Grundlagen einer reinen Kostentheorie (Meilensteine der Nationalökonomie)

Meilensteine der Nationalökonomie

Meilensteine der Nationalökonomie F.A. Hayek (Hrsg.) Beiträge zur Geldtheorie XVI, 511 Seiten, 2007 (Reprint von 1933) ISBN 978-3-540-72211-3 F. Machlup Führer durch die Krisenpolitik XX, 232 Seiten, 2007 (Reprint von 1934) ISBN 978-3-540-72261-8 O. Morgenstern Die Grenzen der Wirtschaftspolitik XII, 136 Seiten, 2007 (Reprint von 1934) ISBN 978-3-540-72117-8 E. Salin Geschichte der Volkswirtschaftslehre XII, 106 Seiten, 2007 (Reprint von 1929) ISBN 978-3-540-72259-5 G. Schmölders Finanzpolitik XVI, 520 Seiten, 2007 (Reprint von 1970) ISBN 978-3-540-72213-7 W. Sombart Die Ordnung des Wirtschaftslebens XII, 65 Seiten, 2007 (Reprint von 1927) ISBN 978-3-540-72253-3 F.W. Taylor, A. Wallichs Die Betriebsleitung insbesondere der Werkstätten X, 158 Seiten, 2007 (Reprint von 1919) ISBN 978-3-540-72147-5 R.v. Strigl Einführung in die Grundlagen der Nationalökonomie XII, 223, 2009 (Reprint von 1937) ISBN 978-3-540-85390-9 F. Machlup Börsenkredit, Industriekredit und Kapitalbildung XVI, 220, 2009 (Reprint von 1931) ISBN 978-3-540-85171-4 R.v. Strigl Kapital und Produktion XIV, 247, 2009 (Reprint von 1934) ISBN 978-3-540-85388-6 H.v. Stackelberg Grundlagen einer reinen Kostentheorie XII, 131, 2009 (Reprint von 1932) ISBN 978-3-540-85270-4

Heinrich von Stackelberg

Grundlagen einer reinen Kostentheorie

Reprint der 1. Auflage Wien, 1932

ISBN: 978-3-540-85270-4

e-ISBN: 978-3-540-85271-1

DOI 10.1007/978-3-540-85271-1 Library of Congress Control Number:: 2008936501

c 2009 Springer-Verlag Berlin Heidelberg ° Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1 965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnungnicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandgestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 9 8 7 6 5 4 3 2 1 springer.de

Meinem hochverehrten Lehrer, Herrn Professor Dr. Erwin yon Beckerath, KSln, danke ich aufrich~ig fiir die wertvolle FSrderung, die er meiner Arbeit in jeder Hinsicht angedeihen lieB. Herrn Professor Dr. H a m b u r g e r, KSln, danke ich fiir die wertvollen Ratschl~ge zur Ausgestaltung der mathematischen Darstellung. Desgleichen gebiihrt Dank Herrn Privatdozenten Dr. M o r g e n s t e r n , Wien, und dem Verlag Julius S p r i n g e r, Wien, fiir das freundliche Entgegenkommen, das die Drucklegung der Arbeit ermSglicht hat. Rom, im Oktober 1932.

Heinrich von Stackelberg.

lnhaltsverzeichnis. E r s t e s K a p i t e l . Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w 1. Die Grundbegriffe der P r o d u k t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w 2. Die gesellschaftlichen B e s t i m m u n g s g r i i n d e der P r o d u k t i o n . . .

Seite 1 1 14

Kapitel. Die K o s t e n in der einfachen P r o d u k t i o n . . . . . . . . Die k o s t e n t h e o r e t i s c h e n Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das B e t r i e b s o p t i m u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Betriebsminimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D a s A n g e b o t der U n t e r n e h m u n g n a c h e r w e r b s w i r t s c h a f t l i c h e m Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w 5. D a s A n g e b o t der U n t e r n e h m u n g n a c h dem B e d a r f s d e c k u n g s prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20 27 31

Kapitel. Die K o s t e n in der verbundenen P r o d u k t i o n . . . . . Theorie der P r o d u k t i o n s l ~ n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Theorie der P r o d u k t i o n s r i c h t u n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die K o s t e n als n i c h t t r a n s f o r m i e r t e F u n k t i o n der beiden Produktionsgeschwindigkeiten ................................ w 4. Theorie des z w i s c h e n b e t r i e b l i c h e n Verre~hnungspreises . . . . . .

53 54 58

Zweites w 1. w 2. w 3. w 4.

Drittes w 1. w 2. w 3.

Viertes Kapitel. Die E n t w i c k l u n g der Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w 1. Die R e g u l i e r u n g der s t a t i s c h e n W i r t s c h a f t . . . . . . . . . . . . . . . . . w 2. Die allgemeinen W i r k u n g e n d y n a m i s c h e r V e r ~ n d e r u n g e n . . . . w 3. D e r Einflul3 des t e c h n i s c h e n F o r t s c h r i t t s auf die W i r t s c h a f t s form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang ....................................................... A. M a t h e m a t i s c h e r A n h a n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. V e r a l l g e m e i n e r u n g der G e s a m t k o s t e n f u n k t i o n . . . . . . . . . . . . . . . C. B e m e r k u n g e n zur K o s t e n t h e o r i e E u g e n S c h m a l e n b a c h s . . . . . . w 1. Theorie der einfachen P r o d u k t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w 2. Theorie der v e r b u n d e n e n P r o d u k t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. B e m e r k u n g e n u n d Beispiele zur p r a k t i s c h e n A u s w e r t u n g . . . . .

36 50

65 69 74 75 80 87 94 94 112 114 114 121 123

Die Wirtschaft l~Bt sich als ein Prozel3 betrachten, der sich zwischen den beiden Polen ,,Produktion" und ,,Konsumtion" abspielt. Diese Abhandlung will eine bestimmte SeRe der Produktion analysieren, n~mlich die Rolle, welche in der Produktion den Produktionskosten zukommt. Die Kosten und der Preis der Produkte sind die beiden 5konomischen Regulatoren der Produktion. Aus der Verbindung des Kostenbegriffes mit bestimmten Grundprinzipien der Produktionsregulierung ergibt sich ein System von formalen S~tzen fiber die Abh~ngigkeit des Produktionsvorganges yon den Produktionskosten. Diese S~tze sind in dem Sinne formal, dal3 sie sich aus bloBen Begriffsdefinitionen ergeben und Denkformen darstellen, in denen sich jede spezielle kostentheoretische oder kalkulatorische Uberlegung zu halten hat. Das zu 16sende Problem ist ein quantitatives. Es handelt sich stets um Relationen zwischen Gutswertgr6Ben und Gutsmengengr6Ben. Die geeignetsten Mittel zur Durchfiihrung einer quantitativen Analyse bietet uns die N~athematik. Deswegen werden wir uns der in dieser Wissenschaft ausgebildeten Denkformen bei allen komplizierteren Untersuchungen bedienen miissen. Da aber die N~athematik noch nicht allgemein als Mittel der quantitativ-Skonomischen Analyse gebr~uch]ich ist, so werden die auf mathematischem Wege bewiesenen S~tze durch verbal-logische t)berlegungen und duroh graphische Darstellungen plausibel gemacht werden. Erstes K apitel.

Grundlagen. w 1. Grundbegriffe der Produktion. I. 1. Wil gehen aus vom Begriff der Gutsmengeneinheit. Diese Einheit kann im allgemeinen beliebig festgesetzt werden. Wir wollen sie jedoch zweckm~Bigerweise so bestimmen, dab sie ein mSglichst geringes Gutsquantum darstellt, welches fiblicherweise auf dem groBen Markte noch umgesetzt wird. Wir betrachten nun den sozialSkonomischen Produktionsprozel3. Dieser l ~ t sich gedanklich derart in Produktionsabschnitte zerlegen, S t a c k e I b e r g, G r u n d l a g e n

1

2

Grundlagen

dab innerhalb eines jeden Absehnittes die Produktion einer Gutsmengeneinheit von einem einheitlichen Willen bestimmt wird. Diese Einteflung ist formal. Man wird im allgemeinen nicht immer eine eindeutige materielle Einteilung nach diesem Prinzip vornehmen kSnnen. Dies ist jedoch fiir unseren Zweck auch nicht erforderlich. Wie auch immer die materiello Einteilung vollzogen wird, die S~tze, die wir fiir einen solchen Abschnitt ableiten werden, behalten ihre Giiltigkeit, da auch sie formaler l~atur sind. Die Dienstleistungen werden ganz analog den materiellen Giitern behandelt. Auch fiir sie lassen sich Einheiten festsetzen; ihre Bereitstellung betraehten wir als Produktion. Soweit also Dienstleistungen als Ziel der Produktion in Frage kommen, brauchen sie im folgenden nicht besonders erw~hnt zu werden. Die Gesamtheit der Mittel, deren sich der produzierende Wflle zur Durchfiihrung der Produktion innerhalb seines Produktionsabschnittes bedient, ist der Produktionsbetrieb. Das yon einem Betriebe fertiggestellte Gut bezeichnen wir als sein Produ.kt. 2. Wir teilen ferner den ProduktionsprozeB in solche Abschnitte ein, in denen die Produktion yon einem einheitlichen 5konomischen interesse abh~ngig ist. Wir bezeiclmen einen solchen Abschnitt als Wirtschaftsabschnitt. Dieser kann nur ganze Produktionsabschm'tte umfassen, und zwar einen oder mehrere. Die zu einem Wirtschaftsabsehnitt zugehOrigen Betriebe bilden, soweit sie yon demselben 5konomischen Interesse abh~ngen, eine Unternehmung. Betrachten wir nun den gesamten ProduktionsprozeB fiir eine ganze Gutsgattung, so ergibt sich, dab innerhalb eines jeden Produktionsabschnittes mehrere Betriebe gleicher Stufe vorhanden sein kSnnen. Eine Unternehmung kann somit auch mehrere Betriebe desselben Produktionsabschnittes umfassen. Ebenso kSnnen auch innerhalb desselben Wirtschaftsabschnittes mehrere Unternehmungen bestehen, l~erner braucht die Einteilung in Produktions- und Wirtschaftsabschnitte nicht unbedingt einheitlich fiir dieselbe Gutsgattung zu sein, da man zwei vertikal kombinierte Betriebe als einen Betrieb auffassen kann. 3. Die Giiter und Dienstleistungen, deren ein Betrieb zur Herstellung seiner Produkte bedarf, sind die Produktionsmittel dieses Betriebes. A. Die Produktivgiiter lassen sich, wie alle Giiter iiberhaupt, in Verbrauchsgiiter und dauerhafte Giiter einteilen. 1) Die ersteren bezeichnen wir als Betriebsstoffe, die letzteren als Betriebsanlagen. 1. Die Betriebsstoffe gehen durch die Produktion als Menge in das Produkt ein. Es sind dies also die Rob- und Hilfsstoffe sowie analoge Produktionsmittel, wie z. B. Kraft, soweit diese yon anderen Betrieben bezogen wird. 2. Bei den Betriebsanlagen kann man yon einem Eingehen in d a s Produkt nicht sprechen. Sie bilden vielmehr eine mehr oder weniger dauerhafte Grundlage der Produktion. In den ProduktionsprozeB selbst 1) cf. Cassel, Theoretische SozialSkonomie, 4. Aufl,, S. 8ff.

Grundbegriffe der Produktion

3

gehen nicht sie, sondern ihre Dienstleistungen ein. Ihre Lebensdauer, 1) d. h. die Dauer ihrer Verwendbarkeit kann yon der Zeitdauer oder von dem Grad der Inanspruchnahme bei der Produktion oder yon beiden Momenten oder yon keinem yon ihnen abh/s Dementsprechend unterscheiden wir folgende Arten der Betriebsanlagen: a) Der Boden" Darunter sind die an einen bestimmten Standort gebundenen, unvermehrbaren und unversehrbaren bzw. sich immer wieder yon selbst erneuernden Naturkr/~fte und -gaben, sowie die an diesen Standort gebundenen, aus der Entwicklung des gesamten sozialen KOrpers entstandenen Produktionsvorteile zu verstehen. Die Lebensdauer des ,,Bodens" ist yon der Zeitdauer und yon dem Grade der Inanspruchnahme unabh~ngig. b) Alle fibrigen sachlichen Produktionsmittel, soweit sie nicht Betriebsstoffe sind, also z . B. Geb/~ude, Masehinen, Werkzeuge, Apparate usw. Diese h~ngen in ihrer Lebensdauer meist sowohl yon der Zeitdauer als auch yon dem Grade der Inanspruchnahme ab. c) Bestimmte Rechte, wie z. B. Urheberreeht, Patentreeht u. dgl. Diese h~ngen in ihrer Lebensdauer nur yon der Zeitdauer ab. d) Aufzubrauehende Vorr/~te, also vor ahem l~aturseh~tze und ghnliches. Sie h~ngen in ihrer Lebensdauer nur yon der Inanspruchnahme, d. h. yon der Entnahme yon Stoffen, ab. Diese Produktionsmittel leiten /iuSerlieh zu den Betriebsstoffen fiber. Sie miissen jedoeh zu den Betriebsanlagen gereehnet werden, weil das Moment der Dauer bei ihnen ausschlaggebend ist. e) Feste Vorr/ite, sogenannter ,,eiserner Bestand". Auch diese miissen wegen ihrer Dauer zu den Betriebsanlagen gereehnet werden. Ihre Lebensdauer ist jedoch beliebig. Sie sollen deshalb ,,uneigentliehe Betriebsanlagen" genannt werden. Sie bilden eine gewisse Anal0gie zu der ,,dauernden Mitwirkung" menschlicher Arbeitskraft im Betrieb, die im folgenden behandelt wird. B. Die produktiven Dienstleistungen. Diese teilen wit ein in Leistungen der Betriebsanlagen und Arbeitsleistungen. 1. Die Leistungen der Betriebsanlagen sind an deren Vorhandensein als Bestandteil des betrachteten Betriebes gebunden, und kSnnen deshalb entspreehend eingeteilt werden. 2. Die Arbeitsleistungen teilen wir in zwei Gruppen ein: a) Die erste Gruppe umfaBt die Arbeitsleistungen, die als solche einzeln vom Betriebe bezogen werden, so dab die Arbeiter selbst nicht als unmittelbar betriebszugehSrig zu betrachten sind. Diese Arbeitsleistungen sind in ihrem Verh/~ltnis zum Betrieb den Betriebsstoffen analog. Sie gehSren meist der ausffihrenden Arbeit an. b) Die zweite Gruppe enth/~lt Arbeitsleistungen, die yon Personen geleistet werden, welche selbst als betriebszugehSrig zu betrachten sind. 1) cf. S c h m a l e n b a c h , Grundl. dynam. Bilanzlehre {3. Aufl,). S. 104 und S. 113 (Abschreibungen). 1"

4

Grundlagen

Diese Arbeitsleistungen erseheinen hier als unselbst/indige Tefle eines mehr oder weniger dauernden ,,Ylitwirkens" im Betrieb. Dieses dauernde Mitwirken hat einen /~hnlichen Charakter, wie die Betriebsanlagen, besonders wie die ,,festen Vorr~te" (Gruppe e). Meist handelt es sich hierbei um leitende T~tigkeit. Aber auch ausfiihrende Arbeit muB zuweilen hierher gerechnet werden, z. B. bei gelernten oder fiir kompliziertere Produktion angelernten Arbeitern. Wir wollen jetzt eine wiehtige Einteilung der Produktionsmittel vornehmen. Wir haben gesehen, daB e'm Teil der Produktionsmittel unmittelbar in den ProduktionsprozeB eingeht. Man kann sogar die Mitwirkung dieser Produktionsmittel im ProduktionsprozeB w~hrend einer bestimmten Zeitdauer messen. Man kann feststellen, wieviel an Betriebsstoffen in den ProduktionsprozeB eingegangen ist, wie groB die Leistungen der Betriebsan]agen w/~hrend dieser Zeit gewesen, wieviel Arbeitsstunden geleistet worden sind. Die bier eharakterisierten Produktionsmittel bezeichnen wit als direkte. ~ Em anderer Tefl der Produktionsmittel l~l~t sieh in seiner Bedeutung fiir die Produktion in dieser Weise nicht abseh/itzen. Man karm nicht feststellen, welche Bedeutung die Betriebsanlagen (unabh~ngig yon ihren Leistungen) w/~hrend der betreffenden Zeit fiir die Produktion gehabt haben; man kann dies auch bei der ,,dauernden Mitwirkung,' (unabh~ngig yon ihren Einzelleistungen) nicht. Diese Feststellung ist keine Haarspalterei. Es ist tats~cMich mSglieh, z. B. yon zwei ganz verschiedenen und versehieden groBen Masehinen dieselbe (technische) Leistung w/~hrend derselben Zeit zu erhalten. Man ist also bereehtigt, nach dem Untersehied zu fragen, der zwisehen den Verwendungen dieser beiden N[aschinen unabh/~ngig yon ihrer konkreten Leistung zu irgend einem Zeitpunkt liegt. Die Betriebsanlagen und die ,,dauernde Mitwirkung" fassen wir unter der Bezeiehnung ,,indirekte Produktionsmittel" zusammen. Hierbei wollen wir aber die ,,dauernde Mitwirkung" und die ,,festen Vorr/~te" unter dem Namen ,,uneigentlich-indirekte Produktionsmittel" absondern, weil sie, wie schon erw/~hnt, in mancher Hinsieht yon den iibrigen indirekten Produktionsmitteln verschieden sind. Wir haben also folgende Einteilung gewonnen: I." Direkte Produktionsmittel: 1. Betriebsstoffe; 2. Leistungen der Betriebsanlagen; 3. Arbeitsleistungen. II. Indirekte Produktionsmittel: Betriebsanlagen (auBer den ,,festen Vorr/~ten"). III. Uneigentlich-indirekte Produktionsmittel (,,feste Vorr/~te" und ,,dauernde Mitwirkung"). Die Unterseheidung in direkte und indirekte Produktionsmittel spielt in der Kostentheorie eine wichtige Rolle.

Grundbegriffe der Produktion

5

II. 1. ,,Eine wirtschaftliche Betrachtung der Produktion mul~ von der grundlegenden Tatsache ausgehen, . .. dal~.., die Produktion einen immer fortdauernden ProzeB darstellen mul3. 'q) Diese Feststellung ist auch einer Betrachtung der Produktion eines Einzelbetriebes zugrunde zu legen. Eine beliebige Produktionsmenge wird vom Betrieb innerhalb einer Zeitstrecke produziert. Die Produktion stellt sich dar als ein Bereitstellen einer bestimmten Menge innerhalb einer bestimmten Zeit. Die Produktion besitzt also eine bestimmte Geschwindigkeit. Wir messen die Produktionsgeschwindigkeit eines Betriebes durch die jewefls in der Zeiteinheit vom Betriebe produzierte Menge einer bestimmten Produktsart. 2) Ein Betrieb kann im allgemeinen verschiedene Produktionsgeschwindigkeiten realisieren. Die Produktionsgeschwindigkeit ist also als" eine ver~nderliche GrSl3e zu betrachten. Ferner wird bei einer Produktion mehrerer Produktsgattungen ffir jede Produktsgattung eine Produktionsgeschwindigkeit realisiert. Das ,,Produktionsniveau" eines Betriebes ist in diesem Falle nur dann bestimmt, wenn fiir jede einzelne Produktsgattung die Angabe der Produktionsgeschwindigkeit erfolgt. Werden z. B. drei verschiedene Gutsarten produziert, so muB zur Bestimmung des ,,Produktionsniveaus" des Betriebes die Produktionsgeschwindigkeit jeder einzelnen Gutsart, also im Ganzen drei Zahlen, angegeben werden. Diese Zahlen, durch welche das Produktionsniveau eines Betriebes im Falle verbundener Produktion bestimmt wird, bezeichnen wir zusammenfassend (und im Anschlul~ an die mathematische Terminologie) als Produktsvektor. A u c h dieser Produktsvektor ist im allgemeinen ver~nderlich, weft jede einzelne der in ihm enthaltenen Produktionsgeschwindigkeiten, oder, wie man auch zu sagen pflegt, jede einzelne seiner Komponenten im allgemeinen ver~nderlich ist. D. h." ein gegebener Betrieb kann (technisch !) im allgemeinen sehr verschiedene Produktionsniveaus realisieren; er kann jede seiner Produktsarten mit verschiedenen Geschwindigkeiten produzieren. Dies ergibt sich dadurch, dab er seine Produktionsmittel (qualitativ und quantitativ) in verschiedener Weise miteinander kombiniert. Bei den Produktionsmitteln ist zu beachten, dal~ auch deren Anwendung innerhalb der Zeit als ein fortdauernder Prozel~ vor sich geht. Man kann diese Anwendung als einen Spezialfall der Konsumtion betrachten. Sie stellt ni~mlich einen Giiterverzehr dar. Diese Anwendung wird als Aufwand bezeichnet. Da dieser in der Zeitdauer als fortlaufender Proze~ vor sich geht, kSnnen wir auch bier yon Aufwandsgeschwindigkeit sprechen. Und zwar wird jedem einzelnen Produktionsmittel eine Aufwandsgeschwindigkeit (als eine ver~nderliche GrSBe) zugeordnet. Wir kSnnen hier yon einem ,,Aufwandsniveau" sprechen, welches 1) Cassel, 1. c. S. 20. 9) cf. auch P a r e t o , Manuel d'~conomie politique, Paris 1927, pag. 148, Nr. 10.

6

Grundlagen

durch Angabe s~mtlicher Aufwandsgeschwindigkeiten charakterisiert wird. Die einzelnen Aufwandsgeschwindigkeiten eines Aufwandsniveaus fassen wir zum ,,Aufwandsvektor" zusammen. Die Produktion stellt sich dar als Realisierung eines Aufwandsvektors zum Zweck der Realisierung eines Produktsvektors. Allerdings ist durch die bloBe Angabe eines Aufwandsvektors die 5konomische Lage des Betriebes noch nicht bestimmt. Wir brauchen die zeitliche Verteilung der Aufwendungen der einzelnen Produktionsmittelarten, oder, wie wir es einfacher bezeichnen kSnnen, die Produktionsdauer. Wohl wird (urn die Uberlegung an dem einfacheren Fall der Produktion nur eines Gutes durchzuffihren) zur Realisierung einer bestimmten Produktionsgeschwindigkeit, also zur Herstellung einer bestimmten Produktsmenge in der Zeiteinheit jede einzelne Produktionsmittelart nur w~hrend einer Zeiteinheit aufgewendet. 1) Aber die Aufwendungen der verschiedenen Produktionsmittel kSnnen fiber sehr verschiedene Zeitr~ume verteilt, fiber lange Zeitperioden auseinandergezogen oder auf kurzen Zeitstrecken zusammengedri~ngt sein. Die Realisierung einer Produktionsgeschwindigkeit kann also mit verschiedener Dauer vor sich gehen. Ein Aufwandsvektor, der in Verbindung mit einer bestimmten Produktionsdauer geeignet ist, ein bestimmtes Prodoktionsniveau zu realisieren, ist es mit einer anderen (vielleicht kiirzeren) Produktionsdauer unter Umst~nden nicht. Die Produktionsdauer spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung des Kapitalbedarfes eines Betriebes. 2. Wir haben im ersten Abschnitt dieses Paragraphen die grundlegende Einteilung in direkte und indirekte Produktionsmittel vorgenommen. Wir mfissen uns bier n~her mit der Bedeutung dieser Einteflung in der Analyse der Produktion befassen. Wir mfissen uns darfiber klar werden, was man unter Aufwand der direkten und was man unter Aufwand der indirekten Produktionsmittel zu verstehen hat. Der Aufwand der direkten Produktionsmittel ist nach den gemachten Ausffihrungen bei der Gegeniiberstellung der direkten und indirekten Produktionsmittel wohl ohne weiteres ein deutlicher Begriff. Es ist die Menge der Produktionsmitteleinheiten der betreffenden Produktionsmittelart, die w~hrend der betrachteten Zeit in den Produktionsprozel~ eingegangen sind. Dementsprechend ist auch der Begriff der Aufwandsgeschwindigkeit der direkten Produktionsmittel wohl ohne weiteres klar. Dagegen ist dieser Begriff des Aufwandes bei den indirekten Produktionsmitteln schwieriger zu defmieren. Ein ,,Eingehen in den ProduktionsprozeB" findet hier nicht start. Vielmehr bflden die indirekten Produktionsmittel eine dauernde Grundlage der Produktion. Man kann jewefls den Umfang dieser Grundlage, also die Menge der zum Betriebe gehsrigen indirekten Produktionsmittel feststellen. Und man kann ferner ~) Wenn man n~mlich voraussetzt, dal~ die Produktion kontinuierlieh erfolgt.

Grundbegriffe der Produktion

7

den in einer gegebenen Zeitstrecke erfolgten Zu- oder Abgang der indirekten Produktionsmittel zu- bzw. yon dem Betrieb ermitteln. Der Abgang ergibt sich aus dem Verzehr. Soll sieh die Produktionsgrundlage, welche durch die indirekten Produktionsmittel dargestellt wird, nicht ~ndern, so muB der jeweflig in einer Zeitstrecke erfolgende Zugang dem in dieser Zeitstrecke erfolgenden Verzehr an indirekten Produktionsmitteln gleich sein. In dem Zugang also, der zur Aufrechterhaltung einer uaver~nderten Produktionsgrundlage jewefls erforderlich ist, h~tten wir einen YIaBstab ffir den Verzehr der indirekten Produktionsmittel. Aber dieser Verzehr entspringt nicht nur aus dem Aufwand der indirekten Produktionsmittel selbst, also dadurch, dab sie in den Betrieb eingesehaltet sind, sondern auch aus dem Aufwand der Leistungen dieser indirekten Produktionsmittel, also aus dem Aufwand direkter Produktionsmittel. Hier muB eine Trennung und eine Zurechnung des Verzehrs stattfinden. Diese Trennung gesehieht sinngem~B dadurch, dab man dem indirekten Produktionsmittel den Verzehr zuordnet, der entsteht, wenn der Betrieb stillgelegt wiirde, d. h. wenn die Aufwendung der direkten Produktionsmittel aufhSrte. Die Differenz zwischen diesem Verzehr und dem Verzehr bei irgend einem Produktionsniveau ist dann der Leistung des betreffenden indirekten Produktionsmittels zuzurechnen. Wir unterscheiden also" 1. Den Aufwand der indirekten Produktionsmittel; dies ist die Einsehaltung der indirekten Produktionsmittel als dauernde Grundlage der Produktion in den Betrieb. Wir wollen diesen Aufwand abgekiirzt als indirekten Aufwand bezeichnen. 2. Den Aufwand der direkten Produktionsmittel. Dieser finder auf einer gegebenen Grundlage an indirekten Produktionsmitteln statt. Wir bezeichnen ihn als direkten Aufwand. Den direkten Aufwand kann der Betrieb viel leichter und sehneller ~ndern, als den indirekten. Der Betrieb ver~ndert sein Produktionsniveau in erster Linie durch ~nderung des direkten Aufwandes; erst in zweiter Linie durch ~nderung des indirekten. Die Kombination der indirekten Produktionsmittel ist stets fiir eine l~ngere Dauer bestimmt, als die Kombination der direkten. So reagiert auch die Unternehmung auf kurzfristige wirtschaftliche ~nderungen nur durch ~.nderung ihres direkten Aufwandes; erst langfristige wirtschaftliche ~nderungen veranlassen sie, auch den indirekten Aufwand zu ~ndern. Dieser Saehverhal~ wird sp~ter noch deutlicher werden. 1) Aus den angestellten l)berlegungen ergibt sich, dab das Problem der Aufwands~nderungen aus zwei Teilfragen besteht. Einmal kSnnen wir die ~.nderungen des direkten Aufwandes, d.h. (etwas ungenauer ausgedriickt) die verschiedenen Besch~ftigungsgrade des Betriebes bei gleichbleibender BetriebsgrSl~e, zum zweiten aber die ~nderungen des indirekten Aufwandes oder die ~nderungen der BetriebsgrSBe selbst betrachten. 1) cf. im iibrigen A. Marshalls Theorie der Quasirente: A. M a r s h a l l , Handbuch der Volkswirtschaftslehre, Bd. 1, Buch V.

8

Grundlagen ili.

1. Wir haben uns bisher nur mit Mengen befaflt. Wir mfissen uns jetzt mit dem Wert dieser Mengen besch~ftigen, und zwar mit ihrem objektiven Tauschwert, ihrem Geldwert. Zu diesem Zwecke ffihren wir in die yon uns betrachtete Sozialwirtschaft eine ideale Rechnungsskala im Sinne Cassels 1) ein. Wir stellen zun~chst fest, daf3 die Produktion mit einem Werteverbrauch verknfipft ist. Die in einer Zeitstrecke zur Realisierung eines bestimmten Preisniveaus verzehrten Produktionsmittelmengen haben einen Geldwert, der sich ergibt, indem man diese Mengen mit den zugehSrigen Preisen multipliziert und die Summe bfldet. Ferner ergibt sich ein Werteverbrauch durch die Notwendigkeit, indirekte Produktionsmittel dauernd zu halten, u m dazu bef~higt zu sein, mul3 n~mlich die betreffende Unternehmung fiber eine bestimmto Kaufkraft dauernd verffigen. Es entsteht ein Aufwand an Kapitaldisposition, somit ein Werteverbrauch, der dem Preis dieser Kapitaldisposition, also in der Zeiteinheit dem Zins gleich ist. ])as erforderliche Kapital ist gleich dem Werte aller indirekten Produktionsmittel der Unternehmung. Wir bezeichnen es als stehendes oder Anlagekapital. SchlieBlich braucht die Unternehmung dariiber hinaus noch weitere Kapitaldisposition zur Uberwindung der schon oben gekennzeichneten Produktionsdauer. Durch die Aufwendung einer bestimmten Produktionsmittelmenge in der Zeiteinheit entsteht eine Festlegung von Kapital. Diese Festlegung dauert solange, bis das Produkt, zu dessen Herstellung die betreffende Aufwendung gemacht wurde, verkauft ist. Der Wert der aufgewendeten Produktionsmittelmenge multipliziert mit der Zeitdauer yon der Aufwendung bis zum Verkauf des Produktes ergibt den durch die Aufwendung der betreffenden Produktionsmittelmenge hervorgerufenen Kapitalbedarf. Hieraus folgt, dab man den Kapitalbedarf eines Aufwandsniveaus (bei gegebener Produktionsdauer, oder genauer" bei gegebener zeitlicher Verteilung der Aufwendungen der einzelnen Produktionsmittelarten) dadurch erh~lt, dal3 man die sich bei dem betreffenden Aufwandsniveau fiir jede einzelne Produktionsmittelart ergebenden KapitalbedarfsgrSl3en addiert. So erhalten Wir das sogenannte umlaufende oder Betriebskapital. Auch dieses verursacht einen Wertverbrauch, der in der Zeiteinheit dem Zins gleich ist. Den durch die Realisierung eines Aufwandsniveaus mit einer bestimmten Produktionsdauer entstehenden Gesamtwertverbrauch bezeichnen wir als die Gesamtkosten ~) dieses Aufwandsniveaus. Ein Aufwandsniveau mit einer bestimmten Produktionsdauer wird realisiert, um ein bestimmtes Produktionsniveau zu erzielen. Unter allen Aufwandsniveaus, welche zur Erzielung eines bestimmten Proz) C assel, 1. c. S. 39. 9) cf. Cassel, 1. c. S. 77; cf. ferner Amoroso, La curva statica di offerta. Giornale degti economisti, 1930, pag. 2, Definition yon ,,Costo totale".

Grundbegriffe der Produktion

9

duktionsniveaus geeignet sind, gibt es eins, welches die niedrigsten Gesamtkosten aufweist. Die Gesamtkosten dieses Aufwandsniveaus bezeichnen wir als Gesamtkosten ~des betreffenden Produktionsniveaus. 1) Diese Gesamtkosten bedeuten etwas Verschiedenes, je nachdem, ob sie ganz allgemein auf Grund aller denkbaren geeigneten Aufwandsniveaus einer Volkswirtschaft errechnet werden, oder ob sie fiir einen konkrete~ Betrieb gelten sollen. Im letzteren Falle sind n~mlich nicht alle denkbaren mSglichen Aufwandsniveaus realisierbar: der indirekte Auf. wand wird als unver~nder]ich angenommen, wenn die Zeitdauer, fiir welche das betreffende Produktionsniveau realisiert werden soll, kurz ist. Je l~nger diese Zeitdauer ist, desto mehr kann sich der Betrieb auch beziiglich seiner indirekten Produktionsmittel anpassen; desto eher werden auch die in der betreffenden Zeitdauer realisierbaren Aufwandsniveaus mit allen denkbaren Aufwandsniveaus iibereinstimmen. Wenn wir im folgenden von Gesamtkosten sprechen, so werden wir, falls nichts anderes ausdriicklich gesagt wird, stets die Gesamtkosten eines Betriebes betrachten, wobei die Annahme gemacht wird, dab der indirekte Aufwand unver~nderlich ist. 2. Die Realisierung eines bestimmten Produktionsniveaus, oder, anders ausgedriickt: die Realisierung eines bestimmten Produktsvektors in einer Unternehmung erfordert bestimmte Gesamtkosten. Betrachten wir den einfachen Fall, dab nur ein Gut produziert wh'd, so kSnnen wir auch sagen: zur Realisierung einer bestimmten Produktiosngeschwindigkeit sind bestimmte Gesamtkosten erforderlich; d. h. zu einer gegebenen Produktionsgeschwindigkeit gehSren bestimmte Gesamtkosten, welche in der Zeiteinheit entstehen und getragen werden miissen, damit diese Produktionsgeschwindigkeit realisiert werden kann. Mit anderen Worten: die Gesamtkosten (welche stets auf die Zeiteinheit bezogen werden miissen)sind eine Funktion der Produktionsgeschwindigkeit oder im allgemeineren Fall: die Gesamtkosten sind eine Funktion des Produktsvektors. ~) Diese Funktion ist eindeutig. Keine Produktionsgeschwindigkeit kann mehrere Gesamtkostenbetr~ge besitzen, die voneinander verschieden w~ren. Denn es gibt unter ihnen einen kleinsten Betrag; die iibrigen also scheiden gem~B der Definition des Gesamtkostenbegriffes aus. Wir beschr~nken uns zun~chst auf den Fall, dab nur ein Gut produziert wird. Hier kSnnen wir eine weitere Eigenschaft der Gesamtkostenfunktion feststellen" sie ist eine mit steigender Produktionsgeschwindigkeit monoton wachsende Funktion. Eine grSBere Produktionsgeschwindig1) Auf diese Weise ist jedem Produktsvektor ein Aufwandsvektor zugeordnet. Die partiellen Ableitungen der Aufwandsgeschwindigkeiten nach den Produktionsgeschwindigkeiten sind die ,,technischen Koeffizienten" im Sinne P a r e t o s (coefficients de production). Cf. V. P a r e t o , Manuel d'4conomie politique, Paris 1927, pag. 607, Gleichungen (101). cf. im iibrigen die Ausfiihrungen P a r e t o s fiber die Variabilit~t der technischen Koeffizienten, 1. c. pag. 326ff., Nr. 70. ~) Wir verwenden hier den Dirichletschen Funktionsbegrfff.

10

Grundlagen

keit kann n~mlich keine geringeren Gesamtkosten haben, als eine geringere. Denn die geringere ist in der grSfleren enthalten, kann also einfaeh realisiert werden, indem man die grSl3ere realisiert. Diese Aussage l~13t sich auch auf die verbundene Produk~ion verallgemeinern : ein Produktsvektor kann keine h6heren Gesamtkosten haben, als ein anderer Produktsvektor, falls keine der Komponenten des ersten Produktsvektors grSfler ist, als die entsprechende Komponente des andern. Wir haben so zwei grundlegende Eigenschaften der Gesamtkostenfunktion gewonnen" sie ist eindeutig und monoton zunehmend. Die folgende Untersuchung wird in der Hauptsache die Aufgabe haben, weitere Eigenschaften der Gesamtkostenfunktion festzustellen und Folgerungen aus diesen Eigenschaften zu ziehen. 3. Da wir uns manchmal der mathematischen Denkformen werden bedienen miissen, wollen wir an dieser Stelle fiir einige GrSl3en mathematische Symbole einfiihren. Hiebei wollen wir yon vorn herein den Fall der einfachen und der verbundenen Produktion unterscheiden. a) Einfache Produktion. Die Produktionsgeschwindigkeit des produzierten Gutes bezeichnen wir mit x. Die Gesamtkosten bezeichnen wir mit K. Wir werden dieses Symbol auch im Text verwenden, weft der Terminus ,,Gesamtkosten" eine Pluralform und deshalb unbequem ist. Die Gesamtkosten erscheinen als Funktion yon x. Zum Zeichen daffir, dab eine GrSl3e Funktion einer anderen GrSBe ist, wollen wir, wie fiblich, die zweite GrSl3e in Klammern hinter die erste setzen. Wir sehreiben also: K--- K(x).

Den Preis des produzierten Gutes, d. h. die Geldmenge, die fiir die l~Iengeneinheit des Gutes auf dem l~Iarkte gezahlt wird, bezeichnen wir mit P. b) Verbundene Produktion. Hier werden mehrere Giiter produziert. Wir numerieren die Giiter. Ihre Anzahl sei n. Die Produktionsgeschwindigkeiten erhalten die Nummer des zugehSrigen Produktes als Index. Die Produktionsgeschwindigkeit des Gutes Nr. 1 ist xz, des Gutes Nr. 2: x~ usw. Ein Produktsvektor ist ein System yon n Produktionsgeschwindigkeiten" (xl, x~, xs, . . . . . x~). Wir bezeichnen diesen Vektor mit dem deutschen Buchstaben ~. Die Gesamtkosten behalten ihr Symbol K. Nur sind sie hier yon n Produktionsgeschwindigkeiten abh~ngig. Wir haben alsoK--

K (x z, x~, . . . . .

xn).

Da zwischen einem System yon n Produktionsgeschwindigkeiten und dem zugeh6rigen Produktsvektor eine umkehrbar-eindeutige Zuordnung besteht, so k6nnen wir auch setzen: K----- K (~).

Grundbegriffe der Produktion

11

Jedes produzierte Gut hat einen Preis. Wir verwenden die Nummern der Giiter in derselben Weise, wie bei den Produktionsgesehwindigkeiten, indem wir den Preis eines Gutes mit dessen Nummer als Index versehen. Das Gut Nr. 1 hat also den Preis P1 usw. So erhalten wir ein System von n Preisen, welehem wir die Bezeichnung ,,Preisvektor" beilegen. Wir fiihren als Symbol fiir dea Preisvektor den deutsehen Buehstaben ~ ein. Die weiteren Symbole, die wir brauehen, werden im Laufe der Darstellung eingefiihrt werden. 1) 4. Die Gesamtkosten ergeben sieh durch den direkten und den indirekten Aufwand. Der indirekte Aufwand ist fiir jedes Produktionsniveau gleich. Dasselbe gilt fiir das Anlagekapital. Dieses ist abh~ngig yon den erforderliehen indirekten Produktionsmitteln. Da diese unver~nderlich bleiben, so ~ndert sich aueh das Anlagekapital nicht. Die Verschiedenheit der Gesamtkosten for zwei verschiedene Produktionsniveaus ergibt sieh durch die Verschiedenheit des jeweiligen direkten Aufwandes und des erforderlichen Betriebskapitals. Somit kSnnen wir uns die Gesamtkosten als aus zwei Bestandteilen, einem konstanten und einem ver~nderlichen, additiv zusammengesetzt vorstellen. Den ersten Bestandtefl bezeiehnen wir als ,,konstante Kosten" und fiihren dafiir das Symbol KIein. Den zweiten Bestandteil bezeiehnen wir als ,,variable Kosten" und fiihren dafiir das Symbol Kit ein. BTur KI~ ist vom Produktionsniveau abh~ngig, w~hrend KI, wie gesagt, fiir alle Produktionsniveaus gleieh bleibt/) Es ist hier allerdings zu beaehten, dab fiir l~ngere Zeitperioden (wie schon oben angedeutet) aueh der indirekte Aufwand zum Teil als ver~nderlich zu betrachten ist. Hiedurch wiirde sich das Bild versehieben, indem ein gr613erer Anteil auf die variablen Kosten entfallen wiirde. Aber fiir kurze Perioden gilt die eben dargestellte Beziehung zwischen konstanten Kosten und indirektem Aufwand, sowie variablen Kosten und direktem Aufwand. 3) Man kann ferner noeh eine Kostenart unterseheiden. Das sind Kosten, die sich sprungweise ~ndern und dann fiir eine Gesamtheit kontinuierlieh untereinander zusammenh~ngender Produktionsniveaus konstant bleiben. Am einfachsten ist dieser Sachverhalt fiir den Fall einzusehen, dal~ nut ein Gut produziert wird. Es sind dies Kosten, die 1) Die Bedingung der Monotonitiit im engeren Sinne wird mathematisch wie folgt formuliert: Im Falle der einfachen Produktion gilt immer: K (x) < K (x'), wenn x < x'. Im Falle der verbundenen Produktion yon z. B. zwei Giitern gilt stets: K (x 1, xz) < K (X'I, X2) und K (xl, x~) < <: K (xl, x'~), wenn xx < x'lund x~ < x',. 3) Wir kSnnen also setzen: K (x) -- K~ + Kn (x), bzw. K (~) -- K~ + K,I (~). s) Die konstanten Kosten sind im wesentliehen die ,,fixen" Kosten S o h m a l e n b a e h s , w~hrend die variablen Kosten den fibrigen Kostenkategorien S e h m a l e n b a c h s zugehSren; cf. S e h m a l e n b a e h , Grundlagen der Selbstkostenrechnung und Preispolitik, 5. Aufl., Leipzig 1930, S. 32ff.

12

Grundlagen

bis zu einer bestimmten Produktionsgeschwindigkeit eine konstante H6be haben, dann hier einen Sprung machen, w~hrend eines n~chsten Intervalls wieder konstant sind und dann vielleicht wieder einen Sprung machen usw. Wir wollen diese Kosten als Sprungkosten bezeichnen und fiir sie das Symbol Kill einffihren. Sie sind vom Besch~ftigungsgrad abh~ngig, so dab wir Km (x) schreiben miissen. Sie sind also prinzipiell variable Kosten. Es kann jedoch manchmal niitzlich sein, sie auszusondern und durch diese neue Funktion s~mtliche Unstetigkeitsstellen der variablen Kosten, d . h . also iiberhaupt der Gesamtkosten zusammenzufassen, so dab die variablen Kosten im engeren Sinne und somi~ auch die Gesamtkosten abziiglich der Sprungkosten stetige Funktionen der Produktionsgeschwindigkeit w~ren, Wegen der Monotonit~t k6nnen die Gesamtkosten und also auch die variablen Kosten (die ja ebenfalls monoton sind) nur Unstetigkeitsstellen durch Sprung nach oben besitzen. Dieser Sachverhalt kompliziert sich allerdings fiir die verbundeno Produktion. Hier wollen wir ihm deshalb nicht welter nachgehen. Die Quelle fiir die Sprungkosten liegt vorwiegend bei den uneigentlich-indirekten Produktionsmitteln. x) Sie k6nnen sich aber aueh aus dem direkten Aufwand ergeben. Die Gesamtkosten setzen sich also aus drei Summanden zusammen/) Es bleibt noch iibrig festzustellen, wie man die konstanten Kosten errechnen kann, wenn man die Gesamtkostenfunk~ion kennt. Dies ist ganz einfach. Die konstanten Kosten sind nach Definition fiir alle Produktionsniveaus unver~nderlich. Nun gibt es aber ein Produktionsniveau, in welchem die variablen Kosten (einschlieBlich der Sprungkosten) den Wert 0 haben. Dies ist das Produktionsniveau, in welchem iiberhaupt nichts produziert wird, d. h., wenn der Betrieb stilliegt. Da nEmlich der direkte Aufwand beliebig ver~nderlich ist, so unterbleibt er, wenn der Betrieb stilliegt, ganz. Denn fiir dieses Produktionsniveau entstehen die niedrigsten Kosten. Dasselbe gilt unter Umst~nden auch fiir einen Teil der uneigentlich-indirekten Produktionsmittel. Hieraus ergibt sich aber, dab die konstanten Kosten den Gesamtkosten gleich sind, wenn alle Produktionsgeschwindigkeiten den Wert 0 haben, wenn also x ~ 0 bzw. ~. ein Nullvektor ist. 8) Wir k6nnen, ohne dab sich etwas Wesentliches ~ndert, KI auch anders definieren, indem wir KI der unteren Grenze aller Werte yon K (x) 1) Es sei bier an ein in der Betriebswirtschaftslehre bekanntes Beispiel erinnert: Ein Buchhalter kann vielleicht bis zu 1000 Buchungen am Tage ausftihren. Sind im Betriebe 1010 Buchungen zu machen, so mul3 ein zweiter Buchhalter eingestellt werden, wodurch sich die Gesamtkosten sprunghaft erhShen. Die T~tigkeit des Buchhalters beruht auf ,,dauernder Mitwirkung". ~) K -- K~ -~- K . (x) H- Km (x). 8) Es gilt also die Gleichung: K~ -- K (0), bzw. K , = K (0, 0 ......

0) = K ( { 0 } )

wenn wit mit {0} den Nullvektor bezeiehnen.

Grundbegriffe der Produktion

13

bzw. yon K (~), ffir welche x :~ 0 bzw. ~ =~ {0} ist, gleichsetzen. Was das bedeutet, wird besonders klar ffir den Fall, dab nur ein Gut produziert wird. Hier ist diese untere Grenze nichts anderes als der Grenzwert yon K (x), wenn x gegen 0 konvergiert. 1) Ist K (x) im Nullpunkt unstetig, so hat KI hier einen anderen Wert als bei der ersten Definition. Wir k6nnen fiir K (0) und fiir lim K (x)-Bezeichnungen einffihren, die mit x-~0

einer gewissen Anschauung verknfipft sind. K (0) sind Stillstandskosten, lim K (x) Produktionsbereitschaftskosten. 9") x->0

Prinzipielle Bedeutung hat diese verschiedene Definitionsm6glichkeit nicht. Aus Zweckm/~Bigkeitsgrfinden wollen wir dennoch im folgenden die konstanten Kosten den Stillstandskosten gleichsetzen. 3) Dies deshalb, weft dadurch die Formulierung der S~tze, die wir ableiten werden, einheitlicher wird. Um MiBverst~ndnisse zu verhiiten, sei noeh darauf hingewiesen, dab in unserem Zusammenhang in erster Linie kurzfristige Stillstandskosten gemeint sind. Wir haben gesehen, daB die Unterscheidung der Kostenarten abh~ngig ist yon der Zeitstreeke, fiir welche die Unternehmung ihre : .---K_~r Produktionsregulierung durehfiihrt. Ebenso sind auch die Stillstandskosten je nach der betreffenden Zeitstreeke versehieden. Da wir uns explieite nur mit ganz B ,4//en~ene/nhe/ten kurzen Zeitstrecken befassen, so ist auch der Ausdruck ,,StillstandsAbb. 1 C D kosten" entsprechend zu verstehen. Die Unterscheidung: ,,Stillstandskosten - - Produktionsbereitsehaftskosten" wird fiir die grundlegenden Teile unserer Ausfiihrungen ohne Belang sein, weil wir hier die Annahme machen werden, dab die betrachteten Funktionen stetig und differenzierbar sind. Sie ist bei einer Vera!lgemeinerung der S~tze yon Bedeutung. Nur hier treten auch die Sprungkosten auf. Die Abb. 1 ist eine graphische Darstellung, die uns zeigt, wie etwa eine Gesamtkostenfunktion allgemeinster Art aussehen und sich zusammensetzen diirfte. 4)

/

J

!

Y

_

,

,

,

!

!

i

1) Wir h~tten dann: K1 -- lim K (x). x--~0

~) Nach S c h m a l e n b a c h , Der Kontenrahmen, Leipzig 1927, S. 31. 3) Also: K1 -- K (0). 4) cf. hiezu: P e iser, Einflul~ des Besch~ftigungsgrades auf die industrielle Kostenentwicklung, Berlin 1924, S. 10.

14

Grundlagen

Die Kurve KI stellt die konstanten Kosten dar. Sie ist dementsprechend eine Parallele zur Mengenachse. Die Kurve KH stellt die stetig variablen Kosten dar. Sie ist entsprechend ihrer Definition stetig, d. h. sie macht nirgends einen Sprung. Die Kurve K n i gibt die Sprungkosten an. Sie ~ndert sich nur, wo die Gesamtkostenkurve K einen Sprung macht. Die Gesamtkostenkurve K ergibt sich als Summe der Ordinaten der drei Teilkostenkurven. Sie ist eine monoton steigende und in unserem Fall an den vier Stellen A, B, C, D unstetige Funktion. Die Kurve Kn der stetig variablen Kosten ist der Gesamtkostenkurve K parallel, jedoch um die konstanten und die Sprungkosten nach unten verschoben. w 2. Die gesellschaftlichen Bestimmungsgriinde der Produktion. I. Als erster und wichtigster Bestimmungsgrund der Wirtschaf~ iiberhaupt und also auch der Produktion als einer Teilfunktion der Wirtschaft, ist mit Cassel das Prinzip der Knappheit anzuerkennen. Cassel hat dieses Prinzip im ersten Paragraphen seines Werkes ausfiihrlich dargelegt, so dab wir uns hier nur auf ihn zu berufen brauchen. Wir begniigen uns mit der Angabe der Definition, die Cassel fiir das Prinzip der Knappheit an einer anderen Stelle seiner ,,Theoretischen Sozial6kouomie" gibt. Er sagt '1) , , . . . das Prinzip der Knappheit, also die Bedeutung der festen Begrenzung der zur Verfiigung stehenden Produktionsmittel." II. Das zweite, hier zu beachtende Prinzip ist das ,,6konomische Prinzip". Cassel hat es ebenfalls im ersten Paragraphen seiner ,,SoziMSkonomie" formuliert. Fiir die Produktion kommt nur die eine Seite dieses Prinzips in Frage, welche yon Cassel als ,,Prinzip des kleinsten Mittels" bezeichnet wird. Hierbei muB aber betont werden, dab sich dieses Prinzip deutlich vom technischen Prinzip des kleinsten Mittels unterscheidet. Es stellt ein engeres Wahlkriterium fiir die Verwirklichungsm6glichkeiten eines Zweckes dar, als das technische Prinzip des kleinsten NIittels. Dies letztere Prinzip verlangt, dab die Verwirklichung eines Zweckes unter Aufwand yon m6glichst geringen NIengen der Mitre! zustande kommt. Das erw~hnte Teilprinzip des 6konomischen Prinzips, das wir auch als ,,6konomisches Prinzip des kleinsten Mittels" bezeichnen k6nnen, verlangt dagegen, dab die Verwirklichung eines Zweckes unter Aufwand yon m6glichst geringen 6konomischen Werten vor sich geht. Da eine gr6Bere NIenge keinen geringeren Wert repr~sentieren karm, als eine geringer e, so ist das technische Prinzip des kleinsten Mittels im 6konomischen Prinzip des kleinsten Mittels enthalten. Es folgt hieraus auch, dab wenn nur ein Mittel benutzt wird, sich das 6konomische mit dem technischen Prinzip deckt. Werden aber, was als Regelfall angenommen werden darf, mehrere ~) 1. c. S. 152.

Die gesellschaftlichen Bestimmungsgriinde der Produktion

15

Mittel benutzt, so geht das 5konomische Prinzip weiter. Das technische Prinzip sondert zwar nur solche Kombinationen yon Mitteln aus, die auch nach dem 5konomischen Prinzip auszusondern w~ren. Es bleiben aber Kombinationen iibrig, die in bezug auf das technische Prinzip indifferent sind, w~hrend durch das 5konomische Prinzip eine weitere Aussonderung erfolgt, weil die einzelnen, materiell nicht vergleichbaren und nicht addierbaren Mittel auf den gemeinsamen •enner des Wertes gebracht werden. Wir kSnnen diese Uberlegung noch vertiefen, indem wir uns die einzelnen Kombinationen yon Mitteln konkret als Aufwandsvektoren vorstellen. Nach dem technischen Prinzip sind zwei gleich starke 1) Aufwandsvektoren indifferent. Nach dem 5konomischen Prinzip aber scheidet yon diesen beiden Vektoren derjenige aus, dessen Kosten hSher sind als die des andern. Diese Unterscheidung zwischen dem technischen und dem 6kono. mischen Prinzip hat Cassel unseres Erachtens nicht deutlich genug gezeigt. Auf Grund der gemachten Ausfiihrungen formulieren wir das 6konomische Prinzip, wie es in der vorliegenden Arbeit verstanden werden soll, folgendermaBen: Das 6konomische Prinzip fordert, dab ein gegebener Zweck mit den billigstm6glichen Mitteln, d. h. mit dem niedrigstm6glichen Aufwand an 6konomischen Werten erreicht wird. Auf Grund dieser Definition sehen wir, dab unser Begriff der Kosten dem 6konomischen Prinzip entspricht. Wer sich nach diesem Prinzip richter, wird stets suchen, die Produktion mit dem billigstm6glichen Aufwandsniveau durchzufiihren. Sein Werteverzehr wird also nach unseren ,,Gesamtkosten des Produktionsniveaus" tendieren und darf somit als Gesamtkosten behandelt werden. Er weist eben dieselben Eigenschaften auf. III. Das Ziel der Produktion wird vom Leiter der Unternehmung, vom Unternehmer 9) gesetzt. Denkbar w~ren die verschiedensten Zielsetzungen. Wir wollen uns jedoch hier an die Erfahrung halten. Ihr entnehmen wir zwei deutlich unterscheidbare Zielsetzungen, die wir unter dem Xamen" ,,erwerbswirtschaftliches Prinzip" und ,,Bedarfsdeckungsprinzip" einander gegeniiberstellen wollen. 1. Der Unternehmer handelt nach dem erwerbswirtschaftlichen Prinzip, wenn er als Ziel der Produktion die Erreichung eines h6chstm6glichen Gewinnes setzt. Diesen Satz miissen wir n~her erl~utern. 1) Wir sagen: ,,Ein Vektor a ist schwiicher als ein anderer Vektor 5", wenn keine der Komponenten des Vektors a gr61~er ist als die entsprechendo Komponente des Vektors 5. Wir schreiben dann: a < < 5. Wir sagen dann auch: ,,5 ist st/~rker als a" und schreiben 5 > > a. Gilt weder a < < 5 noch 5 < < a, so sagen wir: ,,Die beiden Vektoren a und 5 sind gleich stark" und schreiben: a ~-, 5. Gilt gleichzeitig a ~ < 5 und 5 < < a, so sind clio beiden Vektoren einander gleich: a - - 5 . 9) Wir brauchen bier das Wort ,,Unternehmer" formal, also nicht etwa im Sinne eines Unternehmers der kapitalistischen Wirtschaft.

16

Grundlagen

Das in der Zeiteinheit produzierte Produkt wird auf dem NIarkte verkauft. Sein Preis multipliziert mit seiner NIenge ist der ErlSs dieses Gutes in der Zeiteinheit, oder, wie wir uns weiterhin ausdriicken wollen, sein Ertrag. Die Summe der Ertr~ge aller Gfiter, die yon der Unternehmung produziert werden, ist der Ertrag der Unternehmung (in der Zeiteinheit). Die Differenz zwischen Ertrag und Kosten w~hrend einer gegebenen Zeitstrecke bezeiehnen wir als d e n Gewinn der Unternehmung in dieser Zeitstrecke. Der Gewhm kann positiv und negativ sein. Das Streben nach dem hSchstmSgliehen Gewinn bedeutet somit ein Streben nach der Erreichung einer grSBtmSglichen Differenz zwischen Ertrag und Kosten w~hrend einer bestimmten Zeit. Unter vereinfachten Voraussetzungen wird der Gewinn w~hrend dieser Zeit ein Maximum, werm der Gewinn in der Zeiteinheit w~hrend dieser ganzen Zeit ein Maximum ist. Das eben gekennzeichnete Streben ist also auf die Erzielung eines hSchstmsglichen Gewinnes in der Zeiteinheit gerichtet. In diesem Sinne wollen w i r e s im folgenden verstehen. Um sein Ziel zu erreiehen, muB der Unternehmer nach dem 5konomischen Prinzip handeln. 2. Der Unternehmer handelt naeh dem Bedarfsdeekungsprinzip, werm er als Ziel der Produktion billigstmSgliche gedeckte Lieferung einer etwa angeforderten Produktionsmenge setzt. Auch dieser Satz bedarf der Erli~uterung. Das Wort ,,gedeckt" soll andeuten, daB alle aus der Produktion entstehenden Kosten (einschlieBlich z. B. des Unternehmerlohnes) vom Ertrage gedeckt sein miissen. An Stelle des Gewinnes tritt hier das ,,Auskommen". Aueh dieses Ziel verlangt die Beachtung des 5konomischen Prinzips. 3. Diese beiden Prinzipien linden wir in der l~ealit~t vor. In der vorkapitalistischen Wirtschaft mag das zweite iiberwogen haben. Heute dominiert das erste. Aber das zweite ist, wie wir noch sehen werden, nicht etwa bedeutungslos geworden. Vielmehr scheint es, als ob das Bedarfsdeckungsprinzip wieder an Boden gewinnt. 1) Wir werden uns im folgenden mit diesen beiden Prinzipien zu befassen haben. Etwaige sonstige mSgliche Zielsetzungen bleiben unberiicksichtigt. IV. Als letzter zu beachtender gesellsehaftlicher Bestimmungsgrund fiir die Produktion einer Unternehmung erscheint ihre NIarktposition. Diese NIarktposition kSnnen wir formal definieren als die Beziehung zwischen dem erzielbaren Preis und der absetzbaren NIenge, der sich die Unternehmung auf ihrem NIarkte gegeniibersieht. Wir unterscheiden drei YI6gliehkeiten. 1. Die Unternehmung karm auf einem NIarkte anbieten, auf welchem noeh sehr viele andere voneinander unabh~ngige Unternehmungen dasselbe Gut anbieten. Wir sprechen hier yon freier Konkurrenz. Xehmen wir die Anzahl dieser Untdrnehmungen a l s sehr grol3 an, so daB die 1) cf. z. B. die Wiener Rede S c h m a l e n b a e h s , Sommer 1928.

Die gesellschaftlichen Bestimmungsgriinde der Produktion

17

Produktion der Einzelunternehmung so gut wie gar nicht ins Gewicht f~llt, so kOnnen wir sagen, da~ der erzielbare Preis vom Angebot dieser einen Unternehmung unabh~ngig ist, und dab sie zu diesem Preis praktisch jede beliebige Produktenmenge, deren Produktion fiir sie in Frage kommt, absetzen kann. Umgekehrt erscheinen diese eben charakterisierten Eigenschaften als Definition der Konkurrenzwirtschaft. Das heiBt" Unternehmungen, die in dieser Konkurrenzwirtschaft funktionieren sollen, diirfen auch tats~chlich keine Eigenschaften aufweisen, welche mit diesen Bedingungen unvereinbar sin& Was das bedeutet, wird welter unten (Kap. 2, w 4) deutlieh werden. 2. Die andere NI6glichkeit ist, dab sieh die Unternehmung einem NIarkte gegeniibersieht, auf welehem ihr Angebot eine merkliche Rolle spielt, weil sie das ganze auf den NIarkt gelangende Angebot oder den gr6~ten Tefl davon produziert. Hier ist der Preis abh~ngig yon der Angebotsmenge dieser einen Unternehmung. Und zwar gilt das bekannte Preisgesetz, da~ der Preis sinkt, wenn das Angebot steigt und umgekehrt. Das heiBt also" der erzielbare Preis ist hier eine monoton abnehmende Funktion der angebotenen Menge. Da die angebotene l~Ienge identiseh ist mit der produzierten Nfenge, also in der Zeiteinheit mit der Produktionsgeschwindigkeit x, so kSnnen wir setzen:

P - - P(x). Eine Verallgemeinerung ergibt sieh fiir den Fall der verbundenen Produktion, werm man armimmt, dab der Preis eines Gutes nieht nur vom Angebot dieses einen Gutes, sondern aueh vom Angebot anderer Giiter abh~ngt. Formal kSnnen wir bier auf Grund der Dirichletsehen Definition der Funktion den Preis eines Gutes als Funktion der Angebotsmengen aller yon der Unternehmung produzierten Giiter, d. h. also als Funktion des Produktsvektors auffassen. Wir haben dann fiir den Preis des Gutes Nr. l : P 1 - - P 1 (Xl, x~. . . . . , x ~ ) - - P 1 (~) usw., im ganzen n-Funktionen yon n-Ver~nderliehen. Auch hier ist der Preis eines Gutes, z. B. der Preis P I des Gutes Nr. l, eine monoton abnehmende Funktion der NIenge x 1 dieses Gutes. Beziiglieh der iibrigen, yon der Unternehmung produzierten Giiter Nr. 2 ~ Nr. n ist sein Verhalten versehieden. 1) ~) Summariseh wird man etwa folgende Un~erscheidung treffen k6nnen: 1. Ist ein Gut Nr. i (wobei i - - 2, 3. . . . . ~ sein kann) gegeniiber dem Gute Nr. 1 ein konkurrierendes Bediirfnisbefriedigungsmittel, so ist der Preis P x eine monoton abnehmende Funktion yon xi; denn ein gesteigertes Angebot des Gutes Nr. i senkt den Preis P~ dieses Gutes. Dadurch wird die Nachfrage vom Gute Nr. 1 zum konkurrierenden Gute Nr. i fortgelockt, was bei gleichbleibendem Angebot des Gutes Nr. 1 ein Sinken des Preises P~: dieses Gutes zur Folge hat. Entsprechendes gilt fiir ein vermindertes Angebot des Gutes Nr. i. 2. Ist ein Gut Nr. i (wobei i wieder 2, 3 . . . . ~ sein kann) gegeniiber dem Gute Nr. 1 ein komplement~res Gut, so ist der Preis Px eine monoton zuS t a c k e I b e r g, Grundlagen

2

!8

Grundlagen

Zu einem Produktsvektor geh6rt stets ein Preis eines jeden Gutes, also ein bestimmter Preisvektor. Wir kSnnen somit in Analogie zu den Beziehungen zwischen einfaehen ZahlengrS~en (zwischen Skalaren, wie m a n sich in der Vektorrechnung ausdrfickt) den Preisvektor als F u n k t i o n des Produktsvektors darstellen. Wir haben dann: -

% (~).

Diese Gleichung ersetzt die obigen n-Gleichungen. 3. Eine dritte MSglichkeit bleibt noch zu betrachten iibrig, die der Wirklichkeit hiufig sehr nahe kommt. Sie ist in gewissem Sinne der ersten MSglichkeit, also der Konkurrenz, verwandt, zeigt aber doch wichtige Besonderheiten. Aueh hier finden wir das Angebot aufgeteilt zwischen mehreren voneinander unabh~ngigen Unternehmungen. Es besteht ein einheitlieher Preis auf dem Markte, dem eine Gesamtnachfrage zugeordnet ist. Der Absatz jedoch, den jede Unternehmung erzielen kann, ist nicht, wie im ersten Falle, praktisch beliebig. Vielmehr verteflt sich die Gesamtnachfrage auf die einzelnen Unternehmungen in einem mehr oder weniger festen Verh~ltnis. Dieses Verh~ltnis ergibt sich durch die verschiedenstea sozialen Ursachen, die h~ufig auBerwirtschaftlich, ja sogar im Sinne Paretos i) ,,alogisch" sind. Gewohnheit, Renommee, Reklame, persOnliche Beziehungen und schlie~lich allgemein der Zufall sind hier ma~gebend. Es ist also zwar der Preis yon der angebotenen Menge jeder einzelnen Unternehmung wie im ersten Falle unabh~ngig. Aber die absetzbare ~Ienge ist nicht beliebig, sondern relativ fest. U n d zwar wollen wir aunehmen, dab die Unternehmung in der Lage ist, durch Aufwendung yon Kosten ihren Absatz zu steigern, z. B. dureh Absatznehmende Funktion yon x i ; denn ein gesteigertes Angebot des Gutes Nr. i induziert eine Preissenkung dieses Gutes. Dadurch wird die BedfirfnisbefriedigungsmSglichkeit, die durch die beiden Gfiter Nr. 1 und Nr. i gemeinsam vermittelt wird, wohlfeiler, was zu einer gesteigerten N achfrage n~ch beiden Gfitern ffihrt. Diese kann, wenn die Menge xl des Gutes Nr. 1 dieselbe bleibt, nur dann entsprechend beschr~nkt werden, wenn der Preis des Gutes Nr. 1 steigt. Entsprechendes grit, falls das Angebot des Gutes Nr. i sinkt. 3. Ist das Gut Nr. i weder ein konkurrierendes noch ein Komplement~rgut zum Gute Nr. 1, so h~ngt die Reaktion des Preises B1 auf die Ver~nderung der Menge x i , also des Angebotes des Gutes Nr. i, yon der Nachfrageelastizi, t~t dieses Gutes Nr. i a b . Ist diese gr61~er als 1, so wird bei einer Vergr51~erung des Angebotes des Gutes Nr. i ein grSl~erer Teil des Gesamteinkommens ffir dieses Gut verwendet als vorher. Dadurch bleibt far die anderen Gfiter, also auch ffir das Gut Nr. 1 nur ein geringerer Teil des Gesamteinkommens fibrig; deshalb kann in der neuen Situation dieselbe Menge des Gutes Nr. 1 nur zu einem geringeren Preis abgesetzt werden. B1 ist also in diesem Fall eine monoton abnehmende Funktion der Menge x i des Gutes Nr. i. Ist die Nachfrageelastizit~t dieses Gutes kleiner als 1, so ist P1 eine monoton zunehmende Funktion yon x i, was auf Grund analoger Uberlegungen erhellt. Ist also die Elastizitit der Nachfrage nach dem Gute Nr. i genau gleich 1, so ist der Preis des Gutes Nr. 1 vom Angebot des Gutes Nr. i unabh~ngig. 1) P a r e t o , 1. c. Chap. II, 1 und 2.

Die gesellschaftlichen Bestimmungsgrtinde der Produktion

19

organisation, l~eklame usw. ihren Anteil am Gesamtangebot zu erhShen; analog nehmen wir an, dab der Absatz sinkt, wenn die Unternehmung mit ihrer AbsatzfSrderung nachl~Bt. Die Absatzmenge ist hier von einem bestimmten Teil der Kosten, eben den Kosten der Absatzf6rderung, abh~ngig, und zwar ist sie eine monoton steigende Funktion dieser Kosten. Die Absatzkosten kSnnen wir ganz analog betrachten und einteflen, wie die Produktionskosten. Wir wollen sie zum Unterschied yon den eigentlichen Produktionskosten K mit dem Symbol C bezeichnen. Wir haben dann fiir den Fall des einfachen Angebotes folgende funktionelle Beziehungen" P - - constans; x -- x (C); K -- K (x). Da x eine monoton steigende Funktion yon C ist, so kSnnen wir diese Funktion umkehren und ~schreiben darm: C = C (x). C ist somit eine monoton steigende Funktion yon x. Die gesamten mit der Produktionsgeschwindigkeit x verbundenen Kosten sind die P r o d u k t i o n s - u n d die Absatzkosten, also K + C. Sie sind eine Funktion der Produktions' geschwindigkeit x, die genau dieselben Eigenschaften aufweist, wie unsere Funktion K (x) in den frtiher angestellten ~berlegungen. Da auBerdem der Preis konstant ist, so liegt hier im Grunde ein Fall vor, der sich yore allgemeinen Fall der freien Konkurrenz, den wir unter 1. betraehtet haben, nicht wesentlich unterscheidet. Wir haben ihn jedoch ausgesonder~, weil die hier gegebene Situation nicht ohne weiteres durchsiehtig ist, sondern erst durch die eben charakterisierte Transformation auf den allgemeinen Fall zuriickgefiihrt wird. Tatss wird oft yon den Kosten eines Gutes gesprochen, wo es sich nur um die Produktionskosten im engeren Sinne, nicht aber auch um die Absatzkosten handelt. Wir miissen vom 5konomischen Standpunkt aus die Absatzkosten als einen Teil der Produktionskosten betrachten. Es wird eben nicht ein Gut schlccht, hin, sondern ein absatzf~higes Gut produziert. Diese Tatsache ist wichtig. Es mag z. B. h~ufig der Fall vorliegen, dab die Produktionskosten im engeren Sinne dem Gesetz des zunehmenden Ertrages 1) folgen, w~hrend die Absatzkosten so sehr dem Gesetze des abnehmenden Ertrages 1) unterliegen, dab die Gesamtkosten des betreffenden Gutes ebenfalls, wenn auch nicht so stark wie die Absatzkosten, v o m Gesetz des abnehmenden Ertrages 1) beherrscht sind2). Fiir den Fall des verbundenen Angebotes liegen die Dinge ~hnlich. Hier kann der Absatz eines bestimmten Produktsvektors ~ nur unter Aufwendung yon bestimmten Absatzkosten C erreicht werden. C ist also eine Funktion, und zwar aus denselben Griinden wie K eine monoton steigende Funktion yon ~. Wir haben hier also fiir die Gesamtkosten den Ausdruck K + C; der Preisvektor ~ ist konstant. Die Darstellung des 1) Siehe weiter unten, Kap. 2, w 1. ~) Cf. R. F. H a f r o d, The law of decreasing costs, Economic Journal, 1931, S. 566ff., sowie die dort zitierten Aufs~tze. Ferner: R. G. D. A l l e n , Decreasing costs: a mathematical note, Economic Journal, 1932, S. 323ff. 2*

20

Die Kosten in der einfaehen Produktion"

Produktsvektors als Funktion yon C analog der fiir den Fall des einfachen Angebotes sogar als Ausgangssituation gegebenen Darstellung yon x als Funktion yon C ist hier nieht mSglieh, da die Monotonit~t zur eindeutigen Bestimmung yon ~ bei gegebenen C nieht ausreicht. 1) Die hier beschriebene Marktsituation bezeichnen wir als ,,modifizierte Konkurrenz". Zweites Kapitel.

Die K o s t e n in der e i n f a c h e n P r o d u k t i o n . w 1. Die kostentheoretisehen Grundbegriffe. I. Wir haben bereits im vorigen Kapitel den Begriff ,,Gesamtkos~en" kennengelernt. Wir wissen, dal~ die Gesamtkosten eine eindeutige, monoton zunehmende Funktion der Produktionsgesehwindigkeit ist. Wir wollen diese Funktion noch etwas genauer betrachten. Wir denken uns, dal~ der Betrieb seine Produktionsgeschwiadigkeit zu steigern anf~ngt. Dann steigen aueh die Gesamtkosten dieses Betriebes. In welchem Ma~e steigen sie ? Hier miissen wir beachten, dal~ der Betrieb seine Produktionsgeschwindigkeit nur durch Vermehrung des direkten Aufwandes steigert. Die indirekten Produktionsmittel bleiben vorausSetzungsgem~B in ihrem Bestand erhalten. Dies muB im allgemeinen dazu fiihren, dab yon irgend einer Produktionsgeschwindigkeit ab der Betrieb verh~ltnism~l]ig unergiebiger wird, d. h. durch jewefls gleiche Gesamtkostenvermehrung nur eine mit steigender Produktionsgeschwindigkeit sinkende Produktsvermehrung erzielt werden kanD. Diese Konsequenz aus der Unver~nderlichkeit der indirekten Produktionsmittel ist nicht zwingend nachzuweisen. Sie ist jedoch in hohem MaBe plausibel. Sie leuchtet ein, wenn man folgendes bedenkt: die indirekten Produktionsmittel bilden eine notwendige Bedingung fiir die Produzierbarkeit der Produkte. Bleiben sie unver~ndert, so ~ndert sich bei steigender Produktionsgeschwindigkeit das Zusammensetzungsverh~ltnis der Komponenten der Aufwandsvektoren zu Ungunsten der indirekten Produktionsmittel. Es ist zu erwarten, dal~ dieser Umstand sich in der beschriebenen Weise auf die Produktivit~t des Betriebes auswirkt. Besonders deutlich ist diese Tatsache in der Landwirtschaft zu erkennen. Betrachten wir den 1) Wohl aber bflden die bei Aufwendung eines bestimmten Absatzkostenbetrages absetzbaren Produktionsvektoren yon n-Dimensionen eine Mannigfaltigkeit vom Range (n m 1), gegeben durch die Gleichung C o - C (~) -- 0, wobei Co vorgegeben ist. Es liiBt sich, allgemein gesprochen, im Falle des einfachen Angebotes zwischen C und x, im Falle des verbundenen Angebotes zwischen C und ~ eine Beziehung yon der Form ~ (x, C) -~ 0 bzw. ~ (~, C) -- 0 ~9 aufstellen, wobei die Ableitung ~-~ yon Null verschieden ist, so dab C stets als explizite Funk~ion yon x bzw. yon ~ dargestellt werden kann.

20

Die Kosten in der einfaehen Produktion"

Produktsvektors als Funktion yon C analog der fiir den Fall des einfachen Angebotes sogar als Ausgangssituation gegebenen Darstellung yon x als Funktion yon C ist hier nieht mSglieh, da die Monotonit~t zur eindeutigen Bestimmung yon ~ bei gegebenen C nieht ausreicht. 1) Die hier beschriebene Marktsituation bezeichnen wir als ,,modifizierte Konkurrenz". Zweites Kapitel.

Die K o s t e n in der e i n f a c h e n P r o d u k t i o n . w 1. Die kostentheoretisehen Grundbegriffe. I. Wir haben bereits im vorigen Kapitel den Begriff ,,Gesamtkos~en" kennengelernt. Wir wissen, dal~ die Gesamtkosten eine eindeutige, monoton zunehmende Funktion der Produktionsgesehwindigkeit ist. Wir wollen diese Funktion noch etwas genauer betrachten. Wir denken uns, dal~ der Betrieb seine Produktionsgeschwiadigkeit zu steigern anf~ngt. Dann steigen aueh die Gesamtkosten dieses Betriebes. In welchem Ma~e steigen sie ? Hier miissen wir beachten, dal~ der Betrieb seine Produktionsgeschwindigkeit nur durch Vermehrung des direkten Aufwandes steigert. Die indirekten Produktionsmittel bleiben vorausSetzungsgem~B in ihrem Bestand erhalten. Dies muB im allgemeinen dazu fiihren, dab yon irgend einer Produktionsgeschwindigkeit ab der Betrieb verh~ltnism~l]ig unergiebiger wird, d. h. durch jewefls gleiche Gesamtkostenvermehrung nur eine mit steigender Produktionsgeschwindigkeit sinkende Produktsvermehrung erzielt werden kanD. Diese Konsequenz aus der Unver~nderlichkeit der indirekten Produktionsmittel ist nicht zwingend nachzuweisen. Sie ist jedoch in hohem MaBe plausibel. Sie leuchtet ein, wenn man folgendes bedenkt: die indirekten Produktionsmittel bilden eine notwendige Bedingung fiir die Produzierbarkeit der Produkte. Bleiben sie unver~ndert, so ~ndert sich bei steigender Produktionsgeschwindigkeit das Zusammensetzungsverh~ltnis der Komponenten der Aufwandsvektoren zu Ungunsten der indirekten Produktionsmittel. Es ist zu erwarten, dal~ dieser Umstand sich in der beschriebenen Weise auf die Produktivit~t des Betriebes auswirkt. Besonders deutlich ist diese Tatsache in der Landwirtschaft zu erkennen. Betrachten wir den 1) Wohl aber bflden die bei Aufwendung eines bestimmten Absatzkostenbetrages absetzbaren Produktionsvektoren yon n-Dimensionen eine Mannigfaltigkeit vom Range (n m 1), gegeben durch die Gleichung C o - C (~) -- 0, wobei Co vorgegeben ist. Es liiBt sich, allgemein gesprochen, im Falle des einfachen Angebotes zwischen C und x, im Falle des verbundenen Angebotes zwischen C und ~ eine Beziehung yon der Form ~ (x, C) -~ 0 bzw. ~ (~, C) -- 0 ~9 aufstellen, wobei die Ableitung ~-~ yon Null verschieden ist, so dab C stets als explizite Funk~ion yon x bzw. yon ~ dargestellt werden kann.

Die kostentheoretischen Grundbegriffe

21

Boden als unver~nderliches Produktionsmittel und stellen ihm die fibrigen Produktionsmittel als ver~nderlicb gegenfiber (wobei wir unser Blickfeld fiber eine entsprechend lange Zeitperiode ausdehnen), so ergibt sich in sehr einleuchtender Weise das ,,Gesetz vom abnehmenden Bodenertrag" oder, wie es Brinkmann z) treffend bezeichnet, das Gesetz des abnehmenden Ertragszuwachses. Dieses Gesetz ist nichts anderes als ein Spezialfall unseres oben formulierten Sachverhaltes. Wfirde dieses Gesetz nicht gelten, so kSnnte man durch genfigenden Aufwand der ver~nderlichen Produktionsmittel, ohne Steigerung des Kostenzuwachses auf einem begrenzten, ja sogar auf einem beliebig kleinen Landstiick jede beliebige Produktsmenge erzeugen kSnnen, was nach allgemeiner Erfahrung unmOglich ist. ~) Wie ist es nun aber, wenn man ganz allgemein, unabh~ngig yon einem konkreten Betrieb, also bei Annahme, dal3 alle Produktionsmittel beliebig ver~nderlich w~ren, die verschiedenen Produktionsniveaus und die hiezu erforderlichen bflligsten Aufwandsvektoren betrachtet ? Gilt auch hier, dal3 mit steigender Produktionsgeschwindigkeit die Gesamtkosten yon irgend einem Punkte an verh~ltnism~13ig schneller wachsen, als die Produktionsgeschwindigkeit ? Man wird diesen Satz hier nicht in derselben Weise plausibel machen kSnnen. Wohl aber folgt er aus einer anderen Tatsache mit fast zwingender l~otwendigkeit. Diese Tatsache ist das Prinzip der Knappheit. Die allgemeine Erfahrung sagt, dab es unmOglich ist, mit einer festen Menge an Produktionsmitteln beliebig grofle Produktionsgeschwindigkeiten zu erzielen. Dann bedingt jedoch das Wachsen der Produktionsgeschwindigkeit eine Vermehrung der Produktionsmittel. Diese sind aber in der Volkswirtschaft nach dem Prinzip der Knappheit lest begrenzt. Folglich kann ihre Vermehrung erstens nicht beliebig weir und zweitens yon irgend einem Punkte ab nut zu steigenden Produktionsmittelpreisen, also bei steigendem Kostenzuwachs, vermehrt werden. 3) Hieraus ergibt sich das oben behauptete Gesetz ganz allgemein. Der Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Begrfindung dieses Gesetzes liegt darin, dal3 die Produktionsgeschwindigkeit, bei welcher die Zunahme des Gesamtkostenzuwachses einsetzt, im ersten Falle im allgemeinen viel kleiner ist, als im zweiten. Der zweite Fall gfl~ natfirlich auch fiir die einzelne Unternehmung; aber es kann vorkommen, dab bier die betreffende Produktionsgeschwindigkeit so groB ist, dab sie aus marktwirtschaftlichen Grfinden nicht realisiert wird. Dagegen ist z) B r i n k m a n n , Die ()konomik des landw. Betriebes, G. d: S. Abt. VII (1922), S. 32. ~) J e v o n s , Die Theorie der politischen ()konomie, Jena 1924, S. 200. Ferner: B a r o n e , Grundzfige der theoretischen NationalSkonomie, Bonn 1927, w 10 am Schlul~ und w 11. 8) cf. B a r o n e , 1. c. w9 und w 10. Dagegen: Bficher, ,,Gesetz der Massenproduktion" in ,,Die Entstehung der Volkswirtschaft", 2. Sammlung, Tiibingen 1921, S. 92, Anm.

22

Die Kosten in der einfachen Produktion

im ersten Falle die Produktionsgeschwindigkeit, yon der ab der Gesamtkostenzuwachs steigt, verhi~ltnism~Big niedrig. Aus dem ersten Gesichtspunkt ergibt sich noch eine weitere Eigenschaft der Gesamtkostenfunktion. Genau ebenso n~mlich, wie bei hohen Produktionsgeschwindigkeiten die Zusammensetzung der Produktionsmittel eines Betriebes verh~ltnism~Big wenig indirekte Produktionsmittel aufweist, so weist sie bei niedrigen Produktionsgeschwindigkeiten verh~ltnism~I~ig viel indirekte oder verh~ltnism~Big wenig direkte Produktionsmittel auf. Hier ist also das Zusammensetzungsverh~ltnis der Komponenten des Aufwandsvektors zuungunsten der direkten Produktionsmittel verschoben. Steigt also die Produktionsgeschwindigkeit, so wird das Zusammensetzungsverhi~ltnis der Produktionsmittel zun~chst giinstiger, d. h. der Kostenzuwachs sinkt. Wir kSnnen hieraus folgendes (wenn auch nicht allgemeingiiltiges) Regelbild der Gesamtkostenfunktion ableiten. Lassen wir die Produktionsgeschwindigkeit yon 0 ab wachsen, so steigen die Gesamtkosten dauernd. Aber sie steigen zun~chst in sinkendem MaBe, d. h. der Gesamtkostenzuwachs sinkt zun~chst, bis die Produktionsgeschwindigkeit eine bestimmte HShe erreicht hat. Steigt die Produktionsgeschwindigkeit weiter, so setzt yon irgend einem Punkte ab eine Steigerung des Gesamtkostenzuwachses ein, die sich bei weiterem Wachsen der Produktionsgeschwindigkeit vielleicht noch verst~rkt. 1) Wir sehen dieses Bild der Gesamtkostenfunktion ~n der Abb. 1 angedeutet" zwischen dem Nullpunkt und dem Punkte A ist die Gesamtkostenkurve konkav nach unten, unterliegt also dem Gesetz des zunehmenden Ertrages. Von A ab herrscht das Gesetz des abnehmenden Ertrages. Nehmen wir noch an (was im folgenden, wenn nichts anderes ausdriicklich gesagt wird, gelten soll), dal~ die Gesamtkostenfunktion regular, also stetig und mehrfach stetig differenzierbar ist, so kSnnen wir uns den Verlauf dieser Funktion an Hand der Abb. 2 veranschaulichen. ~) Das eben beschriebene Regelbild ist nicht allgemeingiiltig. Deshalb werden wir neben ihm auch anders verlaufende Gesamtkostenfunktionen zu beriicksichtigen haben, insbesondere Funktionen, bei denen der Kostenzuwachs dauernd sinkt, und Funktionen, bei denen der Kostenzuwachs unver~ndert bleibt. Die Bedeutung dieser Betrachtung wird noch dadurch erhSht, dab auch die regelmi~Bige Gesamtkostenfunktion abnehmenden Kostenzuwachs aufweist, wenn die Produkti0nsgeschwindigkeit niedrig ist. Um uns mSglichst nahe an den allgemeinen Sprachgebrauch zu halten, wollen wir im folgenden den Sachverhalt, 1) Zu diesem Regelbild der Gesamtkostenfunktion cf,: B a r o n e , 1. c. w8 bis w 13. Ferner: K a l i s c h e r , Der Widerspruch zwischen mathematischer und buchtechnischer KostenauflSsung, Zeitschr. f. handelsw. Forsch., April 1929 und insbesondere Januar 1930, S. 18ff. 3) Ein anderes Regelbfld bringt E. S c h n e i d e r, Kostenanalyse als Grundlage einer statistischen Ermittlung yon Nachfragekurven, Archly ffir Sozialwissenschaft und Sozialpolitik, Bd. 66 (1931), S. 585 ft. Cf. auch die daselbst, S. 590 zitierte Literatur.

Die kostentheoretischen Grundbegriffe

23

dab der Kostenzuwachs steigt (konstant bleibt, sinkt), durch den Satz ausdrficken: ,,Die Unternehmung unterliegt dem Gesetz des abnehmenden (konstanten, zunehmenden) Ertrages." Dieser Satz enth/~lt zwar in seinem wSrtlichen Sirme das, um was es sich hier handelt, nur sehr unvollkommen, wie es auch Brinkmann (s. o.) richtig bemerkt. 1) Aber seine allgemein fibliche Anwendung zeigt, daI3 man ihn fiir den Sachverhalt setzt, den wir hier ausdriicken wollen. Unter Verwendung dieser Bezeichnungsweise wfirde z. B. die Beschreibung der regelm/~13igen Gesamt, kostenfunktion folgendermal3en lauten" Die Unternehmung unterliegt fiir niederige Produktionsgeschwindigkeiten dem Gesetz des zunehmenden Ertrages. Steigt die Produktionsgeschwindigkeit fiber ein bestimmtes MaB, so unterliegt die Unternehmung dem Gesetz des abnehmenden Ertrages. Dazwischen gibt es eine Strecke oder auch nur einen Punkt, wo das Gesetz des konstanten Ertrages gilt. s) II. Wit haben in der eben durchgeffihrten t~berlegung mehrfach den Begriff , , K o s t e n z u w a e h s " gebraucht. Wir wollen uns hier etwas genauer mit dieser Gr6Be befassen. Der Kostenzuwachs ist die _~nderung der Gesamtkosten, die sich ergibt, wenn man die Produktionsgeschwindigkeit um irgend einen Betrag vergrSBert oder verringert. Je nachdem, wie man diesen Betrag w/ihlt und ob man ihn abzieht oder addiert, wird der (positive oder negative) Kostenzuwaehs versehieden sein. Wit wollen nun ein ~IaB des Kostenzuwachses einffihren. Dies ist der Kostenzuwaehs umgereehnet auf die Einheit der Produktionsgeschwindigkeit. Ist ein Kostenzuwachs gegeben, so erhalten wir sein 1VIaB, indem wir den gegebenen Kostenzuwachs durch die zugeh6rige Xnderung der Produktionsgesehwindigkeit dividieren. 3) z) cf. auch B a r o n e , 1. e. w 11, letzter Absatz. ~) Zu diesen Ausftihrungen und zu den im folgenden definierten Kostenkategorien cf. S c h n e i d e r , ,,Zur Interpretation yon Kostenkurven", Archly fiir Sozialwissenschaft und Sozialpolitik, Bd. 65, S. 269ff., Abschn. A und B. Dem Abschn. C in S e h n e i d e r s Aufsatz kann zum Tefl nicht zugestimmt werden. Insbesondere diirften die Ausftihrungen, die zu dem Satz auf S. 292 fiihren: ,,Die Abweichungen der tatsi~chlichen Stiiekkostenkurve yon der Planungsstiiekkostenkurve h/ingen allein ab yon der GrSBe des Antefls der fixen K o s t e n . . ", und die nachfolgenden Siitze nicht haltbar sein. Die Parabel k~ (x), G1. (18), hat in ihrem Minimum (x = x0) eine wagereehte Tangente. Deshalb wird sic im Punkte ~ (x0) yon jeder schrKgen Kurve, die dureh diesen Punkt geht, geschnitten. Reehts oder links yon diesem Punkte verl~uft also diese Kurve oberhalb der Parabel ~(x0). Deshalb ist die S c h n e i d e r sehe Bedingung (16) innerhalb eines bestimmten, durch x0 an dem einen Ende begrenzten Intervalls fiir kein a erfiillbar. Eine untere Grenze liiBt sich somit fiir a nicht in der yon S c h n e i d e r angegebenen Form bestimmeri. 8) Wir erhalten so die GrSf~e, der S e h m a l e n b a e h urspriinglieh den l~amen ,,proportionaler Satz" gegeben hatte und die er jetzt als ,,Grenzkosten" bezeichnet (Selbstkostenrechnung, S. 52). Wir halten diese Namens-

24

Die Kosten in der einfachen Produktion

Ist die Gesamtkostenfunktion regular (was wir armehmen wollen), so werden die verschiedenen ~IaBe des Kostenzuwachses einer Produktionsgeschwindigkeit einander desto mehr angeglichen, je kleiner die :~_nderungen der Produktionsgeschwindigkeit angenommen werden. L~13t man die :~nderungen immer kleiner werden, so streben alle l~IaBe des zugehSrigen Kostenzuwachses einem einzigen Wert zu. Dieser Wert l~Bt sich definieren als das MaB des Kostenzuwachses fiir die allern~chste Umgebung einer Produktionsgeschwindigkeit. Er ist nichts anderes als der erste Differentialquotient der Gesamtkostenfunktion. Zu jeder Produktionsgeschwindigkeit gehSrt eine Zahl, die das MaB des Kostenzuwachses darstellt. Dieses l~Ia]3 ist also eine Funktion der Produktionsgeschwindigkeit. Wir wollen es im folgenden, im Anschlul~ an den allgemeinen Sprachgebrauch, mit dem nicht sehr glficklichen Namen ,,GrenzkostenhShe" oder auch einfach ,,Grenzkosten" bezeichnen. Da die GrenzkostenhShe der erste Differentialquotient der Gesamtkostenfunktion ist, so wollen wir ffir die GrenzkostenhShe das Symbol K' einfiihren. 1) Alles, was wir in I fiber den Kostenzuwachs gesagt haben, gilt auch fiir die GrenzkostenhShe. Wir werden im folgenden nur mit diesem Begriff operieren, weil er exakt ist. III. Bei der Wahl des l~amens ffir die erste Ableitung der Gesamtkostenfunktion h~tten wir an sich vorteilhaft die Bezeichnung ,,Gesamtkostensteigung" verwenden ksnnen. Dean die Ableitung ist nichts anderes, als das MaB fiir die Steigung der Grundfunktion in einem bestimmten Punkte. Diesen l~amen haben wir uns aufgespart ffir die Ableitung der GrenzkostenhShe. Wir wollen diese Ableitung als ,,Grenzkostensteigung" bezeichnen. Sie ist nichts anderes, als das Mal3 fiir die St.eigung (diese kann positiv oder negativ sein) des Kostenzuwachses. Uberall in I, wo wir yon der Steigung des Kostenzuwachses gesprochen haben, k0nnen wir jetzt den Begriff ,,Grenzkostensteigung" einsetzen. Da die Grenzkostensteigung der zweite Differentialquotient der Gesamtkostenfunktion ist, so ffihren wir fiir sie das Symbol K " ein. Auch K " ist eine Funktion der Produktionsgeschwindigkeit?) ~nderung for nicht sehr glficklich. Die Wirtschaf~stheorie pflegt das Wort ~,Grenzkosten" ffir den Differentialquotienten der Gesamtkostenfunktion zu verwenden. Hier handelt es sich aber um einen Differenzenquotienr der einen Ngherungswert des Differentialquotienten darstellt. Es ist zweckmiil3ig, den Wert, der approximiert werden soll, und den Wert, der approximiert, verschieden zu bezeichnen. 1) Es gilt also: dK(x)

K'=

dx

=K'(x).

cf. hiezu: A m o r o s o , 1. c. S. 4, ,,il costo marginale". ~) Wit haben demnach: K"

--

d ~ K (x) d x"

--- K " (x).

Die kostentheoretischen Grundbegriffe

25

Unter Verwendung der mathematisch-exakten Begriffsbildung kSrmen wir die regelm~l~ige Gesamtkostenfunktion folgendermaBen beschreiben 9 11 Ffir alle x unterhalb einer bestimmten GrSBe a, also im Inter, vall (0, a) gilt das Gesetz des zunehmenden Ertrages: K" < 0. 2. Oberhalb yon a bis zu einer bestimmten GrSBe b, also im Intervall (a, b) gilt das Gesetz des konstanten Ertrages: K " - - 0 . Ist die Gesamtkostenkurve /( reguli~r, d. h. mehrfach stetig l I differenzierbar, so fallen die bei- .~ den GrSl~en a und b meist zu- " sammen. Dann hat K" nur ffir ~/ | x = a - - b den Wert Null. B Z7 3. Oberhalb yon b, also ffir alle x ~ b gilt das Gesetz des abnehmenden Ertrages: K" :> 0. C Da K monoton steigt, ist x K' fiberall positiv. Und zwar fiillt K' im Intervall (0, a), ist A konstant im Intervall (a, b) und A: \ steigt ffir alle x > b. Die Abb. 2 macht diesen Sachverhalt anschaulich. Vom Punkte A bis zum I / I~ a=b e M e n aeneinhe/ten Punkte B ist die Gesamtkosten- o kurve K konkav nach unten. Die Unternehmung unterliegt also Abb. 2 fiir alle Produktionsgeschwindigkeiten zwischen den Punkten 0 und b dem Gesetz des zunehmenden Ertrages. Die Grenzkosten, die in jedem Punkte der Kurve durch den Tangens des l~ichtungswinkels der Kurventangente in diesem Punkte gegeben sind, sinken offenbar zwischen 0 und b, wenn der betreffende Kurvenpunkt nach rechts riickt, die Produktionsgeschwindigkeit also steigt. Wir sehen, dab z. B. die Tangente im Punkte C steiler ist als die im weiter rechts liegenden Punkte B. Ffir alle Punkte, die rechts yon B liegen, d. h. also fiir alle Produktionsgesctlwindigkeiten, die grSBer sind als Ob, unterliegt die Unternehmung dem Gesetze des abnehmenden Ertrages. Wir sehen sofort, daI~ die Tangente im Punkte D stefler ist als die Tangente im weiter links liegenden Punkte B. Der Punkt B zeichnet sich dadurch aus, dab er der Wendepunkt der Kurve ist. Alle Kurvenpunkte links yon illm liegen unterhalb der Wendetangente wie auch unterhalb jeder Tangente im Kurvenabschnitt \

\

9

A B. Alle Kurvenpunkte rechts yon B liegen oberhalb der Wendetangente wie auch oberhalb jeder anderen Tangente rechts yon B. Da die Grenzkosten durch den l~ictltungstangens der Gesamtkosten-

26

Die Kosten in der einfachen Produktion

kurve in jedem P u n k t gegeben sind, so kann m a n sie aus der Gesamtkostenkurve konstruieren. In der Abb. 2 ist diese Konstruktion diir den Gesamtk0stenkurvenpunkt D mit dem FuBpunkt d, also ffir die Produk' r Od durchgefiihrt. Wir tragen yon d nach links die Einheitsstrecke ab. Es sei e d - - 1. Wir ziehen durch e die Parallele ztu' Tangente an die Gesamtkostenkurve in D. Diese Parallele schneidet die Ordinate dD des Punktes d in D'. Dann ist dD' die gesuchte GrenzkostenhOhe, D' somit der zur Abszisse Od zugehOrige Grenzkostenkurven, punkt. Es ist n~mlich <): deD' der Richtungswinkel der Tangente in D. Sein Tangens ist dD' .__ dD', da e d - - 1 ist. ed So erhalten wir durch Punktkonstruktion die in der Abb. 2 punktiert gezeichnete Grenzkostenkurve K'. Ihr niedrigster Punkt, der Punkt, wo die Grenzkosten zu fallen aufhOren, ist B'. Die Kurve der Grenzkostensteigung ergibt sich aus der Grenzkostenkurve auf dieselbe Weise, wie die Grenzkostenkurve aus der Gesamtkostenkurve. Wir haben sie nicht besonders eingezeichnet. IV. Zum Schlusse miissen wit noch eine Funktion einffihren, die bisher nicht vorgekommen ist, die wit aber sparer brauchen werden. Das ist die Durchschnittskostenfunktion. Eine bestimmte Produktionsgeschwindigkeit bedingt bestimmte Gesamtkosten. Diese Gesamtkosten, dividiert durch die zugehSrige Produktionsgeschwindigkeit, ergeben die Durchschnittskosten. l~iir diese neue Funktion ffihren wit das Symbol K* ein. K* ist auch eine Funktion der Produktionsgeschwindigkeit. 1) Analog kSnnen wir den Begriff ,,durchschnittliche variable Kosten" definieren, indem wir nicht die Gesamtkosten einer Produktionsgeschwindigkeit, sondern nur deren variable Kosten durch sie dividieren. In Analogie zu K* bezeichnen wir diese neue GrSBe mit K~. 1) K* und K~ sind in der Abb. 3 graphisch veranschaulicht. Die Durchschnittskosten sind definiert als Quotient aus Ordinate und Abszisse eines Kurvenpunktes der Gesamtkosten. Bezeichnet man die Verbindung des Nullpunktes und eines Kurvenpunktes als den Fahr1) Wir haben also:

K (x) -- K* (x) x K~ (x) K~ - K~ (x) SV

K* --

K* = Kx + K~

Mit wachsendem x n~hern sich die beiden Funktionen K* (x) un4 K~ (x) KI asymptotisch, da K~ konstant ist und lim ~ - - + 0. X

Das Betriebsoptimum

27

strahl dieses Kurvenpunktes, so k6nnen wir also sagen, dab die Durehsehnittskosten als Tangens des Winkels zwischen der Mengenaehse und dem Fahrstrahl der Gesamtkostenkurve definiert sind. j~Aus dieser Deftnition ergibt sich auch die Konstruktion der Kurvenpunkte der Durehsehnittskostenkurve; in der Abb. 3 ist sie fiir die Produktionsgesehwindigkeit d durchgefiihrt" Wit errichten ~ im Einheitspunkt e (Oe-- 1) das Lot eE und projizieren den Schnittpunkt F des Lotes eE und des Fahrstrahles OD auf die Ordinate d D d e s betreffenden Gesamtkostenkurvenpunktes D . Die Projektion D* ist der gesuchte Punkt der Durchschnittskostenkurve K*, dessen FuBpunkt d i s t . Es sind n~mlich die Durchschnittskosten der Produktionsgeschwindigkeit Od der Quo/( tient

dD OD

.

Es gilt nach dem Strahlensatz" .

dD . Od

.

eF . oe

D

eF --- dD*,

da ja O e - - 1 und e F - - d D * nach Konstruktion. A Wir haben also den zur Produktionsgeschwindigkeit Od zugehSrigen Punkt der Durchschnittskurvenkosten konstruiert. Durch Konstruktion weiterer Punkte erd gibt sich schliel31ich als deren geo/v'lengeneinhe/ten metrischer Or t die Durchschnittskostenkurve K*. K~ ergibt sich Abb. 3 dureh eine entsprechende Konstruktion, indem man zun~chst an Stelle yon O den Punkt A setzt und nachher die gefundene Kurve um O A ( - - K 1 ) nach unten verschiebt. Mit Hilfe der in diesem Paragraphen definierten und beschriebenen Funktionen werden wir im Folgenden die Analyse der regulierenden Gesetze der Produktion fortsetzen. Wir werden uns zun~chst mit Produkti0nsgeschwindigkeiten befassen, denen vom innerbetrieblichen Standpunkt eine Bedeutung zukommt, um danach die Situation der Unternehmung auf dem l~arkte zu betrachten. e

.

w 2. Das Betriebsoptimum. I. Die Unternehmung kann verschiedene Produktionsgeschwindigkeiten zu verschiedenen Gesamtkosten realisieren. Wir wollen jetzt untersuchen, welehe Produktionsgeschwindigkeit relativ die billigste ist. Wir

28

Die Kosten in der einfachen Produktion

wollen zun/~chst genauer formulieren, was darunter zu verstehen ist. Der Preis, der fiir die Einheit einer in der Zeiteinheit produzierten Produktenmenge gezahlt werden mug, damit durch den Ertrag gerade die zugeh6rigen Gesamtkosten gedeckt werden, ist den Durchschnittskosten gleich. Denn die Durchsehnittskosten, multipliziert mit der Produktionsgesehwindigkeit (also mit der Anzahl der in der Zeiteinheit produzierten Produkteneinheiten) ergeben gerade die Gesamtkosten (ex definitione). Diesen Preis wollen wir Kostendeckungspreis nennen. Zu jeder Produktionsgeschwindigkeit geh6rt ein Kostendeckungspreis. Diejerrige Produktionsgeschwindigkeit, welehe den niedrigsten Kostendeckungspreis hat, ist offenbar die billigste. Denn unter allen Preisen, zu welchen die Unternehmung ohne Verlust verkaufen kann, ist der Kostendeekungspreis dieser Produktionsgeschwindigkeit der niedrigste; die Unternehmung karm zu diesem Preis nur gerade diese Produktionsgeschwindigkeit und keine andere ohne Verlust verkaufen. Wir wollen deshalb diese Produktionsgeschwindigkeit die optimale nennen. Die allgemeine Situation der Unternehmung, werm sie die optimale Produktionsgeschwindigkeit realisi6rt, bezeichnen wir als ihr Betriebsoptimum. Es w/s jedoch durchaus nicht richtig, anzunehmen, dab die Unternehmung stets ihr Betriebsoptimum realisieren miisse. Meistens wird sogar die Produktionsgeschwindigkeit, welche yon der Unternehmung realisiert werden mull, auf Grund der Gesetze, die wir noch ableiten werden, yon der optimalen verschieden sein. Das Betriebsoptimum ist eben nur eine durch bestimmte Eigenschaften ausgezeichnete Situation der Unternehmung. Unsere Aufgabe wird es jetzt sein, dieses Betriebsoptimum n/~her zu bestimmen. II. Welche Produktionsgeschwindigkeit ist die optimale ? ~aeh Definition diejenige, deren Kostendeckungspreis der niedrigste ist. Da der Kostendeckungspreis den Durchschnittskosten gleich ist, so ist also die optimale Produktionsgeschwindigkeit dadurch ausgezeichnet, dab sie die niedrigsten Durchschnittskosten hat. Anders ausgedriickt: die optimale Produktionsgeschwindigkeit hat als Durchschnittskosten das Minimum der Durchschnittskostenfunktion. Die Abb. 4 soll uns den hier gegebenen Tatbestand veranschaulichen. Da die Durchschnittskosten durch den Richtungstangens des Gesamtkostenfahrstrahls definiert sind, so miissen wir zur Bestimmung des Betriebsoptimus den Fahrstrahl suchen, der am flachsten ist. Dies ist offenbar der Fahrstrahl, der so beschaffen ist, dab kein Punkt der Kurve zwisehen ihm und der Mengenachse liegt. Wfirde n~mlich ein Kurvenpunkt in dem genannten Gebiet liegen, so w/~re dessert Fahrstrahl flacher. Hat die Kurve in dem Optimalpunkte P eine Tangente, so ist diese mit dem Fahrstrahl identisch. D. h. anders ausgedriickt: die Tangente des Betriebsoptimums ist dadurch ausgezeiehnet, dab sie durch den Nullpunkt geht. Das bedeutet aber:

Das Betriebsoptimum

29

(I) I m B e t r i e b s o p t i m u m s i n d die G r e n z k o s t e n u n d die D u r c h s c h n i t t s k o s t e n e i n a n d e r gleich. Diesen Satz bezeichnen wir als Fundamentalsatz des Betriebsoptimums. Er zeigt eine iiberraschende Eigenschaft des Betriebsoptimums. Dieses l~Bt sich somit auch durch den Schnittpunkt der Grenz- und der Durchschnittskostenkurve definieren. In der Abb. 4 ist 0 p die optimale Produktionsgeschwindigkeit, p P der niedrigste Kostendeckungspreis. III.

1. Eine weitere wichtige Eigenschaft des Betriebsoptimums ist die Tatsache, dab die Gesamtkostenkurve in diesem Punkte konvex nach unten ist (vgl. Abb. 4). W~re sie hier konkav nach unten, so g~be "~ I K es Fahrstrahle, die flacher w~ren, l l als der Fahrstrahl OP. Dann w~re ~ l l P nicht das Betriebsoptimum. l Wir wissen aber, dab dort, wo l l n
di koi

0r

oin

I/

. . . . -I+,

!

'0 ~ ' ~| ~ , als die weiter oben z) definierte ~M~Tgene/ne~n GrSBe b. Soweit also eine Unternehmung dem Gesetze des zuAbb. 4 nehmenden oder konstanten Ertrages unterliegt, kann sie kein Betriebsoptimum besitzen. Die relativ biUigste Produktionsgeschwindigkeit liegt somit nicht dort, wo der Kostenzuwachs am niedrigsten ist, sondern geht um ein betr~chtliches Stiick ~) fiber diesen Punkt hinaus. 2. Eine wichtige Tatsache ergibt sich, wenn man die Grenzkosten und die Durchschnittskosten fiir alle Werte yon x miteinander vergleicht. Es gilt n~mlich der Satz: (III) I s t die G e s a m t k o s t e n k u r v e r e g u l a r u n d regelmi~Big, so sind die D u r c h s c h n i t t s k o s t e n fiir alle P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t e n u n t e r h a l b der o p t i m a l e n grSBer, fiir alle P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t e n o b e r h a l b der o p t i m a l e n k l e i n e r als die G r e n z k o s t e n . 1) cf. w 1, III dieses Kapitels. ~) Dieses Stiick l~l~t sich abschiitzen. Cf. Anh. A.

30

Die Kosten in der einfachen Produktion

Dieser Satz l~I~t sich fiir die regelm~13ige Gesamtkostenkurve auf analytischem Wege streng beweisen. Plausibel wird der Satz ohne weiteres aus der Abb. 4. Alle Tangenten an die regelm~13ige Gesamtkostenkurve zwischen den Punkten A und P treffen n~mlich die Ordinatenachse in ihrem positiven Abschnitt, sind also nicht so steil wie die zugeh6rigen Fahrstrahlen. Alle Tangenten rechts yon P treffen dagegen die Ordinatenachse in ihrem negativen Abschnitt, sind also steiler als die zugeh6rigen Fahrstrahlen. Dementsprechend sind auch die Ordinaten der Grenzkostenkurve K' zwischen O und p kleiner, rechts yon p grSBer als die entsprechenden Ordinaten der Durchschnittskostenkurve K*. Dieser Satz erlaubt es uns, sobald die Gesamtkostenfunktion bekannt ist, bei jeder Produktionsgeschwindigkeit sofort zu erkennen, ob s i e kleiner oder gr5Ber als die optimale Produktionsgeschwindigkeit ist. Sind die Durchschnittskosten grSl3er als die Grenzkosten, so ist d i e Produktionsgeschwindigkeit kleiner als die optimale. Die Durchschnittskosten sind fallend. Sind die Durchschnittskosten kleiner als die Grenzkosten, so ist die Produktionsgeschwindigkeit grSl3er als die: optimale" die Durchschnittskosten sind steigend. Wir wollen hier zwei Bezeichnungen einfiihren, die Schmalenbach 1) gepr~gt hat und die zur Charakterisierung d e r Situation, in der sich die Unternehmung jeweils befindet, sehr bequem sind. Es sind Bezeichnungen, die nicht an die regelm~13ige Gesamtkostenfunktion gebunden sind, sondern allgemein verwendet werden k6nnen" Sind die Durchschnittskosten gr613er als die Grenzkosten, so wollen wir sagen" die Gesamtkosten sind degressiv; die Unternehmung befindet sich in, Kostendegression. Sind die Durchschnittskosten kleiner als die Grenzkosten, so wollen wir sagen" die Gesamtkosten sind progressiv; die Unternehmung befindet sich in Kostenprogression. Inwiefern diese Bezeichnungen hier in demselben Sinne gebraucht werden, wie bei Schmalenbach, werden wir bei sp~terer Gelegenheit~) noch zeigen. Unter Verwendung dieser Bezeichnungen lautet unser Satz" (III a) U n t e r h a l b des B e t r i e b s o p t i m u m s liegt Kostend e g r e s s i o n , o b e r h a l b K o s t e n p r o g r e s s i o n vor. Denken wir uns bei Ab~nderung der Kostenkurven die optimale Produktionsgeschwindigkeit immer gr613er, so wird auch der Bereich immer gr6Ber, welcher der Kostendegression unterliegt. Wir kSnnen unseren obigen Satz auch so formulieren" Solange das Betriebsoptimum noch nicht erreicht ist, liegt Kostendegression vor. Hieraus folgt" (IIIb) U n t e r n e h m u n g e n , fiir die d a s G e s e t z des z u n e h m e n d e n E r t r a g e s g i l t , u n t e r l i e g e n d e r K o s t e n d e g r e s s i o n . 8) Dasselbe gilt auch fiir den Fall des konstanten Ertrages. 1) S c h m a l e n b a c h , Selbstkostenrechnung, S. 32ff. ~) Siehe Anhang C. 8) Weft niimlich die ganze Kostenkurve konkav nach unten ist, also ~0---~ CX:).

Das Betriebsminimum

31

Andererseits ist es wichtig, festzustellen, dab wenn die Unternehmung fiir alle Produktionsgeschwindigkeiten dem Gesetz des abnehmenden Ertrages unterliegt, die Produktionsgeschwindigkeiten trotzdem in einem bestimmten Anfangsmtervall Kostendegression aufweisen. Dieses Intervall ist (ceteris paribus) desto grSl~er, je grS~er KI ist. Wir werden im ni~chsten Paragraphen sehen, dai~ bei den bier angenommenen Voraussetzungen p nur dann mit dem Nullpunkt zusammenf~llt, wenn die konstanten Kosten den Wert 0 haben. w 3. Das Betriebsminimum.

Uns soll jetzt ein anderes Problem besch~ftigen, das mit dem vorhergehenden grolite ~hnlichkeiten aufweist. Oort gingen wir aus vom Problem, den niedrigsten Kostendeckungspreis und die zugehSrige Produktionsgeschwindigkeit zu bestimmen. Hier fragen wir uns" Welches ist der niedrigste Preis, zu welchem die Unternehmung fiberhaupt noch produzieren kSnnte, ohne einen grSl~eren Verlust zu erleiden, als wenn sie (ffir kurze Zeit) die Produktion aufgeben wiirde ? Dieser niedrigste Preis f~llt durchaus nicht mit dem niedrigsten Kostendeckungspreis zusammen. Dies zeigt folgende Uberlegung" Die konstanten Kosten sind der Betrag, den die Unternehmung ureter allen Umst~nden, also auch wenn der Betrieb stflliegt, tragen mul~. Der grSl~te Verlust, den die Unternehmung bei laufender Produktion erleiden kann, ohne ungfinstiger dazustehen, als wenn sie stilliegt, ist demnach den konstanten Kosten gleich. Der Preis, den wir hier suchen, braucht deshalb nur die variablen Kosten zu decken. Er ist also den durchschnittlichen variablen Kosten gleich; und da wir den niedrigsten dieser Preise suchen, so ergibt sich auf Grund einer analogen Uberlegung, wie zu Anfang des vorigen Paragraphen, dal~ wir das Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten bestimmen miissen. Die Produktionsgeschwindigkeit, welche die durchschnittlichen variablen Kosten zu einem Minimum macht, bezeichnen wir als die minimale; die entsprechende Situation der Unternehmung nen~en wir ,,Betriebsminimum". Das Betriebsminimum stimmt mit dem Betriebsoptimum iiberein, wenn man die konstanten Kosten gleich Null setzt. Es ergeben sich aus dieser Feststellung S~tze, die in genau derselben Weise abzuleiten sind, wie die entsprechenden S~tze fiir das Betriebsoptimum. Graphisch ergibt sich das Betriebsminimum, indem wir den flachsten Strahl konstruieren, der vom Punkte A nach einem Kurvenpunkte geht; wenn wir also vom Punkte A aus die Tangente an die Gesamtkostenkurve legen. Wir bezeichnen den Kurvenpunkt des Betriebsminimums mit Q und seine Abszisse mit q. Abb. 4 zeigt, dal~ sich die Eigenschaften yon Q yon den Eigenschaften yon P nur in den Teilen unterscheiden, die von den konstanten Kosten abh~ngig sind. Die geometrische Situation ergibt sich aus der Analogie zum Betriebsoptimum auf Grund der Abb. 4 yon selbst.

32

Die Kosten in der einfachen Produktion

So erhalten wir zun~chst den Fundamentalsatz des Betriebsminimums" (IV) I r a B e t r i e b s m i n i m u m s i n d die G r e n z k o s t e n u n d d i e durchschnittlichen v a r i a b l e n K o s t e n e i n a n d e r g l e i c h . 1) Somit ergibt sich die Konstruktion der minimalen Produktionsgeschwindigkeit als Abszisse des Schnittpunktes Q~ - - Q ' der Kurven der durchschnittlichen variablen Kosten und der Grenzkosten. Ferner ist leicht einzusehen, dab der P u n k t Q ebenso wie der P u n k t P auf dem konvexen Ast der regul~ren Gesamtkostenkurve, und zwar zwischen B und P liegt (vgl. weiter unten Satz VIII). (V) A u c h fiir d a s B e t r i e b s m i n i m u m gilt also das Gesetz des abnehmenden Ertrages. Es ist somit q ~ b. Soweit eine Unternehmung dem Gesetze des zunehmenden Ertrages unterliegt, karm sie kein Betriebsminimum besitzen. Es ist jedoch leicht einzusehen, da]3 dies, anders als fiir das Betriebsoptimum, fiir das Gesetz des konstanten Ertrages rficht immer gilt. Es gibt n~mlich Grenzf~lle, wo b und q zusammenfallen. Haben wir z. B. eine Unternehmung, die in einem Anfangsintervall dem Gesetz des konstanten Ertrages und danach dem Gesetz des abnehmenden Ertrages unterliegt~), so kann jeder P u n k t zwischen 0 und b als Betriebsminimum betrachtet werden. Derm der flachste Strahl vom Punkte A zur Gesamtkostenkurve f~llt hier mit dem ersten Kurvenabschnitt zusammen. Ein anderer Fall ergibt sich, wean die Unternehmung ffir alle Produktionsgeschwindigkeiten dem Gesetz des abnehmenden Ertrages unterliegt. Hier fallen b und q mit dem ~ullpunkt zusammen. Der Fahrstrahl von A zur Gesamtkostenkurve ist in diesem Falle desto flacher, je kiirzer er ist, je n~her also der yon ihm getroffene P u n k t der Gesamtkostenkurve zum Punkte A liegt. Dasselbe gilt yon der Tangente an diese Gesamtkostenkurve. Aus der Abb. 4 ist unmittelbar zu ersehen, dal3 die Grenzkostenkurve und die Kurve der variablen Durchschnittskosten die Ordinatenachse in ein und demselben Punk te A treffen. Diese Eigenschaft k o m m t allen regul~ren 8) Gesamtkosterffunktionen zu. Der Fahrstrahl yon A zu einem Gesamtkostenkurvenpunkt R f~llt n~mlich mit der Tangente an die 1) cf. hiezu A m o r o s o , 1. c. S. 5: Sein ,,punto di fuga" ist nichts anderes als unser Betriebsminumum, was auch aus Abb. 1 seines Aufsatzes ohne weiteres einleuchtet. Demgegeniiber verwirklicht der Tatbestand seiner Abb. 2 ( S. 7) unser ,,Optimum"; hier ist sein ,,prezzo di fuga", den er mit b ~ 2 Va c' berechnet, in Wirklichkeit unser Optimalpreis. Er widerspricht in seinen Eigenschaften der Definition, die A m o r o s o auf S. 5 seines Aufsatzes dem ,,prezzo di fuga" gibt. 2) Cf. S c h n e i d e r 1. c. (S. 22, Anm. 2). 8) Es sei an dieser Stelle noch besonders darauf aufmerksam gemacht, dal3 ,,reguliir" und ,,regelm~f~ig" in unserem Zusammenhang zwei ganz verschiedene Begriffe sind. ,,Regelm~l~ig" bedeutet: ,,dem Regelbfld entsprechend". ,,Reguliir" heil~t: mehrfach stetig differenzierbar, d.h. also ,,glatt" (ohne Ecken) fiir K, K' und K".

Das Betriebsminimum

33

Gesamtkostenkurve in R zusammen, wenn der Punkt R gegen A riickt. Wir kSnnen also sagen: (VI) J e k l e i n e r die P r o d u k t i o n s g e s e h w i n d i g k e i t ist, desto weniger unterscheiden sich ihre Grenzkosten und ihre v a r i a b l e n D u r c h s e h n i t t s k o s t e n . 1) II. Genau so wie fiir das Betriebsoptimum gilt fiir das Betriebsminimum der Satz: (VII) I s t die G e s a m t k o s t e n k u r v e r e g u l a r u n d r e g e l m ~ f l i g , so s i n d die d u r c h s e h n i t t l i c h e n v a r i a b l e n K o s t e n ffir a l l e Produktionsgeschwindigkeiten unterhalb der minimalen grSl3er, fiir alle r r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t e n oberhalb d e r m i n i m a l e n k l e i n e r als die G r e n z k o s t e n . Dieser Satz wird durch die Darstellung in Abb. 4 plausibel gemacht. Alle Tangenten an die regelm~Bige Kostenkurve zwischen den Punkten A und Q treffen n~m!ich die Ordinatenachse oberhalb von A, sind also nicht so steil, wie die Verbindungsstrahlen yon A nach den zugehSrigen Kurvenpunkten. Alle Tangenten rechts yon Q treffen dagegen die Ordinatenachse unterhalb yon A, sind also steiler als die zugehSrigen Verbindungsstrahlen yon A nach den Kurvenpunkten. Dementsprechend sind auch die Ordinaten von K' links yon Q~ kleiner und rechts yon Q~ grsBer als die zugehSrigen Ordinaten yon K~. Dieser Satz erlaubt uns festzustellen, ob eine beliebige Produktionsgeschwindigkeit grSBer oder kleiner ist als die minimale. Im ersten Falle ist K' (x) > K~ (x), im zweiten: K' (x) < K~ (x). Wir kSnnen die Bezeichnungen ,,progressiv" und ,,degressiv" auch auf die variablen Kosten beziehen. Dann gilt der Satz: (VIia) Die v a r i a b l e n K o s t e n s i n d u n t e r h a l b des Betriebsminimums degressiv, oberhalb progressiv. Wir wollen jetzt noch die Lage des Punktes q gegeniiber dem Punkte p bestimmen. Beide Punkte liegen oberhalb des Punktes b, yon welchem ab die GrenzkostenhShe steigt. Die Funktion K' (x) ist hier also monoton steigend. Fiir x -- q hat K' (x) den Wert K~ (q), fiir x p den Wert K* (p). Nun ist K~ (q) < K~ ( p ) < K* (p). Hieraus folgt" K' (q) < K' (p) und somit, da K' (x) monoton steigt" q < p. Somit liegt q zwischen b und p.~) Wir kSnnen also den Satz aussprechen" 1) Wir sehen diesen Tatbestand auch in der Abb. 1 des zitierten Aufsatzes yon A m or o s o (S. 5) verwirklieht, woraus schon ~ul~erlieh zu ersehen ist, dab es sich bei A m o r o s o dort um das Betriebsminimum handelt. Der erw~hnte Tatbestand fehlt in seiner Abb. 2 (S. 7); hier handelt es sich eben um das Betriebsoptimum. 3) cf. die Ausffihrungen zu Satz (IV). S t a c k e 1 b e r g,

Grundlagen

3

34

Die Kosten in der einfachen Produktion

(VIII) Z w i s c h e n d e m B e t r i e b s m i n i m u m u n d d e m B e t r i e b s o p t i m u m s i n d die G e s a m t k o s t e n d e g r e s s i v , die v a r i a b l e n Kosten progressiv. Denken wir uns (bei Abgnderung der Gesamtkostenfunktion) die minimale Produktionsgeschwindigkeit immer grS~er, so wird auch der Bereich immer gr6i~er, in welchem die variablen Kosten degressiv verlaufen. Hieraus folgt, genau ebenso wie beim Betriebsoptimum: (VIIb) U n t e r n e h m u n g e n , ffir die d a s G e s e t z des zun e h m e n d e n E r t r a g e s g i l t , u n t e r l i e g e n d e r D e g r e s s i o n .der variablen Kosten. Dagegen unterliegen Unternehmungen, fiir die bei allen Produktionsgeschwindigkeiten das Gesetz des abnehmenden Ertrages gilt, bei keiner Produktionsgeschwindigkeit der Degression der variablen Kosten, wie wir schon oben (Satz V, zweiter Zusatz) sahen. IV. Zusammenfassend k6nnen wir folgende Eigenschaften der regelmgi3igen Gesamtkostenfunktionen feststellen (vgl. Abb. 4). 1. Bis zum Punkt b fallen die Grenzkosten, yon hier ab steigen sie. 2. Bis zum Punkt q fallen die durchschnittlichen variablen Kosten, yon hier ab steigen sie. In q sind sie den Grenzkosten gleich, unterhalb sind sie gr6i~er, oberhalb kleiner als die Grenzkosten. Unterhalb yon q befinden sich die variablen Kosten in Degression, oberhalb in Progression. 3. Bis zum Punkt p fallen die Durchschnittskosten, von hier ab steigen sie. In p sind sie den Grenzkosten gleich, unterhalb von p sind sie grSBer, oberhalb kleiner als die Grenzkosten. Unterhalb yon p befindet sieh die Unternehmung in Kostendegression, oberhalb in Progression. 4. Die l~eihenfolge der ausgezeichneten Punkte ist: O, b, q, p; eventuell ist noch zwischen 0 und b der Punkt a einzuffigen. Zwischen a und b wfirden dann die Gesamtkosten linear verlaufen. 5. Folgendes Schema gibt uns einen Uberblick fiber das Verhalten der vier Funktionen: Gesamtkosten, Grenzkosten, durchschnittliche variable Kosten und Durchschnittskosten in den einzelnen Abschnitten der Skala der Produktionsgeschwindigkeit" Intervalle auf der Skala der Produktionsgeschwindigkeiten

Es fgllt

(O,b)

K'; K~" K*

(b,q)

K*; K*

(q,p)

K*

(p,~)

Es steigt K K; K ~ K ; K'; K ~ K ; K' ; K~*; K*

Das Betriebsminimum

35

Alle diese Beziehungen sind aus der Abb. 4 ersichtlich, wenn m a n die einzelnen K u r v e n K, K', K*, K ~ betraehtet, z)

V, Die in den letzten beiden Paragraphen durehgeffihrten Betraehtungen gelten zun~ehst im Sinne A. Marshalls nur fiir ,,kurze Zeitperioden". Marshall h a t jedoch gezeigt, 2) dab die Verh~ltnisse der langen Perioden unter denselben Gesetzen stehen, wie die der kurzen. I)er Unterschied liegt nur d a r i n , dab je l~nger die Zeitperiode ist, die wir als Bliekfeld unserer Betraehtung w~hlen, ein desto geringerer Anteil der Gesamtkosten als konstant zu bezeichnen ist. Diesen Saehverhalt h a t A. Marshall ausffihrlich im fiinften Buehe seines Hauptwerkes dargelegt. Deshalb glauben wir, hier auf eine Darstellung verzichten zu diirfen, und unmittelbar zu Folgerungen fibergehen zu k6nnen, die sieh im R a h m e n unserer Untersuehung aus der Verschiedenheit der langen und kurzen Zeitperioden ergeben. Diese kurzen und langen Zeitperioden im Sinne und in der Verwendung A. Marshalls wollen wir im folgenden als ,,Marshallsehe Zeitperioden" bezeiehnen. Mit Hilfe der uns jetzt zu Gebote stehenden Terminologie k6nnen wir die je naeh der L~nge der Marshallschen Zeitperiode versehiedene Erscheinungsform der Unternehmung folgendermal3en formulieren: (IX) J e l ~ n g e r d i e 1VIarshallsche Z e i t p e r i o d e ist, desto n~her rficken das Betriebsminimum und das Betriebsoptimum aneinander. z) Merkwfirdigerweise besteht in der Definition der so oft verwendeten Begriffe ,,zunehmender E r t r a g " und ,,abnehmender Ertrag" zwischen den einzelnen Schriftstellern keine ~bereinstimmung. Ein Tefl bezeichnet mit ,,zunehmendem Ertrag" die Situation, in der die Grenzkosten abnehmen, also K " < 0 ist, mit ,,abnehmendem Ertrag" die entgegengesetzte Situation (K" > 0). Zu diesen gehSren z. B.: R i c a r d o (,,Grunds~tze", Waentigsche..Ausgabe, Jena 1921, S. 52ff.), J e v o n s (,,Die Theorie der politischen Okonomie", Waentigsche Ausgabe, Jena 1924, S. 198ff.), M a r s h a l l (1. c. S. 188--209), P a r e t o (,,Cours..." II, Lausanne 1897, pag. 102 ff. ), C a s s e 1 (,,Theoretische SozialSkonomie", 4. Aufl., S. 252 ff. ), B r i n k m a n n (1. c. ). Auch wir haben uns dieser Terminologie angeschlossen. Demgegenfiber verwenden andere Autoren die Bezeichnungen ,,zunehmender Ertrag" synonym mit ,,degressive Kosten" und ,,abnehmender Ertrag" mit ,,progressive Kosten". So z. B.: B a r o n e (1. c., w 10/11) und B o w l e y (1. c. S. 33 ff.). Dieser zweite Begriff knfipft also an das Fallen bzw. Steigen der Durchschnittskosten an (u. U. auch der durchschnittlichen variablen Kosten). Der Unterschied ergibt sich ohne weiteres aus unseren Ausffihrungen. Bereits E d g e w o r t h hat ihn ausffihrlich behandelt (,,The laws of increasing and diminishing returns", P a p e r s . . . I , pag. 61ft.). Eine ganz analoge Betrachtung bringt P i g o u (,,The laws of diminishing and increasing cost", Economic journal, Vol. 37, 1927, pag. 188ff.). Diese unterschiedliche Begriffsbildung ist genau zu beachten, da sich aus ihr zahlreiche Mil3verst~ndnisse ergeben kSnnen. 3) A. M a r s h a l l , 1. c. Buch V. 3*

36

Die Kosten in der einfachen Produktion

Dieser Satz ist folgendermaBen einzusehen: Je l~nger die Marshallsche Zeitperiode ist, desto n~her rtickt das Betriebsoptimum nach dem Punkt hin, an dem die relativ bflligste Produktion yon allen iiberhaupt in dem betreffenden Produktionszweig vorhandenen ProduktionsmOglichkeiten liegt. Dasselbe gilt aber auch vom Betriebsminimum. Denn je l~nger die 1Karshallsche Zeitperiode ist, einen desto geringeren Anteil haben die konstanten Kosten an den Gesamtkosten, desto weniger unterscheidet sich also das Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten yon dem Minimum der Durchschnittskosten. Da aber diese beiden Werte zugleich Werte der Grenzkostenfunktion sind, und zwar in dem Abschnitt, wo sie bereits monoton steigt, so bedeutet das N~herrticken dieser Werte, dab auch ihre Abszissen, also die zugehSrigen Produktionsgeschwindigkeiten einander n~herriieken, w 4. Das Angebot der Unternehmung nach erwerbswirtschaftlichem Prinzip.

In den drei ersten Paragraphen dieses Kapitels haben wir die Unternehmung in bezug auf die Gestaltung ihrer Kosten beschrieben, Wir betrachteten dort die Unternehmung als nachfragendes und produzierendes, nicht als anbietendes Glied der Volkswirtschaft. Unsere S~tze ergaben sich aus dem Begriff der Kosten, dem Prinzip der Knappheit und dem 5konomischen Prinzip. So konnten wir feststellen, in weleher Situation sich eine Unternehmung bei gegebenem Produktionsniveau befindet. Wir haben uns jedoch nicht mit der Frage befaBt, wie sich dieses Produktionsniveau ergibt. Um dieses zu bestimmen, miissen wir die Unternehmung als anbietend .betrachten. Und zwar miissen wir bier zwei weitere Prinzipien oder vielmehr Gruppen yon Prinzipien heranziehen" wir miissen das Motiv der Produktion und ihre ~arktposition feststellen. In diesem Paragraphen setzen wir, wie schon die l)berschrift zeigt, als motivierendes Prinzip fiir die Unternehmung das erwerbswirtschaftliche Prinzip. Im n~chsten Paragraphen wird die Unternehmung unter der Geltung des Bedarfsdeckungsprinzips betrachtet. Io

1. Das erwerbswirtschaftliche Prinzip hatten wir definiert als das Streben, durch die Produktion den hSchstmSglichen Gewinn zu erzielen. Wir verstehen unter Gewinn die Differenz zwischen Ertrag und Gesamtkosten, wobei der Ertrag 1) der ErlSs der Unternehmung bei Verkauf ihrer in der Zeiteinheit hergestellten Produkte ist. Der Ertrag ist also das Produkt aus Preis und Produktionsgeschwindigkeit, soweit die hiebei erzeugten Gfiter ganz abgesetzt werden. Wir wollen im folgenden annehmen, dab die produzierte und die abgesetzte Menge stets identisch sind. Das diirfen wir, und zwar aus folgendem Grunde" Was wir untersuchen wollen, i~t die Bestimmung der Produktion durch die iVIarktlage. Diese Bestimmung vollzieht sich aber nicht unmittelbar, sondern dutch 1) cf. auch Kap. 1, w2, III.

Das Angebot der Unternehmung nach erwerbswirtschaftlichem Prinzip

37

das BewuBtsein des Unternehmers. Und zwar ist fiir die Produktion nicht die Marktlage selbst, sondern die Vorstellung, die sich der Unternehmer yon der Marktlage macht, maBgebend. Dann aber ist die Annahme plausibel, dal~ der Unternehmer stets so viel produziert, wie er glaubt, absetzen zu kSnnen. Wir wollen fiir den Ertrag das Symbol E einffihren. Wir haben dann laut Definition des Begriffes ErtragE--x.P

Der Ertrag ist also eine FunJktion yon x und ferrmr eine Funktion der GrSl~en, deren Funktion P ist. Auf alle F~lle ist also der Ertrag eine Funktion der Produktionsgeschwindigkeit. Er h~ngt natiirlich auch yon unz~hligen anderen GrSBen ab. Aber das braucht uns hier nicht n~her zu besch~ftigen. Urns interessiert hier nur die 6konomische Abh~ngigkeit des Ertrages yon solchen GrSBen, die yore Wfllen des Unternehmers abh~ngen. I-Iier kommt aber nur die Produktionsgeschwindigkeit in Frage. Es kann zwar (ira Falle eines Monopols) auch der Preis yore Wfllen des Unternehmers abh~ngig sein. Aber der Unternehmer kann Produktionsgeschwindigkeit und Preis nicht unabh~ngig voneinander bestimmen. Zu einem gew~hlten Preis kann er nur eine bestimmte ~Ienge absetzen oder umgekehrt: eine zuerst gew~hlte Menge kann der Unternehmer nut zu einem bestimmten, nicht mehr yon seiner Willkfir abh~ngigen Preis absetzen. Mit anderen Worten: Der Unternehmer kann auf 5konomischem Wege den Ertrag nur dutch die Produktionsgeschwindigkeit beeinflussen. Wir haben also den Ertrag als Funktion der Produktionsgeschwindigkeit aufzufassen. 1) Bezfiglich aller fibrigen, auBerhalb der Unternehmung stehenden GrSBen setzen wit stets: ,,ceteris paribus". 2. Die Grundfrage der Produktion nach erwerbswirtschaftlichem Prinzip lautet: Welche Produktionsgeschwindigkeit mul3 bei gegebener Marktsituation realisiert werden, um ein Maximum an Gewinn zu erzielen ?9) Fiir den Gewinn ffihren wit das Symbol G ein. Dann gilt nach Definition" G -- E ( x ) - K (x) -~ G (x). Der Gewinn erscheint als FunCtion der Produktionsgeschwindigkeit. Jeder Produktionsgeschwindigkeit wird ein bestimmter Gewirm zugeordnet (der natfirlich auch negativ sein kann; sein absoluter Betrag ist der Verlust der Unternehmung). Wit fragen nun: Welche Produktionsgeschwindigkeit macht den Gewinn zu einem Maximum ? Die Antwort ergibt sich aus einer einfachen Uberlegung. Wit fiihren 1) Es gilt: E = E (x). ~) of. zum Folgenden vor allem C o u r n o t , Untersuchungen fiber die mathematischen Grundlagen der Theorie des Reichtums. Deutsche Ausgabe Jena 1924.

38

Die Kosten in der einfachen Produktion

zun~chst fiir dio gesuehte Produktionsgeschwindigkeit, die wir als die giinstigste bezeichnen wollen, das Symbol s (supply) ein. Die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit s zeiehnet sich dadurch aus, dab jede andere Produktionsgesehwindigkeit einen geringeren Gewirm ergibt. /Kit anderen Worten" Der Gewirm 1) steigt bei wachsender Produktionsgeschwindigkeit, bis diese den Wert s erreicht hat. Darm f~llt er. Bei wachsender Produktionsgeschwindigkeit steigen aber die Gesamtkosten K (x). Der Gewinn steigt also darm, wen~ der Ertrag starker steigt als die Gesamtkosten; er fi~llt, werm der Ertrag langsamer steigt als die Gesamtkosten. Die gfinstigste Produk.. I( tionsgeschwindigkeit s zeichnet sich dadurch aus, dab hier die Ertragssteigung und die Gesamtkostensteigung einander gleich sind. E Bezeichnen wir das MaB der Er%% tragssteigung in Analogie zu unserer % I/ //// Kostenterminologie und in Ubereinstimmung mit dem allgemeinen I I//11 Sprachgebrauch als Grenzertrag, II /L4ii" /// so erhalten wir den Fundamentalsatz des erwerbswirtschaftlichen Prinzip" It/15/1111 (X) Die G r e n z k o s t e n u n d der G r e n z e r t r a g der giinstig01/// sten Produktionsgeschwindigk e i t s i n d e i n a n d e r gleich. / Den Grenzertrag, der nichts anderes als der erste DifferentialAbb. 5 quotient der Ertragsfunktion ist, bezeichnen wir mit E' (x). Daan wird unser Fundamentalsatz durch die Gleiehung E' ( s ) - - K ' (s) wiedergegeben. Bevor wir weitergehen, wollen wir diesen Satz in der Abb. 5 graphiseh veransehauliehen. Wir w~hlen als Ertragskurve die bei Barone 2) angegebene Form. in unserem Falle verl~uft die Ertragskurve zwischen C und D oberhalb der Gesamtkostenkurve. ttier ist also der Gewirm positiv. Wir suehen nun den Punkt, an welchem er am hschsten ist. Dieser Punkt zeichnet sich, win der Fundamentalsatz besagt, dadurch aus, dab die beiden Tangenten an die Ertrags- und an die Kostenkurve fiir dieselbe Produktionsgeschwindigkeit einander parallel sind. Um ihn zu finden, fiberdecken wir die gesamte Fl~che mit Kurven, die der Ertragskurve parallel siad. 3) Die Tangenten an Punkte der Kurvenschar, die gemein84

.k"

A;'/

~

IS;;'

.

, V . ~ / i

.

..

_

1) Wenn G (x) als stetige Funktion yon x vorausgesetzt wir4 (cf. w6). 3) B a r o n e - S t a e h l e , Grundzfige, S. 175, Fig. 48. 3) Diese Kurven bilden eine Kurvenschar mit der Differenzialgleichung dy

= E' (x).dx

Das Angebot der Unternehmung naeh erwerbswirtschaftlichem Prinzip

39

same Abszissen haben, sind parallel. Eine yon diesen Kurven ist tangential zur Gesamtkostenkurve, d. h. hat mit ihr eine gemeinsame Tangente, Der Beriihrungspunkt S ist der gesuchte Punkt. Seine Abszisse s stellt die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit dar. TO ist der Reingewinn,1) T A der Rohgewinn. TO kann negativ sein, wenn n~mlich T oberhalb von 0 liegt. T A ist stets positiv, d. h. /' liegt immer unterhalb yon A. Die zum Beweis unseres Fundamentalsatzes gemachten Ausfiihrungen fiihren unmittelbar auf einen weiteren Satz: (XI) Fiir P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t e n , welche kleiner s i n d als die g i i n s t i g s t e (wenn sie vielleicht auch noch so nahe bei s liegen miissen), i s t d e r G r e n z e r t r a g grSBer als die G r e n z k o s t e n ; fiir P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g l r e i t e n , w e l c h e grSBer s i n d als die g i i n s t i g s t e (wenn sie sich auch yon 8 vielleicht um noch so wenig unterscheiden), i s t d e r G r e n z e r t r a g k l e i n e r als die G r e n z kosten. Graphisch bedeutet das (vgl. Abb. 5), dab links yore Punkte S die Ertragskurve starker und rechts davon schw~cher steigt als die Gesamtkostenkurve. Hieraus folgt, dab nur wenn es Produktionsgeschwindigkeiten gibt, fiir die der Grenzertrag die Grenzkosten iibersteigt und grSBere Produk. tionsgeschwindigkeiten, fiir die der Grenzertrag kleiner ist als die Grenzkosten, iiberhaupt die Realisierung einer bestimmten Produktionsgeschwindigkeit mSglich ist. Diese Bedingungen geniigen allerdings noch insofern nicht, als es stets Produktionsgeschwindigkeiten geben muG, deren variable Kosten kleiner sind als ihr Ertrag, damit iiberhaupt eine Produktion in Frage kommt; denn die Unternehmung kann niemals einen grSBeren Verlust erleiden, als ihre konstanten Kosten betragen. Um die Notwendigkeit der oben aufgestellten Bedingungen einzusehen, wollen wir untersuchen, welche Konsequenzen sich ergeben, wenn diese Bedingungen nicht effiillt sind. Es sind zwei abweichende F~lle denkbar: a) Von irgend einer Produktionsgeschwindigkeit ab sind die Grenzkosten kleiner als der Grenzertrag. Das wiirde bedeuten, dab die Ableitung des Gewinnes nach der Produktionsgeschwindigkeit N wir kSnnen diese Ableitung in Analogie zu den Grenzkosten und dem Grenzertrag als Grenzgewinn bezeiehnen N fiir geniigend groBe Produktionsgeschwindigkeiten stets positiv sein wiirde. ]:)as wiirde aber welter bedeuten, dab der Gewinn fiir diese grSBeren Produktionsgeschwindigkeiten monoton steigen wiirde. Um also den hSehsten Gewinn zu erzielen, miiBte die Unternehmung ihre Produktionsgeschwindigkeit ad infinitum steigern, ohne jedoch zum Ziele zu gelangen. Dieser Zustand, in welehem dio 1) Zu beachten ist, dal~ TO der negative Weft yon O T ist.

40

Die Kosten in der einfachen Produktion

Unternehmung ,,unendlich" viel produzieren miiBte, ist offenbar undenkbar. Er wiirde die Aufhebung des Prinzips der Knappheit bedeuten. Hieraus ergibt sich ein wichtiger Satz(XII) E i n e S i t u a t i o n ist u n m 6 g l i c h , in der die Grenzk o s t e n fiir alle P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t e n , d i e eine bestimmte Produktionsge'schwindigkeit iibersteigen, kleiner sind als der G r e n z e r t r a g . b) Der zweite Fall ist der, dab die Grenzkosten fiir alle Produktionsgeschwindigkeiten grOBer sind als der Grenzertrag. Hier wiirde der Ertrag stets kleiner als die variablen Kosten sein. Die Unternehmung wiirde den geringsten Verlust erleiden, werm sie stillliegen wiirde. Wir erhalten so den Satz: (XIII) Sind die G r e n z k o s t e n fiir alle P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t e n grSBer als der G r e n z e r t r a g , so k a n n fiberh a u p t keine P r o d u k t i o n stattfinden. Wir sehen also, dab die genannten Bedingungen wirklich erfiillt sein mfissen, damit bei Geltung des erwerbswirtschaftlichen Prinzips eine Produktion iiberhaupt zustande kommen kann. Ganz allgemein kann man das Ergebnis unserer Untersuchung in folgendem Satze zusammenfassen: (XIV) D a m i t i i b e r h a u p t eine P r o d u k t i o n s t a t t f i n d e n k a n n , m u g es eine yon Null v e r s c h i e d e n e P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t g e b e n , die den G e w i n n zu e i n e m ~ a x i m u m m a c h t , w e l c h e s die obere G r e n z e der G e w i n n f u n k t i o n ist. Weicht der Unternehmer yon der Produktionsgeschwindigkeit, deren Grenzertrag und Grenzkosten gleich sind, nach unten ab, so gelangt er in eine Situation, in welcher der Ertragszuwachs grOBer ist als der Kostenzuwachs. Dadurch entgeht ihm ein Gewinn. Weicht er yon der genarmten Produktionsgeschwindigkeit nach oben ab, so gelangt er in eine Situation, in welcher der Kostenzuwachs gr6Ber ist als der Ertragszuwachs. Dadurch entsteht ihm ein Verlust. 4. Noch eine wichtige Konsequenz des Fundamentalsatzes miissen wir feststellen. Durch die Gleichung E' (s)-- K' (s) ergibt sich die Bestimmung yon s. Diese Gleichung ist aber ganz unabh&ngig yon der H6he der konstanten Kosten. I)iese k6nnen jeden beliebigen Wert haben, ohne dab sich s &ndert. Denn da die konstanten Kosten fiir alle Produktionsgeschwindigkeiten denselben Wert haben, ist die Steigung der Gesamtkosten identisch mit der Steigung der variablen Kosten. Wit erhalten den Satz: (XV) Die k o n s t a n t e n K o s t e n sind fiir die B e s t i m m u n g der g i i n s t i g s t e n P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t s i r r e l e v a n t . (Sie beeinflussen nut die GrOBe des Gewinns fiir die Produktionsgeschwindigkeit s.) Wegen der Gleichung K' (x)-- K'II (x) ist unsere l~aximumaufgabe identisch mit der Bestimmung der gr6Bten Differenz zwischen dem Ertrag

Das Angebot der Unternehmung nach erwerbswirtschaftlichem Prinzip

41

and den variablen Kosten. Es ist also dasselbe, ob man nach der Produktionsgeschwindigkeit fragt, welche den Reingewinn, oder nach der, welche den Rohgewinn zu einem Maximum macht. Hierbei wollen wir unter Rohgewinn die Differenz zwischen Ertrag und variablen Kosten verstehen; im Rohgewinn sind also die gesamten konstanten Kosten enthalten. 1) Hieraus folgt auch, dab wenn wir die Verteilung des Rohgewinnes auf Reingewinn und konstante Kosten nach Belieben vornehmen, sich nichts an der Bestimmung der I E It" giinstigsten Produktionsgeschwindigkeit ~ndert. Auch das Betriebsminimum bleibt yon einer solchen willkiirlichen Festsetzung u n b e e i n fluBt, Nur das Betriebsoptimum h~ngt auch yon den konstanten Kosten ab. II. 1. Wir betrachten jetzt den Fall K F der freien Konkurrenz. Diese haben wir definiert ~) als eine MarktsituaP tion, in welcher der Preis als vom A i. iI Angebot, also von der Produktionsgeschwindigkeit der Unternehmung, unabh~ngig betrachtet werden kann. Hier ist also der Ertrag das Produkt I/ Men,.qeneinheiten aus der beliebig ver~nderlichen Pro- ' 0 / duktionsgeschwindigkeit und dem / / konstanten Preis. Er ist eine lineare / Funktion der Produktionsgeschwindigkeit und ist dieser proportional. Abb. 6 Der Proportionaliti~tsfaktor ist der Preis. Der Grenzertrag ist n~chts anderes, als der Marktpreis. 3) Es ergibt sich somit auf Grund des Fundamentalsatzes des erwerbswirtschaftlichen Pr'mzips fiir das konkurrenzwirtschaftliche Angebot der Satz: (XVI) I n d e r K o n k u r r e n z w i r t s c h a f t i s t die g i i n s t i g s t e Produktionsgeschwindigkeit diejenige, deren Grenzkosten d e m P r e i s e g l e i c h sind. 4) 1) cf. A. M a r s h a l l , 1. c. Buch V. 3) cf. Kap. 1, w2, IV, 1. 8) Es ist E ( x ) = x . P , somit E ' ( x ) - - P . ~) Dieser Satz drfickt eine altbekannte Wahrheit aus; cf. z. B. Courno~, Untersuchungen fiber die mathematischen Grundlagen der Theorie des Reichrums", Jena 1924, S. 48 (Kap. 8, zweite Gleichung), der bier nur etwas als Formel ausdrfickt, was bereits R i c a r d o gelehrt hat. cf. auch: A m o r o s o , l. c., S. 9, Ricardosche Gleichgewichtsformel.

42

Die Kosten in der einfachen Produktion

Wir wollen diese Situation graphisch veranschaulichen, zumal die Konstruktion der giinstigsten Produktionsgeschwindigkeit fiir die freie Konkurrenz besonders ein/ach ist. Da der Preis konstant ist, stellt sich die Ertragskurve als eine Gerade durch den Ursprung mit dem I~ichtungstangens P dar. Der giinstigste Punkt S der Gesamtkostenkurve wird bestimmt, indem man an die Gesamtkostenkurve eine zu E parallele Tangente zieht. Seine Abszisse ergibt sich auch durch den Schnittpunkt der Grenzkostenkurve mit der Preiskurve, die einfach eine Parallele zur Abszissenachse im Abstand P ist. Der Satz XI modifiziert sich fiir die freie Konkurrenz wie folgt: Da der Grenzertrag in unserem Falle der Steigung der Tangente an die Gesamtkostenkurve im Punkte S ist, k6rmen wir sagen, dab die Gesamtkostenkurve links vom Punkte S schw~cher und rechts von ibm starker steigt als die Tangente. Das ist aber nur m6glich, werm die Gesamtkostenkurve in der Umgebung des Punktes S konvex nach unten verl~uft, ,nit anderen Worten, werm sie hier dem Gesetz des abnehmenden Ertrages unterliegt. S ist also stets grSBer als b. Wir wollen noch untersuchen, welche Konsequenzen sich ergeben, wenn die Bedingung des abnehmenden Ertrages nicht erfiillt ist, wenn also die Produktion dem Gesetz des zunehmenden oder des konstanten Ertrages unterliegt. a) Unterliegt die Produktion dem Gesetz des zunehmenden Ertrages, so sind zwei MSglichkeiten vorhanden: a) Entweder sind die Grenzkosten yon irgend einer Produktionsgeschwindigkeit ab kleiner als der Preis; dann liegen die Voraussetzungen des Satzes X I I vor. Eine solche Situation ist also unmSglich. fl) Oder die Grenzkosten sind fiir alle Produktionsgeschwindigkeiten grSBer als der Preis; dana sind die Voraussetzungen des Satzes X I I I gegeben, d. h. eine Produktion kann in diesem Falle iiberhaupt nicht stattfinden. Haben wir einmal eine erwerbswirtschaftliche Konkurrenzwirtschaft vorausgesetzt, so diirfen wir die Annahme, dab die Produktion dem Gesetz des zunehmenden Ertrages unterliegt, nicht mehr machen und umgekehrt. b) Ganz ebenso liegen die Dinge in bezug auf das Gesetz des konstanten Ertrages. Hier sind die Grenzkosten entweder kleiner oder grSBer als der Preis. Im ersten Falle liegen ebenfaHs die Voraussetzungen yon Satz XII, im zweiten yon Satz X I I I vor. Und da stets ein Preis mSglicb ist, der die (konstanten) Grenzkosten iibersteigt, so kSnnen wir auch hier sagen; die Voraussetzungen: ,,erwerbswirtschaftlich eingestellte Konkurrenzwirtschaft" und ,,Gesetz des konstanten Ertrages" sind miteinander unvereinbar. Wir erhalten so folgenden wichtigen Satz" (XVII) E i n e e r w e r b s w i r t s c h a f t l i c h eingestellte Konkurrenzwirtschaft u n d eine P r o d u k t i o n , die d e m G e s e t z des z u n e h m e n d e n oder konstanten Ertrages unterliegt, sind miteinander unvereinbar. Dieser Satz gilt rein formal, unabhs yon der Ls der Marshallschen Zeitperiode. Dutch diese Tatsache wird seine Be-

Das Angebot der Unternehmung nach erwerbswirtschaftlichem Prinzip

43

deutung erhSht. Denn das Gesetz des zunehmenden Ertrages wird wohl nur in besonderen F~llen fiir eine E i n z e l u n t e r n e h m u n g - unter Voraussetzung unver~nderter indirekter P r o d u k t i o n s m i t t e l - gelten. 1) Es gewinnt aber an Bedeutung, werm man das Blickfeld fiber eine lange NIarshallsche Zeitperiode ausdehnt und die Produktion unter der Voraussetzung betraehtet, dab alle Produktionsmittel variabel sind, wenn man also alle f i b e r h a u p t m S g l i c h e n Aufwandsniveaus miteinander vergleicht. Wit kSnnen die eben angesteUte Betraehtung dureh einen weiteren Satz erg~nzen" (XVIII) Soll eine U n t e r n e h m u n g bei j e d e m P r e i s s t a n d in der e r w e r b s w i r t s c h a f t l i c h eingestellten Konkurrenzwirtsehaft funktionieren, so m f i s s e n i h r e G r e n z k o s t e n m i t wachsender Produktionsgeschwindigkeit fiber alle G r e n z e n zunehmen. W~re letzteres nicht der Fall, g~be es also ffir die Grenzkosten eine obere Grenze, so wiirde im Falle eines Preises, der diese obere Grenze iibersteigt, die unmSgliehe Situation des Satzes X I I entstehen. Aus diesen S~tzen ergibt sich folgende Einsicht. Eine erwerbswirtsehaftlich eingestellte Konkurrenzwirtschaft kann latente ProduktionsmSglichkeiten besitzen, die dem Gesetz des zunehmenden oder konstanten Ertrages unterliegen und nur deshalb latent sind, weft die zugehSrigen Grenzkostenfunktionen ffir alle Produktionsgeschwindigkeiten den Preis iibersteigen. Steigt aber der Preis, so kann ein Zustand eintreten, in dem die latenten ProduktionsmSgliehkeiten nicht mehr latent bleiben kSnnen. Ffir diese ProduktionsmOgliehkeiten muB dann die konkurrenzwirtschaftliche Organisationsform der sozialen Produktion einer anderen Organisationsform weichen. Dasselbe gilt mutandis mutatis ffir ProduktionsmSglichkeiten, die zwar dem Gesetz des abnehmenden Ertrages unterliegen, deren Grenzkosten aber eine obere Grenze besitzen, und diese yore Preise fiberschritten wird. 3. Uber die Lage der gfinstigsten Produktionsgeschwindigkeit k6nnen wir eine weiteIe Aussage machen. Wir wissen, dal~ der Preis grSBer sein muB als die durchsehnittlichen variablen Kosten im Betriebsminimum, wenn eine Produktion fiberhaupt in Frage kommen soll. Also sind aueh die Grenzkosten der gfinstigsten Produktionsgeschwindigkeit grSl~er als die Grenzkosten der minimalen Produktionsgeschwindigkeit. Da beide Produktionsgeschwindigkeiten zu d e m anst~igenden Ast der Grenz. kostenfunktion gehSren, so folgt hieraus, dab die giinstigste Produktionsgesehwindigkeit stets grSBer sein mul3 als die minimale, wenn fiberhaupt produziert werden soll. Wir erhalten so den Satz" (XIX) W e n n in d e r K o n k u r r e n z w i r t s e h a f t eine e r w e r b s w i r t s c h a f t l i c h e U n t e r n e h m u n g f i b e r h a u p t p r o d u z i e r e n soll, so muB d e r P r e i s grSBer sein als d i e d u r c h s e h n i t t l i e h e n 1) cf. B ticher, Das Gesetz der Massenproduktion in: Die Entstehung der Volkswirtschaf~. 2. Sammlung. Tiibingen 1921, S. 95 und 98 (Beispiel fiir das Gesetz des zunehmenden Ertrages).

44

Die Kosten in der einfachen Produktion

variablen K o s t e n im B e t r i e b s m i n i m u m ; die r e a l i s i e r t e g i i n s t i g s t e P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t ist d a n n grSBer als die m i n i m a l e . Diese b i l d e t die U n t e r g r e n z e a l l e r m S g l i c h e n gfinstigsten Produktionsgeschwindigkeiten. Dieser Satz 1/~l~t sich auch kiirzer formulieren, wie folgt: (XIXa) Die g i i n s t i g s t e P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t w e i s t in der K o n k u r r e n z w i r t s c h a f t progressive variable Kosten auf. Diese Tatsache ist auch aus Abb. 6 ersichtlich. Hier stellt TO den Reingewinn, 1) T A den Rohgewinn dar. T 0 kann auch negativ sein. Dies ist dann der Fall, wenn T oberhalb yore lqullpunkt liegt. T A ist stets positiv. Somit liegt T stets unterhalb yon A. Wir wissen aber, dab Tangenten an die Gesamtkostenkurve, welche die Ordinatenachse unterhalb des Punktes A treffen, zu Punkten gehSren, die rechts yore Betriebsminimum Q liegen. Da sich die variablen Kosten desto weniger yon den Gesamtkosten unterscheiden, je 1/~nger die Marshallsche Zeitperiode ist, so sehen wir, dab die Untergrenze der giinstigsten Produktionsgeschwindigkeiten, auf die Dauer gesehen, immer n/~her an das Betriebsoptimum heranrfickt. (Die Abhiingigkeit des Inhaltes unserer formalen S~tze yon der Marshallschen Zeitperiode muB immer wieder hervorgehoben und beachtet werden.) Innerhalb der bier angefiihrten Grenzen ist die Lage der giinstigsten Produktionsgeschwindigkeit verschieden; sie ist abh~ngig yore Preis. Ist der Preis kleiner als die Durschschnittskosten im Betriebsoptimum, so liegt die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit zwischen dem Betriebsminimum und dem Betriebsoptimum. Der Reingewinn ist negativ. Die Unternehmung erleidet hier einen Verlust. Ein Teil der konstanten Kosten bleibt ungedeckt. Ist der Preis gr613er als die Durchschnittskosten im Betriebsminimum, so liegt die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit jenseits des Betriebsoptimums. Der Reingewinn ist positiv. Die Unternehmung hat einen Reingewinn, der die konstanten Kosten iibersteigt. Die giinstigste Produktionsgesckwindigkeit fMlt dann, aber auch nur dann mit dem Betriebsoptimum zusammen, wenn der Preis dem Minimum der Durchschnittskosten gleich ist. Der Reingewinn ist hier Null. Der Rohgewinn ist den konstanten Kosten gleich. Diese Oberlegung zeigt uns, dab wir die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit oder das jeweilige Angebot der Unternehmung in der Zeiteinheit als Funktion des Preises betrachten k6nnen, wenn Konkurrenzwirtschaft vorliegt. Zu jedem Preis geh6rt eine bestimmte giinstigste Produktionsgeschwindigkeit s, die aus der Gleichung K' (s) -- P errechnet wird. Hat diese Gleichung mehrere Wurzeln, die auch alle der zweiten Maximumbedingung gentigen, *) so wird stets diejenige ausgewahlt, die den grSl~ten Gewinn ergibt. Es entsteht so eine eindeutige Zuordnung der giinstigsten Produktionsgeschwindigkeit s zum Preise P. Ist die Gesamt1) cf. S. 39, Anm. 1. 9) cf. Satz (XIX).

Das Angebot der Unternehmung nach erwerbswirtschaftlichem Prinzip

45

kostenkurve regelmi~gig, so ist diese Funktion identiseh mit der inversen Funktion yon K' (x) ftir alle x > q. Somit haben wir eine neue Funktion erhalten" s--

s(P).

Diese Funktion ist die Angebotsfunktion gibt an, welehe Produktionsgesehwindigkeit gegebenem Preis realisieren und auf den Markt Funktion zur Grenzkostenfunktion ist sie Iiir Monoton fallende oder konstante Angebotsfunktionen sind auf Grund des Satzes X V I I mit der erwerbswirtsehaftlich eingestellten Konkurrenzwirtsehaft un- -~ vereinbar. Auch der Satz X V I I I ist in diesem Zusammenhang zu beaehten.

III.

F,

d e r Unternehmung. Sie die Unternehmung bei bringen wird. Als inverse x > q monoton steigend.

c

c,

p

1. Zum Teil ganz andere Ergebnisse erhalten wir, wenn wir annehmen, dab die Unter- . . . . . . nehmung auf ihrem NIarkte eine 0 D D, Adozqeneinheiten NIonopolstellung besitzt. Hier ist dee Preis des yon der UnterAbb. 7 nehmung produzierten und angebotenen Gutes eine monoton fallende Funktion der Produktionsgesehwindigkeit. 1) Preis und Grenzertrag sind hier versehieden. Die geometrisehe Darstellung der Situation ist etwas verwiekelt. Deslaalb miissen wit in der Abb. 7 eine Voruntersuehung anstellen. C C 1 P ist die Naehfrage-, d. h. Preiskurve. Der Ertrag einer beliebigen Produktionsgesehwindigkeit O D ist ( O D . D C ) , also der Fliieheninhalt des Reehteekes O D C F . Eine beliebige andere (grSl3ere) Produktionsgesehwindigkeit OD1 hat den E~trag OD1 C1 F1. Der Ertragszuwaehs ist OD 1 C 1 F 1 --ODCF

= DD 1 C 1 H ~ F1HCF.

Wir konstruieren jetzt das Reehteek GG1 C 1 H, das dem Rechteek

F 1 H C F inhaltsgleich ist. Das erreichen wir, indem wir F1G parallel zu C C 1 ziehen. Dann sind n~mlich die beiden Dreieeke H C 1 C und H F 1 G ~hnlieh,

weil sie gleiehe Winkel haben. Somit gilt die Proportion" H C 1 9H C - H F 1 9H G oder die Produktengleiehung" _

H C . H F 1 --- H C 1 . H G .

1) Kap. 1, w

IV, 2.

46

Die Kosten in der einfachen Produktion

Es ist somit das Rechteck DD1GxG der Ertragszuwachs, wenn die Produktionsgeschwindigkeit OD um DD 1 anwi~chst. Das MaB dieses Ertragszuwachses ist der Fli~cheninhalt des Rechteckes DD1G1G dividiert durch den Zuwachs der Produktionsgeschwindigkeit, also durch DDI. Es ist aber DDx" DG = DG. Den Grenzertrag der DD~ Produktionsgeschwindigkeit OD erhalten wh, indem wir DD 1 gegen Null, d. h. also D 1 gegen D konvergieren lassen. Dann geht die Sekante CC 1 in die Tangente an die Preiskurve im Punkte C fiber. F x f~llt mit F zusammen. Die Konstruktion des Grenzil ertrages ergibt sich dann entsprechend. Abb. 8 gibt diese Konstruktion an" y /TG ist parallel zu C T; DG ist der Grenzertrag der Produktionsgeschwindigkeit OD. Indem man fiir jeden Punkt der Abszissenachse diese Konstruktion dmchffihrt, erhi~lt man punktweise die Grenzertragskurve, die zur Preiskurve C P gehSrt. Die Grenzertragskurve verli~uft ganz unterhalb der Preiskurve. Denn die Preiskurve , x ist monoton fallend. Dasselbe gilt g D T also auch yon i h r e n Tangenten. Abb. 8 Folglich liegt jeder Punkt G unterhalb des zugehSrigen Punktes C. Bezeichnen wit den Tangens des spitzen Winkels zwischen der Tangenre an die Preiskurve und der Abszissenachse als das Preisgef~lle, so kSn~en wit ffir die GrSBe GC einen bestimmten Ausdruck gewinnen. Es ist OD = FC C T O - - .~. GFC GC tg (<% G.FC) . . . . . . . FC G C - - F C . tg (<% GFC) -- O D . tg (<): CTO).

Die Grenzertragskurve verl~uft also um das Produkt aus Produktionsgeschwindigkeit und Preisgef~lle unterhalb der Preiskurve. Wir kSnnen fiir GC noch einen anderen Ausdruck gewinnen. Wir bezeichnen den TC Quotienten ~ wie fiblichX) als Elastizit~t der Nachfrage im Punkte C. CU Nun sind die Dreiecke T C D und .FGC i~hnlich, da ihre Winkel gleich sind. 1) cf. D a l t o n , The inequality of incomes, S. 192ff.

Das Angebot der Unternehmung nach erwerbswirtschaftlichem Prinzip

47

Folglich gilt wegen der Proportion G C : G F - - D C : T C und wegen G F --- C U die Formel" TC GC--

DC :-CU

d. h. die Grenzertragskurve ist um den Quotient aus Preis und Elastizit~t der l~achfrage gegeniiber der Preiskurve nach unten verschoben. 1) Diese Vorbemerkungen fiihren in Verbindung mit dem l?undamentalsatz des erwerbswirtschaftlichen Prinzips unmittelbar auf folgende drei S~tze. (XX) Die g i i n s t i g s t e P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t einer monopolisierten erwerbswirtschaftlichen Unternehmung ist diejenige, deren Grenzkosten gleich sind ihrem Preis, vermindert um das Produkt aus ihr selbst und dem Preisgefi~lle. ( X X a ) Die D i f f e r e n z z w i s c h e n d e m P r e i s u n d d e n G r e n z kosten der giinstigsten Produktionsgeschwindigkeit einer monopolisierten erwerbswirtschaftlichen Unternehmung ist gleich dem Preis dieser Produktionsgeschwindigkeit divid i e r t d u r c h die E l a s t i z i t ~ t d e r l ~ a c h f r a g e . ~) (XXI) I m F a l l e des M o n o p o l s e i n e r e r w e r b s w i r t s c h a f t l i c h o r i e n t i e r t e n P r o d u k t i o n i s t d e r r e a l i s i e r t e P r e i s s t e t s grSl3er als die G r e n z k o s t e n d e r g i i n s t i g s t e n P r o d u k t i o n s g e s c h w i n digkeit. Zu dem letztformulierten Satz sei noch einiges hinzugefiigt" Der Preis iibersteigt die Grenzkosten desto mehr, je geringer die Elastizit~t der l~achfrage ist. Ist dagegen die Elastizit~t der Nachfrage sehr groin, so ist der Preis den Grenzkosten fast gleich. Wir haben hier eine Anns an die Voraussetzungen der freien Konkurrenz. Tats~chlich kann man auch fiir den Fall der freien Konkurrenz den Preis als Funktion der Produktionsgeschwindigkeit betrachten; jeder Produktionsgeschwindigkeit wird derselbe Preis zugeordnet. Das graphische Bild dieser Funktion ist eine Parallele zur x-Achse. Eine l~achfragefunktion mit sehr hoher Elastizit~t hat einen Verlauf, der sich von der Parallelen kaum unterscheidet. Insofern l~Bt sich der Fall der freien Konkurrenz, wie wir 1) Besonders einfach ist die Konstruktion der Grenzertragskurve, wenn die Preiskurve linear ist. Dann ist n~mlich auch die Grenzertragskurve linear. Man braucht dann nur einen Punkt der Grenzertragskurve zu kon. struieren. Die Verbindungslinie dieses Punktes mit dem Schnittpunkt der Preiskurve (die hier eine Gerade ist) und der Ordinatenachse ist die gesuchte Grenzertragskurve. ~) cf. hiezu: A m o r o s o, 1. c. S. 10, der diesen Satz in einer Formel bringt:

wo p den Preis (prezzo), m die Grenzkosten (costo marginale) und s die Elastizitiit der Nachfrage darstellen.

48

Die Kosten in der einfaehen Produktion

ihn definiert haben, als Grenzfall des Monopols auffassen, wenn die Elastizit~t der l~achfrage fiber alle Grenzen w~chst. Die reale freie Konkurrenz stellt in bezug auf die einzelne Unternehmung nicht diesen Grenzfall (bei dem man die Elastizit~t formal als unendlich grob bezeichnen kann), sondern den Nfonopolfall mit einer Nachfrage, deren Elastizit~t sehr grob ist, dar; die Betrachtung daft jedoch in der Form der freien Konkurrenz in unserem Sinne ohne grobe Fehler gefiihrt werden. Man mub nur stets im Auge behalten, dab es sich um einen Grenzfall handelt, tier also die Realit~t nur ann~hernd wiedergibt. 2. Wir haben oben festgestellt, dab eine konkurrenzwirtschaftlich organisierte, erwerbswirtschaftlich eingestellte Produktion nicht immer funktioniert, weil eine giinstigste Produktionsgeschwindigkeit, die den Gewinn zu einem Maximum macht und somit das zu realisierende Produktionsniveau bestimmt, unter den konkurrenzwirtschaftlichen Voraussetzungen nicht immer existiert. Wir fragen uns jetzt, ob es im Falle des Monopols stets eine giinstigste Produktionsgeschwindigkeit gibt, ob also in diesem Falle die Produktion stets durch die vorausgesetzten regulierenden Prinzipien voll bestimmt wird. Die nachfolgende Uberlegung zeigt uns, dab diese Frage zu bejahen ist. Wir miissen, um unsere Uberlegung mit Erfolg durchfiihren zu kSnnen, eine bestimmte Eigenschaft der Nachfrage feststellen" In einer gegebenen Volkswirtschaft existiert fiir die Gesamtsumme, die fiir eine bestimmte Gutsart in der Zeiteinheit ausgegeben wird, stets eine obere Grenze. Diese Behauptung ist wohl ohne weiteres plausibel. Ihr Beweis ergibt sich aus dem Prinzip der Knappheit und aus dem Grenznutzentheorem. Wir verzichten auf den Beweis, weil er auberhalb des Rahmens dieser Arbeit liegt; die Behauptung setzen wir als Postulat fiir alle l~achfragefunktionen, die uns begegnen, wobei eine entsprechende Untersuchung zeigen wiirde, dab es andere l~achfragefunktionen auch gar nicht geben kann. Hieraus folgt, dab auch der Gewinn eine obere Grenze haben mub, weil er nach oben dureh den Ertrag beschr~nkt ist. Es gibt nun ganz gewib Produktionsgesehwindigkeiten, deren Gewinn sich yon der oberen Gewinngrenze nur so wenig unterscheidet, dab der Unterschied wirtschaftlicherweise vernachl~ssigt werden kann (z. B. 0,0001 Pfg.); jede yon diesen Produktionsgeschwindigkeiten ist eine ,,giinstigste", vorausgesetzt, dab es sich fiir die Unternehmung iiberhaupt lohnt, zu produzieren. Wir erhalten somit den wichtigen Satz" (XXII) Die m o n o p o l i s t i s c h o r g a n i s i e r t e e r w e r b s w i r t s c h a f t l i e h o r i e n t i e r t e P r o d u k t i o n f u n k t i o n i e r t stets. Dieser Satz bedeutet einen grundlegenden Untersehied gegeniiber tier Konkurrenzwirtschaft. (Vgl. Satz XVIII.) Durch diese Garantie des Funktionierens ergibt sich, dab einige Produktionszweige die Wahl zwischen der konkurrenzwirtschaftlichen und der monopolistischen Organisation haben, w~hrend andere nur auf die monopolistische Organisation angewiesen sind, sofern das erwerbswirtschaftliche Prinzip gilt.

Das Angebot der Unternehmung nach erwerbswirtschaftlichem Prinzip

49

Ein konkurrenzwirtschaftlich organisierter Produktionszweig mug also zum Monopol iibergehen, sobald sich die Produktionsbedingungen entsprechend andern. 1) Wir kSnnen auch den Weg andeuten, auf welchem eine solche Organisationswandlung vor sich geht. Tritt eine Unternehmung in einem Produktionszweig auf, die weitgehend, z. B. fiir alle Produktionsgeschwindigkeiten, die iiberhaupt zur Befriedigung der Nachffage in Frage kommen, dem Gesetz des zunehmenden Ertrages unterliegt, so verdrangt sie durch Ausweitung ihrer Produktion alle anderen Unternehmungen vom Markte und erringt so ffir sich das lV[onopol. Eine andere Form ware etwa die, da~ alle oder die meisten Unternehmungen eines Produktionszweiges durch die Entwicklung der produktiven Krafte immer weitgehender dem Gesetz des zunehmenden Ertrages unterliegen und, um sich halten zu kSnnen, in der Erkenntnis der allgemeinen Sachlage untereinander Kartellvertrage abschliel~en. IV. Wir haben uns jetzt noch mit der modifizierten Konkurrenz zu befassen, 2) also dem Fall, wo der Preis eine Konstante ist und die Absatzmenge yon den Absatzkosten abhangt, wahrend wiederum die Produktionskosten durch die Absatzmenge bestimmt werden. Das Problem, das hier entsteht, ist wieder die Feststellung der gfinstigsten Produktionsgeschwindigkeit. Wir suchen eine Produktionsgeschwindigkeit, deren Produktionskosten, vermehrt um die Absatzkosten, die erforderlich sind, um die ganze in der Zeiteinheit hergestellte Produktsmenge abzusetzen, vom Ertrag um einen maximalen Betrag, eben den grSl~tmSglichen Gewinn, iiberschritten werden. Die Gesamtkosten haben hier, wie wir bei der Definition der modifizierten Konkurrenz zeigten, die Form K (x) + C (x) -- ~ (x). Indem wir ~ (x) genau ebenso behandeln wie K (x), erhalten wir den Satz: ( X X i I I ) Die m o d i f i z i e r t e K o n k u r r e n z w i r t s c h a f t unterl i e g t g e n a u d e n s e l b e n G e s e t z e n wie die r e i n e K o n k u r r e n z w i r t s c h a f t , w e n n m a n als G e s a m t k o s t e n d e r b e t r e f f e n d e n U n t e r n e h m u n g die S u m m e d e r P r o d u k t i o n s - u n d d e r A b s a t z kosten auffal~t. 1) Es l~l~t sich zeigen, dal~ ein Zwischenstadium, also freie Konkurrenz einiger weniger Unternehmungen nicht ohne bestimmte zus~itzliche Voraus. setzungen mSglich ist. (So E d g e w o r t h und P a r e t o ; dagegen: C o u r n o t ; S c h n e i d e r , in Arch. f. Sozialwissenschaft u. Sozialpolitik, 1930; cf. Amoroso, 1. c. S. 13ff.) Das Problem ist gut und ausfiihrlich behandelt yon Kurt S t i n g , ,,Die polypolitische Preisbildung", Jahrbiicher fiir NationalSkonomie und Statistik, 1931, S. 761ff. Die darin gew~hlten Bezeichnungen dfirften wenig befriedigen. Der ,,hyperpolitischen Preisbildung" wird zu wenig Bedeutung beigemessen. S t i n g dfirfte beziiglich der ,,polypolitischen" Neigung der Anbieter zu optimistisch sein. Cf. ferner: Aldo C r o s a r a : ,,Della identit~ dei concerti astratti di monopolio..." Giornale d. E., 1930, pag. 25 if. ~) cf. Kap. 1, w IV, 3. S t a c k e 1 b e r g, G r u n d l a g e n

4

50

Die Kosten in der einfachen Produktion

Da n~mlich zwischen der abgesetzten und der produzierten Menge auf Grund unserer Voraussetzungen Identit~t bestehen soll, so hat ~ (x) formal genau die gleiche Bedeutung wie K (x) im Falle der gewShnlichen freien Konkurrenz. Da unsere S~tze alle formal sind, so ergibt sich hieraus die eben aufgestellte Behauptung. Der Fall der modifizierten Konkurrenz muBte besonders hervorgehoben werden, da es sich in der Praxis hi~ufig zeigt, dab die Betriebe anscheinend nicht bis zur giinstigsten Produktionsgeschwindigkeit gelangen, weil der Absatz fehlt. Hier mfissen eben die Absatzkosten miteinbezogen werden, wenn das Gesetz ,,Grenzkosten gleich Preis" seine Geltung behalten soll. w 5. Das Angebot der Unternehmung nach dem Bedarfsdeckungsprinzip.

Wir wollen jetzt das erwerbswirtschaftliche Prinzip durch das Bedarfsdeckungsprinzip ersetzen und zusehen, welche Konsequenzen sich aus der Zusammensetzung dieses Prinzips mit den iibrigen, unver~ndert gelassenen Pr~missen ergeben. Wir wollen also nacheinander das Wirken dieses Prinzips in der Konkurrenzwirtschaft, in der monopolistisch organisierten Wirtschaft und in der modifizierten Konkurrenzwirtschaft verfolgen, um uns dann dem besonderen Fall zuzuwenden, dal~ der Preis zun~chst unbestimmt und nur die angeforderte Menge bestimmt ist. I,

Aus der Definition des Bedarfsdeckungsprinzips ergibt sich, dal3 die nach diesem Prinzip orientierte Produktion im Falle der Konkurrenz, in dem Falle also, wo der Preis fest und die absetzbare Menge beliebig ist, im allgemeinen unbestimmt ist. Wir wissen bereits, dab ein Preis dann die Gesamtkosten einer Produktionsgeschwindigkeit deckt, wenn er den zugeh6rigen Durchschnittskosten gleich ist oder sie fibersteigt. tIieraus ergibt sich, dal~ eine Produktion fiberhaupt nicht stattfinden kann, wen~ keine Produktionsgeschwindigkeit Durchschnittskosten hat, welche kleiner als der Preis oder ihm gleich sind, dal~ aber jede Produktionsgeschwindigkeit, deren Durchschnittskosten dem Preise gleich oder kleiner als der Preis sind, nach diesem Prinzip realisierbar ist; wir ksnnen aus diesem Prinzip, so wie wires oben formuliert haben, keine Entscheidung herleiten, welche yon diesen Produktionsgeschwindigkeiten nun wirklich realisiert werden soll. Nut in dem besonderen Ausnahmefall, dab eine einzige Produktionsgeschwindigkeit nicht grSBere Durchschnittskosten hat, als der Preis betri~gt, ist die Produktion durch dieses Prinzip eindeutig bestimmt. Diese Produktionsgeschwindigkeit k6nnte offenbar nur die optimale sein. Hier wiirden Preis und Durchschnittskosten einander genau gleich sein. Die Unternehmung wiirde also auf Grund des Bedarfsdeckungsprinzips ihr Betriebsoptimum realisieren. Sonst aber k6rmte eine eindeutige Bestimmung der Produktion nur durch ein zus~tzliehes Prinzip erreicht werden. Man kSrmte z. B. festsetzen, dab die Unternehmung immer, ohne Rficksicht auf die PreishShe, das Betriebs-

Das Angebot der Unternehmung nach dem Bedarfsdeckungsprinzip

51

optimum realisieren soll, vorausgesetzt, dab iiberhaupt eine Produktion stattfinden kann. Oder man setzt lest, dal3 die grSl3tmSgliche Menge zu dem betreffenden Preis angeboten werden soll. Ein jedes dieser beiden Hilfsprinzipien wiirde in vielen F~llen eine eindeutige Bestimmung der Produktion herbeffiihren und damit ein eindeutiges sozialOkonomisches Gleichgewic..ht ermSglichen. Aber sie wiirden im Falle der Kostendegression versagen. Uberdies wiirde das zweite Prinzip auch versagen miissen, wenn die Durchschnittskosten yon einer bestimmten Produktionsgeschwindigkeit ab vielleicht steigen, aber dauernd unterhalb des Preises bleiben: in diesen FMlen wiirde eine konkurrenzwirtschaftliche Organisation der Produktion nicht mSglich sein. Nimmt man diese subsidi~ren Prinzipien nicht an, so wird die konkurrenzwirtschaftliche Organisation der Produktion in dem Sinne m6glich, dab keine Tendenz zu einer iiberm~Bigen Ausweitung der Produktion besteht, welche die Konkurrenz aufheben wiirde; dafiir ist aber der Preis nicht mehr geeignet, Nachfrage und Angebot auszugleichen, weft er d a s Angebot nicht eindeutig bestimmen kann. Da jedoch die M6glichkeit, die freie Konkurrenz in der Form ,,konstanter Preis, beliebiges Angebot" zu betrachten, auf der Voraussetzung des Gleichgewichtes beruht, so kSnnen wir folgenden Satz aufstellen: (XXIV) D a s B e d a r f s d e c k u n g s p r i n z i p o h n e w e i t e r e s u b sidi~re P r i n z i p i e n ist mit der V o r a u s s e t z u n g der freien K o n k u r r e n z n u r in b e s o n d e r e n F ~ l l e n v e r e i n b a r . Auch die beiden yon uns genannten subsidi~ren Prinzipien ergeben nicht immer eine Vertr~glichkeit des Bedarfsdeckungsprinzips und der freien Konkurrenz. Insbesondere fehlt diese Vertr~glichkeit in allen FMlen, wo sie unter der Voraussetzung des erwerbswirtschaftlichen Prinzips fehlen wiirde. II. Anders ist es im Falle einer monopolistisch organisierten Produktion. Es gilt der Satz: (XXV) Das B e d a r f s d e c k u n g s p r i n z i p in V e r b i n d u n g m i t d e m s u b s i d i ~ r e n P r i n z i p , d a b m O g l i c h s t viel p r o d u z i e r t w e r d e n soll, r e i c h t z u r B e s t i m m u n g d e r P r o d u k t i o n u n d z u r H e r s t e l l u n g des 5 k o n o m i s c h e n G l e i c h g e w i c h t e s in e i n e r m o n o p o l i s t i s c h o r g a n i s i e r t e n W i r t s c h a f t i m m e r aus. Dieser Satz wiirde nur dann nicht gelten, wenn nicht nur die Ertragsfunktion eine obere Grenze h~tte, die kein Funktionswert w~re und der sich diese Funktion mit wachsender Produktionsgeschwindigkeit n~hem wiirde, sondern auch die Gesamtkostenfunktion eine obere Grenze h~tte, und diese nicht grSl3er w~re als die obere Grenze des Ertrages. 1) ~) Das heiBt in Formeln ausgedriickt: Es mii_Ste sein: lim F~ ( x ) > E (x) fiir alle x und lim K ( x) ~ lim E ( x). X --~ oo

X-~ao

4*

52

Die Kosten in der einfachen Produktion

Dies kann aber wohl als unmSglich bezeichnet werden. Denn es gabe dann eine Produktionsgesohwindigkeit, yon der ab die Gesamtkosten sich yon ihrer oberen Grenze nur um einen zu vernaohlassigenden Betrag 1) unterscheiden wiirden. Man wiirde also sagen kSnnen: yon hier ab sind die Gesamtkosten konstant. Die allgemeine Erfahrung lehrt aber, dub eine solche Situation nicht vorkommen kann. In allen iibrigen Fallen gibt es eine Produktionsgeschwindigkeit, an der die Durohsohnittskosten und der Preis einander gleich sind und yon der ab der Preis niedriger ist als die Durchschnittskosten. Diese Produktionsgesohwindigkeit wird auf Grund des Bedarfsdeckungsprinzips und des genannten subsidiaren Prinzips realisiert. III. Im Gegensatz zu den Ergebnissen, die wir bei )knnahme des erwerbswirtschaftlichen Prinzips erhalten haben, und die uns zeigen, da~ zwischen den Situationen in der freien Konkurrenz und in der modifizierten Konkurrenz keine wesentlichen Unterschiede bestehen, ergibt sich im Falle des Bedarfsdeekungsprinzips ffir die modifizierte Konkurrenz eine besondere Situation. Hier ist n~mlich im Gegensatz zur freien Konkurrenz die Absatzmenge zun~chst fest gegeben. Sie l~t sich durch Aufwendung yon Absatzkosten erweitern. Aber fiir den Fall des Bedarfsdeckungsprinzips besteht kein AnlaB, den Absatz besonders zu f6rdern. Somit ist die Produktionsgesohwindigkeit hier als gegeben zu betrachten. Sie ist gleioh der Absatzmenge, die sich ergibt, wenn die Absatzkosten Null sind. Diese Produktionsgeschwindigkeit wird realisiert, wenn die zugeh6rigen Durchschnittskosten nicht grSl~er sind als der Preis. Bei dieser Gelegenheit wollen wir eine nahere Interpretation des Bedarfsdeckungsprinzips fiir die beiden Falle geben, dub 1. kein Preis, der irgendwelchen Durohschnittskosten gleich ware, erzielt werden kann, 2. die angeforderte ~enge zu dem gebotenen Preis nicht geliefert werden kann. Der erste Full hut fiir. alle Marktsituationen Bedeutung, der zweite nur fiir die modifizierte Konkurrenz. 1. Das Streben, die Kosten zu decken, mul~ sich fiir den Full, daf~ die Kosten nicht gedeckt werden k6nnen, dub also ein Veriust entsteht, ia ein Streben nach mSglichst geringem Verlust umwandeln. Das bedeutet, dab immer, wenn nach dem Bedarfsdeckungsprinzip iiberhaupt keine Produktionsgeschwindigkeit realisiert werden kann, an Stelle dieses Prinzips das erwerbswirtschaftliche Prinzip treten mul~. 2. Das Streben, die angeforderte Menge zu liefern, mul~ sich, soweit es yon seiten der Nachfrage her mSglich ist, im Falle, dub die angeforderte 1Vfenge zu dem gebotenen Preis nicht geliefert werden kann, sich naeh der l~ichtung bin auswirken, eine 1Vfenge zu liefern, die sich mSglichst wenig yon der angeforderten i~Ienge unterscheidet und deren Kosten durch den x) of. w

III.

Das Angebot der Unternehmung nach dam Bedaffsdeckungsprinzip

53

gebotenen Preis gedeckt werden. D. h. : kann die angeforderte Produktionsgeschwindigkeit zu dem gebotenen Preise nicht realisiert werden, gibt es jedoch geringere Produktionsgeschwindigkeiten, die auf Grund der Ausfiihrungen zu I realisiert werden k6nnten, so wird die gr6l]te yon ihnen realisiert, soweit dies von seiten der Nachfrage her angeht. Es ware im iibrigen auch denkbar, dab in entsprechend beschaffenen Fallen (z. B. unter Annahme subsidiarer Prinzipien) die Unternehmung versuchen wiirde, eine gr6l]ere Produktionsgeschwindigkeit u n t e r Aufwendung yon Absatzkosten zu realisieren. Wir brauchen aber diesem Sonderfall nicht naher nachzugehen. IV. Eine Marktsituation, die eine besondere Verwandtschaft zum Bedarfsdeckungsprinzip aufweist, eine Situation, die wir noch nicht beschrieben haben, weil sie im Falle des erwerbswirtschaftlichen Prinzips undenkbar ist, ist folgendermal~en beschaffen" es wird eine bestimmte Menge nachgeffagt. Der Preis ist zunachst unbestimmt. Aus dem Bedaffsdeckungsprinzip ergibt sich, dab der Preis dieser Menge ihren Durchschnittskosten gleich ist. Denn nur dann ergibt sich eine billigstm6gliche gedeckte Lieferung der angeforderten Produktionsmenge. Hier tritt das Bedarfsdeckungsprinzip in seiner Reinheit auf, ohne dab subsidiare Prinzipien notwendig waren. Wir werden spater sehen, dab in bestimmten Fallen das Bedaffsdeckungsprinzip gerade in dieser Bedeutung auf Grund des erwerbswirtschaftlichen Prinzips in Anwendung kommt. 1)

Drittes Kapitel. Die Kosten in der v e r b u n d e n e n Produktion. Der bisher behandelte Fall, dab nur ein Gut produziert~ wird, spielt in der Realitat eine nicht zu unterschatzende Rolle. Denn wie jede wirtschaftliche Theorie, ist auch die bisher entwickelte schon dort anwendbar, wo die Voraussetzungen nur ungefahr zutreffen. Wird z. ]3. neben dem ttauptprodukt ein Abfallprodukt produziert, welches nur einen kleinen Bruchteil des Erl6ses einbringt, so kann die Theorie des einfachen Angebotes unbedenklich in Anwendung kommen, indem man vielleicht zur Erzielung einer h6heren Genauigkeit den Erl6s des Abfallproduktes yon den Gesamtkosten abzieht und die Differenz als Gesamtkosten des Hauptproduktes betrachtet. Aber vielfach ist dies nicht m6glich. Es werden mehrere Giiter gleichzeitig produziert, die ungefahr gleich wichtig sind. Dann reicht die bisher entwickelte Theorie nicht mehr aus, und wir miissen die allgemeinere anwenden, namlich die Theorie des verbundenen Angebotes. 2) 1) cf. Theorie des Verrechnungspreises; Kap. 3, w4. ~) cf. Marco F ann o, Contributo alla taoria dell' offerta a costi Conginuti. Supplamento al Giornale degli Economisti, Ottobre 1914. Eine Auseinandarsetzung mit diaser Arbeit wiirde zu wait ffihren, da unsere Ausffihrungen ainen vSllig andarsartigen Grundgedanken un4 Aufbau haben.

Das Angebot der Unternehmung nach dam Bedaffsdeckungsprinzip

53

gebotenen Preis gedeckt werden. D. h. : kann die angeforderte Produktionsgeschwindigkeit zu dem gebotenen Preise nicht realisiert werden, gibt es jedoch geringere Produktionsgeschwindigkeiten, die auf Grund der Ausfiihrungen zu I realisiert werden k6nnten, so wird die gr6l]te yon ihnen realisiert, soweit dies von seiten der Nachfrage her angeht. Es ware im iibrigen auch denkbar, dab in entsprechend beschaffenen Fallen (z. B. unter Annahme subsidiarer Prinzipien) die Unternehmung versuchen wiirde, eine gr6l]ere Produktionsgeschwindigkeit u n t e r Aufwendung yon Absatzkosten zu realisieren. Wir brauchen aber diesem Sonderfall nicht naher nachzugehen. IV. Eine Marktsituation, die eine besondere Verwandtschaft zum Bedarfsdeckungsprinzip aufweist, eine Situation, die wir noch nicht beschrieben haben, weil sie im Falle des erwerbswirtschaftlichen Prinzips undenkbar ist, ist folgendermal~en beschaffen" es wird eine bestimmte Menge nachgeffagt. Der Preis ist zunachst unbestimmt. Aus dem Bedaffsdeckungsprinzip ergibt sich, dab der Preis dieser Menge ihren Durchschnittskosten gleich ist. Denn nur dann ergibt sich eine billigstm6gliche gedeckte Lieferung der angeforderten Produktionsmenge. Hier tritt das Bedarfsdeckungsprinzip in seiner Reinheit auf, ohne dab subsidiare Prinzipien notwendig waren. Wir werden spater sehen, dab in bestimmten Fallen das Bedaffsdeckungsprinzip gerade in dieser Bedeutung auf Grund des erwerbswirtschaftlichen Prinzips in Anwendung kommt. 1)

Drittes Kapitel. Die Kosten in der v e r b u n d e n e n Produktion. Der bisher behandelte Fall, dab nur ein Gut produziert~ wird, spielt in der Realitat eine nicht zu unterschatzende Rolle. Denn wie jede wirtschaftliche Theorie, ist auch die bisher entwickelte schon dort anwendbar, wo die Voraussetzungen nur ungefahr zutreffen. Wird z. ]3. neben dem ttauptprodukt ein Abfallprodukt produziert, welches nur einen kleinen Bruchteil des Erl6ses einbringt, so kann die Theorie des einfachen Angebotes unbedenklich in Anwendung kommen, indem man vielleicht zur Erzielung einer h6heren Genauigkeit den Erl6s des Abfallproduktes yon den Gesamtkosten abzieht und die Differenz als Gesamtkosten des Hauptproduktes betrachtet. Aber vielfach ist dies nicht m6glich. Es werden mehrere Giiter gleichzeitig produziert, die ungefahr gleich wichtig sind. Dann reicht die bisher entwickelte Theorie nicht mehr aus, und wir miissen die allgemeinere anwenden, namlich die Theorie des verbundenen Angebotes. 2) 1) cf. Theorie des Verrechnungspreises; Kap. 3, w4. ~) cf. Marco F ann o, Contributo alla taoria dell' offerta a costi Conginuti. Supplamento al Giornale degli Economisti, Ottobre 1914. Eine Auseinandarsetzung mit diaser Arbeit wiirde zu wait ffihren, da unsere Ausffihrungen ainen vSllig andarsartigen Grundgedanken un4 Aufbau haben.

54

Die Kosten in der verbundenen Procluktion w 1. Theorie der Produktionsliinge.

Der Gegenstand dieses Kapitels ist komplizierter als der des vorigen. Wir werden deshalb mSglichst einfache Voraussetzungen w~hlen und nur das Grundlegende darstellen. Wir wollen uns nur mit dem Fall befassen, dab zwei Giiter produziert werden, da er bereits auf alle methodischen Gedanken fiihrt, die fiir den allgemeinen Fall, dab n Giiter produziert werden, angewendet werden miissen. Wir wollen ferner die Annahme machen, dab alle vorkommenden Funktionen in dem betrachteten Bereieh regular, d. h. also stetig und differenzierbar sind. Sprungkosten sollen nicht vorkommen. Wir fiihren zuniichst eine vereinfachte Betrachtung durch. Jede beliebige Kombination yon l~Iengen des Gutes 5 8q,9 SO 7q,3 87,2 q'/~8 ~845 Nr. 1 und des Gutes l~r. 2 hat bee~ stimmte Produktionskosten, die auf 58 54s e5,,6"7~4 108,515q,s irgendeine Weise ermittelbar sein sollen. Um eine iibersichtliche Dar54s 5gs sq,y N 2 ss ~4q,8 stellung zu gewinnen, stellen wir eine (Abb. 9) zusammen. 5,z~ 55,,s 5ge 70,s 9~ 8/sg2, Tabelle Die NIengen jedes Gutes werden 1 54,4 5e, ee,,e zz7 in geeignetem NIaBstab auf der Vorspalte bzw. auf der Vorzeile (die hier aus Analogie zur Koordinaten0 "-5,0" ,' -54-" :"58 .... 68-"-90"-130"" darstellung nach unten gesetzt ist) 0 l 2 3 4 g abgetragen, und zwar so, daB die A/lengen des GatesNP. f Entfernung der NIitte der Zeile bzw. Spalte yon der Mitre der Vorzeile Abb. 9. Kostentabelle der ver- bzw. Vorspalte die Benennung der bundenen Produktion Zefle bzw. Spalte bestimmt. Die punktierten Geraden entsprechen den Koordinatenachsen; ihr Schnittpunkt ist der Nullpunkt, d . h . der ~tillstandspunkt des Betriebes. In die Felder werden die Kosten der betreffenden NIengenkombination eingesetzt. So kostet die Produktion yon 3 NIengeneinheiten des Gutes Nr. 1 und yon 2 NIengeneinheiten des Gutes Nr. 2 in unserem Beispiel 70,6 Geldeinheiten usw. Jeder einzelne Punkt dieser Tabelle bedeutet eine bestimmte Kombination und besitzt somit bestimmte Gesamtkosten. Wir haben in unserer Tabelle einen Punkt bestimmt, indem wir seine Entfernung yon der Vorzeile auf "der Vorspalte und seine Entfernung yon der Vorspalte auf der Vorzeile angaben. Wir wollen jetzt ein anderes Verfahren einschlagen. Wir wollen die Entfernung jedes Punktes yore Ursprung, d. h. yore Punkte (0; 0) messen und diese Entfernung als die L~nge der betreffenden Produktionskombination oder, wie wir sie bereits bezeichnet haben, des betreffenden Prbduktsvektors bezeichnen; und wir wollen zweitens den Winkel feststellen, den der Verbindungsstrahl vom Ursprung nach dem Punkte der Tabelle mit der Wagerechten bildet; diesen !

i

=

~

,,,

!

!

l

_

i

..j

. . . .

Theorie der Produktionsl/inge

55

Winkel bezeichnen wir als die Richtung des Produktsvektors. Es ist leicht einzusehen, dab der Produktsvektor durch die Angabe seiner ,,L~nge" und seiner ,,Richtung" eindeutig bestimmt ist. Aus der Tabelle kann man dann sofort die Mengen der beiden Gfiter ablesen. Vektoren gleicher Li~nge bestimmen Punkte, die vom Ursprung gleichweit entfernt sind, d. h. die Summe der Quadrate der produzierten Gutsmengen l~r. 1 und lqr. 2 sind fiir diese Punkte gleich; die Punkte liegen auf einem Kreise um den Ursprung mit einem Radius, der die L/~nge darstellt. Punkte gleicher Richtung liegen auf einer Geraden, die selbst durch den Ursprung geht. Sie zeichnen sich dadurch aus, dab das Mengenverh/~ltnis der beiden G/iter (also der Komponenten des Produktsvektors) dasselbe ist. Die L/inge bezeichnen wir mit r, die Richtung mit ~. Wir werden im folgenden an P(xf,xz~ Stelle der Tabelle das Koordinationssystem verwenden. Auf der Abszissenachse tragen wit die Mengen des Gutes Nr. 1, auf der Ordinatenachse die l~engen des Gutes Nr. 2 ab. Die Gesamtkosten (und analog die fibrigen x~ Kostenfunktionen) k6nnen wir uns Mengen desGutesNr.T'senkrecht zur Ebene des Blattes an 0 einer dritten Achse gemessen und aufAbb. 10 getragen denken. Die Kosten erscheinen als Funktion der lVIengen des Gutes l~r. 1 und l~r. 2 oder auch als Funktion der ,,L/~nge" und der ,,Richtung" des jeweiligen Produktsvektors. Die Abb. 10 veranschaulicht den hier beschriebenen Tatbestand. Es gelten folgende Beziehungen" . L

r 2 - xl ~ -k x~?; tg ~0--

X2 X1

Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich jewefls zwei GrSBen berechnen, wenn die beiden anderen gegeben sind. r und ~0 bezeichnen wir in Ubereinstimmung mit dem iiblichen Sprachgebrauch als Polarkoordinaten. Betrachten wir den Fall, dab das Verh/~ltnis, in welchem beide Gtiter produziert werden, also die Proportion x l : x ~ lest gegeben ist. Das bedeutet, dab die Richtung unver/~nderlich ist. ~ ist konstant. Die Produktion wird nur durch ~nderung der ,,L/inge" reguliert. In diesem Falle unterscheidet sich die Produktionsbestimmung in keiner Weise yon der einfachen Produktion. Die Tatsache, dab zwei verschiedene Gfiter produziert werden, hat hier fiir die Unternehmung gar keine Bedeutung. Denken wir uns eine bestimmte Menge des Gutes Nr. 1 und die in Ver. bindung mit dieser l~Ienge hergestellte Menge des Gutes l~r. 2 zusammen. gefaBt und als ein ,,P/~ckchen" bezeichnet, so kSnnen wir sagen: die Unternehmung produziert in der Zeiteinheit eine bestimmte Anzahl

56

Die Kosten in der verbundenen Produktion

,,P~ckchen". Das ,,P/~ckchen" erscheint hier als Mengeneinheit. Die Anzahl der in der Zeiteinheit p r o d u z i e r t e n ,,P/ickchen" ist die P r o d u k tionsgeschwindigkeit, l~ur yon dieser h~ngen bier K o s t e n u n d E r t r a g ab, d a das Z u s a m m e n s e t z u n g s v e r h ~ l t n i s im ,,P/ickchen" selbst unver/indert bleibt. A u c h bezfiglich der 1YIarktsituation, der sick diese U n t e r n e h m u n g gegeniiber sieht, /~ndert sich nichts gegenfiber d e m einfachen Angebot. I s t der Preis eines jeden Gutes eine K o n s t a n t e , so ergibt sich der Preis d e s ,,P/~ekchens", i n d e m m a n die im ,,P/~ckchen" e n t h a l t e n e n Gutsm e n g e n mit den zugeh6rigen Preisen multipliziert u n d die Ergebnisse addiert. Der E r t r a g eines P r o d u k t s v e k t o r s ergibt sick d a n n aus der Multiplikation des Preises eines ,,P~ckchens" mit der Anzahl der ,,P/~ckchen". I s t der Preis von den P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t e n der einzelnen Giiter abh/~ngig, so geh6rt zu j e d e m P r o d u k t s v e k t o r ein besonderer Preis jedes Gutes u n d somit auch des ,,P~ckchens". D a aber der P r o d u k t s v e k t o r niehts anderes als eine b e s t i m m t e Anzahl yon ,,P~ckchen" ist, so ist der Preis n u r yon dieser Anzahl abh/~ngig, die also auch bier g e n a u der P r o d u k t i o n s g e s e h w i n d i g k e i t im Falle der einfachen P r o d u k t i o n entspricht. Setzen wir noch lest, dab das ,,P~ckchen" so beschaffen sein muB, d a b die S u m m e der Q u a d r a t e der in film e n t h a l t e n e n G u t s m e n g e n 1 ergibt, so ist die Anzahl des ,,P/~ckchens" jeweits identisch mit der ,,L~nge" des P r o d u k t s v e k t o r s , also mit r. Das ,,P~ckchen" selbst wollen wir im folgenden als , , E i n h e i t s v e k t o r " bezeichnen u n d i h m das S y m b o l e beilegen. D a e eindeutig b e s t i m m t ist, sobald die R i c h t u n g ~ festgelegt ist, so k a n n e als F u n C t i o n yon ~ b e t r a c h t e t werden. Wir d e u t e n z u m U n t e r s c h i e d yon den rechtwinkligen K o o r d i n a t e n (xl, xg) die Abh/~ngigkeit e i n e r Gr6Be y o n den P o l a r k o o r d i n a t e n r u n d ~ durch eckige K l a m m e r n [] an. Es gilt d a n n e - - e [~]; jeder P r o d u k t s v e k t o r ~ stellt sich jetzt dar als P r o d u k t aus seiner L~nge u n d d e m E i n h e i t s v e k t o r seiner R i c h t u n g : ~) =

r.

e [~].

~) Diese vektorielle Beziehung ist leicht einzusehen. in Abb. 10 sieht man, dal~ die Gleichungen gelten: E s ist also

x~ -- r . cos ~;

Aus der Figur

x2 -- r . sin ~.

~: = (xl, x~) = (r. cos ~, r . sin ~) = r . (cos % sin ~).

-Da fiir den Vektor e, dessen Komponenten wir mit el, e2 bezeichnen, die Gleichung el 2 + e~7 -- 1 gilt, andererseits aber, wenn wir mit l el die L/Cnge yon e bezeichnen, el = Iel. cos ~; e~. = ]e!. sin ist, so haben wir: le] 2 = l l e [ ~ , cos ~ q~ + ]el 2 . sin ~ ~ = 1. I)a wir nur positive L/~ngen kennen, ist [el -- 1 und somit r -- (cos % sin ~), also sch!iel~lich - - r . e [~].

Theorie der Produktionsl~nge

57

Ist die Richtung lest, 1) so ist auch der Einheitsvektor gegeben. Der Produktsvektor h~ngt dann nur yon seiner Li~nge ab. 9) Hieraus ergibt sich, dab der Gewinn, der Ertrag und die Gesamtkosten als Funktionen der L~nge allein auftreten. 3) Die L~nge spielt hier genau dieselbe Rolle wie die Produktionsgeschwindigkeit bei der einfachen Produktion. Wir erhalten so den Fundamentalsatz der verbundenen P r o d u k t i o n : (XXVI) B e i g e g e b e n e m 5[engenverhiiltnis der produz i e r t e n G i i t e r g e l t e n fiir die v e r b u n d e n e P r o d u k t i o n s~mtliche Gesetze der einfachen Produktion, w o b e i m a n die P r o d u k tionsgeschwindigkeit der einfachen Produktion durch die L ~ n g e (den a b s o l u t e n B e t r a g ) d e s Produktsvektors ersetzt. Die einfache Produktion erscheint als Spezialfall der verbundenen Produktion bei festem Mengenverla~ltnis, wenn man die zweite Komponente des Einheitsvektors oder auch ~ gleich Null setzt. Alle auftretenden Funktionen erscheinen als Funktionen der P u n k t e auf dem Strahl, der durch ~den Einheitsvektor r [~] = (cos ~, sin ~) festgelegt ist. Zu jeder Richtung ~ gelaSrt demnach ein P u n k t b, ein Betriebsminimum und ein Betriebsoptimum, sowie bei gegebener Ertragsfunktion eine giinstigste Produktionsgeschwindigkeit. Wir bezeichnen diese GrSl3en ebenso wie im zweiten Kapitel, indem wir jeweils die Richtung dadurch andeuten, dal3 wir ~ in Klammern dahintersetzen. Diese GrSBen sind ni~mlich nichts anderes als Funktionen yon ~.4) Ist der Preis der einzelnen Giiter yon der Produktionsgeschwindigkeit unabh~ngig, so ist gleichwohl zu beachten, dag der Preis des Einheitsvektors yon der Richtung abhi~ngt. Wir bezeichnen den Preis 5) des Einheitsvektors einer bestimmten Richtung ~0 init P [~]. Diese Bemerkungen sollen nur den Fundamentalsatz erl~utern. I m Prinzip ist durch diesen Satz der Fall der verbundenen Produktion bei konstantem 5[engenverh~ltnis erledigt. Er ist vollstfi.ndig auf den Fall des einfachen Angebotes reduziert. 6) 1) Also ~ - - c o n s t a n s . 9) Wir haben also ffir eine beliebige Funktion q~ (5) des Produktsvektors die Beziehungq~ (5) -- q~ (e. r) -- ~ Iv]. 3) Wir haben somit : r [r] = E [ r ] - K [r]. a) Wit haben: b[~]; q[~]; p[~]; s[~]. 5) Es grit dann: P [~] -- P1. cos ~ -t- Pg.. sin ~. 6) Es ist wohl ohne weiteres klar, daft bier eine Aufteilung der Gesamtkosten oder auch nur der variablen Kosten auf die einzelnen Produkte vollkommen sinnlos ist. Die verschiedenen Produktskombinationen erscheinen als verschiedene Mengen ein und desselben Produktes. Jede einzelne Produktionsgesehwindigkeit kostet ebensoviel wie der ganze Produktsvektor, wenn man die Frag e stellt: Was muft geopfert werden, um die betreffende Produktionsgesehwindigkeit zu erzielen? Und andererseits kostet jede Produktionsgesehwindigkeit nichts, wenn man die Frage stellt: Was kann man einsparen, wenn man auf die Herste!lung des einen GuLes verzichtet, die anderen Gfiter aber in unver~ndertem Umfange produziert ?

58

Die Kosten in der verbundenen Produktion w 2. Theorie der Produktionsrichtung.

Wir haben eben gesehen, wie alle Kategorien der einfachen P r o d u k . tion auf die verbundene Produktion in Anwendung kommen, sobald die ,,Richtung", d. h. das MengenverhMtnis, in welchem die beiden Produkte erzeugt werden, gegeben ist. Wir nehmen jetzt an, die Rich tung sei variabel. Das wiirde bedeuten, dal3 unsere Unternehmung nicht nur imstande ist, sich der Marktlage beziiglich der Produktionsls also beziiglich der Menge der produzierten Produkte bei konstantem Mengenverhs anzupassen, sondern dab sie auch dieses l~Iengenverhs variieren und unter allen m6glichen Prop~Ir zwischen x 1 und x 2 die giinstigste aussuchen kann. Dann k6nnen wir jeder Richtung eine Gewinn- und Ertragsfunktion, eine Gesamtkostenfunktion und ihre Ableitungen, eine Durchschnittskostenfunktion und eine Funktion der durchschnittlichen variablen Kosten zuordnen, die jewefls nur yon der L~nge des Produktsvektors in der betreffenden Richtung abh~ngen. Wir kSnnen dementsprechend jeder Richtung einen Punkt b, ein Betriebsminimum, ein Betriebsoptimum und eine giinstigste Produktionsgeschwindigkeit zuordnen. Die Gesamtheit der Punkte b aller Richtungen und ebenso auch der Abb. 11 iibrigen ausgezeichneten Punkte bildet je eine Kurve. Wir haben somit 4 Kurven: die b-Kurve, die Betriebsminimumkurve, die Betriebsoptimumkurve und die Kurve der giinstigsten Produktionsgeschwindigkeiten. Alle diese Kurven ergeben sich dadurch, dal3 ihr Radiusvektor eine eindeutige Funktion der Richtung ist. So kSnnen wir die Kurven durch die Ausdriicke: b [~], p [~], q [~], s [~] kennzeichnen. Die ausgezeichneten Punkte im eindimensionalen Falle erscheinen also als ausgezeichnete Kurven im zweidimensionalen; allerdings mit einer Einschr~nkung" die durch e [~] bestimmten ,,giinstigsten" Produktionsgeschwindigkeiten sind untereinander nicht gleichwertig. Man kann sie in bezug auf den durch sie erzielbaren Gewinn vergleichen. Tats~chlich realisiert wird nur diejenige unter den Produktionsgeschwindigkeiten 8 [~], welche den gr613ten Gewinn gew~hrt. Mithin gibt es (ira Regelfall) schliel~lich doch nur einen giinstigsten Produktsvektor. Bezeichnen wir seine Richtung mit a, so i s t s [a] die tats~chlich zu realisierende giinstigste Produktionsgeschwindigkeit. Unsere Ausfiihrungen werden durch die Abb. 11 veranschaulicht. Auf Grund der im zweiten Kapitel gewonnenen Erkenntnisse liegt die Kurve b [~] innerhalb yon q [~] und q [~] innerhalb yon iv [~]. Dagegen kann in der Konkurrenzwirtschaft s [~] iiberall auBerhalb yon q [~] ver-

\--.,

..y\+

Theorie der Produktionsrichtung

59

laufen. 1) Alle s, die irmerhalb yon p [~] liegen, ergeben in der Konkur. renzwirtschaft einen Verlust, alle s, die auBerhalb yon p [~] liegen, einen Gewinn. Verl~uft s [~], wie z. B. in der obigen Abbfldung teils innerhalb, tefls auBerhalb yon p [~], so ist es klar, dab der giinstigste Punkt s [a] nur in dem Teil yon s [~] liegen kann,~ der auBerhalb yon p [~] verl~uft. . Liegt freie Konkurrenz vor, so kann man jedem Preisvektor einen giinstigsten Produktsvektor s [a] zuordnen. Wir erhalten so das Angebot der Unternehmung als Funktion des Preisvektors. Fiir die verbundene Produktion gelten folgende S~tze: (XXVII) Die G e s a m t k o s t e n f u n k t i o n einer Unternehmung m i t v e r b u n d e n e r P r o d u k t i o n i s t so b e s c h a f f e n , d a b sie n a c h j e d e r R i c h t u n g im S i n n e des F u n d a m e n t a l s a t z e s ~) d e r v e r b u n d e n e n P r o d u k t i o n die G e s e t z e d e r e i n f a c h e n P r o d u k t i o n erfiillt. (XXVIII) D e n a u s g e z e i c h n e t e n P u n k t e n in d e r e i n f a c h e n P r o d u k t i o n e n t s p r e c h e n a u s g e z e i c h n e t e K u r v e n in d e r v e r b u n d e n e n P r o d u k t i o n y o n zwei G i i t e r n . (Allgemein: ( n - - 1 ) - dimensionale NIannigfaltigkeiten bei verbundener Produktion yon n Giitern.) Dariiber hinaus fiihrt der folgende Satz, der ffir die verbundene Produktion hinzukommt: (XXIX) J e d e r P r o d u k t i o n s l ~ n g e i s t eine g i i n s t i g s t e P r o duktionsrichtung z u g e o r d n e t ; d a d u r c h i s t eine K u r v e d e r giinstigsten Riehtungen d e f i n i e r t . D i e s e K u r v e u n d die Kurve der giinstigsten Produktionsl~ngen bestimmen durch ihren Schnittpunkt den giinstigsten Produktionsvektor der U n t e r n e h m u n g , also i h r A n g e b o t . 3) Der endgiiltige Beweis dieses Satzes ergibt sich unten aus dem Satze X X X I . Wir sehen: das neue Element, welches bei der verbundenen Produktion in die Betrachtung hereinkommt, ist die Richtung. Diese Tatsaehe gilt auch fiir den Fall, dab mehr als zwei Giiter verbunden produziert werden. In bezug auf die Richtung sind die Kategorien der einfachen Produktion unbestimmt. Sie lassen auch keine sinngem~Be zus~tzliche Definition zu, die eine eindeutige Bestimmung zufolge h~tte, l~ur der giinstigste Produktsvektor wird als der giinstigste nicht nur der L~nge, sondern auch der Richtung nach definiert. 1) Innerhalb yon q [~] kann s nur in einem geeigneten Falle des Ylonopols verlaufen. ~) Satz (XXVI). 3) Beziiglich des Bedarfsdeckungsprinzips ist bier zu sagen, da] aueh in der Monopolwirtschaft ein zus~tzliches subsidi~res Prinzip notwendig wird, etwa in der Form, da] yon allen grSl~tmSglichen Produktionsgeschwindigkeiten (jede Richtung hat eine solche Produktionsgeschwindigkeit) diejenige realisiert werden soll, welche die niedrigsten Durchschnittskosten hat. Es muB eben au]er der L~nge auch irgendwie die Richtung bestimmt werden.

60

Die Kosten in der verbundenen Produktion

Durch diese Ausffihrungen ist die Aufgabe, die wit uns beziiglich der verbundenen Produktion gestellt hatten, auch ffir den allgemeinen Fall gelSst. Wir kSnnen allerdings noch eine (unter der Annahme der Regularit~t aller auftretenden Funktionen unwesentliche) Erweiterung des Fundamentalsatzes und somit auch des Satzes X X V I I I geben. Es gilt n~mlich fiir den Fall, dal3 die Richtung nicht konstant, sondern fiberhaupt eine eindeutige stetige Funktion der L~nge ist, ebenfalls der Fundamentalsatz. In diesem Falle sind die 5konomischen Funktionen (Gewinn, Ertrag, Kosten) nicht l~ngs eines Strahles, sondern l~ngs einer Kurve definiert. Als Produktionsgeschwindigkeit bleibt die L~nge des jeweiligen Produktsvektors beibehalten. Das grundlegende Ergebnis der bisherigen Darstellung der v erbundenen Produktion ist folgendes" wenn man die Begriffe ,,L~nge', und ,,Richtung" des Produksvektors geeignet definiert, lassen sich alle Aussagen fiber die einfache Produktion auch auf die verbundene Produktion iibertragen. Die verbundene Produktion erscheint nicht als der einfaehen Produktion koordiniert, sondern als ihr fibergeordnet. Die einfache Produktion ist ein Spezialfall der verbundenen. Und zwar" - - und das ist entscheidend - - die Lehre yon der einfachen Produktion ist ganz in der Lehre der yon der verbundenen Produktion enthalten. Nur enth~lt die Lehre yon der verbundenen Produktion aul~erdem noch Elemente, die in der Lehre yon der einfachen Produktion nicht enthalten sind. Diese Elemente kniipfen an den Begriff der ,,Richtung" des Produktsvektors an. Wir kSnnen somit folgenden Satz formulieren" (XXX) Ffir die g e s a m t e P r o d u k t i o n g i l t die L e h r e y o n d e r P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t . Ffir die v e r b u n d e n e P r o d u k t i o n g i l t a u l ~ e r d e m die L e h r e y o n d e r P r o d u k t i o n s richtung. II. Die Gesamtkosten und der Ertrag sind im FaIle der verbundenen Produktion yon beiden Gfitern abh~ngig. Da wir die Produktionsgeschwindigkeiten als Funktionen der L~nge und der Richtung des ProdUktsvektors darstellen ksnnen, so kOnnen wir auch sagen" die Gesamtkosten und der Ertrag sind Funktionen der L~nge und der Richtung des Produktsvektors. Wir denken uns im folgenden die L~nge des Produktsvektors gegeben. Dann sind die erw~hnten GrSl3en nur yon der Produktions' richtung abh~ngig. Wir kSnnen in diesem Falle die Gesamtkosten und den Ertrag als Funktionen der Produktionsrichtung ~ betrachten, ttier ist nun von ausschlaggebender Bedeutung, dal~ der Winkel ~ nur zwischen 0 ~ und 90 ~ variieren kann, dal~ also die erw~hnten Funktionen nur in einem beschr~nkten Bereich definiert sind. Wenn wir den Winkel ~ im BogenmaB messen, kSnnen wir sagen" die genannten Funktionen sind nur im Intervall [0, 2] definiert.

Theorie der Produktionsrichtung

61

Dasselbe gilt auch yon allen Funktionen, die sich aus der ErtragsUnd aus der Gesamtkostenfunktion in irgendeiner dem Stetigkeitsprinzip nicht widersprechenden Weise zusammensetzen bzw. ableiten lassen. Aus dieser Tatsache und aus der oben gemachten Annahme, dal3 alle auftretenden Funktionen regular sein sollen, ergibt sich der wiehtige Satz" (XXXI) Die E r t r a g s u n d die G e s a m t k o s t e n f u n k t i o n , sowie deren Z u s a m m e n s e t z u n g e n und Ableitungen haben im D e f i n i t i o n s b e r e i c h d e r v a r i a b l e n ~ s t e t s ein M i n i m u m u n d ein M a x i m u m . Dies gilt also auch yon der Gewinnfunktion. Somit gibt es stets eine giinstigste Produktionsrichtung, ganz gleichgiiltig, wie die Ertrags- oder Kostenfunktion sonst beschaffen sind (cf. Satz XXX). Die Unternehmungen brauchen also beziiglich der Produktionsrichtung, anders als beziiglich der Produktionsgeschwindigkeit, keine besonderen Eigenschaften ihrer Gesamtkostenfunktion aufzuweisen, um funktionieren zu kSnnen. _

III. Wir wollen uns noch einmal die Bedeutung der Polarkoordinaten, die wir anwandten, vergegenwartigen und bei dieser Gelegenheit eine wichtige Erweiterung der Theorie der Produktionsrichtung vornehmen. Die Polarkoordinaten sind ein Sondeffall der krummlinigen Koordi. naten. Sie bestehen aus einer Schar yon Strahlen, die durch den Nullpunkt gehen, und einer Schar yon konzentrischen Kreisen um den l~ullpunkt. Jeder Punkt der Ebene wird als Schnittpunkt eines Kreises und eines Strahles dargestellt. Die Betrachtung der Lange des Produktsvektors bei fester Produktionsrichtung ist nichts anderes als die Betrachtung der uns interessierenden Funktionen langs eines Strahles. Die Theorie der Produktionsrichtung ist nichts anderes als die Untersuchung dieser Funktionen langs eines Kreises. Wir haben bereits erwahnt, dalli dieselben Gesetze, die ffir unsere Funktionen langs eines Strahles durch den Nullpunkt gelten, auch langs einer Kurve giiltig sind, welche die Richtung als eine eindeutige stetige Funktion der Lange des Produktsvektors definiert. Hierbei ist leicht einzusehen, dab die Betrachtung langs eines Strahles durch den Nullpunkt nur ein Spezialfall dieser allgemeineren Betrachtung ist. Der Strahl definiert namlich die Richtung als eine Konstante in bezug auf die Lange. Ganz ebenso ist es nun mSglich, die Betrachtung langs eines Kreises zu verallgemeinern. Der Kreis ist eine Kurve, welche die Lange als eine Konstante in bezug auf die Richtung definiert. Die Satze, die langs eines I~-eises gelten, behalten ihre Giiltigkeit, wenn man an Stelle des Kreises eine andere Kurve betrachtet, welche der Forderung genfigt, die Lange als eindeutige stetige Funktion der Richtung zu definieren. Somit kSnnen wir die Strahlen durch eine Schar geeigneter, sich nicht schneidender Kurven, und ebenso auch die Kreise durch geeignete

62

Die Kosten in der verbundenen Produktion

andere Kurven, die sieh ebenfalls nieht sehneiden d/irfen, 1) ersetzen. Die erste M6gliehkeit hat f/ir uns keine Bedeutung, wohl abet die zweite. Wir werden n/~mlieh im folgenden Abschnitt die allgemeine Bestimmung der g/instigsten Produktionsgesehwindigkeit naeh dem erwerbswirtsehaftlichen Prinzip bei verbundener Produktion darstellen und hiebei ein krummliniges Koordinatensystem betraehten, bestehend aus Strahlen durch den Nullpunkt und aus Kurven, welehe die L/~nge als eindeutige stetige Funktion der Riehtung definieren ;1) hiedureh wird es uns gelingen, die giinstigste Produktionsgesehwindigkeit tier verbundenen Produktion aus den Ergebnissen der einfaehen Produktion und aus dem Satz X X X I der Theorie der Produktionsriehtung dureh eine in der theoretisehen Okonomik bereits bekannte geometrisehe Koustruktion zu erhalten. IV. 1. Eine Kombination der beiden Produktionsgeschwindigkeiten xl, x~ wird durch einen Punkt in der Ebene repr~sentiert, dessen Koordinaten x 1, x~ sind. Wir denken uns nun alle Punkte, die gleiche Gesamtkosten haben, durch eine Kurve verbunden. Wir erhalten so in unserer Ebene eine Kurvensehar. Jede Kurve ist dadurch ausgezeichnet, dab sie der geometrische Ort aller Produktionsniveaus mit gleichen Gesamtkosten ist. Wir k6nnen sie als kostenindifferente Kurve bezeichnen. Wir miissen uns nun etwas genauer mit der Gestalt einer solchen Kurve befassen. Hiebei wollen wir zur Vereinfachung annehmen, dab die Gesamtkosten monoton im engeren Sinne sind. Zun~chst eine wichtige Feststellung: Keine kostenindifferente Kurve kann yon einer anderen kostenindifferenten Kurve geschnitten werden. I)enn dann wiirde ein Vektor starker sein als ein teuerer Vektor, 9) was wegen der l~Ionotonie unm6glich ist. Zweitens: Wegen der Monotonie im engeren Sinne hat jede Richtung nur einen Punkt, dessen Gesamtkosten eine vorgegebene H6he haben. Die kostenindifferenten Kurven definieren also ihren Radiusvektor als eindeutige Funktion der Richtung, die auf Grund der Regularit~tsvoraussetzung der Gesamtkostenfunktion aueh stetig differenzierbar ist. Drittens" Unter allen Vektoren, die durch eine solche Kurve als Produktsvektoren mit gleichen Gesamtkosten definiert werden, k6nnen nicht zwei Vektoren vorkommen, yon denen der eine ganz im anderen enthalten w~re, ohne dab sie iibereinstimmten. Alle kostenindifferenten Vektoren sind gleich stark, s) D. h." Zwei beliebige Radiusvektoren einer kostenindifferenten Kurve sind so beschaffen, daB, wenn der eine eine gr6Bere erste Komponente x 1 hat, als der andere, seine zweite Komponente x~ kleiner sein muB als die des anderen. 3) Die Kurve definiert somit x 1 als eine monoton fallende Funktion yon x~ und 1) Jede dieser Kurvenscharen muB die :Forderung erffillen, dab sich ihre Kurven miteinander nicht schneiden. Sonst w~re die Forderung nach der umkehrbar-eindeutigen Zuordnung der Punkte und ihrer Koordinaten nicht erfiillt. 9) cf. S. 15, Anm. 1. 8) Dutch die Kurve wird x 1 als Funktion yon x~ definiert und umgekehrt, und zwar gilt stets:

Theorie der Produktionsrichtung

63

umgekehrt. Eine solche Kurvenschar wiirde etwa die Gestalt haben, ~ e sie in den beiden Darstellungen der Abb. 12 angedeutet ist. Die kostenindifferenten Kurven k6nnen also entweder konkav nach unten oder konkav nach oben sein. Diese Kurven erfiillen die Forderung, ihre Radiusvektoren als eindeutige Funktionen der Richtung zu definieren. L~ngs dieser Kurven gelten also analoge Gesetze wie l~ngs der konzentrischen Kreise. Sie ergeben in Verbindung mit dem Strahlenbiischel durch den Nullpunkt ein krummliniges Koordinatensystem. Wir betrachten jetzt die Ertragsfunktion. Fiir diese kann man ,,ertragsindifferente" Kurven konstruieren, die alle Produktionsniveaus verbinden, welche den X2 gleichen Ertrag geX2 w~hren. Diese Kurven kSnnen sehr verschiedene Gestalt haben. 1) Legt man die Schar der kostenindifferenten und die Schar der er> X7 -~ Xr tragsindifferenten Kur0 yen fibereinander, so Abb. 12 wird jede kosterdndifferente Kurve im allgemeinen yon unendlieh vielen ertragsindifferenten Kurven geschnitten und umgekehrt. Zu jeder ertragsindifferenten Kurve gehSrt nun eine in~erste kostenindifferente Kurve, die mit jener ertragsindifferenten Kurve einen gemeinsamen Punkt hat. Dieser Punkt ist dann das Produktionsniveau, welches einen bestimmten Ertrag mit den niedrigstm6glichen Gesamtkosten erzielt. Der geometrische 0 r t aller dieser Punkte ist eine Kurve. Sic ist identisch mit der Kurve, welche entsteht, wenn man diejenigen Punkte der kostenindifferenten Kurven, welche jeweilig zu den hOchstm6glichen Ertr~gen gehsren, miteinander verbindet. Wir bezeichnen diese Kurve als die Kurve der gfinstigsten Richtungen, wobei wir beachten, dab wir die Richtung nicht l~ngs eines Kreises, sondern l~ngs der kostenindifferenten Kurve variieren lassen. Auf dieser Kurve mul~ auch der Punkt des giinstigsten Produktionsniveaus liegen. Da er aul~erdem auf der Kurve der giinstigsten Pr~176 dx 2 dx~<0; ~<0.

dx~

Hat z. B. die kostenindifferente Kurve auf der Achse Nr. 1 den Punkt kl und auf der Achse Nr. 2 den Punkt ks, so verl~uft sie ganz in dem Rechteek mit den Eckpunkten: (o, o), (k~, o), (ki, k,), (o, k~). Innerhalb dieses Rechtecks muB sie monoton abnehmen, kann abet im iibrigen beliebig verlaufen. ~) Sic kSnnen z. B. geschlossene Kurven sein, die um einen Punkt, den Maximalpunkt der Ertragsfunktion, gelegen sind.

64

Die Kosten in der verbundenen Produktion

keiten liegen muB, so erhalten wir ihn als den Schnittpunkt der Kurven tier gfinstigsten Richtungen und der gfinstigsten Produktionsl~ngen s [~0]. Ist insbesondere ffeie Konkurrenz gegeben, so erscheinen die ertragsindifferenten Kurven als parallele Geraden, welehe auf den Achsen l~r. 1 und l~r. 2 Stficke abschneiden, die sich umgekehrt verhalten wie die zugeh6rigen Preise. ~ Die Punkte der Kurve der gfinstigsten Richtungen ergeben sich als Tangentialpunkte dieser Geraden und der kostenindifferenten Kurven, wobei die kostenindifferente Kurve im fibrigen zwischen der Geraden und dem Nullpunkt verlaufen muB. H a t eine Gerade keinen solchen Tangentialpunkt mit einer Kurve, so liegt der zugeh6rige gfinstigste Richtungspunkt auf einer der beiden Achsen. Sind nun die kostenindifferenten Kurven konkav nach oben, so kann bei keiner Preiskombination ein Tangential~k~xk' \ \ \ \ punkt der bezeichneten Art vorkommen. 1) Hieraus folgt der Satz: \ N (XXXII) S i n d die k o s t e n i n d i f f e renten Kurven konkav nach oben, so k a n n in d e r f r e i e n K o n k u r r e n z niemals verbundene Produktion s o n d e r n es w i r d e n t rX t s t a t t f i n d e n , Kostenindifferente Kurven w e d e r d a s G u t Nr. 1 o d e r d a s G u t Ertragsindifferente Kurven Nr. 2 a l l e i n p r o d u z i e r t . Kurve der giinstigsten Prol~ebenstehende Zeichnung bringt die duktionsrichtungen Konstruktion 2) der Kurve der gfinstigsten Abb. 13 Riehtungen in der Konkurrenzwirtschaft. Diese Konstruktion ermSglieht fol, gende einfaehe Bestimmung des gfinstigsten Produktsvektors" Indem wir die beiden Indifferenz-Kurvenscharen fibereinanderlegen, erhalten wir die Verbindungslinie der Tangentialpunkte als geometrischen Ort ffir das gesuchte gfinstigste Produktionsniveau. Dieser geometrische Ort ist auch bei mehr als zwei Giitern eindimensional, ist also eine Raumkurve. Die beschriebene Konstruktion eliminiert aus dem Problem die unbekannte Richtung des g/instigsten Produktsvektors. Die Kurve der gtinstigsten l~iehtungen definiert die Richtung als eindeutige Funktion der L~nge. Beachten wir den Zusatz ~) zum Lehrsatz X X V I I I , so sehen wir, dab durch jene Konstruktion der allgemeine Fall der verbundenen Produktion auf den speziellen Fall des gebundenen Mengenverh~ltnisses und fiber diesen auf Grund des Lehrsatzes X X V I auf den Fall der 1) Hier wfirde n/~mlich die tangierende, ertragsindifferente Gerade zwischen der kostenindifferenten Kurve und dem Nullpunkt liegen, also gerade entgegengesetzt der aufgestellten Forderung. ~) Die Methode der Indifferenzkurven wurde in der theoretischen Okonomik erstmalig yon E d g e w o r t h und mit grundlegendem Erfolg yon Vflfredo P a r e t o angewendet (cf. V. P a r e t o , Manuel d'~conomie politique, Paris 1927, 2. ~d., pag. 540, Anm. 1). 3) S. 60 oben.

Die Kosten als nichttransformierte Punktion

65

einfaehen Produktion eines Gutes reduziert ist. L~ngs der Kurve der gfinstigsten Riehtungen wird die gfinstigste L~nge nach der Theorie der einfaehen Produktion bestimmt. Dies kann gesehehen, indem man die G e s a m t k o s t e n - u n d die Ertragsfunktion l~ngs jener Kurve betrachtet. Es kann aber aueh folgende Vereinfaehung vorgenommen werden: Wir greifen ein Gut, z. B. Nr. 1 heraus. Durch die Kurve der giinstigsten Produktionsriehtungen ist die Produktionsgeschwindigkeit des Gutes Nr.'2 als Funktion der Produktionsgeschwindigkeit des Gutes Nr. 1 definiert, Wir betrachten deshalb die Gesamtkosten und den Ertrag beider Giiter als Funktionen nur der Produktionsgesehwindigkeit des Gutes Nr. 1. Dadurch haben wir genau den allgemeinen Fall des einfaehen Angebotes und verfahren naeh den bekannten Regeln. w 3. Die Kosten als nichttransformierte Funktion der beiden Produktionsgeschwindigkeiten.

I.

In den beiden ersten Paragraphen w~hlten wir fiir die Darstellung der Theorie der verbundenen Produktion den Umweg fiber die Polarkoordinaten, weil wir nur so den Naehweis bringen konnten, dab die ffir die einfache Produktion ausgebildeten Denkformen auch f/Jr die verbundene giiltig sind. Ferner erlaubte uns dieser Umweg, die Beschreibung der Gesamtkostenfunktion im Falle der verbundenen Produktion einfacher und eingehender durchzufiihren als es sonst mSglich gewesen w~re. Es ist jedoch zuweilen vorteilhafter, die verbundene Produktion auf Grund des rechtwinkligen Koordinatensystems in ihrer Abh~ngigkeit yon den Produktionsgeschwindigkeiten der einzelnen Gfiter zu betrachten. Dies wird besonders im n~chsten Paragraphen der Fall sein, wo wir die Theorie der zwischenbetrieblichen Verrechnungspreise betrachten werden. Wir wollen deshalb in diesem Paragraphen Kosten und Ertrag als Funktionen der Produktionsgesehwindigkeiten des Gutes Nr. 1 und des Gutes Nr. 2 untersuchen. II. 1. Die Gesamtkostenfunktion ist hier: K -- K (xl, x~). Wir brauehen nichts fiber ihre Eigenschaften anzuffihren, da dies sich bereits aus den beiden vorhergehenden Paragraphen ergibt. I~ur eine Frage sei hier behandelt, n~mlich die, ob man die Gesamtkosten im allgemeinen Falle der verbundenen Produktion auf die einzelnen Produktionsgeschwindigkeiten sinnvo!l aufteilen kann. Ffir den Fall, dab die Gfiter in konstantem Verh~ltnis produziert werden, haben wir diese Frage oben verneint (cf. S. 57, Anm. 6.). Fiir den allgemeinen Fall gilt prinzipiell dasselbe. Zun~chst: Es ist stets unm6glich, die konstanten Kosten sinngem~ aufzuteilen. Bezfiglich der variablen Kosten gilt folgendes: Die variablen Kosten einer bestimmten Produktionsgeschwindigkeit miissen zwei Forderungen erffillen" sie mfissen anzeigen, wieviel eingespart wird, wenn diese Produktionsgeschwindigkeit nicht realisiert S t a c k e I b e r g, G r u n d l a g e n

5

66

Die Kosten in der verbundenen Produktion

wird; und sie m/issen angeben, wieviel geopfert werden muB, d a m i t eine solche Produktionsgesehwindigkeit realisiert werden kann. l~ur wenn die variablen Kosten so auf die beiden Giiter verteflt werden k6nnen, dab diese beiden Forderungen eindeutig erfiillt sind, kSrmen die beiden Tefle als variable Kosten jeder Produktionsgeschwindigkeit angesproehen werden. Es 1/iBt sich zeigen, dab eine solehe eindeutige Aufteflung der variablen Kosten nur darm mSglich ist, wenn die variable Kostenfunktion als Summe yon zwei Funktionen erseheint, yon denen die eine nur yon x 1 und die andere nur yon x+ abh/ingt, i) 2. Als Grenzkostenfunktionen des Gutes Nr. 1 bzw. l~r. 2 definieren wir die partiellen Ableittmgen der Gesamtkostenfunktion naeh x i bzw. nach x~. Wir bezeiehnen sie mit K' 1 und K'~. Beide Grenzkostenfunktionen sind im allgemeinen sowohl von x i als aueh yon x~ abh~ngig. Die Ableitungen dieser Funktionen naeh den beiden Variablen bezeichnen wir mit K " i i , K"i+, K"~I und K"+~, wobei wegen Regularit/it der Gesamtkostenfunktion die Gleichheit K " i ~ - - K " + i besteht. W i r bezeichnen K " 11 als Grenzkostensteigung des Gutes l~r. 1, K " 22 als Grenzkostensteigung des Gutes l~r. 2. Durchschnittsfunktionen wiirden sich analog definieren lassen, haben jedoch hier keine Bedeutung. III. Die Ertragsfunktion erscheint im Falle der freien Konkurrenz in der Form: E (Xl, x2)--- x I . P l Jr- Xg. P+.;

im ~alle des Monopols kann man einen allgemeinen Fall, we der Preis eines Gutes vom Angebot beider Gfiter abh/~ngt, und einen speziellen Fall, we der Preis nur vom Angebot seines Gutes abh~ngt, unterscheiden. Wit definieren die Begriffe ,,Grenzertrag" und ,,Grenzertragssteigung" ebenso wie die entsprechenden Begriffe ffir die Kosten. 1) Die variablen Kosten yon x 1 und x2 sind: K~x (xi, x+). Realisiert man x x nicht, so hat man die variablen Kosten: K~ (0, x~)' Man spart also ein: KII

(Xl, x 2 ) - KIt (0, x2).

Realisiert man x~ nicht, so spart man

KI[ (Xl, X2) - - KII (Xl, 0)

ein. Realisiert man weder x I noch x~, so spart man K~ (x i, x~)ein. Es ist nun abet im allgemeinen K,~ ( x , x~):F K . ( x . x . ) - - K , , (0, x . ) + KH ( x , x~)--K~, ( x . 0), d. h. also im allgemeinen: K~ (x,, x~):F K~ (x,, 0 ) + K~ (0, x~). Die Gleichheit besteh~ nur, wenn sich Kx, (x,, x~) als Summe yon Funktionen yon nut je einer Ver/inderlichen darstellen 1/iBt, wenn man also sohreiben kann: K,~ (x~, x,) = KH, 1 (x~) + K~,,, (x.). Also nut in diesem FaUe ist eine Zurechnung der variablen l~osten auf die einzelnen Giiter m6glich.

Die Kosten als nichttransformierte Funktion

67

Im Falle der freien Konkurrenz isg der Grenzergrag jedes Gutes dessen Preis, die Grenzergragssteigung gleich l~ull. Analog ergibg sich die Darstellung der Gewinnfunktion. IV Wir betrachten die Bestimmung des gfinstigsten Produktionsvektors im Falle der Konkurrenz, wobei wir die Komponenten dieses Vektors mit s 1 bzw. s 2 bezeichnen. Der Gewinn wird hier ein Maximum, wenn die beiden Gleichungen

PI -- K'I (sl, s2); P2-- K'2 (81, 82) erffillt sind, was eine einfache Differentiation 1) der Gewinnfunktion ergibg. Wit erhalgen so zwei Gleichungen, aus denen die beiden Unbekannten Sl und s2 zu berechnen sind. Diese Gleichungen beinhalten nachfolgenden, dem entsprechenden Sagz tier einfachen Produkgion nachgebildeten Lehrsagz: (XXXIII) L i e g t bei G e l g u n g des e r w e r b s w i r t s c h a f t l i c h e n Prinzips verbundene Produktion und freie Konkurrenz vor, so h a t j e d e s G u t im g i i n s t i g s g e n P r o d u k t i o n s n i v e a u Grenzk o s t e n , die d e m z u g e h ( i r i g e n P r e i s e g l e i c h s i n d . Eine weigere Bedingung fiir alas Maximum des Gewinnes isg, dal3 die Grenzgewinnsteigungen negativ sind. ~) Hieraus folgt ein dem entsprechenden Satz fiir das einfache Angebot analoger Lehrsatz: (XXXIV) U n g e r d e n V o r a u s s e t z u n g e n des S a t z e s X X X I I I s i n d die G r e n z k o s t e n s t e i g u n g e n im g i i n s t i g s t e n P r o d u k t i o n s niveau positiv. Die sich hieraus ergebenden Konsequenzen brauchen nicht besonders formuliert zu werden, da sie sich allgemeiner bereits aus der Betrachgung tier Polarkoordinaten ergeben. Die drigge Bedingung ffir das Gewimunaximum isg die, dab die H e s s e sche Determinante der Gewinnfunktion positiv isg. Diese Bedingung liiBt sich jedoch fiir die 0konomische Theorie nicht weiter auswerten. 1) Wit differenzieren: G (x, x2) = X l . P i + x2. P ~ - - K (xl, x,) nach x 1 und x~ und erhalten ~G t3G P1 K' 1; ~x~ P~ K' ~Xl Ffir x ~ - sl und x ~ - s2 miissen beide Ableitungen yon G verschwinden. 2) Es muB sein: x2t

und also:

__

K - -

~2G

~X22

-

-

I! 11

< 0

92<0

K"11 > 0 und K",, > O.

5*

68

Die Kosten in der verbundenen Produktion V$

Wir betractlten jetzt die Bestimmung des gfinstigsten Produktionsniveaus im Falle eines Monopols, und zwar unter a) fiir den allgemeinen und unter b) ffir den speziellen Fall. a) G (x 1, x g ) = x 1 . P l ( x l , xg) + x 2 . P ~ ( x 1, x 2 ) - - K ( x l , xg) G'I = x l . P'I, 1 + P1 -+- x~. P'~, 1 - K'I G'9-- x 1 . P'I, ~ + P~ + x2. P'9, 9 - - K ' ~ . Fiir das giinstigste Produktionsniveau gilt" K ' I - - P1 + s l . P'I, 1 + s~. P'~, 1 K'~ =

P~ + s 1 . P ' I , ~ + s ~ . P'9, 9..

P'I, 1 und P'9, ~ sind sieher negativ. Ob P ' I , , und P',, 1 negativ oder positiv sind, ergibt sieh aus unseren Ausffihrungen ill de r Anm. auf S. 17/18. Sind die beiden Gtiter l~r. 1 und Nr. 2 konkurrierend, so sind beide partiellen Ableitungen negativ; dann sind die Grenzkosten der gfinstigsten Produktionsgesehwindigkeit in diesem allgemeinsten Falle des Monopols sieher ldeiner als der Preis. Sind die beiden G/iter komplement/~r zueinander, so sind beide Ableitungen positiv; dann 1/~Btes sieh nioht entscheiden, ob die Grenzkosten kleiner oder gr6Ber sind als der Preis. Analoge Ergebnisse erhalten wit ftir den Fall, dab die beiden G/iter weder konkurrierend noeh komplement/~r sind, wenn wit die verschiedenen M6gliehkeiten der l~aehfrageelastizit/~t betraehten. Allgemein" Ist eine partielle Ableitung P'I, ~ bzw. P'9, 1 negativ, so ist der Monopolpreis P1 bzw. P, gr6Ber als die Grenzkosten der g/instigsten Produktionsgesehwindigkeit. Ist eine partielle Ableitung P'I, ~ oder P' 37 1 positiv, so 1/~Bt sieh fiber die Differenz zwischen Preis und Grenzkosten niehts aussagen.

b) Im speziellen Falle des Monopols ist: (x,, x~) = x l . P , (xl) + x~. P~ ( x ~ ) - K (xl, x~) G'I = P1 (xl) + xl" P1 ( x l ) - K'I G'~ -- P9 (xg) + x~. P~ ( x ~ ) - K'z. Hier sieht man sofort, dab die Grenzkosten des gfinstigsten Produktionsniveaus kleiner sind als der Preis. (Durch diese Ergebnisse wird die in den beiden ersten Paragraphen dargestellte Theorie in keiner Weise modifiziert, sondern nur erg/~nzt.) VI. Zum SchluB noch einige Worte zum Bedarfsdeckungsprinzip. Wir haben oben gesehen, 1) daI] es im Falle der verbundenen Produktion stets ein subsidii~res Prinzip erhalten muB, da es nur eine Aussage beziiglich der Produktionsl/~nge, nicht aber beziiglich der Produktionsriehtung enth~lt. Dieser Satz gilt natfirlicll nicht in dem Fall, wo die Mengen bereits vorher bestimmt sind. Hier hat das Bedarfsdeckungsprinzip zur 1) cf. S. 59, Anm. 3.

Theorie des zwischenbetrieblichen Verrechnungspreises

69

Folge, dab der Preis der Vektoreinheit den Durchschnittskosten 1) im betreffenden Produktionsniveau gleich ist. Eine Bestimmung der Preise der einzelnen Giiter Nr. 1 und Nr. 2 ist aus dem Bedarfsdeckungsprinzip nicht mOglich. w 4. Theorie des zwischenbetrieblichen Verrechnungspreises.

I. Wir wollen jetzt ein Problem behandeln, das sowohl volkswirtschaftlick als auch betriebswirtschaftlich von Wichtigkeit ist. Es ist das Problem des zwischenbetrieblichen Verrechnungspreises, das wir bier allerdings nur ganz allgemein und grundsi~tzlich betrachten wollen. Wir denken uns eine erwerbswirtschaftliche Unternehmung, die folgenden Aufbau zeigt" Sie besteht aus zwei Betrieben" Betrieb Nr. 1 und Betrieb Nr. 2. Betrieb 1 stellt das Gut Nr. 1 her, das vom Betriebe 2 als Produktionsmittel, z. B. als Betriebsstoff verwendet wird; Betrieb 2 stellt das Gut Nr. 2 her, das er auf dem Markte anbietet. Ganz allgemein gesehen, handelt es sich hier um die Produktion yon zwei Giitern dureh eineUnternehmung, also um einen Spezialfall der verbundenen Produktion. Die beiden Betriebe erscheinen jedoch als durchaus selbst~ndig. Sie kSnnten auch zwei unabh~ngige Unternehmungen bilden und durch den Markt getrennt sein, wobei dann der Betrieb Nr. 1 vielleicht Lieferant des Betriebes Nr. 2 sein wiirde. Wir wollen weiter annehmen, dab der Betrieb Nr. 2 dem Betriebe Nr. 1 fiir die gelieferten Produkte Nr. 1 einen Preis bezahlt. Diesen Preis bezeichnen wir als Verrechnungspreis. Auf diese Weise soU erreicht werden, da$ der Betrieb Nr. 2 eine selbst~ndige Koster~rechnung hat und seine ProdUktionsgeschwindigkeit danach auf Grund der allgemeinen Kostengesetze reguliert. Wir fragen uns nun, - - und die Beantwortung dieser Frage ist die eigentliche Aufgabe dieses Paragraphen, - wie hoch dieser Verrechnungspreis sinngem~$ sein mu$. Damit ist eine weitere Frage verbunden: Wie reguliert sich die Produktionsgeschwindigkeit des Betriebes Nr. 1 ? Die Beantwortung dieser beiden Fragen wollen wir schrittweise erreichen, indem wir mit vereinfachten Voraussetzungen begirmen. II. Wir nehmen zun~chst an, dab das Produkt Nr. 1 nicht marktgi~ngig is$, da$ es also weder gekauft noch verkauft werden kann. Der Betrieb Nr. 1 produziert gerade soviel yon seinem Produkt Nr. 1, als der Betrieb Nr. 2 yon ibm anfordert. Der Betrieb Nr. 2 produziert das Gut Nr. 2 und bringt es auf den NIarkt. Die Gesamtunternehmung erscheint somit Ms Produzent nur des einen Gutes Nr. 2. Um zu bestimmen, wieviel yon 1) Also :

K (xl, x~.) l/x~.~ + x,~

70

Die Kosten in der verbundenen Produktion

diesem Gute die Gesamtunternehmung produzieren muB, um den h6chstmSglichen Gewinn zu erzielen, um also die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit der Gesamtunternehmung zu bestimmen, brauchen wir die Zweiteflung dieser Unternehmung in die beiden Betriebe gar nicht zu beriicksichtigen. Wir kSlmen die Gesamtkosten dieser Unternehmung als Produzenten des Gutes Nr. 2 feststellen und errechnen die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit in bekannter Weise auf Grund des Fundamentalsatzes des erwerbswirtschaftlichen Prinzips. Dies ist der Ausgangspunkt. Es gilt nun die Forderung, dab der Verrechnungspreis zwischen dem Betrieb Nr. 1 und dem Betrieb Nr. 2 so beschaffen sein muB, dab der Betrieb ~r. 2 unter Befolgung der Kostengesetze gerade die Produktionsgeschwindigkeit 8 und keine andere realisiert. Denn wiirde er eine andere Produktionsgeschwindigkeit realisieren, so wiirde der erzielte Gesamtgewinn kein Maximum darstellen kSnnen. Ein Verreehnungspreis, der die Kostengestaltung des Betriebes Nr. 2 dahin beeinfluBt, daB eine andere Produktionsgeschwindigkeit realisiert wird als die fiir die Gesamtunternehmung giinstigste Produktionsgeschwindig. keit 8, muB demnach als falsch bezeichnet werden. Das Produkt der Gesamtunternehmung ist identisch mit dem Produkt des Betriebes Nr. 2. Die Gesamtunternehmung tritt durch den Betrieb Nr. 2 in Verbindung mit dem NIarkt. Da der Betrieb Nr. 2 sich nach den allgemeinen Kostengesetzen richten soll, so ergibt sieh fiir diesen Betrieb als Bestimmungsgrund des Produktionsniveaus der Fundamentalsatz des erwerbswirtsehaftliehen Prinzips. Die Grenzkosten des Betriebes Nr. 2 miissen dem Grenzertrag gleich sein, wenn der Betrieb Nr. 2 die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit 8 realisiert. Da aber der Grenzertrag der Produk. tionsgeschwindigkeit 8 den Grenzkosten der Gesamtunternehmung gleich ist und da ferner jene Forderung fiir jede beliebige Ertragsfunktion, der sieh die Unternehmung gegeniiber sehen kSnnte, gilt, so erhalten wir die wichtige Feststellung, dab die Grenzkosten der Gesamtunternehmung und die Grenzkosten des Betriebes Nr. 2 einander stets gleich sein miissen, dab also die Grenzkostenfunktionen der Gesamtunternehmung und des Betriebes ~r. 2 identiseh sind. Das bedeutet aber (da die Grenzkostenfunktionen Ableitungen der Gesamtkostenfunktionen sind), dab die Gesamtkostenfunktionen der Gesamtunternehmung und des Betriebes Nr. 2 bis auf eine willkiirliche Konstante einander gleich sein miissen. Betrachten wir diese beiden Gesamtkostenfunktionen etwas genauer. Sie setzen sich aus ganz gleichen Posten additiv zusammen bis auf die Kosten des Produkts Xr. 1, das der Betrieb Nr. 1 herstellt. Hier enth~lt die Gesamtkostenfunktion der Gesamtunternehmung die Gesamtkostenfunktion des Betriebes hTr. 1, w~hrend die Gesamtkostenfunktion des Betriebes Nr. 2 an derselben Stelte das Produkt aus der vom Betrieb Nr. 1 hergestellten BIenge und dem Verrechnungspreis enth~lt. Unsere obige Feststellung reduziert sich somit auf den Satz" die Gesamtkosten des Betriebes Nr. 1 und das Produkt aus der Produktionsgeschwindigkeit des Betriebes hTr. 1 und dem Verrechnungspreis miissen einander fiir alle Produktionsgeschwindigkeiten des Betriebes hTr. 1 bis auf eine willkiirliche

Theorie des zwischenbetrieblichen Verrechnungspreises

71

Konstante gleich sein. Wir dfirfen, ohne dab sich etwas am Gesamtgewinn der Unternehmung ~ndert, diese Konstante gleich Null setzen. Dann sind die Gesamtkosten des Betriebes Nr. 1 dem Produkt aus Produktionsgeschwindigkeit des Betriebes Nr. 1 und Verrechnungspreis gleieh. Wit erhalten so den wiehtigen Satz" (XXXV) D e r V e r r e c h n u n g s p r e i s , den i n n e r h a l b einer g e s c h l o s s e n e n U n t e r n e h m u n g ein B e t r i e b Nr. 1 e i n e m B e t r i e b Nr. 2 in I ~ e e h n u n g s t e l l t , i s t u n t e r d e r V o r a u s s e t z u n g , d a b d a s P r o d u k t des B e t r i e b e s Nr. 1 n i e h t m a r k t g ~ n g i g i s t , d e n Durchsehnittskosten des B e t r i e b e s Nr. 1 gleieh. Anders ausgedrfickt: D e r B e t r i e b Nr. 1 b e l i e f e r t d e n B e t r i e b Nr. 2 n a e h dem Bedarfsdeckungsprinzip. Zusatz: Das e r w e r b s w i r t s e h a f t l i c h e P r i n z i p b l e i b t in b e z u g a u f die G e s a m t u n t e r n e h m u n g g e w a h r t , w e n n m a n z u m Verrechnungspreis den Q u o t i e n t e n aus einer beliebigen p o s i t i v e n o der n e g a t i v e n K o n s t a n t e n und der P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t des B e t r i e b e s Nr. 1 a d d i e r t . Gleichzeitig ist auch die yore Betriebe Nr. 1 realisierte Produktionsgeschwindigkeit bestimmt. Sie ist identisch mit der vom Betriebe Nr. 2 in der Zeiteinheit angeforderten Menge des Produktes Nr. 1. III. Wir ~ndern jetzt eine Voraussetzung. Wir wollen annehmen, dab auch das Produkt Nr. 1 marktg~ngig ist, da~ also auch dieses Produkt gekauft und verkauft werden kann. Durch diese Voraussetzung wird die Sachlage komplizierter. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dal~ freie Konkurrenz herrscht. Zun~chst wollen wir etwas genauer das Ergebnis des vorigen Abschnittes vor Augen ffihren, Wir haben gesehen, dab in dem dort behandelten Falle der ganze Gewinn bis auf eine Konstante beim Betriebe Nr. 2 erscheinen muBte, damit dieser Betrieb die fiir die ganze Unternehmung gfinstigste Produktionsgeschwindigkeit realisierte. Dieses Prinzip ist Mlgemeingfiltig. Tats~chlich muB stets der Gesamtgewinn einer Unternehmung als Einheit auftreten. Es gilt ffir jede erwerbswirtschaftliche Produktion der Satz" (XXXVI) Die g f i n s t i g s t e n P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t e n zweier Unternehmungen sind einander dann gleich, wenn s i c h i h r e G e w i n n f u n k t i o n e n n u r u m eine y o n d e n P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t e n u n a b h ~ n g i g e GrS~e, also u m eine Konstante unterscheiden. Das bedeutet in der Anwendung auf das bier behandelte Problem, dal~ die Gewinnfunktionen des Betriebes Nr. 2 und der Gesamtunternehmung nur um eine Konstante verschieden sein dfirfen; dab also der Betrieb Nr. 1 hochstens einen Gewinn erhalten darf, der yon der Produktion Nr. 2 unabh~ngig ist. Jedenfalls wird also das 5konomische

72

Die Kosten in der verbundenen Produktion

Prinzip gewahrt, wean der Verreehnungspreis so gesetzt wird, dal3 der Betrieb /gr. 1 gar keinen Gewinn erh~lt. Dieser Verrechnungspreis, der eine spezielle Lssung unserer Aufgabe darstellen wiirde, daft dahin modifiziert werden, dal3 der Betrieb lgr. 1 einen konstanten Gewinn erh~lt. Wir wollen uns im folgenden zuniiehst nach der erwi~hnten speziellen L6sung fragen. Die allgemeine ergibt sich dann durch eine einfaehe Erweiterung. Wir wollen also zusehen, wie sieh die Dinge gestalten, wean beide Giiter marktgi~ngig shad. In diesem Falle brauehen die in der Zeiteinheit vom Betriebe /gr. 1 hergestellten und die in derselben Zeiteinheit vom Betriebe BTr. 2 angeforderten NIengen des Produktes lgr. 2 nieht iibereinzustimmen. Deshalb wollen wir die in der Zeiteinheit vom Betrieb lgr. 1 hergestellte 5Ienge mit xl, die vom Betriebe 2~r. 2 angeforderte ~ e n g e mit y und die vom Betriebe lgr. 2 hergestellte 5ienge mit x2 bezeichnen. Die erste grundlegende Feststellung ist, dab der Betrieb lgr. 1 in unserem Falle (also bei freier Konkurrenz und NIarktg~ngigkeit des Gutes lgr. 1) beziiglieh der yon ihm realisierten Produktionsgesehwindigkeit, also bezfiglieh xl, vom Betriebe ~r. 2 und yon der angeforderten Produktionsgesehwindigkeit y vSllig unabhiingig ist. Er mul~ stets die Produktionsgeschwindigkeit realisieren, deren Grenzkosten dem Preise P1 seines Gutes gleich sind. Wir bezeichnen diese Produktionsgesehwindigkeit mit s 1. ist ni~mlich y kleiner als s 1, so erzielt der Betrieb Nr. 1 durch zusi~tzliche Produktion yon s 1 - - y einen Gewinn, ohne dab sich der Gewinn des Betriebes BTr. 2 iindert. Ist y grSBer als s~, so hat der Betrieb lgr. 1 geringere Kosten, wean er y - 81 zu s 1 hinzukauft, als wean er die Differenz selbst produziert. Hieraus folgt, dal~ die Gesamtkosten des Betriebes lgr. 1, die wir mit K 1 (xl) bezeichnen, Unabh~ngig yon y, stets, K 1 (sl) betragen. Hiervon geht ab der ErlSs aus demVerkauf yon s 1 m y, bzw. kommt hinzu die Kaufsumme fiir den Zukauf yon y m sl; in beiden Fiillen ist also ( y - sl). P1 zu addieren. Der Saldo des Betriebes BTr. 1 vor der Bezahlung yon y betriigt somit: K1 (sl) + ( Y - - s l ) . P1. Dieser Saldo kalm positiv oder negativ sein. Im ersten Falle bedeutet er Kosten, im zweiten Gewinn. Damit nun der Betrieb/gr. 1 ohne Gewinn und olme Verlust bleibt, muB die Summe, die der Betrieb BTr. 1 dem Betriebe/gr. 2 in Reehnung zu stellen hat und die sieh als Produkt aus dem Verrechnungspreis V und der angeforderten NIenge y ergibt, dem obigen Saldo gleich sein. Der Verreehnungspreis karm hiebei positiv, also vom Betrieb BTr. 2 an den Betrieb BTr. 1 zu zahlen, oder negativ, also vom Betrieb/gr. 1 an den Betrieb hTr. 2 zu zahlen sein. Somit haben wir: y . V - - K 1 (sl) -+- ( y -

sl). P r

:Nun ist dies nicht die einzig msgliche LSsung fiir die Bestimmung des Yerrectmungspreises V. Wir wissen, dab sich der Gewinn des Betriebes

Theorie des zwischenbetrieblichen Verrechnungspreises

73:

l~r. 2 um eine Konstante vom Gewinn der Gesamtunternehmung unterscheiden kann. D. h. in der Rechnung des Betriebes l~r. 1 daft ein kon. stanter Gewirm erscheinen. Ein solcher konstanter, d. h. yon y und yon x~ unabh~ngiger Gewirm ist der Betrag, den der Betrieb l~r. 1 gewinnen (bzw. verlieren) w/irde, wenn er die ganze l~enge s 1, auf dem l~arkte verkaufen w/irde, also s l P 1 - - K 1 (sl). Diesen Gewinn addieren wir zu dem Betrag, den der Betrieb Nr. 1 dem Betriebe lqr. 2 in Rechnung stellt. Dann haben wir" y . V - - K 1 (81) -~-y. P1 ---81 P1 + s l . P 1 V-- Pr

K1 (81)-- Y. P r

Wit erhalten so als Ergebnis dieses Absehnittes den Satz" (XXXVII) I s t d a s G u t des B e t r i e b e s Nr. 1 m a r k t g ~ n g i g , u n d h e r r s c h t a u f s e i n e m l~Iarkte f r e i e K o n k u r r e n z , so i s t der Verrechnungspreis d e m l ~ a r k t p r e i s e g l e i c h . Dies ist die spezielle LSsung des Problems; die allgemeine ergibt sich durch den Zusatz" D e r V e r r e c h n u n g s p r e i s k a n n sich v o m l ~ a r k t p r e i s um den Quotienten aus einer beliebigen Konstanten und d e r in d e r Z e i t e i n h e i t v o m B e t r i e b e l~r. 2 a n g e f o r d e r t e n Ylenge u n t e r s c h e i d e n . Wir sehen also" Unter den gemachten Voraussetzungen ist es gleiehg/iltig, ob die beiden Betriebe untereinander verbunden oder durch den Markt getrennt siud. IV. Herrscht auf dem N[arkte des Produktes l~r. 1 das l~onopol (wit nehmen den speziellen Fall, wo der Preis nur yon der l~enge s e i n e s Gutes abh/~ngt), so ist der l~arktgewinn des Betriebes Nr. 1" (sl ~ Y) 9P1 (sl ~ Y) -- K1 (sl) wobei sich s 1 als Funktion yon y aus der Forderung ergibt, dab dieser Gewinn ein Maximum wird, also aus der Gleichung (s 1 - - y) 9P'

1 (sl ~

Y) +

P1 (sl

~

Y)~

K' 1

(sl)=

O.

Hier ist s 1 abh~ngig yon y, also i m allgemeinen verschieden yon der Produktionsgeschwindigkeit, die realisiert werden wiirde, wenn der Betrieb Nr. 1 selbst/~ndig wi~re. Da somit auch der NIarktgewinn yon y abhi~ngig ist, so ist auch der Verrechnungspreis yon y abhiingig. Es gilt "~ y. V : K l(sl)~(s l~y).Pl(sl~y) - - K 1 ( s l ) - s l . P1 ( 8 1 - Y) + Y" P1 ( s l - Y) V ~ P1 ( s l - Y) Sl. P1 ( s l - Y) - - K1 (sl) Y P1 ( S l - Y) ist der Marktpreis des Gutes Nr. 1. Er ist um den Betrag s l . P1 ( s l -

Y ) - K1 (Sl) Y

74

Die Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft

grSBer als der Verrechnungspreis V. Der Zs dieses Ausdruckes ist yon y abhs es ist, anders als im Falle der freien Konkurrenz, nicht mSglich, den Verrechnungspreis dadurch dem Nlarktpreis anzugleichen, dab man fiir den Betrieb Nr. 1 einen konstanten Gewinn festsetzt. Somit erhalten wir im Falle des Monopols ein wesentlich anderes Ergebnis als im Falle der Konkurrenz auf dem Markte des Gutes l~r. 1. Der Verrechnungspreis ist n~mlich im Falle des NIonopols vom NIarktpreis wesentlich verschieden. Dieses Ergebnis fiihrt zu einer wichtigen Erkenntnis. W~re der Verrechnungspreis auch im Falle des N[onopols dem Marktpreis im wesentlichen gleich, so kOnnte der Betrieb Nr. 1 so produzieren, als ob er mit dem Betrieb l~r. 2 keine gemeinsame Unternehmung bildete, sondern ihm gegeniiber ein selbst~ndiges 6konomisches Interesse aufwiese. DaB dies nicht der Fall ist, bedeutet, dab der Gewinn der Gesamtunternehmung, also der beiden interessenms verbundenen Betriebe grSBer ist als die Summe ihrer Gewinne, wenn sie voneinander unabh~ngig w~ren. Wir kSnnen den Satz formulieren: (XXXVIII) I s t ein G u t N r . 1 P r o d u k t i o n s m i t t e l e i n e s G u t e s Nr. 2 u n d i s t d e r N I a r k t des G u t e s l~r. 1 m o n o p o l i s i e r t , so i s t der Gesamtgewinn der Unternehmung, die d a s G u t l~r. 1 produziert, und einer Unternehmung, die d a s G u t l~r. 2 produziert, gr6Ber, wenn beide Unternehmungen eine Gesamtunternehmung b i l d e n , als w e n n sie v o n e i n a n d e r una b h ~ n g i g sind. V. Fiir den Fall, dab der Betrieb Nr. 1 mehrere Giiter produziert, lgBt sich auf Grund der Theorie des verbundenen Angebotes sofort die Analogie zum l~all des einfachen Angebotes herstellen. Soweit diese Giiter nicht marktg~ngig sind, l~Bt sich ein Verrechnungspreis nur in dem Sinne konstruieren wie die Durchschnittskosten. Sind die Giiter marktg~ngig, so sind ihre Verrechnungspreise im Falle freier Konkurrenz den entsprechenden Marktpreisen gleich. 1) Viertes Kapitel.

Die Entwicklung der Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft. Die Gestalt der Kostenkurven ist ein wesentliches regulierendes Moment der Produktion einer Unternehmung; und da die Gesamtheit der Unternehmungen die Produktion der Volkswirtschaft darstellt, so ist die Gestalt der Kostenkurven mitsamt den sich aus ihr ergebenden ~) Der etwas komplizierte Sachverhalt dieses Paragraphen bedarf zur genaueren Darstellung und Begriindung der mathematischen Denkformen.

74

Die Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft

grSBer als der Verrechnungspreis V. Der Zs dieses Ausdruckes ist yon y abhs es ist, anders als im Falle der freien Konkurrenz, nicht mSglich, den Verrechnungspreis dadurch dem Nlarktpreis anzugleichen, dab man fiir den Betrieb Nr. 1 einen konstanten Gewinn festsetzt. Somit erhalten wir im Falle des Monopols ein wesentlich anderes Ergebnis als im Falle der Konkurrenz auf dem Markte des Gutes l~r. 1. Der Verrechnungspreis ist n~mlich im Falle des NIonopols vom NIarktpreis wesentlich verschieden. Dieses Ergebnis fiihrt zu einer wichtigen Erkenntnis. W~re der Verrechnungspreis auch im Falle des N[onopols dem Marktpreis im wesentlichen gleich, so kOnnte der Betrieb Nr. 1 so produzieren, als ob er mit dem Betrieb l~r. 2 keine gemeinsame Unternehmung bildete, sondern ihm gegeniiber ein selbst~ndiges 6konomisches Interesse aufwiese. DaB dies nicht der Fall ist, bedeutet, dab der Gewinn der Gesamtunternehmung, also der beiden interessenms verbundenen Betriebe grSBer ist als die Summe ihrer Gewinne, wenn sie voneinander unabh~ngig w~ren. Wir kSnnen den Satz formulieren: (XXXVIII) I s t ein G u t N r . 1 P r o d u k t i o n s m i t t e l e i n e s G u t e s Nr. 2 u n d i s t d e r N I a r k t des G u t e s l~r. 1 m o n o p o l i s i e r t , so i s t der Gesamtgewinn der Unternehmung, die d a s G u t l~r. 1 produziert, und einer Unternehmung, die d a s G u t l~r. 2 produziert, gr6Ber, wenn beide Unternehmungen eine Gesamtunternehmung b i l d e n , als w e n n sie v o n e i n a n d e r una b h ~ n g i g sind. V. Fiir den Fall, dab der Betrieb Nr. 1 mehrere Giiter produziert, lgBt sich auf Grund der Theorie des verbundenen Angebotes sofort die Analogie zum l~all des einfachen Angebotes herstellen. Soweit diese Giiter nicht marktg~ngig sind, l~Bt sich ein Verrechnungspreis nur in dem Sinne konstruieren wie die Durchschnittskosten. Sind die Giiter marktg~ngig, so sind ihre Verrechnungspreise im Falle freier Konkurrenz den entsprechenden Marktpreisen gleich. 1) Viertes Kapitel.

Die Entwicklung der Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft. Die Gestalt der Kostenkurven ist ein wesentliches regulierendes Moment der Produktion einer Unternehmung; und da die Gesamtheit der Unternehmungen die Produktion der Volkswirtschaft darstellt, so ist die Gestalt der Kostenkurven mitsamt den sich aus ihr ergebenden ~) Der etwas komplizierte Sachverhalt dieses Paragraphen bedarf zur genaueren Darstellung und Begriindung der mathematischen Denkformen.

Die Regulierung der statischen Wirtschaft

75

Gesetzen ein wichtiger Konstruktionsbestandteil des sozialSkonomischen Systems. Auf dessen Bedeutung hinzuweisen ist die Aufgabe dieses SchluBkapitels. Die Theorie der verbundenen Produktion, insbesondere Satz XXX, erlaubt uns, fiir alle Produktionszweige einer Volkswirtschaft das~Bild tier einfachen Produktion zugrunde zu legen. AUe Aussagen iiber die Volkswirtschaft, die auf der Annahme der einfachen Produktion beruhen, werden durch die Tatsaehe, dab auch verbundene Produktion existiert, nicht ge~ndert' sie brauchen nach dem genannten Satz nur erg~nzt ,zu werden. Diese Feststellung ermSglicht uns eine grofle Vereinfachung
I. Wir haben im zweiten Kapitel gesehen, wie ein gegebenes allgemeines Preisniveau das Verhalten einer Unternehmung bestimmt. Es sind zun~chst die Gesamtkosten- und die Ertragsfunktion der Unternehmung :gegeben. 9) Der Fundamentalsatz der erwerbswirtschaftlichen Produkt i o n - in seiner Anwendung auf die Konkurrenzwirtschaft, also (XVI) --bestimmt die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit und somit das Angebot 3) der Unternehmung, das durch einen wohlbestimmten Auf-

1) A. Marshall, 1. c. S. 369 bis 371: ,,station~rer Staat". Cf. auch J. B. Clark, ,,Essentials of economic theorie", 1922, pag. 132: ,,Imaginary static society". 9) cf. Kap. 1, w 1, III. 8) cf. Kap. 2, w II am Schlul~.

76

Die Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft

wandsvektor realisiert wird. 1) Dieser stellt nichts anderes dar, als die Xachfrage, welche bei dem angenommenen Preisniveau yon der Unternehmung entfaltet wird. Somit bestimmt das Preisniveau Angebot: und Nachfrage jeder Unternehmung. Wir fassen den Begriff ,,Preis '' w e i t - im Sinne Cassels --, rechnen also Lohn, Zins und Rente dazu. Das Preisniveau bestimmt auch das ,,individuelle Gleichgewicht" eines. jeden Konsumenten, somit dessen Angebot und Nachfrage. Summieren wir die nachgefragten Mengen eines jeden Gutes fiber die nachfragenden Unternehmungen und Individuen, so erhalten wir die Gesamtnachfrage dieses Gutes in der betrachteten Sozialwirtschaft. Die Gesamtnachfragemengen aller Gfiter fassen wir zum ,,Nachfragevektor" zusammen. ~) In ganz analoger Weise erhaI~en wir den ,,Angebotsvektor". Beide sind vom jeweils angenommenen Preisniveau oder in mathematischer Terminologie vom jeweils angenommenen Preisvektor 3) abhi~ngig. Bei einem beliebig angenommenen Preisvektor wfirden die zugehSrigen Vektoren der Nachfrage und des Angebotes im allgemeinen verschieden sein. Die Konkurrenzgesetzlichkeit bewirkt j e d o c h - das. dfirfen wir als sichere Erkenntnis der gesamten modernen Wirtschaftstheorie ohne n~here Begrfindung b e h a u p t e n - das Zustandekommen eines Preisniveaus, bei welchem Angebot und ~achfrage einander gleich sind. Aus der Gleichsetzung der Nachfrage- und Angebotsvektoren erhalten wir somit mathematisch die Bestimmung des Gleichgewichtspreisvektors. Diese Bestimmung ist allerdings nur bis a u f einen Proportionalit~tsfaktor eindeutig: alle Preisvektoren, die untereinander bis auf einen Proportionaliti~tsfaktor gleich sind, haben n~mlich den-. selben ~achfrage- und denselben Angebotsvektor. Jener Proportionalit~tsfaktor bestimmt die Kaufkraft der Geldeinheit. Er steht im Belieben der GeldschSpfung. Die Gleichsetzung der beiden genannten Vektoren ist die Gleichgewichtsbedingung ffir unsere sozialSkonomische Konstruktion. Dadurch sind neben den Preisrelationen in engerem Sinn alle Einkommen, alle im einzelnen nachgefragten und angebotenen Mengen, alle Gewinne und fiberhaupt die ganze 5konomische Lage jeder Unternehmung und jedes Individuums bestimmt. Diese Lage der einzelnen Unternehmung i s t - bei unserer Annahme einer zuf~lligen GrSBe und A n z a h l - sehr verschieden. Ein Teil produziert fiberhaupt nicht, sondern liegt still, weil die ,,Minimalpreise" dieser Unternehmungen fiber den Marktpreisen ihrer Produkte liegen; wir kSnnen solche Unternehmungen aus unserer Betrachtung ausschliel~en; sie haben fiir die Gesamtwirtschaft lediglich durch ihre Betriebsanlagen eine Bedeutung und sind hiebei den ,,aufzubrauchenden Vorr~ten" zuzurechnen. Ein anderer Teil produziert,~ befindet sich jedoch in Kostendegression und erleidet Verluste; die ,,Quasirente" (in Marshallschem Sinne), die sie erwirtschaften, reicht ~) cf. start aller: P a r e t o , Manuel, chap. III, insbesondere Nr. 10@ bis 133. 2) cf. Kap. 1, w 1, II. 8) cf. Kap. 1, w2, IV.

Die Regulierung der statischen Wirtschaft

77

zur Deckung der konstanten Kosten nicht aus. Ein dritter Teil endlich befindet sich in Kostenprogression und erzielt fibernormale Gewinne; wegen einer besonders fortschrittlichen technischen Ausrfistung, besonders giinstigen Lage, besonders tfichtigen Leitung usw. liegt der Optimalpreis dieser Unternehmungen unter dem Marktpreis; ihre ,, Quasirente" fibersteigt die konstanten Kosten. Zwischen den beiden letztgenannten Gruppen kSnnen sich auch Unternehmungen befinden, deren gfinstigste Produktionsgeschwindigkeit zufi~llig mit ihrem Optimum zusammenfiillt. II. Wir lassen nun die Voraussetzung einer yon auBen her bestimmten Anzahl und GrSBe der Unternehmungen fallen. D. h. : wir nehmen wohl als Ausgangslage eine bestimmte Verteilung der Unternehmungen an, unterstellen jedoch diese der Einwirkung der 5konomischen Kr~fte, die unsere sozialSkonomische Konstruktion aufweist. In diesem Falle kSnnen wir feststellen, dab das yon uns soeben charakterisierte Gleichgewicht nur ein kurzfristiges - - ein Gleichgewicht ,,in the short run" - ist. I m Augenblick, wo wir unser System yon der ,,Fessel" einer unver:~nderlichen Verteilung des Produktionsapparates befreit haben, setzt ein UmschichtungsprozeB ein" erstens innerhalb eines jeden Produktionszweiges, zweitens zwischen den Produktionszweigen. Die bewegende Kraft ist das Gewinnstreben der einzelnen Wirtschaftsindividuen. Innerhalb der einzelnen Produktionszweige beginnt jede Unternehmung danach zu streben, ihren Produktionsapparat zu verbessern, ihre ,,iiu~eren und inneren Vorteile" (Marshall) zu erhShen, um so ihren Gewinn zu vergrSl~ern. Man sucht den bei den gegebenen technischen und sozialen Verh~ltnissen bestmSglichen Produktionsapparat zu erzielen. Veraltete Maschinen werden durch neue ersetzt, neue Produktionsverfahren werden eingeschlagen, aus Unternehmungen mit ungiinstigem Standort wird das Kapital herausgezogen und an gfinstiger gelegenen Stellen neu investiert; Produktionszweige mit geringerer GewinnmSglichkeit werden verlassen und solche mit besseren Aussichten werden aufgesucht; Unternehmungen, die mit diesem Umstellungsvorgang nicht Schritt halten kSnnen, brechen zusammen. Den Kapitaltranspositionen schlieBen sich Wanderungen der BevSlkerung an. So entsteht ein weitreichender und komplizierter UmstellungsprozeB; er endet in der Errichtung eines dauernden G l e i c h g e w i c h t e s - eines Gleichgewichtes ,,in the long run". Um die Haupttendenzen dieses Vorganges aufzuzeigen, wenden wir wieder das isolierende Verfahren an. Wir schlieBen zun~chst eine Umschichtung yon Boden, Arbeit und Kapital zwischen den Produktionszweigen aus und nehmen an, da~ die einzelnen Produktionsfaktoren in sich homogen seien. Die Unternehmert~tigkeit betrachten wir einfach als eine besondere Bet~tigungsform der Arbeit. In diesem Falle wird sich im Endresultat innerhalb eines jeden Produktionszweiges ein einheitlicher Satz fiir Rente, Zins und L o h n - auch Unternehmerlohn

78

Die Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft

herausbilden. Andere Einkommensarten kSnnen hier nicht entstehen. Jeder Unternehmer verdient dasselbe, was jeder Arbeiter erh~lt. Alle Unternehmungen sind einander vSllig angeglichen. Sie haben alle das hSchstmSgliche technische Niveau. Der ErlSs l~Bt sich ganz in Rente, Zins und Lohn auflSsen. Betrachtet m a n - was ohne weiteres als notwendig einleuchtet - - diese drei Einkommensarten als Kostenbestandteile, so ergibt sich fiir jeden Produktionszweig, dal~ der GesamterlSs einer jeden Unternehmung ihren Gesamtkosten gleich ist. Wir kSnnen also den wichtigen ~Satz formulieren" (XXXIX) I m s t a t i s c h e n G l e i c h g e w i c h t b e f i n d e t sich j e d e U n t e r n e h m u n g im B e t r i e b s o p t i m u m . 1) Lassen wir jetzt die Isolierung der einzelnen Produktionszweige fallen, so wird sich eine Umlagerung der Produktionsfaktoren yon einem Zweig zum anderen feststellen lassen, bis iiberall der gleiche Satz fiir Rente, Zins und Lohn herrscht und das ganze vorhandene Angebo~ an Produktionsfaktoren produktiv verwertet ist. Das fiir den einzelnen Produktionszweig Gesagte gilt nun gleichm~Big ffir die ganze Sozialwirtschaft. Das allgemeine Preisniveau bestimmt jetzt die giinstigste Struktur eines Betriebes oder, wie wir uns etwas ungenauer aber gel~ufiger ausdriicken kSnnen, die BetriebsgrSl~e; diese kSnnen wir einerseits durch die aufgewandte Menge an Boden, Kapital und Arbeit, andererseits durch die zugehSrige optimale Produktionsgeschwindigkeit charakterisieren. Das Preisniveau bestimmt ferner die Nachfrage nach dem betreffenden Produkt. Die in jeder Zeiteinheit nachgefragte Menge dividiert durch die optimale Produktionsgeschwindigkeit ergibt die Anzahl der Unternehmungen; auch diese h~ngt somit vom Preisniveau ab. Da die :Anzahl immer eine ganze Zahl ist, so gelten unsere Aussagen nur dann genau, wenn die nachgefragte Menge gerade ein ganzzahliges Vielfaches der optimalen Produktionsgeschwindigkeit ist. l~ehmen wir diese als verh~ltnism~Big sehr klein an ~ was wir auch als notwendige Voraussetzung ffir die ,,freie Konkurrenz" tun m i i s s e n - so kSnnen wir die Ungenauigkeit einer Verallgemeinerung mit in Kauf nehmen und unsere Aussagen ohne Einschr~nkung machen. Durch die Anzahl der Unternehmungen, die wir uns einbetrieblich vorstellen und die alle im Betriebsoptimum produzieren, ist der Bedarf eines jeden Produktionszweiges an Arbeit, Kapital und Boden bestimmt. Er mulil sich mit dem vorhandenen Angebot an Produktionsfaktoren decken. Tut er das nicht, so werden die Preise der knappen Produktionsfaktoren steigen, der reichlich vorhandenen sinken, bis das Gleichgewicht erreicht ist. Lassen wir schliel~lich auch die Voraussetzungen der Homogenit~t der Produktionsmittel fallen: dann erscheinen Arbeit, Kapital und Boden als Gruppen yon Produktionsfaktoren, die in sich qualitativ abgestuft sind. Das Gesamtbild der Wirtschaft wird komplizierter. Die Betriebe eines Produktionszweiges sind nicht mehr untereinander gleich, ~) cf. M a r s h a l l , 1. c, Buch V, Kap. 11, w 6.

Die Regulierung der statischen Wirtschaft

79

sondern unterscheiden sich nach Standort, Qualit/it der Leitung usw. Diese Unterschiede wirken sich dadurch aus, dab echte l~enten in mannigfacher Abstufung vorhanden sind, die den bevorzugten Unternehmungen zufallen; sie ergeben sich aus den Preisunterschieden der qualitativ verschiedenen Produktionsfaktoren und mfissen innerhalb unseres Systems als Kosten betrachtet werden, da jeder einzelne Produktionsfaktor Gegenstand der Nachfrage ist. z) Unser formale Satz (XXXIX) bleibt somit erhalten. Dieser Satz ffihrt auf eine interessante zurechnungstheoretische Konsequenz" jede Unternehmung verwendet yon jedem Produktionsfaktor soviel, dal3 die Grenzproduktivit/~t dieses Faktors seinem Preise gleich ist. FaBt m a n den Ertrag der Unternehmung als Funktion des Aufwandsvektors auf, so kann man auch sagen: jede Unternehmung realisiert einen solchen Aufwandsvektor, dab der Gradient seiner Ertragsfunktion dem Preisvektor des Aufwandes gleich ist. Da aul3erdem im Betriebsoptimum die Gesamtkosten dem Gesamtertrage gleich sind, so ergibt sich ffir die gesamte Sozialwirtschaft, dab im Gleichgewicht eine vollst/~ndige Zurechnung des Sozialeinkommens auf die Produktionsfaktoren nach dem Prinzip der Grenzproduktivit/it zustandekommt, 9) III. Wir haben nun das Bild einer statischen Konkurrenzwirtschaf~ mit einer immanent bestimmten Betriebsanzahl und -grSl3e erhalten. Wir haben gesehen, wie das erwerbswirtschaftliche Prinzip jene Bestimmung herbeiffihrt. Wir hielten aber daran lest, dab jeder Betrieb eine selbst/~ndige Unternehmung darstellen sollte. Auch diese Voraussetzung lassen wir jetzt fallen und fragen uns, ob im System der statischen Konkurrenzwirtschaft Kr/ifte vorhanden sind, die vom Prinzip der grSBtmOglichen Dezentralisation fort- und auf eine Konzentration hinffihren. Eine solche Kraft ist tats/~chlich vorhanden. Sie wirkt prim/ir auf eine horizontale und sekund/~r auf eine vertikale Konzentration der Betriebe. Aber diese Kraft ist kein im System der freien Konkurrenz enthaltener Zwang, sondern nur eine Tendenz, eine ,,Lockung". Es zeigt sich n/~mlich zun/ichst, dab die Unternehmungen eines Produktionszweiges einen grSl3eren Gewinn zu realisieren imstande sind, wenn sie sich zu einem Monopol zusammenschliei3en. Wir wissen auf Grund des Satzes (XXI), dal3 der Monopolpreis stets grSl3er ist als die Grenzkosten, w~hrend der Konkurrenzpreis ihnen gleich ist. Der Monopolist kSnnte aber sehr wohl auch das konkurrenzwirtschaftlich gfinstigste Produktionsniveau realisieren. Wenn er dies nicht rut, so nur deshalb, weil er durch ein anderes Produktionsniveau einen hSheren Gewinn erzielen kann. 1) cf. hiezu start aller: W a l r a s , E16ments d'6conomie politique pure, pag. 175ff.: ,,Des capitaux et des revenues". ~) cf. Anhang A, VII. Ebenso: Moore, Synthetics economics, 1929, pag. 145. Im Gegensatz hiezu steht A f t a l i o n , Les trois notion de la productivit6 et les revenues. Rev. d'Ec. Pol. 1911. M a y e r , Art. ,,Zurechnung" in: H. d. St., insbesondere I, 2, c.

~0

Die Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft

Somit folgt aus dem erwerbswirtschaftlichen Prinzip eine Tendenz zum monopolistischen ZusammenschluB innerhalb der Produktionszweige. Diese Tendenz ist kein ,,systematischer Zwang',: auch die Konkurrenzwirtschaft funktioniert. Die Monopolisierungstendenz ist lediglich eine :Nebenwirkung des erwerbswirtschaftlichen Prinzips. Diese Konzentrationskraft st613t auf innere Gegenkr~fte, die desto starker sind, je grSBer
w 2. Die allgemeinen Wirkungen dynamiseher Veriinderungen. Was unsere statische Wirtschaft besonders kennzeichnet, ist die Konstanz der BevSlkerung, der Produktionsfaktoren und des technischen ~iveaus. Durch ,,LSsung" dieser drei ,,Fesseln" erhalten wir eine Approximation an die dynamische Wirtschaft. 2) Wir wenden wieder alas isolierende Verfahren an, indem wir einmal die Konstanz der BevSlkerung, dann die Konstanz der einzelnen Produktionsfaktoren und schlie•lich die Konstanz der Technik aufheben. 1) cf. B a r o n e , 1. c. w 158: ,,Potentielle Konkurrenz". 3) j. B. Clark (,,Essentials of economic theorie", 1922, pag. 203 bis 206) unterscheidet ffinf Typen dynamischer Einflfisse: (1) BevSlkerungszunahme, (2) Zunahme des Kapitals, (3) ~nderung der Produktionsmethode, (4) Xnderung der Unternehmungsorganisation, (5)Xnderung des Geschmacks. Wir lassen bei unserer Betrachtung (5) unberiicksichtigt; (3) und (4) fassen wir unter dem Begriff ,,~nderung des technischen Niveaus" zusammen; (1) teflen wir in ,,i(nderung cler BevSlkerung", die wir zuniichst nur als )[nderung der Nachfrageseite ansehen, und in ,,~nderung der verffigbaren Abeit".

Die allgemeinen Wirkungen dynamischer Veri~nderungen

81

I~

Eine ~nderung der BevOlkerungsgrSBe - - ceteris paribus - - kann innerhalb unseres Aufgabenkreises schnell erledigt werden: sie wird lediglich eine Verschiebung der Zusammensetzung der produzierten Gfiter haben. Eine BevSlkerungsvermehrung bedeutet eine relative Verknappung der Versorgung. Somit werden die Giiter unelastischer 1) l~achfrage in grSBerer, die Giiter elastischer 9) Nachfrage in geringerer Menge produziert werden als bisher. Eine BevSlkerungsverringerung hat genau die umgekehrte Wirkung. Es ist klar, daB sich die beiden Tendenzen nur ,,in the long run" roll auswirken kSnnen, da der Abbau vorhandener Produktionsanlagen, der in jedem l~alle notwendig sein wird, Zeit erfordert. II. Unter den Produktionsfaktoren kSnnen wir den Boden konstant lassen. Einmal geniigt es, zwei Produktionsfaktoren zu variieren, tim alle wichtigen Konsequenzen ziehen zu kSnnen; anderseits muB man fiir eine gegebene Volkswirtschaft den Boden im wesentlichen als eine unver~nderliche GrSBe ansehen. W i r betrachten also nur Variationen yon Kapital und Arbeit. Jede ~nderung des vorhandenen Angebotes an Kapital oder an Arbeit verschiebt das Mengenverh~ltnis der Produktionsfaktoren, woraus eine Struktur~nderung des optimalen Betriebes resultiert. Es entsteht in jeder Unternehmung ein UmschichtungsprozeB, der sich allerdings nur ,,in the long run" auswirken kann. Gleichzeitig ~ndert sichm bei Annahme einer konstanten BevSlkerung - - die Versorgungslage der Volkswirtschaft, was zu einem UmschichtungsprozeB zwischen den Produktionszweigen fiihrt, der yon der Elastizit~t der Naehfrage nach den einzelnen Giitern abh~ngt. 1. Eine Vermehrung yon Kapital ergibt fiir jede Unternehmung die MSglichkeit, sich starker mit Kapital zu versorgen, als vorher. Auf kurze Sicht ~ in the short run ~ bedeutet dies zun~chst noch keine ~nderung der Organisation der indirekten Produktionsmittel, sondern nur eine VergrSBerung der kurzfristigen Kapitalanlage. Mit der Zeit wird aber in jeder Unternehmung eine allgemeine ,,Rationalisierung" im Sinne einer kapitalintensiveren Produktionsweise durchgefiihrt. Die ~endgiiltige Produktionsmittelkombination ermSglicht eine reichlichere Versorgung der Volkswirtschaft mit Giitern, als die vorl~ufige, die wieder. u m gegeniiber dem Zustand vor dem Anwaehsen des verfiigbaren Kapitals eine Produktionssteigerung bedeutet. Das besondere Charakteristikum jeder Unternehmung ist m wie bereits oben n~her ausgefiihrt ~ die Tatsache, dab sie im langfristigen Gleichgewicht das Betriebsoptimum realisiert. Hier gilt aber fiir jeden ~) Elastizit~t ~ 1. ~) Elastizit~t ~ 1. S t a c k e I b e r g, Grundlagen

82

Die Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft

Produktionsfaktor - - was leicht gezeigt werden kann 1) - - das Gesetz des abnehmenden Ertrages, d. h. die Grenzproduktivit~ten nehmen mit wachsender Menge des zugehSrigen Produktionsfaktors ab. Das gilt sowohl ,,in the long run", als auch - - erst recht - - ,,in the short run". Es ist jedoch anderseits anzunehmen, dal3 die Grenzproduktivit~t eines Faktors im allgemeinen mit wachsender Menge eines anderen Produktionsfaktors zunimmt, ~) und zwar ebenfalls ,,in the short run" und ,,in the long run", wobei im letzteren ~alle eine st~rkere Zunahme stattfindet. Hieraus folgt ffir unseren Fall, dal3 jede Unternehmung zun~chst unter st~rkerer Verwendung von Kapital in die Progression gelangt, Die Grenzproduktivit~t des Kapitals sinkt, die der Arbeit steigt. Insgesamt ergibt sich ein Sinken des l~ealzinses und ein Steigen des l~eallohnes. Die Unternehmung macht Sondergewinne. Auf die D a u e r - in the long r u n gelangt jede Unternehmung durch eine allgemeine Kapitalintensivierung in ein neues Betriebsoptimum bei gleichzeitiger Versch~rfung der Konkurrenz. Die Grenzproduktivit~t des Kapitals (und somit der t~ealzins) steigt wieder, wenn auch nicht auf die urspriingliche HShe. Die Grenzproduktivit~t der Arbeit - - und somit der l ~ e a l l 0 h n - steigt im allgemeinen auch. Der Sondergewinn wird absorbiert. D i e reichlichere VersorgungsmSglichkeit der gesamten Volkswirtschaft bedingt eine Umschichtung zwischen den einzelnen Produktionszweigen, indem die Gfiter elastischer ~qachfrage in verh~ltnism~13ig grSBerer Menge hergestellt werden, als die Gfiter unelastischer ~achfrage. Absolut genommen werden alle Gfiterarten in grSBerer Menge erzeugt als vorher. Ob jedoch die Anzahl der Unternehmungen der einzelnen Produktionszweige grSBer oder kleiner geworden ist, l~Bt sich nicht entscheiden, weft m a n ohne n~here Kenntnis der einzelnen Produktionsfunktionen nicht feststellen kann, ob die neuen optimalen Ausbringungen grS~er oder kleiner sind als die alten. Der relative Anteil des Sozialprodukts, der im konkurrenzwirtschaftlichen Verteilungsprozel3 auf die Arbeit entf~llt, ist gewachsen. Ob das l~ealeinkommen der Kapitalisten absolut gewachsen oder gesunken ist, h~ngt yon der Elastizit~t der langfristigen Kapitalnachfrage der Volkswirtschaft ab, die wieder vom technischen Niveau bestimmt wird. 2. Eine Vermehrung der verffigbaren Arbeitskraft zeigt - - mutatis mutandis m ganz analoge Erscheinungen, wie die VergrOl3erung d e s Kapitals. W i r kSnnen also unmittelbar die Ergebnisse zusammenstellen. Es entsteht eine Umschichtung der Produktionsmittel yon den Produktionszweigen unelastischen Bedarfs zu denen elastischer Nachfrage. Auf kurze Sicht verlassen die einzelnen Unternehmungen ihr Betriebsoptimum und gelangen in die Kostenprogression. Sie machen Sondergewinne, besonders die Unternehmungen, die ffir eine elastische Nachfrage produ1) Folgt aus der zweiten Minimumbedingung fiir die durchschnittlicher~ Kosten. ~) Der Grund ffir diese Tatsache liegt darin, dal3 die komplementiire Beziehung zwischen den Produktionsfaktoren stiirker ist, als die substitutive. Eine n~here Untersuchung wfirde bier zu welt ffihren. Cf. im iibrigen S. 17/18, Anm.

Die allgemeinen Wirkungen dynamiseher Ver~nderungen

83

zieren. Der Realzins steigt, der Reallohn sinkt. Auf die Dauer rationalisieren die Unternehmungen in Richtung einer arbeitsintensiveren Produktionsweise, wobei sie aueh ihre Betriebsanlagen umformen. Sie gelangen hiebei durch den Konkurrenzdruck in ein neues Betriebsoptimum, Die Sondergewinne werden abs0rbiert, Der Reallohn steigt, wenn aueh nicht auf den Ausgangsstand. Der Realzins erf~hrt wahrseheinlieh eine weitere Zunahme. Die Versorgung der Volkswirtschaft ist insgesamt reichlieher geworden. 1) Wieweit die Zunahme des Sozialproduktes aueh der Arbeit zugute kommt und wie sich die Anzahl der Betriebe ~ndert, kann ohne n~here Unterlagen nicht entschieden werden. 3. Eine Abnahme des vorhandenen Kapitals wirkt ~hnlich, wie eine Zunahme der veffiigbaren Arbeit, jedoch mit folgenden Modifikationen. Die einzelnen Unternehmungen gelangen zun~ehst in Kostendegression und erleiden Verluste. Die Gesamtversorgung der u wird knapper. Es entsteht eine Umschichtung in der Riehtung auf eine verh~ltnism~Big reichliehere Befriedigung der ~unelastischen Bediirfnisse. Absolut genommen ist die Versorgung der Volkswirtsehaft aueh naeh Erledigung der langfristigen Umformung knapper geworden. Ein wesentlieher Unterschied gegeniiber der Zunahme der Arbeit besteht darin, dab der Zins zwar zun~chst steigt, in der langfristigen Umsehichtung aber wahrscheinlieh sinkt, w e n n auch nieht auf den Ausgangsstand. 4. Eine Abnahme der verfiigbaren Arbeitskraft l~Bt sich auf Grund der bisherigen Ausfiihrungen in ihren Wirkungen leicht absch~tzen. ~) 1) Der Sondergewinn (bzw. Sonderverlust) entsteht immer dann, wenn die Unternehmung aus ihrem Betriebsoptimum in Kostenprogression (bzw. .degression) gelangt. Hier ist das tats~chliche Einkommen des Unternehmers grSl~er (bzw. kleiner) als sein ,,langfristiges Normaleinkommen" (M a r s h a 11). Der Sondergewinn ist ein Residuum; das Prinzip der Grenzproduktivit~t ffihrt in diesem Falle keine vollst~ndige Zurechnung herbei. Die Absorption des Sondergewinnes bedeutet nicht etwa ein Sinken des Unternehmereinkommens, sondern nur eine Angleichung an die langfristige NormalhShe (die durch die Rationalisierung steigt, unter Umst~nden sogar um einen den Sondergewinn iibersteigenden Betrag). ~) Zwei Bemerkungen zur Frage der VeraUgemeinerung der bisherigen Ergebnisse dieses Paragraphen seien angeffigt: a) Wir haben unsere Argumentation im wesentlichen so durchgeffihrt, als g~be es nur die beiden Produktionsfaktoren Kapital und Arbeit. Dio Ergebnisse lassen sich ohne Schwierigkeit verallgemeinern, wenn man die Produktionsfaktoren Boden und Unternehmerleistung in die Betrachtung einbezieht. Auch die kompliziertere, aber der Realit~t am n~chsten kommende Annahme der inhomogenen Zusammense.t.zung der einzelnen ProduktionsCaktoren fiihrt zu grunds~tzlich gleichen Uberlegungen. Wir kSnnen jedoch diesen Gedanken - - der eine Spezialuntersuchung erfordern w i i : r d e - nicht weiter verfolgen. b) In unserer theoretischen Konzeption sind alle vorkommenden Funktionen mathematisch gesprochen ,,Ortsfunktionen". Deshalb kSnnen wir, wenn es sich ffir uns nur um den Vergleich eines Anfangs- und eines Endzustandes handelt, das iso!ierende Verfahren anwenden und die Wirkungen der einzelnen ~nderungen nacheinander studieren. Damit wollen wir uns 6*

84

Die Kosten und die Struktur der Volkswirtschaft III.

1. Bisher befal3ten wir uns mit den Wirkungen quantitativer ~nderungen, mathematisch gesprochen: mit den Wirkungen der _~nderungen yon unabh/~ngigen Variablen. Die _~nderung der technischen Situation erscheint demgegenfiber als ein qualitatives Problem, das allerdings ffir bestimmte Zwecke quantifizierbar ist. Wir befassen uns hier nicht mehr mit _~nderungen yon Variablen, sondern mit _l~nderungen des Funktionalzusammenhanges. Die technische Entwicklung /~ndert die Produktionsfunktion selbst ab. Mit den Wirkungen, die daraus resultieren, haben wir uns nun zu befassen. Der technische Fortschritt z) ist, wirtschaftlich gesehen, eine Verbesserung der VersorgungsmSglichkeiten der Volkswirtschaft. Er bewirkt, dal3 man gegeniiber der Ausgangslage dieselbe Gfitermenge mit geringerem oder eine grSl~ere Menge mit dem gleichen Aufwande yon Produktionsfaktoren erzielen kann. Er bedeutet also eine allgemeine oder partielle Verschiebung der Produktionsfunktionen nach oben. Seine allgemeine Wirkung ist eine Vermehrung der Produktion und zugleich eine Umschichtung i n Richtung auf eine verh/fltnism/iBig st/irkere Belieferung des elastischeren Bedarfes. Der technische Fortschritt kann die Grenzproduktivit/iten in gleichem Verhaltnis steigernl Dann /indert sich am konkurrenzwirtschaftlichen Verteilungsschliissel des Sozialproduktes nichts. Im allgemeinen trifft aber der Fortschritt nur bestimmte Produktionszweige und /~ndert die Ergiebigkeit der Produktionsfaktoren in verschiedenem Grade. Dadurch entstehen Verschiebungen, die wir jetzt im einzelnen betrachten wollen. Wenn nur ein Produktionszweig vom technischen Fortschritt betroffen wird, so bedeutet das, dab mit dem bisherigen Aufwand an Arbeit, Kapital und Boden eine grSl3ere Produktionsmenge erzeugt werden kann. Die Verbilligung des Produktes ist bier umgekehr~ proportional der Produktsvermehrung. Die endgiiltige Auswirkung ist je nach der Elastizitat der l~achfrage nach dem betreffenden Produkt verschieden. Ist die Nachfrage unelastisch, so wandert ein Teil der Produktionsmittel vom betreffenden Produktionszweig ab. Die Versorgung mit anderen Giitern wird reichlicher. Ist die Nachfrageelastizit/~t gleich 1, so erfolgt iiberhaupt keine Verschiebung der Produktionsfaktoren. Ist die Nachbier auch begniigen. Eine Betrachtung des ,,Weges" wiirde zu welt fiihren. Wit kSnnen z. B. das Endergebnis einer gleichzeitigen BevSlkerungs- und Arbeitsvermehrung erhalten, indem wir zun/ichst eine Arbeits- und dann eine Bev61kerungszunahme betrachten. Die Zwischenstadien unserer Analyse warden allerdings yon der Realit/it abweichen. Aber eine genauere Betrach. tung miil3te schon den Gegenstand einer besonderen Abhandlung bflden. ~} Der Begriff ,,technischer Fortschritt" soll im folgenden ganz weir verstanden werden. Als ,,technischer Fortschritt" wird jede Verbesserung der Produktionsmethode verstanden. Es gehSren also dazu sowohl Entdeckungen und Erfindungen auf naturwissenschaftlich-technischem Gebiet als auch Verbesserung der Organisation, des Standorts, des Absatzapparates UBW.

Die allgemeinen Wirkungen dynamischer Ver~nderungen

85

frage elastisch, so zieht der rationalisierte Produktionszweig neue Produktionsmittel an sich, die anderen Produktionszweigen verloren gehen. Die Versorgung mit anderen Giitern wird knapper. Die Ver~nderungen, die der technische Fortschritt im Zusammenwirken der Produktionsfaktoren verursacht, bewirken 1) innerhalb der gesamten Sozialwirtsehaft keine Ver~nderung der Proportion, in der Arbeit, Kapital und Boden insgesamt miteinander kombiniert werden; denn in der freien Konkurrenzwirtschaft ist ein Brachliegen yon Produktionsfaktoren nur in Grenzf~llen denkbar. Aus jenen Ver~nderungen folgt jedoch eine Ab~nderung der Grenzproduktivit~ten und somit eine Ab~nderung des sozialSkonomisehen Verteilungsschliissels. Man kann jede technische Verbesserung als Zunahme yon Produktionsfaktoren deuten. Dadurch kSnnen die Wirkungen auf Grund friiherer Darlegungen unmittelbar abgesch~tzt werden. Die Erfindung arbeitsparender Maschinen bedeutet z. B., dab das gleiche Produkt mit geringerem Arbeitsaufwand erzeugt wird. Dadurch ist die Arbeit im Vergleich zum Kapital und zum Boden reichlicher geworden. Die bereits besprochenen Wirkungen einer Arbeiterzunahme treten ein" Lohndruck, Umschichtungen usw. Die Einfiihrung einer neuen Bodenbewirtschaftungsweise, z. B. einer verbesserten Fruchtwechselfolge, wirkt wie eine Vermehrung des Bodens. Die Einfiihrung verbilligter Maschinen gleicher Ergiebigkeit, z. B. billigerer Kraftmaschinen, ist mit einer Vermehrung yon Kapital gleichbedeutend; die Wirkungen sind aus den Darlegungen weiter oben ersichtlich und brauchen hier nicht noch einmal ausgefiihrt zu werden. Wir sehen, dab die eben behandelte Bedeutung des technischen l~ort. schritts kein neues Problem darstellt. 2. Desto wichtiger ist fiir uns die Frage nach dem EinfluB des technischen Fortschritts auf die BetriebsgrOBe. Durch die ~_nderung der Produktionsfunktion versehiebt sich der geometrisehe Ort der Punkte einer vollst~ndigen Zurechnung, die, wie gezeigt, eine wesentliche Eigensehaft des Betriebsoptimums ist. Dadurch verlagert sich das Optimum jeder Produktionsrichtung; es entsteht so eine wesentlich neue Situation. Der technische Fortschritt kann grunds~tzlich zwei ~nderungswirkungen auf die optimale BetriebsgrSBe ausiiben. Er kann sie verkleinern oder vergrSBern, d. h. die optimale Ausbringung kann kleiner oder grSBer werden. Wird das Betriebsoptimum kleiner, so entsteht eine Tendenz zur Neugriindung yon Betrieben, die gegeniiber den alten Unternehmungen besonders konkurrenzf~hig sind. Hiedurch entsteht zugleich fiir die alten Betriebe ein Zwang, die Rationalisierung durchzufiihren und sich auf die verringerte BetriebsgrSBe umzustellen. Im Enderfolg wird die Rationalisierung iiberall durchgefiihrt sein. Da die optimale Ausbringung gesunken, die Gesamterzeugung des betreffenden Produktionszweiges dagegen gestiegen ist, so hat sich im Er/deffekt die 1) Wenn man zur Vereinfachung mi~ C assel ein yon den Preisen unabh~ngiges Angebot an Produktionsfaktoren annimmt.

86

Die Kosten und die Struktur tier Volkswirtschaft

Anzahl der Betriebe vergrSBert, Die erw~hnte Tendenz zur Neugrfindung yon Unternehmungen hat also nicht nur die Funktion, den Rationalis i e r u n g s z w a n g - der an sich schon durch das erwerbswirtschaftliche Gewinnstreben gegeben ist - - zu versch~rfen, sondern auch die Anzahl der vorhandenen Betriebe entsprechend zu vergrSBern. Wiirde man etwa annehmen, dab zun~chst keine Neugrfindungen stattf~nden, so mfiBten n a c h t r ~ g l i c h - nach erfolgter Rationalisierung der alten Betriebe:-doch noch neue Betriebe hinzugeffigt werden. Wir kSnnen also feststellen: ein technischer Fortschritt, der mit einer Verminderung der BetriebsgrS~e verkniipft ist, wirkt sich in einem gegebenenProduktionszweig durch einen ziemlich gleichm~Bigen ProzeB aus. Die Unternehmungen weisen im ersten Stadium teils Sondergewinne, teils Verluste auf, die sich schlieBlich, in dem MaBe, wie die Rationalisierung vollendet wird, ausgleichen. Eine Vernichtung yon Betrieben infolge des technischen Fortschrittes ergibt sich im allgemeJnen nur dann, wenn die Neugrfindungen in grSl~erer Anzahl, als notwendig, auftreten. Im groBen und ganzen bewirkt in dem eben betrachteten Falle die technische Neuerung einen stetigen Aufschwung. Wesentlich anders liegen die Dinge, wenn der technische Fortschritt mit einer VergrSBerung des Betriebsoptimums verbunden ist. Auch hier bewirkt die technische Neuerung eine Tendenz zur Rationalisierung der bestehenden Betriebe, die durch eine Tendenz z u r Neugriindung moderner Betriebe verst~rkt wird. Im Endeffekt ergibt sich aber, wenn die VergrSBerung des Betriebsoptimums nicht unbetr~chtlich ist, eine Verringerung der Zahl der Betriebe des betreffenden Produktionszweiges. Neugriindung und. Umstellung yon Betrieben entsteht zun~chst auf Grund eines Aufschwunges. Die rationellere ProduktionsmSglichkeit ffihrt zu Sondergewinnen und bewirkt ein Wettrennen der Unternehmungen. Das durch erhShtes Angebot hervorgerufene Sinken der Preise absorbiert schlie~lich die Gewinne. Die Rationalisierung wird jedoch trotzdem bis zum Ende durchgeffihrt, weil sie wenigstens zu einem Minimum des Verlustes fiihrt. Hier entsteht aber der Zwang zur Aus' scheidung yon Betrieben, der solange anh~lt, bis die richtige Zahl erreicht ist. Das Preisniveau sinkt derart, dab die schw~chsten Betriebe schlieBlich stillgelegt werden mfissen und aus dem ProduktionsprozeB ausscheiden. Der technische Fortschritt bewirkt also bei VergrS~erung des Betriebsoptimums zun~chst einen Aufschwung, d e r den Betrieb erweitert und dann einen Abschwung, der die Anzahl der Betriebe einschr~nkt. Das ist in groBen Ziigen die Wirkung des technischen Fortschrittes auf BetriebsgrSBe und Betriebsanzahl. Eine eingehendere Untersuchung liegt auBerhalb des Rahmens dieser Arbeit. Wohl aber interessiert uns durchaus eine aus der eben behandelten Aufgabenstellung resultierende Frage, n~mlich die Wirkung des Wachstums der optimalen BetriebsgrSBe auf die sozialwirtschaftliche Organisation der Produktion, soweit sich diese Verknfipfung auf Grund der formalen Kostengesetze ergibt. Dieser Frage ist der SchluBparagraph gewidmet. J

Teehnischer Fortschri~t und Wirtsehaftsform

87

w 3. D e r Einflufl des technischen Fortschritts auf die Wirtschaftsform.

W/s die Abnahme der optimalen BetriebsgrSl3e die konkurrenzwirtschaftliche Organisation der Produktion nicht beriihrt, ist es bei wachsendem Betriebsoptimum anders. Da die Zunahme des ]~etriebsoptimums eine charakteristische Eigensehaft unserer bisherigen wirt, schaftlichen Entwicklung ist, so ist eine genauere Behandlung der mit ihr verbundenen Umformungen des Produktionsapparates der Sozial. wirtschaft angebracht. Eine kurze theoretische Voruntersuchung fiber das s0genannte ,,Polypol" sei der eigentlichen Behandlung des Problems vorausgeschickt. I. Unserer Betrachtung der Konkurrenzwirtschaft liegen, genau genommen, folgende Voraussetzungen zugrunde: 1. Lqe Ausbringung des einzelnen Betriebes ist gegeniiber der Gesamtausbringung des betreffenden Produktionszweiges praktisch unendlich klein. 2. Die Anzahl der miteinander konkurrierenden Unternehmungen ist dementsprechend praktisch unendlich groB. 3. Die Preisfunktion ist somit fiir jeden Betrieb praktisch eine Konstante. Diese Voraussetzungen treffen fiir die Wirklichkeit, genau genommen, nicht zu. Aber sie stellen die tats/~chlichen Verh/~ltnisse mit einer desto gr613eren Genauigkeit dar, je gr6f3er die Anzahl der Betriebe und somit der Unternehmungen ist. Gleichzeitig ermSglichen sie eine groBe Vereinfachung der theoretischen Untersuchung. Wir k6nnen nun aber die Frage stellen: Wie gestaltet sich die erwerbswirtschaftliche Regulierung der Produktion, wenn die Anzahl der Betriebe gegeben und nicht besonders grol3 ist ? Die allgemeine Antwort auf diese Frage 1/~13tsich wegen der Kompliziertheit der auftretenden Beziehungen und Verknfipfungen nur auf mathematischem Wege geben. Wir k6nnen uns jedoch zun/~chst mit der Beantwortung der Frage im Falle yon nur zwei Konkurrenten, im Falle des sogenannten ,,Duopols", begniigen, tIier k6nnen wir uns auf bereits geleistete theoretische Arbeit beziehen und auf eigene Deduktion verzichten. Es handelt sich um das auf S. 49, Anm. 1, erw/~hnte ,,Zwischenstadium". Statt aller sei Kurt Sting genannt, der in seinem dort zitierten Aufsatz das Problem einfach und richtig, wenn auch unseres Erachtens mit unzutreffender Gewichtsverteilung behandelt. Der Grundgedanke ist folgender: Es seien A und B zwei Produzenten desselben Gutes. Wir nehmen zun~chst an, dab jeder das Angebot des anderen als eine gegebene Gr613e behandelt, mit der er sich einfach abfinden mul3. A wird dann einer jeden Angebotsmenge yon B eine eigene Angebotsmenge zuordnen, bei der er den grSl3tm6glichen Gewinn macht; dasselbe gilt fiir B. Fiir jeden ergibt sich so sein Anbot als Funktion des Angebotes des anderen. Betrachten wir die Angebotsmengen yon A und B als die

88

Die Kosten un4 die Struktur der Volkswirtschaft

beiden Unbekannten, so erhalten wir in jenen ,,Reaktionsfunktionen" die beiden Gleichungen, aus denen wir die beiden Unbekannten eindeutig bestimmen kSnnen. Somit ist das 5konomische G l e i c h g e w i c h t - yon Sting als die ,,polypolitische Preisbildung" bezeichnet --- scheinbar gegeben. Das ist aber tats~chlich nicht der Fall. l~ehmen wir n~mlich eine vollst~ndige ,,Markttransparenz" an, so mul3 z. B. bei A ein ,,hyperpolitisches" Streben (im Sinne Stings) entstehen: A wird nicht seine eigene Funktion seinem Angebote zugrundelegen, sondern die Reaktionsfunktion yon B, weil er dann grSBere GewinnmSglichkeiten hat. Da er weiB, dal3 B sein (A's) Angebot als eine gegebene GrSfle ansieht, so wird er yon allen Kombinationen, die fiir B auf Grund dessen (B's) Reaktionsfunktion in Frage kommen, diejenige aussuchen, welche fiir ihn (ffir A) am giinstigsten ist. Er wird dann aber im allgemeinen ein anderes Angebot realisieren, als es seiner eigenen Reaktionsfunktion entsprechen wfirde. Nun sucht B ebenso zu verfahren. Das heil3t, jeder sucht sein Angebot dem anderen als unab~nderlich aufzuoktroyieren. In einer solchen Situation ist ein Gleichgewicht unmSglich. Jeder sucht den anderen sozusagen auf dessen Reaktionsfunktion zuriickzudr~ngen; es entsteht ein Konkurrenzkampf, der mit der Unterwerfung oder Vernichtung eines Gegners enden muB, wenn keine Einigung zustandekommt. Wir sehen also: ein Duopol ffihrt zu keinem mechanischen Gleichgewicht. 1) Unter den yon Cournot (implizRe gemachten) Voraussetzungen ist ein Gleichgewicht mSglich; dann verh~lt sich jede der beiden Unternehmungen so, als ob sie das Angebot der anderen nicht beeinflussen kSnnte; sie nimmt es als gegeben hin. Wir wollen diese Situation als das ,,Cournotsche Duopol" bezeichnen. Es ist ferner ein Gleichgewicht mSgz) Dieses Problem hat eine interessante Diskussion innerhalb der Wissensehaft ins Leben gerufen. C o u r n o t hat es als erster behandelt und stillschweigend die Voraussetzungen gemacht, dal3 jeder der beiden Anbieter das jeweilige Angebot des anderen als eine gegebene GrSl3e hinnimmt; mit der anderen MSglichkeit hat er sich nieht befal3t. Hier setzte die Kritik yon B e r t r a n d , E d g e w o r t h , M a r s h a l l und P a r e t o an. Sie ftihrte zu einer ziemlich allgemeinen Ablehnung der Cournotschen Beweisfiihrung, ohne dal3 allerdings die Frage der Voraussetzungen mit geniigender Deutlichkeit geprfift worden w~re. W i c k s e l l und S c h u m p e t e r werden dieser Fruge bei ihrer Bejahung der Cournotschen LSsung ebenfalls nicht ganz gerecht, desgleichen S c h n ei d e r. A m or o s o sieht zwar die Verschiedenheit der Pr~missen, vernachl~ssigt aber die MSglichkeit und Bedeutung des zuletzt charakterisierten Konkurrenzkampfes. In recht befriedigender Weise behandelt neuerdings Kurt S t i n g das ganze Problem. Er arbeitet die Voraussetzungen klar heraus. Allerdings diirfte er die praktische Bedeutung der ,,polypolitischen" Preisbildung, also des Co u r n o tschen Duopols iibersch~tzen, die Realit~t der ,,Hyperpolitik" unterschiitzen. Zur L i t e r a t u r : cf. den auf S. 49, Anm. 1, zitierten Aufsatz yon Kurt S t i n g , der eine gute Literaturiibersicht bringt. Neuerdings: Erich S c h n e i d e r , Reine Theorie monopolistischer Wirtschaftsformen, Tfibingen 1932. (Beitr~ge zur 5konomischen Theorie: 4.)

Technischer Fortschritt und Wirtschaftsform

89

lich, wenn die eine der beiden Unternehmungen, z. Beisp. A, das Angebot der anderen (B) als gegeben hinnimmt, w~hrend sich die Unternehmung ]~ ,,hyperpolitisch" verh~lt, d. h. die l~achgiebigkeit yon A ausniitzt und ein Angebot realisiert, das ihr unter den gegebenen Umst~nden den hSchstm6glichen Gewinn verschafft. Ein Gleichgewicht ist jedoch unmSglich, wenn sich beide Unternehmungen ,,hyperpoHtisch" verhalten, eine Situation, die wir als das ,,Paretosche Duopol" bezeichnen wollen. G~be es nur die beiden M6glichkeiten des Paretoschen und des Cournotschen Duopols, dann k6nnte man den Anh~ngern Cournots zustimmen, da~ praktisch, wenn die Beteiligten die Gesamtsituation richtig wiirdigen, nur das Cournotsche Duopol in Frage kommt, weil der Versuch eines ,,hyperpolitischen" Verhaltens zu gar keinem verniinftigen Resultat fiihren kann. Nun besteht aber tats~chlich doch fiir jede Unternehmung die MSglichkeit einer ,,hyperpolitischen" Ausnutzung der Konkurrenten. Wenn A auf ,,hyperpolitische" Versuche verzichtet und sich mit dem geringeren Gewinn begniigt, dann besteht fiir B nicht der geringste Grund, auch seinerseits darauf zu verzichten, die ,,Naivitgt" seiner Konkurrenten auszunutzen und seinen Gewinn fiber die M6glichkeiten des ,,Cournotschen Duopols" hinaus zu erh6hen. Es bleibt also, theoretisch gesprochen, gar keine andere M6glichkeit iibrig, als dem erwerbswirtschaftlichen Prinzip die F~higkeit abzusprechen, im Falle des Duopols ein mechanisches Gleichgewicht herzustellen. Die Konkurrenten miissen sich in irgendeiner Form einigen; sie miissen die in diesem Falle nicht ausreichende Wirtschaftsmechanik durch Wh'tschaftspolitik erg~nzen. Der prinzipielle Unterschied zwischen dem Cournotschen und dem Paretoschen Duopol bleibt bestehen, wenn man nicht zwei, sondern mehrere Unternehmungen annimmt, die miteinander konkurrieren. Wir ersetzen dann das Wort ,,Duopol" durch die Bezeichnung ,,Polypol". Wir lassen die in diesem Falle auftretenden interessanten Komplikationen des Problems auger Betracht. Fiir uns ist folgende Feststellung wichtig: Je gr6Ber die Anzahl ann~hernd gleicher Unternehmungen ist, desto weniger unterscheidet sich das Paretosche Polypol vom Cournotschen und dieses yon der Situation der freien Konkurrenz. Es wird n~mlich der zus~tzliche Gewinn, den die einzelnen Unternehmungen bei ,,hyperpolitischem" Verhalten gegeniiber dem Cournotschen Polypol erhaltert k6nnten, mit zunehmender Anzahl von Konkurrenten immer kleiner; ebenso nimmt auch der zus~tzliche Gewinn des Cournotschen Polypols gegeniiber der freien Konkurrenz ab. Anders ausgedriickt: Es wird der Unternehmung schlie~lich gleichgiiltig, ob sie das Angebot ihrer Konkurrenten u n d den Preis oder nur den Preis oder keines yon beiden zu beeinflussen sucht. Die Gewinndifferenz wird so gering, dab sie keine System~nderungen mehr herbeifiihren kann; gleichzeitig wird der Untersehied zwischen den Angebotsmengen im Paretoschen Polypol, 1) im Cour1) Im Paretoschen Polypol sucht jeder eine bestimmte Menge herauszubringen und sie den anderen als unab~nderliche GrSl~e aufzuoktroyieren. Die Summe dieser Mengen ist das Gesamtangebot des P aretoschen Polypols,

90

Die Kosten und die Struktur der Volkswirtschaf~

notschen Polypol und in der freien Konkurrenz immer kleiner. Auf diese Weise wird das Gleichgewicht der freien Konkurrenz praktisch erreicht, wenn nur die Anzahl der Unternehmungen gro$ genug ist. II. 1. Die dynamisch bedingte Verringerung der Anzahl der Unternehmungen eines Produktionszweiges mui3 schliel~lich zu einem Punkte fiihren, in welchem das Problem des Polypols auftaucht. Gewohnheit, Uniibersichtlichkeit des NIarktes, Schwierigkeiten der Kalkulation usw. mSgen zun~ehst diesen Punkt hinausschieben. Irgendwann taucht aber das Problem auf. Es ist durchaus mSglich, dab zun~ehst nur das CournotSehe Polypol in Frage kommt, weil dessert Untersehied gegeniiber der freien Konkurrenz vielleicht grSBer ist, als der Untersehied des Paretoschen Polypols gegeniiber dem Cournotsehen. Dann bleibt zwar ein Gleiehgewieht bestehen; aber der l~undamentalsatz der erwerbswirtsehaftlichen t)roduktion wird nicht mehr konkurrenzwirtschaftlich er-j fiillt; fiir jede Unternehmung ist der Preis jetzt grSBer als die Grenzkosten. Da anderseits nach der l~estatisierung kein Produktionszweig gegeniiber den anderen einen Sondergewinn erzielen kann, der Preis also den Durchsehnittskosten gleich ist, so gelangen wir zu dem interessanten Ergebnis, dab mit dem ~bergang zum Polypol ein Ubergang der Unternehmungen aus dem Optimum in die Degressionszone verkniipft ist. Dies ist nur dadureh mSglieh, dai~ die individuelle Nachfragekurve, d. h. die ~aehfragefunktion, der sich die einzelne Unternehmung im Polypol gegeniiber sieht, die Durchschnittskostenkurve in einem Punkte links vom Optimum tangiert und im iibrigen unterhalb der Durchschnittskostenkurve verl~uft. Da die giinstigste Produktionsgesehwindigkeit des Cournotsehen Polypols kleiner ist als die optimale, so bestimmt sich hier die Anzahl der Unternehmungen anders, als im Falle der freien Konkurrenz. Jede Unternehmung erzielt einen Gewinn, der grSBer ist als der Gewinn, der sieh in demselben Produktionszweig bei Vorhandensein der gleichen Anzahl yon Unternehmungen in der freien Konkurrenz herausgebildet haben wiirde. Dagegen ist der Polypolgewinn nicht grSBer als der Gewinn, den die Unternehmungen in anderen konkurrenzwirtschaftlich organisierten Produktionszweigen erzielen. W~re er das, dann wiirde der polypolistische Produktionszweig Unternehmer anlocken, bis sich die GewinnmSglichkeiten iiberall ausgeglichen h~tten. Umgekehrt Wiirden einige Unternehmer diesen Produktionszweig ver!assen, wenn er nach konkurrenzwirtschaftliehem Prinzip - - nicht mehr nach poly, p o l i s t i s c h e m - reguliert wiirde. Sie wiirden sich anderen Produktionszweigen zuwenden, wodurch der 9 fiir die Unternehmerleistung, also das normale Unternehmereinkommen, auf der ganzen Linie sinken wiirde. Der ~bergang yon der absoluten Konkurrenz zum Polypol das naturgem~l] fiir alle Konkurrenten verlustreich ist und deshalb nur voriibergehend aufrechterhalten werden kann.

Technischer Fortschritt und Wirtsehaftsform

91

wirkt also ffir die gesamte Sozialwirtsehaft wie eine Verknappung der Unternehmerleistung. Je mehr Produktionszweige zum Polypol fibergehen, desto grSBer wird der Anteil der Unternehmer am Sozialprodukt. Das gilt erst recht ffir das Monopol. Das erwerbswirtschaftliche Prinzip wirkt im P o l y p o l - - und erst reeht im M o n o p o l - volkswirtschaftlieh weniger rationell, als in der freien Konkurrenz, ein Ergebnis, das bereits seit Cournot Allgemeingut der Theorie ist. 2. Eine weitere Verminderung der Anzahl der Unternehmungen ffihrt sehlieBlich frfiher oder sparer zum Paretoschen Polypol. Der erwerbswirtschaftliche M:echanismus versagt hier. Es entsteht der Zwang zu einer Einigung in irgendeiner Form, sei es auf der Basis der Gleichberechtigung, was zun~chst einem Kartell entsprechen wfirde, sei es auf dem Grundsatz der ~J-ber- und Unterordnung, indem eine Unternehmung fiber die anderen siegt und die Marktlage ,,hyperpolitisch" bestimmt. Bei einer gr58eren Zahl anniihernd gleicher Unternehmungen ist ein Kartell das Wahrscheinlichste. Ein solches ffihrt, je nachdem wie straff es ist, schlieBlich zu der MSglichkeit einer monopolistischen Beherrschung des Marktes. Damit hSrt der Konkurrenzmechanismus auf, die Produktion zu regulieren. Der marktwirtschaftliche Zusammenhang zwisehen BetriebsgrSl~e und Anzahl der Unternehmungen wird in dem gleichen l~IM3e aufgehoben, in welchem die horizontMe Konzentration straffere Formen annimmt; schliel31ich wird die Frage der BetriebsgrS~e und Betriebsanzahl ganz yon Gesichtspunkten beherrscht, die im Inneren des Gesamtverbandes liegen; die Gesichtspunkte kSnnen sowohl auBerwirtschaftlich bestimmt sein, Ms auch auf einer ffir den Gesamtverband gfiltigen I~entabilit~tsrechnung und KMkulation basieren; im letzteren FMle wird die rationellste Gesamtproduktion angestrebt werden, allerdings im Dienste eines monopolistisch organisierten Gewinnstrebens. 3. Der eben charakterisierte dynamische Prozel3 enthMt formal bestimmte Tendenzen nicht Mlein auf horizontale, sondern auch auf vertikale Konzentration. Bereits im Cournotschen Polypol tritt ein aus dem erwerbswirtschaftlichen Prinzip resultierendes Streben nach einem ZusammenschluB mi~ Betrieben, die Gfiter niederer Ordnung herstellen. Denn der Satz X X X V I I I zeigt, da~ im Monopolfall, d. h. aber immer dann, wenn der Preis in seiner H6he yon der angebotenen Menge der einzelnen Unternehmungen abh~ngt, eine vertikMe Kombination vorteilhaft ist. Diese vertikale Konzentrationstendenz wird desto starker, je weiter die horizontale Konzentration vorsehreitet. Sie ist zun~chst nur eine aus dem Gewinnstreben folgende ,,Lockung", kein systematischer Zwang. Ein solcher ergib~ sich jedoch, wenn man annimmt, dM3 in zwei auseinanderfolgenden Produktionszweigen die technisehe Entwicklung zur horizontalen Konzentration ffihrt. Die daraus entstehenden Kartelle k6nnen miteinander nicht auf Grund eines mechanischen Gleichgewiehts kontrahieren. Es wfirde ein Machtkampf entstehen, weil jeder Partner versuehen wfirde, sein Preisgebot, bzw. seine Preisforderung dem anderen aufzuzwingen. Das Ergebnis ist die Notwendigkeit einer Einigung; die vertikale Konzentration wird systematisch erzwungen.

92

Die Kosten and die Struktur der Volkswirtschaft III.

Eine Weitere Zunahme der BetriebsgrSl]e wird nun zu einer internen Angelegenheit der horizontalen Zusammenschliisse. J e starker die Zentralisierung ist, desto eher wird man jeden Produktionszweig. als eine einzige I~iesenunternehmung betrachten kSnnen, die in ihrer betrieblichen Zusammensetzung als ,,parallel geschaltetes Batteriesystem" gekennzeichnet werden kann. Hier ist jeder Elementarbetrieb ein opti, maler. Der entscheidende Unterschied gegeniiber der Konkurrenzwirtschaft liegt darin, dal3 das erwerbswirtschaftliche Prinzip nicht mehr die volkswirtschaftliche Produktivit~t gew~hrleistet, sondern ihr entgegenwirkt. Die Tendenz zur strafferen Zentralisierung wird desto starker, je grSBer die optimale BetriebsgrSl~e im Laufe der technischen Entwicklung wird und je mehr sie sich yon einer vielleicht tats~chlich bestehenden, unter dem Schutze des Kartells riickst~ndig gewordenen BetriebsgrSl3e entfernt. Das Wirtschaftsbiindnis wird zur Wirtschaftseinheit. Die letzte Konsequenz eines Wachstums des Betriebsoptimums ist gegeben, wenn die giinstigste Ausbringung des optimalen Betriebes die Gesamtausbringung des betreffenden Produktionszweiges erreicht oder fiberschreitet. Hier ergibt sich auf die Dauer eine Riesenunternehmung, die aus einem einzigen l~iesenbetrieb besteht. Diese wird zun~chst ann~hernd ihr Optimum realisieren. W~chst ~dieses welter, so gelangt die Unternehmung schlieBlich in zunehmendem MaBe in Kostendegression oder gar in den Bereich des zunehmenden Ertrages. 1) 1) Die Feststellungen "dieses Paragraphen erg~nzen den Satz XVII (S. 42). In Verbindung mit diesem Satz ergeben sie eine Grundlage zur Kritik einiger theoretischer Vorstellungen: a) So erscheinen z. B. die Diagramme in A. M a r s h a l l s tIandbuch, Fig. 24, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 35 gegenstandslos. Dean sie beruhen tefls auf Voraussetzungen der Konkurrenzwirtschaft (ni~mlich dal~ der Schnittpunkt der Angebots- und der Nachfragekurve den Gleichgewichtspunkt ergibt) tefls auf Voraussetzungen, die mit der Konkurrenzwirtschaft unvertr~glich sind (n~mlich fallende Angebotskurven). Sie lassen sich nur dana retten, wenn man die Nachfragekurve nicht als Preis-, sondern als Grenzertragskurve, die Angebotskurve als Grenzkostenkurve deutet und das Ph~nomen im fibrigen auf das Monopol bezieht. b) Cassel stellt (Th. S. 86 bis 88) als zweites supplementiires Prinzip seiner Preisbildung den Satz auf: ,,Wenn bei grSfterem Absatz billiger produziert werden kann, d. h. wenn die auf die Gesamtproduktion bezogenen Durchschnittskosten des Produkts bei steigendem Umfang der Produktion sinken, muB bei Gleichgewicht der Preis des Produkts den durchschnittlichen Produktionskosten entsprechen". Dieses Postulat entspricht dem Bedarfsdeckungsprinzip, ist jedoch mit dem erwerbswirtschaftlichen Prinzip in der freien Konkurrenz unvereinbar. Wolff gilt, wie oben gezeigt, ffir die konkurrenzwirtschaftliche Unternehmung die Gleichheit yon Preis und Durchschnittskosten. Diese Unternehmungen unterliegen jedoch dem Gesetz des abnehmenden Ertrages. Das Gesetz des zunehmenden Ertrages ist in der Erwerbswirtschaft nur in Verbindung mit dem Monopol mSglich. Hier gilt

Technischer Fortsehritt und Wirtschaftsform

93

Fiihrt der technisehe Fortsehritt in allen Produktionszweigen zu einem dauernden Wachstum der optimalen BetriebsgrSBe, so wird das Ergebnis eine Zusammenballung des ganzen volkswirtschaftlichen Produktionsapparates zu einem Gebilde sein, das nur einem Interesse gehorcht und somit als eine Unternehmung bezeichnet werden kann. Innerhalb dieser Unternehmung gilt, wie in der Theorie der Verrechnungspreise gezeigt wurde, das Bedarfsdeckungsprinzip. Diese volkswirtschaftliche Gesamtunternehmung wiirde eine Zusammenfassung aller Glieder der betreffenden Volkswirtschaft bedeuten, da unter dem Drucke der allgemeinen Monopolisierungstendenz auch iibrigbleibende konkurrenzf~hige Produktionszweige zur Monopolisierung schreiten wiirden. Das gilt auch fiir d~e Anbieter der Produktionsfaktoren. Diese formal konzipierte Gesamtunternehmung wiirde in der Realit~t nichts anderes als eine ~unktion des Staates darstellen, der in gleichem MaBe in den volkswirtschaftlichen Produktions- und VerteilungsprozeB eingreifen wird, in welchem sich die Konzentration vollzieht. Dem Staate wiirde es auch vorbehalten bleiben, bei einer Umkehr der technischen Entwicklung zur Betriebsverkleinerung (die an sich nicht weniger wahrscheinlich ist, als die Betriebsvergr6Berung) eine, jetzt wieder m6gliche, konkurrenzwirtschaftliche Organisation des Produktionsapparates ein:zufiihren. wohl, wie gezeigt, formell die Gleichheit yon Preis und Durchsehnittskosten abet nut deshalb, weil wir im Gleiehgewicht aueh den Preis fiir die Unternehmerleistung als Kostenbestandtefl auffassen miissen, gleichgiiltig, ob es ~ich um einen konkurrenzwirtschaftlichen oder um einen Monopolpreis handelt.

Anhang.

A. Mathematiseher Anhang. Im folgenden sind die im Text gebrachten Beweise zum Teil durch analytische Ableitungen erg/~nzt. I. D a s B e t r i e b s o p t i m u m

(Kap. 2, w 2).

1. Die optimale Produktionsgeschwindigkeit p ist dadurch definiert~ dal3 ihre Durchschnittskosten ein Minimum sind; P ergibt sich aUS d e r Gleichung" d K*r

.~

K oder wegen K* - - ~ aus der Gleichung X

K' (p) K (p) p io2 woraus nach einiger Umformung folgt"

--

0,

K' (p) -- K* (p) . . . . . . . . . . .

(1)

Dies ist der Fundamentalsatz des Betriebsoptimums (Satz I). 2. Fiir das Betriebsoptimum gilt definitionsgem/~I3 die Minimumbedingung" d ~ K* {p} > o . . . . . . . . . . . (2) Es ist aber"

d 9' K*

K " (x)

2 [K' (x) - - K* (x)]

d x2

x

x2

Wegen (1) gilt also:

d ~'K* dx ~

{P}--

K " (p) p "

Somit ist (2) gleichbedeutend mit K " (p) > 0

. . . . . . .

.

. . . . .

(3)

Die Ungleichung beinhaltet den Satz II. Geniigen mehrere Werte yon x den Bedingungen (1) und (3), so ist p derjenige unter diesen Werten, dem der niedrigste Wert der Funktion K* zugeordnet ist.

Mathematischer Anhang

95

3. Es gilt n a c h der Definition yon K, KI und KII" X

K(x)--K~

~-IK'(~)d 0

Wegen (1) haben wit"

P

p9 . K' (p)----- KI -t- I K' ( ~ ) d 0

Da fiir x - - b

naeh Definition K (x) ein Minimum wird, gilt"

K' (x) > K' (b)

und s o m i t P

P

f K ' (~) d ~

I K ' (b) d ~ -- p . K ' (b).

0

Wir haben also"

0

p . K ' (p) ~ K~ -[- p . K ' (b) ~

oder

K' ( p ) - K' (b) > KI. --p Da ffir x - - p die F u n k t i o n K' bereits ansteigt, So muB p > b sein, u n d zwar u m einen Betrag, der ein Anwachsen yon K ' (b) auf K ' (p) minKI destens u m bedingt. P 4. Z u m Beweise des Sa.tzes I I I formulieren wir analytisch seine Voraussetzungen. Dieses sind:

a) K " (x) existiert u n d ist stetig fiir x > 0

(Regularits

fl) sign K " (x) -- sign (x - - b)

(Regelm~Bigkeit)

D i e B e h a u p t u n g lautet dann" sign [K' (x) - - K * (x)] -- sign ( x - - p ) . . . . . .

(4)

Wir b e t r a c h t e n zun~chst die F u n k t i o n Es gilt"

/ (x) -- x [K' (x) - - K * (x)] -~ x . K ' (x) - - K (x) sign / (x) -----sign / (x)__ sign [K' ( x ) - - K* (x)] X

Unsere B e h a u p t u n g ist also bewiesen, wenn wir die Gleichung bewiesen haben. Es gilt ferner"

sign~/(x) -- sign (x - - p)

lim K~ (x) = lira K ( x ) - - - K (o) _ K ' (o) . . . . . . x--~o

x--~o

X

Somit haben wir" lim / (x) -- lira x . lim K ' (x) --- lira K (x) --- - - K1 X--~O

X--~O

X----~O

X--~O

(5)

96

Anhang

Setzen wir / ( o ) = lim /(x), wodurch /(x) auch fiir x = o stetig wird, so haben wir"

x--~o

/ (o) = - - g i < 0

:Ferner gilt"

. . . . . . . . . .

d / (x) _ x . K " (x) . . . . . . . . . . . dx

(6) (7)

Wegen der Voraussetzung fl) ist also / (x) fiir x < b monoton abnehmend und fiir x > b monoton zunehmend und hat fiir x - b ein Minimum. Wegen (6) ist somit /(x) ffir x < b negativ. Wegen (1) ist /(p)----0, infolgedessen wegen (7) fiir x > p positiv und fiir b < x < p negativ. t (b) ist negativ als Minimum yon auch negativen Werten. Es gilt also" sign /(x) -- sign (x - - p ) Hiedurch ist die Behauptung (4) bewiesen. 5. Satz I I I beinhaltet den Satz I I I b. Dal3 auch Unternehmungen mit konstantem Ertragszuwachs der Kostendegression unterliegen, folgt aus einer einfachen ~berlegung. Als Voraussetzung haben wir bier" K' (x)----constans, Es ist also" x

K(x)

-- KI + I g'd~

= KI + x.g'

o

K * (x) -" K I + K ' gg

K ' ( x) - - K * ( x) =

Kz gg

< 0,. w. z. b. w.

II. D a s B e t r i e b s m i n i m u m (Kap. 2, w 3). 1. Die Bestimmungsgleichung fiir q lautet auf Grund ganz analoger ~berlegungen , wie zu (1), und wegen K' (x) -- K'zi (x): K ' (q) = K ~ (q) . . . . . . . . . . .

(8)

I)iese Gleichung driickt den Satz IV aus. 2. Der Ungleichung (2) entspricht hier die Ungleichung" d 2 Kh d

{q} > o

. . . . . . . . . . .

(9)

Aus ihr resultiert, analog der Ungleichung (3), die Ungleichung: K " (q) > 0

. . . . . . . . . . .

(10)

])as ist die Behauptung des Satzes V. 3. Satz VI ist durch die Entwicklung (5) bewiesen. III. D a s A n g e b o t d e r U n t e r n e h m u n g n a c h e r w e r b s w i r t s c h a f t l i c h e m P r i n z i p (Kap. 2, w 4). 1. Die giinstigste Produktionsgeschwindigkeit s macht definitions. gem~B den Gewinn zum Maximum. Es gilt hier also:

Mathematischer Anhang G' (s) ---- E' ( s ) -

oder

97

K ' (s) - - 0

E ' (8) = K ' (8)

.

.

. . . . . . . .

(il)

])as ist der Fundamentalsatz des erwerbswirtschaftlichen Prinzips. 2. Die zweite Maximumbedingung fiir G lautet" G" (8) <

0 . . . . . . . . . . . .

(12)

Das heil~" G' (x) ist in der Umgebung yon x-----s fallend oder wegen (11) f f i r x . ( s positiv und fiir x > s negativ. Fiir eine hinreichend kleine Umgebung yon s grit also der Satz XI. 3. Satz X I I I wird wie folgt bewiesenSeinen Voraussetzungen entsprechend wiirde fiir alle x die Ungleichung gelten: E' ( x ) - K ' (x) ----G' (x) < 0 . . . . . . . . (13) Die Gewinnfunktion nimmt hier mit zunehmendem x monoton ab. I h r Maximum liegt also bei x - - 0 . Die Unternehmung wiirde sich am besten stehen, wenn sie stillgelegt wiirde. Sie wiirde dann den geringsten Verlust, n/imlich KI, erleiden. 4. Wegen K ' I I - - K ' kann (11) durch die Gleichung E' (s) -----K'II (s)

...........

(14)

ersetzt werden. Wir erhalten so den Satz XV. 5. In der freien Konkurrenz ist der Preis P yon x unabh/ingig. Es ist dann E ( x ) - - x . P und E ' ( x ) - - P . (11) wird hier durch P--K'(s) ersetzt.

(15) ist der Satz XVI.

. . . . . . . .

.

. . (15)

(12) ergibt"

g " (s) 2> 0 . . . . . . . . . . . .

(16)

Hieraus folgen die S/itze X V I I und X V I I I . 6. I m Falle des Monopols ist der Preis des yon der Unternehmung produzierten und angebotenen Gutes eine monoton abnehmende Funktion tier Produktionsgeschwindigkeit. Es gilt also: P ' (x) < 0 . . . . . . . . . . . . Aus (11) folgt"

(17)

K' (s) -- P (s) -~- s . P ' (s) . . . . . . . .

(18)

Bezeichnen wir den absoluten Betrag ]P' (x)l yon P ' (x) als das Gefglle der Nachfragefunktion, so gilt wegen (17) und (18)" K ' (s) = P (s)

8. I P ' (s) l . . . . . . . .

(19)

])as ist der Inhalt des Satzes XX. Eine andere Formulierung dieses Satzes erhalten wir, wenn wir den in der theoretischen 0konomik gelgufigen Begriff der Elastizitgt der Nachfrage heranziehen. Wir wollen den analytischen Ausdruck fiir das Mal~ der Elastizitgt nicht ableiten, sondern entnehmen ihn unmittelS t a c k e 1 b e r g, G r u n d l a g e n

7

98

Anhang

b a r d e m H a n d b u c h A. Marshalls. 1) Marshall gibt i h n in folgender F o r m dx --dy an" 9 . H i e b e i ist x die Menge des Gutes, also identisch m i t unx y serem x, u n d y der Preis, also i d e n t i s c h m i t u n s e r e m P. I n u n s e r e r Schreibdx --dP weise l a u t e t der A u s d r u c k ffir die E l a s t i z i t ~ t : " ~ . Diesen x P A u s d r u c k bezeichnen wir einfach als ,,die E l a s t i z i t ~ t ''~) u n d ffihren ffir sie das S y m b o l e ein. s ist eine F u n k t i o n a) y o n x" ~(x)-

dx

dP

9

x

P(x)

=--

P

Aus (20) ergibt sich"

x.P'(x)

.

. . . . .

(2o)

P (x)

x.p'

(x) . . . .

(x)

t I i e r a u s folgt als B e d i n g u n g ffir die giinstigste P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t wegen (18)" 1) A. M a r s h a l l , Handbuch, S. 685; cf. auch: D a l t o n , The inequality of incomes, S. 192ff. 9) cf. auch B o w l e y , 1. c. S. 32/33. 8) D u t c h Integration dieser Differentialgleichung ergibt sich ein ftir die sogenannte ,,synthetische 0 k o n o m i k " wichtiger analytischer Ausdruck fiir die Preisfunktion. Wir geben nachstehend die Ableitung: Wir wollen annehmen, daft lim s (x) existiert u n d yon Null verschieden x---~ o

1 ist. Es sei auch lim s (x) --~ oo zugelassen. W i t setzen dann - ~

-- a ~ ~ (x),

x--~o

1 wobei a -- lim - - - - sei. D a n n ist: ~-~o ~ (x) P' 1 P -x.8(x)

fxP -~ a ~ o

a

a x

~(~) -~-- d ~ + ~n r

~~ o

~ (x) x

o x

ln P --- a ln x -~ l~ C - - jf -~(~) -~ d ~ o

P=--~.e-o-x

Ist 8 ( x ) k o n s t a n t ,

so h a t der F a k t o r

e-I

o

v--~ ~)a~ den W e r t

1. D a n n

1 ist n~mlich e (x) -- -a- lfir alle Werte yon x. Zu beachten ist, dag in diesem Falle die Ertragsfunktion x . P nur dann unserer A n n a h m e entsprechend yore Nullpunkt ausgeht, wenn a ~ 1, also e > 1, d. h. wenn die Nachfrag~ elastisch ist.

Mathematischer Anhang P(s)--K'

99

(s) . . . . . . . . . .

(21)

(s)

Das ist der Inhalt des Satzes X X a . Aus (19) oder (21) folgt unmittelbar der Satz XXI. IV. Die K o s t e n d e r v e r b u n d e n e n

P r o d u k t i o n (Kap. 3, w167 1 bis 3).

1. Hier handelt es sich vor allem darum, ein Koordinatensystem zu finden, das der darzustellenden Materie am besten entspricht. Als ein solches w~hlen wir z u n ~ c h s t - wenn man die Produktionsgeschwin' digkeiten als cartesische Koordinaten auffal~t - - das System der polaren Koordinaten. Wir betrachten also die Kostenfunktionen in ihrer Abh~ngigkeit yon den

GrSBen r und ~, wobei r - - V x l ~ + x ~ u n d

tg~----

X2 X1

ist.

Wird (xl, x~) als ein Vektor ~ betrachtet, so ist r seine L~nge und ~ seine Richtung. Deshalb sprechen wir yon der ,,Produktionsl~nge" r und der ,,Produktionsrichtung" ~. Wir setzen K (x 1, x~)----K [r, ~] und entsprechend P (xl, x ~ ) - P [r, ~]. Als Vektoreinheit r bezeichnen wir den Vektor (cos ~, sin ~). Es ist dann ~ - r r. Wir haben nun insbesondere: a) die Gesamtkostenfunktion: K [r, ~ ] - - K (r. cos~, r . sin~); b) die Grenzkostenfunktion: ~K - - K ' r [r, of] -~ K ' 1 . cos T + K'~. sin ~, ~r ~K ~K wobei K ' 1 -- ~ x x und K ' ~ - ~ x , entsprechend Grenzkostensteigung; c ) die Durchschnittskosten"

K K* [r, T] -- ~ ; r

entsprechend die durchschnittlichen variablen Kosten; d) den Ertrag im allgemeinen Falle des Monopols" E [r, ~] -- E (r. cos ~, r . sin ~) . . . . . . . . . . . . . .

(22)

-- r . c o s ~ . P1 (r. cos~, r . sin~) -~ r . s i n ~ . P~ (r . cos ~, r . sin ~) = r {cos ~ . P~ [r, ~] ~- sin ~ . P~ Jr, ~]}

=~.~

Die speziellen F~lle ergeben sich aus dieser Formel. 2. Ist das Zusammensetzungsverh~ltnis x 1 9x 2 der verbundenen Produktion konstant, so haben wir als Produktsmengeneinheit den 7*

100

Anhang

Einheitsvektor e der (konstanten) Produktionsriehtung aufzufassen. Dann ist r die in der Zeiteinheit hergestellte Menge der Produktseinheiten, also nichts anderes, als die Produktionsgeschwindigkeit im Falle der einfachen Produktion. Somit gilt der Fundamentalsatz der verbundenen Produktion (XXVI). 3. Jeder Richtung ist je eine Produktionsl~nge b, q, p und s zugeordnet. Wir erhalten also b, q, p und s als Funktionen der Richtung ~. Insbesondere gilt folgendes: Setzt man a r2 so ist r - - b .

Wir haben also durch die Gleichung r~

(b,

= o

die GrSBe b als implizite Funktion yon ~p definiert. die Gleiehung der b-Kurve. Ebenso ist

Es ist r - - b [ ~ ]

OK{q, cf}-- g~ [q, of]--0 Or die Definition yon r-----q [~] (q-Kurve) und g {p, ~ o } - K* [p, ~] = 0 c~r die Definition yon r = p [?] (p-Kurve), sowie schlieglich

die Definition yon r - s [~] (s-Kurve), also der Kurve der giinstigsten Produktionsgeschwindigkeiten. Betrachtet man die Richtung lgngs konzentrischer Kreise, also l~ngs Kurven mit der Gleichung r - const., so erh~lt man die Kurve der giinstigsten Richtungen aus der Gleichung"

I-Iieraus erhalten wir ~ - a [r]. Der Punkt, der den beiden Gleichungen r - s [q0] und ~ = a [r] geniigt, ist das gfinstigste Produktionsniveau. Wir haben somit die drei Sgtze X X V I I bis X X i X . 4. Das polare Koordinatensystem besteht aus der Schar der konzentrischen Kreise um den Ursprung und aus dem Strahlenbfischel durch den Ursprung. Wir ersetzen die Schar der Kreise durch die Schar der kostenindifferenten Kurven. Wir erhalten so ein Koordinatensystem, das der behandelten Materie am besten entspricht. Ein Produktsvektor wird hier bestimmt durch die HShe seiner Produktionskosten und durch seine Produktionsrichtung, d. h. durch die Proportion seiner

Mathematischer Anhang

101

Komponenten. Wir konfrontieren schliel~lich die Schar der kostenindifferenten Kurven mit der Schar der ertragsindifferenten Kurven. Die Schar der kostenindifferenten Kurven hat die Gleichung: K It, ~] = M . . . . . . . . . . .

(23)

wobei ~I der Parameter der Schar ist. Die Schar der ertragsindffferenten Kurven hat die Gleichung: ~, It,

~]

=

L

. . . . . . .

.

. . . .

(24)

wobei L der Parameter dieser Schar ist. Eine beliebige kostenindffferente Kurve k hat die Gleichung K It, ~] Mk - - 0 und definiert r als eine eindeutige Funk~ion yon ~, also" r =

k [~]

(25)

. . . . . . . . . . . .

Durch Einsetzen yon (25) in die Ertragsfunkfion (22) erhalten wir den Ertrag der Kurve /~ als Funktion der Richtung: E = E [ k [~], ~] = E [~] Sein Maximum ergibt sich wie folgt: gE

=

OE

dk[~] ~E

+

aE ~K

=

~E

~ ~K

9

oder

o~:~

aE

~E

=

0

--0

aE

aE

~r' aK

-~-~ - - 0 . . . . . . . . . ~K

(26)

Dieser Ausdruck gilt fiir jede kostenindifferente Kurve. Er ist die Gleichung der Kurve, welche yon den gfinstigsten Punkten der kostenindifferenten Kurven gebildet wird. Diese Gleichung besagt" Der grinstigste Punkt einer jeden kostenindifferenten Kurve, der nicht am Rande des Definitionsbereiches der Gesamtkosten- und der Ertragsfunktion liegt, zeichnet sich dadurch aus, daI~ die durch ihn hindurchgehenden kostenindifferenten und ertragsindifferenten Kurven in ihm eine gemeinsame Tangente besitzen. Die Gleichung (26) l~Bt sich auf den Fall verallgemeinern, dab n Gfiter verbunden produziert werden. Wir haben dann als Koordinaten die Produktionsl~nge r u n d n - 1 Winkel ~1, ~2 . . . . ~ n - 1, die zusammen die Produktionsrichtung ausmachen. (26) besagt, dal3 die zweidimensionale Matrix ~E ~E ~K

~K

102

Anhang

den Rang 1 hat. Dasselbe gilt ffir den Fall yon n Giitern fiir die entsprechende n-dimensionale zweireihige Matrix" aE

~E

~E

~T' ~QOI' eK

~)n-- i

~K

eK

Die Determinanten 2. Grades dieser Matrix werden gleich lqull gesetzt, wodurch m a n n - 1 Gleichungen erh~lt, die zusammen eine R a u m k u r v e im n-dimensionalen R a u m definieren. 1) V. T h e o r i e

des

zwischenbetrieblichen (Kap. 3, w 4).

Verrechnungspreises

Wir verwenden die gleichen Bezeichnungen wie im Text. Die Kosten, die im Betriebe Nr. 2 zu den Kosten des Betriebes lqr. I hinzukommen, bezeichnen wir mit H. Offenbar h~ingt H yon x 2 und yon y ab. D i e GrOBe y wird jedoeh als Funktion yon x~ und x9 durch die Bedingung definiert, dab die Kosten yon x x - - y und x~ jeweils ein Minimum sein miissen. Wir haben also fiir die Gesamtunternehmung: K ---- K i (xi) d- H (x,, y)

. . . . . . . .

(27)

und fiir den Betrieb l~r. 2:

.,~

K~=y.V+H(x~,

y)

.

.

.

.

.

.

,

.

(28)

wobei gleiehzeitig die Bedingung 9) gilt" ~H Oy

-

-

-

-

dK 1 ~ dx 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(29)

Durch (29) ist y als Funktion yon x 1 und x~ definiert. 1. Ist das Gut l~r, 1 nicht marktgi~ngig, so ist y - x 1. D a m i t die ~K 3 K 3E 3E schreiben. Sie 1) (26) l~l~tsichauchinderForm 3 r 93~ -- 3 r : 3 entspricht genau der bei M a r s h a l l , Handbuch, S. 690, angegebenen Gleichung tier ,,Vertragskurve" yon E d g e w o r t h , hat bier allerdings eine andere, wenn auch analoge Bedeutung. Eine einfache Rechnung zeigt iibrigens, dab die Determinante (26) denselben Weft hat wie die Determinante K'~ K ~ ; sie ist also gegenfiber unserer Koordinatentransformation invariant. ~) Diese Bedingung ergibt sleh wie folgt: Setzen wir x l ~ Y - - - - ~ , so soil bei gegebenen u und x~. die Gr6_ge K ein Minimum werden, also: 3 K (u, y, x~) _-- ~ K l (u + y ) + 3 H (x~, y) - - 0 3y ~y ~y

woraus wegen

K1 (u JF Y) d K1 (xi) -die F o r m e l (29) folgt. ~y d xl

Mathematischer Anhang Gesamtunternehmung den maximalen Bedingung geniigendE

~{~} 9 =

[d K 1 aH [~, + ~

103

Gewinn erziel~, muI~ sie der

" ~d y {~} +

~H ~

{~}. . . .

(30)

Der Betrieb Nr. 2 soll sich bei seiner Produktion fiir den Markt voraussetzungsgems ~) nach dem erwerbswirtschaftlichen Prinzip richten. Fiir ihn gilt also wegen (28)" 0 x~

~

+ ~

"~-~{~} + ~{'~}"

9 9(3~)

Aus (30) und (31) folgt fiir jede Stelle s~ die Gleichung" d K~ (y)

dy

d (y. V) - - ~ .

..........

dy

(32)

Soll (32) fiir jeden mSglichen Wert sg. erfiillt sein, so muB allgemein gelten" y . V -- K 1 (y) ~- L, wobei L eine beliebige Konstante ist. Wir erhalten, entsprechend dem Satz XXXV, die Formel: V -- K~ (y) + L ..... (33) Y 2. Das Gut Nr. 1 sei marktg~ngig. Der Verrechnungspreis soll so bestimmt werden, dai~ sich der Betrieb Nr. 2 stets in ~)bereinstimmung mit dem Interesse der Gesamtunternehmung befindet, wenn er nach dem erwerbswirtschaftlichen Prinzip anbietet. Beim Betrieb Nr. 1 miissen wir auf eine solche Bestimmung seines Angebotes verzichten und es unmittelbar yon der Gewinnfunktion der Gesamtunternehmung abhi~ngig machen. Die Preise P1 und P2 seien vom Marktangebot beider Waren abhi~ngig, also" 9

.

.

,

9

P1 -- P1 (xl ~ Y, x2) und P 2 ~- P 2 ( x l ~ Y, x2)

9 9 9(34)

Dann g i l t allgemein-

G - - G ( x l, y, x~) und G~----G~(x l, y, x~)

Hiebei ist y durch die Minimumbedingung (32) fiir die Produktionskosten yon x9 als Funktion yon x~ definiert. Die Maximumbedingung ffir G lautet" ~G ~y

ay ~G + ~ = 0 ; ax~ ~x~

9

aG ay ~G ~ + ~ - 0 . . . ~ y " ~x~ ~x~

(35)

a) Fiir den Betrieb Nr. 1 ist y eine gegebene GrSlile, die vom Betriebe l~r. 2 angefordert wird. Auch x 2 ist fiir ihn gegeben. Der Betrieb Nr. 1 beeinflul~t also den Gewinn der Gesamtunternehmung unmittelbar nur durch die Gesamtherstellung s 1 seines Produktes. Wir erhalten s 1 aus

~) cf. Kap. 3, w4, I.

104

Anhang

der ersten Gleichung (35), die nach einigen Umformungen und unter Beriicksichtigung yon (29) lautet" (s,--y).~,

0

P,

0 P2 4 - P , 4 - x ~ . 0xt,

K',(s,)--0

. . . (36)

(36) definiert s 1 als implizite Funktion yon y und x,. b) Der Betrieb ~Tr. 2 bietet voraussetzungsgem~B nach erwerbswirtschaftlichem Prinzip an. Sein Gewinn h~ngt wegen (32) und (36) letzten Endes nur yon x9 ab. Die Maximumbedingung ffir g~ als Bestimmungsgleichung yon s~ lautet" Og~ ds___~,4_~0G~, d y 4 - 0 G ~ = 0 ax l'dx 2 ay dx, 9 ~x,

. . . ...

(37)

An der Stelle x 1 = s 1 und x , - s~ mfissen G und G9 maximal werden. (35) und (37) mfissen also fiir dieselben Werte v(m x 1 und x 2 erfiillt sein, wenn das Verhalten des Betriebes ~ r . 2 der Gesamtunternehmung einen maximalen Gewinn verschaffen soU. Das gilt ffir alle Preise und Preisfunktionen. Diese Forderung wird erfiillt, indem m a n die Ableitungen yon G~ den entsprechenden Ableitungen yon G gleichsetzt. Wir erhalten so die drei Identit~ten"

OG, OG = ~ ; 0 x, 0 x,

~ G~ OG = ~ ; 0y 0y

O g~ 061 . . . . . . 0 x~ 0 x,

(38)

Aus (38) folgt, wenn L eine beliebige Konstante ist, die Behauptung des Satzes X X X V I " G - - G~ -- L . . . . . . . . . . . (39) Unter Beachtung yon (27), (28) und (34) ist" G ---- ( x , - - y) . P , 4 - x 2 . P ~ - - K , - - H G~ -x~. P ~ - - y . V - - - H Hieraus und aus (39) folgt" V = P,--

x,. P,-

K, +

L

. . . . . . .

(40)

Y Y 3. (40) ist die allgemeine Formel ffir den zwischenbetrieblichen Verrechnungspreis. ~) Dieser l~I~t sich ffir alle speziellen F~lle aus (40) herleiten. *) Es l~Bt sich leicht zeigen, dab die Bedingung (29) bei Verwendung des Verrechnungspreises zur Bestimmung der jewefls niedrigsten Kosten ftir den Betrieb Nr. 2 gewahrt bleibt; es gilt. wenn x , - u -t- y ist: K~ (u, y, x,) ~ (y. V) ~H ~y -~y 4- ~y Wegen (40) ist y. Y = - - u . P (u) + K , (u -p y), also (y. V) 0 K, ~ K, ~y ~y ~x, Somit erhalten wit (29).

Mathematischer Anhang

105

a) Ist das Gut Nr. 1.nicht marktgiingig, so ist sein Preis P~ zun~chst nicht definiert. Setzen wir P 1 - 0, so haben wir

v__K1 +L Y Y woraus wegen x 1 - - y die Formel (33) folgt. b) Liegt auf dem Markte des Gutes Nr. 1 freie Konkurrenz vor, so geht (36) in P 1 - - K ' (sl) fiber, woraus sich s 1 unabh~ngig yon und yon x~ ergibt. Wir erhalten dann aus (40): V ---- P1

sl. P1--K1--L Y Der Z~hler des Bruches auf der rechten Seite ist yon y und yon x9 unabh~ngig. Wir k6nnen ihn mit - - M bezeichnen, wobei ~I eine K o n s t a n t e ist. Dann haben wir den Satz X X X V I I " v-p~+--.

y

. . . . . . .

. . . (41)

c) Ist P1 yon x9 und P9 yon x 1 unabh~ngig, so erhalten wir aus (36)" (s 1 __ y) " ~~X~(s~--Y}~-P~(s~--Y)--K'~(s~)--0 P1

.

. (42)

(42) definiert sl als eine implizite Funktion yon y. Die Formel ffir den Verrechnungspreis ergibt sich aus (40): V----Pl(sl~y)--sl'Pl(sl--Y)--Kl(sl)+--L . . . (43) Y Y ttier ist V vom Marktpreis P1 wesentlich, d. h. nicht nur um den Quotienten aus einer Konstanten und y verschieden, weft der Z~hler des ersten Bruches in (43) durch P1 (sl ~ Y) und durch s 1 wegen (42) yon y abh~ngt. Hieraus ergeben sich die Uberlegungen yon w 4, IV, die zum Satz X X X V I I I ffihren, I m fibrigen ist wegen (42) festzustellen, dal3 das Angebot des Betriebes Nr. 1 vom Angebot des Betriebes Nr. 2 in dem Sinne unabh~ngig ist, dab sich der Betrieb Nr. 1 in seinem Marktangebot nicht nach der Marktlage des Betriebes Nr. 2 zu richten braucht, sondern selbst~ndig kalkulieren kann. Die Kostenrechnung kann hier aufgeteflt werden. d) Sind Preis und maximale absetzbare Menge fiir das Gut Nr. 1 fixiert (z. B. durch ein Kartell), und bezeichnen wir das maximal absetzbare Kontingent mit h, so sind zwei F~lle zu unterscheiden: a) Ist das Angebot s 1 des Betriebes ~ r . 1, das zustande kommen wiirde, wenn der Absatz ~ bei gegebenem Preise ~ frei w~re, gr6Ber, als h ~ y, so wird der Betrieb Nr. 1 die Menge h ~- y produzieren. Wir haben dann wegen (40) und wegen x 1 - - h - ~ y V -- K~ (h -~ y) -~ L ~ h . P~ Y Y

. . . . . . .

(44)

106

Anhang

D a L - - h . P i konstant ist, so hat (44) eine gewisse _~hnlichkeit m i t (33). /5) Ist s _< h + y, so wird genau ebenso produziert, wie im Falle .der freien Konkurrenz, also entsprechend der Formel~(41). e) Eine besondere Lage ergibt sich im Falle modifizierter Konkurrenz. Hier k6nnen wir die Gesamtkosten als eine Summe yon zwei Funktionen auffassen" K 1 (xi) + C (x i - - y ) , wobei C die yon der abzusetzenden Menge x i - - y abh~ngigen Absatzkosten sind, die fiir y nicht in Frage kommen, Hier erscheint (36) in der Form" PI-

K ' i (s) - - C' (s i - - y) ---- O.

Dadurch ist s i als Funktion y o n y definiert. Aus (40) folgt: V--Pi~

si'Pi-Ki-C(s i-y)~ L. Y Y Der Ziihler des ersten Bruches ist fiber C und s i yon y abh~ngig. Wir haben also einen iihnlichen Fall, wie in (43): der Verrechnungspreis ist v o m Marktpreis wesentlich verschieden. 4. Komplizierter wird das Problem, wenn beide Betriebe mehrere Giiter produzieren. Hier miissen wir zwecks iibersichtlicher Darstellung die Vektorrechnung anwenden. Bezeichnen wir die vom Betriebe Nr. 1 produzierten Mengen mit Xk (k -- 1, 2, . . . . . , n), die vom Betriebe IXTr. 2 angeforderten Mengen mit Yk (k -- 1, 2, . . . . . n) und die vom Betriebe Nr. 2 produzierten Mengen (s~mtlich in der Zeiteinheit) mit zi ( i - 1, 2, 3 . . . . . , m), ferner den Vektor (x i, xg,. . . . . Xn) mit ~, den Vektor (Yi, Y~, . . . . ., Yn) m i t t ) , den Vektor (zi, z2, . . . . . Zm) mit ~, den Preisvektor aller n - r Giiter mit ~3, schlieBlich die Verrechnungspreise m i t Vk ( k - 1, 2 , . . . . . n) und den Vektor (Vi, Vg.,. . . . . Vn) mit !B, so haben wir, indem wir jedem Gut eine Koordinate im (n + m)-dimensionalen R a u m e zuordnen" G = (~ - - 0 + ~ ) . ~ - - K i (~) - - H (0, ~) = G (~, ~, ~)

Es mug sein grad G9 = (0~ dann und nur dann, wenn grad G = {0} ist. Das wird erreicht, indem man grad G 2 - - g r a d G setzt. Dann kann sich aber G~ yon G nur um eine beliebige Konstante L unterscheiden. Wir haben somit: L ---- ( ~ - t)). ~ - K 1 (~) ~- t). und schlieBlich 9 t).!B--(0--~).~-~K(~) +L Mit anderen Worten: Ffir die Gesamtheit der yore Betriebe Nr, 2 beim Betriebe Xr. 1 in der Zeiteinheit angeforderten Gutsmengen wird der Betrieb Nr. 2 vom Betriebe ~ r . 1 mit den Gesamtkosten der Produktion d e s Betriebes Nr. 1 belastet und mit dem Erl6s des Betriebes ~r. 1 auf dem Markt erkannt. Zu einem dieser Posten k o m m t eine beliebige Kon-

Mathematischer Anhang

107

stante hinzu. Ein Verrechnungspreis li~Bt sich fiir das einzelne Gut im allgemeinen nicht konstruieren. Eine Ausnahme hiervon ist gegeben, wenn auf dem Markte des Betriebes ~r. 1 freie Konkurrenz herrscht und auch die iibrigen Preise yon ~ unabh~ngig sind, wenn also die Gleichung gilt: n

n

~Yk.

Vk = - - ~

1

( x k - - Yk). Pk + Kx ( ~ ) + L. 1

Hier ergibt sich der gfinstigste ~-Vektor aus den Gleichungen: grad G -- (0}, d . h . aus" Pk --

K1 a xl~

die Wurzeln dieser n-Gleichungen bezeichnen wir mit Sk, den Vektor (sl, 9 s~, . . . . . . , s~.) mit ~. Die sk ergeben sich unabh~ngig yon t) und yon3. W i r haben nun: n

]a

i

~Yk 1

1

1 n

n

. . . . . . . . . 1

(45)

1

wenn wir zun/ichst die willkiirliche Konstante L der konstanten GrSBe n

sk. Pk

K 1 (~) gleich setzen. (45) gilt nur dann ffir jeden Wert

1

yon jedem Yk, wenn V k - - P k

ist, d. h. also, wenn"

~-~.

W i t haben also im Falle der freien Konkurrenz dieselbe Situation fiir die verbundene Produktion, wie ffir die einfache. Es iindert sich nichts wenn war Mk

Vk=Pk+--

Yk

setzen. Bezeichnen wir die Konstante n

~

Mk mit M,

1

so haben wit" n

~Yk. 1

oder"

n

Vk

= ~ Y k . Pk + M 1

~.~=~.~+M.

108

Anhang

VI. D a s s t a t i s c h e G l e i c h g e w i c h t der U n t e r n e h m u n g e n

bei g e g e b e n e r (Kap. 4, w 1, I).

Verteilung

Wir ordnen den n Warenarten unseres Systems" einen n-dimensionalen Zahlenraum zu. Ferner numerieren wir unsere m Wirtschaftsindividuen, die teils Unternehmungen, teils natiirliche Individuen sind. Das Angebots eines Wirtsehaftsindividuums Nr. # betrachten wir als einen Vektor und bezeichnen ihn mit ~g. Die Komponenten dieses Vektors sind insoweR gleich Null, als die entsprechenden Giiter yore betreffenden Individuum nicht angeboten werden, Der Angebotsvektor einer Unternehmung ist nichts anderes als ihr Produktsvektor. Entsprechend definieren wir den Vektor t), als den hTachfragevektor des Wirtschaftsindividuums Nr.#. Fiir eine Unternehmung ist t), niehts anderes als ihr Aufwandsvektor, wobei das verwendete Kapital ebenfalls als Aufwandsgeschwindigkeit, n~mlich als Kapitaldisposition in der Zeiteinheit, aufgefal]t wird. ~ ist der allgemeine Preisvektor.

1. Das individuelle Gleichgewicht der Unternehmung. 1) Der Unternehmung ist eine Produktionsfunktion zugeordnet, die den Aufwands- und den Produktsvektor miteinander verkniipft. Da im Aufwandsvektor die Kapitaldisposition enthalten ist, so ist die Produktionsfunktion vom Preisvektor abh/~ngig. Sie hat also die allgemeine Form: ~) (~--9,

~)--0

.

. . . . . . . . .

(46)

Diese Funktion hat folgende Bedeutung" ~ wird - - da es sich um freie Konkurrenz h a n d e l t - ffir die betreffende Unternehmung als gegeben betrachtet. Soll irgendein ~ produziert werden, so sind alle t), die mit jenem ~ der Gleichung (46) genfigen, Aufwandsvektoren, die technisch geeignet sind, ~ herzustellen; ist ein Aufwandsvektor t~ gegeben, so sind aUe ~, die mit jenem t) der Gleichung (46) genfigen, Produktsvektoren, die mit t) hergestellt werden kSnnen. Die Unternehmung sucht das innere Vektorenprodukt zu einem Maximum mit der Nebenbedingung (46) zu machen, wobei wie gesagt, konstant ist. Die Maximumbedingung lautet hier: Die Matrix (grad(~~_ ~)q~) . . . . . . . . . . .

(47)

ist fiir die realisierten Werte yon ~ und t) vom Range 1. Im allgemeinen kann man annehmen, dal~ die yon Null verschiedenen Komponenten des Produktsvektors beim Aufwandsvektor Nullkomponenten sind und umgekehrt. Fiir jede auf Grund yon (46)existie1) of. P a r e t o , Manuel 1927, Appendice, Nr. 77ff. 2) Den Index, der die Nummer der Unternehmung angibt, kSnnen wit bier fortlassen.

Mathematischer Anhang

109

rende partielle Ableitung einer Komponente Yk von t) nach einer Komponente xi yon ~ ( i - - 1 , 2 , . . . . . , n; k - 1, 2, . . . . . , n) gilt die Gleichung: P i = 0 Yk oder Pi = a Y___kkPk . . . . . . . (48) Pk ~xi ~xi" Es gibt stets genau n - - 1 yon einander unabh~ngige Gleiehungen (48), so dab aus (46) und aus (48) bei gegebenen Preisproportionen die yon der Unternehmung zu realisierenden Vektoren im allgemeinen bestimmt sind, allerdings fiir die Kapitalkomponente nur bis auf einen yon der absoluten HShe des Preisniveaus abh~ngigen Faktor. Gleichbedeutend mit (48) ist das Gleichungssystem: Pk_ Pi

axi oder P k - - axi Pi ~ Yk ~ Yk "

.......

(49)

Yk Pk das WertmaB des Grenzauf(O~Ykxiist das Mengenmal3 und ~x~" wandes, der zur Produktion des Produktes l~r. i aus dem Produktionsxi ~ xi mittel l~r./c gemacht werden muB; ~ k ist das Mengenmal3 und ~YkYk" Pi das WertmaB des Grenzertrages, der dureh den Aufwand des Produktionsmittels Nr./c zur Herstellung des Produktes Nr. i erzielt wird. (48) bedeutet somit, dab der wertm~Bige Grenzaufwand ffir ein Produkt aus irgendeinem Produktionsmittel dem Preise des Produktes gleich ist, (49) bedeutet analog, dab der wertm~Bige Grenzertrag eines Produktionsmittels in jedem Produkt dem Preise des Produktionsmittels gleieh ist. Aus (48) folgt, dab die wertm~13igen Grenzaufwi~nde aller Produktionsmittel fiir jedes Produkt einander gleich sind; aus (49) folgt, dab die wertm~13igen Grenzertr~ge in allen Produkten fiir jedes Produktionsmittel einander gleich sind. 2. Das individuelle Gleichgewicht des nati~rlichen Individuums.

Das natiirliche Individuum, das wir zum Unterschiede yon der produzierenden Unternehmung als Konsumenten bezeichnen wollen, ist Anbieter yon Produktionsmitteln und l~achfrager yon Produkten. Auch bei ihm ist also ein Angebotsvektor ~ und ein l~achfragevektor t) zu unterscheiden. Seine ,,Bilanzgleichung ''1) lautet: (~- ~). ~ = 0

. . . . . . . . . .

(50)

Er sucht seine Ophelimit~tsfunktion oder Ophelimit~ts-Indexfunktion 9) J=

/ ( ~ - - t), ~)

zu einem Maximum mit der l~ebenbedingung (50) zu machen, wobei konstant ist, da Konkurrenzwirtschaft vorausgesetzt wird. Die Ophe1) cf. P a r e t o , Manuel, 1927, Appendice, Nr. 80, G1. (B). 2) cf. P a r e t o , Manuel, 1927, Appendice, Nr. lff.

110

Anhang

limitiitsfunktion bezieht sich auf den Gesamtzustand des Konsumenten, also sowohl auf sein Angebot als auch auf seine Nachfrage. Der Parameter ~ ist eingefiihrt, weft das Angebot des Kapitalisten nieht unabh~ngig yore Preisvektor definiert werden kann. Wir erhalten eine dem Ausdruck (47) analoge MaximumbedingungDie Matrix (grad ~(~ ~) /) . . . . . . . . . . . ist flit die realisierten Werte yon ~ und t) veto Range 1.

(51)

-

Die aus (51) in ~hnlicher Weise wie (48) und (49) aus (47) herzuleitenden Gleichungen" /'i

/'k

beinhalten den bekannten Satz veto Ausgleich des Grenznutzenniveaus. 1)

3. Das allgemeine Gleichgewicht. Der Gesamtangebotsvektor 9I unserer n Wirtschaftsindividuen er, gibt sich durch den Ausdruck: m

=~,

~,..

. . . . . . . . . .

(53)

1

Der Gesamtnachfragevektor ~ ergibt sich durch den .4usdruck" m

--~,

9,

. . . . . . . . . . . .

(54)

1

Durch (46) und (47) sowie durch (50) und (51) ist jedes ~ und jedes t)~ als Funktion yon ~3 definiert. Wegen (53) und (54) gilt dasselbe auch fiir 9~ und 92. Da der Konkurrenzmechanismus attf den Ausgleich yon Angebot und ~achfrage hinwirkt, so erhalten wit als System yon n Bestimmungsgleichungen fiir den Preisvektor ~ den Ausdruck: (~) _-- ~ (~) . . . . . . . . .

. .

(55)

Dieser Ausdruck bestimmt ~3 bis auf einen Proportionaliti~tsfaktor, da, wie bereits erw~hnt, ~ und t) yon der absoluten PreishShe unabhiingig sind. VII. D e r S a t z y o n d e r v o l l s t ~ n d i g e n Z u r e c h n u n g s c h e n G l e i c h g e w i c h t (Kap. 4, w 1, III).

im s t a t i -

Wir nehmen einen vereinfachten Fall an, der alle wesentlichen Voraussetzungen enth~lt: Unsere Unternehmung produziert ein Produkt mit der Produktionsgeschwindigkeit x und dem Preise P und verwendet hiezu drei Produktionsmittel mit den Aufwandsgeschwindigkeiten Yl, 1) cf. P a r e t o , Manuel, 1927, Appendice, Nr. 80, G1. (A).

Mathematischer Anhang

111

y 9, Y3 und den Preisen Q1, Q ~, Qa. Alle Preise sind fiir die U n t e r n e h m u n g - entsprechend der konkurrenzwirtschaftlichen V o r a u s s e t z u n g - gegeben. Dann li~l~t sich die allgemeine Produktionsfunktion (46) in der vereinfachten Form sehreiben" x - - / ( Y l , Y~, Ys) . . . . . . . . . . (56) Die Gesamtkosten yon x sind" K(x)--yl.Ql+y~.Q~-y3.Qa

. . . . . . (57)~

Die tats~chlich realisierte Produktionsgeschwindigkeit bezeichnen wit, wie immer, mit 8; die realisierten Aufwandsgeschwindigkeiten bezeichnen wir mit t~, t9 und t a. Der Gewinn ist" x . P - - K (x) -- P . / (Yl, Y~, Y~)-- (Yl. Q1 + y~. Q~ + y3. Qs) Sein Maximum bestimmt tl, t~ und ta und fiber (56) die GrSBe s. Die Bestimmungsgleichungen ffir tl, tg, ta sind"

P . / ' 1 (tl, t2, t3) = Q1 /

P P

/'9 (tl, tg, t a) -- Q~ / /'a (tl, t~, ta) - Q a

. . . . . . . .

(58}

(58) ist nichts anderes als das Gleichungssystem (49). Satz X X X I X besagt, dab die Preise der statischen Wirtschaft jede Unternehmung dazu ffihren, ihr Betriebsoptimum zu realisieren, also das Minimum yon K (x) Yl. Q1 ~- Y~.-Q~ ~- ya. Qa . . . . . . . . x / ( y l , y~, y3) Wit erhalten das Minimum yon (59) aus den drei Gleichungen:

(59)

s . Q 1 - / 1 1 (tl, t~, t3). K (s) -- 0 / 8 Q ~ - / ~ (t 1, t~, ta) K (s) -- 0 ...... s Qa - - / ' a (tl, t~, ta) K (s) -- 0

(60)

/

Multiplizieren wit die erste der Gleichungen (60) mit tl, die zweite m i t t z und die dritte mit t a und addieren wit sie dann, so erhalten wir" s . K ( s ) - (t 1 . / ' l ~- t~. 9/' 9 + t a /'a).K(s)--O oder schlieBlich nach einiger Umformung" / ( h , t~, t~) = h

9/'~

+ t~ 9/'

9.~ta

.

/'a

. . . .

.

.

(61)

Das besagr I m statischen Gleichgewichtszustand ist die Summe der in der Zeiteinheit aufgewendeten, mit ihren Grenzproduktivit~ten multiplizierten Produktionsmittelmengen dem Gesamtprodukt gleich. Die Gleichungen (58) zeigen, dab in der erwerbswirschaftlichen Konkurrenzwirtschaft nach Grenzproduktivit~ten 9 zugerechnet wird. (61) zeigt, dab diese Zurechnung restlos aufgeh~. Die Gleichung (61) ist eine notwendige, jedoch nicht hinreichende Bedingung fiir die E~istenz eines statischen konkurrenzwirtschaftlichen Gleichgewichts. Ist also die allgemeine Produktionsfunktion einer Volkswirtschaft so beschaffen, dab (61) fiir keinen Aufwandsvektor erfiillt~

112

Anhang

ist, so ist die konkurrenzwirtsehaftliehe Organisationsform in Verbindung mit dem erwerbswirtschaftlichen Prinzip nieht realisierbar. Hier zeigt sich ganz deutlich die Abh~ngigkeit der sozialwirtsehaftliehen Organisationsform yon den Produktionsverh~ltnissen, d. h. yon der technischen Situation.

B. Verallgemeinerung der Gesamtkosteniunktion. ~) Die meisten abgeleiteten S~tze gelten nicht ftir jede denkbare Gesamtkostenfunktion. Wir haben ausdriicklich die Voraussetzung der Regularit~t gemacht. Die abgeleiteten S~tze gelten also zun~chst nur fiir Gesamtkostenfunktionen, die dieser Voraussetzung geniigen. Wir wollen hier untersuchen, wie weir jene S~tze auch auf den allgemeinen Fall ausgedehnt werden k6nnen. Zur Begriindung des Satzes X X I I wurde subsidi~r die Tatsaehe benutzt, da~ sehr kleine WertgrSBen 6konomischerweise vernachl~ssigt werden diirfen. Wir erheben hier diese Tatsache zu einem grundlegenden Prinzip" J e d e willkiirliehe A b ~ n d e r u n g der G e s a m t k o s t e n f u n k t i o n , d u r c h w e l c h e die G e w i n n f u n k t i o n n u r u m e i n e n zu v e r n a e h l ~ s s i g e n d e n B e t r a g a a b g e ~ n d e r t wird, ist erlaubt. Hiebei kann a beliebig klein festgesetzt werden (z. B.: a --0,0001 Pf.). DaB diese Festsetzung gemacht werden daft und dab die 6konomischen Ergebnisse durch sie unbeeinfluBt bleiben, ist wohl ohne weiteres einleuchtend. Jetzt kOnnen wir nachfolgenden Satz beweisen: (XXXX) Die G e s a m t k o s t e n f u n k t i o n l~l~t sieh s t e t s d u r e h eine eindeutige, m o n o t o n steigende F u n k t i o n darstellen, die in j e d e m b e l i e b i g e n e n d l i c h e n I n t e r v a l l n u r e n d l i c h viele U n s t e t i g k e i t s s t e l l e n h a t u n d i i b e r a l l d o r t , wo sie s t e t i g ist, a u e h r e g u l a r ist. Die Gesamtkostenfunktion ist eindeutig und monoton; 2) schon d a r a u s folgt, daB Unstetigkeiten nur durch Sprung vorkommen. Die Gesamtkostenfunktion hat an den Unstetigkeltsstellen zwei Grenzwerte, einen linksseitigen und einen rechtsseitigen. Der linksseitige ist stets der kleinere. Wir wollen festsetzen (was auf Grund des Spielraums a immer mSglich ist), dab stets der linksseitige Grenzwert auch Funktionswert der Unstetigkeitsstelle sein soll. Die Differenz der beiden Grenzwerte ist der Sprung, oder, wie man sie allgemein nennt, die Schwankung. Eine Unstetigkeitsstelle ist dadurch gekennzeich~et, dab ihre Schwankung yon Null verschieden ist. Haben wir zwei beliebige Produktionsgeschwindigkeiten x 1 und x~, so gilt wegen der Monotonie der Gesamtkostenfunktion, daB die Summe 1) Wir fiihren die ~berlegung far die Theorie der Produktionsl~nge durch. Eine entsprechende Verallgemeinerung far die Th~orie der Produktionsrichtung l~f~t sich ganz analog entwickeln. ~) Kap. 1, w 1, III, 2.

Verallgemeinerung der Gesamtkostenfunktion

113

der Schwankungen aller Unstetigkeitsstellen im Intervall (Xl, xg) nicht grOl~er sein kann als die Differenz der beiden zu x 1und x9 zugehSrigen Gesamtkostenwerte, also I K ( x l ) - K (xg)I- Hieraus folgt aber, da~ es nur endlich viele Unstetigkeitsstellen gibt, deren Schwankungen grSBer als a sind. Es kann n~mlich die Anzahl dieser Stellen nicht grSl3er sein als der Quotient K ( x 2 ) - K (xl) Alle Unstetigkeitsstellen, deren Schwankung kleiner ist als a, diirfen vernachl~ssigt werden. Denn in ihrer Umgebung kSnnen die Gesamtkostenwerte so ver~ndert werden, dab sie sieh um weniger als a yon den urspriinglichen Werten unterscheiden und die neudefinierte Gesamt. kostenfunktion stetig verl~uft. Ferner kSnnen wir iiberall dort, wo die Funktion stetig ist, durch ~nderungen, welche geringer sind als a, Regularit~t herbeifiihren. Somit ist unser Satz bewiesen. Fiir jede beliebige Gesamtkostenfunktion lassen sich Durchschnittskosten und durchschnittliche variable Kosten stets ohne weiteres berechnen. Durch den soeben bewiesenen Satz werden wir in die Lage versetzt, auch eine Grenzkostenfunktion ffir die allgemeine Gesamtkostenfunktion zu konstruieren. Wir wollen im folgenden die Unstetigkeitsstellen mit u bezeichnen und numerieren. Zwei benaehbarte Unstetigkeitsstellen bilden ein l~egulariti~tsintervall. In seinem Inneren ist die Bildung der Grenzkostenfunktion ohne weiteres klar. Wie wir die Grenzkostenfunktion zweckm~Bigerweise an den Unstetigkeitsstellen bestimmen miissen, wollen wir jetzt untersuchen. Die Grenzkosten einer Produktionsgeschwindigkeit begrfinden zugleich eine bestimmte Aussage fiber die Gesamtkosten dieser Produktionsgeschwindigkeit. Hieraus folgt, dab nur die linksseitigen Ableitungen an den Unstetigkeitsstellen fiir die Festsetzung der Grenzkostenfunktion an diesen Stellen maBgebend sind. Die Grenzkostenfunktion brauchten wir zur Bestimmung des Betriebsminimums, des Betriebsoptimums und des Betriebsangebotes. Die betreffenden Produktionsgeschwindigkeiten ergaben sich jeweils als Abszissen der Schnittpunkte der Grenzkosten mit den entsprechenden Kurven. In unserem Falle kSnnen jewefls mehrere solche Schnittpunkte im Innern der l~egularit~tsintervalle vorkommen. Dann sind die Ergebnisse miteinander zu vergleichen. Ferner ksnnen aber auch die betreffenden Produktionsgeschwindigkeiten an einer Unstetigkeitsstelle liegen. Damit formal jede yon den betreffenden ausgezeichneten Produktionsgeschwindigkeiten sich auf Grund eines Schnittpunktes ergibt, bestimmen wir die Grenzkostenwerte an den Unstetigkeitsstellen wie folgt. Grenzkosten einer Unstetigkeitsstelle sind" 1. Die linksseitige Ableitung der Gesamtkostenfunktion an dieser Stelle. 2. Alle Werte, die grSBer sind als diese Ableitung. Durch diese Festsetzung bleiben alle abgeleiteten Gesetze aueh fiir S t a c k e 1 b e r g, G r u n d l a g e n

8

114

Anhang

die allgemeine Gesamtkostenfunktion des einfaehen Angebotes gewahrt. Diese Tatsache l~l~t sich genauer mathematisch beweisen. Aber dieser Beweis ist umst~ndlich und bereichert die 6konomische Erkenntnis nicht wesentlich. Deshalb bringen wir ihn nicht. Die Ausfiihrungen des vorliegenden Abschnittes haben fiberhaupt nur einen prinzipiellen Wert. Sie sollen die Geltung der abgeleiteten S~tze m6glichst erweitern. Zum SchluB sei noch kurz eine analytische Formulierung der dargelegten Tatsachen gegeben. Die Gesamtkostenkurve K (x) ist regular wenn Un ~ x ~ Un+l, (wobei n = 1, 2 . . . . . ). Es gilt" K (un) = lim K (x) x---~ufi

--

0

Dadurch ist K (x) fiir alle x ~ 0 definiert. Hieraus ergeben sich auch K* (x) und K~ (x). Sie haben dieselben Unstetigkeitsstellen wie K (x). K ' (x) ist fiir Un ~ x ~ Un + 1 durch die Gleichungd g(x) K ' (x) = dx definiert. Ferner gilt" K' (Un) ~ lim K' (x) X--~Un

m

0

K ' ist also in Un unendlich vieldeutig. Diese Beziehungen und die Anwendung der friiher abgeleiteten Gesetze sind im zweiten Beispiel des Anhangs D dargestellt 1)

C. B e m e r k u n g e n zur K o s t e n t h e o r i e E u g e n S c h m a l e n b a c h s . {} 1. Theorie der einfachen Produktion. Im Mittelpunkt der deutschen kostentheoretischen Literatur stehen die Werke Eugen Schmalenbachs, insbesondere seine ,,Grundlagen der Selbstkostenrechnung und Preispolitik".2) Diese Schrift, 1909 zuerst als Aufsatz in der ,,Zeitschrift fiir handelswissenschaftliche Forschung" erschienen, stellt das Fundament fiir die heutige deutsche Kostenlehre dar. Deshalb erscheint es gerechtfertigt, eine Wfirdigung der Haupts~tze jener Arbeit vorzunehmen. Hiedurch wird gleichzeitig eine theoretische Anwendungsm6glichkeit der formalen Kostentheorie, n~mlich die Analyse nicht mathematisch fundierter Kostentheorien, aufgezeigt. Die drei wesentlichen Punkte der Kostenlehre Schmalenbachs sind: 1) Eine Besonderheit ergibt sich, wenn es fiir die Produktionsgeschwindigkeit eine obere Grenze gibt, fiber die sie, vielleicht aus technischen Grfinden, nicht steigen kann. Dann ist die Gesamtkostenfunktion nur zwischen 0 und dieser oberen Grenze definiert. Hier betrachten wir die obere Grenze der Produktionsgeschwindigkeiten als eine Unstetigkeitsstelle der Gesamtkostenfunktion. Das fibrige ergibt sich dann aus den gemachten Ausffihrungen. Ein Beispiel fiir diesen Sachverhalt ist die Ziegeleifabrik (cf. Enquete-Ausschul3 I, 3. Arb,-Gr., zweiter Teil, 2, S. 186). 2) 5. Auflage, Leipzig 1930.

Bemerkungen zur Kostentheorie Eugen Schmalenbachs

115

I. Die Einteilung der Kosten; II. Der ,,proportionale Satz"; III. Die ,,Kosten~uflSsung".

Die E i n t e i l u n g d e r K o s t e n . Schmalenbach unterscheidet fixe, degressive, proportionale und progressive Kosten. 1. F i x e K o s t e n : Schmalenbach definiert sie wie folgt: ,,Ihre (der fixen Kosten; der Verf.) Natur . . . besteht darin, dab sie dureh schwankenden Besch~ftigungsgrad nicht beeinfluBt werden", z) Unter Besch~ftigungsgrad versteht Schmalenbach ,,die Masse der jeweils erzeugten Produkte". ~) Vermutlich ist hier zu erg~nzen" ,,Die Masse der jeweils in der Zeiteinheit erzeugten Produkte." Dann deckt sich der Begriff des Besch~ftigungsgrades bei Schmalenbach mit unserem Begriff des Produktionsniveaus. Somit sind die fixen Kosten nichts andres als unsere konstanten Kosten KI. Dieser eindeutige und unseres Erachtens auch zweckm~13ige Begriff der fixen Kosten wird aber bei der Darstellung der ,,Kostenzerlegung" anscheinend nicht beibehalten, so dab wir, um MiI3verst~ndnisse zu verhiiten, die Bezeichnung ,,konstante Kosten" verwendet haben, wobei das Wort ,,konstant" genau dem mathematischen Charakter dieser Kostenfunktion entspricht. H~ufig wird yon betriebswirtschaftlicher Seite erkl~rt, auch die fixen Kosten seien vom Besch~ftigungsgrade nicht unabh~ngig, sondern i~nderten sich sprunghaft mit steigendem Beschi~ftigungsgrad. Dies ist aber offenbar nur dann der Fall, wenn man den Begriff ,,fixe Kosten" anders definiert, als es Schmalenbach getan hat. Es werden dann n~mlich auch die ,,Sprung-Kosten" mit zu den fixen Kosten gerechnet. Unseres Erachtens ist diese Erweiterung des Begriffes ,,fixe Kosten" unzweckmi~13ig. Vielmehr scheint es uns empfehlenswert, eben den besonderen Begriff ,,Sprung-Kosten" einzuffihren. 2. D e g r e s s i v e K o s t e n : Schmalenbach definiert sie wie folgt: ,,Degressive Gesamtkosten sind dadurch gekennzeichnet, dab die gesamten Kosten mit steigendem Besch~ftigungsgrad zwar steigen, dal3 aber die Steigung geringer ist als die Steigung der Produktion. ''3) Diese Definition ist sinngem~B und auf Grund der in der ,,Selbstkostenrechnung" vorliegenden Zahlenbeispiele dahin zu interpretieren, dab die Kostensteigung relativ zur GesamtkostenhShe geringer ist, als die Steigung der Produktionsgeschwindigkeit relativ zur Produktionsgeschwindigkeit selbst. Es soll also sein: K (x + A x ) - - K (x) < - A X K (x)

x

1) 1. C. S. 37. 2) 1. c. S. 32.

a) l. c. S. 37. 8*

116

Anhang

wenn A x positiv und hinreiehend klein ist. Hieraus folgt K (x + A x ) - - K (x) < K ( x ) -- K * ( x) Ax x

oder im Grenzfibergang"

K' (x) < K* (x)

Die Ungleichung ist dann erffillt, wenn die Durchschnittskosten fallen (cf. Satz I I I und I I I a). Dies entspricht auch dem erw/~hnten Zahlenbeispiel Schmalenbachs. Wir k6nnen feststellen, dab sich unsere Definition der degressiven Kosten mit der Definition Schmalenbachs deckt. Es gilt also: Degressive Kosten sind Kosten, deren Durchschnitt mit steigender Produktionsgeschwindigkeit sinkt. 3. P r o p o r t i o n a l e K o s t e n : Schmalenbach charakterisiert sie folgendermaBen: ,,Geht der Besch/~ftigungsgrad auf die H/ilfte zurfick, so fallen die Kosten auf die H~lfte; geht die Menge der Erzeugung a u f das Doppelte hinauf, so steigen die Kosten auf das Doppelte. ''1) Allgemein gilt hier also" g (x) ---- x . g (1) und somit K' ( x ) - - K (1) Wir haben also" x. K(1) K* ( x ) - -- K (1) -- K' (x) X

als Bedingung dafiir, dab die Kosten ,,proportional" sind. 4. P r o g r e s s i v e K o s t e n : Analog wie bei den degressiven Kosten zeigt man, dab die progressiven Kosten der Bedingung K' (x) > K* (x) genfigen, also aueh hier unsere Definition der Sehmalenbachschen folgt. Die Einffihrung der Begriffe ,,degressiv" und ,,progressiv" zweoks kiirzerer Ausdrucksweise ist sehr zweekm/~Big. Dagegen erscheint der Begrill ,,proportionale Kosten" entbehrlieh; denn die Gesamtkosten sind im allgemeinen nur in einem Punkte ,,proportional", n/~mlich im Betriebsoptimum. (Ebenso die variablen Kosten im Betriebsminimum.) II. Der proportionale

Satz.

Sind x 1 und xg. zwei verschiedene Werte der Produktionsgeschwindigkeit x, so ist der zugeh6rige proportionale Satz, den wir mit Q bezeichnen wollen: Q - - K (xg) m K (xl) X 2 --

1) 1. c. S. 32.

X1

Bemerkungen zur Kostentheorie Eugen Schmalenbachs

117

Der proportionale Satz ist also der Differenzenquotient der Gesamtkostenfunktion, der zu den beiden Produktionsgeschwindigkeiten x 1 u n d x~ gehSrt. Wir kSnnen auch abgekfirzt schreiben:

Q = Q (x~, x~) Schmalenbach h a t den proportionalen Satz 1) z u m ,,Kalkulationswert in vielen F~llen" erkl~rt. 9) Die Bedeutung dieser Feststellung liegt nicht so sehr auf theoretischem (der proportionale Satz ist nichts anderes als ein Ns ffir die Grenzkosten; die Grenzproduktivit~tstheorie, die den Satz: ,,Grenzkosten gleich Preis" aufstellt, leitet ihre Anfs schon yon Ricardo u n d Thfinen her), als auf praktischem Gebiet; Schmalenbachs Verdienst besteht darin, als erster diesen W e r t als Kalkulationswert in die praktische Kostenrechnung eingeffihrt zu haben. E r h a t gezeigt, dal~ unter gewissen Voraussetzungen so produziert werden muB, dal~ ein zur U m g e b u n g der realisierten Produktionsgeschwindigkeit zugehSriger proportionaler Satz dem Marktpreis ungefs gleich ist. Dieser Lehrsatz stimmt, wie aus unseren Ausffihrungen hervorgeht, desto genauer, je weniger sich der proportionale Satz yon den Grenzkosten der realisierten Produktionsgeschwindigkeit unterscheidet. III. ,,Kostenzerlegung." L~nger als bei den eben behandelten P u n k t e n miissen wir bei der ,,Kostenzerlegung" verweilen. Gerade hieriiber besteht auBerordentlich

1) Zwei Formeln, die eine Verfeinerung des proportionalen Satzes darstellen: Wir bezeichnen die zu realisierende Produktionsgeschwindigkeit mit s und den Marktpreis m i t / ) . Haben wir Q (xl, x~) und gilt Q -- P, so ist X 1 ~- X 2

2 Haben wir Q1 -- Q (xl, x2) und Q~ -- Q (x~, xs) und ist xl ~ x~ ~ xs sowie Q1 ~ P ~ Q~, so gilt x~+x~ P--Q~ x3--xl 8~ ~. ~ . 2 Q~--Q1 2 Der Beweis ergibt sich, indem man die Gesamtkostenfunktion in dem betrachteten Intervall ni~herungsweise als Polynom zweiten Grades ansieht und den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwendet. In derselben Weise erh/ilt man folgende N/~herungsformel ffir die Grenzkosten K' (x) der Produktionsgeschwindigkeit x: Sind xx und x 2 zwei Produktionsgeschwindigkeiten, die zu x benachbart sind, und gilt x 1 < x < x~, so haben wir, wenn wir Q (x x, x ) = Q 1 und Q (x, x~) -- Q~ setzen: K' ( x ) ~

(x~-- z) g~ + ( x - - z ~ ) g ~ X 2 --

X1

- - .

3) 1. c. S. 52. Auf S. 53 erkli~rt S c h m a l e n b a c h , dal~ auch die Verreehnungspreise auf die Grenzkosten gesetzt werden ~niil~ten. Ein Vergleich dieser Behauptung mit unseren Ausffihrungen im vierten Paragraphen des

118

Anhang

viel Verwirrung und MiBversti~ndnis. Schmalenbachs eigene Ausffihrungen sind nicht ganz klar und scheinen uns interpretationsbedfirftig zu sein. Sie sind auch hi~ufig interpretiert und ausgebaut worden. Aber wir kennen nur eine einzige Interpretation, die wir als vollkommen einwandfrei und einzig mOglich bezeichnen kOnnen: Dies ist der Cufsatz yon Dr. Kosiol: ,,KostenauflOsung und proportionaler Satz" in Z.f. h . F . , 1927. Sp~ter ist auch ein Aufsatz yon Dr. Kalischer ersehienen (,,Der Widerspruch zwischen mathematischer und buchtechnischer Kostenauflosung", Z. f. h. F., April 1929), in welchem die Kostenauf10sung richtig interpretiert wird. Jedoch geht Kalischer fiber die bloBe Interpretation hinaus, indem er eine besondere Beachtung dem Falle schenkt, dab die Grenzkosten sinken, dab also das Gesetz des zunehmenden Ertrages gilt. Eine Untersuchung fiber diesen Fall fehlt bei Sehmalenbach und dementsprechend aueh bei Kosiol, da dieser eben rein interpretativ vorgeht. Deshalb kOnnen wir Kalischer nicht zustimmen, wenn er meint, Kosiol hi~tte sich durch Schmalenbaehs Beispiel ,,irreffihren lassen" (S. 177). Das Schmalenbachsche Beispiel zeigt auch nicht ,,etwas ungewOhnliche Verhi~ltnisse", sondern ist einfach ein spezieller Fall, niimlich der, dab die Grenzkosten yon Anfang an steigen, dab also der Betrieb dem Gesetze des abnehmenden Ertrages unterliegt. Bezfiglich der Interpretation der Schmalenhachschen ,,KostenauflOsung" berufen wir uns auf den oben zitierten Aufsatz yon Kosiol, da wir dessen Ausffihrungen als endgiiltig ansehen. Wir kOnnen also zur Analyse fibergehen. Schmalenbach 10st die Kosten in einen proportionalen und einen fixen ,,Bestandteil" auf. Es wi~re jedoch ein Irrtum, zu meinen, der fixe Bestandteil hi~tte etwas mit den oben definierten fixen Kosten zu tun. Bei Schmalenbach ist dieser Punkt nicht ganz eindeutig. Kosiol zeigt dagegen die einzig mOgliche Auffassung. Jedenfalls dfirfte der Name ,,fixer Bestandteil" wenig glficklich gew~hlt sein. Die Tatsache allerdings, dab dieser ,,fixe Bestandteil" in der ,,Selbstk0stenrechnung" im Beispiel auf Seite 45 (oben) als ,,fixe Kosten" bezeiehnet wird, legt den Gedanken nahe, als ob auch Schmalenbach der Meinung ist, fixer Bestandteil und fixe Kosten seien identisch. Dieser Eindruck verst~rkt sich durch Schmalenbachs Ausffihrungen in seinem ,,Kontenrahmen". 1) Hier scheint er tats~chlich der Auffassung zu sein, wie sie auch Maletz ~) vertritt, dab es nur fixe und proportionale Kosten gibt, und dab die degressiven und progressiven Kosten aus den beiden anderen Kategorien zusammengesetzt sind. Demgegenfiber werden wir folgendes feststellen kOnnen" Vorausgesetzt, dab mit dem Ausdruck ,,proportional" wirklich der damit verbundene mathematische Begriff gemeint ist, l~Bt sich die in Frage stehende These bezfiglich der progressiven Kosten fiberhaupt nicht, bezfiglich der 3. Kapitels zeigt, dab wir dem nur dann zustimmen k6nnen, wenn fiir das abzurechnende Gut Marktg/~ngigkeit bei freier Konkurrenz vorliegt. 1) 1. c. S. 31ff. ~) Z. f. h. F., 1926, S. 293.

Bemerkungen zur Kostentheorie Eugen Schmalenbachs

119

degressiven Kosten nur dann aufrecht erhalten, wenn diese linear verlaufen, d. h. wenn die Gesamtkostenfunktion linear und degressiv ist. Die Kostenzerlegung ist ein Verfahren folgender Art" Der proportionale Satz wird mit einer der beiden zugeh6rigen Produktionsgeschwindigkeiten multipliziert und das Produkt yon den entsprechenden Gesamtkosten s u b t r a h i e r t . Der Rest (in beiden F~llen k o m m t dieselbe Differenz zustande) wird yon Schmalenbach als fixer Bestandteil der Gesamtkosten bezeichnet. Behalten wir unsere obigen Bezeichnungen bei und setzen wir fiir den ,,fixen Bestandteil" das Symbol ], so haben wir: g ( x l ) - x 1 . Q (xl, x2) -- K ( x ~ ) - x~. Q (xl, x~) -- ] = ] (x l, x~) Uber die L~nge des Intervalls (xl, xg) findet sich bei Schmalenbach keine ausdrfickliche Festsetzung. Da er jedoch die Annahme macht, dab die Gesamtkosten in diesem Intervall linear verlaufen, l) so muB das Intervall klein sein; denn diese Annahme stimmt desto genauer, je kleiner das Intervall ist, am genauesten also, wenn es gegen Null konvergiert: Dann geht aber Q in K ' fiber, und wir erhalten den ,,fixen Be standteil" als Funktion der Produktionsgeschwindigkeit durch die Gleichung / -- g ( x ) - x . g ' (x) -- / ( x ) I m allgemeinen ist ] in keinem noch so kleinen Intervall konstant. ~) Es gibt nur einen Punkt, in dem ] mit K: iibereinstimmt. Das ist das Betriebsminimum. Setzen wir n~mlich K~ -- / -- K ( x ) - - x . K' (x) so haben wir x . K' (x) ---- K (x) - - K: -- KII (x) g ' (x) -- Kn (x) :

g ~ (x)

X

Diese Gleichung ist aber nur im Betriebsminimum erfiillt. Wir k6nnen allerdings die Form einer Funktion bestimmen, die in ihrem Gesamtverlauf der Bedingung entspricht, dab der fixe Bestandteil den fixen Kosten gleich ist. Dann muB n~mlich die obige Gleichung fiir alle Werte von x erffillt seinl Die durch, Integration dieser Differentialgleichung erhaltene Gesamtkostenfunktion ist linear. K ' (Grenzkosten) ist konstant. Die allgemeine Form einer solchen Funktion ist: K (x) ---- KI -~- x . K ' Dies ist eine sehr spezielle Funktion, die iiberdies in der Konkurrenzwirtschaft nicht vorkommen kann, da sie dem Gesetz des konstanten Ertrages unterliegt. 8) :) 1. c. S. 28. S chin a l e n b a ch braucht hier den Ausdruck ,,einheitlich"; gemeint ist wohl linear. 9) Will man die Gr6fte Q nach dem Wortlaut des S c h m a l e n b a c h s c h e n Textes in der zuerst angegebenen Weise yon den beiden Besch~ftigungsgraden x: und x 2 abhiingig sein lassen, also als Differenzenquotienten auffassen, so bleibt das Ergebnis dasselbe. Die Darstellung wfirde erheblich komplizierter sein. 8) Deshalb ist es unzuliissig, die Gesamtkostenfunktion einer konkurrenz-

120

Anhang

Es ist vielleicht von Interesse, den Unterschied zwischen,,fixen Kosten" (---- konstanten Kosten) und ,,fixem Bestandteil" geometrisch darzustellen. In der Abb. 14 sind sowohl ,,fixe Kosten" als auch ,,fixer Bestandteil" auf der Ordinatenachse abgetragen. ,,Fixe Kosten" w e r d e n durch die Streeke O A gemessen. Der ,,fixe Bestandteil", der zu einer Produktionsgeschwindigkeit x gehSrt, ist jeweils die Strecke vom Ursprung bis zum Sehnittpunkt der Ordinatenachse und der Tangente an die Gesamtkostenkurve in dem Punkte, der zur betreffenden Produktionsgeschwindigkeit gehSrt. (Punkt [x, K (x)].) ] i s t positiv, wenn Kostendegression und negativ, wenn Kostenprogression vorliegt. Man kann also ] oder

aueh als

Mal3 der Degression, bzw. Progression verwenden. [ stimn~ J f/~2--5 mit dem Verlust (wenn positiv), bzw. mit dem Gewinn (wenn /'(~')--d-/(z negativ) iiberein, der entsteht, / wenn die Produktionsgesehwindigkeiten zu ihren Grenzkosten (also in der Konkurrenzwirtschaft) angeboten werden. Es i~ r p srT.m ist jedoch unm6glieh, yon der H6he des ,,fixen Bestandteils" ohne weiteres auf die H6he der ,,fixen Kosten" zu schlieBen. Wir fassen das Ergebnis l#r,r) = -4 unserer Betraehtung zusammen: Abb. 14 1. Die Behauptung, degressive Kosten seien die Summe eines ,,proportionalen" und eines ,,fixen" Bestandteils (ebenso die entsprechende Aussage ffir die progressiven Kosten), ist nichts anderes als ein Teil der Definition des fixen Bestandteils. 2. Die Behauptung, degressive Kosten seien die Summe yon proportionalen Kosten und fixen K o s t e n (im Sinne der urspriinglichen Definition der fixen Kosten), ist unrichtig. Es ist nicht m6glich, eine beliebige degressive Kostenfunktion zu erhalten, indem man zu den fixen Kosten, also zu einer konstanten oder allenfalls treppenfSrmigen Funktion eine lineare Funktion addiert. 3. Der Begriff ,,fixer Ertrag", der bei der Zerlegung der progressiven

P4

wirtschaftlichen Unternehmung auch nur niiherungsweise als linear zu betrachten, wie es L e h m a n n in seinem Aufsatze ,,Grunds~tzliche Bemerkungen zur Frage der Abh~ingigkeit der Kosten vom Besch~ftigungsgrad" (Betriebswirtschaftliche Rundschau, 1926, S. 146) vorschliigt.

Bemerkungen zur Kostentheorie Eugen Schmalenbachs

121

Kosten aufgestellt wird, hat erst recht nichts mit den fixen Kosten zu tun. 4. Der Name ,,fixer Bestandteil" ist nicht zweckm~Big, da nicht einzusehen ist, welche Eigenschaft durch das Adjektiv ,,fix" angedeutet werden soll. w 2. Theorie der verbundenen Produktion. Wir dfirfen voraussetzen, dab der Inhalt des Abschnittes ,,Der Kalkulationswert bei Kuppelprodukten ''1) genau bekannt ist, so daB sich ein wSrtliches Zitieren eriibrigt. Es handelt sich bier um die Produktion von zwei Gfitern in einem festen Mengenverh~ltnis. Eine Besonder. heit ergibt sich dadurch, dab die Nachfrageseite nach einer Verwendungsskala abgestuft ist, w~hrend die Kosten der Produktionsgeschwindigkeit proportional sind. Wir wissen, dab letzteres nur mSglich ist, wenn die Unternehmung ein Monopol hat. In diesem Sinne kSnnen wir auch tats~chlich die Verwendungsskala deuten. Wir kbnnen n~mlich folgendes annehmen" Bei Verkauf yon 1000 kg des Produktes A erh~lt man fiir 100 kg 150 Mk und hat somit einen ErlSs von 1500 Mk. Verkauft man nicht 1000 kg, sondern 1000 kg + 1500 kg -- 2500 kg (s~mtlich zu einem 1500. 120 Preis), sow~chst der ErlSs von 1500 Mk auf 1500 Mk ~Mk -100 -- 3300 Mk. Somit ergibt der Mehrverkauf yon 1500 kg einen MehrerlSs von 1800 Mk, also pro 100 kg 120 Mk. Ein Gesamterlbs yon 3300 Mk ffir 2500 kg bedeutet, dab diese fiir 132 Mk ffir 100 kg verkauft werden, und so weiter. Wir ksnnen also aus der Verwendungsskala eine Preisfunktion des Produktes A und ebenso des Produktes B ableiten. Bezeichnen wir den ErlSs einer bestimmten Menge x des Produktes A mit E (x), so kSnnen wir, indem wir die erste Menge in der Verwendungsskala mit xl, die Summe der ersten und der zweiten mit x2, die Summe der ersten, zweiten und der dritten mit x 3 usw. bezeichnen, folgendermaBen die allgemeine Formel ffir die Aufstellung einer ,,Verwendungsskala" aus der Preisfunktion angeben" Da fiir x 1 der ErlSs E (xl) erhalten wird, so wird die Mengeneinheit yon x 1 mit E (xl) bewertet. Dies ist aber nichts anderes, als der Preis X1

yon xl, also P (xl). Der Zuwachs von E (x2) gegeniiber E (xl) ergibt sich durch die zusi~tzliche Verkaufsmenge x 2 - - xl; der zweite Verwendungszweck erh~lt also als Bewertung der Mengeneinheit" E ( x 2 ) - - E (Xl) X 2 --

X1

ebenso fiir die dritte Zuwachsmenge x 3 - - x 2" E

und so weiter. 1) 1. c. S. 28ff.

(x3) -x3 ~

E

( x 2)

x 2

122

Anhang

Wir sehen, dab wir es mit Differenzenquotienten der F u n k t i o n E (x) zu t u n haben. I n d e m wir die Zuwachsmengen eine Nullfolge durchlaufen lassen, erhalten wir die Angabe des Verwendungwertes der Mengeneinheit in einem beliebigen Punkte, d. h. den W e r t pro Einheit, der einer minimalen E r h 6 h u n g einer b e s t i m m t e n Produktionsgeschwindigkeit zukommt. Wir k6nnen also (und zwar ist dies die genauere Betrachtungsweise) an Stelle der Verwendungsskala einfach die Ableitung des Erl6ses als F u n k t i o n der Produktionsgeschwindigkeit setzen. Wir h a b e n mit anderen W o r t e n an Stelle der Verwendungsskala die Grenzertragsfunktion E' (x) zu setzen. Ist der Preis konstant, herrscht also freie Konkurrenz, so besteht die Verwendungsskala nur aus einer Verwendungsstufe mit beliebiger Produktionsmenge u n d einem Verwendungswert, der dem Preise gleieh ist. I m Beispiel, das wir bei Schmalenbach finden, haben w i t es aber mit dem Monopol zu t u n u n d miissen es auch, da die K o s t e n f u n k t i o n als linear a n g e n o m m e n wird. Auf Grund des Fundamentalsatzes der erwerbswirtschaftlichen P r o d u k t i o n muB der Grenzverwendungswert ( d . h. Grenzertrag) den Grenzkosten gleich sein. Das Beispiel, das S c h m a l e n b a c h selbst bringt, 1) soll in einer etwas abge/~nderten Gestalt b e t r a c h t e t werden. Wir haben es hier mit einem zweidimensionalen Vektor zu tun, dessen K o m p o n e n t e n x und y sind. Es gilt die feste Proportion: x: y -- 1 : 3 . Die Mengeneinheit soll durch den Vektor (25, 75) repr/isentiert werden (beide Gtiter in Kiiogramm gemessen). Die Verwendungszwecke der beiden P r o d u k t e A und B fassen wir derart zusammen, dub innerhalb einer Stufe fiir jedes P r o d u k t ein k o n s t a n t e r (durchschnittlicher) Verwendungswert besteht. Wir erhalten so nachfolgende Aufstellung, deren Z u s a m m e n h a n g mit dem Schema von Schmalenbach wohl ohne weiteres klar ist.

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ver-

Gesamtproduktion von A

von B

1000 1667 2500 3000 3500 5000 6500 7667 8500 (10000)

3OOO 5000 7500 3000 10500 15000 19500 23000 25500 3OOO0

Verwendungsmengen von 1000 667 833 500 500 1500 1500 1167 833 (1500) (10000)

1) 1. c. S. 29 und 30.

A

yon

B

3000 2000 5 000 1500 2500 1500 4 000 1000 1500 4500 6 000 3000 4500 3500 sooo , 2 000 2500 (1500) 4500 7 000 (10000) 30000 30000

wendungswerte pro' 100 kg yon von A B 150 120 120 100 100 70 70 5O 50

800 800 700 700 650 650 5O0 50O 40O 400

637,50 630,-555,-550,--

512,5o 505,-392,50 387,50 312,50 300,--

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10

Bemerkungen und Beispiele zur praktischen Auswertung

123

Aus dieser Tabelle ergibt sich unter Beachtung der Tatsache, dal~ die Grenzkosten konstant sind und fiir jede Produktionsgeschwindigkeit 450 Mk pro Vektoreinheit betragen, der giinstigste Produktsvektor: er umfaBt die Verwendungsstufen 1--6 und betr~gt (5000, 15000). Betrachten wir Schmalenbachs Berechnung des giinstigsten Produktionsniveaus, so k6nnen wir feststellen, da~ wir genau ebenso verfuhren wie er. Auch er berechnet schliel~lich den Grenzverwendungswert fiir das kombinierte Produkt und vergleicht ihn mit dem Grenzkostensatz (der hier zugleich such Durchschnittskostensatz ist). Als undurchfiihrbar miissen wir dagegen seinen Versuchl) bezeichnen, fiir jedes der verbundenen Produkte einen besonderen Kalkulationswert aufzustellen. Nicht nur sind die l~echnungen nicht einwandfrei (diese w~ren es, wenn der Grenzverwendungswert und der Grenzkostensatz genau fibereinstimmen wiirden), sondern das Ziel ist unseres Erachtens grunds~tzlich undurchfiihrbar (auf Grund der oben 9) gemachten Ausfiihrungen fiber Kostenzurechnung fiir Kuppelprodukte) ; womit natiirlich nur gegen das Prinzipielle etwas gesagt sein soll und nicht gegen die M6glichkeit, eine fiir die Praxis brauchbare Separatkalkulation durchzufiihren, indem man nur das Hauptprodukt als eigentliches Produkt betrachtet und den ErlSs des Nebenproduktes yon den Gesamtkosten des Hauptproduktes abzieht, a)

D. Bemerkungen und Beispiele zur praktischen Auswertung. I. Das erste und grundlegende Ziel der Kostenrechnung einer bestehenden Unternehmung mul~ sein, die Gesamtkostenfunktion so genau und ausfiihrlich wie mSglich festzustellen; dies deshalb, weil alle iibrigen in Frage kommenden Funktionen aus der Gesamtkostenfunktion rechnerisch hergeleitet werden. Die Feststellung der Gesamtkostenfunktion geschieht in Form einer Tabelle. Prinzipiell ist es mSglich, Funktionen yon beliebig vielen unabh~ngigen Ver~nderlichen durch Tabellen auszudrficken; aber die Schwierigkeit einer solchen Aufstellung w~chst mit der Zahl der Ver~nderlichen (der Komponenten des Produktsvektors) ins Ungemessene. Hat man fiir eine eindimensionale Funktion 10 Werte, so braucht man zur Erzielung derselben Genauigkeit bei einer n-dimensionalen Funktion 10n Werte. Nun braucht die Gesamtkostenfunktion nicht in ihrem ganzen Definitionsbereich festgestellt zu werden, sondern nur in dem Gebiete, welches fiir die Produktion in Frage kommt. Auch hier brauchen die empirisch gefundenen Funktionswerte nicht iiberm~ig nahe beieinander zu liegen; durch Interpolation erh~lt man die zwischenliegenden Werte. Zu beachten ist, da~ sich die Tabellenwerte durch zwei Momente verschieben oder, mathematisch ausgedriickt, sich der funktionale Zu1) 1. c. S. 30/31. 2) cf. S. 57, Anm. 6. 3) cL Einleitung zu Kap. 3.

124

Anhang

sammenhang ~ndert: Durch Xnderung der Einkaufspreise und durch Xnderung der Produktionsmethode, insbesondere durch l~ationalisierung. Zur Ausschaltung der Preisschwankungen hat die Betriebswirtschaftslehre Methoden ausgebildet: Ausgleichskonten, mittels derer die eingekauften Produktionsmittel zum festen Verrechnungspreis an den eigentlichen Betrieb weitergegeben werden. Hiedurch bleibt die Kostentabelle von Preisschwankungen unberiihrt, und die eigentliche, zu einem bestimmten Zeitpunkte geltende Funktion ergibt sich aus der Tabelle durch eine verh~ltnism~Gig einfache Korrektur. Nun kSnnen aber sowohI durch diese Preisschwankungen als auch durch technische und organisatorische Fortschritte Xnderungen in der Produktionsmethode entstehen; dann wird allerdings die aufgestellte Tabelle meist unbrauchbar und mug durch eine neue ersetzt werden. Ist die Gesamtkostenfunktion auf diese Weise annghernd bekannt, so ist das Schwierigste erreicht. Man kann die Tabelle berelts benutzen und durch einfache l~echnungsoperationen alle GrSGen erhalten, die man zur l~egulierung der Produktionsgeschwindigkeiten, bzw. zur PreispoHtik braucht. Ein weiteres Ziel liegt in der Erforschung und Vereinfachung der Gesamtkostenfunktion. Dies wird zun~chst dadurch vorbereitet, daG die Kosten bei der empirischen Feststellung mSglichst gegliedert ermittelt werden. Dabei mug man sich aber hiiten, Kostenaufteilungen vorzunehmen, die den Kostenprinzipien widersprechen, z. B. nicht unmittelbar zurechenbare Kosten nach dem Verh~ltnis der zurechenbaren auf die einzelnen Produkte oder Zwischenprodukte aufzuteilen. Eine solche Gliederung ermSglicht es, Kausalverh~ltnisse festzustellen, die insbesondere bei Xnderungen der Produktionsmethode niitzlich sind, da unter Umst~nden eine Neufeststellung der Kostentabelle teilweise erspart bleibt. Ferner wird es leichter, einfachere Zahlenreihen durch analytische Ausdriicke zusammenzufassen und dann synthetisch die Gesamtkostenfunktion aus diesen Teilfunktionen aufzubauen. Die mathematische Statistik hat hier das Wort. Ihre Methoden erlauben~ auf Grund yon empirischen Daten verh~ltnism~Gig genaue t~esultate zu erhalten. Ein Beispiel dafiir ist die auf Seite 117, Anm. 1, angegebene Verfeinerung des proportionalen Satzes. II. 1. Eine besondere Aufmerksamkeit verdient die Frage, ob es mSglich ist, aus den durchgefiihrten theoretischen Uberlegungen einen analytischen Ausdruck zu erhalten, der als allgemeine Approximationsformel fiir die regelm~Gigen und stetigen Gesamtkostenfunktionen gelten kann. Eine analytische Approximation fiir die Gesamtkosten erh~lt man im konkreten Fall, indem man mehrere Funktionsarten am empirischen Material ausprobiert und die beste ausw~hlt. Das Ziel hiebei ist, eine Formel zu erhalten, die zugleich mSglichst einfach und mSgliChst genau ist. Gelingt es, fiir eine bestimmte Materie auf theoretischem Weg eine ,,Generalformel" zu bestimmen, so ist es zwar keineswegs gewiG, aber

Bemerkungen und Beispiele zur praktischen Auswertung

125

immerhin wahrscheinlich, dag die ,,GenerMformel" im einzelnen Falle die beste Approximation darstellt. Man wfirde also d a n n - neben anderen analytischen A u s d r f i c k e n - auch die Generalformel jedesmal ausprobieren miissen. Das Problem der ,,Generalformel" spielt auf vielen statistischen Gebieten eine groBe I~olle: Berfihmt ist die ,,Courbe des revenues" yon Pareto, 1) die eine zwei- bis vier-parametrige Approximationsformel Ifir die Verteilung der Einkommen einer Volkswirtschaft darstellt. Neuerdings versucht Gibrat 9') eine Generalformel der ,,ProportionMwirkung" fiir eine ganze I~eihe yon ,,Skonomischen Ungleichheiten" aus einer theoretischen Uberlegung, dem ,,Gesetz der Proportionalwirkung" (loi de l'effet proportionel), abzuleiten; wie es scheint, mit gutem Erfolg. Moore a) stellt ffir eine ganze I~eihe yon 5konomischen Funktionen (Nachfrage, Angebot, Kosten, Produktion) Approximationsformeln auf, die er folgendermagen erhi~lt: Fiir eine zu bestimmende Funktion y -- / (x) setzt er den Ausdruck x

d y einem Polynom zweiten,

y "dx

ersten oder

nullten Grades gleich und erh/~lt / (x) dutch Integration der so gewonnenen Differentialgleichung. Ganz analog verfi~hrt er zur Bestimmung yon :Funktionen mehrerer Veri~nderlichen. Daneben gibt er auch polynomische Approximationsformeln ffir die Funktion /(x) selbst. 2. Verschiedene Ergebnisse unserer Theorie legen es nahe, die regelmi~gige Gesamtkostenfunktion durch ein Polynom dritten Grades zu approximieren. Die Griinde hieffir sind" 1. Die Gesamtkostenkurve ist monoton steigend, 4) hut einen Wendepunkt 9) flit x - b, und geht ohne Asymptote s) ins Unendliche. 2. Die Grenzkosten nehmen bis x = b ab ~) und nehmen fiir x > b monoton zu, v) wobei sic fiber Mle Grenzen wachsen. 6) 3. Die Grenzkostensteigung ist ffir x < b negativ, 5) flit x > b positiv, 5) li~gt sich also gut durch eine Gerade mit positiver Steigung approximieren, welche die x-Achse im Punkte b schneider. Wit haben somit die ,,Generalformel": K(x) =A

nu B x + C x

~-Dx

a .......

(1)

,o

Uber (1) kSnnen wir bestimmte Aussagen m a c h e n a) Wegen K ( 0 ) = KI haben wir b) Es ist

KI=A>0

.....

K ' ( x) = B -JF 2 C x ~ 3 D x ~ .

. . . . . . .

(2)

. . . . . . .

(3)

1) P a r e t o , ,,Cours . . . . ", II, pag. 299ff., insbesondere pag. 305/306. ~) G i b r a t , ,,Les in4galit4s 4conomiques", Paris 1931. a) Moore, ,,Synthetic economics", 1929. 4) S. 10. 5) S. 25. ~) Satz XVIII. ~) S. 34.

126

Anhang

D a K (x) m o n o t o n steigt u n d das M i n i m u m der Steigung in x = b ist, so ist B - - K ' (0) > 0 . . . . . . . . . . . . (4) c) Es ist K " (x) - - 2 C -+- 6 D x . . . . . . . . . (5) D a K " (x), wie oben erwi~hnt, eine G e r a d e m i t positiver S t e i g u n g ist, so ist D > 0 . . . . . . . . . . . . . (6) N a c h Definition von b ist 2C +6Db--0 . . . . . . . . . . . (7) Aus (7) folgt: c < o

. . . . . . . . . . . . .

(s)

C ~ . . . . . . . . . . . .

(9)

und b=--3-d) Es ist ferner A

K * --

~- B + C x + D x ~ . . . . . . . . .

X

(10)

und K~i = B + C x + D x ~

. . . . . . . .

(11)

N a c h Satz I V gilt wegen (3) u n d ( 1 1 ) B +2Cq

-f-3Dq ~-- B +Cq

+Dq

~

oder q(C + 2Dq)

---0

W e g e n l ) q ~= 0 e r h a l t e n wir C q = --2D

. . . . . . . . . . .

(12)

2 q -- 3 b . . . . . . . . . . . .

(13)

woraus wegen (9) folgt e) N a e h Satz I i s t B -f-2Cp-f-3Dp~=~+

oder

A -- C p2

A P

B -{-:Cp+Dp

2 D p8 = 0

~

. . . . . . . .

(14)

woraus wegen (12) auch: A p a _ _ p~ q __ 2 D

. . . . . . . . . .

(15)

f) Aus d e m F u n d a m e n t M s a t z des e r w e r b s w i r t s c h a f t l i c h e n Prinzips folgt: E' (s) = B + 2 C s + 3 D 82 . . . . . . . . (16) 1) Fiir q - - 0 wegen (8).

wiirde S a t z V

nicht gelten: Es ist K " ( o ) - - 2 C < 0

Bemerkungen und Beispiele zur praktischen Auswertung

127

~iir die ffeie Konkurrenz haben wir: P - - B -}- 2 C s

-}- 3 D s 2

. . . . . . . .

(17)

woraus nach einiger Umformung" s -- ~

1

( - - C q- 1/3 D ( P - -

B ) q- C ~) . . . . . .

(18)

Der negative Wert der Wurzel k o m m t wegen der zweiten Maximumbedingung (K" ( s ) ~ 0) nicht in Frage. Wegen (9) gilt auch: s-----bq-

5~)

q- b~ . . . . . . . . .

(19)

III. Ist die Gesamtkostenfunktion ffir eine Unternehmung als Tabelle oder als Kurve oder als analytischer,Ausdruck ermittelt, so wird sie zur Regulierung der Produktion verwendet. Nachstehend sind zwei Beispiele durchgefiihrt. Erstens wird eine regul~re regelm~i~ige Gesamtkostenfunktion, gegeben durch einen analytischen Ausdruck, angenommen; zweitens eine regelm~l~ige Gesamtkostenfunktion mit mehreren Unstetigkeitsstellen, gegeben durch eine Kurve. 1. B e i s p i e l " a) Der Gesamtkostenkurve auf Abb. 4 liegt die Gleichung zugrunde :1) K (x) -- 24 q- 4,6 x -

1 X3 0,6 x 2 q- 3-0

9 (20)

Hieraus ergeben sich ffir die fibrigen Kurven nachstehende analytische Ausdrficke: K ' ( x ) -- 4 , 6 - - 1 , 2 x ~ 0 , 1 x ~ K " (x)

-- ~1,2

K*(x)

24 1 -- x q - 4 , 6 - - 0 , 6 x q - 3 - 0 x

K ~I (x) -- 4 , 6 -

~ 0,2 x

2

1 0,6 x ~- 3-0 x 9'

•fir b erhalten wir wegen (9): b - 6. Ffir das Betriebsminimum haben wir wegen (12) oder (13): q - 9. Fiir das Betriebsoptimum gilt wegen (15) die Bestimmungsgleichung: pa__ 9 p9 _ 360 Diese Gleichung ist efffillt ffir p ~ 11,65. Auch der Satz I I ist erffillt: K " (p) -- - - 1,2 ~- 0 , 1 . 1 1 , 6 5 -- 1,13 > 0 1) Die 0rdinaten der Gesamtkostenkurve sind dort in einem viermal kleineren Mal~stab gezeichnet, als die 0rdinaten der iibrigen Kurven.

128

Anhang

Fiir das Angebot der Unternehmung gilt wegen (19) nach einiger Rechnung: s - - 6 ~ - [ / 1 0 ( P - - 1) Zur n~heren Bestimmung der Angebotsfunktion beachten wir, dab die Angebotsmenge, wenn fiberhaupt produziert wird, niemals kleiner sein kann als das Betriebsminimum, und dab die Angebotsfunktion durch den obigen analytischen Ausdruck nur ffir solche Preise definiert ist, die nicht kleiner sind als die Grenzkosten im Betriebsminimum. Ffir alle Preise, die kleiner sind, ist die Angebotsmenge gleich l~ull. Die Grenzkosten betragen im Betriebsminimum: K ' (9) -- 4 , 6 - - 1 , 2 . 9 -~ 0,1 , 93 -- 1,9

Wir haben somit fiir den obigen analytischen Ausdruck die beiden Ungleichungen 9 s ~ 9; P ~ 1,9 Aus der ersten Ungleichung folgtr dab immer der positive Wert der obigen Wurzel gesetzt werden muB. Die zweite Ungleichung, die aus der ersten folgt, drfickt die Tatsache aus, dab die Angebotsfunktion durch den obigen analytischen Ausdruek nur fiir P. > 1,9 definiert ist. Fiir alle P ~ 1,9 verschwindet s i d e n t i s c h . Es gilt hier also: s----0. Somit haben wir die Angebotsfunktion wie folgt bestimmt: fiir P >

1,9 gilt" s = 6 ~ - ~ / 1 0

(P--

1); fiir P ~ 1 , 9

gilt's-----0.

6. Der optima!e Preis ist den Grenzkosten im Betriebsoptimum gleich. Wir haben" K' (p) -- 4 , 6 - 1,2.11,65 + 0,1.11,653 ~ 4,2. Der optimale Preis betr~gt also 4,2. Die Unternehmung kann zu einem Preise, der zwischen 1,9 und 4,2 liegt, nur eine Produktionsgeschwindigkeit realisieren, die zwischen 9 und 11,65 liegt. Hier erh~lt sie einen l~ohgewinn, der die konstanten Kosten nicht ganz deckt. Sie erleidet also einen Verlust. Da ihre konstanten Kosten 24 betragen, so hat sie hier einen Rohgewinn, der unter 24 liegt. Ist der Preis grSBer als 4,2 so realisiert die Unternehmung eine Produktionsgeschwindigkeit, die grSBer als 11,65 ist. Ihr l~ohgewinn ist grSBer als 24; sie erzielt einen Extragewinn. 7. Ist der Preis z. B. 3,5, so betr~gt das Angebot der Unternehmung: s -- 6 -k [/10 ( 3 , 5 - 1) -- 11. Die Gesamtkosten betragen hier" K (11) -- 24 -k 4 , 6 . 1 1 Die Der Der Der

11 a 0,6. I F q- -3-O ~ 46,37.

variablen Kosten betragen: K (11) - - KI -- 22,37. Ertrag: 1 1 . 3 , 5 -- 38,5. l~ohgewinn: 38,5 - - 22,37 -- 16,13. Verlust: 24 N 16,13 -- 7,87.

Bemerkungen mad Beispiele zur praktisehen Auswertung

129

8. Ist der Preis 5,9, so betr~gt das Angebot der Unternehmung" 8 - - 6 q- V10 ( 5 , 9 ~ 1 ) - - 13. Die Gesamtkosten betragen hier: K (13) : 24 q- 4 , 6 . 1 3

13a 0 , 6 . 1 3 ~ +-30- ~ -- 55,63.

Die Der Der Der

variablen Kosten betragen: K ( 1 3 ) - - K I : 31,63. E r t r a g : 1 3 . 5 , 9 -- 76,7. l~ohgewinn: 76,7 - - 31,63 : 45,07. l~eingewinn" 45,07 - - 24 : 21,07. 9. Wfirde die Unternehmung immer nur das Betriebsoptimum realisieren, so wiirde sie sich immer dann sehleehter stehen, wenn der Preis yon 4,2 verschieden ist. Der Verlust wfirde bei einem Preise von 3,5 betragen: [K* ( p ) -

P ] . p -- ( 4 , 2 - 3,5). 11,65 -- 8,15.

Es ist also um 0,28 grSBer, als wenn die Produktionsgeschwindigkeit 11 realisiert worden ware. Bei einem Preise yon 5,9 wfirde der Gewinn betragen: [P--K*

(p)]. p - - ( 5 , 9 - 4,2). 11,65 -- 19,80.

Es ist also um 1,2 kleiner, als wenn die Produktionsgeschwindigkeit 13 realisiert worden w~re. Dal~ die Abweichungen verh~ltnism~Big gering sind (im ersten Falle 3,6%, im zweiten 5,7% des jeweils giinstigsten Betrages), erkl~rt sich dadurch, dab die Elastizit~t unserer Angebotskurve ziemlich gering ist. Sie betr~gt z. B. im Betriebsoptimum 0,319. 2. B e i s p i e l . (Abb. 15.) Zu einer allgemeinen Gesamtkostenfunktion K (x) ist die Grenzkostenfunktion K' (x), die Durchschnittskostenfunktion K* (x) und die Funktion der durchschnittlichen variablen Kosten Ki~ (x) eingezeichnet. Die Gesamtkostenfunktion ist in einem ffinfmal kleineren Ma,Bstabe gezeiehnet als die fibrigen Funktionen. Die kleinen Kreise (o) besagen, dal~ die Ordinaten der betreffenden Punkte keine Funktionswerte der Funktionen K (x), K* (x) und K~ (x) sind. Aus der Darstellung kSnnen wir nachfolgende Tatsachen entnehmen. 1. Die minimale Produktionsgeschwindigkeit ist 3. Hier erreichen die durchschnittlichen variablen Kosten mit K~ (3) -- 2 ihr Minimum. Formal ist ein Schnittpunkt mit der Grenzkostenkurve vorhanden. 2. Das Betriebsoptimum liegt in x - - 8 . Hier erreichen die Durchschnittskosten mit K* (8) -- 5,5 ihr Minimum. Auch hier sind die Kostengesetze formal gewahrt. 3. Ist der Preis P -- 5, so haben die Produktionsgeschwindigkeiten 3, 8 und 11 Grenzkosten, die dem Preise gleich sind. Da der Preis kleiner S t a c k e 1 b e r g, Grundlagen

9

130

Anhang

o~

o~

Mengeneinheiten '-"

- : : :

------

~-

)<

/r

K'h) K2 rz)[+x~ ( x,~} A b b . 15

i s t als d e r o p t i m a l e P r e i s , so s c h e i d e t x - - 11 a u s . E s m i i s s e n a l s o d i e Produktionsgeschwindigkeiten 3 und 8 miteinander verglichen werden. G (3) - - 5 . 3 - - g (3) ---- 1 5 - - 2 6 - - - - 11 G (8) - - 5 . 8 - - K (8) - - 40 - - 44 - - - - 4 x8 ist die gfinstigste P r o d u k t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t . Es ist also s ( 5 ) = 8. DaB x11 w i r k l i c h n i c h t i n F r a g e k o m m t , k a n n l e i c h t g e z e i g t werden: G (11) - - 5 . 1 1 - - K (11) - - 55 - - 63,8 - - - - 8,8. Die Produktionsgeschwindigkeit

11 i s t d e m n a c h

u n g f i n s t i g e r als 8.

Bemerkungen und Beispiele zur praktischen Auswertung

131

4. I s t der Preis P - - 7 , so k o m m e n zun~chst die Produktionsgeschwindigkeiten 3, 8, 12 u n d 13 in Frage. D a 7 grSl3er als der optimale Preis 5,5 ist, so scheidet 3 aus. Es sind somit zu vergleichen (7 (8), G (12) u n d G (13). Wir h a b e n : G (8)--7. 8--K (8)--56--44 --12 G (12) -- 7 . 1 2 K (12) -- 8 4 - 69,5 -- 14,5 G (lU) -- 7 . 1 3 - - K (13) -- 9 1 - - 85 -- 6 . Die gfinstigste Produktionsgeschwindigkeit ist hier 12. Wir h a b e n also"

s (7) -- 12.