jahren gegen Null. Der im Felde beobachtete „Transportgang“ resultiert aus Reaktionen der Gegenfeder auf Vibrationen und kleine sprunghafte Erschütterungen, nicht kompensierte Temperaturänderungen sowie elastische Nachwirkungen nach Arretiervorgängen. Er hängt vom Federmaterial und von den Messbedingungen ab und kann einige μms−2 /Tag erreichen. Durch größere mechanische Schocks können plötzliche Sprünge derselben Größenordnung hervorgerufen werden. Gänge und Sprünge werden durch Wiederholungsmessungen während eines Messtages erfasst, der Gang wird dann in der Auswertung durch eine Gangfunktion modelliert. Zur Gangbestimmung sind in Abhängigkeit vom Verhalten des Gravimeters und dem Netzaufbau unterschiedliche Verfahren entwickelt worden, hierzu zählen das Profil-, das Stern- und das SteppVerfahren (Abb. 5.42). Nachdem die gravimetrische Erdgezeitenreduktion, s. [8.3.5], a)

c)

b) 3 1

1

2

3

2

5

4

3 4 5

1 4

2

Abb. 5.42. Gangbestimmungsmethoden: a) Profilmethode, b) Sternmethode, c) Steppverfahren

an den Gravimeterablesungen angebracht worden ist, kann die Gangfunktion durch ein Zeitpolynom niederer Ordnung modelliert werden (Abb. 5.43): D(t) = d1 (t − t0 ) + d2 (t − t0 )2 + · · ·

(5.90)

mit t0 = Anfangszeit (z. B. Beginn der Vermessung) und d1 , d2 = Gangparameter. Die durchgeführten Wiederholungsmessungen erlauben dann, in der Netzausgleichung die Gangparameter zu berechnen, s. [7.4]. ABLESUNG (mms-2) +2 +1 +2 +1 ZEIT (h)

0 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Abb. 5.43. Driftbestimmung (Profilmethode)

5.4 Gravimetrie

167

Die Gravimeterablesung z (in Zählwerkseinheiten) wird durch die Kalibrierfunktion (auch Eichfunktion) in die Schwereeinheit transformiert: g = F (z).

(5.91)

F (z) hängt von geometrischen und physikalischen Parametern des Messsystems ab, vgl. (5.82), (5.87), (5.89), diese lassen sich im einzelnen nicht mit der gewünschten Genauigkeit bestimmen. Die Kalibrierfunktion wird deshalb durch den Vergleich von Ablesedifferenzen mit bekannten Schweredifferenzen ermittelt. Zur Transformation der Ablesungen in die Schwerewerte reicht i. Allg. ein Polynom niederen Grades (linearer „Maßstabsfaktor“ und eventuell kleine nichtlineare Anteile auf Grund der Eigenschaften des Rückstellsystems) aus: gij = gj − gi = Y1 (zj − zi ) + Y2 (zj2 − zi2 ) + · · ·

(5.92)

mit Y1 , Y2 = Kalibrierparameter. Zyklische Fehler der Mess-Schraube können durch periodische Kalibrierterme berücksichtigt werden. Zur Bestimmung der Kalibrierparameter kommen Labor- und Feldmethoden zum Einsatz. Labormethoden beruhen auf dem Vergleich simulierter Schwereänderungen mit den entsprechenden Gravimeterablesungen. Die Kipptisch-Methode benutzt die Neigung um einen bekannten Winkel, um eine scheinbare Schwereänderung zu erzeugen, während die Massen-Methode hierzu die Änderung der Gravimetermasse durch eine bekannte Zusatzmasse verwendet. Für Registriergravimeter sind besondere Verfahren entwickelt worden, s. [5.4.6]. Kalibrierstrecken (Eichlinien) enthalten Schweredifferenzen, die mit Absolutgravimetern bestimmt und eventuell durch Relativgravimetermessungen verdichtet wurden. Sie nutzen die Tatsache aus, dass die Schwere sich mit der Breite und der Höhe ändert (Kanngieser et al. 1983). Der Messbereich der Kalibrierstrecken ist i. Allg. begrenzt, so dass nur ein genäherter Wert für den linearen Kalibrierfaktor bestimmt werden kann; ein verbesserter Wert ergibt sich durch Kalibrierung in einem globalen Schwerebezugssystem, s. [5.4.3].

Die Genauigkeit von Schweredifferenzen (g < 1 000 bis 2 000 μms−2 ), die mit kalibrierten und gangkontrollierten Gravimetern gemessen wurden, beträgt ±0,1 bis 0,2 μms−2 . Durch Wiederholungsmessungen und den Einsatz von mehreren Instrumenten kann die Genauigkeit auf ±0,05 bis 0,1 μms−2 und bei lokalen Verbindungen sogar bis ±0,02 μms−2 gesteigert werden (Becker et al. 2000a). 5.4.3

Schwerebezugssysteme

Schwerebezugssysteme realisieren den Schwerestandard durch die Schwerewerte einer Anzahl von ausgewählten Stationen, damit wird die Homogenität aller hieran angeschlossenen Schweremessungen sichergestellt. Die Notwendigkeit zur Einrichtung eines globalen Schwerebezugssystems entstand gegen Ende des 19. Jahrhunderts, als umfangreichere Datensätze von absoluten und relativen Pendelmessungen miteinander kombiniert werden mussten. Das Potsdamer Schweresystem wurde 1909 von der IAG eingeführt. Es beruht auf Reversionspendelmessungen im Geodätischen Institut Potsdam, die zwischen 1898 und 1904 von Kühnen und Furtwängler durchgeführt wurden. Der

168

5 Messmethoden

Potsdamer Absolutwert wurde anschließend durch relative Pendelmessungen auf die nationalen Basispunkte anderer Länder übertragen. Seit den 1930er Jahren zeigten neue absolute und relative Schweremessungen, dass der Potsdamer Schwerewert um 140 μms−2 zu hoch lag und dass Übertragungsfehler von einigen 10 μms−2 aufgetreten waren.

Das Potsdamer Schweresystem ist 1971 auf Empfehlung der IUGG durch das International Gravity Standardization Net 1971 (IGSN71) ersetzt worden (Morelli et al. 1974). Dieses Netz enthält 1854 Schwerestationen (davon etwa 500 besonders gut vermessene und möglichst dauerhaft angelegte Hauptpunkte), Abb. 5.44. Die

Abb. 5.44. International Gravity Standardization Net 1971 (IGSN71): absolute Schwerestationen und ausgewählte Netzverbindungen, nach Morelli et al. (1974)

Schwerewerte des IGSN71 wurden in einer Ausgleichung aus 10 absoluten und etwa 25 000 relativen (einschließlich 1 200 relativer Pendelmessungen) Schweremessungen berechnet. Die mittlere Unsicherheit der ausgeglichenen Schwerewerte ist kleiner als ±1 μms−2 . Besonders hohe Relativgenauigkeiten weisen die in Nord-Süd-Richtung in Amerika, Europa und Afrika sowie im westlichen Pazifik angelegten Kalibrierstrecken auf. Das IGSN71 ist inzwischen auf ursprünglich nicht einbezogene Teile der Erde ausgedehnt worden. Neuere regionale Schwerenetze wurden an das IGSN71 angeschlossen, ältere Netze mit Hilfe identischer Punkte in das IGSN71 transformiert (Niveauverschiebung und „Maßstabs“änderung). Die Schwerewerte des IGSN71 können u. a. dazu benutzt werden, den linearen Kalibrierfaktor von Relativgravimetern mit einer relativen Genauigkeit von einigen 10−5 zu bestimmen. Mit zunehmender Verfügbarkeit von transportablen Absolutgravimetern der Genauigkeit 0,05 μms−2 und besser lässt sich die Schwerereferenz unabhängig von einem globalen Netz bei jeder einzelnen gravimetrischen Vermessung herstellen (Torge 1998). Die linearen Kalibrierfaktoren der eingesetzten Relativgravimeter werden dann aus den im Vermessungsgebiet angelegten Absolutpunkten bestimmt. Das IGSN71 wird deshalb auch nicht neu ausgeglichen, sondern es werden die regional entstehenden und auf absolute Schwerewerte gestützten Netze laufend verbessert. Diese Strategie setzt voraus, dass die Absolutgravimetersysteme regelmäßig einer Qualitätskontrolle unterzogen

5.4 Gravimetrie

169

werden, s. [5.4.1]. Hierzu werden seit den 1980er Jahren am BIPM, Sèvres, internationale Absolutgravimetervergleiche vorgenommen (Abb. 5.45). Bei Absolutgravimetern ABWEICHUNG VOM MITTEL -2 (mms ) 0.1

0.0

-0.1 JILAG

FG5

ANDERE

Abb. 5.45. Absolutgravimetervergleich, BIPM, Sèvres 1997: Abweichungen vom Mittelwert und Standardabweichungen für JILAG-, FG5- und andere Gravimeter, nach Robertsson et al. (2001)

der jüngsten Generation beträgt die r.m.s. Streuung um den BIPM-Mittelwert und die Langzeitstabilität einige 0,01 μms−2 , was den derzeitigen Stand in der Realisierung des Schwerestandards charakterisiert (Robertsson et al. 2001). 5.4.4

Schweremessungen auf bewegten Plattformen

Zur raschen und hochauflösenden gravimetrischenAufnahme von Gebieten mit schwierigen Umweltbedingungen (Ozeane, Polregionen, Hochgebirge, tropische Urwälder) sind kinematische Messmethoden entwickelt worden. Als Plattformen dienen hauptsächlich Schiffe und Flugzeuge, bei lokalen Anwendungen finden auch Hubschrauber und Landfahrzeuge Verwendung. Verglichen mit der stationären Gravimetrie treten im kinematischen Modus zusätzliche Probleme auf, insbesondere in Bezug auf die Orientierung des Schweresensors und die Trennung der Schwere von nicht-gravitativen Beschleunigungen (Brozena und Peters 1995, Cannon und Lachapelle 1997). Das Grundprinzip der kinematischen Gravimetrie ist durch Newtons Bewegungsgleichung gegeben. Im lokalen astronomischen System (hier auch „local level“-System genannt), s. [2.6.2], gilt hierbei für den Schwerevektor g l = r¨ l − R lb f b + (2ωlie + ωlel ) × r˙ l ,

(5.93)

wobei r¨ = d 2 r/dt 2 die Plattformbeschleunigung, r˙ die Plattformgeschwindigkeit (r = Ortsvektor), und f der gemessene Beschleunigungsvektor (auch spezifische Kraft genannt) ist. Sind die Beschleunigungsmesser fest mit der Plattform verbunden, so ist eine Transformation vom Fahrzeugkörper („body frame“) b in das local-levelSystem l notwendig. Die entsprechende Drehmatrix R enthält die Orientierungswinkel zwischen diesen beiden Bezugssystemen. Da die Plattform sich mit r˙ gegenüber der

170

5 Messmethoden

Erde bewegt, treten zusätzliche Trägheitsbeschleunigungen auf, sie werden durch den letzten Term in (5.93) berücksichtigt. ωlie und ωlel sind die Vektoren der Winkelgeschwindigkeiten der Erdrotation gegenüber dem Inertialsystem i beziehungsweise der Plattformdrehung gegenüber dem erdfesten System e. In der operationellen See- und Flug-Gravimetrie werden meist modifizierte Landgravimeter auf gedämpften zweiachsigen stabilisierten Plattformen eingesetzt. Die Stabilisierung wird im local-level-System durch zwei Kreisel/BeschleunigungsmesserPaare vorgenommen, welche im Feedback-Modus arbeiten. Bei dieser „skalaren“ Gravimetrie wird nur der Betrag der Schwere bestimmt, (5.93) reduziert sich dann zu v2 . (5.94) r Hierbei sind fz und z¨ die vertikalen Komponenten der spezifischen Kraft bzw. der Plattformbeschleunigung, ω ist die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation, ϕ die geodätische Breite, α das geodätische Azimut, v die Plattformgeschwindigkeit gegenüber der Erde und r der Abstand zum Erdschwerpunkt. Im statischen Fall geht (5.94) in die Gleichgewichtsbedingungen der Relativgravimetrie über, s. [5.4.2]. Die von der g = fz − z¨ + 2ω cos ϕ sin αv +

w v cos a v v sin a

a

R cos j

P R j 0

Abb. 5.46. Eötvös-Effekt

Geschwindigkeit abhängigen Ausdrücke auf der rechten Seite von (5.94) werden als Eötvös-Reduktion bezeichnet. Wie Abb. 5.46 zeigt, setzt sie sich aus der CoriolisBeschleunigung und einer Zentrifugalbeschleunigung zusammen. Die erstere vergrößert (bei West-Ost-Kurs) die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation, während die letztere aus der genähert kreisförmigen Plattformbewegung (Winkelgeschwindigkeit v/r) um den Erdschwerpunkt resultiert. In Erdnähe (r = R = 6 371 km) lautet die Eötvös-Reduktion δgEöt = 40v cos ϕ sin α + 0,012v 2 μms−2

(5.95)

mit v in km/h. Der zweite Term bleibt klein bei der Seegravimetrie, nimmt aber bei der Fluggravimetrie große Werte an. Da die Fahrzeuggeschwindigkeiten sich heute

5.4 Gravimetrie

171

mit GPS-Navigation mit einer Genauigkeit von 0,05 m/s bestimmen lassen, bleibt die Unsicherheit der Eötvös-Reduktion kleiner als 10 μms−2 . Anstelle der Montierung auf einer stabilisierten Plattform kann der Schweresensor auch fest mit dem Fahrzeug verbunden werden. Bei dieser Strapdown Inertial-Gravimetrie werden GPSgestützte Inertial-Navigations-Systeme INS (auch Trägheitsnavigationssystem) eingesetzt, die u. a. durch eine digital anfallende hohe Datenrate gekennzeichnet sind. Während im skalaren Modus ein genähert vertikal orientierter Beschleunigungsmesser ausreicht, erfordert der vektorielle Modus drei zueinander rechtwinklig angeordnete Akzelerometer zur Bestimmung des spezifischen Kraftvektors. Nach (5.93) wird die Orientierung zwischen dem „body“- und dem „local level“-System kontinuierlich benötigt, die entsprechenden Orientierungswinkel lassen sich aus den INS-Kreiselangaben berechnen. Wegen der hohen Anforderungen an die Orientierung befindet sich die Vektorgravimetrie noch im experimentellen Stadium. Bei der skalaren Gravimetrie sind diese Anforderungen geringer, insbesondere dann, wenn sämtliche Messwerte einer Akzelerometer-Triade zur Bestimmung des Betrages der Schwere benutzt werden (rotationsunabhängige skalare Gravimetrie), Timmen et al. (1998), Wei und Schwarz (1998).

Die Methoden zur Trennung der Schwere von nicht-gravitativen Beschleunigungen hängen von der Frequenz der „Störbeschleunigungen“ ab, sie unterscheiden sich für die See- und die Flug-Gravimetrie. Hochfrequente Vibrationen lassen sich durch Dämpfung des Messsystems stark reduzieren. In der Seegravimetrie (stabilisierte Plattform) verlaufen die Störbeschleunigungen mit Perioden zwischen 2 und 20 s, sie können Amplituden von 0,1 g erreichen. Wegen der geringen Geschwindigkeiten (10 bis 20 km/h) und der genähert konstanten Bezugsfläche (Meeresspiegel) werden die vertikalen Störbeschleunigungen bereits durch eine Tiefpass-Filterung hinreichend unterdrückt. Mittelbildung der Messdaten über einen Zeitraum von 1 bis 5 Minuten ergibt so mittlere Schwerewerte über einige 0,1 bis 2 km. Der Einfluss horizontaler Störbeschleunigungen bleibt wegen der Stabilisierung klein. Ein durch restliche Horizontierfehler verursachter „off-leveling“-Effekt kann bei bei einer Horizontiergenauigkeit von 10 i. Allg. vernachlässigt werden. Größere Probleme bereiten Querkopplungs- („cross-coupling“) Effekte, wie sie bei horizontalen Hebelfederwaagen zwischen der horizontalen und der vertikalen Komponente der Störbeschleunigung auftreten. Sie können 50 μms−2 und mehr erreichen und müssen mit Hilfe der gemessenen Horizontalbeschleunigungen reduziert werden. Mit einer Vertikalfeder arbeitende Translationssysteme werden hiervon nicht beeinflusst. In der Fluggravimetrie schwanken die Perioden der Störbeschleunigungen zwischen 1 und 300 s (langperiodische Eigenbewegung des Flugzeugs), Amplituden bis zu 0,01 g und mehr treten auf. Die hohen Flugzeuggeschwindigkeiten (250 bis 450 km/h) verhindern eine wirksame Filterung, bei der notwendigen großen Filterlänge (einige Minuten) lassen sich nur mittlere Schwerewerte über einige 10 km bestimmen. Die Störbeschleunigungen müssen also unabhängig aus differentiellen GPS-Messungen (Trägerphasenmessung) über die zweite Ableitung der Höhe oder die erste Ableitung der Geschwindigkeit berechnet werden. Über Wasser und über eisbedeckten Gebieten kann auch die Radar- und die Laser-Altimetrie für die Höhenmessung eingesetzt werden. Höhen werden außerdem benötigt, um die gemessenen Schwerewerte durch eine Freiluftreduktion auf eine gemeinsame Bezugsfläche zu reduzieren,

172

5 Messmethoden

s. [6.5.3], Hehl und Xu (1995). F. A. Vening-Meinesz gelang 1923 die Konstruktion eines Dreipendelapparates, mit dem im getauchten Unterseeboot Schweremessungen durchgeführt werden konnten; weltweite Messreisen wurden bis in die 1960er Jahre unternommen. Danach wurden modifizierte Landgravimeter (z. B. Askania, LaCoste und Romberg) auf kreiselstabilisierten Plattformen an Bord von Schiffen, Hubschraubern (etwa ab 1980) und Flugzeugen (etwa ab 1990) eingesetzt. Seit den 1990er Jahren werden diese Messungen in Bezug auf die Navigation, die Bestimmung der Höhe und der vertikalen Störbeschleunigungen durch GPS unterstützt. Das Gss30 Gravimeter (Bodenseewerk) arbeitet nach dem Translationsprinzip mit einer vertikalen Gegenfeder (Abb. 5.47). Für

Abb. 5.47. Schweresensor Gss30 und kreiselstabilisierte Plattform KT 30 ( Bodenseewerk Geosystem, Überlingen, Deutschland) die Trägheitsnavigation entwickelte Beschleunigungsmesser („force-balanced accelerometer“ ) lassen sich ebenfalls für Schweremessungen auf bewegten Plattformen benutzen. Sie zeichnen sich durch geringe Größe und robustes Verhalten auch bei großer dynamischer Beanspruchung aus, besitzen aber eine geringere Auflösung und größere Driftraten als konventionelle Gravimeter. Bei einem linearen System ist die Testmasse so gefesselt, dass sie sich nur in einer Richtung bewegen kann. Die Null-Lage wird durch ein elektromagnetisches Feld aufrechterhalten, der hierzu benötigte elektrische Strom ist der Beschleunigung proportional. Rotations-Systeme arbeiten nach dem Pendelprinzip. Gemessen wird jeweils die in der Empfindlichkeitsachse liegende Komponente der spezifischen Kraft (Abb. 5.48), Neumayer und Hehl (1995). Besonders geeignet sind diese Geräte für den Einsatz unter rauhen Bedingungen auf See und in der Luft, sie wurden auch in Tiefsee-Tauchbooten verwendet. Ähnliche Eigenschaften weisen auf schwingenden Saiten beruhende Gravimeter auf. Hierbei wird die Tatsache benutzt, dass die Frequenz einer unter Spannung stehenden schwingenden Saite der Quadratwurzel von g proportional ist.

See- und fluggravimetrische Vermessungen werden i. Allg. entlang von ParallelProfilen durchgeführt. Rechtwinklig dazu angelegte Profile dienen zur Kontrolle und zur Genauigkeitssteigerung durch Ausgleichung der an den Kreuzungspunkten auftretenden Widersprüche. Seegravimetrische Aufnahmen haben sich auf Gebiete von geologischem Interesse und auf die Schelf-Regionen konzentriert, durch Fluggravimetrie wurden in den letzten Jahren hauptsächlich Gebiete mit ungenügender Schwerefeldinformation überdeckt (Grönland, Arktischer Ozean, Antarktis, Schweizer Alpen), z. B. Forsberg und Brozena (1993),Abb. 5.49. Die Genauigkeit der See- und Fluggravi-

5.4 Gravimetrie

173

DREHMOMENTGEBER

O- E RV IF SE HLE SC GEHÄUSE

POSITIONSDETEKTOR

MASSE

RAHMEN

ROTATIONSDETEKTOR

EMPFINDLICHKEITSACHSE

MASSE

EM P KE FIND LIC ITS HAC HS E

Abb. 5.48. Prinzip von Beschleunigungsmessern: Translations-System (links) und Rotations(Pendel) System (rechts)

metrie (Datenerfassung i. Allg. mit 1 s-Mittelwerten) hängt von den Messbedingungen (Seegang, Luftturbulenzen, Schiffs- und Flugzeug-Eigenschaften, Flughöhe und Geschwindigkeit), von Orientierungsfehlern und besonders in der Fluggravimetrie von der Trennung von Schwere und Störbeschleunigungen ab. In der Seegravimetrie werden heute Genauigkeiten von ±5 bis 20 μms−2 erreicht bei einer Auflösung von 1 km längs des Profils, die Profilabstände liegen zwischen 5 und 10 km. Großräumige fluggravimetrische Vermessungen werden i. Allg. mit Flughöhen von einigen km ausgeführt, bei speziellen Zielsetzungen finden sich auch niedrige Geschwindigkeiten und kleine Flughöhen (einige 100 m), insbesondere gilt das für den Hubschrauber-Einsatz. Routinemäßig wird in der Fluggravimetrie heute eine Genauigkeit von ±20 bis 50 μms−2 (Hubschrauber 5 μms−2 ) bei einer Auflösung von 5 bis 10 km (Hubschrauber 1 km) erreicht, eine Steigerung von Genauigkeit und Auflösung um den Faktor zwei wird erwartet (Gumert 1995). Zu beachten ist, dass die Abschwächung des Schwerefeldes mit der Höhe, s. [3.3.3], eine hoch-auflösende Vermessung bei großen Flughöhen verhindert. 5.4.5

Schweregradiometrie

Der Schweregradienten-Tensor (3.68) enthält lokale Schwerefeldinformation, seine Bestimmung ist also für eine hochauflösende Schwerefeldmodellierung von Interesse. Die Komponenten des Gradienten-Tensors grad g werden i. Allg. im lokalen astronomischen System („local level“-System) beschrieben, s. [3.2.2], ihre Einheit ist s−2 . Wegen der Größenordnung der Komponenten und der erreichbaren Messgenauigkeit werden diese i. Allg. in 10−9 s−2 = ns−2 ausgedrückt und traditionell als EötvösEinheit E bezeichnet. Ein Schweregradiometer bestimmt entweder sämtliche oder einzelne Komponenten von grad g, zum Teil auch in linearen Kombinationen. Ausgenutzt wird dabei die unterschiedliche Reaktion benachbarter Prüfmassen auf das Schwerefeld. Ein Gradiometer besteht demnach aus zwei fest miteinander verbundenen Sensoren (meist

174

5 Messmethoden FRANKREICH

SPANIEN

ALGERIEN O

Abb. 5.49. Seegravimetrie-Profile (1965 – 1972), westliches Mittelmeer, Osservatorio Geofisico Sperimentale, Trieste, nach Finetti und Morelli (1973)

Beschleunigungsmesser), die i. Allg. im local-level-System orientiert sind.Wird die Schwere in den Sensoren 1 und 2 in Bezug auf den Massenschwerpunkt C des Systems nach Taylor entwickelt und die Differenz der Sensoranzeigen („spezifische Kraft“ f ) gebildet, so ergibt sich im stationären Modus f 2 − f 1 = (grad g)C (r 2 − r 1 )l

(5.96)

mit r 1 , r 2 = Ortsvektoren der Sensoren im local-level-System. Ein Gradiometersystem setzt sich aus mehreren Gradiometereinheiten zusammen. Diese werden in verschiedenen Richtungen orientiert, um die einzelnen Komponenten des Gradiententensors zu erhalten (Abb. 5.50). Die Rotation der Gradiometereinheiten im Schwerefeld stellt eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der verschiedenen Komponenten dar.

Abb. 5.50. Schweregradiometer-Translationssystem mit Längs- (links und Zentrum) und Quer(rechts) Konstellation

An der Erdoberfläche können Gravimeter benutzt werden, um aus der Messung von Schweredifferenzen zwischen eng benachbarten Punkten Näherungswerte für die

5.4 Gravimetrie

175

Komponenten von grad g zu erhalten. Der horizontale Schweregradient (Wzx , Wzy ) kann bei Punktabständen von 10 bis 100 m aus profil- oder flächenmäßigen Schweremessungen mit einer Präzision von ±10 ns−2 bestimmt werden (Wolf 1972). Die vertikale Komponente Wzz lässt sich mit derselben Präzision durch mehrfache Rela¨ tivmessungen auf Stativen mit Höhen bis zu 3 m ableiten (Roder et al. 1985). Um 1900 wurde von R. v. Eötvös die Drehwaage als erstes feldfähiges Schweregradiometer entwickelt. Sie besteht aus zwei in verschiedenen Höhen angeordneten gleich großen Massen, die durch ein Balkensystem fest miteinander verbunden sind. Im Massenschwerpunkt ist das System an einem Torsionsfaden aufgehängt. Durch horizontale Drehung des Balkensystems wird Gleichgewicht zwischen den auf die Massen wirkenden Drehmomenten hergestellt, wobei die Komponenten Wyy − Wxx , Wxy , Wxz , Wyz wirksam sind. Wird die Drehrichtung in fünf verschiedenen Azimuten gemessen, so lassen sich diese vier Feldgrößen und die (unbekannte) Null-Lage des Systems bestimmen. Die Drehwaage wurde in größerem Umfang zwischen 1920 und 1940 in der angewandten Geophysik und für Spezialaufgaben teilweise auch noch später eingesetzt, dabei wurde eine Präzision von ±1 bis 3 ns−2 erreicht (Heineke 1978).

Die stationäre terrestrische Schweregradiometrie ist zeitaufwendig und durch örtliche Massenanomalien stark gestört. Topographische Reduktionen müssen auch noch die unmittelbare Umgebung innerhalb eines Radius von 100 m berücksichtigen, was die Anwendung der Drehwaage auf flaches und gemäßigt bewegtes Gelände beschränkt hat (Hein 1981). Messungen auf bewegten Plattformen erlauben eine rasche Datenerfassung (z. B. mit einer 1-Sekundenrate oder mehr). Beim Betrieb im Flugzeug oder Satelliten, s. [5.2.7], werden die topographischen Störeffekte wesentlich reduziert. Das Gradiometersystem wird bei diesem kinematischen Modus auf einer stabilisierten Plattform montiert, die Wirkung der Plattformdrehung gegenüber der Erde muss berücksichtigt werden, s. [5.4.4]. Durch die Differenzbildung der Sensoranzeigen fallen bei dieser Methode linear wirkende nicht-gravitative Störkräfte heraus. Ein Schweregradiometersystem für Anwendungen im Kraftfahrzeug und im Flugzeug wurde von Bell Aerospace entwickelt, dabei konnte eine Präzision von 10 ns−2 bei einer Auflösung von einigen km erreicht werden (Jekeli 1988). Es besteht aus drei Gradiometer-Einheiten, welche mit jeweils zwei rechtwinklig zueinander auf einer langsam rotierenden Scheibe angeordneten Akzelerometerpaaren bestückt sind (Abb. 5.51). Die Gradiometer-Einheiten werden mit unterschiedlicher Orientierung auf einer kreiselstabilisierten Plattform miteinander kombiniert. Bei Verwendung von supraleitender Technologie dürfte der Einfluss von Vibrationen und von langfristig wirkenden Störquellen weitgehend reduziert werden, so dass eine Präzision von 1 ns−2 erwartet wird. Beim Einsatz im Flugzeug oder auf dem Schiff ließe sich dann das Schwerefeld mit einer Auflösung von 1 km und besser erfassen, die Schwere würde sich nach Integration mit einer Genauigkeit von 1 μms−2 ergeben (Paik et al. 1997).

5.4.6

Kontinuierliche Schweremessungen

Kontinuierliche Schwereregistrierungen enthalten Informationen über die Erdgezeiten und ozeanische Auflasten, die Eigenschwingungen und die freie Nutation des Erdkerns („nearly diurnal free wobble“), Verlagerungen des inneren Erdkerns, die Polbewegung

176

5 Messmethoden DREHACHSE ROTIERENDE SCHEIBE

AKZELEROMETER

Abb. 5.51. Prinzip des rotierenden Schweregradiometers, nach Jekeli (1988a)

sowie vulkanische Aktivitäten und Erdbeben (Wilhelm et al. 1997), s. [8.3.5]. Diese Vorgänge finden über Zeiträume von Sekunden bis zu einigen Jahren und mehr mit Amplituden von etwa 1 bis 1000 (Gezeiten) nms−2 statt. Ein Registriergravimeter sollte demnach eine Auflösung von 0,01 bis 1 nms−2 und eine hohe Zeitstabilität (kleine Driftrate) aufweisen, die Zeit ist mit einer Genauigkeit von ±10 ms zu bestimmen. Um störende Umwelteinflüsse (Temperaturänderungen, Mikroseismik, lokale Neigungen)) zu reduzieren, werden Registriergravimeter meist unterhalb der Erdoberfläche (Keller, Tunnel) installiert. Registriergravimeter arbeiten innerhalb eines begrenzten Messbereichs (z. B. 10 μms−2 ) im elektronischen „feedback“-Modus, s. [5.4.2]. Die registrierte Spannungsänderung ist der Schwereänderung proportional. Sie wird zunächst analog gefiltert, um die hochfrequenten Störungen zu reduzieren, und dann mit einem A/DWandler digitalisiert. Eine anschließende digitale Filterung liefert einen Datensatz mit einer zeitlichen Auflösung von 1 bis 10 s, der auf einem PC gespeichert wird. Die Datenauswertung kann eine weitere numerische Filterung, eine Datenkompression, die Beseitigung von erdbebenbedingten Spitzen sowie die Interpolation von Datenlücken einschließen (Wenzel 1996a). Eine anschauliche „on-line“-Kontrolle der Datenerfassung wird durch eine Analogausgabe möglich. Zur Schwereregistrierung werden elastische Feder- und supraleitende Gravimeter eingesetzt (Melchior 1983). Elastische Federgravimeter lassen sich verwenden, wenn sie mit einem Tiefpassfilter, einer Registriereinheit und einer Quarzuhr ausgestattet werden. Speziell entwickelte Erdgezeitengravimeter zeichnen sich durch einen kleinen Messbereich und hohe Langzeitstabilität (z. B. durch Verwendung eines Doppel-Thermostaten) aus. Neuere Landgravimeter können wahlweise auch in einem Erdgezeiten-Modus betrieben werden (erhöhte Empfindlichkeit, erweiterter Datenspeicher, rechnergestützte Fernbedienung). Da die Langzeitdrift dieser mit einer elastischen Gegenkraft operierenden Geräte durch Filterung eliminiert werden muss, lassen sich nur kurzperiodische Effekte (z. B. die täglichen und höherfrequente Tiden) bestimmen, das Messrauschen liegt hier bei einigen 0,1 bis 1 nms−2 .

5.4 Gravimetrie

177

Beim supraleitenden Gravimeter wird die auf die Testmasse (Niob-Kugel) wirkende Schwerkraft durch eine magnetische Gegenkraft kompensiert (Abb. 5.52). Das Magnetfeld wird durch supraleitende Spulen erzeugt und ist deshalb extrem zeitstabil. Die Lage der Masse wird durch einen kapazitiven Abgriff kontrolliert und mit Hilfe einer Rückkopplungsspule in der Null-Position gehalten. Der supraleitende Zustand wird durch Einbettung des Mess-Systems in flüssiges Helium der Temperatur 4,2 K erzeugt, das in einem isolierenden Dewar-Gefäß gehalten wird (Abb. 5.53). Für den ferngesteuerten Langzeitbetrieb wurde eine verkleinerte Gravimeterversion VERBINDUNG ZU DEN ELEKTRON. SENSOREN STÜTZRAHMEN

PFEILER DEWAR-GEFÄSS FLÜSSIGES HELIUM TESTMASSE + KONDENSATORPLATTEN SPULEN DEWARSTÜTZRAHMEN

Abb. 5.52. Prinzip des supraleitenden Gravimeters (GWR-Instruments Information und Richter 1987)

Abb. 5.53. RGS „remote controlled“ Supraleitendes Gezeitengravimeter (GWRInstruments Inc., San Diego, CA, USA)

entwickelt, bei der auf das Nachfüllen von flüssigem Helium verzichtet werden kann (Richter 1987, Warburton und Brinton 1995). Die instrumentell bedingte Drift ist beim supraleitenden Gravimeter sehr klein (Größenordnung 10 nms−2 /a), sie kann z. B. durch eine Exponentialfunktion modelliert werden. Zur Driftkontrolle können in größeren Zeitabständen durchgeführte absolute Schweremessungen herangezogen werden. Aus der Analyse von Erdgezeiten ergab sich für supraleitende Gravimeter ein Mess-Rauschen zwischen 0,01 bis 0,1 nms−2 (kurzperiodisch) und 1 bis 10 nms−2 (sehr lange Zeitintervalle), Neumeyer et al. (2001). Registriergravimeter lassen sich mit relativen und absoluten Methoden kalibrieren. Eine relative Kalibrierung basiert auf einer Parallelmessung mit einem kalibrierten Gravimeter oder den Ergebnissen einer Gezeitenregistrierung auf einer Station mit gut bekannten Gezeitenparametern. Eine absolute Kalibrierung wird i. Allg. auf einer vertikalen Gravimeter-Kalibrierstrecke durchgeführt. Labormethoden nutzen die künstlich erzeugte periodische Beschleunigung einer vertikal schwingenden Plattform, die kontrollierte vertikale Verschiebung von großen Massen in Gravimeternähe und die Parallelmessung mit einem Absolutgravimeter. Mit diesen Methoden werden Genauigkeiten von einigen 0,1 % erreicht (Richter et al. 1995). Die instrumentelle Phasenverschiebung wird durch Beobachtung des Gravimeterausschlags gegenüber einem definierten Impuls bestimmt.

178

5 Messmethoden

Das Schweresignal ist stark mit dem Luftdruck korreliert. Ein linearer Regressionsansatz mit dem örtlichen Luftdruck (zwischen −2,5 und −3,5 nms−2 /hPa) reduziert den Hauptanteil dieses Effektes. Verfeinerte Modelle berücksichtigen auch den Luftdruck in der weiteren Umgebung der Station und die elastische Auflastreaktion der Erdkruste (Merriam 1992). Änderungen des Grundwasserspiegels und der Bodenfeuchte beeinflussen ebenfalls die Schwereregistrierung (Größenordnung von einigen 10 nms−2 ), sind aber schwer zu modellieren.

Längere (einige Monate und mehr) Schwereregistrierungen können einer Gezeitenanalyse unterzogen werden, welche auf einer spektralen Zerlegung des beobachteten Signals (meist Stundenwerte, Luftdruckeffekt reduziert) in eineAnzahl von Partialtiden beruht. Werden die Ergebnisse der Analyse (Amplituden und Phasen der Partialtiden) mit den gravimetrischen Gezeiten für eine starre Erde, s. [3.5.2], verglichen, so ergeben sich Abweichungen, die von der elastischen Reaktion der Erde auf die Gezeitenkräfte abhängen. Für die Partialtide i lässt sich das durch den Amplitudenfaktor δi = Ai (beob) : Ai (theor)

(5.97)

mit Ai = beobachtete bzw. theoretische (für eine starre Erde berechnet) Amplitude, und die Phasenverschiebung i = i (beob) − i (theor)

(5.98)

mit i = beobachtete bzw. theoretische Phase, ausdrücken. Die Beobachtungsgleichung für eine Spektralanalyse nach der Methode der kleinsten Quadrate lautet dann l(t) =

n 

δi Ai (theor) cos(ωi t + i (theor) + i )

(5.99)

i=1

mit l(t) = registrierter Schwerewert zur Zeit t, und ωi = Kreisfrequenz der Partialtide i (Wenzel 1996b). Elastische Federgravimeter erlauben bei einer Registrierzeit von 4 bis 6 Monaten die Bestimmung von 10 bis 20 Partialtiden (hauptsächlich tägliche, halbtägliche und dritteltägliche Tiden). Supraleitende Gravimeter können bei einer Registrierdauer über mehrere Jahre bis zu 40 Partialtiden (einschließlich der halb- und ganzjährlichen) auflösen, aus Langzeitbeobachtungen wurde auch der gravimetrische Faktor für die Polbewegung bestimmt. Beispielhaft nennen wir die Ergebnisse einer 158-Tage-Registrierung mit einem LaCoste und Romberg feedback-Gravimeter in Hannover (ϕ = 52,387◦ N, λ = 9,713◦ E, H = 50 m). Es ergab sich für die ganztägliche Mondtide O1 δ(O1) = 1,151 ± 0,001, (O1) = 0,16◦ ± 0,08◦ und für die halbtägliche Tide M2 δ(M2) = 1,188 ± 0,0005,

(M2) = 1,70◦ ± 0,03◦

(Timmen und Wenzel 1994a). Der Amplitudenfaktor für O1 liegt nahe dem beobachteten globalen Wert von 1,155, während der M2-Wert wegen ozeanischer Auflast- und Attraktionseffekte stärker abweicht, s. [8.3.5]. Eine globale Datenbank für gravimetrische Gezeitenmessungen (mehr als 300 Stationen) wird im International Center for Earth Tides in Brüssel geführt.

5.5 Terrestrische geodätische Messungen

179

5.5 Terrestrische geodätische Messungen Terrestrische geodätische Messungen legen Punkte an der Erdoberfläche durch direkte Bestimmung geometrischer Größen in ihrer gegenseitigen räumlichen Lage fest. Die Beobachtungen orientieren sich dabei fast ausschließlich an der örtlichen Lotrichtung, finden also in lokalen astronomischen Systemen statt. Durch die Messung von Horizontal- und Zenitwinkeln [5.5.1] sowie Strecken [5.5.2] wird eine relative Positionsbestimmung möglich, wobei meist Kombinationsinstrumente (Totalstationen) eingesetzt werden. Das Nivellement liefert sehr genaue, ebenfalls auf das Schwerefeld bezogene Höhenunterschiede [5.5.3]. Lokale zeitlicheÄnderungen von Neigungen und Entfernungen lassen sich durch Neigungsmesser und Extensometer erfassen [5.5.4]. Die hohe Genauigkeit und die Wirtschaftlichkeit satellitengestützter Messverfahren haben dazu geführt, dass terrestrische geodätische Messungen in zunehmenden Maße zur Interpolation von Satelliten-Ergebnissen oder in Gebieten eingesetzt werden, wo diese versagen (Punktbestimmung unterhalb der Erdoberfläche und am Meeresboden) oder nur begrenzt einsatzfähig sind (Waldgebiete, Ortslagen mit starker Bebauung, Ingenieurprojekte, lokale Geodynamik). Inertiale Vermessungsmethoden werden für die kinematische dreidimensionale Positionsbestimmung eingesetzt. Genutzt werden hierbei Beschleunigungsmessungen auf kreiselstabilisierten Plattformen, das Schwerefeld muss durch entspr. Reduktionen berücksichtigt werden. Verwendung findet die Inertialvermessung zur raschen Punktverdichtung in Kontrollnetzen, insbesondere bei der Herstellung topographischer Karten. Die Genauigkeit hängt von der gegenseitigen Entfernung der neu bestimmten Punkte ab und beträgt etwa ±(0,1 m + 10 × 10−6 s), Jekeli (2001b). Terrestrische Vermessungsmethoden werden in Lehrbüchern des Vermessungswesens behandelt, z. B. Kahmen (1997). Ausführliche Beschreibungen der Vermessungsinstrumente finden sich u. a. in Joeckel und Stober (1999) und Deumlich und Staiger (2002). Kahmen (1978) und Schlemmer (1996) konzentrieren sich auf die in geodätischen Instrumenten benutzte Elektronik, während Brunner (1984b) die Auswirkung der atmosphärischen Refraktion erörtert. 5.5.1

Horizontal- und Zenitwinkelmessungen

Der Horizontalwinkel ist als der in der Horizontalebene des lokalen astronomischen Systems zwischen zwei Vertikalebenen gemessene Winkel definiert. Er wird aus der Differenz der Horizontalrichtungen zu den die Vertikalebenen festlegenden Zielpunkten gebildet. Der Höhenwinkel ist der in der Vertikalebene gemessene Winkel zwischen der Horizontalebene und der Richtung zum Zielpunkt. Im Allgemeinen wird in der Geodäsie der Zenitwinkel (Ergänzung des Höhenwinkels zu 90◦ ) benutzt, s. [2.6.2]. Zur Messung von Horizontal-und Höhenwinkeln dient ein Theodolit. Seine Hauptbestandteile sind ein horizontaler und ein vertikaler Teilkreis, ein um die vertikale Stehachse und um die horizontale Kippachse drehbares Zielfernrohr und Ableseeinrichtungen für die Teilkreise. Zum Lotrechtstellen der Stehachse dienen Flüssigkeitsoder elektronische Libellen.

180

5 Messmethoden

In Bezug auf die Ablesung der Teilkreise unterscheiden wir zwischen optischen und elektronischen oder Digital-Theodoliten. Optische Theodolite der höchsten Präzision wurden seit der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts entwickelt und bis in die 1960er Jahre bei Sichtweiten von 30 bis 60 km für die Triangulation erster Ordnung eingesetzt (zu den letzten Entwicklungen zählten die Kern DKM3 und Wild T3 Instrumente). Sie waren durch eine besonders stabile Bauweise und Teilkreisdurchmesser von 100 bis 250 mm ausgezeichnet. Teilkreisfehler blieben kleiner als 0,5 , und mit Koinzidenzmikroskopen und Mikrometerschraube wurde eine Ablesegenauigkeit von 0,1 erreicht. Die Objektivöffnungen betrugen 60 bis 70 mm und die Fernrohrvergrößerung 30 bis 40 und mehr. Für eine auf der Station ausgeglichene Horizontalrichtung ergaben sich Standardabweichungen von ±0,2 bis 0,4 .

Heute werden Horizontalwinkel nur noch bei Netzverdichtungen oder in lokalen Spezialnetzen gemessen, dabei treten maximale Punktabstände von wenigen km auf. Für diese Zwecke stehen elektronische Theodolite (Objektivöffnung 40 bis 45 mm, Vergrößerung 30 oder mehr) zur Verfügung, sie haben die optischen Analoginstrumente verdrängt (Abb. 5.54). Im Allgemeinen wird ein solcher elektronischer Theodolit mit einem Entfernungsmessgerät zu einer Totalstation verbunden, s. [5.5.2].

Abb. 5.54. Elektronischer Theodolit (Leica T 1800), Leica Geosystems AG, Heerbrugg, Schweiz

Abb. 5.55. Kreiseltheodolit (Gyromat 2000), Deutsche Montan Technologie (DMT), Essen, Deutschland

Die Horizontal- und Vertikalkreise eines elektronischen Theodolits sind entweder codiert (Code-Zeichen auf konzentrischen Kreiden angeordnet) oder tragen ein Strichraster (Hell-Dunkel-Wechsel: Inkrementalverfahren). Ein Mikroprozessor steuert die optisch-elektronische Abtastung und die anschließende Interpolation (elektronisches Mikrometer). Zur Horizontierung des Instrumentes dienen elektronische Libellen und ein Stehachskompensator, eine Restneigungskorrektion kann auch automatisch angebracht werden. Ziel- und Kippachsfehler werden entweder durch Messung in zwei Fernrohrlagen eliminiert oder nach vorheriger Bestimmung intern korrigiert. Die Genauigkeit einer einmal in beiden Lagen gemessenen Richtung beträgt ±0,5 bis 1 .

5.5 Terrestrische geodätische Messungen

181

Ein Kreiseltheodolit kombiniert einen Theodolit mit einem Kreiseluntersatz und erlaubt die Messung von astronomischen Azimuten (Abb. 5.55). Dabei wird die Tatsache genutzt, dass ein rasch rotierender Kreisel mit horizontaler Drehachse wegen der sich überlagernden Effekte der Kreiseldrehung, der Schwerkraft und der Erdrotation in die Nordrichtung schwingt. Mit 20 Einzelmessungen kann dabei eine Genauigkeit von ±3 erreicht werden. Kreiseltheodolite werden hauptsächlich im Bergbau und bei Tunnelvermessungen eingesetzt. Zur Messung von Zenitwinkeln ist am Vertikalkreis (Höhenkreis) eine Ablesemarke (Höhenindex) angebracht. Durch manuelle (Röhrenlibelle) oder automatische (elektronische Libelle) Horizontierung des Höhenindex wird die Lotrichtung mit einer Genauigkeit von einigen 0,1 realisiert. Mit elektronischen Theodoliten (Teilkreisdurchmesser um 70 mm, elektronische Libellen mit einer Angabe von 2 /2 mm) kann ein Zenitwinkel mit einer Genauigkeit von ±0,5 bis 2 bestimmt werden. Vor der weiteren Nutzung von Zenitwinkeln, s. [6.4.2], müssen die Einflüsse der Vertikalrefraktion berücksichtigt werden. Der Refraktionswinkel hängt vom Refraktionskoeffizienten (5.11) und damit von den meteorologischen Verhältnissen längs des Lichtweges ab, besonders vom vertikalen Temperaturgradienten, siehe (5.19). Im Allgemeinen wird der Refraktionswinkel aus den am Stand- und Zielpunkt gemessenen meteorologischen Parametern abgeschätzt. Dies kann bei Streckenlängen von einigen km und mehr leicht zu Fehlern von einigen Bogensekunden oder mehr führen. Nach (5.11b) nimmt die Auswirkung dieses Fehlers auf die abgeleitete Höhendifferenz mit dem Quadrat der Entfernung zu und kann über einige km bereits mehrere Dezimeter erreichen. Der instrumentell bedingte Messfehler wirkt sich dagegen nur linear mit der Entfernung aus und bleibt so in der Größenordnung von einigen cm. Ein genähert symmetrischer Refraktionsverlauf ist zu erwarten,wenn auf den Endpunkten einer Strecke gleichzeitig beobachtet wird. Dies gilt insbesondere bei Bewölkung und vor der abendlichen Isothermie und wenn der Lichtstrahl einen Bodenabstand von mehr als 15 bis 20 m aufweist. Die Unsicherheit des Refraktionswinkels bleibt dann bei Entfernungen unter 10 bis 25 km meist kleiner als 1 . Die Methode der gegenseitig-gleichzeitigen beobachteten Zenitwinkel wird deshalb bei genaueren trigonometrischen Höhenübertragungen vorzugsweise angewandt, s. [6.4.2]. Eine direkte Bestimmung des Refraktionswinkels wird durch Ausnutzung der Dispersion des Lichtes möglich, s. [5.1.1]. Werden zwei verschiedene Wellenlängen zur Messung benutzt, so tritt am Zielpunkt ein Unterschied zwischen den beiden Refraktionswinkeln auf. Dieser Dispersionswinkel hängt von dem längs des Lichtweges wirksamen Refraktionskoeffizienten ab. Wird der kleine Einfluss des Wasserdampfdrucks vernachlässigt, so ist der Dispersionswinkel dem Refraktionswinkel proportional, jedoch um etwa zwei Größenordnungen kleiner. Die Hauptfehlerquelle bei der Messung des Dispersionswinkels ist die atmosphärische Turbulenz. Wie Experimente gezeigt haben, kann aus dem gemessenen Dispersionswinkel der Refraktionswinkel bei Entfernungen von weniger als 20 km mit einer Unsicherheit von ±1 bis 2 abgeleitet werden. Eine eventuelle Anwendung von Dispersiometern dürfte sich auf Distanzen von wenigen km beschränken.

182

5 Messmethoden

5.5.2

Streckenmessungen, Totalstationen

Terrestrisch gemessene Strecken besitzen für die Positionsbestimmung eine erhebliche Bedeutung. Sie legen einmal geometrische Beziehungen zwischen den Messpunkten fest, zum andern liefern sie den Maßstab klassischer geodätischer Netze. Bis etwa 1960 wurde der Maßstab der aus Winkelmessungen aufgebauten Dreiecksnetze aus Grundlinien (Basislinien) von 5 bis 10 km Länge abgeleitet. Zur Längenmessung dienten Messstangen und etwa ab 1900 Messdrähte und -bänder. Beim Jäderin-Verfahren (1880) wurden 24 m lange, frei hängende Drähte aus Invar verwendet, einer NiFe-Legierung mit sehr kleinem Wärmeausdehnungskoeffizienten. Die relative Genauigkeit der neueren Grundlinien beträgt etwa 10−6 entsprechend 1 mm/1 km. Zur Feldkalibrierung von Drähten und Bändern wurden mehrere internationale Kalibrierstrecken mit interferometrischen Methoden eingerichtet. Der Väisälä-Licht-Interferenzkomparator ging von der Länge eines Meter-Endnormals aus und erlaubte durch optische Multiplikation die Messung von bis zu 864 m langen Basislinien mit einer relativen Genauigkeit von ±10−7 .

Elektromagnetische Streckenmessungen begannen gegen Ende der 1940er Jahre. Als Träger des Messsignals werden entweder Lichtwellen (λ = 0,4 bis 0,8 μm) oder Mikrowellen (λ = 1 bis 10 cm) benutzt (Rueger 1997, Joeckel und Stober 1999). Die gemessene Signallaufzeit dient als Maß für die Entfernung. Mikrowellen werden in der Atmosphäre kaum absorbiert, so dass sich auch unter ungünstigen Wetterbedingungen Strecken von 50 km und mehr messen lassen. Der große Einfluss der Luftfeuchtigkeit auf die Refraktion kann die Ergebnisse aber wesentlich verschlechtern. Mit Lichtwellen gemessene Distanzen sind um etwa eine Größenordnung genauer, ihre Verwendung kann jedoch durch Störungen der optischen Sicht (Dunst, Nebel) eingeschränkt werden, s. [5.1.2]. Wir unterscheiden zwischen dem Impulsmessverfahren und dem Phasenvergleichsverfahren. Beim Impulsmessverfahren wird vom Sender ein kurzer Impuls ausgesandt und am Ziel reflektiert. Im Empfänger wird die Laufzeit t des über die Strecke s hin und zurück gelaufenen Signals mit einem elektronischen Zähler gemessen. Es gilt s=

c t, 2

(5.100)

wobei wir unterstellen, dass der Refraktionseinfluss durch entsprechende Korrektionen berücksichtigt ist, s. [5.1.1]. Um den Streckenmessfehler kleiner als 5 mm zu halten, muss die Laufzeit mit einer Genauigkeit von ±0,03 ns gemessen werden. Erreicht wird dies durch kurze (wenige ns) Laserimpulse, elektronische Zählung mit Hilfe eines Oszillators hoher Taktfrequenz und Mittelbildung über eine große Zahl (z. B. 1000) von Einzelmessungen, siehe auch [5.2.6]. Beim Phasenvergleichsverfahren wird eine hochfrequente Trägerwelle kontinuierlich vom Sender abgestrahlt, wobei ein periodisches Messsignal aufmoduliert wird (Amplituden- oder Frequenzmodulation). Die Modulationsfrequenzen liegen zwischen 10 und 100 MHz, die entsprechende halbe (wegen der vom Signal zweimal durchlaufenen Strecke) Wellenlänge dient bei der Ausmessung der Strecke als Maßeinheit (etwa

5.5 Terrestrische geodätische Messungen

183

1 bis 10 m), Abb. 5.56. Die zwischen dem ausgesandten und dem nach Zurückwerfen an einem (passiven) Reflektor empfangenen Signal auftretende Phasenverschiebung repräsentiert den über einem ganzzahligen Vielfachen der Modulationswellenlänge liegenden Restanteil der Strecke. Die Laufzeit t und die Phasenverschiebung  REFLEKTOR

l

SENDER EMPFÄNGER Dl S

Abb. 5.56. Phasenvergleichsverfahren (Prinzip)

sind durch t =

N + ϕ/2π f

(5.101)

miteinander verknüpft. Hierbei ist N die Anzahl der in t enthaltenen vollständigen Perioden und f die Modulationsfrequenz (λ = Wellenlänge): f =

c v = , λ nλ

(5.102)

n = Brechungsindex, s. [5.1.1]. Einsetzen von (5.101) und (5.102) in (5.100) ergibt unter der Voraussetzung, dass der Refraktionseinfluss korrigiert worden ist, die Entfernung zu λ ϕ  s= N+ . (5.103) 2 2π Mit dem Wellenreststück ϕ λ (5.104) λ = 2π lässt sich die Strecke auch durch s=N

λ λ + 2 2

(5.105)

ausdrücken. Ein Distanzmesser besteht demnach aus dem Oszillator, dem Sender und dem Empfänger, einem Phasenmesser und der Auswerte- und Steuereinheit (Mikroprozessor). Mit einem digitalen Phasenmessgerät kann der Messvorgang vollständig automatisiert werden. Die erreichbare Auflösung beträgt 10−3 bis 10−4 , was einer mm-Präzision entspricht. Die Zahl N (Mehrdeutigkeit) wird automatisch durch aufeinanderfolgende Verwendung leicht veränderter Modulationsfrequenzen bestimmt, diese werden durch Frequenzteilung erzeugt.

184

5 Messmethoden

Terrestrische Mikrowellen-Streckenmessungen begannen mit der Entwicklung des Tellurometers durch T. L. Wadley (1956). Bei den Mikrowellendistanzmessern großer Reichweite wurde von der Hauptstation eine modulierte Trägerwelle ausgesandt (λ = 8 mm bis 10 cm, Modulationsfrequenz zwischen 7,5 und 150 MHz). An der Gegenstation wurde das von einem aktiven Reflektor (Empfänger/Sender: Transponder) empfangene Messsignal auf eine neu erzeugte Trägerwelle aufmoduliert und zurückgeworfen. Es konnten Reichweiten bis zu 70 km und mehr erzielt werden. Die Genauigkeit hing stark von den nicht erfassten Refraktionseinflüssen ab und betrug etwa ±(10 . . . 15 mm + 3 × 10−6 s). Elektrooptische Distanzmessungen gehen auf das erste von E. Bergstrand (1948) entwickelte Geodimeter zurück. Langstreckendistanzmesser benutzten Laserlicht (He-Ne-Gaslaser) mit Modulationsfrequenzen zwischen 15 und 50 MHz. An klaren Tagen wurden Reichweiten von 60 km und mehr erzielt, die Genauigkeit betrug etwa ±(1 . . . 5 mm + 1 . . . 2 × 10−6 s). Mikrowellen- und elektrooptische Distanzmessungen über große Entfernungen wurden in großem Maße zwischen den 1950er und 1970er Jahren durchgeführt. Sie dienten hauptsächlich zum Aufbau von Festpunktfeldern erster und zweiter Ordnung und zur Verbesserung bestehender Lagenetze, s. [7.1.1]. Da großräumige Positionsbestimmungen heute fast ausschließlich mit satellitengestützten Methoden vorgenommen werden, haben Langstreckendistanzmessungen ihre Bedeutung verloren.

Terrestrische Streckenmessungen beschränken sich heute auf Entfernungen von einigen km (maximal etwa 10 km). Verwendet werden sichtbares Licht oder (meistens) das nahe Infrarot, wobei sowohl das Impulsmessverfahren als auch (überwiegend) das Phasenvergleichsverfahren angewandt werden. Für spezielle Anwendungen stehen reine Distanzmessgeräte zur Verfügung, die teilweise als Aufsatz für einen Theodolit konzipiert sind (Abb. 5.57). ImAllgemeinen bilden jedoch Distanzmesser und Theodolit eine Einheit: Totalstation (elektronisches Tachymeter), so dass gleichzeitig Strecken, Horizontalrichtungen und Zenitwinkel gemessen werden können. Die Reichweite eines

Abb. 5.57. Gepulster Infrarot-Laserdistanzmesser (Leica Di 3000S), Leica Geosystems AG, Heerbrugg, Schweiz

Distanzmessers hängt im wesentlichen von der Anzahl der Tripelprismen des Reflektors ab. Mit gepulstem Infrarot-Laserlicht (Gallium-Arsenid-Diode) lassen sich mit einem Prisma Entfernungen bis zu 5 km messen, mit einer größeren Prismenzahl (bis

5.5 Terrestrische geodätische Messungen

185

zu 11) erhöht sich die Reichweite auf 10 bis 20 km. Eine Genauigkeit von ±(3 . . . 5 mm + 1 × 10−6 s). wird innerhalb einer Messzeit von wenigen Sekunden erreicht. Mit dem Phasenvergleichsverfahren lassen sich unter Verwendung von moduliertem Infrarotlicht Entfernungen bis zu 2 oder 3 km mit einem Prisma mit einer Genauigkeit von ±(1 . . . 2 mm + 1 . . . 2 × 10−6 s). messen. Der von einem Mikroprozessor gesteuerte Mess- und Auswertevorgang einer Totalstation umfasst die Horizontierung (Zweiachskompensator, Bereich 5 , Präzision ±0,3 ), das (teilweise) automatische Suchen und Einstellen des Zielpunktes, die Messung von Horizontalrichtung, Zenitwinkel und Schrägstrecke, die interne Datenspeicherung, die Berechnung von Refraktionskorrektionen (Standard- oder aktuelle Werte der meteorologischen Parameter), die Transformation in lokale kartesische Koordinaten und die digitale und graphische Ausgabe (Feist et al. 1998), Abb. 5.58, 5.59.

Abb. 5.58. Totalstation (Trimble TTS 500), Trimble Navigation Ltd., Sunnyvale, CA, USA

Abb. 5.59. Totalstation (Geodimeter System 600), Spectra Precision AB, Danderyd, Schweden

Zur Kalibrierung eines elektronischen Distanzmessers gehört die Prüfung der Modulationsfrequenz mit Hilfe eines temperaturstabilisierten Frequenzzählers und die Bestimmung der Instrumentenkonstanten (Nullpunktkorrektion und zyklischer Phasenfehler) auf einem Komparator oder einer kurzen (etwa 1 km) Kalibrierstrecke. Die Kalibrierstrecken werden üblicherweise in Teilstrecken unterteilt und mit interferometrischen Verfahren (Laserlicht) oder Kurzstreckendistanzmessern hoher Präzision bestimmt. Wie oben gezeigt, enthält das Fehlerbudget von Streckenmessungen einen konstanten und einen entfernungsabhängigen Anteil. Der erstere hängt von den Unsicherheiten in der Zeit- oder der Phasenmessung und der Zeitstabilität des Nullpunktes ab. Der

186

5 Messmethoden

entfernungsabhängige Anteil wird von den Fehlern der Modulationsfrequenz und restlichen Refraktionseinflüssen bestimmt. Die meteorologischen Parameter werden i. Allg. nur am Instrument und am Zielpunkt gemessen und der Mittelwert in die Refraktionsreduktion eingeführt. Dieser Wert ist meist nicht repräsentativ für den gesamten Strahlweg, so dass die Refraktion eine Genauigkeitsgrenze für präzise Distanzmessungen setzt. Zu beachten ist, dass unter denselben atmosphärischen Bedingungen durchgeführte Beobachtungen hoch korreliert sein können, bei Messung unter verschiedenen Bedingungen lässt sich die ¨ Korrelation wesentlich reduzieren (Hopcke 1965). Zur hochpräzisen Messung kurzer Basislinien (Kalibrierstrecken, örtliche geodynamische Kontrollnetze) sind spezielle Distanzmesser entwickelt worden. Sie beruhen entweder auf instrumentellen Verfeinerungen und verbesserter Bestimmung des Refraktionseinflusses oder auf der Benutzung von zwei oder drei unterschiedlichen Wellenlängen. Das Mekometer ME 5000 benutzt einen He-Ne-Laser mit einer polarisationsmodulierten Strah¨ lung der Wellenlänge 0,6 m als Lichtquelle (Meier und Loser 1986), Abb. 5.60. Die Modulationsfrequenz wird automatisch so abgestimmt, dass die Entfernung eine ganze Anzahl von Wellenlängen annimmt, und mit einem Frequenzmesser bestimmt. Beim Geomensor (COMRAD, England) dient eine Xenon-Gasentladungslampe als Lichtquelle (Scherer 1985). Die meteorologischen Daten werden durch eine spezielle Sensoreinheit ermittelt. Entfernungen bis zu 5 km lassen sich mit einem Prisma mit einer Präzision von ±(0,1 . . . 0,2 mm + 0,2 × 10−6 s) ermitteln, doch können restliche Refraktionseinflüsse den entfernungsabhängigen Fehleranteil auf das Doppelte und mehr erhöhen. Wird die Strecke mit verschiedenen Wellenlängen ge-

Abb. 5.60. Distanzmesser Mekometer ME 5000, Leica Geosystems AG, Heerbrugg, Schweiz ¨ messen, so lässt sich die Dispersion ausnutzen (Hubner und Schirmer 1989), s. [5.1.1]. Bei Lichtwellen hängt der Unterschied zwischen den mit „blauem“ und mit „rotem“ Licht gemessenen Strecken hauptsächlich vom Einfluss der Temperatur und des Luftdrucks auf den Brechungsindex ab. Wird zusätzlich eine Mikrowellenmessung durchgeführt, so zeigt sich in der Differenz zu den Lichtwellen-Resultaten der Einfluss der Feuchtigkeit. Aus (5.14), (5.15),

5.5 Terrestrische geodätische Messungen

187

(5.17) und (5.18) lässt sich eine Beziehung zwischen der geometrischen Weglänge und den zwischen verschiedenen Wellenlängen beobachteten Differenzen ableiten. Um mm-Genauigkeit in der Strecke zu erhalten, müssen diese Differenzen mit einer Auflösung von wenigen 0,01 mm bestimmt werden. Das Terrameter wurde als Zweiwellengerät (He-Cd-Laser 441,6 nm, He-NeLaser 632,8 nm) entwickelt, um Distanzen mit einer Präzision von ±0,1 mm zu messen. Durch Hinzufügen einer Mikrowelle (λ = 3 cm) und mit einer Lichtmodulationsfrequenz von 3 GHz konnte die relative Genauigkeit auf 10−7 und besser gesteigert werden.

Die an den gemessenen Strecken anzubringenden Refraktionskorrektionen lassen sich ¨ in drei Anteile aufspalten (Hopcke 1964). Der am Instrument abgelesenen Strecke s¯0 liegt ein Standardwert n0 für den Brechungsindex zugrunde, der aus Standardwerten für die Temperatur und den Luftdruck berechnet wird, s. (5.17). Ist aus meteorologischen Messungen ein die Realität besser annähernder Wert n¯ verfügbar, so ergibt sich aus der Beziehung (5.106) s¯ n¯ = s¯0 n0 mit n ≈ 1 eine erste Geschwindigkeitskorrektion: kn = s¯ (n0 − n). ¯

(5.107)

Nach (5.20a) weicht der Radius der Lichtkurve mit r ≈ 8R vom Erdradius ab. Das Licht durchläuft demnach Luftschichten mit einer größeren Dichte und mit größerem Brechungsindex als dem auf den Streckenendpunkten bestimmten Mittelwert n. ¯ Mit (5.10) und dem Refraktionskoeffizienten k = 0,13 erhalten wir k dn = − = −20 × 10−6 / km. dh R

(5.108a)

Hieraus lässt sich eine zweite Geschwindigkeitskorrektion herleiten: kn = −(k − k 2 )

s¯ 3 . 12R 2

(5.108b)

Diese Korrektion bleibt bei einer Entfernung von 15 km kleiner als 1 mm, sie kann i. Allg. vernachlässigt werden. Für die dreidimensionale Berechnung wird die Länge der Sehne s benötigt. Unter Annahme eines kreisförmigen Strahlverlaufs mit dem Radius r erhalten wir s = 2r sin

s¯ 2r

oder nach einer Reihenentwicklung   s¯ 1 s¯ 3 − + ··· . s = 2r 2r 6 2r Mit (5.10) ergibt sich die Krümmungsreduktion kr = −k 2

s¯ 3 24R 2

(5.109)

188

5 Messmethoden

als Teil der Reduktionsformel (5.6). Sie bleibt bei einer Entfernung von 15 km kleiner als 0,1 mm und kann vernachlässigt werden. Addition von (5.107) bis (5.109) liefert die Gesamtreduktion von der gemessenen Strecke zur Sehne s − s¯0 = s¯ (n0 − n) ¯ −

2k − k 2 3 s¯ . 24R 2

(5.110)

Die Reduktion von der Sehnenlänge zur Länge des Normalschnitts und der geodätischen Linie auf dem Ellipsoid wird in [6.3.2] gegeben. Auf dem Meeresboden werden Festpunkte besonders für geodynamische Untersuchungen (z. B. Meeresbodenausbreitung an aktiven Riftzonen) eingerichtet. Sie werden i. Allg. als lokale Netze von 3 bis 4 Stationen mit Punktabständen von 5 bis 10 km angeordnet. Zur relativen Positionsbestimmung werden ausschließlich akustische Wellen (Wellengeschwindigkeit im Wasser etwa 1 500 m/s) verwendet. Die am Meeresboden installierten akustischen Transponder werden durch Batterien oder Atomenergie betrieben. Zur Positionsbestimmung werden von dem am Schiffsboden angebrachten Sender akustische Signale (5 bis 20 kHz) ausgesandt und von den Transpondern reflektiert. Aus der Signallaufzeit über den Hin- und Rückweg lassen sich die Entfernungen berechnen, eine räumliche Triangulation ergibt dann die relativen Positionen (Rinner 1977), Abb. 5.61. Bei einer ms-Zeitmessgenauigkeit wird die Genauigkeit dieser Methode von der Wellengeschwindigkeit bestimmt, welche von der Temperatur, dem Salzgehalt und dem Wasserdruck abhängt. Über Entfernungen von einigen km kann cm-Genauigkeit erreicht werden. Die Verbindung des lokalen Systems mit dem globalen Bezugssystem wird durch GPS-Positionierung an Bord des Vermessungsschiffes hergestellt. S2

MEERESOBERFLÄCHE S3

S1

T1 MEERESBODEN

T3 T2

Abb. 5.61. Akustische Positionsbestimmung auf dem Meeresboden (T = Transponder, S = Transmitter)

5.5.3

Nivellement

Beim geometrischen Nivellement werden mit horizontalen Visuren Höhenunterschiede zwischen eng benachbarten Punkten bestimmt. Ausgeführt wird das Nivellement

5.5 Terrestrische geodätische Messungen

189

mit einem Nivellierinstument (Nivellier) und zwei senkrecht aufgestellten Nivellierlatten, Abb. 5.62. Der nivellierte Höhenunterschied δn zwischen den Lattenstandpunkten ergibt sich aus der Differenz zwischen der Rückblick- (b) und der Vorblick- (f ) Ablesung: δn = b − f. (5.111) Das Nivellierinstrument besteht hauptsächlich aus einem um die vertikale Achse drehbaren Zielfernrohr. Die Zielachse wird entweder mit Hilfe einer Röhrenlibelle (Koinzidenzlibelle) und einer Kippschraube oder (meist) automatisch horizontiert. Im letzteren Fall stellt ein der Schwerkraft unterliegender Pendelkompensator (erstmals 1950 mit dem ZEISS Ni2 eingeführt) die Lotrichtung her. Bei beiden Methoden wird eine Horizontiergenauigkeit von ±0,1 bis 0,4 erreicht. Mit Kompensatornivellieren lässt sich eine höhere Nivellementsgeschwindigkeit und deshalb oft auch eine größere Genauigkeit erreichen, Libellennivelliere bieten jedoch wegen der besseren Dämpfungseigenschaften Vorteile beim Auftreten hochfrequenter Schwingungen (Verkehr, Wind). Für Nivellements hoher Präzision werden Feinivelliere mit Fernrohröffnungen

NIVELLIERINSTRUMENT f b

W = W2 dn LATTE 2 W = W1

LATTE 1

Abb. 5.62. Geometrisches Nivellement

von 40 bis 50 mm und 30 bis 40facher Vergrößerung benutzt. Die Abstände zwischen dem Nivellier und den Latten (Zielweiten) werden kleiner als 30 bis 40 m gehalten. Das Instrument wird in der Mitte zwischen den Nivellierlatten aufgestellt, hierdurch fallen Justierrestfehler (Nichtparallelität von Zielachse und Libellen- bzw. Kompensatorhorizont) und systematische Refraktionseinflüsse heraus. Im analogen Modus tragen die Nivellierlatten Invarbänder, auf denen eine 5 mmoder 10 mm-Teilung aufgebracht ist. Ablesefehler lassen sich aufdecken, wenn zwei gegeneinander versetzte und unterschiedlich bezifferte Teilungen benutzt werden. Für die Ablesung wird der Zielstrahl mit Hilfe einer dem Objektiv vorgesetzten planparallelen Platte so verschoben, dass er mit dem nächstgelegenen Teilstrich koinzidiert, der Verschiebungsbetrag wird mit einem Mikrometer auf 1/100 mm gemessen, Abb. 5.63. Digitalnivelliere wurden mit dem Wild NA 2000 eingeführt (Ingensand 1990). Sie werden in Verbindung mit Invarlatten eingesetzt, die einen binären Code tragen. Der um die horizontale Visur liegende Code-Ausschnitt wird auf einen CCD-Sensor in der Bildebene des Teleskops projiziert. Die anschließende von einem Mikroprozessor gesteuerte Bildverarbeitung umfasst das elektronische Abtasten (A/D-Wandlung) und

190

5 Messmethoden

die Korrelation mit einem digitalen Referenzsignal, wobei die automatisch gemessene Entfernung berücksichtigt werden muss (Meier-Hirmer 1997, Rueger und Brunner 2000), Abb. 5.64. Zur Höhenübertragung über größere Entfernungen wer-

Abb. 5.63. Libellen-Nivellier (Wild/Leica N3), Leica Geosystems AG, Heerbrugg, Schweiz

Abb. 5.64. Digitalnivellier (Zeiss DiNi 12), Zeiss/Spectra Precision AB, Danderyd, Schweden

den die einzelnen nivellierten Höhenunterschiede aufaddiert. Dabei darf wegen der kurzen Zielweiten die Nichtparallelität der Niveauflächen bei einer einzelnen Aufstellung vernachlässigt werden (Quasi-Differentialmethode). Die gemessene Höhendifferenz entspricht dann dem vertikalen Abstand der durch die Lattenstandpunkte verlaufenden Niveauflächen. Die Summation der zwischen zwei Nivellementsfestpunkten P1 und P2 gemessenen Differenzen ergibt den nivellierten „rohen“ Höhenunterschied n1,2 =

2 

(5.112)

δn.

1

Bei größeren Entfernungen kann die Auswirkung der Nichtparallelität die cm- Größenordung und mehr erreichen, s. [3.2.1], sie darf also nicht mehr vernachlässigt werden. Der Höhenunterschied n hängt nun vom Weg ab und liefert keine eindeutige Höhenfestlegung in Bezug auf eine Höhen-Nullfläche. Eine eindeutige Höhenbestimmung wird erreicht, wenn durch Berücksichtigung der Schwere g zu Potentialunterschieden W übergegangen wird. Nach (3.52) gilt dann 

2

W1,2 = W2 − W1 = − 1

g dn ≈ −

2 

g δn.

(5.113)

1

Potentialdifferenzen lassen sich also hypothesenfrei aus den nivellierten Höhenunterschieden und Oberflächenschwerewerten bestimmen. Um Höhenunterschiede in einem definierten Höhensystem zu erhalten, müssen an den rohen Nivellementsergebnissen schwereabhängige Reduktionen angebracht werden, s. [6.4.1]. Die Genauigkeit des Feinnivellements hängt von einer Vielzahl von Einflüssen ab. Ein Teil der auftretenden Fehler zeigt Zufallsverhalten und pflanzt sich mit der

5.5 Terrestrische geodätische Messungen

191

Quadratwurzel aus der Zahl der einzelnen Aufstellungen fort. Andere Fehler sind systematischer Art und nehmen in ungünstigerer Weise mit der Entfernung zu, ihnen muss bei längeren Nivellementslinien besondere Beachtung geschenkt werden. Zur Fehlerreduktion dienen instrumentelle Maßnahmen, die Fehlermodellierung und die Anwendung spezieller Messverfahren. ¨ 1980): Wir nennen die wichtigsten Fehlerquellen (Kukkamaki •

Horizontierfehler des Instruments werden durch die Einstellunsicherheit der Libelle oder des Kompensators verursacht. Zufällige Fehler von wenigen 0,1 können bei einer einzelnen Aufstellung zu einem Fehler von einigen 0,01 mm führen. Restjustierfehler bei Libellennivellieren fallen durch „Nivellement aus der Mitte“ heraus. Über- oder Unterkompensation verursacht beim Kompensatornivellier eine „Horizontschräge“, durch Messung in zwei Kompensatorlagen fällt dieser Fehler heraus.

•

Magnetische Einflüsse auf den Kompensator werden vom Hersteller klein gehalten, doch empfiehlt sich eine regelmäßige Kontrolle.

•

Bei den Lattenteilungsfehlern unterscheiden wir zwischen einem „mittleren“ Maßstabsfehler, den Fehlern der einzelnen Teilstriche und temperaturbedingten Längenänderungen. Durch regelmäßige Kalibrierung lassen sich die entsprechenden Korrektionen mit einem Restfehler von 5 bis 10 μm bestimmen (Schlemmer 1984).

•

Horizontierfehler der Latten (Lattenschiefe) können durch Justieren der zur Lotrechtstellung benutzten Dosenlibelle und sorgfältige Handhabung genügend klein gehalten werden.

•

Die Vertikalrefraktion hängt hauptsächlich vom vertikalen Temperaturgradienten ab, s. [5.1.2]. Der unregelmäßige Anteil (Flimmern) wirkt sich als zufälliger Fehler aus (±0,01 mm bei bedecktem Himmel). Einseitig wirkende Fehler treten besonders bei größeren Geländeneigungen und in Bodennähe verlaufenden Zielstrahlen auf, sie können 0,01 bis 0,1 mm pro 1 m Höhenunterschied erreichen. Diese Fehler lassen sich teilweise durch eine Refraktionskorrektion erfassen, in welche der vertikale Temperaturgradient als Funktion der Höhe eingeht. Verfeinerte Ansätze berücksichtigen auch meteorologische und hydrologische Daten, die Geländeneigung und die Orientierung gegenüber der Sonne (Angus-Leppan 1984).

•

Vertikale Bewegungen des Instrumentes und der Latten hängen von der Stabilität des Untergrundes und der Art der Instrumentenaufstellung ab, Bewegungen von 0,01 bis 0,1 mm pro Standpunkt sind möglich. Zeitproportionale Bewegungen fallen durch die Beobachtungsfolge bI , fI , fII , bII heraus (I, II = Skalen der Latte). Im Mittel aus Hin-und Rücknivellement werden außerdem die beim Instrumentenwechsel auftretenden zeitproportionalen Lattenbewegungen eliminiert.

•

Erdgezeiteneffekte treten durch die gezeitenbedingten periodischen Lotschwankungen auf. Die resultierenden Neigungen der Visurlinien lassen sich mit der im Azimut des Nivellements wirksamen horizontalen Gezeitenkomponente modellieren. Mit (3.120) und unter Berücksichtigung der Elastizität der Erde folgt als Gezeitenreduktion für den Mond δt (m) = 0,06 sin 2ψm cos(αm − α)s mm/km.

(5.114)

Hierbei sind αm und α die Azimute des Mondes bzw. des Nivellementsweges und ψm ist der geozentrische Winkel zwischen den Richtungen zum Mond und zum Aufpunkt; s ist die

192

5 Messmethoden

Länge des Nivellementsweges in km. Eine entsprechende Gleichung gilt mit 46% der der Mondamplitude auch für die Sonne.

ZurAusschaltung oder Reduktion systematischer Fehler werden Feinnivellements stets mit gleichem Rück- und Vorblick und mit Zielweiten kleiner als 50 m durchgeführt. Die Messungen sollten bei bedecktem Himmel vorzugsweise am Morgen und in den Abendstunden stattfinden, wegen der Refraktionsunsicherheiten sollten die untersten bodennahen Schichten (0,5 m oder weniger über Grund) vermieden werden. Darüber hinaus werden Feinnivellements stets zweimal in entgegengesetzter Richtung und unter unter möglichst unterschiedlichen meteorologischen Bedingungen ausgeführt. Für ein Doppelnivellement über 1 km lassen sich Standardabweichungen von ±0,2 bis 1,0 mm erreichen. Restliche systematisch wirkende Einflüsse (Vertikalbewegungen, Refraktion) können kleine Korrelationen verursachen und das Ergebnis der Ausgleichung großer Nivellementsnetze verfälschen (Lucht 1972). Das Nivellement ist wegen des quasi-differentiellen Fortschreitens ein sehr zeitaufwendiges Messverfahren. Durch das auf Straßen durchführbare motorisierte Nivellement lässt es sich wesentlich beschleunigen. Nivellierinstrument und Nivellierlatten werden hierbei in Kraftfahrzeugen transportiert und von diesen aus auch eingesetzt. Der rasche Arbeitsfortschritt führt auch zu einer Verkleinerung zeitabhängiger Fehler, der größere Abstand der Visurlinie vom Erdboden verringert die Refraktionseinflüsse (Peschel 1974, Becker 1987). Zur Höhenübertragung über breitere Wasserläufe und Meeresarme sind besondere Nivellementsmethoden entwickelt worden: • Beim Stromübergangsnivellement werden gleichzeitig von beiden Seiten des Wasserlaufs genähert horizontale Zielungen mit Feinnivellieren zu besonders ausgebildeten Zielmarken vorgenommen. Mit längeren Beobachtungszeiten und Instrumentenwechsel lassen sich Höhenübertragungen über 1 bis 2 km mit einer Präzision von ±1 bis 2 mm vornehmen (Kakkuri 1966). • Das hydrostatische Nivellement beruht auf dem Prinzip der kommunizierenden Röhren. Ein mit Wasser gefüllter Schlauch (frei von Luftblasen, konstante Temperatur) wird zwischen den beiden Ufern des zu überbrückenden Gewässers verlegt. Der an den senkrechten Schlauchenden beobachtete Wasserspiegel gehört derselben Niveaufläche an (Grabowski 1987). Das aufwendige Verfahren ist bis zu Reichweiten von 20 km mit mm-Präzision angewandt worden (Überbrückung des Fehmarn-Belts/Ostsee, Andersen 1992). • Beim hydrodynamischen Nivellement (geostrophisches Nivellement) wird der aus Pegelbeobachtungen ermittelte Wasserspiegel zur Höhenübertragung benutzt. Hierbei ist die Meeresflächentopographie, s. [3.4.2], mit Hilfe eines hydrodynamischen Modells (Strömungsgeschwindigkeiten, Windstau, Wassertiefe und Bodenreibung, Luftdruck, Wasserdichte, Schwerkraft, Coriolisbeschleunigung) zu berücksichtigen. Bei Höhenübertragungen über den Ärmelkanal und über den Fehmarn-Belt ¨ wurde eine Präzision von etwa 1 cm erreicht (Wubbelmann1992).

5.5 Terrestrische geodätische Messungen

5.5.4

193

Neigungs- und Dehnungsmessungen

An der Erdoberfläche gemessene Neigungen und Längenänderungen (Strain) zeigen die Reaktion der Erdkruste auf die Einwirkung äußerer und innerer Kräfte wie Erdgezeiten, Tektonik, Seismizität und Vulkanismus. Neigung und Strain sind dimensionslose Größen, sie werden in Radiant bzw. Bogensekunden und (relativer) Dehnung (positives Vorzeichen) bzw. Kompression (negatives Vorzeichen) ausgedrückt. Langfristig über Zeiträume von Jahren bis Jahrzehnten ablaufende Neigungen und Längenänderungen können aus der wiederholten Vermessung geodätischer Kontrollnetze mit Satelliten- oder terrestrischen Methoden bestimmt werden, s. [8.3.3]. Zur kontinuierlichen Überwachung lokaler Deformationen sind spezielle Neigungsmesser (Inklinometer) und Extensometer (Strainmeter) entwickelt worden (Agnew 1986, ¨ Zurn 1997a). Kurzfristig mit Perioden bis zu einem Tag verlaufende Neigungen und Dehnungen sind im wesentlichen durch die Gezeiten und durch temperaturbedingte Deformationen verursacht. Sie liegen in der Größenordnung von 10−8 bis 10−7 , was Neigungen von 0,002 bis 0,02 und Längenänderungen von 0,01 bis 0,1 μm/m entspricht. Langzeiteffekte tektonischen Ursprungs bleiben i. Allg. in der Größenordnung von wenigen 10−7 /Jahr. Im Zusammenhang mit seismischen oder vulkanischen Ereignissen auftretende episodische Änderungen können über einige Stunden bis Monate dieselbe Größenordnung und mehr erreichen. Die instrumentelle Empfindlichkeit von Neigungsmessern und Extensometern muss dementsprechend wenigstens 10−9 bis 10−10 betragen, und die Zeitstabilität sollte besser als 10−7 /Jahr sein. Neigungsmesser messen die Neigung der Erdoberfläche gegenüber der örtlichen Lotrichtung. Zur vollständigen Erfassung der Neigung werden zwei zueinander rechtwinklig angeordnete Sensoren benötigt, die üblicherweise in NS- und OW-Richtung orientiert sind. Verwendet werden Horizontal- und Vertikalpendel, Röhrenlibellen und Schlauchwaagen. Beim Horizontalpendel nach Zöllner wird ein die Sensormasse tragender etwa horizontaler Balken von zwei genähert vertikalen Fäden gehalten. Wegen der kleinen Neigung der Drehachse gegenüber der Lotrichtung bewirkt eine Neigung der Basis (etwa 30 cm) oder eine Lotschwankung einen stark vergrößerten Winkelausschlag (Astasierung), der optisch weiter vergrößert werden kann. Um Temperatureffekte klein zu halten, wurde als Pendelmaterial geschmolzenes Quarz (Verbaandert-Melchior Pendel) oder eine Metalllegierung verwendet. Durch kontrollierte Neigung lassen sich die Pendel kalibrieren. Das Askania-Bohrlochinstrument (entwickelt für Tiefen von 20 bis 60 m) ist ein Beispiel für ein Vertikalpendel. Das 60 cm lange Pendel ist so aufgehängt, dass es frei schwingen kann; die Ausschläge werden durch zwei zueinander rechtwinklige kapazitive Drei-Platten-Wegaufnehmer abgegriffen. Zur Kalibrierung dient die definierte Verlagerung einer kleinen Masse. Eingesetzt werden ferner Röhrenlibellen mit kurzer Basis und elektrischem Abgriff und Schlauchwaagen mit Längen von einigen 100 m. Dabei werden die Variationen des Wasserstandes an den Endpunkten mit kapazitiven oder interferometrischen Methoden erfasst.

Extensometer messen die relativen Verschiebungen der Erdkruste (King and Bilham 1973). Um den sechs unabhängige Komponenten enthaltenden Strain-Tensor vollstän-

194

5 Messmethoden

dig zu erfassen, muss ein Strainmeter-Array in verschiedenen räumlichen Richtungen angeordnet werden; in den meisten Fällen sind jedoch nur horizontale Strainmeter installiert worden. Für Dehnungsmessungen über kurze Entfernungen (Basislinien von 10 bis 30 m) dienen Invardrähte und Quarzstangen-Extensometer. Dabei wird ein Ende des Extensometers am Fels befestigt, und am anderen Ende wird die Krustenbewegung mit einem induktiven oder kapazitiven Wegaufnehmer gemessen. Laser-Strainmeter basieren auf dem Prinzip des MichelsonInterferometers. Bei Einsatz in einer evakuierten Röhre lässt sich dabei über eine Entfernung von 1 km eine nm-Auflösung erreichen.

Zu den instrumentellen Fehlern der Neigungsmesser und Extensometer gehören die Unsicherheiten der Kalibrierung (etwa 0,1 bis 1%) und die direkten Einflüsse von Schwankungen der Temperatur und des Luftdrucks, diese lassen sich durch geeignete Wahl des Materials und Abschirmung klein halten. Langzeitige Drifteffekte erreichen die Größenordnung von 10−6 bis 10−7 /Jahr, sie sind zu einem großen Teil auf Probleme bei der Verbindung des Sensors mit der Erdkruste zurückzuführen. Veränderungen meteorologischer und hydrologischer Art (Lufttemperatur, Luftdruck, Sonneneinstrahlung, Regen, Grundwasser) verursachen Störungen, die zu erheblichen Problemen bei der Interpretation der Resultate besonders von Neigungsmessungen führen. Sie zeigen ausgeprägte tägliche und jahreszeitliche Perioden, doch finden sich auch andere zeitliche Abläufe. Die Modellierung dieser Einflüsse steht noch in den Anfängen, durch Installation der Instrumente unterhalb der Erdoberfläche (Tunnels, Bergwerkschächte, natürliche Höhlen, Bohrlöcher) lassen sie sich reduzieren. Geologische, topographische und Hohlraum-(cavity) Effekte können zu erheblichen lokalen Störungen der Neigungs- und Dehnungsmessungen führen. Dies ist auf unterschiedliche Felseigenschaften einschließlich örtlicher Bruchspalten, unregelmäßige Topographie sowie auf die innerhalb eines Hohlraums verschiedene Reaktion auf Spannungen zurückzuführen. Die örtlichen Störungen können 10 bis 15% und mehr erreichen und schließlich zu nicht-repräsentativen Ergebnissen führen (Harrison 1976). Versuche zur Modellierung dieser Effekte sind nur teilweise erfolgreich verlaufen. Als Konsequenz werden heute zusätzlich zur sorgfältigen Stationsauswahl entweder Neigungsmesser und Strainmeter mit kurzer Basis in tiefen Bohrlöchern oder Instrumente mit langer Basis verwendet. Im letzteren Fall reduzieren sich die lokalen Störungen durch die Integration über Entfernungen von einigen 10 bis zu einigen 100 m. Die Ergebnisse von Neigungsmessern und Extensometern tragen insbesondere im kurzperiodischen Bereich zur Erdgezeitenforschung und zu der Erfassung von anomalen Neigungen und Längenänderungen im Zusammenhang mit coseismischer und vulkanischer Aktivität bei, s. [8.3.3].

6 Auswertemethoden Die geodätischen Auswertemethoden lassen sich in die Positionsbestimmung und die Schwerefeldbestimmung unterteilen. Diese Trennung ist möglich, da die Positionsbestimmung nur eine genäherte Kenntnis des Schwerefeldes voraussetzt und die Schwerefeldmodellierung nur genäherte Positionen erfordert. Beide Zielsetzungen setzen die Linearisierung des Schwerefeldes voraus, damit wird auch eine statistische Schwerefeldbeschreibung ermöglicht [6.1]. Die Positionsbestimmung beruht heute auf dreidimensionalen Modellen [6.2], die klassische Strategie unterschied dagegen zwischen der horizontalen Positionsbestimmung [6.3] und der auf das Schwerefeld bezogenen Höhenbestimmung [6.4], die letztere Aufgabe ist weiterhin aktuell. Zur Schwerefeldbestimmung lassen sich sämtliche im Schwerefeld beobachteten Größen heranziehen, diese Aufgabe lässt sich als Randwertproblem der Potentialtheorie formulieren [6.5]. Globale Schwerefeldmodelle werden im wesentlichen aus den Ergebnissen der Satellitengeodäsie hergeleitet [6.6], während lokale Schwerefeldbestimmungen überwiegend terrestrische Datensätze benutzen [6.7]. Zur Kombination von Positions- und Schwerefeldbestimmung sind besondere Verfahren entwickelt worden [6.8]. Die geodätischen Auswertemethoden werden in den Lehrbüchern der Geodäsie ausführlich behandelt, z. B. in Heiskanen und Moritz (1967), Groten (1979), ˇek und Krakiwsky (1986), Heck (2002). Moritz (1980), Vanic

6.1

Residuales Schwerefeld

Global lässt sich das aktuelle Schwerefeld hinreichend gut durch das Normalschwerefeld des Niveauellipsoids, s. [4.2.2], annähern. Es ergeben sich dann lineare Beziehungen zwischen den Residualgrößen der Beobachtungen und der unbekannten Schwerefeldparameter. Die fundamentale Größe des residualen Schwerefeldes ist das Störpotential, es steht in engem Zusammenhang mit der Höhenanomalie und der Geoidhöhe [6.1.1]. Der residuale Schwerevektor wird i. Allg. durch die skalare Schwereanomalie und die Lotabweichung ausgedrückt [6.1.2]. Unter bestimmten Voraussetzungen kann das Restschwerefeld mit statistischen Methoden behandelt werden, dies ist für die Interpolation und die Modellierung von Bedeutung [6.1.3]. 6.1.1

Störpotential, Höhenanomalie, Geoidhöhe

Wir nähern das aktuelle Schwerepotential W (3.42) durch das Normalschwerepotential U (4.37) an und definieren das Störpotential T im Punkte P durch TP = WP − UP .

(6.1)

W und U enthalten jeweils einen Anteil aus der Gravitation und aus der Zentrifugalbeschleunigung. Da die Zentrifugalbeschleunigung der Erde mit hoher Genauigkeit

196

6 Auswertemethoden

bekannt ist, s. [3.1.4], dürfen wir Gleichheit der Zentrifugalanteile in W und U annehmen. Das Störpotential ist dann gleich der Differenz zwischen der Gravitation der Erde und der des Niveauellipsoids. Außerhalb der Erdmassen genügt T als harmonische Funktion demnach der Laplaceschen Differentialgleichung (3.29): T = 0

(6.2)

mit  = Laplace-Operator. In Analogie zu den entsprechenden Entwicklungen für die Gravitationspotentiale (3.89) und (4.45) kann T nach Kugelfunktionen entwickelt werden. Das Störpotential lässt sich dann unter Benutzung der Kugelkoordinaten r, ϑ, λ als räumliche Ortsfunktion in verkürzter Form wie folgt schreiben, vgl. (3.88): ∞  l+1  a Tl (ϑ, λ). (6.3) T = T (r, ϑ, λ) = r l=2

Ausgeschrieben lautet diese Entwicklung: ∞  l GM  a l  T = (Clm cos mλ + Slm sin mλ)Plm (cos ϑ). r r l=2

(6.4)

m=0

Der Vergleich von (6.3) und (6.4) ergibt die Kugelflächenfunktionen Tl =

l GM  (Clm cos mλ + Slm sin mλ)Plm (cos ϑ). a

(6.5)

m=0

Wegen der Eigenschaften von U weichen nur die zonalen residualen Kugelfunktionskoeffizienten Cl von den Koeffizienten Cl ab, während sämtliche anderen residualen Koeffizienten mit den Koeffizienten des aktuellen Schwerefeldes identisch sind, s. [4.2.2]. Die Entwicklungen (6.3) bzw. (6.4) beginnen mit dem Grad l = 2, da Massengleichheit von Ellipsoid und Erdkörper und Zusammenfallen der beiden Schwerpunkte vorausgesetzt wird, s. [3.3.4]. Das Störpotential hängt eng mit dem senkrechten Abstand zwischen P und dem auf der Sphäropotentialfläche U = UQ liegenden Punkt Q zusammen, s. [6.5.1]. Q ist dem Punkt P durch die Bedingung UQ = WP

(6.6)

zugeordnet, s. [4.2.3], Abb. 6.1. Dieser Abstand wird als Höhenanomalie bezeichnet. Geometrisch lässt er sich auch als Differenz zwischen der ellipsoidischen Höhe h und der Normalhöhe H N , s. (3.107), (4.66), darstellen: ζ = h − HN.

(6.7)

Hierbei haben wir die leichte Krümmung der normalen Lotlinie vernachlässigt. Die Fläche, auf der in jedem Punkt (6.6) gilt, wird als Telluroid bezeichnet. Eine entsprechende Beziehung gilt auch in jedem Punkt des Außenraums.

6.1 Residuales Schwerefeld

197

PHYSIKALISCHE ERDOBERFLÄCHE P

W = WP z

TELLUROID UQ = WP U = UQ

Q H

H

N

h HN

N

P0

z Q0

QUASIGEOID GEOID W = W0 ELLIPSOID U = U0

Abb. 6.1. Ellipsoidische Höhe, Normalhöhe, orthometrische Höhe

Das Telluroid stellt eine Annäherung an die physische Erdoberfläche dar. Werden die Normalhöhen H N von den Oberflächenpunkten P aus nach unten abgetragen, so entsteht das Quasigeoid, das oft als Höhenbezugsfläche benutzt wird, s. [3.4.3]. Die Höhenanomalie ζ ist nun der Abstand zwischen dem Niveauellipsoid U = U0 und dem Quasigeoid, er wird auch als Quasigeoidhöhe bezeichnet. Liegt der Aufpunkt auf dem Geoid, so erhalten wir die Geoidhöhe N (auch Geoidundulation) als senkrechten Abstand zwischen dem Ellipsoidpunkt Q0 und dem Geoidpunkt P0 , Abb. 6.1. In Analogie zu (6.7) lässt sich N auch als Differenz zwischen der ellipsoidischen Höhe h und der orthometrischen Höhe H (3.106) definieren: N = h − H,

(6.8)

wobei wir die Krümmung der Lotlinie vernachlässigt haben. Der Unterschied zwischen der Geoidhöhe und der Höhenanomalie entspricht nach (3.106), (3.107) der Differenz zwischen der Normalhöhe und der orthometrischen Höhe: g¯ − γ¯ gB N − ζ = HN − H = H = H. (6.9) γ¯ γ¯ Die Differenz hängt von der Höhe ab und ist deshalb, wenn von der Meeresflächentopographie abgesehen wird, auf den Ozeanen gleich Null. Sie ist außerdem von einer „mittleren“ Schwereanmalie g− ¯ γ¯ abhängig, die der Bougueranomalie gB entspricht, s. [6.5.3]. 6.1.2

Schwerestörung, Schwereanomalie, Lotabweichung

Der Schwerevektor g in P lässt sich durch den Normalschwerevektor γ annähern, was zur Schwerestörung (6.10) δg P = g P − γ P

198

6 Auswertemethoden

führt, Abb. 6.2. Wird der kleine Winkel zwischen den Richtungen von g und γ (Lotabweichung) vernachlässigt, so folgt für den Betrag der Schwerestörung δgP = gP − γP .

(6.11)

g lässt sich auf der Erdoberfläche und im Außenraum messen. Die Berechnung von P gP

W = WP U = UP

gP

U = UQ

gQ Q H H

N

P0 g0

g0 QN » Q0

W = W0

U = U0

Abb. 6.2. Aktuelle Schwere und Normalschwere

γP setzt die Kenntnis der geodätischen Koordinaten von P voraus, diese werden jedoch beim klassischen geodätischen Randwertproblem als Unbekannte angesehen, s. [6.5.1]. Deshalb wird bei der Schwerefeldmodellierung i. Allg. die Schwereanomalie g P = g P − γ Q

(6.12)

gP = gP − γQ

(6.13)

mit dem Betrag benutzt. Q ist gegenüber dem Punkt P wiederum durch die Bedingung (6.6) festgelegt. Ausgehend von der Normalschwere γ0 auf dem Ellipsoid (4.41) kann γQ mit (4.63) berechnet werden; dabei ist h durch die Normalhöhe H N (3.107) zu ersetzen. Nach (4.61) geht bei linearer Näherung in (6.13) die Freiluftreduktion δgFN = −

∂γ HN ∂H N

(6.14)

ein. Die nach Molodenski an und außerhalb der Erdoberfläche definierte Freiluftanomalie lautet dann gFN = g + δgFN − γ0 . (6.15)

199

6.1 Residuales Schwerefeld

In vielenAnwendungen wird für den normalen vertikalen Schweregradienten ∂γ /∂H N der mittlere Wert −3,086 μms−2 /m eingesetzt. Die gravimetrische Bestimmung des Geoids erfordert die Kenntnis der Schwereanomalien auf dieser Niveaufläche, außerdem müssen vor der Anwendung der LaplaceGleichung die Massen außerhalb des Geoids entfernt werden. Für diesen Zweck stehen unterschiedliche Schwerereduktionen zur Verfügung, die sich in der Art der Verschiebung der topographischen Massen unterscheiden, s. [6.5.3]. Die Schwereanomalie auf dem Geoid wird dann als Differenz zwischen der auf das Geoid reduzierten Schwere g0 und der Normalschwere γ0 auf dem Ellipsoid definiert (Abb. 6.2): g = g0 − γ0 .

(6.16)

Der Unterschied (Vektorgröße) zwischen den Richtungen der aktuellen Lotlinie und einer im Normalschwerefeld definierten Bezugsrichtung wird als Lotabweichung bezeichnet (Abb. 6.3). a) Q

c)

b) Q

N

P

W = WP U = UP

Q

U = UQ

P

W = WP

W = WP

P Q0

z

H

H h

N

N QN

U = U0

Q

U = U0

Q0

P0

W = W0

U = U0

Abb. 6.3. Lotabweichung nach der Definition von a) Molodenski, b) Helmert, c) Pizetti

Wir unterscheiden drei verschiedene Bezugsrichtungen (Jekeli 1999): • Die an der Erdoberfläche oder im Außenraum der Erde definierte Lotabweichung N mit der normalen Lotlinie in Q als Bezugsrichtung (Definition nach Molodenski). Die Bezugsrichtung fällt praktisch mit der Normalen zur Fläche U = U P in P zusammen. • Die an der Erdoberfläche definierte Lotabweichung  mit der Ellipsoidnormalen in P als Bezugsrichtung (Definition nach Helmert). Sie unterscheidet sich von N nur um die geringe Krümmung der normalen Lotlinie (Auswirkung von wenigen 0,1 ), s. [4.2.3]. Diese Definition wird i. Allg. bevorzugt, da die Ellipsoidnormale durch die üblicherweise verwendeten geodätischen Koordinaten festgelegt ist. • Die am Geoid definierte Lotabweichung 0 (Definition nach Pizetti) als Differenz zwischen der aktuellen Lotrichtung im Geoidpunkt P0 und der Ellipsoidnormalen. Sie unterscheidet sich von den beiden anderen Definitionen durch die Krümmung

200

6 Auswertemethoden

der aktuellen Lotlinie. Die so definierte Lotabweichung ist für die Geoidbestimmung von Bedeutung. Die Lotabweichung lässt sich durch ihren Betrag  und ihr Azimut α oder (bevorzugt) durch ihre Komponenten in NS- und OW-Richtung ausdrücken. Eine einfache geometrische Herleitung der Komponenten gelingt mit der sphärischen Trigonometrie. Wir führen hierzu die Einheitskugel um den Aufpunkt P ein und unterstellen Achspar¯ bzw. X-Achse ¯ allelität zwischen der Zdes ellipsoidischen und der Z- bzw. X-Achse des globalen terrestrischen Bezugssystems (Abb. 6.4). Diese Bedingungen sind bei den heutigen geodätischen Bezugssystemen praktisch erfüllt und bei klassischen Systemen gut angenähert, s. [6.2.2]. Nach Parallelverschiebung des globalen Systems erscheint der Nordpol N als Durchstoßpunkt der Z-Achse durch die Einheitskugel, Za bzw. Zg repräsentieren die astronomische bzw. die geodätische Zenitrichtung. Die unter dem Azimut α verlaufende Lotabweichung findet sich als sphärischer Abstand zwischen Za und Zg . In Richtung des Meridians liegt die Komponente ξ (positiv, wenn Za nördlich Zg liegt) und in Richtung des ersten Vertikals die Komponente η (positiv, wenn Za östlich Zg liegt). Die in Richtung des Azimuts α zu einem Zielpunkt Pi liegende Lotabweichungskomponente wird mit ε bezeichnet. Die sphärische Trigonometrie liefert sin ϕ = cos η sin( − ξ ),

sin η = cos ϕ sin( − λ).

Hieraus folgen mit cos η ≈ 1,

sin η ≈ η,

sin( − λ) ≈ − λ

die Lotabweichungskomponenten (lineare Näherung): ξ =  − ϕ,

N

η = ( − λ) cos ϕ.

90° -F L-l

(6.17)

EINHEITSKUGEL

90°

Pi

Za

j

x

aQ

a

e

Q h

Zg

Abb. 6.4. Lotabweichungskomponenten

Aus Abb. 6.4 ergibt sich die azimutale Komponente zu ε = ξ cos α + η sin α.

(6.18)

6.1 Residuales Schwerefeld

201

Diese Beziehungen lassen sich nach Linearisierung auch aus der Differenzbildung von (3.45) und (4.36) herleiten, s. [6.2.2]. Die Gleichungen (6.17) und (6.18) gelten für alle oben genannten Definitionen der Lotabweichung. Die residualen Schwerefeldgrößen hängen vom benutzten geodätischen Erdmodell und seiner Orientierung gegenüber dem Erdkörper ab, s. [6.2.2]. Bei Bezug auf das geozentrisch gelagerte mittlere Erdellipsoid spricht man von absoluten, im anderen Fall von relativen Größen. Die Streuung von absoluten Höhenanomalien bzw. Geoidhöhen beträgt ±30 m (Maximalwerte etwa 100 m). Die Freiluftanomalien variieren um ±400 μms−2 (Maximalwerte einige 1 000 μms−2 ) und die Lotabweichungen um ±7 (Höchstwerte im Hochgebirge 30 bis 1 ).

6.1.3

Statistische Schwerefeldbeschreibung, Interpolation

Das residuale Schwerefeld lässt sich als Realisierung eines stochastischen Prozesses ansehen und mit statistischen Methoden behandeln (Moritz 1970). Als fundamentale Schwerefeldgröße wird hierbei die Schwereanomalie benutzt, da Schweredaten mit hoher räumlicher Auflösung auf den Kontinenten und den Ozeanen zur Verfügung stehen. Wir setzen voraus, dass der Mittelwert der Schwereanomalien g über die gesamte Erde (sphärischer Ansatz) gleich Null ist, s. [6.5.4]:  1 g dσ = 0. (6.19) M{g} = 4π σ

Hierbei ist M{ } der Mittelwertoperator und σ repräsentiert die Einheitskugel. Das Flächenelement wird in Kugelkoordinaten ϑ, λ durch dσ = sin ϑ dϑ dλ

(6.20)

ausgedrückt. Das statistische Verhalten der g wird durch die Kovarianzfunktion  1 C(ψ) = cov(g, g  , ψ) = M{g · g  }ψ = gg  dσ 4π

(6.21)

σ

beschrieben. Sie wird als Mittelwert aller Produkte von Schwereanomalien in den Punkten P und P  berechnet, die den konstanten sphärischen Abstand ψ auf der Einheitskugel haben. C(ψ) soll nur von ψ und nicht von der Punktlage abhängen (Homogenität des anomalen Schwerefeldes), die Funktion soll außerdem vom Azimut der Verbindungslinie P P  unabhängig sein (Isotropie). Die Kovarianzfunktion beschreibt die gegenseitige Korrelation der Schwereanomalien in Abhängigkeit von der Entfernung, mit wachsendem Abstand der Punkte nimmt diese ab. Für ψ = 0◦ gilt g = g  , und die Kovarianz geht in die Varianz über:  1 2 2 σ (g) = M{g } = g 2 dσ. (6.22) 4π σ

202

6 Auswertemethoden

Nach der Theorie der stochastischen Prozesse sollten die statistischen Eigenschaften aus einer unendlich großenAnzahl von Prozessrealisierungen hergeleitet werden. Da nur eine Realisierung des Schwerefeldes verfügbar ist, muss auch die Hypothese der Ergodizität herangezogen werden. Diese besagt, dass die statistischen Größen auch aus nur einer Realisierung abgeschätzt werden dürfen (Moritz 1980, S. 269).

Wie in [6.6.1] gezeigt wird, kann g als Funktional von T nach Kugelfunktionen entwickelt werden. An der Erdoberfläche (r = R) lautet die verkürzte Form dieser Entwicklung ∞  g(ϑ, λ) = gl (ϑ, λ) (6.23) l=2

mit gl = Kugelflächenfunktionen, s. [3.3.2]. Die Glieder vom Grad 0 und 1 treten wiederum nicht auf, s. [6.1.1]. Wegen (6.23) lässt sich auch ψ im Bereich 0 ≤ ψ ≤ π nach Kugelfunktionen entwickeln: C(ψ) =

∞ 

cl Pl (cos ψ)

(6.24)

l=2

mit Pl (cos ϕ) = Legendresche Polynome. Wegen der angenommenen Isotropie dürfen in (6.24) nur die zonalen Terme auftreten. Nach der Potentialtheorie liefert die Inversion von (6.24) die Kugelfunktionskoeffizienten  2l + 1 π C(ψ)Pl (cos ψ) sin ψ dψ. (6.25) cl = 2 0 Bei bekannter Kovarianzfunktion kann (6.25) durch numerische Integration gelöst werden. Einsetzen von (6.21) in (6.25) ergibt unter Berücksichtigung von (6.23): cl = M{gl2 } = σl2 (g).

(6.26)

Die Koeffizienten sind also also durch die als Mittelwerte über die Quadrate der gl definierten Anomaliegradvarianzen gegeben. Beginnend mit Kaula (1959) wurden mehrfach Kovarianzfunktionen und Anomaliegradvarianzen für Schwereanomalien geschätzt, sie unterscheiden sich durch die jeweils verwendeten Datensätze und die Modellierung. Häufig benutzt wird die von Tscherning und Rapp (1974) bestimmte Kovarianzfunktion und das daraus abgeleitete Anomaliegradvarianzmodell. Es stützt sich für die Kugelfunktionsgrade 2 bis 10 auf die Ergebnisse von Satellitenbahnanalysen und für die höheren Grade auf einen Satz von 1◦ -flächengleichen mittleren Schwereanomalien (etwa quadratische Kompartimente mit der Fläche 110 km × 110 km). Die Varianz der Punktanomalien beträgt σ 2 (g) = (424 μms−2 )2 und die der mittleren Anomalien σ 2 ( g )1◦ = (303 μms−2 )2 .

6.1 Residuales Schwerefeld

203

Die Korrelation der Anomalien geht bei einer sphärischen Distanz von 30◦ bis 40◦ gegen Null (Abb. 6.5). COV (Dg, Dg)1°E.A. (10 mms-2)2 1000 800 600 400 MODIFIZIERT

200

ORIGINAL

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180 Y(°)

Abb. 6.5. Globale Kovarianzfunktion der Schwereanomalien, nach Tscherning und Rapp (1974)

Das Anomaliegradvarianzmodell lautet: ⎧ ⎪ ⎨0 2 σl (g) = 754 ⎪ ⎩ A(l−1)

l+2 (l−2)(l+B) σ0

für l = 0, 1 für l = 2 für l ≥ 3

( μms−2 )2

(6.27)

mit A = 42 528 und B = 24. σ0 = (RB /R)2 = 0,999 617 ist das Verhältnis zwischen dem Radius der Bjerhammar-Kugel, s. [3.3.2], und dem mittleren Erdradius, Abb. 6.6. Für regionale Anwendungen lässt sich eine Kovarianzfunktion durch Abzug des langwelligen Anteils aus der globalen Funktion herleiten, dies wirkt sich in einer Verkleinerung der Varianz und einer Verkürzung der Korrelationslänge aus. Eine lokale Schwerefeldinterpolation ist sogar mit einer ebenen Kovarianzfunktion möglich, etwa mit der Gaußschen Funktion C(ψ) = C0 exp(−A2 ψ 2 ),

(6.28)

s. Abb. 6.7. Hier ist zu vermerken, dass eine Kovarianzfunktion positiv definit sein muss. Für den Ansatz (6.24) ist diese Forderung erfüllt, da nach (6.26) sämtliche Koeffizienten nicht-negativ sind.

204

6 Auswertemethoden ANOMALIE GRADVARIANZ (10mm/s2)2 100

MODEL T/R74

10

EGM96

1

GRAD l 180

90

0

270

360

Abb 6.6. Anomaliegradvarianzen, Modell Tscherning und Rapp (1974) und Geopotentialmodell EGM96 (Lemoine et al. 1998) cov (10 mms )

-2 2

1000 cov (10 mms )

-2 2

800

400

EUROPA: LAND

600

300

NORDSEE NORDATLANTIK

400

200 cov = 370 * e

100

-4.0y° 2

cov = 1100 * e-2.5y°

200 0

0 0

1

2

3 y(°)

-200 0

1

2

3 y(°)

Abb. 6.7. Lokale Kovarianzfunktionen von trendreduzierten mittleren 6 ×10 -Freiluftanomalien (Torge et al. 1984)

Die Interpolation von gemessenen Schwereanomalien stellt eine wichtige Anwendung der Anomalie-Kovarianzfunktion dar. Einfache Interpolationsmethoden wie die manuelle Konstruktion von Isanomalenkarten oder die geometrische Interpolation aus den nächstgelegenen Anomaliewerten sind subjektiv und schöpfen nicht die gesamte in den Daten enthaltene Information in einer optimalen Weise aus. Die Prädiktion nach kleinsten Quadraten nutzt dagegen die in der Kovarianzfunktion zusammengefasste statistische Information und berücksichtigt auch die Fehler der Beobachtungen. Bei der üblichen linearen Prädiktion wird die (unbekannte) Schwereanomalie im Punkte P durch eine lineare Funktion der in den Punkten Pi (i = 1, . . . , n) gemessenen Anomalien abgeschätzt. Wir unterstellen, dass außer der Kovarianzfunktion der Anomalien auch die Fehlerkovarianzfunktion bekannt ist, sie beschreibt das statistische

6.1 Residuales Schwerefeld

205

Verhalten der Messfehler. Sie lässt sich aus a priori Schätzungen der Beobachtungsfehler und ihrer Korrelation herleiten, wobei wiederum die oben für das Anomalienfeld aufgestellten Forderungen erfüllt sein müssen. Da die Fehlerkorrelationen meist unbekannt sind, beschränkt sich die Aufstellung des Fehlermodells allerdings i. Allg. auf die Fehlervarianzen. Mit diesen Informationen können für jede beliebige Entfernung ψ die folgenden Kovarianzen berechnet werden: CPi = M{gP · gi } : Kreuzkovarianz von gP mit der Beobachtung gi , Cij = M{gi · gj } : Autokovarianz der Beobachtungen, Dij = M{ni · nj } : Autokovarianz der Beobachtungsfehler (noise n). Sie werden folgendermaßen zusammengefasst: C TP = (CP1 , . . . , CPi , . . . , CPn ), ⎞ ⎛ C11 . . . . . . . . . C1n ⎜ .. . . .. ⎟ ⎜ . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. ⎟ , C=⎜ . Cij . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . .. ⎟ .. ⎝ .. . . ⎠ Cn1 . . . . . . . . . Cnn

⎛

⎞ D11 . . . . . . . . . D1n ⎜ .. . . .. ⎟ ⎜ . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. ⎟ (6.29) D=⎜ . Dij . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . .. ⎟ .. ⎝ .. . . ⎠ Dn1 . . . . . . . . . Dnn

Nun wird der Prädiktionsfehler als Differenz zwischen der wahren Schwereanomalie und dem prädizierten Wert gˆ eingeführt. In Analogie zur Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate wird gefordert, dass die Prädiktionsfehlervarianz ein Minimum annimmt. Wir erhalten dann als Ergebnis der Prädiktion nach kleinsten Quadraten den Schätzwert −1 gˆ P = C TP C¯ g, (6.30) wobei die beobachteten Anomalien in dem Vektor g T = (g1 , . . . , gi , . . . , gn )

(6.31)

zusammengefasst sind. Unter der (plausiblen) Annahme, dass die Schwereanomalien und ihre Fehler nicht korreliert sind, dürfen die entsprechenden Matrizen C und D elementweise zu der in (6.30) auftretenden Matrix C¯ = C + D

(6.32)

addiert werden. Punkt-Freiluftanomalien hängen stark von der Höhe ab, sie lassen sich nur in eng vermessenen Gebieten mit Erfolg interpolieren. Ein glatteres Anomalienfeld ergibt sich, wenn die Punktanomalien durch Mittelbildung über größere Flächenelemente (etwa 5 ×5 oder 30 ×30 ) zusammengefasst werden. Eine andere Glättungsmöglichkeit besteht in der Reduktion des Einflusses

206

6 Auswertemethoden

der topographischen Massen, besonders geeignet zur Interpolation sind die Bougueranomalien, s. [6.5.3]. Wie auch aus der Theorie der Ausgleichung nach kleinsten Quadraten bekannt ist, sind die prädizierten Werte der Schwereanomalien verhältnismäßig unabhängig von der Wahl der Kovarianzfunktion, die Fehlerschätzung hängt dagegen stark davon ab. Zu beachten ist, dass realistische Prädiktionsergebnisse nur innerhalb der Korrelationslänge zu erwarten sind, diese ist durch eine Kovarianz von 1/2 · σ 2 (g) definiert.

6.2

Dreidimensionale Punktbestimmung

Dreidimensionale Punktbestimmungen werden i. Allg. in einem kartesischen Koordinatensystem durchgeführt, bei Benutzung ellipsoidischer Koordinaten sind erheblich kompliziertere Modelle notwendig [6.2.1]. Das geodätische Datum stellt die Orientierungsparameter des dreidimensionalen Modells in Bezug auf ein globales geozentrisches System bereit [6.2.2]. Die dreidimensionale Modellbildung wurde eingehend u.a. von Wolf (1963a, 1963b), Grafarend (1978) und Hein (1983) untersucht. Die Beobachtungsgleichungen stellen die Verbindung zwischen den Beobachtungen und den unbekannten Punktkoordinaten und anderen Parametern her (funktionales Modell). Dabei verstehen wir unter „Beobachtungen“ die geometrischen Größen, die sich aus einer Vorverarbeitung der Originalmessungen (Signallaufzeit, Phase oder Frequenz, Ablesung an Teilkreisen oder Latten usw.) ergeben. Wir unterstellen ferner, dass instrumentelle Korrektionen (z. B. Kalibrierung) angebracht und die Einflüsse der Atmosphäre (Refraktion) und des Schwerefeldes (z. B. Erdgezeiten) berücksichtigt worden sind. Die Beobachtungsgleichungen sind i. Allg. nicht-linear. Für die anschließenden Ausgleichungen nach der Methode der kleinsten Quadrate müssen sie linearisiert werden, außerdem ist ein die Beobachtungsfehler beschreibendes stochastisches Modell bereitzustellen. Fehlertheorie und Ausgleichungsrechnung werden in Lehrbüchern wie Grafarend und Schaffrin (1993), Wolf (1997), Koch (1999) und Niemeier (2002) ausführlich behandelt. 6.2.1

Beobachtungsgleichungen

Bei der dreidimensionalen Punktbestimmung lassen sich die Beobachtungsgleichungen nach satellitengestützten und nach terrestrischen Messungen unterscheiden. Zu den Satellitenbeobachtungen zählen: • Räumliche Richtungen, s. [5.2.4], • Entfernungen aus GPS- und Laser-Distanzmessungen, s. [5.2.5], [5.2.6], • Entfernungsänderungen aus Dopplermessungen, s. [5.2.4]. Wir fügen • aus VLBI abgeleitete Basislinienvektoren an, s. [5.3.4]. Satelliten- und VLBI-Netze werden i. Allg. vor einer Kombinationslösung vorweg getrennt ausgewertet. Die resultierenden

6.2 Dreidimensionale Punktbestimmung

207

• kartesischen Koordinaten und • kartesischen Koordinatendifferenzen können anschließend als „beobachtete“ Größen in kombinierten Ausgleichungen mit den Ergebnissen anderer Satellitennetze oder mit terrestrischen Daten zusammengefasst werden, wobei die durch die Vorausgleichung eingetretenen Korrelationen zu berücksichtigen sind. Z SATELLIT S rS

s P

rP

0

Y

X

Abb. 6.8. Prinzip der Satellitenmessung

Satellitenbeobachtungen liefern die Komponenten des topozentrischen Beobachtungsvektors s, dieser ist von der Beobachtungsstation P zum Satelliten S gerichtet (Abb. 6.8). Zwischen s, dem geozentrischen Stationsvektor r P und dem Radiusvektor des Satelliten r S besteht die Beziehung rP + s − rS = 0 mit

⎛

rP

⎞ XP = ⎝ YP ⎠ , ZP

⎛ ⎞ X r S = ⎝Y ⎠ , Z

(6.33a) ⎛

rS − rP

⎞ XPS = ⎝ YPS ⎠ . ZPS

(6.33b)

Der Beobachtungsvektor setzt sich aus der Distanz und der im Stundenwinkelsystem gegebenen räumlichen Richtung zum Satelliten zusammen: ⎛

⎞ cos hGr cos δ s = s ⎝ sin hGr cos δ ⎠ . sin δ

(6.34)

Hierbei ist δ die Deklination und hGr = GAST − α der Stundenwinkel Greenwich, s. [2.4.1].

(6.35)

208

6 Auswertemethoden

Einsetzen von (6.34) in (6.33) und Auflösen nach den Komponenten von s ergibt die Beobachtungsgleichungen hGr = arctan

YPS XPS

δ = arctan s=

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

, ZPS 2

XPS + YPS

2

,

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(6.36)

2 2 2 XPS + YPS + ZPS .

Für die Streckendifferenz zu den Satellitenpositionen (i, j ) gilt 2 2 2 j2 j2 j2 sj − si = XP + YP + ZP − XPi + YPi + ZPi

(6.37a)

mit j

XP = Xj − XP usw.,

XPi = Xi − XP usw.

(6.37b)

VLBI-Messungen liefern schließlich bei bekannten Richtungen zu den Quasaren den Basislinienvektor zwischen zwei terrestrischen Stationen P1 und P2 : ⎛ ⎞ X2 − X1 b1,2 = r 2 − r 1 = ⎝ Y2 − Y1 ⎠ . (6.38) Z2 − Z1 Der Zusammenhang zwischen den ursprünglichen Messungen und den in (6.36) bis (6.38) eingeführten geometrischen „Beobachtungen“ ist für Dopplermessungen durch (5.42), für GPS-Messungen durch (5.43) und (5.45), für Laserdistanzmessungen zu Satelliten durch (5.48) und für VLBI durch (5.65) gegeben. Die Beobachtungsgleichungen enthalten zusätzlich zu den Stationskoordinaten eine größere Anzahl weiterer unbekannter Parameter. Hierzu zählen u. a. die Erdorientierungsparameter, Parameter zur Beschreibung der Erdgezeiten und der Krustendeformationen, die Koordinaten (Bahndaten) der Satelliten, die Koeffizienten des Gravitationsfeldmodells und die Parameter anderer Störkraft-Modelle. Um die große Zahl von Daten und unbekannten Parametern handhaben zu können, sind zwei Strategien entwickelt worden. Bei einem Ansatz wird der Großteil der Unbekannten in einer Ausgleichung berechnet und es werden nur wenige Parameter (etwa die Erdorientierungsparameter) aus anderen Quellen entnommen. Das führt zu den „satellite-only“ Erdmodellen, sie bestehen aus einem globalen Satz von Stationskoordinaten und den Kugelfunktionskoeffizienten eines Gravitationsfeldmodells, s. [6.6.2]. Bei der reinen Positionsbestimmung wird dagegen außer den Stationskoordinaten nur eine sehr begrenzte Anzahl weiterer Unbekannter eingeführt, Zahlenwerte für die restlichen Parameter werden Modellen entnommen. So werden beispielsweise genaue Bahnparameter für die GPS- und die Laserdistanz-Satelliten durch operationelle Dienste bereitgestellt. Falls nötig, können in der Ausgleichung dann noch kleine Korrektionen zu den Modellwerten berechnet werden. Beispiele sind die Verbesserung kurzer (weniger als ein Umlauf) Satellitenbahnbögen

6.2 Dreidimensionale Punktbestimmung

209

durch Korrektionen der Keplerelemente, die Einführung eines lokalen troposphärischen „Maßstabsfaktors“ und die Bestimmung von Uhrkorrektionen.

Durch simultane Messungen von zwei oder mehr Bodenstationen zu denselben Satelliten (relative Positionsbestimmung) entfallen eine Anzahl von Fehlern oder werden erheblich reduziert. Ursache hierfür ist die hohe Fehlerkorrelation zwischen benachbarten Stationen, bei der Differenzbildung fällt dann ein großer Teil der Fehler heraus. Bei dieser relativen Methode geht jedoch die absolute Orientierung verloren, so dass für mindestens eine Station absolute Koordinaten vorliegen müssen, s. [5.2.5]. Systematisch durchgeführte Simultanbeobachtungen eines Netzes führen zu einer rein geometrischen Methode der Satellitengeodäsie. Der Satellit wird hierbei als weithin sichtbares Hochziel angesehen, die Kenntnis der Satellitenbahn ist im Prinzip nicht erforderlich. Entsprechende geometrische Satellitennetze wurden in den 1960er und 1970er Jahren durch Stellartriangulation und Trilateration aufgebaut. Bekanntestes Beispiel ist das Weltnetz des U.S. National Geodetic Survey (1966 – 1970, 45 Stationen). Es wurde durch Richtungsmessungen mit BC4-Kameras zum Ballonsatelliten Pageos bestimmt, s. [5.2.4], der Maßstab wurde aus mit elektronischen Distanzmessern vermessenen terrestrischen Traversen großer Länge hergeleitet. Erreicht wurde dabei eine Genauigkeit von ±4 bis 5 m (Schmid 1974). B(ti)

B(ti) A(ti)

A(ti)

P1

P2

P1

A(ti)

P2

P1

A(tj)

B(tj)

P2

Abb. 6.9. GPS-einfache, doppelte und dreifache Differenzen

Zur Auswertung von simultan beobachteten GPS-Netzen sind unterschiedliche Verfahren entwickelt worden, die auf der Bildung von linearen Kombinationen der Beobachtungen beruhen (Teunissen und Kleusberg 1998b). Im Standardverfahren werden „einfache Differenzen“ (single differences) s1A − s2A zwischen den simultan von zwei Empfängern P1 , P2 zur Epoche ti zum Satelliten A gemessenen Strecken s gebildet (Abb. 6.9). Hierdurch werden die Satellitenuhrfehler eliminiert und die Refraktions- und Bahnfehler verkleinert. „Doppelte Differenzen“ (double differences) entstehen durch Differenzbildung von jeweils zwei einfachen Differenzen, die zu verschiedenen Satelliten A, B zur gleichen Zeit ti gemessen wurden: (s1A −s2A )−(s1B −s2B ). Hierbei entfallen auch die Empfänger-Uhrfehler, Refraktions- und Bahnfehler werden weiter reduziert. „Dreifach-Differenzen“ (triple differences) werden durch Differenzbildung von zwei doppelten Differenzen gebildet, die zu den Epochen ti und tj bestimmt wurden. In der entsprechenden Beobachtungsgleichung fällt dann auch die Mehrdeutigkeit der Trägerphasenmessung heraus. Bei diesem Ansatz tritt jedoch ein

210

6 Auswertemethoden

Informationsverlust ein, was zu einer ungenaueren Positionsbestimmung führt. Dreifache Differenzen sind aber beim Erkennen und Korrigieren von cycle slips nützlich, s. [5.2.5]. Für die Ausgleichung von Satellitennetzen stehen hochentwickelte Programmsys¨ teme zur Verfügung, für GPS-Messungen nennen wir Wubbena (1989), Beutler et al. (1996a), Webb und Zumberge (1997). Die Ausgleichung liefert die kartesischen Koordinaten oder Koordinatendifferenzen der Bodenstationen und ihre vollständige Varianz-Kovarianzmatrix, diese ist bei einer weiteren Datenverarbeitung (etwa bei der Kombination mit terrestrischen Daten) zu berücksichtigen. Falls bei einer Kombination der Ergebnisse verschiedener Netzausgleichungen die Orientierung der einzelnen Netze unterschiedlich ist, muss ein entsprechender Transformationsansatz (Datumsänderung) in die gemeinsame Lösung einbezogen werden, s. [6.2.2]. Terrestrische Messungen umfassen • Astronomische Azimute, Breiten und Längen, s. [5.3.2], • Horizontalrichtungen (lassen sich als Azimute ohne Orientierung auffassen) und Horizontalwinkel (Differenzen von Azimuten), s. [5.5.1], • Zenitwinkel, s. [5.5.1], • Strecken, s. [5.5.2], • Nivellierte Höhenunterschiede, s. [5.5.3]. Einsetzen von (2.20) in (2.29) ergibt unter Berücksichtigung von (2.30) die Beobachtungsgleichungen für Azimute A, Zenitwinkel z und Strecken s: ⎫ − sin X + cos Y ⎪ ,⎪ A = arctan ⎪ − sin  cos X − sin  sin Y + cos Z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ cos  cos X + cos  sin Y + sin Z (6.39) z = arccos , ⎪  ⎪ (X 2 + Y 2 + Z 2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 2 2 2 s = (X + Y + Z ) mit X = X2 − X1 ,

Y = Y2 − Y1 ,

Z = Z2 − Z1 .

Die astronomische Breite  und die astronomische Länge treten in (6.39) als Orientierungsparameter auf. Sie verbinden das lokale astronomische mit dem globalen geozentrischen System und werden als zusätzliche Unbekannte behandelt. Stehen gemessene Breiten und Längen zur Verfügung, so werden diese als beobachtete Parameter in die Ausgleichung eingeführt. Die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate benötigt lineare Beziehungen zwischen den Beobachtungen und den Unbekannten. Entsprechende Differentialbeziehungen lassen sich durch numerische oder analytische Differentiation von (6.39) herleiten. Analytische Ausdrücke für die partiellen Ableitungen ∂A/∂X usw. finden sich bei Wolf (1963b) und Heiskanen und Moritz (1967, S. 217). Das geometrische Nivellement lässt sich nach Transformation des nivellierten Höhen-

6.2 Dreidimensionale Punktbestimmung

211

z

z

dn

W=

e e P

WP

dh

ll ELLIPSOID ds

Abb. 6.10. Geometrisch-astronomisches Nivellement

unterschiedes δn ≈ dn (5.111) in dreidimensionale Rechnungen im geozentrischen System einbeziehen. Hierzu wird der Einfluss der (Oberflächen)-Lotabweichung auf dn reduziert, es ergeben sich ellipsoidische Höhenunterschiede dh (Abb. 6.10). Mit der im Azimut der Nivellementslinie wirkenden Lotabweichungskomponente ε (6.18) gilt dh = dn − ε ds. (6.40) Das negative Vorzeichen der Lotabweichungsreduktion beruht auf den in (6.17) und (6.7) bzw. (6.8) getroffenen Vorzeichenregelungen. Ein differentieller Zusammenhang zwischen der ellipsoidischen Höhe h und den globalen Koordinaten X, Y, Z ergibt sich aus (4.26a) und (4.27). Mit d r¯ Q = 0 und nach Ersetzen von ϕ, λ durch , erhalten wir dh = n¯ T · dr = cos  cos dX + cos  sin dY + sin  dZ.

(6.41)

Hierbei haben wir wiederum unterstellt, dass die Achsen des ellipsoidischen und des geozentrischen Systems parallel sind: d X¯ = dX,

d Y¯ = dY,

d Z¯ = dZ.

Die Integration von (6.40) ergibt die ellipsoidische Höhendifferenz  2  2 h1,2 = h2 − h1 = dn − ε ds, 1

(6.42)

1

die als „Beobachtung“ in räumliche Berechnungen eingeführt werden kann: Geometrisch-astronomisches Nivellement (Heitz 1973). Hierbei ist zu beachten, dass die beiden Integrale in (6.42) über denselben Weg zu bilden sind. Die Differentialbeziehung für (6.42) folgt aus der Differenzbildung von (6.41) für die Punkte P1 und P2 : d(h1,2 ) = dh2 − dh1 .

(6.43)

212

6 Auswertemethoden

Das erste Integral in (6.42) lässt sich leicht als Summe der nivellierten Höhenunterschiede bilden. Die Auswertung des zweiten Integrals bereitet dagegen größere Schwierigkeiten, da Lotabweichungen i. Allg. nur in größeren Abständen verfügbar sind (einige 10 km in klassischen geodätischen Netzen); dies führt zu dem Problem der Lotabweichungsinterpolation, s. [6.7.4]. Bei Abständen der Lotabweichungspunkte von 20 bis 30 km können mit diesem Verfahren in flachem und hügeligem Gelände ellipsoidische Höhenunterschiede mit einer Genauigkeit von etwa ±0,1 m/100 km bestimmt werden. Wird cm-Genauigkeit gewünscht, so muss eine Punktverdichtung auf 5 bis 10 km vorgenommen und es müssen verfeinerte Interpolationsmethoden eingesetzt werden (Torge 1977). Das dreidimensionale Auswertekonzept wurde bereits 1868 von Villarceau vorgestellt. Bruns (1878) schlug eine punktweise Bestimmung der Erdoberfläche durch ein räumliches Polyeder vor, wobei die Geometrie durch terrestrische geodätische Messungen und die Orientierung durch astronomische Beobachtungen festgelegt wird. Dieses Konzept wurde in einigen Testnetzen realisiert (z. B. Torge und Wenzel 1978), großräumige Anwendungen scheiterten aber wegen der Schwierigkeiten der trigonometrischen Höhenübertragung über große Entfernungen und der mit der Lotabweichungsreduktion des Nivellements verbundenen Probleme.

Ellipsoidische Koordinaten ϕ, λ und teilweise auch h werden in zahlreichen Anwendungen in Geodäsie, Kartographie und Navigation benutzt. Sie lassen sich aus den kartesischen Koordinaten leicht durch die Transformation (4.28) herleiten. Netzausgleichungen im ϕ, λ, h-System sind jedoch komplizierter und bleiben auf spezielle Fälle beschränkt. Differentialbeziehungen zwischen den Beobachtungen und den ellipsoidischen Koordinaten sind aber bei verschiedenen Fragestellungen nützlich, z. B. bei der Ableitung von Reduktionen auf das Ellipsoid und bei zweidimensionalen Rechnungen, s. [6.3.2], [6.3.3]. Die Gleichungen (4.27) stellen die grundlegenden Beziehungen zwischen dem ¯ Y¯ , Z-System ¯ ϕ, λ, h-System und dem X, bereit. Differentiation liefert ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ d X¯ (M + h) dϕ ¯ ⎝(N + h) cos ϕ dλ⎠ , ⎝ d Y¯ ⎠ = A (6.44) dh d Z¯ ¯ durch (4.32) gegeben ist. Gleichung (6.44) kann unmittelbar für die Auswobei A gleichung von Koordinaten und Koordinatendifferenzen aus Satellitenbeobachtungen im ellipsoidischen System benutzt werden. Differentialformeln für die terrestrischen Beobachtungen A, z, s ergeben sich durch Einsetzen von (6.44) in die entsprechenden Differentialbeziehungen für kartesische Koordinaten (Wolf 1963b, Heiskanen und Moritz 1967), s. [6.3.2]. Wir erwähnen schließlich die Umformung der „natürlichen“ Koordinaten , , H (orthometrische Höhe) oder H N (Normalhöhe) in ellipsoidische Koordinaten ϕ, λ, h, wobei H und H N aus dem Schwerepotential W nach (3.106) bzw. (3.107) hergeleitet werden. Nach (6.17) transformiert die Lotabweichung (ξ, η) die Lotrichung in die Richtung der Ellipsoidnormalen: ϕ =  − ξ,

λ= −

η . cos ϕ

(6.45a)

6.2 Dreidimensionale Punktbestimmung

213

Werden normale geodätische Koordinaten ϕ N , λN (4.73) gefordert, so ist die Krümmung der normalen Lotlinie durch die Reduktion δϕ N (4.74) zu berücksichtigen: ϕ N =  − (ξ + δϕ N ) =  − ξ N ,

λN = λ = −

η . cos ϕ

(6.45b)

Der Zusammenhang zwischen h und H bzw. H N ist durch h = H + N = HN + ζ

(6.46)

gegeben, s. Abb. 6.2. Hierbei haben wir die geringe Auswirkung (sub-mm-Größenordnung) der Lotlinienkrümmung vernachlässigt. Gravimetrische Auswertemethoden erlauben die Berechnung der Lotabweichung und der Geoidhöhe bzw. der Höhenanomalie aus Schweredaten, s. [6.7]. Damit könnte aus (6.45) und (6.46) ein geozentrisches System ellipsoidischer Koordinaten aufgebaut werden (Heiskanen 1951). Da  und sich nur mit einer Genauigkeit von ±0,1 (entsprechend 3 m in der horizontalen Lage) oder geringer bestimmen lassen, ist dieser Ansatz für die horizontale Positionierung nicht mehr von Interesse. Die Höhentransformation (6.46) ist dagegen von großer Bedeutung, da sie die Verbindung zwischen ellipsoidischen GPS-Höhen und nivellierten Höhen herstellt, s. [6.4.3].

6.2.2

Geodätisches Datum

Das Geodätische Datum legt die Orientierung eines geodätischen Systems gegenüber dem globalen geozentrischen System und damit dem Erdkörper fest, s. [2.5.1]. Mit Satellitenmethoden eingerichtete Netze werden heute an das internationale Bezugssystem ITRF angeschlossen, sie sind deshalb geozentrisch gelagert, s. [2.5.3]. Klassische geodätische Netze wurden mit Hilfe astronomischer Messungen orientiert, sie können stärker von der geozentrischen Lagerung abweichen, s. [6.3.3]. ¯ Y¯ , Z-System ¯ Im allgemeinsten Fall wird ein nicht-geozentrisches X, durch eine räumliche Ähnlichkeitstransformation in das X, Y, Z-System transformiert. Dies geschieht durch drei Verschiebungen, drei Drehungen und eine Maßstabsänderung (Abb. 6.11): r = r 0 + (1 + m)R(εX¯ , εY¯ , εZ¯ )¯r . (6.47) ¯ Y¯ , Z) ¯ sind die Ortsvektoren in den jeweiligen Syster T = (X, Y, Z) und r¯ T = (X, T ¯ Y¯ , Z¯ men, und r 0 = (X0 , Y0 , Z0 ) enthält die Koordinaten des Ursprungs O¯ des X, Systems in Bezug auf das Geozentrum O. Wir nehmen an, dass der Maßstab des ¯ Y¯ , Z-Systems ¯ X, nur wenig vom Maßstab des globalen Bezugsrahmens abweicht und dass die Achsen der beiden Systeme genähert parallel sind. Die in (6.47) eingeführte Maßstabskorrektion m ist dann eine kleine Größe, und die Drehmatrix nimmt mit drei kleinen Eulerschen Winkeln die Form ⎛ ⎞ 1 εZ¯ −εY¯ 1 εX¯ ⎠ R(εX¯ , εY¯ , εZ¯ ) = ⎝−εZ¯ (6.48) εY¯ −εX¯ 1

214

6 Auswertemethoden

an. Um die in (6.47) enthaltenen sieben Transformationsparameter zu bestimmen, werden mindestens drei Stützpunkte benötigt, für die Koordinaten in beiden Systemen bekannt sind. Z

Z eZ

P r eX

X

0

eY r

r0

Y

0

Y

X

Abb. 6.11. Transformation zwischen dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystemen

Wir ersetzen nun in (6.47) die kartesischen Koordinaten durch die geodätischen Koordinaten ϕ, λ, h. Die Datumsparameter müssen in diesem Fall um die geometrischen Ellipsoidparameter erweitert werden, etwa um die große Halbachse a und die Abplattung f . Von praktischem Interesse sind die durch einen Datumsübergang (Verschiebungen, Drehungen, Maßstabsänderung, Änderung der Ellipsoidparameter) verursachten Änderungen der ellipsoidischen Koordinaten. Wir setzen hierzu (4.27) in (6.47) ein und bilden das totale Differential. Da die wirkliche Lage von P im Raum sich nicht ändert, gilt dr = 0. Vernachlässigen wir den linearen Maßstabsfaktor und ersetzen die Differentiale durch (kleine) Differenzen, so ergibt sich die sphärische Näherung (M + h = N + h = a, f = 0), Torge (1980): ⎛ ⎞ ⎛ ⎞  a δϕ δεX¯ −1 ¯ δr 0 + C ⎝ δε ¯ ⎠ + F δa . ⎝a cos ϕ δλ⎠ = −A (6.49a) Y a δf δh δεZ¯ ¯ Hierbei ist A ⎛

−1

durch (4.34) gegeben und

sin λ − cos λ C = a ⎝− sin ϕ cos λ − sin ϕ sin λ 0 0

⎞ 0 cos ϕ ⎠ , 0

⎛

0 F =⎝ 0 −1

⎞ sin 2ϕ 0 ⎠ . (6.49b) sin2 ϕ

Gleichung (6.49) kann benutzt werden, um die Auswirkung einer Datumsänderung auf die ellipsoidischen Koordinaten abzuschätzen. Dabei werden sämtliche auftretenden Differenzen im Sinne „geozentrisch – nicht-geozentrisch“ gebildet, z. B. δa = a (geozentrisch) − a (nicht-geozentrisch). Entsprechende auch die Abplattung berücksichtigende Formeln finden sich bei Ehlert (1991).

6.2 Dreidimensionale Punktbestimmung

215

Klassische geodätische Netze wurden durch die ellipsoidischen Koordinaten eines Fundamentalpunktes (auch Zentralpunkt) PF und Bedingungsgleichungen für die Parallelität der Achsen in Bezug auf das geozentrische System orientiert. Nach Anwendung von (6.49) auf einen laufenden Punkt P und den Fundamentalpunkt PF lässt sich die Translation auch durch die Änderungen δϕF , δλF , δhF des Fundamentalpunktes ausdrücken. Differentiation von (6.45), (6.46) liefert unter Berücksichtigung von d = d = dH = 0 einen Zusammenhang mit den Lotabweichungen: δξ = −δϕ,

δη = − cos ϕ δλ,

dN = dh.

(6.50)

Entsprechende Beziehungen gelten für die „normalen“ geodätischen Koordinaten, s. [4.2.3]. Die Koordinatenänderungen in einem beliebigen Punkt lassen sich also auch als Änderungen der Lotabweichung und der Geoidhöhe (oder der Höhenanomalie) in Abhängigkeit von den entsprechenden Änderungen im Fundamentalpunkt ausdrücken. In sphärischer Näherung erhalten wir (Heiskanen und Moritz 1967, S. 208): ⎫ dξ = (cos ϕF cos ϕ + sin ϕF sin ϕ cos(λ − λF )) dξF ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − sin ϕ sin(λ − λF ) dηF ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − (sin ϕF cos ϕ − cos ϕF sin ϕ cos(λ − λF )) ⎪ ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ dNF da ⎪ 2 × + + sin ϕF df − 2 cos ϕ(sin ϕ − sin ϕF ) df,⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dη = sin ϕF sin(λ − λF ) dξF + cos(λ − λF ) dηF ⎪ ⎬  dNF da 2 + + sin ϕF df , + cos ϕF sin(λ − λF ) ⎪ ⎪ a a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dN = −a(cos ϕF sin ϕ − sin ϕF cos ϕ cos(λ − λF )) dξF ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − a cos ϕ sin(λ − λF ) dηF ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + (sin ϕF sin ϕ + cos ϕF cos ϕ cos(λ − λF )) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ × (dNF + da + a sin ϕF df ) − da ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 2 + (sin ϕ − 2 sin ϕF sin ϕ)a df.

(6.51)

Diese Beziehungen haben bei der optimalen Anpassung geodätischer Lagenetze an das Geoid eine Rolle gespielt, s. [7.1.2]. Wir untersuchen nun, wie die (genäherte) Achsparallelität klassischer geodätischer Netze mit dem geozentrischen System erreicht wurde. Hierzu beschreiben wir die Abweichungen zwischen dem lokalen astronomischen x, y, z-System (2.20) und dem lokalen ellipsoidischen x, ¯ y, ¯ z¯ -System (4.29) durch drei Eulersche Drehwinkel, wobei die y- und die y-Achsen ¯ gespiegelt wurden (Herstellung von Rechtssystemen), Abb. 6.12: x = R(ξ, η, ψ)x¯

(6.52a)

216

6 Auswertemethoden z

z

y x

P

x h

y

x

y

Abb. 6.12. Rotationen zwischen dem lokalen ellipsoidischen und dem lokalen astronomischen System

⎞ 1 ψ −ξ η ⎠. R(ξ, η, ψ) = ⎝−ψ 1 (6.52b) ξ −η 1 Die Euler-Winkel entsprechen den Lotabweichungskomponenten, s. [6.1.2], im Meridian (ξ ), im ersten Vertikal (η) und in der Horizontalebene (ψ). Sind die Achsen des ¯ Y¯ , Z-Systems ¯ globalen X, Y, Z- und des X, nicht parallel, so gilt nach (2.26), (4.29), (6.47) und (6.52)

mit der Drehmatrix

⎛

¯ x¯ X = Ax = AR(ξ, η, ψ)x¯ = R(εX¯ , εY¯ , εZ¯ )A oder

(6.53)

¯ = AR(ξ, η, ψ). R(εX¯ , εY¯ , εZ¯ )A

(6.54) ¯ Nach Einsetzen von A (4.32) und A (2.28) liefert die Auflösung von (6.54) neun Gleichungen, von denen wegen der Orthogonalitätsbeziehungen drei voneinander unabhängig sind. Wir entwickeln die in (2.28) auftretenden trigonometrischen Funktionen (, ) im Punkt (ϕ, λ) und erhalten bei linearer Approximation die Lotabweichungskomponenten bei Nichtparallelität der Achsen der globalen Systeme: ⎫ ξ =  − ϕ + sin λ εX¯ − cos λ εY¯ , ⎪ ⎬ η = ( − λ) cos ϕ − sin ϕ(cos λ εX¯ + sin λεY¯ ) + cos ϕ εZ¯ , (6.55) ⎪ ⎭ ψ = ( − λ) sin ϕ + cos ϕ(cos λ εX¯ + sin λ εY¯ ) + sin ϕ εZ¯ . Wir verallgemeinern ferner die im lokalen astronomischen und im lokalen ellipsoidischen System aufgestellten Azimut- und Zenitwinkel-Gleichungen. Einsetzen von (2.20) und (4.29) in die aus (6.53) entnommene Beziehung ¯ x¯ Ax = R(εX¯ , εY¯ , εZ¯ )A ergibt nach Linearisierung der trigonometrischen Funktionen von A, z in α, ζ : A − α = ( − λ) sin ϕ + (( − ϕ) sin α − cos ϕ( − λ) cos α) cot ζ + cos ϕ(cos λ εX¯ + sin λ εY¯ ) + sin ϕ εZ¯ ,

(6.56a)

6.3 Horizontale Punktbestimmung

z − ζ = −(( − ϕ) cos α + cos ϕ( − λ) sin α) − (cos α sin λ − sin α sin ϕ cos λ)εX¯ + (cos α cos λ + sin α sin ϕ sin λ)εY¯

217

(6.56b)

− cos ϕ sin α εZ¯ . Die Forderung der Achsparallelität für die globalen Systeme εX¯ = εY¯ = εZ¯ = 0 führt in Übereinstimmung mit [6.1.2] auf die entsprechenden Bedingungsgleichungen für die Lotabweichungen: ! ξ =  − ϕ, η = ( − λ) cos ϕ, (6.57) ψ = ( − λ) sin ϕ. Hierbei sind die Gleichungen für η und ψ nicht voneinander unabhängig. Einsetzen von (6.57) in (6.56) ergibt die Bedingungsgleichungen für dasAzimut und den Zenitwinkel: A − α = η tan ϕ + (ξ sin α − η cos α) cot ζ

(6.58)

z − ζ = −(ξ cos α + η sin α).

(6.59)

und Gleichung (6.58) wird als Laplacesche Orientierungsgleichung bezeichnet. (6.59) entspricht der Lotabweichungskomponente ε im Azimut α (6.18). Die Bedingungsgleichungen (6.58) und (6.59) lassen sich so interpretieren, dass mit ihnen Rotationen um die Stehachse und die Kippachse eines Theodolits verhindert werden. Eine vollständige Achsparallelität der globalen Systeme würde auch eine entsprechende Bedingung für die Zielachse erfordern. Dies ließe sich indirekt durch eine zusätzliche zweite unabhängige (d. h. in einem um möglichst 90◦ verschiedenen Azimut gebildete) Zenitwinkel-Bedingung im Fundamentalpunkt erreichen. Wegen der Schwierigkeiten bei der Erfassung der Vertikalrefraktion sind die klassischen Lagenetze nur mit der Laplace-Gleichung orientiert worden. Dreidimensionale Netze würden in diesem Fall wenigstens drei Laplace-Azimute in möglichst gut über das Netz verteilten Punkten benötigen. Bei der zweidimensionalen Punktbestimmung dient (6.58) zur Reduktion der beobachteten Azimute und Horizontalrichtungen auf das Ellipsoid, s. [6.3.2], (6.59) wird bei der trigonometrischen Höhenbestimmung benutzt, s. [6.4.2].

6.3

Horizontale Punktbestimmung

Bei der Einrichtung der klassischen geodätischen Netze wurde die horizontale Punktbestimmung getrennt von der Höhenbestimmung durchgeführt. Grund für diesen Ansatz war, dass die im dreidimensionalen Modell benötigten ellipsoidischen Höhen aus dem Nivellement bzw. aus Zenitwinkeln wegen der Schwerefeld- und der Refraktionskorrektionen nur mit begrenzter Genauigkeit abzuleiten sind, vor allem aber der Wunsch der Nutzer nach Höhen, die im Schwerefeld definiert sind.

218

6 Auswertemethoden

Mit dem Ellipsoid als Bezugsfläche stützt sich die zweidimensionale Punktbestimmung auf die ellipsoidische Trigonometrie [6.3.1], die beobachteten Lagebestimmungsgrößen sind auf das Ellipsoid zu reduzieren [6.3.2]. Ellipsoidische „Beobachtungsgleichungen“ dienen dann nach entsprechender Netzorientierung zur Berechnung ellipsoidischer Flächenkoordinaten [6.3.3]. Die ellipsoidische Geodäsie wird ausführlich in Lehrbüchern wie Grossmann (1976) und Heck (2002) behandelt. 6.3.1

Ellipsoidische Trigonometrie

Um Koordinatenberechnungen auf der Ellipsoidoberfläche durchführen zu können, werden Ellipsoidpunkte durch Flächenkurven miteinander verbunden. Benutzt werden insbesondere der Normalschnitt und die geodätische Linie. Der Normalschnitt entsteht als Schnittkurve der Vertikalebene mit dem Ellipsoid. Mit Hilfe der Flächennormalen auf das Ellipsoid reduzierte Azimute und Strecken beziehen sich auf Normalschnitte. Da die Flächennormalen zweier Ellipsoidpunkte jedoch i. Allg. windschief zueinander verlaufen, fallen die Gegennormalschnitte von P1 nach P2 und von P2 nach P1 nicht zusammen (Abb. 6.13). Die Unterschiede im Azimut (weniger als 0,1 für S = 100 km) und in der Entfernung (kleiner als 1 μm für S = 100 km) sind jedoch klein und können leicht berücksichtigt werden. Wegen P2 Sn(2,1) l = l1

Sg

an(2,1) ag

an(1,2)

Sn(1,2)

P1

Abb. 6.13. Normalschnitte und geodätische Linie

ihrer günstigen differentialgeometrischen Eigenschaften wird bei den ellipsoidischen Berechnungen meist die geodätische Linie benutzt. Sie ist als kürzeste Verbindung zweier Punkte eindeutig definiert und verläuft i. Allg. zwischen den den beiden Gegennormalschnitten. Die Definition als „Kürzeste“ entspricht der Bedingung, dass die geodätische Krümmung (Krümmung der Normalprojektion einer Flächenkurve auf die Tangentialebene) gleich Null ist. Aus der Differentialgeometrie ist bekannt, dass die geodätische Krümmung kg durch das Spatprodukt (6.60) kg = (r  × r  ) · n gebildet wird. Hierbei ist r  = dr/dS der Tangentenvektor und r  = d 2 r/dS 2 der Krümmungsvektor. Die Bogenlänge der geodätischen Linie wird mit S bezeichnet, und

6.3 Horizontale Punktbestimmung

219

n ist der Normalen(einheits)vektor der Fläche. Für kg = 0 erhalten wir eine vektorielle Differentialgleichung 2. Ordnung für die geodätische Linie: (r  × r  ) · n = 0;

(6.61)

die lokale Projektion der geodätischen Linie in die Tangentialebene ist eine Gerade. Wir führen nun das ϕ, λ-System der ellipsoidischen Koordinaten ein (Abb. 6.14) und stellen die geodätische Linie in der Form λ = λ(ϕ) dar. Die entsprechende Auswertung von (6.61) ergibt die skalaren Differentialgleichungen ⎫ 2 dp dλ ⎪ 2d λ ⎪ = 0,⎪ + 2p p ⎬ 2 dϕ dϕ dϕ (6.62)  2 ⎪ dp dλ dM ⎪ ⎪ −p =0⎭ M dϕ dϕ dϕ mit p = N cos ϕ = Parallelkreisradius (4.6) und den Hauptkrümmungsradien M und N (4.13), (4.15). Aus Abb. 6.14 a + da j = dj = const.

dS

Mdj a

j = const. l = const.

N cos j dl

l + dl = const.

Abb. 6.14. Ellipsoidische (geodätische) Flächenkoordinaten

entnehmen wir die Beziehungen cos α dϕ = , dS M

dλ sin α = , dS N cos α

(6.63)

welche für jede beliebige Oberflächenkurve gelten. Wir bilden dλ/dϕ und die zweite Ableitung und setzen diese in (6.62) ein. Die Integration ergibt den Satz von Clairaut N cos ϕ sin α = const.

(6.64)

Die Integrationskonstante entspricht dem Parallelkreisradius, an dem die geodätische Linie das Azimut 90◦ annimmt. Differentiation nach S liefert unter Berücksichtigung von (6.63) die gleichwertige Beziehung sin α tan ϕ dα = . dS N

(6.65)

220

6 Auswertemethoden

(6.63) und (6.64) bzw. (6.65) bilden ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung für die geodätische Linie. Die Lösung dieses Systems führt auf elliptische Integrale, diese sind nicht durch elementare Funktionen darstellbar, s. [6.3.3]. Die zweidimensionale Punktbestimmung auf dem Ellipsoid lässt sich auf die Berechnung ellipsoidischer Dreiecke zurückführen, die durch geodätische Linien begrenzt sind. Da die Krümmung der ellipsoidischen Flächenkurven nach (4.18) ortsund richtungsabhängig ist, erfordert die Auflösung dieser Dreiecke nicht nur drei geometrische Elemente (Winkel, Seiten), sondern auch die Orientierungsparameter Breite und Azimut. Bei Punktabständen < 100 km (klassische geodätische Netze) lässt sich das Ellipsoid durch die Gaußsche Schmiegungskugel (4.23) annähern, wobei die zugehörige Breite als arithmetisches Mittel aus den Breiten der Eckpunkte des Dreiecks berechnet werden kann. Die Dreiecksauflösung kann dann mit geschlossenen sphärischen Formeln vorgenommen werden, z. B. mit dem sphärischen Sinussatz sin α sin(a/R) = , sin β sin(b/R)

(6.66)

wobei α, β die sphärischen Winkel, a, b die Seiten und R den Radius der Gaußschen Schmiegungskugel bezeichnen. Die Fehler dieser sphärischen Approximation bleiben bei der o. g. Begrenzung der Seiten kleiner als 0,002 in den Winkeln und 1 mm in den Strecken. In der sphärischen Trigonometrie spielt schließlich der sphärische Exzess eine Rolle. Er ist als Überschuss der Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks über 180◦ definiert und proportional zur Dreiecksfläche F : ε=

F . R2

(6.67)

Bei einem gleichseitigen Dreieck mit S = 50 km wird ε = 5,48 . 6.3.2

Reduktionen auf das Ellipsoid

Um Koordinatenübertragungen auf dem Ellipsoid durchführen zu können, müssen die gemessenen Azimute und Strecken auf die entsprechenden ellipsoidischen, auf die geodätische Linie bezogenen Größen α, S reduziert werden. Die Reduktion des astronomischen Azimuts A setzt sich aus drei Anteilen zusammen. Die Laplace-Gleichung (6.58) berücksichtigt den Einfluss der Lotabweichung. Auf den Normalschnitt bezogen lautet die entsprechende Reduktion: α − A = −(η tan ϕ + (ξ sin α − η cos α) cot ζ ).

(6.68)

Der erste Term in (6.68) ist die azimutale Komponente der Lotabweichung. Er hängt nicht vom Azimut ab und entspricht einer Verdrehung des beobachteten Richtungssatzes (Orientierungsfehler), Horizontalwinkel werden nicht beeinflusst. Der zweite Term kann als lotabweichungsbedingter Aufstellungsfehler (Lotrichtung anstelle der Ellipsoidnormalen) des Theodolits angesehen werden, er ist azimutabhängig. Während der erste Term die Größenordnung der

6.3 Horizontale Punktbestimmung

221

Lotabweichung und mehr erreichen kann, tritt im zweiten Term durch cot ζ eine erhebliche Verkleinerung ein. Im Flachland bleibt dieser Anteil im Bereich von wenigen 0,1 , im Hochgebirge kann er aber einige Bogensekunden erreichen.

Liegt der Zielpunkt nicht auf dem Ellipsoid sondern in der Höhe h2 , so ist eine geometrische Reduktion wegen der Höhe des Zielpunkts anzubringen. Die durch die Ellipsoidnormale in P1 und den Zielpunkt P2 gebildete Vertikalebene enthält nämlich i. Allg. nicht die Ellipsoidnormale durch P2 (Abb. 6.15). Der durch diese Vertikalebene gebildete Normalschnitt verläuft nicht durch den Fußpunkt Q2 sondern durch Q2 , was eine Reduktion um den Winkel Q2 P1 Q2 erforderlich macht. Die Reduktion lässt sich aus der für eine Ausgleichung im ϕ, λ, h-System zu bildenden partiellen Ableitung ∂A/∂h2 herleiten, s. [6.2.1], sie lautet: e2 cos2 ϕ sin 2α h2 . (6.69) 2b Hierbei ist e die erste numerische Exzentrizität und b die kleine Halbachse des Ellipsoids, s [4.1.1]. Für ϕ = 0◦ und α = 45◦ beträgt diese Reduktion bei h2 = 1 000 m nur 0,11 . αn − αh2 =

N

P2 h2

Q2´

an ah2

Q2

l2

l = l1

l=

P1

Abb. 6.15. Azimutreduktion wegen der Höhe des Zielpunktes

Schließlich wird das Azimut vom Normalschnitt auf die geodätische Linie reduziert: e2 αg − αn = − cos2 ϕ sin 2α S 2 . (6.70) 12a 2 Für ϕ = 0◦ und α = 45◦ beträgt diese Reduktion bei S = 100 km nur 0,028 . Die Reduktion der räumlichen Sehnenlänge s auf das Ellipsoid ist ein rein geometrisches Problem, da Strecken nicht vom Schwerefeld abhängen. Hierbei nehmen wir an, dass die Einflüsse der atmosphärischen Refraktion vorweg reduziert worden sind, ¨ s. [5.5.2], Hopcke (1964). Aus Abb. 6.16 entnehmen wir s 2 = (R + h1 )2 + (R + h2 )2 − 2(R + h1 )(R + h2 ) cos ψ, ψ s0 = 2R sin , S = Rψ. 2

222

6 Auswertemethoden

P2

s s h2

P1 S

h1

s0

R

y

R

0

Abb. 6.16. Reduktion der Raumstrecke auf das Ellipsoid

Hieraus ergeben sich geschlossene Formeln für die Reduktion auf den Normalschnitt:  s0 s 2 − (h2 − h1 )2 , S = 2R arcsin . (6.71a) s0 = (1 + h1 /R)(1 + h2 /R) 2R Der Krümmungsradius R berechnet sich nach Eulers Formel (4.18). Eine Reihenentwicklung zeigt die unterschiedlichen Anteile dieser Streckenreduktion: S−s =−

s3 h1 + h2 (h2 − h1 )2 s− + 0 2. 2R 2s 24R

(6.71b)

Der erste Term in (6.71b) entspricht einer Reduktion von der mittleren Höhe auf das Ellipsoid. Er kann im Gebirge bereits bei Abständen von wenigen km die Meter-Größenordnung erreichen. Der zweite Term berücksichtigt die Neigung der Strecke. Er bleibt im Flachland meist kleiner als ein Meter, kann jedoch im Hochgebirge erhebliche Beträge annehmen. Wegen der Größe dieser Reduktionen dürfen die ellipsoidischen Höhen in (6.71) nicht durch orthometrische Höhen oder Normalhöhen ersetzt werden (relative Fehler von 10−5 und mehr). Der letzte Term bewirkt den Übergang von der ellipsoidischen Sehne zum Normalschnitt, er erreicht erst bei größeren Entfernungen die cm-Größenordnung.

Die Reduktion vom Normalschnitt zur geodätischen Linie berechnet sich nach: Sg − Sn = −

e4 cos4 ϕ sin2 2α S 5 . 360a 4

(6.72)

Sie erreicht die Meter-Größenordnung erst bei Entfernungen von einigen 1 000 km, bei der Berechnung klassischer Netze ist sie vernachlässigbar.

6.3 Horizontale Punktbestimmung

6.3.3

223

Berechnungen auf dem Ellipsoid

Die Bedeutung ellipsoidischer Berechnungen ist mit der in kartesischen Koordinaten durchgeführten dreidimensionalen Positionsbestimmung erheblich zurückgegangen, da die kartesischen Koordinaten leicht in ellipsoidische transformiert werden können, s. (4.28). Aus den kartesischen Koordinaten berechnete Azimute und Strecken lassen sich nach [6.3.2] ebenfalls problemlos auf das Ellipsoid reduzieren. Ellipsoidische Rechnungen sind jedoch in der Navigation weiterhin von Bedeutung, und sie bildeten die Grundlage für die Koordinierung der heute noch weitgehend verwendeten klassischen Lagefestpunktfelder. Das Geodätische Datum zweidimensionaler Systeme wurde durch die Lotabweichung und die Geoidhöhe in einem Fundamentalpunkt sowie durch die Parameter des Bezugsellipsoids festgelegt, s. [6.2.2]. Gleichung (6.57) erlaubt dann die Transformation der beobachteten astronomischen Breite und Länge in die entsprechenden ellipsoidischen Größen, und (6.46) liefert die höhenmäßige Zuordnung von Geoid bzw. Quasigeoid und Ellipsoid. Nach der Reduktion der gemessenen Horizontalrichtungen und Strecken auf das Ellipsoid ist nur noch eine Drehung um die Ellipsoidnormale des Fundamentalpunktes möglich, über sie wird durch Anwendung der Laplace-Gleichung auf das im Fundamentalpunkt gemessene Azimut verfügt. Mit den Gleichungen (6.57) und (6.58) ist die Achsparallelität zwischen dem ellipsoidischen und dem globalen geozentrischen System sichergestellt. Die Genauigkeit der Achsparallelität hängt von der Unsicherheit der in (6.57) und (6.58) eingehenden astronomischen Beobachtungen ab, liegt also bei ein bis zwei Bogensekunden oder besser. Der Koordinatenursprung der klassischen Systeme kann jedoch um einige 100 m vom Geozentrum abweichen. Dies ist einmal darauf zurückzuführen, dass eine Bogensekunde bei der astronomischen Ortsbestimmung bereits einer Lageverschiebung von 30 m entspricht, vor allem aber auf die Benutzung nur relativer Lotabweichungen und Geoidhöhen, s. [7.1.2].

Nachdem die ellipsoidischen Koordinaten und ein ellipsoidisches Azimut im Fundamentalpunkt festgelegt sind, kann eine ellipsoidische Koordinatenübertragung mit den auf die geodätische Linie bezogenen ellipsoidischen „Beobachtungen“ durchgeführt werden. Dabei nehmen wir im Folgenden an, dass das ellipsoidische Netz fehlerfrei ist; auf Ausgleichungsstrategien wird in [7.1.2] hingewiesen. Wir unterscheiden • die Übertragung ellipsoidischer Koordinaten (Anfangswertaufgabe), d. h. die Berechnung von ϕ2 , λ2 des Punktes P2 und des Azimuts α2 aus den gegebenen Koordinaten ϕ1 , λ1 des Punktes P1 , dem Azimut α1 und der Strecke S, • die Umkehrung dieser Aufgabe (Randwertproblem), d. h. die Berechnung der Azimute α1 , α2 und der Strecke S aus den gegebenen Koordinaten ϕ1 , λ1 und ϕ2 , λ2 . In der deutschsprachigen Literatur werden diese beiden Aufgaben wegen ihrer großen Bedeutung bei der Einrichtung klassischer Lagenetze auch als 1. und 2. Geodätische Hauptaufgabe bezeichnet, dies ist heute nicht mehr angemessen.

224

6 Auswertemethoden

Die beiden Aufgaben der Koordinatenberechnung lassen sich auf die Auflösung des ellipsoidischen Poldreiecks P1 N P2 zurückführen (Abb. 6.17), Ehlert (1993). Dabei treten elliptische Integrale auf, s. [6.3.1], geschlossene Lösungen sind also nicht mög¨ lich (Rosch und Kern 2000). In Abhängigkeit von der verfügbaren Rechentechnik sind über rund 200 Jahre zahlreiche den unterschiedlichen praktischen Anforderungen entsprechende Lösungen entwickelt worden, wobei im wesentlichen zwischen Reihenentwicklungen und der numerischen Integration unterschieden werden kann ¨ (Schnadelbach 1974). Wir nennen einige Beispiele. N

DG

(j

Dl

(j1

)

)

2

a2

DG

j = j2 P2 S

a1

P1 l = l1

j = j1 l = l2

Abb. 6.17. Ellipsoidisches Poldreieck

Eine Taylor-Entwicklung von Breite, Länge und Azimut als Funktion der Bogenlänge geht auf Legendre (1806) zurück: ⎫   dϕ 1 d 2ϕ ⎪ 2 ⎪ ϕ2 − ϕ1 = S+ S + · · · ,⎪ ⎪ 2 ⎪ dS 1 2 dS 1 ⎪ ⎪ ⎪   2 ⎬ dλ 1 d λ 2 (6.73) S+ S + · · · , λ2 − λ1 = ⎪ dS 1 2 dS 2 1 ⎪ ⎪ ⎪   ⎪ ⎪ dα 1 d 2α ⎪ 2 ⎪ α2 − α1 = S+ S + · · · . ⎭ 2 dS 1 2 dS 1 Hierbei sind die ersten Ableitungen durch (6.63) und (6.65) gegeben. Die höheren Ableitungen berechnen sich nach   d 2ϕ ∂ dϕ dα ∂ dϕ dϕ + (6.74) = dS 2 ∂ϕ dS dS ∂α dS dS usw., wobei die Gleichung der geodätischen Linie durch dα/dS eingeht. Wegen der Entwicklung nach S konvergieren die Legendreschen Reihen nur langsam. In mittleren Breiten muss bei Streckenlängen von 100 km bereits bis zur fünften (ϕ, λ) bzw. vierten (α) Ordnung entwickelt werden, um eine Genauigkeit von ±0,0001 bzw. ±0,001 zu erhalten.

225

6.3 Horizontale Punktbestimmung

Es liegen Entwicklungen bis zur zehnten Ordnung vor (Krack 1982), ferner konnte durch Modifikationen von (6.73) eine begrenzte Verbesserung der Konvergenz erreicht werden.

Für lange geodätische Linien wurde eine leistungsfähige Reihenentwicklung bereits von Bessel (1826) bereitgestellt und von Helmert (1880) weiterentwickelt. Bei diesem Ansatz wird das ellipsoidische Poldreieck auf eine konzentrische Kugel mit dem Radius a abgebildet (Abb. 6.18). Die Breite ϕ wird dabei in die reduzierte Breite β (4.10) ELLIPSOID

KUGEL N´

N

DG (j

Dl

Dl´

)

2

90

°-b

2

a2

)

1

a1 P1 l = l1

a2

b1 90°-

DG(j

P2

P2´ a1

S

P1´ l´= l1´

l = l2

s

l´= l2´

Abb. 6.18. Übertragung ellipsoidischer Koordinaten: Bessel-Helmertsche Lösung

transformiert. Der Satz von Clairaut (6.64) lautet jetzt cos β sin α = const. und stellt sicher, dass die ellipoidischen Azimute unverändert bleiben, wenn das Ausgangsazimut α auf die Kugel übernommen wird. Die Beziehungen zwischen der ellipsoidischen Strecke S und der sphärischen Strecke σ sowie zwischen dem ellipsoidischen Längenunterschied λ und dem sphärischen Längenunterschied λ ergeben sich aus (6.63) entsprechenden Differentialformeln: dβ = cos α, dσ Aus der Kombination mit (6.63) folgt  dS = a 1 − e2 cos2 β dσ,

dλ sin α = . dσ cos β

dλ =

 1 − e2 cos2 β dλ .

(6.75)

(6.76)

Die bei der Lösung von (6.76) auftretenden elliptischen Integrale können durch Reihenentwicklung und anschließende gliedweise Integration oder numerische Integration gelöst werden. Da die Reihenentwicklungen durch die numerische Exzentrizität gesteuert werden, konvergieren sie sehr rasch. Nach Abbildung auf die Kugel wird dort die Koordinatenübertragung mit geschlossenen Formeln der sphärischen Trigonometrie vorgenommen, für die Rückübertragung der Ergebnisse auf das Ellipsoid lassen

226

6 Auswertemethoden

sich die inversen Abbildungsformeln benutzen. Mit diesem Ansatz sind Berechnungen rund um den Globus mit mm-Genauigkeit möglich (Klotz 1993). Numerische Methoden beruhen entweder auf einer Polynom-Approximation des Integrals und anschließender Integration (Methoden von Newton, Gauß, Simpson u. a.), Schmidt (1999), oder auf numerischer Integration. Im letzteren Fall wird die geodätische Linie in kleine Elemente unterteilt, die nach den Differentialformeln (6.63) und (6.64) berechnet werden (Abb. 6.19). Dabei gewährleistet der Satz von Clairaut, dass die einzelnen Elemente die Richtung der geodätischen Linie beibehalten. Die Summation der Linienelemente liefert eine erste Annäherung an die Lösung. Nach Iteration mit kleineren Wegelementen und Vergleich mit der vorangegangenen Lösung kann schließlich eine vorgegebene Fehlergrenze eingehalten werden. Bei einer Unterteilung in 100 m-Abschnitte lässt sich so auch über eine Entfernung von 10 000 km sub-cm-Genauigkeit erreichen (Dorrer 1966, Kivioja 1971). a2 j = j2

P2

l = l2

l = l1 dS =S/n a1 P1

j = j1 N cos j sin a = const.

Abb. 6.19. Übertragung ellipsoidischer Koordinaten: Numerische Lösung

Die Inversion der Übertragungsformeln liefert Lösungen für das Umkehrproblem (Berechnung der Polarkoordinaten aus den geographischen Koordinaten), solche Lösungen stehen für die verschiedenen Ansätze zur Verfügung. Die für eine eventuelle Netzausgleichung in ellipsoidischen Koordinaten benötigten Differentialbeziehungen dα/dϕ, dα/dλ und dS/dϕ, dS/dλ lassen sich entweder aus dem dreidimensionalen Ansatz durch entsprechende Reduktion auf das Ellipsoid oder aus der Differentiation der Lösungen des Umkehrproblems herleiten (Wolf 1963b).

6.4

Höhenbestimmung

Genaue Höhenbestimmungen beruhen auf den relativen Verfahren des geometrischen Nivellements, der trigonometrischen Höhenübertragung mit Zenitwinkeln und der GPS-Positionierung. Das geometrische Nivellement liefert nach Anbringen kleiner Reduktionen Höhen, die im Schwerefeld definiert sind [6.4.1]. Aus Zenitwinkeln lassen sich nach Berücksichtigung des Schwerefeldeinflusses ellipsoidische Höhen ableiten [6.4.2]. Die Höhenbestimmung mit GPS liefert unmittelbar ellipsoidische Höhen,

6.4 Höhenbestimmung

227

sie können mit entsprechenden Reduktionen in schwerefeldbezogene Höhen überführt werden [6.4.3]. 6.4.1

Höhen aus dem geometrischen Nivellement

Das rohe Nivellementsergebnis δn ≈ dn kann mit Hilfe von Schwerewerten g längs der Nivellementslinie in Potentialdifferenzen transformiert werden, s. (5.113). Nach Anschluss an die Höhen-Nullfläche (Geoid, Quasigeoid) ergeben sich geopotentielle Koten (3.104):  p

C = W0 − Wp =

(6.77)

g dn. 0

Die Auswertung von (6.77) setzt grundsätzlich die Kenntnis der Schwere in jedem Nivellementsstandpunkt voraus, bei Feinnivellements würden also Schwerewerte im Abstand von 100 m oder weniger benötigt. Diese Bedingung lässt sich abschwächen, wenn für die Anteile des Nivellements und der Schwere am Potentialunterschied dieselbe Relativgenauigkeit gefordert wird: d(n) dg = . g n

(6.78)

Danach reicht es bei einer Nivellementsgenauigkeit von 0,1 mm aus, wenn die Schwere bei einem Höhenunterschied von n = 10 m mit einer Genauigkeit von ±100 μms−2 und bei n = 100 m mit ±10 μms−2 bestimmt wird. Die in (6.77) benötigten Schwerewerte lassen sich dann aus in größeren Abständen gemessenen Werten interpolieren, wobei im Flachland Stationsabstände von 5 bis 20 km ausreichen, im Hochgebirge sollte der Messpunktabstand auf 1 bis 2 km verringert werden. Schweremessungen sollten besonders auch an Punkten stattfinden, in denen größere Änderungen von einem linearen Schwereverlauf auftreten (Gefällwechsel, Richtungsänderung des Nivellements, Schwereanomalien). Grundlegende Höhennetze werden mit dem Verfahren des Feinnivellements in geschlossenen Schleifen vermessen, s. [7.2]. Die Höhen werden durch Ausgleichung von Potentialdifferenzen mit der Bedingung

dW = 0 (6.79) vorgenommen, s. [3.2.3]. Eine anschließende Transformation liefert metrische Höhen, s. [3.4.3]. " Der klassisch benutzte Ansatz besteht darin, die rohen Nivellementsergebnisse ( dn  = 0) in Höhendifferenzen des jeweiligen Höhensystems zu transformieren und diese auszugleichen. Dynamische Höhendifferenzen werden aus Differenzen von (3.105) gebildet: dyn

dyn

H1,2 = H2

dyn

− H1

dyn

= n1,2 + E1,2

(6.80a)

228

6 Auswertemethoden

mit der dynamischen Höhenreduktion dyn

E1,2 =

 1

2

g − γ045 γ045

dn.

(6.80b)

Zum Übergang auf orthometrische Höhen erweitern wir (3.106) um dynamische Höhen: dyn dyn dyn H1,2 = H2 − H1 = H1,2 + (H2 − H2 ) − (H1 − H1 ). Dies führt auf H1,2 = n1,2 + E1,2 mit der orthometrischen Höhenreduktion  2 g − γ045 g¯ 1 − γ045 g¯ 2 − γ045 E1,2 = dn + H − H2 . 1 γ045 γ045 γ045 1

(6.81a)

(6.81b)

Eine analoge Gleichung gilt für die Transformation des Nivellements in Normalhöhendifferenzen, dabei haben wir g¯ durch γ¯ und H durch H N zu ersetzen (3.107). Die Normalhöhenreduktion lautet dann  2 g − γ045 γ¯1 − γ045 N γ¯2 − γ045 N N E1,2 = dn + H1 − H2 . (6.81c) γ045 γ045 γ045 1 Die dynamische Höhenreduktion hängt vom Weg ab. Sie nimmt Werte zwischen wenigen mm (Flachland) und einigen cm bis dm (Gebirge) an. Diese Reduktion muss also in einem auf dynamischen Höhen beruhenden Höhensystem auch bei örtlichen Vermessungen angebracht werden. Die orthometrische und die Normalhöhen-Reduktion enthalten außer der dynamischen Reduktion zwei weitere Anteile mit den mittleren Schwerewerten im Anfangs- und Endpunkt der Nivellementslinie. Die drei Reduktionsterme heben sich gegenseitig weitgehend auf, so dass diese Reduktionen im Flachland kleiner als ein mm bleiben und im Gebirge nur wenige cm erreichen.

Die mittlere Normalschwere γ¯ berechnet sich in sphärischer Approximation aus (4.67) zu  HN . (6.82) γ¯ = γ0 1 − R Die Berechnung der aktuellen mittleren Schwere g¯ erfordert dagegen die Kenntnis von g entlang der Lotlinie zwischen dem Geoid und der Erdoberfläche. Für einen beliebigen Lotlinienpunkt P  in der Höhe H  gilt für die Schwere  H ∂g  dH, (6.83a) g =g−  ∂H H hierbei ist g die Oberflächenschwere in P . Der in (6.83a) auftretende aktuelle vertikale Schweregradient ergibt sich aus (3.71). Mit (4.60) für den Freiluftanteil und 2670 kg/m3 für die mittlere Dichte der Erdkruste erhalten wir g  = g + 0,848 × 10−6 (H − H  ) ms−2 .

(6.83b)

6.4 Höhenbestimmung

229

Einsetzen in (3.106) und Integration zwischen H  = 0 und H  = H /2 ergibt für g¯ die häufig benutzte Näherung g¯ = g + 0,424 × 10−6 H ms−2 .

(6.84)

Mit diesem Ansatz berechnete orthometrische Höhen werden auch als Helmert-Höhen bezeichnet. Wie in [6.5.3] gezeigt wird, lässt sich der zweite rechtsseitige Term in (6.84) als Reduktion der Oberflächenschwere auf die aktuelle Schwere in der Höhe H /2 interpretieren, wobei die Bouguerplatte als Modell für die Topographie dient. Der Einfluss von Modellfehlern bleibt bei diesem Ansatz im Flachland gering, im Gebirge werden jedoch verfeinerte Modelle (Berücksichtigung der aktuellen Topographie und Gesteinsdichten) notwendig.

6.4.2 Trigonometrische Höhen Mit beobachteten Zenitwinkeln lässt sich eine trigonometrische Höhenübertragung durchführen, falls die Refraktionseinflüsse hinreichend klein gehalten werden können, s. [5.5.1], Abb. 6.20. Der ellipsoidische Zenitwinkel ζ ergibt sich aus der beobachteten e2

z2´ s

e1

z1´ z1

d1

d2

z2

P2

s h2

P1 S

h1

R

y

R

0

Abb. 6.20. Trigonometrische Höhenübertragung

Größe z zu ζ = z + δ + ε = z + ε.

(6.85)

Hierbei ist δ der Refraktionswinkel (5.11) und ε die Lotabweichungskomponente im Azimut der Visurlinie (6.18). Die Jordansche Höhenformel liefert den ellipsoidischen Höhenunterschied  hm S2 h1,2 = h2 − h1 = S 1 + . (6.86) cot ζ1 + R 2R sin2 ζ1

230

6 Auswertemethoden

S ist die Länge des ellipsoidischen Normalschnitts, R der Krümmungsradius (4.18) und hm = 21 (h1 + h2 ) die mittlere Höhe. Vorteilhaft ist die Verwendung gegenseitiger Zenitwinkel. Mit dem Zentriwinkel S = ζ1 + ζ2 − π (6.87) ψ= R wenden wir den Tangenssatz auf das Dreieck P1 OP2 an (Abb. 6.20). In Verbindung mit (6.85) ergibt sich die Höhendifferenz zu  1 S2 hm tan ((z2 + δ2 + ε2 ) − (z1 + δ1 + ε1 )). (6.88) + h1,2 = S 1 + R 12R 2 2 Hier erscheinen nur noch Unterschiede von δ und ε. Bei simultanen Beobachtungen sind symmetrische atmosphärische Verhältnisse zu erwarten, s. [5.5.1], so dass bei gleichzeitig-gegenseitigen Zenitwinkelmessungen Refraktionseinflüsse zum großen Teil herausfallen (Kuntz und Schmitt 1995). Mit dieser Methode lässt sich auch der Refraktionskoeffizient bestimmen. Aus (5.11), (6.85) und (6.87) folgt bei Vernachlässigung der Lotabweichungen k =1−

R  (z + z2 − π ). S 1

(6.89)

C. F. Gauß hat auf diese Weise bei der hannoverschen Gradmessung einen Mittelwert k = 0,13 ± 0,04 erhalten, spätere trigonometrische Höhenmessungen bestätigten diesen Wert für Visuren mit größeren Bodenabständen, in Bodennähe kann k jedoch Werte zwischen −1 und +1 annehmen. In einer Ausgleichung eines trigonometrischen Höhennetzes können eventuell verbesserte Werte für k dadurch erhalten werden, dass je Station oder je Visurlinie individuelle Refraktionskoefizienten als Unbekannte eingeführt werden, ferner lassen sich gemessene meteorologische Parameter zur Berechnung von k heranziehen, s. [5.1.2], [5.5.1]. Trotz solcher Verfeinerungen begrenzen die Refraktionsunsicherheiten jedoch die Genauigkeit der trigonometrischen Höhenübertragung über größere Strecken erheblich. Während über Entfernungen von einigen km sich bestenfalls noch cm-Genauigkeit erreichen lässt, treten bei größeren Seitenlängen Fehler in der dm-Größenordnung auf.

Beim trigonometrischen Nivellement werden durch Verkürzung der Zielweiten auf 100 bis 300 m die Fehler der trigonometrischen Höhenübertragung wesentlich reduziert (Rueger und Brunner 1982). Zenitwinkel und Distanzen werden bei diesem Verfahren mit einer Totalstation, s. [5.5.2], durch Messung „aus der Mitte“ (Analogie zum geometrischen Nivellement, s. [5.5.3]), zu zwei Reflektoren bestimmt, oder es werden gegenseitig-gleichzeitige Beobachtungen mit Hilfe von zwei mit Reflektoren bestückten Totalstationen ausgeführt. Wegen der kürzeren Zielweiten und der genähert parallel zum Erdboden verlaufenden Visurlinien bleiben die Refraktionsfehler klein und folgen über längere Strecken einer günstigeren Fehlerfortpflanzung (Genauigkeit ±1 bis 2 mm/km). Wie beim geometrischen Nivellement lässt sich auch bei diesem Verfahren die Leistungsfähigkeit durch eine motorisierte Prozedur steigern. Das trigonometrische Nivellement kann als geometrisches Nivellement mit geneigten Visuren aufgefasst werden, seine Ergebnisse stellen damit auch eine gute Annäherung an nivellitisch bestimmte Höhenunterschiede dar.

6.4 Höhenbestimmung

231

Die trigonometrische Höhenbestimmung über große Entfernungen spielte beim Aufbau klassischer geodätischer Dreiecksnetze eine wichtige Rolle, da so in einer Messkampagne neben den Lagebestimmungsgrößen auch Höhen zur Reduktion dieser Größen auf das Ellipsoid und für die spätere topographische Aufnahme bestimmt werden konnten. Heute ist das Verfahren auf spezielle Anwendungen beschränkt, etwa auf die Höhenbestimmung unzugänglicher Punkte. Das trigonometrische Nivellement ist dagegen erfolgreich bei der Vermessung großräumiger Höhennetze eingesetzt worden.

6.4.3

Höhenbestimmung mit GPS

Das Global Positioning System (GPS), s. [5.2.5], liefert globale kartesische Koordinaten mit hoher Genauigkeit, diese lassen sich leicht in ellipsoidische Koordinaten umformen, s. (4.28), Dodson (1995). Mit Differentialverfahren können ellipsoidische Höhenunterschiede bei längeren Beobachtungszeiten (etwa 24 Stunden) auch über Distanzen von 100 km und mehr mit cm-Genauigkeit bestimmt werden, über kurze ¨ Distanzen ist sogar mm-Genauigkeit erreichbar (Gorres und Campbell 1998). Die GPS-Höhenbestimmung lässt sich also zur Unterstützung des zeitaufwendigen geometrischen Nivellements heranziehen, bei Punktabständen > 10 km kann sie dieses sogar ersetzen. Voraussetzung hierfür ist, dass die ellipsoidischen Höhenunterschiede ohne wesentlichen Genauigkeitsabfall in Unterschiede von Normalhöhen oder orthometrischen Höhen überführbar sind. Für diese Reduktion werden nach (6.46) die zugehörigen Quasigeoid- bzw. Geoiddifferenzen benötigt: H N = h − ζ,

H = h − N.

(6.90)

Globale Quasigeoid- oder Geoidmodelle weisen heute Relativgenauigkeiten von einigen Dezimetern auf, regionale Modelle erreichen teilweise cm- bis dm-Genauigkeit, s. [6.6], [6.7]. Die Nutzung solcher Modelle erfordert, dass die Modellfläche mit der Nullfläche des jeweiligen Höhensystems identisch ist, s. [3.4.3]. Dies lässt sich durch Anpassung mit Hilfe von Stützpunkten erreichen, in denen GPS-Höhen und nivellierte Höhen vorliegen. In Anlehnung an die Kollokation nach kleinsten Quadraten, s. [6.8.2], können die in den Stützpunkten auftretenden Widersprüche wie folgt modelliert werden (Denker et al. 2000): hGPS − H N − ζmod = t + s + n.

(6.91a)

Hierbei beschreibt t eine Trendkomponente, s ist ein stochastischer Signalanteil, und n repräsentiert die Zufallsfehler sämtlicher beteiligter Größen (GPS, Nivellement, Geopotentialmodell). Eine einfache Trendfunktion kann nach (6.41) aus einer räumlichen Verschiebung bestehen: t = cos ϕ cos λX + cos ϕ sin λY + sin ϕZ.

(6.91b)

Ein gleichwertiger Ansatz besteht in der Änderung der ellipsoidischen Koordinaten eines Ausgangspunktes, was einer vertikalen Verschiebung und Neigungen in NSund OW-Richtung entspricht. Der Signalanteil lässt sich bei einer genügend großen

232

6 Auswertemethoden

Zahl von Stützpunkten aus einer empirischen Kovarianzfunktion der trendbefreiten Restklaffungen bestimmen und z. B. durch eine Exponentialfunktion modellieren, s. [6.1.3]. Bei alleiniger Benutzung einer Trendfunktion lassen sich in gut vermessenen Gebieten die Restklaffungen zwischen einem regionalen Geoid- oder Quasigeoidmodell und GPS/NivellementsStützpunkten auch über Distanzen von einigen 1 000 km auf wenige cm reduzieren (Torge und Denker 1999). Wird auch ein Signalanteil berücksichtigt, so kann über einige 100 bis 1 000 km sogar cm-Genauigkeit erreicht werden, dies entspricht der Genauigkeit klassischer Nivellementsnetze (Denker 1998). Bei lokalen Anwendungen (Ausdehnung von einigen 10 km) können auf das Schwerefeld bezogene Höhen auch aus einer rein mathematischen Interpolation zwischen den GPS/Nivellements-Stützpunkten bestimmt werden, etwa mit Hilfe von Flächenpolynomen niederer Ordnung ¨ oder Splines (Illner und Jager 1995). Bei dichtem Stützpunktfeld und glattem Schwereverlauf lässt sich damit cm-Genauigkeit erreichen. In rauher Topographie nimmt die Interpolationsgenauigkeit rasch ab, so dass eine topographische Reduktion notwendig wird, s. [6.5.3].

Mit zunehmender Verbesserung der Quasigeoid- und Geoidmodelle wird das „GPSNivellement“ weiter an Bedeutung zunehmen.

6.5

Grundlagen der Schwerefeldmodellierung

Die Schwerefeldmodellierung ist Teil der geodätischen Randwertaufgabe [6.5.1]. Bei der Lösung dieser Aufgabe spielt die Topographie eine wichtige Rolle [6.5.2]. Schwerereduktionen dienen zur Reduktion der gemessenen Schwerefeldgrößen auf das Geoid und die anschließende Geoidberechnung, die mit unterschiedlichen Reduktionsansätzen berechneten Schwereanomalien werden außerdem auch zur Schwerefeldinterpolation und zur geophysikalischen Interpretation herangezogen [6.5.3]. Während die Orientierung des gravimetrisch bestimmten Geoids eindeutig gegeben ist, bleibt der Maßstab unbestimmt und muss durch Streckenmessungen festgelegt werden [6.5.4].

6.5.1

Die geodätische Randwertaufgabe

Die geodätische Randwertaufgabe umfasst die Bestimmung der physischen Erdoberfläche und des äußeren Schwerefeldes aus Messungen auf oder in der Nähe der Erdoberfläche (Sanso` und Rummel 1997). Hierbei kann entweder das Geoid (Stokes’ Problem) oder die physische Erdoberfläche (Molodenkis Problem) als unbekannte Randfläche eingeführt werden. Die geodätische Randwertaufgabe lässt sich auf der Grundlage von Greens dritter Identität (auch Greensche Fundamentalformel der Potentialtheorie, z. B. Sigl 1973, S. 94) und der erweiterten Laplaceschen Differentialgleichung (3.49) als nichtlineare Integralgleichung 2. Art für das Schwerepotential W formulieren (Molodenski

6.5 Grundlagen der Schwerefeldmodellierung

1958, Molodenski et al. 1962):    1 ∂ 1 ∂W W dS −2πW + − ∂nS l l ∂nS S  dv = 0. + 2πω2 (X 2 + Y 2 ) + 2ω2 l

233

(6.92)

v

Hierbei ist nS die äußere Flächennormale zur Randfläche S, v das von der Fläche S umschlossene Volumen und ω die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation. l bezeichnet den Abstand zwischen dem Quellpunkt (auf der Randfläche oder im Erdinnern) und dem Aufpunkt. Sind W und ∂W/∂nS auf S bekannt, so bleibt die Geometrie der Randfläche die alleinige Unbekannte des Problems. Nach der Bestimmung von S liefert dann die Potentialfortsetzung nach außen das äußere Schwerefeld. Die Randwertaufgabe wird durch Approximation der Randfläche durch das Telluroid (für die physische Erdoberfläche) bzw. das Ellipsoid (für das Geoid) und des Schwerepotentials W durch das Normalschwerepotential U linearisiert, s. [6.1.1]. Da der Zentrifugalanteil des Potentials gut bekannt ist, geht (6.92) in folgende Integralgleichung für das Störpotential T über:    1 ∂ 1 ∂T T d. (6.93) − −2πT + ∂n l l ∂n 

Die Integration erstreckt sich jetzt über das bekannte Telluroid . Da die Flächennormale n von der Richtung der Lotlinie abweicht, hängt ∂T /∂n nicht nur vom Betrag der Schwereanomalie, sondern auch von der Lotabweichung und der Geländeneigung ab, s. [6.7.2]. Bei Anwendung auf das Geoid als Randfläche reduziert sich diese Abhängigkeit auf die Schwereanomalie. Anstelle der Integralgleichung (6.93) kann die geodätische Randwertaufgabe auch durch die Laplacesche Differentialgleichung (6.2) formuliert werden: T = 0.

(6.94)

Die an der Erdoberfläche gemessenen bzw. die auf das Geoid reduzierten residualen Schwerefeldgrößen gehen dann als Randwerte in die Lösung von (6.94) ein. Die global hauptsächlich verfügbaren „Beobachtungen“ sind die Höhenanomalien bzw. die Geoidhöhen und die Schwereanomalien, Lotabweichungen und Komponenten des Schweregradienten spielen dagegen bisher nur lokal eine Rolle. Wir entwickeln das Normalschwerepotential U im Telluroidpunkt Q nach Taylor:  ∂U UP = UQ + ζP + · · · (6.95a) ∂ n¯ Q mit n¯ = Flächennormale zu U = UQ und der Normalschwere  ∂U γQ = − . ∂ n¯ Q

(6.95b)

234

6 Auswertemethoden

Einsetzen von (6.95) in (6.1) ergibt die Höhenanomalie ζP =

TP − (WP − UQ ) . γQ

(6.96a)

Mit der Bedingung (6.6) erhalten wir das Theorem von Bruns: ζP =

TP . γQ

(6.96b)

Bei Anwendung auf das Geoid ergibt sich die Geoidhöhe N=

T − (W0 − U0 ) . γ0

(6.97a)

Mit der Bedingung U0 = W0 lautet das Brunssche Theorem nun N=

T . γ0

(6.97b)

T bezieht sich hierbei auf das Geoid, und γ0 ist die Normalschwere auf dem Ellipsoid (4.41). Die Lotabweichung ist die Horizontalableitung von ζ bzw. N , s. Abb. 6.21. Aus MERIDIAN

ERSTER VERTIKAL

x

h dz

dz

x P

h P

(M + h)dj

(N + h)cosj dl

Abb. 6.21. Lotabweichungskomponenten und Höhenanomalie

(6.96) bzw. (6.97) ergeben sich die Komponenten in Richtung des Meridians und des ersten Vertikals, s. [6.1.2]: ξ =−

∂T 1 , γ (M + h) ∂ϕ

η=−

1 ∂T , γ (N + h) cos ϕ ∂λ

(6.98a)

wobei die ellipsoidischen Bogenelemente (4.20) entnommen sind. Die negativen Vorzeichen folgen aus den Vorzeichenkonventionen für das Quasigeoid bzw. Geoid und die Lotabweichung, s. (6.40). In sphärischer Näherung erhalten wir ξ =−

1 ∂T , γ r ∂ϕ

η=−

1 ∂T . γ r cos ϕ ∂λ

Die Schwerestörung (6.11) ergibt sich als Normalenableitung von T zu    ∂W ∂T ∂U δgP = gP − γP = − − − =− , ∂n P ∂ n¯ P ∂n P

(6.98b)

(6.99)

6.5 Grundlagen der Schwerefeldmodellierung

235

wobei wir wiederum die Lotabweichung vernachlässigt haben. Wir entwickeln γP im Telluroidpunkt Q:  ∂γ γP = γQ + ξP + · · · . (6.100) ∂ n¯ Q Einsetzen in (6.99) ergibt unter Berücksichtigung von (6.96b) die Schwereanomalie   ∂T 1 ∂γ + TP . (6.101a) gP = gP − γQ = − ∂n P γQ ∂ n¯ Q Mit der sphärischen Näherung, s. [4.2.2], ∂γ ∂γ γ = = −2 ∂ n¯ ∂r r erhalten wir

2 ∂T − T. (6.101b) ∂r r Die Gleichungen (6.97), (6.98) und (6.99) bzw. (6.101) stellen Randbedingungen für die Lösung der Laplaceschen Differentialgleichung dar. Wegen der besonderen Bedeutung von (6.101) wird diese partielle Differentialgleichung erster Ordnung in T auch als Fundamentalgleichung der physikalischen Geodäsie bezeichnet. Die hochauflösende Schwerefeldmodellierung hoher Präzision (z. B. eine Geoidbestimmung mit cm-Genauigkeit) erfordert einige Verfeinerungen in der Formulierung und Lösung der geodätischen Randwertaufgabe (Moritz 1974). Hierzu gehört einmal der Übergang von der sphärischen zur ellipsoidischen Approximation durch Potentialentwicklung in ellipsoidischen Funktionen oder Anbringen ellipsoidischer Korrektionen (Wang 1999). Ferner ist die Atmosphärenmasse durch eine entsprechende Reduktion zu berücksichtigen, s. [4.3], und die Topographie muss durch eine Geländekorrektion geglättet werden, s. [6.5.3]. g = −

Die geodätische Randwertaufgabe ähnelt dem dritten Randwertproblem der Potentialtheorie, welches die Bestimmung einer harmonischen Funktion aus der auf einer Randfläche gegebenen linearen Kombination dieser Funktion und ihrer Normalenableitung zum Ziel hat. Sie unterscheidet sich jedoch von dieser klassischen Aufgabe dadurch, dass die Randfläche als unbekannt angenommen wird: Freie Randwertaufgabe. Darüber hinaus stellen die gemessenen Schweregrößen keine Normalenableitungen zur physischen Erdoberfläche dar, sondern beziehen sich auf die Lotrichtung: Freies und schiefes Randwertproblem (Grafarend und Niemeier 1971). Da die horizontalen Komponenten des Positionsvektors aus Schweredaten sich jedoch nicht mit hinreichender Genauigkeit bestimmen lassen, s. [6.2.1], wird der geometrische Teil der Randwertaufgabe i. Allg. auf die Höhenbestimmung beschränkt: Skalares freies geodätisches Randwertproblem (Heck 1997). Mit dem raschen Fortschritt der satellitengestützten Positionsbestimmung kann in zunehmendem Maße angenommen werden, dass die Geometrie der Erdoberfläche mit wachsender Genauigkeit bekannt ist; das äußere Schwerefeld bleibt dann die einzige Unbekannte der geodätischen Randwertaufgabe. Unter dieser Voraussetzung lässt sich ein festes Randwertproblem formulieren, welches Schwerestörungen als Randwerte benutzt (Koch und Pope 1972). Diese

236

6 Auswertemethoden

Aufgabe entspricht dem zweiten (Neumann) Randwertproblem der Potentialtheorie, d. h. der Bestimmung einer harmonischen Funktion aus ihren auf einer Randfläche gegebenen Ableitungen. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass altimetrische Geoidhöhen und Schwereanomalien die wichtigsten globalen Datensätze für eine hochauflösende Schwerefeldbestimmung sind, lässt sich auch ein gemischtes altimetrisch-gravimetrisches Randwertproblem formulieren (Martinec 1998).

6.5.2

Gravitation der Topographie

Der kurzwellige Anteil des Erdschwerefeldes wird von der Gravitation der topographischen Massen beherrscht. Durch Reduktion dieses Einflusses lässt sich eine wesentliche Glättung des Schwerefeldes erreichen, was die Feldinterpolation und Transformation erleichtert. Eine besondere Rolle spielt die Topographie auch bei der Geoidbestimmung, bei der durch Entfernen der topographischen Massen eine Randfläche im Schwerefeld erzeugt wird. Die Wirkung der topographischen Massen auf die unterschiedlichen Schwerefeldgrößen berechnet sich aus dem Gravitationsgesetz. Die entsprechende Auswertung von (3.10) bzw. der für andere Feldgrößen geltenden Integrale gestaltet sich jedoch schwierig, da die Topographie eine unregelmäßige Geometrie (Höhen) besitzt und die Gesteinsdichte nicht konstant ist. Die topographischen Massen werden deshalb in Elementarkörper zerlegt, für die geschlossene Lösungen der Integrale existieren. Besonders geeignet hierfür sind rechtwinklige Quader konstanter Dichte, da digitale Geländemodelle in dieser Form gespeichert werden. Auf den Aufpunkt bezogene vertikale Zylindersäulen wurden in der Vergangenheit häufig benutzt. In einem System dreidimensionaler kartesischer Koordinaten berechnet sich das Gravitationspotential der Topographie zu  Vtop = Gρ v

dv = Gρ l

x2y2z2

1 dx dy dz l

(6.102)

x1 y1 z1

 mit l = x 2 + y 2 + z2 . Die Wirkung der Topographie auf die Lotabweichung, die Schwerestörung und die Schwereanomalie ergibt sich hieraus durch Differentiation entsprechend (6.98), (6.99) und (6.101). Wird über einen rechtwinkligen Quader integriert, so erhalten wir geschlossene Formeln für das Potential und seine Ableitungen (Nagy et al. 2000). So ergibt sich etwa die vertikale Komponente der Gravitation für einen im Ursprung des x, y, z-Systems gelagerten Aufpunkt zu (Abb. 6.22) # # # ### ### xy ##x2 ##y2 ##z2 # # # . (6.103) bz = Gρ ###x ln(y + l) + y ln(x + l) − z arctan zl #x1 #y1 #z1 Die gesamte Wirkung der Topographie berechnet sich aus der Summation der Gravitation der einzelnen Elementarkörper: δgtop = bz .

(6.104)

6.5 Grundlagen der Schwerefeldmodellierung

237

z

z2

r = const. z1 x1

x2

x

P y1 y2 y

Abb. 6.22. Gravitation der Topographie: Rechtwinklige Quader

Sind die Höhen in einem regelmäßigen Gitter gegeben, so lässt sich der Einfluss der Topographie besonders wirtschaftlich mit FFT (Fast Fourier Transform)-Techniken berechnen (Schwarz et al. 1990). Digitale Höhenmodelle (auch digitale Geländemodelle DGM) stehen heute global und in vielen Gebieten auch regional zur Verfügung. Sie sind bisher aus digitalisierten topographischen und bathymetrischen Karten abgeleitet worden. In zunehmendem Maße werden Raumtechniken zur Entwicklung insbesondere von globalen Geländemodellen eingesetzt. So dient die SatellitenRadaraltimetrie zur Höhenbestimmung der Eiskappen in Grönland und in der Antarktis, wegen der Korrelation zwischen der Meeresoberfläche und dem Meeresboden liefert sie auch bathymetrische Information (Smith und Sandwell 1994). Das von Satelliten oder Flugzeugen aus eingesetzte interferometric synthetic aperture radar (INSAR) trägt wesentlich zur Entwicklung hochauflösender digitaler Geländemodelle bei (Nielsen et al. 1998). Zu den globalen Geländemodellen zählen das ETOPO5 (5 × 5 -Gitterwerte für Land- und Meeresboden-Höhen) und das GLOBE (global land one-kilometer base elevation) des NOAA National Geophysical Data Center. GLOBE wird als 30 × 30 -Gitter bereitgestellt, die von der Datenqualität abhängige Genauigkeit variiert zwischen ±20 m und einigen 100 m (Hastings et al. 2000). Die NASA/NIMA Shuttle Radar Topography Mission (SRTM, Februar 2000) sammelte einen globalen (zwischen ±60◦ Breite) INSAR-Datensatz, aus dem ein digitales Geländemodell mit einer mittleren Auflösung von 30 m und einer Genauigkeit von ±10 bis 20 m entwickelt wird (Koch et al. 2002). Regionale Geländemodelle liegen mit Auflösungen bis zu einer Bogensekunde für viele Länder vor (Washausen 1992). Bei großräumigen Aufgabenstellungen wird für die Dichte der topographischen Massen i. Allg. ein mittlerer Wert von 2 670 kg/m3 (Dichte von Granit) eingeführt. Lokal werden häufig verfeinerte Dichtemodelle benutzt, wobei die Dichtewerte aus geologischen Daten, aus Gesteinsproben und aus Schwereprofilen (Ausnutzung der dichteabhängigen Korrelation zwischen Schwere und Höhe: Nettleton-Verfahren) abgeschätzt werden (Torge 1989a). Aus globalen digitalen Geländemodellen lassen sich auch Kugelfunktionsmodelle der Topographie ableiten. Sie dienen u.a. zur Entwicklung topographisch-isostatischer Modelle, s. [8.2.2], und für die Prädiktion von mittleren Schwereanomalien in nicht genügend dicht vermessenen Gebieten, s. [6.5.3].

238

6 Auswertemethoden

6.5.3

Schwerereduktionen auf das Geoid

Soll das Geoid als Randfläche im Schwerefeld bestimmt werden, so sind die topographischen Massen zu entfernen und die Schwerefeldbeobachtungen auf das Geoid zu reduzieren (im Folgenden werden nur die Schwerewerte betrachtet, zur Reduktion von Lotabweichungen siehe [6.7.4]). Dies geschieht durch Schwerereduktionen, als Ergebnis liegen Schwereanomalien auf dem Geoid vor. In Abhängigkeit von der Art der Verlagerung der topographischen Massen ergeben sich verschiedene Typen von Schwereanomalien. Dabei pflanzen sich die Unsicherheiten des Topographiemodells (Höhen- und Dichtefehler) in die Geoidberechnung hinein fort. Hierauf muss u. a. bei der Berechnung orthometrischer Höhen (3.106) durch Verwendung desselben Topographiemodells Rücksicht genommen werden.

Durch die Verlagerung der topographischen Massen wird das Schwerefeld der Erde und damit auch der Potentialwert des Geoids verändert: Indirekter Effekt der Schwerereduktionen. Die Niveaufläche, die nach der Massenverschiebung das Geoidpotential besitzt, wird als Cogeoid bezeichnet (Martinec 1998). Die folgenden Schritte lassen sich bei der Geoidberechnung unterscheiden (Abb. 6.23): • Reduktion des direkten Effekts der Topographie auf die Schwere und, falls erforderlich, Hinzufügen des direkten Effekts der verlagerten Massen, die entsprechenden Berechnungen basieren auf dem Gravitationsgesetz, s. [6.5.2]. • Berechnung des durch die Verlagerung der topographischen Massen verursachten primären indirekten Effekts auf das Potential, wobei die gewählte Art der Verlagerung (Kompensation) maßgeblich ist: δV = Vtop − VC

(6.105)

mit Vtop = Potential der Topographie und VC = Potential der Kompensationsmassen. • Berechnung des vertikalen Abstandes zwischen dem Geoid und dem Cogeoid entsprechend (6.97b): δV . (6.106) δN = γ • Reduktion der Schwerewerte vom Geoid zum Cogeoid: Sekundärer indirekter Effekt. Hierbei reicht die Freiluftreduktion in sphärischer Näherung (6.101) aus: γ δgC = 2 δN. r

(6.107)

• Berechnung der Höhen NC des Cogeoids über dem Ellipsoid, s. [6.6], [6.7]. • Berechnung der Geoidhöhen nach N = NC + δN.

(6.108)

6.5 Grundlagen der Schwerefeldmodellierung

239

TOPOGRAPHIE dN N

GEOID COGEOID

NC ELLIPSOID

KOMPENSATIONSMASSEN

Abb. 6.23. Geoid und Cogeoid

Grundsätzlich lässt sich nach diesem Schema jede Art von Schwerereduktion zur Geoidberechnung benutzen. Um aufwendige und fehleranfällige Berechnungen zu vermeiden, sollte der indirekte Effekt jedoch klein bleiben. Weitere Kriterien für die Auswahl der Schwerereduktion sind der glatte Verlauf der resultierenden Schwereanomalien (erleichtert die Interpolation) und ihre geophysikalische Bedeutung (Schwerefeldinterpretation). Unter diesen Gesichtspunkten unterscheiden wir zwischen der Wirkung der homogenen Topographie, dem Einfluss von Dichteanomalien in der Topographie und der Erdkruste und dem Effekt von isostatischen Kompensationsmassen, s. [8.2.2]. Im Allgemeinen wird die Freiluftanomalie zur Geoidberechnung benutzt, wobei unterstellt wird, dass sich außerhalb des Geoids keine Massen befinden. Hierbei wird mit der Freiluftreduktion ∂g H (6.109) δgF = − ∂H (H = orthometrische Höhe) die Oberflächenschwere auf das Geoid reduziert, die einfache Freiluftanomalie ergibt sich dann zu gF = g + δgF − γ0 .

(6.110)

Nach (6.109) erfordert die Reduktion auf das Geoid die Kenntnis des aktuellen vertikalen Schweregradienten. Die Aufspaltung des Gradienten in einen normalen und einen anomalen Anteil ergibt ∂g ∂γ ∂(g) = + . (6.111) ∂H ∂H ∂H Der aktuelle Gradient kann vom Normalschweregradienten um 10% oder mehr abweichen, letzterer lässt sich mit (4.61) berechnen. Die Bestimmung des anomalen Anteils entspricht der Fortsetzung einer harmonischen Funktion in den Innenraum. Sie kann als Lösung des ersten (Dirichlet) Randwertproblems der Potentialtheorie mit Hilfe des Poisson-Integrals formuliert und durch Integration über die Oberflächen-Schwereanomalien gelöst werden. Falls die Schwereanomalie linear von der Höhe abhängt, entspricht der anomale Gradient der Geländekorrektion (Moritz 1980, S. 421), siehe unten. Wegen der in (6.110) getroffenen Annahmen ist er auch

240

6 Auswertemethoden

gleich dem direkten Effekt der topographischen und der verlagerten Massen auf die Schwere. Eine diskrete Lösung dieses Problems wurde von Bjerhammar (1985) unter Berücksichtigung der Tatsache gegeben, dass die Schwerewerte nur punktweise auf der Erdoberfläche vorliegen. Hierbei werden sämtliche gemessenen Schwerewerte berücksichtigt und fehlende Werte interpoliert, die Lösung ist bis zu einer dicht unterhalb der Erdoberfläche liegenden inneren Kugel (Bjerhammar-Kugel) harmonisch, s. [3.3.2]. Die Freiluftanomalie auf dem Geoid sollte klar von der an der Erdoberfläche definierten Freiluftanomalie (6.15) unterschieden werden, welche den normalen Schweregradienten zur Reduktion verwendet.

Die Geländekorrektion beseitigt die Unregelmäßigkeiten der Topographie und stellt eine (ebene oder sphärische) Platte konstanter Mächtigkeit und Dichte her: Bouguerplatte. Dies geschieht durch Auffüllen der Massendefizite unterhalb des Aufpunkts P und Abtragen der oberhalb von P liegenden Massen (Abb. 6.24).

P

GELÄNDEKORREKTION

GELÄNDEKORREKTION ¥

H

¥

HP

BOUGUER PLATTE r = const. GEOID

Abb. 6.24. Bouguerplatte und Geländekorrektion

In ebener Näherung entsteht dabei eine unendlich weit ausgedehnte horizontale Platte. Da die Schwere in P sowohl durch den Auftrag als auch durch den Abtrag der Massen vergrößert wird, ist die Geländekorrektion hierbei stets positiv. Sie lässt sich mit Hilfe eines digitalen Geländemodells, s. [6.5.2], berechnen und erreicht im Flachland Werte von 1 bis 10 μms−2 , im Gebirge kann sie mehrere 100 μms−2 annehmen. Aus (6.102) folgt für die Geländekorrektion  ∞  ∞  z=H z − HP dx dy dz. (6.112a) δgT = Gρ l3 −∞ −∞ z=HP Bei kleinen Geländeneigungen kann die Distanz l = (x − xP )2 + (y − yP )2 + (z − zP )2 durch

l0 = (x − xP )2 + (y − yP )2

approximiert werden. Die lineare Näherung für die Geländekorrektion lautet dann  ∞ ∞ (H − HP )2 1 δgT = Gρ dx dy, (6.112b) 2 l03 −∞ −∞

6.5 Grundlagen der Schwerefeldmodellierung

241

wobei H bzw. HP die orthometrischen Höhen des Geländes bzw. des Aufpunktes sind (Forsberg und Tscherning 1997). Wird die Geländekorrektion in (6.110) eingeführt, so ergibt sich die geländekorrigierte Freiluftanomalie, die auch als Faye-Anomalie bezeichnet wird. Die geforderte Verlagerung der topographischen Massen entspricht nun einer Kondensation der Bouguerplatte auf dem Geoid (Helmerts Kondensationsmethode). Dabei ersetzt die Flächendichte (dS = Flächenelement) μ=

dm dv =ρ = ρH dS dS

(6.113)

die Volumendichte ρ, wobei die Höhe der Topographie berücksichtigt wird. Da die topographischen Massen nur geringe Verschiebungen erfahren, bleibt der indirekte Effekt der Freiluft- und der Kondensations-Reduktion klein. Er kann bei der Berechnung absoluter Geoidhöhen einige Meter erreichen, in Geoiddifferenzen wirkt er sich jedoch nur in der cm- bis dm-Größenordnung aus. Da der höhenabhängige Einfluss der topographischen Massen nicht beseitigt wurde, sind die Freiluftanomalien stark mit der Punkthöhe korreliert. PunktFreiluftanomalien eignen sich deshalb nicht zur Interpolation, sie können auch nicht geophysikalisch interpretiert werden. In begrenzten Bereichen kann die Höhenabhängigkeit i. Allg. durch eine lineare Regression beschrieben werden, diese Glättung des Anomalienfeldes entspricht der Bouguerschen Plattenreduktion (siehe unten).

Wird die vollständige Wirkung der topographischen Massen durch die topographische Reduktion δgtop beseitigt, so erhalten wir die Bouguersche Schwereanomalie (Bougueranomalie) gB . Nach Beseitigung der Topographie wird die Oberflächenschwere mit der Freiluftreduktion auf das Geoid reduziert und mit der Normalschwere γ0 verglichen: (6.114) gB = g − δgtop + δgF − γ0 . Die topographische Reduktion lässt sich wiederum mit Hilfe digitaler Geländemodelle berechnen, s. [6.5.2]. Die topographische Reduktion wird häufig in die (leicht berechenbare) Bouguersche Plattenreduktion δgP und die Geländekorrektion δgT aufgeteilt. Die Bouguersche Plattenreduktion berücksichtigt die Gravitation einer unendlich ausgedehnten horizontalen Platte konstanter Dichte, ihre Mächtigkeit ist durch die Höhe des Aufpunktes festgelegt. Die Anziehung der Bouguerplatte lässt sich aus der Gravitationswirkung eines Kreiszylinders auf einen auf der Zylinderachse liegenden Punkt herleiten (Militzer und Weber 1984). Geht der Zylinderradius gegen unendlich, so ergibt sich δgP = 2πGρH = 0,000 419ρH μms−2 ,

(6.115)

wobei ρ in kg/m3 und H in m gezählt ist. Die Geländekorrektion δgT reduziert die aktuelle Topographie auf die Bouguerplatte (siehe oben). Die Bougueranomalie lautet bei dieser Aufteilung der topographischen Reduktion: δgB = g − δgP + δgT + δgF − γ0 .

(6.116)

242

6 Auswertemethoden

Bei großräumigen Anwendungen (z. B. bei nationalen gravimetrischen Aufnahmen) wird häufig eine sphärische Bouguerplatte und eine entsprechende Geländekorrektion benutzt. Die Berechnung wird dabei meist auf einen (konventionellen) Radius von 170 km um den Aufpunkt ausgedehnt, und es wird der konventionelle Dichtewert 2 670 kg/m3 eingeführt. Da der höhenabhängige Einfluss der Topographie reduziert ist, zeigen die Bougueranomalien einen glatten Verlauf mit nur längerwelligen Variationen, sie lassen sich deshalb gut interpolieren. Wegen des in den Bougueranomalien sichtbaren Einflusses von Dichteanomalien unterhalb des Geoids besitzen sie eine besondere Bedeutung in Geophysik und Geologie, s. [8.2.4]. Andererseits ist wegen der vollständigen Reduktion der topographischen Massen und des Verzichts auf die Anordnung von Kompensationsmassen (die topographischen Massen werden also in das Unendliche verschoben!) der indirekte Effekt sehr groß (einige 100 m). Bougueranomalien werden deshalb nicht zur Geoidbestimmung benutzt.

Das Bouguerplatten-Modell erlaubt eine einfache Berechnung der in der orthometrischen Höhe H benötigten mittleren Schwere g¯ längs der Lotlinie (3.106), (6.81). Unter der Annahme einer linearen Schwereänderung findet sich g¯ in der Höhe H /2. Die mittlere Schwere lässt sich also aus der Oberflächenschwere dadurch herleiten, dass zunächst eine Bouguerplatte der Mächtigkeit H /2 entfernt und eine Freiluftreduktion von H auf H /2 angebracht wird. Anschließend wird die Bouguerplatte oberhalb H /2 wieder hergestellt. Reduktion und Restauration der Bouguerplatte wirken sich in der Schwere (Oberflächenwert bzw. Wert in H /2) jeweils negativ aus, so dass sich die mittlere Schwere nach g¯ = g − δgP (H ) + δgF (H /2)

(6.117)

berechnet. Mit (6.115) und (6.109) sowie der Dichte 2 670 kg/m3 ergibt sich Übereinstimmung mit (6.84). Aus (6.117) folgt auch eine nützliche Interpretation der Differenz zwischen Geoidund Quasigeoidhöhe bzw. zwischen Normalhöhe und orthometrischer Höhe. Wird die analog zu (6.117) berechnete mittlere Normalschwere γ¯ = γ0 − δgF (H /2)

(6.118)

von g¯ abgezogen, so zeigt sich, dass die in (6.9) auftretende mittlere Schwereanomalie der Bougueranomalie (Geländekorrektion vernachlässigt) entspricht: g¯ − γ¯ = g − δgP (H ) + δgF (H ) − γ0 = gB .

(6.119)

Damit wird eine einfache Transformation vom Quasigeoid zum Geoid möglich, s. [6.7.2]. Bei den isostatischen Anomalien wird die gravitative Wirkung der Topographie ebenfalls abgezogen, es werden jedoch anschließend unter Annahme eines isostatischen Modells Kompensationsmassen in der Erdkruste unterhalb des Geoids angeordnet. Die neue Massenverteilung entspricht einer regularisierten Kruste mit konstanter Mächtigkeit und Dichte, s. [8.2.2]. Die Gravitation der Kompensationsmassen wird durch eine isostatische Reduktion δgI berücksichtigt, sie wird auf der Grundlage des

6.5 Grundlagen der Schwerefeldmodellierung

243

isostatischen Modells nach [6.5.2] berechnet. Die isostatische Anomalie ergibt sich demnach zu (6.120) gI = g − δgtop + δgI + δgF − γ0 . Der überwiegende Teil der Topographie ist isostatisch kompensiert. Isostatische Anomalien sind deshalb klein und variieren langwellig um den Wert Null. Ausnahmen bilden unkompensierte Gebiete etwa an den tektonischen Plattengrenzen oder in Bereichen postglazialer Landhebung. Isostatische Anomalien eignen sich deshalb i. Allg. zur Schwerefeldprädiktion, für die geophysikalisch-geologische Interpretation sind sie ebenfalls von erheblicher Bedeutung, s. [8.2.4]. Da die Kompensationsmassen weiter von der Topographie angeordnet werden als bei der Freiluftanomalie (siehe oben) ist der indirekte Effekt jedoch größer, er kann Werte von 10 m und mehr erreichen. Isostatische Anomalien werden deshalb nur selten zur Geoidberechnung benutzt.

6.5.4

Lagerung und Maßstab von Schwerefeldmodellen

Bei der Kugelfunktionsentwicklung des Störpotentials bzw. des Quasigeoids und des Geoids wurden folgende Annahmen getroffen, s. [6.1.1], [6.5.1]: • Das Niveauellipsoid und die Erde besitzen dieselbe Masse: MEll = M.

(6.121)

In der Kugelfunktionsentwicklung (6.4) tritt demnach kein Glied nullten Grades T0 auf. • Der Figurenmittelpunkt des Ellipsoids und der Erdschwerpunkt (Ursprung des globalen Koordinatensystems) fallen zusammen, in (6.4) entfallen die Glieder ersten Grades, s. auch [3.3.4]. • Das Normalschwerepotential U und das aktuelle Schwerepotential W sind durch die Forderung UQ = WP (6.122a) verbunden. Dies entspricht der Bedingung U0 = W0

(6.122b)

zwischen den Potentialwerten des Niveauellipsoids und des Geoids. Die Schwereanomalien werden durch einen Kugelfunktionsterm ersten Grades nicht beeinflusst, da die entsprechende Entwicklung (6.135) den Faktor (l − 1) enthält. Das Ellipsoid darf also geozentrisch gelagert werden, ohne das Schwerefeld zu verändern: Die gravimetrische Methode liefert „absolute“ Ergebnisse. Wegen restlicher Unsicherheiten in der Bestimmung der Masse und des Potentials der Erde lassen wir nun kleine Differenzen zwischen den tatsächlichen Geoidwerten und den entsprechenden Ellipsoidwerten zu: δM = M − MEll ,

δW = W0 − U0 .

(6.123)

244

6 Auswertemethoden

Die Kugelfunktionsentwicklung für T muss dann um T0 =

GδM R

(6.124)

erweitert werden, und die Brunssche Formel ist um diesen Term und die Potentialdifferenz zu erweitern: δW GδM N0 = − . (6.125) γR γ In sphärischer Näherung entspricht die Konstante N0 einer Maßstabsänderung des Geoids. Die Kugelfunktionsentwicklung der Schwereanomalie (6.135) ist nach (6.101) folgendermaßen zu erweitern (Moritz und Heiskanen 1967, S. 100 ff.): g0 = −

2 GδM T0 2 + δW = − 2 + δW. R R R R

(6.126)

Unter der üblichen Annahme der Massen- und Potentialgleichheit liefert die gravimetrische Lösung des Randwertproblems also Resultate, die sich auf ein bestmöglich angepasstes Ellipsoid beziehen, wobei der Äquatorradius („Maßstab“) um N0 unbekannt bleibt. Der Geoidanteil nullten Grades N0 lässt sich durch einen Vergleich der gravimetrisch berechneten Geoidhöhen mit geometrisch ermittelten Geoidwerten bestimmen, letztere ergeben sich aus der Differenz von Strecken, die sich entweder auf das Geoid oder auf das Ellipsoid beziehen. Die wichtigsten Datensätze hierfür werden von der Satellitenaltimetrie (Ozeane) und dem GPS-Nivellement (Kontinente) bereitgestellt (Jekeli 1998), Abb. 6.25. Die Geoidhöhe ergibt sich aus diesen Satellitentechniken P

H hsat Ngrav Nsat N0

BESTANSCHLIESSENDES ELLIPSOID U = W0 GEOID W = W0 BEZUGSELLIPSOID

Abb. 6.25. Gravimetrisches Geoid und geodätisches Bezugsellipsoid

zu Nsat = hsat − H,

(6.127)

wobei hsat die ellipsoidische Höhe des Altimeters oder die GPS-Höhe bezeichnet und H die Höhe des Altimeters über dem Geoid (Ergebnis der Altimetermessung) oder die orthometrische Höhe (aus dem Nivellement abgeleitet) ist. Der Geoidterm nullten Grades folgt dann aus N0 = Nsat − Ngrav . (6.128)

6.6 Globale Schwerefeldmodellierung

245

Hieraus lässt sich die große Halbachse des bestanschließenden Ellipsoids bestimmen, auf das sich die gravimetrischen Geoidhöhen beziehen: agrav = asat + N0 .

(6.129)

Im Allgemeinen sind die Ellipsoidparameter Teil eines international eingeführten geodätischen Bezugssystems, s. [4.3], sie werden deshalb beibehalten. Die gravimetrisch bestimmten Geoidhöhen werden dann so korrigiert, dass sie sich auf dieses Bezugsellipsoid (z. B. das GRS 80-Ellipsoid) beziehen: Nref = Nsat = Ngrav + N0 .

(6.130)

Bei der klassischen Vorgehensweise wurden bestanschließende Ellipsoide durch Vergleich von auf dem Geoid gemessenen (oder darauf reduzierten) mit auf dem Ellipsoid berechneten Strecken bestimmt, s. [7.1.2]. Die Trennung der Anteile δM und δW ist grundsätzlich mit (6.125), (6.126) unter der Bedingung g0 = 0 (6.19) möglich. Die immer noch ungenügende globale Überdeckung mit Schwerewerten verhindert jedoch diesen Ansatz. Andererseits ist die geozentrische Gravitationskonstante GM heute mit hoher Genauigkeit aus der Bahnanalyse von Raumsonden und hochfliegenden Satelliten bekannt (Groten 2000). Damit kann nach Bestimmung von N0 auch das Geoidpotential aus (6.125) hergeleitet werden. So wurde aus TOPEX/Poseidon-Altimeterdaten der Äquatorradius eines das zero-tide Geoid, s. [3.4.1], bestmöglich approximierenden Ellipsoids zu 6 378 136,49 ± 0,1 m abgeleitet (Rapp 1995c).

6.6

Globale Schwerefeldmodellierung

Eine globale Schwerefeldmodellierung wird bei großräumigen Fragestellungen wie der Bahnberechnung künstlicher Erdsatelliten, der Inertialnavigation und der Entwicklung geophysikalischer und geodynamischer Modelle notwendig. Insbesondere wird auch das Geoid für die Einrichtung eines globalen Höhenbezugssystems und zur Bestimmung der Meeresflächentopographie benötigt. Schließlich liefern globale Modelle den bei lokalen Feldapproximationen benötigten langwelligen Anteil des Schwerefeldes, s. [6.7]. Globale Schwerefeldmodelle basieren auf der Kugelfunktionsentwicklung des Schwerefeldes [6.6.1]. Dabei wird der langwellige Anteil dieser Entwicklung aus der Analyse von Satellitenbahnen abgeleitet [6.6.2]. Entwicklungen höheren Grades ergeben sich aus einer Kombination dieser langwelligen Modelle mit den Ergebnissen der terrestrischen Gravimetrie und der Satellitenaltimetrie [6.6.3], Bouman (1997), Rapp (1998). 6.6.1

Kugelfunktionsentwicklung

Die Gleichungen (6.3) bis (6.5) stellen die Kugelfunktionsentwicklung für das Störpotential T bereit. Diese Entwicklung wird fast ausschließlich für die globale Schwerefeldmodellierung benutzt, das Modell wird also durch die Kugelfunktionskoeffizienten

246

6 Auswertemethoden

repräsentiert. Die zwischen T und anderen relevanten Schwerefeldgrößen bestehenden funktionalen Beziehungen, s. [6.5.1], erlauben es, auch die Höhenanomalie, die Geoidhöhe, die Schwereanomalie und andere Größen nach Kugelfunktionen zu entwickeln, dabei werden i. Allg. die vollständig normierten Kugelfunktionen benutzt, s. [3.3.2]. Wir setzen (6.4) in Bruns’ Theorem (6.96b) ein und erhalten die Kugelfunktionsentwicklung der Höhenanomalie: ζ (r, ϑ, λ) =

∞  l GM  a l  (C¯ lm cos mλ + S¯lm sin mλ)P¯lm (cos ϑ). (6.131) rγ r l=2

m=0

Die vollständig normierten Kugelfunktionen und Koeffizienten sind durch Überstreichen kenntlich gemacht. Gleichung (6.97b) liefert die entsprechende Entwicklung für die Geoidhöhe. Diese lässt sich unter Berücksichtigung von (6.9) auch aus (6.131) herleiten: gB H. (6.132) N (r, ϑ, λ) = ζ (r, ϑ, λ) + γ¯ Differentiation von (6.4) nach r ergibt die Kugelfunktionsentwicklung der Schwerestörung (6.99):  l+1 ∞ 1 ∂T a δg = − = (l + 1) Tl (ϑ, λ). (6.133) ∂r r r l=2

Nach Einsetzen von (6.4) und (6.133) in (6.101b) lautet die Entwicklung für die Schwereanomalie  l+1 ∞ a 1 g(r, ϑ, λ) = (l − 1) Tl (ϑ, λ). (6.134) r r l=2

Wird Tl durch die ausführliche Schreibweise (6.5) ersetzt, so ergibt sich  l  ∞ l a GM  (l − 1) (C¯ lm cos mλ + S¯lm sin mλ)P¯lm (cos ϑ). r2 r m=0 l=2 (6.135) Vergleichen wir die verkürzte Form g(r, ϑ, λ) =

g(r, ϑ, λ) =

∞  l+1  a l=2

r

gl (ϑ, λ)

(6.136)

mit (6.134), so folgt die Beziehung zwischen den Kugelflächenfunktionen von T und g: l−1 Tl (ϑ, λ). (6.137) gl (ϑ, λ) = r Kugelfunktionsentwicklungen können auch für die Lotabweichungen und höhere Ableitungen von T hergeleitet werden (Wenzel 1985). Da terrestrische Daten dieserArt jedoch nur begrenzt

6.6 Globale Schwerefeldmodellierung

247

vorliegen, sind solche Entwicklungen von geringerer Bedeutung. Ein wesentlicher Beitrag zur Schwerefeldmodellierung ist dagegen von den bei neuen Raummissionen mit Schweregradiometern anfallenden zweiten Ableitungen von T zu erwarten (Rummel et al. 1993).

Mit Hilfe von (6.131) bis (6.135) können die Kugelfunktionskoeffizienten aus den „Beobachtungen“ durch Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet werden, s. [6.6.2], [6.6.3]. Die Koeffizienten lassen sich auch durch Integration über die Beobachtungen bestimmen. Unter Berücksichtigung der Orthogonalitätsbeziehungen und der vollständigen Normierung liefert die Inversion von (6.131) und (6.135), Jekeli (1998):   l    1 r C¯ lm ¯lm (cos ϑ) cos mλ dσ = rγ N P sin mλ S¯lm 4πGM a



(6.138a)

σ

und   l     1 r r2 C¯ lm ¯lm (cos ϑ) cos mλ dσ. = g P sin mλ S¯lm 4πGM l−1 a

(6.138b)

σ

Die Integration erstreckt sich über die Einheitskugel σ . Im Gegensatz zurAusgleichung kann mit diesem Ansatz nur jeweils eine Art von Schwerefelddaten zur Berechnung der Koeffizienten herangezogen werden. Die global vorliegenden Schwerefeld-Datensätze überdecken die Erde nicht gleichmäßig, sie sind außerdem unterschiedlich in Bezug auf ihre räumliche Auflösung. Bei der globalen Schwerefeldmodellierung werden deshalb über größere Flächenkompartimente (Blöcke) gebildete mittlere Geoidhöhen und Schwereanomalien benutzt, wobei die Blöcke i. Allg. durch Meridiane und Parallelkreise begrenzt sind. Die Mittelwerte berechnen sich nach   1 1 N¯ = N dσ, g¯ = g dσ. (6.139) σ σ σ

σ

Die Blockgröße σ richtet sich nach der Datenverteilung, s. [6.6.3]. Die maximal √ erreichbare Schwerefeldauflösung ergibt sich aus σ , was einem Maximalgrad der Kugelfunktionsentwicklung lmax = 180◦ /Auflösung◦ entspricht, s. [3.3.3]. Durch die Einführung von Mittelwerten wird das Schwerefeld lokal geglättet, die Berechnung führt dementsprechend auch zu geglätteten Kugelfunktionskoeffizienten. Diese Glättung wird durch Einführen von Dämpfungsfaktoren (≤ 1) berücksichtigt, welche vom Entwicklungsgrad und der Kompartimentsgröße abhängen. Der Abbruch der Kugelfunktionsentwicklung beim Grad lmax bewirkt einen Vernachlässigungsfehler (omission error), der durch die nicht berücksichtigten höheren Anteile des Schwerefeldes verursacht wird. Dieser Fehler lässt sich aus den Gradvarianzen des jeweiligen Schwerefeldparameters abschätzen. Entsprechende Gradvarianzmodelle liegen für die Schwereanomalien vor, siehe (6.27). Sie basieren auf der

248

6 Auswertemethoden

Kovarianzfunktion der Schwereanomalien (6.25), können aber auch aus den Laplaceschen Kugelflächenfunktionen gl (6.26) hergeleitet werden. In sphärischer Näherung (r = a = R) liefert (6.137):  GM (C¯ lm cos mλ + S¯lm sin mλ)P¯lm (cos ϑ). gl = 2 (l − 1) R l

(6.140)

m=0

Einsetzen von (6.140) in (6.26) ergibt die Anomaliegradvarianzen als Funktion der Kugelfunktionskoeffizienten:  σl2 (g) =

GM R2

2 (l − 1)2

l 

2 2 (C¯ lm + S¯lm ).

(6.141)

m=0

Diese Beziehung eignet sich besonders zur Berechnung der niederen Gradvarianzen aus den durch Satellitenbahnanalysen gewonnenen Kugelfunktionskoeffizienten. Mit Hilfe der funktionalen Zusammenhänge zwischen den Schwerefeldparametern, s. [6.5.1], lassen sich auch die Gradvarianzen für Geoidhöhen, Lotabweichungen und Potentialableitungen höherer Ordnung berechnen (Tscherning und Rapp 1974, Tscherning 1976). Mit γ = GM/r 2 erhalten wir aus einem Vergleich zwischen (6.131) und (6.135) die Geoid-Gradvarianz  σl2 (N ) =

R γ (l − 1)

2 σl2 (g).

(6.142)

Abb. 6.26 enthält dieVernachlässigungsfehler für Geoidhöhen, Schwereanomalien und VERNACHLÄSSIGUNGSFEHLER (m, 10-5ms-2, BOGENSEK) 100 Dg 10

e

1

N, z

0.1

0.01 0.001 2

10 20 50

200

lmax 1000 5000 10000 50000

Abb. 6.26. Vernachlässigungsfehler für Geoidhöhen (Höhenanomalien), Lotabweichungen und Schwereanomalien (Gradvarianzmodell Tscherning und Rapp 1974)

6.6 Globale Schwerefeldmodellierung

249

Lotabweichungen. Sie betragen bei dem heute üblichen Entwicklungsgrad l = 360 ± 0,23 m, ±253 μms−2 und ±3,8 . Eine Entwicklung bis l = 7 200 (entsprechend einer räumlichen Auflösung von 2,8 km) würde diese Fehler auf ±0,002 m, ±27 μms−2 und ±0,4 verkleinern. 6.6.2

Schwerefeldmodelle niederen Grades

Schwerefeldmodelle niederen Grades werden zur Berechnung präziser Satellitenbahnen, zur Positionsbestimmung von Satelliten-Trackingstationen und zur langwelligen Geoidbestimmung benötigt. Sie werden hauptsächlich aus Satelliten-Trackingdaten abgeleitet, wobei die Abweichungen der aktuellen Satellitenbahn von einer vorausberechneten Referenzbahn analysiert werden, s. [5.2.2]. „Satellite-only“-Modelle verwerten ausschließlich Trackingdaten. Teilweise sind sie zur Bahnberechnung eines speziellen Satelliten entwickelt worden, den Beobachtungen zu diesem Satelliten kommt dabei besonderes Gewicht zu („tailored models“). Die „Störfunktion“ des Gravitationspotentials (5.33) verursacht Änderungen der Keplerschen Bahnelemente mit der Zeit. Die Modellierung des Gravitationspotentials durch eine Kugelfunktionsentwicklung führt die Kugelfunktionskoeffizienten als Unbekannte in die Beobachtungsgleichungen der Satellitengeodäsie ein, s. [6.2.1]. Um das Gravitationsfeld bis zu einem bestimmten Entwicklungsgrad aufzulösen, werden Satelliten in verschiedenen Höhen und mit unterschiedlichen Bahnneigungen benötigt, vorausgesetzt wird ferner eine gute globale Verteilung der Trackingstationen und eine genügend lange Beobachtungszeit. Die Abschwächung des Schwerefeldes mit der Höhe und die mit wachsendem Grad kleiner werdenden Werte der Kugelfunktionskoeffizienten begrenzen in Verbindung mit der nicht optimalen Verteilung der Satellitenbahnen und der Bodenstationen die Auflösung der „Satellite-only“-Modelle. Mit den zur Zeit verfügbaren Satelliten (Höhen von 800 km und mehr) konnten Entwicklungen bis zum Kugelfunktionsgrad 70 und mehr ausgeführt werden. Dieser Bereich wird sich durch Satellite-to-Satellite Tracking und Satellitenschweregradiometrie bei Bahnhöhen von etwa 300 km bis zum Grad 150 bis 200 erweitern lassen (Rummel 1979). Wir betrachten jetzt den Einfluss des Gravitationsfeldes auf die Satellitenbahn im Einzelnen, wobei wir zwischen säkularen (zeitlich linear), langperiodischen (einige Tage bis Monate) und kurzperiodischen (Perioden kleiner als ein Tag oder ein Satellitenumlauf) Störungen unterscheiden (Kaula 1966, Seeber 2003). Der Zusammenhang zwischen den Störungen der Bahnelemente und den Kugelfunktionskoeffizienten ergibt sich nach Transformation der in (3.89) auftretenden Kugelkoordinaten in Keplerelemente durch Ableitung der Störfunktion nach diesen Elementen und Einsetzen in (5.35). Zur Bestimmung der säkularen und langperiodischen Störungen wird die Integration über lange Bögen (einige Tage) ausgedehnt. Dabei entfallen kurzperiodische Störungen mit Perioden von einem Umlauf oder mehreren Umläufen. Bei längeren Integrationsintervallen verringert sich auch der Einfluss der Koordinaten der Trackingstationen, so dass diese sogar als bekannt eingeführt werden können. Integration über

250

6 Auswertemethoden

einen Satellitenumlauf ergibt dann den folgenden Zusammenhang zwischen den Variationen der Bahnelemente und den zonalen Koeffizienten niederen Grades: ⎫  2 ae ⎪ ⎪ ⎪  = −3π cos i J2 + · · · ⎪ ⎪ p¯ ⎪ ⎪ ⎪  2  ⎪ ⎪ 5 2 ae ⎪ ⎪ ⎪ 1 − sin i J2 + · · · ω = 6π ⎬ p¯ 4 (6.143)  3  ⎪ 5 2 ae ⎪ 2 ⎪ 1 − sin i sin i cos ω J3 + · · ·⎪ e = −3π(1 − e ) ⎪ ⎪ p¯ 4 ⎪ ⎪ ⎪  2  ⎪ ⎪ 5 2 ae ⎪ ⎪ ⎭ 1 − sin i cos i cos ω eJ3 + · · · i = 3π p¯ 4 mit p¯ = a(1 − e2 ) und ae = große Halbachse des Erdellipsoids. J2 und die höheren zonalen Koeffizienten verursachen demnach säkulare Störungen in  und ω. Für i < 90◦ nimmt  mit der Zeit ab (westliche Regression der Knotenlinie). Die Änderung in ω entspricht einer Rotation der Bahnellipse in der Bahnebene (vgl. Abb. 5.5). Diese Drehung ruft langperiodische Störungen in den Größen e und i hervor, da diese von ω abhängen. Die geraden Zonalen lassen sich deshalb besonders gut aus den Änderungen in  und ω bestimmen, während die ungeraden Zonalen sich aus i und e ergeben. Werden die berechneten Störungen zu den Bahnelementen der Ausgangsepoche addiert, so erhält man die Bahnelemente einer speziellen Epoche als Funktion der zonalen Kugelfunktionskoeffizienten. Wie bereits oben festgestellt, hängen die Koeffizienten besonders von der Bahneigung, aber auch von der großen Halbachse und der Exzentrizität ab. Die tesseralen Koeffizienten sind für kurzperiodische Störungen mit kleinen Amplituden (einige 100 m) verantwortlich, besonders in den Elementen i, , ω. Sie lassen sich bei dichter Beobachtungsfolge aus kurzen Bahnbögen bestimmen, wobei wetterunabhängige Mikrowellenmessungen besonders geeignet sind. Einige tesserale Koeffizienten höheren Grades und höherer Ordnung können aus Resonanzeffekten abgeleitet werden, die nach Tagen bis Wochen dann auftreten, wenn das Verhältnis zwischen der mittleren Winkelgeschwindigkeit des Satelliten zur Rotationsgeschwindigkeit der Erde eine ganze Zahl ist; dies führt bei wiederholten Bahnen zu einer Vergrößerung der Bahnstörung. Neuere „Satellite-only“-Modelle nutzen mehrere Millionen von Trackingdaten, in der Mehrzahl Laserentfernungsmessungen und Strecken sowie Streckenänderungen aus Mikrowellenmessungen. Optische Richtungsmessungen werden weiterhin einbezogen und tragen zur Stabilisierung der Lösungen bei. Neuerdings fließen auch die Ergebnisse von im Satelliten mitgeführten Positionierungssystemen wie GPS in die Berechnungen ein. Benutzt werden meist mehr als 30 verschiedene Satelliten mit Flughöhen zwischen 800 und 20 000 km und Bahnneigungen zwischen 40◦ und 110◦ .

In der Anfangszeit der Satellitengeodäsie zwangen Beschränkungen in den Rechenmöglichkeiten zur getrennten Berechnung der zonalen, tesseralen und resonanten Terme. Heute werden i. Allg. sämtliche Kugelfunktionskoeffizienten gemeinsam in einer

6.6 Globale Schwerefeldmodellierung

251

strengen Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate zusammen mit den Koordinaten der Trackingstationen und Parametern für die ozeanischen Gezeiten, die Polbewegung und die Erdrotation berechnet. Zum Teil werden auch die horizontalen Stationsgeschwindigkeiten und die zeitlichen Veränderungen der Koeffizienten niederen Grades in die Ausgleichung einbezogen (Bouman 1997). Bei diesen komplexen Ausgleichungen stellt die Gewichtung der heterogenen Daten und die Modellierung systematischer Effekte ein besonderes Problem dar. Da die Genauigkeitsschätzungen aus der Ausgleichung i. Allg. zu optimistisch sind, werden die berechneten Standardabweichungen oft „skaliert“, etwa mit einem Vergrößerungsfaktor von 5 (Schwintzer et al. 1997).

In vielen Fällen wird neben dem „Satellite-only“-Modell auch eine kombinierte Lösung bereitgestellt, in der die Ergebnisse der Satellitenaltimetrie und der terrestrischen Gravimetrie zur Verbesserung und Stabilisierung beitragen. Dabei werden in die Ausgleichung meist Mittelwerte über 1◦ × 1◦ -Blöcke als „Beobachtungen“ eingeführt, s. [6.6.3]. Die Beobachtungsgleichungen für die Satellitenaltimetrie ergeben sich aus (5.49) nach Einsetzen von (6.131) für die altimetrischen Geoidhöhen und Berücksichtigung der Meeresflächentopographie durch ein Kugelfunktionsmodell niederen Grades. Die Beobachtungsgleichung für die Schwereanomalien ist durch (6.135) gegeben. Die Normalgleichungen für diese Datensätze werden zu den Normalgleichungen des „Satellite-only“-Modells addiert (Rapp 1997). Tab. 6.1 enthält die in einer neueren Kombinationslösung berechneten Werte für die Kugelfunktionskoeffizienten niederen Grades und niederer Ordnung. Die relative Unsicherheit der aus Kugelfunktionsentwicklungen niederen Grades berechneten Koeffizienten nimmt mit steigendem Grad ab, von etwa 10−7 für l = 2 bis etwa 1 % für l = 10 und erreicht 100 % bei l = 30 bis 40 („Satellite-only“-Modelle) bzw. l = 65 bis 70 (Kombinationslösungen). Der langwellige Anteil des marinen Geoids weist eine Genauigkeit von ±0,8 m („Satellite-only“) bzw. ±0,25 m (Kombination) auf. Die Bahnen ausgewählter Satelliten (z. B. TOPEX/Poseidon, ERS-1) lassen sich mit diesen Modellen mit einer Genauigkeit von wenigen cm berechnen. Erste Schwerefeldinformationen aus dem Raum wurden von den Satelliten Sputnik I (1957) mit dem dynamischen Formfaktor J2 (Polabplattung) und Vanguard I (1958) mit dem Koeffizienten J3 (ungleiche Abplattung an Nord- und Südpol) geliefert. Die Smithsonian Astrophysical Observatory (SAO) Standard Earth I enthielt ein bis Grad und Ordnung 8 vollständiges Kugelfunktionsmodell. Zu den neueren Lösungen niederen Grades zählen das NASA Goddard Space Flight Center (GSFC) Erdmodell GEM T3 („Satellite-only“ und Kombination mit GEOS-3, Seasat und GEOSAT Altimetrie sowie 1◦ × 1◦ terrestrischen Schwereanomalien, vollständig bis Grad und Ordnung 50, mit den Koordinaten von etwa 400 Trackingstationen und Parametern für die ozeanischen Gezeiten, die Polbewegung und die Erdrotation, Lerch et al. 1994), das gemeinsame (GSFC, University of Texas, Ohio State University, CNES Frankreich) Schweremodell JGM-2S („Satellite-only“, vollständig bis Grad und Ordnung 70, Nerem et al. 1994) und das Modell JGM-3 (70, 70, nutzt auch DORIS- und GPS-Tracking, Tapley et al. 1996), das primär für die TOPEX/Poseidon-Mission entwickelt wurde. Die GRIM-Modelle (Geoforschungszentrum Potsdam and Groupe de Recherches de Géodésie Spatiale, Toulouse) enthalten ebenfalls

252

6 Auswertemethoden

„Satellite-only“- und Kombinationslösungen (GRIM5-S1: 99, 95, GRIM5-C1: 120, 120, Gruber et al. 2000). Tabelle 6.1. Vollständig normierte Kugelfunktionskoeffizienten (x106 ), GRIM4-C4 Modell (Schwintzer et al. 1997) l

m

2

0 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

3

4

5 6 7 8 9 10

6.6.3

C¯ lm −484,1656 2,4393 0,9573 2,0301 0,9050 0,7213 0,5402 −0,5353 0,3509 0,9910 −0,1883 0,0687 −0,1506 0,0906 0,0505 0,0282 0,0517

S¯lm −1,4000 0,2484 −0,6194 1,4143 −0,4735 0,6626 −0,2011 0,3088

Schwerefeldmodelle höheren Grades

Bei der Berechnung von Schwerefeldmodellen höheren Grades (höhere Auflösung als die in [6.6.2] behandelten Modelle) werden nur die Kugelfunktionskoeffizienten als Unbekannte eingeführt: Geopotentialmodelle. Grad und Ordnung dieser Entwicklungen hängen von der räumlichen Auflösung und der globalen Verteilung der einbezogenen Schwerefelddaten ab. Besondere Bedeutung kommt der hochauflösenden Bestimmung des Quasigeoids bzw. des Geoids zu, diese geometrischen Repräsentationen des Schwerepotentials werden für die Einrichtung eines globalen Höhendatums, s. [3.3], als Bezugsfläche für die Satellitenaltimetrie bei der Ableitung der Meeresflächentopographie, s. [3.4.2], und zur Transformation von GPS-Höhen in Normalhöhen oder orthometrische Höhen, s. [6.4.3], benötigt. Die Modelle kombinieren Schwerefeldmodelle niedrigen Grades mit terrestrischen Schwereanomalien und altimetrischen Geoidhöhen. Dabei werden folgende Daten benutzt:

6.6 Globale Schwerefeldmodellierung

253

• die Kugelfunktionskoeffizienten eines „Satellite-only“-Modells (gelegentlich auch eines Kombinationsmodells) mit der vollständigen Fehler-Varianz-Kovarianzmatrix, • mittlere Freiluftanomalien aus der terrestrischen Land- und Seegravimetrie, • mittlere Geoidhöhen aus der Satellitenaltimetrie; in manchen Lösungen werden die aus den Geoidhöhen abgeleiteten Schwereanomalien verwendet, wobei die entsprechende Feldtransformation entweder auf einer Integralformel, s. [6.7.1], oder auf der Kollokation nach kleinsten Quadraten, s. [6.8.2], beruht. Mittlere Freiluftanomalien werden aus Punktwerten gebildet, wie sie etwa im Bureau Gravimétrique International oder bei der U.S. National Imagery and Mapping Agency (NIMA) gesammelt werden. Zur Interpolation in Werte eines regelmäßigen Gitters eignet sich die Prädiktion nach kleinsten Quadraten, wobei Bougueranomalien als intermediäre Schwerefeldgrößen benutzt werden, s. [6.5.3]. Für den größten Teil der Erdoberfläche (etwa 80 %) liegen inzwischen auf Messungen basierende 1◦ × 1◦ -Mittelwerte vor , auf den Kontinenten sind für große Gebiete auch mittlere 30 × 30 -Mittelwerte abgeleitet worden. Erhebliche Lücken in der Schwereüberdeckung bestehen jedoch auf den Ozeanen und in der Antarktis. Die Genauigkeit der mittleren Anomalien beträgt etwa ±50 bis ±200 μms−2 (Kenyon 1998). Mittlere altimetrische Geoidhöhen werden nach Ausgleichung der Profilkreuzungs-Widersprüche und Berücksichtigung der Meeresflächentopographie (ozeanographisches Modell) aus den Satelliten-Altimetermessungen abgeleitet. Datensätze hoher Genauigkeit und Auflösung liegen aus den geodätischen GEOSAT- und ERS-Missionen vor, dabei wurden die Ozeane zwischen ±72◦ bzw. 82◦ Breite mit einem äquatorialen Punktabstand von 4 bzw. 8 km überdeckt. Mittlere Geoidhöhen und nach Inversion auch mittlere 30 × 30 Schwereanomalien wurden dabei aus Mittelwerten über kleinere Blöcke abgeleitet, s. [6.7.1]. Die Genauigkeit der altimetrischen Schwereanomalien beträgt etwa ±20 μms−2 , sie ist homogener als die der seegravimetrischen Daten. Nach Kombination der mittleren Anomalien aus der terrestrischen Gravimetrie und der Satellitenaltimetrie sind nur noch wenige Prozent der Erdoberfläche nicht mit gemessenen Werten überdeckt. Diese Datenlücken lassen sich entweder mit Hilfe eines Schweremodells niedrigen Grades oder mit isostatischen Anomalien füllen, die aus einem topographisch-isostatischen Modell berechnet werden (Pavlis und Rapp 1990).

Geopotentialmodelle hohen Grades werden entweder durch eine Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate oder durch Integralmethoden berechnet (Rapp 1998). In die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate werden prinzipiell sämtliche verfügbaren Daten eingeführt, als Ergebnis liegt der vollständige Satz der Kugelfunktionskoeffizienten (130 321 Koeffizienten bei l, m = 360,360; 3,24 Mill. Koeffizienten bei 1800, 1800) und die zugehörige Fehler-Varianz-Kovarianzmatrix vor. Rechentechnische Begrenzungen verhindern jedoch immer noch strenge Ausgleichungen dieser Art. Deshalb wurden sub-optimale Lösungen entwickelt, bei denen beispielsweise eine vollständige Datenüberdeckung in einem regelmäßigen Gitter und homogene und unkorrelierte Fehler eingeführt werden. Eine spezielle Anordnung der Normalgleichungsmatrix (Block-Diagonal-Technik) erlaubt dann eine wirtschaftliche

254

6 Auswertemethoden

Berechnung durch iterative Methoden (Wenzel 1985, Pavlis et al. 1996). Bei der Integralmethode werden die Kugelfunktionskoeffizienten durch Integration der Schwereanomalien über die Erdoberfläche berechnet. Da hierbei ein globaler und homogener Datensatz benötigt wird, müssen die altimetrischen Geoidhöhen in Schwereanomalien transformiert und die Datenlücken durch Modellwerte gefüllt werden. Nach Berechnung der Koeffizienten werden diese durch Ausgleichung mit den Koeffizienten eines Schweremodells niederen Grades kombiniert (Rapp und Pavlis 1990). Abb. 6.27 und 6.28 zeigen die aus einem neueren Geopotentialmodell abgeleiteten langwelligen Strukturen der Freiluftanomalien und des Geoids. Die Freiluftanomalien variieren ziemlich unregelmäßig um Null, doch lassen sich Korrelationen mit ausgedehnten Gebirgsketten (Anden, Rocky Mountains, Himalaya) erkennen. Zu den Hauptstrukturen des Geoids gehören die Maxima bei Neu-Guinea (+80 m), im Nordatlantik, im südwestlichen Indischen Ozean und in den Anden sowie die Minima bei Sri Lanka (−105 m), in der Antarktis, westlich von Kalifornien und nahe Puerto Rico.

210

240

270

300

330

-100

60

90

120

150

180 90

0.

0

0

30

0.

0.

-100

0

0

0. 0.

-30

0

0.

10

0.

-30

-200

-100 240

-100

210

270

300

330

60

-10

20

30

-90 180

30

-100

60

-60

0

100

180 90

0

30

60

90

120

150

-60 -90 180

Abb. 6.27. EGM96 Schwereanomalien, Kugelfunktionsentwicklung abgebrochen bei Grad und Ordnung 36, Isolinienintervall 100 μms−2 (Lemoine et al. 1998) Frühe Kugelfunktionsentwicklungen gehen auf Jeffreys (1941–1943), Zhongolovich (1952) und Uotila (1962) zurück. Die nur spärlich vorhandenen Schweredaten begrenzten diese Entwicklungen auf die niederen Grade. Kaula (1959) entwickelte unter Einschluss der aus Satellitenbahnanalysen gewonnenen Resultate ein bis Grad und Ordnung 8 vollständiges Geoidmodell (Rapp 1998). Neuere Geopotentialmodelle wie das Ohio State University (OSU) Modell OSU91 (Kombination des GEM-T2 36, 36-Modells mit 1◦ × 1◦ und 30 × 30 -Schwereanomalien aus terrestrischer Gravimetrie und Satellitenaltimetrie, Integralmethode, Rapp et al. 1991) und die Modelle des Geoforschungszentrums Potsdam GFZ96 (Kombination der GRIM-4 60, 60- und 72, 72-Modelle mit terrestrischen Anomalien und ERS-1 Geoidhöhen, iterative Ausgleichung, Gruber et al. 1997) stellen bis Grad und Ordnung 360 vollständige Entwicklungen dar.

6.7 Lokale Schwerefeldmodellierung 210

240

270

300

330

0

30

25

180 90

25 50

60

90

120

150

0.

-25

0.

-50

25

30

0.

0.

-25 210

240

270

0 -30

25

-25

-60 -50 -90 180

50

-100

-25

-30

60 30

-25

0

180 90

0.

0.

60

255

0. -25 300

330

-60

-50 0

30

60

90

120

150

-90 180

Abb. 6.28. EGM96 Geoidhöhen, Kugelfunktionsentwicklung abgebrochen bei Grad und Ordnung 36, Isolinienintervall 5 m (Lemoine et al. 1998)

Sehr umfangreiche Datensätze aus Satellitentracking, Schwereanomalien und Satellitenaltimetrie (GEOSAT, ERS-1 in den Polarregionen) werden in dem NASA/GSFC und NIMA „joint geopotential (360, 360) model“ EGM96 benutzt (Lemoine et al. 1998). Es basiert auf einem 70, 70-Kombinationsmodell (Ausgleichung unter Einschluss von Stationskoordinaten, Gezeitenparametern und einem 20, 20-Modell der Meeresflächentopographie) und 30 × 30 Schwereanomalien. Bis zu Grad und Ordnung 359 wurde eine Block- Diagonal-Lösung angewandt, die Koeffizienten des Grades 360 wurden durch Integration berechnet. Die Genauigkeit des EGM96-Geoids wird mit ±0,5 m (Ozeane) und ±1 m (Landbereiche) abgeschätzt. Heutige Rechentechniken erlauben auch die Berechnung von Kugelfunktionsmodellen noch höheren Grades. Global wird das mit dem ultra-hochauflösenden Modell GPM98 demonstriert, das durch Kombination des EGM96 mit 5 × 5 mittleren Schwereanomalien berechnet wurde (Integralformeln), Wenzel (1999). Dabei konnten die Anomalien für etwa 75 % der Erdoberfläche aus terrestrischer Gravimetrie und Satellitenaltimetrie abgeleitet werden, die Datenlücken wurden mit Mittelwerten für größere Blöcke gefüllt. In gut vermessenen Gebieten wird mit diesem Modell eine relative Geoid-Genauigkeit von wenigen cm erreicht, die Schwereanomalien besitzen eine Genauigkeit von einigen 10 μms−2 . Hochauflösende (Grad 360 bis 720) „tailored“ Geopotentialmodelle wurden für einige Regionen entwickelt, um dort das Schwerefeld besser zu approximieren. Dabei wird eine globale Kugelfunktionsentwicklung als Startmodell benutzt, und die Koeffizienten höheren Grades werden dann so modifiziert und erweitert, dass die Schweredaten der Region optimal reproduziert werden (Kearsley und Forsberg 1990).

6.7

Lokale Schwerefeldmodellierung

Die lokale Schwerefeldmodellierung ist insbesondere für die Berechnung von Geoidoder Quasigeoidhöhen hoher Genauigkeit notwendig, wie sie u.a. zur Reduktion von GPS-Höhen benötigt werden, s. [6.4.3]. Hierbei werden Schwerefeldgrößen punktweise mit Hilfe von Integralformeln berechnet, so dass eine beliebig hohe, nur von

256

6 Auswertemethoden

der Dichte und der Qualität der Daten abhängige Schwerefeldauflösung erreichbar ist (Sanso` und Rummel 1997). Die klassischen Lösungen verwenden Schwereanomalien als primären Datensatz und leiten daraus Geoidhöhen und auf das Geoid bezogene Lotabweichungen ab [6.7.1]. Bei der Berechnung der entsprechenden Oberflächengrößen wird die Reduktion auf das Geoid vermieden, das Quasigeoid spielt dabei eine besondere Rolle [6.7.2]. Ist das Schwerefeld auf dem Geoid oder der physischen Erdoberfläche bekannt, so lassen sich Schwerefeldgrößen im Außenraum durch eine entsprechende Feldfortsetzung berechnen [6.7.3]. Astronomisch bestimmte Lotabweichungen können in Differenzen von Geoid- bzw. Quasigeoidhöhen transformiert werden und gravimetrische Lösungen lokal unterstützen oder ersetzen [6.7.4). Die Kollokation nach kleinsten Quadraten stellt eine Alternative zu den Integralformeln dar, sie wird unter dem allgemeinen Begriff der „integrierten Geodäsie“ in [6.8.2] beschrieben. 6.7.1

Gravimetrische Geoidhöhen und Lotabweichungen

Wir formen die Kugelfunktionsentwicklung für das Störpotential (6.4) in ein Flächenintegral um. Nach Einsetzen von (6.137) in (6.3) lautet die Entwicklung  l+1 ∞  a r T (r, ϑ, λ) = gl (ϑ, λ). (6.144) l−1 r l=2

Wie aus der Potentialtheorie bekannt, lassen sich die Kugelflächenfunktionen gl durch Inversion von (6.136) als Flächenintegral aus den Schwereanomalien über die Einheitskugel σ berechnen:  2l + 1 gl = gPl (cos ψ) dσ (6.145) 4π σ

mit Pl (cos ψ) = Legendresche Polynome. Einsetzen in (6.144) ergibt das Störpotential auf dem Geoid in sphärischer Näherung:  R T (ϑ, λ) = S(ψ)g dσ. (6.146) 4π σ

Hierin lässt sich der Integralkern S(ψ) =

∞  2l + 1 l=2

l−1

Pl (cos ψ)

(6.147a)

in geschlossener Form ausdrücken (Stokes-Funktion): S(ψ) =

1 sin

ψ 2

ψ + 1 − 5 cos ψ − 6 sin − 3 cos ψ ln 2



ψ 2 ψ sin + sin . (6.147b) 2 2

6.7 Lokale Schwerefeldmodellierung

257

Diese Integralformel wurde von Stokes (1849) hergeleitet, sie wird als Stokessche Formel bezeichnet. Einsetzen von (6.146) in Bruns’Theorem (6.97b) liefert die Geoidhöhe  R S(ψ)g dσ, (6.148) N= 4πγm σ

wobei γm ein mittlerer Normalschwerewert über die Erdoberfläche ist. Stokes’ Formel kann auch als Lösung der Integralgleichung (6.93) hergeleitet werden, wenn diese auf das Geoid angewandt wird. Wird cm-Genauigkeit verlangt, so müssen in (6.148) ¨ ellipsoidische Korrektionen angebracht werden (Sunkel 1997). Die Stokes-Funktion S(ψ) wirkt in (6.146) und (6.148) als Gewichtsfunktion für die Schwereanomalien. Sie hängt vom sphärischen Abstand ψ zwischen dem Aufpunkt und dem Flächenelement dσ mit der Schwereanomalie g ab. S(ψ) nimmt mit wachsendem ψ zunächst ab und erreicht bei ψ = 39◦ eine erste Nullstelle, in der dann bis ψ = 180◦ auftretenden Schwingung nimmt die Funktion immer noch große Werte an (Abb. 6.29). Da S(ψ) für ψ = 0◦ unendlich wird, muss die Nachbarschaft des Aufpunktes gesondert behandelt werden. Der Einfluss dieser inneren Zone lässt sich in ebener Approximation (z. B. mit einem Integrationsradius si = 5 km) dadurch abschätzen, dass g in eine Taylor-Reihe entwickelt und dann punktweise integriert wird. In erster Näherung hängt der Einfluss der inneren Zone auf die Geoidhöhe von der Schwereanomalie im Aufpunkt ab: Ni =

si gP + · · · . γm

(6.149)

Die Komponenten der Lotabweichung ergeben sich durch Differentiation von T in NS- und OW-Richtung (6.98). Hierzu wird ψ in (6.146) durch die Kugelkoordinaten von Auf- und Quellpunkt ersetzt, die entsprechenden Beziehungen der sphärischen Trigonometrie können dem Poldreieck entnommen werden, s. Abb. 2.14. Die anschließende Ableitung nach Breite und Länge liefert nach Wiedereinführen von ψ:      dS(ψ) 1 ξ cos α g dσ, (6.150) = η 0 sin α 4πγm dψ σ

wobei α das Azimut des Großkreises vom Aufpunkt zum Quellpunkt ist. In dieser 1928 von Vening-Meinesz hergeleiteten Formel tritt als Integralkern die Vening-MeineszFunktion



  cos ψ2 1 − sin ψ2 dS ψ =− −3

 + 8 sin ψ − 6 cos dψ 2 sin ψ 2 sin2 ψ2 (6.151)    ψ 2 ψ + 3 sin ψ ln sin + sin 2 2 auf. Sie ist für ψ = 0◦ unendlich und fällt dann rasch ab, nach ψ = 50◦ bis 60◦ nimmt sie nur noch kleine Werte an (Abb. 6.30). Der Beitrag der inneren Zone hängt primär

258

6 Auswertemethoden

S (y), W(y) 8 6 4

dS(y)/dy

S (y)

30

2 117°

39° 0 -2

45° W(y)

90°

135°

180°

y

74.5°

10 -10 0°

45°

90°

135°

180°

y

-30 -50

Abb. 6.29. Ursprüngliche und modifizierte Stokes-Funktion

Abb. 6.30. Vening-Meinesz-Funktion

vom horizontalen Gradienten der Schwereanomalien ab:     si ∂(g)/∂x ξ =− + ··· . η i 2γm ∂(g)/∂y P

(6.152)

Die Formeln von Stokes und Vening-Meinesz erlauben die punktweise Berechnung von Geoidhöhen und Lotabweichungen durch Integration der auf dem Geoid gegebenen Schwereanomalien, s. [6.5.3]. Bei der Berechnung der Geoidhöhen ist wegen der Eigenschaften der Stokes-Funktion die globale Überdeckung mit Schwereanomalien notwendig. Bei der Lotabweichungsberechnung kann wegen der geringen Auswirkung der entfernteren Zonen dieser Effekt auch aus einem globalen Schwerefeldmodell abgeschätzt werden. Der Beitrag der inneren Zone zur Geoidhöhe beträgt i. Allg. nur wenige cm, er lässt sich in Abhängigkeit von der Geländerauhigkeit aus wenigen Schwerewerten im inneren Bereich berechnen. Bei der Lotabweichung ist der entsprechende Beitrag wesentlich größer, er kann im Gebirge einige Bogensekunden betragen. Um eine Genauigkeit von einer Bogensekunde zu erreichen, ist eine gravimetrische Engvermessung und/oder die Berechnung des Einflusses der Topographie notwendig. Praktisch werden die Integrale (6.148) und (6.150) durch Summation des Einflusses endlich großer Flächenelemente gelöst. Hierzu wird entweder aus den Messwerten durch Interpolation (z. B. Prädiktion nach kleinsten Quadraten oder Splines) ein gitterförmiger Satz von Punktanomalien gebildet, oder es werden Mittelwerte über von Meridianen und Parallelkreisen begrenzte Blöcke berechnet. Werden diese Mittelwerte in die Integrale eingeführt, so sind auch die Stokes- bzw. die Vening-Meinesz-Funktion über den Block zu integrieren. Nach Bereitstellung eines homogenen Anomalienfeldes ergeben sich sehr effiziente Lösungen im Spektralbereich. Die in (6.148) und (6.150) erforderliche Faltung geht dann in einfache Multiplikationen über, die Ergebnisse lassen sich mit der FFT-Technik leicht in den Raumbereich zurücktransformieren ¨ (Schwarz et al. 1990, Sunkel 1997).

6.7 Lokale Schwerefeldmodellierung

259

Punktschwereanomalien (in manchen Ländern auch nur mittlere Anomalien) werden in globalen Schweredatenbanken gesammelt und Nutzern zur Verfügung gestellt (U.S. National Imagery and Mapping Agency NIMA: etwa 30 Mill. Punktwerte, Bureau Gravimetrique International BGI: etwa 13 Mill. frei verfügbarer Werte, Abb. 6.31). Die Genauigkeit dieser durch Land-, See- und Fluggravimetrie bestimmten Punktanomalien variiert zwischen ±5 und ±50 μms−2 , s. [5.4.4]. Um bei der Schwerefeldmodellierung langwellige systematische Fehler zu vermeiden, müssen die Anomalien sich auf dieselben Referenzsysteme in Schwere (IGSN71), Lage (ITRF, GRS80) und Höhe beziehen, wobei der Bezug auf ein globales vertikales Datum ein besonderes Problem darstellt, s. [3.4.3], Heck (1990).

Abb. 6.31. Verteilung der terrestrischen Schweredaten, nach IAG (1997)

Die in großen Teilen der Ozeane bestehenden Datenlücken lassen sich mit den Ergebnissen der Satellitenaltimetrie füllen, s. [5.2.7]. Hierzu werden die altimetrisch bestimmten Geoidhöhen entweder durch Kollokation nach kleinsten Quadraten, s. [6.8.2], oder durch ein Flächenintegral in Schwereanomalien umgeformt. Letzteres folgt aus der Inversion der Stokes- Formel (6.148) unter Berücksichtigung von (6.101b), Lelgemann (1976):  N − NP γm γm gP = − NP − (6.153)

 dσ. R 16π R sin3 ψ2 σ

Hierbei sind N und NP die altimetrischen Geoidhöhen im jeweiligen Flächenelement dσ bzw. im Aufpunkt. Der Integralkern in (6.153) bewirkt, dass der Einfluss der weiter entfernten Zonen auf g rasch abnimmt. Bei Kombination der altimetrischen Geoidhöhen mit einem globalen Geopotentialmodell kann der Integrationsradius deshalb auf einige Grade beschränkt werden. Altimetrische Schwereanomalien liegen aus hochauflösender Altimetrie (GEOSAT und ERS-1

260

6 Auswertemethoden

geodätische Missionen) z. B. als Mittelwerte über 5 × 5 und 2 × 2 vor (Andersen und Knudsen 1998).

Rein gravimetrische oder gravimetrisch/altimetrische Berechnungen von Geoidhöhen oder Lotabweichungen leiden durch Datenlücken an den Polkappen, in einigen kontinentalen Bereichen und entlang der Küsten. Darüber hinaus werden sie durch langwellige systematische Fehler und die nicht homogene Verteilung und Genauigkeit der Schwerewerte beeinflusst. Schließlich variieren die Freiluftanomalien auf dem Festland wegen der Wirkung der Topographie erheblich. Der langwellige Anteil des Schwerefeldes ist dagegen durch globale Geopotentialmodelle gut erfasst, s. [6.6.3]. In vielen Gebieten liegen auch gravimetrische Engvermessungen mit Stationsabständen von 1 bis 5 km vor, meist zusammen mit hochauflösenden digitalen Geländemodellen, s. [6.5.2]. Dies hat zu Lösungen geführt, welche ein globales Modell mit den Schweredaten der eng vermessenen Region kombinieren, wobei durch Berücksichtigung der Geländewirkung eine Feldglättung vorgenommen wird. Kombinationslösungen wenden die „Remove-Restore“-Technik an (Denker et al. 1986): • Reduktion der Schwereanomalien g um den Anteil des globalen Modells gM , • Glättung der Anomalien durch irgendeine Art von Geländekorrektion gT (siehe unten), • Vergitterung der residualen Schwereanomalien gres = g − gM − gT ,

(6.154)

• Anwendung von Stokes’ Formel (6.148) auf die residualen Schwereanomalien, als Ergebnis liegen residuale Geoidhöhen Nres vor, • Addition der Anteile des globalen Modells und des Geländes zu den residualen Geoidhöhen: N = Nres + NM + NT . (6.155) Die Remove-Restore-Technik lässt sich auch auf die Berechnung von Lotabweichungen und anderen Schwerefeldgrößen anwenden, mit Erfolg wurde sie auch bei der Kollokation nach kleinsten Quadraten eingesetzt, s. [6.8.2]. Da die lang- und kurzwelligen Anteile des Schwerefeldes in den residualen Schwereanomalien beseitigt sind, bleiben diese wesentlicher kleiner und verlaufen glatter als die Ausgangsdaten, darüber hinaus kann in guter Näherung Homogenität und Isotropie angenommen werden, s. [6.1.3]. Mit den heute verfügbaren globalen Modellen (vollständig bis Grad und Ordnung 360) kann die Integration dann auf das Gebiet mit guter Datenüberdeckung und eine eng begrenzte Randzone beschränkt werden.

Da bei der Remove-Restore-Technik nur ein kleiner Integrationsradius erforderlich ist, lässt sich eine ebene Approximation der Stokes-Formel benutzen. Die Stokes-Funktion

6.7 Lokale Schwerefeldmodellierung

261

reduziert sich dann auf S(ψ) ≈

1 R 2 ≈2

ψ  ≈ ψ l0 sin

(6.156a)

2

 mit l0 = (x − xP )2 + (y − yP )2 und xP , yP = ebene Koordinaten des Aufpunktes. Das sphärische Flächenelement dσ wird durch das ebene Element dS = R 2 dσ

(6.156b)

ersetzt. Einsetzen von (6.156a) und (6.156b) in (6.148) ergibt die Stokes’ Formel in ebener Näherung:  g 1 N= dS. (6.156c) 2π γm l0 S

Diese lässt sich leicht mit FFT-Techniken auswerten, die Integration kann dabei auf sphärische Abstände von wenigen Grad begrenzt werden. Bei der Berechnung der Geländekorrektion können verschiedene Strategien verfolgt werden (Forsberg und Tscherning 1997). Wird die Helmertsche Kondensationsmethode benutzt, so dienen zunächst geländekorrigierte Bougueranomalien zur Erzeugung von Gitterwerten, s. [6.5.3]. Nachdem der Einfluss der Bouguerplatte wieder angebracht ist („Kondensation“), stehen die um ein globales Modell reduzierten Faye-Anomalien zur Berechnung der residualen Geoidhöhen zur Verfügung. Bei der residualen Geländekorrektion wird nur der hochfrequente Anteil der Topographie berücksichtigt, da der langwellige Teil bereits mit dem globalen Modell abgezogen worden ist. Diese Korrektion wird mit Hilfe eines auf eine Referenztopographie bezogenen residualen Geländemodells (residual terrain model RTM) berechnet (Abb. 6.32). Die Referenztopographie wird entweder als globales topographisches Modell (Kugelfunktionsmodell bis zu Grad und Ordnung des verwendeten Geopotentialmodells) oder durch die gleitenden Mittelwerte über mittlere Höhen von z. B. 15 × 15 - oder 30 × 30 -Blöcken bereitgestellt. Als Ergebnis liegt ein im Vorzeichen ausgeglichener Satz von positiven und negativen Residualhöhen vor. Zur Berechnung der Residualhöhen wird i. Allg. die Prismenmethode verwendet, s. [6.5.2]. GELÄNDEKORREKTION P

BOUGUER PLATTE

RESIDUAL GELÄNDEKORREKTION P FLÄCHE MITTLERER HÖHE

Abb. 6.32. Bouguerplatte mit vollständiger und residualer Geländekorrektion

Bei Anwendung auf die Stokessche Formel setzt die Remove-Restore-Technik voraus, dass das gesamte Spektrum der Geoidhöhen aus den Schwereanomalien im

262

6 Auswertemethoden

Integrationsbereich berechnet und nur im Außenbereich durch die Werte des globalen Modells ersetzt wird. Dies kann bei systematischen Diskrepanzen zwischen den terrestrischen Schweredaten und dem globalen Modell zur Verfälschung der langwelligen Geoidanteile führen. Bei der spektralen Kombination nach kleinsten Quadraten wird dieses Problem vermieden (Wenzel 1981). Die langwelligen spektralen Anteile des globalen Modells und der Schwereanomalien werden dabei im Integrationsbereich durch eine von den jeweiligen spektralen Gewichten wl =

σl2 (εM )

(6.157a)

σl2 (εM ) + σl2 (εg )

gesteuerte Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate kombiniert. Die Fehlergradvarianzen σl2 (εM ) der Koeffizienten des globalen Modells ergeben sich hierbei in Analogie zu (6.142), und die Fehlergradvarianzen der terrestrischen Anomalien σl2 (εg ) werden analog zu (6.25) aus einer Fehlerkovarianzfunktion abgeleitet (Weber 1984). Mit diesem Ansatz erweitert sich die Stokes-Funktion um die spektralen Gewichte zu einem optimalen Integralkern W (ψ) =

∞  2l + 1 l=2

l−1

wl Pl (cos ψ).

(6.157b)

Diese Funktion ist für ψ = 0◦ nicht mehr unendlich, und sie konvergiert rascher gegen Null als die urprüngliche Stokessche Funktion (Abb. 6.33).

E

E

E

E

E

E

E

E

Abb. 6.33. Gravimetrisches Geoid99 der USA, Isolinienintervall 2 m (Smith und Roman 2001), mit frdl. Genehmigung durch D. A. Smith, National Geodetic Survey/NOAA Frühe gravimetrische Geoidberechnungen mit der Stokes-Formel gehen auf Hirvonen (1934) und Tanni (1948) zurück. An der Ohio State University wurde unter der Leitung von Heiskanen (1957) aus isostatischen Anomalien das „Columbus-Geoid“ berechnet. Marsh und Vincent

6.7 Lokale Schwerefeldmodellierung

263

(1974) präsentierten eine Kombinationslösung mit einem Satellitenmodell niedrigen Grades (Goddard GEM-6 16, 16-Modell) mit 1◦ × 1◦ -Freiluftanomalien (Integrationsradius 10◦ ). Zu den neueren Lösungen gehört das gravimetrische Geoid der USA. Es basiert auf einem 2 × 2 Gitter von Faye-Anomalien (konstruiert aus Bougueranomalien) und dem EGM96-Modell als globaler Referenz, s. [6.3.3], Smith und Roman (2001), Abb. 6.33. Dieses geozentrische Geoid weist eine relative Genauigkeit von etwa 0,2 m auf, berechnet wurde auch eine Anpassung an das nordamerikanische vertikale Datum, s. [7.2]. Bei der Berechnung eines europäischen Quasigeoids, s. [6.7.2], wurde ebenfalls die spektrale Kombination nach kleinsten Quadraten angewandt.

6.7.2

Gravimetrische Höhenanomalien und Oberflächen-Lotabweichungen

Für die physische Erdoberfläche wurde das geodätische Randwertproblem von M. S. Molodenski durch die Integralgleichung (6.92) formuliert. Nach Einführung des Telluroids  als Näherung für die Erdoberfläche ergibt sich eine Integralgleichung für das Störpotential T (6.93). Die Normalenableitung von T (6.101) hängt nun auch von der Lotabweichung und der Geländeneigung ab. Es folgt (Heiskanen und Moritz 1967, S. 299):    1 ∂ 1 1 ∂γ cos β T − − T d 2π ∂n l γ ∂h l   (6.158) 1 1 (g − γ (ξ tan βx + η tan βy ) cos β d) = 2π l 

mit βx , βy = Winkel der Geländeneigungen in NS- und OW-Richtung, β = Winkel der maximalen Neigung und ξ , η = Lotabweichungskomponenten. Eine einfachere Integralgleichung ergibt sich, wenn T als Potential einer infinitesimal dünnen, auf dem Telluroid kondensierten Schicht angesehen wird: Flächenbelegung. Mit der Flächendichte μ (6.113) folgt dann aus dem Gravitationsgesetz  μ d. (6.159) T =G l 

Da das Potential einer Flächenbelegung außerhalb der Fläche harmonisch ist, gilt die Laplacesche Differentialgleichung, wir dürfen also (6.159) und die zugehörige Normalenableitung in (6.101) einführen. Als Ergebnis liegt eine nur von g und der Geländeneigung abhängige Integralgleichung vor. Sie wird durch fortlaufende Approximation gelöst und führt zu einer Reihenentwicklung für T . Die entsprechende Entwicklung für die Höhenanomalie ζ ergibt sich aus Bruns’ Theorem (6.96). Diese lautet in sphärischer Näherung (σ = Einheitskugel, R = Erdradius) und bei Begrenzung auf die beiden ersten Terme  R (g + G1 )S(ψ) dσ + · · · , (6.160a) ζ = 4πγ σ

264

6 Auswertemethoden

wobei S(ψ) die Stokessche Funktion (6.147) ist. Der Hauptterm entspricht der Formel von Stokes mit Anwendung auf die Oberflächen-Freiluftanomalien (6.15). Der erste Korrektionsterm (Molodenski-Korrektion) lautet in guter Näherung G1 =

R2 2π

 σ

H N − HPN l03

g dσ,

l0 = 2R sin

ψ . 2

(6.160b)

Er hängt von der Geländeneigung (HN = Normalhöhe) und den Schwereanomalien ab. Wird eine lineare Korrelation zwischen den Schwereanomalien und der Höhe angenommen, so kann G1 durch die gravimetrische Geländekorrektion (6.112) angenähert werden (Sideris 1990). Faye-Anomalien, s. [6.5.3], sind also zur Berechnung von Höhenanomalien gut geeignet. Da der Integralkern in (6.160b) mit wachsender sphärischer Distanz rasch abnimmt, kann die Integration auf ein begrenztes Gebiet beschränkt bleiben. Die höheren Terme in (6.160) enthalten die Tangente der Geländeneigung, sie dürfen i. Allg. vernachlässigt werden. Um die Konvergenz der Molodenski-Reihenentwicklung sicherzustellen, müssen allerdings extreme Neigungen und Singularitäten (Steilhänge) durch Glättungsprozeduren beseitigt werden. Die Molodenski-Korrektion erreicht im Hochgebirge die dm-Größenordnung, im Flachland bleibt sie im cm-Bereich. Wird die Remove-Restore-Technik, s. [6.7.1], angewandt, so verkleinert sich die Korrektion um etwa eine Größenordnung und die Reihenkonvergenz wird wesentlich verbessert (Denker und Tziavos 1999). Molodenskis Problem wurde von Moritz (1971) ¨ gründlich untersucht, die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung wurde von Hormander (1976) und Sanso` (1988) nachgewiesen.

Die Gradientenlösung erlaubt eine sehr effiziente Berechnung der Höhenanomalie (Moritz 1980). Hierbei werden die Oberflächenanomalien zunächst auf das Meeresniveau (Geoid oder Quasigeoid) reduziert, die Anwendung des Stokes-Integrals führt dann auf Höhenanomalien im Meeresniveau. Die Feldfortsetzung nach oben liefert die Höhenanomalie an der Erdoberfläche:   ∂(g) ∂ζ R g − H S(ψ) dσ + H. (6.161a) ζ = 4πγ ∂H ∂H σ

Die radiale Ableitung von g berechnet sich nach  R2 g − gP ∂(g) = dσ ∂H 2π l03

(6.161b)

σ

und kann wiederum durch die Geländekorrektion approximiert werden (siehe oben). Der vertikale Gradient von ζ folgt aus (6.96) und (6.101):   ∂ T 1 ∂γ g 1 ∂T ∂ζ = = − T =− , (6.161c) ∂H ∂H γ γ ∂H γ ∂H γ hierbei ist g die Oberflächen-Schwereanomalie.

6.7 Lokale Schwerefeldmodellierung

265

Werden die Oberflächenanomalien auf das Niveau des Aufpunktes P reduziert, so ist H in (6.161a) durch H − HP zu ersetzen, der letzte Term in (6.161a) verschwindet: ζ =

R 4πγ

  g −

∂(g) (H − HP ) S(ψ) dσ. ∂H

(6.161d)

σ

Diese Ansätze sind besonders zur Auswertung mit FFT-Techniken geeignet (Forsberg und Tscherning 1997). Die Oberflächen-Lotabweichung (siehe Molodenski-Definition in [6.1.2]) ergibt sich aus (6.160) durch Ableitung entsprechend (6.98): 

ξN ηN



1 = 4πγ



    g tan βx dS(ψ) cos α . dσ − (g + G1 ) sin α dψ γ tan βy

(6.162)

σ

Der Hauptterm entspricht der Formel von Vening-Meinesz (6.150), und die Molodenski-Korrektion berücksichtigt wiederum den Einfluss des Geländes, sie kann einige Bogensekunden erreichen. Molodenskis Problem ist dadurch gekennzeichnet, dass im Gegensatz zur Geoidbestimmung mit der Stokes-Formel keine Annahmen über die Dichteverteilung im Erdinnern notwendig sind. Mit (6.9) ist ein einfacher Übergang von der Höhenanomalie zur Geoidhöhe möglich: N =ζ+

gB H. γ¯

Mit diesem Ansatz entfallen Reduktionen auf das Geoid und die Berechnung des indirekten Effekts, Dichtehypothesen gehen über die Bougueranomalie gB nur in den zweiten Term der obigen Umformung ein. Da die Bougueranomalien großräumig auf den Kontinenten negativ sind, s. [8.2.4], liegt das Quasigeoid i. Allg. oberhalb des Geoids. Die Unterschiede zwischen diesen beiden Flächen bleiben im Flachland in der cm- bis dm-Größenordnung, im Gebirge können sie einen Meter und mehr erreichen. Wegen der hohen Korrelation mit der Höhe spiegelt das Quasigeoid die Topographie wider. Das Europäische Gravimetrische Quasigeoid EGG97 ist ein Beispiel für eine großräumige Quasigeoidberechnung (Denker 1996, Denker und Torge 1998). Es basiert auf einem hochauflösenden Datensatz von Punkt- und mittleren Freiluftanomalien aus terrestrischer Gravimetrie und (Meeresgebiete) Satellitenaltimetrie. Zur Berechnung wurde die RemoveRestore-Technik mit dem EGM96-Geopotentialmodell und einer 15 × 15 -gleitendes MittelReferenztopographie angewandt. Die gegitterten 1 ×1,5 residualen Schwereanomalien wurden durch spektrale Kombination nach kleinsten Quadraten, s. [6.7.1], in Höhenanomalien transformiert. Der Hauptanteil des EGG97 (Abb. 6.34) resultiert aus dem globalen Modell, die terrestrische Gravimetrie und die Topographie tragen im Mittel ±0,4 m (maximal 4 m) bzw. ±0,03 m (maximal 0,8 m) zu der Lösung bei. Die Fehlerschätzung (± einige cm/100 km bis ±0,1 m/1000 km) konnte durch Vergleiche mit GPS/Nivellements-Stützpunkten bestätigt werden, u. a. auf der NS-GPS-Traverse zwischen München und Tromsö (Torge et al. 1989).

266

6 Auswertemethoden

Abb. 6.34. Europäisches gravimetrisches Quasigeoid EGG97, Isolinienintervall 2 m (Denker und Torge 1998)

6.7.3

Das äußere Schwerefeld

Das Schwerefeld außerhalb der Erde lässt sich ausgehend von der Randfläche durch Feldfortsetzung nach außen entweder global oder lokal modellieren. Die globale Modellierung nutzt die Kugelfunktionsentwicklung des Störpotentials (6.4) und die entsprechenden Entwicklungen für die Höhenanomalie (6.131) und die Schwereanomalie (6.135). Diese Entwicklungen konvergieren außerhalb einer die Erde einschließenden Kugel, s. [3.3.2]. Sie sind besonders für die Bahnberechnung von Satelliten bedeutsam, eignen sich aber wegen der begrenzten räumlichen Auflösung weniger für niedrige Flughöhen (etwa bei Flugzeuganwendungen). Bei der lokalen Modellierung gehen wir von der Freiluftanomalie g aus. Nach (6.134) ist die Funktion rg =

 l+1 ∞  a (l − 1) Tl (ϑ, λ) r

(6.163)

l=2

im Außenraum harmonisch. Damit entspricht die Berechnung der Schwereanomalien im Außenraum aus gegebenen Randwerten der ersten Randwertaufgabe (Dirichlet) der Potentialtheorie. Die Lösung wird durch Poissons Integral gegeben, es lautet in

6.7 Lokale Schwerefeldmodellierung

267

sphärischer Näherung R 2 (rP2 − R 2 ) gP = 4π rP



g dσ. l3

(6.164)

σ

Hierbei bezieht sich gP auf den Außenraumpunkt P und g sind die Schwereanomalien auf der (sphärischen) Randfläche. Der Integralkern geht mit wachsendem ψ rasch gegen Null, so dass der Integrationsbereich auf eine begrenzte Zone um den Aufpunkt beschränkt werden kann. Nach Einsetzen von (6.164) in (6.101b) stellt g =

2 ∂T − T ∂r r

(6.165)

nun eine Differentialgleichung im Raum dar. Die Lösung führt auf eine von Pizetti hergeleitete räumliche Erweiterung der Stokes-Formel für das Störpotential:  R T (r, ϑ, λ) = S(r, ψ)g dσ, (6.166a) 4π σ

wobei S(r, ψ) =

 2R R 3Rl R2 r − R cos ψ + l + − 2 − 2 cos ψ 5 + 3 ln l r r r 2r

mit l=

 r 2 + R 2 − 2Rr cos ψ

(6.166b)

(6.166c)

die entsprechend erweiterte Stokessche Funktion ist. Bruns’ Theorem liefert schließlich den Abstand zwischen der Niveaufläche W = WP und der Sphäropotentialfläche U = UQ = WP (Höhenanomalie im Raum):  R ζ (r, ϑ, λ) = S(r, ψ)g dσ. (6.167) 4π γ σ

Entsprechende Beziehungen lassen sich mit (6.98) und (6.99) für die Lotabweichungen bzw. die Schwerestörung herleiten. 6.7.4 Astrogeodätische Geoid- und Quasigeoidbestimmung Die nach (6.17) aus astronomischen Breiten und Längen (oder auch Azimuten, s. (6.58)) bestimmbaren Lotabweichungen können leicht in Differenzen von Geoid- bzw. Quasigeoidhöhen umgeformt werden. Beim astronomischen Nivellement werden die Lotabweichungen längs des Weges auf dem Geoid bzw. an der Erdoberfläche integriert (Abb. 6.35). Auf dem Geoid gilt dN = −ε0 ds,

(6.168a)

268

6 Auswertemethoden

dn e

de e

P

dE

e0

dN

e0

dN

W = WP ll GEOID ll ELLIPSOID

H GEOID W = W0 ll ELLIPSOID

N ds

ELLIPSOID

Abb. 6.35. Astronomisches Nivellement

wobei ε0 die nach Pizettis Definition, s. [6.1.2], auf das Geoid reduzierte azimutale Komponente der Lotabweichung (6.18) ist. Die Integration zwischen P1 und P2 liefert die Geoidhöhendifferenz  2 ε0 ds. (6.168b) N1,2 = N2 − N1 = − 1

Das negative Vorzeichen folgt aus den Vorzeichenkonventionen für die Geoidhöhe (6.8) und die Lotabweichung (6.17). Die in (6.168) benötigte Lotabweichung auf dem Geoid ergibt sich durch Reduktion der beobachteten astronomischen Breite und Länge auf das Geoid: (6.169) 0 =  + δ, 0 = + δ . Hierbei sind 0 und 0 die am Geoid definierten astronomischen Koordinaten (Abb. 6.36). Die Reduktionsterme folgen aus der Integration der Lotkrümmungskomponenten κx , κy (3.74) zwischen der Erdoberfläche und dem Geoid: 



H

δ = −

κx dH,

H

δ cos  = −

0

κy dH,

(6.170a)

0

H = orthometrische Höhe. Einsetzen von (3.67) und (3.70) ergibt δ = −

1 R



H 0

1 ∂g dH, g ∂

δ cos  = −

1 R cos 



H 0

1 ∂g dH, g ∂

(6.170b)

R = mittlerer Erdradius. Mit (6.17) erhalten wir die NS- und OW-Komponenten der Lotabweichung ξ0 = ξ + δ, η0 = η + cos  δ (6.171a)

6.7 Lokale Schwerefeldmodellierung

P

269

W = WP dF

MERIDIANEBENE ll ÄQUATOR

F0 F

D GEOI W = W0

P0

Abb. 6.36. Krümmung der Lotlinie in der Meridianebene

und mit (6.18) die azimutale Komponente ε0 = ξ0 cos α + η0 sin α.

(6.171b)

Die Auswertung von (6.170) erfordert die Kenntnis der Schwere und des horizontalen Schweregradienten längs der Lotlinie. Diese Größen lassen sich mit Hilfe digitaler Geländemodelle mit einer Genauigkeit zwischen ±0,1 und ±1 abschätzen, im Hochgebirge können größere Fehler auftreten. Der Winkel der Lotkrümmung beträgt im Flachland einige 0,1 , kann aber in Hochgebirgspunkten 10 und mehr erreichen.

Anstelle der Lotabweichungen auf dem Geoid können auch Oberflächenlotabweichungen (Definition nach Helmert oder nach Molodenski) integriert werden. Die azimutale Komponente der Helmertschen Lotabweichung lautet ε = ε0 − δε,

(6.172)

wobei sich die Komponenten von δε aus (6.170b) ergeben. Einsetzen in (6.168b) liefert: 

2

N1,2 = N2 − N1 = −



2

ε ds −

1

δε ds.

(6.173a)

1

Wie Abb. 6.35 zeigt, entspricht der zweite rechtsseitige Term der aus dem geometrischen Nivellement bekannten orthometrischen HöhenreduktionE (6.81b), der Winkel der Lotkrümmung ist die horizontaleAbleitung von E. Wir können also auch schreiben: 

2

N1,2 = −

ε ds − E1,2 .

(6.173b)

1

Für Höhenanomalien gilt die differentielle Beziehung (Moritz 1983): dζ =

∂ζ ∂ζ ds + dh. ∂s ∂h

(6.174)

270

6 Auswertemethoden

Der erste Term enthält die Wirkung von Molodenskis Lotabweichung. Der zweite Term berücksichtigt die Tatsache, dass die physische Erdoberfläche keine Niveaufläche ist. Mit (6.161c) führt die Integration längs des Weges zum astronomischen Nivellement der Höhenanomalien nach Molodenski:  2  2 g N dh. (6.175) ζ1,2 = ζ2 − ζ1 = − ε ds − 1 1 γ Der Zusammenhang zwischen Geoid- und Quasigeoidhöhendifferenzen ergibt sich aus (6.9) und (6.81) zu N ζ1,2 = N1,2 + E1,2 − E1,2 (6.176a) oder unter Berücksichtigung von (6.173b) 

2

ζ1,2 = − 1

N ε ds − E1,2 ,

(6.176b)

N die normale Höhenreduktion (6.81c) ist. wobei E1,2

Die in (6.173), (6.175) und (6.176) auftretenden kleinen Korrektionen lassen sich leicht aus Oberflächenschwerewerten und mit Hilfe eines digitalen Geländemodells berechnen. Da die in (6.168) auftretenden aufwendig zu berechnenden Reduktionen entfallen, ist auch für die Geoidberechnung die Integration der Oberflächenlotabweichungen nach (6.176b) vorteilhaft.

Die Linienintegrale des astronomischen Nivellements setzen voraus, dass die Lotabweichungen kontinuierlich längs des Weges gegeben sind. In der Realität liegen gemessene Lotabweichungen wegen der zeitaufwendigen astronomischen Beobachtungen jedoch nur in größeren Abständen (einige 10 km und mehr) vor. Dies wirft das Problem der Interpolation zwischen den vermessenen Lotabweichungspunkten auf. Dabei unterscheiden wir im Folgenden nicht zwischen Lotabweichungen auf dem Geoid und an der Erdoberfläche, letztere verhalten sich unregelmäßiger. Zur Interpolation stehen die üblichen mathematischen Verfahren zur Verfügung, sie können durch zusätzliche Informationen über das Verhalten des Schwerefeldes wesentlich unterstützt werden. Im einfachsten Fall der mathematischen Interpolation wird ein linearer Lotabweichungsverlauf zwischen den Stützpunkten P1 und P2 angenommen. Die Integration liefert dann: ε1 + ε 2 s, (6.177) N1,2 = − 2 wobei s der Abstand zwischen P1 und P2 ist. Das lineare Interpolationsmodell eignet sich im Flachland und bei nicht zu großen Abständen zwischen den Lotabweichungspunkten (einige km bis einige 10 km). Ein hinreichend mit Beobachtungen überdecktes Gebiet kann dann entweder durch Dreiecksvermaschung und Ausgleichung der Geoidhöhen-Widersprüche oder flächenhafte Polynomapproximation bearbeitet

6.7 Lokale Schwerefeldmodellierung

271

werden. Die Polynomkoeffizienten ergeben sich dabei aus den entsprechenden Reihenentwicklungen für die Geoidhöhe und die Lotabweichungen, letztere folgen aus (6.98) unter Berücksichtigung von Bruns’ Formel zu ξ =−

1 ∂N , R ∂ϕ

η=−

1 ∂N . R cos ϕ ∂λ

(6.178)

Hierbei ist die Integrabilitätsbedingung im Potentialfeld zu beachten, s. [3.1.5]: ∂ξ ∂η = . cos ϕ ∂λ ∂ϕ

(6.179)

Die Prädiktion nach kleinsten Quadraten, s. [6.1.3], ist ein weiteres sehr effizientes Interpolationsverfahren, während die Kollokation, s. [6.8.2], die direkte Schätzung der Geoidhöhen aus den Lotabweichungen erlaubt und damit eine Alternative zu den Integralverfahren darstellt.

Topographiemodelle, Schwereanomalien und Zenitwinkel enthalten Schwerefeldinformationen und können mit Erfolg zur Verbesserung der Lotabweichungsinterpolation herangezogen werden. Ein digitales Geländemodell (möglichst auch mit Berücksichtigung von Dichtevariationen) erlaubt die Berechnung des Einflusses der Topographie auf die Lotabweichungen. Bei ausgedehnteren Berechnungsgebieten kann zusätzlich die Wirkung isostatischer Kompensationsmassen berücksichtigt werden, s. [6.5.2). Werden die berechneten topographischen (topographisch-isostatischen) Lotabweichungen von den Beobachtungen abgezogen, so wird das Lotabweichungsfeld geglättet, was die Anwendung mathematischer Interpolationsverfahren erleichtert. An den interpolierten residualen Lotabweichungen wird anschließend der Anteil der Topographie (Topographie/Isostasie) wieder angebracht, damit steht ein verdichtetes Netz von Lotabweichungspunkten zur Verfügung. Diese Remove-Restore-Methode hat sich besonders in gebirgigen Regionen bewährt, hier lässt sich eine Interpolationsgenauigkeit von ein bis zwei Bogensekunden erreichen. Liegt eine dichte gravimetrischeVermessung um die Lotabweichungspunkte vor, so können die Schwereanomalien zur gravimetrischen Interpolation herangezogen werden. Hierbei werden zunächst gravimetrische Lotabweichungen nach (6.150) durch Integration der Anomalien über ein begrenztes Gebiet (z. B. bis zum dreifachen Abstand der Lotabweichungspunkte) berechnet. Dieser gravimetrische Anteil wird von den Beobachtungen abgezogen, zusätzlich sind systematische Differenzen zwischen den astrogeodätischen und den gravimetrischen Lotabweichungen zu berücksichtigen (verschiedene Bezugssysteme, vernachlässigter gravimetrischer Effekt der äußeren Zonen). Dieser Ansatz wurde von Molodenski et al. (1962) zum astrogravimetrischen Nivellement erweitert (Campbell 1971). Dabei werden die aus einer linearen Interpolation der Oberflächenanomalien berechneten Quasigeoiddifferenzen durch eine gravimetrische „Korrektion“ ergänzt. Die gravimetrische Interpolation erlaubt selbst bei größeren Stützpunktabständen die Berechnung von Geoid- oder Quasigeoiddifferenzen mit cm- bis dm-Genauigkeit. Gegenseitige Zenitwinkel liefern die Differenzen der Lotabweichungskomponenten ε in der Visurlinie. Nach (6.85) sind die gemessenen Zenitwinkel z und die ent-

272

6 Auswertemethoden

sprechenden ellipsoidischen Größen ζ durch ζ1 = z1 + ε1 ,

ζ2 = z2 + ε2

verbunden (Abb. 6.20). Einsetzen in (6.87) ergibt unter Berücksichtigung der Vorzeichenkonventionen S (6.180) ε2 − ε1 = z1 + z2 − − π R mit S = sphärischer Abstand zwischen P1 und P2 . Ausgehend von einem Lotabweichungspunkt können diese Differenzen zur Interpolation der gemessenen Lotabweichungen benutzt werden. Die Methode ist in begrenztem Umfang im Gebirge eingesetzt worden, dabei wurde eine Genauigkeit von etwa einer Bogensekunde erreicht. Der Vorteil der astrogeodätischen Geoidbestimmung besteht in der Unabhängigkeit von Daten außerhalb des Berechnungsgebietes, die gravimetrische Methode erfordert dagegen eine globale Datenüberdeckung. Darüber hinaus sind die Anforderungen an die Genauigkeit der Punkthöhen weniger streng als bei der Berechnung von Schwereanomalien. Andererseits ist die Vermessung eines Lotabweichungspunktes wesentlich zeitaufwendiger als eine Schweremessung. Stationsabstände von 10 bis 20 km oder kleiner liegen deshalb nur in wenigen eng begrenzten Gebieten vor, und Punktabstände von 30 bis 50 km finden sich nur in einigen gut vermessenen Ländern. Weite Teile der Kontinente sind nur spärlich überdeckt mit Konzentration auf die Triangulationen erster Ordnung, s. [7.1.1]; auf den Ozeanen sind genaue astronomische Ortsbestimmungen überhaupt nicht möglich. Die Genauigkeit des astronomischen Nivellements hängt weitestgehend von der Qualität der Lotabweichungsinterpolation ab. In dichter vermessenen Gebieten wurden Genauigkeiten von ± wenigen cm bis 0,1 m über einige 100 km erreicht (Elmiger und Gurtner 1983). Durch Anbringen von topographisch-isostatischen Reduktionen lässt sich die Genauigkeit weiter steigern. Werden die Ergebnisse des astronomischen Nivellements schließlich an GPS/Nivellements-Stützpunkte angepasst, so reduzieren sich systematisch wirkende Effekte, die Geoidhöhen beziehen sich dann auf das nationale vertikale Datum. Die Genauigkeit solcher Kombinationslösungen kann ± 0,01 m bis 0,02 m über einige 100 km erreichen (Grote 1996). Die Anwendung des astronomischen Nivellements ist durch die bei der heutigen Datenüberdeckung sehr effizient arbeitende gravimetrische Methode stark zurückgegangen. Das Verfahren beschränkt sich heute auf Gebiete oder Profile, die nicht genügend oder nicht repräsentativ mit Schweredaten überdeckt sind (z. B. Gebirgsregionen mit Konzentration der Schwerewerte entlang der Straßen, Engvermessungen in Profilen oder bei Ingenieurprojekten). Das astronomische Nivellement wurde von Helmert (1884) eingeführt und erstmals im Harz erprobt. In den 1950er bis 1970er Jahren wurde es mit den auf den Dreieckspunkten erster Ordnung beobachteten Lotabweichungen zu regionalen Geoidberechnungen benutzt. Die auf das nationale geodätische Datum bezogenen Lotabweichungen und Geoidhöhen dienten dann zur Reduktion von Horizontalwinkeln und Schrägstrecken auf das Bezugsellipsoid, s. [6.3.2], [7.1.2], Heitz (1969). Zu den großräumigen Lösungen gehören das „Bomford“-Geoid für Europa (Levallois und Monge 1975) und die kontinent-weite Geoidbestimmung durch Fischer

6.8 Kombinationsmethoden zur Positionsbestimmung und Schwerefeldmodellierung

273

et al. (1968), mit mittleren Genauigkeiten von einigen Metern. Basierend auf einem dichten Netz von Lotabweichungspunkten und hoch-auflösenden digitalen Geländemodellen sind in der Schweiz und in Österreich Geoidberechnungen hoher Präzision durchgeführt worden (Erker 1987, Marti 1997).

6.8

Kombinationsmethoden zur Positionsbestimmung und Schwerefeldmodellierung

Zur gemeinsamen Bestimmung von Positionen und Schwerefeldparametern sind unterschiedliche Kombinationsmethoden entwickelt worden. Teilweise wurden in diese Modelle auch weitere systematisch wirkende Parameter einbezogen. Durch die Nutzung von geometrischen und Schwerefeld-Beobachtungen lässt sich der Informationsgehalt der Daten besser ausnutzen. Andererseits wirft die große Menge an Daten und unbekannten Parametern erhebliche Probleme bei der Gewichtung der Beobachtungen und der Modellierung systematischer Effekte sowie bei der Datenverarbeitung auf. Die Anwendung der Kombinationsmethoden ist deshalb meist noch auf eine begrenzte Zahl von Parametern und/oder Beobachtungen beschränkt. Ein funktionales Kombinationsmodell lässt sich aus den Beobachtungsgleichungen für sämtliche relevanten Datensätze aufstellen. In Verbindung mit einem Fehlermodell liefert die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate dann die Unbekannten von Erdmodellen und optimale Werte für das mittlere Erdellipsoid [6.8.1]. Bei der Kollokation nach kleinsten Quadraten wird dieser Ansatz um ein stochastisches Modell zur Schwerefeldschätzung erweitert, was zu einer sehr allgemeinen Kombinationsmethode führt [6.8.2]. 6.8.1

Erdmodelle und optimale Erdparameter

„Erdmodelle“ werden entweder allein aus Satelliten-Trackingdaten oder aus der Kombination dieser Daten mit der Satellitenaltimetrie und terrestrischer Gravimetrie durch strenge Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet. Sie enthalten die Koordinaten der Tracking-Stationen, die Stationsgeschwindigkeiten und die Parameter eines Schwerefeldmodells niedrigen Grades, hinzu kommen Parameter für die ozeanischen Gezeiten und die Erdrotation, s. [6.6.2]. Mit Super-Computern der jüngsten Generation berechnete Erdmodelle enthalten bis zu 10 000 Parameter, darunter rund 5 000 Geopotentialkoeffizienten. Die Koordinaten der Tracking-Stationen ergeben sich mit cm-Genauigkeit, die Stationsgeschwindigkeiten lassen sich einer Genauigkeit von ± einigen mm/Jahr bestimmen. Der langwellige Anteil des Geoids (Wellenlängen > 550 km) weist eine Genauigkeit von ±0,9 m (Kontinente) bzw. ±0,3 m (Ozeane) auf.

Diese Kombinationsmethoden liefern auch aktuelle Werte für eine geodätische Modellerde, repräsentiert durch ein das Geoid und das äußere Schwerefeld optimal approximierendes Niveauellipsoid, s. [4.2.1]. Diese Werte dürfen nicht mit den Parametern eines geodätischen Bezugssystems verwechselt werden, welches als internationaler Standard für längere Zeiträume empfohlen wird, s. [4.3]. Die derzeit besten

274

6 Auswertemethoden

Schätzwerte (1999) für die Definitionsparameter eines Niveauellipsoids lauten folgendermaßen (Groten 2000): • Geozentrische Gravitationskonstante GM = (398 600,442 ± 0,001) × 109 m3 s−2 einschließlich der Atmosphärenmasse. Dieser Wert ergibt sich aus der Bahnanalyse von Satelliten und Raumsonden. Eine zeitliche Änderung von GM ist bisher nicht gefunden worden. • Äquatorradius der Erde a = 6 378 136,6 ± 0,1 m. Dieser Wert wurde aus einer optimalen Anpassung von ellipsoidischen und orthometrischen Höhen (Satelliten-Trackingstationen auf den Kontinenten, Satellitenaltimetrie auf den Ozeanen) durch Anwendung der Minimumsbedingung  N 2 dσ = min (6.181) σ

auf die Geoidhöhen N bestimmt. Nach [6.5.4] kann bei bekanntem GM und a auch das Geoidpotential W0 als Definitionsparameter eingeführt werden: W0 = 62 636 856,0 ± 0,5 m2 s−2 . a und W0 sind im zero-tide-System gegeben und enthalten demnach den indirekten Gezeiteneffekt, s. [3.4.1]. Äquatorradius und Geopotential können ebenfalls als zeitunabhängige Größen betrachtet werden. • Kugelfunktionskoeffizient zweiten Grades (dynamischer Formfaktor) J2 = (1082,6267 ± 0,0001) × 10−6 im tide-free-System und J2 = (1082,6359 ± 0,0001) × 10−6 im zero-tide-System. J2 wird aus globalen Schwerefeldmodellen abgeleitet, s. [6.6]. Aus Satellitenbahnanalysen über lange Zeitintervalle ergab sich eine langfristige zeitliche Änderung von J2 : dJ2 = (−2,6 ± 0,3) × 10−9 /Jahrhundert. J˙2 = dt • Die mittlere Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ω = 7,292 115 × 10−5 rad s−1

6.8 Kombinationsmethoden zur Positionsbestimmung und Schwerefeldmodellierung

275

wird vom Internationalen Erdrotationsdienst IERS geliefert, s. [2.2.2]. Die langfristige Änderung von ω: ω˙ =

dω = (−4,5 ± 0,1) × 10−22 rad s−2 dt

kann in eine auf die Gezeitenreibung zurückzuführende Komponente (−6,1 × 10−22 rad s−2 ) und einen nicht-gezeitenbedingten Anteil ( +1,6 × 10−22 rad s−2 ) aufgeteilt werden, wobei letzterer wahrscheinlich die postglazialen Ausgleichsvorgänge in der Erdkruste und im oberen Erdmantel reflektiert. Zu den aus den Definitionsparametern abgeleiteten Größen gehört • die reziproke Abplattung 1 = 298,256 42 ± 0,000 01 f und • die Normalschwere am Äquator γa = 9,780 327 ± 0,000 001 ms−2 . Die Minimumsbedingungen für die Lotabweichungen  (ξ 2 + η2 ) dσ = min

(6.182)

σ

und die Schwereanomalien

 g 2 dσ = min

(6.183)

σ

könnten grundsätzlich ebenfalls zur Bestimmung der Parameter eines bestanschließenden Ellipsoids benutzt werden (Heiskanen und Moritz 1967, S. 216). Während (6.182) zur Ableitung lokaler Bezugsellipsoide in klassischen geodätischen Netzen diente, s. [7.1.2], konnte (6.183) wegen der unvollständigen gravimetrischen Überdeckung der Erde bisher nicht genutzt werden. 6.8.2

Kollokation nach kleinsten Quadraten

Die Kollokation nach kleinsten Quadraten verbindet die Berechnung der Stationskoordinaten und anderer deterministischer Unbekannter (Kugelfunktionskoeffizienten, Parameter des Erdellipsoids, Erdrotationsparameter, Kalibrier- und Drift-Koeffizienten usw.) mit der Schätzung von Schwerefeldgrößen in nicht vermessenen Punkten, wobei sämtliche Arten von Beobachtungen verwendet werden (Krarup 1969, Moritz 1970, Moritz 1973). Die Beobachtungsgleichung der Kollokation lautet in allgemeiner Form l = Ax + s + n, (6.184)

276

6 Auswertemethoden

wobei l der linearisierte Beobachtungsvektor ist. Er setzt sich aus einem deterministischen Anteil Ax (x = Vektor der Parameter, A = aus den differentiellen Beziehungen zwischen den Beobachtungen und den Parametern zusammengesetzte Designmatrix) und zwei stochastischen Anteilen zusammen. Der Signalvektor s enthält die residualen Schwerefeldgrößen in einem beliebigen Punkt, diese können sowohl beobachtet als auch unbekannt und damit zu prädizieren sein. Im Gegensatz zur Prädiktion nach kleinsten Quadraten sind dabei sämtliche Arten von Schwerefeldgrößen zugelassen (Kugelfunktionskoeffizienten, Geoid- bzw. Quasigeoidhöhen, Schwereanomalien, Lotabweichungen, zweite Ableitungen des Störpotentials usw.). Der Noise-Vektor n repräsentiert die Beobachtungsfehler. Es wird unterstellt, dass die Zufallsgrößen den Mittelwert Null besitzen. Ihr statistisches Verhalten wird durch die Signalkovarianzmatrix C und die Fehlerkovarianzmatrix D beschrieben, dabei wird gegenseitige Unabhängigkeit von Signal und Noise angenommen, s. [6.1.3]. Nach Linearisierung mit einem geodätischen Erdmodell lassen sich sämtliche geodätischen Beobachtungen in der Form (6.184) ausdrücken. Die Beobachtungsgleichungen für Satellitenbeobachtungen, astronomische Breiten-, Längen- und Azimutmessungen, VLBI-Beobachtungen, Schweremessungen, Horizontal- und Zenitwinkel, Schrägstrecken und nivellierte Höhenunterschiede finden sich in den entsprechenden Abschnitten von [6]. Während sämtliche Beobachtungen von der Position abhängen (beschrieben durch die geodätischen Koordinaten in Verbindung mit den Ellipsoidparametern), sind die VLBI-Beobachtungen und die Raumstrecken vom Schwerefeld unabhängig. Ein vollständiger Satz von Beobachtungsgleichungen wird von Grafarend (1978) bereitgestellt.

Die Kollokation nach kleinsten Quadraten ist in Bezug auf die unbekannten Parameter ein überbestimmtes Problem (Zahl der Beobachtungen ist größer als die Zahl der Unbekannten), in Bezug auf die Schwerefeldsignale jedoch unterbestimmt (es sind mehr Signale zu prädizieren als gemessen worden sind). Zur Lösung dieser Aufgabe wird eine Minimumsbedingung auf die gewichtete quadratische Summe des Signalund des Noise-Anteils angewandt, es wird also die Ausgleichung mit der Prädiktion nach kleinsten Quadraten kombiniert (Moritz 1980). Für den Parametervektor lautet das Ergebnis −1 −1 x = (AT C¯ A)−1 AT C¯ l (6.185) mit C¯ = C + D. Für das Signal in einem nicht vermessenen Punkt erhalten wir sˆP = C TP C¯

−1

(l − Ax).

(6.186)

Die hier auftretenden Kovarianzvektoren und -matrizen sind in [6.1.3] erläutert, sie können jetzt aber heterogene Signale, d. h. unterschiedliche Schwerefeldgrößen enthalten. Die gleichzeitige Bestimmung von Stationskoordinaten und Schwerefeldgrößen durch Kollokation ist auch als „integrierte“ oder „operationelle“ Geodäsie bezeichnet worden (Eeg und Krarup 1973, Hein 1983, 1986). Hauptproblem hierbei ist die ¯ da diese die Dimension der Anzahl von BeobachtunInversion der Kovarianzmatrix C, gen aufweist. Durch Aufteilung in untereinander nur schwach korrelierte Subsysteme

6.8 Kombinationsmethoden zur Positionsbestimmung und Schwerefeldmodellierung

277

(etwa für die horizontale Lagebestimmung einerseits und die Höhen- und Schwerefeldbestimmung andererseits) lassen sich die Dimensionen dieser Gleichungssysteme verkleinern. Diese Strategie führt schließlich für den deterministischen Anteil zur Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für die Schwerefeldbestimmung wird eine effiziente und flexible Lösung erreicht, die mit Erfolg bei unterschiedlichen Anwendungen eingesetzt worden ist. Bei Anwendung auf die Schwerefeldschätzung werden die Elemente der Signalkovarianzmatrix C benötigt, sie beschreiben die Korrelation zwischen den heterogenen Schwerefeld-Restgrößen. Da diese demselben Schwerefeld angehören, müssen die ensprechenden Kovarianzen aus einer Kovarianz-Grundfunktion durch Kovarianzfortpflanzung abgeleutet werden. Besonders geeignet hierfür ist die Kovarianzfunktion des Störpotentials T , da sämtliche residualen Schwerefeldgrößen in einfacher Weise mit T zusammenhängen. Diese Funktion wird analog zur Kovarianzfunktion der Schwereanomalien (6.21) definiert. Sie repräsentiert damit den Mittelwert der Produkte von T in den Punkten P und P  mit konstantem sphärischen Abstand ψ, wobei wiederum Homogenität und Isotropie unterstellt wird. Damit lautet die Kovarianzfunktion K(ψ) = cov(T , T  , ψ) = M{T · T  }ψ .

(6.187)

Die Kovarianzfortpflanzung ist aus der Fehlertheorie bekannt, sie wird hier auf die Schwerefeldsignale angewandt. Wie (6.96) bis (6.101) zeigen, lassen sich die residualen Schwerefeldgrößen (entweder beobachtet oder zu prädizieren) als lineare Funktionale von T ausdrücken. Für die Beobachtung li gilt also 

li = LPi T (P  ),

(6.188)

wobei Li das auf T anzuwendende Funktional für die Transformation in die beobachtete Feldgröße ist. Die Kovarianz zwischen T und li ergibt sich durch Anwendung von Li auf die Kovarianzfunktion K(ψ) = K(P , P  ), diese lässt sich als Funktion der räumlichen Koordinaten von P und P  darstellen: 

CP i = M{T · li } = LPi K(ψ).

(6.189)

Für unterschiedliche Beobachtungsgrößen ergibt sich die Kovarianz durch Anwendung des für die Transformation von T in die jeweilige Beobachtung maßgeblichen Funktionals:  (6.190) Cij = M{li · lj } = LPi LPj K(ψ). Für die Berechnung der Kovarianzen von heterogenen Signalen gelten die gleichen Regeln. Statistische Beschreibungen des Erdschwerefeldes liegen in Form von Anomaliegradvarianz-Modellen vor, s. [6.1.3]. Der Zusammenhang dieser Modelle mit der oben eingeführten Kovarianz-Grundfunktion lässt sich durch Anwendung des Mittelwertoperators (6.187) auf die Kugelfunktionsentwicklung des Störpotentials (6.4) herleiten. Es ergibt sich  2 l+1 ∞  R K(ψ) = σl2 (T ) Pl (cos ψ), (6.191a) rr  l=2

278

6 Auswertemethoden

wobei die Potentialgradvarianzen in Analogie zu (6.26) durch σl2 (T ) = M{Tl2 }

(6.191b)

definiert sind. Gleichung (6.142) stellt unter Berücksichtigung von Bruns’ Formel N = T /γ den Zusammenhang zwischen den Gradvarianzen des Störpotentials und der Schwereanomalien her:  R 2 2 2 σl (T ) = σl (g). (6.192) l−1 Einsetzen von (6.192) in (6.191) ergibt schließlich K(ψ) = R

2

∞  l=2

 2 l+1 R 1 2 σl (g) Pl (cos ψ). 2 (l − 1) rr 

(6.193)

Hiermit lässt sich die Kovarianz-Grundfunktion aus einem AnomaliegradvarianzModell berechnen. Bei lokalen Anwendungen ist die Kovarianzfunktion an das Verhalten des Schwerefeldes im Berechnungsgebiet anzupassen, s. [6.1.3]. Der Vorteil der Kollokation nach kleinsten Quadraten besteht in der Flexibilität bei der Schätzung von Schwerefeldgrößen beliebiger Art aus unterschiedlichen Schwerefeldbeobachtungen, wobei die Schätzung sowohl in vermessenen als auch in nicht vermessenen Punkten vorgenommen werden kann. Die Daten können als diskrete Werte verarbeitet werden und müssen nicht, wie bei der Anwendung von Integralformeln gefordert, in kontinuierlicher Verteilung vorliegen. Es wird weder eine Vergitterung der Daten noch eine Reduktion auf ein Bezugsniveau erforderlich. Für homogene und kontinuierlich verteilte Daten geht die Kollokation in die klassischen Integralformeln über (Moritz 1976). Andererseits setzen bei großen Datenmengen die heutigen Rechenmöglichkeiten dem Verfahren immer noch eine Grenze. Anwendungen beschränken sich deshalb auf begrenzte Gebiete und Datensätze. Werden den Daten bestimmte Restriktionen auferlegt, so kann die Rechenzeit reduziert und es können größere Datensätze verarbeitet werden: Schnelle Kollokation (Grote 1996). Die Kollokation nach kleinsten Quadraten ist besonders für lokale und regionale Geoidberechnungen eingesetzt worden (Denker 1988), aber auch zur Schätzung von Schwereanomalien aus altimetrischen Geoidhöhen und zur Schwerefeldfortsetzung nach unten. Hierbei wird i. Allg. die Remove-Restore-Technik verwendet, s. [6.7.1], was eine wesentliche Verkleinerung des Datensammelgebiets erlaubt.

7

Geodätische und gravimetrische Netze

Geodätische und gravimetrische Netze (Schwerenetze) dienen zum Aufbau von vermarkten Punktfeldern mit genau bestimmten Lage-, Höhen- und Schwerewerten. Diese Festpunktfelder bilden den Bezugsrahmen für Positionsbestimmungen und Schweremessungen globaler, regionaler oder lokalerAusdehnung. Globale Netze realisieren die durch internationale Konventionen definierten Bezugssysteme. Regionale Netze bilden die Grundlage für nationale oder übernationale (kontinentale) Landesaufnahmen, die wiederum die Basis für Geoinformationssysteme sowie topographische und thematische Karten sind. Lokale Netze werden insbesondere bei Ingenieurprojekten, bei geophysikalischen und anderen Erkundungen und zur Erfassung räumlich begrenzter geodynamischer Vorgänge angelegt. Wir konzentrieren uns anschließend auf regionale Netze, diese werden in zunehmendem Maße in die zur Positionsbestimmung und Schweremessung eingerichteten globalen Bezugssysteme eingebunden, s. [2.5.3], [5.4.3]. Der klassischen Behandlung von Lage- und Höhenmessungen entsprechend wurden bisher horizontale (Lage) und vertikale (Höhe) Kontrollnetze getrennt voneinander installiert, diese Netze liefern i. Allg. weiterhin die Grundlagen der nationalen Systeme [7.1], [7.2]. Mit geodätischen Raummethoden können dreidimensionale Netze im Rahmen des globalen Bezugssystems eingerichtet werden, solche Netze überlagern und ersetzen zur Zeit die klassischen Systeme [7.3]. Schwerenetze werden für unterschiedliche Anforderungen in Geodäsie und Geophysik angelegt, wobei der Bezugsrahmen durch ein globales Schweresystem oder durch absolute Schweremessungen bereitgestellt wird [7.4]. Werden geodätische Netze und Schwerenetze nach einer bestimmten Zeit erneut vermessen, so lassen sich die beobachteten Unterschiede zwischen den Epochen zur Untersuchung langzeitiger Lage-, Höhen- und Schwereänderungen nutzen. Entsprechend geplante Netze sind global, regional und lokal zur Überwachung geodynamischer Vorgänge unterschiedlichen Ursprungs angelegt worden, s. [8.3.3]. Die Anlage, Vermessung und Berechnung geodätischer Netze wird in den Lehrbüchern der Geodäsie und Vermessungskunde behandelt (Kahmen 1997, Heck 2002), zum Aufbau von Schwerenetzen siehe Torge (1989a).

7.1

Lagenetze

Beginnend im 18. Jahrhundert wurden nationale Lagenetze bis in die 1960er Jahre hinein eingerichtet, wobei Anlage, Beobachtung und Berechnung von den jeweils verfügbaren Techniken abhingen [7.1.1]. Als Bezugsfläche für die Berechnungen diente ein Rotationsellipsoid (anfangs teilweise auch eine Kugel), das dem Vermessungsgebiet angepasst wurde. Ab Mitte der 1960er Jahre wurden diese klassischen Netze mit Hilfe von geodätischen Raumverfahren auch im globalen Bezugssystem orientiert [7.1.2].

280

7 Geodätische und gravimetrische Netze

7.1.1 Anlage und Vermessung Lagefestpunktnetze werden durch trigonometrische Punkte (TP), auch Dreieckspunkte genannt, realisiert, sie sollten möglichst gleichmäßig über das Vermessungsgebiet verteilt sein. Bei der Netzanlage wird zwischen verschiedenen Ordnungen unterschieden, beginnend mit den TP erster Ordnung (Hauptdreieckspunkte) mit Punktabständen von 30 bis 60 km über die zweite Ordnung (Abstände etwa 10 km) bis zu den Punkten 4. oder in einigen Fällen sogar 5. Ordnung (Abstände von 1 bis 2 km). Die maximale Distanz zwischen den TP erster und zweiter Ordnung ergab sich aus der Forderung der gegenseitigen Sichtbarkeit, als Standorte wurden deshalb möglichst Anhöhen und Berggipfel gewählt. Besonders im Flachland wurden spezielle Hochbauten (trigonometrische Signale) errichtet (Holz- oder Stahltürme mit Höhen bis zu 30 m und mehr). Die trigonometrischen Punkte wurden durch unter- und oberirdische Marken (Steinplatten, Stein- oder Betonpfeiler, Bolzen im Fels) dauerhaft vermarkt, exzentrisch angebrachte Sicherungsmarken dienen zur Wiederherstellung und Überprüfung des Punktzentrums. Die klassischen Lagenetze erster und zweiter Ordnung wurden durch Triangulation, Trilateration oder Polygonierung bestimmt. Bei der Triangulation werden sämtliNORD LAPLACE AZIMUT

NORD LAPLACE AZIMUT

BASISVERGRÖSSERUNGSNETZ

Abb. 7.1. Triangulation mit Basisvergrößerungsnetz und Laplace-Azimut (Prinzip)

Abb. 7.2. Trilateration mit LaplaceAzimut (Prinzip)

che Horizontalwinkel in den aus den trigonometrischen Punkten gebildeten Dreiecken mit einem Theodolit gemessen (Abb. 7.1). Das Instrument wird dabei zentrisch auf dem Beobachtungspfeiler (Bodenpunkt, Hochpunkt) aufgestellt, die Zielpunkte werden bei großen Abständen durch Lichtsignale kenntlich gemacht. Gemessen werden entweder Richtungen (aufeinanderfolgende Beobachtung der Zielpunkte) oder Winkel (getrennte Beobachtung der beiden einen Winkel bildenden Richtungen). Zur Ausschaltung systematischer Instrumentenfehler und zur Genauigkeitssteigerung wurden die Messungen in beiden Fernrohrlagen (Satz) und mehreren über den Horizontalkreis verteilten Sätzen durchgeführt. Der Maßstab eines Dreiecksnetzes wurde durch die Länge mindestens einer Dreiecksseite festgelegt; diese konnte entweder aus einer kurzen Grundlinie (Basis) über ein Basisvergrößerungsnetz abgeleitet oder direkt mit einem Entfernungsmessgerät bestimmt werden, s. [5.5.2]. Astronomische Beobachtungen dienten zur Orientierung des Netzes gegenüber dem Erdkörper, s. [7.1.2],

7.1 Lagenetze

281

mit Hilfe der Laplace-Gleichung (6.58) wurde die horizontale Orientierung durch ein astronomisches Azimut festgelegt: Laplace-Punkt. In ausgedehnteren Dreiecksnetzen sind häufig Grundlinien und Laplace-Punkte in Abständen von einigen 100 km angelegt worden, hiermit ließ sich die Fehlerfortpflanzung im Netz in Bezug auf den Maßstab und die Orientierung (Wirkung der Seitenrefraktion) kontrollieren. Bei der Trilateration werden elektromagnetische Entfernungsmesser eingesetzt, um die Längen der Dreiecksseiten einschießlich übergreifender Diagonalverbindungen zu messen (Abb. 7.2). Zur Netzorientierung wird mindestens ein astronomisches Azimut benötigt. Im Vergleich zur Winkelmessung stellt die elektromagnetische Distanzmessung geringere Anforderungen an die Stabilität von Beobachtungstürmen, die Verwendung von Laserlicht und Mikrowellen verringert die Abhängigkeit von den Wetterbedingungen. Polygonzüge kombinieren die Winkel- und die Streckenmessung, die Polygonpunkte werden dabei in Profilen angeordnet (Abb. 7.3). Zur Orientierung ist wiederum ein Laplace-Azimut erforderlich. Polygonzüge können flexibel an die Geländeverhältnisse angepasst werden, so dass die Notwendigkeit von Hochbauten entfällt. Für den Aufbau von Netzen erster Ordnung wurden Polygonzüge nur selten angelegt, dagegen wurden Dreiecksnetze höherer Ordnung häufig durch Polygonnetze verdichtet, hierbei konnte die Orientierung aus dem übergeordneten Netz entnommen werden. b)

a) NORD LAPLACE AZIMUT

NORD LAPLACE AZIMUT

c)

TERRESTRISCHE

ORIENTIERUNG

Abb. 7.3. Polygonzug zwischen zwei trigonometrischen Punkten (Prinzip): a) ohne zusätzliche Orientierung, b) mit Orientierung durch Laplace-Azimute, c) Orientierung durch zusätzliche Richtungsmessungen zu trigonometrischen Punkten

Lagenetze können auch durch eine Kombination aus Triangulation, Trilateration und Polygonierung aufgebaut werden. Solche Netzanordnungen sind geometrisch sehr stabil, sie erlauben auch die die gleichzeitige Einrichtung von trigonometrischen Punkten erster und zweiter Ordnung. Zur Anlage und Vermessung von Dreiecksnetzen

282

7 Geodätische und gravimetrische Netze

sind spezielle Optimierungsverfahren entwickelt worden (Grafarend und Sanso` 1985). Ausgehend von der gewünschten Genauigkeit und Zuverlässigkeit werden dabei die Punktkonfiguration und die Anordnung der Messungen im Netz optimiert, das verfügbare Instrumentarium und die zulässigen Kosten gehen als Randbedingungen ein. Im Rahmen von nationalen Landesvermessungen wurden Triangulationen erstmals in Frankreich (1733 – 1750: Carte géométrique de la France, unter der Leitung von Cassini de Thury) und Großbritannien (ab 1780 durch den Ordnance Survey unter W. Roy u. a.) durchgeführt. Bis zur Einführung der elektromagnetischen Streckenmessung wurde dann ausschließlich die Triangulation zur Einrichtung von Lagefestpunktfeldern eingesetzt. In den meisten Fällen wurden dabei zunächst Dreiecks- oder Diagonalenvierecks-Ketten (häufig entlang der Meridiane und Parallelkreise) beobachtet und in Abständen von einigen 100 km zu Maschen verknüpft. Diese Rahmennetze wurden anschließend durch Triangulationen erster oder zweiter Ordnung gefüllt. Mit den Triangulationen von Bayern (1808 – 1828, J. G. Soldner) und Preußen (ab 1875, O. Schreiber) wurden wesentliche Verbesserungen in der Mess-und Rechentechnik eingeführt, die auch andere geodätische Landesaufnahmen beeinflussten. Großräumige Netze (Ketten- und Füllnetze) entstanden u. a. in den USA (etwa ab 1830, J. F. Hayford, W. Bowie) und der früheren Sowjetunion (seit den 1930er Jahren, T. N. Krassovski), s. [7.1.2]. Die Trilateration diente von den 1950er bis zu den 1970er Jahren zur Verbesserung, Erweiterung und Verdichtung von Triangulationsnetzen. Dabei wurden für die rasche Vermessung von schwer zugänglichen Gebieten und zur Überbrückung von ausgedehnten Gewässern auch Mikrowellenmessungen vom Flugzeug aus durchgeführt (Genauigkeit einige m bis zu 10 m über Entfernungen von einigen 100 km). Die Polygonierung wurde seit den 1960er Jahren hauptsächlich zur Netzverdichtung herangezogen, Präzisionspolygonzüge dienten aber auch zur Stützung kontinentaler Netze (USA) oder bauten diese erst auf (Australien). In den 1960er bis 1980er Jahren dienten dann die ersten operationellen Satellitenmethoden (Doppler-Positionierung) zur Überprüfung der Qualität bestehender Lagenetze und zur Orientierung dieser ellipsoidischen Systeme gegenüber dem globalen geozentrischen System.

7.1.2

Berechnung und Orientierung

Die klassischen Lagenetze erster und zweiter Ordnung wurden auf einem Bezugsellipsoid im System der ellipsoidischen Koordinaten (geodätische Flächenkoordinaten) berechnet, s. [4.1]. Die Netze niederer Ordnung sind dagegen i. Allg. nach einer konformen Abbildung des Ellipsoids in die Ebene in ebenen kartesischen Koordinaten berechnet worden (Großmann 1976, Kuntz 1990). Die gemessenen Horizontalwinkel bzw. -richtungen und Schrägstrecken werden bei dieser Vorgehensweise zunächst auf das Ellipsoid reduziert, s. [6.3.2], hierbei ist bei den älteren Netzen der Einfluss des Schwerefeldes (Lotabweichungen, Geoidhöhen) vernachlässigt worden. Die Netzausgleichung wurde entweder nach bedingten oder nach vermittelnden Beobachtungen vorgenommen, die Überbestimmungen ergaben sich aus den Winkelsummen- und Seitengleichungen, überschüssigen Diagonalstrecken und zusätzlichen Grundlinien und Laplace-Azimuten. Bei der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen wurde zunächst die Netzgeometrie ausgeglichen, und dann wurden ausgehend von einem Fundamentalpunkt (siehe unten) die Koordina-

7.1 Lagenetze

283

ten mit den ellipsoidischen Strecken und Azimuten (ellipsoidische Polarkoordinaten) übertragen. Die Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen benutzte dagegen „Beobachtungsgleichungen“ für Strecken und Azimute, diese ergeben sich aus der Lösung des Umkehrproblems der Koordinatenübertragung, s. [6.3.3]. Mängel dieser klassischen Netzausbreitung sind die Vernachlässigung der Lotabweichungen und die ungenügende Reduktion der Strecken (Vernachlässigung der Geoidhöhen), vor allem aber die durch die Rechentechnik erzwungene schrittweise Berechnung ausgedehnter Netze. Neu berechnete Netzteile wurden dabei mit Anschlusszwang an die bereits ausgeglichenen älteren Teile angefeldert, was zu teilweise erheblichen Netzspannungen führen kann. Diese Netzverzerrungen sind i. Allg. langwelliger Art, sie können relative Maßstabsfehler von 10−5 und mehr und Verdrehungen von einigen Bogensekunden verursachen. Die auf den Fundamentalpunkt bezogenen relativen Koordinatenfehler steigen in diesen Netzen von einigen dm über rund 100 km bis zu einem m über einige 100 km an, am Rand ausgedehnter kontinentweiter Netze können Fehler von 10 m und mehr auftreten. Das geodätische Datum eines Lagenetzes umfasst die Parameter des Bezugsellipsoids und die Orientierung des Netzes gegenüber dem Erdkörper, s. [6.3.3]. Bei den frühen Landesvermessungen wurden die durch Ausgleichung von Gradmessungen berechneten konventionellen Ellipsoide als Bezugsfläche benutzt, s. [1.3.3]. Einige neuere Landesaufnahmen verwenden lokal bestanschließende Ellipsoide, diese sind mit (6.51) aus einer (6.182) entsprechenden Minimumsbedingung für die beobachteten Lotabweichungen hergeleitet worden:  (7.1) (ξ 2 + η2 ) = min . Bei ausgedehnten Netzen wurden dabei die in den Lotabweichungen systematisch wirkenden kurz- und mittelwelligen Einflüsse der Topographie und der Isostasie durch entsprechende Reduktionen verringert: topographisch-isostatisch reduzierte Lotabweichungen. In der jüngsten Zeit wurden die Parameter des Bezugsellipsoids auch aus einem international empfohlenen geodätischen Bezugssystem übernommen, s. [4.3]. Tab. 7.1 enthält die Parameter von einigen wichtigeren Bezugsellipsoiden der Landesvermessung (Strasser 1957, NIMA 2000). Die Ellipsoide von Airy (verwendet in Großbritannien), Everest (Indien u. a.), Bessel (Deutschland, Österreich, Japan u. a.), Clarke 1866 (USA, Kanada u. a.), Clarke 1880 (Frankreich u. a.) basieren auf Gradmessungen in verschiedenen Kontinenten. Das Hayford-Ellipsoid passt sich dem Lotabweichungsfeld in den USA an, nach der Empfehlung durch die IAG (1924) wurde es in zahlreichen Ländern als Referenz eingeführt, s. [4.3]. Das Krassovski-Ellipsoid resultiert aus einer Anpassung an die russischen Triangulationen mit zusätzlicher Berücksichtigung von Daten aus Europa und Nordamerika. Die Ellipsoide der geodätischen Bezugssysteme GRS67 (Australien u. a.) und GRS80 approximieren das Geoid besonders gut.

Die Orientierung des Bezugsellipsoids wird bei den klassischen Netzen durch die ellipsoidischen Koordinaten eines Fundamentalpunktes (auch Zentralpunkt) und Bedingungen zur Achsparallelität zwischen dem ellipsoidischen und dem globalen geozentrischen System festgelegt, s. [6.3.3].

284

7 Geodätische und gravimetrische Netze Tabelle 7.1. Parameter von Bezugsellipsoiden (gerundete Werte), NIMA (2000) Name, Jahr Airy 1830 Everest 1830 Bessel 1841 Clarke 1866 Clarke 1880 Hayford 1909 = Int. Ell. 1924 Krassovski 1940 GRS 67 GRS 80

Große Halbachse a (m)

Reziproke Abplattung 1/f

6 377 563 6 377 276 6 377 397 6 378 206 6 378 249 6 378 388

299,3 300,8 299,15 294,98 293,47 297,0

6 378 245 6 378 160 6 378 137

298,3 298,247 298,257

In den frühen Landesvermessungen wurden die ellipsoidschen Koordinaten des Fundamentalpunktes dadurch festgesetzt, dass sie gleich der gemessenen astronomischen Breite und Länge sowie seiner orthometrischen Höhe gesetzt wurden. Dies entspricht der Forderung, dass die Lotabweichung und die Geoidhöhe im Fundamentalpunkt gleich Null ist: ξF = ηF = NF = 0. (7.2) Dieser Ansatz gewährleistet in der Nähe des Fundamentalpunktes eine gute Anpassung des Ellipsoids an das Geoid, in größeren Abständen können jedoch die benutzten konventionellen Ellipsoide erheblich vom Geoid abweichen (Abb. 7.4). Liegt bei einer Landesvermessung eine hinreichende Anzahl gut verteilter Lotabweichungspunkte vor, so lässt sich die Minimumsbedingung (7.1) anwenden. Nach (6.51) können dann die Lotabweichung im Fundamentalpunkt und bei größeren Netzen auch die Parameter eines bestanschließenden Ellipsoids berechnet werden. Bei einer solchen optimalen Anpassung bleiben die Lotabweichungen im gesamten Vermessungsgebiet klein. Die Geoidhöhe des Fundamentalpunktes wurde oft indirekt dadurch festgelegt, dass die auf das Geoid reduzierten Grundlinien als ellipsoidische Strecken weiter verarbeitet wurden (Abb. 7.5). Die Minimumsbedingung für die Geoidhöhen (6.181) 

N 2 = min

(7.3)

wurde nur selten angewandt. Zur Parameterbestimmung dient in diesem Fall die letzte Gleichung in (6.51) mit den aus dem astronomischen Nivellement berechneten relativen Geoidhöhen, s. [6.7.4]. Die Achsparallelität des ellipsoidischen Systems zum geozentrischen System wurde durch die Bedingungsgleichungen (6.57), (6.58) für die Lotabweichungen und das

285

7.1 Lagenetze

a

E S EL L I P S

X,Y

a

0

T

A

Abb. 7.4. Lokal bestanschließendes „konventionelles“ Ellipsoid

PF(x,h,N)

ID

ID

O

X,Y

N

b 0

0

NE LL

GE

PF(x = h = N = 0)

ID O

B ES

T O N VEN

IO

0 b

NS C

X,Y X,Y

O

ID O

Z GRUNDLINIE n n (N = 0)

Z Z FUNDAMENTAL PUNKT n=n

K

GE

Z

HL I ESS

PS LLI ENDES E

Abb. 7.5. Regional bestanschließendes Ellipsoid

Azimut (Laplace-Gleichung) hergestellt, wobei zusätzliche Laplace-Punkte zur Verbesserung der Orientierung beitrugen. Bei einigen neueren Datumsdefinitionen werden die Ellipsoidparameter eines geodätischen Bezugssystems benutzt, s. [4.3], und es wird das Ellipsoid bestmöglich an das Geoid angepasst (mittleres Erdellipsoid), Abb. 7.6. Tab. 7.2 enthält das Bezugsellipsoid und den Fundamentalpunkt für einige Festlegungen des geodätischen Datums (NIMA 2000). Z=Z GE OI D

b 0=0

M

IT T

LER

a

SO ES ERDELLI P

X,Y = X,Y

ID

Abb. 7.6. Mittleres Erdellipsoid Das Lagefestpunktfeld der USA wurde maschenweise (Maschenweiten etwa 500 km) aus Dreiecksketten aufgebaut.An den Schnittstellen der Ketten wurden Knotennetze mit Grundlinien und Laplace-Azimuten angelegt und nach Berechnung mit Zwang in die Ausgleichung des Gesamtnetzes eingeführt. Das Mascheninnere wurde anschließend durch flächenhafte Triangulation gefüllt. Als Rechenfläche diente das konventionelle Clarke 1866-Ellipsoid, die Orientierung geschah über die Minimumsbedingung für die Lotabweichungen (7.1): Nordamerikanisches Datum von 1927 (NAD27), s. Tab. 7.2. Dieses System wurde durch das Nordamerikanische Datum von 1983 (NAD83) ersetzt, welches die Lagenetze der USA, von Kanada, Grönland, Mexiko und Zentralamerika durch eine strenge Ausgleichung verbindet (Schwarz und Wade

286

7 Geodätische und gravimetrische Netze

Tabelle 7.2. Bezugsellipsoide und Fundamentalpunkte von geodätischen Datumsfestlegungen Geodätisches Datum

Bezugsellipsoid

Fundamentalpunkt

Australian Geodetic 1984 (AGD84) Deutsches Hauptdreiecksnetz (DHDN) European Datum 1950 (ED50) Indian North American 1927 (NAD27) North American 1983 (NAD83) Ordnance Survey of Great Britain 1936 (OSG36) Pulkovo 1942, frühere Sowjetunion South American 1969 (SAD69)

GRS67

Johnston

Breite

Länge

−25◦ 57

133◦ 13

Bessel 1841

Rauenberg/Berlin

52◦ 27

13◦ 22

Intern. Ellipsoid 1924 Everest 1830 Clarke 1866

Potsdam, Helmertturm

52◦ 23

13◦ 04

Kalianpur Meades Ranch, Kansas

24◦ 07 39◦ 13

77◦ 39 261◦ 27

GRS80

geozentrisch

Airy 1830

Herstmonceux

50◦ 52

0◦ 21

Krassovski 1940

Pulkovo

59◦ 46

30◦ 20

GRS67

Chua, Brasilien

−19◦ 46

311◦ 54

1990). Abb. 7.7. Als Beobachtungen wurden außer den terrestrischen Daten (Horizontalrichtungen, Strecken, Azimute) auch Dopplerpunkte (großräumige Maßstabskontrolle und Verbindung zum Geozentrum) und VLBI-Basislinien (Maßstab und Orientierung) eingeführt; Lotabweichungen und Geoidhöhen wurden für alle Punkte mit der gravimetrischen Methode berechnet, s. [6.7.1]. Die Ausgleichung (etwa 1,8 Mill. Beobachtungen, mehr als 900 000 Unbekannte, 266 000 Netzpunkte) basiert auf der Helmert-Blockmethode mit einem die Höhe festhaltenden dreidimensionalen Ansatz (Vincenty 1982). Die Ergebnisse (Breiten und Längen) beziehen sich auf das geozentrisch gelagerte Ellipsoid des geodätischen Bezugssystems 1980. Sie weisen eine absolute Genauigkeit von etwa ±2 m auf, die relativen Punktunsicherheiten variieren zwischen wenigen cm und einigen dm für den Entfernungsbereich von 10 bis zu einigen 100 km. Anfang der 1950er Jahre begannen in Europa die Arbeiten zum Aufbau eines einheitlichen europäischen Dreiecksnetzes (RETRIG). Zunächst wurde ein aus ausgewählten Dreiecksketten und Füllnetzen gebildetes Zentraleuropäisches Netz berechnet, Netzblöcke für Südost-, Südwest- und Nordeuropa wurden später angefeldert. Rechenfläche war das Internationale Ellipsoid von 1924, die Orientierung wurde mit der Minimumsbedingung für die Lotabweichungen (7.1) vorgenommen. Für den Fundamentalpunkt Potsdam, Helmertturm, ergaben sich dabei die Lotabweichungskomponenten ξ = 3,36 , η = 1,78 . Die Geoidhöhe des Fundamentalpunktes (N = 0,4 m) wurde indirekt durch Reduktion der Grundlinien auf das Geoid und Übernahme auf das Ellipsoid festgelegt (Wolf 1987): Europäisches Datum 1950 (ED50). Für Westeuropa wurde in den 1980er Jahren eine strenge Ausgleichung der Dreiecksnetze erster und zweiter

7.1 Lagenetze

287

N

40°

40°

30°

30°

110°

100°

90°

80°

W

Abb. 7.7. Lagenetz der USA (NAD83) mit der Triangulation erster und zweiter Ordnung und Präzisionspolygonzügen, National Geodetic Survey, National Ocean Service, NOAA

Ordnung unter Einbeziehung von elektromagnetischen Distanzmessungen, Dopplerpunkten, Laserdistanzmessungen zu Satelliten und VLBI-Basislinien durchgeführt: Europäisches Datum 1987 (ED87), Ehrnsperger (1991). Rechenfläche war wiederum das Internationale Ellipsoid von 1924, die ED50-Koordinaten der Station München wurden festgehalten (Translationsparameter). Das ED87 weist eine homogenere Netzgenauigkeit als das ED50 auf, die Achsparallelität (besser als ±0, 1 ) und der Maßstab (±0,1 × 10−6 haben sich wesentlich verbessert. Während das ED50 in verschiedenen Ländern als Grundlage für die Landesvermessung eingeführt wurde, hat das ED87 keine praktische Anwendung erfahren. In der früheren Sowjetunion wurden die seit den 1930er Jahren beobachteten ausgedehnten Dreiecksketten auf dem Krassovski-Ellipsoid von 1940 ausgeglichen: Pulkovo-Datum 1942. Die Ellipsoidparameter und die Orientierung folgten aus der Minimumsbedingung (7.1), die Geoidhöhe im Fundamentalpunkt Pulkovo wurde zu Null gesetzt. Zur Reduktion der Messungen auf das Ellipsoid dienten beobachtete und gravimetrisch interpolierte Lotabweichungen sowie mit dem astrogravimetrischen Nivellement berechnete Quasigeoidhöhen, s. [6.7.4]. Nach Ausdehnung dieses Systems auf die osteuropäischen Länder und umfangreichen Neumessungen wurde eine neue Ausgleichung durchgeführt: Astrogeodätisches Netz 1983. Das Lagefestpunktfeld in Deutschland stellt ein Beispiel für den Aufbau eines lokalen Lagenetzes dar. Zwischen 1870 und 1895 wurde der nordwestliche Teil zwischen Elbe und Main als Teil einer Neutriangulation Preußens mit Dreiecksketten und Füllnetzen überdeckt. Als Rechenfläche wurde das Bessel-Ellipsoid von 1841 eingeführt, das mit der Bedingung (7.2) im Zentralpunkt Rauenberg/Berlin orientiert wurde; die Geoidhöhe wurde indirekt durch die Reduktion von fünf Grundlinien (eine in der Nähe von Berlin) auf das Geoid festgelegt. Die Netzorientierung auf dem Ellipsoid geschah durch ein von Rauenberg nach Berlin/Marienkirche beobachtetes Laplace- Azimut. Nach Ausgleichung der Netzgeometrie wurden die ellipsoidischen Koordinaten durch Netzausbreitung berechnet, wobei der Einfluss der Lotabweichungen unberücksichtigt blieb. An diesen Schreiberschen Block wurden später die Triangulationen in den östlichen Teilen

288

7 Geodätische und gravimetrische Netze

Preußens und in den süddeutschen Ländern angefeldert: Deutsches Hauptdreiecksnetz (DHDN), s. Tab. 7.2. Nach 1950 wurde das DHDN in Westdeutschland gebietsweise durch Messung von zusätzlichen Horizontalrichtungen und elektromagnetischen Entfernungsmessungen verbessert. Die relative Genauigkeit des Netzes bleibt bis zu Entfernungen von etwa 100 km in der dmGrößenordnung, zwischen verschiedenen Netzteilen treten jedoch Verzerrungen bis zu einem Meter auf. In Ostdeutschland wurde nach 1950 eine vollständige Neutriangulation durchgeführt und im Rahmen der gemeinsamen Ausgleichung der osteuropäischen Dreiecksnetze berechnet (siehe oben): Staatliches Trigonometrisches Netz 1942/1983 (STN42/83), Ihde und Lindstrot (1995). Wegen der unterschiedlichen Datumsdefinitionen weichen das DHDN und das STN42/83 systematisch um etwa 2 in der Breite und 4 in der Länge voneinander ab. Das amtliche Lagefestpunktfeld erster Ordnung DHDN90 setzt sich auf Grund dieser Entwicklungen zur Zeit aus drei Netzblöcken zusammen, die über mehr als 100 Jahre beobachtet und in Ost- und Westdeutschland unterschiedlich berechnet worden sind (Schmidt 1995), Abb. 7.8. Lokale Koordinatentransformationen zwischen den zwei Systemen liegen vor, eine vollständige Neuberechnung ist im Zusammenhang mit dem Übergang zum dreidimensionalen Bezugssystem DREF91 vorgesehen, dieses ist Teil des europäischen Bezugssystems EUREF, s. [7.3.2].

Abb. 7.8. Deutsches Hauptdreiecksnetz (DHDN90), Bundesamt für Kartographie und Geodäsie (BKG), Frankfurt a. M., Deutschland

Die satellitengestützte Positionsbestimmung wurde früh zur Qualitätskontrolle der Lagenetze und zur Bestimmung von Datums-Transformationsparametern eingesetzt. Die Datumsparameter (Translationen, Rotationen, Maßstab) werden dabei mit (6.47) aus Stützpunkten berechnet, für die Koordinaten sowohl im lokalen oder regionalen als auch im globalen geozentrischen System (i. Allg. WGS84) vorliegen (identische Punk-

7.1 Lagenetze

289

te). Die berechneten Werte hängen stark von der Verteilung der identischen Punkte und den Netzspannungen ab. Tab. 7.3 enthält mittlere Werte für die Translationen, Rotationen und Maßstabsfaktoren von ausgewählten geodätischen Systemen. Tabelle 7.3. Translationen, Rotationen und Maßstabsfaktoren (mittlere Werte) für ausgewählte geodätische Systeme, DMA (1987), NIMA (2000), DHDN und Pulkovo 1942 (STN42/83): Ihde und Lindstrot (1995) Geodätisches Datum

7-Parametertransformation Translation (m)

AGD84 DHDN ED50 Indian NAD27 OSG36 Pulkovo 42 SAD96

3-Parametertransformation

Rotation (Bogensek.)

Maßstabsfaktor

X0

Y0

Z0

εX¯

εY¯

εZ¯

m × 106

−127 582 −102 227 −4 446 24 −56

−50 105 −102 803 166 −99 −123 −3

153 414 −129 274 183 544 −94 −38

0,0 −1,0 0,4 −0,4 −0,3 −0,9 0,0 0,1

0,0 −0,4 −0,2 −0,6 0,3 −0,3 0,2 −0,6

−0,1 3,1 0,4 −0,4 −0,1 −0,4 0,1 −0,2

1,2 8,3 2,5 6,6 0,4 −20,9 1,1 −0,6

Translation (m) X0

Y0

Z0

−134

−48

149

−87 295 −8 −375 28 −57

−98 736 160 −111 −130 1

−121 257 176 431 −95 −41

Bemerkung: Die Pulkovo 42 7-Parameter-Transformation gilt für Ostdeutschland (STN42/83), die 3-Parameter-Transformation für Russland.

Die Translationen liegen in der Größenordnung der Lotabweichungen, bei Verwendung konventioneller Ellipsoide treten größere Werte als bei bestanschließenden Ellipsoiden auf. Die Drehwinkel zeigen die Genauigkeit der zur Orientierung benutzten astronomischen Beobachtungen, sie sind i. Allg. nicht signifikant. Die Maßstabsfehler können in älteren Netzen 10−5 und mehr betragen.In neueren Systemen bleiben sie bei 10−6 oder weniger, was den Fortschritt in der Längenmessung widerspiegelt. Netzspannungen können besonders bei ausgedehnten Netzen zu erheblichen lokalen Abweichungen von den obigen Mittelwerten führen (in den Translationen z. B. um 5 bis 10 m und mehr). Bei älteren Netzen ergeben sich auch größere Änderungen, wenn anstelle von sieben Parametern nur drei (Translationen) berechnet werden. Die Transformation von einem lokalen geodätischen Datum in das geozentrische System kann entweder durch eine Neuausgleichung unter Einschluss von Raumbeobachtungen (Beispiel NAD83) oder mit mittleren bzw. lokalen (besser!) Datumsparametern durchgeführt werden. Die wegen der Netzspannungen auftretenden großräumigen Änderungen insbesondere der Translationsparameter lassen sich durch Polynome niederen Grades modellieren und durch Isolinienkarten veranschaulichen (DMA 1987). Von besonderem Interesse ist die Transformation ellipsoidischer Koordinaten unter Berücksichtigung des Übergangs von einem konventionellen oder bestanschließendem zu einem geozentrischen Ellipsoid. Nach (6.49) gilt für die entsprechenden Änderungen in der ellipsoidischen Breite, Länge und Höhe (sphärische Näherung, Rotationen

290

7 Geodätische und gravimetrische Netze

vernachlässigt, ellipsoidische Formeln finden sich in DMA 1987 und Ehlert 1991): aϕ = − sin ϕ cos λ · X0 − sin ϕ sin λ · Y0 + cos ϕ · Z0 + a sin 2ϕ · f, a cos ϕλ = − sin λ · X0 + cos λ · Y0 , (7.4a) h = cos ϕ cos λ · X0 + cos ϕ sin λ · Y0 + sin ϕ · Z0 − a + a sin2 ϕ · f. Hierbei ist das Vorzeichen des Translationsvektors ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ X − X¯ X0 X0 = ⎝ Y0 ⎠ = ⎝ Y − Y¯ ⎠ Z0 Z − Z¯

(7.4b)

umgekehrt worden (Reduktion!). Sämtliche Differenzen sind im Sinne „geozentrisches-lokales System“ zu bilden, die Transformationen lauten also: ϕ = ϕ¯ + ϕ, a = a¯ + a,

λ = λ¯ + λ, f = f¯ + f.

h = h¯ + h,

(7.4c)

Sind die Transformationsparameter aus einer hinreichend großen Anzahl von identischen Punkten berechnet worden, so können auch die Änderungen in ϕ, λ, h modelliert und in Isolinienkarten dargestellt werden. In Abhängigkeit von der Anzahl und der Verteilung der identischen Punkte lässt sich bei kontinentweiten Netzen eine Transformationsgenauigkeit von einigen m erreichen. Die klassischen Lagenetze bilden die Grundlage für eine Vielzahl von Anwendungen im Vermessungs- und Kartenwesen. Sie leiden jedoch teilweise unter erheblichen Netzspannungen, außerden sind sie i. Allg. nicht geozentrisch gelagert und auf ein modernes Standard-Ellipsoid bezogen. In der nahen Zukunft dürften diese Systeme in den globalen dreidimensionalen Bezugsrahmen integriert werden, s. [7.3.2].

7.2

Höhennetze

Höhenfestpunktfelder sind bisher unabhängig von den Lagefestpunktfeldern eingerichtet worden. Grund hierfür ist die Notwendigkeit, Höhen auf das Schwerefeld und nicht auf das der Lagebestimmung zugrunde liegende Ellipsoid zu beziehen. Höhennetze werden mit dem geometrischen Nivellement, in Ausnahmefällen auch mit dem hydrostatischen Nivellement bestimmt, s. [5.5.3], die Festpunkte werden als Nivellementspunkte (NivP) bezeichnet. In Abhängigkeit von der Netzanlage und der Genauigkeit wird bei der Landesvermessung zwischen Nivellements verschiedener Ordnung unterschieden. Das Nivellement erster Ordnung wird nach den Regeln des Feinnivellements in geschlossenen Schleifen (Schleifenumfang von einigen 100 km) durchgeführt, wobei eine Genauigkeit von etwa ±1 mm/100 km erreicht wird. Die Schleifen setzen sich aus den von Knotenpunkt zu Knotenpunkt laufenden Nivellementslinien zusammen (Abb. 7.9). Diese wiederum sind aus den Nivellementsstrecken gebildet, welche benachbarte Festpunkte miteinander verbinden (Festpunktabstände

7.2 Höhennetze

291

0,5 bis 2 km und mehr). Das Nivellementsnetz erster Ordnung wird durch Nivellements zweiter bis vierter Ordnung verdichtet, wobei abnehmende Ansprüche an die Genauigkeit gestellt werden. NIVELLEMENTSBOLZEN MEERESPEGEL

KNOTENPUNKT

NIVELLEMENTSLINIEN

NIVELLEMENTSSCHLEIFE

UNTERIRDISCHE FESTLEGUNG

Abb. 7.9. Nivellementsnetz (Prinzip)

Die Nivellementslinien verlaufen i. Allg. entlang von Straßen, Eisenbahnen und Wasserläufen. Zur Vermarkung der Festpunkte dienen Höhenbolzen an Bauwerken, im Fels oder in Betonpfeilern; in alluvialen Gebieten werden auch tiefreichende Rohre eingebracht (Rohrfestpunkte). Zur Sicherung des Netzes und zur Kontrolle in Bezug auf langfristige zeitliche Veränderungen werden in geologisch stabilen Gebieten unterirdische Festlegungen angelegt. Nivellementsnetze erster Ordnung sollten in Abständen von einigen 10 Jahren erneut beobachtet werden, da besonders in Gebieten rezenter Krustenbewegungen mit regionalen und lokalen Höhenänderungen von 1 mm/Jahr und mehr zu rechnen ist, s. [8.3.3]. Vor der Ausgleichung eines Nivellementsnetzes sind die beobachteten rohen Höhenunterschiede mit Hilfe von Oberflächenschwerewerten in Differenzen von geopotentiellen Koten oder Normal- bzw. orthometrischen Höhen umzuformen, s. [6.4.1]. DieAusgleichung basiert dann auf der Bedingung, dass der Schleifenschlussfehler Null sein muss; sie wird nach der Methode der bedingten Beobachtungen oder – bevorzugt – nach vermittelnden Beobachtungen durchgeführt. Nivellementsnetze erster Ordnung wurden zwischen den 1860er und den 1930er Jahren in zahlreichen Ländern angelegt. Da Schwerewerte längs der Nivellementslinien damals nicht zur Verfügung standen, wurden die Schwerereduktionen entweder vernachlässigt oder es wurde die Oberflächenschwere durch die Normalschwere ersetzt, was zu normal- oder sphäroidischorthometrischen Höhen führte. Diese wegabhängigen Höhen unterscheiden sich von den Normalbzw. orthometrischen Höhen um einige mm (Flachland) bis zu einigen dm ( Gebirge). Heute liegen i. Allg. Schwerewerte entlang der Nivellementslinien vor, so dass die Schwere berücksichtigt werden kann (Wolf 1974).

Das vertikale Datum (Höhen-Nullfläche) wird durch den aus Pegelmessungen bestimmten mittleren Meeresspiegel (MSL) festgelegt. Von verschiedenen Pegeln abgeleitete nationale Höhensysteme können wegen der Meeresflächentopographie untereinander und vom Geoid als globaler Bezugsfläche um einige dm und mehr abweichen,

292

7 Geodätische und gravimetrische Netze

s. [3.4.3]. Wird das vertikale Datum eines Landes durch Anschlusszwang an den MSL mehrerer Pegel definiert, so verursacht die Meeresflächentopographie Spannungen im Nivellementsnetz. Die Unterschiede zwischen der Datumsfestlegung verschiedener Höhensysteme können aus Satellitenpositionsbestimmungen in Verbindung mit globalen Geoidmodellen oder aus kontinentweiten und an Meerespegel angeschlossenen Nivellements bestimmt werden (Rapp 1995b). So liegt die Höhen-Nullfläche des Nordamerikanischen Vertikalen Datums etwa 0,5 m unterhalb des MSL in Amsterdam (siehe unten). In Europa sind die Höhen- Nullflächen der einzelnen Länder aus Pegelregistrierungen am Mittelmeer und an der Nord- und Ostsee abgeleitet worden. Gegenüber dem MSL am Amsterdamer Pegel (benutzt u. a. in Deutschland, den Niederlanden und im europäischen Nivellementsnetz) liegt der MSL in Kronstadt (nahe St. Petersburg: Russland) etwa 15 cm höher, die durch Pegelmessungen am Mittelmeer festgelegten HöhenNullflächen (Marseille: Frankreich, Genua: Italien, Trieste: Österreich) liegen dagegen 0,4 bis 0,5 m unterhalb des Amsterdamer MSL (Sacher et al. 1999). In Nordamerika lieferte eine vorläufige Ausgleichung des Nivellementsnetzes erster Ordnung das Nordamerikanische Vertikale Datum von 1929 (NAVD29), dabei wurde an den MSL von 29 Meerespegeln in den USA und Kanada angeschlossen. Nach Wiederherstellung verloren gegangener Punkte und umfangreichen Neumessungen wurde später eine strenge Ausgleichung der Nivellementsdaten der USA, von Kanada, Mexiko und Zentralamerika in geopotentiellen Koten durchgeführt: Nordamerikanisches Vertikales Datum von 1988 (NAVD88). Die HöhenNullfläche liegt durch den MSL nur eines Punktes (Father Point/Rimouski, Quebec, Kanada) fest, nach Helmert berechnete orthometrische Höhen dienen als Gebrauchshöhen (Zilkoski et al. 1995). Das Einheitliche Europäische Nivellementsnetz (United European Leveling Net UELN) setzt sich aus den Nivellementslinien erster Ordnung der europäischen Länder zusammen (Abb. 7.10). Seit 1954 wurden mehrere Ausgleichungen in geopotentiellen Koten durchgeführt, wobei das Netz durch Hinzufügen neuer Daten und Erweiterung laufend verbessert wurde. Außer den geopotentiellen Koten wurden Normalhöhen berechnet. Die mittlere Genauigkeit der in das UELN95 einbezogenen Nivellements beträgt ±1,1 mm/km, die Standardabweichungen der Normalhöhen gegenüber dem Höhen-Nullpunkt Amsterdam bleiben kleiner als ±0,1 m. Das vertikale Datum ist durch den MSL der Nordsee definiert, wie er zwischen 1940 und 1958 am Normal Amsterdamsch Peil (NAP) bestimmt wurde. Das UELN ist mit einer größeren Anzahl von Meerespegeln verbunden, so dass die Meeresflächentopographie an den europäischen Küsten abgeleitet werden kann (siehe oben). Durch Einbeziehung vertikaler Punktgeschwindigkeiten soll das UELN in Zukunft zu einem kinematischen Höhensystem erweitert werden (Adam et al. 2000a). Präzisionsnivellements begannen in Deutschland um 1865, ein erstes Höhensystem wurde aus den rohen Nivellementsdaten berechnet. Ab 1912 fanden vollständige Neumessungen des Nivellementsnetzes erster Ordnung statt, in Westdeutschland wurde von 1980 bis 1985 eine erneute Vermessung zusammen mit Schweremessungen durchgeführt. Diese Netze wurden in normal-orthometrischen Höhen ausgeglichen: Deutsches Haupthöhennetz (DHHN). Das vertikale Datum war durch Nivellement vom Amsterdamer Pegel hergeleitet worden, es repräsentiert den dortigen MSL für die Epoche 1683/1684 (Waalewijn 1986). Die Höhen-Nullfläche Normal-Null (NN) wurde indirekt durch den 37,000 m über NN an der früheren Berliner Sternwarte angebrachten Normalhöhenpunkt von 1879 vermarkt, 1912 wurde diese Festlegung durch unterirdische Vermarkungen etwa 40 km östlich von Berlin ersetzt. In Ostdeutschland wurde in den 1970er Jahren ein neues Feinnivellement durchgeführt und in Normalhöhen ausgeglichen,

7.3 Dreidimensionale Netze

Abb. 7.10. Einheitliches Europäisches Nivellementsnetz UELN95, BKG, Frankfurt a. M., Deutschland

293

Abb. 7.11. Deutsches Haupthöhennetz DHHN92, BKG, Frankfurt a. M., Deutschland

das vertikale Datum bezog sich auf den am Pegel Kronstadt bestimmten MSL: Höhennull (HN). Die unterschiedlichen Definitionen des vertikalen Datums und der Höhen verursachen an der früheren Grenze zwischen West- und Ostdeutschland systematische Höhendifferenzen zwischen 8 und 16 cm. Inzwischen wurde eine Neuausgleichung des gesamten deutschen Nivellementsnetzes erster Ordnung in geopotentiellen Koten ausgeführt: DHHN92 (Abb. 7.11). Hierbei ist das vertikale Datum durch die in der UELN86-Ausgleichung berechnete geopotentielle Kote des Knotenpunktes Wallenhorst festgelegt worden, es bezieht sich also auf den MSL in Amsterdam (siehe oben). Als amtliche Höhen wurden Normalhöhen eingeführt, die Bezugsfläche (Quasigeoid) wird als Normalhöhennull (NHN) bezeichnet (Weber 1995).

Nivellementsnetze weisen eine hohe Genauigkeit auf, doch können sich über große Entfernungen systematische Fehler ungünstig aufaddieren. Wegen des zeitaufwendigen Messvorganges lassen sich Wiederholungsmessungen nur in großen Zeitabständen ausführen. Das nur geringfügig ungenauere trigonometrische Nivellement ist mit Erfolg zur rascheren Vermessung großer Netze eingesetzt worden, s. [6.4.2]. In Zukunft dürfte die GPS-Höhenbestimmung in Verbindung mit präzisen Geoid- oder Quasigeoidmodellen einen einschneidenden Wandel in der Anlage von Höhennetzen bringen, s. [6.4.3], diese werden dann auch in die dreidimensionalen Festpunktfelder zu integrieren sein, s. [7.3.2]. Über kürzere Entfernungen wird das geometrische Nivellement seine Bedeutung beibehalten, besonders in abgegrenzten Gebieten mit rezenten Vertikalbewegungen (Landsenkungsgebiete, Zonen hoher seismischer oder vulkanischer Aktivität usw.), s. [8.3.3].

7.3

Dreidimensionale Netze

Geodätische Raumverfahren liefern global, regional und lokal dreidimensionale geozentrische Koordinaten mit cm-Genauigkeit. Dabei realisieren globale Netze das ter-

294

7 Geodätische und gravimetrische Netze

restrische Bezugssystem. Kontinentweite Netze schließen an die Festpunkte des globalen Systems an, hierbei spielt die GPS-Positionsbestimmung eine maßgebende Rolle [7.3.1]. Die weitere Netzverdichtung wird nahezu ausschließlich mit GPS vorgenommen, gleichzeitig werden die klassischen geodätischen Netze in das geozentrische System integriert [7.3.2]. 7.3.1

Globale und kontinentale Netze

Der International Terrestrial Reference Frame (ITRF) bildet die globale Grundlage für die dreidimensionale Positionsbestimmung. Er wird durch die geozentrischen Koordinaten und die Horizontalgeschwindigkeiten eines globalen Satzes von geodätischen Fundamentalstationen gebildet, für eine bestimmte Epoche werden diese Größen mit einer Genauigkeit von etwa 1 cm bzw. ±1 bis 2 mm/Jahr bereit gestellt, s. [2.5.3]. Die Ergebnisse beruhen auf Messungen, die laufend mit verschiedenen Raumtechniken in globalen Netzen durchgeführt und vom Internationalen Erdrotationsdienst (IERS) kombiniert werden, s. [2.3]. Heute wird zur Positionsbestimmung und Navigation überwiegend das Global Positioning System (GPS) eingesetzt. Die GPS-Ergebnisse beziehen sich auf das World Geodetic System 1984 (WGS84), dieses wird durch ein globales Netz von GPSTrackingstationen realisiert. Die Genauigkeit dieser Stationen beträgt etwa ±5 cm, in diesem Genauigkeitsniveau stimmen auch WGS84 und ITRF überein, s. [5.2.5]. Der Internationale GPS-Dienst (International GPS Service IGS) wurde von der IAG eingerichtet und ist seit dem 1. Januar 1994 operationell. Er besteht aus einem globalen Netz von mehr als 200 permanent operierenden GPS-Stationen, die mit geodätischen GPS-Zweifrequenzempfängern ausgerüstet sind, und einer Anzahl von Daten- und Analyse-Zentren (Beutler et al. 1994, 1996b). Die IGS-Produkte umfassen hochgenaue (± wenige cm) GPS-Satellitenephemeriden, Korrektionen für die Satelliten- und die Stationsuhren, tägliche Erdrotationsparameter, Ionosphärenund Troposphärendaten und wöchentliche Lösungen für die Stationskoordinaten (subcm-Genauigkeit für die horizontale Lage, ±1 bis 2 cm in der Höhe) und die Stationsgeschwindigkeiten. Durch Einschluss einer Anzahl von ITRF-Stationen (Koordinaten und Geschwindigkeiten) ist das IGS-Netz mit dem ITRF verknüpft. Es trägt so wesentlich zu diesem System und zu seiner Verdichtung auf den Kontinenten bei. Ende der 1980er Jahre begann die Einrichtung kontinentweiter dreidimensionaler Grundnetze mit Hilfe von GPS. Dabei wird i. Allg. eine etwa gleichmäßige Überdeckung angestrebt, die Stationsabstände betragen einige 100 km. In jedem Land sollten mindestens drei Stationen für die weitere Netzverdichtung und die Transformation bestehender Festpunktfelder eingerichtet werden, s. [7.1.2], [7.3.2]. Die Auswahl der Netzpunkte orientiert sich an den Anforderungen an präzise GPS-Beobachtungen (keine Sichtbeschränkungen im Höhenwinkelbereich zwischen 5◦ bis 15◦ und 90◦ , keine Mehrwegausbreitung, keine Interferenz mit Radiowellen). Die Stationen werden i. Allg. durch Betonpfeiler vermarkt, diese tragen eine Zwangszentrierung für die GPS-Antenne und eine Höhenmarke. Exzentrische Vermarkungen dienen zur örtlichen Kontrolle von Lage und Höhe. Falls die GPS-Anforderungen erfüllt sind, können auch

7.3 Dreidimensionale Netze

295

die Vermarkungen von bestehenden Festpunkten erster Ordnung verwendet werden, die GPS-Stationen sollten jedoch stets durch örtliche Anschlussmessungen mit dem vorhandenen Netz verbunden werden Die Vermessung dieser Netze wird im Relativmodus in gezielten GPS- Kampagnen durchgeführt, s. [5.2.5]. Notwendig ist die Einbeziehung mindestens einer Referenzstation, für die Koordinaten im ITRF gegeben sind. In der Realität werden sämtliche innerhalb und in der Nähe des Vermessungsgebietes liegenden ITRF- und IGS-Stationen als Referenzstationen („fiducial stations“) eingeführt. Die Verbindung zum ITRF lässt sich auch durch temporäre Referenzstationen herstellen, wenn diese mit in der Nähe liegenden IGS-Stationen verbunden werden. In Abhängigkeit von der Zahl der Netzpunkte und der verfügbaren GPS-Empfänger (geodätische Zweifrequenz- Empfänger) werden entweder alle Stationen gleichzeitig beobachtet oder es wird das Netz in nacheinander zu beobachtende Blöcke zerlegt (Abb. 7.12). Der Zeitraum, in dem in einem Netz oder Netzteil gleichzeitige Beobachtungen durchgeführt werden, wird als „Session“ bezeichnet. Bei einer typischen Session-Dauer von 24 Stunden lassen sich in der Auswertung dann neben den Stationskoordinaten auch die Mehrdeutigkeitsparameter und troposphärische Korrektionen bestimmen. Die Ergebnisse der Ausgleichung einer Session sind untereinander hoch korreliert. Deshalb wird i. Allg. in mehreren Sessions beobachtet, was zu einer Gesamtbeobachtungszeit von einigen Tagen bis zu einer Woche führt. Durch den Anschluss der Netze an IGS-Stationen und Verwendung der präzisen IGS-Bahndaten bleibt der Einfluss von Fehlern der Referenzstationen und der Satellitenbahnen auf die Stationskoordinaten im Bereich von wenigen mm. Werden in einer Messkampagne verschiedene Typen von GPS-Empfängern benutzt, so sind Korrektionen wegen der unterschiedlichen Lage derAntennen- Phasenzentren anzubringen. Zeitliche Variationen der Phasenzentren müssen durch entsprechende Kalibrierung berücksichtigt werden (Seeber et al. 1998). Mit längeren Beobachtungszeiten steigt wegen

1

2

3

6

5

4

Abb. 7.12. Aus einzelnen Blöcken zusammengesetztes GPS-Netz (Prinzip)

Abb. 7.13. GPS-Netz mit Basislinien zu permanenten GPS-Stationen (Prinzip)

der veränderlichen Satellitengeometrie und der Reduktion restlicher Troposphären-, Mehrwegausbreitungs- und Antennen-Effekte die Genauigkeit der Ergebnisse, dies gilt besonders für die Höhenkomponente. Dabei verbessert der Einschluss auch von

296

7 Geodätische und gravimetrische Netze

kleineren Satelliten-Höhenwinkeln die Geometrie der Lösung, es vergrößern sich aber die troposphärischen Fehler. Kontinentweite GPS-Netze lassen sich heute mit einer Genauigkeit von ±1 cm bestimmen. Permanente („aktive“) GPS-Stationen werden seit den 1990er Jahren sowohl regional als auch lokal eingerichtet (Galas et al. 1995). Sie sind mit geodätischen Zweifrequenz-Empfängern ausgerüstet und führen kontinuierlich Beobachtungen zu sämtlichen verfügbaren Satelliten durch. Die ungestörte Sicht zu den Satelliten wird dadurch erreicht, dass die Antennen einige m bis zu 10 m über Grund auf Betonpfeilern, Stahlgittermasten oder Gebäuden installiert werden. Die Permanentnetze liefern die rohen GPS-Trackingdaten, Uhrkorrektionen und atmosphärische Daten sowie tägliche bis wöchentliche Lösungen für die Stationskoordinaten (Präzision von wenigen mm). Sie überwachen primär die durch die Plattentektonik und andere geodynamische Vorgänge auftretenden Bewegungen und dienen so der Laufendhaltung des durch die Grundnetze realisierten Referenzsystems. Darüber hinaus wird die Einrichtung weiterer Festpunkte durch GPS-Differentialmethoden ermöglicht. Hierbei werden Basislinien zu den Permanentstationen beobachtet und die für diese Stationen bereitgestellten Daten (siehe oben) zur Verbesserung der Lösung herangezogen. Mit dieser Strategie lässt sich auch mit nur einem GPS-Empfänger eine präzise Positionsbestimmung durchführen (Abb. 7.13). GPS-Grundnetze mit eingeschlossenen Permanentstationen verdichten ITRF und IGS im kontinentalen Rahmen und bilden die Grundlage für nationale Systeme. In Anlehnung an die ITRF-Strategie werden für die Stationskoordinaten der Grundnetze Bezugsepochen definiert, diese können von der Epoche der benutzten ITRF-Stationen und dem Beobachtungszeitraum abweichen. In diesem Fall müssen Reduktionen angebracht werden, welche die Stationsgeschwindigkeiten zwischen den verschiedenen Epochen berücksichtigen. Ein Europäisches Terrestrisches Referenzsystem (ETRS) wird seit Ende der 1980er Jahre als European Reference Frame (EUREF) aufgebaut. Die EUREF-Stationen wurden durch aufeinanderfolgende GPS-Kampagnen unter Einschluss von ITRF- und IGS-Stationen bestimmt, wobei meist mehrere Länder überdeckt wurden (Seeger et al. 1998, Adam et al. 2000b). Das Bezugssystem ist für die Epoche 1989.0 definiert und durch den European Terrestrial Refence Frame 1989 (ETRF89) realisiert, was mit der Definition des ITRF89 übereinstimmt. Im Jahre 1999 umfasste das ETRF89 etwa 200 Stationen mit Abständen zwischen 300 und 500 km (Abb. 7.14). ETRF89 soll mit dem stabilen Teil der europäischen Platte rotieren, so dass dieser Bezugsrahmen über einen längeren Zeitraum unverändert bleiben kann. Zur Laufendhaltung des ETRS und zur Verdichtung des IGS-Netzes dienen etwa 90 permanente GPS-Stationen. Zu den weiteren Anwendungen dieses Netzes zählt die Untersuchung rezenter geodynamischer Vorgänge, die Erfassung von Meeresspiegeländerungen und durch Auswertung der troposphärischen Phasenverzögerung auch die Mitwirkung bei der Wettervorhersage (Bruyninx 1999), s. [5.1.2]. Um die verschiedenen Höhensysteme der europäischen Länder im Genauigkeitsniveau von wenigen cm zu verbinden, wird zur Zeit ein Europäisches Vertikales Bezugssystem (European Vertical Reference System) EVRS eingerichtet und durch einen entsprechenden Bezugsrahmen (EVRF) realisiert. Dieser besteht aus einem etwa 200 Stationen umfassenden European Vertical Reference Network (EUVN), welches seit 1997 in gezielten GPS-Kampagnen mit Beobachtungs-

7.3 Dreidimensionale Netze

297

Abb. 7.14. Europäisches Bezugssystem (European Reference Frame) EUREF89/97 mit permanenten GPS-Stationen (Status 1999), BKG, Frankfurt a. M., Deutschland

zeiten von einer Woche vermessen wurde. Eingeschlossen sind ausgewählte EUREF-Stationen, Knotenpunkte des europäischen Nivellementsnetzes UELN, Meerespegel und eine Anzahl von permanenten GPS-Stationen. Für die Netzpunkte werden dreidimensionale Koordinaten, geopotentielle Koten und Normalhöhen berechnet, das EUVN liefert also auch Stützpunkte zur Anpassung eines europäischen Quasigeoids an ein einheitliches europäisches Höhensystem, s. [6.4.3]. Nach Erweiterung zu einem kinematischen Höhensystem kann das EUVN auch zur Untersuchung großräumiger vertikaler Krustenbewegungen und Meeresspiegeländerungen herangezogen werden (Adam et al. 2000a). In Südamerika wurde 1995 ein Sistema de Referencia Geocentrico para America del Sur (SIRGAS) durch simultane GPS-Beobachtungen (10 Tage) eingerichtet, das Netz umfasst etwa 60 gut über den Subkontinent verteilte Stationen (Hoyer et al. 1998). SIRGAS bildet die Grundlage für die Transformation der nationalen Netze in das globale Bezugssystem. Im Jahre 2000 wurde eine weitere SIRGAS GPS-Kampagne (einschließlich Mittel- und Nordamerika) durchgeführt, die auch Nivellementsfestpunkte und Meerespegel einbezog; hieraus soll ein einheitliches Höhensystem entstehen.

7.3.2

Nationale Netze

Seit den 1990er Jahren werden nationale geodätische Netze mit Hilfe von GPS eingerichtet, sie ersetzen in zunehmendem Maße die klassischen horizontalen (und möglicherweise auch vertikalen) Netze (Augath 1997). Obwohl die Vorgehensweisen zur Einrichtung und Laufendhaltung dieser dreidimensionalen Referenznetze noch diskutiert werden und sich von Land zu Land unterscheiden, lassen sich doch folgende Richtungen klar erkennen:

298

7 Geodätische und gravimetrische Netze

• Aufbau eines großräumigen dreidimensionalen Netzes mit Punktabständen zwischen 10 und 50 km, • Einrichtung von permanenten GPS-Stationen mit Abständen von 50 bis 100 km, • Transformation der bestehenden Lagenetze in das dreidimensionale System, eventuell unter Einbeziehung zusätzlicher GPS-Stützpunkte. Das dreidimensionale Netz wird in gezielten GPS-Kampagnen mit Relativmethoden vermessen, entweder als Verdichtung eines bestehenden kontinentalen Referenznetzes oder durch Anschluss an ITRF- und IGS-Stationen, s. [7.3.1]. Die Netzpunkte werden so ausgewählt, dass sie mit den trigonometrischen Punkten erster und zweiter Ordnung zusammenfallen oder zu ihnen benachbart sind. Hierbei sind die GPSBeobachtungskriterien zu beachten, zur langzeitigen Sicherung der Netzpunkte sollten unterirdische Vermarkungen eingebracht werden. In größeren Ländern ist eventuell eineAufteilung in ein Grundnetz mit Stationsabständen von einigen 10 km (entsprechend den Dreieckspunkten erster Ordnung) und Verdichtungsnetzen mit Punktabständen bis herab zu 10 km (entspricht der Triangulation zweiter Ordnung) zweckmäßig. Durch die Einbeziehung von Nivellementsfestpunkten erster Ordnung und von Meerespegeln kann das bestehende Höhennetz in das dreidimensionale System integriert werden. Während kleinere Netze in einem Guss simultan beobachtet werden können, wird bei größerer Netzausdehnung i. Allg. eine Unterteilung in Beobachtungsblöcke mit aufeinander folgenden GPS-Kampagnen notwendig sein. Jede Station wird mindestens zweimal an verschiedenen Tagen beobachtet, wobei eine Session zwischen 8 und 24 Stunden umfasst. Nahe gelegene Referenzstationen von globalen oder kontinentalen Netzen werden als „fiducial stations“ in die Beobachtungen einbezogen. Eine Mehrstations-Ausgleichung verarbeitet sämtliche in einer Session gewonnenen Daten, während die Multisession-Ausgleichung die Ergebnisse verschiedener Sessions kombiniert. Das so entstandene nationale Netz wird auf eine bestimmte ITRS-Epoche bezogen. Die erreichte Genauigkeit liegt bei ±1 cm und besser für die horizontalen Komponenten und ±1 bis 2 cm für die Höhen. Permanente GPS-Stationen werden in Abständen von 50 bis 100 km und mehr eingerichtet. Sie dienen zur Überwachung und Laufendhaltung des nationalen Bezugsrahmens in Bezug auf rezente Krustenbewegungen, fungieren aber auch als Referenzstationen für sämtliche GPS-Differentialmethoden (differential GPS DGPS), Drewes (1996), Wanninger (1996). Die Stationen werden mit geodätischen ZweifrequenzEmpfängern ausgerüstet, sie beobachten sämtliche sichtbaren GPS-Satelliten mit hohen Datenraten (z. B. 1 s). Die Auswahl der Stationen und die Bereitstellung von Ergebnissen (rohe Tracking-Daten, Stationskoordinaten, atmosphärische Korrektionen usw.) folgt den für die Permanentstationen kontinentaler Netze entwickelten Regeln, s. [7.3.1]. Werden die Stationen des dreidimensionalen Netzes mit trigonometrischen Punkten erster und zweiter Ordnung verbunden, so lassen sich die bestehenden Lagenetze in den dreidimensionalen Bezugsrahmen transformieren. Liegen in den klassischen Netzen größere Netzspannungen vor, so wird eventuell die Einrichtung zusätzlicher

7.3 Dreidimensionale Netze

299

GPS-Stützpunkte erforderlich; die Auswahl dieser Punkte hängt von den jeweiligen Verzerrungen dieser Netze ab, s. [7.1.2]. Bei einem homogenen Netz hoher Präzision kann die Umformung eventuell bereits mit einer 7-Parameter-Transformation vorgenommen werden, i. Allg. werden jedoch höhere Transformationsansätze notwendig sein (z. B. durch eine Polynom-, kleinste Quadrate- oder Splines-Anpassung, Moritz 1978). Auf diese Weise lässt sich die lokale cm-Genauigkeit der klassischen Netze bewahren, und der Einfluss der Netzverzerrungen kann auf die cm- bis dmGrößenordnung über Entfernungen von einigen 10 bis 100 km reduziert werden. Nach Einrichtung eines dreidimensionalen Bezugsrahmens können weitere GPSPositionsbestimmungen durch Anschluss an die im Vermessungsgebiet liegenden Referenzstationen im Relativmodus durchgeführt werden. Hierfür werden zwei oder mehr GPS-Empfänger benötigt, ein Gerät (oder mehrere Geräte) führt dabei kontinuierliche Satellitenbeobachtungen durch und fungiert so als temporäre Referenzstation. Wird durch einen nationalen GPS-Dienst ein Netz permanenter GPS-Stationen mit Datenübertragung zu den Nutzern vorgehalten, so kann DGPS angewandt werden (Wanninger 2000). Die Positionsbestimmung wird dann mit nur einem Empfänger möglich, wobei die erreichbare Genauigkeit von der Länge der Basislinien zwischen dem Neupunkt und den Permanentstationen abhängt. Mit kurzen (einige km bis zu 10 km) Basislinien lässt sich nach hinreichender Mehrdeutigkeitslösung eine relative cm-Genauigkeit in Quasi-Echtzeit erreichen. Bei längeren Basislinien fällt die Genauigkeit wegen der entfernungsabhängigen Fehleranteile der GPS-Positionierung ab, s. [5.2.5]. Wird an ein Netz von mindestens drei permanenten Stationen angeschlossen, so lässt sich die bekannte Netzgeometrie zur raschen Bestimmung der Mehrdeutigkeiten und zur Berechnung von Korrektionen für die Basislinien wegen ionosphärischer und troposphärischer Effekte und Satellitenbahnfehlern nutzen (Wanninger 1993). Mit einer Nachbearbeitung der DGPS-Resultate lässt sich dann eine relative sub-cm-Genauigkeit erzielen. Nach abgeschlossener Transformation der klassischen Lagenetze in den dreidimensionalen Bezugsrahmen werden diese Netze i. Allg. nicht mehr laufend gehalten. Werden die Nivellementsfestpunkte erster Ordnung in das dreidimensionale Netz einbezogen, so lassen sich die Unterschiede zwischen den ellipsoidischen Höhen und den Höhen des nationalen Höhensystems bestimmen (Geoidhöhen, Quasigeoidhöhen). Mit Hilfe dieser GPS/Nivellements-Stützpunkte kann die Höhen-Nullfläche des nationalen Systems an ein Geoid-oder Quasigeoidmodell angepasst und es können schwerefeldbezogene Höhen (orthometrische Höhen, Normalhöhen) für sämtliche Festpunkte des dreidimensionalen Systems abgeleitet werden, s. [6.4.3]. Als Ergebnis liegt ein mit dem dreidimensionalen Bezugsrahmen zusammenfallendes Höhensystem vor, dessen Festpunkte gleichmäßig über das Land verteilt und nicht nur längs der Nivellementslinien angeordnet sind. Mit zunehmender Genauigkeit der Geoid/Quasigeoid„Reduktion“ der GPS-Höhen wird sich die Anwendung des geometrischen Nivellements mehr und mehr auf lokale Aufgaben reduzieren, bei denen mm- Genauigkeit verlangt wird. In Deutschland wurde ein dreidimensionales Grundnetz im Jahre 1991 eingerichtet: Deutsches

300

7 Geodätische und gravimetrische Netze

Abb. 7.15. Deutsches GPS-Referenznetz 1991 (DREF91) mit EUREF-Stationen (schwarze Kreise), BKG, Frankfurt a. M., Deutschland

Referenznetz 1991 (DREF91). Es besteht aus 109 Stationen, die zum größten Teil mit trigonometrischen Punkten erster oder zweiter Ordnung identisch sind (Abb. 7.15). Das Netz enthält die in Deutschland liegenden ITRF- und EUREF-Stationen und stellt den in den ETRF eingebetteten nationalen Bezugsrahmen dar. Die Vermessung wurde in zwei voneinander unabhängigen GPS-Kampagnen durchgeführt (8 Stunden Beobachtungszeit je Session), die ausgeglichenen Koordinaten (Genauigeit ±1 cm in der Lage und ±1 bis 2 cm in der Höhe) wurden in den Bezugsrahmen ETRF89 transformiert (Lindstrot 1999). Das DREF91 wird durch ein Netz von etwa 20 permanenten GPS-Stationen laufend gehalten (GREF). Dieses wird vom BKG und den Landesvermessungsämtern betrieben, bei täglicher Auswertung wird eine Lagegenauigkeit von ±5 mm und eine Höhengenauigkeit von besser als ±10 mm erreicht (Becker et al. 1999). Von den Landesvermessungsämtern sind inzwischen DREF-Verdichtungsnetze mit Punktabständen zwischen 15 und 25 km beobachtet worden. Als DGPS-Dienst wird daneben der Satellitenpositionierungsdienst der deutschen Landesvermessung (SAPOS) aufgebaut. Im Endausbau wird dieser Dienst etwa 200 permanente GPS-Stationen in Abständen von 50 bis 70 km umfassen. Die hier gespeicherten GPS-Signale werden zusammen mit anderen Produkten den Nutzern im RINEX (receiver independent exchange) Format zur Verfügung gestellt. Dabei sind verschiedene Genauigkeitsstufen sowohl für die Echtzeitverarbeitung als auch für ein Post-Processing verfügbar (Hankemeier et al. 1998). Sobald SAPOS voll operationell ist, werden die trigonometrischen Netze niederer Ordnung nicht mehr aufrecht erhalten. Weitere Beispiele für nationale dreidimensionale Referenznetze finden sich in Gubler und Hornik (1999) und Gubler et al. (1999). Permanente GPS-Netze spielen auch eine zunehmende Rolle in erdbebengefährdeten Gebieten, s. [8.3.3]. So wird in Japan vom Geographical Survey Institute ein landesweites Netz von mehr als 1 000 Stationen betrieben, so dass eine kontinuierliche Erfassung von Längenänderungen und tektonischen Bewegungen möglich ist.

7.4 Schwerenetze

7.4

301

Schwerenetze

Schwerenetze liefern durch die Schwerefestpunkte den Rahmen für gravimetrische Aufnahmen globaler, regionaler und lokaler Ausdehnung. Zur Schwerebestimmung werden absolute und relative Methoden benutzt. Im globalen Rahmen wird der Schwerestandard durch das International Gravity Standardization Net 1971 (IGSN71) gebildet. Mit Absolutgravimetern kann dieser Schwerestandard heute auch unabhängig von einem globalen Bezugssystem realisiert werden, s. [5.4.3]. Ein globales absolutes Schwerenetz ist insbesondere zur Erfassung langfristiger zeitlicher Schwereänderungen eingerichtet worden, s. [8.3.4]. Nationale gravimetrische Aufnahmen basieren auf einem Schweregrundnetz (auch Schwerenetz erster Ordnung), das durch Netze niederer Ordnung weiter verdichtet werden kann. Die Grundnetzstationen sollten gleichmäßig über das Land verteilt sein, Stationsabstände von einigen 100 km sind in ausgedehnteren Ländern üblich. Die Schwerepunkte sollten so ausgewählt werden, dass die geologischen und hydrologischen Bedingungen möglichst stabil sind und die Mikroseismik gering bleibt. Um die Station langzeitig zu erhalten, ist die Einrichtung in dauerhaften Gebäuden (Observatorien, historisch geschützte Gebäude usw.) zweckmäßig. Zur Sicherung des Schwerepunktes und zur Kontrolle eventueller lokaler Höhenänderungen und Massenverschiebungen werden gravimetrische Exzentren angelegt und nivellitisch und gravimetrisch mit dem Zentrum verbunden. Als Vermarkung für die Schwerepunkte der Verdichtungsnetze können die Festpunkte der Lage- und Höhennetze benutzt werden. Die Lage und Höhe der Schwerepunkte ist mit m- bzw. mm bis cm-Genauigkeit festzulegen. Zur Einrichtung von Schweregrundnetzen werden in zunehmendem Maße Absolutgravimeter eingesetzt, teilweise in Verbindung mit Relativgravimetern. Verdichtungsnetze werden fast ausschließlich mit Relativgravimetern beobachtet, dabei werden Kalibrierungen und Wiederholungsmessungen zur Erfassung der Instrumentendrift notwendig. Die bei Gravimetermessungen auftretenden systematischen Fehler lassen sich durch Verwendung mehrerer Instrumente reduzieren, s. [5.4.2]. Die Relativgravimetrie erfordert mindestens zwei absolute Schwerestationen, um das gravimetrische „Datum“ festzulegen und den linearen Kalibrierfaktor (Herstellerwert oder auf einer Kalibrierstrecke bestimmt) zu überprüfen und gegebenenfalls zu verbessern. Netzoptimierungen sind nützlich, wenn bei vorgegebenen Restriktionen (Zeit- und Geldaufwand) eine maximale Netzgenauigkeit und Zuverlässigkeit erreicht werden soll (Wenzel 1977). Die Anlage von Schwerenetzen für geophysikalische und geodynamische Aufgabenstellungen folgt denselben Regeln, doch wird die Verteilung der Schwerepunkte dabei durch die zu untersuchenden geologischen Strukturen bzw. geodynamischen Vorgänge bestimmt, s. [8.3.4]. Schwerenetze werden i. Allg. nach vermittelnden Beobachtungen ausgeglichen, dabei sind die Schwerewerte und bei Relativgravimetern auch die Drift- und Kalibrierkoeffizienten die unbekannten Parameter. Als Beobachtungen werden die gemessenen absoluten Schwerewerte und die Ablesungen oder die Ablesedifferenzen der Relativ-

302

7 Geodätische und gravimetrische Netze

gravimeter eingeführt. Die Beobachtungsgleichung für eine absolute Schweremessung auf der Station i lautet (7.4) z¯ i = gi , wobei z¯ i das wegen der Polbewegung und der Erdgezeiten korrigierte Stationsmittel nach Reduktion auf den Bodenpunkt ist, s. [5.4.1]. Für relative Schweremessungen folgt die Beobachtungsgleichung aus (5.90) und (5.92). Bei Beschränkung auf die linearen Anteile der Drift- und der Kalibrierfunktion wird die Ablesung zi (nach genäherter Kalibrierung und Erdgezeitenreduktion) auf der Station i (Zeit ti ) mit Y1 zi − d1 ti + N0 = gi

(7.6a)

in die Schwere transformiert. Dies führt zu der Beobachtungsgleichung zi = gi − N0 − y1 zi + d1 ti

(7.6b)

mit d1 = linearer Driftkoeffizient, Y1 = 1 + y1 = linearer Kalibrierkoeffizient, y1 = Maßstabskorrektion, N0 = Niveau-Unbekannte. Häufig werden die Ablesedifferenzen zwischen zwei Stationen i und j als Beobachtungen eingeführt, dabei entfallen die Niveau-Unbekannten (Torge 1993b): zij = zj − zi = gj − gi − y1 (zj − zi ) + d1 (tj − ti ).

(7.7)

Die Genauigkeit von Schweregrundnetzen, die mit Absolutgravimetern oder in Kombination von Absolut- und Relivgravimetern vermessen werden, beträgt etwa ±0,05 bis 0,1 μms−2 . In Deutschland wurden erste Schweregrundnetze mit relativen Pendelmessungen zwischen den 1930er und den 1960er Jahren eingerichtet (Geophysikalische Reichsaufnahme 1934 – 1944). Das Schwereniveau wurde durch Anschluss an den Absolutschwerewert in Potsdam festgelegt, s. [5.4.3]. Die Genauigkeit der Schwerewerte erhöhte sich in diesem Zeitraum von ± einigen μms−2 auf ± einige 0,1 μms−2 . In den 1970er Jahren wurden in Westdeutschland vier Absolutschweremessungen und eine Vielzahl von relativen Schweremessungen zum Aufbau eines neuen Grundnetzes durchgeführt: Deutsches Schweregrundnetz 1976 (DSGN76), Sigl et al. (1981). Dieses Netz wurde 1994/1995 mit einem FG5-Absolutgravimeter neu vermessen und auf Ostdeutschland ausgedehnt: DSGN94. Es besteht aus 30 Punktgruppen (mit dem Absolutgravimeter beobachtetes Zentrum und mindestens zwei Exzentren). Zur Überprüfung der Genauigkeit (±0,05 μms−2 ) und der Zuverlässigkeit dienten Wiederholungsmessungen und Relativgravimetermessungen (mehrere Gravimeter des Typs LaCoste-Romberg und Scintrex) zwischen den Netzpunkten (Torge et al. 1999a). Ein Verdichtungsnetz erster Ordnung (mittlerer Stationsabstand 30 km) wurde 1978 – 1982 und 1994 von den Landesvermessungsämtern mit Relativgravimetern vermessen (relative Genauigkeit ±0,01 μms−2 ): Deutsches Hauptschwerenetz 1996 (DHSN96), Abb. 7.16. Weitere Netzverdichtungen bis zu Punktabständen von wenigen km sind bereits durchgeführt oder in Vorbereitung (Weber 1998). Das Schwerenetz von Uruguay ist ein Beispiel für die kombinierte Ausgleichung von absoluten und relativen Schweremessungen in einem Netz, wobei die Relativmessungen insbesondere längs der Nivellementslinien verlaufen, Abb. 7.17 (Subiza et al. 1998).

7.4 Schwerenetze

303

RIVERA

PAYSANDU

BUENOS AIRES

Abb. 7.16. Deutsches Hauptschwerenetz DHSN96 und Deutsches Schweregrundnetz DSGN94 (schwarze Kreise), BKG, Frankfurt a. M., Deutschland

TOLEDO

Abb. 7.17. Schwerenetz von Uruguay mitAbsolutpunkten (schwarze Dreiecke), Relativpunkten und Erdgezeitenstation (schwarzer Kreis), nach Subiza et al. (1998)

8 Aufbau und Dynamik der Erde Im Rahmen der Geowissenschaften (Geophysik, Geologie, Petrologie, Mineralogie, Geochemie) befasst sich die Geodäsie mit der Bestimmung der Figur der Erde und ihres äußeren Schwerefeldes. Die Ergebnisse der geodätischen Arbeiten stellen Randbedingungen bei der Entwicklung statischer und dynamischer geophysikalischer Erdmodelle dar. Andererseits liefern diese Modelle wesentliche Informationen für die Planung und Ausführung geodätischer Operationen. Geophysikalische Erdmodelle gehen im Allgemeinen von einer radialen Struktur der physikalischen Parameter innerhalb des Erdkörpers aus und unterstellen hydrostatisches Gleichgewicht [8.1]. In den oberen Schichten der Erde, in denen geodynamische Prozesse eine wichtige Rolle spielen, treffen diese Voraussetzungen nicht zu [8.2]. Zur Erforschung rezenter geodynamischer Vorgänge trägt die Geodäsie durch die Bestimmung zeitlicher Änderungen der Rotation, der Oberfläche und des Schwerefeldes der Erde bei [8.3]. Aus der umfangreichen geophysikalischen Literatur nennen wir die Lehrbücher von Berckhemer (1990), Lowrie (1997) und Fowler (1999). Eine Einführung in die Tektonik gibt Eisbacher (1991). Die Querverbindungen zwischen Geodäsie und Geophysik werden besonders in Heiskanen und Vening-Meinesz (1958), Lambeck (1988) und Moritz (1990) behandelt. Eine Übersicht über den aktuellen Stand bei der Sammlung geophysikalischer Daten und der Parameterschätzung gibt Ahrens (1995).

8.1

Das geophysikalische Erdmodell

Aus verschiedenen Beobachtungen ergibt sich, dass die Erde keinen homogenen Aufbau besitzt: • Für die Masse der Erde erhalten wir aus der geozentrischen Gravitationskonstanten GM, s. [6.8.1], und der Gravitationskonstanten G, s. [2.1], den Wert M = 5,974 × 1024 kg. Mit dem Volumen des Erdellipsoids 1 083 × 1018 m3 folgt für die mittlere Dichte ρm = 5,515 × 103 kg m−3 . Da die Dichte der Erdkruste nur 2,7 bis 2,9 × 103 kg m−3 beträgt, muss die Dichte zum Erdinneren hin zunehmen. • Astronomische Beobachtungen der lunisolaren Präzession, s. [2.4.2], ergeben für die dynamische (mechanische) Abplattung C−A (8.1) A den Zahlenwert 1/305,45, C und A sind das polare bzw. das mittlere äquatoriale Trägheitsmoment. Mit dem von der Satellitengeodäsie bestimmten dynamischen H =

8.1 Das geophysikalische Erdmodell

305

Formfaktor, s. [6.8.1],

C−A a2M folgt für das Trägheitsmoment in Bezug auf die Rotationsachse: J2 =

(8.2)

C = 0,3307a 2 M. Bei einer homogenen Erdkugel würde sich hierfür C = 0,4a 2 M ergeben. Dies deutet wiederum auf eine Dichtezunahme mit der Tiefe hin. • Die Seismologie hat einen schalenförmigen Aufbau der Erde nachgewiesen, wobei die Begrenzungen der Schalen durch Unstetigkeiten der seismischen WellenGeschwindigkeiten definiert sind. Mit bekannten seismischen Wellengeschwindigkeiten und unter der Annahme hydrostatischen Gleichgewichts lassen sich Dichte, Schwere und Druck innerhalb eines sphärisch geschichteten Erdmodells als Funktion des radialen Abstandes vom Massenschwerpunkt berechnen. Die Annahme hydrostatischen Drucks im Erdinnern ist dadurch gerechtfertigt, dass die Erde sich ursprünglich in einem flüssigen Zustand befand. In diesem Fall hing der Druck im Inneren nur vom Gewicht der oberhalb liegenden Massen ab und nahm zum Erdzentrum zu.

Die Seismologie bestimmt die Geschwindigkeiten der seismischen Primär- (Kompressions-) und Sekundär- (Scher-) Wellen (P-Wellen, S-Wellen). Hieraus lässt sich der seismische Parameter K 4 = vP2 − vS2 (8.3) = ρ 3 berechnen, mit K = Kompressionsmodul (bulk modulus), ρ = Dichte, vp , vs = Geschwindigkeit der P- bzw. S-Wellen. K ist als Quotient zwischen dem hydrostatischen Druck und der relativen Volumenänderung definiert, die ein Körper unter diesem Druck erfährt. Der Zusammenhang zwischen einer Änderung des Drucks p und der Dichte ergibt sich zu 1 (8.4) dρ = dp.  Bei hydrostatischem Gleichgewicht hängt die Zunahme des Drucks mit der Tiefe vom Gewicht der zusätzlich aufgebrachten vertikalen Massensäule ab. Mit dem radialen Abstand r lautet dann die hydrostatische Grundgleichung: dp = −g(r)ρ(r) dr,

(8.5)

wobei das Minuszeichen anzeigt, dass der Druck mit wachsendem Radius abnimmt. Aus (8.4) und (8.5) folgt schließlich der Zusammenhang zwischen Änderungen der Dichte und der Tiefe (Adams-Williamson-Gleichung): dρ g(r)ρ(r) =− . dr 

(8.6)

306

8 Aufbau und Dynamik der Erde

Die radiale Änderung des Schwerepotentials W ergibt sich nach (3.52) zu dW = −g(r) dr.

(8.7)

dp = ρ(r) dW.

(8.8)

Einsetzen von (8.7) in (8.5) ergibt

Die Flächen gleichen Drucks (Isobarenflächen) fallen also mit den Äquipotentialflächen und nach (8.4) auch mit den Flächen gleicher Dichte zusammen. Mit der Dichte und Schwere an der Erdoberfläche als Ausgangswerten lassen sich nach (8.3), (8.4) sowie (3.22), (3.23) die Dichte, der Druck und die Schwere im Erdinneren iterativ berechnen, die Gesamtmasse der Erde und das polare Trägheitsmoment stellen dabei Randbedingungen dar. Diese kugelsymmetrisch aufgebauten Erdmodelle bestehen aus mehreren Schalen mit unterschiedlichen chemischen und physikalischen Eigenschaften (stoffliche Zusammensetzung, Druck, Temperatur), Dziewonski und Anderson (1981). Die Geschwindigkeiten oder Geschwindigkeitsgradienten der seismischen Wellen weisen ebenso wie die Dichte an den Schalengrenzen abrupte Änderungen auf (Diskontinuitätsflächen oder -zonen), s. Abb. 8.1. Innerhalb einer Schale nimmt die Dichte allmählich zu, im Erdzentrum wird ein Wert von etwa 13 000 kg m−3 erreicht. Die Schwere bleibt innerhalb des Erdmantels genähert konstant und nimmt dann im Erdkern etwa linear ab, im Erdschwerpunkt wird sie Null. Der Druck wächst kontinuierlich mit der Tiefe.

r 4

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MANTEL

g

INNERER KERN

8

ÄUSSERER KERN

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12

6000 TIEFE (km)

Abb. 8.1. Dichte ρ (103 kg/m3 ), Schwere g ( m/s2 ) und Druck p (1011 Pa) innerhalb eines kugelsymmetrischen Erdmodells, nach Dziewonski und Anderson (1981)

0

Abb. 8.2. Sphärisches Erdmodell mit durch Diskontinuitätszonen (D.) getrennten homogenen Schalen, nicht maßstäblich, nach Dziewonski und Anderson (1981)

Abb. 8.2 zeigt den geschichteten Aufbau des Erdkörpers. Die Erdkruste (mittlere Mächtigkeit über Kontinente und Ozeane etwa 24 km) als oberstes Lager ist durch eine komplexe Struktur gekennzeichnet. Sie ist vom oberen Mantel durch die Mohoroviˇci´cDiskontinuität getrennt. Laterale Dichteänderungen sind besonders in der Kruste ausgeprägt, finden sich aber auch im oberen Mantel, s. [8.2.1]. Die Kruste und der oberste

8.2 Die oberen Schichten der Erde

307

Teil des Mantels (als Überdeckung der darunter liegenden Zone niedriger seismischer Wellengeschwindigkeiten auch „lid“ genannt) verhalten sich in guter Näherung wie ein starrer Körper, hier finden die Bewegungen der Plattentektonik statt, s. [8.2.3]. Der untere Mantel beginnt in einer Tiefe von 650 bis 670 km, die Wiechert-GutenbergDiskontinuität trennt ihn in 2 890 km Tiefe vom Erdkern. Der flüssige äußere Kern erstreckt sich bis 5 150 km, gefolgt vom festen inneren Kern. Die Dichteverteilung dieser Erdmodelle kann auch durch Vergleich ihrer Elastizitätsparameter mit den Werten überprüft werden, die sich aus Beobachtungen der Eigenschwingungen und (in begrenztem Maße) der Erdgezeiten ergeben, s. [8.3.5]. Besonders die Eigenschwingungen liefern dabei eine wichtige Randbedingung. Verfeinerte Erdmodelle haben die Abweichungen von der Kugelsymmetrie und vom hydrostatischen Gleichgewicht zu berücksichtigen. Diese Abweichungen werden in den ungeraden zonalen und den tesseralen Kugelfunktionskoeffizienten des Gravitationspotentials, s. [3.3.4], und anderen geophysikalischen Beobachtungen sichtbar. So hat insbesondere die seismische Tomographie großräumige laterale Variationen der P- und S-Wellen im Mantel aufgedeckt, die mit Zonen von Dichte- und Temperatur-Anomalien korreliert sind (Dziewonski und Woodhouse 1987). Eine globale Abweichung vom hydrostatischen Gleichgewicht zeigt sich in der Abplattung eines aus genähert ellipsoidischen Dichteschalen aufgebauten rotierenden sphäroidischen Gleichgewichtskörpers. Nach Clairaut besteht dabei die folgende Beziehung zwischen dem polaren Trägheitsmoment C, der Masse M, den ellipsoidischen Größen a und m (4.50) und der hydrostatischen Abplattung fh :    2 2 5m C = −1 . (8.9) 1− a2M 3 5 2fh Einsetzen der beobachteten Werte ergibt für die hydrostatische Abplattung Werte um 1/299,7, was signifikant von dem aus Satellitenbahnanalysen abgeleiteten Wert 1/298,25 abweicht, s. [6.8.1], Denis (1989). Der beobachtete größere Abplattungswert könnte durch eine „fossile“ Abplattung des unteren Mantels verursacht sein, die sich bei einer größeren Rotationsgeschwindigkeit herausgebildet hat und noch nicht kompensiert ist. Noch nicht abgeschlossene Ausgleichsbewegungen nach dem Abschmelzen der polaren Eiskappen könnten eine andere Erklärung für die Differenz zwischen der hydrostatischen und der tatsächlichen Abplattung sein.

Die ellipsoidische Form und die Rotation der Erde berücksichtigende verfeinerte Erdmodelle können das Niveauellipsoid als gute Näherung für die äußere Randfläche benutzen, s. [4.2.1].

8.2

Die oberen Schichten der Erde

In der Erdkruste und im oberen Mantel finden sich erhebliche Abweichungen vom Modell einer kugelsymmetrisch aufgebauten Erde [8.2.1]. Dabei sind die Überschüsse (Gebirge) und Defizite (Ozeane) der topographischen Massen zum großen Teil durch

308

8 Aufbau und Dynamik der Erde

tiefer liegende Ausgleichsmassen so kompensiert, dass Isostasie herrscht [8.2.2]. Die Theorie der Plattentektonik führt (nahezu) starre Lithosphärenplatten ein, die sich gegeneinander verschieben, Krustendeformationen treten dabei besonders an den Plattenrändern auf [8.2.3]. Da das Schwerefeld die Verteilung der Erdmassen widerspiegelt, liefert es eine wesentliche Randbedingung bei der Entwicklung von Krusten- und Mantelmodellen [8.2.4].

8.2.1 Aufbau der Erdkruste und des oberen Mantels Der heterogene Aufbau der obersten Schichten der Erde ist unmittelbar aus der Verteilung und Zusammensetzung der topographischen Massen ersichtlich. So besteht ein ausgeprägter Unterschied zwischen der mittleren Höhe der Kontinente (etwa 0,5 km) und der mittleren Tiefe der Ozeane (etwa 4,5 km). Die Meerestiefe nimmt mit wachsendem Abstand von den ozeanischen Rücken (mittlere Tiefe etwa 2,5 km) zu, was auf die mit der Meeresbodenausbreitung (sea-floor spreading) verbundene Abkühlung und Kontraktion der ozeanischen Lithosphäre zurückzuführen ist, s. [8.2.3]. Als Folge hiervon ist die ozeanische Kruste höchstens 200 Millionen Jahre alt, während die kontinentale Kruste auf vier Milliarden Jahre zurück datiert wird (Cazenave 1995). Die Kruste setzt sich aus einer Vielzahl von Sediment- und Erstarrungsgesteinen (Erguss- und Tiefengesteine) sowie metamorphen Gesteinen zusammen. Dichteänderungen treten hauptsächlich zwischen verschiedenen Gesteinsarten auf, doch finden sich größere Dichtevariationen auch innerhalb derselben Gesteinsart, besonders in Sedimenten. Dichtebestimmungen beruhen auf Oberflächen-Gesteinsproben, Bohrlochproben und dem experimentell gefundenen Zusammenhang zwischen der Dichte und der seismischen Wellengeschwindigkeit. Der obere Mantel ist intensiv mit seismischen Methoden untersucht worden, aus der seismischen Tomographie wurden inzwischen auch dreidimensionale Modelle entwickelt (Woodhouse und Dziewonski 1984). OZEAN SEDIMENTE 2000 … 2200

0

10

LAVADECKEN SEDIMENTE 2700

WASSER 1030

KONTINENT 2200...2500

OBERE KRUSTE GRANIT 2500 … 2800

BASALT 2900

CONRAD-DISKONTINUITÄT PERIDOTIT 3300 … 3400

VP > 6.5 kms-1

20

UNTERE KRUSTE OBERER MANTEL BASALT...GABBRO 2700 … 3100 -1

30

TIEFE (km)

VP > 7.8 kms

MOHOROVI„I‚ DISKONTINUITÄT

Abb. 8.3. Aufbau der Erdkruste mit Gesteinsdichten ( kg/m3 ) und Geschwindigkeiten der seismischen Primärwellen

8.2 Die oberen Schichten der Erde

309

Der Aufbau der Erdkruste und des oberen Mantels kann wie folgt beschrieben werden (Abb. 8.3): Sedimente mit stark wechselnder Mächtigkeit sind in der obersten Schicht der Kruste weit verbreitet. Seismische Wellengeschwindigkeiten und Dichtewerte (Mittelwert 2 400 kg m−3 für verfestigten Sandstein) variieren hier erheblich. Auf den Kontinenten besteht die darunter liegende obere Kruste hauptsächlich aus sauren Gesteinen wie Granit (mittlere Dichte 2 700 kg m−3 ), die Geschwindigkeit der P-Wellen schwankt zwischen 5,9 und 6,3 km s−1 . Die untere Kruste setzt sich aus basischen Gesteinen wie Basalt und Gabbro (mittlere Dichte 2 900 kg m−3 ) zusammen. Die Wellengeschwindigkeiten überschreiten 6,5 km s−1 und steigen allmählich auf mehr als 7 km s−1 an. Die Übergangszone zwischen oberer und unterer Kruste (Conrad-Diskontinuität) ist nur in einigen kontinentalen Bereichen in einer Tiefe von 10 bis 20 km stärker ausgeprägt. In den Ozeanen baut sich der oberste Teil der Kruste aus verfestigten Sedimenten und Basaltlavadecken auf, darunter findet sich eine basaltische Schicht von 6 bis 7 km Mächtigkeit (Tanimoto 1995). In einer mittleren Tiefe von 35 km (Kontinente) bzw. 10 km (Ozeane) steigt über wenige km die Wellengeschwindigkeit der P-Wellen markant auf mehr als 7,8 km s−1 an. Diese Mohoroviˇci´c-Diskontinuität (Moho) definiert die Grenze zwischen Kruste und Mantel. Unterhalb der Moho werden ultrabasische Gesteine (Peridotit mit Olivin als wichtigstem Mineralbestandteil) mit Dichtewerten zwischen 3 300 und 3 400 kg m−3 angenommen. Die Tiefe der Moho hängt stark mit der Topographie zusammen. In alten Schilden und Plattformen finden wir Tiefen von 30 bis 40 km, doch können auch Werte von 20 km und weniger erreicht werden (Afar Hotspot). Känozoische Gebirgsgürtel sind durch eine Krustenmächtigkeit von 60 bis 80 km gekennzeichnet. Unterhalb der Ozeane variiert die Krustendicke weniger. An den Rückenachsen und Bruchzonen beträgt sie nur wenige km, doch treten Mächtigkeiten von etwa 20 km im Bereich von Hotspots auf. Die Schwankungen der Krustendicke sind im wesentlichen auf die Isostasie und die Plattentektonik zurückzuführen, s. [8.2.2], [8.2.3]. Eine globale Darstellung der Moho-Tiefe liegt in Form einer Kugelfunktionsentwicklung bis zu Grad und Ordnung 20 vor (Soller et al. 1982). Für zahlreiche Regionen sind detailliertere Untersuchungen zur Tiefe der Moho verfügbar, z. B. für Europa (Meissner et al. 1987). Für die Kruste und den oberen Mantel sind auch dreidimensionale Modelle entwickelt worden (Mooney et al. 1998).

8.2.2

Isostasie

Betrachten wir die Topographie und die ozeanischen Wassermassen als Störungen des hydrostatischen Gleichgewichts, so müsste durch Entfernen der topographischen Massen und Auffüllen der Ozeane eine Gleichgewichtsfigur herstellbar sein, deren Schwerefeld dem Normalschwerefeld des Niveauellipsoids entspricht, s. [4.2.2]. Aus dem systematischen Verhalten der residualen Schwerefeldgrößen folgt jedoch, dass die sichtbaren Massenüberschüsse bzw. -defizite durch eine entsprechende Massenanordnung im Erdinnern zum großen Teil kompensiert sind (Heiskanen und VeningMeinesz 1958).

310

8 Aufbau und Dynamik der Erde

Bereits bei der peruanischen Gradmessung, s. [1.3.2], stellte Bouguer fest, dass die aus den Gebirgsmassen berechneten Lotabweichungen größer als die beobachteten Werte waren. Im 19. Jahrhundert zeigten sich bei der indischen Landesvermessung (G. Everest) erhebliche Differenzen zwischen den gemessenen und den aus den Massen des Himalaya berechneten Lotabweichungen, wobei die berechneten Werte teilweise das Mehrfache der Beobachtungen betrugen. Dies war der Ausgangspunkt für die Entwicklung isostatischer Modelle durch Airy und Pratt (siehe unten). Das großräumige Verhalten der Bougueranomalien, s. [6.5.3], liefert einen weiteren Hinweis auf die Kompensation der sichtbaren Massenanomalien. In Gebirgsregionen sind die Bougueranomalien i. Allg. negativ und erreichen Werte bis zu −2000 μms−2 , während auf den Ozeanen positive Werte (bis zu 4000 μms−2 ) üblich sind. Eine Korrelation mit den mittleren Höhen oder Tiefen (Mittelbildung über einige 100 km) lässt sich nachweisen und durch eine lineare Regression von −1000 μms−2 /1 000 m Höhe bzw. +1 000 μms−2 /1 000 m Tiefe annähern. Schließlich müssten die aus den topographischen Massen berechneten Geoidhöhen Werte bis zu etwa 500 m annehmen (Helmert 1884), die beobachteten Geoidhöhen überschreiten jedoch kaum 100 m.

Diese Beobachtungen lassen sich mit dem Modell der Isostasie erklären (Watts 2001). Hiernach werden die topographischen Überschuss- oder Defizitmassen durch tiefer liegende Ausgleichsmassen so kompensiert, dass in einer bestimmten Ausgleichstiefe hydrostatisches Druckgleichgewicht herrscht. Der Umfang der Kompensation hängt von der Größe der topographischen Auflast ab, wobei unterschiedliche Mechanismen wirken können. Kleinräumige Auflasten mit Dimensionen von einigen 10 bis 100 km werden durch die Festigkeit der Lithosphäre gestützt und sind nicht isostatisch kompensiert. Größere Lasten führen zu einer elastischen Durchbiegung der Lithosphäre. Großräumige topographische Einheiten von einigen 100 km Ausdehnung und mehr befinden sich deshalb i. Allg. im isostatischen Gleichgewicht. Ausnahmen bilden die Gebiete postglazialen isostatischen Ausgleichs (siehe unten) und die Tiefseegräben, s. [8.2.3]. Die klassischen isostatischen Modelle von Airy und Pratt gehen von der Annahme aus, dass der isostatische Ausgleich lokal in senkrechten Säulen erfolgt. Mit der hydrostatischen Gleichung (8.5) lautet dann die Bedingung der Isostasie (mit g = const.): H ρ dz = const.

(8.10)

H +T

mit z = Tiefe, H = Höhe der Topographie, T = Ausgleichstiefe. Das von G. B. Airy 1855 entwickelte Modell (auch als Airy-Heiskanen-Modell bezeichnet) geht von einer Kruste konstanter Dichte ρ0 und variabler Mächtigkeit aus, wobei die „Normalsäule“ mit der Höhe H = 0 die Mächtigkeit T0 besitzt (Abb. 8.4). Unter der kontinentalen Topographie (H > 0) bilden sich Gebirgs-„Wurzeln“ (Dicke dcont ), während unter den Ozeanen (Wassertiefe t) „Antiwurzeln“ (Dicke doc ) in die Kruste hineinragen. Die Kruste taucht also im Sinne eines Schwimmgleichgewichts unterschiedlich tief in den oberen Mantel ein. Wird die Erdkrümmung vernachlässigt, so gelten für die

8.2 Die oberen Schichten der Erde

rW

H

H

rW t

t T0

311

r0 = const. r0

dOC T0

rM

VARIABLE r rcont rOC

dcont

Abb. 8.4. Isostatisches Modell nach Airy

Abb. 8.5. Isostatisches Modell nach Pratt

kontinentalen und die ozeanischen Säulen die folgenden Gleichgewichtsbedingungen: (ρM − ρ0 )dcont = ρ0 H, (ρM − ρ0 )doc = (ρ0 − ρW )t,

(8.11)

mit ρ0 = Dichte der Kruste, ρM = Dichte des oberen Mantels, ρW = Dichte des Meerwassers. Mit den konventionellen Werten ρ0 = 2 670 kg m−3 , ρM = 3 270 kg m−3 und ρW = 1 030 kg m−3 erhalten wir für die Mächtigkeit der Wurzel und der Antiwurzel: dcont = 4,45H,

doc = 2,73t.

(8.12)

Die Mächtigkeit der Normalsäule T0 lässt sich aus isostatischen Schwereanomalien abschätzen, wenn diese unter Zugrundelegung verschiedener Ausgleichstiefen berechnet werden, s. [6.5.3]. Bei T0 = 30 bis 40 km hängen diese Anomalien i. Allg. nicht mehr von der Höhe der Topographie ab. Die Tiefe der Ausgleichsfläche ist demnach in guter Übereinstimmung mit der durch die Seismik nachgewiesenen Moho-Tiefe, s. [8.2.1]. Das isostatische Modell von J. H. Pratt (1855), auch als Pratt-Hayford-Modell bezeichnet, nimmt eine Krustenschicht konstanter Mächtigkeit T0 an und lässt zum Erreichen des isostatischen Gleichgewichts laterale Dichteänderungen zu (Abb. 8.5). Die Normalsäule (H = 0) besitzt die Dichte ρ0 , kontinentale Säulen weisen eine geringere, ozeanische eine größere Dichte als ρ0 auf. Die Gleichgewichtsbedingungen für den kontinentalen und den ozeanischen Fall lauten: ρcont (T0 + H ) = ρ0 T0 , ρW t + ρoc (T0 − t) = ρ0 T0 .

(8.13)

Mit ρ0 = 2 670 kg m−3 und ρW = 1 030 kg m−3 berechnen sich die Dichten der kontinentalen und der ozeanischen Säulen zu: T0 2 670T0 − 1 030t , ρoc = . (8.14) ρcont = 2 670 T0 + H T0 − t

312

8 Aufbau und Dynamik der Erde

Die aktuelle Ausgleichstiefe lässt sich aus dem Verhalten der mit verschiedenen Tiefen berechneten residualen Schwerefeldgrößen abschätzen. So erhielt Hayford bei einer Ausgleichstiefe von 113,7 km die kleinsten Werte für die topographisch-isostatisch reduzierten Lotabweichungen in den USA. Dieser Wert entspricht etwa der Mächtigkeit der kontinentalen Lithosphäre, s. (8.2.3].

Ein verfeinertes isostatisches Modell wurde von Vening-Meinesz (1931) vorgeschlagen. Es lässt einen regionalen isostatischen Ausgleich durch elastische Verformung der auf einer Schicht niedriger Gesteinsviskosität (Widerstand gegen raumgreifende Verformung) aufliegenden Kruste zu. Eine Auflast verursacht eine großräumige Verbiegung der Krustenplatte über den Bereich der Auflast hinaus (Abb. 8.6). Die Größe der Durchbiegung hängt vom Abstand von der Auflast, dem Dichteunterschied zwischen der Platte und der darunter liegenden Schicht sowie den elastischen Parametern (Elastizitätsmodul, Poissonzahl) der Platte ab (Abd-Elmotaal 1995). AUFLAST FÜLLMATERIAL

KRUSTE

MANTEL

Abb. 8.6. Regionales isostatisches Modell von Vening-Meinesz Global werden die isostatischen Zustände im wesentlichen durch die Modelle von Airy bzw. Vening-Meinesz beschrieben, doch tragen auch laterale Dichteänderungen (Pratt-Modell) in einigen Regionen zur Isostasie bei. Weitere Verfeinerungen gehen von dreidimensionalen Erd¨ modellen und ihrer Reaktion auf Auflasten aus (Sun und Sjoberg 1999). In den isostatisch ausgeglichenen Gebieten der Erde variieren die isostatischen Anomalien unregelmäßig um den Wert Null (maximale Werte um 500 μms−2 ), nicht im isostatischen Gleichgewicht befindliche Regionen sind klar erkennbar. Andererseits sind diese Anomalien nicht sehr empfindlich gegenüber Änderungen des isostatischen Modells oder der Modellparameter; dies erschwert die Überprüfung verschiedener Modellansätze und die Schätzung der Ausgleichstiefe. Unter Nutzung globaler Topographie-Modelle, s. [6.5.2], sind Kugelfunktionsentwicklungen des topographisch-isostatischen Potentials durchgeführt worden, welche zur Schwerefeldinterpolation und zur Analyse des beobachteten Schwerefeldes herangezogen werden (Rummel et al. 1988).

Unvollständig isostatisch kompensiert sind einige Gebirgsregionen und die Gebiete starker pleistozäner Vereisung (Kanada, Fennoskandien, Grönland, Antarktis). Gebirge können durch starke Erosion überkompensiert sein, der Ausgleich wird dann durch Hebungen angestrebt. Das Abschmelzen großer Eismassen nach der pleistozänen Vergletscherung hat in den betroffenen Gebieten zu einem isostatischen Ungleich-

8.2 Die oberen Schichten der Erde

313

gewicht geführt, das seitdem durch postglaziale Ausgleichsbewegungen kompensiert wird. Diese Vorgänge sind besonders gründlich in Fennoskandien untersucht worden, rezente Hebungen erreichen hier 1 cm/Jahr (Kakkuri 1985). Da die Hebungsrate von der Viskosität des Mantels abhängt, tragen die entsprechenden Beobachtungen auch zur Bestimmung dieses geophysikalischen Parameters bei (Lambeck et al. 1998), s. [8.3.3]. 8.2.3

Plattentektonik

Die Theorie der Plattentektonik fasst eine Vielzahl von einzelnen Beobachtungen geologischer und geophysikalischer Art in einem Modell zusammen. Sie integriert die Konzeptionen der Kontinentalverschiebung (Wegener 1915) und des Meeresbodenwachstums (sea-floor spreading), Dietz (1961), Hess (1962). Nach diesem Modell wird an den Achsen der mittelozeanischen Rücken durch aufsteigendes basaltisches Magma neue ozeanische Kruste gebildet, die sich dann auf beiden Seiten des Riftsystems ausbreitet. Der anwachsende Meeresboden ist durch Streifen von abwechselnd positiven und negativen magnetischen Anomalien gekennzeichnet, die parallel zu den Rückenachsen verlaufen. Diese magnetischen Streifenmuster gehen auf die in Abständen von einigen zehntausend bis zu zehn Millionen Jahren stattfindendenden Umkehrungen des Erdmagnetfeldes zurück (Vine und Matthews 1963). Radiometrische Altersbestimmungen der ozeanischen Gesteine haben ergeben, dass das Alter des Ozeanbodens mit zunehmendem Abstand von den Rückenachsen ansteigt und 200 Millionen Jahre nicht überschreitet. Vor dieser Zeit (Perm, Trias) vereinigte der von Wegener postulierte Urkontinent Pangäa sämtliche Landmassen. Im Jura begann dann ein Aufbrechen dieses Superkontinents, wobei Pangäa in Laurasia (heute Nordamerika und Eurasien) und Gondwana (heute Südamerika, Afrika, Indien, Antarktis und Australien) mit dem dazwischen liegenden Tethys-Meer zerfiel. Das Fortschreiten dieser Riftprozesse führte schließlich zu der heutigen Verteilung der Kontinente und Ozeane.

Die auf geologische Zeiträume bezogenen Ausbreitungsraten des Meeresbodens lassen sich aus dem Abstand der magnetischen Anomalien und dem Gesteinsalter bestimmen. Sie variieren zwischen 2 cm/Jahr (z. B. am Reykjanes Rücken südlichwestlich von Island) und 15 cm/Jahr an der Ostpazifischen Schwelle (Minster und Jordan 1978). Die Plattentektonik (McKenzie und Parker 1967, Morgan 1968) postuliert sieben größere (Pazifische, Nord- und Südamerikanische, Eurasische, Afrikanische, Indisch-Australische, Antarktische Platte) und mehr als 20 kleinere relativ starre Lithosphärenplatten, die sich auf der Asthenosphäre gegeneinander bewegen. Die Lithosphäre umfasst die Erdkruste und die oberste Schicht des Mantels, sie ist unter den Ozeanen 70 bis 100 km und unter den Kontinenten 100 bis 150 km mächtig. Die Asthenosphäre ist durch eine niedrige Viskosität gekennzeichnet, so dass in geologischen Zeiträumen ein viskoses Fließen möglich wird. Die Plattengrenzen sind durch eine Anhäufung von seismischen (Erdbeben) und vulkanischen Aktivitäten erkennbar, wobei die Grenzzonen in der Breite zwischen einigen 10 und einigen 100 km und mehr variieren (Abb. 8.7).

EN ÜC K

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TO N G GARA BEN

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G ER EN SB ÜCK R

SÜDAMERIK. PLATTE

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INDISCHAUSTRAL. PLATTE

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EN -GRAB JAPAN N E N MARIA EN GRAB PAZIFISCHE PLATTE

NORDAMERIK. PLATTE

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AL EU TEN-

KJ AN ES RÜ CK EN

8 Aufbau und Dynamik der Erde

OSTPAZIF .R

314

N

.-I NT

LA AT

EN

AB

GR

ANTARKTISCHE PLATTE

Abb. 8.7. Größere Lithosphärenplatten und Richtung der Plattenbewegungen, AN = Aanatolische Pl., AR = Arabische Pl., CA = Karibische Pl., CO = Cocos Pl., NA = Nazca Pl., PH = Philippinen-Pl., SO = Somali-Platte

Die Bewegung der tektonischen Platten lässt sich wie folgt beschreiben (Le Pichon et al. 1973, Lowrie 1997), Abb. 8.8: Die mittelozeanischen Rücken repräMITTELOZEAN. RÜCKEN

OZEAN. KRUSTE

TIEFSEE- GEBIRGS- / INSELBOGEN RINNE KETTE

0 KONTINENTALE KRUSTE SUBDUKTION

50 AUFSTEIG. MAGMA 100

150

LITHOSPHÄRE ASTHENOSPHÄRE

MANTELKONVEKTION

TIEFE (km)

Abb. 8.8. Bewegung der Lithosphärenplatten an divergenten und konvergenten Plattenrändern, senkrechter Maßstab überhöht

sentieren divergente (diverging, constructive) Plattengrenzen. Hier steigt Magma aus der Asthenosphäre auf und wird auseinander gedrückt, so dass sich neues Lithosphärenmaterial bildet. Bei der Kollision mit einer anderen Platte wird die abgekühlte schwerere ozeanische Platte zum Abtauchen in den oberen Mantel gezwungen (Subduktion), in dem sie in Tiefen um 700 km aufgeht: konvergente (converging, destructive) Plattengrenze. Bei diesem Vorgang entstehen Tiefseegräben und Inselbögen (z. B. im westlichen und nördlichen Pazifik, am Japan-Graben beträgt die Subduktionsrate etwa 9 cm/Jahr) oder Gebirgsketten (z. B. die Anden). Der Zusammenstoß von zwei kontinentalen Platten führt zur Bildung von Gebirgszügen (z. B. Himalaya, Alpen).

8.2 Die oberen Schichten der Erde

315

Die submarinen Gebirgsrücken sind häufig durch Transform-Verwerfungen (transform faults) in Segmente zerschert und versetzt. Scherbewegungen parallel zum Streichen der Transformstörungen treten auch an flächenneutralen (conservative) Plattenrändern auf (z. B. San-Andreas-Verwerfung in Kalifornien). Die relativ starren Lithosphärenplatten überdecken etwa 85 % der Erdoberfläche, Deformationen treten insbesondere an den Plattenrändern auf. Als Antriebsmechanismus für die Plattenbewegungen wird thermische Konvektion (Wärmetransport durch Bewegung von Molekülen) angenommen, wobei unterschiedliche Theorien über die Dimensionen und die Lage der Konvektionszellen bestehen (Konvektion über den gesamten Mantelbereich oder in einzelnen Mantelstockwerken). Auf der Oberfläche der Erde lassen sich die Bewegungen der Lithosphärenplatten als Rotationen von Kugelkappen um eine durch den Erdmittelpunkt verlaufende Achse beschreiben (Gordon 1995). Mit den Rotationsparametern (Koordinaten des Rotationspols und Winkelgeschwindigkeit) kann die relative Plattenbewegung (Richtung und Betrag) für jeden beliebigen Punkt berechnet werden. Aus dem Abstand der beiderseits der mittelozeanischen Rücken auftretenden magnetischen Anomalien und aus den Azimuten von submarinen Transform-Verwerfungen und seismischen Verschiebungen sind die Plattengeschwindigkeiten über geologische Zeiträume (Durchschnittswerte über die jüngsten einige Millionen Jahre) geschätzt worden. Die hieraus abgeleiteten Modelle wie NUVEL-1 (De Mets et al. 1990) und NUVEL-1A (De Mets et al. 1994) berücksichtigen die größeren Platten (etwa 15), hierbei wird entweder eine Platte festgehalten (NUVEL-1: Pazifische Platte) oder es werden die Bewegungen auf ein mit der Erde verbundenes rotationsfreies System bezogen (no-net rotation: NUVEL-1A). Eine absolute Plattenbewegung lässt sich in Bezug auf die Hotspots definieren (Solomon und Sleep 1974). Diese zeigen das Aufsteigen von heißem Mantelmaterial aus tief gelegenen Manteldiapiren (mantle plumes) auf, welche nicht an den tektonischen Plattenbewegungen teilnehmen. Hotspots sind durch Oberflächen-Vulkanismus und hohen Wärmefluss gekennzeichnet, Beispiele sind Hawaii, Island und die Afar-Region (Äthiopien). Es ist zu bemerken, dass die aus diesen Modellen abgeleiteten Plattengeschwindigkeiten Durchschnittswerte über geologische Zeiträume darstellen. Die Modelle hängen von der Auswahl der eingeführten Platten und der Annahme unveränderlicher Hotspots ab, die besonders an den konvergenten Plattenrändern auftretenden starken Deformationen werden ebenso wenig berücksichtigt wie Deformationen innerhalb der Platten (intra-plate deformations). Die aktuellen Plattenbewegungen können mit geodätischen Messungen bestimmt werden, diese erlauben auch die Identifizierung von lokalen und regionalen Deformationen an den Plattengrenzen und im Platteninneren, s. [8.3.3]. 8.2.4

Interpretation des Schwerefeldes

Das beobachtete Schwerefeld enthält die integrale Wirkung der Massenverteilung innerhalb der Erde und zeigt Abweichungen von der Kugelsymmetrie und vom hydrostatischen Gleichgewicht auf, s. [8.1]. Die vom äußeren Schwerefeld gegebenen Randbedingungen müssen von statischen und dynamischen geophysikalischen Erdmodellen

316

8 Aufbau und Dynamik der Erde

eingehalten werden. Das inverse Problem, d. h. die Bestimmung der Dichteverteilung aus dem äußeren Schwerefeld, lässt sich dagegen nicht eindeutig lösen (Martinec 1994). Dies zeigt auch das Theorem von Stokes, wonach das äußere Schwerefeld eines von einer Äquipotentialfläche begrenzten Körpers ohne Kenntnis der inneren Massenverteilung vollständig bestimmt ist, s. [4.2.1]. Die Schwerefeldinterpretation erfordert also zusätzliche Information aus geophysikalischen und geologischen Daten, wobei die seismisch bestimmten Tiefen von Grenzflächen und die Zusammensetzung und Dichte der Massen die Hauptrolle spielen. Die Schwerefeldinterpretation beruht auf den nach Abzug des Normalschwerefeldes sich ergebenden residualen Schwerefeldgrößen, s. [6.1], eventuell kann auch der gravitative Effekt der besser bekannten oberen Schichten reduziert werden, s. [6.5.3]. Zur Interpretation werden hauptsächlich die Schwereanomalien und die Geoidhöhen herangezogen, in begrenztem Maße finden auch Lotabweichungen Verwendung. Während der Einfluss der Massen auf die Schwereanomalien und die Lotabweichungen umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes ist, hängen die Geoidhöhen vom reziproken Abstand zu den Massen ab. Schwereanomalien und Lotabweichungen sind also besonders geeignet, Dichteverteilungen in den oberen Schichten der Erde zu untersuchen. Dabei reagieren Schwereanomalien hauptsächlich auf vertikal ausgedehnte Massen, während Lotabweichungen die Wirkung von horizontalen Massenanordnungen widerspiegeln, letztere eignen sich damit besonders zur Unterstützung lokaler Untersuchungen. Geoidhöhen zeigen tiefer gelegene Massenanomalien von meist ausˇek und Christou 1994). gedehnten Dimensionen auf (Vanic Zur globalen und regionalen Interpretation eignet sich besonders die durch die Kugelfunktionsentwicklung gegebene spektrale Zerlegung des Schwerefeldes, s. [6.6.1]. Die Gradvarianzmodelle für die Schwereanomalien (6.27) und die Geoidhöhen (6.142) zeigen, dass etwa 95 % der Geoidvarianz in den Kugelfunktionsgraden 2 bis 10 (entspricht Wellenlängen von 20 000 bis 4 000 km) konzentriert ist, während dieser langwellige spektrale Anteil bei den Schwereanomalien nur 9 % einnimmt. Die mittleren (Grad 2 bis 180) und kleinen (Grad 181 bis 2 000) Wellenlängen tragen andererseits jeweils mehr als 40 % zur Anomalievarianz bei. Der Beitrag von Wellenlängen kleiner als 20 km (Kugelfunktionsgrade > 2 000) zur Anomalievarianz beträgt noch fast 10 %, hierin spiegelt sich die Wirkung von kleinräumigen Strukturen (z. B. Salzstöcken) in der oberen Kruste. Die Lotabweichungen zeigen eine ähnliche spektrale Verteilung wie die Schwereanomalien. Die Interpretation des Geoids konzentriert sich dementsprechend auf den langund mittelwelligen Teil des Spektrums. Als Ursache für die niederen Grade der Kugelfunktionsentwicklung werden Dichte- und/oder Temperaturanomalien im tieferen Erdinnern angenommen, während die Mantelkonvektion und Lithosphärenstrukturen in Wellenlängen von tausenden von Kilometern sichtbar werden (Bowin 2000). Kürzere Wellenlängen von einigen 100 bis 1 000 km lassen sich mit divergenten und konvergenten Plattenrändern und mit Hotspots korrelieren (Cazenave 1994). In diesem Spektralbereich werden auch Gebiete postglazialer Ausgleichsbewegungen oder starker Krustenverdünnung reflektiert.

317

8.2 Die oberen Schichten der Erde

An ozeanischen Rücken mit kleinen Ausbreitungsraten und an Hotspots finden sich relative Geoidmaxima von einigen Metern. Tiefseegräben sind durch schmale Zonen mit Geoidabsenkungen von 5 bis 20 m charakterisiert, gefolgt von einem Geoidanstieg an den anschließenden Inselbögen (Abb. 8.9). Postglaziale Landhebungsgebiete zeigen Geoidabsenkungen (bis zu 10 m in Fennoskandien), die mit den gegenwärtigen Landhebungsraten korreliert sind (Bjerhammar 1981),Abb. 8.10. Der Ivrea-Körper (Westalpen) ist ein Beispiel eines lokalen Geoidanstiegs (bis zu 9 m), verursacht durch das Aufdringen von Material aus der tieferen Kruste und dem ¨ oberen Mantel bis zur Oberfläche (Burki 1989). 140

0.

145

150 45

0.

0.

135

0

5

10

15

20 0.

72

5

5

25

0.

0.

-5

0.

0.

-5

0.

-5

55 0

5

10

15

60

0.

-5

0.

0.

Abb. 8.9. Geoidstrukturen an der JapanGraben Subduktionszone, EGM96 Geoidmodell, Spektralbereich von Grad 11 bis 360, Isolinienintervall 1 m, nach Lemoine et al. (1998)

-5

0.

0.

0.

5

-5

0.

5

145

0.

0.

5

5

0.

140

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-5

-5

-5

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30 150

65

0.

10 60

0.

135

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5

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-5

30 130

70 0.

10

0.

0.

0.

35

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0.

40 65

10

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0.

0.

5

10

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35

35

72

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40

30

0.

130 45

20

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30

35

55 40

Abb. 8.10. Geoidstrukturen im fennoskandischen Landhebungsgebiet, EGM96 Geoidmodell, Spektralbereich von Grad 11 bis 360, Isolinienintervall 1 m, nach Lemoine et al. (1998)

Die Modellierung langwelliger Geoidstrukturen kann auf äquivalente Punktmassen gestützt werden, welche hauptsächlich an den seismisch bestimmten Grenzflächen angeordnet werden, s. [8.1], Bowin (1994). Diese Lösungen hängen stark von der Auswahl des zu modellierenden Spektralbereichs, der Massenverteilung und den benutzten Dichtedifferenzen ab. Die Interpretation von Schwereanomalien beruht entweder auf der Kugelfunktionsentwicklung (globale und großräumige Aufgabenstellungen) oder auf lokalen Modellen mit beobachteten oder gegitterten Daten. Für regionale und lokale Untersuchungen lassen sich verschiedene Arten von Anomalien heranziehen. Punkt-Freiluftanomalien hängen stark von der Höhe ab und sind deshalb nicht zur Interpretation geeignet. Wegen der Glättung der hohen Frequenzen kann der in einem globalen Modell enthaltene lang- und mittelwellige Feldanteil jedoch genutzt werden, das gilt auch für entsprechende mittlere Anomalien. Die Freiluftanomalien lassen sich dann als isostatische Anomalien mit der Ausgleichstiefe Null auffassen. In diesem Spektralbereich können Strukturen der Plattentektonik (z. B. Subduktionszonen) und Gebiete postglazialen Ausgleichs identifiziert werden, wobei eventuell eine geeignete Filterung erforderlich wird.

318

8 Aufbau und Dynamik der Erde

Bougueranomalien sind von der Wirkung der Topographie befreit, sie werden deshalb in großem Maße für regionale und lokale Untersuchungen benutzt, s. [6.5.3]. Sie spiegeln Dichteunterschiede in der Kruste und im oberen Mantel wider und lassen sich mit tektonischen Strukturen wie ozeanischen Riftsystemen, Tiefseerinnen, kontinentalen Gräben, jungen Faltengebirgen und mit Strukturen des oberen Mantels korrelieren, Abb. 8.11. Das großräumige Verhalten der Bougueranomalien (negative Werte in Gebirgsregionen, positive Werte auf den Ozeanen) zeigt die isostatische Kompensation auf, s. [8.2.2]. Bougueranomalien spielen auch in der geophysikalischen Prospektion eine wichtige Rolle.

Abb. 8.11. Regionale Bougueranomalienkarte der USA mit Wellenlängen größer als 250 km, bezogen auf IGSN71 und GRS67, Gesteinsdichte 2 670 kg/m3 , Isolinienintervall 200 μm/s2 , nach Kane und Godson (1985)

Untersuchungen von tieferen Schichten der Kruste werden möglich, wenn außer dem Einfluss der Topographie auch die Wirkung weiterer bekannter oder angenommener Massenverteilungen reduziert wird. Isostatische Anomalien berücksichtigen die Wirkung der Kompensationsmassen, Abweichungen von Null zeigen also isostatisch nicht ausgeglichene Gebiete, diese sind meist mit geologischen Strukturen korreliert. Wird der Einfluss bekannter geologischer Körper in der Kruste reduziert (crustal stripping), so lässt sich unter anderem die Mächtigkeit sedimentärer Becken und die Tiefe der Krusten-Mantel-Grenze abschätzen. Mit Hilfe von Schwereanomalien sind eine Vielzahl von Krusten- und Mantelstrukturen lokaler und regionaler Ausdehnung untersucht worden. Dabei wird ein Startmodell durch Variation der Geometrie und der Dichte der Massen iterativ solange verändert, bis eine optimale Übereinstimmung mit den Beobachtungen erreicht ist; die durch die Ergebnisse der Seismik und der Geologie gegebenen Bedingungen müssen hierbei beachtet werden. So sind unter anderem die folgenden Beziehungen

8.2 Die oberen Schichten der Erde

319

zwischen dem Schwerefeld und den Krustenstrukturen gefunden worden (Nerem et al. 1995): • Ozeanische Rücken zeigen durch anomales Mantelmaterial verursachte negative Bougueranomalien (bis zu −2 000 μms−2 ), während die Freiluftanomalien nur wenig von Null abweichen, Abb. 8.12. • Tiefseegräben sind durch große negative Freiluftanomalien (bis zu −4000 μms−2 ) gekennzeichnet, was zum Teil durch mächtige Sedimentlager und die Meeresbodentopographie erklärt werden kann. Zum Inland hin treten wegen des abgekühlten subduzierten Materials große positive Anomalien auf, Abb. 8.13. Dg(mms ) -2

DgB DgF

Dg(mms ) -2

DgF

DgB

DgF km

km

W

N

PUERTO RICO

S

O

km

Abb. 8.12. Bouguer- und Freiluftanomalien über dem Mittelatlantischen Rücken und Dichtemodell der Kruste, mit ozeanischen Lagern (2 600 und 2 900 kg/m3 ), niedriger Dichte-Zone (3 150 kg/m3 ) und oberem Mantel (3 400 kg/m3 ), nach Talwani et al. (1965)

km

Abb. 8.13. Generalisierte Freiluftanomalien (Bougueranomalien auf dem Land) über dem Puerto Rico-Graben und Dichtemodell der Kruste, mit unverfestigten (2 000 kg/m3 ) und verfestigten (2 400 kg/m3 ) Sedimenten, unterer Kruste (3 000 kg/m3 ) und oberem Mantel (3 400 kg/m3 ), nach Talwani et al. (1959)

• Kontinentale Gräben sind mit großen negativen Bougueranomalien korreliert, die auf Sedimentlager und/oder anomales Mantelmaterial zurückzuführen sind; lokale Maxima können durch Krustenverdünnung auftreten. • An kontinentalen Kollisionszonen aufsteigende junge Faltengebirge zeigen negative Bougueranomalien, was auf isostatischen Ausgleich hindeutet. Die isostatischen Anomalien können aber auf Grund rezenter tektonischer Vorgänge und unvollständiger Kompensation auch von Null abweichen. • Postglaziale Ausgleichsgebiete sind durch negative Freiluftanomalien charakterisiert.

320

8 Aufbau und Dynamik der Erde

8.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

Geodätische und gravimetrische Wiederholungsmessungen erlauben die Untersuchung von zeitlichen Veränderungen der Orientierung, der Oberfläche und des Schwerefeldes der Erde. Die beobachteten Änderungen können zur Modellierung und Berücksichtigung dieser Effekte in geodätischen und gravimetrischen Messungen sowie zur Reduktion der Daten auf eine gemeinsame Bezugsepoche benutzt werden. Andererseits enthalten diese Änderungen wertvolle Informationen über global, regional oder lokal ablaufende geodynamische Vorgänge. Die Geodäsie trägt damit zur Geodynamikforschung bei, in Zusammenarbeit mit Astronomie, Ozeanographie, Meteorologie, Physik der festen Erde und Geologie. Um signifikante Ergebnisse bei der geodynamischen Modellbildung zu erhalten, muss die zeitliche und räumliche Auflösung der Beobachtungen ebenso wie ihre Genauigkeit auf die Frequenzen und Amplituden der gesuchten Signale abgestimmt sein. Dies setzt auch eine stabile Einrichtung der Beobachtungsstationen und Plattformen bzw. eine genaue Überwachung eventueller Instabilitäten voraus.

Geodätische Raummethoden liefern die auf Massenumverteilungen in derAtmosphäre, der Hydrosphäre und der festen Erde zurückzuführenden Änderungen der Erdrotation [8.3.1]. Die Satellitenaltimetrie stellt zusammen mit Meerespegelmessungen ein wirksames Instrument zur Erfassung von Änderungen des Meeresspiegels dar [8.3.2]. Rezente Krustenbewegungen lassen sich mit geodätischen Raummethoden und mit terrestrischen Techniken bestimmen, die Ergebnisse dienen als Randbedingungen bei geodynamischen Modellbildungen und als Vorläuferphänomene für geodynamische Aktivitäten [8.3.3]. Beobachtete Schwereänderungen enthalten die integrale Wirkung terrestrischer Massenumverteilungen und unterstützen und ergänzen so die geodätischen Beobachtungen [8.3.4]. Kontinuierliche Aufzeichnungen von geodätischen und gravimetrischen Daten sind besonders für die Erdgezeitenforschung von Nutzen [8.3.5]. Ausführliche Darstellungen der Beiträge der Geodäsie zur Geodynamikforschung finden sich in Lambeck (1988) und Mueller und Zerbini (1989). 8.3.1 Änderungen der Erdrotation Die zeitlichen Veränderungen des Erdrotationsvektors gegenüber dem Erdkörper werden durch die Polbewegung und die Schwankungen der Tageslänge (LOD) beschrieben. Diese Änderungen laufen in verschiedenen zeitlichen Maßstäben ab und erreichen die 0,1 - bzw. ms-Größenordnung. Die Aufsummation der LOD-Variationen über die Zeit führt zu größeren Abweichungen der Rotationszeit UT1 von der Atomzeit TAI (Dickey 1995), s. [2.5.2]. Mit Hilfe von VLBI und Satellitentechniken einschließlich GPS lassen sich die Änderungen der Erdrotation mit einer zeitlichen Auflösung von wenigen Stunden und einer Genauigkeit von einigen 0,0001 bzw. besser als 0,01 ms bestimmen (Rothacher et al. 1999), s. [2.3].

8.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

321

Die beobachteten Rotationsänderungen enthalten die kombinierte Wirkung terrestrischer Massenumverteilungen (beeinflussen den Trägheitstensor der Erde) und der damit verbundenen Bewegungen (wirken auf das Drehmoment der jeweils betroffenen Schicht wie Atmosphäre, Ozeane, kontinentale Gewässer, Mantel, Kern). Da der gesamte Drehimpuls der Erde erhalten bleiben muss, treten entsprechende Änderungen des Rotationsvektors ein. Die gravitative Gesamtwirkung der Massenumverteilungen lässt sich durch wiederholte Schweremessungen erfassen, s. [8.3.4]. Von den zahlreichen Ursachen der Rotationsschwankungen konnten bisher erst eine begrenzte Anzahl klar identifiziert werden. Massenumverteilungen beeinflussen hauptsächlich die Polbewegung, während die LOD-Änderungen überwiegend auf die Bewegungen der Massen zurückzuführen sind (Chao 1994). Säkulare Veränderungen sind sowohl in der Polbewegung (Umverteilung von Eismassen und postglaziale Ausgleichsvorgänge) als auch in LOD (Gezeitenreibung in den Ozeanen) gefunden worden. Über Jahrzehnte ablaufende Schwankungen könnten durch Vorgänge an der Kern/Mantelgrenze, aber auch durch langfristig ablaufende atmosphärische Prozesse verursacht sein. Mehrjährliche Variationen sind besonders in LOD ausgeprägt, sie werden durch Veränderungen des atmosphärischen Drehmoments hervorgerufen. Die in der Polbewegung enthaltene Chandler-Periode wird von der Umverteilung der Atmosphärenmassen angeregt, doch können auch starke Erdbeben eine Rolle spielen (Chao et al. 1996). Jährliche, halbjährliche und jahreszeitliche Änderungen gehen hauptsächlich auf Massenverschiebungen in der Atmosphäre und den Ozeanen zurück, hinzu kommen Schwankungen in den Grundwasserschichten, in der Eis/Schnee-Bedeckung und im Wasserspiegel großer Seen. Ein herausragendes Beispiel für einen großräumig im Abstand von einigen Jahren ablaufenden Vorgang ist das El Niño-Phänomen. Dabei finden im tropischen Pazifik starke Störungen des ozeanischen und des atmosphärischen Zustands statt (Luftdruck, Wind, Wassertemperatur, Meeresspiegelneigung in West-Ost-Richtung auf Grund der Erwärmung und Verschiebung ozeanischer Wassermassen), die Auswirkungen dieser Veränderungen reichen weit über den pazifischen Raum hinaus. Das Phänomen wiederholt sich mit unterschiedlicher Intensität in unregelmäßigen Zeitabständen zwischen zwei und sieben Jahren, das letzte starke Ereignis fand 1997/1998 statt. Die Auswirkungen von El Niño sind klar in LOD (Anwachsen um einige 0,1 bis 1 ms) und in unregelmäßigen Störungen der Polbewegung erkennbar (Salstein et al. 1999).

Tägliche und subtägliche sowie unregelmäßige Variationen der Erdrotation werden hauptsächlich durch Vorgänge in der Atmosphäre und der Hydrosphäre, aber auch durch Erdbeben angeregt. Gezeitendeformationen der festen Erde und der Ozeane verursachen maximale Rotationsschwankungen von wenigen 0,001 bzw. einigen ms, sie lassen sich mit hinreichender Genauigkeit modellieren. Die Modellierung weiterer Anteile (atmosphärische und ozeanische Zirkulation usw.) befindet sich noch in den Anfängen. Nach Abzug der modellierten Effekte können die residualen Änderungen der Erdrotation im Hinblick auf bisher nicht erkannte geophysikalische Vorgänge und Modellfehler analysiert werden (Wilson 1995), Abb. 8.14.

322

8 Aufbau und Dynamik der Erde +4 +3

ms TOTALE VARIATION; ZONALE GEZEITEN ABGEZOGEN

+2 +1 +1

JAHRESZEITLICHE VERÄNDERUNGEN

0 -1 +1

RESTLICHE VERÄNDERUNGEN

0 -1 +1

WIRKUNG DER ZONALEN GEZEITEN PERIODEN BIS ZU 35 TAGEN

0 -1 +1

WIRKUNG DER ZONALEN GEZEITEN PERIODEN GRÖSSER ALS 35 TAGE

0 -1 1970

1980

1990

JAHR

Abb. 8.14. Änderungen der Tageslänge (LOD) und Trennung von Gezeiten- und jahreszeitlichen Effekten, nach IERS Annual Report 1998 Erwähnt sei schließlich noch die genähert tägliche freie Schwingung des Kerns (nearly diur¨ nal free wobble, auch free-core nutation), Zurn (1997b). Da die Drehachsen des flüssigen äußeren Kerns und des Erdmantels leicht voneinander abweichen, treten an der elliptischen Kern/Mantel-Grenze Rückstellkräfte mit dem Ziel des Alignements der Achsen auf. Dies führt zu einer gedämpften Schwingung der Erddrehachse um die Figurenachse in rückläufiger (entgegengesetzt zur Erdrotation) Richtung, mit genähert täglicher Frequenz und einer Amplitude von 0,00017 . Im Raum entspricht dies einer Nutation der Rotationsachse um die Drehimpulsachse der gesamten Erde. Dieser Effekt konnte mit VLBI beobachtet werden (Herring und Dong 1994), er zeigt sich auch in resonanten Termen bei der Gezeitenanalyse von Schwereregistrierungen, s. [8.3.5]. Die Ergebnisse dienen zur Verbesserung der Nutationstheorie, s. [2.4.2], und zur Modellierung des tiefen Erdinneren.

8.3.2

Meeresspiegeländerungen

Zeitliche Veränderungen des Meeresspiegels sind in der Geodäsie für die Definition und Realisierung der Höhenbezugsflächen und insbesondere des Geoids von Bedeutung, s. [3.4.3]. Die Erfassung und Interpretation von Meeresspiegeländerungen ist aber auch von grundlegendem Interesse für ein besseres Verständnis der Wechselwirkungen zwischen den Ozeanen und der Atmosphäre und deren Einfluss auf das Klima. So würde eine Beschleunigung des globalen Meeresspiegelanstiegs auf Klimaänderungen hinweisen, die mit der globalen Erwärmung zusammenhängen. Die

8.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

323

Untersuchung der Meeresspiegelvariationen erfordert also eine enge Zusammenarbeit zwischen Ozeanographie, Meteorologie und Geodäsie. Meerespiegeländerungen finden in einem weiten zeitlichen und räumlichen Spektrum statt, mit Amplituden in der Größenordnung von 0,1 bis 1 m (Lisitzin 1974). Mit Pegelregistrierungen und mit der Satellitenaltimetrie lassen sich diese Änderungen direkt messen, während ozeanographische Methoden sich hierzu auf meteorologische und ozeanographische Daten stützen, s. [3.4.2]. Beobachtete Veränderungen der Erdrotation und des Erdschwerefeldes enthalten eine indirekte Information über die Umverteilung der ozeanischen Wassermassen, s. [8.3.1], [8.3.4]. Pegelregistrierungen dienen zur Bestimmung der ozeanischen Gezeiten und anderer kurz- und mittelfristiger Phänomene einschließlich der Auswirkungen von atmospärischen Druckänderungen, Sturmauflasten und Schmelzwasserzuflüssen. Durch Mittelbildung über lange Zeitintervalle können langfristige Wasserspiegeländerungen erkannt werden. Für das 20. Jahrhundert wurde so ein mittlerer globaler Meeresspiegelanstieg von 0,1 bis 0,2 m/100 Jahre gefunden, wobei erhebliche regionale und lokale Unterschiede und über Jahrzehnte ablaufende Variationen auftreten (Woodworth 1997), Abb. 8.15. MEERESSPIEGEL (mm) SAN FRANCISCO 400 +2.0 mm/a

300 200

BREST

100 +1.3 mm/a

0 1800

1850

1900

1950

2000

Abb. 8.15. Meeresspiegelaufzeichnungen für San Franzisko und Brest (vertikale Verschiebung angebracht) und Trend für das 20. Jahrhundert, nach Woodworth (1997) Meerespegeldaten liefern nur relative Meeresspiegeländerungen, da in der Registrierung sich absolute Wasserstandsänderungen und vertikale Bewegungen des Pegels überlagern. Letztere liegen in der mm/Jahr-Größenordnung, insbesondere in Gebieten postglazialer Landhebung können sie einige mm/Jahr und mehr erreichen, s. [8.3.3]. Die Höhe der Pegel muss also langfristig mit mm-Genauigkeit überwacht werden, dies lässt sich lokal durch Anschlussnivellements an Höhenfestpunkte und global durch wiederholte GPS-Höhenbestimmungen erreichen. Hierbei sind GPS-Wiederholungsraten von einem halben bis zu einem Jahr üblich, wobei an das Internationale Terrestrische Bezugssystem (ITRF) angeschlossen werden sollte. Wiederholte Absolutschweremessungen erlauben eine unabhängige Bestimmung eventueller Höhenänderungen, darüber hinaus liefern sie zusätzliche Informationen über die Art der internen Massenverlagerungen, s. [8.3.4], Carter et al. (1989).

324

8 Aufbau und Dynamik der Erde

Die Satellitenaltimetrie ermöglicht eine nahezu globale und quasi-kontinuierliche Überwachung des Meersspiegels mit cm-Genauigkeit (Bosch et al. 2001). Die Gezeiteneffekte lassen sich hierbei mit entsprechender Genauigkeit mit Hilfe von ozeanischen Gezeitenmodellen reduzieren (Shum et al. 1997). Die Analyse langfristiger (einige Jahre) Beobachtungsserien trug zur Verbesserung dieser Modelle bei und zeigte eine Anzahl von anderen Phänomenen mit Variationen von 0,1 bis 0,3 m auf (Nerem et al. 1997). Hierzu gehören ozeanweite, über Jahrzehnte und Jahre ablaufende Fluktuationen, die wahrscheinlich auf die Verlagerung großer Wassermassen zurückzuführen sind, Abb. 8.16. Eine mit Jahresperiode und einem Phasenunterschied von 180◦ zwischen der Nord- und der Südhalbkugel ablaufende Schwingung wird durch ther0°

30°

60°

90°

120°

150°

180°

10

210°

240°

270°

300°

0 -10

360°

0 0

0

-10 10

330°

-10

0

0

-10 0

10 10

0

0

0 10

0

0 -10

0

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Abb. 8.16. Mittlere Driftrate (mm/Jahr) der zwischen 1992 und 2000 aus der TOPEX/PoseidonAltimetrie bestimmten Meeresspiegeländerung, nach Bosch (2001)

mische Ausdehnung und Zusammenziehung verursacht. Mehrjährliche und jahreszeitliche Variationen lassen sich mit der Veränderlichkeit von Meeresströmungen (etwa die Mäandrierung und Wirbelbildung des Golfstroms) und dem El Niño-Phänomen (Meeresspiegelanstieg im östlichen und Absenken im westlichen Pazifik) korrelieren. Die Kombination von Pegeldaten und der Satellitenaltimetrie führt zu wesentlichen Verbesserungen bei der Erfassung der Änderungen des Meeresspiegels (Cazenave et al. 1999). Die Pegeldaten dienen dabei als Oberflächenkontrolle (ground truth) und erlauben die Beseitigung von systematisch wirkenden Fehlern in den Altimeterdaten; diese können durch die Altimeterdrift, systematische Bahnfehler und Unterschiede in den Bezugssystemen der beteiligten Trackingstationen verursacht sein. Die räumliche Auflösung der Altimetrie wird verbessert, wenn die Ergebnisse verschiedener Altimetrie-Missionen kombiniert werden. In die Modellbildung können auch ozeanographische und meteoreologische Daten wie Oberflächentemperatur, Salzgehalt, Strömungsgeschwindigkeiten und Luftdruck einbezogen werden.

8.3

8.3.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

325

Rezente Krustenbewegungen

Rezente Krustenbewegungen (horizontal und vertikal) lassen sich durch geodätische Messungen feststellen, wenn diese in bestimmten Zeitabständen wiederholt oder kontinuierlich ausgeführt werden. Die Beobachtungsstation muss dabei vermarkt und ihre lokale zeitliche Stabilität überwacht werden, solche lokalen Veränderungen können geologischen, hydrologischen oder menschlichen Ursprungs sein. Die heute erreichbare sub-cm-Genauigkeit erfordert außerdem, dass der Einfluss der Erdgezeiten, der ozeanischen Auflast, des Atmosphärendrucks und der Erdrotationsschwankungen reduziert wird. Im globalen Rahmen liefern geodätische Raumtechniken (VLBI, SLR, GPS, DORIS) geozentrische Koordinaten für bestimmte Epochen und Stationsgeschwindigkeiten mit Genauigkeiten von mm/Jahr bis cm/Jahr (Campbell und Nothnagel 1998, Zerbini et al. 1998), GPS spielt dabei eine zunehmende Rolle (Larson et al. 1997). Die verschiedenen Netzlösungen werden vom IERS kombiniert, und die jährlichen Stationsgeschwindigkeiten sind dann Teil des International Terrestrial Reference Frame ITRF, s. [2.5.3]. Die so bestimmten Horizontalgeschwindigkeiten sind hauptsächlich auf die Bewegungen der tektonischen Platten zurückzuführen (Robbins et al. 1993), die Bestimmung und Interpretation von vertikalen Bewegungen befindet sich noch in den Anfängen (Soudarin et al. 1999). In den im Innern der tektonischen Platten gelegenen Stationen stimmen die beobachteten horizontalen Geschwindigkeiten im Allgemeinen gut mit den Werten überein, die sich aus geologisch-geophysikalischen Modellen als Mittel über die letzten 3 bis 10 Millionen Jahre ergeben, s. [8.2.3]. Größere Diskrepanzen finden sich an den Plattengrenzen, da die dort auftretenden lokalen Deformationen in diesen Modellen nicht berücksichtigt werden, Abb. 8.17. Durch die Kombination verschiedener globaler geodätischer Datensätze wurden aktuelle kinematische Plattenmodelle (Actual Plate Kinematic Models APKIM) entwickelt (Drewes et al. 1992). Diese Modelle nehmen das Platteninnere als starr und auf der Erdoberfläche rotierend an. An den Plattenrändern werden Deformationszonen als Ergebnis der von den angrenzenden Platten ausgeübten Kräfte zugelassen. Durch Interpolation kann das aktuelle Geschwindigkeitsfeld in einem 1◦ × 1◦ -Gitter mit der Bedingung berechnet werden, dass die über die Erdoberfläche integrierten Geschwindigkeiten Null sein sollen.

Regionale Krustenbewegungen werden aus den wiederholten Vermessungen nationaler oder kontinentaler Kontrollnetze und aus gezielt zur Überwachung geodynamischer Aktivitäten angelegten Netzen bestimmt. Die zwischen dem Ende des 19. und der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts in vielen Teilen der Welt angelegten Triangulationsund Nivellementsnetze sind für die Erfassung langfristig ablaufender Krustenbewegungen wertvoll (Kakkuri 1993b). Systematische Wiederholungsmessungen solcher Netze sind besonders in Gebieten mit hohem Erdbebenrisiko wie Kalifornien und Japan durchgeführt worden. Kürzere Wiederholungsraten wurden mit dem Einsatz von Laser-Entfernungsmessern und mobilen VLBI- und SLR-Systemen möglich, hiermit konnten auch über Zeiträume von einigen Jahren verlaufende Bewegungen festgestellt werden. Heute bilden GPS-Empfänger das Hauptwerkzeug zur Untersuchung rezenter

326

8 Aufbau und Dynamik der Erde

Abb. 8.17. Rezente Plattenbewegungen aus geodätischen Messungen (APKIM 10.0 Modell) und aus dem geophysikalischen Modell NNR NUVEL-1A, Deutsches Geodätisches Forschungsinstitut (DGFI), München

Krustenbewegungen, wobei sowohl Messkampagnen zu verschiedenen Epochen ausgeführt als auch permanente Stationen betrieben werden (Bevis et al. 1997). Nach einer Strainanalyse können die geodätischen Resultate mit geologischen und geophysikalischen Ergebnissen korreliert oder kombiniert werden und so zur Entwicklung globaler und regionaler Spannungskarten beitragen (Zoback 1992). Wir nennen einige Beispiele für die großräumige Überwachung von Deformationen an den Rändern und im Innern tektonischer Platten. In Island (divergente Plattengrenze) folgten einer 1938 angelegten Triangulation in den nächsten Jahrzehnten wiederholte Winkel- und Streckenmes¨ sungen, ab 1986 wurden regelmäßig GPS-Beobachtungen durchgeführt (Volksen 2000). In Japan (konvergente Plattengrenze) ist ein kontinuierlich arbeitendes GPS-Netz mit einem mittleren Stationsabstand von 25 km eingerichtet worden (Tsuji et al. 1995), permanente GPS-Netze operieren auch in Kalifornien (Scherbewegungen an der San Andreas-Verwerfung), Bock et al. (1997). Wiederholte GPS-Kampagnen wurden zur Bestimmung des Spannungsfeldes in den Platten-Kollisionszonen in Südostasien (Eurasische, Pazifisch-Philippinische und Australische Platte) und im östlichen Mittelmeer (Eurasische, Afrikanische und Arabische Platte) durchgeführt (Becker et al. 2000b, Kahle et al. 2000). Seit Mitte der 1990er Jahre werden in den SCAR (Scientific Committee on Antarctic Research) Epoch GPS Campaigns rezente Bewegungen im Bereich der Antarktischen Platte untersucht (Dietrich et al. 1998).

Großräumige vertikale Krustenbewegungen finden sich in Gebieten postglazialen Ausgleichs, rezenter Gebirgsbildung, kontinentaler Erosion und sedimentärer Absenkung. Während das zeitaufwendige geometrische Nivellement nur Wiederholungsraten von einigen Jahrzehnten erlaubt, ermöglicht die GPS-Höhenbestimmung (Epochenmessungen oder Permanentstationen) auch die Erfassung kurzzeitiger Höhenänderungen.

8.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

327

Wiederholte Schweremessungen können ebenfalls hierfür eingesetzt werden, s. [8.3.4]. Das Nivellement und die GPS-Höhenbestimmung beziehen sich auf verschiedene Bezugsflächen (Geoid bzw. Ellipsoid). Da das Geoid durch Massenumverteilungen verändert wird, sollten die Nivellementsresultate entsprechend reduziert werden; die zur Schwerefeldmodellierung entwickelten Formeln werden hierbei auf die geschätzten oder beobachteten zeitlichen Schwereänderungen angewandt, s. [6.6.1], [6.7.1]. Diese Reduktion bleibt jedoch selbst bei großen Massenverschiebungen wie in Fennoskandien erheblich unter 10 % der Höhenänderungen, so dass sie i. Allg. vernachlässigt werden kann (Ekman 1993). Fennoskandien ist ein Beispiel für ein gut vermessenes Gebiet rezenter vertikaler Bewegungen, die postglaziale Landhebung ist hier mit Hilfe von Nivellements, Pegeldaten und Schweremessungen untersucht worden. Die scheinbare Landhebung in Bezug auf den Meeresspiegel erreicht dabei ein Maximum von 9 mm/Jahr (Abb. 8.18), sie ist mit einem viskosen Einflie¨ ßen von Masse in den oberen Mantel verbunden (Ekman und Makinen 1996), s. [8.2.4]. In den Schweizer Alpen wurden durch wiederholte Nivellements Hebungsraten von 1 mm/Jahr und mehr festgestellt. Dieser Gebirgsanstieg wird teilweise durch erosionsbedingte isostatische Hebungen und teilweise durch Kompressionsvorgänge an der europäisch-afrikanischen Plattengrenze verursacht (Gubler et al. 1981). An der deutschen Nordseeküste lassen wiederholte Nivellements eine Landsenkung von 0,5 bis 1 mm/Jahr vermuten, wobei an den Flussmündungen signifikante lokale Absenkungen stattfinden (Leonhard 1987). N

km

E

Abb. 8.18. Fennoskandische Landhebung (relativ zum Meeresspiegel) in mm/Jahr, abgeleitet aus wiederholten geometrischen Nivellements, nach Kakkuri (1985)

In lokalen geodynamischen Netzen werden i. Allg. mehrere Techniken eingesetzt (terrestrische geodätische Messungen, Nivellement, GPS, Strain- und Neigungsmessungen, Gravimetrie), um Vorläuferphänomene zu entdecken und die während und nach einer Aktivphase auftretenden Deformationen zu erfassen; solche Netze werden besonders in Gebieten hohen seismischen und vulkanischen Risikos angelegt (Zerbini

328

8 Aufbau und Dynamik der Erde

et al. 2001). In seismotektonisch aktiven Zonen liefern diese Daten Informationen über das Anwachsen von Spannungen, den Spannungsabbau während eines Erdbebens und die anschließende Ausgleichsphase (Hudnut 1995). Größere Verschiebungen wurden insbesondere im Zusammenhang mit starken Erdbeben gefunden (Bock et al. 1993). Präseismische Hebungen sind als Resultat von Dehnungen erklärt worden, die durch das Öffnen von Mikrospalten und anschließendes Eindringen von Grundwasser entstehen. Bei Vulkanen lassen sich die durch das Eindringen und Ausfließen von Magma verursachten Deformationen leichter feststellen, geodätische und gravimetrische Techniken spielen deshalb eine wichtige Rolle bei der Voraussage vulkanischer Eruptionen. Kontinuierliche Strain- und Neigungsmessungen können Vorläufereffekte kurz vor einer Aktivitätsphase anzeigen, sind aber oft von meteorologischen und hydrologischen Einflüssen stark gestört (Takemoto 1995). Die Kombination von punktuellen GPS-Messungen und Interferogrammen, die aus zu verschiedenen Zeiten (z. B. im 35-Tage Wiederholungszyklus der ERS-Satelliten) aufgenommenen Synthetic Aperture Radar- (SAR) Bildern generiert werden, ist ein erfolgversprechendes Mittel zur Erfassung vertikaler Deformationen (Massonet et al. 1993). Die San Andreas-Verwerfung in Kalifornien gehört zu den Erdbebengebieten, in denen die Verschiebungsraten während seismischer Aktivitätsphasen und dazwischen regelmäßig mit geodätischen Methoden erfasst werden (Gan et al. 2000). Die Krafla (Nordisland) Riftbildungsepisode (1975 – 1984) und die anschließende Entspannungsperiode ist mit terrestrischen Messungen, GPS und Gravimetrie laufend verfolgt worden. Der Riftvorgang wurde durch den Ein- und Ausfluss von Magma in eine oberfächennahe Magmakammer ausgelöst, was zu wiederholten Akti¨ vitätsphasen des Krafla Vulkans führte (Bjornsson 1989). Während der Riftbildung wurden große horizontale (einige m) und vertikale (bis zu 1 m und mehr) Verschiebungen beobachtet, in der anschließenden Entspannungsphase gingen diese Deformationen auf wenige cm/Jahr zurück und konzentrierten sich auf eine schmale Zone um den Krafla Spaltenschwarm. Die Horizontalbewegungen gingen schließlich in die hier herrschende mittlere Driftrate (2 cm/Jahr) zwischen der amerikanischen und der eurasischen Platte über (Jahn et al. 1994), Abb. 8.19. Mit Hilfe der Satelliten-Radarinterferometrie konnte nach der Riftphase eine Absenkung (einige mm bis 2 cm/Jahr) im Bereich der Magmakammer und entlang des Riftsegments festgestellt werden, was auf Kontraktion durch Abkühlung und duktilen Materialabfluss aus der Spreadingachse heraus zurückgeführt wird (Sigmundsson et al. 1997). Beispiele für die geodätische Kontrolle von Vulkanen finden sich bei Dvorak (1995). Regelmäßig überwacht werden u.a. die Vulkane Kilauea und Mauna Loa, Hawaii, Long Valley, Kalifornien, und Ätna, Italien (Barthelmy et al. 1995).

Durch menschliche Aktivitäten verursachte vertikale Krustenbewegungen stehen insbesondere im Zusammenhang mit der Gewinnung von Erdgas, Erdöl und geothermischer Energie, der Grundwasserentnahme, dem Bergbau sowie mit veränderlichen Auflasten in Wasserspeichern. Diese mehr lokalen Eingriffe führen i. Allg. zu Absenkungen. Zur Überwachung dienen wiederholte Nivellements und GPG-Messungen, Schweremessungen können ebenfalls herangezogen werden, s. [8.3.4].

8.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

329

5 cm +/- 1cm

66N K

A 65N

64N

km 0 20W

18W

16W

50 14W

100 12W

Abb. 8.19. Aus wiederholten GPS-Messungen bestimmte horizontale Krustenbewegungen in Nordostisland 1987 – 1990, im Bereich des Krafla-Spaltenschwarms liegende Stationen sind als ¨ unveränderlich angenommen, A = Askja Vulkan, K = Krafla Vulkan, nach Volksen (2000)

8.3.4

Zeitliche Schwereänderungen

Zeitliche Schwereänderungen sind auf eine Vielzahl von Ursachen zurückzuführen, s. [3.5]. Im Folgenden betrachten wir nur die Änderungen, die auf eine Umverteilung terrestrischer Massen zurückgehen und damit Informationen über geodynamische Vorgänge enthalten, s. [3.5.3]. Gravimetrische Gezeiteneffekte werden im Zusammenhang mit den Erdgezeiten diskutiert, s. [8.3.5]. Weitere Einzelheiten finden sich in Torge (1989a). Globale Schwereänderungen lassen sich aus dem Vergleich der Kugelfunktionskoeffizienten des Gravitationsfeldes ableiten, die aus Satellitenbahnanalysen verschiedener Epochen berechnet wurden, s. [6.6.2]. So wurden aus den Messungen zu LaserSatelliten (Lageos, Starlette, Ajisai) über 10 bis 20 Jahre Änderungen der niederen zonalen Koeffizienten (bis zum Grad 5) gefunden (Nerem und Klosko 1996). Besonders ausgeprägt ist die Änderung des dynamischen Formfaktors J˙2 = dJ2 /dt = −2,7 × 10−11 /Jahr, als Ursache werden postglaziale Ausgleichsvorgänge angenommen. Jährliche und halbjährliche Variationen der Kugelfunktionskoeffizienten zweiten Grades stehen mit Massenumverteilungen in der Atmosphäre, den Ozeanen und dem kontinentalen Grundwasser in Zusammenhang (Cheng und Tapley 1999). Werden die Koeffizienten ersten Grades in die Analyse einbezogen, so zeigen Veränderungen die Bewegung des Geozentrums gegenüber dem durch die Koordinaten der Trackingstationen realisierten terrestrischen Bezugsrahmen, s. [2.5.2], [3.3.4]. Ein gut über die Erdoberfläche verteiltes Netz von Absolutschwerestationen kann ebenfalls zur Bestimmung langfristig ablaufender globaler Schwereänderungen beitragen, wenn die Schweremessungen in Abständen von etwa 10 Jahren oder mehr wiederholt werden (Mather et al.

330

8 Aufbau und Dynamik der Erde

1977). Diesem Zweck dient das von der IAG vorgeschlagene International Absolute Gravity Basestation Network IAGBN (Boedecker und Fritzer 1986). Der größte Teil der geplanten 36 Stationen ist inzwischen eingerichtet, doch sind bisher erst auf wenigen Punkten Wiederholungsmessungen ausgeführt worden.

Regionale und lokale zeitliche Schwereänderungen lassen sich durch terrestrische absolute und relative Schweremessungen feststellen. Entsprechende Untersuchungen konzentrieren sich auf Gebiete mit rezenten Höhenänderungen durch postglaziale Landhebung, Gebirgsbildung, seismische und vulkanische Aktivität und menschlich verursachte Senkungen, s. [8.3.3]. Um die mit geodynamischen Vorgängen verbundenen kleinen Schwereänderungen feststellen und analysieren zu können, ist eine hohe Messgenauigkeit und die entsprechende Reduktion von Gezeiteneffekten und lokalen Störungen notwendig. Für die Gezeiteneinflüsse ist dies für den größten Teil der Kontinente mit Hilfe von gravimetrischen Erdgezeitenmodellen möglich, s. [8.5.3]. Die Polbewegung beeinflusst nur die Ergebnisse der Absolutgravimetrie, sie kann mit hinreichender Genauigkeit reduziert werden. Dies gilt auch für die Auswirkung von Änderungen des Luftdrucks. Sie lassen sich als Bouguerplatte modellieren, wobei die durch die atmosphärische Auflast hervergerufene Deformation zu berücksichtigen ist (Spratt 1982), s. [5.4.1]. Bei relativen Schweremessungen heben sich die Luftdruckeffekte i. Allg. auf, bei kontinuierlichen Registrierungen müssen sie jedoch berücksichtigt werden, s. [8.3.5]. Zeitliche Veränderungen des Grundwasserspiegels und der Bodenfeuchte verlaufen mit jahreszeitlichen Perioden, denen sich kurzzeitige Schwankungen von einigen Stunden bis zu wenigen Tagen überlagern. Hieraus resultieren maximale Schwereänderungen von 50 bis 100 nms−2 (jahreszeitlich) und einigen 100 nms−2 (starker Regenfall). Bei einfachen hydrologischen Strukturen gelingt eine Reduktion mit Hilfe des BouguerplattenModells: (8.15) δgGrundwasser = 4,2 · P · δH nms−2 mit P = Porenvolumen (%) und δH = Änderung des Grundwasserspiegels in m. Für die Reduktion wegen veränderlicher Bodenfeuchte gilt eine entsprechende Beziehung. Fehlende Grundwasser- und Bodenfeuchtedaten sowie komplexe hydrologische Verhältnisse verhindern jedoch i. Allg. eine hinreichende Reduktion dieser Effekte. An der Erdoberfläche beobachtete Schwereänderungen enthalten den kombinierten Effekt von Massenumverteilungen im Erdinnern und einer Höhenänderung des Beobachters. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Einflüsse der Erdgezeiten und von Änderungen des Luftdrucks, des Grundwasserstandes und der Bodenfeuchte reduziert sind. Mit Hilfe eines Modells für die Massenverschiebungen können die Schwereänderungen dann in Höhenänderungen transformiert werden (Strang van Hees 1977, Biro´ 1983). Wird ein linearer Zusammenhang zwischen Schwere- und Höhenänderungen angenommen, so kann der Umrechnungsfaktor zwischen −1,5 und −3,5 μms−2 /m variieren. Lokal findet sich häufig die Freiluft-Relation von −3 μms−2 /m, was einer vertikalen Verschiebung ohne Massenänderung entspricht (etwa durch eine sich ausdehnende kugelförmige Masse). Typisch für ein ein größeres Gebiet ist die Bouguerplatten-Relation von −2 μms−2 /m, welche interne Massenverschiebungen nach dem

8.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

331

Modell der Bouguerplatte anzeigt, s. [6.5.3]. Werden in einem geodynamischen Kontrollnetz gleichzeitig Schwere- und Höhenänderungen gemessen, so kann der aktuelle Umrechnungsfaktor bestimmt werden. Wiederholte Schweremessungen lassen sich dann in Höhenänderungen umrechnen, und eventuell können auch die geodynamischen Modelle überprüft werden. In Fennoskandien wird die postglaziale Landhebung seit einigen Jahrzehnten auch durch wiederholte Schweremessungen bestimmt, in Verbindung mit den Ergebnissen des Nivellements ergab ¨ sich dabei ein mittlerer Umrechnungsfaktor von −2 nms−2 /mm (Ekman und Makinen 1996), s. [8.3.3]. In Kanada wurden mit wiederholten absoluten Schweremessungen Schwereänderungen von −10 bis −20 nms−2 /Jahr gefunden, was mit geophysikalischen Ausgleichsmodellen übereinstimmt (Lambert et al. 1996), Abb. 8.20. Wiederholt vermessene Netze in den zentraSCHWERE (mms ) -2

0.2

-0.014 mms /a -2

0.1

0

-0.1

-0.2

JAHR

-0.3 1988

1990

1992

1994

1996

Abb. 8.20. Absolute Schwereänderungen zwischen 1987 und 1995 in Churchill, Manitoba, Kanada, nach Lambert et al. (1996) len Anden (Subduktion der Nazca-Platte) und in den venezuelanischen Anden (Grenze zwischen der Karibischen und der Südamerikanischen Platte) sind Beispiele für gravimetrische Untersuchungen an tektonischen Plattengrenzen (Becker und Groten 1998, Drewes et al. 1991). Dabei konnten lokale Effekte (Absenkung sedimentärer Becken, mit Regen- und Trockenzeit korrelierte Variationen) erkannt werden, durch plattentektonische Prozesse verursachte langfristige Änderungen lassen sich wegen der zu kurzen Beobachtungszeiträume dagegen nur schwer identifizieren. Gravimetrische Techniken werden intensiv in Gebieten seismotektonischer und vulkanischer Aktivität eingesetzt, etwa in Kalifornien (Jachens et al. 1983) und in Japan (Satomura et al. 1986), die Ergebnisse lassen sich in vielen Fällen mit beobachteten vertikalen und horizontalen Verschiebungen korrelieren. In Yünnan (Kollisionszone zwischen der Indischen und der Eurasischen Platte) wurde zwischen 1990 und 1995 ein Absolutschwerenetz angelegt und mehrfach vermessen, hiermit sollen langzeitig ablaufende Schwereänderungen in dieser stark erdbebengefährdeten Region erfasst werden (Torge et al. 1999b). Der Krafla-Riftvorgang

332

8 Aufbau und Dynamik der Erde

in Nordisland (1975 – 1984) war durch gut miteinander korrelierte Schwere- und Höhenänderungen gekennzeichnet, Vorläuferphänomene sind jedoch kaum zu erkennen (Torge 1989b), Abb. 8.21, s. [8.3.3]. Vor starken Erdbeben wurden gelegentlich Schwereänderungen von einigen μms−2 beobachtet, z. B. bei dem 1976 Tangshan-Beben (M = 7,8), Li et al. (1989). Bei der Überwachung von Vulkanen haben sich wiederholte Schweremessungen als wirksames Instrument zur Entdeckung von Magmaflüssen erwiesen, Schwereänderungen tragen so zur Vorhersage von Eruptionen und zur Erfassung der Aktivitätsphase bei (Rymer und Locke 1995). Schweremessungen können schließlich auch zur Untersuchung von Landsenkungen auf Grund menschlicher Aktivitäten herangezogen werden, wobei auch Aussagen über die internen Massenumverteilungen möglich sind (Ausbeutung von Geothermal-, Erdgas- und Erdölfeldern, Grundwasserentnahme, Bergbau). dH(m)

dg(mms-2) +1.0

1975-1970

+0.4

+0.5

+0.2

0

0 -0.2

-0.5

1980-1975

+1.5

KRAFLA SPALTENZONE

+0.8 +0.6

+1.0

+0.4

+0.5

0.2 0

0

-0.2

-0.5

-0.4

-1.0

-0.6

-1.5

-0.8 1985-1980

20km +0.5

+0.2

0

0

-0.5

-0.2

Abb. 8.21. Während der Krafla-Riftbildungsepisode in Nordisland längs eines OW-Profils (ϕ = 65◦ 40 ) beobachtete langzeitige Schwere- und Höhenänderungen, nach Torge et al. (1992)

8.3.5

Erdgezeiten

Für einen starren Erdkörper lassen sich die Gezeiteneffekte aus den Ephemeriden von Mond, Sonne und Planeten berechnen, s. [3.5.2]. In der Realität reagiert die feste Erde auf die Gezeitenkräfte wie ein elastischer Körper: Erdgezeiten (auch Gezeiten der festen Erde). Die ozeanischen Gezeiten folgen den Gesetzen der Hydrodynamik,

8.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

333

wobei in den Randmeeren und entlang der Küsten erhebliche Störungen auftreten. Die Gezeitenphänomene, insbesondere auch die Erdgezeiten, werden ausführlich in Melchior (1983), Baker (1984) und Wilhelm et al. (1997) behandelt. Die Reaktion einer kugelsymmetrischen, nicht-rotierenden, ozeanfreien Erde auf die Gezeiten kann durch die dimensionslosen Love-Zahlen h, k, l (l wird auch als Shida-Zahl bezeichnet) beschrieben werden, diese wirken als Verkleinerungsfaktoren auf die einzelnen Terme der Kugelfunktionsentwicklung des Gezeitenpotentials Vt (3.116), Wahr (1995). Für die gezeitenbedingte vertikale Verformung der Erdoberfläche gilt (Abb. 8.22): rel = h · rt ,

(8.16a)

wobei die Verschiebung der Niveaufläche sich aus (3.52) ergibt: rt =

Vt . g

(8.16b)

Die horizontale Verschiebung in NS- und OW-Richtung folgt aus xel =

l ∂Vt · , g ∂ ϕ¯

yel =

∂Vt l · g cos ϕ¯ ∂λ

(8.17)

mit ϕ, ¯ λ = geozentrische Breite bzw. Länge. W + Vt + Vd = const. kDrt

W + Vt = const. DEFORMIERT

Drt

Drel = hDrt P

ERDOBERFLÄCHE NICHT DEFORMIERT W = const.

g

Abb. 8.22. Gezeitenbedingte vertikale Verschiebung der Niveaufläche und der physischen Erdoberfläche

Die gezeiteninduzierte Massenverschiebung ruft ein zusätzliches Deformationspotential hervor, welches dem Gezeitenpotential proportional ist: Vd = k · Vt .

(8.18)

Die Love-Zahlen hängen von der Dichte und den elastischen Eigenschaften des Erdkörpers ab, bei dem kugelsymmetrischen Modell sind sie Funktionen des radialen Abstandes zum Erdmittelpunkt. Beschränken wir uns auf den im Kugelfunktionsterm zweiten Grades enthaltenen Hauptanteil (≈ 98 %) des Gezeitenpotentials, so ergibt

334

8 Aufbau und Dynamik der Erde

sich für ein sphärisches Erdmodell mit festem Mantel, flüssigem äußeren und festem inneren Kern, s. [8.1]: h = 0,60,

l = 0,08,

k = 0,30.

Das Gravitationspotential auf der Erdoberfläche erfährt unter dem Einfluss der Gezeiten eine Änderung, die sich aus drei Anteilen zusammensetzt, nämlich dem Potential der direkten Anziehung (3.117), dem Deformationspotential (8.18) und der aus der Vertikalverschiebung der Oberfläche folgenden Änderung (8.16): Vel = Vt + Vd − g · rel = Vt (1 + k − h).

(8.19)

Die Ableitung nach dem radialen Abstand r ergibt die vertikale Komponente der Gezeitenbeschleunigung. Nach (3.117), (3.118) gilt br =

Vt ∂Vt =2 . ∂r r

(8.20a)

Wird das Deformationspotential durch eine Kugelfunktionsentwicklung des Grades zwei ausgedrückt, so folgt mit (8.18): 3 ∂Vd 3 = − Vd = − kVt . ∂r r r

(8.20b)

Nach Einsetzen von (8.20) in (8.19) erhalten wir unter Berücksichtigung von (3.118) und (8.16) schließlich für die vertikale Beschleunigungskomponente der elastischen Erde   3 (8.21a) br(el) = 1 − k + h br 2 mit dem bereits in (5.97) eingeführten gravimetrischen (Amplituden-)Faktor 3 δ = 1 − k + h. 2

(8.21b)

Die horizontale Komponente der Gezeitenbeschleunigung und ihr Zusammenhang mit der entsprechenden Komponente für eine starre Erde (3.119) ergibt sich zu bψ(el) = −

∂Vel = (1 + k − h)bψ r∂ψ

(8.22a)

mit dem Neigungs-(Amplituden-)Faktor γ = 1 + k − h. Mit den obigen Modellwerten für die Love-Zahlen h und k erhalten wir δ = 1,15,

γ = 0,69.

(8.22b)

8.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

335

Auf der elastischen Erde wird also eine größere Schwereänderung als auf einer starren Erde beobachtet, was auf die vertikale Verschiebung des Beobachters zurückzuführen ist. Der Neigungsfaktor spiegelt die Nachgiebigkeit der Erdoberfläche gegenüber der horizontalen Gezeitenbeschleunigung wider. Die Rotation und die Abplattung der Erde verursachen eine leichte Breitenabhängigkeit der Gezeitenparameter (Wahr 1981). Die Mantelanelastizität führt zu einer frequenzabhängigen Vergrößerung der Amplituden und zu Phasenverschiebungen, laterale Inhomogenitäten sollten als ortsabhängige Variation der Parameter erkennbar sein. Der durch den flüssigen äußeren Kern verursachte Resonanzeffekt (genähert tägliche freie Schwingung), s. [8.3.1], drückt sich im täglichen Gezeitenband durch eine Frequenzabhängigkeit der Love-Zahlen aus. Diese Abweichungen von einem kugelsymmetrischen Erdmodell bleiben kleiner als 0,1 %. Die Erdgezeitenbeobachtungen enthalten den Einfluss der ozeanischen Gezeiten, dieser setzt sich aus dem direkten Gravitationseffekt und der Auflastwirkung der Wassermassen zusammen (Jentzsch 1997). Die ozeanischen Gezeiten wirken sich besonders in den halbtäglichen Tiden aus, sie können auch im Inneren der Kontinente noch einige Prozent betragen. In Küstennähe erreichen sie bis zu 10 % im gravimetrischen Gezeitensignal, einige 10 % im Strain und 100 % und mehr in der Neigung, mit entsprechend großen Phasenänderungen.. Der gravitative und der Auflast-Anteil der ozeanischen Gezeiten lässt sich mit Hilfe von ozeanischen Gezeitenmodellen berechnen, s. [3.4.2]. Die ozeanische Auflast wird dabei als Flächenbelegung aufgefasst und in Kugelfunktionen entwickelt (Entwicklung bis zum Grad 10 000). Die Reaktion der Erdoberfläche auf diese Belastung wird durch die Auflast-Love-Zahlen beschrieben, welche von den Eigenschaften des jeweiligen Erdmodells abhängen (Farrell 1972). Die Auflasteffekte in Schwere, Strain und Neigung ergeben sich dann aus Faltungsintegralen über das ozeanische Gezeitenmodell und Greens Funktionen (in Abhängigkeit von der Entfernung zur Belastung gewichtete Auflast-Love-Zahlen).

An der Erdoberfläche erreichen die Gezeiteneffekte 1 bis 2 μms−2 in der Schwere, 0,01 bis 0,02 in der Neigung und 10−7 bis 10−8 im Strain, vgl. auch die Werte für eine starre Erde in [3.5.2]. Sie sind also in geodätischen Messreihen klar erkennbar und können nach einer Erdgezeitenanlyse mit unterschiedlichen Zielsetzungen ausgewertet werden: • Ableitung von Gezeitenreduktionen für geodätische (VLBI, SLR, LLR, GPS, Präzisionsnivellement usw.) und gravimetrische Messungen. • Überprüfung und Verbesserung von globalen Erdmodellen in Bezug auf Abweichungen von der Kugelsymmetrie, hierbei ist der Einfluss der ozeanischen Gezeiten vorweg zu reduzieren. • Überprüfung ozeanischer Gezeitenmodelle nach Abzug der Erdgezeiten. • Untersuchung von lokalen Änderungen der Gezeitenparameter im Zusammenhang mit Erdbeben und vulkanischer Aktivität.

336

8 Aufbau und Dynamik der Erde

Während für die Gezeitenreduktionen eine relative Genauigkeit von etwa ±1 % bzw. ±0,5◦ i. Allg. ausreicht, sind zur Modellüberprüfung und zum Auffinden geodynamischer Effekte Genauigkeiten von ±0,1 % bzw. ±0,05◦ erforderlich.

2 mms-2

Zur Gezeitenanalyse tragen insbesondere die gravimetrischen Erdgezeitenmessungen bei (Wenzel 1996b). Hierbei liefern elastische Federgravimeter die kurzperiodischen Partialtiden (Abb. 8.23), mit supraleitenden Instrumenten können darüber hinaus auch langperiodische Gezeiten und der Einfluss der Polbewegung erfasst werden (Abb. 8.24), s. [5.4.6].

ERDGEZEITENSTATION HANNOVER NR.709, GRAVIMETER LACOSTE & ROMBERG NR.298

50 nms-2 10 hPa

50 nms-2

1 mms-2

Abb. 8.23. Gravimetrische Erdgezeitenregistrierung mit dem LaCoste and Romberg-Gravimeter G298, Institut für Erdmessung (IfE), Universität Hannover

105 TAGE

Abb. 8.24. Drift eines GWR Superconducting Gravimeter, mit (von oben nach unten) dem gemessenen Gravimetersignal, dem um die Erdgezeiten reduzierten Signal, dem Luftdruck und der Residualschwere nach Reduktion der Einflüsse der Erdgezeiten und des Luftdrucks, GWRInstruments, Inc., San Diego, CA, USA

Als Beispiel für die Resultate einer Erdgezeitenanalyse enthält Tab. 8.1 die aus einer Langzeitbeobachtung mit einem supraleitenden Gravimeter berechneten gravimetrischen Gezeitenparameter für eine ausgewählte Anzahl von Partialtiden (aus insgesamt 57 analysierten Wellengruppen), Dittfeld (2000), s. [3.5.2].

8.3

Geodäsie und rezente Geodynamik

337

Tabelle 8.1. Ausgeglichene gravimetrische Erdgezeitenparameter (Auswahl, abgerundete Werte), Erdgezeitenstation Nr. 765, GFZ Potsdam (ϕ = 52,38◦ N , λ = 13,07◦ E, H = 81 m). Superconducting Gravimeter GWR TT70 No.018, Registrierzeit Juni 1992 bis Oktober 1998 (2 250 Tage), nach Dittfeld (2000) Tide Symbol langperiodisch Sa Ssa Mm Mf täglich Q1 O1 P1 S1 K1 ψ1 ϕ1 halbtäglich N2 M2 S2 K2 dritteltäglich M3

Periode

Amplitude nms−2

Ampl. Faktor δ

Phasenverschiebung 

365,26 d 182,62 d 27,55 d 13,66 d

18,4 29,7 34,0 64,4

4,4 1,13 1,14 1,14

−40◦ −2◦ 0,6◦ −3◦

26,87 h 25,82 h 24,07 h 24,00 h 23,93 h 23,87 h 23,80 h

66,0 345,6 160,9 4,2 480,6 4,2 7,1

1,146 1,150 1,150 1,28 1,137 1,26 1,18

−0,22◦ −0,13◦ 0,12◦ 2,0◦ 0,2◦ 0,6◦ −0,1◦

12,66 h 12,42 h 12,00 h 11,97 h

63,2 332,3 154,6 42,0

1,179 1,186 1,186 1,186

1,99◦ 1,36◦ 0,21◦ 0,45◦

8,28 h

3,6

1,073

0,3◦

Standardabweichung (Ausgleichung kurz- und langperiodischer Tiden): ±9 nms−2 , nur kurzperiodische Tiden: ±0,8 nms−2 , Luftdruck-Regressionskoeffizient −2,776 nms−2 /hPa, PoltideFaktor 1,13.

Die Hauptergebnisse gravimetrischer Erdgezeitenanalysen lassen sich wie folgt zusammenfassen (Wenzel 1996b): • Der durchschnittliche Rauschpegel beträgt für die kurzperiodischen Gezeiten wenige 0,01 nms−2 und kann für die jährliche Tide auf 10 nms−2 ansteigen, dies charakterisiert die hohe Messgenauigkeit. • Die Separation der kleinen S1-Welle spiegelt die Qualität der Analyse wieder, da die täglichen Tiden durch meteorologische Effekte stark gestört sind.

338

8 Aufbau und Dynamik der Erde

• Die Standardabweichungen der ausgeglichenen Gezeitenparameter sind etwa umgekehrt proportional zur Amplitude der jeweiligen Welle. Für die Hauptwellen (O1, P1, K1, M2, S2) kann der Amplitudenfaktor mit einer relativen Genauigkeit von etwa ±0,01 % und die Phasenverschiebung mit ±0,01◦ und besser bestimmt werden. Die langperiodischen Tiden (Mm, Mf) weisen eine Genauigkeit von einigen % bzw. einigen Grad auf. • Nach Reduktion der ozeanischen Gezeiteneffekte stimmen die Gezeitenparameter gut mit neueren geophysikalischen Erdmodellen überein. Abhängigkeiten von der Breite, von lateralen Inhomogenitäten oder vom Wärmefluss sind nicht klar ¨ feststellbar (Zurn 1997a). • Der Resonanzeffekt des flüssigen äußeren Kerns kann in den täglichen Tiden ψ1 , ϕ1 erkannt und zur Modellüberprüfung benutzt werden. • Ozeanische Gezeiteneffekte zeigen sich besonders in den halbtäglichen Wellen, sie liefern nützliche Randbedingungen bei der Entwicklung ozeanischer Gezeitenmodelle (Ducarme und Melchior 1983). • Die im Periodenbereich zwischen 10 Sekunden und 54 Minuten liegenden Eigenschwingungen der Erde werden durch starke Erdbeben angeregt. Die entsprechenden Ergebnisse (vertikale Komponente) hochauflösender Registrierungen können unterstützend in die Auswertung globaler seismischer Netze einfließen. Synthetische gravimetrische Gezeitenparameter sind weltweit für ein 1◦ × 1◦ -Gitter aus Modellen für die Erdgezeiten (Wahr 1981/Dehant 1987) und für die ozeanischen Gezeiten (Schwiderski 1980) berechnet worden. Mit Ausnahme stark gestörter Küstenbereiche stimmen diese synthetischen Parameter gut mit den gravimetrischen Erdgezeitenbeobachtungen überein, die gravimetrischen Gezeitenreduktionen lassen sich hieraus i. Allg. mit der gewünschten Genauigkeit ableiten (Timmen und Wenzel 1994b). Im Rahmen des Global Geodynamics Project (GGP, 1997 – 2003) werden mit supraleitenden Gravimetern in etwa 20 Stationen Schweredaten mit einer Aufzeichnungsrate von 1 bis 10 s und einer Genauigkeit von ±1 nms−2 gesammelt. Die Ergebnisse sollen zur Verbesserung von Erdund Ozeanmodellen herangezogen werden und Informationen über geodynamische Prozesse liefern, darüber hinaus dienen sie als Bodenkontrolle bei der Auswertung der GRACE-Mission, s. [5.2.8], Crossley et al. (1999).

Strain- und Neigungsmessungen sind durch lokale Einflüsse stark gestört, sie eignen sich deshalb nicht zur Bestimmung der globalen oder regionalen Reaktion der Erde auf die Gezeitenkräfte. Bei lokalen Fragestellungen können sie jedoch wichtige Beiträge leisten, s. [5.5.4]. Langzeitmessungen mit geodätischen Raumtechniken wie VLBI, SLR und GPS lassen sich in Bezug auf die gezeitenbedingten Verschiebungen der Beobachtungsstation auswerten. Hieraus lassen sich die Love-Zahlen h und k, die Resonanzparameter im täglichen Gezeitenband und die ozeanischen Auflasteffekte herleiten (Schuh und Haas 1998).

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Index

Aberration, 151, 153 Abplattung dynamische, 304 geometrische, 7, 83, 214, 275 hydrostatische, 307 Abplattung, mechanische, siehe Abplattung, dynamische Absolutgravimeter, 155, 301 Adams-Williamson-Gleichung, 305 Airy, 284, 310 Akustische Wellen, 107, 188 Al-Mámûn, 5 Almukantarat, siehe Höhenparallel Altimetrie, siehe Satellitenaltimetrie Äquatorebene, 19, 24, 29 Äquatorradius, 102, 103, 245, 274 Äquatorsystem, 23, 118 Äquipotentialellipsoid, siehe Niveauellipsoid Äquipotentialfläche, siehe Niveaufläche Argument des Perigäums, 118 Aristarch von Samos, 7 Aristoteles, 4 Astasierung, 163 Asthenosphäre, 313 Astronomische Ortsbestimmung, 58, 147 Astronomische Parallelkurve, 58 Astronomischer Horizont, siehe Himmelshorizont Astronomischer Parallelkreis, 24 Astronomisches Dreieck, siehe Poldreieck Astronomisches Jahrbuch, 151 Astronomisches System global, 36, 58 lokal, 37, 54, 58, 145, 169, 216 Atmosphäre Dichte, 52, 107 Masse, 47, 64, 103 Atmosphärenmodell, 113, 120 Atomuhr, 18, 124, 128, 157 Atomzeit, 18, 33, 320 Ausgleichung nach kleinsten Quadraten, 208, 210, 247, 253, 282, 291 Azimut astronomisches, 37, 149, 181, 210, 220 ellipsoidisches, siehe Azimut, geodätisches geodätisches, 87, 90, 220, 223 Laplace-, siehe Laplace-Azimut

Azimutbestimmung, 149 Azimutreduktion wegen Höhe des Zielpunktes, 221 Azimutreduktionen, 220 Baeyer, 10, 13 Bahnelemente, siehe Keplersche Bahnelemente Bahngeschwindigkeit (Satellit), 122 Bahnsystem (Satellit), 117, 118 Ballonsatellit, 123, 125 Basis terrestrische, 6, 182, 280, 286 VLBI, 152, 208 Bergstrand, 184 Bessel, 9, 10, 225, 283, 286 Bezugsellipsoid, 102, 283, 286 Bezugsfläche, 3 Bezugssystem, 3 ellipsoidisches, 92 erdfestes, 3, 29, 35 raumfestes, 3, 23, 27, 35 schwerefeldbezogenes, 36 terrestrisches, siehe Bezugssystem, erdfestes zälestisches, siehe Bezugssystem, raumfestes BIH-Nullmeridian, 33, 103 Bjerhammar-Kugel, 64, 203, 240 Bohrlochgravimeter, 165 Bomford-Geoid, 272 Bouguer, 9, 241, 310 Bouguer- (Schwere) Anomalie, 197, 241, 261, 310, 318 Bouguerplatte, 240, 242, 331 Bowie, 282 Brechungsindex, 107, 110, 112, 114, 187 Brechzahl, siehe Brechungsindex Breite astronomische, 36, 39, 58, 147, 212, 284 ellipsoidische, siehe Breite, geodätische geodätische, 84, 89, 101, 212, 223 geozentrische, 30, 85 normale geodätische, 99, 101, 213 reduzierte, 85, 93, 225 Breitengradmessung, 8 Breitenkreis, 84, 86, 88, 89 Brillouin-Kugel, 64 Bruns, 11, 54 Gleichung, 57, 98

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Index

Sphäroid, 93 Theorem, 234, 257, 263, 267 Bureau Gravimetrique International (BGI), 14, 253, 259 Bureau Internationale de l’Heure (BIH), 17, 23 Bureau Internationale des Poids et Mésures (BIPM), 14, 16, 169 C/A-Code (GPS), 129, 131, 134, 136 Cassini de Thury, 9, 282 Cassini, J., 8 Cassini, J.D., 7 Cassinis, 102 Cavendish, 17 Cavity-Effekt, 194 Celestial Ephemeris Pole (CEP), 27, 32 Celestial Intermediate Pole (CIP), 27 CHAMP Satellit, 143 Chandler-Periode, 31, 321 Clairaut, 9, 54, 92, 97 Satz, 219, 225, 226 Theorem, 9, 95, 97 Clarke, 283, 284, 286 Code-Messung (GPS), 132 Cogeoid, 238 Conrad-Diskontinuität, 309 Conventional International Origin (CIO), 32, 103 Cook, 160 Cycle Slip (GPS), 135, 210 Danjon-Prismenastrolab, 145 Deklination, 24, 38, 147, 207 Delambre, 9 Deutsches Hauptdreiecksnetz (DHDN), 288 Deutsches Haupthöhennetz (DHHN), 292 Deutsches Hauptschwerenetz (DHSN), 302 Deutsches Referenznetz (DREF), 299 Deutsches Schweregrundnetz (DSGN), 302 Dichte, 44, 236, 237, 239, 241, 305, 309 Differential GPS (DGPS), 134, 136, 209, 296, 298, 299 Digitales Geländemodell, siehe Digitales Höhenmodell Digitales Höhenmodell, 237, 269 Diskontinuitätsflächen, 305, 306, 309 Dispersion, 107, 181, 186 Dispersionswinkel, 181 Distanz (Raumstrecke), 37, 90, 108, 114, 133, 137, 207, 210, 221 Doodson, 77 Dopplermessung, 123, 126, 134 Dopplerpositionierung, 125, 282, 286, 287 DORIS, 22, 124, 127, 142 Drehwaage, 17, 175 Dreidimensionale Geodäsie, 11, 212

Drift, siehe Gravimetergang Dynamische Höhe, 72, 227 Dynamische Meeresflächentopographie, siehe Meeresflächentopographie Dynamische Zeit, 19 Dynamischer Formfaktor, 67, 103, 251, 274, 305 Eigenbewegung, 27, 28, 151 Eigenschwingungen (Erde), 307, 338 Ekliptik, 20, 26, 27 Elektromagnetische Wellen, 106 Geschwindigkeit, 110 Elektronendichte , 114 Ellipsoid Airy, 283 Bessel, 283, 284, 287 bestanschließendes, 10, 245, 283 Clarke, 283–285 dreiachsiges, 93 Everest, 284 Geodätisches Referenzsystem, 102, 103, 283 Hayford, 102, 283, 284, 287 homogenes, 7, 93 konventionelles, 10, 283 Krassovsky, 283, 287 WGS84, 130 Ellipsoidische Höhe, 89, 229, 231 Ellipsoidkoordinaten, 93 Entfernungsmesser elektrooptische, 182 Kalibrierung, 185 Mikrowellen, 182 zwei/drei-Wellenlängen, 186 Eötvös-Einheit, 173 Eötvös-Reduktion, 170 Eötvös-Tensor, 57, 173 Ephemeridenpol, zälestischer, siehe Celestial Ephemeris Pole Ephemeridenzeit, 18 Eratosthenes, 4 Erdellipsoid, mittleres, 3, 92, 273, 285 Erdfigur, 2, 9 Erdgezeiten, 12, 80, 332 Erdgezeitenanalyse, 178, 335, 337 Erdgezeitenmessung, 176, 335 Erdkern, 306, 307 Erdkruste, 306, 308, 310, 313, 318 Erdmantel, 306, 308, 310, 318 Erdmasse, 304 Erdmodell ellipsoidisches, 7, 92 geodätisches, 3, 82, 101, 273 geophysikalisches, 27, 93, 306, 333 homogenes, 46, 93

Index sphärisches, 4, 44, 88 Erdoberfläche mathematische, 2 physische, 1 Erdorientierungsparameter (EOP), 22, 34, 320 Erdrotation, 12, 17, 19, 21, 30, 49, 103, 274, 320 Erdsatelliten, 11, 121, 249 Erdschwerpunkt, siehe Geozentrum ERS Satelliten, 140, 251, 253, 255 Essen und Froome-Formel, 112 Euler-Periode, 31 Eulersche Formel, 87, 222 Europäisches Datum (ED), 286, 287, 289 Europäisches Dreiecksnetz (RETRIG), 286 Europäisches Nivellementsnetz (UELN), 292 Europäisches Terrestrisches Referenzsystem (ETRS), 296 Europäisches Vertikales Referenznetz (EUVN), 296 European Reference Frame (EUREF), 296, 300 Everest, 11, 283, 284, 310 Extensometer, 193 Exzentrische Anomalie, 117 Exzentrizität erste, 83, 104, 117, 221, 225 lineare, 83, 93, 104 zweite, 83, 96, 104 Faller, 160 Faye-Anomalie, 241, 261, 264 Feedback-System (Gravimeter), 164, 176 Feinnivellement, 189, 190, 290 Fermats Prinzip, 107 Fernel, 6 Festpunktnetz dreidimensionales, 11, 293 Flächenbelegung, 263 Flächendichte, 241, 263 Flächen gleichen Drucks, 71, 306 Fluggravimeter, 171, 173 Freifall-Methode, 156, 160 Freiluft- (Schwere) Anomalie, 198, 239, 253, 254, 264, 266, 317, 319 Freiluftreduktion, 198, 238, 239 Frisius, 6 Frühlingspunkt, 20, 24, 26, 27 Fundamentalgleichung (Physikalische Geodäsie), 235 Fundamentalkatalog (FK), 23, 28 Fundamentalpunkt, 215, 223, 283, 284, 286 Fundamentalstern, 28 GAL, 155 Galilei, 7, 155 GALILEO, 131

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GAST, siehe Sternzeit Greenwich Gauß, 2, 9, 10, 13, 68 Gaußsche Integralformel, 48 Gaußsche Schmiegungskugel , 88, 220 Geländekorrektion, 240, 241, 260, 264 residuale, 261 Geodesia Intrinseca, 59 Geodätische Astronomie, 38, 144 Geodätische Linie, 218, 223 Geodätische Linie, Reduktion auf die , 220 Geodätisches Datum, 102, 213, 215, 223, 283, 286, 289 Geodätisches Referenzsystem (GRS), 101, 283, 285 Geoid, 2, 68, 69, 71, 238, 254, 257, 262, 267 Geoidhöhe, 197, 215, 234, 257, 260, 265, 310, 316 mittlere, 247, 251, 253 Geoidpotential, 68, 243, 245, 274 Geoidundulation, siehe Geoidhöhe Geophysikalische Reichsaufnahme, 302 Geopotentialfläche, siehe Niveaufläche Geopotentialmodell, 130, 252, 254 EGM96, 255, 263 tailored, 249, 255 Geopotentielle Kote, 72, 227, 291 Geos Satellit, 140, 142 GEOSAT Satellit, 140, 251, 253, 255, 259 Geozentrische Gravitationskonstante, 103, 245, 274 Geozentrisches System, 29, 34, 39, 243, 294 Geozentrum, 24, 25, 29, 34 Gezeitenbeschleunigung, 75, 78 Gezeitendeformation, 178, 193, 321, 333 Gezeitenkonstante Doodson, 77 Gezeitenmodell feste Erde, 80, 330, 338 Ozeane, 70, 335, 338 Gezeitenpotential, 76, 79, 334 Gezeitenreduktion (Nivellement), 191 Gezeitenreibung, 33, 321 Gleichgewichtsfigur, 7, 92, 93, 307 Gleichgewichtsflut, 78 Gleichgewichtsfläche, 53, 92 Global Geodynamics Project (GGP), 338 Global Navigation Satellite System (GNNS), 131 Global Positioning System (GPS), 11, 22, 127, 137, 231, 294, 297 GLONASS, 131, 132 GMST, siehe Sternzeit Greenwich GOCE Satellit, 144 Goddard Erdmodelle, 251 Godin, 9

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Index

GPS, siehe Global Positioning System GPS-Empfänger, 131, 132, 296, 298 GPS-Höhenbestimmung, 231, 293, 296 GPS-Netz, 209, 294, 295, 298 GPS-Permanentstation, 134, 294, 296, 298, 300 GPS-Positionsbestimmung, 132, 136, 294, 298 GPS-Session, 295, 298 GPS-Zeit, 131 GRACE Satellit, 143 Gradmessung, 5, 8, 9, 283 Gradvarianz Anomalie, 202, 248, 277, 316 Geoid, 248, 316 Störpotential, 278 Gravimetergang, 165, 166, 302 Gravimetrische Methode, 9, 97 Gravimetrischer (Amplituden-) Faktor, 178, 337 Gravitationsbeschleunigung (Gravitation), 43, 45, 46, 236 Gravitationsgesetz, 7, 42, 236 Gravitationskonstante, 17, 42, 75 Gravitationskraft (Gravitation), 42 Gravitationspotential, 44, 46, 63 Greenwich Meridian, 11, 23, 29 GRIM Erdmodelle, 251, 254 Grimaldi und Riccioli, 6 GRS80, 103, 130 Grundlinie, siehe Basis Halley, 7 Harmonische Funktion, 47 Hauptkrümmungen, 56, 86 Hayford, 102, 283, 311 Hebelfederwaage, 163 Heiskanen, 102, 213, 310 Helmert, 1, 10, 199, 225 Helmert-Höhe, 229 Helmert-Projektion, 89 Helmert-Sphäroid, 93 Helmertsche Kondensationsmethode, 241, 261 Himmelsäquator, 20, 24, 27 Himmelshorizont, 38 Himmelskugel, 20, 24 Himmelsmeridian, 25 Himmelspol, 24, 27 HIPPARCOS Satellit, 28 Höhenanomalie, 196, 215, 234, 246, 263, 267, 269 Höhenbezugsfläche, 3, 72, 74, 227, 291 Höhenfestpunkt, 290 Höhenfestpunktnetz, 11, 290 Höhen-Nullfläche, siehe Höhenbezugsfläche Höhenparallel, 25, 145 Höhenstandlinienmethode, 149 Höhenwinkel, siehe Zenitwinkel

Homer, 4 Horizontalebene, 3, 37 Horizontalpendel, 193 Horizontalrefraktion, 109, 281 Horizontalrichtung, 37, 179, 210, 280 Horizontalwinkel, 37, 179, 210, 280 Horizontsystem, 38 Horrebow-Talcott-Methode, 148 Hotspot, 309, 315, 316 Huygens, 7 Hydrostatische Grundgleichung, 305, 310 Hydrostatisches Gleichgewicht, 71, 92, 305, 307 IERS Bezugspol, 32, 151 Impulsmessverfahren, 137, 182 Indirekter Effekt (Schwerereduktion), 238 Inertialgravimetrie, 171 Inertialsystem, 23, 27 Inertialvermessung, 179 Inklination (Bahnebene), 118, 123 Inklinometer, siehe Neigungsmesser INSAR, 237 Integrierte Geodäsie, 276 Interferenzkomparator, 182 International Absolute Gravity Basestation Network (IAGBN), 330 International Association of Geodesy (IAG), 14, 102 International Astronomical Union (IAU), 22, 26, 27 International Celestial Reference System (ICRS), 27, 35 International Celestial Reference Frame (ICRF), 28 International Center for Earth Tides (ICET), 14 International Earth Rotation Service (IERS), 14, 22, 32, 34, 325 International Geoid Service (IgeS), 14 International GPS Service (IGS), 14, 135, 294, 298 International Gravity Standardization Net 1971 (IGSN71), 168, 301 International Laser Ranging Service (ILRS), 14 International Latitude Service (ILS), 23 International Polar Motion Service (IPMS), 23 International Terrestrial Reference Frame (ITRF), 34, 294, 298, 325 International Terrestrial Reference System (ITRS), 34, 35, 298 International Union of Geodesy and Geophysics (IUGG), 14, 22, 101, 103 International VLBI Service for Geodesy and Astrometry (IVS), 14 Internationales Ellipsoid (1924), 102 Inverse Stokessche Formel, 259

Index Inverses Problem geodätisches (2D), 223, 226 geodätisches (3D), 90 Potentialtheorie, 316 Ionosphäre, 113, 115, 135, 142 Isobarenfläche, siehe Flächen gleichen Drucks Isostasie, 309, 318 Isostatische (Schwere-) Anomalie, 242, 312 Isostatische (Schwere-) Reduktion, 242 Isostatische Modelle Airy-Heiskanen, 310 Pratt-Hayford, 311 Vening-Meinesz (regional), 312 Isozenitale, 58 Jacoby, 93 Jacoby-Ellipsoid, siehe Ellipsoid, homogenes Jäderin, 182 Jeffreys, 254 Julianisches Jahrhundert, 18 Kalibrierstrecke Entfernungsmesser, 182, 185 Gravimeter, 167, 168, 301 Kamera astronomische, 125 ballistische, 125 Kartesisches Koordinatensystem global, 3, 23, 29, 210 lokal, 37, 54, 179, 210 Kater, 156 Kepler, 6, 7, 117 Keplersche Bahnelemente, 118, 129, 209 Keplersche Gesetze, 7, 117, 122 Keplersche Gleichung, 118 Kilogramm, 16, 17 Kobreite, siehe Poldistanz Kollokation nach kleinsten Quadraten, 256, 271, 275, 278 Kompressionsmodul, 305 Kontinentalverschiebung, 313 Konvektion, siehe Mantelkonvektion Konventioneller Terrestrischer Pol, 21, 29 Konventionelles Inertialsystem (CIS), 23, 27 Koordinaten astronomische (geographische), 36, 147, 210 ellipsoidische (geographische), siehe Koordinaten, geodätische ellipsoidische (lokale), 90, 215 geodätische, 84, 89, 101, 223, 282 natürliche, 58, 99 normale geodätische, 99, 101, 213 Kopernikus, 7 Kovarianzfunktion, 201, 203, 204, 277, 278

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Krassovsky, 282, 283, 287 Kreiseltheodolit, 181 Krustenbewegungen, 12, 298, 325 Krustendichte, 52, 304, 309 Krümmung Ellipsoid, 86, 220 geodätische, 218 Lichtstrahl, 109, 112 Lotlinie, 56, 268 Meridian, 86, 100 Mikrowellen, 112 Niveaufläche, 55 normale Lotlinie, 100, 199 Parallelkreis, 87, 100 Kugelflächenfunktionen, 62, 65, 196, 246 Kugelfunktionen, 60, 65 (vollständig) normierte, 63, 64 räumliche, 63 zugeordnete, 61 Kugelfunktionsentwicklung, 60, 196, 251, 253 Geoid, 246 Gezeitenpotential, 77 Gravitationspotential, 62, 119 Höhenanomalie, 246 Normalschwerepotential, 96 reziproker Abstand, 60 Schwereanomalie, 246 Schwerepotential, 64 Schwerestörung, 246 Störpotential, 196 Kugelfunktionskoeffizienten, 63, 64, 66, 104, 119, 245, 247, 249 Kugelkoordinaten, 24, 30, 44, 60 Kühnen und Furtwängler, 167 Küstner, 12 La Caille, 9 La Condamine, 9 Lagefestpunktfeld, 280 Deutschland, 287 Europa, 286 USA, 285 Lagefestpunktnetz, 10, 280 Lageos Satellit, 137, 329 Lagrangesche Störungsgleichungen, 119 LaHire, 8 Lambdon, 11 Langbasis-Interferometrie, siehe Very Long Baseline Interferometry Länge astronomische, 20, 36, 39, 58 ellipsoidische, siehe Länge, geodätische geodätische, 84, 100, 212, 223 Längengradmessung, 8 Laplace, 9

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Index

Laplace-Azimut, 217, 220, 281, 282, 285 Laplace-Gleichung, 217, 220, 281, 285 Laplace-Punkt, 217, 281, 285 Laplacesche Differentialgleichung, 47, 94, 196, 233, 263 Laplacesche Gezeitengleichung, 70 Laplacesche Kugelflächenfunktionen, siehe Kugelflächenfunktionen Laserdistanzmessungen terrestrische, 182, 184 zu Satelliten, 22, 124, 137 zum Mond, 22, 139 LAST, siehe Sternzeit Legendresche Polynome, 60, 202 Legendresche Reihen, 224 Lichtgeschwindigkeit, 17 Lichtwellen, 106, 111 Lithosphäre, 310, 313, 316, 325 Lotabweichung, 9, 149, 199, 215, 257, 265, 268, 270, 283 Lotabweichungsinterpolation, 270 Lotabweichungskomponenten, 200, 216, 257, 265 Lotabweichungspunkt, 270, 284 Lotlinie, 36, 53, 56, 199, 269 Lotrichtung, 36, 51, 53, 78 Lotschwankung, 78, 191 Lovesche Auflastzahlen, 335 Lovesche Zahlen, 333, 334, 338 Luftwiderstand, 120, 158 Lunar Laser Ranging (LLR), 139 Lunare Geodäsie, 1 MacLaurin, 54, 93 Manteldichte, 309 Mantelkonvektion, 315 Mantelviskosität, 312, 313, 327 Mareograph, siehe Meerespegel Marussi-Tensor, 57, 59, 101 Maupertuis, 9 Mean Sea Level (MSL), siehe Mittlerer Meeresspiegel Méchain, 9 Meeresboden, 1, 2, 188, 237 Meeresboden-Festpunkt, 188 Meeresbodenwachstum, 313 Meeresflächentopographie, 69, 140, 251, 255 Meeresgezeiten, 70, 80, 251, 323, 332, 335 Meerespegel, 70, 291, 323 Meeresspiegeländerungen, 69, 140, 322 Mehrdeutigkeitsproblem, 135, 153, 183 Mehrwegausbreitung (GPS), 135, 137, 294 Meridian astronomischer, 20, 37, 58, 147 geodätischer, 84, 89

Meridianbogen, 8, 87, 88 Meridianebene astronomische, 25, 36 ellipsoidische, 84 Meridianellipse, 82 Meteorologische Parameter, 111, 186 Meter, 9, 11, 16, 17 Meusnier Satz, 87 Michelson-Interferometer (Gravimeter), 158 Mitteleuropäische Gradmessung, 10, 13 Mittlere Anomalie (Satellit), 117 Mittlere Dichte (Erde), 304 Mittlere Krümmung (Ellipsoid), 87 Mittlere Krümmung (Niveaufläche), 56, 57 Mittlere Sonne, 21 Mittlerer Erdradius, 89 Mittlerer Meeresspiegel, 68, 69, 291, 323 Mittlerer Ort, 27, 28, 150, 151 Mittlerer Pol (CIO), 32 Mittlerer Sonnentag, 11, 17, 21 Mittlerer Sterntag, 21 Mittleres Geoid, 69 Mohoroviˇci´c-Diskontinuität (Moho), 306, 309 Molodenski, 199, 232, 263, 265, 269 Molodenski-Korrektion, 264, 265 Nadir, 25, 38 Nankung Yüeh und I-Hsing, 5 Navigationsnachricht (GPS), 128 NAVSTAR Global Positioning System, siehe Global Positioning System Navy Navigation Satellite System (NNSS), 127 Neigungs- (Amplituden-) Faktor, 334 Neigungsmesser, 193, 327, 338 Netz geodynamisches, 297, 300, 301, 325, 327 nationales, 285, 287, 292, 297, 301 Netzausbreitung, 283 Netzausgleichung, 282, 291, 298, 301 Netzoptimierung, 282, 301 Netzorientierung, 213, 215, 223, 283 Newton, 7, 92 Newtonsche Bewegungsgleichungen, 19, 23, 116, 119, 169 Newtonsches Gravitationsgesetz, siehe Gravitationsgesetz Niveauellipsoid, 92, 93, 102, 103, 196, 243 Niveaufläche, 2, 36, 52, 54, 58, 69, 92 Niveausphäroid, 93 Nivellement astrogravimetrisches, 271 astronomisches, 267, 270, 272, 284 dynamisches, siehe Nivellement, geostrophisches

Index geometrisch-astronomisches, 211 geometrisches, 37, 188, 211, 227, 290, 326 geostrophisches, 71, 192 hydrodynamisches, siehe Nivellement, geostrophisches hydrostatisches, 192 motorisiertes, 192 sterisches, 71 trigonometrisches, 230 Nivellementsnetz, 74, 227, 291 Nivellierinstrument (Nivellier), 189 Non-tidal Geoid, 69 Nordpol, 32, 38 Normal-orthometrische Höhe, 291 Normale Lotlinie, 99, 199 Normalhöhe, 74, 100, 228, 291, 293 Normalhöhennull (NHN), 293 Normalhöhenreduktion, 228, 270 Normalkrümmung, 55, 87 Normal-Null (NN), 292 Normalschnitt, 87, 218, 220 Normalschwerebeschleunigung (Normalschwere), 73, 94, 95, 97, 104, 197, 228, 233, 242 Normalschwereformel, 95, 96–98 GRS80, 104 internationale (1930), 102 Newtonsche, 97 Somigliana, 95 Normalschweregradient, 98, 101 Normalschwerepotential, 94, 96, 100, 195, 233 North American Datum Horizontal(NAD27, NAD83), 285 Vertical (NAVD29, NAVD88), 292 Norwood, 6 Null-Geoid, siehe Zero-tide Geoid Nullmethode (Gravimetrie), 164 Nutation, 26, 35, 151 genähert tägliche, 322, 335, 338 Off-leveling-Effekt (Gravimetrie), 171 Orthogonalitätsbeziehungen (Kugelfunktionen), 62, 64 Orthometrische Höhe, 73, 228, 291 Orthometrische Höhenreduktion, 228, 269 Ozeanische Auflast, 335 Ozeanische Gezeiten, siehe Meeresgezeiten P-Code (GPS), 129, 132, 134 Pageos Satellit, 125, 209 Parallaktischer Winkel, 38, 150 Parallaxe, 151 Parallelkreis, siehe Breitenkreis Partialtiden, 79, 178, 336, 337 PDOP (GPS), 136

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Pendel mathematisches, 155 physisches, 156 Pendelmessung absolute, 155, 301 relative, 161, 301 Perigäum, 117 Permanent Service for Mean Sea Level, 14 Phasenmessmethode, siehe Trägerphasenmessung Phasenverschiebung (Erdgezeiten), 178, 337 Picard, 7, 8 Pizetti, 92, 199, 267 Theorem, 95, 97 Planetare Geodäsie, 1 Plattengrenze, 313, 314, 325, 326 Plattentektonik, 34, 313, 325 Poissonsche Differentialgleichung, 48, 52, 64 Poissonsches Integral, 266 Polbewegung, 31, 151, 158, 320 Poldistanz, 30 Poldreieck, 38 ellipsoidisches, 224 Polkrümmungsradius, 87, 104 Polwanderung, 32 Polygonzug, 281 Posidonius, 5 Postglaziale Ausgleichsbewegungen, 12, 313, 331 Potentialfunktion, siehe Harmonische Funktion Potsdamer Schweresystem, 167 Prädiktion nach kleinsten Quadraten, 204, 271 PRARE, 124, 142 Pratt, 310, 311 Präzession, 26, 35, 151 Präzisionsnivellement, siehe Feinnivellement Prismenastrolab, 145 Pseudoentfernung (GPS), 128, 133 Ptolemäus, 7 Pythagoras, 4 Quarzuhr, 124, 147, 176 Quasar, 28, 152 Quasigeoid, 74, 100, 197, 265 Querkopplungseffekt (Gravimetrie), 171 Radaraltimeter, 124, 139 Radiant, 17 Radioquelle extragalaktische, 28, 152 Radioquellen-System, 28 Radioteleskop, 152, 154 Randwertaufgabe geodätische, 2, 232, 235, 263 Potentialtheorie, 235, 239, 266

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Index

Rebeur-Paschwitz, von, 12 Reduzierte Pendellänge, 156 Refraktion astronomische, 150 atmosphärische, 106, 187 ionosphärische, 113, 135, 142, 154 troposphärische, 111, 135, 142, 153 Refraktionskoeffizient, 109, 112, 187 Refraktionswinkel, 109, 150, 181, 229 Registriergravimeter, 176, 336 Rektaszension, 24, 39, 147 Rektaszension des aufsteigenden Knotens, 118 Relativgravimeter, 161, 301 Remove-restore-Technik, 260, 264, 271, 278 Repsold, 156 Resonanzeffekt (Satelliten), 250 Reversionspendel, 156 Richer, 7 Richtungsmessungen terrestrische, 179, 280 zu Satelliten, 123, 125, 207, 250 Rotationsachse (Erde), 24, 26, 29, 30 Rotationsellipsoid, 3, 4, 7, 82, 92, 218, 283 Rotationsschwankungen (Erde), 33, 75, 275, 320 Roy, 282 Runge-Krarup-Theorem, 64 Saitengravimeter, 172 Sakuma, 160 SAPOS, 300 Satellite-only Erdmodell, 208, 249, 251 Satellite-to-Satellite Tracking (SST), 142 Satelliten-Schweregradiometrie, 144 Satellitenaltimetrie, 71, 139, 259, 324 Satellitenbahn, 117 Satellitenbahnstörungen, 119, 249 Satellitengeodäsie, 11, 116 Satellitenrefraktion, 125 Satellitentriangulation, 125, 209 Satellitentrilateration, 125 Scheinbarer Ort, 151 Schlauchwaage, 192, 193 Schreiber, 282 Schumacher, 10 Schwereabplattung, 96, 104 Schwereanomalie, 198, 235, 246, 259, 317 altimetrische, 259 Interpolation, 204 Interpretation, 315, 318 mittlere, 202, 247, 251, 253 Schwerebeschleunigung (Schwere), 51, 53, 58, 155 Schwerefeld inneres, 46, 306 äußeres, 1–3, 45, 98, 266

Schwerefeldfortsetzung nach außen, 266 nach innen, 68, 238 Schweregradient, 37, 57, 144, 173 horizontaler, 57, 101, 175 vertikaler, 57, 98, 157, 175, 199 Schweregradiometer, 124, 144, 175 Schwerepotential, 51, 53, 54, 64, 72, 232 Schwerestörung, 197, 234, 246 Schwerkraft, 51 Sea-floor spreading, siehe Meeresbodenwachstum SEASAT Satellit, 140 Sea-surface topography, siehe Meeresoberflächentopographie Secor-System, 125 Seegravimeter, 171, 173 Seismische Wellen, 305, 308 Seismischer Parameter, 305 Seitenrefraktion, siehe Horizontalrefraktion Sekunde, 16, 18, 131 Selective Availability (SA), 130 Shida-Zahl, 333 SI-System, 16 SIRGAS, 297 Snellius, 6, 8 Soldner, 10, 282 Sonnenzeit, 21 Spektrale Kombination nach kleinsten Quadraten, 262, 265 Sphärischer Exzess, 220 Sphäroid, siehe Niveausphäroid Sphäroidisch-orthometrische Höhe, siehe Normal-orthometrische Höhe Sphäropotentialfläche, 99, 267 Sprung (Gravimeter), 166 Stellares System, 28 Stellartriangulation, 11, 209 Sterneck, von, 148, 162 Sternkatalog, 28 Sternort, 24, 27, 150 Sternzeit, 20, 35 Sternzeit Greenwich, 20, 35 Stokes, 232 Stokes-Poincaré Theorem, 92, 316 Stokessche Formel, 257, 264, 267 Stokessche Funktion, 256, 260, 262, 267 Stokessche Konstanten, 63 Störfunktion, 119, 249 Störpotential, 195, 256, 263, 267 Integralgleichung, 233, 263 Kovarianzfunktion, 277 Strahlungsdruck, 120, 123 Strainmeter, siehe Extensometer

Index Streckenmessung elektromagnetische, 11, 125, 127, 182, 281 Laser, 137, 184 mechanische, 182 Streckenreduktionen, 187, 221 Stromübergangsnivellement, 192 Struve, 10 Stundenkreis, 24 Stundenwinkel, 25, 38, 79, 147 Stundenwinkelsystem, 38, 207 Subduktionszone, 314 Superconducting Gravimeter, siehe Supraleitendes Gravimeter Supraleitendes Gravimeter, 177, 336 Tageslänge (LOD), 33, 320 TAI-Tag, 18 Tanni, 262 Telluroid, 99, 196, 233, 263 Temperaturgradient, 111 Temps Terrestre (TT), 19 Tenner, 10 Thales von Milet, 4 Theodolit, 179, 184, 280 TOPEX/Poseidon Satellit, 71, 141, 245, 251 Topographie, 236, 238, 261, 308 Topographische Reduktion, 241 Topozentrum, 24, 25, 38 Torsion geodätische, 55, 100 Totaler Elektronengehalt (TEC), 114 Totalstation, 184 Trägerphasenmessung GPS, 134 terrestrisch, 182 Trägheitsmomente (Erde), 67, 305 Trägheitsprodukte (Erde), 67 Transit System, siehe Navy Navigation Satellite System Triangulation, 6, 280, 285–288 Trigonometrische Höhenbestimmung, 229 Trigonometrischer Punkt (TP), 280 Trilateration, 281 Tycho Brahe, 6, 117 Universalinstrument, 145 Unterwassergravimeter, 165 Uotila, 254

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Väisälä, 11, 182 Vening-Meinesz, 172, 257, 312 Formel, 257, 265 Funktion, 257 Vernachlässigungsfehler, 247, 248 Vertikales Datum, siehe Höhenbezugsfläche, 291 Vertikalpendel, 193 Vertikalrefraktion, 109, 191 Very Long Baseline Interferometry (VLBI), 22, 152, 208, 320 Vierdimensionale Geodäsie, 4, 12 Volet, 160 Wadley, 184 Wahre Anomalie, 117 Wahrer Ort, 27, 151 Wegener, 313 Weltzeit (UT), 21, 23, 33 Wiechert-Gutenberg-Diskontinuität, 307 Winkelgeschwindigkeit (Erdrotation), 21, 50, 92, 102, 130, 274 Winkelgeschwindigkeit (Satellit), 117 Winkelmessung, 6, 179, 280 World Geodetic System 1972 (WGS72), 127 World Geodetic System 1984 (WGS84), 127, 130, 294 Wurf- und Fallmethode, 157, 161 Zeitmessung, 18, 124, 147 Zeitzeichensender, 22 Zenit, 25, 37, 38, 90 Zenitdistanz, siehe Zenitwinkel Zenitfernrohr, photographisches, 145 Zenitkamera, transportable, 146, 149 Zenitwinkel, 6, 37, 145, 179, 181, 210, 216, 229 gegenseitige, 6, 181, 230, 271 geodätischer, 90, 229 Zentralpunkt, siehe Fundamentalpunkt Zentrifugalbeschleunigung, 49, 195 Zentrifugalkraft, 49 Zentrifugalpotential, 50, 64, 94 Zero-tide Geoid, 69 Zhongolovich, 254 Zöllner, 193