Introduccion al calculo y al analisis matematico II

E

�"""�:ick4- no es un proyecto lucrativo, sino un esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAM para facilitar el acceso a los materiales necesarios para la educaci6n de la mayor cantidad de gente posible. Pensamos editar en formato digital libros que por su alto costo, o bien porque ya no se consiguen en bibliotecas y librerias, no son accesibles para todos. Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto a sugerir titulos, a prestamos los textos para su digitalizaci6n y a ayudamos en toda la labor tecnica que implica su reproducci6n. El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participaci6n de cualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas. Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad de Ciencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguiente direcci6n de correo electr6nico:

[email protected]

http:IIeduktodos. dyndns. org

,

INTRODUCCION A L CALCULO Y AL ANALISIS MATEMATICO Vol. 2 ,

,

,

RICHARD COURANT y FRITZ JOHN

Instituto

Courant de Ciencias Matemdticas Universidad de Nueva York

Con la asistencia de

ALBERT

A. BLANK

Profesor de M atemciticas

Universidad Carnegie- Mellon

Pittsburgh, Pennsylvania

ALAN

SOLOMON

Profesor de Matematicas

Universidad del Negev

Beer-Sheva, Israel

MEXICO

�

LIMUSA NORIEGA EDITORES •

Espal\a

•

Venezuela

•

Colombia

VERSI6N AUTORIZADA EN ESPANOL DE LA OBRA Pl.IBLICADA EN INGLES CQN EL TiTULO:

INTRODUCTION TO CALCULUS AND ANALYSIS. VOLuME II

C NINA CouRANT, ERNEST CouRANT AND GERTRUDE

MosER, As ExEcUTORs OF THE EsTATE oF RICHARD CouRANT, AND FRITZ JOHN. COlABORADOR EN LA TRADUCCI6N:

HERNAN P�REZ CASTELLANOS

INGENIERO INDUSTRIAL. PROFESOR TITULAR DE MATE· MATICAS EN LA EscuELA .SUPERIQR DE INGENIERiA MEcANICA v Eu�cTRICA DELINsnruTo PouTECNICO NACIONAL, MExiCO. REVISI6N:

SAUL HA�N GOLDBERG

DocToR EN MATEMATICAS DEL INsTrruTo CouRANT

DE

LA UNIVERSIDAD DE NuEvA YoRK. PROFESOR ASOCIADO DEL CENTRO DE INVESTIGACI6N Y Es·

TUDios AvANZADOS DEL INSTITUTO Poun�CNICO NACIONAL, MExiCO.

ROLANDO V. JIM�NEZ DOM fNGUEZ

DocToR EN FiSICA. PROFESOR E INVESTIGADOR DE EscuELA SuPERIOR DE FisiCA v MATEMATICAS DEL INsTITUTO PouTECNICO NAciONAL, MEXICO. LA

1lA PRESENTACt6N Y OISPOSICI6N EN CONJUNTO DE

INTRODUCCION AL CALCULO Y AL ANALISIS MATEMATICO. VoLUMEN 2

SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SEA REPRODUCIDA 0 TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGUN SISTEMA 0 METODO, ELECTR6NICO

0

MECANICO ( INCLUYENOO EL FOTQCOPIADO,LA GRA· BAC16N 0 CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACI6N Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACI6N } ,SIN CONSEN· TIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS:

(0 1999, EDITORIAL UMUSA, SA DE C.V.

GRUPO NORIEGA EDITORES D.F. C.P. 06040

BALDERAS 95, MEXICO,

v

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(5)521-21-05 01 (800) 7 .06·91-00 (5)512-29.03 [email protected] www.noriega.com.mx

CANIEM NuM. 121 NovENA REIMPRES16N �PRESO EN MEXICO ISBN 968-18.0640-9

Prologo La obra Differential and Integral Calculus. Vols. I y If, de Ri ­ chard Courant , ha tenido mucho exito al inicia r a varias genera· ciones de estudiantes en las matematicas superiores . En su contexto, esos volumenes se basaron en el hecho de que las matematicas se originan de la union de la imaginacion intuitiva y el razonamiehto deductivo . AI pteparar esta revision, los autores se esforzaron en mantener el equilibria entre estos dos criterios que caracterizaron a la obra original . Aunque Richard Courant fallecio antes ver la pu­ blicacion de esta revision del Volumen II, todos los cariibios prin­ cipales fueron acordados y redactados por los autores ·antes de que el Dr. Courant muriera . Desde el principia , los autores se dieron cuenta de que el Volumen II, que trata de las funciones de v�uias variables, se tendria que revisar mas a fonda que el Volumen I. En particular, pareda con­ veniente estudiar los teoremas fundamentales de la integracion en dimensiones superiores con el mismo rigor y generalidad que se aplico a la integracion en una sola dimension . Ademas, habia gran numero de conceptos nuevas y temas de primordial importancia , los cuales, en opinion de los autores , constituyen una introducci6n al analisis. En los capitulos 6, 7 y 8 que tratan , respectivamente, de Ecua­ ciones Diferenciales, Calculos de Variaciones y Funciones de una Variable Compleja, solo se hicieron pequeiios cambios. En la parte mas importante del libro , capitulos 1 al 5 , se conservo lo mas posible el esquema original de dos desarrollos mas o menos paralelos de cada tema a niveles diferentes: una introduccion informal basada en ar­ gumentos mas intuitivos, y un estudio de las aplicaciones que propor­ cionan los fundamentos para las demostraciones subsecuentes. El material de algebra lineal , contenido en el capitulo I original, parecia inadecuado como fundamento para la estructura ampliada del calculo . Por tanto , todo este capitulo (que ahara es el capitulo 2) se reescribio completamente y ahora incluye todas las propiedades basicas de los determinantes y las matrices de n-esirilo orden, las for5

6

Prologo

mas multilineales, los determinantes de Gram y las variedades li­ neales. En el nuevo capitulo 1 se analizan todas l as propiedades fun­ damentales de las formas diferenciales lineales y sus integrates . Con esto el lector ya esta preparado para empezar con el estudio de las formas diferenciales exteriores de orden superior agregadas al capi­ tulo 3 . Tambien, en el capitulo 3, se encuentra una nueva demostra­ ci6n del teorema de Ia funcion implicita por medio de aproxima­ ciones sucesivas y un estudio de los puntos criticos y los indices de los campos vectoriales en dos dimensiones. En los capitulos 4 y 5 se agrego bastante material sobre las pro­ piedades fundamentales de las integrates multiples. Aqui nos enfren­ tamos a una conocida dificultad: se debia demostrar que las integrales sobre una variedad M, definidas con bastante facilidad subdividiendo M en partes convenientes, son independientes de la subdivision particular . Esto se resolvio mediante el uso sistematico de Ia familia de conjuntos mensurables de Jordan con su propiedad de interseccion finita y de particiones de Ia unidad. Con el fin de mi­ nimizar las complicaciones topol6gicas, solo se consideraron varieda­ des que encajaban suavemente en el espacio euclidiano. Se estudio Ia noci6n de "orientaci6n" de una variedad con el detalle necesario para el estudio de las integrates de las formas diferenciales exteriores y sus propiedades de aditividad. Con estas bases, se dan las demostraciones para el teorema de Ia divergencia y para el teorema de Stokes en n dimensiones. A Ia secci6n sobre las integrates de Fourier en el ca­ pitulo 4 se le agreg6 un analisis de Ia identidad de Parseval y las in­ tegrates multiples de Fourier. Para la preparacion de este libro fue inapreciable la ayuda ge­ nerosa e ininterrumpida , proporcionada por los dos amigos de los autores , los profesores Albert A. Blank de Ia Universidad Carnegie­ Mellon y Alan Solomon de Ia Universidad del Negev . Casi en todas las paginas se advierte Ia influencia de sus criticas, correcciones y sugerencias. Ademas , ellos prepararon los problemas y ejercicios p ara este vol umen. 1 Tambien debemos dar l as gracias a nuestros colegas,. los Profe­ sores K. 0. Friedrichs y Donald Ludwig, por sus valiosas y construc­ tivas sugerencias, asi como a John Wiley and Sons y su departamento editorial por el continuo estimulo y ayuda que nos brindaron . FRITZ JOHN Nueva York 1 En contraste con el volumen I, �stos se han incorporado por completo en el texto; se pueden encontrar sus soluciones al final del volumen.

Contenido

Capftulo

Funciones de van·as variables y sus den·vadas

1 1.1

Puntos y conjuntos de puntos en el plano y en el espacio

a.

Sucesiones de puntos: Convergen cia , 25 b. Conjuntos de puntos en el plano, 28 c. La frontera de un conjunto. Conjuntos cerrados y conjuntos abiertos, 3 0 d. La cerradura como conjunto de puntos limite, 33 e. Puntos y conjuntos de puntos en el espacio , 34. 1.2

1.3

Funciones de varias variables independientes a. Funciones y sus dominios, 36 b. Los tipos m as sencillos de funciones, 37 c. Representacion geometrica de las funciones, 38 Continuidad a. Definicion, 42 b. El concepto de

25

36

42

limite de una funcion de varias variables , 44 c. El orden de anulacion de una funci6n, 47 1 .4

Las derivadas parciales de una funcion a. Definicion. Representacion geometrica, 52 b. Ejemplos, 58 c. La 7

52

8

Contenido

continuidad y la existencia de las derivadas parciales , 61 d. Cambio deJ orden de la derivacion, 62 1.5

La diferencia a 1 total de una funcion y su si gnificado geometrico a. El concepto de diferenciabilidad, 67 b. Derivadas direccionales , 73 c. Interpretacion geometrica de la diferenciabilidad. El plano tangente , 73 d. La diferencial total de una funcion , 76 e. Aplicacion al c alculo de errores , 79

1 .6

Funciones de funciones (funciones compuestas) y Ia introduccion a nuevas variables independientes a. Funciones compuestas . La regia de la cadena , 8 1 b . Ejemplos , 87 c. Cambio de l as variables indepen dientes , 88

1.7

1 .8

1 .9

El teorema del valor medio y e1 teorema de Taylor para funciones de vari as variahies a. Observaciones preliminares acerca de la aproximacion mediante polinomios , 93 b. El teorema del valor medio , . 95 c. Teorema de Taylor para varias variables independientes, 97 Integrales de una funcion que depe n den de un par ametro a. Ejemplos y definiciones , 100 b. Continuidad y diferenciabilidad de una integral con .respecto al para metro, 103 c . Intercambio de integraciones . Regularizacion de fun ciones , 109 Diferencia1es e integrales de linea a. Formas diferenciales lineales, 1 12 b. lntegrales de linea de formas

67

81

93

100

11 2

Contenido

diferenciales lineales , 1 1 5 c. Dependencia de las integrales de linea con respecto a los puntos extremos, 122 1 . 10 El teorema funda mental sobre Ia integrabilidad de las formas diferenciales lineales a. Integraci6n de diferenciales totales , 125 b. Condiciones necesarias para que las integrales de linea dependan unicamente de los puntos extremos , 1 26 c. Insuficiencia de las condiciones de integrabilidad, 1 28 d. Conjuntos simplemente conexos , 1 32 e. El teorema fundamental , 13 5

9

125

APENDICE A. 1 . El principio del punto d e acumulacion en varias dimensiones y sus aplicaciones a. El principia del punto de acumulaci6n , 138 b. Criterio de convergencia de Cauchy. Compacticidad, 139 c. El teorema de cobertura deHeine Borel, 140 d. Una aplicaci6n del teorema de Heine-Borel a conjuntos cerrados que estan contenidos en conjuntos abiertos, 142 A.2. Propiedad es basicas de las funciones continuas A.3. Nociones basicas de Ia teoria de los conjuntos de puntos a. Conjuntos y subconjuntos, 1 44 b. Union e intersecci6n de conjuntos, 147 c. Aplicaciones a los conjuntos de puntos en el plano, 149 A.4. Funcion es homoge neas

144

144

151

10

Contenido

Cap£tulo 2

Vectores, matr'ices, transforrruJ,cz"ones

lineales 2. 1

2.2

Operaciones con v ectores a. Definicion de los vectores, 1 55 b. Representaci6n geometrica de los vec tores, 1 57 c. Longitud de los vec ­ tores , angulos entre direcciones , 1 60 d. Productos escalares de vectores, 165 e. Ecuaci6n de hiperplanos en forma vectorial, 1 67 f. Dependencia lineal de vectores y sistemas de ecuaciones lineales, 1 7 0 Matrices y transformaciones lineales a. Cambio de base . Espacios lineales, 178 b. Matrices , 1 82 c.Operaci'-_les con matrices, 186 d. Matrices cuadradas. La reciproca de una matriz. Matrices ortogonales, 1 89

2.3

Determinantes a. Determinantes de segundo y tercer orden, :196 b. Formas lineales y mul tilineales d e vectores, 2 0 0 c. Formas multilineales alternantes . Definicion de determinantes, 2 04 d. Propiedades princi pales de los determinantes, 2 09 e. Aplicaci6n de los determinantes a los sistemas de ecuaciones lineales, 2 14

2.4

Interpretacion geometrica de los determinantes a. Productos vectoriales y volumenes de paralelepipedos en el espacio tridimensional, 2 19 b. Desarrollo de un determinante respecto a una columna . Productos vectoriales en dimensiones superiores, 227 c. Areas de p aralelogramos y volumenes de paralelepipedos en dimensiones su­ periores, 23 0 d. Orientaci6n de paralelepipedos en el espacio n di-

155

178

196

219

Contenido

II

mensional , 236 e. Orienta cion de pianos e hiperplanos , 242 f. Cambio de volumen de los paralelepipedos en las transformaciones lineales, 244 2.5

Nociones vectoriales en el an alisis a. Campos vectoriales , 246 b. Gradiente de un escalar, 248 c. Divergenci a y rotacional de un campo vectorial , 251 d. Familias de vectores . Aplicaci6n a la teoria de las curvas en el espacio y al movimiento de particulas , 255

246

Desarrollos y aplicaciones del cdlculo

Cap£tulo 3

diferencial 3.1

3.2

3.3

Funciones implicitas a. Observaciones generales, 263 b. Interpretacion geometrica , 264 c. El teorema de la funcion implicita , 266 d. Demostraci6n del teorema de la funcion implicita , 271 e. El teorema de la funci6n implicita para mas de dos variables independientes , 274 Curvas y superficies en forma im­ plicita a. Curvas planas en forma implicita, 276 b. Puntos singulares de curvas, 282 c. Representacion implicita de superficies , 284 Sistemas d e funciones, transfor­ maciones y aplicaciones a. Observaciones generales, 287 b. Coordenadas curvilineas, 293 c. Ex­ tension a mas de dos varia hies in­ dependientes, 295 d Formulas de derivacion para las funciones inversas, 298 e. Producto simb6lico de apli­ caciones, 304. f. Teorema general sobre Ia inversion de l as transfor-

263

276

287

12

Contenido

maciones y de los sistemas de fun ciones implicitas . Descomposici6n er� aplicaciones primitivas, 308 g. Cons trucci6n alternativa de la aplicaci6n inversa por el metodo de las apro ximaciones sucesivas , 3 1 4 h. Funciones dependientes , 32 1 i. Observaciones finales, 323 3.4

Aplicaciones a. Elementos de la teoria de superficies, 326 b. Transformaci6n conforme en general , 337

3.5

Fa milias de c u rvas, f a milias de superficies y sus envol ventes a. Observaciones generales, 339 b . Envolventes d e familias uniparametricas de curvas , 341 c. Ejemplos, 345 d. Envolventes de familias de superficies , 353

3.6v

3.7

For mas diferenciales alternantes a. Definicion de formas diferenciales alternantes, 357 b. Sumas y productos de formas diferenciales , 3 60 c. Derivadas exteriores de formas diferendales, 363 d. Formas diferenciales exteriores en coordenadas arbitrarias, 367 Maximos y minimos a. Condiciones n�cesarias. 376 b. Ejemplos , 379 c. Maximos y minimos con condiciones subsidiari as, 382 d. Demostraci6n del metodo de multiplicadores indeterminados en el caso mas sencillo, 386 e. Generalizaci6n del metodo de los multiplicadores indeterminados, 389 f. Ejemplos, 393

326

339

357

376

APENDICE AJ Condiciones suficientes .para los valores extremos

398

Contenido

18

405

A.3

Numeros de puntos criticos relacionados con los indices de un campo vectorial Puntos singulares de curvas planas

413

A.4

Puntos singulares de superficies

416

A.2

A.5

A.6

Capitulo 4

Relacion entre Ia representacion de Euler y Ia de Lagrange del movimiento de un fluido

417

Representacion tangencial de una curva cerrada y Ia desigualdad isoperimetrica

419

Integrates multzples

4.1

Areas en el plano a. Definicion de Ia medida de jordan de un area, 421 b. Un conjunto que no tiene area, 425 c. Reglas para las operaciones con areas, 426

421

4.2

Integrates dobles a. La integral doble como un volumen , 429 b. El concepto analltico general de Ia integral , 431 c. Ejemplos , 435 d. Notaci6n. Extensiones. Reglas fundamentales, 437 e. Esti-

429

m aciones de la integral y el teorema del valor medio , 439 4.3

4.4

4.5

Integrales sobre regiones en tres mas dimensiones Derivacion en el espacio. Masa densidad

y

y

Reduccion de Ia integral multiple a integra1es simples repetidas a. lntegrales sobre un rectangulo , 444 b. Cambio del orden de integraci6n. Derivaci6n bajo el signo in-

441

442

444

14

Contenido

tegral , �46 c . Reducci6n de integrales dobles a integrales simples para regiones mas generales, 448 d. Exten si6n de los resultados a regiones en varias dimensiones, 453 4.6

Transformacion de inte gra tes mul tiples a. Transformaci6n de integrales en el plano, 454 b. Regiones de mas de dos dimensiones, 460

454

4.7

Integrates multiples impropias a. Integrales impropias de funciones sobre conjuntos acotados, 464 b. Demostraci6n del teorema general de la convergencia para l as integrales impropias, 468 c. Integrales sobre regiones no acotadas, 472

463

4.8

Aplicaciones geometricas a. Calculo elemental de volumenes, 474 b. Observaciones generales sobre el calculo de volumenes. S6lidos de revoluci6n. Voh1menes en coordenadas esfericas, 446 c. Area de una superficie curva , 479

474

4.9

Aplicaciones fisicas a. Momentos y centro de m asa , 488 b. Momento de inercia , 491 c. El pen dulo compuesto , 493 d . Potencial de masa que se atraen, 496

488

4 . 10 Integrales multiples en coordenadas curvilineas a. Resoluci6n de integrales multiples, 503 b. Aplicad6n a las areas b arridas por curvas en movimiento y voh1menes barridos por superficies en movimiento . Formula de Guldin . El planimetro polar; 506 4. 1 1 Volumenes y areas superficiales en cualquier numero de dimensiones

503

511

Contenido

15

a. Areas de superficies e integrales de superficie en mas de tres dimensiones' 51 1 b. Area y volumen de Ia esfera n dimensional , 513 c. Generalizaciones. Representaciones parametricas , 517 4. 1 2 Integrales simples impropias como funciones de un parametro a. Convergencia uniforme . Dependencia continua del parametro, 52 1 b. Integracion y derivacion de las integrales impropias con respecto a un parametro, 524 c. Ejemplos, 527 d. Evaluacion de las integrales de Fresnel , 532 4. 1 3 La integral de Fourier a. Introduccion , 535 b. Ejemplos , 537 c. Demostracion del teorema de Ia integral de Fourier, 540 d. Rapidez de la convergencia en el teorema de Ia integral de Fourier, 543 e. Identidad de Parseval para las transformadas de Fourier, 546 f. La transformacion de Fourier para funciones de varias variables, 548 4. 14 Las integrales eulerianas (Funcion gamma) a. Definicion y ecuacion funcional, 556 b. Funciones convexas . Demostracion del teorema de Bohr y MoIlerup, 5.58 c. Los productos infinitos para Ia funcion gamma , 562 d. El \leorem a de extension, 566 e. La funcion beta , 568 f. Derivacion e integracion de orden fraccionario. Ecuaci6n integral de Abel , 57 1

52 1

535

556

APENDICE: ANALISIS DETALLADO DEL PROCESO DE INTEGRACION A. I. Areas a. Subdivi$iones del plano ·Y areas in-

teriores y exteriores correspondientes,

574

16

Contenido

57 5 b. Conjuntos mensurables de Jordan y sus areas , 577 c. Propiedades basicas de las areas , 579 A.2

Integrales de funciones de varias variables a. Definicion de la integral de una funci6n f(x, y) , 584 b. Integrabilidad de las funciones continuas e integrales sobre conjuntos , 586 c. Reglas b asicas para integrales multiples . 589 d. Reducci6n de integrales multiples a integrales sencillas repetidas , 592

A.3 Transformac ion de areas e integrales a. Aplicaciones de conjuntos , 595 b. Transformaci6n de integrales multiples , 601 A.4

Capftulo 5

Nota acerca de Ia definicion del area de una superficie curva

584

595

602

Relacion entre las integrates de superfz"C'ie y las de volumen

5. 1

5.2 5.3

5.4

Relacion entre las integrales de linea y las integrales doble s en el plano (Los teoremas de Ia integral de Gauss, de Stokes y de Gr een)

605

Forma vectorial del teorema de la divergencia. Teorema de Stokes

6 14

Formula para Ia integracion por partes en dos dimensiones. Teorema de Green

6 19

El teorema de Ia divergencia aplicado a Ia transformacion de in tegrales dobles a. El caso de las aplicaciones b iunivocas , 62 1 b. Transformaci6n de integrales y grado de la aplicaci6n , 624

621

Contenido 5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

Derivacion de area. Transformacion de Au a coordenadas polares Interpretacion de las formulas de Gauss y de Stokes mediante flujos bidimensionales Orientacion de superficies a. Orientaci6n de superficies bidimensionales en el espacio tres, 639 b. Orientaci6n de curvas sobre super ficies orientadas, 652 Integrales de formas diferenciales y de escalares sobre superficies a. Integrales dobles sobre regiones planas orientadas, 654 b. Integrales de superficie de formas diferenciales de segundo orden, 657 c. Relaci6n entre las integrales de formas diferenciales sobre superficies orientadas y l as integrates de escalares sobre superficies no orientadas, 659 Teoremas de Gauss y de Green en el espacio a. Teorema de Gauss, 663 b. Aplicaci6n del teorema de Gauss al movimiento de fluidos, 668 c. El teorema de Gauss aplicado a fuerzas en el espacio y fuerzas superficiales , 671 d . Integraci6n por partes y e l teorema d e Green e n tres dimensiones, 674 e. Aplicaci6n del teorema de Green a la transformaci6n de AU a coordenadas esfericas, 675

5.10 Teo rema de Stokes en el espacio a.

Enunciado

y

17

628

632 639

554

663

678

demostraci6n del teorema , 678 b. Interpretacion del teorema de S tokes 682 ,

5.11 Identidades de integrales en dimen•

siones superiores

689

18

Contenido APENDICE: TEORIA GENERAL DE LAS SUPERFICIES Y DE LAS INTEGRALES DE SUPERFICIE

A. 1

Superficie e integrales de superficie en tres dimensiones a. Superficies elementales , 692 b. Integral de una funci6n sobre una superficie elemental , 695 c. Superfides elementales orientadas , 697 d. Superficies simples, 699 e. Particiones de la unidad e integrales sobre superfides simples , 703

A.2

El teorema de Ia divergencia a. En unci ado del teorema y su invarian cia , 706 b. Demostraci6n del teorema, 708

A.3

A.4

A.5

Capttu.lo 6 6. 1

Teorema de Stokes Superficies e integrales d e superficie en espacios euclidianos de dimensiones superiores a. Superficies elementales , 714 b. Integral de una forma diferencial sobre una superficie elemental orientada , 7 1 7 c. Superficies simples m-dimensionales, 718 Integrales sobre superficies simples, teorema de Ia divergencia de Gauss y formula general de Stokes en dimensiones superiores

692

706

712

714

721

Ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales para el movimiento de una particula en tres dimensiones a. Las ecuaciones de movimiento , 725 b. El principia de conservaci6n de la energia, 727 c. Equilibria. Estabilidad, 659 d. Oscilaciones pequefias

725

Contenido

19

en torno a una posicion de equilibrio, 733 e. Movimiento planetario, 737 {. Problemas con valores en Ia frontera . El cable cargado y Ia viga c argada, 744 6.2

La ecuacion diferencial lineal general de primer orden a. Sep araci6n de variables , 751 b. La ecuacion lineal de primer orden , 7 53

6.3

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior a. Principio de superposici6n. Soluciones generales, 756 b! Ecuaciones diferenciales homogeneas de segundo orden, 761 c. La ecuaci6n diferencial no homogenea . Metodo de variaci6n de parametros, 764

6.4

Ecuaciones diferenciales generales de primer orden

751

756

770

a. Interpretacion geo metrica , 770 b. La ecuaciondiferencial de una familia de curvas. Soluciones singulares . Tra yectorias ortogonales, 773 c. Teo rerna de existencia y unicidad de la soluci6n. 776 6. 5

6.6 6.7

Sistemas de ecuaciones diferenciales ecuaciones diferenciales de orden superior

783

Integracion por el metodo de coeficientes indeterminados

785

y

El potencial.de cargas atractivas y Ia ecuacion de Laplace a. Potenciales de distribuciones de masa , 788 b. La ecuaci6n diferencial del potencial , 792 c. Capas dobles uniformes, 794 d. El teorerna del valor medio , 797 e. Problemas con valores en Ia frontera p ara el drculo. Integral de Poisson, 799

787

20

Contenido 6.8

Capitulo 7

Mas ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales que surgen en Ia fisi coma tematica a. La ecuacion de onda en una dimension , 802 b. La ecuaci6n de onda en el espacio tridimensi� ai , ''S04 c. Las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre , 806

802

Calculo de van·aciones y

7.1

Fun ciones

7.2

Condiciones necesarias para Ia existencia de valores extremos de Ull fun cional a. Anulc� ci6n de Ia primera variacion , 818 b. Deducci6n de la ecuaci6n diferencial de Euler , 820 c. Demostraciones de los lemas fundamentales, 823 d. Soluci6n de Ia ecuaci6n di ferencial de Euler en casos especiales . Ejemplos , 825 e. Anulaci6n identica de la expresion de Euler, 829

sus extremos

7.3

Generalizaciones a. Integrales con mas de una funcion argumento , 830 b. Ejemplos, 832 c. Principia de Hamilton . Ecuaciones de Lagrange, 834 d. Integrales que \n. volucran derivadas superiores, 837 e. Varias variables independientes, 838

7.4

Problemas e n que existen condiciones subsidiarias. M ultiplicadores de Lagrange a. Condiciones subsidiarias ordinarias, 840 b. Otros tipos de condiciones subsidiarias, 843

8 13

8 18

830

840

Contenido

Capitulo 8·

21

Funcz"ones complejas representadas por serz"es de potencz"as 8. 1

8.2

Funciones complejas representadas por series de potencias a. Limites y series infinitas con terminos complejos, 847 b. Series de potencias, 850 c. Derivacion e integracion de series de potencias , 852 . d. Ejemplos de series de potencias , 855 Fundamentos d e I a teorla general de las funciones de una variable compleja a. El postulado de la diferenciabilidad, 857 b. Las operaciones mas sencillas del calculo diferencial , 86 1 c. Transformacion conforme . Funcio nes inversas, 865

8.3

Integraci6n de funciones anallticas a. Definicion de la integral , 868 b. Teorem a de Cauchy, 870 c. Apli­ c acion@s . El logaritmo , la funcion ex­ ponencial y la funci6n potencia general , 872

8.4

Formula de Cauchy y sus aplicaciones a. Formula de Cauchy, 879 b. Desarrollo de funciones analiticas en series de potencias, 88 1 c. La teoria de funciones y la teoria del potencial , 884 d. El redproco del teorema de Cauchy, 885 e. Ceros , polos y residuos de una funci6n analitica , 886

8.5

Aplicaciones a I a integraci6n compleja (lntegraci6n de contorno) a. Demostraci6n de la formula (8. 22) . 890 b. Demostracion de la formula ( 8 . 2 3), 891 c. Aplicaci6n del teorema de los residuos a la integraci6n de

847

857

868

879

890

22

Contenido

funciones racionales , 892 d. El teorema de los residuos y las ecua­ ciones diferenciales lineales con coeficientes constantes , 895 8.6

Funciones multiforrnes sion analitica

y

Ia exten­

898

Lista de datos b'iogrd,ficos

1 028

Indz"ce

1031

INTRODUCCION AL CALCULO Y AL ANALISIS MATEMATICO VOLUMEN II

CAPITULO

1

Funciones de varias variables y sus deri vadas

Los conceptos de limite , continuidad , derivada e integral , como se desarrollaron en el Volumen I , tambien son b asicos en dos o mas variables independientes . No obstante, en dimensionc� superiores debe tratarse con muchos fenomenos nuevas que no tienen con­ traparte en lo absoluto en la teoria de las funciones ri� una so};:t variable . Por regia general , un teorema que puede pJTobarse para funciones de dos variables , puede aplicarse con facilidad a funciones de mas de dos variables sin c ambia esencial alguno en Ia demostra­ cion . Por lo tanto , en lo que sigue , a menu do nos restringiremos a funciones de dos variables , en donde las relaciones puedien conceb1rse geometricamente con mayor facilidad , y estudiaremos las funciones de tres o mas variables solo cuando con ello se pueda eptender 1nejor este tem a ; esto tambien conduce a inttrpretaciones gepmetricas mas simples de nuestros resultados. Puntos y conjuntos de puntos en el plano y en � 1 espacio

1 .1 a.

Sucesiones de puntos: Convergencia

Una parej a ordenada de valores (x, y) puedr representarse geon"!etricamente por el punta P que tiene a x y y col/IlO coordenadas en algun sistema coordenado cartesiano . La distancia entre dos pun­ tas P = (x, y) y P' = (x', y') est a dada por Ia formula PP' = J(x' - x)2 + (y' - y)2,

la cual es basica para l a geometria euclidiana . Se usa la nocion de distancia para definir las vecindades de un punta. La vecz'ndad e de 25

26

Introduccion al calculo y al analisis matematico

un punta C = (a, �) consiste de todos los puntas P = (x, y) cuya dis­ tancia desde C es menor que e ; geometricamente este es el disco 1 cir­ cular con centro en C y radio e que se describe mediante la desigual ­ dad

(x - a)2

+ (y

- �)2 < e2.

Consideraremos sucesiones infinitas de puntas Pn. =

(xn, Yn),

Por ejemplo , Pn = (n, n2) define una sucesi6n cuyos puntas se en­ cuentran sabre la parabola y = x2• No todos los puntas en una su­ cesi6n tienen que ser distintos. Por ejemplo , la sucesicn infinita Pn = (2, (-l) n) solo tiene dos elementos distintos . La sucesi6n P1, P2, . . . , es a cot ada si puede hallarse un disco que contenga a todos los Pn , esto es, si existen un punta Q y un numero M !tal que 'PnQ < M p ata todo n. Asi, la sucesi6n Pn = (1/n, 1/n2) es acotada y la sucesi6n (n, n2), no acotada. El concepto mas importante relacionado con las sucesiones es el de convergencz'a. Se dice que una sucesi6n de puntas P1 , P2, . . . con­ verge a un punto Q, o que lim Pn

n -+oo

=

Q,

si las distancias PnQ convergen a 0 . Por tanto , lim Pn = Q significa

que para cada e > 0 existe un numero N tal que Pn se encuentra en la vecindad e de Q para todo n > N. 2 Por ejemplo, p ara la sucesi6n de puntas definida por Pn = (e-n14 cos n,e-n/4 sen n}, se tiene lim Pn = (0, 0) = Q, dado que aqui n-+oo

Pn Q = e-nt4

�

0

para

Se observa que los Pn se aproximan al origen Q a lo largo de la es1 La palabra "drculo", como se usa com(mmente, es ambigua, refi riendose ya sea a Ia curva o a la region limitada por ella. Seguiremos la practica corriente de reservar el tennino "circulo" solo para la curva y el termino "region circular" o "disc �" para la region bidimensional. De modo semejante, en el espacio distinguimos la "esfera" (es decir, la superficie esferica) del solido tridimensional "bola " que limita. *De modo equivalente, cualquier disco con centro en q contiene a todos menos a u n n umero finito de los Pn. Tambien se u sara l a notaci6n P n -+ Q cuando n -+ oo

Funciones de varias variables y sus derivadas

27

Po

Pa

Figura 1.1 Sucesi6n convergente Pn.

piral logaritmica con ecuaci6n r = e-914 en las coordenadas polares r, e (ver la Fig. 1. 1 ) . L a convergencia de l a sucesi6n d e puntas Pn = (xn, Yn) bacia el punto Q = (a, b) �ignifica que las dos sucesiones de nfuneros Xn y Y11 convergen por separado y que lim Xn = a, n•oo

lim Yn = b. n+oo

En efecto , l a pequefiez de Pn Q implica que tanto Xn - a como Yn b son pequeiias , ya que fxn- a/ � PnQ, IYn- bl � P,.Q; inversamen­ te,

PnQ

=

V(Xn - a)2 + (Yn - b) 2 � lxn - a l + I Yn - bl ,

-

de modo que PnQ � 0 cuando tanto Xn � a como Yn � b. Precisamente como en el c aso de las sucesiones de nfuneros, puede probarse que converge una sucesi6n de puntas, sin conocer el limite, aplicando el crz'terz'o z'ntrinseco de Cauchy para la convergencz'a . En dos dimensiones , este criteria afirma que : Para la convergencia de una sucesi6n de puntas Pn = (xn, Yn) es necesario y suficiente que, para cada E > 0, se cumpla la desigualdad PnPm < E p ara toda n, m que sean mayores que un v alor apropiado N = N(e). La demostraci6n se deduce inmediatamente aplitando el criteria de Cauchy para las sucesiones de numeros a c ada una de las sucesiones Xn y Yn·

28

Introduccion al calculo y al analisis matematico b. Conjuntos de puntos en el plano

En el estudio de las funciones de una sola variable x, generalmen­ te se permite que x varie sobre un "intervalo" , el cual podria ser cerrado o abierto , acotado o no acotado . Como posibles dominios de funciones en dimensiones superiores , se tiene que considerar una gran variedad de conjuntos y se tienen que introducir terminos que describan las propiedades mas sencillas de tales conjuntos. Por lo comun se consideraran curvas o regiones bidimensionales en el plano. En el Volumen I (Capitulo 4), se han estudiado con amplitud las cur­ vas planas . Normalmente se dan en la forma "no parametrica" y = f (x) , o bien , en la "parametrica" por medio de una pareja de fun­ ciones x = fj>(t), y = l!f(t), o bien, en la forma "implicita" mediante una ecuaci6n F(x, y) = 0 (en el Capitulo 3 se tratara m as acerca de las representaciones implicitas) . Ademas de las curvas, se tienen conjuntos bidimensionales de puntos, formando una regz6n. Una region puede ser el plano xy com­ pleto o una porci6n del plano limitada por una curva simple cerrada y

o·-------x

Figura 1.2 Una region simplemente conex a.

o�-------�x

Figura 1.3 Una region triplemente conexa.

Figura 1.4 Una region R no conexa.

Funciones de varias variables y sus derivadas

29

(formando , en este caso , una region simplemente conexa como se muestra en la Fig. 1 . 2) o por varias de esas curvas. En el ultimo caso se dice que es una region multiplemente conexa, y el numero de cur­ vas frontera da lo que se conoce como conectividad; por ejemplo, la Fig. 1 . 3 , muestra una region triplemente conexa. Un conjunto plano puede no ser conexo 1 en lo absoluto , y consistir .de varias porciones separadas (Fig. 1 . 4 ) . Generalmente , las curvas frontera d e las regiones que van a con­ siderarse son seccionalmente suaves. Es clecir, cada una de esas curvas consiste de un numero finito de arcos , y cada arco tiene una tangente que gira de m anera continua en todos sus puntos , incluyendo los puntos extremos. Por lo tanto, tales curvas pueden tener cuando mas un numero finito de esquinas . En la mayoria de los casos se describira una region por medio de una o mas desigualdades , donde la i gualdad se cumple sobre alguna porcion de la frontera . Los dos tipos m as importantes de regiones, a las cuales recurriremos a cada momento, son las regiones rectan­ gulares (con lados paralelos a los ejes coordenados) y los discos cir­ culares . Una region rectangular (Fig. 1 . 5 ) consiste de los puntos (x, y) cuyas coordenadas satisfacen desigualdades de la forma

a< x < b,

c

< y < d;

y

:-�-[ZJ I I I I I

I I I I I

o��·------�'--.-x

Figura 1.5 Una region rectangular

cada coordenada se restringe a un intervalo definido y el punto (x, y) varia sobre el interior del rectangulo . Como se define aqui, Ia region rectangular es abierta; es decir, no contiene a su frontera. Las curvas frontera se obtienen remplazando una o mas de las desigualdades que definen Ia region por la igualdad , y permitiendo (pero no requirien­ do) el signo igual en las otras . Por ejemplo , Vease la p. 1 3 3 respec to a una definicion precisa de "conexa".

30

Introduccion al calculo y al analisis matematico x

= a,

define uno de los lados del rectangulo . El rectangulo cerrado que se obtiene agregando todos los puntas frontera al conjunto , se describe mediante las desigualdades

y�d.

c�

a�x� b,

El disco circular con centro en (a, P) y radio r (Fig. 1.6) se da, como se vi6 anteriormente , por l a desigualdad (x

_

a.)2

+ (y

_

p)2 < r2.

y

d!

I I

o�------�'�----�.z ;....._ OC.--..1

Figura 1.6 Un disco circular.

Agregando el circulo frontera a este disco " abierto" , se obtiene el "disco cerrado" que se describe por (x

-

a)2

+ (y

-

p)2 � r2

c. La frontera de un conjunto. Conjuntos cerrados abiertos

y

conjuntos

Podria imaginarse Ia frontera de una region como si se tratara de una membrana que separa los puntas que pertenecen a Ia region de aquellos que no pertenecen a ella. Como se vera , esta nocion intuitiva de la frontera no siempre tiene un significado . No obstante , resulta interesante resaltar el hecho de que existe una manera de definir con bastante generalidad Ia frontera de cualquier conjunto de puntas, en tal forma que , al menos, es consistente con esa nocion intuitiva . Se dice que un punto P es un punto front era de un conjunto S de puntos si cada veci'ndad de P contiene tanto Puntos que Pertenecen a S como Puntos que no pertenecen a S. Como consecuenci a , si P no es punto

Funciones de varias variables y sus derivadas

Sl

fronte.r a , existe una vecindad de P que contiene solo un tipo de pun· tos; es decir, puede hallarse una vecindad de P que consist a com­ pletamente de puntos de S, en cuyo caso P recibira el nombre de punto interior de S, o bien, puede hallarse una vecindad de P que es­ te completamente libre de puntos de S, en cuyo caso P sera un punto exterior de S. Asi entonces, para un conjunto dado S de puntos, cada punto en el plano es punto front era o Punto interior o punto exterior de S y solo pertenece a una de estas clases. El conjunto de puntos frontera de S forma la front era de S, la que se denota mediante el simbolo as. Por ejemplo, sea S l a region rectangular

a<

x

< b,

c< y < d

Obviamente , para cualquier pun to P de S puede hallarse un pequeiio = (a, P) que este completamente con­ disco circular con centro en tenido en S; solo tiene que tomarse una vecindad de P en Ia cual E sea positivo y tan pequeiio que

P

a
-

E < a + E < b,

E

C


-

E
<

d.

Esto demuestra que aqui c ada punto' de S es un punto interior. Los puntos frontera P de S son precisamente los puntos que se encuentran en cualquiera de los lados o los vertices del rectangulo; ·en el primer caso, Ia' mitad de toda vecindad lo suficientemente pequeiia de P pertenecera a S y la otra mitad no. En el segundo caso, una cuarta parte de toda vecindad pertenece a S y tres cuartas partes no (Fig.

1 . 7 ).

y d

·f �· · : J : I ·

0�--a�------�b--------�x

Figura 1.7. Punto interior A, punto exterior D, puntos frontera B, C de Ia region

rectangular.

32

Introduccion al calculo y al analisis matematico

Por definicion , todo punta interior P del conjunto S es necesa­ riamente un punta de S, porque hay una vecindad de P que consiste completamente de puntas de S, y P pertenece a esa vecindad. De modo semejante, cualquier punta exterior de S definitivamente no perte,'nece a S. Por otra parte , los puntas fro.ntera de un conjunto a veces pertenecen al conjunto y a veces no . 1 El rectangulo abierto

a < x < b,

c < y < d.

no contiene a sus puntas frontera, mientras que el rectangulo cerrado

si

a�x

� b,

los contiene . Por l o general , se dice que u n conjunto S de puntos e s a bierto si ningun punta frontera de S pertenece a S (es decir , si S solamente consiste de puntos interiores) . S recibe el nombre de cerrado si con­ tiene a su frontera . A partir de cualquier conjunto S siempre se puede obtener un conjunto cerrado , agregando a S todos sus punto!' fron­ tera que no pertenezcan ya a S. Entonces se obtiene un nuevo con­ junto , la cerradura S de S. El lector puede verificar con iacilidad que la cerradura de S es un conjunto cerrado . Los puntas exteriores son exactamente aquellos que no pertenecen a la Lerradura de S. De modo semejante , se define el interior 8° de S como el conjunto de puntas interiores de S, esto es , el conjunto que se obtiene elim�nando los puntas frontera de S. El interior de S es abierto . Debe observarse que los conjuntos no tienen que ser abiertos o cerrados. Se puede construir con facilidad un conjunto S que solo contenga parte de su frontera, tal como el rectangulo semiabierto a

� x < b,

c � y < d.

Tambien es importante darse cuenta que nuestra nocion de frontera se aplica a conjuntos bastante generales y proporciona resultados bastante alejados de la intuici6n. Un ejemplo de un conjunto que en ningun sentido es una "curva" o una "region" es el conjunto S que consiste de los "puntos racionales" del plano , es decir, de aquellos puntos P = (x, y) para los cuales ambas coordenadas x y y son nu­ meros racionale' s . Evidenteme.nte, todo disco en el plano contiene tanto puntas racionales como no racionales . Por tanto , aqui no hay Observese Ia diferencia entre "no pertenece aS" y "exterior aS"� Un punto frontera deS nunca es exterior, incluso cuando no pertenece aS.

1

Funciones de varias variables y sus derivadas

33

" curva" frontera ; la frontera as consiste del plano completo . No exis­ ten puntos interiores ni exteriores. Incluso en casos donde l a frontera es unidimensional, no toda ella sirve para separar puntos interiores de exteriores . Por ejemplo , las desigualdades

describen un disco con un diametro eliminado; aqui la frontera con­ siste del circulo (x - a.)2 + (y �)2 = r2 y del diametro -

y =

Figura

�'

lx- a I<

r.

1 . 8 Disco con un diametro eliminado.

Cualquier vecindad lo sufidentemente pequeiia de un punto en ese diametro no contiene puntos exteriores en lo absoluto (Fig . 1.'8) . d. La cerradura como conjunto de puntos limite

Las nociones de "interior" , "frontera" y "exterior" de un conjunto S tienen importancia cuando se consideran los llmites de sucesiones de puntos P1 , P2, . . , de los cuales todos pertenecen al conjunto S.l Evidentemente , un punto Q exterior a S no puede ser el limite de la sucesi6n, ya que existe una vecindad de Q libre de puntos de S, lo cual evita que los Pk puedan aprdximarse arbitrariamente a Q. De aqui que e l limite de una sucesi6n de puntos en S debe ser un punto frontera o un punto interior de S. Como los puntos interiores y fron­ tera de S form an la cerradura de S, se concluye que los limz"tes de sucesz"ones en S pertenecen a la cerradura de S. Inversamente , todo punto Q de l a cerradura de S es en realidad el .

1

Los puntos P�c no tienen que ser distintos entre s f.

�4

Introduccion al calculo y al analisis matematico

limite de alguna sucesi6n P1 , P2 , . • • de puntas de S, porque si Q es un punto de la. cerradura , entonces Q pertenece a S, o bien , a su frontera . En el primer caso , se tiene trivialmente en Q, Q, Q, . . . una sucesi6n de puntas de S que convergen a Q. En el segundo caso , para cualquier e > 0, la vecindad e de Q contiene al menos un punto de S. Para todo numero natural n es posible elegir un punto Pn deS que pertenece a la vecindad e de Q, con e = 1/n. Evidentemente , los Pn convergen a Q. e. Puntos y conjuntos de puntos en el espacio Una terna ordenada de numeros (x, y , z) puede representarse en la manera usual mediante un punto P en el espacio . Aqui , los nu­ meros x, y, z, las coordenadas c artesianas de P, son las distancias (con signo) de P desde tres pianos mutuamente perpendiculares . La distancia PP ' entre los dos puntas P = (x, y, z) y P' (x ', y ', z ') esta dada por =

PP ' = ../(x ' - x)2

+ (y ' - y)2 + (z ' - z)2 •

La vecindad e del pun to Q = (a , b, c) consiste de los puntas = (x, y, z) para los cuales PQ < e ; estos puntas forman la bola dada por· la desigualdad

P

(x - a)2

+ (y - b)2 + (z - c)2 . < e2 •

Las analogas a las regiones planas rectangulares son los parale­ lepipedos I rectangulares descritos por medio de un sistema de des­ igualdades de la forma

a < x < b,

c

< y < d,

e < z < f.

Todas las nociones desarrolladas para los conjuntos pianos - frontera, cerradura, etc . - se extienden a los conjuntos en tres dimensiones, en una manera obvia . Cuando se trata con cuaternas ordenadas como �x, y, z, w , nuestra intuici6n visual no puede proporcionar una interpretacion geome­ trica . Aun asi , resulta conveniente usar terminologia geometrica, atribuyendo a (�, y, z, w) un "punto en el espacio tetradimensional" . Las cuaternas (x, y , z, w) que satisfacen una desigualdad de la forma

(x - a)2

+ (y - b)2 + (z - c)2 + (w - d)2 < e2

I Paralelepipedo (del griego, parallelepipedon, de parallelos, paralelo, y epipedon, plano).

Funciones de varias variables y sus derivadas constituyen , por definicion , la vecindad

e

del punto

(a, b,

c,

35

d). Una

region rectangular2 se describe por un sistema de desigualdades de la forma

a < x < b,

c

e < z < f,

< y < d,

g<

< h.

w

Por supuesto , nada existe de misterioso en esta idea de "puntas" en cuatro d imensiones ; solo es una terminologia conveniente y no im­ plica n ada respecto a la re alidad fisica del espacio tetradimensional . De hech o , no hay impedi menta alguno para darle el nombre de " p u nto" en el espacio n-dimensional a una "n- ada" (XI, . . . , Xn) , don d<:> n puede ser cualquier nu1nero natural . Para muchas apli­ ca ciones es bastante util y sugerente representar un sistema descrito por n cantidades en est a forma ' 0 sea ' por medio de un solo pun to en algun espacio de dimension superior.3 A menudo, las analogias con i n terpretaciones geometricas en el espacio tridimensional propor­ cionan las bases para poder hacer operaciones en mas de tres dimen­ siones . Ejercicios 1 . 1

1 . Es posiblc representar un punto (x, y) del p la no por medio de u n n umero com plejo ( V olumen I , p. 1 03) en l a forma z = x + iy. Investigar la conver­ gcnci a , para difcrentes valores de z , de las sucesiones

( a ) zn

( b ) z lln , donde z ll n se define como la raiz n- esima prim itiva de z, es dccir , como la rai z con Ia ampl itud posit iva mini m a . 2 . Prohar para Pn = (Xn + ;n, Y n + l) n) que lim Pn = (x + ; , y + lJ ), dondc se supone que los iimites x = lim Xn, lJ . =

lim

n-+co

lJn

n -+ oo

existen .

n-+ oo

;

=

lim ; n ,

y = lim Y n, n -+ oo

y2 < 1 es un punto interior . � Se cumple tambien esto pa ra x 2 + y2 � 1 ? Dar las razones. 4 . Demostrar que el conj u n t o S �e puntos (x, y) con y > x 2 es abierto. :) . �Cual es \a frontera de un se gment o linea\ considerado como un subcon­

3 . Dcrnostrar que todo punto del d isco x2

+

j u nto del plano x, y?

2Tambien se usan los t�rminos "celda" e "intervalo" para describir regiones rectan­ gulares de este tipo, en dimensiones superiores. !IAsf, el sistema de moleculas de un gas en un recipiente puede describirse por Ia posicion de u n solo punto en un "espacio fase " con un numero muy grande de di­ mensiones. Yendo incluso mas adelante, en algunas partes del analisis se acostumbra representar ) en un es­ por un punto (xt .X2, una sucesion infinita de numeros Xt, X2 , pacio con un numero infinito de dimensiones. •

•

•

•

•

•

•

36

Introduccion al calculo y al analisis matematico

Problemas 1 . 1 P un punto frontera del conjunto S que n o pertenece a S . Probar que existe u na sucesi6n de pun tos dt:st in t os P1, P2 , . . . en S que tiene a P como limi t e . � . Probar q u e I a cerradura de u n conj unt o es cerrada 3. Sea P cualquier p u nto de un conjunto S y Q cualquier punto fuera del conjunto . Proba r que el segmento rect ili neo PQ cont iene un pu nto fron­ tera de S. 4. Se a G el conj unto de pun tos (x, y) para el cu a l x < 1, y < 1/2 y y < 0 si x = 1/2. � Con ticne G s61o p u ntos interi ores? P roporcion ar Ia evidencia necesa na .

1 . Sea

Funciones de varias variables independientes

1 .2 a.

Funciones

y

sus dominios

Las ecuaciones de l a fonn a U

= X + y,

0

u

= log(l - x 2 - y 2)

asignan un valor funcz'o nal u a una pareja de valores (x, y). En los primeros dos ejem plos se asigna un valor de u a cada pareja de valores (x, y), mientras que en el tercero la correspondencia tiene sig ­ nificado solo para aquel las parejas de val ores (x, y) para las que se cumple la desigualdad x2 + y2 ...-- 1 . En general , se dice que u es una fun d6 n de l as van·ables indepen­ dientes x y y siemp re que alguna ley f asi gna un valor unico de u o sea, Ia varia b le dependiente) a cad a pareja de valores (x, y) que perte­ necen a un cierto conjunto especificado , o sea , el dominio de Ia fun­ cion . Asi , una funcion u f(x, y) defi ne una aplicaci6ri de un con­ junto de puntos en el plano x, y - e l dominio de f- sabre un cierto conjunto de puntas del eje u, el recorn'do de f De modo semejante, se dice que u es una funcion de las n variables X I , X2, , Xn si para cada conjunto de valores (x1, . . . , Xn) que pertenecen a cierto conjunto especificado , se asigna un valor unico correspondiente de =

.

u. l

•

.

l A menudo se piensa en las funciones f como si asignaran un valor a un punto P, en 1\igar de a la pareja (x,y) de coordenadas que describen a P. Entonces se escribe j(P)_ en Iugar de J(x,y). Esta notaci6n es particularmente util cuando se define geometricamente Ia relad6n funcional entre los puntos P y los valores .f(P), sin hacer referenda a un sistema coordenado x, y espedfico.

Funciones de varias variables y sus derivadas

37

Asi , por ejemplo , el volumen u = xyz de un paralelepipedo rec­ tangular es una funci6n de la longitud de los tres lados x, y, z; la declinaci6n m agnetica es una funci6n de la latitud, la longitud y e1 tiempo ; la suma Xl + X2 + • · · + Xn es una funci6n de los n H�r­ minos X1, X2 , , Xn. Se debe observar que el dominio de una funci6n es una parte in­ dispensable de su descripci6n. En los casos en donde u = f(x, y) se da mediante una expresi6n explicita , result a natural tomar como do­ mini� de f todas las (�, y) para las que esta expresi6n tiene sentido. No obstante , se puede definir por "n!stricci6n" las funciones dadas por la misma expresi6n, pero que tengan dominios menores . Asi , se puede usar Ia formula u = x2 + y2 para definir una funci6n con dominio x2 + y2 < 1/2. Precisamente como en el caso de funcione� de una variable, una correspondencia funcional u = f(x, y) asocia un valor unz"co de u con el sistema de variables independientes x, y. De esta manera, ningun valor funcional es asignado por una expresi6n analitica que sea mul­ tiforme, tal como arc tan yfx, a menos que se especifique, por ejem­ plo , que el "arc tangente" es valido para la rama prz"n ci'pal con valores que se encuentren entre - 1t/2 y + 1t/2 (ver el Volumen I, p . 2 14); ademas, tiene que excluirse la recta x = 0. 2 •

•

•

b. Los tipos mas sencillos de funciones

Precisamente como en el caso de una variable independiente , ias funciones m as sencillas de mas de una variable son las funciones en­ teras raci'onales o polz"nomz"os. El polinomio mas general del primer grado, o funci6n lz"neal, tiene la forma u

= ax + by +

c,

donde a, b y c son constantes . El polinomio genel'al de segundo grado tiene Ia forma 2 Tomando el valor principal, se ve que u = arc tan y/x para x > O no es otra cosa sino el angulo polar del punto (x, y) mcdido a partir del eje X positivo. Este angulo polar puede aun definirse geometricamente de una manera obvia como una funci6n univaluada con valores entre -1t y 1t si se excluye precisamente el origen y los puntos sobre el eje x negativo, pero entonces el angulo polar ya no esta dado por arc tan y/x en la region extendida , si se entiende que el arco tahgente se refiere a la rama principal .

38

Introduccion al calculo y al analisis matematico u =

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f.

Su dominio es el plano x, y completo. El polinomio general de cual­ quier grado es una suma de un m1mero finito de terminos amnxmy n (llamados mono mios) , donde m y n son enteros no negativos y los coeficientes amn son arbitrarios. El grado del monomio amnxmy n es la suma m + de los exponen­ tes de x y y, siempre que el coeficiente amn no se anule. El grado de un polinomio se determina por el · grado m ayor de cualquiera de los monomios con que tenga un coeficiente no anulable (despues de combinar los terminos con las misn1as potencias de x y y). Un po­ linomio que consiste de monomios que tienen el mismo grado N se llama polinomio homogeneo o forma de grado N. Asi, x2 + 2xy , o bien, 3x3 + ( 7/5) x2y + 2y3 son formas . Extrayendo las rakes de las funciones racionales , se obtienen cier­ tas funciones algebraicas 1 , por ejemplo ,

n

u =

Jxx +- yy + V3 Ix3(x ++ y)xy2 ·

La mayoria de las funciones mas complicadas de varias vari ables que se usaran aqui se pueden describir en terminos de las funciones bien conocidas de una variable, tal como u

=

sen (x arc cos y) o bien

u

=

logx y.

c. Representaci6n geometrica de las funciones

Tal como se representan l as funciones de una variable mediante curvas, se pueden representar las funciones de dos variables , geo­ metricamente, por medio de superficies . Con este fin , considerese un sistema coordenado rectangular x, y, u en el espacio y marquese por encima de cada punto (x, y) del dominio R de Ia funci6n en el plano x, y, el punto P con Ia tercera coordenada u = f(x, y) . Conforme el punto (x, y) varia sobre Ia region R, el punto P describe una super­ fide en el espacio . Se toma esta superficie como Ia representaci6n geometrica de l a funci6n . lnversamente , e n I a geometria analitica , las superficies en e l es­ pacio se representan por funciones de dos variables, de modo que en1 Vease la p . 2 7 5 respecto a una definicion general del termino "funci6n algebraica " .

Funciones de varias variables y sus derivadas

39

tre tales superficies y las funciones de dos variables existe una re­ laci6n reciproca. Por ejemplo , a la funci6n u = .J l

_

xz

_

yz

le corresponde el hemisferio que se encuentra por encima del plano x, y, con radio unitario y centro en el origen. A la funci6n u = x2 + yz le corresponde un llamado para boloide de revoluci6n, que se ob­ tiene hacienda girar a la parabola u = x2 alrededor del eje u (Fig. 1 . 9 ) . A l as funciones u = x2 - y 2 y u = xy, les corresponden para­ boloides hiperb 6licos (Fig . 1 . 1 0) . La funci6n lineal u = ax + by + c tiene un plano en el espacio como "grafica" . Si en la funci6n u = f(x, y) no aparece una de l as variables independientes , digamos y, de modo que u solo depende de x , o sea u = g(x) la funci6n se representa en el espacio x, y, u mediante una superficie cilindrica generada por .las perpendiculares al plano u, x en los puntos de la curva u = g(x} .

Figura 1.9

u

= x2 + y2.

Figura 1.10

u =

x2

-

y2.

Sin embargo , esta representaci6n por medio de coordenadas rec­ tangulares tiene dos desventajas . Primero , la imagen geometrica fracasa cuando se trata de tres o mas variables independientes . Segundo , incluso para dos variables independientes, a menudo resul­ ta mas conveniente limitar la discusi6n al plano x, y unicamente , ya que en el plano se pueden trazar esquemas y realizar construcciones geometricas sin dificultad. Desde este punto de vista , a veces es preferi ble otra representaci6n geometrica de u n a funci6n de dos va r i a b les , por m cdio de l i neas de contorno. En el pla no x,y se toman

40

Introduccion al calculo y al analisis matematico

todos los puntos .para los cuales u = f(x, y) tiene un valor constante, digamos u = k. Por lo comun, estos puntos se encontraran sobre una curva o curvas , la Hamada linea de contorno o curva de nivel, para el valor constante dado k de l a funci6n . Tambien pueden obtenerse es­ tas curvas , cortando la superficie u = f(x, y) por medio del plano u = k paralelo al plano x, y y proyectando las curvas de intersecci6n perpendicularmente sobre el plano x, y. El sistema de estas lineas de contorno , marcadas con los valores correspondientes k1, k2 , . . . . de Ia altura k, nos da una represen­ taci6n de la funci6n . En la practica , se asignan valores en progresi6n aritmetica a k , digamos k = vh, donde v = 1, 2 , . Entonces la dis­ tancia entre l as lineas de contorno proporciona una medida de la in­ dinaci6n de la superficie u = f(x, y), porque entre dos lirieas con­ secutivas cualesquiera el valor de la funci6n c ambia en la misma c an­ tidad. La funci6n sube o baja con rapidez donde las lineas de cantor­ no estan muy pr6ximas; en cambio , donde las lineas se separan, la superficie es achatada. Este es el principia con el que se construyen los mapas topograficos como los del U . S . Geological Survey (Servicio Geografico y Geologico de los E . E . U . U . ) En este metodo , Ia fun cion lineal u = ax + by + c se representa por un sistema de rectas p aralelas ax + by + c = k. La funci6n u = x2 + y2 se represent a por un sistema de circulos concentricos ( ver la Fig. 1 . 1 1) . La funci6n u = x2 - y2 , cuya superficie tiene "forma de silla de montar" (Fig. 1 . 1 0) , se representa por el sistema de hiper­ bolas que se muestra en la Fig. 1 . 1 2 . .

.

y

X

Figura 1 . 1 1 Lineas de contorno de u=

x2 + y2 .

Figura 1 . 1 2

Lineas de contorno de u =

x2 - y2 .

Funciones de varias variables y sus derivadas

41

E l metodo d e representar la funci6n u = f(x, y ) mediante lineas de contomo tiene la ventaja de poder extenderse hacia funciones de tres variables independientes. Entonces, en lugar de las lineas de con­ torno , se tienen las superficies de nivel f(x, y, z) = k, donde k es una constante a la cual se le pueden asignar cualquier sucesi6n apropiada de valores . Por ejemplo, l as superficies de nivel para la funci6n u = x2 + y 2 + z2 son esferas concentricas alrededor del origen del sistema coordenado x, y, z Ejercicios 1 . 2 1 . Evaluar las siguientes funciones en los puntos indicados:

(a) z = (b)

w

( cot arc (x + y) } 3

para

tan arc (x - y)

= ecos z<x+y>,

para

(d) z = cosh (x + y), x = log

--

1 + J3 2

'

y=

1 - J3 2

n x = y =- 2 , z = -1

(c) z = yx cos xY, x = e, y :::;: log n

(e) z =

X=

-

n,

y = log

x +y 1 1 x - y' x = 2 ' y = 3·

�

I , a menos que se haga una excepci6n ex­ plici ta , se consider a el dominio de una funcion definida mediante una expresi6n formal como el conjunto de todos los puntos para los cuales la expresi6n tiene significado. Dar el dominio y el recorrido de cada una de las siguientes funciones:

2 . AI igual que en el Volumen

(a) z = JX+Y

(i) z = J 3 - x2 - 2y2

(j) z = J - x2 - y2

(b) z = J2x - y2

(c) z = (d) z =

1

1-

(k) z = log (x2 - y2)

-v x + Y

J1 -

x2 (l) z = tan arc x2 + 2 Y

x2 _ y2 a2 b2

(m) z= tan arc

(e) z = log (x + 5y) (f) z = Jx ,sen y

(g)

w

x X+y

(n) z = cos arc tan ,r

= J a2 _ x2 _ y2 _ z2

X

(o) z = arc cos log (x + y)

--

x2. - y2 (h) z = x +y

(p) Z = Jy

COS

X.

3. �Cual es el numero de coeficientes de un polinomio de grado

variables ? �En tres variables? �En

k

variables?

n

en dos

42

Introduccion al calculo y al analisis matematico

4 . Para cada una de l as fu nciones siguientes, hacer un esquema de l as lineas

de contorno correspondientes a z

(a) z = x2y (b)

z

= x2

=

- 2, - 1, 0, 1, 2,

3:

+ y2 - 1

(c) z = x2 - y2

(d) z = y2 (e) z = y

(1 - x2 � y2) .

5 . Trazar las lineas de contorno para z = cos (2x + y) correspondientes a z = 0, ± 1, ± 1/2.

6. Hacer un esquema de las superficies definidas por

(a) z ::..:: 2xy (b) z = x 2

+ y2

(c) z = x - y.

(d) z = x 2 (e) z = sen (x + y).

7 . Encontrar l as curvas de nivel de l a funci6n z = log

1 + Jx2 + y 2 1 - Jx2- -+ y2

-.

H . l l a ll a r las superficies sobre las cuales la funci6n

tantc.

1 .3

u

=

2 (x2 + y2)/z

es cons­

Continuidad a.

Definicion

Como en la teoria de las funciones de una sola variable, el concep­ to de continuidad figura de modo prominente cuando se consi­ deran funciones de vari as variables . La proposici6n de que la fun­ cion u = y) es continua en el p un to � , 11) debe significar, hablan­ y) cercanos a do en termi nos generales , que para todos los p untos y) solo difiere un poco del valor {(�, 11). Esta (�, 11), el valor de idea se expresa de manera mas precisa como sigue : Si f tiene el do minio R y Q = (�, 11) es un punta de R, entonces es continua en Q si para cada e > 0 existe un 8 > 0 tal que

(

f(x,

f(x,

(x, f

(1)

l f(P) - f( Q) I = lf(x, y) - {(�, 11) I

<e

Funciones de varias variables y sus derivadas

43

Para todo P = (x, y) en R para el cual*

(2)

PQ = J(x

-

�)2

+ (y - TJ)2 < 8 .

Si una funci6n es continua en cada uno de los puntos de un con­ junto D de puntos, se dice que es continua en D. Los hechos siguientes son c asi obvios : La suma , diferencia y producto de funciones continuas tambien son continuos . El cociente de funciones continuas define una funcion continua en los puntos donde el denominador no se anula (para la demostracion ver la si­ guiente, seccion , p. 47) . En particular, todos los polinomios son con­ tinuos y todas las funciones racionales son continuas en los puntos donde el denominador no se anula. Funciones continuas de funciones continuas son a su vez continuas (ver p . 47 ) . Una funci6n de varias variables puede tener discontinuidades de tipo mucho mas complicado que una funci6n de una sola vari able. Por ejemplo , las discontinuidades pueden ocurrir a lo largo de arcos completos de curvas , no solo en puntos aislados . Este es el caso para Ia funcion definida por u = yf x

para

u = O

x -;t:. O ;

para

X = 0,

1a cual es discontinua a lo l argo de toda la recta x = 0. Es mas, una funcion f(x, y) puede ser continua en x p ara cada valor fijo de Y y continua en y para cada valor fijo de x, y, sin embargo, ser discon­ tinua como una funci6n del punto (x, y). Esto puede ejemplificarse mediante f (x, y) -

2xy x2 + y2

para

(x, y)

7::-

(0, 0), f (0, 0) = 0.

Para cualquier y 7::- 0, fija , es obvio que esta funci6n es continua como una funci6n de x, y a que el denominador no puede anularse. Para y = 0, se tiene f(x, O) = 0, que tambien es continua como una funcion de x . De modo semejante, f(x, y) es continua como una fun­ cion de y para cualquier x fija . Pero en cada punto de la recta y = x , excepto en el punto x = y = 0 se tiene f(x, y) = 1 y se tienen pun*En Iugar de confinar a (x, y) en un pequefio disco con centro en (!;, 11) podria usarse un pequefio cuadrado. Asi, Ia condici6n (2) en la definicion de continuidad puede remplazarse por

(2')

y

I Y - 11 1

<

8.

44

Introduccion al calculo y al analisis matematico

tos de esta recta arbitrariamente pr6ximos al origen. De aqui que f(x, y) es discontinua en el punto (0, 0). Precisamente como en el c aso de funciones de una sola vari able, ,se dice que una funci6n f(P) = f(x, y) es uniformemente continua en el conjunto R del plano x, y si f esta definida en los puntos de R y si para cad a e > o existe un o = o(e) posi tivo tal que I f(P) - f(Q) I < e para dos puntos cualesquiera en R de distancia < o . l La can­ tidad o = o(e) se llama m6dulo de continuidad para f. Se tiene el teorem a basico : Una funci6n f que esta definida y es continua en un conjunto cerrado y acotado R es uniformemente continua en R. (La demos­ traci6n se encuentra en el Apendice de este capitulo . ) El caso en el que puede hallarse un modulo de continuidad proporcional a & (ver el Volumen I, p . 43 ) es de suma importancia. Se dice que una funci6n f(P) definida en R es continua segun L-ips­ chitz si existe una constante L tal que

P, Q

(3)

l f(P) - f( Q) I � L PQ

para todos los puntos

P, Q en R .

( L se llama "constante d e Lipschitz" ; I a relaci6n ( 3 ) es I a con­ dici6n de Lipschitz" . ) Es evidente que una funci6n f continua segun Lipschitz es uniformemente continua y tiene a o = &/L como modulo de continuidad.2

b. El concepto de limite de una funci6n de varias variables

La noci6n de limite de una funci6n esta intimamente relacionada con Ia noci6n de continuidad. Supongamos que f(x, y) es una funci6n con dominio R . Sea Q = (�, 11) un punto de Ia cerradura de R. S e dice que f tz'ene el limz'te L cuando (x, y) tiende hacz'a (�, 11) y se es­ crz'be I El requerimiento esencial que hace uniforme a la continuidad es que o dependa de e pero no de P o de Q. 2 La clase aun mas amplia de funciones f "continuas segun Holder" se obtiene cuan­ do se remplaza la condici6n de Lipschitz (3) por la condici6n de Holder

l f(P) - f(Q) I � L PQa

para todo P, Q en R . L y a son constantes y 0 < a � 1 (vease e l Volumen I , p 44 ) . Estas funciones tam­ bien son uniformemente continuas y puede elegirse como modulo de continuidad a la cantidad o=

(e/L) l fa

Funciones de varias variables y sus derivadas

(4}

lim

(x, y) --+ (1;, 11)

f(x, y)

=

a

L

b ien

lim f(P)

P-+Q

=

L,

45

1

si para c ada & > 0 puede h allarse una vecindad

( 5) de (�, TJ) tal que

PQ = J(x - �) 2 l f(P) - L l

=

+ (y - TJ)2 < o

l f(x, y) - L l < &

para tada P = (x, y) que pertenezca a R en esa vecindad . 2 En el casa de que el punta (�, TJ) pertenezca al daminia de {, se tiene en (x, y) = (�, TJ) un punta de R que satisface ( 5 ) para tada o > 0. Entances , en p articular , (4) implica que I f(�, TJ) - L l < e para tada & > 0 y de aqui que L = {(�, TJ). Pera entonces, por de­ finicion, Ia relacion lim

(x, y) --+ (1;, n)

f(x, y)

=

{(�, TJ)

es identica a I a condicion para Ia continuidad de f en (�, TJ). De aqui que la continuidad d� la funcion l en el punto (�, 17) es equivalente a la proposici6n de que f esta de.fi.nida en (¢, 17) y que f(x, y) tiene el limite {(�, 17) cuando (x, y) tiende a (�, 1'/). · Si f no esta definida en el p u n to fro n tera (�, TJ) de su dominio pero tiene un limite L cua n do (x, y) - � (�, TJ), puede extenderse natural­ mente Ia definicion de f al p u n to (�, TJ) , poniendo {(�, TJ) = L ; enton­ ces Ia funcion f extend i d a en csta forma sera continua en (�, TJ). Si f(x, y) es continua en su dom i n i o R , puede extenderse Ia definicion de f como limite no u nic am c nte a u n solo punta frontera (�, TJ) sino simul­ ta ne a me nte a todos l os pun tos fr ontera de R para los cuales f tiene un limite . Una vez m as , Ia funcion extendida que resulta es continua, como el lector puede ve rificar como un ejercicio. T6mese , por ejem­ plo Ia funcion 1 0 bien, lim f(x,.

y)

= L para (x, y) � (l;,

11) o tambien lim {(x, y) X--+1; Y--+11

=

L.

2La noci6n no tiene sentido para puntos (l;, 11) .exterz"ores a R , ya que entonces existen puntos arbitrariamente pr6ximos a (l;, 11) en los que f este definida , y podria con­ siderarse como limite a todo L;

46

Introduccion al calculo y al analisis matematico

f(x, y)

=

2

e-x 1Y

definida para toda (x, y) con y > 0. Obviamente, esta funcion es con­ tinua en todos los puntos de su dominio R, el semiplano superior . Considerese un punto frontera (�, 0). Para � -:;t:. 0, evidentemente se tiene lim

(x, y)-4(1;, TJ)

f(x, y) = lim s-400

e-s

=

0

cuando se restringe y a valores positivos. S i , entonces , se define la funcion extendid a f*(x, y) por f*(x, y) pa r;1

y >

0 y t o d a x,

y

=

f(x, y)

= e-x

2

ly

por f*(x, 0) = 0

pa ra X * 0 , Ia funci6n f* sera continua en su dominio R* , donde R* cs cl sc m i p la no superi or cerrado y � 0 con la excepcion del punto (0, 0). En el orige n f* no tiene lim ite , y de aqui que no es posible

dcfi n i 1 f*(O, 0) en tal forma que la extensi on sea continua en el o n gc n . En ekc t o , para (x, y) sob re la parabola y = kx2, se tiene f(x, y)

=

e- llk .

Tcndiendo al origen a Io largo de parabolas diferentes se obtienen \·, t l o n·s l im i te d i fcrentes , de modo que no existe un lim it� u nico de f(x, y) cuando (x, y) --)> 0. Ta m b icn puede relacionarse el concepto de limite de una funci6n f(x, y) con el de limite de una sucesi6n (ver el Volumen I , p. 82 ) . S u p{m ga sc que f tiene el dominio R y lim

(x, y) -4 (1;, TJ)

f(x, y) = L.

Sea Pn = (xn, Y n) para n = 1, 2, . . . cua lquier sucesion de puntos en R para la cual lim Pn = (�, TJ). Entonces la sucesion de numeros f(xn ,

,

n-4oo

Yn) tiene el limite L. Porque f(x, y) diferira arbitrariamente poco de L para toda (x, y) en R suficientemente proxima a (�, TJ), y (xn, Yn) es­ tara suficientemente proxima a (�, TJ) tan solo haciendo n lo suficien­ temente grande. Reciprocamente, lim f(x ,y) cuando (x, y) --)> (�, T)) n4oo

existe y tiene el valor L si para cada sucesi6n de puntos (xn, Yn) en R

Funciones de varias variables y sus detivadas

47

con limite (�, 11) se tiene lim f(xn, Yn) = L. La demostraci6n puede ser n-+oo

proporcionada facilmente por el lector . S i nos restringimos a los pun� tos (�, 11) en el dominio de {, se obtiene la proposici6n de que la con­ tinuidad de f en su dominio R significa preci'samente que lim f(xn, Yn) = {(�, 11)

(6)

n-+oo

siempre que lim (xn, Yn) = (� , 11) o b ien que n-+oo

li m {(xn, Yn) = {(lim Xn, lim Yn), n�oo

n-+oo

n�oo

don de solo se consideran las sucesiones (xn, Yn) en R que convergen y ticn en sus Hmites en R . Entonces , en esencia , la continuidad de una funcion f nos perm ite el intercambio del simbolo para f con el de limite. Es evidente que l as nociones de limi te y de cont'inuidad de una funci6n se apl ican con igu al propiedad cuando el dominio de f no es una region bidimension al sino una curva o cualquier otro conjunt0 de pun tos . Por cjcmpl o , la fun cion f(x + y)

=

(x + y) !

est a defi n i d a en cl conjunto R que consiste de todas las rectas x + y = canst. n, donde n es un entero posi tivo . Es obvio q ue f es con ­ ti nua en su dominio R . S e mcncion6 con anterioridad ( p . 4 2 ) que cuando f(x, y) y g(x, y) son conti nuas en un punta (t., 11 ) : entonces f + g, f - g, f g, y, para g(� , 11) ;e Q, tam bien f/g son continuas en (� , 11 ). Estas reglas se de­ ducen i nmediatamente a p artir del enunciado de la conti nuidad en term i nos de la convergencia de sucesiones . Para cualquier sucesi6n (xn, Y n) de pun tos que p ertenecen a los dominos a f y g y que conver­ ge a (� , YJ), por (6) se tiene =

·

lim {(Xn, Yn)

n�oo

=

{('C.,, 11),

lim g(xn, Y n) = g(�, 11) .

n�oo

Entonces, se concluye la convergencia de f(xn, Yn) + g(xn, Yn), .etc . , a partir de las reglas para operar con sucesiones (Volumen I , p . 72). c. El orden de anulaci6n de una funci6n

Si la funci6n f(x, y) es continua en el punta (� , 11 ) , la diferencia {(�, 11) tiende a 0 conforme x tiende a � y y tiende a n. In-

f(x, y)

-

48

lntroduccion al calculo y al analisis matematico

troduciendo las nuevas variables h = x - � y k = y - 11, se puede ex­ p�esar esto como sigue: La funci6n if> (h, k) = f(� + h, 11 k) - f(�, 11 ) de las variables h. y k tiende a 0 a medida que h k tienden hacia 0. Con frecuencia encontraremos funciones if>(h, k) que tienden hacia cero conforme h y k lo hacen. Como en el caso de una variable in­ dependiente, para muchos fines resulta util describir el comporta­ miento de (h, k) cuando h 0 y k 0 con mas precision, distin­ guiendo entre diferentes "6rdenes de anulaci6n" y "6rdenes de mag­ nitud" de f/>(h, k). Con este fin, se basan las comparaciones en la dis­ tancia .J .J = h2 + k2 (x - �)2 + (y - 11)2 del punto con�.;coordenadas x = � + h y y = 11 + k desde el punto con coordenad � y 11 y se hace uso de la definicion siguiente: Una funci6n if>(h, k) se anula conforme p 0 por lo menos en el mismo orden que p = Jh2 + k2, siempre que exista una constante C ip.dependiente de h k tal que <�>< se cumpla la desigualdad t h; k) t � c y

�

+

�

=

P

�

y

para todos los valores lo suficientemente pequefios de p ; es decir, siempre que exista un & > 0 tal que se cumpla la desigualdad para todos los valores de h y k tales que 0 < Jh 2 + k2 8. Entonces se es­ cribe simb6licamente: 1>(h, k) = O(p). Es mas, se dice que if>(h, k) se anula · para un orden suPerior a p si el cociente rfi( h, k)fp tiende a 0 conforme p � 0. Esto se expresara mediante la notaci6n simb6lica rp(h k) = o(p) cuando (h, n) 0 (ver el Volumen I, p. 253 , donde se exp1ican los simbolos ''o " y "0 " para las funciones de una sola variable). Consideremos algunos ejemplos. Como l l k 1 y Jh2+k2 i� las componentes h y k de la distaricia p en :rila d ecci6n de los ejes se anulan por lo menos en el rnismo orde que la propia distancia. <

1

�

<

=

y

�el

,

x y

fin de evitar confusiones, seiialaremos expresamente que un or den superz'or de anulaci6n cuando p -+ _0 implica valores menores en la vecindad de p = 0 ; por ejemplo, p2 se anula en un arden superior a p y p2 es menor que p cuando p esta pr6xi:rno. a 0 .

Funciones de varias variables y sus derivadas

49

+

Lo mismo es cierto para una funci6n lineal homogenea ah bk con constantes a b o para la funci6n p sen Para valores fijos a mayores que 1 , la potencia pa de la distancia se anula en un orden superior a p ; simb6licamente, p a o( p) para a > De modo se­ mejante, un polinomio cuadratico homogeneo ah2 + · bhk ck2 , en las variables h y k , se anula en un arden superior a p conforme p 0 y

=

ah 2

1.

+ bhk + ck2

=

+

�

o ( p) .

En forma mas general, se usa la definicion siguiente. Si se define la funci6n de comparaci6n ro(h, k) para todos los valo'res diferentes de cero de (h, k) en un circulo suficientemente pequefio alrededor del origen, y que no sea igual a cero, entonces rf>(h, k) se anula por lo menos en el mismo orden que ro(h, k) conforme p 0 si para alguna constante C elegida apropiadamente, se cumple la relaci6n 1> (h,�k) < c �

ro(h, k)

=

=

en una vecindad del punto (h, k) (0, 0). Esto se indica por medio de la ecuaci6n simb6lica rfi(h, k) = O(ro (h, k) ) . De modo semejante, rfi(h k) se anula en un orden superior a ro(h, k),o bien, r/>(h, k) = o(ro(h, . r/>( h' k) k) ) , s1 ro(h, k) 0 cuand o p 0 Por ejemplo, el polinomio homogeneo ah2 + bhk + ck2 por lo menos es del mismo arden que p2 , ya que �

�

Tambien p. 252) .

p

=

o ( l/

ll

og

p i),

.

ya que

lim {p log p) p+ O

=0 (Volumen

I,

Ejercicios 1 . 3

1 . La fun cion z = (x - y)/(x + y) es discontinua a l o largo d e y = -x. Haccr un esquema de las curvas de nivel de su superficie para z = 0, ± l, ± 2. (Como se ven las curvas de nivel para z = ± m, y m grande? 2. Examinar Ia continuidad de la funci6n z = (x 2 + y) - Jx2 + y2, donde z = 0 para X = y = 0. Hacer un esquema de las curvas de nivel z = k (k = -4, - 2, 0, 2, 4). Presentar (en una grafica) el comportamiento de z como una funci6n de x unicamente, para y = - 2, - 1, 0, 1, 2. De modo

Iritroducdon al calculo y al analisis matematico

50

semejante , presentar el comportamiento de z como una funcion de unicam·ente, para X = 0, Por ultimo, presentar el comporta­ miento de z como una fun cion de p unicamente , cuando e es constante (siendo p , e coordenadas polares) . 3 . Verificar que las funciones

y

± 1, ± 2.

(a)

(b)

4.

f(x, y) x3 - 3xy2 g(x, y) = x4 - 6x2y2 + y4 =

son continuas en el origen, determinando el modulo de continuidad 8(e:). �En que orden se anula cada funcion en el origen? Demostrar que las funciones siguientes son continuas:

(a) sen (

+

x2 y) sen xy (b) .j� + 2 y2 a + ya x (c) x2 + y2 (d) x2 log (x2 + y2)

donde, en cada caso, la funci6n se define en (0, 0) . como igual al limite de la expresi6n dada. 5 . Hallar un modulo de continuidad, 8 = 8(e: , para las funciones con­ tinuas

x, y),

+

y) = J1 x2 + 2y2 (b) {(x, y) = J1 + ex11.

(a) {(x,

1/(x2 - y2)?

�D6nde es djscontinua la funci6n z = �Donde e s discontinua l a funci6n z = tan 7t.Y /cos 1tX? cos '? �Para que conjunto de valores es continua la funcion z = es continua en el disco Demostrar que la funci6n z = 1/(1 < 1. unitario 1 0 . Encontrar la condicion para que el polinomio 6. 7. 8. 9.

(x, y)

x2 + y2

x2 - y2)

.jy

x

P ax2 + 2bxy + cy2 tenga exactamente el mismo orden que p 2 en la vecindad de x = 0, y = 0 (es decir, que tanto P/p 2 como p 2/P sean acotados) . ' =

1 1 . Determinar si las funciones siguientes son continuas o no, y si no lo son, d6nde son discontinuas:

(a) sen 1!... X

Funciones de varias variabies y sus derivadas (d) 12.

xa + y2 x2 + Y .

Dcmostrar que las fundones

x2 y) - (x2x4y4 + y4)3 ' g(x, y) = x2 + y2 - x t ienden a si ·(x, y) se aproxima al origen a lo largo de cualquier recta, pe ro que f y son discontinuas en el origen. De term inar si las funciones siguientes tienen limite en x = y () y dar el f(x,

0

13.

_

g

=

limi te cu an do exista .

2 x2 yy2 x2 + 2xy + y2 (b) x2 + y2 x2 + 3xy + y2 (c) x2 + 4xy + y2 - yl (d) x2 -\ x2xy ·+ y2 ( a)

14.

51

x2

_

(e) exp (

+

(f)

(g)

lx l Y IX

(h) *

- \x - y\ /(x2 - 2xy + y2)] I

l illy I Y \ ' x ' .jx2 + y2

-/x2 + y2 + \yfx l

Hall ar un modulo de continuidad 8(e:) para aquellas funciones del Ejer­ = 0, donde las funciones est{m cicio 1 3 que tengan limite en definidas en el origen por medio de sus valores limite . + + = 1 5 . Demostrar que no es continua en (0, 0, 0). 1 6 . P r obar que si y)son, cada uno, polinomios de grado n > 0 que se anulan en el origen.

x y f(x, y, z) (x2 y2 - z2)/(x2 + y2 z2) P(x, y)y Q(x,

=

y) R(x, y) -- P(x, Q(x, y)

no es continua en el origen. 1 7 . Hallar los limites de las expresiones ·siguientes conforme (0, 0) en una forma arbitraria:

(x, y) tiende a

(a) sen

(x2 + y2) x2 + y2 sen (x4 + y4) (b) x2 + y2 e-ll(x2+y2) . (c) x4 + y4

z 3(x - y)/(x + y)

1 8 . Demostrar que Ia funci6n = puede tender bacia cual­ quier limite conforme tiende hacia (0, 0). Dar ejemplos de las variaciones de (x, tales que

y)

(x, y)

Introduccion al calculo y al analisis matematico

52

(a) (b) (c)

lfm z = 2 X-+0 y-+ 0

lim z = X-+0 y-+ 0

lim

X-+0 y-+0

-1

z no existe

y) 0 conforme y) (0, 0) a · lo largo de todas las rectas que 1 9 . Si pasan por el origen , y) --+ 0 conforme y) --+ (0, 0) a lo largo de cualquier trayectoria? en una vecindad del 20 . Investigar el comportamiento de z = y l o g origen (0, 0). 2 1 . Para z = x, y) = y) /2 , trazar las graficas de

f(x,

(a)

(b) (c)

(d)

(x, f(x,

--+

f( z = f(x, x2) z = f(x, 0) z = f(x, 1) z = f(x, x)

(x2 -

--+

(x, xr

x

f( ,

�Existe el limite de x y) conforme (x, y) --+ (0, 0)? 2 2 . Dar una interpretacion geometrica de la proposici6n siguiente: tfo(h, k} se anula con el mismo orden que p = Jh2 +

k2.

Problemas 1 .3

f

f*

1 . Considerese Ia funci6n continua extendida a la funcion definida de modo que para todos los = en el dominio de f y = lim

f* f

{*(Q)

P-+Q

f(P)

{*

puntos Q sobre Ia frontera de f donde el limite existe. Probar. que es continua. y) cuando y) --+ (�, "1)) existe y tiene el valor L si 2 . Probar que lim en el dominio de con y solo si, para cada sucesi6n de puntos = L. limite (�, lJ) se tiene lim

f(x,

(x, f(xn, Yn)

(xn, Yn)

f

n-+oo

1 .4

Las derivadas parciales de una funcion

a. DefiniciOn. Representaci6n geometrica

Si en una funci6n de varias variables se asignan valores numericos definidos a todas excepto a una de las variables y s6lo se deja variar a esa variable, digamos x, Ia funci6n se transforma en una funci6n de una sola variable. Consid�rese una funci6n u = f(x, y) de las dos .variables x y y y asignese a y un valor fij o definido y = Yo = c. La

Funciones de varias variables y sus derivadas

53

Figura 1 . 13 y Figura l . l4 ,�eccciones de u = {(x, y) .

funci6n resultante = f(x, yo) de la sola variable puede represen­ tarse geometricamente cortando la superficie = {(x, y) mediante el plano y = yo (ver las Figs. 1. 13 y 1. 14) . La curva de intersecci6n asi form ada en el plano se representa por la ecuaci6n = f(x, yo). Si se deriva esta funci6n en la manera usual, en el punto = xo, supo­ riniendo que f esta definida en una vecindad de (xo, yo) y que la de­ vada existe,1 se obtiene la derz"vada parcz"al de /(x, y) con respecto a u

u

x

u

x

en el punto

(xo, y0) : l�

lffi h--40

x

f(xo + h, yo) - f(xo, Yo) . h

Geometricamente, esta derivada parcial denota Ia tangente del angulo entre una paralela al eje y la recta tangente a Ia curva = f(x, yo). Por lo tanto, es Ia Pendz"ente de la superfz"cz"e = f(x, y) en la dz"reccz"6n del eje Se usan varias notaciones diferentes para representar estas de­ rivadas parciales, una de las cuales es Ia siguiente: x

u

x.

1..

1m

h--40

u

f(xo + h, yo) - f(xo, yo) = f (Xo, yo) = (xo, yo) . h x

Ux

Si se desea hacer resaltar que Ia derivada parcial es el limite de un cociente de diferencias, se Ia denota por 0

a ax f.

I No trataremos de definir una derivada en los puntos frontera del dominio (excepto, en ocasiones, como limite de los valores de las derivadas parciales cuando se aproxi­ ma el punto frontera por medio de puntos interiores) .

54

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

a

Aqui se usa el simbolo especial en Iugar de la d ordinaria usada en la derivaci6n de funciones de una variable, con el fin de indicar que sc trata con una funcion de varias variables y se esta derivando con respecto a una de elias. Para algunos fines resulta conveniente usar el simbolo D de Cauchy (mencionado en la p . 1 58 del Volumen I) y escribir

a axr = Dx{,

pero nosotros rara vez usaremos este simbolo . Exactamente en la misma forma se define la derivada parcial de con respecto a y en el punto por la relacion

f(x, y)

lim f(xo, Yo + k -+0

kk

-

(xo, yo), f(xo, Yo) = fv(xo, Yo) = Dvf(xo, Yo).

E�to representa la pendiente de la curva de interseccion de Ia super­ fide zi con el plano perpendicular al eje (Fig.

x = xo x Pensemos ahora e n el punt o (xo, yo),- considerado h ast a ahora fijo ­

1 . 1 4).

= f(x, y)

como variable y , en consecuencia, omitamos los subindices 0 . En otras palabras , pensemos que se lleva a cabo la derivaci6n en cual­ quier punto de la region de definicion de Entonces las dos derivadas son elias mismas funciones de x y

(x, y)

Ux(X, y) = {x(X, y) = a{�; y)

y

= x2 + y2

f(x, y) . y, Uy(X, y) = {y(X, y) = a{(xay, y) .

Por ejemplo , la funcion u tiene las derivadas parciales U (en la derivaci6n con respecto a x, el termino se considera como una constante y, en consecuencia, tiene la derivada 0) y Uy son U 2 Las derivadas parciales de u y Uy De modo semejante , para una funci6n de cualquier numero n de variables independientes, las derivadas parciales se definen por

x = 2x y.

= x3y

x = 3x2y

y2

= x3•

a{(Xt, X2, . . . , Xn) = }' {(Xt + h , X2, . . , Xn) - {(Xt, X2, . . . ,Xn) axl h = {x1 (Xt, X2, . . , Xn) = Dx tf(xt, X2, . . . , Xn), I

m �----���--�������----��

h-+0

suponiendo que el limite existe .

=

Funciones de varias variables y sus derivadas

55

Por supuesto, tambien pueden formarse derivadas parciales de f(x, y), derivando una vez mas las derivadas parciales de "primer orden", {x(X, y) y {y(X, y), con respecto a una de las variables y repitiendo este proceso. El orden en el que se realizan las derivaciones se indica por el orden de los subindices o poi el orden de los simbolos ax y ay en el "denominador" de derecha a izquierda* y se usan los simbolos siguientes para las segundas derivadas: su­

Periores

De la misma manera, las terceras derivadas parciales se denotan por

y

:X (��) = � = fxxx, a: (��) = a:Tx2 = fyxx, a a2{ aar ax (ax ay) = ax2 ay = fxx1h

asi sucesivamente y, en general, las n-esimas derivadas por

y

asi sucesivamente. Las diferentes notaciones para las derivadas parciales tienen sus respectivas ventajas. Escribiendo a{(x, y)jax, o bien, Dxf(x, y) para la derivada parcial de la fu,nci6n f(x, y) con respecto a su primer ar­ gumento se hace resaltar que la derivaci6n tiene el caracter de un *Esto es consistente con la notaci6n general para los productos simb6licos de ope'radores (ver el Volumen I , p. 53) . En realidad, en la mayoria de los casos de in­ teres no importa el orden en el que se llevan a cabo las derivaciones (ver la p. 62).

�6

Introducd6n al calculo y al analisis matematico

o ojax que actua sobre Ia funci6n, escrito simb6lica­ mente como un factor que multiplica a la funci6n. , La notaci6n para las·derivadas superiores es consistente con esta idea de un producto: operador Dx

a (a ) a2 ay .ax f = ay ax f = DyDx{.

Una desventaja de Ia notaci6n de operador es su incomodidad C\lan­ do se va a indicar para que valores dei las variables independientes se toman las derivadas. Por ejemplo, s f(x, y) = x2 + 2xy + 4y2 , en­ tonces su derivada respecto a en el punto x = 1, y 2 puede es­ cribirse como =

x

( at�; y))

x- 1 y =2

= fx( l , 2)

= (2x + 2y)

= x l = y 2

= 6.

No debe escribirse simplemente como

a{(l, 2) ax

ya que {(I, 2) tiene el valor constante 2 1 y, de aqui, que tiene a 0 como su derivada respecto a Tal como en el caso de una variable independiente, el tener derivadas es una propiedad especial de una funci6n, incluso no gozada por todas las funciones continuas. * Con todo, esta propiedad es poseida . porotodas las funciones de importancia practica, excepto tal vez en punt s excepcionales aislados o curvas. x.

l.

Ejercicios 1 .4a

ozfox, ozfoy para cada una de las funciones siguientes: (h) z = a x /y (a) z ax n + bym , a, b, m, (i) z = l o g {x + �) (b) z 2xeY2 + 3y (c) = 2 ! + a .t (j) z = cos (x2 + y) y (d) z = arc tan ; (k) z· = tan (xy3 + ex) 2 C?S (e) z x2y3 12 (l) z = sen y Encontrar

n constantes

=

=

X

z

=

*Vease las pp . 69 y

X

7 0 respecto a una explicacion del tennino "diferenciable",

im plica mas que la existencia de l as derivadas p a rci al es con respecto a x

y a y.

el cual

Funciones de varias variables

2.

sus derivadas

57

(m) z = xeY + yex

(f) Z = yx (g) z = x lt2 y3 t4

(n) � = x.jx2 + y2

Hall ar las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones: 1

(a) �x2 + y2

(d) ../1 + x + y 2 + z 2

(e) y sen �z

(b) sen (x 2 - y)

(c) ex- y 3.

y

Encontrar todas las primeras guientes funciones:

y

(f) log v' 1 + x 2 + y z ,

segundas derivadas parciales de las si­

(a) (b) (c) (d)

xy log xy tan (arc tan x + arc tan y) xY (e) e< xY)

Sea w = f(x, y, z) = (cos xf sen y)ez. Hallar {x , {y, {z, para x = rc, y = rc/2, z = log 3. 5 . Para f(x, y) = y cosh x + x sen h y hallar fx2 + fv 2 , en x = 0, y = 0. 6'. Demostrar que las funciones u =ex cos y, v = ex sen y, satisfacen las condiciones U x = Vy, Uy = - V x . 7 . Demostrar que las funciones del Ejercicio 6 satisfacen la ecuaci6n di­ ferencial parcial

4.

{xx + {yy = 0. Hagase Io mismo para las funciones (a) log ../x 2 + y2 (b) arc tan l X

Y x 2 + y2 (d) 3x 2y - y3 (c)

(e) v x + JX2+Y2

8 . Para r = ../x2 + y 2 + z2 t hallar rxx + ryy + rzz . 9 Hallar una constante a para la cual , si z = y3 + ayx2 , entonces Zxx + 0. Zyy 10. Probar que I a funci6n 1 {(Xl, X 2 , · · · Xn) = (Xl 2 + X 2 2 + • • • + Xn 2) ( n - 2)/ 2 satisface la ecuaci6n

=

,

fx1x1 + fx 2 x 2 +

• • •

+ fx n x n =

0.

Introduccion al calculo

58

y

al analisis matematico

Problemas 1 .4a 1 . �Cuantas n-esimas derivadas tiene una funci6n de tres variables?

�de

k

variables?

2. Dar un ejemplo de una funci6n {(x, y) para Ia cual {x exista y {y no. 3 . Hallar una funci6n f(x, y) que sea una funci6n de (x2 + y2) y que tam­

bien sea un producto de-la forma !.jJ(x) !.JJ(y) ; esto es, resolver Ia ecuaci6n

f(x, y) = ifJ(x2 + y2) = !.jJ(x)!.jJ(y) 4.

para las funciones desconocidas . Probar que cualquier funci6n de Ia forma

z) = f(t +r r) + g(t r- r) z2), satisface Ia ecuaci6n

u(x' y' ( donde r2 = x2 + y2

+

U xx + U yy + Uzz = U tt.

b. Ejemplos

En la practica, la derivacion parcial solo incluye conceptos que el estudiante ya domina. Porque, de acuerdo con la definicion, todas las variables independientes se mantienen constantes, excepto aquella con respecto a la cual se esta derivando. Por lo tanto, simplemente tienen <�JUe considerarse las otras variables como constantes llevar a cabo la derivacion de acuerdo con las reglas mediante las cuales se derivan las funciones de una sola variable independiente. A conti­ nuacion se dan algunas derivadas parciales de varias funciones sen­ cillas. 1 . Funcion: y

f(x, y) = xy

Primeras derivadas: Segundas derivaaas:

{xx = 0,

2.

Funcion:

{x = y,

{y = X

{xy = {yx = 1,

{yy = 0

Funciones de varias variables

Primeras derivadas :

y

sus derivadas

59

f(x, y) = Jx2 + y2 X

fx = Jx2 + y2

[De don de , para el radiovector r = Jx2 + y2 desde el origen hast a el pun to (x, y), las derivadas parciales con respecto a x y a y estan dadas por cos rp = x/r, y sen rp = yfr, donde rp es el angulo que el radiovector forma con la direcci6n positiva del eje x .J Segundas derivadas : /cXX =

sen 2 rp Y2 = ' 2 2 Jx + y )3 r

fxy - {yx -

--

-

xy - -J x 2 ( + y2)3

sen rp cos rp r

3 . Redproco del radiovector en tres dimensiones : 1

r

Primeras derivadas : X

{x =

fz =

-v'--;=(;= z.=+= 2 =+ z2) 3 y� x�

-

-

X

ra '

z J (x2 + y2 + z2)3

Segundas derivadas : fxx

1 x2 + 3r r5 ,

= - 3

3z2 1 fzz = - ;:a + --,=5 ,

60

y

Introduccion al calculo

{xy

=

{yx

=

3xy

----;:5 ,

=

fYZ

al analisis matematico

3yz

De esto se ve que para la funci6n f fxx + fyy

+ � 1 zz

=

1 , .J x2 + y2 + z2

·

la ecuaci6n

� + 3(x2 + y2 + z2) -0 rs

-- 3 -

3zx fzx = fxz = ----,:s

----,:s '

=

{zy

r se cumple para todos los valores de y, z excepto 0 , 0 , 0; se dice que la funci6n f(x, y, z) 1/r satisface la ecuacz'6n diferencz'al parcz'al ("ecuaci6n de Laplace") x,

=

4.

{xx + {yy + {zz

Funci6n:

f(x, y)

=

=

0.

1 - < x-a) 2 t4y e .Jy

Primeras derivadas: fx

=

- (x - a) -(x-a) 2 t4y e ' 2y3t2

(

)

- 1 + (x - a) 2 - < x-a) 2 1 4y � e I Y = 2y3 1 2 4y51 2

Segundas derivadas: fXX =

fxy

f

YY

0

(2-y3112

+

= I�YX =

=

(� y___!_5t2_ 4

)

(� - a) 2 e - < i -a) 2 t 4y ' 4 5/2 y

(�4 xy-512a _

_

)

(x - a) 3 -< x -a)z1 4y e ' 8y71 2

)

_! (x - a) 2 + (x - a) 4 e-< x-a) 2 t 4y · 2

y7t 2

1 6y9t2

Por lo tanto, se Satisface la ecuaci6n diferencial parcial lxx - {y identicamente en x y y.

=

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

61

c. La continuidad · Y la existencia de las derivadas parciales

Para una funci6n de una sola variable, la existencia de la deri­ vada en un punto implica la continuidad de la funci6n en ese punto (ver Volumen I, p. 166) . En contraste con esto, la posesion de las derivadas parciales no implica la continuidad de una funci6n de dos variables: por ejemplo, la funcion u(x, y) = 2xy/(x2 + y2), con u(O, O) = 0, tiene derivadas parciales en todo punto y , empero, ya se ha vis­ to (p. 43) que es discontinua en el origen. Geometricamente hablan­ d do , la existencia de las derivadas parciales restringe el comporta­ miento de la funcion en las irecciones de los ejes y y unicamente, y no en las otras direcciones. Sin embargo, la posesion de derivadas parciales acotadas implica la continuidad, como se afirma en el teore!lla siguiente: X

�i una funci6n f(x, y) tiene derivadas parciales fx y fy en todo punto en un conjunto a bierto R y estas derivadas sati'sfacen en todo punto las desigua lda des l fx(x , y) I < M,

l fy(X, y) l < M,

donde M es independiente de x y y, entonces f(x, y) es continua en todo punto en R . 1 considerense dos puntos coordenadas (x, y) y (x + h, y + k), ambos R.

Para la demostracion, con respectivamente, en la region Supongase ademas que los dos segmentos rectilineos que unen estos puntos con e) p u n to (x + h, y) se encuentran por completo en R; evidentementc esto es cierto si (x, y) es un punto interior a R y el punto (x + h, y + k) se encuentra lo suficientemente proximo a (x, y) . Entonccs se tiene (7)

f(x + h, y + k) - f(x, y) = {f(x + h, y + k) - f(x + h, y)} + {f(x + h, y) - f(x, y)} .

Los

dos terminos dentro de las primeras Haves de. la derecha solo n y ; los que est an dentro de las segundas Haves, solo en x. En consecuencia, puede aplicarse el teorema del valor medio ordi­ n ario del calculo .diferencial (Volumen I , p. 1 74) a las primeras Haves dificren e

I Esto se aplica incluso , como se ve en la demostraci6n, a los puntos frontera del

dominio , siempre que puedan unirse a cualesquiera,puntos vecinos del dominio por medio de una linea quebrada que consista de dos segmentos paralelos a los ejes, y f este definida apropiadamente en el punto frontera.

62

Introduccion al calculo

y

al analisis mateniatico

como una funci6n de y iinicamente y a las segundas Haves como una funci6n de x iinicamente . Asi se obtiene la relaci6n

(8) {(X

+

h, y

+ k) - {(x, y) = k{y(X + h, Y + 8 1k) + h{x(X + 8 2h, y),

donde 81 y 82 son niimeros entre 0 y 1 . En otras palabras , la derivada con respecto a y debe form arse para un punto de la vertical que une a (x + h, y) con (x h, y + k), y la derivada con respecto a x debe form arse para un punto de la horizontal que une a (x, y) con (x + h y). Como . por hip6tesis amb as derivadas son menores que M en valor absoluto , se concluye que

+

(9)

l f(x + h , y + k) - f(x, y) l

� M( l h l + l k l ).

Para val ores lo suficientemente pequefios de h y k , el s,�gundo m iem­ bro es asi m ismo arbitrariamente pequefio y queda demostrada l � continuidad de f(x, y) . * Ejerdcios 1 .4c y probar para una funci6n de tres variables ) f(x, y, z) que la existencia y la condici6n de ser atotadas de las primeras derivadas parciales son suficientes para la continuidad de f. Demostrar que las siguientes funciones f(x, y) son continuas:

1 . Enunciar formalmente 1.

{e-ll(x2 y2) ' x' 0,0 0 x= y= ({ x4 + y4) log (x2 + y2), x, Y * 0 (b) {(x, y) = 0

(a) {(x, y) = 0 ,

0,

+

y --=1=

X=y= .

d. Cambio del orden de la derivaci6n

En todos los ejemplos de derivaci6n parcial dados en l as pp. 5 8-60, se encuentra que {yx = {xy ; En otras palabras, no existe diferencia si se deriva primero con respecto a x y luego con respecto a y, o si se deriva primero con respecto a y y despues con respecto a x. En ge­ neral , esto es cierto bajo las condiciones del teorema siguiente : Sz' las derz'vadas parcz'ales "mz'xtas " {xy x {yx de una funcz'6n f(x, y) *Si el dominio de J es un rectangulo con lados paralelos a los ejes, se cumple Ja desigualdad para dos puntos cualesquiera (x, y) y (x + h, y + k) en el dominio. Entonces se concluve que f es incluso continua seg\in Lipschitz (ver Ia p. 44).

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

63

son continuas en un conjunto abierto R, entonces se cumple la ecuaci6n

{yx = {xy

(10)

en todo R; es decir, no importa el orden la derivaci6n con respecto a a y.

y La demostraci6n, como la de la subsecci6n anterior, se basa en el teorema del valor medio del calculo diferencial. Considerense los cuatro puntas (x, y), (x + h, y), (x, y k), y (x + h, y + k), donde h * 0 y k * 0. Si ( x,y ) es un punto del conjunto abierto R y si h y k .son lo suficientemente pequeiios,. estos cuatro puntas pertenecen a R . F6rmese ahora la expresi6n (11) A = f(x + h, y + k) - f(x + h, y) - f(x, y + k) + f(x, y). Introduciendo Ia funci6n x

+

�(x) = f(x, y + k) - f(x, y)

de Ia variable x y considerando la variable y simplemente como un "parametro", tom a Ia forma A = �(x + h) - �(x). Aplicando el teorema del valor medio del calculo diferencial rest:.lta A = h�'(x + 9h), donde 9 se encucntra entre 0 y I . No obstante, a partir de la defi­ nicion de �(x), sc ticne A

�'(x)

=

{x(X, y + k) - {x(x, y),

y como se ha supuesto que Ia segunda derivada parcial "mixta" {yx existe, nuevamente puede aplicarse el teorema del valor medio y en­ contrar que A = hk{yx(X + 9h, Y + 9'k), (12) donde 9 y 9' denotan dos numeros no especificados entre 0 y I . Exactamente de la misma manera se puede introducir la funci6n y

expresar A como

'I'(Y) = f(x

+

h, y) - t( x, y)

A = 'I'(Y + k) - 'l'(y).

64

Introduccion al calculo y-al analisis matematico

Asi se llega a la ecuaci6n donde 0 < 01 < 1 y 0 < 01' < 1 ,' y si se igualan las dos expresiones para A se obtiene la ecuaci6n {yx(X + O h, y + 0' k) = {xy(X + 01h, Y + 01' k). y

y

Si aqui se hace que h k tiendan simultaneamente a 0 se recuer­ da que las derivadas {xy(x, y) {yx(x, y) son continuas en el punto (x, y), inmediatamente se obtiene y

{yx(X, y) = {xy(X, y),

lo que debia demostrarse. * El teorema sobre la reversibilidad del orden de Ia derivaci6n (es decir, sobre la conmutatividad de los operadores de derivaci6n Dx Dy) tiene consecuencias de largo alcance. En particular, se ve que el Y

* Para investigaciones mas refinadas, a menudo resulta util saber que el teorema sobre la reversibilidad del orden de la derivaci6n puede probarse con hip6tesis mas debiles. En efecto, basta con suponer que, ademas de las primeras derivadas par­ ciales fx y {11, solo existe una derivada parcial mixta, digamos f11x , y que esta de­ rivada es continua en el punto en cuesti6n. Para probarlo, regresese a la ecuaci6n ( 1 1 ) , dividase entre hk y, a continuaci6n, hagase que k sola tienda hacia 0. Entonces el segundo miembro tiene un limite y, en consecuencia, el primer miembro tambien tiene un limite y

lim A k-.0 kh

=

{11(x + h, y) - f11(x, y) h

.

Ademas, arriba se prob6, con la unica hip6tesis de que f11x existe, que

�

h

=

{yx(X

+

9h, y

+

9'k).

En virtud de la continuidad supuesta de {11x, se encuentra que para t > para todos los valores de h y k suficientemente pequeiios,

{yx(X, y) - t

de donde se deduce que

fyx(X, y) o bien,

-

e

< {yx(X + 9h, Y

::::;;; {y(X + _

h

{xy(X, y)

=

<

y) - {y(X, y) h

lim {y(X + h, y - fy( X, y)

h-.o

es decir,

h,

+ 9'k)

{yx(X, y).

=

<

=

{yx(X, y) + t,

fyx(X, y) + t

{yx(x, y),

0 arbitrario y

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

65

numero de derivadas distintas de segundo arden y de 6rdenes su­ periores de funciones de varias variables es decididamente menor que el que podria esperarse en principia. Si se supone que todas las derivadas que van a formarse son funciones continuas de las variables independientes en la region bajo consideraci6n y si se aplica el teorem a inmediato anterior a las funciones fx(x, y), fv(x, y), fxv(x, y), y asi sucesivamente, en Iugar de a la funci6n f(x, y), se llega a las ecuaciones fxxy = {xyx = fvxx,

{xyy = {yxy

y,

=

fxxyy = {xyxy

{yyx,

=

{xyyx = {yxxy = {yxyx = {y yxx,

en general, se tiene el result ado siguiente:

En la derivaci6n repetida de una funci6n de dos variables in­ de pendientes se puede cambiar a voluntad el arden de las deriva­ dones, baJo el supuesto unicamente de que las derivadas en cuesti6n sean funciones continuas. *

Con las hip6tesis acerca de la continuidad, una funci6n de dos variables tiene tres derivadas parciales de segundo orden, {xy,

cuatro

derivadas parciales de tercer arden,

*Es de interes fundamental mostrar por medio de un ejemplo que, sin la hipotesis de Ia continuidad de Ia segunda derivada {x11• o {11x el teorema no es necesariamente verdadero y {x11 puede diferir de {11x. Esto puede ejemplificarse por medio de la fun­ cion

f(x, y)

=

x z - y2 xy 2 + yz , {(0, 0) = 0, x

para la cual existen todas las derivadas parciales de segundo orden pero no son con­ tinuas. Se encuentra que

lim {(x, y) - {(0 , y) x _ 1I-m f(x, y) - f(x, O) f11(X, 0) {x(O, y)

y,

en consecuencia,

=

z .. o

Y

y .. O

{yx(O, 0)

=

-

1

y

=

=

- y2 lim y x2 + 2 y2 x z .. o

• x2 - y 2 1Im X --y O X2 + Y2 ..

{xy(O, 0)

=

=

-

y,

= X,

+ 1.

Estas dos expresiones son diferentes, lo cual , por el teorema anterior, solo puede ser provocado por la discontinuidad de fx11 en el origen.

66

lntroduccion al calculo

y

al a nalisis matematico

fxxx, fxxy, fxyy, {yyy ; y,

en general, (n + 1) derivadas parciales de n-esimo orden,

Resulta obvio que tambien se cumplan proposiciones semejantes para funciones de mas de dos variables independientes. Esto es asi ya que puede aplicarse esta demostraci6n con igual propiedad al inter­ cambia de las derivaciones con respecto a y a z, o bien, con respec­ to a y y z, y asi sucesivamente, porque cada intercambio de dos derivaciones sucesivas solo comprende dos variables independientes a la vez. x

a

Ejercicios 1 .4d

-

1 : Obtcner o2z/(ox ay) y o2z/(oy ax) para confirmar su igualdad. (a)

(b)

2.

z = (ax + by)2 z = -lax + by z = {(ax + by)

(d)

z = y ez

x +y

(e) z = log -x

(f) Z = e cos(y2+ z) (c) Hallar todas las derivadas parciales hasta las de tercer orden de las fun­ ciones que siguen : (a) {(x, y) = xY (b) f(x, y) = cosh xy (c) f(x, y) = ax2 + bxy + cy2

f(x, y) = � y +L (e) f(x, y) = 2 cos x + 3 sen (y - x). 3 . Demostrar para f(x, y) = log (ez + eY) que {z + {y = = 0. (d)

X

1 y {zz {yy - ({zy)2

Problemas 1 .4 d 1 . (a) Demostrar que una funcion d e I a forma

Ia ecuacion diferencial parcial.

U U x y - U x Uy

(b) Probar la proposicion inversa. 2 . Definase f(x, y) como:

{

x f(x, y) - x2 arc tan .1_ 0 Demostrar que {zy(O, 0) = _

-

u(x, y) = {(x) g(y)

= 0.

arc tan � ,

y x, y =I= 0, �n x = O m y = � -1, {yz = 1. y2

satisface

Funciones de varias variables y sus derivadas

1.5

La

diferencial total de una funcion geometrico

a.

y

67

su significado

El concepto de dijerenciabilidad y

Para funciones = f(x) de una variable, Ia existencia de una deri­ vada esta intimamente ligada con Ia posibilidad de hallar una aproximaci6n de Ia funci6n f en Ia vecindad de un valor x mediante una funci6n lineal; geometricamente esto corresponde a aproximarse a la grafica de f por medio de su tangente. Por definicion, Ia funci6n f tiene una derivada en el punto x si el limite

f(x + h) - {(x) = A lim h. h existe; el valor A del limite se denota por f'(x). Asi, Ia diferencia­ bilidad de f en el punto x significa que, para x fija, el incremento !!{ =-..f(x + h) · - f(x) correspondiente al incremento h = !lx de Ia ...

O

variable independiente, puede escribirse en la forma

!!{ = f(x + h) - {(x) = Ah eh, +

donde A no depende de h y lim = 0. Hacienda x + h = �' puede decirse que {(�) es aPr,oximada mediante una funci6n lz'neal de �' a h ... O

E

f)(�) f(x) A(� - x), con un error que es de orden mayor � x: {(�) - f)(�) = E (� - x) = o(� - x) para � � x. Por supuesto, Ia grafica de esta funci6n lineal 11 f)(�) = f(x) + f'(x) (� - x) en coordenadas corrientes �. 11 es precisamente la tangente a la grafica de f en el punto (.x. y). Enunciado de manera diferente, la diferenciabilidad de f en x significa que el incremento A{ con­ siderado como una funci6n de h = Ax puede ser aproximado me­ diante Ia funci6n lineal df = {'(x) h = f'(x) dx dentro de un error saber = + que el primero en

-

•

=

que es de orden mayor que el primero en h. * Estas ideas se pueden aplicar perfectamente a funciones de dos y mas variables. Se dice que Ia funci6n f(x, y) es dz'ferencz'able el punto (x, en

u =

* Para la variable independiente x se tiene dx

=

l •h = h = Ax.

68

Introduccion alcalculo

y

al analisis matematico

y) si puede ser aproximada en la vecindad de este punto por medio de una funci6n lineal, es decir, si se puede representar en la forma f(x + h, y + k) = Ah + Bk + C + e -Jh2 + k2

( 13)

donde A, B y C ·son independientes de las variables h y k y donde tiende hacia 0 conforme h k lo hacen. En otras palabras, la di­ ferencia entre la funci6n f(x + h , y + k) en el punto (x + h, y + k) la funci6n Ah + Bk + C, la cual es lineal en h k, debe ser de ar­ den de magnitud o(p), donde p = -Jh2 + k2 denota la distancia del punto (x + h, y + k) desde el punto (x, y). Si es posible esa representaci6n aproximada, se concluye de in­ mediato que la funci6n f (x, y) es continua y tiene derivadas parciales con respecto a x y a y en el punto (x, y) y que e

y

y

y

A = fx(X , y) ,

B . = fy(X, y),

C

=

f(x, y).

Lo anterior es asi porque, en primer Iugar, de (13) se encuentra, para h = k = 0 , que f (x, y) = C. Ademas, lim f(x + h , y k) = C = f(x, y). Asi, f es continua en el punto (x, y). Hacienda k = 0 en ( 1 3 ) y dividiendo entre h se llega a Ia relaci6n h _,. O k """ O

�

f(x + h, y

-

f(x, y)

+

= A + e.

Como tiende a 0 conforme h tiende a 0 , el primer miembro tiene un limite y ese limite es A . De modo semejante, se obtiene la ecuaci6n fy(x, y) = B. Reciprocamente, se probara el resultado fundamental siguiente: Una funci6n u = f(x, y) es diferenciable en el sentido que acaba de definirse-es dedr, puede aproximarse mediante una funci6n lineal con un error o(p) como en (13)- si posee derivadas contz"nuas de primer orden en el punto en cuesti6n: En efecto, puede escribirse el incremento e

11u = f(x

de Ia funci6n en la forma

+

h, y + k) - f(x, y)

11u = f( x + h, y + k) - f(x, y + k) + f(x, y + k) - f(x, y).

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

69

Como antes (p. 5 7 ) , los dos parentesis pueden expresarse en la forma du = hfx( X + 8 1 h, y + k) + k{y( X , Y + 8 2 k), donde 0 < el , 92 < 1, aplicando el teorema ordinario del valor medio del d'tlculo diferencial. Ya que, por hip6tesis, las derivadas parciales fx {y son continuas en el punto (x, y), puede escribirse {x(X + 8 1h, Y + k) = {x(X, y) + E1 y

y

donde los numeros obtiene

e1

y

y

e2 tienden a 0 conforme h k lo hacen. Asi se

dU =

h{x(X, y) k{y(X, y) + E1h + E2k = hfx(x, y) + kfy( X , y) + o( Jh 2 + k2), r esta ecuaci6n expresa la diferenciabilidad de {. 1 Ocasionalmente se da a el nombre de funci6n continuamente diferencia b le o de funci6n de clase C1 • a una funci6n con primeras derivadas parciales continuas. Se ve que las funciones de clase C1 son +

y

diferenciables. Si, ademas, todas las derivadas parciales de segundo orden son continuas, se dice que la funci6n es conttnuamente diferen­ cia ble dos veces o que es de clase C2 , asi sucesivamente. Las fun­ ciones continuas tambien se conocen como funciones de clase C0:2 y

Ejercicios 1 .5a

1.

1 Si

Demostrar que cada una de las funciones siguientes no es diferenciable en el origen : se supone simplemente la existencia , y no "la continuidad" , de las derivadas fx y

{y, la funcion no necesariamente es diferenciable (ver l a p . 34) . 2 Estas definiciones de clase

C1 , C2, y a:si sucesivamente, solo se aplican a l as fun­

ciones f cuyo dominio sea un conjunto abiert o , ya que l as derivadas parciales solo se han definido p ara puntos interiores del dominio . Puede extenderse la nocion de clase a funciones con u n dominio

R

no ab�erto; entonc�s significa que las d�rivadas de

f en cuestion existen en todos los puntoj i nteriores de

R. y coinciden R.

con funciones que est{m definidas y son continuas en todo

en esos puntos

70

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

(a)

f(x, y) = Jx cos y (b) f(x, y) = Jjxy l 2xy (x, y) =F (0, 0) (c) f(x, y) = Jxz + y z' I0, (x, y) = (0, 0). 2 . Para las funciones continuas g(x), h(y) de x, y en los intervalos [xo, xl], [yo, yl], respectivamente, demostrar que la funci6n f(x, y) = (J:o g(s) ds} (f:o h(t) dt) es diferenciable en (x, y) para xo � x � Xl, yo � y � y1. X

Problemas 1.5a

b), f (x, y) = f b) + h fx h = x-a y k = y-b. b) b)..

1 . Sup6ngase que en una vecindad del punto (a, (a, (a, {y(a, donde Bajo la hip6tesis de que y existen en (a, pero no son necesariamente con­ tinuas alii , probar que es continua en (a,

b) + k

b) + o(Jh2 +k2), fx y f f

b . Derivadas direccionales

Una propiedad basica de las funciones diferenciables f es que no solo poseen derivadas parciales con respecto a x y y- o, como tambien se dice, en las direcciones x y y- sino que tienen derivadas en cual­ quier direcci6n y que estas derivadas pueden expresarse en terminos de fx y {y. Por derivada en la direcci6n a se entiende la rapidez de cambia de f en el punta (x, y) con respecto a la distancia, conforme nos aproximamos a (x, y) a lo largo del rayo que forma el angulo a con el eje x positivo. Los puntas (x + h, y + k) son aquellos para los cuales h y k tienen la forma h = cos a, k = sen a, donde = .Jh2 + k2 es la distancia de (x + h, y + k) desde (x, y). A lo largo del rayo, f se transforma en una funci6n de p dada por f(x + cos a, y + sen a). La deri'vada de f en el punto (x,y), en la direccz"6n a, se define como la derivada de f (x + cos a, y + sen a) con respecto a en = 0 y se denota por D(a) f(x, y). Asi, p

p

p

p

p

p

p

,

p

p

Funciones de varias variables y sus derivadas

71

D{(x, y) = (ddp f(x + p cos a, y + p sen a)) = hin f(x + p cos a, y +p p sen a) - f(x, y)' P=O

p• O

siempre que el limite exista. En particular, se obtienen, para a = 0 y a = rt/2 , las derivadas parciales de f:

Df(x, y) = Hm f(x + p , y)p - f(x, y) = fx(x, y) D(1tJ 2>f(x, y) = lim f(x, Y + p) - f(x, y) = fy(x, y). p-. o

p

p• O

Si f(x, y) es diferenciable, se tiene

f(x + h, Y + k) - f(x, y) = hfx + kfy + Ep = p(fx cos a + {y sen a + E) Hagase tender p hacia 0; entonces, como E tiende hacia 0, se obtiene

(14)

la expresi6n

D {(x, y) = fx cos a + fy sen a. para la derivada de f en la direcci6n a Asi, la derz'vada dz'reccz'onal D(a>f es una combz'nacz'on lineal de las derz'vadas fx y fy en las dz'reccz'ones y y con los coefz'cz'entes cos a sen a. En particular, este resultado se cumple siempre que las de­ rivadas fx y {y existan y sean continuas en el punto en cuesti6n. Tomando, por ejemplo, como f(x, y) Ia distancia r = ..Jr-x:-2-+-y-2--;: desde el origen hasta el punto (x, y), se tienen las derivadas pardales rx = -vr=x=;<:2X=+=y�2 xr = cos e y _x_ y Ty = Jx2 + y2 = r = sene, (14a)

x

y

donde e denota el angulo que el radiovector forma con el eje Como consecuencia, en Ia direcci6n a· l a funci6n r tiene Ia derivada D(a)T = rx cos a + Ty sen a = cos e cos a + sen e sena = cos (9 - a); x.

72

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

en particular, en la direcci6n del propio radiovector (es decir, en la direcci6n hacia afuera del origen), esta derivada tiene el valor 1 , mientras que en las direcciones perpendiculares al radiovector tiene el valor 0 . La funci6n x tiene, en la direcci6n del radiovector, la derivada Da (x) = e, y la funci6n la derivada Da (y) = sen e; en la direcci6n perpendicular al radiovector estas funciones tienen las derivadas D(9 + rtt2) X = - sene y D(9 + rtt2) y = o e, respectivamente. En general, la derivada de una funci6n f(x, y) en la direcci6n del radiovector se denota por a{(x,y)jar. Esta es, en realidad, la derivada parcial con respecto a r de f(r e, r sen e) considerada como una funci6n de e. Asi, se tiene la relaci6n cos

y,

c s

cos

r y

ar - = ar

cos

ar ar e ax - + sen eay'

Ia cual se escribe .;:onvenientemente en forma s1mb6lica, como la identidad a - = ar

cos

a a e ax - + sen eay

entre los operadores de derivaci6n a;ar, ajax, a;ay. Vale la pena hacer notar que tambien se obtiene la derivada de la funci6n f(x, y) en la direcci6n a si, en lugar de dejar que el punta Q con coordenadas (x + h , y + k) tienda al punta P con coordenadas (x, y) � lo largo de una recta con la direcci6n a , se hace que Q tienda a P a lo largo de una curva arbitraria cuya tangente en P tiene la direcci6n a. Porque entonces, si la . recta PQ tiene 1� direcci6n p, puede esc:ribirse h = p P, k = p sen p, en las formulas usadas en la demostraci6n e:tnterior se tiene que remplazar a por p. Pero como, por hip6tesis, P tiende hacia a conforme p ---) 0, se obtiene la misma expresi6n que para D f(x, y). En la misma forma, una funci6n diferenciable f(x, y, z) de tres � en una direcci6n dada. variables independientes puede derivarse Sup6ngase que la direcci6n se especifi a por media de los cosenos de los tres angulos que forma con los ejes coordenados. Si a estos tres angulos se les denomina a, p, y y si se consideran dos puntas, (x, y, z) (x + h , + k, z l), donde y

cos

x

y

h = p

+

cos

a,

k=p

cos

p,

l= p

cos .y,

y

Funciones de varias variables

'Sus derivadas

73

entonces , precisamente como en ( 14a), se obtiene la expresi6n fx cos a

( 14b)

+ {y cos �

+

{z cos y

para la derivada en la direcci6n dada por los angulos (a, �. y). Ejercicios 1 .5b

1.

Df(x,

�Cual es la interpretacion geometrica de Ia derivada y) de la fun� cion en la direccion definida por el angulo de inclinacion et.?

f

D{(xo, yo), = 30°, 60°, goo para las funciones que siguen: (a) f(x, y) = ax + by, a, b constantes , xo = yo = 0 (b) f(x, y) = ax2 + y2 b, xo = yo = 1, (a, constantes ) (c) f(x, y) = x2 - y2, xo = 1, yo = 2 (d) f(x, y) = sen x +�cosy, xo = Yo. = 0 (e) {(x, y) = e x COSy, Xo = 0, yo = 1t (f) f(x, y) = .J2x2 + y2 , xo = 1, yo = yo = 0. (g) f(x, y) = cos (x + y), Xo = et.

2. Encontrar

0,

b

3.

1

0,

Hallar las derivadas direccionales de cada una de las funciones siguientes, como se indica :

z2 - x2 - y2 en (1, 0, 1) en Ia direccion de (4, 3, 0). (b) xyz - xy - yz - zx + x + y z en (2, 2, 1) en la direccion de (2, 2, 0). (c) xz2 + y 2 + z3 en (1, 0, - 1) en Ia direccion de (2, 1, 0). (a)

+

4. Dar un ejemplo de una funcion que tenga derivadas en todas direcciones 5.

en un punto

y,

sin emhargo , no sea diferenciable en ese punto.

f(x, y) = �xy f ozfox ozfoy Sea {(x,y) = xy + v'2x 2 + .r. r = .J x2' + _y 2, yfx = para e = 0°, 30°, 60°, goo y x, y =

Demostrar para que es continua y que las derivadas par­ cialcs y existen en el origen pero que las derivadas direc­ cionales en todas la demas direcciones no existen. 1.

c.

tan

6. Encontrar

o2ffor2

Interpretacion geometrica de la diferenciabilidad. El plano tangente

Para una fun cion z = f (x, y) todos estos conceptos pueden ilus­ trarse geometricamente con facilidad. Recuerdese que la derivada

74

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

parcial con respecto a x es la pendiente de la tangente a la curva en la cual se intersectan la superficie que representa Ia relaci6n z = {(x, y) y un plano perpendicular al plano x,y y paralelo al eje x. De la misma manera, Ia derivada en Ia direcci6n a da Ia pendiente de Ia tan­ gente a Ia curva en Ia que se intersectan Ia superficie y un plano que pasa por (X, y, z) perpendicular al plano X, y y que formaf el an­ gulo a con el eje x. Ahora Ia f6rmulaD{(x, y) = fx cos a + ysen a nos permite calcular las pendientes de las tangentes a todas esas cur­ vas, es decir, de todas l as tangentes a Ia superficie en un punto dado, a partir de las pendientes de dos de esas tangentes. * Se ha aproximado la funci6n diferenciable � = f (� , 11) en Ia vecin­ dad del punto (x, y) por medio de Ia funci6n lineal ) ,(� , 11 ) = f(x, y + (� - x)fx + (11 - y)fy, y

donde � 11 son las coordenadas corrientes. Geometricamente, esta funci6n lineal se representa por un plano, que por analogia con Ia rec­ ta tangente a una curva recibira el nombre de plano tangente a Ia superficie. La diferencia entre esta funcion lineal y la funci6n f (�, 11 ) se anula en un orden mayord que Jh2 + k2. conforme � - x = h 11 y = k tienden a 0 . Recor ando Ia definicion de la tangente a una curva plana, empero, esto significa que Ia recta de intersecci6n del plano tangente con cualquier plano perpendicular al plano x, y, es Ia tangente a la curva de intersecci6n correspondiente. Por tanto, se ve que todas estas rectas tangentes a la superfz"de en el punto (x, y, z) se encuentran en un plano: el plano tangente. Esta propiedad es Ia expresi6n geometrica de la diferenciabilidad de la funci6n en el punto (x, y, z); donde z = f(x, y). En coordenadas corrientes (�, 11, �), Ia ecuaci6n del plano tangente en el punto (x, y, z) es y

' '

*Para puntos (!;, 11 , ) en ese plano se tiene I; = x + p cos a, 11 secuencia, . para puntos sobre Ia curva de. intersecci6n, f(x + p cos a, y + p s:en a).

'

=

y + p sen a, en con­

=

Usando a P y como coordenadas, Ia pendiente de Ia tangente a Ia curva en ' = z, p 0 esta dada por =

. (dd�') = Df(x, y). P =O P

De aqui que Ia tangente tiene Ia ecuaci6n

' = z + pDf(x,y) = f(x, y) + p cos a fx(x, y) + p sen a {y(x, y).

Funciones de varias variables y sus derivadas 1;: -

75

z = (� - x)fx + ( Tt - y)fy.

Como ya se ha demostrado en Ia p. 67 , Ia funci6n es diferenciable en un punto dado siempre que las derivadas parciales sean continuas alli . En contraste con el caso de las funciones de una variable in­ dependiente , la simple existencia de las derivadas parciales fx y {y no es suficiente para asegurar la diferenciabilidad de Ia funci6n . Si las derivadas no son continuas en el punto en cuesti6n , es posible que no exista el pl ano tangente a la superficie en este punto; o, habl ando analiticamente . es posible que la diferencia entre f(x + h, y + k) y la funci6n f(x, y) + hfx(x, y) + kfy(x, y), Ia cual es lineal en h y k, no se anule en un orden m ayor que Jh 2 + k2• Esto puede verse clara­ mente medi ante un ejemplo sencillo :

u = f(x, y)

=

Sl

u = O

xy Jx2 + y 2

Sl

x 2 + y2

=F

0,

X = 0, y = 0.

Si se introducen coordenadas polares esto queda . r

u = 2 sen 29. Las primeras derivadas con respecto a x y a y existen en todo punto en la vecindad del origen y tienen el valor 0 en el propio origen. Sin embargo , estas derivadas no son continuas en el origen, porque

Ux = Y

( �1 = Jx2 y2 - -

- - --

+

-

)=

x2 J(x2 + y2) 3

- -

- - - --

ya J(x2 + y2)3 '

-- - - - - --

Si nos aproximamos al origen a lo largo del eje x, Ux tiende hacia 0, mientras que si nos aproximamos a lo largo del eje y , Ux tiende hacia 1 . Esta funci6n no es diferenciable en el origen; en ese punto no exis­ te plano tangente alguno a la superficie z = f (x, y) . Porque las ecuaciones fx(O, 0) = {y(O, 0) 0 muestran que el plano tangente tendria que coi ncidir con el plano z = 0. Pero en los puntos de la recta e = 7t /4, se tiene sen 29 = 1 y z = f (x, y) = r/2 ; asi , la distan­ ci a z al punto de la superficie desde el punto del plano no se anula en un orden m ayor que r, como debe ser el caso con un plano tangente. La superficie es un cono con vertice en el origen, cuyas generatrices no se encuentran todas en un plano .

=

76

lritroduccion al calculo

y

al analisis matematico

Ejercicios 1 . 5c

z = f(x, P = (xo, yo), (a) f(x, y) = 3x2 + 4y2, P (0, 1) (b) f(x, y) = 2 co s (x - y) + 3 sen x, P = ( ; ) (c) f (x, y) = cosh (x + y), P = (0, l og 2) (d) f (x, y) = Jx2 + y 2, = (1, 2) (e) f (x, y) = ex cos Y, . p = , (1, �) (f) f (x, y) = cos e xY, P = (log 2, 1) x2+y2e-t2 dt, P = (1, 1) (g) {(x, y) = ro J (h) {(x, y) = ax3 + bx 2 y+ cxy 2 + dy3 , P = (1, 1), (a, b, c, d constantes.) 2. Demostrar que todos los pianos tangentes a una superficie z = y f (x/y) se

1 . Hallar la ecuaci6n del plano tangente a la superficie definida por en el pun to en cada uno de los casos que siguen:

y)

=

rc,

P

7t

encuentran en un punto comun, donde f es cualquier funci6n diferen­ ciable de una sola variable. 3. Demostrar que el plano tangente a Ia superfjcie S: en el punto es Ia posicion limite del plano que pasa por los tres puntos (Xi, Yi, Zi), i se 0, 1, 2, de S , donde = YI) y aproximan a desde direcciones distintas, formando un angulo que no es igual a 0° 6 180°. 4 . Probar que el plano tangente a la superficie cuadratica

Po = (xo, yo)

en el punto

z = f(x, y) P2 = (x2, y2) P1 (x1 ,

= Po

ax2 + by2 + cz2 = 1

(xo, yo, zo) es axox + byoy + czoz = 1.

d. La diferencial total de una funci6n Como para las funciones de una variable , a menudo resulta <;on­ ' veniente tener un nombre y simbolo especiales para la parte lineai del incremento de una funci6n diferenciable u = f(x, y) , el cual se presenta en la formula ( 1 4), Au = f(x + h, y

+

k)

- f(x, y)

=

hfx(x, y) + kfy(X, y) + s Jh 2 + k 2

.

Se da el nombre de dijerencial de la funci6n a esta parte lineal y se escribe

Funciones de varias variables y sus derivadas

77

du = df(x, y) = aaxr h + aayr k = oarx Ax aayr Ay. +

(15a)

La diferencial , a veces Hamada dzferencial total, es una funci6n de cuatro variables independientes, a saber, las coordenadas x y del punto bajo consideraci6n y los incrementos h y k de las variables in­ dependientes . Se hace resaltar nuevamente que esto nada tiene que ver con el concepto vago de "cantidade� infinitamente pequefias" . se aproxima a l incremento = + Simplemente significa que la funci6n , con un error que es una fracci6n ar­ + k) bitrariamente pequefia E de + k 2 , siempre que y k sean can­ tidades lo suficientemente pequefias. Para las variables independien­ tes x y a partir de ( 1 5 a ) , se encuentra que

y

h, y

tlu f(x

du

f(x, y)

.Jh2

y, dx axax Ax + ayax Ay Ax

h

dy = axay Ax + axay Ay = Ay. De a qui que , con mayor frecuenci a , la diferencial df(x, y) se escriba =

-

-

=

y

( 1 5b)

df (x, y) = axar dx + ayar dy = {x(X, y) dx + {y(X, y) dy.

(15b)

Incidentalmente , la diferencial determina completamente las pri­ meras derivadas p arciales de f. Por ejemplo , se obtiene la deri­ vada parcial de {, haciendo = 0 y = 1. Es de hacer resaltar que la diferencial total de una funcion como l a aproximaci6n lineal para no tiene signifi<;ado a menos que la funci6n sea diferenciable en el sentido definido anteriormente para la cual basta la continuidad, pero no la simple existencia, de las dos derivadas parciales). Si la funci6n tambien tiene derivadas parciales continuas de orden superior , puede formarse la diferencial de la diferencial esto es , pueden multiplicarse sus derivadas parciales con res­ y k = respectivamente, y despues sumar pecto a x y por = estos productos . En esta diferenciaci6n se consideran h y k como cons­ = tantes , correspondiendo al hecho de que la diferenciaJ es una funci6n d� l as cuatro variables independientes + kfy(X, y k. Asi se obtiene la segunda diferencial* de la funcion,

a{/ax

dy Af

f(x, y)

(x, y); y, h,

y

h dx

y)

dx

{(x, y)

df

dy,

df hfx(x, y) x,

* Posteriormente se vera ( p . 97) que las diferenciales de orden superior introducidas form almente aqu1 corresponden exactamente a los tl�rminos del mismo orden en e) desarrollo de la funci6n.

78

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

De modo semejante pueden formarse las diferenciales superiores

aar aar dx2 dy + 3 a_j![_ d2f - d(d2f) -, a a dx3 + 3 a___j!J_ dx dY2 + ay a dy 3 , a 2 2 a y x y X X ay ay ay d4f dx4 + 4 6 dx2 dy2 ax4 ax3 ay dx3 dy + ax2 ay2 a 4f af dy4 , + 4 a X 4aya dx dya + a4 y .

=-

--

��

y, como puede demostrarse facilmente por inducci6n , en general

.•. +

(n)k axn · a-�k ayk dxn-k . dyk +

• • •

a� - - dyn . + ayn

La ultima formula puede expresarse simb6licamente por la ecuaci6n .

dnf

= (ax-a dx + ay-a dy) nf

donde primero debe desarrollarse la expresi6n de la derecha formal­ mente por medio del teorema del binomio y , a continuaci6n, de ben sustituirse los terminos

( a dx) nf, ( a dx) n-1 ( a dy) f, . . . ' (aya dy) nf. ax ay ax

Para los calculos con diferenciales se cumple bien la regla 1 Tradicionalmente, se escriben las potencias (dx)2, (dx)3, (dy)2, (dy)3 de las diferen­ ciales, simplemente como dx2, dx3, dy2, dy3• Por supuesto, esto es un tanto confuso, ya que podrian confundirse con d(x2) = 2x dx, d(x3) 3x2 dx, y asi sucesivamente.

=

Funciones de varias variables y sus derivadas

d(fg) = f dg

79

+ g df

esta regia se deduce inmediatamente a partir de la regia para la diferenciaci6n de un producto. En conclusion , se observa que el estudio de esta seccion se puede extender inmediatamente hacia funciones de mas de dos variables in­ dependientes . Ejercicios I . 5d 1.

Hallar las diferenciales totales para las funciones siguientes:

(a) z = x2y2 + 3xy3 - 2y4 xy (b) z x2 + 2y2 (c) z = log(x4 - y3) y X (d) z = - + y X (e) z = cos (x + log y) x -y (f) z = -x +y (g) z = arc tan (x + y) (h) z = xY (i) = cosh (x + y - z) (j) = x2 - 2xz + ya. 2. Evaluar la diferencial total de f(x) = x - y + (x2 + y2) 1 13 , y = 2, dx = .1, dy = .3. Encontrar d 3{(x, y) para f(x, y) = ex2 +112 • w

w

3.

para

x = 1,

e. Aplicaci6n al calculo de errores

En la practica, a menudo se usa la diferencial df = hfx + kfy como una aproximaci6n conveniente para el incremento de la fun­ cion f(x, y), Af = f(x+ h, y + k) - f(x,y) , cuando se pasa de (x, y) a (x h, y k). Este uso se exhibe particularmente bien en el llamado "cal­ culo de errores" (ver Volumen I, p. 490) . Sup6ngase , por ejemplo, que se desea hallar el error posible en la determinacion de la den­ sidad de un solido por el metodo del desplazamiento . Si m es el peso del cuerpo en el aire y m su peso cuando se sumerge en agua, enton­ ces, por el pdncipio de Arquimedes, la perdida de peso (m - m) es el peso del agua desplazada . Si se esta usando el sistema de unidades cgs

+

+

80

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

(centimetros-gramo -segundo) , el peso del agua desplazada es nu­ mericamente igual a su volumen y, por tanto , al volumen del solido . Asi , la densidad s del cuerpo se da en terminos de las variables in­ dependientes m y m , mediante a formula s = m/(m - m) . El error en la medida de la densidad s provocado por un error dm en la medida de m y un error dm en la medida de · m est a dado aproximadamente por la diferencial total

as ds = am dm

as dm. + am

Por la regia del cociente , las derivadas p arciales son

as m = am (m - m)2

m as = am (m - m)2 ;

y

de aqui que la diferenci al es _

ds -

+

- m dm m dm . (m - m)2

Por t anto, el error s es maximo si dm y dm tienen signos opuestos , es decir , si en Iugar de m se mide una c antidad demasiado pequefia m t dm y , en Iugar de m una cantidad demasiado grande m dm. Por ejemplo , si un trozo de laton pesa alrededor de 1 00 gm en el aire , con un error posible de 0 . 005 gm , y en el agua pesa alrededor de 88 gm , con un error posible de 0 . 008 gm la densidad esta dada por la for­ mula anterior dentro de un error de

+

,

88

•

5

•

10 -3

+ 100 • 8 . 10-3

1 22

_...._.

9 • 10- 3 ,

o cerca del 1 por ciento . Ejercicios I . 5e l.

+

Hallar la variaci6n aproximada de la funci6n z = (x y)/(x - y), cuan­ do x varia desde x = 2 hasta x = 2.5, y y, desde y = 4 hasta y = 4 . 5 . . 1]. (0.96) 1 16 2 . Dar un valor aproximado de log [(1.02)114 3 . Se conoce l a longitud de l a base, x y la altura, y , d e un triangulo rectfm­ gulo dentro de errores h, y k, respectivamente. �Cual es el error posible en el area? 4 . Si dz es el error de medici6n en una cantidad z, el error relativo se define como dz/z. Demostrar que el error relativo en un producto z = xy es la suma de los errores relativos en los factores.

+

-

Funciones de varias variables y sus derivadas

81

5 . Se va a determinar la aceleraci6n

g de la gravedad, midiendo el tiempo de caida en segundos de un cuerpo que se deja caer desde el reposo a traves de una distancia fija x. Si el tiempo medido es t, se tiene g = 2xft2• Si x mide alrededor de 1 y t alrededor de .45 seg, demostrar que el error relativo en la medici6n de g es mas sensible a un error relativo en t que a un error relativo en x.

m

1.6

Funciones de funciones (funciones compuestas) intro ducci6n de nuevas variables independientes

y

Ia

a. Funciones compuestas. La regia de Ia cadena

Con frecuencia una funci6n u de las variables independientes x, y se da en la forma

u = {(� , T), .

.

. )

donde los argumentos � ' T) , . . . de f son a ellos mismos funciones de x yy

T) = \ji(X, y), . . .

� = if>(x, y), Entonces se dice que

(16)

u = {(�, T), . . . ) = {(fj>(x, y), \jl(x, y), . .

es una funci6n compuesta de siguientes) Por ejemplo, la funci6n

52

(16a)

x

.

) = F(x, y)

y y (comparar con el Volumen I , pp .

u = F(x, y) = exY sen (x + y)

puede escribirse corno una funci6n compuesta por medio de las relaciones

(16b)

u = {(�, 11 ) = e�;. sen T) ,

donde � = xy y 11 = x + y. D e modo semej ante, la funci6n

(16c)

u = F(x, y) = log (x4 + y4) • arc sen -v' l

puede expresarse en l a forma

(16d)

u = f(�, T))

donde � = -v'l - x2 - y2 y 11

= 11 arc sen �'

= log (x4 + y4).

-

x2 - y2

82

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Con el fin de hacer que el concepto de funcion compuesta tenga significado , supongase que las funciones � = rp(x, y), 11 = 'V(X, y), . . tienen el dominio comun R y transforman puntas cualesquiera (x, y) de R en puntas (�, 11, . . . ) para los cuales Ia funcion u = f(�, 11, . . . ) est a definida , e s decir, en puntas del dominio S d e f En tonces Ia funcion compuesta u =

f(rp(x, y), 'V(X, y), . . . ) = F(x, y)

esta definida en la region R . A menudo e s innecesario un examen detallado de las regiones R y S, como en ( 1 6b ) , en las cuales el punto argumento (x, y) puede recorrer el plano x, y completo y la funcion u = e�; sen 11 esta definida en todo el plano � ' 11 · Por otra parte , ( 1 6d) muestra la necesidad de examinar los dominios R y S en la definicion de las funciones com ­ puestas. Porque las funciones � v' 1 x2 - y2 y 11 = log (x4 + y 4) solo estan definidas en la region R que consiste de los puntas 0 < x2 + y2 � 1, es decir , el disco unitario cerrado con centro en el origen, siendo eliminado el origen . Dentro de est a region se tiene I � I < 1, 11 � 0. Todos los puntas correspondientes (�, 11) se encuentran en el dominio de la funcion 11 arc sen � y , por tanto, I a funcion compuesta. F(x, y) esta definida en R . Una funcion continua d e funciones continuas es continua e n si misma. Por ejemplo , si la funcion u = f(l;, Yf, ) es continua en la region S y las funciones l; = ¢(x, y), 11 = If!(X, y), . _ . son continuas en la region R; entonces la funcion compuesta u = F(x, y) es con­ tinua en R . S e deduce inmediatamente Ia demostraci6n a partir d e l a defi­ nicion de continuidad . Sea (xo, yo) un punto de R y � o, 11o, . . . los valores correspondientes de �' 11 , . . . . Ahora b ien , para cualquier E positivo , el valor absoluto de Ia diferencia

=

-

_

•

•

•

.

f(� , 11,

·

.

.

) - f(� o, 11o, . . . )

es menor que E, bajo el supuesto unicamente de que se satisfaga la desigualdad

v'(� - � o)2 + (11 - 11o) 2

+•

• • < o,

donde o es un numero positivo suficientemente pequeiio . Pero , por la continuidad de rp(x, y), 'V(X, y), . . . esta desigualdad se satisface si

v'(x - xo)2 + (y - yo)2 < y ,

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

83

donde y es una cantidad positiva suficientemente pequeiia. Esto es­ tablece la continuidad de la funci6n compuesta . De modo semejante� una funcion diferenciable de funciones diferencz"a bles es a su vez diferencia ble. Esta proposici6n se enuncia de manera mas precisa en el teorema que sigue, el cual , al mismo tiempo , da Ia regia para Ia derivaci6n de funciones compuestas, Ia Ham ada regla de la cadena: Si .t! f/J(x, y), q lfi(X, y), . . . son funciones diferenciables de x y y en la region R y si f (t!, q, . . . ) es una funcion diferenciable de en la region S, entonces la funcion comPuesta t!, q,

=

(17)

=

u

= f(if>(x, y}, 'JI(X, y}, . . . )

=

F(x, y)

tam bien es una funcion diferencia ble de x y y; sus derivadas parciales est an dadas por las formulas

o,

= {f. f/Jx

Fx + fTI 'I'x + • Fv = ft. if>v + 'l'v + ·

(18} brevemente, por

(19)

{TJ

Ux = Ut, �x + UTI Uy = Ut, �y + UTI

11 x

11 Y

+ • +

•

De don de , para formar Ia derivada parcial con respecto a x, primero debe derivarse la· funci6n compuesta con respecto a cada una de las variables � . 11 , . . . , multiplicar cada una de estas deri­ vadas por la derivada de la variabl� correspondiente con respecto a x y sumar todos los productos asi formados . Esta es la generalizaci6n de Ia regia de Ia cadena para las funciones de una variable, discutida en el Volumen I (p. 2 1 8 ) . Esta proposici6n puede escribirse e n una forma particularmente simple y sugerente, si se usa la notaci6n de diferenciales, a saber,

(20}

=

du Ut, d� + UTI d11 + • • • = Ut, (�x dx + �Y dy) + UTI (11x dx + ll v dy) + = ( Ut, �x + UTI llx + • • • ) dx + ( Ut, �y + UTI 11 Y + • • • ) = Ux dx + Uy dy.

dy

Esta ecuaci6n muestra que se obtiene Ia parte lineal del incremento de la funci6n compuesta u = f(� , 11 , . . . ) = F(x, y) , escribiendo primero esta parte lineal como si �' 11, . . . fueran las variables in-

84

Introduccion al dilculo

y

al analisis matematico

dependientes y , a continuaci6n , remplazando d�, d11 , . . . por las partes lineales de los incrementos de las funciones � = ,P(x, y), 11 = w(x, y), . . . . Este becbo manifiesta la conveniencia y la flexibilidad de la notaci6n diferencial . Con e l fin de probar la proposici6n ( 1 8) , simplemente s e tiene que aplicar la bip6tesis de que las funciones de referenda son diferen­ ciables . A partir de esto se concluye que correspondiendo a los in­ crementos �x Y �y de las variables independientes x y y , las can­ tidades �. 11, . . . cambian en las cantidades

(20a) (20b) .

0

0

donde los numeros E1, E 2 , . . tienden bacia cuando �x � y �y � Las derivadas r;x, rP Y • 'l'x, \jl y se to­ o cuando v'(�x) 2 + (�y) 2 � man para los argumentos x, y. Es mas , si las cantidades �. 11 , . . . sufren los cambios ��. �11 • . . . la funci6n · u = f (�, 11 , . . . ) cam­ bia en la cantidad

0

0.

,

0

0,

donde la cantidad 8 tiende baci a 0 cuando �� � y �11 � y {"t., {TJ tienen los argumentos �. 11· Usando aqui por ��. �11 las can­ tidades dadas por ras formulas (20a, b ) que corresponden a los in­ crementos �x y �y en x y y, se encuentra una ecuaCi6n de la forma

(22)

�u

= (f�r/Jx + {11\jlx +

•

•

•

) �X

+ (f�r/Jy + {11\jly +

•

.

• o

.

.

o

) �y

+ e -/(�x) 2 + (�y) 2.

Aqui , para �x = p cos a, �y = p sen a, p = v'(�x) 2 + (�y) 2 , la can· tidad E esta dada por. E = E1{� + E2{11

+ 8 J(,Px cos a + r/Jy sen a + e1) 2 + ( 'l'x cos a + \jly sen a + e 2) 2 +

0

o

Cuando p � , las cantidades �x, �y, E1 , E 2 tienden hacia 0 , y de aqui que lo mismo sucede con ��. �11 . y 8. Por otra parte , {"t., {TJ, , r/Jx, r/Jy, 'l'x, \jly , . . . permanecen fijas . Como consecuenci a , •

l

im E = 0.

P -+ 0

Funciones de varias variables y sus derivadas

85

De (22) se concluye que u , considerada como una funci6n de las variables independientes x, y , es diferenciable en el punto (x, y) y que du esUi dada por la ecuaci6n (20) . A partir de esta expresi6n para tienen las ex­ du se encuentra que las derivadas parciales presiones ( 1 9) o ( 1 8) . Es evidente que este resultado e s independiente del numero de variables independientes X, y, . . . . Sigue siendo valido, por ejemplo, si las cantidades . . . solo dependen de una variable indepen­ diente x, de modo que u es una funci6n compuesta de la variable x uni camente . Para c alcular las derivadas parciales superiores solo es necesario derivar los segundos miembros de las ecuaciones ( 1 9) con respecto a x· y y, tratanto a • . . como funciones compuestas. Restringien­ donos , por simplicidad , al caso de tres funciones y se obtiene *

Ux, Uy

� ' 11 ,

{c,, {TJ ,

�' 11 , � ' Uxx = {c,c,�x2 + {TJTJ1lx2 + {r,r,�x2 + 2{c,TJ�x1lx + 2{TJr.1lx�x + 2{c,��x�x + {c, �xx + fTJllxx + {r,�xx , Uxy = {c,c,�x�y {TJTJ11x11y + {r,r,�x�y + {c,TJ(�xlly + �yllx) + {TJr. ( llx�y + Tly�x ) + {c,r,( �x�y + �y�x ) + !c, �xy + {TJ11 XY + {r,�xy , Uyy = {c,c,�y2 + {TJTJ11Y2 + {r,r,�y2 + 2{c,TJ�Y11Y + 2{TJr,T}y�y + 2{c,r,�y�y + {c,� yy fTJ11YY {r,�yy .

(23a)

(23b)

+

(23c)

+

+

Ejercicios 1 . 6a 1.

Encontrar todas las derivadas parciales de primero y segundo orden con respecto a x y y para las funciones siguientes:

(a) z

=

u log v, donde u = x2, v =

(b) z = e uv , donde u = ax,

v

1

1

+y

= cos y

�, (c) z = u arc tan v, donde u = x -y x y (d) z = g (x 2 + y 2, e - )

v

= x2y

+y-x

(e) z = tan (x arc tan y). ·

*A qui se supone que f es una funci6n de �. 11 de clase C 2 y que �. 11, ' son fun­ ciones de x, y, de cl ase C2 • Se concluye que Ia funci6n compuesta u de x y y, a su vez , cs de clase C2•

Introduccion al calculo

86 2.

y

al analisis matematico

Calcular las derivadas parciale,s de primer orden para

= .J(x2 + y 2 +1 2xy cos z) X (b) w = arc sen + 2 z y (c) w = x2 + y log (1 + x2 + y2 + z2 ) (d) w = arc tan .J (x + yz)

(a) w

3.

4.

Calcular las derivadas de

(a)

z =x<xX),

f(x, y) satisface la ecuaci6n de Laplace o2f a2f ax2 + oy 2 = o , x y tambien la satisface ""(x y) - f -x 2 +y 2 , x2 + y 2 •

Probar que si

"�'

(

'

5 . Probar que las funciones

(a)

(b)

(c)

f(x, y) = log .Jx2 + y2 , g(x, y, z) = .Jx2 + 1y2 + z2 , h(x, y, z,

w)

)

= X2 + y 2 +1 2 + 2 ' Z

W

satisfacen las respectivas ecuaciones de Laplace, (a) {xx {yy = 0,

+

(b) gxx + gyy + gzz = 0, (c) hxx + hyy + hzz + hww = 0.

Problemas 1.6a 1.

f(x, y) satisface la ecuaci6n de Laplace a2f a2f ax2 + ay 2 = 0, y si u(x, y) y u(x, y) satisfacen l as ecuaciones de Cauchy-Riemann,

Probar que si

au au au au ax = aY. ' ay = - ax'

entonces la funci6n
Funciones de varias variables

y

sus derivadas

87

{xx{yy - {xy2 = 0

f(x, y, z) = g (r), donde r = Jx2 + y2 + z2. (a) Calcular fxx + {yy + fzz . + b, don­ (b) Pro b ar que si fxx + {yy + {zz = 0, entonces f (x, y, z) = !! r de a y b son constantes. Sea f(xt, X2 , , Xn) = g(r), donde r = Jx1 2 + X22+ + Xn2 (a) Calcular fx1x1 + {x 2 x 2 + + fxnxn (comp arar con 1 . 4a, Ejercicio 10). + fxnxn = 0. (b) Resolver fx1x1 + fx2 x2 +

3 . Sea

4.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

b. Ejemplos 1 1 . Consideremos l a funci6n

u= Haciendo

exp (x2 sen2y

u = e!; +TJ +I;, � se obtiene

+ 2xy sen x sen y + y2).

= x2 sen Zy,

11 = 2xy sen X sen y, �

=

y2

�X = 2X sen 2y, 11 x = 2y sen X sen J 2Xy COS X sen y, �X = 0; �11 = 2x2 sen y cos y, 1111 = 2x sen X sen y 2xy sen X cos y, �11 = 2y ; u�; = U11 = u� = ei;+ TJ +�.

+

+

De aqui que Ux

= 2 exp (x2 sen 2y

+ 2xy sen x sen y + y2) (x sen2y + xy x sen y) cos

+

y sen x sen y

y

u11 = 2

exp (x2 sen2y

2. Para la funci6n

+ 2xy sen x sen y + y2) (x2 sen y o y + x sen x sen y + xy sen x cos y + y). c s

u

=

sen ( x2

+

y2)

1 Se observa que las derivaciones siguientes tambien pueden llevarse a cabo direc­ tamente, sen aplicar Ia regia de Ia cadena para funciones de varias variables.

88

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

se pone l; = x2 + y2 y se o btiene Ux = 2x cos (x2 + y2),

Uy

=

2y cos (x2 + y2 )

Uxx = - 4x2 sen (x2 + y2) + 2 cos (x2 + y 2), Uxy = - 4xy sen (x2 + y2) Uyy = - 4y2 sen (x2 �,

+ y2 ) + 2 cos (x2 + y2).

Para la funci6n u =

la sustituci6n l; = x2 , 11

arc tan (x2 + xy

=

xy,

�

=

+

y2),

y2 conduce a

2x + y Ux = ----,------, -"---- � 1 + (x2 + xy + y2) 2 ' uy

c.

=

X + 2y

1 + (x2 + xy + y2)2 .

-----��---

Cambio de las variables indePendientes

La aplicaci6n de la regia de la cadena ( 1 9) a un cambio de las variables independientes es particularmente importante . Por ejem­ plo , sea u = f(l;, 11) un� funci6n de las dos variables independientes l;, 11, las cuales se interpretan como coordenadas rectangulares en el plano l;,11 . Pueden introducirse nuevas coordenadas rectangulares x, y en ese plano (ver el Volumen I , p . relacionadas con l;, 11 por medio de las formulas

361)

(24a)

l; = U1X + �1y,

11 = U2 X + � 2Y

X = U1 l; + U2 11 ,

y

o bien, (24b)

=

� l l; + � 2 11

A qui, a 1 = cos y,

a2 = - sen y ,

�I = sen y,

� 2 = cos y,

donde y denota el angulo que el eje positivo l; forma con el eje po­ sitivo x. Entonces Ia funci6n u = f(l;, 11) se "transforma" en una nueva fu nci6n

Funciones de varias variables y sus derivadas

89

la cual se forma a partir de {(�, 11) mediante un proceso de com­ posicion como el que se describe en la p. 8 1 . Se dice que la variable dependiente u esta "referida a las nuevas variables independientes x y y, en Iugar de � y ll · " Las reglas de derivaci6n ( 1 9) de la p . 83 inmediatamente propor­ Cionan

(25) donde Ux, Uy denotan las derivadas parciales de la funci6n F(x, y), y Uf., un , las der�vadas parciales de l a funci6n {(�, 11). Asi , las deri­ vadas parciales de cualquier funci6n se transforman de acuerdo con Ia mism a regia (24b) que l as variables independientes , cuando se giran los ejes coordenados . Esto es cierto tam bien para la rotaci6n de los ejes en el espacio. 1 Otro cambia importante de las variables independientes es el de las coordenadas rectangulares (x, y) en l as coordenadas polares (r, e). Las coordenadas polares estan relacionadas con las coordenadas rec­ tangulares por l as ecuaciones

X= r

(26 a) (26b)

r

=

.Ji2 -+

y2 ,

Refiriendo una funci6n u u =

f(x, y)

COS

e,

e

arc cos

=

=

=

y = r sen e X

1 " x2 + y 2

=

y

arc sen .y' 2 + x

y2 ·

f(x, y) a coordenadas polares , se tiene

f(r cos e, r sen e) = F(r, e),

y u aparece como una funci6n compuesta de las variables indepen­ dientes r y e. De a qui que , por la regia de la cadena ( 1 9) , se obtiene

sen e y COS e - Ue r r r (27) x y cos e Uy = Urry + ueey = Ur - + Ue 2 = Ur sen e. + Ue r r r Ux = Urrx + Ueex = Ur - - Ue 2 = Ur

X

--

.

�--

,

-�-

Esto proporciona la ecuaci6n 1 Peru , en general , no para otros tipos de transformaci6n de coordenadas.

.

90

y

Introduccion al calculo

analisis matematico

1 ua 2• r Por las reglas (23a, b , c ) , las derivadas superiores estan dadas por Ux 2

( 28)

+

= Uyy

Urr COS

Ur2

=

+ 2

2e cos e sen e 9 + Uaa sen - 2Ur a ----r r

Uxx = Urr COS 2 Uxy = Uxy

Uy 2

2-

cos e sen e

sen2 e

+ 2ua ---+ Ur -r r2

e sen e cos 2 e - sen2 e 9 Sln. 9 - Uaa cos ----- + Ur a -----2 r r sen e cos e sen 2 e - cos 2 e - Ur r r2

+ Ua

=

cos 2 e 9 + Uaa -r2

. Urr Sln 2

+

Ur

+

2Ura

cos e sen e r �--�

cos 2 e cos e sen e - 2 ua r r2

___ __

Esto conduce a Ia expresi6n en coordenadas polares del llamado laplaciano !:J.u, el cual aparece en la ecuaci6n "de Laplace" o "del potencial" !:J.u 0 (ver la p . 60) .

(29)

=

I!J.u = Uxx

+

Uyy

=

+

Urr

1 1 Uaa 2 + Ur r r

Inversamente , se puede aplicar la regia de Ia c ad en a para expresar Ur y ua en terminos de Ux y Uy. De esta manera se encuentra (30a) (30b)

Ur = UxXr

U a = UxX a

+

UyYr

+ UyY a

= COS 9 + = --:- sen 9 Ux

Uxr

Uy sen +

9,

Uyr COS

9.

Tambien pueden deducirse estas ecuaciones resolviendo las relaciones (27 ) para Ur y ua. Incidentalmente , ya se ha encontrado la ecuaci6n (30a) como la expresi6n para la derivada de u en la direcci6n del radiovector r en la p. 7 2 . En general , siempre que se dan las relaciones que definen una fun­ cion compuesta,

�

u =

= rf>(x, y),

{(�,

TJ,

TJ

•

•

•

),

= 'V ( X, y),

·

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

91

pueden considerarse estas como si refirieran u a las nuevas variables independientes x, y en I ugar de �' 11, . . . . Conjuntos correspon­ dientes de valores x, y y �' 11, . . . de las variables independientes asignan el mismo valor a u, ya sea que se considere como una funci6n {(�, 11 . . . ) de �' 11, . . . , o bien, como una funci6n F(x, y) = f(�(x, y), '!'(X, y), . . . ) de X, y. En las derivaciones de una funci6n compuesta u {(�, 11, . . . ), ,se debe distinguir claramente entre la variable dependiente u y la funci6n {(�, 11, . . . ), la cual asigna valores de u a valores de las variables independientes �' 11, . . . . Los simbolos de derivaci6n u�;, no tienen significado hasta que se especifica la relaci6n fun­ u ..'h cional entre u y las variables independientes. Por lo tanto , cuando se trata con funciones compuestas u {(�, 11 , . . . ) = F(x; y), en realidad no se debe escribir u�;, u11 , o b ien , Ux , Uy sino {�;(�, 11), {11(�, 11) o bien, Fx(x, y), Fy (x, y), respectivamente . Empero, pot brevedad, a menudo se usan los simbolos mas sencillos u�;, u11, Ux , Uy , cuando no existe riesgo de confusion . Entonces 1� regia de la cadena se escribe en la forma

=

•

•

•

=

(31)

lo cual hace innecesario dar los "nombres" f o F para la relaci6n funcional entre u y �' 11 o x, y. El ejemplo que sigue ilustra el hecho de que la derivada de una cantidad u con respecto a una vari able dada depende de la natu­ raleza de la relaci6n funcional entre u y todas las variables indepen­ dientes ; en particular , depende de cua1 de las variables independien­ tes se mantenga fij a durante la derivaci6n . Con la "transformaci6n y , La funci6n u 2� + 11 se trinsforma en identidad" � = x, 11 u = 2x + y, y se tiene Ux = 2, Uy = 1. Si, no obstante, se introducen las nuevas vari ables independientes· � = x (como antes) y � + 11 = v, se encuentra que u = x + v, de modo que Ux = 1 , Uv = 1. Por tan­ to , la derivaci6n con respecto a la misma variable independiente x da resultados diferentes para diferentes elecciones de la otra variable .

=

· ·=

Ejercicios 1 . 6c 1 . Sea u 2.

=

= f(x, y), donde X r cos e, y = r sen e. ExpresarJux2 + Uy2 en terminos de ur y ua. Probar que Ia expresi6n fxx + {yy es invariante bajo Ia rotaci6n del sis­ tema coordenado .

Introduccion al calculo

92

y

al analisis matematico

3. Demostrar que bajo los cambios lineales de variables x = <X� + �'Yl. y = y� + S1J , las derivadas fxx(x, y), {xy(x, y), {yy(X, y) se transforman de Ia e, respectivamente, del polinomio. misma manera que los coeficientes a,

b,

ax2 + 2 bxy + ey2

z = r2 cos e, donde r y 9 son coordenadas polares, hallar zx y Zy en el punto Q = rr:/4, r = 2. Expresar Zr y za en terminos de Zz y Zy. Por medio de la transformaci6n � = a + <XX + �y, 1l = b - �x + <XJ, en Ia que a, <X, � son constantes y <X2 + � 2 = 1, l a funci6n u(x, y) se trans­ forma en una funci6n U(�. 'Yl) de � y 1). Probar que

4. Dado

3.

b,

u�� u1111 - u�11

2 = Uxx Uyy - Uxy2

, 6 . Mostrar como se transforma Ia expresi6n Ty ducci6n de una variable z = x/.Jy en Iugar de y. 7 . (a) Probar que la funci6n

- Txx

bajo Ia intro­

h(x, y) = f (x - y) + g(x + y) para cu alesquiera funciones {, g, dos veces continuamente diferenciables, satisface Ia condici6n h xx = hyy. (b)

con

De

modo semejante , demostrar que

H(x, y) = f(x - iy) + g(x + iy), i2 = -1, satisface la condici6n Hxx = Hyy. -

Problemas 1 . 6c

Uyy + Uzz

+ 1 . Transformar el laplaciano tri dimcnsionales r, e, ¢> definidas por

Uxx

a las coordenadas polares

x = r sen e cos ¢> z = r cos e.

y = r sen e sen ¢>

2.

Comparar con 1 . 6a, Problema 3 . Hall ar los valores a , e, d tales que bajo la transformaci6n � = 1l = ex + dy, donde ad - be =I= 0, la ecuaci6n Afxx + 2B{xy + que de

b,

(a) ��� + !1111 = 0 (b) {�11

= 0 (A, B, C,

constantes)

�En csto siempre posible? .

ax + by,

C{yy = 0

Funciones de varias variables y sus derivadas 1 .7

El teorema del valor medio y el teorema de Taylor para funciones de varias variables

93

a. Observaciones preliminares acerca de la aproximaci6n mediante polinomios

Ya se ha visto en el Volumen I (Capitulo V , p. 45 1 ) como puede aproximarse una funcion de una sola variable en la vecindad de un punto dado con una exactitud mayor que el n-esimo orden , por medio de un polinomio de grado n, el polinomio de Taylor, siempre que la funcion posea derivadas hasta el (n + 1) - esimo orden . La aproximacion por medio de la parte lineal de la funcion, como la da la diferencial , solo es el primer paso hacia esta aproximacion mas exacta . En el caso de funciones de varias variables , por ejemplo, de dos variables independientes, tambien puede buscarse una represen­ tacion aproximada en la vecindad de un punto dado, por medio de un polinomio de grado n. En otras palabras , se desea aproximar . f(x + h, y + k) por medio de un "desarrollo de Taylor" en terminos de los incrementos h y k . Mediante u n artificio sencillo , este problema puede reducirse a un problema para funciones de una sola v ariable . En Iugar de , consi­ derar precisamente f(x + h, y + k), .se introduce una variable adicional t y se considera la expresion _

F(t)

(31)

=

f(x + ht, y + kt)

como una funcion de t, manteniendo fijas x, y, h, y k por el momen­ to . Conforme varia t entre 0 y 1 , el punto con coordenadas (x + ht, y + kt) recorre el segmento rectilineo que une (x, y) y (x + h, y + k). El desarrollo de Taylor de F(t) de acuerdo con potencias de t proporcionara, para t 1 , una aproximacion para f(x + h, y + k) del tipo deseado. Empecemos por c alcular las derivadas de F(t). Si se supone que todas las derivadas de la funci6n f(x, y) que se van a escribir son continuas en una region que contz"ene por completo al segmento rec­ tz"lineo, la regia de la cadena ( 1 8 ) inmediatamente da 1

=

1 Por la regia de la cadena, se tien�

F'(t)

=

d dt f(x + ht, y + kt)

= h{F.(�.

TJ) + kfn(�. TJ)

94

Introduccion al calculo

y

F'(t)

(32a) F"(t)

{ 32b)

al analisis matematico

= hfx + k{y ,

= h2{xx

+ 2hk{xy + k2{yy ,

y, en general , por inducci6n matematica se encuentra que la n-esima derivada esta dada por Ia expresi6n

(32c)

F< n>(t)

= hnfxn

+

(�) hn-l kfxn- ly (�) hn-2 k2fxn- 2y2 +

+

• • •

+ kn{yn,

Ia cual , como en Ia p . 78 puede escribirse simb6licamente en l a for­ ma F(t) =

(h�ax

+ k

)

a n ay_ f.

En esta formula , la potencia simb6lica de l a derecha debe desarrollarse por el teorema del binomio y, a continuaci6n, las potenci as de a;ax, a;ay multiplicadas por f deben remplazarse por las n-esimas deri­ vadas correspondientes an{/axn, an{/axn-1ay, . . . . En todas estas derivadas deben escribirse los argumentos x + ht y y + k t , en Iugar de x y y;

Ejercicios I . 7a 1 . Para F(t) = f(x + ht, y

(a) f(x, y) (b) f(x, y) (cl f(x, y) 2.

=

hallar F'(1) para:

sen (x + y)

=

=

+ kt) ,

� X

x2 + 2xy2 - y4

Encontrar Ia pendiente de Ia curva z(t) 1, para x = 0, y = 1, h = t• k = t • Y

= F(t) = f(x + h t

,

y

+ kt) en t =

donde � = x + ht, 11 y + kt. Aqui se escribefx(x + ht, y + kt) en Iugar de {f.(x + ht, y + kt) ya que (nuevamente por la regia de la cadena). =

a (X + ht, Y + kt) = {f.(X + ht, y + kt) ax {

si se consideran x, y, h, k, como variables indepenrlientes.

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

95

f(x, y) = x2 + y2 (b) f(x, y) = exp [x2 + (y - 1) 2] (c) f(x, y) = cos (y - 1) sen rrx2 (a)

n-

b. El teorerna del valor media

Antes de estudiar l as aproximaciones de orden superior por medio de polinomios, deduciremos un teorema del valor· medio analogo al ya conocido para las funciones de una vari able. Este teorema rela­ ciona la diferencia f(x + h, y + k) - {(x, y) con las derivadas par­ ciales fx y {y . Expresamente se supone que estas derivadas son con­ tinuas . Aplicando el teorema del valor medio ordinario a la funci6n F(t) , se obtiene F(t)

� F(O) = F'(8t),

donde 8 es un numero entre 0 y 1 ; usando (3 1 ) x (32a) se deduce que f(x + ht, Y

�

kt) - f(x, y) = h{x(x + 8ht, y + 8kt) + kfy(X + 8ht, y + 8kt) .

Haciendo t = 1 , se obtiene el teorema del valor medio para funciones de dos varia bles en la forma (33)

f(x + h, y + k) - f(x, y) = h{x(X + 8h, y + 8k) + k{y(X + 8h, y + 8k)

= h{x(� , TJ) + k{y(�, TJ) . Por tanto, la diferencia entre los valores de la funci6n en los puntos (x + h, y + k) y (x, y) es igual a la dzferencial en un punto inter­ medio (c;, q) sobre el segmento rectilineo que une los dos puntos. Vale la pen a h acer notar que se tiene el mismo valor de 8 tanto en fx como en {y. Tal como para las funciones de una sola variable (Volumen I , p . 178 puede usarse e l teorema del valor medio para obtener un modulo de continuidad p ara una funci6n f(x, y) y ' mas precisa­ mente , para demostrar que una funci6n f como la anterior es con­ tinua segun Lipschitz . Con el fin de aplicar el teorema del valor medio , debemos poder unir dos puntos por medio de un segmento rectilineo , a lo largo del cual f este definida . Sup6ngase entonces que

96

Introduccion al dilculo

y

al analisis matematico

el dominio R de f(x , y) es convexo, es decir, que el segmento rec­ tilineo que une a dos puntas cualesquiera de R se encuentra com­ pletamente en R. Sea f continuamente diferenciable en R y sea M una cota para el valor absoluto de las derivadas de f: l fx(X, y) I < M,

l fy(X, y) I < M

para (x, y) en R. Entonces puede aplicarse la formula (33), que proporciona la desigualdad (34)

l f(x + h , Y + k) - f(x, Y) l � l h l l fx(�, TJ) I + l k l l fy(�, TJ) I

� I h i M + I k i M :::;; 2 M J h 2 + k2

De aqui que el valor numerico de la diferencia entre los valores de f en dos puntas cuya distancia es p = J h 2 + k2 no es mayor que un multiplo fijo de la distancia (a sa her , 2 Mp). Esto es exactamente lo que quiere darse a entender por continuidad de f seglin Lipschitz . En particular, se tiene

I f(x + h, y + k) - {(x, y) I < E

para Jh2 + Iii < ef2M. De donde f es uniformemente continua en R con el "modulo de continuidad" 8 = ef2M. El hecho siguiente , la demostraci6n del cual se deja al lector, es una consecuencia simple del teorema del valor media . Una funci6n f(x, y) , cuyas derivadas parciales fx y {y existen y tienen el valor 0 en todo pun to de un conjunto convexo , es constante . Ejercicios 1 . 7b 1 . Interpretar geometricamente el teorema del valor medio. 9 para el cual

2 . Hallar un valor de

hfx(X + Oh, y

+ Ok) + kfy(X + 6h, y + Ok)

= f(x + h, y + k) - f(x, y) en cada uno de los casos siguientes:

= xy + y2, x = y = 0, h = �. k = i (b) f(x, y) = sin 1t (x + y), x � y = i, h = -L k = i. Demostrar que existe un m1mero e, 0 < 6 < 1 tal que (a) f(x, y)

3.

2

-;-

7t0

[7t 0) J

= cos 2 + sen 2 (1

-

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

97

usando el teorema del valor medio para Ia funci6n f(x, y) = sen 1t'X + cos 1ty.

4.

Deducir el teorema del valor medio para una funci6n f(x, y, z) de tres variables. 5 . Hallar un numero e, 0 �· e � 1, para el cual don de

(a) f(x, y, z) = xyz

(b) f(x, y, z) = x2 + y2 + 2xz

Problemas 1 . 7b 1 . Sea el dominio de f(x , y) una region poligonalmente conexa; es decir, sup6ngase que dos puntos cualesquiera P, Q del dominio pueden conec­ tarse dentro del dominio mediante una sucesi6n de segmentos PoP1 , P1P2, . . . , Pn-l Pn , do�de Po = P y Pn = Q. Probar que si las derivadas parciales fx y {y tienen el valor 0 en todo punto del dominio, entonces f es constante. c.

Teorema de Taylor Para varias variables inde�ndientel

Si se aplica la formula de Taylor con la forma de Lagrange del residuo (ver Volumen I , p . 45 2) a'la funci6n F(t) = f(x + ht, y + kt), se usan las expresiones (32a , b , c) para las derivadas de F, y se pone t = 1, se obtiene el teorema de Taylor para funciones de dos va­ riables independientes,

(35)

f(x + h, y + k) = f(x, y) + { hfx( x, y) + k{y(X, y)} + +

•

i! •

{h2{xx(X, y) + 2hk{xy(X, y) + k2{yy(X, y)} •

+

�! {

h n{xn(x, y) +

(�)

h n -lkfxn- ty (x, y)

}

+ • • • + k n{yn(x, y) + Rn ,

donde Rn denota el termino residuo

(36)

Rn = (n

1 1) !

{h n +ifxn+ t (i .+ 9h, y + 9k) + + kn+ l {yn+ l(X + 9h, Y +

9k)} ,

Introduccion al calculo y al analisis matematico

98

f(x + h, y + k) - f(x, y)

donde 0 < e < 1. Por tanto , el incremento se escribe como una suma de polinomios homogeneos de grado 1, 2, , n 1, los cuales , aparte de los factores .

.

+

.

1 1 2 ' ! 1 !

1 • • • ' ' n! '

(n

1

+ 1} ! '

son la primera , segunda, . . . , n-esima diferenciales

df = h{x + k!Jy = (h aj_x + k a_§___y) f d2{ = (h :X + k :Y) 2{ = h2{xx + 2hk{xy + k2fyy, dn{ = (h :X + k :) nf = hnfxn + (�)hn-l kfxn-ly + • • • + kn{yn

en el punto y) y la (n t 1} -esima diferencial de en un punto interrnedio sobre el segmento rectilineo que une y + + k). De aqui que el teorema de Taylor puede escribirse de modo mas compacto como

(x,

f(x, y) (x h, y

f(x + h,

(37)

donde

y

+

d1J-+ 1 f (x, y)

k) = f(x, y) df(x, y) + 21! d2{(x, y) . + 1n1. dn{(x, y) + R n , '+

Rn = (n � 1) ! dn+l{(x + 9h, y + 9k),

(38)

Rn J (h2 k2) n} .

0<

+

9
En general , el residuo se anula en un orden mayor que el termino precisamente antes que el ; esto es, cuando h � 0 y k � 0, se tiene = o{ + A partir del teorema de Taylor para funciones de una variable, el paso (n�oo) a la serie z"nfz"nz"ta de Taylor nos conduce a los desarrollos de muchas funcio.nes en series de potencias . Con l as funciones de varias variables , tal proceso , incluso cuando es posible , en general es demasiado complicado . Para nosotros, la importancia del teorema de Taylor descansa mas bien en el �techo de que el incremento de una funci6n se descompone en incrementos . . de 6rdenes diferentes .

dnt '

Rn

y + k) - f(x, y) d2{, .

,

f(x + h, df,

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

99

Ejercicios 1 . 7c 1 . Hallar el polinomio de .segundo grado que proporciona Ia mejor apro­ ximaci6n de sen x sen y en Ia vecindad del origen. 2 . Para f(x, y) = x3 + 4y2x , dar una aproximaci6n del valor de {(2.1, 2.9). 3 . Para f(x, y) = xfy + yf x, estimar el error al aproximar el valor de {(.9, .9) por {(1, 1). 4. Desarrollar Ia funci6n f(x + h , y + k) en potencias de h , k, para (a) f(x, y)

=

x 3 - 2x2y + y2

(b) {(x, y) = cos (x + 2y) en x

=

(c) f(x, y) = x4y + 2y2x - v'3xi.

7t

0, y = 2

5 . Desarrollar f(x, y, z) = xyz2 en potencias de x, y - 1, z + 1 . 6 . Obtener los primeros terminos d e los desarrollos d e Taylor d e las fun­ ciones siguientes en un(J vecindad del origen (0 ,0) :

(a) z

=

y arc tan ( + x2 1)

(f) z = log (1 - x) log (1 - y)

(g) z = ex 2 - y

( b) z = cosh x sen h y

(c) z = cos x cosh (x + y)

(h) z = cos (x + y) e -x 2

(d) z = ex cos y

7.

2

(i)

sen x .(e) z = -cos y

Estimar el error al remplazar cos xfcos

1 1 - 2. . (x2 - y2)

y

(j)

z = cos (x cos y) z = sen (x2 + Y2)

por

para

Problemas I . 7 c 1 . Hallar Ia serie de Taylor para las funciones que siguen e indicar su region de validcz (a)

1 1 - x -y

(b) eZ+ Y ,

2. Demostrar q�e Ia ley de los cosenos en trigonometria esferica,

cos z = cos x cos y + sen x sen y cos e,

se reduce a Ia ley euclidiana de los cosenos, z2 = x2 + y2 - 2xy cos e

en Ia vccindad del origen.

Introduccion al calculo

100

y

al analisis matematico

3. Si f(x, y) es una funcion continua con primeras

continuas, entonces fXX(0, 4.

0)

- 1�lffi _

h-+ +0

y

segundas derivadas

f(2h, e-1 12h) - 2{(h, e--,11h) + h2

{(0, 0).

exp ( - y2

+

2xy) puede desarrollarse en

que converge para todos los valores de x y llamados polinomios de Hermite, satisfacen (a) Hn (x) es un polinomio de grado n.

y

y que los polinomios Hn(x),

Probar que Ia funcion f(x, y) una serie de Ia forma

(b) Hn'(x)

= .2nHn-l(X)

(c) Hn+l - 2xHn + 2nHn-l

(d) Hn" - 2xHn' + 2nHn

=

=

0.

=

0

Integrales de una funcion que dependen de un parametro

1 .8

El concepto de integral multiple de una funcion de varias va­ riables se tratara en los Capitulos IV y V . Por el momento solo se es­ tudiaran las integrales sencillas que surgen en relacion con tales fun­ Clones. a.

Ejemplos y de/iniciones

Si f(x, y) es una funcion continua de x y y en la region rectan­ gular a � x � �. a � y � b, puede considerarse fija a la cantidad x e integrar la funcion f(x, y), considerada como una funcion de y unicamente , sobre el intervalo a � y � b. Asi se llega a la expresion ·

J: f(x, y) dy,

la cual aun depende de la eleccion de la cantidad x . De este modo, se esta considerando no solo una integral sino l a familia de integrales

J: f(x, y) dy

obtenida para valores diferentes de

x.

La cantidad

x,

se mantiene fija durante la integracion y a la cual se le puede asignar cualquier valor en su intervalo , recibe el nombre de patametro . Por lo tanto , la integral ordinaria aparece como una fund6n del pa­ rametro X .

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

101

Las integrales que son funciones de un parametro , ocurren fre­ cuentemente en el analisis y sus aplicaciones . Por ejemplo , como puede demostrarse facilmente por medio de la sustitucion xy = u se tiene ,

(1

J 0 .v 1

X dy "'--

x2y2

= �rc sen x

para - 1 < x < 1. Nuevamente, al integrar la funcion potencia general , puede considerarse el exponente como un parametro y es­ cribir en consecuencia

f l yx dy = X +1 1 ' o

donde se supone que x > - 1. Puede representarse la region de definicion de la funcion f(x, y) geometricamente y considerar la paralela al eje y correspondiente al valor fijo del parametro x, como en l a Fig. 1 . 1 5 . Se obtiene la fun­ cion de y que debe integrarse , considerando los valores de la funcion f(x, y) como una funcion de y a lo largo de la recta de ir.lterseccion AB de la paralela con el rectangulo . Tambien es posible hablar de integrar la funcion f(x, y) a lo largo del segmento A B . y B

: I

I I

I

A

0

L---�----�- x

a

b

Figura 1 . 15

Este punto de vista geometrico sugiere una generalizacion . Si el dominio de definicion R de la funcion /(�, y) tiene la forma que se .

102

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

0 Figura 1 . 16

muestra en la Fig. 1 . 1 6, tal que cualquier paralel a al eje y corta a la frontera cuando m as en dos puntos, entonces, para un valor fijo de x, nuevamente pueden integrarse los valores de la funcion f(x, y) a lo largo de la recta AB en la cual la paralela al eje y se intersecta con la region R . Los puntos inicial y final del intervalo de integra cion variaran a su vez con x. Entonces se tiene que considerar una integral del tipo

J

(39)

IV

2 (X) f(x, y) dy

IV I (X)

=

F(x),

es decir , una integral con la variable de integracion y , en la cual aparece el parametro x tanto en el integrando como en los limites de integraci on . Si se representa la funcion f(x, y) por medio de la super­ ficie z = f(x, y) en el espacio x, y, z , entonces, para una funcion positiva f , se puede considerar el cilindro con generatrices paralelas al eje z. que tiene como su base al dominio R de f en el plano x, y y limitado en su parte superior por la superficie z = {(x, y). Un valor fijo de x corresponde a un plano paralelo al plano y, z , el cual se in­ tersecta con el cilindro solido en una cierta region plana . El area de esa region esta dada por la integral de la formula (39) . Por ejemplo , la integral

representa el area de Ia interseccion del hemisferio

0 < z < .Jl con un plano x

=

constante .

-

x2

_

y2

Funciones de varias variables y sus derivadas

103

b. Continuidad y dijerenciabilidad de una integral con respecto al parametro

La integral

= Jab f(x, y) dy

F(x)

es una funci6n continua del parametro x, para a � x � �. si / (x, y) es continua en el rectangulo cerrado R dado por a � x � �, a � y � b. Porque

I

F(x + h)

- F( x)

I = I J: (f(x + h, y) - f(x, y)) dy l �

Jab \

I

t(x + h, y) - f(x, y) dy.

En virtud de la continuidad uniforme de f(x, y), para valores sufi­ cientemente pequefios de h, el integrando de la derecha , considerado como una funci6n de y, puede hacerse uniformemente tan pequeiio como se desee y se llega a la conclusion inmediatamente. A continuaci6n , investiguemos la posibilidad de derivar a F(x). Considerese primero el c aso en el que los limites de integraci6n son fijos y sup6ngase que la funci6n f(x , y) tiene una derivada parcial continua fx en el rectangulo cerrado R. l Se probara que, en Iugar de integrar primero con respc :: to a y y , a continuaci6n , derivar con res­ pecto a x, puede invertirse el orden de estos dos procesos: TwRFMA Si en el rectdngulo cerrado a � x � �, a � y � b, la funci6n f(x, y) es continua y tiene una derivada continua con respec­ to a x, puede derivarse la integral con respecto al pard metro bajo el signo integral, es decir,

(40)

f

d d F(x) = dx dx

b

a

f(x, y) dy

= fab fx(x, y) dy.

Es mas, F'(x) es una funci6n continua de x . Antes de probar este teorema , hagamos l a observaci6n de que proporciona una prueba sencilla del hecho (ya establecido en la p. *Esto significa que fx existe en el rect:mgulo abierto y puede extenderse hacia el rec­ tangulo cerrado como una funci6n continua (ver la p. 69) .

Introduu. .ton

I 04

at

calculo

y

al analisis matematico

63) de que en I a forma cion de Ia derivada mixta gxy de una fun cion g(x, y) , puede cambiarse el orden de la derivaci6n , siempre que gy y gxy sean continuas y gx exista . Porque , si se pone f(x, y) = gy(x, y), se tiene y a f(x, TJ ) dTJ . g(x, y) g(x, a)

+J

=

Como f(x, y) tiene una derivada continua con respecto a x en el rec­ t�mgulo a � x � �' a � y � b, se deduce que

y,

por lo tanto , por el teorema fundamental del calculo gyx(X, y)

=

=

=

{x(x, y) .

Ya que tambien fx(x, y) gxy(X, y), por la definicion de f, se ve que gxy. gyx DFMos'"PRACioN Si tanto x como x h pertenecen al intervalo a ·� x � �' puede escribirse F(x

+

+ h) - F(x) =Lb f(x

=Jab

+

h, y) dy -

Jab

f(x, y) dy

[f(x + h , y) - f(x, y)] dy .

Dado que se ha supuesto que f(x, y) es diferenciable con respecto a

x, el teorema del valor medio del c alculo diferencial en su forma

usual da f(x

+

h , y) - f(x, y)

=

hfx(X

+ Oh, y),

0 < 6 < 1. 1

Es mas , como se supone que la derivada fx es continua en el rectan­ gulo cerrado y, por lo tanto, uniformemente continua, el valor ab­ soluto de la diferencia fx(X

+ Oh, y) - {x(X, y)

*A qui la cantidad 9 depende de y e incluso puede variar discondnuamente con y . Esto no importa, porque por la ecuaci6n {x(X + 9h, y) = h-1 [f(x + h, y) - f(x, y) ] inmediatamente se ve que fx(x + 9h, y)es una funci6n continua de x y y y, por lo tanto, es integrable.

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

.105

es men or que cualquier cantidad positiva & para toda h con I h I donde () = o(&) es independiente de x y y . Por lo tanto ,

<

o,

I F(x h� F(x) - Jab y) dy I = !Lb 9h, y) dy - Lb y) dy I +

-

fx(X,

{x(X +

�

fx(X,

Lb & dy = &(b - a),

para I h I < o(&), siempre que h -:r= 0 . No obstante , esto significa que se cumple la relaci6n 1,

lffi

h•O

F(x

+ h)

h

- F(x) -- lb fx(X, y) dy -...:... F'(X) a

F'(x)

y la formula (40). La continuidad Esto prueba la existencia de y) (ver la p . l 0 3 ). de se deduce a partir de la del integrando En una forma semejante puede establecerse la continuidad de la integral y la regla para derivar la integral con respecto a un para­ metro , cuando se tiene el parametro en los limites de integrad6n. Por ejemplo, si se desea derivar

F'

fx(x,

F(x) lIViVt2(X(X) ) f(x, y) dy, =

5e parte de la expresi6n

F(x) = J: f(x, y) dy rp(u, v, x), donde u = 'I'I(x), v = \jl2(x). Aqui se supone que 'I'I(x) \jl2(x) tienen primeras deri vadas contin uas en un intervalo a � x � J3 que a < 'l'l(X) < 'I' 2(X) < b para a < x < (3. Sean , ademas, f(x, y) y fx(x, y) continuas en el con =

y

y

junto

a � y � b.

Entonces, la funcion � de las tres variables independientes u, v, queda definida para a � u � b,

a �

v

� b.

x

106

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Ademas , tiene derivadas parciales continuas , ya que por la formula (40)

r/>x(U, V, X) = aax Jruv {(X, y) dy = Jruv {x(X, y) dy

y por el teorema fundamental del calculo (Volumen I , p . 1 8 5 )

v, x) = aav Jruv f(x, y) dy = {(x, v) a lu a lv r/>u(u, v, x) =a u u f(x, y) dy = -� a u v {(x, y) dy = - f(x, u).

r/> v(u ,

Puede aplicarse la regla de la cadena de la derivaci6n ( 1 8) , Ia funci6n compuesta

p.

83, a

F(x) = 1> ['JII(X), w�(x), x] y encontrar

F'(x) r/>u'V l'(x) + r/>v'V�'(x) + rf>x. =

Esto prueba la existencia de una derivada continua de < < � y proporciona la formula

x

(41)

para a

2 dx Jw t<x> �(X' y) dy = lw 2<x>fx(x, y) dy - '1' 1'(x) f(x, 'I'I(x)) + 'V2'(x) f(x, \jl2(x)). _!!,__ f W

'I' J (X)

(X)

F(x) la funci6n F(x) = fox sen (xy) dy

Tomando , por ejemplo , para

se obtiene

fx dF(x) dX Jo y =

cos

(xy) dy + sen (x2).

Para el ejemplo

con

F(x)

F(x) = Jrlo ,.; 1x dyx2y2

- 1 < x < + 1,

_:_

= arc

sen

se obtiene la relaci6n

x,

Funciones de varias variables y sus derivadas

F'(x) = lol v'(l -dyx2y2)3 =

1 v'1

- x2

107

Otros ejemplos estan dados por la sucesi6n de integrales

n Fn(x) = iox (x n ,.y) f(y) dy,

Fo(x) = Lx f(y) dy,

_

(42)

f(y)

es una funci6n continua donde n es cualquier entero positivo y de unicamente, en el intervalo b ajo consideraci6n . Como la ex­ presion que surge de la derivaci6n con respecto al limite superior x se anula , la regia (4 1 ) proporciona la formula de recurrencia

y

para n

= 1, 2, 3, .

(42a)

Fn'(x) = Fn-l(X) . Como Fo'(x) = f(x) , esto inmediatamente da Fn(x) = f(x).

Fn(x)

Por lo tanto , es aquella funci6n cuya (n + 1) -esima derivada es igual a y que , junto con sus n primeras derivadas , se anula para por integraci6n desde 0 hast a 0 ; se obtiene a p artir de es la funci6n obtenida a p artir de inte­ x. De aqui que grando n + 1 veces entre los limites 0 y x :

x=

f(x)

(42b)

Fn(x)

Fn- l (x) ,

f(x) ,

Fo(x) = fox f(y) dy, F1(x) = Lx Fo(y) dy, F2(x)= Lx F1(y) dy, . . . , Fn(x) = Lx Fn- 1 (y) dy.

En consecuencia , se remplaza esta integraci6n repetida por una sola integraci6n de la funci6n

(x - ,Y)n f(y) con respecto a y . n.

Con frecuencia, l as reglas para derivar una integral con respecto a un parametro siguen siendo validas, incluso cuando la derivaci6n bajo el signa integral conduce a una funci6n que no es continua en todos los puntas . En tales casas , en Iugar de aplicar criterios gene­ rales resulta m as conveniente verificar de modo directo si es per­ mis; ble esa derivaci6n en cada caso especial . Como- un ejemplo , considerese la integral eliptica (ver el Volumen I, p . 299).

I 08

Introduccion al calculo

La funci6n

y

al analisis matematico

1 ( + F(k) )_1 v'(1 - x2dx)(1 - k2x2) ' k2 1. f(k, x) J(1 - x2)(1 - k2x2) x 1 F'(k) i_+1l J(1 - kx2x2)(1dx- k2x2)3 =

<

1

=

es discontinua en = + y en x = - 1, pero la integral (como una integral impropia) tiene significado. La derivaci6n formal con res­ pecto al parametro k da =

·

Para investigar si esta ecuaci6n es correcta, se repite el argumento por el cual se obtuvo la formula de derivaci6n . Esto da

F(k h) -F(k) J_(+l1 {k(k 9h, x) dx (k ) [19h)-x(2kdx 9h)2x2] J H -x2 +

h

+

=

=

-I

J(l

+

+

a·

La diferencia entre esta expresi6n y la integral obtenida por la de­ ri vaci6n formal es

ko �kk � k9h1

Se debe demostrar que esta integral tiende a 0 con h. Con este fin se que no contenga los marca alrededor de k un intervalo valores ± y se elige h tan pequefio que + se encuentre en este intervalo . La. funci6n

1,

k -1 � x � ko � k � k eh I J[ 1 - (k 9h)2x2]3 - v'( 1 - k2x2)3 1

1, es continua en la region cerrada kt y , por lo tanto , es uniformemente continua . Consecuentemente , la diferencia + +

�

permanece por debajo de una cota �. que es independiente de Ia cual tiende a 0 con h. De aqui que

x y

k

y

Funciones de varias variables y sus derivadas

I A I < J +l _1

1 09

x2 dx E = ME, x2

.J l

_

don de M es una constante independiente de E. Es decir, Ia integral A tiende a 0 conforme h lo hace , lo cual se queria demostrar. Por consiguiente , es permisible Ia derivaci6n bajo el signo integral en este caso . En otros casos se aplican consideraciones similares . Las integrales impropias con un intervalo infinito de integraci6n y que dependen de un parametro se discutiran en Ia p. 5 2 1 . Ejercicios l . Sb

1.

Sea

donde �(x, k)

y

F(k) =

Lb Cl(X) �(x, k) dx,

�k(X, k) son continuas para a

Cl(X) es continu a para a < x < b, y impropia. Probar que

F'(k) = 2.

Sea

F(k) =

Probar que

:::;;

x

:::;;

b, ko < k < k1,

y

Lv I Cl(X) I dx existe como una integral

Lb Cl(X) �k(X, k) dx

para

Jo1 (x - l)x k l og- 1x dx

ko < k < kt. para

(a) lim k F(k) = 1

- 1 < k.

k -+ oo

(b) F(k) = log

2+k i+ k.

c. Intercambio de integraciones. Regularizaci6n de funciones

El teorema de la p . 1 03 acerca de la derivaci6n bajo el signo in­ tegral tiene la importante consecuencia de que pueden intercam­ biarse los 6rdenes de la i ntegraci6n . Sea f(x, y) continua en el rectangulo R dado por (42c)

a � x � b,

Entonces las z'ntegrales

a � y � f3 .

1 10

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

y

tienen el mismo valor. A este valor se le da el nombre de integral do ble de f so bre el rectangulo (42c). Como un ejemplo , considerese Ia funci6n f x, y) y sen (xy) en el 1t , , · o. < x < 1 , ·o < y < 2 . A qui rectangu 1 o

(

=

=

=

=

=

= fo1 d� irc/2 11 sen(� 11) d� = i1 ( - 7t cos2�7t �/2) + sen �� �/2)) d� = �2 - 1 J = irc1 2 dT} i 1 11 sen (�11) d� = f rc12 (1 - cos 11) d11 = � - 1 . 0 Para la demostraci6n general de la identidad I = J, se introducen

I

las integrales definidas

v(x, y) = fay f(x, 11) dT} ,

u(x, y)

= fax v(�, y) d�.

Aplicando la formula (40), se encuentra

y , por tanto ,

=

=

Para x == b, y � se deduce que I J. Aqui se ha asociado una funci6n u(x, y), que tiene primeras deri vadas contin uas

Uy(X, y) = fax {(� , y) d�

y una segunda derivada mixta continua

Uxy(X, y) = f(x, y) ,

con una funci6n continua f(x, y) en el rectangulo R . Se usara la fun­ cion asociada con el fin de "suavizar" a 7, es decir , para construir aproxtmac10nes uniformes a f que tengan derivadas p arciales con­ tinuas .

Funciones de varias variables y sus derivadas

Ill

A menudo , para aplicaciones tecnicas , es esencial remplazar una funci6n continua f (tal vez ella misma sea solo una aproximacion a una cantidad fisica conocida de modo imperfecto) por una funcion suave proxim a . Por el teorema de aproximacion de Weierstrass (Volumen I , p . 5 69 ) se sabe que las funciones de una variable in­ dependiente, continuas en un intervalo , pueden ser aproximadas uniformemente por media de polinomios , los cuales incluso tienen derivadas de todos los ordenes. Se cumple el teorema analogo para funciones l(x, y) continuas en un rectangulo. Pueden construirse aproximaciones mas sencillas con un grado mas moderado de suavidad , por el proceso de "promediar" la funcion l(x, y). Aqui resulta conveniente haber extendido la definicion de f de su dominio rectangular (42c) a todo el plano x, y de modo que f sea continua en todo punto 1 • Para cualquier h > 0 , se forma el promedio de f sobre el cuadrado con centro en (x, y) y lados de lon­ gitud 2h paralelos a los ejes: ,

Fh(X, y) =

(42e)

1

r x+h

4h2 J x-h

r y+ h

d� J - f(�, 11 ) d11 y h

u(x + h, y + h) - u(x + h, y - h) - u(x - h, y + h) + u(x - h, y - !!). 4h 2

Es evidente que Fh(x, y) tiene primeras derivadas continuas y una segunda derivada mixta continua 2 • P ara ver que Fh(x, y) se a pro­ xima a f(x y) para h pequefia , se observa que ,

(42f)

1 r x+h ( Y+h Fh(x, y) - f(x, y) = 4 2 J x- d� J h h y h

[{(�, 11)

-

f(x, y)] d11 .

Como I es uniforrnemente continua en algun rectangulo R' que con­ tiene a R en su interior, se sabe que I , para E dado y h suficiente­ mente pequefi a , variara en menos que E en todo cuadrado de lado 2h contenido en R' . Entonces If(�, 11 ) - l(x, y) I < E en (42f), y I Fh(x, y) - {(x, y) l < E. De aqui que lim h+O

Fh(X, y) = {(x, y) uniformemente p ara (x, y) en R.

!. Esto puede lograrse continuando a f como constante a l o largo d e rayos perpen­ diculares a uno de los cuatro lados del rectfmgulo y continuando a f hacia los puntos restantes del plano como constante a lo largo de rayos que parten de uno de los cuatro vertices. 2 Para tener a Fh(X, y) definida para todos los puntos del rectfmgulo R, tiene que haberse definido f un tanto mas all a de R .

1 12

Introduccion a1 calculo

y

al analisis matematico

Puede asi hallarse una. funcion suave Fh(x, y) arbitrariamente proxima a f(x, y). Diferenciales e integrales de linea

I .9 a.

Formas dijerenciales

En la Seccion 1 : 5d se definio la diferencial total du de una fun­ cion u = f(x, y, z) como la expresion (43)

du

=

a{(x,, y, z) dx ax '

+

a{( x, y , z) dy ay

+

a{(x, y, z) dz . az

Esta definicion para la diferencial de una funcion de varias variables es sugerida por la regla de la cadena de la derz"vacz"6n. Porque si x, 'y, z son funciones dadas de una variable t, (44)

y = 'l'(t),

X =
z = x(t),

entonces la derivada de la funcion compuesta de acuerdo con la regia de la cadena ( 1 9), es (45)

du - ar dx dt - ax dt

+

u = f [

ar dy + ar dz ay dt az dt .

Para funciones u de una sola variable real t, la diferencial se ha

�� dt. De donde , en este c aso por (45) , a dx ar dy ar dz) dt du = ( t

definido como du =

ax dt

=

+

ay dt

+

az dt

� dx dt + ar dy dt + ar dz dt, ax dt

ay dt

az dt

lo cual formalmente concuerda con (43), si se recuerda que x, y, z (como funciones de t) tienen las diferenciales

dx dx = dt dt,

dy dy = dt, dt

dz =

dz dt dt .

Asi , la diferencial du = df(x, y, z), como la da la ec . (43) , propor­ ciona inniediatamente la diferencial du

=

�� dt de u "a lo largo de

Funciones de varias variables y sus derivadas

1 13

cualquier curva" representada p arametricamente en la forma (44). La diferencial como se define mediante (43), es una funci6n de las · seis variables que es lineal y homogenea * en z, las variables con coeficientes que son funciones de (Por supuesto, no se requiere que las diferenciales tengan que se "pequefias" en senti do alguno ; tal restricci6n solo surge si se desea usar como una aproximaci6n p ara el incremento

du , x, y, dx, dy, dz dx, dy, dz,

du

dx, dy, dz

x, y, z.

flu = f(x + dx, y + dy, z + dz) - {(x, z), y,

como se explic6 en la p . 69). La forma dzferencial lineal mas general en el espacio representa por la expresi6n

x, y, Z· se

A(x, y, z) dx + B(x, y, z) dy + C(x, y, z) dz. Esta es una funci6n L de las seis variables x, y, z, dx, dy, dz que es una forma lineal en las variables " diferenciales" dx, dy, dz� con coeficientes que dependen de x, y, z. Las diferenciales totales du de

(46}

L=

las funciones son las formas diferenciales lineales especiales L que tienen coeficientes de la forma

A - a{(x,axy, z)'

B = 8f(x,ayy, z), para una funci6n apropiada f {(x, y, z) . (47)

c

=

a{(x,zy, z) ' a

Si una forma diferencial ;:::= L es la diferencial total de una funci6n , se dice que es una forma diferencial exacta o que es integra ble . No toda forma diferencial es integrable ; es necesario que los coeficientes C de L satisfagan ciertas "condiciones de integrabilidad" : Si los coeficiente.s C de la forma diferenci'al L son de la clase C1 (es decir, tienen primeras derivadas conUnuas; ver la p. 69 ) y si L es exacta, entonces se cumplen las ecuaciones

A, B,

A, B,

(48) Las ecuaciones (48) simplemente son consecuencias de las reglas para Ia intercambiabilidad de las segundas derivadas. Si C tienen primeras derivadas continuas y pueden escribirse en la forma

A, B,

*La funci6n lineal mas general de las tres variables 1;, 11. ' es AI; + B11 + C' + D con coeficientes A, B, C, D que no dependen de 1;, 11, ' ; se dice que Ia funci6n lineal es "homogenea" o que es una "forma lineal" cuando D = 0 (ver Ia p. 38).

1 14

y

Introduccion al calculo

al analisis matematico

(47 ) , entonces f tiene segundas derivadas continuas . De aqui que , por e l teorema de la p . 63 , no importa e l orden d e la derivaci6n. Asi , por ejemplo, aA E._ ar __§_ ar aB ay - ay ax - ax ay - ax ' _

_

_

y de modo semej ante para las otras ideni:idades dadas en (48). De aqui que, por ejemplo, l a forma diferencial lineal L = y dx + z dy +

x

dz

no es integrable , ya que aqui

aB _ ac az az ay - az _

_

ax 1 ay _

::/=.

0

.

Por otra parte , las condiciones de integra bilidad ( 48) son satisfecha por la forma diferencial L = yz dx + zx dy + xy dz,

la cual, de hecho , es la diferencial total du de la funci6n u = xyz. En la Secci6n 1 . 1 0 se discutira hasta que punto las condiciones (48) son tambien suficientes p ara expresar L como una diferencial total . Se obtienen condiciones semejantes para Ia integrabilidad cuando el numero de dimensiones es diferente de tres . Para dos variables in­ dependientes x, y Ia forma diferencial lineal general es L = A (x, y) dx + B(x, y) dy. Si L es la diferencial du de una funci6n u = f(x, y) , los coeficientes A, B satisfacen I a ecuaci6n aA ay

_

aB 0 ax - . _

Por otra p arte , en cuatro dimensiones se obtienen , correspondiendo a las ecuaciones (48), seis condiciones de integrabilidad, para lo cual se forman todas las segundas derivadas mixtas posibles de una funci6n f de cuatro variables . La raz6n por I a que tiene sentido considerar una forma diferen­ cial L, incluso cuando no es una diferencial exacta , es que , a lo largo de cualquier curva C dada parametricamente en Ia forma

X = q>(t),

y = 'l'(t),

z = x(t) ,

Funciones de varias variables y sus derivadas L se transforma en la diferencial =

L

(A

1 15

)

dx + B dy + C �z dt at dt dt

de una funci6n de una sola variable . Esta funci6n es simplemente la dada por la integral indefinida

IL

=

r(,

dy dx J A dt + B dt +

)

dz ed dt . t

b. Integrales de linea de for'I1UJs dijerenciales lineales

Con el prop6sito de discutir la integraci6n de las formas diferen­ ciales lineales sobre lineas, es importante tener una imagen clara de los conceptos y propiedades de los arcos orientados y las curvas ce­ ' rradas . Se recomienda al lector que lea nuevamente el Volumen I , pp . 3 33 - 340 , donde se h acen todas las observaciones pertinentes para el caso de las ·curvas Planas. Estas se aplican -con igual propiedad a las curvas en espacios de cualquier numero de dimensiones . * Sin per­ dida de generalidad, hablaremos acerca de las integrales sobre curvas en el espacio tridimensional x, y, z . e s u n conjunto de puntos P = (x, y, z) que Un arco simple pueden representarse parametricamente en la forma

r

(49)

X

=


y

=

'l'(t),

z

=

x(t) ;

a � t � b,

donde
r

*Espedficamente bidimensionales son solo las nociones de "lado positivo y negativo" de una curva y de "sentido del movimiento de las manecillas del reloj y contrario a este senti do" . *La continuidad de la aplicaci6n de t sobre P es obvia a partir de la continuidad supuesta de las funciones cp, \jl, x.. Es importante darse cuenta que la aplicaci6n in­ versa P --+ t tambien es continua. Esto significa que dada una sucesi6n de pu'ntos Pn sobre r '}Ue converge a un punto P, los valores del parametro correspondiente tn copvergen al valor del parametro para P. Para la demostraci6n, se observa que, por la pr9piedad de compacticidad de los intervalos cerrados y acotados (Volumen I , p . 95) una subsucesi6n de los tn converge a alg-Un valor t , con a � t � b. Por la con­ tinuidad de la aplicaci6n original, t se "aplica" sobre el limite P de los Pn . Debido al

1 16

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

mo arco simple r tiene muchas representaciones parametricas di­ ferentes . La mas general se obtiene a partir de la representaci6n par­ ticular (49 ), tomando cualquier funci6n mon6tona continua Jl ('r), que transforme el intervalo a� t � � sobre el intervalo a � t � b, y haciendo (50)

X = � (Jl (t)],

y = "' [Jl (t)] ,

z = x [Jl (t)] ;

a � t � �.

Existen dos maneras de ordenar los puntos de r, las cuales en cualquier representaci6n parametrica p articular (49) corresponden a ordenar de acuerdo a la t creciente, o bien, decreciente . La elecci6n de uno de estos dos ordenamientos convierte a r en un arco simple orientado r* . Se dice que r* esta orienta do positivamente con respec­ to al parametro t si la orientaci6n de r* corresponde a la t creciente, y negativamente si corresponde a la t decreciente . El a reo simple orientado con la 'orienta cion opuesta se denota por r* . La orien­ taci6n se fija por completo si se conoce el orden de dos puntos cuales­ quiera Po, Pt sobre r. Si r* esta orientado positivamente con respec­ to al parariletro t y si to y t1 son los valores del parametro p � ua Po, Pt, entonces to < tr significa que P1 sigue a Po o que Po precede a PI sobre r* Fig. 1 . 1 7 ) . -

B

Figura 1 . 17 Arco simple en el espacio, orientado ' negativamente con respecto a1 parametro 't, positivamente con respecto al parametro t = J.l('t), donde u(a) = b, J.l(�) = a.

caracter 1-1 supuesto de la aplicaci6n, t determinado de manera unica por P, de donde toda subsucesi6n convergente de los tn tiene como limite al valor del para­ metro t correspondiente a P: Sin embargo, esto prueba que la sucesi6n completa de los tn converge a t.

Funciones de varias variables y sus derivadas

r*

117

Los puntos extremos del arco simple orientado corresponden en la represen taci6n p arametrica (49 ) a los valores t a, b en algun orden . Se distinguen respectivamente como punto "inicial " y "final" de r * , siendo el punto extremo inicial el que precede al otro . Si tiene el punto inicial A y el punto final B, se escribe

=

r*

r*

=

Ai3

Entonces, el arco orien tado en sentido opuesto es

- r* = BA

r*

esta orien tado positivamente con respecto a t, el punto inicial Si tiene el valor del parametro a y el punto fin al . el valor del parametro b.

Un arco simple orientado ..AB puede divi dirse en subarcos simples orient ados por medio de los puntos Pt , . sobre siguiendose uno al otro de acuerdo con Ia orienta­ cion. Se pone Po B y se define para i 1, . . , n el arco Pi y como el conjunto de puntos sobre que consiste de todos los puntos que preceden a y que siguen a Pt 1 , ordenados de la misma m an era que sobre Simb6licamente se escribe

P n- 1 r t*

r* = r 1 *, , . . . , rn* r* , A, Pn = Pt r*.

. .,

=

=

r*

.

Pi-1,

(5 1)

r*

Si esta orien tado positivamente con respecto al parametro t en la representaci6n (49) , y si t., es el valor del parametro correspondiente a Pi , se tiene

a

B = Ps tl

rs* t2

p4 ta

t4

b

ts

- -- � t

Figura 1 . 1 8 Arco orientado r* = AB representado como suma de los arcos rH 1 * = Pt PH l de manera que r• = rt* + r2 • + ra • + r4* + rs • .

118

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

El arco r1* se obtiene cuando se restringe t al intervalo ti-l � t � t1 (Fig. 1 . 1 8) . Ahora podemos definir la integral f L d e l a forma diferencial lineal (52)

L=

A(x, y, z) dx + B(x, y, z) dy + C(x, y, z) dz

sobre un arco simple orientado r* . Se supone que los coeficientes A , B , C de L son continuos e n una vecindad d e r* . S e hace la suposici6n adicional de que el arco r* �o solo es continuo sino seccionalmente suave, es decir , que puede representarse parametricamente por las funciones (53)

X =
z = x(t) ;

a � t � b,

las cuales son seccionalmente sua ves . * Sean puntos cualesquiera de r* que se siguen uno al otro en el orden determinado por la orientaci6n de. r*' donde Po es el punto inicial y P_n el final de r*. Se forma la suma de Riemann

Po, Pt , . . . , Pn n -1 2:

v:O (Av LlXv + Bv Llyv + Cv Llzv). Aqui Av, Bv, C� son los valores de A, B , C en algun punto Qv que precede a Pv+ t y sigue a Pv sobre r*, y ilxv , ilyv, Llzv representan a x(Pv+t) - x(Pv), y(Pv+l) - y(Pv), (54)

Fn

=

Ahora se demostrara que cuando n � oo la sucesi6n de Fn converge a un limite F, siempre que la distancia mayor entre los puntos sucesivos tienda a El valor de F no depende de la elecci6n par­ ticular de los puntos o bien , de los puntos intermedios A F se le da el nombre de integral de I a forma L sobre el arco orientado r*, y se escribe

Pv, Pv+l

0.

Pv,

Qv.

*Esto significa que q>, \jf, X son continuas para a � t � b y tienen primeras derivadas continuas en ese intervalo, excepto posiblemente para un numero finito de discon­ tinuidades por salto de las derivadas. N6tese que solo se requiere la existencia de al­ guna representaci6n parametrica seccionalmente suave de r*, mientras que las otras rqHesentaciones no necesitan ser suaves.

Funciones de varias variables y sus derivadas

F=

(55)

f

r*

L

=

1 19

fr* A dx + B d_y + C dz .

Ya que la definicion de la integral no se refiere a l as representaciones parametricas , es evidente que la integral no depende de la eleccion de los parametros . La demostraci6n de la existencia del limite im­ plicara que la integral se represente por medio de la i ntegral ordi­ naria de Riemann

(56) Aqui el integrando es la fund6n de la unica variable t, obtenida al sustituir los argumentos por sus expresiones (53); de A, ademas , E = + 1 cuando esta orientado positivamente con respec­ to a t y E = 1 cuando esta orientado negativamente . Independien­ temente del caso , tambien puede escribirse (56) como -

,

x, y, z r*

B, C

(57) donde ti es el valor del p arametro para el punto i nicial y t1 el valor para el pun to final del arco orienta do es decir , ti = a, tt = b , 1, y cuando E = + tt = b, tt = a cuando E = - 1 .

r* ;

Para probar la convergencia de las sumas de Riemann Fn, se hace uso de la representaci6n parametric a seccionalmente suave (53) de Sea tv el valor del parametro correspondiente al ptinto Como Ia correspondencia entre los valores del p animetro y los puntos sobre la curva es continua en ambos sentidos para los arcos simples (ver la nota al pie de la p . 1 1 5 ) , se ve que a medida que la distancia mas grande entre puntos sucesivos tiende a 0 , el valor maximo de I tv l tiende a 0 cuando n � oo . L as funciones
r*.

Pv.

I tv+

A, B, C

1\xv, 1\yv, L\zv

1 20

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

=


con los val ores 'tv, 'tv', 'tv" intermedios entre tv y tv+l · El pun to Qv sobre r* tambien corresponde a un valor del parametro crv inter­ media entre tv y tv+l · De aqui que Ja suma de Riemann Fn dada en (54) toma Ia forma

Fn =

�� [A(crv)
V=O

C(crv) x'('tv")] [tv+t - tv].

Aqui los puntos to, tt, . . . , tn forman una subdivision del intervalo [a, b] . del parametro . Si r* esta orientado positivamente con respecto a t, los tv forman una sucesion creciente con to = a, tn = b, y Atv = tv+l - tv > 0. De lo contrario , los tv son decrecientes, to = b, tn = a, y Atv < 0. En nuestra notacion para el intervalo del parametro , a siempre representa el menor de los valores a, b y . por tanto , puede corresponder ya sea al punto inicial o al final del a reo r*. Si ahora se aplica el teorema fundamental de existencia para las integrales definidas como limites de sumas de Riemann (ver el Volumen I , pp . 1 9 2 y siguientes , se encuentra que .F = lim Fn existe n oo y esta dado por la formula (56). * El factor E = ± 1 surge de Ia hi­ potesis hecha en ese teorema de que los puntos de subdivision tv usados al formar la suma de Riemann constituyen una sucesion cre cz'ent e . Cuando Ia orientaci6n de r* corresponde a Ia t decrecien­ te, tienen que recorrerse los valores tv en el orden opuesto, empezan­ do con tn y terminando con to, y cambiar el signo de Atv. Es evidente que la definicion de integral de linea y Ia formula (5 6) :pueden extenderse al caso en donde . r* es una curva simple cerrada orientada. * En este caso , se forma la suma de Riemann. seleccionan­ do n puntos Pt, P2 , . . . , Pn sobre r* que se sigan mutuamente en e] orden determinado por I a orientacion y se pone Po = Pn en Ia expresion (54) para Fn. ..

*Los valores intermedios 'tv, 'tv', 'tv", crv no necesitan ser los mismos para la conver­ gencia (ver las observaciones en la p . l 95 , Volumen 1) . -* Tal curva tiene una representaci6n parametrica continua (53), con t diferentes correspondientes a puntos diferentes, excepto que t = a y t = b proporcionan el mis­ mo punto. Es mas, se especifica un orden ciclico sobre r•, correspondiente a t creciente, o bien, decreciente (vease el Volumen I, p. 339) . Siempre puede represen­ tarse r• como suma de arcos simples orientados n• en la forma (51 ) , donde para i = 2, . . ' n el punto final de r,•- 1 es el punto inicial de n• y donde el punto final de rn* es el punto inicial de rt*. -

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

121

E n e l Volumen I y a se han encontrado ejemplos de integrales Asi , se ha representado el area orien­ sobre curvas en el plano x, tada limitada por una curva orientada cerrada r* , en la forma

y.

lfb( X dy - dx) dt dt Y dt

A=2

(ver el Volumen I , p .

a

); es decir, como l a integral de linea

A=

�Jr* x dy - y dx.

Otro ejemplo es proporcionado por el trabajo W que realiza un cam­ po de fuerzas con componentes p, cr al producir un movimiento desde �

un pun to Po hast a un pun to P1 a lo largo de una curva r* = PoP1 , referido a l a longitud de arco s como parametro . Aqui , (ver el Volumen I, p . 420) W=

fsl ( dx + cr dy-ds ) ds, ds p -

s0

lo cual puede escribirse como W=

Jr* dx + cr dy. p

De la misma m anera , puede definirse el tra bajo realizado por fuerzas en el espacio con componentes p, cr, 't', al producir un movimiento a lo largo de un arco r* en la direcci6n dada por su orientaci6n, como una integral de linea W=

Jrf * dx + cr dy + dz. "C

p

Ejercicios I . 9b

1 . Hallar

J z dx + x dy + y dz

(a) sobre el arco de la helice

y = sen t, z = t 0, 0) y ( 1 , 0, 2 1t) ;

X = COS t, que une a los puntos ( 1 ,

(b) sobre el arco parab6lico

x = xo(l - t2), y = yo(l - t2}, z == t que une los puntos (0, 0, 1) y (0, 0, - 1) ( para constantes xo, yo).

1 22

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

c. Dependencia de las integrales de linea con respecto a los puntos extremos

Regresemos a la forma, diferencial general L dada por (52 ) . Sea r un arco simple (aun no orientado) con una representaci6n para­ metrica (53) seccionalmente suave . sabre r correspondientes a Para dos puntas cualesquiera del parametro t, puede formarse la integral los valores

Po, P1

to, ti

I ::::::

Jfeot l· ( A dtdx + B dtdy + C dtdz) dt.

Por la formula (57), I es igual a.f extendida sabre el subarea orien,..-...._ tado de r que tiene a como punta inicial y a como punta final . Se deduce que I no depende de la representaci6n pa­ rametrica particular . Se escribe

PoE:�

Po

L

P1

El valor de I es determinado por la pareja ordenada de puntas y el arco simple del cual ellos son puntas extremos . Para fijo puede definirse una funci6n a lo largo del arco r , por media de la integral indefinida

Po , P1

Po

f = f(P)

dy + C dz) dt. {(P) . = JPoL = Jfte0 (A dtdx + B dt dt P tomando a f como una funci6n de la variahle indepf"n ­

(58)

Entonces, diente t, se tiene (59)

Asi , escribiendo est a ecuaci6n como

df = c;£ dt = A dx + B dy + C dz = L ,

se expresa la forma diferencial lineal L (que no necesita ser ex acta) como la diferencial de una funci6n {; pero tiene que recordarse que esta relaci6n solo se cumple a lo largo de una curva especial r , sabre la cual est a definida . Para �OS puntas cualesquiera p y de r ,

f

P'

Funciones de varias variables

I

(60)

P'

p

y

sus derivadas

L = f(P') - f(P).

123

Esto se deduce inmediatamente si se expresan las integrales de linea como integrales sobre la variable t y se aplica la relaci6n fundamen­ tal entre las integrales definidas e indefinidas (ver el Volumen I , p . 1 90). Si r*, e l arco con una cierta orientaci6n , tiene e l punto inicial A y el pun to final B, se encuentra , en particular, que

r

(61)

J

r*

L=

I B L = f(B) - {(A). A

Si . , Pn son puntos sobre r* en el orden determinado por la orientaci6n de r* , con Po = A , Pn = B, se tiene

Po,

.

.

n-1

L = {(B) - {(A) = 2: [f(Pv+t) - {(Pv)]

V=O

n- 1

v=o

= 2:

f Pv+l L . Pv

Si se denota el subarco con punto inicial Pv y punto final r se tiene

Pv+ l,

Aqui

V+l * por

la orientaci6n de rv* concuerda con la de r , de modo que

Por lo tanto, las integrates de linea son aditivas:

(62) De modo semejante, si se intercambian los puntos extremos de r* ,

(63)

I

-r

*

L=-

f

r*

L

·

Estas reglas son particularmente interesantes cuando se aplican a curvas cerradas orientadas que s� representan como sumas de arcos simples orientados . Considerese un numero de curvas simples ce­ rradas orientadas Ct*, . . . , Cn* (ver la Fig. 1 . 1 9) , las cuales pueden tener porciones en comun . Sup6ngase que un arco simple comun a

r

124

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Figura 1 . 19 Aditividad de las integrales de linea sobre curvas cerradas.

dos de l as curvas, Ct* y Ck*, recibe orientaciones opuestas de C,* y Ck* y que l as porciones de las curvas no comunes a dos cualesquiera de elias se sum an a una curva cerrada orientada C* . Escribiendo c ada integral de linea sobre una curva Ct* como la suma de integrales sobre arcos simples y sumando todas estas integrales, las contribu­ ciones de los arcos comunes se c ancelan y queda la formula

(64)

Ic* L = I

Ct *

L+ . . . +

JCn* L.

En particular, est as situaciones surgen cuando l as C,* son curvas planas que forman las fronteras de regiones bidimensionales Ri que no se traslapan y que juntas forman una region R con curva frontera C*, teniendo todas las Ct* y C* la misma orientacion. Mas general­ mente , la region· R y su frontera C* pueden estar sobre una superficie y R puede estar subdividida mediante arcos en subregiones Ri con curvas frontera Ci* cuyas orientaciones se ajustan entre si en la forma descrita . Una aplicacion un tanto diferente del mismo principia ocurre en el teorema siguiente. Consi �erense dos curvas orientadas C* y C'* (ver -

Figura 1 .20

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

125

Fig. 1 .20) subdivididas por los puntos At, . . . , An At', . , An', respectivamente, en el orden del sentido de orientaci6n, sup6ngase que cada pareja de puntos correspondientes At At' se unen por medio de una curva. Si se denota la curva orientada cerrada AiAi+ l Ai+t'At' (identificando An+ t con At An+ t' con At'), por Ci*, enton­ ces � L = 5c * L - 5· c• L. (65) i=n t fCi * .

y

.

y

y

y

I

1.10

a.

El teorema fundamental sobre la integrabilidad de las formas diferenciales lineales

lntegraci6n de di/erenciales totales

Una clase particularmente importante de formas diferenciales L = A dx + B dy + C dz (66) son las diferenciales totales de funciones u = {(x, y, z), con A, B, C de la forma ar a = at A = r (67) ax ' B = ay ' C az ' donde f es una funci6n con primeras derivadas continuas. Mientras que, en general, el valor de fr* L no solo depende de los puntos extremos sino del curso completo de la curva, aqui es valido el teorema siguiente: La integral de una forma diferenciaLlineal L, que es la diferencial total de una fund6n {, es igual a la diferenda de los valores de f en los puntos extremos y no depende del curso de r* entre esos puntos.

Esto es, se obtiene el mismo valor para fr* L , para todas las curvas tengan el mismo punto f* que se encuentren en el dominio de f inicial Po el mismo punto final Pt. Para la demostraci6n, sup6ngase que la curva r* se refiere a un parametro t , donde to corresponde al punto inicial P h al punto final Pt. Por ( 57}, p. 1 1 9). y

y

0

y

Introduccion al calculo

1 26

y

al analisis matematico

Entonces , par la regia de la cadena de la derivacion [ ver la formula

(18 ) , p. 83] se tiene (68)

Jr. L = .(' '!£ dt = f I :: = {(P,) - {(Po),

donde se escribe

{(Pi) =

f(x(ti), y(ti), z(ti))

para i = 0, 1. Se observa que, en Iugar de requerir que la integral sea indepen­ diente de la trayectoria , igualmente solo podria requerirse que la in­ tegral sabre una curva simple cerrada r* tenga el valor 0, porque si se divide la curva r* par media de dos puntas Po y P1 en dos areas orient ados r 1 * y r 2*' se tiene

r* = r1* + r2*,

donde , digamos, r1 ti �ne el punta inicial Po y punta final P1, mien­ tras que r2* tiene el punta inicial P1 y el punta final Po (ver l a p. Entonces

124) .

fr* L = fr 1 * L + fr2 * L = fr 1 * L - f-r2 * L .

pl

Aqui - r 2* tiene el mismo punta inicial Po y el mismo punta final que r1* . La anulacion de JL sabre la curva cerrada r* significa exactamente lo mismo que la igualdad de L tomada sabre los dos ar­ eas simples cerrados que tienen a Po como punta inicial y a P1 como punta final . b. Condiciones necesarias para que las integrales de linea dependan unicamente de los puntos extremos

Solo bajo condiciones muy especiales una integral de linea es in-: dependiente de la trayectoria , o bien, lo que es equivalente, la in­ tegral de linea a lo largo de una trayectoria cerrada es Por ejem­ forma la frontera de una plo , si una curva cerrada C* en el plano region de area positiva , entonces la integral de linea sabre C* no es 0. En la seccion precedente se prob6 que para la in­ dependencia de L de la trayectoria que une los puntas extremos, es suficiente que L sea una diferencial total . La tarea principal de la

x,y

f

0.

f(x dy - y dx)

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

127

teoria de las integrales de linea es demostrar que esta condici6n tam­ bien es necesari a y, a continuaci6n, expresar esta condici6n necesaria y suficiente en una forma conveniente para las aplicaciones . lnvestiguemos esta cuesti6n de la independencia para las inte­ grales sobre curvas en el espacio tres . Pero los resultados y demos­ traciones son exactamente ana logos en cualquier numero de dimen­ siones. Se establece la hip6tesis de que = + B + C es una forma diferencial lineal con coeficientes A, B, C que son fun­ ciones continuas de en un conjunto abierto R del espacio . En­ tonces se cumple el teorema siguiente:

L A dx

x, y, z

dy

dz

La integral de linea f tomada so bre un arco simple orientado T* en R es independiente de la elecci6n particular de T* y queda deter­ minada unicamente por los puntos inici'al y final de T* si y solo si L es la diferencial total de una funci6n en R. Ya se ha probado en la p. 95 que esta condici6n es suficiente ; es decir , para una diferencial exacta = la in­ + C + B tegral f es independiente de la trayectoria . Es facil ver que la con­ dici6n es necesaria . Sup6ngase que fr * solo depende de los puntos extremos de 1*. Se desea demostrar que existe una funci6n = Sin perdida de generalidad , se defi nida en R para la cual puede suponer que dos puntos cualesquiera de R pueden conectarse por medio de un arco poligonal simple que se encuentre comple­ tamente en R . l Se elige un punto fijo en R y se define la funci6n u, = u = en cualquier pun to de R como f exten­ dida sobre cualquier arco simple con punto inicial y punto final Con el fin de calcular las derivadas parciales de considerese cualquier punto :Z) = de .R (Fig . . 1 . 2 1 ) . Entonces , como R es = tambien perteneceran a + h, abierto , todos los puntos R, siempre que l h l sea lo suficientemente pequeiio . Denotemos por

L

f(x, y, z) L A dx

L

du L.

P.

(x, y,

L

Po

(x, y, z) u (P)

P (x

dz

dy

u(x, y, z)

P

Po

u,

L

y, z) P'

y* el segmento rectilin�o orientado que une y mientras que 1* denotara una trayectoria poligonal simple que une con Siem­ pre puede modificarse 1* ligeramente para hacer que el ultimo lado de este arco poligonal, que tiene a P como punto final, no sea para­ lela al eje x. Entonces 1 * y y * no tienen punto en comun aparte de (al menos p ara l h l lo suficientemente pequeiio) y r * + y * representa

P P',

Po

P.

P

*El conjunto abierto R siempre puede descomponerse en subconjuntos conexos que tengan esta propiedad (ver el Apendice 1 1 2). Entonces se define u en cada uno de estos por medio de la construcci6n indicada.

128

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Figura 1 . 21 y

un arco simple con punto inicial Po punto final P'. Se concluye [ver (62), p. 123 ] que u(x + h, y, z) - u(x, y, z)

=

=

u(P') - u(P) rx+h

J

x

=

A(t, y, z) dt

Dividiendo entre h y pasando al limite con en efecto, au( x, y, z) ax

=

*

+Y

h�

*

L - Jfr L Jf1 *

=

*

L

0, se encuentra que,

A'

y, de modo semejante, aujay B y aujaz du L. =

Jr

=

=

C.

Esto demuestra que

c. lnsujiciencia de las condiciones de integrabilidad

Sin embargo, el teorema sobre Ia independencia de las integrales de linea que acaba de probarse no tiene gran valor a menos que se tenga alguna manera de averiguar si una diferencial dada L es una diferencial total o no. Es de desear tener alguna condici6n que solo com.prenda los coeficientes A , B, C de L A dx + B dy + C dz y que se verifique con facilidad. Ya se han reconocido las condiciones de integrabilidad =

(69)

como necesarias para Ia existencia de una funci6n u

=

f(x, y, z)

con

Funciones de varias variables y sus derivadas

129

la propiedad de que L = du. Una forma L que satisfaga a (69) recibe el nombre de cerrada . De aqul que toda forma exacta es cerrada. Como las integJ;ales de linea solo pueden ser independientes de la trayectoria particular que une a dos puntas cualesquiera cuan­ do L es una diferencial total, se ve que las condz"cz"ones (69 ) son necesarz"as, sz" L de be depender unz"camente de los Puntos extremos de la trayectorz"a de z"ntegracz"6n. tTambien son suficientes estas con­ diciones? Son suficientes si nos p.ermiten construir una funcion u = f (x, y, z) para la cual at , C = at B = ay (70) az · El resultado sorprendente es que las condiciones de integrabilidad (69 ) son casi suficientes, pero no lo bastante, para asegurar que L sea la diferencial total de una funci6n por tanto, para asegurar la independencia de f L de la trayectoria. Las identidades (69 ) por si mismas no son suficientes pero se vuelven .suficientes si se agrega una hip6tesis de caracter muy diferente, una hipotesis que se refiere a una propz"edad geometrz"ca de la region del espacio en la que se con­ sidera L . Un contraejemplo sencillo muestra que las condiciones (69) por si solas no son suficientes para garantizar que f L tomada sabre cual­ quier curva cerrada sea 0 . Considerese la diferencial x dy2 -+ y 2dx � L= (7 1) x y u y,

correspondiente a la eleccion de los coeficientes - y 2 . , B = 2 X , 2 ' C = 0, A = x2 y x y la cual esta definida, excepto para los puntas sabre Ia recta x y 0 ' (el eje z). Se verifica facilmente que se satisfacen las condiciones de integrabilidad (69) y, por tanto, que L. es cerrada. Cuando se in� tegra alrededor del drculo unitario C* : x = cos t, y = sen t; z = 0 en el plano orientado positivamente con respecto a t, se en­ cuentra dy) dt = (2n (sen2 t cos2t) dt ; rJ c• L = Jfo2n (A dx Bd t Jo dt = 2n =F. 0. +

+

·=

x,

y,

+

+

=

130

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

En realidad, es facil calcular fL alrededor de cualquier curva ce­ rrada C para la L dada por ( 71). Introduzcase el angulo polar 9 de un punto P = (x, y, z) por medio de Y (72) :. cos 9 = ,Jx2X+ Y2 , sen 9 = --;:.==;g::: Jx2 =� y2 decir, el angulo formado con el plano X, por el plano que pasa por P y el eje (ver Ia Fig. 1 . 22). Entonces es

+

Z

2

d9 = d arc tan �X = L,

(73)

z

( I I I I I I I I I I I

X

/

/

/ /

.............. .... .... .... '1

p

I I I IZ I I I

X

�------��- Y ', ......

...... .... I

_________

y

.::.!

Figura 1 .22

de modo que L se representa como la diferencial total de la fundon G. Las complicaciones surgen del hecho de que las formulas (72) definen los valores de e solo dentro de multiplos enteros de 21t. Em­ pezando con algunos valores posi hies 9o para 9 en un punto Po, puede definirse 9 en cualquier punto P uniendo P con Po mediante curva continua y tomando P 9(P) = 9o + JP d9 = 9o + J L o (ver el Volumen I, p . 4S4). Pero 9(P) definida de esta manera es multiforme, dependiendo de Ia eleccion de Ia curva: para una curva cerrada C* , la expresion u =

una

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

131

_!_ f d8

2n Jc

representa el nfunero de veces que C se enrolla alrededor del eje z en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj (ver la Fig. 1.23). De aqui que el valor de (74)

z z

X

Figura 1 .23

tomada para dos trayectorias diferentes con los puntos extremos Po, el mismo solo si al ir a lo largo de una trayectoria desde Po has­ P ta P y regresar a lo largo de la otra trayectoria hasta Po , se circunda cero veces el eje Puede evitarse que cualquier trayectoria vaya alrededor del eje z, considerando solo puntos (x, y, z) con y 0 , o bien, y = 0 x 0, erigiendo, por decirlo asl, una pared a lo largo del semiplano x�O y = 0, la cual no debe cruzarse. Los puntos no excluidos forman una region es

z.

y

>

::;t:.

132

R

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

en la cual puede asignarse a e un valor unico con -

n

<

e

<

7r

que constituye- una funci6n continuamente diferenciable 0 S(x, y, z) con diferencial L. Entonces, la integral (74) extendida sobre cualquier trayectoria en la region que una a P y Po tiene un valor unico S(P) - S(Po), el cual no depende de la trayectoria particular. De modo semejante, la integral sobre una trayectoria cerrada en esta region tiene el valor 0. =

d. Conjuntos simplemente conexos

Con el fin de enunciar el teorema fundamental, generalmente se necesita Ia nocion de conjunto a bz'erto sz'mplemente conexo . 1 En un conjunto R, asi, dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una trayectoria qu� se encuentre en R y dos trayectorias cualesquiera en R con los mismos opuntos extremos pueden deformarse pasando de una a Ia otra sin m ver los puntos extremos y sin dejar R. Se daran las definiciones precisas de estas nociones. Una trayec­ toria C en R que une dos puntos P' = (x', y', z') y P" (x", y" , z") equivale a tres funciones continuas
=

=

=

1 Mas precisamente "simplemente conexo a traves de trayectorias ". 2 Diferentes t no necesariamente corresponden a P( t) diferentes. N6tese que la des­ cripci6n de una trayectoria no s6lo incluye al conjunto de los puntos f'Xt) en el espacio (el "soporte" de la trayectoria) sino tambie:p Ia elecci6n de los parametros t co­ rrespondientes. Todo arco simpl� en �1 espacio d�termina muchas trayectorias di­ ferentes, corresporidientes a diferentes representaciones parametricas del a.rco. Siempre es pos1hie hacer, mediante una substitucion lineal, que los valores del parametro varien sobre el intervalo partiCular 0 =::;;;; t =::;;;; 1. SMas precisamente "conexo a traves de trayectorias". 4Tomando una . subdivision lo suficientemente fina del intervalo del parametro y uniendo los puntos correspondientes f'Xt) mediante segmentos rectilineos, primero se obtiene un arco poligonal en R , uniendo P' y P". Omitiendo los lazos, se obtiene un arco poligonal simple. Remplazando las porciones pequeiias cercanas a los vertices por arcos parab6licos apropiados, se obtiene un arco simple suave en R que une P' y P". Ver tamhien Ia p. 143.

Funciones de varias variables y sus derivadas

133

Ejemplos triviales de conjuntos conexos son los conjuntos convexos caracterizados por la propiedad de que dos cualesquiera de sus pun tos P' y P" pueden unirse mediante un segmento rectilineo en R. Aqui puede elegirse como trayectoria lineal con puntos extremos P' = (x', y', z') y P" (x", y", z") simplemente la terna de funciones lineales

R,

=


para 0 � t � 1. Ejemplos de tales conjuntos convexos son las esferas o cubos s6lidos. Ejemplos de conjuntos conexos, pero no convexos, son un toro solido, un cascar6n esferico (es decir, el espacio entre dos es­ feras concentricas) y el exterior de una esfera o cilindro. Cualquier conjunto R en el espacio, si no es conexo, consiste de subconjuntos conexos llamados componentes de R. No conexos son, por ejemplo, el conjunto de puntos que no pertenecen a un cascar6n esferico o el conjunto de puntos para los que ninguna de sus coordenadas es un entero. Sean Co y Ct dos trayectorias cualesquiera en R, dadas respec­ tivamente por (<po(t), 'l'o(t), xo(t) ) y (
=

o

,

y

=

lSe dice que las trayectorias C y C1 son homot6pz"cas relativas a P', P".

134

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico


= (1 - A) <po(t) + A
P' Figura 1 .24

Aqui C).. se obtiene geometricamente uniendo los puntos de Co C1 que pertenecen a Ia misma t por medio de un segmento rectilineo y tomando el punto que divide tal segmento en Ia raz6n A/(1 - A). Todos los puntos obtenidos de esta manera se encuentran en R , debido a Ia convexidad de R. Un tipo diferente de conjunto sim­ plemente conexo a traves de trayectorias esta representado por un cascar6n esferico. Por otra parte, no simplemente conexo es el con­ junto R obtenido eliminando el eje z del espacio y, . Aqui las dos tra yectorias (semicirculos) = cos nt, = 0; O � t � 1 = sen nt, y = cos nt, y = -sen nt, z = 0; O � t � 1 tienen los mismos puntos extremos pero no pueden deformarse una en la otra sin cruzar el eje que no pertenece R.1 y

x.

x

y

z

z

x

z,

a

1 Esto se deduce del teorema fundamental que sigue y del hecho de que existe una forma diferencial cerrada, Ia dada por (7 1 ) , cuya integral sobre el circulo completo no se anula.

Funciones de varias variables y sus derivadas

135

e. El teorerna fundamental

Ahora puede enunciarse Ia relaci6n entre las nociones de formas diferenciales cerrada y exacta:

Si los coefidentes de la forma diferencial L = A dx + B dy + C dz tienen Primeras derz'vadas continuas en un conjunto R simple­

mente conexo

(75a)

y

satisfacen las condidones de integra bilz"dad

B z - Cy

= 0,

Cx - A z = 0,

Ay - Bx = 0,

entonces L es la diferencial total de una fund6n u definz"da en R:

A = Ux,

(75b)

B = Uy,

C = U z.

Para Ia dernostraci6n, basta con dernostrar que Ia integral de L extendida sobre cualquier arco poligonal simple en R con pun­ to inicial P' y punto final P" tiene un valor que depende unicamente de P' y P" (ver Ia 97). Representense, respectivamente, los dos ar­ cos orientados Co* y Ct* pararnetricarnente por p.

(76a)

x = {>o(t),

y = 'l'o(t),

z = Xo(t),

O�t�1

y

0 � t �1 z = X t(t) ; y = 'l' t(t), con t = 0 dando P' y t = 1 dando P". Aplicando Ia conectivtdad simple de R , pueden "encajarse" las trayectorias (76a, b) en una familia 1 continua

(76b)

X = �(t, A),

(76c)

y = w(t, A.),

z

= x(t, A)

reduciendose a (76a, b) para A = 0, 1 a P', P" para t = 0, 1. Por la formula (56), 'P · 119 se tiene y

(76d)

fC1* L - fCo* L =

f

1 [(Axt + Byt + C t) 1.�.=1 - (Axt

0

z

+

Byt + Czt) I ).= o ] dt ,

donde x, y, son las funciones de t, A dadas por (76c). Sup6ngase, empezar, que esas funciones tienen primeras derivadas conti­ nuas con respecto a t, .A y una segunda derivada mixta continua para 0 � t � 1, 0 � A � 1. Entonces, por (76d), para

z

1 No es necesario que las trayectorias de Ia familia sean simples para A. =f=. 0,1 .

136

Introducci6n al calculo

y

al analisis matematico

fC1* L - JCo* L J dt J (Axe + Bye + Cze)'A d'A . Ahora, aplicando la regia de la cadena de la deriva�i6n y l�s con­ diciones de integrabilidad (76a), se tiene la identidad 1

(76e)

=

1

0

0

(Axe + Bye + Cze)'A = AX'Ae + By'Ae + Cz'Ae + AxX'AXe + Ayy'J..Xt + A zZ'AXe + BxX'AYe + Byy'Aye + BzZ'AYe + CxX'AZe + Cyyt..Ze + CzZ'J..Ze = (Ax'A + By'A + Cz'A)e

Intercambiando los 6rdenes de la integraci6n (ver la p. 1 09), se en­ cuentra que 1 fCt * L ' fCo* L f d'A f (Axt.. + By').. Cz'A)e dt 0, ·

..,..

.

.

=

.

1

0

+

0

=

ya que · ·xt.., t'A, Z'A se anulan para t 0, I, debido a que los puntas ex­ tremos son independientes de A. La suposici6n de que R es simplemente conexo es muy importante para llevar a cabo la demostraci6n. Nos permite convertir la diferen­ cia de las integrales de linea en una integral doble sobre alguna region intermedia. Es facil eliminar l eis restricciones sobre la existencia de las deri­ vadas de las funciones �' 'JI, x. Sup6ngase unicamente que los arcos ' Co* y C1* son suaves, es decir, que las funciones �(t, A.), 'JI(t, A.), x(t, A.) tienen una derivada continua respecto a t cuando A tiene uno de los valores 0 6 1 , mientras que son continuas para los otros valores de A.. Entonces pueden aproximarse estas funciones (ver Ia p. I l l ) unifor­ memente por. medio de las funciones �' 'iii, i, que tienen primeras derivadas continuas con respecto a t y A y una segunda derivada mixta continua. Para que las funciones mas suaves obtenidas re­ presenten una deformaci6n de las trayectorias Co* y C1* de una en Ia otra, tienen que coincidir con {>, 'I', X para A 0, I para t 0, 1. Siempre se puede lograr esto mediante una ligera modificaci6n de �' 'iji, i, sumando terminos apropiados de modo que =

=

x

=

=

�(t, A.) - ( I - A.) [�(t, 0) - �o(t)] - A.[�(t, I) - �1(t)] - ( I - t) [�(0, A.) - {>o(O) ] - t [�(I , A.) - {>o( I)] + ( I - t) ( I - A.) [�(0, 0) - {>o(O)] + ( I - t)A. [�(0, I) - {>o(O)] + t( I - A.) [�( I , 0) - {>o ( I)] + t'A [�(1, I) - {>o( I)]

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

137

y

con expresiones analogas para y z. Estas funciones tienen los valores correctos para f... = 0, 1, y para t = 0, 1, tienen primeras derivaciones y segundas derivadas mixtas continuas y puede hacerse que se originales tanto que los puntos correspon­ aproximen a las �. dientes (x, z) aun esten en el conjunto abierto R. Por ultimo, puede extenderse la igualdad de las integrales de L hacia arcos Co* , C1* que solo sean seccz"onalmente suaves, por ejem­ plo, bacia arcos poligonales, aproximando estos arcos por medio de arcos suaves con los mismos puntos extremos. Todas las integrales sobre los arcos suaves de aproximaci6n tienen los mismos valores y, entonces, lo mismo se concluye en el limite para las integrales sobre Co* y C1 *. y,

'JI, x

·

La intuici6n geometrica y la realidad fisica siempre han propor­ cionado motivaci6n poderosa e ideas guia para el pensamiento matematico constructivo. Sin embargo, con el avance del analisis desde el principio del siglo XIX, se ha vuelto una necesidad impe­ riosa dejar de invocar a la intuici6n como Ia justificaci6n principal de las consideraciones matematicas. Nos hemos vuelto cada vez mas hacia las demostraciones rigurosas basadas en la precision robus­ tecida axiomaticamente y los conceptos y procedimientos claramente enunciados. En este desarrollo, la noci6n de conjunto , en particular de conjunto de Puntos , ha jugado un papel primordial y, por ahora, ha sido absorbido en Ia trama del analisis. Este apendice da una sim­ ple descripcion preliminar de algunos de estos conceptos. A. l

El principio del punto de acumulacion en varias dimensiones y sus aplicaciones

Para establecer la teoria de las funciones de varias variables sobre una base firme, puede procederse exactamente de la misma manera qUe en el caso de funciones de una variable. Basta discutir temas en el caso de dos variables unicamente, ya que los metodos son esencial­ mente los mismos para funciones de mas de dos variables indepen­ dientes.

138

Introduccion al calculo a.

y

al analisis matematico

El principio- del punto de acumulaci6n

Basamos nuestra discusion en el principio de Bolzano y Weiers­ trass del punto de acumulacion. Una pareja de numeros (x, y) puede representarse en Ia manera usual por medio de un punto con las coor­ denadas rectangulares y y en un plano y. Considerese ahora un conjunto infinito acotado de tales puntos P(x, y), es decir, un conjun­ to que contiene un numero infinito de puntos distintos, los cuales se encuentran todos en una parte acotada del plano, de modo que I x l < C y I y I < C, donde C es una constante. El principio del pun to de acumulacion afirma que todo con-Junto S de puntos z·nfz"nito y acotado tz·e ne por lo menos un punto de acumulacz"6n. Esto es, existe un punto Q con coordenadas (�, 11) tal que en toda vecindad de Q, digamos, en toda region (x - �)2 + (y - 11 ) 2 < 62 , donde o es cualquier numero positivo, se encuentran un numero in­ finito de puntos de B . Se deduce que puede elegirse del conjunto in­ finito y acotado de puntos una sucesion de puntos distintos PI, P2, que converge a un limite Q. La sucesion. de los Pt puede cons­ P3 , truirse por induccion, dando, a o sucesivamente los valores 1, !, t, . . . ; elijase P1 arbitrariamente en S; si se han definido PI , . . . , Pn tomese como Pn+ I a cualquiera del numero infinito de puntos del conjunto S que se encuentre a una distancia < 1/(n + 1) de Q y que sea diferente a Q y a P1, . . . , Pn. Puede probarse analiticamente este principio del punto de acumulacion para varias dimensiones, por el metodo usado en Ia demostracion correspondiente en el Volumen I (p. 95), sustituyendo simplemente los intervalos usados alii por regiones rectangulares. Se obtiene una demostracion mas facil si se aplica el principio para una dimension. Para hacerlo, notese que, por hipotesis, todo punto P(x, y) del conjunto S tiene una abscisa para Ia cual se cumple Ia des­ igualdad I x I < C Existe una x = xo que es Ia abscisa de un numero infinito de puntos P (los cuales, por lo tanto, se encuentran vertical­ mente uno por encima de otro), o bien, cada solo pertenece a un pumero finito de puntos P. En el primer caso, se elige xo y se con­ sidera el numero infinito de valores de tales que (xo, y) pertenezca al conjunto. Estos valores de y tienen un punto de acumulacion para una dimension. De aqui que puede hallarse una sucesion de valores de y, digamos YI , y2, . . . , tales que Yn � 11o, de lo cual se deduce que x

•

x,

•

x

x

y

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

1 39

los puntos (xo, Yn) del conjunto tienden al puntQ limite (xo, T)o), el cual, por tanto, es un punto de acumulaci6n del conjunto. En el segundo caso, debe haber un numero infinito· de valores distintos de x que son las abscisas de puntos del conjunto y puede elegirse una sucesi6n x1, x2, . . . de estas abscisas que tienden un limite �. Para cada Xn, sea Pn = (xn , Yn) un punto del conjunto con abscisa Xn. Las Yn forman un conjunto infinito y acotado de numeros; de aqui que puede elegirse una subsucesi6n Ynp Yn2 , . . . que tiende a un limite T). La subsucesi6n correspondiente de abscisas Xn1 , Xn2, aun tiende al limite �; de aqui que los puntos Pnl' Pn2 , . . tienden al punto limite (�, T)). De donde, en cualquier caso, puede hallarse una su­ cesi6n de puntos del conjunto que tiende hacia un punto limite y queda demostrado el teorema. a

•

•

•

.

b . Criteria de convergencia de Cauchy . . Compacticidad

Una consecuencia del teorema de Bolzano-Weierstrass es que toda . . . tz'ene una subsu­ En efecto, si la sucesi6n contiene un numero in­ finjto de elementos estos forman un conjunto infinito de puntos distintos, de los cuales, de acuerdo con el principia de Weier­ strass, puede elegirse una sucesi6n que converja a punto Q . Si Ia sucesi6n no contiene un numero infinito de elementos distintos, en­ tonces al menos uno de sus elementos debe repetirse con una frecuen­ cia infinita; entonces existe un punto Q que aparece con una fre­ cuencia infinita en Ia sucesi6n, y Ia subsucesi6n formada por los elementos que son iguales a Q converge al punto Q. Una consecuencia importante es el criterz'o de convergencz'a de Cauchy: Una sucesz'6n de puntos P1, P2, . . . en el plano (y de modo se­ sucesz'6n z'nfz'nz'ta y acotada de Puntos P1, P2, cesz'6n convergente. di'stz'n tos,

un

mejante una sucesz'6n en el espacz'o euclidz'a no n- dz'mensional) conver­ ge a un limite si y solo si para cada e > 0 exz'ste un numero N = N(e) tal que la dz'stancia entre Pn y Pm es menor que e sz'empre que tanto n como m sean mayores que N.

La demostraci6n se desarrolla exactamente igual que Ia corres­ pondiente para las sucesiones de numeros reales dada en el Volumen I (p. 97 ). Se ve inmediatamente que una sucesi6n que satisface Ia condici6n de Cauchy es acotada; de aqui que, por el teorema pre­ cedente, contiene una subsucesi6n convergente con un limite Q y en­ tonces se deduce inmediatamente que toda Ia sucesi6n converge a Q.

140

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Un conjunto S de puntas · en el plano se calific6 como cerrado si todos los puntas frontera de S pertenecen a S. El limite Q de toda sucesi6n convergente de puntos de un conjunto cerrado S es nue­ vamente un punta de S (ver la 3 3). Como .se ha, vista que toda sucesi6n infinita acotada contiene. una subsucesi6n convergente de puntas, se encuentra que toda suces'i6n z"nfz"nz"ta formada Por puntos de un conjunto S de puntos en el plano, acotado cerrado, contz"ene una subsucesz"6n que converge a un punto de S. Generalmente se dice que un conjunto S es compacto 1 si toda sucesi6n formada por ele­ mentos de S contiene una subsucesi6n convergente con un limite en S. De aqui que un conjunto cerrado acotado de puntos en el plano (o en el espacz"o euclz"dz"a no n-dz"mens'ional) es compacto. El lector puede verificar facilmente el reciproco: Todo conjunto . compacta de puntas en el plano es ce!rado acotado. En el futuro, a menudo nos referiremos a los conjuntos cerrados acotados simplemente como conjuntos compactos. p.

y

y

y

y

y

c. El teorem.a de cobertura de Heine-Borel

Una consecuencia notable del principia de Balzano-Weierstrass es el teorema de Hez"ne-Borel:

Sean dados un conjunto S compacto (es dedr, cerrado y acotado) y un sz'stema � de un numero z"nfz"nz"to de conjuntos a bz"ertos que cubren a S en el · sen#do de que cada punto de S pertenece a, por lo menos, uno de los conjuntos a bz"ertos en � . Entonces puede hallarse un numero fz"nz"to de conjuntos en � que cubren a S. S de

Como una ilustraci6n, considerese el conjunto infinito puntos sabre el eje que consiste de los puntos.Pn (1/n, 0) para n 1, 2, . del origen Po (0, 0). Este es un conjunto cerrado. Para n 1, 2, . . . , denotemos por Sn el disco abierto 1 -V(x-1/n)2 + y2 < 3n2 con centro en Pn radio 1/3n2, por So el disco 1 -Jx2 + y2 < 100 . x

=

. . y

=

=

-

y

.

y

_

1 A veces,

de manera mas precisa, "secuencialmente compacta" .

=

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

141

Evidentemente el sistema infinito de todos los conjuntos S0; SI, S2, . . . cubre a S. En coricordancia con el teorema de Heine-Borel, puede elegirse un subsistema finito que cubra a S, por ejemplo el sistema que consiste de So, SI; . . . , S10o. A qui se ve inmediatamente la im­ portancia de Ia hip6tesis de que S sea cerrado. El conjunto T de pun­ tas que consiste de PI, P2 , . . . unicamente, sin Po, es cubierto por el sistema que consiste de SI, S2, . . . ; pero ningftn subsistema finito de estos conjuntos, cada uno de los cuales solo contiene un punto de T, puede cubrir a T. Para probar el teorema de Heine-Borel, usemos un argumento in­ directo. Sup6ngase que el teorema es falso. El conjunto S, siendo acotado, se encuentra en un cuadrado Q. Subdividase este �uadrado en cuatro cuadrados iguales. La parte de S que se �ncuentra en al menos uno de estos cuadrados o sobre su frontera no puede ser cubierta por un numero finito de los conjuntos en �; porque si cada una de las cuatro partes de S pudiera ser cubierta de esta manera, el propio S seria cubierto. Llamaremos QI a esta parte de Q. Subdi­ vidase ahora QI . en cuatro partes iguales. Por el mismo argumento, una de las cuatro partes de QI es un cuadrado Q2 tal que los puntos de S que se encuentran en Q2 o bre su frontera no pueden ser cubiertos por un nt1mero finito de los conjuntos abiertos en � . Con­ tinuando en . esta forma, se obtiene una sucesion infinita de cua­ drados QI, Q2 , Qa, . . . cada uno contenido en el precedente, con su tamaiio. reduciendose hasta 0 tales que los puntos de S en Ia ce­ rradura de cualquier Qn no pueden ser cubiertos por un numero finito de los conjuntos en � . Evidentemente, .para .cad a n puede hallarse un punto Pn de S que se encuentre en el interior sobre la frontera de Qn. Entonces PI, P2 , . una sucesion de puntos de ,S. Como S es acotado, Ia sucesi6n es acotada debe tener una subsu­ cesi6n que converge a algun punto A . Como S cerrado, A es un punto de S por tanto, esta c,ontenido en un conjunto abierto n que pertenece a � . Pero entonces, una vecindad completa de A per­ tenece a ese conjunto abierto Q , digamos, Ia :vecindad que consiste de los puntos que se encuentran a una distancia menor que e de A . Puede elegirse un n tan grande que Pn se encuentre a una distancia menor que e/2 de A que Ia diagonal de Qn tenga una longi­ tud menor que e/2. Entonces el cuadrado completo Qn esta contenido en Ia vecindad e de A por tanto, tambien en n . Se ve que el con­ junto n del sistema � contiene por si solo a un cuadrado completo Qn a su frontera, lo cual es contrario a Ia hip6tesis para Ia sucesi6n Qn. Esto completa·la demostracion. $0

.

y

. . es

y,

y

y,

y

o

y

es

142

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

d. Una aplicaci6n del teorerna de Beine-Borel a conjuntos cerrados que estan contenidos en conjuntos abiertos

Sea R un conjunto abierto en el plano. 1 Por definicion, todo pun­ to P de R tiene una vecindad que se encuentra completamente en R. Para puntos P proximos a la frontera de R, la vecindad tiene que ser muy pequeiia. Es notable el hecho de que para P confinado en un subconjunto cerrado S de R, puede hallarse un tamaiio unzjorme para las vecindades que esten contenidas

Si un conjunto cerrado y acotado S esta contenido en un conjunto abierto existe un e positivo tal que la vecindad e de todo punto P de S esta contenida en

R, R. En otras palabras, los puntos que no estan en R se encuentran por lo menos a una distancia de todos los pun­ tos de S.2 Para la demostracion, se aplica la hipotesis de que R es abierto. Para todo punto P en R existe un disco con centro en P que esta con­ tenido en R. El radio de este disco, llamemosle r, depende de P; es decir, r = r(P). Tomese ahora para cualquier P en S, el disco abierto de radio t r(P) y centro en P. Por el teorema de Heine-Borel, puede hallarse un numero finito de estos discos que cubren el conjunto compacto S. Por tanto, puede hallarse un mimero finito de puntos P1, . . . , Pn en S tales que todo punto P de S este contenido en uno de los discos de centro Pk y radio t r(Pk) para k = 1, Sea el menor de los numeros positivos t r(P1), . . . , t r(Pn) . Entonces, para todo P en S, la vecindad de P se encuentra en R, porque P se en­ cuentra en algun disco de centro Pk y radio t r(Pk ). Por construe­ cion, el disco concentrico D de radio r(Pk) esta completamente en R. Como PPk < t r(Pk) y < t r(Pk), el disco D contiene al .disco de radio p alrededor de P. Esto demuestra que el disco de radio centro P esta en en R. Como ejemplo, considerese una curva S que se encuentra en el conjunto abierto R. Tal curva es un conjunto de puntos P = (x, y) que puede representarse en la forma e

•.

.

. , n.

e

e

e

X = �(t),

E y

y = 'JI(t)

' lTodo lo que se dice en este parrafo�se aplica con igual propiedad a las dimensiones superiores si se sustituye el termino '"disco" por el de "bola" . 2 Es esencial que S sea acotado. Si, por ejemplo, R es el semiplano abierto y > 0 y S es conjunto cerrado que consiste de los pun,tos en el plano x, y con y ;:::: 1/x, x > 0, Ia frontera de R se aproxima arbitrariamente .a los puntos de S.

y

Funciones de varias variables

sus derivadas

143

y 'JI,

con el auxilio de dos funciones continuas ¢ donde el parametro t varia sobre un intervalo cerrado 0 < t 1 . 1 Tal curva S es un con­ junto cerrado .de puntos. En efecto, sea Pt , P2, . . una sucesi6n de puntos sobre S que converge a un punto P. Consider·ense los valores correspondientes del parametro: t1 , t2, . . , los cuales todos estan en el intervalo cerrado a t < b. Ya que un intervalo cerrado aco­ tado es compacto, una subsucesi6n de los tn converge a un valor t en el intervalo. Como ¢ son continuas, los Pn correspondientes con­ vergen al punta Q = (x(t), y(t)) sobre S. De donde, una subsucesi6n de la sucesi6n Pt, P2, . . . converge a un punto Q de S. Dado que la sucesi6n completa converge a P, se tiene P = Q por,tanto, ,P esta. en S. Asi, S cantiene a todos los limites de las sucesiones de puntos de S en consecuencia, es cerrado. Si la curva esta en el conjunto abierto R, puede· hallarse� un numero positivo tal que ftodos los discos de radio con centros sobre S esten en R. Como son continuas por tanto, unifor­ memente continuas, puede hallarse un numero positivo () tal que dos puntos sabre S esten a una distancia menor que si los valores t de su parametra difieren en menos que o. Puede dividirse el intervalo del parametro por medio de los puntas tt , . . . , tn- t, tales que <

.

.

<

y

y 'I'

y,

y,

E

E

y g

y,

E

a = to < tt < t2 < •

• • < t n- 1 < t n

=

b

donde la langitud de cada subintervalo es menor que o. Sean Po, P1, . . . , Pn los puntos correspondientes sobre S. Entonces Pt+ l siempre encuentra en el disco de radio E alrededor de Pt. Tambien, el seg­ mento rectilineo que une fi Pt+ l esta completamente en eli disco de radio E centro en Pt, por tanto, esta contenido en R . S se unen puntos sucesivos Pi por medio de segrnentos rectilineos, se obtiene una curva poli'gonal que esta campletamente en R tiene los mismos puntas extremos Po, Pn que la curva continua S. Este resultado puede enunciarse como sigue: se

y

y

y,

y

Sz' dos puntos de un conjunto a bz'erto R se pueden unz'r medz'ante una curva que este en R, entonces tam bz'en pueden unzrse por medz'o de una curva poli'g onal en

R.

lNo es necesario que Ia curva sea simple; es decir, diferentes t pueden corresponder mismo punto P. La pat·eja de funciones define una "trayectoria" y S es el "sopor­ te" de esa trayectoria. al

y

144

Introduccion al caiculo

A.2 .

Propiedades basicas d e las funciones continuas

al analisis matematico

y

Para funciones f definidas continuas en un conjunto cerrado y acotado S , pueden enunciarse los dos teo remas fundamentales SI­ guientes: La funci6n f toma un valor maximo un valor minimo en S. La funci6n f uniformemente continua en S. Las demostraciones de estos teoremas son semejantes a las demos­ traciones corresportdientes para las funciones de una variable (ver el Volumen 1, pp. 100- 101 ) y no es necesario repetirlas. El segundo teorema tambien se puede obtener como una consecuencia inmediata . del teorema de Heine-Borel. Prescribase un E > 0. Si f es continua en cada punto de S, para cada punto 8 en S exis­ te una vecindad 8 de P de un cierto radio 8 8(P) tal que I f(Q) - f (P) I e/2 para cualquier Q en S q\le se encuentre en esa vecindad. Ahora bien, para· cada P en S, elijase una vecindad Qp de radio t b(P). Evidentemente, Ia !lp cqbre a S. Pu�de seleccionarse un numero finito de elias, digamos aquellas con centros en P1 , . . . , Pn que tam­ bien cubran a. S; Sea A el menor de ·los nuJlleros t 8(P1), . . , t b(P ) Si entonces P Q son dos puntos cualesquiera de S cuya di�tancia es menor que A, el punto P esta a una distancia menor que t 8(Pk) de uno de los punto& Pk con k 1, . Como A ::;:;; t o(Pk}, se ve que tanto P como Q se encuentran en Ia ve�indad o(Pk) de Pk. De aqui que y

es

=

<

n .

y

=

lf(P) - f(Pk) l < 2 E,

1

y,

por tanto,

. . , n.

'l f(Q)

- f(P �t)l < 2 E ,

1

lf(P) - /(Q) I · < E .

Esto establece Ia continuidad uniforme de f, pue�to que A es in­ dependiente de Ia localizaci6n particular de P y Q. A.3 . a.

Nociones basicas d e I a teoria de los conjuntos de puntos

Conjuntos y subconjuntos

En argumentos mas complicados que comprenden conjuntos de puntas (particularmente en Ia teoria. de Ia integraci6n},. resulta con­ veniente usar algunas notaciones estandar p ar a l as o e aci n con p

r

o es

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

145

conjuntos. Los conjuntos de interes para nosotros siempre son con­ juntos de numeros, de puntos, de funciones o de conjuntos de estos tipos. Por ejemplo un "disco" en el plano se define como un conjunto de puntos (x, y) para los cuales r.

(x - x0 ) 2 + (y - yo) 2 < r2

para xo, yo, fijos. Un ejemplo de un conjunto de conjuntos (o. de conjuntos) seria el que consiste de todos los discos que con­ tienen el origen; que serian aquellos discos para los cuales xo2 + yo2 < r2 . Nos a bstendremos de tratar de reducir la noci6n basic a de con­ junto a unas aun mas fundamentales de analizar las dificultades logicas que intervienen en esta noci6n. Para nosotros, un conjunto S esta definido si para todo objeto a es correcta exactamente una de las dos proposiciones siguientes: (1) a pertenece a S; (2) a no pertenece a S. En el caso (1) tambien se dice que a es un elemento de S, o bien, que a esta contenido en S; simb6licamente1 esto se denota por familz"a

0

y en el caso (2) por

a

E

S,

a

e

S.

Por ejemplo, si S es el disco dado por Ia desigualdad x2 + y2 < r2, entonces a S significa que a es un punto en el plano con coor­ rlenadas x, y que tiene la propiedad de que x2 + y2 < r2• General­ mente, los elementos de un conjunto S pueden caracterizarse por al­ gunas propiedades comunes (por ejemplo, por la propiedad de que pertenecen a S). El conjunto S de los elementos a que tienen las propiedades A, B, . . . se escribe simb6licamente como S {a : a tiene las propiedades A, B, .} . Por ejemplo, el disco S con centro (xo, yo) radio puede describirse como S = {(x, y) : x, y = niimeros reales; (x - x0) 2 + (y - y0)2 r2} . El conjunto descrito por S = {n : n entero; 2 < n < 5} E

.

=

y

.

r

<

=

1

No debe confundirse el simbolo E con la letra griega e.

146

Introducdon al calculo

y

al analisis matematico

consiste de los dos elementos = 3 n 4. Para muchos fines, resulta conveniente introducir el conjunto "vado" (o "nulo") con el simbolo especial 0 � Este conjunto no ti�ne elementos: a $. 0 para toda a. Por ejemplo, un disco abierto de radio 0 centro en el origen coincide con 0 : {(x, y) : x, y = numeros reales; x2 + y2 < 0} = 0. Dos conjuntos S T son iguales cuando tienen los mismos elemen­ tos, sin importar las descripciones o propiedades diferentes usadas en ,su definicion: S T significa que x S si solo si x T. Se dice que un conjunto S en un subconjunto de un conjunto esta contenido en T') si T contiene a todos los elementos que es­ tan contenidos en S, es decir, si a S implica que a T. Esto se es­ cribe simbolicamente: n

y

=

y

y

E

=

t=

y

E

E

Se T

o, menos frecuentemente,

T :J S.

Asi, si S es el disco de radio 1 alrededor del origen T el disco de radio 4 alrededor del punto (1, 1), entonces S T. De modo se­ mejante, 0 S S S para todos los conjuntos S. Por supuesto, se escogen los simbolos por su s·emejanza con los signos < > .de Ia aritmetica (o, mas precisamente, con los sig­ nos < � ). Los simbolos en cuestion comparten con estos ultimos las propiedades basicas: S T T S implica que S T S T T R implica que S R. l Una diferencia basica entre los signos "contenido en" p�ra los con­ juntos los signos de orden para los numeros es q4e para los numeros reales siempre se tiene x < y , o bien, y < x, mientras que para los conjuntos ninguna de las proposiciones S T, o bien, T S tiene que cumplirse. El simbolo solo define un ordenamiento "parcial" entre conjuntos; de dos conjuntos es posible que ninguno contenga al otro. C

y

C

C

y

C y :J

y

y

c

C

Y

Y

c

=

C

C

y

c

c

C

l Este es el silogismo com(m de la 16gica: Si todos los puntos con la propiedad A tienen la propiedad B y todos los objetos con la propiedad B tienen la propiedad C, entonces todos los objetos con la propiedad A tienen la propiedad C.

Funciones de varias variables

y

S\J4J

derivadas

147

b. UniOn e intersecci6n de conjuntos

Durante las ultimas decadas , un gran numero de simbolos l6gicos ha encontrado amplia aceptaci6n en las matem-a ticas, de modo que ahora es costumbre expresar muchos teoremas matematicos com­ pletamente en notaci6n simb6lica sin el uso de p alabras ordinarias o estructuras de oraciones . 1 El uso de la notaci6n simb6lica apropiada ha sido esencial para el desarrollo de las matematicas desde sus prin­ cipios ; de hecho , en algunos c asos raros , se ha retardado el progreso en algU.n campo durante siglos precisamente por la falta de una notacion apropiada; tal vez ese fue el caso con el algebra en la an­ tigiiedad . Por otra parte , una notacion demasido concentrada puede requerir un gran esfuerzo del lector que trate de relacionar la informacion en Ia forma "dishidratada" con su experiencia ordinaria . Los autores de libros que no estan dedicados ante todo a la logica y a los fundamentos de las matematicas transigen en el uso de las abre­ viaturas logicas , de acuerdo con sus gustos y los requerimientos de los temas especiales bajo consideraci6n . Existen dos simbolos mas de la teoria de conjuntos que encon­ traremos casi indispensables posteriormente en este libro, a saber, los simbolos para las operaciones de "union" e "intersecci6n" de conjun­ tos. Dados dos conjuntos S y T se escribe S U T para Ia "union" de los dos conjuntos , es deci r, para el conjunto de los elementos que es­ tfm en S "o" en T:

8 U T = {a : a E 8 o a E T} . 2 De modo semejante, la "intersecci6n" S n T de S y T se define como el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a S como a T:

S

11

T = {a : a E S

Y

a E T} .

J Ejem plos de simbolos usados con frecuencia son los que siguen:

: el conjunto cuyos miembros son precisamente x1 , . . . , x,. conjunto de las parejas ordenadas (a, b) con a E S y b E T .("producto car­ tesiano" de los conjuntos S, T) -)- : "implica" 3 x: "existe una x" V x: " para toda x " .

{x1, x2,

S

x

.

T: el

. . , Xn}

2 Aqui Ia palabra "o" , como el latin vel, no es exclusiva . S U T consiste de los ele­ mentos que pertenecen por lo menos a uno de los dos conjuntos S, T pero pue�e per­ tenecer a ambos.

148

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

eje de los numeros reales

Por ejemplo, si S y T son intervalos sobre

y Sl

S = {x

T = {x entonces

:

:

3 < x < 5} , 4 <

S U T = {x

s n T = {x

:

:

x < 6} ,

3 < x < 6} 4<

X

<

5}

Las �peraciones U y n se aplican a dos conjuntos cualesquiera S y T, sie.mpre ql;le se use el simbolo para el conjunto vacio , escribiendo

s n T= 0

cuando S y T son ajenos, es decir, no tienen elemento corriun . Notese que s u 0 :::: s, s n 0 = 0 p ara cualquier s. La opetacion U tiene ·· much as propiedades en comun con la adicion. En particular, si S y T son conjuntos "ajenos" - es decir, corijuntos sin elementos comunes - y tienen un numero finito de elementos , entonces el numero de elementos en S U T es precisa­ mente la suma de los numeros de elementos en S y en T. Sin embar­ go , generalmente no hay una operacion inversa unica para la union. Solo si se · supone que S y T son · ajenos y S c R, la ecuacion S U T= R ttene una solucion unica T. A menudo , para los conjuntos ajenos S, T , la union se denota por S + T, y p ara 8 c R, la solucion T de la ecuacion 8 + T = R por R - 8 ("el complemento de S relativo a R") . Mas generalmente, usaremos el simbolo R - 8 para conjuntos cualesquiera R, 8 . para denotar el conjunto de elementos de R que no pertenecen a S. Entonces 8 + (R - 8) = R U S. La union de n conjuntos 81, . . . . , 8n se define como el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos 81, . . . , 8n, y se denota en las diversas formas

{a : a

E

81 0 a E 82 0 . . . 0 a = 81 U 82 U · · · U Sn

E

8n}

n

= U 8�c k=l

en analogia con los simbolos de sumatoria

y

producto . De modo

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

semejante, la interseccion de los conjuntos 81, . . . , Sn como el conjunto de los elementos comunes a todos ellos, es

{a· : a E St

y

a E s2

= SI n s2 n

.

y

n

y

149

definida

a E Sn}

. . n Sn = kn St. =I

Con igual facilidad podemos formar uniones e intersecciones de un m1mero infinito de conjuntos St, 82 , . . . , Sn , . . . , los cuales se es­ criben respectivamente como

U

St = {a : a E Sn para algun n}

n

St = {a : a E Sn p�ra todo n} .

k• l k-1

Por ejemplo, si Sn es el conjunto de los numeros reales Sn

=

x < n,

{x : x real, x.< n} ,

se tiene

U

k=I

St = {x

: x real}

00

n St = {X : X real, X < 1}

k =l

.

De hecho , pueden formarse la union y la interseccion para familias F arbitrariamente grandes de conjuntos S, incluso donde los diferentes conjuntos S en F no se distinguen, o no pueden ser distinguidos , por medio de un subindice n con n = 1, 2, 3, . . . . Se escribe

U

S = {a : a E S p ara algiin S con S E F}

n

s = {a : a E s para todo s con s E F} .

SEF

SEF

Asi la union de todos los discos en el plano x, y que contienen al pun­ to ( 1 , O) pero no al punto ( - 1, 0) es el conjunto de todos los (x, y) para los cuales y "F 0 , o bien , y = 0 y x - 1 . La interseccion de Ia misma familia de discos contiene unicamente al punto (1, 0).

>

c. Aplicaciones a los conjuntos de puntas en el plano

Algunos de nuestros primeros resultados

y

definiciones (ver las pp .

30) se pueden reescribir mas compactamente en la notacion in-

Introduccion al calculo

1 50

y

al anilisis matematico

troducida en las ultimas secciones . Por tanto, dado un conjunto ,S de puntos en el plano , se obtiene una descomposicion del plano com­ pleto 1t en tres conjuntos ajenos, a saber, el conjunto S0 de los puntos interiores de S, cl conjunto as de los puntos frontera de S y el con­ junto Se de los puntos exteriores de S. 0

1t =

S0 U as U Se

1t =

S0

mas precisamente ,

+ as +

Se

Puesto que los conjuntos son ajenos : S0 n as

=

as n Se

=

Se n 8°

=

0.

Aqui

so c s c so + as.

El conjunto S definido por

s = so + as

(1)

=

s u as

es la cerradura de S. Se tiene S0 S para S abierto y S = S para S cerrado . El lector puede verificar, como ejercicios, las proposiciones siguientes : as = as ("La frontera de un conjunto siempre es cerrada" . ) S = S ("La cerradura de un conjunto siempre es cerrada" , ) (S0}0 = S0, (Se)0 = Se(" Los conjuntos so . y Se son abier­ tos" . )

=

2(a)

S0 U T0 c (S U T)0,

2(b)

a(s u T) c as u aT

S U Tc S U T

La union de conjuntos abiertos es abierta . La union de un numero finito de conjuntos cerrados es cerrada . La intersecci6n de un numero finito de conjuntos abiertos es abierta. . L a interseccion de conjuntos cerrados es cerrada . Las ultimas proposiciones indican un tipo de simetria ("duali-

Funciones de varias variables y sus derivadas

151

dad") entre las nociones de · " abierto" y "cerrado" , "union" e "inter­ seccion" . Esto se hace m as preciso si se introduce el complemento C(S) de un conjunto S, es decir , el conjunto de puntos en el plano 1t que no pertenecen a S: * Se ticne

C(S) = {P : p E

1t,

p $. S} =

ac(S) = as,

1t -

s.

C(Se) = S0•

Si S es abierto , C(S) es cerrado , y viceversa. El complemento de la interseccion de varios conjuntos es la union de sus complementos. En esta notacion, el teorema de Heine - Borel toma una forma par­ ticularmente simple . "Una familia F de conjuntos cubre a un con­ junto S ", significa sirnplemente que S esta contenido en la union de los conjuntos de F. Entonces e1 teorema simplemente dice : Sz' F es una famz'lz'a de conjuntos abiertos en el plano y si S es un conjunto acotado y cerrado tal que

S c U T, TeF

entonces se puede hallar un nurnero finito de conjuntos T1, T2, . Tn E F tales que n

S c U Tk. k=1

A.4 .

Funciones homogeneas

Las funciones homogeneas mas simples que ocurren en el analisis y sus aplicaciones son l as formas o polinornios hornogeneos en varias

variables (ver Ia p . Se dice que una funcion de la forma ax + by es una funcion homogenea de primer grado en x y y, que una fun­ cion de I a forma ax2 + bxy + cy2 es una funcion hornogenea de segundo grado y , en general , que un polinomio en x y y (o en un numero mayor de variables) es una funci6n homogenea de grado h si, en cada termino, la suma de los exponentes de las van'ables indepen­ dientes es igual a h, es decir, si los terminos (independientemente de los coeficientes constantes) son de Ia forma xh, xh -ly , xh-2yz , . , . . , yh.

38).

1

Para conjuntos S de puntos en el espacio tres 2:, el complemento de S de define como � - S, el conjunto de los puntos de 1: que no pertenecen aS.

152

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

Estos polinomios homogeneos tienen Ia propiedad de que se cumple Ia ecuacion

{(tx, ty) para todo valor de

t.

=

th{(x, y)

Mas generalmente , se dice que una funcz"6n f(x

y, . . . ) es homogenea de grado h sz" satz'sface la ecuacz"6n f(tx, ty, . . . )

=

th{(x, y, . . . ) .

Ejemplos de funciones homogeneas que no son polinomios, son tan

(�}

(h

=

0),

(h

=

2).

Otro ejemplo es el coseno del angulo entre dos vectores con las com­ ponentes respectivas x, y, z y u, v, w :

xu + yv + zw

(h

=

0).

La longitud del vector con componentes x, y, z,

es un ejemplo de una funcion que es posz"tz"va mente homogenea y de primer grado; esto es, la ecuacion que define a las funciones ho­ mogeneas no se cumple para esta funci6n a menos que t sea positiva o sea igual a 0 .

Las funcz"ones homogeneas que tam bz"en son dzferencz'a bles satz"s­ facen la ecuacz"6n diferencz"al parcz"al de Euler

xfx + yfy + zfz +

•

•

• =

hf(x, y, z, . . . ).

Para probar esto, se derivan ambos miembros de la ecuaci6n f(tx, ty, . . . ) = th{(x,y, . . . ) con respecto a t; esto puede hacerse , dado que la ecuaci6n es una identidad en t. Aplicando Ia regia de Ia cadena a la funcion de Ia izquierda, se obtiene

xfx(tx, ty, . . . ) + Yfv(tx, ty, . . . ) +

•

•

• = hth - 1{(x, y, .

. ).

Si se hace Ia sustituci6n t = 1 en esto , se llega a la conclusion. Inversamente , es facil demostrar que la homogeneidad de Ia fun-

Funciones de varias variables

y

sus derivadas

1 53

cwn f(x, y, . . . ) es una consecuencia de la relaci6n de Euler, de modo que la relad6n de Euler es una condici6n necesaria y suficiente para la homogeneidad de la funci6n . El hecho de que una funci6n es homogenea de grado h tambien puede expresarse diciendo que el valor de Ia funci6n dividida entre x" solo depende de las razones yfx, z/x, . . . . Por lo tanto, basta con demostrar que de la relaci6n de Euler se deduce que si se introducen las nuevas variables

�

=

x,

�

'

z ' X

= - , . . .,

la funci6n

1 x" f(x, y, z,

·

·

·

)

=

1 f(�, 11 �, �� ' �h

·

·

)

=

g(�, 11 , �'

·

·

·

)

ya no depende de Ia variable � (es decir , que la ecuaci6n C't. = 0 es una identidad). Para probar esto , se aplica la regia de la cadena Ce

1 h (fx + TJlv + • · • ) A - h +l f � � 1 - h = (xfx + yfy + · f. • · ) XA+l XA+l

=

La expresi6n de Ia derecha se anula en virtud de la relaci6n de Euler y queda probada la proposici6n . Tambien puede probarse esta proposici6n en una forma mas elegante, pero menos directa . Se desea demostrar que , a partir de Ia relaci6n de Euler , se deduce que la funci6n

g(t)

=

t"f(x, y,

.

.

.

) - f(tx, ty, . . . )

tiene el valor 0 para todos los valores de t. Es obvio que vez mas ,

g(1)

=

g'(t) = htA -lf(x, y, . . . ) - xfx(tx, ty, . . . ) - yfy(tx, ty, . . . )

Aplicando Ia relaci6n de Auler a los argumentos cuentra que

xfx(tx, ty, y, por tanto ,

.

. .

) + Yfv(tx, ty, . . . ) +

· · ·

h

=e

g(t) satisface Ia ecuaci6n diferencial

0. Una

-

. . .

tx, ty, . . . se en­

f(tx, ty, . . . ) ,

1 54

lntroduccion al caJculo

y

al ana.Iisis matematico

h g'(t) = g(t) t .

Si se escribe g(t)

=

y(t)th, se obtiene g'(t)

que y(t) _satisface la ecuaci6n diferencial

thy'(t)

=

0,

=

f g(t) + thy'(t), de modo =

la cual tiene la soluci6n unica y = constante c. Ya que para t = es obvh que y(t) = 0, la constante c es 0 y , asl, g(t) = 0 para todos los val ores de t, lo que tenia que demostrarse .

1

CAPITU LO

2

Vectores, :matrices, transfor:maciones lineales

En el Volumen I, Capitulo ya se han estudiado los vectores en dos dimensiones . Los conceptos geometricos en dimensiones supe­ riores hacen incluso mas esencial el uso de los vectores. Los vectores sirven para expresar muchas ecuaciones complicadas concisamente, en una manera que exhibe con claridad aquellas caracteristicas que rio dependen de la selecci6n particular de los sistemas de coorde­ nadas .

4,

2. 1

Operaciones con vectores a.

DefiniciOn de los vectores

Se introducen los vectores e� el espacio n dimensional como en­ tidades que pueden sumarse entre si y multiplicarse por escalares. Es­ pecificamente , un vector A es un conjunto de n numeros reales1 a1, . . . , an en un orden definido.

A=(

at , . . . , an)

(Siempre emplearemos las letras negritas para denotar a los vectores. ) Los m1meros a1, . . . , a n se Haman componentes de A � Dos vectores . . . , an) y B = A= son iguales si y solo si tienen las mismas componentes.

(a1,

(b1 , . . . , bn)

l Para nuestros propositos basta con considerar (micamente niimeros reales como componentes, aunquc en otros contextos tambien se- usan vectores sobre otros cam­ pos numcricos.

Introduccion al calculo

1 56

y

al analisis matematico

La suma de dos vectores cualesquiera A = (a1, . . . , a n) y B = (b1, . , bn) se define por

A+ B

(1a)

=

(a1 + b 1, az + bz, . . . , an + bn) ;

se define el producto del vector A = (a 1, . . . , an) por el escalar (es decir, el numero real) A. como (1b) Mas generalmente , a partir de cualquier numero finito de vectores A = (a 1, az, . . . , an), B = (b1, bz, . . . , bn), . . . , D = (d1, dz, . . . , dn) y un niimero igual de escalares 'A, J.l, , y puede formarse la combz"nacz"on lz'neal A.A + J.lB + · · · + yD = (A.a1 + J.1b1 + · · · + yd1, . . . , A.an + Jlbn + • · · + Ydn). En p articular, cualquier vector A = (a1, . . . , an) puede representarse como una combinaci6n lineal de los n "vectores coordenados" •

(2a)

E1 = (1, 0, 0, .

. , 0),

E n = (0, 0, 0, .

. , 1).

•

•

Ez = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,

Obviamente, (2b) Se usa el simbolo 0 p ara el "vecl:or cero" , cuyas componentes son todas cero : 0 = (0, 0, . . . , 0). Se escribe - A para el vector ( - l)A

= ( - a 1, - a z, . . . , - an).

Trivialmente, a partir de estas definiciones se concluye que las sumas de vectores y los productos con esc alares obedecen todas las leyes algebraicas usuales, siempre y cuando tengan significado . 1 Ejemplos de objetos que se representan de modo conveniente por 1 Los vectores son diferentes de otros objetos que pueden describirse por medio de conjuntos ord,enados de n numeros reales (por ejemplo, puntos en el espacio eu­ clidiano n dimensional o sobre una esfera en n + 1 dimensiones) pr,ecisamente por el hecho de que permiten las "operaciones lineales" A + By A.A. La adici6n de puntos definida de modo s�mejante en terminos de sus coordenadas no tendria significado geometrico, al menos ning11n significado independiente del sistema coordenado es­ pecial que se use. Los vectores se representaran posteriormente por medio de parejas de puntos (ver la p . 140).

Vectores, matrices, transforruaciones lineales

157

medio de vectores se tienen en las funciones que son combinaciones lineales de un hiimero finito de funciones elegidas apropiadamente. Asi , el polinomio general de grado � n en Ia variable x , puede representarse por el solo vector A = (ao, at, . . . , an) en el es­ pacio (n + 1) dimensional . La adici6n de vectores y Ia multiplicaci6n por escalares corresponden entonces a las mismas operaciones lle­ vadas a cabo para los polinomios. De modo semejante, el polinomio trigonometrico general de n-esimo grado , 1

f(x) = 2 ao

n

+ I: (ak cos kx + bk sin kx) k=1

(ver el Volumen I, p . 577) pued� representarse por medio del vector (ao, at, . . . , an, bt, b2, . . . , bn) en el espacio (2n + 1) dimensional . Lafunci6n lz'n eal homogenea general de tres variables,

representa por el vector (at, a2, as) en el espacio tridimensional , y Ia forma cuadratica general en tres variables,

se

por el vector (at, a 2 , as, �4, as1 aa) en el espacio hexadimensional .

b. Representaci6n geometrica de los vectores Los vectores en el espacio n dimensional , precisamente como en el plano , pueden concebirse geometricamente como ciertas aplicaciones 1 Estas leyes

son las siguientes:

� A+B=B+� A+�+q=�+m+C (2) A.(A + B) = A.A + A.B , (A. + Jl)A = A.A -+- uA, (A.J.l)A = A.(J.!A) (3) Existe un elemento unico 0 tal que A + 0 = A para todo A (4) Existe un elemento unico - A para A dado, tal que A + (- A) = 0 (5) OA = 0, lA = A para todo A.

Generalmente, los conjuntos de objetos para los cuales estan definidas )a adici6n de los objetos y Ia multiplicaci6n por escalares, y obedecen estas leyes, se Haman espacios vectoriales.

Introduccion al ,cfllculo

1 58

y

al analj�is matematico

del espacio, las traslacianes o desplazamientas paralelas. El vector A = (a1, a2 , . . . , an) puede describirse como la traslaci6n del es­ pacio euclidiano n dimensional R n · que aplica cualquier punta P == (x1, X2 , . . . , Xn) en el pun to P' == (x1' , x2' , . . . , Xn' ) con coorde­ nadas

X1 ' = X1 + a1, X21 = X2 + a2 , . . . , Xn' = Xn + an. 1

(3a)

.La traslaci6n , o el vector correspondiente A , queda determinada de modo unico si para un punta particular p = (Xl, X2 , . . . , Xn) se da la imagen P' = (x1 ' , x2' , . . . , Xn ') obviamente, por (3 a) , A = (x1 ' - Xl, X21 - X2 , . . . , Xn1 - Xn) .

(3b)

Esta traslaci6n se denotara par A == pP; y se dira que el vector x queda representada par la p areja ordenada de p�ntos P y P'. En esta _ representaci6n , a P se le da el nombre de Punta inicz'al y a P' el de punta terminal a final. En los dibujos comunmente se indica el vector ___,.,

A == PP' par media de una flecha que se extiende desde P hasta P'. ___,.,

El mismo vector A tiene muchas representaciones A = PP' par media de una p areja de puntas P y P'. El punta inicial P es com­ pletamente arbitrario , dado que la aplieaci6n definida par A puede actuar sabre cualquier punta y, entonces, determinar una imagen P'. 1 El vector cera , 0, corresponde a la "aplicaci6n identidad" en la �

que carla punta se aplica sabre si mismo: 0 = PP. Como en el plano (Volumen I , p . 384) , la suma de dos vectores A = (a1, . . . , an) , B = (b1, . . . , bn) proporciona el praducta sim b6lica de las aplicaciones correspondientes . Si A lleva al punta P = (x1 , . . . , Xn) hacia el punta P' = (x1 ' , . . . , xn ') y B lleva al punta P' hacia el P" = (x1" , . . . , Xn") , entonces C = A + .B corresponde a la traslaci6n que lleva a P hacia P", puesto que

para i

==

1, . . . , n. En notaci6n vectorial , se tiene

1 Se entiende que los dos puntos P y P' se encuentran en Rn y que sus coordenadas se toman con respecto al mismo sistema coordenado. ___,.,

*Ocasionalmente, se usa la notaci6n P' - P para el vector PP', la cual, de acuerdo con la formula (3b), sugiere la noci6n de vectores como diferencias de puntos.

Vectores, matrices, transformaciones lineales �

�

1 59

�

A + B = PP' + P'P" = PP".

(4)

�

Si se representa B en la forma PP"' dandole el mismo punto inicial .

�

.

P de A, se encuentra que A + B = PP" queda representado por la diagonal del paralelogramo con vertices P, P', P".4, P"' (ver la Fig. . 2. 1 ). P"

p Figura 2 . 1 Adici6n de vectores.

�

Intercambiando el punto inicial y el final del vector A = PP' = , Xn' - Xn) se obtiene el vector opuesto (x1' - XI, x2' - X2 , •

•

•

·

�

P'P = (X! - X11 , X2 - X2 1 ,

•

•

•

, Xn - Xn') = (

-

1) A = - A.

La aplicaci6n P' � P , correspondiente a - A , es Ia inversa a Ia aplicaci6n A; llevando a c abo primero A y, a continuaci6n, - A se llega a la aplicaci6n identidad, de acuerdo con l a formula

( - A) + A = ( - 1 + 1) A = OA = 0. Correspondiendo a (4) , se tiene l a tan usada formula para la diferen----!1..

�

cia de dos vectores A = PP' y B = PP" con punto inicial comun:

(4a)

�

----!!..

�

----!!..

�

�

�

B - A = PP" - PP' = PP" + P'P = P'P + PP" = P'P". �

�

La diferencia de los vectores PP'" y PP' se representa aqui por el tercer l ado del triangulo con vertices.P, P',_ P". Con cada punto P = (XI , Xn) puede asociarse un vector unico que tiene al .origen como pun to inicial y a P como punto final; este es el vector •

•

•

,

lntroduccion al calculo

160

�

OP

y

al analisis matematico

=

(XI, . . . , Xn),

el llamado vector de posz"d6n de P. Las componentes del vector de posicion de P son precisamente las coordenadas de P. Por ejemplo, el vector coordenado Ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) de la formula (2a) es el vector de posicion del punto sobre el eje x , positivo que se

P'

0 Figura 2 . 2

�

El vector PP'

como diferencia de los vectores de posicion. �

encuentra a la distancia del origen . Cualquier vector A = PP' puede escribirse siempre como la diferencia de los vectores de po­ sicion de su punto final y su pun to inicial :

1

�

PP'

(5)

=

�

�

OP' - OP

(ver la Fig . 2 . 2 ) .

c. Longitud de los vectores, angulos entre direcciones

, Xn) Y P' = La distancia entre dos puntos P = (xt, . (x1', , xn') en el espacio euclidiano n dimensional Rn esta dada por la formula 1 .

•

•

.

•

Como solo entran en la expresion para r las diferencias de las coor­ denadas correspondientes de P, P' , se ve que la distancia es la misma para todas las parejas de puntos P, P' que representan al mismo vee1 En dos o tres dimensiones puede deducirse Ia formula geometricamente aplicando el teorema de Pitagoras. En dimensiones superiores Ia expresion para r puede con­ siderarse como Ia definicion de distancia entre dos puntos en el espacio euclidiano n dimensional, cuando se refiere a un sistema coordenado cartesiano.

Vectores, matrices, transformaciones lineales �

161

r se le da el nombre de longitud del vector A y se estor A = PP'. cribe r = I A 1 . El vector A = (a t , . . . ,a n) tiene Ia longitud

A

(6a) El vector 0 = (0, 0, . . . , 0) tiene longitud 0. La quier otro vector es un numero positivo . En la geometria euclidiana los angulos pueden minos de longitudes . Esto se logra por media de nometrica ("ley de los cosenos") que da el angulo 1 b en un triangulo con lados a, b, c : cos

(6b)

longitud de cual ­ expresarse en ter­ la formula trigo­ entre los lados a y

a 2 + b 2 - c2 2ab

1 = --

Esta formula se a plica a un triangulo con vertices P, P', P". (Fig. 2. 3a) . Los lados a y b del triangulo son las longitudes de los vectores

A=

pP, B = � mientras que el lado P"

p

c

es la longitud del vector

P' 0

(a)

(b)

Figura 2 . 3 Representaci6n vectorial de una recta que pasa por un punto dado con direcci6n dada .

una

�

C = P'P"

=

�

�

PP" - PP'

=

B - A.

Para

A = (at, . . . , a n),

B = (b1, .

.

. , bn)

Introduccion al calculo

162

y

al analisis matematico

se tiene

Por (6b),

C = (c1, . . cos y =

.

, e n) = (b1 - a1, . . . , bn - an).

IAI2 + IBI2 - ICI 2 2IAI IBI

don de

Por tanto , para A

(7)

cos y =

;t:.

0, B ;t:. 0,

a1b1 + a 2 b 2 + · • • + anb n v a1 2 + • • • + a n 2 J b1 2 + • • + b n2 • ·

Se ve que el angulo y en el triangulo PP'P" solo depende de los �

�

vectores A = PP' y , B = PP". En consecuencia, a la cantidad cos Y , dada por la formula se le da el nombre de coseno del angu[o i

(7 ) ,

entre los vectores A = (a1,

.

.

.

, an) y B

=

{b1, . . . , bn).

La formula (7) para el cos y en realidad siempre define angulos reales y entre dos vectores cualesquiera diferentes de cero A, B, dado que siempre proporcio,n a un valor con I cos Y l � 1. Esta es una con­ secuencia inmediata de la desigualdad de Cauchy- Schwarz ( Volumen I, p . 1 5)

AI calcular los angulos entre el vector A y cualquier otro vector B , solo se requiere conocer las cantidades a partir de

(7),

(9)

(i = 1,

. .

. , n)

1 El propio angulo y queda determinado de manera (mica solo si se restringe y a en­ contrarse en el intervalo 0 � y � 1t. Remplazando y por 2n1t ± y (donde n es un en­ tero), se obtienen todos los demas angulos con el mismo valor de cos y, y cual­ quiera de estos se considerara como un angulo entre A y B.

Vectort:s, matrices, transformaciones lineales

163

que se conocen como cosenos directores de A. Todos los vectores diferentes de cero con los mismos cosenos directores forman los mis­ mos angulos con otros vectores y, por tanto, puede decirse que tienen la misma direcci6n. De (7 ) 3e concluye que los cosenos directores de A pueden interpretarse como los cosenos de ciertos angulos: (10) donde a, es el angulo entre A y el z�-esirno "vector coordenado" E t = Los n cosenos directores del vector A (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). satisfacen la identidad * cos2 an = 1.

(11)

El unico vector sin cosenos directores (y, por tanto , sin direccion) es el vector cero. Dos vectores A y B que no sean iguales a 0 tienen la misma direc­ cion si y solo si tienen los rnismos cosenos directores, es decir, si 1

1

I A I A = TBT B . Evidentemente , este es el caso si y solo si A y B satisfacen una re­ I I l l B I es la razon de laci6n A = A.B, donde A es positiva. A qui A longitudes de los vectores. Un vector de longitud 1 se llama vector las unitario. El vector

= A

cuyas componentes son los cosenos directores de A, es el vector unz"tario en la direccz6n de A. ( - a1, . . . , - an) opuesto a A tiene los cosenos El vector -A directores - �t. Se dice que su direccion es opuesta a la de A. Los vee­ tares A y B (ninguno de los cuales es el vector cero) son paralelos si tienen la rnisma direccion , o bien , si tienen direcciones opuestas, = AB donde A es pero para que exista paralelismo es necesario que cualquier numero A � O . Las cornponentes a1, . . . , an de cualquier

=

A

I

En dos dimensiones la relaci6n cos 2 a1 + cos 2 a2 = 1 nos permite elegir para a2 el 1t/2 - a t . En tres o mas dimensiones ]a relaci6n ( I I ) entre los cosenos directores

valor

no corresponde a rclaci6n lineal simple alguna entre los propios angulos a,

164

lntroduccion al dtlculo

y

al analisis matetnatico

vector A -::/=. 0 paralelo a una direccion dada se Haman numeros direc­ tores para esa direcci6n . Si a un vector unitario (� I, . . . , �n) se le asigna el origen 0 como punto inici al , el punto final P = (� 1 , . . . , �n) es un punto sobre la "esfera unitaria" (es decir , Ia esfera de radio I y centro en el origen 0) + �n2 = 1. Dado que existe exactamente un vector �1 2 + � 22 + unitario en cualquier direccion dada , se ve que las diferentes direc­ ciones en el espacio n dimensional pueden representarse por los pun­ tos de la esfera unitaria. Los puntos de Ia esfera que corresponden a direcciones opuestas estan diametralmente opuestos. Intuitivamente , puede imaginarse una recta como una curva de "direcci6n constante" . Esto sugiere que una recta en el espacio n dimensional se defina como un Iugar geometrico de los puntos con Ia propiedad de que todos los vectores -::F- 0 con punto inicial y punto final sobre la recta · sean paralelos. Esta definicion conduce inme­ diatamente a una representacion vectorial para las rectas. Para ·

·

•

�

cualesquiera puntos distintos P, Q sobre Ia recta L, el vector PQ es paralelo a un vector fijo A, es decir, �

(A. * 0).

PQ = A.A

Si se mantienen fijos P y A y se hace que Q recorra todos los puntos de la recta L, para el vector de posicion de Q se tiene Ia formula (ver la Fig. 2 . 3b)

(12)

�

�

�

�

OQ = OP + PQ = OP + A.A.

Aqui el p arametro ;., vari a sobre todos los valores reales; el valor A. == 0 corresponde al punto Q = P. Si Q tiene las coordenadas X1, Xn ; P, las coordenadas YI, . . , Yn ;. y A, las compohentes a1, . . , an, la formula ( 1 2 ) corresponde a la representacion parametrica de la recta •

.

•

•

,

.

(i = 1, . . . , n) donde el parametro A. varia sobre todo A. real . El punto P divide a la recta L en dos semirectas, o "rayos" , que se distinguen por el signo de �

A.. Para A. < 0 . el vector PQ tiene la misma direccion que A (" apun-

Vectores, matrices, transformaciones lineales

165

�

ta" en la direccion de A); para 'A > 0 , el vector PQ apunta en la direccion opuesta .

D . Productos escalares de vectores La cantidad que aparece en el numerador de la formula (7 ) para e1 angulo 'A entre dos vectores A = (at, . . . , an) y B = (bt, . . . , bn) se llama producto escalar de A y B y se denota por A B : •

(13) Expresado en terminos de entidades geometricas, puede escribirse como

A · B = I A I I B I c os y.

(14)

El producto escalar de dos vectores es el producto de sus longi­ tudes multiplz'ca do por el coseno del angulo entre sus direcciones. Si �

�

A = PP', B = PP", puede interpretarse p = I A I cos y geometricame nte como l a Proyecc 1:6n (con signo) del segmento PP' sobre la recta PP" (ver la Fig. 2 . 4) . P recibe el nombre de componente del . ve ctor A en la direcci6n de B. Por la formula ( 1 4) , se tiene A · B = piBI.

(14a)

De donde, el producto esc al ar de los vectores A, B es igual a la com­ ponente de A en la direccion de B multiplicada por la longitud de B. I Si B es el vector coordenado Ei = (0, . . . , 1, . . . O) en la direc­ ci6n del eje Xi positivo , la componente de A en la direccion de B es simplemente ai , la i-esima componente del vector A. A partir de la definicion (1 3 ) , facilmente se verifica que el producto escalar satis­ face las leyes algebraicas usuales

A·B=B·A

(15a) (15b)

'A(A B) = ('AA) • B = A ('AB) ·

•

(ley conmutativa) (ley asociativa) 2

I Por supuesto , tambien es igual a l a componentes de B en la direcci6n de A, mul­ tiplicada por la longitud de A. 2Como el producto escalar de dos vectores no es un vector sino un escalar, no existe asociativa que involucre productos escalares de tres vectores.

ley

166

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico P"

Figura

�

�

2.4 Producto escalar de los vectores A = PP' y B = PP"

(1 5c) A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B)

•

C = A

•

C + B

•

C

(Ieyes distri butivas). La importancia fundamental del producto escalar proviene del hecho de que , expresado en terminos de las componentes de los vee­ tares A y B , tiene la sencilla expresion algebraica ( 1 3 ) , mientras que , al mismo tiempo , tiene una interpretacion puramente geometrica representada por la formula ( 14), la cual no h ace mendon de las componentes de los vectores en sistema coordenado espedfico alguno. Los productos escalares no son utiles unicamente para describir an­ gulos sino que forman la base p ara deducir tambien expresiones analiticas para las areas y volumenes. A partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz (8) se concluye que el, producto esc alar satisface la desigualdad

(16)

[A · BI � IAI I BI ,

la cual ex pres a que cos Y I � L Se vera (p . 23 1 ) que la igualdad en ( 1 6) solo se cumple si los vectores A y B son p aralelos . o si al menos uno de ellos es el vector cero . Notese que , por (6a) y ( 1 3 ) , para B = A queda

( 1 7a)

A · A = I A I 2,

Es decir, el producto escalar de un vector consigo mismo es el cuadrado de su longitud. Esto tambien se deduce a partir de (14), ya que el vector A forma el angulo y = 0 consigo mismo . La importante relacion

Vectores, matrices, transformaciones lineales

167

( 1 7b) para los vectores A, B diferentes de cero corresponde a cos y = 0 , o bien, ·r = rr/2. Esta relaci6n c aracteriza a los vectores A, B como "perpendiculares" u "ortogonales" o "normales" entre si. Por otra parte , A • B > 0 significa cos y > 0 ; es decir , puede asignarse a y un valor con 0 � y < rc/2 ; las direcciones de los vectores forman un an­ gulo agudo. De modo semej ante , A · B < 0 significa que los vectores forman un angulo con rt/2 < y � rt, un angulo o btuso, entre si . Por ejemplo , los dos vectores coordenados (ver Ia p. 1 56) ·

EI

=

E2

y

( 1 , 0, 0 , . . . ' 0)

=

(0, 1 , 0, . . . , O)

son mutuamente ortogonales, puesto que

EI

• E2 =

1·0

+

0· 1

+

0· 0 +

.

.

.

+

0· 0

=

0.

Mas general mente , dos vectores coordenados distintos cualesquiera

Et y Ek son ortogonales:

(i * h).

(17c) Por supuesto , para

k

=

i, se tieue

( 17d)

los vectores coordenados tienen longitud 1 . e. Ecuaci6n de hiperplanos en forma vectorial

El Iugar geometrico de los puntos P

=

(x1 , .

. . , X n) en el espacio

n dimensional R n que satisfacen la ecuaci6n lineal de la forma

(18)

(donde no todos los a1, a 2 , . . . , an se anulan) se llama hiperplano. Se antepone el prefijo "hi per" porque el espacio n dimensional con­ tiene "pianos" , o "variedades lineales" , de varias dimensiones ; los hiperplanos pueden identificarse con los espacios euclidianos (n - 1) dimension ales, contenidos en el espacio n dimensional Rn . Ellos son los pianos bidimensionales ordinarios en el espacio tridimensional , las rectas en el plano , los puntos sobre una recta .

168

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

Introduciendo el vector A = (a1,- a2 , . . . , an) y el vector de � posicion X = (x1, . . . , Xn) = OP del punta P, puede escribirse la ecuacion ( 1 8 ) en notacioll vectorial como

(18a)

(A �

-=F

0).

Sea Y =;= (y1, . , , Yn) = OQ el vector de posicion de un punta par· ticular Q del hiperplano, de modo que A • Y = c. Restando esta ecuacion de ( 1 8a), se encuentra que los puntas P del hiperplano satisfacen _.

(19)

0= A

•

X

-

A

• Y = A • (X

-

Y) = A

•

�

PQ.

De donde, el vector A es perpendicular a la recta que une a dos pun·

tos cualesquiera del hiperplano . El hiperpl ano consiste de aquellos puntas que se obtienen yendo desde cualquiera de sus puntas Q en todas direcciones perpendiculares a A. Se dice que l a direccion de A es la "normal" al hiperplano (ver la Fig. 2 . 5). El hiperplano con ecuacion ( 1 8a) divide al espacio en los dos semiespacios a biertos dados por A • X < c y A • X > c. , El vector A apunta hacia el semiespacio A • X > c. Con esto quiere darse a en· tender que un rayo que emana de un punta Q del hiperplano en la direccion de A consiste de los puntas cuyos vectores de posicion X

0

Figura 2 . 5a Ley de formaci6n del determinante de tercer orden

·

Vectores, matrices, transformaciones lineales

1 69

satisfacen a A · X > c. En efecto, los vectores de posicion X de los puntos P de ese rayo estan dados por �

�

X = OP= OQ + AA = Y + AA [ ver ( 1 2) ] , donde Y es el vector de posicion de Q y A es un numero positivo. Entonces es obvio que A · X = A · Y + A · AA =

c

+ 'A I A I 2 >

c.

Mas generalmente, cualquier vector B que forma un angulo agudo con A, apunta hacia el semiespacio A • X > c, dado que A • B > 0 implica que A • X = A • (Y + AB) = A • Y + 'AA • B >

c.

Si Ia constante c es positiva, el semiespacio A • X < c sera el que contiene al origen, ya que A • 0 = 0 < c. Entonces A tiene la direc­ ci6n normal "alejandose del origen" . L a ecuacion lineal ( 1 8a) que describe a u n hiperplano dado no es (mica , porque se puede multiplicar la ecuaci6n por un factor cons­ tante arbitrario A =1=- 0, lo que e quivale a remplazar el vector A por el vector paralelo AA y la constante c por Ac. Si c =1=- Q- es decir , si el hiperplano no pasa por el origen - puede elegirse . 'i

_

l'w -

sgn c IAI

Multiplicando ( 1 8a) por A, se obtieue la forma normal de Ia ecuaci6n del hiperplano B · X =p

(20)

Aqui p es una constante positiva y B es el vector normal unitario que apunta hacia afuera del origen. La constante P en la ecuacion (20) es simplemente la dzstancia al hiperplano desde el origen 0, es decir, la distancia mas corta del origen 0 a cualquier punto del hiperplano. Porque, sea P cualquier punto del hiperplano y X el vector de po­ sicion de P; entonces Ia distancia del origen 0 a P esta dada por �

I OP I = I X I = I X I I B I .

lntroduccion al calculo

170

y

al analisis matematico

De ( 1 6), (20) se concluye que �

I OP I � B · X = p. La igualdad se cumple para el punto especial P del hiperplano con vector de posici6P �

OP = X = pB. La recta que une a este punto con el origen tiene la direcci6n de la normal al hiperplano. M as generalmente , puede h allarse la distancia d del hiperplano a cualquier punto Q en el espacio con vector de posicion Y. Como el lector puede verificar por si mismo,

(20a)

d = IB · Y - pl.

f. Dependencia lineal de vectores lineales

y

sistemas de ecuacione

Muchos problemas en el analisis matematico pueden reducirse a] estudio de las relaciones lineales entre un cierto numero de vectore! en el e�pacio n dimensional . Se dice que un vector Y es dependz"ente 1 de los vectores AI, A2 , . . . , Am , si Y puede representarse como unc: "combinaci6n lineal" de AI, . . . , Am, esto es, si existen los escalare! XI, . . , Xm tales que

(21) Aqui m es cualquier numero natural . El vector cero siempre es dependiente , ya que puede representarse en la forma (21 ) eligiendo para todos los esc alares Xi el valor 0 . La dependencia de Y de un solo vector AI ¢ 0 significa que Y = 0 , o bien, que Y es p aralelo a AI . Eligiendo como AI, . . . , Am a los n vectores coordenados

(22)

E 2 = (0, 1, . . . , 0), . . . ,

EI = (1, 0, . . . , 0), En = (0, 0,

.

. . , 1)

1En la literatura , lo que aqui llamamos "dependiente" a menudo recibe el nombre de "linealmente dependiente" . Como no se considera ning11n otro tipo de dependen­ r:ia, eliminamos la.palabra "lineal " .

Vectores, matrices, transformaciones lineales

se v e que Ia relaci6n (21 ) se cumple para cualquier vector Y . . , Yn) , si se elige XI = YI, X2 = Y2 , . . , Xn = y.," :

171 =

(yi,

•

.

(23) Por tanto, todo vector en el espacz"o depende de los vectores coor­ denados. Por otra parte, ninguno de los n vectores coordenados E1 depende de cualquiera de los otros, como facilmente se ve . Mas generalmente, un vector Y ;t::. 0 no puede ser dependiente de los vee­ tares AI, A 2 , . . . , Am sz" Y es ortogonal a cada uno de los vectores , Am. porque, multiplicando Ia relaci6n (2 1 ) escalarmente A1, por si misma, da •

.

.

JYJ2

=

Y

=

XIY

y, por tanto , Y

=

•

Y •

=

Y

(XtAI + X2A2 +

•

AI + X2Y

•

A2 +

•

•

•

•

•

•

+ xmAm)

+ XmY • Am

=

0,

0.

Se dice que los vectores AI, . . . , Am son dependz"entes si existen los escalares XI, x2 , . . . , Xm , no todos nulos, tales que

(24) Si AI, . . . , Am no son dependientes - es decir, si (24) solo se cumple para XI = X2 = • • • =- Xm = 0 se dice que AI, . , Am son z"n­ dependz"entes. Por ejemplo , los vectores coordenados E 1, . , E n son independientes, ya que -

.

•

.

0 = XIEl

+ X 2E 2 +

•

•

•

.

+ XnEn = (XI, X2 , . . . , Xn)

obviam,ente implica que XI = X2 = • • • = Xn = 0. . . Las dos nociones de " dependencia de un vector respecto a un con­ junto de vectores" y "dependencia de un conjunto de vectores" estan intimamente relacionados . Un cz"erto numero de vectores son depen­ dientes sz" y solo sz" puede hallarse uno de ellos que sea dependiente de los otros. Porque , obviamente , Ia relaci6n (2 1 ) que expresa que Y es dependiente de A1 , . . . , Am puede escribirse en Ia forma

XIAI +

•

•

•

+ XmAm + ( - l)Y =

0,

lo. . cual muestra que los m + 1 vectores AI, A 2 , . . . , Am, Y son dependientes. lnversamente, si A 1 , . . . , Am son dependientes, se

172

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

tiene una relaci6n de la forma (24), donde no todos los coeficientes Xi se anulan. Si, digamos , Xk no se anul a , puede resolverse la ecuaci6n (24) para Ak, expresando Ak como una combinaci6n lineal de los otros vectores. La dependencia del vector Y respecto a los otros vectores AI, . . . , Am significa que un cierto sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones XI, . . . , Xm; Porque sea Y = (yi, . . . , Yn), y el vector Ak dado por

Entonces la ecuacion vectorial (2 1 ), escrita en terminos de las com­ ponentes, es equivalente al sistema de n ecuaciones lineales

(25)

auXI + ai2X2 +

•

•

•

+ aimXm = YI

a2IXI + a22X2 +

•

•

•

+ a2mXm = Y2

aniXI + an2X2 + . . . + anmXm

;==

Yn

para las cantidades desconocidas XI, . . . , Xm. Ohviamente , Y depen­ de de AI, . . . , Am si y solo si el sistema (25) posee por lo menos una soluci6n XI, . . . , Xm. De modo semejante, los vectores AI, . . . , Am son dependientes si y solo si el sistema '�homogeneo" de ecuaciones anXI + ai2X2 +

a21XI + a22X2 +

(25a)

+ aimXm :::;:: 0

•

+ a2mXm = 0

•

aniXI + an2X2 +

•

•

•

+ anmXm

tiene una soluci6n "no trivial" XI , . . . , Xm, soluci6n diferente de la solu� ion trivial 1 XI

=

X2

=

•

•

•

=

=

0.

es decir , tiene una

Xm = 0.

Hemos encontrado ya un conjunto de n vectores en el espacio n dimensional que son independientes, a saber, los vectores coorde� ecuaciones del tipo P(x1 , X2, , Xm) = 0 donde P es un polinomio homo­ geneo (ver Ia p. 38) reciben el nombre de homogeneas. Siempre tienen Ia soluci6n trivial Xl X2 = • • • = Xm = 0. Es mas, cualquier so}uci6n X1 , , Xm sigue sien­ do una soluci6n si se multiplican todos los Xt por el mismo factor A..

'iLa

•

=

•

•

.

•

.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

173

nados EI, . . . , En. Basico para la teoria de los vectores es el hecho de que n es el numero maximo de vectores independientes: Teorema fundamental de la dependencia lineal. Cualesquiera n + 1 vectores en el espacio n dimensional son dependientes. Antes de probar este teorema, considerense algunas de sus im­ plicaciones de mucho alcance . Inmediatamente puede concluirse que cualquier conjunto de m as de n vectores en el espacio n dimensional es dependiente . Porque cualquier dependencia (24) entre los pri­ meros n + 1 de m vectores puede considerarse una dependencia . de todo s los m vectores , si a los vectores rest antes se les asigna el coe­ ficiente 0. Entonces el teorema fundamental implica : El sistema de ecuaciones lineales homogeneas (25a) siempre tiene una soluci6n no

trz'vial si m > n, es decir, si el numero de incognitas es mayor que el numero de ecuacz'ones. La ultima proposici6n puede plantearse geometricamente en una ma diferente , si se interpreta cad a una de las ecuaciones (25a) for como si enunciara que cierto producto escalar de dos vectores en el espacio n dimensional se anul a . Entonces, una soluci6n no trivial XI, , Xm corresponde a un vector X = (XI, . . . , Xm) ;t= 0. La anulaci6n del producto escalar de dos vectores que no se anulan sig­ nifica que los vectores son mutuamente perpendiculares . Las ecuaciones (25a) afirman que X es perpendicular a los n vectores (au En­ , ai2, . . . , aim), (a2I, a22, . . . , a2m), . . . , (ani, an2, . . . , anm). tonces se tiene : Dado un conjunto de vectores que no se anulan, cuyo numero es menor que la di"mensi6n del espacio, puede hallarse un vector que Sf?a perpendicular a todos ellos (y por tanto, por lo es­ tab lecido en la p . 1 7 1 es independiente de ellos) . Regresando a los vectores en el espacio .n dimensional, se observa una consecuencia mas del teorema fundamental: Todo vector Y en el espacz'o n dimensional depende de n vectores dados AI, . . . , An, sz'empre que AI, . . . , A n sean independientes. Puesto que como los n + 1 vectores AI, . . . , An, Y de ben ser dependientes, se tiene una relaci6n de la forma •

•

•

donde no todas las cantidades Zl, . . . , Zn+I se anulan . Entonces Zn+I

¢ 0, ya que de lo contrario At, . . . , An serian dependientes, lo --que·sena ()puesto a la hipotesis . Se concluye que

174

(26)

Introduccion al dtlculo

Y = XtAt

y

al analisis matematico

+

X 2A 2

+

•

•

•

+ XnAn

donde

Zi Zn+t

Xi =

( i = 1,

.

. . , n).

Incidentalmente , los coeficientes Xk en la representaci6n (26) de Y como una combinaci6n lineal de los vectores independientes At, . . . , An estan determinados de manera unica , porque si hubiera una segunda representaci6n

restando se concluiria que

(xt - Yt)At + (x2 - y2)A2 +

•

•

•

+ (xn - Yn)An = 0.

Aqui , para los vectores independientes At, . . . , An se concluye que todos los coeficientes se anulan y, por tanto , que Xt = Y t, . . . , Xn = Yn · Por otra parte , si At, . . . , An son dependientes, evidentemente puede encontrarse un vector Y que no dependa de At, . . . , An, par­ que , en ese caso,, uno de los vectores At, . . . , A n depende de los otros, digamos An de At, . . . , An-t ; entonces, un vector Y depen­ diente de At, . . . , A n tam bien es dependiente de At, . . . , An-I · No obstante , existen vectores Y en el espacio n dimensional que no · dependen de n - 1 vectores dados (ver la p . 1 7 3) . Como la independencia d e At, . . . , An es equivalente al hecho de que el sistema correspondiente de ecuaciones lineales homogeneas (25 a) tiene solo la soluci6n trivial, se h a deducido el siguiente' teo­ rema basico acerca de la resolubilidad de sistemas de ecuaciones lineales, a partir del teorema fundamental :

El sistema de n ecuaciones lz'neales . + atnXn = Y t

anxt + at 2X2 + (27) antXl + an2X2 +

•

•

•

+ annXn = Yn

tiene una soluci6n unica XI, . . . , Xn . para cualesquiera numeTOS

Vectores, matrices, transformaciones lineales

1 75

dados y �, . . . , Yn siempre que las ecuaciones homogeneas aux1 + a12X2 +

a21XI + a22X2 +

( 27a)

·

·

·

· ·

•

·

+ a1nXn

0 + a2nXn = 0

aniXl + an2X2 + • • • + annXn

=

=

0

solo tengan la soluci6n trivial XI = X2 = . . . = Xn = 0. Si el sistema (27 a) tz"ene una soluci6n no tr-ivial, Pueden hallarse los valores )'I, . . . , Yn para los cuales el sistema (27) no #ene soluci6n. Aqui se tiene un teorema puramente de existencia , que no d,a in­ dic aci6n sabre como se puede obtener realmente la soluci6n XI, X2 . . , Xn, si existe. Esto puede lograrse por media de determinantes, como se discute en la Secci6n 2 . 3 , a continuaci6n . Procederemos a realizar la demostraci6n del teorema fundamen­ tal , aplicando la inducci6n sabre la dimension n . El teorema afirma que cualesquiera n + 1 vectores A1, . . . , An, Y en el espacio n dimensional son dependientes . Para n = 1, los vectores se vuelven escalares y la proposici6n que debe probarse es la siguiente: Para dos numeros cualesquiera Y y A pueden hallarse' los numeros xo, XI, los cw:tles no se anulan simultaneamente, tales que •

·

xoY + XIA

=

0.

Esto es trivial . Si Y = A = 0, t6mese xo = x1 = 1 ; en todos los demas casos , t6mese xo = A, XI = Y. Sup6ngase que se h a probado que n vectores cualesquiera en el es­ pacio (n 1) dimensior1 al son dependientes. Sean At, . . . , An, Y vectores en el espacio n dimensional . Se desea pro bar que A1, . . . , An, Y son dependientes. Esto es evidentemente el caso si AI, . . . , An , solos ya son dependientes . Por tanto , nos restringiremos al caso· en el que AI, . . . , An son independientes; se probara que entonces Y es dependiente de AI, . . . , An.. B asta con prob ar que cada uno · de los vectores coordenados E I , . . . E n , que se tienen en (22 ), depende de AI, . . . , An, porque , por (23) , cualquier vector Y es una combi­ naci6n lineal de los Ei . y, por tanto , tambien. de los Ak , si los Ei pueden expresarse en terminos de los Ak.I Solo se probara que En depende de AI, . . . , An, ya que la demostraci6n para los otros Ei es semejante . B asta con demostrar que el sistema de ecua­ ciones -

-

y

Introduccion al calculo

176

anX1 + ai 2X2 +

(28)

•

•

al analisis matematico

+ ainXn = 0

• •

+ annXn = 1

(i = 1 ,

. . . , n

- 1)

tiene una soluci6n XI, . . . , Xn. Ahora bien, las primeras n - 1 ecuaciones, las cuales son homogeneas, tienen una soluci6n no trivial , Xn , como consecuencia de la hip6tesis de inducci6n de que n X1, vectores en el espacio ( n - 1) dimensional son dependientes . Para esa soluci6n, sea •

.

•

a n1X1 + an2 X2 +

•

•

•

+ annXn

= C.

Aqui c =F 0, ya que de lo contrario los vectores A1, . . . , An serian dependientes. Dividiendo XI, x2 , . . . , Xn entre c, entonces se ob­ tiene la soluci6n deseada del sistema (28). Esto completa la demos­ traci6n del teorema fun damental . Ejercicios 2 . I 1 . Dar Ia representacion coordenada de Ia . recta que pasa por el punto P = ( - 2, 0, 4) y en Ia direccion del vector A = (2, 1, 3). 2. (a) tCual es la ecuacion de la recta que pasa por los puntos, P = (q, -2, 2) y Q = (6, - 5, 4)? (b) D ar la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos distintos cuales­ quiera P y Q.

3 . Si A y

B son dos vectores con punto inicial 0 y puntos finales P y Q, en­ tonces el vector con 0 como punto inicial y el punto que divide a PQ en la razon A : (1-A) como pun to final, est a dado por

(1 - J.) A + J.B. 4.

En el Ejercicio 3, t para que valores de A el vector de posicion correspon­ de a un punto sobre del rayo en Ia dir�ccion de Q desde P?

5 . El centro de masa de los vertices de un tetraedro PQRS puede definirse como el punto que divide a MS en I a razon 1 . 3 , donde M es el centro de

masa de los vertices PQR. Demostrar que esta definicion es indepen­ diente del orden en el que se toman los vertices y que concuerda con. la definicion general del centro de. masa (Volume� I , p. 373).

6. Se dice que dos aristas de un tetraedro son opuestas si no tienen vertice en comun. Por ejemplo, las aristas PQ y RS del tetraedro del Ejercicio 5 son opuestas. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de aristas opuestas de un tetraedro pasa por el centro de masa de los ver­ tices. 7. Sean A1, . . .

m2 , . . . , m n ,

n particulas arbitrarias en el espacio, con masas respectivamente. Se G su centro de masa y denotemos

, An

m1,

Vectores, matrices, transformaciones lineales G

por A 1 , . . . , An los vectores con punto inicial . . , An. Probar que .

y puntos finales

177 A1,

8. Los numeros reales forman un espacio vectorial unidimensional, donde

Ia adici6n de "vectores" es Ia adici6n ordinaria y Ia multiplicaci6n por escalares es Ia multiplicaci6n ordinaria. Demostrar que los numeros reales positivos tambien forman un espacio vectorial donde la adici6n de vectores es I a multiplicaci6n ordinaria y Ia multiplicaci6n escalar se define apropiadamente .

9. Verificar que los ntimeros complejos forman un espacio vectorial bi­ dimensional donde Ia adici6n es Ia adici6n ordinaria y los escalares son numeros reales. 10. Sean P y Q puntos diametralmente opuestos y R cualquier otro punto sobre una esfera . Demostrar que PR se intersecta con QR a angulos rec­ tos.

P

1 1 . (a) Obfener la forma normal del plano que pasa por el punto = ( -3, 2 1) y es perpendicular al vector A = (1, 2 2) (b) �Cual es la distancia del plano al pun to Q = (1, - 1, - 1) ? (c) � Se encuentran 0 y Q en el mismo lado o en lados opuestos del plano? ,

12.

l3.

,

-

.

(a) Sea la ecuaci6n de un hiperplano dada en la forma ( 1 8) . Determinar las coordenadas del pie de la perpendicular que baja desde un punto P al hiperplano. (b) En el Ejercicio 1 1 , dar los pies de las perpendiculares que bajan des­ de 0 y Q al plano.

Sean A y

B

vectorcs no paralelos. Demostrar que

es perpendicualr a dicular a B .

B.

El vector C se llama componente de A perpen­

l4. Encontrar el angulo ifJ entre el plano

Ax +

By + Cz + D = 0.

y Ia recta x

= xo +

at,

y = yo + �t,

z = zo

+

yt.

I 78

2. 2

Introduccion al calculo Matrices

y

y

al analisis matematico

transformaciones lineales

a. Cambio de base. Espacios lineales

Todo vector Y en el �spacio n djmensional R n puede escribirse como una combinaci6n lineal de los vectores coordenados E1 , , En definida port (22) ; a saber, •

.

(29) donde los Yi son las componentes de Y. Puede generalizarse la nocion de vector coordenado y de componentes, considerando m vectores in· dependientes cualesquiera A1, . . . , Am en R n Si Y es un vector dependiente de los Ai, se tiene (30)

donde los coeficientes Xi quedan determinados de modo unico por media de Y. A X I , . . . , Xm se les da el nombre de componentes de Y con respecto a la base A1, . . . , Am . Con respecto a esta base, el vec­ tor base A1 tiene las componentes 1 , 0, . . , 0 ; el vector base Az, las componentes 0 , 1 , . . . , 0 ; y asi sucesivamente. Para cualquier escalar A , el vector .

tambien es dependiente de los At y tiene l as componentes A.x1, . . . , A.xm. De modo semejante , si Y'

=

X1'A1

+

• • •

+ Xm'Am

es un segundo vector que depende de los Ai, la suma Y

+

Y'

=

(x1

+

x'1)A1 +

• • • , + (Xm +

Xm')Am

tiene las componentes X1 + X1', . . . , Xm + Xm' con respecto a la base considerada . Para m < n no todos los vectores Y en el espacio n dimensional son dependientes de A1, . . . , Am. Se dice que los vectores depen· dientes de m vectores independientes forman un esPacio vectorial m dimensional. Puede imaginarse un espacio asi , eligiendo un punto

Vectores, matrices, transformaciones lineales

arbitrario Po con vector de posicion B para todos los vectores A1, . . , Am. Sea

=

179

�

OPo cmno punto inicial

(i

(3la) �

= 1,

.

.

.

, m)

sea Y = PoP el vector dado por (30). Entonces el pu!lto P tiene eJ vector de posicion y

�

�

_____:...

OP = OPo + PoP = B

(3 1b)

+

X1A1 + · • •

+

XmAm.

Se dice que l os puntos P en la relaci6n (3lb) forman la varie da d lineal m dimenszonal Sm que pasa por Po generada por los vectores A 1 , . . . , Am Cada pun to P en Sm determina de manera unica los valores x1, . . . , Xm, los cuales se Haman coordenadas afines para P. En este sistema de coordenadas afines pata Sm el "origen" - es decir, el punto con Xt x2 = • • • = Xm = 0 - es el punto Po ; el pu'nto con coordenada afines X1 = 1, X2 = · • · = Xm = 0 es P1, el punto -=

�

extrema del vector A1 = PoP1, y asi sucesivamente. Para dos puntos P y P' de Sm con vectores de posicion ,...._..:,.

OP

=

B + x1A1 + • • • + xmAm,

�

OP' = B + x1'A1 +

+ Xm'Am,

el vector �

PP'

=

�

�

OP' - OP

=

(x1' - X1)A1 + • • •

+ (xm'

- Xm)Am

tiene como componentes con respect<;> a l a base A1, . . . , Am las diferencias de las coordenadas a fines de los puntos P y P'. De acuerdo con la definicion dada , una variedad lineal unidimen­ sional 81 que pasa por el punto Po es el lugar geometrico de los pun· tos P con vectores de posicion de la forma �

OP = B don de B

+

XlAl

y A1 son vectores fijos (A1 =/=- O) y X1 varia sobre todos los numeros rel aes . Por supuesto, 81 es simplemente la recta que pasa por Po paralela a la direccion del vector A1 (ver la p . 1 63). Una

1 80

Introduccion al dilculo

y

al anilisis matemitico

variedad lineal bidimensional , 0 plano bidimensioQal , s2 consiste de los puntos P con vectores de posicion ___c,.

OP

=

B

+

X1A1 + X2A2

donde A1 , A2 son vectores fijos ( A1 y A2 independientes) y X1 y X2 varian sobre todos los numeros reales . Los espacios lineales n dimen­ sionales Sn son identicos al espacio completo R n ; porque cualquier vector Y es dependiente de n vectores linealmente independientes A1, . . . , An (ver la p . 1 67) y, por consiguiente , el vector de posicion de cualquier punto P es representable en Ia forma

B,

oP = B + X1A1 +

•

•

•

+ Xn A n .

Puede verse que las variedades lineales (n - 1) dimensionales son identicas a los hiperplanos definidos en la p . 1 67 : porque dados n - 1 vectores cualesquiera A1, . . . , An- 1 en el espacio n dimensional, puede hall arse un vector A perpendicular a todos ellos (ver la p. 1 7 3). Entonces , para �

OP

=

B

+

X1A1

+

• • • + Xn- 1 An-1

se tiene la relacion �

A • OP

=

B • A + X1 • A1 • A + • • • + Xn- 1 An- 1 A

=

constante ,

•

=

B•A

lo cual es precisamente una ecuacion lineal para l as coordenadas de P. En general , la determinacion de las componentes Xt de un vector Y con respecto a una base A1, . . . , Am requiere la solucion de un sistema de ecuaciones lineales del tipo (£5). En un importante caso especial, los Xi pueden hallarse directamente , a sa her , cuando los vectores base forman un sistema ortonormal. Se dice que los vectores A1, . . . , Am son ortonormales si cada uno de ellos tiene longitud 1 y dos cualesquiera de ellos son ortogonales entre si , es decir, si �

(32)

A1 • Ak

i - (O para para i -=F-

_

1

=

k k.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

181

S i un vector Y e s d e Ia forma

se encuentra , usando las relaciones de ortogonalidad (32), que

(33)

Y • A i = XtAt

•

At + X2A 2

•

Ai +

•

•

•

+ xmAm • At = Xi (i = 1, . .

.

, m).

En particular, Y = 0 implica Xi = 0 para i = 1, . ., . , m ; por tanto, los vectores ortonormales siemPre son independientes. La formula (33) muestra que la componente Xi del vector Y con respecto a una base ortonormal At, . . . , Am es igual a la componente Y At del vector Y en la direcci6n de Ai. Los vectores coordenados E t, . . . , En definidos por las ecuaciones (22) forman precisamente una base or­ ton ormal asi , y l as componentes del vector Y = (y1 , . . . , Yn) con res­ pecto a esta base son las cantidades Y • Ei = Yi. Una base ortonormal tambien se distingue por el hecho de que la longitud de un vector y el producto escalar de dos vectores esta dada por las mismas formulas que las de la b ase original Et , . . . , En. Dados dos vectores cualesquiera Y y Y' de la forma •

(34a) Y = X tAt + • • • + XmAm,

Y' = Xt'At + •

·

se tiene

(34b) Y • Y' = (xtAI + = X1A1

•

•

•

•

•

•

+ xm'Am

+ XmAm) • (xt'At + • · • + Xm'Am)

(xt'At +

•

•

•

+

Xm'Am) +

+ XmAm • (xt' At + · • • + Xm'Am) = X!XI1 + X2X21 + • • • + XmXm1 • 1

•

En el caso particular Y' = Y se encuentra , para la longitud del vector Y, la formula

(34c)

1 Sin las relaciones de ortogonalidad solo podria concluirse que Y expresi6n mas complicada

la

Y • Y' =

� CtkXtXk i. k

donde

Cik

=

At Ak. •

•

Y'

esta dado por

1 82

Introducdon al calculo

y

al analisis matematico

Si Ia variedad lineal m dimensional Sm que pasa por el punto Po generada por los m vectores ortonormales AI, , . . , Am, el sistema correspondiente de coordenadas afines se llama sz"s tema coordenado cartesiano para el espacio Sm. Los vectores coordenados AI, . . . , Am son mutuamente perpendiculares y de longitud 1. . La distancia d en­ tre dos puntos cualesquiera con coordenadas cartesian as (xi, . . . , Xm) y (xi', . . . , xm:) esta dada por la formula es

d = .J(xi' - XI) 2 + • • • + (xm' - Xm) 2 Mas generalmente , cualquier relaci6n geometrica basada en la noci6n de distancia (tales como angulo , area , volumen) tienen la mtsma expresi6n ati alitica en cualquier sistema coordenado carte­ st a n o .

b. Matrices

La relaci6n (35a)

entre los vectores AI, . . . , Am, Y en el espacio n dimensional puede escribirse como un sistema de ecuaciones lineales [ ver (25 ) , p . 1 72 ]

auXI + ai2X2 + · · · + aimXm = YI

(35b)

aziXI + azzxz + · · · + a2mXm = Y2

aniXI

+

an2X2 + . . . + anmXm

=

Yn

que relacionan las componentes YI, . . . , Yn del vector Y en el sis­ tema coordenado original con las componentes XI ,' . . . , Xm de Y con respecto a los vectores base At = (ali, a 2i , . . . , ant) para i = 1 , . . Las relaciones lineales (35b ) entre las cantidades Xi y Yi quedan completamente descritas por medio del sistema de n X m coeficientes aii · El sistema de coeficientes colocados en un arreglo rectangular

. ,

m.

(36)

a =

(

]

au

a12

a•

a2I

azz

a 2m

.

ani

anz

.

anm

'

Vectores, matrices, transformaciones lineales

183

como aparecen en (35b), se llama matrz"z . (Normalmente, las ma­ trices se denotaran por medio de letras minusculas negritas . ) "elementos" L a matriz a dada en (36) tiene

mn

j

=

1,

. . . , n;

Estos elementos se arreglan en

i = 1,

.) ... m

.

.

.

, m.

'columnas"

ai2 a22

'

a n2 o bien , en n "filas"

(ani

an2

anm).

Dos matrices se consideran iguales solo si concuerdan en el numero de filas y columnas y si los elementos correspondientes son los mis­ mos. Las columnas de la matriz a pueden identificarse, respectivamen­ te, con el conjunto de componentes de los vectores AI, A2, . . . , Am. Con frecuencia la matriz a, cuyas columnas se forman a partir de las compon entes de los vectores AI, A2, . . . , Am , se escribira como

(37) .

a =

(AI, A 2 , . . . , Am).

El sistema de ecuaciones (35b) que expresa las n cantidade� YI, 1 Y n como funciones lineales de las m cantidades XI, . . . , Xm p1,1e de resumirse en la sen<;illa ecuaci6n simb6lica

•

"'"

•

(38)

aX = Y,

Y al vector (y i, . . . , a son indepen­ dientes, (38) puede interptetarse como la descripci6n de un canw io d'e base, o un cambio del sistema coordenado, · p ara los vectores .

dpnde X representa al vector (XI, . . . , Xm)

y

Yn) . Si los vectores columna AI, . . . , Am de la matriz

184

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

, Xm del vector con La ecuaci6n relaciona l as componentes X1, respecto a la base A1 , . . . , Am en el subespacio Sm , cQn las com· ponentes Yl, . , Yn del mismo vector con respecto a l a b ase E1, . . . , E n para el espacio completo Sn. Esto podria llamarse la inter· pretaci6n "pasiva" de (38), en el cual los objetos geometricos - los vectores - permanecen fijos y solo se c ambia el sistema de referenda. Existe otra interpretacion, " activa" , en la cual se cambian los vee· tores en lugar del sistema coordenado . Entonces l as ecuaciones (36 ). describen una aplicaci6n de los vectores (x1, . . . , Xm) en un espacio m dimensional sobre los vectores (y 1 , . . . , Yn) en un espacio n di­ mensional . Una aplicaci6n dada por la ecuaci6n (38) o , con mas detalle , por el sistema equivalente de ecuaciones (35b), recibe el nombre de lineal o afin. 1 Por ejemplo, el sistema de ecuaciones •

.

(38a)

•

.

•

2 1 Yl = 3 Xl - 3 X 2 ,

1 1 Y3 = - 3 Xl - 3 X2

correspondiente a la matriz 2

1

3

3 2 a

a= 1

1

3

3

1 En una aplicacion afin de vectores, las componentes Yi del vector imagen Y son funciones lineales homogeneas de las componentes Xi del vect<;>r original X, como en las formulas (35b) . Si se identifican X y Y como vectores de posici6n de puntos, las formulas (35 b) definen una aplicacion de los puntos (x1, . . . , Xm ) en el espacio Rm sobre los puntos (y1, , Yn) en el espacio Rn. Las aplicaciones de puntos obtenidas en esta forma son las aplicaciones afines especiales que llevan el origen de Rm hacia el origen de Rn. La aplicacion afln mas general de puntos esta dada por las ecua­ ciones lineales no homogeneas •

•

•

m

(j = 1. . . . ' n) i= l (Puede obtenerse a partir de una aplicacion especial, llevando el origen hacia el origen por medio de una traslacion con componentes bj). Aplicando la transfor-

(* )

Yi = L: ajiXi + b1

Vectores, matrices, transformaciones lineales

1 85

puede interpretarse como una aplicaci6n de los vectores X = (XI, xz) en el plano sobre l os vectores Y = (yi, yz, ya) en el espacio tridimen­ sional . Aqui los vectores imagen todos satisfaran la relacion

YI + Yz + Ya = 0

(38b)

y, por tanto, son ortogonales al vector N = (1 , 1, 1). Identificando los vectores X, Y con vectores de posicion de puntos, en (38a) se tiene una aplica cion del plano XI xz sobre el plano 1t en el espacio YI Yz Ya con. la ecuacion (38b ) . Geometricamente , el punto (yi, yz, ya) se ob­ tiene proyectando el punto (XI, xz, 0) perpendicularmente sobre el plano n, l Alternativamente, la ecuacion (38a) puede int�rpretarse pasivamente como una representaci6n parametrica p ara el plano n , con XI y xz jugando el p apel de parametros. M atrices diferentes dan Iugar a aplicaciones lineales diferentes porq ue , por (35b) , los vectores coordenados

EI = (1, 0, . . . , 0),

Ez = (0, 1, . . . , 0), . . .

se aplican sobre los vectores

AI

= (au, azi, . . . , a ni),

Az = (a iz , azz, . . . , anz), . . .

De donde, los vectores columna AI, Az, . . . , An de la matriz a son precisamente las imagenes de los vectores coordenados EI, Ez, . . . , En. De aqui que la matriz a queda determinada de manera unica por la aplicacion . De importancia particular son las aplicaciones lineales Y = aX del espacio vectorial n dimensional hacia si mismo ; estas aplican un vector X = (XI, . . , Xn) sobre un vector Y = (YI, . . . , Yn) con el mismo m1mero de componentes . Tales aplicaciones corresponden a matrices a con tantas filas como columnas , las llamadas matrices .

maci6n (*) a dos puntas P ' = (x1', . . . , xm'), P" = (x1", . . . , xm") con imagenes = (y1 ", . . . , Yn"), se ve que la aplicaci6n correspondiente

Q' '== (y1', . . . , Yn'), Q "

de

los vectores

(i'(i1

Ji'it' = (x1"

-

.;1 ' , .

.

.

, Xm" - Xm')

(y 1 " - Y t ' , . . . , Yn" - Yn') tares ciones ' homogeneas (35b) . I

l La

recta

=

que une a (x1,

.

X2,

=

=

(xt, .

.

.

�

Xm) �obre los vee-

(y1, . . . , Yn) esta · dada par las ecua­

0) y (y1, y2 , ya) es paralela a la normal N de

rc.

1 86

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

cuadradas. 1 Escrito en terminos de l as componentes , Ia aplicaci6n Y = aX correspondiente a una matriz cuadrada a con n filas y columnas toma Ia forma (27 ) , p . 1 74 . El teorema basico de Ia re­ solubilidad de los sistemas de n ecuaciones lineales para n cantidades desconocidas (p . 1 7 4) ahora puede enunciarse alternati v�mente como s1gue: Para una matriz cuadrada a existen dos posibilidades mutuamen­ te exclusivas: ( 1 ) aX * 0 para todo vector X * 0 (2) aX = 0 para algun vector X * 0. En el caso (1 ), para to do vector Y ex•iste un vector unico X tal que Y = · aX . En el caso (2), exist en ·vectores Y para los cuales la ecuac£6n Y == aX no se cumple para vector X alguno . 2 Se dice que Ia matriz a es singular en el caso (2) y no singular en el caso ( 1 ) . D ado que Ia existencia de una soluci6n no trivial X de Ia ecuaci6n aX = 0 es equivalente a la dependencia de los vectores columna de la matriz a , se ve que una matriz cuadrada a es singular si y solo si sus vectores columna son dependientes. ·

c. Operaciones con matrices

Es costumbre denotar los elementos de una m atriz a como en (3 6), por medio de letras que llevan dos subindices , tales como aii· Los subindices indican Ia locali'zaci6n o direcc£6n del elemento en Ia matriz , dando el primer subindice el numero de fil a y el segundo el numero de columna.· Para una matriz con n filas y m columnas que tiene los elementos aii , el subindice J varia sobre 1 , 2 , . . , n y el subindice i sobre 1 , 2, . . . , m . A menudo la ecuaci6n (36) se abrevia en la formula .

Ia cual exhibe los elementos de la matriz a pero no muestra los m1meros de filas y columnas , los cuales tienen que deducirse en relaci6n con el contexto . 3 En el ejemplo

I Las matrices mas generales con numeros arbitrarios de filas y columnas se conocen como matrices rectangulares.

2 En el caso ( 1 ) la ecuaci6n Y = aX representa una aplicaci6n uno a uno del espacio vectorial n dimensional sobre si mismo. En el caso (2) la aplicaci6n no es uno a uno ni sobre.

3 La letra a en aii es el nombre de una funci6n real de las variables independientes j e i. El dominio de esta funci6n consiste de los puntos en el plano j, i cuyas coor-

Vectores, matrices, transformaciones lineales 2!

3!

2!

3!

4!

3!

4!

5!

n!

( + 1) !

( + 2) !

n

n

\

m!

1!

(m + 1) !

•

(m + 2) !

· •

•

�

1 87

(m + - 1) !

J

se tiene Uji = (i + j - 1) ! La adici6n de matrices y la multiplicaci6n de matrices por es­ calares se definen en la misma forma que para los vectores . Si a = y b = (bii) son matrices del mismo "tamaiio" - es decir, con el mismo niimero de filas y columnas - se define a + b como la matriz que se obtiene sumando los elementos correspondientes :

(aii

De modo semejante , para un escalar A se define Aa como la matriz

que se obtiene multiplicando c ad a elemento de

a

por el factor A :

Se verifican inmediatamente l as reglas (a + b) X = aX + bX,

(39)

(Aa) X

=

A.(aX)

para las aplicaciones de los vectores X determinadas por l as matrices. Mas significativo es el hecho de que matrices de tamaiios apropiados pueden multiplicarse entre sf . Se obtiene una definicion natural del producto de dos matrices a, b, considerando el producto simb6lico , o composici6n, de l as aplicaciones correspondientes (ver el Volumen I , p . 5 2) . Si a = es una m atriz con m columnas y n filas, y si X = (x1, . . , Xm) es un vector con m componentes, entonces a determina las aplicaciones Y = aX del vector X sobre el vector Y = (y1, . . con l as n componentes .

.

(aii)

, Y n)

m

Yi = 2: UjiXi i= I

(j

=

1,

. . . , n).

denadas son enteros, con 1 � j � n, 1 � i � m. Normalmente una funci6nf de dos variables independientes x, y se escribe como f (x, y), y, aqui, una notaci6n mas consistente seria a(j, i) en lugar de la acostumbrada ait ·

1 88

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

,

Si ahora b = (bki) es una matriz con n columnas y p filas , entonces la aplicaci6n Z = bY aplicara a Y sobre el vector Z = (z 1 , Zp) con las p componti!ntes •

n

n

m

m

Zk = L: bki Yi = L: L: bki aji Xi = L: Cki Xi, j= l

f= l i=l

•

.

i= l

don de n

Cki = L: bki aii

(40)

j= l

(k = 1, .

. . ,p;

i = 1, . . . , m).

Por tanto , Z = eX, donde c = ba = (Cki) es la m atriz con p filas y m columnas y cuyos elementos estan dados por la formula (40) . En con· secuencia , se define el producto c = ba de las matrices b y a como la matriz con elementos Cki dados por (40) . S e observa que e l producto b a esta definido solo si e l numero de columnas de b es e1 mismo que el numero de filas de a. Esto corres· ponde al hecho obvio de que el producto simbolico de dos aplica· ciones solo se puede formar si el dominio del primer factor contiene al recorrido del segundo . Por tanto, pudiera suceder muy bien que este definido el producto ba pero no el producto ab con los factores en orden inverso . Pero incluso cuando tanto ba como ab estan de· finidos, en general no �e cumple la ley conmutativa de la multiplz"­ cacion, ab ba para las matrices. Por ejemplo , para =-=

'

a =

se tiene

ab =

(

0 -1

�) .

( - 01 - o1) '

b=

ba =

(�

(�

Sin embargo , Htcilmente se verifica a partir de la formula (40) que la multiplicaci6n de matrices obedece las leyes asociativa y distri­ butiva

(41a) (41b)

a(bc) = (ab)c, a(b + c) = ab + ac,

(a + b)c = ac + b e ,

Vectores, matrices, transformaciones lineales

1 89

(para las matrices de tamaiios apropiados) . Podria decirse que estan permitidas todas las manipulaciones algebraicas para las matrices, mientras esten definidos los productos que intervienen y no se inter­ cambien los factores . La aplicaci6n de vectores determinada por la matriz a, la cual se ha escrito como Y = aX, puede considerarse como un ejemplo es­ pecial de la multiplicaci6n matricial siempre que se escriban X y Y como "vectores columna" , es decir, como m atrices con una sola columna y con m y n filas, respectivamente :

X=

Y=

d. Matrices cuadrados. La rectproca de una matriz. Matrices ortogonales

De importancia particular en las aplicaciones son l as matrices con e1 mismo numero de fil as y columnas , las llamadas matrices cua­ dradas (las matrices mas generales, con numeros arbitrarios de filas y columnas , se conocen como matrices rectangulares) . El orden de una matriz cuadrada es el numero de sus filas o columnas. Dos matrices cuadradas cualesquiera del mismo arden n pueden sumarse o mul­ tiplicarse. En particular, pueden formarse potencias de una matriz de este tipo:

a 2 = aa,

a3

=

aaa, · · · .

La matriz cero , 0, de arden n es la m atriz en la que todos los elementos son 0 , o bien, en la que todas l as columnas son vectores cero:

0

(42a)

= (0, 0, . . . ' 0).

Esta matriz tiene l as propiedades obvias

(42b)

a+

0

=

0

+ a = a,

aO = Oa =

(para todas las matrices

a

0 de n -esimo arden) ;

1 90 (42c)

Introducd6n al calculo

y

al analisis matematico

OX = 0 para todos los vectores X con n componentes.

La m,atriz itnidad de orden n , denotada por e, es la matriz corres­ pondiente a la apl icaci6n identidad de vectores X: eX = X

(43a)

para todo vector X. Como entonces , en p articular, eEk = Ek para todos los vectores coordenados Ek, se encuentra que la matriz unidad tiene a los vectores coordenados como columnas :

(43b)

e = (E1, E 2 , . . . , En) =

{nmediatamente se verifica que la multiplicaci6n de matrices : (43c)

e

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

juega el papel de una "unidad" en

ae = ea = a

para toda a de n -esimo orden . Se dice que una matriz b de n-esimo orden es la reciproca de la matriz a de n -esimo orden, si (44)

ab = e.

Si b es l a reciproca de a, entonces a corresponde a la inversa de la aplicaci6n de vectores proporcionada por b, porque si b aplica un vector Y sobre X, (es decir , si X = bY), entonces a aplica � X de vuelta sobre Y, ya que aX = abY = eY = Y. Mas concretamente, si se conoce una reciproca b de la matriz a = ( ) puede escribirse una soluci6n X = (x1, , ) del sistema de ecuaciones lineales

X2 ,

an!Xl

•

•

+

•

Xn

an2X2 + . . . +

aii ,

annXn = Yn

Vectores, matrices, transformaciones lineales

191

para cualquier (y1, . . . , Yn) = Y dado . E n efecto , puesto que abY = eY = Y, se tiene una soluci6n dada por X = bY, es decir, por XI = buy1 + Xn = bn!Y l +

·

•

•

•

+ b1nYn + bnnYn ·

Todo numero real a , excepto cero , tiene un redproco b para el cual ab = 1. No obstante, existen matrices diferentes de la matriz cero que no tienen redproca . Si a tiene una redproca b, la ecuaci6n aX = Y tiene , p ara cada vector Y, la soluci6n X = bY, ya qu� abY = eY = Y.

Por tanto (ver la p. 1 8 6 ) , la matriz a debe ser no singular ; es decir, las columnas de a son vector.es independientes . Las matrices sin­ gulares no tienen reciproca . La condici6n ab = e para la matriz redproca b de a puede escribirse en la forma

(45)

n ,2: ajrbrk = ejk,

r=I

don de ajr, brk , eik denotan, respectivamente , los elementos generales de las matrices a, b, e. Para k fij a , se tiene en (45) un sistema de n ecuaciones lineales para el vector Bk = (b l k, b2k, . . . , bnk), el cual representa la k-esima columna de la matriz b. Si la matriz a es no singular, existe una soluci6n unica Bk de ( 45) para cada k. De a qui qu e una matriz a no singular tiene una y solo una reciproca b . Sea a cualquier matriz n o singular y b s u redproca; esto es, a b = e. T6mese un vector arbitrari o X y p6ngase Y = aX. Puesto que tanto z = X como Z = bY son soluciones de las ecuaciones Y = aZ y como ta solucion es u.nica, debe tenerse bY = X

para todo vector X. De donde (ver la p 1 8 5 ) ,

a

es la reciproca de b.

a

no singular se denota

ba = e.

Comunmente, la reciproca de una m atriz

1 92

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

por a--:1• Se tiene (46)

donde e es la matriz unidad . La reciproca puede calcularse resolvien­ do el sistema de ecuaciones lineales ( 45) p ara las Como los elementos de la matriz unidad tienen el valor 0 para j * k y 1 para j = k, las ecuaciones (45) afirman que el producto escalar de la j-esima fila de la matriz a con la k-esima columna de l a matriz a-1 tiene el valor 0 para j * k y 1 para j = k. Es m as, como a-1 a = e se ve que el producto escalar de la j-esima fil a de a-1 con l a k-esima columna de a tam bien tiene el valor 0 para j * k y 1 para j = k. La multiplicaci6n por las redprocas nos permite "dividir" una ecuaci6n entre matrices por una matriz no singular . Por ejemplo , la ecuaci6n matricial

brk ·

eik

ab = c,

donde a es una matriz no singular, puede resolverse para b multi­ plicando la ecuaci6n desde la izquierda por a-1 : a- 1 c = a-1(ab) = (a-1a)b = eb = b.

De n1odo semejante, la ecuaci6n ba = c

conduce a ca-1 = b .

Desde el punto de vista de . la geometria euclidiana , l as matrices cuadradas mas importantes son las llam adas m atrices ortogonales, las cuales corresponden al paso de un sistema coordenado cartesiano hacia otro sistema del mismo tipo, o bien, a transformaciones lineales que conservan l a longitud . Se dice que una matriz cuadrada a es or· togonal si sus vectores columna A1, . , An forman Uil sistema or­ tonormal : .

(47)

Ai ·

•

k

A =

!

.

0 p ara i * k 1 p ara i = k

Vectores, matrices, tl ansformadones lineales

193

(ver la p . 1 80). Como los vectores que forman un sistema ortonormal

son independientes , se concluye que las matrz'ces ortogonales sz'empre son no sz'ngulares. La relaci6n vectorial aX = Y correspondiente a Ia matriz a, interpretada pasivamtnte , describe como estan relacio­ nada� las componentes

de un vector con respecto a 1�

y1, . . . , y,

vectores coordenados Et, . . . , En con las componentes del mismo vector con respecto a Ia base At, . . . , An . Para una matriz /orto­ gonal a, la base At, . . . , An consiste de

n vectores mutuamente or­

togonales de longitud 1 , formando un sistema coordenado "carte�

sian o" , en el cual la distancia esta dada por la expresion usual \ver la

p . 1 82).

Interpretada activamente, Y = aX representa una apli­

caci6n lineal en la que los vectores coordenados E, se aplican sobre los vectores A,. Esta aplicaci6n lleva un vector

X = (Xt, . . . , Xn) = XtEt +

•

•

hacia el vector

Y = aX = a (xtEt + = XtAt +

•

•

•

•

•

•

+ XnAn.

•

+ XnEn

+ XnEn) = XtaEt +

•

•

•

+ XnaEn

La aplicaci6n conserva la longitud de cualquier vector ya q�e , por

(47), !YI 2 = Y

•

Y = (xtAt +

= Xt2 +

•

•

•

•

•

•

+ XnAn) • (xtAt +

+ Xn2 = I X 1 2•

•

•

•

+ XnAn)

Mas generalmente , Ia aplicaci6n conserva el producto escalar de dos vectores cualesquiera y, por consiguiente , tambien los angulos entre las direcciones, como se verifica facilmente . Estas aplicaciones que conservan la longitud se conocen como

transformacz'ones or­ togonales o movimz'entos rlgz'dos. En dos dimensiones se identifican

facilmente con los cambios de ejes coordenados que se discutieron en el Volumen I (p . 36 1 ) . Un vector At de longitud 1 en dos dimen­ siones es de Ia forma At = (cos apropiado . Los unicos vectores A diculares a At son

2

y,

sen

( (1 + �), (1 + �)) = (

A2 = cos

sen

y) , con

algt1n angulo 'Y

de longitud 1 que son perper

- sen y , c os

1)

194

Introduccion al calculo

y

y

al analisis matematico

Por tanto, la matriz general ortogonal de segundo orden es de cual­ quiera de las dos formas (48)

a =

( · COS

"(

sen y

- sen y cos

'Y

)

o bien , a -

( cos

sen y

'Y

- cos y

sen y

)

Las relaciones de ortogonalidad (4 7) permiten escribir de in· mediato la inversa a -1 de una matriz ortogonal a. S implemente se toma como a- 1 la matriz que tenga los Ak como vectores fila ; el producto escalar de la j-esima fila de a- 1 con la k-esima columna de a es entonces 0 para j -:f::. k y 1 para j = k, como es requerido por la ' relaci6n a -1 a = e. En general , para cualquier matriz a = (aik), se define la transPuesta aT = (bJk) como la matriz que se obtiene de a intercambiando filas y columnas. Mas precisamente, b1k = ak1. 1 Para una matriz ortogonal simplemente se tiene (49)

Por ejemplo,

( cos

'Y

sen y

)

- sen y -1 cos

'Y

(

cos

'Y

- sen y

De acuerdo con (46) , puede escribirse (49) como (49a)

aTa = e,

sen y

cos

'Y

)·

aaT = e.

La segunda relaci6n muestra que en una matriz ortogonal , el pro· ducto esc alar de la j-esima fila es 0 p ara j -:f::. k y 1 para j = k. Asi, en una matriz ortogonal los vectores fila tam bien forman un sistema or· tonormal. 1 Pensando en a escrita como un arreglo rectangular, se define la "diagonal prin· cipal" de a como la linea que va de la esquina superior izquierda hacia abajo con pendiente - 1. Es la linea que contiene a los elementos au, a22 , aaa, . . . . La trans­ puesta de a se obtiene "reflejandola" en la diagonal principal.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

1 95

Ejercicios 2.2 1 . E n cada . caso, describir el espacio que pasa por P generado por los vec­ tores Ak.

(-1, 2, 1) ; AI = (4, 0, 3) = (2, 1, -4) AI = (3, - 2, 1), A2 = (1 , 0, - 1) (c) P = (2, 1, -4, 2), AI = (3, -2, 1, 2), A 2 = (1, 0, 1 2). Verific ar que EI = (2/3, 2/3, - 1/3), E 2 = (1/..f2, -1/ .J2 , O), Ea = (.J2/6, ./2/6, 2/2/3) forman una b ase ortonormal y obtener las representaciones

(a) P = (b) p

-

2.

,

de los vectores dados en terminos de esta base:

(a) (b) (c)

AI = (.J2 , .J2 , .J2) A2 = (3, -3, 3) Aa = (1, 0, 0)

3. Dados los vectores linealmente independientes AI, A 2 , . . . , Am, cons­ truir los vectores unitarios mutuamente pe-rpendiculares EI, E 2 , . con la propiedad de que Ek sea una combinaci6n lineal de AI, A 2 , . . . , Ak, para k = 1, 2, 4.

. . , Em

. . . , m.

A

partir del resultado del ·Ejercicio 3 , probar el teorema fundamental de la dependencia lineal .

5. �Cual es l a dis tan cia al punto P

x = at + b,

y

= (xo, yo, zo) desde la recta dada por

= ct + d, z = et + f?

(Sugerencia: Encontrar el pie de l a perpendicular bajada desde P a la

recta. ) 6.

�Tiene una solucion n o trivial e l siguiente sistema de ecuaciones?

x + 2y + 3z = 0 2x + 3y + z 0 3x + y + 2z = 0 =

7. Hallar la representaci6n del vector

(ai, a 2, aa) con respecto a l a base AI

= (1, 2, 3), A 2 = (2, 3, 1), Aa = (3, 1, 2).

8. Determinar la matriz para pasar de las coordenadas cartesianas para la

base EI, E 2 , Ea bacia l as coordenadas afines para l a base AI, dada en el Ejercicio 7 .

A 2, Aa

9 . Probar que s i la matriz a e s singular, existen vectores Y para los cuales Y = aX no tiene solucion.

10. Obtener los productos ab y ba para l as matrices

lntroduccion al cilculo y al anilisis matematico

196

a=

( 2 ) 2 1 0

0 1

0 1 , 0

b=

(-2 -2 ) 1 2 2 0 1

1 1 0

0

1 1 . Encontrar las condiciones para que Ia matriz de

tenga una reciproca

y

X

dar esa reciproca si existe .

1 2 . Demostrar que solo existe una matriz unidad.

1 3 . Hallar Ia reciproca de ab, si tanto a como b son no singulares.

X n como una matriz que aplica el espacio n dimensional sobre un espacio de dimension inferior. Demostrar que esta definicion es equivalente a la dada aqui.

1 4 . A veces se define una matriz singular de n

1 5 . Interpretar geometricamente l as matrices dadas en (48).

16. Probar que a es ortogonal si y solo si a T

=

a-1.

1 7 . Demostrar que Ia transpuesta de un producto ab es el producto bTaT de las matrices transpuestas en orden inverso.

1 8 . Demostrar que el producto de matrices ortogonales es ortogonal.

1 9 . Verificar que la aplicacion por medio de una matriz ortogonal conserva el producto escalar; es decir, si a es ortogonal, entonces (aX) (aY) == •

X·Y

20. Demostrar que cualquier matriz que conserva l a longitud es ortogonal.

2 1 . Probar que una transformaci6n afin lleva el centro de masa de un sis­ tema de particulas bacia el centro de masa de las particulas imagen.

2.3 a.

Determinantes

Deterrninantes de segundo

y

tercer orden

El analisis matematico incluye el estudio de aplicaciones no li­ neales en espacios de varias dimensiones. No obstante, tal estudio tiene que ser precedido por el de l as aplicaciones lineales Y = aX , donde X y Y son vectores y a una matriz . En particular, es de gran importancia el analizar la estructura de Ia inversa de una aplicaci6n de este tipo o - lo que es lo mismo - analizar la estructura de las soluciones de un sistema de n ecuaciones lineales

[

Vectores, matrices, transformaciones lineales

197

aux1 + a12X2 + • • • + a1nXn = Y1 (50) �21�1 •+• a�2�2 � • • : � •a2•n�n � �2. an1X1 + an2X2 + • • • + annXn = Yn para n cantidades desconocidas X1, . . . , Xn.

El proceso et resolver n ecuaciones lineales en n variables conduce a ciertas expresiones algebraicas llamadas determz·n antes, los cuales tienen un gran numero de terminos. AI principio , Ia definicion ex­ plicita y las propiedades de los determinantes p arecen ser un tanto mistificadas. El misterio desaparecera cuando basemos la definicion de determinante en una sola propiedad, Ia de ser una forma mul­ tilineal alternante de n vectores en el espacio n dimensional. De este punto de vista conceptual se pueden deducir con facilidad todas las propiedades importantes de los determinantes. En capitulos poste­ riores de este libro se vera que los determinantes tienen una impor­ tancia extrema al extender el calculo diferencial e integral hacia dimensiones superiores. Resulta instructivo escribir completamente Ia soluci6n explicita de las ecuaciones (50) para unos cuantos de los primeros valores de n. Para n = 1 se tiene unicamente Ia ecuacion

aux1 = Y1 con Ia soluci6n

Y1 . X1 = au -

(50a)

Para n = 2 se tiene el sistema

aux1 + a12X2 = Y1 Multiplicando Ia primera ecuaci6n por la segunda por y res­ tando, se elimina de y se encuentra una sola ecuaci6n para modo semejante, multiplicando Ia primer a ecuaci6n por y la segunda por y restando se elimina De esta manera se encuen­ tran para las expresiones

X2

au Xt, X2

a22,

Xt.

a12 Xt; a21

198

lntroduccion al calculo y al analisis matematico

(50b) Para

(50c)

{

n = 3 se tiene el sistema anXl + U12X2 + U1 3X3

= Yl

az1X1 + azzxz + azaxa

=

Yz

aa1X1 + aa2X2 + aaaxa = ya.

Puede reducirse este sistema a dos ecuaciones para X1, xz, eliminando asi a xa, multiplicando la segunda ecuaci6n por a 1a /aza y restandola de Ia primera, y multiplicando Ia tercera ecuaci6n por a 1a /aaa y res· tandola de la prin1era. Entonces pueden resolverse , como se hizo an· tes, las dos ecuaciones resultantes para Xl, X2 unicamente. Despues de un poco de manipulaci6n algebraica se encuentra que

(50d)

con formulas semejantes para xz y xa. Para 4, los c alculos se hacen completamente pesados y resulta evidente que solo un pro· cedimiento sistematico puede traer orden a los resultados . Se observa que , en cada caso, l a soluci6n Xi toma la forma de un cociente, donde el denominador es una funci6n de los coeficientes UJt 1 uni camente , es decir , una funci6n de la m atriz a = (ati ) . Para > el esta funci6n es simplemente el propio coeficiente a u . Para 2 denominador

n=

n= n=

formado a partir de los elementos de la m atriz a =

( an a12 ) , U21 U22

se llama determinante de la matriz

( 51a)

a na22 - a1za21

a

=

y se escribe det(a)

=

I

au a12 az1 az2

1

.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

1 99

Es evidente que los numeradores en (50b ) tam bien pueden escribirse como determinantes , dando l ugar a las expresiones

(51 h)

au X2 1I a12 au a21

::: 1I Xl = I �:au a12 I a21 a22

Yl Y2 a12 a22

= --'--- -"'----- --'--

Por supuesto, estas formulas solo tienen sentido si el determinante del denominador no tiene el valor 0 . L a formula (50d) sugiere introducir como determinante de la matriz de tercer orden

a =

(

a12 a2 2 aa2

au a2 1 aa1

a1a a2a a33

)

a la expresion

= det(a) =

au a21

a22 aa2

a 2a aaa

La ley de formacion de un determinante de tercer orden de este tipo puede expresarse por medio de la "regia de la diagonal" (Fig. 2 . 5a), la cual es muy facil de recordar . Se repiten las dos primeras columnas despues de Ia tercera ; se forma el producto de cad a triad a de nu ­ meros que se encuentran en las diagonales , multiplicando los pro­ ductos asociadas con las diagonales inclinadas hacia abajo a la de­ recha por + 1 y hacia ab ajo a la izquierda por - 1 ; y se sum a. (jEsta regla solo se cumple para los determinantes de tercer orden! ) . Con Ia ayuda d e los determinantes de tercer orden s e puede es­ bir la solucion del sistema (50c) en la forma mas concisa cri

200

Introduccion al calculo y al analisis matematico

I Yl

Xl =

I

a1 2 a1s Y• a22 a23 ys as2 ass , X2 = au a1 2 a13 a2 1 a22 a2s as1 as2 ass

au Yl a1s a 2 1 Y2 a 2s a31 Ys ass , xs au a1 2 a1s a 2 1 a22 a 2s a31 as2 ass

=

au a1 2 Yl a 2 1 a22 y2 as1 as2 Yss au a1 2 a1s a2 1 a22 a 2s a31 as2 ass

Figura 2 . 5a

Por analogia, se define el determinante de la matriz de primer or­ den a = (au) con b ase en (50a) , como

au = det(a). Entonces se ve que en c ada uno de los casos n = 1,2,3 la soluci6n (x1, . . . , Xn) del sistema (50) puede describirse como sigue ("regia de Cramer"): Cada z"nc6gnz"ta XI es el codente de dos determz"nantes. En el denomz"nador se tz"ene el determz"nante de la matrzz a = (aJk); en el numerador se tz"ene el determz"nante de la matrzz o btenz"da rempla­ zando la z"-esz"ma columna de la matrzz a por las cantz"dades y1, y2, . . . , Yn que aparecen en el segundo mz"embro de las ecuacz"ones. b. Formas lineales

y

multilineales de vectores

Con el fin de definir los determinantes de orden superior y enun­ ciar sus propiedades principales, es necesario hacer uso de algunas nociones algebraicas generales. Una 'funci6n {(a 1, . . . , an) de las n variables independientes a 1 , . . . , an puede considerarse como una funczo n del vector A = (a1, . . . , an) y escrz"bz"rse en la forma f(A) . Se dice que f es una forma lz"neal en A si

201

Vectores, matrices, transformaciones lineales

{(A + B) = {(A) + {(B)

(53a)

para dos vectores cualesquiera A, B y

f(J...A) = A.f(A)

(53b)

para cualquier vector A y cualquier escalar /... . Las dos reglas (53 a , b ) pueden resurnirse en el requerirniento unico de que

f(J...A + J.LB) = J...f(A) + J.L{(B)

(54a)

para cualesquiera vectores A, B y escalares /... , la regla (54a) se convierte en

{(J...a 1 + J.Lb1, , 'Aan + J.Lbn) = J...{(a1, , an) + J.L{(b l , .

(54b)

•

Jl.

Escrita con detalle,

.

.

•

.

•

.

.

,

bn).

Por ejemplo, la funci6n

f(A) = 8a2 es

-

27aa

una forma lineal, rnientras que

no lo es. La relaci6n (54a) irnplica inmediatamente la regia mas general para las formas lineales

validas para cualesquiera vectores A1, . . . , Am y escalares /... 1 , ., A.m. Esta regia proporciona una expresi6n explicita para la forma lineal mas general en el vector A. Usando los vectores coordenados , En , se tiene , por (2b ) , la representaci6n E1, •

•

•

•

para el vector A. De aqui que , por (54c), f es de Ia forma

.

202

Introduccion al dilculo y al analisis matematico

(55a)

f(A) = a l{(E 1) + a2{(E2) + • • • + anf(En)

donde los Ci tienen los valores constantes Ci = f(Ei) .

(55b)

Combinando los coeficientes Ci en el vector C (55 c)

=

(c1, . . . , e n), se tiene

{(A) = C · A.

La form,a lineal mas general en un vector A es el producto escalar de A con un vector constante apropiado C. Una funci6n f( A, B) de dos vectores A = (a1, , an), B = (b1, ilineal en A, B si f es una forma recibe el nombre de forma . . , b bn) . lineal en A p ara B fijo y una forma lineal en B para A fijo; esto sig· nifica que se requiere que .

.

(56a)

f(A.A + J,tB, C) = A.f(A, C) + Jl{(B, C)

(56b)

{(A, A.B + J,tC) = A.f(A, B) + Jl{(A, C)

.

para cualesquiera vectores A, B, C y escalares 'A, �· El ejemplo mas sencillo de una forma bilineal es el producto escalar {(A, B) = A • B.

En este ejemplo , las reglas (56a , b) se reducen simplemente a las leyes asociativa y distributiva ( 1 5b , c), p . 1 65 , p ara los productos es· calares. A partir de (56a, b ) , mas generalmente se encuentra que (56c)

f(aA

+

+

<>D) = af(A, y C + <>D) + (3/(B, y C + 8 D) = ayf(A, C) + a8f(A, D) + f3yf(B, C) + (3 8/(B, D).

(3B, yC

Por tanto , puede operarse con las form as hi lineales como con los productos ordinarios al "multiplicar" las expresiones . Usando nuevamente la descomposici6n

Vectores, matrices, transformaciones lineales

A = (a 1 , .

B = (b 1 , .

203

. , a n) = a1E1 + · · · + anEn

. , bn) = b1E1 +

•

•

•

+ bnEn

para los vectores A, B, se llega a la formula + anEn, b1E1 + bzE2 +

•

•

•

+ bnEn)

De aqui que la forma bilineal mas general en A, B esta dada por (57a) con coeficientes constantes (57b) Para B

A, la forma b ilineal f pasa a la forma cuadrdtica

(57c) De manera semejante se definen las form as trilineales f(A, B , C) en los tres vectores A, B , C como funciones que son formas lineales en cada vector por separado . Se encuentra , exactamente como antes, que la forma trilineal , mas general esta dada por una expresion (58a) don de (58b) Pueden definirse formas multilineales f mas generales en cualquier numero m de vectores , en una m anera obvia . Lo unico nuevo es solo cuestion de notacion, ya que no se asocian letras diferentes con vee­ tares diferentes . Se denotan los vectores por A 1 , Az, . . . , Am y se in­ _ troducen sus componentes aik mediante

204

Introduccion al cilculo y al anilisis matematico '

. .

La funci6n J es una form a multilineal f(A1, . . . , Am) en.A 1 , A2, . . . , Am si es una forma lineal en cada vector cuando los otros se man· tienen fijos. Tambien puede considerarse a f como funci6n de la m atriz

que tiene a A1, A2, . . . , Am como vectores columna . Analogamente a (58a}, la forma multilineal mas general en A1, A2, . . . , Am esta dada por (59a}

{(A1, A2, . . . , Am) = )

ii·12· · · · =I.

. . . •

� CJ t 12

.J m

1t

•

•

•

JmUiJ1UJ22

•

•

•

UJmm

donde 1 (59b)

c.

Formas multilineales alternantes. DefiniciOn de los determinantes

Los determinantes de segundo y tercer orden definidos en l as f6r· mulas ( 5 l a) y (52a) son formas multilineales especiales . El deter· minante de segundo orden en (5 l a } , p . 1 9 8 , es una form a bilineal de los dos vectores bidimensionales (60a)

A2 = (a12, a22) ;

1El uso de subindices para los subindices en estas formulas es un tanto inc6modo. Aqui h,h, . . ,}m representa cualquier co mbinaci6n de m m1meros seleccionados del conjunto de numeros 1 , 2, . . . , n. Una combinaci6n de este tipo tam bien podria considerarse como una funci6n j(k) cuyo dominio es el conjunto de numeros k = 1, 2, . . . , m y cuyo recorrido esta en el conjunto de numeros j = 1, 2, . . . , n. Cual­ quiera de estas combinaciones o funciones da lugar a un termino en la suma dada en la formula (59a}. .

Vectores, matrices, transformaciones lineales

205

el determinante de tercer orden en (62a) es una funci6n trilineal de los vectores tridimensionales

A 1 = (au, a2 1, aa 1) ,

(60b)

(La linealidad de los determinantes separadamente en cada vector se deduce por inspecci6n, a partir del hecho de que c ada producto en el desarrollo explicito contiene exactamente un factor con un segundo subindice dado . ) La caracteristica extra que coloc a a los determinan­ tes aparte de l as otras formas multilineales es su caracter alternante. Se dice que una funci6n de varios argumentos (que pueden ser vectores o escalares) es alternante, si cambia solamente de signo cuando se intercambian dos cualesquiera de los argumentos. Ejem­ plos de funciones alternantes de argumentos escalares son

f>(x, y) = y - x

(6la)

f)(x, y, z) = (z - y) (z - x) (y - x).

(61b)

Una funci6n f de dos vectores n dimensionales A 1, A 2 es alternan­ te si

para todos A1, A 2 . Esto implica , en particular para A 1 = A2 = A , que

{(A, A) = 0. Sea n = 2 y f una funci6n alternante de los vectores A 1 , A 2 dados por (60a ) , Ia cual tambien es una forma bilineal . Entonces

De (5 7 a , b)

se

deduce que

206

Introduccion al dtlculo

y

al analisis matematico

donde la constante c tiene el valor (62b)

Por tanto , toda forma bilineal alternante de dos vectores AI, A2 en el espacio bidimensional difiere del determinante de la matri'z con columnas AI, A2 solo en unfactor constante c. Mas generalmente, una forma bilineal alternante de dos vectores en n dimensiones puede escribirse

don de

Cjj = 0. Combinando los terminos con subindices que difieren solo en una permutaci6n , puede expresarse f como una combinaci6n lineal de determinantes de segundo orden :

(62c) n = I: Cjk

{;·�=,l

I

aii a12

Para una funci6n alternante f de tres vectores, se tienen las re­ laciones (63 a)

{(A, B , C) = -{(B, A, C) = -{(A, C, B) = - f(C, B , A),

de lo cual se deduce que tambien (63b)

{(A, B, C) = {(B, C , A) = {(C, A, B).

En particular , f se anula siempre que dos de sus argumentos sean iguales. Sean AI, A2, Aa los vectores tridimensionales dados por (60b). Por (58a , b ) , l a forma trilineal alternante general / en AI, A2, Aa es

Vectores, matrices, transformadones lineales

207

Aqui , usando (63a , b ) ,

con f.Jlcr (64a)

= 0 , s i dos d e los numeros j, k , r son iguales y f.2I3 = f.132 = f.321 = f.I23 = f.231 = f.312 = 1 ,

-

1

.

Hacienda uso del hecho de que la funci6n �(x, y, z) de la formula (61 b) cambia de signa siempre que se intercambian dos de sus ar­ gumentos, para f.Jlcr se encuentra l a expresi6n concisa (64b)

f.Jlcr

= sgn �(j, k, r) = sgn (r - k) (r - j) (k - j).

Comparando con la expresi6n (52a), p . 1 99 para un determinante de tercer arden se encuentra que

an (64c)

aaa

c=

f(EI, E2, Ea) es una constante . Se tiene el mismo resul­ donde tado que en dos dimensiones: La forma trili'n eal alternante mas general en tres vectores tridimensionales A1, A2, Aa difiere del deter­ minante de la matriz con columnas AI, A 2, Aa, s6lo en un factor cons­ tante c. Entonces , obviamente , el determinante de tercer arden de la matriz con columnas AI, A2, Aa es esa forma trilineal alternante en los vectores AI, A2, A3 , determinada de manera unica , que tiene el valor 1 cuando AI, A2, Aa son respectivamente iguales a los vectores coo rdenados EI, E2, Ea. I

Ahora resulta evidente la manera en que pueden definirse los determinantes de orden superior. Sea a la matriz 1 La ultima condici6n expresa que Ia matriz unitaria e tiene el determinante 1 .

208

(

Introduccion al cilculo y al anilisis matematico

(65a)

a=

au a21 . .

an1

con vectores columna A1, A2 , . . . , An. Sea f una forma altemante multilineal en A1, . . . , An. Entonces f esta dada por ( 5 9a). Aqu1 los coeficientes Ci}J2 . . . in tienen la form a (65b) Estos cambian de signo siempre que se intercambian dos cualesquiera de los numeros h , h , . . . , in. Denotemos por s6(X1, . . . , Xn) el producto (65c)

s6(X1, X2 , . . . , Xn) •

= (Xn - Xn-1) (Xn - Xn- 2)

(Xn-1 - Xn- 2) .

.

.

•

•

.

•

•

.

(Xn - X2) •

.

(Xn-1 - X2) (Xn-1 - XI) . . .

.

.

(xa - X2) =

I

I

j. k - 1 • • .• . . nk 1 <

(Xn - XI) .

.

.

.

.

(xa - x1)

(X2 - XI)

(Xk - Xj).

Facilmente se ve que s6 es una funcion alternante de los escalares Xt, , Xn que se anula solo cuando dos de esos escalares son iguales. Entonces, .

.

•

EJ t i2

(65d)

•

•

•

in

=

sgn s6(h , h, · · · , in)

es una funcion altern ante de h, . . . , in, la cual solo tom a los valores + 1, 0, - 1. Para h, . . . , in restringidos a los valores 1 , 2 , . . . , n, se tiene Ei ti2 in = 0, a menos que los nfuneros h, . . , in sean dis· tintos, es decir, a menos que formen una Permutacz'6n de los numeros 1 , 2 , . . . , n. Se dice que h, . . . , in es una permutacz'6n par de 1 , 2, . . . , n si EJ ti2 in . = + 1, y que es una Permutacz'6n z'mPar si Ei1 i2 in = -1. Una permutacion par puede reacomodarse en el orden 1, 2, . . . , n por medio de un nfunero par de intercambios de dos •

•

•

•

.

•

•

•

• •

Vectores, matrices, transformaciones lineales

209

elementos; una permutacion impar, por media de un numero impar de tales intercambios. Obviamente , por (65b}, (65e)

Cf t i2 · · · in , =

&fi f2

•

•

•

Se define el determinante de Ia matriz

in f(EI , · · · a

,

En) .

dada. e n ( 6 5 a ) como

au

(66a)

a2I

det(a) =

=Y

JI•

• ·

n

...1

. . jn = l

&iJiz ·

· in aii laiz 2 · · · ai n n ·

Entonces se tiene el resultado : La forma multilineal alternante f mas general en n vectores ,n dimensionales AI, . . , An difz'ere del deter­ minante de la matriz con columnas AI , . . . , An solo en el factor constante c = f (E1, . . . , En). d. Propiedades principales de los determinantes

La formula (66a) da el desarrollo explicito de un determinante de n-esimo arden en terminos de sus n2 elementos aik · Contando solo los terminos . con coeficientes Efi J 2 i n, que no se anulan, el determinan­ te es �na forma de n-esimo grado en los aik que consiste de nl ter­ in = ± 1) es un minos . Cada termino (aparte del coeficiente &i 1 1 2 producto de n de los elementos , uno de cada columna y de c ada fila. En principia , Ia formula de desarrollo hace posible c alcular. un deter­ min ante para cualesquiera valores dados de los elementos. En Ia practica , sin embargo , I a formula tiene . demasiados elementos que deben tornarse en cuenta ( 1 20 en el c aso de los determinantes de quinto arden ; 3 628 800 en el caso de los determinantes de decimo orden) como p ara ser util para llevar a cabo calculos numericos, y se han ideado metodos m as eficientes para evaluar los determinantes. Las propiedades b asicas de los determinantes se han incorporado ya en su definicion como fqrmas rnultilineales alternantes de n vee­ tares A 1 , A 2 , ; . . , An en el espacio n dimensional. Si · a es I a matriz con estds vectores como vectores· columna, se escribe •

•

•

. •.

det(a) = det(AI, . . . , An).

.

210

Introduccion al calculo

y

al anilisis. matematico

Inmediatamente se concluye que el determz'nante de la matrz'z, cuadrada a cam bz"a de sz'gno sz" se z'ntercam bz'an dos columnas cuales­ quz'era de a; en partz'cular, el determz'nante de una matriz a con dos columnas z'dentz'cas se anula. Aplicando la linealidad del determinan· te en cada uno de sus vectores columna separadamente , se encuentra que multiplz'car una columna de la matriz a por un factor A tz'ene el efecto de multz'plz'car el determinante de a por A. l Por ejemplo,

(67a)

det(AA 1, A2, . . . , An) = Adet(A1,· A2, . . . , An).

En particular, para A = 0 y A1 arbitrario , se encuentra que

(67b)

det(O, A2, . . . , An) = 0.

Por supuesto, se aplican l as mismas consideraciones a cualquier otra., columna y se encuentra que el determz'nante df!, una matrzz a se anula sz' cualquz'er columna de a es el vector cero. A partir de Ia multili­ nealidad de los determinantes , con mas generalidad se concluye que ·

(67c)

det(A1 + AA2, A2, . . . , An) = det(A1, A2, .

. , An)

= det(A1, A2, .

. , An),

+

A det(A2, A2, . . . , An)

dado que la matriz (A2, A2, . . . , An) tiene dos columnas identicas . En general , el valor del determz'nante de la 'matrz'z a no cambz'a sz' se suma un miiltzplo de una columna de a a una columna diferente. 2 De importancia fundamental es l a ley de multiplicaci6n para los determinantes : El determz'nante del producto de dos matrz'ces a y b de n- esz'mo or· den es el producto de sus determz'nantes:

(68a)

det(ab) = det(a)

·

det(b).

Escrito en. sus elementos, la regia toma la forma 1Multiplicar todos los elementos de la matriz de n-esimo orden a por el factor /.. es equivalente a multiplicar cada una de sus n columnas por /.. y, por tanto , conduce . a multiplicar el determinante de a por f..n . De donde, (A.a) = ').. n det (a). 2 0bviamente, multiplicar una columna por el factor /.. y sumarla a la misma colum­ na cambia el valor del determinante en el factor 1 + /...

Vectores, matrices, transformaciones lineales

211

au X

(68b)

bn l

bnn

bn2

Cll

Cl2

C!n

C21

C22

C2n

Cn!

Cn2

Cnn

=

donde (68c)

CJk = ailblk + a12b2k +

•

•

•

+ ainbnk

n

=

� airbrk.

r= I

Esta ley es una consecuencia sencilla de la definicion dada para los determinantes . Sea c = ab la matriz producto . M antengase Ia matriz a fija y considerese el determinante c en su dependencia res­ pecto a b. Por ( 68c), el k-esimo vector columna de Ia matriz c

tiene los elementos Cjk que son formas lineales en el k-esimo vector columna B�c de Ia matriz b. Se concluye que det( c) es una forma lineal en el vector Bk cuando se mantienen fijas las otras columnas de b. Tambien resulta evidente que intercambiar dos columnas de b corresponde exactamente a intercambiar l as columnas correspon­ dientes de c. De aqui que det (c) es una forma multilineal alternante en los vectores columna de Ia matriz b. · Por consigui.,nte (ver Ia p.

209) .

det(c)

=

y det(b),

don de y es el v alor de det( c) p ara el caso en el que

o

bien , donde b es la matriz unidad e. Ahora bien , si b = e, entonces obviamente c = ab = ae = a, y, como consecuencia, y = det (a). Esto prueba (68a).

212

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

En la p . 1 5 7 se defini6 la transpuesta aT de la matriz a como Ia matriz obtenida a partir de a intercambiando filas y columnas. Se tiene entonces el sorprendente hecho de que una matriz cuadrada,,y su transpuesta tienen el mismo determinante: (68d)

det(aT)

=

det(a)

o bien, au

a21

a12

a22

a1n

a2n

au

(68e) ann

ann

Para n = 2,3 fac!lmente se verifica esta identidad a partir de las expresiones explicitas (51 a), (52a), pp . 161 -2 . Para n general sola· mente se indicara la demostraCi6n, la cual · puecie basarse en 'Ia f6rJ mula del desarrollo (66a) p ara det(a) . En c ada tertniho de la surna con coeficiente que no se anule , pueden reacomodarse los factores de acuerdo con los primeros subindices de modo que

donde k 1 , k2 , . numeros 1 , 2 , .

. , kn forman nuevaniente una permutad6n de los Facilmente se demuestra que

. ,n. 1

(esto se deja como un ejercicio p ara el lector) . Por tanto ,

Una consecuencia inmediata de la formula ( 6 8d) es que . un deter· minante puede considerarse como una funci6n multilineal alternante de sus vectores fila . En particular, un determz"nante cambz"a de si'gno s£ se zntercambz"an dos filas cualesquz"era. 1 Mirando a h, h, . . . , in como una funci6n que aplica al conjunto 1 , 2, . . . , n sobre si mismo, se tiene en k 1 , k2 , . . . . , kn precisamente Ia funci6n inversa; es decir, Ia ecuaci6n ir = s es equivalente a k. = r.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

213

La regia de multiplicacion (68a) afirma que el producto de los determinantes de dos matrices cuadradas a, b es igual al determz"nan­ te de la matn"z ab cuyos elementos son los .productos escalares de los vectores fila de a con los vectores columna de b. Se hace uso ahor;� del hecQ.o de que el determinarite de una m atriz a es igual al deter­ minante de su transpuesta aT, la cual se obtiene intercambiando las filas y columnas de a. Entonces se deduce que det(a)

•

det(b) = det(aT)

•

det(b) = det(aTb).

De donde , el producto de los determinantes de las matrz'ces a y b tambz'en es z'gual al determz'nante de la matrz"z aTb, obtenz"da forman­ do los productos escalares de las columnas de a con las columnas de b. Si a = (AI, . . . , A n)

y

b = (BI , . . . , B n),

se obtiene la identidad (68f)

det(AI , . . . , A n)

•

det(BI, . . . , B n)

:At • Bt At • Bz Az B t Az • Bz •

. AI Bn( •

. Az • B n • •

�

l

I I

. A. s.

l

Una aplicacion simple de estas reglas a las matrices ortogonales a, para las cuales [ver la formula (49 ) , p . 1 94 ] a -t = aT o bien , aTa = e, da det(aTa) = det(aT)

•

det(a) = [det(a)] 2 = det(e) = 1.

Consecuentemente, el determz'nante de una matrz'z ortogonal solo puede tener los valores + 1 o - 1. En Ia p . 245 se dara Ia inter­ pretacion geometrica de este resultado.

214

Introduccion al cikulo y al anilisis matematico

e. Aplicaci6n de los determinantes lineales

a

los sistemas de ecuaciones

Los determinantes proporcionan una herramienta conveniente para decidir cuando n vectores A1� A2, . . . , An en el espacio n dimensional son dependientes o , lo que es equivalente , cuando Ia matriz cuadrada a con column as A1, . . . , An es singular.

La condici6n necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea singular es que su determinante se anule. Sea, en efecto , a singular. Entonces los vectores columna A1, A2, . . . , An son dependientes. Por tanto , uno de los vectores columna, digamos A1 es dependiente de . los otros: .

De Ia multilinealidad de los. determinantes .se concluye que det(a)

=

det(A.2A2 + A.aAa

•

•

. , An) + /..a det(Aa, A2, Aa, An),

= /..2det(A2, A2, Aa, . +

•

•

•

+ !..n An, A2, Aa, . . . , An)

•

+ An det(An, A2, Aa, . . . , An)

= 0,

ya que cada una de las matrices tiene una columna repetida. 1 Inversamente , si a es no singular, existe (ver la p . 1 9 1 ) una re· ciproca b = a- 1 de a : ab =

e,

donde e es la matriz unidad. Por la regia de multiplicacion para los determinantes, se deduce que det(a) • det(b)

=

det( e) =

1

y, por tanto , det (a) =1=- 0. Esto prueba que a es singular si y solo si det (a) = 0. Considerese ahora el sistema de ecuaciones lineales 1 Mas generalmente, este argumento demuestra que una forma multilineal altemante en m vectores en el espado n dimensional ·se anula identicamente para m > n, dado que entonces los vectores son necesariamente dependientes.

l

Vectores, matrices, transformaciones lineales

(69a)

a uXI + a12X2 +

•

•

•

+ a1nXn

=

Yl

a21X1 + a22X2 +

·

·

•

+ a2nXn

=

Y2

.

.

.

.

.

.

.

.

an1X1 + an2X2 +

.

·

.

•

.

•

.

.

.

.

+ annXn

.

215

.

= Yn

correspondiente a Ia matriz a. Siguiendo Ia discusi6n de la p. 1 85 tienen que distinguirse los dos casos : ( I ) det (a) -:F 0 y (2) det (a) 0. En el caso ( 1 ), las ecuaciones (69a) tienen una soluci6n unica para cada YI , , Yn. En el caso (2), no siempre existe una soluci6n y nunca es unica . Ahora no solo tenemos una prueba explicita para distinguir entre los dos c asos con la ayuda de los determinantes, sino que tambien encontraremos los medios p ara calcular la soluci6n en el caso ( 1 ). Introduciendo el vector

=

•

.

.

Y

=

(y1, Y2,

• • ·,

Yn),

puede escribirse el sistema (69a) en la forma (69b)

donde los A�c son los vectores columna de Ia matriz

a.

Entonces,

det(Y, A2, A3, . . . , An) =

det(x1A1 + X2A2 +

=

X1 det(At , A2, Aa, .

· · •

+ XnAn, A2, Aa, . . . , An)

. , An) + X2 det(A2, A2, Aa, . + Xa det(Aa, A2, Aa, .

+ =

X1 det(A1 , A2, . . . , An)

y,

de modo semejante,

. , An) . , An) +

Xn det(An, A2 A2, . . . , An)

det(A1 , Y, A3, . . . , An) = X2 det(A1, A2, . . . , An) , y asi sucesivamente . Si Ia m atriz a es no singular, puede dividirse en­ tre su determinante y obtener la soluci6n XI, X2, . . . , Xn expresada por medio de determinantes :

216

Introduccion al calculo

y

al analisis matemitico

. , An) . , A n) '

det(Y, A2 , . Xl - det(A1, A2 , .

. , Xn =

det(A1, Y, . . , An) X2 - -::--+-: �-.,.--:__.-_..!.. --:--7 det(A1, A 2 , . . , An)'

det(A 1, A2 , .

. , Y) . , An)"

Este es la regla de Cramer para la soluci6n de n ecuaciones line ales con n incognitas . Ejercicios 2.3 1 . Evaluar los determinantes siguientes:

(a)

(b)

3 4 4 5 5 6 1 1 1 2 1 3

5

6

(c)

7 1 4 9

(d)

1 2 3 1 1 1

2 . Encontrar la relaci6n que debe existir entre a,

sistema de ecuaciones

1 1 3 4 -1 7 X

y z b,

c

x3 y3 z3

con el fin de que el

3x + 4y + .5z 4x + 5y + 6z b 5x + 6y + 7z = c

= a

=

pueda tener una soluci6n . 3 . (a) Verificar que el determinante de la matriz unidad es 1 . (b) Demostrar que si a es no singular, entonces det ( ) =

a- 1

4 . Obtener los valores de

(a)

£321,

(b)

£2143,

(c)

£4231,

5 . Demostrar que el determinante a

b

g

h

d

e

siempre puede reducirse a la forma

c

f k

(d)

£54321

1/det (a) .

Vectores, matrices, transformaciones lineales

217

(X

0 0 0 � 0 0 0 'Y simplemente por medio de Ia aplicaci6:r:t repetida de los procesos si­ guientes: (l) intercambiar dos filas o dos columnas y (2) sumar un mul­ tiplo de una de las filas (o columnas) a otra fila (o columna) . Una matriz es diagonal si aii = 0 siempre que determinante de la matriz diagonal (aii) de n X

. . . a nn .

La ma triz

(ail)

Demostrar que

es

triangular superior si

i =I= j . n

atJ =

Demostrar que el es el producto an a z :a

0

siempre que j

Evaluar X

x2 1 y y2 1 z z2 1! 2! 3! 2! 3! 4! 3! 4! 5! 1! 2! 3! 4! 2! 3! 4! 5! 3 ! 4! 5! 6 ! 4! 5! 6! 7! 1

(a)

(b)

(c)

Resolver las ecuaciones

2x - 3y + 4z = 4 4x - 9y + 16z = 10 Bx - 27y + 64z = 34. Probar la identidad

(a2 + b2) (c2 + d2) = (ac + bd)2 + (be - ad)2

formando el producto de los determinantes

1 -: : I

y

1 -� � I

<

i.

218

Introduccion al calculo

1 1 . Si A =

y

al analisis matematico

x2 + y2 + z2 , B = xy + yz + zx, demostrar que B A B B B A A B B

D=

=

(x3 + y3 + z3 - 3xyz)2.

1 2 . Demostrar que

A=

ti + x b+x b+x b+x

a+x h+x b+x b+x

es de la forma A + Bx, donde . A valores particulares a x probar que A

donde

_

-

af(b) - bf(a) a-b '

y

a+x a+x ta + x b+x

a+x a+x a+x [4 + X

B son independientes de

x.

Dando

B - f(b)b -- f(a) a ' _

f(t) = (h - t) (t2 - t) (ta - t) (t4 - t).

1 3 . Probar que cualquier forma bilineal fen A y B puede escribirse

A

•

(cB) = (cTA)

•

B

1 4 . Probar que en una transformaci6n afin no singular la imagen de una

cuadrica

ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 es otra cm1drica. 1 5 . Si los tres determinantes

I :: :: I ·

no se anulan todos, entonces probar que la condici6n necesaria ficiente para la existencia de una soluci6n de las tres ecuaci(;mes

a1x + a 2y = d b1x + b2y = e C1X + C2Y = f

y

su·

Vectores, matrices, transfor.maciones lineales

a1 a 2 d D = b1 b 2 e C! C2 {

=

0.

16. Enunciar Ia cbndici6n para que las dos rectas x = z = a 3t + b 3 Y x = Cit + d 1 , y = c t + d , z = C t 2 3 2 sean · paralelas. '

219

a 1 t + b1, y = a2t + b2, + da se intersecten o

1 7 . Probar (68d), verificando que no importa si los factores en cada termino del desarrollo (66a) estan ordenados por sus indices primero o segundo, o sea , con

obtener que

1 8 . Probar que la transformaci6n afin

x' = ax + by·+·cz y' = dx + ey + fz z' = gx + hy + kz deja por lo menos una direcci6n inalterada.

Interpretacion geometrica de los determinantes

2.4 a.

Productos vectoriales y volumenes de paralelePipedos espacio tridimensional

en

el

En el Volumen I (p . 388) se defini6 el "producto cruz" de dos vee­ tares A = (a 1, a 2) y B = (b1, b2) en el plano como el escalar

(70a) Aqui I A x B I representa el doble del area del triangulo con vertices �

�

Po, P1, P2, donde A = PoP1, B = PoP2. A l A x B l se le da el nombre de area del paralelogramo defz"n z"do por los vectores A, B, es decir, del paralelogramo con vertices sucesivos Po, P1, Q, P2. El signo de A x B determina la orienta cion del p aralelogramo . 1 En no­ taci6n de determinantes el producto cruz toma Ia forma . Ise tiene A x B > 0 si el sentido (en el mismo o en el contrario al movimiento de las manecillas del reloj) en el que se siguen los vertices sucesivamep.te es el mismo que el del "cuadrado coor.denado" con venices sucesivos (0, 0), (1, 0), (1, 1,), (0, 1).

220

Intr.oduccion al calculo

y

al analisis matematico

1 = det(A, B).

bt

(70b)

.

b2 I

Por tanto , I det(A, B) I puede interpretarse geometricamente como el area del paralelogramo definido por los vectores A, B . Se en con· traran interpretaciones analogas para los determinantes de orden superior. Para los tres vectores A = (at, a2 ,
det(A, B, C) =

at

bt

Ct

a2

b2

c2

as

ba

ca

Escrito como una forma lineal en el vector C se tiene , por (52a), (71a)

det(A, B, C) = (a2ba - aab2)ct + (aabt - atba)c2 + (atb2 - a2bt)Ca = z . c,

donde Z = (zt, Z2 , za) es el vector con componentes (71b)

Zt = a2ba - aab2 =

Z2

=

aabt - atba =

za = atb2 - a2b1

=

I I I

a,

b,

aa

ba

aa

ba

at

bt

at

bt

a2

b2

l l

'

I

'

·

AI vector Z se le da el nombre de "producto vectorial" o "producto cruz" de los vectores A, B y se escribe Z = A X B. l Entonces, por definicion , (71c)

det(A, B, C)

=

(A x B)· • C.

1 El producto vectorial de dos vectores en tres dimensiones es nuevamente un vector, en contraste con los productos cruz de los vectores en dos dimensiones y los productos escalares en cualquier m1mero de dimensiones, los cuales son escalares.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

221

Debido a esta formula , a veces 'se da el nombre de triple producto vectorial de A, B, C al escalar det(A, B, C). Las componentes Zi del vector Z = A x B son a su vez deter­ minantes de segundo orden y, por tanto , son formas bilineales alter­ n antes de los vectores A, B . Esto conduce inmediatamente a las leyes para la multiplicacion de vectores: (A.A) x B = A x (A.B) = A.(A x B) ;

(72a) (A'

(72b)

A

+

X

A") x B = A' x B

(B'

+

A

(72c)

B") = A

X

X

B = -B

B'

X

+ A" +

A

X

x B; B" ;

A.

La relacion (72c) podria llamarse l a ley "anticonmutativa" de l a mul­ tiplicacion. Esta ley tiene la importante consecuencia de que A x A = 0 para todos los vectores A.

(72d)

Con mas generalidad, el Producto vectorial de dos vectores A, B se anula si y solo si A y B son dependz"en(es. Porque, pqr c: c), Ia relacion A x B = 0 es equivalente a det(A, B, C) = 0 para todos los vectores C,

bien , al hecho (ver la p . 2 1 4) de que A, B, C son dependientes para todo C. Ahora b ien, siempre puede hallarse un vector C que sea in­ dependiente de A y B (ver l a p . 1 73). Entonces, la dependencia de A, B, C implica que A y B son dependientes. El producto vectorial A x B es perpendicular tanto al vector A como al B, ya que por (7 lc), o

,,

(72e) (A x B)

•

A = det(A, B, A) = 0, (A x B) • B �

�

=

det(A, B, B) = 0.

De aqui que , para A = PoP1 y B = PoP2 independientes, Ia direcci6n de A x B es una de las dos direcciones perpendiculares a cual­ quier plano PoP1P2 definido por A y B. La longitud del vector A x B tambien tiene una interpretacion geometrica sencilla. Por ( 7 l b), se tiene

222

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

= (a1 2 + a2 2 + a3 2) (b1 2 + b2 2 + b3 2) - (a1b1 + a2b2 + asb3) 2 I A I 2 I B I 2 - (A · B) 2 . 1

Usando el hecho [formula ( 1 4), p . 1 3 1 ] de que A · B = ! A l i B I cos y ,

donde · Y es el angulo entre las direcciones de A cuentra que �

y

B, de (72£) se en"'

�

Para A = PoP1, B = PoP2 en I B I sen y (donde a y se le asigna un valor entre 0 y n) . se tiene la distancia de la recta PoP1 al punto P2 , (Fig. 2 . 6) . De aqui que (exactamente como en dos dimensiones), \� cantidad I A x B I da el area del paralelogramo con vertices Po, P1, Q, P2 "definido" por los vectores A, B, o el doble del area del trian· gulo con vertices Po, P1, P2. Las· componentes individuales del producto A x B = (z1, z2 , zs) tambien pueden interpretarse geometric amente. Por ejemplo , la ex... presion

es

precisamente el producto cruz de los vectores bidimensionales (a1;: a2) y (b1, b2) [ ver (70a)1. Si Po tiene las coordenadas � 1 , �2, �3, en l zs l s e tiene e l area del· paralelogramo e n e l plano X l , X 2 con vertices. (�1, �2). (�I + a1, �2 + a2), (�1 + a1 + b1, �2 + a2 + b2), (�1 + b1, �2 + b2). Este paralelogramo es precisamente Ia proyecci6n sobre el plano X!, X2 del paralelogramo con vertices Po, PI, Q, P2, definido, . �ll. el espacio por los vectores A, B (ver l a Fig. 2 . 7 ) . Si A x B tiene los cosenos directores cos �1, cos Jh, cos �3, se tiene r ver (9), p . 162 ] I Z3 1 = I A x B I I cos �3 1 . .

1 Esta identidad incidentalmente proporciona una demostracion inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

l A Bl � I A I I B I •

(ver I a p . 166) . Tambi�n suministra Ia informacion adicional d e que e l signo de igualdad se cumple si y solo si los vectores A y B son dependientes.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

223

Figura 2 .6 Area l A X B l del paralelogramo generado por los dos vectores A, B . R

Figura 2. 7 Componentes del producto vectorial A X B = (zt, z2, za)interpretadas como areas proyectada s.

Por tanto, I cos Jh I da la . razon del area del pal'alelogramo definido por A y B al are � de su proyecci6n sobre el plano XI, X2. A qu1 f3a es e1 {mgulo entre la normal al plano que pasa por' Po, PI, P2 Y el eje xa .

Por supuesto, este es el . mismo angulo que se encuentra entre el plano que contiene al p aralelogJ;"amo definido por A y B y el plano �1, x2. 1

I

En general. el area de la proyecd6n de una figura plana sobre un segundo plano igual al producto del area de la figura original por el coseno del angulo entre los dos pianos, lo que se adarara cuando se discutail ·las transformaciones de las inte­ grates. es

224

Introduccion al calculo �

�

y

al analisis rnaternatico

Si A = PoP1 y B = PoP2 son vectores independientes, se tiene A �

x B = PoR , donde el punta R se encuentra sabre Ia recta que pasa por Po perpendicular al plano PoP1 P2 y a una distancia de Po igual al doble del area del triangulo P0P1 P2 . Esto fija a R c asi de modo unico . Solo existen dos puntas con estas propiedades, que se encuen· tran en lados opuestos del plano. Puede decidirse cual de estos pun· ' �

.

tos es el punta final R del vector A x B = PoR por media del s1· guiente argumento de "continuidad" . El producto vectorial A x B depende continuamente de los vectores A, B , ya que sus componentes son funciones b ilineales de las de A, B . Entonces Ia direcci6n de A X B tambien depende continuamente de A y B, con tal que A x B :f. 0, es decir, con tal que se evite que A y B se hagan 0 o quedet:J. paralelos. Siempre pueden cambiarse l os dos vectores A y B conti· nuamente, de tal manera que A y B nunca sean 0 o queden paralelos hasta que , por ultimo , A coincida con el vector coordenado E 1 = ( 1, 0, O) y B con el vector E2 = (0, 1, 0). Esto equivale a deformar el triangulo PoP1P2 continuamente y sin degeneraci6n, de modo que Po vaya hacia el origen y P1 , P2 queden , respectivamente, sabre los ejes positivos X1 y X2 a Ia distancia 1 del origen. En el proceso , el punta R sabre Ia recta que p asa por Po perpendicular al plano PoPt P2 nunca cruza ese plano . Ahara bien , por (7 1 b) ,

En un sistema coordenado "derecho" , el tipo que comunmente se usa , I a direcci6n de Ea se fija sin ambigiiedad como normal a E1 Y E 2 , en tal forma que Ia rotaci6n de go o alrededor del eje xa que lleva E 1 hacia E 2 se ve como en sentido contrario al mouimiento de ta$ manecillas del reloj desde el punta (0, 0 , 1 ) . Entonces, generalmen· �

te, si el sistema coordenado es derecho .Ia direcci6n de. A x B = PoR .

·

.

�

.

. �..

es tal que Ia rotaci6n alrededor de I a recta PoR del vector A =· PoP£ hacia el vector B = Poi; en un angulo y entre 0 y 1t se ve como en sentido contrario at movimiento de las manecillas del reloj C\1ando se observa desde R (ver Ia Fig. 2 . 8) . De modo semejante , en un sis· tema coordenado izquierdo Ia rotaci6n por go o de E1 hacia , E 2 ' se · ve como si fuera en el . sentido del movimiento d� l as m anecil.las de� reloj observada desde (0, 0 , 1 ), y Io mismo acontece entonces con la

Vectores, matrices, transformaciones lineales

225

Po

Q Ea

Figura 2 .8 Producto vectorial A X B en un sistema coordenado derecho .

rotaci6n de A hacia B , observada desde el punto final R de A x B = �

PoR. Generalmente , una terna ordenada de tres vectores independien-

tes A, B , C define un cier-to sentz"do �

�

u

�

orz"entacz"6n. Si A = P0P1 , B =

PoP2 , y C = PoPa, puede girarse la direcci6n de A hacia B en un angulo entre 0 y n en el plano PoP1P2 . Por definicion , el sentido de la terna A, B , C es el que p arece tener (en sentido contrario o en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj) esa rotaci6n, cuando se observa desde el lado del plano h acia el cual apunta C . l La terna B, A, C tiene la orientaci6n opuesta. La orz"entacz"6n de la tema A, B, A X B sz"emPre es la mzsma que la de los vectores coordenados E1, E 2 , Ea. Se dice que la terna A, B, C esta orientada positivamente con res­ pecto al sistema coordenado X1, X2 , xa si tiene la misma orientaci6n 1 El mismo tipo de orientaci6n determina Ia diferencia entre los tomillos izquierdos y derechos. El movimiento de un tornillo consiste de una combinaci6n de un movi­ miento de traslaci6n a lo largo de un eje y de uno de rotaci6n alrededor de ese eje. La distinci6n entre los dos tipos de tomillos se define por el sentido de Ia rotaci6n, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj o contrario a el, cuando se ob­ serva desde esa direcci6n del eje en Ia cual avanza la traslaci6n.

226

lntroducci6n al calculo

y

al analisis matematico

que la de la terna de vectores E I , E 2 , E3, y que esta orientada ne· gativarnent� si tiene la orientaci6n opuesta . Para que la terna A, B, C este orz'entada Posz'tivamente con respecto a las coordenadas x 1 , X2 xa, es necesario y sufz'ciente que ,

det(A, B, C) > 0

(73)

�

�

�

Porque, sea A = PoPI , B = PoPI , C = P0P3 • la relaci6n (7 3) sig· nifica que (A

X

B) . c > 0,

es decir , que l as direcciones de los vectores A x B y C forman un a n · gu lo agudo. Como A x B es normal al plano P0PIP2 , esto implica �

que el vector PoP3 apunta hacia el mismo lado del plano que el vee· tor A x B. De aqul que A, B, C y A, B, A x B tienen la rnisma orientaci6n , que es la de E I, E 2 , E3. Los tres vectores independientes A, B , C, cuando se les da el mis· rno punto inicial Po "definen" o "generan" un cierto p aralelepip�do, a saber, el que tiene los puntas finales PI , P2, P3 de A, B, C como vertices adyacentes al vertice Po. Se dice que el p araleleplpedo esta orientado positiva o negativamente con respecto al sistema coor· denado X I , x2 , X3 segii.n sea la orientaci6n de la terna A, B, C. Un intercambio de dos cualesquiera de los vectores A, B, C invierte la orientaci6n p ara el paralelepipedo generado por los yectores. 1 Sea e el angulo formado por la direcci6n de los vectores c y A X B. Por (7 l c) , (74a)

det(A, B, C) = l A x B I I C I

cos e

1 La orientacion del paralelepipedo puede imaginarse como una orientacion atri· buida a cada car a del paralelepipedo ( es decir, como un sentido asignado al polt· gono frontera de la cara) de manera tal que a una arista comun de dos caras vecinas se le asignan sentidos opuestos en la orientacion de las dos caras. La orientaci6n de todas las caras q�eda determinada de manera unica si se prescribe el sentido de una de las aristas para una sola cara. Para la orientacion del paralelepipedo generado �

por A, B, C, el senti do de la arista P0P1 en la cara definida por los vectores PoP2 Y

�

PoPt es el que va de Po hacia Pt (ver la Fig. 2 . 9) .

Vectores, matrices, transformaciones lineales

227

Figura 2.9 Volumen V = l A X B l h del paralelepipedo.

Como A X B es perpendicular al plano PoPI P2, el angulo entre la recta PoPa y el plano PoP1 P2 es t7t - 0. De donde , ( 74b)

I (� - e) f

h = I C I I cos e I = I C I sen

es Ia distancia del plano PoP1 P2 , al punto Pa es decir, la altura del paralelepipedo desde Pa. Dado que el volumen V del paralelepipedo es igual al area I A x B I de una de l as c aras multiplicada por Ia al­ tura correspondiente h , de (74a, b) se concluye que (74c)

V = l A x B l h = l det(A, B, C) I .

0 sea, el volumen de un paralelepipedo generado por los tres vectores

A, B, C es el valor a bsoluto del determz"nante de la matrzz con co­ lumnas A, B, C. Por lo tanto , el valor de det(A, B, C) determina tanto el volumen como Ia orientaci6n del p aralelepipedo generado por A, B, C. Este hecho se expresa por medio de Ia formula

(74)

det(A, B, C) = & V,

donde V es el volu:rnen del p aralelepipedo generado por los vectores

A, B, C; & = + 1 si el p aralelepipedo esta orientado positivamente

con respecto a las coordenadas x 1 ,x2x3, y & negativamente .

=

-

1 si esta orientado

b. Desarrollo de un determinante respecto a una columna.

Productos vectoriales en dimensiones superiores

Solo en tres dimensiones puede definirse un producto .A x B de

228

Introducci6n al calculo

y

al analisis matematico

dos vectores A, B que de nuevamente un vector. 1 El analogo mas aproximado en n dimensiones seria un "producto vectorial" de n - 1 vectores. Tomando n vectores, A1

(an, . . . , an!), . . . , An

=

=

(aln, . . . , ann)

en el espacio n dimensional , puede formarse el determinante de la matriz (A1, . . . , An) con esos vectores como columnas. El deter· minante de esta matriz es una forma lineal en el ultimo vector An Y puede escribirse como un producto escalar (75)

det(A1, . . . , An)

Z1a1

=

+ zza2 + • • • + Znan

=

Z

• An,

donde el vector Z = (Zl, . . . , Zn) solo depende de los n - 1 vectores A1, A2, . . . , An-1. Obviamente, Z es lineal en cada uno de los vee· tores A1, . . . , An- 1 por separado , y es altern ante . A Z se le da el nombre de producto vectorial de A1, . . , An-1 y se denota por z

(76)

Al

=

X

A2

X

X

An-1.

Por (75), es evidente que Z

•

A1

=

Z

• Az

=

.

.

.

=

Z

• An-1 = 0 ;

se ve que e l producto vectorz'al d e n - 1 vectores es ortogonal a cada uno de ellos, como en tres dimensiones . La longitud del producto vectorial Z tambien puede interpretarse geometricamente como el volumen del paralelepipedo orientado (n - 1) dimensional generado por los vectores A1, . . .. , An-1, como se vera posteriormente. Precisamente como en tres dimensiones, las componentes de Z pueden escribirse como determinantes, en analogia con Ia formula (7lb). Primero deduzcamos esa expresion como determinante para la componente Zn de Z. Por (75) , Zn

=

Z

•

En

=

det(A1, . . . , An-1, En),

1 En dimensiones superiores no es posible asociar con los dos vectores A, B un tercer vector C hacia afuera del plano generado por A, B, de una manera geometrica, es decir, mediante una construcci6n que determina a C de modo unico y no cambia bajo los movimientos rigidos.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

229

donde En

. . , 0 , 1)

= (0,0, .

es el n-es1mo vector coordenado. Tomar A n En en la formula general de desarrollo (66a), p. 209 , para los determinantes equivale a remplazar el ultimo factor ainn en c ada termino por 1 , para in Para i n el coeficiente Eit . . . in-tin se y por 0, para in , a menos que constituyan una permutaci6n de los anula h, . . . , in-1 num eros l, 2, . . . - 1. En ese c aso el coeficiente (65c, d) se reduce a in- t n = sgn � (j J, . . , i- t , n) Eit · · · in- tin = Eit

=

=n

7:- n. ,n

= n,

·

=

sgn

=

sgn

·

·

(n - h) � (h, . . · , in- l) = EiJ · · · in -l ·

(n - in- t) •

� (ji, · ·

.

• •

. , i n-1)

De (66a) se deduce que (77a)

Zn

n- l = h····· y in-t=I EiJ • I

• • in- l ait 1 ai2 2 • • • ain-t n-1

. . . a1 n-1

= an- 1 1 an- 1 2

. an- 1 n- 1

Se ve que Zn e s igual a l determinante d e la matriz obtenida a partir de la matriz (At, . . . , An) omitiendo Ia ultima fila y la ultima co­ lumna. Generalmente, se define un menor de una matriz a como el determinante de una matriz cuadrada obtenida a partir de a omi­ tiendo algunas de las filas y columnas , mientras que se conservan las posiciones relativas de los elementos restantes. El menor complemen­ tario a un elemento aJk de una. matriz cuadrada a es el que se obtiene a partir de a omitiendo la fila y la columna que contienen al elemen­ · to aik· Por tanto, Zn es igual al menor complementarzo a ann . Las otras componentes del vector Z tienen representaciones se­ mejantes. Por ejemplo, por ( 7 5 ) , se tiene Zn- 1

= det(A 1, .

. . , An-1 , En-1) .

230

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

Con el fin de evaluar este determinante se intercambian las dos w· timas filas (ver la p . 2 1 2) lo cual cambia el signa del mismo . Enton· ces Ia ultima columna En-1 pasa hacia E n y, a partir del resultado anterior, se encuentra que - Zn-1 es igual al determinante que se ob· tiene omitiendo la ultima fila y Ia ultima columna de la nueva matriz o, lo que es equivalente, es igual al menor complementario al ele· mento an-1 n en la matriz original . De modo semejante se encuentra que ± Zi para cad a i = 1, . . . , n es igual al men or complementario al elemento ain, donde el signa positivo se aplica para - i par y el negativo para n - i impar. Por tanto , la formula (75) constituye un desarrollo de un deter· minante de n -esimo arden en terminos de determinantes de - 1) -esimo arden , los menores complementarios a los elementos de Ia ul· tima columna . Por· ejemplo , para = 4 se tiene la formula

n

(n

n

(77b)

au

a12

a1 3

a1 4

az1

azz

a 23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a4 3

a44

a21

azz

a 23

- a14 a31

a32

a 33

a41

a42

a4 3

au

a12

a13

- a34 az1

azz

az3

a41

a42

a4 3

+

a24

+ a44

au

a12

a13

a31

a32

a33

a41

a42

a4 3

au

a12

a13

az1

azz

a23

aa1

aaz

aaa

Intercambiando las columnas se pueden deducir formulas se· mejantes para desarrollar un 4eterminante en terminos de los me· nares complementarios a los elementos de cualquier columna dada. Los desarrollos de este tipo juegan un papel en muchas demostra� ciones basadas en la induccion sabre la dimension del espacio, como se vera posteriormente en las secciones que siguen . c.

Areas de paralelogramos dimensiones superiores

y

volumenes de paralelepipedos

en

Las superficies en el espacio se pueden construir a partir de paralelogramos infinitesimales. Por consiguiente, l as formulas para

Vectores, matrices, transformaciones lineales

231

las areas de superficies curvas y para las integrales sobre superficies requieren el conocimiento de una expresi6n para el area de un paralelogramo en el espacio . De modo semejante , las formulas para los volumenes o las integrales de volumen sobre variedades curvas se tienen que b asar en expresiones para volumenes de paralelepipedos en dimensiones superiores. Tales expresiones se deducen facilmente con la maxima generalidad, con la ayuda de los determinantes. La cantidad b asica asociada con los vectores es el producto escalar de dos vectores A = (a 1 , . . . , an)

y

B = (b1, . . . , bn),

el cual en cualquier sistema coordenado c artesiano esta dado por

Mientras que l as componentes individuales a1 y bk de A y B depen­ den del sistema coordenado c artesiano especial que se use, el produc­ to escalar tiene un significado geometrico independiente: A · B = I A I I B I cos y,

don de I A I , I B I son las longitudes de los vectores A y B y y es el angulo en t re ellos . Se deduce que cualquier c antidad que se puede expresar en terminos de productos escalares tiene un significado geometrico in­ varz'a nte y no depende del sistema coordenado cartesiano especial que se use . La cantidad mas sencilla expresable en terminos de productos es­ calares es la distancia entre dos puntas Po, P1, que es la longitud del vector (78a)

�

A = PoP1. El cuadrado de esa distancia esta dado por 1 A l 2 = A · A.

Con los dos vectores A, B en el espacio n dimensional , puede asociar­ el area de un paralelogramo generado por los dos vectores si se les

se

�

�

da un punto inicial comun Po. Sea A = PoP1 y B = P0P2• Los veetares entonces generan un paralelogramo Po. PI, Q, P2 que tiene a PI y P2 como vertices adyacentes al vertice Po. Por la geometria elemen­ tal, el area a del paralelogramo es igual al producto de los lados ad­ yacentes multiplicado por el seno del angulo y que forman:

232

lntroducci6n al calculo a =

y

al analisis JPatematico

I A I I B I sen y Y' I A I2 I B I2 - I A I2 I B I2 cos 2 y Y' I A I 2 I B I 2 - (A · B) 2

como ya se encontro en la p. 2 22 para el caso especial n = 3 . se puede escribir esta formula para el area a de manera mas adecuada, en la form a de un determinante para el cuadrado de a : .

(78b)

a = (A

2

•

A)(B • B) - (A B)(B •

•

A)

=

\' AB ·· AA

A·B

B·B

El determinante que aparece aqui a la derecha se llama determinan­ te de Gram de los vectores A, B y se denota por F(A, B). Es evidente, con b ase en Ia deduccion, que

r(A, B) > 0 para todos los vectores A, B, y que solo se cumple la igualdad si A y B son dependientes . 1 Puede deducirse una expresion semejante para el cuadrado del volumen V de un paralelepipedo generado por los tres vectores A, B, C en el espacio n dimensional . Representense los vectores en la forma

y considerese el paralelepipedo que tiene a P1 , P2 , Pa como vertices adyacentes al vertice Po. Su volumen V puede definirse como el producto del area a de una de sus c aras multiplicado por l a altura h correspondiente . Eligiendo como a el area del paralelogramo generado por los vectores A y B , tiene que tomarse como h la distan­ ci a del plano que pasa por Po, P1, P2 al punto Pa . De donde,

A.B B·B Es decir , si cualquiera de los vectores se anula ( l A I o bien, I B I ralelos ( sen 'Y = 0).

1

=

I

·

0) o si son pa­

Vectores, matrices, transformaciones lineales

Se interpreta h como Ia distancia "perpendicular" del plano �

23!J Po Pt

p2 a P3 , es decir, Ia longitud de ese vector D = PPa que es perpendicular al plano y tiene su punto inicial P en el plano . Para un punto �

p en el plano PoPtPz el vector PoP debe ser dependiente de _3.

�

A =

P0P1 y B = PoP2 (ver l a p . 1 7 9) �

PoP = AA + J..LB .

De aqui que el vector D tiene la forma �

�

�

D = PPa = PoPa - PoP = C - AA - J..LB

con las constantes A, Jl apropiadas . Si D tiene que ser perpendicular al plano generado por A y B, se debe tener B o D = 0.

A · D = 0,

(79a)

Esto conduce a un sistema de ecuaciones lineales para determinar A

y ll :

(79b)

A · C = AA o A + J..LA

B,

•

B

•

C = AB

•

A + J..LB • B.

El determinante de estas ecuaciones es precisamente el determinante de Gram r(A, B). Suponiendo que A y B son vectores independien­ tes, se tiene r(A, B) =F- 0. Entonces, existe una soluci6n determinada de manera unica A, Jl de las ecuaciones (79) y, de aqui , un vector �

(mico D = PPa perpendicular al plano PoP1P2 y con punto inicial en ese plano . La longitud de ese vector es igual a la distancia h, de modo que , por ( 7 9a) h2 = I D 1 2 = D

•

D = (C - AA - J..LB)

= C • D - AA

•

= C • D = C

C - AC

•

•

D

D - J..LB • D •

A - J..LC

•

B.

Esto conduce a Ia expresi6n

(79c)

V2 = (C • C - AA • C - J..LB o C) r(A, B).

234

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Esta expresi6n para el cuadrado del volumen del paralelepipedo definido por A,B,C puede escribirse en forma mas adecuada como el determinante de Gram formado a partir de los vectores A, B,C:

(79d)

V2 =

A·A

A · B

A · C

B · A

B · B

B • C

C · A

C · B

C · C

Con el fin de demostrar para V2 , se hace uso del B, C) no cambia si de mera columna y Jl veces

r(A, B, C) =

= r(A, B, C).

la identidad de las expresiones (79c) y 79d) hecho de que el valor del determinante r(A, la ultima columna se resta 'A veces la pri­ l a segunda columna :

A · A

A · B

A

B · A

B · B

B

C · A

C · B

• •

•

C - 'AA

A - J.LA • B

C - A.B • A - J.LB

•

B

C • C - 'AC • A - J.LC • B

De (79b) se deduce que

r(A, B, C) =

A · A

A · B

0

B · A

B · B

0

C · A

C · B

C

•

C - 'AC

·

A - J.LC

•

B

Desarrollando este determinante en terminos de la ultima columna, se regresa inmediatamente a la expresi6n (79c) . La formula (7 9d) muestra que el volumen V del paralelepipedo generado por los vectores A, B , C no de pende de Ia elecci6n de la cara ni de la altura correspondiente usadas en el calculo , porque el valor de f(A, B, C)no cambia cuando se permutan A, B, C. Por ejem plo , puede obtenerse r (A, B, C) intercambiando las dos pri­ meras filas y, a continuaci6n , las dos prim eras columnas en el deter­ minante para r(A, B, C) . La formula (7 9c) puede escribirse como

Se deduce que

r(A, B, C) = I D I 2 F(A, B). r(A, B, C) > 0

Vectores, matrices, transformaciones lineales

235

para cualesquiera vectores A, B, C. A qui solo puede cumplirse el sig­ no igual si r(A, B) = 0 o bien, D = 0. La relacion r(A, B) = 0 im­ plicaria que A y B son dependientes . Si D = 0, se tendria C = A.A + J.lB, de modo que C dependeria de A y B. De aqui que el deter­ minante de Gram r(A, B, C) se anula si y solo si los vectores A,B,C son dependientes. = 3, la formula (79d) se deduce inmediatamente a partir Para de la formula (74c) para el volumen V de un paralelepipedo orien­ tado generado por los tres vectores A,B,C en el espacio tridimen­ sional . Esta es una consecuencia de la identidad (68f) , p. 2 1 3 , de acuerdo con la cual

n

det(A, B, C) det(A, B, C) = r(A, B, C).

La expresion para V2 como un determinante de Gram tiene la ven­ taja de mostrar que V es independiente del sistema coordenado car­ tesiano especial que se use , y de a qui que V tiene un significado geometrico . Puede proseguirse hacia los "volumenes" V de paralelepipedos �

tetradimensionales generados por cuatro vectores A. = PoP1, B �

�

�

=

> 4). DePoP2. C = PoP3, D = PoP4 en el espacio n dimensional finiendo V como el volumen del paralelepipedo tridimensional ge­ nerado por los tres vectores A, B, C multiplicado por la distancia del "plano" tridimensional que pasa por los puntos Po, P1 , P2, P3 al punto P4 , se llega , exactamente a traves de los mismos pasos anteriores, a una expresion p ara V2 en l a forma de un determinante de Gram :

V2 =

(80a)

(n

A·A

A · B

A · C

A·D

B·A

B·B

B·C

B·D

C · A

C · B

C · C

C · D

D · A

D · B

D · C

D · D

= r(A, B, C, D)

Si aqui = 4, el determinante de Gram se convierte en el cuadrado del determin �nte de la matriz con columnas A, B, C, D, y se encuen­ tra que

n

(SOb)

V = I det(A, B� C, D) 1 .

: . . Mas generalmente, m vectores A 1 1 , Am en el espacio n dimensional , a los cuales se les asigna un punto inicial comun Po, •

••

•

236

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

generan un paralelepipedo m dimensional. El cuadrado del volumen V de ese paralelepipedo esta dado por el determinante de Gram

(81a)

AI . AI

AI . A2

A2 · AI

A2 • A2

• • • AI • Am • • • A2 · Am

V2 =

= r(AI, . . . , Am) •

Am

•

Am

Si m = n se obtiene, para el volumen del paralelepipedo generado por n vectores en el espacio n , la formula (81b)

V = l det(AI, . . . , An) I .

Por induccion sabre m se prueba que r(AI, . . . , Am) > 0,

donde Ia igualdad se cumple si y solo si los vectores AI, . . . , Arn son dependientes . l d . Orientaci6n de paralelepipedos en e l esPacio n dimensional

Posteriormente , en el Capitulo 5 , cuando necesitemos un metodo consistente para fijar el signa de las integrales multiples, tendremos que hacer uso de los voliimenes con signo y las orientaciones de los paralelepipedos en el espacio n dimensional . Para el volumen definido por. n vectores AI, . . . , An en el es­ pacio n dimensional se tiene , por ( 81 b ) , 1 a expresi6n V = l det AI, . . . , An) I .

det (AI, . . . , An) recibe el nombre de volumen en las coordenadas (X I • • • Xn) del paralelepipedo, orientado generado por AI, .. . : , An . Se dice que el paralelepipedo, o que el conjunto de vectores AI, . . . ,

1 En el caso de los vectores dependientes A1, . . . , Am con punto inicial comun Po el paralelepipedo generado por estos vectores "se contrae" bacia una variedad lineal de m-1 dimensiones o menos y tiene un volumen m dimensional igual a 0.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

237

An esta orientado positivamente con respecto al sistema coordenado si det (AI, . . . , An) es positivo , negativamente si el determinante es negativo . Por tanto,

(81c)

det(AI, . . . , An) = E V,

donde V es el volumen del paralelepipedo generado por los vectores AI, . . . , An y E = + 1 o bien , - 1 de acuerdo con que el paralelepi­ pedo este orientado positiva o negativamente con respecto al sistema coordenado . Mientras que el cuadrado de det (AI, . . . , An) tiene un signifi­ cado geometrico independiente del sistema coordenado cartesiano, este no es el c aso para el signo del determinante . El intercambio, por ejemplo , de los ejes XI y X2 conduce al intercambio de las dos pri­ meras filas del determinante y, por tanto , a un cambio del signo en el det(A1, . . . , An). Sin embargo , lo que tiene un significado geo­ metrico independiente es la afirmaci6n de que dos p aralelepipedos n dimensionales en el espacio n dimensional tienen la mz"sma orien­ taci6n u orientaciones puestas. Considerense dos conjuntos ordenados de vectores A1, . . . , An en el espacio n dimensional, donde se supone que cada conjunto consiste de vectores independientes. Obviamente , los dos conjuntos tienen la misma orienta cion - es decir, ambos estan orientados positivamente o ambos negativamente con r�specto al sis­ tema X1 • • • Xn si y solo si se satisface la condici6n B1, . . . , Bn

(82a)

det(A1, . . . , An)

•

det(B1, . . . , Bn) > 0 .

Usando la identidad (68£), esta condici6n puede escribirse en Ia form a ;(82b)

[A1, . . . , An ; B1, . . . , Bn] > 0,

donde el simbolo de la izquierda denota la funcion de 2n vectores definida por

238

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

A1 • B1

A1 • B 2

• • •

A 2 • B1

A2 • B 2

•

(82c) [A1, . . . , An ; B1, . . . , Bn] = •

Bn A 2 • Bn A1

•

An

•

Bn

N6tese que p ara B1 = A1, . . . , Bn = An , el simbolo [A1, . . . , An ; B1, . . . , Bn] se reduce al determinante de Gram f'(A 1, . . . , An). Las formulas (82b , c) hacen evidente que tener la misma orientaci6n es una propiedad geometrica que no depende del sistema coordena do cartesiano espedfico que se use . Esta propiedad se denota simb6li­ camente por (82d)

!l(A1, . . . , An) = !l(B1, . . . , Bn)

y Ia propiedad de tener la orientaci6n opuesta 1 por (82e)

!l(A1, .

. , An) =

- !l(B1,

. . . , Bn).

Entonces, generalmente , para dos conjuntos de n vectores \p.depen· dientes en el espacio n dimensional , (82f) !l(B1, . . . , Bn) = sgn[A1, . . . , An ; B1, . . . , Bn]!l(Al, . . . , An). 1 La orientacion individual Q de una n-ada de vectores no representa un "numero" La formula (82f) solo asocia un valor ± 1 con la razon de dos orz"entacz"ones, mien· tras que las formulas (82d, e) expresan la igualdad o la desigualdad de las orien· taciones. Por supuesto , es posible describir las dos diferentes orientaciones posibles de las n- adas completamente por medio de valores numericos, digamos, dando el valor Q = + 1 a una de las orientaciones, el valor Q = - 1 a la otra. No obstante, es· to involucra la seleccion arbitraria de una "orientacion estandar" que llamamos + 1 - por ejemplo, la dada por los vectores coordenados - mientras que las relaciones (82d, e, f) tienen un significado independiente de cualquier valor numerico que se le asigne a Q. Situaciones analogas son comunes en toda la extension de las mate­ maticas. Por ejemplo, en la geometria euclidiana la igualdad de las distancias e in· cluso la razon de las distancias tienen un significado , aun cuando no se les asignan valores numericos a las distancias (como en los Elementos de Euclides) . Es cierto que las distancias pueden describirse por medio de numeros reales tales que la raz6n de las distancias es precisamente la de los numeros reales correspondientes. Esto re· quiere la seleccion arbitraria de una "distancia estandar" (por ejemplo, un metro), a la cual se refieren todas las demas distancias y, en consecuencia, en cierto sentido in­ troduce un elemento "no geometrico" .

Vectores, matrices, transformaciones lineales

239

El conj unto AI, . . . , An esta orientado positiva o negativamente con respecto a las coordenadas X I • • • Xn segtin que Q(AI, . . . , An) = Q(EI, . . . , E n)

(83a) o

bien que Q(AI, . . . , An) = - Q(EI, . . . , En),

(83b)

donde EI, . . . , E n son los vectores coordenados. En ocasiones se denotara la orientaci6n Q(E 1 , . . . , E n) del sistema coordenado, por !l(XI, X2, . . . , Xn).

Para dos conjuntos de n vectores en el espacio n dimensional , AI, . . . , An y AI, . . . , An se tiene , por (82c ), (Slb), [AI, .

(84a)

. , An ; AI', . . . , An'] = ee' VV'

Aquf V y V' son, respectivamente , los voh:imenes de los paralelepi­ pedos generados por los dos conj untos de vectores; los factores E, e' dependen de sus orientaciones y de la de los vectores coordenados: (84b) (84c)

E

=

sgn

[AI, . . . , An ; EI, . . . , En]

'

=

sgn

[AI', . . . , An' ; EI, . . . , E n] .

'

= sgn [AI, . . . , An ; AI', . . . , An']

E

El producto (84d)

EE

es independiente de la elecci6n del sistema coordenado y tiene el valor + 1 si los paralelepipedos tienen la misma orientaci6n, pero es - 1 si sus orientaciones son o puestas. Usando la definicion en terminos de productos escalares, se puede formar la expresi6n (85a)

[AI, . . . , Am ; AI', . . . , Am']

240

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico • • ·

Am · AI'

AI

·

Am'

•

A2 · Am'

•

Am • Am'

para cualesquiera 2m vectores A 1 , . . . , Am' en el espacio n dimen· sional . Es evidente, a p artir de Ia definicion, que esta expresion es una forma multilineal en los 2 m vectores . Por ejemplo , el vector A1' solo en Ia primera columna y los elementos de esa columna son for· mas lineales en AI'. Dado que el determinante completo es una forma lineal en los elementos de Ia primera columna, se concluye que es una forma lineal en AI'. Tambien es evidente, de (85a), que Ia ex· presion es una fun cion altern ante de los vectores AI', . . . , Am' para A 1 , . . . , Am fijos, y una funcion alternante de A 1 , . . . , Am pa ­ ra AI', . , Am'fijos. Se concluye (ver Ia nota al pie de Ia p. 236) que (85b}

[A1, . . . , Am ; A 1 ', . . . , Am'] = 0

siempre que los m vectores A1, . . . , Am o los m vectores AI', . . . , Am'sean dependierttes . En p articular, (85b) siempre se cumple cuan· do m > n. Supongase entonces que m � n y que los vectores AI, . . . , Am Y loa vectores AI', . . . , Am' son independientes. Puede suponerse que a todos estos vectores se les da el mismo punto inicial , digamos el origen 0 del espacio n dimensional . Entonces AI. . . . , Am generan una variedad lineal m dimensional, 1t que p asa por 0, y A 1', . . . , Am' otro plano 1t ' de este tipo . Introduzcase un sistema ortonormal de vectores EI, . . . , Em como vectores coordenados en 1t y otro sistema ortonormal de vectores E I' , . . . , Em' en 1t ' . l Para A 1 , . . . , Am fijos, Ia funcion (85b) es una forma multiline a! alternante en los vectores A1', . . . , Am' y, por tanto (ver Ia p. 1 85 ) est a dada por [AI, . . . , Am ; AI', . . . , Am']

= [AI, . . . , Am ; E I', . . . , Em'] det(A1', . . . , Am'), dos sistemas de veetores coordenados en 1t y 1t' no tienen que estar relacio · nados entre si de modo alguno, ni con el sistema coordenado al cual el espacio n dimensionaJ completo que contiene a 1t y 1t' esta referido.

1 Estos

Vectores, matrices, transformaciones lineales

241

don de det(AI', . . . , Am')es el determinante de Ia matriz formada por las componentes de los vectores AI', . . . , Am' referidas a EI', . . . , Em' CO.tTIO vectores coordenados. O·bviamente , el propio coeficiente [AI, .. . . , Am ; EI', . . . , Em'] es una forma multilineal alternante en AI, . . . , Am y, por tanto, dada por [EI, . . . , Em ; EI', . . . , Em'] det(A I , . . . , Am), donde el ultimo determinante se forma a p artir de la matriz de las componentes de AI, . . . , Am referidas a los vectores coordenados EI , . . . , Em . Usando la formula (Slc ) se obtiene Ia identidad (85c)

[AI, . . . , Am ; AI', . . . , Am'] =

J.lEE

'

VV'.

Aqui V

y V' son, respectivamente, los volumenes de los paralele­ pipedos generados por los vectores A I , . . . , Am y AI', .. . . , Am'. Los factores E, e' establecen la relaci6n entre las orientaciones de los paralelepipedos con las de los sistemas coordenados en 1t y 1t' : E

=

sgn

[AI, .

. , Am ; EI, . . . , Em],

'

=

sgn

A 1 ', .

. , Am' ; E I', . . . , Em'].

E

Por ultimo, el coeficiente J.l = [E 1 , . . . , Em ; E1', . . . , Em']

solo depende de los espacios 1t y 1t ' y de los sistemas coordenados elegidos en esos espacios. Si n = n' puede elegirse E' = E I, . . . , Em' = Em ; en ese caso J.l = 1, como en Ia formula (84a). Para J.l * 0 , puede usarse Ia formula (85c) p ara establecer Ia relaci6n entre orientaciones en dos variedades lineales m dimen­ sionales distintas 1t y 1t' estando ambas en el mismo espacio n di-

242

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

mensional . 1 Remplazando , si es necesario, uno de los vectores coor· denados por su opuesto , siempre puede lograrse que Jl > 0. Entonces, por (85c), (85d)

sgn [A1, . . . , Am ; A1', . . . , Am'] =

' EE .

Asi, la condici6n [ A1, .

. , Am ; A1', . . . , Am'] > 0

para cualesquiera A1, . . . , Am en 1t y A1', . . . , Am' en n ' signific a que ambos conjuntos de vectores estan orientados positivamente o que ambos estan orientados negativamente con respecto a los sistemas coordenados en esos espacios . e. Orientaci6n de planos e hiperplanos

La elecci6n de un sistema coordenado cartesiano p articular en una variedad lineal m dimensional 1t determina un cierta orien­ taci6n !2(E1, . . . , Em),

donde E1, . . . , Em son los vectores coordenados . Esta elecci6n fija cuales conjuntos de m vectores A1, . . . , Am en 1t se dice que estan orientados positivamente , a saber , aquellos con la misma orientacion que E1-, . . . , Em . Denotamos por n* la combinaci6n del espacio lineal 1t con la selecci6n de una orientaci6n particular en 1t y a 1t* se le da el nombre de variedad lz"neal orientada. Se escribe Q(n *) para la orientaci6n seleccionada y se dice que m vectores indepen­ dientes A1, . . . , Am en 1t estan orientados positivamente si !2(A1, . . . , Am) = !2(n *).

Se dice que n* esta orientada positivamente con respecto a un sis­ tema coordenado cartesiano particular si la orientaci6n de los vee­ tares coordenados es la misma que la de n* . Un plano bidimensional orientado n* puede imaginarse como un plano con un sentido positivo de rotaci6n distinguido. Si una p areja Se verifica facilmente que J..1 = 0 solo cuando 1t y n' son perpendz"culares entre sf, es decir, cuando 1t' contiene un vector ortogonal a todos los vecrores en 1t. Con mayor generalidad, el coeficiente J.l puede interpretarse como el coseno del angulo entre las dos variedades (ver el problema 1 3 , p. 246). 1

Vectores, matrices, transformaciones lineales

243

de vectores A, B esta orientada "positivamente" con respecto a 1t * el sentido positivo de rotaci6n de n * es el sentido de la rotaci6n en un angulo menor que 180° que lleva la direcci6n de A hacia la de B . I Si el plano bidimensional orientado n* se encuentra en un plano tridimensional orientado cr*, pueden distinguirse un lado Positivo y uno negativo de 1t *. Sea Po cualquier punta de 1t *. T6mense dos vee-

tores independientes B

(86a)

=

�

�

PoP1, C

=

PoP2 en 1t * para los cuales

11(B, C)

=

i1(1t *) . �

Se dice que un tercer vector A = PoPa, apunta hacia el lado positivo de 1t* si (86b)

n(A, B , C)

=

independiente de B, C,

11(cr*).

Si cr* esta orientado pos1t1vamente con respecto a un sistema coor­ denado cartesiano , puede remplazarse la condici6n (86b) por (86c) en ese sistema . Si

det(A, B, C) > 0

cr* est a orienta do positivamente con respecto al

sistema coordenado derecho usual , entonces el lado positivo de un plano orientado 1t � es aquel desde el cual el sentido positivo de rotaci6n en 1t * se ve como en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj . La misma terminologia se aplica a los hiperplanos orientados rr* en el espacio orientado n dimensional cr* . Dados n - 1 vectores A2, en 1t * con . . . , An (87a)

O(A2 , . . . , An)

=

i1(1t *),

se dice que un vector A1 apunta hacia el lado positivo de 1t * s1 lNotese que la orientaci6n de 1t* solo puede describirse seiialando una pareja es­ pecifica de vectores B, C en 1t orientada positivamente, o bien, un objeto giratorio especifico en 1t (por ejemplo, un reloj) que tenga el sentido de rotacion que se distin­ gue. N o existe manera ab stracta de decidir si una rotacion dada es en el sentido o en sentido contrario al movimiento de las manecz"llas del reloj, como tampoco existe una manera abstracta de decir lo que es la de·recha y lo que es la z'zquierda. Estas cues­ tiones solo pueden decidirse por l'eferencia a algunos o bjetos estdndar.

244

Introduccion al cilculo

y

al anilrsis matemauco

Q(AI, . . . , An-1, An) = Q(cr*),

(87b)

f. Cambio de volumen de los Paralelep{pedos en las trans/or· maciones lineales

Una matriz cuadrada a = (ar�c) con n filas y columnas determina una transformaci6n o aplicacion lineal Y = aX de los vectores X en el espacio n dimensional hacia los vectores Y del mismo espacio. Aqui se supone que X y Y estan referidos · a los mismos vectores coorde­ nados E1, . . , E n . Para X = (x1, . . . , Xn) , Y = (y1, . . . , Yn), Ia transformacion, escrita en sus componentes , tiene la forma .

YJ =

i:

r=l

(j = 1, . . . , n) .

ajrXr

Un conjun�o de n vectores B 1 = (b n , . . . , bnl) , . . . , Bn = (b 1 n , . . . , bnn) Se transforma en e} conjunto de n vectores C 1 = (en, . . . , Cnl) , . . . , Cn = (Cln, . - . , Cnn), donde n Cjk = :E a1r brk r= l

•

Por la regia para el determinante de un producto de matrices (p. 2 1 0 ) , se tiene (88a)

det(C1, . . . , Cn) = det(a)

•

det(B1, .

.

� ,

Bn) .

Esta formula contiene las dos formulas (88b) (88c)

I det(C1, . . . , Cn) I = I det(a) I I det(B1, . . . , Bn) I sgn det(C1, . . . , C n) = [sgn det(a)][sgn det(B1, .

. , Bn) ] .

Estas dos reglas pueden enunciarse inmediatamente en lenguaje geometrico : La transfo_rmacz"6n lz'neal del espacz"o n dz"mensz'onal so bre si mz"smc correspondz'ente a una matrz'z cuadrada a , multz"plz'ca el volumen de todo paralelepipedo generado Por n vectores por el mz"s mo factor constante det(a) . Esta transformacz'6n conserva la orz'entacz'6n de todos los paralelepipedos n dz'mensz"onales sz" det (a) > 0, y cam bz"a la

Vectores, matrices, transformaciones lineales

245

orientacion de todos ellos si det (a) < 0. 1 Para un movimiento rigido la matriz a es ortogonal y, por tanto (ver Ia p . 2 1 3) , su determinante es + 1 , o bien, - 1. Por tanto , los movimientos rigidos conservan el volumen de los paralelepipedos. A q uello s para los que det (a) = + 1 conservan el sentido; los otros lo invierten . Ejercicios 2.4 1. Tratar e] numero 5 de los Ejercicios 2.2 en terminos de productos vec­

toriales.

2. En una rotaci6n uniforme , sean (ex, f3, y) los cosenos directores del eje de

rotaci6n, el cual pasa por el origen, y velocidad del punto (x, y, z).

(J)

la velocidad angular. Hallar la

3. Demostrar que el plano que pasa por los tres puntos (x1, y1, ZI ), (x2, y2,

z2), (xa, ya, za) esta dado por

I �� = � ;� ; :� = : I 0. xa - x ya = - y za - z

=

4. Encontrar Ia distancia mas corta entre las dos rectas l y l' en el espacio, dadas por las ecuaciones x = at + b, y = ct + d, z = et + f y x = a't + b' , y = c't + d', z = e't + f'

5. Demostrar que el area de un poligono convexo con los vertices sucesivos P1(X1, y1), P2(x2, y2), . . . , Pn(Xn,Yn) esta dada por la mitad del valor absoluto de

6.

I

X I X2 Yl Y2

I+I

X2 Xa y2 ya

I+.

. .+

I

Xn - 1 X n Yn-1 Yn

I+I

Xn Xl Yn Y l

Probar que el area del triangulo con vertices (x1, y1), (x2, y2), es

2

1

I

Xl Y l X2 Y2 xa ya

1 1 1

I

y

(xa, ya)

I

7 . Si los vertices del triangulo del ejercicio anterior tienen coordenadas racionales, probar que el triangulo no puede ser equilatero. 1 Es im portante hacer resaltar las hip6tesis en este teorema. Solo los volumenes de paralelepipedos n dimensionales se multiplican por el mismo factor; los de dimen­ siones inferiores se multiplican por factores que varian con su localizaci6n. Tambien tiene que suponerse que imagen y original se refieren al mismo sistema coordenado, si es que ha de cumplirse la proposici6n acerca de las orientaciones.

246

Introduccion al dllculo

y

al analisis matematico

8 . (a) Probar la desigualdad

D

=

l

b b' �' �,a" b" c"

I

�

v'(a2 + b2 + c2)(a'2 + b'2 + c'2)(a" 2 + b" 2 + c" 2).

(b) � Cua ndo se cumple el signo de igualdad? 9 Probar las identidades vectoriales

=

(a) A

(b) (c)

X (B X C) (A • C) B - (A • B) C (X X Y) · (X' X Y') = (X • X') (Y • Y') - (X • Y') (Y • X') [X X (Y X Z)] • {[Y X (Z X X)] X [Z X (X X Y)]} = 0.

1 0 . Dar la formula para una rotacion en un {mgulo if> alrededor del eje x : y: z 1 : 0 : -1 tal que la rotacion del plano x = z sea positiva cuando se observa desde el punto ( - 1, 0, 1).

=

y C son independientes, usar la� dos representaciones de X = (A (C X D) obtenidas en el Ejercicio 9a para expresar D como una combinacion lineal de A, B y C .

1 1 . Si A,

B

X B) X

1 2 . Sean Ox, Oy, Oz y Ox', Oy', Oz' dos sistemas coordenados derechos. Supongase que Oz y Oz' no coinciden ; sea 0 el angulo zOz' (0 < e < rr) : Tracese la semirrecta Ox 1 a angulos rectos tanto con Oz como con Oz' y tal que el sistema Ox1 , Oz, Oz' tengan la misma orientacion que Ox, Oy, Oz. La Ox1 es la recta de interseccion de los pianos Oxy y Ox'y'. Sea if> el angulo xOx1 y � el angulo x 1 0x' y supongase que se miden en el sentido positivo usual en sus respectivos pianos Oxy y Ox'y'. Encontrar Ia matriz para el cambio de coordenadas. 1 3 . Sean rr y rr' dos subespacios lineales m dimensionales del mismo espacio n dimensional, con las respectivas bases ortonormales E1, E 2 , . . . , Em Y E1', E 2', . . . , Em'. Demostrar que lJ. [E1, E 2, . . . , Em ; E1', E 2', . ., Em'] = 0 si y solo si rr y rr' son ortogonales, es decir, uno de los es­ pacios contiene un vector perpendicular a todos los vectores del otro.

=

2.5

Nociones vectoriales en el analisis

a. Campos vectoriales

El analisis matematico entra en juego cuando nos interesamos en una variedad vectorial dependiente de uno o mas parametros que varian de manera continua. Si, por ejemplo , se considera un material que ocupa una porci6n de espacio y que se encuentra en estado de movimiento, entonces en un instante dado cada particula del material tendra una velocidad definida que se representa por medio de un vector U=(u1, u2, ua). Se dice que estos vectores forman un campo vectorial en la region en

Vectores, matrices, transformaciones linealo,

247

cuesti6n . Entonces , las tres componentes del vector del campo aparecen como tres funciones

de las tres coordenadas x1, x2 , xa de la posicion de la particula en el instante en cuesti6n . Comunmente se representaria U como un vector con punto inici al (x1, x2 , xa). Del mismo modo , las fuerzas que actuan en puntas diferentes del esp acio forman un c ampo vectorial . . Como ejemplo de un campo de fuerzas considerese la fuerza gravitacional por unidad de masa ejer­ cida por una p articula pesada , de acuerdo con la ley de atracci6n de Newton . De acuerdo con esa ley, el campo vectorial F = ({!, f2 , fa) en cada punto (x1, X2 , xa) esta dirigido hacia la particula que atrae y su magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la particula al punto . Los campos vectoriales , como U o F, tienen un significado fisico independiente de las coordenadas . En un sistema coordenado car­ tesiano X1, . X2, xa dado, el vector U tiene las componentes U1, u2 , ua que dependen del sistem a coordenado . En un sistema coordenado cartesiano diferente , el pun to que originalmente tuvo las coorde­ nadas X1, X2 , X3 recibe l as coordenadas y1, y1, ya donde las Yi y las Xk estan relacionadas por medio de ecuaciones de la forma

(89a) o

bien,

(89b)

I

Yt = aux1 + a1 2 X2 + a 1axa + b1

Y 2 = a 2 1X1 + a 22 X2 + a 2axa + b 2

Y3

=

a a1X1 + a a2X 2 + a 33X3 + ba ,

3 Yi = I: aJkXk k=l

+

b1

(i

=

1, 2, 3).

Entonces, las componentes v1, V2 , va del vector U en el nuevo sistema coordenado estan dadas por l as relaciones homogeneas correspon­ dientes: (89c)

3 Vj = ,L: ajkUk k=t

(j = 1, 2, 3).

La matriz a = (a1k) es ortogonal , de modo que (ver la p. 1 94) su redporca es igual a su transpuesta. En consecuencia , las soluciones

248

Introducci6n al cilculo

y

al anilisis matematico

de las ecuaciones (89b ) , (89c) para Xk y Uk toman Ia forma

(89d)

Uk

(89e)

3

=

k=l

:E ajkVj

(k

=

1 , 2, 3),

(k

=

1, 2, 3).

Tres funciones cualesquiera u1, uz, ua de las variables X1, xz, xa determinan un campo de vectores U con componentes u1, uz, ua en las coordenadas x1, xz, xa. Si el campo ha de tener un significado in­ dependiente de Ia elecci6n de los sistemas coordenados, l as com· ponentes Vt de U en un sistema coordenado cartesiano y1, yz, ya deben estar dadas por Ia formula (89c), siempre que l as y1 y las Xi esten relacionadas por las formulas (89a ) . b . Gradiente de un escalar

Un escalar es una funcion s = s(P) de los puntos P en el espacio. En cualquier sistema coo:rdenado cartesiano en el que el punto P este descrito por sus coordenadas x1, xz, xa, el escalar s se convierte en una funcion s = f (x1, xz, xa). Las tres derivadas parciales

U3

=

as = fxa(Xl, Xz, Xa) . axa

pueden considerarse como componentes, en l as coordenadas x1, xz, xa de un vector U = (u1, uz, ua). En cualquier nuevo sistema coordenado cartesiano y1, yz, ya enlazado, con el original por medio de las relaciones (89a), o bien, (v:ld) , el escalar s queda representado por Ia funcion

s

=

g(y1, yz, ya)

Por la regla de la cadena de la derz'vaci6n (p . 5 5 ) , se tiene

Vectores, matrices, transformaciones lineales

249

as v, = - = gy1(yl, y2 , ys) aYi � axk = k=l axk ay,

±

3 = � Ukaik· k =!

Usando las relaciones (89c ) , se ve que el vector U tiene las compo­ nentes Vj = asjayj en el sistema YI, Y2 , Js . Asi, las derivadas parciales del escalar s formado en cualquier sistema coordenado cartesiano, constituyen las componentes de un vector U que no depende del sis­ tema. A U se le da el nombre de gradz'ente del escalar s y se escribe U = grad s.

Por la formula ( 1 4b), p. 7 3 , la derivada de s en la direcci6n con esta dada en las coordecosenos directores a1, cos a2 , cos as nadas Xl, X2 , xs por (90)

as D(a)S = a�

cos

as al + a�

cos

as a2 + a �

cos

as.

Introduciendo el vector unitario R = (cos a1, cos a2 , cos as) en la direcci6n con angulos directores a1, a2 , as, puede escribirse la deri­ vada de s en esa direcci6n, en notaci6n vectorial , como D(a)S = R • grad s.

(90b)

A partir de la desigualdad de Cauchy-S chwarz (ver la p. 1 32 ) se en­

cuentra, p ara I R I = 1.

I D s l � I R I I grad s l = l grad s l

De donde , la derz'vada de s en cualquz'er dz'reccz'6n nunca es mayor que la longz'tud del gradz'ente de s. Tomando como R al vector unitario en la direcci6n de grad s, se encuentra para la derivada direccional el valor D s

=

1 (grad s) · (grad s) = I grad s l I grad s I

250

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Por tanto, la longitud del vector gradiente de s es igual a la rapidez maxima de cambio de s en cualquier direcci6n. La direcci6n del gradiente es aquella en la que el escalar s crece mas rapidamente, mientras que en la direcci6n opuesta s decrece con mayor rapidez. En el Capitulo 3 regresaremos a la interpretacion geometrica del gradiente . No obstante , inmediatamente puede darse una idea in· tuitiva de la direcci6n del gradiente . Restringiendonos primero a los vectores en dos dimensiones, tenemos que considerar el gradiente de un escalar s = {(x1, x2) . Se supondra que s se representa por medio de las curvas de nivel (o lineas de contorno) s

=

{(x1, X2)

=

constante =

c

en el plano Xl , X2 . Entonces, obviamente , la derivada de s en un pun­ to P en la direcci6n de la curva de nivel que p asa por P es 0, porque si Q e� otro punto sobre la misma curva de nivel se cumple la ecuaci6n s( Q) - s(P) = 0; dividiendo por la distancia p entre Q y P y haciendo que p tienda a 0 , en el limite (ver l a p . 7 2) se encuentra que la derivada de s en la direcci6n tangencial a la curva de nivel en P es 0 . Asi , por (90b), R. grad s = 0 si R es un vector unitario en la direcci6n de la tangente a la curva de nivel y, por lo tanto , en todo punto el vector gradiente de s es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese Punto. Se cumple una proposici6n exactamente analoga para el gradiente en tres dimensiones . Si se representa el es­ calar s por medio O.e sus superficies de nivel s

=

{(x1, X2 , xa) = constante =

c,

el gradiente tiene componente cero en toda direcci6n tangencial a la superficie de nivel y, por consiguiente, es perpendicular a la super­ ficie de nivel. En las aplicaciones frecuentemente se encuentran campos vec­ toriales que representan el gradiente de una funci6n escalar. Puede tomarse como un ejemplo el campo gravitacional de fuerzas debido a una particula de masa M concentrada en un punto Q = (�1, � 2, �3) Denotemos por F = ({!, {2 , fa) la fuerza ejercida por la masa atractiva M sobre una particula de masa m localizada en el punto P = (x1, x2, xa). Den6tese por R el vector �

R = QP = (x1 - �1, X2 - � 2 , xa - �a).

Vectores, matrices, transformaciones lineales

251

Por la ley de Newton de l a gravitaci6n , F tiene la direcci6n de - R y la magnitud C/ 1 R l 2 , donde C = ymM (aqui y denota la constante universal de gravitaci6n). De donde,

o bien , �j - XJ 3 f1 = C 1 1 2 + ( � 2 - x2) 2 + (�a - xa) 2 " (� - x1)

(j

=

1, 2, 3).

(j

=

1, 2, 3).

Derivando , inmediatamente se verifica que a

c

{J = a===;:(�::=3=_ =X=:1)�2=+ =X=3)�2 J;:;:: ====;c(�::=2=_ =X=2)�2=+ Xj --; (�:;=l=_ De aqui que (91)

donde

c F = grad - , r

es la distancia entre las dos particulas en P y Q.

Si un campo de fuerzas es el gradiente de una funci6n esc alar, a menudo esta funci6n escalar recibe el nombre de funci6n de poten­ cial del campo . En el estudio del trabajo y la energia (pp. 728 y 7 88 se considerara este concepto desde un punto de vista mas general . c. Divergencia y rotacional de un campo vectorial

Derivando , a cada escalar se le ha asignado un campo vectorial : el gradiente . De modo semejante, a cada campo vectorial U se le puede asignar un cierto esc alar , conocido como dz"vergencz"a del cam­ po vectorial U. Para un sistema coordenado cartesiano X1, x2, xa es­ pedfico en el que U = ( u1, U2, U3), se define la divergencia del vector U como la funci6n (92)

252

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

es decir, como la suma de las derivadas parciales de las tres com­ ponentes con respecto a las coordenadas correspondientes. Puede demostrarse que el escalar div U definido de esta manera no depende de la eleccion particular del sistema coordenado cartesiano . 1 Supon­ gase que las coordenadas y1, y2 , ya de un pun to en un sistema coor­ denado diferente estan relacionadas con XI , x2 , xa por medio de las ecuaciones (89b) ; entonces, las componentes VI, V2 , va de U en el nuevo sistema estan dadas por las relaciones (89c) . A partir de la regia de la cadena para la derivacion se tiene

3 auk

div U = �

k = I axk

=

t

auk ay,

k .j= 1 ay, axk

3 a 3 3 auk = � aik =� � aJkUk j, k= I

-

-

j= I ay, k=I

ay,

lo cual demuestra que se llega al mismo escalar div U en cualquier otro sistema coordenado . Aqui nos restringiremos a la definicion formal de la divergencia ; posteriormente (Capitulo V , Seccion 9) se discutira s u interpretacion fisica. Adoptaremos el mismo procedimiento p ara el llamado rotacional de un campo vectorial U. El rotacional es a su vez un vector B = rot U.

Si en un sistema coordenado XI , x2 , xa el vector U tiene las com­ ponentes u 1 , u 2 , ua, se definen las componentes b1, b 2 , ba de rot U por (93) 1 Este no sert:a el caso para otras expresiones formadas a partir de las primer as de­ rivadas de las componentes del vector U, por ejemplo,

o bien,

aul + au2 - aua axa axl ax2

aul ax2

au2 axa

aua axl .

Vectores, matrices, transformaciones lineales

253

Puede verificarse , como en los otros casas, que la definicion dada del rotacional de un vector U en realidad proporciona un vector in­ dependiente del sistema coordenado particular, siempre que todos los sistemas coordenados c artesianos considerados tengan la misma orientaci6n . No obstante , se omiten estos calculos aqui en virtud de que en el Capitulo 5 , p. 683 , se dara una interpretacion flsica del rotacional que ilustra claramente su caracter vectorial. Los tres conceptos de gradiente , divergencia y rotacional pueden relacionarse entre si si se usa un vector simbolico con las componentes

a

a

a

Comunmente, este operador diferencz'al vectorz'a l se denota por media del simbolo V (pronunciese "del"). El gradiente de un escalar s es el producto del vector simbolico V con l a cantidad escalar s; es decir, es el vector (94)

La divergencia de un vector U = (u1, u2 , ua) es el producto escalar (94b)

Por ultimo , el rotacional del vector U es el producto vectorial (94c)

rot U

=

=

V x U

(a:2 Ua - a:a U2, a:a Ul - a:l ua, a:l U2 - a:2 Ul)

[ ver ( 7 1 b ) , p . 2 1 9 ) . El hecho de que el vector V es independiente del

sistema coordenado que se use para definir sus componentes, se deduce de l a regia de la cadena p ara la derivacion; bajo la transfor­ macion de coo�denadas (89d) , por la regia de la cadena se tiene I Nos vemos forzados a escribir aqui el vector antes del escalar en el producto V s, en contraposici6n con nuestra costumbre, en virtud de que las componentes del vector simb6lico V no son conmutativas con los escalares ordinarios.

254

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

lo cual muestra que las componentes de V se transforman de acuer· do con la regia (89c) para los vectores. Esto hace obvio que tambien V s, V • U y V x U no dependen del sistema de coorden adas . 1 Para concluir , se mencionaran unas cuantas relaciones que se presentan continuamente . El rotacz'onal de un gradz'ente es cero; en simbolos ,

(�5a)

rot grad s = V x (V s) = 0.

La divergencia de un rotadonal es cero; en simbolos,

(95b)

div rot U = = V

•

(V x U) = 0.

Como se ve con facilidad , estas relaciones se deducen a partir de las definiciones de divergencia , rotacional y gradiente, usando la inter· cambiabilidad de las derivaciones. Las relaciones (95a , b ) tam bien se deducen formalmente si se aplican las reglas ordinarias para los vee· tores al vector simb6lico V, ya que entonces

V x (Vs) = (V x V)s =

0,

V

•

(V x U) = det(V, V, U) = 0.

Otra combinaci6n extremadamente importante de los operadores diferenciales vectoriales es la divergencia de un gradiente:

(95c)

a 2s a 2s a 2s div grad s = V • (Vs) = -2 + + = ds. axl ax2 2 axa 2 -

--

Aqui

1 Esta proposici6n tiene que restringirse en el caso del rotacional. En general, la magnitud y la direcci6n del producto vectorial de dos vectores tiene un significado geometrico, como se explic6 en la p. 225, excepto que el producto cambia hacia el opuesto cuando se cambia la orientaci6n del sistema coorderiado cartesiano que se usa. Esto implica , para un vector U, que rot U = V x U se comporta como un vee· tor mientras no se cambie la orientaci6n del sistema coordenado (es decir, mientras solo se usen tranformaciones ortogonales con determiante + 1 Cambiar Ia orien� taci6n del sistema coordenado conduce a cambiar rot U hac1a su opuesto . combianci6n .

Vectores, matrices, transformaci�nes lineales

255

(95d) se conoce como "operador de Laplace" o "laplaciano" La ecuaci6n diferencial p arcial

(95e) satisfecha por muchos escalares importantes s en la fisicomatematica se conoce como "ecuaci6n de Laplace" o "ecuaci6n del potencial" . A veces tambien se usa la terminologia del "analisis vectorial" cuando el numero de variables independientes es diferente de tres. Un sistema de n funciones U , , Un de n variables independientes . . , Xn determina un campo vectori'a l en el espacio n dimen­ sional . Entonces , los conceptos de gradiente de un escalar y de] operador de Laplace conservan su significado . Nociones analogas a la de rotacional de un vector se vuelven mas complicadas . La formu­ laci6n mas satisfactoria para l as analogas de las relaciones (95a , b) en n dimensiones es mediante el c alculo de las formas diferencz"ales ex­ teriores, el cual se describira en el capitulo siguiente .

x1 ,

1

.

•

•

•

d. Familia de vectores. Aplicaci6n a la teorta de las curvas espacio y al movimiento de particulas

en

el

Ademas de los campos vectoriales tambien consideraremos a las variedades uniparametricas de vectores, llamadas familias de vee­ tares, donde los vectores U = ( u l , u2 , ua) no corresponden a cada pun­ to de una region en el espacio sino a c ada valor de un solo parametro t. Se escribe U = U (t). La derivada del vector U puede definirse naturalmente como

(96a)

�tU

=

�� � [U(t + h)

-

U(t)].

Es obvio que esta derivada tiene l as componentes

(96b)

du1 du2 dua . dt , dt , dt

Facilmente se verifica que esta derivaci6n vectorial satisface leyes analogas a l as ordinarias para las derivadas:

256

Introduccion al calculo

(97a)

(97b) (97c)

y

al analisis matematico

+ d d + d V U (U V) = dt dt dt ;

d (A.U) dt

� -

=

d dV + dU (U • V) = U • ----cJI dt · V dt

d/... + d - U A. - U dt dt

d dV + dU (U x V) = U x ----cii dt x V. dt

Estas nociones se aplican al c aso en el que la familia de vectores con�

siste de los vectores de Posicion X = X (t) = OP de los puntos P sobre una curva en el espacio dada en representaci6n parametric a como :

Xl = r)1(t) , X2 = (/J2 ( t), Xa = {Ja(t). Entonces

;x = (x1 , X2, xa)

=

({J1(t) , {J2( t), {Ja(t)).

El vector dX/dt tiene la direcci6n de la tangente a la curva en el pun· + to correspondiente a t; puesto que el vector �X = X( t �t) - X(t) tiene la direcci6n del segmento rectilineo que une los puntos con + valores del parametro t t �t.Lo mismo se cumple p ara el vector �X/ cuando �t > 0. A medida que �t � 0 la direcci6n de esta cuer­ �t, da se aproxima a la direcci6n de I a tangente . Si en Iugar de t se in­ troduce como parametro la longitud de arco s de la curva , medida desde un punto de partida definido , puede probarse que (98) La demostraci6n sigue exactamente los mismos lineamientos que la demostraci6n correspondiente para las curvas planas (ver Volumen I, p . 354) . Por tanto, dX/ds es un vector unitario. Derivando ambos miembros de la ecuaci6n (98) con respecto a s, usando la regia (97b) , se obtiene

(99)

dX d2X + d2X dX 2 dX d2X • • 0 ds ds2 ds2 ds - ds ds2 - • •

Esta ecuaci6n afirma que el vector

_

_

Vectores, · matrices, transformaciones lineales

257

es perpendicular a la tangente. Este vector recibe el nombre de vector curvatura o vector normal principal y su longitud (100) se llama curvatura de I a curva en el pun to correspondiente . El re­ ciproco p = 1/k de Ia curvatura se llama radio de curvatura, como antes. El punto que se obtiene midiendo desde el punto sobre Ia cur­ va una longitud p en Ia direcci6n del vector normal principal se llama centro de curvatura. Se demostrara que esta definicion de curvatura concuerda con Ia dada para l as curvas planas en el Volumen I (p . 354} . Para cada s, el vector Y = dXfds tiene longitud 1 y se encuentra en Ia direcci6n de la tangente . Si se piensa en los vectores Y(s + As} y Y(s) como si tuvieran el. origen como punto inicial comun, entonces Ia diferencia 8Y = Y(s + As) - Y(s) queda repre�ent ada por el vector que une I�

pun tos finales . El angulo J3 entre las tangente� a Ia curva en los pun­ tos con parametros s y s + As es igual al angulo entre los vectoresY(s) y Y(s + As). Entonces l AY I = I Y(s + As) - Y(s) l = 2 sen

dado que

�,

I Y(s) l = I Y(s + As) I = 1. Usando

2 sen J3/2 se

J3

---+

1

para

� ---+ 0,

encuentra que

De aq ut · que

k

es el limite de la raz6n · del angulo entre las tangentes

258

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

en dos puntos de la curva y la longitud de arco entre esos puntas a medida que los puntos tienden a unirse. Pero este limite define Ia curvatura para las curvas planas . 1

El vector curvatura cumple una funci6n importante en la me­ canica. Sup6ngase que una partfcula que se mueve a lo largo de una curva tiene el vector de posicion X(t) en el instante t. Entonces la velocidad del movimiento esta dada tanto en magnitud como en direcci6n por el vector dXfdt. De modo semejante, l a aceleraci6n esta dada por el vector d2Xfdt2. Por la regia de la cadena , se tiene

dX

dt y (101)

_

dX = ds dt ds

d2X d2s dX dt2 - dt2 ds

+ (dtds) 2 dds2X2 •

En vista de lo que ya se sabe acerca de la primera y segunda deri­ vadas del vector X con respecto a s, I a ecuaci6n ( 1 0 1 ) expresa los siguientes hechos: el ve ctor aceleraci6n del movimiento es la suma de dos vectores . Uno de estos est a dirigido a lo largo de Ia tangente a la curva y su longitud es igual a d2s/dt2 , es decir, a Ia aceleraci6n del punto en su trayectoria Gla rapidez de c ambio de la m agnitud de Ia velocidad o aceleraci6n tangencial). El otro es n� rmal a Ia trayec­ toria , esta dirigido hacia el centro de curvatura y su longitud es igual al cuadrado de Ia magnitud de Ia velocidad multiplicado por Ia cur­ vatura (Ia aceleraci6n normal) . Para una partfcula de masa unitaria, el vector aceleraci6n es igual a Ia fuerza que actua sobre Ia particula. Si no actua fuerza alguna en la direcci6n de la curva (como es el caso para una p articula restringida a moverse a lo largo de una curva, sujeta unicamente a las fuerzas de reacci6n que actuan normales a la curva), la aceleraci6n tangencial se anula y la aceleraci6n total es normal a la curva y de magnitud igual al cuadrado de la velocidad multiplicado por Ia curvatura . 1 En el caso de curvas en el espacio no es posible, como para las curvas planas, iden­ tificar f3 con el incremento Au de un angulo de inclinaci6n a.. La raz6n es que el fmgulo entre Y(s) y Y (s + As) genetalmente no es igual a Ia diferencia entre los an­ gulos que los vectores Y(s) y Y (s + As) forman con alguna tercera direcci6n fija . Los angulos entre las dzrecdones en el espacz:o no son aditivos como lo son en· el plano.

Vectores, matrices, transformaciones lineales

259

Ejercicios 2 . 5 �

'

1 . Verificar que el vector de posicion PQ de un punto Q con respecto a un punto P se comporta como un vector en un cambio de coordenadas. 2. Deducir las identidades siguientes.

= ot grad f3 + f3 grad ot = U grad ot + ot div U = grad ot X U + ot rot U .(d) div (U X V) = V rot U - U rot V. (a) grad (otf3) (b) div (otU) (c) rot (otU)

3. Sea U

•

•

•

•

1

v el simbolo para el operador

Demostrar que (a) grad (U V) = U vV + V vU + U X rot V + V X rot U v V. (b) rot (U X V) = U div V - V div U + V v U - U •

•

•

•

•

4. Para el operador laplaciano A establecer que 5.

6.

AU = grad div U - rot rot U

Hallar la ecuacion del llamado plano osculador de una curva x = f(t), g(t), h(t) en el pun to to, es decir, el limite de los pianos que pasan por tres puntos de la curva, a medida qu,e estos puntos se aproximan al punto con parametro to.

=

z

=

y

Demostrar que tanto el vector curvatura como el vector tangente se en­ cuentran en el plano osculador.

7. Sea C una curva suave con una tangente que gira de manera continua. Sea d la distancia mas corta entre dos puntos sobre la curva y l la lon­ gitud del arco entre los dos puntos. Prob ar que d - l = o(d) cuando d es pequeiia .

8.

Probar que la curvatura d e la curva X = X(t),siendo t u n parametro ar­ bitrario, esta dada por

X' l 2 lX'' 1 2 - (X' � k = {l I X' I 3

X" )2} 112

•

9 . Si X = X(s) es cualquier representacion parametrica de una curva, probar que el vector d 2Xfdt2 con punto inicial X se encuentra en el plano osculador en X.

10. Si C es una curva cerrada continuamente diferenciable y A un punto no sobre C, existe un punto B sobre de C que se encuentra a una distancia mas corta de A que cualquier otro punto sobre de C. Probar que la rec­ ta AB es normal a la curva.

260

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

x2 y2 a2

1 1 . Se traza una curva sobre del cilihdro + = tal que el angulo en· tre el eje z y la tangente en cualq_uier punto P de Ia curva es ig\}al al an· gulo entre el eje y y el plano tangente en P al cilindro . Probar que las coordenadas de cualquier punto P de Ia curva pueden expresarse en ter· minos de un parametro por medio de las ecuaciones

6 x = a cos 6, y =

6, z = c ± a log se 6, y que Ia curvatura de Ia curva es (1/a) sen e (1 + sin2 6)1 12. n

sen

a

12. Encontrar la ecuaci6n del plano osculador (ver el Ejercicio 5) en el pun· to 9 de la curva x = cos = = sen · 6, z = Demostrar que carla plano osculador toea a una esfera cuyo centro es el (cosh origen y cuyo radio es + 1 3 . (a) Probar que Ia ecuaci6n del plano que pasa por lo1s tres puntos h, t2, ta sobre la curva

6, y .J(1 1/A2}.

A6)/A,

1

3 at3 ,

x=

es

�

a

- - 2 (h + tz

{(6).

y = 21 bt2 ,

f(6)

z = ct

+ ta) y-b + (t2ta + tah + ht2) z-c - ht2ta = 0. .

(b) Demostrar que el pun to de intersecci6n de los pianos osculadores en h, t2, ta se encuentra en este plano.

14. Sea X = X(s) una curva arbitraria en el espacio, tal que el vector X(s) es tres veces continuamente diferenciable (s es la longitud de arco). Hallar el centro de Ia esfera de contacto mas cercano con Ia curva en el punto s. 15. Si X = X(s) es una curva sobre una esfera de radio unitario, donde s es la longitud de arco, entonces se cumple

I X I 2 -"-- I X I 4 = I X I 2 - (X.· X)2 ;:=: (X ·

rt

x

X] )2•

1 6 . El limite de la raz6n . del angulo entre los pianos o5culadores en dos pun· tos cercanos de una curva, a Ia longitud de arco entre estos dos puntos (es decir, la derivada del vector normal unitario con respecto al arco s) se llama torsz'on de Ia curva. Denotemos por �1 (s), � (s) el vector uni· tario a lo largo de la tangente y el vector curvatura de la curva X(s) ; por �a(s) denotemos el vector unitario ortogonal a �1 y �2 (el llamado vector bz'normal), el cual esta dado por [� x � ] Probar las formulas de Frenet

2

2 p'

2

1

.

�

•

�1 �2 = - - +

p

-

donde

�

2

't'

'

-

1/p = k es la curvatura y 1/.. Ia torsion de x(s).

Vectores, matrices, transformaciones lineales

261

1 7 . Usando los vectoces �1, �2, �a del Ejercicio 16 como vectores coorde­ nados, hallar expresiones para (a) el vector X, (b) vector que va del punto X al centro de la esfera de contacto mas cercano en X. 1 8 . Demostrar que una curva de torsion cero es una curva plana . 1 9 . Considerese u n punto fijo A e n e l espacio y u n punto variable P cuyo movimiento esta dado como una funci6n del tiempo. Denotando por P el vector velocidad de P y por a un vector unitario en la direcci6n de P bacia A , demostrar que d dt

�

.

I PA I = - a • P

20 . (a) Sean A , B, C tres puntos fijos no colineales y P un punto en mo­ vimiento. Sean a, b, c vectores unitarios en las direcciones PA , PB, PC, respectivamente; expresar el vector velocidad P como una com­ binaci6n lineal de estos vectores:

P = au + bv + cw.

Probar que

a=

l A � PI

{ [(a . b)v + (a . c)w] a - vb - we} .

(b) Probar que el vector aceleraci6n P del punto P es don de

. <X = u + uv

P = <Xa + �b + yc,

( l A - P I - IB -1 P I ) a•b

+ uw

con expresiones similares para � y y .

z

( - P - -1 P ) ' IA I I C l a•c

21 . Probar que si = u(x, y) representa la superficie formada por las tan­ gentes de una curva arbitraria, entonces (a) todo plano osculador de la curva es un plano tangente a la superficie y (b) u(x, y) satisface la ecuaci6n

UxxUyy - Uxy2 = 0.

CAPITULO

3

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial 3. 1

Funciones implicitas

a. Observaciones generales

Frecuentemente, en Ia geometria analitica se da Ia ecuaci6n de una curva no en Ia forma y = {(x) sino en Ia forma F(x, y) � 0. Una recta puede representarse de esta m anera por medio de Ia ecuaci6n ax + by + c = 0, y una elipse, por Ia ecuaci6n x2 /a 2 + 'y2fb 2 = 1 . Para obtener Ia ecuaci6n de Ia curva en Ia forma y = f(x) debe "resolverse" la ecuaci6n F(x, y) = 0 para y. En el Volumen I se con sider6 el problema especial de encontrar Ia inversa de un a funci6n y = f(x), es decir , el problema de resolver Ia ecuaci6n F(x, y) = Y f(x) = 0 para Ia variabl e x. Estos ejemplos sugieren la importancia .· de los metodos para resol ver una ecuaci6n F(x, y) = 0 para x , o bien, p ara y. Tales metodos se encontraran incluso para ecuaciones que comprenden funciones de mas de dos variables . En los casos m as sencillos , como los de las ecuaciones antes men· cionadas para la recta y Ia elipse , puede hallarse facilmente la so· lucian en terminos de funciones elementales. En otros casos puede hallarse una aproximaci6n de la soluci6n, tan exacta como se desee. No obstante , para muchos fines resulta preferible no trabajar con la form a resuelta de la ecuaci6n o con estas aproximaciones sino, por el cQntrario, sacar conclusiones acerca de la soluci6n estudiando direc· tamente la funci6n F(x, y), en la cual no se da preferencia a tiinguna · de las variables x, Y sobre la otra . No : toda ecuaci6n F(x, y) = 0 es la representaci6n implicita de una� funci6n y = {(x) , o bien, x = ifi(y). Es facil dar ejemplos de 263

264

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

ecuaciones F(x, y) = 0 que no permiten solucion alguna en terminos de funciones de una variable . Asi, I a ecuaci6n x2 + y2 = 0 solo es satisfecha por Ia pareja de valores x = 0, y = 0 , mientras que la ecuaci6n x2 + y2 + 1 = 0 no es satisfecha por valores reales en lo ab· soluto . Por lo tanto , es necesario investigar con mayor cuidado las circunstancias b ajo las cuales una ecuaci6n F(x, y) = 0 define una funcion y = f(x) y las propiedades de esta funcion . Ejercicios 3 . 1 a 1.

Sup6ngase que para alguna pareja de valores (a, b), f(a, b) = 0. Si se co· noce a, dar un metodo iterativo de construcci6n para encontrar b. �Bajo que condiciones sobre f sera aplicable este metodo?

b. Interpretacion geometrica

Con el fin de aclarar l a situacion , representemos Ia funcion F(x, z = F(x, y) en el espacio tridimen· sional . Las soluciones de la ecuacion F(x, y) = 0 son las mismas que las soluciones simultaneas de las dos ecuaciones z = F(x, y) y z = 0. Geometricamente , el problema es determinar si I a superficie z == F( x, Y) se intersect a cpn el plano x, y en las curvas y = f(x) o x == (l(y). (Aqui no nos interesa que tanto puede extenqerse tal curva de inter sec cion . ) Una primera posibilidad es que Ia superficie y el plano no tengan puntos en com U.n. Por ejemplo, el paraboloide z = F(x, y) = x2 + y2 + 1 se encuentra completamente por encima del plano x, y . Aqui no existe curva de interseccion. Obviamente, solo es necesario con· siderar los casos en los que exista al menos un punto (xo, yo) en el que F(xo, y0) = 0 ; el punto (xo, y0) constituye un "punto inicial" para la soluci6n. Conocien.do una soluci6n inicial, se tienen do� posibilidades: el plano tangente en el punto (xo, yo) es horizontal , o bien , no lo es. Si el plano tangente es horizontal, facilmente puede ilustrarse por medio de ejemplos que puede ser imposible extender una solucion y = f(x) o x = (l(y) desde (xo, yo). Por ejemplo, el p araboloide z = x2 + y2 tiene Ia sol uci6n inicial x = 0, y = 0, pero no contiene a otro punto en el plano x, y . Como contraste, Ia superficie z = xy con Ia soluci6n inicial x = 0, y = 0 �e intersecta con el plano x, y a lo largo de las rectas x = 0 y y = 0 ; pero en ninguna vecindad del origen

y) por medio de Ia , superficie

.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

Figura 8 . 1

Figura 8 . 2

265

L a superficie u = xy. y

Lineas de contomo de u = xy.

puede representarse la intersecci6n completa por una funci6n y= f(x) o por una funci6n x = q)(y), (ver las Figs. 3 . 1 y 3 . 2 ) . Por otra par­ te, es perfectamente posible que Ia ecuaci6n F(x, y) = 0 tenga una soluci6n de ese tipo , incluso cuando el plano tangente en el punto dado por la soluci6n inicial sea horizontal , como en el caso F(x, y) = Por consiguiente, en el caso excepcional de un plano (y - x)4 = 0. tangente horizontal no se puede hacer una proposici6n general definida.

Introduccion al calculo y al analisis matetr.�tatico

266

La otra posibilidad es que el plano tangente en el punto dado por la soluci6n inicial no sea horizontal . Entonces, imaginando intui­ tivamente la superficie z = F(x, y) como aproximada por el plano tangente en una vecindad de la soluci6n inicial , es de esperar que la superficie no pueda comb arse lo suficientemente rapido como para evitar cortar el plano x,y ce�ca de (xo, yo) en una sola curva de inter­ secci6n bien definida , y que una porci6n de la curva cerca de la soluci6n inidal pueda representarse por la ecuaci6n y = f(x) o x = � (y). Analiticamente , I a afirmaci6n de que el plano tangente no es horizontal significa que Fx(Xo, yo) y Fy(Xo, yo) no son am bas cero (ver la p . 74 . Esta es l a base p ara la discusi6n en la subsecci6n siguiente.

Ejercicios 3 . I b 1 . Examinando la superficie de = f(x, y), determinar si la ecuaci6n f(x, y) = 0 puede resolverse para y como una funci6n de x en una vecindad del pun to indica do (xo, yo), para

z

(a)

(b) (c)

(d)

f(x, y) = x2 - y2, xo = yo = 0 f(x, y) = [log (x + y)] 1 12, Xo = 1.5, yo = - .5 f(x, y) = sen fn (x + y)] 1, xo = yo = 1/4 f(x, y) = x2 + y2 y, xo = yo = 0. -

�

·

c. El teorema de la funcion impUcita

Ahora se enunciaran las condiciones suficientes para la existencia de las funciones implicitas y, al mismo tiempo, se dara una regia para derivarlas : Sup6ngase que F(x, y) tiene derivadas continuas Fx y Fy en una vecindad de un punto (xo, yo), donde F(xo, yo)

(1)

= 0,

Fy(Xo, yo) * 0.

Entonces, con centro en el punto (x0, y0), existe algun rectangulo (2)

xo

-

a � x � Xo + a,

Yo

- � � Y � Yo

+ �

tal que para cada x en el intervalo I dado por xo - a � x � xo + a , la ecuaci6n F(x, y) = 0 tiene exact a mente una soluci6n Y = f(x) que se encuentra en el intervalo Yo - � � Y � Yo + � - Esta f satisface la condici6n inicial Yo = f(xo) y, para toda x en I,

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

F(x, f(x))

(3)

yo

(3a)

-

Ademas, f es contz'nua la ecuacz'6n

y

� � {(x) � Yo + � *

0.

tz'ene una derz'vada contz'nua en I, dada por

y' = f' (x)

(4)

0.

=

Fy(x, f(x))

(3b)

267

=

-

�: .

Este es un teorema de existencia estrictamente local para las soluciones de la ecuaci6n F(x, y) = 0 en la vecindad de una soluci6n inicial (xo, yo). No indica como hallar esa solucion inicial o como decidir si la ecuacion F(x, y) = 0 es satisfecha por cualquier (x, y) de alguna manera. Estas son cuestiones glo bales y que estan mas alla del alcance del teorema. Tambien, la unz'cz'dad y la regularz'dad de la soluci6n y = f(x), solo pueden garantizarse localmente, es decir, , cuando se restringe y al intervalo yo � < y < y0 + �. La necesidad de tales restricciones es evidente observando el sencillo ejemplo de la ecuaci6n. F(x, y) = x2 + y 2 1 = 0. -

-

Para toda x tal que - 1 < x < 1 , la ecuaci6n tiene dos soluciones diferentes y = ± � 1 - x2 • Se obtiene una solucion uniforme y = f(x), prescribiendo arbitrariamente uno de los signos en cada x. Es evidente que , de esta m anera , se pueden encontrar soluciones que son discon­ tinuas para toda x, eligiendo, por ejemplo, el signo positivo para x racional y el negativo p ara x irracional . Las soluciones continuas y = se obtienen si se restringe y a un signo constante. Puede fijarse f este signo eligiendo para una xo dada en - 1 < xo < 1, uno de los dos valores posibles yo para el cual xo2 + yo2 = 1. Entonces se obtiene una soluci6n continua unica y = f(x) , con y0 = f(xo) , para toda x en - 1 < x < 1 , requiriendo que y satisfaga x2 + y 2 = 1 y que tenga el mis­ mo signo que y0• Geometricamente, la grafica de f es el semicirculo, superior o inferior, que contenga al punto (xo, y0) . La funcion f tiene una derivada continua

y'

=

X

y

para 1 < x < 1. Con y definida com<> cero p ara x = ± 1, la so­ lucion y = f(x) sera continua en el intervalo cerrado 1 � x � 1. -

-

268

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Pero entonces, Ia derivada y' se vuelve infinita en los puntos extrerpos del intervalo , puesto que alii Fy = 0 . En Ia seccion siguiente se probara el. teorema general . Aqui solo se observara que una vez que se ha establecido Ia existencia y Ia diferen· ciabilidad de Ia funcion f(x) que satisface (3) , puede encontrarse una ex presion explicita para f'(x) , aplicando Ia regia de Ia ' cadena [ver (18), p . 83 ] para derivar a F(x, y). Esto da

Fx + Fyf'(x)

=

0,

y conduce a Ia formula (4), siempre que Fy =;t::. 0. De modo equivalen· te, si Ia ecuacion F(x, y) = 0 determina a y como una funcion de x, se concluye que

dF = Fx dx

+

Fy dy = 0

y, de aqui, que

Una funcion implicita y = f(x) puede diferenciarse hasta cual­ quier orden dado , siempre que Ia funcion F(x, y) posea derivadas parciales continuas de ese mismo orden. Por ejemplo, si F(x, y) tiene primeras y segundas derivadas continuas en el rectangulo (2), el segundo miembro de Ia ecuacion (4) es una funcion compuesta de x :

Fx(x, f(x)) - Fy(x, f(x)) · Dado que , por (3b ) , el denominador no se anula y supuesto que ya se sabe que f(x) tiene una primera derivada continua , a partir de (4) se concluye que y' tiene una derivada continua ; por Ia regia de Ia cadena , y" est a dada por

y"

=

FyFxx + FyFxyf' - FxFxy - FxFyy{' Fy2

Sustituyendo {', por Ia expresion (4) , se encuentra que

(5)

y" =

F/Fxx - 2FxFyFxy + Fx2Fyy Fya

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

269

Las reglas (4) y (5) para encontrar las deriva�as de una funci6n implicita y = f(x), pueden usarse siempre que se haya establecido la existencia de f en un intervalo a partir del teorema general sobre las funciones implicitas, incluso en los casos en donde es imposible ex­ presar y explicitamente en terminos de funciones elementales (fun­ ciones racionales, funciones trigonometricas, etc . ) . Aun si puede resolverse la ecuaci6n F(x, y) = 0 explicitamente para y, comunmente es m as facil encontrar las derivadas de y a partir de las formulas (4) y (5), sin usar representaci6n explicita alguna de y = f(x).

Ejemplos 1 . La ecuaci6n de la lemnz"scata (Volumen I , p . 1 02 )

F(x, y) = (x2 + y2)2 - 2a 2(x2 - y 2) = 0 no se resuelve facilmente para y. Para x = 0, y = 0 se obtiene F = 0, Fx = 0, Fy = 0. Aqui el teorema no es aplicable, como es de esperar en virtud de que por el origen pasan dos ramas diferentes de la lem­ niscat a . No obstante, en todos los puntos de la curva donde y ¢ 0, la regia se a plica, y l a derivada de la funci6n y = {(x) esta dada por

Fx y1 = - - = Fy

4x(x2 + y2) 4y(x2 + y2) +

4a2x 4a2y ·

A partir de esta ecuacion puede obtenerse importante informacion acerca de la curva, sin usar la expresion explicita para y. Por ejem­ plo , podrian tenerse maximos 0 minimos donde y1 = 0, �s decir, para x = 0 o para x2 + y 2 = a2. De la ecuacion de l a lemniscata, y = 0 cuando x = 0 ; pero en el origen no existen valores extremos (ver la Fig. l .S . 3 , Volumen I, p . 103) . Por lo tanto, las dos ecuaciones dan los cuatro puntos 2.

( ·i /3, ± �) como los maximos y minimos. ±

La hoja de Descartes tiene l a ecuaci6n

F(x, y) = x3 + y3 - 3axy = 0 (ver la Fig. 3 . 3) , c on dificiles soluciones explicitas. En el origen, don­ de la curva se intersecta a si misma, l a regia no es aplicable ya que en ese punto F Fx = Fy = 0. Para todos los puntas en los cuales y 2 ;t: ax se tiene x2 - ay F y1 - - -x - - Fy y2 - ax ·

=

--

270

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico y

Figura 3 . 3

Hoja d e Descartes.

En consecuencia, existe un cera de Ia derivada cuando x2 bien, si se usa Ia ecuaci6n de Ia curva, cuando x

=

ay = O, o

a �2, y = a �4. Ejercicios 3 . 1 c

l . Probar que las ecuaciones siguientes tienen soluciones unicas para y, cer­ ca de los puntos indicados:

(a) (b)

(c) (d)

x2 + xy + y2 =

7 (2, 1) (1, rr:/2) x cos xy = 0 xy + log xy = 1 (1, 1) x5 + y5 + xy = 3 (1, 1).

2. Encontrar las primeras derivadas de las soluciones e.n el Ejercicio i' y dar sus valores en los puntos indicados. 3. Encontrar las segundas derivadas de las soluciones en el Ejercicio 1 y dar sus valores en los puntos indicados. 4 . iCuales de las funciones definidas implicitamente del Ejercicio l son con­ vexas en los puntos indicados? 5 . Encontrar los valores maximo y minimo de Ia funcion y que satisface Ia ecuacion x2 + xy + y2 = 27.

6:. Sea {y(X, y) continua en una vecindad del punto(xo, yo). Demostrar que Ia ecuacion

y = yo +

Jxxo {(�, y)d�

determina a y como funcion de x en alglin intervalo alrededor de x = xo.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

d.

271

Demostraci6n del teorema de la fu,nci6n implt�ita

La existencia de . la funci6n implicita se deduce directamente a partir del teorema del valor intermedio (ver el Volumen I , p . 44). Sup6ngase que F(x, y) esta definida y tiene primeras derivadas con­ tinuas en una vecindad del punto (xo, yo), y considerese que

F(xo , Yo) = 0,

Fy(Xo, Yo)

:f::-

0.

Sin perdida de generalidad , sup6ngase que = Fy(Xo, yo) > 0. De lo contrario, rempl acese simplemente la funci6n F por -F, lo cual deja invariantes los puntos descritos por la ecuaci6n F(x, y) = 0. Supuesto que Fy(x, y) es continua, puede hallarse un rectangulo con centro en (xo, yo) y lo suficientemente pequefio como para que R se encuen­ tre por completo en el dominio de F , y Fy(x, y) > en todo r . Sea R el rectangulo

m

m/2

xo

-

a � x � xo + a, Yo

-

R

f3 � y � yo + f3

(ver la Fig. 3 . 4) . Supuesto que Fx(x, y) tambien es continua , se con­ cluye que Fx es acotada en Asi, existen las constantes positivas tales que

R.

M

(6)

Fy(x, y) > 2 ,

m

m,

p ara

I Fx(x, y) l � M

(x, y) en R.

Para cualquier x fija entre xo - a y xo + a , la expresion F(x, y) es una funci6n continua y mon6tonamente creciente de y p ar a . y0 - f3 � y � Yo + f3 . Si (7)

F(x, Yo + f3) > 0,

F(x, Yo

-

f3) < 0,

y

Yo+{j

Yo 0

x0

Fjgura 3 .4

x

X

I x0+a x0+a

272

Introduccion al cilculo y al anilisis matemitico

puede asegurarse que existe un solo valor Y , intermedio entre y0 � Yo + B. en el cual F(x, y) se anula . Entonces, para Ia x dada, ecuaci6n F(x, y) tendra una sola soluCi6n y = {(x) p ara Ia cual -

Y

Yo - � < y < yo + � .

Para probar (7 ) se observa que , por el teorema del valor medio ,

F(x, Yo) = F(x, yo) - F(xo, yo) = Fx(� , Yo)(x - xo), donde � es un valor intermedio entre xo y x. De aqui, si a denota un mlmero entre 0 y a,. se tiene

I F:(x, yo) l � I Fx(�, yo) l l x - xo l � . Ma

para

l x - xo l � a.

De modo semejante , de Fy > m/2 se deduce que 1 F(x, yo + �) = [F(x, Yo + �) - F(x, yo)] + F(x, yo) > 2 m� - Ma,

F(x, yo - �) = - [F(x, yo) - F(x, Yo - �)] + F(x, yo) < - 21 m� +

Ma.

De donde las desigualdades (7) se cumplen p ara cualquier x en el in"· tervalo xo - a � x � XQ + a , siempre que se tome a lo suficiente· mente pequefia como para que a � a y a < m�/2M. Para cualquier X tal que I X - xo I � a esto prueba I a existencia y Ia unicidad de una soluci6n y =-f(x) de Ia ecuaci6n F(x, y) = 0 , para Ia cual ly - yo I � � y Fy(x, y) > m/2 > 0. P ara x = xo Ia ecuaci6n F(x, y) = 0 tiene Ia soluci6n Y = Yo correspondiente al punto inicial. Como, evidentemente , Yo se encuentra entre Yo - � y Yo . + � ' se ve que f(xo) = yo. Ahora se deducen Ia continuidad y Ia diferenciabi· lidad de f(x) a partir del teorema del valor medio p ara funciones de varias variables, aplicado a F(x, y) [ ver (33), p . 95 ] . Sean x y x + h dos valores entre xo - a y xo + a . Sean y = f(x) y y + k = f(x + h) los valores correspondientes de f donde y y y + k se encuentran en· tre yo - � y yo + �. Entonces F(x, y) = 0, F(x + h, y + k) = 0. Se concluye que '

,

0 = F(x + h, y + k) - F(x, y) �

.

= Fx(X + 9h, y + 9k) h + Fy(X + 9h, y + f)k)k,

Desarrollos y aplicaciones del cilculo diferencial

e

273

donde es un valor apropiado entre 0 y 1. 1 Como Fy =F 0, puede dividirse.entre Fy y asi encontrar que Fx(X + 9h, y + 9k) Fy(X + Sh, y + 9k) .

k = h

(8)

Puesto que I Fx I � M, I Fy I > m/2 para todos los puntos del rectan­ gulo considerado, se encuentra que el segundo miembro esta acotado por 2M/m. De donde lk1 �

:

2

1hl.

De aqui que k = f(x + h) - f(x) � 0 cuando h � 0, lo cual demues tra que y = f(x) es una funci6n continua. De (8) se conluye que, para x fija y para y = f(x), lim f(x + h) - f(x) h+ O

h

_ -

_

lim h+ O

Fx(x + 9h, y + 9k) Fx(X + Sh, Y + 9k) -

_

_

Fx(x, y) Fy(X, y)

·

Esto establece la diferenciabilidad de f y, al mismo tiempo, propor­ ciona la formula (4) para la derivada . La demostraci6n se sustenta en la hip6tesis de que Fy(xo, yo) =F- 0, de lo cual pudo concluirse que Fy tiene signo constante en una vecin­ dad lo suficientemente pequeiia de (xo, yo) y que F(x, y) , para x fija, es una funci6n mon6tona de y. La demostraci6n nos dice simplemente que la funci6n y = f(x) existe . Es un ejemplo tipico de un "teorema de existencia" puro, en el cual no se considera la posibilidad practica de calcular la soluci6n. Por supuesto, podrfa aplicarse cualquiera de los metodos numericos discutidos en el Volumen I (pp. 494 y siguientes) para hallar una aproximaci6n de la soluci6n y de la ecuaci6n F(x, y) = 0 , para x fija. Ejercicios 3.1d 1 . Dar un ejemplo de una funci6n f(x, y) tal que (a) pueda resolverse (a) {(x, y) = 0 para y como una funci6n de x cerca de x = xo , y = yo, y (b) fy(Xo, yo) = 0. 1 0bservese que aqui se puede aplicar el teorema del valor medio, puesto que el seg­ mento que une a dos puntos cualesquiera del rect,ngulo I x - xo I � �. I y - yo I � 13 se encuentra por compieto dentro de este.

Introduccion al calculo

27 4

y

al analisis matematico

2 . Dat un ejernplo de una ecuaci6n F(x, y) = 0 que pueda resolverse para Y como una funci6n y = f(x) cerca de un punto (xo, y o), tal que f no sea diferenciable en xo. 3 . Sea ifJ(x) definida para todos los valores reales de x. Dernostrar que Ia ecuaci6n F(x, y) = y3 - y 2 + (1 + x2) y - ifJ(x) = 0 define un valor (mico de y para cada valor de x .

e. El teorema de la funci6n impUcita para mas de dos variables independientes

El teorerna de la funci6n irnplicita puede hacerse extensivo a una funci6n de varias variables independientes, como sigue:

Sea F(x, y, . . . , z, u) una funcion continua de las varia bles in· dependientes x, y, . . . z, u, con derivadas parcr:ales continuas Fx, Fy; . . . , Fz, Fu . Sea (xo, yo, . . . , zo, uo) un punto interior del dominio de definicion de F, para el cual y

F(xo, yo, . . . , zo, uo) = 0

Fu(Xo, }o, . . . , zo, uo)

*

0.

Entonces Puede marcarse un intervalo uo - f3 � u :;£ uo + f3 alre· dedor de u0 y una region rectangular R que contenga a (.to, yo, . . . . , zo) en su interior, tales que para todo (x, y, . . . , z) en R se satzsfaga la ecuacz"6n F(x, y, . . . , z, u) = 0 por exactamente un valor de u en el intervalo uo - f3 ;;£. u . ;;£ uo + f3. 1 Para este valor de u, el cual se denota por u = f(x, y, . .. . , z), la ecuad6n F(x,y, . . . , z, f(x, y, . . . , z)) = 0 se cumple identicamente en R; ademas, uo

= f(xo, yo,

uo - f3 < f(x, y, . . . , z) < u0

+

. . . , zo),

f3 ; Fu(x, y, . . . , z, f(x, y, . . . , z))

*

0.

La fund6n f es una funcz"6n continua de las varia bles zndependientes x, y, . . . . , z, y Po see derivadas pardales contz'nuas dadas por las ecuadones.

(9a)

Fx

+

Fu{x

=

0, Fy

+

Fu{y

=

0, .

. , Fz + Fu{z

=

0.

1 El valor P y Ia region rectangular R no estan determinados de modo \mico, La aseveraci6n del teorema es valida si P es cualquier m1meto positivo lo suficientemen· te pequeiio y si se elige R (que depende de P) lo suficientemente pequeiia.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

275

La demostracion sigue los mismos lineamientos que se dieron en la seccion anterior para la solucion de la ecuaci6n F(x, u) = 0 , y no presenta m as dificultades . Resulta sugerente combinar l as formulas de derivaci6n (9a) en la ecuaci6n unica (9b)

Fx dx

+

Fy dy +

·

·

+ Fz dz + Fu du = o;

·

0 sea, si las varia bles x, y, , z, u, u no son independientes en­ tre si sino que estan sujetas a la condici6n F(x, y, . . , z, u) = 0, en­ tonces las partes lineales de los incrementos de estas variables, de modo semejante, no son independientes sino que estan relacionadas por media de la ecuaci6n lineal .

.

.

.

dF = Fx dx + Fy dy +

• • •

+ Fz dz ·+ Fu du = 0.

Si se remplaza du en ( 9b) por la expresi6n uxdx + uydy + + u zdz y, a continuaci6n , se iguala a cero el coeficiente de cada una de las diferenciales mutuamente independientes dx, dy, . . . , dz se ob­ tienen nuevamente l as formulas de derivacion (9a). Incidentalmente , el concepto de funci6n implicita nos permite dar una definicion general de funci6n alge braica . Se dice que u = f(x, y, . ) es una funci6n alge btaica de l as variables independientes x, y, . . . si u puede definirse implicitamente por medio de una ecuacion F(x, y, . . . , u) = 0, donde F es un polinomio en los ar­ gumentos x, y, ; . . , u ; brevemente , si u "satisface una ecuaci6n al· gebraica" . Una funci6n que no satisface ecuaci6n algebraica alguna se llam a trascendente. Como ejemplo , apliquemos las formulas de . derivacion estable­ cidas a la ecuaci6n de la esfera . .

·

.

F(x, y, u) = x2 .� y2 + u 2

-

Para las derivadas parciales se obtiene

y X Ux = - U , U y = - U , y

derivando aun m as Uxx

==

Uxy =

-

1 u

- +

X

-

u2

x Uy = u2

-

Ux =

xy , u3

1 = 0.

•

·

276

Introduccion al cilculo y al anilisis matematico

·

1 y Uyy = - - + 2 Uy = u

u

Ejercicios 3 . 1 e 1 . Demostrar que la ecuaci6n x + y + z = sen xyz puede resolverse para z cerca de (0, 0, 0) . Encontrar las derivadas parciales de la soluci6n. 2. Para cada una de las ecuaciones siguientes, examinar si tiene una so· luci6n unica para z como una funci6n de las variables restantes cerca del punto indicado: 7t

(x = 0, y = 2 , z = 1t) (b) x2 + 2y2 + 3z2 - w = 0 (x = 1, y = 2 , z = - 1 , w = 8) (c) 1 + x + y = cos h (x + z) + sen h (y + z) (x = y = z = 0).

(a) sen x + cos y + tan z = 0

z implicitamente como una funci6n de x y. x en una vecindad de (0 , ' 0, 0) . Desarrollar z basta el cuarto orden en potencias de x y y.

3 . Demostrar que x + y + z + xyza = 0 define a

3.2

Curvas a.

y

superficies en forma implicita

Curvas planas en forma impltcita

La descripci6n de una curva plana por una ecuaci6n de Ia forma = y f(x) da preferencia asimetrica a una de las coordenadas. Se en· contr6 (ver el Volumen I , pp . 344 - 345) que Ia tangente y Ia normal a Ia curva estan dadas� respectivamente por las ecuaciones

(lOa)

(11 - y) - (� - x)f'(x) = 0

( lOb)

(11 - y)f'(x) + (� - x) = 0,

y

donde �' 11 son las "coordenadas corrientes" de un punto arbitrario sobre Ia tangente o Ia normal, y x, y son las coordenadas del punto sobre de Ia curva. La curvatura de Ia curva es

(lOc)

k =

{" ( 1 + {' 2)3/2

(ver el Volumen I, p. 357). Para un punto de inflexion se cumple Ia condici6n

(lOd)

f"(x) = 0

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

277

Ahora se obtendran las formulas simetricas correspondientes para curvas representadas impllcitamente por medio de una ecuaci6n �el tipo F(x, y) = 0. Se hace esto bajo la suposici6n de que en el punto en cuesti6n Fx y Fy no son am bas 0 , de modo que (11)

Si se supone que Fy * 0, digamos, puede sustituirse en ( l Oa, b)f'(x) por su valor dado en (4), p . 267 , y, de inmediato, obtener la ecuaci6n de la tangente en la forma (12a) y

(s - x)Fx + (11 - y) Fy = o

Ia de la normal en la forma

(12b)

(s - x)Fy - (11

-

y) Fx = o.

Para Fy = 0, Fx * 0 se obtienen las mismas ecuaciones, partiendo de la soluci6n de la ecuaci6n implicita F(x, y) = 0 en la forma x = g(y). Los cosenos directores de la normal a la cwva en el punto (x, y) - es decir, los cosenos directores de la normal a Ia recta con ecttaci6n (1 2a) en el plano 1;, TJ- estan dados por (12c) (ver (20), p. 1 6 9). De modo semejante, los cosenos directores de la tangente a la curva - es decir, de la normal a la recta ( 1 2b) - son­ (12d).

(12d) En realidad se tienen dos direcciones normales a Ia curva en un punto dado , aquella con los cosenos directores ( 1 2c) y Ia opuesta . La normal dada por ( 12c) tiene Ia misma direccion que el vector con componentes Fx, Fy, el gradiente de F (ver la p. 248) . Se vi6 , en Ia p. 249 que la direcci6n del vector gradiente es aquella en la que F se incrementa mas rapido; asi , en un pun to de la curva F(x, y) 0 el gradiente apunta hacia Ia region F > 0 y lo mismo se cumple para Ia direcci6n normal determinada por las formulas (1 2c). La formula ( 5), p. 268, proporcion 6 la expresi6n para la segunda derivada , y" = f"(x) , de una funci6n dada en la forma implicita F( x, y) = 0. Se deduce que la condici6n necesaria , f" = 0 , para la ·'

=

278

Introduccion al calculo

y

a] analisis matematico

ocurrencia de un punto de inflexion , puede escribirse como (13)

para curvas dadas implicitamente. En esta formula no hay preferen·

cia por ninguna de las dos variables x, y. Es completamente simetrica

y ya no requiere Ia hipotesis de que Fy -::;t::. 0. Por supuesto , est a carac· teristica simetrica refleja el hecho de que la nocion de punto de in· flexion tiene un significado geometrico bastante independiente de cualquier sistema coordenado . Si se sustituye I a formula (5) para f"(x) en la formula ( 1 Oc) para I� curvatura k de la curva, nuevamente se obtiene una expresion 1 simetrica en x y y, k

( 1 4 a)

=

Fy 2Fxx - 2FxFyFxy + Fx 2Fyy (Fx 2 + Fy2) 31 2

Introduciendo el radio de curvatura p = k'

1

(14b)

se encuentran las coordenadas �. 11 del centro de curvatura , el punto sobre Ia normal interior que se encuentra a la distancia p de (x, y) (ver el Volumen I , p . 358), ( 1 4c)

Si en Iugar de la curva F(x, y)

=

0, se considera la curva

F(x y) ,

=

c,

don de c es una constante , todo en las discusiones precedentes per· manece igual. Solo tiene que remplazarse Ia funcion F(x, y) por F(x, y) c, la cual tiene las mismas derivadas que Ia funcion original. l . Por tanto , p ara estas curvas, Ia forma de las ecuaciones de Ia tan­ gente (normal , etc. ) son exactamente las mismas que se dieron . ·-

1Para el signo de Ia curvatura, vease el Volumen I, p. 357. La curvatura k, definida por Ia formula ( 1 4a) , es positiva si F crece sobre el lado "externo" de Ia curva, es tlecir, si Ia tangente a Ia curva cere a del punto de contacto se encuentra en Ia region

F � O.

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

279

La clase de todas las curvas F(x, y) c = 0 que se obtienen cuando se deja que c recorra todos los valores de un intervalo , forn\a la familia de "lineas de contorno" , o "curvas de nivel" , de Ia funci6n F(x, y) ; (ver la p . 40). M as generalmente , a partir de una ecuaci6n de la forma -

F(x , y, c) = 0,

la cual para cada valor constante del parametro c proporciona una curva 1c en form a implicita , se o btiene una familia uniparametrica de curvas. Para un pun to (x, y) que se encuentra sobre la curva r c - es decir, que satisface la ecuaci6nF(x, y, c) = Q-- se aplican todas las formulas antes deducidas. En p articular , el vector gradiente (F (x, y, c), Fy(x, y, c)) es normal a rc en el punto (x, y) . Como ejemplo , considerese la elipse

x

x2 y2 F(x, y) = OJ. + 2 = 1. b

(15a)

Por ( 1 2a ) , la ecuaci6n de Ia tangente en el punto (x, y) es (�

-

x)

�2 + (11

-

b

y) 2

=

0;

de aqui que , de ( 1 5a),

De ( 1 4a) se encuentra que la curvatura es (15b)

k

=

4 b_ a_4_ (a4y2 + b4x2) 3 t2

_____

____

•

Si a > b, esta tiene su valor maximo a f b 2 en los vertices y = 0, X = ± a. Su valor minimo b/a 2 ocurre en los otros vertices x = 0, y = ± b. Si dos curvas F(x, y) = 0 y G(x, y) 0 se intersectan en el punto . el angulo entre las curvas se define como el angulo ro formado (x, y) por sus tangentes (o normales) en el p unto de intersecci6n. Si se recuerda que los gradientes dan la direcci6n de Ia normal y se aplica Ia formula (7), p. 1 62 , para el angulo entre dos vectores, se encuen­ tra que

=

280

Introduccion al cilculo y al anilisis matemitico

(16) Aqui cos ro queda determinado de modo unico si se escoge ro como el angulo entre las normales de las dos curvas en las direcciones en que se incrementan F y G . Poniendo ro = 1t/2 en ( 1 6 ) , se obtiene la condici6n para la orto· gonalidad, es decir, para que las curvas se intersequen a angulos rec· tos en el punto (x, y) : (16a) Si las curvas se toean - es decir, tienen tangente y normal conmunes ep el pun to donde se encuentran - sus vectores gradiente (Fx, Fy) y ( Gx, Gu) deben ser paralelos. Esto conduce a Ia condici6n

( 1 6b)

Como ejemplo, considerese la familia de parabolas

( �)

F(x, y, c) = y2 - 2c x +

(17a)

=

0

(ver la Fig. 3 . 9 , p. 292) , las cuales tienen todas al origen como foco ("parabolas confocales"). Si c1 > 0 y c 2 < 0, las dos parabolas

F(x, y, c1) = y2

y

- 2c1 (x + �_!_)_ = 0

se cortan perpendicularmente en dos puntos ; porque en los puntos de intersecci6n

y de aqui que

Fx(X, y, CI) Fx(X, y, C2) + Fy(X, y, CI) Fy( X, y, C2) = 4(CI C2 + y2) = 0 .

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

281

Por ( 1 4a), la curvatura de la parabola (1 7a) esta dada por c2 k= 2 (c + y2)31 2 · En el vertice X = c/2, y = 0, esto se reduce a 1 -

k

= TCT

Entonces, el centro de curvatura o centro del circulo osculador en el vertice tiene, por ( 1 4c), las coordenadas c c 11 = 0 ' � = - 2 + I c I s gn c = 2 ,

de modo que el foco (0, 0) se encuentra a la mitad entre el vertice y el

centro de curvatura.

Ejercicios 3 .2a I . Encontrar las ecuaciones de la tangente y de la normal para las curvas dadas implicitamente por medio de las relaciones que siguen. :

x2 + 2y2 - xy = 0 (b) ex seny + eY cos x = 1 (c) cosh (x + 1) - sen y = 0 (d) x2 + y2 = y + sen x (e) x3 + y4 cosh y (f) xY + yx = 1. (a)

=

2 . Calcular la curvatura de Ia curva

sen

x + cos y = 1

en el origen . 3 . Encontrar Ia curvatura de la curva que esta dada en coordenadas polares por Ia ecuaci6n f(r, 6) = 0. 4. Probar que las intersecciones de la curva

5.

(x + y - a)3 + 27axy = 0 con Ia recta x + y = a son inflexiones de la curva. Determinar a y b, de modo que las c6nicas 4x2 + 4xy + y2 - lOx - lOy + 11 = 0 (y + bx 1 - b)2 - a(by - x + 1 - b) = 0 se corten ortogonalmente en el punto (1, 1 ) y tengan la misma curvatura -

6.

en este punto. Sean K' y K" dos circulos que tienen dos puntos A y B en comun. Demos­ trar · que si un circulo. K es ortogonal a K' y K", entonces tam bien es or­ togonal a todo circulo que pasa por A y B.

282

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

b. Puntos singulares de curvas

En muchas de las formulas de la secc1on anterior aparece en el denominador la expresi6n Fx2 + Fy2 • En consecuencia , es de esperar que ocurra algo desusado cuando esta cantidad se anula , es decir, cuando Fx = 0 y Fy = 0 en un punto de la curva F(x, y) = 0. En un punto asi , la expresi6n y' = - FxfFy para la pendiente de la tangente pierde su significado . Se dice que un punto P de una curva es regular, si en una vecin· dad de P la variable x , o bien la variable y , puede representarse como una funci6n continuamente diferenciable de la otra. En ese caso la curva tiene una tangente en P y es, con b astante precision, aproximada por esa tangente en una vecindad de P. Si un punto de la curva no es regular se dice que es singular o que es una sz'ngula· ridad. Por el teorema de la funci6n implicita se sabe que si F(x, y) tiene primeras de:rivadas parciales continuas, entonces un punto de la cu.r· va F(x, y) = O es regular si en ese punto Fx2 + Fy2 * 0, porque si F'll f. 0 en P, puede resolverse la ecuaci6n F(x, y) = 0 y obtenerse upa soluci6n unica continuamente diferenciable, . y = f(x). De modo semejante , si Fx =F 0 puede resolverse la ecuaci6n para x. Un tipo importante de singularidad es un punto multzple, es decir, un punto por el cual pasan dos o mas ramas de la curva . Por ejemplo , el origen es un punto multiple de la lemniscata (Volumen I, p. 1 02 ) Es evidente que en la vecindad de un punto multiple no puede ex· presarse la ecuaci6n de la curva de modo unico en la forma y = f(x) 0 X = g(y). Un ejemplo de una singularidad que no es un punto multiple lo proporciona la curva cubica F(x, y) = y3 - x2 = 0 �

(ver la Fig. 3 . 5) . A qui , en el origen Fx = Fy = 0. Resolviendo para x, 1 puede ponerse la ecuaci6n de la curva en la forma Y = f(x)

= � x2 ,

donde f es continua pero no diferenciable en el origen . La curva tiene una ciispz'de en ese punto .

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

283

X

Figura 3 . 5

La curva ya - x2 = 0.

Una curva Puede ser regular en un punto donde tanto Fx como Fy se anulan . Esto lo ejemplifica F(x, y) = y 3 - x4 = 0.

Nuevamente aqui , Fx = Fv = 0 en el origen . Pero resolviendo para se encuen tra y = f(x) = 'Vx4 ,

y

donde f(x) es continuamente diferenciable para toda x. De donde el origen es un punto regular. Como F es una funci6n par de x, la curva es simetrica con respecto al eje y . Es convexa y toea al eje x en ,el origen , como la parabola y = x2 • Sin embargo , el origen es un punto algo especial para la curva , puesto que alli f" se vuelve infinita y la curva tiene curvatura z"nfz"n z"ta. El ejemplo trivial de la ecuaci6n F(x, y)

:::=

(y - x) 2 = 0

que representa a la recta y = x muestra que no tiene que asociarse comportamiento peculiar alguno con los puntos de una curva F(x, y) para la cual Fx2 + Fv2 = 0. En el Apendice 3 se trataran los = 0 puntos singulares mas sistematicamente. Ejercicios 3 . 2b 1 . Discutir los puntos singulares de las curvas siguientes en el origen :

(a) (b)

(c)

F(x, y) = ax3 + by3 - cxy = 0 F(x, y) = (y2 - 2x2)2 - x5 = 0 F(x: y) = (1 + e l lx)y - x = 0

284

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

F(x, y)= y2(2a - x) - xa = 0 (e) F(x, y) = (y - 2x)2 - x 5 = 0. 2 . La curva x3 + y3 - 3axy = 0 tiene un punto doble en el origen. �Cuales son sus tangentes alii? 3 . Trazar una grafica de la curva (y - x2) 2 - xs = 0, y mostrar que tiene una cuspide en el origen. � Cual es la peculiaridad de esta cuspide al com· pararla con la cU.Spide de la curva x2 - y3 = 0? 4. Demostrar que cada una de las curvas (x cos - y sen - b)3 = c(x sen oc + y cos oc)2, donde oc es un parametro b, son constantes, tiene una cU.Spide todas las cuspides se encuentran sobre un circulo. 5. Sea (x, y) un punto doble de la curva F(x, y) = 0. Calcular el angulo ¢ entre las dos tangentes (x, y), suponiendo que no todas las segundas derivadas de F se anulan en (x , y). Encontrar el angulo entre las tangent� (d)

oc

y

oc

y que:

c

e�

en el punto doble (a) de la lemniscata, (b) de la hoja de Descartes (ver la p . 2 69) . 6 . Hallar la curvatura en el origen de cada una de las dos ramas de la curvJ

y(ax + by) = cx3 + ex2y + fxy2 + gya.

c.

Representaci6n implicita de superficies

Hast a ahara , normalmente hemos represent ado una superficie en el espacio x, y, z por media de una funci6n z = f(x, y). Puede resultar inconveniente, para una superficie dada en el espacio , la preferencia por coordenada z . im.plicada en esta representaci6n. Es mas natural y mas general representar las superficies en el espacio implicitamente 0 6 F(x, y, z) ::: por media de ecuaciones de la forma F(x, y, z) constante . Por ejemplo, es mejor representar una esfera alrededor del z2 - r2 0 que origen por media de la ecuaci6n simetrica x2 y2 ± .Jr2 - x2 - y2. La representaci6n explicita de la superficie por z aparece entonces como la represent a cion implicita especial F(x, y, z) = z -f(x, y) 0. Con el fin de dedudr la ecuaci6n del plano tangente en un punto P de la superficie F(x, y, z) 0, se hace la suposici6n de que en ese punto

= + +

=

=

=

=

(18) es decir , que al menos una de las derivadas parciales no es 0 . 1 Si, 1 Precisamente como para las curvas, Ia �nulaci6n del gradiente de F por lo comun corresponde a un comportamiento singular de Ia superficie. No se discutira Ia na· turaleza de tales singularidades.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

285

digamos, Fz :::/=. 0, puede encontrarse una ecuaci6n explicita z = f(x, y) para I a superficie cerca de P. El plano tangente en P tiene Ia ecuaci6n (19a)

S

-

Z = (� - x)fx + (11

-

y)fy

en las coordenadas corrientes l;, TJ, � (ver Ia p. 74 ) . Sustituyendo las derivadas de f por sus valores fx = - Fx/Fz, {y = - Fy/Fz , de acuer­ do con las formulas (9a), p. 274, se obtiene Ia ecuaci6n del plano tangente en Ia forma (19b)

(� - x)Fx + (11 - y)Fy + (s

-

z)Fz = 0.

La normal al plano tangente ( l 9b ) tiene Ia misma direcci6n que el vector gradiente (Fx, Fy, Fz) (ver Ia p. 1 68) . De aqui que los cosenos directores de Ia normal estan dados por las expresiones (19c)

Fx

cos cos a = .J Fx2 + Fy2 + Fz2 '

Fz

Fy

� = .JFx2 + Fy2 + Fz2 '

Aqui, mas precisamente , se ha tornado esa normal del plano que apunta en Ia direcci6n de F crecz"ente (ver Ia p. 249). Si dos superficies F(x, y, z) = 0 y G(x, y , z) = 0 se cortan en un punto, el angulo ro entre las superfz"cz"es se define como el angulo entre ' sus pianos tangentes o , lo que es lo mismo, el angulo entre sus nor­ males . Este est a dado por (20a) En particular, Ia condici6n de perpendicularidad (ortogonalidad) es (20b) En Iugar de una superficie dada por una ecuaci6n .F(x, y, z) = 0, puede considerarse , con mayor generalidad , superficies dadas por es una constante. Valores diferentes de c F(x, y, z) = c, donde proporcionan superfz"cz"es de nz·vel diferentes para Ia funcion F (ver Ia p . 41 . En cualquier punto (x, y, z) et vector gradiente (Fx, Fy, Fz) es normal a la superficie de nivel que pasa por ese punto . De modo semejante , la ecuaci6n ( l 9b) da el plano tangente a Ia superficie de nivel.

c

286

lntroduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

Como un ejemplo, considerese la esfera x2 + y2 + z2 = r 2 . Por ( 1 9b ) , el plano tangente en el punto (x, y, z) es (� - x)2x + (11 - y)2y + (� - z)2z

:;:=

0,

o bien , �x + llY + �z = r2 • Los cosenos directores de la normal son proporcionales a x, y, z, es decir, la normal coincide con el radio vector trazado desde el origen al punto {x, y, z). Para el elipsoide mas general con los ejes coordenados como ejes principales,

la ecuaci6n del plano tangente es

Ejercicios 3 . 2c 1 . Encontrar el plano tangente (a) de la superficie

x3 + 2xy2 - 7z3 + 3y + 1 en el punto (1, 1, 1) ; (b) de la superficie

(x2 + y2)2 + x2 - y2

=

0

+ 7xy + 3x + z4 - z =

en el punto (1, 1, 1) ; (c) de la superficie

sen 2 x + en el punto (rt/6, rt/3, 0). (d) de la superficie 1 +x en el pun to (0, 0, 1) ; (e) de la superficie

cos

cos

(y + z)

=

rtz + y sen ?tZ

3 4

-

z2

=

0

14

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial +

2.

y

287

=

cos x cos + 2 sen z 0 en el punto (0, 0, -Tt/2); (f) de la superficie x2 + y2 = z2 +sen z en el punto (0, 0, 0). Probar que las tre� superficies de Ia familia de superficies xy Jx2 + z2 + .jy2 + z2 Jx2 + z2 - Jy2 + z2 w z - = u,

=

= v,

que pasan por un solo punto son ortogonales entre si . 3. Los puntos A y B se mueven uniformemente con Ia misma velocidad; A parte del origen y se mueve a lo largo deleje z, B parte del punto y se mueve paralel�mente al ejc y . Encontrar la superficie generada por las rectas que los unen. + 4. Demostrar que el plano tangente en cualquier punto de Ia superficie y2 - 2 = 1 intersecta a esta en dos rectas. 1 es Ia ecuaci6n de una superficie, siendo F una funci6n 5. Si z) homogenea de grado h, entonces el plano tangente en el punto esta dado por

(a, O, O)

z F(x, y, z)

6.

x2

=

(x, y.

�Fx +

= h.

YJFy + �Fz Sea definida como una funci6n de y y por medio de la ecuacion x3 y3 + z3 ..:... 3xyz = 0. Expresar Zx Zy como funciones de x, y, z. z

+

y

x

7 . Hallar el angulo de intersecci6n de las siguientes parejas de superficies, en los puntos indicados:

(0, 0, 1) z2, 1 + x2 + y 2 3y3 2, cosh (x + y - 2) + senh (x + z - 1) 1, en (1, 1, 0) (b) xY + yz x2 + z2 eY, en {1, 0, 0) x2 ) ez, y2 + (c cosh (y/v'z), x2 + y2 z2 - 1, en (0, 0, 1) (d) 1 + s�nh (x/JZ) xa + ya = z3 en(O, 0 , 0). (e) cos 1t(x2 + y) + sen 1t(x2 + z) = 1, (a) 2x�

+

-

=

4z2

=

=

- 4,

=

=

=

3 .3

en

=

=

Sistemas de funciones, transformaciones

y

aplicaciones

a. Observaciones generales

Los resultados que se han ohtenido para las funciones implicitas ahora nos permiten considerar sistemas de funciones, es decir, discutir varias funciones simultaneamente . En esta secci6n se considerara el c aso particula'rmente importante de los sistemas en los cuales el numero de funciones es igual al numero de variables indepen:dientes.

288

introduccion al calculo y al analisis matemitico

Empecemos por investigar el significado de tales sistemas en el caso de dos variables independientes . Si las dos funciones (2la}

� =
T) = 'JI(X, y)

y

son ambas continuamente diferenciables en un conjunto R del plano dominio de las funciones, este sistema de funciones puede in· terpretarse de dos maneras diferentes. La primera interpretacion ("activa") es por medio de una aplic_aci6n o transformaci6n. (La segunda, como una transformacion de coordenadas, se discutira en la p. 246 . ) Al punto P con coordenadas (x, y) en el plano x, y le corres· ponde el punto imagen IT con coordenadas (�, T)) en el plano �' 11 Un ejemplo es la aplicacion o transformacion aftn

x, y, el

� = ax + by,

T)

=

ex + dy

donde a, b, c , d son constantes (ver la p. 1 83). Frecuentemente (x, y) y (�, T)) se interpretan como puntos de u no Y el mismo plano . En este caso se habla de una aplicad6n o una trans· formaci6n del plano x,y hacia st mismo. El problema fundamental relacionado con una aplicacion es el de su inversion, o sea, la cuestion de cuando y como , en virtud de las ecuaciones � =

(2lb}

X = g(�, T)),

y

=

h(�, TJ),

las cuales estan definidas en B. Entonces se dice que �a aplicacion (21 b) tiene una inversa unica o que es una aplicacion uno a uno, Y a la transformacion (21 b) se le. da el nombre de transformacz'6n o apUcacz'6n t'nversa de la original.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

289

Si en esta aplicaci6n el punto P = (x, y) describe una curva en el dominio normalmente su punto imagen r�, 11 ) describira tambien una curva en el conjunto B , que se llama curva imagen de la pri­ mera . Por ejemplo, a la recta x = c, que es paralela al eje y, le co-

R,

r responde en el plano �. 11 Ia curva dada en forma parametric a por

las ecuaciones

� = if>(c, y),

(22a)

11 = 'Jf(c , y),

donde y es el parametro . De la misma manera, a Ia recta y = k le corresponde la curva � = fj>(x, k),

(22b)

11 = 'JI(X, k).

Si a c y k se les asignan sucesiones de valores equidistantes c1 , c2 , C3, . . y k1, k 2 , k 3 , . . . , entonces la "red de coordenadas" que consiste de las rectas x = constante y y = constante (por ejemplu , la red de rectas en un papel milimetrico comun) da Iugar a una red correspondiente de curvas , la red curvilinea , en el plano �. 11 (Figs . 3 . 6 y 3. 7 ) . Las dos familias de curvas pueden escribirse en forma implicita. Si se re­ presenta Ia aplicaci6n inversa por las ecuaciones (2 1 b), las ecuaciones de las curvas son simplemente .

'1

0

(22c)

c,

I

Cz

c,

Figura 3 . 6 y Figura 3.7 Redes de curvas x constante en el plano x, y y el plano 1; , 11 ·

g(� , 11 ) = c

y

=

constante y y =

h(� , 11 ) = k,

respectivamente. En rnuchas situaciones Ia red curvilinea propor­ ciona una imagen geometrica util de la aplicaci6n (2 l a), preferible a la interpretacion de las ecuaciones como una superficie bidimen­ sional en el espacio tetradimensional x, y, �. 11 ·

290

Introduccion al dilculo y al analisis matematico

De I a misma manera , las dos familas de rectas � = y y 11 plano �, corresponden a las dos familias de curvas

rfi(x, y) = Y

::::;:

K en el

'!'(X, y) = K

y

en el plano x, y . Como ejemplo , considerese la inversion (tambien Hamada apli· caci6n por radios recfprocos o reflexi6n con respecto al cfrculo unitario). Esta transformaci6n esta dada por las ecuaciones X � = 2 x + y2 '

(23a)

y 11 = .x2 + y2

AI punto P = (x, y) le corresponde el punto n = (�, 11) que se encuen· tra sobre el mismo rayo y que satisface la ecuacion (23b)

�2 +

11 2

=

0

1

____

x 2 + y2

de donde, la longitud del vector de posicion

Qp es el reciproco de la

longitud del vector de posicion Orr . Los puntos en el interior del cir· culo unitario x2 + y2 = 1 se aplican so bre puntos en el exterior del circulo , y viceversa. De (23b) , se encuentra que la transformaci6n zn· versa es

la cual nuevamente es una inversion; es decir, la imagen inversa de un punto coincide con su imagen . Como dominio R de la aplicacion (23a) puede tomarse el plano x, y completo, con excepci6n del origen, y como recorrido B el plano �' 11 completo pero tambien· excluyendo el origen. Las rectas � = Y Y 11 = K en el plano �' 11 corresponden respectivamente a los circulos 1 y

x2 + y 2 - - x = 0

y

1

x2 + y 2 - - y = 0 K

en el plano x, y De la misma manera , la red coordenada rectilinea en el plano x, y corresponde a las dos familias de circulos que tocan al eje � y al eje 11 en el origen. Como un ejemplo mas , considerese la aplicacion � = x2 - y 2 '

11 = 2xy.

Desarrollos y aplicadones del calculo diferencial

291

Las curvas � = constante dan Iugar en el plano x, y a las hiperbolas rectangulares x2 � y2 = constante , cuyas asintotas son las rectas x = y y x = - y . Las rectas 11 = constante tam bien corresponden a una familia de hiperbolas rectangulares que tienen a los ejes coordenados como asintotas . Las hiperbolas de cada familia cortan a las de Ia otra familia a angulos rectos (Fig. 3 . 8) . Las rectas paralelas a los ejes en el plano x, y corresponden a dos familias de parabolas en el plano �' 11 : las parabolas 11 2 = 4c 2(c 2 - �) corresponden a las rectas x = c y las pa rabolas 112 = 4k2 (k2 + �) corresponden a las rectas y = k. Todas estas parabolas tienen al origen como foco y al eje l; como eje ; forman una familia de parabolas confocales y coaxiales (Fig. 3 . 9). Las transformaciones uno a uno tienen una importante inter­ pretacion y aplicaci6n en la representaci6n de las deformacz'ones o movimientos de sustancias dzstribuidas de modo contz'nuo, como los fluidos. Si se imagina una sustancia de este tipo como si estuviera dis­ persa , en un instante dado , sobre una region R y, a continuacion fuera deform ada por un movimiento , en general Ia sustancia dispersa originalmente sobre R cubrira una region B diferente de R . Cada particula de la sustancia puede distinguirse, al principia del movi­ miento , por medio de sus coordenadas (x, y) en R, y al final del movimiento , por sus coordenadas (�, 11) en B. El caracter biunivoco de la transformacion obtenida al llevar (x, y) a corresponder con (�, 11) !J

� I n

.... I 1

I n

I 11

N

._

dn iLV'l oU.n
, _

;

-d s· '

5- z s- J

s· 4

7• f

- - '7- J - '7 = 2 - - rz� I X - - - rz, _ , - - '7 = -2 - rz = -3 - 'r-t

,.. I

Figura 3 . 8

"") I

t\1 I

-.. I

I I I I <4UI'W'I .u.n<.ll'l

Familias ortogonales de hip�rbolas rectangulares.

292

Introduccion al calculo

Figura 3.9

y

al analisis matematico

Familias ortogonales de parabolas confocales.

es simplemente Ia expresi6n matematica del hecho fisico obvio d� que particulas separadas permanecen separadas. Ejercicios 3 .3a 1 . Encontrar las curvas imagen de las rectas transformaciones siguientes: 1J = ex sen � = ex 'IJ = (b) ; = (x 'IJ = + �= 1 'IJ = y + (d) � = + '1) = yx (e) � = Y 'IJ = (f) � = senh 'IJ = (g) � = sen (x + � = e cos x , 'IJ = e sen Y .

(a)

(c)

(h)

y cos y, J xy - y)/2, Jxfy, cos(x y) x2 x y2, x, x, cosh y y), cos(x - y)

x

=

const . , ?'

2. Hallar Ia imagen de Ia region limitada por Ia curva cosh

1 bajo Ia aplicaci6n � = ex, 'IJ = eY.

=

const. bajo las

2 x + senh 2 y ==

x � 3, 4 � y � 16, bajo Ia apli· caci6n � = Jx + y, 'IJ = Jy - x·. 4. �Es biunivoca Ia transformaci6n � x - xy, 'IJ = 2xy ? 3. Hallar Ia imagen del rectangulo 1 � =

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

293

b. Coordenadas curviltneas

Intimamente relacionada con la primera interpretacion (como una aplicacion) del sistema de ecuaciones � = f(x, y), 11 = w(x, y) , esta la segunda interpretacion, como una transformac£6n de coordenadas en el plano. Si sucede que las funciones

11 = e = arc tan y IX

(0 � e < 2n).

Cuando se da un sistema de funciones � = rfi(x, y), 11 = 'JI(X, y) como las anteriores , en general , a cada punto P(x, y) pueden asig­ narsele los valores correspondientes (�, 11) como nuevas coordenadas, porque c ada pareja de valores (�, 11) que pertenece a la region B determina de modo unico a la pareja (x, y), y, por tanto, determina de modo unico la posicion del punto P en R. Entonces "las lineas coordenadas" � = constante y 11 = constante quedan representadas en el plano x, y por medio de dos familias de curvas, las cuales se de­ finen implicitamente por las ecuaciones rjJ(x,y) = constante y 'JI(x,y) = constante, respectivamente . Est as curvas coordenadas cubren la region R con una red coordenada (generalmente curva), por lo cual las coordenadas (�, 11) tam bien se conocen como coordenadas cur­ vilineas en R. Una vez mas se hara notar la intima relacion que tienen estas dos interpretaciones del sistema de ecuaciones. Las curvas en el plano

�'

rt

,

que en la aplicaci6n corresponden a rectas paralelas a los ejes en

294

Introduccion al calculo

y

al anilisis matemitico

el plano x, y , pueden considerarse directamente como las curvas coordenadas para las coordenadas curvilineas x = g(�, 11), y ::;: h(�, 11) en el plano �. 11 ; inversamente, las curvas coordenadas del sistema curvilineo � = �(x, y), 11 = 'I'( X, y) en el plano x, y , bajo la aplicacion son las imagenes de las rectas paralelas a los ejes en el plano �. 11 In­ cluso en la interpretacion de (�, 11) como coordenadas curvilineas en el plano x,y , debe considerarse un plano �. 11 y una region B de ese plano en la cual puede variar el punto con coordenadas (�, 11) , si se desea mantener clara la situacion . La diferencia est a principalmente en el punto de vista . * Si se esta interesado primordialmente en la region R, del pl ano x, y , simplemente se consideran �. 11 como un nuevo medio de localizar los puntos en la region R, siendo entonces la region B del plano �. 11 simplemente subsidiaria; mientras que si se esta igualmente interesado en las dos regiones R y B en los pianos x,y y �' 11 , respectivamente , es preferible considerar el sistema de ecuaciones como si especificara una correspondencia entre las dos regiones , es decir , una aplicacion de una sobre la otra . No obstante, a menudo es preferible tener presentes al mismo tiempo las dos inter­ pretaciones, aplicaci6n y transformacion de coordenadas. Si , por ejemplo , se introducen las coordenadas polares (r, y se interpretan r y e como coordenadas rectangulares en un plano r� e los drculos r = constante y las rectas e = constante se aplican sobre rectas paralei as a los ejes en el plano r, Si la region R del plano x, y es el drculo x2 + y2 � 1, el punto (r, del plano r, e variara sobre un rectangulo 0 � r � 1, 0 � e � 21t, donde los puntos correspon­ dientes de los lad �s e = 0 y e = 2n estan relacionados con uno y el mismo punto de R, y el lado completo r = 0 es la imagen del orige:n X = 0, y = 0. Otro ejemplo de sistema coordenado curvilineo es el sistema de coordenadas para b6licas. Se llega a estas coordenadas considerando la familia de parabolas confocales en el plano x, y (ver tambien la p. 284 y la Fig. 3 . 9) .

9)

'

9- . 9)

( �),

y2 = 2c x +

las cuales todas tienen al origen como foco y al eje x como eje . Por cada punto del plano , excepto el origen, pasan dos parabolas de la *Sin embargo , existe una diferencia real en el sentido de que las ecuaciones siempre definen una aplicacion, sin importar cufmtos puntos (x, y) corresponden a un punto (�, 1}), mientras que definen una transformaci6n de coordenadas solo cuando la co­ rrespondencia es biunivoca.

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

295

familia , una correspondiente a un valor positivo del parametro, c = � , y la otra a un valor negativo del p arametro , c = 11· Estos dos valores se obtienen resolviendo para c la ecuacion cuadratica y2 = 2 c (x c/2) usando los valores de x y y que correspondan al punto; es­ to da

+

�

=

-x

+ Jx2 + y2,

Estas cantidades � y 11 pueden introducirse como coordenadas cur­ vilineas en el plano x, y convirtiendose entonces las parabolas con­ focales en las curvas coordenadas . En la Fig. 3. 9 se indican estas cur­ vas, si se intercambian los simbolos (x, y) y (�, l"J). AI usar las coordenadas parabolicas (�, 11) debe tenerse presente que la p areja de valores (�, 11) corresponde a los dos puntos (x, y) y (x, -y) , que son las dos intersecciones de las parabolas correspon­ dientes . De aqui que , con el fin de obtener una correspondencia biunivoca entre la pareja (x, y) y la pareja (�, 11), nos debemos restrin­ gir a un semiplano , y � 0, por ejemplo . Entonces c ada region R en este semiplano esta en correspondencia biunivoca con una region B del plano �. 11 , y las coordenadas rectangulares (�, 11) de cad a punta en esta region B son exactamente las mismas que las coordenadas parabolicas del punto correspondiente en la region R . ,

,

Ejercicios 3 . 3b 1 . Probar que para x =1= 1, 0 < y < rt/2, � = ( sen y)/(x - 1), lJ = x tan y, definen un sistema de coordenadas curvilineas. 2. Encontrar la ecuaci6n para el drculo x2 + y 2 = 1 en terminos de las coordenadas curvilineas

�

=

x3 + 1, lJ = xy.

3. �Para cmlles puntos del plano x, y no pueden usarse � como coordenadas curvilineas? c.

= xy y lJ = x2

+ y2

Ex tension a mas de dos variables independientes

Para tres o m as variables independientes, el estado de cosas es analogo . De donde, un sistema de tres funciones continuamente diferenciables �

=

�(x, y, z),

11

=

'I'(X, y, z),

�

=

x(x, y, z),

296

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

definidas en una region R del espacio x, y, z, se pueden considerar como la aplicacion de la region R sobre una region B del espacio �� 11, � . Si esta aplicacion de R sobre B es biunivoca , de manera que para cada punto imagen (�, 11 , �) de B puedan calcularse de modo unico las coordenadas (x, y, z) del pun to correspondiente (punt6 original o imagen inversa) en R por medio de las funciones

X = g(� , 11, �),

Y = h(�, 11, �) ,

Z = l(� ,

11,

�) ,

entonces (�, 11 , �) tambien pueden considerarse como las coordenadas generales del punto P en la region R. Las superficies � = constante, 11 = constante , � = constante o, en otros simbolos, rp(x, y, z) = cons· tante, 'JI(X, y, z) = constante, x(x, y, z) = constante , forman un sis­ tema de tres familias de superficies que cubren la region R y pueden llamarse superficies coordenadas curvilineas . AI igual que para dos variables independientes, las transfor· maciones uno a uno en tres dimensiones pueden interpretarse como deformaciones de una sustancia distribuida continuamente en toda una region del espacio. Un sistema muy importante de coordenadas son las coordenadas esfericas, a veces llamadas coordenadas polares en el esPacio. Estas especifican la posicion de un punto P en el espacio por medio de tres numeros : ( 1 ) la distancia r = Jxz + y z + z2 medida desde el origen ; (2) la longitud geografica rp, es decir, el angulo entre el plano x, z y el plano determinado por p y el eje z; y (3) la inclinacion polar o la· titud complementaria e, es decir, el angulo entre el radio vector OP y el eje z positivo. Como se ve en la Fig . 3 . 1 0 , l as tres coordenadas es· fericas r, rp, e estan relacionadas con las coordenadas rectangulares por medio de las ecuaciones de transformacion

Figura 3 . 10 Coordenadas esfericas.

Desarrollos

y

a plicaciones del calculo diferencial

X = r

y

=

COS

� sen

297

9,

r sen � sen e,

z = r cos e,

de las cuales se obtienen las relaciones inversas r = Jx 2 + y 2 + z2

y

� = arc cos Y1 X2 + y2 = arc se n Y1� X2 + y2 X

z

Jx2 + y 2

e = arc cos 1 2 = arc se n -1;:=::;===;;==� + Y 2 + z2 vx v x2 + y 2 + z 2 Para coordenadas polares en el plano el origen es un punto excep­ cional , en el sentido de que para el no se cumple la correspondencia biunivoca , porque alii el angulo no esta determinado. De la misma manera , para la coordenadas esfericas en el espacio , el eje z com­ pleto es una excepci6n , en el sentido de que alii esta indeterminada la longitud ¢ . En el propio origen la inclinaci6n polar e tambien esta indeterminada. Las superficies coordenadas para coordenadas polares tridimen­ sionales son como sigue : ( 1 ) p ara valores constantes de r, las esferas concentricas alrededor del origen ; (2) para valores constantes de �' la familia de semiplanos que pasan por el eje z ; (3) para valores cons­ tantes de e, los conos circulares con el eje z como eje y el origen como vertice (Fig. 3 . 1 1 ) .

Figura � . 1 1

Superficies coordenadas para las coordenadas esfericas.

298

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Otro sistema coordenado que se usa con frecuencia es el sistema de coordenadas cz"lindricas. Estas se obtienen introduciendo las coor· denadas polares p, � en el plano x, y y conservando a z como la ter· cera coordenada. Entonces las formulas de transformaci6n de coor· denadas rectangulares a coordenadas cilindricas son X= p

COS

f/>,

y = p sen if>,

z=z y la transformaci6n inversa es

X � = arc cos Jx2 + 2 = ar c y

sen

y J x2 + y 2

z = z.

Las superfieices coordenadas p = constante son los cilindros circu· lares verticales que cortan al plano x, y en circulos concentricos con el origen como centro; las superficies � = constante son los semi· planos que pasan por el eje z y las superficies z = constantes son los planos paralelos al plano x, y. Ejercicios 3 .3c 1 . Encontrar la inversa de la transformaci6n de coordenadas curvillneas

y 71 = x2 + y 2 + z2 ,

z

� = x2 + y 2 + z 2 •

2 . lnvertir la transformaci6n de coordenadas w = r cos ifJ , x = r sen ¢> cos �. y = r sen if> sen � cos e , z = r sen ifJ sen � sen e. �Cuales son los conjuntos r = constante, ifJ = constante, � = constante, e = constante?

d. Formulas de derivaci6n para las funciones inversas

En muchos casos de importancia practica es posible resolver ex· plicitamente el sistema de ecuaciones dado , como en los ejemplos an· teriores, y, por tanto, reconocer que las funciones inversas son con· tinuas y poseen derivadas continuas. Si es posible presumir la existen·

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

299

cia y la diferenciabilidad de las funciones inversas, pueden calcularse las derivadas de estas ultimas sin resolver en realidad las ecuaciones explicitamente , de la siguiente manera : se sustituyen las funciones in­ versas x = g(�, 11), y = h(�, 11) en l as ecuaciones dad as � = �(x, y) , 11 == w(x, y) . A la derecha se obtienen las funciones con1puestas �(g(�, 11), h(�, 11)) y w(g(�, 11), h(�, 11)) de � y 11 ; pero estas deben ser iguales a � y 11, respectivamente . Derivense ahora cada una de las ecuaciones � = �(g(�, 11) , h(� , 11))

(24a)

11 = w(g(� , 11) , h(�, 11))

con respecto a � y a 11 , considerando a � y a 11 como variables in­ dependientes 1 y aplicando la regla de la cadena para derivar a las funciones com puestas . Entonces se o btiene el sistema de ecuaciones (24b)

Resolviendo est as ecuaciones se obtienen expresiones p ara las deri­ vadas parciales de l as funciones inversas x = g(�, 11 ) y y == h(�, 11) con respecto a � y 11 , expresadas en terminos de las derivadas de las fun­ ciones ori gi nales �(x, y) y w(x, y) con respecto a x y y, a saber, (24c)

g� =

j; ,

� gTJ = - y ' D

h'f. =

� XTJ = - y

y� = -

-

'l'x

n

o bien , (24d)

11 X� - Y - D

D'

11x

D'

,

h TJ

==

�·

�X

YTJ = ]j ·

Por brevedad aqui se ha escrito (24e)

1 Estas ecuaciones se cumplen p ara todos los valores de l; y T\ bajo consideraci6n; como se dice, se cumplen zdenticamente, en contraste con las ecuaciones "entre variables que solo se satisfacen p ara algunos de los valores de estas variables. Cuando tales ecuaciones identicas, o identidades, se derivan con respecto a cualquiera de las variables que ocurren en ellas, nuevamente se obtienen identidades, lo que se con­ cluye inmediatamente a partir de la definicion.

300

Introduccion al calculo y al analisis matematico

Esta expresion D, que se supone no es cero en el punta en cuestion , se llama el jaco biano o determinante funcional de las funciones � = ?(x,y)y 11 = 'JI(X, y) con respecto a las variables x y y. Este determinante juega un papel principal siempre que se consideran transformaciones , como se vera en lo que sigue. En lo anterior, asi como ocasionalmente en otra parte , se ha usado la notaci6n mas corta �(x, y) en Iugar de la notaci6n m as detal l ada � = �(x, y) , Ja cual distingue entre la cantidad � y su ex­ presion funcional �(x, y). En el futuro, con frecuencia se usaran abreviaturas semejantes cuando no haya riesgo de confusion . Para las coordenadas polares en el plano , expresadas en terminos de coordenadas rectangulares , 11 = e = arc tan � X

y

las derivadas parciales son rx = ex =

'

X X = --- , r xz + yz

" " /===-c:==::-:c _ -v

--

y -y = - Z + yz r

-�

x2

--

De aqui que el jacobi ano tiene el valor D =

� ;2 � ( -

eY -

•

-

x �- - � · - r2 yz

__

xz

+

�) � , =

y las derivadas parciales de las funciones inversas (coordenadas rec­

tangulares expresadas en terminos de coordenadas polares) son , por (24d), X ye = x, Yr = � , xe = -y, Xr = r r

como pudo haberse encontrado con m as facilidad derivando direc­ tamen te las formulas inversas X = r COS e, Y = r sen e. El jacobiano se presenta con tanta frecuencia que , a menudo , se usa un simbolo especial para eP : (25)

D = d(� , 11)

d(x, y)

·

1 Con frecuencia , el jacobiano s escribe con el signo de derivada parcial como t; D - ��. 1J2 o(x, y) . -

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

301

Pronto resultara obvio lo adecuado de esta abreviatura . A partir de las formulas para las derivadas de las funciones inversas (24b), se en­ cuentra que el jacobiano de las funciones x = x(�, 11) y y = y(�, 11)con respecto a � y 11 esta dado por la expresion (26)

d(x, Y) = X�;y d(� , 11) l1

_

( ,, )

d(� 11) - l � 11 � 11 X y�; = x y -2 v x = !_ = l1 D D d( x y)

Es decir, el jacobiano del sistema inverso de fundones es el reciproco deljaco biano del sistema original. 2 Tambien se pueden expresar l as segundas derivadas del sistema inverso de funciones en terminos de las primeras y segundas derivadas de las funciones dadas . Solo se tienen que derivar las ecuaciones linales (24b ) con respecto a � y a 11 por medio de la regla de la ca­ dena . ( Por supuesto , se supone que las funciones dadas poseen de­ rivadas continuas de segundo orden . ) Entonces se obtienen ecua­ ciones lineales a partir de las cuales se pueden calcular facilmente las derivadas requeridas . Por ejemplo, para calcular las derivadas y se deri van las dos ecuaciones

1 = � xXI; + � yy�; 0 = 11 x XI; + 11 vYI; una vez m as con respecto a � y, por la regla de la cadena, se obtiene

Si se resuelve este sistema de ecuaciones lineales, considerando a las cantidades x�;�; y y�;�; como incognitas (el determinante del sistema es nuevamente D y, por lo t anto , por hip6tesis, no es cero) y, a con­ tinuacion , se remplazan x�; y y�; por los valores ya conocidos para elias, un c alculo breve da 2Por supuesto, esta es Ia analoga a Ia regia para Ia derivada de Ia inversa de una funci6n de una sola variable (Volumen I, p. 207).

Introduccion al calculo

302

(27c)

XC.!;, =

_

___!_ na

y

(27d)

_

___!_

y�;�; - a n

y

al analisis matematico

�xxl1 Y2 - 2�xyllxlly + �YY1lx2 �Y I llxxlly2 - 2�xyllxlly + llYYllx!! llY I �xxlly2 - 2�xyllxlly + �YY1l x2 �x I Tlxxlly2 - 2Tlxyllxlly + TlYYTlx2 llx I

Las derivadas terceras y superiores pueden obtenerse d e l a misma manera, derivando repetidamente el sistema lineal de ecuaciones; ert cada paso se obtiene un sistema de ecuaciones lineales con deter· minante D que no se anula. Ejercicios 3 .3d 1 . Hallar los jacobianos de las transformaciones siguientes :

(a) � = ax + by, 1J = ex + dy r = Jx2 + y2 , e = arc tan yfx (c) � = x2, 1J = y2 (d) � = t log (x2 + y2), 1J = arc tan L X (e) � = xy2 , (f) � = xa - y, (b)

Para cada una de las transformaciones dadas en el Ejercicio 1 , dar los puntos (x, y) que carecen de vecindades en donde la transformaci6n tiene una inversa. 3 . Encontrar el jacobiano de la transformaci6n � = f(x, y), 1J = g(x, y), asi como todas las derivadas parciales de x, y con respecto a �. 1J basta las de segundo orden, en carla uno de los casos siguientes: 2.

(a) � = ex cos y, 1J = ex sen Y 1J = 2xy (b) � = x2 - y 2 , (c) � = tan (x + y), 1J = cos (x - y), -rr/2 < x + y < rr/2 (d) � = senh x + cosh y, 1J = -cosh x + senh y 2 1J = xy .

4. Se dice que una transformaci6n es "conforme" (ver la p . 3 3 7 ) si se con· serva el angulo entre dos curvas cualesquiera. (a) Probar que la inversion

es una transformaci6n conforme ;

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

303

(b) probar que la inversa de cualquier circulo es otro drculo o una recta: (c) encontrar el jacobiano de la inversion. 5 . Sean K1, K2 , Ka tres drculos que pasan por 0 y que tienen intersecciones pareadas distintas, digamos P1, P2, Pa, en otr08 puntos. Demostrar que Ia sum a de los angulos del triangulo curvilineo P1 P2 Pa, formado por arcos circulares, es 1r. 6. Probar que una transformaci6n del plano

u = cp(x, y), v = �(x, y) es conforme si las funciones cp y � satisfacen las identidades cpx = �y, cpy = � x. Probar que si todas las normales de una superficie z = u(x, y) cortan al -

7.

eje z, entonces la superficie es una superficie de revoluci6n.

8. La ecuaci6n

x2 + y 2 (a > b) a-t b-t=l determina dos val ores de t que dependen de x y y: h = J..(x, y), t2 = !L(X, y). (a) Probar que las curvas ti = constante y t2 = constante son elipses e hiperbolas que tienen todas los mismos focos (c6nicas confocales). (b) Probar que las curvas ti = constante y t2 = constante son ortogo­ nales. (c) h y t2 pueden usarse como coordenadas curvilineas (las llamadas coordenadas focales). Expresar x y y en terminos de estas coorde­ nadas. (d) Expresar el jacobiano a(tl, t2)/a(x, y) en terminos de X y y. (e) Encontrar la condici6n para que dos curvas, representadas para­ metricamente en el sistema de coordenadas focales por las ecua­ ciones

y sean ortogonales entre si. 9. (a) Probar que la ecuaci6n en

t 2 x + y 2 + -z2 = 1 (a > b > c) b t c -t a-t tres rakes reales distintas h, t2 , ta, las cuales se encuentran res­ --

--

tiene pectivamente en los intervalos -

< t < c, C < t < b, el punto (x, y, z) no se

oo

b < t < a,

encuentre sobre de un plano siempre que coordenado. (b) Probar que las tres superficies h = constante, t z = constante, t3 = constante , que pasen por un punto arbitrario, son mutuamente or­ togonales.

304

Introduccion al calculo (c) Expresar

x,

y,

y

al analisis matematico

z en terminos de las coordenadas focales h , h, ta.

x, Y dada por las ecuaciones � = � (x + x2 � y2) ' � = � ( Y x2 � y2)

1 0 . Probar que Ia transformaci6n del plano

-

(a) es conforme; (b) transform a las rectas que pasan por el origen y los drculos con .el origen como centro en el plano en coni cas confocales t = cons· tante , dadas por

x, y, �2 + � 2 = 1 . t + 1/2 t - 1/2 D = o(�, �)fo(x,y) =F 0, demostrar las 1 1 . Para � = f(x,y), � = g(x,y), identidades a(�, ) (a) an _ a(� 11 , � ) ay - o(x, y) + o(x, �11y) ' (b) D- 3 [�x(�1111 D - �11D11) - �11(�x11D - �11Dx)] = D- 3 [�x(�1111D - �11D11) - �11(� x11D - �11Dx)] . y

e. Producto simbolico de aplicaciones

Empecemos con algunas observaciones acerca de Ia composici6n de transformaciones. Si Ia transformaci6n

(28a)

� = �(x, y),

T) = 'I'(X, y)

da una aplicaci6n biunlvoca de los puntos (x, y) de una region R sobre los puntos (�, 11) de Ia region B en el plano � ' 11 , y si las ecua· Clones

(28b)

u = <1>(�. 11),

v = 'P(� , 11)

dan una aplicaci6n biunlvoca de Ia region B sobre una region R' en el plano u, v, entonces se genera una aplicacion biunlvoca de R sobre R' . N aturalmente , esta aplicacion se llama aplz'cadon o transfor· macion resultante y se dice que se obtiene por Ia composici6n de las dos _ aplicaciones dadas y que representa su Producto sim bolz"co. La transformaci6n resultante esta dada por las ecuaciones = 'P(�(x, y), w(x, y)) ; u = (�(x, y), w(x, y)),

v

de la definicion , inmediatamente se deduce que esta aplicacion es biunlvoca . Por medio d e l as reglas para derivar funciones compuestas , se ob­ tiene

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

305

(29a) (29b) En notaci6n m atricial (p . 1 88 ) .

(30)

Comparando esto con Ia ley para Ia multiplicaci6n de los determi­ nantes (ver Ia p . 2 10), se encuentra 1 que el jacobiano de u y v con respecto a x y y es

(31a)

Es decir , el jaco bz'ano del Producto sz'm b6lz'co de dos transformadones es z'gual al Producto de los jaco bz'a nos de las transformacz'ones z'n­ dz'vz'duales, o sea , en Ia notaci6n (25 ) , (31b)

d(u, v) d(u, v) d(� . 11) d(x, y) - d(� , 11) d(x, y) · _

En esta ecuaci6n se observa que el simbolo que se adopt6 para los jacobianos es el adecuado. Cuando se combznan transformadones, los jacobz'anos se comportan de la mz"s ma manera que se comportan las derz'-t;adas cuando se com bz"nan fundones de una varz"a ble. El jacobiano de Ia transformaci6n resultante difiere de cero siempre que se cumpla lo mismo para las transformaciones individuales (o com­ ponentes) . Si, en particular , Ia segunda transformaci6n u =
v = \f(� . 11 )

Ia in versa de Ia primer a ,

� = {>(x, y),

11 = w(x, y)

l Por supuesto se puede obtener el mismo resultado multiplicando directamente.

Introduccion al calculo

306

y

al analisis matematico

y si amb as transformaciones son diferenciables , la transform acion

resultante sera sencillamente la transformaci6n identica; esto es, u == X, v = y. Obviamente, el jacobiano de esta ultima transformaci6n es 1 , de manera que nuevamente se obtiene la relaci6n (26 ) . Incidentalmente , d e esto s e deduce que ninguno d e los dos ja­ cobianos se puede anular : d(�, 11 ) d(x , y) = 1 d(x, y) d(� , 11 )

·

Para una pareja de funciones continuamente diferenciables �(x,y)

y 'V (x , y) que tienen un jacobiano que no se anula , pueden encontrar­

se formulas para la aplicaci6n de direcciones correspondiente , en un pun to (xo, yo) = Po. Una curva que pasa por un punta Po puede des­ cribirse parametricamente por media de las ecuaciones x = f(t) ,. y ::;: g(t), donde f(to) = xo, g(to) = yo. La pendiente de la curva en Po esta dada por g' (to) m = f' (to) ·

De modo semejante , la pendiente de la curva imagen �

=


11

=

'V(f( t),g(t))

en el punta correspondiente a Po es

(32)

J.L

=

xf' + \Vyg' = c + dm d11 /dt = 'V �+iJm ' �xf' + �yg' d� / dt

donde a, b, c , d son las constantes a = �x(Xo, yo), b

= �y(Xo, yo), c =

'V x(Xo, yo), d = \V y(Xo, yo).

La relaci6n (32) entre l a pendiente m de la curva original en P� y la -pe�diente J.l de la curva imagen es la misma que para la aplicacion afin : �

= �(xo, yo)

+ a(x - xo) + b(y - yo),

11

= 'V(Xo, yo)

+ c(x - xo) + d(y - yo).

que da una aproximaci6n ae la aplicaci6n cerca de Po . Dado que

Desarrollos y aplicaciones del cal�ulo diferencial

�ll_

dm

307

ad - be

(a + bm) 2 '

se encuentra que u es una funci6n creciente de m para ad - be > 0 y una funci6n decreciente p ara ad - be < 0. 1 . Las pendientes crecientes corresponden a angulos de inclinaci6n crecientes o a una rotaci6n en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de las direcciones correspondientes. De donde, d}ljdm > 0 implica que se conserva el sentido de la ro taci6n contrario al movimiento de las manecillas del reloj , mientras que se invierte cuando d11/dm < 0. Ahora bien , ad - be es precisamente el jaco­ biano d(� . TJ) d( x , y) -

evaluado en el punto Po. Se concluye que la aplz"cacz"6n � = 9(x, y), TJ 'I'(X, y) conserva o z"nvz"erte las orz"entacz"ones cerca del punto (xo, yo) Segun que el jacobiano en ese punto sea posi'tivo o negativo.

=

Ejerddos 3 .3e l . Para cada una de las siguientes parejas de transformaciones; encontrar a(u, v)ja(x, y) eliminando primero � y 7J, y, a continuaci6n, aplicando

(3lb): (a)

(b)

(c)

=

1

{ uv = 2arclogtan(�221+ 7J 2)

� 2 - 7) 2 { uv == 2�1) { u = el;. cos

7J

v = el;. sen 7J

�

·

{ � = exx cos y sen 7J

=e

7J

=x

y

y { � = X COS sen

{

= 7J =

�

y

xf(x2 + y 2) - yf(x2 + y2)

2. �En cuales de las transformaciones sucesivas siguientes pueden definirse x, y como funciones continuamente diferenciables de u, v en una vecin­ dad del punto indicado (u0, v0)?

(a) � = ex cos y , 7J = ex sen y ; u = � 2 - 7) 2 , v = 2�7) , u o = 1 , Vo = 0 ; (b) � = cosh x + senh y , 7J = sen h x + cosh y ; u = e.;+rt , . v = e.;-rt, u o = v o = 1 ; (c) � = x3 - y3 , 7J = x 2 + 2xy2 ; u = �5 + 7) , v = 7)5 - � ; uo = 1, uo 0. =

1 De modo mas concreto, esto se cumple localmente, excluyendo las direcciones don­ o ll se vuelven infinitas.

de m

308

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

3 . Considerese la transformaci6n

{ u = cp(�. lJ) v=

{ � = f(x)

ljJ(c,, lJ)

l) = g(y).

Demostrar que

a( u , V) a(u, V) a(x, y) = f (x) k (y) a(�. lJ) • � = cp(x, y), lJ = \jJ (x, y), demostrar que az a(z, lJ) a(�. lJ) a� - a(x, y) -iJ(x,y) 1

4 . Si

z = {(x, y)

y

_

y

/

/

az a(�. z) a(�. lJ) all - a(x, y) a(x, y) a(�. lJ)/a(x. y) =I= 0. _

siempre que

I

f. Teorema general sobre la inversiOn de las transformaciones '1 de lQS sistemas de funciones implicitas. DescomposiciOn en aplicaciones primitivas

La posibilidad de invertir una transformaci6n depende del si· guiente teorema general: Sean �(x, y) y lfi(X, y) funciones continuamente diferendables en una vecindad de un punto (xo, yo}, para las cuales eljaco biano D == 9� 'fly - �-Y lflx no es cero en (xo, yo). P6ngase uo = �(xo, y0), vo = IJI(Xo, yo). Entonces existen vecindades N de (xo, y0) y N' de (uo , v0) tales que la apl i caci6n (33a)

u = �(x, y},

V

x = g(u, v),

y = h(u, v)

= lfi(X, y)

tiene una inversa unica (33b)

que aplz'ca N' en N. Las funcz·ones g y h satisfacen las identidades (33c)

u = �(g(u, v), h(u, v)),

para (u, v) en N' , (33d)

y

v = lfl(g(u, v), h(u, v))

las ecuadones xo = g(uo, vo),

yo

=

h(uo, vo).

Las funcz'ones inversas g , h tienen derz'vadas continuas para (u, v) cerca de (uo, vo), dadas por

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

ax

(33e)

a�

=

ay_ au -

(33f)

1 au

n ay ' 1 au D ax '

ax au

�1'_

-

309

1 au D ay

1_ au au - D ax . _

_

La demostraci6n se deduce a partir del teorema de Ia funci6n im­ plkita dado en la p . 274, el cual permite resolver una ecuaci6n para una sola variable . En esencia , se invierten l as ecuaciones (33a) resol­ viendo la primera ecuaci6n para una de las variables x, y y susti­ tuyendo la expresi6n resultante en la segunda ecuacion , obteniendose una ecuaci6n para la segunda variable unicamente. Como, por hip6tesis, el jacobiano D no se anula en el punta (xo, y0), al menos una de las primeras derivadas de {>(x, y) es diferente de cero en ese punta . Sup6ngase , por ejemplo, que ) f/>x(xo, yo) -=F 0. En­ tonces st: puede resolver la ecuaci6n u = f)(x, y)

(34a)

para x . Mas precisamente , se pueden encontrar constantes positivas h 1 , h2, ha tales que , para l u - uo l < h 1,

(34b)

I Y - Yo l < h 2. ,

la ecuaci6n (34a) tiene una soluci6n unica x = X(u, y) para l a cual I x - xo I < ha. La funci6n X(u, y) tiene el dominio (34b) y satisface las ecuaciones f)(X(u, y), y) = u,

(34c)

X(uo, yo) = xo,

y Ia desigualdad

(34d)

I X(u, y) - xo l < ha.

Es mas , X(u, y) tiene derivadas continuas, para las cuales , por (34c) , (34e) (34f)

f/>x(X(u, y), y)Xu(u, y) = 1 f/>x(X(u, y), y)Xy(u, y) + fj>y(X(u, y), y)

=:

0.

Sup6ngase a qui que hz, ha son tan pequeiias que el rectangulo (34g)

I x - xo I < h a , I Y - yo I

<

hz

Introduccion a l calculo

310

y

a l analisis matematico

queda en el dominio de �(x, y), 'JI(X, y). Sustituyendo x por la e.�· presion X(u, y) en las funciones 'I'(X, y), se obtiene una funci6n com· puesta 'JI(X(u, y), y) = x (u, y)

(34h)

con el dominio (34b). Aqui , por (34c , f), (34i)

X(Uo, yo) = 'JI(Xo, yo) = Vo

por (34e) , se tiene � x =F- 0 . Se concluye que pueden hallarse constan� tes positivas h4, hs, h6 tales que , para I u - uo I < h4,

(34k)

la ecuaci6n

I v - vo I < hs

x(u, y) = v

(34m)

tiene una soluci6n unica y = h(u, v), para la cual l y - Yo l < h6 . Aqul se puede suponer que h4 � h1, h6 � h 2 (ver la nota al pie de la P· 274). Por ultimo , hagase X(u, h(u, v)) = g(u, v).

(34n)

Las dos funciones g(u, v), h(u, v) tienen el dominio (34k) . Por (34c, h), satisfacen las ecuaciones �(g(u, v), h(u, v)) = �(X(u, h(u, v)), h(u, v)) = u 'l'(g(u, v), h(u, v)) = 'JI(X(u, h(u, v)), h(u, v)) = x(u, h(u, v)) = v

y las desigualdades l g(u, v) - xo l < h3,

l h(u, v) - Yo I < h6 .

Las formulas (33e , f) para l as derivadas de g y h se dedujeron con anterioridad, en la p . 300 . Con el fin de demostrar la unicidad de l as funciones inversas, sup6ngase que x, y, u, v. es cualquier conjunto de valores que satis·

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

311

facen las ecuaciones (33a) y las desigualdades I x - Xo I < ha,

I Y - Yo l < h6 ,

I u - uo / < h4,

I v - Vo I < hs.

Como se cumplen (34a , b ), se concluye que

x = X(u, y).

(34o)

De (34h ) se obtiene i a ecuacion v = 'V (X, y) = 'V (X(u, y), y) = x ( u, y),

la cual tiene la soluci6n unica Y = h(u, v) . . Entonces se deduce la g(u, v) a partir de (34n , o). Las relaciones (3 3d) para g relacion x y h se deducen de la unicidad dP la soluci6n y de la suposici6n de que uo = �(xo , Yo), Vo = 'V (Xo , yo). Hasta aqui se ha supuesto que �x(xo , yo) ;;j::. 0. Si �x(xo, yo) = 0, pero �y(xo, yo) -::F. 0, Ia inversion de la aplicacion 3 3a se lleva a cabo de mo­ do semejante. En este caso, primero , se resuelve ]a ecuaci6n de (33a) para h y se sustituye la funcion resultante y = Y(u , �) en la segunda ecuaci6n , o bteniendose una ecuacion para x unicamente. La inversion de Ia aplicaci6n "plana" (3 3a) se ha reducido a in­ versiones de a plicaciones en las que solo se transforma una variable cad a vez . Generalmente , a la transformaci6n (33a) se le da el nombre de primitva si deja invari ante una de las coordenadas , es decir, si la funci6n �( x, y) es identica a x , o bien , la funci6n 'V(x, y) es identica a y. El efecto de un a transformacion primitiva del tipo u = �(x, y), v = y es el de mover cada punta en la direcci6n del eje x, manteniendo inalterada su ordenada. Despues de la deformaci6n el punta tiene ' una nueva abscisa , que depende tanto de x como de y . Si el j aco­ biano � de la aplicaci6n primitiva es positivo, u varia mon6tonamen­ t e con x para y fija. Se prob ara que una transformaci6n arbitraria (33a) con jacobiano =

que no se anula. se puede descomboner en transformaciones pri­ mitivas, en una vedndad de un punto. Esto se deduce facilmente a parti r de Ia construcci6n dada de Ia aplicaci6n inversa . Si �x(xo , yo)

�

0,

la aplicaci6n (33a) se representa como el producto simb6lico de las apl icaciones primitivas (34p)

� . = �( x, y),

312

Introducci6n al cilculo

y

al anilisis matematico

y

v = X(�, fl).

u = �'

(34 q)

Aqui, el dominio R de la primera aplicacion en el plano x, y sera un rectangulo tan pequeiio que l x - xo l < ha ,

I Y - Yo I < h 2 ,

l �(x, y) - uo l < h1,

mientras que l a segunda aplicacion tiene el dominio I � - uo I < h 1 ,

I ll -- Yo I < h 2 .

Se deduce que la imagen (�, t'l) de un punta (x, y) de R bajo Ia aplicaci6n (34p) se encuentra en el dominio de la aplicacion (34q), f que x = X(�, y).

Consecuentemente , tam bien x = X(�(x, y) , y).

(34r)

Entonces , por (34h, r), para la aplicaci6n compuesta a partir qe (34p , q) resulta . u

=

(!)(x, y)

v = X(�(x, y), y)

=

'V(X (�(x, y), y), y) = 'V(X, y).

Se obtiene una descomposici6n analoga de la aplicacion (33a) cuando �x(xo, yo) = 0 pero �y(xo , y0) * 0. Unicamente se tienen que intercam­ biar los papeles de las variables x y Y · No es de esperar que una transformaci6n se descomponga en transformaciones primitivas de una y en la misma manera en Ia totalidad de la region abierta R . Sin embargo, como cerca de cada pu� to de R puede llevarse a cabo alglin tipo de descomposicion , todo s�bconjunto cerrado acotado de R puede subdividirse en un numei? finito de conjuntos 1 tales que en c ada uno de esos conjuntos sea posible una de las descomposiciones . El teorema de inversion es un caso especial de un teorema mas general que se puede considerar como una extension del teorema de 1 Esto se deduce a partir del teorema de la cobertura, p.

140.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

313

las funciones implicita.s a sistemas de funciones. El teorema de las funciones implicitas (p . 274) se a plica a la soluci6n de una ecuaci6n para una de las variables . El teorema general es como sigue:

Si �(x, y, u, v, . . . , w) y 'I'(X, y, u, v, . . . , w) son funciones continua mente dijerencia bles de x, y, u, v, . . . , w, y las ecuaciones �(x, y, u, v, . . . , w)

=

0

y

'l'( x, y,

u,

v, . . . , w) = 0

son satisfechas por un cierto conjunto de val ores Xo, yo, uo, vo, . . . , wo y si, ademas, el jaco biano de � y 'I' con respecto a x y a y es dijerente de cero en ese punto (es decir, D = �x'l'y - �y'l'x :::;t:- 0), entonces, en la vecindad de ese punto las ecuaciones � = 0 y 'I' = 0 pueden resolverse de una, y s6lo una manera para x y y, y esta soluci6n da a x y a y como funciones continua mente dijerencia bles de u, v, . . . , w . La demostraci6n de este teorema es semejante a l a del teorema de inversion anterior . A partir de la hip6tesis de que D 7= 0 puede con­ cluirse que en el punto en cuesti6n no se anula alguna derivada par­ cial , digamos �x = 0. Por el teorema principal de la p. 274, si se res­ tringen x, y, u, v, . . . , w a intervalos lo suficientemente pequeiios alrededor de xo, Yo, uo, vo, . . . , wo, respectivamente, se puede resolver la ecuaci6n �(x, y, u, v, . . . , w) = 0 en exactamente una forma, para x como una funci6n de las otras variables; esta soluci6n x = X(y, u, v, . . . , ·w) es una funci6n continuamente diferenciable de sus ar­ gumentos y tiene Ia derivada parcial Xy = - �yf�x- Si se sustituye esta funci6n x X(y, u, v, . . . , w) en 'I'(X, y, u, v, . . . , w), se obtiene una funci6n 'l'(x, y, u, v, . . . ' w) = x(y, u, v, . . . ' w) , y =

De aqui, en virtud de la suposici6n de que D :::;t:- 0, se ve que Ia de­ rivada XY no es cero. De donde, si se restringeny, u, v, . . . , w a inter­

valos alrededor de Yo, uo, vo, . . . Wo contenidos en los intervalos a los

cuales fueron previamente restringidas , se puede resolver la ecuaci6n x = 0 en exactamente una m anera para Y como una funci6n de u, y, y esta soluci6n es continuamente diferenciable. Sustituyen. . . , w, expresi6n para y en Ia ecuaci6n x = X(y, u, v, . . . , w), se en­ esta do cuentra x como una funci6n de u, v, . . . , w. Esta soluci6n es unirn y continuamente diferenciable , sujeta a Ia restricci6n de tener x, y, u, v, . . . , w en intervalos lo suficientemente pequeiios alrededor de xo, yo, uo, Vu, · · · , wo, respectivamente .

Introduccion a l calculo

314

y

a l analisis matematico

Ejet·cicios 3 .3£ 1.

c:Cuales de los siguientes sistemas de ecuaciones pueden resolverse para

x, y como funciones continuamente diferenciables de las variables restan· tes, cerca de los puntos indicados?

- eY cos v + w 0 x cosh w - u sen h y - v2 = cosh 1 X = 1, y = 0, U = 0, V = 0, W = 1 (b) u cos x - v sen y + w 2 = 1 cos (x + y) + v = 1, X = 0, y = 1tj2, U = 1, V = 1, W = 1 (c) x2 + y2 + u 2 - v = 0 x2 - y2 + 2u - 1 = 0 x=y= u=v=1 (d) cos x + t sen y = 0 se n x - cos ty = 0, X = 1t, y = 1tj2, t = 1.

(a) ex sen u

=

g . Construcci6n alternativa de la aplicaci6n inversa por

metodo de las aproximaciones sucesivas

e�

En I a demostraci6n anterior el problem a de invertir una apli· caci6n se redujo al c aso unidimensional y, por ultimo , al hecho elemen tal de que las aplicaciones proporcionadas por funciones, mon6tonas con tinuas de una sola vari able pueden invertirse. �ta hilaci6n del argumento tiene dos caracteristicas indeseables . Nos vemos forzados a distinguir c asos diferentes que conducen a reso· luciones bastante diferentes (digamos, para �x -F. 0 y �x = 0), los cuales no corresponden a c am bio radical alguno en el c aracter de la transformaci6n original . Ademas , la demostraci6n de la existencia no es constructiva; no proporciona un esquema numerico practico para invertir las aplicaciones . Estas dos c aracteristicas objetables no se presentan en el metodo de interacci6n o de aproximaciones sucesivas, que si �uen el patron de los metodos numericos dados en el Volumen I (p . 502) p ara I a soluci6n de ecuaciones p ara una sola c antidad des­ conocida . La idea basica es I a de aplicar correcciones sucesivas a una soluci6n aproximada , donde las correcciones se determinan a partir de las ecuaciones lineales que aproximen mejor la relaci6n funcional en una vecindad de un pun to . Consi derense nuevamente las ecuaciones ·

(3 5a)

u = �(x, y), v = 'I'(X, y),

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

315

donde � y 'I' son funciones continuamente diferenciables e n un con­ junto abietto R del plano x, y. Sea (xo, yo) u n punto de R en el cual el jacobiano �X �y (35b) \jlX \jl y

I

I

' tiene un valor diferente de cera , y sea (uo, vo) la imagen de (xo, y0) bajo la aplicaci6n (35 a) . Se desea demostrar que , para (u: v) lo su­ ficientemente proximo a (uo, vo) , existe un valor (x, y) determinado de modo unico , cerca de (xo, yo) , p ara el cual u = �(x, y) y v = 'I' (X, y) . Para obtener la soluci6n se usara un esquema de iteraci6n iden­ tico al usado para las funciones de una variable y que se discuti6 en el Volumen I (p. 502) , en una notaci6n apropiada para el caso bi­ dimensional . Introduci mos los vectores U = (u, v), X = (x, y). La aplicaci6n (35 a) puede escribirse de manera concisa en la forma

U = F(X),

(35c)

donde F es la transformaci6n no lineal que aplica el vector con componentes x, y sabre el vector con com ponentes �(x, y), 'I'(X, y) . Las diferenciales dx, dy y du, dv satisfacen las relaciones lineales (ver la p. 7 7 ) du = d� = �x dx rj>y dy (35d)

+

dv = d\jl = 'l'x dx + \jl y dy.

(35e)

Si se combinan las diferenciales en los vectores dX = (dx, dy), dU = (du, dv), l as relaciones (34d, e) pueden escribirse 1 como

dU = F' dX

(35f)

,

donde F' es la matriz cuadrada formada a partir de las primeras derivadas de las funciones de aplicaci6n

(

)

�y F' = �X . \jlX \jl y

(35g)

dX

1 Es mejor interpretar (35£) como una refaci6n entre las tres matrices d U, F', y a d U con las matrices con dos filas y una sola columna: iden tificando a ver la p . 1 89

. dV = (du) dv '

dX,

316

Introducdon a l calculo

y

a l analisis matematico

Obviamente, la matriz F' desemPeiia el papel de !a derz'vada de la funcion vectorial de aplicacion F. El determinante de F' es preci: samente el jacobiano (35b ) de Ia aplicaci6n. 1 Generalmente

se es•

cribira F' = F'(X) para hacer hincapie en la dependencia de Ia matriz F' con relaci6n al vector X = (x , y) . Para una aplicad6n lineal la matriz F' es constante. La "magnitud" de los elementos de la matriz F' limita cuanto puede amplificar las distancias la matriz F . T6mense dos puntos (x, y) y (x + h, y + k) tales que el segmento rectilineo que los une se ,

encuentre por completo en el dominio de la aplicaci6n . Por el

teorema del valor media para l as funciones de varias variables (p. 95).

if>(x + h, y + k) - if>(x, y) = if>xh + if>yk,

(36)

'lf(X + h, y + k)

-

'lf(X, y) = 'lfxh + 'lfyk,

donde los valores de las primeras derivadas se taman en puntos apropiados del segmento que une (x , y) y (x + h, y + k) .2 Denotemos por M una cota superior para las cantidades tomadas en todos lo puntas del segmento que une a (x , y) con (x + h, y + k) . Entonces , obviamente, la distancia entre los puntas imagen puede estimarse por media de (36a)

�(if>(x

+

h, y + k) - if>(x , y)) 2 + ('I'(X + h, y + k) - 'If( X, y)) 2

� �(M i h l + 1 M i k) 2 + (Mi h l + 1 M i k)2 = �2 M( l h l + l k l ) � 2M .../h z + k z.

,

Por tanto, la distancia entre los puntas imagen es cuando mas 2M veces Ia distancia entre los originales . Introduciendo el vector Y = ( x + h, y + k) se puede escribir (36a) en la forma de una condici6n de Lipschitz p ara la aplicaci6n F :

1 A menudo se da el nombre de matriz jacobz'ana o derivada de Frechet de la apli· caci6n a F' ·

2 Generalmente se tiene que usar un punto intermedio diferente en la primera y en la segunda ecuaci6n.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

(36b)

317

I F(Y) - F(X) I � 2M I Y - X I ,

donde M es una cota superior para los valores absolutos de los ele­ mentos de la m atriz F'. 1 En notaci6n matricial l as ecuaciones (36) se convierten en

(36c)

F(Y) - F(X) = H(X, Y) (Y - X) ,

donde la matriz H satisface

(36d)

lim H(X, Y) = F'(X). Y-+X

·

Considerese ahora la aplicaci6n U = F(X) en una vecindad

(37a)

I X - Xo l < o

del punto Xo = (xo, yo) en el dominio R de F. Sea Uo = F(Xo) = (uo, v0) . Para un U fijo escribase la ecuaci6n U = F(X), la cual debe resolverse para X , en la forma

(37b)

X = G(X),

don de

(37c)

G(X) = X + a(U - F(X)) ;

aqui a represent a una m atriz constante no singular, elegida apro­ piadamente , la cual tiene una redproca a- 1 • Entonces, la ecuaci6n (37b) es equivalente a a(U - F(X)) = 0, la cual, multiplicando por a-1 , da

a-1a(U - F(X)) = e(U - F(X)) = U - F(X) = 0,

donde e es la matriz unidad. De donde , cualquier soluci6n X de (37b) - es decir, cualquier punto fi}o de la apUcaci6n G- proporciona una soluci6n de U = F(X). Se demostrara que una soluci6n X de (37b) esta dada por el limite de los Xn d� finidos por la formula de recurrencia (37d)

Xn+ 1 = G(Xn)

(n = o; 1, 2 ,

.

. . ),

1Para las aplicaciones F en n dimensiones sedebe remplazar el factor 2 en (36b) por n.

318

Introduccion a l calculo

y

a l analisis matematico

siempre que la matriz G' ( X) que representa la derivada de la apli� caci6n vectorial G tenga una magnitud lo suficientemente pequeiia. Mas precisamente, se requiere que, para todo X en la vecindad (37a) de Xo el elemento maximo de -la m atriz G' sea menor que 1/4 en valor absoluto y que 1 I G(Xo) - Xo l < 2 8. ,

Primero se probara por induccion que , b ajo las hipotesis ·esta· blecidas , la formula de recurrencia (37d) solo conduce a vectores que satisfacen (3 7 a ) . De esta manera se asegura que los Xn se encuentran en el dominio de G, de modo que la sucesion puede continuarse in· definidamente. De (36b) se encuentra , con M = t . que 1 • s: (37e) I G(Y) - G(X) I � 2 I Y - X I para I X - Xo l < 8, I Y - Xo l < u.

Ahora bien . . la desigualdad (37a) es satisfecha trivialmente por X = X0• Si se cumple para X = Xn, se encuentra , para el vector Xntl definido por (37d) , que I Xn+l - Xo l � I Xn+l - X1 l + I X1 - Xo l = I G(Xn) - G(Xo) l 1 1 + I G(Xo) - X o I � 2 I X n - X o I + 2 8

Esto prueba que I Xn - Xo I < 8 para toda n . Para ver que los X n convergen observese que , por (37e), I Xn+ l - X� l = I G(Xn) - G (Xn-1) 1 �

Por el mismo razonamiento ,

1 I Xn-1 - Xn-2 1 � 2 I Xn-2 y

�

_;_

<

.!

8.

I Xn - Xn- 1 1 .

Xn-a l ,

asi sucesivamente. Estas desigualdades en conjunto conducen a la estimaci6n

(37f)

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

319

Entonces, se concluye la existencia de · X = lim Xn escribiendo X n�oo como la suma de una serie infinita

X = Xo + (XI - Xo) + (X2 - XI) +

•

•

•

+ (Xn+I - Xn) +

•

·

· ,

cuya convergencia se establece a partir de (37f) por comparaci6n (ver el Volumen I , p . 5 2 1 ) con una serie geometrica convergente . Que X es una soluci6n de (37b) se deduce inmediatamente de (3 7d) cuando n � oo, aplicando la continuidad de G(X). Por su definicion (37c), la funcion G depende continuamente no solo de X sino tambien del vector U. Entonces, los X n obtenidos sucesivamente por medio de la formula de recurrencia (37d) tam bien dependen continuamente de U. l Dado que la serie geometrica usada en la comparacion que establece la convergencia de X = lim Xn no

n�oo

depende de U, se concluye que X es un limite uniforme de funciones continuas de U y de aqui que el mismo es una funcion continua de U. Ademas, es evidente que I X - Xo I � 8, dado que I Xn - X I < 8 p ara toda n. Si existiera una segunda soluci6n Y, con Y = G(Y) y I Y ­ X 0 I � 8, de (37 c) se encontraria que

I Y - X I = I G(Y) - G(X) I �

·

� IY - XI

y, de aqui, que I Y - X I = 0 Y Y = X. De esta m anera se establece la existencia, unicidad y continuidad de una solucion X de Ia ecuaci6n U = F(X), para la cual I X - Xo I � 8, siempre que el vector G d e'rinic:lo por (37c) tenga una derivada G' con elementos menores que t en valor absoluto para I ,X - Xo I � 8 , y siempre que

I G(Xo) - · Xo l

<

2 8. 1

Se ve con facilidad que se pueden satisfacer los requisitos para todo U lo suficientemente proximo a U0 , eligiendo apropiadamente la matriz a . Por (37c) ,

G'(X) = e - aF'(X),

donde

e

es la m atriz unidad. Entonces, p ara X = Xo,

G'(Xo) = e - aF'(Xo) = 0 ,

'1Aqui se aplic a el hecho de que funciones continuas de funciones continuas son tam­ bien continuas.

320

Introduccion al calculo

si se elige como

a' la

y

al analisis matematico

matriz reciproca a la matriz F'(Xo) :

a = (F'(Xo))-1• (La existencia de esta redproca se deduce a partir de la hip6tesis basica de que la matriz F'(Xo) tiene un determinante que no se anula1 es decir , que el jacobiano de la aplicacion F no se anula en el punto X0). Con base en la continuidad supuesta de las primeras derivadas de la aplicacion F , se concluye que G'(X) depende continuamente de X ; de a qui que los elementos de G'(X) son arbitrariamente pequeiios (por ejemplo, menores que f, ) para I X - Xo I , lo suficientemente pequefio , digamos, para

I X - Xo l � o ; ademas , por (37c),

1 I G(Xo) - Xo l = l a(U - F(Xo) l = l a(U - Uo) l <2 o, siempre que U este en una vecindad lo suficientemente pequeiia de

Uo. Esto completa la demostraci6n para la existencia local de una in· versa continua de una aplicacion continuamente diferenciable con jacobiano que no se anula . La existencia y continuidad de las pri· meras derivadas de la aplicaci6n inversa se deducen facilmente de las formulas (36c, d) . Sea U = F(X), donde se supone que la matriz jacobiana F'(X) es no singular . Entonces todo V lo suficientemente proximo a U es de la forma V = F(Y) , donde Y tiende a X cuando V tiende a U. De aqui que , para V lo suficientemente proximo a U , la matriz H(X, Y) tam bien es no singular. Entonces se encuentra que Y - X = (H(X, Y)) 1 (V - U) -

= (F'(X)) - 1 (V - U) + E(X, Y) (V - U) donde lim E(X, Y) = lim E(X, Y) = y .. u

y .. x

0.

Empero , est a relaci6n expresa precisamente que el vector X que satisface U = F(X) es una funci6n diferenciable del vector U, Y que la matriz j acobiana de X c.on respecto a U es la reciproc a de

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

321

la matriz F'(X). Obvi amente, . puede aplicarse Ia misma construe­ cion de Ia inversa , · por medio de interacci6n o aproxirnaciones suceszvas, a aplicaciones ·en cualquier numero de dimensiones . Ejercicios 3 . 3g 1.

Obtener la aproximaci6n iterativa de u =

2.

1

2

(x2, y 2) para

( 2x - y 2), v = xy

la transform aci6n inversa .·

aplicando ( 37d) a una vecindad de X = (1, 1) , o bien , U = (0, 1). Comparar el resultado del ejercicio anterior con los desarrollos de Taylor de x y y hasta el segundo orden en la vecindad de u = 1, v = 1.

h. Funciones dependientes Si el jacobiano D se anula en un punto (xo, yo), no puede hacerse proposici6n general alguna acerca de Ia posibilidad de resolver las ecuaciones (33a) en la vecindad de ese punto. Incluso si se tiene que las funciones inversas existen , estas no pueden ser diferenciables, por­ que entonces el producto d(u , v) d(x, y)

d(x, y) d(u, v)

se anulari a , mientras que por lo expuesto en la p . 306 debe ser igual a 1 . Por ejemplo , las ecua ciones u = x3 ,

v=y

se pueden resolver de modo unico en l a forma

x = �u.

y = v,

aunque el jacobiano se anula en el origen; pero la funci6n �u no es diferenciable en el origen . Por otra p arte , las ecuaciones

u = x2 - y2,

v = 2xy

no se pueden resolver de modo unico en la vecindad del origen, dado que los dos puntos (x, y) y ( - x, - y) del plano x, y, corresponden al mismo punto del plano u, v.

322

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Si el jacobiano se anula i denticamente� no solo en el pun to (xf y) sino en todo pun to de una vecindad cornpleta de (x, y), entonces se dice que la transformacion es degenerada. En este caso , se puede demostrar que las funciones

u = �(x, y)

y

V = 'JI(X, y)

son dependientes, en el sentido de que una de elias es una funci6n de la otra . 1 Primero se considerara el caso trivial en el que las ecua· ciones �x = 0 y �Y = 0 se cumplen en todo punto, de modo que la funcion ,P(x, y) es una constante . Entonces se ve que mientras que el punta (x, y) varia sobre toda una region, su imagen (u, v) permanece siempre sobre la recta u � constante. Es decir, una region se aplica en una sola recta, en lugar de sobre otra region, de modo que no existe posibilidad de una aplicacion biunivoca entre dos regiones bidimensionales . Surge una situacion semejante en el caso general en el que al menos · una de las derivadas �x o �Y no se anula pero el jacobi ano D aun es cero . Supongase que en un punto (xo , y0) de la region bajo consideracion se tiene �x =1= 0. Entonces es posible resolver la primera ecuaci6n para x en la forma x = X(u, y) y escribir v = 'JI(X(u, y), y) = x(u, y), precisamente como en la p . 309 , porque alli solo se hizo uso de la suposicion de que �x =I= 0. No obstante , en virtud de (34j) y la ecuaci6n D = 0 , XY deb� ser identicamente 0 en la region donde ?r;; =1= 0 ; esto es, la cantiad x = v no depende de y en lo absoluto y v es una funcion unicamente de u . Entonces , se concluye que si el ja· cobiano de la transformacion se anula identicamente, una region del plano x, y es aplicada por medio de la transformaci6n sobre una cur· va en el plano u, v, en lugar de sobre una region, porque en un cierto intervalo de valores de u solo un valor de v corresponde a cada valor de u. Asi , si el jacobiano se anula identicamente, l as funciones no son independientes ; es decir, existe una relacion

F(cp , 'I') = 'I' - x(cp) = o que es satisfecha por todos los sistemas de valores (x, y) en la region. Reciprocamente, si existe una curva en el plano u, v sobre la cual se aplica la region del plano x, y, entonces, para todos los puntos de es· ta region el jacobiano D = �x'Jiy - �y'Jix debe anularse identicamente, 1

La anulaci6n del jacobiano tam bien es equivalente a la dependencia de los vectores

(rfix, rpy) y ('lfx, 'lfy) formados por las primeras derivadas de las funciones de aplicaci6n.

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

323

ya que es obvio que la aplicaci6n no se puede invertir en una vecin­ dad completa de un punto . Obvi amente, el caso excepcional que se discuti6 por separado al principia est a incluido en esta proposici6n general . La curva en cues­ ti6n es precisamente la curva u = constante , la cual es paralela al eje v.

Un ejemplo de una transformaci6n degenerada es � = X + y,

En esta transformaci6n todos los puntos del plano x, y se aplican sobre los puntos de la parabola 11 = � 2 en el plano �' 11 . Invertir la transformaci6n esta fuera de la cuesti6n, porque todos los puntos de la recta x + y = constante se aplican sobre un solo punto (� , Tt) . Como se puede verificar facilmente , el valor del jacobiano es 0. La relaci6n entre las funciones � y 11, de acuerdo con el teorema general , esta dada por la ecuaci6n F(�, 11) = � 2

-

YJ

= 0.

Ejercicios 3 .3h 1 . Dar un ejemplo de una pareja de funciones continuamente diferenciables � = f(x, y), 'YJ = g(x, y) que sean independientes en una region y no in­ dependientes en otra. 2 . Probar que si !; = ax + by + c y 'YJ = cx x + �y + y son dependientes, las rectas � = 0 y 'YJ = 0 son paralel as.

i. Observaciones finales La generalizaci6n de la teoria al c aso de tres o mas variables in­ dependientes no presenta dificultades particulares . La diferencia principal es que en Iugar del determina nte D de dos filas se tienen determinantes con tres o mas filas . En el caso de transformaciones con tres variables independientes ·� = (>(x, y, z),

11

=

'I'(X, y, z),

s

g(�, 11 , s),

Y

=

h(�, 11, s),

z = z<�. 11 , s> ,

x

=

el jacobiano esta dado por l a ecuaci6n

=

x(x, y , z),

324

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

�)

d(�, Tt , = D= d(x, y, z)

�X

'Vx

Xx

�Y

\jl y

XY

'Vz

Xz

De ta misma manera , para las transformaciones

�i

=

�i(Xl, X2, .

. , X n)

(i = 1, 2, .

.

.

, n)

con n variables independientes, el jacobiano es

?�_!

a�'!._ axl ' axl '

d(�l, � 2 , , �n) d(xl ,-x;,-.-·,--xJ .

.

•

..

=

a�J. ax2

�� � axn

?�� ax 2

'

'

'

a� 2__ ax n '

,

a�r�,_ axl

.,

at)n_ ax2

.

� . , ? !!:. ax n

Para mas de dos variables independientes aun se cumple que cuando se componen las transformaciones sus jacobianos se multiplican entre si . En simbolos ,

d(�l, �2, d(T) I, T)2, . •

. , �n) . , T} n)

d(T} I , T)2, . d(X!, X2, .

Tt n) _ ll(�l , �2, .__.�) . , X n) - d(XI , �2, . . . , X n) . · ,

En particular , el jacobiano de Ia transformaci6n inversa es el reel· proco del jacobiano de Ia transformaci6n original . Los teoremas acerca de I a resoluci6n y composici6n de transformaciones . acerca de Ia inversion de una transformaci6n Y acerca de Ia dependencia de las transformaciones, siguen siendo validos para tres o mas variables independientes. Las demostraciones son semejantes a l as del caso n = 2 ; para evitar Ia repetici6n inne· cesaria; se omiten. Lo mismo se cumple para Ia construcci6n de la aplicaci6n inversa por el metodo de iteraci6n . En Ia seccion precedente se vio que , en muchos aspectos, el com· portamiento de una transformaci6n general se semeja al de una trans· formaci6n afin , y que el j acobiano desempeiia el mismo papel que el determinante en el caso de una transformaci6n afin . La observaci6n que sigue aclarara aun mas esto. Dado que las funciones � = �(x, y) y

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

32 5

11 = 'JI (X, y) son diferericiables en Ia vecindad de (xo , yo), se pueden expresar en Ia forma =

� - �o

11 - 11o

=

(x - xo)�x(Xo, Yo) + (y - yo)�y( Xo, yo)

+ E �(x - xo)2 + (y - Yo) 2 ,

(x - xo)'Jix(Xo , Yo) + (y - Yo)'Jiy( Xo , yo)

donde E y 8 tienden a cero con

+ 8 �(x - xo)2 + (y - Yo) 2 ,

Esto demuestra que para valores lo suficientemente pequeiios de I x - xo l y I Y - yo ! , Ia transformaci6n se puede representar en forma apro ximada por medio de Ia transformaci6n afin

�

=

�o + (x - xo)�x( Xo , Yo) + (y - yo)�y( Xo , yo),

11

=

11o + (x - xo) 'V.r(xo , yo) + (y - yo)'Jfy(xo , yo),

cuyo determin ante es el jacobiano de Ia transformacion original . Ejercicios 3 .3i 1.

Evaluar o(�. (a) ;

'fJ

()

= e .r

'YJ ,

p) / o (x, y, z) para cada uno de los casos que siguen:

cos y cos z cos y sen z e x sen y

= ex =

(b) � = cos (x + y) + cos (y + z) 'fJ = cos (x + y) + sen (y + z) p = sen (x + y) + cos (y + z) (c) � = cosh x + log y 'fJ = tanh y - senh z p = X - y�

(d) �

(e)

=

'fJ 9

=

'fJ p

=

�

x cos y sen z x sen y sen z

= X

= X =

2. Defi n i r

COS

Z

COS y

x sen y

z.

Ia dependencia de las funciones

�

=

f(x, y,

z),

'fJ =

g(x, y,

z),

p

326

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

= h(x, y, z ) , en una regi6p. Generalizar los resultados de Ia Seccion h para este caso . 3 . �Cu�iles de l as ternas de funciones datl
�=x+y+z l'J x2 + y2 + z2 � = xy + yz + zx. =

5.

Una inversion en tres dimensiones se define por medio de l as formulas

�

=

X

x 2 + y 2 + z2

'

l'J =

y Z x 2 + y 2 + z2 � = x 2 + y a + z2 · '

(a) Probar que no se altera el angulo entre dos superficies cualesquiera. (b) Probar que las esferas se transforman en esferas, o bien, en pianos. (c) Encontrar el jacobiano de la transformaci6n.

3.4 a.

Aplicaciones

Elementos de la teorl:a de superficies

Para las superficies, como para l as curvas, con frecuencia se prefiere la representaci6n p arametrica a otros tipos de representa· ci6n. Para l as superficies se necesitan dos p arametros en I ugar de uno ; los denotaremos por u y v. Una representaci6n p arametrica se puede expresar en Ia forma

(39a)

x = t)(u, v), y

=

'lf(u, v),

z = x(u, v),

donde t), "'' y X son funciones dadas de los parametros u y v y el punto (u, v) varia sobre una region R en el plano u, v. Entonces, el punto correspondiente con las . tres coordenadas rectangulares (x, y, z) varia sobre un conjunto en el espacio x, y, z. Tipicamente , este conjunto es una superficie , Ia cual se puede representa r en Ia forma explicit a z = f(x, y), porque posiblemente se puedan resolver dos de las tres ecuaciones para u y v en terminos de las dos coordenadas rectan­ gulares cQrrespondientes. Si en la tercera ecuaci6n se sustituyen las expresiones encontradas para u y v, se obtiene una representaci6n no simetrica de la superficie z = f(x, y).1 De a qui que con el fin de 1 Realmente

este es un caso especial de la forma parametrica, como se ve poniendo

¥ = u y y = v.

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

327

asegurar que las ecuaciones en realidad representan una superficie, solo se tiene que suponer que los tres jacobianos (39b)

'Vu

'Vv

Xu

Xv

Xu

Xv

fJu

r/Jv

\jl u

'Vv

no se anulan al mismo tiempo ; en una sola formula , se requiere que (39c)

(r/J u'Vv - rfiv\jlu)2 + ('VuXv - 'VvXuP + (Xur/Jv - Xvr/Ju)2

>

0.

Entonces , en alguna vecindad de cada punto en el espacio , represen­ tado por ( 39a) , sin duda es posible expresar una de las tres coor­ denadas en terminos de las otras dos . Resulta ventajoso remplazar las tres ecuaciones en la represen­ tacion parametric a (39a) por una sola ecuacion vectorial (40a)

X

=

(u , v) ,

donde X = (x, y, z) es el vector de posicion de un punto de la super­ ficie y <1> denota al vector

(u , v) = (rfi(u , v) , \jl(u, v), x( u ,

v)) .

cada punto de la superficie con parametros u, v se pueden formar las derivadas parciales del vector de posicion

En

(40b)

X u = (r/>u, \jlu, Xu)

y

Xv = (rfiv, 'Vv, Xv).

Entonces la diferencial total del vector X es [ ver la formula ( 1 5b ) , p .

771 .

(40c)

dX = (dx, dy, dz) = Xu du + Xv dv.

Los tres determinantes (39b) son precisamente los componentes del producto vectorial Xu x Xv de los vectores X u . Y Xv (ver la p. 22 1 ) . L a expresion a la izquierda e n (39c) representa el cuadrado de la longitud del vector Xu X Xv, de modo que la condicion (39c) es equivalente a (40d)

Xu

X

Xv -=/= 0 .

Por ejem plo , Ia superficie esferica x2 + y2 + z2 = r2 de radi o r se representa parametricamente por medio de las ecuaciones

328

(40e)

Introduccion al calculo

x

=

y

al analisis matematico

r cos u sen v,

y = r sen u sen v,

z

=

(0 � u < 21t ,

r cos v 0 � v � 1t) '

donde v = e es Ia "inclinaci6n polar" y u = rj> es Ia "longitud" del pun to sobre Ia esfera (ver Ia p. 250). Este ejem plo pone de manifiesto una de las ventajas de la re­ prese ntaci6n parametrica . Las tres coordenadas se dan explicitamen­ te como funciones de u y v, y estas funciones son uniformes . Si v varia desde 7t/2 hasta 1t, se obtiene el hemisferio inferior, es decir ,

z

=

- ,.;r2

_

x2

_

y2 ,

mientras que los valores de v desde 0 h asta n/2 dan el hemisferio supenor. Por tanto , para Ia representaci6n parametrica no es ne­ cesario , como lo es para Ia representaci6n

considerar dos ramas uniformes de Ia funci6n para obtener Ia esfera completa . Se obtiene otra representaci6n parametrica de Ia esfera por medio de la proyeccion estereografica (ver el Volumen I, p . 2 1 ) . Para proyectar Ia esfera x2 + y2 + z2 - r2 = 0 , estereograficamente desde el polo norte (0, 0, r) sobre el plano ecuatorial z = 0, se une cada punto de Ia superficie con el polo norte (N) por �edio de una recta, y a Ia intersecci6n de esta recta con el plano ecuatorial se le da el nom­ bre de imagen estereografica del punto correspondiente de Ia esfera (Fig . 3 . 1 2 ) . As! se obtiene una correspondencia biunlvoca entre los puntos de Ia esfera y los puntos del plano, excepto para el polo norte N. Aplicando geometria elemental facilmente se encuentra que esta correspondenci a se expresa por medio de las formulas (40f)

y

=

u2 + v2 + r2 '

z

=

(u2 r2)-r + v2 --� �------u2 + u2 + r2 '

donde ( u , v) son las coordenadas rectangulares del punto imagen en el plano . Estas ecuaciones se pueden considerar como una represen­ taci6n parametric a de Ia esfera , siendo los p arametros u y v las coor­ denadas rectangulares en el plano u, v. Como un ejemplo mas , se daran las representaciones parametricas de las superficies

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

- 1,

y

Figura 3 . 12

329

Proyecci6n estereografica de la esfera .

los cuales se conocen como hiperboloide de un manto e hzfterboloide de dos mantos, respectivamente (ver las Figs . 3 . 1 3 y 3 . 14). El hiper­ boloide de un manto se representa por

x = a cos (40g)

y = b sen

u

u

cosh v, cosh v,

z = c senh v (0 �

Figura 3 . 13

manto.

Hiperboloide de un

u

< 21t,

Figura. 3 . 14

mantos.

-

oo < v < + oo)

Hiperboloide de dos

330

Introduccion al dilculo

y

al analisis matematico

y el hiperboloide de dos mantas, por

(40h)

x

=

a

y

=

b sen u sen h v,

z=

u senh v,

cos

± c cosh v (0 � u

<

2n, 0

<

v < + oo).

En general , puede considerarse la representaci6n parametrica de una superficie como la aplicaci6n de la region R del plano u, v sobre la superficie correspondiente. A cada punto de la region R del plano u, v le corresponde un pun to de la superficie y, para puntos tipicos, lo i nverso tam bien se cum ple . * De la misma manera , una curva u = u(t), v = v(t) en el plano u , v corresponde, en virtud de las ecuaciones

x

=

fj>(u(t),v(t)) = x(t), .

a una curva sobre la superficie . En particular , en la representaci6n (40e) de la esfera por medio de coordenadas esfericas , los meridianos se representan por la ecuaci6n u constante y los paralelos de latitud por v = constante . Generalmente se pueden considerar esas cur�as sobre una superficie que esUin dadas por las ecuaciones u = constante o v = constante. Si en la representaci6n parametrica considerada se sustituye u, por un valor fijo definido , se obtiene una "curva en el es· pacio" o "curva alabeada" que se encuentra sobre la superficie y- que tiene a v como parametro ; se cumple tamtien una proposici 6n co· rrespondiente si se sustituye v por un valor fijo y se deja variar u . Es· tas curvas u = constante y v = constante son las curvas parametricas o lineas coordenadas sabre Ia superficie . La red de curvas para· metric as corresponde a la red de paralelas a los ejes en el plano u, v (Fig. 3 . 1 5 ) . L a tangente a la curva sobre la superficie , correspondiente a la curva u = u(t), v = v(t) en el plano u , v tiene la direcci6n del vector =

(41) Xt = (Xt, Yt, Zt)

=

(Xu du + X dv dt

)

dv du dv du Zv v dt , Y u dt + Yv dt , Zu dt + dt =

du

dv

X u dt + Xv dt

* Por supuesto, este no es siempre el caso . Por ejemplo , en la representaci6n (40e) de la esfcra por medio de coordenadas esfericas ( p . 328), los polos de la esf�ra c;orr�s· ponden a los segmentos rectilineos completos dados por v = 0 y v = n:.

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

331

z

:r.

r----- y Curvas parametricas constante, v = constante.

Figura 3 . 15

u =

(ver la p . 2 5 6 ) . En un punto dado de la superficie los vectores tan­ genciales X t de todas las curvas sobre la superficie que pasan por ese pun to dependen de los dos vectores Xu, Xv, los cuales, respectivamen­ te, son tangenciales a las lineas parametricas v = constante y u = constante que pasan por ese punto . Esto significa que todas las tan­ gentes se encuentran en el plano que pasa por el punto y es generado por los vectores Xu y Xv , el plano tangente a la superficie en ese pun­ to . La normal a la superficie es perpendicular a todas l as direcciones tangenciales , en particular a los vectores Xu y Xv. Se concluye (ver la p. 22 1 ) que la superficie normal es paralela a la direcci6n del pro­ ducto vectorial (42)

Xu

X

Xv = (y uZv - YvZu , ZuXv - ZvXu, XuYv - XvYu).

Una de las herramientas m as importantes para la investigaci6n de las propiedades de una superficie dada es el estudio de las curvas que se encuentran sobre ella . A qui solo se dara la expresi6n para s, la longitud de arco de tal curva . Como se mencion6 en la p . 257 (ver tambien el Volumen I , p . 353)

(ds) (dtdx) + (ddt ) + (didz) 2

dt

2

=

y 2

2

= Xe • Xt ,

de modo que , en vista de l as ecuaciones (4 1 ) , se obtiene

332

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

( �-¥ + xt, �ff + (Yu �¥ + Yv �rr + (zu �i- + zv ��r 'd u 2 u 2 = E (du) + 2F du d + dt dt dt tlli ) .

= xu

G

Aqui los coeficientes E, F, G, las cantidades gaussianas funda·men­ tales de la superficie , est an dadas por

(i!_au�) 2 + (au�y_ ) 2 + (?�) = Xu Xu au ax ax ay ay az az F= + -- - + - -- - = Xu · Xv au au au au au au ax 2 az 2 ay 2 = ( ) + ( ) + ( ) = Xv Xv. au �iv a-u 2

E=

(44a)

•

•

(44b)

--

G

(44c)

•

Estas cantidades dependen de la propia superficie y de su represen­ taci6n parametrica y no de la elecci6n particular de la curva sobre la superficie . Por lo comun , la expresi6n (43) para la derivada de la longitud de arco s con respecto al parametro t se escribe simb6li­ camente sin hacer referencia al parametro usado a lo largo de la cur­ va . Se dice que el elemento lineal ds esta dado por la forma cua­ dratica diferencial ("form a fundamental")

ds2 = E du2 + 2F du d u +

(45)

La longitud del producto cruz Xu minos de E, F, G como (ver la p. 2 2 2 )

X

G

d u2•

Xv puede expresarse en ter­

Por tanto , la hip6tesis original (39c) o (40d) , acerca de la represen­ taci6n parametrica , puede enunciarse como la condici6n

EG - F2 > 0

(46)

para las cantidades fundamentales . Los cosenos directores para una de l as dos normales a la superficie son las componentes del vector unitario

l Xu

1

X

Xv l

Xu

X

1 X v = -/ G E - F2 Xu

X

X v.

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

333

De (42 ) se deduce que la normal para una superficie representada parametricamente tiene los cosenos directores YuZ v - Y vZu

(47) cos a = -J EG

_

A F2 , cos ..,

La tangente a una curva tiene la direcci6n del vector Xe

=

_

-

u

1

du

Xu dt

XuY v - X vYu

ZuXv - Z vXu

-JEG

_

=

u(t), v

+

Xv

F2 , cos y = -JEG ...,... F2

v(t) sobre la superficie

=

dv . dt

Si ahora se considera una segunda curva u = u('r), v = v(t) sobre la superficie , referida a un parametro t, su tangente tiene la direcci6n del vector Xt = Xu

du dt

+

Xv

dv dt .

Si las dos curvas pasan por el mismo punto sobre la superficie , el coseno del angulo de intersecci6n ro es igual al coseno del angulo en­ tre los vectores Xe y Xt. De aqui que (ver Ia p. 1 65).

A qui

du du - E dt dt

_

+

(

F du dv dt dt

+

)

du dv dt dt

+

0 dv dv . dt dt

Consecuentemente , el coseno del angulo entre l as dos curvas sobre la superficie esta dado por

(48)

cos ro

=

La aphcacz"6n de una region plana sa bre otras se puede considerar como un c aso especial de representaci6n parametrica , porque si Ia

334

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

tercer a de l as funciones dadas en (3 9 a ) , x(u, u) , se anula para todos los valores de u y v bajo consideraci6n , l as ecuaciones simplemente representan la aplicacion de una region del plano TJ, , u sobre una region del plano y; o b ien, si se prefiere pensar en terminos de transformaciones de coordenadas , l as ecuaciones definen un sistema de coordenadas curvilineas en la region u, u y l as funciones inversas (si existen) definen un sistema u, u curvilineo de coordenadas en la region plana y . En terminos de las coordenadas curvilineas (it, u), el elemento lineal en el plano x, y es sencillamente ver (44 a , b , c )

x,

x,

don de (49a) (49b)

ds2 = E du2 + 2F du du + G du2, +

(ax)z (ay)z au au ' ax ax + ay ay F= au au au au '

E=

(49 c)

Como un ejemplo m as de la representacion de una superficie en forma p arametrica , considerese el arganeo o toro. Este se obtiene hacienda girar un circulo alrededor de una recta que se encuentra en el plano del circulo y que no se intersecta con el (ver Ia Fig . 3 . 1 6) . Tomese el eje d e rotacion como e l eje z y elijase e l eje y d e t al manera que pase por el centro del circulo , cuya coordenada y se denota por a. Si el radio del circulo es r < I a I , se obtiene X = 0, y - a = r COS 9,

Z

= r sen 9 (0 � 9

< 21t)

como una representaci6n parametrica del circulo en el planO' y, z . Ahora bien , hacienda que el circulo gire alrededor del eje z se en­ + y 2 permanece cons­ cuentra que , para cada punto del circulo x2 tante; es decir , x2 + y z = (a + r cos 9) 2 • Si � es el angulo de rotaci6n alrededor del eje z, se tiene

x = (a + r cos 9) sen ¢,

y = (a + r co s 9) cos ¢, z = r sen 9

(O � ¢ < 21t, o � 9 < 21t)

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

335

z

y

Figura 3 . 16 Generaci6n de un toro por la rotaci6n de un circulo.

como una representaci6n parametrica del toro en terminos de los parametros e y � · En esta representaci6n el toro aparece como la imagen de un Cuadrado de lado 21t en eJ plano 0, rfi, donde cualquier pareja de puntas frontera que se encuentre sabre la misma recta e = constante o ¢ = constante corresponde a solo un punta de la super­ ficie , y las cuatro esquinas del cuadrado corresponden al mismo pun­ to . Para el elemento lineal sabre el arganeo se tiene , por (44a, b , c) y (45 ) ,

Ejercicios 3 .4a 1 . Calcular e l elemento lineal (a) sobre la esfera x = cos

u

sen

v,

y = sen

u

sen

z = cos

v,

v;

(b) sobre el hiperboloide x

= cos

u

cosh

y = sen

v,

u

cosh

v,

z

= sen h

v;

(c) sobre la superficie de revoluci6n dada por r =

..;x 2 + y 2 = {(c) ,

usando las coordenadas c ilindricas z y 6 = arc tan (yfx) como coor­ denadas sobre la superficie ; (d) sobre la cuadrica ta = constante de la familia de cuadricas confocales dada por

336

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

xz yz z2 a - t + b - t + -c - t - 1'

--

--

usando h y tz como coordenadas sobre la cuadrica (ver el Ejercicio 9, p. 256). 2 . Encontrar las cantidades fundamentales de Gauss para l a catenoide x = a cosh (t/a) cos (6/a), y = a cosh (t/a) sen (6/a), z = t; demostrar que E - G = F = 0. 3 . Para la superficie x = u cos v, y = u sen v, z = rx u + [3, rx, f3 = constan­ te , demostrar que las imagenes de las rectas u = constante, v = constan­ te son ortogonales. 4 . �Cual es la forma fundamental que da el elemento lineal para una superficie dada por una ecuaci6n z = f(x, y)? 5 . Pro bar que si se introduce un nuevo sistema de coordenadas curvilineas r, s sohre una superficie con parametros u, v , por medio de las ecua­ Clones entonces

u = u(r, s),

E'G' -

v = v(r, s),

{

}

d(u, v) 2 F'2 = (EG - pz) d(r, s)

'

don de E', F', G' denotan las cantidades fundamentales tomada�. con respecto a r, s y E, F, G las tomadas con respecto a u, v. 6 . Sea t una tangente a una superficie S en el pun to P y considerense las secciones de S formadas por todos los pianos que contienen a t. Probar que los centros de curvatura de las diferentes secciones se encuentran sobre un circulo. 7 . Si t es una tangente a la superficie S en el punto P, a la curvatura de la secci6n plana normal que pasa por t ( es decir , la seccion que pas a por t y la normal) en ese punto se le da el nombre de curvatura k de S en la dz"re ccz"6n t. Para cada tangente en P t6mese el vector con la direcci6n ·

de t, punto inicial P y longitud 1/v'li. Probar que los puntos finales de es­ tos vectores se encuentran sobre una c6nica . 8 . Se da una curva como la intersecci6n de las dos superficies

xz + yz + z2 = 1 2 ax + by2 + cz2 = 0 Encontrar las ecuaciones de (a) la tangente, (b) el plano osculador , en cualquier punto de la curva. 9 . Si las coordenadas (x, y, z) de un punto sobre una esfera estan dadas por las ecu aciones (ver la p . 297 )

x = a sen e

c

os ¢> ,

y = a sen e sen , z = a cos e, demostrar que las dos curvas de los sistemas e + ¢> = e - ¢ = [3 , las cuales pasan por cualquier punto (6, ¢), se cortan entre si formando el angulo arc cos {(1 - sen 2 8)/(1 + · sen 2 8)} (ver la p . 334 ) . rx ,

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

387

Demostrar que el radio de curvatura de cualquiera de las dos curvas es igual a a(l + sen 2 6)31 2

(5 + 3 sen2 6) 1 12

•

b. Transformacion conforme en general Una transformaci6n en el plano, (50)

x = fjl(u, v),

y = 'l'(u, v)

se dice que es conforme si aplica dos curvas cualesquiera que se inter­ sectan , en otras dos que encierren el mismo angulo que las originales .

Teorema. Una condz'ci6n necesaria y suficiente para que una transformaci6n (50) continuamente diferencia ble sea conforme, e.J que se cumplan las ecuacz"ones de Cauchy-Riemann (51 a)

f/>u - \jl v = 0,

f/> v + \jlu = . 0

f/>u + "o/ v = 0,

f/> v - \jlu = 0

o bien, (51b)

En el primer caso se conserva el sentido de los angulos; en el segundo, se inviert e. 1 La demostraci6n es como sigue : si Ia transformaci6n es conforme, las dos curvas ortogonales u = constante = uo, v = vo + t y u = uo + t, v = constante = vo , en el plano u, v de ben aplicarse en curvas or­ togonales en el plano x, y. A partir de la formula (48) para el angulo entre dos curvas (p . 3 33 ) , inmediatamente se deduce que (5 1 c)

0 = F = f/>uf/> v + \jl u\jl v.

De Ia misma man era , las curvas correspondientes a las rectas u = y u uo + t, v = v0 - t deben ser ortogonales. da Esto

uo + t, v = v0 + t

=

(51d) *Esta ultima proposici6n se deduce directamente de las proposiciones dadas en Ia p. 307 , referentes al signo del jacobiano D = tfiu '1/v - tfiv '1/u. En el caso de que se cumpla ( 51 a) , se tiene D = ,P'!2 + t/Jv2 � O ; en el caso (51 b), D = - tfiu2 - t/Jv2 � 0.

338

Introduccion al calculo . y al analisis matematico

La ecuaci6n (5 lc) puede escribirse como

donde A denota una constante de proporcionalidad . Introduciendo esto en Ia ecuaci6n (5 l d ) inmediatamente se obtiene J... 2 = 1, de modo que se cumple uno o el otro de los dos sistemas de ecuaciones de Cauchy-Riemann ( 5 l a , b ) . Que las ecuaciones de C auchy-Riemann son una condici6n suJ ficiente para la conformidad, excepto en los puntos en donde las cuatro cantidades (> u, (> v, 'Ji u, 'I' v son cero, se confirma por las obser­ vaciones siguientes . Las ecuaciones (5 1 a) o (5 1 b ) cond ucen a I as relaciones

E = G � 0,

F= O

para las cantidades fundamentales E, F, G, definidas por (49 a , b , c). Por (48 ) , entonces el angulo w entre dos curvas en el plano x, y esta dado por

El segundo miembro de esta ecuaci6n es precisamente el coseno del angulo entre l as curvas correspondientes en el plano u, v. Por tanto , la aplicaci6n conserva los angulos entre las curvas, cambiando po­ siblemente su orientaci6n . La unica excepci6n es presentada por los puntos donde E = F = G = 0, es decir , por los puntos en donde todas las primeras derivadas de ambas funciones de aplicaci6n se anulan . * Ejercicios 3 .4b 1 . Investigar el comportamiento de Ia aplicaci6n x = u2 - v2, y = 2uv. �Es conforme en u = �. v = 3? � En u = v 0? � Por que? 2. �D6nde es conforme Ia aplicaci6n x = ! lc;> g (u 2 + u2), y = arc tan vju ? 3 . Demostrar q ue si las dos aplicaciones (u, v) --+ (x, y) y (u, v) --+ (�, 'lJ) son conformes , Ia aplicaci6n (u, v) --+ (x� - Y'lJ, X1J + y�) tambien es conforme. =

1Alli la aplicaci6n realmente puede dejar de ser conforme.

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

339

4. (a) Probar que la proyecci6n estereografica de la esfera unitaria sobre el

plano es conforme. (b) Probar que los circulos sobre la esfera se transforman en circulos, o bien , en rectas en el plano . (c) Probar que en la proyecci6n estereografica la reflexi6n de la super­ fide esferica en el plano ecuatorial corresponde a una inversion en el plano u, v . (d) Encontrar la expresi6n para el elemento lineal sobre la esfera, en terminos de los parametros u, v. �Bajo que condiciones sobre los coeficientes gaussianos fundamentales (44 ) , la aplicaci6n del plano u, v hacia la superficie X = X ( u, v) es conforme ? Encontrar una aplicaci6n conforme de la esfera x = cos e sen �. y = sen 6 sen t/J, Z = COS � hacia el plano U , V tal que 6 = U, y � = {(v) con {(0) = ! rr.

5. 6.

3.5

Familias de curvas, familias de superficies

y

sus envolventes

a. Observaciones generales En varias ocasiones se han considerado las curvas o las superficies no como configuraciones individuales sino como miembros de una familia de curvas o de superficies, tales como f(x, y) = c, donde a cada valor de c le corresponde una curva diferente de la familia . Por ejemplo , las rectas paralelas a l eje y en e l plano x, y , es decir, las rectas x = c, forman Uf!a familia de curvas . Lo mismo se cumple para la familia de circulos concentricos x2 + y2 = c2 alrededor del origen ; a cad a valor de c le corresponde un circulo de la familia , a saber , el circulo con radio c. De modo semejante , las hi perbolas rec­ tangulares xy = c forman una familia de curvas, trazadas en la Fig. 3. 2 . El valor particular c = 0 corresponde a la hiperbola degenerada que consiste de los dos ejes coordenados . O tro ejemplo de una familia de curvas es el conjunto de todas l as normales a una curva dada . Si la curva se da en terminos del p arametro t por media de las ecuaciones � = �(t), T) = 'JI(t), la ecuaci6n de l a familia de normales se obtiene en la forma (ver el Volumen I , p. 345 )

(x - �(t))�'(t) + (y - 'l'(t))'l';(t) = 0, donde se usa t en Iugar de c para denotar al parametro de la familia. El concepto general de una familia de curvas puede expresarse analiticamente de la siguiente manera . Sea

f(x, y, c)

340

Introduccion al cilculo

y

al analisis matematico

una funci6n continuamente diferenciable de las dos variables in­ dependientes x y y y del parametro c, donde el parametro varia en un intervalo dado . (Asi , el parametro es en realidad una tercera variable independiente , la cual se simboliza de una m anera diferente sim­ plemente porque desempefia un papel diferente . ) Entonces, si para cada valor del parametro c la ecuaci6n

(52 a)

f(x, y, c) = 0

representa una curva, el agregado de las curvas que se form an con­ forme c recorre su intervalo se llama familz"a de curvas que depende del parametro c. Cada curva de una familia de curvas de este tipo tambien puede representarse en la forma parametrica

(52b)

x = l)(t, c),

y = 'l'(t, c),

donde c es el parametro que distingue a l as diferentes curvas de la familia y t el parametro a lo largo de la curva . Por ejemplo, las ecuaciones

X = C COS t,

y = c sen t

representan a la familia de circulos concentricos que se mencion6 con anterioridad ; una vez mas , las ecuaciones

x = ct, representan a la familia de hiperbolas rectangulares que tambien se mencion6, excepto a la hiperbola degenerada que consiste de los ejes coordenados . Ocasionalmente sera necesario considerar familias de curvas que dependan de varios parametros. Por ejemplo, el agregado de todos los circulos (x - a) 2 + (y - b) 2 = c2 en el plano es una familia de curvas que dependen de los tres parametrosa, b, c. Si no se especifica lo contrario, siempre se sobreentendera que una familia de curvas es una familia "uniparametrica" , o sea , que depende de un solo parametro. Los demas casos se distinguiran hablando de familias de curvas biparametricas, triparametricas o multiparametricas. Por supuesto , se cumplen proposiciones semej antes para las fa­ milias de superficies en el espacio . Si se �a una funci6n continua-

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

341

mente diferenciable f(x, Y1 z, c) y si , para cada valor del parametro en un cierto intervalo definido, la ecuaci6n

c

f(x, y, z, c) = 0 represent a una superficie en el espacio con coordenadas rectangu­ lares x, y, z, entonces el agregado de las superficies que se obtienen haciendo que c describa su intervalo se llamafamilia de superficies o, mas precisamente , familia uniparametrica de superficies con el parametro c. Por ejemplo , las esferas x2 + y2 + z2 = c2 alrededor del origen forman una familia de ese tipo . Como con las curvas, tambien se pueden considerar familias de superficies que dependan de varios parametros. Asi , los planos definidos por la ecuaci6n

ax + by + J 1

- a2 -

b2 z + 1 = 0

forman una familia biparametrica que depende de los parametros a y b, si los parametros a y b varian sobre la region a2 + b2 � 1. Esta familia de superficies consiste de la clase de todos los planos que se en­ cuentran a una distancia unitaria del origen . *

Ejercicios 3 . 5a 1 . Caracterizar geometricamente las siguientes familias de curvas:

x2 + y2 = c2, a, b = constantes conocidas, c un parametro a 2 b2 parametro (b) x2 + (y - c)2 = c2 , c (c) x = cos (c + t), y = sen (c + t), 0 � t � 21t, c = padimetro. =

(a)

=

2. Describir la familia uniparametrica de superficies

(x - c)2 + (y - 1 - c) 2 + (z + ·l'i - 2c)2 = 1.

b. Envolventes de familios uniparametricas de curvas Si una familia de rectas consiste de las tangentes a una curva plana E (por ejemplo, si la familia de normales de una curva C es la familia de tangentes a la evoluta E de C; ver el Volumen I, p. 424}, se dira que la curva E es la envolvente de la familia de rectas. De la lA veces una familia uniparametrica de superficies se menciona como superficies ool una familia biparametrica como oo 2 y asi sucesivamente.

Introduccion al calculo

342

y

al analisis matematico y

Figura 3 . 17

Familia de drculos con envolvente.

mism a manera , se dira que la familia de circulos con radio 1 y centro sobre el eje x - es decir, la familia de circulos con ecuaci6n (x - c)2 + y2 1 = 0- tiene como su envolvente a la pareja de rectas y = 1 y y= 1, las cu ales tocan a cada uno de los circulos (Fig. 3 . 1 7 ) . En ambos ejemplos, se puede obtener el punto de contacto de la envoi­ vente y un a curva de Ia familia con val or c del p arametro , encon­ trando las intersecciones de las dos curvas de la familia con valores del para metro c y c + h y, a continua cion , haciendo que h tienda a 0. Esto se expresa brevemente diciendo que la envolvente es el Lugar geometrico de las intersecciones de curvas vecinas. Para cualquier familia de curvas , una curva E que en cada uno de sus punt as toea a alguna de las curvas de la familia se llama envoi­ vente de la familia de curvas. La cuesti6n que surge ahora es hallar Ia envolvente E de una familia de curvas f(x, y, c) = 0 dada. Ha­ gamos primero unas cuantas observaciones plausib les en las cuales se supone que existe una envolvente E y que puede obtenerse , al igual que en los casos anteriores, como el Iugar geometrico de las intersec­ ciones de curvas vecinas . 1 Entonces se obtiene el punto de contacto de Ia curva f(x, y, c) = 0 con la curva E, de Ia siguiente manera: ademas de esta curva se considera una curva vecina f(x, y, c + h) = 0, se encuentra la intersecci6n de estas dos curvas y, a continuaci6n debe en tonces tender hacia el punto de contanto buscado . En el pun ­ to de intersecci6n se cumple I a ecuaci6n -

-

1 Como , por media de ejemplos, se vera que esta ultima suposici6n es demasiado res­ trictiva , dentro de poco se remplazaran estas plausibilidades por una discusi6n mas compkta .

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

343

0.

asi como l as ecuaciones {(x, y, c + h) = 0 y f(x, y, c) = En la primera ecuaci6n se pasa hacia el limite cuando h ---)· 0 . Dado que se supone l a existencia de la derivada p arcial {c, esto da las dos ecua­ ciones

f(x� y, c)

(53)

==

{c(X, y, c )

0,

==�

0

para el punto de contacto de la curva f(x, y, c)/..::: 0 con la envolven­ te . Si pueden determinarse x y y como funciones de c por medio de estas ecuaciones , se obtiene la representaci6n parametrica de una curva con el p ara metro c, y est a curva es Ia envolvente . Eliminando el parametro c la curva tambien puede representarse en la forma g(x, y) Esta ecuaci6n se llam a discriminante de la familia , y la curva dada por la ecuaci6n g (x, y) 0 se llama curva discriminante. Asi se llega a l a regia siguiente: para obtener la envolvente de una familia de curva,s f(x, y , c) = 0, considerense las dos ecuaciones f(x, y, c) = 0 y [c( X, y , c) = 0 simultaneamente e intentese expresar x y y =- =

0.

=

como funciones de c, por medio de ellas, o bien, eliminar la cantidad c entre ellas.

Ahora se remplazaran estas consideraciones heuristicas por una discusi6n mas general basada en la definicion de la envolvente como la curva de contacto . AI mismo tiempo se aprendera b ajo que con­ diciones la regia da realmente la envolvente y que otras posibilidades se presentan. Para empezar , sup6ngase que E es una envolvente que puede representarse en terminos del parametro c por medio de dos fun­ ciones continuamente diferenciables

x = x(c), y = y(c), donde

( x) 2 (cj)'_) 2 d de

y

+

de

* 0'

que E, en el punto con p arametro c, toea a la curva de la familia

f(x, y, c) = 0 que corresponde al mismo valor de c. Entonces se satis­ fac e la ecuaci6n f(x, y, c) = 0 en el punto de contacto . Consecuen­ temente, si se sustituyen l as expresiones x(c) y y(c) en Iugar de x y Y en esta ecuaci6n , l a misma sigue siendo valida para todos los valores de c en el intervalo. Derivando con respecto a c inmediatamente se ob­ tiene

344

Introducci6n al calculo

y

al analisis matematico

dx

fx e + fy dy (ic + {c = 0 . d Ahara bien , la condici6n de tangencia es

porque l as cantidades dxf dc y dy/dc son proporcionales a los cosenos directores de la tangente a E, y las c antidades fx y {y son propor· cionales a los cosenos directores de la normal a la curva f(x, y, c) = 0 de la familia , y ademas tangente y normal deben de formar angulos rectos entre si . Se concluye que la envolvente satisface la ecuaci6n {c = 0, y, por tanto , se ve que las ecuaciones ( 5 3) forman una condici6n necesaria para la envolvente . Para averiguar en que medida tam bien es sufz'cz'ente esta condici6n, sup6ngase que una curva E, representada por dos funciones conti· nuamente diferenciables x = x(c) y y = y(c) , satisface las dos ecuaciones f(x, y, c) = 0 y fc(X, y, c) = 0. Nuevamente, en f(x, y, c) = 0 sustituyanse x y y por x(c) y y(c) ; entonces esta ecuaci6n se con· vierte en una indentidad en c. Derivando con respecto a c y recor· dando que {c = 0, inmediatamente se obtiene la relaci6n

dy fx dx de + fy de = 0,

la cual , por lo tanto� se cumple para todos los puntos de E. Si l as dos expresiones fx2 + fy2 y (dxfdc)2 + (dyfdc)2 son diferentes de cero en un punta de E, de modo que en ese punto tanto la curva E como la curva de la familia tienen tangentes bien definidas, esa ecuaci6n afir­ ma que la envolvente y la curva de la familia se tocan. Con estas hip6tesis adicionales la regla es una condici6n suficiente para la en­ volvente, asi como necesar;.a . No o bstante, si tanto fx como fu se anulan , la curva de la familia puede tener un p unto singular (ver la p. 282) y no se pueden sac ar conclusiones acerca del contacto de las curvas. Asi , despues de h aber encontrado la curva discriminante todavia se requiere investigar m as en c ada caso con el fin de descubrir si en realidad es una envolvente o basta que punto no lo es. En conclusion, se ha llegado a la condici6n que debe satisfacer la curva discriminante de una familia de curvas dada en la forma parametric a

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

345

x = ( t, c), y = 'l'( t, c), con el p arametro

t sobre 1a curva . Esta condici6n es t'lfc - c'l't = O ;

la cual se obtiene facilmente , pasando de la representaci6n para­ metrica de la familia a la expresi6n original , por medio de la eli­ minaci6n de t . Ejercicios 3 .5b 1 . � Las normales a una curva plana suave tienen siempre una envolvente? 2. Las rectas

y = ex + �(c) sa tisfacen la ecuaci6n diferencial

Y = xy' + �(y') (ecuaci6n de Cl airaut) . Obtener una ecuaci6n no parametrica para la en­ volvente de Ia familia y verificar que satisfaga tambien la ecuaci6n di­ ferencial . c.

Ejemplos

1 . (x - c)2 + y z = 1 . Como se hizo notar en la p . 342 , esta ecu aci6n representa a la familia de circulos de radio unitario, cuyos centros se encuentran sobre el eje x (Fig. 3 . 1 7) . Geometricamente, se ve de inmediato que la envolvente debe consistir de l as dos rectas y = 1 y y= 1. Esto puede verificarse p or medio de la regla dada; en efecto , las dos ecuaciones (x - c)2 + y2 = 1 y 2(x - c) = 0 inme­ diatarnente dan la envolvente en la forma y 2 = 1 . 2 . La familia de circulos de radio unitario que pasan por el origen cuyos centros, por lo tanto, deben estar sobre el circulo de radio unitario alrededor del origen, esta dada por la ecuaci6n -

-

(x - cos c)2 + (y

- sen

c)2 = 1

o bien ,

x2 + y2 - 2x cos c - 2y

�en

c = 0.

La derivada con respecto a c, igualada a 0, da x sen c - y cos c = 0. Estas dos ecuaciones son satisfechas por los valores x = 0 y y = 0. No obstante . si x2 + y2 =I= 0. facilmente se deduce de estas ecuaciones que

lntroduccion al calculo

346

al analisis matematico

= x/2, de modo que , eliminando a c, se obtiene x2 n De do de , por la regla para hallar la envolvente, se ob­ y2 = 4 . tiene que esta es el drculo de radio 2 alrededor del origen , como se anticipa por intuici6n geometrica ; pero tambien se obtiene el punto aislado x = 0, y = 0. 3. La famili a de parabolas (x - c)2 2y = 0 (ver 1� Fig. 3 . 1 8) tambien tiene una envolvente , la cual , tanto por intuici6n como por medio de la regla , resulta ser el eje x.

sen +

c

y

=

y/2, cos c

-

y

Figura 3 . 18

Familia de pC}rabolas con envolvente.

4. Considerese la familia de circulos (x 2c)2 + y2 - c2 = 0 (ver la Fig. 3 . 1 9) . La derivaci6n con respecto a c da 2x - 3c = 0, y por substituci6n se encuentra que la ecuaci6n de la envolvente es -

Figura 3 . 19

La familia (x - 2c)2 + y2 - c2 = 0.

Desarrollos

y

aplicaciones del caiculo diferencial

347

es decir , la envolvente consiste de las dos rectas

1

y = .J 3 X

y

y=

-

1

.J 3 x.

El origen es una excepci6n, en el sentido de que alii no h ay contacto . 5 . Considerese ahora la famili a de rectas sobre l as cuales los ejes y y deterrninan un segrnento de longitud unitaria. Si a = c es el an­ gulo indicado en la Fig. 3 . 20, l as rectas estan daaas por l a ecuaci6n

x

y X + -= 1. cos a sen a --

La condici6n que debe satisfacer l a envolvente es seR a x cos 2 a

_

cos a = 0 ' sen 2 a Y

la cual , junto con la ecuaci6n de las rectas , da la envolvente en forma parametric a x = c o s 3 a, y = sen 3 a. Eliminando el pararnetro , se obtiene la ecuaci6n x2 1 3 + y 2 1 3 = 1 .

Figura

3 . 20

Arco de Ia astroide como envolvente de rectas.

348

•

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico y

y

-1

Figura 3 .2 1

Astroide

Figura 3 .22

Astroide como envolvente de elipses.

Esta curva se llama astroide (ver el Volumen I , Capitulo 4, Ejercicio I, p. 435 ) . Consiste (Figs. 3 . 2 1 y 3 . 22) de cuatro ramas simetricas que se encuentran en cuatro cuspides . 6. La astroide x213 + y213 = 1 tambien aparece como la envolvente de la familia de elipses

x2 c2 ·

+

y2 = 1 (1 - c)2

cuyos semiejes c y (1 - c) tienen la suma constante 1 (Fig. 3 . 22 ) . 7 . La familia de curvas (x - c)2 - y3 = 0 muestra que, b ajo cier­ tas circunstancias, el proceso. puede no dar una envolvente . Aqui la . regla da el eje x. Pero, como se ve en la Fig. 3 . 2 3 , este no es una en­ volvente; es el lugar geometrico de las cuspides de las curvas de la familia . 8 . Para l a familia y

Figura 3 . 23

La familia (x

-

(x - c)3 - y2 = 0,

c)2

-

ya = Q.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

349

la curva discriminante es el eje x (ver la Fig. 3 .24). Nuevamente este es el Iugar geometrico de las cuspides; pero toea a c ada una de las curvas y, en este sentido, debe considerarse como la envolvente . y

C -3

Figura 3 . 24

La familia (x - c)3 - y2 = 0.

9. La familia de estrofoz'des

[x2 + (y - c)2] (x

-

2) + x = 0

(ver la Fig. 3 . 25) tiene una curva discriminante que consiste de la en­ volvente m as el lugar geometrico de los puntas dobles . Las curvas de la familia son congruentes entre si y surgen una de la otra, por medio de una traslaci6n paralela al eje y. Derivando se obtiene

fc = - 2(y - c)(x

-

2) = 0,

de modo que debe tenerse x = 2 , o bien , y = c . Sin embargo, la rec­ ta x = 2 no interviene en el asunto , porque ningtin valor finito de y corresponde a x = 2. Por lo tanto , se tiene y = c. De modo que la cur­ va discriminante es x2(x

-

2) + x = 0.

Esta curva consiste de las rectas x = 0 y x = l . Como se ve en la Fig. 3.25, solo x = 0 es la envolvente; la recta x = 1 pasa por los puntas dobles de las curvas .

350

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

y

Figura 3 . 25

Familia de estrofoides.

1 0 . La envolvente no necesita ser el lugar geometrico de los pun­ tos de intersecci6n de curvas vecinas ; esto queda ilustrado por medio de l a familia de parabolas cubicas identicas paralelas y - (x - c)3 = 0. Ningun par de estas curvas se intersectan. La regia da la ecuaci6n {c = 3(x - c)2 = 0, de modo que el eje x, y = 0 , es l a curva discriminante. Como todas las curvas de la familia son tocadas por ella , tambien es la envolvente (Fig. 3 . 26).

Figura 3 .26

Familia de parabolas cubicas.

1 1 . La noci6n de envolvente nos permite dar una nueva definicion para la evoluta de una curva C (ver el Volumen I , pp. 359, 424 y siguientes). Sea C dada por

x = lfi(t) , y = v(t).

La evoluta E de C se define como la envolvente de l as normales de C. Dado que l as normales de C estan dadas por

{x - ,(t)} ,'(t) + {y - v(t)} v'(t) = o,

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

351

la envolvente se encuentra derivando esta ecuaci6n con respecto a t:

0 = {x - �(t)} �"(t)

+ {y - 'l'(t)} 'l' " (t) - �' 2(t) - '1'' 2(t).

A partir de esta ecuaci6n y Ia anterior se ob tiene Ia representaci6n parametric a de la envoivente ,

donde

denota el radio de curvatura (ver el Volumen I , p . 356). Estas ecuaciones son identicas a las dadas en el Volumen I (p . 359) para la evoluta . 1 2 . Sea una curva C dada por x = �(t); y = 'JI(t). F6rmese la en­ volvente E de l os drculos que tienen sus centros sobre C y que pasan por el origen 0. Como los circulos estan dados por x2 + y 2 - 2x�(t) - 2y'JI(t)

= 0,

la ecuaci6n de E es x�' (t) + Y'JI '(t)

= 0.

De aqui que si P es el pun to (�(t), 'JI(t)) y Q(x , y) es el punto correspon­ diente de E, entonces OQ es perpendicular a Ia tangente a C en P. Supuesto que , por definicion, PQ = PO, PO y PQ forman angulos iguales con la tangente a C en P. Si se imagina a 0 como un punto luminoso y a C como una curva reflectora , entonces QP es el rayo reflejado correspondiente a OP. La envolvente de los rayos reflejados recibe el nombre de caus­ tica de C con respecto a 0 . La caustica es la evoluta de E: el rayo reflejado PQ es normal a E, dado que un circulo con centro en P toea a E en Q y la envolvente de las normales de E, es su evoluta , como se vio en el ejemplo anterior . Por ejemplo , sea C un drculo que pasa por Entonces E es la trayectoria descrita por el punto 0' de un drculo C' congruente a C que rueda sobre este y que inicia su movimiento con C y coin-

0.

0'

352

lntroduccion al cilculo

y

al analisis matematico

cidentes; porque , durante el movimiento , siempre ocupan posiciones simetricas con respecto a la tangente comiin de los dos dr­ culos . Por tanto , E sera una epicicloide especial ; de hecho, una car­ dioide (ver el Volumen I, p. �29) . y siguientes. Como la evoluta de una epicicloide es una epicicloide semejante (ver el Volumen I , p . 439), la caustica de C con respecto a es en este caso una cardioide .

0 y 0'

0

Ejercicios J. 5c

1 . Un proyectil disparado desde el origen con un fmgulo de inclinaci6n inicial a y velocidad inicial v, recorre una trayectoria parab6lica dada por las ecuaciones

x = (v cos a) t

y = (v sen a) t - 12 gt2,

donde g es la aceleraci6n constante de la gravedad . (a) Encontrar la envolvente de la familia de trayectorias con parametros f'J. (b) Demostrar que ningiin punto por encima de la envolvente puede ser alcanzado por el proyectil. (c) Demostrar que todo punto por debajo de la envolvente puede ser al­ canzado de dos maneras, es decir , que un punto de este tipo se en­ cuentra sobre dos trayectorias. 2 . Obtener las envolventes de las familias de curvas que siguen:

y = ex + 1/c. (b) y2 = c(x - c) (c) cx2 + y2/c = 1 (d) (x - c)2 + y 2 = a2c2/(1 + a 2), a = constante . (a)

3 . Sea C una curva arbitraria en el plano y considerense los drculos de radio p cuyos centros se encuentran sobre C. Probar que la envolvente de estos circulos esta formada por las dos curvas paralelas a C a la distancia p (ver la definicion de curvas paralelas, Volumen I , p . 2 9 1 . 4 . Una familia de rectas e n el espacio puede darse como Ia intersecci6n de do5 pianos que dependan de un parametro t:

a(t)x + b(t)y + c(t)z = 1 d(t)x + e(t)y + f(t)z = 1. Probar que si estas rectas son tangentes a alguna curva (es decir , poseen una envolvente), entonces

a-d a' d'

b-e b' e'

c -f c' f'

=

0.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

353

5 . Si una curva plana C esta dada por x = f(t), y = g(t). su reciproca polar C' se define como la envolvente de la familia de rectas

C,f(t) + Tjg(t) = 1,

donde (C., Tj ) soh coordenadas corrientes. ( a) Probar que C tambien es la redproca polar de C' . (b) Encontrar la redproca polar del drculo (x - a)2 + (y - b)2 = 1. (c) Encontrar la redproca polar de la elipse 'X 2/a2 + y2fb2 = 1. 6 . Un drculo de radio a rueda sobre una recta fija, llevando una tangente fija con relaci6n al drculo . Tomando ejes en el punto de contacto donde Ia tangente en movimiento coincide con la recta fija, demostrar que la envolvente de la tangente esta d ad a por ·

a(a + cos a sen a y = a(cos2a - cos a). x=

-

sen

a)

7 . Encontrar la envolvente de un circulo variable en un plano, que pasa por un punto fijo 0, y cuyo centro describe una c6nica dada con centro en 0. 8 . (a) Si r es una curva plana y 0 un punto en su plano, el lugar geometrico r' de las proyecciones ortogonales de 0 sobre una tangente variable de r se llama curva pedal de r con respecto al pun to 0. Probar que si el punto M describe la curva T, la curva pedal r' es la envolvente del drculo variable con el radiovector OM como diametro. (b) � Como es la envolvente si r es un drculo y 0 un punto sobre su cir­ cunferencia? 9 . MM' es una cuerda variable de una elipse, paralela al eje menor. Encon­ trar la envolvente del drculo variable que tiene a MM' como diametro.

d. Envolventes de jamilias de superficies

Las observaciones hechas acerca de · las envolventes de familias de curvas tambien se aplican a las familias de superficies, con solo unas cuantas modificaciones. Dada una familia uniparametrica de super­ ficies f(x, y, z, c) = 0 , definida para un intervalo de valores de pa­ rametro c, se dirci que una superficie E es la envolvente de la familia si toea a cad a superfic ie de la familia a lo largo ' de toda una curva y si, ademas, estas curvas de contacto forman una familia unipara­ metrica de curvas sobre E que cubren por completo a esta superficie. Un ejemplo es el de Ia familia de todas las· esferas de radio 'uni­ tario con centro sobre el eje z . Intuitivamente se ve que la envolvente es el cilindro x2 + y2 1 = 0 con radio unitario y eje a lo largo del eje z ; Ia familia de curvas de contacto es simplemente Ia familia de -

354

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

circulos paralelos al plano x, y, con radio unitario centro sobre el eje .I Como en la p. 34 1 si se supone que la envolvente existe, puede hallarsele a traves del metodo heuristico que sigue : primero se con­ sideran las superficies f(x, y, z, c) = 0 y f(x, y, z, c + h) = 0 corres­ pondientes a dos valores diferentes del parametro , c c + h. Est as dos ecuaciones determinan la curva de intersecci6n de las dos super­ ficies (se ha supuesto expresamente. que esa curva de intersecci6n existe). Como consecuencia de las dos ecuaciones anteriores, esta curva tambien satisface la tercera ecuaci6n

y

y

f(x, y, z, c + h) - f(x, y , z, c) h

_

-

0.

Si se hace que h tienda a cero , la curva de intersecci6n se aproximara a una posici6n limite definida esta curva limite queda determinada por las dos ecuaciones

y

(54)

f(x, y, z, c)

=

0, {c(X, y , z, c)

=

0.

A menudo se dice , en una forma intuitiva no rigurosa, que est a curva es la intersecci6n de superficies vecinas de la familia . Esta es una fun­ cion del parametro c, de modo que las curvas de intersecci6n para todos los diferentes valores de c forman una familia uniparametrica de curvas en el espacio . Si se elimina la cantidad c entre las dos ecuaciones . anteriores, se obtiene una ecuaci6n que se conoce como discrz"mz"n ante. Como en la p. 343 , puede demostrarse que la envoi­ vente debe satisfacer esta ecuaci6n discriminante . Precisamente como en el caso de las curvas planas, facilmente nos podemos convencer de que un plano que toea a la superficie dis­ criminante tambien toea a la superficie correspondiente de la fa­ milia, siempre que fx2 + fy2 + fz2 -=1= 0. De aqui que la superficie dis­ criminante da las envolventes de la familia los lugares geometricos de las singularidades de las superficies de la famili a . Como u n primer ejemplo , considerese la familia d e esferas

y

x2 + y2 + (z - c)2 - 1

=

0

mencionadas en el parrafo anterior� Para encontrar la envolvente se tiene la ecuaci6n adicional 1Las envolventes de esferas de radio constante cuyos centros se encuentran sobre una curva dada se Haman superfides tubulares.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

355

- 2(z - c) = 0 . c,

Obviamente, para val ores fijos de estas dos ecuaciones representan el circulo de radio unitario parale�o al plano x, y que se encuentra a la altura z = c. Si se elimina el parametro c entre las dos ecuaciones, se obtiene la ecuaci6n de la envolvente en la forma x2 + y2 - 1 = 0, que es la ecuaci6n del cilindro circular recto con radio unitario y cuyo eje es el eje Para las familias de superficies tambien es posible encontrar las envolventes de familias hi parametric as f(x, -y, z, c1, c2) = 0. (Sin em­ bargo, con respecto a las familias de curvas,r el concepto de envolven­ te solo tiene significado para familias unipa ametricas). Por ejemplo, considerese la familia de todas las esferas con radio unitario centro sobre el plano x, Y, representada por la ectiaci6n z.

y

o

(x - Ct) 2 + (y - c2) 2 + z2 - 1 = 0.

La intuici6n n s dice inmediatamente que los dos• pianos z = 1 y z =­ tocan a todas las superficies de la familia. En general, se dira que una superficie E es la envolvente de una familia biparametrica de superficies si, en todo punto P de E, la superficie E toea a una superficie de la familia,. de tal manera que. conforme P varia sobre E los valores parametricos c1, c2 correspondientes Ia superficie tocada l E en P varian sobre una region del plano c1,c2 y, ademas, puntos por d ferentes (c1, c2) corresponden a diferentes puntos P de E. Entonces, una superficie de Ia familia toea a Ia envolvente un jJunto, y no, como antes, a lo largo de una curva completa. Con hip6tesis semejantes a las establecidas en el caso de curvas planas se encuentra que el punto de contacto de 'una superficie de la familia con la envolvente, si existe, debe satisfacer las ecuaciones -

1.

a

en

A partir de estas tres ecuaciones se determina el punto (ie contacto de una superficie dada, asignando los valores correspondientes a ·los parametros. Inversamente, si se eliminan los parametros c1 y C2, se ob­ tiene una ecuaci6n que debe ser satisfecha por la envolvente. Por ejemplo, la familia de esferas con radio unitario y centro sobre el plano x, y esta dada por la ecll'ad6n {(x, y, Z, Cl , C2) = ' (x - Ct)2 + (y - C2)2 + z2 - 1

= 0,

356

lntroducciou al calculo

con los dos padimetros c1 de las dos ecuaciones

y

y

al analisis matematico

c2 .

fc t = - 2(x - Cl) = 0

La regia para formar a la envolvente fc 2 = - 2(y - C 2)

y

= 0.

Por tanto, para la ecuaci6n discrim�nante se tiene z2 - 1 0, en efecto, los dos pianos z 1 z - 1 son envolventes, como ya se habia visto intuitivamente. =

=

=

y

y,

Ejercicios 3 5d .

1 . �Cual es la envolvente de la familia de elipsoides de volumen constante (es decir, producto fijo de los semiejes) con centro comun en 0 y ejes pa­ ralelos a los ejes coordenados? 2. �Cual es la envolvente de la familia de pianos ax + by + cz = 1, donde

.;a 2 + b 2 + c2 = 1? 3 . (a) Encontrar la envolvente de l a familia biparametrica d e pianos para los cuales.

OP + OQ + OR = constante = 1,

donde P, Q, R denotan a los puntos de intersecci6n de los pianos con los ejes coordenados, y 0 es el origen. (b) Hallar la envoivente de los pianos para los cuales

OP2 + OQ2 + OR2 = 1 . 4. Una familia de pianos esta dada por

x cos t + y sen t + z = t,

donde t es un parametro. (a) Encontrar la ecuaci6n de la envolvente para los pianos, en coorde­ nadas cilindricas (r, z, 6). (b) Prob ar que la envolvente consiste de las tangentes a una cierta curva.

z = u(x, y) Ia ecuaci6n de una superficie tubular, es decir, I a envoi­ vente de una familia de esferas de radio unitario con sus centros sobre al­ guna curva y = l(x) en el plano x, y. Probar que u2 (ux2 + Uy2 + 1) = 1. 6 . Encontrar la envolvente de la familia de esferas que tocan l as tres esfera�

5. Sea

Sa: x2 + y2 + (

z

- 23 ) 2 = 4 . 9

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

357

7 . Sea r una curva plana y r' su curva pedal , como se describi6 en el Ejer­ cicio 8 , p. 3 5 3 . ( a ) Sea M un punto que describe I a curva r . �Cual e s Ia envolvente d e Ia esfera variable con el radio vector OM como diametro? (b) � Cual es Ia envolvente de Ia esfera variable si r es un drculo y 0 un punto sobre su circunferencia? 8 . Demostrar que Ia superficie xyz = constante es Ia envolvente de Ia familia de pianos que forman, con los pianos coordenados, un tetraedro de volumen constante ( es decir, producto fijo de las coordenadas de las in­ tersecciones con los ejes) . 9 . U n plano se mueve d e modo que toea a las parabolas z = 0 , y 2 = 4x y y = 0, z2 = 4x. Demostrar 'que' su envolvente consiste de dos cilindros parabolicos.

Formas diferenciales alternantes

3.6 a.

DefiniciOn de formas diferenciales alternantes

En el Capitulo 1 (p. 1 1 3) se consider6 Ia forma diferencial lineal general L = A(x, y, z) dx + B(x, y, z) dy + C(x, y, z) dz (55a) en tres variables independientes. A lo largo de cualquier curva r con representaci6n parametrica � = �(t) , y = w(t), z = x(t) la forma L determina los valores L = A dx + B dy + C dz = Ai. B . c · (55b) ,

dt

dt

dt

dt

'Y

+

"'

+

x,

que dependen de la representaci6n parametrica especial de r. Si r se refiere un parametro diferente t, se obtiene L = A dx B dy + C dz = (A dx + B dy C dz ) dt (55c) d a

dT.

Sin

dT.

+

dT.

dT. = Ldt dT.dt .

dt

t

embargo, la integral L A dx + B dtdy f Jr L = Jdt dt · = J( dt

+

+

dt dT.

C dtdz ) dt

358

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

r

solo depende de la curva (y de su orientaci6n) y no de la represen­ taci6n parametric a particular. De modo semejante, considerese una forma diferendal ro que sea cuadra.tica en dx, dy, tlz, a saoer, una combinaci6n lineal de los simbolos dx dx, dx dy, dx dz, dy dx, ddy dy, dy dz, dz dx, dz dy, dz dz con coeficientes que sean funciones e x, y, z. Sobre cualquier super­ fide S en el espacio, con representaci6n parametrica x = �(s, t), y = ­ 'lf(s, t), z = x(s, t), la forma ro define los valores rofds dt si se conviene en que los cocicntes 'f

(0

,

dx dx dx dy dx dz ds dt ' ds dt ' ds dt ' ·

denotan respectivamente los jacobianos

d(x, x) d(x, y) d(x, z) d(s, t) ' d(s, t) ' d(s, t) ' ·

1

No se establece distinci6n entre dos formas diferenciales ro que proporcionan los mismos valores rofds dt en cada punto de la super­ fide. En vista del caracter alternante de los determinantes, o sea, de que d(x, x) 0 d(s, t) -

d(x, y) d(s, t) -

_

_

'

d(y , x) d(s, t) '

.

·

.'

se ve que los terminos de ro con dx dx, dy dy, dz dz no contribuyen y que dy dx, dz dy, dx dz pueden remplazarse respectivamente por - dx dy, - dy dz, - dz dx. Por tanto, la forma diferencial cuadratica mas general en dx, dy, dz puede escribirse como (56a) ro = a(x, y, z) dy dz + b(x, y, z) dz dx + c(x, y, z) dx dy. Los valores que asocia con los puntos de una superficie S referida a los parametros t, son s,

(56b)

ro ds dt

=

ro

d(x, y) d(z, x) d(y, z) + b(x, y , z) + c(x, y , z) d . a(x, y z) d(s, t) (s, t) � d(s, t)

*Esta convenci6n caracteriza a las formas diferenciales alternantes. En otros contex­ tos tambien se encuentran formas diferenciales cuadraticas no �ltemantes, tales como la que da el cuadrado del elemento lineal en el espacio o sobre una superficie (ver la p. 332) : ds2

=

dx2 + dy2 + dz2 = E du2 + 2F du dv + G dv2.

Desarrollos y aplicaciones del cilculo diferencial

359

Dando a S los parametros diferentes s', t', a partir de la ley de mul­ tiplicaci6n para los jacobianos (ver la p. 305 ) , se obtiene (56c)

ro d(y, z) d(z, x) d(x, y) + =a d(s', �') + d(s', t') c d(s', t') ds' dt' ro d(s, t) . = ds dt d(s', t') ·

b

Posteriormente (p.

658),

tambien se definira la integral doble y se

vera que no depende de la representaci6n parametrica particular de la superficie S. De manera semejante, puede considerarse una forma diferencial ro que sea cubica en dx, dy, dz. Tal forma asigna valores rofdr ds dt correspondientes a cualquier representaci6n parametrica X = rp(r,

S,

t), y = 'JI(r, S, t), Z = X(r, S, t),

donde, nuevamente, los cocientes

dx dx dx dx dy dz dr ds dt ' dr ds dt ' ·

se interpretan como los jacobianos

d(x, x, x) d(x, y, z) d(r, s, t) ' d(r, s, t) ' ·

Como los jacobianos se anulan cuando dos de las variables depen­ dientes son identicas, cambian de signo cuando se intercambian dos de las variables dependientes, toda& las formas diferenciales cubicas en las tres variables independientes x, y, z son del tipo y

ro = a(x, y, z)dx dy dz.

(56d)

Siempre que x, y,i z se representen como funciones de r, s, t, a partir dero se obtiene e valor (56e)

ds dt = a(x, y, ro

dr

z

)

d(x, y, z) d(r, s, t) ·

360

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Procediendo de la misma manera podrian definirse formas di­ ferenciales "alternantes" en dx, dy, dz de grados 4 , 5, . . Pero todas estas son identicamente 0, ya que cualquier jacobiano de orderi 4 , 5, . . . que pudiera formarse tendria identic as a dos de las variables dependientes y, por tanto, se anularia.1 .

.

Ejercicios 3. 6a

(i)/du dv en cada uno de los casos siguientes: (i) = x dy dz + y dz dx + z dx dy, x = cos u sin v, y = sin u sin v, z = cos v = (y - z)dy dz + (z - x)dz dx + (x y)dx' dy, x = au + bv, y = bu + cv, z cu + av (i) = dy dz + dz dx + dx dy, x = u2 + v2, y = 2uv, z = u2 - v2 •

1. Encontrar

(a) (b)

(c)

(i)

-

==

b. Sumas y productos de formas diferenciales

Dos formas diferenciales del mismo orden (es decir, ambas lineales, ambasn cuadraticas o ambas cubicas) pueden sumarse trivialmente suma do los coeficientes correspondientes. De donde, para rot = at dy dz + bt dz dx + Ct dx dy,

ro2 = az dy dz + b2 dz dx + c2 dx dy,

Se define

(57a) rot + ro2 = (at + a2)dy dz + (bt + bz)dz dx + (ct + cz)dx dy.

1 Sin embargo, las formas de orden superior tienen un significado no trivial en los es­ pacios de dimensiones superiores. En el espacio x, y, z, u tetradimensional , las for­ mas diferenciales alternantes mas generales de orden 1 , 2 , 3, 4 se pueden escribir como (56f) A dx + B dy + C dz + D du

(56g) A dx dy + B dy dz + C dz du + D du dx + E dx dz + F dy du

(56h) A dy dz du + B dz du dx + C du dx dy + D dx dy dz (56i)

A dx dy dz du,

respectivamente, con los coeficientes A, B, Las formas de orden superior a 4 se anulan.

.

.

.

, los cuales son funciones de x, y, z, u.

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

361

Puede definirse el producto Ohro2 de dos formas diferenciales cualesquiera rot y ro2 del mismo orden o de 6rdenes diferentes, sim­ plemente susti tuyendo rot y ro2 por sus expresiones en terminos de dx, dy, dz y aplicando la ley distributiva de la multiplicaci6n, teniendo cuidado, sin embargo, de conservar el orden original de las diferen­ ciales en cada termino .t Asi, el producto de las dos formas lineales y seria la forma cuadratica (57b) rotro2 = (At dx + Bt dy + Ct dz)(A2 dx + B2 dy + C2 dz)

= AtA 2 dx dx + AtB2 dx dy + At C2 dx dz + BtA 2 dy dx

+ B1B2 dy dy + Bt C2 dy dz + C1A 2 dz dx + C1B2 dz dy + CtC2 dz dz = (B1C2 - C1B2)dy dz + (CtA 2 - A1C2)dz dx + (AtBe - B1A 2)dx dy.

Si se describen las formas individuales rot y ro2 por los "vectores de los coeficientes" Rt = (At, B1, C1) y R2 = (A2, B2, C2), entonces los coeficientes del producto ro1ro2 son precisamente las componentes del producto vectorial RJ R2 (ver la p. 221). Evidentemente, el pro­ ducto de las formas no es conmutativo. Aqui, por ejemplo, ro1ro2 ro2rot. Multiplicando la forma de primer orden X

=

-

rot = A dx + B dy + C dz

por la forma de segundo orden

ro2 = a dy dz + b dz dx

+

c dx dy,

de modo semejante se obtiene (57c) ro1ro2 = (A dx + B dy + C dz)(a dy dz + b dz dx + c dx dy) = Aa dx dy dz + Ab dx dz dx + Ac dx dx dy

+ Ba dy dy dz + Bb dy dz dx + Bc dy dx dy

+ Ca dz dy dz + Cb dz dz dx + Cc dz dx dy = (Aa + Bb + Cc)dx dy dz.

lEl producto formado de esta manera a veces se denota por el slmbolo m1

1\

002.

362

Introduccion al calculo

y

al analisis matemat�co

Se observa que, en este caso, el coeficiente de ro1ro2 es el producto es­ calar de los vectores de los coeficientes (A, B, C) y (a, b, c). De aqui ffi ffii. que, incidentalmente, ffii ffidu Cuando se forma el pro 2 cto2de una forma de primer orden y una de tercero, de dos formas de segundo orden, o bien de una forma de segundo orden y una de tercero, se llega a formas de orden mayor que 3 , que se anulan. Para completar, resulta conveniente definir las formas diferenciales de orden 0 como los escalares a(x, y, z). _Entonces, el producto de una forma a de orden 0 con una forma ro de cualquier orden k 0, 1, 2,. 3 se obtiene multiplicando cada uno de los coeficientes de ro por el es­ calar a. A partir de la definicion se ve facilmente que los productos de las formas diferenciales son asociativos. Para tres formas lineales =

=

Lt

= At dx + Bt dy + Ct dz ,

(i

=

1, 2, 3).

por ejemplo, como se probara en el Ejercicio 5 , LI(L2La)

(57d)

=

A1 B1 C1 A 2 B2 c2 dx dy dz., Aa Ba Ca

y para (L1 L2) La se obtiene la misma evaluaci6n. Por supuesto, se puede formar una mayor variedad de productos de formas diferenciales cuando el numero de variables independien­ tes es mayor que 3 . Ejercicios 3 . 6b

1 . Evaluar los productos siguientes:

(a) (x dx + y dy)(x dx - y dy)

+ y2)dx + 2xy dy] [2xy dx + (x2 - y2)dy] (a dx + b dy)(a dy dz + b dz dx + c dx dy)

(b) [(x2

(c)

(d) (dx + dy + dz)(dy dz - dx dy).

2. Para cualquier forma (.<) de orden 1 en x, y, z, demostrar que (.<) 2 = 0. 3. Para las formas de primer orden (<) 1 , (.<) 2 en tres variables, demostrar que

((.<)1

+ (.<) 2)((.<)1 - (.<) 2) = 2(.<) 2 (.<)1 .

.

4 . Demostrar , para las formas de primer orden en tres variables , que

((.<)1 + (.<) 2 + 5 . Deducir (57d) .

(<)a

+ (.<)4)((.<)1 - (.<) 2 + (<)a - (.<)4) = 2((.<) 2 + (.<)4)((.<)1 + (<)a) .

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

.

363

c. Derivadas exteriores de formas dijerenciales

Para una forma diferencial de orden 0 , es decir, para un escalar a(x, y, z) por definicion se tiene (58a)

da = ax dx + ay dy + az dz.

Los coeficientes de esta forma diferencial son precisamente las com­ ponentes del vector que se denot6 por grad a en Ia p. 249. De modo mas general, se define Ia derivada exterior dm de cualquier forma diferencial m. Con este fin se escribe m como una suma de terminos, donde cada t€�rmino es un producto de determinadas diferenciales de la terna dx, dy, dz precedido por un factor escalar, se remplaza cada uno de los factores escalares por su diferendal formada en el sentido ordinario. As!, para una forma de primer orden y

L = A dx + B dy +

C dz,

se encuentra para dL Ia forma diferencial de segundo orden (58b)

dL = dA dx + dB dy + dC dz = (A x dx + Ay dy + Az dz)dx + (Bx dx + By dy + Bz dz)dy + (Cx dx+ Cy dy + Cz dz)dz = ( Cy - B z)dy dz + (Az - Cx)dz dx + (Bx - Ay)dx dy. ·

Si se asocia a L el vector R = (A, B, C), se tiene el hecho notable de que los coeficientes de dL son precisamente las componentes del rotacional de R (ver Ia 252). Para una forma de segundo orden p.

m = a dy dz + b dz dx + e dx dy

la derivada exterior dm es la forma de tercer orden (58c)

dm = da dy dz + db dz dx + de dx dy = (ax dx + ay dy + az dz)dy dz + (bx dx + by dy + bz dz)dz dx + (ex dx + ey dy + ez dz)dx dy = (ax + by + ez)dx dy dz.

364

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

De aqui que, si se combinan los coeficientes de en el vector R (a, b, c), entonces el coeficiente de dro es el escalar div R (ver Ia p. 253). La derivada de una forma diferencial de tercer orden es de cuarto orden por tanto, se anula. Una importante regia general ("lema de Poincare") es que la (.0

=

y,

segunda derivada exterior de cualquier forma diferencial ro se anula:

(58d)

ddro

0. En el espacio tres esto solo se tiene que probar para los casos en don­ de ro es de orden 0, bien, 1 . Ahora bien, si ro es un escalar a(x, y, z), por (58a, b) se tiene d2ro d( ax dx -t Uy dy + Uz dz) 0. En realidad, esto solo es una manera diferente de expresar Ia regia enunciada en la p. 253 de que rot(grada) 0 para cualquier escalar a. De modo semejante, a partir de (58b, c), para caso de una forma diferencial de primer orden ro = A dx + B dy + C dz se encuentra que d2ro d[( C11 - Bz)dy dz + (Az - Cx)dz dx + (Bx .- A11)dx dy] 0. Nuevamente, esto no es otra cosa que Ia regia div(rotR) 0 , valida para cualquier vector R (ver Ia p. 211). El problema inverso, de encontrar una forma que . tenga una forma ro dada como su derivada exterior, es basico. Es posible que se desee representar una forma diferencial ro dada, como d't (58e) con una forma diferencial apropiada Se dira que ro es una diferen­ cz'al exacta, o total, cuando es posible esa representacion. Aplicando Ia regia (59) a la diferencial se ve que una condicz'6n necesaria para que ro sea una dzferencz"a l exacta es que dro 0. 1 . Resulta que esta condicion tambien es suficiente; decir, para dro = 0 , la ecuaci6n (58e) tiene una soluci6n siempre que nos restrz'njamos a una vecindad rectangular de un Punto (xo, yo, zo) interior al dominio de defz'nicz'6n 2 de ro. =

o

=

=

=

=

=

=

't

(J} =

't.

't,

't,

iLas formas

ro

es

para las cuales dro = 0 se Haman cerradas.

=

·

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

365

Se probara esta proposici6n por separado para cada orden de ro. Si es de orden 1, digamos ro = A dx + B dy + C dz, entonces, por (58b), Ia condici6n dro = 0 es equivalente a las relaciones (58f) Cy - Bz = 0, Az - Cx = 0, Bx - Ay = 0. Pero, precisamente, estas son las condiciones de i'ntegrabi'lidad que nos permiten representar a ro como Ia diferencial total de alguna funci6n f, siempre que el punto (x, y, z) este restringido a encontrar­ se en un paralelepipedo rectangular que contenga a (xo, yo, zo) o, mas generalmente, un conjunto simplemente conexo (ver Ia p. 134). Para ro de orden 2, ro = a dy dz + b dz dx + c dx dy, por (58c), Ia condici6n dro = 0 es equivalente a ax + by + Cz = 0. (58g) Sup6ngase que esta condici6n se satisface en el paralelepipedo rec­ tangular I x - xo I

< Tl,

I Y - yo I

<

r2 , I z - zo I < ra .

Se tiene que demostrar que ro = dt, donde t es de Ia forma t = A dx + B dy + C dz.

Esto significa que tienen que encontrarse las funciones A , B, C para las cuales a

= Cy - Bz,

b = Az

--: ·

Cx, c = Bx - Ay.

Tratemos de satisfacer estas ecuaciones haciendo C 0. Entonces A y B tienen que ser de Ia forma :=

2 Siempre se supondra que las formas diferenciales consideradas aqui tienen coefi­ cientes con tantas derivadas continuas como sean necesarias para que se cumplan los argumentos de que se trate.

366

Introduccion al cilculo y al analisis matematico

A(x, y, z) = a(x, y) + J(zoz b(x, y, �) d�, B(x, y, z) = �(x, y) - Jrzoz a(x, y, �) d�

para satisfacer las dos primeras ecuaciones. Se concluye, aplicando la condici6n (58g), que a a a az (Bx - Ay) = ax Bz - ay Az = - ax - by Cz. De aqui que Bx - Ay - c no depende de z. La tercera ecuaci6n c = Bx - Ay, se satisfara para toda z en cuesti6n si se cumple para z = zo. De aqui que solo se tienen que determinar las funciones a(x, y) �(x, y) de tal manera que �x(x, y) - ay(X, y) = c(x, y, zo). =

y

Esto se logra, por ejemplo, tomando

a(x, y) = 0, �(x, y) = Jxxo c(�, y, zo)d�.

Por ultimo, para un operador de tercer orden

co = a(x, y, z)dx dy dz siempre se satisface Ia condici6n dco = 0. Se desea representar co en Ia forma co = dr., donde r. es una forma diferencial de segundo orden r. = a dy dz + b dz dx + c dx dy. Por (58c), esto equivale a encoritrar funciones a, b, para las cuales ax + by + Cz = a. c

Evidentemente, una soluci6n est a dada por

a(x, y, z) = b(x, y, z) = 0, c(x, y, z) = Jzoz a(x, y, �)d�.

i Esto prueba el teore na.

Desarrollos y aplicacienes del calculo diferencial

367

Ejercicios 3.6c

dw para cada uno de los casos siguientes: (a) w = arc tan yfx (b) w = y dx - x dy (c) w = f(x, y) dx dy (d) w = x 2 cos y sen z dy dz - x sen y sen z dz dx + x cos z dx dy (e) w = (z2 - y2)x dy dz + (x2 - z2)y dz dx + (y2 - x2)z dx dy.

1 . Evaluar

2 . Para las formas de primer orden en tres variables , demostrar que

3 . Demostrar que cualquier producto de formas exactas de primer orden en tres variables es exacta.

d. Formas dijerenciales exteriores en coordenadas arbitrarias

Hasta aqui siempre se han considerado las formas diferenciales como combinaciones lineales de productos alternantes de las diferen­ ciales dx, dy, dz de las coordenadas cartesianas x, y, z en el espa­ cio. Se hizo un �so esencial de esta representaci6n de las formas en terminos de dx, dy, dz al definir el producto de dos formas la derivada de una forma. La utilidad de las formas diferenciales alter­ nantes en las aplicaciones depende del hecho de que pueden definirse estas formas llevarse a cabo las operaciones con elias1 de la misma manera, cuando el espacio euclidiano tridimensional es referido a coordenadas curvilineas u, v, w. cualesquiera. Mas generalmente, esto se cumple sobre cualquier espacio o variedad 2 no euclidianos tri­ dimensionales referidos a los parametros u, v, w, por ejemplo, sobre una "superficie" tridimensional en el espacio euclidiano tetradimen­ sional. Lo importante es que las operaciones con las formas pueden definirse de una manera invariante, sin hacer·.referencia a un sistema coordenado especial, que las formulas resultantes son semejantes en todos los sistemas. En este contexto, se piensa en los puntos P del espacio �tridimen­ sional, o de una variedad E como objetos geometricos que existen y

y

y

l.Aqui se elige la dimension 3 solo en beneficia de la definicion. Todas estas con­ sideraciones son igualmente validas para cualquier otro m1mero de dimensiones. 2 Por lo general , se usa el termino "variedad" para denotar un conjunto dado pa­ rametricamente de cualquier m1mero de dimensiones "! � n en el espacio eucli­ diano n-dimensional .

Introduccion al cilculo

368

y

al anilisis matematico es

independientemente de cualquier sistema coordenado. Un escalar f una funci6n de P con numeros reales como valores (es decir, una aplicaci6n de � hacia el eje de los numeros reales). Sin embargo, existen muchas maneras de describir los puntos P por medio de coor­ denadas curvilineas, es decir, por medio de ternas de numeros (u, v, w) ; por ejemplo, pueden usarse coordenadas rectangulares o coor­ denadasmesfericas en el espacio euclidiano. Siempre supondremos que dos siste as coordenados cualesquiera de �se tipo, digamos u, v, w u', v', w', est an relacionados por las ecuaciones de transformaci6n

y

u' = �(u, v, w),

v' = 'V(u, v, w),

w' = x(u, v, w),

donde �' 'II, X, son funciones continuas con tantas derivadas continuas como se requieran para las operaciones consideradas, y con un jav' ' w') que no se anula.2 En ese caso, u, v, w pueden cobiano d(u' d(u, v, w) expresarse mediante formulas semejantes en terminos de u', v', w'. En un sistema coordenado dado, u, v, w un escalar f = f(P) se convierte en una funci6n f(u v, w) de las coordenadas u, v, w del punto P. En general, en sistemas coordenados diferentes las funciones que re­ presentan el mismo escalar son bastante diferentes. Sobre la variedad 2: , sea C una curva con la representaci6n parametrica P = P(t) ; con cada numero real t de un cierto intervalo, · la ecuaci6n parametrica asocia un punto P de la variedad 2:. Cual­ quier escalar f(P) definido sobre 2: proporciona una funci6n de t a lo largo de C, obtenida formando Ia composici6n f(P(t) ) Si esta fun­ cion es diferenciable tiene sentido formar Ia derivada df/dt, Ia cual esta definida para la curva dada y Ia representaci6n parametrica de C, independientemente de cualquier sistema coordenado curvilineo usado para 2:. En un sistema coordenado dado las propias coor­ denadas u, v, w de un punto P son funciones u = u(t), v = v(t), w = w(t) ; y f(P(t)) esta dada por la funci6n compuesta f(u(t), v(t), w(t)). Suponiendo que f(u, v, w) y u(t), v(t), w(t) tienen derivadas continuas, por la regla de la cadena de la derivaci6n se encuentra que en el sis­ tema particular u, v, w, df/dt toma la forma ·

'

.

(59)

df - ar du + ar dv + ar dw dt - au dt au dt aw dt .

2 La representaci6n particular de la transformaci6n que comprende las funciones uniformes 9, 'If, X solo necesita ser valida localmente, es decir, en una vecindad lo suficientemente pequefia de algun punto .

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

369

Una forma diferencial de orden cero en � es precisamente un es­ calar f. La forma diferencial general de primer orden, se define como una expresion formal del tipo w,

donde a1, . . . , aN, {!, . . , {N son escalares dados. A lo largo de cualquier curva C referida a un parametro con ro se asocia la fun­ cion de t, denotada por rofdt, que se define por .

t,

Dos formas, y

se consideran iguales si c.

para cualquier curva C cualquier parametro t a lo largo de En un sistema coordenado u, v, w particular, rofdt se convierte en y

donde

a

ti , A = � at 'au i= l N

at

N t C = :E at ­ aw i= I

son escalares definidos · en :E. Debido a la definicion de igualdad de formas diferenciales de primer orden, se puede escribir ro como ro = A du + B dv + C dw

Aqui los coeficientes A, B, C de ro, referidos a un sistema coordenado u, v, w particular, estan determinados de modo unico; porque si para "la curva C se toma una "linea coordenada", digamos u = t, v = constante, w = constante, se encuentra

370

lntroduccion al calculo y al analisis matematico

� du = A ' dt = � y,

de modo semejante,

.

(i)

dv = B ,

(i)

dw = C.

De donde en cualquier sistema coordenado u , v, w, particular ro se puede escribir como (i)

(i)

(i)

ro = du - du + dv dv + dw dw'

(60)

-

-

donde rofdu en realidad representa la derivada parcial que se forma a lo largo de una curva donde v w son constantes. Esta formula puede considerarse como una extension de la regia de la cadena (59), par­ tiendo de la diferencial df de cualquier escalar f extendiendola a una forma diferencial general de primer arden, ro. Exactamente de la misma manera puede ahara definirse una for­ ma diferenci'al alternante de segundo orden , ro , como una expresion formal del tipo y

y

(61a)

donde a1, . . . , aN, {1,� . . . , {N, g1, . . . , gN son escalares definidos sabre �- Sabre cualq ier superficie S en� , referida a los parametros s, t, con la forma ro se asocian los valores rofds dt definidos por (61b)

d({i , gt) ds� dt = "t, at d(s, t) = f at i- 1

i= I

Dos formas, ro ro', aunque se representen con I a ayuda de escalares diferentes se consideran identicas cuando determinan los mismos valores rofds dt = ro'/ds dt sabre cada una de las superficies corres­ pondientes a todas las representaciones parametricas. Ahara bien, en cualquier sistema coordenado v, w particular, para dos ecalares {, g se tiene y

u,

Desarrollos

y

aplicaciones' del ca1cu1o diferenda1

Esto es equivalente a la formula (63c} dL = L: dai d{i ,

373

i

y muestra que la forma de segundo arden dL no depende de la re­ presentaci6n particular (63a) de L en terminos de los escalares ai , {£. Es la genera liz a cion natural de la formula (58b) para el caso especial de la derivada de una forma L expresada como L = A dx + B dy + C dz. En el caso particular en que la forma de primer arden, L, es una diferencial total -es decir, L = d{con un escalar f- de (63c) se en­ cuentra, por supuesto, que dL = 0. Por lo tanto, para un operador f de arden 0 se cumple la regia ddf = 0 Cuando L se representa en terminos de un sistema coordenado u, v, w particular en el espacio, por media de la forma estandar L = A du + B dv + C dw, de ( 61 f), ( 63 b) se encuentra que dL = dA du + dB du + dC dw dL du du dL dw du + = dL du dw + -

dw d u duu u dw d_£ - _1_aw I!_) _f_ - au_§_ dw £) dw du = (j_ au dw aw du du du dw + (j_ + (au _§_ I!_ - � £) du du du au du = ( C v - Bw) du dw + (Aw - Cu) dw du + (Bu - A v) du du,

lo que concuerda con la formula (58b ). Si dL = 0, se obtiene, como antes, que Cv - Bw Aw - Cu = Bu que localmente existe un escalar f para el cual - Avfu,= B0. =Sefconcluye = v, C fw , o bien L = df. A Finalmente, se define una forma diferencial alternante de tercer orden por una expresion formal =

=

(64a)

372

Introdu(:cion al calculo

y

al analisis matematico

El producto LM de dos formas de primer orden, (62a} a . sobre una superficie con p rametrps t, se define como aquella for­ ma de segundo orden, ro, para la cual s,

(62b)

ro

L M

L M

ds dt = ds dt - dt ds _- 7 at aas{i 't bk aatgk _ � at aafit � bk aasgk gk) = 2: aibk d({t, d(s, t) �

�

�

�

.1

i. k

Consecuentemente, si L M estan dadas por (62a}, LM puede iden­ tificarse con la forma de segundo orden (62c} y

Sin embargo, la definicion de ro/ ds dt dada por (62b) no depende de la representacion particular de L M en terminos de los escalares ai, {t, bk, gk; de aqui que la formula (62c) debe representar la misma forma ro = LM para todas las representaciones de los factores L, M. Otra manera de generar formas de segundo orden a partir de las de primer orden es derivando. Dada la forma de primer orden (63a} y

puede definirse dL sin hacer referenda a algun sistema coordenado particular, por medio de la prescripcion (63b}

dL = a L - a L dt as dt at ds aft - a at aft = aas � at at at � as at, {t) . = 2: (aasa, 8atft - aata, 8asft ) = 2: d(d(s, t)

ds

i

1 Aqui M/ds y M/dt denotan la derivaci6n (o derivada) "parcial" con t y s, respec­ tivamente, mantenidas constantes. (Dificilmente puede hacerse una distinci6n con­ sistente entre la derivaci6n ordinaria y la parcial . )

Desarrollos: y aplicaciones del calculo diferencial

375

Esto equivale a la formula (65a) como puede esperarse a partir de la multiplicaci6n fonnal de las ex­ presiones para L ro. Cuando L ro estan en su forma estandar L = A du + B du + C dw, ro = a du dw + b dw du + c du du dado, el producto se convierte para un sistema coordenado y

y

u, v, w

en

Leo = (Aa + Bb + Cc) du du dw, (65b) en acuerdo con (57c). La derivada de la forma de segundo orden

se puede definir independientemente de cualquier sistemacoordenado espe'cial, por la regia

a ro a ro a ro dro d_r_d_s_d_t = ar d_s_d_t + as d_t_d_r + at d_r_d_s d(gt, ht) + _§__ 2: at d(gt, ht) + _§___ 2: d(gt, ht) . = .§___ 2: at ar d(s, t) as d(t, r) at d(r, s) i

i

i

at

Asi ,

dro d(at, gt, ht) dr ds dt = � d(r, s, t)

(66a)

como

se verifica facilmente. De a qui que la definicion dada para dro plica im que

dro = 2: dat dgt dht .

(66b)

Para

i

ro

,

en la forma estandar

Introduccion al calculo

374

y

al analisis matematico

con escalares at, {t , g1, ht. En cualquier sistema parametrico r, s, t en el espacio, (64a) define los valores

d( t , gt , ht) dr ds dt f at d{(r, s, t) . Con referencia a un sistema coordenado u, v, particular se puede ro

(64b)

=

i=I

w

escribir

d({t , gt , ht) d(u, v, w) dr ds dt = f at d( u, v, w) d(r, s, t) . ro

(64c)

i= I

Esto equivale a la identidad

ro

(64d)

donde

a

(64e)

=

=

a

du dv dw,

({t , gt , ht ) f at dd(u, v, w)

i= I

.I

Se puede definir el producto Lro de una forma de primer orden, y

una forma de segundo orden,

especificando que Lro

L

ro

L

ro

L

ro

dr ds dt = dr ds dt + ds dt dr + dt dr ds

1 En el espacio n dimensional , referida a los parametros (64c, d, e) se tiene Ia formula

donde

ro =

2:

j. k,m= t . . . . n j < k <m

AJkm dui duk dum,

Ut,

.

.

• ,

un, en Iugar de

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

377

f(x, y) para todo (x, y) =F (x1, Y1) en R . El teorema basico de la p. 1 44 nos asegura que si R es un conjunto cerrado acotado f es continua y

y

en R, entonces existen puntos en R donde f tiene su maximo bien puntos donde f tiene su minimo.

y

tam­

Como un ejemplo, considerese la funci6n u = x2 + y2 en el disco cerrado dado por x2 + y2 1. La superficie S es la porci6n del paraboloide de revoluci6n z = x2 + y2 que se encuentra por debajo del plano z = 1. Aqui los maximos de f ocurren en todos los puntos del circulo frontera x2 + y2 = 1, mientras que f tiene un minimo es­ tn:cto en el origen. El calculo se aplica directamente a la determinacion de los maximos o minimos relativos, en Iugar de los extremos absolutos. Un punto (xo, yo) del dominio R es un maximo . relativo si f(xo, yo) � f(x, y) para todos los puntos (x, y) de R que se encuentren en una ¥ecindad lo suficientemente pequefia de (xo, yo). El valor f(xo, yo) en un maximo relativo no tiene que ser el mayor valor de f en todo R, sino que es un maximo de f si nos restringimos a puntos lo suficien­ temente pr6ximos a (xo, yo). Los minimos relativos se definen de manera analoga. Todo maximo (minimo) absoluto tambien es un maximo (minimo) relativo, pero la redproca no se cumple. Por ejem!7lo, la funci6n u = (x2 + y2)3 3(x2 + y2), cuyo dominio sea el disco abierto . x2 + y2 4, no tiene maximo pero tiene un maximo relativo en el . orgien. Todos los puntos sobre el drculoe x2 + yz = 1 son p�ntos minimos. Aqui la superficie S se genera haci ndo girar la curva z = x6 3x2 alrededor del eje Las definiciones de minimos absolutos o relativos para funciones u = f(x, y, z, . ) de mas variables independientes son enteramente semejantes. Se daran primero las condiciones necesarias para la ocurrencia de maximo o minimo relativo en un punto interior (xo, y0) del do­ un minio R de la funci6n f(x, y). Usaremos el termino extremo relativo para incluir tanto a los maximos como a los minimos.f Sea ahora (xo, yo) un punto interior del dominio R de la funci6n (x, y), y sup6n­ gase que f tiene las derivadas parciales fx(xo, yo), {y(Xo, yo) en ese punto. Para que ocurra un extremo relativo de f en el punto (xo, y0), <

•

<

-

z.

-

.

.

·

es n ecesario

r(67a)

que:

fx(xo, yo)

= 0,

{y(Xo, Yo)

= 0.

Las condiciones (67a) se deducen inmediatamente a partir de las �tonocidas condiciones para las funciones de una sola variable. P6n-

376

Introduccion al calculo

(66c)

ro = a dv dw

se obtiene (66d)

y

al analisis matematico +

dro = ( au

b dw du + c du dv +

b v + Cw) du dv dw.

Puede usarse nuevamente esta representaci6n especial para dro , como en la p. 3 1 5 , para demostrar que una forma de segundo orden con dro = 0 es representable localmente como ro = dL, donde L es una forma diferencial de primer orden apropiada. ro

Ejercicios 3. 6d 1 . En las coordenadas esfericas x = p sen ¢> cos 6 , = p sen tjJ sen 6, = p cos , elijanse los vectores unitarios u, v, w en Ia direcci6n de las lineas r. + v ¢> +
y z dX (dx, dy, dz) udp pd dX df.

3. 7

Maximos y minimos

a. Condiciones necesarias

Para las funciones de varias variables, como para las funciones de una sola variable, una de las aplicaciones mas importantes de Ia derivaci6n es la teoria de los maximos y minimos. Empezaremos por considerar una funci6n u f(x, y) de las dos variables independientes X, y. El domz"nio de la funci6n sera un cierto conjunto R en el plano x, y . Puede representarse f en el espacio x, y, z por la superficie S con ecuaci6n z = f(x, y). Se dice que f(x, y) tiene un maxz"mo 1 en el punto (xo, y0) de su dominio R, si f(xo, yo) � f(x, y) para todo (x, y) en R . Tal maximo corresponde a uno de los puntos mas elevados de la superficie S. Se habla de un maxz"mo es­ tricto si, realmente, f(xo, yo) > f(x, y) para todo (x, y) en R que sea diferente de (xo, yo), de modo que el valor maximo de la funci6n unicamente se alcanza en el punto (xo, yo). De modo semejante, se dice que f(x, y) tiene un minimo en el punto (x1, y1) de R si {(x1, Yl) � f(x, y) para todo (x, y) en R, un minimo estricto si {(x1, YI) < =

1Tambien llamado maximo absoluto, en contraste con el maximo relativo que se define a continuaci6n. La terminologia usada aqul es exactamente Ia misma que para las funciones de una sola variable; ver el Volumen I (pp. 2 38 y siguientes) .

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

379

tiene punto maximo ni minima sino que tiene un punto sz'lla de man­ tar (o simplemente, punto sz'lla) en el origen (ver la Fig. 3. 1). Se ve que los puntas maximo y minima de una funci6n diferen­ ciable se encuentran sobre la frontera del dominio o se tienen que buscar entre sus puntas criticos. Para decidir si, en realidad, un pun­ to critico es un maximo o mlnimo se requiere una investigacion es­ pecial. En la p. 349 se encontraran las condiciones que son suficientes para asegurar que un punto critico es al menos un extremo relativo. El valor maxz'mo M de una funcion f(x, y) es el mayor de todos los valores alcanzados por f en los puntos de su dominio R. Los puntos maximos de f son aquellos para los cuales f(x, y) = M.l De modo semejante, los valores critz'cos o estacz'onarz'os def son aquellos que al­ canza en los puntos criticos o estacionarios. b. Ejem,plos

1. La funci6n

u = v'l

_

x2

_

tiene las derivadas parciales

(x2 + y2 < 1)

y2

y

X Ux = - v'l - x2 - y 2 '

- uY Jl - x2 - y2 '

y

estas se anulan en el origen. Aqui se tiene un maximo, porque en todos los demas puntos (x, y) en la vecindad del origen la cantidad 1 x2 - y2 en el radicando es menor que la que se tiene en el origen. 2 . Se desea construir el triangulo para el cual el producto de los senos de los tres angulos sea maximo; es decir, se desea encontrar el maximo de la funci6n {(x, y) = sen x sen y sen (x + y) la regwn 0 � � 0 � y � 0 � x + y � Como f es po­ sitiva en el interior de esta region, su valor maximo es positivo. Sobre la frontera de la region, donde se cumple el signo de igualdad en al -

en

x

1t,

7t,

1t .

lA veces se usa el termino "maximo" en una forma un tanto ambigua, refiriendose sea al valor maximo o a un punto argumento (x, y) donde f toma su valor ma­

ya

ximo.

378

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

gase �(x) = f(x, yo). Entonces �(x) esta definida para toda x lo suficientemente proxima a Xo y tiene en xo la derivada¢'(x0) = {x(Xo, yo). Si f(xo, yo) � f(x, y) para todo (x, y) en R que este lo suficien­ temente proximo a (xo, yo), entonces, en particular, �(xo) � �(x) para toda x lo suficientemente proxima a xo. Se concluye (ver el Volumen I , p. 241 ) que �'(xo) = 0 ; esto es, fx(xo, yo) = 0. De modo semejante se deduce la segunda condicion necesaria, {y(Xo, y0) = 0 Geometricamente, la anulacion de las derivadas parciales de f(x, y) en el punto (xo, Yo) significa que en el punto (xo, yo, f(xo, yo)) el plano tangente a la superficie z f(x, y) es paralelo al plano x, y-. Se dice que (xo, yo) es un punta estadonario o critico de f(x, y) si las primeras derivadas fx(xo, Yo), fy(Xo, y0) ambas existen y se anulan. De aqui que todo extrema relativo en el interior del dominio de una funcion diferenciable f es un punto critico de f. El mismo resultado se aplica a las funciones f(x, y, z, . . . ) de cualquier numero de variables independient�s. Aqui (xo, yo, zo, . . . ) . es un punta estacionario o critico de f si todas las primeras derivadas fx, {y, . en ese punta existen y satisfacen fx(Xo, yo, zo, . . ) = 0, {y(Xo, yo, zo, . . . ) = 0, (67b) fz(xo, yo, zo, . . ) = 0, . . . . El numero de condiciones es igual al de variables independientes x, y, z . . . . Pueden combinarse las condiciones en el requerimiento unico de que { f df = x dx + y dy + {z dz + · · · = 0 para (x, y, z, . . . ) = (x0, y0, z0, ) y todas las dx, dy, dz, . Como el numero de las ecuaciones (67b) es igual al numero de in­ cognitas Xo, Yo, Zo , . . . ' comunmente se espera encontrar un numero finito de puntas criticos, aunque, por supuesto, no siempre es asi. Es mas, un punta critico no necesariamente tiene que ser un extrema relativo Considerese, por ejemplo, la funcion u = xy. Las dos ecuaciones (67a) inmediatamente dan el punta X = 0, y = 0 como el unico pun­ to critico. Sin embargo, en toda vecindad de (0, 0), la funcion puede tamar tanto valores positivos como negativos, dependiendo del cuadrante que contenga a (x, y). Por lo tanto, la funcion no tiene ex­ trema relativo en este punta. Geometricamente, la superficie que represent4 a la funcion u = xy es un paraboloide hiperbolico que no =

.

•

•

•

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

379

tiene punto maximo ni minimo sino que tiene un punto s'illa de mon­ tar (o simplemente, punto s'illa) en el origen (ver la Fig. 3.1). Se ve que los puntos maximo y minimo de una funcion diferen­ ciable se encuentran sobre la frontera del dominio o se tienen que buscar entre sus puntos criticos. Para decidir si, en realidad, un pun­ to critico es un maximo o minimo se requiere una investigacion es­ pecial. En la p. 349 se encontraran las condiciones que son suficientes pa,ra asegurar que un punto critico es al menos un extremo relativo. El valor max'imo M de una funcion f(x, y) es el mayor de todos los valores alcanzados por f en los puntos de su dominio R. Los puntos maximos de f son aquellos para los cuales f(x, y) = M.l De modo semej ante, los valores crit'icos o estacz"onar'ios de f son aquellos que al­ canza en los puntos criticos o estacionarios. b. Ejemplos

1 . La funcion

u=

.Jl

_

x2

_

tiene las derivadas parciales - Ux -

X

Uy = -

J l - x2 - y2 '

(x2 + y2 < 1)

y2

y J l - x2

.;_

y2 '

y

estas se anulan en el origen. Aqui se tiene un maximo, porque en todos los demas puntos (x, y) en la vecindad del origen la cantidad 1 x2 - y2 en el radicando es menor que la que se tiene en el origen. 2 . Se desea construir el triangulo para el cual el producto de los senos de los tres angulos sea maximo; es decir, se desea encontrar el maximo de la funci6n f(x, y) = sen x sen y sen (x + y) en la region 0 � � 0 � y � 0 � x + y � Como f es po­ sitiva en el interior de esta region, su valor maximo es positivo. Sobre la frontera de la region, donde se cumple el signo de igualdad en al -

x

7t,

7t,

1t .

lA veces se usa el termino "maximo" en una forma un tanto ambigua, refiriendose

ya

sea al valor maximo

ximo.

0

a un punto argumento (x, y) donde f toma su valor ma­

380

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

menos una de las desigualdades que la definen, se tiene f(x, y) = O,de modo que el valor maximo se debe encontrar en el interior. Si se igualan las derivadas a 0 se obtienen las dos ecuaciones cos x sen y sen (x + y) + sen x sen y cos (x + y) = 0, sen x cos y sen (x + y) + sen x sen y cos (x + y) = 0. Supqesto que 0 < X < 0 < y < 0 < X + y < estas dan tan x = tan y, o bien, x = y. Si se sustituye este valor en la primera ecuaci6n se obtiene la relaci6n sen 3x = 0 ; de aqui que x = 7t/3, y 7t/3 es el unico punto estacionario y el triangulo requerido es equilatero. 3. Tres puntos P1, P2, Pa, con coordenadas (x1, y1), (x2, y2), y (xa, ya), respectivamente, son los vertices de un triangulo acutan­ gulo. Se desea encontrar un cuarto punto P con coordenadas (x, y) tal que la suma de sus distancias a P1 , P2, Pa sea la menor posible. Esta suma de distancias es una funci6n continua de x y y, y en algun punto P interior a un circulo grande que encierre al triangulo tiene un valor minimo. Este punto P no puede estar en un vertice del triangulo, porque entonces el pie de la perpendicular bajada desde cualquiera de los otros dos vertices a su lado opuesto corresponderia a una suma menor de las distancias. Nuevamente, P no puede estar sobre la circunferencia del circulo' si esta esta lo suficientemente alejada del triangulo. Con las distancias definidas por 1t,

1t ,

1t,

=

y

n

ri

=

-J(x - Xt)2 + (y

-

Yt)2

se desea minimizar la funci6n

f(x, y) = rt + r2 + ra,

la cual es diferenciable en todo punto excepto en P1, P2 , P3 . Se sabe que en el punto P las derivadas parciales con respecto a x y a y deben anularse. Por tanto, derivandofse obtienen las condiciones y

X - Xl

--

r1

+

X - X2

--

r2

+

X - X3

--

ra

= 0,

- Y2 Y - Yl - Ya -- + Y-+ Y-= 0

r1

r2

ra

para P. De acuerdo con estas ecuaciones, los tres vectores coplanares

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

381

(X2 r- X ' Y2 - Y) ' ( X3 - X ' Y3 - Y) r r3 r3

2 2 tienen el vector suma 0 . Tambien, cada uno de estos vectores tiene longitud unitaria. Cuando se les da el punto inicial comun P sus puntos finales forman un triangulo equilatero; es decir, cada vector se haec coincidir con el que le sigue haciendolo girar un angulo de !rc (Fig. 3 . 27 ) . Como estos tres vectores tienen las mismas direcciones que los tres vectores desde P hacia P1, Pu2 , P3, se deduce que cada uno de los tres lados del triangulo debe s btender el inismo angulo !rc en el punto P.

pl Figura 3 .27

Ejercicios 3. 7b 1. Encontrar los puntos estacionarios de las funciones siguientes, s� naturaleza : (a) (b)

(c)

(d)

(e)

2.

y

establecer

f(x, y) = y2(sen x - x/2) f(x, y) = cos (x + y) + sen (x - y) f(x, y) = yx f(x, y) = xfy f(x, y) = ye-x2.

Determinar los maximos

y

minimos de la funci6n

(ax2 + by2)e-x2-y2

·3� Encontrar los valores de x, y que hagan estadonaria a

2x3 + (x - y)2 - 6y

(O


b).

382

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

4. La suma de las longitudes de las 1 2 aristas de un bloque rectangular es a;

a2/25.

la suma de las areas de las 6 caras es Calcular las longitudes de las aristas cuando es maximo el e xceso del volumen del bloque sobre el de un cubo cuya arista es igual a la menor arista del bloque . 5 . Encontrar los puntos estacionarios y establecer su naturaleza , para la funci6n.

f(x, y, z) = X2(y - 1)2 (z + �) 2•

6 . De acuerdo con las presentes normas postales en los Estados Unidos, se puede transportar un b ulto rectangular con longitudes de sus lados iguales a pulgadas , con solo si + + En­ contrar el volumen maximo de un bulto transportable bajo esta condi­ cion. [ Sugerencia . Hagase = +

X, y, z

X ;;;;:;; y ;;;;:;; z 2(x y) z ;;;;:;; 100. z 100 - 2(x y).] 7 . Minimizar la suma de los cuadrados de las distancias de un punto X a puntos dados . c.

Maximos

y

n

minimos con condiciones subsidiarias

El problema de determinar los maximos y minimos de funciones de varias variables frecuentemente se presenta en una forma diferen­ te. Por ejemplo, es posible que se desee hallar el punto de una super­ fide dada {>(x, y, z) = 0 mas proximo al origen. Entonces se tiene que minimizar la funci6n f(x, y, z) = -Jx2 + y2 + z2 , donde, empero, las cantidades x, y, z ya no son tres variables in­ dependientes sino que estan relacionadas a traves de la ecuaci6n de la superficie {>(x, y, z) = 0 como una condici6n subsidiaria. De hecho, tales maximos y minimos con condiciones subsidiarias no representan un problema fundamentalmente nuevo. Asi, en el ejemplo solo se requiere resolver una de las variables, digamos como una funci6n de las otras dos, para reducir el problema al de determinar los valores estacionarios de una �nci6n de las dos variables indepen­ dientes x, y. No obstante, es mas conveniente y tambien mas elegante expresar las condiciones para un valor estacionario en una forma simetrica, en la cual no se da preferencia a ninguna de las variables. Un caso tipico sencillo lo presenta el problema de encontrar los z,

valores estacionan·os de unafund6n f(x, y), cuando las dos variables x, y no son mutuamente independientes sz"no que estan relacionadas por medio de una condici6n subsz"diaria

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

(>(x, y)

383

0. Con el fin de tener una vision geometrica, sup6ngase primero que Ia condici6n subsidiaria se representa, como en Ia Fig. 3.28, por una curva en el plano x, Y sin singularidades y que, ademas, Ia familia de curvas f(x, y) = c = constante cubre una porci6n del plano, como en la figura. Entre las curvas de Ia familia que se cortan con Ia curva =

Figura 3 . 28 Valor extremo de J con Ia condici6n subsidiaria (J = 0.

,p = 0,

c

se tiene que encontrar aquella para Ia cual Ia constante es o minima. Conforme se describe Ia curva (> = 0, se cruzan axima m curvas {(x, y) = c, y en general, cambia mon6tonamente; en el las punto en donde se invierte el sentido en el que se reo)rre la escala se puede esperar tener un valor extrema. En la Fig. 3 . 28 se ve que c · 6curre para la curva de la familia que toea a las curva (> = 0. Las �to oordenadas del punto de contacto seran los valore requeridos X = l;,�y �· correspondientes al valor extrema de f(x, y). Si las dos curvas f = constante y (> = 0 se tocan, tienen Ia misma tangertte. De don­ se cumple la relaci6n proporcional de, en el punto x = � ' y = c

c,

11

11,

{x : {71

=

t/Jx : t)y ;

0 bien, facen

si se introduce la constante de proporcionalidad A., se satis­ las dos ecuaciones {x + A�x = 0

Estas, junto con la ecuaci6n f.

{11 + 'At)11

= 0

(>(x, y)

0,

=

384

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

sirven para determinar las coordenadas (s, 11) del punta de contacto tambien la constante de proporcionalidad A . Este argumento puede fallar, par ejemplo, cuando la curva � = 0 tiene un punta singular (digamos una cuspide, como en la Fig. 3.29) en el punta (s, 11) en el cual encuentra a una curva f = c , con la c mas grande o mas pequefia posible. En este caso, sin embargo, se tienen las dos condiciones y

�x(s, rt) = o

Figura 3 . 29

� y(s, 11)

y

= o.

Valor extremo en un punto singular de t) = 0

Se ha llegado intuitivamente a la regia que sigue, probara en la subsecci6n siguiente:

Ia

cual se

Para que pueda ocurrir un valor extremo de la funci6n {(x, y) con la condici6n subsidaria f>(x, y) c;, y = YJ, donde en el punto x no se anulan simultaneamente f>x(C,, 17) y rp y(c;, 17) de be existir una constante de proporcionalidad A. tal que se satz'sfagan las dos ecuaczones

=

= 0,

(67c)

fx(S, 11) + Ar/>x(s, 11 ) = 0

junto con la ecuad6n

y

I

f>(s , rt)

(67d)

= o.

Este se conoce como metodo de Lagrange de los multipHcadores in· determinados el factor A es el multiplicador de Lagrange. Se observa que esta regia da tantas ecuaciones para la determi­ naci6n de las cantidades s, 11 , A como inc6gnitas existen. Par lo y

y

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

385

tanto, se ha remplazado el problema de encontrar las posiciones de los valores extremos (�, 11) por un problema en el que existe una in­ cognita adicional, A. , pero en el que se tiene la ventaja de la com­ pleta simetria. Normalmente, la regla de LagTange se expresa del modo siguiente:

Para encontrar los valores extremos de la funcion f(x, y) sujeta a la condicion subsidiaria (J(x, y) = 0, a {(x, y) se le agrega el praducto de (J(x, y) y un factor desconocido A. independiente de x y y, y se es­ crzben las condidones necesarias conocidas,

fx + AfJx = 0,

{y + A.{Jy = 0,

para un valor extremo de F = f + A.(J. En conjunci6n con la con­ dici6n subsidiaria (J = 0 estas sirven para determinar las coorde­ · nadas del punto extremo la constante de proporcionalidad. Como un ejemplo, encontremos los valores extremos de la funci6n ,

y

u = xy

f

y

sobre el circulo con radio unitario centro en e origen, es decir, con la condici6n subsidiaria x 2 + y2 - 1 = 0 .

De acuerdo con la regla dada, derivando xy + 'A(x2 + y2 - 1) con respecto a x a y se encuentra que, en los puntos estacionarios, tienen que satisfacerse las dos ecuaciones y

y + 2'Ax = 0

X + 2J...y = 0

Ademas, se tiene la condici6n subsidiaria

x2 + y2 - 1 = 0.

�esolviendo, se obtienen los cuatro puntos j:

�

�

):

= - J2 ' 2

1

=

- - -vr2

'I

1

2

1 ): = - J2 �

1'\ =

2

'

1 . - J2 2

'

1 , 11 = - 2 -v 2, -

'

11 =

1

--

2

_J

J2

'

·

386

Introduccion al calculo y al analisis matematico

1 ;­ ..,): = --2 -v 2 '

1

11 = 2 -vr 2,

Los dos primeros puntos dan un valor maximo u = t , y los dos segundos, un valor minimo u = _,.! , para la funci6n u = xy. Que los dos primeros realmente dan el valor maximo y los dos segundos el valor minimo de la funci6n se deduce a partir del hecho de que sobre la circunferencia la funci6n debe..; tomar un valor maximo y un valor minimo (ver la p. 376), puesto q e la circunferencia es cerrada y acotada. u,

Ejercicios 3 . 7c 1,

2. 3. 4. 5.

Resolver el Ejercici o 6 de la Secci6n 3 . .'b como un problema de maxi+ + 100. mizar el volumen sujeto a la condici6n Minimizar la funci6n sujeta a la condici6n 1. + 1. Maximizar la funci6n 1t + sujeta a la condici6n + En el pl ano, minimizar la suma de los cuadrados de l as distancias de un punto X a n puntos dados , sujeta a la condici6 n de que X esta sobre una recta dada (comparar con la Secci6n 3. 7b , Ejercicio 7 ) . Si e s u n maximo o minimo verdadero d e sujeto a Ia condici6n demostrar que , en general , es un maximo· o minimo verdadero de sujeto a la condici6n

2(x y) z = 2 x y= z = x2y x2 y2 = z = cos (x y)

C = {(a, b) ifJ(x, y) = C',

cp(x, y)

{(x, y) C' = ifJ(a, b) f(x, y) = C.

d. DemostraciOn del metoda de los multiplicadores indeterminados en el caso mas sencillo

Como es de esperar, se llega a una demostraci6n analitica del metodo de los multipli():adores indeterminados, reduciendolo al caso conocido de los valore$ extremos "libres". Se supondra que en un punto extremo no se cinulan simultaneamente las dos derivadas par­ ciales �x(�, 11) y �y(�, 11) ; para se especificos, sup6ngase que s6y(�, 11) =I= 0. Entonces, por el teorema de la funci6n implicita (p. 266), en una vecindad de este punto la ecuaci6n �(x, y) = 0 determina a y de modo unico como una funci6n continuamente diferenciable de x , digamos y = g(x). Si se sustituye esta expresi6n en f(x, y), la funci6n {(x, g(x))

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

387

debe tener un valor extrema libre en el punta x = l;. Para esto se debe cumplir la ecuaci6n f'(x)

=

fx + {yg'(x)

=

0

en x = l; . Ademas, la funci6n Y = g(x) definida implicitamente satisface la relaci6n t/>x + . {>11g'(x) = 0 identicamente. Si se multiplica esta ecuaci6n por A = � {11/{>11 se le sum a a fx + f11g'(x) = 0, se ob­ tiene y

fx + At/>x

y,

=

0,

por la definicion de A, se cumple la ecuaci6n

Esto establece el metoda de los multiplicadores indeterminados. Esta demostraci6n hace resaltar la importancia de la hip6tesis de que las derivadas t/Jx t/>11 no se anulan simultaneamente en el punta (�, TJ). Si ambas derivadas se anulan, la regla falla, como muestra el ejemplo que sigue. Se desea hacer que la funci6n y

{(x, y)

=

x 2 + y2

sea un minima, sujeta a la condici6n {>(x, y)

=

(x

- ·

1)3

-

y2

=

0.

y

0

FigUra 3.30

s

La curva (x - 1)3 - y 2 = 0.

388

Introduccion al cilculo

y

al analisis matematico

En la Fig. 3 . 30 , la distancia mas corta del origen a la curva (x - 1)3i - y2 = 0 obviamente esta dada por la recta que une el origen con a cuspide s de la curva (facilmente puede probarse que el drculo unitario con centro en el origen no contiene a otro punto de la cur­ va). Las coordenadas de S - es decir,. x = 1 y = 0- satisfacen las ecuaciones (J(x, y) = 0 lv + Mpy = O,sin importa1· el valor que se le asigne a A, pero y

y

fx + At/Jx = 2x + 3A(X - 1) 2 = 2 =I= 0 .

El metodo de los multiplicadores indeterminados se puede enun­ ciar en una forma ligeramente diferente, la cu�l es particularmente conveniente para la generalizaci6n. Se .ha visto que la anulaci6n de la diferencial de una funci6n F(xt y) en un p1:1nto dado es" una con­ dici6n necesaria para que un valor extrema de la funci6n ocurra en ese punto. Para el problema presente, de modo semejante, se puede hacer la siguiente afirmaci6n:

Para que la funci6n f(x, y) tenga un valor extremo en el punto (�, 1'/) sujeto a la condici6n su bsidiaria tfi(x, y) = 0 , la diferencial df de be anularse en ese punto, donde se considera que las dzferenciales dx y dy no son independientes sino que estan su,Jetas a la ecuaci6n

(67e) deducida de rfi = 0. y dy

Sup6ngase que en el punto (�, TJ) las diferen­ satisfacen la ecuaci6n df = fx(�, 11) dx + f-v(�, 11 ) dy = 0 (67f) siempre que satisfagan la ecuaci6n dtfi = 0. Multiplicando la ecuaci6n (67e) por un m1mero '} sumandola a (67f), se obtiene

ciales dx

(fx

+

At/Jx) dx + (fy + Mpy) dy

Si se determina A de modo que (67g)

=

0.

{y + At/Jy = 0,

como es posible en virtud de la hipotesis de que tfi-v =1= 0, se concluye que (fx + Atfix) dx = 0, como la diferencial dx en (67e) puede elegirse arbitrariamente, digamos igual a 1, se tiene y,

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

389

{x + 'M/Jx = 0.

(67h)

Redprocamente, las relaciones (67g, h) con cualquier A. implican, por supuesto, que df = 0 siempre que drfi = 0. Ejercicios 3 . 7d

1.

Describir la apariencia de la superficie z = f(x, y) + "A
e. Generalizaci6n del metoda de los multiplicadores indeterminados

El metoda de los multiplicadores indeterminados se puede exten­ der a un mayor numero de variables y tambien a un mayor numero de condiciones subsidiarias. Consideraremos un caso especial que in­ cluya todas las caracteristicas esenciales. Se buscaran los valores ex­ tremos de la funci6n u

(68a)

= {(x, y, z, t),

cuando las cuatro variables x, subsidiarias

y,

rfi(x, y, z, t) = 0,

(68b)

z,

t

satisfagan las dos condiciones

'V(X, y, z, t) = 0.

Se supondra que en el punta (l;, 11, s, ) la funci6n f tom a un valor que es un valor extrema cuando se compara con los valores en todos los puntas vecinos que satisfacen las condiciones subsidiarias. Se requiere que, en la vecindad del pun to P = (�, �' -r) , dos de las variables, digamos y t, se puedan representar como funciones de las otras dos, x y y, por medio de las ecuaciones (68b). Con el fin de asegurar que puedan hallarse tales soluciones z = g(x, y) y t = h(x, y) sup6ngase que en el punta P el jacobiano -r

T),

z

(68c)

I

d(rp, 'I') = - rfit'Vz d(z, t) r/Jz'Vt

no es cero (ver la p. 313). Sustituyanse ahara las funciones z = g(x, y) y t h(x, y) 'en la funci6n = f(x, y, z, t), para obtener una funci6n de las dos variables independientes x y y; esta funci6n debe tener un valor exu

�

390

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico 11 ;

tremo libre en el punto x = �' y = es decir, sus dos derivadas par­ ciales deben anularse en ese punto. Por lo tanto, se deben cumplir las dos ecuaciones (69a)

fx

(69 )

{y

b

at az = 0, + {t + {z ax ax

at = 0. + {t + {z az ay ay

Para calcular, a partir de las condiciones subsidiarias, las cuatro . az az at at que ocurren aqui, se pueden escribir las denvadas ' ' iiy' ax ay ax dos parejas de ecuaciones (69c)

(69d)

'l'x

y

+ 'l'z aazx + 'l't atax = 0

(69e)

(69f)

'Jfy

+ 'l'z

az ay

+ 'l't atay = 0

resolver las para las incognitas azjax, . . . ' atjay ; esto es posible por­ que el jacobiano d(r/>, '1')/d(z, t) no se anula. Por tanto, el problema se resolveria. En Iugar de lo anterior preferimos conservar la simetria formal, procedie&como sigue. Se determinan dos numeros 'A y J.l de tal manera que las dos ecuaciones (70a) {z + 'Arf>z + Jl'l'z = 0, (70b) {t + 'Arf>t + J.l'l' t = 0 se satisfacen en el punto donde ocurre el valor extremo. Es posible la determinacion de estos multiplicadores A y J.l, dado que se ha supuesto que el jacobiano d(rf>, 'Jf)/d(z, t) es diferente de cero. Si se multiplican las ecuaciones (69c, d) por A y J.l, respectivamente, y se y

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

391

suman a la ecut�.ci6n (69a), se tiene

az + Ar/>x + �'l'x + (fz + Ar/>z + �'l'z) ax + ({t + Ar/>t + �'l't) atax = 0. De aqui que, por la definici6n (70a, b) de A �' fx + Arpx + �'l'x = 0. De modo semejante, si se multiplican las ecuaciones (69e, f) por A respectivamente, se les suma a la ecuaci6n (69b), se obtiene la otra ecuaci6n {y + Arpy + �'I'Y = 0. Asi se llega al resultado siguiente: si el punto (c;, (, r:) es un ex­ fx

y

y

!l ,

y

1J,

trema de f(x, y, z, t) sujeto a las condiciones subsidiarias (71a)

9(x, y, z, t) =

(71b)

'!'(X, y, Z,

y

0, t) = 0,

si en ese Punto d(rj>, '!1)/d(z, t) no es cero, entonces exzsten los dos numeros A. y f-l tales que, en el punto (c;, 17, (, r:) se satz"sfacen las ecuaciones

+ Ar/>x + �\jfx = 0, fy + Arp y + �\jfy = 0, {z + Arpz + �'l'z = 0, {t + Ar/>t + �'l't = 0, {x

(72a) (72b) (72c) (72d) y

las condiciones subsidiarias (7 la, b).

Estas ultimas condiciones son perfectamente simetricas. Ha de­ saparecido de ell as todo rastro de enfasis especial sobre las dos va­ riables x pudieron haberse obtenido igualmente bien (72a, b, c, d) si, en Iugar de suponer que a(rp, '1')/a(z, t) -=/= 0, simplemente se hub iera supuesto que cualquiera de los jacobianos a(rp, '1')/a(x, y), a(rp, 'V)/o(x, z), . . . , a(¢, '1')/a(z, t) no se anulaba, de modo que, en la iedndad del punto en cuesti6n, una cierta pareja de las cantidades (no necesariamente t) pudieran expresarse en terminos de la otta pareja. Por supuesto, por esta simetria de las ecuaciones se ha pagado un precio; ademas de las incognitas �' 11 , l;, t, ahora tambien y y, y

x, y, z , t

z y

392

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

se tienen A. y En lugar de cuatro incognitas ahora se tienen seis, determinadas por las seis ecuaciones anteriores. Exactamente de la misma manera, se puede enunciar y probar el metodo de los multiplicadores indeterminados para un numero ar­ bitrario de variables y un numero arbitrario de condiciones subsi­ diarias. La regia general es como sigue: J.! .

Sz" en una funci6n

u =

f(xl, X2 ,

.

•

.

, Xn)

las n varia bles XI, x2 , . . . , Xn no son z'ndependz'entes sz'no que estan relacionadas por las m condz'ciones subsidz'arias (m < n)

�l(Xl, X2 , �2(Xl, X2 , �m(Xl, X2 ,

. , Xn) = 0, , Xn) = 0,

• •

•

•

•

•

•

, Xn) = 0, AI, A2 ,

entonces se introducen m multiplz'cadores igualan a 0 las derivadas de la funci6n

F = f + A.19h

+ A-2�2

+

· · ·

•

•

•

, Am y se

+ A.m�m

con respecto a XI, xz, . . . , Xn, cuando AI, Az, . . . , Am son constan­ tes. Las ecuaciones

aF o, axl =

.

aF . , a- = o Xn

asi o btenidas 1 , junto con las m condz'cz'ones su.bsz'dz'arz'as

�1 = 0, . . . , �m = 0,

representan un sistema de m + n ecuaciones para las m + n can­ tidades desconocz'das X1, X2 , . . . , Xn , AI, , Am. Estas ecuaciones de ben ser sati'sfechas en cualquz'er punta extrema de f, a menos que , �m con respect a a todos los jaco bianos de las m funciones ,P1, ,P2 , m de las varia bles X1, , Xn tengan el valor 0. Se •

•

•

.

•

•

.

•

•

observa que esta regia nos proporciona un elegante metoda formal para determinar los puntas donde ocurren los valores ex­ tremos; sin embargo simplemente constituye una condici6n ne­ cesaria. Aun faitan por investigar las circunstancia.S bajo las cuales los puntas que se encuentran por medio del metoda de los multi-

1 Las cuales son identicas a las correspondientes a un extremo "libre" de la funci6n auxiliar F.

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

393

plicadores en realidad corresponden a un maximo o a un minima de la funci6n. No consideraremos esta cuesti6n; su discusi6n nos llevaria muy lejos. Como en el caso de los valores extremos libres, cuando se aplica el metoda de los multiplicadores indeterminados normalmente se sabe de antemano que existe un extrema en el interior del dominio de f. Si el metoda determina el punto de manera unica y no se presenta el caso excepcional (todos los jacobianos iguales a 0) en pun­ to alguno de la region bajo consideraci6n, entonces se puede tener la seguridad de que realmente se ha encontrado el punto en donde ocurre el valor extrema. Ejercicios 3. 7e

1.

Interpretar geometricamente el problema de minimizar u = f(x, y, z) sujeta a Ia restricci6n rp(x, y, z) = 0 2. Dar un ejemplo de un problema de Ia forma: extremizar f(x, y, z) sujeta a las restricciones rp(x, y) = 0, �(y, z) = 0. Interpretar esto geometri­ camente.

f. Ejemplos 1 . Como primer ejemplo, intentemos encontrar el maximo de la funci6n {(x, y, z) = x2y2z2 , sujeto a la condicion subsidiaria x2 + y2 + z2 = c2 • Sobre la superficie esferica x 2 + y2 + z2 = c2, la funci6n debe tomar un valor maximo, puesto que la superficie es un conjunto acotado y cerrado. De acuerdo con la regia, se forma la expresi6n y,

derivando, se obtiene

2xy2z2 + 2A.x = 0, 2x2yz2 + 2A.y =, 0, 2x2y2z + 2A.z = 0.

Se pueden excl uir 1 as sol uciones con x = 0, y = 0, 6 z = 0 , par­ que en estos puntas la funci6n toma su menor valor: cero. Las otras � es de 1� ecuaci6n son x2 = y2 = z2, A. = - x4• Usando la solucion condi i6n suhsidiaria se obtienen los valores ·

394

Introduccion al calculo y al analisis matematico

c

z= + r - -v 3

para las coordenadas requeridas. En todos estos puntos la funcion toma el mismo valor c6/27, el cual, en consecuencia, es el maximo. De aqui que cualquier triada de numeros satisface la relacion =

x2

+ y2 + z2 3

la media geo metrica de los tres numeros no ne­ gativos x2 , y2 , z2 nunca es mayor que su media aritmetica.

la cual afirma que De modo sumejante se prueba, para un numero arbitrario de reales positivos, que la media geometrica nunca es mayor que la media aritmetica. 1 2 . Como un segundo ejemplo se tratara de encontrar el triangulo (de lados x, y, z) con perimetro dado 2s y la mayor area posible. Por la conocida formula de Heron, el cuadrado del area esta dado por f(x, y, z) = s(s - x)(s - y)(s - z) .

Por lo tanto, se desea el maximo de esta funcion sujeta a la condicion subsidiaria �

z

= x + y + z - 2s = 0,

donde x, y, estan restringidas por las desigualdades Sobre la frontera de esta region cerrada (es decir, donde una de estas desigualdades se convierte en una ecuacion), siempre se tiene f = 0. Consecuentemente, el valor mayor de f ocurre en el interior y es un maximo. Se forma la funci6n F(x, y, z)

= s(s - x)(s - y)(s - z) + A(x + y + z - 2s),

y, derivando, se obtienen las tres condiciones - s(s - y)(s - z)

+ A = 0,

- s(s - x)(s - z)

- s(s - x)(s - y)

+ A = 0.

+ A = 0,

1 Para otra demostraci6n, ver el Volumen I, Problema 1 3 , p. 1 09 , o el Problema 1 1 , 318.

p.

Desarrollos y. aplicaciones del calculo diferencial

395

lgualando las tres expresiones se obtiene x. = y = z = 2s/3 ; es decir, Ia soluci6n es un triangulo equilatero. 3. A continuaci6n se probara Ia desigualdad (73a)

para toda u � 0, v � 0 y'toda a > 0, � > 0 tales que 1/a + 1m = 1. Evidentemente, Ia desigualdad es valida si alguna de las canti­ dades o se anula. Por lo tanto, nos podemos restringir a los va­ lores de tales que uv =F 0. Si Ia desigualdad se cumple para una pareja de numeros tambien se cumple para todos los numeros utlla, vt ll ii donde t es un numero positivo arbitrario. Por lo tanto, solo es necesario considerar los val ores de para los cuales uv = 1. De aqui que se tiene que demostrar que Ia desigualdad u

v

u y v

u, v,

u, v

1 1 - ua + - vii

a

�

2

-

1

se cumple para todos los numeros positivos u, v tales que uv = 1. Para hacerlo, se resuelve el problema de encontrar el minimo de 1 1 + - vii a ua �

sujeto a Ia condici6n subsidiaria uv = 1. Obviamente, este minimo existe ocurre en un punto (u, v) , donde u =F 0, v =F O. Como con­ secuencia, existe un multiplicador - A para el cual se tiene y

ua-1 - AU = 0

y

vii- 1 - AU = 0.

Multiplicando por respectivamente, estas ecuaciones dan in­ mediatamente ua = A, vii = A. Tornados con uv = 1, los iiltimos resultados implican que u = v = 1. Por lo tanto, el valor minimo de u y v,

1 1 + - vii a ua �

es

1/a + 1/� = 1.

cuan do uv

=

Es decir, queda demostrada 1 a proposicion de que 1 1 + - vii 2 1 a ua � -

1.

396

Introduccion al calculo y al analisis matematico

Si en la desigualdad (73a) se remplazan u y por ( ) lla y V = Vt/ (� Uil3) 1/p , U = Ui/ �I Ui a v

n

n

respectivamente, donde u1, uz, . . . , Un, VI , vz, . . . , Vn son numeros no negativos arbitrarios y por lo menos un y un no son cero, y si se suma sabre i = 1, . . . , n, se obtiene la desi'gualdad de Holder: ( )1/a (� Vi!\) liP (73b) � UtVi � � Ui11 v

u

n

t=l

n

t =I .

n

•

t=l

Esta se cumple para cualesquiera 2n numeros Ut, Vt donde Ui ;;::;; 0, Vi ;;::;; 0 (i = 1, 2, . . . , n) ; no todos los u ni todos los son cero; y los indices a, � son tales que a > 0, � > 0, 1/a + 1/� 1. La desigual­ dad de Cauchy-Schwarz es el caso especial a = � = 2 de la des­ igualdad de Holder. 4. Finalmente, busquemos el punta sabre la superficie cerrada v

=

?(x, y, z) = 0

\

qJe se encuentre a la distancia minima del punta fijo (�, 11 , s) . Si la drfstancia es un minima su cuadrado tambien es un mini..no; en con­ secuencia, considerese Ia funci6n F(x, y, :Z) = (x - �)2 + (y - 11 )2 + (z - s)2 + t..?(x, y, z). Derivando se obtienen las condiciones 2(x - �)

+ �x = 0,

2(y - 11) + /.411 = 0, 2(z - l;;). + Npz = 0,

o, en otra forma, Estas ecuaciones afirman que el punto fijo (�, 11, s) se encuentra sobre la normal a la superficie en el punto (x, y, z) correspondiente a Ia distancia extrema. Por lo tanto, para ir a lo largo de Ia trayectoria mas corta desde un punta hasta una superficie (diferenciable), el movimiento debe ser en una direcci6n normal a la superficie. Por supuesto, se requiere una discusi6n adicional para decidir si se ha en­ contrado un maximo o un minima, o ninguno de los dos. Consi­ derese, por ejemplo un punta dentro de una superficie esferica. Los

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

397

puntos a la distancia extrema estan en l os extremos del diametro que pasa por el punto dado ; Ia distancia a uno de estos puntos es un minimo , Ia distancia al otro es un m aximo . Ejercicios 3 . 7£ I.

Encontrar la distancia mas corta entre el plano = D y el punto Encontrar las distancias mayor y menor desde un punto sobre la elipse = a la recta 4 = 0. 3 . Demostrar que el valor maximo de la expresion

(a, b, c). + y2/1 1

Ax + By + Cz

x+y-

ax2 + 2bxy + cy2 ex2 + 2fxy + gy2

x2f4

(eg - {2 > 0)

es igual a la mayor de las rakes de la ecuacion en ).. :

(ac - b2) - ).(ag - 2bf + ec) + A.2(eg - {2) = 0.

4 . Calcular los valores maximos de las expresiones siguientes:

(a)

(b)

x2 + 6xy + 3y2 x2 - xy + y2 x4 + .2x3y x 4 + y4 ·

= 1 de menor + y para la elipse en su interior. area que contenga al circulo = + = 6 . �Cual punto de la esfera esta a la mayor distancia del punto + 7 . Hallar el punto z) del elipsoide = para el cual

a b x2/a2 y2/b2 (x - 1)2 y2 1 xl:l + y2 + z2 1 (1, 2, 3)? (x, y, x2fa2 y2fb2 + z2fc2 1

5 . Encontrar los valores de

(a) (b)

A+B+C .JA 2 + nz + c2,

A, B, C (x, y, z), x y x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 1 .

es un minimo , donde denotan las intersecciones del plano tan:· gente en donde > 0, > 0, z > 0, con los ejes coordenados. 8 . Hallar el paralelepipedo rectangular de mayor volumen inscrito en el = elipsoide 9 . Encontrar el rectangulo de perimetro maximo inscrito en Ia elipse 10.

11.

+ y2fb2 = 1.

5x2 - 6xy + 5y2

x2fa2

Hallar el punto de la elipse = 4 para el cual la tangen­ te se encu entra a la distancia maxima del origen . Probar que la longitud l del eje mayor del elipsoide

ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz = 1

esta dada por la mayor raiz real de Ia ecuacion

398

Introduccion al dilculo

y

al analisis matematico

1 a - 12

d

e

1 b - 72

d

f

e

f

c - [21

1 2 . (a) Maximizar xa yb zc, donde a, b, c son constantes positivas, sujeta a Ia condici6n xk + y k + zk = 1 , donde x, y, z son no negativos y k > 0. (b) A partir del resultado de Ia parte (a) deducir Ia siguiente desigual­ dad para cualesquiera seis numeros reales positivos :

(�)a(�) b (!£) c ( a b c

s;;

u

+

v

+

) a+b+c

w

- a+b+c

1 3 . Sea P1P2PaP4 un cuadriHitero convexo . Encontrar el punto 0 para el cual la suma de las distancias a P1, P2 , Pa, P4 es un mlnimo. 1 4 . Encontrar el cuadrilatero .con lados a, b, c, dados que encierre el area maxima.

d

Apendice A. I

Condiciones suficientes para los valores extremos

En la teoria de los maximos minimos del capitulo precedente nos contentamos con encontrar las condiciones necesarias para la ocu­ rrencia de un valor extren1o. En muchos casas que se presentan en la practica, puede determinarse la naturaleza del punta "estacionario" asi encontrado a partir de la naturaleza especial del problema, que nos permite decidir si se trata de un maximo o de un minima. Sin embargo, es importante tener condiciones generales suficientes para la ocurrencia de extremos relativos. Aqui se desarrollaran esos cri­ terios para el caso tipico de dos variables independientes. Si se considera un punta (xo , Yo) en el cual la funci6n es esta­ cionaria, es decir, un punta. en el cual ambas derivadas parciales de la funci6n se anulan, ocurre un valor extrema si solo si la expresi6n y

y

f(xo

+

h, Yo + k) - f(xo , Yo)

tiene el mismo signa para todos los valores lo suficientemente pe­ queiios de h y k . Si se desarrolla est a expresi6n por el teorem a de Taylor, con residua de tercer arden, y se aplican las ecuaciones {x(Xo, Yo) = 0 y fy(Xo , Yo) = 0, se obtiene

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

f( xo + h , Yo + k) - f(xo , Yo )

399

= 21 (h2fxx + 2hk{xy + k2{yy) + c:p2,

donde p 2 = h2 + k2 y c: tiende a cero con p. Esto sugiere que , en una vecindad lo suficientemente pequefia del pun to (xo, Yo) , el comportamiento de la diferencia funcional f(x0 + k) - f(xo , Yo ) h , Yo esUi determinado esencialmente por la ex­ presion

+

Q(h , k)

= ah2 + 2bhk + ck2,

don de , por brevedad, se ha puesto

a

= fxx(Xo, Yo) , b = {xy(Xo , Yo), c = {yy(Xo, Yo).

Para estudiar el problema de los valores extremos se debe inves­ tigar esta expresion cuadnitica homogenea o forma cuadratica Q en h y k. Se supondra que los coeficientes a, b, c no se anulan todos. En el caso excepcional en que todos se anulan, el cual no conside­ raremos , se debe empezar con una serie de Taylor que se extienda hast a terminos de or den superior. En relacion con la forma cuadratica Q, existen tres casos diferen­ tes posibles: 1 . La forma es definida . Es decir, cuando h y k toman todos sus valores Q toma valores de un solo signo y solo se anula para h = 0, k = 0. Se dice que la form a es definida positiva, o bien , definida negativa seglin este signo sea positivo o negativo . Por ejemplo, I a ex­ presion h2 + k2 , Ia cual se obtiene cuando a = c = 1, b = 0, es definida positiva, mientras que la expresion - h2 + 2hk - 2k2 = - (h - k)2 - k2 es definida negativa . 2 . La forma es indefinida . Es decir, puede tomar valores de signo diferente; por ejemplo, la forma Q = 2hk, la cual tiene el valor 2 1, k = 1 y el valor - 2 para h = - 1 , k = 1. para h La tercera posibilidad es que l a forma se anule p ara valores de h, k que no sean h = 0, k = 0, pero en caso contrario tome valores de un solo signo ; por ejemplo , la forma (h + k)2 , que se anula p ara todas l as p arejas de valores h, k tales que h = - k. Tales form"a.s se Haman semidefinidas. La forma cuadratica Q = ah2 + 2bhk + ck2 es definida si y solo si su discriminante ac - b2 satisface la condicion

3.

=

ac - b2 > 0 ;

400

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

entonces es definida positiva si a > 0 (de modo que tambien c > 0); de lo contrario, es definida negativa. Para que la forma sea indefinida es necesario y suficiente que ac - b2 < 0,

mientras que el caso semidefinido se caracteriza por la ecuaci6n 1 ac

-·

b2 = 0.

Ahora se probaran las proposici6nes siguientes. Si la forma cuadratica Q(h, k) es definida positiva, el valor estacionario que toma para h = 0, k = 0 es un minimo relativo incluso un minirno relativo estricto ) . Si la forma es definida negativa, el valor estacionario es un maximo relativo. Si la forma es indefinida no se tiene maximo ni minimo; el punto es un punto silla de montar. De donde, el caracter definido de la forma Q es una condici6n suficiente para un valor ex­ tremo, mientras que el caracter indefinido de Q excluye la posibi­ lidad de un valor extremo. No se considerara el caso semidefinido, el cual conduce a discusiones complicadas. Con el fin de probar la primera proposici6n, se observa que si Q es una forma definida positiva, existe un numero positivo m indepen­ diente de h y k tal que 2

Q � 2m(h2

+ k2) = 2mp2•

Por lo tanto,

1 f(xo + h , Yo + k) - f(xo , Yo) = 2 Q(h, k) + e p2 � (m + e)p2•

1 Estas condiciones se obtienen facilmente como sigue. a = 0, o bien c = 0, en cuyo caso se debe tener b =F 0 y Ia forma es, como ya se hizo notar,. indefinida; por lo tan­ to, el criterio se cumple para este caso; de lo contrario, debe tenerse, digamos, a =F 0. se puede escribir

ah2

+ 2bhk + ck2 = a

[ {h + � k} 2

+ ca

:; b 2k2

J.

Obviamente, esta forma es definida si ca - b2 > 0, y entonces tiene el mismo signo que a. Es semidefinida si ca - b2 = O, porque entonces se anula para todos los val ores de h, k que satisfagan Ia ecuaci6n h/k = - bja, pero para todos los demas valores tiene el mismo signo . Es indefinida si ca b2 < 0, porque entonces tom a valores de signo diferente cuando k se anula y cuando h + (b/a)k se anula. -

2 Para observar esto considerese el cociente Q(h, k)/(h2 + k2) como una funci6n de las

dos cantidades u = h/vh z + k2 y v = k!.Vh2 + k2. Entonces u 2 + vz = l , Y la forma se convierte en una funci6n continua de u y v, la cual debe tener un valor mfnimo 2m sobre el drculo u2 + vz = 1 . Obviamente, este valor satisface las condiciones dadas; no es cero, porque u y v nunca se anulan simultaneamente sobre el drculo .

Desarrollos y aplicacion�s del calculo diferencial

401

e

Si ahara se elige p tan pequeiio que el numero sea menor en valor absoluto que fm, obviamente se tiene f(xo

+ h, yo + k) - f(xo , Yo) � 2m P 2 > 0.

De donde, para esta vecindad del punta (x0, y0) el valor de la funci6n en todo punta es mayor que f(x0, y0), excepto, par supuesto, en el propio (x0, Yo) . De la nmisma manera, cuando la forma es definida negativa, el punta es u maximo. Par ultimo, si la forma es indefinida existe un par de valores (h1, k1) para los cuales Q es negativa y otra pareja (h 2 , k2) para los cuales Q es positiva. Par lo tanto, se puede encontrar un numero positivo tal que

m

Q(h 1, k1) <

-

2mp12,

Q(h 2 , k2) > 2mp 2 2•

Si ahara se pone h th1, k = tk1, p2 = h2 + k2, (t =f=. O) - esdecir, si se considera un punta (x0 + h, Yo + k) sabre la recta que une a (x0, Yo) con (x0 + h1, y0 + k1)- entonces, a partir de Q(h, k) = t2Q(h1, k1)" y p2 = t2p 1 2 , se tiene =

Q(h, k) < - 2mp2•

De donde, eligiendo una t lo suficientemente pequefi.a (y la p corres­ pondiente), la expresi6n f(x0 + h, y0 + k) - f(x0, y0) puede hacerse negativa. Solo es necesario elegir t tan pequeiia que, para h = th1, k a menor que t m. Para = tk1 , el valor absoluto de la cantidad tal conjunto de valores se tiene {(x0 + h, Yo + k) - f(x0, y0) mp2/2, de modo que el valor f(xo + h, Yo + k) es menor que el valor esta­ cionario {(x0, y0). De la misma manera, llevando a cabo el proceso correspondiente para el sistema h = th2, k = tk2, se encuentra que en una vecindad arbitrariamente pequeiia de (x0, y0) existen puntas en los que el valor de la funci6n es mayor que {(xo, yo). Asi,, no se tiene maximo ni minin1o sino que, en Iugar de ello, se tiene lo que se c'onoce como un valor silla. Si a = b = c = 0 en el punta estacionario, la forma cuadratica se anula identicamente, y en el caso semidefinido esta discusi6n no se puede aplicar. Obtener condiciones suficientes para estos casas con­ duciria a conclusiones complicadas. e Sf;

<

-

402

Introduccion al calculo y al analisis matematico

Asi, se tiene la regla siguiente para distinguir maximos minimos: y

En un punto (xo, yo) donde las derivadas parciales se anulan,

fx(Xo , Yo) = 0, fy(xo , Yo) = 0 , y

la desigualdad

fxx{yy - {xy 2 > 0 se cumple, la funci6n f tiene un valor extrema relativo. Este es un maximo relativo si {xx < 0 (y, consecuentemente, {yy < 0), y un minimo relativo si {xx > 0. Sz� por otra parte,

fxx{yy - {xy2 < 0, el valor estacionario no es maximo ni minimo .

fxx{yy - {xy2 = 0

El caso

queda indeciso. Estas condiciones tienen una interpretacion geometrica sencilla. Las condiciones necesarias fx = {y = 0 afirman que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) es horizontal. Si en realidad se tiene un valor extrema, entonces en la vecindad del punta en cuestion el plano tangente no se intersecta con la superficie. En el caso de un punta silla, por el contrario, el plano corta a la superficie en una curva que tiene varias ramas en el punto. Esto quedara clara despues de la dis­ cusion de los puntas singulares en la Seccion A.3. Como ejemplo, busquemos los valores extremos de la funcion f(x, y) = x2 + xy + y2 + ax + by.

Si se igualan las primeras derivadas a 0, se ob.tienen las ecuaciones 2x + y + a = 0, x + 2y + b = 0,

las cuales tienen Ia solucion presion

x = !(b - 2a), y = !(a - 2b).

La ex­

fxx{yy - {xy 2 = 3

es positiva, como tambien lo es fxx = 2. Por lo tanto, Ia funcion tiene minima en el punto en cuestion.

\lll

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

La funci6n

f(x, y) = (y - x2) 2

403

+ x5

tiene un punto estacionario en el origen. Alli, la expreswn {xx{yy fxv2 se anula y el criteria falla. Sin embargo, se ve facilmente que la funci6n- no tiene un valor extrema alli porque en la vecindad del origen la funci6n toma tanto valores positivos como negativos. Por otra parte, la funci6n f(x, y) = (x - y)4

+ (y - 1)4

tiene un minima en el punto x = 1, y = 1,aunque la expresi6n {xx{yy - fx 2 se anula alli. Porque {( 1 + h, 1 + k) - {( 1, 1) = (h - k)4 + k4, y esta cantidad es positiva cuando p * 0. v

Ejercicios A. I

1 . Encontrar y caracterizar los valores extremos de las funciones:

{(x, y) x2 - 3xy + y2 (b) f(x, y) = cos (x + y) + sen (x - y) + x2 (c) f(x, y) = x cosh y - y2 . 2 . Si ¢(a) k =F 0, ¢'(a) =F 0, y x, y, z satisfacen Ia relaci6n ¢(x)tjJ(y)tjJ(z) = k3 , probar que la funci6n f(x) + {(y) + f(z) tiene un maximo cuando x = y = z = a, siempre que , {'(a) (:: �:� - :'�:�) > f"(a). (a)

=

=

3 . Sea P1P2Ps un triangulo plano con sus tres angulos menores que 120° . Proba r , por medio del criterio d e Ia p . 402 , o bien, del Ejercicio 6 que sigue, que en el punto P interior a P1P2Pa tal que LP2PPa = LPaPP1 = LP1PP2 = 120°, la suma PP1 + PP2 PP3 es realmente un minimo (ver el Ejemplo 3, p. 380) . 4 . �D6nde ocurre el minimo de Ia suma pp1 pp2 pp3 si en el triangulo del ejercicio 3 el angulo P2P1Pa es mayor que, o igual a, 120 ° ? 5 . (a) Probar que , s i todos los simbolos denotan cantidades positivas, el v;dor yP + P = P estacionario de sujeto a la condici6n c P es nq) llq, donde q = pf(p - 1). (b) Demostrar que el valor es un maximo o un minimo segl1n que p � 1 . 6 . Generalizar la investigaci6n de la Secci6n A. l a funciones de n varia­ 1 . . . , Xn) continuamenbles , probando los resultados siguientes. Sea

+

+

+

lx + my + nz c(lq + mq +

x +

{(x ,

z

404

y

Introduccion al calculo

al analisis matematico

te diferenciable por tres veces en la vecindad de un punto estacionario X! = X1°, . , Xn = Xn°, es decir , un punto donde fx t = fx2 = fxn = 0. •

·

xo, d 2

fO = f n k=l fxixk0 dxt dxk; esta es una forma cuadratica en las vari ables dx1 , . . . , t,. .L: Considerese la segunda diferencial total de

en el punto

•

dx.n.

S i esta forma cuadrfnic a e s n o degenerada , e s decir , s i

D=

* 0,

entonces d 2f0 puede ser ( I ) definida positiva, (2) definida negativa o (3) indefinida. Probar que estos casos posibles corresponden respectivamente a las siguientes propiedades de f en el pun to xo : ( 1) f tiene un minimo, (2) tiene un ma.ximo , ( 3 ) f no tiene minimo ni maximo. 7 . lnvestigar los puntos estacionarios de f = {(x 1 , . . . , X n), donde las va­ riables satisfacen las relaciones (1)

t/>I(Xl ,

•

•

•

, X n) = .(), . . . , t/>m(Xl ,

.

•

.

(m <; n) ;

, X n) = 0

se puede suponer que se han encontrado valores numericos para las A.mt/>m variables y los multiplicadores AJl tales que F = f J..1 ¢>1 satisface las ecuaciones

+

+

•

•

•

+

aF = aF ax1 o, . aXn = 0, y tales que el jacobiano de t/>1, . , tf>m con respecto a las vari ables x1, . . . , Xm no es 0. Para aplicar el criterio del Ejerc icio 6 se puede proceder como sigue : considerando a Xm + l, . . . , X n como las variables indepen­

(2)

•

.

dientes, al derivar ( I ) se pueden obtener las primeras y segundas diferen­ ciales de X1 , Xm como funciones de Xm + 1 , . . . , Xn y, finalmente, in­ troducir estos valores en .

•

.

(3) Probar la segunda regla que sigue, que no comprende el dtlculo de las . , d2Xm : considerando a X1 , segundas diferenciales d2x 1 , , X n como variables independientes, t6mese .

calculense

dx1, . . . , dxm

•

•

.

•

a partir de las ecuaciones

(�

= 1, . .

.

, m)

e introduzcanse estos valores en d 2F, obteniendose asi una forma cua­ dratica 82F en las variables dXm + l, , dxn . Si esta forma cuadratica es no degenerada, entonces I tiene, respectivamente, un minimo, un •

•

•

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

405

maximo 0 ninguno de estos, segun que d 2f sea definida positiva , definida n('gativa o indefinida . 8 . En el prob kma de encontrar el ma.ximo de f = X1X2 • • •Xn sujeto a Ia = condici6n Ia regia de los multiplic adores indeterminados da un valor estacionario de f en el punto Aplicar Ia regia del Ejercicio 7 , en Iugar de Ia x 1 = x2 = • • • = Xn = considcraci6n d('l maximo absol uto , para demostrar que f tiene un valor maximo en est(' pu nto . 9 . Aplicar el criterio del Ejercicio 7 para probar que entre todos los tri{m­ gulos de perimetro constante el triangulo equilatero tiene el area maxima (ver Ia p. 394). -

a 0 (a 0),

afn.

A. 2

Numeros de puntos criticos relacionado� con los indices de un campo vectorial

Evidentemente, por el teorema fundamental (ver la p. 144), una fund6n continua f(x, y) definida en un conjunto R cerrado acotado tiene un punto maximo un punto minimo en R. Si un pun­ to maximo minima (xo, yo) es un· punto interior de R si f es di­ ferenciable en (xo, yo), entonces (xo, yo) es un punto critico de f En algunos casos esta observaci6n nos permite deducir la existencia de al menos un pun to critico de I Por ejemplo, si el conjunto R consiste de un conjunto S abierto acotado su frontera B, si f es constante sobre B diferenciable en S, entonces f tiene al menos un punto critico en S. Esta es precisamente una extension del teorema de Rolle (ver el Volumen I , p. 1 75) a funciones de varias variables, se prueba en la misma forma: la funcion f tiene puntos maximos minimos. Si todos estos se encuentran sobre la frontera B, dondef es constante, entonces los valores maximo minimo de f coinciden; en­ tonces f tambien es constante en S todo punto de S es critico. De aqui que, por lo menos, existe un punto critico def en S. En el caso de funciones de una sola variable independiente se cuenta con mas informacion acerca del numero de puntos crfticos de un cierto tipo. Los maximos minimos relativos se alteman (ver el Volumen I , p. 239). De aqui que, cuando mas, los numeros totales de maximos de minimos relativos de una funcion en un intervalo difieren en 1 Esto no es cierto para las funciones de dos variables definidas en un conjunto R del plano. No obstante, existe una re­ laci6n (intuitivamente menos obvia) entre los numeros totales de ex­ tremos relativos de puntos sill a en el interior de R los valores de f sobre la frontera de R . Con el fin de plantear esta relacion, primero tiene que considerarse el campo del gradz"ente de f e introducir la y

y

o

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y .

y

y

406

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

noci6n de indice de una curva cerrada con respecto a un campo vec­ torial. Sup6ngase que f es continua que tiene primeras derivadas con­ tinuas en el conjunto R del plano x, y. Entonces, en cada punto de R, f determina las dos cantidades y

U

(74)

=

{x(X, y), V

=

{y(X , y).

Estas se pueden interpretar como las componentes de un cierto vec­ tor, el gradiente de f Los gradientes en los diversos puntos de R for­ man un campo vectorial. Los puntos criticos de R son aquellos en donde el gradiente se anula. En todos los demas puntos el vector gradiente tiene una direcci6n determinada de modo unico, descrita, por ejemplo, por sus cosenos directores v

(ver el Volumen I , p. 383). Evidentemente, � son funciones con­ tinuas de (x, y) en todo punto no critico de R . Puede ponerse � = cos e, ll = se n e, donde, sin embargo, el angulo e - la inclinaci6n del vector (u, v)­ s6lo esta determinado hasta multiplos enteros de 2n. En general, no es posible seleccionar un valor definido para e que varie continua­ mente con (x, .y). Por otra parte, la diferencial y 11

(75)

de

v u dv - v du d arc tan - = --=---=-u u2 + v2 (UVx - VUx)dx + (UVy - VU11)dy u2 + v2 =

_

esta definida sin ambigiiedad para todo punto no critico (x, y) de R . Sea ahora C una curva cerrada orientada que se encuentra en R no pasa por punto critico alguno de f Se define el indz"ce de Po-incare de C con respecto al campo vectorial, como el numero

y

(76)

Ic

=

f u dv - v du . 1_ f de = __!_ 2n J c u2 + v2

2n J c

Si C esta dada parametricamente por

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

X = rp(t),

407

(a � t � b),

Y = \jl(t)

donde rfi tienen los mismos valores en los dos puntos extremos del intervalor de t donde la orientaci6n de C corresponde al sentido de la t creciente, entonces el indice de C esta dado por la integral y 'I'

y

(b (

u dv Ic = 1_ J 21t a u2 + v2 dt

_

v

+ v2

u2

)

du dt dt

·

Como despues de recorrer la curva C se regresa al mismo punto (x, y), los valores para e correspondientes a t = a t = b solo pueden diferir en un multiplo de 21t. De aqui que Ic siempre es un entero. Este en­ tero cuenta el numero total de rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj llevadas a cabo por el vector (u, v) a medida que se recorre la curva en el sentido indicado por su orientaci6n. 1 Por supuesto, Ic cambia de signo cuando se cambia la orientacion de C. Como ejemplo considerese la funcion y

c

f(x, y)

Aqui, el gradiente

= x2 + y2.

(u, v) = (2x, 2y)

en cualquier punto (x, y) tiene la direccion del radio vector que emana del origen. Supongase que se usa un sistema coordenado derecho. Para una curva cerrada C que no pasa por el origen, el in­ dice Ic

= _!_27t Jrc

X dy - y dx

x2

+ y2

mide el numero total de vueltas en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj realizadas por el radio que parte del origen, al recorrer toda la curva C. Esta es exactamente la formula, deducida en el Volumen I (p. 434), para el numero de veces que la curva C rodea el origen. Generalmente, en los puntos donde no se anulan simulta­ de la diferencial de la ecuaci6n (7 5) satisface la condicion neamente de integrabilidad u y v

'-Para la definicion de "lndice" no es necesario que el campo vectorial sea el campo

de un gradiente.

408

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

(UVu2x - VUv2 x) = (UVyu2 - VUy) ' v2 x +

Y

+

la cual puede verificarse directamente por supuesto, solo refleja la relaci6n y,

[ (arc tan �) J = [ (arc tan �) J Y

x

,

la cual se cumple sin importar la posible multiformidad de la funci6n arc tan (v/u). Por el teorema fundamental a cerca de las integrates de linea (ver la p. l35 la p. l27), se concluye que Ic = 0 si C es la fron­ y

tera de un su bconjunto simplemente conexo de R que no contiene puntos criticos de f

De modo mas general, considerese un conjunto R multiplemente conexo con un cierto numero de curvas frontera cerradas C1, C2, . . . , Cn. Sup6ngase que el sistema coordenado x, Y es derecho, como se acostumbra. Asimismo, que cada Ct esta orientada de tal manera que al recorrerla en el sentido correspondiente a su orientaci6n R queda a la izquierda. Sup6r.gase que R puede dividirse en los conjuntos simplemente conexos Rk , por medio de arcos auxiliares apropiados que unan las diversas Ct (ver la Fig. 3.31). Considerese que f no tiene puntas cdticos en R. Entonces, a

.Figura 3.31 Region multiplemente conexa con curvas frontera C1 , orientadas po­ sitivamente, dividida en conjuntos simplemente conexos.

f de = o cuando se extiende sobre la fiontera de cualquiera de los Rk reco­ rrida en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

409

Formando la suma de las integrales sobre las fronteras de todos los Rk, se ve que las contribuciones de los arcos auxiliares se cancelan (ver la p. 124) se encuentra que y

Empero, esto significa que (77)

si las Ci son curvas cerradas que forman la frontera de un conjunto R libre de puntos criticos de f, con un sentido de orientacion que deja a R a la izquierda. Como consecuencia se obtiene el teorema: existe al menos un punta critico en R, siempre que la suma de los indices de las curvas frontera de R (orientadas como se explz"c6) sea dzferente de cera . Se obtiene una informacion mas. precisa acerca del nii.mero de puntos criticos en R, si se supone queftiene segundas derivadas con­ tinuas en R, que f tiene solo un m1mero finito de puntos criticos (x1, y1), . . . , (XN, YN), que, en cada pun to critico, el discriminante D = fxx{yy - {xy2 no se anula. Entonces todos los puntos criticos son max1mos o mi­ nimos relativos correspondientes a D > 0 , o bien, puntos silla corres­ pondientes a D < 0 (ver la p. 402). Supongase que R nuevamente es­ ta limitado por las curvas simples cerradas orientadas C1, . . . , Cn que no pasan por ninguno de los puntos criticos de f Puede cortarse una pequeiia vecindad de cada punto critico (Xk, Yk), limitada por una curva y�. Queda un conjunto limitado por las curvas C1, . . . , Cn, . . . , YN que no contiene · puntos criticos de f Dando a cada Yk Ia orientacion contraria al· movimiento de las manecillas del reloj, (77) se tiene y

y

y

'(I,

por

(78)

n

N

L: le - IY = i=I i k =l k

L:

0.

Ahora bien, el indice de una de las curvas Yk que limita a un con­ junto que contiene a un solo punto critico (Xk, Yk) depende preci­ ·samente del tipo de ese punto, como se demostrara. Sea Yk un pequeiio circulo

410

Introduccion a l calculo

y

a l analisis matematico

x = Xk

+ r cos t, y = Yk + r sen t de radio r y centro en el punto critico (Xk, Yk) . Por el teorema de Taylor, sobre Yk se tiene (79a) u = fx(x, y) = (x - Xk){xx(Xk , Yk) + (y - Yk){xy(Xk, Yk) + = r(a cos t + b sent) + O(r2) (79b) v = {y(X, y) = (x - Xk){xy(Xk , Yk) + (y - Yk){yy(Xk , Yk) + = r(b cos t + csen t) + O(r2) , donde se puso Para averiguar cuantas veces el vector (u, v) gira en el sentido con­ trario al movimiento de las manecillas del reloj a medida que t varia desde 0 hasta 2n) , se observa que el punto en el plano con coorde­ nadas (u, v) (es decir, el punto cuyo vector de posicion tiene las com­ ponentes u, v) describe aproximadamente la elipse E con represen­ taci6n parametrica u = r(a cos t + bsen t), v = r(b cos t + c sent). (80) Esta elipse tiene su centro en el origen y la ecuaci6n no parametrica (cu - bv) 2 + (a v - bu) 2 = r2(ac - b2) 2 .

Es evidente que el punto (u, v) describe la elipse E dada en (80) exac­ tamente una vez, conforme t crece desde 0 hasta 2n, de modo que el indice de Yk sin duda es + 1 , o bien, - 1 , dependiendo del sentido, contrario o en el mismo del movimiento de las manecillas del reloj, de E correspondiente a la t creciente. Ahora bien, la aplicaci6n lineal u = r(a u + bv), v = r(bu + cv) evidentemente lleva al circulo u = cos t, v = sen t del plano u, v(donde el crecimiento de t corresponde al sentido con­ trario al movimiento de las manecillas del reloj sobre el circulo) hacia E. Dado que el senti do de las curvas se conserva o se invierte, de

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

411

acuerdo con el signo del jacobiano r2(ac - b2) de la aplicaci6n (ver la p. 307), se ve que [yk = sgn(ac - b2) = sgn[fxx(Xk, Yk){yy(Xk, Yk) - {xy2 (Xk, Yk)] = sgn D(xk, Yk). 1

De (7 8) se deduce que

n

N

2: lei = 2: sgn D(xk, Yk).

i=l

k =l

Como se observ6 con anterioridad, sgn D(xk, Yk) = + 1 cuando el pun­ to critico (xk, Yk) es un maximo o un minimo relativo, sgn D(xk, Yk) -1, cuando es un punto sill a. Denotemos por Mo, M1, M2 , respec­ tivamente, los numeros de minimos, de puntos silla de maximos 1en R. El resultado obtenido se convierte en la identidad de Poincare . (81) y

=

y

En el exceso del numero de maximos y minimos relativos de f en so bre el numero de puntos silla es igual a la suma de los in­ dz"ces de las curvas front era de con respecto al campo del gradiente de f, donde cada curva frontera esta orientada de modo que quede a la izquierda. f

palabra�, R

R

R El resultado es particularmente sencillo cuando es constante a lo largo de cada curva frontera Ct de R. Entonces el vector gradiente de f es perpendicualr a C (ver la p. 279) tiene la direcci6n de la normal exterior o interior de Ct. Si no se tiene punto critico alguno de f sobre Ci esta es una curya suave simple cerrada, la direcci6n del gradiente varia continuamente no puede saltar en punto aly

y

y

1Se puede obtener el mismo resultado analiticamente, observando que, por las for­ mulas (79a, b), 1�Im 1Y k r-0

=

1�Im r-0

1 - -

- 2n

1l Jo21t 21t o

Yk

u� v du u2 + v2 -

ac - b2 & (a cos t + b sen t) 2 + (b cos t + c sen t)2

•

La integral se puede evaluar explicitamente (ver el Volumen I, p. 294) y tiene el Nalor 2n sgn (ac - b2). dLas formulas correspondientcs para las funciones de mas de dos variables indepen­
412

Introduccion a l calculo

y

a l analisis matematico

guno de Ct desde la direcci6n de Ia normal exterior hacia la de la normal interior o viceversa. Es evidente entonces que el vector gradiente gira exactamente una vez a lo largo de Ct y en el mismo sentido que el vector tangente a Ci , con el cual el gradiente forma un i fijo. De donde, lei = + 1 cuando Ct tiene el sentido contrario angulo a movimiento de las manecillas del reloj, y - 1 cuando el sentido es el mismo. Facilmente se ve que con la convenci6n tomada acerca de la orientaci6n de las curvas frontera de R, una curva frontera Ct tiene la orientaci6n del sentido opuesto al movimiento de las ma­ necillas del reloj cuando forma la frontera "externa" de una de las partes no conexas que constituyen a R, y tiene orientaci6n en el sen­ tido de ese movimiento si limita a uno de los "hoyos" en R (ver la Fig. 3 . 3 1 ) . Se concluye que, para! constante sobre las curvas frontera, (82)

Mo - M1 + Mz = No - N1,

donde No es el numero de componentes conexas de R y N1 es el numero total de hoyos en R (la "conectividad" de R ) . T6mese, por ejemplo, el caso en donde R es un disco circular. Aqui, No = 1, N1 = 0, y, por tanto, para f constante sobre la fron­ tera, Mo - M1

+ Mz

=

1.

Aqui se encuentra que el numero total de puntos criticos en el in­ terior de R es

de aqui que, evidentemente, es un numero impar. Es mas, si el numero Mo + Mz de extremos relativos de f es mayor que 1, entonces f tiene al menos un punto silla en R . R, y

Para un anillo circular se tiene No =

1, N1 = 1,

y, por tanto, para! constante sobre cada curva frontera, Mo - M1 + M2 = 0.

T6mese el caso en donde f tiene el mismo valor constante sobre cada una de las dos curvas frontera. Entonces f es constante en todo punto o toma su maximo o minimo en el interior de R. Si se postula que f

Desarrollos

y

aplicaciones del calculo diferencial

413

solo tiene puntas criticos con fxx{yy - fxy2 =I= 0 , se excluye el caso de f constante. Entonces se concluye que M0 + M2 > 0 y, de aqui, que M1 > 0. Por tanto, una funcz"6n en un anz"llo circular que se anula en todo punto so bre la frontera, tz"ene por lo menos un punto critz"co con {xx{yy - {xy2 � 0 en el 'inter'ior. Ejercicios A . 2 1.

D a r u n ejemplo d e u n a funci6n continua ! que tenga una singularidad e n el origen d e indice 1;

(a)

-

(b)

-2 ;

(c)

- n,

donde

n

es un numero natural.

2. Dar un ejemplo de una funci6n f (no se requiere que sea continua) que tenga una singularidad en el oiigen de indice

(a) 2 ; (b) n , donde n es un numero natural . 3. Sea R una region convexa cerrada en el plano x, y limitada por una curva convexa cerrada C con una tangente que gi ra continuamente. Sea

� = f(x, y),

YJ = g(x, Y)

una aplicaci6n continuamente diferenciable de R bacia si misma. Probar que Ia aplicaci6n tiene por lo menos un "punto fijo" en R, es decir, que existe un punto (x, y) en R tal que

x = f(x, y), y = g(x, y) . El teorema analogo del punto fijo en n dimensiones se debe a Brouwer. [:Sugerencia. Considerese el campo de vectores con componentes u = f(x,y) - x, v = g(x, y) - y .] A�3

Puntos singulares de curvas plan as

. En Ia p. 282 se vi6 que, en general, una curva {(x, y) = 0 tiene singularidad en un punta x = Xo, Y = Yo tal que se cu:inplen las �res ecuaciones una

f(xo , yo) = 0, {x(xo, yo) = 0, fy(xo, yo) = 0

Para estudiar sistematicamente estos puntas singulares sup6ngase que en Ia vecindad de (xo, yo) Ia funci6n f(x, y) tiene derivadas continuas basta el segundo arden que, en ese punta, no todas las segundas y

414

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

derivadas se anulan. Desarrollando en una serie de Taylor hasta los terminos de segundo orden se obtiene la ecuacion de la curva en la forma

= (x - xo)2{xx(xo, yo) + 2(x - xo)(y - yo){xy(Xo, yo) + (y - Yo) 2fvv(xo, yo) + Ep 2 = 0, donde se ha puesto p2 = (x - xo)2 + (y - yo)2 y E tiende a 0 con p. 2f(x, y)

Usando un parametro t, la ecuacion de la recta general que pasa por el punto (xo, yo) puede escribirse en la forma x - xo

= at,

y - yo

= bt,

donde a y b son dos constantes arbitrarias que puede suponerse se eligen de modo que a2 + b2 = 1. Para determinar el punto de inter­ seccion de esta recta con la curva f(x, y) = 0, se sustituyen estas ex­ presiones en el desarrollo anterior para f(x, y). Asi, para el punto de interseccion se obtie:ne la ecuacion Una primera solucion es t 0, es decir, el propio punto (xo, yo) como es obvio. Sin embargo, es digno de hacerse notar que el primer miembro de la ecuacion es divisible entre t2 , de modo que t = 0 es una raiz do ble de la ecuacion. Por esta razon, en ocasiones a los pun­ tos singulares tambien se les da el nombre de puntos dobles de la cur­ va. Si se elimina el factor t2 , queda la ecuacion =

a2{xx + 2abfxy + b2{yy + E

= 0.

Ahora se desea saber si es posible que la recta se interseque con la curva en otro punto que tienda a (xo, yo) a medida que la recta tiende hacia alguna posicion limite particular. Por supuesto, esa posicion limite de una secante es lo que se conoce como tangente. Para dis­ cutir esto, se observa que a medida que un punto tiende a (xo, yo) la cantidad t tiende a 0 y, por lo tanto, E tambien tiende a 0 . Si la ecuaci6n anterior todavia tiene que ser satisfecha, la expresion a2{xx + 2abfxy + b2{yy tambien debe tender a 0, es decir, para la posicion limite de la recta debe tenerse a2{xx + 2ab{xy + b2{yy

= 0.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

415

Esta ecuacwn nos da una condici6n cuadratica que determina la raz6n a/b, la cual fija la pendiente de una tangente. Si el discriminante de la ecuaci6n es negativo, es decir, si se obtienen dos tangentes reales distintas. La curva tiene un punto o nodo, como el que exhibe la lemniscata (x2 + y2)2 - (x2 y2) = en el origen, o Ia estrofoide (x2 + y2) (x - 2a) + a 2x = 0 en el punto Xo = a, Yo = 0. Si el discriminante se anula, es decir, si

dob le,

se obtienen dos tangentes coincidentes; entonces es posible que dos ramas de Ia curva se toquen o que la curva tenga un cuspz"de 1 Por ultimo, si fxx{yy - {xy2 > 0, no hay tangente (real) en lo a bsoluto. Esto ocurre, por ejemplo, en el caso de los llamados puntos azslados de una curva algebraica. Estos son puntos en los cuales se satisface la ecuaci6n de la curva pero en cuya vencindad ning(in otro punto de la curva se encnPntra. La curva (x2 - a2)2 + (y2 - b 2)2 = a4 + b4 es un ejemplo de esto. Los valores x = 0, y = 0 satisfacen la ecuaci6n, pero para todos los demas valores en Ia region l x l < a '\"'2, I Y I b-/2. el primer miembro es menor que el segundo. Se ha omitido el caso en el que se anulan todas las derivadas de segundo orden. Este caso conduce a consideraciones complkadas y no lo investigaremos. A traves de uno de tales puntos pueden pasar varias ramas de la curva, o pueden ocurrir singularidades de otros tipos. Por ultimo ; mencionaremos brevemente Ia relaci6n entre lo que se ha discutido aqui y Ia teoria de los maximos y minimos. Debido a que las primeras derivadas se anulan, Ia ecuaci6n del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en un punto estacionario (xo, yo) es sencilla­ mente .

<

z - f(xo, Yo) = 0.

lEn este caso la curva no necesita tener una singularidad en lo absoluto ; por ejem­ f(x, y) = (x - y)2 en el origen.

416

Introduccion a l calculo

y

al analisis matematico

iPor lo tanto, la ecuaci6n

f(x, y) -- f(xo, yo) =

0 nos da la proyecci6n sobre el plano x,y de la cuxva de intersecci6n del plano tangente con la superficie, y se ve que el punto (xo, yo) es un punto singular de esta curva. Si este es un punto aislado, en una cierta vecindad el plano tangente no tiene otro punto en comun con Ia superficie y la funci6n f(x, y) tiene un maximo o _un minimo en el punto (xo, yo) (ver Ia p. 402). Si, no obstante, el punta singular es un punto multiple, el plano tangente corta a la superficie en una curva con dos ram as y (xo, Yo) es un pun to sill a. Est as observaciones nos conducen precisamente a las condiciones suficientes que se encon­ traron con anterioridad en la Secci6n A. 1 . Ejercicios A.3

1 . Encontrar los puntos singulares de las curvas siguientes naturaleza :

y

discutir su

(x2 + y2)2 - 2c2(x2 - y2) = 0, c =1= 0 (b) x2 + y 2 - 2x3 - 2y3 + 2x2y 2 0 (c) x4 + y4 - 2(x - y) 2 0 (d) x5 - x4 + 2x2y - y 2 = 0. (a)

=

A.4

=

Puntos singulares de superficies

De manera semejante, puede discutirse un punto singular de una superficie f(x, y, z) = 0, es decir, un punto para el cual f 0, fx = {y = h = 0. Sin perdida de generalidad se puede tomar el punto como el origen 0. Si se escribe =

fxx

=

a, {yy

=

�' {zz = y, fxy

=

A. ,

{yz =

J..l,

fxz = v '

para los valores en este punto, se obtiene la ecuaci6n ax2

para un punto superficie en 0.

+ �y2 + yz2 + 2/..xy + 2J.Lyz + 2vxz 0 , =

(x, y, z)

que se encuentra sobre una tangente a la

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial

417

Esta ecuacion representa un cono cuadratico que toea a la super­ fide en el punta singular (en Iugar del plano tangente en punta ordinaria de la superficie), si se supone que no todas las cantidades P, se anulan y que la ecuacion anterior tiene soluciones reales que no sean x = y = z = 0. tul

a,

.

. ., v

Ejercicios A.4

1.

Usando los resultados del Ejercicio 6 de A . l , examinar el comportamien­ to de una superficie en I a vecindad de un punto singular.

A. 5

Relaci6n entre Ia representaci6n de Euler del movimiento de un fluido

y

Ia de Lagrange

Sean (a, b, c) las coordenadas de una particula en el instante t = en un media continuo (liquido o gas) en movimiento. Entonces el movimiento se puede representar por media de las tres funciones 0

x = x(a, b, c, t),

y = y(a, b, C1 t) ,

z = z(a, b, c, t), o en terminos de un vector de posicion, X = X(a, b, c, t). La velo­ cidad la aceleracion estan dadas por las derivadas con respecto al tiempu t. De donde el vector velocidad es i: con componentes x, y, i, el vector aceleracion es X con componentes x, y, z, las cuales todas aparect:n como funciones de la posicion inicial (a, b, c) y del para­ metro t. Para cada valor de t se tiene una transformacion de las coordenadas (a, b, c) que pertenecen a los diferentes puntas del medio continuo en movimiento, hacia las coordenadas (x, y, z)en el instante t. Esta se conoce como representacion de Lagrange del movz'miento. Otra representacion, introducida por Euler, se basa en el conoci­ miento de tres funciones u(x, y, z, t), v(x, y, z, t) , w(x, y, z, t) que representan las componentes x, y, i de Ia velocidad X del movimiento :!l plA.nto (x, y, z) , en el instante t. Cor el f�n d e pasar de la primera representacion a la segunda, tiene que 1lSar Ia primera representacion para calcular a, b, c como funciones de x, y, z, y t y sustituir estas expresiones en las expresiones para x(a, b, c, t), j(a, b, c, t), i(a, b, c, t) : y

y

��.

se

lntroduccion a l calculo

418

y

a l analisis matematico

u(x, y, z, t) = x(a(x, y, z, t), b(x, y, z, t), c(x, y, z, t), t), .

A continuaci6n se obtienen las componentes de la aceleraci6n a par­ tir x(a, b, c, t) = u(x(a, b, c, t) , y(a, b, c, t), z�a, b, c, t), t), . . . derivando con respecto a t, para a, b, c fijas: X = UxX + Uyy + UzZ + Ut, o bien, X = UxU + UyV + UzW + Ut, Y = VxU + VyV + VzW + Vt, Z = WxU + WyV + WzW + Wt. En la mecanica de un medio continuo es fundamental la ecuaci6n siguiente, que relaciona las representaciones de Euler y de Lagrange: .

•

d.

IV

donde

X = .

•

,

•

Ux + Vy + Wz = Jjb ,

D<x, y, z, t) =

d(x, y, z) d(a, b, c)

es el jacobiano que-caracteriza a la transformaci6n. El lector puede completar la demostraci6n de esto y el teorema correspondiente en dos dimensiones, usando las diversas reglas para la derivaci6n de funciones implicitas (ver la p. 299). Ejercicios A.5 1. (.Cu al es l a interpretacion fisica de las relaciones U t 2 . Interpretar las relaciones X

UxU + UyV + UzW + Ut, Y = VxU + VyV + VzW + Vt, Z = WxU + WyV + WzW + Wt. =

fisicamente; reescr1b a nsc

C'>tas

=

Vt

=

Wt

= 0.

relaciones usando notaci6n vectorial.

Desarrollos y aplicaciones del calculo diferencial A.6

Representacion tangencial de una curva cerrada sigualdad isoperimetrica

y

419

Ia de­

Una familia de rectas con pararnetro a se puede dar por medio de x cos a + y sen a - p(a) = 0, (83} d donde p(a} denota una funci6n que es continuamente diferen able por dos veces peri6dica de periodo 27t (aqui p representa Ia distan­ cia de Ia recta de Ia familia con direcci6n normal a , al origen). La envolvente C de estas rectas es una curva cerrada que satisface (83) la ecuaci6n adicional - x sen a + y cos a - p'(a) = 0. De aqui que x = p cos a - p' sen a (84) y = p sen a + p' cos a es la representaci6n parametrica de C (siendo a el parametro ). La formula (83) da la ecuaci6n de las tangentes de C se conoce como ecuacz"6n tangencial1 de C; p(a) es la llamada funci6n soporte de C. Dado que y' = (p + p")cos a, x' = - (p + p") sen a, inmediatamente se tienen las expresiones que siguen para la longitud L el area A y C: •

•

• ,

y

y

y

y

r 2n Jx'2 + y'2 da i2n (p + p")da i2n p da Jo 1 i 2n i2n: (p + p")p da 1 i2n (p2 (xy' - yx')da = A 2 2 2 puesto que p'(a) tambien una funci6n de periodo 27t.2 =

L=

=-

=

0

1

-

0

0

0

=

-

0

-

p' 2)da,

es

1 La representaci6n de C en Ia forma (84) es valida para cualquier curva convexa cerrada cuya curvatura sea finita y positiva y varie continuamente a lo largo de C.

2 Como, obviamente, p(a) + c es Ia funci6n soporte de Ia curva paralela que se en­ cuentra a una distancia c de C, las formulas para el area y Ia longitud de una curva paralela (ver el Volumen I, p. 437 , Ejercicio 7, y su soluci6n en A . Blink: Problems i'n Calculus and A nalyszs, p. 188) se deducen facilmente a partir de estas expresiones.

420

y

Introduccion al calculo

al analisis matemitico

De esto se deduce la desigualdad isoperz"metrica L2 � 41tA ,

donde solo se cumple el signo de igualdad para el circulo. Esto tam­ bien se puede expresar por medio de la proposici6n: entre todas las curvas cerradas de longitud dada, el circulo tiene el area maxima. Para la demostraci6n se aplica el desarrollo de Fourier de p(a) (Volumen I, p. 594), ao p(a) = 2 + � (av cos va + bvsen va) ; co

entonces

00

p'(a) = L: v( v cos va

--

avsen va), de modo que (aplicando las reladones de ortogonalidad del Volumen I, p. 593) se tiene V= }

b

L = 1tao,

De donde,

< 1ta& A= 4

2

=

£2 41t ;

En particular, solo si av = bv = 0 para v � 2 ; es decir, o a + bt sen a. La ultima ecuaci6n define un cir­ culo, como se prueba facilmente a partir de (84) . A = L2/41t p(a) = ao/2 + a1 c s

Ejercicios A . 6

1 . Encontrar las ecuaciones d e las envolventes, sus longitudes y areas ence­ rradas, para cada una de las familias de rectas que siguen: ex + y sen ex + 2 = ex + y sen ex + ! sen 2ex = 0.

(a) (x + 2)

(b)

x

cos

cos

0

2 . Comparar las formulas para el area y la longitud. t Pueden existir curvas

de longitud arbitrariamente grande que encierren un area arbitrariamen­ te pequeii.a? 3 . tPuede representarse cualquier curva cerrada como la envolvente de las rectas (83)?

CAPITULO

4

Integrales 111 iiltiples

La derivacion las operaciones con derivadas para funciones de varias variables son reducibles directamente a sus analogas para fun­ ciones de una variable. La integraci6n su relacion con la derivaci6n son mas complicadas, dehido a que el concepto de integral se puede generalizar de diversas maneras para las funciones de varias variables. Asi, para una funcion f(x, z) de tres variables independientes se tienen que considerar las integrales sobre superficies lineas, asi como integrales sobre regiones del espacio. Sin embargo, todas las cuestiones de la integraci6n estaran relacionadas con el concepto original de la integral de una funcion de una sola variable indepen­ diente. Por simplicidad, trabajaremos principalmente en el plano (es decir, con dos variables independientes). No obstante, todos los ar­ gumentos se aplican con igual propiedad las dimensiones supe­ riores, con simples cambios en la terminologia ("area" por "volu­ men", "cuadrado" por "cubo", etc.). y

y

y,

y

.

�.

4. 1

Areas en el plano

a. DefiniciOn de la medida de Jordan de un area y

En el Volumen I se expres6 el area de una region en el plano x, por medio de integrales de funciones de una sola variable. La idea basica (que nos condujo prirnero a la nocion de integral) fue aproximar la region· por medio de regiones mas sencillas consistentes de un numero finito de rectangulos. Para su desarrollo mas siste421

Introduccion al calculo

422

y

al analisis matematico

matico de las areas, que inmediatamente se extienda a volumenes en tres mas dimensiones, resulta deseable dar una definiciion directa que no este ligada a la idea de integraci6n de funciones de una variable y que corresponda mas intimamente a la nocion intuitiva del area de una region como el "numero" de unidades cuadradas" con­ tenidas en la region. AI mismo tiempo, esta nueva y mas natural definicion es mas general y evita toda discusion extrafia acerca de la regularidad de la grontera, lo cual se vuelve inevitable siempre que se trata de reducir las areas a integrales sencillas. Como es costumbre, pospondremos las demostraciones rigurosas de existencia hasta el Apendice de este capitulo. Esas demostraciones solo presentan sis­ tematicamente lo que ya debe ser mas o menos obvio para el lector a partir de las discusiones informales de ideas y propositos que se presentan en el texto principal. AI definir las areas se acepta la idea intuitiva de que el area A (S) de un conjunto S debe ser un numero no negativo ligado a S, tiene las propiedades siguientes: 1 . Si S es un cuadrado de lado k3 entonces A = k2• 2. Aditividad: el area del todo es la suma de las areas de sus par­ tes. Mas precisamente, si S consiste de los conjuntos que no se tras­ lapan sl, . . ' SN de areas A(SI) . . . ' A(SN), respectivamente, entonces el area de S es 0

l

.

A(S) = A(S1) +

· · · +

A(SN)

Con base en estos sencillos requerimientos podremos asignar un valor A(S) a la mayoria de los conjuntos bidimensionales que sc en­ cuentran en la practica, aunque no a todos los conjuntos imaginables S en el plano. Para llcgar a un valor A (S) determinado de modo unico para un conjunto acotado S se usan divisiones muy especiales del plano a base de cuadrados; subsecuentemente se demostrara que cualquier otra manera de dividir el plano en cuadrados (o rectangulos) conducira a la misma area. Los cuadrados congruentes proporcionan la manera mas facil de cubrir el plano sin espacios vados o tr�slapes. Se usara la rcjilla asociada al sistema coordenado, proporcionada por las rectas x = 0, ± 1, ± 2, ± 3, . . y y = 0, ± 1, ± 2, . . . , la cual divide al plano .

1 Los conjuntos no se traslapan si todo punto interior de uno de los conjuntos es ex­ a todos los demas conjuntos. Se dice que los conjuntos son ajenos si todo punto de uno de los conjuntos no pertenece a los otros. terior

Integrates multiples

423

completo en cuadrados cerrados de )ado I . Oenotemos por A;(S) el numero de cuadrados que tienen puntas en comun con S por A;(. S) el numero de aquellos que estan completamente conu!niaos en S:A continuaci6n, dividamos cada cuadrado en cuatro cuadrados iguales de lado ! area t denotemos por A1(S) la cuarta parte del numero de aquellos subcuadrados que tienen puntas en comun con S por A�(S) la cuarta parte del numero de aquellos completamente con­ tenidos en S. Como cada cuadrado unitario completarnente con­ tenido en S da lugar a cuatro subcuadrados completamente con­ teriidos en S, se tiene A;(S) � A�(S), de modo semejante, A;(S) � A 1(S) . En seguida, dividase cada cuadrado de lado ! todavia mas en 4 cuadrados de lado t. Un dieciseisavo de esos cuadrados que tienen puntas en comun con S un dieciseisavo de aquellos con­ tenidos en S se denotaran, respectivamente, por A;(S) A;(S). Procediendo en esta forma se asocian los valores A:(S) A�(S) con una division del plano en cuadrados de lado 2-n (ver la Fig. 4.1). Es evidente que los valores A:(S) forman una sucesi6n mon6tona decreciente acotada que converge hacia un valor A+(S), mientras que los A�(S) crecen mon6tonamente convergen hacia un y

y

y

y

y,

y

y

y

y

y

r------1 I I I

I I I I I I I L_ _ _ _ _ _ _

I

lx

0

I I I I I I I I

I_

_ _ _ - - -

_ _ _ _ _ _ _

I I I I I I I

__ _ _ _ _ _ _

_J

_j

Figura 4. 1 Aproximaciones interior y exterior para el area del disco unitario x2 + y2 � 1, para n = 0, 1, 2, donde A� = 0, A; = 1, A; = 2, A; = 4!, A; = 6, A; = 12.

424

Introduccion al calculo

y

al analisis matematic(l

valor A-(S). El valor A-(S) representa el area z'nterior, lo mejor que puede aproximarse el area de S desde abajo por media de cuadrados congruentes contenidos en S; el area exterior A \S) representa la mejor cota superior obtenible cubriendo S por media de cuadrados congruentes. Si ambos valores concuerdan se dice que S es mensu­ ra ble segun jordan el valor comun A -(S) = A \S) se llama con­ tenido, o medida de jordan, de S. Usaremos el t€�rmino mas sencillo area A(S) para el contenido de S y diremos que "S tiene un area", en l segtin Jordan", Iugar de usar la frase mas inc6moda "S es mensurable para denotar el hecho de que A -(S) = A +(S), ( o cual es cierto para casi todos los conjuntos que se presentan en Ia practica). La diferencia A�(S) - A�(S) representa el area total de los cuadrados en Ia n-esima subdivision que tiene puntas en comun con S sin que esten completamente en S. Todos estos cuadrados contienen puntas frontera de S, de modo que y

donde as es la frontera de S. Si la frontera de S tiene area 0 , se en­ cuentra que A+(S)_ - A-(S) = 11m [A.�(S) - A �(S)] = lim A �(aS) = 0, � � n-

n-

es decir, que S tiene un area. Por tanto, S tiene un area si su front era as tiene area 0. Esta condicion tambien es necesaria; ver la p. 5 7 8 . Para verificar que un conjunto dado S tiene un area o que aS tiene area 0 ' tendria que demostrarse que el area total de los cua­ ' que tienen drados en Ia n-esima subdivision puntas en comun con aSies arbitrariamente pequefia para n lo suficientemente grande. En realidad, no es necesario usar cuadrados de lado 2 para este analisis. Evz'dentemente, un conjunto S tiene un area si para cada > 0 se puede hallar un numero fz'n z'to de conjuntos sl. . . . ' SN que Entonces, ob­ cu bran La front era as de S tengan el area total < viamente para cualquier n, -n

e

e.

y

puesto que cualquier CUadrado que tiene puntas en comun con aS tiene puntas en comun con por lo menos uno de los conjuntos S1 , . . . , SN. A qui, para n � el segundo miembro tiende a Ia sum a de las areas de los St , la cual es menor que de donde, A+(aS) � Puesto que es un numero positivo arbitrario, se concluye que A -t oo ,

(aS) = o.

e

e;

e.

Integrales multiples

425

Este criterio es suficiente para establecer que la mayoria de las regiones comunes S que se encuentran en el analisis tienen area. En particular, basta con saber que la frontera de S consiste de un nu­ mero finito de arcos, cada uno de los cuales tiene una representacion no parametrica continua y = f(x) o x = g(y) con f o respecti­ vamente, continuas en un intervalo cerrado finito. La continuidad uniforme las funciones continuas en intervalos cerrados y acotados inmediatamente nos permite demostrar que estos arcos se pueden cubrir por medio de un numero finito de rectangulos de area total arbitrariamente pequeiia.1 g,

b. Un conjunto que no tiene area

Un ejemplo de un conjunto que no tiene area en el sentido es­ tablecido (o que no es "mensurable segun Jordan") es el conjunto S de los puntos "racionales" en el cuadrado unitario, es decir, el conjunto de los puntos cuyas coordenadas x, y son ambas numeros racionales entre 0 y 1 . Es evidente, por la propiedad de la densidad de los numeros racionales e irracionales, que A� = 1 , A� = 0

para toda n, de modo que S tiene area exterior I y area interior 0 . Esto concuerda con el hecho de que la frontera as de S consiste del cuadrado unitari'b cerrado cornpleto y tiene area I . Si se cubre S de cualquier manera por medio de un numero finito de conjuntos ce­ rrados sl, . . . ' SN con areas A(Sl), . . . , A(SN), respectivamente, entonces A(S1) +

· · ·

+ A(SN) �

1

puesto que los s, necesariamente tam bien cubren la frontera as de s (ver e] Ejercicio 6) . Sin embargo, parad6jicamente, es posible cubrir s por medio de un numero infinito de conjuntos cerrados St de area total arbitrariamente pequeiia. Solo se tiene que aplicar el hecho de que las parejas (x, y) de numeros racionales forman un conjunto 1 Se deja como un ejercicio para el lector probar que un rectfmgulo con lados pa­ ralelos a los ejes tiene un area (como se define a qui) iSlla l al producto de dos lados adyacentes.

426

Introduccion al cilculo

y I,

al analisis matematico

numerable (ver el Volumen p. 98) . 1 Por tanto pueden arregalrse los puntas •de S en una sucesi6n infinita (x1, Yt), (x2, y2), (xs, ys), . . .. Sea B un numero positivo arbitrario. Den6tese por Sm par-a cada en­ tero m > 0 , un cuadrado de area B2-m y centro en (xm, Ym). Enton­ ces los Sm cubren por completo el conjunto S, mientras que su area total esta dada por B

2

.

+ 4B + BB + 16B + • • • = B.

Por lo tanto, cubrir por medio de un numero injinito de cuadrados puede conducir a una disminuci6n considerable en Ia cota superior A\S) para el "area" de S, reflejando de manera mas aproximada lo "enrarecido" de los puntas racionales entre los reales. Uno de los puntas de partida en la teoria refinada de la medici6n de conjuntos, originada por Lebesgue, es definir el area exterior de un conjunto como la maxima cota inferior de la suma de las areas de cualquier conjunto }i"nito o infinito de cuadrados que lo cubran. Para el conjunto S dado el area exterior de Lebesgue tiene el valor 0, lo mismo que el area interior de S. Incidentalmente, para un conjunto S cerrado y acotado las dos definiciones de area exterior concuerdan, dado que, por el teorema de Heine-Borel (ver la p. 140), cualquier cobertura infinita de S ya contiene una cobertura finita. desiguales

c. Reglas para las operaciones con. areas

En la mayoria de los casos que nos interesan se puede establecer la existencia de un area de un conjunto S verificando que S esta li­ mitado por un numero finito de arcos con representaci6n parame­ trica continua. Por esa raz6n podria ser tentador excluir de nuestra consideraci6n todas las demas regiones con fronteras mas compli­ cadas. Sin embargo, resulta que tal restricci6n no solo conduce a una perdida de generalidad sino que tambien complica los procedimien-

1Se pueden arreglar, por ejemplo, en grupos, de acuerdo con la magnitud del mayor de los dos denominadores; cada grupo solo tiene un numero finito de elemen­ tos:

a . � ; a . � . a . � . a . m. a . � . a . m. (� , �) (i �) (� �) ; (� , �) (� �) , ,

,

,

,

,

,

.

.

. .

lntegrales multiples

427

tos, ya que se debe tener la seguridad de que las regiones que resultan de las operaciones de union e interseccion de conjuntos tienen a su vez fronteras sencillas. La ventaja de la definicion general dada para el atea como contenido es que se basa en la nocion primitiva de con­ tar cuadrados; nada se postula acerca de la frontera, en lo absoluto, mas alia del requerimiento de que pueda ser cubierta por un numero finito de cuadrados de area total arbitrariamente pequefia. La fron­ tera de un conjunto mensurable segun Jordan puede ser muy com­ plicada en detalle, consistiendo quiz a en un numero infinito de cur­ vas cerradas. Estas complicaciones no tendran efecto en la teoria de la integracion mientras se pueda demostrar que la contribucion total que proviene de la frontera es despreciable. Para trabajar con areas son basicas las operaciones de dividir un conjunto en subconjuntos y de combinar los conjuntos en otros mayores. El punta importante es que al aplicar estas operaciones se permanezca dentro de la clase de conjuntos que tienen areas. Se tiene el teo rem a fundamental de que la union , S U T , y la intersecci6n S n T de dos conjuntos S y T mensura bles segun ]ordan son, a su vez, mensura bles segiin ]ordan 1 • Esto se deduce inmediatamente a partir del hecho de que las fronteras de S U T y de S n T consisten de los puntas frontera de S o de T y, por tanto, a su vez tienen area 0 (ver la p. 58 1 ) . Para el caso importante de dos conjuntos S, T que n o se traslapan - es decir, conjuntos tales que ningun punto interior de uno de ellos pertenece al otro o a su frontera- se cumple la ley de aditividad para las areas: A(S U T) = A(S) + A( T) . Con mayor generalidad, para cualquier numero finito de conjuntos 81 , 82 , . . . , SN, mensurables se gu n Jordan, de los cuales ningiin par se traslapa, se tiene la relacion. (1)

A

c�1 Si) = ti A(Si).

La demostraci6n es trivial, con base en las desigualdades

1Se recuerda al lector que la union de conjuntos consiste de los puntos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos, y la intersecci6n, de aquellos puntos que per­ tenecen a todos.

428

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Aqui la primera desigualdad se deduce sencillamente del hecho de que cualquier cuadrado que tiene puntos en comiin con la union de los 81. debe tener puntos en comun con por lo menos uno de los Si. La segunda se deduce del hecho de que cualquier cuadrado con­ tenido en un conjunto Bi no puede estar contenido en alglin otro Sk (supuesto que los dos no se traslapan) pero esta contenido en su union. Para n � oo , se concluye que

c�1 Bi) � fA A\St) A - c� St ) #t A -(Si). 1

A+

�

A partir de la hipotesis de que los Si tienen areas, es decir, que y el area interior de la union no puede ser mayor que el area ex­ terior, se llega a la ecuacion ( 1 ) Ahora facil verificar que las "areas", como se definen a qui, se pueden expresar en terminos de integrales en los casos espedficos considerados en el Volu1nen I . Por ejemplo, sup6ngase que el con­ junto S consiste de los puntos "por debajo" de la grafica de una fun­ cion positiva continua y = f(x) en un intervalo a � x � b. Es decir, el conjunto de los puntos (x, y) para los cuales .

es

a � x�

b, 0 � y�f(x).

Considerese cualquier subdivision del intervalo [a, b] en N subintervalos de longitud Axt, y sean mt el minimo y Mt el n1aximo de f(x) en el i-esimo subintervalo. Evidentemente, los rec­ tangulos con base &xi y altura mt. no se traslapan y su union esta con­ tenida en S, de modo que N

.L: mi Axi � A (s). i= l

De m.odo semejante, Para f continua tanto la suma inferior como la superior tienen a la integral de f, y se llega a la expresion clasica

Integrales multiples

{2)

A(S) =

para el area de s.

J

b

a

429

f(x) dx

Ejercicios 4 . 1 1 . Demostrar q ue s i S y T tienen ar� a y s i S esta contenido e n T, entonces � S tiene area, donde 2 . Bajo Ia hip6tesis del Ejercicio 1 , demostrar que es el conjunto de los puntos de T que no estan contenidos en S. 3. Demostrar que si S y T estan =tcotados,

A(S) A(T). T- S

(a)

(b)

T

-

A+(S U T) + A+(S n T) � A+(S) + A\T) A-(S U T) + A-(S n T) � A-(S) + A- (T)

4 . Sean S y T conjuntos ajenos cualesquiera cuya union tenga area. Demos­ trar que = U + 5. (a) Demostrar que si un conjunto S tiene area en un sistema coordenado, tiene area en cualquier otro sistema coordenado que se obtenga por medio de Ia rotaci6n y traslaci6n de los ejes. (b) Demostrar que el area de S es la misma en ambos sistemas coorde­ nados. de 6. Sup6ngase que S est a cubierto por una colecci6n finita conjuntos cerrados. Demostrar que la colecci6n tambien cubre la frontera as de s. 7. �Tiene un area el conjunto S de los puntos (1/p, 1/q), donde P y q son numeros n aturales?

A+(S) A-(T) A(S T).

St, . . . , SN

Integrates dobles

4.2 a.

La integral doble

como

un volumen

Todo lo que se dijo acerca de las areas en los parrafos anteriores se lleva inmediatamente hacia los volumenes en tres mas dimen­ siones. Para definir el vo]umen V(S) de un conjunto acotado S en el espacio x, solo se necesitan usar subdivisiones del espacio en cubos de lado 2-n . El conjunto S tendra un volumen cuando su fron­ tera pueda ser cubierta por un numero finito de estos cubos de volumen total arbitrariamente pequeiio. Este es el caso para todos los tonjuntos acotados S cuya frontera consista de un numero finito de superficies, cada una de las cuales tenga una representaci6n no parametrica continua z = f(x, y) o y = g(x, z) o x = h(y, z) sobre un conjunto plano cerrado. 0

y,

z

430

y

Introduccion al cUculo

al analisis matematico

El intento de representar el volumen analiticamente conduce directamente a la noci6n de integral multiple, la cual tiene una gran variedad de aplicaciones. Sea R, conjunto cerrado acotado en el plano x, y, mensurable segun Jordan, el dominio de una funci6n de valor positivo z = f(x, y). Se desea encontrar el volumen "por debajo" de la superficie z = f( x, y), es decir, el volumen V( S del conjunto S de los puntos (x, y, z) para los cuales 0 � z � f(x, y). (x, y) R, Con este fin se divide R en los conjuntos cerrados que no se tras­ lapan R1 , . . . , RN mensurables seglin Jordan. Sean el minimo y M( el maximo de f para (x, y) en R,. Facilmente se ve que el cilindro con base R( altura tiene el volumen A(R ), donde A(Rt) es el area de Rt (Fig. 4.2).1 Estos cilindros no se traslapan. De modo semejany

E

rrn

y

rrn

7n4

t

s

Figura 4.2 1 Cuando se divide el espacio en cubos de lado 2-:�, los cubos que tienen puntos en comun con el cilindro pueden arreglarse en "columnas" cilindricas cuya secci6n recta es un cuadrado que tiene un punto en comiin con Be y cuya altura difiere de 2-n en menos que Tni·

Integrales multiples

43 1

te los cilindros con base Rt altura Mt tiene el volumen MtA(Rc) no se traslapan. Se deduce que y

y

N N {3a) l:mtA(Rt) � V(S) � 2: MtA(Rt) Las sumas que aparecen en esta desigualdad reciben los nombres, respectivamente, de sumas inferior superior . Hagase ahara esta subdivision cada vez mas fina, en el sentido de que tienda hacia cero el 1diametro maximo de cualquier Rt que se tenga en la subdivision. La funcion continua f(x, y) es unifor­ memente continua en el conjunto compacta R, de modo que la diferencia maxima Mt - mi tiende a cero con el diametro maximo de los conjuntos Rt en la subdivision. La diferencia entre las sumas superior e inferior tambien tiende a cero, puesto que i= l

i= l

y

N

N

t= l

t=1

� MtA(Rt) - � mtA(Ri)

N N = 2: (Mi - mt)A(Rt) � [Max(Mt - mt)] 2: A(Rk) i- 1

i

k=I

= [Max(Mi - mi)]A(R). i

De (3a) se deduce que tanto Ia suma superior como Ia inferior con­ vergen hacia el limite V(S) a medida que se afina indefinidamente la subdivision. Obviamente, se puede obtener el mismo valor limite si en Iugar de ffli o M, se toma cualquier numero entre mi Mt, tal como f(xt, Yi), el valor de Ia funcion en un punta (x,, Yt) del conjun­ to Rt. AI limite V(S) se le da el nombre de integral doble de f sabre el conjunto R se escri be { 3b) V(S) = JL f(x, y)dR. y

y

b. El concepto anal·£tico general de la integral

El concepto de Ia integral doble como un volumen, sugerido por Ia geometria, ahara debe ser estudiado analiticamente hacerse mas preciso sin referencia a Ia intuicion. Considerese un conjunto cerrado y

1El "diametro" de un conjunto cerrado es la distancia maxima entre dos puntos cualesquiera en el conjunto.

432

y

Introducci6n al calculo

al analisis matematico

y acotado R, mensurable segiin Jordan, con area A(R) = ll.R, y una funci6n {(x, y) que sea continua en todo punto de R (incluyendo la frontera). Como antes, subdividaseR enNsubconjuntos R1, R2, . . , RN que no se traslapen, mensurables segU.n Jordan, con areas ll.R1 , . . . , ll.RN. Elijase en R1. un punto arbitrario (�i,llt), donde la funci6n tiene el valor {t = f(�i,lli) y f6rmese la sum a .

N

vN = �

i= l

N

{tll.Rt = }2 {tA(Ri). i= l

Entonces el teorema fundamental de existencia afirma:

Si el numero N crece mas alld de toda cota y, al mismo tiempo, el mayor de los diametros de las su bregiones tiende hacia cero, entonces VN tiende hacia el limite V. Este limite es independiente de la na­ turaleza particular de la subdivision de las regiones y de la elecci6n del punto (�t, lli) en Rt. A l limite V se le da el nom bre de integral (doble) de la funcion f(x, y) sobre la region y se le denota por

JJ f(x, y)dR.1 R

coRoLAruo

R

R

•

se

Se obtiene el mismo limite si toma la suma solo sobre aquellas subregiones R1. que se encuentran por completo en el interior de R, es decir, las que no tienen puntos en comun con la frontera de R. 2

1 Este teorema puede refinarse aun mas en una forma util para muchos proposit�s.

En la subdivision en N subregiones, no es necesario elegir un valor que en realidad sea tornado por la funcion f(x, y) en un punto definido (�i, ll t) de la subregion correspondiente; pasta con elegir valores que difieran de los valores de la funcion f (l;t, llt) en cantidades que tiendan uniformemente a 0 a medida que la subdivion se hace mas fina. En otras palabras, en Iugar. de los valores de la funcion {(l;t , llt) {i = {(�1, 11,)

+ 6t,N

pueden considerarse las cantiadades donde l ei,N I � eN, lim eN = 0. Este teorema es N-oo casi trivial porque, dado que los numeros &t,N tienden uniformemente a 0, el valor absoluto de la diferencia entre las dos sumas es menor que EN L: ARt, y puede hacerse N

L: ft ARt 1

y

tan pequeiio como se desee si se toma el numero N lo suficientemente grande. Por ejemplo, si {(x, y) = P(x, y) Q(x, y), puede tomarse {t = PtQt, donde Pt y Qt son los maximos de P y Q en Ri, los cuales, en general , np se toman en el mismo punto. 2El corolario se deduce d�l hecho de que no solo la frontera oR de R, sino tambien el conjunto de todos los puntos lo suficientemente proximos a oR pueden ser cubier­ tos por cuadrados de area total arbitrariamente pequeiia .

Integrales multiples

433

Este teorema de existencia para la integral de una funcion con­ tinua puede probarse de una manera puramente· analitica. La de­ mostracion, que es muy semejante a la demostracion correspondiente para una variable, se encuentra en el apendice de este capitulo (p. 526). Ilustremos abora este concepto de integral, considerando algunas subdivisiones especiales. En caso mas sencillo es aquel en el que R es un rectangulo a � x � b, c � y � d y las subregiones Rt tambien son rectangulos (formados al subdividir el intervalo x en partes igua�f's y el intervalo y en partes iguales) de longitudes h= b-a y k = d m- e . n Denotaremos por xo = a, XI, X2, , Xn = b Yo = c, YI, y2, . . , Ym d. los puntos de subdivision. Estos corresponden a paralelas al eje y al eje x, respectivamente. Entonces se tiene N = nm. Las subre­ y giones son todas rectangulos con area A(Rt) = ARt = hk = Ax Ay, dqnde h = Ax, k = Ay. Como punto (�t, lli) tomese cualqu�er punto en el rectangulo correspondiente Ri, y, a continuacion, formese la sum a Z:i f(�i , lli)Ax Ay para todos los rectangulos de la subdivision. Si abora se hace que n y crezcan simultaneamente mas alia de toda cota, la suma tiende a la integral de la funci6nfsobre el rectan­ gulo R . Tambien se pueden caracterizar estos rectangulos por medio de los dos subindices y v, correspondientes a las coordenadas x = a + = c + J.Lk del vertice inferior izquierdo del rectangulo en vh cuestion. A qui v tom a val ores enteros desde 0 basta (n 1) y desde 0 basta (m - 1). Con esta identificaci6n de los rectangulos, por medio de los subindices v y 1 se puede escribir apropiadamente la suma como una suma doble n

m

-­

--

•

=

•

.

m

y y

J.l

-

J.l

J.l,

(3c)

n- 1 m-1

Z:

Z: f(�v, llll)Ax Ay.

V=O 1!=0

Incluso cuando R no es un rectangulo, a menudo resulta con­ veniente subdividir la region en subregiones rectangulares Ri. Para 1 Si se va a escribir la suma en esta forma, debe suponerse que se eligen los puntos (�i, TH) de modo que esten en rectas verticales u horizontales.

434

y

Introduccion al calculo

al analisis matematico

hacerlo se sobrepone al plano la red rectangular formada por las rec­ tas 0, 1, 2, . . ) vh x (v =

=

y =

( Jl = 0,

Jlk

±

±

1,

±

±

2, .

.

)

,

donde h y k son numeros que se eligen arbitrariamente. Considerense ahara todos aquellos rectangulos de la division que se encuentren completamente dentro de R . Denotaremos estos rectangulos por Ri. Por supuesto, no Henan completamente la region; por el contrario, ademas de estos rectangulos R tambien contiene ciertas regiones Ri adyacentes a la frontera que estan limitadas parcialmente por rectas de la red y parcialmente por porciones de la front era de R . Por el corolario de la p. 3 7 7 , se puede calcular la integral de la funci6n f sabre la region R sumando solo sabre los rectangulos interiores y, a continuacion, pasando al limite. Otro tipo de subdivision que se aplica con frecuencia es la sub­ division por media de una red de coordenadas polares (Fig. 4.3). Se · subdivide el angulo completo 2n en n partes de magnitud �e 2nfn = h, y tam bien se elige una segunda cantidad k = �r. Tracense ahara las rectas 9' = vh(v 0, 1, 2, . . . , n 1) que pasan por el origen, y tam bien los circulos concentricos = Jlk (Jl = 2, . . ). Se denotaran por Ri, aquellas regiones que se encuentran comple­ tamente en el interior de R , sus areas por �Ri. Entonces se puede considerar la integral de la funcion f(x, y) sabre la region R como el limite de la suma =

=

-

r�

l,

y

Figura 4 . 3

Subdivision por medio de redes de coordenadas polares.

.

435

Integrales multiples

donde (�i, lli) es un punta que se elige arbitrariamente en Ri . La suma se toma sabre todas las subregiones Ri en el interior de R y el paso bacia el limite consiste en hacer que h y k tiendan simulta­ neamente a cera. Por geometria elemental, el area !).Ri esta dada por la ecuacion si se supone que Ri esUi en el anillo limitado por los circulos con radios J.tk y (J.t + 1)k. c.

Ejemplos

El ejemplo mas sencillo es la funcion f(x, y) = 1. Obviamente, aqui el limite de la suma es independiente del modo de subdivision y siempre es igual al area de la region R . En consecuencia, la integral de la funcion [(x, y) = 1 sabre la region tambien es igual a esta area. Esto podria haber sido de esperar, porque la integral es el volumen del cilindro de altura unitaria con la region R como base. Como un ejemplo mas, considerese la integral de la funcion f(x, y) = x sabre el cuadrado 0 � x � 1, 0 � y � 1. La interpretacion in­ tuitiva de la integral como un volumen indica que el valor de la presente integral debe ser t. Esto se puede verificar por media de la definicion analitica de la integral. Subdividase el rectangulo en cuadrados de lado h = 1 /n, y como punta (�i , lli) elijase el vertice in­ ferior izquierdo de cada pequefio cuadrado. Entonces cada cuadrado en la columna vertical cuyo lado izquierdo tiene la abscisa vh con­ tribuye a la suma con la cantidad vh3. Esta expresion aparece n veces. De donde, Ia contribucion de la columna completa de cuadrados equivale a nvh3 = vh2 • Formese ahara la suma desde v = 0 basta v = n 1, para obtener -

�� vh2 =

v=O

n(n

-

2

1) 2 _! h = 2

-

!!:_ 2 '

Como se afirmo, el limite de esta expresion, conforme h � 0 es f . De modo semejante se puede integrar el producto o, mas generalmente, cualquier funcion f(x, y) que se pueda representar como un producto de una funcion de y una funcion de en la for­ ma f(x, y)i = �(x) 'JI(y), siempre que la region de integra cion sea un rectangu 'J con lados paralelos a los ejes, digamos a � x � b, � y � d. Se usa la misma division del recangulo usada en (3c)y como .xy

x

y

c

436

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

valor de la funcion en cada subrectangulo se torna el valor de la fun­ cion en el vertice inferior izquierdo. Entonces la integral es el limite de la surna n- 1

m

- 1 �(vh)'I'(Jlk) hk 2: 2: v=O J.l= O

la cual se puede escribir como el producto de dos sumas, en la forma 1 k'I'(Jlk). Y:1 h�(vh) 1: J.l-0

v=O

Por la definicion de integral ordinaria, conforrne h � 0 y k � 0 estos factores tienden a las integrales de las funciones correspon­ dientes sobre los intervalos respectivos, desde a hasta b y desde has­ ta d. Asi se obtiene la regia general de que si una funcion f(x, y) se puede representar como un producto de dos funciones �(x) y 'l'(y), su integral doble sobre un rectangulo a � � b, � .y � d puede descornponerse en el producto de dos integrales: c

x

c

JJ: f(x, y) dx dy = Lb �(x) dx itt 'I'(Y) dy. •

p.

Esta regia y la de la surna (ver (4b), 438) proporcionan la integral de cualquier polinornio sobre un rectangulo con lados paralelos a los ejes. Como un ultimo ejernplo, considerernos un caso en el que sea con­ veniente usar una subdivision por rnedio de la red de coordenadas polares en Iugar de una subdivision en rectangulo. Sea la region R el circulo con radio unitario y centro en el origen, dado por x2 + y2 � 1, y sea f(x, y) = -v'l - x2 - y2.

La integral de f sobre R es sirnplernente el volumen de un hernisferio de radio unitario. Constn1yase la red de coordenadas polares como antes. La su­ bregion que se encuentra entre los circulos con radios r"' = Jlk rJA+l = (Jl + l)k y entre las rectas 9 = vh Y 9 (v + l)h, donde h 21t/n proporciona la contribucion :::::::

Y

:::::::

donde, como valor de la funcion en la subregion Rt se ha tornado el valor que torna la funcion sobre un circulo interrnedio con el radio

Integrales multiples

= ( r!l+l + rll)/2.

437

Todas las subregiones que estan en el mismo anillo dan la misma contribucion y, como hay 21t/h de esas regiones, la contribuci6n de todo el anillo es Pll

n =

Por lo tanto, la integral es el limite de la suma Como ya se sabe, esta sum a tiende a la integral sencilla 21t il r Jl r2 dr = - 21t -3 .J(l r2)3 101 = 21t-3 De donde se obtiene .Jl x2 - y2 dR = 21t 3, 0

-

-

fL

.

-

que concuerda con la conocida formula para el volumen de una es­ fera. d. Notaci6n. Extensiones. Reglas fundamentales

La subdivision rectangular de la region R esta relacionada con el simbolo de la integral doble, usado desde la epoca de Leibnitz. Par­ tiendo del simbolo � � f(�v, Ttll) �x .1y !l=O

n-1 m- 1

V=O

para la suma sobre los rectangulos, se indica el paso al limite, de la suma a la integral, remplazando el signo doble de suma por un signo de integral doble y escribiendo el simbolo dx dy en lugar del produc­ to de las cantidades �x �y. En consecuencia, frecuentemente se es­ cribe la integral doble en Ia forma en

JL t(x, y) dx dy

lugar de hacerse en la forma JL t<x, y) dR Ia cual se remplaza el area AR por el simbolo dR. Por el momen­ ta, el simbolo dx dy solo se refiere simb6licamente al paso hacia el

en

438

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

limite de las sumas anteriores de nm t€�rmi nos, conforme

m � oo.

n

� oo

Y

Resulta claro que en l as integrales dobles , precisamente como en las integrales ordinarias de u na sola variable , no import a la notaci6n para las vari ables de integraci6n , de modo que , con igual propiedad oudo haberse escrito

JJR f(u, v) du du

0

Al introd ucir el concepto de integral se vio que para una funci6n positiva y) Ia integral representa el volumen deb ajo de I a super­ ficie z = y) . Sin embargo , en Ia definicion analitic a de integral es y) deba ser positiva en completamente innecesario que l a funcion todo punto ; puede ser negativa o puede c ambiar de signo , en cuyo caso la superfi cie se intersecta con la region R . Por lo tanto , en el caso general la integral da el volumen en cuestion con un signo definido , siendo el signo positivo para las superficies o porciones de superficies que esten por encima del plano x, y . Si la superficie con­ siste de varias porciones de ese tipo , la integral representa la sum a de los volumenes correspondientes tornados con sus signos p ropios . En parti cular, una integral doble se puede anular aunque Ia funci6n bajo el signo integral no se anule en todas partes . Tanto para las integrales dobles como para las integrales simples se cumplen las reglas fundament ales siguientes; sus demostraciones son simples repeticiones de l as dadas en el Volumen I (p . 1 38 ) . Si c es una constante , entonces

f(x, f(x,

(4a)

f(x,

fL cf(x, y) dR = c fL tcx, y) dR.

Ademas, la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus dos integrales (linealidad de la operaci6n de integracz"6n):

<4b)

fi [f(x, y) + �(x, y)l dR = ffR f(x, y) dR + f£ �(x, y) dR.

Por ultimo , si la region R consiste de dos subregiones R' y R" que tienen en comun a lo sumo porciones de la frontera , entonces

(4c)

f£ t(x, y) dR = J£, f(x, y) dR +. J£, f(x, y) dR ;

es decir , cuando se unen las regiones, las integrates correspondientes suman (aditividad de la.s integrales).

se

Integrales multiples e. Estimaciones de la integral

y

439

el teorema del valor medio

En cuanto a las integrales ordinari as , existen algunas estimaciones muy (.tt i les para las integrales dobles . Como las demostraciones son practicamente las mismas que se dan en el Volumen I (p. 1 38) , nos co ntentaremos simplemente con enunciar los hechosSi f(x, y) � 0 en R , entonces (5a)

de modo semej ante , si f(x, y) :;£ 0, (5b)

JL f(x, y) dR :;£ 0.

Esto conduce al resultado siguiente: si la desigualdad

f(x, y) �
(5c) se

cumple en todo punto de R, entonces

(5d)

JJR f(x, y) dR � JL rp(x, y) dR.

Una aplicaci6n directa de este teorema da l as relaciones (5e)

y (5f)

JJR f(x, y) dR :;£ JL I f(x, y) I dR

JL t(x, y) dR � - JL l f(x, y) l dR.

Tam bien se pueden combinar estas desigualdades en una sola formula : (5g)

I JL f(x, y) dR I :;£ JL I f(x, y) I dR.

Si m es l a m axima cota inferior y M la minima cota superior de la funci6n {(x, y) en R , entonces (6)

m AR :;£

JL f(x, y) dR :;£ M AR,

donde AR es el area de la region R . Entonces la integral se puede ex­ presar en la forma

440

Introduccio'ri al cilculo

(7a) J.l

y

al anilisis matematico

fLt(x, y) dR = � �R,

donde esta entre m y M. En general no se puede especificar con mas exa_c:titud el Valor preciSO de Nqevamente, esta forma de la formula de estimacion recibe el nomnre de teorema del valor medio del calculo integral. Aqui se cumple una vez mas la generalizacion siguiente: si p(x, y) es cualquier funcion continua positiva en R , entonces (7b) fLp<x, Y>t<x, Y> dR = � fLp<x, y) dR, donde � denota un numero entre los valores maximo y minimo de f que no se puede especificar mas. Como antes, estas estimaciones de la integral indican que la in­ tegral varia continua mente con la funcz'6n. Mas concretamente, sean f(x, y) y ,P(x, y) dos funciones que, en la region completa R , satisfacen la desigualdad U.

I

f(x, y) - ,P(x, y) I < e, donde e es un m1mero positivo fijo. Si �R es el area de R , entonces las integrales fiR f(x, y) dR y ffR ,P(x, y) difieren en menos que �R, I

E.

B

es decir, en me nos que un numero que tiende a cero con De la misma manera se ve que la integral de una funci6n varia continuamente con la region. Supongase que dos regiones R ' y R " se obtienen una de la otra por la adicion o la remocion de porciones cuya area total es menor que e, y sea f(x, y) una funci6n continua en ambas regiones, tal que l f(x, y) l < M, donde M es un m1mero fijo. Entonces las dos integrales ffR' f(x, y) dR y ffR" f(x, y)dR di­ fieren en menos que Me, es decir, en menos que un numero que tiende a cero con e . La demostraci6n de este hecho se deduce inme­ diatamente a partir de la formula (4c) de la p. 438. Por lo tanto, se puede calcular la integral sobre una region R tan exactamente como se desee, tomandola sobre una subregion de R cuya area total difiera de la de R en una cantidad lo suficientemente pequeiia. Por ejemplo, en la region R se puede construir un poligono cuya area total difiera tan poco como se desee del area de R . En par* Precisamente como para las integrales de funciones continuas de una variable, es evidente que el valor J.1 es tornado por la funci6n {(x, y) en algun punto del conjun­ to R, si R es conexo y f es continua.

Integrales miilti�les

441

ticular, puede suponerse que este poligono esta limitado por rectas paralelas a los ejes x y y alternadamente, es decir, que se forma por media de rectangulos paralelos los ejes. a

4 .3

Integrales sobre regiones en tres

y

mas dimensiones

Cada una de las proposiciones que se han hecho para las inte­ grales sabre regiones del plano x, y se puede extender sin mas com­ plicaciones o introduccion de ideas nuevas hacia regiones en tres o mas dimensiones. Por ejemplo, para tratar la integral sabre una region tridimensional R solo es necesario subdividir R (por ejemplo, por media de un .numero finito de superficies con representaciones no parametric as continuas) en subregiones cerradas Rt, R2, . . . , RN que no se traslapen, mensurables segun jordan y que llenen a R por com­ pleto. Si fi.x, y, z) es una funcion continua en la region cerrada R y si (�t, T]t, st) denota un punta arbitrario en la region R-t, formese nuevamente la suma en la cual AR-t denota el volumen de la region Ri. La suma se toma sabre todas las regiones R1 , o bien, si es mas conveniente, solo sabre aquellas subregiones que no se unen con la frontera de R . Si ahara se hace que el numero de subregiones crezca mas alia de toda cota, de manera que el diametro de la mayor de elias tienda a cera, nue­ vamente se encuentra un limite independiente del modo particular de subdivision y de la eleccion de los puntas intermedios. Este limite se llama integral de f(x, y, z) sabre la region R y se denota por (7c)

JJR f(x, y, z) dR.

En particular, si se efectua una subdivision de la region en regiones rectangulares con lados Ax, Ay, Az, todos los volumenes de las re­ giones interiores Rt tendran el mismo valor Ax Ay Az. Como en la p. 437, el paso hacia el limite se indica a traves de la notacion

JJL f(x, y, z) dx dy dz.

Aparte de los cambios necesarios en la notaci6n, todos k·s hechos que se han mencionado para las integrales dobles siguen siendo validos para las integrales triples.

442

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Para regiones de mas de tres dimensiones, una vez que se ha definido de modo apropiado el concepto de volumen para tales regiones puede definirse Ia integral multiple exactamente de la mis­ ma manera. Si nos restringimos a subregiones rectangulares se define el volumen de una region rectangular. y

(i

= 1, 2, . . . , n)

como el producto h1 h2 . . . hn, la definicion de integral no comprende nada nuevo. Una integral sobre Ia region n dimensional R se denota por

JJ · • • L {(XI, X2 , . .

. , Xn) dx1 dx2

•

•

•

dxn.

y

Para regiones subdivisiones mas generales debe contarse con la definicion abstracta de volumen dada en el Apendice. En lo que sigue nos restringiremos a las integrales en tres dimen­ siones, cuando mas. 4.4

Derivaci6n en el espacio. Masa

y

densidad

Para funciones de una variable el integrando es la derivada de la integral. Este hecho representa la relacion fundamental entre el cal­ culo diferencial el integral. Para las integrales multiples de fun­ ciones de varias variables existe la misma relacion; pero aqui no es de caracter tan fundamental. Considerese la integral multiple (integral de dominio) y

ffB f(x, y) dB

0

JJL f(x, y, z) dB

de una funcion continua de dos o tres variables sobre una region B que contiene a un punto fijo P con coordenadas (xo, yo) o (xo, yo, zo), respectivamente, que tiene el contenido �!!B. Dividiendo esta in­ tegral entre el contenido I!!B, de la formula (7a) se deduce que el cociente es un valor intermedio del integranda, es decir, un numero entre sus valores maximo minima en la region. Si se hace que el diametro de la region B alrededor del punto P tienda a cero, de modo que el contenido AB tambien tienda a cero, este valor inter­ media de la funcion f debe tender a su valor en el punto P. De don­ de, el paso hacia el limite proporciona las 'relaciones respectivas lim / lrr f(x, y)dB = f(xo, yo) B JB y

y

ft.B- 0

Ll

Integrales multiples

443

y

l

}!� AB JJJB f(x, y, z)dB = f(xo, yo, zo). Este proceso de limite, que guarda cierto paralelismo con el proceso de derivacion para las integrales con una variable inpendiente, recibe el nom bre de derivaci6n en el espacz'o de la integral. Entonces se ve que la derivaci6n en el espacz'o de una 'integral multiple da el z'n­ (8)

iegrando.

La relacion del integrando con la integral se puede interpretar en caso de varias variables independientes, por medio de los conceptos fisicos de densidad masa total. Se piensa en una masa de una sustancia como si estuviera distribuida sobre una region R de tres di­ mensiones, de tat manera que en cada subregion lo suficientemente pequefia este contenida una masa arbitrariamente pequefia. Con el fin de definir Ia masa espedfica o densidad en un punto P, consi­ derese primero una vecindad B del punto P, con contenido AB dividase la masa total en esta vecindad entre el contenido. El cociente recibe el nombre de densidad medz'a o densz'dad promedz'o en esta subregion. Si ahora se hace que el diametro de B tienda a cero, a partir de la densidad media en la region B se obtiene un limite llamado densz'dad en el punto P, siempre que ese limite exista in­ dependientemente de la selecci6n de la sucesion de regiones. Si se denota esta densidad por Jl(X, y, z) se supone que es continua, se ve inmediatamente que el proceso antes descrito proporciona el mismo valor que la derivacion de la integral el

y

y

y

JJJR Jl(X, y, z) d V,

tomada sobre toda la region R . Por lo tanto, esta integral tomada sobre la region completa representa masa total de la sustancia de densidad en la region 1 R. Naturalmente, desde el punto de vista fisico tal representacion de Ia masa de una sustancia es una idealizacion. Que esta idealizacion es Jl

*Lo que se ha demostrado es unicamente que la distribucion dada por la integral multiple tiene la misma derivada en el espacio que la distribucion de masa dada originalmente. Falta por probar que esto implica que las dos distribuciones en realidad son identicas; en otras palabras, que la proposicion "la derivacion en el es­ pacio da la densidad J.L" · solo puede ser satisfecha por una distribucion de masa. La demostracion, aunque no es dificil, se pasa por alto aqui. Se tiene que suponer que Ia masa es aditiva, es decir, que para una region R que consiste de dos regiones que no se traslapan R; .Y R", la masa de R es la suma de las masas de R' y R".

444

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

razonable, es decir, que da una proximaci6n de la situaci6n real con exactitud suficiente, es una de las hip6tesis de la fisica. Es mas, estas ideas conservan su significado matematico incluso cuando no es positiva en todo punto. Las densidades y masas negativas tambien tienen una interpretacion fisica, por ejemplo, en el estudio de distribuciones de carga electrica. Jl

4.5

Reduccion de la integral multiple a integrales simples re­ petidas

El hecho de que toda integral multiple puede reducirse a inte­ grales simples tiene una importancia fundamental en la evaluaci6n de las integrales multiples. Este hecho nos permite aplicar todos los metodos que se han desarrollado previamente para encontrar In­ tegrales indefinidas la evaluaci6n de integrales multiples. a

a. lntegrales sobre un rectangulo �

Primero tomemos la region R como un rectangulo a � x � b, a y � f3 en el plano x, y y consideremos una funci6n continua f(x,

y) en R. Entonces se tiene el teorema:

f(x, y)

Para encontrar la integral do ble de sa bre la region con res­ primero se considera y como constante y se integra pecto a x entre los limites a y b. Esta integral

f(x, y)

R,

rp(y) = Lb f(x, y) dx

es una funci6n del para metro y, la cual se integra entre los limites a y x para o btener la integral do ble .

En sirn.bolos,

fL t<x, y) dR = i13 1> dy, if>(y) = Lb f(x, y) dx,

0,

mas brevemente,

(9a)

JJR t(x, y) dR = i13 dy Lb f(x, y) dx..

Para pro bar est a proposici6n regresemos a la definicion de In­ tegral multiple (3c). Tomando

Integrales multiples

h =

se tiene

b-a

y

-­

m

k=

J3 - a --

n

445

'

JL f(x, y) dR = �� vt �{(a + J.Lh, a + vk) hk. n - oo

Aqui se debe entender que el limite significa que la suma del s�undo miem bro difiere del valor de la integral en .menos que una cantidad positiva previamente asignada arbitrariamente pequefia, unica­ mente bajo la condicion de que tanto el Iiumero como el n sean mayores que una cota N, la cual solo depende de Introduciendo la expresi6n 1 v = � f(a + J.Lh, a + vk) h esta suma puede escribirse en la. for�a E,

m

E.

m

ll= l

� vk. n

v= I

Si ahora se elige para E un valor arbitrariamente fijo y para n un numero fijo mayor que N, se sabe que

ffR f(x, y) dR - k � v m,

< E

sin importar cual sea el numero unicamente bajo el supuesto de que sea mayor que N. Si se mantiene n fijo y se hace que tienda a infinito, la expresion anterior nunca es mayor que De acuerdo con la definicion de integral ordinaria, sin embargo, en este proceso de limite, la expresi6n tiende a la integral · Lb f(x, a + vk) dx = if>(a + vk), y, por lo tanto, se obtiene t1 JJR f(x, y) dR - k if>(a + vk) ;£; E.

m

Cl>v ·

E.

I La idea medular de la demostraci6n que sigue es sencillamente la de resolver el limite doble, a medida que m y n crecen simultaneamente, en dos procesos sucesivos de tomar un solo limite: primero, m -+ oo cuando n se flja y, a continuaci6n, n � oo.

lntroduccion al calculo y al analisis matematico

446

Cualquiera que sea el valor de e, esta desigualdad se cumple para todos los valores de que sean mayores que un numero fijo N, el cual solo depende de Si ahora se hace tender n hacia (es decir, se hace tender k hacia cero ), entonces, por la definicion de "integral" y la continuidad (ver la p. 74 ) de Lb f(x, y) dx = 9(y) , n

00

E.

se obtiene de donde

!�� k � 9(a + vk) = 113 9(y) dy ;

I JLt(x, y) dR - 113 9(y) dy I � e.

Puesto que e puede elegirse tan pequeiio como se desee y el primer miembro es un numero fijo, esta desigualdad solo se puede cumplir si el primer miembro se anula, es decir, si JJR f(x, y) dR = 113 dy Lb f(x, y) dx. Esto da la transformacion requerida. El resultado permite reducir la integrad6n do ble a dos inte­ graciones simples sucesivas. Dado que las partes que juegan x y son intercambiables, no se requiere mas demostracion para hacer ver que tambien se cumple la ecuacion JJR f(x, y) dR = Lb dx J:f(x, y) dy (9b) y

b. Cambio del orden de integraci6n . Derivtu:i6n bajo el signo integral

Las dos formulas (9a), (9b) conducen a la relacion (9c)

Integrales multiples

80)

·(ya probada en un forma diferente en la p. palabras:

447

o, expresado en

En la integraci6n repetida de una funci6n continua con limites de integraci6n constantes se Puede invertir el orden de la integraci6n.

El teorema sabre el cambia del arden de integraci6n tiene muchas aplicaciones. En particular, se usa frecuentemente en el calculo ex­ plicito de integrales sin1ples definidas para las cuales no se puede hallar una integral indefinida. Como un ejemplo (para mas ejemplos ver el Apendice), consi­ derese la integral I=

i

oo e-ax - e-bx dx'

0

X

la cual converge para a > 0, b > 0. Puede expresarse I como una in­ tegral repetida en la forma En esta integral repetida impropia no se puede aplicar directamente el teorema de cambia de arden. Sin embargo, si se escribe I=

lim

T-oo

fT dx Jrab e-xy dy,

Jo

cambiando el arden de la integraci6n se obtiene I=

b 1 - e-TY dy = log -b - ib e-Ty dy. i Y a T-oo a Y T-oo a lim

----

lim

--

En virtud de la relaci6n

e-y dy, i b e-YTY dy = J'Tb Y a

-

Ta

la segunda integral tiende a cera a medida que T crece; de aqui que (lla)

te:

I=

ioo e-ax - e-bx dx = log -b . 0

x

a

De manera semejante se puede probar el teorema general siguienSi f(t) es seccionalmente suave para t � 0 si la integral y

448

Introducci6n al calculo y al analisis matematico

f '"' f(t) dt

Jl existe, entonces para a (llb)

y

t

b Positivos

f"" f(ax) - f( bx) dx I= J x o

=

f(O) log Q . a

Aqui nuevamente puede expresarse la integral simple como la in­ tegral repetida I=

Jo"' dx 1a f'(xy) dy

y cambiarse el orden de la integraci6n .

c. Reduccion de integrates dobles a integrales simples para regiones mas generales

Por una simple extension de los resultados ya obtenidos , pueden deducirse resultados analogos para regiones mas generales que los rectangulos . Empecemos por considerar una region convexa R, es decir, una region cuya curvaJrontera no es cortada por recta alguna en mas de dos puntos, a menos que jodo el segmento rectilineo entre estos dos puntas sea parte de la frontera (Fig . 4 .4) . Sup6ngase que la y

x-x1

Figura 4 .4

Region convexa general de integraci6n.

regiOn se encuentra entre l as rectas de soporte (es decir, rectas que contienen a un punto frontera de R pero no separan a dos puntos

Integrales multiples

449

cualesquiera de R ) x = xo, x = X 1 y y = yo, y = y1 , respectiva­ mente . Como la coordenada x para cualquier punto de R est a en el intervalo xo � x � X1 y Ia coordenada y en el intervalo yo � y � y1, considerense las integrales

y

l"'z <x> jlll t (X) {(X, y) dy, que se toman a lo largo de los segmentos en los que la rectas y = constante y x = constante , respectivamente, se intersectan con la region . Aqui � 2(y) y 9h(y) denotan las abscisas de los puntos en los cu ales la frontera de la region se intersecta con la recta y = constan­ te, y \jl 2 (x) y denotan l as ordenadas de los puntos en los cuales frontera se intersecta con las rectas x = constante. Por lo tanto , la la integral

'l'l(X)

��2 j�I(Y) �(x' y) dx I

es una funcion del parametro y, donde el parametro aparece tanto bajo el signo integral como en los limites superior e inferior ; se cum­ pie una proposicion semejante p ara la integral

como una funcion de x. Entonces, la descomposicion en inte­ grales repetidas esta dada por las ecuaciones (1 2)

Y) 11 f(x, y) dR = lYyO1 dy L�I(Y) cfJ2 ( f(x, y) dx R

Para prob ar esto elijase primero una sucesi6n de puntos sobre el arco y = \jl 2 (x), siendo la distancia entre puntos sucesivos menor que un numero positivo 8. Unanse los puntos sucesivos por medio de trayectorias , consistente c ada una de elias de un segmento rectilineao horizontal y uno vertical que se encuentren en R . De modo semejante

450

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

se trata la frontera inferior y = 'I'I(x), eligiendo puntos con las mis­ mas abscisas que los de la frontera superior. Asi se obtiene una region R en R, la cual consiste de un numero finito de rectangulos; la fron­ tera de R por arrib a y por abajo se representa por medio de las fun­ ciones seccionalmente constantes y = "\V 2 (x) y y = "\VI(X), respecti­ vamente (ver la Fig. 4 . 5 ) . Por el conocido teorema para los rectan­ gulos , se tiene

Figura 4.5

Puesto que '1' 1(x) y '1' 2 (x) son uniformemente continuas, a medida que 8 � 0, las funciones WI(X) y "\V 2 (x) tienden uniformemente a 'I'!(X) y '1' 2(x), respectivamente , y , por tanto ,

ij; (X) \llz (X) o-0 l\II !2(X) f(x, y) dy = �\II } (X) f(x, y) dy

lim

_

uniformemente en x . Se deduce que

XI ' ij;z (X) X \llz (X) o-0 LX01 dx liVI(X) f(x, y) dx = LXO1 dx �\II I (X) f(x, y) dx.

lim

Por otra parte , conforme 8 � 0, la region R tiende a R . De aqui que

o-o lrr_J.R f(x, y) dR = Jj�[R f(x, y) dR.

lim

Combinando las tres ecuaciones, se tiene

x x �[R f(x, y) dR = lxo1 dx �\II\11I2(x)< >f(x, y) dy.

Integrales multiples

451

La otra proposicion se puede establecer de modo semejante. Puede o btenerse un argumento semejante si se abandana la hi­ potesis de convexidad y se consideran regiones de la forma indicada en la Fig . 4 . 6 . Simplemente se supone que la curva frontera de la

Figura 4.6

Regi6nes no convexas de integraci6n.

region se intersecta con cualquier paralela al ·eje x y con cualquier paralela al eje y en un numero acotado de puntas o intervalos . En­ tonces , por f debe entenderse la suma de las integrales de para una x fija , tomadas sabre todos los intervalos Ia funcion = constante tiene en comun con la region cerrada. que la recta Para regiones no convexas el numero de estos intervalos puede ser mayor que la unidad. Este puede c ambiar subitamente en un punto x = � (como en la Fig. 4 . 6 , derecha) de tal manera que la expresion f tenga una discontinuidad por salta en este punta . Sin embargo , sin c ambios esenciales en la demostraci6n, la resoluci6n de Ia integral doble

f(x, y) dy, f(x, y) x

f(x, y) dy

JJR f(x, y) dR J dx J f(x, y) dy =

sigue siendo valida , tom andose la integraci6n con respecto a x a lo largo de todo el intervalo � x � X1 sabre el cual se encuentra la region R. Naturalmente , tambien se cumple la resolucion correspon­ diente

xo

JL t(x, y) dR

=

J dy J f(x, y) dx

x2 + y2 � 1 , se tiene .V1-x2 {(x, y) dy. �T, f(x, y) dR 1-1+1 dx l-+.V1-x2

En el ejemplo del circulo definido por R

=

_

452

lntroduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

y

Figura 4 . 7 Anillo circular como region de integraci6n.

Si la region es un anillo circular entre los circulos = 4 (Fig. 4 . 7), entonces

+ y2

x2 + y2 = 1 y x2

1 4-x2 f(x, y) dy + 2 dx l + 4-x2 {(x, y) dy II f(x, y) dx dy = 1--2 dx l+ 4-x2 L1 4 -x2 2 + Jf_1+l dx Jf_-1.;t 4-_xx22 {(x, y) dy + J_+11 dx J_+ /t 4-x -xz {(x, y) dy. R

-

./

./

_

-

..

./

./

./

_

Como un ejemplo final , tomese como region R un triangulo (Fig. x = = 0, y > 0). Inter­ = grando primero , ya sea con respecto a x, o ya sea con respecto a y, se obtiene

4.8) limitado por las rectas

(13a)

JJR f(x, y) dR = Joa dx h?; f(x, y) dy =

Joa dy La f(x, y) dx.

f(x, y) solo depende de la formula da foa dx fox f(y) dy foa f(y)(a - y) dy.

En particular, si

(13b)

x a (a

y, y

y,

=

A partir de esto se ve que si se integra nuevamente l a integral in­ definida,

fox f(y) dy , de una funcion f(y) ,

el resultado se puede ex-

presar por medio de una integral simple (ver el Volumen I , p. 3 20 ) .

Integrates multiples

453

y

0

Figura 4 .8

.x - a

x

Trifmgulo como region de integraci6n.

d. Extension de los resultados a regiones en varias dimensiones

Los teoremas correspondientes en mas de dos dimensiones son tan analogos a los ya dados que b asta con enunciarlos sin demostracion. Si primero se consideran la region rectangular xo � ;£ x ;£ X1 , Yo ;£ Y ;£ YI, zo ;£ z ;£ Z1, y una funcion f(x,y, z) continua en esta region , la integral triple V=

JJ£ f(x, y, z) dR

se puede reducir de varias maneras a integrales simples o a integrales dobles . Asi , (14a)

A qui

JJ£ f(x, y, z) dR = Iz:1 d.z JJB f(x, y, z) dx dy. JJe f(x, y, z) dx dy

es

la integral doble de la funcion, tomaqa sobre el rectangulo B des­ crito por xo � x � X1,. yo � y ;£ y1 , z manteniendose z constante como un parametro durante esta integracion, de modo que la integral doble es una funcion del p arametro z . Cualquiera de las coordenadas restantes , x y y, se puede singularizar en la misma forma . Es m as , la integral triple V tambien se puede representar como una integral repetida en la forma de una sucesi6n de tres integra­ ciones simples . En esta re presentaci6n , considerese primero la ex­ presion (Zl

Jzo ((x, y, z) dz,

454

Introduccion al calculo

manteniendose fijas x y

manteniendose (14b)

X

al analisis matematico

y, a contin uaci6n, considerese

iyl dy lzl f(x, y; z) dz, Yl zo

fija. Por ultimo , obtengase V=

lx l dx iY l dyiZl f(x, y, z) dz. xo YO zo

esta integral repetida pudo h aberse integrado , con igual pro­ piedad , primero con respecto a x, despues con respecto a y y, final­ mente , con respecto a z y pudo haberse hecho cualquier otro cambio en el orden d e l a integraci6n, ya que la integral repetida simple es igual a la integral triple . Por lo tanto , se tiene el teorema siguiente : Una z'n tegral repetz"da de una funcz"6n contz"nua en toda una regz"6n rectangular cerrada es z"ndependz'ente del orden de z"ntegracz"6n . La manera en la que se debe realizar la resoluci6n para 'regiones no rectangulares en tres dimensiones casi no requiere menci6n espe­ cial . 1 Nos contentaremos con escribir la resoluci6n para una region esferica � 1:

E!l

·

y

y

x2 + y2 + z2 l dx r + v' t-xZ dy r + v't-xZ ·-y2 f(x,y, z) dz + r rrr dxd f(x,y, = ydz z) . J_ v't-x2-y2 J -1 J _ v' t -x2 JJJ R ·

(15) 4.6

Transformacion de integrales multiples

a. Transformaci6n de integrales en el plano

La introducci6n de una nueva variable de integraci6n es uno de los metodos principales p ara t ransformar y simplificar las integrales simples . La introducci6n de nuevas variables tambien es extrema­ damente importante para las integrales multiples . pesar de su reducci6n a integrales simples, la evaluaci6n explicita de las inte­ grales multiples generalmente es mas dificil que para una vari able independiente y es menos probable la integraci6n en terminos de funciones elementales. Sin embargo, a menudo se pueden evaluar esas integrales introduciendo nuevas variables, en Iugar de las ori­ ginales, bajo el signo integral. Muy aparte de la cuesti61l de la evaluaci6n explicita de las integrales dobles, la teoria de la transfor­ maci6n es importante debido al dominio completo del concepto de integral que proporciona .

A

1

Para una demostraci6n general, ver el Apendice, p . 592.

Integrales multiples

455

En la p . 378 ya ha sido indicada la importante transformaci6n es­ pecial a coordenadas polares . A qui se procedera de inmediato con las transformaciones generales . Primero , considerese el caso de una in­ tegral doble

JJR f(x, y) dR = JJ f(x, y) dx dy, tom ada sabre una region ecuacwnes

= rp(u, v),

x

x, y.

del plano

R

y

Sup6ngase que las

= 'JI(u, v)

dan una aplicacion biunivoca de l a region sabre la region cerrada las funciones rp y 'I' R' del plano u, v. Sullongase que en la region tienen derivadas parciales continuas de primer arden y que su ja­ cobiano D

=

I

R

R

rpu 'Vu

nunca. se anula en M as concretamente , establezcase la hip6tesis de que el sistema de funciones x 'JI(u, v) posee un inverso rp(u, v), y g(x, y), v h(x, y) (p . 1 98 ) . Ademas , las dos familias de unico u curvas u = constante y v constante forman una red sabre la re­ gion R . Consideraciones heuristicas sugieren facilmente l a manera en que la integral ffR f (x, y)dR puede expresarse como una integral con res­ pecto a u y v. N aturalmente se piensa en calcular la integral doble abandonando la subdivision rectangular de la region ff f(x, y)dR R y, en su Iugar, usando una subdivision en subregiones Ri por media de curvas de la red u cohstante o v constante . Por lo tanto , considerense los valores u = vh y v J.Lk, donde h !iu y k = !iv son numeros dados y v , J.l taman todos los valores enteros tales que las rectas u J.Lk se intersecten con R' (de modo que vh y v sus imagenes son curvas en Estas curvas definen un cierto numero de mal las y p ara l as subregiones Ri se eligen aquellas mallas que se encuentran en el interior de (Figs . 4 . 9 y 4 . 1 0) . Ahara se tiene que encontrar el area de esas mallas . Si la m all a , en Iugar de estar limitada por curvas , fuera un pa­ ralelogramo con vertices correspondientes a los valores (uv, v1-1), (uv + h, v1-1), (uv, v1-1 k), y (uv + h, V1-1 k) , entonces , por una formula de la geometria analitica (ver el Capitulo p. 2 1 9) , el area de la malla seria el valor absoluto del determinante

R.

=

=

=

=

=

=

=

+

=

=

R). R

+

2,

=

=

456

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

+ h, vJ.l) - �(uv, vJ.l) 'I'( Uv + h, VJ.l) - 'I'( Uv, VJ.l)

�(Uv

'I'(Uv, VJ.l

el cual es aproximadamente i gual a I y

0

�v(Uv, VJ.l) \

vJ.l) I �u(Uv, 'l'u(Uv,

v

tin Figura

lflv(Uv, VJ.l)

VJ.l)

I

hk = hkD .

Reg c,

%

4.9

+ k) - 'V(Uv, v,J II '

�(uv, VJ.l + k) - �(uv, vJ.l)

d

n

Figura

u

4.10

AI multiplicar esta expres�6n por el valor de la funci6n f en la m alla correspondiente , sumando so bre todas las regiones R� que se encuen­ tran completamente dentro de R y, despues , pasando al limite con­ ' forme h � 0 y k � 0, se obtiene I a expresi6n

JJR !(�(u, v), 'V(u, v)) I D I du dv para la integral , transformada a tas nuevas variables . Sin embargo , est a discusi6n est a incompleta y a que no s e ha demostrado que es licito remplazar las mallas curvilineas por· pa­ ralelogramos, o remplazar el area de tal p aralelogramo por la ex­ presion l �u'Vv - 'Vu �v l hk ; es decir, no se ha demostrado que el error introducido de esta manera se anula en el limite a medida que h � 0 y k � 0. En Iugar de completar la demostraci6n hacienda las esti­ maciones apropiadas (las cuales se haran en el Apendice), por el momento es · preferible probar la formula de transformaci6n en una forma un tanto diferente , la cual puede extenderse subsecuentemente de modo directo a regiones de dimensiones superiores . Gon este fin se aplicaran los resultados del Capitulo 3 (p . 3 1 1 ) y se llevara a cabo la transformaci6n de las variables x, y a l as nuevas

Integrales multiples

variables ri ables x ,

457

en dos pasos en Iugar de uno . Se remplazan las va­ por las nuevas variables x , v a traves de l as ecnaciones

u, v

y

X = X,

y

= (v, x).

Aqui se supone que la expresion v no se anula en punto alguno de la region R (digamos , que v es mayor que cero en todo punto) , y que la region R completa se puede aplicar en una forma biunivoca sobre la region B del plano x , v. Entonces se aplica esta region B en una forma biunivoca sobre la region R' del plano u, v por medio de una segunda transformacion

x

= \f(u, v} ,

v

= v,

donde se supone ademas que la expresion \f u es positiva en toda la region B. Efectuese ahora la transformacion de la integral ffR {(x,y) . . dx dy en dos pasos . Se empieza con una subdivision de la region B en subregiones rectangulares de l ados L\x h y L\v k limitadas por constante y v constante las rectas x vll en el plano x, v Esta subdivision de B corresponde a una subdivision de la region R en subregiones Ri, estando cada subregion limitada por dos rectas paralelas x x + h y por arcos de las dos curvas y ( vll, x) y y ( vJ.t + k, x) (Figs . 4. 1 1 y 4 . 12). Por la interpre­ tacion elemental de l a integral simple, el area de lasubregi6n(Fig. 4 . 1 3)es

=

= Xv =

L\Rt

= Xv

=

=

=

=

= Xv

=

= lxv+h [ ( vll + k, x) - (vJ.l, x)] dx. Xy

Por el teorema del valor medio del calculo integral , esto se puede escribir en la forma

Xv

Xv Xv

y donde es un numero entre + h. Por el teorema del valor medio del c alculo diferencial , finalmente se convierte en donde vll denota un valor entre vll y vll + k , de modo que (vj.l, xll) son las coordenadas de un punto de la subregion en B bajo considera­ cion . Por lo tanto, la integral sobre R es el limite de la suma

458

Introduccion al calculo

0

y

al analisis matematico v

d Figura

4.11

Figura

Figura

4.12

4.13

conforme h � 0, k � 0. Se ve inmediatamente que la expresi6n de la derecha tiende a lei integral

J� t(x, y)v dx dv

(y = (v x)) ,

tomada sobre la region B . Por consiguiente

JJR f(x, y) dx dy = J� f(x, y)v dx dv. Apliquese ahora a la integral de la derecha exactamente el mismo argumento que se emple6 para ffR y transf6rmese la v), u region B en la region R' por medio de las ecuaciones x = = v. Entonces la integral sobre B se convierte en una integral sobre R' con un integrando de la forma a saber,

{(x, y) dx dy

f(x, y) v\l'u, Jfs, {(x, y)v\l'u du du.

\l'(u,

Integrales multiples

459

Aqui las c antidades x y y se deben expresar en terminos de las va­ riables independientes u y v, por medio de l as dos transformaciones anteriores . Por lo tanto, se ha probado la formula de transformacion .

JJs f(x, y) dx dy = JJR, f(x, y)v\fu du dv.

( 16a)

=

=

�(u, v), y 'Jf(u, v) las Introduciendo la transformacion directa x formulas se pueden poner inmediatamente en la forma dada an­ teriormente . Porque d(x, y) d(x, v) y,

= v

y

d(x, v) d(u, v)

= \f u '

por tanto , por el Capitulo 3 (p . 305 ) , se tiene D

d( x, y) = d(u, = v r u. v) uJ

Asi , se ha establecido la formula de transformacion, con la condicion de que la transformacion x �(u, v), y = 'Jf(u, v) se pueda resolver en una sucesion de dos transformaciones primitivas de l as formas 1 x 1 x, y (v, x) y v v, x \f(u, v). No obstante , en el Capitulo 3 ( p . 3 1 2) se vio que , para D =I= 0 , una region cerrada R puede subdividirse en un numero finito de regiones en c ada una de las cuales es posible esa resolucion, excepto quiza que pueda ser necesario intercambiar u y v, pero esto no afecta el valor de la integral . Asi se llega, al resultado general siguiente : Sz' la transformacz'6n x f/J(u, v), y 'l'(u, v) representa una aplz'cacz'6n bz'univoca contz'nua de la regz'6n cerrada R, mensurable segun jordan, del Plano 1 , y so bre una regz'6n R' del plano u, v y sz' las fundones � y 'I' tz'enen prz'meras derivadas contz'nuas y su j'aco­ bz'ano

=

=

=

=

=

=

d(x, y) d(u, v)

=

= �u'JI v - 'Jiu�v

es diferente de cero en todo punto, entonces

( 16b)

JJs t(x, y) dx dy = JL t(�(u, v), 'Jf(u, v)) I ��:: �� I du dv.

I Arriba se ha supuesto que las dos derivadas v y u son positivas, pero se ve con facilidad que esta no es una restricci6n seria. Si no se satisface, simplemente se tiene que remplazar v'l'u par su valor absoluto . en Ia formula ( 1 6a) .

(

460

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Para completar la exposicion , agreguemos que la formula de transformacion sigue siendo valida si el determinante d(x, y)fd( u, v) se anula, sin invertir su signo , en un numero finito de puntos aislados de la region, porque entonces solo se tienen que eliminar estos puntos de R encerrandolos en pequefi.os circulos de radio p. La demostracio'n es valida para la region rest ante . Si entonces se hace tender p a cero, continua cumpliendose la formula de transformacion p ara la region R en virtud de la continuidad de todas las funciones que intervienen. Este hecho nos permite introducir coordenadas polares con el origen en el interior de la region ; porque el jacobiano , siendo igual a r, se anula en el origen. En el Capitulo 5 regresaremos a l as transformaciones de l as in­ tegrales , y se asignara un papel al signo del jacobiano en relacion con integrales sobre variedades orientadas. En el Apendice se dara un metodo diferente p ara prob ar la formula de transformacion .

b. Regiones de mas de dos dimensiones

Por supuesto, se puede proceder en la mis� a forma con regiones en el espacio de tres o m as dimensiones y obtener el siguiente resul­ tado general :

Si se aplica una region cerrada R, mensura ble segun jordan, del espacio x, y, z, . . so bre una region R' del espacio u, v, w, . . por medio de una transformaci6n biunivoca cuyo jacobiano .

.

d(x, y, z, . d( u, v, w, .

.) . .)

es diferente de cero en todo punto, entonces se cumple la formula de transformaci6n

(17)

JJ· · · JR f(x, y, z, . . . ) dx dy dx . . . = JJrr • • • JJrR

�(x, y, z, . . . >

II

I d(x, y,

I

d( U, V,

z,

·

·

·

W, . . .

1

> d u dv d w . )

Como una aplicadon especial se pueden o btener las formulas > de transformacion para las coordenadas polares y esfericas. Para las cordenadas polares en el plano , escribase r y e en Iugar de u y v e

Integrales multiples

���: �� =

inmediatamente se obtiene

461

r (ver la p . 300). Para las coor­

denadas esfericas en el espacio , definidas por las ecuaciones X = r COS tjJ sen 0,

y

= r sen tfi sen e,

z = r cos O,

en l as cuales � varia desde 0 hasta 21t, e desde 0 hasta 1t , y r desde 0 hasta + oo , se identifican u, v, w con r, e, tfi ; entonces para el jaco­ biano se o btiene

d(x, y, z) d(r, e, tfi)

_

-

cos tfi sen e

r cos tfi cos e

- r sen tfi sen O

sen tfi sen e

r sen tfi cos e

r cos tfi sen e

cos e

- r sen e

= r2 sen e.

0

(El valor r2 sen (:) se obtiene Htcilmente, desarrollando en terminos de los menores de la tercera columna . ) Por lo tanto , la transfor­ macion a coordenadas esfericas en el espacio esta dada por la for· mula

fffR t(x, y, z) dx dy dz = ffL, f(x, y, z)r2 sen e dr de dtfi. Como en el c aso correspondiente en el plano,· tambien se puede llegar a la formula de transform:acion sin usar la teoria general. Solo se tiene que partir de una subdivision en el espacio dada por las esferas r == constante, los conos 0 = constante y Jos planos tfi = constante Los detalles de este metoda elemental pueden dejarse al lector. Para las coordenadas esfericas, no se satisfacen las hipotesis es­ tablecidas cuando r == 0 o 0 = 0, 1t puesto que entonces se anula el jacobiano . Como en el c aso del plano , nos podemos convencer facil­ mente de que , sin embargo, la formula de transformacion sigue sien­ do valida . Ejercicios 4 . 6 1 . Realizar las integraciones siguientes:

(a)

foa fob xy(x2 - y2) dy dx

J0n J0n cos(x + y) dy dx _!_ dydx (c) Jeo Jo2 xy

(b)

462

Introduccion al calculo (d)

(e) (f)

y

al analisis matematico

foa fob xexy dy dx fo fo 1-x2 y2 dy dx. Jo2 fo2-x y dy dx 1

..;-

JJ x2y2 dx dy sobre el drculo x2 + y2 � 1. x3 + y3 - 3xy(x2 + y2) dx dy soore el Clrculo x2 + y2 � 1. 3 . jrr j (X2 + y2)312 4 0 Encontrar el volumen entre el plano x , y el paraboloide z = 2 - x2 -.y2. 20

I

,

y

5 0 Evaluar Ia integral

r +dxx2dy+ y2)2

JJr(1

tom ada (a) sobre un lazo de Ia lemniscata (b) sobre el triangulo con vertices (0, 0}, 6 0 Evaluar Ia integral

(x2 + y2)2 - (x2 - y2) (2, 0), (1, J3).

=

0,

JJI !xyz! dx dy dz tomada sobre todo el elipsoide x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 � 1 . 7 0 Encontrar el volumen comun a los dos cilindros x2 + z:a <

1 Y

y2 + z2

< 1. 8 0 Por integracion , encontrar el volumen de Ia menor de l as dos porciones en las cuales una esfera de radio r es dividida por un plano cuya distan­ cia perpendicualr al centro es h(
JIJ (x2 + y2 + z2) xyz dx dy dz e n toda Ia esfera x2 + y2 + z2 � r2. 1 0 . JJJ z dx dy dz en toda Ia region deflnida por las desigualdades x2 + y2 � z2, x2 + y2 + z2 � 1 . 11. III (x + y + z) x2y2z2 dx dy dz en toda Ia region x + y + z � 1, x � 0, y � 0, z � 0. dx dy dz 1 2 irrr en toda Ia esfera x2 + y2 + z2 � 1 . . �.L x2 + y2 + (z - 2) 2 dx dy dz 1 3 0 Jrrr JJ x2 + y2 + (z - �)2 en toda Ia esfera x2 + y2 + z2 � 1 . �J .;dx2x +d sobre e l. cuadrado !x l � 1, I Y I � 1 . 140 y2 90

.Y

Integrales multiples

463

1 5 . Probar que si f(x, y) es una funcion continua sobre un dominio D en el plano x, Y y si para cad a region R contenida en ese dominiof R f(x, y) d# dy = 0, entonces f(x, y) es identicamente 0 . 1 6 . Probar que

J.·Jr e- <x2+Y2) dx dy = ae-42 Jor R

don de R denota el semi plano

00

•

e- u2

---

a 2 + u2

du '

x � a > 0, aplicando la transformacion y = vx.

1 7 . Pro bar que

es invariante ante la inversion. 1 8 . Evaluar la integral I=

JJJ cos (x� + YlJ + zQ d� dl) d7;

tomada sobre toda la esfera � 2 + l) 2 + 7;2 � 1 . 1 9 . En I=

J24 dx J4/(X20-4x) /(8-x) (y

cambiar el orden de la integracion

4. 7

y

-

4) dy

evaluar la integral.

Integrates multiples impropias

En el caso de las funciones de una variable se encontr6 necesario extender el concepto de integral a otras funciones que no son con­ tinuas en el intervalo de integraci6n . En particular, se consideraron las integrales de funciones con discontinuidades por salta y de fun­ ciones con valores infinitos ; tambien se consideraron integrales sabre intervalos infinitos de integraci6n . Ahara se discutiran las extensiones correspondientes del concepto de integral para funciones de varias variables. La noci6n de "integral" , como se defini6 en la p . 432 (la cual llamaremos integral de Riemann), no esta ligada a la continuidad del integrando f(x, y). Mientras f sea acotada en la region de integracion R, siempre se pueden formar las sumas superior e inferior correspon­ dientes a una division de R en conjuntos Ri mensurables segU.n Jor­ dan . Se dira que f es integra ble (mas concretamente, integrable segun Riemann) si estas sumas superior e inferior tienden al mismo limite a medida que Ia division de R se hace mas fina indefinidamen-

464

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

te . Este ·es esencialmente el procedimiento que se seguira en la ex­ posicion dada en el Apendice a este capitulo . 1 Hablando estricta­ rnente , la integral de cualquier funcion integrable es prop-ia, aun cuando la funcion sea discontinua . Sin embargo , en esta secci6n solo se presupone la existencia de in­ tegrales de funciones continuas y se trata, por medio del proceso de llevar al limite , de extender la nocion de integral y probar su existen­ cia para clases mas amplias de funciones . Se dej a abierta la cuestion de si las integrales -impropi'as definidas de esta manera son en rea­ lidad identicas a las integrales propias de Riemann que se obtienen directamente a partir de las sumas superior e inferior de subdivisiones de R. 2 a. Integrales impropias de funciones sobre conjuntos acotados

Las funciones que se desea integrar son , en la mayorla de los casos, continuas en una cierta region R excepto en puntos aislados o a lo largo de ciertas curvas, donde l as funciones no estan definidas o no estan acotadas, o donde su continuidad es dudosa. En todos los casos que nos interesan, el conjunto de puntos de comportamiento especial para la funcion tiene area 0 (la palabra "area" se usa aqui exdusivamente en el sentido de "contenido" o "medida de Jor­ dan"). 3 Entonces se puede eliminar de R un conjunto s de area peque­ fia que contenga a los puntos excepcionales, integrarfso bre lo que rest a y tomar el limite de las integrales de f sobre R s conforme el area de s tiende a 0 . Si este limite existe , define a la integral "impropia" de f sobre R . Como no se desea que el limite dependa de la manera particular en la que se aproxima el conjunto R, nos restringiremos a la situacion mas sencilla (correspondiente a la "convergencia ab­ soluta" , en contraste con la " convergencia condicional" , en las series infinitas) donde no solo f sino tambien f tiene una integral im· propia. Sup6ngase que la regi'6n de -in tegrac-i6n R es acotada y t-ie ne un area. Sup6ngase tam b-ien que se puede hallar una suces-i6n "mo-

1 Alli solo se usan subdivisi6nes en cuadrados al definir la integral . Pero se puede demostrar que esta restricci6n no es esencial . 2 En realidad, siempre es este el caso cuando f esta acotada y es continua excepto posiblemente sobre un conjunto de puntos de contenido 0, siempre que R sea acotado y mensurable segiin Jordan. 3 Se necesitan nociones mas refinadas, como la integral de Lebesgue, para integrar algunas funciones cuyos puntos de discontinuidad forman un conjunto de medida positiva de Jordan.

lntegrales multiples

465

n6tona " de subregz"ones cerradas Rn, )es decir, Rn C Rn-r 1 c R) en cada una de las cuales esta defz"nida y es conti'nua. Sup6ngase ademas que las areas A(Rn) de los conjuntos Rn tz"enden al area A(R) y que las integrales

f(x, y)

JJRn l f(x,y) l dxdy

( 19a)

son acotadas z"ndependientemente de n . Entonces

(19b)

I=

�

JJRn. f(x, y) dx dy

existe. Se demostrara que este ltmite es independiente de la sucesz"6n de aproximaci6n Rn, partz"cular y se usara para defz"nz"r la z"n tegral impropz"a

( 19c)

I

= JL f(x, y) dx dy.

Antes de probar este teorema se ilustraran las ideas por medio de algunos ejemplos tipicos. La funcion

f(x, y) = log .Jx2 + y2 se vuelve infinita en el origen del plano x, y. Por lo tanto , para cal­ cular Ia integral de f sobre una region R que contiene al origen , por ejemplo , sobre el circulo x2 + y2 � 1, se debe eliminar el origen

rode an dolo con una region s cuya area tienda a 0 . Entonces debe in­ vestigarse Ia convergencia de Ia integral tomada sobre Ia region s. Tomese como s el disco circular Sn de radio 1/n. Sea residual R Rn Ia region obtenida a partir de R eliminando sn . Considerese que, a su vez , R est a contenida en un circulo de radio p alrededor del origen . Transformando a coordenadas polares se tiene -

l fl rdrd9 � JltfPn dr Jof 2" d9 r l logri 21t f P r l log r l dr. Jl/ # Asi, Ia transfonnacion proporciona un nuevo integrando r I log r I que esta acotado e incluso continuo si se define como 0 para r 0. De rr

JJRn

lfl dxdy

= rr JJRn =

es

aqui que , uniformemente p ara toda n.

=

Introduccion al calculo

466

y

al analisis matematico

JJRn I ll dx dy � 27t foP r I log r I dr. Se concluye ihmediatamente la existencia de la integral impropia

�[ logj .Jx2 + y2 dx dy = lim-oo JrrJR log .Jx2 + y2 dx dy JJR n n

Por ejemplo, si R es el disco unitario se encuentra que

(20a)

·

�[ 2 2 Jjx

+Y < I

log

.Jx2 + y2 dx dy = Jor l dr Jor 21t de r log r 1 = 27t Jo r log r dr (1 1 )1 = 27t - r2 log r - - r2 2 4

0

Como un ejemplo mas , considerese la integral

(20b) tomada sobre la misma region . Aqlli se obtiene inmediatamente

(( f P dr Jof 21t de lfl r dr de JJRn lfl dx dy � Jitn = 21t rp ri- a dr. Jltn En el Volumen I (p . 305 ) se vio que l a integral foP ri -a dr

es conver­ gente si y solo si a < 2. Por lo tanto , se concluye que , del mismo modo, la integral doble (20b) es convergente si y solo si a < 2. Esta observacion puede facilmente convertirse por extension en un criterio suficiente (pero de ningun modo necesario) para la convergencia de las integrales dobles impropias, aplicable en muchos casos especiales .

f(x, y)

es continua en todo punto de la regi6n R ex­ Si la funci6n cepto en uno, el cual se tomara como el origen, y si existen una cota fi.ia M y un numero posz'tivo a < 2 tales que

(21a)

l f(x, y) I < ../(x2 M+ y2)a

Integrales multiples

467

en todo punto en R para (x, y) =I= (0, 0), entonces la 'integral

JL t(x, y) dx dy

(2 1b) converge. La i ntegral triple

dx dy dz Jrr.. ..JRr J(x2 + y2 + z2)a

puede tratarse en una forma semej ante . Si R contiene al origen , se introducen coordenadas esfericas y se obtiene

JJL r2-a sen e dr drp de.

Una discusi6n semejante a la anterior demuestra que se tiene la con­ vergenCia cuando a < 3. Nuevamen te , con mas generalidad, se ve que

(22a)

JJJR f(x, y, z) dx dy dz

converge si f(x, y, z) es continua en R excepto en el origen, siempre que existan una cota M y una constante a < 3 para l as cuales

(22b)

M

I f (x, y, z) I � J(x2 + y2 + z2 a · )

En . consecuencia, para una funci6n punto la integral impropia

(22c)

g(x, y, z),

continua en todo

III

g(x, y, z) dx dy dz J R (X2 + y?.· + z2)a

existe si a < 3. Tambien pueden existir las integrales impropias para ·integrandos que son infinitos a lo l argo de curvas completas , no solo en puntos aislados . En el caso mas .sencillo el integrando es infinito sobre una porci6n de una recta, digamos un segmento del eje y. En este c aso , si l a relaci6n

(23)

l f(x, y) l <

M

lxla

valida en todo punto de R p ara x =1= 0, donde M es una cota fija y < a 1, entonces, una vez mas , Ia integral impropia de f so bre R exis-

es

468

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

te. Para probarlo solo se tiene que eliminar de R una faja a uno y otro lado del eje y y hacer que el ancho de esta faja tienda a 0 . A veces, integrales como que violan la restricci6n dada sabre el exponente a, todavia se pueden definir en un sentido "condicional" , segun el cual el valor depende de la manera precisa en que se lleve a cabo la aproxima.ci6n a R. Aqui , por ejemplo , la integral se puede definir como el limite de las integrales sabre las regiones que se obtienen eliminando de R una franja simetrica con respecto al eje y. Otras aproximaciones pueden conducir a valores diferentes para la integral o incluso a la divergen­ cia . b. Dernostraci6n del teorema general de la convergencia para las integrales impropio,s

Considerese el conjunto R de area A(R) y una sucesi6n de subcon­ juntos cerrados Rn cuyas areas A(Rn) tienden hacia A(R) cuando n · � oo . Aqui los R n &e amplian mon6tonamente e n el interkr de R :

R1 c R 2 c Ra c

(24a)

f(x, y)

· · · c

R.

Se supone que la funci6n es continua en cada Rn. Es mas, debe existir una constante J.1 tal que

JJRn lf(x,y) l dxdy �

(24b)

J.1

para toda n. Obviamente, debido a (24a), las integrales

JLn 1 / 1 dxdy forman una suces10n mon6tona creciente y acotada y, por tanto, tienen un limite cuando n � oo. Por el criteria de convergencia de Cauchy, para cada e > 0 puede hallarse un N N(e) tal que, para m > n > N(e),

(24c)

rr

JJRm

=

lfl dxdy - JJrrRn I ll dxdy = JJ,Rm-Rn I ll dxdy

< e.

Integrales �U.ltiples

Sea

469

In = JLn f(x, y) dx dy.

Evidentemente , Ia I tam bien satisface el criteria de Cauchy, puesto que , por (5g),

iJLm f dx dy - JLn f dx dy i = I JJRm-Rn f dx dy l � JJRm- Rn l f l dx dy < e para m > n > N(e). Se concluye que

I = nlim--co JJ,Rn f(x, y) dx dy existe . Falta por demostrar que el valor I no depende de Ia sucesi6n par­ ticular de aproximaci6n que se use . Sea S cualquier subconjunto cerrado , mensurable segt1n Jordan , de R en el cual f es continua. Sea M una cota superior para en S. Entonces, por el teorema del valor medio del c3Jculo integral (ver la p . 440), 1

Rn l fl

i JL tdx dy - JL nRn f dx dy l = lffs-Rn fdx dy f � ffs_Rn I fl dx dy � MA(S - Rn) � MA(R - Rn) = M [A (R) - A(Rn)]. Se deduce , con base en Ia hip6tesis de que lim A (Rn) = A(R) , que n -co (24d) JL tdx dy = �� JLnRn fdx dy

lfl en Iugar de a f, y aplicando (24b), se JL IfI dx dy = �:"'! ffsnRn I f l dx dy � nlim -oo JJli[Rn lfl dx dy �

Aplicando esta relaci6n a encuentra (24e)

Jl.

Se recuerda al lector que S n Rn representa el conjunto de los puntos comunes a S y R n y S - Rn es el conjunto de los puntos que pertenecen a S pero no a P� (vet la p. 1 1 6) :

l

S - Rn = S - S n Rn

Nuevamente se escribe A(S - .Rn) para el area del conjunto S - Rn.

470

lntroduccion al cilculo

y

al analisis matemitico

De donde se ha extendido la estimaci6n (24b) a subconjuntos mas generales S de R . Tambien s e puede extender (24c). Se tiene , usando (24d), (42f)

lffs t dx dy - JfsnRn f dx dy I = �i� I JLn f dx dy - JLn f dx dy I Rm Rn y = !�� I JLfl(Rm-Rn> f dxdy ! � �� JLm-RJ tldx d . lrf = lim (Jff JRm l f l �x dy - J Rn l f ldx dy) < E m-oo

para n > N(e). Aqui N no depende del conjunto particular S. Sea ahora . . . una sucesi6n de subconjuntos cerrados de R en los que f es continua y para los cuales

S1, S2,

(24g) y

S1 S2 Sa c

c

c

· · ·

c

R

mli-oom A(Sm) = A(R) .

(24h) Dado que , por (24e),

JLm l fl dx dy � �' se sabe que

existe . Entonces

para todo m lo suficientemente grande . De (24f) se deduce que 1J

- Jj'JrrsmnRn t dx dy 1 < 2e

�ara todos los m, n que sean lo suficientemente grandes . Intercam­ biando los papeles de los y los tambien se tiene

Rn, 1 1 - Jjrrs n t dx dy 1 < 2e 'J m Rn Sm

Integrales multiples

471

para todos los m, n suficientemente grandes. De aqui que I J - 1 1 < 4 E para cualquier m1mero positivo E, y, en consecuencia, I :::::;: J, lo cual se tenia que demostrar. c.

Integrales sabre regiones no acotadas

Surge un tipo diferente de integrales impropias cuando el inte­ grando f es continuo pero la region de integraci6n se extiende hasta el infinito . Nuevamente, no se tratara de analizar la situaci6n mas general sino que se formulara un criteria de convergencia aplicable a la mayoria de los casos que se presentan en la practica . Basta con tratar el caso de dos variables independientes . Considerese un conjunto no acotado R en el que la funci6n f es continua . Se consume R por medio de una sucesi6n mon6tona de subconjuntos

cada uno de los cuales es cerrado , acotado y mensurable segt1n Jor­ dan. En lugar de la condici6n previa lim A(R n) = A(R), la cual n-oo podria no tener sentido para R no acotado , se requiere que todo subconjunto cerrado y acotado de R este contenido en por lo menos uno de los conjuntos Rm. (Si , por ejemplo, R es el plano completo, pueden elegirse como los R n los discos circulares de radio n con cen­ tro en el origen . ) Si el limite

!�� JLn f(x, y)

dx dy

existe y es independiente de la elecci6n particular de la sucesi6n de subconjuntos Rn, recibira el nombre de integral de f sobre R y se le denotara por

JL t dx dy.

Entonces se tiene l a condici6n suf£c£ente que sigue para la existencia de la integral :

La z"ntegral £m.prop£a de f so bre el conjunto no acotado R ex'iste sz·, para una suces£6n par#cular Rn (del tz"po descrz"to ), las z"ntegrales de so bre los R n son acotadas uniformemente en n, dz"gamos sz"

lfl

47 2

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

JLn l fl dx dy � Jl para todo n . La demostraci6n de este criteria de convergencia aplica los mis­ mos argumentos que los usados para las integrales impropias sobre conjuntos acotados , y debe ser realizada como un ejercicio por el lec­ tor . Se ilustrara el teorema con la integral

JJR e-x2-y2 dx dy, donde I a region de integracion es el plano x, y completo. Elijase c o m o l a sucesion Rn de subregiones los discos circulares de radio n con centro en el origen, que obviamente satisface todos los reque­ rimientos . Aqui , transformando a coordenadas polares:

JLn e-x2-y2 dx dy = JJ.2 x

=

+

.

112 � n 2

e-x2-y 2 dx dy

n r 2 1t dr Jo Jo de re -r2 dr = 2n Jor re -r2 dr rn

= - ne-r2

1 : = n(

l - e- n2) .

Esto prueba lo acotado de · las integrales sobre los R n y, de a qui , la existencia de la integral sobre R . Cuando n � oo se encuentra como el valor de la integral impropia dada

JJ, e-x2-Y2 dx dy = n-� R

lim n( l - e- n2) = 1t.

Por otra parte, debe obtenerse el mismo limite usando en lugar de los Rn Ia sucesion Sm de cuadrados

- m � x � + m,

-m � y �

+

m.

A q ui se puede hacer uso de hecho de que el integrando es un pro­ ducto de una funci6n de x y de una funci6n de y (ver l a p . 435 ) y en­

contrar que

(Jfsm e-x2-Y2 dx dy = JJJ sm e-x2

•

e-Y2 dx dy

Integrales multiples

Se concluye que

�� JJ

Rm e-x2-Y2 dx dy

=

(l"" dx) 2 e-x2

478

•

Como las Rn y las Sm deben proporcionar el mismo valor para la integral sabre R, se encuentra que

1: e-x2 dx = Jii.

(25a)

Aplicando Ia teoria de las integrales dobles impropias se ha evaluado asi una integral simple impropia que tiene una gran importancia en e1 analisis . Es dificil encontrar directamente este valor, dado que Ia integral z"ndeftn'ida de e-x2 no se puede expresar en terminos de fun­ ciones elementales. Este resultado se puede aplicar para evaluar Ia funcz'on gamma (ver el Volumen I , p . 308),

(25b)

r

para el argumento n

(25c}

r

=

=

L"" e-ttn-l dt .

t . La sustituci6n

(1) = Jo"" --= J -

2

e-t

0

t

dt

=

2

t

=

x2 da

l "" e-X2 dx 0

Algunos criterios de convergencia , utiles para las integrates im­ propias sabre regiones no acotadas, se pueden establecer por com­ paraci6n con las potencias de Jx2 + y2. Estos .son analogos a los criterios encontrados en Ia p . 466 para las funciones que son no acotadas cerca del origen . Se encuentra que Ia integral impropia de una funci6n continua f(x, y) sobre una region no acotada R exis� si, en todo punta de R , f satisface la desigualdad

(26)

M ' l f( x, y) I � J( 2 + 2 a x y)

'

474

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

donde M y a son constantes fijas

'Y

a > 2.1

Ejercicios 4. 7 1 . (a) Transforrnando a coordenadas polares, dernostrar que el valor de Ia integral

es

K

:;::

foa

sen 13

{L�::-;2 log(x2 + y2) dx} dy

a2�(log a - l).

(b) Carnbiar el orden de integraci6n en Ia integraci6n original. 2. Integrar (a)

(b)

JJ(x2 + �2 + 1)2 dx dy sobre el plano x, y

JJJ(x2

+

y2 � z2 + 1)2 dx dy dz sobre el espacio x, y, z .

3 . Dernostrar que no se puede inve;tir el orden d� la integr.a ci6n en

f1 {fl (xy - y)x a dx} dy

1 = Jo

4.8 a.

Jo

+

Aplicaciones geometricas

Calculo elemental de volumenes

El concepto de volumen es el punto de p artida de la definicion dada de "integral" . Aqui se usaran las integrales multiples con el fin de calcular los voh1menes de varios s6lidos. Por ejemplo, p ara calcular el volumen del elz'psoz"de de revolucz'6n

x2 + y2 + z2 b2 a2

=

1

1 «El comportamiento en el infinito y en el origen son "complementarios" ,

en el sen­ tido de que f es integrable cerca del origen si (26a) se cumple para un valor a < 2 . Por lo tanto, la z'ntegral z'mpropz'a

rr dx dy JJ -v'(x2 + y2)a

extendz'da sobre el plano completo no exz'ste para valor alg'IJ:nO de a .

Integrales multiples

475

se escribe la ecuaci6n en la forma

Por lo tanto, el volumen de la mitad del [elipsoide] por encima del plano x, y esta dado por la integral doble ver (3b) ·

tom ada sobre el circulo x2 + y2 � a2 • Si se transform a a coordenadas polares, la integral doble se convierte en

JJ r Ja2 - r2 dr dO , de don de , resolviendo en integrales simples

V = !!. f 2lt dO f a r .ja2 + r2 dr = Jo a Jo

2

21t a!!. Jfoa r Ja2 - r2 dr'

lo cual da el valor requerido

Para c alcular el volumen del elipsoide general

(27a) se hace la transformaci6n

X = ap y

COS 0,

y = b p sen 0,

para la mitad del volumen s� obtiene v

2

=c

rr J1 )) R

-·

d(x, y) = abp ' d(p, 0)

rr

x2 y2 dx dy = abc )) I a 2 b2 R ·

p

../1 - p2 dp dO.

A qui la. region R' es el rectangulo 0 � p � 1 , 0 � 0 �

r lt

21t. De donde.

2 v 2 = abc J dO J p ../1 - p2 dp = 3 1tabc o o

rl

-

2

476

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

o bien.

4

V = 3 1tabc.

(27b)

Por ultimo , se calculara el volumen de la piramide encerrada por los tres planos coordenados y el plano ax + by + cz = 0, donde se supone que a, b, y c son positivos . Para el volumen se obtiene -

V=

�JJ: <1 - ax - by) dx dy,

1

donde la region de integracion es el triangulo 0 � x � 1/a, 0 � y �

- ax)/b en. el plano x, Y . Por lo tanto,

1l 1 1a dx 1(1-ax) /b (1 - ax - by)dy.

V= -

c

0

(1

0

La integracion con respecto a y , da

(1

-

ax)y - !! y2 2

1 (1-ax)/b = (..:,_1_-_2b_ax-')_2 ' 0

y si se integra nuevamente por medio de Ia sustitucion 1 - ax = t, se obtiene V=

1 · f 1 /a (1 - ax)2dx = - 6abc (1 - ax)3 1 1/o a = 6abc

1 2 bc J o

1

I

Por supuesto, este resultado concuerda con la regla de la geometria elemental de que el volumen de una piramide es la tercera parte del producto de la b ase por la altura. Para calcular el volumen de un solido mas complicado el solido se puede subdividir en porciones cuyos voh1menes se puedan expn:sar directamente por medio de integrales dobles. Sin embargo, poste­ riormente (en particular, en el capitulo que sigue), se obtendran ex­ presiones para el volumen limitado por una superficie cerrada, que no requieren de esta subdivision.

b. Observaciones generales sobre el ciilculo de volumenes. S6lidos de revoluci6n. Volumenes en coordenadas es/ericas

Precisamente como se puede expresar el area de una regi6n plana, R, por la integral doble

Integrales multiples

fl7 I

tambien se puede expresar el volumen de una region tridimensional, R, por Ia integral V=

JJL dx dy dz

sobre Ia region R . De hecho, este punto de vista corresponde exac­ tanlente a Ia definicion de integral dada (ver el Apendice , p. 51 7), y expresa el hecho geometrico de que el vol umen de una region se puede encontrar al cortar el espacio en cubos identicos, encontrando el volumen total de los cubos contenidos completamente en R y, a continuacion, haciendo que el diametro de los cubos tienda a cero. La resolucion de esta integral para V en una integral f ff ver ( 14a), p. 397 expresa el Prz'ncz'pz'o de Cavalz'erz', conocido por todos desde Ia geometria elemental, de acuerdo con el cual el vo­ lumen de un solido queda determinado si se conoce el area de toda seccion transversal plana que sea perpendicular a una recta definida, digamos el eje z . La expresion general dada anteriormente para el volumen de una region �ridimensional nos permite encontrar in­ mediatamente varias formulas para calcular volumenes. Con este fin, a menudo resulta util introducir nuevas variables independientes en Ia integral , en Iugar de Los ejemplos mas importantes estan dados por las coordenadas es­ ferz'cas y las coordenadas c-ilindrz'cas. Calculemos, por ejemplo, el volumen de un solz'do de revolucz'on que se obtiene haciendo girar una curva alrededor del eje z. Supongase que Ia curva no = cruza el eje z y que el s6lido de revoluci6n esta limitado arriba y abajo por medio de pianos z = constante . Por lo tanto, el s6!ido esta definido por desigualdades de Ia forma a � z � b y 0 � .J + � Su volumen esta dado por Ia integral anterior. En terminos de las coordenadas cilindricas

dz dx dy

x, y, z.

x (l(z)

x2 y 2

(l(z).

z, p = .,;x2 + y2'

e = arc cos �p = arc sen lp

la expresi6n para el volumen se convierte en

rrr dx dy dz = fb V = JJJR J a dz Jfo27t de Jf.P o p dp. Si se realizan las integraciones simples, inmediatamente se obtiene

478

Introduccion al calculo

(28a)

y

V=

al analisis matematico

1t

Lb 9>(z)2 dz.

Puede darse tambien una deduccion mas intuitiva de esta formula (ver el Volumen I , p . 3 74) . Se corta el solido de revolucion en pe­ queiias capas,

por medio de pianos perpendiculares al eje z y se denotan por mv el minimo y por el maximo de Ia distancia f}(z) al eje , en est a capa. Entonces el volumen de la capa se encuentra entre los voliimenes de dos cilindros con altura

Mv

liz = Zv+ l - Zv y radios mv y Mv, respectivamente. De a qui que

Por lo tanto , por la definicion de integral ordinaria , V=

1t

J: 9>(z)2 dz.

Si la region R contiene al origen 0 de un sistema de coordenadas esfericas (r, e, if>) y si Ia superficie ·esta dada por una ecuacion

r = {(e, if>) , donde la funci6n {(e, if>) es uniforme , frecuentemente resulta ven­ tajoso usar est as coordenadas esferic as , en Iugar de (x, y, z) , al cal­ cular el volumen . Si se sustit�ye el valor del jacobiano

d(x, y, z) = r2 sen e d(r, e, �) (como se c alcul6 en la p . 46 1 ) en l a formula de transformacion , in­ mediatamente se obtiene l a expresion V=

r 1t

R

para el volumen . Integrando respecto a (28b)

r1t

r 1< 9· �>

.[[I r2 sen e dr de d� = Jo2 d� Jo sen e de Jo v

r

da

1 r21t r1t = 3 Jo � Jo f3(e, �) sen e de.

r2 dr

Integrales multiples

479

En el caso especial de la esfera , para la cual /(9, �) = R es constante, esto inmediatamente proporciona el volumen (4/3)nR3• c.

A rea de una superjicie curva

Se ha expresado antes la longitud de una curva por una integral ordinaria (Volumen I , p . 349). Ahora se desea encontrar una ex­ presion an;lloga para el area de una superficie curva por n1edio de una integral doble . Se definio Ia longitud de una curva como el valor limite de la longitud de un poligono inscrito , cuando las longitudes de los lados individuales tienden a cero. Esto sugiere que se defina analogamente el area de una superficie , como sigue : en la superficie curva se inscribe un poliedro formado por triangulos pianos, se determina el area del poliedro , se h ace mas fina la red de triangulos inscrita , hacienda que la longitud del lado mas largo tienda a cero y se i ntenta encontrar el valor limite del area del poliedro . Entonces es­ te valor limite recibiria el nombre de area de la superficie curva. Sin em bar go , result a que esa definicion del area no tendria un signifi­ cado preciso porque, en general , este proceso no proporciona un valor limite definido . Este fenomeno se puede explicar en Ia siguiente forma : un poligono inscrito en una curva suave siempre tiene la propiedad ( expresada por el teorema del valor medio del calculo diferencial) de que la direccion del lado individual del poligono tien­ de a la direccion de la curva tan aproximadamente como se desee , si la subdivision es lo sufic ientemente fina . Con las superficies curvas la situacion es bast ante diferente . Los lados de un poliedro inscrito en una superficie curva pueden estar inclinados respecto al plano tan­ gente a l a superficie en un punto vecino tan pronunciadamente como se desee, incluso si las caras del poliedro tienen diametros arbitra­ riamente pequeiios. Por lo tanto , por ningl1n motivo puede consi­ derarse el area de uno de tales poliedros como una aproximacion para el area de la superficie curva . En el Apendice se considerara detalladamente un ejemplo de este estado de cosas (p . 602 ) . Sin emb a rgo , e n Ia definicion d e I a longitud d e una curva suave es posible , en Iugar de usar un poligono z'nscrz'to, usar con igual pro­ piedad uno circunscrz'to, es decir, un pollgono en el que cada uno de sus la dos toque a la curva. La definicion de la longitud de una curva como el limite de la longitud de un poligono circunscrito se puede extender con facilidad a las superficies curvas, si se modifica primero como sigue : se o btiene Ia longitud de una curva y = f(x) que tiene una · derivada continua f'(x) y que se encuentra entre las· abscisas a y

480

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

, Xn b, subnividiendo el- intervalo entre a y b en los puntos xo , Xt, d en n partes iguales o iferentes, eligiendo un punto arbitrario �v en el v-esimo subintervalo, construyendo Ia tangente a Ia curva en este punto y midiendo Ia longitud lv de Ia porci6n de esta tangente que este en Ia franja Xv � x ;£ Xv+l (Fig. 4. 14). Si se hace que n crezca •

.

.

Figura 4.14

mas alia de toda cota y, al mismo tiempo, que Ia longitud del subin­ tervalo mas largo tienda a 0, entonces I a suma n- 1

� lv

V=O

tiende a Ia longitud de Ia curva , es decir, a Ia integral

)r b �1 + f'(x)2 dx. Esta afirmaci6n se deduce del hecho de que

lv

= (Xv+l - Xv) .Jl + {'(�v)2.

Ahora se definira el area de una superficie curva en forma se­ mejante. Empecemos por considerar una superficie representada por una funci6n z f(x,y) con derivadas continuas sobre una region R del plano x, y Subdividase R en n subregiones Rt, R2 , . . . , R n con areas dRt , . . . , dRn, respectivamente, y en estas subregiones elijanse , (�n, TJn). En el punto de la superficie con las los puntos (�1, 111), coordenadas �v, T)v y �v f(�v, T)v) constn1yase el plano tangente,

=

.

•

.

=

Integrales multiples

481

y encue ntrese el area de la porcion de este plano que se �D,cuentre por encima de la re o n (Fig. 4. 1 5). Si es el angulo que el plano tangente

Z

-

Rv

av �v = {x(�v, TJv)(x - �v) + {y(�v, TJv)(y - TJv) gi

'Figura 4 . 15

form a con el plano X, y si es el area de la porcion 'tv del plano tangente por encima de "'Tltonces l a region es la proyecci6n de 1 de moao que sobre el plano

:Y x, · ,

'tv

y Atv Rv, ARv Atv cos av.

Rv

=

Nuevamente (ver el Capitulo 3 , p . 285),

cosav y,

=

1

por lo tanto ,

1 El hecho de que el area de un conjunto plano, al proyectarlo sobre otro plario se multiplique por el coseno del angulo inclut:do a es una consecuencia de la formula general de sustituci6n para las integrales. Pueden introducirse los sistemas coor­ denados cartesianos x, y y X:, Y en los dos pianos, tales que coincidan los ejes y y Y . Entonces, la proyecci6n de un punto Y) (X, sobre el plano x, y tiene las coor­ denadas x = X cos a, y = Y. De aqul que el area proyectada sea

JJ dx dy JJ ���.Y� dX dY JJ =

=

dX dY cos a.

482

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

Formese la suma de todas estas areas n

� L\-rv

V=l

hagase que n crezca mas alia de toda cota, haciendo al mismo tiempo que el diametro de la subdivision m as grande tienda a cero. De acuerdo con la definicion dada de " integral" , esta suma tendra el limite y

(29a) Ahora se usara est a integral , Ia cual es independiente del modo de subdivision de la region R, para definir el area de la suPerficie dada. Si sucede que la superficie es una superficie plana , esta definicion concuerda con Ia precedente; por ejemplo, si z = {(x, y) = 0, se tiene

A=

JJR dR.

En ocasiones resulta conveniente dar al simbolo

el nombre de elemento de area de la superficie z = f(x, y). Entonces la integral de area se puede escribir sim bolicamente en Ia forma

Se llega a otra forma de expresion para el area pensando en la superficie como si estuviera dada por una ecuacion �(x, y, z) ..:: 0 en Iugar de z = {(x, y). Si se supone que �z =I= 0, sobre Ia superficie , las eeuaCiones :.:

az . ax

-

inmediatamente dan Ia expresi6n (29b) para el area, donde la region R nuevamente es Ia proyeccion de la superficie sobre del plano x, Y .

Integral� multiples

483

'

Apliquemos l a formula del area al area de una superficie esferica. La ecuacion

representa un hemisferio de radio R. Se tiene

az ax -

az ay =

X

y

Por lo tanto , el area de toda la esfera esta dada por la integral

ry

A = 2R J ..

dx dy JR 2 - x2 - y2

'

donde la region de integracion es el circulo de radio R que esta en el plano x, y y que tiene al origen como centro. Introduciendo coor­ denadas polares y descomponiendo la integral en integrales simples, se obtiene 21t rR rR r dr r dr de A = 2R J 2 2 = 47tR Jo J 2 2

f

o Jo

R -r

R -r .

Facilmente puede evaluarse l a integral de l a derecha por media de la sustitucion R2 - r2 = u ; se tiene asi

A = - 41tR JR 2 - r2

1: = 47tR2,

que concuerda con el resultado de Arquimedes. Hast a aqui , en la definicion de "area", se ha singularizado a la coordenada z. Sin embargo, si se ha dado la superficie por una ecuacion de la forma x = x(y, z) o y = y(x, z), de modo semejante el area se puede representar por las integrales

JJ J 1 + Xy2 + Xz2 dy dz y

si la superficie estuviera dada implicitamente, por .

(29c) o

0

bien ,

(29d)

484

Introduccion al c alculo

y

al analisis matematico

Puede verificarse directamente que todas estas expresiones en realidad definen la misma area . Con este fin, apliquese Ia transfor­ maci6n x = x�y , z),

·

y =y .

a la integral

Aqui se encuentra x = x(y, z) resolviendo Ia ecuaci6n tfi(x, y , z) = 0 para x. El jaco biano es

y,

por lo tanto,

R'

de la La integral de la derecha debe tomarse sobre Ia proyecci6n superficie sobre el plano y, z.. Si se desea eliminar toda hipotesis especial acerca de Ia posicion de la superficie relativa al sistema coordenado, debe representarse Ia superficie en Ia forma p a ram etric a x = tfi(u, v),

y = 'lf(u, v),

y

z = x(u, v)

expresar su area como una integral sobre el dominio R de los para metros. Entonces, una region definida R del plano u, v corres­ ponde a la superficie . Con el fin de introducir los parametros u y v en (29a), considerese primero una porci6n de Ia superficie cerca de un punto en que el jacobiano d(x, y) - D d(u, v) _

sea diferente de cero. Para esta porci6n pueden encontrarse como funciones de x y y y obtener (ver Ia p . gos).

'l'v Ux = D , .

Vx = - "'" D ,

u

y

v

Integrales multiples

485

�v u 11 --D ' p ara sus derivadas parciales. A traves de las ecuaciones

OX = OU Uz + O V Vz oz

oz

oz

oz

oz

oz

- = -� u11 + - v11 oy au av

y

se o btiene la expresi6n

Si ahora se introducen u y v como nuevas variables independientes y se aplican las reglas para la transformaci6n de las integrales dobles (16h), p. 45 9 , se encuentra -que el area A ' de la porci6n de la super­ fide que corresponde a una :region de los pararnetros es

R'

En esta expresi6n no aparece distinci6n alguna entre las coordenadas x, y, y z. Como se llega a la misma expresi6n integral para el area, sin importar con cual de las representaciones no parametric as se em­ piece, se concluye que todas estas expresiones son igual� y que re­ presentan el area . Hasta aqui solo s e h a considerado una porci6n de l a superficie sobre la cual no se anula un jacobiano particular. No obstante, se llega al mismo resultado sin importar cual de los tres jacobianos no se anula . Entonces, si se supone que en cada punto de la superficie al menos uno de los jacobianos no es cero, puede subdividirse la super­ flcie completa en porciones como la anterior y encontrar asi que la misma integral todavia da el area A de la superficie cornpleta : (30a)

A=

JL ..J(�u'Vv - 'Vu�v)2 + ('VuXv - Xu'Vv)2 + (Xu�v - �uXv)2 du dv.

La expresi6n para el area de una superficie en representaci6n parametric a puede ponerse en otra forma digna de hacerse notar, si

486

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

se hace uso de los coeficientes del elemento lineal (ver el Capitulo 3, p. 332) d,s2 =

E du2 + 2F du dv + G dv2,

es decir, de las expresiones

E = {>u2 + 'Vu 2

+ Xu 2,

F = {>u{>v + 'Vu'Vv + XuXv,

G = {>v2

+ 'l'v2 + Xv2 •

Un calculo simple muestra que (ver Ia p. 332) (30b) EG - F2

= ({>u'Vv - 'Vulfiv) 2 + ('VuXv - Xu'Vv)2 + (Xu{>v - {>uXv) 2 •

Asi se obtiene Ia expresi6n para el area (30c) y

A=

ff JEG - F2 du dv,

para el elemento de area

dcr = JEG - F2 du dv.

(30d)

Como un ejemplo, considerese nuevamente el area de una esfera con radio R, Ia cual se representa ahora parametricamente por las ecuaciones x

= R cos u sen v,

y = R sen u sen v, u y v

z = R cos v,

donde varian sobre Ia region 0 � u � 27t culo simple muestra que aqui (30e)

dcr

=

R2 sen

v du dv,

lo cual una vez mas nos da la. expresi6n para' el area.

f 2 1t R2 Jo

du

pr Jo sen

y 0

v dv = 41tR2

s

v

s

1t.

Un cal­

Integrales multiples

487

Mas generalmente , puede aplicarse I a formula (30d) a Ia super­ fide de revoluci6n formada al hacer girar Ia curva z = ,P(x) alrededor del eje z. Si se refiere la &uperficie a las coordenadas polares (u, v) en el plano x, y como parametros, se obtiene

X= Entonces,

U

E = 1 + {>'2(u), y

z = {>( -J xz + y2) = {>(u).

y = u sen v,

COS V,

F = O,

el area esta dada en la forma

(31a)

fc 2n dv J: 0

ul

uo

u-Jl + {>'2(u) du = 27t

J:

ul

uo

u-J l + {>'2(u) du.

Si en Iugar de u se introduce como parametro Ia longitud de arco s

de la curva meridiano revoluci6n en la forma

z = {>(u) , se obtiene el area de la superji'cie de 27t

(31b)

SI Lso u ds,

donde u es la distancia del eje al punto sobre Ia curva que gira, correspondiente a s (regia de Guldin; ver el Volumen I, p. 374). Apliquemos esta regia para calcular el area de Ia superficie del toro (ver el Capitulo 3, p . 2 86) que se obtiene al hacer girar el drculo = (x - a) + alrededor del eje z. Si se introduce como para­ metro Ia longitud de arco s del circulo , se tiene u = a + r cos (s/r), y, por lo tanto' el area es

2 z2 r2 21t

fo27Cf' u ds = 21t Jfo2nr {a + r cos sr) ds

J

Por tanto , el area de

un

=

21ta • 21tr.

toro es igual al producto de Ia circunferencia

del circulo generador por Ia longitud de Ia trayectoria descrita par el centro del drculo .

Ejercicios 4.8 t C alcul ar el volumen del s6lido definido por {Jx2

+

z2 y2 - 1} 2 + b2 a2

�1

(a < 1).

488

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

2. Encontrar el volumen separado del paraboloide (x2/a2) + (y2fb2) = z por el plano z = h. 3 . Encontrar el volumen separado del elipsoide (x2fa2) + (y2/b2) + (z2/c2) = 1 por el plano lx + my + nz = p. 4. (a) Demostrar que si se traza cualquier curva cerrada e = sobre Ia superfitie r2 = a 2 cos 26 (siendo (r. e , coordenadas esfericas en el es­ pacio), el area de Ia superficie asi encerrada es igual al area encerrada por Ia proyecci6n de Ia curva sobre la esfera r = a, siendo el venice de proyecci6n el origen de las coordenadas. (b) Expresar el area por medio de una integral simple. (c) Encontrar el area de la superficie completa . 5 . Encontrar e l volumen y e l area d e la superficie del solido generado al hacer girar el triangulo ABC alrededor del lado AB. 6 . Encontrar e l area d e la superficie del paraboloide z = x 2 + y2 intercep­ tada entre los cilindros x2 + y2 = a y x2 + y2 = b, donde a = i [(2m- 1)2 - 1] y b = t [(2n + 1 ], siendo m y n numeros naturales con n > m. 7 . Encontrar el area de Ia superficie de la secci6n separada del cilindro x2 + z2 = a2 por el cilindro x2 + y2 = b2 , d9nde 0 < b � a y z � 0 8 . Demostrar que el area � del conoide recto

{(¢>)

¢>

-

1)2

x = r cos 6,

y = r sen 6,

{

z = (6) ,

incl1da entre dos pianos que pasan por el eje z y el cilindro con rectas generatrices paralelas a este eje y secci6n r = {'(6), y el area de su proyec­ ci6n ortogonal sobre z = estan en Ia raz6n [v'2 + log (1 + J2)] :1.

0

4.9

Aplicaciones flsicas

En la Secci6n 4.4 (p . 442) ya . se ha visto la forma en que el con­ cepto de masa esta relacionado con el de integral multiple . A qui se estudiaran algunos de los demas conceptos de la mecanica. Se em­ pezara con un estudio detallado del momento y del momento de inercia . a.

Momentos y centro d e masa

El mo·m ento con respecto al plano x,y de una parttcula con masa m se defz'ne como el producto mz de la masa y la coordenada z. De modo semejahte , el momento con respecto al plano y, z. es mx y con respecto al plano z, x es my. Los momentos de varias p ardculas se combinan de manera aditiva ; es decir, los tres momentos de un sis­ tema de partfculas con masas m1 , m2 , . . . , mn y coordenadas (x1, y1, ZI), . . . , (xn, Yn, Zn) est an dados por las expresiones

Integrales multiples

(32a)

n

Tx = � mvXv, y= l

n

T11 = � mvyv, y= l

489

n

Tz = � mvzv. v-1

Si se trata de una masa distribuida con densidad continua J.1 = Jl( X, y, z) en toda una region en el espacio o sobre una superficie o curva , se define el mom ento de la distribucion de masa por medio de un proceso de limite , como en el Volumen I (p. 373), y, asi, se ex­ presan los momentos por integrales. Por ejemplo , dada una distri­ bucion en el espacio se subdivide la region R en n subregiones, se imagina la masa total de c ada subregion concentrada en cualquiera de sus puntos y, a continuacion, se forma el momenta del sistema de estas n p articulas . Se ve inmediatamente que conforme n � oo y el diametro maximo de las subregiones tiende al mismo tiempo a cero, las sumas tienden a los limites (32b)

Tx =

JJL JlX dx dy dz, Tz =

T11 =

JJL JlY dx dy dz,

JJL JlZ dx dy dz,

los cuales se conocen como momentos de la distrz"bucion volumetrica. De modo semejante, si la masa esta dic;tribuida sobre una super­ S dada por l as ecuaciones X = �(U, V), Y = '1/(U, V), Z = X(U, V) con densidad Jl(u, v), se definen los momentos de la distribud6n superfidal por l as expresiones

fide

Tx = (32c)

JJ8 Jlx dcr = JL Jlx v'EG - F2 du dv,

ffs JlY dcr = JJR JlY v'EG - F2 du dv, Tz = ffs JlZ dcr = fL Jlz v'EG - F2 du dv. Ty =

Por ultimo , los momentos de una curva x(s), y(s), z(s) en el espacio, con densidad de m asa Jl(s) , se definen por las expresiones

(32d)

Tx =

SI Lso JlX ds,

T11 =

L

SI Jly ds,

0

Tz =

S1 Lso JlZ ds,

donde s denota la longitud de arco. El centro de mas(l de una masa cuya cantidad total es M y esta .Ustribuida en toda una region R, se define como el punto con coor­ denadas

490

Introducci6n al dilculo

(32e)

J:

�

y

al analisis matematico

= MTx '

Por lo tanto, p ara una distribucion en el espacio , las coordenadas del centro de masa estan dadas por las expresiones

� = �JJL J!x dx dy dz, . . . ,

= JJL dx dy dz. Si la distribucion de m asa es homogenea, Jl(X, y, z) = constante, el donde

Jl

M

centro de masa de la region es su centroide. 1 Como primer ejemplo , considerese l a region hemisferica ho­ mogenea H con densidad de masa 1 :

y z z � O.

x2 + 2 + 2 � 1 ,

Los dos mmnentos

= JJJH x dx dy dz, Ty = JJJH y dx dy dz Tx

son 0 , puesto que las integraciones respectivas con respecto a dan el valor 0 . Para el tercero ,

x

o

y

Tz = JJJH z dx dy dz, se introducen las coordenadas cilindricas (r, z, 9) por medio de las ecuac1 ones z = z, X = r COS 9, y = r sen G y

se obtiene

2 1 z2 Tz = J(ilo z dz Jfvo l-z2 r dr Jfo 1t dG = 2tt Jfol -2- z dz = tt (� - �:)\ : = � . _

1 Evidentemente, el centroide es independiente de Ia elecci6n del valor de Ia constan­ te positiva de Ia densidad de masa . Asi, puede imaginarse como un concepto geo­ metrico asociado con Ia forma de Ia region R, sin depender de Ia distribuci6n de masa.

Integrales multiples

491

Como la masa total es 2rc /3, las coordenadas del centro de masa son X = 0 , y = 0, Z = 3/8. En seguida, calculemos el centro de masa de una superficie he­ misferica de radio unitario sobre la cual se distribuye uniformemente una masa de densidad unitaria. Para la representacion p arametrica

x

=

cos

u sen v,

y

=

sen u sen v,

z

= cos

v

se calcula el elemento de superficie a partir de la formula (30e) de la p.

486 y se encuentra que

(32g)

dcr = JEG - F2 du dv = sen v du dv.

En consecuencia , se obtiene

Tz

=

Jor

n/2 sen2v . dv f 2it cos u du = 0, Jo

n'2 sen 2v dv fo2n sen u du = 0, n/2 2n sen -2v l n/2 = rc Tz = J sen v cos v dv Jfo du = 2rc 2

Ty = Jo

0

0

para los tres momentos. Como , obviamente, la masa total es 2rc, se ve que el centro de masa esta en el punto con coordenadas x = 0, y = 0, z ::: t . b. Momento de inercia

La generalizacion del concepto de momento de inercia para una distribuci6n continua de masa es igualmente obvia. El momenta de inercz"a de una particula con respecto al eje x es el profjucto de . su = + z2 , es decir, . por el cuadrado de la distancia del masa por punto al eje x. De l a misma m anera , se define el momento de iner­ cia, respecto al eje x, de una m asa distribuida con densidad J.l(X, y, z) �n toda una region R, por la expresion

p2 y2

(33a)

JJL J.1(y2 + z2) dx dy dz.

Los momentos de inercia alrededor de los otros ejes se representan por expresiones semej antes . En ocasiones se define el momenta de _jn,ercz'a con respecto a un punto, digamos el origen, por Ia expresion

(33b)

JJJR J.l(x2 + y2 + z2) dx dy dz,

492

Introduccion al dilculo

y

al analisis matemitico

y el momento de z"nercz"a con respecto a un plano, digamos el plano

y, z por

JJL JLX2 dx dy dz.

(33c)

De manera semejante , con respecto al eje x, el momenta de inercia de una distribuci6n superficial esta dado por

JL J.L(y2

(33d)

+ z2) dcr'

donde JL(U , v) es una funci6n continua de los dos· parametros u y v. El momenta de inercia de una masa distribuida con densidad fl(X, y, z) en toda una region R, con respecto a un eje paralelo al eje x y que pasa por el punto (�, 11, �), esta dado por Ia expresi6n

JJL JL[(y - 11)2

(33e)

+ (z - �)2] dx dy dz.

Si , en particular, se hace que (�, 11, �) sea el centro de masa y se usan las relaciones (32e) para las coordenadas del centro de m asa , in­ mediatamente se obtiene Ia ecuaci6n

(33f)

JJL JL(y2

+ z2) dx dy dz =

JJL J.l[(y - 11)2

+ (z - �)2] dx dy dz

+ (112 + �2)

JJL

Jl

dx dy dz.

Puesto que cualquier eje arbitrario de rotaci6n de un cuerpo, puede elegirse como eje x, el significado de esta ecuaci6n se puede expresar como sigue : El momento de inercia de un cuerpo rigz"do con respecto a un eje arbitrario de rotacz"6n es z"gual al momento de ·inercia del cuerpo alrededor de un eje paralelo que Pase por su centro de masa mcis el producto de La masa total por el cuadrado de la distancz"a entre el centro de masa y el eje de rotacz"6n (teorema de Huygens). El significado fisico del momenta de inercia para las regiones en varias dimensiones es exactamente el mismo que ya se di6 en el Volumen I, p . 37 5 :

La energia cinetica d e un cuerpo que gira unzform.emente alrededor de un eje es z"gual a La mz"tad del producto del cuadrado de la velocz"dad angular por el momento de z"n ercz"a .

Integrales multiples

493

Calcularemos el momento de inercia para algunos casos sencillos. Para la esfera V con centro en el orlgen, radio unitario y densidad unitaria , por simetria se ve que el momento de inercia con respecto a cualquier eje que pasa por el origen es I

JJfv (x2 + y2) dx dy dz = Jffv (x2 + z2) dx dy dz = JJfv (y2 + z2) dx dy dz. =

Si se suman las tres integrales se obtiene

31 =

JJfv 2( 2 + y2 + z2) dx dy dz. x

En coordenadas esfericas,

i

i

21t 1t 2 l 2 1 81t sen v dv r4 dr du = • · 2 21t = - . I= 15 3 0 0 3 5 0

J

-

-

•

Para una viga con aristas a, b, c paralelas a los ejes x, y y z, res­ pectivamente , con densidad unitaria y centro de masa en el origen , se encuentra que el momento de inercia con respecto al plano x, y es

l a/2 dx lb /2 dy lc/2 z2 dz = ab-c3 . -at 2

c.

- bt 2

-ct 2

12

El pendulo compuesto

La noci6n de momento de inercia encuentra una aplicaci6n en el tra tamiento matematico del pendulo compuesto , es decir, un cuerpo rtgido que oscila alrededor de una eje horizontal fijo , bajo la influen­ cia de la gravedad . Considerese un plano que pasa por G, el centro de masa del cuer­ po rigi do, perpendicular al eje de rotaci6n; sup6ngase que este plano corta al eje en el punto 0 (Fig. 4 . 16). El movimiento del cuerpo esta dado como una funci6n del tiempo por el angulo rp = rp(t) que O G forma en el instante t con la vertical hacia abajo que pasa por 0. Con el fin de determinar Ia funci6n rp y tam bien .el periodo de oscilaci6n del pendulo , supondremos que se conocen ciertos hechos fisicos (ver

494

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

\

, I I I I I I I \ \ \ \ \ ' ' I I I I

\...... __ .,

Figura

�)

4.16

la p . 729). Apliquemos la ley de conservaci6n de la energia , la cual afirma que durante el movimiento del cuerpo la suma de sus energias cinetica -:� potencial permanece constante . Aqui V, la energia poten­ cial del cuerpo, es el producto Mgh, donde M es la m asa total , g la aceleraci6n de la gravedad y h la altura del centro de m asa por en­ cima de una recta horizontal arbitraria (por ejemplo , por encima de la recta horizontal que pasa por la posicion m as baja que alcanza el centro de masa durante el movimiento ). Si se denota OG, la distancia del centro de m asa al eje , por s, entonces V = Mgs (1 - cos if>). Por lo expresado en la p . 492 , la energia cinetica esta dada por T = t 1�2 , donde I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotaci6n y se ha escrito � por .dlj>fdt. Por lo tanto , la ley de conser­ vaci6n de la energia da la ecuaci6n

(34a)

1 .

2 1¢>2

-

Mgs cos ¢>

=

constante

Si se introduce la constante l = 1/Ms, esta es exactamente Ia misma ecuaci6n encontrada con anterioridad 1 (Volumt:n I , p p . 408 , 4 1 0) para el pendulo simple ; en consecuencia , i se conoce como longitud del pendulo simple equivalente. Ahora se aplicaran directamente l as formulas que se obtuvieron para el pendulo simple (Volumen I , p . 4 1 0) . El perfodo de oscilaci6n esta dado por la formula 1 En la notaci6n usada aQui , el movimiento de la masa puntual en el pendulo simple se describe por x = l sen (J, y = - l cos (J y su velocidad por l . t) . Aqui, (J, por el volumen I, p. 408 , satisface la ecuaci6n diferencial

2 (l tjJ )2 1

-

g l cos (J = constante

Integrales multiples

T- 2

JT2g- ftf>o

- 1/>o

495

drfi ../cos rfi - cos rfio '

donde ¢o corresponde al desplazamiento maximo del centro de masa; para angulos pequeiios esto da aproximadamente

Por supuesto, en esta expresion esta incluida la formula para el pen� dulo simple como un caso especial, porque si la masa completa M se concentra en el centro de masa , entonces I = Ms 2 , de modo que l =

s.

Investigando aiin mas , recuerdese que I, el momento de inercia alrededor del eje de rotacion , esta relacionado con Io, el momento de inercia alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa, por la expresion (ver 33f)

I = Io De aqui que o

+

Ms2 •

Io l = s + Ms ­'

bien , si se introduce la constante

a

= Io/M,

a

l=s + - . s Inmediatamente se ve que , en un pendulo compuesto , l siempre es mayo:r que s, de modo que el periodo de un pendulo compuesto siempre es mayor que el del pendulo simple que se obtiene al concen­ trar la masa M en el centro de masa . Es mas, el periodo es el mismo para todos los ejes p aralelos que se encuentran a la misma distancia s del centro de masa , porque la longitud del pendulo simple equi­ valente solo depende de las dos cantidades s y a = Io/M y, por lo tan­ to, sigue siendo el mismo , siempre que no se altere la direccion del eje de rotacion ni su distancia al centro de m asa. La formula

496

Introiluccion al cilculo

y

al anilisis matematico

muestra que el periodo T crece m as alia de toda cota a medida que s tiende a 0 o al infinito . Por lo tanto , debe tener un minimo para algun valor so. Derivando se obtiene

so = v'a =

JloM '

Un pendulo cuyo eje esta a una distancia so = -/10/M del centro de masa sera relativamente insensible a pequeiios desplazamientos del eje , porque, en este caso, dT/ds se anula , de modo que cambios de primer orden en s solo producen cambios de segundo orden en T. Es­ te hecho ha sido aplicado por el Profesor M. Schuler de Gottingen en Ia construcci6n de relojes muy exactos.

d. Potencial de masas atractivas

En el Capitulo 2 (p . 25 1 ) se ha visto que Ia ley de Ia gravitaci6n de Newton da Ia fuerza que una partkula fija Q, con coordenadas (�, 11 1 l;) y masa m, ejerce sobre una segunda partkula P, con coorde­ nadas (x, y, z) y masa unitaria , aparte de la constante gravitacional y, como

m grad

1

r'

donde

r = .J(x

_

�)2 + (y

_

TJ ) 2 + (z

_

�)2

es la distancia entre los puntos P y Q. La direcci6n de la fuerza es a lo largo de Ia recta que une a l as dos particulas y su magnitud es in­ versamente proporcional al cuadrado de Ia distancia . Aqui el gra­ dz"ente de una funci6n f(x, y, z) es e) vector con componentes

of of of ox ' oy ' oz . De aqui que , en el presente caso, l a fuerza tiene las componentes

m(� - x) ra

m(TJ - y) ra

m(t; - z) ra

Si ahora se considera la fuerza ejercida sobre P por un cierto numero

Integrales multiples

497

de puntos Q1, Q2 , . ' . . , Qn con masas respectivas mt, m2, . . . , mn, puede expresarse Ia: fuerza total como el gradiente de Ia cantidad

donde rv denota Ia distancia del punto Qv al punto P. Si una tuerza puede expresarse como el gradiente de una funcion, se acostumbra decir que esta funcion es el potencz'al de la fuerza,' 1 en consecuencia, se define el potencz'al grauz'tacz'onal del sistema de p'articulas Q1, Q2 , Qn en el pun to P como Ia expresion

mv

.

f:t -J(x - �v)2 + (y - llv) 2 + (z - �v) 2 • v= Supongase ahora que , en Iugar de estar concentradas en un m.1mero finito de puntos, lt;t� masas que gravitan estan distribuidas con densidad continua J! sobre una porcion R del espacio, o una superficie S, o una curva C. Entonc"es el potendal de esta distribuci6n de masa en un punto con coordenadas (x, y, z) fuera del sistema de masas, se define como (35a)

o bien , {35b) 0

(35c)

Jfs �

da,

- ds. 1'1 so J.1 r

En el primer caso Ia integraci6n

se toma en toda Ia region R con coor denadas rectangulares (� , 11, �) ; en el segundo caso , sobre la superficie S con el elemento de superficie da ; y en el tercer caso , a lo largo de Ia curva con longitud de arco s. En las tres formulas r de­ nota la distancia del punto al punto (�, 11, �) de Ia region de in­ 'tegraci6n y J.L la densidad de masa en el punto (�, 11, �). En cada caso, la fuerza de atraccion se encuentra calculando las primeras derivadas

P

�� A

menudo, Ia negatz'va de esta funci6n, la cual tiene el significado de energia potencial, se llama potendal de lasfuerzas.

498

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

del potencial con re specto a x, y, z. Trabajar con el potencial , en lugar de con la fuerza, tiene la ventaja de que solo se tiene que evaluar una integral en Iugar de tres . Entonces se obtienen l as tres componentes de la fuerza como derivadas del potencial . Por ejemplo, el potenci al en el punto P con coordenadas (x, y, z,) , debido a una esfera K con densidad uniforme 1 , radio unitario y cen­ tro en el origen es la integral

·Jri.. ..

r

JK v'(x

d� dTJ d�

�)2 + (y TJ)2 + (z �)2 l f+ f+v'l-1; 2 f+v'I-1; 2-n2 - d�. = -1 d� - v't-1; -- dTJ 2 - v't-1;2-n2 _

_

_

1

r

)

En todas las expresiones (35a , b , c) las coordenadas (x, y, z del punto P no aparecen como variables de integr!lcion sino como pa­ rametros y los potenciales son funciones de estos p arametros . Para obtener las componentes de la fuerza a partir del potencial tiene que derivarse la integral con respecto a los parametros . Las reglas para la derivacion con respecto a un parametro se extienden directamente a las integrales multiples y, por la p . 74, puede llevarse a cabo la de rivacion bajo el signo integral siempre que el punto P no pertenezca a la region de integracion , es decir , siernpre que se tenga la certeza de que no existe punto de la region cerrada de integracion para el cual la distancia r tiene el valor 0 . Asi , por ejemplo , se en­ cuentra que las componentes de la fuerza gravitacional sobre una masa unitari a , debida a una masa distribuida con densidad unitaria en toda una region R en el espacio , est an dad as por las expresiones

( 36)

- JJL X � � d� dTJ d�, TJ F2 = - JJLY � d� dTJ d�, � Fa = - JJL z ;:;, d� dTJ d�. F!

=

Por ultimo , conviene sefialar que las expresiones para el potenci al sus primeras derivadas siguen teniendo significado si el punto P se encuentra en el interior de la region de integracion . Entonces las in­ tegrales son impropias y , como se demuestra facilmente , se deduce su convergencia a partir de los criterios de la Seccion 4. 7 .

y

Integrales multiples

499

Como una ilustraci6n , calculemos el potencial en un pun to inter­ no y en un punto extemo, debido a una superficie esferica S con radio y densidad unitaria . Si se tom a el centro de la esfera como el origen y suponiendo que el eje x pasa por el punto P (interior o ex­ terior a la esfera ) , el punto P tendra las coordenadas 0, 0), y el potencial sera

a

(x,

u-

ryJ(x - �)2dcr+ 11 2

J

..

+

�2

Si se introducen coordenadas esfericas sobre la esfera a traves de las ecuaCiones

�11 == aa sen ee, � = a sen e sen U = i1t J(x - a a2 e)se2ne+ a2 sen 2e de f 21t d� = 21t i1t Jx2 + aa22 -sene2ax e de. x2 + a2 -2ax x = r2, de = r dr, U = 21ta J lJ x-x+aa lt r = 21t_� (l x + al - l x -al ). cos

cos � '

�'

entonces ver (30e) , p . 429 0

j0

cos

0

co�

de modo que ax sen e cos e P6nga se * 0) la integral se convierte entonces en y (bajo el supuesto de que

X

Por lo tanto , para

y,

para

l x l < a,

� ��

X

I x I > a se tiene

= 41ta. 47ta2

U

De aqui que el pote:p.cial en un punto extemo es el mismo que se estuviera concentrada en el cen­ obtendria si la masa completa ttn de la esfera . Por otra parte . en to do el interior el potencial es cons­ tante . En la superficie de la esfera el potencial es continuo; la ex-

500

Introducci6n al c alculo

y

al analisis matemitico

presion para U aun esta definida (como una integral impropia) y tiene el valor 4Tta. Sin embargo , la componente Fx de la fuerza en la direcci6n x tiene un salto l.gual a - 41t en la superficie de la esfera porque , si l x l > a, se tiene

4Tta2 Fx = - -- sgn x ' x2 mientras que Fx = 0 si I x I < a. El potencial de una esfera s6lida de densidad unitaria se encuen­ tra a partir del de una superficie esferica, integrando con respecto a a . Esto da el valor

4Tta3 3lxl para el potencial en un punto externo . N uevamente, este es igual al que se tendria si l a masa total (4/3)Tta3 estuviera concentrada en el centro . Derivando con respecto a x se encuentra, para un punto sobre el eje x positivo , que

Este es el resultado debido a Newton de que l a atracci6n ejercida por una esfera s6lida de densidad constante sobre un punto externo es la misma que ejerceria si su masa estuviera concentrada en su cen­ tro(Volumen I , p . 41 3) . Ejercicios 4.9

1 . (a) Encontrar Ia posicion del centroide de un cono drcular recto solido. (h) �Cual es Ia posicion del centroide de Ia superficie curva del cono? 2 . Hallar Ia posicion del centroide de Ia porcion del para bolo ide + = separada por el plano = xo , donde xo < 3 . Hall ar el centroide del tetraedro limitado por los tres pianos coor­ + + denados y el plano = 1. + + 4 . (a) Encontrar el centroide del cascaron hemisferico � � Demostrar que el cen.troide de la lamina hem\sferica + + = es la posicion limite del centroide del inciso (a) , a medida que b tiende bacia a. 5 . Hallar el momento de inercia alrededor del eje z del paralelepipedo rec­ tangular homogeneo de m asa m con

px

b2, z 0. (b) a2

x xfa yfb z/c

0.

z2 y2

a2 � x2 y2 z2 x2 y2 z2

0 � x � a, 0 � ·y � b, 0 � z � c.

Integrates multiples

501

6. Calcular el momento de inercia del solido homogeneo encerrado entre

los dos cilindros

x2 + y2 =

R

y

x2 + y2 =

(R > R')

R'

y los dos pianos z = h y z = -h, con respecto a (a) el eje z, (b) el eje x . 7 . Hallar Ia masa y el momenta de inercia respecto a un diametro, de una esfera cuya densidad decrece linealmente con Ia distancia al centro, des­ de un valor �o en el centro hasta el valor �1, en Ia superficie. 8. Encontrar el momenta de. inercia del elipsoide x2fa 2 + y2fb2 + z2fc2 � 1 , , con respecto a (a) el eje z, (b) un eje arbitrario que pasa por el origen, dado por (cx 2 + � 2 + y2 =

x :y :z = cx : � :y

1).

9. Si A, B, C denotan los momentos de inercia de un solido arbitrario de

densidad positiva con respecto a os ejes x-, y, y z , demostrar que enton­ ces se satisfacen las "desigualdades del trifmgulo"

1 0 . Sean

A + B > C,

A + C > B,

B + C> A

0 un punto arbitrario y S un cuerpo arbitrario. ·sabre cada uno de los rayos que emanan de 0 t6mese el punto que se encuentra a Ia distancia 1/ ./f de 0, donde I denota el momenta de inercia de S con res­ pecto a la recta que coin�ide con el rayo. Probar que los puntos asi cons­ trufdos forman un elipsoide (el llamado elipsoide· de momentos). 1 1 . Encontrar el elipsoide de momentos del elipsoide x2fa2 + y2f b 2 + z2/c2 � 1 en el punto (�, 1), Q . 12. Hallar las coord�nadas del centro de masa de la superficie de Ia esfera x2 + y 2 + z2 = 1, si la densidad esta dada por

�= 1 3. Hallar la coordenada 14.

x

1 .;(x - 1) 2 + y2 + z2 .

del centro de masa del octante del elipsoide

(x � 0, y � 0, z � 0). x2fa2 + . y2/ �2 + z2/c2 � 1 Un sistema de masas s consiste de dos partes 81 y 82 ; It, I2 , I so'n los respectivos momentos de inercia de 81, 82 , 8 alrededor de tres ejes paralelos que pasan por los respectivos centros de masa. Probar que I = I1

+

m 1 m2 I2 + d2, m1 + m2

donde m1 y m 2 son las masas de 81 y 82 y d es Ia distancia entre los ejes que pasan por sus centros de masa. 15 . Enco:ntrar las envolventes de los pianos con respecto a los cuales el elip­ .soide (x2fa2) + (y2fb2) + (z2fc2) .·;;;; 1 tiene el mismo momenta de inercia h.

502

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

1 6 . Calcular el potencial del elipsoide de revoluci6n homogeneo (b > a)

en su centro . 1 7 . Calcular el potencial de un solido de revoluci6n

r = Jx2 + y2 � f(z)

(a � z � b)

en el o rigen . 1 8 . Demostrar que a distancias lo suficientemente grandes el potencial de una solido S es aproximado por el potencial de una particula de la mis· rna masa total localizada en su centro de gravedad, con un error menor que alguna constante dividida entre el cuadrado de la distanci a. 1 9 . Suponiendo que Ia Tierra e s u n a esfera d e radio R para Ia cual Ia ,den­ sidad a una distancia r del centro es de la forma p y

= A - Br2

la densidad en la superficie es 2! veces la densidad del agua, mientras que la densidad media es 5! veces Ia del agua, demostrar que la atracci6n en un punto interno es igual a

donde g es el valor de la •gravedad en la superficie . 20 . Se coloca con el centro en el origen un hemisferio de radio a y de den­ sidad uniforme p , de modo que se encuentre por completo en el lado positivo del plano x, y . Demostrar que su potencial en el punto (0, 0, z) es 21tp 4 7tpz2 (a 2 + z2)312 aa + a2z si O
[

_

3

-

J 3 _

-

si

z > a.

2 1 . Sea (XI, YI), (X2 , Y2), (xa, ya) los vertices de un triangulo de area A (donde el orden de los subindices da la orientaci6n positiva) . Probar que el momento de \nercia del triangulo con respecto al eje x esta dado por

22. Probar que la atracci6n en cualquiera de los polos de un esferoide uniforme con densidad P y semiejes a, a, c es igual a

don de

2c 27tp Jro

r(l - cos 6) dr,

r = 2a2c cos 6f(a2 cos2 6 + c2 sen 2 6) .

Integrales multiples

503

23 . Se sabe experimentalmente que una lamina esferica conductora, car­

gada (sobre una superficie de este tipo la carga se distribuye unifor­ memente) , ejerce una fuerza cero sobre una carga puntual en su in­ terior. Suponiendo que las cargas puntuales se repelen o atraen entre si con una fuerza que solo depende de la distancia entre ellas, probar que este experimento implica Ia ley de Coulomb - a saber, que las cargas puntuales se atraen o repelen entre si con una fuerza proporcional al in­ verso del cuadrado de su separacion. Este resultado es el redproco del teorema de que la fuerza de . gravedad de. una lamina esferica homo­ genea se anula en su interior.

4. 10

Integrales multiples en coordenadas curvillneas

a. Resoluci6n de integrales multiples

Si la region R del plano x, y se cubre con una familia de curvas �(x, y) = constante , de modo que cada punto de R se encuentre en una , y solo en una curva de la familia, puede tomarse la cantidad �(x, y) = � como una nuesva variable independiente ; esto es , pueden toma rse las curvas c't. ' representadas por �(x, y) = constante = � . como una d e las dos familias de curvas en una rejilla coordenada . Como segunda variable independiente se puede elegir l a cantidad 17 = y, siempre que nos confinemos a una region R en la que cada pareja de curvas �(x, y) = constante y y = constante se intersecten en un punto . S i se introducen •estas nue a s variables, una integral doble ffR {(x, ��dx dy se transfon11 a como sigue [ ver ( 1 6b) � p . 45 9 ] :

JJ f(x, y) dx dy = JJ fi��t) d� d11

.

Manteniendo � constante e integrando el segundo miembro con res­ pecto a 11, la integral con respecto a 11 se puede e�cribir en la forma

Como so bre C't.

esta integral se puede considerar como una integral a lo largo de la curva �(x, y) = � ' siendo Ia longitud de arco s Ia variable de inte­ wracion. Asi se obtiene Ia resoluci6n

504

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

pa ra la integral doble considerada. Se reconoce . muy facilmente el significado intuitivo de esta re­ soluci6n si se supone que , correspondiendo a las curvas Ce, existe una familia de curvas ortogonales (las llamadas trayectorias ortogonales) que se intersectan con cada curva separada (> = constante = � a an­ gulos rectos , en Ia direcci6n del vector grad (>. Si cr es Ia longitud de arco sobre una curva ortogonal representada por las funciones x(cr) y y(cr), entonces

fJ11 f>x dy dx = = Jf>x2 + fJ 712 Jf>x2 + fJ1l ' dcr dcr

.

Dado que

se

obtiene

(37b) Considerese ahora Ia malla limitada por las dos curvas f>(x, y) = � ' (>(x, y) = � + 4�, y dos curvas ortogonales que limiten una porci6n, de longitud As , de 9S(x, y) = � · (Fig. 4. 1 7). El area de esta malla esta

Figura 4.17

Integrales multiples

dada aproximadamente por el producto fls flcr, aproximadamente igual a

y,

505

a su vez , este es

Esto conduce a una nueva interpretacion de identidad (37a):

En lugar de calcular una integral do ble subdz'vz'dz'endo la regz'6n en "rectangulos z'nfz'nz'tesz'males " con lados paralelos a los ejes coorde­ nados, puede usarse la subdivision en rectangulos curvz"lineos z'nfz'­ nz'tesz'males determz'n ados por las curvas tf>(x, y) = constante y sus trayectorias ortogonales . . Puede efectuarse una resolucion semejante en el espacio tridimen­ sional . Si se cubre la region R por media de una familia de super­ ficies s_� dadas por una ecuaci6n tf>(x, y, z) = constante = � ' de tal manera que por cada punto pase una, y solo una superficie , entonces puede tomarse la cantidad � = tf>(x, y, z) como una variable de in­ tegracion . De este modo se resuelve una integral triple �

en una integral

sobre

.

la superficie (J = ; con elemento de area

� ver (.29�). p . 483 ]

y

una integracion subseqtente con respecto a � :

Nuevamente , esta formula permite una interpretacion geometrica si se introduce la familia biparametrica . de curvas ortogonales en

Introduccion al calculo

506

y

al analisis matematico

cada pun to a una superficie � = constante y . se usan, ademas de las SF, , las superficies coordenadas qUt: consisten de esas curvas. b. Aplicaci6n a las areas barridas por curvas en movimiento y volumenes barridos por superficies en movimiento. Formula de Guldin. El plan£rnetro polar

La cantidad 1 dcr = 2 d� .Jrf>x +
que aparece en las formulas (37a , b ) se puede interpretar cinema­ ticamente si se identifica el parametro � con el tiempo t. Entonces Ia ecua Ci on rp(x, y) = constante = t represent a Ia posicion Ct de una curva en movimiento, en el instante · t. La c an tidad �cr, Ia cual mide las distancias a lo largo de las curvas ortogonales a las curvas Ct, se ·y puede imagirtar como Ia distancz"a normal entre las curvas Ct+ ll.t. En consecuencia, ·

Ct

(38a)

1 dcr C = dt = -v'ffi,x2 + fj>y2

es Ia velocz"dad normal de Ia curva en movimiento Ct , en el instante t. Esta velocidad es diferente en puntas diferentes de Ct. De modo semej ante, Ia velocidad normal de Ia superficie St en movimiento en el espacio , con ecuaci6n rp(x, y, z) = constante = t es . .

(38b) En Ia fisica , en los frentes de onda se Presentan superficies en mo­ vimiento de este tipo (por ejemplo, p ara las ondas electromag­ neticas que se propagan en un media ) . L a velocidad normal c d e una superficie e n movimiento , St , (y, . de modo semejante, de una curva en movimiento, Ct , en el plano) tiene un significado particularmente simple si St consiste de p(!rti­ culas individuales en movimiento. Si Ia posicion de una de estas par­ ticulas se describe por media de las tres funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t) y si Ia particula permanece en todo instante sobre Ia super­ ficie en movimiento , entonces debe curnplirse Ia ecuaci6n

Integrales multiples

507

ifi(x(t) , y(t), z(t)) = t para todo

t.

Derivando con respecto a t se encuentra la ecuaci6n

Si se divide esta ecuaci6n entre el gradiente absoluto de � , se obtiene Ia relacion (38c)

c

_ -

+

(

dx

- � dt +

11

)

lj1:_

dz dt + � dt '

donde c es la velocidad normal definida por (38b) , �' 11 , � son los cosenos directores de una de l as normales de St , y el signo positivo o negativo se aplica seglin que las normales apunten en la direccion de t creciente o decrecie nte , respectivamente . Si se introduce el vector unitario normal n = (�, y

11 ,

�)

el vector velocidad de la particula , v =

c

(dx

)

dy dz dt ' dt ' dt ,

puede representarse por el producto escalar c= ± v · n .

(38d)

En palabras , la componente normal a la superficz'e

St

de la ' Velo­ cidad de una particula que se ' m ueve con la superfide es zgual a ± c , donde c es la velocidad normal de St. El signo positivo se cumple cuando n es el vector normal " h acia adelante" de St, es decir, el vec­ tor normal sobre la cara de la superficie que se encuentra hacia donde estan los puntos que van a ser barridos en el futuro inmediato . La formula (37c), cuando f = 1 , proporciona una expresi6n para el volume11 V de la region b arrida por una superficie en movimiento, St , con la velocidad normal c : v=

JJJ dx dy dz = J dt Jfst

c

dS.

Ue- manera semejante , p ara el area A de una region en el plano

barrida por una curva en movimiento , Ct, se encuentra la expresi6n

508

Introducci6n al caiculo

y

J dt Jct c ds.

A =

(39b)

al analisis matematico

Apliquemos estos resultados al caso de un area b arrida por un segmento rectilineo Ct que se mueve en el plano (Fig. 4 . 1 8 ) . El seg­ mento puede ser representado por una ecuaci6n de Ia forma (40a)

+

�(t)x 11(t)y = p(t),

(�, 11)

donde es el vector normal unitario y p Ia distancia (con signo} de Ct al origen . El centro de Ct (que es tambien su centroide) esta en el pun to [ ver (32e}, p. 490 ]

Xi(t) = fSetct xdsds Y(t) = Setfeydsds .

(40b)

'

Figura 4.18

Integrando (40a) con respecto a s sobre el segmento Ct se llega a Ia relaci6n (40c) + =

�(t)X(t) 11(t) Y(t) p(t),

con Ia cual simplemente se afirma que el centro de Ct esta sobre C1 • Si se piensa en Ct como si consistiera de particulas individuates en movimiento , ·se encuentra , a partir de (40a), (38c}, que la compo­ nente normal de la velocidad de estas particulas es

n•v=

� dxdt dydt. = dtdp - d�dt x - d11dt y · +

11

De aqui que, por (40b), (40c) ,

± fe c ds = fc n • v ds =

t

(c:t; - �; X - �j Y)fct ds dX dY\ f ds = w • nL t = (� dt 11 dt } Jet t

+

1 Tambien puede deducirse Ia misma formula, usando Ia expresi6n (38a) para x, si se calculan las primeras derivadas de Ia funci6n t = ;<x, y) con respecto a x y y a par­ tir de Ia ecuaci6n implicita (40a) para Ia funci6n t.

Integrales multiples

don de

(dX

,

509

)

dY

w = dt ' dt

es el vector velocidad del centro (X, Y)del segmento Ct, y

L = L(t) =

Jetf ds,

la longitud de Ct . De (39b) se deduce que el area barrida por el seg ­ mento en movimiento, Ct , es (41a)

A =

J± L w

•

n dt.

De la misma manera se encuentra que el volumen barrido por una region plana en movimiento , St , de area A(t) y normal unitario n es (4 1b)

V=

J

±

Aw • n dt,

donde w es la velocidad del centroide (X, Y, Z) de St. En estas for­ mulas se toma el signo positivo cuando n es el vector normal "hacia adelante" de Se, es decir, el que apunta en la direccion del movimien­ to . Especialmente interesante es el caso de la formula (4 l b) cuando el centroide (X, Y, Z) de St se mueve a lo largo de una curva que en todo momento es perpendicular al plano de St . En ese caso, Ia com­ ponente normal de Ia velocidad del centroide coincide con Ia v�lo­ cidad �el movimiento del centroide a lo l argo de su trayectoria:

±w.n=

da dt

donde cr es Ia longitud de arco a lo largo de Ia trayectoria del cen­ troide . Entonces se deduce que (42a)

V=

J A �� dt J A da. =

Es mas , si todas las regiones planas Se tienen Ia misma area A , se en­

cuentra que (42b)

510

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

o que el volumen barrido por las St es igual a su area A multiplicada por la longitud de la trayectoria descrita Por sus centroides. O b ­ vi amente, un caso particular e s la regia d e Guldin para e l volumen de un solido de revolucion b arrido por la rotacion de una region plana R alrededor de un eje en ese plano . El volumen es igual al area A de R multiplicada p ar Ia longitud de la trayectoria descrita por el centroide de R durante la revoluci6n (ver el Volumen I, p .

374 ).

Regresando a la formula (4 l a ) , se ve que la integral

(43a)

J Lw ·

n

dt

representa el area con signo barrida per los segrnentos Ce, depen­ diendo el si-gno de si el vector normal n apunta en la direccion del movimiento o en la opuesta . Lo mismo se cumple p ara una integral

(43b)

J Aw ·

n

dt

asociada con los volumenes barridos por un area plana en movimien­ to . Estas observ a ciones n os permiten extender los resultados obtenidos a casos en los que el segmento o el area plana no siempre se mueva en el mismo sentido, o cubra parte del plano (o del espacio) mas de una vez . Enionces las integra]es dadas anteriormente expresaran la suma algebraica de las areas (o volumenes) de las partes de la region barrida, tomando cada una con el signo apropiado. Como un ejemplo , supongase que un segrnento de longitud cons­ tante se mueve de modo que siempre tenga sus puntos extremos sobre dos curvas fijas r y r' en un plano , como en la Fi . 4 . 1 9 . Por las

Figura

4.19

511

Integrales multiples

flech as que muestran l a direcci6n positiva d e l a normal, se puede determinar el signo con el cual aparece cada area. en la integral y en­ contrar que la integral da la diferencia er tre las areas encerradas por f' y r' . Si r' contiene un area cero , como cuando degenera en un solo segmento de una curva que se describe varias veces , la integral da el area encerrada por r. Este principia se aplica en la construcci6n del conocido plani­ metro polar (planimetro de A msler). Este es un aparato mecanico para medir areas planas . Consiste de una b arra rigida en el centro de la cual esta una rueda medidora que puede radar sobre el papel de dibujo. El plano de la rueda es perpendicular a la barra. Cuando se va a usar el instrumento para medir el area encerrada por una curva di bujada sobre el papel , se mueve uno de los extremos de la b arra a lo largo de la curva, mientras que el otro se articula a un ,brazo rigido del cual el extrema opuesto gira sabre un punta fijo 0, el pol o, exterior a r . Por lo tanto, el extremo articulado de la barra des­ cribe (varias veces) un arco de drculo, es decir, una curva cerrada que contiene un area cero . Se concluye que aqui la expresi6n (43a) proporciona el area encerrada por r . Pe:.:-o el integrando Lw · n es proporcional a la velocidad angular con la cual gira la rueda de medici6n, siempre que Ia circunferencia de la rueda se mueva sabre ei papel a medida que la barra se mueve , en cuyo caso la posi�i6n de la rueda solo es afectada por el movimiento normal a la b arra. Entonces el angulo total que ha girado la rueda es proporcional al area encerrada por r. En el instrumento, como se construye normalmente , la rueda no esta exactamente en el centro de la barr a , pero ello solo altera el fac­ tor de proporcionalidad en el resultado y este se puede determinar directamente por medio de una calibraci6n del instrumento .

4.1 1 a.

Volumenes y areas d e superficies en cualquier numero de dimensiones

Areas de superficies e integrales de superjicie en rnO,s de tres dimensiones

En el espacio n dimensional descrito por las n coordenadas Xl , 1) dimensional (hipersuPerficie se define una superficie (n D t.Ja riedad) por medio de una ecuaci6n implicita •

xn ,

(44a)

.

�(Xl , X2 ,

•

•

.

-

, Xn) = constante,

.

•

,

512

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

don de en cad a pun to de la superficie por lo menos una de l as pri­ meras derivadas de ¢ no se anula . Supongase que una porcion S de esta superficie de corresponde a una cierta region en el espacio XI , x2 • • • Xn l , donde of>joXn =/= 0 y Xn se pueden calcular a partir de la ecuacion (44a) como una funcion de las otras coordenadas . Ahora se define la medida (n 1) de esta porcion de superficie como la integral

B

-

JB (44b) A = ff J

• • •

f .JfJz 2 1

+ fJz 2 +

j

sDzn I

· + fJzn

• • •

2

dx1 dx2

• • •

dxn- 1.

Esta definicion es una generalizaci6n f�rmal de la formula (29b), p. 482, para las areas de las superficies en el espacio tres y puede basarse en argumentos intuitivos semejantes . Cuando no haya peljgro de confusion , tambien nos referiremos a A simplemente como el " area", incluso en el caso de una hipersuperficie en el espacio n dimensional . En el capitulo siguiente se dara una discusi6n m as sis­ tematica de las superficies, areas de superficies e integrales de super­ fide. Por el momento basta con observar que la cantidad A definida por (44b) es independiente de la eleccion de la coordenada Xn para la cual se resuelve la ecuaci6n (44a). Esto se puede probar de la misma manera que se hizo en el caso tridimensional en p . 483 . Con mayor generalidad , se define la z'ntegral de una funcz'6n f(xt, 1) dz'mensz'onal como . . . , Xn) so bre esta superficz'e (n -

=

JL · · ·

Jfs · J {(x1, • •

(44c)

f t<xl,

·

•

·,

Xn)

•

•

.

, Xn) dcr

+ f>xn2 vf>zt 2 + dxt dx2 I f>xn I .

.

.

• • •

dxn- 1,

donde , como antes, se supone que Xn esta expresada en terminos de XI, . . . , Xn- l por medio de la ecuacion (44a) . Una vez mas se encuen­ tra que la expresion (44c) es independiente de la eleccion de la va­ riable Xn. Como para dos o tres dimensiones, una z'ntegral multzple de volumen sobre una region R n dimensional,

(45a)

JL

· • •

J {(Xl,

·

•

.

, Xn) dxt, . . . , uXn

puede resolverse en integrales de superficie (ver las formulas (37a, c)] . Sup6ngase que se cubre la region R por medio de una familia de hipersupedicies S

Integrales multiples

51!

(>(x1, . . . , xn) = constante = � ,

(45b)

de tal manera que por cada punto de R pase una, y solo una super­ fide. Si se remplazan X1, . . . , Xn- 1, Xn por las nuevas variables inde­ pendientes . X1, , Xn- 1, � = fJ(X1, . . . , Xn), •

.

•

por la regla para Ia transformacion de las integr�les (p . 1 35 ) la in­ tegral multiple (45a) se conrierte en

f dJ: J • • • J {(x1, . . . , Xn) dX1 • • • dXn-1· �

I fJxn I

Usando Ia formula (44c) se obtiene

JL • • • J {(x1, . . . , Xn)dx1 • • • dxn {(X1, . . , Xn) ( • • • = d� s Js� JYfJxt2 + • • • fJxn2 dcr,

(45c)

•

donae (45d)

dcr =

,.jfJx 1 2 +

• • • + fJxn2 dx1 • • • dxn--1

I fJxn I

es e1 elemento de area de �a superficie

b. A rea

y

+

Sf.. .

volumen de la esfera n dimensional

Como una aplicacion de la formula (45c) para Ia reduccion del volumen a integrales de superficie, se calculara el area y el volumen de una esfera de radio R en el espacio n dimensional , es decir, el area de la hipersuperficie (46a) y

el volumen de la bola

(46b)

Primero se deducira una formula general que reduzca Ia integral en el espacio de una funcion con simetria esferica a una integral sim­ ple . Se diche que la funcion f de las variables X1, , Xn tiene sz­ metrfa esferica si •

.

•

514

Introduccion al calculo

y

al analisis rnaternatiro

. f = {(r), don de (46c) es decir , si f es constante sobre esferas con centros en el origen . La es­ fera Sr de radio r alrededor del origen esta dada por la ecuaci6n (46d)

¢>(x1, . . . , Xn) = .Jx1 2

+

•

•

·

+

Xn 2 = constante = r.

Aqui (46e) Entonces, de (45c) se obtiene la integral de volumen de la funci6n f(r) sobre la bola (46b ) , a saber (46f)

JJ J f(r) dx1 • • ·

•

• •

fo

dxn = R f(r) dr Jsr •

•

R = fo f(r) O.n(r)dr,

•

Jdcr

donde O.n(r) es el area de la esfera Sr. Aqui , por (44b) , (46e), el area del hemisferio

(xn � 0) es

(47a)

1n ( - "'"n r) = r 2

l

Br

• •

•

J dx1

•

•

•

Xn

dxn- 1

,

donde la integraci6n se extiende sobre la bola (n - 1) dimensional , B,. , dada por y donde

Remplazando XI, . . . , Xn-1 en Br por las nuevas variables 1

�£ = -r Xi

( i = 1, . . . , n - 1)

Integrates multiples

515

y poniendo

de (47a) se obtiene que

(47b) donde la integraci6n es sobre la bola unitaria en n

-

1 dimensiones

La formul a ( 4 7b) se puede escribir como

(47c) don de

IDn = 2

ff • • • f d�1

• · : d�n- 1 !ln( 1) ::::; �

es el area de la esfuera unitaria 81 en n dimensiones. Expresa el hecho intuitivamente plausible de que las areas, de esferas en n dz'­ mensz'o nes son proporcz'ona les a la (n - 1) esz'ma potencz'a de sus radios. La formula (46f) para la integral en el espacio sobre la bola (46b), de una funci6n con simetria esferica, ahora toma la forma

(48a)

JJ · · J {(r) dx1 • • • dxn = ron JoR {(r)rn-1 dr. •,

A partir de esta formula ron se puede calcular en form;� con­ veniente . Elijase como f(r) una . funcion p ara la cual la integral de la de recha converja absolutamente cuando R � (X) y puede evaluarse ex plicitamente . Entonces la integral impropia de f(r) como una fun­ cion de x1, . . . , Xn sobre el espacio completo tam bien converge. Elijase com,o f la funcion 1

{(r) = exp( - r2) = exp( - x1 2

-:-

•••

.......

xn2).

La integral de f sobre el espacio completo es el limite de las integrales sobre los cu bos Ca con centro en el origen y lados de longitud 2a

I Resulta conveniente escribir exp(z) para la funci6n exponencial los que el exponente z tiene una expresi6n mas complicada.

ez

en los casos en

Introduccion al calculo

516

y

al analisis matematico

paralelos a los ejes. Aqui

IJC a · · · I f(r) dxt =

• • •

dxn

1: dx1 1: dx2 • • • 1: dxn exp( - Xt2} exp( - x22)

• • •

exp( - xn2)

Asi , cuando a � oo , de (48a) se obtiene la identidad

(48b)

Para el caso especial n = 2, esta formula ya ha sido deducida por media de un argumento semej ante e.n Ia p . 47 3 y condujo al resul ­ tado (ver (25a)) de que

(48c)

r

(�), I: e-x2 dx =

= Jii.

Por otra parte , Ia sustitucion r2 = s muestra que

(48d)

'"'

1 L0'"' e-r2 rn-1 dr = 2- 10

e-sg(n -2) /2 ds

=

Aqui r(J.L) denota la funcion gama definida por r(J.L) =

L'"' e-8s�-� ds

-2 r (2) 1

n -

0

(J.L > 0)

en el Volumen I (p . 308 )! De aqui que (48b) conduce al valor

(48e)

COn =

2� -r(�)

para el area de I a superficie de Ia esfera unitaria en n dimensiones. Facilmente se determina el valor de r(n/2) para los enteros n a partir de la formula de recurrencia

(48f)

r(J.L) = (J.L - 1) r(J.L - 1),

la cual se deduce directamente, integrando por partes, de Ia defi1

Ver tam bien la p . 556 del presente volumen.

Integrales multiples

517

nicion de la funcion gama. (ver el Volumen I , p . 308) . De aqui que, para n par (48g)

r

(n)2 = n 2- 2 n 2- 4 . . . 22- r (1) (n2 - 1) .' -

--

=

--

-

mientras que para n impar, usando (48c),

r

(48h)

(�) - n - 2 n - 4 • • • 1 r (!) _- (n - 2)(n2
De este modo , de (48e) , se obtienen sucesivamente los valores

m2 =

21t,

ma =

47t,

ro4 = 1t2

2

(1)5

,

8 - 1t2 . - 3 '

-

Con el fin de encontrar el volumen de la bola n dimensional Vn(R) de radio R , se pone f = 1 en la formula (48a) y se encuentra que Vn(R) =

(49a)

donde

JJ • • • Jdx1 • • • dxn = ffin JoR rn-l dr 1 Vn = n COn =

(49b)

=

VnRn ,

.Jin

r

(n t 9

es el volumen de I a bola unitaria n dimensional . De don de, (49c)

c.

Vl =

2, V2 = 1t, Va = 34 1t,

= 21 1t2, V5 V4

=

8 1t2, . 15

Generaliwciones. Representaciones parametricas

En el espacio n dimensional se puede considerar un conjunto r dimensional p ara cualquier r � y tratar de definir su area . Con es­ te fin resulta ventajosa una representacion p arametrica . Sea el con­ junto r dimensional dado oor las ecuaciones

n

Xt = t/n(ut,

Xn = t/Jn(Ut,

•

•

.

.

•

, ur) .

, Ur),

donde las funciones t/Jv poseen derivadas continuas

en

una region B

de las variables (ut, . . . , Ur). A medida que las variables Ut, . . . , Ur

518

Introduccion al dilculo

y

al analisis matematico

varian sobre esta region , el punto (x1 , . . . , Xn) describe una super­ fide r dimensional . A partir de Ia matriz rectangular (ver Ia p. 1 8 3 )

ax! au! axl au2

ax2 axn aul • • • aul axn ax2 au-; • • . a-u-;

axn axl ax2 aur aur • • • aur se forman ahora todos los determinantes posibles Dt, de r filas , donde

i = 1, 2 , . . . . . . , k rl.eterminante

=

1-\

\" -} , primero de los cuales . por ejem plo , es el ,r

DI =

ax! au! ax! au2

axr ax2 aul • • • aul axr ax2 au2 • • • au2

. axl ax2 axr aur aur • • • aur Entonces, el area de Ia superficie r dimensional esta dada por la in­ tegral

k =

(;) .

Por medio del teorema acerca de la transformacion de las inte­ grales multiples (p . 4 6 0) y atraves de calculos sencillos con deter­ minantes ( los cuales se omitiran aqui ) , se puede probar que el area definida por ·esta expresi6n no se cambia si se remplazan u1 , . . . , Ur por· otros parametros . Tam bien se ve que , p ara r = 1, esta se reduce a la formula usual para la longitud de arco y, para r = 2 en un es­ pacio de tres dimensiones·, se convierte. en la formula (30a) , p . 485 , para el area.

Integrales multiples

519

Se probara la formula (50a) cuando r = n - 1, donde n es ar­ bitrario; es decir , se prob ara el teorema siguiente:

Si una porci6n de una hzpersuper]icie (n - 1) dimensional en el espacio n dimensional se puede representar parametricamente par las ecuaczones Xt = 'l't(U1, . . . , Un- 1) (i = 1, . . . , n), entonces su area esta dada por

A =

(50b)

J· • • J JD12 + • • • + Dn2 du1 • • • dun-1,

donde Di es eljaco biano de (n - 1)/ilas dada par

Dt

=

d(x1, . . . , Xt-1, Xt+1, . . . , Xn) d(u1, . . . , Un-1)

d(u1, . . . , Un-1) / . - 1 d(X1, . . . , Xt-1, Xt+1, . . . , Xn) • _

A qui, como �iempre, se supone la existencia y continuidad de todas las derivadas aue intervienen. Sin perdida de generalz"dad, puede suponerse que flxn ::f= 0. Entonces, por ( 44b ), A esta dada por _ A =

I dx1 • • • dxn-1 J• • •· J I gradf> . I flx I n

Solo tiene que demostrarse que

!

I fl n I

I grad if> I dx1 • • • dxn-1

o bien , que

I grad if> 1 2

=

=

J � Dt2 du1 • • • dun-1, :

Dt2) d(u1, . . . ' Un- 1) = flxn � Dt2 . flxn2 (� d(x1, . . . , Xn-1) Dn i i

Ahara bien, por las propiedades de los jacobianos, fl1,

d(X1, . . . , Xi,- 1, Xt+1, . . . , Xn)/d(U1, . . . , Un-1) d(x1, . . . , Xn�1)/d(u1, . . . , Un-1) d(X1, . . . , Xt-1, Xt+1, . . . , Xn) = d(X1, . . ,. . , Xn-1)

Dn =

520

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

,

Este ultimo jacobiano corresponde a la introducci6n de (Xt , . : . ' Xt- l, Xt+l, • • • Xn) en lugar de (xt, . . . , Xn-l) como variables indepen. OX · dientes . Pero como las denvadas parciales -;---n-- se ob uenen a parur

·

ux,

de las ecuaciones

(i = 1, . . . , n - 1), se tiene D,fDn = ± fJxi/tPxn · De aqui que

lo cual prueba la formula (50b) para A . Aqui, se puede mencionar que la expresi6n �� D, 2 es represen­ table como un determinante de (n - 1) filas,

(50c) =

•

.

•

•

•

Xun-1

•

•

•

•

Xu1

• •

• •

• •

• •

�

•

• •

•

•

•

•

Xun-1

•

• •

•

•

•

XUn-1

("determinante de Gram; ver la p . 235), de modo que

A=

(50d)

J

· ·

•

J v' W dut

•

•

•

u

d n l -

.

Aqui, los elementos del determinante son los productos internos de los vectores

(

oxt Xui = O ' Ut

• • •

'

)

y

oxn 0 11.1

a saber, las expresiones

(50e) Ejercicios 4 . 1 1 1 . Calcular el volumen del elipsoide n dimensional X1 2 at 2

+

...+'

Xn 2 :::;; an 2

1.

Integrates multiples

521

2 . Expresar la integral de una fun cion de Xl , que solo depende de Xl, sobre

la esfera unitaria X1 2 + • • • + Xn 2 = 1 en el espacio n dimensional, como una integral sencilla. 3. Un simplex n es la interseccion en d espacio n dimensional de n + 1 semiespacios en posicion general; es decir, n cnalesquiera de los hiper­ planos que limitan a los semiespacios se cortan exactamente en un punto, un vert ice del simplex: por ejemplo, un triangulo en el plano o un te­ traedro en el espacio tridimensional. Encontrar el volumen del simplex n limit ado por los hiperplanos Xk $;;; 0 k = 1, 2, . . , n y .

Xn Xl X2 - + - + . . . + - :5: 1 . an al a2

4. 1 2 Integrales simples impropias como funciones de un parametro a.

Convergencia uniforme. Dependencia continua del parametro

Las integrales impropias frecuentemente aparecen como funciones de un parametro . Por ejemplo, Ia integral de Ia potencia general

Ll0 yx dy = -x+ l

(51a)

1

x

< < 0. Se ha visto (p . 1 03) que una integral sobre un intervalo finito es continua cuando se considera como una funcion de un parametro, siempre que el integrando sea continuo . En el caso de un intervalo infinito, no obstante , Ia situaci6n no es tan sencilla . Consideremos, por ejemplo, Ia integral

es una integral impropia para x en el intervalo - 1

F(x) Jo y xy dy. Seg(in que se tenga x > bien, x < O,esta se transforma por Ia tituci6n z en = l-eo z dz = eo sen dz. roo z L0 z Jo z dz or 0 -z (51b)

=

0

(

'"'

sen

o

xy

sen

sen

La integral

senz Jo z dz r oo

-

Z

--

sus­

Introduccion al calculo

522

y

al analisis matematico

converge, como se ha vista en el Volumen I (p . 3 1 0) y, de hecho , tiene el valor 1t /2 (Volumen I , p . 589). De donde, aunque la funcion (sen xy)/y, considerada como una funci6n de x y y, es continua en todo punta y su integral converge para carla valor de x , la funcion es discontinua :

F(x)

(5 1b)

"" sen xy dy =

L0

y

1C

-

para

0

p ara

- 1C -

para

2

2

x>O x=O x < O.

Por si mismo , este hecho no es sorprendente en lo absoluto , par­ que es analogo a la situacion de la convergencia no uniforme p ara las series infinitas (Volumen I , p . 5 3 3 ) y debe recordarse que el proceso de integraci6n �s una suma generalizada . Se puede tener la seguridad de que una serie infinita de funciones continuas representa una fun­ cion continua solo si la convergencia es uniforme. Aqui , en el c aso de las integrales impropias que dependen de un parametro , nuevamente se debe introducir el concepto de convergencia uniforme. Se dice que la 'integral

(52a)

F(x) = Jo"" {(x, y)dy

converge uniformemente (en x) en el intervalo a a � x � b, s£empre que el "res£duo " de la 'integral pueda hacerse arb#rariamente Pe­ queno s£multaneamente para todos los valores de x en el £ntervalo bajo considerac£6n o, mas predsamente, s£einpre que para un nu­ mero pos£tivo dado, e , exista un numero positivo A = A(e)� que no dependa de x y sea tal que, para B � A

(52b)

I J:oo f(x, y)dy / < e.

Como un criterio util, se afirma que la integral

fooo {(x, y)dy

converge uniformemente (y a bsolutamente) si para se cumple la relaci6n mente grande, digamos y

(52c)

>yo, jt(x, y) I < �

y

lo sufidente­

Integrales multiples

523

don de M es una constante pos'it'iva y a > 1. Porque , en este caso,

1 1 roo dy = M( _ f(x, y)dy < M JB L - I � M (a _ 1)A a- I ; a a 1)B I I 00 ya

Ia ultima cota se puede hacer tan pequeiia como se desee eligiendo A lo suficientemente grande , y es independiente de x . Este es un analogo directo del criteria para la convergencia uniforme de las series, dado en el Volumen I (p . 535). Facilmente se ve que una 'integral uniformemente convergente de una func£6n cont'in ua es a su vez una funcz"6n cont'inua, porque si se elige A de modo que

para todos los valores de ces , de (52a),

I Leo f(x, y)dy I < E x

en el intervalo b ajo consideraci6n , enton­

J F(x + h) - F(x) j < I JoA {f(x + h, y) - f(x, y)} dy I + 2E.

En virtud de la continuidad uniforme de la funci6n f(x, y) en un con­ unto acotado , puede elegirse h tan pequefio que la integral finita de Ia derecha sea menor que E , lo cual prueba Ia continuidad de Ia in, . tegral Se cumple un resultado semejante cuando la region de integraci6n es finita pero el integrando tiene un punta de discontinuidad infinita. Sup6ngase, por ejemplo , que Ia fu111ci6n f(x, y) tiende a infinito cuan­ do Y � a . Entonces se dice que la 'integral convergente ,

(53a)

F(x) =

J: f(x, y)dy

converge uniformemente en a a � x � b s'i para cada numero Po­ sitivo E se puede encontrar un numero k 'independ'iente de x tal que

(53h)

I La+k f(x, y)dy I < E,

st"empre que h � k. La cond'ic'i6n, en la vec'indad del punto Y = a

(53c)

I f(x, y) I < (y �a)v

(v < 1)

es suficiente para la convergenda unzforme. Como antes, · Ia conver-

524

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

gencia uniforme para un integrando continuo implica que Ia integral es una funci6n continua. Si Ia convergencia es uniforme en un intervalo a � x � b, Ia in­ tegral impropia F(x) es continua . Entonces F(x) se puede integrar sobre este intervalo finito y, por tanto , formar I a integral repetida impropia correspondiente:

Lb dx Jooo f(x, y)dy

para un intervalo infinito de integraci6n en

y, y

Lb dx L13 {(x, y)dy para una discontinuidad infinita. Por supuesto , en Iugar del intervalo finito a � x � b, tambien puede co nsiderarse un intervalo de integraci6n intinito para X. Pero entonces la integral repetida no necesariamente converge . Por ejem­ plo , la integral

, R(x) -

dy 1t Loo x2 + y2 - 2x o

-

-

converge uniformemente p ara x � 1, pero

no existe

.(oo F(x}dx

b. Integraci6n y derivaci6n de las integrales impropias con res­ pecto a un parametro

En general , no es cierto que las integrales impropias se puedan derivar o integrar b ajo el signo de integraci6n con respecto a un parametro. En otras palabras, generalmente las operaciones de hallar un llmite y Ia integraci6n no se pueden ejecutar en orden inver­ so (ver el ejemplo de Ia p. 532). Con el fin de determinar si es reversible el orden de integraci6n en las integrales impropias repetidas, a menudo se puede aplicar el criterio siguiente (o bien, llevarse a c abo una investigaci6n especial siguiendo los lineamientos de su demostraci6n). Si la integral improp'ia

Integrales multiples

F(x) =

(54a)

525

Jooo {(x, y)dy

converge uniformemente en el intervalo a � x � �, entonces

(54b)

Lli dx Jooo {(x, y)dy = Jooo dy J: {(x, y)dx.

Para probar esto pongase

Jooo {(x, y)dy = JoA {(x, y)dy + RA(X).

Por hipotesis , I RA (X) I < e(A), donde e(A) solo depende de A, no de x , y tiende a cero conforme A � oo , El teorema de Ia p . acerca del intercambio del orden de integracion, da

109,

J: dx Jooo f(x, y)dy = Lli dx JoA {(x, y)dy + Lli RA(x)dx A = Jo dy J: {(x, y)dx + Lli RA(x)dx,

de donde , por el teorema del valor medio del calculo integral :

I J: dx Jooo {(x, y)dy - Jo

A

dy

Lli {(x, y)dx I � e(A) I �

-

a1.

Si ahora se hace tender A hacia el infinito , se obtiene Ia formula (5 4b). Si el intervalo de integracion con respecto a un parametro tam­ bien es infinito, no siempre es posible el c ambio del orden , aunque Ia convergencia sea uniforme. No obs'tante , puede llevarse a cabo si Ia integral doble impropia correspondiente existe (ver el Capitulo 4, p. 465 y siguientes). Asi

(54c)

Jooo dx Jo"' {(x, y)dy = Jo"' dy Jooo {(x, y)dx

si la integral doble ff l f(x, y) 1 dx dy ex1ste sobre todo el primer cuadrante . La formula (54c) se cumple , dado que I a integral doble impropia es independiente del modo de aproximacion de Ia region de inte­ graci6n. En un caso, se ha aproximado Ia integral por medio de franj as infinitas paralelas al eje x; en el otro , por medio de franjas lparalelas al eje y.

526

Introduccion al cilculo

y

al analisis matemitico

Se curnple un resultado sernej ante si el intervalo de integraci6n es finito pero el integrando es discontinuo a lo largo de un nurnero finito de rectas y = constante o sobre un nurnero finito de curvas mas generales en la region de integraci6n . El teorerna correspondien­ te es como sigue :

Si la funci6n f(x, y) solo es discontinua a lo largo de un numero finito de rectas Y = a1, Y = a2, . . . , y = ar y si la integral

Lb {(x, y)dy

converge uniformemente en x en el intervalo a � x � (3, entonces, en este intervalo la integral representa una funci6n continua de x y

(54d) Es decir , bajo est as hip6tesis se puede carnbiar el orden de inte­ graci6n. La dernostraci6n del teorerna es analoga a la de la formula (54b), dada anteriorrnente . Con igual facilidad se extienden las reglas p ara la derivaci6n con respecto a un pararnetro . Se cumple el teorerna siguiente :

Si la funci6n f(x, y) tiene una derivada seccionalmente continua con respecto a x en el intervalo a � x � (3 y las dos integrates

F(x)

(55a)

=

JoO> {(x, y)dy

foO> fx(X, y)dy

y

convergen uniformemente, entonces

F'(x) =

(55b)

JoO> fx(X, y)dy.

Es decir, bajo estas hip6tesis se puede invertir el orden de los procesos de integraci6n y de derivaci6n con respecto a un partimetro, porque, si se pone

G(x) entonces )54 b) da

=

JoO> fx(x, y)dy,

i G(x)dx i dx JoO> fx(x, y)dy �

=

�

=

JoO> dy i� fx(X, y)dx.

Integrales mii.ltiples

527

El integrando de Ia derecha tiene el valor

i� fx(x, y)dx

=

{(�, y) - {(a, y) ;

por lo tanto ,

i�; G(x)dx de aqui que , si se deriva

y

dF(x)

({X

=

F(�) - F(a) ;

despues se rem plaza f, por x, se obtiene = G(x)

=

roo

x(x y)dy , Jo f ,

que era lo que se debia pro b ar . D e modo semejante s e extiende Ia regia de Ia derivaci6n cuando uno de los limites depende del parametro x (ver Capitulo 1 , p . 106), porque puede escribirse

roo

J.,6 (x)

r oo

r a f(x, y)dy + f(x, y)dy, f(x, y)dy = J9H Ja x)

donde a es cualquier valor fijo en el intervalo de integraci6n. Enton­ ces pueden aplicarse las reglas antes demostradas, a cada uno de los dos terminos de la derecha . Como antes , estas reglas d e derivaci6n tambien s e cumplen para las integrales impropias con intervalos de integraci6n finitos. c.

Ejemplos

1 . Considerese Ia integral

L eo e-xy dy 0

1 X

= -

(x > 0).

x � 1 , esta integral converge uniformemente , dado que para valores positivos de A

Si

donde Ia cota final ya no depende de x y puede hacerse tan pequeiia como se desee si se elige A lo suficientemente grande . Lo mismo se

528

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

cumple para las integrales de las derivadas p arciales de la funcion con respecto a x. Asi , derivando varias veces se obtiene

f'"' ye-xu dy = x12 Jo

'

En particular, para

oo r y2e-X"" dy = o J

2 xa

'

f'"' yn e

. . . ' Jo

x = 1, se tiene

" dy - _Bj_ xn+l . -

-X"

r(n + 1) = So'"' yne-'V dy = n! Esta formula se establecio de modo diferente en el Volumen I (p . 308). 2 . A continuacion, consideremos la integral

r '"' Jo

1 dy x2 + y2 = 2 x 1t

x

Una vez mas, es facil convencerse de que si � -a · donde a es cualquier m1mero positivo , se satisfacen todas las hipotesis re­ queridas para la derivacion bajo el signa integral. Por lo tanto, derivando varias veces se obtiene la sucesion de formulas

dy = 1t 1 1 ' r '"' dy = 1t 1 · 3 r '"' j 0{l (x2 + y2)2 2 2 .xa J o (x2 + y2)3 2 . 2·4 1_ dy � 1 · 3 • • • (2n - 3) _ r '"' j 0 (x2 + y2)n = 2 • 2·4 • • • (2n - 2) • x2n- l .

.

•

1

xs ' .

. .,

•

A partir de estas formulas puede obtenerse otra deduc­ cion del producto de Wallis para 1t (ver el Volumen I, p. 28 1). Con este fin , se pone X = rn para obtener

dy = r oo J o ( 1 + y2/n)n

�

•

1·3

2 2·4

• • •

• • •

(2n - 3) .;n (2n - 2)

·

Conforme n crece , el primer miembro converge a la integral

L e-u2 dy = 21 J1c. 00

Para probarlo , se estima la diferencia :

dy r '"' e- 2 dy - r oo u o o J J ( 1 + y2fn)n .

Integrales multiples

529

Esta diferencia satisface la desigualdad

roT 1 e-Y2 - (1 + 1y2fn)n 1 dy + Jr(X)T e-Y2 dy + J(X) (1 +d-�- /n)n T T 1 -y2 < r I dy + JfT"" e-y2 dy + T1 ' = Jo e (1 + y2/n)n �J

I

dado que (1 + y2fn)n > y2 . Pero si se elige T tan grande que

y

1

i(X)T

e-Y2 dy + T

<

�

dy

< 2'

despues se elige n tan grande que

rT I e-y2 - (1 + 1y2fn)n

Jo

I

2

s

lo que es posible en virtud de la convergencia uniforme del limite lim (1 + y2fn)-n = e-Y2

n -oo

(Volumen I, p. 1 5 2) , inmediatamente se deduce , que

l lo""(

e- Y2 -

) I<

1 dy (1 + y2/n)n

s·

Con el valor de la integral de e-Y2 dada en (25a), p . 47 3 , se esta­ blece la relaci6n

(56)

1 · 3 · · · (2n - 3) 1 rn = ---=- ' n-oo 2 · 4 • • • (2n - 2) Jrr

lim

\

la cual es equivalante a la formula (80 ) dada en el Volumen I (p . 282).

3 . Con el prop6sito de calcular la integral

se discutira la funci6n

f "" sen y d J o y y,

F(x) =

l(X) 0

-y

sen y dy. e-xy

530

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Esta integral converge uniformemente si x � 0, mientras que la

Jo co e-zy sen y dy converge uniformemente si x � o > 0, donde o es un numero po­ sitivo arbitrariamente pequeiio. A continuaci6n se probaran estas dos proposiciones . Por lo anterior F(x) es continua si x � 0 ; y si x � o, se tiene

F'(x) = -

Joooe-zy sen y dy.

Integrando por partes dos veces facilmente se evalua esta ultima in­ tegral (ver el Volumen I , p . 2 7 7 ) :

F'(x) = -

1 1 + x2 "

Se integra esto para obtener

F(x) = -

arc tan x +

C,

donde C es una constante. En virtud de Ia relaci6n1

0 rooo e-zy sen dy � rooo e-zY dy = e-z 1 y = ' -x 00 J J x y I I I y

la cual se cumple si x � o , se ve que lim F(x) = 0. Dado que lim arc tan = 1t/2, C

debe ser 1t/2 ,

y

x-oo

se obtiene

1t F(x) = 2 -

x-oo

arc tan x.

Como F(x) es continua para x � 0, lim F(x) = F(O) = ( Jo z-o

'"

sen y Y

dy,

lo cual da l a formula requerida

(57)

r oo sen y Jo

�

y dy = 2

1 Aqui arc tan x denota la rama principal de esa funci6n, como se defini6 en el Volumen I (p. 21 4).

531

Integrales multiples

(ver el Volumen I , p . 589). Se pro bar a que

ioo e-xy sen y dy --

y

0

converge uniformemente si x � 0. Si A es un numero arbitrario y k1t es el menor multiple de 1t que es mayor que A, se puede escribir el "residua" de la integral en la forma

fkn e-xy sen y dy Joo e-xy -sen y dy A

Y

=

�-

Y

A

J(v+l)7t e-xy s�ny dy.' Y v=k vn 00

+ L:

--

Los terminos de la serie de la derecha tienen signos altemantes y sus valores absolutos tienden mon6tonamente a 0 . Por lo tanto, por el criteria de Leibnitz (Volumen I, p . 5 1 4) , la serie converge y el valor absoluto de su suma es menor que el de su primer termino . Asi, se tiene Ia desigualdad

lfoo e-xy -J(k+l)n e-xy l sen y l dy J(k+l)n 1 dy sen y dy y y A A A I A <

---

<

-

21t

< -,

A

en Ia que el segundo miembro es independiente de x y puede hacerse tan pequefio como se desee . Esto establece Ia uniformidad de la con­ vergencia . La convergencia uniforme de

Jo"" e-xy sen y dy

para x � o > 0 se deduce inmediatamente de la relaci6n

I"" I A

I

e-xy sen y dy �

e-A x e-Aa e-xy dy = X � 0 . A

J""

4. En la p . 525 se vio que Ia convergencia uniforme de las inte­ grales es una condici6n suficiente para la reversi bilidad del arden de integraci6n . La simple convergenda no es suficiente , como lo hace ver el ejemplo que sigue : xy) xye-xli, entonces , como Si se pone f(x, y) = (2 -

532

Introduccion al calculo

la integral

y

al analisis matematico

Jo.., f(x, y)dy

existe para toda x en el intervalo 0 � x � l ; de hecho , para cada uno de esos val ores de x , tiene el valor 0 . Por lo tanto ,

Por otra parte , ya que

para toda y f;; 0, se tiene

Jo1 f(x, y)dx

=

ye- 11,

y, por lo tanto,

De aqui que

r l dx Jor ex> {(x, y)dy Jorex> dy Jor l f(x, y}dx. =I=

Jo

·

d. Evaluaci6n de las integrales de Fresnel Las integrales de Fresnel

(58a) tienen importancia en l a 6ptica . Con el fin de evaluarlas, apliquemos la sustituci6n 't'2 = t, para o btener

oo os t a> sen t F1 = f dt, F2 = r c dt. Jo J t Jo J t Aqui , p6ngase

Integrales multiples

533

( esto se deduce de la sustituci6n x = 't/ Jt) e 1nv1<�rtase el orden de la integraci6n, lo que es posible de acuerdo con las reglas dadas (pri­ mero se restringe la integraci6n con respecto a t a un intervalo finito 0 < a < t < b, y, a continuaci6n, se hace que a � 0, b � oo). F1

2

Jrt

= ----=--

i"" i"" e-x2t dx

0

0

sen t -dt,

Integrando por partes para evaluar las int�grales interiores se re­ ducen F1 y Fz a las integrales racionales elementales FI

=

f "" 1 dx, J1t Jo 1 + x4

2

Las integrales pueden evaluarse con las formulas dadas en el Vo­ lumen I (ver el Volumen I, p. 2 90 ) ; Ia segunda integral puede reducirse a l a primera por medio de lasustituci6n x'

=

valor 2.;2 . Consecuentemente,

1t

!

X

;

ambas tienen el

(58b) Ejercicios 4 . 1 2 1 . Evaluar 2. Evaluar

J0"" xne-x2 dx. F(y)

=

J01 xu-l(y

log x

+ 1)dx.

3. Sea f(x, y) diferenciable continuamente por dos veces u(x, y, z) se define por u(x, y, z) =

•

Z(Uzx +

5.

Uyy - Uzz) - Uz = 0.

Si f(x) es continuamente diferenciable por dos veces y

probar que

supongase que

J02Jt f(x + z cos tjJ, y + z sen tjJ)dtjJ.

Probar que 4.

y

1 f+t u(x, t) = tP-2 -e f(x,+ y)(t2 - y 2)
tC6mo deben elegirse

a,

b,

c

para que

Utt.

(p > 1),

lntroduccion al calculo

534

6 . Evaluar (a) (b)

y

al analisis matematico

L: J_: exp [ - (ax2 + 2bxy + cy2)]dx dy = 1?

J-:00 J-:00 exp [ - (ax2 + 2bxy + cy2)](Ax2 + 2Bxy + Cy2)dx dy, J-:00 J_:oo exp ( - (ax2 + 2bxy + cy2)](ax2 + 2bxy + cy2)dxdy,

donde a > 0, ac - b2 > 0. 7 . La funci6n de Bessel Jo(x) puede definirse por 1 r+ l cos xt dt. Jo(x) = ; J _ J 1 1 - t2

Probar que

1 Jo" + - Jo' + Jo = 0 . X

8 . Para cualquier indice entero no negativo,

puede definirse por J (x) = 1 ,

•

3 5 •

•

x"

•

•

n,

la funci6n de Bessel Jn(x)

1 r+ (cos xt)(1 - t2) n-( 1 12) dt. (2n - 1)TC J -1

Probar que (a) Jn" + (b)

i Jn' + (1 - ::) Jn = Q

Jn +l = Jn-1 - 2Jn' J1 = - Jo'.

9 . Evaluar las integrales siguientes:

(a) K(a)

=

Jooo e-ax2 cos

X dx

(b)

-bx - e- ax 100 e---cos x dx

(d)

loo sen (ax) Jo(bx) dx

0

(c) I(a) = 0

X

Jooo exp ( -x2 - a2/x2) dx X

donde Jo denota la funci6n de Bessel definida en el Ejercicio 7 . 1 0 . Probar que

lnn sen2 ax -- dx 0

X

es del orden de log n es grande y que

(n � 0), (n � 1)

Integrales multiples

f"" sen 2 ax - sen 2 bx Jo -x---- dx = 21 log ab .

1 1 . Remplazar I a proposici6n " la integral

Jo"" f(x,

y) dy

535

no es unifor­

memente convergente" por una proposici6n equivalente yue no involucre forma alguna de las palabras "uniformemente convergente" .

4. 13 a.

La integral de Fourier

lntroducci6n

La teoria dada en l a Secci6n 4. 1 2 es ilustrada por el teorema de la integral de Fourier (ver el Volumen I , p . 6 1 5 ) , el cual es fundamental en el analisis y la fisicomatematica . Recordemos que la serie de Fourier representa una funci6n peri6dica seccionalmente suave , pero por otra p arte arbitraria , en terminos de funciones trigonometricas . La integral de Fourier da la representaci6n tri­ gonometrica correspondiente de una funci6n · no periodic a {(x) que esta definida en el intervalo infinito oo < x < + oo y que tiene su comportamiento en el infinito restringido en una forma apropiada para asegurar la convergencia . Se haran las suposiciones siguientes acerca de Ia funci6n f(x) :

-

1 . En cualquier intervalo fini to , f(x) esta definida , es continua y tiene una primera derivaaa continua , f'(x) , excepto posiblemente para un numero finito de puntas. 2. Cerca de cada punto excepcional f'(x) esta acotada. En un punto excepcional {(x) toma como su valor la media aritmetica de los limites a la derecha y l a izquierda :

(59a)

3. La integral . (59b)

1

f(x) = 2 [f(x + 0) + f(x

J_�

-

0)]. 1

l f(x) l dx = C

es convergente. Entonces el teorema de la integral de Fourier afirma : !Para una x excepcional no se requiere que f'(x) este definida. No obstante , lo acotado de f' cerca de un x excepcional implica que los limites f(x O) y {(x + 0), desde la izquierda y desde la derecha , existan. -

536

Introduccion al ca lculo

(60)

{(x) =

Usando la identidad

y

poniendo

y

l dr: l-oo f(t) cos r:(t - x)dt. oo

1 oo

-

1t

a l analisis matematico

0

cos r:(t - x) = .21 (eitt-itx + e-itt Htz)

1

g(r:) = J2 1t

(61a)

r + oo

J _ oo

{(t)e-itt dt,

puede escribirse la formula (60) en la forma f(x) =

1

21t

1_ 'V

= lim

A- oo

= lim

A - oo

100 [eitzg(r:) + e-itzg( -:- r:)] dr: 0

1

'V

21t

1

21t

,'V

A .

i [eitzg(r:) e-itzg( iA g(r:)eizt dr:.

rn= .

+

0

_

r:)] dr:

-A

De aqui que el teorema de Fourier se convierte en

(61b)

1

r oo

f(x) = J2i )_00 g(r:)eizt dr:.

En la forma compleja; (6l a) asocia con una funci6n f(x) otra funcion g(r:) , la transformada de Fourier de f. El teorema de Fourier, como se da en Ia formula (6lb), expresa a f en tl�rminos de g en una forma completamente simetrica ; de hecho, simplemente afirma que {( - x) es la transformada de Fourier de g(r:). La relacion entre f y g es re­ dproca, excepto por el signo del exponente y el hecho de que , de acuerdo c9n la deduccion a partir de (60), la integral impropia dada en ( 61 b) debe tomarse en el sentido restringido

L-oooo = A-limoo L- A . A

Sin embargo, en la formula (6 l a) para g la integral es absolutamente convergente, por la hip6tesis (59b ) , y los limites superior e inferior pue­ den tender independientemente a + oo y - oo , respectivamente. Las dos

Integrales multiples

537

formulas ( 6 l a , b) son ecuaciones reciprocas, cada una dando una de las funciones en terminos de la otra . Generalmente, la transformada de Fourier, g(t) , de una funcion de valores reales, f(x) , toma valores complejos. De (6 l a) se obtiene la ecuacion conjugada complej a para una f real,

1 g(t) = .J 21t

(62)

f_"" f(t)eitt dt = g( - t}. +""

No obstante, cuando f(x) es una funcion par la transformada de Fourier, g, tambien es par y es real para f real . En efecto , combinan­ do las contribuciones de t y - t en ·la integral ( 6 l a) se obtiene

(63a)

2 g(t) = -v'21t

l f(t) cos (r:t) dt, '

00

lo que ' implica que g(t) = g( - t). Entonces Ia formula (6lb) puede es­ cribirse en Ia forma

(63b)

roo

2

f(x) = J21t J g(t) cos (tx) dt o =

f

00

f

00

2 cos (tx)dt f(t) cos (tt)dt. 1t Jo Jo

-

De modo semejante , para una funcion impar

.

(64a)

g(t) =

J"2;2 l

00

f(x),

f(t) sen (tt) dt.

En (64a), g es una funcion impar con valores que son imaginarios puros para f real . La formula reciproca se convierte en

(64b)

2i l g(t) (t1t)dt 2 oo (tx)dt oo f(t) sen (tt)dt. = 1t i sen l

f(x) = .J 21t

00

sen

-

0

0

Se ilustrara el teorema de Ia integral de Fourier por medio de ejemplos, y a continuacion se procedera a su demostraci6n . b . Ejemplos

L Sea f(x) Ia funcion escalon definida por f(x) = 1 cuandox2 < 1, f(x) = 0 cuando x2 > 1 . Por Ia formula (63a) , Ia tTansformada de

538

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Fourier de f es la funcion

sen 't g('t) = ,;22rc Jfo1 cos ('tt)dt = ,�221t 't- .

De aqui que , por (63b ) ,

f(x) = �1t

(65a)

ioo cos ('tx) sen 't d't = 't

0

(1

l�

para

l xl < 1

para

x = ±1

para

l x l > l.

Esta integral �parec� :en la literatura matematica bajo el nombre de

factor discontinuo de Dirichlet. Este factor muestra que una integral puede ser una funcion discontinua de un p arametro x aunque el in­ tegrando sea continuo en x� Por supuesto , este fenomeno solo puede ocurrir debido a que la integral es impropia . 2 . Sea f(x) = para x > 0, donde k es un numero real positivo. Definiendo f como una funcion par para toda x , su transformacion de Fourier resulta ser :

e-kx

[ ver la formula (64), p . 2 7 7 del Volumen I , para la evaluacion de la integral ]. Por (63b), esto conduce a la ecuacion

2 +('t'tX2 ) d't - e-k . ) - re�looo kkCOS Por otra parte, continuando e- kx como una funci6n impar de x para �(x

I XI

/'

(65b)

x negativa , se obtiene la transformada de Fourier

- 2i r 00 d g('t) = J2ii Jo sen ('tt) e-kt t = y

Ia formula

-

z.

•

Ji2 k2 't 't2 +

para

(65c)

para

e-x212

para

x>O x=O x < O.

da una interesante ilustracion de las 3 . La funcion f(x) = formulas redprocas presentadas . La transform ada de Fourier es

lntegrales multiples

g(t) =

539

00

2 f e-x212 cos (xt) dx. J27t Jo

-=-

No se tiene la posibilidad de evaluar g por el hecho de que no se cuenta con una expresi6n explicita para la integral indefinida . Curiosamente , puede hallarse g resolviendo una ecuaci6n diferencial . Derivando la expresi6n para g e integrando por partes se obtiene

2 g' (t) = - J21t

l (xe-x212) 00

2 [e-x2 12 J27t

=

-=-

==

- tg(t).

sen

(xt)

sen

(xt) dx

1 00 - t f00 e-x212 c os (xt) dx] Jo

o

Se concluye que

:t [g(t)e-r2tz] = (gt + g')e-r2tz =

o bien , que

0

g(t)e-r2 t2 = constante = c. pe aqul que

g

es de la forma

g(t) = ce--r2tz .

Por lo tanto, la transformada de Fourier de la funci6n f = e-x2/2 tiene la forma

con una cierta constante c. Ya que [ ver (25a) , p . 47 3]

c = g(O) = se

J2� Jo[00 e-x212 dx

=

2 rx> 1t f e-112 dy = 1, J Jo

encuentra que la transformada de Fourier de f = e-x2'2 es la mis­

ma funci6 n :

Introducci6n al cilculo

540 c.

y

al anilisis matematico

Demostraci6n del teorema de la integral de Fourier

La demostraci6n (como Ia correspondiente a las series de Fourier, dada en el Volumen I) se basa en el sencillo lema ("lema de Riemann­ Lebesgue"). Si ,P(t) es acotada tiene

y

b lim f ,P(t)

(67)

a < t < b, se

continua en el intervalo abierto

A .... oo

Ja

sen

At dt = 0.

Para Ia demostrac16n del I em, a se supone que I ,P(t) I < M para a < t < b. Sea 8 un numero positivo prescrito. Sup6ngase que se eligen a y B de modo que

Entonces,

I Jab ,P(t)

sen At dt

I J Lfl ,P(t) sen <

I

At dt + 28 .

En el intervalo cerrado a � t � f3, Ia funci6n ,P(t) es uniformemente continua y puede hallarse un o tal que

I ,P(t/)

-

,P(t) I

<

8

-

b_a

I t: - t l

para

<

o.

Ahora , remplazando t por t + /A en Ia integral se tiene 1t

rP-niA ; (t + A1t )sen At 'dt kfP ,P(t) sen At dt = J��A -

=

-

LP sen - s:-n!A [ ( �) - J sen + f13 (t) sen Jp-n;A ,P - fa ( + ) sen Ja-1t/ A ,P(t)

At dt

; t

(J(t)

+

At dt

; t

1t A

At dt.

At dt

Integrales multiples

A < o y 2M1t/A

De donde, si A es tan grande que 7t/ (lue y,

I 2 JraP rfi(t) sen At dt I � �

-

a

b

<

541

E, se encuentra

- 1t/A E + 2M1t < 2E,

_

A

a

por tanto , tam bien

I Lb rfi(t) sen At dt I � 3E.

Como c es arbitrario, se llega a la relaci6n (67). Resulta claro que la formula (67 ) se cumple con mas generalidad: a saber , cuando , eliminando un numero finito de puntos excep­ cionales, se puede dividir el intervalo a b en intervalos abiertos es continua y acotada . en cada u no de los cuales Sea ahora una funci6n definida para toda t que satisface las hip6tesis 1-3 dadas en l as pp. 476- 7 . Para probar el teorema prin­ cipal en la forma (60), primero se remplazan los intervalos de in­ tegraci6n infinitos por otros que sean finitos, de modo que pueda in­ vertirse el orden de la integraci6n. Para A; B positivo (y �na x fija), se introduce la expresi6n

f(t)

1 lA = 1t

(68a)


rfi(t)

A l L dt {(t) cos t(t oo

0

- oo

-

x)

dt.

Por la hip6tesis 3 ,

L: I f(t) I dt

converge . Consecuentemente , dado E > 0, se tiene

I Jfl tb B{(t) cos t(t, - x)., dt � ,� Jfl t i >B Jf(t) l dt < E

para todo B lo suficientefll e nte grande � Se concluye que

(68b)

��

J_:B f(t) cos t(t

-

x)

dt = 1: {(t) cos t(t - x) dt

t.

converge uniformemente en La formula (60) , que se desea probar, afirma que

(69) '

{(x) = lim lA . A-oo

-542

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

En Ia integral (68a ) , que define a 1..(, se pueden intercambiar las in­ tegraciones [ver (54b) , p. 5 2 5 ] dado que la integral ( 6 8b) converge uniformemente Asi , .

]A

=

=

1

A 1 co 1t- Jr_ co dt Jor {(t) COS -r(t - X) d-r + co sen A(t - x) sen A 1tlJ-r coco f(t) t - X dt 1t! l f(t + x) t ! dt. =

- co

Usando la identidad

para

A>0

rver ( 5 7 ) , p . 5 30 l, est� resultado se puede esc ribir en la forma

. lA

=

=

=

fco[f(x t) + f(x - t)] sen At oJ t - dt f(x + O) + {(x - O) + l r co tfi(t) sen At dt 1t Jo 2 f(x + O) + f(x - O) + ! r c tfi(t) sen At dt + ! ( tfi(t) sen At dt' 1t Jc 1t Jo 2 1 1t

+

'"

donde C es cualquier constante positiva y

tfi(t) f(x + t) � f(x + 0) + {(x - t) � f(x - O) =

.

tfi(t)

satisface todas las hip6tesis del lema de Riemann­ La funci6n Lebesgue (67 ) : es obvio que es continua, excepto posiblemente en un numero finito de puntos , ya que esto se cumple para En un punto permanece acotada ya que f de discontinuidad -=/:= 0 , la funci6n � erc a de = solo tiene discontinuidades por salto . Lo acotado de dado 0 se deduce de la diferenciabilidad de f y lo acotado de que , por el teorema del valor medio del calculo diferencial ,

t

f.

t/J(t)

tfi(t)

{',

t

tfi(t) {'(x + Gt) - f'(x 11 t), -r-

=

1 Se aplica por separado el teorema de la p . 524 a

foco

J:co x) puede tener un numero finito de discontinuidades por salto en cual­ f(t) cos 't(t - x) dt

y

f(t) cos 't(t -

La funci6n f quier intervalo finito, sin cambiar la demostraci6n de (54b).

dt.

Integrales multiples

543

donde 9, y T) son ciertos valores intermedios entre 0 y 1 .1 Aplicando (67 ) , se concluye que p ara cualquier c > 0

l f/J(t) sen At dt

C lim 1 -

A-oo 1t

=

0

0.

Adem as ,

! Jfc"" f/J(t) sen At dt = ! Jfc"" f(x + t) +t f(x t) sen At dt f(x + 0) + f(x 0) J"" sen t dt. AC t Aqui la segunda integral tiende a 0 cuando A � oo y cualquier C, -

1t

1t

-

_

1t

mientras que eligiendo C lo suficientemente grande , la prim era in­ tegral puede hacerse arbitrariamente pequefia , uniformemente para toda > 0. Se concluye que

A

_ 1..1m 1A - f(x + 0) + f(x

-

2

A-co

0)

•

Esto es equivalente a (69 ) , ya que se supuso que

f(x) = f(x + 0) ; f(x

.

-

0)

.

d. Rapidez. de la convergencia en el teorema de la integral de Fourier

Las formulas reciprocas ( IJla, b ) se han establecido bajo las hi­ p6tesis 1-3 sobre la funci6n enunciadas en l as pp. 535-536 . Una consecuencia del requerimiento de que

f(x)

es que la transformada de Fourier g(r:) dada por ( 6 l a ) es absoluta y

uniformemente convergente. En efecto , si se pone

1 Notese que para aplicar el teorema del valor medio solo se requiere la existencia de en el interior del intervalo y la continuidad en el intervalo cerrado (ver el p. 1 74}. Estas hip6tesis son satisfechas por la funci6n definida por {(�+ V 't) para t positivo peque:iio y por f(x + 0) para t 0, asi como por la funci6n de­ fmida por f(x t) pal"a t positivo peque:iio y por f(x - 0) para t = 0.

·la derivada olumen I,

=

-

Introduccion al cilculo

544

y

al anilisis matemitico

entonces l g('t) - gB('t) l =

I 'V/211t Jrl t i> B f(t)e-i-tt dt I

1 � / 1t r 'V 2

J l t i > B l t 1 dt.

De a qui que , dado &

>

0, es posible encontrar un

I

l g('t) - RB ('t) < &

B tan grande que

para toda 't.

Se concluye que g, como limite uniforme de las funciones continuas gB, es tam bien continua. En general , no se puede tener la seguridad de l a convergencia uniforme de la integral en la formula reciproca (6lb). Evidentemen­ te, las funciones de aproximacion (70b)

A 1 {A(X) = ..j2ic f g('t) J_A

eiXt d't

son continuas y convergen hacia f(x) para c ada x . S in embargo , la convergencia no puede ser uniforme si f tiene discontinuidades, como en el Ejemplo 1 de la p . 5 37 . Una vez m as, suficiente para la conver­ gencia uniforme de las {A(X) bacia f(x) es la existencia de la integral impropia

Es claro que se viola esta condicion en el ejemplo mencionado , donde g('t) = 2 sen 'tf../2ic 't. Para muchas aplicaciones resulta conveniente trabajar solo con integra]es que sean uniformes y absolutamente convergentes. Por lo comun , es mucho mas dificil justificar los intercambios de las ope­ raciones de limite para las integrales que convergen solo condicional­ mente . Resulta facil imponer restricciones adicionales sobre f que garanticen la integrabilidad de g sobre el eje completo, y en con­ secuencia , la convergencia uniforme de las /A(X). B asta con requerir que tenga primera y segunda derivadas continuas f'(x) y f"(x), y que las tres integrales

f(x)

Integrales multiples

545

s_: I {(x) I dx, L: I {'(x) I dx, L: I f (x) I dx "

sean convergentes. Primero, la convergencia de

L: lf'(x) l dx implica que

��

{(x) = ;�� [f(O) + fox f'(t)dt] = {(0) + Leo {'(t)dt

ex iste . Obviamente ,

lim

x-oo

f(x)

solo puede tener el valor 0, ya que de lo contrario

1: I {(x) I dx

no

podria converger. De donde ,

gumento , lim

x--oo

lim

x-oo

f(x) = 0

y, por el mismo ar-

f(x) = 0. De modo semejante, la convergencia de

J_� lf"(x) I dx im plica que tambien lim

x - ± oo

f'(x) = 0,

Integrando por partes la formula (70a), dos veces , se obtiene (71a)

' gB('t)

]

/ [- f(B)e-iB-r: + f( - B)eiB't JrBB f'(t)e-id dt _ B - e-i 't[f'(B) + i't{(B)] - eiB-r: [{'(-B) + i'tf(-B)]

= _

+

.

"L v 21t 't

�21t 't 2

-

1 �21t 't2

B I-B f"(t)e-i-r:t dt

•

546

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

De a qui que , c�ando B � oo ( b)

71

y

1 l

+oo

1

----==-

asi ,

(71c)

r oo

g(t) = -=--= f'(t)e-ttt dt = "(t e-td dt ' l't .J21t _00 v'21t 't2 J_00 f )

j g(t} l

� .J21t1 '(2 1+oo00

Evidentemente, esta estimaci6n para g(t) implica que

converge {ver el Volumen I ,

p.

307)

{(X) = lfm {A(X) = .lim A-oo

A- co

(1)

l f"(t) l dt = 0 t2

•

por tanto , que

y,

1 fA g(t)ei.XT dt

,21t

�

-A

uniformemente para toda x . De hecho , bajo las hip6tesis estable­ cidas para f no importa Ia forma en Ia que el limite superior y el in­ ferior en Ia integral tienden haci a ± oo ; en general , f(x) =

lim

A-oo B--oo

1 �

-1 lA g(t)ei.x"' dt.

21t

B

La ecuaci6n (7 l b) puede interpretarse como Ia afirmaci6n de que Ia funci6n f'(t) tiene Ia transfonnada de Fourier itg(t) y f"(t), Ia trans­ formada de Fourier - t2g(t), donde g es Ia transfonnada de Fourier de f. De donde , bajo hip6tesis apropiadas acerca de Ia regularidad, la derz"vacz"6n de f corresponde a la multz"pl'icad6n de la transformada de Fourz"er de f por el factor i-r. Este hecho tiene una importancia maxima en much as aplicaciones de la transformaci6n de Fourier. e. Identitlad de Parseval para lGs transformtJdas de Fourier

Para las series de Fourier se prob6 (Volumen I , p . 6 1 4) Ia iden­ tidad de Parseval , que relaciona Ia integral del cuadrado de una fun­ cion peri6dica con la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier. Existe una identidad analoga importante para las integrales de Fourier ; incluso es m as simetrica en form a , debido a l a reci-

Integrales multiples

547

procidad entre una funci6n f y su transformada de Fourier g. Como, incluso para f real , l a transformada de Fourier g generalmente sera de valor complejo , tiene que usarse el cuadrado del valor absoluto en Iugar del cuadrado de la funci6n . Entonces , la identidad de Parseval afirma que la integral del cuadrado del valor absoluto , extendida sabre todo el eje , es Ia misma para la funci6n f que para su transfor­ mada de Fourier g:

(72) No se probara esta identidad bajo las hip6tesis mas generales para las cuales se cumple , sino unicamente para f restringida eh la m isma forma que al final de la ultima secci6n , a saber, cuando las tres fun­ ciones {, {', {" son continuas y absolutamente integrables sabre todo el eje x. 1 para g y Como antes, se definen las aproximaciones para f, por media de las ecuaciones (70a) y (70b). Entonces se forma la expresi6n

gB('t)

/A(X)

JA ,B = 1: lf(x) - /A(X) 1 2 dx = 1: ({(x) - /A(X)][f(x) - {A (X)] dx =

1: [f(x) {(�) - {(x) {A(X) - {A(X){(x) + {A(X){A(X)) dx,

donde el guion encima de una expresi6n indica el valor complejo conjugado . Ahara b ien , intercambiando las integraciones se enc u�n­ tra que

rB J _B {(x){A(x)dx =

= �

r_B {(x)dx rA g('t)e-ix't dr: JB J _A J�1t s_: g(r:) dr: 1: f(x)e-ix't dx

1

J2i

f� g(r:)gB('t) dr:,

de donde, tomando el complejo conjugado ,

�
por medio

548

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

De aqui que

(73)

Dado que las hip6tesis establecidas acerca de f(x) garantizan que

lim {A (X) A- co

=

{(x)

uniformemente en x (ver Ia p . 545 ) , tambien se tiene

lim l f(x) - {A (X) 1 2 A-co

=

0

uniformemente en x . En consecuencia ,

As1 , cuando A � oo Ia identidad (73) da

(74) Ya que

0

=

2

I: lf(x) 1 2 dx - f_� (g('r) gB(t) + g(t) gB(�)]dt.

uniformemente en t ,

y

como gB(t) esta acotada uniformemente

g(t)

=

y

o(�),

puede hacerse que B tienda a oo en Ia identidad (74) para obtener , en el limite, Ia relaci6n de P arseval (72).

f. La transformaciOn de Fourier para funciones de varias variables. En una dimension , Ia identidad de Ia integral de Fourier propor­ ciona una representaci6n de una funci6n {(x) como una combinaci6n

Integrales multiples

549

lineal de funciones exponenciales eixl; que dependen de un parametro �. Para cada valor � del parametro se multiplica la funci6n eix!; por un "factor de peso" apropiado g(�)/ v'21t y se integra con respecto a �. El factor apropiado g(�) es la transformada de Fourier de f Existen formulas semejantes para la descomposici6n de funciones de varias variables en funciones exponenciales . Las funciones f(x, y) de dos variables independientes x, y se representan como combi­ naciones de funciones exponenciales de la forma ei<xl;+y'l'l> , que depen­ den de los parametros �' ll · De modo semej ante , se construyen fun­ ciones de tres variables independientes f(x, y, z) a partir de exponen­ ciales ei<xt; +y11+ zc> , que dependen de los parametros �' Tl, t; . Tales des­ composiciones de funciones generales en exponenciales constituyen una de las herramientas mas poderosas del analisis matematico. Para un conjunto dado de parametros �' Tl, l; la funci6n ei<xE;+y11+zQ depen­ de de Ia combinaci6n simple · s = x� + Y'Tl + zl;, Ia cual es constante a lo largo de cada plano con numeros directores �' Tl , � en el espacio x, y, z.. Si se introduce un nuevo sistema coordenado rectangular en el que uno de estos pianos sea un plano coordenado , entonces ei<x�;+y11+zc> se convierte en una funci6n de una sola coordenada . De esta manera , las formulas de Fourier proporcionan una descomposici6n de f(x, y, z) en funciones que unicamente dependen de una sola coor­ denada (donde , sin embargo , Ia direcci6n del eje coordenado corres­ pondiente depende de los parametros �' Tl, �). Esas expresiones exponenciales estan intimamente relacionadas con las ondas Planas que se encuentran en la fisica. Multiplicando la funci6n exponencial ei(x!;+ Y11+zc> por un factor exponencial e-irot , que dependa del tiempo, se obtiene la expresi6n

(75a)

u(x, y, z, t) = ei (xi; +Yll +zc> e-irot = ei(E;x+TI Y+Cz-rot ) .

Aqui u tiene un valor fijo eiB , para todos los instantes t , en todas las posiciones (x, y, z) con el mismo valor de "fase" s = x� + Yll + z� - rot.

Para s fijo , en cad a instante t esto representa un plano ("frente de onda") en el espacio x, y, z , con numeros directores �' Tl, � · para su normal . Conforme t varia este plano se mueve paralelo a si mismo. Como (ver Ia p . 1 69 ) Ia cantidad s

+ rot

Introduccion al calculo

550

y

al analisis matematico

es la distancia del plano al origen en el instante t , el plano se mueve con velocidad ro c= = (75b • + +

dp dt J�2

)

11 2

�2

Esta es la velocidad de propagaci6n de los frentes de onda , co rres­ pondiente a una "frecuencia" ro de la onda . Se enunciara y probara el teorema de Ia integral de Fourier para una funci6n de dos variables independientes, bajo condiciones sobre f que sean suficientes para Ia validez del teorerna (aunque lejos de ser necesarias) y convenientes para las: aplicaciones. Supongase que esta definida y tiene derivadas continuas de Los primero, segundo y tercer 6rdenes para todos los valores valores absolutos de f y sus derivadas de orden � 3 de ben ser abso­ lutamente integra bles so bre el plano completo; es decir, para cuales­ quiera enteros no negativos i, k con i + k � 3, las integrates im­ propias

f(x, y)

f(x, y)

x, y.

ff JJ

ai+kf(x, y) dx dy, I axt ayk I extendidas so bre el plano x, y- completo, de beran converger. transformada de Fourier g(�, 11) de f se deft'ne por la formula (76)

(77a)

La

g(�, 11) = 2� JJ e-i (x!;+YTJ > f(x, y) dx dy.

Entonces la funcion f se expresa en. terminos de su transformada de Fourier por la formula reciproca

(77b) A qui todas las integrates se extienden so bre el plano completo y con­ vergen absolutamente. Se curnple una proposici6n analoga para las funciones de n variables independientes. Solo se tiene que suponer que f y sus derivadas de arden � n + 1 existen y son absolutarnente inte­ grables sabre el espacio cornpleto . Entonces , la transformada de define por Fourier

f(xt , . . . , xn)

g(�1, �2, . . . , �n)se

Integrales multiples

551

Aqui la formula redproca para {(x1, . . . , Xn) se convierte en (77b)

f = (21t)-n/2

J J et (Xl!;l • • •

+

• • •

+ xnl;n) g(�l, . . . , � n) d�1

•••

d�r..

La demostracion para n dimensiones es exactamente igual a la demostracion para el caso bidimensional , que se dara ahora . Primero se probara el teorema de la integral de Fourier para una funcion f(x, y) de clase C3 y de soporte compacto, lo que significa que f tiene derivadas continuas de orden � 3 y se anula fuera de algun conjunto acotado. Para esta situacion , la formula de Fourier para f se deduce inmediatamente a partir de la formula para funciones de una sol a variable , como se demostrara ahora . La transformada de Fourier

g(� , T)) =

;7t JJ e-i(xi;+YTI> f(x, y) dx dy

esta dada por una integral propia , supuesto que f se anula fuera de una region acotada. Introduciendo la transformada de Fourier "in­ termedia" , con respecto a y unicamente, a saber, (77c) g

� J e-t1111 {(x, y) dy,

y(x, T)) = .J 1t

se puede escribir en la forma

: J e-tx�;y (x, T)) dx.

g(�, T)) = .J 1t

Obviamente , para cada valor de '11 , se tiene en y(x, ll) una funcion de la sola variable X ' de clase C3 y de soporte compacto . Su transfor­ mada de Fourier es g(�, TJ). Se aplica el teorema de la p . 536 y da (78)

y(x, ll) =

.J�7t J etx�; g(� TJ) d�. ,

Por otra parte , y(x, TJ) para x fija es la transform ada de Fourier de f(x, y) considerada como una funcion , de y unicamente . De a qui que se cumple la formula reciproca

f(x, y) =

.J:1t I et1111 y(x, 11) d11

Sustituyendo aqui y por su expresion dada en ( 7 8) , se obtiene

� I dT) I ei(xi;+YTI> g(�, TJ) d�.

f(x, y) = .J 7t

552

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

�

En esta formul a , la integral repetida (primero con respecto a y des­ pues con respecto a TJ) se puede remplazar por una integral doble sobre el planQ 11 completo , lo cual conduce a la formula ( 7 7 b ) . Este paso es valido (ver la p. 5 24), dado que la integral simple

�'

f_:� I g(�, TJ) I d�

(79a)

converge uniformemente en � para toda doble

ff I g(�, 11 ) I d� d11

(79b) '

11 y,

ademas , la integral

converge . Se concluyen ambos resultados de convergencia si se puede demostrar que una estimacion de la forma

(79c) es valida para g, con una constante M apropiada . La convergencia de la integral doble (79b) es u n a consecuencia de (79c). La conver­ gencia uniforme de la integral simple (79a) se deduce de (79c) ya que , para

A>1 f I !; I > A lg(� , 11) l d� � MlJ !; I > A (1 + J:2d�+ n2'I )3 /2 2 1 � 1 d� 1_M__2 '. < r +A = M J I !; I > A (1 + � 2) 2 el segundo miembro tiende a 0 cuando A ---) oo , independientemente de 11 · .

..,

_ -

La desigualdad (79c) se establece a p artir de ( 7 7 a) integrando varias veces por partes. Supuesto que f tiene soporte compacta, se en­ cuentra que

ff e-i(x!;+Y'l) aa��� y) dx dy 21t(i�)3g(�, 11) =

ff i(x!;+Y'l) JJ e-

a3{(X, y) dx dy 21t(i11)3g(� 11) ay3 •

=

'

y, de aqui , que

21t(1 + I � 13 + 11 1 3) lg(�, 11) I =.27t jg(�, 11) 1 + l 21t(i�)3g(�, 11) 1 + l 21t(i11)3g(�, 11) 1 � JJ( l f(x, y) l + ���� y) [ + [ a3��� y) [} dx dy.

Integrales multiples

553

� ' 11, I � I , 1 11 1 (1 + � 2 + 112) 3/2 � (�2 + � 2 + � 2)312 = 3 J3 �3 � 3J3( 1 + 1 � 1 3 + 1 11 1 3) .

denotemos Ia mayor de las tres cantidades 1 , Para cu alesquiera por � . Entonces

Esto lleva a Ia desigualdad ( 7 9c ) , con el valor

M = aJ3· n

2

(79b)

y) I I iJ3f(x, y) I ) ff ( l t (x' y)l + I iJ3f(x, axa + iJy3 dx dy

JJ

para Ia constante , y completa la demostraci6n del teorema de Fou­ de clase ca y de soporte compacto . rier p ara las funciones La demostraci6n del teorema para Ia f m as general de clase ca para Ia cual las integrales ( 7 6 ) convergen , se deduce aproximando esa f por medio de funciones de soporte compacto . Con este por una funci6n de "corte" ap;opiada , fin , se m ulti plica tenga soporte compacto pero de modo que el producto = + 2 � n2 . A qui solo se requiere una concuerde con f en el disco funci6n auxiliar con estas propiedades :

f(x, y)

{n(x, y) {n ,Pn{ x2 y

f(x, y)

�n(x, y)

�n(x,y) �n(x,y)

�n(x, y) ,

tiene soporte .compacto y pertenece a ca ; 1. 2. � n2 ; = 1 para 2 + y de todas sus derivadas de 3 . Los valores absolutos de 6rdenes � 3 no son mayores que una cantidad fija N, independien­ temente de y n.

x

y2

�n(x,y)

x, y

�n

Facilmente pueden construirse funciones apropiadas, en varias formas . l Denotemos por Ia transformada de Fourier de =

(80a) Entonces

1

gn(�, 11) {n ,Pn{: gn(�, 11) = 21n JJ e-i(x!;+Ytt) ifin(x,y)f(x,y) dx dy.

I g(�, 11) - gn(�, 11) I = I ;n JJ e-i(x!;+11tt> (l - i/Jn){ dx dy I

Por ejemplo, definase la funci6n h(8) por h(8) =

Entonces

�n(X, y)

{

1 para 8 � 0 (1 - 84)4 para 0 � 8 � 1 0 para 1 � 8.

= h(x - n)h( -n - x)h(y - n)h(

tiene todas las propiedades deseadas.

-n -

y)

554

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

� (N + 1)

fl[

dx dy. JJx2+y2> n 2 l f l

Por la supuesta convergencia de la integral de l fl sabre el plano com­ pleto se deduce que (SOb)

11) .

uniformemente para todo (�, P ara ver que g(�, 11) nuevamente satisface una desigualdad de la forma (79c), se observa que, por la regia Leib nitz ,

Se cumple una · estimaci6n semejante para Ia tercera derivada respec­ to de y de {n. Sea I Ia mayor de las integrales , tomadas sabre el plano completo , de los valores absolutos de f y sus derivadas de 6rdenes � 3. Entonces

JJ ( I fn ! + \ :;3 tn \ + I :;3 tn i ) dx dy � (1 +

S + 8) NI = 17NI.

Aplicando la desigualdad ( 7 9c , d) a la funci6n {n , se encuentra que, para cualquier n y todas las �' 1'}, se cumple la desigualdad

(SOc) con

M=

5�:a Nl.

De (SOb ) se deduce que

l g(�,

11) 1

� (1 +

� 2� 11 2)3 /2

para todo (�, 11), con I a misma constante M.

Integrales multiples Supuesto que mula reciproca

fn

555

tiene soporte compacto , ya se sabe que la for­

(SOd)

(x, y) n2 x2 y2 •

{n(x, y) f(x, y),

es val ida . Para un dado se tiene una vez que n = es tan grande que > + Entonces, de (SOd), usando (SOb ) y � oo se obtiene la ley de reciprocidad ( 7 7b) p ara la (SOc), cuando propia f. La identidad de Parseval para las integrales multiples de Fo urier toma la forma

n

(Sl) donde las integraciones se extienden so'l?re el plano completo . La demostraci6n se puede llevar a cabo exactamente a traves de los mis­ mos argumentos usados en la Secci6n e, p . 546, para la identidad de Parseval relativa a funciones de una sola variable, siempre que se es­ que para la deduc­ tablezcan l as mismas hip6tesis acerca de ci6n de la formula de la integral de Fourier. Modificando apro­ piadamente las expresiones usadas en l a p. 546 , considerese la in­ tegral

f(x, y)

JA ,B =

[2+y2
donde

Aqui, en lugar de ( 7 3) se obtiene la identidad

Introduccion al calculo

556

y

al analisis matematico

Cuando A � oo y B � oo se llega a la identidad (8 1 ) en la misma forma que antes .

1.

Ejercicios 4. 13

Encontrar las transformadas de Fourier de las funciones siguientes:

(a) f(x) -= (b)

(c)

!

I

<x a. c,

para 0

e-az , para x > 0, (a > 0)

0, para x < 0 n Jn(x)Jx (con Jn definida como en 4 . 1 2 , Ejercicio 8 ) .

f(x)

=

1 4 . 1 4 Las integrales eulerianas (Funcion gama) Uno de los ejemplos mas importantes de una funci6n definida por una i ntegral impropia que depende de un p arametro es la funci6n gama , r(x) , que se discutira con cierto detalle.

a. DefiniciOn

y

ecuaci6n funcional

EJJ, el Volumen I (p. 308) se defini6 r(x) p ara toda x > 0 por la integral impropia (82a)

r(x)

=

So"" e-t tX- l dt.

La integral se puede dividir en una que se extienda sabre la porci6n no acotada del eje t desde t = 1 basta t = oo con un integrando con­ tinuo , y una que se extienda sobre el intervalo finito desde t = 0 bas­ ta t = 1, donde al menos para los valores de x entre 0 y 1 - el integran­ do es singular . Los criterios desarrollados en la p. 523 indican in­ mediatamente que la i ntegral (82a) converge para cualquier x > 0, siendo la convergencia uniforme en todo i ntervalo cerrado del eje x positivo que no incluya al punta x = 0. Por lo tanto, la funci6n F(x) es continua para x > 0. Las integrales que se obtienen por media de la derivaci6n formal de Ia formula (82a) tambien convergen uniformemente en cualquier 1 Una discusi6n relacionada con la presente se encuentra en The Gamma Function, por E. Artin (traducci6n al ingles por Michael Buder), Holt, Rinehart y Winston: Nueva York, 1 964.

Integrales multiples

557

intervalo 0 < a � x � b. Como consecuencia (ver la p. 523 ) r(x) tiene primera y segunda derivadas continuas dadas por (82b) (82c)

fo"" e-ttx-l }og t dt r"(x) = fo""e-ttx-l log2t dt. r' (x) =

Por medio de una simple sustituci6n , la integral (82a) para r(x) se puede transformar en otras formas que se usan con frecuencia . Aqui solo se menciona la sustitucion t = u2 , que lleva la funci6n gama a la forma

De donde , para a

= 2x

-

1,

(82d)

(a > - 1)

[ ver la formula (48d), p . 5 1 5 ] . Como en e l Volumen I ( p . 308), integrando por partes l a formula (82 a) se llega a la relaci6n

(83a)

r(x + 1) = xr(x) .

para cualquier x > 0. Esta ecuacion se llam a ecuaci6n funcional de la funci6n gama. Evidentemente , r(x) no est a definida de : modo unico por la propiedad de ser una solucion de esta ecuacion funcional , ya .que otras soluciones se obtienen simplemente al multiplicar r(x) por una funcion arbitaria p(x) con· periodo unitario . La expresion

(83b)

u(x) = r(x) p(x)

don de (83c)

p(x + 1) = p(x)

re presenta la solucion mas general de la ecuaci6n (83a), porque si u(x) es cualquier solucion , el cociente u(x) p(x) = r(x)

Introduccion al calculo

558

y

al analisis matematico

[ el cual siempre puede formarse dado que r(x) * 0] satisface la ecuaci6n (83c) . Con frecuencia resulta mas conveniente considerar la funci6n u(x) = log r(x) ; en Iugar de r(x) > esta esta definida p ara toda X po ­ sitiva, puesto que r(x) = 0 para X > 0. La funci6n satisface l a ecua­ ci6 n funcional (una "ecuaci6n diferencia" ) (83d)

u(x + 1) - u(x) = log x.

Se obtieneri otras soluciones de (83d) agregando a log r(x) una funci6n arbitraria con periodo unitario . Para caracterizar de modo unico a la funci6n r(x) la ecuaci6n funcional (83d) se debe suple­ mentar con otras condiciones. En el teorema siguiente , de H. Bohr y H. Mollerup , se da una condici6n muy sencilla de este tipo:

Toda soluci6n convexa de la ecuaci6n diferencia (84a)

u(x + 1) - u(x) = log x

para x > 0 es identica a la funci6n log r(x), excepto tal vez por una constante aditiva. b. Funciones convexas. DemoS'traci6n del teorema de Bohr Mollerup

y

Se dice que una funci6n, f(x) , con segunda derivada continua es convexa (ver el Volumen I , p . 3 5 7 ) si f" � 0. Una definicion m as ' general , aplicable incluso a funciones que no son diferenciables por dos ve<:es , es la siguiente :

Se dice que la funci6n f(x) definida en un intervalo (que Posi­ blemente se extiende hast a el infinito) es convexa si, para cuales­ quiera valores XI, X2 de su dominio y cualesquiera numeros posz't'ivos a, � con a + � = 1, se cumple la desigualdad (84b) Geometricamente , (84b) significa que para cualesquiera dos puntas de la curvay = f(x) , con abscisas XI, X2, la cuerda que los une nunca esta por debajo de la curva (ver la Fig. 4 . 20). Para una funci6n f continuamente diferenciable por dos veces, se encuentra, usando el teorema del valor medio del calculo diferencial y el hecho de que a y � son numeros positivos con suma 1 ,

Integrales multiples

559

y

Figura 4.20 Una funci6n convexa.

''lf(x1) + �{(x2) - {(ax1 + �x2) = �[{(x2) - {(ax1 + �x2)] - a[{(ax1 + �x2) - {(x1)] = a�(X2 - X 1){'(�2) - a�(X2 - X1){'(�1) = a�(X2 - X1)(�2 - � 1){"(TJ), donde � 1 , �2 , 11 son valores intermedios apropiados tales que X1 < �1 < UX1 + �X2 < �2 < X2, �1 < 11 < �2. (84d) De (84c) de inmediato se deduce que se satisface (84b) si (84c), /"(TJ) � 0 para toda 11 en el dominio de f. lnversamente, de .(84b ), (84c), usando (84d), se encuentra que f"(TJ) � 0 ; para a, p. fijos X2 � X1, . J?Of Ia continuidad de f'' se deduc.e que f"(x1) � 0 para cualquier �1

(84c)

y

ei;l, el dominio . De aqui que una funci6n continuamente diferenciable

por dos veces es convexa en el sentido estab lecido en (84b) si y solo si

f" �. o.

Para ser convexa, una funci6n no necesita ser diferenciable por

dos veces, o incluso por una vez . Un ejemplo se tiene en

f(x) = I xl .

Sin embargo, una funci6n convexa necesar-iamente es continua en los puntos inter-iores de su dominio. Esto se deduce de la desigualdad

(84e)

{(x2) - {(x1) � f(x4) - f(xa), X4 - Xa X2 - X1

que es �atisfecha por una funci6n convexa para cualesquier dominio tales que

X1 < X2 < Xa < X4.

Xt en su

560

Introducci�n al calculo

y

al analisis matematico

Para prob ar (84e) se escribe X2 en la forma

X2 = UX1 + f3xa, don de

a=

Xa - X2 Xa - Xl '

f3 =

--=---_.:_.

X2 - Xl xa .-:- X1 .

Entonces

f(x a) - {(x2) Xa - X2

=

{(x2) - {(x1) X2 - Xl

a{(x1) + f3f(xa) - {(ax1 + f3xa) � - O, af3(xa - x1)

y, de modo semej ante ,

f(x4) - f(xa) X4 - Xa

_

f(xa) - {(x2) � - O, Xa - X2

lo cual implica (84e). En palabras, (84e) afirma que los cocientes de diferencias de la funci6n convexa f formados para intervalos ajenos son crecientes. Se deduce inmediatamente que

{(X2) - {(Xl) � {(�2) - {(�1) � {(X4) - {(xa) � 2 - �1 X2 - Xl X4 - Xa para cuale's quiera valores �1, � 2 entre X2 y xa. Asi , f satisface una con­ dici6n de Lipschitz en el intervalo X2 < x < xa y, por tanto , es con­ tinua en ese intervalo . Para cualquier x en el interior del dominio de f siempre pueden encontrarse X1, x2 , xa, X4, apropiados que muestren que f es continua en x . Para prob ar que l a funci6n log r (x) es convexa , basta con demos­ trar que

(84f)

r"r - r'2 d2 log r """"'� = -d F2 --x2

� 0.

La relaci6n (84f) se deduce de la desigualdad de Cauchy-Schwarz 1 para las integrales , dado que , por (82a , b , c ) , 1 A partir d e l a desigualdad d e Cauchy-Schwarz para las sumas (Volumen I , p . 1 5) se encuentra que, para cualesquiera funciones continuas f(x), g(x) y cualquier subdi­ vision de su dominio por medio de los puntos Xt en intervalos de longitud �x,

Integrales multiples

561

2 (fooo e-ttx-1 log t dt) 2 = (fooo<e-t12 Jtx- 1)(e- t12 Jtx-1 log t) dtr ::::;-; Joroo e-ttX-1 dt Jrooo e-ttX-1 log2t dt = u(x) x > 0. vh(x) u(x h) - 2u(x) u(x - h) 0 < h < x. 0 < h < k < x, v�c(x) - Vh(x) = [u(x k) - u(x + h)] - [u(x - h) - u(x - k)] ] + = (k h) [ u(x k) - u(x h) u(x - h) - u(x - k) - O. h -h k k Vh(x) r' =

rr".

Sea ahora una soluci6n convexa arbitraria de la ecuaci6n fun­ cional (84a) para F6rmese I a expresi6n +

=

+

Aplicando la relaci6n (84e), la cual es valida para para convexa , se encuentra que, para

u

+

+

_

_

+

2

Por lo tanto, para x fija , es una funci6n continua no decrecien­ te de h. Ahora b ien , la ecuaci6n funcional para u da

v1(x) u(x 1) - 2u x) u(x - 1) [u(x 1) - u(x)] - [u(x) - u(x - 1)] = log x - log(x - 1). 0 < h < 1 < x, 0 vo(x) � vh(x) u(x + h) -2u(x) u(x - h) log X X � V1(X) =

(

+

+

+

=

De aqui que , para

(84g)

=

+

=

=

_

l.

(ft(xt)g(xt)&x,) 2 � (�f2(xt)&x,) (fg2(xt)L1xt).

Refinando las subdivisiones, en el limite se encuentra la desi'gualdad de Cauchy­ Schwarz para las integrates:

(fa" f(x)g(x) dx) 2 � (fa" f2(x) dx) (fa" g2(x) dx).

Esta desigualdad se extiende inmediatamente de las integrales propias de Riemann de funciones continuas a las integrales impropias, pasando al limite con respecto al ( dominio de integraci6n.

562

Introducci6n al calculo

y

al analisis matematico

Ya que

x

lim log __ = log 1 = 0, X- 1 x�oo

de (84g) se encuentra que para toda soluci6n convexa de (84a) lim [u(x + h) - 2 u(x) + u(x - h)] = 0 x-oo

(0 < h < 1).

Entonces, si p(x) es la diferencia de dos soluciones convexas de (84a), tambien se encuentra que lim [p(x + h) - 2p(x) + p(x x�oo

-

h)] = 0.

Puesto que p(x) es peri6dica con periodo 1 , tam bien lo es la funci6n

p(x + h) - 2p(x) + p(x

-

h) ,

que tiende a 0 como limite cuando x � oo . Es obvio que una funci6n asi debe anularse identicamente . De don de ,

p(x + h) - 2p(x) + p(x - h) = 0

(84h)

(O � h < 1).

Sea M = p(f,) el valor m aximo de la funci6n continua p(x ) en el in­ tervalo � x � 2 . Entonces p(x) � M para toda x > 0 y , por (84h) ,

1

2M = 2p(f,) = p(f, + h) + p (f, - h) � 2M

(O � h < 1).

p(f, - h) = p(f, + h) = M

(O � h < 1),

De aqui que

y,

como p tiene periodo 1 ,

p(x) = M = constante

( toda x > 0).

Esto dem uestra que cualesquiera dos soluciones convexas de (84a) difieren cuando mas en una constante, y esto completa la demos­ traci6n del teorema de Bohr y Mollerup.

c. Los productos infinitos para la funci6n gama El teorema de Bohr y Mollerup se puede usar para deducir las representaciones por medio de productos infinitos para la funci6n gama , encontrados por Gauss y Weierstrass .

Integrales multiples

563

Para cualquier funci6n dada, g (x ) , puede verificarse facilmente que una soluci6n especial , w(x ) , de la ecuaci6n diferencia

w(x + 1) - w(x) = g(x)

esta dada par la serie infinita 00

w(x) = - � g(x + j) j= O

= - g(x) - g(x + 1) - g(x + 2) -

siempre que la serie converja. Esta observaci6n no se puede aplicar directamente a la ecuaci6n (84a) con g(x) = log x, dado que la serie resultante diverge . Sin embargo , la ecuaci6n diferencia para w = u" que se obtiene derivando (84a) par dos veces , puede resolverse de esta manera . Una soluci6n especial de la ecuaci6n (85a)

1

w(x + 1) - w(x) = - 2 x

(x > 0)

esta dada par {85b)

1

w(x) = 2 + x

00

1

� (x + j)2

(x > 0).

Aqui , la serie infinita converge uniformemente en todo intervalo finito 0 ;;£ x ;;£ b (ver el Volumen I , p. 5 3 5 ) , ya que 1 < (x + j) 2 = p

1

'

(x � 0) .

Como consecuencia, w e s continua para x > 0. E s m as , puede i n ­ tegrarse termino a termino esta serie (ver e l Volumen I , p . 5 3 7 ) y se llega a una funci6n {85c)

do nde , nuevamente , la serie que se presenta en esta formula converge uniformemente en cualquier interval a 0 ;;£ x ;;£ b. De donde v(x) + 1 fx es una funci6n continua de x para x � 0 , que se anula para x = 0. Por I a construcci6n precedente ,

(85d)

v' (x) = w(x)

(x > 0).

564

Introdu<;cion al calculo

y

al analisis matematico

Como por (85a , d) ,

sc

-ddx [v(x + 1) - v(x)] = -­x12

(x > 0),

v(x + 1) - v(x) = -X1 +

(x > 0),

concluye que

(85e)

c

donde c es una constante . P ara determinar el valor de que , por (85e) ,

c,

se observa

[v(x) !J - v(x + 1) = -v(1) = 1 + :E (1 +1 " - -;-) = 1 + (!2 - 1) + (3! _ 2!) +. (4! _ !3) + = 0.

- c = lim

+

x-o

""

J=1

lim

X

x- o

1

}

}

-

•

•

•

La integraci6n de (85c) conduce a una funci6n

(85f)

U(x) = - log x - tifox (� � j - y) d� = - logx - i: [log(x + j) - logj - �], }

�1

donde , una vez mas , la serie infinita converge uniformemente en cualquier intervalo 0 � � b. Como antes, se concluye que U(x) es una funci6n continua de x p ara > 0, que satisface

x

x U'(x) = v(x), ( U(x) + log x) = 0 U(x + 1) - U(x) - log x = = C. lim x-o

(85g)

Aqui,

constante

C

-1:

U(x) + log x] = U(1) = U(x 1) = - f: [log(1 + j) - logj - �] = L [log(1 + j) - log j - 1] = (1 + !2 + + n -1-1 - log n) . lim

x-o

,=1

- lim

n-co

lim

n -oo

- lim [ x-o

}

-1

j.JI 1

•

•

•

-;-

}

Integrales multiples

565

Se concluye que C es identica a la constante de Euler,

{

C = lim... 1 + !2 + ! + · · · + . ! - log 3 n n�

(85h)

introducida en el Volumen I ( p . 5 2 6 ) . Por ( 8 5 g ) , la funci6n

u(x)

�

n).

U(x) - Cx

satisface la ecuaci6n diferencia

u(x + 1) - u(x) = log x. Es mas , por (85b),

u"(x) = w(x) > 0

(x > 0),

de modo que u(x) es convexa. Como , ademas ,

u(1) = U(1) - C = 0 = log r(1) ,

por el teorema de Bohr se deduce que u(x ) y log r(x) son identicas:

( j =I

x +j

oo

.- log r(x) = - Cx - log X - � log -

(86a)

J

La deducci6n anterior tambien demuestra que

(

).

x-;-

J

)'

oo r'(x) 1 1 1 = - C + v(x) = - C - x - � r(x) x+j J

(86b)

1 d2 log r(x) 1 = w(x) = --2 + � . -dX. 2 X J = I (X + J') 2 00

(86c)

Formando l a funci6n exponencial de ambos miembros de la ecua­ d6n - (86a) se llega al Producto infinito de Weierstrass para 1/r(x ) :

1 -- = r(x)

(86d)

(1 + ) j= I co

XeC X fl

X -;-

}

(x > 0).

e-X Ij

(86d) puede escribirse en una forma ligeramente diferente que contenga la constante de Euler C. De (86a), (85h) , log r(x) = ·

-

log X + lim · n. - co ·

t,

j= 1

(� }

-

log

X

.

)

:-; j - C X

J

nc

566

Introducci6n al calculo

y

al analisis matematico

[ {'!:J= l J� -

= - log x + lim x n-oo

+ x log n -

= - log x +

)

C - log n

t log x JT

i= l

jJ

n�l n- 1 �:t.! [x log n + i� log j - � log (x + j) . ]

Consecuentemente , se obtiene l a . f��mula (BGe)

r(x) =

1 • 2 • 3 • • • (n

�_?.:! x(x + 1)(x + 2)(x + 3) • •-• (x 1)

+

·n - 1)

nx (x > O),

que es el producto infinito de Gauss para la funci6n gama. El limite en el segundo miembro de ( 8 6e) existe no solo para ·:. : Para una x valores positivos de x sino para toda x =I= 0, - 1 , - 2, dada, supongase que se elige el entero positivo m tan grande que x + m > 0. Entonces, remplazando n por n + m b ajo el signo del limite se obtiene o

o

1 • 2 • • • (n - 1) nx n -oo x(x+ 1)(x + 2) • • • (x + n - 1) . 1 • 2 • • • (n + m - 1) (n + m)x x(x + 1)(x + 2) • • • (x + n + m - 1) lim

= t'1

n�

=

]

[

n(n + 1) • • • (n + m - 1)(n + m)x x(x + 1) • • • (x + m - 1)nx+m -oo n 1 • 2 • • • (n - 1)nx+m (x + m)(x + m + 1) • • • (x + m + n --.- 1) lim

[

r(x + m) x(x + 1) • • • (x + m - 1) ·

]

Por tanto , se puede usar la formula de Gauss (86e) para definir r(x) para todos los valores de x que no sean cero o enteros negativos. Cuando x tiende hacia uno de estos valores excepcionales , r(x) se vuelve infinita . Es obvio que la funci6n r(x) extendida aun satisface la ecuacion funcional

(86f)

r(x + 1)

==

xr(x).

d. El teorema de extensiOn Tambien se pueden obtener con facilidad los valores de la funci6n gam a para val ores negativos de x, a partir de los valores para val ores

Integrales multiples

567

positivos de x, por medio del llamado teorema de extension . F6rmese el producto r(x)r( - x), el cual es

1

•

2

•

•

•

(n - 1)

n- oo x(x + 1) · · · (x + n - 1)

nx lim

n -""

1 2 ( n - 1) n- x - x(1 - x)(2 - x) · · (n - 1 - x) , •

•

•

•

•

y combinense en uno los dos procesos de limite para obtener

{1 - [x/(n - 1)]2} '

siempre que x no sea un entero. Ahora, empleando el producto in­ finito para el seno

( _ (�) ) V

2 ,

sen 1tX IT = 1 1tX v=l

hallado en el Volumen I ( p . 603 ) , se obtiene

r(x)r( - x) = -

.

1t

x sen 1tx

.

De donde

r( - x) - -

1 1t x sen 1tX r(x) '

Esta rel aci6n se puede poner en una forma un tanto diferente , cal ­ cula ndo el producto r(x)r(1 - x). Dado que , por (86f) ,

r(1 - x) = - xr( - x) , se

obtiene el teorema de extension:

(97a)

f'(x)r(1 - x) = -- .

1t sen 1tX

De donde , se pone X = t , se tiene r(t) = -Vii. Como aqui se tiene una nueva demostraci6n para el hecho de que Ia in­ tegr al

568

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

tiene el valor fJit (ver la p . 472). Ademas, puede calcularse la fun­ cion gama para los argumentos + t , donde n es cualquier en­ tero positivo :

x=n

r (n �) (n - �) (n � ) · · · � � r ( �) = (2n - 1)(2n 2n- 3) • • • 3 • 1 .J1r.. e. La funci6n beta

(97b)

+

�

-

Otra importante funcion que se define por medio de una integral impropia que depende de parametros es Ia fundon beta de Euler. La funcion beta se define por (98a)

B(x, y) = fo1 tz-1(1 - t)Y-1 dt.

Si x, o y, es menor que Ia unidad , la integral es impropia. Sin embar­ go , por el criterio de la p. 523 , converge uniformemente en x y y, siempre que nos restrinj amos a los intervalos � e, � 11 , don de e y 11 son numeros positivos arbitrarios. Por lo tanto, representa una funcion continua para todos los valores positivos de x y y. haciendo Se obtiene una expresion un tanto diferente p ara la sustitucion t + i:

x

y

B(x, y) = 't B(x, y) = i-l/1/22 (21 ) x-1 (-21 - 't) y-1 ·d't. (98b) Si ahora se pone 't = t/2s, donde s > 0, se obtiene (2s)X+y-1B(x, y) = s;8 (s + t)X-1(8 - t)Y-1 dt. (98c) Por ultimo , si se pone t = sen 2fjJ en la formula (98a) se obtie ne . rt / B(x, y) = 2 Jfo 2 sen2x-1f} cos2Y-1f} df}. (98d) -

+

't

Ahora se m'Ostrara como se puede expresar la funci6n beta en ter­ minos de la fun cion gam a, usando unas cuantas transformaciones que , a primera vista , pueden parecer extrafi.as . Si se multiplican ambos miembros de Ia ecuaci6n (98c) por y se integra con respecto a s desde 0 hasta A , se tiene

e - 28

Integrates multiples

569

La integral doble de la derecha se puede considerar como una in­ tegral de la funcion

sobre el triangulo isosceles en el plano s, t, limitado por las rectas 8 ± t = 0 y 8 = A. Si se aplica la transformacion 0' = 8 + t, 't = 8 - t,

esta integral se convierte en

La regiOn de integraci6n R es ahora el triangulo en el plano cr, T limitado por las rectas cr = 0, 't = 0, y cr + 't = 2A. Si se hace que A crezca mas alla de toda cota, por (82a) el primer miembro tiende hacia la funci6n 1

2 B(x, y)r(x + y). Por lo tanto , el primer miembro tambien debe converger y su limite es Ia integral doble sobre todo el primer cuadrante del plano cr, 't haciendose Ia aproximaci6n del cuadrante por medio de triangulos isosceles. Como el integrando es positivo en esta region y la integral converge para una sucesi6n monotona de regiones (por el Capitulo 4 , p . 471 , este limite e s independiente del modo d e aproximaci6n para ,el c,Uadrante . En particular, pueden usarse cuadrados de lado A y , en consecuencia, escribir

Int'roduccion al calculo

570

y

al analisis matematico

Por lo tanto, se obtiene la importante relaci6n 1

(99a)

B(

x,y)

r(x(x)+r(y)y) . r

=

A partir de esta expresi6n se ve que la funci6n beta esta rela­ cionada con los coeficientes binomiales,

( n +n m)

=

(n + m) ! , n !m !

aproximadamente en l a misma forma en que l a funci6n gama esta relacionada con los nii.meros n!. En efecto , para los enteros n, m,

(99b)

( n +m m) - (n

1

+ m + 1)B (n + 1, m + 1) ·

Por ultimo , mencionemos que las integrales definidas

Jron

/2 senat dt

Jrno

y

/2 cosat dt,

las cuales, por (98d), son identicas a las furtciones

pueden expresarse simplemente en terminos de la funci6n gama:

(99c)

Ln 0

/2 sen at dt

=

Ln 0

/2 cosat dt = -v� r(1 + af2) r

a r(a/2)

•

1 Tambien puede obtenerse esta ecuaci6n a partir del teorema de Bohr. Primero se demuestra que B(x, y) satisface la ecuaci6n funcional B(x + 1, y) =

de modo que la funci6n

-

. X B(x, y), X +y

u(x, y) = r(x + y) B(x, y),

considerada como una funci6n de gam a,

x,

satisface la ecuaci6n funcional de la funci6n

u(x + 1)

=

xu(x).

La convexidad de log B(x, y) y, de aqut , la de log u(x) se deduce de la desigual­ dad de Cauchy-Schwarz , de la misma manera que la de log r(x) en la p. 560 . Ast se tiene r(x + y) B(x, y)

y, por ultimo, si se pone X = 1 , a(y)

=

r(l

=

+

r(x)

•

a(y),

y) B(1, y) = r(y).

Integrales multiples

571

f. Derivaci6n e integraci6n de orden fraccionario. Ecuaci6n integral de A bel

Aplicando el conocimiento de la funcion gama, ahora se llevara a cabo un proceso sencillo de generalizacion de los conceptos de de­ rivacion e integracion . Ya se ha visto (p . 1 07 ) que Ia formula

(100a)

(c (x - t)n- 1 1 rc F(x) = o f(t)dt = r (x - t)n-1 f(t)dt J (n 1) ! (n) Jo _

da l a integral repetida n veces de Ia funcion f(x) entre los limites 0 y

x. Si , simbolicamente, se denota por D el operador de derivacion y

por D-1 el operador

rx Jo

.

.

.

dx'

que es un inverso de I a derivacion, puede escribirse

(100b)

F(x) = n-n{(x).

La afirmacion matematica expuesta por esta formula es la de que Ia funcion F(x) y sus primeras (n -1} derivadas se anulan en x = 0 y que la n-esima derivada de F(x) es f(x). Pero ahora resulta muy natural construir un� definicion . para el operador n-').. incluso cuando el numero positivo A. . no es necesariarnente un entero. La z'n tegral de orden A. de la fund6n f(x) entre los limz'tes (J_ y x se deft'n e por la e�­ presi6n '

(lOOc)

t LX (x - t)'J..-1f(t)dt.

n-'J..{(x) = r A.)

Ahora puede usarse esta definicion para generalizar la derivacion

de n-esirno orden , sirnbolizada por el operador Dn o dnjdxn , para in­ cluir la derivacion de J.t -esirno orden, donde J.1 es un nurnero arbi­ trario no negativo . Sea m el rnenor entero mayor que J.l, de modo que p ll = m - , don de 0 < p � 1 . Entonces Ia definicion es

(lOla)

Dll{(x) = JJmD- Pf(x) =

da; r�p) LX (x - t)P-1{(t) dt.

Una inversion del orden de los dos procesos daria Ia definicion

x 1 Dll{(x) = D- pJJmf(x) = r(p) r (x - t)P- 1{<m > (t) dt. Jo

Introduccion al cilculo

572

y

al anilisis matematico

Se deja al lector (ver el Ejercicio 1 2 ) emplear las formulas p ara la funcion gama con el fin de probar que

DaDPf(x) = DPDaf(x),

(101b)

· donde a y fJ · son nfuneros reales arbitrarios . El lector debe demostrar , que estas relaciones y el proceso generalizado de derivacion tienen un significado, siempre que la funci6n sea diferenciable en la forma ordinaria hasta un orden suficientemente alto para toda x y se anule existe si tiene derivadas continuas para � 0. En general , hasta de orden m-esimo, inclusive. En relacion con estas ideas, mencionemos la ecuacz'6n integral de A bel, Ia cual tiene importantes aplicaciones. Dado que

f(x) {(x)

DJJ{(x)

x

r(�)

= J1c,

Ia integral de orden t para una funci6n

{(x) esta dada por Ia formula {(t} dt = 'I'(X). D-1 12f(x) = -J1r.. 1 iox J-x-t

(102)

La formula se : llama ecuacion integral de Abel cuando se resuelve para una funci6rt desconocida dada Ia funcion 'Jf(x) del segundo miembro . Si Ia funci6n 'Jf(x) es continuamente diferenciable = 0, Ia soluci6n de la ecuacion esta dada por Ia for­ y se anula en mula

(102)

f(x),,

x

f(x) = D1 12'1'(x),

(103a) o bien ,

(104)

f(x) = J11c dx Jor x Jx'1/(t) t dt. d

_.:.

Ejercicios 4 . 14

1 . Verificar que para

n

entero no negativo,

( . + !)

r n

2 . Encontrar r(! - n) donde 3 . Demostrar que

n

.Jrc

(2n) ! 2 - n !4n _

·

es un entero positivo.

{ �).

B(x, x) = 2 1 -2xn x,

573

Integrales multiples

4 . Probar que

)

1 - J� r ( � x - Jro J� 1 - t X r ( 1- + -1 ) · x 2

I-

5 . Establecer las relaciones siguientes:

(a) (b)

n ! 2 22 n 2n+l 1o1 Jx1 - x2 dx = (2( n)+ 1) ! , n 1o1 J1x-2 x2 dx = 2(22 n+ln)(!n!) 2 . 1t'

y= z=h

6 . Probar que el volumen del o£tante positivo limitado por los pianos 0, 0, y la superficie xmJam + ymJbm z/c, donde m > 0, es

abh

7. Pro bar que

(h)c 2/m T(2 +

)2

=

T(1 + 1/m 2/m) ·

JJJ f ( :: + �: + �) xP-1yq-1zr- 1 dx dy dz

tomada sobre todo el octante positivo del elipsolde x2fa2 + y2f b2 1 es igual a

�

aPboc'" r 8

(f) +(f) (f) f ' f<<W•+<+•-•>" d� {P � + r) Jo r

r

x=

r

+

z2/c2

·

(Sugerencia: Introducir las nuevas variables �' l) , � escribiendo

x2 + y2 z2 = � b2 + C2 y2 + z2 = �l) b2 � z2 = �l)�

a2

8.

2 c

y

6

x = aJ�(1 - ·ll)

6

y = bJ�l)(1 - �)

6

z = c�

realizar las integraciones con respecto a l) y �.) Encontrar la coordenada x del centro de masa del solido

( xa- )

1 /n + y- lln + -z 1 /n � 1 ( b) (c) - '

X � 0, y � 0, Z � 0. 9. Hallar el momento de inercia del area encerrada por Ia astroide x2 3 + y213 = R213, con respecto al eje x . +

10.

Probar que Ia integral de multiplicidad (n

J

• • •

J f(xo +

• • •

+

Xn)Xoa0- 1

• • •

1

1)

Xnan- 1dxo

• • •

dxa

574

Introducci6n al cilculo y al anilisis matemitico

tomada sobre el octante positivo Xk � 0 para k el hiperplano xo + + Xn = 1 , es igual a •

•

11

r(ao) r(an.:..: ) =-:-""---"''------>- .:.=r(ao + . . . + an) •

1 1 . Probar que

•

2

•

2z

•

0

r( x) 2

0,

.

.

. , n,

limitado por

f(t) tao+ · · •+an-1 dt.

( �) -

r(x)r x +

=

;;

- 2-/ ·

1 2 . (a) Demostrar que para cualesquiera niimeros reales positivos no.Dr,f(x)

ex

y {3,

= Dr,Do.f(x) ,

donde las derivadas se definen por medio de ( l O l a) y f tiene de: rivadas ordinarias hasta el orden (p + q)-esimo que se anulan en x = 0, siendo p y q los menores enteros mayores que cx y {3, respec­ tivamente. (b) Bajo las condiciones anteriores, � es siempre cierto que no.D�'{(x) = no.+af(x)?

(c) Extender el resultado anterior al caso en el que negativos.

Apendice: A. l

cx

o {3 puedan ser

Analisis detallado del proceso de integraci6n

Areas

El area de un conjunto S puede ser definida rigurosamente si­ guiendo los lineamientos sugeridos por la intuicion , como se explic6 en la p . 422 . Esencialmente se usa una subdivision del plano , en cuadrados, por medio de rectas paralelas a los ejes coordenados . Se suman las areas de los cuadrados que estan contenidos por completo en S. Esto proporciona una cota inferior p ara el are a . Sumando las areas de todos los cuadrados que tienen puntas en comun con S se obtiene una cota superior para el area de S. Si estas cotas inferior y superior convergen hacia uno y el mismo valor conforme se hace in­ definidamente mas fina la subdivision del plano, se identifica este valor comun con el area de S. Esta construccion para el area de una region incorpora las mismas ideas de aproximarse a Ia region desde el interior y el exterior por medio de regiones compuestas de rectan­ gulos , lo que nos condujo a Ia nocion de Ia integral de Riemann de una fun cion f(x). 1 Antes de leer este Apendice el lector deberia repasar los argumentos que conducen a la integral de Riemann, en el Volumen I (pp . 192- 1 95 ) .

Integrales multiples

575

El concepto de area, como se define aqui, recibe el nombre de medida de jordan (en honor de uno de los iniciadores del analisis modem a preciso) o contenido de S. Est a no es la unica forma de presentar las areas. (Una definicion extremadamente importante, que se aplica a conjuntos mas generales, se llama medida de Lebes­ gue de S. ) La medida de Jordan, que nos ocupara exclusivamente aqui , tiene la ventaja de ser mas intuitiva y bastante adecuada para esas partes del analisis que se encuentran dentro del alcance de este libra . Por simplicidad trabajaremos principalmente en el plano . No obs­ tante, el tratamiento que se presenta se aplica a las dimensiones superiores simplemente con cambios en la terminologia , como el remplazo del termino area por volumen, cuadrado por cubo y asi sucesivamente . a.

Subdivisiones del plano pondientes

y

areas interiores

y

exteriores corres­

Para definir el area de un conjunto S en el plano x, y se usan subdivisiones sucesivas del plano en cuadrados de lado 1, t, t, !, por mt· d.io de paralelas equidistantes a los ejes coordenados 1 • La n­ esima subdivision (donde n es un entero positivo) es producida por las rectas .

.

.

(1) donde i y k varian sabre todos los enteros . Entonces se divide el plano Rlir. dados por

en los cuadrados cerrados

(2)

i+ 1 Rink .· j_n < X = < n 2 2 =

Sea ahara S cualquier conjunto acotado de puntas en el plano . 2

Se forman las aproximaciones desde abajo y desde arriba para el area A de S, formando la suma A:;; de las areas de todos los cuadrados R[fc lEn este momento , resulta util presentar el area a traves de un conjunto comple­ tamente espedfico de subdivisiones del plano en cuadrados. Posteriormente se con­ sideraran subdivisiones rriucho mas generales que conducen a la misma area. 'ltablando con propiedad, solo se definiran las areas para conjuntos acotados, aun­ que se define una integral "impropia" para algunos conjuntos no acotados, como el limite de areas propia's.

576

lntroduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

que estan contenidos completamente en S y Ia suma A! del area de todos los cuadrados Ri� que tienen puntos en comun con S. Aqui se define el area de un cuadrado R{ic que tiene el I ado 2-n , como 2-2n. En consecuencia , usando Ia notacion simbolica para Ia relacion entre los conjuntos explicada en Ia p . 1 14, se tiene1

(3)

A+n -

2-2n '

� 2-2n t. k Rfk nS�0

(ver Ia Fig. 4 . 1 ) . Result a evidente , por Ia definicion, que

(4) Conforme se pasa de Ia n-esima subdivision hacia Ia (n + 1) -esima, se divide cada cuadrado Ri� en cuatro cuadrados R�11• S i R/ic esta con­ tenido en S, deben estarlo sus partes Rnr:;1 • Si , ademas, una parte Rnr:;1 contiene un punto de S, entonces lo mismo se cumple para el cuadr-ado completo Ri�· Se concluye2 que sumas sucesivas satisfacen las desigualdades (5) En (5) se ve que las sumas A-; forman una sucesion no decreciente, con Ia cota superior Ai, asi, convergen hacia un limite

A;. A- = lim -co n

De modo semejante , las sumas A � forman una sucesion no creciente, con Ia cota inferior A1 y convergen:

A+ =

lim

n-co

A!.

Por ( 5 ) se tiene que para toda n

(6) se pone A; = 0. 2 Aqui se ha usado el hecho de que Ia suma de las areas de los cuatro cuadrados R"r�1 que constituyen a R;l es igual al area de R;Z, Ia cual, en este contexto, se deduce de Ia identidad aritmetica

1 Si ningun cuadrado R;l esta contenido por completo en S,

577

lntegrales mdltiples

A A- se le da el nombre de area z'nten:or y a A+ el de area exterz·o r de S. Todo conjunto S acotado tiene un area interior y una exterior ,

las cuales se dono tan por A -(S) y A+(S). El area z"nterior A -(S) tz"ene el valor 0

sz· y s6lo sz· S no tz"ene puntos z"nterz'ores, pprque un conjunto sin puntos interiores no contiene cuadrado R//e alguno, de mpdo que A; = 0 para todo n y, por tanto, A- = 0. Un conjunto con puntos interiores contiene alg-Un cuadrado Rik para n lo suficientemente grande, de modo que A; > 0 para n grande y, asi , A- > 0.

b. Conjuntos mensurables segun Jordan

y sw

areas

Se dice que un conjunto acotado S es mensurable segun jordan si

e1 area interior

A- y el area exteri�r A+ de S coinciden .2·

el valor comun por A y se le dara el nombre de

Se denotara

area o medz"da de jor­

dan de S:

A -(S) = A+(S) = A(S). N6tese que para los cuadrados

Ri'k

usados en las definiciones, Ia

noci6n original de "area" , y Ia nueva , Ia medida de jordan, coin­ ciden . Cada cuadrado

Ri'k

tiene Ia medida de Jordan

tido de Ia definicion general, ya que , para S = A;;(S) = A� =

(2m- n)22-2m

[(�-n)2 + 4(�-n) + 4]2-2m

=

=

S: tiene el area (b -

a

�

x � b,

a) (d - c),

2-2n .

c�y�

S con lados paralelos a

d

como es de esperar con base en Ia

geometria elemental ; porque , dado un entero positivo hallar los enteros a, 1

Ji, y,

el sen­

2-2n + 22-m-n + 22-2m•

. Mas generalmente, cualquier rectangulo

los ejes coordenados :

2-2n en

Ri� y m > n ,

n, se pueden

� tales que

Con frecuencia se usan tambien los terminos medida dej(Jrdan o contenido interior respectivamente, medida exten'or de jordan o contenido exterior.

q,

!En Iugar de usar Ia £rase "el conjunto S es mensurable segU.n Jordan" , simplemente se dira "S tiene un area" . El termino medida tiene Ia ventaja de ser independiente de ta dimensi6n y puede usarse con igual propiedad para Ia longz'tud en una dimensi6n, para el area en dos dimensiones y para el vo lumen en dimensiones superiores.

578

Introduccion al calculo

Entonces,

y

al analisis matematico

a2-n < a � (a + 1)2-n, f32-n � b < (f3 + 1)2-n y2-n < c � (y + 1)2-n, 62-n � d < (o + 1)2-n.

A;(S) = (f3 - a - 1)(o - y 1)2-2n ·� (b - a - 21 -n)(d - c - 21 -n), A!(S) = (f3 - a + 1)(o - y + 1)2-2n � (b - a + 2 1 -n)(d - c + 2 1 -n), -

de modo que, cuando

lim

n-�

n �

oo ,

A;(S) = lim A!(S) = (b - a)(d - c). n -�

La tarea siguiente es encontrar criterios acerca de Ia mensura­ bilidad de un conjunto S. Se probara con bastante generalidad que para que un conjunto acotado S ienga un area es necesario y sufi­ ciente, que su frontera as tenga area cero. En la demostracion, considerese una subdivision del plano en cuadrados R/k y f6rmense las sumas correspondientes A; (S) y A� (S) como en (3 ) Es obvio que A� - A; representa Ia sum a de las areas de los cuadrados R{k que contienen puntas en S asi como puntas que no estan en S. Sea O' n el conjunto de esos cuadrados . Cada cuadrado de O'n contiene un punta frontera de S, porque, evidentemente , un punta frontera de S se encuentra sabre el segmento rectilineo que une un punta P de R/k en S con un punta Q que no esta en S, pero que est a en el mismo cuadrado R/ic . Por tanto , cad a cuadrado de O' tiene n puntas en comun con a S, y, como consecuencia, .

Si as tiene area 0 (o , lo que es lo mismo , area exterior 0), el segundo miembro tiende a 0 cuando n � oo , y se encuentra que A+ ( S) ­ A-(8) = 0, bien , que S tiene un area. Invers;1 mente , sup6ngase que S tiene un area , de modo que

(7)

lim

n-oo

[A�(S) - A;(S)] = 0.

Un punta P en el plano , que para un n fijo solo pertenece a cua­ drados R/k contenidos en S, debe ser un punta interior de S. 1 De modo semejante , un punto que solo pertenece a cuadrados libres de 1 Recuerdese que los cuadrados . R;'i. son cerrados. De a qui que P podria pertenecer a cuatro cuadrados.

Integrales multiples

579

pun tas de S debe ser un punto exterior de S. Sea P un punto trontera de S. Si P no estuviera en cuadrado alguno de O" n , tendria que per­ tenecer a un cuadrado contenido en S asi como a un cuadrado lib re de p untas de S. Pero esto es imposible , dado que dos cuadrados asi no pueden tener un punto comun . Por lo tanto, todo P en as esta contcnido en un cuadrado R/lc del conjunto cr n . El area total de esos cu adrados es A�(S) - A�(S). Cualquier cuadrado R/f.: que tenga un pun to en comun c� n aS es un Cuadrado en O" n , 0 bien, uno de los ocho cua dra dos vecinos a este ' teniendo un punto en comun con el . Asi . cl a rea total de los cuadrados Ri% que tienen puntas en comun con as no puede ser mayor a nueve veces el area total de los cua­ drados en <J n : A�(aS) � 9[A�(S) - A�(S)].

aqui que ( 7 ) implica que A + (aS) = 0 y , por tanto , que a s tiene area 0 . Un ejemplo de u n conjunto que no tiene area, e n e l sentido es­ tabkc ido , se tiene en el conjunto de los puntas racionales en el cuadrado unitario, es decir , el conjunto S que consiste de los puntas (x, y), donde x y y son numeros racionales entre 0 y 1 . 'Aqui Ia fron­ tera aS es e} conjunto de todos los (X, y) con 0 � X � 1, 0 � y � 1 y , por t a nto , tiene area 1 . A p artir del teorem a dado , se concluye que S no es mensura ble seglin jordan . De

c. Propiedades biisicas de las areas Sean S y T dos conjuntos acotados , con S contenido en T. t1 n cuad rado Ri% que contiene un punto de S necesariamente contiene u n pun to d e T, d e modo que A�(S) � A�( T).

Cua ndo n � CX) se encuentra que , en general ,

(8)

para

S e T.

+ En el caso particular en que A ( T) = 0 , se concluye que tam bicn A+(S) = 0. D e aqui que :

Cualquier su bconjunto de un conjunto de area 0, tiene area 0 . Para cualesquiera dos conjuntos acotados S, T , I a totalidad de los cuad rados R/i. que cubren a S y T tambien cubre a su union S U T. ·

580

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Por tanto

Cuando n �

oo

A�(S U T) � A�(S) + A�( T) .

se encuentra que

(9) Mas generalmente, p ara cualquier numero finito de conjuntos 81 , , SN se tiene la subaditividad finita de las areas exteriores, expresada por la formula

S2,

•

(10)

•

•

+ N N + A ( U St ) � L: A (St ). i=l i=l

Si en ( 1 0 ) todos los St . tienen area 0, lo mismo se concluye para la union:

La union de cualquier numero finito de conjuntos de area 0 tiene area 0 . En particular, cualquier conjunto fin ito de puntos tiene area 0. Por definicion, un conjunto de area 0 puede ser cubierto por un numero finito de cuadrados R/ic de area total A! arbitrariamente pequeiia . Con mas generalidad , un conjunto S tiene area 0 si para cada e > 0 puede encontrarse un numero finito de conjuntos 81, . . . , SN que cubran a S, y cuya suma de areas exteriores sea menor que e, porque entonces, por (8) y (9), el area exterior de S es menor que e, y, por tanto , como e es un numero arbitrario positivo, A + (S) = 0. Por ejemplo, un arco continuo C en el plano, dado no para­ metricamente por una ecuacion

Y = f(x)

(a � x � b)

tiene area 0 . Para la demostracion, solo se tiene que aplicar el hecho de que una funcion continua definida en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua . Porque , dado e > 0, puede hallarse un n tan grande que los valores de f difieran en menos que s para dos argumentos cualesquiera en su dominio que esten separados una distancia < 2- n . Pueden encontrarse los enteros a, J3 tales que

La porcion de la grafica de f(x) que corresponde a valores de x, con i2-n < x < (i + 1)2-n , esta contenida en un rectangulo con lados

Integrales multiples

581

que son paralelos a los ejes coordenados y que. tienen las longitudes 2- n y 2E. De aqui que C esta contenido en la union de estos rectan­ gulos con lados paralelos a los ejes, de area total

Cua ndo n � oo , se concluye que

A+(C) � 2(b - a)s, y, por tanto , como E es un numero positivo arbitrario, que el arco C tiene area 0 . L a mayoria de las regiones de interes practico tienen fronteras que consisten de un numero finito de arcos continuos de la forma y == {(x) 0 X = g(y). Como la union de un numero finito de conjuntos de area 0 tiene a su vez area 0, se concluye que tales regiones tienen una frontera de area 0 y, por tanto , son mensurables segun jordan :

Sup6ngase que la frontera de un conJunto S esta contenida en la uni6n de un numero finz"to de arcos, cada uno de los cuales esta dado por una ecuacz"6n y = {(x) o Por una ecuacz"6n x = g(y}, con la fun­ cz"6n f o g definida y continua en un z"ntervalo cerrado finito: Enton­ ces S tz"ene un area. 1 Considerese ahora la uni6n y la interseccz"6n de S y T, donde S y T son dos conjuntos mensurables segun jordan, cualesquiera. Un punto que es interior a S o a T es interior a S U T; un punto exterior a S y a T es exterior a S U T. Por tanto, un punto frontera de S U T debe ser punto frontera ya sea de S o de T. De modo semejante, pun­ tos frontera de S n T deben ser puntos frontera ya sea de S o de T. De aqui que l as fronteras de S U T y S n T se encuentran en la union de as y oT y tienen area 0, dado que las fronteras as y aT tienen area 0. Esto prueba el hecho fundamental : La uni6n y la intersecci6n de dos conJuntos mensura bles segun Jordan son, a su vez, mensurables segun]ordan. Aplicando (9) se concluye : 1Mas generalmente, se deduce de la misma manera que un conjunto S en n dimen­ siones es mensurable segU.n jordan si su frontera esta contenida en la union de un n\unero finito de superficies, cada una dada por una ecuaci6n de la forma X! = /(X1 , • • •, X1-1, Xj+1, • • • , Xn)

con / continua en un conjunto cerrado y acotado del espacio X1 • • •XJ-1 X1+1

o o o :JCn

Introduccion al calculo

582

Sz" los conjuntos S tz'ene un area 'Y

y

y

al analisis matematico

T tz'enen un ar�a, su unz"6n S U T tam bz'en

A (S U T) � A(S) + A(T).

(11)

Es mas, si S y T no se traslapan (es decir, los puntos interiores de cualquiera de los dos conjuntos son exteriores al otro), incluso puede concluirse que A(S U T) = A (S) + A( T).

(12)

Porque entonces un c '! adrado R//c no puede estat contenido simul­ taneamente en S y T. De donde, para la n-esima subdivision, Cuando n �

oo .

se deduce que

Dado que S, T y S U T son mensurables seg6n Jordan , esto implica que A(S U T) � A(S) + A(T),

de modo que ( 1 2) se deduce de (I I ). Este resultado se puede extender inmediatamente a tualquier numero finito de conjuntos mensurables seg6n Jordan y constituye la adz'tzuidad finz'ta de las areas:

Sz' cada uno del numero finz'to de conjuntos 81 , . . . , SN tz'ene un area y nz"ngun par de ellos se traslapan, entonces la unz'6n S de sl. . . , SN tambz"en tz"ene un area 'Y .

(13)

A(S) = A(S1) + A(S2) +

· · ·

+ A(SN).

Este teorema de adicion se puede suplementar con un teorema de sustraccz'6n. Dados dos conjuntos S, T con S C T, denotemos por T - S el conjunto de los puntos de T que no estan contenidos en S. Se probara que cuando S y T tienen areas y S c T, entonces T - S tiene un area y

(14)

A(T - S) = A(T) - A(S),

Una vez mas se ve , con facilidad, que la frontera de T S esta contenida en la union de las fronteras de T y de S, de modo que T S tiene un area. Ademas, S y T - S no tienen puntos en comun, -

lntegrales multiples

583

por tanto no se traslapan y tienen Ia union T, de modo que , por Ia regla de aditividad ( 1 2 ) ,

A(T) = A(S) + A(T - S), lo cual es equivalente a ( 1 4) . Una combinacion mas simetrica d e las reglas d e adicion y sustrac­ cion p ara las areas consiste· en la identidad (15)

A(S n T) + A(S U T) = A(S) + A(T)

valida para cualesquiera dos conjuntos mensurables segU.n Jordan S y T. En efecto , se tiene la identidad

S U T- T= S- S n T entre los cuatro conjuntos S, T, S n T, S U T. Como los cuatro con ­ juntos tienen un area , puede aplic;arse ( 1 4), y se deduce ( 1 5). Los teoremas precedentes nos permiten liberar a la nocion de area de toda referencia a los cuadrados especiales R//e usados en su de­ finicion. Se vera que el area se puede definir en terminos de metodos de subdivision del plano mucho mas generales , incluyendo, por ejem­ plo , subdivisiones del plano en rectangulos con lados paralelos a los ejes . Primero se observa que , para un conjunto S, mensurable segun Jordan, todos los puntos lo suficiencemente proximos a la frontera as de S pueden encerrarse en un conjunto de area arbitrariamente pequeiia , porque , corno as tiene area 0 , es posible , para un e > 0 dad o, encontrar un n n(e) tal que el conjunt? O'n de los cuadrados Ri� que tienen puntos en comun con as tenga area total < e/9. Sea P un punto del plano , a una distancia < 2- n de algun punto de as. En­ _ tonces P pertenece a uno de los cuadrados en O'n , o bien, a uno de .los ocho vecinos de ese cuadrado . La union del conjunto de todos los cuadrados en O'n y de sus vecinos es entonces un conjunto de area < e que contiene a todos los puntos que estan a una distancia < 2- n de los puntos de as. . T6mese ahora una subdiVision M del plano completo en rec­ · tangulos cerrados con lados p aralelos a los ejes coordenados. Los rectan­ gulos no necesitan ser congruentes, pero se requiere que la subdi=

584

Introduccion al cilculo y al anilisis matematico

VISion sea .tan fina que todos los rectangulos p tengan diametros 1

me nores que 2- n<e>. Se forma Ia suma AE"(S) de las areas de todos los ;ectangulos P de Ia subdivision hecha que esten contenidos en S, y t ambie n Ia sum a· A�(S) de todos los p que tengan puntos en comun con S. Evidentemente,

AE"(S) � A(S) � A�(S).

Ademas, A�(S) - Ai;(S) representa Ia suma de las areas de todos los

rectangulos p que contienen· tanto puntos en S como puntos que no

estan en S. Estos rectangulos necesariamente contienen puntos fron­ S. Supuesto que su diametro es menor que 2 -n, cada punto

tera de

de ese rectangulo p estara a una distancia menor que punto de

o S.

menor que

2-n

de alg(ln

De aqui que , el area total de estos rectangulos sera

E. Por tanto,

A�(S) - A E"(S) < E, y, consecuentemente ,

A(S) - AE"(S) < E, A�(S) - A(S) < E. Tomando una suce�io11 de subdivisiones

� n del

plano en rectangulos,

con el diametro maximo de cualquier rectangulo en �n tendiendo a cero, se encuentra que las sumas correspondientes

A�(S)

tienden hacia el area A(S) del conjunto .

y

A;(S)

El argumento usado se aplica .con igual propiedad a subdivisiones

�n mucho

mas generales del plano en conjuntos p . Solo se necesita

requerir que los conjuntos individuates p sean mensurables seg(ln Jor­

dan , cerrados y conexos, y que el diametro maximo de cualquier

conjunto

A.2

P en una subdiyision

tienda a 0 confonne n ---+ 6o .

Integrales de funciones de varias variables

a. DefiniciOn de la integral de un :fu,nci6n f(x, 11>

Primero se definira Ia integral de una funcion f(x, y) sobre el pla­ x, y completo. En toda esta secci6n se supondra que Ia funci6n f(x, y) esta definida para todo (x, y) pero tiene el valor 0 fuera de alg(ln

no

1

El diimetro de un conjunto se defme generalmente como la menor cota superior (o,

en el caso de un conjunto cerrado y acotado , como el m�ximo) de las distancias en­

tres dds puntos cualesquiera en el conjunto. En el caso de un rect�ngulo el di�metro es

la longitud de las diagonales.

Integrales multiples

585

conjunto acotado , es decir, que f(x, y) = 0 para todo (x, y) lo su­ ficientemente alejado del origen (se dice que tales funciones tienen soPorte compacta) . Ademas , se supone que f es acotada. Al definir la integral de una funcion f de esta clase se hace uso del mismo tipo de subdivision del plano , en cuadrados cerrados R/ic,como en el caso de l as areas . Sea Mik el supremum y mik el infimum 1 defen el cuadrado Rik · Entonces se asocian a f y a Ia n -esima subdivision del plano la suma suPerz"or

y

Ia suma z"nferz"or 2

� Fn- = £..A m nk 2-2n i. k i

•

Solo un numero finito de terminos en estas sumas son diferentes de 0, dado que f = 0 p ara puntos distantes. Como mik � M/ic, se tiene

(16) Al pasar de la subdivision n-esima a la (n + 1) -esima , cada cuadrado R{ic se divide en cuatro cuadrados Rnt/ de areas 2-2n-2 , para los cuales, o bviamente,

Se deduce que

mink

<

=

mn+l ;s

<

=

n+ l Mjs •

<

=

Mink·

(17) Dado que las sucesiones monotonas acotadas convergen (ver el Volumen I , p . 96), las sumas superior e inferior tienen limites

(18) don de , por supuesto, (19) Ver las definici6nes en el Vol}lmtfu. I, p. 97.

'El factor 2-2n Jepresenta el area de los cuadrados R;� producidos en Ia n-esima subdivision. En tres dimensiones, donde se subdivide el espacio en cubos de I ado 2- n , a el factor se convierte en 2- n y, de modo semejante, en k dimension� es 2-kn.

Introduccion al calculo

586

y

al analisis matematico

F+ recibe el nornbrc de integral superior y F- es la integral inferior de la funci6n f(x, y). DEFINICION Sc dice que la funci6n f(x, y) es integrab le 1 si su integral superior F+ y su integral inferior F - tienen el mismo valor, el cual entonces se llama integral. de f y se denota Por

JJ f dx dy. Como

p+

-

F-

=

Urn

n- oo

(F�

-

F;;),

inmediatamente se tiene Ia siguiente condici6n de integrabilidad : es necesario y suficiente, para la integrabilidad de f, que

lim (F� - F;) n-co

(20)

=

n lim Z: (M/k - m/ic)2- 2 n-oo i. k

=

0.

A la n-esima subdivision se le puede asociar una suma de Riemann

donde mente ,

(�fk, llik) es un punto

arbitrario del cuadrado Rik· Evidente­

(21) De ( 1 8) se concluye que : Si f es integrable las sumas de Riemann Fn convergen hacia el valor f dx dy , independientemente de la elecci6n de los puntos in­ termedios Tlik) en Rfk.

JJ

(�ih

b. Integrabilidad de las junciones continuas e integrales sobre conjuntos

Para las aplicaciones de la noci6n de i ntegral es b asico el teorema siguiente: 1 Mas precisamente, "integrable segun Riemann" . La definicion dada aqui defiere de Ia comun en cuanto a que solo se considera Ia clase restringida de subdivisiones en los cuadrados Rfk pero es equivalente a ella .

Integrales multiples

587

Una funci6n continua f que se anula fuera de algun con;"unto acotado S es integra b le. Para Ia demostraci6n se puede suponer que S es un cuadrado

l x i � N,

I Y I � N,

donde N es un entero positivo . Entonces , en la n-esima subdivision , M/k, = mik = 0 para Rik no contenido en S. En el conjunto cerrado y acotado S Ia funci6n continua f es uniformemente continua . Como consecuenci a , dado e > 0, existe un <5 > 0 tal que los valores de f difieren en menos que e para dos puntos cualesquiera en S que esten separados por una distancia menor que <5. Asi ,

M/ic - mik � e,

siempre que n sea tan grande que

Por tanto ,

donde Ia suma se extiende sobre todos los i, k para los cuales los cuadrados Rik esten contenidos en S. Ya que Ia suma de las areas de esos cuadrados es igual al area 4N2 de S, se deduce que

· para todo n lo suficientemente grande y, de aqui, que f satisface la condici6n de integrabilidad (20) . Las funciones continuas no son las unicas integrables. N o se trataran de determinar las funciones integrables m as generales . Sin embargo , se considerara una clase importante de funciones discon­ tinuas que son integrables , a saber , las funciones caracteristicas de los conjuntos acotados , mensurables segll.n jordan . Con cualquier con­ junto S en el plano se asocia la funci6n caracterfstica �s definida por

�s( x, y) =

11

0

p � ra

p a ra

(x, y)

E

S

(x, y) $. S.

Los puntos donde � s es discontinua son exactamente los puntos

· frontera de S.

588

. .

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

Tomemos ahora un conjunto acotado S e investiguemos la in­ tegrabilidad de la funci6n rps(x, y). Lo acotado de S implica que ¢Js se anula fuera de algun conjunto acotado . Obviamente, p ara esta fun­ cion M[k = 1 p ara todos los cuadrados Rile que tienen puntos en comun con S, y M/ic = 0 para los demas. De esta manera , la suma superior F; es precisamente la suma A!(S) de las areas de todos los cuadrados Rile que tienen puntos en comun con S. Por tanto, para la funci6n rps la integral superior p+ = n-oo lim F� es identica al area exte:rior A\S). De modo semejante , F� es igual al area total A�(S) de los cuadrados Rile contenidos en S, ·de modo que la integral inferior F- es el area interior A-(S). De a qui que la integrabilidad de rps es equivalente a tener A +(S} = A-(8), es decir, a la mensurabilidad de S segun Jordan . Cuando rps es integrable , el valor F de su integral es, por supuesto , el area A (S) . Se ha probado que :

Los conjuntos S cuya funcz'6n caracteristz'ca r/Js ts z'ntegrab l.J son exactamente aquellos que tz'enen un area. La z'ntegral de rfis es el area de S:

JJ r/Js dx dy = A(S).

A partir de funciones continuas y funciones caracteristicas de con­ juntos mensurables segun Jordan , pueden construirse otras funciones integrables , aplicando la regi a :

El producto d e dos funciones z'ntegrables es z'ntegrable. Sean f y g integrables , lo cual para nosotros implica que son acotadas y que se anulan fuera de algiin conjunto acotado . Deno­ temos por M[ic, M'ik, M"ik los supremos y mik , m'ik , m"ik los infimos de las tres funciones fg, {, g en el cuadrado Rik. Para dos puntos cuales­ quier a (�', 11'), (�", 11"), se tiene \

{(�', 11')g(�', 11') - {(�", 11'i)g(�", 11") ·'

= {(�', 11')(g(�', 11') - g(�", 11")] + g(�", 11")[{(�', 11') - {(�", 11")].

De aqui que , denotando por N una cota superior para

If/ y / g / :

M[ic - mik � N(M"ik - m"ik) + N(M'ik - m'ile).

Inmediatamente se deduce que fg satisface la condici6n de inte­ grabilidad (20), si es satisfecha por fy por g. Dados una funci6n (x, y) y un conjunto S en el plano x, y, se dice que f es z'ntegrable sobre et conjunto S si la funci6n {,Ps es integrable

f

Integrales multiples

589

en el senti do usado anteriormente ; entonces se define la integral de f so bre S por

Jfs t dx dy = JJ ftfis dx dy.

(22)

Por el teorema del producto se tiene :

Una funci6n integra ble f es integra ble so bre todo conjunto S men­ surable segun jordan. En particular, toda funci6n continua de sopor­ te compacto es integrable so bre conjuntos mensurables segun]ordan. Si f es integrable sobre el conjunto S, el valor de la integral

Jfs . l dx dy

no depende de los valores de f en los puntos que no estan en S, dado que la funci6n ftfi s esta determinada por los val ores de f en los puntos de S. Incluso no es necesario tener a f definida en todo punto . Mien­ tras S pertenezca al dominio de una funci6n f, puede definirse ftfis como igual a f en los puntos de S y 0 en todos los demas. Para cualquier f(x, y), integrable siempre puede interpretarse

JJ f dx dy como

Jfs f dx dy,

donde S es algun cuadrado suficientemente grande, fuera del cualf se anula . c.

Reglas basicas para integrales multiples

Ya se vi6 que el producto de dos funciones integrables f y g, a su vez, es integrable. Aun mas trivial es el hecho de que f + g tambien es integrable ; se deduce a partir de Ia condici6n de integrabilidad (20) y la observaci6n de que para cualquier conjunto

sup({ + g) - iru(f + g) � ( sup f

-

inf f) + (sup g

-

inf g).

Entonces, Ia representaci6n de las integrales . como limites de sumas de Riemann muestra que

590

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

JJ (f + g)dx dy = JJ fdx dy + JJ g dx dy.

(23)

Una estimaci6n analoga al teorema del valor medio del ctilculo integral para funciones de una sola variable es b asica para todo lo que se hace con integrales . Sea S un conjunto mensurable seglinjordan y f una funci6n integrable . Sea M una cota superior y m una cota in­ ferior para f en S. Se puede hacer una aproximaci6n de Ia integral de por las sumas de Riem ann

ftfis

donde sc tiene el cuidado de elegir como (�ik. TJJk ) un punto de S, si el cuad rado contiene tal punto . Asi ,

Rik

Rik

donde Ia suma se extiende sobre todos los i, k para los cuales tiene puntos en comun con S. Dado que m � M en S, se encuentra que f

�

mA �(S) Cuando n

�

� Fn � MA�(S).

oo se concluye que

ya que , por hip6tesis , S tiene un area , se concluye que se cumple Ia desigu aldad

(24) ,

mA(S)

� ffs f dx dy � MA(S) .

Sean S' y S" conjuntos mensurables seglin Jordan que no se traslapan (es decir , puntos interiores de uno de ellos son exteriores al otro); sea S su union y s su intersecci6n . Las funciones caracteristicas de estos conjuntos satisfacen la relaci6n

De aqui que , aplicando (23 ) , para cualquier funci6n integrable f se encuentra la relaci6n

Jf ftfis dx dy + JJ ftfis dx dy = JJ {tfis ' dx dy + JJ ftfis" dx dy;

Integrales multiples

59 1

es decir ,

Jfs f dx dy + Jl f dx dy Jfs, f dx dy Jfs, f dx dy. +

=

Aqui , por hipotesis , s solo contiene puntos frontera de S' donde , A(s) = 0, y, por tanto , por (24), tambien

Jfs t dx dy

=

y

de S". De

0.

Esto prueba la ley de aditividad para las integrates: Si los conjuntos S' y S" tienen areas y no se traslapan y si f es in­ tegra ble, se cumple la relaci6n

(25)

ff f dx dy JJs'uS"

=

ff f dx dy + f dx dy. JJs, JJs,

ff

Mas genera lmente , si S es la union de los conjuntos mensurables , BN, ningwna pareja de. los cuales se traslapan , segun Jordan 81 , y si f es int<:>gra ble , se tiene .

(26)

.

.

ff f dx dy JJs

=

f

ff . f dx dy. t=I JJs,

Esta regla abre Ia posibilidad de aproximar las integrales sobre un conjunto S, por medio de sumas de Riemann basadas en subdivi­ siones mucho mas generales que las que se han considerado hasta aqui . Supongase , por simplicidad, que S es un conjunto cerrado, mensurable segun Jordan , y f una funcion continua en S. Una "sub ­ division genera l" 2: de S es una representacion de S como la union de los conjuntos mensurables segun Jordan 81 , . , SN > ninguna pareja de los cuales se translapan . En cada Si se selecciona un punto ar­ bitrario (�t, lli) y se forma Ia suma generalizada de Riemann .

(27) Se probara que

F1:.

.

N

=

2: f(�i, ll i)A(Si ) . i=l

F tiende a Ia integral de f sobre el conjunto S, a medida que Ia subdivision se hace indefinidamente mas fina . La fun ­ cion continua f es uniformemente continua e n el conjunto cerrado y acot a do S Dado un E > 0, puede encontrarse un o > 0 tal que f varie en menos que E entre dos puntas cualesquiera de S que se encuentren a una distancia menor que o. Supongase que Ia subdivision 2: es tan fina que todos los St tienen di ametro < o , es decir, que dos puntas cualesquiera en <:>l mismo St estan a una distanci a menor que o . En­ tonces,

Introducci6n al cilculo

592

{(�t , 11t)

y

al anilisis matematico

- E � {(�, 11) � {(�t, 11t) + E

para todo (� , 11) en St. De (24) se deduce que

- E]A(S,) � Ifsi t(l;, 11)dx dy � [{(�,, 11t) + E]A(&). De aqui que , por (26), (27), (13), F'E - EA(S) � Ifs tdx dy � F-r. + EA(S) . Se concluye que las sumas generalizadas de Riemann F'E difieren ar­ [{(�, , 11t)

bitrariamente poco del valor de la integral de f sobre S, para todos las subdivisiones � lo suficientemente finas. d. Reducci6n de integrales multiples a integrales s,imples repetidas

Por lo comun, puede reducirse el c alculo del valor de una integral triple a la evaluaci6n de integrales simples y dobles - y, de modo semejante, el de las integrales dobles a integrales simples y , en ge­ neral , el de una integral en el espacio n a integrales en el espacio (n 1) aplicando el teorema siguiente: -

f(x, y, z) z f(x, y, z) .

x, y,

Sea una funci6n integra ble definida en el espacio Sup6ngase que para cualesquiera valores fi}os de se tiene en una funcz"6n de la unica varia ble z, que es integra ble, 1 y sea

(28) Entonces

(29)

x, y

I f(x, y, z)dz = h(x, y).

h(x, y) como funcz·6n de x, y es integra ble IIIf(x, y, z) dx dy dz = II h(x, y) dx dy. y

Para la demostraci6n , considerese la n-esima subdivision del pacio z en los cubos Gjk dados por

x, y,

es­

1 Por supuesto, aqui se toman las integrales simples en el mismo sentido que las in­ tegrates dobles; se definen con Ia ayuda de las subdivisiones de la recta en intervalos i2- n � z � (i + 1)2-n , tomando las sumas inferior y superior, y asf sucesivamente.

Integrales multiples

593

F6rmese Ia suma superior p ara Ia integral triple def:

donde M/Jk es el supremum, de f(x, y, z) en C/Jk, y, de modo se­ mejante , f6rmese Ia sum a inferior F;,. T6mese ahora cualquier punto fijo (x, y) en el cuadrado Rij ,

i+l Rinj ·• 2in < X � -�' =

j_ <

2n

=

Y

<j + l =

2n

•

Entonces M/}k es una cota superior para f(x, y, z) como una funci6n de z en el intervalo

I; :

; � z � k�1 .

De (24) y (26) se deduce que , para x, y,

h(x, y) = ==

E

Rlj

J f(x, y, z) dz :E f f(x, y, z) dz � :E M//k2-n, 1 k . JJk k

t&

Denotemos por � y H;, las sumas superior e inferior para Ia integral de h(x, y) en la n-esima subdivision. Se concluye que

y,

de manera semejante ,

Como

�� F: = �� F; = se

JJJ f(x, y, z) dx dy dz,

deduce que h(x, Y) . es integrable y que se cumple (29). Bajo hip6tesis apropiadas, puede reducirse aun mas Ia integral doble ''Por supuesto, esta implkito en nuestras hip6tesis que f se anula fuera de alguna regi6n acotada . de modo que solo interviene un numero finito de los intervalos I&

594

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Jf h(x, y) dx dy

a un integral simple repetida

f g(x) dx,

donde , para cada x fija , la funcion g(x) esta definida por

g(x)

=

f h(x, y) dy .

Para aplicar esta reduccion solo se tiene que saber que , para cada x fija, se tiene en h(x, y) una funcion integrable de y. Sin embargo, es­ to es una consecuencia de la analoga bidimensional de la formula (29 ) , si se establece la hip6tesis adicional de que f(x, y, z), para cual­ quier x ftja, es una funci6n integrab le en el plano y, z, de modo que

Jf f(x, y, z) dx dy = f h(x, y) dy

=

g(x) .

De aqui que puede evaluarse la integral triple original por medio de integraciones simples repetidas :

(30)

JJff(x, y, z) dx dy dz f { f[ff(x, =

y,

J }

z) dz dy dx.

Una aplicacion sencilla , conocida desde el calculo elemental, se tiene en la formula para la reduccion de una integral de volumen, sobre una region cilindrica , a una integral doble . Sup6ngase que S, u n conjunto cerrado e n e l plano x, y , tiene un area y que a(x, y), �(x, y) son funciones continuas definidas en S, con a(x, y) � �(x, y). Denotemos por C la region cz"lfndrica

C: (x, y)

E

S,

a(x, y) � z � �(x, y).

La frontera de C consiste de las superficies z = a(x,y), y z = �(x, y), las cuales, por la p . 5 8 1 , tienen volumen 0, y' 'de los puntos en C para los cuales (x, y) se encuentra sobre la frontera Bb de S. Dado que Sb tiene area 0, este ultimo conjunto tambien tiene volumen 0. Esto in­ dica que C es mensurable segun jordan . Sea ahora f(x, y, z) una fun­ cion continua definida en C. Entonces f(x, y, z)f/>c(x, y, z) es integrable y

Integrales multiples

595

JJJc f dx dy dz = JJJ f(x, y, z),Pc(x, y, z) dx dy dz

existe . Ahora bien, para cualquier (x, y) E S , fijo, Ia expresi6n f(x, y, z),Pc(x, y, z) se anula fuera del intervalo

a(x, y) � z � �(x, y) (el cual podria reducirse a un punto) y es continua en el intervalo . De donde , f(x, y, z),Pc(x, y, z) es integrable y tiene Ia integral

h(x, y) •

=

J f(x, y, z),Pc(x, y, z) dz = lpa( (x,y,y) ) f(x, y, z) dz, x

donde se ha hecho uso de Ia notaci6n ordinaria para las integrales definidas sobre intervalos . Para (x, y) $. S se tiene f(x, y, z),Pc(x, y, z) ::=: 0 para toda z. De aqq.i que, para cualquier (x , y) ,

h(x, y) = t/Js(x, y)

lpa(x(x,y,y) ) f(x,

y, z) dx dy.

Consecuentemente , en este caso Ia identidad (29) conduce a

(31) A.3

a.

JJJc f(x, y, z) dx dy dz = J£ [J�:::> f(x, y, z) dzJ dx dy.

Transformacion de areas e integrales Aplicaciones de conjuntos

Nuestro prop6sito sera deducir Ia regia por medio de Ia cual se transforma una integral multiple cuando se cambian las variables de integraci6n . Un cambio asi de las variables x, y en el plano es una aplz"caci6n T de Ia forma

� = f(x, y), 11 = g(x, y),

(32)

donde f y g estan definidas en un conj unto n, el dominio de Ia aplicaci6n . (Aplicaciones semejantes definen un . cambio de variable en dimensiones superiores. ) Cada punto (x, y) en n tiene una imagen (mica 11). Las imagenes forman el recorrido ro = T(D.) d� Ia aplicaci6n T (ver Ia p . 288) . Mas generalmente, para cualquier sub­ eonjunto S de. D. , se denota por T(S) el conjunto que consiste de las imagenes de todos los puntos de S.

(�,

596

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

Para las aplicaciones T consideradas aqui se haran las suposi­ ciones siguientes : 1.

El dominio n de T es un conjunto abierto acotado en el plane X,

2. 3.

y.

Las funciones de aplicaci6n f, g . son continuas primeras derivadas continuas, fx, {y, gx, gy , en n. El jacobiano A de la aplicacion no se anula e n Q :

y

tienen

(33)

(�, ll)

La aplicaci6n es b iunivoca; es decir, cada punto en ro es de n. la imagen de un solo punto La formula (33) tiene la importante consecuencia (ver la p . 308) de que para cada vecindad E N£ , de un pun to de 0 existe. una contenida en T(N£). Esto im­ vecindad () del punto imagen plica que , para cualquier subconjunto S de Q, un pun to interior de S se aplica sobre un punto interior de T(S). Por tanto, los conjuntos abi�rtos S se aplican so bre los conjuntos a bt'ertos T(S) 1 En particular, el recorrido m de la aplicaci6n es abierto . La condici6n 4 afirma que existe una aplicaci6n inversa T- 1 , la cua l a cada en ro le asocia el unico en n que es aplicado por T sobre T)). La aplicacion inversa esta dada por las funciones 4.

(x, y) ,

(xo, yo)

(�o, llo)

(�, ll) (�,

(x, y)

x a(�, T)), y =

=

�

(�, ll)

definidas en el conjunto abierto ro, las cuales son continuas primeras derivadas continuas

y

tienen

(ver la p. 308) . El jacobiano de la aplicaci6n inversa es

d(x, y) a�; d(�, ll) I �!; =

por supuesto, tambien es diferente de cero . De aqui que , en pocas p alabras , la aplicaci6n inversa 1'-1 tiene todas las propiedades que se postularon para T. y,

1 Se dice que T es una aplz'cacz'6n abierta.

Integrales multiples

597

Con el fin de llegar al area de la imagen de un conjunto S, pri­ mero se considerara un cuadrado cerrado R'fk contenido en n y se es­ timara el area de T(Rik). Sup6ngase que se da una cota superior !l para l fx l , l fv l , l gx l , l gy l y una cota superior M para I A I en Rik· Su­ p6ngase tambien que se tiene una cota supe rior e para la variaci6n de cualquiera de las cantidades {x, {y, gx, gy en Rik· lntroduciendo las abreviaturas Xi = i2-n, yk = k2-n para las coordenadas del vertice in­ ferior i�quierdo de Rik , pueden aproximarse f y g en Rik por medio de las funciones lineales

ftic(x, y) = {(Xi, Y.t) + {x(Xi, Y.t)(x - Xi) + {y(Xt, Y.t)(y - Y.t) g7k(x, y) = g(xt, Y.t) + Cx(Xt, Y.t)(x - Xt) + gy(Xt, Y.t)(y - Y.t) . Por el teorema del valor medio del calculo diferencial (ver la p . 95), para todo (x, y) en R'fk se tiene

f(x, y) = f(xt, Y.t) + fx(x', y')(x - Xt) + fv(x', y')(y - Y.t) g(x, y) = g(xt, Y.t) + Cx(x", y")(x - Xt) + gy(x", y")(y - Y.t), donde (x', y') y �x", y") son puntos intermedios apropiados .sobre la recta que une (x, y) y (xt, Y.t). Se concluye que, para cualquier (x, y) en Rik ,

l f(x, y) - fik(x, y) I

= I [fx(x', y') - fx(Xi, Y.t)](x - Xi) + [fv(x', y') - fv(Xt, Yk)](y - Y.t) I � 2e2-n,

y,

de manera semejante,

l g(x, y) - gik(x, y) I � 2e2-n. Ahora bien, la aplz"caczon l'in eal

(34)

� = f/fc(x, y),

11 = gik( x, y)

lleva el Cuadrado Rik hacia el paralelogramo 1tfk con vertices

(f + 2-n{x, g + 2- ngx), (f + 2-n{y, g ({ + 2:_n{x + 2-n{y, g + 2-ngx + 2-ngy),

({, g),

+

2- ngy),

donde {, g, {x, {y, gx, gy deben tomarse en el punto (x�, Yk). El area de este paralelogrC;tmo es el valor absoluto del determinante (p . 236)

598

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

Las coordenadas (� , 11 ) de cualquier punto de T(Rik) difieren cuando mas en · 282- n de las coordenadas correspondientes de un punto en 1tik • obtenido por medio de Ia aplicacion lineal. De aqui que todo punto en T(Rik) esta en 1tik • o bien, cuando mas a una distancia 2312e 2- n de uno de los lados de 1tfk. Cada lado de 1tik tiene cuando mas una longitud de .J2 2- n Jl. El conjunto de los puntos que se encuentran dentro de Ia distancia 23'282-n de uno de los lados tiene cuando mas un area de

(4J2 2- ng)( J2 2- nJ..L) + 1t(2J2 � n8)2 = 88(1t8 + J..L)2-2 n.

Dado que el area de 1t£k no es mayor que M2-2 n, se encuentra que T(Rfk) esta contenido en un conjunto cuya area es cuando mas

(35) Tomese ahora cualquier cuadrado R1� que surj a en Ia N-esima subdivision , contenido en 0. En el' conjunto cerrado R1� , las canti­ dades I fx I , I !11 I , I gx I , I gy I· tienen una cot a superior comun � · Supuesto que fx, gx, {11, g11 son uniformemente continuas en R};., puede encon­ trarse una subdivision mas fina en cuadrados Rfk tal que estas fun­ ciones varien en menos que 8 en cada cuadrado Rfk C Rfr . Si M{k denota el supremum de I I en Rfk, de (35) se encuentra que es cubierto por conjunt'os cuya area total es cuando mas de

T(Rj;.)

A

donde F� es Ia suma superior correspondiente a Ia n-esima subdi­ vision para Ia integral

JJ:J;. I A dx dy. F� AI I

Cuando n -+ oo las sumas superiores tienden al . valor de la in­ tegral, dado que Ia funcibn I es continua y, por tanto, integrable sobre Como 8 es un numero positivo arb itrario , se encuentra que [ver (8}, ( 1 0�, pp . (579, 5 80 ] el area exterior de la imagen del CUa­ drado Rf:. satisface la desigualdad

RJ:..

(36)

A

+[T(Rfr)l .� JJ:J;.

I A I dx dy,

Integrales multiples

599

la cual representa el primer paso en el calculo del area de conjuntos imagen. T6niese ahora cualquier conjunto S mensurable seglin jordan, el cual , junto con su frontera esta en 'el conjunto abierto 0.. Puede hallarse un conjunto ceq·ado · C .Q y un N tal que para n > N cualquier cuadrado de lado que tiene puntas en comun con S 1 n > N, denotemos por S'. Para este completamente en la union de los cuadrados Rik que tienen puntas en comun con S. La imagen de es cubierta por las imagenes de esos cuadrados. De aqui que (36) proporciona l a estimaci6n para el area exterior de T(S)

aS , S' n 2-

R'!Jc

·

Sn

Sn

A+[T(Rik)l RI:::; ik csn I A i dx dy = JLSn I. A i dx dy.

A+ [ T(S)] ;£ A+ [ T(Sn)] ;£ ;£ I::::

Rikcsn

J��

�k

Sn

tiende a la integral sobre Cuando n � cx:> la int�gral de I A I sobre y el area total de los que tienen S, ya que J A J est a acotado en en comun con S, sin estar por completo en S, tiende a 0 para puntas el conjunto S mensurable segun jordan . Asi, se ha probado que

S'

R"/k

A+[T(S)] ;£ ffs I A I dx dy

(37)

para cualquier conjunto mensurable segll.n jordan cuya cerradura es­ te en n. Bajo las mismas hip6tesis respecto a S, tambien (37) se puede de s, la cual es un subconjunto cerrado de n aplicar a la frontera de area 0 . Entonces! por ( 37 ) ,

as

A+[T(aS)] � Jfi[Jas 1 A 1 dx dy ;£ (Max as 1 A I )A(aS) = o.

De a qui que

T(aS) (�n, Ttn) (xn, Yn)

(�, (�n, Ttn)

T(S)

tien� area 0 . Se.a 11) un pun to frontera de considerese una sucesi6n de puntas en con el limite (�, 11). Los son imagenes de los puntas en S. Una 'Sub­ 'converge hacia un punto en la cerradura sucesi6n de los de S y, por tanto, en n . La continuidad de la aplicaci6n T implica es Ia imagen de Aqui no puede ser un punto 11) tendria que ser un punto in­ interior de S, puesto que entonces y no un punto frontera. De aqui que y) es un punto terior de

y

que (�, Tt)

T(S)

(x,y).

(�,

T(S) (xn, Yn) (x, y)

(x, y)

(x,

1 S6lo se tiene que elegir como S' la union de todos los Rf,. que tienen puntos en comun con S, donde N se toma lo suficientemente grande.

600

lntroducci6n al calculo

y

al analisis matematico

frontera de S. Asi , la frontera de T(S) consiste de imagenes de pun­ tas frontera de S y, por tanto, es un subconjunto del conjunto T(oS) que, se ha demostrado, tiene area 0. Por tanto , la front era de T(S) tam­ bien tz"ene a:r:ea 0 y se ha probado que T(S) es mensura ble segun ]or­ dan. Entonces se puede remplazar A+[ T(S)] en (37) por el area A[T( S)] y encontrar que A [ T(S)] existe y satisface

(38)

A[T(S)]

� JL I A I dx dy = J.J: / ��!: �� I dx dy

Para cualquier conjunto S mensurable segun jordan cuya cerradura este en .Q. Se vio que la frontera de T(S) esta contenida en T(oS) y, por tan­ to, en ro. Asi , T(S) es un conjunto mensurable segun Jordan cuya cerradura esta en ro = T(.Q). Supuesto que T y T- 1 tienen las mismas propiedades , la formula (38) se puede aplicar a la aplicacion inversa y encontrar que tambien

(39)

A(S)

� ffT(S) I ���: �� i d� dll = JL(S) I � I d� dll.

Si se aplica esta ultima formula a un cuadrado R"!k contenido en

n, se encuentra que

donde m� es la maxima cota inferior de

IAI en R"!k� Por tanto .

Para cualquier conjunto mensurable seg(In Jordan con cerradura en n, denotemos por Sn la union de los Rik c S . Entonces donde F;, es la sum a inferior para la integral de S. Cuando n ____,. oo se concluye que A[T(S)] �

Jfs IA i dx dy.

I A I sobre el conjunto

Asi , combinando con (38) se ha probado el hecho fundamental :

Integrales multiples

601

Sea S un conjunto mensurable seg(tn jordan cuya cerradura se en­ cuentra en el domz"nz"o n de la. aplz'cacz'6n T Entonces la imagen T(S) tam bz"en tz"ene un area y esta area esta dada por la f6rmula

A[ T(S)] = JL<s> d� d11 = Jfs I ��� �� I dx dy.

(40)

b. Transforrnaci6n de integrales multiples

Es facil pasar de la formula (40), la cual representa la ley de trans­ formaci6n de las areas, a la formula mas general para la transfor­ macion de integrales. Se establecen las mismas hip6tesis anteriores acerca de la aplicaci6n T Ahora, sea S un conjunto cerrado, men­ surable segU.n Jordan , contenido en n y sea una funci6n en S. Dado que la aplicacion inversa definida y continua para x = es continua en Q Ia funcion esta definida y es continua en el conjunto T(S) Una vez mas, de­ notemos esta funci6n de y por la letra F. Entonces la ley de trans­ formacion para las integrales toma la forma

F(x, y)

(x,y)

a(�, 11), y = �(�, 11)

F(a(�, 11), �(�: 11))

� 11

rr JJ T<s>

(41)

(�, 11) F d� d11 = JrrJs F l dd(x, y) I dx dy. ·

Para Ia demostracion se h ace uso de Ia representaci6n de l as in­ tegrales de las funciones continuas por medio de las sumas gene­ ralizadas de Riemann (ver la p . 5 9 1 ) . Se considera una subdivision general de S:

s

= i-un1 s,,

donde los 81 son subconjuntos cerrados mensurables seg(tn Jordan, de S, que no se traslapan. Los conjuntos imagen proporcionan Como Ia apli­ una subdivision correspondiente del conjunto caci6n T es uniformemente continua en el conjunto cerrado S, los diametros de los conjuntos imagen tienden a 0 cuando aq;m­ tece lo mismo con los de los St . T6mese una subdivision tan fina que f varie en menos que e en cada Sea un punto en s,. Entones tambien uno de los valores tornados por Ia funci6n ces F6rmese Ia suma de Riemann en el conjunto 11), correspondiente a la integral de la izquierda en (41 ) .

T(St) T(S).

F(xt, Yt)

F(«(�, �(�, 11))

T(St) S�.. (xt, Yt) T(St).

Introduccion al calculo

602

y

al analisis niatematico

·� F(xt , Yt)A[T(St)] = � JJs. F(xt, Yt) t

I A(x, y) I dx dy � JJsi F(x, y) IA(x, y)l dx dy + r JJs F(x, y) I A(x, y) I dx dy + r, t

'

=

=

t

don de

I r I I � JJsi [F(xt, Yt) - F(x, y)] I A(x, y) I dx dy I � E � JJsi IA(x, y)ldx dy eA[ T(S)] . =

=

Conforme Ia subdivision se h ace mas fina Ia suma de Riemann tiende a Ia integral de F sabre el conjunto T(S) . Cuando E --+ 0 se obtiene Ia identidad ( 41 .

)

A.4

Nota acerca de Ia definicion del area de una superficie curva

En Ia Seccion 4 . 8 (p . 480) se definio el area de una superficie cur­ va en una forma un tanto diferente a Ia que se uso para definir Ia longitud de arco en el Volumen I (p . 348). En Ia definicion de Ia lon­ gitud, se partio de poligonos inscritos, mientras que en Ia definicion del area se usaron pianos tangentes en Iugar de poliedros inscritos. Para ver por que no se pueden usar poliedros . z'nscrz'tos, considerese + esa parte . del cilindro con ecuacion . = 1 en el espacio z, ·que se encuentra entre los pianos z = 0 y z = 1. El area de esta super­ fide cilindrica es 21t . Inscribase ahora en el una superficie -poliedrica, cuyas caras sean todas triangulos identicos, del modo siguiente: sub­ dividase Ia circunferencia del circulo unitario en n p artes iguales y, sobre el cilindro, considere los m circulos horizontales equidistantes z = 0, z = h, z = 2h, . . . , z = (m 1)h, donde h = 1/m. Subdividase cada uno de estos· circulos en n partes iguales, de tal manera que los ptJntos de division de cada circulo esten encima de los centros de los arcos del circulo precedente. Considerese ahora un poliedro inscrito en el cilindro cuyas aristas consistan de las cuerdas de los drculos y de las rectas que unen los puntos de division vecinos de. circulos :vecinos . Las c aras de este poliedro son triangulos is6sceles congruen­ tes, Y · si se eligen n y m lo suficientemente grandes , este poliedro se aproximara tanto como se desee a Ia superficie cilindrica . Si ahora n se mantiene fijo , puede elegirse m tan grande que cada uno de los

x2 y2

-

x, y,

Integrales multiples

603

triangulos este tan aproximadamente paralelo al plano x, y como se desee y, por lo tanto , forme un angulo con la superficie del cilindro arbitrariamente pronunciado. Entonces ya no se puede esperar que Ia suma de las areas de los triangulos individuales sea una aproximaci6,n para el area del cilindro . De hccho, las b ases de los triangulos in­ dividuales tienen la longitud 2 sen nfn, y la altura , por el teorema de Pitagoras , la longitud cos

) = Jm2l + 4 sen 4-2n7t

7t 2 -

n

•

Como, obviamente, el numero de triangulos es 2mn, el area de la superficie del poliedro es

1t 1t 1t l - J+ 4 sen4 - = 2n sen - J 1 + 4m2 sen 4 2n m2 2n n

7t Fn,m. = 2mn sen n

•

El limite de esta expresi6n no es independiente de la manera en la que m y n tienden al infinito. Si, por ejemplo, se mantiene n fijo y se hace que m � oo , l a expresi6n crece mas alla de toda cota . Si, si:ri. embargo, se h ace que m y n tiendan simultaneamente a oo , poniendo m = n, la expresi6n tiende a 2n. Si se pone m = n se obtiene el limite

y

asi sucesivamente. A partir de la expresi6n anterior Fn,m para el area del poliedro se ve que el limite inferior (punto inferior de acumulaci6n) del conjunto de numeros n,m es 2n, don de m tiende a infinito junto con n, de cualquier manera . 1 Esto se deduce inme­ diatamente de Fn m � 2n sen n/n y lim 2n sen ·rt/ n = 2n.

F

,

n-co

1 El Umite inferior L de una sucesi6n acotada Fn (denotado por L = lfm infFn) se n-oo definir en varias formas equivalentes: ( a ) L es Ia maxima cota inferior de los limites de todas las subsucesiones conver· gentes de Ia sucesi6n Fn. (b) L es el limite, cuando N -+ oo de las maximas cotas inferiores de los conjun· tos obtenidos de la sucesi6n Fn omitiendo los primeros N terminos. (c) L es el punto inferior de acumulaci6n (ver el Volumen I, p. 95) de Ia su­ cesi6n Fn es decir, L es el menor numero con la propiedad de que toda vecindad de L contiene puntos Fn para un numero infinito de valores de n. (d) Para cada E positivo se tiene: Fn < L e para cuando mas un nUmero finito de valores de n y Fn < L + e pa�a un numero infinito de valores de n. El lfmite superior M = lfm sup Fn de la sucesi6n Fn se defme de manera analoga .

puede

La sucesi6n

n-co converge si y s61o si L = M.

-

604

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

Por ultimo, se mencwnara - sin demostraci6n - un hecho te6ricamente interesante del cual el caso que acaba de darse es un ejem­ plo particular . Si se tiene cualquier sucesi6n de poliedros que tienden bacia una superficie dada, se ha visto que las areas de los poliedros no necesariamente tienden bacia el area de la superficie . Pero el limite de las areas de los poliedros (si existe) , 0 , mas generalmente, cualquier punto de acumulaci6n de los valores de estas areas siempre es mayor que, o al menos igual a , el area de la superficie curva . Si para cada sucesi6n de tales superficies poliedricas se encuentra el limite inferior del area , estos numeros forman un conjunto definido de numeros asociados con Ia superficie curva . El area de la superft"cie curva puede defz"n z"rse como la maxima cota ·inferior de este conjunto de numeros. 1

1 Esta notable propiedad del area semicontinuidad inferior.

se

llama semicontinuidad o , con m is precision,

CAPITULO

5

Relaciones entre las integrales de superficie y las de volu111en Las integrales multiples que se discutieron en el capitulo anterior no son las unicas extensiones posibles del concepto de integral a casos de mas de una variable independiente . Surgen otras generalizaciones del hecho de que regiones de varias dimensiones pueden contener variedades de menos dimensiones, y de que pueden c onsiderarse in­ tegrales sobre tales variedades. Asi, para dos variables independientes no solo se consideraron las integrales sobre regiones bidimensionales, sino tambien integrales a lo largo de curvas, que son variedades uriidimensionales . Con tres variables independientes, junto con las integrales so bre regiones tridimensionales e integrales a lo largo de cutv as se encontraron integrales sobre superficies curvas. En el presente capitulo se introduciran las integrales de superficie y se dis­ cu tiran las relaciones mutuas entre integrales sobre variedades de dimensiones vari ables . ! &. 1

Relacion entre las integrales de linea y las integrates dobles en el plano (los teoremas de Ia integral de Gauss, de Stokes y de Green)

Para las funciones de una sola variable independiente , la formula 1

Se usa el U�rmino var£edad si:n definicion precisa , como un nombre generico los conjuntos de un numero no especificado de dimensiones. En este libro se tra,ta exclusivamente con variedades que son subconjuntos de algUn espacio eucli­ diano, tales como las curvas, las superficies bidimensionales, las hipersuperficies y las regiones tetradimensionales en el espacio euclidiano tetradimensional. Con mas generalidad, pueden definirse las variedades sin hacer referenda a un espacio eu­ clidiano que las rodee. Tales variedades se asem�jan localmente a porciones defor­ madas del espacio euclidiano , mientras que su estructura en conjunto puede ser mucho mas complicada que la de dicho espacio. pa.ra

605

606

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

fundamental que enuncia la relacion entre la derivacion gracion (ver el Volumen I, p. 1 90) es

y

la inte­

Jxxo1 f'(x) dx = {(x1) - f(xo).

(1)

En dos dimensiones se cumple una formula analog a - teorema de Gauss, tambien llamado teorema de la divergencia. Aqui, nue�Ja­ mente , la integral de una derivada de funciones

JL fx(X, y) dx

dy

0

JL g.v(x,y) dx dy

se transforma en una expresion que depende de los valores de las propias funciones sobre la frontera . Aqui se considerara la frontera C del conjunto R como una curva orientada + C, eligiendo como sen­ tido positivo sobre C aquel para el cual la region R permanece a la "izquierda" conforme se describe la curva frontera C. l Entonces el teorema de Gauss afirma que (2)

ff JJR

f [f(x,y) dy - g(x,y) dx]. [fx(x,y) + gy(x,y)] dx dy = J+c

Este teorema contiene como un caso especial a Ia formula anterior que expresa el area A del conjunto R como una integral de linea = 0 e inme­ sobre la frontera C de R. Pongase = diatamente se obtiene

f(x, y) x, g(x, y)

A =

JL dx dy = Lc x dy.

f(x, y) = 0 y g(x, y) = y, se A = JL dx dy = - Lc y dx ,

Exactamente de la misma manera , p ara obtiene

que concuerda con lo obtenido en el Volumen I (p . 36·7 ) . E l teorema d e Ia divergencia s e vuelve particularmente sugerente en la notacion del calculo de formas diferenciales, como se explico en las p . 357 - 3 7 6 . En (2) , la integral de linea tiene el integrando

L

= f(x,y) dy - g(x,y) dx,

1Suponiendo que el sistema coordenado x, y es derecho.

Relaciones entre las integrales

607

una forma diferencial de primer orden . En efecto, L puede iden­ + tificarse con la forma m as general de primer orden Por la definicion de la p . 363 , la derivada g= si se toma f = de esta forma es

b,

a(x, y)dx b(x, y)dy

- a.

dL = df dy - dg dx = (fx dx + {11 dy) dy - (gx dx + g11 dy) dx = fx dx dy - g11 dy dx = (fx + g11) dx dy, lo cual es precisamente el integrando de la integral doble dada en (2). De aqui que la formula (2) toma la forma 1 (2a) En la demostraci6n nos restringiremos al caso en el que R es un conju nto abierto cuya frontera C es una curva simple cerrada que consiste de un numero finito de arcos suaves; ademas, se supondra que toda paralela a uno de los ejes coordenados .se . intersecta con C en cuando mas dos puntos . 2 Se requiere que f y g sean continuas y tengan primeras derivadas continuas en la cerradura de R (que con­ siste de R y de su frontera C). Primero se supondra que la funcion g se anula identicamente . En­ sobre R existe y se puede escribir como tonces la i ntegral doble de una integral repetida 3

fx

1 El proceso de formar la frontera de un conjunto R presenta analogias formales con la derivacion. Por esa raz6n frecuentemente se usa el simbolo oR. para Ia fron­ tera +C R, escribiendo (2a) como

(2b) En realidad, esta formula se aplica mucho mas generalmente a las formas diferen­ ciales integradas sobre variedades en el espacio n- dimensional (ver Ia p. 692) 2 En el Apendice se prueba el teorema (y sus generalizaciones en dimensiones superiores) bajo Ia hipotesis de que R es la cerradura de un conjunto abierto li­ mitado por una curva simple que es suave en todo punto. 3 El conjunto R esta limitado por Ia union de un numero fini�o de arcos suaves y, por tanto (ver Ia p. 581), es mensurable segun jordan. Entonces, la integral de la funcion continua {:z sobre R existe y se define como la integral de �R/:z sobre el plano completo donde �R es la funcion caracteristica del conjunto R . (es decir �R es 1 en los puntos de R pero es 0 en todos los demas puntos). Es permisible Ia re­ ducci6n de Ia integral doble a una integral repetida (ver Ia p. 592) , puesto que Ia funci6n �R{:z puede ser integrada sobre cada paralela al eje X·; en efecto, cada paralela al eje x corta a R en un intervalo abierto, o bien, no lo toea, de modo que la integral de · �R{x sobre una paralela al eje x- es la integral de Ia funcion continua' (s sobre un intervalo abierto o tiene el valor cero.

608

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

IL fx(x, y) dx dy = Idy Itx(x,y) dx.

(3)

Sobre cada paralela al eje x, la variable y es constante . Las paralelas al eje x que se intersectan con R corresponden a valores de y que for· man un intervalo abierto Tto < y < 11 1, la proyecci6n de R sobre el eje y. 1 Para cada y en ese intervalo la correspondiente paralela al eje x determina en R un intervalo , xo(y) < x < x1(y), cuyos puntos ex­ tremos son las abscisas de los dos puntos de intersecci6n de Ia pa­ ralela con C (ver Ia Fig. 5 . 1 ) M as concretamente, Ia formula (3) afirma que .

Figura 5.1

IJ fx dx dy = J111 h(y) dy, 11 0

R

donde h(y)

De aqui que (4)

= fxlxo<11(1/)> fx(x, y) dx = {(x1(y), y) - f(xo(y), y).

IJ fx dx dy = J11 1 {(x1(y), y) dy - J'll f(xo(y), y) dy. R

110

11 0

Introduzcanse los dos arcos simples orientados + C1 , + Co dados parametricamente por 1 La proyecci6n de R es un intervalo abierto porque R tera es una curva simple cerrada y, por lo tanto, conexa.

es

abierto y su fron·

Relaciones entre las integrales + C1 : X = Xl

t , y = t,

para

+ Co : x = xo

t , y = t,

para

609

respectivamen te , donde , en cada caso , el sentido de la creciente corresponde a la orientaci6n del arco. Entonces la formula (4) se puede escri bir como

IJ fx dx dy = J R

+C t

f dy

-

J

+Co

f dy.

Ahora C1 y Co forman , respectivamente , las porciones derecha e iz­ quierda de C, donde, no obstante, + C1 tiene la misma orientaci6n que C y + Co la opuesta . Denotando por - Co el arco que se obtiene invirtiendo la orientaci6n de Co , resulta (ver la p . 1 24)

IJ f dx dy J ==

R

+C 1

f dy +

I

-Co

f dy =

J

+C

f dy.

De m anera semejante, + C se descompone en u n arco "superior"

y

y = y 1 (t) ,

para

Y = Yo (t) ,

para

un arco "inferior" + ro : X =

t,

orient ados de acuerdo con el senti do de Ia t creciente . Aq•li el inter­ valo �o < x < �� representa la proyecci6n de R sobre el eje x. Enton­ ces,

�l yl (X) J�[j gy dx dy = J dx JY0(� gy dy �

R

fr. l g(x, y1(x)) dx - J�l g(x, yo(x)) dx �o

= J"

=

J

r.o

+r1

g dx -

= -J

-ri

J

+ ro

g dx -

J

g dx

g dx

+r o

610

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

= - I g dx +C

dado que aqui ro �iene la misma orientaci6n que c y r l la opues­ ta. Sumando las dos identidades obtenidas se llega a la formula general (2). Ahora la formula se puede extender a conjuntos abiertos R mas generales limitados por una curva simple cerrada C, siempre que C pueda descomponerse en un numero finito de arcos simples cl, . . . ' Cn cada uno de los cuales se intersecta cuando mas en un punto con cualquier paralela a uno de los ejes coordenados. 1 Con el fin de probar que aqui tambien

(5)

JJ fx dx dy I =

+C

R

f dy,

tracense paralelas al eje y que pasen por todos los puntos extremos de los arcos simples Ct (ver l a Fig. 5 . 2) . De esta manera se descompone Pa

Figura

5.2

R en un numero finito de conjuntos R1, . . . , RN , c ada uno de los cuales esta limitado lateralmente por segmentos rectilineos paralelos 1 No siempre se satisface esta hip6tesis. Por ejemplo, Ia curva frontera C puede consistir en parte de la curva y = x2 sen (l/x), la cual es cortada por el eje x en un numero finito de puntos y no puede ser descompuesta en un numero finito de arcos cortados en solo un punto.

Relaciones entre las integrales

61 1

al eje y y arriba y abajo por subareas simples de dos de los areas ci. La formula

jjR i fx dx dy = J+ri f dy ff

se puede aplicar a cada uno de los conjuntos Ri con frontera ri , ya . que ri se intersecta con cada paralela al eje x en cuando mas dos puntas . A qui la orientacion de la curva frontera + ri concuerda con la de + C en las porciones no vertic ales y es I a de l a y creciente sabre la frontera derecha y la de la y decreciente sabre la frontera izquier­ da . Sumando las formul as para i = 1, . . , N las integrales dobles sobre los Ri conducen a la integral doble sabre R. En las integrales de linea sabre las + ri las contribuciones sabre los segmentos ver­ ticales auxiliares se c ancelan, dado que c ada segmento se recorre dos veces , una vez hacia arriba , una vez h acia abajo . De a qui que las in­ tegrales de linea sabre l as curvas + ri se agregan a Ia integral sabre la curva completa + C, y se obtiene Ia formula (5 ) . De Ia misma manera se prueb a que .

JJR gy dx dy = J+C g dx, -

dividiendo R por media de paralelas al eje x que pasen por todos los puntas extremos de los a reas Ct. Los mismos argumentos conducen a afirmar tambien que puede suprimi rse I a hipotesis de que Ia frontera C de R consiste de una sola curv a cerrada C. El teorema de Ia divergencia (2) se aplica con igual propiedad cuando C consiste de varias curvas cerradas, mientras c pueda descomponerse en un niimero finito de areas simples , cada uno de los cuales se intersecte cuando mas en un punta con paralelas 0 los ejes . AI tamar la integral sabre + C tiene que darse a cad a una de las componentes cerradas de C Ia orientacion correspondiente para dejar R a la izquierda . Entonces, la descomposici6n por media de paralelas al eje y aiin conduce a regiones cuya frontera se intersec­ ta cuando m as en dos puntas con cualquier p aralela al eje x (ver la Fig. 5.3 ) . De esta manera , s e prueba e l teorema d e Ia divergencia para regiones R mas generales descomponz'endo R en regiones para las cuales el teorema ya ha sido prob ado . Con frecuencia, como alter­ nativa R se puede transformar en una region p ara Ia cual se sabe que

612

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

Figura 5.3

el teorema es aplicable . Excribiendo el teorema de Ia divergencia como

If

R

dL =

I

+C

L,

observa que l as formas diferenciales dL y L estan definidas in­ dependientemente de l as coordenadas , como se explic6 en la Secci6n 3 . 6d, p. 373 . Sea

se

x = x(u, v}, y = y(u, v)

una transformaci6n uno a uno continuamente diferentiable, con jacobiano positivo, que lleva a R bacia un conjunto R * con frontera C* en el plano u, v. Entonces L = f dy - g dx = f(Yu du

+

Yv dv) - g(xu du + Xv dv)

= ({yu - gxu) du + (fYv - gxv) dv = A du + B dv,

don de A = fyu - gxu,

B = fYv - gxv.

La derivada de L, calculada en las variables x, ta dada por

y,

o bien, l as

dL = df dy - dg dx = (fx + gy) dx dy

u, v,

es­

Relaciones entre las integrales

- Av) du dv,

= dA du + dB dv = (B u

613

de modo que (como tambien puede verificarse directamente)

({x +

gy)

d(x,y) = Bu - Av. d(u,v)

Sup6ngase que se refiere C a un parametro t:

a ;£ t ;£

y = y(t)

x = x(t),

b,

donde la ori entaci6n de + C corresponde a la t creciente . Usando el mismo valor del p arametro t, para los puntos correspondientes de + C* se tiene, para las integrales de linea de L sobre C y C* el valor comun

JL - JdtL dt _- J+C (tdydt - g dxdt ) dt - J+C* (A dudt + B. dvdt ) dt. _

_

·

De modo semejante , se tiene el mismo valor para l as integrales de area los dos pianos :

en

ff = ffR dL

(fx + .gy) dx dy

iiR*

=

fL.

d(x,y)

(fx + gy) d(u,v) du dv (Bu - Av) du dv.

De aqui que el teorema de Ia divergen:cia para R,

JJR ({x + se

gy)

dx dy =

JC ({ dy - g dx)

deducira de Ia formula correspondiente p ara R *,

JffJR* (Bu - Av) du dv = J+C* (A du + B dv).

Para Ia validez del teorerna en una region R b asta con que R se pueda transformar en un region cuya frontera consista de arcos· sim-

614

Introduccion al dikulo

y

al anilisis matematico

pies que se intersecten con paralelas a los ejes en, cuando mas , un punto. Si, por ejemplo, Ia frontera C (o el propio R ) es un poligono, siempre puede girarse Ia figura de tal manera que ninguno de los lados del poligono sea paralelo a los ejes , y sera aplicable el teorema de Ia divergencia. 5.2

Forma vectorial del teorema de Ia divergencia. Teorema de Stokes

El teorema de Gauss se puede enunciar en un forma particular­ mente simple si se usan las notaciones del analisis vectorial . Con este fin se consideran las dos funciones f(x, y) y g(x , y) como las com­ ponentes de un campo vectorial plano , A. El integrando de Ia in­ tegral doble en Ia formula (2) se denota por div A,

div A = {x(X, y) + gy(X, y) se llama divergencia del vector A (ver Ia p . 2 5 1 ) . Con el fin de ob­ tener una expresi6n vectorial para la integral de linea de Ia derecha en el teorema de la divergencia, se introduce la longitud de arco s de Ia curva frontera orientada + C (ver el Volumen I , p . 352). Aqul , el sentido de Ia s creciente se hace corresponder a Ia orientaci6n 1 de la curva + C. Entonces el segundo miembro de la identidad (2) se trans­ forma en y

J

c

[f(x, y)y - g(x, y)x] ds,

1 En efecto , est a convenci6n respecto a s hace el valor de una integral de linea de Ia forma

I=

L h ds

independiente de Ia orientaci6n de C siempre que el integrando C no dependa de Ia orientaci6n. Si se representa h parametricamente en Ia forma x = x(t), y = y(t) para a � t � b donde el sentido de t creciente corresponde a una orientaci6n particular de C, entonces I=

L h ds = lb h :� dt,

donde ds/dt > 0. En particular, I > 0 siempre que el integrando h sea positivo a lo largo de Ia curva.

Relaciones entre las integrales

615

donde se pone dxfds = x y dyfds = y. Recordemos ahara que el vector plano t , con componentes x y y tiene longitud unitaria y. la direcci6n de Ia tangente en el sentido de la s creciente y, por tanto , la direccion dada por la orientaci6n de C. El vector n con componentes � = y y 11 = - x tiene longitud I , es perpendicular a la tangente y, ademas , tiene la misma posicion relativ(l al vector t que la del eje x positivo relativa al eje positivo y 1 Si , co� o es costumbre , una rotaci6n de g o o en el sentido del mo­ vimiento de las manecillas del reloj lleva al eje y positivo bacia el ej e x positivo, el vector n se obtiene por una rotaci6n de go o en el sen­ tido del movimiento de las manecillas del reloj del vector tangente t. De donde, n es el vector normal que apunta hacia el lado "derecho" de la curva orientada C (ver el Volumen I , p. 346). Como, en nuestro caso, + C esta orientada de tal manera que la region R se encuentra a su izquierda , se concluye que n es el vector unitario en la direcdon de la normal trazada hacia afuera (ver Ia Fig. 5 .4) . Las componentes �' 11 del vector unitario n son los cosenos directores de Ia normal bacia afuera : � = cos e,

'Jl -= sen e

y

Figura

5.4

I Esto se ve a partir de las consideraciones de continuidad; puede suponerse que construye la tangente a la curva de modo que coincida con el eje Y· y que t apun­ te en la direcci6n de la y creciente. Entonces x = 0, y = l, de modo que el vector n con componentes l; = 1 y TJ = 0 tiene la direccion del eje x positivo.

se

616

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

si n forma el angulo (1 con el eje X positivo . Resulta util observar que las componentes de n tambieo se pueden escribir como las derivadas direccionales de x y y en Ia direcci6n de n :

dado que para cualquier escalar h(x, y) I a derivada d e h en I a direc­ ci6n de n esta dada por

dh = cos e + h y sen e = �hx + dn hx

-

Tthy

(ver Ia p. 7 1 ) . . Por lo tanto , el teorem a de Gauss se puede escribir en Ia forma

JL

(6)

di v

.( (r�: + g :� tiS.

A dx dy =

Aqui el integrando de Ia derecha es el producto escalar A n del vector A con componentes f, g y el vector n con componentes dx/dn, dy/dn. Ya que el vector n tiene longitud 1 , el producto esc alar A • n representa Ia componente A n del vector A en Ia direcci6n de n. Consecuentemente , el teorema de Ia divergencia toma Ia forma

If

(7)

R

div A dx dy =

JA• C

n

ds =

•

J A n ds. C

Dicho en palabras , la integral do ble de la divergencia de un campo vectorial plano so bre un conjunto R es igual a la integral de lfnea, a lo largo de la front era C de R, de la componente del campo vecton"al en la direcci6n de la normal hacia afuera. Para llegar a una interpretacion vectorial completamente diferen­ te del teo rem a de Gauss en el plano , se pone

a(x, y) =

-

g(x, y),

b(x, y) = f(x, y).

Entonces, por (2), (8)

If (bx - ay) dx dy = J (ax + by) R

C

ds

=

J

+C

a dx + b dy.

Si , nuevamente , se toman las dos funciones a y b como componentes de un campo vectorial B (donde , en cada punto, se obtiene B a par-

Relaciones entre las integrales

617

tir del vector A por medio de una rotacion de 90 ° en sentido con­ trario al movimiento de l as manecillas del reloj) , se ve que ax + by es el producto escalar de B con el vector unitario tangencial t:

ax + by

=

B

• t =

Be ,

donde Be es Ia componente tangencial del vector B . El integrando de la integral doble dada en (8) apareci6 en l a p . 2 52 como una com­ ponente del rotacional de un vector en el espacio . Para aplicar a qui el concepto de rotacional , imaginemos el campo vectorial plano B continuado de alguna m anera en el espacio x, y, z, de modo que en el plano x, y las componentes x y y de B coincidan con a(x, y) y b(x, y), respecti vamente . Entonces bx a y represent a la componente z, (rot B) z , del rot B. El teorema de la divergencia ahora toma la forma -

(9)

If

R

( rot B)z dx dy =

J

C

Be ds.

El teorema puede enunciarse en palabras como sigue : La integral de la componente z del rotacional de un campo vec­ torial en el espacio, tomada sobre un conjunto R en el plano x, y, es igual a la integral de la componente tangencial tomada a lo largo de la frontera de R . Esta proposici6n es el teorema de Stokes en el plano . Si se aplica el caracter vectorial del rotacional de un campo vec­ torial en el espacio , puede liberarse el teorema de Stokes de la res­ tricci6n de que la region plana R este en el plano x, y. Cualquier plano en el espacio puede tomarse como plano x, y de un sistema coordenado apropiado. Asi se llega al enunciado mas general del teo rema de Stokes: (10)

If ( rot R

B)n ds =

J Be ds, C

don de R es cualquier region plana en el espacio limitada por la curva C y (rot B)n es la componente del vector rot B en la direcci6n del vec tor normal n al plano que contiene a R . Aqui C tiene que estar orientada de modo que el vector tangente t apunte en la direcdon contra ria al movimiento de las manecillas del reloj , visto desde el }ado del plano bacia el que apunta n . Si I a frontera completa C d e R consist� de varias curvas cerradas estas formulas siguen siendo validas, siempre que se extienda la in-

Introduccion a l calculo

618

y

a l analisis matematico

tegral de linea sabre cada una de esas curvas , orientadas apropia­ damente de manera de dejar R a su izquierda . De importancia es el caso especial en que las funciones satisfacen la condici6n de integrabilidad

a(x, y),

b(x, y)

ay = bx,

(11)

a dx + b dy una form a "cerrada" . Aqui l a integral

es decir, donde doble sabre R se anula

y,

de (8), se encuentra que

J a dx + b dy = 0 c

siempre que C denote la frontera completa de una region R en la que se cumple ( 1 1 ) . Una vez mas, esto implica, como se vi6 en l a p . 1 26, que

J a dx + b dy extendida sobre un arco simple tiene el mismo valor para todos los arcos con los mismos puntas extremos y que pueden deformarse hasta convertirse uno en otro sin dejar R (ver la p . 1 34).

Ejercicios 5. 2 1 . Usar el teorema de la divergencia en el plano para evaluar la integral de linea

LA

du + B dv

para las funciones y trayectorias que siguen recorridas en sentido con­ trario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor de la region dada (a)

(b) (c) 2.

A= A= A=

au + bv,

B

u 2 - v2, B vn, B u n,

=

=

=

0,

u � 0,

2uv,

u2 + v2

v � 0,

l u i < 1,

at2 u

Ivi < 1

+ (32v � 1

� r2 •

Deducir la formula para el teorema de Ia divergencia en coordenadas polares:

Lc* f(r, 6) dr + g(r, 6) = JL. ; {�; : �} de

-

dS.

Reladones entre las integrales

619

3 . Suponiendo que se cumplen las condiciones para el teorema de la diver­ �encia, deducir las expresiones siguientes en coordenadas polares para el area de una re�ion R con frontera C,

l2 J+C*

r2

d6,

r re dr, - J+C*

donde en Ia segunda formula se supone que R no contiene al origen. x, y para demostrar que

4. Aplicar el tcorema de Stokes en el plano

lT

JR*

dd(X,u, Yv)) dS J u(grad v) =

+C*

donde t es el vector tangente unitario para

C,

•

t

ds ,

orientado positivamente.

Formula para Ia integracion por partes en dos dimensiones. Teorema de Green

5.3

El teorema de Ia divergencia

If (fx + gy) dx dy l (t �� + g :�) ds ver Ia formula (6) , combinado con Ia regia para derivar un pro­ =

(12)

R

C

ducto , inmediatamente proporciona una formula para la z"ntegracz"6n por partes, que es basica en la teoria de las ecuaciones diferenciales parc iales . Sea f(x, y) = a(x, y) u(x, y) y g(x, y) = b(x, y) u(x, y), don­ de las funciones a, u, b, v tienen primeras derivadas continuas . Puesto que aqui fx + gy (aux + buy) + (axu + byu), =

puede escribirse la formula ( 1 2) en la forma

(13)

JJ (aux R

+

buy) dx dy

=

(

)

r J.c au dn + bu dn ds

dx

dy

- Ji (axu + byu) dx dy. R

Para obtener el pr-imer teorema de Green se aplica esta formula al caso en que u = u y a y b son de la forma a = Wx y b = Wy. (Se supone que u tiene primeras derivadas continuas y w segundas de­ rivadas continuas en. la cerradura de R. ) Se obtiene la ecuaci6n

620

lntroduccion al calculo

JL

(uxwx

y

al analisis matematico

+ UyWy) dx dy L u (wx :: + Wy :� ds - JJ' u(Wxx + Wyy) dx dy. =

R

Usando el simbolo A para el operador de Laplace (p . 25 5 ) , se escribe

Wxx

+ Wyy

=

Aw.

Es mas, dx/ dn y dy/ dn son los cosenos directores de la normal hacia afuera de la frontera C de R (ver la p. 6 1 5 ); asi , se tiene en

Wx

dx dn

+ Wy !!1'_ dn

=

dw dn

la derivada direccional de w tomada en la direcci6n de la normal ex­ terior a En esta notaci6n , el primer teorema de Green se convierte en

C. 1

(1 4)

JL

(uxWx

+ UyWy) dx dy

=

L :: JL u

ds -

u!lw dx dy

Si , ademas, u tiene segundas derivadas continuas , intercambiando los papeles de u y w en ( 1 4) se obtiene la formula

Jf

R

(wxux + WyUy) dx dy

=

I w �� ds C

-

Jf

R

wAu dx dy

Restando las dos relaciones se llega a una ecuaci6n simetrica en u que se conoce como segundo teorema de Green: (15)

JL

(u!lw - wllu) dx dy

=

L ( :: ��) u

-

w

y

w

ds.

Los dos teoremas de Green son basicos en el estudio de las soluciones de la ecuaci6n diferencial parcial Uxx + Uyy = 0 (ecuaci6n de La­ place). 2

1 Por brevedad , comunmente se da el nombre de aerivada normal de 2 Ver Ia secci6n que trata de Ia teoria del potencial (p. 788) .

w

a dwfdn

Relaciones· entre las integrales 5.4

621

E l teorema d e I a divergencia aplicado a I a transformacion de integrales dobles

a. El caso de las aplicaciones biuntvocas

El teorema de Ia di vergencia ptoporciona una nueva demostraci6n de la regia fundamental para la transformaci6n de las integrales dobles con el fin de introducir nuevas variables independientes (ver la p. 4 60). El teorefna de la divergencia para una region R con frontera C puede enunciarse en la forma

f dL = f+C L

(1 6)

R

[ ver la formula (2a), p .

545 ]. 1 Aqui, poniendo f = b,

g

= - a,

L = a(x, y) dx + b(x, y) dy

(17a)

dL = (b x - ay) dx dy.

(17b)

Si l a curva C tiene una representaci6n parametrica X = X

(t),

y =y

(t),

don de el sentido de la t creciente correSponde a la orientaci6n de +C,

puede escribirse la integral de linea que se tiene en ( 1 6 ) como la in te gral ordinaria (17c) con el

i+C

integrando

L =

i+C a dx

+ b dy = (P

ja

�t dt

1 Aqui y en lo que sigue siempre se supondra tacitamente que se satisfacen las hipotesis usadas en la demostraci6n del teorema de la divergencia; esto es, que R es un conjunto abierto cuya frontera C consiste de un numero finito de arcos suaves, cada uno de los cuales se intersecta cuando mas en un punto con las paralelas a los �jes. Se supone que los coeficientes de la forma lineal L tienen primeras derivadas continuas en la cerradura de R.

622

Introduccion al dilculo

y

al analisis matematico

(ver Ia p. 357). Considerese ahora una aplicaci6n definida por las funciones

u = u(x, y),

(18a)

v

=

v(x, y).

Se supone que Ia aplicaci6n es biunivoca en Ia cerradura de R y que el jacobiano d(u, v)jd(x, y) es positivo en todas partes . Sup6ngase que R se aplica sobre el conjunto del plano u, v y C sobre Ia frontera C' de Ademas , C' tambien debera consistir de un numero finito de arcos suaves, cada uno de los cuales se intersecta en , cuando mas, un punto con cualquier paralela a uno de los ejes coordenados . Como el jacobiano es positivo, se conserva Ia orientaci6n; es decir , al crecer t el punto (u, v) dado por

R'

R'.

u

=

u(x(t), y(t)),

v = v(x(t), y(t))

R'

describe la curva C' de manera tal que el conjunto queda a la iz­ quierda . Con referencia a las coordenadas u, v se tiene

L = A du

+ B dv = A (ux dx + Uy dy) + B (vx dx + Vy dy)

=

a dx

+ b dy,

donde los coeficientes A, en el sistema u, v estan relacionados con los coeficientes a, b en el sistema x, y por las expresiones

B

a = Aux

+ Bvx,

b = Auy + Buy.

A lo largo de C' ,

L dx =a dt dt

+ b dydt

=

A

du dt

+ B dvdt '

de modo que , por ( 1 7c ) ,

(18b)

r

J+C

L=

ip �t dt ip A du + B dv i =

a

=

a

+C

I

L.

Aplicando el teorema de la divergencia ( 1 6) a la region plano u, v, se encuentra que

(18c)

fC, = ff , dL, L

donde, en analogia con ( 1 7b) ,

R

R'

en el

Relaciones entre las integrales

dL

=

623

(Bu - A v) du dv.

Se verifica inmediatamente que l

b x - ay = (Auy + Bvy)x - (Aux + Bvx)y = (AuUx + A vVx)Uy + (BuUx + B vVx)Vy - (A u Uy + AvVy)Ux - (Buuy + Bvvy)Vx = (Bu - Av) (UxVy - UyVx). Asi , de ( 1 8b , c) y ( 1 6) , se concluye que

(19)

JL, dL JL, (Bu - A v) du dv JL dL JL (b% - av) dx dy JL (Bu - A ) ��:;� dx dy. =

=

.

=

=

Esta formula contiene la ley de transformaci6n general

(20)

JL, f(u, v) du dv

=

Jl

t(u (x, y), v (x, y))

���: ;� dx dy

para las integrates do bles [ver ( 1 6b), p . 459]. Solo tienen que elegirse las funciones A, B en ( 1 9) de tal manera que A = 0 y Bu = f(u, v). Esto significa que para v fija la funci6n B· ser a alguna integral in­

definida de f (u, v) como una funci6n de

B(u, v)

=

u

solamente :

(u

Jg(v) {(w, v) dw + h(v),

donde h( v) es arbitraria y g(v) se elige de tal manera que el punta (g (v), v) este en Para la funcion especial f = 1, la formula una expresi6n para el area de Ia region imagen (20 ) proporciona como una integral doble :

R'.

l Se llega a esta formula sin ca.lculo algebraico alguno, si se usa el hecho , pro­ en la p. 373, de que puede formarse dL para una forma L sin hacer referen­ cla a sistema coordenado alguno; de aqui que, por (56c), p. 359 .

bado

bx

-

dL dL d(u , v) = ay = dx (Bu dy = du dv d(x, y)

- Av)

d(u, v) d(x, y)

624

Introducci6n al calculo

y al

analisis matematico

JL, du dv JJ� ���: �� dx dy

(20a)

=

Esencialmente, la formula (20) expresa el hecho de que la integral do ble de una forma diferencial de segundo orden ro = f du dv no se altera bajo cambios de las variables independientes. Este hecho se prueba aqui expresando ro como la derivada , dL, de una forma de primer arden , L, reduciendo la integral doble a una integral de linea por media del teorema de la divergencia y aplicando la invariancia de una integral de linea fL. b. Transformacion de las integrales

y

grado de la aplicacion

Resulta interesante observar lo que sucede a la formula de trans­ forma ci6n (20) cuando la aplicaci6n

u

=

u(x, y), v = v(x, y)

ya no es biunivoca y cuando su jacobiano no es necesariamente positivo . Primero, observemos el caso en donde la aplicacion de R sabre R' es biunivoca pero el j acobiano es negativo en toda la ce­ rradura de R. La unica diferencia en el argumento que condujo a (20) es que ahara + C y + C' tienen orientaciones opue�tas : si in­ crementar los valores. del parametro t sobre C' significa dejar a la izquierda , entonces . incrementar t sabre C significa dejar R a la derecha . AI aplicar el teorema de la divergencia ( 1 6) se supone que la frontera de la region bidimensional esta orientada de modo que la region se encuentra en el lado positivo (izquierdo) de la frontera . El resultado es que l a formula (20)1 se tiene que remplazar por

R'

(20b)

i�r

JR' f du dv =

-

rr

d(u, v) J , R f d(x, y) dx dy.

l La formula (20) se aplica sin cam bios si las propias regiones bidimensionales R R' se consideran como variedades orientadas. En ese caso el signo de una integral sobre la variedad cambia cuando se invierte la orientacion de esta. Un jacobiano negativo para la aplicacion implica que R y R' tienen orientaciones opuestas, de modo que persiste la formula (20) si se escribe como y

J.(R,

f du dv =

J.(R f ��:: ;� dx dy.

En Iugar de orientar las .regiones tambien puede remplazarse el jacobiano por su valor absoluto, como en la formula ( l 6b) en la p. 459 .

Relaciones entre las integrales

625

Pueden combinarse las formulas (20) (20b) en una sola formula valida siempre que la aplicadon de (x, y) sobre (u, v) es uno a uno el jacobiano es de signo constante: y

y

d(u, . v) iJ{ER du dv iJ(R f d(x, y) dx dy. Aqui la integral del primer miembro debe extenderse sobre el plano completo la funcion ER ER(u, v) se define como ..

=

(21)

u, v

y

=

{ 0 si (u, v) no es la imagen de un punto de R ER(U, V) = sgn d U V� s1 (u, v) es la Imagen de un punto de R . d�x: y •

•

Mas generalmente, considerese el caso en que la aplicacion de R es necesariamente uno a uno. Supongase que R se puede dividir en subconjuntos Rt, cada uno de los cuales se aplica biunivocamente en cada uno de los cuales el jacobiano de signo constante, ERi· Entonces •

no

es

y

d(u, v) iJ.R f d(x, 2: J"'Jf f d(u, v) dx dy y) dx dy i Ri d(x, y) � JJtERi du dv JJtxR du dv. =

=

=

Aqui la ultima integral se extiende sobre el plano funci6n 'X.R representa

XR(U, v)

= � '

ER1(u, v).

u, v

completo la y

Cada termino ERi(u, v), cuando (u, v) es imagen de un punto de R1, igual al signo del jacobiano en el punto. De aqui que la funcion XR(U, v), el grado de la aplicaci6n de R en el punto (u, v), es el exceso del numero de puntos de R con imagen (u, v) para los cuales d(u, v)/ d(x, y) es positivo sobre el numero de aquellos puntos para los cuales d(u, v)/d(x, y) < 0. Con esta definicion de XR(u, v) la formula de transformacion para la integral se convierte en es

(22)

0 d(x, y) dx dy. J.rJ f(u, v) Xn(u, v) du dv iJrR f(u(x, y), v(x, y)) �� =

..

Tomandofigual a 1 se obtiene la formula

626

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

JL ���: �� dx dy JJXR(u, v) du dv, =

(23) la cobiano Como

cual generaliza la formula (20a) al caso de aplicaciones con ja­ no nulo que no necesariamente son biunivocas. ejemplo, considerese la aplicaci6n y

u ::::: ex cos y,

(24a)

v

=

ex sen y,

para la cual d(u, v) d(x, y) para todo (x, y) . v, d cfi n i da u = r cos to (x, y) bien , sea R r�ct�mgulo

(24b)

=

e2x

>

0 u,

Usando las coordenadas polares r, e en el plano s por e, v sen e, se ve que la imagen del p n es el punto con las coordenadas polares ex, e y. Ahora el 0 < x < log 2, y

= r

r =

v

Figura 5.5 Grado de la aplicaci6n u = ez cos y, v = 0 < x < log 2, I y I < 3/2 1t.

=

u

­

v

ez

sen y

aplicada al rectangulo

Relaciones entre las integrales

627

r

Los puntos imagen estan en la corona 1 . < < 2 (ver la Fig. 5.5). Los puntos de la corona con u < 0 son cubiertos dos veces por la imagen de R (se les pueden asignar angulos polares entre 1t/2 y 31t/2 , o bien, entre -7t/2 y -37t/2). Los otros puntos de la corona son cubiertos una vez. De aqui que r 0 para 0 � r � 1 6 r � 2 X8(u, u) = n 2 para 1 < < 2 y u < 0 l 1 para 1 < < 2 y u � 0. Aqui, como cada mitad de la corona 1 < r <2 tiene area 37t/2, se tiene r

r

Alternativamente, por calculo directo,

1371'/2 ilog 2 e2x dx

II

d(u u) dy --'- dx dy = o R d(x, Y) - 3 nt 2

. .

Se tiene la notable identidad

=

log 2 e2x dx

37t io

·

=

9 -7t 2 .

(25a)

entre

� (con signo) de veces x8(u, u) que la imagen R' de R el numero nto (u, u) y el numero de veces Jlc(u, u) que la imagen C' al p cubre de C describe una vuelta alrededor del punto (u, u). Aqui se detcr­ mina el numero de vueltas de acuerdo con la definicion dada en el Volumen I (p. 4 3 1 ) . Suponiendo que tanto el sistema de coordenadas como el son derechos, se da a C el sentido positivo con res­ ecto a R, lo que corresponde a dejar R a la izquierda. Si sobre cual­ p quier porci6n Y de C este sentido es el de los valores crecientes de' al­ glin parametro t, tambien se orienta Ia porci6n correspondiente y de C' de acuerdo con Ia t creciente. Entonces, el numero de veces que d da vueltas alrededor de un punto (uo, uo) que no este en C' es Ia C' iferencia -denotada a qui por J.lc (uo, uo) - entre el numero de veces que C' cruza el rayo u = uo, u > u0 de derecha a izquierda y el numero de veces que lo cruza de izquierda a derecha, recorriendo C' en el sentido que se le haya asignado. Evidentemente, ambos miembros en Ia ecuaci6n (25a) son aditivos_ por definicion; es decir, dividiendo R en un numero finito de sub­ regiones Rt con curvas frontera C1. se tiene x, y

u, v

628

lntroduccion al calculo y al analisis matematico

Jlc(u, v)

=

I: llc,{u, v). i

De donde, para demostrar (25a ) , basta con probar que (25b) para cualquier porci6n Rt de R que se aplique biunivocamente en el plano u, v y en la que el jacobiano d(u, v)/d(x, y) tenga un signo cons­ tante ER.i· Sup6ngase que Rt tiene la curva froni:era Ct y sea Rt ' la im agen de Rt, C't la de Cc. Resulta obvio que para cualquier (u, v) que no este sobre Ct , XRi(u, v)

=

{

ERi para (u, v) en Rt para (u, v) exterior a Rt.

0

Es mas, Ct es una curva simple cerrada cuya orientaci6n esta en sen­ tido contrario al movimiento de las manecillas del reloj para ERi > 0, en el mismo sentido de ese movimiento para ERi < 0 (ver la Secci6n 3.3e, p. 307). Por tanto , el numero de veces que Ct encierra al punto (u, v) tambien es ERi cuando (u, v) esta en el interior de Ct y es 0 cuando (u, v) esta fuera de Ct, lo cual prueba (25b ). Para el ejemplo d e la p . 6 26 , la identidad de XR(u, v) y !lc(u, v) es inmediata por inspecci6n (ver la Fig. 5 . 5 ) .

5.5

Derivacion de area . Transformacion de .tl u a coordenadas polares

En la p. 443 se defini6 la noci6n de derivaci6n en el espacz'o de una integral triple. En dos dimensiones se trata el concepto corres­ pondiente de derivaci6n de area de una integral doble (26)

M(R)

=

JJR

p(x, y) dx dy.

Aqui se supone que p(x, y) es una funci6n continua definida en un conjunto abierto S del plano x, y. Entonces, con cualquier subcon­ junto R (mensurable segtin Jordan y cerrado) de S puede asociarse , a traves de la formula (26), un valor M = M(R). Denotemos por A(R) el area de R :

A(R)

=

JJR

dx dy.

Relaciones entre las integrales

629

Por el teorema del valor medio (p. 440) . se sabe que el cociente M(R) A(R)

esta entre, el supremum y el infimum de p(x, y) en R . Se deduce que en un punto (xo, yo) de S, (27)

donde los Rn constituyen cualquier sucesion de subconjuntos de S que tienen area A(Rn), contienen al punto (xo, y0) y tienen diametros que tienden a 0 cuando n � El limite es analogo a la derivacion en una dimension. A se le dara el nombre de derivada de area de M con respecto a A . Fisicamente, puede interpretarse l a forma diferencial p(x, y) dx dy ( al menos P > 0) como el elemento de masa de una cierta distribucion de masa en el plano, representando la integral M(R) la masa total contenida en el conjunto R . Entonces la ecuacion (27) in­ dica que p(x y} se puede obtener como el limite de las masas de Jos conjuntos Rn divididas entre sus areas, a medida que los Rn se re­ ducen hasta el punto (x, y). Dado el nombre de densidad promedio de la distribucion de masa en el conjunto Rn, a M(Rn)/A(Rn), se define p(x, y) como la densir},ad en (x, y), o como la masa por unidad de area. En una interpretacion fisica diferente, no restringida a p, positiva, puede concebirse p dx dy como el elemento de carga elec­ trica, M(R) como la carga total en R p(x, y) como la densidad de carga o carga por unidad de area. En una aplicacion p

oo .

,

y

x = x(x, y), y = y(x, y)

los puntos (x, y) del plano sobre los puntos (x, y) , el area de la imagen R de un conjunto R esta dada por

de

d(x,y) dx dy dx dy R i d(x, - J'"Jf - f y)

A(R) = [ver

-

=

R

la formula (20a) ] . Es evidente que aqui el jacobian.o d(x, y) A (R n) = lim d(x, y) n-oo A (Rn)

630

Introduccion al calculo y al analisis matematico

es la derivada de area del area de la regi6n imagen con respecto al area de la regi6n original.

Imaginemos ahora que se cubre el plano por medio de un ma­ terial elastica deformable, donde (x, y) es la posicion de una par­ ticula del material en un cierto instante t y (x, y) es la posicion de la misma particula en un instante posterior i. Sea p(x, y) la densidad del material en la posicion (x, y) en el instante t y p(x; y) la den· sidad en el instante i en (.X, y) . Si se postula que la masa total de las particulas que Henan el conjunto R en el instante t es la misma que la de las mismas particulas en el instante i cuando Henan el conjunto R, entonces

M(R)

=

Jk p dx dy

=

M(R)

=

JL P dx dy.

Se concluye que _

P

=

M(Rn) 1n1� A(R-n) ,

--

=

M(Rn) A(Rn) n-- A(Rn) A(R-n)

lim

=

·

--

p . d(x,.y - -)/d(x, y)

De aqui que las densidades de m asa en las aplicaciones (.X, y) se transforman de acuerdo con la regla (28)

--)

(x, y)

y) P P d(x, d(x, y)" =

_

Esta ecuacion, escrita como una relacion entre fo-rmas diferenciales (ver la p. 308), enuncia precisamente la ley de conservaci6n de los elementos de masa:

(28a)

p dx dy

=

p dx dy.

Aplicando la nocion de derivacion de area es posible transformar la expresion llu = Uxx + Uyy a nuevas coordenadas, por ejemplo, a coordenadas polares (r, 9). Con este fin se aplica la formula

JL llu dx dy L��ds, =

que se obtiene del teorema de Green [ver ( 1 5) , p . 620 ] si se pone w Si se Heva a cabo la derivacion de area usando una sucesion de conjuntos Rn con fronteras Cn que se contraen hasta el punto (x, y), se encuentra que

= 1.

Relaciones entre las integrales

63 1

lim A(R1 ) I du ds d n Por lo tanto, para transformar ll.u a otras coordenadas solo se tiene que aplicar la transformaci6n correspondiente a la integral de linea f (dufdn) ds , dividir entre el area y realizar el paso al limite. La ven­ taja sobre el calculo directo es que no se necesita llevar a cabo el cal­ culo un tanto complicado de la segunda derivada de u, ya que solo se presentan las primeras derivadas en la integral de linea. Como un ejemplo import ante, se realizara la transformacion de !1u a las coordenadas polares (r, 9). Como R n elijase una pequefia mall a de la red coordenada polar, 1 digamos aquella entre los drculos y r + h y las rectas e y e + k, cuya area, como se sabe, tiene el valor ll.u

(29)

=

u - oo

n

Cn

r

Las primeras derivadas se transforman de acuerdo con las formulas a Ur = a- U (r COS 9, r

r

a U9 = a e U (r COS 9, r

Sell

1

9) = - (XUx + yuy) r

sen 9) =

-

Y Ux + X Uy.

Sobre un drculo r = constante los cosenos directores de la normal (que apunta en la direcci6n de r creciente) son xfr, yfr, y, por tanto, d9. Sobre un rayo e constante, dufdn ur, mientras que ds los cosenos directores de la normal (que apunta en la direcci6n de 9 creciente) son - y/r, x/r, y, en consecuencia, d fdn = U9/r , mie11tras que ds dr. Asi, tomando la integral de la derivada de en la direcci6n de la normal hacz'a afuera a lo largo de la frontera Cn de Rn, se encuentra que =

=

r

=

u

=

i

i

9+ k du -ndds = [(r + h)ur (r + h, 9) Cn 9

i9+kd9 9

1 Aqui

+

ir+h -1 [u9 (r, e r

r

-

oo ,

rur (r, 9)] d9

+ k) - U9 (r, 9)] dr

( r+h J r [rur(r, 9)]r dr

se supone que h y k tienden a 0 cuando n �

u

632

Introduccion al cilculo y al anilisis matematico

ir+h dr la+k [ ; ua(r, 9)] dEl a = fL [ ; (rUr)r � { ; ue) 9]r dr dEl. n +

·

+

Como aqui, por la formula para el area en coordenadas polares (p. 455 y siguientes), A(Rn) =

JlRn r dr dEl ,

de (29) se encuentra que (30)

au = __!_ (rUr)r r

+

__!_ r

(__!_r ua) e = Urr

+

_!_ r

+

Ur

+

\ U99,

r

que es la formula de transformacion requerida . Esta formula sugiere algunas importantes soluciones especiales de la ecuacion diferencial de Laplace au = 0. Por (30), las soluciones de est a etuacion que solo dependan de r es decir, que sean de la forma u = f(r)- deben satisfacer la condicion _

_!_ [rf'(r)]r = 0 , r la cual conduce a rf'(r) = constante = a , o bien, a (31 a)

u = {(r) = a log r

+

b = a log -Jx2 + y2 + b ,

donde a y b son constantes. De modo semejante, se encuentra que la solucion general de la ecuacion de Laplace, que solo depende de e . tiene l a forma (31b)

u = ce

con las constantes

c y

5.6

+

d = c arc tan _)'__ X

+

d,

d.

Interpretacion de las formulas de Gauss flujos bidimensionales

y

de Stokes mediante

Los teoremas sobre integrales que se han presentado encuentran su interpretacion mas natural en terminos del movimiento de un

Relaciones entre las integrales

633

liquido en el plano El movimiento se describe en todo mom ento por media de su campo de velocidad.1 La particula que ocupa la posicion (x, y) en el instante t tendra el vector velocidad v = (vt, V2). Si la velocidad del liquido es ind�pendiente de t, el liquido que cruza un segmento rectilineo I durante el intervalo de tiempo desde t basta t + dt llena en el instante t + dt un paralelogramo de area (v n) s dt, donde es la longitud de I n es el vector unitario normal a I que apunta bacia el lado de I bacia el cual el liquido cruza (ver la Fig. 5 . 6) . 2 Si, por el contrario, se elige arbitrariamenx , y.

x, y,

•

s

y

Figura 5.6 Cantidad de liquido que cruza el segmento I en el tiempo dt para un flujo uniforme de velocidad v .

te como n cualquiera de los dos vectores unitarios normales a I, enton­ ces (v n)s dt es el area llenada por el liquido que cruz a I en el in­ tervalo de tiempo de t basta t + dt, considerada positiva si el liquido cruza bacia el lado al cual apunta n negativa en caso contrario. Si p es la densidad del liquido, entonces (v n) p s dt es la del Uquido que cruza I bacia el lado al cual apunta n. Sea C una curva en el plano A lo largo de C selecci6nese ar•

y

•

masa

x, y .

1 Puede imaginarse el movimiento en el plano x, y como parte de un movimien· en el espacio x, y, z en el cual Ia velocidad de cualquier particula es paralela al plano x, Y· y es independiente de la coordenada z. B El paralelogramo es formado por los puntos (x, y) para los cuales el segmento con puntos extremos (x, j) y

to

(x, y) = (x - v1 dt, y - vz dt)

tiene puntos en com (m con I.

634

lrttroducci6n al ca.lculo y al analisis matematico

bitrariamente uno de los dos vectores unitarios normales posibles y denotese por En un flujo con velocidad y densidad dependientes de t, la integral x, y,

n.

(32a)

·

J (v • n)p ds c

representa la masa del liquido que cruza C en la unidad de tiempo hacia ese lado de C al cual apunta Esto se deduce inmediatamente aproximando C por medio de un poligono y el flujo original por otro flujo para el cual la velocidad sea constante a traves de cada lado del poligono. Si C es la frontera de una region R y si es el vector normal dirigido hacia afuera, la integral representa la masa del liquido que sale de R en la unidad de tiempo.lAplicando el teorema de la diver­ gencia en la forma (7), p. 6 1 6 , puede expresarse el flujo a traves de C como una integral doble: n.

n

(32b)

JC (v n) p ds = JC (pv) • n ds = JJR div (pv) dx dy. •

Puede compararse este flujo de masa a traves de C saliendo de R, con el cambio de la masa contenida en R . La masa total del liquido contenido en R en el instante t es 2 JL p dx dy. Por tanto, en la unidad de, tiempo hay una perdida de la masa con­ tenida en R dada por la cantidad

- :t JL p(x, y, t) dx , dy = JJ Pt(x, y, t) dx dy. Si se supone que se conserva la masa, entonces solo puede perderse masa de R a traves de la frontera C. De aqui que, por (32b), se debe tener -

1 Esta sera una cantidad negativa si el flujo neto es hada R. 2 Generalmente, esta es una funci6n de t, puesto que se permite que p = p(x, y, t) varie con t. En la consideraci6n presente se mantienen fijas la region R y su frontera C ·

Relaciones entre las integrates (32c)

635

JL div (p ) dx dy - JL dx dy. =

v

Pt

Esta identidad se cumple para regiones arbitrarias R. Dividiendo entre el area de R reduciendo esta region hasta un punto (es decir, por derivacion de area), en el limite se encuentra que + div (p v) = 0 (33) (ver la Seccion 4 . 6 , Ejercicio 1 5). Esta ecuacion diferencial 1 y la relacion integral (32c) expresa la ley de conservaci6n de la masa en el flujo. En tenninos de las componentes VI, vz del vector velocidad, (33) se puede escribir como y

Pt

y

(33a)

op op at + V l OX

+

(

)

op ov1 ovz Vz oy + p OX + oy = O.

Se tiene un importante caso especial de esta ecuacion cuando se trata co� un medio homogeneo incompresible, en el que p tiene un valor constante independiente de la posicion del tiempo. En ese caso las ecuaciones (33) o (33a) se reducen a una ecuacion para el vector velocidad unicamente: y

+

0 div v = OaxVI ovz ay = . De (32b) se deduce que la cantidad total de un liquido incompresible que cruz a una curva cerrada C en la unidad de tiempo es 0 :

(34)

(35)

J

c

v

•

n ds = 0.

v

El teorema de Stokes (9), p. �61 7 , aplicado al vector tambien tiene 1l1na interpretacion en termin s del movimiento de un fluido. La in­ tegral extendida sobre una curva orientada cerrada, C, J v • ds, c

t

donde t es el vector unitario tangente que corresponde a la orien­ taci6n de C, se llama la circulacion del fluido alrededor de C. Por el teorema de Stokes, la circulacion es igual a la doble integral I En

medmica, a menudo Hamada la ecuaci6n de continuidad.

Introduccion al calculo y al analisis matematico

636

JJ

R

( rot v) z dx dy

sobre la region encerrada R. De aqui que la cantidad (36)

Hamada vorticidad del movimiento, mide la densidad de la circu­ laci6n en el pun to (x, y) , en el sentido de que la integral de area de la vorticidad da la circulacion alrededor de la frontera. Se dice que un flujo es irrotacional si la vorticidad se anula en todo punto, es decir, si (37)

Por el teorema de Stokes, Ia circulacion alrededor de una curva cerrada, C, se anula si C es la frontera de una region en donde el movimiento es irrotacional. Como (37) es Ia condicion para que v1 dx + V dy sea una diferencial exacta ( ver Ia p. 135), para un fluj o 2 irrotacional en toda region simplemente conexa existe una funci6n

x , El escalar

El movimiento z"rrotac·ional de un lfquido homogeneo ·incom­ VI presible y V2 potencial de velocidad es una solucz"on de la ecuacz"on de Laplace:

satisface tanto Ia ecuaci6n (37) como Ia ( 34), Sustituyendo en (34) por sus expresiones dadas en (38), se ericuentra que el A
=

<J>xx +


= 0. ,

Como ejemplo, considerese el flujo que corresponde a la solucion
= a log r = a log -/x2

+ y2

Relaciones entre las integrales

637

de la ecuaci6n de Laplace [ (ver (3la), p. 569]. Por (38), el vector velocidad tiene las componentes v

ay V2 = - ­ r2

Vl =

\

I

\ /! <�:::

� '\ I/ /

� � .

/

Figura

/

(a)

/

\

-

"-

(b)

5.7 (a) Flujo con sumidero. (b) Flujo con v6rtice.

y

es singular en el origen (ver la Fig. 5. 7a). Todos los vectores ve­ locidad apuntan hacia el origen para a > 0, y en sentido opuesto para a < 0. En este ejemplo, la velocidad del liquido en una po­ sicion dada no cambia con el tiempo, aunque se tienen velocidades diferentes en puntas diferentes; se dice que se trata de un jlujo tadonarz·o. La circulaci6n alrededor de cualquier curva cerrada C que no pasa por el origen se anula, puesto que J v • ds = J v1 dx + V2 dy = J dcp 0. Por otra parte, la cantidad de liquido que sale a traves de la curva cerrada C en la unidad de tiempo es es­

c

p

t

-

c

=

c

L v n ds L { �� ;�) ds = p L dy i ap x dy y dx a p i d9, = •

= p

-

V1

c

V1

+ V2

X2 + Y 2

=

-

- V2 dx

C

�onde 8 es el aligulo polar desde el origen . Ya que (ver la p . 354)

638

Introduccion al dtlculo

y

al analisis matematico

_!_

2n

ic de

es un entero que mide el numero de veces que C encierra al origen, se ve que si Ia curva cerrada C es simple no pasa por el origen esta orientada en sentido contrario del movimiento de las mane­ cillas del reloj, 0 si C no encierra al origen p ic v • n ds = - 2nap si C encierra al origen Por lo tanto, la misma cantidad de masa fluye en la unidad de tiem­ po a traves de toda curva simple cerrada, C, que encierre al origen. Para a > 0 , el origen es �n sumidero donde Ia masa desaparece a la rapidez de 2nap unidades en la unidad de tiempo. Para a < 0 se tiene unafuente de masa en el origen. Se encuentra el comportamiento opuesto si se considera el flujo estacionario con potencial de velocidad [ver (3 lb), p. 632 ] y

l

X

Mientras que Ia propia

v

El vector es perpendicular a los radios que parten del origen (Fig. 5. 7b). Nuevamente, el campo de velocidades es singular en el origen. La circulaci6n alrededor de una curva cerrada, C, tiene el valor

L VI dx v2 dy = - L d

De aqui que Ia circulaci6n es cero para una curva simple cerrada que no encierre al origen. Para una curva simple cerrada que de vuelta alrededor del origen en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, se encuentra el valor - 2nc para Ia circulaci6n. Esto corresponde a un v6rtice de intensidad - 2nc concentrado en el origen. Por otra parte, el flujo de masa en Ia unidad de tiempo a

Relaciones entre las integrales

traves de cualquier curva cerrada, ya que aqui P

L

v

·n

ds

=

p

C,

L dy V1

639

que no pase por el origen es 0 , - v2

dx

+ y dy cp i x dx 2 + y2 x c r cp J drr = 0. c Por tanto, el origen no es una fuente o un sumidero de masa =

=

5. 7

Orientacion de superficies

La teoria de la integraci6n para tres variables independientes no� solo incluye a las integrales triples y a las integrales de linea, que e han discutido previamente, sino tambien el concepto de integral de superficie. Con el fin de explicar esto ultimo, empecemos con algunas consideraciones de naturaleza general, las cuales, al mismo tiempo, serviran para refinar nuestras ideas anteriores relacionadas con las integrales dobles. AI tratar las integrales de una diferencial sabre una curva C en el plano o en el espacio (p. 1 18), se encontro necesario no �6lo considerar a C como un conjunto de puntas en el espacio si­ no asignarle un cierto sentido u orientaci6n. Lo mismo se cuemple cuando se consideran integrales de formas diferenciales sabre super­ ficies en el espacio de tres o mas dimensiones. De modo semejante, la definicion de integrales de formas diferenciales de tercer arden sabre va,riedades tridimensionales requiere una definicion de orientacion para esas variedades. AI discutir este concepto topologico de orien­ taci6n nos restringiremos a las situ4ciones mas · sencillas de curvas, superficies, etc. , que se encuentren en un espacio euclidiano de cualquier dimension y posean representaciones parametricas suaves en una vecindad lo suficientemente pequeiia de cualquier punto. a. Orientacion de superficies bidimensionales en el espacio tres

En la Seccion 3 . 4 se describieron las . superficies en el espacio tridimensional por media de sus representaciones parametricas. En lo ,que sigue se usa la nocion un tanto mas refinada de superficie, que .considera a esta como un conjunto de puntas en el espacio que existe independientemente de cualquier representacion parametrica par-

640

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

ticular y que para su descripci6n completa incluso puede requerir de varios sistemas de parametros. Se define una superficie bidimen­ sional, S, como un conjunto de puntos en el espacio x, con re­ presentaciones locales regulares por medio de dos parametros. Es decir, en una vecindad de cualquier punto Po de S los vectores de posicion X = OP = (x, y, z) de los puntos P de S son representables en la forma y, z

�

X = X(u, v)

(39a)

donde los parametros u, varian sobre un conjunto abierto y en el plano u, (u, v) diferentes corresponden a puntos diferentes sobre S. Ademas, se requiere que Ia representaci6n (39a) sea regular, en el sentido de que el vector X(u, v) tengan derivadas Xu = (xu, Yu, zu) y Xv = (xv , Y v, Z v) con respecto a u, en y que sean continuas y li­ a nealmente independierites.1 La independencia de los vectores Xu, Xv se expres· algebraicamente por la condici6n [ ver Ia formula (40d), p. 327 ] X v =F O , Xu (39b) o por v

vy

v

X

(39c)

r(Xu, Xv) =

I

Xu

Xv

•

•

Xu

Xu

Xu • X v

Xv

•

Xv

I

= l Xu

X

2

Xv l >

0,

donde r denota el determinante de Gram de los vectores Xu, Xv [ ver Ia p. 232 y la formula (45a), p. 332 ]. Los vectores Xu(u, v) Xv(u, v) en un punto P = X(u, v) de S con paramctros son tangenciales a S en P y "generan" el plano tan­ (P) gente n de S en P; es decir, todo punto del plano tangente tiene un vector de posicion de Ia forma y

u, v,

l Jncluso para una superficie tan simple como una esfera , no puede esperarse en­ contrar una sola representaci6n parametrica regular para Ia superficie completa . Por esa raz6n solo se requiere la existencia de representaciones locales para S. Inciden­ talmente , se excluyen las superficies que tienen aristas y vertices, donde no es posible representaci6n local regular alguna (por ejemplo, los cubos). Con mayor generalidad, una superficie m dimensional (simple) en el espacio n , Xn se define como un conjunto de puntos con representaciones dimensional XI , parametricas locales de la fomfa •

•

•

X = X(ut , . . � , Um), donde las primeras derivadas del vector X con respecto a las variables tinuas y linealmente independientes.

Uk

son con­

Relaciones entre las integrales

641

X (u, v) + A.Xu(u, v) + �X v(u, v) ,

con las constantes apropiadas A, � (ver Ia p. 1801 . Se orienta Ia superficie S asignando una orientaci6n a cada uno de los pianos tan­ gentes de S en una forma continua. Se dara un significado preciso a esta proposici6n. Un plano tangente orientado 1t*(P) se obtiene a partir del plano 1t(P) especificando una pareja ordenada de vectores independientes �(P) y 11(P) en 1t(P) . Entonces Ia orientaci6n de 1t* es Ia de Ia pareja ordenada �' 11 o, simb6licamente,1 0.(1t*(P)) = O.(�(P), 11(P)). (40a) Cualquier otra pareja ordenada de vectores tangenciales indepen­ dientes, �', 11' en P determina Ia misma orientaci6n si (40b)

(ver Ia p. 2 37 ) . Mas generalmente,

,1------� y

Figura 5 . 8 1

Puede concebirse Q(1t*(P)) como u n sentido d e rotacion e n e l plano 1t(P) ; a como el sentido de esa rotacion en un angulo menos que 1 80x que lleva Ia direccion del vector I; sobre Ia del 1).

saber,

642 Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

(40c) La orientacion !l(1t*) puede describirse mas facilmente en terminos del vector unitario (verla Fig. 5 . 8) (40d)

que es normal a ; a 11 por tanto, al plano tangente 1t(P). El vec­ tor � no depende de la pareja particular de vectores tangenciales ; sino solo de la orientaci6n determinada por ellos. Esto se deduce d(' Ia identidad general para los productos vectoriales 1 y

y,

,

11

,I= I

; • 11'

(40e)

11 • 11

[�"' 11 ; "'�, , 11 'l . '

Si aqui las parejas ordenadas de vectores tangenciales ;, 11 ;', 11' dan Ia misma orientaci6n para 1t, entonces, por (40b), los vectores normales unitarios correspondientes, � �' satisfacen y

y

(40f)

Como � - � son los unicos vectores unitarios normales posibles, de ( 40f) se deduce que �' = �Ahora se dice que las orientaciones !l(1t*(P)) determinadas por (40a) a partir de las parejas de vectores tangenciales ;(P), 11(P) varian continuamente con P si el vector normal unitario � dado por (40d) depende continuamente de P. Una superficie orientada S se define como una superficie S con planos tangentes 1t*(P) orientados con­ tinuamente. Si la orientaci6n de 1t* esta dada por (40a), se escribe simbolicamente (40g) n(S*) !l(1t*) = n(; , 11). Cualquier vector normal unitario � en un punto P de S determina una orientacion del plano tangente 1t(P), a saber, la dada por n(;, 11), donde ; 11 son vectores tangenciales cualesquiera para los cuales ; 11 tiene la direccion de � . Por la formula (7Ic), p. 220, y

=

x

,

1 La identidad puede verificarse directamente escribiendola en terminos de las componentes de los vectores que intervienen; ver tambien el Ejercicio 9b, Secci6n 2 . 4 , p. 20 3 . La formula (39c) es el caso especial I; = !;' = Xu, 1) = 11' = Xv.

Relaciones entre las integrates

643

det (!;, 11 . �) = � · (!; 11) � I !; 11 1 > 0. De aqui que (ver la p. 2 2 6) � es el vector normal unitario de S en P tal que la terna de vectores �. !;, 11 esta orientada positivamente con respecto a los ejes coordenados; esto es,

(40h)

(40i) l

x

x

n(�. !;, 11) = Q(x, y, z).

Entonces, dar una orientaci6n de S consiste en elegir en una forma continua un vector normal unitario, � . en todos los puntos de S. Aqui � esta dado por (40d) siempre que n (S*) = Q(!; , 11) para la superficie orientada S*. Se dice que � es el vector normal unitario que apunta hacia el lado positivo de la superficie orientada S, o que es el vector normal unitario Positivo de S*. Sea S una superficie conexa, es decir, una superficie con la propiedad de que dos puntos cualesquiera de S pueden unirse por medio de una curva que se encuentra en S. Entonces facilmente se ve que S no puede ser orientado en lo absoluto o que existen exacta­ mente dos maneras diferentes de orientarla, 3 porque dos orienta­ ciones de S corresponden a dos elecciones � (P) �'(P) , de vectores normales unitarios sobre S. Aqui, necesariamente �' = e�. donde e(P) tiene uno de los dos valores + 1 6 - 1. Como, por hip6tesis, los vectores � y �' varian continuamente con P, lo mismo se cumple para el escalar r.(P) = � · �' . Por tanto, es una funci6n continua e( Q) para dos sob re S, que solo toma los valores + 1 6 - 1. Si r.(P) puntos cualesquiera P, Q sobre S, se concluiria,- por el teorema del 2

y

e

s =

::F

n asociado !l (!;, 1)) se ve como si fuera en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj cuando se observa desde el lado de 1t bacia el cual apunta � siempre que el sistema coordenado x, y, z sea derecho. Notese que la relacion entre. 0(!;, 1)) y Ia direccion de � depende de Ia orientacion del sistema coordenado usado , dado que el producto vectorial !; X 11 depende de esa orientacion. 2 Mas general mente, se dice que cualquier vector no tangencial � con punto inici al P apunta hacia el lado positivo de S* si se cumple (40i) . Para una superficie "material" orientada , digamos, una delgada hoja metalica , los dos lados de la super­ ficie pueden pintarse de colores distintos. Entonces, la capa de pigmento sobre Ia cara positiva solo ocuparia puntos que pueden ser alcanzados partiendo de un punto p de Ia supcrficie y moviendose una corta distancia en Ia direccion del vector nor­ mal positivo de Ia superficie . 3 La hipotesis de que S es conexa es esencial. Porque en una superficie que consista de varias componentes conexas ajenas, las componentes individuales podrian orientarse independientemente entre si . En la p. 648 se demostrara que existen superficies que no pueden orientarse en lo absoluto. con

1 La formula (40i) muestra que el sentido de Ia rotacion del plano

644

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

=

valor intermedio, que . E 0 en alglin punta a lo largo de una curva sabre S que vaya de a Q, lo que es contrario a la definicion de E. Consecuentemente , E tiene el m ismo valor en todos los puntas de S. Por tanto, cualquier orientaci6n de S es la descrita por el vector nor­ mal � (P) o bien la descrita por - � (P). Si S* es Ia superficie orien­ tada con normal positivo �' se escribe - S* p ara la superficie que tiene la otra orienta cion, de modo que

P

Q( - S *)

(40j)

=· - Q(S*);

Es obvio · que la orientaCion del vector normal positivo � a una super­ fide conexa S en un solo punta P determina de modo unico el vector normal positiV'o en cualquier otro punta Q y, por tanto, la orien­ tacion de S. Solo se requiere unir Q con P por medio de una curva C sobre S y definir un vector unitario normal a S a lo l argo de C que toincida coli ' � en y que varie continuamente a lo largo de C; en­ tonces el vec�Qr normal tambien coincide en Q con el vector normal positivo . ' Es particularmente simple orientar una superficie S que forma la frontera ;de una ·region tridimensional R del espacio (aqui S no necesita ser conexa, como en ·el caso de un c ascaron esferico R). En cada punto de S puede distinguirse un vector normal interior que apunta hacia R y urr . vector normal exter-ior que apunta hacia afuera de R, variando ambos continuamente con P. Tomando el vec­ tor hormal exterior como normal positivo se define una orientacion para S. Se dice que la superficie orientada correspondientes, S*, esta orientada positivamente con respecto a R . 1

P

P

1 Como· se defini6 aqui, la orientaci6n positiva de la frontera S de una region R depende de la orientaci6n del sistema coordenado x, y, z o de la orientaci6n del es­ pacio tres determinada por ese sistema. A meriudo resulta mas conveniente pensar en R como si tambien estuviera orientada, y definir sin ambigiiedad la frontera orien­ tada S* de la region conexa orientada R* en el espacio tres. Aqui, la "orientaci6n" de R* consiste de una selecci6n particular del sistema coordenarlo x, y, z, el cual entonces esta "orientado positivamente con respecto a R " por defimci6n:

O(R*) = !l(x, y, z). La superficie frontera orientada positivamente, S* de R* (comunmente denotada

por oR*) se define tal que

!l(�, !;, 'I) = !l(R*) siempre ,que !;, 'I sean vectores tangenciales en un punto P de S con !l(S*) = !l(!;, '1), y que � sea el vector unitario normal exterior en P.

Relaciones entre las integrales

645

Si , por ejemplo, R es el cascar6n esferico a � l X I � b,

(40k)

Ia frontera orientada positivamente S* , de R tiene el vector normal uni tario positivo

(401) � = - X/a para l X I = a

Y

� = X/b para l X I = b .

Sup6ngase que una porci6n de Ia superficie orientada S tiene una representaci6n parametrica regular X = X(u, v)para (u, v) que variaso­ bre un conjunto abierto y del plano u, v. Entonces Z =

(40m)

Xu I Xu

X

X

Xv Xv l

define un vector normal unitario para (u� v) en y. S i � es el vector normal unitario positivo de S* , se tiene � = sZ

(40n).

con E = E(u, v) = ± 1. Como tanto � como z son continuas, se de­ duce que E es continu� y, por tanto , constante en cualquier parte conexa de y. Para E 1, es decir, para =

(40o)

Q(S*) = O.(Xu, Xv),

se dice que S* esta orz"entada positivamente con respecto a los pa­ rametros u, v· y se escrihe Q(S *) = O.(u, v).

(40p)

Si Ia misma porcwn de S* tiene una segunda representaci6n pa­ rametrica regular en terrninos de los p arametros u', v' que varian sob re una region y' , por Ia formula (42), p . 3 3 1 se tiene (40q)

Xu

X

Xv =

=

d(y, z) d(z, x) d(x, y) ) (d(u, v) ' d(u, d(u, v) v) '

d(u', v') (Xu , d(u, v)

x

X v ')

•

De a qui que los vectores norm ales unitarios Z y Z' correspondientes a �Las dos representaciones parametricas estan relacionados por

646 (40r)

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Z - sgn �

d(u' , v') ' Z · d(u, v)

-----

De don de , si S* esta orientada positivamente con respecto a los parametros u, v, entonces tambien esta orientada positivamente con respecto a los parametros u', v', siempre que d(u', v') > O. d(u, v)

(40s)

Como ilustraci6n , considerese Ia esfera unitaria S* con · centro en el origen, orientada positivamente con respecto a su interior . Usando u = x, v = y como parametros para z ;;;t=. 0, se tiene

(40t)

X = (u, v, e .Jl

-

u2

-

v2),

aonde e = sgn z.

El vector norn1a I correspondiente , Z, definido por (40m) se convierte aqui en Z = (ex, ey, ez) = e�,

donde � es el vector normal unitario exterior . Por tanto , S* esta orientada positivamente con respecto a los parametros x, y para z > 0 y negativamente para z < 0 (ver la Fig. 5 . 9) .

Figura

5 .9

Una superficie en el espacio tres para Ia cual no puede establecer� se distinci6n alguna entre las car as o a lo . largo de Ia cual no se puede seleccionar un vector normal unitario que varie continuamente , no

Relaciones entre las integrales

647

puede ser orientable . El ejemplo mas sencillo de una superficie de es­ te tipo "con una sola cara " , mostrada en la Fig . 5 . 10(a) , se llama cin-

Figura 5 . 10(a) Cinta de Mobius.

I

ta de Mobius, en honor de su descubridor. Facilmente puede cons­ truirse una de tales superficies usando una cinta rectangular de papel , peg an do los extremos de la cinta despues de hacer girar uno de ellos un angulo de 180°. Si se parte del rectangulo 0 < u < 27t, - a < v < a (donde 0 < a < 1) en el plano u, v, se llega a la cinta de Mobius si se mueve rigidamente c ada segmento u = constante de manera tal que su centro se mueva bacia el punto (cos u, sen u, 0) del circulo unitario en el plano x, y y tal que se vuelva perpendicular a ese circulo y forme el angulo u/2 con el eje Z positivo (la hip6tesis a < 1 evita que l a superficie se corte a si misma) . La cinta result a nte S tiene la representaci6n p arametrica (40u) v

X

=

{ (1 v sen -� ) cos u, (1 v sen �) sen u, v cos �) +

+

rcstringida al intervalo - a < v < a. Los puntos (u, v), (u + u, v corresponden al mismo pun to sob re la superficie . Si para un punto arbitrario, Po de S se hace una selccci6n posible, u0, v0 , de los parametros , la formula (40u) pro­ porciona una representaci6n parametrica local regular de S para u, v cstringidas al rectangulo y dado por

con

!1t, v), (u + 27t, - v) en el plano

uo -

n

< u < uo +

n,

- a < v < a.

A lo largo de la linea central v

= 0 de la superficie, la ecuaci6n (40m) define un vector normal unitario : Z

(

u u = cos u cos 2' sen u cos 2'

- sen 2u )

que varia continua:mente con u . Empeza ndo con el vector normal unitario Z = ( 1 , 0 , 0) en el punto (1, 0, 0) de S correspondiente a

648

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

u

0, y hacienda que crez.ca desde 0 hasta 27t, se describe un cir­ cuito completo lo largo de Ia .linea del centro de Ia superficie, regresando al mismo punta pero con el vector normal unitario opues­ to: Z ( - 1, 0, 0). De modo semejante se encuentra que llevando durante el movimiento ,una pequeiia curva tangencial orientada, se regresa al mismo punta pero con Ia orientaci6n invertida. Por tanto, no es posible elegir un vector normal unitario que varie continua­ mente, o bien, una cara de S, o elegir un sentido de rotaci6n sabre S en una forma consistente. La existertcia de una sola car a en Ia cinta de Mobius es ilustrada de manera notable por los insectos caminando a lo largo de la misma en el dibujo debido a M . C . Escher, ·que se reproduce en Ia Fig. 5mlO(b). Se ve que una superficie no goza auto­ maticamelite de la propiedad de orz"entabilidad. � se orienta orientando sus pianos tangenies en una Una superficie n se des­ f�;ma conti ua. La orientaci6n de los plarios tangentes 7t*(P) l cribi6 por media de una pareja apropiada de vectores ta genciales m la ndependien�es, �(P), 11(P) . Cuando se tuvo necesidad de definir n(; , 11), se hizo uso del vector nor i al � "continuidad" de Q(7t* ) · d formado de acuerdo con (. 40d) y se requiri6 que � fuera cont nuo. � � n(; Resulta conveniente efinir la continuidad de las orientaciones (P), TI(P)) sin recurrirr a los vectores normales o a los pr du tos cruz. Esto tiene una impo tancia particular cuando se necesita definir la orientaci6n para variedades en espacios de dimensiones superiores, digamos para una superficie bidimensional, S,en el espacio eucli­ diano tetradimensional. Nuevamente, aqui puede describirse la orientaci6n de cada plano tangente por media de una pareja or­ ' de vectores denada tangenciales independientes, �' Pero no se tiene un vector unitario normal unico o "lado"' de S que pueda asociarse con (S. Tampoco se puede requerir que los vectores tangen­ ciales �(P), r) P) que describen a Q (1t*) sean definidos y continuos para todo P sabre S. 1 Se discutiran brevemente dos definiciones de orientaci6n de superficies en el espacio tres, equivalentes a la dada con anterioridad pero que no estan relacionadas con los vectores nor­ males y , por tanto, que pueden ser generalizadas hacia dimensiones superiores. u =

a

=

=

11 ·

1 Incluso para una superficie tan simple como una esfera en el espacio tres no pueden hallarse vectores tangenciales !;(P) que no se anulen y que sean conti­ nuos en todos los puntos de Ia superficie . Sin embargo, siempre pueden elegirse los vectores !;(P), 1)(P) de manera tal que varien continuamente en una vecindad de un punto dado.

Relaciones entre las integrales

649

Figura 5 . 10(b) Cinta de Mo bius II, diseiio de M . C . Escher (Fundaci6n Escher, Haags Gemeentemuseum , La Haya, Holanda).

Cualquier representaci6n parametrica regular X = X(u, v) de 1,ma porci6n de una superficie S en el espacio tres determina un vee-

65(}

Introduccion al calculo

y

al anUisis matematico

tor normal unitario, Z, sobre esa porci6n, que varia continuamente, por medio de la formula (40m) . Sup6ngase que se da un cierto numero de representaciones parametricas regulares para las diferen­ tes porciones de S. Entonces, est as defi niran un vector normal unitario que varia continuamente sobre toda la superficie S y, en consecuencia , una orientaci6n de S, siempre que al menos una de las representaciones sea valida cerca de cualquier punto P de S y siempre que dos representaciones cualesquiera validas en conduzcan al mis-m o vector normal unitario Z. Por (40r) , la ultima condici6n sim­ plemente requiere que

P

d(u' v') __,__.:.._ , --'d(u, v)

(41a)

>0

en todo punto donde se cumplan dos de las representaciones con parametros u, v y u', v' Entonces Ia superficie esta orientada po­ sitivamente con respectq a cada una de las representaciones para­ metricas dadas . Por ejemplo , varias porciones de la esfera unitaria S tienen las representaciones parametricas regulares (41b)

X = (sen u cos v,

para

sen

u sen v, cos u)

0 < u < n,

Vo - n

<

(41c)

X = (u', v', .Jl - u'2 - v' 2)

(41d)

X = (v", u", - .v'l - u" 2 - v"2)

v < vo +

par.a

.

n

u' 2 + v' 2 < 1

para

u" 2 + v" 2 < 1.

Facilmente se ve que todas estas representaciones definen una orien­ taci6n de S. Por ejemplo !" tanto (4l b ) como (4 ld) se aplican sobre el hemisferio z < 0 y, alii d ( sen u sen v, sen u cos v) d (u", v") - - sen u cos d (u, v) d (u, v) _

_

u > 0.

El vector normal unitario Z que se obtiene a partir de todas estas representaciones parametricas es el vector normal exterior y Ia orien­ taci6n de S es aquella que resulta positiva con respecto al interior. El segundo metoda que se debe mencionar expresa la condici6n de continuidad de n(;(P), 11(P)) directamente en terminos de los vee­ tares ;, 'I · Sea �(P) el vector normal unitario asociado con ;, 11 por medio de (40d) . En una vecin dad de un punto dado, Po , de S se cumple una representaci6n parametrica regular X = X(u, v) que

Relaciones entre las integrales

651

define un vector normal Z variable continuamente , por media de (40m). Entonces �(P) = e(P) Z(P) con un cierto E (P) = ± 1. Ob­ viamente, Ia continuidad del vector � (P) en Po es equivalente a Ia condicion E(P) = constante cerca de Po , o a Ia condicion �(P)

•

�(Po) = e(P) e(Po) Z(P)

•

Z(Po) > 0

para todo lo suficientemente proximo a Po. Ahara bien , usando Ia identidad ( 40e) se encuentra que

P

�(P)

•

�(P0)

_ -

[;(P), 11(P) ; ;(Po), 11(Po)] I ;(P) x 11(P) I I ;(Po) X 11(Po) I '

Como consccucncia , las orientaciones n(; , 11) varian continuamente y definen una orientacion de Ia superficie S si para cada Po sabre S

(41e) 1

[;(P) , 11(P) ; ;(Po) , 11(Po)] > 0

para todos los puntas sabre S lo suficientemente pr6ximos a Po . Por ejemplo, sea S la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1. Para cual­ quier punta (x, y, z) sabre S que no sea uno de los palos (0, 0, ± 1), los vectores

P

; = (xz, yz, z2 -

1), 11 = ( - y, x, 0)

son independientes y tangenciales , ya que son perpendicualres al vec­ tor de posicion X = (x, y, z). Con la eleccion adicional de ; = (1, 0, 0),

11 = (0, E , 0)

en el polo (0, 0, E), donde E = ± 1, las orientaciones n(; , 11) son co ntinuas en cada punta Po de S. Esto es evidente cuando Po no es uno de los palos , dado que entonces los propios ; y 11 son continuos y diferentes de cero. Asi , solo tiene que verificarse la condicion (4 l e) cuando Po es un polo . Por ejemplo , para el "polo norte" Po = (0, 0, l) y para cualquier pun to P = (x, y, z) en el "hemisferio norte" ,

IA

partir de Ia formula (85c), p. 241 , puede deducirse directamente que (4 le) es relaci6n entre 0(7t*(P)) y 0(7t*(Po)) (micamente y no depende de los vectores .particulares !;(P), 1)(P), !;(Po), 1)(Po) usados para 'representar las orientaciones de esos pianos tangentes. una

Introduccion al calculo

652

y

al analisis matematico

j i;(P) • !;(Po) [�(P) "' ' 11(P) ·' �(P "' 0) ' 11(P0)] I 11 (P) • !;(Po)

I;(P) • 11 (Po) 11(P) 11(Po)

-

=

I

xz yz ·

-y

X

•

I = (x2

+ y 2) z > 0

excepto para P = Po. Pero , por supuesto, tambien

[E,(Po), 1J (P0) ; E,(Po), 1J(Po)] =

I� �I

= 1 > 0.

b. Orientac:Wn de curvas sobre superficies orientadas

Se vio que es posible distinguir una cara positiva y una negativa en una s uperficie orientada S* que se encuentre en el esp acio , con una cierta orienta cion del sistema coordenado . En Ia misma forma, pueden definirse los lados positivo y negativo de una curva orien­ tada, C* , que se encuentre sobre una superficie orientada , S*. Sea I; un vector tangencial a Ia curva en un punto y que apunta en Ia direcci6n determinada por Ia orientaci6n de C* : 1

P

(4 1f)

Q(l;)

= Q(C*).

Sea 11 un vector tangencial a Ia superficie en y linealmente in­ dependiente de 1;. Se dice que 11 apunte hacia el lado positivo de C*

P

Sl

(41 g)

0(11 , I;) = Q(S*).

Reciprocam.�nte , puede orientarse una curva que se encuen ­ tra sobre una superficie orientada S* requiriendo que un veuor dado , 11 , no tangencial a C, apunta hacia el lado positivo de C. 2

C

1 Si X = X(t) es una representaci6n param�trica de C* y Q(C*) corresponde a la t creciente, el vector ,l; debe tener la misma orientaci6n que dXfdt. 2 A fin de logr ar una mayor consistencia para las dimensiones superiores, Ia notaci6n para los lados positivo y negativo de una curva se ha cambiado respecto a la

usada en el Volumen I (p. M2). Consid�rese el caso especial donde s• es el plano con la orienta cion usual, contraria al movimiento de las manecillas del reloj cuando se observa desde un lado determinado. Si c• es un arco orientado con el vector tan­ '{ente !; apuntando en la direcci6n dada por Ia orientaci6n de c•, entonces, por \4l g), un vector 1J apunta hacia el lado positivo de c• si una rotaci6n en sentido -::pntrar.io al ruuvtmiento de las manecillas del reloj en un angulo menor que 1 80° lleva a 'I �
Relaciones entre las integrales

653

Existe una forma natural de orientar una curva C cuando esta forma parte de Ia frontera de una region cr que esta sobre una super­ ficie orientada . S* , si se requiere que cr quede sobre el Ia do negativo de Ia curva orientada C*. M as precisamente , se dice que C* esta orientada positivamente con respecto a cr si un vector 11 tangencial a S* en un punto de C* y que apunta hacia afuera de cr , apunta hacia el lado positivo de C*. Inversamente , puede i ndicarse Ia orien­ tacion de una superficie S* graficamente , tomando una region cr sobre S* y marcando Ia orientaci6n posi tiva de su curva frontera (ver Ia Fig. 5 . 1 1 ) . 1

P

..

Figura 5. 1 1 Curva orientada C* sobre Ia superficie orientada S* .

Si una superficie orientada S* se divide en las porciones S1, S2 , . . , n, S entonces cualquier arco C que separe una porci6n . St de una porci6n S1c reci be orientaciones opuestas cuando se orienta posi ti ­ vamente con respecto a esas porciones . Esto se deduce inmediata­ mente a partir del hecho de que cualquier vector 11 tangencial a S en un punto p de c y que apunta haci a 81 ' apunta hacia afuera de sk (ver la Fig. 5 . 1 2) .

Figura 5.12

1 E n esta forma de indicar la orientaci6n de una superficie S* por medio de Ia de una curva C* sobre ella, se tiene que especificar claramente el conjunto cr con respecto al cual Ia curva C* va a tener la orientaci6n positiva. Por lo general, C* es una "pequeiia" curva simple cerrada que divide a S �n dos porciones, una de las cuales tambien es pequeiia y entonces se toma como cr

654

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Ejercicios 5 . 7

1 . Sea S Ia superficie bidimensional ("producto de dos circulos") en el es­

pacio cuatro dada por

X

=

(cos

u,

sen

u,

cos

v, sen v).

Probar que los vectores

I;

=

( -x2,

x 1 , - x4, x3 ) ,

11 = ( -

determinan una orientaci6n sobre S.

x2 , x1 , x4 , - x3 )

2 . Sea S* el toro con Ia representaci6n parametrica dada en el Capitulo 3 (p. 3 34) y que esta orientado positivamente con respecto a los parametros 6, if>. Probar que S* esta orientada positivamente con respecto a su in­

terior. 3 . Sea S la cinta de Mobius representada parametricamente como en (40u). (a) Demostrar que la linea v = a/2 divide a S en un conjunto orientable y uno no orientable. (b) Demostrar que la linea v = 0 no divide a S, es decir , que el conjunto 81 de puntos obtenido al eliminar de S todos los puntos con v = 0 a(m es conexo. (c) Demostrar que 81 es orientable. 4. Sean 1;, 11, vectores independientes en el plano 1t, P6ngase a = I I; 1 2, b = I; • 11, c = l 11 l 2 y f6rmese, para cualquier t , el vector R(t)

=

(

�os t - v' ac

b

_

) I; +

se t b2 n

a sen t v'ac b2 11 · _

Probar que se obtiene R(t) haciendo girar el vector I; en el plano 7t un angulo t en el sentido dado por Ia orientaci6n Q(l;, 11).

5.8

Integrales de formas diferenciales superficies

y

de escalares sobre

a. Integrales dobles sabre regiones P.lanas orientadas

En las definiciones originales de integrales simples y multiples , digamos, como limites de sumas de Riemann , la orientaci6n no juega papel alguno . La integral de una funci6n f se b asa en el uso de lon­ gitudes , areas , volumenes y asi sucesivamente , de figuras elementales que , naturalmente , reciben valores positivos . Sin embargo , el uso de cantidades con signo, lo que equivale a Ia introducci6n de orien­ taciones , se impone inmediatamente si se desea tener reglas simples para operar con integrales . 1 Asi , la integral definida 1 Generalmente, las matematicas se volverian intolerablemente complicadas si nos restringieramos a usar unicamente cantidades positivas, por ejemplo, distancias

Relaciones entre las integrales

b

Ja f(x) dx

se define como el limite de sumas de Riemann para que se cumpla la regia de aditividad

b fa f(x) dx [,b +

f(x) dx =

sin restringir las posiciones relativas de

tambien para (42a)

Jab f dx

a,

655

a < b. Si se desea

Jac f(x) dx

b, c, se tiene que definir

a � b por medio de la formula b a Ja f(x) dx = Jb f(x) dx -

(ver el Volumen I , p. Geometricamente , la pareja ordenada de num eros a, b determina un intervalo orientado 1* sobre el eje x, con pun to "inicial" a y punto "final" b . Aqui el valor de

1 36).

(42b)

b

Ja f dx = JI* f dx

es el dado por el limite de l as sumas de Riemann (el cual es positivo para f positiva) cuando la orientacion de 1 * corresponde al sentido de Ia

x

a<

creciente , es decir, para b. Es el negativo de ese limite para b. Intercambiando los puntas extremos I* se convierte en el in­ tervalo -1* , con la orientacion opuesta , de modo que la formula (42c) tambien se puede escribir como a>

(42c)

J-I* f dx =

-

r

J I*

f dx.

positivas en Iugar de distancias con signo como coordenadas. Esto requeriria una

cantidad innumerable de distinciones entre casas diferentes, en la demostraci6n y enunciado de teoremas sencillos. La positividad es un elemento esencial en el plan­

teamiento de desigualdades entre entes matematicos, pero complica el planteamien­

to de la mayoria de las identidades, las cuales por lo comun se basan en Ia irrestricta manipulaci6n algebraica de las cantidades.

656

Introduccion al cilculo y al anilisis matematico

Se tiene una situaci6n semejante para la integral sabre un conjun­ to orientado R* (mensurable segun jordan) en el plano x, y.1 Cuando R* esta orientado positivamente con respecto a las coordenadas x, y , .Q (R*) = .Q (x, y), la integral doble

fL. f(x, y) dx dy

debe sobrentenderse en el sentido definido en el Capitulo 4 . Esto es, la integral es el limite de las sumas obtenidas a partir de subdivisiones del plano en cuadrados de area La integral tendra un valor no negativo para f no negativa . En el c aso .Q(R*) = - .Q(x, y) = .Q(y, x), se define la integral de f so bre R* por

2-2n.

donde ahora

fL. f dx dy

=

r

JR *

-

fL. f dy dxl

f dy dx

tiene el significado ordinaria de limite de sumas . Cono consecuencia se tiene la regia de que

r * lrj_R

(43)

f dx dy = - jJR rr * f dx dy,

donde -R* se obtiene cambiando la drientaci6n de R* . Con esta con­ venci6n se cumple lei regia de sustituci6n [ ver ( 1 6b ) , p . 459 ] , en la forma

(43a)

rr

i�r

J .. R* f(x, y) dx dy = JT • f((J(u,

d(x, y) v), 'JI(u,. v)) d(u, v) du dv,

para las aplicaciones suaves uno a uno :

x

=

(J(

u, v), y

=

v

'JI(u, )

1 La orientacion de R* se define aqui de acuerdo con Ia definicion general de Ia orientacion de superficies. Se determina asociando con cada punto de R* una orien­ tacion (descrita, por ejemplo, por medio de una pareja de vectores) variando las orientacione� continuamente de punto a punto. Para un conjunto conexo solo son posibles d�s orientaciones distintas.

R.elaciones entre las integrales

657

d(x, y)/d(u, v)

de T* sabre R * , mientras el j acobiano sea positivo en todo T* , o bien , negativo en todo T* . Aqui la orientacion de T* tiene que ser la correspondiente a la de R * b ajo la aplicaci6n. 1 Si, y si por ejemplo , Q(R*) = < 0, entonces n(T*) = Q(u, v). Podria decirse que la orientaci6n de R * atribuye un cierto signa a la forma diferencial dx dy: el signa positivo si el sistema coordenado x, y tiene la orienta cion de R * , el negativo en caso con­ trario. Entonces, el signa atribuido por la orientacion de T* a la for­ ma du dv es el que concuerda con la relaci6n

- O(x, y)

d(x, y)/d(u, v)

d(x, y) du dv. dx. dy d(u, v) =

En la misma forma pueden definirse las integrales triples

JJL. f(x, y, z) dx dy dz

sabre conjuntos orientados en el espacio x, y, en dimensiones superiores .

z y,

de modo semejante,

b. lntegrales de superficies de formas diferenciales de segundo orden

Ahara se puede dar una definicion general para la integral de cualquier forma diferencial de segundo arden w sabre una superficie orientada , S* , en el espacio . Sea w una forma diferencial dada por la expresion w =

(44)

a(x, y, z) dy dz b(x, y, z) dz dx c(x, y, z) dx dy. +

+

Supongase primero que l a superficie S* completa bajo consideraci6n puede representarse parametricamente en la forma

1 Para encontral' esa orientaci6n f6rmense, de acuerdo con (40 o, p), los vectores y

p6ngase !l(R*)

donde e

=

=

Xu = (Xu, Yu), Xv = (Xv, Yv)

e !l(Xu, Xv)

=

e

( );: ;:1) sgn

± 1 tiene el valor determinado por

n (R*) = !l( T*) = e!l(u, v).

!l(x, y).

Introduccion al calculo y al analisis matematico

658

x = x(u, u), y = y(u, u), z = z(u, u),

(45)

(u,

donde u) varia sobre un conjunto R* en el plano u, v. Aqui R* tiene una cierta orientaci6n determinada por la de S* (ver la p . 646) . 1 Puede escribirse ro en la forma ro =

donde K=

(46) y

definirse

ro_ _ = du du

a

K du du,

d(y, z) d(u, u)

d(z, x) + b d(u, u) +

c

d(x, y) , d(u, u)

JL* ro = JL. K du du d(z, x) y, z) = Jrr (a d( b + d(u, u) + d(u, u) ..

(46a)

R*

c

·

y))

d(x, d(u, u) du dv.

El valor obtenido de esta manera para la integral d� ro sobre la super­ ficie orient � da S* es i ndependiente de Ia representaci6n parametrica particular que tenga S * . Si la superficie tambien puede referirse a los parametros u', v', se ti ene (ver l a p . 3 58) ro =

K' du' dv' ,

don de

K' = K

d(u, v) d(u', v') ·

Entonces Ia orientaci6n de la region de integraci6n R'* en el plano ' u , u' es tal que Ia regia de sustituci6n (43 a) es aplicable y

ii

R

*

K

du dv =

JI

1 R *

i"(

K d(u, v) du' dv' = K' du' dv' . JR 1 * d(u', V')

1 La regia para orientar a R* es como sigue: O.(R*) = eO.(u, v) con e = ± 1 si n

(S*) = eO.(Xu, Xv), donde X

= (x, y, z) es el vector de posicion .

Relaciones entre las integrales

S*

659

Sup6ngase , por ejemplo , que es representable no parame­ tricamente en la forma z = f(x , y) , siendo (x, y) variable sobre la en el plano x, ·y. La orientaci6n de proyecci6n vertical R* , de dctermina una orientaci6n para . La orientaci6n de puede describirse especificando el vector ·normal a que apunta hacia el cuando la orientaci6n del espacio es la del sis­ lado positivo de tema coordenado x, y, z. Cuan do ese vector normal forma un fmgulo agudo con eje z positivo, la orientaci6n de es la del �istema x , y; en caso contrario , la del sistema y, x. 1 En cualquiera de los dos casos se tiene

S*

S*,

JJ. * s

S*

ro = =

R*

S*

R*

JJ. * (a dy dz b dz dx JL* (c afx - b{11) dx dy. s

+

.

S*

+

c

S*

dx dy)

-

Ahora resulta facil deshacerse de la hip6tesis especial de que la superficie completa se puede representar por medio de una unica representaci6n parametrica . Sup6ngase · que la superficie orientada S* se puede dividir en un numero fin ito de porciones orientadas . . . , SN* , de manera tal que cad a porci6n tenga una re­ presentaci6n parametrica del tipo discutido. Se forma la integral de superficie de la forma ro p ara c ada una de las porciones, de acuerdo con la definicion anterior, y se define la integral de ro sobre S* como la suma de las integrales sobre las 81. * . Por supuesto, se tiene que demostrar que la integral sobre S* definida de esta manera no depende de la subdivision particul ar de en porciones S" *· Con relaci6n a las hip6tesis exactas necesarias para que esto sea cierto , y \a demostraci6n , ver el Apendice a este capitulo .

82*,

S1*,

S*

c.

Relaci6n entre las integrales d e formo,s diferenciales sobre suPerficies orientadas y las integrales de escalares sobre superficies no orientadas

En el Capitulo 4 (p . 482 ) se introdujo el area, A , de una superficie S en el espacio , sin referencia alguna a su orientaci6n. Si S tiene la representaci6n p arametrica 1

Ver la p. 642. En el primer caso, con S* referida a los parametros x, y el vec­ (-fx , -{y, 1) y, por tanto, (�, Xu,

tor norm al positivo � tiene la direcci6n del vector

X,) > o.

660

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

x = x(u, v), y = y( u, v), z = z(u, v) y

si � ' 11, � denotan las componentes del vector normal

(46b)

d(z, x) � d(x, y) d(y, z) - d(u, v) S = d(u, v) ' 11 = d(u, v)' _

.

.

[ ver (30�). p . 485 }, el area de S e.sta dad a por

Aqui la integral se extiende sobre el conjunto R en el plano u, v, correspondiente a S. Se interpreta la integral en el sentido original de una integral doble en la que el elemento de superficie

dS = .Js 2 + 11 2

+

�2

du dv

se trata como una cantidad positiva o, lo que es equivalente , en la que se da a R la orientaci6n positiva con respecto al sistema u, v. 1 · La orientabilidad de S no es esencial para la definicion de A . El lector puede , por ejemplo, expresar facilmente como una integral el area total de la no orientable cinta de Mobius, con la representaci6n parametrica dada en la p � 647 . Mas generalmente, para una funci6n f (x, y, z) definida sobre la superficie S, puede formarse la integral de f sobre la superficie: (47a) El valor de la integral es independiente de la representaci6n para­ metrica usada para S y no involucra orientaci6n alguna de S. Es positivo para f positiva . Con el fin de relacionar la integral de una forma diferencial de segundo orden ,

1 Si se introduce el vector de posicion X = (x, y, z), Ia cantidad v'l; 2 + 112 + �2 representa Ia longitud del producto vectorial de los vectores Xu Y. Xv. Por (30b) , p. 428 , tambien puede escribirse como

v'EG - F2 = v'(Xu • Xu) (Xv

•

Xv) - (Xu • Xv)2 = v'[Xu, Xv ; Xu, Xv].

La diferencial dS tiene las mismas propiedades de invariancia que una forma di­ ferencial alternante de segundo orden, bajo las sustituciones parametricas con ja­ cobiano positivo, pero cambia de signo bajo las sustituciones con jacobiano negativo.

Relaciones entre las integrales ro =

661

a(x, y, z) dy dz + b(x, y, z) dz dx + c(x, y, z) dx dy ,

sabre una superficie orientada S*, con las integrales de superficie de funciones sabre la superfiC ie S no orientada, como acaban de definir­ se, se introducen los cosenos directores del vector normal positivo de S* :

donde � ' 11 , s estan dados por (46b) Entonces , por (46), K=

co

du dv

= E (a cos

a

+

y

E

=

± 1,

Q(S*)

=

e.Q(Xu , Xv).

b cos � + c cos y) .J� 2 + 11 2 + l;2 .

Ahara , por (46a) ,

JJs* ro JL* K du dv JL K du dv. =

= E

Consecuentemente , (47 a ) proporciona la identidad

(47b)

lJs*

ro =

.D�s*a dy dz + b dz dx + c dx dy

JL (a = JL (a

=

cos a +

cos a +

b cos � + c cos y) dS b cos � + c cos y) .J�2 +

11 2

+ l;2

du dv,

que expresa la integral de la forma diferencial ro sobre la superficie orientada S* como una integral sabre la superficie S no orientada o sabre la region no orientada R en el plano de l os parametros. Sin embargo , aqui el integrando depende de la orientaci6n de S*, puesto que cos a, cos �' cos y son los cosenos directores del vector normal, n, de S* que apunta hacia el lado positivo de S* (usando una orien­ taci6n positiva del espacio con respecto a las coordenadas x, y, z) .

Sk*

Si la superficie orientada S* consiste de varias porciones, cada una de las cuales admite una representaci6n parametrica de la forma (45 ) , se aplica la identidad (47b ) a cada porci6n y, sumando sab re las diferentes porciones, se obtiene la misma identidad para la integral de co sabre la superficie S* completa .

662

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Los cosenos di rectores del vector normal n que a punta hacia el lado positivo de S* sc pueden identificar con las deriva(jas de x, y, z en Ia direcci6n de n :

dx cos a = ­ dn'

·

cos 1-'ll

=

dy dn'

cos y =

dz dn"

Por tanto ,

(47c) En notaci6n vectorial Ia formula se reduce a

IL*

(47d)

(0

=

IL v .

n

ds,

donde n = (cos a, cos �, cos y) es el vector normal uni tario sobre el lado positivo de y V es el vector con componentes a, b, c . El concepto de integral · de superficie se puede i nterpretar in­ tuitivamente en terminos del movimiento de un puido incompre sible, (esta vez . en tres dimensiones) cuya densidad· se toma como unidad. Sea V = (a, .b , el vector velocidad de este flujo. Entonces , en cada punto de Ia superficie el producto V • n da I a componente de Ia velocidad del flujo en Ia direcci6n normal a Ia superficie . Por lo tan­ to, la expresi6n

S*

c)

V•

n

S*

dS = (a cos a + b cos � +

c cos y) dS

se puede identificar con la cantidad de fluido que p asa en la unidad de tiempo a traves del elemento de superficie dS , . del la do negativo de S* hacia el lado positivo (por supuesto , esta cantidad puede ser negativa) . 1 Por consiguiente , Ia integral de superficie

(48)

If * (a dy dz + b dz dx + s

'

c

dx

dy) = If V '

s

•

n dS

1 Ver la interpretacion bidimensional analoga en la p. 634. Aqui se im�gina Ia superficie en la vecindad de un punto como si fuese aproximada por una porcion plana de area ll.S y el vector velocidad V como si fuera remplazado por un vector constante. Eligiendo adecuadamente el paso al limite se obtiene la representacion in­ tegral para Ia cantidad de liquido que cruza S*.

Relaciones entre las integrates

663

representa la cantidad total de fluido que pasa a traves de la super­ fide S*, del lado negativo hacia el l ado positivo , en la unidad de tiempo . Notese aqui que la distincion entre los l ados positivo y ne­ gativo de una superficie, es decir, el concepto de orientacion, juega una parte importante en l a descripcion m atematica del movimiento del fluido. En otras aplicaciones fisicas el vector V denota la fuerza debida a un campo , que actua en un punta (x, y, z). Entonces la direccion del vector V da la direccion de las lineas de fuerza y su magnitud da la magnitud de la fuerza . En est a interpretacion , la integral

JJ

s

*

(a dy dz + b dz dx +

c dx dy)

se llama flujo total de fuerza a traves de la superficie , del lado ne­ gativo b acia el lado positivo . Teoremas de Gauss

5.9 a.

y

d e Green e n e l espacio

Teorema de Gauss

El concepto de integral de superficie permite extender a tres dimen­ siones el teorema de Gauss , que se probyo en la p . 607 para dos di­ mensiones. El punta esencial en el enunciado del teorema en dos dimensiones es que una integral sabre una region plana se reduce a una integral de linea calculada a lo largo de la frontera de la region. Considerese ahara una region tridimensional R , cerrada y acotada, en el espacio x, y, z, limitada por una superficie S que se intersecta con toda paralela a uno de los ejes coordenados en, cuando mas, dos puntas . Posteriormente se eliminara esta ultima hipotesis. Supongase que las tres funciones a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z) y sus primer as derivadas parciales son continuas en R . Considerese Ia integral

ffL ac<xa:' z) dx dy dz

calculada sabre la region R orientada positivamente con respecto a las coordenadas x, y, z. La region R puede describirse mediante las desigualdades

zo(x, y) � z � z1 (x, y),

664

Introduccion alcilculo

y

al anilisis matemitico

donde (x, y) varia sobre la proyecci6n , B , de R sobre el plano x, y. Sup6ngase que B tiene un area y que las funciones zo (x, y) y Zl (x, y) son continuas y tienen primeras derivadas continuas en B . L a in­ tegral de volumen sobre R puede transformarse por medio de la for ­ mula (ver la p . 5 92 )

JLfJR f dx dy dz = JJ

dx dy

B

Jzo1 f dz. z

Como aqui f = ac;az , puede realizarse la integraci6n con respecto a dand'""J

z,

ac dz = C(X, y, ZI) az

-

C(X, y, zo) = C! - CO ,

de modo que

ffL

'a;'

ac(x

z)

dx dy dz =

fL

C ! dx dy

-

fL Co dx dy.

Si se supone que la frontera S esta orientada positivamente con res­ pecto a la region R, entonces la porci6n de Ia superficie frontera orientada , S* , que consiste de los puntos de entrada z = zo(.X, y) tiene una orientacion negativa con respecto a las coordenadas x, y cu ando se proyecta sobre el plano- x, y, 1 tnientras que l a porci6n z == . , Z1 (x, y) que consiste de los puntos de salida tiene una orientaci6n positiva . De a qui que las dos ultimas integrales se combinan para formar la integral

Jfs*

c (x, y, z) dx dy

evaluada sobre Ia superfici� S* completa . Asi se obtiene la formula

JJL ac <�:, z) dx dy dz JL* c (x, y, z) dx dy. =

La f6rmula sigue siendo valida si S* contiene porciones cilin­ dricas perpendiculares al plano X, y, porque estas no contribuyen a la integral . Si , por ejemplo , una de tales porciones S' * , de S* tiene la representacion y = fjJ (x), para S' * se tiene la representaci6n para­ metric a 1 Ver la p . 658. Sobre z apunta hacia abajo .

=

zo(x, y) el vector normal positivo (el exterior a R)

Relaciones entre las integrales

y,

a

X = U,

Y = �( u),

z= v

665

por tanto , en efecto se cumple

y

fJ�* c dx dy = JJ c �i�: �� du dv = JJ c I �' � I du dv = 0.

Si se deducen las formulas correspondientes para las componentes b y se suman las tres formulas , se obtiene Ia formula general

( 49)

iii [aa(x, y, z) + ab(x�, y, z) + ac(x,�y, z)] dx dy dz R

�

Jl* [a(x, y, z) dy dz + b(x, y, z) dz dx + c(x, y, z) dx dy] ,

que se conoce como teorema de Gauss. Usando la formula (47b) de la 5 95 , esto tam bien se puede escribir en la forma

p.

(50)

fiC (ax + by + Cz) dx dy dz Jl (a + b � + c y) dS d y + dz = II (a ddxn + b dn c dn) dS. cos a

cos

cos

s

Aqui correspondiendo a Ia orientacion positiva de S* con respecto a a, � ' y se tienen los angulos que el vector normal dirigido haci'a afuera, n , forma con los ejes coordenados positivos . Esta formula se puede extender con facilidad a regiones mas generales . Solo se requiere que I a region R pueda subdividirse , por medio de un n umero finito de porciones de superficies con pianos tangentes que giren de modo continuo, en subregiones Rt , cada una de l as cuales tenga l as propiedades arri b a supuestas (en particular, que cada R i tenga una frontera que consista de superficies que se in­ tersecten con toda paralel a a un. eje coordenado en, cuando m as, dos puntos o que sean porciones de cilindros con generatrices paralelas a uno de los ejes coordenados). El teorema de Gauss se cumple para cada region Ri . Al sum ar se obtiene, a la izquierda , una integral tri ple sobre la region R completa ; a la derecha, algunas de las in­ tegrales de superficie se combinan para formar la integral sobre Ia superficie orientada S, m ientras que las otras ( a saber, aquellas R , en

666

Introduccion al «:: ilculo y al anilisis matematico

tomadas sobre las superficies que subdividen a R ) se cancelan entre si , como ya se ha vis to en el caso del plano (p . 6 1 1 ) . 1 Como un caso especial del teorema, de Gauss se obtiene la formula para el volumen de una region R limitada por una superficie S* orientada positivamente con respecto a R . Si, por ejemplo, en (49) se ' c = pone a = = inmediatamente se obtiene la expresion

0, b 0,

V=

z, JJL dx dy dz JL* z dx dy =

para el volumen . De la misma manera , se encuentra 2 que

b, entonces ax by dx dy dz a dn b dn dn

Si A es el vector con componentes a, es la divergencia de A y +

+

c,

+

+

Cz

c

1 La demostracion pata R general que se ha dado aqui utiliza una definicion de la integral sobre una superficie cernida S que, en realidad, no se ha demostrado in­ dependiente de la manera particular de dividir S en porciones con representaciones parametricas simples. La demostraci6n de que para S suave la integral sobre S es independiente de la subdivision se dara en el Apendice, p . 704. Sin embargo, en la extension del teorema de Gauss a regiones R mas generales, dada arriba , necesa­ riamente se hace uso de subregiones Rt limitadas por superficies St que tienen art's­ tas y no son perfectamente suaves. Por esa razon es mas conveniente usar una tecnica de demostr.a cion un tanto diferente, que no requiera de la descomposici6n .de R en subconjuntos ajenos Rt, que quiza no puedan tener fronter�s suaves. Esto se logra por medio del metodo de particion de la unidad, en el que, efectivamente, se re­ presenta R como la unipn de regiones Rt que se traslapan , con fronteras suaves, a cada una de las cqales se aplica directamente el teorema. Ver el Apendice a este capitulo, pp. 708-71 1 . 2 Es notable que el intercambio cfclico de X, y, z en estas expresiones para V no produce cambios de signo, en . contraste con las · formulas correspondientes para el area P,e una region bidimensional liq1itada por una curva orientada C* : ·

A

=

J:. x dy

= -

J:. y dx .

Esto es asi porque en dos dimensiones un intercambio entre Ia direccion x positiva y Ia direccion y positiva invierte Ia orientacion del plano : fl(i, y) = - !l(y, x), mien­ tras que un intercambio dclico de las coordenadas en el espacio tres conserva la orientacion del espacio; ·

fl(x, y, z) = !l(y, z, x) = !l(z, x, y).

Relaciones entre las integrales

667

es el producto escalar de los vectores A y n, es decir, la componente norm al , An del vector A. De aqui que, en notaci6n vectorial, el teorema de Gauss se convierte en 1

(52)

JJL div A dx dy dz = JL A

• n

dS =

JL A n dS.

Mas notable es la formulaci6n del teorema de Gauss (49) en ter­ .minos de form as diferenciales exteriores . La forma diferencial de segundo arden

ro = a(x, y, z) dy dz + b(x, y, z) dz dx + c(x, y, z) dx dy tiene precisamente por derivada [ ver (58c} , p . 364 ] la forma de ter­ cer arden

dro = (ax + by + C z) dx dy dz. Denotando par S* la front era de R orientada positivamente con res­ pecto a R, se tiene simplemente

(53} Hasta a qui se ha supuesto que la region tridimensional R esta orien­ tada positivamente con respecto a las coordenadas x, y, z. Nos po­ demos liberar de esta suposici6n observando que ro en (53) representa una forma diferencial arbitraria de segundo arden y que la relaci6n entre ro y dro es independiente de l as coordenadas que se usen. Den6tese por R* una region orientada en el espacio y por oR* su frontera orientada positivamente con respecto a R* . Siempre puede elegirse un sistema x, ) , z con respecto al cual R* este orientada positivamente , de modo que (53) se cumple con S* = oR* (ver la p . 656 ) . Con estas convenciones se tiene, para cualquier orientaci6n de '

R*,

(53a}

1 N6tese que en las integrales de superficie la orientaci6n dada a S solo afecta al integrando.

668

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

Como se vera, formulas analogas se cumplen con mayor gene­ ralidad para conjuntos de cualquier numero de dimensiones. 1 Ejercicios 5.9a 1 . Evaluar Ia integral de superficie

JJ; dS

sobre Ia mitad del elipsoide x2fa2 + y2f b2 + z2fc2 = 1, para Ia cual z es positiva, donde 1/p = lx/a2 + myfb2 + nz/c2, siendo l , m, n los cosenos directores del vector normal dirigido hacia afuera. 2 . Evaluar Ia integral de superficie

sobre Ia esfera de radio unitario con centro en el origen, donde H = a1x4 + a 2y4 + aaz4 + 3a4X2y2 + 3asy2z2 + 3a6x2z2•

b. Aplicaci6n del teorema de Gauss al movimiento de fluidos

Como en el caso del plano , una interpretacion fisica del teorema de Gauss en el espacio puede obtenerse tomando el vector A = (a, como el vector momento lineal en el movimiento de un fluido de densidad p cuya velocidad esta dada por el vector V = w). Aqui p y las componentes de la velocidad, u, v, w, dependen del punto (x, y, z) y del instante t considerado. El vector momento lineal (por unidad de volumen) se define por A = pV. Si R es una region fij a en el espacio , limitada por Ia superficie S, entonces la masa total del fluido que pasa en la unidad de tiempo a traves de una pequefia por­ cion de S de area AS, del interior hacia el exterior de R , esta dada

b,

c)

(u, v,

1 Generalmente, para .un conjunto orientado n dimensional, R* en el espacio euclidiano de n o mas dimensiones, el simbolo aR* denota Ia frontera de R* orien· tada positivamente con respecto a R* ; es decir, aR* esta orientada de tal manera que

O(R*) = O(B, A1,

•

•

•

, A n -1)

donde A1, . . . , An -1 son vectores tangenciales en algt1n punto a Ia frontera de aR*, con O(aR) = O(A1, A2 ,

y donde B es un vector tangencial a R*

•

•

•

, A n -1),

y que apunta hacia afuera de R*.

Relaciones entre las integrales

p Vn I!S,

669

Vn

donde aproximadament.e por la expresi6n es la com­ ponente del vector velocidad V en la direcci6n del vector normal hacia afuera , n , en un punto del elemento de superficie . En con­ secuencia , la cantidad total del fluido que pasa a traves de la fron­ tera S de R , del interior hacia el exterior, en la unidad de tiempo es­ ta dada por la integral

JL pVn dS = JL An dS

eval uada sobre la frontera S completa . Asi por Ia identidad de Gauss ( 5 2 ) , la cantidad de fluido que sale de R en l a unidad de tiempo a traves de su frontera es :

JJL div A dx dy dz = JJL div (pV) dx dy dz.

Por otra parte , la m asa total de fluido contenida en R en cualquier instante esta dada por la integr�l triple

JJL p(x, y, z, t) dx dy dz ,

y la disminuci6n por unidad de tiempo de la masa de fluido con­ tenida en R es

: JJL p(x, y, z, t) dx dy dz = - JJL pe(x, y, z, t) dx dy dz.

- t

Si se cumple Ia ley de conservaci6n de la m asa y si no existen fuentes ni sumideros de masa en R , entonces la cantidad total de masa del fuido que sale de R a traves de la superficie S debe ser exactamente igu al a la perdida de masa del fluido contenido en R . Entonces debe tenerse

JJL div (pV) dx dy dz = - JJL dx dy dz Pt

en cualquier instante t para cualquier region R . Dividiendo ambos miembros de esta identidad en tre el volumen de R y reduciendo esta region hasta un pun to (es decir , apli cando la derivaci6n en el es­ pacio) se obtiene la ecuaci6n tridimensional de continuidad: div

(pV) = -pe,

670

Introduccion al calculo

y

al anUisis matematico

o bien ,

(55) Ia cual expresa l a ley de conservaci6n de la masa para el movimiento de fluidos , en form a de ecuacion diferencial . Si no se invoca la ley de conservacion de la masa, la expresion

Pt + div ( pV) es una medida de Ia cantidad de m asa creada (o a niquilada , cu ando es negativa) en Ia unidad de tiempo por unidad de volumen . Particularmente interesante es el caso de u n fluido bomogeneo e incompresible , para el cual Ia densidad p tiene el mismo valor en todas partes y no cambia con el tiempo . Como entonces p es cons­ tante , de ( 5 5 ) se deduce que

.

d1v V =

(56)

au + -av + aw ax ay � oz

-

= 0

si se conserva Ia masa . Entonces de (52 ) se concluye que

JL V · n d8 = 0

(57)

sicinpre que Ia superficie S limite Ia region R . Considerense , en par­ ticular, dos superficies , 81 y 82 , limitad as por la misma curva orien­ tada , C* , en el espacio y que , en conjunto , forma n l a frontera , S, de una region tridimensional , R . De (57 ) se encuentra que

(58)

0 =

JJS V

•

n d8 =

JJSt

V

•

n d8 +

JJS2 V

•

n d8,

don de , tanto sabre 81 como sabre 82 , n denota el vector normal que apunta b acia afuera de R . Puede convertirse tanto a 81 como a 82 en las superficies orientadas 81 * y 82* de manera tal que Ia orien­ tacion de C* sea posi tiva tanto con respecto a 81*como con respecto a 82* . Sabre estas dos superficies , sea n* el vector normal u nitario que apunta bacia el lado positivo. (Para una orientacion "derecba" del espacio esto significa que n* apunta bacia ese lado de la superficie dcsde el cual I a orientacion de C* se ve en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj) . Entonces , necesari amente,

Relaciones entre las integrales

671

n* = n sobre una de las superficies sl, 82 y n* = -n sobre la otra . 1 De (58) se concluye que (59)

If

St

V • n* dS =

If

S2

V • n* dS.

0 , expresado en p alabras, si el jluido es incompresible

y homogeneo se conserva la masa, entonces la misma cantidad de jluido pasa a traves de dos superficies cualesquiera que tienen la misma curva frontera C* y que, en conjunto, lim'itan una region tridimensional en el espacio. Esta cantidad de fluido no depende de la forma precisa de l as superficies ; es razonable admitir que debe estar determinada solo por la curva frontera C* .2 Se llega entonces a la cuesti6n de como puede expresarse la cantidad de fluido en terminos de la curva C* unicamente. A esto se da respuesta en la seccion siguiente (p. 68 1 , por medio del teorema de Stokes . y

c. El teorema de Gauss aplicado a fuerzas en el espacio fuerzas superficiales

y

a

Las fuerzas que acttian en un medio continuo pueden considerarse ya sea como fuerzas en el espacio (como l as fuerzas de atracci6n gravitacional , electrostaticas) o como fuerzas superficiales (tales como las presiones, fuerzas de arrastre). La relacion entre estos dos puntos de vista esta dada por el teorema de Gauss. Solo se considerara el caso especial de la fuerza de un fluido de densidad p = p(x, en el cual existe una presion p(x, y, z) que, en general , depende del punto (x, y , z). Esto significa que l a fuerza que actua sobre una porcion R del liquido , ejercida por la parte res­ tante del mismo , puede considerarse como una fuerza que actua en

y, z),

1 El vector normal n determina una orientaci6n sobre la superficie 8 completa si se requiere, por ejemplo, que n apunte hacia el lado positivo de 8. Orientando a 81 y 82 con relaci6n a n , la curva C recibe sentidos opuestos si se requiere que este orientada po.sitivamente con respecto a 81 o a 82 (ver la p. 653). Sin embargo, como C* tiene el sentido positivo con respecto tanto a 81 * como a 82 * se concluye que las orientaciones dadas por n* y por n solo concuerdan sobre una de las super­ ficies. 2 La cantidad de fluido que cruza una superficie limitada por la curva cerrada C , en la unidad de tiempo, es independiente del tiempo si se establece la hip6tesis adicional de que el flujo es estacionario, es decir, que el vector velocidad V es in­ dependiente del tiempo . ·

672

Introduccion al calculo y al analisis matem.atico

cada pun to de la superfi cie , S, de R en la direccion de i vector normal interior y de magnitud p por unidad de area de la superficie . De­ los cosenos directores del vector notanda por normal exterior en un punto de la superficie S de R , las componentes de Ia fuerza por unidad de area estan dadas pot

dxfdn, dyfdn, dzfdn

-p dxdn' -p dydn' -p dzdn" Por lo tanto , la resultante de l as fuerzas superficiales que actuan sobre R es una fuerza con componentes

Por el teorema de Gauss, (50) , p . 665, X, Y, Z se pueden escribir como las integrales de volumen

X=

-

JJL P d dy dz, Y = JJLPY dx dy dz, Z = - JJL Pz dx dy dz. x·

x

-

En notacion vectorial , la result ante es una fuerza F dada por

(60)

F=

- JJL .gradp dx dy dz.

Este resultado se puede expliesar como sigue. Por una p arte, las fuerzas en un fluido debidas a una presion p(x, y, z) pueden con­ siderarse como fuerzas superficiales (presion) que actuan con den­ sidad p(x, .y, z) , perpendiculares a c ada elemento de superficie que pasa por el punto (x, y, z) y, por otra p arte , como fuerzas en un volumen , es decir , como fuerzas que actuan sobre c ada elemento de volumen , con densidad volumetrica grad p. Si un fluido esta en equilibria b aj o las fuerzas debida.s a la presion y a; la atraccion gravitacional, el vector F debe e quilibrar Ia fuerza total de atraccion, G, que actua sobre el liquido contenido en R :

F+G

=

0.

Si Ia fuerza gravitacional que actua sobre una masa unitaria en el punto (x, y, z) esta dada por el vector r(x, z), se tiene

y,

Relaciones entre las integrates

= III

G

R

673

rp dx dy dz.

=

Por Ia relacion F + G 0, valida p ara cualquier porc 10n R del fl uido , se concluye , derivando en el espacio, que se cumple la re­ l acion correspondiente para los integrandos , es decir , que en cada punto del fluido se cumple la ecuacion - grad p

(61)

+

pr

= 0.

Como el gradi � nte de un escalar es perpendicular a las superficies de nivel para ese esc alar, se concluye que para un flu'ido en equ'ilz'br'io bajo la Presion y la atracc'ion gravitadonal, a tracc'ion en cada punta de una superf'ic'ie de presion constante p (superfide "'is obar'ica '') es perpendicular a la superfic'ie. Si se establece la hipotesis acostum­ brada de que Ia fuerza gravitacional por unidad de masa cerca de Ia superficie de I a Tierra esta dada por el vector r (0, 0, -g), donde g es I a aceleracion de I a gravedad , de (6 1 ) se encuentra que 1

=

Px = 0,

(62)

py

= 0,

Pz = - gp.

Considerese en particular un liquido homogeneo de densidad cons­ tante , p , limitado por una superf'ic'ie l'ibre de presion 0. Por (62 ) , sobre toda esta supersicie libre se tiene 0

p

= d = Px dx +

py

dy +

Pz dz = - gp dz.

De :1 qui que dz O, lo cual significa que la superficie l'ibre tiene q u e constante z0• Entonces , para cualquier punto (x, ser u n plano z y, z) del liquido , el valor de la presion es =

=

p (x, y , z)

=

= - roz Pz(x, y, �)d� = gp (zo - z). z=

Asi, a la profundidad zo h la presion tiene el valor gp h Para un sol ido sumergido parcial o completamente en el liquido , deno­ temos por R Ia porcion del solido que se encuentra por debajo de Ia superficie libre z z0 • Apliquemos la formula (60)a la region R con el fin de determinar la fuerza total de presion que actua sobre el .

=

1 Esta formula se dedujo en el Volurnen I (p. 2 26), en la descripcion de las variaciones de la presion en la atmosfera.

Introduccion al calculo

674

y

al analisis matematico

solido. 1 A partir de (60) y (62) se encuentra que la resultante de las fuerzas de presion que actuan sobre el solido es igual a una fuerza (de flotaci6n ) con componentes X = O,

Y = O,

Z=

JJL gp dx dy dz;

esta fuerza esta dirigida verticalmente hacia arriba y su mag-n i tud es ig-ual al peso del liquido desplaz ado (principia de Arquimedes) . d . La integraci6n por partes dimensiones

y

el teorema de Green

en

tres

Precisamente como en €'1 caso de dos variables independientes (p. 61 9), el teorema de Gauss (50 ) , p . 622 , aplicado a los productos au, bv, cw proporciona una formula para i'ntegraci'6n por partes:

JJL (aux + buy + ) dx dy dz JL (au �� + bv �: + ��) dS - JJL (axu + byu + ) dx dy dz. Si a ui u = v = U si a, b, son de la forma a = Vx , b = Vy, Vz para algun escalar V, se obtiene el primer teorema de Green: JJL ( UxVx + Uy Vy + Uz Vz) dx dy dz (64) = JL dx dy dz. �� dS - IIL Aqui se usa el conocido simbolo ll para el operador de Laplace, definido por ll V = Vxx + Vyy + (63)

cwz

=

c

=

q

= w

cw

CzW

y

c

u

u /). v

Vzz ,

se denota por d V/dn la derivada de V en la direcci6n del vector normal exteri'or:

y

zo

1

Cualesquiera porciones de la frontera de R que se encuentren en el plano z = no contribuyen en lo absoluto, puesto que, por hip6tesis, p = 0 en esos puntos.

Relaciones entre las integrales

67 5

dV = Vx dx + V dy + Vz dz. dn dn Y dn dn

Intercambiando U y V en la formula (64) al segundo teorema de Green: (65)

y

restando de (64) se llega

JJL ( U AV - V A U) dx dy dz = Jfs ( u�: - v ��) ds.

e. Aplicaci6n del teorema de a la trans/o rma.ci6n de U a coordenadas esfericas

V = 1 en el teorema de Green (65), se obtiene JJL A U dx dy dz = JL �� dS = JL (grad U) • n dS.

Si se h ace (66)

Precisamente como en el plano, puede usarse esta formula para trans­ formar a otros sistemas de coordenadas, en particular , a las coordenadas esfericas definidas por

AU

r, {>, e X = r COS fJ sen e, y = r en {> sen e, s

z =

r cos e.

Se aplica la formula (66) a una region R en forma de cufia, descrita por desigualdades de la forma

(67) La frontera S de R consiste de seis c aras sabre cada u n a de las cuales una de las coordenadas tiene un valor constante . Aplicando la formula p ara l a transformacion de las integrales triples, se escribe el primer miem bro de la ecuaci6n ( 66) en Ia fonna

r, {>, e

d (x, y, z) dr de d{> A U dx dy dz = JfiJAu .. d (r, e, {>) = JJJ AU r2 sen e dr de d{>, donde la integral en el espacio r, e, {> se extiende sobre Ia region (68)

J(I .. IR

(67 ) . P ara transformar la integral de superficie dada en (66), se In­ troduce el vector de posicion X =

(x, y, z) = (r cos {>sene, r sen {> sen e, r cos e)

Introduccion al cilculo-· y al anilisis matematico

676 v

se observa que sus primeras derivadas satisfacen las relaciones

(68a) (68b

)

Xr • Xo = 0, Xo · X� = 0, X; · Xr = 0 , Xr Xr = 1, Xo Xo = r2, •

•

A partir de estas relaciones se deduce que , en cada punto, el vector Xr es normal a la superficie coordenada constante que p asa por ese punto, el vector Xo es normal a la superficie constante y el vector X, lo es a la superficie constante. M as concretamente, (donde. i tiene el valor 1 6 sobre una de las caras = constante ' 2) el vector unita rl o normal hacia afuera, n, esta dado por De don de , sobre esas car as

�=

r

(grad U) •

n

e �

r=

e=

= ri

(-l)iXr.

= ( -l)i (grad U) · Xr = ( -l)i ��·

r=

Ademas . usando como parametros a lo largo de una cara y para el elemento de area se tiene la expresi6n [ver (30e), p . 486 ]

ri,

dS = �EG - p2 de d� = �(Xo = r2 sen e de d�.

•

Xo) (XIIi · X;) - (Xo

r

•

X;) 2

de d�

r = r2 a la

Se concluye que la contribuci6n de las dos caras = n y integral de dU I dn sobre esta representada por la expresi6n

S

donde las integraciones 'se toman sobre el rectangulo

Puede escribirse la diferencia de estas integrales como la integral triple

JJJ aar (r•

sen

9 aa�} dr d9 d�

extendida sobre la region (67 ) . D e man era semej ante , se encuentra que sobre una c ar a tante

= ei ,

e = cons

au dS = r sen e d� dr, ddnU = (-l)i -r- ae ,

Relaciones entre las integrales

t/Ji , au 1 = (-l)i -- X?, dS = r dr de, ddnU = r(-l)i sen e a,p . r sen e

y sobre una cara n

677

tfJ = constante =

Aqui tambien , combinando l as contribuciones de las caras opuestas = constante , se encuentra la expresi6n para la in= constante o

t/J JL �� dS. = JJJ [:r (r• sen 0 ��) + ;0 (sen 0 aac:J a ( 1 au)] + a,p sen e a,p" dr de dtjJ.

e

tegral total de superficie . Comparando con la expresi6n (68), divi­ diendo entre el volumen de la cuiia R y reduciendo esta cuiia a un punto se llega a la expresi6n deseada p ara el operador de Laplace en coordenadas esfericas :

(69)

) a ( au) a ( 1 au) AU = r2 sen1 e Jlara (r2 .sen e au ar + ae $en e ae + a,p sen-e a,p } .

Ejercicios 5 .9e

1 . Sup6ngase que las ecuacion·es

Xt = Xi (pi, p2 , pa)

definen un sistema coordenado ortogonai

.

s1 se pone

i tfj)"k' a ik = ax

(a) Prob£� r que

don de (b) Pro bar que

(i = 1, 2, 3) arbitrario PI, p2 , pa ; es decir,

. entonces se cump I en I as ecuac10nes

aua 2 I + ai 2a 22 + aiaa 2a = 0 auaai + ai 2aa2 + aiaaaa = 0 a 2 taai + a 22aa2 + a2aaaa = 0

678

Introduccion al calculo y al analisis matematico

(c) Expresar tl. u = ux 1 x 1 + ux2 x2 + ux 3 x3 en terminos de p 1, p 2 , p 3 , usa n ­ do el teorema de Gauss. (d) Expresar tl. u en las coordenadas focales h, t2 , t3 definidas en el Ejer­ cicio 9, Secci6n 3 . 3d, p.

303.

5.10

Teorema d e Stokes en el espacio

a. Enunciado

y

dernostraci6n del teorema

Ya se ha visto el teorema de Stokes en dos dimensiones (p. 6 1 7 ) . El teorema analogo en tres dimensiones relaciona la integral de la com­ ponente normal del rotacional de un vector sobre una superficie cur­ va con la integral de la componente tangencial del vector sobre la curva frontera de la superficie . Mientras que en dos dimensiones se pasa del teorema de Gauss al teorem a de Green , e inversamente , por un cambia en la notaci6n , en tres dimensiones son teoremas esencial­ mente diferentes . Sea S una superficie orientable en el espacio tres limitada por una curva cerrada C. La elecci6n de una orient(;\ci6n p ara S la convierte en Ia superficie orientada S* . Sea. C* la curva frontera de S*, orien­ tada positivamente con respecto a esta ultima. Suponiendo que el es­ pacio esta orientado positivamente con respecto a las coordenadas x, y, z, denotemos por n el vector normal unitario que en cada punto de S* 1 apunta b acia el lado positiva de S * . Sea t el vector tangente unit a rio sobre C*, que a punta en la direcci6n correspondiente a la orientacion de C * . Sea A = (a, b, un vector definido cerca de S. ' El teorema de S tokes afirma 2 que

c)

JJs ( rot A) n dS L A ds. Denotando por dx/dn, dyfdn., dzfdn las componentes del vector n el teorema de Stokes se escribe en la por dxfds, dyfds, dz/ds las de forma 3

(70)

y

(71)

=

•

•

t

t,

JL [
1 En efecto , esto significa que cuando se rnueve un punto de S* hacia el origen de rnanera tal que n coincida con el eje z positivo, el sentido de la rotaci6n sobre S* sera el de la rotaci6n de 90° que lleva al eje x positivo sobre el eje y positivo. 2 En el Apendice a este capitulo, p. 7 1 3 , se dan las hip6tesis precisas de regu­ laridad para S, C, A bajo las cuales puede probarse el teorerna . 3 Ver (94c), p. 253, en relaci6n con la definicion del mtacional de un vector.

Relaciones entre las integrales =

i( c

a

Usando la formula (47c),

(72)

)

dz dy dx + + c ds ds b ds p.

679

ds.

662, se tiene , de modo equivalente ,

JJs* (c11 - bz) dy dz + (az - Cx) dz dx + (bx - ay) dx dy =

L* a dx + b dy + c dz.

Introduciendo l a forma diferencial de primer orden

(73a)

L

= a

dx + b dy + c dz•

y

(73b)

ro = (c11 - bz) dy dz + (az - Cx) dz dx + (bx - a11) dx dy,

se observa (ver l a p . 3 6 3 ) que ro es precisamente la diferencial de L:

(73c)

ro = dL.

Si aS* . es la front era positivamente orient ada C* de S*, de Stokes queda simplemente como

(74)

ff dL JJ s*

=

1

el teo rem a

l * L. as

En esta forma es completamente ana.logo al teorema de Gauss escrito como en la formula (53), p . 6 67 . La veracidad del teorema de Stokes surge i nmediatamente del hecho de que el teorema ya ha sido probado para las superficies planas [ ver la formula ( 1 0 ) , p . 6 1 7 ]. Consecuentemente, si S es una superficie poliedrica compuesta de superficies poligonales planas, de modo que la curva frontera C es un poligono, puede aplicarse el teorema de S tokes a cada una de las porciones planas y sumar las for­ mul as correspondientes . En este proceso las i ntegrales de linea a lo largo de todas las aristas interiores del poliedro se cancelan e, in­ mediatamente, se obtiene el teorema de Stokes para la superficie poliedrica . Para obtener el enunciado general del teorema de Stokes solo se necesita pasar al limite, yendo de los poliedros de aproxi-

1 Esto concuerda con la definicion general dada en Ia nota 2 al pie de Ia p. 652 , para el caso n = 2.

lntroducciort al calculo

680

y

al analisis matematico

maci6n a las superficies arbitrarias S limitadas por las t ambien ar­ biti·arias curvas C. Sin embargo, la justificaci6n rigurosa de este paso al limite es complicada ; por lo tanto , habiendo hecho estas observaciones heuris­ t icas se llevara a cabo la demostraci6n transformando la superficie co mpleta S en una superficie plana y observando que se presenra el teorema bajo tales transformaciones . Sup6ngase que existe una representaci6n parametrica 1 , X = <)(u, v),

y

= \jl(u, v),

z

= x(u, u)

para S,· donde ¢ , \jl, X son funciones con primeras derivadas continuas para las cuales el vector con corilponentes

�

(75)

=

d(y, z) q(u, v) '

d(z, x)

11 = d(u, v) '

s = fj,(�il_

d(u, v)

no se anula . Sup6ngase que existe un conjunto orientado E* en el plano u, v, limitado por una curva cerrada orientada r* tal que �* se aplica biunivocamente sobre Ia superficie S * y, en forma corres­ pond�ente , �* se aplica biunivocamente sobre C* . 2 Ahora L determina una forma diferencial' en du y dv:

L

du + Xv dv) + b (yu du + Yv dv) + c (zu du (axu + byu + czu) du + (axv + byv + czv) dv

= a (xu =

+ z. du)

y

donde en el segundo miembro se considera expresada en tenninos de du y dv. De modo semejante , ro da Iugar a una forma de segundo or­ den en du y dv, ro =

(l) d d du du u u

1 En el Apeqdice a este capitulo se probari con mayor generalidad el tcorcma para superficies S que puedan ser construidas a partir de porciones con una re­ presentaci6n parametrica del tipo mencionado. ! Si el vector (l;. 11. �) tiene la direcci6n de n, se tiene .Q(l:*) = .Q(u, v) ; si (1;. 11. 0 tiene Ia direcci6n de -n, se tiene .Q(l:*) = -.Q(u, v) En cualquier caso Ia cwva P" esta orientada positivamente con respecto a 2:*. Ver la p . 652

Relaciones entre las integrales = [(cy

-

bz)�

+

(az

-

Cx)Tt

+

681

(bx - a y)�] du du,

y, nuevamente [ ver (46a ) , p . 658 ]

Adem as , como se probo en la p . 37 3 , la relacion ro = dL no depende de la eleccion de l as variables independientes x, y, z o u, v. 1 Como consecuenci a , la demostracion de Ia identidad (74) se ha reducido al caso de una forma diferencial de primer orden , L, en du y dv y una region I: * con frontera r* en el plano u, v. Como se sabe que el teorem a de S tokes se cumple en el plano u, v, ahora se concluye para Ia superficie curva S. El teorema de Stokes da respuesta a la cuesti6n planteada en la p . 6 7 1 . S e h a visto que para u n campo vectorial dado , V(x, y, z) , con div = 0, la integral

V

sobre una superficie S con normal unitario n solo depende de la cur­ va frontera C de S y no de la n aturaleza particular de S. Por otra parte , en la p. 36 6 se encontro que un campo vectorial V con diver­ gencia que se anul a puede representarse como el rotacional de un vector A = (a, b, c) al menos si nos restringimos a campos vec­ toriales definidos en un paralelepipedo con aristas p aralelas a los ejes coordenados . Ahara el teorema de S tokes nos permite expresar -

JL V • n dS JL ( rot =

en la form a

A) • n dS

jc A · t ds, la cual solo depende de la curva frontera C de S.

1 Esto tambien puede verificarse directamente probando Ia identidad

(cy - bz)� + (az - Cx)ll + (bx - ay}� = (axv + byv + CZv)u. - (axu. + byu + czu.)v, donde �. 11 , � estan definidas en (75 ) .

682

lntroduccion al calculo

Ejercicios

y

al analisis matematico

5. 1 Oa

l . Sea

I = ffs• z dx dy - x dy dz , es el casquete esferico x2 + y2 + z 2 = 1, x > 1/2,

donde S * orientado positivamente con respecto al vector normal que apunta hacia el infinito. (a) Calcular I directamente usando y , z como parametros sobre S*. ( b ) Calcular I a partir de Ia formula de Stokes ( 74) , p. 6 7 9 , observando que

z dx dy - x dy dz = dL ,

con

L

= -yz dx - xy dz.

b. InterpretaciOn del teorema de Stokes La in terpretacion fisi ca del teorema de Stokes en tres dimensiones es semeja nte a Ia que ya se dio ( p . 6 3 5 ) en dos dimensiones . Una vez m ;\s se interpret a el campo vectorial V (v1, v2 , va) como el campo de vclocid ades del movimiento de un fluido . A Ia integral

=

i V. • ds � J c

t

c

*

V1 dx

+

.

v2 dy

+

va dz ,

eva I uad a para una curva cerrada orientada .C* , se le da el nombre de ci�culaci6n del flujq a lo largo de esta curva . El teorema de Stokes a.firma que Ia circulacj6n a lo largo de C* es igual a la integral

JL ( rot V) • n

dS,

donde S es cual quier supeficie orientable limitada por C, y n es cl vector norm al unitario sabre S, elegido de manera tal que Ia cuerda (de tornillo) determin ada por n y el sentido de la rotaci6n de C* sea la mism a ("derecha" o "izquierda") que Ia determinada por el sis­ tema x, y, z. Sup6ngase que se divide · la circulaci6n alrededor de C en tre el area de Ia superficie S limitada por C, y se pasa al limite hacienda que C se reduzca a un punta sin abandonar la superficie·. Este proceso de derivaci6n en el espacio da como limite de Ia integral doble de Ia componente normal de rot V dividid a entre el area , el va lor de (rot V) n en el pun to limite . Por lo tanto , se ve que Ia com­ ponente de rot V en Ia di recci6n del vector normal a Ia superficie se puede considerar como la circulad6n especifica o densidad de cir·

Relaciones entre las integrales

683

culaci6n del flujo en la superficie , en el punto correspondiente. l El vector rot V se llam a vorticidad del movimiento del fluido . Asi , Ia circulaci6n alrededor de una curva C es igual a la integral de la componente normal de la vorticidad sobre una superficie limitada por C. Se dice que el movirniento es irrotacional si el vector vorti­ cidad es 0 en todo punto ocupa do por el fluido , es decir , si el vector velocidad satisface l as relaciones

Como una consecuencia del teorema de Stokes , la circulaci6n en un movim iento irrotacional se anula a lo largo de cualquier curva C que limite un a superficie contenida en la region llena por el fluido . Si se interpreta el vector V como el c ampo de una fuerza mecani­ ca o electrica , l a integral de linea

rcpresenta el tra bajo realizado por el c ampo sobre una particula , cu ando a esta se le hace describir la curva C* en el sentido indicado por su orientaci6n . Por el teorema de S tokes , la expresi6n para este trabajo se transforma en una integral sobre la superficie S limitada por C, siendo el . integrando la componente normal del rotacional del campo de fuerza . Si el rotacional del campo de fuerzas , se anula , el tra bajo rcaliz add_ sobre una particul a que regresa al punto de partida es cero y se dice que el campo es conservativo. Del teorema de 'Stokes se ob tiene una nueva demostraci6n para el teorema p rincipal sobre las integrales de linea en el espacio (p . 1 3 5). El problema central es describir la naturalez a del campo vectorial A = (a, b, c) si la integral

JA ·

t

ds =

J a dx + b dy + c dz

de be anularse alrededor de una curva cerrada arbitraria C. El teorerna de S tokes proporciona una nueva demostraci6n del hecho de 1 Estas consideraciones tambien demuestran que el rotacional de un vector tiene un significado independiente del sistema coordenado y, por lo tanto, es a su vez un vector , mientras no se cambie la orientaci6n del sistema coordenado (y, por tanto, el vector n ) .

684

y

lntroduccion al calculo

al analisis matematico

que se as�gura Ia anulaci6n de Ia integral de linea si rot A = 0, siem· pre que C forme Ia frontera de una superficie S contenida en la region donde A esta definido. Por lo tanto, Ia anulaci6n de rot A-o, como se dira , la naturaleza irrotacz'o nal de A - es , una condici6n sufi<· icnte para Ia anulaci6n de Ia integral de linea de la componente tangencial de A alrededor de cualquier c urva cerrada que '.imite una superficie S en el dominio de definicion de A. Por lo discutido en la p . 1 2 7 ya se sabe que la condicion tambien es nece· saria . Si sc sa t isface Ia condici6n rot = 0 se puede representar A como el gradiente de una fundon y, z) :

f(x,

A

A = grad {. Si se toma A como el vector velocidad, V , de una fluido en movimiento , Ia irrotacionalidad del flujo , es decir, la ecuaci6n rot V = 0, en una region simplemente conexa, implica que existe un potenczal de velocidad y, z) tal que

f(x,

V = grad {.

Si , ademas , el fluido es homogeneo e incompresible se tiene (ver la p. 670) la relacion div V = 0. En este caso se concluye .que el potencial de velocidad , f, satisface la ecuaci6n 0 = div grad

f = Af = fxx + {yy + fzz,

que es Ia ecuaci6n de Laplace, ya mencionada con anterioridad . Ejercicios 5. 1 0b
1 . Sean

�=x

cos


-

y sen cp + a,

lJ = x sen

cos


+b

como las ecuaciones parametricas (con parametro t ) de una curva plana cerrada, r, probar que

; Jr (� dl)

-

lJ d�) = {1. (x2 + y2) + Bx + Cy + D ,

Relaciones entre las integrales dondt:

A=

C=

� Jdf{),

Jr (- a sen f{) + b

685

B = Jr (a cos f{) + b sen f{)) df{), cos

D

f{))df{),

=

� Jr (a db - b da).

2 . Supongase que un plano rigido , P, describe un movimiento "cerrado" con respecto a un plano fijo II con el cual coincide. Cada punto M d<:; P describira una curva cerrada de II que limita un area de valor al­ gebraico S(M) . Denotese por 2nrr (n un entero racional) Ia rotacion total de P con respecto a II . Probar los resultados siguientes: (a) Si n =f=. 0, existe en P un punto C tal que para cualquier otro punto M de P se tiene

S(M) = rrnCM2 + S( C) ; (b) Si n = 0, entonces pueden presentarse dos casos: primero, existe en P una recta orientada, a , tal que para todo punto M de P

S(M) = A d(M), distancia de M a a y A es un factor

constante postU ­ donde d(M) es la vo; segundo , S(M) tiene el mismo valor para todos los puntos M del pla no P (teorema de Steiner) . 3 . Un segmento rectilineo rigido AB describe en un plano II un movi­ miento cerrado de biela : B realiza un movimiento circular cerrado en senti do contrario al movimiento de las manecillas del reloj , con centro C, mientras que A ejecuta un movimiento rectilineo (cerrado) sobre una recta que pasa por C. Aplicar los resultados del ejemplo anterior para determinar el area de Ia curva cerrada en II descrita por un punto M rigidamente conectado al segmento rectilineo A B . 4 . Los puntos extremos A y B d e u n segmento rectilineo rigido A B des­ criben una vuelta completa sobre una curva convexa cerrada , r. Como resultado de este movimiento, un punto M sobre A B, donde AM = a, MB = b, describe una curva cerrada r'. Pro bar que el area entre las curv as r y r' es igual a rrab (teorema de Holditch) . 5 . Probar que si a cada elemento ds de una curva alabeada, cerrada y rigida, r : se le aplica una fuerza de magnitud ds/p en Ia direcci6n del vector normal principal (Capitulo 2 , p . 257 ) , la curva r permanece en equilibrio ; 1/p es Ia curvatura de r en ds y se supone que es finita y continua en todo punto de r . ( Por los principios de Ia estatica de un cuerpo rigido, se tiene que probar que

lr -n ds = 0, p

l x x n ds = 0. r

_

--

p

donde n denota el vector unitario normal principal de r en ds y x es el vector de posicion de ds. ) 6 . Probar que una superficie rigida cerrada , L , permanece en equilibrio bajo una presion uniforme sobre todos sus elementos de superficie, el vector normal unitario dirigida h acia adentro. Si se denota por

n'

686

Introduccion al calculo

y

al a nalisis ma tematico

dirigido hacia adentro para el elemento de superficie dcr, y por x el vec­ tor de posicion de dcr la proposici6n se vuelve equivalente a las ecua­ ciones vectoriales

JJ}; n' dcr =

0,

JL

x

n' dcr = 0.)

X

7 . Un cuerpo rigido de volumen V, limitado por la superficie 1: esta com­ pletamente sumergido en un fluido de gravedad especifica unitaria. Pro bar que el efecto estatico de, la presion del fluido sobre el cuerpo es el mismo que el de una sola fuerza f de magnitud V, dirigida verticalmen­ te hacia arriba, aplicada en el centroide del volumen V. 8. Denotemos por p la distancia del centro del elipsoide 1:

al plano tangente en el punto P(x, este punto. Probar las relaciones

J.h

(i)

p

y,

z)

,

y por dS el elemento de area en

dS = 4�abc,

(ii) 9 . Un angulo plano ordinaria se mide por la longitud del arco que sus lados interceptan sobre un circulo unitario con centro en el vertice. Puede extenderse esta idea a un angulo s6lz"do limitado pot una super­ fide conica con vertice A, del modo siguiente: por definicion, la mag­ nitud del angulo solido es igual al area que intercepta sobre una esfera unitaria con centro en A . Asi , la medida del angulo solido del dominio x � 0, y � 0, z � ;, es 4rt/8 = rt/2. Sea ahora r una curva cerrada , :E una superficie limitada por r y A un punto fijo fuera tanto de r, como de 1:. Un elemento de areas dS en un punto M de :t define un cono elemental con su vert ice en A ; facilmente se encuentra, por medio de un sencillo argumento , que el angulo solido de este cono es cos

6

r2 dS'

donde

r = AM

�

y 6 es el angulo entre el vector MA y la normal a M. Este angulo solido elemental es positivo o negativo, seg6n que agudo u obtuso . Interpretar la integral de superficie n

6

= J..fJ}; cos r2 dS

gcometricamente como un angulo solido y demostrar que n

=

1rr}; (a

�

-

x) dy dz + (b - y) dz dx + (c - z) dx dy , [(a - x)2 + (b -y)2 + (c z)2]312 _

::E

6

en sea

Relaciones entre las integrales donde (a, b, c) y (x, pectivamente.

y,

687

z) son las coordenadas cartesianas de A y M, res­

1 0 . Prob ar, primero directamente y despues interpretando Ia integral como un angulo solido, que

oo dx dy r r 00 = 21t· J_oo J_oo (x2 + y2 + 1) 3 1 2

1 1 . Probar que el fmgulo solido que subtiende Ia superficie completa del hiperboloide de un manto (x2 /a2) + (y2/b 2) - (z2/c2) = 1, desde su centro (0, 0, 0) , es ·

1 2 . Demostrar que el valor de la integral

n

13.

-

-

JjJ (a - x) dy dz + (b - y) dz dx + (c -]31z) dx dy :r

[(a - x) 2 + (b - y) 2 + (c

_

z)2 2

es independiente de la eleccion de la superficie � ' siempre que se man­ tenga fija su frontera r . A partir de este resultado, integrando sobre el exterior de la superficie , probar que si � es una superficie cerrada, en­ tonces n = 47t o 0, segun que A(a, b, c) este en el interior del volumen limitado por � o fuera de este volumen . Sea la superficie limitada por la curva cerrada r y considerese la in­ tegral

n(a, b ,c) - JJrr (a - x) dy dz + (b - y)ra dz dx + (c - z) dx dy ' [r2 = (a - x) 2 + (b - y)2 + (c - z)2], -

:r

como una funcion de a, b, c. Probar que las componentes del gradiente de n pueden expresarse como integrales de linea, como sigue :

an aa

= f.r (z - c) dy -r3 (y - b) dz'

an = r (x - a) dz - (z - c) dx ' r3 ab J r an = r (y - b) dx - (x - a) dy ac J r r3 ·

Estas formulas, que tienen una importante interpretacion en electro­ magnetismo, se pueden expresar por medio de la siguiente ecuacion vec­ torial : grad

n = - � X-X dx r lxla , --

donde x es el vector con componentes 1 4 . Verificar que Ia expresion

(x - a), (y - b), (z - c).

- 4xy dx + 2(x2 - y2 - 1) dy (x2 + yz 1) 2 + 4y2 _

es la diferencial total del angulo que subtiende el segmento

-1

�x �

1,

Introduccion al calculo

688

y

al analisis matematico

y = 0 desde el punto Usando este becbo, probar el resultado siguiente por medio de un argumento geometrico: sea r una curva orientada cerrada en el plano , que no pasa por ninguno de los puntos - 1, 0), (1, 0). Sea p el numero de veces que r cruza el segmento 1, = 0 desde el semiplano superior > 0 bacia el rectilineo - 1 semiplano inferior 0 , y sea n el numero de veces que r cruza este segmento rectilineo desde > 0. Entonces, 0 hacia

(x, y).

(

x, y

<x< y y< y< y 2 2 4 _ J: - xy dx + (x - y - 1) dy 6r (x2 + Y2 - 1) + 4y2 - 27t(p _

y

_

n).

Asi , si r es Ia curva r = 2 cos 26 (0 � 6 � 27t), en coordenadas polares, 6 = 0. 1 5 . Considerese el circulo unitario C, y'

x' = cos

=

sen
z' = 0

(0 �

en el plano X , Den6tese por n el {mgulo solido que el disco circular � 1, = 0, subtiende en el punto Sup6ngase + = ahora que P describe una curva cerrada orientada , r , que no corta al circulo C. Sea p el numero de veces que r cruza el disco circular + > 0 bacia el semiespacio 1, = 0, desde el semiespacio superior inferi � r 0 y sea n el numero de veces que r cruza este disco desde 0 hacia > 0. Si P parte de un pun to sobre r con n = !lo, en­ tonces al recorrer r (mientras n varia continuamente con P) P re­ gresara a con un valor n = !11. Por medio de un argumento geo­ mctrico probar que

x2 y 2

z

y.

P (x, y, z).

y2 < z z< z< z P0

z P0

nl - no =

x2

Ir d!l = 47t(p - n).

Usando Ia ecuaci6n vectorial encontrada anteriormente,

grad n = (Ejercicio 1 3 ) , probar que

PP' dP' Jaf 1PP'I 3 __..:..

X

Jfc j'r I PP'I 3

x' - x dx dx' y' - y dy dy' z' - z dz dz' (x' - z) (dy dz' - dz dy') + (y' - y) (dz dx' - dx dz') + (z' - z) (dx dy' - dy dz') f f [(x' - x)2 + (y' _ y)2 + (z' z)2]312 - Jr Jc = 47t(p - n). 1

_

[

_

Esta integral de linea repetida, que se debe a Gauss, da el numero de veces que r da vueltas alrededor de C. Debe hacerse notar que su anulaci6n es necesaria si las dos curvas r y C (imaginadas como dos cuerdas) son separables, pero Ia condici6n no es suficiente, como se muestra en el ejemplo de Ia Fig. 5 . 1 3 , donde p = n = 1 y sin embargo r y c no pueden separarse .]

Relaciones entre las integrales

Figura

689

5.13

1 6 . Sea r una curva cerrada en el espacio , a la cual se ha asignado un sen­ tido definido de recorrido . Probar que existe un vector a con la siguiente propiedad caracteristica : para cualquier vector unitario n el producto escalar a •n es igual al valor algebraico del area encerrada por Ia proyecci6n ortogonal de r sobre el plano II ortogonal a n. (N6tese que n da la orientaci6n de II, y r da la orientaci6n de su proyecci6n sobre II .) En particular, la proyecci6n de r sobre cualquier plano paralelo a a tiene un area algebraica igual a cero . ( El vector a puede llamarse vec­ tor de area de r.) 1 7 . Sea f(x, y) una funci6n continua con primeras y segundas derivadas continuas. Probar que si fxx{yy - fxy2 =I= 0, la transformaci6n w = - z + xfx(x, y) + yfy(x, y) V = fy(X, y), U = {x(X, y),

tiene una inversa (mica , que es de la forma

X = gu(U, v),

Y

= gv(U, V) ,

z=

- w + ugu(u ,

1 8 . Representar el campo vectorial gravitacional

X-

X -/(x2 + y2 + z2)3 ' Z=

como un rotacional .

5.11

v) + vgv(u , v).

y - -/(x2 + y2 + z2)3

Y-

z .;(x2 + y2 + z2)3 '

Indentidades de integrales en dimensiones superiores

Todas las formulas de Gauss y de Stokes discutidas en las secciones anteriores pueden considerarse como extensiones a dimensiones superiores del teorema fundamental del calculo (76)

b

L f'(x) dx = {(b) - {(a).

690

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Este teorema expresa la integral de la derivada de una funcion de una sola variable sabre un intervalo , en terminos de los valores de la funcion en los puntas frontera del intervalo. De modo semejante, el teorema de Gauss

(77)

ffL (fx +

gy + hz) dx dy dz =

JL (t �� + :� + h :�} dS g

(n = normal dirigido hacia afuera) expresa una integral sobre un conjunto R en t€�rminos de cantidades tomadas sabre la frontera de R. En forma vectorial , con A, = ({, g, h) el teorema de la divergencia se convierte en

JJL div A dx dy dz = JL A

•

n dS.

f'

en la Es obvio que l a expresion div A juega el papel de l a derivada formula simple (76). En tres dimensiones se obtuvieron ademas las formulas que dan las integrales de expresiones diferenciales sobre curvas o superficies, en terminos de integrales de frontera. Las integrales de linea con­ sideradas tenian la forma

(78)

fc A · t ds,

(t = vector unitario tangente a la curva C) y las integrales de super­ ficie, la forma

(n = vector unitario normal a la superficie S) . Existen ciertas restric­ ciones sabre el vector A, si las integrales de este tipo han de ser ex­ presables en una forma que solo involucre puntas frontera de c 0 de S. La razon es que hay muchas curvas o superficies en el espacio tres con la misma frontera . Una identidad que expresa una integral en terminos de funciones sabre la frontera unicamente, implica que la integral no depende de la curva 0 superficie elegida y este solo puede ser el caso para vectores A de tipos especiales . . Asi , se encoentro que si la . integral de linea de A · t sabre una cur­ va C debe depender unicamente de los puntas extremos, y Q, de C, entonces el campo vectorial A(x, y, z) tiene que ser irrotacional; es decir, rot A = 0. S i se satisface esta condici6n en un conjunto sim-

P

Relaciones entre las integrales

691

plemente conexo que contenga a C, puede encontrarse un escalar U

= U(x, y, z) tal que A = grad U = ( Ux, Uy, Uz) ; en ese caso, en efecto , se tiene una identidad entre integrales del tipo deseado :

LA

• t

L dU

ds =

U(Q)

=

- U(P).

De m anera semejante, p ara que la integral de superficie

1

solo dependa de la curva frontera C de S, el vector A tiene qu e satis­ facer la condici6n necesaria div A = 0. Si se satisface la condici6n div A = 0 puede representarse A en la forma A = rot B (ver la p . 3 6 5 ) y es posible expresar, por medio del teorema d e Stokes, l a in­ tegral de A • n sobre la superficie S en terminos de una integral sobre C,

(79)

JL A

• n

dS =

JL ( rot B)

•

n dS

=

LB

•

t

ds.

En vista de estos ejemplos , es de esperar que existan formulas mas generales que expresen combinaciones apropiadas de derivadas de . funciones sobre un conjunto m dimensional en el espacio euclidiano M dimensional , como integrales de funciones sobre la frontera (m 1) dimensional del conjunto. Para m = M el teorema de Gauss (77) sugiere una generalizaci6n obvia :

-

=

Js

• • •

�fl dx1 + . dn

• •

)

dxM dS. + {M dn

1 Sup6ngase que la integral doble de A • n sobre cualquier superficie S solo depende de la frontera C de S. Entonces Ia integral es Ia misma para dos super ficies cualesquiera con Ia misma frontera, si se define Ia direcci6n de n consistente­ mente sobre las dos superficies (es decir, de modo que los vectores normales n se convier­ tan uno en el otro si se deforma paulatinamente una de las superficies hasta convertirse en Ia otra) . En caso de que las dos superficies en conjunto formen Ia frontera C1 de un conjunto R en el espacio, Ia integral de A • N sobre cr es 0 si N denota el vector normal unitario a cr que apunta hacia afuera de R. Por el teorema de Ia divergencia , se concluye entonces que la integral de div A sobre R se anula. Puesto que R es arbitraria, por derivaci6n en el espacio se encuentra que div A = 0. ·

lntroduccion al calculo

692

y

al analisis matematico

Aqui R en un conjunto en el espacio M, limitado por la hipersuper­ , {M ficie (M - 1) dimensional , S, con normal exterior n, y {1 , {2, son funciones de x1, , XM. Por otra p arte , la formula de S tokes en la forma (79) no tiene una analoga tan obvia de este tipo . Sin em­ bargo , el calculo de l as form:as diferenciales exteriores 0 alternantes conduce inmediatamente a conjeturar l a f6rmula general de Stokes •

•

•

•

•

•

J · s·* · J dm = J· ·*· J m

(80)

as

m,

para formas diferenciales arbitrarias, de orden m - 1 y super­ e fi�i s orientadas m dimension ales arbitrarias, S* , son frontera (m 1) dimensional , oS* , apropiadamente orientada. En el Apendice a este capitulo se probara la formula general (S O) sin aplicar otras ideas �arte de las que ya surgieron en la demostraci6n rigurosa de los casos especiales (77) y ( 7 9 ) . Apendice:

Teoria general de las superfz"c ies de superficie

y

de las integrates

Las demostraciones rigurosas de los teoremas de Gauss y de Stoke s y sus extensiones a dimensiones superiores requieren un · anal isis mas cuidadoso de las nociones de superficie , de orientaci6n de superficies y de integrales sobre superficies . En este apendice se presentan tales analisis . A.1

Superficies e integrales de superficie en tres dimensiones

a. Superficies elementales

Las superficies elementales son esencialmente las analogas a los arcos simples definidos en el Volumen I , p . 334. Estas forman las partes constitutivas de superficies de estructura mas complicada . Una superficie elemental, cr, en el espacio x, y, z es un conjunto de puntos P = (x, y, z) representado parametricamente por l as tres funciones (la)

x = f(u, v), y = g(u, v),

z

=

h(u, v)

don de ( 1 ) el dominio U de las funciones es un conjunto acotado abierto en el plano u, v; (2) f, g, h son continuas y tienen primeras

Relaciones entre las integrales

693

derivadas continuas en U; (3) se satisface la desigualdad (lb)

w=

J I 1guu g,vv 12 I ghu.u +

1

1 I huu

gv 2 hv

+

hv 2 fv

f

en todos los puntos de U; y (4) la aplicaci6n del conjunto U en el plano u, v sobre el conjunto cr en el espacio x, y, z es biunivoca y la apl icaci6n inversa de cr sobre U tambien es continua . La cantidad W representa la longitud del vector con componentes

B = h u{v - hv{u., que es el producto vectorial de los dos vectores

(3)

y

.

Los dos vectores en (3) son tangenciales a la superficie , mientras que

el vector (A, B, C) es perpendicular a aquellos dos y, por tanto , nor­ mal a la superficie. La ecuaci6n (1 b) garantiza que solo existen dos direcciones normales a la superficie , a saber, la del vector (A, B, C) y la de su opuesto ( - A, - B, - C). En c ada punto de cr, al menos una de las tres cantidades A , B, C no se anula . Si , digamos , C 7= 0 en un punto Po = (xo, yo zo) corres­ pondiente a un punto p arametrico (uo, v0) en U, puede hallarse , para un numero positivo & lo suficientemente pequeiio, un numero 8 > 0 tal que cada parej a (x, y), con

J(x - xo) 2

(4)

+

(y - yo) 2

es representable de modo unico e n l a forma

x = f(u, v) ,

(5)

< o,

y = g(u, v) ,

con

(6) Los valores

(7)

u,

v

J(u - uo)2 + ( v - uo) 2

<

&.

determinados por x, y son las funciones

u = rp(x, y),

V = 'lf(X, y),

cont inuas y con primeras derivadas continuas para los (x, y) que satisfacen (4) . Por la supuesta dependencia continua de (u, u) respecto

Int:roduccion al calculo

694

y

al analisis matematico

de P, se ve que todo punto P sobre la superficie cr que este , lo sufi­ cientemente proximo a Po tiene parametros (u, v) que satisfacen (6). Si , ademas, Ia distancia de P a Po es < o , las coordenadas x, y de P satisfaran (4) . De donde , para todo P sobre cr lo suficientemente proximo a Po, pueden expresarse los valores parametricos u , v en ter­ minos de x, y por medio de (7 ) . Entonces, al sustituir estos valores en Ia ecuacion z = h(u, v), se tiene una representaci6n no parametrica

h(�(x, y), \jl(x, y))

z =

(8)

=

H(x, y),

aplicable a todos los puntos de la superficie cr que esten lo suficien­ temente proximos a Po. De modo semejante, si la cantidad no se anula se obtiene una representacion local de Ia forma y = G(x, z) y, en el caso de ::F 0 , una representaci6n de la forma x = F(y, z). La misma superficie elemental cr tiene muchas representaciones parametricas diferentes , que sin embargo, estan todas relacionadas de una manera sencilla. Sup6ngase que

B

A

(9)

x

=

f(u, D), y

==

g(u , D),

z

=

h (u, D)

para

(u, D) en 0

es una segunda representacion parametrica de cr que tambien satis­ face los cu atro requerimientos. La correspondencia biunica y b icon­ tinua entre U y cr y entre [J y cr establece entonces una aplicacion continua uno a uno , con inversa continua , del conjunto [J sobre el conjunto U: (10)

u

=

a(u, D), v

= �(u,

D)

para

(u, D) en u.

Si para una cierto (uo, Do) en [J los valores correspondientes (uo, vo) son tales que I a cantidad C(uo, vo) no es cero, entonces se aplica la representacion (7) para todos los (u, v) cerca de (uo, vo), y, de aqui, usando (9) se encuentra que

u

=

a(u, D)

v

=

�(u , D) = 'l'(f(u, D), g(u , D))

=

�(f(u, D), g(u, D))

para todo (u, D) lo suficientemente proximo a (uo, Do). Como � ' \jl, {, g son todas funciones con primeras derivadas continuas, se concluye que las funciones a, � que describen el c ambio de p arametros ( 1 0) no solo son continuas sino que tambien tienen primeras derivadas con­ tinuas . Poniendo

Relaciones entre las integrales

695

(11) de las reglas para el jacobiano del producto de dos aplicaciones [ ver (3 l b) , p . 258 ] se encuentra que

C

(12a) y,

=

d(x, y) d(u, v)

=

c!:._(x, y) d(u, v) d(u, v) d(u, v) •

de manera sumejante, que

B

(12b)

= BA ,

A

=

AA

= CA

.

En particular, se encuentra que el jacobiano de Ia aplicaci6n ( 1 0) en­ tre las dos regiones parametricas no se anul a , dado que, por ( 1 2a, b),

y, por hip6tesis , W :;zt 0. Por supuesto , se cumplen las mismas proposiciones para las ex· presiones de u, v en terminos de u, v. El hecho importante es que la relaci6n entre dos sistemas parametricos para la misma superficie elemental sati'sface todas las hip6tesis esta blecidas en las demos­ traciones de las leyes de transformaci6n para las areas e integrates. b. Integral de una funci6n sobre una superjicie elemental

Nada dificil hay en Ia noci6n de una fund6n continua F definida los puntos de una superficie elemen tal cr. Solo se requiere que con cada P E cr exista asociado un valor F = F(P) de manera tal que para una sucesi6n de puntas Pn sobre cr que converja a un pun­ to P de cr, se tenga en

P

lim F(Pn) = F(P) . n�oo

En cualquier representaci6n parametric a particular ( l a) F se convier­ te en una funci6n de u , v en el dominio U, y la continuidad de F

sobre cr se vuelve equivalente 1 a la continuidad de F como una fun­ cion de u y v. Nos restringiremos aqui a las funciones continuas , F, sabre cr que sean cero fuera de algun subconjunto compacta (es decir, cerrado y 1 Aqul se a plica el caracter bicontinuo de la relaci6n entre

<J

y U.

696

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

(u, v)

acotado) s de cr. Los puntas parametricos correspondientes for­ man entonces un subconjunto compacta 1 , S, de U. Entonces se define la integral de F sabre la superficie elemental por medio de Ia formula

cr

ffcr . F dA JJFW du dv,

(14)

=

donde W es la expresi6n d ada por ( l b ) . A qui FW es una furtcion continua de que se define como 0 para fuera de S; por lo tanto , FW es integrable . Todavia tiene que demostrarse que la in­ tegral de superfice de F sabre definida por ( 1 4) no depende de la representacion p,arametrica p artic;:ular (l a ) . Esto se deduce inme­ diatamente de la ley de transfqrmacion ( 1 3 ) para W y de la formula general ( 1 6b ), p . 403 , para la transformacion de l as integrales dobles bajo un cambia de variables de a En efecto,

u, v,

(u, v)

cr

u, v u, v. JJFw du dv JJFwl ���: ��I du dv = JJFW 1L11 du dv JJFwdu dv . =

=

La independencia de la integral de FW respecto de l a represen­ tacion parametric a particular significa que la forma diferencial W es invariante; est a puede identificarse con el elemento de area. Se:iia facil extender la nocion de integral sobte una superficie elemental a funciones mas generales, . aunque no lo harem06 en lo que sigue. Esto incluye la extension de la nocion de mensurabilidad segun Jordan a un ·conjunto s cuya cerradura este contenida en la superficie elemental cr ; simplemente se requiere que el conjunto correspondien­ te, S, de puntas (u, en el plano parametrico sea un conjunto men­ surable segun Jordan cuya cerradura este en U. De las relaciones en­ tre representaciones p arametricas diferentes , inmediatamente se ve que la mensurabilidad segun Jordan de s no depende de la represen-

du dv = dA

v)

* Para (un, Vn� E S y (un, vn)-+ ( u, v) los puntos correspondientes Pn de a estan en S.La compacidad de s implica que una subsucesi6n de los Pn converge a urt ·punto P de s. Por Ia continuidad, Ia convergencia de los Pn a P implica Ia convergencia de los (u n, Vn) hacia el punto parametro correspondiente en S. Por tanto, (u, v) E S, lo cual prueba que S es cerrado. Es acotado por ser un subconjunto del conjunto acotado U.

Relaciones entre las integrales

697

tacion parametric a particular . 1 Lo mismo se cumple para el area de que puede definirse como

s,

A(s) =

JL dA JL W du dv. =

De importancia particular son los conjuntos s cuya cerradura esta sobre cr y que tienen area 0 . Estos corresponden a conjuntos S en el plano u, v de area 0 ; lo que significa que S puede ser cubierto por un numero finito de cuadrados contenidos en U de area total arbitra­ riamente pequefia . c. Superficies elernentales orientadas

Se dice que una representacion parametrica particular (Ia) de Ia superficie elemental cr define una orientaci6n p articular de cr (aquella que es positiva con respecto al sistema u, v). Se dice tarnbien que dos conjuntos de parametros, u, v y u, v para la superficie elemental cr dan a esta la misma orientacion si el j acobiano

d( u, v) d(u, v) es positivo en todos los puntos de los dominios parametricos, y que 1� . dan orientaciones opuestas si el jac� biano es negativo en todos esos puntos. La combinaci6n de la superficie elemental cr con una orien­ tacion particular se conoce como superficie elemental orientada cr*. Por las hipotesis establecidas , el jacobiano no p �ede anularse. Dado que tambien es una funcion continua de los parametros , puede asegurarse que tiene signo constante cuando el dominio de los pa­ rametros es un conjunto conexo. En ese caso solo existen dos orien­ taciones posibles para una superficie elemental , cr. , que pueden distinguirse como cr* y - cr*. No obstante , es evidente que el nUmero de orientaciones posibles es mayor para los conjuntos no conexos, donde pueden c ambiarse independientemente entre si las orientaciones de las partes de cr correspondientes a las diferentes componentes de U. La orientacion de la superficie elemental esta intimamente re­ lacionada con la seleccion de una direccion normal sobre cr o con la "distincion entre los lados" de cr. Una representacion parametrica rticular ( l a) de cr define , por medio de las formulas (2), en cada ,p a 1 Ver la p. 601 .

698

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

A, B,

punto las cantidades C que pueden considerarse como las componentes de un vector perpendicular a cr en Este vector tiene la misma direcci6n que el vector unitario con componentes

P

P.

(15}

s

=

c

w·

se c ambian los parametros de u, v a u, las cantidades A, BCuando , C cambian y son remplazadas por las cantidades prpporcio­ u

nales A, B, C, de acuerdo con las leyes ( 1 1 ) y ( 1 2a). Aqui el factor de proporcionalidad es precisamente l a cantidad

(u, v) A = dd (u, u) Por tanto, el vector normal unitario (� , 11, 1;) es el mismo para orien­ taciones iguales de cr y opuesto para orientacz'ones opuestas. De modo equivalente , la orientaci6n de cr* determina en c ada punto un cierto lado de cr, a saber, aquel hacia el cual apunta el vector normal (� , 11 ,

s)

,

I

La orientacion de cr* tambien puede asignar un sentido definido a toda curva simple cerrada, C, que se encuentre sobre cr ; basta atribuir a C ese sentido que , sobre la curva cerrada Y que se encuen­ tra en el plano u, v y que corresponde a C, es positivo con respecto a la region finita encerrada por y. La especificaci6n de una orientacion para Ia superficie elemental es inprescindible cuando en Iugar de integrales de la forma SSF dA, donde F es un escalar, se considera Ia integral de una forma diferen­ cial

(16)

ro = a

dy dz +

b dz dx +

c dx dy,

donde , digamos, a, b, . c son funciones continuas sobre cr que se anulan fuera de un subconjunto cerrado y acotado . Por supuesto, aqui la interpretacion natural para Ia integral, sugerida por las for­ mulas de sustitucion, es

l Este es el lado positivo de a*, el cual depende de la orientaci6n del sistema coordenado x, y, z- ver la p. 644. En la notaci6n usada en la p. 646 , se tiene

n(a*) = n(u, v).

Relaciones entre las integrales

699

JJ (aA + bB + cC) du dv JJ (a� + b11 + c�) W du dv JJ
=

y

cosenos directores del vector normal determinado por la selecci6n de los parametros u, v ; su signo depende de la orientaci6n de la super­ ficie cr. Asi , primero se define la integral de ro sobre una de las superficies orientadas, cr*. , que se obtienen de cr. Se pone

(17)

i�( J

cr

*

ro

=

=

d(z, x) d(x, y)J d(y, z) JJ [a d(u, du dv + c +b v) d(u, v) d(u, v) ·

JJ
donde u, v debe ser uno de los sistemas parametricos usados para definir la orienta don de cr*, o bien , estar relacionado con tal sistema por medio de una sustituci6n con jacobiano positivo , y donde 11, � es la direcci6n normal inducida por la orientaci6n de cr* . Si - cr* es la superficie elemental con la orientaci6n opuesta , se tiene ( 1 8)

�'

(18)

d. Superficies simples

Sea cr una superficie elemental con una representaci6n p ara­ metrica ( l a) , donde el punto parametrico (u, v) varia sobre el conjun­ to abierto U. Si U' es cualquier subconjunto abierto de U, eviden­ temente los puntas de cr con (u, v) restringido a U' forman una superficie elemental, cr' , contenida en cr. En efecto , l as cuat"ro con­ diciones dadas inmediatamente se aplican a cr', usando los mismos parametros u, v� Como un ejemplo , se observa que los puntas de cr que estan a una distancia < e de un punto dado (x0 , y0 , z0) forman nuevamente una superficie elemental (si no se trata de un conjunto vado), porque esos son los puntas cuyos valores parametricos u, v satisfacen

'(19)

[f(u, v) - xo] 2 + [g(u, v) - y0] 2 + [h(u, v) - z0] 2 < e2,

700

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

y como {, g, h son funciones continuas en U, el conjunto U' de tales puntos (u, u) es abierto. Es menos obvio que la superficie elemental mas general cr' con­ tenida en la superflcie elementa{ cr puede o btenerse restringiendo el dominio de los parametros cr a un conjunto a bierto apropiado . Para demostrarlo , supongase que la superficie elemental a tiene la representaci6n parametr�ca (I a) para (u, v) .E U. Sea cr' una su­ perficie elemen,t al con la representaci6n pa.rametrica ( 9 ) , donde (u, v) ' varian sobre el conjunto D. ' Sea a un subconjunto de cr. Entonces todo (u, v) E D ,determina un punto p E cr, que , a SU vez , determina un punto (u, v) E D cuyas coordenadas son funciones de u, v :

u = a(u, v),

(20)

v = �(u, V)

para

(u, v)

E

D.

Por medio de (20), el conj unto D se aplica sobre un subconjunto U' de U. Es evidente entonces que el conjunto cr ' proviene de cr al res­ tringirse los puntos parametricos (u, v) al subconjunto U' de U. Solo falta ver que U' es a bierto. Sea P0 = (x0 , y0, z0) un punto de cr' que corresponde , respectivamente , · a los puntos p arametricos (u0, .Yo) en D y (u0, v0) en . U'. Sean C y C diferentes de 0 en ese punto. 1 Enton­ ces , por medio de

x = ((u, v),

y = g (u, v)

una vecindad de (u0, v0) es aplicada sobre un conjunto en el plano x, y que cubre una vecindad de (x0, y0) ; los puntos correspondientes (u, v) obtenidos a partir de (7) cubren entonces una vecindad de (u0, v0), de modo que se ve que U' es un conjunto abierto . Ademas , se ve que en una vetindad lo suficientemente pequeiia de P0 las dos superficies cr y a' , concuerdan, ya que todo P sobre cr suficientemente cerca de P0 tiene valores parametricos (u, u) arhi­ trariamente pr6ximos a (u0, u0) ; asi, ,p ara P lo -suficientemente proximo a Po, se tiene (u, v) E U', dado que , (u0, u0) es un p unto . in­ terior de U' y, por tanto, se ve que P E a'. Se ha demostrado que : Si la superficie elemental cr' esta contenida. en la superficie ele­ mental a y si P0 es un Punto de a' , entonces puede encontrarse una vecindad de Po lo suficientemente pequefia en la que cr y a' concuer­ den. ,

I Puede suponerse que las tres cantidades A, ii, C =1= 0 en Po, aplicando, si es necesario, una rotaci6n apropiada del espacio x, y, z- AI menos una de las canti­ dades A, B, C no se anula en Po ; sup6ngase que es C.

Relaciones entre las integrales

701

Cualquier orientacion im:Puesta sobre la superficie elemental cr inmediatamente determina una orientacion unica sobre cualquier superficie elemental cr' contenida en cr. Solo se necesita referir cr' al mismo sistema parametrico que define la orientacion de cr y tomar ese sistema p ara fijar la orientacion de cr'. Ahora estamos en posicion de dar un significado preciso a la nocion m as general de superficie simple, como un objeto constituido por porciones reunidas de superficies elementales : Se dice que un conjunto 1: en el espacio x, y, z es una superficie simple sz' para cada punto P0 so bre 't existe un E > 0 tal que los puntas de 1: que se encuentran a una distanc�"a menor que e de P0 forman una superficz'e elemental. Asi, para todo P0 E 't existe una superficie elemental cr que coti ­ , cuerda con 1: cerca ,de P0 y est a contenida en 1:. Puede demostrarse que la interseccion de dos superficies elementales, 0'1 y crif, contenidas en la superficie simple 1: es, a su vez , una superficie elemental (si no se trata de un conjunto vacio) , porque si Po es un punto comun a cr' y cr", p uede encontrarse una vecindad E Ne de Po tal que (J' = Ne n 't sea una superficie elemental . Aqu! cr contiene a las dos superficies elementales Ne n cr' y Ne n cr" Consecuentemente, cr' y cr" concuer­ dan con cr, y, por tanto , entre si, en todos los puntos suficientemente cercanos a P0• Si se refiere cr' a los p arametros u, v con u0, v0 corres­ pondiendo a P0, todo (u, v) lo suficientemente proximo a (u0, u0) co­ rrespondera a puntos de cr' que estan en cr". De aqui que los puntos parametro (u, v) corr�spondientes a puntos (x, y, z) en cr' n cr" for­ man un conjunto abierto. Asi , cr' n cr" es una superficie elemental. Analogamente se define una superficie simple orientada: La superficie simple 1: esta on:entada si se representa como la union de superficies elemeniales a cada una. de las cuales se le ha dado una orientaci6n, siempre q ue las orientaciones concuerden en la intersecci6n de cualesquiera dos de las superficies elementales. Dos orientaciones de 1: se consideran identicas si conducen a las mismas orientacz"ones en los puntas comunes a cualesquiera dos de las super­ ficies elementales orz"e ntadas que se usaron al definir las orientaciones de .'t. De modo equivalente, dos orientaciones son identicas si con­ ducen a la misma selecci6n de una direccz"6n normal en cada punto de 1: .

Se presenta un caso de importancia especial cuando la superficie simple 't es Ia frontera de un conjunto R en el espacio x, y, z . Aqui

Introduccion al calculo

702

y

al analisis matematico

se supone que R es la cerradura de un conjunto abierto acotado. 1 En ese caso , puede asignarse una orientaci6n a 't para la cual el sentido positivo asignado por la orientaci6n a cada normal de -r sea el "que a punta hacia afuera de R" o bien, el del vector "normal exterior" . De hecho, para cada punto P0 = (x0, y0, z0) sobre -r, puede hallarse una vecindad en la que 't coincida con una superficie elemental . Incluso puede elegirse la vecindad tan pequeiia que -r pueda representarse no parametricamente en esa vecindad , digamos , por una ecuaci6n ·

z = F(x, y)

(21)

valida para

(x - Xo) 2 + (y - Yo) 2

< E2

Si dos puntos y P' en el espacio pueden unirse por medio de un ar­ co que no contenga punto alguno de la frontera -r de R, ambos estan en R o ninguno de ellos est a en R. Evidentemente , este es el caso para dos pq.ntos cualesquiera que satisfagan una de las dos condi­ Ciones

P

(22a)

·

F(x, y) < z

0

(22b)

F(x, y) - o

<

<

F(x, y) + o,

(x - Xo) 2 + (y - Yo) 2

< e2

< F(x, y),

(x - xo) 2 + (y - y0) 2

< E2,

z

siempre que o sea un numero positivo suficientemente pequeiio. Asi , cada uno de los dos conjuntos (22a) y (22b) esta completamente con­ tenido en R, o bien , no tiene puntos en comun con R. Ambos con­ juntos no pueden estar contenidos en R, porque entonces el conjunto (2 1 ) tambien perteneceria a R, puesto que R es cerrado , y Po no seria un punto frontera de R. Ni ambos conjuntos pueden estar libres de puntos de R, ya que entonces P0 no podria ser un limite de los puntos interiores de R . Por tanto , uno de los conjuntos (22a) y (22b) esta contenido en R. Si (22b) es ese conjunto , elijanse los parametros u = x, v = y para asignar una orientaci6n a la superfieie elemental (21 ) , escribiendo

X = U,

y = v,

z

= F(u, v) .

La direcci6n normal correspondiente tiene los cosenos direct ores [ ver (2) y ( l 5 ) ]

1 Esto significa que R es cerrado y acotado y que todo punto frontera de R es el limite de los puntos interiores.

Relaciones entre las integrales

TJ

703

= - FWv ' s = w1 ·

Puesto que l; > 0, la normal en cualquier punto de la superficie apunta bacia afuera de R, en el sentido de que cualquier punto sobre Ia normal considerada en un punto de (21 ) , que este lo suficiente­ mente proximo a la superficie, estara en el conjunto (22a) y, por tanto, fuera de R. De manera semej ante , si el conjunto (22a) pertenece a R sc define Ia oricntacion de (2 1 ) mediante la representacion para­ metrica

X = V, y = la cu.al conduce a l; = - 1/ W < 0

z

u,

= F(u, v),

y nuevamente, singulariza la nor­

mal dirigida bacia afuera de R. Asi , se ha represent ado como la union de superficies simples orientadas . Cuando , debido al significado geometrico de la orien­ tacion en relacion con el conjunto R, las orientaciones concuerdan al traslapar superficies simples , se dice que esta orientada positi­ vamente con respecto a R .

t

t

e. Particiones de la unidad e integrales sobre superficies simples

Dada una superficie simple

t, se desea definir

JJ F dA t

t

bajo la hipotesis de que F es una funcion continua sobre que se anula fuera de algiin subconjunto cerrado y acotado , s, de (En caso de que la superficie completa sea cerrada y acotada, la de­ finicion proporcionara la integral sobre de una funci6n continua arbitraria sobre misma ) . Se aplicara al artificio conocido como par­ tici6n de la unidad para reducir estas integrales a integrales sobre subconjuntos compactos de superfcies elementales, que ya se han definido . Una particion de I a unidad consiste de un niimero finito de fun­ ciones X l(P), X 2(P), . . . , XN(P) definidas y continuas en los puntos P

t

t

I

t

Aquf se supone que R tiene Ia orientaci6n del sistema coordenado x, y, z .

t.

Introduccion al calculo

704

y

al analisis matematico

del conjunto s, con las propiedades :

�

Xi(P) 0 para todo P E s e i = 1, . . . , N; 2. X l(P) + X 2(P) + · + XN(P) = 1 p ara todo P E s 1.

·

•

·

3 . para cada i = 1, . . . , N existe una superficie elemental , CJi contenida en 't tal que Xi(P) = 0 para P en s, fuera de un cierto sub­ conjunto compacta de CJi (Por supuesto, la propiedad 2 es la que da origen al n,ombre de par­ tici6n de la unidad. ) Supongase que se tiene una particion de la unidad de este tipo para s. Para P E s puede escribirse •

(23a)

F(P)

=

.

F(P) Xl (P) + F(P) x 2(P)

+

·

·

·

+ F(P) XN(P).

Aqui cada termino esta definido y es continuo para P en s. S in em­ bargo, como se supuso que F(P) esta definida y es continua sobre toda la superficie 't y se anula fuera del conjunto s, puede extenderse cada termino · F(P) X'l (P) sobre la totalidad de 't como una fun cion continua, simplemente definiendo F Xt como <;:ero p ara los puntas de 't que no esten en s. Entonces la integral de F sobre 't se define por la formula

(23b)

Ji F dA = t Iii F Xi dA

Aqui las integrales de la derecha tienen un significado , puesto que y se anula fuera de

F Xi es continua sobre la superficie elemental CJi un subconjunto compacta de CJi.

Para completar la definicion, se tiene que demostrar que la ex­ presion (23b) para la integral de F sobre 't no depende de la par­ tici6n de la unidad partz"cular usada . S upongase que se tiene una segunda particion que consiste de las funciones X 1 '(P), X 2'(P), . . . , Xm'(P) , que se anulan, respectivamente , fuera de subconjuntos com­ pactos de l as superficies elementales <11 ', , CJm'. Para cada i = 1, . . . , N y cada k = 1, . . , m , el conjunto •

•

•

.

es, a su vez , una superficie elemental (si no se trata de un conjunto vado) , puesto que tanto las CJi como las CJk' estan sobre 't. Es m as , la funcion F Xi Xk' se anula fuera de un subconjunto compacta de esa

Relaciones entre las integrales

705

supcrficie . De aqui que Ia f6rm ula• (2 3b) da

Jf F, dA = �t flUt. F xt dA = ti Jii F xt dA r: ff F dA t. k JJUiflUk t

Xk '

Xi Xk'

ft Jfak F Xi Xk

'

dA

ff F Xk' dA, = I:k jjOkl

lo cual demuestra que una partici6n diferente conduce al m1smo valor para Ia integral . Solo fa lta ex hibir una partici6n espedfica de Ia unidad. Por definicion , para todo punto Q de Ia superficie simple existe un numero EQ > 0 tal que los puntas de t que se encuentran dentro de una dist ancia EQ de Q forman una superficie elemental crQ. As6ciese a Q I a fu nci6n de P definida por

t

(24a)

'VQ(P) =

!

EQ

-

2PQ para PQ

0 para PQ

� -21 EQ.

<

� EQ

Aqui PQ denota Ia distancia entre los puntas P y Q. La funci6n 'VQ(P) esta deti nida y es continua para todo P en el espacio y, por tanto, en pa rticu lar , es continua sabre O'Q. El numero EQ puede elegirse tan pcquciio que el conjunto de los puntas P sobre O'Q p�ua los cuales PQ � t EQ sea cerrado . 1 Estos puntas forman entonces un subconjunto compacta de O'Q fuera del cual Ia funci6n 'VQ(P) se anula . T6mese ahara para c ad a Q sabre t Ia bola abierta de radio !EQ en Ia que Ia funci6n 'I'Q sea positiva . Por el teorema de Heine- Borel , 1 La r'az6n es que todos los puntos P en la cerradura de una superficie elemental que esten lo suficientemente cerca de un punto dado Q de a tienen que perte­ necer al propio conjunto a : sup6ngase que a corresponde al conjunto abierto U en el plano parametrico , con Q correspondiendo a un punto a . Sea Pn una sucesi6n de puntos sobre a con imagenes Pn en U, y sup6ngase que Pn -+ P. Para Pn lo su­ ficientemente proximo a Q los Pn estan en un disco cerrado alrededor de q, con­ tenido en U. Una subsucesi6n de los Pn converge a un punto p de U. El punto sobre a

Introducdon al calculo y al analisis matematico

706

un numero finito de estas bolas , digamos , aquellas con centros en Q1, . . , QN, cubre al conjunto cerrado y acotado s. Entonces se definen las funciones de partici6n Xt para i = 1, . . . , N por .

(2 b}

Xt(P}

4

=

'l'Qi (P) 'I'Qt (P} + . . . + 'l'Qn (P)

Aqui el denominador es diferente de cero para cada P en s, de modo que X-t(P) esta definida y es continua en s. Es evidente que en s las Xt (P) son no negativas y suman 1 . Ademas , Xi(P) = 0 fuera de un sub­ conjunto compacta de la superficie elemental CJQi · Asi , las Xt(P) for­ man una partici6n de la unidad. Habiendo definido la integral de una funci6n F sobre una super­ ficie simple, inmediatamente se puede obtener la integral de una for­ ma diferencial ,

(25a}

ro =

a dy dz + b dz dx + c dx dy ,

't*,

sobre una superficie simple orientada suponiendo que los coe­ ficientes a, b, c se anulan fuera de un subconjunto compacta s de Sencillamente t6mese

t*.

J£ * ro = J£ (al; + bTJ + c�) dA,

(25b)

t

donde es la superficie no orientada y l;, TJ, � son los cosenos direc­ tores de la normal determinada por la orientaci6n de con respecto a los ejes coordenados. A. 2

t*

El teorema de Ia divergencia

a. Enunciado del teorema

y

su invariancia

En el caso de varias variables, el papel del teorema fundamental del calculo , que relaciona las operaciones de derivaci6n e integraG que corresponde a p es precisamente P. Ahora bien, por la definicion de 't' existe un OQ positivo tal que los puntos P de 't' , con PQ < EQ forman una superficie elemental G. Entonces existe un EQ � OQ , positivo, (que depende de la elecci6n de OQ) tal que los puntos P de la cerradura de G para los cuales PQ � t EQ pertenecen a G. Denotemos por GQ c G el conjunto de los puntos P de 't' con PQ < EQ . Enton­ ces la cerradura del conjunto de los puntos P de GQ , con PQ � ! EQ, pertenece a G, y, por tanto, tam bien a GQ dado que !- EQ < EQ.

Relaciones entre las integrates

707

Cion, es desempefi.ado por el teorema de la divergencia de Gauss. Bajo hipotesis apropiadas , p ara un conjunto R en el espacio x, y, z , con superficie frontera -r , el teorema toma la forma (26)

JJL (ax + by + Cz) dx dy dz = Ji (a� + bT) + c�) dA,

donde � ' T), � denotan los cosenos directores del vector normal ex­ terior (es decir , del vector normal que apunta hacia afuera de R) en los diferentes puntas de -r. Aqui se prob ara el teorema b ajo las hipotesis de que R es la ce­ rradura de un conjunto abierto y acotado en el espacio x, y, z y de que Ia frontera de R es una superficie simple . Las funciones a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z) seran continuas en R y tendran primeras derivadas continuas y acotadas en los puntas interiores de R . Una caracteristica importante d e la formula ( 2 6 ) e s s u invariancia bajo movimientos rigidos del espacio . Este hecho se veri fica con mayor facilidad si se usan subindices, en Iugar de letras diferentes, para distinguir a las variables. Remplacemos las cantidades x, y, z por XI, x2 , xa a, b, c por a 1 , a2 , aa y � ' T), � por -�I, �2 , �a. La formula (26) queda entonces asi : (27a)

JJL � ��: dx1 dx2 dxa Ji � ai �t dA, =

donde i = 1, 2, 3. Por supuesto , la formula analoga , con i vari ando desde 1 hasta n, se cumple en n dimensiones . Un movimiento rigido esta dado por una transformacion lineal de las vari ables x a las y, de la forma (27b)

Xi =

� Cik Yk + di k

'

donde los Cik y di son constantes y los Cik satisfacen las relaciones de ortogonalidad [ver (47 ) , p . 1 92 ] (27c)

� Cij Cik i

=

l

0 para j =I= k

1 paraj = k.

La misma ley de transformaci6n, pero omitiendo los terminos "no homogeneos" di , se a plica a los vectores, puesto que sus componentes son precisamente diferencias de las coordenadas de sus puntas ex­ tremos . Asi , con las ai se asocian las componentes bk del mismo vee-

708

Introduccioh al calculo y al analisis matematico

tor en el nuevo sistema :

Tambien se aplica esta ley de transformaci6n a los cosenos directores del vector normal sobre Ia frontera , que son precisamente las com­ ponentes del vector normal unitario exterior. Los nuevos cosenos directores llk estan relacionados con los �i por medio de las formulas � t = 2: Cik ll k · k

Entonces , obviamente ,

donde se ha iplicado Ia regla de la cadena de · za derivaci6n (ver las pp . 25 1 -252). De modo semejante , usando (27c),

De aqui que (27a) implica que

y, por tanto , representa una relacion que es invariante bajo los movimientos rigidos del esp acio . 1 b. Demostraci6n del teorcma

Una vez mas , Ia demqstraci6n de Ia formula general (26) se sim­ plifica considerablemente aplicando particiones de la unidad. Este artificio nos permite , para una region R dada con frontera 't reducir Ia formula para a, b, c generales ?.1 caso en que a, b, c son nulos ex­ cepto en la vecindad de un pun to . Se prob ara lo siguiente: 1 La invariancia del elemento de volumen se debe a que el jacobiano de la trans­ formaci6n (27b), es decir, ei determinante de los Ctk, tiene el valor ±1 (ver la p . 1 7 5 ) , mientras que l a invariancia del elemento d e superficie dA = W d u d v se deduce transformando la expresi6n ( l b) para W.

Relaciones entre las integrales

709

Si todo punto Q en R tiene una vecindad de radio EQ tal que (26) se cumple para todos los a, b, c que se an ulan fuera de esa vecindad, 1 entonces la formula se cumple para a, b, c en general. Para demostrar esta aseveraci6n se usan las funciones auxiliares 'I'Q(P) definidas por

jI

( EQ 2 - 4PQ2) 2 1 for PQ < 2 EQ -

l 0 para PQ � 2- EQ

1

que son continuas y tienen primeras derivadas continuas p ara todo Como R es cerrada y acotada , se puede seleccionar un m1mero finito de puntos Q, digamos Q1, Q2 , . . . , QN, tales que las bolas correspon­ dientes PQi < t EQi cubran por completo a R . Una vez mas se in­ troducen las funciones

P.

que estan definidas y tienen p rimeras derivadas continuas en todos de R y, adem as , satisfacen las condiciones requeridas los puntos para una partici6n de Ia unidad,

P

(a) (b) Xi(P) = 0

(c)

for

Entonces puede descomponerse la funci6n a en

donde , nuevamente, los terminos individuales a Xt son continuos en R y tienen primeras derivadas continuas en los puntos interiores de R . De modo semejante pueden descomponerse b y c. Entonces, puesto

1

Solo se consideran funciones a, b, c que satisfacen las hip6tesis enunciadas: y tienen derivadas continuas en los puntos interiores de R.

son continuas en R

Introduccion a l cilculo

710

y

a l anilisis matematico

que Ia formula (26) se aplica a los terminos individuales es obvio que se aplica a Ia expresion completa . De aqui que (26) solo se tiene que probar p ara funciones b, c que se anulan fuera de una vecindad arbitrariamente peq:�eiia de un pun to Q. Se distinguen los casos de Q en el interior de R y Q sobre la superficie frontera 't. Para un punto Q interior a R elijase &Q tan pequeiio que Ia bola b, c se anulan fue­ de radio 2 &Q y centro en Q este en R. Cuando ra de la bola de radio &Q , la integral de superficie se anula y solo se tiene que probar que

a,

a,

(28)

a,

fff(ax + by + Cz) dx dy dz

= 0

.

a

Aqui b, c estan definidas y tienen primeras derivadas continuas en el espacio completo si se definen = b = c = 0 fuera de R. Las primeras derivadas de b, c son integrables sobre toda p aralela a los ejes coordenados. Aplicando Ia formula (29) , p . 592 , para la reduc­ cion de una integral triple a integrales simples se encuentra , por ejemplo ,

a,

JJJCz dx dy dz = JJh(x, y) dx dy don de

h(x, y)

=

J Cz(x y, z) dz = 0. ,

De esta manera se establece (28 ) . Considerese ahora el caso e n que Q es un punto frontera d e R. Puede suponerse que el vector normal a la superficie 't en Q no es paralelo a ninguno de los tres pianos coordenados; esto siempre se puede lograr por medio de un movimiento rigido apropiado del es­ pacio , que no cambie la formula que debe probarse. En una vecin­ dad de Q de radio &Q , suficientemente pequeiio, ningun vector nor­ mal sera paralelo a uno de los pianos coordenados; es decir, ninguno de los cosenos directores �' 11 , l; se anulara . Si la vecindad es lo su­ ficientemente pequeiia, l a porcion de 't contenida en ella puede representarse no parametricamente expresando cualquiera de las tres variables x, y, z como una funcion de las otras dos. Por ejemplo, puede representarse 't por medio de una ecuacion

Relaciones entre las integrales

71 1

z = F(x, y) El conjunto R en esa vec�ndad se caracterizara ya sea por z � F(x, y) por z F(x, y) ; (ver l a p . 7 0 1 ) . Se supondra , sin perdida de gene­ ralidad , que R est a caracterizada localmente por z � F (x, y) ; enton­ ces , el vector normal exterior de 't tiene los cosenos directot:es �' 11, � donde � > 0. Cuando a, b, c se anulan fuera de la vecindad, usando u = x y v = y como parametros de la superficie se tiene

�

JJ c� dA = JJ c dx dy,

(29}

t

que concuerda con la orientacion . Por otra parte, definiendo a c como 0 donde antes no estaba definida, 1

fff JJJR Cz dx dy dz = JJJz�F(x,y) Cz dx dy dz

=

JJh(x, y) dx dy,

don de

h(x, y) =

r(x, y) Cz (x, y, z) dz _

...,

=

c(x, y, F(x, y)).

Solo los puntos cercanos a Q contribuyen a las integrales, de modo que la funcion F(x, y) tambien tiene que estar definida solo para (x, y, z) proximo a Q. Comparando con (29) se llega a establecer que

JJ c� dA = JJL Cz dx dy dz. t

R

De manera semejante, con y, z o x, z como parametros tambien se deduce que

JJ a� dA = JJL ax dx dy dz, t

R

J b11 dA JJlR by dx dy dz. t

=

Esto completa la demostracion del teorema de la divergencia (26).

1 Entonces la funci6n correspondiente c, es acotada y continua, excepto en el conjunto de los puntos (x, y, z) cercanos a Q para los cuales z = F(x, y) . Este ultimo conjunto tiene medida de Jordan cero. De aqui que c, (x, y, z) es integrable segiin R iemann como un funci6n de x , y, z, y ta:rn.bien como una funci6n de z iinicamente, para x, y fijas. (Ver la nota 2 al pie de la la pagina 464). Asi, es aplicable la for­ mula (29), p. 592 .

712

Introduccion al calculo

A.3

Teorema de Stokes

y

al analisis matematico

Considerese una superficie simple , 't , no necesariamente cerrada. Dado un subconjunto cr de 't se define el interior relativo de cr (es decir , "relativo" a I a superficie 't) como el conjunto de puntos P de t con la propiedad de que , en alguna vecindad apropiada de P, todos los puntos de 't pertenecen a cr. De modo semejante , la frontera relativa de cr consiste de los puntos P de 't para los cuales toda vecindad contiene puntos de 't que pertenecen a cr asi como puntos de 't que no pertenecen a cr . El conjunto cr es relativamente abierto si cada uno de sus puntos es un pun to rel ativamente interior . Ahora se considerara un subconjunto cerrado y acotado , s, de t que consistira de lin conjunto relativamente abierto , cr y de su fron­ tera relativa. Esta frontera relativa sera una curva simple cerrada , C, dada parametricamente en la forma

(30)

x = a(t), y = �(t), z = y(t),

donde a, �' y son funciones de periodo p con primeras derivadas con­ tinuas para las cuales a'2 + W2 + y'2 > 0 para todo t. Se supondra que la superficie 't esta orientada y que � ' 11, � son los cosenos directores del vector normal positivo sobre la superficie orientada 't*. Entonces puede asignarse una orientaci6n especial a la curva C, determinada por la orientaci6n de 't y por el "l ado" de C sobre el cual est�i cr y, por tanto , convertir a C en una curva orient ada C* . Est a orientacion "positiva" en C con respecto a 't* puede definirse en dos formas equivalentes . En el espacio x, y, z- el vector tangente a C correspon­ diente a la direcci6n de t creciente apunta en la direcci6n dada por el vector (a'(t), W(t), y'(t) ) El producto exterior de este vector tangente y del vector normal a la superficie , (�, 11, �) es el vector. con com­ ponentes .

(3 1)

W� - Y'11, y'� - a'�, a'11 - W�.

Su direcci6n , que es perpendicular a la del vector tangente a C y tan­ gencial a la superficie, da una direcci6n normal marcada para C, relativa a la superficie . La orientaci6n asignada a C sera ahora la de t creciente si el vector (3 1 ) apunta hacia afuera de s y la de t de­ creciente si apunta hacia s . Una manera diferente de llegar a la misma orientaci6n se basa en la representaci6n parametrica para 't en la vecindad del punto

(32)

x = {(u, v),

y = g(u, v), z = h(u, v)

P:

Relaciones entre las integrales

713

donde s e supone que los parametros u , v son aquellos que definen l a orientacion de 't cerca de P, e s decir, que e l vector (A, B, C) de­ finido por (2), p. 692 , apunta en la direccion de la normal marcada de 't . La porcion de la curva C cerca de P se aplicara sobre un arco y en el plano u, v- el conjunto s cerca de P se aplicara sobre un con­ junto p en el plano u, v. Puede definirse la orientacion de C como la correspondiente a l a orientacion positiva de y con respecto al con­ junto p, en el sentido impartido por la orientacion. Tambien se puede decir que la orientacion de y es la de la t creciente si el vector con componentes dv/dt y -dujdt apunta hacia afuera de p. Dadas ahora tres funciones a(x, y, z) , b(x, y, z) , c(x, y, z), que es­ tan definidas y tienen primeras derivadas continuas en una vecindad del conjunto s, el teorema de Stokes se expresa mediante la formula

(33)

JL [(cy - bz) + (az - Cx)T) + (bx - ay) s] dA L* (a dx + b dy + c dz). �

=

La demostracion del teorema sigue un patron que ya debe ser conocido por el lector. Usando una particion apropiada de la uni­ dad , podemos restringirnos al c aso en que, las . funciones a, b, c se anulan fuera de una vecindad arbitrariamente pequefi.a de un punto Q de s. Cerca de este punto la superficie 't tiene una representacion param etrica de la forma (32) para la cual el vector normal con com­ ponentes A, B, C dadas por . (2) , p . 693 , tiene Ia direccion fijada por Puede escri birse Ia orienta cion de

-r*.

JL* [(cy - bz) + (az - cx)ll + (bx - av)s] dA Jlp [(cy - bz)A + (az - Cx)B + (bx - ay) C] du dv = Jl (Au + �v) du dv, p �

=

donde

A = axv

+

byv + cz;,,

-

* La representacion parametrica (32) de del punto P).

� 't

:::::

axu + byu, + czu,

solo es local (es decir, valida cerca

Introduccion al calculo

7 14

y

al analisis matematico

como se verifica con facilidad algebraicamente sustituyendo las ex­ presiones (2 ) , p. 693 , para A, B, C y aplicando la regia de la c adena de Ia derivaci6n , asi sucesamente . I Si ahora Q es un punto en el interior relativo de s, entonoes las funciones A.(u, v) y J.l(u, v) se anulan cerca de la frontera 'Y de p, y, por el teorema de la divergencia para dos dimensiones, se encuentra que y

JJp

(A-u + ltv) du dv = 0.

Por otra parte, si Q esta sobre la frontera relativa de s, el punto correspondiente en el plano u, u , esta sobre 'Y y J.l se anulan fuera de una pequeiia vecindad de ese punto. En este caso, nuevamente, el teorema de I a divergencia bidimensional da

A.,

flp (A-u + ltv) du dv = Jry (A.p + J.lq) dy,

p,

donde dy es el elemento de longitud y q son los cosenos directores del vector normal que apunta bacia afuera de p sobre Ia curva 'Y Recorriendo 'Y en el sentido positivo con respecto a p, se tiene

ly (A.p

l*y (A. dv - J.Ldu) = l* (axu + byu + = L* (a dx + b dy +

+ J.LQ) dy =

czu) du + (axv + byv + czv) dv

y

c dz),

que era lo que se debia demostrar .

Superficies e integrales de superficie en espacios euclidianos de ditnensiones superiores

A.4 a.

Superficies elementales

��a EM un espacio euclidiano M dimensional referido a las coor­ , XM. Primero se definiran las superficies denadas cartesianas X1 , •

dy

I

•

•

La formula (63b) , p. 372 , es otra version de esta identidad, con

+ c dz, A. = L/dv, J1 = L/du.

L = a dx + b

Relaciones entre las integrales

715

elementales m dimensionales en EM como conjuntos de puntos que pueden representarse "muy b ien" con la ayuda de m parametros . Se dice que un conjunto S en EM es una superficie elemental m xi di­ mensional si pueden encontrarse M funciones fl (u l , . . . , Um), {2(u 1 , . . . , um), . . . , {M(u 1 , . . . , Um) definidas en un conjunto abierto U del espacio u 1 , u2 , . . . , Um- con las propiedades siguientes : 1 . Las ecuaciones

Xl = {1(U l ,

.

.

•

, Um), . . . , XM = {M(U l ,

•

•

•

· ,

Um)

definen una aplicaci6n biunivoca continua de U sobre S cuya inversa tam bien es continua. 2 . Las funciones {i (u1 , . . . , Um) tienen primeras derivadas con­ tinuas en U. 3 . Para cualquier punto (u 1 , . . . , Um) en U y para i = 1, . . . , m, definase Ai = A" (u 1 , . . . , Um) como el vector en EM con compo­ nentes (fuil , fui2 , . . . , fuiM). Se requiere que los m vectores A" sean independientes, es decir, que

(34) donde r es el determz'nante de Gram definido por (Sl a), p . 2 3 6 . S e prueba , como e n la p . 6 94 , que s i s e representa S de la misma manera con la ayuda de algunos otros p arametros v1 , , vm, existe una relaci6n uno a uno, continuamente diferenciable, entre los pun­ tos p arametricos (u 1 , . . . , Um) y (v1 , . . . , Vm) correspondientes, sien­ do el jacobiano no nulo : .

d (u 1 , . . . , Um) d (v 1, . . . , Vm)

(35)

•

.

=I= O.

Si F(x1 , . . . , XM) es una funci6n definida y continua sobre la superficie elemental S, la cual tiene adem as un soporte compacto sobre S (es decir, F se anula fuera de un subconjunto cerrado y acotado de S), se define * la integral de F sobre S por medio de ·

* El cubo con aristas de longitud h paralelas a los ejes coordenados en el es­ pacio Ut, , Um· se aplica hasta terminos de orden superior sobre un paralele­ pipedo en el espacio X1 , , XM , generado por los vectores hA 1, • • , hAm y, por tanto, de volumen m-dimensional •

•

•

•

•

•

•

v'r(hA1,

•

•

• •

hAM) = hm w.

Esto hace plausible el que dS deba. ser identificado con el elemento de volumen en el espacio u 1 , . . . , Um- multiplicado por el factor W.

Introduccion al calculo

7 16

y

al analisis matematico

La integral definida de . est a m an era no depende 1 de la �epreser taci6n pa.rametrica particular usada para S. En un punto P9 de S f6rmense los vectores correspondientes Ai, dandoles el punto inicial P0, y denotando sus puntos finales por Pi , � de modo que Ai = P0Pi . Los m + 1 puntos P0, P1 , . . . , Pm estan en un plano m dimensional , p0, el plano .tangente a S en P0• Si se asig­ na una orientaci6n a p0 (ver la p. 242) convirtiendolo en el plano tangente orienta do p0 * se tiene

(37a)

!l(po* )

=

e(p0) !l(A I , . . . , .�m),

donde e(p0) tiene el valor + 1 6 el - 1 . Se dice que la superficie S esta orientada si en todo punto P de S se orienta el plano tangente p* = p* (P) de modo tal que la orientaci6n dependa continuamente de P; es ' decir . . para

!l(p*) = !l(B I , . . . , Bm)

con los vectores apropi'!ldos lJ I , . . . , Bm en p* , se requiere que 2

[B 1 (P), . . . , Bm(P) ; B 1 (Po), . . . , Bm(Po)] > 0 para todos los puntos P so bre S lo suficientemente pr6ximos a un punto P0• Dado que los vectores A i varian continuamente con el pun­ to de contacto, la orientaci6n de p* varia continuamente con el punto de contacto si el factor e(P) definido por (37 a) varia continuamente con P sabre S. Como E solo puede tomar los valores + 1 6 - 1, se concluye , como en la p . 643 , que para una superficie elemen­ tal conexa solo exist en do.s orientaciones posibles. En cualquier caso, la superficie orientada S* determina una orientaci6n del conjunto1 U , Um , a saber , la dada por en e.l espacio .de parametros UI , .

P

.

(37b)

•

!l( U) = e(P) !l( u1 , . . . , Um)

' Para p�obar esto se observ� que bajo los cambios de parametros W se mul­ . tiplica por el valor absoluto del jacobiano de Ia transformaci6n parametrica, porque tal transformaci6n resulta en una sustituci6n lineal para los vectores At lo cual cambia el volumen W del paralelepipedo generado por los vectores solo en un factor igual al determinante de la sustituci6n (ver la p . 244). 2 El simbolo entre corchetes representa el determinante definido por (85a), p . 1 98 .

1

Relaciones entre las integrales

717

[ ver (40n o , p), pp . 645 ]. Aqui , bajo u n cambia de parametro de UI, . . , Um a VI, . , Vm la cantidad & solo es multiplicada por el signo del jacobiano (35). .

.

.

b. Integral de una , forma diferencial sobre una superficie elemental orientada Despues de estos preliminares , estamos ahora listos para. definir la integral de una forma diferencial de m-esimo orden w sob,�e una superficie elemental. orientada m dimensional , S * . La forma , w es al­ guna combinaci bn lineal de productos ordenados de m de las di­ ferenciales dx1 , . . . , dxM , por ejemplo ,

. . ·,

w = a dx1 dxz +

••

� dxm

• • dXm+I + c

+ b dx2 dxa

dx1 dxa

• dxm

donde se supone que los coeficientes a(x1, . . . , XM), b(xt, . . . , xM), . . . son continuos y tienen soporte compacta sobre S*. l Sup6ngase que S* se representa parametricamente con ayuda de los parametros , Um que varian sobre el conjunto U* orientado de acuerdo u1, con Ia ori entaci6n de S * . Entonces se define •

•

.

w

J · ·Jw = f · · · Jdut • • dum du1 • • • dzim. d(x2 , xa, . . . , Xm +I) J[ d(xt, x2, . . , Xm) + b d(UI, =J U2 , . . . a d(Ui, U2, + · J dut • • • dum. · · u

s•

. u

*

*

.

·

.

. , Um)

.

, Um)

Se ha arreglado la notaci6n 2 de manera tal que el valor de � a integra�

8*.

1

Es decir,

a,

b, c,

. . .

se anulan fuera de algun subconjuntb cerrado y acotado de

2 A qui, para un integrando continuo F(u 1 , conjunto orie'ntado U* con orientaci6n

(&

=

il(U*) = eil(u1 ,

±1 y continuo) , se define por

JJ • 0; J

F du 1

• • • dum =

..

. . ., .

Um) ,

la integral de F sobre un

, Um)

JJ • U •J

Fe du 1

• • • dum

donde la integral del segundo miembro tiene el · signifitado ordinaria que da valores positivos para integrandos positivos.

Introducci6n a l calculo

718

y

a l analisis matematico

no dependa de la representaci6n parametrica particular usada para

8* .

c.

Superficies simples m dimensionales

Precisamente como en el espacio tres , uniendo superficies elemen­ tales pueden obtenerse superficies simples. Se dice que un conjunto t en el espacio euclidiano M dimensional es una superficie simple m dimensional , si cada punto P0 de t tiene una vecindad que se inter­ secta con t en una superficie elemental m dimensional . Si cada una de las superficies ·eiementales que se presentan en · la caracterizaci6n de una superficie simple esta orientada , y si concuerdan l as orien­ taciones de dos de estas superficies elementales cuando se traslapan, se dice que la superficie simple t ha sido orientada . En cada punto de una superficie simple orientada m dimensional t* pueden elegirse m vectores A l(P), . , Am(P) tales que

!l(t*) = !l [A l(P), . . . , Am(P)] y

[Al(P), . . . , Am(P) ; A 1 (Q), . . . , Am( Q)] > 0 para Q lo suficientemente proximo a Para los subconjuntos s, de una superficie simple m dimensional, t puede definirse la frontera relativa 1 de s, es decir, la frontera de s relativa a la superficie t. La frontera relativa de s consiste de aquellos puntos de s p ara los cuales cada vecindad contiene puntos de s y puntos de t que no pertenecen a s. La cerradura relativa 2 de s consiste de s y de los puntos frontera relativos de s. Se dice que el conjunto s es relativamente a bierto si no tiene puntos en comun con su frontera relativa, y se dice que es relativamente cerrado si contiene a su frontera relativa . Particularmente interesante es el c aso en que s es un subconjunto de Ia superficie simple m dimensional t cuya frontera relativa es a su vez una superficie simple (m 1) , dimensional , Se su pondra

P.

-

as.

l E.sta noci6n es necesaria cuando se desea discutir, digamos, la curva frontera de una superficie bidimensional s en espacios de dimensiones M > 2. La frontera ("absoluta") de la superficie s tomada con respecto al espacio completo siempre contiene a la superficie s. completa . 2 La cerradura relativa de s es tam bien el conjunto de todos los puntos de 't que son limites de sucesiones formadas con puntos de s.

Relaciones entre las integrates

719

ademas que s e s Ia cerradura relativa d e un conjunto relativamente abierto . En Ia vecindad de un punto P de os siempre pueden re­ presentarse as y 't "no parametricamente" ; esto es, pueden usarse algunas de las coordenadas cartesianas xr, . . . , XM en el espacio_ como vari ables independientes; entonces despues de renumerar adecuadamente las coordenadas , se tiene para 't cerca de P, la representaci6n parametrica

Xi = {i(X1 , . . . , Xm) y

(i = m + 1, . . . , M),

sobre as se tiene la condici6n adicional

X1 = g(xz, . . . , Xm) {i y g son funciones continuamente diferenciables. Adem as , los pun­ tas de s son caracterizados cerca de P por una de las desigualdades

g(xz, . . . , Xm) � X1 o bien ,

g(xz, . . . , Xm)

� X1 .

Si se trata de una superficie orientada s*, puede asignarse una orientaci6n unica a la frontera relativa os . Considerense m - 1 vee­ tares independientes A 2 , , Am en un punto .P de as que sean tangenciales a os y un vector m as A 1 que sea tangencial a 't pero no a os en P y que apunte hacia afuera de s*. Entonces se tiene •

(38)

•

•

.Q(s*) = E!l(Al , . . . , Am - 1, Am)

donde E tiene el valor + 1 - 1. Entonces Se · dice que la frontera os* esta ori"entada Posz'tz'vamente con respecto a s* si

(39)

.O(os*) = e.O(A2 ,

•

•

•

, Am).

En particular, sean m = M y 't el espacio M dimensional com­ pleto . Sea s Ia cerradura de un conjunto abierto � .: y sea Ia frontera de s una superficie simple (m - I)-dimensional os. Sup6ngase que en una vecindad de un punto P Ia superficie os tiene Ia representaci6n I

Aqui, se puede omitir la palabra relativo .

Introduccion al dilculo y al analisis matematico

720

no parametrica

Xl = g(X2, . . ; . , . Xm). ' Puede definirse una cantidad 8 = ± 1 de mod � 9. ue

[Xl - g(X2, . . . , Xm)]8 � 0

(40a) para los puntos (x1, Am los vectores

•

•

•

, Xm) en s cerca de P. Elijamos como A 2 ,

•

•

,

A2 = (gx 2 , 1, 0 , . . . , 0 , 0), . . . , Am = (gxm, 0, . . . , 0, 1) tangenciales a as ,

y

como A 1 el vector A1 = (8, 0, . . . , O)

que apunta bacia afuera de s . Entonces, en l as coordenadas XI, . . , Xm· det (A I , . . . , Am -I , Am ) = 8, de modo que [ ver (83a , b), p. 239]

O(Al, . . . , Am-I , Am) = 8!l(x1, . . . , Xm).

Para el conjunto orientado s* definase Entonces

E

=

±

1 cerca de P por (38).

!l(s*) = e8!l(x1, . . . , Xm),

(40b)

mientras que para la frontera as* orientada positivamente con res­ pecto a s* , se cumple Ia relaci6n (39). Consecuentemente , si se con­ sideran X2, . . , Xm como parametros para la superficie as* cerca de P, entonces la orientaci6n del espacio X2, . . . , Xm determinada por as*' es •

e!l(x2 , . . . , Xm)

(40c)

(ver (3 7b) , p . 7 1 6 ) . Por lo tanto, para un conjunto s* orientado positivamente con respecto a las coordenadas x 1 , , Xm· (e8 = 1), la frontera orientada positivamente tiene la orientaci6n del sistema X2, , Xm donde s este ' 'por de bajo de " la frontera, y la orientaci6n opuesta donde s este "por encima de " la frontera (ver l a p . 702) . .

.

•

•

•

.

. Relaciones entre las integrales A.5

721

Integrales sobre superficies simples, teorema de Ia divergen­ cia de Gauss y formula general de Stokes en dimensiones superiores

Se definen las integrales sobre superficies simples por medio de partz"ciones de la unidad, exactamente como en Ia p . 704. En par­ ticular , si t* es una superficie simple orient ada m dimensional y ro es una forma diferencial de m-esimo orden , Ia integral

Jt f .

.

*

.

ro

esUi definida siempre que los coeficientes de ro sean continuos y se anulen fuera de un sub-conjunto cerrado y acotado de t*. Sea ahora una superficie simple m dimensional en el espacio M y s* un subconjunto orientado cerrado y acotado de Se supondra que s* es la cerradura de un conjunto relativamente abierto y que la frontera relativa de s*, orientada positivamPnte con respecto a s*, es una superficie simple orientada (m - 1)-dimensional , as*. Sea ro una 1 con coeficientes que tienen pri­ form a diferencial de orden m meras derivadas continuas. El teorema general de Stokes afirma que

t

t.

_

,

f . · · f ro = J · · · fdro.

(41)

as*

s*

Primero se tratara el caso especial donde m = M, que es el teorema de la divergencia de Gauss en m dimensiones. En este caso se con­ sidera a como el espacio completo y a s* como un conjunto orien­ tado que es Ia cerradura de un conjunto abierto limitado por una superficie simple (m 1)-dimensional , as* orientada positivamente con respecto a s*. La forma ro de grado m 1 puede escribirse como

t

-

-

a1 dx2 dxa

•

•

•

dxm + a 2 dxa dx4

•

•

•

dxm dx1 + · · · + am dx1 dx2

don de las

1

a1.

son funciones de XI, .

No solo relativamente cerrado.

.

•

•

. , Xm. Entonces,

·dXm- 1,

722

Introduccion al dilculo

(42a)

dro

=

da1 dx2 dxa · · ·

y

al analisis matematico

• • •

dxm + da2 dxa dx4

+ dam dx1 dx2

=

aa1 dx 1 dx2 ax1

• • •

=

K dx1

dxm,

-

• • •

• • •

• • •

dxm dx1 +

dxm-1

aa2 dx dxa • • • dxm dX1 ax2 2 aam . ' + axm dxm dX1 • • • dxm-1

dxm +

-

+

· • •

don de

( 2b) K =

4

aa 1 ax1

+

aa ( - 1)m - 1 2 ax2

+

aa 4 aaa + ( - 1)m - 1 ax4 axa aam + ( - 1)m -1 axm

+

La demostracion de la formula (4 I ) para este caso se desarrolla exactamente como en el caso especial m = 3 que se discutio en las pp. 708- 7 1 1 , y no es necesario repetir los pasos individuales. Lo unico que se debe comprobar es el sz"gno en la formula final . En ultima install­ cia, la demostraci6n se reduce al caso en que a 2 , . . . , am se anulan identicamente y a1 se anula fuera de una vecindad de un punto P de la superficie cr*. Aqui , cerca de P la superficie esta dada por la ecuaci6n

X1 y

=

g(X2 , . . . , Xm)

s* esta dada por la desigualdad [X1 - g(X2 , . . . , Xm)]� � 0,

donde � = ± 1 Definase el numero e

!l(s*)

=

y

± 1 en P por

E�!l(x1, . . . , Xm)

ver (40b) . Entonces, por (42a , b ) ,

Por otra parte [ver (40b)

=

·

(40c)] , tambien se tiene

Relaciones entre las integrales

f ·as*· · f

ro =

Ef· · · f at dx2 XI = g

•

•

•

723

dxm.

Esto completa l a demostracion del teorema de l a divergencia . La formula general de Stokes para m < M arbitrario es una con­ secuencia inmediata . Usando particiones de la unidad, nuevamente basta con establecerla para formas diferenciales que se anulen fuera de una vecindad de un punto P sobre la superficie simple x. En esa vecindad x es identica a una superficie elemental . lntroduciendo los parametros locales U t , , Um para describir x, la identidad (41 ) se convierte en la identidad correspondiente en el espacio parametrico m dimensional , don de ahora todo se reduce al teo rem a de la diver­ gencia de Gauss, discutido anteriormente. De esta manera se esta­ blece el teorema general de Stokes. Este tipo de argumentos hace ver claramente que el hecho de que la superficie m dimensional considerada, x este enclavada en un es­ pacio euclidiano de dimension M no tiene importancia. Todo lo que cuenta son las representaciones parametricas locales que aplican a x sobre un conjunto en el espacio m euclidiano . Esto sugiere la validez de formulas semejantes en variedades a bstractas m dimen­ sionales mas generales que puedan describirse por medio de para­ metros cerca de todo punto . Sin embargo , para evitar considera­ ciones topologicas que estan mas alia del alcance de este libro nos hemos restringido a superficies simples en espacios euclidianos. .

•

•

CAPITULO

6

Ecuaciones diferenciales

En el Volumen I , capitulo 9 , se estudiaron casos especiales de ecuaciones diferenciales . Dentro de los alcances de este libro no es posi ble desarrollar detalladamente I a teoria general; sin embargo, en este capitulo , partiendo de mas ejemplos de Ia mecanica, se dara al menos un esquema de los principios de esta materia , aplicando el calculo de funciones de varias variables.

6.1

Las ecuaciones diferenciales para el movimiento de una particula en tres dimensiones a.

Las ecuaciones de movimiento

En el Volumen I (Capitulo 4 , pp. 397-423) se estudi6 el caso de una particul a restringida a moverse en el plano x, y Ahora se eli­ minara esta restricci6n y se considerara una masa m concentrada en un punto con coordenadas (x, y, z) . El vector de posicion de la par­ ticula con respecto al origen tiene las componentes x, y, z y se denota por R. Entonces , el movimiento de la particula se podra representar matematicamente si (x, y, z) o R pueden expresarse como funciones del tiempo , t . Si , como antes , se denota la derivaci6n con respecto al tiempo por medio de un punto , entonces el vector R = (.X, y, .i) de longitud

( 1) representa la veloct:dad particula.

y

e1 vector R.

725

=

(x, y, z), la aceleract:on de la

726

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

La herramienta fundamental para determinar el movimiento es Ia segunda ley de Newton1 , segun Ia cual el producto del vector aceleraci6n R , y Ia masa m, es igual al vector fuerza F = (x, y, z) que actua sobre Ia particula:

mR = F

(2a)

'

o, en componentes ,

(2b)

mx = X,

my = Y,

mz = Z.

Pueden usarse estas relaciones 2 para encontrar el movimiento , siem­ pre que se de informacion suficiente acerca de Ia fuerza F. Un ejemplo es el campo constante de fuerzas que representa a Ia gravedad cerca de Ia superficie de Ia Tierra . Considerando Ia gra­ vedad como si actuara en Ia direcci6ri del eje z negativo , Ia fuerza queda representada por el vector

(3)

F = (0, 0, - mg) = - mg(grad z),

donde g es Ia aceleraci6n constante debido a Ia gravedad (ver el Volumen I , p . 399) . Otro ejemplo es el campo de fuerzas producido por una masa fl concentrada en el origen del sistema coordenado y que atrae de acuerdo con Ia ley de Ia gravitaci6n de Newton (ver el Volumen I , p.

41 3) . Si r = .Jx2 + y2 + z2 = I R I es Ia distancia al origen de una particula en (x, y, z) con masa m, el c ampo de fuerzas ' est a dado por Ia expresi6n

(4a)

(

F = flmy grad

�) ,

donde y es Ia constante universal de Ia gravitaci6n. En este c aso , Ia segunda ley de movimiento de Newton , (2a) , afirma que .. 1 R = JlY grad ­ (4b)

r

1"Mutationem motus proporcionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam quea vis ilia imprimitur" (es decir, "el cambio de movmiento es proporcional a la fuerza aplicada y se lleva a . cabo en Ia direcd6n de Ia recta a lo largo de Ia cual actua Ia fuerza") . 2 El vector mR se llama momento lineal, de modo que Ia ley de Newton afirma que "Ia fuerza es igual a Ia rapidez de cambio del momento lineal"

Ecuaciones diferenciales

727

o, en componentes ,

y ••

-

y JJ.Y r3 '

En general , si F es un campo de fuerzas dado, con componentes X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z), que son funciones de posicion co­ nocidas , las ecuaciones de movimiento

mx = X(x, y, z),

my = Y(x, y, z),

mz = Z(x, y, z)

forman un sistema de tres ecuaciones diferenciales para l as tres funcio­ nes desconocidas x(t), y(t), z(t). El problema fundamental de la me­ canica de una particula es determinar su trayectoria a partir de esas ecuaciones diferenciales cuando , al principia del movimiento, di­ gamos en el instante t = 0, se dan la posicion de la particula [es decir, l as coordenadas xo = x(O), yo = y(O), zo = i(O)] y su velocidad z"nicz'al [ es decir, las cantidades xo = x(O), :Y o = y(O), io = z(O)] . El problema de encontrar tres funciones que satisfagan estas con­ diciones iniciales y tambien las tres ecuaciones diferenciales, para todos los valores de t, se conoce como problema de la soluci6n o z·n ­ tegraci6n 1 del sistema de ecuaciones diferenciales.

b. El principio de conservaci6n de la energ!a Las ecuaciones de movimiento (2a) para una particula tienen una importante consecuencia que se obtiene formando· su producto es­ calar con e1 vector velocidad R :

(6a)

mR · R = F · R = Xx + Yy + Zi.

Aqui el p rimer miembro puede escribirse como

(6b)

i part cula. encuentra hasta

es decir, como la derivada respecto al tiempo de la energ{a cinetica, lntegrando la t mv2 ( energia de movimiento), de la ecuaci6n (6a) con respecto t, desde to que t1, se el cambio en la energia cinetica de la particula durante el intervalo de tiempo desde to hast a ti. esta dado por .

a

1 A qui se usa �ste termino porque la soluci6n de las ecuaciones diferenciales puede considuarse como una generalizaci6n del proceso de integraci6n ordinaria.

728 (6c)

lntroduccion al calculo y al analisis matematico 1

1

2

2

- mv12 - - mvo2 = =

i 1 (X dx dy dz) + Y - + Z - dt t

to

dt

dt

dt

J (X dx + Y dy + Z dz),

donde la integral de line� se extiende sobre la trayectoria descrita por to hasta t1. La integral

l a particula durante el tiempo desde

JX dx + Y dy + Z dz,

evaluada sobre un arco orientado , se llama el tra bajo realizado por la fuerza F = (X, Y, Z) durante el movimiento a lo largo de este ar­ co , 1 De aqui que (6a) puede enunciarse como Ia ecuaci6n de la energia: la ganancia en energia cinetica · es igual al trabajo rea(i'zado por la fuerza durante el movimiento. En el importante caso en que el c ampo de fuerzas puede represen­ se como el gradiente de una funci6n, digamos

(7a)

F = grad �'

la integral de la forma diferencial

X dx + Y dy + Z dz = d�

es independiente de la trayectoria y solo depende de sus puntos inicial y final (ver la p . 1 2 5 ) . De acuerdo con Helmholtz, un campo de fuerzas del tipo (7 a) es conservativo 2 • Se introduce. Ia energta Poten­ cial, U, (energia de posicion) del campo conservativo de fuerzas por medio de U = - �. Entonces las ecuaciones de movimiento tienen la forma

mR = - grad

U

1 Ver el Volumen I, p. 420 . Introduciendo la longitud de arco s como parametro, la integral de linea tom a la forma

J F · c;!ds

y, por tanto, es igual al limite de las sumas de Ia componente de Ia fuerza en Ia direcci6n del movimiento multiplicada por las distancias.

2 "Consevativo", en virtud del teorema de la conservaci6n de la energia, el cual se deducira en breve.

Ecuaciones diferenciales

729

o, en componentes, (7b)

my = - Uy,

mx = - Ux ,

mz = - Uz.

La energia potencial , como una funci6n de la posicion (x, y, z) , queda determinada por el campo de fuerzas solo hasta una constante aditiva arbitraria. Para el trabajo realizado por las fuerzas conser­ vativas durante el movimiento , se encuentra

J X dx +

Y dy + Z dz

=

-

Jd U = Uo - U1 ,

donde Uo y U1 son los valores respectivos de la energia potencial para las posiciones de la particula en l os instantes to y t 1 • Comparando con ( 6c) se demuestra que �

Por tanto , la cantidad t mv2 + U tiene el mismo valor en cuales­ quiera instantes to y t i durante el movimiento. Sin entrar en la ex­ plicaci6n fisica de estos conceptos , se ha llegado a una forma de la ley de conservaci6n de energia para una particula en un campo con­ servativo de fuerzas :

La energia total - es decir, la suma de la energia cinetica t mv2 y de la energia potencz"al U- permanece constante durante el mo­ vimiento . En los ejemplos de las secciones que siguen se muestra como puede usarse este teorem a en la soluci6n de las ecuaciones del movimiento. N6tese que los dos c ampos de fuerzas definidos por las ecuaciones (3) y (4) son conservativos . Las ecuaciones de movimiento de una particula b ajo el campo gravitacional uniforme (3) se reducen a

(8a)

x = 0, y = 0,

z = -g.

Su soluci6n general esta dada trivialmente por

(8b) Aqui , obviamente , las constantes (a 2 , b 2 , c 2) dan la posicion inicial y las constantes (a 1 , b 1 , c 1), la velocidad inicial de la pardcula en el ins­ �ante t = 0. La trayectoria de la particula, dada parametricamente en terminos del tiempo t por las ecuaciones (8b), es una parabola

Introduccion al calculo

730

y

al analisis matematico

con el eje paralelo al eje z . Puesto que el campo de fuerzas es mg grad z, I a energia potencial es U = mgz + constante . Los cambios en U son proporcionales a los cambios en la elevaci6n , z. Asi , la ley de conservaci6n de la energia toma la forma -

(8c)

1

2 mv2 + mgz = constante = 2 mv0 2 + mgzo 1

1

.

.

= 2 m(a 1 2 + b 1 2 + c 1 2) + mgc2. Por lo tanto , la velocidad, v, es minima en el punto mas alto de la trayectori a. En Iugar de una particula que cae libremente puede considerarse una particula que se mueve b ajo la influenci a del campo gravita­ cional F = - mg grad z, est an do Ia particula restringida a per ­ manecer sobre una superficie z = f(x, y) por medio de una fuerza de reaccz"6n perpendicular a la superficie .1 Como la fuerza de reaccion no tiene componente en la direccion del movimiento , y por tanto, no realiza trab ajo , el trabajo durante el movimiento es el realizado por el campo gravitacional conservativo . Por lo tanto, se llega a la misma ecuacion de la energia,

2 mv2 + mgz = contante , 1

(9)

que para el cuerpo que cae libremente, siendo la unica diferencia que z = f(x, y) es ahora una funci6n prescrita de las coordenadas X; y. . c.

Equilibria. Estabi.lidad

Las ecuaciones de movimiento

(lOa)

mR = - grad

U,

de una pa,rticula e n u n campo conservativo d e fuerzas nos permiten discutir los movimientos cerca de una posicion de equilibria. Se dice que la particula esta en equz'lz'brz'o bajo la z'n.fluencz'a del campo de fuerzas, si permanece en reposo. Para que pueda ser este el c aso, su velocidad y su aceleraci6n deb en ser ambas 0 en todo el intervalo de 1 Un ejemplo se encuentra en el pendulo esferico, donde una masa esta restringida a moverse sobre una esfera . Comparese con los movimientos sobre una curva, dis­ cutidos en el Volumen I , pp. 405 y siguient.es.

Ecuaciones diferenciales

73 1

tiempo bajo consideracion . Por lo tanto , las ecuaciones de movimien­ to ( l Oa ) dan (lOb)

grad U = 0 ,

o bien , (lOc)

Ux = Uy = Uz = 0

como las condiciones necesarias para el equilibria. Asi, una posicion de equilibrio, (.�0, y0, zo) , necesariamente es un punto critico de la energia potencial U. Reciprocamente , todo punto critico (xo, Yo, zo) de U es una posicion posible de reposo , puesto que, obviamente , el vector constante

R

=

(xo, yo, zo)

satisface las ecuaciones ( l Oa) . De gran importancia practica es la nocion de esta bilz'dad del equilib ria. Por estabilidad se debe entender que si se perturba li­ geramente el estado de equilibria , el movimiento total resultante solo diferira ligeramente del est ado de reposo . 1 Mas precisamente , sean n y VI numeros positivos cualesquiera . Correspondiendo a n y VI pueden encontrarse dos numeros positivos, ro, vo , tan pequeiios que si se mueve Ia particula una distancia no mayor que ro de su posicion de equilibria y se le imprime una velocidad no mayor que vo, enton­ ces en su movimiento total subsiguiente nunca alcanzara una distan­ cia mayor que r1 del punto de equilibria y una velocidad mayor que VI.

Particularmente interesante es el hecho de que el equilibrio es es­ tab le en un punto en el cual la energia potencial U tiene un minimo

1 La noci6n puede ilustrarse mejor por media del problema bidimensional analogo, de una particula que se mueve bajo Ia acci6n de Ia gravedad, pero restringida a per­ manecer sabre de una superficie z = {(x, y). Aqui las posiciones de equilibria son los puntas criticos de Ia energia potencial mgz = mgf(x, y), es decir, los puntas mas al­ tos o mas bajos o los puntas silla de Ia superficie z = f(x,y). El equilibria es estable para una particula que se encuentra en reposo, digamos, bajo Ia influencil de Ia gravedad, en el punta mas bajo de un taz6n esferico c6ncavo hacia arriba . Por otra parte, una particula que se encuentra en reposo en el punta mas alto de un taz6n es­ ferico c6ncavo hacia abajo esta en equilibria inestable; Ia mas ligera perturbaci6n produce un cambia grande en la posicion. Como, en Ia practica , se supone que siempre estan presentes pequeiias perturbaciones, no se mantiene el equilibria ines­ table y es poco probable que se observe.

732

Introducci6n al calculo

y

al analisis matematico

relativo estricto . 1 Debe hacerse notar que esta proposici6n acerca de la estabilidad puede probarse sin resolver realmente las ecuaciones del movimiento . Por simplicidad , sup6ngase que la posicion de equilibria b ajo consideraci6n es el origen, lo cual siempre es posible mediante una traslaci6n . Adem as , como la energia potencial solo es­ ta determinada hasta una constante , puede suponerse que U(O, 0, O) = 0. Dado que U tiene un minima relativo estricto en el origen, puede hallarse un numero positivo r < rt tal que U > 0 en todo pun­ to sobre la superficie de. la esfera de radio r alrededor del origen y en su interior, excepto en el origen. Entonces, el valor minima de U sobre la superficie de la esfera es un numero positivo, a. Ya que U es continua , puede encontrarse un ro < r tal que U(x, y, z) < ia y U(x, y, z) < tmvt2 en la esfera salida de radio ro alrededor del origen. Ademas, sea el numero positivo vo tan pequefi.o que t mvo2 < ta y t mv02 < tmvt 2 • Entonces, para una posicion inicial de la particula con distancia al origen menor que ro y con una velocidad inicial menor que vo, la energia total inicialmente satisface las desigualdades (11a) (11b)

2 mv2 + U(x, y, z) � 2 mvo 2 + 2 a < a 1

1

1

Puesto que la energia es constante en to do el movimiento , de ( 1 1 a) se ve que en todos los instantes subsiguientes . 1 2 mv2 + U(x, y, z) < a, y, en consecuencia, U(x,

y,

z) < a.

Como , inictalmente , la p articula estaba en el interior de la esfera de radio r , y ya que U �- a sobre esa esfera , la particula nunca puede alcanzar la superficie de la esfera . Esto demuestra que la distancia de la particula al origen nunca es mayor que el valor r < rt. Dado que tam bien U � 0 en el interior de la esfera de radio r, de ( 1 1 b) se deduce que 1 2 2

1

- mv < - mvt 2

2

1 En un punto minimo estrt'cto el valor de U es menor que en todos los demas puntos de una vecindad lo suficientemente pequeiia. Ver las paginas 325-6 en relaci6n con las definiciones. ,

Ecuaciones diferenciales

733

y, consecuenternente , que la velocidad de la particula nunca es mayor que el valor VI, lo que tenia que dernostrarse . d. Oscilaciones pequeiias en torno a una posicion de equilibria

El rnovirniento de una p articula en torno a una posicion de equilibria est able , correspondiente a un rninirno de la energia poten­ ci al , puede ser aproxirnado en una forma rnuy sencilla. Por brevedad nos restringirernos a un rriovirniento en el plano x, y y supondrernos que no existe fuerza alguna actuando en la direcci6n del eje z . Tarn­ bien se supondra que el potencial U (x, y) tiene un rninirno en el origen y que U(O, 0) = 0. Adernas, en el punto rninirno, U = Uo = 0. Irnaginernos U desarrollada por rnedio del teorerna de Taylor en la forma

U=

1 (ax2 + 2bxy + cy2) + 2

-

La funci6n U tendra un rninirno relativo estricto en el origen si la forma cuadratica

(12a) es definida positiva; (12b)

1 Q(x, y) = 2 (ax2 + 2bxy + cy2) es decir, si

a > 0, ac - b2 > 0.

Se supone que se satisfacen las condiciones ( 1 2b) y que en una vecin­ dad suficientemente pequeiia de la posici6n de equilibria en el origen, la energia potencial U puede ser remplazada con bastante exactitud por la forma cuadratica Q1 . Bajo estas hip6tesis las ecuaciones de rnovirniento tornan la forma

mR = - grad Q ,

1 Ver la pagina 347 . El caracter definido positivo de Q es suficiente, pero no nece­ sario, para la existencia de un maximo relativo estricto . Sin embargo, es necesario que Q no sea indefinida ni definida negativa. 2 Ningl1n intento serio puede hacerse aqui para justificar esta suposici6n "plausible".

734

Introduccion al calculo

y

al anali.sis matematico

o bien,

(12c)2

mx = - ax - by

my = - bx -

,

cy.

Las ecuaciones ( 1 2c) pueden integrarse co.m pletamente si primero se giran los ejes X· y y en un angulo ,P , elegido con propiedad, de modo que los nuevos ejes coordenados coincidan con los ejes principales de las elipses Q = constante . Efectuese la sustituci6n ortogonal

x = � cos ,P donde

11

s en (>,

y = � sen ,P + 11 co� ,P.

,P se determina a partir de la condici6n de que

1 Nuevamente, pueden interpretarse estas ecuaciones como aproximaciones de las ecuaciones de movimiento, bajo Ia acci6n de Ia gravedad, de una partkula restrin­ gida a moverse sobre una superficie z = {(x, y) , cerca de un punto minimo de esa superficie. Aqui, las ecuaciones precisas de movimiento tienen Ia forma y = - A.{y,

x = - A.{:�:,

z=

- g + A.,

tomando en consideraci6n que las fuerzas que actuan sobre una partfcula son Ia fuerza gravitacional {0, 0, -mg) y la fuerza de reacci6n, (- A. fx, - A. {11, A.) , que es per· pendicular a la superficie y que contiene un multiplicador indeterminado, A.. Puede eliminarse A., observando que z

.•

y

=

d2f � . = fxX.. + IYY + fxxX 2 + 2fxyXy + I�YYY' 2 dt2 .

•

•

•

asf se obtienen las ecuaciones

X = - A.fx ,

y = - A.fy

con

g + fxxx2 + 2fx11xy+ f1111y2 1 + fx2 + {y2 para las dos funciones desconocidas x, y. Si f tiene un minimo en el origen ').. =

aproximada alii por la cuadratica (13a)

f=

y

es

1 (ax2 + 2J3xy + yy2), 2

-

cerca del origen se encuentran, despreciando todos los terminos no lineales, las ecuaciones diferenciales (13b)

x = -g(ax +

J3y),

Y = - g(J3x + yy)

que son de Ia forma ( 1 2c) . Si, por ejemplo, Ia superficie es Ia esfe1 d z = L - ...;£2

-

x2 - y2

("un pendulo esferico de longitud L"), se encuentran

(13c)

x= - K L

x,

Ecuaciones diferenciales

735

con las constantes pos1t1 vas apropiadas a, y 1 • En las nuevas coor­ denadas rectangulares � ' 11 , las ecuaciones de movimiento ( l 2c) se transforman en

(14a)

m� =

-

a�,

m ij =

-

Y11 ·

Como en el Volumen I (p . 404), estas dos ecuaciones pueden inte­ grarse completamente . Se obtiene

(14b)

11

=

A 2 sen

J � (t - c2),

don de c1, c2, A1, A 2 son constantes de in tegraci6n que nos permiten

hacer que el movimiento satisfaga cualesquier condiciones iniciales asignadas arbitrariamente. 2 La forma de Ia soluci6n muestra que el movimiento en torno a una posicion de equilibria estable es el resultado de Ia superposici6n de oscilaciones arm6nicas simples en las dos d'irecc'iones pr'indpales, Ia direcci6n � y la direcci6n 11 , estando dadas l as frecuencias de est as

oscilaciones por Jajm y Jyjm. 3 Una discusi6n general de estas os­ cilaciones , que no se llevara a cabo aqui , demuestra que el movi­ miento resultante puede tomar una gran variedad de formas . Para dar unos cuantos ejemplos de estas oscilaciones compuestas , considerese primero el movimiento representado por las ecuaciones � =

sen(t + c), 11

=

sen (t - c)

Eliminando el tiempo t , se obtiene Ia ecuaci6n (� +

11) 2 sen2 c + (�

-

11)2 cos2 c

=

4 sen2 c cos2 c,

que representa una elipse . Las dos componentes de la oscilaci6n tienen Ia misma frecuencia , I , y la misma amplitud, I , pero una 1 Inmediatamente se encuentra que lfi queda determinada por Ia ecuaci6n

2b a - c· y se deduce del hecho de que Q es definida positiva. tan 2lfi =

La positividad de

a,

2 Es interesante observar que en los casos de equilibria inestable, una o ambas de las constantes a, y podria ser negativa. En ese caso, las funciones trigonometricas que se presentan en ( 1 4b) tendr1an que remplazarse por funciones hiperb6licas y las coor­ denadas l; , 11 no estarian am bas acotadas para todo t.

3 En el caso ( 1 3c) del pendulo esferico las dos frecuenc;;ia s tienen el mismo valor,

-v'gfL .

736

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

diferencia de fase 2c. Si esta diferencia de fase toma sucesivamente todos los valores entre 0 y Tt/2, la elipse correspondiente pasa del caso degenerado de la recta � - 11 = 0 al circulo � 2 + 11 2 = 1, y la osci­ laci6n pasa de la Hamada oscilaci6n lineal a la circular (ver Figs. 6 . 1 - 6.3).

, !

Figura 6. 1-6.3 Diagramas de oscilaciones.

Si, como lin segundo ejemplo , se considera el movimiento re­ presentado por las ecuaciones

� = sen t,

11

=

sen 2(t

- c),

donde las frecuencias ya no son iguales, se obtienen diagramas de os­ cilaci6n mas complicados . En las Figs. 6 . 4- 6 . 6 se dan estas curvas para las diferencias de fase c = 0, c = 1tj8, y c = Tt/4, respectivamen­ te . En los dos prim eros casas la particula se mueve continuamente sabre una curva cerrada, pero en el ultimo caso , va hacia adelante y hacia atras sabre un arco de la parabola 11 = 2� 2 - 1. Las curvas que se obtienen por la superposici6n de diferentes oscilaciones arm6nicas simples en direcciones mutuamente perpendiculares reciben el nom­ bre general de figuras de Lissajous.

Figuras 6.4-6 .6 Diagramas de oscilaciones.

Ecuaciones diferenciales

737

e. Movimiento planetaria * En los ejemplos discutidos en los parrafos anteriores pueden es­ cribirse inmediatamente (o despues de una simple transformaci6n) las ecuaciones diferenciales del movimiento de m anera tal que cada una de las coordenadas aparezca solamente en una ecuaci6n diferen­ ci al y pueda determinarse mediante integraci6n elemental . Ahora se considerara el caso mas importante de un movimiento en el que las ecuaciones de movimiento ya no son separables en una forma tan sencilta , de modo que su integraci6n representa un c alculo un tanto mas dificil . El problema en cuesti6n es la deducci6n de las leyes de Kepler del movirri iento planetario a partir de la ley de la atracci6n de Newton . Sup6ngase que en el origen del sistema coordenado existe un cuerpo de m asa 1..1. (por ejemplo , el sol) cuyo campo gravitacional de fuerzas por unidad de m asa esta dado por el vector

1 YJl grad r. tCual es el movimiento de una particula de masa ·m (un planeta) bajo Ia influencia de este campo de fuerzas? Las ecuaciones de movimien­ to son (ver Ia p . 7 26 )

( 15)

••

x =

.,- YJl r3 ' X

Con el fin d e integrarlas, primero enunciemos el teorema de conser­ vaci6n de la energia (ver la p. 7 29 ) para el movimiento en Ia forma

m 1 · 2 + y· 2 + z· 2) - YJl -r- = c, 2 m (x

donde C es constante en todo el movimiento y se determina por medio de las condiciones iniciales .

De las ecuaciones de movimiento ( 1 5) pueden deducirse otras ecuaciones en las que solo esten presentes las componentes de la velocidad , no de la aceleraci6n . Si se multiplica la primera ecuaci6n de movimiento por y, la segunda por x, y a continuaci6n se restan , se obtiene

xy - xy = 0

0

�t (xy - yx) = o,

1 En el Volumen I (pp. 41 8 y siguientes) se ha discutido el caso especial del movi · mien to circular.

738

Introduccion al calculo y al analisis matematico

de donde , por integraci6n , resulta XY - yx = C! . De modo semejante , a partir de la restante ecuaci6n de movimiento, se obtiene l

yi - zy = c2, zx - xi = ca.

Estas ecuaciones nos permiten simplificar el problema considera­ blemente , en una forma que es altamente plausible desde el punto de vista intuitivo. Sin perdida de generalidad , puede elegirse el sistema coordenado de manera que al principia del mo\'i miento , es decir, par.a t = 0, la particula este en el plano x, y y su vector velocidad en ese instante tambien este en ese plano . Entonces z(O) = 0, y i(O) = 0 ; sustituyendo estos valores e n las ecuaciones anteriores y recordando que los segundos miembros son co11stantes , se obtiene

(16a)

xy - yx =

Ct

= h,

(16b)

yi - zy = o,

(16c)

zx - xi = 0.

De estas ecuaciones se concluye, en pri mer Iugar, que todo el movimiento se realiza en el plano z = 0. Como , naturalmente, se ex1 Tam bien puede llegarse a estas tres ecuaciones, en notacion vectorial , si se forma el producto vectorial de ambos miembros de la ecuacion de movimient_o con el vector de posicion R. Como el vector fuerza esta en la misma direccion que el vector de posicion, se obtiene cero a Ia derecha , mientras que Ia expresion R x R de Ia iz­ quierda es Ia derivada del vector R x R con respecto al tiempo. Por lo tanto, se concluye que este vector R x R = C tiene un valor constante en el tiempo; exac­ tamente esto es lo que se afirma mediante las ecuaciones coordenadas de arriba . Como se ve, esta ecuacion n o depende del problema especial d e que s e trate, sino que se cumple en general para todo movimiento en el que Ia fuerza tenga Ia misma direccion que el vector de posicion. El vector R x R se llam� momento de la velocidad y el vector mR x R momen­ to del momento lineal del movimiento. A partir del significado geometrico del producto vectorial, facilmente se obtiene Ia siguiente interpretacion intuitiva de la relacion que se acaba de dar (ver las estudios subsiguientes en el texto). Si se proyec­ ta Ia partkula en movimiento sobre los pianos coordenados y, en cada plano coor­ denado , se considera el area que el radiovector que va del origen al punto de proyec­ cion barre en el tiempo t, se ve que esta area es proporcional al tiempo (teorema de ,

las areas) .

Ecuadones diferenciales

739

cluye la posibilidad de una colisi6n inicial entre el sol y el planeta , se supone que inicialmente las tres coordenadas (x, y, z) no se anulan simultaneamente , de modo que en el instante t = 0 , en el cual z(O) = 0, se tiene , digamos , x(O) -=1= 0. Ahora bien , de ( 1 6c) se deduce que

Por lo tanto , z = ax, donde a es una constante . Si aqui se pone t = 0 , entonces d e las ecuaciones z(O) = 0 y x(O) * 0 , s e conluye que a = 0, de modo que z siempre es 0 . Por lo tanto , e l problema se reduce a la integraci6n de las dos ecuaciones diferenciales

(17a)

1 " 2) - Y J..lm = C ( 2 ' 2m x +y r-

(17b)

x_y - yx = h.

•

En seguida se usan las ecuaciones X = r cos e, y = r sen e para trans­ formar las coordenadas rectangulares (x, y) en las coordenadas po­ lares (r, 8), las cu ales ahora deben determinarse como funciones de t. Ya que

se tienen las dos ecuaciones diferenciales

(17c)

1 Y Jlm = (r 2 + r28 2) - -C' 2 m r .

·

(17d) para las coordenadas polares r, e. La primera de estas ecuaciones es el teorema de la conservaci6n de la energia , mientras que la segunda expresa la ley de las areas de Kepler. De hecho (ver el Volumen I , pp . 3 7 1 - 3 7 2 ) , la expresi6n t r2S e s la deri vada con respecto a l tiempo del area barrida en el tiempo t por el radio vector del origen a la par­ ticula . Se encuentra que esta es constante o , como lo expres6 Kepler, el radio vector describe areas iguales en tiempos iguales.

Introduccion al calculo

740

y

al analisis matematico

Si Ia constante h del area es cero, e debe anularse ; es decir, e debe permanecer constante, de modo que el movimiento debe llevarse a cabo sobre una recta que pasa por el origen . Se excluye este caso es­ pecial y expresamente se supone que -:f=. 0. Para encontrar la forma geometrica de la 6rbit a , esta ya no se describira parametricamente en terminos del tiempo 1 , sino que se considerara el angulo e como una fun cion de o bien, como una funci6n de e, y a partir de las dos ecuaciones obtenidas se calculara Ia derivada . dr/d8 como una funci6n de r. obtenido de la ecuaci6n del area, Si se sustituy,e el valor e = en Ia ecuaci6n de la energia y se recuerda que

h

r,

r

hfr2 ,

inmediatamente se obtiene la ecuaci6n diferencial de la 6rbita en Ia forma

o bien ,

(17e) Para simplificar los ultimos c alculos se hace la sustituci6n

1 r = ­ u

y se introducen las abreviaturas siguientes :

Entonces la ecuaci6n diferencial ( 1 7e) queda

1 El curso del movimiento como una funci6n del tiempo puede determinarse sub­

secuentemente por medio de la ecuaci6n

faeo r2 d9 h(t - to), en la cual se supone que se conoce como una funci6n de 9 (ver la p. 81 6). r

=

Ecuaciones diferenciales

741

y esta puede integrarse inmediatamente. Se tiene

e - eo =

f J(e2fp2

du (u - 1/p) 2) '

-

o bien, si por el momento se introduce variable ,

u - 1/p = v como una nueva

Para la integral [ por el Volumen I , p. 270, formula (24)] se obtiene el valor arc sen ( vpfe) y, por tanto, se encuentra la ecuaci6n de la 6r­ bita en la forma

_!_

r

-

_!_ = v = _£_ sin (e - eo). P

P

El angulo eo puede elegirse arbitrariamente , ya que no importa a par­ tir de cual recta fija se mida el angulo e . Si se toma eo = 1t/2 - es decir, si se hace corresponder v = 0 con el valor e = 1t/2- finalmente se obtiene l a ecuaci6n de la 6rbita en la forma

r=

P 1 - e cos

e·

Esta es la conocida ecuaci6n en coordenadas polares de una c6nica que tiene un foco en el origen. 1 Por lo tanto , este resultado da la ley de Kepler:

Los p_lanetas se mueven describiendo c6nicas con el sol en uno de los fo cos. Es interesante relacionar las constantes de integraci6n

con el movimiento inicial . La cantidad p se conoce como semilado recto o para metro de l a c6nica; en el caso de la elipse y la hiperbola, est a relacionado con los semiejes a y b por medio de la simple expresi6n 1 Esto se ve con facilidad, transformando Ia ecuaci6n a coordenadas rectangulares:

2 (x - ea)2 + _ y 1 - e2 _

= a2

(a = 1 !e2} ·

742

Introduccion al calculo y al analisis matematico

b2 p = -. a El cuadrado de la excentricidad, & 2 , determina el caracter de Ia conica ; es una elipse , una parabola o una hiperbola segun que e2 sea menor, igual o mayor que 1 . De Ia relacion

inmediatamente se ve que tambien pueden enunciarse l as tres di­ ferentes posibili dades en terminos de Ia Constante de Ia energia, C; Ia 6rbita es una elipse , una parabola o una hiperbola segtin que C sea menor, igual o mayor que cero . Si se supone que en ei instant� t = 0 la particula esta en el punto Ro en el campo de fuerzas y se esta moviendo con velocidad inicial Ro, entonces la relaci6n C

1 m = - mvo2 - YJ..l 2 ro

--

conduce a la sorperendente conclusion de que el caracter de la orbita - elipse , parabola o hiperbola - de ninguna manera depende de la di­ recci6n de la velocidad inicial - , sino solo de su valor absoluto , vo. La tercera ley de Kepler es una sencilla consecuencia de las otras dos :

Para un planeta en 6rbita eliptica, el cuadrado del periodo esta en una raz6n constante con el cub o del semieje mayor, dependiendo la raz6n solo del campo de fuerzas y no del planet a particular. Si se denota el periodo por T y el semieje mayor por a, entonces de be tenerse

T2 aa

= constante ,

donde l a constante de l a derecha e s independiente del problema par­ ticular y solo depende de la magnitud de la m asa atractiva y de la constante de gravitacion . Para prob ar esto se aplica el teorema de las areas ( 1 7 d) en la for­ ma integrada

rJ eeo r2 de = h(t - to)

Ecuaciones diferenciales 743 la cual define al movimiento como una funci6n del tiempo. Si se to­ rna la integral sobre el intervalo desde 0 hasta 21t, a la izquierda se obtiene el doble del area de la elipse orbital , que , por los resultados anteriores, es 21ta b ; a la derecha , la diferencia de tiempos t = to se remplaza por el periodo T. Por lo tanto,

=

21tab

0

hT

Ya se sa be que h2 esta relacionada con los val ores ·a y b de Ia 6rbita por medio de la �xpresi6n h2/YJJ. = p = b2/a . Si se remplaza h2 en l as ecuaciones anteriores por ( b 2/a) yJJ., inmediatamente se deduce que

lo cual expresa exactam�nte la tercer a ley de Kepler.

Ejercicios 6 . 1 e 1 . Tratese con todo detalle el movimiento de un cuerpo orbitando en una trayectoria recta [h == O en Ia ecuaci6n ( 1 7d)]. 2. Probar que conforme t -H)o Ia velocidad v de un planeta tiende a 0 si su 6rbita es una parabola , y hacia un limite positivo si es una hiperbola . 3 . Probar que un cuerpo atraido hacia un centro 0 por una fuerza de mag­ nitud mr se mueve sobre una elipse con centro en 0 . 4 . Probar que la 6rbita d e un cuerpo repelido por una fuerza de magnitud f(r), donde f es una funci6n dada , desde un centro 0, esta dada en las coordenadas polares (r, 6) por e

=

r

J

r2 ,J2cjh2

dr

+ 2f ' f'(r) drfh3 - 1/r2

5 . Probar que Ia ecuaci6n de Ia 6rbita de un cuerpo que es repelido con una fuerza !J./r3 por un centro 0 es

_!_ )( h2c2k cos (k6 + ) para !J. < h2 = r l 2c cosh (k6 + ) para !J. > h· l h2k e:

e:

Sl

r

y e: es una constante de integraci6n . 6. Un planeta se esta moviendo sobre· una elipse y (I) = (l)(t) denota el angulo P' MP,, donde P' es el punto sobre el drculo auxiliar correspondient� a

744

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

P, Ia posicion del planeta en ese instante t ; Ps es su posicion en el instan­ te t, cuando esta mas proximo al sol, S; y M es el centro de Ia elipse. Probar que oo y t estan relacionados por medio de. Ia ecuacion de Kepler h(t - ts)

=

ab(CJl

- e

sen oo) .

7 . Probar que en un campo central de fuerzas Ia atraccion, p, por unidad de masa esta dada por

P-

- h2 dq

q3 dr '

donde q es Ia distancia del polo a Ia tangente a Ia orbita y h es Ia cons­ tante de area (p. 7 39). De aqui, probar que Ia cardioide r = a(1 + co s 6) es Ia orbita que corresponde a una atraccion hacia el polo igual a !J.r-4 por unidad de masa . 8. Una particula de masa unitaria se mueve bajo Ia accion de dos fuerzas, de las cuales Ia primera siempre es hacia el origen e igual a )..2 veces Ia distancia de Ia particul�� a . ese punto, mientras que Ia segunda siempre forma angulos rectos con Ia trayectoria de Ia particula y es igual a 2tL veces su velocidad. Probar que si se proyecta Ia particula desde el origen a lo largo del eje x con velocidad u, sus coordenadas en cualquier instan­ te subsiguiente , t, son X =

Y

=

u ,2 -2 J1..2 + !J-2 sen (v /.. + �J- t) cos

J1..2

!J.t,

� !J-2 sen(JJ..2 + �J-2 t) sen tJ.t.

9. Supongase que se tienen n particulas fijas ·en un plano , todas elias ejer­ ciendo atraccion mediante una fuerza central de magnitud 1/r. Probar que no hay mas de n - 1 posiciones de equilibria para una particula en el campo . Determinar estas posiciones para el caso de cuatro particulas atractivas con coordenadas (a, b), (a, - b), ( - a, b), ( - a, - b), donde a > b > 0.

f. Problemas con valores en la frontera. El cable cargado viga cargada.

y

la

En los problemas de mec anica y los otros ejemplos que se dis­ cutieron previamente, de toda la familia de funciones que satisfadan la ecuaci6n diferencial se selecciono una funci6n particular por medio de las llamadas condiciones iniciales; segun este procedimien ­ to se eligen las constantes de integraci6n de m anera tal que la so­ luci6n y , en ciertos casos, algunas de sus derivadas tomen pre asig­ nados en un punto definido . En muthas aplicaciones no se requiere

Ecuaciones diferenciales

745

encontrar la soluci6n general ni resolver problemas con valores iniciales definidos, sino que se trata de resolver uno de los llama­ dos problemas con valores en la frontera. En un probl�ma con valures en la frontera se busca una soluci6n que satisfaga condiciones preasignadas en varios puntos y que satisfaga la ecuaci6n diferencial en los intervalos entre esos puntos. Aqui se discutiran unos cuantos ejemplos tipicos sin entrar en la teoria general de tales problemas con valores en l a frontera .

Ejemplo 1 - La ecuaci6n diferencial de un cable cargado

En un plano x, Y vertical - en el cual el eje y sea vertical - sup6ngase que se tiende un cable con componente horizontal de tension S (cons­ tante), desde el origen h asta el punto x = a, y = b, (ver la Fig. 6 . 7). Sobre el c able solo actua una carga cuya densidad por unidad de longitud de la proyecci6n horiz3ntal esta dada por. una funci6n sec­ cionalmente continua , p(x) . Entonces la flecha, y(x) del cable, esto es, la coordenada y, esta dada por Ia ecuaci6n diferencial y

Figura 6:7 Cable cargado.

(18)

y"(x)

=

g(x)

.

g(x)

=

�-

Por lo tanto , I a forma que tom a el cable estara dada por· esa soluci6n

y(x) de la ecuaci6n diferencial que satisfaga las condiciones y(O) = 0, y(a) = b. L a soluci6n de este problema con valores en Ia frontera

puede escribirse inmediatamente, ya que la soluci6n general de Ia ecuaci6n homogenea y" = 0 es la funci6n lineal co + CIX, y Ia so­ lucian de la ecuaci6n no homogenea , que , con su primera derivada, se anula en el origen , esta dada por la integral fox g(�)(x - �) d� [ ver (42) , p . 7 8 ] . En Ia soluci6n general

746

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

y(x) = co + C 1X +

fox g(�)(x - �) d�

la condici6n y(O) = 0 inmediatamente da co = 0, y, entonces, la con­ dici6n y(a) = b determina a ch mediante la ecuaci6n

En la practica , a menudo debe tratarse con una forma mas com­ plicada de este problema con valores en la frontera; por ejemplo, cuando el cable no solo esta sujeto a la carga distribuida conti­ nuamente sino tambien a cargas concentradas, es decir, cargas que se concentran en un punto definido del cable , digamos, en el punto x = xo . Tales cargas concentradas se consideraran como casos limite ide ales que se obtienen , cuando e � 0 , a p artir de una discribucion de carga p(x) que actua solo en el intervalo desde xo - e hasta xo + e y para la cual

En este caso la carga total P permanece constante durante el paso hacia el limite, e � 0 ; entonces se dice que P es la carga concentrada que actua en el punto xo. l Integrando ambos miembros de la ecuacion diferencial y" = p(x)/S sobre el intervalo desde x - e hasta x + e antes de pasar ha.cia el limite e � 0, se ve que se cumple la ecuaci6n y'(xo + e) - y'(xo - e) = P/ S . Si ahora se rea liz a el paso al limite, E � 0, se obtiene el resultado de que una carga concentrada, P, que actua en el punto xo corresponde a un salto de la derivada y'(x) en una cantidad PfS, en el pun to xo. El ejemplo siguiente muestra en que forma la presencia de una carga concentrada modifica el problema con valores en la frontera. 1 A menudo se concibe la carga concentrada como descrita de manera puramente formal mediante una carga distribuida p(x) = p o(x - xo),

donde o(x) representa una funci6n generalzZ.ada (la llamada fund6n de Dirac) para Ia cual o(x) = 0

para

x =F O

y

J_:

o(x) dx = 1 ,

sin valor asignado para o(O). Ningun valor finito d e 8(0) seria ·compatible con las otras condiciones impuestas.

Ecuaciones diferenciales

747

Supongase que se tiende el cable entre los puntos x = 0, y = 0 y x = 1, Y = 1 , y que la unica carga es una carga concentrada, de mag­ nitud P, que actua en el punto medio x = t . Este problema fisico corresponde al siguiente problema matematico: encontrar una fun­ cion conti nua y(x) que satisfaga la ecuacion diferencial y" = 0 en todo punto del intervalo 0 � x � 1 , excepto en el punto xo = t ; que tome los valores y(O) = 0, y(1) = 1 en la frontera ; y cuya derivada presente un sal to igual a P/S en el punto xo. Para encontrar esta solucion, expresese de la manera siguiente:

y(x) = ax + b

(0 � X � t )

y(x) = c(1 - x) + d

( t � X � 1).

y

La condici6n y(O) = 0, y(1) = 1 da b = 0, d = 1. A partir de Ia con­ dicion de que am bas partes de la fun cion deben dar el mismo valor en el pun to x = t , se encuentra que

Por ul timo , el requerimiento de que la derivada Y' se incremente en Ia cantidad P/S al pasar el punto t da Ia condici6n -c - a =

p

s·

Estas condiciones proporcionan los valores

b

=

0,

c

=

-

1

-

p

-

28 '

d = 1,

y se ha encontrado la soluci6n . Es mas, no existe otra solucion con las mismas propiedades .

Ejemplo 2 - La uiga cargada 1 El tratamiento de una viga cargada es muy semejante (ver la Fig . N . 8) . Supongamos que en su posicion de reposo la viga coincide con el eje x entre las abscisas x = 0 y x = a. Entonces se encuentra que la flecha ( desplazamiento vertical) y(x) debida a una fuerza que 1 Respccto a Ia teoria de Ia viga caTgada, veT Mathematical Methods in Engineering poT v . Karman y Biot .

748

Introduccion al calculo

y

al analisis matematicP

Figura 6.8 Viga cargada.

actua verticalmente en la direccion diferencial lineal de cuarto orden

y

esta dada por la ecuaci6n

y"" =
(19a)

donde el segundo miembro ,
donde co, Ct, c2 , C3 son const�ntes arbitrarias de integraci6n. Sin em­ bargo , el problema real no es encontrar esta soluci6n general , sino encontrar una soluci6n particular, es decir, determinar l as constantes de integraci6n de manera ted que se satisfagan ciertas condiciones definidas en la frontera . Si, por ejemplo , la viga esta empotrada en los extremos , se cumplen las condiciones en la frontera

y(O)

=

0,

y(a) = 0,

y'(O) = 0,

y'(a) · = 0 .

Entonces se deduce inmediatamente que co = Ct = 0, y las constantes . c2 y C3 deben determinarse a partir de las ecuaciones

.f."
c2a2 + C3a3 + 2c2a +

Ecuaciones diferenciales

749

Para las vigas tambien es importante el problema de las c argas concentradas. Una vez mas , se imagina la carga concentrada que ac­ tua en el punto x = xo como si se obtuviera a partir de una carga p(x) , distribuida continuamente sobre el intervalo xo - e , xo + e, para la cual sx:o�ee p(�) d� = P ; nuevamente se hace tender E hacia cero y, al mismo tiempo, se hace crecer p(x) de m anera tal que el valor de P permanezca constante durante el paso hacia el limite , e � 0. Enton­ ces P es el valor de la c arga concentrada en x = xo. Precisamente como en el ejemplo anterior , se integran ambos miembros de la ecuaci6n diferencial ( 1 9a) sobre el intervalo desde x - E hasta x + e y, a continuaci6n , se pasa al limite conforme e � 0. Se encuentra que Ia tercera derivada de la soluci6n y(x) debe presentar un salto en el pun to x = Xo, igual a (19b)

y"' (xo + 0) - y'" (xo - 0) =

�.

Aqui y(xo + 0) significa el limite de y(xo + h) conforme h tiende a 0 con valores positivos, siendo y(xo - 0) el limite correspondiente desde Ia izq uierda . Asi, surge el siguiente problema, matematico: se trata de encon­ trar una soluci6n de y"" = 0 que , lo mismo que su primera y segun­ da derivadas , sea continua; p ara la cual y(O) = y(l) = y'(O) = y'(l) = 0, y cuya tercera derivada tenga un salto igual a P/EI en el punto x = xo y en todos los demas puntos sea continua . Si la viga: esta ftj"a en un punto x = x0 (ver la Fig. 6 . 9) - es decir, si en este pun to la flecha tiene el valor fijo preasignado y = 0 - puede suponerse que esta restricci6n se logra por medio de una ca r:ga con­ centrada que actua en ese punto. Por el principia mecanico de que la acci6n es igual a la reacci6n, el valor de esta carga concentrada sera igual a la fuerza que la viga fija ejerce sobre su apoyo . Entonces, de inmediato , la magnitud P de esta fuerza esta dada. por la formula [ ( ver (1 9b ) ] P=

EI {y'" (xo + 0) - y"' (xo - 0)}

-*-

t

,

Figura 6.9 Flecha de una viga apoyada en su punto medio.

7 50

] ntroduccion

al calculo

y

al analisis matematico

donde y(x) satisface la ecuaci6n diferencial y"" = p/EI en todo pun­ to del intervalo 0 � x � 1 , excepto en el punto x = xo , y, adem as, tam bien satisface las condiciones y(O) = y(l) = y'(O) = y'(1) = 0, y(xo) = 0. y y, y', y y" tambien son continuas en x = xo. Con el fin de ilustrar. estas ideas considerese una viga que se ex­ tiende desde el punto x = 0 hasta el punto x = 1, esta empotrada en sus puntas extremos x = 0 y x = 1 ; lleva una carga uniforme de den­ sidad p(x) = 1, y esta apoyada en el punto x = t (ver la Fig. 6 . 9). Por simplicidad, sup6ngase que EI = 1, . de modo que la viga satis­ face la ecuaci6n diferencial y"" =

1

en todo punto , excepto en el pun to x = t . Como indica la formula, la soluci6n general de la ecuaci6n diferencial es un polinomio de cuarto grado en x, siendo el coeficien­ te de x4 igual a 1/4 ! . La ecuaci6n sera expresada por un polinomio de este tipo en cada uno de los dos semintervalos. Para el primer semin­ tervalo se escribe el polinomio en la forma

en el segundo semintervalo , en Ia forma 1 y = Co + Cl(X - 1) + C 2(X - 1) 2 + C3(X - 1) 3 + ! (X - 1) 4• 4

Puesto que la viga esta empotrada en los extremos x = 0 y x = 1, se concluye que y(O) = y(1) = y'(O) = y'(1) = 0, de donde se obtiene bo = bt = co = c1 = 0. Ademas , y(x), y'(x)� y"(x) deben ser continuas en el punto x = t ; es decir , los valores de y( t ), y'( t ), y"( t ) calculados a partir de los dos polinomios de ben ser los � mismos, y el valor de y( t ) debe ser 0 . Esto da 1

1

1

4 b2 + S b3 + 384 = 4 C 2 - S C3 + 384 = O, . 1

1

1

b2

3

+ 4 b3

+

1 1 3 , = - C2 + 4 C3 48 48

2b 2 + 3b3

=

2C2 - 3C3

.

Ecuaciones diferenciales

751

De a qui se obtienen los val ores siguientes p ara b 2 , b3 , c2 , C3 :

b2

=

C2

=

1

1'\6 ,· ;;;1

b3

=

-

C3

=

-

1 24 '

la fuerza que debe actuar sobre la viga en el punto x sea nula la flecha en ese punto esUi dada por

y

"'

y

G.2

(� )

"'

+ o -y

=

(f - ) (6ca - �) - (6ba �) o

+

=

t para que

=

1 2"

L a ecuacion diferencial lineal general de primer orden

a. Separaci6n de variables

Se dice que una ecuacion diferencial es de primer orden si, ademas de x y y(x), contiene la primera derivada de la funcion y(x) pero no derivadas superiores . La ecuacion mas general de este tipo es (20a)

F(x, y, y')

=

0,

donde F es una funcion dada de sus tres argumentos x, y, y'. Puede . suponerse que en una cierta region del plano x, y es posible resolver de modo unico la ecuacion diferencial (20a) para y' y, por tanto , ex­ presarla en la forma (20b)

y'

=

f(x, y).

Solo en casos especiales pueden hallarse formulas explicitas para la soluci6h general de una ecuacion diferencial (20b). 1 La situaci6n mas sencilla ocurre cuando la funci6n f(x, y) es el cociente de una funci6n de x y de una funcion de y, es decir, cuando Ia ecuaci6n diferenci al tiene la forma (2la)

En este caso , pueden "separarse" las variables x, y, escribiendo la ecuacion simbolicamente en la forma 1 Sin embargo, en Ia p. 7 77 sc discutira un esquema general de aproximaci6n que da

soluci6n de (20b) en todos los casos, donde Ia funci6n f tenga primeras derivadas continuas.

Ia

7 52

Introduccion al cilculo

(21b)

y

al anilisis matematico

P(y) dy

=

a(x) dx.

Introduzcamos ahora las dos integrales indefinidas (21c)

A(x)

J a(x) dx,

=

B(y)

=

J p(y) dy,

que se obtienen por medio de cuad:raturas ordinarias. Entonces, por (21 a) ,

dB(y) dx

=

dA(x) dB(y) dy = (y) y' = a(x) = dy dx p dx .

Se concluye que , para toda soluci6n de (2 l a) ,

B(y) - A(x)

(21d)

=

c,

donde c es una constante (que depende de la soluci6n) . l Ahora puede resolverse la ecuaci6n (2 l d) para y, asignando cualquier valor a c, y , asi , se obtiene la soluci6n requerida de (2 l a ) por medio de cuadraturas . De hecho , este nietodo de separaci6n de variables ya ha sido usado en una gran diversidad de problemas que dan origen a ecuaciones diferenciales (ver el Volumen I , p . 406 ; Volumen II , p . 740) . Otro tipo de ecuaci6n diferencial que puede reducirse a la forma (2 l a) es la llamada ecuaci6n homogenea

y'

(21e)

=

t( � ) ·

Introduciendo la nueva funci6n desconocida z ecuaci6n diferencial z'

xy' - y x2

=

=

=

yfx, se llega a la

f(z) - z ' ·x

que es separable . La soluci6n general se encuentra entonces a partir de la relaci6n (21f)

J f(zdz)

_

z

=

dx +c Jx

=

c + log I x I ,

1 En Iugar de aplicar Ia regia de Ia cadena en Ia deducci6n de (2 l d ) , tambien podria argumentarse que, por (2 l b , c) , d(B

-

A)

= dB

y, de aqui , que B - A es contante .

-

dA

= f3 dy

-

a

dx = 0

Ecuaciones diferenciales

753

donde c es una constante. Esta ecuaci6n se usa para expresar z .como z para . obtener la soluci6n re­ una fun cion de x y se pone querida . Como u n ejemplo, considerese l a ecuaci6n

y=x

y' = Lx22 , correspondiente a {(z)

= z2• Aqui la relaci6n (2 lf) queda f -dz z- 1 = log -= c +. log lxl. z2 - z z

Por tanto ,

y = l - kx ' X

don de

k = ± ec es una constante.

b. La ecuaci6n lineal de primer orden

Se dice que una ecuaci6n diferencial es lineal si representa una relaci6n lineal entre l a funci6n desconocida , y, y sus derivadas , con coeficientes que son funciones dadas de x. Asi , la ecuaci6n diferen­ cial lineal general de primer orden tiene la forma

(22a)

a(x) b(x)

+

y' a(x) y = b(x).

y son funciones dadas . donde Sup6ngase primero que 0. Entonces la ecuaci6n diferencial es separable y puede escribirse como

b=

dy = - a(x) dx. y

Asi ,

log I Y I = - J a(x) dx + constante . por A(x) cualquier integral indefinida de

Si se denota la funci6n a(x), es decir, cualquier funci6n cuya derivada a(x), se encuentra que

(22b)

Y

= ce-A<x> ,

754

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

donde c es una constante arbitraria de integraci6n. Esta formula da una soluci6n incluso c:uando c = 0, a saber , Y = 0. Si b (x) no es cero , se busca una soluci6n de la forma

y = u(x)e-A<x> ,

(22c)

donde A se define como antes y u (x ) debe determinarse apropia­ damente . 1 Por sustitucion en (22a) se encuentra que y' + ay = u'e-A - uA'e-A + aue-A = u'e -A = b.

De aqui que la funcion desconocida u debe tener la derivada

u' = b(x) eA<x>. Por tanto ,

u=

c

+

I b(x) eA<x> dx,

don de c es una contante . Como solucion ex presion

y = e-A<x>

(22d) donde c

(22e)

es

y

de (22a) se encuentra la

(c + I b(x) eA <x> dx) ,

culaquier constante

y

A(x) =

I a(x) dx.

Puesto que toda funci6n y puede escribirse en la forma (22c ) , con una funcion u apropiada, se ve que : la formula (22d) representa la soluc£6n mas general de (22a) . Asi , l a solucion general se forma a partir de funciones conocidas simplemente por exponenciaci6n y el proceso ordinaria de integraci6n . En realidad, la soluci6n solo con­ tiene una constante arbitraria, dado que cualquier selecci6n diferen.­ te de las constantes de integra cion en A (x) o en la integral indefinida que ocurre en (22d) puede compensarse mediante un cambio apropiado en c. Por ejemplo , en el caso de la ecuacion diferencial

y' + ·xy = - x 1Este artificio de remplazar la constante c en (22b) por la variable u se conoce como variaci6n de parametros.

Ecuaciones diferenciales

755

se tiene

y,

1.

j'

=

b(x)e A<x> dx

=

J

-

x dx =

f

-i-

x2

xex 21 2 dx

=

- ex 2 1 2

por tanto , se obtiene Ia soluci6n

Ejercicios. 6. 2

I ntegrar las ecuaciones siguientes mediante la separaci6n de las variables

(a) (b)

2.

A(x)

(1 + y2)x dx + (1 + x2) dy = 0 ye2x dx - (1 + e2 x) dy = 0.

Resolver las siguientes ecuaciones homogeneas:

(a) (b) (c)

(d) (e)

y2 dx + x(x - y) dy = 0 xy dx + (x2 + y2) dy = 0 x2 - y2 + 2xyy' = 0 (x + y) dx + (y - x) dy = 0 (x2 + xy)y' = x.jx2 - y2 + xy + y2 .

3 . Demostrar que una ecuaci6n diferencial de la forma ,_ -

y

ifJ[a1Xax ++ bby1y ++

c

Cl

J

(a, a1,

.

.

•

·constante s)

puede reducirse a una ecuaci6n homogenea cpmo sigue. Si ab1 - a 1 b * 0, se toma una nueva funci6n desconocida y una nueva variabfe in­ dependien te : lJ Si ab 1 - a1b poniendo

=

= 0,

a� + by + c, solo es necesario cambiar la funci6n desconocida lJ

= ax + by

para reducir la ecuaci6n a otra en Ia cual las variables esten separadas. Aplicar el metoda del ejercicio anterior a 4. (a) (b)

(2x + 4y + 3)y' = 2y + x + 1 (3y - 7x + 3)y' = 3y - 7x + 7.

5. l ntegrar las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

756

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

y' + y cos x = cos x sen x (b) y' - _!!:L_ = ex(x + 1) n x+ 1 (c) x(x - 1)y' + (1 - 2x)y + x2 = 0 (d) y' _!_ y = x4 (a)

-

(e)

X

(1 + x2)y' + xy =

1 1 + x2 .

-

6 . lntegrar Ia ecuaci6n

1 y' + y2 = 2 X ·

Una ecuaci6n de Bernoulli tiene la forma

y' + f(x)y = g(x)y n. Demostrar que una ecuaci6n de este. tipo se hace separable mediante la sustitucion

y = v exp {-Jt(x) dx} = vF (x).

8 . lntegrar la ecuacion

xy' + y(1 - xy) = 0.

9. Por cualquier metodo adecuado, resolver

y' + y sen x + yn sen 2x = 0.

6.3 a.

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Principio de superposici6n. Soluciones generales

Muchos de los ejemplos estudiados con anterioridad pertenecen a la clase general de ecuaciones diferenciales lineales. Se dice que una ecuaci6n diferencial en la funci6n desconocida u(x ) es lineal de n­ esimo orden, si tiene la forma

(23)

u<�>(x) + a l u(x) +

•

•

•

+ a n u(x) = �(x),

donde a 1, a2, aa, . . . , a n son funciones dadas de la variable in­ dependiente x, como tambien lo es el segundo miembro �(x). De­ notaremos la expresi6n del primer miembro por L [u] (donde L representa el "operador diferencial lineal").

Ecuaciones diferenciales 757

Si �(x) es identicamente cera en el intervalo bajo consideracioh , se dice que la ecuaci6n es homogenea; de lo contrario, se dice que es no homogenea. Inmediatamente se ve (como en el caso especial de la ecuaci6n diferencial lineal de segun do arden con coeficientes cons­ tantes , que se vi6 en el Volumen I , p . 640) que se cumple el siguiente principia de superposicz"6 n: Si u 1, u2 son dos soluciones cualesquiera de la ecuaczon homo­ genea, toda combinacz"6n lineal de ellas, u = c 1 U 1 + C2 U 2, donde los coeficientes CI, c 2 son constantes, tambien es una soluci6n . Si se conoce una sola soluci6n , v(x), de la ecuaci6n no homogenea L[u] = �(x), pueden obtenerse todas las demas soluciones sumando a v(x) cualquier soluci6n de la ecuaci6n homogenea . Para n = 2 y los coeficientes constantes a 1 , a 2 , e n e l Volumen I (p. 636) se prob6 que toda soluci6n de la ecuaci6n homogenea puede expresarse en terminos de dos soluciones UI, u2 elegidas apropia­ damente, en la forma C!Ul + C2 U 2 . Se cumple un teorema analogo para cualquier ecuaci6n diferencial homogenea con coeficientes con­ tinuos arbitrarios . Para empezar , expliquemos lo que se del>e entender al .decir que ciertas funciones son linealmente dependientes o lineal mente in­ dependientes , por media de la definicion siguiente: n funciones �1(x), �2(x), . . . , �n(x) son lz"n ealmente dependientes si existen n constantes [c1, . . . , e n ] no todas nulas, tales que la ecuaci6n

Cl�l(X) + C2�2(X) +

•

•

•

+ Cn�n(X) = 0

se cumple identicamente, es decir, p ara todos los valores de x en el intervalo bajo consideraci6n . Si , digamos, Cn =1= 0, entonces r/J n (x) puede expresarse en l a forma y se dice que �n es lz"n ealmente dependiente de las otras funciones. Si no existe relaci6n lineal de la forma

Cl�l(X) + C2r)2(x) +

•

•

•

+ Cn�r�t(X) = 0 ,

se dice que las n funciones . �i (x) son lz"nealmente independientes. * *La dependencia lineal de funciones ,P(x) se define exactamente de la misma manera que la dependencia de vectores (ve.r la p . 1 71 ). A decir verdad, a menudo resulta conveniente imaginar una funci6n ,P(x) definida en un intervalo I del eje x como un "veCtor ,p con un numero infinito de componentes'' , correspondiendo a cada x en I una componente de valor ,P(x) .

Introduccion al calculo

758

y

al analisis matematico

Ejempzo · J

Las funciones . 1 , x , x2 , , xn - l son linealmente independientes . De lo contrario , tendrian que existir constantes co , c 1 , . . . , Cn- I tales q�.1e el polinomio •

•

•

Co + CI X +

•

•

•

+ Cn- 1 xn - l

se anule para todos los valores de x en un cierto intervalo. No obstan­ te, esto es imposible, a menos que todos los coeficientes del polinomio sean cero . Ejemplo .2

'

Las funciones eaii son line � lmente independientes, siempre que

a1

< a2 <

· · ·

< an.

D EMosTRAcioN Sup6ngase que se ha probado esta proposici6n para (n 1) de tales fqriciones exponenciale� . Entonces si -

es una identidad en se obtiene

X,

se divide entre eanx y, poniendo ai - a n = bi, •

+ C n- l ebn- I X + Cn = 0 .

Si se deriva esta ecuac 16n con respecto a x, desaparece la constante Cn (n - 1) funciones eb J x, eb2 x, , ebn- Ix son linealmente dependientes , de lo cual se deduce que ea1x, ea2 x, , ean - Ix son a su vez linealmente dependientes, en contradicci6n con la hip6tesis original . Por tanto , tam poco puede exis­ tir una relaci6n lineal entre las n funciones originales. y se tiene una ecuaci6r,1 . que implica que las •

•

.

.

•

•

�jemplo 3

x

Las funciones sen x, sen 2x, sen 3x, . . . , sen nx son lineahp.ente independientes en el intervalo 0 � � 1t. En el Ejercicio 1 , p. 7 6 3 , se propane al lector probar esto , en base al hecho de que

f� mx -x

sen

sen nx dx =

,d �.· m * � m 1t

s1

=

n,

(ver el Volumen I , p . 274) . Si se supone que las funciones l/>i (x) tienen derivadas continuas hasta , e incluyendo, el n -esimo arden, se tiene el teorema siguiente :

Ecuaciones diferenciales

759

La condici6n necesaria y suficiente para que el sz"s tema de fun­ czones �t(X) sea lineal mente dependiente es que la ecuacz"6n

(24)

. �n(x) . �n '(x)

W=

=0

sea una zdentidad en x . La funci6n W se llama el wronskiano del sis­ tem a de funciones . l Se deduce inmediatamente que Ia condici6n es necesaria si se supone que

derivando sucesivamente se obtienen las ecuaciones adicionales 2-:ct �t'(x) = 0, , n l 2-:ct �t< - ) (x) = 0. •

•

•

Sin emb argo, estas forman un sistema homogeneo de n ecuaciones, las cuales son satisfechas por los n coeficientes Ct, . . . , Cn ; de donde, W, el determinante del sistema de ecuaciones , debe anularse . Que Ia condici6n es suficiente , es decir, que si W = 0 las funciones son linealmente dependientes , puede p robarse como sigue : de Ia anulaci6n de W puede deducirse que el sistema de ecuaciones Cl� l + C1�1' +

•

•

•

•

+ Cn�n = 0 + Cn�n'

=

0

posee una soluci6n , c1, c2, . . . , Cn , que no es trivial (ver la p . 1 86), donde Ct incluso puede ser una funci6n de x . Aqui , sin perdida de 1 En esta demostraci6n y en Ia que sigue se supone que el lector tiene conocirriiento

de los elementos de la teoria de los determinantes. N6tese que en cada columna del determinante wronskiano se encuentra el vector formado a partir de una funci6n t/J y

sus derivadas de ordenes 1 , 2 , . . . , n - 1. Por tanto, Ia anulaci6n del wronkiano para un sistema de fu�tiones significa que los vectores correspondientes son dependientes (ver la p. 2 1 4) .

760

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

generalidad , puede suponerse que en = 1. Ademas , puede suponerse que V, el wronskiano de l as 1) funciones (n, (12, . . . , ?n- 1 no es cera, porque puede suponerse que ya se ha probado el teorema para = 0 implica la existencia de una re­ (n - 1) funciones ; entonces , laci6n lineal entre (11 , (12, . . . , ?n-1 y, de aqui, entre (11, (12, (Ia, rpn . Deriv.ando 1 la primera ecuaci6n con respecto a x y combinando el resultado con la segunda , se obtiene

(n V

c 1'(11 + cz'(lz +

-

.

• • •

+ Cn-1'9n-1 = 0 ;

de modo semej ante , derivando la segund a ecuaci6n resultadq con la tercera ,, se obtiene

.

.

y combinando el

+ Cn- 1 1 ?n- 1 1 = 0, y asi sucesivamente hasta

C11¢1
+ C n- 1 1{1 n- l
• • •

Dado que se supone que V, e l determinante d e estas ecuaciones, no se anula, se concluye que c 1 ', cz', . . . , Cn-1' son cera; es decir, c 1, cz, . . . , Cn-1 son constantes·. De aqui que la ecuaci6n n

L Ci{li(X) = 0 l

expresa una relaci6n lineal , como se afirm6. Enunciemos ahara el teorema fundamental sobre. las ecuaciones diferenciales lineales : Toda ecuacz"on diferencial ltneal homogenea

L [u] = ao(x) u(x) + a1(x) un -1(x) +

(25)

·

•

·

a n(x) u(x) = 0

Posee sistemas de n solucz'ones linealmente independientes u 1 , uz, . . . , U n . Superponiendo estas soluciones puede exPresarse cualquier otra solucion, u,2 x como una combinaci6n lz'neal con los coeficz'entes constanl es c1, . . . , e n :

1 Es facil ver que los coeficientes c, son funciones continuamente diferenciables de x porque, si el determinante V no es cero, pueden expresarse racionalmente en ter­ minos de las funciones ,Pt y sus derivadas. Vn , U n ; Vt, 2Dos sistemas diferentes de soluciones fundamentales U1 , pueden transformarse ef uno en el otro mediante una transformaci6n lineal •

, , ·

,_

donde los coeficientes se anula.

en:

v, =

n

:E

k=I

cue

.

•

•

•

•

•

,

u�c,

son constantes y forman una matriz cuyo determinante no

Ecuaciones diferen ciales

761

n U = L: CtUi . i= l

En particular, puede determinarse un sistema de soluciones fun­ damentales mediante las condiciones siguientes. En un punto pres­ crito , digamos x = � ' U1 debe terier el valor 1 y todas las derivadas de - 1) -esimo orden deben anularse; Ui, con i > 1, y todas U l basta la de las derivadas de Ui basta la de - 1)-esimo orden, excepto la £-esima, deben anul arse , mientras que la i-esima derivada debe tener el valor 1 . La existencia de un sistema de soluciones fundamentales se de­ ducira a partir del teorema de existencia probado en la p . 776 .· De la condici6n de Wronski (24), que se acaba de probar , se deduce que de be existir una relaci6n lineal entre cualquier otra soluci6n u y Ul, . , U n , porque las ecuaciones

(n

(n

n L: azu
(i

=

1,

. ., n)

(n

implican que el wronskiano de las + 1) funciones u, u1, U 2 , . . . , U n debe anularse , de modo que u, u1, u 2 , . . . , U n son linealmente de­ pendientes . Dado que u1, . . . , Un son independientes, u depende linealmente de U l , , Un.

.

•

.

b. Ecuaciones diferenciales homogeneas de segundo orden

Se consideraran con mayor detalle las ecuaciones diferenciales de segundo orden, ya que tienen aplicaciones muy importantes. Sea Ia ecuaci6n diferencial

(26)

L[u] = au" + bu' + cu = 0.

Si u1 (x), u2 (x) constituyen un sistema de soluciones fundamenes su wronskiano y W' = u1u2" tales , entonces W = u1u2' - u2 u1'

- U 2 U l11•

Ya que

L[u1] = 0

y

se deduce que

u1L[u2] - u2L[u1] = a W' + b W = 0. .

. 762

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Esta es una ecuacion diferencial de primer arden para W. Por la for­ mula (22b ), p . 7 53, su solucion general esta dada por

(27)

W = ce - f (bla)

dx

,

donde c es una constante. Esta formula se usa mucho en el desarn;>llo posterior de Ia teoria de las ecuaciones diferenciales de segundo ar­ den . Otra propiedad que merece mencionarse es que una ecuacion diferencial lineal homogenea de �egundo arden siempre se puede transformar en una ecuacion de primer arden, conocida como ecuaci6n diferenci'al de Ri'ccati'. La ecuaci6n de Riccati es de la for­ ma

v' + pv 2 + qv + r = 0,

donde v es una funcion de x. La ecuaci6n lineal (26) se transforma en Ia ecuacion de Riccati , poniendo u' = uz, de modo que u" = u'z + uz' = uz2 + uz', y se tiene

az' + az2 + bz + c = 0.

Una tercera observaci6n : si se conoce una soluci6n, v(x), de la ecuaci6n diferencial lineal homogenea de segundo arden, puede reducirse el problema al de resolver una ecuacion diferencial de primer arden y esta ultima puede resolverse por cuadraturas . Es­ pecificamente, si se supone que L [v] = 0 y se pone u = zv, donde z(x) es la nueva funci6n que se esta buscando , se obtiene la ecuaci6n diferencial

az"v + 2az'v' + bz'v

+

zL [v] = avz" + (2av' + bv) z' = 0

para z. Sin embargo, esta es una ecuaci6n diferencial lineal ho­ mogenea para la funci6n desconocida z' = w ; su soluci6n esta dada por Ia formula (22d) de la p. 7 54 . Entonces, de w se obtiene el factor z y , . de aqui , la sol uci6n u por media de una cuadratura mas 1' Por ejemplo, la ecua �i6n lineal de segundo arden .

y"

-

2

y' + 2 )'__2 = 0 x x

1 Se obtiene el mismo resultado, observando que el wronskiano W formado a partir de v y cualquier otra soluci6n u esta dado por (27 ) . Pero, para W y v conocidos, la ecuaci6n W = vu' - v'u representa una ecuaci6n lineal de primer orden para u, que puede resolverse por cuadraturas.

Ecuaciones diferenciale8

763

es equivalente a la ecuaci6n de Riccati

2 2 z' + z2 - - z + - = 0' x x2

donde z :::i:: y'fy. La ecuaci6n original tiene en y = x una soluci6n particular ; por lo tanto , puede reducirse a la ecuaci6n d� primer or­ den

v"x = 0, donde v = yfx. Es decir , v = ax + b. De a qui que la integral general de la ecuaci6n original esta dada por

y = ax2 + bx. Mencionemos que puede aplicarse exactamente el mismo metodo para reducir una ecuaci6n diferencial 'lineal de n-esimo orden a una de (n 1)- esimo or den, cuando se conoce una soluci6n de la primera ecuaci6n . -

Ejercicios 6 . 3b

x, x 2x,

I . Probar que las funciones sen sen dependientes en el intervalo 0 � �

sen 3x, . . . son linealmente in­ Sugerencia: dos cualesquiera de estas funciones son ortogonales sobre el intervalo; a saber, si =1= 1r.

Lnsenmx sennx dx =

0

m n

(ver el Volumen I , p. 274) . , ak son numeros diferentes y P1(x), . . . , Pk(X) son 2 . Pro bar que si a1, . polinomios arbitrarios (no identicamente cero) , entonces las funciones .

.

t/JI(X) = PI(X)ealx,

.

•

.

, t/Jk(X) = Pk(X)eakx

son linealmente independientes. 3. Demostrar que Ia Hamada ecuacion de Bernoulli (ver el Ejercicio 7 en Ia Secci6n 6 . 2 ) y' +

a

x

x

( ) y = b( )yn

(n

=I=

1)

se reduce a una ecuaci6n diferencial lineal pa.'ra Ia nueva funci6n des­ conocida z = y l- n.Aplicar esto para resolver las ecuaciones

x

= y2 log (b) y2( y + y) = a2 (c) (1 x2)y' - xy = axy2•

x x

(a) xy' + y -

'

Introduccion al calculo y al analisis matematico

764

4 . Demostrar que la ecuaci6n diferencial de Riccati

y' = P(x)y2 + Q(x)y + R(x) = 0

puede transformarse en una ecuaci6n diferencial lineal si se conoce una integral particular Yl = YI(X). nntrodiizcase Ia nueva . fun cion desco­ nocida u = 1/(y - YI)]. Aplicar esto para resolver la ecuaci6n

5.

y' - x2y2 + x4 - 1 = 0 , que posee la integral particular YI = x.

Encontrar las integrales comunes a las dos ecuaciones diferenciales

y' = y2 + 2x - x4 (b) y' = - y2 - y + 2x + x2 + x4

(a)

6 . lntegrar la ecuaci6n diferencial

y' = y2 + 2x - x4

en terminos de integrales definidas , usando la integral particular ha­ llada en el Ejercicio 5. Trazar una grafica aproximada de las curvas in­ tegrales de Ia ecuaci6n para todo el plano x, y 7 . Sean y1, y2 , ya, Y4 cuatro soluciones de la ecuaci6n de Riccati (ver el Ejercicio 4). Probar que Ia expresi6n

(yi· - ya) (YI - Y4) (y2 - ya) (y2 - Y4)

es una constante . 8 . Demostrar que si se conocen dos soluciones, YI(X) y y2 (x), de Ia ecuaci6n de Riccati , entonces Ia soluci6n general esta dada por

y - Yl = c(y - Y2) exp [JP(y2 - YI) dx],

donde c es una constante arbitraria. De aqui , encontrar Ia soluci6n general de

1 y' - y tan x = y2 cos x - COS -- , X ·

cuyas soluciones son de la forma 9 . Probar que las ecuaciones

a

cosn

x.

(1 - x) y" + xy' - y = 0 (b) 2x(2x - 1)y" - (4x2 + 1)y' + y(2x + 1) = 0 (a�

tienen una soluci6n comiin. Encontrarla y, a continuaci6n, integrar completamente ambas ecuaciones 1 0 . La tangente en un punto p de una curva corta al eje de las y en punto por debajo del origen 0; y Ia curva es tal que OP = n • OT. Probar que su ecuaci6n polar es de la forma

Ecuaciones diferenciales r=a

765

(1 + sen 6) n . cos n+l 6

c. La ecuaci6n dijerencial no hornogenea. Metodo de variaci6n de parametros

Para resolver l a ecuaci6n diferencial no homogenea (28a)

L[u] = ao u +

· • •

+ a n u = {J(x)

en general , por lo que se ha dicho en l a p . 7 57 , basta con encontrar una sola soluci6n . Esto puede hacerse como sigue: eligiendo apro­ piadamente las constantes c 1 , c 2, . . . , Cn, primero se determina una soluci6n de la ecuaci6n homogenea L[u] = 0 de manera tal que se satisfagan l as ecuaciones (28b)

u(�) = 0, u'(�) = 0, . . . , u(�) = 0, u(�) = 1

Esta soluci6n , que depende del parametro �' se denotara por u(x, �). La funci6n u(x, �) es una funci6n continua de � para valores fijos de x, y tambien lo son sus n primeras derivadas con respecto a x. Como un ejemplo , para Ia ecuaci6n diferencial u" + k 2 u ::::: 0 la soluci6n u(x, �) que satisface l as condiciones (28b) tiene la forma [ sen k(x -

�)]/k. Ahora , se afirma que la formula (28c)

v(x)

=

fox {J(�) u(x, �) d�

da una sol uci6n de L[ v] = {J que , junto con sus ( n - 1) primeras derivadas , se anula en el punto x = 0. Para verificar esta proposi­ ci6n 1 se deriva repetidamente la funci6n v(x) con respecto a x, por medio de la regia de la derivaci6n de una integral con respecto a un parametro [ ver (4 1 ) , p . 106 ] , y recordando las relaciones que se deducen de (28b ) :

u(x, x) = 0 , u'(x, x) = 0 , . . . , u(x, x) = 0 , u(x, x) = 1 dar una interpretacion fisica de este proceso. Si x = t denota el tiempo y la coordenada de un punto que se mueve sobre una recta, sujeto a una fuerza rp(x), puede imaginarse el efecto de esta fuerza como si proviniera de la superposici6n de los pequefios efectos de impulsos pequefios. Entonces, la funci6n de arriba, . u(x, !;). corresponde a un impulso de magnitud 1 en el instante 1;, y la soluci6n da el efecto de impulsos de magnitud ,P(I;) durante el tiempo entre 0 y x .

t Es posible u

766

Introduccion al dilculo

y

al analisis matematico

X

(X

donde , por ejemplo , u'(x, X) = au(x, �) jax para � = X. Asf se obtiene

v'(x) = �(�) u(x� �) I !;=x + Jf �(�) u'(x,. �) d� = J" �(�) u'(x, �) d� , o o v"(x) = �(�) u'(x, �) I !;=x +

=

l0

x �(�) u"(x, �)

J0x �(�) u
v(x) = �(�) u< n- 1> (x, �) l l;==x +

= �(x) +

x

d� = �(�) u"(x, �) d� , 0 .

l

x L �(�) u
J0x �(�) u(x, �) d�.

Dado que L[u(x, �) ] = 0, esto establece la ecuaci6n L[v] = �(x) Y muestra que se satisfacen las condiciones iniciales v(O) = 0, v'(O) = 0,

. . . , v (0) = 0

Tambien puede obtenerse la misma soluci6n por el metodo que sigue, aparentemente diferente, el cual generaliza el procedimiento usado en la p. 754 para una ecuaci6n de primer orden . Se busca una soluci6n , u, de la ecuaci6n no homogenea , en la form a de una com­ binaci6n lineal de soluciones independientes Ui de la ecuaci6n ho­ mogenea

(28d)

u = L: Yi(X) Ui(X),

donde ahora se permite que los coeficientes Yi sean funciones de Sobre estas funciones se imponen las condiciones que siguen :

Y11U1 + Y 21U 2 + Y1 'u 1' + Y21U 21 +

•

•

•

•

•

x.

+ Yn'Un = 0 + Yn'un' = 0

•

A partir de estas condiciones se concluye que las derivadas de dadas por las formulas siguientes :

u

estan.

Ecuaciones diferenciales

767

= 2:'YiUi' = 2:'YiUi"

u' u"

u = 2:ri'ut. Sustituyendo estas expresiones en la ecuaci6n diferencial y recordan­ do que L[u] ::= �' se tiene

Para los coeficientes 'Yi' se obtiene un sistema lineal de ecuaciones, con determinante W, el wronskiano del sistema de soluciones fun­ damentales Ut, el cual, por lo tanto , no se anula. Asi, los coeficientes y/ estan determinados y, en consecuencia , por cuadraturas , lo estan los coeficientes 'Yi · Como todo el argumento puede invertirse , en realidad se ha encontrado una soluci6n de la ecuaci6n, la cual , de hecho, es la soluci6n general en virtud de las constantes de inte­ graci6n comprendidas en los coeficientes 'Yi · Se deja al lector demostrar que , en realidad , los dos metodos son identicos , expresando u(x, �), la soluci6n de la ecuaci6n homogenea definida anteriormente, en la forma

u(x, �) = 2:: at(�)ut(x). Este ultimo metoda se conoce como variaci6n de parametros, par­ que exhibe la soluci6n como una combinaci6n lineal de funciones con coeficientes variables , mientras que en el caso de la ecuaci6n homogenea estos coeficientes fueron constantes . EJemplo

1

Considerese la ecuaci6n

u"

-

u u' 2 - + 2 2 = xex. X

X

Por lo vista en la p . 7 6 3 , un sistema de soluciones independientes de la ecuaci6n homogenea correspondiente

u"

-

2

u u' +2 2 x x

-

-

=

0

·

768

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

esta dado por U 1 = x, U 2 = x2 • De aqui que , si se buscan soluciones de la forma

se tienen las condiciones '

x + y2'x2 = 0, "(11 + 2yz' x = xex 'YI

para 'Yl y "(2 . Es decir,

Por lo tanto , la soluci6n general de la ecuaci6n no homogenea original es u

= xex + C!X + czx2 •

Ejemplo 2 Como un a aplicaci6n se dara un metoda para el estudio de las ' vibraciones forzadas , para las cuales el segundo miembro de la ecuaci6n diferencial ya no es necesariamente peri6dico (como en los casos considerados en el Volumen I , Capitulo 9 , p . 641 ) sino que , por el contrario , puede ser una funci6n continua arbitraria , f(t). Por sim­ plicidad nos restringiremos al caso sin rozamiento y se tamara m = 1 (o, lo que viene a ser lo mismo , se dividira entre m). En consecuen­ cia, se escribe la ecuaci6n diferencial en la forma

(28e)

x(t) + k2x(t) = ,P(t),

donde k 2 y q, son lo que antes se llam6 k y f, respectivamente � De acuerdo con (28c), la funci6n 1 (t F(t) = k Jo ,P('A) sen k(t

-

A.) d'A

es una soluci6n de la ecuaci6n diferencial (28e) y satisface las con­ diciones iniciales

F(O) = 0,

F'(O) = 0.

Asi , como soluci6n general de la ecuaci6n diferencial se obtiene, precisamente como antes, la funci6n

-

x(t)

=

it f)(J...) sen k(t

1 k

0

Ecuaciones diferenciales -

J...) d'A. +

c1

sen kt +

c2

cos

769

k�,

donde c1 y c2 son constantes arbitrarias de integraci6n. En p articular, si la funci6n en el segundo miembro de Ia ecuaci6n diferencial es una funci6n peri6dica de Ia forma sen rot o cos rot, un calculo sencillo conduce nuevamente a los resultados del Volumen I , Capitulo 9 , p . 642 . Ejercicios 6 . 3c 1 . I ntegrar las ecuaciones siguientes:

(a) y'" - y = 0.

= 0. =0

(b) y"' - 4y" + 5y' - 2y (c) y'" - 3y" + 3y' - y (d)

y'"' - 3y" + 2y = 0

(e) x2y'' + xy'

-

y = 0.

2 . Probar que la ecuaci6n lineal homogenea L(y)

= y + Cly
•

•

•

+ Cn -IY1 + Cn = 0

con coeficientes constantes, c , tiene un sistema de soluciones fundamen­ tales de la forma x�-�eak:z:, donde las ak son las rakes del polinomio

{(z) = zn + C!Zn-l +

3 . Sea

aoy + a1y' +

•

•

•

•

•

•

+ Cn .

+ any = P(x}

una ecuac10n diferencial lineal no homogenea de n-es1mo orden, con coeficientes constantes, y sea P(x) un polinomio. Sup6ngase que ao =1= 0 y considerese la identidad formal .

.·

1

+ a ntn = bo +

�------

ao + a1 t +

•

•

•

b1t + b2 t2 +

•

•

• .

Probar que y = boP(x) + b1P'(x) + b2P"(x) +

•

•

•

es una integral particular de la ecuaci6n diferencial. Si ao = 0, pero a1 =I= 0, entonces es posible el desarrollo

Probar que entonces y=

b

J

P(x) dx + boP(x) + b1P'(x) + b2P"(x) +

•

•

•

770

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

es una integral particular de la ecuaci6n diferencial . 4. Aplicar el metodo del Ejercicio 3 para encontrar integrales particulares de

(a)

:> .

y" + y = 3x2 - 5x

(b) y" + y' = (1 + x)2 Puede encontrarse una integral particular de la ecuaci6n

a ny< n> = ekxP(x), donde k, ao, a 1 , . . . son constantes reales y P(x) es un polinomio, duciendo una nueva funci6n desconocida z = z(x) dada por y = zekx aoy + a1y' +

y

• • •

+

intro·

aplicando e) metodo del Ejercicio 3 a la ecuaci6n en z . Usar este metodo para encontrar integrates particulares de

y" + 4y' + 3y = 3ex (b) y" - 2y' + y =· xex.

(a)

6. Integrar completamente la ecuaci6n

y'' - 5y'

+ 6y = ex(x2 - 3) .

u, v son dos soluciones independientes de la ecuaci6n f(x)y'" - f'(x)y" + ifJ(x)y' + :A(x)y = 0, probar que la soluci6n completa es A u + Bv + Cw, donde v{(x) dx u{(x)dx w=u (u·v' - u'v) 2 vJ (uv' - u' v) 2 y A , B, C son constantes arbitrarias .

7 . (a) Si

J

_

(b) Resolver Ia ecuaci6n

x2(x2 + 5)y"' - x(7x2 + 25)y" + (22x2 + 40)y' - 30xy = 0 , que tiene soluciones de la forma x n .

6.4

Ecuaciones diferenciales generales de primer orden a.

Interpretaci6n geometrica

Empecemos por considerar una ecuaci6n diferencial de primer or· den

(29)

F(x, y, y') = 0,

donde se supone que la funci6n F es una funci6n continuamente diferenciable de sus tres argumentos x, y, y'. Geometricamente, en un punto en el plano con coordenadas rectangulares (x, y), la ecuaci6n es una condici6n sobre la direcci6n de la tangente a cualquier curva

Ecuaciones diferenciales

77 1

y(x) que pase por este pun to y que satisfaga Ia ecuaci6n diferencial . Se supone que en una cierta region R de un plano , digamos en un rectangulo, la ecuaci6n diferencial F(x, y, y') = 0 puede resolverse de modo unico para y' y' por tanto ' puede expresarse en la forma

(30)

y' = f(x, y),

donde Ia funci6n f(x, y) es continuamente diferenciable en x y y. En­ tonces , a cada punto (x, y) de R Ia ecuaci6n (30) le asigna una direc­ cion de avance. Por lo tanto, la ecuaci6n diferencial se representa geometricamente por medio de un campo de direcciones; y, geo­ metricamente, el problema de resolver la ecuaci6n diferencial consis­ te en encontrar esas curvas que pertenecen a este campo de direc­ ciones , es decir, aquellas cuyas tangentes en cada punto tienen Ia direcci6n preasignada por la ecuaci6n y' = f(x, y) . Estas son las llamadas curvas integrates de la ecuacion diferenci"a l. Es ahora intuitivamente plausible que por cada punto (x, y) de R pase una sola curva integral de Ia ecuaci6n diferencial y' = f(x, y). Estos hechos se enuncian de manera mas precisa en el siguiente teorema fundamental de existencia : Si en la ecuaci6n diferenci"al y' = f (x, y), la funcion f es continur y tiene una derivada continua con respecto a y en una region R, e n ­ tonces por cada punto (xo, yo) de · R paso, una, y solo una, curva in­ tegral; es decir, en una veczndad de xo existe una, y solo una, so­ lucz"6n y(x) de la ecuaci6n diferencial, para la cual y(xo) = yo. En la p . 702 regresaremos a la demostraci6n de este teorema. Aqui nos restringiremos a la consideraci6n de algunos ejemplos . Para la ecuaci6n diferencial

(31a) que se considera , digamos , en la region y < 0, facilmente se ve que el campo en un punto (x, y) tiene una direcci6n perpendicular al vector que va del origen al punto (x, y). De esto se infiere, por geometria , que los arcos circulares con centro en el origen deben ser las curvas integrales de Ia ecuaci6n diferencial . Analiticamente se verifica con facilidad este resultado, pues por el metodo de separaci6n de va­ riables (p . 679 , se deduce que

x2 + y2 = con'.itante =

c,

772

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

lo cual demuestra que estos circulos son las soluciones de Ia ecuaci6n diferencial. En cada punto , es obvio que el campo de direcciones de Ia ecuaci6n diferencial (31b)

y_ y' = _ X

tiene la direcci6n de la recta que une a ese punto con el origen . Asi, las rectas que pasan por el origen pertenecen a este campo de direc­ ciones y, por tanto , son curvas integrales. De hecho , inmediatamente se ve que Ia funci6n y = ex satisface Ia ecuaci6n diferencial para cualquier constante arbitraria c. 1 De la misma manera puede verificarse analiticamente que la ecuaci6n diferendal X

(y =i= O)

y' = y y la

)'__

y' =

X

(.x * 0)

son satisfechas por las respectivas familias de hiperbolas

y2 = c + x2 c

y = -x ,

donde c es el parametro que especifica la curva particular de la familia . El teorema fundamental indica que , en general , las ecuaciones diferenciales de primer orden son satisfechas por una familia uni­ parametrica de funciones . Las funciones de x en una familia de este tipo no solo dependen de X sino tambien de un parametro C, por ejemplo , de c = yo = y(O) ; como se acostumbra decir, l as soluciones dependen de una constant e de integraci6n arbitraria . La integraci6n ordinaria de una. funci6n f(x) es simplemente el caso especial de la soluci6n de una ecuaci6n diferencial en la que f(x, y) no comprende a y. Entonces , la direcci6n del campo en un punto queda determinada por la coordenada x unicamente , y de inmedi ato se ve que las curvas 1 En el origen, el campo de direcciones ya no esta definido de m anera (mica ; esto esta relacionado con el hecho de que un numero infinito de curvas integrales p asan por este punto singular de Ia ecuaci6n diferenci al .

Ecuaciones diferenciales

773

integrales se obtienen una a partir de la otra mediante una traslacion en la direccion del eje y. Analiticamente, esto corresponde al co­ nocido hecho de que la integral indefinida y, es decir, Ia solucion de la ecuacion diferencial y' = {(x), incluye una constante aditiva ar­ bitraria , c. La interpretacion geometrica de la ecuaci6n diferencial sugiere una construcci6n grafica aproximada de las curvas integrales, casi de la misma manera que en el caso especial de la integracion i ndefinida de una funcion de x (Volumen I, p . 48 3 ) . Solo tiene que imaginarse Ia curva integral remplazada por un poli:gorio en el que cada lado tiene Ia direccion asignada por el campo de direcciones para su pun­ to inicial (o p ara cualquier otro de sus puntas) . Ese poligono puede construirse partiendo de un punta arbitrario en R. A menor longitud de los l ados del poligono, mayor Ia exactitud con la cual dichos lados coincidiran con el campo de direcciones de Ia ecuacion diferencial, no solo en sus puntas iniciales sino en toda su longitud . Sin demos­ trarlo , aqui se enunci a el hecho de que disminuyendo sucesivarnente Ia longitud de los lados, un poligono construido de esta manera puede realmente aproximarse c�anto se desee a la curva integral que pasa por el punta inicial.

b. La ecuaci6n diferencial de una familia de curvas. Soluciones singulares. Trayectorias ortogonales

El teorema de existencia indica que toda ecuac10n diferencial tiene una familia de curvas integrales . Esto sugiere que puede plan­ tearse la pregunta inversa . �Toda farnilia uniparametrica de curvas rf>(x, y, c) = 0 , o bien, y = g(c, x) tiene una ecuacion diferencial correspondiente F(x, y, y')

=

0

que sea satisfecha por todas las curvas de la familia? Si es asi, �como puede encontrarse esta ecuaci6n diferencial? Aqui el punta esencial es que c, el parametro de Ia familia de ;curvas , no esta presente en Ia ecuaci6n diferencial, de modo que la ecuaci6n difere�cial es, en cier­ to sentido , una repr�sentaci6n de la familia de curvas que no depen­ de de un parametro. De hecho , es facil encontrar esa ecuaci6n di­ ferencial . Derivando con respecto a x en

(32a)

rj>(x, y, c) = 0

774

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

se tiene (32b) Si se elimina el parametro c entre esta ecuaci6n y la ecuaci6n � = 0, el resul tado es la ecuaci6n diferencial deseada . Siempre es posible esta eli min aci6n en una region del plano en la que pueda resolverse Ia � cuaci6n � = 0 para el parametro c en terminos de x y y . Entonces solo se tiene, que sustituir la expresi6n c = c(x, y) asi encontrada , en las expresiones para �x y �Y COil el fin de obtener una ecuaci6n di­ ferencial para Ia familia de curvas. Como un primer ejemplo , considerese la familia de circulos con­ centricos x2 + y2 - c2 = 0, para la cual , derivando con respecto a x, se obtiene I a ecuaci6n diferencial X + yy' = 0,

que concuerda con (3la), p. 7 7 1 . Otro ejemplo es la famili a (x ....... c) 2 + y2 = 1 de circulos con radio unitario y centro sobre el eje x. Derivando con respecto a x se obtiene (x - c) + yy' y

=

0,

eliminando c resulta la ecuaci6n diferencial

Del mismo modo, la ecuaci6n de la familia y = (x - c) 2 parabolas que tocan al eje x, conduce , con el auxilio de y' = 2(x - c) , a la ecuaci6n diferencial requerida : y' 2 = 4y. En los dos ultimos ejemplos se ve que las ecuaciones diferenciales correspondientes son satisfechas no solo por las curvas de la familia sino , en el primer caso , tambien por l as rectas y = 1 y y = - 1 y, en el segundo caso , tambien por el eje x. Estos hechos, que pueden verificarse de inmediato analiticamente, tambien se deducen sin cal­ culo alguno a partir del significado geometrico de la ecuaci6n di­ ferencial . En ·efecto estas rectas son l as envolventes de las familias de curvas correspondientes y , como las envolventes tocan en cada pun to a una curva de la famili a , deben tener en ese punto la direcci6n pres­ crita por el campo de direcciones. Por lo tanto, toda envolvente de una familia de curvas integrales debe , a su vez , satisfacer la ecuaci6n

Ecuaciones diferenciales

775

diferencial. Las soluciones de la ecuaci6n diferencial que se encuen­ tran al formar la envolvente de una familia uniparametrica de curvas integrales se Haman soluciones singulares. Sea R una region que es cubierta simplemente por una familia uniparametrica de curvas (x, y) = c = constante . Si a cada punto P de R se le asigna la direcci6n de la tangente a la curva que pasa por P, se obtiene un campo de direcciones definido por la ecuaci6n diferencial y' = - xfy [ ver (32b)]. Si , por otra parte , a cada punto P se le asigna la direcci6n de la normal a la curva que pasa por el , el campo de direcciones resultante queda definido por la ecuaci6n diferencial y Y' =

x"

Las soluciones de esta ecuati6n diferencial se Haman trayectorias ortogonales de l a familia original de curvas (x, y) = c. Las curvas = c (las curvas de nivel de la funci6n ) y sus trayectorias orto­ gonales se intersectan en todo punto formando angulos rectos. Por tanto , si una familia de curvas esta dada por la ecuaci6n diferencial y' = f(x, y), puede encontrarse la ecuaci6n diferencial de las trayec­ torias ortogonales sin ihtegrar la ecuaci6n diferencial dada, porque la ecuaci6n de las trayectorias ortogonales es 1

Y' = - l(x, y) · En el ejemplo ( 3 l a) discutido anteriormente, a partir de la ecuaci6n diferencial satisfecha por los circulos x2 + y 2 = c se en­ cuentra que la ecua ci6n diferencial de las trayectorias ortogonales es y' = y/x. Por lo tanto. l as trayectorias ortogonales son las rectas que pasan por el origen (ver ( 3 l b)) . Si p > 0, la familia de parabolas confocales (ver el Capitulo 3 , p. 234) y2 - 2p(x + p/2) = 0 satisface la ecuaci6n diferencial

y'

=

1

Y

( - x + �x2 + y2).

De a qui que la ecuaci6n diferencial de las trayectorias ortogonales de . esta familia sea 1

y' = = -y1 (- x - �x2 + y2). ( - x + �x2 + y 2)jy

Introduccion al calculo y al analisis matematico

776

Las soluciones de esta ecuaci6n diferencial son las parabolas y2 - 2p(x + p/2) = 0,

donde p 0 ; est as son parabolas confocales entre si de Ia primera familia .

<

c. Teorema de existencia

y

y

con las curvas

unicidad de la soluci6n

Ahora se probara el teorema de existencia y unicidad de Ia so­ lucian de Ia ecuaci6n diferencial y ' = f(x, y) que se enunci6 en Ia p . 77 1 . Sin perdida de generali dad , puede suponerse que para Ia so­ luci6n y(x ) en cuesti6n Ia condici6n inicial f(xo) = yo se reduce a y y x xo = como (0) = 0, porque pueden i ntroducirse y - yo = nuevas va riables y entonces resulta \).na nueva ecuaci6n diferencial, = + xo, 11 + yo), del mismo tipo , que satisface Ia condici6n deseada . En Ia demostra�i6n nos podemos restringir a una vecindad lo suficientem.e nte pequefia del punto x = 0. Si se ha probado la exis­ tenci a y uni cidad de Ia soluci6n p ara uno de tales intervalos alre­ dedor del origen x = 0, entonces puede probarse la exi&tencia y . unicidad para una vecindad de uno de sus puntos extrernos, y asi sucesivamente . Considerernos entonces un rectangulo I x I � a, I Y I � b contenido en el dorninio de la funci6n f(x, y). Existen cotas M, M1 tales que

11

-

�

d11/d� f(�

(32d)

l fy(x, y) j � M, l f(x, Y) l � M1 p ara l x l � a, I Y I � b.

Remplazando, si es necesario, puede hacerse que (32e)

a

M1 a

por un valor positivo rnenor , siernpre

< b, Ma < 1 .

Las desigualdades (32d) aun seran valida s e n e l rectangulo rnenor. Para cualquier soluci6n y(x) de y' = f(x, y) con valor inicial y(O) = 0 se tiene entonces la estirnaci6n j y(x) l � b para j x j � a. Pues, de lo contrario , existirian val ores � para los cuales I � I � a, I y(�) I = b. Existiria un � de valor absoluto rninirno . ' Entonces la relaci6n

Ecuaciones diferenciales

777

conduciria a una contradiccion. Primero nos convenceremos de que no puede haher mas de una solucion de la ecuacion diferencial que satisfaga las condiciones iniciales , porque si hubieran dos soluciones , Yt(x) y y2(x), la diferencia d(x) = Yt - y 2 satisfaria d'(x) = {(x, Yt(x)) - {(x, y2(x)).

Por el teorema del valor medio, , el segundo miembro de esta ecuacion puede ponerse en la forma (yl - Y 2) {y(X, y) = d(x) {y(X, y), donde y es un valor in termedio entre Yt y y 2 . En una vecindad I x I � a del origen , Yl y yz son funciones continuas de x que se an ulan en x = 0. Aqui b es una . cota superior de los valores absolutos de las dos fun­ ciones en esta ve� indad, de modo que I .Y I � b siempre que I x I � a. Ademas , M es una cota de / fy / en la region l x l � a, I Y I � b. Por ul­ timo , sea D el valor maximo de l d(x) l en el intervalo l x l � a y su­ pongase que este valor es alcanzado en x = �- Entonces , para I x I � a, I d'(x) I = I d(x) fv(x, y) I � DM,

y por lo tanto , D = l d(S) I =

I t d'(x) dx l � I S I DM � aDM.

Pero como a M < 1, se concluye que D = 0. Es decir , en el inter­ valo I x I � a se tiene 1 Yt(X) = y2(x). Por medio de una estimacion integral semejante se llega a demos­ trar la existencia de la soluci6n . Esta se construye mediante un metodo que tiene otras importantes aplicaciones, en particular , a la solucion numerica de las ecuaciones diferenciales y a la inversion de las aplicaciones (ver la p . 3 1 4) . Este es el proceso de iteraci6n o de aproximaciones sucesivas. Aqui se obtiene la solucion como la fun­ cion limite de una sucesi6n de soluciones aproximadas yo(x), Yt(x), y2 (x), . . . . Como una primer a aproximaci6n se tom a yo(x) = 0. Usand o l a ecuacion diferencial , se toma

1 La idea fundamental de esta demostraci6n es el hecho de que, para integrandos acotados, Ia integraci6n da una cantidad que se anula en el mismo orden que el in­ tervalo de integraci6n, a medida que el intervalo tiend.e a cero.

778

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

como la segunda aproximacion ; de esta se obtiene la siguiente aproximacion , y2(x),

(n

en general, la + 1)- esima aproximacion se obtiene a partir de l a n-esima por medio d,e la ecuacion

y,

(33a) Si , en un intervalo l x l � a , estas funciones de aproximacion conver­ gen uniformemente bacia una funciori limite y(x), inmediatamente puede pasarse al limite bajo el signo integral y obtener, para la fun­ cion limite , la ecuacion

y(x) =

(33b)

x

L f(�, y(�)) d�.

Por derivacion , de esto se deduce que y' = f(x, y), de modo que, en realidad, y es la solucion requerida. La convergencia para un intervalo suficientemente pequeiio , l x l � a , se demuestra por medio de l a estimacion siguiente. Se pone Yn+I(X) - Yn(X) = dn(x) y por Dn se denota el maximo de I dn(x) I en el intervalo I x I � a. A partir de la ecuacion

dn'(x) = Yn+1 1 - Yn' = f(x, Yn) - f(x, Y n- I) , el teorema del valor medio da

(33c)

dn'(x) = dn- I(X) fy(X, Y n-t(x)),

donde .Yn- I es un valor intermedio entre Y n y Yn-l· Supongase que se cumplen l as desigualdades I fy(x, y) I = M, I f(x, y) I � Mt en la region rectangular l x l � a, I Y I � b . Si se supone que para la funcion Yn se cumple la relacion I Yn l � b en el intervalo l x l � a, entonces, por la definicion de Yn+ I, se tiene

I Yn+l (x) l =

I ft(!;, Yn(!;)) dl; I

� l x l Mr � aMr.

Por lo tanto, la . cota a para x se elige tan pequeiia que aMt � b. En­ tonces , en el intervalo l x l � a , evidentemente se tendra I Yn+ t(x) l �

Ecuaciones diferenciales

779

b. Puesto que p ara yo(x) = 0 es obvio que I Yo l � b, por induccion se deduce que en el intervalo I x I � a se tiene I Yn(x) I � b para to do n. Por lo tanto , en (33c) se puede usar la estimacion l fY I � M e in­ tegrar p ara obtener

Asi , puede acotarse el maximo , Dn , de I dn(x) I en el intervalo I x I � a por

Dn � aMDn- l · Tomese abora a tan peque:fio que aM � q < 1, donde q es una fraccion propia fija, digamos, q = t . Entonces Dn+l � qDn � qn Do. Consideremos abora la serie

do(x) + d1(x) + d2(x) +

·

•

•

+ dn-I(X) +

·

·

· .

L a n-esima suma p arcial de esta serie es Y n(x). El valor absoluto del n-esimo termino no es mayor que el numero Doqn -l cuando I x I � a. Por lo tanto, la serie esta dominada por una serie geometrica conver­ gente con terminos constantes. De aqui que (ver el Volumen I , p. 535 ), converge uniformemente en el intervalo I xI � a bacia una fun­ cion limite y(x), y, por tanto, se ve que existe un intervalo I x I � a en el que la ecuacion diferencial tiene una solucion unica . Todo lo que abora falta por demostrar es que puede extenderse paso a p aso esta solucion basta que alcance la frontera de la region (cerrada y acotada) R en la que se supone que f(x, y) esta definida. La demostraci6n basta aqui indica que si se ba extendido la solucion basta un cierto punto , puede continuarse progresando sobre un in­ tervalo x se longitud a, donde, no obstante, a depende de las coor­ denadas (x, y) del punto extrema de la porcion ya construida . Podria imaginarse que , en este avance, a disminuye de un paso al siguiente, tan rapidamente que la soluci6n no puede extenderse en mas de una peque:fia cantidad sin importar cuantos p asos se realicen . Como se demostrara , este no es al caso. Supongase que R ' es una region cerrada y acotada interior a R . Entonces puede ballarse u n numero b t a n peque:fio que, para todo pun to (xo , Yo) en R' , el cuadrado completo xo b � x � xo + b, yo b � y � y0 + b este en R . Si se deriotan por M y M1 las cotas superiores de I fy(X, y) I y I f(x, y) I · en la region R, entonces se encuentra -

_

780

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

que en la demostraci6n precedente todas las condiciones impuestas sobre a son sin duda satisfechas si se toma a como , digamos, el menor de los numeros b , M/2, y b/ M1. Este ya no depende de (xo, yo) ; por lo tanto , en cada paso puede avanzarse una cantidad a constante. Asi, puede procederse paso a paso hasta que se alcance la frontera de R'. Como R ' puede ser cualquier region cerrada en R, se ve que la so­ lucian puede extenderse h ast a la frontera de R. 1 Ejercicios 6.4 1.

Sea

f(x,y, c) = 0

una familia de curvas plamis . Eliminando Ia constant.e c entre esta y Ia ecuaci6n

axij + ayOj Y' = 0'

se obtiene la ecuaci6n diferencial

F(x, y, y') = 0

ifJ(p)

una funci6n dada de de Ia familia de curvas (ver p. 773). Sea ahora p ; se dice que una curva , C, que sati�face Ia ecuaci6n diferencial y,

F(x, ifJ(y')) = 0 es una trayectoria de Ia familia de curvas f(x, c) = 0. La segunda y ter­ cera ecuaciones indican que y' = ifJ( Y') es la relaci6n entre la pendiente Y' de en · cualquier punto dado y la pendiente y' de la curva f (x, y; c) = 0 que pasa por este punto . El caso mas importante -es ifJ(p) = - 1/p , que conduce a la ecuaci6n F (x,y, - ?) = 0, y,

C

1 Es esencial en este teorema que_ R sea una regwn cerrada y acotada y ·no , por ejelJlplo, todo cl plano x, y . Puede ilustrarse esto mediante Ia ecuaci6n diferencial y'

=

1

+ y2 '

para Ia cual f(x; y) esta definida y es continuamente diferenciable para todo x, y. La sol uci6n (mica de est a ecuaci6n con condicion inicial y = 0 para x 0 , es Ia funci6n y = tan:x para l x l <,_'J!. /2. La soluci6n deja de existir en x = ±1t/2, a pesar del hecho de que f(x, y) es regular para toda x y y. Concordando con el teorema general . probado, Ia grafica de l a sol �ci6n se sale de cualquier subconjunto cerrado y acotado de R que se prescriba, por ejemplo , cualqqier rectangulo l x l � a, I Y I � b, antes de dejar de existir. La funci6n y = tan x existe en todo el intervalo I xI � a, o bien, existe y se hace mayor que b en valor absoluto , en alg6n subintervalo. =

Ecuadones diferenciales

78 1

Ia cual es Ia ecuacwn diferencial de las trayectorias ortogonales de la familia de curvas (ver la p. 774). Usar este metodo para encontrar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas : (a) x 2 + y 2 + cy -

(b) y

=

1=0

cx2

x2 /+2 cb= 1, (a > +a2 + c (d) y = cos x + c (e) (:X - c) 2 + y2 = a 2 . (c)

b > 0, - b2 < c < oo)

.

·

En cada caso , trazar las graficas de las dos familias ortogonales de curvas. = ex, encontrar las dos familias de trayectorias para las que (a) la pen­ diente de la ,trayectoria es dos veces mayor que la pendiente de Ia recta ; (b) la pendiente de la trayectoria es igual y de signo opuesto a la pendien­ t e de la recta . 3 . Las ecuaciones diferenciales del tipo

y

Y = xp + y;(p), P = y' fueron investigadas primero por Clairaut . Derivando, se obtiene

[x + y;'(p)] lo cual da p = c

=

�

=0,

constante , de modo que :V

= XC + y;(c)

es Ia integral g.?neral de Ia ecuacion diferencial ; representa una familia de rectas. Otra solucion es

X = - y;'(p), Ia cual , junto con

y = - py;'(p) + y;(p)

da una representaciyon parametrica de Ia llamada integral singular, Notese que la curva dada . por las dos ultimas ecuaciones es la envolvente de la familia de rectas. Usar este metodo para encontrar la solucion singular de las ecuaciones (a) y

(b)

y

=

p2 xp - 4

= xp + eP.

4 . Encontrar la ecuacion diferencial de las tangentes a la catenaria y = a cosh _!_ . a 5 . Lagrange investigo como en y, a saber ,

Ia

ecuacion diferencial mas general , lineal tanto en

X

lntroduccion al ·calculo y al analisis matematico

782

Y=

xrp(p) + lj;(p) .

Derivando, se obtiene P=

rp(p) + [xrp'(p) + lj;'(p)]

:� '

que es equivalente a Ia ecuaci6n diferencial lineal

siempre que rp(p) - p =I= 0 y p no sea constante . Integrando y usando Ia primera ecuaci6n se obtiene una representaci6n parametrica de Ia in­ tegral general . De Ia segunda ecuaci6n se ve que las ecuaciones rp(p) p = 0, p = constante , conducen a un cierto numero de soluciones sin­ gulares que representan rectas. Las soluciones pueden interpretarse geometricamente como sigue: considerese la ecuaci6n de Clairaut -

y = xp + [lj;(rp - l (p)], donde ,p - 1 (p) es la funci6n inversa de rp (p) , es decir, ,p-l (rp (p)) p.

= A par­ tir de esto se ve que las soluciones de la ecuaci6n diferencial son una familia de trayectorias de la familia de rectas

Y = XC

+ lj;(rp - 1(c)j

o bien , y=

xrp(c) + lj;(c)

( c = constante).

Asi , por ejemplo,

y=

-

__£

p + lj;(p)

es Ia ecuaci6n diferencial de las involutas (trayectorias ortogonales de las tangentes) de la curva que representa Ia integral singular de Ia ecuaci6n de Clairaut ·

Usar este metodo para integrar la ecuaci6n

y = x(p + a) - 41 (p + a)2 •

6 . Expresar, cuando sea posible , las integrales de las ecuaciones diferen­ ci ales siguientes, mediante funciones elementales:

(a) (b)

[:�J [dxdy] 2

= 1 =

- y2

1_ 1 - y2

_

[dxdy]2 ]2 (d) ldy Ldx

(c)

2a - y y 1 - y2 = . 1 + Y2

=

Ecuaciones diferenciales

783

En cada caso, trazar una grafica de la familia de curvas integrales detectar las soluciones singulares, si existen, a partir de las figuras . 7 . Integrar la ecuaci6n homogenea

y

y encontrar las soluciones singulares. 8 . Como se mencion6 en el Ejercicio 3, una curva es la envolvente de sus tangentes; por lo tanto , es la integral singular de la ecuaci6n de Clairaut que sus tangentes satisfacen. Teniendo presente lo anterior, averiguar que tipo de curva satisface cada una de las propiedades siguientes y dar la ecuaci6n de Clairaut que corresponda: (a) L a sum a de las intercep d ones x y y de una recta tangente es constan­ te . (b) La longitud del segmento interceptado por los ejes sobre una tangente es constante . (c) El area limitada por la recta. tangente y los ejes es constante .

6.5

Sistemas de ecuaciones diferenciales diferenciales de orden superior

y

ecuaciones

Los argumentos anteriores se aplican por extension a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, con tantas funciones des­ conocidas de x como ecuaciones se tengan. Como un ejemplo de suficiente generalidad, aqui se considerara el sistema de dos ecua­ ciones diferenciales para dos funciones, y(x) y z(x) :

y' = f(x, y, z), z' = g(x, y, z), donde las funciones f y g son continuamente diferenciables. Este sis­ tema de ecuaciones diferenciales puede interpretarse como un campo de direcciones en el espacio x, y, z. Al punta (x, y, z) del espacio se le asigna una direccion cuyos cosenos directores estan en proporci6n dx : dy : dz = 1 : f: g. Nuevamente , el problema de integrar la ecuaci6n diferencial equivale geometricamente a encontrar las curvas en el espacio que pertenezcan a este campo de direcciones . Como en el c aso de una sola ecuacion diferencial , una vez mas se tiene el teorema fundamental de que por cada punta (xo,yo, zo) de una region R en la que las funciones dadas f y g son continuamente diferenci ables , pasa una , y solo una , curva integral del sistema de

784

Introduccion al calculo' y al analisis matematico

ecuaciones diferenciales . 1 La region R es cubierta por una familia biparametrica de curvas en el espacio . Est as dan las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales como dos funciones , y(x) y z(x) , que dependen de 1� variable independiente x y tambien de dos parametros arbitrarios, c 1 y c2 , las constantes de integraci6n . Los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer arden tienen una importancia p articular porque las ecuaciones diferenciales de ar­ den superior, es decir, ecuaciones diferenciales en las que se presen­ tan derivadas de arden superior al primero , siempre pueden reducir­ se a un sistema de este tipo . Por eje:rnplo , la ecuaci6n diferencial de segundo arden y"

=

h(x, y, y')

puede escribirse como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer arden . Solo se tiene que tomar' Ia primera derivada de y con respecto a x como una nueva funci6n desconocida y, a continuaci6n, escribir el sistema de ecuaciones diferenciales =

y'

=

z'

z, h(x, y, z).

Este sistema es exactamente equivalente a la ecuaci6n diferencial de segundo arden dada , en el sentido de que toda soluci6n de uno de los problemas es al mismo tiempo una soluci6n del otro . El lector puede usar esto como un punta de partida para la dis­ cusi6n de la ecuaci6n diferenci al lineal de segundo arden y probar asi el teorema fundamental de existencia para las ecuaciones diferen­ ciales lineales , usado en la p . 7 60 . Ejercicios

6.5

l . Resolver las ccu aciones diferencia les siguientes:

(a) y'y"

= x

(b) 2y"' y" = 1

1 Para Xo = yo = zo � 0 , nueva mente puede darse la demostraci6n, por medio de un es quema apropiado de iteraci6n con las formula de recurrencia Yn +l(X) = Zn +l(X) =

x

So {(1;, Yn(l;), Zn(l;)) dl;, So g(l;, yn(l;), Zn(l;)) dl;

en Iugar de la relaci6n (mica (33a).

x

Ecuaciones diferenciales (c) (d)

785

xy" - y' = 2 2xy"' y" = y" 2 - 2

2. Una ecuaci6n diferencial de Ia forma

f(y , y', y")

=

0

(n6tese que no se tiene explicitamente a x) puede reducirse a una ecuaci6n de primer orden , como sigue: elijase a y como Ia variable in­ dependiente y a p = y' como Ia funci6n desconocida. Entonces ·

y' = p,

dp = dp dy = p'p y" = dx ' dy dx

f(y, p, pp') = 0. Usar este metodo para resolver las ecuaciones diferenciales que siguen

y Ia ecuaci6n diferencial queda

2yy" + y'2 = 0 (b) yy" + y' 2 - 1 = 0 (c) y3y" = 1 (d) y" - y' 2 + y 2y' = 0 (e) y t v = (y"') 1 1 2 (f) y t v + y" = 0. (a)

3 . Usar el metodo del Ejercicio 2 para resolver el problema siguiente: en un punto variable , M, de una curva plana, r , tracese Ia normal a r ; sobre esta normal, marquese el punto N donde Ia normal corta al eje x, v sea C el centro de curvatura de r en M. Encontrar las curvas tales que

MN MC =

constante

= k. Discutir los diversos casos posibles para k > 0 y ·

k < 0, y trazar las · gra­ ficas. 4 . Encontrar Ia ecuaci6n diferencial de tercer orden satisfecha por todos los circulos x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0.

6.6

Integracion por el metodo de ·los coeficientes indeterminados

Para concluir, mencionaremos aiin otro artificio general que con frecuencia se puede aplicar a la integraci6n de las ecuaciones di­ ferenciales. Este es el metoda de integraci6n en terminos de series de potencias. Sup6ngase que en l a ecuaci6n diferencial

y' = f(x, y)

la funci6n f(x, y) puede desarrollarse como una serie de potencias en las variables x y y y, en consecuencia , posee derivadas de cualquier

786

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

orden con respecto a x y a y. Entonces puede intentarse encontrar las soluciones de la ecuaci6n diferencial en la forma de una serie de potencias, Y = Co + C!X + C2'X2 + • • • ,

determinar los coeficientes de esta serie de potencias por medio de la ecuaci6n diferencial. 1 P ara hacerlo , se procede a formar l a serie derivada y

y' = C1 + 2c2 x + 3cax 2 +

·

·

· ,

remplazando y en la serie de potencias para f(x, y) por su expresi6n como una serie de potencias y, a continuaci6n , igualando los coe­ ficientes de las potencias iguales que esten en ambos miembros (metodo de los coeficientes indeterminados) . Entonces , si co = c es cualquier valor arbitrario dado, puede intentarse determinar los coeficientes

Cl , C2 , Ca, C4 , .

.

.

,

sucesivamente . Sin embargo , el proceso que Sigue a menu do es mas sencillo y mas elegante . Sup6ngase que se est a' buscando esa soluci6n de la ecuaci6n diferencial para la cual y(O) = 0, es decir, para la cual la c urva in­ tegral pas a por el origen . Entonces co = c = 0. Si se recuerda que, por el teorema de Taylor, los coeficientes de la serie de potencias es­ Uin dados por las expresiones

Cv =

v\ y (0),

pueden calcu1arse facilmente. En primer lugar, c1 = y'(O) = {(0, 0). Para obtener el segundo coeficiente, 'c2 , se derivan ambos miembros de la ecuaci6n diferencial con respecto a x y se obtiene

y� '(x) = fx + {y y'. Si aqui se sustituyen x = 0 y los valores ya conocidos y(O) = 0 y y'(O) = f(O, 0), se obtiene el valor y"(O) = 2c2 . En la misma forma, puede 1 Entonces los primeros terminos de la serie forman un polinomio de aproximaci6n para la soluci6n.

Ecuacioiles diferenciales

787

continuarse el proceso y determinar los otros coeficientes C3, C4, . . uno despues del otro . Puede demostrarse que este proceso siempre da una soluci6n, si la serie de potencias para f(x, y) converge absolutamente en el interior de un circulo con centro en x = 0, y = 0. No se dara la demostraci6n aqui . . ,

Ejercicios 6.6 , 1 . Obtener los desarrollos e n series d e potencias hasta e l numcro indicado de terminos, para la soluci6n que pasa por el punto dado , de cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes

y' = x + y, k terminos, (0, a) (b) y' = sen (x + y) , cuatro terminos, (0, rt/2) (c) y' = cuatro terminos, (0, 0) (d) y' = .;x2 + y2, cuatro terminos, (0,, 1).

(a)

exY,

2 . Resolver Ia ecuaci6n diferencial :

y(O)

y" + 1 y' y X

-

y'(O)

+

=

0,

Jo(x) ,

con = 1, = 0, por medio de una serie de potencias. Pro bar que esta funci6n es identica a la funci6n de Bessel definida en Ia Sec­ cion 4. 1 2 , Ejercicio 7 , p. 5 34 .

6 .7

El potencial de cargas atractivas

y

Ia ecuacion de Laplace

Comiinmente , l as ecuaciones diferenciales p ara funciones de una sola variable independiente, tales como las que se han discutido en parrafos anteriores , reciben el nombre de ecuaciones diferenciales or­ dinarias, para indicar que solo comprenden derivadas "ordinarias" ' aquellas de funciones de una variable independiente . Sin embargo, en muchas ramas del analisis y sus aplicaciones juegan una parte im­ portante las ecuaciones diferenciales parciales para la funci6n de varias variables , es decir, ecuaciones entre la variables y las derivadas parciales de la funci6n desconocida . Aqui se consideraran algunas aplicaciones tipicas que comprenden la ecuaci6n diferencial de Laplace . Y a de ha consider ado el campo de fuerzas producido por las masas , de acuerdo con la ley de atracci6n de Newton, y se ha re­ presentado como el gradiente de un potencial (ver el Capitulo 4,

Introduccion al calculo y al analisis matematico

788

p. 497 y siguientes). En esta secci6n se estudiara el potencial un poco mas detalladamente . 1 a.

Potenciales de distribuciones de masa

Como una extension de los casas consider ados previamente , ahara se tamara m como una masa o carga positiva o negativa. Las masas negativas no entran en la ley newtoniana ordinaria de la atracci6n, pero en la teoria de la electricidad, donde se remplaza la masa por la carga electrica , se distingue entre la electricidad positiva y la ne­ gativa ; alii , la ley coulombiana de atracci6n de cargas tiene la misma forma que la ley de atracci6n gravitacional de las masas . Si se con­ centra una carga m en un solo punta del espacio con coordenadas (�, 11, �), a la expresi6n mjr, donde

r = -J(x - �) 2 + (y - 11P + (z - �) 2, se le da el nombre de potenci'al 2 de esta masa en el punta (x, y, z). Suman do un cierto m1mero de tales potenciales para diferentes fuen­ tes o poZos, (�i , lli, �i), se obtiene , como antes (ver la p. 497 ) , el potencial de un sistema de particulas o cargas puntuales :

Los campos de fuerzas correspondientes estan dados por la expresi6n = 'Y grad <1>, donde y es una constante independiente de Ia masas y de sus posiciones. Para las masas que no estan concentrada en puntas aislados sino que estan distribuidas continuamente, con densidad J.L(�, 11, �) , sabre una porci6n definida , R, del espacio �' 11, t;, se define el potencial de esta distribuci6n de masa como

f

(34a)



=

fff � d� dll d�.

1 Una gran cantidad de literatura esta dedicada a esta importante rama del analisis (ver, por ejemplo, Foundations of Poten#al Theory, por 0. D. Kellogg, Frederick Ungar Publ. Co. ) . 2 A esto podria darsele e l nombre d e potencial d e Ia masa . Cualquier funcion que se obtenga sumando una constante arb'itraria a es·a expresi6n podria recibir con igual propiedad el nombre de potencial de la masa, puesto que daria el mismo campo de fuerza .

Ecuaciones diferenciales

789

Si las masas estan distribuidas sobre una superficie S con densidad superficial J.l, el potencial de esta superficie es la integral de superficie

JJ J.t(u; u) dcr

(34b)

tomada sobre la superfice S con elemento de superficie dcr. Del mismo modo , para el potencial de una masa distribuida a lo largo de una curva , se obtiene una expresi6n de la forma

f J.t(s) ds

(34c)

r

'

donde s es la longitud de arc6 sobre esta curva y J.l (s) es la densidad lineal de m asa . Para to do potencial de este tipo, las superficies de nivel de , definidas por ci> = constante, representan las superfic-ies equzpoten­ dales. 1 Una ejemplo del potencial de una distribuci6n lineal es el pro­ ducido por una masa de densidad lineal contante , J.l , distribuida a lo largo del segmento - l � z � + l del eje z. Considerese un pun to P con coordenadas (x, y) en el plano z = 0. Por brevedad, introdu­ ciremos p = .Jx2 + y2 , la distancia del punto P al origen . Entonces el potencial en p es

Aqui se ha agregado una cohstante C a la integral , lo cual no afecta al c ampo de fuerzas derivado del potencial. La integral indefinida de Ia derecha puede evaluarse como en el Volumen I [ p. 270, (26)] , y se obtiene

f Jp2dz z2 +

1

= arc

� senh . p

=

lo g z +

.Jz2 + P2 ' p

Las curvas que en todo punto tienen Ia direcci6n del vector fuerza

se

Haman Uneas

de fuerza. Puesto que aqut Ia fuerza tiene Ia direcci6n del gradiente de <1>, las ltneas de

fuerza son curvas que en todo punto se intersectan con las superficies de nivel a angulos rectos. Se ve asf que las familias de lfneas de fuerza que corresponden a potenciales generados por un solo polo o por un mimero finito de polos emanan de ellos como de una fuente. En el caso de un solo polo, por ejemplo, las lfneas de fuer­ za son simplemente las rectas que pasan por el polo.

7 90

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

de modo que el potencial en el plano x, y esta dado por

+

l

(x, y) = 2J..L log

J [2 p

+

P2

+

c.

Para obtener el potencial de una recta que se extiende basta el in­ finito en ambas dir.ecciones , se da el valor - 2 J..L log 21 a la constante 1 C, y asi se obtiene

.

(x, y) = 2J..L log

l+

J l2 21

+ P2

-

2J..L log p.

Si ahora se hace que la longitud l crezca sin limite , es decir, si se hace que la longitud de la recta tienda a infinito , la expresi6n {l + J l2 + 1)2} /21 tiende a la unidad, y para el valor limite de (x, y) se obtiene la expresi6n -

(x} y) =

(35a)

Asi se ve que, aparte del factor log p

(35b)

=

�

2J..L log p .

2J..L , la expresion

log Jx2

+ y2

es el potendal de una recta perpe�dz'cualr al plano x, y, so bre la cual se distrz'buye unzformemente una masa. Aqui , las superficies equi­ potenciales son los cilindros circulares p

:::::;:

�x2

+ y2 = constante .

En la p . 499 se calcul6 el potencial �e una superficie esferica de deQsidad (es .decir, masa por unidad de area) constante, J..l . Se encon­ tr6 que , para una esfera d� radio a y centro en el origen , el potencial <1> en un punto P = (x, y, z) esta dado por 47ta2

-

(36a)

<1> =

(36b)

<1> = 47taJ..l

r J..l

(r

> a)

(r

< a),

donde

(36c)

r = Jx2

+ y2

+

z2

1 Se hace esta eleccion con el fin de que al pasar hacia el l1mite l-+oo , el potencial «<» siga siendo finito.

l'.cuaciones diferenciales

79 1

es la. distancia de P al origen . El potencial de una esfera s6lida de densidad ll puede obtenerse descomponiendo la bola en superficies esfericas de radio a y densidad superficial ll da. En consecuencia, el potencial de una esfera s6lida de radio A se obtiene de las formulas (36a, b) integrando con respecto a a, desde 0 hasta A . Se encuentra (ver p. 499) que

<1> =

(37a)

4nA3 Jl --

(r > A)

3r

(r < A).

(37b) La fuerza gravitacional correspondiente , f

(37c)

=

y

grad � .

ejercida por Ia esfera s6lida sobre una m asa unitaria en P esta di � rigida h acia el origen y tiene magnitud

( 37d)

4nA3 YJl 3 ,2

p ara

4nr YJl 3

r > A,

para

r < A.

Ademas de las distribuciones previamente consideradas, la teoria del potencial tambien trata de las llamadas capas dobles,· que se ob­ tienen de Ia siguiente m anera : se supone que las cargas puntuales M y - M est an localizadas en los puntas (�, 1'\, �) y (� + h, 1'\, �), respec­ tivamente . El potencial de est a pareja de cargas esta dado por

<1> =

J(x

_

�) 2 . + (y

M _

T\) 2 + (z

_

�)2

M

J(x - � - h) 2 + (y - 11)2 + (z - �)2 . Si se hace que h, la distancia entre los dos polos, tienda a cero y, al mismo tiempo , se hace que la carga M crezca indefinidamente de manera tal que M siempre sea igual a - )l/h , donde Jl es una ;constan­ te, <1> tiende al limite A esta expresi6n se le da el nombre de potenc-ial de un dzpolo o do blete con su eje en la direcci6n � y con "momenta" Jl. Fisicamente

Introduccion al calculo y al analisis matematico

792

representa el potencial de una pareja de cargas de magnitud igual y signo opuesto que se encuentran muy pr6ximas entre si . De la misma manera, puede expresarse el potencial de un dipolo en la forma

donde ofov denota la derivaci6n en la direcci6n arbitraria v, la del eje del dipolo . Si se tienen dipolos distribuidos sobre una superficie S, con den­ sidad de momento J.l , y si , en cada punto , el eje del dipolo es normal a la superficie , se obtiene una expresi6n de la forma

JL

: ( �) dcr,

11(/;, tJ. �) v

donde o/ov denota la derivaci6n en Ia direcci6n de la normal a Ia superficie (como antes, puede elegirse cualquiera de los dos sentidos para la normal} , y r es I a distancia del punto (�, 11 , �) que varia sobre la superficie al punto (x, y, z). Este potencial de una c apa doble puede concebirse como si se originara de Ia siguiente manera: a cada lado de Ia superficie y a una distancia h se construye otra superficie ; a una d e estas dos nuevas superficies s e le da una densidad superficial J.Lf2h y a Ia otra , una densidad superficial - J.L/2h. En un punto exter­ no , estas dos capas en conjunto crean un potencial que tiende a Ia expresi6n anterior cuando h � 0.

b. La ecuaci6n diferencial del potencial

En todas las expresiones que se consideren se supondra que el punto (x, y, z) en cuesti6n es un punto en el que no esta presente c ar­ ga alguna, de modo que los integrandos y sus derivadas con respecto a x, y, z son continuas. En virtud de esta hip6tesis puede obtenerse una relaci6n que satisfacen todos los potenciales mencionados, a saber, la ecuacz'6n diferencz"a l de Laplace

(38a) la cual se a brevia (38b)

Cl>xx + Cl>yy + Cl>zz = 0 , ACI>

= 0.

Ecuaciones diferenciales

793

Como puede verificarse facilmente por medio de un calculo sencillo (p . 87), esta ecuaci6n es satisfecha por la expresi6n 1/r. Por lo tanto, se cumple tambien para todas las demas expresiones form(ldas a par­ tir de 1/r p or suma o integraci6n, ya que pueden llevarse a cabo las derivaciones con respecto a x, y, z bajo el signo integral . 1 Esta ecuaci6n tambien es satisfecha por el potencial de una c apa doble, porque , en virtud de la reversibilidad del orden de la derivaci6n,2 se encuentra que para el potencial de un dipolo sencillo se cumple la ecuaci6n

A _! (_!_) = �av A _!_r == 0 . av r

(38c)

La ecuac10n de Laplace tambien es iatisfecha por la expresi6n log Jx2 + y2 , obtenida p ara el potencial de una recta vertical, como puede verificarse con facilidad (ver tambien el Capitulo 5, p . 632 ) . Como esta no depende de l a variable z , tambien satisface la ecuaci6n de Laplace mas sencilla en dos dimensiones,

xx + yy = 0 .

(38d)

El estudio de estas ecuaciones y de las ecuaciones diferenciales par­ dales relacionadas forma una de las ramas mas importantes· del analisis. Se debe se:fialar que el fin primordial de la teoria del poten­ cial no es , en modo alguno, la busqueda de soluciones generales de la = 0 , sino , mas bien, la cuesti6n de la existencia y la in­ ecuaci6n vestigaci6n de aquellas soluciones que satisfacen condiciones preasig­ nadas. Asi, un problema central de la teoria es el problema con valores en la frontera , en el que se busca una soluci6n de = 0 que , · junto con sus derivadas hasta de segundo orden, sea continua en una region preasignada y que tenga valores continuos preasignados sobre la frontera de R . ·

A

·

A

1 Observese que Ia derivaci6n bajo el signo integral solo es legitima mientras r =f=. 0, es ' decir, en las regiones en donde no esta presente carga alguna. De lo contrario, no tiene por que cumplirse la ecuaci6n de Laplace. Por ejemplo, dentro de una esfera s6lida , por (37b), su potencial satisface la ecuad6n 2 L\<1> = L\(21tA 2 3 1tr2)JJ. = 41tJJ. =f=. 0.

-

-

,

2 N6tese que Ia derivaci6n afi1v se refiere a las variables (l;, 11. �) , y la expresi6n 11 a las variables (x, y , z). Incidentalmente, la funci6n 1/r, considerada como una funci6n de las seis variables (x, y, z; l;, 11 , �). es simetrica en los dos conjuntos de .variables y, por lo tanto, tambien satisface la ecuaci6n de Laplace

<�>ee + TJTJ + <�>cc = o con respecto a las variables (l;, 11, �) .

794 c.

Introduccion al calculo y al analisis matematico Capas dobles uniformes

Aqul no se pueae hacer un estudio detallado de las funciones de potencz"al,1 es decir, de funciones que satisfacen la ecuacion de La­ place · Au = 0. A este respecto , el teorema de Gauss y el teorema de Green (pp . 667 , 675) se encuentran entre las principales herramien­ tas que se emplean. B astara ton demostrar , mediante algunos ejem­ plos, como se realizan esas investigaciones . Primero se considerara el potencial de una capa doble con den­ sidad de "momento" constante Jl = 1, es decir, una integral de la for­ ma

(39)

V=

JL :v (;)

da.

Esta integral tiene un sign� ficado geometrico sencillo . Supongamos que c ada punto de la superficie que forma la capa doble puede "ver­ se" desde el punto P con coordenadas (x, y, z), esto es, que ese punto puede unirse a p por medio de una recta que no corta la superficie en ninguna otra parte. La superficie S, junto con los rayos que unen su frontera con el punto P, forma una region conica, R , del espacio. Ahora afirmamos que el potendal de la capa do ble uniforme, excep­ to tal vez por el sz"gno, es . zgual al angulo s6lz'do que la frontera de la superfide S subtiende eri el punta P. Por este angulo solido debe en­ tenderse el area de Ia porci6n de una superficie esferica de radio unitario y centro en el punto P que queda limitada por los rayos que van de P a Ia frontera de S. Se le dar a el signo positivo a este . angulo solido cuando los rayos pasen a, traves de la superficie S en la misma direccion que la normal positiva de lo contrario se le dara el signo negativo . Para probar esto recuerdese que la funcion u = 1/r, cuando no solo se cofisidera como una funcion de (x, y, z) sino tambien como una funcion de (�, 11, i;;) , aun satisface la ecuacion de Laplace

v,

Au = u�;�; + Unn + U�t; = 0. Fijemos el punto p con coordenadas (x, y, z) y denotemos las coor­ denadas rectang11lares en la region conica R por (�, 11, �) ; se usara una esfera pequefia de; radio p alrededor del punto P para eliminar el vertice de R ; a la region restante se le denotara por Rp. Apliquese 1 Tam

bien Hamad as funciones arm6nicas.

Ecuaciones diferenciales

795

ahara a la funci6n u = 1/r, considerada como una funci6n de (�, T), �) en la region Rp, el teorema de Green (Capitulo 5, p . 67 5) en la for­ ma

Aqui S' es la superficie frontera de Rp y ajan denota la derivaci6n en la direcci6n de la normal hacia afuera. Como Au = 0, el primer mietnbro es cero.1 Si se elige la direcci6n normal positiva, v , sabre S de modo que coincida con la normal hacia afuera , n, la integral de superficie del segundo miembro consiste de tres partes : ( 1 ) la integral de superficie

sabre la superficie S, la cual es la expresi6n V considerada -en (39); (2) una integral sabre l a superficie lateral formada por los . rayos; (3) una integral sabre una porci6n rP de l a superficie de la pequeiia es­ fera de radio p. La segunda p arte es cero, puesto que alli la direcci6n norm al n es perpendicular al radio y, por lo tanto, es tangencial a la esfera r = constante. Para la esfera interior con radio P el simbolo a; an es e quivalente a - aja p , dado que la direcci6n hacia afuera de la normal apunta en la direcci6n en que disminuyen los valores de r. Asi se obtiene la ecuaci6n

o b ien,

vv

=o J�fJr a_E_(l)da p p p

= -

\ J�fJr

p

p

da,

donde a la derecha se tiene que integrar sobre l a porci6n rp de la superficie esferica pequefia que pertenece a la frontera . de R . Ahora

p

1 De esta forma, del teorema de Green se deduce que, en general, Ia integral de superficie

JJ�� dcr

tomada sabre una superficie cerrada , siempre debe anularse cuando Ia funci6n u satisface la ecuaci6n de Laplace ll.u = 0 en todo punta del interior de la superficie.

796

Introduccion al cilculo y al anilisis matemitico

escribase el elemento de superficie sobre la esfera con radio p en la forma da = p2 dro, donde dro es el elemento de superficie sobre la es­ fera unit aria , para obtener

La integral de la derecha debe tomarse sobre la porci6n de la super­ fide esferica de radio unitario que se encuentra en el cono de rayos; entonces se ve inmediatamente que el segundo miem,bro tiene el sig­ nificado geometrico que se menciono antes; es el negativo de la mag­ nz"tud angular aparente, si se elige la direccion normal sobre S de modo que apunte hacia afuera 1 de la region c6nica R . De lo con­ trario , debe tomarse el signo positivo. Si la superficie S no esta en una posicion relativa a P tan sencilla como la descrita sino que , por el contrario , se intersecta varias veces con alguno de los rayos que pasan por P, solo tiene que dividirse la superficie en un cierto numero de porciones del tipo mas sencillo, de manera de ver que se cumple la proposici6n . Por lo tanto, el poten­ dal de la capa do ble uniforme (de "momento "1) sobre una superfide acota·da es z"gual, excepto tal vez por el sz"gno, a la magnz'tud "aparen­ te" que tz'ene lafrontera cuando se observa desde el Punto (x, y, z). Para una superfic·ie cerrada se ve, subdividiendola en dos por­ ciones acotadas, que la expresion en cuestion es igual a cero si el punto P esta fuera� � igual a - 47t si esta dentro . Un argumento semejante demuestra, en el c aso de dos variables independientes, que la integral

fc :v

(log r) ds

a lo largo de la curva C, excepto posi blemente por el signo, es igual al angulo que subtiende esta curva en el punto P con coordenadas

(x, y). Este resultado. como el resultado correspondiente en el espacio, tambien puede explicarse geometricamente del modo siguiente. Sup6ngase que el punto Q con coordenadas (�, TJ) esta sobre la curva C. Entonces la derivada de log r en el punto Q, en la direccion de la normal a la curva, esta dada por la ecuacion 1 Se explica el signo negativo por el hecho de que con esta elecci6n de la direcci6n normal, la carga negativa esta en Ia cara de la superficie que da hacia el punto P.

Ecuaciones diferenciales

a a av (log r) = -ra(log r) cos (v,

797

r) = -r1 cos (v, r),

donde el simbolo (v, r) denota el angulo entre esta normal y la direc­ ci6n del radiovector r. Por otra parte, cuando se escribe en coor­ denadas polares (r, e), el elemento de arco , ds, de la curva tiene la forma .J · 2 ·2 de -7-ds = .J x2 + y"2 de = 7 � + � r de = cos (v, r) - yx + xy

(ver el Volumen I , p . 3 5 1 ) , de modo que la integral se transforma como sigue :

La integral final de Ia derecha es la expresi6n analitica para el an­ gulo . d. E { teorema del valor medio

Como una segunda aplicaci6n de la transformaci6n de Green se probara Ia siguiente propiedad del valor medio de las funciones de potencial :

Sup6ngase que u satisface la ecuacz"6n diferencz"a l Au = 0 en una cz"erta regz"6n R. Entonces, el valor de la funcz"6n de Potencz"a l en el centro, P, de una esfera s6lz"da arbz"trarz"a de radz"o r que se encuentre completamente en la regz"6n R es z"gual al valor medz"o de la funcz"6n u so bre la superfz"cz"e, Sr , de la esfera; es decz"r,

(40a)

u(x, y, z) =

4

1 2 rr

1tT

J J sr

udcr,

donde u(x, y, z) es el valor en el centro P y u es el valor sobre la su­ perficz"e Sr de la esfera de radz"o r. Para probar esto se procede como sigue: sea Sp una esfera concen­ trica a Sr , en el interior de esta , con radio < p � r. Como Au = en todo punto del interior de Sp, por Ia nota al pie de Ia pagina 795 se tiene

0

rr

vJ Sp

au an dcr =

0,

0

798

lritroduccion al dilculo

y

al analisis matematico

donde aujan es la derivada de u en la direccion de la normal exterior de Sp. Si (�, 11, �) son coordenadas corrientes y si , con el punto (x, y, z) como polo , se introducen coordenadas esfericas por medio de las ecuacwnes � - X = p

COS

�

sen

9,

11 - y = p

sen �

sen 9 ,

� - Z ::::: p

COS

9,

la ecuacion anterior queda

rr au(p , e, �)

JJs p

ap

dcr = 0.

dcr

dcr,

Como el elemento de superficie de la esfera SP es igual a p 2 siendo el elemento de superficie de la esfera S de radio unitario (ver (30e), p . 486 , se encuentra que

do

donde la region de integracion ya no depende de p. Consecuente­ mente ,

f. dp Jl :�da

=

o,

e intercambiando el orden de integracion y llevando a cabo Ia in­ tegracion con respecto a p, se tiene

ffs

{u(r, 9,

�) - u(O, 9, �)} dcr = 0.

�) = u(x, y, z) es independiente de 9 y �' ffs u(r, e, �) dcr u(x, y, z) ffs dcr = 41t u(x, y, z).

Puesto que u(O, e,

=

Debido a que

JJ u(r, e, �) da = r\ JJ S

Sr

u(r, e,

�) dcr,

donde la integral de la derecha se ha tornado sobre la superficie de

Sr, la propiedad del valor medio de u queda probada . Exactamente de I a misma manera , una funcion u d e dos variables que satisface Ia ecuacion de Laplace Uxx + Uyy = 0 tiene la propie­ dad del valor medz'o expresada por la formula

Ecuaciones diferenciales

27t ru(x, y) =

(40b)

J

Sr

u

799

ds,

donde u denota e] valor de la funcion de potencial sobre un circulo Sr con radio r y centro en el punto (x, y) , y ds es el elemento de arco de este circulo . en

e. Problema con valores de Poisson

la frontera para el circulo. Integral

Un problema con valores en la frontera que puede tratarse prac­ ticamente por completo es el de la ecuacion de Laplace en dos va­ riables independientes , x, y , para el c aso de una frontera circular. Dentro de la region circular x2 + y2 � R 2 , introduzcanse l as coor­ denadas polares (r, e) . Se desea encontrar una funcion u(x, y), con­ tinua dentro del drculo y sobre la frontera , que posea derivadas con­ tinuas de primero y segundo ordenes dentro de la region, que satis­ faga la ecuacion de Laplace A u = 0, y que tenga los valores prescritos u(R, e) = { ( e) sobre la frontera . Aqui se supone que {(e) es una fun­ cion periodica y continua de e , con primeras derivadas seccional­ mente continuas . La solucion de este problema , en terminos de coordenadas po­ lares , esta dada por la Hamada integral de Poisson; (41)

U =

R 2 - r2

27t

J 21tR2 - 2Rr cosf(a)(e - a) + r2 � .

0

•

Para probarlo, empecemos por construir soluciones especiales de la ecuaci6n de Laplace , en la forma siguiente. Transformese la ecuaci6n de Laplace a coordenadas polares , para obtener Au =

1 1 (rur)r + 2 uaa = 0, r r

-

y

busquense soluciones que puedan expresarse en la forma "sepa­ rada" · u = �(r) 'l'(e) , es decir, como el producto de una funcion de r y una funcion de e . Si se sustituye esta expresi6n para u en la ecuacion de Laplace , la ecuaci6n queda r

[r�'(r)]r = �(r)

'l'"(e) 'l'(e) .

800

Introduccion al calculo

y

al a:nalisis matematico

Como el primer miembro no contiene a e y el segundo miembro no contiene a r, cada uno de los dos miembros debe ser independiente de ambas variables, es decir, deben ser iguales a Ia misma constante, k. Como consecuencia , v(e) satisface Ia ecuaci6n diferencial 'I'" +

kv = o.

Dado que Ia funci6n u y, por tanto, 'l'(e) deben ser peri6dicas con periodo 21t , Ia constante k es igual a n2, donde n es un entero. Por lo tanto ,

'l'(e) = a cos ne + b sen ne; donde

a y

b son . constantes arbitrarias. (J(r),

La ecuaci6n diferencial para

r2(J"(r) + r(J'(r) · - n2(J(r) = 0,

es una ecuac1on diferencial lineal y, como puede verific�rse inme­ diatamente, las funciones rn y r-n son soluciones independientes . Dado que Ia segilnda soluci6n se' vuelve infinita en el origen, debien­ do u ser continua alii , se toma Ia , primera soluci6n, (J = rn , y se ob­ ' tienen las soluciones separadas de Ia ecuaci6n de Laplace

rn(a cos ne + b sen ne). Pueden ahora generarse otras soluciones mediante Ia combination lineal de estas soluciones, de acuerdo con el principio de superpo­ sition (ver Ia p. 757 ) 1 2 ao + � rn(a n cos ne + bn sen na).

Incluso una serie infinita de esta forma sera una solucion, siempre que Ia serie converja uniformemente y pueda derivarse termino a ter­ mino por dos veces en el interior del circulo. El desarrollo de Fourier de Ia funci6n en Ia frontera {(e) , pres­ crita , 1 t(e) = ao + � (an cos ne + bn sen ne), 00

2

n==l

• ·'

considerada como una serie en e, sin duda converge absoluta uniformemente (ver el Volumen I , p . 604). Por lo tanto, Ia serie

. 1 rn u(r, e) = 2 ao + ]; R n (a n cos ne + bn sen ne) I oo

y

Ecuaciones diferenciales

801

a

fortiori converge uniforme y absolutamente en el interior del cir­ culo . Adem as , esta serie puede derivarse termino a termino, siempre que porque la serie resultante , a su vez , converge unifor­ memente (ver el Volumen I , p . 539). Por lo tanto, la funcion es una funci6n de potencial . Puesto que tiene el valor prescrito en la frontera , es una soluci6n del problema con valores en la frontera propuesto . Puede reducirse esta soluci6n a la forma integral (4 1 ) , introdu­ ciendo las integrales para los coeficientes de Fourier,

r < R,

u(r,

e)

1 1t an = -1t J02 {(a) cos na da, bn = -1t1 J021t{(a) sen na da.

Ya que la convergencia es uniforme , pueden intercambiarse Ia in­ tegraci6n y la sum a; asi se obtiene

u(r, e) = 1t1 J021t f(a) {-21 + n:Eoo=I Rrnn cos n(e - a) } da. -

La formula de la integral de Poisson quedara prob ada si puede establecerse la relacion

00 rn cos nt = -1 R2 r2 2 n = Rn 2 R2 - 2Rr -cos t + r2 •

1 - + :E

1

-

Pero esto puede probarse por medio del metodo usado en el Volumen

I (p . 586), es decir, por reducci6n a una serie geometric a , usando la

representaci6n compleja

cos nt = � (ein-r + e-in-r).

Se dejan al lector los detalles de la demostraci6n . Ejercicios 6. 7 1 . Aplicando una inversion a la formula de Poisson, encontrar una funcion de potencial u(x, y) que este acotada en la region exterior al circulo unitario y tome valores dados, {(6) , sobre su frontera (el llamado pro­ blema con valores fuera de la frontera) . 2 . Encontrar (a) las superficies equipotenciales y (b) las lineas de fuerza, para el potencial del segmento x = y = 0, - l � z � + l, de densidad lineal constante , lJ.. 3. Probar que si se dan los valores de una armonica u(x, y, z) y de su de­ rivada normal , aufan , sobre una superficie cerrada S, entonces el valor de u en cualquier punto interior esUi dado por la expresion

802

Introduccion al calculo

u(x,y, z)

-

_

1

47t

y

al analisis matematico

( au u --a,;- ) da '

lJs

1

r

on

-

o(1/r)

dondc r es la distancia del punto (x , y, z) al punto variable de integracion (aplicar el teorema de Green a las funciones y 1/r).

u

6. 8 Mas ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales que sur­ gen en la fisicomatematica.

a. La ecuaci6n de onda en

una

dimensiOn

Los fenomenos de propagacion de ondas (por ejemplo, de luz o de sonido) estan gobemados por la Hamada ecuad6n de onda. Em­ pecemQs por considerar el sencillo caso ideal conocido como onda unidimensional. Una onda de este tipo involucra la m agnitud , u , de alguna propiedad - por ejemplo, la presion, posicion de una par­ ticula o intensidad de un campo electro - que no solo depende de la coordenada de posicion x (se toma la direccion de propagacion como el eje x) sino tambi�n del tiempo, t . Entonces una funcion de onda u(x, t) satisface una ecuacion diferencial parcial de la forma

Uxx =

(42a)

1

a2

Utt,

donde a es una constante que depende de la naturaleza fisica del medio .1 Pueden encontrarse soluciones de la ecuacion (42a), de la forma u = f(x - at), donde {(�) es una funcion arbitraria de � , de la cual solo se supone que tiene derivadas continuas de primero y de segundo orden. Si se pone � = x at, inmediatamente se ve que la ecuaci6n diferencial en cuesti6n realmente es satisfecha , porque

-

Uxx = {" (�),

Utt = a 2{"(�).

De la misma manera, usando una funcion arbitraria g(�), se obtiene una soluci6n de la forma 1 Por ejemplo, para las vibraciones transversales de una cuerda u representa el des­ plazamiento lateral de una particula, y a2 = Tfp , donde T es la tension y p la masa por unidad de longitud.

Ecuaciones diferenciales

803

u = g(x + at).

An1bas soluciones representan movimientos ondulatorios que se propagan con la velocidad a a lo largo del eje x; la primera represen­ ta una onda que viaja en la direcci6n x positiva, la segunda , una on­ da que viaja en la direcci6n x negativa . Sup6ngase que u = f(x - at) tiene el valor u(XI, ti) en cualquier punto Xl, en el instante h ; enton­ ces u tiene el mismo valor, en el instante t , en el punto x = XI - a(t - h), porque x - at = XI - a h , de modo que f(x - at) = {(xi - at 1). De la misma manera puede verse que la funci6n g(x + at) re­ presenta una onda que viaja en la direcci6n X· negativa , con velocidad a. Ahora se resolvera el siguiente problema con valores iniciales para est a ecuaci6n de onda . De entre todas las soluciones posibles de la ecuaci6n diferencial se desea seleccionar aquellas para las cuales el est ado inicial (en t = O) esta dado por dos funciones prescritas : u(x, 0) = ,P(x) y Ut (x,O) = 'l'(x). P ara resolver este problema, simplemente se escribe (42b) y

u = f(x - at) + g{x + at)

se determinan las funciones f

y

,P(x) = f(x) 1 - 'I'(X) = a

La segunda ecuaci6n da c +

l

-

g a partir de las dos ecuaciones +

g(x),

f'(x) + g'(x).

1 x 'l'('t) d't = a o

-

f(x)

+

g ( x ),

donde c es una constante arbitrari a de integraci6n . De esto facilmen­ te se obtiene la soluci6n requerida en la forma

(42c)

_

U(X, t) -

,P(x

+

at)

+

2

,P(x - at)

+

_!_

at

x+ 2a ix- at

'I'('t) d't,

Ahora el lector debe probar por cuenta propia, introduciendo las nuevas variables independientes � = x - at, 11 = x + at en lugar de x y t que no existen otras soluciones de la ecuaci6n diferencial mas que las dadas .

804

Introduccion al calculo b. La ecuaci6n de onda

y

al analisis matematico

en

el espacio tridimensional

En el espacio de tres dimensiones, la funci6n de onda u depende de cuatro variables independientes, a saber, l as tres coordenadas es­ paciales x, y, z y el tiempo t. Entonces Ia ecuaci6n de onda es

1

(43a) 0,

mas brevemente,

(43b)

Uxx + Uyy + Uzz = 2 Utt, a

. 1 Au = 2 Utt. a

Aqui, una vez mas, facilmente se encuentran las soluciones que representan Ia propagaci6n de una onda plana en el sentido fisico. A saber, cualquier funci6n , {(�) , que sea continuamente diferenciable por dos veces proporciona una soluci6n de Ia ecuaci6n diferencial, si se hace que � sea una expresi6n lineal de Ia forma

� = ax

+

py + yz

±

at,

cuyos coeficientes satisfacen la relaci6n

Porque, ya que

Au = (a2 + p 2 + y2)f"(�) = {"(�) y

Utt = a2 {"(�), se ve que u = {(ax + py + yz ± at) realmente es una soluci6n de Ia ecuaci6n (43b). Si q es la distancia del punto (x, y, z) al plano ax + py + yz = 0, por geometria analitica se sabe (ver Ia p. 1 69) que

q = ax + py + yz. De aqui que , en primer Iugar, de la expresi6n

u = f(q + at)

Ecuaciones diferenciales

805

se ve que en todos los puntos de un plano que esta a una distancia q del plano ax + �y + "(Z = 0 y es paralelo a este ultimo, la propiedad que esta siendo pro p aga q a (representada por u) tiene el mismo valor en un mom ento dado . La propiedad se propaga en el espacio de manera tal que los pianos paralelos a ax + �y + yz = 0 son siempre superficies en las que la propiedad es constante; Ia velocidad de propagaci6n es a en la direcci6n perpendicular a los pianos. En fisica te6rica , un fen6meno que se propaga de esta manera se conoce como onda plana. Un caso de particular importancia es aquel en el que Ia propiedad varia peri6dicamente con el tiempo . Si Ia frecuencia de Ia vibraci6n es ro, un fen6meno de este tipo puede representarse por medio de

u = exp [ik(ax + �y + yz + at)]

exp [ik(ax + �y + yz)] exp(irot),

=

donde kf2n es el reciproco de la longitud de onda A. : k = 2rc/A. = rofa. La ecuaci6n de onda con cuatro variables independientes tiene otras soluciones , que representan ondas esferz'cas propagandose desde un punto dado, digamos, el origen . Una onda esferica se define diciendo que Ia propiedad es I a misma ,- en un instante dado, en todo punto de una esfera con centro en el origen , es decir, que u tiene el mismo val<;>r en todos los puntos de Ia esfera. Para encontrar solu­ ciones que satisfagan esta condici6n, se transforma �f.!, a las coor­ denadas polares (r, e, �), y,. a continuaci6n , se supone que u solo depende de r y t pero no de 9 ni de �· Si , cqmo consecuencia , las derivadas de u con respecto a e y a � se igualan a cero (ver Ia p . 61 0), la ecuaci6n diferencial (43b) queda

Urr +

2

-

r

Ur

1

= 2 a

Utt

o b ien ,

(ru)rt

1

= 2 a

(ru)u.

Por el momento se remplaza ru por w soluci6n de Ia ecuaci6n

Wrr

=

1 a

2

Wtt,

y

se observa que w es una

806

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Ia cual ya se ha estudiado; de donde , w debe ser expresable en la for­ ma

Consecuentemente ,

(43c)

w =

f(r - at) + g(r + at).

u = 1 [f(r - at) + g(r + at)]. r -

El lector debe ahora verificar directamente por su cuenta que una funci6n de este tipo realmente es una soluci6n de Ia ecuaci6n dife­ rencial (43b). Fisicamente , Ia funci6n u = f(r - at)/r representa una onda que se propaga con velocidad a desde un centro hacia el espacio .

c. Las ecuaciones de Maxwell

en

el espacio libre

Como un ultimo ejemplo se discutira el sistema de ecuaciones conocidas como ecuaciones de Maxwell, que constituyen el funda­ mento de Ia electrodinamica . Sin embargo, no se intentara consi­ derar las ecuaciones desde el punto de vista fisico, sino simplemente se .les usara para ilustrar los diversos conceptos matematicos desa­ rrollados anteriormente . El "estado" electromagnetico e n el espacio libre queda deter. minado por medio de dos vectores dados como funciones de Ia po­ sicion y del tiempo: un vector electrico , E, con componentes E1, Ez, Ea y un vector magnetico, H, con componentes H1, Hz, Ha. Estos vectores satisfacen las ecuaciones de M axwell :

1 aH =0 at

(44a)

rot E + - -

(44b)

rot H - -!_

c

c

--'---

aE

at

=0

'

'

don de c es Ia velocidad de la luz en el espacio libre . Expresadas en terminos de las componentes de los vectores , l as ecuaciones son :

Ecuaciones diferenciales

aE3 ay aEi ·az aE2 ax

_

_

_

y

aE2 az aE3 ax aE1 ay

807

1_ ?H1 = O c at + ]-_ �H2 =O , c at + 1_ aH3 0 = ' c at +

· '

aH3 aH2 - _!_ aE1 = 0 ' ay- - a-z c at aH1 �H3 1_ aE2 = O' az ax c at aH2 aH1- .! aE3 = 0 ' ax c at ay

_

_

Asi se tiene un sistema de seis ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, es decir, de ecuaciones que contienen las primeras derivadas p arciales de las componentes con respecto a las coorde­ nadas espaciales y al tiempo . Ahora se deduciran algunas consecuencias caracteristicas de las ecuaciones de M axwel l . Si se forma la divergenda de ambas ecua­ ciones y se recuerda que div rot A = O (ver la p. 2 1 1 ) y que la de­ rivaci6n con respecto al tiempo y la operaci6n de divergencia son in­ tercambiables , de (44a , b) se obtiene (45a)

(45b)

div E = constante, div H = constante ;

esto es, las dos divergencias son independientes del tiempo. En par­ ticular, si inicialmente div E y div H son cero , siguen siendo cero todo el tiempo. Considerese ahora cualquier superficie S que se encuentre en el cam­ po y t6mense las integrales de volumen

y

JJJ div E dt

JJJdiv H dt

808

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

en todo el volumen encerrado por ella. Si se aplica el teorema de Gauss (p. 667 ) a estas integrales, se transforman en integrales de las componentes normales En, Hn sobre la superficie S. Es decir, las ecuac 1 0nes

div E = 0, dan

JJs En dcr

=

div H = 0

JJs Hn dcr = 0.

0,

En la teoria de la electricidad, las integrales de superficie 0 se conocen como los flujos electrz"co o magnetz"co a traves de la super­ fide S; en consecuencia , e i result ado puede enunciarse como sigue :

Los flujos electrz"co y magnetz"co a traves de una superficz"e cerrada, sujetos a condz"cz"ones z"nicz"ales que anulan dz"v E y dz"v H, son cero. Se obtiene algo mas a partir de las ecuaciones de Maxwell si se considera una porci6n de la superficie S limitada por la curva r, como sigue : Si se denotan las componentes de un vector normal a la superficie S mediante el subindice n, de l as ecuaciones de Maxwell (44a, b) in­ mediatamente se deduce que ( rot ( rot

E)n =

H)n =

- ! a�n. a n + ! ! ·

Si se integran estas ecuaciones sobre Ia superficie con elemento de superficie dcr, pueden transformarse los primeros miembros en in­ tegrales de linea tomadas a lo largo de la frontera r ' mediante el teorema de Stokes (ver Ia p . 678). Haciendolo asi y tomando Ia derivaci6n con respecto a t fuera del signo integral , se obtienen las ecuaciones .

Ecuaciones diferenciales

L Es ds LH•

=

809

� :e JL Hn dcr, + ! ! JL E,. da,

-

ds =

donde los simbolos Es y Hs b ajo los signos integrales de Ia izquierda son l as componentes tangencz"ales de los vectores electrico y mag­ netico en la direcci6n del arco creciente, y el sentido de recorrido de la curva r junto con la direcci6n del vector normal n define un tor­ nillo "derecho" . Los hechos representados por estas ecuaciones pueden expresarse en palabras como sigue:

La 'integral de linea de La fuerza electrz"ca o magnetz"ca alrededor de un elemento de superfz"cz"e es proporcional a La rapz"dez de cambz"o del flujo electrz"co o magnet-leo a traves del elemento de superficie, s'iendo La constante de proporc'ionalz"dad - 1/c 6 + 1/c. Por ultimo , se establecera la relaci6n entre l as ecuaciones de Max­ well y la ecuaci6n de onda . De hecho se encuentra que cada uno de los vectores E y H, es decir, cada una de las componentes de los vec­ tores , satisface la ecuaci6n de onda 1 Au = 2 Utt. c

Para demostrarlo eliminese , por ejemplo el vector H de l as dos ecuaciones, derivando la segunda ecuaci6n con respecto al tiempo y sustituyendo aHjat por lo que se obtenga de la primera ecuaci6n. Entonces se concluye que 1 a2E = 0. c rot ( rot E) + c at2

Si ahora se aplica la relaci6n vectorial 1

(46)

rot ( rot A) = - AA + grad(div A),

y se recuerda que div E = 07 1 Esta relaci6n vectorial se deduce inmediatamente de su expresion en terminos de las coordenadas.

810

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matemitico

inmediatamente se obtiene

(47a) De la misma manera puede demostrarse que el vector H satisface la misma ecuaci6n:

(47b)

Ejercicios 6 . 8 1 . Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales parciales: (a) Uxy = (b)

0 Uxyz = 0

(c) Uxy

= a(x, y).

2. Encontrar una soluci6n de Ia ecuacion Uxy

=

U,

para Ia cual u(x, 0) = u(O, y) = 1, en Ia forma de una serie de potencias. 3. Encontrar Ia ecuacion diferencial parcial que es satisfecha por Ia familia biparametrica de esferas

z2

= 1 - (x - a) 2 - (y - b) 2.

4. Probar que si z

= u(x, y, a, b)

es una solucion que depende de los dos parametros a, b, de Ia ecuacion diferencial de primer orden

F(x, y, Z, Zx, Zy)

= 0,

entonces Ia envolvente de toda familia uniparametrica de soluciones que se elijan de entre las z = u(x, y, a, b) es, a su vez, una solucion. 5. (a) Encontrar soluciones particulares de Ia ecuacion de Ia forma u = f(x) + g(y). (b) Encontrar soluciones particulares de Ia ecuacion UxUy

=1

de las formas u = f(x) + g(y) y u = f(x) g(y) . (c) Usar el resultado del Ejercicio 4 para obtener otras soluciones de Ia ecuacion dada en Ia parte (b), poniendo b = ka en

Ecuaciones diferencia1es

811

1 u = ax + b, . + -y a donde k es una constante. 6 . Resolver la ecuaci6n· Uxx + 5 Uxy + 6Uyy = e x+ y ,

reduciendola a una de la forma de la del Ejercico 1 (c) . 7 . Pro bar que si K es una funci6n homogenea de x, y, z la ecuaci6n

_§__

ax

(x )

(x )

au + _§__ ax ay

au + _§__ ay az

(x )

au =0 az

tiene una soluci6n que es una potencia de (x2 + y2 + z2). 8 . Determinar las soluciones de la ecuaci6n

()

que tambien sean soluciones de

)

( oz 2 = a 2 az 2 \ot ax · 9 . (a) Obtener soluciones particulares de la ecuaci6n de onda Uxx =

1 Utt , C2

en la forma u(x, t) = if>(x)ljJ(t) que satisfagan las condiciones de frontera

u(O, t) = u(1t, t) = 0. (b) Expresar la soluci6n de la parte (a) en la forma f(x + ct) + g(x ­ ct). (c) Pro blema de la cuerda punteada: desarrollando {(x) sobre el in­ tervalo [0, 1t] en una serie de Fourier exclusivamente de senos que 1t), encontrar una soluci6n define f( - x) = - f(x) para 0 � x del tipo antes mencionado que satisfaga las condiciones iniciales, para 0 � x � 1t,

�

u(x, O) = f(x) Ut(x, O) = 0, don de

{X, X X, X 0 �

(i)

f(x) =

(ii)

f(x) = .E

1t

n=l

-

�1t/2

1t/2 �

� 1t

<Xn sen nx .

10. Denotemos por u(x, t) una soluci6n de la ecuaci6n de onda Uxx =

1 Utt a2

(a >

0),

812

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

que sea continuamente diferenciable por dos veces. Sea rp(t) una funci6n dada, continuamente diferenciablepor dos veces, tal que

¢(0) = ¢'(0) = ¢"(0) = 0. Encontrar la soluci6n u para x � 0 y . t � 0 determinada por las con­ diciones de frontera

= Ut(x, 0) = 0 u(O, t) = ¢(t)

u(x, 0)

(x � 0), (t � 0).

CAPITULO 7

Calculo de variaciones

7. 1

Funciones

y

sus extremos

En la teoria de l
(1)

df = 0

0

grad / = 0

0

fxi = 0

(i = 1,

.

. . , n) .

Est as ecuaciones expresan el caracter estacionario de la fun cion f en el punta en cuesti6n . El que estos puntas estacionarios sean en realidad puntas m aximos 0 minimos solo puede decidirse despues de una investigaci6n adicional . En contraste con las ecuaciones ( 1 ) , las condiciones suficientes para la existencia de extremos taman la forma de desz'gualdades (ver la p . 402). E l calculo d e varia dones esta igualmente relacionado con el problema de los valores extremos (valores respectz"vamente estacio­ narios) pero en una situaci6n completamente nueva. Ahara las fun­ ciones cuyos extremos se buscan ya no dependen de una variable in­ dependiente o de un numero finito de variables independientes . den­ tro de una cierta regi6h , sino que son los llamados funcionales o fun­ ciones de funciones . Especificamente, para determinarlos deben conocerse una o mas funciones o curvas (o superficies, como puede ser el c aso), las Uamadas funciones argumento. El interes por problemas de este tipo surgi6 en 1 696 por el enun­ ciado de John Bernoulli del pro blema de la braquist6crona. En un plano vertical x, Y se une un punta A =7 (xo, yo) a un pun­ to B = (x1, Yt), donde X1 > xo, Yl > yo, por medio de una curva 813

814

Introduccion al calculo y al analisis matematico

suave , Y = u(x) , de tal manera que el tiempo necesario para que una particula se deslice sin rozamiento desde A b asta B a lo largo de la curva , bajo la acci6n de la gravedad (la cual se considera que actua en la direcci6n del eje y positivo), sea lo mas corto posible . La expresi6n matematica del problema se basa en la hip6tesis fisica de que a lo largo de tal curva, y = ,P(x} la velocidad ds/ dt (siendo s la longitud de arco de la curva) es proporcional a .J2g(y- yo), la raiz cuadrada de la altura de caida . Por lo tanto , el tiempo de caida de la particula esta dado por

- ixoxt dslj__� dsdx dx --

T-

1 .J2g

__

lx t -v'l + y'2 dx xo .Jy - yo

(ver el Volumen I , p . 408). Si se elimina el factor irrelevante ,-v'2g y se toma Yo = 0 (lo cual puede hacerse sin perdida de generalidad), se obtiene el problema siguiente: entre todas las funciones continua­ mente diferencia bles y = rf>(xo), y para las cuales ¢(xo) = 1> (x t) = y1 , encontrar aquella para la cual la integral

� 0,

I {1>} =

(2a)

0,

ixl Jl + y'2 dx xo y

tiene el menor valor posi ble . En la p. 82 7 se obtendra el resultado - muy sorpren 9-ente p ara los contemporaneos de Bernoulli - de que la curva y = �(x) debe ser una cicloide. Aqui se desea hacer resaltar el hecho de que el pro­ blema de Bernoulli y los problemas elementales de maximos y mi­ nimos son completamente diferentes . La expresi6n I {1>} depende del curso completo de la funci6n rp. Dado que I no puede ser descrita por lo valores de un numero finito de vari ables independientes, es una funci6n de tipo nuevo. Su caracter de "funci6n de una funci6n ,P(x)" se indica por medio de corchetes . El siguiente es otro problema de naturaleza semejante : se deben unir dos puntos, A = (xo, yo) y B = (XI, Yt), donde XI > xo, Yo > YI > por medio de una curva y = u(x) que se encuentre por en­ cima del eje x , de manera tal que el area de la superficie de revo­ luci6n que se forma cuando se hace girar la curva alrededor del eje x sea lo mas pequeiia posible. Usando la expresi6n dada en la p . 487 para el area de una super­ fide de revol uci6n y eliminando el factor irrelevante 21t , se tiene el siguiente enunciado matematico del problema: entre todas las fun-

0,

0,

Cilculo de variaciones

815

ciones continuamente diferenciables y = (J(x) para las cuales (J(xo) = Yo, (J(x1) = Yl, (J(x) > 0, encontrar aquella para la cual la integral (2b) tiene el menor valor posible . Se encontrara que la soluci6n es una catenaria . E l elemental problema geometrico d e encontrar la curva mas cor­ ta que une dos puntos, A y B, en el plano pertenece a la misma categori a . Analiticamente, el problema es encontrar dos funciones, x(t), y(t) , de un parametro t en un intervalo to � t � t1, para las cuales se prescriben los valores x(to) = .xo, x(ti) = X1 y y(to) = yo, y(tt) = Yl y la integral

(

(2c)

.

_

X -

dx dy dt' y - dt •

_

)

tiene el menor valor posible . Por supuesto , la soluci6n es una recta. Menos trivial es la soluci6n del problema correspondiente de en­ contrar las geodesicas so bre una superficie dada G(x, y, z) = 0, es decir, de unir dos puntos sobre la superficie , con coordenadas (xo, yo, zo) y (x1, y1, Zl) , por medio de la curva mas corta posible que se en­ cuentre sobre la superficie. En lenguaje analitico se tiene el problema siguiente: entre todas las triadas de funciones x(t), y(t), z(t) del pa­ rametro t, que hacen de la ecuaci6n

(3a)

G(x, y, z) = 0

una identidad en t y para l as cuales x(to) = xo, y(to) = yo, z(to) = zo y x(t1) = X1, y(t1) = y1, z(ti) = Zl , encontrar aquellas para las cuales la integral (3b) tiene el menor valor posible . El Problema i'soperimetrico de encontrar una curva cerrada de longitud dada que encierre la mayor area posible , ya discutido en la p. 420, tambien pertenece a la misma categoria . Anteriormente se ha probado que la soluci6n es un circulo. 1 l La demostraci6n dada aqui solo se aplica a las curvas convexas; sin embargo, la ob­ scrvaci6n siguiente nos permite extender inmediatamente el resultado a cualquier curva : considerese el minimo conjunto convexo de la curva C (es decir, el menor conjunto convexo que encierre a C) . Su frontera, K, consiste de arcos convexos de C y porciones rectilineas de tangentes a C que tocan a esta en dos puntos y forman un puente sobre las partes c6ncavas de C mediante rectas. Resulta evidente que el area

816

Introduccion a l cilculo

y

a l anilisis matemitico

El planteamiento .general del tipo de problema encontrado aqui es como sigue: se da una fun cion F(x, r/J, r/J') de tres argument as que, en la region de los argumentos corisiderada, es continua y tiene deri­ vadas continuas de primero y segundo 6rdenes . Si en esta funci6n F se remplaza rfi por una funci6n Y = rfi(x) y rfi' por l a derivada y' = rfi' (x), F se convierte en una funci6n de x, y una integral de la forma (4)

I {rfi} =

i xlo F(x, y, y') dx x

se vuelve un numero definido que depende de la funci6n Y = f)(x) ; es decir, es un "funcional evaluado para la funci6n rfi(x). " El problema fundamental del calculo de variaciones es el siguiente: Entre todas las funciones que estan definidas, son continuas y poseen primera y segunda derivadas continuas en el intervalo xo � x � Xt y para las cuales se prescriben los valores en la frontera Yo = f) (xo) y y1 = rfi(x t), encontrar aquella para la cual el funcional I {rfi} tiene el menor valor Posible (o el mayor valor posib le). Al dicutir este problema, un punta esencial es la naturaleza de las condiciones de admisibilidad impuestas sabre las funciones rfi(x). For­ mar el valor I {rfi} simplemente requiere que cu.ando se sustituye {J(x) , F sera una funci6n seccionalmente continua de x y esto queda ase­ gurado si la derivada rfi'(x) es seccionalmente continua. Pero incluso se han hecho mas rigurosas las condiciones de admisi6n al requerir que las primeras derivadas , e incluso las segundas derivadas, de las funciones rfi(x) sean continuas . Por supuesto , como consecuencia se restringe el campo en el que debe buscarse el maximo o el minima. Sin embargo, se encontrara que , de hecho, esta restricci6n no afecta a la soluci6n , es decir, que la funci6n que es mas favorable cuando se cuenta con un campo mas amplio siempre se encontrara en el campo mas restringido de funciones con primeras y segundas derivadas con­ tinuas .

de K es mayor que la de C, siempre que C no sea convexa y, por otra parte , que el perimetro de K es menor que el de C. Si ahora se hace que K se extienda unifor­ memente de modo que siempre conserve la misma forma , hasta que la curva resul­ tante K' tenga el perimetro prescrito, K' sera una curva del mismo perimetro que C pero que encierra un area mayor. De aqui que , en el problema isoperimetrico, desde el principia nos podemos restringir a curvas convexas, para obtener el area m axima.

Calculo de variaciones 8 17

Problemas de este tipo se presentan con bastante frecuencia en la geometria y la fisica . Aqui solo se menciona un ejemplo : el principio fundamental de la 6ptica geometrica . Considerese un rayo de luz en el plano x, y y supongase que la velocidad de la luz es una funcion dada , v(x, y, y') , del punto (x, y) y de la direccion y' [ siendo y = 9(x) la ecuacion de la trayectoria de la luz y y' = if/(x) la derivada correspondiente ]. Entonces el princz'pio de Fermat del tiempo mi­ nimo a firma : La trayectoria real de un rayo de luz entre dos puntos dados A, B es tal que el tiempo q ue tarda la luz en recorrerla es menor que el tiempo q ue tardaria en recorrer cualquier otra trayectoria desde A hasta B. En otras palabras, si t es el tiempo y s la longitud de arco de cual­ quier curva y = 9(x) que una los puntas A y B, el tiempo que tar­ daria la luz en recorrer la porcion de curva entre A y B esta dado por la integral

(5) La trayectoria. real de la luz queda determinada por la funcion y

=

9(x) para la cual est a integral tiene el me nor valor posible .

Se ve que el problema optico de encontrar el rayo de luz es un caso especial del problema general enunciado en el parrafo anterior, correspondiente a

l_+--=y'_2 J_ F= _ v En la mayor parte de los c asos opticos, la velocidad de la luz , v, es in­ dependiente de la direccion y es simplemente una funcion de posi ­ cion, v(x, y).

7. 2

Condiciones necesarias para Ia existenda de valores extremos de un funcional

a. A nulaci6n de la primera variaci6n

El proposito es encontrar l as condiciones necesarias para que una funci6n y = {J(x) pueda proporcionar un maximo o un minirno, o'

818

Introduccion a l calculo

y

a l analisis matematico

bien, usando un termino general , un valor extrema, de Ia integral I {9>} definida por (4) . Se procede siguiendo un metodo bastante analogo al usado en el problema elemental de encontrar los valores extremos de una funci6n de una o mas variables. Se supone que y = 9> = u(x) es Ia soluci6n . Entonces se tiene que expresar el hecho de que (para Ia existencia de un minimo) I debe crecer cuando se rem­ plaza u por otra funci6n admisible , fJ. Ademas, como simplemente estamos interesados en obtener las condiciones necesarias, podemos restringirnos a Ia consideraci6n de cualquier clase especial de fun­ ciones 9> que esten pr6ximas a u, es decir, funciones p ara l as que el valor absoluto de Ia diferencia 9 - u permanezca entre cotas pres­ critas . Se piensa en Ia funci6n u como un miembro de una familia uniparametrica , con parametro E, construida como sigue : se toma cualquier funci6n 11(x) que se anule sobre Ia frontera del interva­ lo - es decir , para Ia cual ll(Xo) = 0, ll(XI) = 0- y que tenga primera y segunda derivadas continuas en todo punto del intervalo cerrado. Entonces se forma Ia familia de funciones =

9>(x, E)

u(x) + Ell(X).

La expresi6n Ell (X) = o u se llama variaci6n de la funci6n u [ pues­ to que [ ll(X) = af1jaE,el simbolo () denota Ia diferencial que se obtiene cuando se considera a E como Ia variable independiente y a x como un parametro.]. Entonces , si se consideran fijas tanto a Ia funci6n u como a Ia funci6n , el valor del funcional

I {u + Ell} = G(E)

=

JxXoI F(x,

u

+ Ell, u' + Ell ' ) dx

se convierte en una funci6n de E ; y el postulado de que u dar a un minimo de I {9>} implica que Ia fun cion de arriba poseera un minimo para E = 0, de modo que como condiciones necesarias se tienen Ia ecuaci6n

(6a) y

G'(O) = 0

Ia desigualdad

(6b)

G"(O)

� 0.

Las condiciones necesarias correspondientes para Ia existencia de un maximo son Ia misma ecuaci6n G'(O) = 0 y Ia desigualdad inver­ tida G"(O) � 0. La condici6n G'(O) = 0 debe ser satisfecha por toda

Calculo de variaciones

819

funci6n 11 que satisfaga las condiciones anteriores pero que, por otra parte, es arbitraria . Hacienda a un lado la cuesti6n de discriminar entre los maximos y los minimos , se dice que si una funci6n u satisface la ecuaci6n G' (O) = 0, para todas las funciones 11, la integral I es estacionaria para � = u. Si, como antes , se usa el simbolo o para denotar la diferen­ ciaci6n con respecto a E, tambien se dice que la ecuaci6n oi = EG' (O) = o,

cuando es satisfecha por una funci6n tfi = u y T] , arbitraria , expresa el caracter estacionario de I. La expresi6n

(6c)

EG'(O) = E

{ dd Jr XI F(x, u + ET] , E

xo

'

u

+ Ell ') dx

}

s=o

se llama variaci6n o, mas precisamente, primera vari'aci'6n, 1 de la in­ tegral . Por lo tanto, el carticter estacz"onar,;o de una integral y la anulaci6n de la primera variaci6n significan exactamente lo mismo El caracter estacionario es necesario para la existencia de maximos o minimos , pero , como en el caso de los maximos o minimos or­ dinarios , no es una condici6n suficiente para que se presente cual­ quiera de estas posibilidades. Aqui no se tratara el problema de la suficiencia; en lo que sigue nos restringiremos al problema del carac­ ter estacionario. El objetivo principal es transformar la condici6n G'(O) = 0 , para el caracter estacionario de la integral, de manera tal que se convierta en una condici6n solo para u y ya no contenga a la funci6n arbitraria 11 · Ejercicios 7 . 2a 1 . En relacion con el problema de la braquistocrona (ver las pp. 8 1 3-8 14), calcular el tiempo de caida cuando los puntos A y B estan unidos me­ diante una recta. 2 . Supongase que la velocidad de una particula con coordenadas esfericas (r, e, tfo) , que se mueve en el espacio tridimensional, es v = 1/f(r). � Que tiempo tarda la particula en describir la porcion de una curva dada por un pan1metro a [ siendo r(cr), 6(cr), t/J(cr)] las coordenadas de un punto de la curva, entre los puntos A y B? 1 De aqui proviene e l uso del termino dtlculo d e variaciones, con l o que s e quiere in­ dicar que , en este tema , se desea considerar el comportamiento de funciones de una funci6n cuando se hace variar a esta funci6n independiente, o funci6n argument a , alterando un parametro e.

Introduccion al calculo

820

y

al analisis matematico

b. Deducci6n de la ecuaci6n diferencial de Euler

El criterio fundamental del calculo de variaciones lo constituye el teorema siguiente: La cond£c£6n necesarz"a y suficiente para que la integral

f z1 ( , ;, siS') sea estacz'onarz"a cuando s6 = , es que u sea una funci6n admisible I {siS}

(7a)

=

J :eo

Fx

dx

u que satisfaga la ecuaci6n diferencz"al de Euler

(7b)

L[u]

o, detalladamente,

=

Fu -

d Fu' = 0, dx

(7c) Para probarlo , n6tese que puede derivarse la expresi6n

G(E) =

iZI. F(x, u + Ell, u' + Ell') dx

zo

con respecto a E , bajo el signo integral (ver la P � 1 03 ) , siempre que la derivaci6n proporcione una funci6n de x que sea continua o, al menos, seccionalmente continua. En este caso , poniendo u + Ell = y y derivando se obtiene b ajo el signo integral Ia expresi6n 11Fy + ll' Fy', Ia cual , debido a las hip6tesis establecidas a cere a de f, u y ll, satis­ face las condiciones que se acaban de enunciar . Asi, inmediatarnente se obtiene

(7d)

G'(O) =

Jxzo

1

[11 Fu(x, u, u') + 11 ' Fu ,(X, u, u')] dx.

Para prop6sitos posteriores , n6tese que al deducir esta ecuaci6n nada se ha aplicado mas alla de la continuidad de l as funciones u y 11 y la continuidad seccional de sus prirneras derivadas . En esta ecuaci6n aparece la funci6n arbitraria bajo el signo integral en una forma doble , a saber, como 11 y como 11' · Sin embargo, de inmediato se puede elirninar 11 ' , integrando por partes ; se tiene asi

xl Sxo

11 ' Fu ' dx = 11 Fu '

l zol - J xo1 ( z x 11

·)

d dx = F dx u '

- sxxol ( ·

)

d 11 · x Fu ' dx, d

Cilculo de variaciones

821

porque , por hip6tesis , Tt(xo) y Tt(XI) se anulan . En esta integraci6n por partes se tiene que suponer que Ia expresi6n (dfdx)Fu' esta definida y es integrable , pero evidentemente este es el caso , ya que se supuso la continuidad de las segundas derivadas de F. De aqui que, si se es­ cribe

L [u] = Fu -

(7e)

d Fu dx '

por brevedad, se tiene la ecuaci6n

lxl TtL [u] dx = 0. xo

(7f)

Esta ecuaci6n debe ser satisfecha por toda funci6n ll que satisfaga las condiciones establecidas pero que , por otra parte , sea arbitraria . De esto se concluye que

L [u] = 0,

(7g) en virtud de lo siguiente:

LEMA I. Si una funci6n C(x ), continua en el intervalo bajo con­ sideraci6n, sal'isface la relaci6n

lxl Tt(X) C(x) dx = 0 xo

para una funci6n arbitraria 'tl(X) tal que Tt(xo) = Tt(Xl) = 0 y ll "(x) es continua, entonces C(x) = 0 para todo valor de x en el inter­ valo. (La demostraci6n de este lema se pospondra hasta Ia p . 823 . ) Podri a , no obstante, obtenerse la condici6n (7g) en una forma diferente,l eliminando el termino en l'J· en la ecuaci6n

mediante integracion por partes; porque , si se escribe Fu ' = A , Fu = b = B' por brevedad, y se recuerda Ia condici6n en Ia frontera para 11, integrando por partes se obtiene ,

f X t 11 Fu dx = f.x1 11 B' dx = f .x i 11'B dx. J .xo J .xo J .xo -

1 El primer metodo es de Lagrange y el segundo de P. Du Bois Reymond.

y

Introduccion al calculo

822

al analisis matematico

Si se pone l; = 11', se tiene , en analogia a (7f) , la condici6n (7h)

r x1 l;(A Jxo

-

B) dx = 0.

AI deducir esta formula no es necesario establecer hip6tesis alguna

acerca de las segundas derivadas de 11 y u. Por el contrario, b asta con suponer que � (o u y 11) son continuas y tienen primeras derivadas seccionalmente continuas . Ahora bien , es cierto que la ecuacion (7h) no debe cumplirse para cualquier funcion arbitraria (seccionalmente continua), I; , sino solo para aquellas funciones l; que sean derivadas de una funcion 11(x) que satisfaga las condiciones establecidas en los puntos extremos. Sin embargo , si l;(x) es cual quier funci6n seccional­ mente continua dada que satisface la relacion

(7i) puede ponerse

fxoxl l; (x) dx = 0, 11

=

r x s dt ; J xo

entonces se ha construido una 11, admisible, porque 11' = l; Y 11 (xo) = 11 (x1) = 0. Asi se obtiene el resultado siguiente : Una condici6n necesaria para que la integral sea estacionaria es

(7j)

Jxoxl l; (A

-

B) dx = 0,

donde l; es una funci6n arbitraria secdonalmente continua q ue sim­ Plemente satisface (7z) . Ahora se requiere l a ayuda del siguiente :

LEMA II. Si la funci6n seccionalmente continua S(x) satisface la condici6n

(Sa)

fxl l; S dx = 0, xo

para todas las funciones l;(x) que sean seccionalmente continuas en el intervalo y para las cuales

(8b)

fxl l; dx = 0, xo

entonces S(x) es una constante c.

Calculo de variaciones

823

Este lema tambien se probara posteriormente en la p . 8 2 3. Si , por el momenta, se supone cierto, de (7h) - sustituyendo las expresiones anteriores p ara A y B - se ded uce que

rx Fu dx + c = Fu'·

J xo

Puesto que Fu es seccionalmente continua, el primer miembro , con­ siderado como una integral indefinida , se puede derivar con respect<> a x y tiene a Fu como su derivada ; en consecuencia , se cumple lo mismo para el segundo miembro. Por lo tanto , existe la expresi6n (dfdx) Fu ' para la soluci6n supuesta , u, y la ecuaci6n (9a)

Fu =

d u dx F '

se cumple en todos los puntos de continuidad de u'. Asi , la ecuaci6n de Euler sigue siendo la condici6n necesaria para la existencia de un valor extrema, o la condici6n para que la integral sea estacionaria, cuando la clase de funciones admisibles ¢(x.) se ex­ tiende desde el principia, requiriendo unicamente la continuidad seccional de la primera derivada de �(x). La ecuaci6n de Euler es una ecuaci6n diferencial ordinaria de segundo orden. Sus soluciones se conocen como extremale.s del problema del minimo. Para resolver el problema del mlnimo debe encontrarse , entre todas las extremales, aquella que satisfaga las con­ diciones prescritas en la frontera . S i se satisface l a condici6n de Legendre

Fu ' u' =/= 0

(9b)

para ¢ = u(x) , puede llevarse la ecuaci6n diferencial a la forma "regular" u" = f(x, u , u') , donde el segundo miembro es una ex­ presion conocida que involucra a x, u, u'. c.

Demostraciones de los lemas funda'l'llentales

Ahora se probaran los dos lemas que se usaron en la subsecci6n anterior. Para probar el Lema I se supone que en algun punto, digamos x = �, C(x) es diferente de cero y. positiva. Entonces, como C(x) es continua, sin duda puede determinarse un subintervalo de

(xo, x1),

824

Introduccion al calculo

(9c)

y

al analisis matematico

� - a � x � � + a,

dentro del cual C(x) siga siendo positiva . Elijase ahara una 11, con­ tinuamente diferenciable por dos veces, positiva en el interior de est e subintervalo y cero en todos los demas puntas, hacienda , digamos, para x en (9c) que

11(x) = (x - � + u)4 (x - � - a)4 = {(x - �)2 - a2} 4. Evidentemente , est a funci6n 11 satisface todas las condiciones pres­ critas; 11(x)C(x) es positiva en el interior del subintervalo y cero fuera de el . Por lo tanto , Ia integral

r xl 11 C dx Jxo

no puede ser cero. l Dado que esto contradice la hip6tesis e siabl� c.i da, C(�) no puede ser positiva. Por las mismas razones , C(�) no puede ser negativa . De aqui que C(�) debe anularse para todos los valores de � en el interior del intervalo , como se afirm6 en el lema . Para probar el Lema I I , observese que la hip6tesis (Sb) acerca de l;(x) inmediatamente conduce a l a relaci6n

f xl l;(x) {S(x) - c} dx = 0,

(10)

xo

donde c es una constante arbitraria . Elijase ahara

c

de tal m anera que c por

S(x) - c sea una funci6n admisible �(x) ; esto es, determinese medio de la ecuaci6n

1 Jxo

x 0 = r l; dx =

( x t {S(x) - c} dx = J( x t S(x) dx - c(xt - xo). J xo xo

Sustituyendo este valor de c en la ecuaci6n ( 1 0) y tomando

- c, inmediatamente se tiene

l; = S(x)

l xl {S(x) - c} 2 dx = 0. xo

Como por hip6tesis el integrando es continuo , o al menos seccional­ mente continuo , se deduce que

S(x) - c = 0 es una identidad en

X,

como se afirmo en el lema.

l L a integral d e una funci6n continua n o negativa e s positiva, excepto cuando e l in­ tegrando se anula en todos los puntos; esto se deduce inmediatamente de I a defi­ nicion de integral.

Calculo de variaciones d. Soluci6n de la ecuaci6n di/erencial de Euler en casos peciales. Ejemplos

825 es­

Para encontrar las soluciones u del problema del minima, debe encontrarse una soluci6n particular de la ecuaci6n diferencial de Euler para el intervalo xo � x � Xl , que tome los valores prescritos, yo y y1 , en los puntas extremos . Dado que la integral completa de la ecuaci6n diferencial de Euler de segundo arden contiene dos cons­ tantes de integraci6n , es de esperar que pueda determinarse una soluci6n unica , hacienda que estas dos constantes se ajusten a las condiciones de frontera; estas proporcionan dos ecuaciones que las constantes de integraci6n deben satisfacer. En general , no es posible resolver la ecuaci6n diferencial de Euler explicitamente en terminos de funciones elementales o cuadraturas, y tiene uno que contentarse con demostrar que el problema variacional se reduce a un problema de ecuaciones diferenciales. �or otra parte, para c asas especiales importantes y, de hecho, para la mayo ria de los ejemplos clasicos, la ecuaci6n se puede resolver por media de cua­ dratur� . El primer c aso es aquel en el cual F no contiene explicitamente la derivada y ' = �' : !' = F(�, x). Aqui , la ecuaci6n diferencial de Euler es simplemente Fu(u, x) = 0 ; es decir, ya no es una ecuaci6n diferen­ cial en lo absoluto sino que constituye una definicion implicita de la soluci6n y = u(x) . Por supuesto, aqui no existe la cuesti6n de las constantes de integraci6n o la posibilidad de satisfacer condiciones de frontera . El segundo c aso especial importante es aquel en el que F no con­ tiene a la funci6n Y = �(x) explicitamente : F = F(y', x). Aqui la ecuaci6n diferencial de Euler es (d/dx) (Fu') = 0, la cual inmedia­ tamente da

Fu ' = c,

donde c es una constante arbitraria de integraci6n. Puede usarse esta ecuaci6n para expresar u' como una funci6n f(x, c) de x y c, y enton­ ces se tiene la ecuaci6n

u' = f(x, c), de la cual , mediante una simple integraci6n (cuadratura), se obtiene

u =

Jox f(�, c) d� + a ;

826

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

es decir, u queda expresada como una funci6n de x y c , mas una constante arbitari a de integraci6n, a. Por lo tanto , en este caso Ia ecuaci6n diferencial de Euler puede resolverse por completo median­ te una cuadratura . El tercer caso, que es el m as importante en los ejemplos y las aplicaciones, es aquel en el que F no contiene explkitamente a Ia variable independiente x: F = F(y, y1). En este c aso se tiene el im­ portante teorema que sigue :

Si la varia ble independiente x no se presenta explfcitamente en el problema variacional, entonces

(11)

E = ;F'(u, U1) - U1 Fu 1(u, U1) = c

es una integral de la ecuacz"6n diferencial de Euler. Es decir, si se sus­ tituye en esta ,expresi6n una soluci6n u(x) de la ecuaci6n diferencz"al de Euler para F, la expresi6n se vuelve una constante, independiente de x. Est a pro posicion se verifica inmediatamente si se forma Ia deri­ vada dEl dx . Se tiene

dE FuUI dx o, por (7c),

+ Fu UII 1

- UII Ful - U12 Fuul - UI U II Fu 1 u 1,

dE - = U1 L [u] = O '· dx de don de , para toda soluci6n u de Ia ecuaci6n diferencial de Euler, se tiene E = c, donde c es una constante . Si se imagina u' como c alculada a partir de Ia ecuaci6n E = c, digamos, u1 = f(u, c), una simple cuadratura aplicada a Ia ecuaci6n

dx = 1 du f(u, c) da x = g(u, c) + a (donde a es otra constante de integraci6n); es decir, x se expresa como una funci6n de u, c y a. Entonces, resolvien­ do para u se obtiene Ia funci6n u(x, c, a) . Por tanto , Ia soluci6n general de Ia ecuaci6n diferencial de Euler, que depende de dos cons­ tantes arbitrarias, se obtiene por medio de una cuadratura.

Calculo de variaciones

827

Ahora se aplicaran estos metodos p ara discutir un cierto numero de ejemplos .

Nota general Existe una clase general de ejemplos en los que F es de la forma

F = g(y) v'1 + y'z , dondt: g(y) es una funcion que depende explicitamente solo de y. Para las extremales y = u, la ultima regla da inmediatamente

g( u) v' 1

+

u'2 -

g(u) u'2 = c' J1 + u'2

o bien,

g(u) .J1 + u'2 = c ; de donde,

1 dx du = .J( {g(u)} 2/c2) - 1 ' e integrando se tiene la ecuacion

(12)

x -

b

=

J

du J((g(u)} 2fc2) -

1'

donde b es otra constante de integracion. Evaluando la integral de la derecha y resolviendo la ecuacion para u se obtiene u como una fun­ cion de x y de las do� constantes de integra cion c y b. 1

La superfz'cz'e de revolucz'on de area m£nz'ma En este caso, por (2b), p . 8 1 5 g = y. La integral ( I I ) queda x

-

b-

J Ju2/c2du - 1 = arc cosh �c '·

por lo tanto , el result ado es

y = u = c cosh x - b . c --

I·Por supuesto, es posible que no pueda resolverse para u en terminos de funciones elementales pero, para todos los prop6sitos ·practicos, estos procedimientos definen perfectamente a u.

828

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

Es decir, la soluci6n del problema de encontrar una curva que al girar de una superficie de revoluci6n con area estacionaria es una catenarz"a (ver el Volumen I , p . 378). Una condici6n necesaria para l a ocurrencia de esa curva esta­ cionaria es que los dos puntos dados A y B puedan unirse mediante una catenaria para la cual y > 0. La cuesti6n de si la catenaria en realidad representa un minimo no se discutira aqui.

La braquist6crona Se obtiene otro ejemplo, tomando g = 1/.JY. Este, de acuerdo con (2a) , p . 8 1 4 , es el problema de la braquz"s t6crona. Por medio de las sustituciones 1/c2 = k, u = kr:, r: = sen29/2, la integral ( 1 2) ,

J

du .J1/(uc2) - 1 '

inmediatamente se transforma en X- b= k

de donde

f J1 � t dt = ! kf (1 X- b =

y

- COS

9) d9,

1 2 k(9 - sen9),

= u = 21 k(1 - cos 9).

En consecuencia , la braquistocroma (ver el Volumen I, p . 329) es una cicloide comun con sus cuspides sobre el eje x. Ejercicios 7 . 2d 1 . Encontrar las extremales de los integrandos siguientes:

(a) F = v'y(l + y'2) (b) F = v'l + y'2fy (c) F = y Jl - y'2

2 . Encontrar las extremales para el integrando F = xn y'2 , y probar que n � 1 , dos puntos que se encuentren en lados opuestos del eje y no pueden

unirse por medio de una extremal . 3 . Encontrar las extremales para el integrando yny'm, donde teros pares.

n

y

m son en­

Calculo de variaciones

829

4. Encontrar las extremales para el integrando F = ay 2 + 2byy' + cy2 , don­ de a, b, c, son funciones dadas, de x , .:ontinuamente diferenciables. Probar que la ecuaci6n diferencial de Euler es una ecuaci6n diferencial lineal de segundo orden. � Por que cuando b es constante, esta constante no entra en la ecuaci6n diferencial en lo absoluto? 5 . Demostrar que las extremales para el integrando F = e z v'l + y' 2 estfm dadas por las ecuaciones sen (y - b) = e- y y = b, donde a, b son constantes. Discutir la forma de estas curvas e investigar d6nde deben es­ tar situados los dos puntos A y B para que puedan unirse mediante un arco extremal de la forma y = f(x). 6 . Para el caso en que F no contiene a la derivada y', deducir la condici6n de Euler F11 = 0 mediante un metodo elemental. 7 . Encontrar una funci6n que de el minimo absoluto de '

I {y} =

Jol y'2 dx

con las condiciones de frontera

(a) y(O) = y(l) = 0 ,

(b) y(O)

= 0, y( l) = 1.

-/r2 + r'2 d6 , es decir, las trayectorias de longitud minima en coordenadas polares.

8 . Encontrar las extremales para

f

e. A nulaci6n identica de la expresi6n de Euler

La ecuaci6n diferencial de Euler (7c), p . 8 20, para F(x,y,y') puede degenerar en una identidad que nada nos diga , es decir , en una relaci6n que se satisfaga por toda funci6n admisible y = ,P(x). En otras palabras , l a integral correspondiente puede ser estacionaria para cualquier funci6n admisible y = ,P(x). Para que esto ocurra , la expresi6n de Euler

debera anularse en todo punta x del intervalo , sin importar que fun­ cion Y = ,P(x) se sustituya en ella . Sin embargo , siempre puede en­ contrarse una curva para la cual y = {>, y' = {>', y y" = {>" tengan valores arbitrarios prescritos para un valor prescrito de x. Por lo tan­ to , la expresi6n de Euler debe anularse para todo conjunto de nu­ merosx, y, y', y". Se concluye que el coeficiente de y" (es decir, Fy' y') , debera anularse identicamente . Por consiguiente, F debe ser una funci6n lineal de y', digamos, F = ay' + b , donde a y b son funciones de x y y unicamente. Si se sustituye esto en la parte restante de la ecuaci6n diferencial ,

830

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

de inmediato se deduce que 0 = ayy' + ax - ayy' - by o que

debe anularse identicamente en x y y. En otras palabras, la expresion de Euler se anula identicamente si, y solo si , la integral es de la forma I=

J {a(x, y) y' + b(x, y)} dx = J a dy + b dx,

donde a y b satisfacen la condicion de integrabilidad que ya se ha en­ contrado en l a p . 1 35 , es decir, a dy + b dx es una diferencial exac­ ta. 7. 3

Generalizaciones

a. Integrales con mas de una funci6n argumento

El problema de encontrar los valores extremos (valores estacio­ narios) de una integral puede extenderse al caso en que esta integral no depende de una sola funci6n argumento sino de un cierto numero de tales funciones �1(x) , �2(x), . . . , �n(x). El problema tipico de esta clase puede enunciarse como sigue : sea , �n') una funcion de los (2n + 1) argumen­ F (x, �1 , . . . , �n, �1', tos x, �1, , �n', la cual es continua y tiene derivadas continuas bast a , e incluyendo, las de segundo orden en la region b ajo consi­ deraci6n . Si se remplazan Yi = �i por una funcion de x con primer a y segunda derivadas continuas y �i' por su derivada , F se convierte en una funcion de la variable X unicamente, y la integral •

•

(13)

•

•

.

•

I {�1, . . . ' �n} =

r Xt F(x, �1, . . . ' �n, �11,

J xo

•

•

•

' �n') dx

sobre un intervalo dado xo � x � XI tiene un valor definido , deter­ minado por la eleccion de estas funciones. En la comparacion con el v alor extrema, se consideran como ad­ misibles todas las funciones �i(X) que satisfacen las condiciones de continuidad antes mencionadas y para las cuales los valores de fron­ tera �i(Xo) y �i (Xl) tienen valores prefijados . En otras palabras, se

Calculo de variaciones

831

consideran las curvas Yt = if>t(x) que unen dos puntas dados A y B en el espacio (n + 1) dimensional con coordenadas JI, y2, . . . , Yn, x. El problema vari acional ahora nos pide encontrar, entre todos estos sis­ Ut(x)] para el cual la in­ temas de funciones if>t(x), uno [Yt = if>t(x) tegral ( 1 3) tenga un valor extrema (un maximo o un minima) . U n a vez m a s , n o s e discutira la naturaleza real del valor extrema, sino que nos restringiremos a inquirir para que sistemas de funciones argumento if>t(x) = Ut(X) la integral es estacionaria . E l concepto d e valor estacionario s e define exactamente e n la mis­ ma forma que se hizo en la p . 8 1 9 . Se incluye el sistema de funciones Ut(x) en una familia uniparametrica de funciones que dependen del parametro E, en la forma siguiente: sean T\ I(x), . . . , T\ n(x) n fun­ ciones elegidas arbitrariamente que se anulan para x = x0 y x = XI, son continuas en el intervalo y poseen primera y segunda derivadas continuas alli . Se incluyen las Ut(x) en la familia de funciones Yt = if>t(X) = Ut(X) + ET\t(X). El termino ET\t(x) = out se llama variaci6n de la funci6n Ut. Si se sustituyen las expresiones para 1>t en I {if>I, . . . , if>n} , esta integral se transforma en =

G(E)

=

r XI F(x, UI + ET\I, . . . Un + ET\ n, UI1 + ET\I1, '

J xo

•

•

•

'

Un1 + ET\ n') dx,

la cual es una funci6n del padimetro E. Una condici6n necesaria para que pueda ha her una valor extrema cuando if>t = Ut (es decir, cuando E = 0) es G'(O)

=

0.

Exactamente como para el caso de una funci6n independiente , se dice que la integral I tiene un valor estacionario para 1>t = Ut si se cumple la ecuaci6n G'(O) = 0 , o bien , se cumple ol = eG'(O) = 0

sin importar como se elijan las funciones T\t sujetas a las condiciones enunciadas con anteriori dad . En otras palabras, el caracter esta­ cionario de [a integral para un szstema fi'jo de funcz"ones Ut(X) y [a anulaci'6n de la primera variacz"6n bl significan lo mismo. Aun se tiene el problema de establecer l as condiciones para el cadicter estacionario de la integral que no. involucren a las varia­ ciones arbitrarias T\t. Esto no requiere nuevas ideas . Se procede como

lntroduccion al calculo

832

y

al analisis matematico

. , 11 n como identicamente cero (es sigue: primero se taman 11 2 , 11a, decir, no se dej a variar a las funciones u2 , , Un . Asi, solo se considera la primera funcion �t(x) como variable y, entonces, la condicion G' (O} = 0, por la p . 820, es equivalente a l a ecuaci6n diferencial de Euler .

.

.

.

.

Como puede seleccionarse cualquiera de las funciones Ut(x) en la misma forma , se obtiene el resultado siguiente :

Una condici6n necesaria y suficiente para que la integral ( 1 3) pueda ser estacionaria es que las n funciones Ut(x) satisfagan el szs­ tema de ecuaciones de Euler (13a)

d

Fuz· - - Fuz·t = 0 dx

( i = 1, 2, . . . , n).

Este es un sistema de n ecuaciones diferenciales de segundo arden para las n funciones Ui (x). Se dice que todas las soluciones de este sis­ tema de ecuaciones diferenciales son las extremales del problema variacional . Asi , el problema de encontrar los valores estacionarios de la integral se reduce al problema de resolver estas ecuaciones diferen­ ciales y adaptar la solucion general a las condiciones dadas en la frontera . 1 b . Ejemplos

La posibilidad de dar una solucion general del sistema de ecuaciones diferenciales de Euler es incluso mas remota que en el caso de la Seccion 7 . 2 . Solo en casas muy especiales pueden encon­ trarse todas las extremales explicitamente . A qui, frecuentemente resulta util el teorema siguiente, analogo al caso particular de la for­ mula ( 1 1 ) de la pag. 826 . 1 Aplicando el Lema II (Secci6n 7 . 2 , p . 8 2 2) es posible probar que deben cumplirse estas ecuaciones diferenciales bajo la hip6tesis general de que las funciones admi­ siblcs simplemente tengan primeras derivadas seccionalmente continuas. S in embar­ go , si se desea concentrarse en el formalismo del tema, resulta mas conveniente in­ cluir la continuidad de las segundas derivadas en las condiciones de admisibilidad de las funciones if>i(x). Entonces pueden escribirse las expresiones dldx Fui' en la forma (13b)

Cilculo de variaciones

833

Si la funci6n F no contiene a la variable x exPlicitamente, es decir, F = F(�I, . . . , � n, � 1', . . , � n'), entonces la ex Presion .

1 . . . , U n , U! ,

E = F(u! ,

•

•

•

, Un

'

)

-

I: ui' Fu/ n

i= 1

es una integral del sistema de Euler de ecuaciones dzferenciales. Es decir, si se considera cualquier sistema de soluciones Ui ( x) de las ecuaciones de Euler ( 1 3a), se tiene E = F - I: u/ Fui' = constan te =

( 1 3c)

c,

don de , por supuesto , el valor de esta constante depende del sistema de soluciones que se sustituya . La demostraci6n sigue los mismos lineamientos de la p . 826 ; se deriva el primer miembro de Ia expresi6n con respecto a x y, aplican­ do ( 1 3b), se verifica que el resultado es cero. Un ejemplo trivial es el problema de encontrar la distancia mas corta entre dos puntos en el espacio tridimensional. Aqui se tienen que determinar dos funciones y = y(x}, z = z(x) tales que la integral

lxox l .Jl

+

y'2

+

z'2 dx

tenga el menor valor posible , habiendose prescrito los valores de y(x) y z(x) en los puntos extremos del intervalo . Las ecuaciones diferen­ cia les de Euler ( 1 3a) dan

d dx .J 1

y' d y'2 + z'2 - dx .J l .

-

+

-

-

+

z' y'2

+

o z'2 - ' -

de donde inmediatamente se deduce que . las derivadas y'(x) y z'(x) son constantes ; de aqui que las extremales deben ser rectas . Un tanto menos trivial es el problema de Ia braquist6crona en tres dimensiones. (Nuevamente , se toma Ia gravedad como si actuara en Ia direcci6n del eje y positivo. ) A qui tienen que detern1inarse y = y(x), z = z(x) en tal forma que la integral

xl l '2- -z'2- dx = x 1 F(y, y', z') dx Lxo Lxo j----"-y y +

+

sea estacionaria . Una de las ecuaciones diferenciales de Euler da

z' .Jy .Jl

+

1 y'2

+

= a. z'2

834

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

Adem as , de ( 1 3c) se tiene que

1 1 F - Y' Fy·t - Z' Fz' - q .J1 + y' 2 + z' 2 = b '

' donde a y b son constantes. Dividiendo se deduce que z = a/ b = k es, del mismo modo, constante . Por lo tanto , Ia curva para la cual la integral es estacionaria debe estar en un plano z = kx + h. Enton­ ces, de la ecuaci6n adicional 1

1

q .J1 + k2 + y' 2 = b , se deduce, como resulta obvio de lo expuesto en Ia p . 828 , que esta curva debe ser, una vez mas , una cicloide . Ejercicios 7 . 3b 1 . Escribanse las ecuaciones diferenciales para la trayectoria de un rayo de luz en tres dimensiones, en el caso en que (usando coordenadas esfericas r, 6, f/J la velocidad de la luz es una funci6n de r (ver el Ejercicio 2, p. 743). Demostrar que los rayos son curvas planas. 2. Demostrar que las geodesicas (las curvas de menor longitud que unen dos puntos) sobre una esfera son circulos maximos. 3. Encontrar l as geodesicas sobre un cono recto circular. 4. Demostrar que la trayectoria que minimiza la distancia entre dos curvas cerradas suaves que no se cortan es su recta normal comun. 5. Demostrar que la trayectoria que da el tiempo minimo de caida desde un punto dado basta una curva dada es la cicloide que corta a la curva per­ pendicularmente.

y) Jl + y'2 con puntos extremos libremente movibles sobre dos curvas, cortan a esas curvas ortogonalmen­ te.

6. Probar que las extremales de

fF(x,

dx,

c. Principia de Hamilton. Ecuaciones de Lagrange

El sistema de Euler de ecuaciones diferenciales tiene una relaci6n muy importante con muchas ramas de las matematicas aplicadas, es­ pecialmente la dinamica. En particular, el movimiento de un sistema mecanico que consiste de un numero finito de particulas puede ex­ presarse mediante Ia condici6n de que una cierta expresi6n , Ia Hamada integral de Hamilton , sea estacionaria . Aqui se explicara brevemente esta relaci6n.

Calculo de variaciones

835

Un sistema mecan1co tiene n grados de libertad si su posicion queda determinada por medio de las n coordenadas independientes Ql, q2 , . . . , Qn. Si , por ejemplo, el sistema consiste de una sola par­ ticula , se tiene n = 3 ya que como QI, Q2 , qa pueden tomarse las tres coordenadas rectangulares o las tres coordenadas esfericas. Una vez mas , si el sistema consiste de dos particulas que se mantienen se­ paradas una distancia unitari a por medio de una conexion rigi­ da - que se supone sin masa - entonces n = 5, ya que para las coor­ denadas Qi pueden tomarse las tres coordenadas rectangulares de una de las particulas y otras dos coordenadas que determinen la direccion de la recta que une a las dos particulas . Un sistema mecanico puede describirse con suficiente generalidad por medio de dos funciones, la energia cz"net'ica y la energia poten­ cial. Si el sistema esta en movimiento , las coordenadas Qi seran fun­ ciones Qi (t) del tiempo t, siendo las componentes de la velocidad tit = dqt /dt. La energia cinetica asociada con el sistema mecanico es una funci6n de la forma

( 14a)

T(qt,

. , Qn, Ql,

Por lo tanto , la energia cinetica es una expresion cuadratica ho­ mogenea en las componentes de la velocidad, tomandose los coefi­ cientes Utk como funciones conocidas, que no dependen explicita­ mente del tiempo, de las propias coordenadas Ql, . . . , Qn . 1 Ademas de la energia cinetica, se supone que el sistema dinamico esta caracterizado por otra funcion , la energia potencial U(q1, . . . , Qn), la cual depende de l as coordenadas de posicion Qi unicamente y no de las velocidades o del tiempo . 2 I Est a expresion para la energia cinetica T se obtiene considerando las coordenadas rectangulares individuates de las particulas del sistema, expresadas como. funciones de las coordenadas q1 . . . . , Qn . Entonces las componentes rectangulares de la velo­ cidad de las particulas individuales pueden expresarse como funciones lineales homogeneas de las qt.' ; a partir de estas se forma la expresi6n elemental para Ia energia cin et ic a, a saber, la semisuma de los productos de las masas individuales y los cuadrados de las velocidades correspondientes.

2 Nos restringiremos aqui a los sistemas meca.nicos en los que las fuerzas que actuan son conservativas e independientes del tiempo. Tal y como se demuestra en los libros de texto sobre dinamica, Ia energia potencial determina las fuerzas externas que ac­ tuan sobre el sistema (ver la p . 7 28 para el caso de una sola particula). AI llevar el sistema de una posicion hacia otra, se efectua trabajo mecanico; este es igual a Ia diferencia entre los correspondientes valores U y no depende del movimiento par­ ticular desde una de las posiciones hacia la otra .

836

Introduccion al calculo y al analisis matematico

El principio de Hamilton afirma que el movimiento de un sistema dinamico en el intervalo de tiempo to � t � h, desde una posicion inic'ial dada hasta una Posicion final tambien dada, es tal que, para este movimiento, la integral (14b)

t

= .£tot (T - U) dt

.

H{qt, . . , qn}

es estacionarz"a , en la clase de todas las func'iones continuas Qi(t) que tienen derivadas continuas hasta, e incluyendo, las de segunda arden y que tienen los valores de front era prescritos para t = to y t tt Este principio de Hamilton es un prin cipio fundamental de la dinamica . Contiene en forma condensada las leyes de la dinamica. Cuando se aplican al principio de Hamilton, las ecuaciones de Euler ( 1 3a) dan las ecuadones de Lagrange,

=

d aT dt aqt

(14c)

aT

au

- aqi = - aqi

(i = 1, 2, .

. . , n),

que son las ecuaciones fundamentales de la dinamica te6rica . Aqu1 solo se hara una deducci6n notable , a saber, Ia ley de con­ servacz"6n de la energfa. Dado que el integrando en Ia integral de Hamilton no depende explkitamente de la variable independiente t, para Ia soluci6n Qi (t) de las ecuaciones diferenciales de Ia dinamica Ia exp�:esi6n

debe ser constante ver ( 1 3c). Ya que U no depende de las Qi , y T es una funci6n cuadratica homogenea en elias (ver la p . 1 5 1 ) , � �

.

. a(T - U) qt aq.i

� _ -:"'"" �

_

. aT qi a . - 2 T qi

.

De a:qu1 que

T+ U

= constante ;

es decir, durante el movz"mz"ento, la suma de la energfa dnetica y la energia potencz"a l no varia con el tiempo .

Calculo de variaciones

837

d. Integrales que involucran derivadas superiores

Pueden usarse metodos analogos para atacar el problema de los valores extremos de las integrales en las que el integrando F no solo contiene Ia funci6n requerida y = (J y su derivada rfi' , sino que tam­ bien comprende derivadas superiores. Por ejemplo , sup6ngase que se desean encontrar los valores extremos de una integra,;} de la forma

I {(J}

(15a)

=

x F(x, ,P, (J', rp11) dx, Jxo1

f

donde , en la comparaci6n , aquellas funciones y = (J(x) son admi­ sibles cuando, junto con sus primeras derivadas, tienen valores pres­ critos en los puntos extremos del intervalo y tiehen derivadas con­ tinuas hasta, e incluyendo , las de cuarto orden. Con el fin de encontrar las condiciones necesarias para la existen­ cia de un valor extremo, sup6ngase nuevamente que y = u(x) es la soluci6n deseada. Se incluye u(x) en una familia de funciones y = rfi(x) = u(x) + E11(X), donde E es un parametro arbitrario y 11(x) una funci6n elegida arbitrariamente con derivadas continuas hasta, e in­ cluyendo, la de cuarto orden, que se anula junto con sus primeras derivadas en los puntos extremos. Entonces la integral toma la forma G(E), y la condici6n necesaria (15b)

G'(O) = 0

debe satisfacerse para todas las elecciones de la funci6n 11(x). Pro­ cediendo en una forma analoga a la de la p . 744, se deriva bajo el signo integral y asi se obtiene la condici6n anterior en Ia forma (15c)

f X l (11 Fu

J xo

+

11' Fut + 11 11 Fu 11) dx

=

0,

que debe satisfacerse si se sustituye u por (J(x) . Integrando una vez por p artes, el termino en 11 '(x) se reduce a uno en 11, e integrando dos veces por partes el termino en T)11(X) se reduce a uno en 11 ; tomando en consideraci6ri las condiciones de frontera , facilmente se obtiene (15d)

JxoX I11 (Fu - dxd Fu' + dxd22 Fu11) dx = 0.

De aqui que Ia cqndici6n necesaria para la existencia de un valor ex­ trema (es decir, para que la integral pueda ser estacionaria) es la ecuaci6n diferencial de Euler

838

(15e)

Introducdon al calculo L [u] = Fu

-

y

al analisis matematico

d d2 Fu ' + dx2 Fu " = 0. dx

El le� tor puede verificar por su cuenta que esta es una ecuacion diferencial de cuarto orden .I e. Varias variables independientes

El metoda general para encontrar las condiciones necesarias para

Ia existencia de un valor extrema puede aplicarse con igual pro­

piedad cuando la integral ya no es una integral simple sino una in­ tegral multiple . Sea D una region dada, limitada por una curva r en el plano x, y. Supongase que D y r son lo suficientemente regulares para permitir la aplicacion de la regia para la integracion por partes (p . 620). Sea F(x, y, rp, rfix , rpy) una funcion continua y continuamente diferenciable por dos veces con respecto a sus cinco argumentos . Si en F se sustituye rfi por una funcion rfi(x , y) que tenga derivadas conti­ nuas basta, e incluyendo , la
(16a)

I {rfi} =

JJD F(x, y, rp, rfix, rpy) dx dy

tiene un valor que depende de Ia eleccion de rp. El problema es en­ contrar una funcion rfi = u(x, y) para Ia cual este· valor sea un ex­ trema. Para encontrar las condiciones necesarias se usa nuevamente el metoda antiguo . Se_ elige una funcion TJ(x, y) que se anule sobre Ia frontera r ; que tenga derivadas continuas basta , e incluyendo , la de segundo orden; y que , por lo demas, sea arbitraria . Supongase que u es la funcion requerida y sustituyase rfi = u + ETJ en l a integral, don­ de e es un parametro arbitrario. Una vez mas , Ia integral se convierte en una fu�ci6n G(e), y una condici6n necesaria para la existencia de un valor extrema es

lAl deducir ( 1 5e) a partir de ( 1 5d) se tiene que restringir la 11 mencionada en el Lema I (p. 82 1 ) a funciones de la clase C4 para las cuales 11 y 11' se anulen en los pun­ tos extremos. Resulta claro, de la demostraci6n del lema dada en la p. 82 3 , que la conclusion es valida bajo estas condiciones mas restrictivas..

Calculo de variaciones

839

G'(O) = 0. Como antes, esta condicion toma la forma ( 1 6b)

JJD (TtFu +

llx Fux + T}yFuy ) dx dy = 0.

Para eliminar los terminos en T}x y 'l Y bajo el signo integral, se in­ tegra por partes uno de los terminos con respecto a x y el otro con respecto a y. Puesto que 11 se anula sobre r, los valores de frontera sobre r se c ancelan y se tiene

(16c) El Lema I (p . 821 ) puede extenderse de inmediato a dimensiones superiores a la primera y en seguida se obtiene la ecuacz"on diferencz"al

pardal de Euler de segundo orden (1 6d)

a , a Fu - a Fux - a Fu y = 0. x y

EjemPlos 1 . F = ¢x2 + ¢y2 • Si se omite el factor 2 la ecuaci6n diferencial de Euler queda Au = Uxx + Uyy = 0.

Es decir, se ha obtenido la ecuaci6n de Laplace a partir de un problema de variaciones . 2 . Superficies minimas . El problema de Plateau es este : encon­ trar, sobre una region D, una superficie z = f(x, y) que pase por una curva prescrita en el espacio, cuya proyecci6n sea r y cuya area sea un minimo. Aqui l a ecuaci6n diferencial de Euler es

o,

en forma desarrollada ,

Introduccion al calculo

840

y

al analisis matematico

Uxx(l + Uy2) - 2UxyUxUy + Uyy(l + Ux2) = 0.

Esta es la celebre ecuacion diferencial de las superficies minimas, que se ha tra tado con detalle en otra parte . 1

7.4

m as en que existen condiciones subsidiarias. Multi­ plicadores de Lagrange

P rob le

AI discuti r los valores extremos ordinarios para funciones de varias variables en el Capitulo 3 (p. 384) , se considero el c aso en que estas variables se sujetan a ciertas condiciones subsidiarias. En este caso, el metodo de los multiplicadores · indeterminados condujo a una ex­ presion particularmente clara para las condicones bajo las cuales Ia funcion puede tener un valor estacionario . Un metodo analogo es in­ cluso mas importante en el calculo de variaciones . Aqui solo se es­ tudiaran brevemente los casos mas seneillos. a.

Condiciones subsidiarias ordinarias

Un caso tipico es el de encontrar una curva x = x(t), y = y(t), z = donde to � t � h , en el espacio tridimensional , expresada en terminos del parametro t, sujeta a Ia condici6n subsidiaria de que Ia curva se encuentre sobre una superficie dada G(x, y, z) = 0 y pase por dos puntas dados A y B de esa superficie . El problema entonces es hacer que una integral de la forma

z(t),

(17)

f tt

J to

F (x, y, z, x , y,

i) dt'

sea estacionaria, mediante una elecci6n apropiada de las funciones x(t), y(t), z(t), sujetas . a la condici6n subsidiaria G(x, y, z) = 0 y a las condiciones de frontera y de continuidad usuales . Este problema puede reducirse inmediatamente a los casos es­ tudiados en Ia p . 830. Sup6ngase que x(t), y(t), z(t) son las funciones requeridas. Supongase ademas que sob"re Ia porci6n de Ia superficie sobre la cual debe estar Ia curva que s� busca z puede expresarse en Ia forma z = g(x,y) ; esto es posible si Gz es diferente de cero sobre esta porcion de Ia superficie . Si se supone que sobre Ia superficie en lR. Courant, Dirichlet's Principle, Conformal Mapping and Minimal Surfaces, In­ terscience : Nueva York, 1950.

Calculo de variaciones

841

cuesti6n no se cumplen simultaneamente las tres ecuaciones Gx = 0, Gy = 0, Gz = 0 y si nos restringimos a una porci6n lo suficientemente pequeii.a de Ia superficie , sin perdida de generalidad puede suponerse que Gz =f=. 0. Sustituyendo z = g(x, y) Y i · = gxx + gyy bajo el sig­ no integral , se obtiene- un problema en el que x(t) y y(t) son funciones independientes entre si . Asi , inmediatamente pueden aplicarse los resultados de la p . 832 y escribirse las condiciones para que la in­ tegral I sea estacionaria , aplicando l as ecuaciones ( 1 3a) al integrando

F(x, y, g(x, y), x, y , xgx + ygy) = H(x, y, x, y). Entonces se tienen las dos ecuaciones

Pero

X-

az d -dt -- g - ax -­ '

az d = dt g11 ay '

lo que se ve inmediatamente al derivar . De donde ,

Si , por brevedad , se escribe (18a)

---dtd Fz· - Fz = A.Gz,

con un multiplicador apropiado A.(t) y se usan las relaciones (p . 27 5) gx = - Gx/Gz, gy = - Gy/Gz , se obtienen las dos ecuaciones adicionales (18b) (18c)

842

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

Asi se tiene la siguiente condici6n para que la integral pueda ser estacionaria : si se supone que Gx, Gy , Gz no se anulan simultanea­ mente sobre la superficie G = 0, la condici6n necesaria para tener un valor extrema es la existencia de un multiplicador 'A(t) tal que se satisfagan simultaneamente las tres ecuaciones ( 1 8 a , b , c) , ademas de la condici6n subsidiaria G(x, y, z) = 0. Es decir, se tienen cuatro ecuaciones simetricas . que determinan a l as funciones x(t), y(t), z(t) y al multiplicador 'A. El caso especial mas importante lo constituye el problema de en­ contrar la linea mas · corta que une dos puntos A y B de una super­ fide dada G = 0, suponiendo que el gradiente de G no se anula . A qui

y las ecuaciones diferenciales de Euler son d dt .J x 2

+

x y2

d dt .Jx 2

+

y A. Gy, y 2 + z2 =

d dt .Jx 2

+

i y2

+

+

£: 2

£:2

=

=

'A Gx,

'A Gz .

Estas ecuaciones son invariantes con respecto a la introducci6n de un nuevo parametro t. Es decir, como el lector puede verificar con facilidad, conservan la misma form a si se remplaza t por cualquier otro parametro t = -r(t), siempre que la transformaci6n sea biunivoca, reversible y continuamente diferenciable . Si se toma la longitud de arco, s, como el nuevo p arametro, de modo que x2 + y 2 + i 2 = 1, las ecuaciones diferenciales anteriores toman la forma

(19) El significado geometrico de estas ecuaciones diferenciales es que los vectores normales principales 1 de las ext rem ales del problema son ortogonales a la superficie G = 0. A estas curvas se les da el nombre de geodesz'cas de la superficie . Entonces, la distancia mas corta entre dos puntos de una superficie esta dada necesariamente por un arco de geodesica . 1 Es decir, los vectores (x, y, z) ; ver la p . 257.

Calculo de variaciones

843

Ejercicios 7 .4a 1 . Demostrar que tambien se obtienen las misma geodesicas para las trayec­ torias de una particula restringida a moverse sobre la superficie dada, = 0, no sujeta a fuerzas externas. En este caso, la energia potencial U se anula y el lector puede aplicar el principia de Hamilton (p. 836). z) = 0. En cada punto 2. Sea C una curva sobre una superficie dada. de C t6mese un segmento geodesico perpendicular, de longitud y orien­ taci6n relativa a C fijas. El extrema libre del segmento geodesico genera una curva C'. Demostrar que C', tambien es perpendicualr al segmento geodesico.

G

G(x, y,

b. Otros tipos de condiciones subsidiarias

En el problema discutido anteriormente se pudo eliminar la con­ dici6n subsidiaria resolviendo la ecuaci6n que determina a la con­ dici6n subsidiaria y reduciendo asi el problema directamente al tipo de problema discutido con anterioridad. Sin embargo, con los otros tipos de condiciones subsidiarias que aparecen con frecuencia no es posible hacer esto . El c aso m as importante de este tipo es el de las condiciones subsidiarias z'soperz'metricas. El siguiente es un ejemplo tipico : con las condiciones de frontera y de continuidad previas debe hacerse estacionaria la integral (20a) sujetandose la funci6n argumento {J(x) a la condici6n subsidiaria adicional (20b)

H {{J} =

Jxoxl G(x, {J, {J') dx = una constante c dada

El caso particular F = {J, G = -v'l + (J' 2 es el problema isoperimetrico clasico. Este tipo de problema no puede ser atacado por el metodo an­ terior de formar la funci6n "variada" {J = u + Ell por medio de una funci6n arbitraria 11 (x) que solo se anule sobre la frontera , porque, en general, estas funciones no satisfacen la condici6n subsidiaria en una vecindad de e = 0, excepto en e = 0. Sin embargo , puede llegar­ se al resultado deseado mediante un metodo semejante al . que se us6 en el problema original , introduciendo, en lugar de una funci6n 11 y

844

Introducciort al dilculo

y

al analisis matematico

un parametro &, dos funciones , T\r(x) y T)2(x) , que se anulen sobre la frontera, y dos parametros, Er y &2. Suponiendo que rfi = u es la fun­ cion requerida , se form a entonces la funci6n variada

Si se introduce esta funci6n en las dos integrales, el problema se reduce a la deducci6n de la condici6n necesaria para que el caracter de la integral sea estacionario

sujeta a la condici6n subsidiari a

x J xo

H = . r l G(x,

u

+ ElT)l + E2T)2,

' u +

ErT)'r + E2T)2 1) dx = M(Er, E2) = c ;

la funci6n K(Er , &2) debe ser estacionaria para Er = 0, E2 = 0, donde Er, &2 satisfacen la condid6n subsidiaria M(El, E2) = c.

Una sencilla discusi6n, basada en los resultados previos para los . valores extremos con condiciones suhsidiarias y, en otros aspectos, siguiendo los mismos lineamientos descritos en la p. 820, conduce a este result ado :

El caracter estacionario de la integral es equivalente a la existen­ cia de un multiplicador constante, A , tal que se satisfagan la ecuaci6n H = c y la ecuaci6n dzferencial de Euler d (Fu 1 + 'AGu ') dx

-

(Fu + 'AGu) = 0 .

Esto solo admite una excepci6n cuando la fund6n u satisface la ecuaci6n d Gu ' - Gu = 0. dx Los detalles de la demostraci6n se dejan al lector, quien puede consultar la literatura acerca del tema.1 1 Ver, por ejemplo, M . R . Hestenes, Calculus of Variations and Optimal Control Theory. John Wiley and Sons, Nueva York, 1966. R. Courant y D. Hilbert, Me­ thods of Mathematical Physics, Interscience Publishers, Nueva York, 1 953 , Vol. I , Capitulo IV.

Calculo de variaciones

845

Ejercicios 7 . 4b

1 . Demostrar que las geodesicas sobre un cilindro son helices. 2. Encontrar las ecuaciones de Euler en los casos que siguen:

F = { 1 +y'2 + yg(x) ' y"2 (b) F -- (1 + y'2)3 + yg(x) (c) F y" 2 _ y' 2 + y2 (d) F t/1 + y'2 (a)

=

=

3 . Si existen dos variables independientes, encontrar las ecuaciones de Euler

en los casos siguientes:

(a)

(b)

F = af/J x2 + 2bf/Jxf/Jy + cf/Jy2 + ifJ 2d F (f/Jxx + f/Jyy)2 = (t:.f/J)2 =

(c) F =

(t:.ifJ)2 + (f/Jxxf/Jyy - f/Jxy2).

4. Encontrar las ecuaciones de Euler para el problema isoperimetrico en el que

Jxox l (au'2 + 2buu' + cu2) dx debe ser estacionaria , sujeta a la condicion Jxox l u2 dx 1. =

5 . Sea f(x) una funcion dada . La integral

I

(f/J) = J01 /(x)ifJ(x) dx

debe hacerse un maximo, sujeta a la condici6n integral

H(ifJ) = fol ¢J2 dx = K2 ,

donde k es una constante dada. (a) Encontrar la solucion u(x) a partir de la ecuacion de Euler. (b) Probar, aplicando la desigualdad de Cauchy, que la solucion encon­ trada en (a) da el maximo absoluto para /. 6. Usar el metodo del multiplicador de Lagrange para probar que la so­ luci6n del problema isoperimetrico clasico es un circulo. 7 . Se estira un hilo de densidad uniforme y longitud dada, entre dos puntos A y B. Si Ia gravedad actiia en Ia direccion del eje y negativo, la posicion de equilibrio del hilo es aquella en la que el centro de gravedad tiene la posicion mas baja posible. En consecuencia, es cuestion de hacer minima una integral de la forma f X

x i y .J1 + y' 2 dx sujeta a la condicion

X0

subsidiaria de que f 1 v'1 + y '2 dx tiene un valor constante dado. Demos­ trar que el hilo colgara formando una catenaria.

xo

846

Introduccion al calculo

8. Sup6ngase que y

y

al analisis matematico

xi

u(x) proporciona el menor valor para la integral fz o F(x, y, y') dx , entre todas l as funciones continuamente diferenciables y(x) con valores de frontera prescritos y(xo) = yo, y(xi) = yi . Probar que u(x) satisface la desigualdad Fy'y'(x , u(x), u'(x)) � O (condici6n de Legendre) para toda x en el intervalo xo � x � XI. 9. Sean (xo, yo) y (XI, Y I) puntos que se encuentran por encima del eje x. En­ contrar las extremales para el area debajo de la grcifica de una funci6n que pasa por los dos puntos, sujeta a la condici6n de que la trayectoria entre los dos puntos tiene una longitud fija. =

CAPITULO 8

Funciones de una variable co111pleja

En Ia Secci6n 7 . 7 del Volumen I se trat6 brevemente Ia teoria de las funciones de una variable compleja y se vio que esta teoria arroja nueva luz sabre Ia estructura de las funciones de una variable real . Aqui se dara una breve , pero mas sistematica , descripci6n de los elementos de esa teoria. Funciones complejas representadas por series de potencias

8. 1 a.

Limites y series injinitas con terminos complejos

Empezaremos con el concepto elemental de un numero complejo,

z= x+ iy (ver el Volumen I, p. 1 04), formado a partir de Ia unidad imaginaria , z', y dos numeros reales cualesquiera , x, y. Se opera con

estos numeros complejos precisamente como con los nll.meros reales, con la regia adicional de que i2 siempre puede ser remplazado por - 1 . Se representan x , l a parte real, y y, I a parte z'magz'nari'a de z, mediante coordenadas rectangulares en un plano x, y o plano com­ plejo z. El numero i = x - i.Y se llama numero complejo conjugado de z . Se introducen las coordenadas polares (r, 9) por media de las relaciones X = r COS 9, y = r sen 9 , a 9 se }e da e} nombre de ar­ gumento (o ampli'tud) del numero complejo y

r = Jx2 + y2 = JZi = I z I

es su valor absoluto (o m6dulo). Recuerdese que

I Zt z2 l = I zd l z2 J . 8 47

848

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Inmediatamente se establece la Hamada desigualdad del triangulo satisfecha por los numeros complejos ZI, z2 , y Zl + z2 ,

y la desigualdad adicional

que se deduce inmediatamente de aquella si se pone Zl = UI - u2 , Z2

= U2 .

La desigualdad del triangulo puede interpretarse geometricamen­ te si se representan los numeros complejos ZI, z2 por medio de vectores en el plano x, y, con las componentes XI, YI y x2 , y2 , respectivamente. Entonces, el vector que representa la suma Zl + z2 se obtiene sim­ plemente por medio de la adici6n vectorial de los dos primeros vee­ tares . . Las longitudes de los lados del triangulo form ado mediante es­ ta adici6n (ver l� Fig. 8 . 1 ) son

0

Figura 8 . 1 La desigualdad del triangulo para los numeros complejos.

Asi , la desigualdad del triangulo expresa el hecho de que cualquiera de los lados de un triangulo es menor que la suma de los otros dos . Ahora se considerara un concepto esencialmente nuevo : el de limite de una sucesi6n de numeros complejos. Empecemos con la definicion siguiente : una sucesi6n de numeros complejos Zn tiende a un limite z siempre que I Zn - z I tienda a cero . Por supuesto, esto significa que tanto la parte real como la p arte imaginaria de Zn - z tienden a cero . Se conc luye entonces que es aplicable el criterio de Cauchy : la condici6n necesaria y suficiente p ara que el limite, z, de una sucesi6n Zn exista es que

Funciones de una variable compleja - oo m - oo

lim

n

8 49

l zn - Zm l = 0.

Una clase particularmente im,portante de limites surge de las serz'es z'nfz'n z'tas con termz'nos complejos. Se dice que la serie infinita con terminos complejos

I:: Cv,

V=O

converge y tiene la suma S, si la sucesion de sumas parciales

n Sn = I:: Cv, V=O.

tiende al limite S. Si l a serie real con terminos no negativos '

.

I:: I Cv I

V=O

converge , se deduce , precisamente como en el Capitulo 7 del Vo­ lumen I (p. 5 14), que la serie original con terminos complejos tam­ bien converge . Entonces se dice que esta ultima serie es a bsolutamen­ te convergente. Si los terminos c v de la serie , en lu,gar de ser constantes, dependen de <x, y) , las coordenadas de un punto que varia en una region R, el concepto de convergencia uniforme adquiere un significado . Se dice que la serie es uniformemente convergente en R si para un & positivo prescrito , arbitrari amente pequeiio, puede encontrarse una cota fija N, que solo dependa de & tal que para todo n � N se cumpla la relacion I Sn - 8 1 < & , sin importar donde se encuentre el punto z = x + iy en la region R . Por supuesto , exactamente en la misma for­ ma se define la convergencz'a uniforme de una sucesion de funciones complejas Sn(z) que dependan del punto z de R . Todas estas rela­ ciones y definiciones, y las demostraciones asociadas, corresponden exactamente a aquellas que ya hemos visto en la teoria de las va­ riables reales . El ejemplo mas senc-illo de una serie convergente es la serie geometrica ,

1

+

z + z2

+

z3

+ · . ..

lgual que p ara una variable real, l a n-esima suma: parcial de esta serie es

850

Introducdon al calculo y al analisis matematico

1 - zn +l Sn = �1----z ,

y

(8 .1 )

1+z+

z2

+

·

·

·

1 1-z

para l z l < 1.

Se ve que Ia serie geometrica converge absolutamente siempre que I z I < 1, y que la convergencia es uniforme cuandol z I � q, donde q es cualquier numero positivo fijo entre 0 y I . En otras palabras , la serie geometrica converge a bsolutamente para todos los valores de z en el interior del circulo unitario, y converge uniformemente en todo cir ­ culo cerrado concentrico con el circulo unitario y radio menor que la unidad. Para Ia investigaci6n de la convergencia , nuevamente se cuenta con el criten:o de comparaci6n: si I Cv I � pv, donde Pv es real y no negativo , y si la serie infinita

I: Pv

V=O

converge , entonces la serie compleja I:cv converge absolutamente . Si los p, son constantes en tanto que los cv' dependen de un punto z que varia en R , la serie I:cv converge uniformemente en la region en cuesti6n . Las demostraciones son las mismas, palabra por pa­ labra ; que las demostraciones correspondientes para una variable real (Volumen I, Capitulo 7 , p . 535) y , por lo tanto, no es necesario repetirlas aqui . Si M es una constante positiV'a arbitraria y q es un numero positivo entre 0 y 1 , las series infinitas con los terminos positivos pv = Mqv ,

Mqv-1

y

_M__ qV+l v+ l tambien convergen , como se vio en el Volumen I , p . 543 . En seguida se aplicarfm estas series con fines de comparaci6n. b. Series de potencias

Las series infinitas mas importantes con terminos complejos son las series de potencias , en las que Cv es de la forma Cv = avzv ; es

Funciones de una variable compleja

85 1

deci r, una serie de potencias puede expresarse en la forma

o , con un poco m as de generalidad , en la forma

donde z0 es un punta fijo . Sin embargo , como esta forma siempre puede reducirse a la anterior , mediante la sustituci6n z' = z - zo, solo es necesario considerar el caso en donde zo = 0. El teorema principal acerca de las series de potencias es , palabra por palabra , el mismo que el teorema correspondiente para las series de potencias con terminos reales , consideradas en el Capitulo 7 del Volumen I (p . 541 ) : Si la serie d e potencias converge para z = � ' converge a bsolu­ tamente para to do valor de z tal que I z I < I � 1 . A demas, si q es un numero positivo menor que 1 , la serie converge uniformemente en el interior del circulo I z I � q I � 1 . Inmedi atamente puede pasarse al siguiente teorema adicional : ·

Las dos series D(z) I(z)

=

=

00

E vavzv+ l

V7 l

00

a E _v_ zv+ l v=O V + 1

tam bien convergen a bso luta y uniformemente sz" I z I � q I � 1 . La demostrac�6n se desarrolla exactamente como antes . Puesto que la serie P(z) <;onverge para z = �, se deduce que el n-esimo ter­ mino , a n�n , tiende a cera conforme n crece . Por tanto., evidente­ mente existe una constante positiva M tal que se cumple la desigual­ dad I an� n I < M para todos los valores de n. Si ahara I z I = q I � I , donde 0 < q < 1 , se tiene

Asi , se o btienen las series de comparaci6n que , COQlO ya se ha vis to

852

Intr.oduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

(p . 77 1 ) , convergen absolutamente . Por lo tanto , se ha probado el teo rem a . En e l caso de una serie d e potencias s e tienen dos posibilidades: I a serie converge para todos los valores de z, o bien , existen valores z = 11 para los cuales diverge . Entonces, por el teo rem a anterior, Ia serie debe diverger para todos los valores de z para los cuales I z I > I T) I (ver el Volumen I , p . 541 ) y, precisamente como en el c aso de las series de potencias con terminos reales, existe un radz'o de convergen­ c£a , p , tal que la serie converge cuando I z I < p y diverge cuando I z I > p. Lo mismo se aplica a las dos series D(z) e J(z) , siendo el valor de p el mismo que para Ia serie original. El drculo I z 1 = p se llama cfrculo de convergencz'a de Ia serie de potencias . Ninguna proposici6n general puede hacerse acerca de la convergencia 0 divergencia de la serie sobre Ia circunferencia del propio drculo , es decir, para I z I = p. .

c. Derivacion e integracion de series de potencias

Una serie convergente de potencias

P(z) = � avzv V=O

define una funci6n de Ia variable compleja z en el interior de su dr­ culo de convergencia. En esa region, es el limite hacia el cual tienden los polinomios

v=o

n Pn(Z) = � avzv a medida que n tiende a infinito . Un polinomio f(z) puede derivarse con respecto a Ia variable in­ dependiente z exactamente en Ia misma forma que si se tratase de una variable real. En primer Iugar, n6tese que se· cumple la iden­ tidad algebraica

n - zn Z1 ---= z1n-1 Z1 - Z

+

z1n- 2 z

+ . . . +

.zn- 1

Si ahora se hace que Zi tienda a z, 1 inmediatamente se tiene 1 El concepto de limite para una variable compleja continua (z1 -+ z) puede intro­ ducirse exactamente en la misma forma que para una variable real.

Funcion'es de una variable compleja

853

En la misma forma , es inmediato que

(

Pn' z) =

n , Pn(Z1) - Pn(Z) d Pn(z) = hm = E vavzv-1 = Dn(z). Z1 - Z dz v- 1 -:-

zrz

Es natural que a la expresi6n Pn'(z) se le de el nombre de derivada del polinomio complejo Pn(z). Ahora se tiene el teo rem a siguiente , fundamental en la teo ria de las series de potencias:

Una serie de potencias convergente 00

(8.2a)

P(z) = E avzv v-o

puede derivarse termino a termino en el interr:or de su circulo de con­ vergencia. Es deczr, el limite (8 . 2b)

exzste (8.2c)

P'(z) = lim

z cz

y

P(z1) - P(z) Z1 - Z

00

P'(z) = E vavzv-1 = lim Pn'(z) = lim Dn(z) = D(z)� . n -"" n -oo v-1

A partir de este teorema , es evidente que Ia serie de potencias 00

av J(z) = E __ zv+l v-o V + 1

pueden considerarse como la z'ntegra l zndefinida de Ia primera serie de potencias, es decir, que I'(z) = P(z). La diferenciabilidad termino a termino de las series de potencias se demuestra en Ia forma siguiente : De lo expuesto en Ia p . 85 1 , se sa be que se cumple Ia relaci6n D(z) = lim Dn(z) n -oo

854

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

dentro del circulo de convergenci a . Tiene que probarse que el co­ ciente de diferencias P(z1) - P(z) Z1 - Z

difiere en valor absoluto de D(z) en menos que un n"Qmero positivo prescrito , E , con solo tomar Z1 lo suficientemente proximo a Z dentro del drculo de convergencia . Con este fin , f6rmese el cociente de diferencias

D( Z1, Z)

_

-

P(z1) - P(z) Z1 - Z

_

-

Pn(Z1) - Pn(Z) + � � L.... U vt'w, Z1 - Z v=n+ l

donde , por brevedad, se escribe Av =

Z1v - zv = Z1 v - 1 Z1 - . z

+

Zlv-2 z

+

Si se conserva la notaci6n usada en la p . 85 1 q I � I , entonces

.

+

zv- 1

.

.

y

si I z I < q I � I

y

I Z1 l

<

De aqui que

I Rn·� =

� vqv- 1 . I J:I V=n+l � l av l vqv- l l � l v-1 � M ± avAv l � v=n+l I v=n+l ":!

Debido a Ia convergencia de Ia serie de terminos positivos 2:: vqv-I , Ia ex presion I Rn I puede hacerse tan peque:ii a como se desee, siempre que n se haga. lo suficientemente grande . Elijase n tan grande que es­ ta expresi6n sea menor que e/3 y que tambien se tenga I D(z) - Dn(ZJ I

Elijase ahora Z1 tan proximo a

z

<

ef3.

que el valor absoluto de

Func10nes de una variable compleja

855

Pn(ZI) - Pn(z) ZI - Z tambien difiera de Dn(z) en menos que r./ 3. Entonces,

I D(z1, z) - D(z) I �

I Pn(Z� = �n(z) - Dn(z) I

+ I Dn(z) - D(z) l

+ I Rn i

est a desigualdad expres a lo afirmado . Puesto que la derivada d e l a fu:Qci6n es a su vez una serie de potencias con el mismo radio de convergencia , puede derivarse una vez mas y repetir el proceso tantas veces como se desee . Es decir , una serie de potencias puede derivarse tantas veces como se desee en el in­ terior de su circulo de convergenda . Las series de potencias son las series de Taylor de las funciones P(z) que representan; es decir , los coeficientes a11 pueden expresarse por medio de la f6rmula y

1 av. = P(O).

(8.3)

-

v!

L a demostraci6n es, palabra por pal .abra , l a misma que para una variable real (ver el Volumen I , p . 545 ) . d . Ejemplos de series d e potencias

Como se mencion6 en el Capitulo 7 (p . 553) del Volumen I , las series de potencias para las funciones elementales pueden ser exten­ didas inm�diatamente af c aso en que la variable es compleja; en o,tras palabras, las series de potencias para las funciones elementales pueden considerarse como series de potencias con terminos complejos y, de esta manera , es posible extender las definiciones de estas fun­ ciones al dominio complejo . . Por ejemplo� las series 00

�

zv

00

�

v!' v

(

_:_

1)

v z2v

(2v)! '

00

( - l tz�v+l

�G (2v

+

1) !

'

00

�

z2v

(2v) ! '

00

v�

z2v+l

(2v + 1) !

lntroduccion al calculo y a l analisis matematico

856

convergen para todos los valores de z. (Esto se deduce inmediatamen­ te con ayuda de los criterios de comparaci6n) . Una vez mas, las fun­ ciones representadas por estas series de potencias se denotan, respec­ tivamente , por los simbolos ez, cos z, sen z, cosh z, senh z, preci­ samente como en el caso real . De inmediato se deducen las relaciones

(8.4a)

(8.4b)

cos z + i sen z =

eiz ,

cosh z = cos iz, i sen h z = sen iz

a partir de las series de potenci as . Nuevamente , derivando termino a termino se obtiene la relaci6n

(8.4c) Como ejemplos de series de potencias con un radio de convergen­ cia finito , que no sean series geometricas , considerense las series oo

log (1 + z) = I: ( - 1)

(8.4d)

-

v+l zv

V= l

V

00

v z2v+l 1 = -; [log (1 + iz) - log (1 - iz)] , arc tan z = I: ( - 1) 2 2 V l + 1 V=O

cuyas sumas se denotan nuevamente por log y arc tan. Una vez m as , el radio d e convergencia e s 1 . Derivando termino a termino s e ob­ tiene una serie geometrica y se encuentra que

1 1_ d d log (1 + z) - 1 + z ' dz (arc tan z) = 1 + dz _

_

z

2 .

Ejercicios 8. 1 1 . (a) Demostrar que la operaci6n de conjugaci6n compleja se distribuye sobre las operaciones algebraicas racionales, por ejemplo,

(b) Probar que si f(z) se · define por medio de una serie de potencias con coeficientes reales, entonces f(z) = f(z). 2. (a) Probar, para un polinomio P(z) con coeficientes reales, que ralz si y solo si su complejo conjugado es una raiz.

ex

es una

Fundones de una variable compleja

857

P(ex) =

ex =

ex

(b) Probar, bajo la hip6tesis anterior, que si 0 y no es real, + ib y b =\:: O, entonces P(z) tiene el factor cuadratico real

a

(z - ex) (z - &) = z2 - 2az + a2 + b2. 3. (a} Demostrar que I z - ex I = A I z - (3 I , A =\:: 1, A real, es la ecuaci6n de una circunferencia. Determinar el centro, zo y el radio, r, del circulo. Si A = 1 , �cual es el lugar geometrico de esta ecuaci6n? (b) Derhostrar que la transformad6n lineal general

, _ exz + f3 · yz + 8

Z -

donde

ex8 - (3y

=\::

---

,

0, transforma circulos y rectas en drculos y rectas.

z = x + iy se tiene I zz-=--_! + 1 1 < 1? 5 . Probar que si :E a n zn es a bsolutamente convergente para z es uniformemente convergente para toda z tal que I z I ;£ I � I · 4. �Para que puntos

=·

=

�. entonces

6 . Usando las series de potencias para cos z y sen z, demostrar que

cos2z + sen

2z = 1.

7. � Para que valores de z es convergente la serie

8.2

�1 1 -zvzv

"!

Fundamentos de Ia teoria general de las funciones de una variable compleja

a. El postulado de la diferenciabilidad ·

Como se ha visto en parrafos anteriores, todas l as series que se representan mediante series de potencias poseen una derivada y una integral indefinida . Este hecho puede tomarse como el punto de par­ tida en Ia teoria general de las funciones de una variable compleja. El objeto de t�l teoria es extender el calculo diferencial e integral a l,as funciones de una vari able compleja. En p articular, es impoltante que el concepto de funci6n se generalice para variables complejas in­ dependientes , en tal forma que comprenda cualquier funci6n que sea diferenci able en una region compleja . Por supuesto , podriamos restringirnos desde el principio a con­ siderar unicamente funciones que sean representables por medio de

858

Int:roduccion al calculo

y

al analisis matematico

series de potencias y, asi , satisfacer el po�tulado de la diferencia­ bilidad . Sin embargo , existen dos objeciones a este procedimiento . En primer Iugar, no pqede decirse a prz"ori si el postulado de la diferen­ ciabilidad de una funci6n compleja necesariamente implica que la funci6n puede desarrollarse en una serie de potencias . (En el c aso de una variable real se vio que incluso existen funciones que poseen derfvadas de cualquier arden y, sin embargo , no pueden desarrollarse en una serie de potencias; ver el Volumen I , p . 462 . ) En, segundo Iugar , la senci1la funcion 1/(1 - z), cuya serie de potencias, la serie geometric a , converge unicamente en el circulo unitario , nos hace ver que incluso para expresiones funcionales sencillas la serie de poten­ cias no represent a en todo punto a Ia funcion , lo cual , en este caso particular , ya se sa be por otros c aminos. Estas difi cultades pueden evitarse mediante un metoda debido a Weierstrass y, en efecto , la teoria de las funciones de una variable complej a puede desarrollarse con b ase en l a teoria de l as series de potencias . Sin embargo , es deseable hacer resaltar otro punta de vis­ ta, el de Cauchy y Riemann . En este metoda las funciones se c arac­ terizan no por expresz"ones expltdtas sino mediante simples pro­ pz"edades. Mas concretamente , para determinar el dominio en el que una funcion esta definida se usa la propiedad de que la funcion es diferenciable y no la de que se puede representar por media de una serie de potencias . Partiremos del concepto general de una funcion complej a , � = f(z) de la variable compleja z. Si R es una region del plano z y si a c ada punta z = x + iy en R se le asocia un numero �omplejo � = u + iv por media de cualquier relacion, se dice que .J es una funcion com­ pleja de £ en R. Por lo tanto, e �ta definicion simplemente expresa el hecho de que a toda p areja de numeros reales, x, y, tales que el pun­ to (x, y) esta en R, le corresponde una p areja de numeros reales , u, v, es decir, que u y v son dos funciones reales cualesquiera, u(x, y) y v(x, y), definidas en R , de las dos variables reales x y y. Este concepto de funcion ab arca demasiado para el calculo com� plejo. Lo limitamos, en primer Iugar, por la condicion de que u(x, y) y v(x, y) deben ser funciones continuas en R con primeras derivadas continuas , Ux, u�, Vx, Vy . En segundo , requerimos que la expresion u + iv = � = f(z) = f(x + iy) sea diferencia ble en R con tespecto a la variable independiente compleja z; es decir, que el limite ·

lim

fJ��t=l�l = f(z + h) . - f(z) lim Z 1 - Z

h - fl

h

=

f' (z)

Funciones de una variable compleja

859

existe para todos los valores de z en R . Este limite, en consecuencia, recibe el nombre de derivada de f(z). Para que la funci6n sea diferenciable no es, de ninguna manera, suficiente que u y v posean derivadas continuas con respecto a x y a . y. El presente postulado de diferenciabilidad implica mucho mas que Ia diferenciabilidad pa,t;a las funciones de variables reales, puesto que h = r + is puede tender a cero a traves tanto de valores reales (s = O) como de valores puramente imaginarios (r = 0) , o en cualquier . otra forma , y debe obtenerse el mismo limite , f' (z) , en todos los casos si la funci6n es diferenciable . Si , por ejemplo , se pone u = x, v = 0, es decir , f(z) = f(x + iy) = x, se tiene una correspondencia en Ia que u(x, y) y v(x, y) son con­ tinuamente diferenciables . No obstante , poniendo h = r para la derivada de f con respecto a z, se obtiene lim r-o

f(z + r) --" f(z) lim � + r - x = = r

mientras que si se pone h lim s-o

=

r

r-0

1

'

is, se tiene

f(z + i�) - f(z) = lim

-9- = 0 ;

s-o lS

z,s

es decir, se obtienen dos limites enteramente diferentes. De modo semejante, si � = u + iv = x + 2iy, se obtienen limites diferentes para el cociente de diferencias conforme h tiende a cero en form as di­ ferentes. Por tanto, para asegurar la diferenciabilidad de f(z) con respecto a z se tiene que imponer aun otra restricci6n. Este hecho funda­ mental de la teoria de l as funciones de una variable compleja se ex­ presa por medio del teorema siguiente: Si � = u(x, y) + iv(x, y) :::: f(z) = f(x + iy), donde u(x , y) y v(x_ y} son continuamente diferendables, las condiciones necesarias y suficientes para que la fund6n f(z) sea diferenda ble en la regi6n compleja son las llamadas , ecuaciones diferenciales de Cauchy­ Riemann:

(8.5a)

Ux

=

Vy,

Uy

= -

Vx.

En todo conjunto abierto, R, donde u y v sean continuamente dijerenci'a bles y sati'sfagan estas co'l'diciones, se dira que f{z) es una

860

y

Introduccion al calculo

al analisis matematico

funci6n analitica1 de la varia b le compleja estara dada por + ivx

f'(z) = Ux

(8.5b)

= Vy - i uy =

z, y

la derivada de f(z)

-�" (uy +

ivy).

Primero se demostrara que las ecuaciones diferenciales de Cauchy­ Riemann constituyen una condi:ci6h necesaria. Sup6ngase que f'(z) existe . �n consecuencia , debe obtenerse el limite f'(z) tomando h igual a una cantidad real r. Es decir,

(

u(x + r, y) f'(z) = lim r r-0

= Ux + ivx.

- u(x, y)

+ i v(x . +

r, y) r

- v(x, y))

De Ia misma manera, debe obtenerse f'(z) si se toma h como un numero imaginario puro, is; es decir, debe tenerse

s-o (

(x, y f' (z) = lim u

+

81,!8 - u(x, y)

+ + i v(x, y

�) - v(x, y)

1,8

)

De aqui que

.

Ux + Wx

=

----1 -;--- ( .,

Uy

. + Wy )

•

lgualando las partes reales e imaginarias, inmediatamente se ob­ tienen las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Estas ecuaciones tambien constituyen una condici6n sufidente para Ia diferenciabilidad de Ia funci6n flz) . Para probarlo , f6rmese el codente de diferencias [ ver Ia formula ( 1 3 ) p . 6 8 ] 1Tambien se usa e l termino holomorfa. U n teorema d e m ayores alcances, que no se prueba a qui, asegura que para f diferenciable en una region , las derivadas 'de u y v no solo existen sino que automaticamente son continuas. Por tanto, en realidad, Ia diferenciabil idad de f implica Ia diferenciabilidad continua. Sin embargo, en lo que . sigue no se aplicara ese teorema y siempre se supondra que Ia f diferenciable que se consider6 tiene partes real e imaginaria continuamente difetenciables, o sea, equivalentemente, que f'(z) es una funci6n continua de z.

Funciones de una variable compleja

861

f(z + h) - f(z) _ u(x + r, y + s) - u(x, y) + i {v(x + r, y + s) - v(x, y)} r + is h r x + BUy + irvx + isuy + E1 l h l + ie2 l h l = u r + is don de E 1 y E2 son dos cantidades reales que tienden a cero con I h I = .J r2 + s 2 . Ahora , si se cumplen l as ecuaciones de Cauchy-Riemann, la ecuaci6n anterior inmediatamente se convierte en

. . lhl . l h l. Ux + Wx + E 1 . + tE2 r + ts r + ts De inmediato se ve que conforme h --) 0 esta expresi6n tiende al limite Ux + ivx , independientemente de l a manera en que se lleve a cabo el paso h acia el limite h --) 0 . Ahora se usaran las ecuaciones de Cauchy-Riemann , o la equi­ valente propiedad de diferencia bilidad , como la definicion de una funci6n analitica , sobre la cual se basara la deducci6n de todas las propiedades de tales funciones . b. Las operaciones mas sencillas del calculo dijerencial

Todos los polinomios y todas las series de potencias en el interior de su circl:llo de convergencia son funciones analiticas (ver l a p . 85 5). Facilmente se ve que las operaciones que conducen a las reglas elementales del c alculo diferencial pueden aqui llevarse a cabo exac­ tamente en la misma forma que para la variable real (ver el Volumen I, pp . 201 -206 , 2 1 8 - 220). En particular, se cumplen las reglas siguientes : la sum a , la diferencia , el producto y (siempre que el denominador no se anule) el cociente de funciones analiticas pueden derivarse de acuerdo con las reglas elementales del calculo y, por tanto, a su vez son funciones analiticas. Ademas, una funci6n analitica de una funci6n analitica puede derivarse de acuerdo con la regla de la cadena y, por lo tanto, es a su vez una funci6n analitica. Tambien es valido el teorema sigtiiente:

Si la derivada de una funcz"6n analitz"ca ' = f(z) se anula en todo punto de una regz"6n R, la funcz"6n es constante. DEMosTRAcioN Por (8 . 5a , b) s e tiene Vy - i uy = 0 en todo punto de R . De don de , Vy = 0, Uy = 0, en virtud de l as ecuaciones de ·

Introduccion al calculo

862

Cauchy-Riemann, Vx = 0, tanto , � es constante .

Ux

y

al analisis matematico

= 0 ; es decir,

u

y

v

son constantes ; por

Aplicaci6n a la funci6n exponencial Usemos este teorema para deducir algunas de las propiedades basicas de la funci6n exponencial , definida para todo complejo z por la serie de potencias ez

zk + 1z1 + z2 + = �2l k- 0 k l = 1 .

co

.

•

•

Puesto que puede derivarse esta sene (ver la p . 855) , se encuentra que

(8.6)

d dz ez =

1

+ z + z2

--

2!

+

•

•

·

=

ez.

Asi , l a funci6n exponencial f(z) = ez es una soluci6n de l a ecuaci6n diferencial

f'(z) = f(z) para todo z . Entonces, por l a regla de l a c adena de la derivaci6n se deduce que, para �ualquier complejo fijo � ,

d d - ez+' e-z = - f(z + �) f( - z) dz dz = f'(z + �) f( - z) - f(z + �) {'( - z) = f(z + �) f( - z) - f(z + �) f( - z) = O.

Aplicando el teorema anterior, se ve que

es una constante independiente de z. El valor de esta constante se en­ cuentra poniendo z = 0, y como e0 = 1, se obtiene

(8.6a) para todo z y to do �- Para � = 0 ,

::;e

concluye que

Funciones de una variable compleja

863

(8.6b) Consecuentemente , la fund6n exponencial es diferente de cero para todo complejo z, y el recipro co de ez es e-z. Multiplicando ambos miembros de la identidad (8 . 6a) por ez se llega a la ecuaci6n fun­ cional de la funci6n exponencial

(8.6c) la cual no podria deducirse con tanta facilidad a partir de la re­ presentaci6n en serie de potencias . Si f(z ) es cualquier soluci6n de la ecuaci6n diferencial

f'(z) = f(z) ,

(8.7a) se tiene

d )e z = f'(z)e-z - f(z)e-z = 0. dz f(z De aqui que ,

f(z)e-z =constante , = c. Por lo tanto, I a soluci6n mas general de la ecuaci6n diferencial ( 8 . 7a) ticne la forma

f(z) = cez ,

(8.7b) donde c es una constante .

En l a p . 856 se encontr6 que

(8 8 a) .

eiz = co s z + i sen z,

donde cos z y sen z estan definidas por sus series de potencias. Rem­ plazando z por - z se encuentra , puesto que sen ( - z) = - sen z

e-iz = cos z - i sen z. Multiplicando las dos relaciones , se ve que

864

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

eiz e-iz = co s2z + sen 2z. Como eiz e-iz = eiz-iz = 1, se ha pro bado la identidad cos2z + sen 2z = 1

(8.8b) para todo complejo Por (8. 6c)

y

z.

(8 . 8a)

(8.8c) Si aqui x y y son reales, se encuentra que el valor absoluto de ez = ex+iy esta dado por (8.8d)

I ez I

I ex+iy l = I ex cos y + i ex sen Y I = -./(ex cos y) 2 + (ex sen y) 2 = Je2x(c os2y + sen 2y) = ex .

Otra consecuencia importante de l a relaci6n (8 . 8a) que une a las funciones exponenciales y trigonometricas se obtiene si se pone z = 27t : (8.9a)

e21ti = cos(21t) + i sen(21t) = 1.

De manera mas general , haciendo t;

=

21t i, en (8 . 6c) se tiene

ez+27ti = ez.

(8.9b)

Por tanto , para argumentos complejos, la funci6n exponencial es peri6dica y tiene el perfodo 21ti. La formula (8 . 8a) indica que para cualquier entero n ,

(8.9c)

e2n1ti = cos(2 n7t) + i sen(2n7t) = 1.

Facilmente se ve que los valores de z de la forma z

son los unicos para los cuales

= 2n1ti

(n = entero )

Funciones de una variable compleja

865

ez = 1,

porque si z = x + iy , con x, y reales, de ez = 1 y (8. 8d) se encuentra que ex = 1, y, por tanto , x = 0. Entonces

1 = ei Y = cos y + i sen y , lo cual conduce a cos y = 1, sen y = 0.

De aqui que y debe ser un multiplo de 21t Se concluye entonces que la ecuaci6n

(8.9d) se cumple si y solo si

(8.9e)

z = s + 2n1ti,

donde n es un entero , porque multiplicando (8. 9d) por e-c, se obtiene

c. Transformacion conforme. Funciones inversas

Por medio de las funciones u(x, y) y v(x, y), se hacen corresponder los puntas del plano z, o plano x, y, con los puntas del plano � ' o plano u, v. Por tanto , se tiene una transformaci6n o aplicaci6n de regiones del plano x, y sobre regiones del pl ano u, v, determinada por s = f(z) = u + iv. Por (8. 5 a , b), pp . 859 -860, el jacobiano de la transformaci6n es - d(u,v) - UxVy - UyVx - Ux2 + Vx.2 - I f'(Z) 1 2 Dd(x, y) -

•

Por lo tanto , el jacobiano es diferente de cero y, de hecho, es positivo siempre que {'(z) =/= 0. Si se supone que f'(z) =/= 0, los resultados ob­ tenidos con anterioridad (p . 308) indican que una vecindad del pun­ to zo en el plano z , si es suficientemente pequefia , es aplicada

866

Introducci6n al calculo

y

al analisis matematico

biunivoca y continuamente sobre una region del plano � en la vecin­ dad del punto �o = f(zo). Esta aplicacion es conforme (es decir, los angulos no son alterados por ella) , porque, como se ha visto en el Capitulo 3 (p . 337) , las ecuaciones de Cauchy-Riemann son las con­ diciones necesarias y suficientes para que la transformacion sea con­ forme y no solo conserve la m agnitud sino tambien el signo de los an­ gulos . Asi , se tiene el resultado siguiente :

La conformidad de la transformaci6n dada Por u(x, y) y v(x, y), y el caracter analitico de la funci6n f(z) u + iu significan exacta­ mente lo mismo, siempre que se euiten los p?,.tntos , zo, para los cuales f'(zo) = 0. El lector debe estudiar los ejemplos de representaci6n conforme que se discutieron en el Capitulo 3 (pp . 289 - 290) y probar que todas estas transformaciones pueden expresarse por medio de funciones analiticas de forma sencilla . Para una representacion conforme biunivoca d e una veciridad de zo sobre una vecindad de �0, la transformaci6n inversa tarribien es conforme . Se concluye que z = x + iy tambien puede considerarse como un a funcion analitica, q)(�), de � = u + iv. Esta funcion se llama inversa de � = f(z). En Iugar de aplicar este argumento geometrico, puede establecer­ se directamente el c aracter analitico de esta inversa calculando las derivadas de x(u, v), y(u, v) como en (24d) de la p . 299. Se tiene =

(8. 10)

Xu =

Vy

= D' Xv

y

se ve que las ecuaciones de Cauchy-Riemann X u = Yv, Xv = - Yu son satisfechas por la funcion inversa. Como puede verificarse inme­ diatamente, la derivada de la inversa , z = q)(�) , de l a funci6n � = f(z) esta dada por la formula (8.10b)

dz d� = 1 d� dz

·

Ejercicios 8 . 2 1 . Probar que e l producto y e l cociente d e funciones analiticas y la funcion

de una funcion analitica son, a su vez , analiticas, no aplicando la pro­ piedad de diferenciabilidad sino las ecuaciones diferenciales de Cauchy­ Riemann.

867

Funci()nes de una variable compleja

2 . Demostrar que si I f(z) I es constante en una region, R, entonces f(z) es constante .

3 . �Donde son continuas las funciones siguientes? �Cuales son diferenciables?

(a) z ;

(b)

izl ;

(c)

+z (d) z2 �· 2

z+z 1 + izl ; �

4. Probar que en la transformaci6n = � (z + 1/z) los drculos con centros en el origen y las rectas que pasan por el origen del plano z se transfor­ man, respectivamente, en elipses e hiperbolas confocales en el plano �·

5 . Para la transformaci6n lineal general �

= az +_Q cz + d

(ad

-

be

=I=

0),

pueden existir basta dos puntas fzjos, valores de z para los cuales � z. Demostrar que si Ia transformaci6n tiene dos puntos fijos, la familia de circulos que pasa por los dos puntos fijos y la familia de circulos orto­ gonales a ellos se transforman en si mismos. (Con este fin, Ia recta que pasa por los puntos y Ia mediatriz del segmento que los une se consideran como "circulos" de las respectivas familias . ) =

6 . Relacionar l a inversion en el circulo unitario con Ia funcion analitica {(z)

= 1/z y, asi , deducir las propiedades basicas de la inversion enunciadas en la Seccion 3 . 3d , Ejercicio 4, p. 302 .

7 . Pro bar que una sustituci6n de la forma

donde

a.

y

·�

= a.z + � �z + a '

(3 son numeros complejos cualesquiera que satisfacen la relacion

cxii - (3� =

1,

transforma Ia circunferencia del circulo unitario en si misma del circulo en si mismo. Probar tambien que si

y

el interior

�� - cxii = 1, el interior se transforma en el exterior. 8_ Probar que cualquier drculo puede transformarse, mediante una sus­ �

tituci6n de la forma = (cxz + (3)/(yz + 8) , en el semiplano superior li­ mitado por el eje reaL (Aplicar el Ejercicio 4, p . 857 . )

g _ Probar que una sustituci6n

altera la raz6n cruzada

�

=

(cxz + (3)/(yz + 8), donde cx8 - (3y � 0, no

(Z l - -Z3)/(Z 2 - Z3) (ZJ - Z4)/(Z2 - Z4)

lntroduccion al calculo y al analisis matematico

868

de los cuatro puntos 8.3

Z1, z2, za, Z4

Integracion de fundones analiticas

a. DefiniciOn de la integral

El teorema central del calculo diferencial e integral de l as fun­ ciones de una variable real establece que l a integral indefinida de una funcion (dej ando indeterminado el limite superior) puede con­ siderarse como la funcion primitiva o antiderivada de la funcion original (Volumen I , p . 1 88). Una relaci6n correspondiente cons­ tituye el nucleo de la teoria de las funciones analiticas de una va­ riable compleja . Empecemos por extender la definicion de la integral definida de una funcion dada, f(z) . Aqui resulta conveniente usar t = r + is, en Iugar de la variable independiente z, para denotar a la variable de integracion. Sea la funcion fit) analitica en una region R y sean t = to y t = z dos puntos en esta region , unidos por una curva orientada, C, que es seccionalmente suave (ver l a p . 1 1 8 ) y esta completa�ente en el interior de R (Fig. 8 . 2 ) . Subdividase la curva C en n porciones, por medi.o de los puntos sucesivos to, t1, . . . , tn = z y formese la sum a

Figura 8.2

(8.lla)

n Sn = 2: {(tv') (tv - tv- 1), V= l

donde tv' denota cualquier punto que se encuentra sobre C, entre y tv. Si ahora se hace la subdivision c ada vez mas fina , hacienda que el numero de puntos crezca sin limite, de manera tal que la mayor de l as longitudes I tv - tv- 1 l tienda a cero, Sn tiende hacia un

tv- 1

Funciones de .u na variable compleja

869

limite que es independiente de Ia elecci6n del punto intermedio par­ ticular, tv' y de los puntos tv. Esto se puede probar directamente, por medio de un metodo analogo al que se us6 para probar el teorema correspondiente de la existencia de la integral definida para variables reales . Sin embargo, para nuestros fines resulta mas conveniente reducir el teorema a lo que ya se conoce acerca de las integrales curvilineas reales (ver el Capitulo 1 , p . 89), como sigue : p6ngase f(t) = u(r, s) + iv(r, s}, �v = rv + isv, tv' = rv' +. isv', Atv = tv - tv-1 = Arv + i Asv. Entonces , se tiene n

Sn = � u(rv', Sv') Arv - v(rv', Sv') Asv V= l

+ i

{tl v(rv', Sv') Arv + u(rv' ' Sv1 ) Asv} .

Conforme n crece , las sumas de la derecha tienden had a las inte­ grales curvilineas reales

J0 (u dx - v dy)

y

i

f0 (v dx + u dy),

respectivamente, y por tanto, como se afirm6, Sn tiende hacia un limite . A este limite se le da el nombre de integral definida de la fun­ cion fit) .a lo largo de Ia curva c, desde to hasta z y se escribe rz f(t) dt Jto

0

fc

f(t) dt.

De donde (S llb} .

Jc f(t) dt = Jc (u dx - v dy) + i Jc (v dx + u dy).

La definicion de esta integral definida inmediatamente da una es­ timaci6n importante : si lf(t) I � M sobre la trayectorz'a de z'ntegra­ cz'6n, donde M es una constante y L es la longz'tud de la trayectorz'a de . z'ntegracz'6n, entonces

(S.llc}

I Jc f(t) dt j � ML,

870

Introduccion al calculo y al analisis matematico

porque, por (8. l la) y lo expuesto en el Volumen I (p . 350), I Sn l � M I: l tr - tr-t l � ML. v

Ademas, hacemos notar que las operaciones con integrales com­ plejas (en particular, l as combinaciones de diferentes trayectorias de integraci6n) satisfacen todas las reglas establecidas sobre el particular para las integrales curvilineas , en el Capitulo I (pp . 9 3 - 95 ) .

b. Teorema de Cauchy

La propiedad mas importante de las funciones de una variable compleja es que la integral entre to y z es en esencia independiente de la elecci6n de la trayectoria de integraci6n , C. Concretamente, se tiene el teorema de Cauchy:

, Si la fund6n f(t) es analitica en una region simplemente conexa, R, la integral r z f(t) dt = r f(t) dt J to Jc es independiente d e la elecci6n Particular de la trayectoria de in­ tegraci6n, C, que une a to' y z en R; la integral es una funci6n analitica F(z) tal que

:z F(z) = :z [ Jt: f(t) dt] = {(z).

En consecuencia, F(z) es una funcz"6n primitiva o integral indefinida de f(z) . El teorema de Cauchy tambien puede expresarse como sigue: La integral de f(t) a lo largo de una curva cerrada que se en­ cuentra en una region simplemente conexa en la que f es analftz·ca, es cero. La demostraci6n de que Ia integral es independiente de Ia trayectoria se deduce inmediatamente de (S. l lb ) y del teorema prin· cipal sobre l as integrales curvilineas (ver el Capitulo I , p. 1 04); par­ que tanto u dx - v dy, el integrando en la parte real , como v dx +

Funciones de una variable compleja

87 1

udy, el integrado en Ia parte imaginaria , satisfacen Ia condicion de integrabilidad , en virtud de las ecuaciones de Cauchy-Riemann (8 . 5 a) . Por lo tanto , Ia integral es una funcion de x, y o de x + iy = z, F(z) = U(x, y) + i V(x, y), y por los resultados obtenidos previamente para las integrales curvilineas se tienen las relaciones Ux

=

u, Uv = - v, Vx = v, Vv = u,

es decir [ ver (8.5b); p 8 60 ] ,

Ux = Vv, Uv = - Vx, Ux + i Vx = u + iv,

lo cual demuestra que , en realidad, F(z) es una funcion analitica . en R con derivada F'(z) = {(z). La hipotesis de que la region es sz'mplemente conexa es esenciaJ para Ia validez del teorema de Cauchy. Por ejemplo, considerese Ia funcion 1/t, que es analitica en todo punto d �l plano t, excepto en el origen . No podemos concluir tomando como b ase el teorema de Cauchy, que Ia integral de 1/t, tomada a lo largo de una curva cerrada que encierre al origen, se anula , porque una. curva tal no puede ser encerrada en una region simplemente cbnexa en Ia que Ia funcion sea analitica . La conectividad simple de Ia region queda destruida por el punto excepcional t = 0. Si , por ejemplo, la integral se toma a lo lar­ go de un drculo , K, dado por I t l = r o t = rei a en el sentido po­ sitivo, y se elige e como Ia variable de integracion (dt = riei 9 d9), se tiene 2 1t riei a dt -= de = 21tL. ' (8 1 2a) K t o ret e ' .

i

i

esto es, el valor de la integral no es cero sino 21ti. Sin embargo, el teorema de C.auchy puede extenderse a regiones multiplemente conexas, como sigue :

Sz' una regz'6n multzplemtnte conexa, R, · esta lz'mz'tada Por · un numero fz'nz'to de curvas cerradas seccz'onalmente suaves C1 ,C2 , . . . , y sz' J(z) es analitz'ca en el z'nterz'or de esta regz'6n y so bre su front era, 1 entonces la suma de las z'ntegrales de la funcz'6n a lo largo de todas las curvas front eras es cero, sz'empre que todas las front eras· se descrz'ban en el mz'smo sentz'do relatz'vo al .z'nterz'or de la regzon R, es decz'r, que *Se dice que una funci6n es ana11tica sobre una curva si es ana11tica en toda una vecindad de 'esta curva, no irnporta que tan peque:iia sea .

872

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

la region R siempre este del mismo lado, digamos el izquierdo, de la curoa conforme est a se describe . . Se llega a la demostraci6n inmediatamente , sobre el modelo de las demostraciones correspondientes para las integrales curvilineas : se corta la region R en un numero finito de regiones simplemente conexas (Figs. 8 . 3 y 8 .4) , se aplica el teorema de Cauchy a estas

Figura 8.3

f.C = f.Ct

+

f.C . 2

R, subdividida por los segmentos

Qt,

Figura 8.4 Una region multiplemente conexa, Q2 , . . . en regiones simplemente conexas.

regiones por separado y se suman los resultados . Este teorema se puede expresar en una forma un tanto diferente :

Si la region R se forma a partir del z'nterz'or de una curva cerrada, C, eUminando de este interz'or los z'nteriores de otras curvas Ct, C2, . . . , entonces (8.12b)

f f(t) dt = z:J cv f(t) dt,

Jc

v

f

donde las z'ntegrales a lo largo de la frontera externa C y las front eras internas se loman en el mismo sentido. c. Aplicaciones. El logaritmo, la /unciOn exponencial :v la funci6n potencia general

Ahora puede usarse el teore1na de Cauchy como base p ara una teoria satisfactoria del logaritmo, la funci6n exponencial y , de a qui, de las otras funciones elementales, siguiendo un procedimiento se-

Funciones de una variable compleja

873

mejante al adoptado para una variable real (Volumen I, Capitulo 2 , p . 1 45 ) . Empecemos por definir el logaritmo como la integral d e la fun­ cion 1/t. Desde un principia se limitara la trayectoria de integracion haciendo que se encuentre en una "region de analiticidad" sim­ plemente conexa , mediante un corte a lo largo del eje real negativo, es decir , evitando que la trayectoria de integracion cruce el eje real nega tivo . M as concretamente ' si se pone t = I t I (cos a + i sen a), se debe limitar a por la desigualdad - n < a � n En el plano t, des­ pues de que se ha hecho el corte , se une el punto t = 1 con un punto arbitrario, z, por medio de cualquier curva, C; entonces puede aplicarse el teorema de Cauchy para integrar la funcion 1/t entre estos pt.Jntos, independientemente de 1; trayectoria. El resultado es una funcion analitica que se llamara log z y que esta definida de modo unico para z =I= 0 : .

� = log z =

(8.12c)

J z dt-t = f(z). 1

El logaritmo tiene la propiedad de que

1 d - (log z) = -. z dz

(8 .12d)

z

La inversa del logarz"tmo puede z"dentzft"carse con la fund6n ex­ ponencial. Considerese la funcion e10g definida para z =I= 0 en el plano cortado a lo largo del eje real negativo , de acuerdo con la definicion del logaritmo. Usando la regia de la cadena de la deri­ vaci6n , de (8. 1 2d) y (8 . 6) se encuentra que , para z =I= 0 : d ---: 1 elog ---dz z

Por tanto ,

z = - z21

1 z

- e10g

- elog

z

1 elog +-

z = constante' = c.

Si a qui se toma z = 1, se encuentra que

c=

z2

eiog

1 =

eo

= 1.

z

.

874

lntroduccion al calculo y al analisis matematico

Por tanto , (8.13a)

z=

eiog

z·

para todo

z

* 0. 1

La ecuaci6n (8: 1 3a) indica que la ecuaci6n ew

(8.13b)

=

z

tiene al menos una soluci6n w para todo w

(8.13c)

= log

z

* 0, a saber,

z.

De a qui que la funci6n exponencial toma todos los valores complejos, excepto cero . No obstante, la soluci6n no es unica . De lo expuesto en la p . 865 se sabe que si w es cualquier soluci6n particular de (8 . 1 3b), entonc< la soluci6n general tiene la forma w

+ 2n1t i,

donde n es un entero . Asi :

Para cualquier (8.13d)

z

* 0 la ecuaci6n ew

z

=

es equivalent e a (8.13e)

w

= log

z

+ 2n1ti,

donde n es un entero . Como una aplicaci6n, se deducira el teorema de adici6n para logaritmos. De (8 . 13 a) se tiene, p ara complejos z , � cualesquiera lUno estaria tentado a concluir, de modo semejante, que d log (ez) dz

=

1

ez

ez = 1

implica g(z)

=

log(ez) --: z = constante.

Pero esto es incorrecto , puesto q4e g(O) cubrir la falsedad del argumento.

=

0 y g(2xi) = -2xi. Se deja al lector des­

Funciones de una variable compleja

que no se anulan , z� y,

=

elog z elog

por otra p arte ,

c =

elog z log +

875

r;

elog (zC>.

z� = De aqui que

(8.14)

log(z�) = log z + log � + 2n1ti,

donde n es un entero . Aqui , cuando z , son reales positivos, siempre puede tomarse n = 0, pero no p ara los otros casos, como lo muestra el ejemplo siguiente . L a integral log z

=

i z dt t 1

-

se evalua con facilidad explicitamente , tomando como trayectoria de integra cion Ia recta que une a los puntos = 1 y = z junto con el = I z 1 . Haciendo = z sobre el drculo, se tiene arco circular

ItI

(8.15)

log z

=

t t I I eiC

t I I

0

+ i9,

flzl dt + jr 9 i d� = log I z I 1 -t

donde 6 es el argumento del numero complejo ejemplo , log 1

=

0, log i =

�i,

log( - 1)

· Figura 8.5 Log z = log l z l + iO.

=

z

1ti.

(Fig. 8 . 5). Por

876

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Se observa que log [( - 1) (

-

1)] = log 1 = 0 = log( - 1) + log ( - 1) - 21ti.

Por tanto , en la formula (8. 1 4) no puede tomarse n = O.cuando z = l; = - 1. Con frecuencia , el valor obtenido de esta manera para el logarit­ mo de cualquier numero complejo z , cuyo argumento esta en el in­ tervalo -1t < 9 � 1t, se conoce como valor prz"ncz"pal del logaritmo . Es­ ta terminologia queda justificada por el hecho de que otros valores del logaritmo se pueden obtener eliminando la condicion de que no debe cruzarse el eje real negativo : en estas condiciones el punto 1 puede unirse con el punto z mediante una trayectoria que encierre al origen t = 0. Sobre esta curva, el argumento de t crecera hasta un valor mayor o menor en 2 que el argumento prexiam-¢nte asignado a z. Entonces se tiene el valor log z = log l z l + i9 ± 21ti para la integral (Figura 8 . 6) . De manera semejante, hacienda que la curva encierre n veces al origen, recorrida en un sentido o en el otro , se obtiene el valor (8.16)

log

z

= log l z l + i9 + 2n1ti.

Esto expresa la multzformZ:dad del logarz"tmo. 1 La formula (8. 1 6) representa la solucion general de l a ecuacion e10g z = z.

Figura 8 . 6 Log z = log l z l + iO + 21ti.

1 Por supuesto, el logaritmo multiforme no es una funci6n en el senti do de una asig­ naci6n univalente de un logaritmo complejo 'a cada numero z; el valor principal si es una funci6n en ese sentido.

Funciones de una variable compleja

877

Ahora que ya se han introducido el logaritmo y Ia funcion ex­ ponencial , resulta facil definir las funciones potencia generalizadas az y za , donde a y a son constantes complejas (ver Ia discusion correspondiente para la variable real en el Volumen I , p. 152). Se define az por medio de Ia relacion

(8.16a)

az

= ez log a

(a =t= 0),

donde debe tomarse el valor principal de log a . De la misma manera,

za se define por la relaci6n

za

(8.16b)

(z =t= 0).

= ea log z

Mientras que la funci6n az esta definida de modo unico si se usa el valor principal de log a en Ia definicion, la multiforrnidad de Ia funcion za va mas lejos. Tomando en consideraci6n la multiformidad de log z, se ve que junto con cualquier valor de za tambien se ten­ dran todos los demas valores, que se obtienen al multiplicar uno de ellos por el multiplicador e2n 1tia, donde n es cualquier entero positivo o negativo. Si a es racional, digamos a = pjq,. donde p y q son enteros primos relativos, entre esos multiplicadores solo existe un numero finito de valores diferentes (cuya q -esima potencia debe ser la uni­ dad). Sin embargo , si a es irracional se obtiene un numero infinito de multiplicadores diferentes . La multiformidad de Ia funcion za se discutira con mas detalle en Ia p . 898 . Como se ve a partir de la regia de la c adena, estas funciones satis­ facen las formulas de derivaci6n

(8.16c)

d(az) dz

= az log a'

d(za) dz

=

aza-l .

Ejercicios 8 . 3 . 1 . C ons1 derese ,

J 2zz2 -_ 11 z. d

(a) �Cuales son los valores de esta integral tomada en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor de drculos pequeiios con centros en 1 y en - 1 ? ( b ) Describir u n a trayectoria cerrada que rodee tanto a 1 como a -1 y a lo largo de Ia cual la integral sea cero.

878

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

2 . Investigar las extensiones de las leyes de los exponentes,

del dominio real al complejo, y discutir las complicaciones que surgen de la multiformidad en la definicion za = exp [cx (log z + 2n7ti)], donde log z es el valor principal del logaritmo. 3. (a) Demostrar que todos los valores de if. son reales. (b) Encontrar condiciones generales sobre los complejos z (z :..= 0) y � para que todos los valores de zl; sean reales. (c) �Es posible elegir x y � reales, tales que todos los valores de xi; sean reales?

4. La funci6n gama: probar que la integral r(z) =

J"" 0

tZ- 1 e- t dt,

donde se toma el val�r principal de tz- 1 , extendida sobre todos los valores reales de la variable de integraci6n t, es una funci6n analitica del pa­ rametro z = + iy si > 0. Demostrar directamente que la expresi6n r(z) puede derivarse con respecto a z. Probar que la funci6n gama asi definida para la variable compleja satisface la ecuaci6n funcional r(z + 1) = zr(z).

X

X

5 . Funci6n zeta de Riemann: tomando el valor principal de nz, formar la

serie infinita

00

I:

n=l

1 = �(z). nz

-

(z =

x + iy),

Probar que esta serie converge si > 1 , .y que representa una funci6n diferenciable [�(z) se llama fund6n zeta de Riemann ] . La demostraci6n puede realizarse directamente por un metodo semej ante al usado para las series de potencias (ver el Volumen I, p. 5 2 5 ) . 6 . ( a ) Aplicar e l teorema d e Cauchy a la integral

x

(n > m > 0)

tomada a lo largo de una trayectoria que consiste del cuadrante positivo del drculo unitario I z I = 1 y las partes de los ejes compren­ didas entre el origen y el drculo, haciendo una pequefia desviaci6n circular alrededor de z = 0 ; deducir que

J

1t/2

0

cosme cos n6 d6 =

se�J( n - m)7t/2] r(m + 1) r[(n - m)/2] 2m + l r[(n + m)/2 + 1]

(b) Pro bar que si n = m, el valor de esta ultima integral es 7t/2m+l. (En la integral compleja puede tomarse el integrando como real sobre la mitad positiva del eje. )

Funciones de una variable compleja

8.4

879

Formula de Cauchy y sus aplicaciones

a. Formula de Cauchy

El teorema de Cauchy para l as regiones multiplemente conexas conduce a una formula fundamental , tambien de Cauchy, que ex presa el valor de una funcion arialitica , f(z) , en cualquier punta z = a del interior de una region cerrada , R , en la cual la funcion es analitica , por media de los valores de la funcion sabre la frontera C. Supongase que la funcion f(z) es analitica en la region simple­ mente conexa, R , y sabre su frontera , C. Entonces la funcion

f(z) g(z) = z-a

es analitica en todo punta de la region R , incluida la frontera C, ex­ cepto en el punto z = a. De I a region R se elimina un circulo de radio pequeiio , p, alrededor del punta a, que se encuentre por completo dentro de R (Fig. 8. 7 ) , y a continuacion se aplica el teorema de Cauchy (p . 870) a la funcion g(z). Si se denota por K la circunferen­ cia del circulo, descrita en el sentido positivo , y por C la frontera de

Figura 8 . 7

R, descrita tambien en el sentido positivo , el teorema de Cauchy afir­ ma que [ ver (8.12b) , p. 872 ]

Jc g(z) dz =fx g(z) dz.

Sabre el circulo k se tiene z - a = pet a, donde el angulo e determina la posicion del punta sabre la circunferencia . Por lo tanto , sabre el circulo , dz = piei a de, y por consiguiente

880

lntroduccion al calculo y al analisis matematico

Ya que flz) es continua en el punto a , se tiene, siempre que suficientemente pequeiio, f(a + pei 9) =

f(a)

p

sea lo

+ 11 ,

donde 1 11 1 es :menor que una cantidad positiva arbitraria prescrita , Asi , _

.y ,

E.

por lo tanto , f027t J

f(a + pei 9) de = 21t{(a)

don de I K I � 2ne. En consecuencia , si quefio ,

p

+ K,

es lo suficiente.mente pe­

Jc g(z) dz = 21ti{(a) + Ki, donde I Ki I < 2ne. Si se hace que e tienda a cero (hacienda que p tienda a cero), el .egundo miembro de la ecuaci6n tiende a 21ti{(a), mientras que el valor del primer miembro , a saber,

Jc g(z) dz, no se altera . Asi se obtiene la formula integral fundamental de Cauchy

(8.17a)

f(a) =

� f 2m; J c

f(z) dz. z-a

Si ahora se regresa al uso de t como variable de integraci6n y en seguida se remplaza a por z, la formula toma la forma

(8.17b)

� Jrc t f(t) dt. f(z) = 2m. -z

Funciones de una variable compleja

881

Esta formula expresa los valores de una funcion en el interior de una region cerrada , en la cual la funcion es analitica , por rnedio de los valores que toma la funcion sobre la frontera de la region . En particular, si C es un circulo t = z + rei a con centro en z - es decir, si dt = i rei a de- entonces

1 f(z) = 21t

i 21t f(z 0

+ rei a)

de.

En palabras , el valor de una funci6n en el centro de un disco circular es igual a la media de sus valores so bre la circunferencia, siempre que la circunferenda y su interior esten contenz'dos en la region donde la funcz'6n es analitica . b. Desarrollo de las funciones anaUticas en series de potencias La formula de Cauchy tiene algunas- consecuencias irnportantes.

La principal de ' estas es que toda funcz'6n analitica puede desarrollar­ se en una serie de potencias, la cual relaciona la teoria presente con la de la Seccion 8 . 1 (p . 850). De rnanera mas concreta, se tiene el teorema siguiente: Si la funcz'6n f(z) es analftica en el interior y sobre la frontera de un circulo I z - zo I � R, puede desarrollarse cc·-:no una serie de Potencias en z - zo que converge en el interior de ese cfrculo . En la demostracion puede tomarse zo = 0, sin perdida de gene­ ralidad. (De lo contrario , simplemente puede introducirse una nueva variable independiente , z' por medio de la transforrnacion z - zo = z'). Apliquese ahora la formula integral de Cauchy (8. 1 7b) a la circun­ ferencia C, I t I = R, y escribase el integrando (usando la serie geo­ rnetrica) en la forma

,

_jJ!L t-z

=

1

f(t) f(t) = t 1 - z/t t

(1

+ � +

t

. . �) tn �

+

( )

1_ . f(t) � n+ 1 _ 1 - z/t t t

Como z es un punto en el interior del circulo, I z/t I = q es un numero positivo menor que la unidad ; asi, el residuo de la serie geometrica

rn = se estima mediante

n +l 1 zn+l

Tt

1

1 - z/t '

882

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Introduciendo estas expresiones en la formula de Cauchy, e integran­ do termino a termino, se obtiene

f(z) = co + C1Z +

•

don de

•

•

+ Cnzn + R n,

Si M es una cota superior de los valores de l f(t) l sobre Ia circunferen­ cia del drculo, Ia estimaci6n (S. l lc) para las integrales complejas in­ mediatamente da I Rn I < =

qn+ l qn+ l M 21tRM = 21tR 1 1 q q 1

--

·

--

---

-

para el residuo . Como q < 1, este residuo tiende a cero a medida que n crece , y en esta forma se obtiene el desarrollo en serie de potencias para f(z): 00

f(z) = � Cvzv, V=O don de

(8.18a)

1 r t
Asi , ha quedado probada Ia afirmaci6n. Este teorema tiene importantes consecuencias . P ara empezar, por lo expuesto en Ia p. 855 se sabe que toda serie de potencias puede derivarse tantas veces como se desee en el interior de su drculo de convergenci a . Puesto que toda funci6n analitica puede representarse por medio de una serie de potencias, se concluye que la derivada de una func£6n en el interior de una region donde la funci6n es ana-

Funciones de una variable compleja

883

litica, tam bien es dijerencia ble (es decir , nuevamente es analitica). En otras palabras , la operaci6n de derivaci6n no nos saca de la clase de las funciones analiticas. Como ya se sa be que se cumple lo mismo para la operacion de integracion , se ve que pueden llevarse a ca bo La derivaci6n y La integraci6n de las funciones analiticas sin restricci6n alguna . Esta es una situacion muy comoda , que no se tiene en el caso de las funciones reales. Dado que , como se vio en la S eccion 8 . 1 (p . 850) , toda serie de potencias es Ia serie de Taylor de Ia funcion que representa , ahora se puede afirmar que toda funcion analitica puede desarrollarse en una serie de Taylor (8.18b)

f(z)

=

f(zo) + :E 00

V= l

r< v>(zo) 1

V.

,

·(z - zo) v.

en Ia vecindad de un punto z = zo, en una region R en donde Ia fun­ cion sea analitica . En consecuencia, los coeficientes C v en (8. 1 8a) es­ t�m dados por las formulas (8. 18c)

De este resultado , tambien puede deducirse un importante hecho acerca del radio de convergencia de una serie de potencias . La serie de Taylor de una funci6n J(z), en la vecindad de un punto z = zo , converge e n el interior del circulo mas grande cuyo interior se en­ cuentre por completo dentro de la region en donde la fund6n esta definida y es analitica . En virtud de los teoremas sobre Ia derivacion y Ia integracion , que ahora se han establecido como tambien validos para la variable com­ pleja , todas las fund ones element ales de una variable real que se pueden desarrollar en serie de Taylor, tienen exactamente la misma serie de Taylor cuando la variable independiente es compleja . Para la mayoria de estas funciones ya se ha visto que tal afirmacion es correcta . Aqui puede seiialarse que , por ejemplo, la serie binomial (ver el Volumen I , p . 45 6), (8 1 9a) .

00

(1 + z)a = 2: (�) zv, V=O

tambien es valida para la variable compleja, si l z l < 1 y a es cual-

884

Introduccion al .cilculo

y

al anilisis matematico

quier exponente complejo , siempre que (8 . 1 9b)

(1 + z)a = ea log( l +z) .

se forme con el valor Princzpal d e log ( 1 + z). El hecho de que el radio de convergencia de esta serie es igual a la unidad se deduce de lo que se acaba de decir y de l a observaci6n de que la funci6n (1 + z)a no es analitica e n el punto z = - 1, porque, si lo fuera , en ese punto todas las derivadas exiStirlan , lo cual eviden­ temente no es el caso : Por lo tanto, el circulo de radio 1 con el punto z = 0 como centro es el drculo mas grande en cuyo interior la fun ­ cion es todavia analitica . Este ejemplo ilustra e l . hecho d e que e l comportamiento de las series de potencias desde el punto de -rista de su convergenci a , que el analisis real deja en el misterio, se vuelve completamente inteligible a la luz de lo que se acaha de probar acerca del radio de convergencia. Por ejemplo, el que la serie ·geonietrica que representa a 1/(1 + z2) no converja sobre el circulo unitario es una consecuencia sencilla del hecho de que l a funci6n deja de ser analitica para z = i y z = i. Ahora tambien se ve que l a serie de potencias -

(8.20)

__ z B v _ - 2: v*z z e -1 v! ' _

que define a los numeros de Bernoullz" (ver el Volumen I , p . 562), debe tener al circulo .l z l = 21t como drculo de convergencia, porque el denominador de la funci6n se anula para z = 21ti pero (aparte del origen) no se anula en ninglin otro punto interior al drculo l z l � 21t. c. La teoria de funciones y la teoria del potencial

Como las funciones analiticas f = u + iv pueden derivarse tantas .veces como se desee, se concluye que las funciones u(x, y) y v(x, y) tambien tienen derivadas continuas de cualquier orden. Por lo tanto, ' pueden derivarse las ecu aciones de Cauchy-Riemann . Si se deriva la primera ecuaci6n con respecto a x y la segunda con respecto a y y se suman , se tiene Au

=

Uxx

+

Uyy

= 0;

en la misma form a , la p arte imaginaria , ecuaci6n :

v,

satisface la misma

Funciones de una variable compleja Av =

.

Vxx

+

Vyy

885

= 0.

En otras palabras , La pa-rte real y La parte imagz'narz'a de una funci6n analitz'ca son funcz'ones de potencz'al. Si dos funciones de potencial, u, v, satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se dice que v es la conjugada a u y -u la conjugada a v. Esto sugiere que la teoria de funciones de una variable compleja y la teo ria del potencial en.· dos dimensiones son esencialmente equi­ valentes entre si . d. El reclproco del teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy tiene un reciproco valioso (teorema de Morera):

Sz' la integral de la funci6n con#nua C = u + i v = f(z) , a lo largo de toda curva cerrada. contenida en su regz'6n de definz'ci6n, . R, se anula, entonces f(z) es una funcz'6n analitz'ca en R . Para probarlo , n6tese que la integral z F(z) = r {(t) dt , J to calculada a lo largo de cualquier trayectoria que una un punto fijo to con un punto variable z, es independiente de la trayectoria . En­ tonces, por (8. l lc), p. 869 . ·

f

ii+k [f(t) - f(z)] dt � 0

F(z + h) - F(z) (z) = _!_ h h z

(h � 0).

De donde , F(z) tiene por derivada F'(z) f(z). Por lo tanto, F(z) es analitica y, por el resultado antes obtenido , tambien lo es su derivada , f(z) . . El reciproco del teorema de Cauchy indica que podria haberse remplazado el postulado de diferenciabilidad por el postulado de in­ tegrabilidad (es decir, que la integral de linea es independiente de la trayectoria ) . La equivalencia de estos dos postulados es una carac ­ teristica muy especial de l a teoria de funciones de una variable com­ pleja. =

886

Introduccion al calculo e. Ceros, polos

y

y

al analisis matematico

residuos de una funci6n anal!tica

Si la funci6n f(z) se anula en el punto z = zo, se anula el termino constante en Ia serie de Taylor de Ia funci6n , f(z) = f(zo) + (z - zo) f'(zo) +

y, posiblemente , tam bien se anulen otros terminos de Ia serie . Enton­ ces puede factorizarse (z - zo) n en Ia serie de potencias, con lo cual result a f(z) = (z - zo)n g(z) donde g(zo) =I= 0. Se dice que un punto zo para el � ual esto ocurre es un cero de n- esimo orden de la funci6n f(z). Como se vi6 anteriormente, Ia reciproca, 1/f(z) = q(z), d e una fun­ cion analitica, tambien es analitica , excepto en los puntas donde J(z) se anula . Si zo es un cero de n-esimo orden de f(z), Ia funci6n q(z) puede represen tarse en la vecindad del punto zo en Ia forma 1 1 1 q(z) = ---- n . h(z) , (z - zo)n (z - zo) g(z) don de h(z) es analitica en la vecindad de z = zo. En el punto z = zo Ia funci6n q(z) deja de ser analitica . A este punto se le da el nombre de singularidad (punto singular) . En este c aso particular se dice que Ia sin gu l aridad es un polo de la funci6n q(z), de, n-esimo orden. Si se considera Ia funci6n h(z) desarrollada en potencias de (z - zo) y, a continuaci6n se divide entre (z - zo) n termino a termino , en la vecin­ dad del polo se obtiene un desarrollo de la form a q(z) = C-n(z - zo)-n +

· · •

+ C-1 (z - zo) -1 + c o + c1 ( z - zo) +

don de los coeficientes de las potencias de (z - zo}tse denotan por C- n ,

. . . , C-1, Co, C1, . . .

.

Si se trata de un polo de primer orden (es decir, si n = 1), in­ mediatamente se obtiene el coeficiente C-1 a partir de Ia relaci6n

C- 1 = : lim (z - zo)q(z). z-zo Puesto que

Funciones de una variable compleja

1

q(z) (z - zo)

= f(z)

z - zo

=

887

f(z) - f(zo) z - zo '

para el coeficiente de 1/(z - zo) en el desarrollo de q(z) se tiene (8.21a)

C-1 =

1 f'(zo)"

Del mismo mod"o , si q(z) = r(z)/if>(z), donde f/J(z) tiene un cero de primer orden en z = zo y ·r(zo) =I= 0, en el desarrollo de q(z) se tiene (8.21b)

r(zo) C-1 = f/J'(zo) "

Si una funci6n esta definida y es analitica en toda una vecindad del punto zo pero no en el propio punto , su integral a lo l argo de una circunferencia completa que encierre al punto zo no sera, en general cero . S in embargo , por el teorema de Cauchy, la integral es indepen­ diente del radio de esta circunferencia y tiene, por lo comun, el mis­ rno valor para todas l as curvas cerradas, C, que forrnen la frontera de una region suficientemente pequeiia que encierre al punto zo. El valor de la integral calculada alrededor del punto para un recorrido en el sentido positivo se llama el resz"duo en dicho punto. · Si la singularidad es un polo de n-esimo o�den y si se integra el desarrollo de la funci6n, l a integral de la serie con indices positivos es cero, ya que esta serie de potencias aun es analttica en el punto zo. Una vez integrado, el tt�rmino C-1 (z - zo)- 1 da el valor 27tiC-1, rnientras que los terminos con indices negativos superiores dan 0, porque la integral indefinida de (z - zo)-v para v > 1 es (z - zo)-v+l /( 1 - v) , como en el caso real , de modo que la integral sobre una curva cerrada se anul a . Por lo tanto, e l resz"duo d e una funcz"6n e n un polo es 2nic-1. En l a secci6n siguiente nos familiarizaremos con la utilidad de esta idea segun la expresa el teorema siguiente: Teorema de los residuos Sz" la funcwn f(z) es anlftz"ca en el i'nterior de una regz'6n R y sobre su frontera, C, excepto en un nu­ mero fz'n z't o de poZos i'nterz'ores, la z'n tegral de la funcz'6n tomada a lo largo de C en . el sentz"do posz'tz"vo es z'gual a la s�ma de los resz"duos de lafunci'6n en los poZos encerrados por la fron.tera C. Partiendo de l a s proposiciones anteriores inmediatamente s e llega a la demostraci6n.

888

y

Introduccion al calculo

al analisis matematico

Ejercicios 8.4 1. Probar, sin aplicar directamente la teoria de las series de potencias, que la deriyad,a , de u1;1a funcion analitica es diferenciable , por medio de derivacion sucesiva bajo del signo integral en la form ula de Cauchy; jus­ tificar la validez de este proceso.

2 . Demostrar que la funcion

f(z) -

1 21ti

I �-

{('() z

znn d , �· �

donde la integral se evah1a sobre un contorno simple que encierra a los puntos = 0 y � = z, es un polinomio g(z) de grado n - 1 tal que

�

g<m>(O)

(m = 0, 1, .

= {<m>(O)

. ., n

- 1).

3 . Demostrar que para toda funcion de potencial, u, es posible construir

una funcion conjugada, v, y determinarla de modo unico, aparte de una constante adiuva, siempre que el dominio sea simplemente conexo.

4. �Cuales son los residuos de f(z) 5: Si {(z) es acotada, que

= (2z - 1)/(z2 - 1) en sus polos?

lf(z}.\ < M, en todo el plano complejo, demostrar

�

f(z) - f(O) = i 2

I [� � �] {(�)

z

-

dt

puede hacerse tan pequeiia como se desee, tomando Ia integral sobre una circunferencia lo suficientemente grande. En consecuencia, f(z) = f(O) ; es decir, Ia funcion es constante.

6 . Sea f(z) analitica para \ z l � p. Si M es el maximo de \ f(z) l sobre la cir­ cunferencia I z I = p, entonces los coefieientes de Ia serie de potencias

para f,

f(z)

=

E

avzv , v=o

satisfacen la desigualdad l av \

M

� -. pv

-

Notese que partiendo de este resultado tambien se llega a la conclusion del Ejercicio 5 .

7 . Sea · P(z) = cxnz n + et.n -izn- 1 + · + cx 0 un polinomio d e grado po­ sitivo, n. Demostrar que la hipotesis de que P(z) no ·tiene raices implica que f(z) = 1/P(z) es acotada y, por tanto, constante (por el Ejercicio 5 o el Ejercicio 6) y, entonces, que f(z) es identicamente cero. Esto prueba el teorema fundamental del algebra: que todo polinomio de .

.

Funciones de una variable compleja

889

grado positivo con coeficientes complejos tienen al menos una raiz com­ pleja. 8. Sea analitica sobre una curva simple cerrada, C, y en su interior, con Ia excepci6n posible de un numero finito de puntos interiores. Con­ siderese

f(z) ,

f'(z) dz, f(z)

'I = 1 r 21ti J c

tomada en el sentido positivo sobre C. (a) Demostrar que si f tiene un cero de orden n en ex y ningunos. otros polos o ceros en el interior de C o sobre ella,, entonces I = n. (b) Demostrar que si f tiene un polo de orden m en ex y ning(tn otro polo o cero en el interior de C o sobre ella, entonces I = -m. (c) Demostrar que si f tiene un numero finito de ceros y polos en el in­ terior de C, ninguno sobre C, entonces I es el numero de ceros menos el n6.rnero de polos, contando la multiplicidad; es decir, si los ceros tienen multiplicidades n1, n2, . . . , n1 y los polos, multipli­ cidades m1, m2, . . . , mk, entonces ·

I = n1 + n2

+

·

·

·

·

+ nt - m1 - m2 -

·

·

--

m k.

9 . (a) Dos polinomios, P(z) y Q(z), son tales que en todo punto sobre un cierto contorno cerrado, C,

I Q(z) l < I P(z) j . Probar que las ecuaciones P(z) = 0 y P(z) + Q(z) = 0 tienen el mismo numero de rakes dentro de C. (Considerar la familia de fun­ ciones P(z) + 6 Q(z) , donde el parametro e varia desde 0 basta 1 . ) .,

(b) Probar que todas las rakes de Ia ecuaci6n estan dentro del drculo I

zI = r

·

si

1 l a l < r4 - r.

1 0 . Usar el Ejercicio 8(b) p ara demostrar que un polinomio, P(z), de grado n tiene precisamente n raites, contando la multiplicidad.

1 1 . (a) Si f(z) tiene una raiz simple, ex, dentro de una curva cerrada, C, probar que esta raiz esta dada por ex

=

1 r 21ti Jc

f'(z) dz. z f(z) f(z)

(b) Interpretar Ia integral de Ia parte (a) cuando . finito de ceros y polos, todos en el interior de C. 1 2 . Probar que

ez

" \

'

tiene un n6.rnero

j

no puede anularse para· valor alguno de z.

890 8.5

Introduccion al cilculo y al anilisis matematico Aplicaciones a Ia integracion compleja ( Integracion de con­ torno)

A menudo, el teorema de Cauchy y el teorema de los residuos nos permiten evaluar integrales definidas reales, considerando estas como integrales a lo largo del eje real de un plano complejo y, a conti­ nuaci6n, simplificando el . argumento mediante la modificaci6n apropiada de la trayectoria de integraci6n. l De esta manera , a veces se obtienen evaluaciones sorprendentemente elegantes de integrales definidas que parecen complicadas, sin que necesariamente sea posible calcular las integrales indefinidas correspondientes. Se dis­ cutiran algunos ejemplos tipicos . a. D�ostraci6n de la formula

roo sen x 1t dx = · x 2 Jo

(8.22)

Aqui se da la siguiente demostraci6n instructiva de esta importan­ te formula que ha sido discutida ya por otros metodos (Volumen I, p . 589); Volumen I I , p . 4 7 1 ) . Integrese l a funci6n eizjz en el plano complejo z, a lo largo de la trayectoria C que se muestra en la Fig. 8 . 8 , la cual consiste de un semicirculo. HR de radio R y un semidrculo, Hr de radio r, ambos con sus. centros en el origen, y de los dos intervalos simetricos, /1 e !2 del eje real . Como la funci6n eizjz es regular en el anillo circular en­ cerrado por estas fronteras, 'el valor de la integral en cuesti6n es cero. Combinando las integrales a lo largo de /1 e /2 , se tiene

f

eiz - dz +

HR Z

J

eiz - dz + 2i

Hr Z

Lr

R sen x dx = 0. X --

lSiempre es necesario reducir la integral considerada a otra integral sobre una trayectoria cerrada en el plano complejo.

Funciones de una variable compleja

891

Hagase tender ahor� R a infinito . Entonces la integral a lo largo del sernicirculo HR tiende a cero , porque si se pone z = R( cos 9 + i sen 9) = Rei a para los puntas del sernicirculo , se tiene

eiz = eiR cos 9 e-R sen 9, y la integral queda i

h1t eiR cos

e

e-R sen e d9 .

El valor absoluto del factor eiR cos e es 1 , rnientras que el valor ab­ soluto del factor e-.R s en e es rnenor que 1 y, adernas, tiende unifor­ rnernente a cero con forme R tiende a infinito, en to do intervalo & � 9 � 1t &. Asi , inrnediatarnente se deduce que la integral a lo largo de HR tiende a cero a rnedida que R � oo Como el lector puede prob ar facilrnente por si rnisrno, la integral a lo largo del sernicirculo Hr tiende a - 7t i a rnedida que r � 0. La integral a lo largo de los dos intervalos sirnetricos I1 , I2 del eje real tiende a -

.

.l"" sen x dx

2�

0

--

X

conforme R � oo y r � 0.

Corn bin an do est as proposiciones se obtiene inrnediatarnente la re­ laci6n (8 . 22 ) . b. Demostraci6n de l a formula

(8 . 2 3)

00

1 r (cos ax)e-X2 dx = - /it e aZ/4 2 Jo

(Ver la Secci6n 4. 1 2 , p . 47 6 , Ejercicio 9a). Integrese hr expresi6n e-z2 a lo largo de un rectangulo ABB'A' (Fig. 8 . 9 ), en el cual la longitud de los lados verticales AA', BB' es a/2 y la de los lados horizon tales AB, A'B' es 2R. Por el teorerna de Cauchy, esta integral vale cero . Sobre los lados verticales se tiene

Introouccion al cilculo

892

y

al anilisis matemitico

, ,

esta expresi6n tiende uniformemente a cero conforme R tiende a infinito . Asl, las porciones de I a integral completa que provienen de ' los Iados verticales tienden a cero y, si se realiza el paso hacia el 11mite R --) oo y se nota que dz = d(x + tia) = dx, sobre A' B', puede expresarse el resu ltado del teorema de Cauchy como sigue: y

r+oo e- (xHa/2) 2 dx =

j_""

f_"" e-x2 dx. 00

Es decir, puede desplazarse la trayectoria de integn1ci6n de l a in­ tegral infinita paralelarriente a sl misma . Por los resultados antes ob­ tenidos (vet Ia p . 47 2) el valor de la integral de Ia derecha es ·lit. La integral de Ia izquierda inmediatamente queda ea2 14

f "" e- 2( os ax - i sen ax)dx J-oo x

dado que sen ax es una funci6n impar t o prueb a la formula (8 . 23 ) . c.

"" 2ea 2 14 ( cos ax e-x2 dx,

=

c

y

Jo

cos

ax

una fun cion p ar . Es ­

Aplicaci6n del teorema de los residuos a la integraci6n de funciones racionales

Para la funci6n racional

Q(z)

ao + a1z + bo + b1z +

·

·

·

• • •

+ amzm + b nz n '

si el denominador no tiene ceros reales y su grado es mayor que el del numerador al menos en dos unidades, la integral

I = J_: Q(x) dx puede evaluarse del modo siguiente: empiecese por tomar l a integral a lo Jargo de: un contorno que consista de l a frontera de un semidr­ culo, li, de radio grande, R , (sobre el cual z = Rete, 0 � 9 � 1t}, y el eje real desde R hasta + R. El radio · R se elige tan grande que todos -

Funciones de una variable compleja

893

los ceros del denominador se encuentren en el interior del drculo . Consecuentemente , todos los palos de la funci6n Q(z) estan en el in­ terior del drculo . Por una parte, la integral es igual a la suma de los residuos de Q(z) en el interior del semidrculo , mientras que , por otra , es igual a ,}a integral lR =

1: Q(x) dx

mas la integral a lo largo del semicirculo H. Por las hip6tesis esta­ blecidas , existe una constante positiva fija , M, tal que, para valores lo suficientemente grandes de R , se tiene 1

I Q(z) l

< RM2 •

La longitud de l a circunferencia del semidrculo es 1tR. Por l a for­ mula de estimaci6n (S. l lc ) de la p . 869 , la integral a lo largo del semidrculo es, en consecuencia, menor en valor absoluto que

por tanto , tiende a cero conforme R � tegral

y,

I=

ex>.

Esto significa que la zn­

l: Q(x) dx

es z"gual a la suma de los resz'duos de Q(z) en el semz'plano superz'or. Apliquemos ahara este principia a algunos c asas e�peciales de in­ teres. Empecemos por tamar 1

1

Q(z) = 2 az + bz + c = f(z) ' donde los coeficientes a, b, c son reales y satisfacer.a. l as condiciones 0. La funci6n Q(z) tiene un polo simple en el punto

a > 0, b2 - 4ac

<

lEsto se deduce inmediatamente del hecho de que Q(z) = (1/z2) R(z), donde R(z) tiende a cero conforme z -+- oo (cuando n > m + 2) y a am/bn (cuando n = m + 2).

894

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

Zl = _!_ {

2a - b + i../4ac - b2 }

'

del semiplano superior; Ia raiz cuadrada debe tomarse positiva . Por lo tanto , por la regia general (8 . 2 l a) , el residua es [1/f'(z!)]. Pues­ to que

21ti

(

{' z1) = se tiene

(8.24a)

foo

_ 00

2az1

+

1

-----

ax2 + bx + c

i ../4ac - b2,

b=

21t

dx ..;4ac - b2 •

Como un segundo ejemplo , se probara Ia formula (ver el Volumen I, p. 290)

(8.24b)

i +"" 1 dx 4 = 21 7t J2. -oo

.

+ x

-

Aqui , una vez mas, se puede aplicar inmediatamente el principia general enunciado. En el semiplano superior Ia funci6n 1/(1 + z4) = (las dos rakes 1/f(z) tiene los dos polos Z1 = = e< 1 14>1ti, Z2 = cuartas de - 1 que tienen una parte imaginaria positiva). La suma de los residuos es

e

-e-1

21ti {f'(�I) + {'(�2)} = 21ti ! ( z�a + �a ) = �i(e-3 - ea), 7t = 1t sen 1t4 = 21 7t ..;2 ' = - 1t£. £. sen 3 � 4 •

-

-

-

como se afirm6. La siguiente demostraci6n de Ia formula (8.24c)

f-oooo +dx2)n+l 41tn (2(n!n)2! (1 x ) =

ejemplifica el caso en que se tiene que c alcular el residua en un polo de orden superior. Si se remplaza x por z, el denominador del integrando es de Ia forma (z + i)n+l(z y , en consecuencia, el integrando tiene un ·

i)n+l,

Funciones de una variable compleja

895

+ 1)-esimo orden en el punto z = + i. Para encontrar el polo de residuo en ese punto , se escribe

(n

1

(z2 + 1) n+ 1

= =

1

f(z)

=

1

(z - i) n+ l (2i

1

+

1

z - i) n+ l z - i - n- 1

1 (1 + �)

(z - i) n+l (2i) n+ l

·

Si se desarrolla el ultimo factor por el teorema del binomio, el coefi ciente del t{�rmino en (z - i) n es · • ·

1 (-nn -1)· 1i)n ( - 1)n (n1 + 21) n2n (2i) n (2 =

•

• • •

=

i n (2n) ! 2 n !) 2 •

(n

Por lo tanto , el coeficiente C-1 en l a serie para el integrando , en la vecindad del punto z = i es igual a

1 1 (2n) (n !)2! .

22 n+ l z Entonces, el residuo 27tiC- 1 es

n (2n) ! 22 n (n !)2

'

lo cual prueba la formula. Como un ejercicio mas, aplicando el teorema de los residuos el lector puede probar que

(8.24d)

["" ---x sen x dx = o x2 + c2

1

- 7te- l c l 2

(remplazando sen x por e'��) .

d. El teorema de los residuos y las ecuaciones di/erenciales lineales con coejicientes constantes

Sea

ao + a1z + a2z2 + un polinomio de n-esimo grado

• • •

y

+ a nz n = P(z)

sea t un parametro real . Consi-

lntroduccion . al calculo

896

derese la integral

(8.25)

u(t)

y

al ar.. alisis matematico

- Jrc -

etz[(z) dz' P(z)

tomada a lo la rgo de cualquier trayectoria cerrada, C, en el plano z que no pase por ninguno de los ceros de P(z), como una funci6n u(t) del parametro t. Sea f(z) una constante o cualquier polinomio en z de grado menor que n. Por las reglas para la derivaci6n b ajo el signo in­ tegral , que siguen siendo validas para el plano complejo , puede derivarse la expresi6n u(t) una vez, o repetidamente , con respecto a t . Esta derivaci6n con respecto a t bajo el signo integral es equivalente a la multiplicaci6n del integrando por z, z2 , z3 , , segun el c aso . Si ahora se forma la expresi6n diferencial L[u] = aou + a1u' t. a2 u" + + anu< n >, o, en notaci6n simb6lica , P(D)u, donde D denota el simbolo de derivaci6n, D = d/dt, se tiene •

·

·

•

•

·

P(D)u = L[ u] =

Jc etz f(z) dz.

Por el teorema de Cauchy, el valor de la integral compleja de la derecha es 0 ; es decir, la funci6n u(t) es una soluci6n de la ecuaci6n diferencial L[u] = 0. Si f(z) es cualquier polinomio de (n - 1) -esimo grado , esta. soluci6n contiene n constantes attbitrarias. Con­ secuentemente, puede esperarse que sea posible obtener de este modo la soluci6n m as general de la ecuaci6n diferencial lineal con coefi­ cientes constantes, L[u] = 0. De hecho, las soluciones se obtienen en la form� conocida (ver el Capitulo 6, p. 769), evaluando la integral por la teoria de lqs resi­ duos, con la hip6tesis de que la curva C encierra todos los ceros Zl , 22, . . . , Zn del denominador P(z) = an(z - Zl ) (z - Z2) • • • (z - Zn). Si se supone , para empezar, que todos estos ceros son ceros simples, son tambien polos simples del integrando y, por la formula (8 . 2 1 b) , el residua en e l punto Zv esta dado por

Eligiendo apropiadamente el polinomio f(z) las expresiones f(zv)/P' (zv) pueden hacerse constantes arbitrarias, por consiguiente , se ob­ tiene la soluci6n en la forma

Funciones de una variable compleja

897

n

U( t) = � Cvezvt , v= I que concuerda con los resultados anteriores. Si un cero , Zv del polinomio P(z) es multiple , digamos de mul­ tiplicidad r, de modo que el polo correspondiente del integrando es de r-esimo orden, el residua en el punto zv debe determinarse de­ sarrollando el numerador etz f(z) = etzv etf(z) en' potencias de z - Zv . Se dej a al lector demostrar que el residua en el pun to Zv da las soluciones tetzv , . . . , tr- l etz v asi como Ia soluci6n etzv. Ejercicios 8 . 5

f(z) g(z) (z - !X)- n, 21ti { ( n-l) (!X) --(n - 1) !

1 . ( a ) Sup6ngase que es analitica ,y que g(z) tiene u n polo d e orden n en = (X, Obtener una expresi6n para el residuo de en = (X. demostrar que el residuo es (b) En particul ar, si =

z

f(z) tiene un cero de orden 2 en

2 . Si en

(X

es

!X,

{(z)g(z)

z

·

demostrar que el residuo de 1/f(z)

�1tj fi/'((X22 . 3 f"(!X) 3.

: valuar, para los enteros no negativos ���uientes:

(

n,

m,

con

n

>

m, las integrales

1 J-oo , (1 +

(b) (c)

4. Sea

!Xn.

x4) 2 dx ( "" x2m J-oo 1 + x2 n-dx . f(z) un polinomio de grado ""

Probar que

n

que tiene las raices simples

(k = 0, 1, (Considerese

!Xv.

)

zk Jf(z)

!XI, !X2, .

· · ·,

n - 2).

sobre una curva cerrada que encierre a todas las

898

Introduccion al dilculo y al analisis matematico

5 . Deducir el resultado de (8 . 24d), a saber, foo

8.6

X sen X

Jo x2 + c2 Funciones multiformes

y

-

_!

2

1te

-

c

I I

•

l a extension a�alitica

AI definir las funciones tanto reales como complejas , b asta ahara siempre se ha adoptado el punta de vista de que p ara cada valor de la variable independiente el valor de la funcion debe ser unico . . Aun el teorema de Cauchy, por ejemplo , se basa en la hipotesis de que la funcion puede definirse de modo unico en la region b ajo conside­ racion . Con todo , a menudo la multiformidad surge como una necesidad en la construccion de las funciones (por ejemplo , al en­ contrar la inversa de una funcion iinica tal como la n-esima paten­ cia). En el caso real se separaron las diferentes ramas unijormes de Ia funcion inversa , en procesos de inversion tales como Jz .V z. Sin embargo, se vera que en el caso complejo esta separaci6n ya no es razonable, porque ahara las diversas ramas uniformes estan inter­ conectadas en una forma que hace un tanto artificial cualquier separacion entre elias . Aqui debemos contentarnos con una discusion muy sencilla basada en ejemplos tipicos . Por ejemplo , considerese I a inversa, t; = Jz de la funcion z = t; 2• A cada valor de z diferente de cera le corresponden las dos soluciones posibles � y - t; de la ecuacion z = l; 2• Estas dos ramas de la funcion estan conectadas en la forma siguiente : sea z = rei a. si entonces se pone t; = Jr ei 912 = f(z), t; = f(z) es en verdad analitica en toda region simplemente conexa , R, que excluya al origen [ donde {(z) ya no es diferenciable ] . En tal region, � esta definida de modo unico por el enunciado anterior. Si, empero, se hace que el punto z se mueva alrededor del origen sobre un circulo concentrico , K, diga­ mos, en la direccion positiva, t; = Jr eie /2 variara continuamente ; sin embargo , el angulo no regresara a su valor original sino que se in­ crementara en 21t . Asi , en esta extension continua , cuando se regresa al punta z ya no se tiene el valor inicial t; = Jr eie / 2 sino el valor Jr ei e/2 e2ni /2 = - t;. Se dice entonces que cuando la funcion f(z) se extiende de continuamente sobie la curva cerrada K, no es unica . L a funcion V z, donde n es un entero , exhibe exactamente e l mismo comportamiento . Aqui , cada revolucion multiplica el valor de la funcion por la n-esima raiz de 1 a unidad - a saber, & = e21tiln_ y la funcion solo regrcsa �. su valor original despues de n revoluciones.

e

Funciones de una variable compleja

899

En el caso de l'a funcion log z se vio (p . 8 7 6 ) que existe una mul­ tiform idad semejante , es decir , cada vez que se· rode a continuamente el origen en el sentido positivo , el valor de log z se incrementa en 21ti. Nuevamente , la funcion za se multi plica por e21tia a cada revo­ lucion . Aunque , en primera instancia, todas estas funciones estan de­ finidas de modo unico en una region R, se encuentra que son mul­ tiformes cuaQdo se les extiende contim.iamente (como funciones analiticas) y se regresa al punta de partida siguiendo una cierta trayectoria cerrada. Este fenomeno de la multiformidad y la corres­ pondiente teoria g�neral de la extension analitica no pueden inves­ tigarse con mayor detalle dentro de los limites de este libra . Sim­ plemente se seiialara que Ia unicidad de los valores de una funcion puede asegurarse teoricamente trazando ciertas lineas en el plano z que la traye � toria recorrida por z no pueda cn.izar o , como s� dice, hacienda cortes a lo largo de ciertas lineas . Estos cortes se arreglan de manera tal que ya no sean posibles las trayectorias cerradas en el plano que conducen a multiformidades . Por ejemplo , la funcion log z se hace uniforme con solo cortar �l plano z a lo largo del eje real negativo . Lo mismo se aplica a Ia fun­ cion JZ. La funcion .J 1 z2 se vuelve uniforme si se hace un corte a lo largo del eje real entre - 1 y + 1. Una vez que se ha cortado el plano en esta forma, de inmediato puede aplicarse el teorema de Cauchy a esas funciones . Se dara un ejemplo sencillo , probando la formula -

(8.27)

I

1 +l = r (x k) .J"1 J -1 -

21t

-

= x2 dx Jk,2

-

1'

donde k es una constante que no esta sabre Ia porcion del eje real comprendida entre - 1 y + 1. Empecemos por observar que la funcion

(z

-

1 k).J 1

-

z2

es uniforme en el plano z, siempre que se haga un corte a lo largo del eje real desde - 1 hasta + 1. Si en el plano complejo nos aproxi­ mamos a este corte , S, primero desde arriba y despues desde abajo, obtenemos valores iguales y opuestos para la raiz cuadrada .J 1 z2 , -:-

900

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

digamos, positivo desde arriba y negativo desde abajo. , Tomemos ahora la integral compleja

r

dz

J c (z - k) J1 - z2 a lo largo de una trayectoria C como se indica en la Fig . 8 . 1 0 . Por el teorema de Cauchy, puede hacerse que esta trayectoria se contraiga en torno al coiCe sin alterar el valor de la integral . Por lo tanto , la in­ tegral es igual al val�r limite que se obtiene cuando se hace esta con­ tracci6n, el cual obviamente es i�al a 21. Por otra parte , si se toma la integral del mismo integrando a lo largo de la circunferencia de un circulo K con radio R y centro en el origen, por l as investigaciones anteriores se sabe que esta integral tiende a cero a medida que crece R.1 Sin embargo, por el teorema de los residuos, la suma de las in­ tegrales a lo largo de C y de K es igual al residuo del integrando en el

Figure 8.10 volo encerrado, z = k; de aqui que 21 es igual al residuo en cuesti6n . Este residuo es

. 21n l'1m ( z z�k

-

1 k) 1 1 'V -

Z

2

(

1

Z -

k

) =

21t

lo cual prueba la afirmaci6n hecha . 1 De hecho, su valor es cero, ya que por el teorema de Cauchy es independiente del radio R, siempre que el circulo encierre al polo z = k.

Funciones de una variable compleja

901

Ejemplo de extension analitica: La funci6n gama Como conclusion , se dara aun otro ejemplo que muestra la manera en que una funcion analitica, originalmente definida en una parte del plano , puede extenderse mas alia de la region original de definicion . La funcion gama, que se definio para x > 0 por medio de la ecuacion

(8.28)

sera extendida analiticamente tam bien para hecho por medio de la ecuacion funcional

r(z) =

X

� 0 . Esto pudo ha berse

1 r (z + 1), z -

usando esta ecuacion para definir r(z - 1) una vez que se conoce r (z) Por medio de esta ecuacion puede imaginarse que r(z) se extiende primero h acia la franja - 1 < x � 0 , a continuacion se extiende hacia la franja siguiente , 2 <x � - 1, y asi sucesivamente. Aqui se adopta otro metodo, de mayor interes teorico, para ex­ tender la funcion gama . Considerese la trayectorfa C en el plano t, que se indica en la Fig . 8 . 1 1 , la cual rode a al eje real positivo del plano t y tiende asintoticamente h acia este eje desde cad a lado . Por el teorema de Cauchy, facilmente se ve que el valor de la Integral de lazo 1 -

no se altera cuando el l azo se contrae teniendo como limite al eje x. Entonces, el integrando tz-le�t tiende a valores diferentes conforme nos aproximamos al eje x desde arriba y desde �bajo, difiriendo los valores en el factor e21tiz . A,.si, para x > 0 se obtiene la formula t Nuevamente esta es una integral impropia que surge, al efectuar el paso hacia un limite, de una integral a lo largo de una porci6n finita de C. El lector puede com­ probar que tal integral existe, mediante un argumento semejante a los empleados con anterioridad.

902

lntroducci6n al calculo y al analisis matematico ..

..

Hgura 8 . l l I ntegral de lazo para Ia funci6n gama .

Se deduce esta formula sujeta a la hip6tesis de que x, la parte real de es positiva. Sin embargo , ahara se ve que la integral de lazo tiene un significado , sin importar cual sea el m1mero complejo z, ya que evita el origen t = 0. Por lo tanto , esta integral de lazo representa una funci6n definida en todo el plano z. Esta funci6n se define en­ tonces diciendo que es igual a ( 1 - e2rriz )r(z) �n todo el plano z . Asi , la funci6n gama se ha extendido analiticamente hacia todo el plano complejo, excepto los puntas x � 0 para los cuales se anula el factor ( 1 - e2 !tiz) ,es decir , excepto los puntas z = 0, z = - 1 , z = - 2, y asi sucesivamente. Para investigaciones mas detallad�s y extensas el lector debera consultar la literatura de la teoria de funciories . 1 z,

Ejercicios miscelaneos · 8 1, 2.

Dar Ia condici6n para que los tres puntos recta .

Z1, Z2, za

puedan estar en linea

Demostrar que tres puntos distintos, ex , � . Y , �el plano complej o , forman un trifmgulo isosceles con vertice en y si y solo si existe un real positivo, · K, para el cual ·

- � y -- ex - � - k . 3 . Dar Ia condici6n para que los cuatro puntos

circunferencia .

z1, z2, za, Z4

esten sobre una

4. Sean A, B, C, D cuatro puntos ordenados sobre la circunferencia de un : drculo en el plano z, con coordenadas Zl, z2, za, Z4 . Usando estas coor­ denadas complejas demostrar que AB ; CD + BC • AD = AC • BD. 5. Probar que la ecuaci6n cos

de c.

z

=

c

puede iesolverse para todos los valores

6 . � Para que valores de c la ecuaci6n tan

z

=

c

no tienen soluci6n?

1 Por ejemplo, L. V. Ahlfors, Complex A nalysis, Nueva York; MacGraw-Hill, 1953 .

Funciones de una variable compleja

903

7 . � Para que valores de z es real (a) cos z, (b) sen z.'? 8 . Encontrar el radio de: convergencia de la serie de potencias Ea n zn, don de

1 (a) an = s, , siendo n (b) an = n n

s

un numero complejo con una parte real positiva

(c) a n = log n.

9 . Evaluar las integtales

f co

COS

X

(a) J o 1 + x4 dx (b) (c)

(d)

X X X l eo --f co

Jo

X2

COS

1 + x4

COS

o q2 + x2

dx

d

Joco (x �) (x +

a-1

+

2) dx for 1 < ex < 2

mediante integraci6n compleja.

1 0 . Entontrar los polos y los residuos de las funciones

1 z -- _! _ r(z) cot z = cos senz ' cos z ' ' sen z 1 1 . Demostrar que si x y y son reales

l senh(x + iy) I � A(x),

donde A (x) es independiente de y y tiende a oo conforme x ----. ± oo . Integrando 1/[(z - w) senh z] sobre una sucesi6n apropiada de con­ tomos, demostrar que

1 2 . Encontrar el valor limite de 1a integral

f.

Cn

cot rtt dt t-z

conforme n ----. oo, donde la trayectoria de integraci6n es un cuadrado, Cn , con sus lados paralelos a los ejes y a una distancia n ± !- del origen. De aqui, aplicando el teorema de los residuos, obtener la expresi6n para cot rtZ en fracciones parciales. 1 3 . Usando la ecuacion

904

lntroduccion al calculo '

y

al analisis matematico

log(1 + z)

rz

dt

= J0 1 + t ,

demostrar que la serie de potencias para log (1 + z) converge en todo pun to del circulo unit a rio I z I = 1, excepto en el pun to z = - 1. lgualando la parte imaginaria de la serie con la parte imaginaria de log (1 + ei 9) se establece la veracidad de la serie de Fourier (ver el Volumen I , p. 5 92) 1 1 2 6 = sen 6 - 2 sen 26 + 3 sen36 1

14.

• • •

(- 1t < 6

<

1t).

Probar que si f es analitica , (d n /dx n) f(../X) es igual a l resultado que se obtiene haciendo y y a iguales a---rx en la-"-y..!-f(""'-y)<--­ expresion para

_a_n 2 ay n (y + a) n + 1 .

1 5 . (a) Probar que la serie

f(z) = f(x +

converge para

x > 0.

iy) = vL!= 00

( - 1) "+1 vz

--· -'-�

l

(b) Probar que esta serie proporciona una extension para la funcion zeta (definida en el Ejercicio 5 , p. 878) hacia valores de z tales que 0 < x � 1, por medio de la formula f(z) = (1 -

la cual es valida para

X

> 1.

2 1 -z) l;: (z),

(c) Probar que la funcion zeta tiene un polo de residuo 1 en z = 1.

Soluciones Ejercicios 1 . 1 (p . 1 0 ) 1 . ( a ) Escribase z = r (cos e + i sen 8), e n forma polar, con 0 < e < 21t'. Entonces, por el teorema de De Moivre (Volumen I, p. 105), zn = rn(cos ne + i sen ne).

Para r < 1, se tiene lim rn = 0 ; por lo tanto, lim zn = 0. Para r > n -� n -� 1, se tiene lim rn = oo ; por lo tanto , Ia distancia de zn al origen y, n -�

de aqui, a cualquier punto dado, puede hacerse arbittariamente grande y sucesi6n diverge. Para r = 1, se tienen dos casos: z = 1 (8 = 0) , para el cual lim zn = · 1 , z = cos e + i sen e. En este ultimo caso se tiene, para Ia distancia entre dos puntos sucesivos de Ia sucesi6n, zn = I zn I I Z - l l = I Z l l I zn+l ·-

I

-

•

= 2 - 2 cos e,

un valor positivo fijo; entonces, por el criterio de .Cauchy, Ia sucesi6n debe divergir. (b) La n-esim,a raiz primitiva de z est a dada en forma polar por .

( �

z l l n = rl l n cos

+ i sen

�)

·

.

Si z = 0, se tiene lim z ltn = 0. En todo otro caso se tiene, haciendo zlln = Xn + iy n , lim zlln =Jim Xn + i lim Y n n- �

n -�

n-�

= lim rl ln cos !! n n -�

+

i lim rlln sen � = 1. n n-�

2 . Apliquense los teoremas sobre limites del Volumen I a las componentes de Pn por separado. 3 . Para un pun to (a, b) que satisfaga a2 + b2 < 1, hagase a = Ja2 + b2 . La vecindad (x - a)2 + (y - b)2 < (1 - a)2 de (a, b) esta contenida en el disco. Para un punto (a, b) que satisfaga a2 + b2 = 1, toda vecin'dad con­ tiene puntos que no estan en el disco . 4. Sea (a, b) cualquier punto de S. P6ngase y = b - a2 > O . Considerese una vecindad e de (a, b), (x - a)2 + (y - b)2 < e2.

Para todos los puntos de la vecindad se tiene I x Usando

...,..

a I < e, I y - b I < e.

906

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

a2 = x2 - 2(x - a)a - (x - a) 2, ,

se obtiene y> b-

r::

= a2 + y -

r::

= x2 - 2(x -a) a - (x - a)2 + y - r:: > x2 + Y - 2r:: I a 1 - r::2 - r:: > x2

siempre que se tome r:: igual al menor de los nu.neros 1 y y/(2 1 a I + 2). Asi , Ia vecindad r:: esta en S. 5 . El segmento (junto con sus puntos extremos si estos no estan consider ados como puntos del segmento) �

Problemas 1 . 1 (p . 3 6) 1 . Por definicion, toda vecindad del punto frontera P contiene puntos de S.

I;lijase PI en S de modo que PIP < 1 /2 . Como P no esta en S, PI =1= P, y, p� r lo tanto, PIP > 0. Procedase ahora por inducci6n: dado Pn elijase Pn + l en S de modo que Pn +IP < t PnP. Evidentemente, los Pn son dis­ . tintos y PnP < 1/2 n . 2 . Sea S el conjunto dado; Sc, Ia cerradura de S; y Sec , Ia cerradura Sc. Todo punto de Bee esta ya sea en Be o en Ia frontera de Sc . Si P esta en Ia frontera de Sc, entonces toda vecindad de P contiene al mertos un punto, Q, de Sc y un punto, R, fuera de Sc . Puesto que R no esta en Sc, no esta en S. Dado que un vecindad es abierta, Ia vecindad de P contiene una vecindad de Q que a su vez debe conte.ner un punto de S. Por tanto, P es­ ta en Sc.

3 . Sea X cualquier punto de S sobre PQ. El conjunto de los valores de PX es acotado , puesto que PX � PQ. Sea R el punto sobre PQ a una distan­ cia de P igual a la minima cot a superior de los PX. Cualquier vecindad de R contiene puntos de PQ que estan en S y puntos que no estan en S. 4. Todos los puntos de G son puntos interiores.

Ejercicios I . 2 (p . 4 1 ) 1. (a)

(c)

8

27 1 (log 1t) e

(e) 5.

2 . El dominio es el conjunto de los puntos (x, y) y el recorrido es el conjunto de los valores u, donde

Soluciones (j)

(a) y 2 - x , u 2 0 (c) y > - X, U > 0

(e) y > -

X

-

5'

(g) x 2 + y 2 + z 2

(h) y

(i)

=/= - x,

� a2� 0 �

w

�a

(m) y =/= - x - !: < u < 2: (n) X

x2 + 2y2 � 3, 0 �

3 . Para k variables,

(x, y) =/= (0, 0), 0 � u � �

(l)

u real

(p)

X = y = 0, U = 0 I Y I < l x l , u real

(k)

u real

u � J3

i�x 2n1t + i x 2n7t -

S:

::;;

2n7t +

•••

2 0, 0 < U � 1

2

¥

e

3 2n1t + 7t 2

1 (n + 1) (n + 2) k!

=/=

'

-1 < x + y < e,. O � u � �

(o) �

907

y y 2 0; o bien , y

y

� 0,

u 2 0

(n + k).

(Ver el Volumen I , Cap i tulo 1 , p. 1 1 7 , Ejercicio 1,1 . )

Ejercicios 1 . 3 (p . 49 ) 2 . Discontinua en x = y = 0. x = p cos 6, y = p sen 6. Entonces

3 . (a) Hagase

\

.

I f (x, y) l = p3 l cos 36 - 3 cos 6 sen26 l < 4pa. Tomese 8(e) = 3..fi/4. f(x, y) tiene al menos el orden de p a .

4 . Como en la teoria de las funciones de una variable real, sumas y pro­ ductos de funciones continuas y funciones continuas de funciones con­ tinuas son continuas. (a} Continua. (b) Discontinuidad posible solo en (0, 0). Notese que con X = p �OS e. :v P seri 6 , de I sen oc l < l oc i � se obdene =

I ::�� 1

Y < p; Y2

de aqui que el limite en (0, O) existe y es 0. 5. Aplicar el teorema del valor medio del calculo diferencial con el fin de obtener, para z 2 0, z + h > 0 ,

I

_,

lhl lhl J 1 + (z + h) - J1 + z = 2 Jl + (x + 6 h) � ' T ;

de donde, con la eleccion apropiada de z en cada caso, es suficiente requerir que I h I < 2e . Hagase ax = p cos 6, ay = p sen 6 , donde p < 8 (e, x, y)

908

Introduccion al cilculo y al analisis matemitico

(a) Con

z = x2 + 2y2

I11ZI =

= liz, n6tese que

h

y

p j 2x cos 0 + 4y sen 0 + p (cos2 0 + 2 sen2 6 j

� p (2 l x l + 4 j y j +3p) � p (2 l x l + 4 J y l + 3),

I11Z I < < (2lxl +�I Y I

donde se impone 8 8

<

1.

2£, basta con requerir

Para

min

+ 3'

)

1·

6. Sobre las rectas Y = ± x. 7 . Sobre las rectas x = n + i, y = n + i. 8. Para todos los valores. (Por definicion, una funci6n es continua en el ex­ terior de su dominio. ) xs - y2. Az l = t au J /(u + 6 au)2• Para 9 . Hagase z = /u , donde u = 2/u . Entonces u + 6 Au > u/2 y u > 0, elijase 1 au

1

Ahora, con Ax

I 11Z I < .

4 J auJ.. u2

<

= p cos 6, ay = p sen a, p 8 � 1 y .l x J , 1 Au I = p (2x cos 6 + 2y sen 6) + p2 J

<

I

p (2 l x l + 2 J y l + 1)

Por lo tanto, para tener j z l < 8

10. Con x

I

1-

I<

= min

£,

[�

t6mese

< 58.

(1 -x2 - y2)2,

1,

}

1

= p cos 0, y = p sen 6, se tiene P = p2 (a cos20 + 2 b cos 6 sen 6 + c sen20) = p2 f (6).

IYI <

La expresi6n f (6) no debe anularse para ning(in valor de 6. Por tanto, debe tenerse ac - b2 > 0. 1 1 . Todas discontinuas, (a) sobre la recta x = 0, (c) sobre Ia recta y = - x. 1 2 . Para la aproximacion a lo largo de una recta , hagase x = p cos 6, y = p sen 6 con 6 fijo. Con el fin de demostrar la discontinuidad para f(x, y), realicese la aproximaci6n a lo largo de la parabola x = ay2, con a ar­ bitraria; para g(x, y), a lo largo del circulo (x - !)2 + y2 = i. 13. Para (e) y (g) los limites existen. Para (h), hagase y = e-al l x l con a positiva arbitraria, y demuestrese para

f(x, y) =

que lim f(x, e-al l x I ) = e-a. x-o 14. Para el Ejercicio 1 3(e),

--=--..,_���___

y l x l .Jx2 + y2

---

Jx2 + y2 +

Soluciones

909

Para el Ejercicio 1 3(g)

o g 2 !) 8 min ( - llog , . e 2 1 5 . Primero hagase x = y = 0, enseguida hagase = 0. 1 6 . Se llega a esa conclusion ya que R(x, y) no esta definida en el origen y =

z

este es un punto frontera del dominio de R.

1 7 . (a) 1 (b) 0 (c) 0. 1 8 . Hagase

y = mx. Entonces lim = 3 (1 -m)/(1 + m). x�o

z

1 9 . Ver el Ejercicio 1 2 . 20 . L a aproximacion a lo largo de rectas diferentes de I a 0 d a el va­ lor limite 0 . La aproximacion a lo largo de Ia curva a/log da el valor limite arbitrario a. 22.

x= y=

x

Problemas 1 .3 (p . 52) S i Q es u n punt o interior de 1 . Sea S e l dominio de {, e l dominio d e entonces existe una vecindad de Q completamente dentro de y Ia con­ tinuidad para .f* es identica a la continuidad para f Si Q en es un punto frontera de entonces, ya sea que Q este o no en exist� una vecindad de Q en Ia cual l I < e/2. Para cualquier punto Q existen puntos P en para los en Ia vecindad de Q pero no en de cuales /( P) esta arbitrariamente proxima a f*(Q), digamos, I I < e. ( Q) 1 < e/2. Se concluye que 1 2 . Si lim L y lim (�, "1)), entonces para cualquier e

f* .

S*

S,

S,

S,

S,

S*

f(P) - f*(Q) S, S f(P) - f* f*(Q) - f*(Q) f(x, y) = (xn, Yn) = 8 positivo existe un tal que l f(x, y) - Ll < e siempre que (x, y) este den­ tro de Ia vecindad de (�, "1)). Ademas, existe un tal que (xn, Yn) esta dentro de la vecindad 8 de (�, "1)) cuando n > N. Entonces, para n > N, I f(xn, Yn) - L l < e. Redprocamente. supongase que para toda sucesi6n de puntos (xn, Yn) en el dominio de J, con limite (�, "1)), se tiene lim f(xn, Yn) = L. Si f no tuviera el limite L en (�, "1)), entonces, para algU.n e > 0 y para todo 8 > 0, existiria un punto (x, y) (�. "1J) en Ia vecindad 8 de (�. "1)) , para el cual I f (x, y) - I > e:. Hagas� 81 = 1 y elijase (x 1 , y1) en Ia vecindad 8 1 de (�, "1)) de modo que I j (x1 , y1 ) - L. l � e. Definanse 8 n y (xn, Yn) secuencialmente por medio de 8 n =i-v'(xn - 1 - �) 2 + (Yn-1 - "1)) 2, .J(xn - �) 2 + (yn - "1)):? < 8n con I f (xn, Yn) - L I � e. En esta forma se construye una sucesion (xn, Yn) S*

8

8

a

L

n-+oo

=F

N

n-+oo

Y

que viola la hipotesis, si se supone que el limite def en (�, "1)) no es L.

910

Introduccion a l calculo

Ejercicios 1 .4a

y

a l analisis matematico

(p . 5 6 )

oz oz ox- = naxn- 1 '• ay = mbym-1 . oz _ 2x2 - 3y2 . oz _ 3y2 - 2x2 (c) ox - x2y ' oy - xy2 oz 3 oz (e) - = 2xy3 t2 . a = 2 x2y 112. ' y ox y314 oz 3x112 (g) oz ox - 2x1t2'. ay = 4y114' az (J.) az ax- = - 2x sen (x2 +. y) '· ay = - sen (x2 + y). y az sen (l) ax sen· yx ' oyaz _ COSsenX COS 2y (n) axaz - 2xJx22 ++ yy22'. ayaz = Jx2xy+ y2' 2· (a) oaxf = 3(x2 +2xy2)2/3 ; ooyf _- 3(x2 +2yy2) 2/3 (C) oaxf = ' oayf = - eX-y o f = yz cos xz; o f = sen xz; oazf = xy cos xz. (e) ay ax o 2f _ o2f _- . o2f = 1 . 3· (a) Opxf _- Y ., aayf _- X. ox2 - oy2 axay (c) Usar f(x, y) = 1x-+xyy ; a f _- 1 + y2 a f _- 1 + x2 ox (1 - xy)2' ay (1 - xy)2' o2f _- 2(y + y3)3'. o2f _- 2 (x + Y3') . o2 f2 -_ (12(x-+xy)x33) · ox2 (1 - xy) ox ay (1 - xy) oy Of ay = XY e (xY) log X.

1 . (a)

ez- y ,

o,

•

iJ 2f ox--oy = xY- 1 e<xY> (1 + y log x + yxY log x) ; 2 oyiJ f2 = xY (log x)2 e(xY) (1 + xY) ,

Sohiciones

911

4. fx = 0, {y = 0, {z = -3. 5. 1. 8. (2/r). 9. a = - 3. Problemas 1 .4a (p . 58)

1.

(n k k).

(Ver Ejercicios 1 . 2 , numero 3 . )

2 . Considerese una funci6n de l a forma f(x, y) = <X(x)(3(y) donde ferenciable y (3 no lo es. 3. Derivar con respecto a x y a y para obtener, para toda x y y, de donde,

¢/(x2 + y 2) = tjl'(x) tjl(y) = tjl'(y) 2y tjl(x) ; 2x tjl'(x)/2xtjl(x) es constante. f(x, y) = cea<x2 Y2> . +

Ejercicios 1 .4c (p . 62) 2. (a) Observese que las primeras derivadas parciales,

:;y2)2

a f = (x2 ax 0,

/ !

� y2) 2

af = (x2 ay 0, son acotadas.

exp [ -1/(x2 + y2)] , exp [ - l /(x2 +

x, y =1= 0 X=y=0

y2)] , x, Y =I= 0

X = y = 0,

(b) El origen es el unico punto en cuesti6n. Considerese

!

en Ia

para

�:! �:

+ 4x3 log (x2 + y 2), x, y =1= 0 Of_ = 2x ax x=y=� � vecindad x2 + y 2 < a2 . Entonces ar < 2a3 + sa2 1 a log a l ax < 10a2 , a < 1, donde se ha usa do 1 a log a 1 < 1, para a < 1.

Ejercicios 1 .4d (p. 6 6)

1.

(a)

2ab

<X

es di­

9 12

Introduccion al cilculo y al anilisis matemitico

(c) ab {"(ax + by)

(e)

-

1

(x + y)2

•

2. (b) {z = y senh xy, fv = x senh xy, fzz = y2 cosh xy, fx11 = xy cosh xy + senh xy, (1111 = x2 cosh xy,

fxzz = y3 senh xy, fxxu = xy2sen h xy + 2y cosh xy, fxu11 = x2y senh xy + 2x cosh xy, {111111 = r senh xy. (d) fx = 1/y - y/x2, f11 = 1/x - x/y2 , fzz = 2y/x3, fxuu = 2/y3,

fuuu = - 6xfy4.

Problemas 1.4d (p. 6 6) 1.

(a), Hagase z = log u. Entonces Zx11 = 0. Por tanto, Zz no depende de y. Hagase Zz = cx(x) ; entonces, z = Jcx(x) dx + ljl(y) = f/J(x) + ljl(y) ;

de donde

Ejercicios 1.5a (p. 69)

1 . (a) , (b) fx(O, 0) no existe. (c) Hagase h = p cos 6, k = p sen 6. Para la diferenciabilidad seri a necesario que f(h, k) - f(O, 0) = p sen 26 = fx(O, O)h + {11(0, O)k + o(p),

pero fx(O, 0) = {71(0, 0) = 0, lo cual es una contradicci6n. 2 . Para s entre x y x + 81, t entre y y y + 82, se tiene I g(s) - g(x) l < &1(81), l h(t) - h(y) l < &2(82) . donde lim &1(8 1) = lim &2(3z) = 0 . Consecuen62-o

61 - o

temente, por el teorema del valor medio del calculo integral, z+

J:zo 61

x g(s) ds = J g(s) ds + 81g(�) , zo

donde l g(�) - g(x) l < &1(81) : un resultado semejante se cumple para h(t). Se conduye que

[

{(X + 81, .)' + 82) = J: g(s) ds + 81g(x) + 0(81) 0

J

[J:h(t) dt + 82h(y) + o(82)]

= f(x. y) + 81g(x) + 82h(y) + o(./812 + 322).

Soluciones

"913

Problemas 1 . 5a (p. 7 0) 1 . Hagase p = ../ h2

donde lim P +O

+

k2 . Entonces

I f(x, y) - f(a , b) I � p( I fx(a , b) I + I fu(a, b) I + &),

E =:=

0. Por tanto, f no solo es continua sino continua segun

Lipschitz: para P = (x, y), A = (a , b), se tiene, en alguna vecindad A, J f(P) - f(A ) I � M IP - A I , donde M es constanfe.

de

Ejercicios 1 . 5b (p . 7 3 ) 1 . L a pendiente d e .la intersecci6n d e l a superflcie z = f (x, y) con el pla no arc tan [( y - yo)/(x - xo)] = ex ; es decir, Ia pendiente en el plano z, p de la curva z � rp(p) = f(x + · �,:- cbs ex, y + p sen ex) .

2.

(a) a,

a{__3 + b a + b../3 ' b. 2 ' 2

(c) 2, ../3 - 2, 1 - 2../3, - 4. 3_ (e) - 1 , - ..;2 __

' - 21 ' 0.

(g) 0, 0, 0, 0.

3 . (a) - 8/5

(b) - 1 (c) - 2/../3. 4. f (x, y) = xyf(x2 + y2).

6.

i12flor2 = sen 26.

Ejercicios 1 . 5c (p . 7 6 ) 1. (a) z = By - 4 (c) 3x + 3y - 4z + 5 - 3

log 2 = 0

(e) z = [exp(1/ ../ 2)/J21 (x - y + .f2 + rt/4) (g) z = 2e- 2(x + y + i e2

f2

0

2

e-t dt - 2).

2 . El punto comun es el origen. 3. La ecuaci6n del plano que pasa por los tres puntos puede ponerse en la forma z - zo = (x - xo) [k 1 (Z2 - zo)

�

k 2(Z1 - zo)] + (y - yo] [h2(z1 - zo) -h 1(z2 - zo)] h?.kl - h l k 2

914

Introduccion a l calculo

y

a l analisis matematico

donde ht = Xi - xo, kt = y - yo, para i = 1, 2. Hagase ht = P t cos IXt, kt = + P i sen �Xt. Entonces zt - zo = pt[(cos �Xt)(ozfox) + ( sen 1Xt)(ozfoy)] o(pt). lntroduzcase esto en Ia ecuaci6n del plano, con sen (1Xl - 1X2) =I= 0, y (x, y) fijo, para obtener el resultado deseado, oz + o (p 2) + o (p l) oZ + z - Zo = (X - Xo) (y - yo) . ox oy p2 Pl 4 . Puede suponerse que no todos los coeficientes se anulan, digamos c E.ntonces (xo, yo, zo) esta sobre una de las superficies ±

z=

J

;

1 - ax - by2

El plano tangente tiene la ecuaci6n

=1=

0.

•

z - zo = (x - xo) Zx (xo, yo) + (y - yo) Zy(Xo, yo).

Derivase la ecuaci6n de la superficie cuadratica para obtener oz 2axo + 2czo =0 ox oz 2byo + 2czo oy

. ' Io s v aI ores para e mtroduzcanse tangente para obtener si zo

=I=

0),

oz

ox

=

y

0 oz 0 e n Ia ecuaci6n del plano y

axo byo z - zo = (x - xo) (y - yo), czo czo

de donde

axox + byoy + czoz = axo2 + byo2 + czo2 = 1.

Ejercicios I. 5d (p . 7 9)

1. (a) (2xy2 + 3y3) dx + (2x2y + 9xy2 - 8y3) dy. (c) 4x3 dx - 3y2 dyf(x4 - y4). (e) - (dx + y- 1 dy) sen (x + log y). (g) dx + dy/(1 + (x + y)2).

(i) (dx + dy - dz) senh [x + y - z1 . 2. (- 2/10) + (7 �/25) 3. ex2 +Y2 [(8x3 + 12x) dx3 + (Bx2y + 4y) dx2 dy + (8xy2 + 4x) dx dy2 + (8y3 + 12y) dy3] .

Ejercicios 1 . 5e (p . 8 0) 1.

z

varia desde -3 hasta - 3.5 .

Soluciones

915

1 600 3. 1/2 (y J h J + x J k J ) .

2•

4. A partir de dz = y dx + x dy, dz/z = dx/x + dyfy . 5 . A partir de ig = 2dxft2 - 4x dt/t3, el error relativo en g es dgfg = dxfx2dt/t. Por lo tanto, un cierto error relativo en Ia medici6n de t tendra el doble del efecto que el mismo error relativo en la medici6n de x .

Ejercicios 1 . 6a (p . 85) 1 . (a)

Zx = Zxy

-2x log (1 + y),

2x = - (l + y) '

Zy =

-

x2 , 1 +y

Zxx =

- 2 log (1 + y),

Zyy = (1 +x2y)2•

(e) Hagase u = x, v = arc tan y, zx = v sec2(uv), Zy = [sec2(uv)]/(1 + y2), Zxx = 2v2 sec2(uv) tan (uv), Zxy = [sec2 (uv)/(1 + y2)] [1 + 2v tan (uv)], Zyy = x sec2(uv)/(1 + y2)2 [x tan(uv) - 2y] . - X - y COS Z 2. (a) Wx = , (x2 + y2 + 2xy cos z)312 X COS Z Wy = (x2 +-y2y + 2xy cos z) 312 ' y sen z Wz = (x2 + y2x+ 2xy cos z)312 • (b)

Wx =

1

�==�=�===,..! z2 + 2zy2 + y4 - x2 '

2xy Wy = (z + y2)Jz2 +

2zy2 + y4 - x2 '

-x Wz = (r=z:-+�y-o-2)'J-;=z:::;2=;: +� =y:::;4=_====y=;:2=+ 2 2z x

(c)

, Wx = 2x + 1 + x22xy + y2 + z2

Wy = log (1

+ x2 + y2

+

2y2 z2) + ---"---1 + x2 + y2 + z2 '

Wz = 1 + x22yz + y2 + z2 . (d)

Wx =

1 2(1 + x + yz) Jx + yz ' -----

z -,--------- ' Wy = 2(1 + x + yz)

Wz = 2(1

Y

Jx + yz

+ x + yz) Jx + yz ·

916

y

Introduccion a l calculo

a l analisis matematico

3 . (a) Considerese Ia derivada de z =

-1

du -+ dx

dz = vu v dx

Empleese esta formula con

uv

donde

!! (x <x x>) = x<xx> xx

(b) Hagase y = 1 /x. Entonces

[! x

dz = dx

uv, donde

dz = y (1 + dy

dx

u = x, v = x ,

dx

y v son funciones de x:

dv u v log u -.

Apliquese una vez mas Ia formula con

Usese z = (yY)Y =

u

para obtener

u = x,

v = xx para obtener

]

+ log x + (log x) 2 .

- x12 dz dy '

u = y, v = y2 , para obtener

2 log y) = yz(1 + 2 log y),

de donde, dz _ dx

2 log x - 1 x3+ 1 tx2

4 . Ver el Problema 1 . 5 . Hagase uso de Ia simetria con respecto a las diversas variables y calculese en cada caso: (a) (b)

_

2

_

2

fxx - (xy2 + yx2)2 '

gxx = _

(c) hxx -

2x2 - y2 - z2 (x2 + y2) 2

6x2 -

'

2y2 - 2z2 - 2 w2 . (x2 + y2)3

Problemas 1 . 6a (p . 86) 1 . Usense las ecuaciones de Cauchy-Riemann en

ifJxx + ifJyy = (ux2 + Uy2){uu + 2(UxVx + UyVy){u v + (Vx2 + Vy2){vv + (Uxx + Uyy){u + (Vxx + Vyy){v,

y observese que u y v tambien son soluciones de la ecuacion de Laplace. 2. Supongase que el vertice del cono esta localizado en el origen (no se pier­ de generalidad, puesto que una traslacion de los ejes no afectara a las derivadas de ./) . Si un punto (x, y, z) esta sobre el cono, entonces t ambien lo esta el punto (A.x, J.y, J.z) , donde J. es cualquier numero real. Por lo tan­ to, se tiene

Soluciones

9 17

asi , Ia ecuaci6n del conb puede escribirse en terminos de una funci6n de una variable real: Derivando se llega al resultado. 3. (a) isrr

+ �r gr.

(b) A partir de grr/gr = etc .

4.

n - 1 gr. + -r (b) Si n = 1, ar + b.

(a) grr

Si

Si

- 2/ r,

obtengase log gr =

-2 log r + constapte ,

n = 2, a log r + b. n > 2, afrn-2 + b (ver el Problema 3).

Ejercicios 1 . 6c (p. 9 1 ) 1 . J ur2 (1/r2) u a 2• 2. Hagase u = f(x, y) e introduzcanse nuevas variables por medio de � = x = cos 2 6 u�;,�;, - 2 cos cos 6 + y sen 6, 'YJ = y cos 6 - x sen O. Obtengase = sen 26 u�;� 6 sen 6 /;11 + sen 26 u1111, 2 cos 6 sen 6 uc;11 + cos2 6 u1111 •

+

Uyy

U Zx = 3 , Zy = 1,

Uxx + 6 + Zy sen 6, Z 9 = - Zxr sen 6 + Zyr

4. COS COS 6. Zr = 5 . N6tese que las derivadas no dependen de a y b. La transformacion es esencialmente una rotaci6n y traslaci6p de los ejes x, y. Ver los Ej�rcicios 2 y 3 . Usese

Zx

Uxx = a.2Uc.c; - 2a.(3Uc;11 + (32U1111, Uxy a.(3 Uc.c. + (a.2 - (32) Uc;11 - a.(3U1111, Uyy = �2Uc.c; + 2a.(3Uc;11 + a.2 U1111· = -=

Respecto a una interpretacion geometrica, ver 1 . 6a, Problema .2; 6.

z3 Tz + X 22

Txx + -z Txz + z2 Tzz. X

2 X

Problemas 1 .6c (p . 92)

1 . r� o0r (r2 :�) + se� e :�� + a: (sen e��)

·

Para comparar con 1 . 6a, Problema 3 , anulense las derivad,as de con respecto a 6 y r/> .

-u

918

Introduccion a l calculo

y

a l analisis matematico

2 . Bajo la transformaci6n dada, la ecuaci6n Alex + transforma en A *{f..'f. + '!2B*f'f.n + C*fnn = 0, donde

2B{xy + C{yy = 0

se

A* = a2A + 2abB + b2C B* = acA + (ad + bc)B + bdC C* = c2A + 2cdB + d2C

(ver el Ejercicio 3). Observese que

B*2 - A *C* = (ad - bc)2 (B2 - AC). Por tanto, el signo de B*2 - A*C* es independiente de la transform�ci6n

lineal. Se concluye que no existe transformaci6n de este tipo para (a) B2 - A C � 0 o para (b) si B2 - A C < 0 (a) Sup6ngase que B2 - AC < 0, y hagase A* = 1, B* = 0, C* = 1 en las expresiones anteriores. Observese, a partir de AC > B2 � 0, que A y C tienen el mismo signo, que puede suponerse positivo. Si B = 0, t6mese b = c = 0, a = 1/ .JA , d = 1/ .J C . Si B =I= 0, reduzcase primero al caso B = 0, tomando, por ejemplo,

-A b = O, a = .J1.A ' c = .J B A(AC - B2) ' d = .JA(AC - B2) . (b) Sup6ngase que B2 - AC > 0 y h �ase A* = C* = 0, B* = 1 en las expresiones anteriores. Si B = 0, en tpnces A y C tienen signos opues­ tos. En ese caso, satisfacen las ecuaciones

� = J- � , � = J- � ,

bc.J - AC = 1 ;

por ejemplo, t6mense

J �,

a = 1, b = -

Si B =I= 0 y al menos uno de los valores A y C no anula, digamos, A > 0, reduzcase primero la situaci6n al c aso B = 0, tomando, por eJemplo, A* = A, C* = -1/A, b = 0. entonces B a = 1, d = .J 1 B2 - AC ' c = - .JA(B2 - AC)

Ejercicios 1 .7a (p. 94)

1.

(a) (b)

2.

(a)

(h + k) cos (x + h + y + k) k- h(y + k) + _ + h· (x + h)2 - s1 · x

5 (b) 8 esns.

(c)

1t"

8.

se

Solilciona

· 919

Ejer.cicios 1 . 7b (p . 97 ) 1 . Para una curva definidfl por Ia intersecci6n de Ia superfide z = .f(x, y) con un plano vertical h(YJ - y) - k(� - x) = 0 que pasa: por el punto (�, y), existe una tangente en alg-Un punto interior de cualquier arco. Que es paralela a Ia cuerda que une a los puntos extremos. 1 2 . (a) 2 . (b)

� arc sen

a�

8

--:-

4.J2 - .J2 . a�

a. T6mese x = 0, y = -

�, h = k = �.

a 5. (a) 7 .

(b) 2a 54

Problemas 1 .7b (p. 9 7 ) 1 . Basta con prob a r que f tiene e l mismo valor para dos puntos cualesquiera que puedan unirse por medio de un segmento dentro del dominio.

Ejercicios 1 . 7c (p . 99) 1. xy 2 . Observese que df se anula en (2, a) para h = 0.1, k = - 0.1. De donde. aproximadamente, {(2.1,. 2.9) = f (2, 3) + id2{(2, 3) � 7B 9. 3 . La aproximaci6n 65 exacta. El error es cero para todos los 6roen es. 4. {a) x3 - 2x2y + y2 + h(ax2 - 4xy) + k(2y - 2x2) + h2(ax - 2y) - hk4x + k2 + 6h3 2h2k . .E (- 1) n(h + 2k)2n- 1 .-·

(b)

(2n - 1) !

n=l

(c) Los casos x + h > 0, x + h < 0 deben tomarse por separado; los dos casos proporcionan terminos de primer orden en h que resultan di­ ferentes: x4y - 2y2x - .J3 I x l + h(4x3y - 2y2 - v'3 sgn(x + h) + k(x4 - 4yx) + h26x2y + hk4x3 - k22x

+ h2k6x2 - 2hk2 + h4y + 4h3k + h4k. 5. x + x(y

�

+

h34xy

1) - 2x(z + 1) - 2x(y - 1) (z + 1) + 2x(z + 1)2

+ x(y - 1) (z + 1)2

920

Introduccion al calculo

6. (a)

Y

(b) y

-

+

(c) 1 +

al analisis matematico

x2 - y 5+ . . . 33 + x4y - x2y3 + y5 x2y

2

+

� + x2y� + x4y + _r_ .

Y + ,Y.:_2

-

12

6

x2 -

(d) 1 + x + (e-)

y

2

120

24

..

x4 - x3y xya + y4 + . . . + 6 3 6 24

,y_: + xa - xy2 . . . + 2

� xa xy2 x+ .+ 6 2 120

-

2

6

x3y2

12

+

��� + . . . 24

x2y2 + xya + . . xy2 + x3y + . 2 3 4 3 (g) 1 + x2 - y2 + 4 - x2y2 + 4 + . . . (f) xy +

(h)

x2y

2

+

�

�

1 - 3x22 - xy - y22 + . . . x2y2 + x4

x4y2 + x2y4 + . . . 12 3 + x 6 - x4y2 - x2y4 - y6 + . . (j) x2 y2 6 2 2 6

(i) 1

_

x2

2

_

24

2

_

�

120

_

.

7 . Observese que el error es de cuarto orden. En c�arto orden + cos x x2 - y2 + x4 - 6x2y2 5y4 + · · ·; = cos y 2 24

1- -

-

para el termino de cuarto orden se tiene x4

_

6x2y2

24

+

5y4

_

-

(y2

_

x2) (5y2

_

x2)

24

Para I X I :::;;; 7r/6 , I y I :::;;; 7r/6 ' los dos factores alc anzan sus maximos en X = 0, Y = 1rj6. Por lo tanto, el error se estima aproximadamente en 5

('Tt)

24 6

4

�

.016

Problemas 1 .7c (p. 99)

oo

n ( n) xryn-r = I:"" Eoo ( m + n ) xmy n ; n=O r=O r n=O +m=O n converge en Ia franja l x Y l < 1 . n yn-r = 00 ·oo xm yn (b) l�o r� r! (n - r) ! n�o m�o m! n! ;

1 . (a) � E 00

xr

converge para todos los valores de x y y. 2. Desarrollar ambos miembros de la formula esferica hasta segundo orden en x, y, y z .

Soluciones

921

3 . Desarrollar f (2h , e- 1 12h) y f(O, 0) basta segundo orden, en Ia vecindad de (h , e-llh) ; sumese y dividase entre h2 . 4 . La convergencia se deduce de Ia convergencia del desarrollo de Ia funci6n exponencial para una variable. Derivar con respecto a x para obtener

£:

2y{(x, y) =

·

n= o

Hn'(x)yn n!

=

£:

n= I

2Hn - 1 (X)y n , (n - 1) !

de donde se llega a (b) simplemente igualando los coeficientes. Partiendo de (b) y de Ho(x) = 1, se llega inductivamente a (a) . Para obtener (c) , derivese con respecto a y e igualense los coeficientes. Para obtener (d) , usese (b) para remplazar 2nHn-l en (c) par Hn' y, a continuaci6n, de­ rivese para obtener Hn+ l 1 - 2xHn' + 2Hn' + Hn" = 0.

En seguida, usese (b) en este resultado para remplazar Hn+I' par 2(n + 1) Hn.

Ejercicios 1 . 8b (p . 1 0 9) 1 . Apliquese Ia continuidad uniforme de f3k(X, k) para x en el intervalo cerrado a � x � b y k restringido a cualquier subintervalo cerrado de ko

<

k

<

k1.

2. (a) Para £ = k- 2 13 y 1 - £

<

x

<

1, se tiene, - para k grande,

k l og x = k(x - 1) + O(k-1 '3)

X- 1 log x

=

1 + O(k-213) '

de aqui que xk(x - 1) log x

mientras que para 0

= ek<x- 1> (1 + O(k-113)),

<

x

<

1 - £,

(-

)

x xk(x - .1) l e- k 1 t3 =0 . log x log x

S e deduce que

F(k) = f

1- E 1 + 1 - E J0

.= -k1 + O(k-41�).� ·

(b) Por el Ejercicio 1 , F' (k)

= J1 xk(x - 1) dx = k +1 2 - k 1 1 . +

0

De aqui que F(k) = log

2+ k+ 1+ k resulta ser 0 , debido a (a).

c,

donde el valor de Ia constante c .

Introduccion al calculo

922

Ejercicios 1 .9b (p .

y

al analisis matematico

121)

1 . (a) J2 1r(-t sen t + o 2 t + sen t) dt = 37t l 4 (b) J ( -2t2xo - 2txoyo(1 - t2) + yo(1 - t2)) dt = - 3 (xo - yo) . c

0

s

_1

Ejercicos 2. 1 (p . 1. Si X =

176)

(x, y, z) e s u n punto arbitrario d e la recta, entonces �

PX = AA, donde A puede ser cualquier m1mero real. Por lo tanto ,

(x + 2, y, z - 4) = A(2, 1, 3),

o bien,

x+2-Y- z-4 3 • 2 _

_

2 . Sea PQ = A. Cualquier punto X de la recta satisface PX = AA. Sean B, C, y V los vectores de posicion de P, Q y X, respectivamente. Entonces , --ll..

PX = V - B = AA = A(C - B) ; 0

(1 - A)B + AC . En particular, si P = (3� - 2, 2) y Q = (6, - 5, 4), como se dan en ( a) , (x, y, z) = A(3, - 3, 2), V=

o bien,

3 . Si V es el vector de posicion de cualquier punto X sobre la recta que une a P con Q., entonces, por la solucion del Ejercicio 2 , V = (1 - A) A + AB., para alg-Un real A. Por tanto,

(1 - A) (V - A) = A (B -V) = (1 - A) A (B - A)

Si 0 < A < 1, se concluye que V - A, B - V y B direcci6n y I V - A I / I B - V I =

A/(1 - '-).

-

A tienen la misma

4. Escribir el vector de posicion en Ia forma

V = A + A(B donde B - A se representa por

A),

pQ. para ver que A > 0.

Soluciones

923

5 . Sean A, B, C, D, E los vectores de posicion de los puntos P, Q, R, S, M, respectivamente . Tomese el origen 0 en el punto que divide a MS en la razon l/3. Asi, D = -3E. Como E = 1/3 (A + B + C), se deduce que

� (A + B + C + D) = 0.

De aqui que, por la definicion general, 0 es el centro de masa y, eviden temente , no depende del orden de los vertices. 6. Sean PQ y RS las aristas; en la notacion de la solucion precedente, sus puntos medios tienen los vectores de posicion t (A + B) y t(C +D), res­ pectivamente. Por la solucion del Ejercicio 5 , � (A + B) = - } (C + D) ; de donde los puntos medios son colineales con el centro de masa, 0, y equidistantes de el . 7 . Si P" = (xk, Yk, Zk), para k = 1,2, . . . , n, entonces ·

(

G - (xo, yo, zo) - L.m"x" L.m"y" "':.m"z" L.m" ' L.m" ' L.m" _

_

= (L.mk(Xk - xo),

L.m" Ak

)

:Emk(Yk --- yo), L.mk(Zk - zo))

= (0, 0, 0).

8 . El vector cero es el numero real 1 . La "multiplicacion" del "vector" a por el escalar A significa elevar a a la potencia A. Por lo tanto, si la " adicion" vectorial se denota por EB, y la multiplicacion por un escalar por @,

A
9. 1 0 . Tomese el origen como el centro de la esfera y sean A, B, R los vectores de posicion de P, Q, R, respectivamente . Si el radio de la esfera es p ,

I A I 2 = I B I 2 = I R I 2 = P2

B = - A. Consecuentemente, de ( 1 5c), (R - A) (R - B) = (R - A) (R + A) = I R2 1 - l A 1 2 = 'o. (a) De (X .- P) A = 0, una ecuacion del plano es x + 2y - 2z = - 1. Con el vector normal unitario B=(-1/3, -2/3, 2/3), obtengase la y

•

•

11.

•

normal

forma

. - -x 1 2 2 1 3 - 3-y + 3-z = 3- . (b)

2/3.

.

(c) En el mismo. 1 2 . (a) Hagase P = (y1, y2 , . . , Yn) y sea B el vector de posicion de P. Si Q ::;; (x1, x 2 . . . . , Xn), con vector de posicion X, es el pie de la per­ pendicular, entonces Por tanto, A

•

y

B - X = AA. (B -:AA) = c; de aqui que A = (A B - c)/ l A 2 y •

924

Introduccion al cilculo y al anilisis matemitico

X = B + A (c - A B)/ I A 1 2 . •

(b) (- 1/9, 2/9, 2/9)

y

(7/9, - 13/9 - 5/9, respectivamente.

1 3 . Observese primero que C

,

=f=.

0 ; de lo contrario,

lo que viola la condici6n de que A y B son no paralelos. B C = 0 . 14 . El {mgulo entre Ia recta y el plano es el complemento del angulo entre la recta y la normal; es decir, •

sen

B

etA

+

C2

.

Ejercicios 2.2 (p . 1 95) I . ( a ) La recta x = -1 + 4J., y = 2, z = 1 + 3A.. (b) El plano x = 2 + 3(1. + v, y = 1 - 2(1., z = -4 +

x + 2y + z = 0.

!J.

- v ; o bien,

(c) El espacio bidimensional lineal de los puntos (x, y, z, facen x + 2y + z = 0 y 2y + 2z + = -4.

w

2. (a) A1 = -/2 E1 + 2Ea.

w) que satis­

3 . Para E 1 s6lo es posible EI = A1/ I A! j. Sup6ngase que se han encontrado esos vectores basta el de indice k - 1. T6mese Ek = Vk/ I Vk I , donde

k -I

Vk = A k - .E (A� �= 1

•

E�) E�.

Observese que s i E � depende d e A 1 , A2 . . . . , A�, para !J. = 1 , 2 , . . . k - 1, entonces Ek depende de AI, A2 , . . . , Ak. 4 . Sea Ak, k = 1, 2, . . . , n + 1 cualquier conjunto de n + 1 vectores. Si A1, . . . , An son dependientes, lo es el conjunto completo de n + 1 vec­ tores; si no lo son , por el Ejercicio 3 , los vectores EI, . . . , En dependen de A1, . . . , An . Puesto que los Ek , k = 1, 2, . . . , n pueden tomarse como los vectorcs coordenados, An+I depende de E�, . . . . En ; de aqui que, a fortt'orz� depende de A1, A 2 , . . . , An. 5 . En la forma vectorial, Ia recta tiene Ia ecuaci6n '

Z = At + B . donde B = (b, d, f) y A = (a, c, e). Sea Q el pie de Ia perpendicular bajada de P a la recta, y Xo = (xo, yo, zo), X1 (x1, YI , ZI) , los vectores de posicion de P y Q, respectivamente. Puesto que Q esta sobre la recta, para algiin numero T, se tiene X 1 = AT + B . Pero, por (X1 - Xo) • A = 0 , la distancia que se desea, d, esta dada por =

d 2 = I X1 - Xo 1 2 = (X1 - Xo) (AT + B - Xo) = (XI - Xo) (B - Xo) = (x1 - xo) (b - xo) + (Y l - yo) (d - yo) + (ZI - zo) (f - zo), •

•

Soluciones

92 5

donde, ,y

't" = (Xo - B)2 • A = a(xo - b) +2c(yo 2- d) 2+ e(zo - f) . IA1 a +c +e

6 . No. Para probarlo, demuestrese que los vectores coeficiente (1 , 2, 3) , (2, 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2) son linealmente independientes . Por ejemplo, usese el metodo de solucion del Ejercicio 3 para construir un conjunto de tres vectores mutuamente perpendiculares que dependan de los vectores coeficiente. 7 . �sto es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones lineales del Ejer­ cicio 6, con las constantes ai, a 2 , a3 , en Iugar de 0, 0, 0, a la derecha

XI =

1 1 18 (-5ai + a 2 + 7a3), x2 = 18 (ai + 7a2 - 5a3), 1 X3 = (7ai - 5a2 + a3) . 18

8 . De la solucion del Ejercicio 7 ,

1

-5

( � �

7 -5

1

9 . Si a es singular, los vectores columna AI, A2 , . . . ; An son dependien­ tes . Si existiera una solucion X = (XI, X2 , . . . , Xn)para toqo Y, entonces cada Y tendria una representacion

Y = X1A1 + X2A2 + .. . + XnAn, pero los Ak no generan el espacio.

10. ab =

11.

A = ad

3 0 3

( -�

- be

-4 -=/=-

0.

4

�)

,

ba =

-4

( �:-2 -2 3

!(

d A -c

- b) . a

1 2 . Supongase que ae = ea = a y a'e = e'a = a para todas las matrices cuadradas a. Entonces e'e ee' = e = e' .

13. b- 1 a- 1 •

=

1 4 . De la definicion , una matriz es singular si y solo si los vectores columna son dependientes . Por lo tanto , al menos uno de los vectores columna puede expresarse como una combinacion lineal de los otros. Se concluye

926

Introduccion al calculo y al analisis matematico

-

que cualquier vector imagen que resulte en la aplicacion puede ex­ 1 vectores presarse como una combinacion lineal de no mas de n dados. Redprocamente, si la dimension del espacio imagen es menor que n, los vectores columna de la matriz deben ser linealmente depen­ dientes , porque si fueran independientes sus combinaciones lineales generarian un espacio n dimensional. 1 5 . Expresese X en la forma (r cos 6, r sen 6). Entonces, para a=

(

cos y

- sen y

sen y

cos y

)

'

aX = (r cos (6 + y), r sen(6

+ y} ) ;

asi , puede interpretarse a como una rotacion de los vectores dada por el angulo Y o bien, una rotacion de los ejes dada por el angulo -y. Para b=

(

cos y

sen y

sen y

- cos y

)

'

bX = (r cos(y + 6), r sen(y - 6) ) ;

que puede interpretarse como una reflexi6n de los vectores con respecto a Ia recta inclinada un angulo h en relacion con el eje x, o una inver­ sion del sentido del eje y, seguida por una rotacion de los ejes a traves del angulo -y. 1 6 . Por (49a), la condicion es necesaria para la ortogonalidad . Tambien es suficiente , porque si Ak es el k-esimo vector columna de a, tam bien es el k-esimo vector fila de aT. Por la definicion de multiplicacion de matrices, aaT = e implica que A1

•

Ak =

!0, 1,

si j =F k

si j

= k.

1 7 . Hagase c = ab . Si c = (CiJ}, entonces cT = (CiJT), donde 1 8 . De los Ejercicios 1 3 , 1 7 y 1 6 , si a y b son ortogonales, (ab)T = bTaT = b-1 a-1 = (ab)-1 ,

lo cual es suficiente para Ia ortogonalidad de ab.

1 9 . Si X = (x1, X2 , . . . , Xn) y Y = (y1, y2 , . . . , Yn), entonces, por (47 ) , (aX) • (aY) = (x1A1 + X2A2 + · · · + XnAn) • (y1A1 + Y2A 2 + · · · + YnAn) = X1Y1 + X2Y2 + · · · + XnYn ·

20. Una matriz a que conserva la longitud tambien debe conservar los productos escalares; porque

Soluciones

927

l aX + aYI 2 = laX I 2 + l aY I 2 + 2(aX) (aY) = I XI 2 + I Y I 2 + 2(aX) (aY) = l a(X + Y)l 2 = IX + Y l 2 = I X 1 2 + I 1 2 + 2X •

•

y

•

y

(comparese con la respuesta al Ejercicio 1 8) . Se llega asi a Ia condici6n (47) , ya que carla vector coordenado Ek se aplica sobre el vector colum­ na Ak de a . 2 1 . Sean . . . , Xk la s particulas y m1, . . . , mk , sus masas, res­ pectivamente . Sup6ngase que la transformaci6n afin esta dada en la forma A. Sup6ngase ademas que los centros de masa antes y

m2 ,

X1 , X2 , X' = aX +

Xo = ( t m1X1) / f mJ, Yo = ( .t m1 Xl) j ..� mJ, , respectivamente, y n6tese que Xo' = aXo + A = Yo. despues de la transformaci6n son

1"" 1

.

j= l

1=1

J=!

Ejercicios 2.3 (p . 2 1 6)

1 . (a) 0. (b) (c) (d) a 3. (a) (b) 4 . (a) (b) (c) (d)

2.

12.

(x - y) (y - z) (z - x) (x c

2. + = 2b.

Usese det Usese det -1 1. - 1. 1. .

'

+ y + z).

(ea) = det (a). (e) = det (aa-1) .

5 . Si todos los elementos del determinante se anulan, el resultado es in­ mediato . De lo contrario, puede suponerse que au =F 0, porque si atJ =F 0, pueden intercambiarse la primera y la t"-esima filas y la primera y Ia j-esima columnas para colocar ai1 en la primera fila y primera columna con , qmza, un cambio de signo en el determinante. Multi­ pliquese la primera columna por a11/au y restese de Ia j-esima colum­ na, con el fin de anular el primer elemento de Ia j-esima columna. Procedase de modo semejante para hacer que se anule el primer ele­ mento de tmalquier fila . Por medio de esta operaci6n, y una multi­ plicaci6n de Ia primera fila por - 1 si es necesario, se lleva el determi­ nante a Ia forma tX

0

0

0

bu

b1 2

0

b21

b22

928

Introduccion al calculo

l � ��

y

al analisis matematico

proced' m1· ntos ap1 '1ca dos a1 su bd etermmante Los mtsmos · · Bevan a la forma

6.

7.

8.

9. 10. 11.

12.

13.

y

0

•

I

1o b2 1 b22 l Puesto que las operaciones sobre el subdeter-

I

bn

b1 2

minante pueden hacerse extensivas a las filas y columnas del deter­ minante original sin afectar a los elementos nulos de la primera fila y primera columna , se ha llegado a la forma deseada . En (66a), el unico termino posible, diferente de cero, es aquel para el cual }! = 1, h = 2, . . . , i n = n. En ai1t ai2 2 · · ain n sea k el menor indice para el cual ik =f=. k. jk < k , el producto se anula . Si ik > k, entonces k debe aparecer como un in­ dice de fila para un factor akm, donde k < m ; por lo tanto, el producto se anula un vez mas. Asi , an a22 · · · a nn es el unico termino posible diferente de cero en (66a) . (a) (x - y) (y - z) (z - x). (b) - 1 2 (c) 2 ! 23 ! 24 ! . = 3, y = 2, Z = 1 . Hagase uso de det(a) • det(b) = det (aTb). Usese D = (A + 2B) (A - B)2 = [ (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz) ] 2 • Dado que el determinante es una forma alternante en los vectores co­ lumna, resulta inmediato que a = A + Bx. Para x = -a, la matriz es triangular inferior, y para x = - b, es triangular superior. Asi , por el resultado del Ejercicio 7 , A + Ba = f(a) y A + Bb = f(b). De (57 a), con c = (CJk) , •

X

,

.

n

n

= .E ai .E CJkbk j=l

=.: A

n

k=l

•

(cB)

n

= _E bk _E CjkG,; k= l

j= l

= B • (eTA).

14. Hagase X = (x, y, z), A = (g, h, i) l y a

!d

2

a=

y

b

reescribase la ecuaci6n de la cuadrica en la forma X

•

(aX) + A

•

X + j = 0.

Soluciones

929

Si Ia transformacion afin esta dada en Ia forma

X' = bX + B, su inversa es

X = eX' + C , donde e = b- 1 y C = -b -1 B. Por tanto , la ecuacion de Ia cuadrica en el nuevo sistema coordenado es

eX' • (ae X') + C (ae X') + eX' • ·(aB) + A eX' + C (aC) + A • B + j = •

•

•

o.

Apliquese el resultado del ejercicio precedente para poner esto en Ia for­ ma

X' (a'X') + A' X' + j' = 0, •

•

donde

a' = eTae, A' = eT(aTC + aB + A), j' = C • aC + A • B + j.

1 5 . Comparese con el sistema lineal homogeneo

a1x + a2y + dz = 0 b1x + b2y + ez = 0 C1 X + C 2Y + {z = 0. Si este sistema tiene una solucion con z = - 1, y, por tanto, una solucion no trivial , debe anularse el determinante D. Reciprocamente, si el determinante se am�la, los vectores columna son dependientes. En con­ secuencia , existen las constantes x, y , z, no todas cero, tales que xA1 + yA 2 + zB = 0 ,

donde At = (ai, bi , Ci) y B = (d, e, f). No es posible que z =. 0, porque entonces A1 y A 2 serian dependientes y los tres determinantes de 2 X 2 dados se anularian. Por lo tanto, puede dividirse entre - z para hacer que el coeficiente de B sea - 1 de esta manera, existe la soluci6n de­ seada . 1 6 . En Ia forma vectorial las rectas pueden escribirse como

X = At + B, X = Ct + D. L as rectas son paralelas si y solo si A y C son paralelos (esto incluye el caso en el que las rectas coinciden). Se intersectan si y solo si existen numeros h, y t2 para los cuales Ah + B = Ct2 + D. Asi, por . la so­ lucion del ejercicio precedente, Ia condicion es que Ia matriz con vee· tores columna A, C, B - D tenga un determinante que se anule; es decir,

930

Introduccion al calculo

y

a l analisis matematico

ai CI hi - di az cz bz - dz = 0 a3 C3 b3 - d3

1 7 . Un conjunto de permutaciones que convierte a h,h, . . . , jn en 1, 2, , n en ki , kz, . . . , k n. En con . . . , n, tambien convierte a 1 , 2 , secuencia , h, h, . . . , i n y ki , kz, . . . , kn son ambas permutaciones pares o ambas impares de 1 , 2 , . . , n. 1 8 . En forma vectorial, esto afirma que la ecuacion vectorial .

.

.

.

aX = :AX debe tener al menos una solucion no trivial . Reescribase la ecuacion en la forma de una ecuacion homogenea :

(a - :Ae) X =

0,

donde e es la matriz unidad . Esta ec11acion tiene una solucion no trivial si y solo si

= 0.

det(a - :Ae)

En el espacio n dimensional, esta es una ecuac10n polinomial de n-esimo grado en :A , cuyo primer termino es (- 1) n:An . Por tanto, siem­ pre existe una solucion si n es impar.

Ejercicios 2.4 (p . 245) 1 . Sea Xo el vector de posicion de P y expresese la recta en la forma vec­ torial X = At + B. La distancia, T, desde p hasta l es I Xo - B I sen e, donde e es el angulo entre P - B y A ; de a qui que r

= I (Xo - B) X

AI/IAI.

2. La velocidad es rw , donde r es la distancia del pun to al eje de rotacion. Por la solucion del ejercicio anterior, con B representando al origen Xo = (x, y, z) y A = (�, � ' y) . rw

=

w

[(yy - z�)2 + (z�

_

xy)2 + (x�

_

y�)2]112.

3 . Den6tense por XI, Xz, X3, respectivamente, los vectores de posicion de los tres puntos. Si X = (x, y, z) representa cualquier punto del plano, los tres vectores XI - X, Xz - X, X3 - X estan en un espacio bidimen­ sional y, por lo tanto, son dependientes. Como consecuencia,

=

det (XI - X, Xz - X, X3 - X) 0. 4. Sean las ecuaciones de las rectas dadas en forma vectorial por l : X = At + B y l' : X' = A't' + B'. El segmento mas corto PP' con un extremo sobre cada recta , debe ser perpendicular a ambas. Porque, digamos, si PP' no fuese perpendicular a l' en P' , entonces la perpendicular bajada de P a Z' seria mas corta. Si X y X' son los vectores de posicion de P y P', respectivamente,

Soluciones

X - X' = At + B A't' + = k(A X A'). -

93 1

B

Para determinar k, multipliquese esta ecuaci6n escalarmente por A ·

A' lo cual da

k

X

-B') • (A X A') = (B ' I A X A' I .

que permite. conocer la distancia deseada, d, pues resulta

d 2 = I X - X' l 2 = k2 1 A o sea ,

X

A' l 2

d = I (B - B') • (A X A') I . I A X A' I 5 . La suma no depende de la elecci6n del origen, ya que una diferente elecci6n del origen, (a, b) equivale a remplazar cada determinante

ll.k = Debido a que

I

Xk Yk

Xk l + Yk + l

l

,

por

Ak' = Ak

-

!

ll.k =

a

Xk

I Yk

cada determinante adicional

b

I

Xk

'\ + i\ a

I

I

I i Yk

Xk

-

a

Xk +l

b

Xk +l

a

Yk + l

b

-

a

Yk + l - b

1

I

I'

I

aparece dos veces en el total, Yk b pero con signos opuestos. Por lo tanto, puede eleghse el origen en el in­ terior del poligono. El poligono es la suma de l as areas de los triangulos OPkPk+ l, k = 1, . . , n (donde Pn+l = P1), pero el area de OPkPk +I es precisamente

! Xk 2 Yk

I

Xk + l Yk +l

I

·

6 . Restese la tercera fila de las dos primeras para demo$trar que el deter­ minante es igual a t Xl X x2 , donde xl = (Xl - X3, Yl - Y3) y X2 = (X2 - X3, Y2 - Y3). 7 . Si las coordenadas de los vertices son racionales, el area del triangulo, como se define por medio del determinante, evidentemente es racional. Pero para un triangulo equilatero de lado s el area es t s 2 v'3, donde .

es claramente racional . 8. (a) En forma v<:ctorial, esto afirma que

A • (A'

X

A") s I A I

•

I A' I • I A" I '

lo cual obviamente es cierto, ya que

l A'

X

A" I s l A' I • I A" I

(i * j).

Introduccion al calculo y al analisis matematico

932

y

IDI = IA

•

(A'

X

A") I s; I A I

•

I A'

X

A" I ·

(b) Solo puede cumplirse Ia igualdad si se cumple en las dos desigual­ dades anteriores. Por tanto A, A', y A" deben ser mutuamente per­ pendiculares . 9. (a) Si B y C son dependientes, digamos C = :AB, Ia identidad es trivial­ mente cierta . En caso contrario, f6rmese Ia base ortonormal E1, E2, E3, donde los vectores respectivos son vectores unitarios en las direc­ ciones de B, B X C, B X (B X C). Escrib�nse A, B y C en terminos de esta base :

A = a1E1 + a2E2 + a3E3

c = C!El + C3E3 ,

B = bE! ,

para obtener

B X

C = - bc3E2

A X (B Usese E1 = (1/b) B A

X (B

(b) Observese que

Z = (X

X

X

Y)

Y

X

y

C) = bc3(a3E1 - a1E3).

E3 = 1/c3 [C - (c1/b)B] para obtener

C) = (a1c1 + a3c3)B - (a1 b)C.

•

(X'

X

Y') = det(X, Y, X'

X

Y')

= det (Y, X' X Y', X) = [Y X (X' X Y') ] • X.

Apliquese el Ejercicio 9a para obtener

Z = [Y • Y')X' - (Y • X')Y']

•

X

(c) Apliquese el Ejercicio 9a para reescribir la expresi6n de Ia izquierda en la forma donde

U = [ (X • Z)Y - (X • Y)Z] • V,

V = [ (Y • X)Z - (Y • Z)X] X [ (Z • Y)X - (Z • X) Y] = (Y • X) (Y • Z) (Z X X) + (X • Y) (X • Z) (Y X Z) + (Z

Por consiguiente ,

U = (X • Z) (Y • X) (Y • Z) [Y • (Z - (X • Y) (Z

•

•

x

Y) (Z · X) (X

x

Y).

X) ]

Y) (Z · X) [Z

•

(X X Y) ] =

0.

. 1 0 . Sea. E el vector unitario en la direcci6n de (- 1, 0, 1) ; entonces E = el vector de posicion de cualquier y, ( !.J2 , 0, i v'2) . Sea X = punto A el pie de la perpendicular bajada desde el punto al eje de rotaci6n: -

(x, z)

A = (X • E)E =

(�(x - z), 0, �(z - x>)·

Soluciones

933

N6tese que X - A es perpendicular a A e introduzcase E X (X - A) perpendicular a estos dos. Si X' es el vector de posicion de la imagen de z) bajo la rotaci6n, entonces X' - A es perpendicular a A y la condici6n de orientaci6n dada conduce a

(x, y,

(X - A) X (X' - A) = donde

r

r2

sen tjJ E,

= I X - A I = I X' - A I es la distancia de X al eje. Hagase X' = :AA

+ !L(X - A) + v[E X (X - A) ] ,

lo cual tiene sen�ido ya que los vectores que aparecen en la combinaci6n lineal son mutuamente perpendiculares. A partir de (X' - A) • A = o, se deduce que :A = de (X' - A) • (X - A) = r2 cos tjJ, se tiene IL = cos t/J. Por ultimo, de lo obteuido en el Ejercicio 9a,

1;

r2

sen tjJ E = (X - A) X (X' = v(X - A)

de donde,

v

X

-

A,

[E X (X - A) ]

= sen rp. Usese

( �<x + z), y, �<x. + z)) E X (X - A) = E X X = � ./2 (-y, x + z, -y) X-A=

para obtener X' = aX, donde

1 + 1) 1.;2 2 sen tjJ 1-(cos tjJ - 1)

a=

X = [ (A ·

= [ (C

x

X

-(cos tjJ 2

- -./2 sen tjJ 2

1

B) D)

•

•

D]C - [ (A A]B - [ (C

1)

!.;2 sen tjJ 2

cos tP

2

1 1 . Por el Ejercicio 9 a ,

1

1.;-

- - 2 sen tjJ 2

2(cos tjJ

1

2(cos tjJ X

X

B) D)

•

•

+ 1)

C]D B]A.

Dado que A, B, C son independientes, (A x B) . C =1= 0 y puede resol­ verse la ecuaci6n para encontrar D . 1 2 . Sean E1', E2', Ea' los vectores coordenarlos unitarios en el nuevo sistema coordenado: Se dan Ea Ea' = cos e, E1 X (E� X -Ea') . = sen e sen tjJ Ea, y E1' X (Ea X Ea') = - sen e sen \jJ Ea'. Ademas, E1 • (Ea X Ea') = sen e cos tP y EI' . (Ea X Ea') = sen e cos \jJ . Donde, por el Ejercicio 9a. (EI . ' Ea') = sen e sen tjJ y Et' • Ea = sen e sen \jJ. Ahora, hagase •

3

donde

Ei = I:: aii E/ j= l

934

Introduccion al calculo y al analisis matematico (aiJ ) = (E i

•

E/)

es la matriz que se busca. La informacion que ya se tiene conduce a

a1a = sen 8 sen ¢ , a31 = sen 8 sen �. aaa = cos 8.

F6rmese Ea X Ea' = sen 8 sen � E2' + a32 E1' y formese el producto es­ calar con E1' para encontrar Por tanto ,

E1' • (Ea

Ea') = sen 8 cos � = aa2 .

X

Ea = -sen 8 sen � E1' + sen 8 cos � E2' + cos 8 Ea'.

Usando esta expresi6n para E3, para encontrar a n y a12 resuelvanse las ecuacwnes se obtiene

au = - cos 8 sen ifJ sen � ± cos ifJ cos �.

a12 = - c os 8 sen ifJ cos � ± cos ifJ sen �.

)

Los signos no determinados en estas expresiones para an y a12 se fijan por medio de la condici6n E1 • (Ea X Ea') = sen 8 cos ¢, Ia cual pro­ porciona el signo mas en la expresi6n para a u y el signo menos para al2· Por ultimo , hagase E2 = Ea X El para obtener

(aiJ) =

(

- cos 8 sen ifJ sen � + cos ifJ cos �

- cos 8 sen ifJ cos � - cos ifJ sen �

cos 8 cos ifJ cos � + sen ifJ cos �

cos 8 cos ifJ cos � - sen ¢ sen �

sen 8 sen �

sen 8 cos �

sen 8 sen ifJ

- sen e cos ifJ . cos 8

N6tese que este resultado tambien se cumple para 8 = 0 6 rr, cuando ifJ y � se vuelven indeterminados, teniendose ifJ + � · xOx' 6 ifJ - � = xOx', respectivamente. Los angulos ¢, � . 8 , son los llamados angulos eule­ rianos, y el resultado obtenido indica que la matriz ortogonal mas general con determinante t:.. igual a + 1 puede expresarse "parame­ tricamente" por medio de las tres variables ¢, �. 8, sujetas a las desigual­ dades

-

0 � 8 � rr,

0

� ifJ < 2rr,

=

0 � � < 2rr.

1 3 . Sea A = a1E1 + a2E2 + + amEm un vector no nulo de rr perpen­ dicular a todos los vectores de rr' con, digamos, a1 =1=- 0. De (85a) , usan­ do E1 = 1/al (A - a2E2 - amEm), se obtiene ···

(J.

···

= _!_ (A - a2E2 - ... - amEm, E2, . . . ' Em ; EI', . . . ' Em') a1 = _!__ [A, E2, . . . , Em ; E1', E2', . . . , Em'] = 0 . a1

Redprocamente, si

!:l

= 0, los vectores columna en la representaci6n en

Soluciones

935

forma de determinante, (85ab ) , de (.l. son dependientes: para alg(.ln conjunto no trivial de coeficientes se tiene 'AIEk

•

EI' + 'A2 Ek

Entonces

y tiene un vector de a carla vector de rr .

•

E 2' -i:XI

rr'

•••

+ 'A�E"

•

Em' = 0

(k = 1, 2, . . . , m).

ortogonal a carla vector base y, por consiguiente,

Ejercicios 2 . 5 (p . 259)

�

1 . Sean (xi', x2', xa') l a s coordenadas d e P; (xi", x2 ", x3") las de Q . Asi, PQ represent a el vector U , donde Ui = xi'' - xi'. Las coordenadas de P y Q en el nuevo sistema estan dadas por (89a) con ap6strofos apropiados __..)o.

Vi

y PQ representa al vector que satisfacen (89a) .

= yi'' - y/ cuyas componentes es claro

5 . Representese la curva vectorialmente por X(t) y sup6ngase que los tres valores del parametro estan dados por t, h, t2 , y los puntos correspon­ dientes por X = X (t), XI = X (h)·, X2 = X(t2). La normal al plano que pasa por los tres puntos es paralela a

(XI - X) X (X2 - X) . Haciendo h - t = hi, t2 - t = h2 y aplicando el teorema de Taylor, se obtiene

dX dt

Xi ::::::: X + --ht +

l -ht2 d2X + 2 dt2

• • •

.

Asi se tiene, hasta el orden mas bajo,

l dX d2X (XI - X) X (X2 - X) = - - -- (hk2 - kh2) . 2 dt dt2 En el limite, conforme h y k tienden a 0 y t tiende a to, la normal al plano osculador toma la direcci6n de dX/dt X d2X/dt2 en Xo = X(to). Entonces, el vector de posicion Y de un punto del plano osculador satis­ face

'

(Y - Xo)

•

( dXdt

---

)

d2X X-. =0 Bt2

•

6. Partiendo del resultado del ejercicio precedente debe demostrarse que tanto dX/ds como d2X/ds2 son perpendiculares a dX/dt X d2X/dt2. Es­ to es inmediato a partir de

dX ds

dX dt dt ds

y

-( )

d2X _ dX d2t d2X dt 2 ----. - -- + ds2 dt ds2 dt2 ds ·

Introducdon al calculo

936

y

al analisis matematico

7 . Supongase que la curva se da por medio de X(s) , donde de arco, y desarrollese X por el teorema de Taylor: X(s) = X(so) + X'(so)l

s

es la longitud

+ YO(f2) ,

donde l = s - so y Y esta acotado. Entonces, como I X'(so) I = 1, d - l = I X(s) - X(so) 1 - l =

I X'(so)Z + YO(l2) 1 - l

� j X'(so) l l + O(l2) - l ; es decir, d - l = O(l2) = o(l) . 8 . De la solucion del problema 6 anterior,

Notese que

k=

/

)x'

d2X i = ds2 I

dt ds

(c!!_)

1

2'. � 2 t + X" ds2 ds

1 I X' I ;

de donde X' · X"

d2t ds2

-

Por lo tanto,

IX'f4 ·

I X' j 2 j X" j 2 - (X' . X")2 k2 . j X' l 6 ..

.

9. De la solucion al Ejercicio 6 d2X/dt2 es una combinacion lineal de dX./ ds y d2X/ds2•

I 0. Considerese C representada por X(t) y supongase que el vector de posicion X(to). de B no es uh punto extremo de C. Sea Y el vector de posicion de A . I Y X(to) I es un minimo si -

es decir,

/

d = 0; I Y - X(t) l 2 dt t = to [Y - X(to)]

•

X'(to) = 0.

a cos 6, Y = sen 6 . El plano tangente solo depende de x y de y, no de z, y forma el angulo e con el eje y. La componente z del vector X' tangente a la cur­ va, satisface

1 1 . Sea la curva dada parametricamente por X(e) donde x = a

z

o bien,

'

.;x'2 + y'2 + z' 2 = cos e . _z

'

.;a2 + z, 2 = cot e .

Soluciones

937

Por lo tanto, z' = ± a cot 6 ; de donde z = c ± a log sen e. Respecto a la curvatura , ver el Ejercicio 8 . 1 2 . D e dX/d6 = ( - sen e , cos e , senh A6), s e tiene d 2X = ( - cos e, - sen e, Acosh A6), de2

(

)

la soluci6n da la ecuaci6n, para cualquier punto Y, del plano osculador dX d 2X 0 (Y - X) • d6 X d62 '

=

donde el vector normal esta dado por

y

NI = A cos e cosh A6 + sen 6 sen h A6. N2 = A sen e cosh A6 - cos Na = 1 .

e

senh A6

L a distancia del plano a l origen e s I X N I I IN 1 y , puesto que X • N = (A + 1 /A) cosh A6 y I N 1 2 (A 2 + 1) cosh2 A6, el resultado se obtiene inmediatamente. 1 3 . (a) Sea X(t) la representaci6n parametrica de la curva y hagase Xi = X (ti). Por el Ejercicio 3 de l a Sec cion 2 .4 el plano que pasa por los tres puntos es •

=

(XI - X) • [ (X2 - X)

o bien , X

•

[XI

X

X

X2 + X2

X

(Xa - X) J

Xa + Xa

X

XI]

= 0,

= XI • (X2

X

Xa),

de lo cual se obtiene el resuitado. (b) Los tres planos osculadores tienen las ecuaciones (X - Xi)

•

(X/

X

X/')

=0

(Por lo obtenido en el Ejercicio 6) o, en terminos de las coordenadas, 3x a

_

6tt 3ti 2 z + b Y c

_

ti3 =

O.

Por lo tanto, si (x, y, z) es un punto comun a los tres planos oscu­ ladores, h, h, ta son las tres rakes de la ecuaci6n anterior con coeficientes. 3z h + t2 + ta = - , c

938

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

ttt2 + t2ta + tatt =

6yb ,

3x ht2 ta = - . a 1 4 . Dado que una esfera queda determinada por cuatro cualesquiera de sus puntos no coplanares, pueden imponerse cuatro condiciones a la esfera del contacto mas cercano: que el contacto de la curva y la esfera sea de tercer orden. Sea X(s) la representaci6n de la curva en terminos de la longitud de arco y A el centro de la esfera . Requierase que 1 X - A 1 2 se anule hasta el tercer orden; asi , de 1 X j 2 = 1 y X X = 0, •

(X - A) . X = 0,

(X - A)

•

X+1=0

(X - A) . X = 0. De las ecuaciones primera y ultima , X - A = J..(X dada por Ia segunda ecuaci6n . De aqui que A=X+

X

X), donde

J..

esta

X X X X

• [X

X

X] .

1 5 . Hagase I X - A I = 1 en Ia soluci6n del ejercicio anterior. 1 6 . Puesto que, por el Ejercicio 6 , !;a es normal al plano osculador

A demas, ya que �i y !;t son perpendiculares, �2

Oerivese !;1 = !; 2

X

==

1

-

't'

= ·1 !;a I .

a!;1 + b!;a and �a = c!;1 + dl; 2 .

!;a para obtener

= - a� 2 - c!;a ; de aqui qr � a = - 1/p y c = 0 . D e �a = d!; 2 , d = ± 1 /T ; no menos. ua determinar b, derivese !;a = (!;1 X !; 2) :

de aqui que b = 1/T. 1 7 . (a) Derivese X = �1 = k!; 2 pa1 a obtener

x = k � 2 + k �2

(b) Del resultado del Ejercicio 1 4 ,

!; 2 k ):. + 2 � a. k 't' 't'

elijase el sig­

Soluciones 1 8 . Puesto que

1/-r = I �al = 0,

un vector constante .

939

�3 = 0 y, por lo tanto, !;3 debe ser . A partir . de 0 = 1; 1 �3 = X 1;3 = d (X !; 3), se ds entonces

•

•

•

concluye que X !; 3 = constante. 1 9 . Sean A y los vectores de posicion de A y P, respectivamente. Hagase X = A - P, de donde X = - P. La ecuacion afirma que . d dt I X I = - a •

P

•

p'

lo cual se deduce directamente de la formula de derivacion

d d -- X · X dt I X ! = dt JX X = lXf •

a = X/ l X I . X = A - P como en la solucion anterior.

con (a) Hagase lucion,

A partir- de esa so­

. . · P. )a + l XI a. - �. = X. = dtd (lXI a) = -(a

y el resultado que se desea es inmediato. (b) Introduzcanse la expresion para a y las expresiones semejantes para b en p

= ua + vb + we + ua + vb + we. 2 1 . (a) Sea la curva dada por X (t) . Entonces la superficie tiene la ecuacion parametrica

y = X(t) AX(t). El vector oyfoA oyfot es normal a la superficie, pero �� X �� = X(t) [X(t) + AX(t)] AX(t) X X(t) +

x

X

=

tambien es normal al plano osculador. (b) Hagase Y (x, z) y funciones de y que satis�acen

= y, t A

X(t) = (�(t), �(t), y(t) ). Por lo tanto, x y

y

son ·

X

= �(t) + M:(t) y = �(t) + A�(t). Usese u(x,

y) = y(t) + :r.y(t)

p�ua calcular Uzz , Uyy, y Uxy en terminos de l as derivadas con respecto a t y A. Derivese Y con respecto a x para obtener +

= X(t) AX(t) Yz = (l,O,uz) = (X + AX)tz + Xsx.

(.A. = s)

940

Introduccion al calculo F6rmese X X para obtener

y

al analisis matematico

Yx e igualense las componentes en las direcciones x y

z

�Ux = Stx(fj, y), � = - Stx(a., fj),

donde (u , v) se define por medio de (u, v)

Por lo tanto,

=

uU

X - -((fj, y)fj) , tX -- - S(!X,� fj) •

u -

a.

,

De modo semejante, de X

X

Y11 se obtiene

- (y, a.) fj) '

Uy - - (cc,

N6tese que

- vii.

a

t y - s(cc,-�) ·

Ux y Uy no dependen de "A. En consecuencia, Uxx = txddt Ux = s(cc�, '(J) dtd ((cc,�. y)'(J) a d d ( y) Uyy = ty(cc, �) dt -� ( fj) dt Uy = s-cc,

cc ,

y

Uxy = tydtd Ux = - s(cc,a �) dtd ((fj, yfj)) L d (cc , y) ' = tx!!__Uy = dt s(cc, �) dt (cc, �) _

cc,

_

a partir de lo cual el resultado es inmediato.

Ejercicios 3. l a (p . 264) 1 . Hagase Y n +l Y n + cf (a, Y n), donde c es constante, y apllquense los metodos del Volumen I , Secciones 6 . 3c y d, con cp(y) y + c{(a, y) . Para garantizar Ia convergenci a , se requiere que I cp I � q < 1 sobre alg(in intervalo que contenga a b , y cuanto menor sea q tanto mejor. Como consecuencia , se procura fijar c de modo que sea aproximadam<"nte cero, es decir,

=

'

(y)

=

ql(y)

c :::::; -

1 . lu(a, b) ---

Asi, se empieza con Ia suposici6n de que {y(a, b) * 0.

En Ia practica, se elige c - 1/fy(a, yo) , donde yo esta proximo a Ia so­ luci6n buscada b . Entonces la condici6n para la convergencia queda

{

=

l

! cp'(y) I = fy(a, yo) - fy(a , y) � q {y(a, yo)

< 1

Soluciones

941

para toda y en alguna vecindad de b . Sup6ngase que {y satisface · una condici6n de Lipschitz l fy(a, 'Y)2) - {y(a, 'Y) I) I < K I 'Y)2 - 'Yll l

e:

en alguna vecindad de b . Dentro de est a vecindad, sea el radio de al­ guna otra vecindad, tal vez menor, donde a{/ay esta acotada fuera de 0 , {y(a, y) > m > 0 ;

esa vecindad existe, e n virtud d e I a condici6n d e Lipschitz, Si se elige inicialmente un valor de y0 que satisfaga I Yo - b l < max

{e:, r;J.

y

{y{a, b)

=1=-

0.

el esquema de iteraci6n converge bacia b a traves de

Ejercicios 3 . 1 b (p . ·26 6) 1 . (a) El plano tangente es horizontal. La superficie intersecta al plano tan­ gente en Ia pareja de rectas y = x y y = -x ; de aqul que y no pueda expresarse como una funcion de x en Ia vecindad de (xo, yo). j. (b) La superficie es un cilindro con genera trices paralelas al vector i Por tanto, Ia recta y = 1 - x , z = 0 esta sobre Ia superficie y propor­ ciona Ia soluci6n deseada y = x. j. La (c) La superficie es un cilindro con generatrices paralelas a i soluci6n es y = 1/2 - x. (d) El plano tangente y + z = 0 no es horizontal. Por lo tanto, Ia curva O es tangente a Ia recta y = 0 en el origen . f(x, y) -

1

-

-

=

Ejercicios 3 . l c (p . 270) 1 . Restando de ambos miembros la constante de la derecha , puede ponerse carla una de estas ecuaciones en la forma F(x, y) = 0. Se satisfacen las condiciones del teorema . En particular, cada punto dado es una solu�i6n 0 ; y Fy(xo, yo) tiene valores diferentes de cero, a saber, inicial F(xo, yo) (a) 4, (b) - 1, (c) 2, (d) 6 .

=

(b) Explkuamente, y

= rt/2x ; de donde, y' = -rt/2x2 • Impllcitamente, rt , cot xy - xy ; -2 Y = x2 ·

942

Introduccion al calculo

y

a l analisis matematico

y = 1/x; de aqul que y' = -1/x2 . lmplkitamente, y' = -y/x ; -1. + 5x4 . (d) y' = Y - 1. X + 5y4 ' + y2) -42 3. (a) y'' = -6(x(x2 ++ xy 2y)3 = (x + 2y)3 '. - 2132 · (b) y" = 1t ; X3 2 (c) y" = Y = _! · 2 . x2 x3 ' (d) " 6 + y6) + Bxy - 30] . _19· Y _ [150 x3y3(10 - xy)(x++20(x ' 3 5y4)3 (c) Explkitamente,

i't.

=

4. Por el signo positivo de sus segundas derivadas, b y c. 5 . Sup6ngase que la ecuaci6n define a y como una funci6n diferenciable de x en una vecindad de cada valor extremo. Entonces, en un extremo, Maximo, y mlnimo,

= 6; y = -6. (x, y) = 0. x 6. Hagase F (x, y) = y - Yo - J {y(�, y)d� y observese que xo x Fy(X, y) = 1 - J {y(�, y)d� > 0 xo para lo suficientemente proximo a xo.

Fx

x

Ejercicios 3 . l d (p . 27 3)

(0, 0). f(x, y) y3 x y) = (3y2 - 2y 1) x2

l. = + cerca de 2 . La misma que para el Ejercicio l . 3 . Como Fy(X, es la suma de una expres10n + + cuadratica positiva en y y un c uadrado , se deduce que > para cada x y toda y. En consecuencia, para cada x, es estric­ tamente creciente en y . Por lo tanto, no puede tener mas que una soluci6n , y, correspondiente a cada x fija . Esa soluci6n debe existir + toma valores arbi­ porque, para cada + trariamente grandes de ambos signos, positivos y negativos, para valores apropiados de y. Por el teorema del valor intermedio, se concluye que tom a todos los valores reales. En particular, para algiin valor de de aqw que, para cada x y este valor de y, F(x,

F(x, y) = 0 x, y3 - y2 (1 x2)Y = G(x, y)

Fy(X, y) 0 F(x, y)

G(x,y) y, G(x, y) = ifJ(x); y) = G(x, y) - ifJ(x) = 0.

Ejercicios 3 . l e (p. 276) 1. Hagase

=

=I=

F(x, y, z) = x + y + z - sen xyz. Fz(O, 0, 0) 1 0. oz yz cos xyz -1 oz _ xz cos xyz -1 ox 1 -xy cos xyz ' fiY - 1 -xy cos xyz ·

943

Soluciones

2 . Dado que cada ecuacion puede ponerse en Ia .forma F(z, x, y, . . . ) = 0, donde F se forma por medio de operaciones racionales y Ia aplicacion de funciones continuamente diferenciables de una variable, solo se requiere prob ar que Ia derivada Fz en el punto es diferente de cero.

1

(a) Fz = (b) Fz = -6 (c) ParaF(x, y, z) = + x + y - cosh(x + z) - sen h(y + z), Fz = x + y + z + xyz3, {z (O, 0, 0) = =f=. 0 . Los terminos de 3 . Para f(x, y, z) segundo a cuarto orden se anulan; z = - x - y + • • • .

=

1

1.

1

Ejercicios 3 .2a (p . 2 81 ) 1 . (a) La ecuacion solo es satisfecha por el punto (0, 0); la tangente normal no existen.

y

la

(h) (� - x) [ex sen y - eY sen x] + (lJ - y) [ex cos y + eY cos x] = 0 ; (lJ - x) [ex cos y + eY cos x] - (lJ - y) [ex sen y - eY sen x] = 0. (c) La ecuacion solo es sa tisfecha por los puntos ( gente y Ia normal no existen.

-1, rr:/2

+

2krr:) ; Ia tan­

(� - x) (2x + cos x) + (lJ - y) (2y - 1), = 0 ; (� - x) (2y - 1) - (lJ - y) (2x cos x) = 0. (e) (� x) (3x2) + (lJ - y) (4y3 - senh y) = 0 ; (� - x) (4y3 - sen h y) - (lJ - y) (3x2) = 0.

(d)

+

--

(f) La ecuacion solo es satisfecha sobre los ejes positivos x y y . Para x = O, y > 0 , Ia tangente es x = 0, y Ia normal l) = y ; para y = 0, x > 0, Ia tangente es y = 0, y Ia normal, = x .

�

2. - 1 . 3 . Del Volumen I , p . 437 , Problema 5 de 4 . lh, k=

r2 + 2r'2 - rr" (r2 + r'2)a1 2 '

donde los apostrofos indican las derivadas con respecto a 6 . Introduzcanse las expresiones para r' y r" en terminos de las derivadas parciales de f, en la formula para k, para obtener k=

r2{r3 + r({r2{aa - 2fa{r{ra + {a2{rr) + 2{a2{r (fa 2 + r2f2)3 12

·

4 . Observese que Fxx = Fyy = 6(x + y - a) = 0 , cuando x + y = a. Apli­ quese ( 1 3) : Fy2Fxx - 2FxFyFxy + Fx2 Fyy = -54axy Fxy = Q,

puesto que xy = 0 en una interseccion. 5. a = b = -!-.

±1,

944

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

6. Los circulos K, K', K" pueden denotarse por las ecuaciones

x2 + y2 + ax + by + c = 0, K' = x2 + y2 + a'x + b y + c' = 0, 0. K'' = x2 + y 2 + a"x + b"y + c" K=

'

=

+

).K" Entonces cualquier drculo que pasa por A y B esta dado por K' = Las condiciones para que el circulo K sea ortogonal a K' y K" son = Partiendo de estas aa' + bb' - 2( = bb" - 2(c condiciones se llega facilmente a la relaci6n correspondiente que expresa A.K" la ortogonalidad de K y K'

0.

+ c") 0.

c + c') 0, aa" + +

Ejercicios 3 . 2b (p . 2 83 ) 1 . ( a ) Punto doble (b) Dos ram as tangentes al eje x (c) Un vertice : para X = o+ la pendiente es 0, para X = o- la pendiente es 1 (d) Cuspide (e) Cuspide. 2. Los ejes coordenados. 3. y = L as dos ram as de la curva que forman Ia cusp ide en el ± origen estan del mismo lado de su tangente comun. 4 . Las curvas se obtienen haciendo girar a la curva b)3 el angulo

x2(1 x112).

(x -

CL .

5 . Derivese l a ecuaci6n F = de que Fy = 0. cp

0 dos veces con respecto

= arc tan

de donde (a) Tt/2 ; (b) 1t/2.

a x

=

cy2

y apliquese e l hecho

2 ../Fxy2 - FxxFyy . ' Fxx Fyy

+

0 y ax + by = 0. En cada at + 21 Yo11X2 + · · · .

6. N6tese que las tangentes en el origen son y = caso desarrollese y hast a el segundo orden :

y

= 2-1 yo" x2 + · · ·

y

Y=

-

/

Introdfucanse estas expresiones en la ecuaci6n original para obtener yo" .

Ejercicios 3 . 2c (p . 286)

1 . (a) (b) (c)

5x + 7y - 2lz + 9 = 0 20x + 13y + 3z = 36 x y Tt/6 = -

- z +

0

Soluciones

945

(d) x + 2z - 2 = 0 (e) La superficie no tiene plano tangente en el punto. (f) z = 0. constante . Los vectores 2. Carla ecuacion esta en Ia forma F(x, y, z) F11, Fz) perpendiculares a las superficies respectivas estan dados por

(�

) ( X

� _ xy z ' z' z2 '

(

=

y

..;x2 + z2 ' ..;y2 + z2 '

x Y .Jx2 + z2 ' ../y2 + z2 ' ../x2

:

Z

..;x2 + z2 z2

-

Z

+

(Fx,

)•

..;y2 + z2

)

z _ . ../y2 + z2

El producto cs-:: alar de dos cualesquiera de estos vectores se anula.

= ay. 4. Como esta es una superficie de revolucion, puede suponerse y 0. Sea (a, 0, c) un punto de Ia superficie, es decir, a 2 - c2 = 1. El plano tangente en el punto es ax - cz = 1. L as rectas de interseccion son (z - c)c = (x ­ a)a = ±acy . 5 . Por Ia relacion de Euler, Ia ecuacion 3. x (y + z)

=

(� - x)Fx + (YJ

- y)F11 + (� - z)Fz = 0

para el plano tangente puede ponerse en Ia forma

�Fx + YJF11 + �Fz = xFx + yF11 + zFz = hF(x, xz - y2 - x2 = z-6. Zx = yz --z2 , Zy . 2 - xy xy --

7.

(a)

(b)

y, z) ::::: h . .

�-

0

arc cos 1/../6 (c) arc cos 4/5 (d) rr/2 (e) No esta definido .

Ejercicios 3 .3a (p. 292)

= e2x las rectas que pasan por � sen Y - YJ cos y 2�x , YJ = ../y2 + 2�y. (b) Los arcos parabolicos YJ = ..;x2 2 (c) YJ = cos x(l + 1/ � ), YJ = cos y(1 + �2) . YJ = �2 - 2�y + 3x + (d) L as parabolas � = YJ 2 - 2YJ(x2 + 1) + x4 y4 + y + l

1. (a) Los circulos �2 + YJ 2

= 0.

;

-

(e) �

.

= x l lx , YJ = y!; 1 1Y . '�'�

+

1,

(f) Las rectas � = constante, YJ = constante (YJ � 1). (g) Los arcos elipticos �2 - 2�YJ sen 2x + YJ 2 = cos2 2x, �2 - 2�YJ sen 2x + YJ 2 = cos2 2y . (h) Los segmentos � = ecos x , (e- 1 � YJ � e), YJ = ecos Y, (e- 1 � � � e) . 2 . La ecuacion solo admite los valores x = y = O. Por lo tanto, Ia region es el plano. Su imagen es el primer cuadrante abierto en el plano �. YJ·

946

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

;2 + 1)2

�2 + 1)2

= 8, 3. La region limitada por los dos drculos = 32 y las = 2, = 6. hiperbolas 4. No. El origen del plano es Ia imagen de cualquier punto (0,

�2 - 1)2

;2 - 1)2 ; 1)·

y).

,

Ejercicios 3 .3b (p . 295) 1.

Para esto solo se requiere demostrar que en un punto dado con coor­ denadas cartesianas (a, b) las curvas ; = � . 1J = �. donde � = ( sen b)f(a = �. 1 ) y � = a tan b, tienen direcciones diferentes. Para

�

dx _- (a - 1) cos b '. sen b dy -a dx ----,--b sen b dy = cos2

para 1J = �.

·

Por lo tanto, las coordenadas curvilineas estan definidas para todos los puntos, excepto aquellos que satisfacen cos3 b = - a).

2 . (; - 1) 213 + 1)2(; - 1) -2/3 = 1.

a/(1

3 . Como en Ia solucion del Ejercicio 1 , aquellos puntos con coordenadas cartesianas (a, b) para los cuales las curvas ; = � y 1J = � tienen la misma direccion; en este caso, los puntos sobre las rectas a 45° , b = ± a.

Ejercicios 3 .3c (p . 298 ) 1.

Usese

;2 + 1)2 + �2 = (x2 + y2 + z2)-I para obtener � 1) ; X= ;2 + 1)2 + �2 ' y - �2 + 1)2 + �2 ' z = ;2 + 1)-2 + �2 2. = ..;x2 + y2 + z2 + w2 ..; 2 + y2 + z2 l.jJ = arc tan ..; y2 + z2 ¢> = arc tan x W X 6 = arc tan z/y. A qui , = constante es una esfera tres de radio

•

r

- ------� ,

r con cen­ r tro en el origen ; ¢> = constante es el hipercono generado por todas las rectas que pasan por 0 formando el angulo tfi con el eje w ; el conjunto l.jJ = constante es Ia :union de todos los pianos que pasan por el eje w y que se conan con el eje x formando con el un angulo l.jl. El conjunto e = cons­ tante es Ia union de todos los espacios tres que contienen a los ejes x y w y que se cortan con el eje y formando el angulo e con el.

Ejercicios 3 .3d (p . 302 )

1. (a) ad - be

(d)

1 x2 + y2

Soluciones (b) 1/Jx2 + y2

(e) - 3x2y2 (f) 9x2y2

(c) 4xy

2.

947

+ 1.

todos los puntos; si Si be = 0, be =1= 0 , ninguno. (b) Ni�guno. (La transformaci6n no esta definida para x = y = 0.) (c) Los ejes coordenados. (d) Ninguno. Empero, n6tese que no existe inversa general, porque todos los puntos ( x, y + 2nTC) tienen la misma imagen.

·ad -

ad -

(e) Los ejes coordenados. (f) Ninguno.

3. (a) D = e2x ; XI; = y11 = �/(�2 + YJ2) ; x11 = - y�; = YJ/(�2 + YJ2) ; X!;!; = y�;11 = - x..,.., = (�2

_

YJ2)f(�2 + YJ2)2 ; y�;�; = - X!;n =

_

Ynn = - 2�YJ/(�2 + YJ2)2

r = -/�2 + YJ 2, 6 = arc tan YJ/� ; x�; = Yn =

(b) D = 4(x2 + y2) ; con

!Jr cos ! 6 ; y�; = - xn = - ! Jr sen ! 6 ; x�;� = Y!;n = -xnn = - 1 r3 12 cos 36/2 ; y�;�; = - x�;11 = -y1111 = l r312 sen 36/2.

(c) D = 2 sen (x - y)/cos2(x + y).

XI; = y�; = 1/2(1 + �2) ;

1 /2 -/1 -YJ2 ; X!;!; = y�;�; = - �/(1 + �2)2 ; X!;n = Y!;n = 0 ; Xnn YJ/2(1 - YJ2)3 1 2 .

Xn = Yn =

:=::;

- Ynn =

(d) D = cosh(x + y) ; x�; = (coshy)/D ; x11 = -( sen hy)/D ;y�; = ( sen.hx)/D; y.., = (cosh x)/D. x�;�; = - [cosh2y sen h(x + y) + senh2 x]/D3 ; x�;11 = ! [ sen.h 2y sen.h(x + y) - senh 2x]fD3 ; x1111 = - [ sen h2y sen (x + y) + cosh2x]/D3 ;

= [cosh2y - sen.h2 x sen h(x + y)]/D3 ; y�;11 = - l [senh 2y + sen h 2x sen.h(x y)]/D3 ; y1111 = [sen h2y - cosh2 x senh(x + y)]/D3. (e) D = 6x3y - 3y4• x�; = 2x/3(2x3 - y3) y�;,�;

+

x11 = -y/(2x3 - y3), y�; = -y/3(2x3 - y3) ;

y11 = x2/y(2x3 - y3).

X!;!; = - ix(sxa + 5y3)/(2xa - y3)3 ;

X!;r1 = 2y(7x3 + y3)/3(2X3 - y3)3 ; Xnn = - 2x2(x3 + 4y3)/y(2xa - y3)3 ; y�;�; = 2y(7xa + y3)/3(2xa - y3)3 y�;11 = - 2x2(x3 + 4y3)/3y(2xa - y3)3 y1111 = 2x(y6 + 3xaya

_

x6)fy3(2xa

_

ya)a._

(a,

4. (a) Sean m1 y m2 las pendientes de dos curvas que pasan por el punto b) del plano x, y. Sean ILl y !l-2 las pendientes correspondientes en el punto correspondiente del plano � ' YJ . Usese

948

Introduccion al calculo !1.

y

al analisis matematico

(iJYJfox) + m(o1lfoy) m(a2 - b2) - 2ab = dYJd� = dYJ/dx d�/dx = (a�;ax) + m(o�foy) -_ b2 - a2 - 2mab

para obtener

1 + !1.1!1.2 - 1 + m1m2 · !1.2 - !1.1

_

m1 - m2

Por lo tanto, el {mgulo entre las dos curvas se conserva en magnitud pero se invierte en signo. (b) Observese que 2 + YJ 2 + y2). Expresese el drculo - a)2 + (y r 2 - a2 - b2 . Este se + - b)2 � r 2 en la forma transforma en la curva

= 1/(x2 2 x2 y - 2ax - 2by =

�

(x

1 2 2-� �2 +_YJ2 _ �� �2 + YJ2 -- r2 _ a2 _ b2 ' + YJ __

o sea ,

�. YJ ,

Este es un drculo en el plano a menos que el drculo original pase por el origen ; en este ultimo caso r2 - a 2 - b2 0 y la imagen es una recta. ( c) + y2 ) 2 . 5 . Por la solucion del Ejercicio 4(b) , una inversion transforma P1P2P3 en un tri{mgulo ordinario con los mismos angulos. 6. Sean m1, m2 las pendientes de dos curvas que pasan por el punto (a, b) y {1.1, y !1.2 las pendientes correspondientes de sus imagenes. De

=

-1/(x2

se deduce que

d-v fdx = �x + m�y = �x + m�y ' {1. = du/dx ifJ x + mifJy �Y - m�.c !1.2 - !1.1 _ m2 - m1

1 + !1.2!1.1 - 1 + m1m2 ·

7 . La normal esta dada por

- Y = u - z. � - X = YJ-Uy Ux --

Esta normal pasa por el eje z si y solo si 0. La superficie es donde + Por tanto , las cur­ de revolucion si y solo si vas constante y constante son las mismas y la aplicacion -­ debe tener un jacobiano nulo, es decir,

z= (w, z)

w=

z = f(w)

xuy - yux = w = x2 y2•

d(w,z) = 2 1 x Y 1 -- 0. d(� � Ux Uy

(x, y)

8. (a) Tanto si t < b (elipse) como si b < t < a (hiperbola) , los focos son (0, ± c), donde c

= J - b. a

Soluciones

·

949

(b) Si se denota el primer miembro de la ecuaci6n que define a h y t2 por F (x , y, t) , las dos curvas h = constante y t2 = constante estfm dadas implicitament� por las ecuaciones F (x y, tt) = 1 y F(x, y, t2) = l, respectivamente. Por lo tanto, la condici6n para que estas sean ortogonales es

,

0 = Fx(X,

y, h ) Fx(X, y, t2) + Fy(X, y, h) Fy(X , y, h) 4y2 · 4x2 = · -- -------·-·····-(a --·----- -h) (a - t2) + (b - h) (b -· t2--) ; relaci6n es una consecuencia inmediata de F (x , y, h) - F(x,

--

-

pero esta y, h) = 0. (c) Los coeficientes de la ecuaci6n cuadratica que define a h y t2 son iguales a h. t2, y - (h + t2 ) , respectivamente . Asi se obtienen dos ecuaciones lineales en x2 y y2 , de las cuales (d)

(e)

...:.. x = ± J
9 . (a)a Sea F(t) el primer miembro de la ecuaci6n que define a t. F es una funci6n continua de t en - oo < t < c, ' para la cual F( - oo) = O, F (c ­ O) = + oo ; de donde F = 1 al menos en un pun to de ese intervalo. Conclusiones semejantes son validas para los otros intervalos. (b) Ver el Ejercicio 8(b).

.

. .

(c) Ver el Ejerc 1c1o 8(c).

x = ± J
c on formulas semejantes para y y z.

10. (a) Apliquese el resultado del Ejercicio 6 . (b) Sea x = r cos fl , y = r sen e. Entonces l a recta 0 = constante s e trans· forma en la c6nica h = ! - cos2 0 , y el circulo r = constante, en la conic a t2 = t [r2 + (1/ r2)]. 1 1 . (b) Usese (24d) como sigue

-

- �y ) X�;n - �a ( D - Xn�; - a:;ja { DlJy ) ' _

_

_

o apliquese el resultado de la parte (a).

Ejercicios 3 . 3e (p. 307) 1. (a) 1.

(c)

exp[2x/(x2 + y2)] (x2 + y2) 2

950

Introduccion al calculo

y

2 . (a) , (c) . En la parte (b), uo =

al analisis matematico vo

formacion compuesta . 3 . Apliquese ( 3 l b) . 4 . L a transformacion i nversa

X=

=

1

no esta en el recorrido de la trans·

p(�, lJ), y q(�, "YJ) =

existe. El primer resultado se obtiene formando la composicion de la aplicacion dad a con

z = f(p(�), q("YJ)) = ex(�, lJ) 'Y) = l) = (3(�. "YJ), de donde

d(z, "YJ) d(z, "YJ) d(x, y) = d(z. Yl)/d(x, y) · d(�. "YJ) d(x,y) d(�. "YJ) d(�. Yl)/d(x, y) _

-

Pero

Ejercicios 3.3£ (p. 3 1 4) 1 . (a) , (b) . En la parte (c) , los valores dados no satisfacen las ecuaciones.

Ejercicios 3 . 3g (p . 3 2 1 ) 1 . Con w =

v

- 1,

X2 = 1 +

21 (u + w) + 81 (u2 - 2uw - w2),

1 1 Y2 = 1 - 2 (u - w) + 8 (u2 + 2uw - w2).

2. Los mismos.

Ejercicios 3 . 3h (p . 323)

1.

� = x2 + xI xI

,

Yl

=

y.

2 . Si las funciones son dependientes, Ejercicios 3 .3i (p. 325) 1. (a) -e3x cos (b) 0.

y

o(�, "YJ)/ii(x, y) = a(3 - bcx = 0.

[y� y 2 x z cosh y y log

(c) -

- x2

senh

-

cosh

--

Soluciones - (cosh ·

z.

z)yz-1 senh xJ .

(d) sen (e) 2. Existe una region sobre Ia cual alguna funcion de 1), = 0. condicion para que esto suceda es 1) , 3 . La terna del Ejercicio l (b) es dependiente :

x.

a(�, �)fa(x, y, z) �'

1) , �) 4. aa(�, (x,y,z)

1

=

1

1

2x 2y 2z y+z x+z y+x

=

0;

951

�

se anula. La

�2 - 1) - 2� = 0.

5 . (a) Ya que el angulo entre dos superficies es el angulo entre sus normales, solo se necesita demostrar que el angulo entre dos direcciones cuales­ quiera no cambia. Sea s la longitud de arco sobre cualquier curva en t el espacio y = (x, y, z) = X el vector tangente unitario, donde los puntos denotan Ia derivacion con respecto a s. La direccion

x, y, z�

de

t

se transforma en la direccion de

-r = (�2 ����1)t2) 112 = Y/ I Y 1 .

La direccion imagen t esta dada en terminos de _

't -

t

_

2(t • X)X

ty

X por

I X I 2•

De aqui facilmente se deduce que el coseno del angulo entre dos = curvas que se cortan en X esta dado por -rt • b. (b) Se deduce en la misma" forma que la solucion del Ejercicio 4(b) , p.

-r2 t1

(c)

•

30 3 . -

1/(x2 + y2 + z2)3.

Ejercicios 3.4a (p. 335)

ds2 = sen 2 v du2 + dv2 (b) ds2 = cosh2 v du2 + (1 + 2 sen h2 v)dv2 (c) ds2 = (1 + {'2)dz2 + f2 d62 (h - h) (h - ta) (t2 - h) (t2 - ta) (d) ds2 = 4(a - h) (b - h) (c - h) dh2 + 4(a - t2) (b - t2) (c - t2) dt22. 2. E = G = cosh2 (tfa), F = 0. · 3. Xu = (cos v, sen v, rx) ; Xv � ( - u sen v, u cos v, O) ; de aqll;i que Xu • Xv = O. 4. ds2 = (1 + zx2)dx2 + 2zxZy dx dy + (1 + Zy)2 dy2• Yu Zu 1 2 + z Xu + I Xu Yu 1 2 ; 6sese la 5. EG pz = I Yv Zv .I Zv Xv I I Xv Yv 1. (a)

-

•.-

�

formula de transformacion para los jacobianos.

Introduccion al calculo

952 6.

y

al analisis matematico

I ntroduzcanse coordenadas x, y, tales que P se convierta en el origen; el plano tangente en P, en el plano x, y y t, en el eje x. Entonces Ia ecuacion de S toma Ia forma = f(x, y), donde {(0, 0) = fx(O, 0) = 0. Un plano , I: que pasa por t esta dado por Ia ecuacion = oty. Intro­ duzcanse ahora = y x como coordenadas en I: ; entonces Ia in­ terseccion de I: y S esta dada implicitamente por Ia ecuacion

z

z

z

r .Jy2-+ z2 rot { r } .J 1 + ot2 = f X, .J 1 + ot2 •

Por lo tanto , Ia curvatura de Ia curva de interseccion, en el punto = 0 , esta dada (ver Ia p . 278 ) por

r

k - t v'i� ot -

XX

x = 0,

•

Por tanto , el centro de curvatura de esta secci6n tiene las coordenadas

ot 1 X = O, Y = k v'l-+ ot2 = {xx(1 + ot2) ' Z =

es decir, esta sobre el drculo

fxx( Y2

k .J1 + ot2 = {xx(1 + ot2) ; ot

+ z2) - z = o.

ot2

x, y .

7 . Tomese el plano tangente en P como el plano

Entonces la ecuaci6n

z =r f(x, y). Un plano normal esta dado por Ia v'x2 + y2 como coordenadas en el

de S puede tomarse como ecuacion x = y . Tomense plano ; entonces

ot

z

=f

y z

=

{

otr

r

}

v'1 + ot2 ' v'1 + ot2 '

r = 0 es k = {xx(O, 0) 1 +ot2 ot2 + 2{xy(0, 0) 1 +ot ot2 + {yy(O, 0) 1 +1 ot2 ; el punto final del vector de longitud 1/ v'k a lo largo de Ia recta entonces las coordenadas ot 1 1 1 X = .J 1 + ot2 .Jk ' y = .J 1 + ot2 .Jk ' z = O ; es decir, esta sobre I a c6nica X2{xx + 2xyfxy + y2{yy = 1. y su

curvatura en

8. (a) Derivando las dos ecuaciones con respecto curva se obtiene

t

tiene

a un parametro t de la

xx' + yy' + zz' = 0, axx' + byy' + czz' = 0.

A partir de estas relaciones se puede encontrar la raz6n x' :y' : z ' , es decir, Ia direccion de la tangente . Si (�, 7), �) son coordenadas des­ lizantes, las ecuaciones de la tangente son

Soluciones (�

- x) : ('YJ - y) : (� - z) = c -X b : a -y c : b -Z a --

·-

--

953

.

(b) Derivando las ecuaciones de la curva por segunda vez y aplicando el resultado de (a) , se obtiene

xx" + yy" + zz" = -(x'2 + y'2 + z'2) (c b)2 + � - c)2 + (b - a)2 } = A{ x2 . y2 z2 y axx" + byy" + czz" = A{l a(c x-2 b)2 + b(ay2- c)2 + c(b z2- a)2 } ' _.

donde

A

es un factor de proporcionalidad. Eliminando A se tiene

(xx" + yy" + zz") { a(c -x2 b)2 + b(a y-2 c)2 + c(b -z2 a)2 } 2 2 = (axx" + byy" + czz ") { (c - b) . + (a - c) + ( b a)2 } . x2 z2 y2 Est a ecuaci6n lineal en x", y", z" sigue siendo valid a si se sustituyen y', i' por x", z". Por consiguiente, tambien se satisface si se remplazan x", y", z" por comhinaciones lineales AX'. + 11-x", AY' + !LY" , AZ' + 11-z" , 'respectivamente. Ahora bien, si (� , �) esta en el plano, � - x, - y, � - z son precisamente esas combinaciones lineales (ver ·-

" y ,

x',

1J ,

'1J

el Ejercicio 6 , p. 2 5 9 ) . Asi s e encueptra .que l a ecuaci6n del plano osculador es

cz3 by3 ax3 c - b (� - x) + a - c ('YJ - y) + b - a (� - z) = 0. --

--

--

9 . T6mese 6 como parametro para ambas curvas. Entonces, con u = 6, v G = a2 = t/J, hagase du/dt = dvfd-r = dv/dt = dv/d� = E= sen26 en (48). Las tangentes a las curvas estan dadas en terminos de los vectores coordenados i, j, k por

1,

y IX12

=

-1,

X = Xg ± X� = a(cos 6 cos t/J ± sen 6 sen tfo) i

a2(1

+a(cos 6 sen tfo + sen 6 cos tfo) j + sen 26) en ambos casos

X = 2 ± cos 6 sen tfo - sen 6 cos tfo) i

1,

a sen 6 k,

a( a(+ cos 6 cos tfo - sen 6 sen tfo)j __:. a cos 6

+2

k.

Apllquese la formula de la Seccion 2 . 5 , Ejercicio 8.

a2,

954

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

Ejercicios 3.4b ( p . 338)

u u r u r x r2 26, y r2 26;

1 . La aplicacion es conforme en todo punto, excepto en = v = 0. porque se satisfacen la� ecuaciones de Cauchy- Riemann. En el origen todas las primeras deriva,d as se anulan. En coordenadas polares, = cos e, = = sen e , Ia aplicaci6n se convierte en cos = por lo sen tanto, en el origen todos los angulos se duplican. 2 . Siempre que este definida; es decir, en todo punto excepto sobre la recta = 0. = .YlJ, 3 . Verifiquense las ecuaciones de Cauchy-Riemann, con P =

u

X'Yl

x� - q

+ y�,

p

a = x a� + � ax _ Y a"1l _ "1l ay au au au au au a"f) � � + Y a� + "1l ax = aqu =x au au au au a deduce que Xu Xu = Xv Xv = 4r4f(u2 + u2 + r2) 2 +

y • • 4 . (a) De (40f) se Xu • Xv = 0. Hagase E = G y F = 0 en (48) , para obtener el resul­ tado que se desea. (b) Un circulo sobre la esfera es la intersecci6n de esta con un plano, digamos , el plano P. Si P pasa por el polo norte, la proyecci6n es­ tereografica transforma el drculo en la recta de intersecci6n de P con el plano Con mas generalidad, si P tiene la ecuaci6n = d, entonces, por (40f) ,

x, y ax + by + (c d) (u2 + u2) + 2ar2u + 2br2u = r2(cr + d), la cual es la ecuaci6n de una recta si d. d y de un circulo si c

cz

-

=I=

c =

(c) De (40f) ,

u x ( 1 - �) u = ( 1 - �). ;

=

y

L a reflexi6n en �1 plano ecuatorial proporciona la transformaci6n "1)), donde

u)-+ (�,

"f)

(u,

x_ . _- __Y · � -- 1 + z/r 1 + z/r '

De (40f), sustituyendo

x

_

y z, se encuentra

que son las ecuaciones de la inversion con respecto a un circulo de radio r. (d) Del resultado de la parte (a), ds

+

2 - (u2 + 4ru24 r2)2 (du2 d v2) +

5 . El angulo dado por ( 48) debe satisfacer

•

Soluciones du/dt dufd-r + dvfdt dvfd-r

cos w = �������������==��� J[(dufd t)2 + (dvfdt)"'] [(du /d-r)2 + (d u/d-r) 2]

9 55

•

Tomando las parejas ortogonales de vectores (dufdt, dvfdt) = (0, 1) (du fd-r, dvfd-r) = (1, O) se encuentra F = 0. De modo semejante, la pareja (1, 1), (1, - 1) da E = G. Si E y G no son cero, las condiciones F= O

E = G,

son suficientes. 6. Por la solucion del Ejercicio 5 , se requiere que

E = sen 2� = �'2 = G.

Resolviendo la ecuacion �' = sen �' se obtiene v = log tan

1! 2

� = 2 arc tan ev .

0

Ejercicios 3 . 5a (p. 341 ) 1 . (a) Una familia de elipses semejantes con centro en el origen y con sus ejes paralelos a los ejes coordenados. (b) La familia de circulos tangentes al eje x, con centros sobre el eje y. (c) No es una familia . Cada valor de c da la misma curva: el circulo unitario x2 + y2 = 1 . 2 . Las esferas de radios iguales a 1 , con centros sobre la recta x=y- 1 =

� (z + -12).

Ejercicios 3.5b (p . 345) 1 . No. Por ejemplo, considerense las normales a una recta o a 2. Una envolvente satisface las ecuaciones parametricas x = - ljJ'(c), y = - cljJ'(c)

un:

circulo.

+ ljJ(c).

Si ljJ' tiene una inversa �' puede hacerse �(-x) = (ljJ')-1(-x) y usar c = �( -x) para obtener la ecuaci6n no parametrica y = xcp(-x)

de la cual

+ ljJ(�(- x)),

y' = �(-x) - x'�'(-x) - ljJ'(�(- x)) �'(-x)

= �(- x). Introduciendo c = �( -x) = y' en la ex:presi6n para tado deseado.

y, .

se obtiene el resul­

956

Introduccion al dilculo

y

al analisis matematico

Ejercicios 3 . 5c (p . 352) 1. (a) Eliminese t para obtener y = x tan oc -

�

2 2

x2(1 + tan2oc).

Sea c = tan oc el parametro de la familia:

(a) La envolvente tiene la ecuaci6n - vz - gxz 2g 2v2

Y-

(b) Para una x fija , dyfdc = x - cgx2fv2 y d2yfdc2 = - gx2fv2 < O. Como dy/dc = 0 sobre la envolvente, se concluye que para una x dada el punto sobre Ia envolvente es el blanco mas alto que puede alcanzarse. (c) Para (x, y) con y por debajo del maximo , Ia ecuaci6n cuadratica (oc) tiene dos soluciones para c. 2 . (a) La parabola y2 = 4x. (b) Las rectas x = ± 2y. (c) Las hiperbolas xy = ± ! . (d) Las rectas y = ±ax. 3. Sea Ia ecuaci6n de Ia curva dada parametricamente por x = if>(t), y = ljJ(t). La envolvente de la familia de drculos satisface

y

[x - if>(t)]2 + [y - ljJ(t))2 = p2

[x - if>(t)]if>'(t) + [y - ljJ(t)] ljJ'(t)

= 0.

Estas son precisamente las condiciones para que (x, y) este a la distancia p del pun to (if>(t), ljJ(()) , en una direcci6n normal . · L Puede introducirse t como un parametro sobre la curva, de modo que es­ ta queda dada por x = x(t), y = y(t), z = z(t) y la tangente en el punto con parametro t esta sobre los dos pianos que corresponden a t; esto da las relaciones ax' + by' + cz' = 0,

dx'

+

ey' + {z'

=

0.

Derivando las ecuaciones de las rectas con respecto a t se obtiene a'x + b'y + c'z

Entonces, con Ia relaci6n

= 0, d'x + e'y + f'z = 0.

ax + by + cz

= dx + ey + {z

se tienen tres ecuaciones homogeneas en x, y, z, y el determinante debe anularse. ) . (a) Las ecuaciones parametricas para C' , con t como parametro, estan definidas por medio de

Soluciones

957

�x + '1JY = 1, �x' + '1JY' = 0.

Tomando la derivada ordinaria, en la primera ecuaci6n, con respecto a t, se encuentra, en vista de la segunda ecuaci6n,

�'x + 1l'Y = 0.

b) (c)

(

Esta, en combinaci6:h con Ia prirhera , define la redproca polar de que , evidentemente , es la curva C.

�2(1 - a2) + '1) 2 (1 - b2) - 2ab�'1J + 2a� + 2b'1) = a 2�2 + b7'1l2 1.

C'

1.

=

6 . L a ecuaci6n d e la tangente genera dora es

x sen 6 + y cos 6 = a(6 sen 6 + cos 6 - 1). 7 . Si (x2 /a2) ± (y2 /b2) = 1 es Ia ecuaci6n de la c6nica , entonces (x2 + y2)2 = 4(a2x2 + b2y2) es Ia ecuaci6n de Ia envolvente. N6tese que si la c6nica es

una hi per bola rectangular, esta envolvente es una lemniscata ordinaria (x2 + y2)2 = 4a2(x2 y2). 8. (a) Si r esta dada parametricamente por la ecuaci6n vectorial X = (t), los puntos Y de la curva pedal · se definen por las condiciones

_

(Y -

X) • Y = 0,

Y

• X' = 0,

Un punto Z sobre el drculo debe satisfacer (Z - iX)2 = !X2 o bien, Entonces, para estar en Ia envolvente Z qebe Z2 - Z • X = 0. satisfacer z . X'= 0. Est as son las condiciones para que Z este sobre Ia curva pedal. (b ) Por Ia definicion original de curva pedal, una cardioide r = a (1 + cos 6), donde a es el radio del circulo y 6 es el azimut con respecto a Ia direcci6n que va de . 0 al centro. 9. Si Ia elipse tiene por ecuaci6n (x2fa2) + (y2 fb2) = 1, la envolvente es la elipse con ecuaci6n

Ejercicios 3 . 5d (p . 35 6) 1 . Estos son los elipsoides (.x2 /a2) + (y2 /b2) + (z2/c2) = 1 , con abc = k, donde k es un valor fijo. La envolvente es xyz = k2 13.jijj . 2. Estos son pianos con una distancia unitaria a 0. La envolvente, la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1.

a . (a) .;:x + .J.Y + .Jz = 1. (b) x2 13 + y2 13 + z2 13 = 1. 4 . Para Ia envolvente se tienen las dos ecuaciones

x cos t + y seri t + z = t - x sen t + y cos t = 1.

958

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

Estas dos ecuaciones dan una familia de rectas con parametro t; si existe una curva que tenga a estas rectas como tangentes, tambien debe satis­ facer las ecuaciones que se obtienen al derivar una vez mas. (a) r sen [z + -/r2 - 1 - 6] + 1 = 0. (b) La curva est a dada por z = 6 - rt/2, r = 1.

5. Sea p (x , y, z) un punto sobre Ia superficie tubular :E, y sea S Ia esfera de Ia familia que tiene al punto P en comun con :E. Entonces S y :E tienen el mismo plano tangente en P, es decir, los mismos valores de x, y , z, zx , Zy en ese punto . Por lo tanto , b asta con probar que la relaci6n es verdadera para cualquier esfera de radio unitario que tenga su centro en el plano x, y es decir, para u(x, y) = -/ 1 - (x - a) 2 - (y - b) 2. 6. Apliquese Ia inversion . Como 81, 82 , 83 pasan por el origen, se transfor­ man en pianos; entonces simplemente tiene que encontrarse Ia envolvente de las esferas que tocan a los tres pianos (es decir, cierto cono circular), la cual se reinvierte: (x2 + y2 + z2)2

-

2(x2 + y2 + z2) (x + y + z)

- 3(x2 + y2 + z2

-

2xy - 2xz - 2yz) = 0.

7 . (a) Si P describe la curva pedal, r' de r, construyase, con OP como diametro, un drculo en el plano perpendicular al plano de r ; la en­ volvente es Ia superficie generada por este drculo variable. (b) Ver las soluciones de la parte (a) y el Ejercicio 8(b) de Ia Secci6n 3 . 5c. 8. Esta es Ia familia ( x/a) + (y/b) + (zfc) = 1 , con abc = k . La envolvente se define por medio de estas ecuaciones junto con

lo cual da , con Ia primera ecuaci6n, xfa = yfb = z/c = ! , de donde xyz = k/27. 9. Tal plano debe contener a los vectores T1 = (a, 1, 0) , tangente en el pun­ to (a2, 2a, 0) de la primera parab ola, y T2 = (b, 0, 1) tangente en el punto (b 2 , 0, 2b) de la segunda. La condici6n de que las tangentes se cor­ tan da b = + a, con el punto de intersecci6n ( - a2, 0, 0). Usando T1 X T2 = (1, -a, - b) ·- como un vector normal al plano se obtiene la ecuaci6n de este en Ia forma x - a(y + z) + a 2 = 0, con a como parametro, y como envolvente resultan los cilindros parab6licos 4x = (y + z) 2•

Ejercicios 3 . 6a (p . 360) 1. (a) - sen v.

(b) (a3 + b3 + c3) (u - v) + 3abcv.

(c) 4uv.

Soluciones

959

Ejercicios 3 . 6b (p 362)

1. (a)

2xy dx dy. (b) (x4 - 4x2y2 + y4) dx dy . (c) (a2 + b 2) dx dy dz. 2 . Para oo = A dx + B dy + C dz, oo 2 = A 2 dx dx + B2 dy dy + C2 dz dz -

+ AB(dx dy + dy dx) + BC(dydz + dz dy)

+ CA(dz dx + dx dz) y es evidente que cada termino en oo 2 se anula. Alternativamente, como se sabe que para dos cualesquiera de esas formas oo1oo 2 = 00 2001, se concluye que oo 2 = - oo2 ; de donde, oo 2 = 0 . 3 . Apliquese el resultado del Ejercicio 2 . 4 . Reescribase el primer miembro en l a forma -

[(oo1 + ooa) + (oo2 + 00 4)) [(oo1 + ooa) - (oo 2 + 004))

y apliquese el resultado del Ejercicio 3 . 5.

Ll (L2La)

=

(Al dx + Bl dy + cl dz)

+ =

l I Al

B2 c2

1 �: �: 1 l Ba

Ca

+ Bl

II

dz dx +

I

Ca

C2

A 2 As

donde el coeficiente de dx dy dz Al mera linea del determinante A 2 A�

es el B1 B2 Ba

B2

Ba

C2

Ca

-

cl

_

(b) 2 dx dy (c) 0

(d) x (cos y - 1) sen z 2. Para

OOi

= At dx + Bt dy + Ct dz,

(i

=

I

J ll

dx dy

A2

Aa

B2

Ba

dx dy dz,

desarrollo en menores de la pri­ C1 C2 . Ca

x Y_ dx + __ dy x 2 + y2 x 2 + y2

(e) 0.

dy dz

1 ;: ;: 1 l+ I

Ejercicios 3 . 6c (p. 367) 1. (a)

l

1, 2),

960

Introduccioll al calculo

y

al analisis matematico

{( aanx� c2 + Bl aacx2 - aacx� B2 - c� aan2x ) ( aaycl A2 + cl aayA2 ·- aayA I c2 - AI � ) + ay ( aa aA2 )} an2 a n2 + Al Bl Al dx dy dz A2 - Bl az az az z {(ac1ay _ an1az ) A2 + ( aazA1 _ aac1x ) B2 = anl a A1 ) } + ( c2 dx dy dz ax ay ( aaz _ aayc2 ) n1 ( aac2 _ aaA1 ) + {A 1 n2 x z a 2 a 2 + C1 ( � - ! )1 dx dy dz

d(wlw2) =

+

- - --

+

= (dw1)w2 + W1(dc.u2).

3. Por el Ejercicio 2, si dw1 = dw2 = 0, entonces d(w1w2) = 0.

Ejercicios 3. 6d (p . 3 7 6 ) 1 . Considerando F(X) = f (p, ifJ, 6) = g (x, y, z ) como una funci6n d e un punto en el espacio, por la invariancia de la forma diferencial se sabe que

ag a a dF = dg = g dx + g dy + dz ax az oy = vF • dX a df r - -dp + a r d
(

)

a{ 1a 1 a vF • dX = - u + - �r v + -- -r w · dX , ap a<jJ p sen ifJ ae p

de donde

_ a{ 1 a{ 1 a rw vf - a u + p � v + . p p sen ifJ ae Ejercicios 3. 7b (p . 38 1 )

1 . (a) Sillas en y = 0 , x = rt/3 + 2nrt ; minimos e n y = 0 , x = - rt/3 + 2nrt. (b) Maximos en x = rt/4 + 2nrt, y = rt/ 4 + 2nrt, y x = 3rt/4 + 2nrt, y = 3rt/4 + 2nrt ; minimos en x = rt/4 + 2nrt, y = 3rt/4 + 2nrt, y

x = 3rt/4 + 2nrt, y = rt/4 + 2n7t.

(c) Sill a en x = 0, y = 1.

Soluciones

961

(d) No existen puntos estacionarios. (e) Silla en x = y = minimo para x = y = 2. Maximos para x = y = y = punto silla para x = 3. Minimo para x = y= 4. y = z = -�. 5. Minimos impropios sobre los planos x = 6 . Maximizar v = xy[100 + y)]. Volumen maximo para X = y = z= pulg a � pies 3• Vmax = X 7 . Hagase X = (x, y, z) y considerese que los n puntos son bt , Ct),donde i = 1, Con el fin de minimizar r:[(x - at ) 2 + (y - bi)2 + (z ct)2], hagase

0,

0. 0. 0, ±1; 1, 4, -1, 2. a/20, a/10, a/10. 0, 1, 2(x 4 50/3, 100/3; (25/27) 10 5.4 (ai, 2, . . . , n. 2r:(x - at) = 2r:(y - bt) = 2r:(z - ct) = 0. Por tanto, x = (1/n) r:at, y = (1/n) r:bt, z = (1/n) r:ci. La suma se mini· -

miza en el centro de gravedad de los

n

puntos.

Ejercicios 3.7c (p . 386) 1 . T6mese

F(x, y, z) = xyz + A[2(x + y) + z - 100] .

De

Fx = yz + 2A, Fy = zx + 2A, Fz = xy + A,

el extremo ocurre cuando

V = xyz = - 2Ax = -2Ay = -AZ.

2. 3.

2 100/3, 1/.{2, 1.

Por lo tanto, z = x = 2y. Introduciendo esto en la condici6n subsidiaria se obtiene z = x=y= como antes. X = Y = ! , Z = k. Z= X = -y =

50/3,

4. T6mese el centro de gravedad de los n puntos como el origen y sup6ngase que las coordenadas de los puntos son (ai, bi). Hagase X = (x, y) y sup6n­ gase que la recta esta dada por Ax + By = Aplicando el metodo de multiplicadores de Lagrange a

C.

se obtiene de donde

r:[(x - ai)2 + (y - bi)2] + (C - Ax - By),

2nx - AA = 2ny - AB = 0; A=

Por lo tanto,

2nC

A2 + Bz .

962

Introduccion al calculo y al analisis matematico

BC X = A 2AC + B2 ' y = A 2 + B2 ; es decir , X es el punto de Ia recta mas cercano al centro de gravedad. 5. Den6tese por S Ia curva {(x, y) = C y por S' Ia curva if>(x, y) = C' . S y S' tienen un punto de contacto en (a, b). En general, f(x, y) - C es positiva en uno de los lados de S y negativa en el otro, en alguna vecindad; algo semejante se tiene para if>(x, y) - c: y S'. Si, por ejemplo, { (a, b) es un maximo de J, entonces f(x, y) - C � 0 sobre S' , es decir, S' esta por completo en uno de los lados de S, y tambien S esta en uno de los lados de S'. Es decir, if>(x, y) - C' tiene un signo constante sobre S y, como es igual a 0 en (a, b), tiene un maximo, o bien, un minimo alii .

Ejercicios 3 . 7 e (p . 3 90) 1 . Para f y ¢>, suaves, el minimo c caracteriza a una superficie de nivel {(x, y, z) = c, tangente a Ia superficie if>(x, y, z) = 0. 2. Encuentrese un punto sobre Ia intersecci6n de los dos cilindros ¢>(x; y) = 0 y �(y, z) = 0, donde f(x, y, z) sea un extremo. Suponiendo que f es suave y que Ia intersecci6n es una curva suave, esto ocurre en donde una super­ fide de nivel de f toea a Ia curva .

Ejercicios 3 .7£ (p . 397) 1 . Encontrar los extremos de

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 + 'A(D - Ax - By - Cz) para obtener las condiciones

2(x - a) - 'AA = 2(y - b) - 'AB = 2(z - c) - "AC = 0, de donde

- aA - bB - cC) . 'A = 2(D A 2 + B 2 + C2 Esto da

- bB - cC) x - a + A(D A-2 aA + B2 + C2 _

y

'

Ia distancia minima, p, esta dada por

P

2. (4 +

v'5)/v'2,

aA - bB - cC I - ID v'A 2 + .I:J2 + C2 _

(4 - v'5)/v'2.

•

3. El valor maximo es el mismo que para la expresi6n sujeta a Ia condici6n subsidiaria ex2 + 2fxy + gy 2 = 1 .

ax2 + 2bxy + cy2

Soluciones

963

4 . Ver el Ejercicio 3 ,

(a) 14/3 + 2../ 67/3. (b) La funci6n tiene un maximo no estricto (p. 3 7 6 ) igual a 1 . 95, cuando y/x = 0.64 . 5 . Obviamente , la elipse toea al drculo; es decir , las dos ecuaciones deben dar una raiz doble en x. De aqui que la condici6n para el contacto sea a2 ( b2 - 1) = b4 ; a = 3/J2 , b = ../3/2 · 6 . (- 1/../ 1. 4 , - 2/ ../ 14, - 3/ ../ 14) . Este esta sobre la recta que une al punto dado con el centro. 7 . A = a2fx, B = b2fy, C = c2fz, junto con la condici6n subsidiaria (x2fa2) + (y2f b2) + (z2fc2) = 1 :

(a)

(b)

x = Ja2'?-t-a413 {/2.'3 +-�213

•

a3'2

·

X = 7�'--:+=-t+ -� '

8 . Los vertices estan dados por

X = ± a/../3 , y = ± b/J3. z = c/J3. X = a2/ Ja2 + b2 , y = b2/Ja2+ b2.

9. Los vertices estan dados por 1. 1 0 . X = 1, y 1 1 . El eje mas grande est a dado por el maximo de Jx2 + y2 + ,Z2, con la condici6n subsidiaria de que (x, y, z) este sobre el elipsoide. Por lo tanto, se tienen las tres ecuacionts •

=

·

X X , -'V X2 + y2 + Z2 = -1 = A(ax + dy + ez), . Multiplicando estas ecuaciones por (x, y, z) respectivamente, y sumando,

se tiene A = Jx2 + y 2 + Z2 = l. Por otra parte , pueden considerarse las ccuaciones como tres ecuaciones lineales homogeneas en x. y, z , cuyo determinante debe anularse . 1 2 . (a) De modo equivalente , maximizar a log x + b log y + c log z + :A(l - x" - y" - z").

Esto da :Ax" =

de donde

a b ).. k c z = A "= k' Y k ' k' _

A

_

_

= 1k (a +

o

b + c).

El maximo se alcanza cuando

a b y" - a + b + c' + b+ c' aa bb cc es igual a k (a + b + c)a+ b+ c

x" - a -

y

J

z" =

c a+ b+c

0

(b) H agase x" = uf(u + v + w), y" = vf(u + v + w), zk = wf(u + v + w) en

964

Introduccion al calculo

Xa

( ybzc) k

y

al analisis matematico

<

=

a a bb cc (a + b + c)a+b+c .

1 3 . Vease Ia demostracion semejante para los trifmgulos en la p . 380 . Existe un pun to minimo 0 . Demuestrese primero que si 0 no es uno de los ver­

tices, entonces solo puede ser el punto de interseccion de las diagonales. Apliquese el hecho de que los puntos finales de cuatro vectores unitarios cuyo vector suma es 0 forman un. rectangulo. Pruebese entonces que Ia suma de las distancias a los vertices es menor para el punto de intersec­ cion de las diagonales que para cualquiera de los vertices . 1 4 . Supongase que las parejas a, b y c, d son adyacentes. Sean ¢ y Y., los an­ gulos entre a y b y entre c y d, respectivamente. El problema es rna­ ximizar

A(¢>, Y.,) = 21(ab sen ¢ + cd sen Y.,)

sujeta a la condidon

f(ifJ , Y.,) = (a2 + b2 - 2ab cos 1/J) - (c2 + d 2 - 2cd cos Y.,) = 0. Haciendo iguales a 0 las respectivas derivadas (a jaljJ) (A + J.f) y (ajaY.,) (A + J.f), se obtiene J. = - -1- = _1_ 4 tan ¢> 4 tan Y., ' de donde ifJ + Y., = Por consiguiente, A = 21 (ab + cd) sen 1/J, donde cos ifJ = Ha 2 + b 2 - c 2 - d2)/(ab + cd). Eliminando 1/J, se obtiene rr.

el area maxima

A = 41 J4 (ab

+

cd)2 - (a2 + b2 - c2 - b 2)2

= 41 Jsabcd - (a2 + b2 + c2 + d2)2 ,

la cual es obviamente independiente de la hipotesis referente al orden de los lados. La conclusion de que el maximo es independiente del orden de los lados es geometricamente obvia, ya que cualquier pareja de lados ad­ yacentes puede intercambiarse sin afectar el area de un poligono con­ vexo.

Ejercicios A. I (p . 403) 1 . (a) Minimo en el origen .

(b) Por simplicidad , introduzcanse las nuevas variables x - y. Se buscan los valores extremos de

u = + y, v = x

Soluciones

f(u,

v)

=

cos

u + sen v + 41 (u + v)2 .

Las condiciones fu = {v = 0 dan (i) cos v Deben considerarse dos posibilidades: 1 . sen

v=

- cos

y

965

=-

sen

u = - !(u +

v).

u. En este caso, {uv2 - {uu{vv = cos2u

solo se encuentran puntos silla. 2 . sen v = cos u. En este caso, (z) da u + v = - rt/2, por lo que puede tenerse u = - oc 6 u = rt + oc. En el primer caso , fuv2 fuu {vv = cos u (1 - cos u) es positivo y se obtiene un punto silla; en el segundo caso, es negativo y se obtiene un minimo a panir de {uu =

{vv = COS oc + ! .

fx > 0 en todo punto.

(c) No existe extremo, puesto que

2. f(x) + f(y) + f(z) = 3f(a) + {(x - a) + (y - a) + (z - a)} f'(a) + � p 2 {f"(a) + c:} , donde p 2 = (x - a) 2 + (y - a)2 + (z - a) 2 • Por otra parte, Ia condici6n subsidiaria da

(x - a) + (y - a) + (z - a) ¢"(a) + if>'(a) {(x - d) (y - a) = p 2 2'(a) f>(a) + (x - a) (z - a) + (y- a) (z - a)} ¢"(a) ¢'(a) - - 2¢'(a'f + 2¢(a) + c: P2 ' lim c: = 0. _

donde 3. Si Pi

x. y. z-a

(

(-

= (Xi, Yi), n = PPi,

c:) -

)

se tiene

la cual es definida positiva . 4. En el punto P1 . N6tese que la funci6n f = TI + r2 + ra es continua en todo el plano pero no es diferenciable en los puntos P1 , P2 , Pa, donde tiene puntos c6nicos (como la funci6n z = J (x - x1)2 + (y - y1)2 , Ia cual geometricamente representa un cono circular) . Investiguese la derivada de f en P1 en todas las direcciones. 5. (a) Si se pone l = lx + my + nz, ¢> = xP + yP + zP - cP, F = f - "A¢, entonces las condiciones para la existencia de valores estacionarios son

(1)

-

l = "J...pxP 1 ,

m

= "J...pyP-1,

Multiplicando estas ecuaciones por do, se tiene

n

= "J...pzP-1 .

x, y, z, respectivamente,

y

suman­

966

y

Introduccion al calculo

al analisis matematico

lx + my + nz = "ApcP.

(2) Calculando x,

y, z a partir de ( 1 ) y sustituyendo en "Ap = (lq + mq + nq)l lqc 1 -P.

if>

=

O, se obtiene

Sustituyendo "Ap en (2) por esta expresion se encuentra el valor es­ tacionario. (b) Ver el Ejercicio 6. Aqui se tiene

d2F =

-

"Ap(p

-

1)

(xP-2 dx2 + yP-2 dy2 + zP-2 dz2) ;

como P > 0, esta forma cuadratica es definida positiva o negativa segU.n que p ::< 1. 6 . La demostracion es semejante a aquella que se dio para n = 2 (p. 400). Una forma cuadratica definida positiva, .EaikXiXk , puede llevarse, me­ diante una transformacion apropiada n

Xi = k=l ,E CikYk

( i = 1, . . . , n)

con un determinante que no se anule , a la forma ,EaikXiXk = Y1 2 + Y 2 2 + ··· + Yn 2 > m(x12 + ··· + x n 2), donde m es una constante positiva apropiada . Para las aplicaciones, es importante recordar que una con­ dicion necesaria y suficiente para que una forma t1> = ,EaikXiXk sea de­ finida positiva es que sus primeros menores principales de orden 1, 2, . . . , n, como se indica a continuaci6n , an .

1

.. .....

a2 1 . a a1

a2 a22 . a a2

.. ..... ...... .

.

a

at a a2 a aaa

tn

lin i • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • li nn

sean todos positivos . t1> es definida negativa si - Cl> es definida positiva. 7 . De acuerdo con la primera regia, se tiene que calcular d2f a partir de (3), sustituyendo dxt, . . . , dxm, d2x1, , d 2xm segU.n ( 1 ) . Notese que ( 1 ) implica que •

•

•

(fl. = 1, . . .

=0

, m) ;

si esto se multiplica por "A11 y se suma a (3) para todos los valores de fl., se tiene d2f == d2F = L:Fx 1 x k dxt dxk, debido a que d2x1, , d2 xm se cancelan en virtud de las relaciones (2) . 8 . Para F = f + "A¢> (despreciando un factor positivo), se obtiene •

d2F =

,E dx dxk i,k=L . n t

(d¢>

=

•

.

dx1 + ···+ dxn

=

0).

Soluciones Eliminando

dxn , se tiene que demostrar que la forma cuadratica - d2F = (dx1 + · · · + dxn - 1)2 - E dxi dxk =

.E

i= I . . . . n

es definida positiva.

9. De dx

=

Cuando negativa.

967

I . n- 1

i.k= l . . . . n- 1

dxt2 + .E dxi dxk i. k

- dy - dz,

d2F = -2s[(s - z)dy2 + (s - x)dy dz + (s - y)dz2]. x y = z el discriminante de d2F es positivo, y d2F es definida =

Ejercicios A.2 (p . 4 1 3 ) 1 . (c) Usando coordenadas polares,

f(x, y)

=

x = r cos e, y = r

sen

e,

t6mese

r1l+I sen (n + 1) e,

para lo cual v{

=

(n + 1)rn ( sen ne, cos ne).

2. (b) Extiendase la soluci6n del Ejercicio 1 :

f(x, y) = r n + l sen ( - n + 1)8 y

vf = (n - 1)r n (sen ne, - cos ne). 3 . Si no existe punto fijo, u 2 + u 2 =1= 0 en todo punto de R. Dado que Ia region convexa R es simplemente conexa, como en la p. 4 1 2 se concluye que el indice Ic de la curva XC con respecto al campo vectorial es cero. Por otra parte, como R se aplica sobre si misma, el vector (u, v) de todo punto sobre C apunta hacia R o es tangencial. Esto implica que Ic = 1/2rr: Sc dO = 1 , si C tiene Ia orienta cion usual determinada por el sistema coordenado x, y .

Ejercicios A. 3 (p. 4 1 6 } 1 . (a) U n nodo en (0, (b) Las ecuaciones

0),

con tangentes

x = ±y.

fx = 2x - 6x2 + 4xy2 = 0, fu = 2y - 6y2 + 4x2y = 0

968

Introduccion al calculo y al analisis matematico

tienen las soluciones comunes (0, 0), (v'!, 0), (0, v'f), (! , � ) , y (1, 1), de las cuales solo la primera y la ultima son puntos de la curva. En (0, O) la singularidad es un punto aislado. En (1, 1) , fxx = {yy 0 y fxy = 8 ; la singularidad es un nodo con tangentes -r = 1 y y = 1. (c) Una tangente doble y = x en (0, 0). La curva tiene dos ramas; a segundo orden, y = x ± x2 . (d) Una rangente doble y = 0 en (0, 0). La curva tiene una cuspide. Esta es la misma curva que la de la Seccion 3 . 2b , Ejercic\o 3 . =

Ejercicios A.4 (p . 4 1 7 ) 1 . S i l a forma cuadratica es n o degenerada y definida, l a singularidad es un

punto aislado; si es no degenerada e indefinida, las rectas tangentes en la singularidad forman un cono . Si la forma es degenerada y semidefinida, las rectas tangentes pueden estar en un plano donde las dos ramas sean tangentes mutuas, como el plano z = 0 para las superficies

z21a + (x2 + y2)2 13 = a2 ta en

(a, 0, O)

(una cuspide lineal)

z4 = (x2 + y2)3 en (0, 0, 0) (dos ramas tangentes) . 0 puede haber una cuspide puntual en don de solo exista una recta tangente, como Ia recta x = y = 0 para la primera superficie en (0, 0, a). Si la forma es degenerada e indefinida, las rectas tangentes estan en dos pianos, como los pianos x = ± Y en (0, 0, 0) para la superficie x2 - y2 + z3 = 0.

Ejercicios A. 5 (p . 4 1 8) 1 . El flujo es estacionario; es decir, la velocidad del fluido es constante en el

tiempo, en cada punto del espacio. U = (u, v, w) es la velocidad de la particula que pasa por el punto (x, y, z) en el instante t, su aceleracion es

2. Si

X=

au

d2X = dU = dX • vU + at dt2 dt dt

au

= U • vU + at ' Ejercicios A.6 (p . 420 )

1.

(a)

x = -2 - 2 cos 47t.

a,

y = - 2 sen

a

6

(x + 2)2

+

y2 = 4 ; L = 47t; A =

Soluciones (b) x

=

- sen 3 (X, y ::::::: - cos3 (X 6 x2 13 + y2 t 3

L = 23 Jro27t I sen 2(X I d(X I =6 Jro7t '2

=

1,

sen 2(X d(X

969

= 6.

A = - (3/S)rr:, donde el signo proviene de la orientacion de la curva en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. 2 . S i . Considerese el trifmgulo rectangulo con vertices (0, 0), (0, c), (c - 2, 0), para c grande. 3. Para que la curva sea expresable como la envolvente de sus tangentes debe ser seccionalmente suave.

Ejercicios 4 . 1 (p . 429) 1 . En la n-esima subdivision, cualquier cuadrado que contiene puntos de S tambien contiene puntos de T: An + (8) � An + (T) . Al pasar bacia el limite conforme n -+ oo , se obtiene el resultado . 2 . En la n-esima sub division, ningU.n cuadrado que contenga puntos de T 8 ' puede consistir completamente de puntos de S, y ambas clases de cuadrados contienen puntos de T; por lo tanto,

An+ (T) � An+ (T - 8) + An -(8) .

De modo semejante,

An+ ( T) � An -(T - 8) + An + (8).

Combinando estos resultados con An-(T - 8) � An + (T - 8), se encuen­ tra

An+ (T) - An + (8) � An-( T - 8) � An+( T - 8) � An+ (T) - An-(8),

de lo cual se llega al resultado al pasar bacia el limite conforme n -+ oo. 3 . Para la demostracion de (a), observese que cualquier cuadrado de la n­ esima subdivision que entra en An+ (8) o en An+(T) solo puede entrar en una o en ambas de estas; si un cuadrado entra solo en una, entra en An+ (8 U T) si entra en amb as, entra en An+ (8 U T) ; pero no nece­ sariamente entra en An + (8 n T) porque el cuadrado puede contener pun­ tos tanto de S como de T sin contener puntos comunes a los dos. Como consecuencia,

de lo cual se llega a (a) . Para (b), se observa que cualquier cuadrado que entra en una de las sumas pero no en la otra, digamos, en An -(8) pero no en An -(T), entrara en An - (8 u T) pero no en An- (8 n T) , y cualquier cuadrado que entre tanto en An- (8) como en An - ( T) tam bien entra tanto en A n - (8 n T) como en An - (8 U T). Por tanto, ·

970

Introduccion al ca.lculo

y

al analisis matematico

de lo cual se llega a (b) . Notese que un cuadrado que consiste de puntos de S U T no nece­ sariamente consiste completamente de puntos de S o completamente de puntos de T; por consiguiente, no puede eliminarse el signo de desigual­ dad . 4. En Ia n-esima subdivision, considerese cualquier cuadrado que consista enteramente de puntos de S U T. Si contiene cualquier pun to de S, el cuadrado entra en An +(S), pero no puede entrar en An- ( T) , porque no puede consistir por completo de puntos de T. Si el cuadrado no contiene puntos de S, debe consistir completamente de puntos de T y, por tanto, entra en An - (T) . Por ultimo, se observa que cualquier cuadrado que en­ tra en An +(S) pero no est a por completo en S U T de be contener un punto frontera de S U T y, por lo tanto, entrar en An+ (o[S U T]).Com­ binando estos resultados se encuentra

Como lim An- (S U T) = A (S U T) y lim An+ (o[S U T]) n-oo

n-oo

=

0,

se 1lega al

resultado que se desea. 5 . (a) Denotemos el contenido de Jordan en el sistema original por A y en el sistema ttansformado por B. Como A(oS) = 0, lim An+(oS) = 0. Sea n-co

P cualquier punto de oS. Notese que en Ia n-esima subdivision, Ia distancia maxima desde p basta cua}quier punto de un CUadrado que contenga a P es 2- n .J2. Abora bien, en Ia n-esima subdivision con res­ pecto al nuevo sistema coordenado, sea RB cualquier cuadrado que contenga a P. Formese un cuadrado mayor, RB* , con RB en su centro y cinco cuadrados de subdivision sobre uno de sus lados. La distancia minima desde cualquier punto de R1'J basta Ia frontera de Ra* es 2 . 2- n . As!, RB* contiene a cada cuadrado RA que contenga a P en Ia subdivision con respecto al sistema original. Se concluye que por cada cuadrado que entra en An* (o S) no mas de 25 cuadrados entran en Bn+(oS). Ya que 0 ;:£ Bn+(oS) ;:£ An+(oS), se deduce que lim Bn+ n- = (oS) = o.

(b) Observese que en Ia n-esima subdivision con respecto a los dos siste­ mas, cualquier cuadrado que entra en An -(8) es cubierto por cua­ drados que entran en Bn +(S). Se dedu-ce que An -(S) ;:£ Bn +(S) y , pasando al llmite conforme n --+ oo, A(S) ;:£ B(S). Por un argumento paralelo , B(S) ;:£ A(S). En consecuencia, A(S) = B(S). El argumento anterior aplica tacitamente Ia bipotesis de que si dos conjuntos U y V estan constituidos de cuadrados congruentes que no se traslap4n, definidos por sus respectivas mallas,. y u c v, entonces el numero de cuadrados en U es menor o igual al m1mero de cuadrados en V. Esto se prueba inductivamente como sigue: sean u y v dos colec­ ciones finitas de cuadrados que no se traslapan, con lados de longitud a, tales que Ia union, U, de los cuadrados de u esta contenida en Ia

Soluciones

97 1

umon, V , de los cuadrados de v. Si p es el numero de cuadrados de u y es el numero de cuadrados de v, entonces P � q , y Ia igualdad se cumple si y solo si u = v. Para la demostracion se aplica induccion sobre p. Si P = 1, no puede tenerse q < P , porque entonces q = 0 y V no contiene a U. Ademas, si q = P = 1, se observa que vertices opuestos del cuadrado de u deben ser vertices opuestos del cuadrado de v, ya que la distancia maxima, a.J2 , entre dos puntos cualesquiera de cual­ quiera de los dos cuadrados solo se alcanza en los vertices opuestos. Por consiguiente, los cuadrados son los mismos y u = v. Ahora se prueba que la veracidad de la hipotesis para un p fijo implica su veracidad para p + 1 : sea u una coleccion de p + 1 cuadrados . y it* cualquier sU:bcoleccion de p cuadrados. Sup6ngase que q < p + 1. Puesto que => U :::J U*, q � P, por la hipotesis de in­ duccion. Sin embargo, p � q < p + 1 implica que q = p, y, .por lo tanto, por la hipotesis de induccion, v = u*. Pero entonces V no puede contener al unico cuadrado de u que no pertenece a u * , cpn­ tradiciendo el que => U. Se concluye entonces que q � p + 1 . Si se cumple Ia igualdad, q = p + 1, se puede demostrar que v = u . Se demostrara que el conjunto U( = debe tener un vertice sobre la frontera; es decir, al menos uno de los cuadrados R de u debe tener un vertice con sus lados adyacentes sobre la frontera de U. El cua­ drado R tambien debe pertenecer a v, como se probara.. Por la hi­ p6tesis de inducci6n, las colecciones u * y v * , que se obtienen de u y v eliminando a R, deben ser las mismas. Como consecuencia, u = v. Para probar que U tiene un vertice, sea P cualquier punto de U a la mayor distancia de un punto arbitrario dado, Q. El punto P debe estar sobre la frontera de U, de lo contrario · seria un punta interior y su vecindad dentro de U contendria puntos todavia mas alejados de Q. Ademas, P debe ser un vertice de uno de los cuadrados de u, por­ que si fuera un punto interior de uno de los lados, al menos uno de los dos vertices sobre ese lado estaria mas alejado de Q que P, ya que es­ taria mas alejado que p de la perpendicular bajada de Q a la recta que contiene al lado. Dos !ados que se corten en P no pueden estar alineados, porque el mismo argumento indica que uno de los puntos extremos del segmento formado por los dos lados debe estar mas alejado de Q que P. Se concluye que P y sus !ados adyacentes solo pueden pertenecer a un cuadrado R de u . (La figura muestra todas las configuraciones posibles en la vecindad de un vertice frontera . ) Exactamente e l mismo argumento s e aplica a v, pero entonces, R debe pertenecer a v, como se afirma. 6. Si P es un punto frontera de S, o es un punto de S y esta cubierto o bien es un punto limite de S tal que toda vecindad agujerada de P contiene un numero infinito de puntos de S. Por lo tanto, P es el limite de una su­ cesion convergente de puntos distintos de S. Puesto que la coleccion de "conjuntos-cubierta" es finita, al menos uno de estos conjuntos debe con­ tener una subsucesion y, debido a que este conjunto es cerrado, debe tambien contener al limite de Ia subsucesion, P. q

V

V

V)

·

972

Introduccion al calculo y al analisis matematico

7 . El area del conjunto es cero . Sea Sn el conjunto de los puntos para los cuales tanto p como q son mayores que n, y Tk el conjunto para el cual p 6 q es igual a k.

N6tese que Sn esta contenido en el cuadrado

{<x, y) I 0 � x < � , 0 � y < M.

Como consecuencia,

Observese tambien que Tk contiene 2k - 1 puntos, cada uno de los cuales puede estar en no mas de cuatro cuadrados de la n-esima sub­ division. Consecuentemente, A n+

(Tk) < 4(2k22-n 1) =

En resumen, se ve que

n

An+ (8) � An+ (Sn) + I; An+ (Tk)

de donde lim An+ (S) n-oo

=

Ejercicios 4.6 (p . 46 1 ) I.

(a) a2 b2 (a2 - b2)/8. (b) -4. (c) log 2. (d) -a + (eab - 1)/b. (e) rr/16. (f) 4/3.

� ( n1 + 21n ) 0.

2

k= l

4n2 + 22 n ;

Soluciones

973

2. -rr£2 3. 0. 4. 2-rr. 5. Usense coordenadas polares:

J1t/4 �ov'cos 2 9 (1 +r r2)2 dr dO = 1t-4 - 21 1t/3 fv'3/cos(9-1t/6) r dr dO - 2 .J3 arc tan ! . (b) f Jo Jo 2 (1 + r2)2 6. Usese la sustituci6n x = a�, Y = bYJ, z = c� ; a continuaci6rt , usense coor­ (a)

-411t

-

denadas polares

y

la simetria para obtener

7 . Apliquese el hecho de que la figura es simetrica ; 1/16 del volume n se en­ cuentra por encima del triangulo con vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y por debajo de la superficie + = 1 ; 16/3.

x2 z2

8. -rr (2 3 - 3r2 h + h3). 9 . 0. 10. 0. Con la restricci6n adicional z � 0; -rr/ 8. 11. 1/50,400. r

1 2 . Usense coordenadas cilindricas e integrese con respecto a 0, y z, en ese orden; -rr [2 - (3/2) log 3]. 1 3 . Usense coordenadas esfericas con origen en (0, 0, !). Con ex = cos - 1 [ p

-(3/4p)] para 21

�

p

�

3/2,

Jlt32/2 J a J 21t + Jl/2 0

r,

0

0

J.Jt 0

J 27t sen difJ dO dp 0

0

{

}

= -rr 2 + � log 3 .

1 4 . Usense coordenadas polares; 4 log (1 + .J2). 1 5 . Sea (a, b) cualquier punto del dominio y elijase una vecindad (a, b) en el interior de D, tan pequeiia que {(a, b) 1 < vecindad. Por el teorerria del valor medio,

8 , R0 de

lf(x, y) -

r JRo

c:

en esa

f(x, y) dx dy !1-82, =

donde I {(a, b) I < c: . Puesto que la integral se anula, = 0. Como consecuencia, I {(a, b) I < c: para c:, positivo arbitrario, y de aqui que {(a,

!1- -

b) = 0.

1 6 . Usando

d(x, y)fd(u, v) = u/(1 + v2), se obtiene

!1-

974

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

=

2e-a2 r 00 ue-U2 Jo

arc tan !!. du. a

Integrando por partes se llega al resultado. 1 7 . Hagase p2 = �2 + 1) 2. De �x = 1) 2 - �2, �Y = - 2 �1), 'YJ x = - 2�1), 1Jy = �2 - 1) 2, se deduce que I d(x, y)fd(�, "YJ) I = 1 / p4 y tam bien que ux2 + ui = p4(u�;2 + un2). 1 8 . Para nuevas coordenadas cartesianas a la misma escala, el jacobiano de la transformaci6n es 1 . Con r = (x2 + y2 + z2)112, elijanse las coorde­ nadas cartesianas u, v, w para las cuales u = (x� + Y1J + z�)fr. La in­ tegral queda I=

JJJ cos ru du dv dw

sobre la esfera u2 + v2 + w2 � 1. En coordenadas cilindricas, u , v = p cos e , w = p sen e, se encuentra I=

19. -

J, 2 1

f1 -1

r 21t r v'l - u2

Jo Jo

(

sen r = 47t r3

(4 - y)

_

p cos ru dp de du

).

co � r2

(20-Sy) /(4-y) dx dy = 16 log 2 - 12. J4/Y

Ejercicios 4. 7 (p . 4 74)

J. P J. a r log r2 dr d6. &-0 0 & ( a cos p f x tan p + acos J v'a2 -x2 ) log (x2 + y2) dy dx. Ja P o Jo o

1 . (a) K = lim (b) K =

2 . (a)

1t,

3 . La simetria indica que al invertir el orden de la integraci6n se invierte el signo. Como I no es cero, I = !, y queda establecido el resultado. Alter­ nativamente, para 0 < a, b � 1, hagase _

J-

J l Jal (x b

y-x dx dy + y)3 _

Integrar primero con respecto a tomar

x,

despues con respecto a

I = lim lim

b-o a-o

integrar primero con respecto a tomar

y,

(1 - a) (1 - b) (b - a) 2(1 + a) (1 + b) (a + b) ·

J=

y,

equivale a

x,

equivale a

! 2;

despues con respecto a

Soluciones lim

975

lim

a�o

b�o

Ejercicios 4.8 (p. 487 ) 1 . Apliquese la regia de Guldin;

2.

2rr:2ab.

, !rr:abh2 •

3 . Hagase x = a�, y = b7), z = c�. Con d = pfv'a2 l 2 + volumen es rr:abc(2 - 3d + d3)/3. 4. (a) Con 0 y

(b)

b2m2 + c2n2 ,

el

v'EG - pz = a2

a2 Jof 2 1t Jort> a2 sen e d

(c) T6mesef(
i rr:cp2 , rr:p(a + b). 6. l rr: (n - m) (4n2 + 4mn + 4m2 - 6n - 6m + 3). (a) (b)

7 . T6mense las coordenadas polares en el plano x, y como parametros super­ ficiales para el cilindro xz + z2 = a2 • Por lo tanto, x = r co s e, y = r sen e, z = Jaz - r2 y E = a2 /(a2 - r2), F = 0, G = r2, Entonces el area de Ia superficie es

=

f 1t/4 io

-= � J,n/4 ,-a2 --Sa - r2

8=8

o

0

b s ec 9

ar v'a2 - r2 dr de b sec 9

v

0

d

9

= 2a2rr: - Sal, don de I= Hagase e = arc tan

donde tan

J...

S=

e

(v'(a2 - b2)f b2 sen w) , para obtener l,_ (a2 - b2) cos2 w dw, I= o a2 sen 2 w + b2 cos2 w

= b/Ja2 - 2 b2. I=

De aqui que

Jor n /4 v'a2 - b2 s cze de .

La integral explicita es _

a arc tan

(�

8a2 14� - arc tan ,J a a2 - 2b2 L

tan

)

w - bw

J- Bab

I: .

arc" tan ,J

b a2 - 2b2 •

Introducci6n al calculo y al anUisis matematico

976

I: = Jf �EG - F2 dr de

8.

= j'

9 2 de Jor /'( 9) �r2 + { 2 dr

Ot

= [�2 + log (1 + �2)1

(ver el Volumen I, p. 2 1 5 ) , que es [/2 + log proyecci6n

e1 � e � e 2,

o

'

Ja:2 � { 2 de, '

(1 + �.2)] veces el area de la

� r � {'(e).

Ejercicios 4.9 (p . 500) 1 . (a) Usense coordenadas cilf ndricas. Sabre el eje del cono, a tres cuartos

de la <..!i stancia del vertice a la base . (b) Sabre el eje del cono, a dos tercios de la distancia del vertice a la base . 2 . x = 2xo/3, con y = z = 0. 3. Sea (�. 'Y), �) el centroide: �

=

_!_ ( a ( b( t -�)

V Jo Jo

foc( t -!-6)

X

dz dy dx,

donde V, el volumen del tetraedro, se obtiene remplazando el integran­ do x por la .unidad en la integral triple anterior. lntegrese para obtener � = a2bc/24 donde = abc/6. Por tanto, por simetria algebraica , � = a/4, ·'l = b/4, � c/4. 4. (a) Usense coordenadas esfericas, z = 3(b4 - a 4)/8(b 3 - a3), x = y = 0. (b) Factoricese b - a en el numerador y el denominador de la soluci6n de la parte (a) y t6mese el limite.

V,

=

V

5 . m (b2 + c2)/3. 6. Si � es la densidad,

(a)

7tf.Lh(R2 - R'2),

(b)

21tf.Lh(R - R')

[! (R

+

� l

R') + h2

7 . Usense coordenadas esfericas . Masa, l7ta3[f.Lo + 3f.L t] Momenta de iner­ cia , 47t a5 [f.Lo + 5 f.L d/45. 8. Sustituyanse x = a�, y b'Y), z c�; U5ense las expresiones para los momentos de inercia dadas en el texto, y las propiedades de simetria del elipsoide : =

(a) (b)

.

=

4 2 15 1tabc (a + b2), 4 ot2 2 15 1tabc {(1 - )a + (1 - �2)b2 + (1

_

y2)c2} .

Soluciones 9.

Por ejemplo , con

In (x2 + y2) d V,

A =

A + B

In (y2 + z2) d V, B = In (z2 + x2) dV, =

C+

de Ia distancia de un punto

In 2z2 d V >

C.

1/ JJ (x, y, z) a Ia recta es

Como consecuencia,

IIIn [x2

+

C=

= In (x2 + y2 + 2z2) d V

1 0 . Sea (�. 1), Q el punto del rayo a Ia distanci a

I=

y

977

y2 + z2

de 0 . El cuadrado

J

1JY + �z)2 dx dy dz 1:, 2 + 1)2 + �2

(�x +

:- ·-·,.; - -- -- -- --

Multiplicando ambos miembros de esta ecuaci6n por �2 + 1) 2 + �2 , se ob­ tiene una expresi6n cuadratica definida positiva en �. 1) , � igualada a Ia unidad ; entonces, Ia ecuacion es Ia de un elipsoide .

11. a2(x

_ =

1)) 2 + c2(z �)2 + b2(y {a2 + b2 + c2 + 5(�2 + 1Jz + �2)} {(x

�)2

_

_

_

12. (i , 0, 0) 13. x = 5a 2a2 + b22 + c22 . 16 a2 + b + c I = 14. (I! + mtn2) + (I2 + m2r22), . donde

�)2

+

(y

_

1l)2 + (z

_

�)2} .

r1 y r2 son las distancias de los ejes que pasan por lo· centros de mas a de las partes respectivas al eje que pasa por el centro del sistema. Usese mtn = m2 r2 y n + r2 = d. 1 5 . La distancia del punto (x, y, z) al plano ux + vy + wz = -1 esta dada po1

!:!_X _+

WZ

{)Y +_ + 1 Jui + i)i +- w-2 .

Por lo tanto, el momento de inercia del elipsoide con respecto a este plano esta dado por Au2 + Bv2 + Cw2 + u2 + u2 + w2

V

donde A, B, C denotan los momentos de inercia con respecto a los pianos coordenados y V es el volumen del elipsoide, es decir, B = 4ab3c /15, C = 4abc3/15, y V = 4abcf3. Ahora se tiene que encontrar Ia . envoi­ vente de los pianos para Ia cual esta expresi6n es igual a h. La envolven­ te esta dada por las ecuaciones

(A

-

h)u = "Ax,

(B - h)v

= J...y , (C - h)w

=

J...z.

978

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

donde A. es un multiplicador comun, el cual, a partir de l a expresion para el momento de inercia y la ecuacion del plano, resulta ser V Elevando las tres ecuaciones, al cuadrado se obtiene la ecuacion de la envolvente, a saber,

16. donde !L es la densidad constante. b

2TC!J.J ./z2 + {f(z)} 2 dz

TC!J.

I b2 ± a2 1

donde se toma el signo inferior o superior segU.n el origen este dentro del cuerpo o fuera de el . 1 8 . Sea un punto variable del solido, 0 su centro de masa y Y un punto variable del espacio donde se calcula el potencial. El potencial en Y es

17.

a

-

,

X

U(Y) JJL l ;�vX I . Sea a el valor maximo de I X I en S, I X I � a, y supongase que I Y I > a. =

Entonces, si M es la masa del solido,

I U(Y) - 1�1 1 I JJL!L(IY � X I - 1�1) d V � JJJ!L I IY� X I l � l l dV � Iff !L IY I ( I � � l X I) dV =

-

(ya que, por la desigualdad del triangulo,

11 Y 1 - 1 Y - X 11 � I X I )

� JJJ!L IYI (I;I - a) d V

I I

� 1�1 2 Jff!L dV

2a) < 2aM = IYI 2 • 5 3 1 9 . Como A - BR2 "2 , A - 5 BR2 (donde se supone que Y �

=

=

11 , se uene . 2

A =

10,

B 15/2 R2 =

•

La

atraccion en un punto interno es igual a la atracci6n de la masa total de los puntos en el interior de la esfera de radio r, concentrada en el centro de esta . 20 . Usense coordenadas cillndricas o esfericas. 2 1 . Por medio de una traslaci6n puede hacerse que el triangulo este en el semiplano superior. Entonces su momento de inercia es igual a

Soluciones

979

(xaya, XIYI), donde
2 2 . I = J I (y -

41Y 4) dy f(Sy- 0)/(Y-4) dx 2

=

12 - 16 log 2.

2 3 . Sea f(p) el potencial asociado con una carga puntual unitaria. El poten­ cial en un punto (0, 0, z) del interior de una lamina esferica con centro en el origen y que lleva una densidad de carga unitaria es

U(z) =· Jo 21t Jo 1t {(p)a2 sen 6 d6 d¢> ,

a es el radio de Ia esfera, p esta dado por p Ja 2 + z2 - 2az cos 6 . Si g es una funci6n tal que g' (p) = pf (p)/z, donde z se mantiene cons­

donde, en el integrando , si =

tante, entonces

.U(z) = 211:ag(p) / ;=o

211:a[g(a + z) - g(a - z)]. Corr o Ia fuerza se anula para I z I < a,. se obtiene U'(z) = 27ta[g'(a + z) + g'(a - z)] = 0; =

en consecuencia ,

(a + z) {(a + z) = (a - z) {(a - z).

Esta es una relaci6n que se cumple para toda a positiva y toda z con I z I < a. Introduciendo las nuevas variables independientes ; y 'YJ , con ; = a + z y 'Yl a - z, se obtiene =

;{(;) = 'Ylf('Yl)

para todas � y 'Yl· positivas. Por consiguiente, tante. Asi, se concluye que

f(p) = �p

p{(o) =

c,

donde c es con­ (c

=

constante) ,

que es el potenc;ial para la fuerzas que obedecen la ley del inverso del cuadrado.

Ejercidos 4 . 1 1 (p . 520 ) 1 . Hagase Ia sustituci6n

XI = ai ; I . ,

Introduccion al calculo

980

y

al analisis matematico

2.

- 1)

tomada en todo el interior de la esfera unitari a (n dimensional, en el espacio Introduciendo coordenadas polares se obtiene

X2,• • •,Xn . I = J 1 dr J. f(Ji�J1) +-f(r2- Jr=-T2) dcr, don de S( ) de nota Ia esfera de radio centro en en el espacio x2 • • •, Xn. Como el integrando solo depende de I - Wn-1 i 1 f (J1 - r2)J1+-f(r2 J1 - r2) rn-2 dr. Poniendo y = J 1 - r2, se tiene I = W-n-1 I-: 1 f (y) (1 - y2) (n-3) /2 dy. S(r)

o

r

r

y

0,

r,

_

o

Ejercicios 4. 1 2 (p . 5 33 ) 1 . P6ngase

In(a) = Ioo xne-ax2 dx ; 0

entonces

In(a) = -I'/,_-2(a),

donde los

ap6strofos denotan l a derivaci6n con respecto a a. Altemativamente, in­ tegrese por partes.

1 (n--2-1)

v1t 1.3. •21 2 1) cuando es par. 2 . Integrese por partes. Diverge para � 0 ; para y > 0, F(y) = 0. 3 . Usese la relaci6n 1-(fx cos + {y sen ) = fxxsen 2 - 2fxy sen cos + {yy cos2 1d + zd<j> ( fx sen - {y cos ). 4. Integrese U xx por partes dos veces (se requieren precauciones especiales en el caso en que < 5/2). 5. Hagase la sustituci6n � = ocx + � , yx + oy, donde �. y, o se eligen de modo qne �2 + 'Y)2 = ax2 + 2bxy + cy2• Entonces (oco - �y)2 = ac - b2 , la integral se transforma en 2

1 ·

cuando n

es

•

1mpar,

r

n

-

y

z

p

y

'Yl =

oc,

y

ac - b2 = 1t2, a > 0.

6 . Hagase la misma sustituci6n que en el Ejercicio 5

y

evaluense las in-

Soluciones

981

tegrales resultantes, (a) usando el result ado del Ejercicio 1 , (b) intro­ duciendo coordenadas polares. (a)

rr(aC + cA + 2bB) (ac b2)312 2rt (b) (ac b 2) 1 12 . Derivese con respecto a x e _

-

7.

integrese por partes para obtener

1J X

1 t dt sen xt = - rr .J1 - t2 -1 1 = - f .J 1 - t2 cos xt dt. -1 Derivese con respecto a x la primera de estas expresiones para obten� r _ ! Jr 1 __t2- cos xt dt. Jo" _1 .J 1 - t2 �----,---

-

Jo'

-

7t

=

7t

Combinense ahora las representaciones integrales con el factor· coseno en el integrando. 8. Comparese con la respuesta al Ejercicio 7 . 9 . (a) Calculando K'(a), donde e l ap6strofo denota la derivacion con res­ pecto a a, e integrando por partes dos veces (tomese xe-ax2 como uno .de los factores), se tiene K'(a) = -K(a) /2a + K(a) /4a2 ; es decir,

donde C esta dada

K(a) = Ca- 112 e-1 14a, por C- = lim .Ja K(a) = lim ( �-t2 cos ,t- dt = ! .J7t. a-oo J a-oo a 2 K(a) = 2 J� e- 1 14a,

1 t2) = J: e-tx 1 11 ab22 .

(b) Integrese la formula t/ ( + de a hasta

1 -

b.

2 log

(c) Sustituyendo x - 21, es decir, donde

C=

= 1/t

0

cos

f

=

x � con respecto a t des­ .

+ +

en la expresion para

11m I = Jo a-o

v

I'(a),

pruebese que

I' =

I = Ce-2a, e-z2 dx.

(d) Sustituyase la expresi6n integral para

Jo

y cambiese el orden de la

982

lntroduccion al calculo

y

a l analisis matematico

integraci6n . Usese Ia formula

2

sen

sen (a- bt) x ; ver Ia expresi6n para f

Jo

ax co

cos sen xy

y

bxt =

sen

dy en Ia

(a + bt)x +

p. 5 2 1 .

rr/2 cuando a > b ; arc sen a/b cuando a < b. sen 2 ax = (1 - cos 2ax)/2. Ver el Volumen I , Secci6n

1 0 . Hagase 322 ; Ejercicios 8 y 9b. 1 1 . Existe un e > 0. tal que para todo A existe un

A' > A

3. 15,

:p.

tal que

para algun valor de x.

Ejercicios 4: 1 3 (p . 5 5 6 )

1.

(a) ic (e-iat

(b)

-1)/J2rr 1/J2rr (a + iT).

-r.

(c) Por 4 . 1 2 , Ejercicio 8, funci6n

t<x> =

Jn (x)Jxn

[Jr�
es Ia transformada de Fourier de Ia

(1 - t2) n - 1 , l x l < 1

0, l x l > 1 .

Consecuentemente, por el teorema de Ia integral de Fourier, f(t) es Ia transformada de Fourier de Jn(x).

Ejercicios 4. 14 (p . 57 2 ) 1 . De (97b), r

( n !2 ) +

=

2n (2n - 1) (2n - 2) • • • 3 • 2 • 1 Jir ' 2 n (2n) (2n - 2) • • • 2

lo cual inmediatamente da el resultado que se desea.

2 . De (97a) ,

r

( n �) (� n ) = r

+

-

sen 1t

rr = ( 1) n . n + 12)

(

-

Introduzcase el resultado de (97b) para obtener

3. De (98d),

r

( 21 - n ) = 1 •

3•

(-2) n Jn 5 • • • (2n - 1) ·

)2z- l dt B(x, x) - 2 Jfo n /2 (sen222t xl

7t

f(-t) =

Soluciones 983 r s)2x-1 ds -- Jo ( sen22x-1 - r 1t/ 2 ( sen s)2 x-1 - 2 Jo 22x-1 ds 1t

4 . Hagase

(s = 2t)

s = tx en la integral, para obtener I = X_1 1o 1 81 1/xl - 1 (1 s)-1 12 ds _

x) r(l/2) = X! B ( !X ' 2!) X! r(1/ r(1/X + 1/2) . =

5 . Hagase

t = x2

en la integral

I = J 1 .Jl x2 x2 dx o

para obtener

·

-

I = !2 Jt12 (1 - t)- 1 '2 dt = !2 B ( a: +2 1 ' 2! ) = 2a- 1 B ( a; + 1 a: + 1 ) '

2 ' 2

donde se emplea al final el resultado del Ejercicio 3 . + 1 , esto d a ( a ) Para

a: = 2n

I

(b) Para

=

+ 1) r(n + 1) = 22n(n ! )2 22n £(n r(2n (2n + 1)! + 2)

a: 2n, con el resultado del Ejercicio 1 , se obtiene 1/2) r(n + 1/2) I = 22n_ 1 r(n +r(2n + 1) =

= 22n-1 [<��>�f1trt<2n)!,

lo cual inmediatamente da el resultado que se desea. 6. Hagase y z para obtener la integral de volumen

xm = amh�fc, ym = bmhrlfc, = h� v a bh !!_ 2 1m f1 rl- f,J1 = m2 (c ) J o J f. HI � (1/m)-1 "1) ( 1/m)-1 d� d"1) d�. Entonces, integrando con respecto a � y a "1) , ah V = � (�r'm [B (�, � + 1) � B (� + 1, � + 1) - . m-+1-1 B (m_!_, m_!_ + 2) ] o

984

Introduccion al calculo =

7 . Hagase I=

x2

abh

( ) B(1 c

h 2 /m

y

al analisis matematico

-;:;;_ + 1, �

)

1 +1 .

= a 2� , y2 = b 2 YJ , z2 = c2� para reducir la integral a

C!_�qf::: fff

f (� + "1) + �) � (p/ 2) - 1 "f)(q/2) - 1 � (r/ 2 ) - 1 d � d"f) d�

sobre el tetraedro limitado por los pianos coordenados y el plano � + � = 1. Remplacese ahora � por la nueva variable t, con � = t � para obtener -

YJ

-

+

YJ ,

' P QcT r 1 r t r t -TJ I = a--8bo J o o f ( t ) � (p/2 ) � 1 "t] ( q / 2 ) - 1 (t - � - 1J)
J

l .J

a P b qc = -8--- r

1

0

t

0

J

f (t)"t] (q/2 ) - 1 (t

_

1

1J)

1

0

u
(1

_

u) < r / 2)-1

du d1) dt

donde se ha puesto C, = (t - 1J)U. Asi, I=

����-c� B (� ' �) L1 Jot f(t)lJ (q/2)- 1 (t - 1J)
Ahora , haciendo 1J = t v se obtiene I=

� B (� . �) B (� .

a P qc r

� r - 1 ) Jo1 f (t)t
p

;

lo cual inmediatamente da el resultado que se desea . N6tese el resultado general implicado por lo anterior:

J= =

fff

t <� + "1) + �) �U- 1 7)13 -1 �'Y -1 d� d"'fj d �

r(et:) r({3) r(y) rl f (t ta+Jl +y 1 dt ) , r(et: + � + y)

Jo

donde la integral triple se toma en el octante positivo limitado por el plano � + ""l + � = 1. Muchas integrales pueden reducirse a esta forma, como se ve en los ejercicios siguientes. 8. Hagase x = a� n , y = b"'fj n , z = c� n para obtener x=

a fff�2 n- 1 "'fj n- 1 � n -1 d� d"'fj d� ' Iff � n 1 "'fj n-1 � n-1 d� d"'fj d� -=�------------------

donde las integrales se toman sobre el octante positivo limitado por el plano � + !J + � � 1 y tienen la forma de la integral J que aparece en Ia soluci6n del Ejercicio 7 . Como consecuencia ,

9 . Hagase x =

X- = 34a

f(2n) r(3n) f(n) f(4n)

R�2 13, y = R""l 3'2 para obtener

.

Soluciones

985

I = 4 JJJ x2 dx dy = 9R4 JJ �1 12 "flv2 d'E, d"f), donde Ia ultima integral doble se toma sobre el cuadrante positivo del plano �. "fl , limitado por Ia recta � + "fl = 1. Como en el Ejercicio 8, esto da

1 0 . Como en el Ejercicio 7 , remplacese

tonces,

-x I- 101 101 o

. . .

11-x0 • • 0

l t = L L . . L t -x l .

• .

.

·

·

xo

por xo

e- xo . . . xn Jo

-

1 f (xo +

x0 ao - 1 • • • Xnan -l dxn xk -1 fot-x l . xn -2 X a l-l l •

En Ia integral con respecto a cual da

Xn ,

•

•

hagase

- ·

= t - X1

• -

·

·

·

·

Xn. En­

+ Xn)

·

·

•

. Xn -1 a n -1-1 {(t)

·

Xn = (t - X1

dxk

•

•

·

·

·

dx1 dxo

,

. Xn-1) un, lo

= (t - Xl • · · -Xn-l)ao+an - 1 s: Un an- l (1 - Un)ao-1 dun = (t - X1 -Xn-1) ao+ an- 1 B(an, ao). - Xk-l)Uk para k = Iterando este procedimiento, con Xk = (t - X1 y X1 = tu1, ' finalmente se obtiene I = B(an, ao) B(an -1 , an + ao) B(a1, a2 + + an + ao) 1 J: {(t)tao+al + an - l dt, ,'

.., n

•

•

•

·

·

·

•

2,

•

·

·

·

·

·

·

lo cual inmediatamente conduce al resultado deseado. 1 1 . Demuestrese que para Gn(x) , definida por Ia expresion que sigue al sig­ no de limite en el segundo miembro de Ia formula (86e), p. 566, se cumple

G (2 ) - !22xG (X)G ( X 2!) (2n)! 2, 22n(n.fii!)2 ' n 2n X

-

n

n

+

·

entonces, hagase que --+ oo y apllquese la formula de Wallis (Volumen I, p. 282). 1 2 . (a) Hagase u = (X - p, v = [3 - q. Integrando D- u {(x) repetidamente por partes, se obtiene

986

Introduccion al calculo

(i)

n-u f (x)

=

y

al analisis matematico

f(O)xu + r(u + 1)

. . . + f (0)x u+ p- 1 r(u + p)

1 Jx u+p-1 f

(t) dt. r(u + p)J o (X - t) que las derivadas en 0 se anulan, y derivando p veces +

Observando con respecto a x, se encuentra

(ii)

dP -u -u dxP [D f(x)] n f

(x). 1 __ (x (x - t) u- 1 fCP>(t) dt. r(u) Jo

g(x) = Daf(x) =

=

=

Integrando por partes otras veces mas se llega a

(O)xu + g(x) - f

r(u + 1)

+

. . . + 1

f
r(u + 1)J

Entonces, como las derivadas de f en el origen se anulan, se encuen­ tra

n-vnat(x)

n-v g(x) rx (X - t)V- 1 r t (t - S) u+q- 1 {(p+q) (8) ds dt Jo r(v) J o r(u + q)

=

=

1 r x {(p+q) (s) r x (X - t)V-1 (t - S) u+q-1 dt dS . = r(v) r(u Jo + q)J o L a integral interior se .evahl.a introduciendo una nueva variable de integraci6n, z = (t - s) / (x - s) ; asi se obtiene

B(u + q, �) fx (x - s)u+v+q-1 f (s) ds n-vnat (x) = r(v) r(u + q) J o =

Derivando ahora

(iii)

DPDaf(x)

1 r x - s u+v+q- 1 f(s) ds. v + q) J o (x )

r(u + =

=

q

veces se encuentra

Dqn-v g(x) 1 l x (x - s)u+v- 1 f (s) ds. r(u + v) o

El resultado final es simetrico en u y v y, por tanto, independiente del orden en que se aplican los operadores na y Dl3; de donde naDf3

{(x)

=

DPna f(x).

(b) Sea r el menor entero mayor que (ii) da

Cl

+ �'

w =

r

Cl

- - �.

1 _ rx W- 1 (r) (t) dt. _ na+ IJ {(X) = r( ) J o (X - t) { w

Entonces

Soluciones

987

y esta integral es la Si + � 1, entonces r = p + q, w = + misma que la que se obtiene en (iii) para . Sin embargo, si 1 + � entonces w = + 1 y r = p + q + 1. Ahora solo se lleva a cabo el desarrollo (i) hasta la (r - 1) -esima derivada, a saber,

u v < u v 2,

u v-

n-w {(x) = r(w +1 y

r -

1)

u v, Df3na f(x)

x Jor (x - t)w+r-2 t (t) dt '

2 veces con respecto a x para obtener nr- 2n- w f(x) = na+ (3-2 f(x) 1 rx f (r l)(t) dt = r(w + 1)Jo (X - t)W 1 rx uv = r(u + v)Jo (x - t) + -1 f (p+q>(t) dt. Por tanto, en este c aso, naDf3[(x) =1= na+ f3{ (x) . se deriva r

-

Ejercicios 5.2 (p . 6 1 8) 1. (a)

-

b/2a.2�2 •

(b) 0. (c) 0. 4. Escribase

d(u, v)/d(x, y) = (uvy)x - (uvx)y =

r ot

(u grad v).

Ejercicios 5. 7 (p . 654)

Xu Xv, 1J = Xu - Xv. Xr del vector normal exterior con la direcci6n normal representada por Xa X X�. (a) La recta v = af2 divide a S en una porci6n 8' dada por a/2 < v < a (o, lo que es equivalente, por -a < v < -a/2) y orientada por ; = Xu, 1J = Xv, y una porci6n S" dada por -a/2 < v < a/2, que es

1 . Observese que ; = + 2 . Comparese la direcci6n 3.

precisamente otra cinta de Mobius. (b) 81 es representable en la forma (40a) con v restringida al intervalo 0 Es obvio que dos puntos cualesquiera de 81 pueden unirse por medio de la curva que es la imagen sobre del segmento rec­ tilineo que une a los puntos correspondientes del plano p_ara­ metrico. '1 = (c) S 1 esta orientada por ; = Facilmente se verifica que tiene longitud l ; 1 y es linealmente depen­ 4. diente de ; '1 , por lo que esta en 1t , Ademas, • ;j I ; = cos El vector coincide con ; para = 0 y tiene la direcci6n de '1 para un cierto entre 0 y 1 80° , a saber, para el determinado por las relaciones

< v < a.

R(t) t

,

S (u,1v)

Xu , R(t)

Xv.

t

R(t)

t

12

t.

988

Introduccion al calculo cos

t=

Ejercicios 5.9a (p . 668)

ff� dS =

1.

JJ p

y

al analisis matematico

bf�lac,

sen

t=

-v' l

fi'iJG,c.

-

(la2 + b2� _c2!) fffz dx dy dz +

JJJ

'

donde Ia integral de volumen debe extenderse a toda Ia mitad superior del elipsoide. ( La base de este semi-elipsoide no contribuye a Ia integral de superficie)

' �4 ·

(}-a2 + b2_!_ + _c2_?_) abc2•

2 . Como H es una funcion homogenea de cuarto grado, se tiene

4 JJH dS = JJ<xHx + yHy + zHz)dS =

JJ :� dS = JJJ �H dx dy dz = 6J JJ[x2(2ai + a4 + aa) + y2(2az + a4 + as) + z2(2aa + as + aa)) dx dy dz.

Ejercicios 5.9e (p. 677) 1. (a) Ver el Ejercicio 8, Seccion 2 . 4, p. 246. (c) Sea R una region arbitraria y v una funcion arbitraria que se anula sobre Ia frontera de R. Entonces, por Ia primera formula de Green,

= - JJJR Ahora bien,

y

Por tanto,

v.

dx1 dxz dxa = - JJJR v A u .Je1eze3 dp1 dpz dpa. AZf,

Soluciones

Aplicando el teorema de Gauss al vector tiene �

(U1v, U2v, Uav), se ob­

a ua fff{ �ap1ul au ap22 + apa ) v dpl dp2 dpa. +

JJJ

Por lo tanto, para una se tiene

v

arbitraria que se anule sobre la frontera de R

JJJv flu -/e1e2ea dp1 dp2 dpa = JJJv (��: ��: + ��: ) dp1 dp2 dpa +

y,

de aqul (ver el Lema I , p. 821 ) ,

flU = ·.

au2 aUa _1_ ( aU1 apl + ap2 apa ) -/ele2ea +

(d) Usese el Ejercicio 9c, Secci6n 3 . 3d, p. 304 :

� (t2 - h) (ta - h) (ta - t2) flU = (ta - h)-/if>(h) a�l (-/f/J(h) ��)

(ta - h)-/-¢>(t2) a�2 ( -/-if>(h) :�2 ) + (h - h)-/if>(ta) : .;if>(ta) :: ) aa( donde if>(x) = (a - x) (b - x) (c - x). +

'

Ejercicios 5. 1 0a (p . 682) 1 . (a) (b)

I = - jff < j y2+z2 1/ 4(zxz + x) I = Jfas * L

=

989

dy dz, donde x = -/1 - y2 - z2. - x Jfas* y dz = - 21 Jfo 2 7t 43 cos26 d6 = - B3 n-.

Introduccion al calculo

990

y

al analisis matematico

Ejercicios 5 . I Ob ( p . 6 1 7 ) 2 . S i (�, 'YJ ) y

son coordenadas rectangulares e n II y P, respectivamen­ te, entonces el movimiento del punto puede describirse median­ te las ecuaciones

(x,y)

�=x

M (x, y)

cos tP

'Y)

- y sen tP + a,

= x sen tP + y cos tP + b

(es decir, por una rotacion y una traslacion). Entonces S(M) = A(x2 + y2) + Bx + Cy + D. ( ) Si A = =t= 0, se tiene S(M) = nn:[(x - xo)2 + (y - yo)2] + S(C), donde C es el punto x = Xo = -B/2nn:, y = yo = -C/2nn:, de don­ de A, B, C, D tienen los valores dados en el Ejercicio 1 . ((31) Si A = nn: = 0 pero B2 + C2 > 0, entonces + .D S = ..;B2 + c2 Bx../B+2 Cy + C2 = A d(M) ex

nrr

M

'

Bx + Cy + = =..;B2 + C2 A=B= = S(M) = = n = S(A) = S(B) = n:CB2 = n:y2• S(M) = n:y2l-1 d (M), l = AB. n = S(A) = S(B) = S = S(A) = n:CA2 + S(C}, S(M) = S(A) - S(M) = n:CM2 + S( C) ; n:(CtP - CM2) = n:ab.

y A es la recta donde A D 0. Si C' 0, se tiene D constante. 3. Para el movimiento del plano P rigidamente sujeto a la biela A B, se tiene Por tanto, A pasa por A y, por 0, 0, simetria, A es perpendicualr a AB en A . De aqui que donde 4 . Para el movimiento del plano P rigidamente sujeto a la cuerda A B, se tiene 1, area de r. Por lo tanto, el punto C del teorema de Steiner equidista de A y B, y de donde area de r area de r' = 5 . Si l es la longitud de 2 . 5 , p. 260) dan

•

r,

las formulas de Frenet (Ejercicio 1 6 , Seccion

f� ds = f !;: ds = f �1 ds = s �:! ds 0 ; f x � n ds = f x !;1 ds = x !;1 I � - f x ds = - f!;1 !;1 ds = 0 n' = (ex, x = (x, y, z). ff (acx + b(j dcr = - Jff (:� :� :�) dx dy dz, =

X

X

X

!;1

X

6 . Sea

Si en la formula de Gauss,

(3, y),

+ cy)

se hace la sustitucion tiene

+

a = 1, b = = 0, y a = 0, b = -z, = y, se ob­

ff ex dcr =

respectivamente.

+

0

c

y

c

ff (y

y

- zfj) dcr = 0,

Soluciones

99 1

=

7 . T6mense coordenadas rectangulares (x, y, z) tales que z 0 sea la superficie horizontal libre del fluido y Oz apunte hacia abajo. La presion sobre dcr es nz dcr, donde z es la profundidad de dcr . Mediante aplicaciones repetidas de la formula de Gauss en tres dimensiones, con elecciones obvias de las funciones a, c, se encuentran, para las com­ ponentes de la resultante de la presion del fluido,

b,

JJ rxz da = 0, JJ [3z dcr = 0, JJ yz dcr = -JJ dx dy dz =

-

V.

Una vez mas, mediante la formula de Gauss, para las componentes del momento resultante con respecto al origen 0 se encuentra

JJ (yzy - z2[3)dcr = JJJy dx dy dz = Vyo,

JJ (z2rx - xzy)dcr = - JJJ x dx dy dz = - Vxo, JJ (xz[3 - yzrx)dcr = 0,

(xo, yo, zo son las coordenadas del centroide C) . Ahora se observa que las componentes de Ia fuerza f son 0, 0, V, y las componentes de su mom ento con respecto a 0 son Vyo, - Vxo, 0. De las ecuaciones parametric as -

8.

x = a cos u cos v, y = b sen u cos v, z = c sen v

(o � u < 2n-, - � � v < �)

del elipsoide, facilmente se obtienen las formulas p

don de

dS = abc cos v du dv, dS = D2b du dv , p

-

a c cos v

D2 = b2c2 cos 2u cos2v + a2c2 sen2u cos2v + a2b2 sen 2v cos2u. 1 0 . La integral represent a el angulo solido que el plano z = 0 subtiende en el · punto M = (0, 0, 1). Para una demostracion analitica directa, us·ense cooidenadas polares planas.

1 2 . Verifiquese la identidad

i_ a - x ) + ! ( b -3 y ) + � ( � oy y az y3 ) = o, y2 = (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2, para todos los puntos (x, y, z) diferentes de (a, b, c) . A partir de Ia for­ nula de Gauss en tres dimensiones se concluye (i) que n = 0 si es una superficie cerra d a tal que A = (a, b, c) esta fuera del volumen limitado ax ( y 3

:E

por ::E ; (ii) que si A esta dentro de �::E, el valor de Ia integral es indepen­ diente de Ia forma de :E. Tomando como :E una esfera con centro en A facilmente se ve que n 4it. 1 3 : La integral , escribiendo y en Iugar de r,

=

992

Introduccion al dilculo y al analisis matematico

(

i_(C - )

a0. = irr � a - X ) dy dz + i_ ( b - X ) dz dx + z )"I:. aa y3 aa y3 dx dy aa aa y3 es independiente de I: y solo depende de Ia frontera, r , de I:, porque Ia identidad dada en la respuesta al Ejercicio 12 implica que

[ (

a a a-x ax aa �

)J + aya [aaa ( b---- y-=(3 )J + aza [aaa ( Tz ) J = c

-

o.

Por el teorema de Stokes (p. 6 7 8 ) y la discusion del Capitulo 5 , pp . 679-680 , la expresion de la integral de superficie para a O. foa puede es­ cribirse como una integral de linea, r u dx + v dy w dz , a lo largo de r. Verifiquese que las funciones

+

-c y-b u = O, v = z-y3 , w = - �� y3

satisfacen las identidades

14.

15.

Observense los siguientes hechos: ( 1 ) el valor de Ia integral de linea e per­ manece sin cambio si se deforma r de manera tal que nunca pase por encima de cualquiera de los puntos ( - 1, 0) o (1, 0) durante su defor­ macion; (2) e = 27t si r es un dculo pequefio alrededor de (1, 0) orien­ tado en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj ; (3) e = 21t si r es un drculo pequefio alrededor de ( -1, 0) , orientado en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. Considerese a C como si fuera un drculo rigido hecho de alambre y a r como un hilo . Def6rmese ahora el hilo r hasta que ocupe una nueva posicion , r', que este por completo en el plano y = 0. Los mimeros p y n no cambian durante esta deformaci6n, y se llega directamente a la primera formula si se aplica lo del Ejercicio 14 a Ia curva r' del plano y = 0 y al segmento rectilineo - 1 < x < 1, y = 0, z = 0 de este plano. Resulta el factor 47t (en Iugar de 21t, como en el ejemplo anterior) , pues el angulo solido 0. se incrementa en 47t a lo largo de una trayectoria cerrada para la cual P = 1, n = 0. Una manera de llevar a cabo analiticamente Ia deformacion anterior, de r en r' , es Ia siguiente. Supongase que r no corta al eje z, y sean X

= y(t) COS <j>(t),

y = y(t) sen <j>(t),

las ecuaciones parametricas de

r.

r('r) : X = y(t) COS ['•(t)],

z = z(t)

(O

�

t

� 21t)

Considerese ahora la familia de curvas

y = y(t) sen ('t"<j>(t)],

z = z(t), que dependen del parametro el cual decrece desde-'t" = 1 hasta = 0. Notese que r(l ) r y que r' = r(O) es una curva cerrada que esta en el plano y = 0. N6tese tambien que (para un valor fijo de z) cada punto P de r ('t") gira alrededor del eje z conforme varia; ,por lo tanto, el an=

•,

't"

't"

Soluciones

993

gulo solido n que c subtiende en p no varia con "t'. Esto implica que nl - 00 tendra el mismo valor para r (O) que para r (1) = r Para probar Ia segunda formula, notese que

J

- Oo = r dO = r grad 0 • dP = - r dP • PP' X dP' c \ PP' \ 3 ' = Jf Jf dP • (PP' X3 dP') = Jf Jf pp • (dP' X3 dP') \ PP \ \ PP' \ r c r c

l

01

l

·

l

_

1 6 . Tomese un sistema coordenado Ox 1 , Ox2 , Ox3 , y denotese por de posicion de un pun to variable sobre r . Entonces

a=

�Jr x

X

x

el vector

dx

tiene las propiedades requeridas, porque a • x3 =

�fr (x1 dx2 - x2 dx1)

e s e l area d e I a proyeccion d e T' sobre e l plano Ox1X2 . 1 7 . Las dos ecuaciones u = {x , v = {y pueden resolverse para x y y, dado que o(u, v)fo(x, y) * 0. Sea x = cr(u, v), y = -r(u, v) ; como Uy = Vx, se tiene (ver p. 308) . xv = Yu , cr v = -ru . Por tanto, existe una funcion g taJ que x = gu(u, v), y = gv(u, v).

18. u = 2 + y2) .vz (x .Jxz + yz + zZ v = 2 + y2 ..;-xz ) x2 + y2 + zoa ' (x

•

�--�--�--------

w

=

O.

Ejercicios 6. l e (p . 743 ) 1 . Con e = 0 , I a ecuacion (1 7 c) toma I a forma

(i) donde

c = 2C/m

y

f2 = c + �r '

b = 2yf.l.

Escribiendo esto en Ia forma

Jcr-+r-b dt _- 1 dr

e integrando se obtiene, s1 (iia)

c =f=. 0,

t = k + v'cr2 + br - _]!_ 2c f(r), c

Introducdon al calculo y al analisis matematico

994

don de (iib) y

si

I

f (r) =

c = 0,

Jc r--:1

ar

v -c

r=

(iic)

(1

senh

arc

sen

(3v'b

2cr/b)

para

c>O

(1-2cr/b)

para

c < 0,

+

+k 2 t

) 2 /3

.

Regresando a la ecuaci6n diferencial (i), se determina la constante de integracion c por medio de

b c = ro2 - ro . •

Si c < 0, se ve que r esdt acotado : r � - b/c. si ro > 0, r se incremen­ ta hasta este valor y, a continuacion, decrece a medida que el cuerpo en 6rbita cae hacia el sol . Si ro < 0, el cuerpo se mueve directamente hacia el sol hasta que choca contra el . Si c = 0, se observa que la constante de integracion k en (iic) es k = ± r0312 = b312jf03, donde se toma el signo mas o el signo menos seg(in que ro sea positiva o negativa. Si ro es negativa, nuevamente se obtiene una solucion en la que el cuerpo se acelera hacia el sol. Si ro es positiva, el cuerpo se escapa hacia el infinito pero con velocidad limite igual a cero. Si k > 0 y ro < 0, el cuerpo se acelera hasta chocar contra el sol, como antes. Pero si ro > 0, el cuerpo se escapa y, de (i) y (ii) , puede verse que tiene una velocidad Hmite positiva, a saber,

r = c = ro2 - .!!_ ro . 00

2 . Tanto para la parabola como para la hiperbola la orbita es no periodica y

e

esta acotado. Como consecuencia, de

oo

e , J e/2 dO = h(t - to),

cuando

tiende a oo, T tambien debe tender a . De ( 1 7d) se concluye que e conforme t --+ oo ; de aqui que en (1 7c) , de lim. r29 2 t- oo

t-oo

t - oo

t-oo

e:,

f2 = 2Cfm. Sin embargo, de Ia definicion de (e: = 1) C vale 0 y para la hiperbola (e: > 1), tiene un t -oo

-m/2

=0

= (lim r29) (lim 9) = h lim e = o,

se concluye que lim la parabola positivo . 3 . La fuerza es gia,

t

grad

r2 • De

-12 m r2 (

+

para valor

aqui que, por la conservacion de la ener­

-

. r29 2) + 21 mr2 = C

Soluciones

995

y las ecuaciones de momentos, como para cualquier fuerza central, dan

Se elimina t de estas ecuaciones, como se hizo a partir de las ecuaciones ( 1 7c) y ( 1 7d) para el movimiento planetario, con el fin de obtener

dr = r j2Cr2 de li -m

-

h2

-

r4.

Esto se integr-a con facilidad para llegar a

donde queda

a = 2h2

y

r2 = b + asen 26 '

b = .Jl - h2m2fC2.

En coordenadas cartesianas esto

b(x2 + y2) + 2xy = a,

que es Ia ecuaci6n de una secci6n c6nica. 4 . La fuerza es - grad U, donde U

= - J {(r) dr. Como para el movimiento

planetario , puede aplicarse Ia conservaci6n de Ia energia y Ia ecuaci6n de los momentos ( l 7d) , a saber ,

� m(f2 + r202) - J{(r) dr

=

C

r20 = h.

Ahora se puede proceder en Ia m1sma forma hasta llegar al resultado deseado . 5 . Apliquese el resultado del Ejercicio 4 . 6 . S i (�, 'tl ) son las coordenadas con respecto a los ejes de I a elipse, entonces

= a cos w = x + c.a 1l = b sen w = y

�

dan Ia ecuaci6n de Ia elipse y, por Ia ley de las areas,

h(t - ts) = f(l) 0

( X oo-yw - y oox-w ) dw

= ab fo(l) (1

- c.

cos

w) dw .

7 . El movimiento se lleva a cabo en un plano, dado que .p es una fuerza cen· tral (lo que se prob6 para el caso p en Ia p. 738 ). Por lo tanto,

= 1/r2 X = - Xr- p, ••

y

= - � p. r

Introduccion al calculo y al analisis matematico

996

Se deduce que =

xy - xy constante = h, xx + yy - -xxr- yy p rp .. .

En consecuencia,

.. .

_

_ -

-

.

.

-2l -dtd (X. 2 + Y" 2) = - rp. .

La distancia de la tangente al origen es

por lo tanto,

q = l.;xy:X; 2-+xyy2 l = .;:X;2 h+ y 2 ;

o bien,

d h2 2 dr q2

-1 - - = -p

'

q = r2

lo cual prueba la primera proposicion. Para la cardioide se tiene

/.J2ar.

8 . Por definicion, (A)

x=

y=

-

:f..2x - 2tLy "A2y + 2tLx.

Derivando dos veces cada ecuacion y combinando los resultados se ob­ tiene una ecuacion en que solo int�rviene x, y

una ecuacion correspondiente que solo involucra a y

[±i(tL ± .j).,2 + tL2)t] (ver el Ejercicio 2 , p. 769) o de cos (tL + -/)..2 + !L 2)t , cos (tL - .j)..2 + tL2) t, sen (tL + ../)..2 + tL2) t, sen (tL - Jr2+!i2)t, con coeficientes constantes a, b, d y a ' , b' , d' De (A) se deduce que a' = b' = -d, = a, d' = b . Usando las condiciones iniciales x(O) = y( O) = y(O) = 0, x(O) = u, se ob­ tiene el resultado dado . 9 . Sean (XI, YI), . . . , (x n , Y n) las particulas atractivas. Entonces la fuerza resultante en un punto (x, y) tiene componentes X - Xv Y - Yv X = [; v -v'(x - Xv)2 + (y - Yv)2 ' Y = [;v v'(x - X v)2 + (y - Yv)2 Asi ,

x y y

son combinaciones lineales de exp

' c ,

- c,

c

c,

'

•

Soluciones Si se introducen las cantidades complejas se tiene

+ iyn, z = x + iy, Z = X + i Y, z

_

997

Z1 = X1 + iy1 , . . . , Zn = Xn

= 2: z -1 Zv = f'(z) ' f(z) (z - Zn) denota al polinomio (z - ZI) v

_ _

y z es el complejo donde f(z) conjugado de z. Las posiciones de equilibrio corresponden a Z = 0, es decir, a los ceros del polino�io f'(z) de los cuales a lo sumo existen n - 1

-

•

•

•

Las posiciones de equilibrio en el caso particular:

( .J(i2 - b2, 0).

(0, 0), (.J(i2

_

b2, O) ,

Ejercicios 6 . 2 (p . 7 55)

1.

(a) (b)

2.

(a) (b)

(c) (d)

y = tan log (c/.Ji-+ x2). y = c.J1 + y= y2(2x2 + y2) = c2. x2 - 2cx + y2 = 0 (circulos) . arc tan (y/x) + c = log .Jx2 + yz ( espirales logaritmic as). + log I x I = arc sen (y/x) - X! .Jx2 e 2x .

ceYix.

erfi + c

(e)

c

3. Si ab 1 - a1 b

=1=

0,

se tiene

o, en coordenadas polares,

- y2.

dY) - a + by' a + b¢>(YJ/�) d� a1 + b1y' - a 1 + bi¢>(YJ/�) ' _

_

la cual es una ecuaci6n homogenea. Si ab 1

- a. 1 b = 0 or a 1/a = b1 /b = k, dY) dy - Y) ++ --- a + b dx - a + b¢> kY) dx �

y

4.

las variables estan separadas.

(a) (b)

5.

(a) (b) (c) (d)

4x + By + 5 = 1 - 7x) - 3 1og (3y - 7x). = c - 4(3y ce 4x - s y .

x

4

y = ce-sen x + sen x - 1. y = (x + 1) n(ex + c). y = cx(x - 1) + x. y = ! x5 + cx2• 3

( -- ) , c

c1

entonces

r

=

Introduccion al calculo

998 (e)

c

+

al analisis matematico

1

� -­

y = v1

y

x2

6 . Introduzcase 1/y como una nueva funcion desconocida; entonces la ecuaci6n se vuelve homogenea:

7 . Con esta sustituci6n, la ecuaci6n queda

v' = vng(x)F(x)n-1 . Eliminese y mediante v = xy, y' = v'fx - vfx2 ,

8 . Ver el Ejercicio 7 . obtener una ecuacion separable;

para

1 - x(c - log x) ·

y -

9. Siguiendo la idea de la sustitucion dada en el Ejercicio 7 , busquese una funci6n f(x) tal que v =yf(x) y'f (x) + yf'(x), se obtiene

y

v' = (y' + y sen x) f(x). A

partir de

f' =

f'(x) = f(x) sen x; d e donde

f(x) = ae- cos x . Para los fines que aqui se persiguen l a constante a no tiene importancia se puede hacer a = 1. Entonces se obtiene la ecuacion separable v'

=

y

- e ( n- l)COS X Sen 2X,

la cual se integra con facilidad por separacion de variables. El resultado final es

{

n- l

y=

J2�-[(n 1- 1 - cos xJ ---

+

(n =I=

ke- < n-l)cos x

ke cos x+( cos 2x)/2

(n

1)

= 1).

Ejercicios 6.3b ( p . 7 63) 1 . Si cualquier combinacion lineal de estas se anulara , digamos

c� sen n1x + c2 sen n2x +

• • •

+ Ck sen nkx = 0, , k, multiplicando por sen ni(x), donde j = 1, .

entonces, do sobre [0, 1t] , se obtendria

.

.

e integran­

Soluciones

Cj

999

de don de, = 0 para to do j. 2. Usar inducci6n. Sup6ngase que se cumple una relacion lineal c1¢> 1 + • • • y derivese (n + 1) veces si Pk(X) es = 0 . Dividase entre no cambia, de de grado nk. El grado de los coeficientes de los otros modo que siguen siendo diferentes de cero. 3 . Multipliquense ambos miembros de la ecuaci6n por (1 - n)y-n.

+ Ckf/>k

y- 1 = ex

eakx

x + 1. 2 (b) y3 = cx-3 + 3a 2x . (c) (y- 1 + a) 2 = c(x2 - 1). 4 . Si se pone Y = Y1 + u - 1 , la - (2Py1 + Q) u = P. (a)

k

eaix

+ log

y=x-

ecuacion se reduce a la ecuaci6n lineal u' exp

[(1/2)x4]

����� [(1/2)x4] dx c + J0x x2 ------

exp

-----

5 . Igualense los segundos miembros de las dos ecuaciones para obtener y

x2 ,

Y .

=

verifiquese directamente que esta es una integral de ambas ecuac10nes. 6 . N6tese que esta es la ecuacion (a) del Ejercicio 5 y , por lo tanto, es una ecuaci6n de Riccati con una soluci6n conocida. Entonces, apliquese el resultado del Ejercicio 4 . y

= x2

_

exp

c + L:

[(2/3)x3] e xp [(2/3)x3] dx

[ = f(x, c)].

Para trazar las graficas de la familia de curvas correspondientes, tracen­ se primero las dos ramas de la curva

y2 + 2x - x4 = 0 ,

y = ±J(x3 - 2)x,

la cual divide al plano en dos regiones donde y' < 0 y una region donde ' y > 0. Las dos ramas infinitas de esta curva son asintoticas a las dos parabolas y = ±x2 • Demuestrese que todas las curvas integrales son asintoticas a estas parabolas, probando las dos relaciones

f(x, c) = - x2 + o(l) conforme x ---+ + oo

y

f(x, c) = x2 + o(l)

conforme

x ---+ -oo

o(l) denota una funcion que tiende a cero.

donde 7 . Pongase

Yl - ya = a, Entonces

Yl ......:. Y4 = b ,

Y2 - Ya

=

c,

a' + Pa(y1 + Ya) + Qa = 0,

( -oo < c . <

oo

)

(c =F 0),

Y2 - Y4 = d.

Introduccion al calculo y al analisis matematico

I 000

de modo que

P(y1 + Ya)

=

-

Q - -aa' ,

o bien,

2Py1 aP - Q - aa, . =

De modo semejante,

De aqui que

2Pyl = bP- Q - bb' . d logd_x(a/b) _ =P(a - b) = - P(ya - y4), __

y'

analogamente'

rest ando,

d log (cfd) dx l og

8 . Ver Ia relaci6n

_ ,_ _

P(Ya - y4) ·,

afb = constante . cfd

d l og (a/b) -_ P(Y4 - Ya) , dx

en Ia demostraci6n del ejemplo precedente. Las soluciones particulares de Ia ecuaci6n especial son

Y

Y2 = - 1/cos X ;

9 . La soluci6n com(m

ecuaciones.

ce2x x y = (1 -1 +ce2x)cos ·

ex de (a) y (b) se obtiene eliminando

YI

=

1/cos x

y" entre las dos

(a) c1ex + C2X. (b) c1ex + c2.fX.

1 0 . La curva satisface Ia ecuaci6n diferencial

n (x �; - y) = r ,

o . en coordenadas polares,

r,

6, con 6 como variable independiente,

nr2 = r; dr cos e d6 - r sen 6

Soluciones

1 00 1

es decir, d l og d6

de donde r

r

= c_!.!___ os 6 + tan 6

'

sen 6)n = a [tan(6/2cos+6 7t/4)]n = a (1 c+osn+ l6

(ver el Volumen I , pp. 27 1 -272).

Ejercicios 6.3c (p. 769)

3x -- . 2x + cae-< 1 12>x sen J = Ctex + C2e-<1 12>x cosJ3 2 (b) = Ctex + c2xex + cae2x. (c) = Ctex + c2xex + cax2ex. (d) = Ctex + C2e-x + Caev2z C4e-vzx. (e) Hagase la sustituci6n x = et: = CtX + C2/X. 2. Del teorema fundamental del algebra se deduce que f(z) puede escribirse f(z) = (z - at) Jt 1(z - a2)112 (z - ak)Jtk (ver el Volumen I, 2 8 6 Volumen I I , p. 888 ) , donde los ILv son enteros positivos tales que ILl + + ILk = n . y f(av) = f'(av) = = f <�tv-1>(av) = 0. 1 . (a)

y

y

y

y

+

y

•

p.

•

;

•

•

•

•

•

•

•

Ahora bien,

(ILv - 1)

= av en el resultado

veces y poniendo A. Derivando esta relaci6n seobtiene (ver la regia de Leibnitz, Volumen I , p. 203)

L(eavx) = f(a v) eavx = 0 L(xeavx) = [f'(av) + xf(av)Jeavx = 0 L(x2aavx) = [f"(a v) + 2xf'(av) + x2f(av)Jeavx = 0 L(xJtv- leavx) = [( 1Lv0- 1 } t<�Lv- 1>(av) + ( �tv } 1 } t(av)x + + (�: = 0 f(av)x11v- l J eavx = 0. •

•

•

De modo que se tienen n soluciones particulares

1002

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

las cuales, por el Ejercicio 2 , p. 763 , son linealmente independientes.

3. Sustituyendo en Ia ecuaci6n diferencial, se obtiene

(aobo - 1)P(x) + (aob1 + a1bo)P'(x) + (aob2 + a1 b1 + a 2 bo)P"(x) + • • • = 0, y, por el desarrollo, esta es una identidad si aobo = 1, aob1 + a 1 bo = 0 . . . , El segundo caso se reduce al primero si se sustituye y por y'. ; de donde , 4. (a) 1/(1 + t2) = 1 - t2 + t4 y = P (x) - P"(x) = 3x2 - 5x - 6. (b) 1/(t + t2) = (1/t) - 1 + t - t2 + • • • ; de donde , y = P(x) dx - P(x) + P'(x) - P"(x) = - � + x + � xa . •

5.

(a)

•

•

J

y = 8-3 ex.

7 . (b) La ecuaci6n se vuelve de Ia forma tratada en (a) si se multiplica por x3• Tiene las soluciones particulares u = x3 y y x5; de donde, por (a) , una tercera soluci6n esta dada por w = 1 + x2 ; entonces, Ia soluci6n general es =

A(1

+ x2) + Bx3 + Cx5 •

Ejercicios 6.4 (p . 780)

1.

(a) x2 + y 2 + ex + 1 = 0 (- oo < c < oo) y Ia recta x = 0. (b) x2 + 2y2 = c2 . (c) Se encuentra que Ia ecuaci6n diferencial de Ia familia de c6nicas con­ focales (ver Ia p. 303) es

y' 2 + x2

_

y2

_

xy

a2 + b2 y' - 1

=

0,

Ia cual permanece sin cambio si se remplaza y' por - 1/y' ; Ia familia de elipses ( - b 2 < c < oo) es ortogonal a I a familia de hiperbolas ( - a 2 < c < - b2). (d) y = log I tan (x/2) I + c y las rectas verticales x = krc (k entero) . (e) La familia de curvas (tractriz) .

Soluciones

1 003

x - c = ± [Jaz - y2 - a ar cosh (a/y)]

y la misma familia reflejada en el eje x . 2 . (a) L a familia d e parabolas y � cx2 • (b) La familia de hiperbolas xy = c. (a) y = x2 • (b) y = - x + x log ( -x), (0 > x > 4 . y = xp + a J 1 + p2 - ap ar senh p .

3.

5.

1 x = ce-p l a + - p 2

y = c(p + a)e- p la

-

oo

).

+ 21 p(p + a) - 41 (p + a)2.

N6tese que para c = 0 esto da la parabola y = xz - (a2f4). �Cual es el significado geometrico de este resultado? 6. (a) y = sen (x + c), soluciones singulares y = ± 1. (b) x =

±

� (arc sen y + yJ1 - yz) + c.

(

(c) x = ± J(2a - y)y - 2a arc tan

J-2a Y- y ) +

c,

la cual es una familia de cicloides y puede expresarse en la forma parametrica x = c + a (rjJ - sen rjJ), y = a (1 - cos r/J). La soluci6n singular , . y = 2a.

(d)

x= ±

y2 ry J 11 -+ y2 dy + c

J

0

(

-

1

� y � 1) ;

las soluciones singulares y = ± 1. (El lector debe probar que estas curvas no son sinusoidales. La expresi6n para x puede escribirse en terminos de integrales elipticas de segunda clase; ver el Volumen I , pp. 436 y siguientes, Secci6n 4. lg, Problema 1 . )

7 . y = x sen ax ; soluciones singulares y = x

y

y = -x. 8 . En cada caso , sup6ngase que la ecuaci6n de la recta tangente se da en la forma xfa + yf b = 1.

(a) Ecuaci6n de Clairaut , Y = xp + kpf(p - 1), donde k = a + b. La in­ tegral singular es la parabola x2 - 2xy + y2 - 2kx - 2ky + k2 = 0, simetrica respecto a la recta x = y y tangente a los ejes x y y en los puntos (k, 0 ) y (0, k), respectivamente.

(b) H agase a = k cos e y b = k sen e, donde k es la longitud dtlter­ minada sobre la .tangente por sus intercepciones; t1sese a como el parametro a lo largo de la curva.� La ecuaci6n de Clairaut es Y = xp ± kpf J 1 + p2•

Las ecuaciones parametric as de la curva son x = k cos3 Esta es la astroide del Volumen I , p. 436 , Secci6n 4 . l e , Problema 7 .

e, y = k sen3 e.

I 004

lntroduccion al calculo

y

a l analisis matematico

(c) Hagase I ab I = k. La ecuaci6n de Clairaut es Y = va es la union de las dos hiperbolas rectangulares

Ejercicios

6.5

xp + .J.kfPT· La cur­ 4xy = ± k.

(p. 784)

1. (a) Reescribase como (�y'2)'

= x;

y = � x .Jx2 + a + � a log (x + .Jx2 + a).

(b) Reescribase como (y"2)' = 1 ;

4 (x + a)5 12 + bx + y = i5

(c) Reescribase como

(xy')' = 2 ; y = 2x -;- a log x +

c.

b.

x (y"2)' = y"2 2 e introdiizcase nueva variable independiente. y = x 2 + � ax3 + bx +

(d) Reescribase como

-

y"2 como una

c.

(ax + b)2i3, Y = .Ja + (x + b)2 • Y = ./a(x + b) 2 + a- 1.

2 . (a) y =

(b) (c)

La ecuaci6n puede expresarse en la forma p (dfdy) (pfy) = - bea x). �6tense las soluciones p = 0, y = constante.

(e) lntrodiizcanse las nuevas variables

dz) = yiv,

y = ax2 + bx .+

c

z y q,

+

(f) Procedase como en Ia parte (e) :

con

1. y = a/(1

z = y", q = y"' y q(dq/

;5 ( � + b r

y = ax + b + sen (x + d). MN = y./1 + y'2, MC = - [(1 + y'2)3 12/y"], y Ia ecuaci6n diferencial es (1 + y'2)2y + ky/1 = 0. c

3.

Por el metodo general , esta se reduce con facilidad a

( dxdy ) 2

k+

--

c -

y2 -

c

y2

(c const a nte a r b i t r a ri a ) .

Los diversos casos, todos d e gran importancia e n la geometria diferenci a l de las superficies , 1 son como sigue: 1 v't:� L. P. Eisenhart, A Treatise on the Differential Geomdry of Curves and Sur­ faces, rei. 1preso por Dover (N . Y 1 960). pp . 270 - 274. . •

Soluciones (1)

k = x2( > 0),

c = - y2 ( <

0,

y2

< x2).

1 005

La curva es suave en todo

punto y oscila, tocando alternadamente las rectas y = ± .Jx2 - y2. Parece una sinusoide pero no lo es. (2) k = x2 , c = 0. La curva es un drculo de radio x con centro sobre el eje x . (3) k = x2, c = y2 (> 0). La curva es una sucesion de arcos identicos, unidos por dispides que se encuentran sobre la recta y = y, y todos en (4)

contacto con y = .Jx2 + y2 . Parece una cicloide pero no lo es. - x2 ( < 0), c = y2 > x2. La curva es una sucesion de arcos iden­ ticos vueltos hacia abajo, con sus cuspides sobre y = y y en contacto

k=

con y = 4'y2 - x2 • k = x2, c = y2 = x2. La curva es una tractriz. (6) k = - x2, c = y2 < x2. La curva tiene una infinidad de cuspides perpen­ diculares a las rectas y = y y y = -y , alternadamente. Eliminense a, b, c usando las ecuaciones que se obtienen al derivar tres veces la ecuacion del drculo. (5)

-

(1 + y2) y"' - 3y'y"2 =

0.

Ejercicios 6.6 (p . 7 8 7 ) 1 . (a) co = a, C1 = a, Cv = rr

(b) CO = 2 , C1 = 1, C2 V = (c) co = 0, c1 = 1, C2 =

(d) 1 + 2. Si y(x)

X +2

x2

+

(v � 2).

a+ 1

-1v.

0, C2 V+1 =

2( - 1)v 2V + 1

0, ca = 31 .

(v � 1).

4+ · · ·.

xa

= �cvxv , entonces C v +2 = -

Cv (v + 2) 2

y

Co = 1, C1 =

0;

oo ( 1) V y(x) = � -=x2 v V=O 22 V v !2

Si se sustituye la serie de potencias para cos xt en la expresion para Jo (x) del Ejercicio 7 , p. 5 34 , y se intercambian la integracion y la suma (�por que puede hacerse esto?), se obtiene

el valor de

+1 [2 V 1 oo x 2 V Jo(x) = - � ) ( - 1) v dt ; 1t V=O (2v .I -1 'V/1 - t2

1+1

J

t2 V dt - 1 4'1 - t2 --

is

1006

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

como facilmente se encuentra poniendo t = sen " y remitiendose al Volumen I , p. 280 . Por lo tanto, las series de potencias para y(x) y Jo(x) son identicas.

Ejercicios 6. 7 (p . 80 1 ) 1 . La formula de Poisson d a una funcion de potencial u(r, 0) e n el interior del drculo unitario, con valores en Ia frontera dados por {(0). Ahora bien, u(1/r, 0) tambien es una funcion de potencial (ver Ia p. 5 8 , Ejer­ cicio 4) con los mismos valores en Ia frontera, y es acotada en Ia region exterior al drculo unitario; por lo tanto, Ia expresion

r2 - 1 f27t{(rY.) 27t J o 1

-

drY.

2r cos(O

- r1.) + r2

es una solucion del problema . 2 . El potencial es fl. 1og

z + l + v'(z + [)2 + x2 + y2 z - l + (z l)2 + x2 + y2 vJ

Dado que sobre el elipsoide e l potencial es

_

z = lr1.

fl. log

cos
•

v'x2 + y2 = lv' r1.2 - 1

sen
(1. + 1 (1. - 1 ,

-�

los elipsoides confocales

� + x2 + y2 = 1 [2z2 [2((1.2 1)

(1

_

�

r1.

�

oo

)

son superficies equipotenciales. Las lineas de fuerza son las trayectorias ortogonales, y por lo tanto (ver el Ejercicio 1 , c, p. 7 8 1 ), son las hi per­ bolas confocales dadas por Ia misma ecuacion, cuando 0 � r1. � 1 y la razon de x a y es constante.

2: un esfera de radio p y centro en (x, y, z) , que se encuentra en el interior de S. Como ll(1/r) = 0 y flu = 0 en Ia region limitada por 2: y S, por el teorema de Green (ver Ia p. 675), se tiene

3. Sea

0

=

(!

)

(( ( !

)

au - u a(1/r) da, au - u a(1/r) da (( an JJL. r an an JJs r an

don de, en Ia primer a ihtegral,

� ' r -:/::::.

P

es Ia normal exterior de S y, en Ia segun­

2:. Ahora b ien, sobre Ia esfera .L: = p ; por lo tanto, constante .

da, Ia normal exterio� de

= a(a1fr) r =

n

se tiene

a(1/r) an

Soluciones

1007

ya que u es una funci6n arm6nica (ver la p. 795); ademas,

y conforme p � 0, esta expresi6n obviamente tiende a u(x, y, z) , porque es el valor medio de u sobre L.

Ejercicios 6.8 (p . 8 1 0 ) l . ( a ) u = f(x) + g(y) ; f y g son funciones arbitrarias. (b) u = f(x, y) + g(x, z) + h(y, z) ; {, g, h son funciones arbitrarias.

(c) La soluci6n mas general se obtiene a partir de una soluci6n parti­ cular, sum an do la soluci6n general de la ecuaci6n homogenea Uxy = 0.

J: d� J: a(;, 1)) d"t) + f(x) + g(y),

u=

donde x y g son arbitrarias. 2 . Si u(x, y) = L: 1Xv11 xvy�t, entonces IXv + I , 11+1 =

{v +

1) (!L + 1)

adem as, para v �

1

y

IXv o = IXOv = 0 IXOO =

1.

Asi ,

u(x, y) =

. -

xy vL;:o � = Jo(2z Jxy), 00

v v

donde Jo es la funci6n de Bessel del Ejercicio 2 , p. 787 . + Zy2 + 1) = 1. 4 . Una familia uniparametrica se obtiene a partir de la familia bipara­ metrica de soluciones z = u(x, y, a, b) haciendo que a y b dependan de alguna manera de un parametro t : 3 . z2(zx2

a = f(t) b = g(t),

z = u(x, y, f(t), g(t)).

La envolvente de esta familia uniparametrica se obtiene encontrando t a partir de la ecuacion 0 = Zt = uaf'

+

Ubg1,

y sustituyendo esta expresi6n para t en z = u(x, y, f(t), g(t)). El resultado es nuevamente una soluci6n de F(x, y, z, Zx , Zy) = 0, ya que z

= u(x, y, a, b)

l 008

Introduccion al cilculo

y

al anilisis matematico

Zx = Ux + Uttx = = Ux(X, y, a, b) Zy = Uy + Utty = Uy(X, y, a, b)

y z = u(x, y, a, b) satisface la ecuaci6n F(x, y, z, zx, Zy) = 0. 5 . (a) De la ecuaci6n diferencial se obtiene

[f'(x)]2 + [g'(y)]2 =

1

o bien, [f'(x)]2 =

1

-

[g'(y) ].2

Como el primer miembro no depende de y ni el segundo depende de x , ambos miembros son iguales a una constante (la cual tiene que ser po­ sitiva o cero), digamos c2 ; es decir,

1 - [g'(y)]Z = c2.

[f'(x)]2 = c2,

De aqui que u = ex +

es una soluci6n, donde

c

y

.J1 - c2 y +

b son arbitrarias

b y

c2 �

1.

(b) u = f(x) + g(y) da f(x) =

1

g'(y)

= constante

=

a,

de modo que, en este caso ,

1

u = ax + - y + b a

(donde a y b son constantes) . . Si u = f(x) g(y), entonces

.!!_ [f(x)]2 =

dx

4/dyd [g(y)]2 = constante = 2c;

de modo que, en este c aso,

siendo (c) u = x

6.

a�

b,

c

constantes arbitrarias.

Jx +y k + y Jx y+ k + k Jx +y k .

Apliquese la transformaci6n lineal X = I; + YJ, y 3C: + 2YJ, =

u = f(y - 2x) + g(3x - y) +

1 xy 12 e + .

Soluciones 7 . P6ngase u

=

(x2 + y2 + z2) n 12 y sup6ngase que

ll.. u = Uxx

+

Uyy + Uzz

=

n(n

K

1 009

es de grado h. Entonces

1) (x2 + y2 + z2)
+

x ofi + y olf + z olf = az ay ay

hK

(ver Ia p. 1 5 3 ) . Por tanto, u = (x2 + y2 + z2)- < Hh>12 es una soluci6n. 8. De acuerdo con lo expuesto en Ia pagina 803,, una soluci6n de Ia pri­ mera ecuacion es de Ia forma z = f(x + at)

+ g(x - at).

Sustituyendo est a ex presion en Ia segunda ecuaci6n, se tiene f' g ' = 0 ;

es decir, f = constante, o bien, g = constante. Por lo tanto, Ia soluci6n mas general de ambas ecuaciones es z = f(x + at), o bien z = f (x - at) . 9 . ( a) De Ia ecuaci6n diferencial result a xx


_

-

1_ Y,tt e2 y,

_

).

'

siendo J.. una constante. Las condiciones en Ia frontera solo pueden satisfacerse si J.. = - n2, donde n es un entero, y
= ex

sen nx,

de donde Y,(t) = a sen net + b cos net.

Por lo tanto , Ia soluci6n particular mas general del tipo especificado es u(x, t) = sen nx (a sen net + b cos net) .

(b) Aplicando sen A sen B = i [cos (A - B) - cos (A + B)] y A cos B = t [ sen(A + B) + sen(A - B)], se obtiene u(x, t) =

1 [a cos n(x - et)+

2

b sen n(x - et)]

1

- [a cos n(x + et)- b sen n(x + et)] . 2

(c) Sup6ngase una soluci6n en Ia forma de una suma de soluciones del tipo obtenido en Ia parte (a), es decir, u(x, t) =

.E

n=l

sen nx(an sen net + bn cos net).

Con .el fin de satisfacer las condiciones iniciales en (ii) , debe tenerse bn = cxn, an = 0. Para I a soluci6n de (i) observese, Volumen I , p. 587 , ( 1 7) , que cxn =

� [J:1t

-f( -x) sen nx dx +

L1t

J

f(x) sen nx dx

I 0I 0

Introduccion al calculo

=f 2

-

1t

1t

0

y

al analisis matematico

f(x) sen nx dx.

Para la soluci6n particular en (i) se encuentra oc2v /7t(2v + 1)2 , donde v 0, 1, 2, ; de donde

=

.

[

=

.

.

0, oc2v +1

=

(-1)v

sen x cos ct _ sen 3x cos 3ct � U(X, t) - _! 32 1t 12

10 . u(x, t)

0 0

+

sen 5x cos 5ct _ 52

.

.

f(x - at) + g(x + at) ; entonces, para x � 0,

== = = u(x, 0)

.

J

•

f(x) + g(x) ,

Ut(x, 0) = -af'(x) + ag'(x) ;

derivando la primera ecuaci6n f'(x)

=

o bien,

0,

y

comparando con la segunda, se tiene

g'(x)

f(x) = constante

Ademas, para t ;;;;; 0, if> (t)

= = !( u(O, t)

=

=

0,

c,

g (x) = - c

para

X f;;; 0.

f( -at) + g(at) = f( -at) - c ;

es decir, f (�) = c + ¢(�/-a) � < 0. Como x + at ;;;;; 0 siempre, tanto g(x + at) = - c, se deduce que u(x, t) =

0 para x - at � 0

)

x - at if> ---=-ll para x - at � 0

si tanto x como t son no negativas.

Ejercicios 7.2a (p. 8 1 9 )

, 1. ____g_

-J

v 2g

2. T =

<xl - xo)2 + (y1 - yo)2

J::

YI - Yo

.

f(r) -1 f2 + r2S2 + r2 sen 26�2 dcr.

Ejercicios 7 .2d (p . 828 )

1. (a) Las parabolas y

=

xz c2 + 4c2

•

(b) Circulo con centro sobre el eje x . (c) y

=

c sen

x-a c .

y

por

Soluciones 2. y =

a xn-

-·1

+ b para n > 1 ,

3. y = a(x - b)n si n +

4. ay" + a'y' + (b' � c) y =

y

y

m =I=

= a log x + b 0; y

para n =

101 1

1.

= aebx si n = -m.

0; para b = constante ,

solo depende de los puntos extremos de Ia curva y = y(x).

6.

Considerese F(x, y) , para x fijo, como una funci6n de y; sup6ngase que esta funci6n de y tiene un minimo para y = y. Entonces, F(x, y) � F(x, y) para una cierta vecindad de y y Fy(X, y) = 0. y dependera del parametro x ; [i.e., y = y (x)] . Entontes, para cualquier funci6n vecina, y, se tiene,

Jxox1 F(x, y(x)) dx � Jxox1 F(x, y(x)) dx,

7.

donde y (x) satisface la ecuaci6n Fy(x, y(x)) (a) y = 0.

= 0.

(b) Apliquese la desigualdad de Cauchy. Para cualquier x admisible, 1 = y(1) - y(O) =

Jo1 y' dx � Jfo1

1 2 dx

Jfo1

y'2 dx = /1,

y el signo de igualdad se cumple para y = x. Introduzcase 1/r como nueva variable dependiente en Ia ecuac10n de Euler. La soluci6n general es Ia linea 1/r = a cos 6 + b sen 6 .

Ejercicios 7.3b (p . 834) 1 . Si v = 1/{(r), entonces T esta dada por el Ejercicio 2,

F = f (r) /;.2 + r2a2 + r2 sen 2 6 �2 . La ecuaci6n de Euler para Ia variable

Fj =

1f2 r2 sen 2 "" '�'

F

'�'

p.

819:

¢> da

= constante =

C

a lo largo de un rayo. Ahora, sup6ngase que se eligen las coordenadas polares de manera tal que el plano = 0 pase por el punto inicial y por el punto final; como = 0 en estos dos puntos, se tiene � = 0 para alglin punto intermedio, por el teorema del valor medio; es decir, C = 0 ; pero entonces � = 0 para el rayo completo; es decir, = 0. Por lo tanto, el rayo completo debe estar en el plano = 0.

¢>

¢>

¢>

¢>

1012

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

2. Vease el Ejercicio 1 . Usando ¢> como parametro, se tiene que minimizar J.Je2 + sen26 d¢>, donde r = constante. Introduciendo cot 6 como nueva variable dependiente en Ia ecuacion de Euler se llega a Ia solucion ge­ nera) cot 6 = a cos ¢> + b sen ¢>, que corresponde a una curva de intersec­ cion de Ia esfera con un plano que pasa por el centro. 3. Vease el Ejercicio I anterior. Aqui, en coordenadas esfericas, se tiene 6 = constante. La introduccion de r como variable dependiente y ¢> sen 6 como variable independiente conduce a Ia misma integral por minimizar­ se que en el Ejercicio 8, p. 829 , (La aplicacion del punto del cono con coordenadas esfericas r, 6, ¢> sobre el punto del plano con coordenadas polares r, ¢> sen 6 conserva Ia longitud de arco. )

1/r = a cos(¢> sen 6) + b sen(¢> sen 6) . 4 . La trayectoria tiene que ser recta, ya que debe tener una longitud

minima para los puntos extremos dados . Solo tiene que encon­ trarse Ia distancia minima entre dos puntos restringidos a moverse sobre dos curvas dadas, el cual es un problema de minimo para una funcion de varias variables con condiciones subsidiarias (ver el Capitulo 3 , p. 389). 5 . Vease Ia solucion al problema siguiente. 6. Supongase que los puntos extremos se restringen a estar sobre las curvas y = {(x) y y = g(x), respectivamente. Supongase que Ia curva mini­ mizadora tiene los puntos extremos (ao, f(ao)), (bo, g(bo)), y una ecuacion y = u(x), donde u(ao) = f(ao), u(bo) = g(bo). Como u tambien es una extremal para puntos extremos fijos, satisface Ia ecuaci6n de Euler. Con­ siderese una familia de curvas, y = u(x) + e:'Yl (x) , con parametro e: y pun­ tos extremos (a, {(a)), (b, g(b)), donde a = a(e:), b = b(e:) son soluciones de {(a)= u(a) + e:'Y)(a), g(b) = u(b) + e:'Y)(b). La integral correspondiente es G(e:)

=

b(s) Ja(s) F (x, u(x) + e:'Y)(x)) .J1 + [u'(x)

+

e:'Yl'(x)] 2 dx.

Para la extremal u se tiene la condicion 0 G'(O). Se evalua G'(O) como en las pp. 820 - 82 1 , usando integracion por partes para eliminar 'Yl'(x). Debido a que u satisface la ecuacion de Euler, las (micas contribuciones provienen de derivar los limites en la integral para G y de los terminos de frontera en la integracion por partes. Observando que, para e = 0, =

[{'(a) - u'(a)]

da db = 'Y)(a), [g'(b) - u'(b)] d� de

=

'Y) (b)

y que 'Yl (a), 'Y)(b) son arbitrarias, se encuentran las relaciones

0 = 1 + u'(ao) f'(ao) =

1+

u'(bo) g'(bo) ,

que expresan Ia ortogonalidad en los puntos extremos.

Ejercicios 7.4a (p. 843 ) l . L a ley d e conservacion d e Ia energia da

T+ U= T=

� (�:) 2 = constante = � C2 ;

So1uciones

1013

de donde ds/dt = constante = C = velocidad inicial . Entonces el principio de Hamilton establece el caracter estacionario de

el caracter estacionario de la integral de Hamilton implica que Ia lon­ gitud de Ia trayectoria es estacionaria. 2 . Sea t un parametro a lo largo de Ia curva C. Sobre Ia geodesica perpen­ dicular a C en un punto de est a con parametro t, se usa Ia longitud de arco, s, como parametro , midiendo s a partir del punto sobre C. Enton­ ces x = x (s, t), y = y (s, t), z = z (s, t) representaran Ia curva que se ob­ tiene trazando una distancia geodesica S, fija, a lo largo de cada geo­ desica perpendicular a C en un punto con parametro t. Aqui, como s es longitud de arco, se tiene Xs2 + Ys2 + zs2 = 1 ; ademas, por la formula ( 1 9) , p. 765 , Xss, Yss , Zss son proporcionales a Gx, G y, Gz , y G(x, y, z) = 0 para todos los s, t en cuestion. Sobre S (es decir. para 8 = O) se tiene, por hipotesis, XsXt + YsYt + ZsZt = 0. Entonces, d (XsXt + YsYt ds

+

ZsZt) +

A(GxXt + Gyyt + GzZt) + XsXs� + YsYst + ZsZst

=

=

A dG dt

+

1 d = 2 dt (xs2 + Ys2 + Zs2) 0.

De aqui que XsXt YsYt + ZsZt = constante = 0 para todo s, lo cual prueba que las curvas C' para las cuales s = constante son perpendi­ culares a las geodesicas.

Ejercicios 7 .4b (p . 845�) 1 . A partir de las ecuaciones diferenciales para las geodesicas (p. 842) se en­ cuentra que para un cilindro (es decir, si G no depende de z)dz/dt es constante; de donde las geodesicas sobre un cilindro forman un angulo constante con el plano x, y.

y" y'2)3 = 0. 6y"(y"2 + 4y'y"') + 2y"" + 48y' 2y"3 - 0. (b) g(x) (1 + y' 2)3 (1 + y'2)5 (1 + y'2)4 (c) y + y" + y"" 0. (d) (2 - y'2) y" 0. 3 . (a) rpd (ax + by)r/Jx + (bx + Cy)rpy + arftxx + 2brftxy + crpyy. (b) A2rp = 0. (c) A2 rp 0. ' 4. au" + a u' u+ u(b' - c) A constante. 2.

(a) g(x) -

=

J(1

+

=

=

=

=

=

I 014

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

5 . (a) La ecuaci6n de Euler da { + 2AU a partir de est a ecuaci6n

y

=

0;

de J01 ¢J2 dx

=

K2 , se tiene

(b) Para cualquier ifJ contmua que sea admisible se tiene cumpliendose el signo de igualdad para 8. Partiendo de la condici6n necesaria (6b), p. 8 1 8 , se encuentra que

para cualquier YJ(X) que se anule en x = xo, X1 . Sean h y 1; tales que Xo < � - h < 1; < f. + h < X1 . Definase YJ(X) como para [(x - 1;)2 - h2]2h-7'2 para l x - � I < h , y como 0 en todos los demas puntos. Cuando h --+ 0, la integral tiende a cFy'y'(f,, u(f,), u '(f.)), donde c es una constante positiva. 9. Problema en realidad identico al problema isoperimetrico estandar. La soluci6n es un arco circular, pero como las soluciones son funciones de x, existe una cota superior para las longitudes permisibles en este problema, a saber 2 [(Xl - Xo)2 + (y! - yo)2] X! - Xo arc t an XI - xo I Y I - Yo I --"--'------''----�---"-"'--"'

-:---_ --= ---=:...,...

Ejercicios 8. 1 (p . 85 6 ) 1 . (a) Hagase IX = a 1 + ia 2 , � = b 1 + ib 2 . Para el ejemplo de la multiplicaci6n, IX �

= (a1 b1 - a 2 b 2) - i(a1b2 + a 2 b1) = IX� ·

(b) Se deduce directamente de (a) tomando limites en las partes real e imaginaria de las sumas parciales. 2. (a) Del Ejercicio 1 ,P(1X) = P(a) ; de aqui que P(1X) = 0 implica que P (a) 0, y reciprocamente. (b) Por medio de una division larga, expresese P(z) en la forma =

P(z) = (z2 - 2az + a2 + b2) Q(z) + cz + d,

donde Q(z) es un polinomio con coeficientes reales y c y d son reales. Haciendo z = IX en est a ecuaci6n obtengase CIX + d = 0 ; de donde

Soluciones ca + d = 0

1015

icb = 0.

y

Ya que b =1= 0, c = 0, por tanto, d = 0. 3. (a) Usese la ecuaci6n de uu drculo en la forma

(z - zo) (z - zo) = r2• Entonces zo = ex - A.2 �, r2 = zozo - exii + ),2 �� . S i A. = 1, z = x + iy, la la ecuaci6n se transforma en la de una recta, ax + by = c, donde a = 2Re ex, b = 21m �. c = I ex 1 2 - I � j 2 .

(b) lnviertase la tninsformaci6n para obtener

� - 8z' · z = yz' - ex ' ---

entonces demuestrese que se convierte en

i z - Z:1 l = A. l z - z2 l

4 . Para x � 0. 5 . Apliquese el criterio de comparaci6n. 6. El coeficiente de en el desarrollo de cos

2z + sen 2z para n zn ( - l)n /2v=oE v !(n( --l)vv) ! = ( -nl!)n/2• V=Of; ( - 1)v (n) = 0 'J

(ver el Volumen I , p. 1 1 0, Ejercicio 1 (b)) . 7 . La serie es convergente si y solo si porque si l <

IzI

1, l� l :::;; _� :::;; -1_ 6v 1 - zv I 1 - e v - 1 - e -

>

0 , es

z I = 0 < 1, entonces

puede compararse con la serie geometrica. Si I z I > 1, entonces zv /(1 zv) tiende hacia - 1 conforme v crece, mientras que en una serie conver­gente los terminos de ben tender a 0. Si I z I = 1 , cada termino de la serie o y

est a indefinido o tiene valor absoluto � ! ; y la serie no puede converger.

Ejercicios 8.2 (p . 866)

f(z)

= u + iv, 1. Hagase plo , se encuentra, para

g(z) = s + it.

U(x, y) = . V(x, y) =

Tomando el producto, por ejem­

Re {f(z) g(z)} = us - vt Im {f(z) g(z)} = ut +. us

1016

Introducci6n al calculo

que Ux

2.

a l analisis matematico

= UxS + US x - ( vx t + vtx) = VyS + U ty + Uy t + vsy =

y

y

uty + u ,�� t + Vys + vsy

asi sucesivamente. Para f(z) = u + i v , derivando u 2 de ecuaciones UUx + VVx

=

+ v2 =

=

constante se obtiene la pareja

UUy + VVy

0,

Vy,

=

0.

Remplazando la segunda ecuacion, mediante las ecuaciones de Cauchy v ··· Riemann , por otra en que solo aparezcan las derivadas con respecto a x se obtiene un sistema con la unica solucion Ux = V x = O (a menos que se trate del caso trivial u2 = v2 = 0). Como consecuencia, Uy = Vy O.y de aqui se llega al resultado . 3 . (a) - (c) Continuas en todo punto; no diferenciables. (d) Continua para z =t= 0, no diferenciable. 4. Si z = rei; , � = 1; + iYJ, entonces =

1;

Si

r

si ¢

=

=

constante

=

constante =

c,

=

( �)

�=� r-

entonces

1 2 4-(c + 1/c) c,

� (r + �) cos ¢

entonces

+

sen ¢.

�2 ic - 1/c)2 1

2 � 2 c + cos2 �c - 1 = cos

=

1;

1

(ver la p. 303, Ejercicio 8 ) . 5 . De 8 . 1 , Ejercicio 3 b , s e sabe que la aplicacion transforma drculos e n dr­ culos. Como los dos puntos son fijos, los drculos que pasan por ellos se transforman en circulos de la misma familia , tanto en la transformacion como en su inversa. Dado que la transformacion es conforme, lo mismo se cumple para la familia ortogonal de circulos. 6 . Hagase z = x + iy, � 1 /z 1; + i"t) . Por lo tanto , =

=

y se ve que la inversion puede considerarse como la composicion, gf(z) , de 1/z y una reflexion con respecto al eje x, g(�) = �. Puesto que la re­ flexion es conforme - con la inversion del sentido de los angulos - y 1/z es analitica, la inversion es conforme. La reflexion aplica circulos en dr­ culos, y 1 /z una transformacion lineal general (ver el Ejercicio 5) , hace

,

Soluciones

1 0 17

lo mismo; por lo tanto, la inversion tambien. El jacobiano de la inversion es el producto de los jacobianos de la reflexion y de 1/z ; de aqui que, para la inversion, el jacobiano es

?.

l�l2

-l

f (z) '

l 2 = - l z11 2 = (x2 �ly2)2 .

�� = a.azz + �� + (a.�z + a�z) ��zz + a.a + (a.�z + a�z)

=

Ahora bien, para a.a - �� denominador es

=

1 , la diferencia entre el numerador y el zz - 1 ;

de modo que el numerador es mayor que el denominador para I z I > 1, y menor para 1 z I < 1 . Si �� - a.a 1, se tiene el caso inverso. 8 . Primero transformese, poniendo � az + b, en el circulo unitario; a continuacion, apliquese la transformacion

=

+� - z. 11 �·

.,., _ �

9 . Usese

=

�i - �.i = ((a.8 -+ �y) (Zi - Zi) • YZi

8) (YZi + 8)

Ejercicios 8.3 (p . 8 7 7 )

1 . (a) Escribase e l integrando en l a forma

� (z � 1 + z ! 1)

·

=

El primer termino en el parentesis es analitico en la vecindad de z por lo tanto, su integral a lo largo de una pequeiia circunferen­ cia con centro en -1 es 0. De modo semejante, la integral del segundo termino alrededor de un pequeiio circulo con centro en 1 es 0. Para evaluar la integral en el circ:ulo con centro en 1 , hagase z rei a ; resulta rti. De manera semejante, para el pequeiio circulo alrededor de - 1, la integral es 3rti. (b) Tomese una trayectoria que encierre a 1 en un cierto senti do el triple de veces que las que encierra a -1 en el otro; por ejemplo, (ver la Fig. 8 . 1 2) .

-1 ;

=

Figura 8 . 2

lOIS

Introduccion a l calculo

y

a l analisis matematico

IXziX� = exp[z(log IX + 2n7ti)] exp [�(log IX + 2m1ti)],

2.

mientras que

IXz+� = exp[(z + �) (log IX + 2k7ti)]. Por tanto, la adici6n de los exponentes es valida , siempre que en todo el proceso se use la misma rama del logaritmo; es decir, n = m = k. N6tese que esto es lo mejor que se puede hacer, excepto en casos muy especiales, porque si el teorema de la adici6n es valido, entonces

k(z + �) = nz + m� + p, donde P es algun entero. Si z y � son linealmente independientes, cuando se consideran como vectores de dos componentes, y n =/= m, las com­ ponentes de z = a + ib y de � = IX + i� estan restringidas por

(n - m) (a� �+b

-

1X b)

= p,

un entero, y si n = m =/= k, entonces � + b = 0. Por lo general, ninguna de las condiciones se satisface. Para la segunda ley, za�a = exp [1X(log z + 2n7ti)] exp [1X(log � + 2m7ti)] mientras que

= exp {1X[log z + log � + 2(n + m)1ti] } ,

(z Oa = exp {1X[log(z�) + 2k7ti]} .

Aqui , incluso no es necesario que se cumpla la igualdad si k = n + m porque si z = rei a y � = p eH, las condiciones -1t < 6 � 1t, - 7t < ifJ � 1t no hacen que e + ifJ satisfaga las mismas desigualdades. Para la tercera ley, (1Xz)� = e� log IXz = exp { qz(log IX + 2n7ti) + 2m7ti]}

= exp (z� log IX + 2z�n7ti + 2�m1ti) .

De modo semejante, (1X�Y = exp (z� log IX + 2z�p7ti + 2zq7ti) y IXz� = exp(z� log IX + 2z�r7ti), donde m, n, p, q, r son enteros arbitrarios. Por lo tanto, en general, es de esperar que se cumpla la igualdad solo si m = q = 0 y n = p = r. Lo mas que se puede decir es que se pueden elegir ramas de las fun­ ciones multiformes de modo tal que se cumplan las leyes de los exponen­ tes, pero debe tenerse cuidado en seleccionarlas adecuadamente.

�

3. (a) Los valores de ii son exp [(2n - )1t] , para

n

entero.

Soluciones (b) Hagase � tonces,

=

; + iY), z = reie,

-1t < e � 1t

y a = log

1019

r = log J z J . En­

2k1t)Y)] exp {i[aY) + ;(e + 2k7t)]} . La condici6n es que aY) + ;(e + 2k7t) sea un multiplo entero de para cada entero k elegido. Haciendo k O, l, se obtiene la condici6n ; j/2, donde j es cualquier entero : por lo tanto, para a * 0 (r * 1), z� = exp[a; - (8 +

7t

=

=

donde 1 puede ser cualquier entero. Asi, para cualquier z que no este sobre el circulo unitario existe un exponente �(j, l) que corresponde a cada pareja de enteros, j, 1 , tal que todos los valores de z� son reales. Si a = 0, la condici6n dada anteriormente para Y) se remplaza por la condici6n ;e donde p puede ser cualquier entero, y ahora es arbitrario. Si * 0, se ve que e debe ser un multiplo si = 0, ; puede ser cero y entonces e es arbi­ racional de trario. �=;+ donde = = 0. Si > 0, la (c) Si . Hagase z = + soluci6n de la parte (b) da ; h, donde j es cualquier entero. Si < 0, la parte (b) solo proporciona valores enteros de � = n. es evidente que puede derivarse bajo el signo integral 4 . Para z = + con respecto a x y a y, ya que estas derivadas son continuas con respecto a los parametros y la convergencia de las integrales de las derivadas en el limite inferior t = 0 es uniforme para > e: > 0. Dado que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen para el integrando, entonces deben cumplirse para la integral. Integrando por partes se llega a la ecuaci6n funcional . 5 . Apliquese el teorema dado en el Volumen I , p. 525, para demostrar que Ia serie es absolutamente convergente. 6 . (a) El valor de la integral sobre la pequeiia desviacion · circular tiende a cero a medida que el circulo se hace mas pequeiio. Si se pone z = respectivamente, sobre los sobre el drculo unitario ,Y z = x , z = ejes, el teorema de Cauchy da

p1t, 27t. p x iy,

Y)

p

=

=

iY) ,

=

27tp/j

y Y)

x

x iy,

x

x

ei9

iy,

0

=

=

2 Ll ( x + �) mxn-1 dx + i ln· (ei9 e-i9)m ein9 dO - iLl ( iy + �) m (iy)n- 1 dy fo1 (x + �) m xn-l dx + i 2m Jo�r'2cosme ein9 d6 - ein(n-m) /2 Sol ( y + ; ) m yn-1 dy; +

•

-

igualando las partes imaginarias de esta ecuaci6n se obtiene

1020

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

2m Jrorr/2cosmO cos nO dO = sen 1t'(n 2- m) Jrlo ( - y =

1

2

(

= 21 (ver la p. 508) . (b) Usese Ia relacion

(

sen (

(ver la p . 508)

n

. 1t'(n - m)

- sen

it'

2

l

sen 2 ( n - m

1 1 (

0

) B(

)

+

)

y1 myn-l dy

- "'J)m "'J(n-m-2)12 d"') m + 1,

n - m) -2-

-2 m)1t') r( !l � m ) = I'[1 - � - m)/2] (

Ejercicios 8. 4 (p . 80 5) 1. El integrando tiene una derivada continua con respecto a z; como con­ secuencia , se puede derivar bajo el signo integral. Vease la Seccion 1 . 8b. 2 . Facilmente se ve que

es una funcion analitica de z. Derivando b ajo el signo integral y aplican­ do Ia regia de Leibnitz (ver el Volumen I, p. 263 ) , se encuentra que h (z) es 1

I!

-. I: 2m v

=o

(tJ.) v

v ! n • (n - 1) (.L ! u = 21t'i I: V=O -

(

• • •

n

(.L -

V

(n

)

-

fl

'(. n- l!+ v + v + 1) J. (� f(z))V+l z-r.,n d� -

-ll+ v zn {('(.) --- d�. J ('(. z)v+l '(.n

Solo los terminos con tJ. - v � n son diferentes de cero, pues de lo con­ trario n se anularia. Por otra parte para - v < n, se anula un ter­ tJ. - v mino con z = 0 ; si tJ. < n, no existen otros terminos, de modo que h (0) = 0. Si tJ. � n, solo queda el termino con tJ. - v = n, de modo que

( )

tJ.

- d'(. = f < �!>(O). h (O) = � - z) n+1 2m f ('(._f(Q _

3. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, estfm dadas las derivadas parciales vx y Vy de v; existe una funcion v con estas derivadas, ya que se satisface Ia condicion de integrabilidad Uxx + Uy y = 0 [ ver las for­ mulas (75a, b) . p. 1 04); v esta determinada de modo unico, aparte de una constante aditiva c, y est a dada por la integral de linea

v(x,y) =

J

(X. Y)

<xo, Yo>

(vy dy +

Vx

dx) +

c.

Soluciones

1 021

Tambien, de las ecuaciones de Cauchy-Ri�mann, se concluye que v es una funci6n de potencial. 4 . En en (Secci6n 8 . 3, Ejercicio 1 ) . 1 � 1 tan grande que 5 . Elljase un drculo d e radio R y centro e n 0 , con R Entonces,

z = 1, rri ; R > 2lzl .

z = -1, 3rri

2lzl 1 ! / = lzl ]_ � - z � I 1 2 1 1 - z/� I < R2 •

=

_ _

�

Como consecuencia, para Ia integral, obtengase Ia cota

l f(z) - f(O) I � 2M j z l fR.

Pasese bacia el limite conforme R tiende al oo .

1 f(v+!t) dt I -� 2rr-1 pM 2rrp, l av l = 1 -. v+l 2rrz J t-

6.

c

donde C es el drculo de radio p con centro en el origen. 7 . Por hip6tesis, 0 . Por consiguiente, (i)

I ocn I > l I P(z) l = l z l n j ocn + OCnz-l + • • • + z�n

siempre que se tome

l z l > max{1 , 2 l ocn -1 1 +l ;n•l • + l oco l } ;

porque, entonces,

} I ocn + OCnz-1 + . . • z�n I � I OCn I - {I OCnl z-1l 1 + • • • + � l zn l +

I OCn I • 1 OCn 1 - I OCn -1 1 + I•Z•I • + I oco I > 2Ahora bien, como P(z) no tiene rakes, f(z) esta definida en todo punto. Pero, como I z I > 1, l f(z) l < l ocn l2l z l n < l oc2n l • En consecuencia, f(z) es acotada y, por lo tanto, constante. De Ia primera de las desigualdades anteriores se concluye que f(z) = 0, lo cual contradice a f(z) P(z) = � . 8 . (a) - (b) El residuo de f'lf en oc es 2rril. Hagase f(z) = (z - oc)P if>(z), donde ¢> es analitica, if>(oc) =F 0, y p representa ya sea el orden del >

=

n

m para Cl polo, para las partes (a) y (b), respecti­ cero, o bien, vamente. Entonces -

f'(z) = pif>(z) + (z - oc) if>'(z (z - oc) if>(z) f(z)

Introduccion al calculo y al analisis matematico

I 022

Entonces Ia formula de la integral de Cauchy indica que I es el valor de fp¢ (z) + (z - or;)) ¢'(z)/¢ (z) cuando z = or; ; eso es P. (c) Apllquese el teorema de los residuos (p. 887 ) . 9 . (a) Por e l Ejercicio 8, el niimero d e rakes d e I a ecuaci6n P(z) + OQ (z)

= 0,

1

f P'(z)

+ OQ'(z) dz

2rri )c P(z) + OQ(z)

.

El denominador es diferente de cero para todo 0 tal que 0 � 0 � 1 en cualquier punto de C; por lo tanto, Ia integral como un todo es una funcion continua de 0. Como su valor siempre es un entero, es constante y, en consecuencia, es el mismo para 0 = 0 y = 1 . (b) Si

0

1

l a l
entonces r > 1 ; de modo que la ecuaci6n z5 + 1 = 0 tiene cinco rakes en el interior del drculo I z I = r; si se pone P (z) = z5 + 1, Q (z) = az, sobre el drculo I z I = r, se tiene

I Q(z) l = l a i r

< r5 - 1 < l z5 + 1 1 = I P(z) l .

1 0 . Por I a cota inferior (i) encontrada en el Ejercicio 7 para I P(z) I , ninguna ralz puede estar fuera o sobre una ·circunferencia suficientemente gran­ de centrada en 0 . Aplicando la tecnica de estirnaci6n que se us6 en (i) del Ejercicio 7 , se encuentra que

{'(z) = !! + R(z) ' f(z) z

donde el residuo R(z) satisface I R(z) I < M/ I z 1 2 fuera de un drculo de radio r suficientemente grande. T6mese r tan grande que todas las rakes de P esten en su interior. Aplicando el resultado del Ejercicio 8(c) se obtiene, para el niimero de rakes, Ia integral alrededor del drculo de radio r 1

2rri

Ya que

J

f'(z) dz f(z)

_

1 J n + 2rri

R(z) dz.

Ia integral del residuo tiende a cero conforme r - oo. 1 1 . (a) Sigase el metodo de soluci6n para el Ejercicio 8(a). , tXj, si los polos se localizan en � 1 , (b) Si las rakes son tXl, tX2 , �k, y si sus multiplicidades son n1, n2 , , n1 y m1 , m2 , mk, respectivamente, Ia integral tiene el valor ,

•

12.

•

•

n1tX1 + n2or;2 + Puesto que f(z) =

•

•

•

•

• • • ez

+ n1or;1 - m1 � 1 - m2� 2 -

•

•

• • •

�2 , .

- mk�k ·

es analitica en todo punto, ya que f'(z)/f(z) = 1 , y

Soluc iones

1023

dado que, por consiguiente, la integral I del Ejercicio 8(a) debe anularse sobre todo drculo, no importa que tan grande, f(z) no puede tener rakes.

Ejercicios 8 . 5 (p . 897) 1. (a) Expresando las funciones en la vecindad de tX por y

f(z) = ao. + a1(z - tX)

g(z) = (z - tX) - n [c - n

se obtiene el residuo

+

• • • + a n -1(Z - tX) n- 1 + • • •

+ C-n+l (Z - tX) -l-

• • •

+ C-1(Z - tX) n -l +

• • •],

n- I

21ti L: avC- v -1 · v =o

(b) En la soluci6n anterior, usese Ck = Opara k > - n y a n - I = t< n -l) (tX) f(n - 1) !. 2. Hagase ' " tX) f " tX) + (z - tX) + f(z) = (z - tX) 2
[

y

�

�

.

.

.

J

determinese el coeficiente de primer orden en el desarrollo de 1/
l

.

n

= 2m L:

k=I

Zk2 m 1ti n = - - L: Zk2m + I 1 n 2 n k=I 2nzk ----

donde se h a usado Zk2 n = - 1. Introduciendo l a expresion para Zk en esta ultima suma, se obtiene I en la forma de una serie' geometrica, y a continuaci6n se suma para obtener el resultado I=

n 1ti 1tiw 2m + l 1 � (w 4m + 2) n L: [w 4m + 2] k = nw 2 m + l k = l n 1 - w 4m + 2 1t 1t 2i n sen [(2m + 1/2n)7t] · n w 2m + l - w-< 2 m+l ) -

_

---

___

-------

4. El primer miembro de Ia formula es la suma de los residuos de la funci6n zkff(z) dividida entre 27ti y, por lo tanto, es igual a 1 21ti

k

z dz Jf(z)

1024

lntroduccion al calculo

y

al analisis matematico

alrededor de un circulo que encierra a todas las rakes exv. Pero esta in­ tegral tiende a cero conforme el radio del circulo tiende al infinito (per­ maneciendo el centro fijo) . 5 . Debido a que x cos x es impar y x sen x es par, Ia integral e s igual a

X

1 f"' xeix- dx. 2 + C2 2i J-oo -zeizf2i(z2 + c2) en el semiplano

El residua de superior es liTe- I c 1 • T6mese z = r (cose + i sen e) e integrese sobre la trayectoria cerrada, C, que va desde -r hast a r a lo largo del eje x y sobre el semicirculo I z I = r en el semiplano superior. Solo es necesario probar que la parte de Ia integral que se calcula sobre el semicirculo tiende a cero al tomar limites con r --.. oo . Para la integral sobre el semicirculo 0 � e � 1t, se encuentra

Elijase r tan grande que I r2e2i 9 Se concluye que

!Ji < 4

ln/2e-r o

se n. a

+ c2 l > � r2 ; por ejemplo,

elijase

r2 > 2c2.

l 27t . de < 4 rt/2 e-2 r9/rt de < ·r

o

Ejercicios misceHineos 8 (p . 902) 1. (zt - za)/(Z2 - za) debe ser real. 2. Sea arg z el argumento de z = rei a ; es decir, arg z dirigido que va del segmento J al segmento ex:; es arg

=

e

+ 2n7t.

El fmgulo

ex + 2p1t, �1-' - ex

donde p es un entero . La ecuaci6n dada nos dice que

- ex = Y-�+ � - ex - arg ex - � 2n1t. tomando el segmento que une a ex y � como base del trifm­ arg

Y

Por lo tanto, gulo, se ve que los fmgulos que van de la base hacia los lados son iguales y de signo opuesto . Reciprocamente, la igualdad de los fmgulos de la base conduce a Ia ecuaci6n dada.

3.

�

- za)/(Z2 - za) = (zr (zr - Z4)/(Z2 - Z4)

debe ser real, porque si C es el circulo que pasa por z r, Z2 , za, este puede transformarse, por medio de una transformaci6n lineal � (exz + �)/(yz + 8) , en el eje real (ver Ia Secci6n 8 . 2 , Ejercicio 8). Por lo expuesto en la Secci6n 8 . 2 , Ejercicio 9 , � no cambia. Entonces, una condici6n necesaria para que la imagen de Z4 se encuentre sobre el mismo circulo =

Soluciones

1025

que las imagenes de ZI. Z 2 , Z3 , es que dicha imagen sea real, lo cual es equivalente a pedir que � sea real. 4. La igualdad que debe probarse es

v' ! z2 - Z3 l l z1 - Z4 1

+

v' j z1 - z2 l l z3 - Z4 1

o bien ,

= v' j z1 - Z3 l l z2 - Z4 1

Ahora bien , las expresiones subradicales son invariantes bajo una trans­ form acion lineal (ver la Seccion 8 . 2 , Ejercicio 8, 9). Si por medio de una transformacion lineal apropiada se transforma el circulo en el eje real , solo se tiene que probar la relacion AB • CD + BC • AD AC • BD para cuatro puntos sobre una recta, lo cual es trivial. 5. eiz tom a todos los valores, excepto 0, como se ve facilmente por Ia relacion e iz e - Y(cos x + i s� x) . Ahora � tiene que elegirse de modo que

�=

=

�=

=

c = cos z 21 ( � ' + �1 ) ; =

esta ecuacion cuadratica siempre tiene una solucion,

6.

� = c ± v'�l.

y esta solucion no es cero , de modo que existe un z correspondiente. Ver el Ejercicio 5. Si eiz, entonces

�

=

tan o bien ,

z - y1 -

�� - (1/q ­- c (1/�) +

� = · J 1l +- �zcc ; existe un � * 0 finito solo cuando c * ± de donde tan z = c solo tiene una solucion si c no es ni 7 . Si z = x cos es real si x = rrn o 0 , sen z = 0 si x = rrn + rr/2 o y = 0 (donde es un entero) . 8 . (a) = 1 (para 1 z I 1 los terminos por separado tienden hacia para + iy,

r

z

>

n

+i

- i.

y =

i;

y

,

I z I < 1 , comparese con la serie geometrica) .

(b)

(c)

r = r

0.

= 1.

9 . (a) lntegrese

(b) lntegrese

etz/(1

+

z4)

sobre el semicirculo superior:

z2eizj(I + z4) sobre el semicirculo superior: rrv'2 -..;2 12 v'2 v'2 -4- e cos 2 - sen -2- .

(

)

oo

;

I 0 26

Introduccion al calculo

y

al analisis matematico

(c) lntegrese eizJ(q2 + z2) sobre el semicirculo superior:

�

2

e- q .

(d) lntegrese xa- 1/[(x + 1) (x + 2)] sobre una region limitada por un cir culo grande alrededor del origen y eliminense los puntos a lo largo del eje real positivo : rr(2a-l - 1) sen mx 1 0 . (a) + 2rri en z = 2nrr, - 2rri en z = (2n + 1)rr . (b) + 2rri en z = 2nrr + 3rr/2, - 2rri en z = 2nrr + rr/2. (c) Usese la ecuaci6r1 funcional r(z) = r(z + 'V + 1)/z(z + 1) ( - 1 ) n 2rri at z = - n.

n!

(d) 2rri en z = nrri. 11.

.

lsenh (x + zy) l 2 =

(

ex +iy - e -x- iy

2

)(

e x-iy - e- x+iy

2

1 = 2 (cosh 2x - cos 2y) �

•

•

•

(z+ 'V) ;

)

21 (cosh 2x - 1).

lntegrese a lo largo de la frontera de un cuadrado con lados x = ± rr(n + !) y y = ± (n + !), donde n es un entero . La integral tiende a cero �onforme n --+ oo, por tanto , la suma de los residuos tiende a cero. 1 2 . Escrib ase cot rrt cot rrt z cot rrt + = t-z t t (t - z) ; cot rrt es acotada sobre el cuadrado Cn , y las integrales de (cot rrt)/t sobre lados opuestos del cuadrado casi se cancelan entre si; por con­ siguiente, lim (

n -. oo

cot rrt

J Cn t - Z

dt = lim

n � oo

f Z C()!__�t dt Jcn t ( t - z)

=

0.

Si los residuos de polos opuestos s� reiinen, Ia suma de los residuos con­ verge y se obtiene cot rrx = 2x

-

rr

(ver el Volumen 13.

1

-- = 1+t

Por lo tanto ,

I,

(

1 + 1 1 + 2x2 x2 - 12 x2 - 22 ·--'--

- --

---

+

•

•

p. 602 ) .

1 - t + t2

- +

•

•

•

+ t n-1 + ( - 1 ) n -

•

)

tn

-- .

I

+t

Soluciones log don de

(1 + z) = z �- z22

+

-

n

z + Rn , • • • ± -,;:

(Z

o

tn 1 + t dt. Si se hace z = eta, y la recta desde 0 hasta et a se toma como trayectoria de integracion, se tiene para ei & =I= -1. 1 n 1 I Rn I = 1 � ei &t dt � � tn dt = m(n + 1) ' donde denota el minimo de 1 1 + e'9t I , para 0 � t � 1. De a qui que, si z = ei & =I= - 1, Rn tiende a cero. Si x =1= O y si C' es un contorno en la region en que f es regular, y con­ Rn = (-1) n .J

IJo

m

14.

z33

1027

I

Jo1

tiene a y pero no a 0, entonces, por lo expuesto en la p. 882,

n !. r tf(t) dyn (y- a) n+ 1 = 27t� J c' (t + a) n+ l (t y) n+l dt. Si se pone a = y = ../x, la ultima integral se convierte en

!!!:___ yf(y)

�

_n !

r t2 - x) n+ dt J c' (�
21ti

I!l

21ti

T,

r

_

_

(T

Jc

t<.r>r -

l

x)n+ 1 d-r

·

'

donde C es un contorno que contiene a x pero no a 0;

co

ahora bien,

integral es igual a

!2 _dd!'__xn f(../i;).

f(z) = f 1

15. (a)

ia

(

1 ) 1 (2v - 1)z - (2�)z ;

IzI 1 1 IzI f2v 1 (2v - 1)Z - (2v)Z = ZJ 2 v- 1 yz+l dy � r<2v-=--1)z+1 1 - (2v - 1) 1+X ' y la serie I: 1/(2 v - 1) 1+x es absolutamente convergente para x > 0. v 1 1 1 2 2 . 6z2 • • • (b) (1 - 2 1-Z)�(z) = 1 + Z + az + Z + • • • - 2z - 4z 4 2 = 1 2!_Z + alz _ 4lZ + • • • = f(z). . z 11:_- = {(1) = 1, (c) lim (z 1) �(z) = {(1) • hm 1 2 z g'(1) _

-

-

z- 1

don de

-

z- 1

-

-

-

g(z) = 1 - 21 z. -

-

1 028

Lista de fechas biograficas

Abel , NiP!� l-ienrik ( 1 802 - 1 829) AI;Ilaler, Jakob ( 1 823 - 1 9 1 2 ) Arquimedes ( 2 8 7 - 2 1 2 A . C . ) Bernoulli, Jakob ( 1 6 54 - 1 705) Bernoulli, John ( 1 667 - 1 748) Bessel, Friedrich Wilhelm ( 1 7 84 - 1 846) Birkhoff, George David ( 1 884 - 1 944) Bohr, Harald ( 1 887 - 1 9 5 1 ) Balzano, Bernhard ( 1 7 8 1 - 1 848) Borel, Felix Edouard Emile ( 1 8 7 1 - 1 956) Brower, Luitzen Egbertus jan ( 1 88 1 - 1 966) Cauchy, Augustin ( 1 7 89 - 1 857) Cavalieri , Francesco Bonaventura ( 1 5 98 -- 1 647 ) Chebyshev, Pafnuti Lvovich ( 1 8 2 1 - 1 8 94) Clairaut, Alexis Claude ( 1 7 1 3 - 1 7 65) Cramer, Gabriel ( 1 704 -- 1 752) Coulomb, Charles Augustin de ( 1 7 36 - 1 806) De Moivre Abraham ( 1 667 - 1 7 54 ) Descartes, (Cartesius) Rene ( 1 596 - 1 650) Dirac, Paul Adrien Maurice ( 1 902 ) Dirichlet, Gustav Lejeune ( 1 805 - 1 859) Du Bois Reymond, Paul ( 1 83 1 - 1 889) Euler, Leonhard ( 1 7 07 - 1 7 83 ) Fermat , Pierre d e ( 1 601 - 1665) Fourier, joseph ( 1 76 8 -- 1 830) Frenet , Frederic-jean ( 1 81 6 - 1 900) Frechet, Maurice Rene ( 1 878 ) Fresnel , Augustin jean ( 1 788- 1 82 7) Gauss, Carl Friedrich ( 1 777 - 1 855) Gram , jorgen Pederson ( 1 850 - 1 91 6) Green , George ( 1 793 - 1 841 ) Guldin, Paul ( 1 5 7 7 - 1 643 ) Hamilton, Sir William Roan ( 1 805 -- 1 865)

1 029 Heine, Heinrich Eduard ( 1 8 2 1 - 1 881 ) Helmholtz, Hermann Ludwing Ferdinand von ( 1 82 1 - 1 894) Hermite, Charles ( 1 8 1 1 - 1 9 0 1 ) Heron (de Alejandria) (siglo I I I , d . C . ) Holder, Otto ( 1 860 - 1 937) Holditch, Hamnet ( 1 800 - 1 867) Huygens, Christian ( 1 62 9 - 1 695) Jacobi, Carl Gustav Jacob ( 1 804 - 1 85 1 ) Kepler, Johanne& ( 1 57 1 - 1 630) Lagrange, Joseph Louis ( 1 736 -- 1 8 1 3) Laplace, Pierre Simon ( 1 749 - 1 827) Lebesgue, Henri ( 1 87 5 - 1 94 1 ) Legendre, Adrien- M arie ( 1 7 52 - 1 833) Leibnitz, Gottfried Wilhelm von ( 1 646 - 1 7 1 6) Lipschitz, Rudolf Otto ( 1 832 - 1 903) Lissajous, Jules Antoine ( 1 82 2 - 1 880) Maxwell , James Clerk ( 1 83 1 - 1 879) Mobius, August Ferdinand ( 1 7 90 - 1 868) Mollerup , Peter Johannf's ( 1 87 2 - 1 937) Morera , Giacinto ( 1 856 - 1 909) Morse, Marston Harold ( 1 892 Newton, Isaac ( 1 642 - 1 7 27 ) Parseval-Deschenes, Marc Antoine (N? - 1 836) Pl ateau , Joseph Antoine Ferdinand ( 1 80 1 - 1 883) Poincare, Henri ( 1 85 4 - 1 91 2) Poisson , Simeon Denis ( 1 78 1 - 1 840) Riccati , Jacobo Francesco ( 1 67 6 -- 1 754) Riemann , Bernhard ( 1 82 6 - 1 866) Schuler, M aximilian Joseph Johannes Eduard ( 1 882 Schwarz, Hermann Amandus ( 1 843 - 1 92 1 ) Steiner, Jacob ( 1 796 - 1 86 3) Stokes , George Gabriel ( 1 8 1 9 - 1 903) Taylor, Brook ( 1 685 - 1 73 1 ) Wallis, John ( 1 6 1 6 - 1 703) Weierstrass, Karl ( 1 8 1 5 - 1 897) Wronski, (Hoene), Jozef Maria ( 1 77 8 - 1 85 3)

Indice

A Abel, ecuacion integral de, 572 Abierta, aplicacion, 596 Abierto, conjunto, 32 Absolutamente convergente, 849 Aceleracion, normal, 258 tangencial , 258 vector, 258 Acotada, sucesion, 26 Aditividad p ara las, areas, 427 integrales, 123 masas, 443 Admisibilidad para el problema variacional ' 816 Afin(es), coordenadas, 1 79 aplicacion, 1 89 , 288 transformacion , 2 1 8 , 324 A labeada, curva, 330 Algebraicas, funciones, 38, 275 Altern antes, form as diferenciales, 357 , 376 funciones, 205 , 208 Amplitud del numero complejo, 84 7 Analitic a, extension, 898-901 funcion, 859, 87 1 Angulo, entre curvas, 280 entre curvas sobre una superficie, 333 entre direcciones, 1 60 - 1 6 5 entre superficies, 285 solido, 686 , 794 Aplicaci6n(es), 36, 288 abierta, 596 afin , 189, 288 de conjuntos, 36, 595 de direcciones, 306 de vectores, 1 88 grado de una, 624-628 identidad, 1 59 , 1 90 inversa, 288 , 314 lineal, 1 85 mediante radios reciprocos, 290

primitiva, 3 1 1 producto simbolico de, 1 88 , 304 punto fijo de una, 3 1 8 , 4 1 3 , 867 resultante, 304 Area(s) ,421 -429, 574 barridas por curvas en movimiento, 506511 aditividad para las, 427 . 582 derivadas de, 629 de la esfera n dimensional , 5 1 3- 5 1 5 exterior, 424 , 5 7 7 , 580 de l a superficie esferica, 483 de una hipersuperficie , 5 1 1 , 5 1 9 d e una superficie curva, 482 , 485 , 602 de un poligono, 245 interior , 424, 577 ley de las, 7 39 propiedades hasicas del, 579-584 vector de, 689 Arganeo, 334 Argumento de un numero complejo, 847 Arquimedes, principio de, 79, 674 Astroide, 347 - 348 A traves de trayectorias, simplemente conexo . 1 32 Aproximaci6n(es), lineal, 7 7 polinomial, 9 3 sucesivas, 314 teorema sobre, de Weierstrass, 1 1 1 Arco tangente, serie de potencias, 856 rama principal, 37 B

Base de vectores, 1 7 8 Bernoulli, ecuacion diferencial de, 756, 7 63 numeros de, 884 Bessel, funcion de, 5 34 Beta, funci6n, 568- 570 Binomial(es), coeficientes, 570 serie, 882-883

1031

1 032

Indice

Binormal , vector, 260 Bohr- Mollerup, teorema de, 558 Bola, 34 Bolzano-Weierstrass, principia del p u:t:J.tO de acumulaci6n de , 1 3 7 Br aquist6crona, problema d e l a , 8 1 3 , 828, 833

c

Cable cargado 744 - 747 Calculo , de errores, 79-80 de variaciones, 8 1 3 Calculo del promedio d e una funcion, I l l Cascaron esferico, 654 Catenaria, 828 , 845 Cauchy-Riemann, ecuaciones de , 86, 337 , 859, 866 austica, 3 5 1 ampo, de direcciones, 7 7 1 del gradiente, 405 vectorial, 246 Cantidades fundamentales de una superficie ' 332 Cantidades gaussianas fundamentales de una superficie, 332 Cardioide, 352 Cartesiano, sistema coordenado, 160, 1 82 , 192 producto, d e conjuntos, 1 49 Catenoide, 336 Cauchy, criteria d e convergencia de, 27 , 1 39 formula de , 880 simbolo de , 54 teorema de , 870 , 885 Cauchy-Schwarz, desigualdad de , 1 6 2 , 222, 396 p ara integrales, 560 Celda, 35 Centro de masa, 489 Centroide, 490 Cero, matriz, 1 89 vector, 1 5 6 , 1 6 3 Ceros, numero d e , 889 de una funcion analitica, 885 Cerrado( a) , conjunto, 32 forma diferencia l , 364 Cerradura de un conjunto, 33, 34, 36, 1 5 0 Circulaci6n, 635 , 682 Circulo de convergenci a , 852 Clairaut , ecuaci6n de , 345 , 782 Columnas de una matriz, 183 Compacta, conjunto, 1 1 5 , 1 40 soporte, 5 5 1

Complemento d e un conjunto, 148, 1 50 , 1 5 1

Componentes, d e u n conjunto, 1 32

de un vector, 1 5 5 , 1 6 5 , 1 78 Compuestas, funciones, 8 1 -83, 90 - 9 1 Condiciones d e integrabilidad para una diferencial, 1 1 3 , 128, 365 Condiciones subsidiarias, 382-388 , 840 _844

Conectividad , 4 1 2 Conexa, region, 1 32 simplemente, 1 33 superficie, 643 Confocales, c6nicas, 303 parabolas, 280, 774

;�

cuadricas, 335 Confo e , transformaci6n,

302 ,

337 ,

865 ,

Conjunto, frontera de un , 34 , 1 50 abierto, 32, 1 40 ajeno, 148 cerrado, 32 , 1 40 cerradura de un , 34 , 1 5 0 compacta, 140 complemento de un , 1 48 , 1 5 1 conexo, 1 32 diametro de un , 47 1 , 584 nulo , 1 46 simplemente conexo, 1 32 , 1 33 vacio , 146 Conjuntos ajenos, 1 48 Coordenad as, afines, 1 7 9 cartesianas, 1 6 0 , 1 82 , 1 9Z cilindricas, 298 curvas, 293 curvilineas, 293 , 298 derechas, 224 esfericas, 296 focales, 303, 304 generales, 296 lineas, sobre una superficie, 330 parab6licas, 294 polares, 294 superficiales, 297 transformaci6n de , 292 vector, 1 6 1 , 1 66 , 1 7 8 Conjuntos, producto cartesiano de , 1 47 ajenos, 148 familia de, 1 45 i ntersecci6n de , 14 7 - 1 49 mensurables de Jordan, 5 7 7 q ue no se traslapan, 422 Conjugadas, funciones, 885 , 887 Cono, 86 Conservaci6n, de la energia , 7 2 7 - 7 3 0 , 836 de l a m as a , 630 , 635 , 669 Conservativo, campo, 683, 728 Contenido, 424, 5 7 5 - 5 7 7 Continua, deformacion, 1 33 funci6n, 42-49 , 1 44 - 145 Continuidad , y derivadas parciales, 61 de I a integral con respecto a un parametro, 1 03 , 522 ecuaci6n de, 63 5 , 669 modulo de , 9 5 uniforme, 1 44 Continuamente diferenci able , 69 Contorno, integraci6n de, 890-897 Convergencia, absoluta, 849

lndice circulo de, 852 crit� rio intrinseco de Cauchy p ara la, 27 de las integrales impropias, 468 de una sucesi6n, 27 radio de, 852, 884 uniforme, 849 Convexa(s), funciones, 558- 5 5 9 Convexo, conjunto, 1 3 2 , 1 3 3 minima conjunto, 8 1 5 Corte, funci6n d e , 5 5 3 Cosenos, l e y de los, 9 9 , 1 6 1 Coulomb , l e y de , 503, 7 8 8 Cramer, regia de , 200, 2 1 6 Criteria intrinseco d e convergenci a , 2 7 Criteria d e comparaci6n, 8 5 0 Criticos, puntas, 378, 405 Cuadradas, matrices, 1 8 6 Cuadraturas, 752 Cuadrica, 2 1 8 Cuerda, punteada, 8 1 1 vibraciones d e I a , 802 Curva(s), coordenadas, 293 curvatura de una, 257 , 276, 2 7 8 discriminante, 343 en el espacio, 330 en forma implicita, 276-283 envolvente de , 342 evoluta de, 350 familia de, 340 - 3 5 1 longitud d e u n a , 3 3 1 normal de una, 2 7 7 paralela, 4 1 9 pedal, 3 5 3 poligonal, 1 43 punta aislado de una, 4 1 5 punta multiple de una, 282 punta singular de una, 282, 4 1 3 puntas dobles d e una, 4 1 4 representaci6n tangencial d e una, 4 1 9 seccionalmente suave, 1 1 8 tangente de una , 2 5 6 , 2 7 7 torsion d e u n a , 2 6 0 Curvatura, centro de , 257 , 258, 2 7 8 d e u n a curva, 2 5 7 , 2 7 6 , 2 77 radio de, 2 5 7 , 2 7 8 vector de, 2 5 6 C u rvilineas, coordenadas, 2 93 -298 Cii.spide, 349 , 4 1 5

D

Deformaci6n, 2 9 1 Degenerada, transforrnaci6n, 322 -323 Densidad, 442, 629 Dependientes, funciones, 320, 32 1 , 757 linealrnente, 1 7-2; 757 variables, 36 vectores, 1 7 1 Derivacion, d e area,. 628 b ajo el signo integral, 1 0 3 - 1 0 9 , 524-527 cambia de arden de Ia, 62-66

1 033

de arden fraccionario, 57 1 -572 para las funciones inversas, 298 Derivada, en los puntas frontera, 53 de Frechet, 3 1 6 direccional, 7 0 , 7 2 , 249 de una aplicaci6n, 3 1 6 d e u n a funci6n implicita, 268 de una funci6n de variable compleja, 858 de un vector, 255 exterior, 365 normal, 620 parcial, 53 radial, 72, 90 Desigualdad del trifmgulo, 848 Desplaz amientos paralelos, 1 58 Determinantes, 1 97 -245 definicion de los, 204-209 de Gram, 234 de matrices, 209, 2 1 3 d e n - esimo orden, 209 de productos, 2 1 0 desarrollo rle lo:., 209 , 227. de segundo orden, 1 98 de tercer orden, 1 98 funcionales, 300 interpretacion geometrica de los, 2 1 9 -227 jacobianos, 300 Diagonal, matriz , 2 1 7 Diagonal principal d e una matriz, 1 94 Diametro de un conjunto, 431 , 584 Diferenciabilidad, 67-69 variable compleja, 858 Diferencia, de una funcion, 95 de puntas, 1 58 Diferenciales totales, integraci6n de, 1 2 5 - 1 28 d.e funciones, 7 6 - 7 8 ; 1 2 7 , 1 3 5 D;Jeren cial , exacta, 364 de orden superior, 77 de una funcion, 76 operador, 2 5 3 , 756 total, 77, 7 8 , 364, 373 Dipolo, 791 D irac, funci6n de , 746 Direccional, derivada, 7 1 Directores, cosenos, 1 63 nii.meros, 1 64 Dirichlet, factor discontinuo de, 538 Disco, 2 9 , 30 Disco circular, 30 Discontinua, 43 Discriminante, 354, 399 Distancia, a un hiperplano, 1 69 a una superficie , 396 entre puntas, 160, 1 82 D iv, 2 5 2 Divergencia, de u n vector, 25 1 - 254: teorema de l a , 6 1 1 , 6 1 7 , 706-7 1 2 , 7 21 Doble, integral, 1 1 0 , 429-442 integral, sabre una region orientada, 654657

1 034

Indice

capa, 79 1 , 794 Doblete, 7 9 1 Dominio de una funcion, 3 6 , 37

E Ecuaciones diferenciales, 7 2 5 - 8 1 0 con coeficientes constantes, 769, 7 7 2 , 895898 constante de integracion para las, 7 7 2 curvas integrales d e las, 7 7 1 d e familias d e curvas, 7 7 3 - 7 7 6 de orden superior, 756-763 de primer orden, 7 5 1 - 7 5 5 de segundo orden, 7 6 1 existencia y unicidad d e Ia soluci6n de las, 776- 780 homogeneas, 7 6 1 integracion d e l as , 7 2 7 lineales, 7 5 3 , 769 lineales, teorema fundamental de las, 760 no homogene as, 765 ordinarias, 725-787 parciales, 7 8 7 - 8 1 1 sistemas de, 783- 7 84 Ecuacion funcional de Ia funcion gama, 5 5 7 Elemental, superficie, 692 - 695 , 7 14-7 1 7 Elemento, d e una matriz, 1 83 de area, 482 , 696 Elemento lineal, 332 Elipsoide, 286 eje mayor de un, 397 de .nomentos, 5 0 1 momenta de inercia d e u n , 500 volumen de un, 474 , 520 Eliptica, integral, 1 07 Energia cinetica, 727 , 835 de un cuerpo en rotaci6n, 492 En el espacio, derivacion, 443 Energia, conservacion de Ia, 7 2 7 , 836 cinetica, 727 , 835 potencial, 728 Envolventes, 341 - 345 , 353-356, 8 1 0 Epicicloide, 352 Equilibria, 730-735 Equipotenciales, superficies, 789 Errores, 7 9- 80 Escalar, 1 56 , 248 , 369 gradiente de un, 248-2 5 1 , 253 multipl�cacion, de matrices, 1 8 7 producto, d e vectores, 1 6 5 - 1 6 7 , 1 9' Zsferica, ley de los cosenos, 99 Esfericas, coordenadas, 460 Esferico, pendulo, 7 3 5 cascaron, 644 Estabilidad del equilibria, 730-736 Estacionario (s), caracter, 8 1 3 punto, 398, 4 0 4 , 8 1 9 valores, 382 , 402 ; 830 Estatica, principios de Ia, 685

·

Estrofoides, 349 Euler, funcion beta de, 568 constante de, 564 ecuacion diferencial de, 820, 825 , 1132, 839 , 844 ecuacion diferencial parcial de, para fun­ ciones homogeneas, 1 53 , 839 repr{:sentacicnes d� . del movimieP..to, 4 1 7 Eulerianas, integrales, 556-570 Evoluta, 350 - 3 5 1 Exacta, forma diferencial, 1 1 3 Exp, 5 1 5 Extension de una funci6n, 45 Exterior, area, 5 7 7 , 580 Exterior (es) , contenido, 577 formas d iferenciales, 363-364, 3 7 2 - 3 7 6 medida de Jordan, 5 7 7 normal, 644 , 7 0 1 punto, 3 1 , 3 3 , 1 50 Extremales, 832

F

Familias, de curvas, 2 9 1 , 3 3 9 , 340 de superficies, 341 Fermat, principia del tiempo minimo de, 8 1 7 Filas d e una matriz, 1 83 Flecha, de una viga, 748 de un cable, 742 Flotacion, 674 Fluido incompresible, 635 , 670, 684 Flujo, 663, 808 Flujo estable, 637 Focales, coordenadas, 303, 678 Folio de Descartes, 269 , 284 Forma diferencial , alternante, 3 5 7 - 3 7 6 cerrad a, 364 cuadratica, 332 exterior, 367 integral de una, 654-66 7 , 7 1 7 - 723 lineal, 1 1 3 no alternante, 358 Forma cuadrati c a , discriminante de una, 399 definida negativa, 399 definida positiva, 399 indefinid a , 399 Forma (s) , 38, 1 1 3 , 1 1 4 alternante, 206, 207 , 2 1 4 bilineal, 2 0 2 , 2 0 3 , 2 0 5 , 2 0 6 , 2 1 8 cuadratica, 2 0 3 , 399, diferencial, 1 1 3 , 332 , 357-376 lin�al, 1 1 3 , 200 , 202 multilineal, 203 , 208 , 2 1 4 trilineal, 2 0 3 , 206 Fourier, integral de, 535-555 teorema de Ia integral de , 535 , 540 , 543 , 550 transformada de, 5 3 6 , 550 Frechet, derivada de , 3 1 6 Frenet, formulas de, 260

Indice Fresnel , integrales de, 532 Frontera, de una region orientad a , 645 de un conjunto, 3 0 , 32 , 34 problema de valor en Ia, 7 93 , 799 Fuente de masa, 638 Fuerza (s), electrica, 809 campo de , 247 flujo de, 663 gravitacional, 2 5 0 , 726 magnetic a, 809 superficiales, 672 Funci6n caracteristica d e un conjunto, 587 Funcional, 8 1 6 Funci6n (es), 3 6 , 44 algebraica 3 8 , 2 7 5 alternante, 205-209 analitica, 860 , 87 1 arm6nicas, 7 94 caracteristica, 587 compuesta, 8 1 , 8 3 , 90 conjugadas, 885 , 888 continua, 42, 43, 44, 45 , 1 44 continua segun Holder, 44 continua segun Lipschitz, 44 convexa, 558

Grado, de libertad, 835 de una aplicaci6n, 625 de un polinomio, 3 8 , 1 5 1 Gram, determinante de, 234, 235 Gravitacional, constante, 25 1 , 726 campo, de fuerza, 250, 726 campo vectorial , 689 potencial, 497 Green, 605 teoremas de Ia integral de, 6 1 9-620 , 6 74-

675 Guldin, regia de, 487 , 5 1 0

H Hamilton, principio de , 834, 836 Heady, Earl, 142, 3 1 4 Heine-borel, teorema d e cubertura de, 140141 , 151 Helice, 1 2 1 , 845 Hemisferio, 39, 328 Hermite, polinomios, de, 1 00 Heron, formula de, 394 Hiperbolico, paraboloide, 39 Hiperboloide, 329, 335

de clase en . 69 de corte, 553

Hiperplanos, 1 6 7 - 1 6 9 , 243 Hipersuperficie , 5 1 1 , 5 1 9

de funciones, 80

Holder, condici6n de , 44

dependientes, 32 1 - 323, 757 de soporte compacto, 5 5 1 diferenciable, 6 7 , 6 9 , 7 2 dominio de una , 3 6 , 3 7 , 41 , 4 2 entera racional, 37 implicita, 263-276 independientes, 322

1 035

tontinua segun, 44 desigualdad de, 396 Holomorfa, 860 Homogeneas, ecuaciones diferenciales, 7 5 7 , 761 funciones, 1 5 1 - 1 54 , 1 57 positivamente, 1 52 Homogeneo (s) , fluido, 670

inversa, 298

medio, 635 polinomios, 38, 1 5 1

limite de una, 44 multiforme, 898 potencial, 793 , 885 , 888 racional, 43 representaci6n geometrica de una, 38-41 soporte, 4 1 9 trascendente, 2 7 5 uniformemente continua, 44 valores extremos de una, 385 variacion de una, 8 1 8 Funcion exponencial. 8 6 2 , 865 , 872 , 874

G

Gama, funci6n, 556-568, 902 Gauss, teorema de Ia divergencia de, 606, 663 -677 , 706-7 1 1 , 721 producto infinito de , 565 Generado por vectores, 1 79 Geodesicas, 8 1 5 , 834, 842 Globales, 267 Grad , 249 Gradiente, campo del , 405 vector, 249 , 250, 2 5 3 , 2 7 7

sistema lineal, de ecuaciones, 1 73- 1 74 Homot6picas, 1 33 H uyghens, teorema de, 492

I 1dentidad, aplicacion, 1 59 , 1 90 transformaci6n, 9 1 Identidades, 299 Impar, permutaci6n, 208 Implicita (s), teorema de Ia funcion, 265,

274, 3 1 3 funciones, 263-276, 308, 3 1 3 representaci6n, 2 7 7 , 284 Incremento, 1 1 3 I ndependientes, 1 7 3 , 1 74 funciones, 322 variables, 36, 88 vectores, 1 7 1 I nestable, equilibria, 735 Inferior, integral, 586 limite, 603

1 036

Indice

punto, de acumulacion, 604 Inclinacion, 296, 406 Indefinida, forma cuadratica, 399 Indeterminados, coeficientes, 785 , 786 multiplicadores, 386-39 3 , 840-845 Indi<;e de una curva cerrada, 406 , 409 Inflexion, punto de, 2 7 6 , 278

Integrabilidad
698 impropias, 463-47 3 , 5 2 1 -527 ley de aditividad para las, 438, 591 multiples, 421 , 444, 592 reducion de, dobles, 448 repetidas, 1 0 7 sabre conjuntos, 586 sabre regiones en mas dimensiones, 44 1 sabre regiones no acotadas, 4 7 1 -4 7 3 sobre superficies sencillas, 659-663 sobre una superficie elemental, 695 transformacion de ' multiples, 6 0 1 ' 625 Integracion, 1 0 7 , 1 09 , 574, 727 constante de, 7 7 2 d e funciones analiticas, 868-870 de funciones racionales, 892 de diferenciales totales, 1 2 5 d e orden fraccionario, 5 7 1 Integrales d e linea 1 1 5 - 1 2 1 aditividad de las, 1 2 3 independientes d e I a trayectoria, 1 2 6 , 1 36 I ntegrales impropias, 464-473 , 5 2 1 -527 derivacion de, 526 integracion de, 525 Intercambio de, derivaciones, 62-66 integraciones, 1 09 Interior, area, 5 7 7 I nterpretacion activa d 'e I a transformacion,

1 89 Intervalo, 35 Integrable, 463 , 586-589 Interior(es), contenido del, 577 de un conjunto, 32 normal , b44 puntas, 3 0 , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 1 50 Interpretacion pasiva de la transformacion, 1 89 Invariante, 367

Inversa(s) funciones, 298 , 867 aplicaci6n, 1 90 , 288, 3 1 4 imagen, 288 transformaci6n, 308 Inversion, 290, 303, 326, 867 Isoperimetrica (s) , desigualdad, 4 1 9 -420 condiciones subsidiarias, 843 Isoperimetrico, problema, 8 1 5 , 845 lteracion, 3 1 5 , 7 7 7

J

Jacobiano(a), determinante, 300 , 301 1 matriz , 3 1 5 , 320 del producto de dos transformaciones, 305 , 324 Jor\lan , medida de , 421 -42 5 , 5 7 5 , 5 7 7 tonjunto mensurable d e , 5 7 7 , 6 9 6 ,

L

Laplace, ecuacion de, 8 6 , 90 , 636, 684, 787 , 7 9 8 , 839 operador de, 255, 674 operador de, en coordenadas polares, 90 operadpr de , en coordenadas esfericas, 677 Latitud , 296 Lebesgue, area de, 426 integral de , 463 medida de, 575 Lagrange, ecuaciones de, 836 multiplicadores de, 384, 840-846 representacion de , del movimiento, 4 1 7 Laplaciano, 90 , 25b Legendre, condicion de, 823, 846 Lemnisc ata, 2 6 9 , 2 8 z , 284 Ley anticonmutativa de Ia multiplicacion, 221 Ley asociativa, 1 6 5 , 1 88 Ley conmutativa, 1 65 Ley distributiva, 1 6 6 , 1 88 , 2Q2 Libre, superficie,' 673 Limite, 3 3 , 44 , 46 de una funcion, 44 , 46 de un a sucesion, 26, 33, 46 para una sucesion, 26, 33, 46 p ara una variable compleja, 848, 852 Linea, de contorno, 3 9 , 279 de nivel, 40, 250 representacion parametrica de una, 1 64 representaci6n vectorial para una, 1 64 Lineal(es), aproximaci6n, 77 aplicaciones, 1 85 dependencia, 1 7 1 , 7 57 ecuaciones, 1 7 2 , 1 73 , 2 14-2 1 6 forma diferencial, 1 1 3 , 1 2 2 , 1 2 5 funcion homogenea, 1 5 7 operaciones, 1 56 transformaciones, 244, 857 variedades, 1 6 7 , 1 79 - 1 82

Indice Linea mas corta que une dos puntos, 842 Llneas de fuerza, 663 Lipschitz, condici6n de, 44 constante de, 44 continua segun , 44, 6 1 , 95 Lissajous, figuras de, 7 3 6 Local , 2 6 7 Logaritmo, 872-875 Longitud, 296 Longitud, de un arco sobre una superficie, 332

de un vector, 1 8 1 , 1 93 M M agnitud angular, 796 Magnitud aparente, 796 M asa, centro de , 489 conservacion de la, 635, 669 momenta de una, 488 total, 443 M atrices, 1 8 3 adici6n d e , 1 8 7 cero, 1 89 columnas de, 1 8 3 cuadradas, 186, 1 8 9 determinantes de, 2 0 9 diagonales, 2 1 7 diagonal principal de, 1 87 elementos de, 1 83 filas de, 1 8 3 jacobianas, 3 1 6 , 320 menor de , 229 ' multiplicacion de , 1 8 7 no singulares, 1 8 6 , 1 9 1 , 2 1 4 operaciones �on , 1 8 6 , 1 89 ortogonales, 1 9 2 , 2 1 3 producto de, 1 87 - 1 89 , 2 1 0 reciprocas, 1 89 , 1 90 , 1 9 1 rectangulares, 1 8 6 , 189 singulares, 186, 1 9 1, 214 transpuestas, 194, 2 1 2 triangulares superiores, 2 1 7 unidad, 1 90 M aximo, absoluto, 376 con condiciones subsidiarias , 382-386 de una funcion contin ua, 144 estricto, 376 relativo, 3 7 6 , 400 , 402 valor, �79 Maxwell, ecuaciones de, 806 , 8 1 0 Media, aritmetica , 394 densidad, 443 geometrica, 394 Menor complementario, 229 Menor de una matriz, 229 Minimas, superficies, 839 Minimo, de una funci6n continua, 144 con condiciones subsidiarias, 382- 386 · estricto, 376

1 0 37

relativo, 3 7 7 , 400-402 Modulo, de un nfunero complejo, 847 de continuidad, 43, 44, 95 de elasticidad, 748 Momenta, de un dipolo, 7 9 1 de inercia, 491 -493 de inercia de un elipsoide, 501 del momenta lineal, 738 de una distribucion de masa, 488-490 de una velocidad, 738 Momenta lineal, 668 , 726 Momentos, elipsoide de, 501 Monomio, 38 Morera, teorema de , 885 Movimiento, ecuaciones del, 725-727 planetaria, 7 3 7 - 743 Movimiento irrotacional, 636, 683 M ovimiento de fluidos, 668-671 Movimientos rigidos, 1 9 3 , 245 Mobius, cinta de , 647 , 654 Multiplicador, 386- 393 , 840-846 N Naci6n-estado, 1 53 , 364 N dimensional, bola, 5 1 7 esfera, 5 1 3 espacio euclidiano,R N , 3 5 , 1 5·7 espacio vectorial , 1 78 superficie, 7 1 4 , 7 1 8 Negativa, forma cuadratica definida, 399 Newton, ley de, de la atraccion, 247 , 737 segunda ley de, 726 Nivel, linea de, 40, 250, 279 No conexo, 133 No homogenea, ecuaci6n diferencial, 757 Normal, aceleraci6n, 258 a una curva, 276-277 a una superficie , 2 84 , 33 1 , 332 a un hiperplano, 1 68 - 1 69 derivada, 620 distancia, 506 exterior, 644 hiperplano, 1 68 positiva, 659 trazada hacia afuera, 665 velocidad, 506 No singular, matriz, 1 8 6 , 1 9 1 , 2 14 No traslapados, conjuntos, 422 No trivial, solucion, i 72 , 1 7 5 N iimero conjugado, 845 , 856 Niimero de arrollamiento, 13 1 , 627 0 O nd a , ecuacion de, en una dimension, 802803

ecuaci6n de, en tres dimensiones, 804, 808, 8 1 1 , 8 1 2

esferica, 805

1038

Indice

frentes de, 506, 549 , 550 plana, 549 viajera, 803 Ordenes de magnitud, 48 Orden superior de anulacion, 47 Orientabilidad, 648 Orientaci6n, que varia continuamente, 642, 651 cambia de, 307 de curvas sabre superficies, 652 de hiperplanos, 242, 243 de pianos, 242-243 de un paralelepipedo, 226, 236, 239, 241 de un paralelogramo, 2 1 9 estfmdar 238 opuesta, 1 1 6 , 225 , 237 Orientada, area, 1 2 1 curva simple cerrada, 1 1 5 , 1 2 0 frontera, 645 superficie, 6 3 3 , 642 , 644, 697, 7 0 1 variedad lineal, 242 Orientado(s), hiperplanos, 243 paraleleplpedo, 235 , 236 plano tangente, 64 1 Ortogonales, curvas, 280 matrices, 1 92 , 1 94 , 2 1 3 transformaciones, 1 93 trayectorias, 7 7 5 , 7 8 1 vectores, 1 6 6 Ortonormal, base, 1 80 sistema, de vectores, 1 80 , 1 92 , 1 9 5 Oscilaciones, 733-736 Osculador, plano, 259

p Par, permutaci6n, 208 Parabolas, coaxiales, 2 9 1 confocales, 280 , 2 9 1 , 294 Parabolicas, coordenadas, 294 Paraboloide, hiperbOlico, 39 de revolucion , 39 Paralelas, curvas, 449 Paralelepipedo, orientacion de un, 2 2 6 , 2 3 6 , 239, 2 4 1 generado por vectores, 226, 2 3 1 rectangular, 34, 3 7 volumen d e u n , 227 , 2 3 2 , 2 3 4 , 2 3 5 , 2 3 6 , 239, Paralelogramo, area de un , 1 9 1 222, 2 2 3 , 230 , 2 3 1 orientacion d e u n , 2 1 9 Parcial(es), 5 3 , 5 5 , 6 1 derivada, 52-56 ecuaci6n diferencial, 787 - 8 1 2 sumas, 849 Parseval, identidad de, para las transfor­ madas de Fourier , 546, 5 5 5 Parte imaginaria, 847 Parte real, 847

Partfcula que cae libremente, 7 30 Pendiente de una superficie, 5 3 Pendulo, 493 -496 Pendulo compuesto, 493-496 Permutacion, 208 impar , 208 par, 208 Perpendicular(es), distancia, 233 vectores, 1 66 Planetaria, movimiento, 7 3 7 - 743 Plateau, problema de, 839 Poincare, identidad de , 4 1 1 indice de, 406 lema de , 364 Poisson, formula de la integral de , 799-801 Polar(es) , coordenadas, 89 planimetro, 5 1 1 redproca, 353 Polo de una funci6n analitica, 887 Poligonal, curva, 143 Poligonalmente conexa , 97 Polinomio(s), 3 8 , 44 de Hermite, 1 00 de Taylor, 93 trigonometrico, 1 5 7 Planas, ondas, 549 , 804 Planimetro, 5 1 1 Plano, osculador, 259 , 260 distancia perpendicular desde un, 233 tangente, 285 Posicion, vector de , 160 Positiva, forma cuadratica definida, 399 normal, de una superficie, 643 , 659 Positivamente homogenea, 1 52 Positivo, l ado , de una superficie orientada, 643 !ado, de un plano, 243 Potencial, debido a una superficie esferica, 499 , 7 9 1 d e c argas q u e s e atraen, 7 8 8 de fuerzas, 7 2 8 , 7 3 3 d e un elipsoide de revoluci6n, 5 0 2 de u n a capa doble uniforme , 7 9 4 de u n a esfera s6lid a, 7 9 1 d e una recta, 7 9 0 - 7 9 3 ecuaci6n del , 9 0 , 2 5 5 , 792-80 1 energia, 4 9 7 , 728, 835 funciones de, 805 , 794, 7 9 7 , 884, 887 Presion, 6 7 1 Primitiva, raiz n-esima 32 , 90 1 transformacion, 3 1 1 Primitivas, aplicaciones, 3 1 1 Principal, rama, del arco tangente, 37 normal, 257 valor, del logaritmo, 876-884 Producto, cruz, 220 de aplicaciones, 372 de formas diferenciales, 3 2 1 , 362-363 de matrices, 1 88 escalar, 1 6 5 - 1 66

lndice simb6lico, 1 88 , 304 vectorial, 220 , 22 1 , 227 Producto simbolico, de aplicaciones, 1 5 8 , 1 88 , 304 de operadores, 56 Proyecci6n estereografica, 328 , 339 Punta fijo de una aplicaci6n, 3 1 7 , 4 1 3, 867 Punta, frontera, 30 , 3 1 aislado, 4 1 5 crltico, 378 , 405 de inflexion, 276, 278 doble, 414 en un espacio n dimensional, 34 estacionario, 378 exterior, 3 1 , 32, 3 3 , 1 1 8 fijo, 867 interior, 3 1 , 32, 33, l l 8 racional, 425 silla de montar, 379, 400 singular, 4 1 3 . 414, 4 1 6 Punto inicial d e vectores, 1 58 Punta final de un vector, 1 58 Puntas, sucesiones de, 26 R

Racional(es), funciones, 892 entera, funci6n, 37 puntas, 424 Radio de convergencia, 85 1 , 884 Reacci6n, fuerzas de, 258, 730 Reciproca, matriz, 1 89 , 1 90 , 1 9 1 Recta, representaci6n parametrica de Ia, 1 64 representaci6n vectorial de Ia, 1 64 Red coordenada, 289 , 293 Reflexi6n con respecto al circulo unitario, 290 Re�6n, conexa, 28, 1 32 rectangular, 3 1 , 34 simplemente conexa, 29, 1 32 - 1 34 Regia de Ia cadena de Ia derivaci6n, 83 Regia de las diagonales, 1 99 Relaciones de ortogonalidad, 1 8 1 Relativa, frontera, 7 1 8 cerradura, 7 1 8 Relativamente abierto, 7 1 8 Relativo, error, 80 extrema, 377 , 402 maximo, 376, 400-402 minima, 376, 400-402 Repetid a, integraci6n, 107 Representaci6n parametrica, de un area, l l 6 de una recta, 1 64 de una superficie, 326 , 641 Representaci6n tangencial de una curva, 4 1 9 Residua e n u n desarrollo d e Taylor, 98 Residua, en un punta, 887 teorema del, 887 Resolubilidad de un sistema de ecuaciones lineales, 186

1 039

Restricci6n, 393 Restricci6n de una funci6n, 37 Resultante, aplicaci6n, 304 transformaci6n, 304 Riccati, ecuaci6n diferencial de, 764, 765 Riemann, integrable segun, 463 , 586 funci6n zeta de, 878, 904 integral de, 1 19 , 463 suma de, 1 1 8, 586, 591 Riemann-Lebesgue, lema de, 540 Rolle, teorema de, 405 Rotacional de un vector, 252, 363 Rotaci6n, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, 243 de ejes, 89 , 245 en sentido contrario al movimiento de his manecillas del reloj, 243 sentido de Ia, 242 s

Seccionalmente suave, 29, 1 1 8 Secuencialmente compacta, 1 40 Semicontinuidad, 604 Semiespacios, 1 68 Sentido, de curvas, 4 1 0 d e u n a rotaci6n, 242 de vectores, 225 Separaci6n de variables, 7 5 1 Serie geometrica, 849 Series, 848 Series de potencias, 850-856, 881-884 Sill a de montar, de forma de, 40 Silla de montar, punta, 400 Simple, area, 1 1 5 superficie, 648 , 699-703 Simplemente conexos, conjuntos, 1 32 - 1 33 Singulares, puntas, de curvas, 282 , 413-416 soluciones, 775 superficies, 416-4 1 7 Simplex, 5 2 1 Singularidad d e una funcion analitica, 886 Singular, matriz, 1 86, 1 9 1 , 2 1 4 Sistema fundamental d e soluciones, 761 Sistemas, de funciones, 287 de ecuaciones lineales, 1 7 2 , 1 7 3 , 214-21 6 de aplicaciones, 287 de transformaciones, 287 ortonormales, 1 80, 1 92 , 1 94 Solido, fmgulo, 686 Soluciones, no triviales, 1 72 sistema de, fundamentales, 760, 761 triviales, 1 72 , 1 74 Soporte , compacta, 551 de una trayectoria, 142 funci6n, 4 1 9 Stokes, teorema d e la integral d e , 6 1 6 , 6 1 7 , 635 , 6J 8-684, 7 1 2, 7 1 3 formula de, e n dimensiones superiores, 653, 692 , 721 -723

1 040

Indice

Suavizar una funci6n, 1 1 0 Subaditividad de las areas exteriores, 580 Subconjunto , 146 Sucesion, acotada, 26 convergencia de una , 26 de numeros complejos, 84- 8

Trab ajo , 683 , 728 Transformaciones, afines, 2 1 8 , 324 conformes, 302 , 337 , 865 degeneradas, 322 inversion de , 308 de coordenadas, 293

d e puntos, 2 6

primitivas, 3 1 1

limite d e u n a , 2 1 , 26 , 3 3 , 4 6

producto de dos, 304

limite inferior d e u n a , 603 Sucesiva aproximacion, 3 1 4 , 777

resultantes, 304 Transpuesta de una matriz , 1 94

Suma(s), inferior , 524-, 4 3 1

Trascendentes, funciones, 2 7 5

de Riemann, 1 1 8 , 586, 5 9 1

Traslaciones, 1 58

d e vectores, 1 58 superior, 4 3 1 , 585

Traslapado, 422 Trayectorias, 1 3 2

Sumidero, 638 S uperficiales, fuerz as, 673

d e los rayos de l u z , 8 1 7

Superficie , area de una , 482 , 485 area de una, esferica , 483 , 5 1 5

homot6picas, 1 33

conexa, 643

familia de , 1 33 , 1 35 soporte de, 142

con una sola cara , 647

Triangular superior, matriz, 2 1 7 Trigonometrico, polinomio, 1 5 7

de revoluci6n, 487 elemental, 692 -693, 700, 7 14 - 7 1 6

Tubular , superficie, 356

Trivial, soluci6n, 1 7 2 , 1 7 5

u

en representaci6n parametric a, 326 , 640 equipotencial , 7 89 geodesicas sobre un a, 8 1 5 , 834 , 842

U nidad, matriz, 1 8 9 , 1 9 0 , 2 1 6

integrales de, 692 , 659-663, 7 14 - 7 2 3

Uniformemente continu a , 44 , 1 44

isob arica, 673

Uniforme(s), convergenci a , 522 - 849 aproximaciones, 1 1 0

lineas coordenadas sobre una, 330

v

libre, 672 m dimensional, 7 1 5 , 7 1 8 minim a , 839 normal de una , 285, 33 1 , 333 orientaci6n de una, 639-653 orientada , 642 , 644, 629 , 701 plano tangente a una , 331 representaci6n implicita de una , 284-286 simple, 699-703, 7 1 8 Superficie con una sola cara, 647 Superficies, areas de , en cualquier numero de dimensiones, 5 1 1 -5 1 3 Superior, integral, 586 Superposici6n, principia de , 7 5 6 - 7 5 7

T

Tangente, recta, 277 plano, 74, 285 , 330 Taylor, desarrollo de , 9 3 , 94, 95 serie de, 97-98, 8 5 5 , 882 teorema de , 97-98 Teorema fundamental, del algebra, 888 sobre la integrabilidad de las formas diferenciales lineales, 1 2 5 , 1 35 , 683 sobre l a dependencia lineal, 1 7 3 , 1 9 5 Teorema del valor medio p ara funciones, 95 p ara funciones de potencial, 797 Tetraedro, 1 7 6 , 1 7 7 Tomillos derechos, 225 Tornillos izquierdos, 225 Toro, 1 33 , 334 , 33() , 654

V alor absoluto, 847

Valores extremos, 377 , 385 , 3 8 6 , 388, 398 Variaci6n, primera, 8 1 7 - 8 1 9 d e p arametros , 7 5 4 , 7 6 5 - 7 6 7 de un a funci6n, 8 1 8 , 8 3 1 Variedad, 367 , 605 abstracta, 723 line al , 1 6 7 , 1 79 - 1 82 , 236, 240 - 242 vectorial, 246 Vecindad E , 25, 34 Vector, binormal, 260 cero, 1 2 9 , 1 5 6 , componen tes d e un, 1 55 , 1 65 curv atura, 257 definiciones de un, 155, 1 56 divergencia de un , 25 1 , 253 electrico, 806 gradiente, 249, 250, 254, 2 7 7 inclinaci6n d e u n , 4 0 6 longitud d e un, 1 60 , 1 8 1 , 1 9 3 magnetico, 806 normal principal, 257 representacion geometrica de un, 1 57 - 1 60 rotacional de un, 2 5 2 , 363 unitario, 1 6 3 Vectores, d e aceleraci6n, 2 5 8 aplicaci6n de , 1 84 , 1 89 base de, 1 78 campos de , 246 , 2 5 1 , 255

Indice

1 04 1

V elocidad de propagaci6n, 550

c(')mo diferencias de puntas, 1 58 coordenados, 1 56 , 1 6 3 , 1 6 7 , 1 78

Vibraciones, forz adas, 768 de una: cuerda, 802 Viga cargada, 747 - 7 5 1

dependencia lineal de , 1 70 , 1 7 5 de posicion 1 60 , 1 6 1 , 2 5 6 ,

Volumen, 1 82 , 429 , 476

espacios d e , 1 5 7 , 1 76 , 1 7 8 familias de, 255

d e paralelepipedos, 230- 2 3 6 , 244, 245 de una bola n dimensional, 5 1 7

formas lineales de, 200

d e u n elipsoide, 474, 475 , 5 20

formas multilineales de , 200-209 generado por, 1 79 , 221

de una piramide, 476

opuestos, 1 59

de una region limitada por una superficie,

ortogonales, 1 6 7

666 en cualquier numero de dimensiones, 5 1 1

ortonormales, 1 8 0 , 1 92

V6rtice, 638 Vorticidad, 636, 683

perpendiculares, 1 6 7 producto cruz de , 2 1 9 , 220 , 2 2 1 producto de , 2 1 9 , 228 productos escalares de , 1 6 5 - 1 6 6 , 1 8 1 , 1 9 3 producto vectorial de , 220 , 22 1 , 227 , 228 ,

361 s u m a d e , 1 5 6 , 1 58 triple producto de , 2 2 1 V t>ctor coordenado, 1 6 2 , 1 66 , 1 78 Vectorial , producto de vectores, 2 2 0 , 222 Vectorial , representaci6n, para las rectas, 1 63 variedad , 246

Wallis, producto de , 528 Weierstrass, 111

teorema de aproximaci6n de,

principia de , del punto de acumulaci6n, 1 3 7 , 1 38 producto infinito de , 565 Wronskiano, 759 Wronski, condici6n de , 761

z

V elocidad, de l a luz , 8 1 7 potencial de , 684 vector, 258

w

Zeta, funci6n, 878, 904

-ooo-

NOTAS

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N OTAS

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