Kurzlehrbuch Physik

Hartmut Zabel

' Thieme

Auf einen Blick 1

Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

2 3

Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

4

Wärme, Löslichkeit, Diffusion

5 6

Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus Schwingungen und Wellen

7

Optik

8

Ionisierende Strahlung

9

Anhang

Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper

Kurzlehrbuch

Physik Hartmut Zabel

235 Abbildungen 42 Tabellen

Georg Thieme Verlag

Stuttgart · New York

IV Prof. Dr. Dr. h. c. Harrmur l.lbel Lehrstuhl f\ar Expen menr•lphysik Ruhr-Una~rsitJt

Umversnatsstr. 150 4480 I Bochum hartmuLZabelllrub.dc

Grafiken: Walh Kuhn. Tubangen Klinische r~lle als Kapaelemstiege: Lehrbuchredaktion Georg Thicmc Verlag Layout: Konkel u. Lopka. Headelberg Umschlaggemltung: Thieme Verlagsgrup~

Dae Deutsche Babhothek CIP· Einheitsaufnahme Em Titeldatensatz für diese Publikation 1st be1 der Deutsch~n Bibliothek ~rh.tlllich.

Wichtiger Hinweis: Wae jede Wissensch.trt ast die McdiZIIl ständigen Fnrwicklungen unterworfen. Forschung und klinische Erf.thrung erv.oeatern unsere l:rkenntm~~e. ans besondere was Behandlung und medikamentöse Therapie anbelangt. Soweit m daesem Werk eine Dosaerung oder eme Applikation erwähnt Wird, darf der Leser zwar darauf vertrauen, dass Autoren, Herau•geber und Verlag große Sorgfalt darauf verwandt haben. dass diese Angabe dem Wissensstand bei Fertlgstellung des Werkes cntspnchr. Ftlr Angaben uber DosierungsanwCI>uatgen und Apphka· tionsformen kann vom Verlag Jedoch keanc Gewähr liber llOmmen werden. Jeder Benutzer 1st angt'halten, durch sorgflltigc Prüfung der Beipackze«el der verwendeten Präparare und gegebenenfalls nach KonsultatiOn cme~ Spemhsten festzustellen. ob die dort gegebene Empfehlung für Dosierungen oder die Be•chrung von Kontramdikatio· nen gegenOber der Ang.tbe an dae~m Buch atr....c•cht. Eine solche Prüfung ISt besonders wichtag bea selten verwende· ten Präparaten oder o;olchen. dae neu auf den Markt gebracht worden sind. jede Dosierung oder Applikation erfo~ auf eigene Gefahr des Benutzers. Autoaen und Verlag ap~llieren an jeden Benutzer. 1hm etwa auffallende UngenaUigkeiten dem Verlag mitzutctlcn.

www.thieme.de/service/feedback.html

•

C> 20 II Georg Th1eme Verlag KG

Rud1gerstraße 14 D 70469 Stuttgart Unsere Homep.1ge: http:l/www.thaemc.de

Geo;chutzte Warennamen (WMenzeichen) werden nkhl besonders kenntlich gemacht. Aus dem Fehlen eancs solchen Hinwe1ses kann al•o mehr geschlossen werdt'n dolSS e- SICh um emen freaen Warennamen handele. Das Werk. cnlSdthL'I~hch aller 'Cmer Teilt', i•t urheberrecht IKh ge,thutzt. jedt> Vt-rwertung außerhalb der engen Grcnren de~ Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlag.~ unzulasstg und strafbar Das galt m'be>ondere fur Vervielf.lltigungen. Übeßt>tzungen. Makroverfilmungen und dae Eanspeacherung und Verarbeitung m elektron"chen

Pnnted m Gcrmany Sat7" Mmerweger & Partner. Ptankstadt Druck: Al Druck und Datentedlmk, Kcmpcen ISBN 978-3·13·146471 · 2

I 2 3 4 56

Sy~temen.

V

Vorwort Das Physikstudium ist für Studierende der Medizin eine unbeliebte Hürde, wenn nicht sogar eine Blockade gleich zu Beginn des Studiums. Während die im ersten Semester gleichzeitig angebotenen Fächer Chemie, Biologie und Anatomie einen offensichtlichen Bezug zur Medizin haben, ist dies bei der Physik den Studierenden nicht unmittelbar einsichtig. Darüber hinaus ist die mathematisch-physikalische Denkweise, die in der Physikausbildung verlangt wird, vielen Studenten weniger zugänglich, als die deskriptive und operative Vorgehensweise in anderen Fächern. Dies führt dazu, dass die Physik sich zum unbeliebtesten Fach der Studierenden der Medizin entwickelt hat. Der für die ärztliche Vorprüfung notwendige Stoff wird schließlich im Rahmen eines Tutoriums kurzfristig eingepaukt. Tatsächlich ist der Bezug der Medizin zur Physik auf allen Ebenen gegeben. Die Knochenmechanik baut auf den Hebelgesetzen, auf dem Trägheitsgesetz und auf den Elastizitätseigenschaften der Knochen auf. Der Blutkreislauf gehorcht den Gesetzen der Hydrodynamik. Die Abbildungseigenschaften des Auges folgen aus der geometrischen Optik, und das Ohr entspricht einem hochempfindlichen, frequenzsensitiven Detektor mit Impedanzanpassung. Die Physik spielt auch bei der Diagnose und Therapie eine überragende Rolle. Neben Röntgenabsorptionsaufnahmen kommen Kernspintomographie, Positronen-Emissionstomographie und die Ultraschalldiagnostik zum Einsatz. Für die Behandlung werden radioaktive Quellen, Teilchenbeschleuniger und mikromechanische Roboter verwendet. Der zunehmende Einsatz von Hochtechnologie in der Medizin, basierend auf physikalischen Grundlagen, mögen für Studierende des ersten Semesters noch nicht relevant sein. Aber bereits im ersten Semester müssen die Grundlagen für ein grundsätzliches physikalisches Verständnis gelegt werden, auf dem zu einem späteren Zeitpunkt aufgebaut werden kann. Es gilt also, die Scheu vor physikalischen Fragestellungen und physikalischer Denkweise zu überwinden und den Bezug zwischen Physik und Medizin zu verdeutlichen. Der Inhalt der acht Kapitel ist auf Prüfungsrelevanz getestet worden. Zahlreiche klinische Bezüge verdeutlichen den Bezug zwischen Physik und Medizin. Rechenbeispiele sowie Übungsaufgaben mit Lösungswegen leiten zum eigenen Nachrechnen an und bereiten auf die ärztliche Vorprüfung vor. Beispiele für Praktikumsversuche sind repräsentativ aus dem Praktikumsangebot verschiedener Universitäten ausgewählt.

Jedes Kapitel wird durch einen klinischen Fall eingeleitet, der besonders charakteristisch für den Inhalt des Kapitels ist. Innerhalb der Kapitel werden Sie mit Hilfe der schon von den anderen Kurzlehrbüchern bewährten didaktischen Elementen durch den Stoff durchgeführt: Lerncoach zu Beginn jedes Abschnitts, Übersicht über den Inhalt der Abschnitte, Lerntipps/Praxistipps, Merksätze und zum Schluss jeweils ein Check-up, um die wesentlichen Lerninhalte noch einmal zu rekapitulieren. Im Anhang sind alle Formeln gegliedert nach Kapitel noch einmal zusammengefasst. Außerdem sind alle verwendeten Symbole kapitelweise mit ihren Einheiten aufgelistet und erläutert. Damit gewinnen Sie Übersicht, ob in dem jeweiligen Kapitel z.B. das Symbol „T“ für die Temperatur steht oder „T“ die Bedeutung einer Periodendauer hat. Dieses Buch wäre nicht entstanden ohne die Hilfe von Vielen, die dran direkt oder indirekt mitgewirkt haben. Zuallererst möchte ich meinen Teilnehmern an der Vorlesung „Physik für Mediziner“ an der Ruhr-Universität Bochum danken, die über viele Jahre hinweg durch Interesse und Fragen viele Anregungen für Bezüge und Inhalte geliefert haben. Auch die Studierenden im Studiengang Projektorientiertes Lernen (POL) an der Ruhr-Universität Bochum haben durch ihre alternative Vorgehensweise der Erarbeitung des Stoffes in Seminaren und im Selbststudium durch ihre Fragen zur Verbesserung der Inhalte von Jahr zu Jahr beigetragen. Mein besonderer Dank gilt Frau Dr. Karin Hauser vom Thieme Verlag, die den ganzen Stoff sorgfältig durchgelesen und durchgearbeitet hat und durch zahlreiche Anregungen die Klarheit des Textes deutlich verbesserte. Besonders gefreut hat mich, dass Frau Dr. Hauser als Biologin Gefallen an der Physik gefunden hat, je mehr sie den Text durcharbeitete. Ich hoffe sehr, dass es allen Medizinstudierenden, die das Kurzlehrbuch sorgfältig durcharbeiten, genauso ergehen wird. Danken möchte nicht zuletzt meiner Frau Rosemarie, die immer Verständnis und Geduld für die Arbeiten an dem KLB Physik aufgebracht hat. Bochum, den 20. September 2010 Hartmut Zabel

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

Inhalt

Inhalt

1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.2

Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung 3 Physikalische Größen und Einheiten 3 Überblick 3 Physikalischen Größen und Einheiten 3 Basisgrößen und Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems 4 Skalare und Vektoren 5 Bedeutung von Differenzial und Integral 8 Flächen und Volumina 9 Definition und Einheiten von Winkeln 10

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4

Messen und Unsicherheiten beim Messen Überblick Messfehler Mittelwert und Standardabweichung Fehlerfortpflanzung

11 12 12 12 14

1.3

Wichtige Funktionen

15

2

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4

Aufbau der Atome und Atomkerne Überblick Aufbau des Atoms Die Elektronenhülle Der Atomkern

49 49 49 50 51

3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5

Verformung fester Körper Zug und Druck Hydrostatischer Druck Scherung und Drillung Biegung Plastische Verformung

52 52 54 54 54 55

3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6

Hydrostatischer Druck Überblick Hydrostatischer Druck Druckmessung Compliance Luftdruck und Schweredruck Auftrieb

56 56 56 57 58 59 60

3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4

Kräfte an Grenzflächen Überblick Kohäsion und Adhäsion Oberflächenspannung Kapillarität

62 62 62 63 64

3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4

Strömung von Flüssigkeiten Überblick Laminare und turbulente Strömung Dynamik von Flüssigkeiten Reale Flüssigkeiten

65 65 66 67 67

Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

23

2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3

Bewegung Einleitung Geschwindigkeit und Beschleunigung Arten der Bewegung

23 23 23 24

2.2

Impuls, Kraft, Drehimpuls, Drehmoment Überblick Impuls und Impulserhaltung Drehimpuls und Trägheitsmoment Kraft und Arten von Kräften Reibungskräfte Drehmoment Bezugssysteme

29 29 29 30 31 34 35 39

4

Wärme, Löslichkeit, Diffusion

75

4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3

Temperatur Einleitung Temperaturmessung Thermische Ausdehnung

75 75 76 77

41 41 41 41 43

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4

Wärme und Wärmekapazität Überblick Wärme und Wärmekapazität Hauptsätze der Wärmelehre Wärmetransport

77 77 78 80 82

Thermodynamik von Gasen Überblick Allgemeine Gasgleichung Zustandsänderungen Gasgemische

85 85 85 85 86

Änderung des Aggregatzustands Überblick Phasenübergang Sättigungsdampfdruck und Siedepunkt

87 87 87 88

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3

Arbeit, Energie, Leistung Überblick Mechanische Arbeit Hubarbeit und potenzielle Energie Leistung Vergleich Translations-/Rotationsbewegung

Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

47

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4

Wichtige Grundlagen Mengengrößen, bezogene Größen Begriffsdefinitionen Aggregatzustände

47 47 47 48

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3

43

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

VII

VIII

Inhalt

4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6 4.5.7

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8

Stoffgemische Überblick Molarität Löslichkeit Dampfdruckerniedrigung Osmose Diffusion Vergleich Osmose und Diffusion

89 89 89 89 90 90 92 93

Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus

97

Elektrizität Überblick Elektrische Stromstärke, elektrische Ladung Elektrisches Feld Elektrische Spannung Elektrischer Strom und elektrischer Widerstand Elektrischer Stromkreis Elektrizitätsleitung Elektrische Spannungen an Grenzflächen, Diffusionsspannungen

97 97

Huygen-Prinzip Wellengeschwindigkeit Impedanz Stehende Wellen Intensität

146 146 147 147 148

6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7

Schallwellen Überblick Schallwellen Isophone Reflexion Schallwahrnehmung im Ohr Ultraschall in der Medizin Doppler-Effekt

149 149 149 151 151 152 152 153

97 99 103

6.4

Elektromagnetische Wellen

154

7

Optik

159

106 108 113

7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4

Geometrische Optik Überblick Brechung und Reflexion Abbildungen Linsenfehler

159 159 159 163 167

7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3

Wellenoptik Einleitung Beugung von Licht Polarisation

167 168 168 170

7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3

Optische Instrumente Überblick Kamera und Auge Vergrößerung und Verkleinerung

172 172 172 174

7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4

Quantenoptik Welle-Teilchen-Dualismus Photoeffekt Lichtquellen Wahrnehmung von Gegenständen und ihrer Farben

178 178 179 179

116

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6 5.2.7

Magnetismus Überblick Magnetische Feldstärke Magnetische Flussdichte Magnetischer Dipol Magnetische Materialien Magnetisierung Materie im Magnetfeld

118 118 118 120 120 121 122 122

5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4

Elektromagnetismus Überblick Elektromagnetische Induktion Wechselstrom Widerstände im Wechselstromkreis (elektrische Impedanzen) Transformatoren Elektromagnetischer Schwingkreis

124 124 124 127

5.3.5 5.3.6

6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.2.8 6.2.9

129 133 133

6

Schwingungen und Wellen

139

6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4

Schwingungen Ungedämpfte Schwingungen Gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen Überlagerung von Schwingungen

139 139 140 140 142

6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4

Wellen Überblick Eigenschaften von Wellen Ausbreitung von Wellen Überlagerung von Wellen

143 143 143 143 144

7.5

180

7.5.3

Lichtstärke, Beleuchtungsstärke und Schattenbildung Überblick Lichtstärke, Lichtstrom und Beleuchtungsstärke Schattenbildung

183 184

8

Ionisierende Strahlung

189

8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3

Radioaktivität Nuklide und Radionuklide Radioaktiver Zerfall Radionuklide in der Medizin

189 189 190 194

8.2 8.2.1

Röntgenstrahlen Einleitung

195 195

7.5.1 7.5.2

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

183 183

Inhalt

8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.3

Erzeugung und Arten von Röntgenstrahlung Röntgenröhre Röntgenstrahlung in der Medizin

9.4.3 195 196 197

9.4.5

8.3.1 8.3.2 8.3.3

Nachweis und Wirkung ionisierender Strahlung Überblick Nachweis ionisierender Strahlung Strahlenwirkung

198 198 198 199

9

Anhang

204

9.1

Mathematische Grundlagen

204

9.2

Mathematische Zeichen und Symbole

206

Naturkonstanten und nützliche Werte

206

9.3 9.4 9.4.1 9.4.2

Formeln, Symbole und Einheiten zu Kapitel 1: Grundbegriffe zu Kapitel 2: Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

9.4.4

9.4.6 9.4.7 9.4.8 9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.5.4 9.5.5

zu Kapitel 3: Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper zu Kapitel 4: Wärme, Löslichkeit, Diffusion zu Kapitel 5: Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus zu Kapitel 6: Schwingungen und Wellen zu Kapitel 7: Optik zu Kapitel 8: Ionisierende Strahlung Lösungen zu den Aufgaben Grundbegriffe Mechanik des Massepunkts Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper Wärme, Löslichkeit, Diffusion Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus Schwingungen und Wellen Optik Ionisierende Strahlung

209 211 212 216 217 220 221 221 222 224 225 227 227 228 229

207 207

9.5.6 9.5.7 9.5.8

208

Quellenverzeichnis

230

Sachverzeichnis

231

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

IX

2

Klinischer Fall

l

Nadelöhr im Herzen

E.Jnsetzen erner I
Das Körpergewicht ist eine Messgröße, die viele Menschen akribisch überwachen - meist aus Angst vor Übergewicht. Tatsächlich spiegelt es aber viel mehr wider als nur Essgewohnheiten und Ist Medizinern häufig sogar ein diagnostisches Hilfsmittel. Patienten mit Herzschwäche oder Niereninsuffizi. enz können mehrere Liter Wasser im Körper einlagern. Menschen mit Tumorerkrankungen oder chronischen Infektionen hingegen verlieren häufig ungewollt pfunde. Regelmäßige Gewichtskontrollen sind bei ihnen daher sinnvoll. Zusammen mit der klinischen Symptomatik und weiteren Untersuchungen kann der Blick auf die Waage dabei helfen, Diagnosen zu stellen und Therapieerfolge zu kontrollieren. Schwerwiegende Probleme Frau Un2 kann ihr~n Augen kaum trauen. 112 Kilogramm! Traurig steigt sie von der Waage. Schon wieder 7Ugenommen. ganze drei Ktlo in nur ein paar Tag~n. Dabei hat ~le doch strikt auf ihre lrnährung geachtet. Aber auch sonst fühlt sich die 83-jährige nicht gut. Seit kurzem fällt ihr jede Bewegung schwer und auch die Luft wird öfter knapp. Gestern beim finkaufen ist ihr so schwindelig geworden, dass sie auf dem Heimweg eine Pause emlegen musste. Die Rentnerin will wis~n. was mit ihr los ist und bittet ihren Arzt um einen Hausbesuch. Bei der Untersuchung am Nachmittag bemerkt der Mediziner beim Abhören ein sys· tolisches Her1geräusch, das m die Halsschlagadern fortgeiettel wird. Das Atemgeräusch •st beidseitig at>geschwächt. Zudem hat Frau linz Unterschenkelödeme.•Sie haben Wasser in der Lunge und in den Beinen. Schuld daran ist vermutlich eine Herzschwäche". erklärt der Arzt und rät der Rentnerin. ihr Leiden in der Klmik abklären zu lassen.

Herz in Not Schon wenig~ Stunden später liegt tlie alte Dame im Echokardiografieraum des Krankenhauses.•Ihre Aortenklappe tSt verengt". sagt die Kardiologin, nachdem s•e ~rau linz' Herz son09rafiert hat. Dte erworbene Aortenstenose ist heute der häufigste Klappenfehler. ~ie entsteht meist lnlolge degenerativer Veränderungen und führt zu Verkalkungcn mit verringerter Klappenöffnungsfläche. Die durch d1e Enge gesteigertt> Druckbelastung des linken Ventrikels bewirkt eine Vergroßerung (Hypt>rtrophie) dt.>~ Her.:muskel~. Da~ Herzzeitvolumen k<1nn dadurch eine Zeit lang aufrecht erhalten werden. Mit fortschreitender Verengung nimmt die Pumpleistung des Herzens jedoch ab und Symptome der Hefl<;ehwäche treten auf: bei Lmksher.:insuffiz1enz 1um Setspiel em Lungenödem, ein Pleuraerguss oder zerebrale Funktionsstörungen. Ist lnfolge des Rütkstaus des Bluts aus der linken IIer Lkammer in die Lunge (t Lmgenstauung) später auch die Pumpfunktion der rechten Kammer beeinträchtigt. kommen periphere Ödeme und eine Ge-.vtchts7unahme hin1u - wie be1 Frau linz. Wasser Marschi Zurvorübergehenden Stabilisierung wird Frau lin7 medikamentös mit Diuretika behandelt und so das Wasser aus dem Gewebe geschwemmt. Zu ihrer großen Freude verliert die Rentnerin unter der Therapie mehrere Kilogramm Gewicht und das Atmen fällt ihr zusehends leichter••Langfristig hilft Ihnen aber nur ein Ersatz der Aortenklappe· erklärt ihr die Klinikärztin. Drei Wochen sp.:iter wird Frau Linz eine biologische Herzklappe vom Schwein eingesetzt. Dtese arbeitet geräuschlos und hält zehn bis fünfzehn Jahre. Eine lebenslange Blutverdünnung, die bei künstlichen Klappen unverzicht· bar ist, wtrd dabei nicht erforderlich. ln Zukunft schaut Frau Unz halbjährlich bei ihrer Kardtologin vorbet, die die Funktion der neuen Herzklappe überprüft. D•e Rentnerin achtet zudem sorgsam ,JUf Ihren Körper und misst regelmäßig Temperatur, damit sie eine even· tuellc [ntzündung der neuen Herzklappe rasch er· kennt Und natürlich ste1gt sie we,ter fleißig auf die Waage, um früh zu bemerken. dass sie wieder Wasser e1nlagert- oder doch einfach mal ein Stück Sahnetorte zu viel gegessen hat.

1 Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

1

Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

1.1 Physikalische Größen und Einheiten

;......

Lerncoach ln diesem Kapitel werden die mathematischen und physikalischen Grundlagen beschrieben, die Ihnen in diesem Buch immer wieder begegnen werden. Sie werden Ihnen vielleicht vertraut vorkommen, denn manches habe Sie wahrscheinlich bereits ln der Schule kennengelernt. Verlieren Sie deshalb nicht den Mut. die Erinnerung daran wird Ihnen helfen. sich wieder hineinzufinden.

1.1. 1 Überblick Das Messen ist uns eine vertraute Sache. Wir stellen uns morgens auf die Waage, um unser Gewicht zu messen; wir schauen auf die Uhr. um nicht zu spät zum Zug zu kommen. d. h. wir messen die Zeitdifferenz zwischen jetzt und der fahrplanmäßigen Abfahrt; wir fahren Auto und messen die Geschwindigkeit mit einem Tachometer. Bei diesen Beispielen führen wir selbst eine aktive Messung durch und verlassen uns auf die richtigen Angaben der Messinstrumente. d1e wir emsetzen: Waage. Uhr und Tachometer. Beim FrühstOck schauen wir auf die ROckseite der Müsli-Packung. die Auskunft über Energieinhalt Nährstoffe. Fett und Vitamine pro 100 g gibt. Hier verlassen wir uns auf die Richtigkeit der Messungen durch andere Personen und lnstrumenre in einem Labor. Schließlich gehen wir durd1 eine Tür und haben das Gefühl. dass sie hoch genug ist. sonst würden wir den Kopf einziehen. wir gehen die Treppe runter und treffen exakt die Srufen. w1r treten ins Fre1e und stellen einen Temperaturunterschied ?wischen Innen und Außen fest. und kneifen die Augen zu. da plötzlich die Helligkeit stark zugenommen hat. ln allen diesen Fällen haben w ir Messungen von Höhen. Temperaturen und Helligkeiten automatisch mit Hilfe unserer korpereigenen Messinstrumente durchgerlihrr. Der Körper ist noch mir wesentlich mehr Sensoren ausgerüstet. die uns eine tägliche sichere Navigation durch alle Widrigkeiten erlauben. Wir können Gegenstände wahrnehmen. Entfernung abschätzen. Klänge und Lautstärken unterscheiden, Geruche riechen. Neigungen erkennen, Druck und Schmerz empfinden. Von diesen körpereigenen Sensoren bekommen wir keine genauen Messwerte geliefert. jedoch versteht es das vegetative und somatische Nervensystem sehr gut, die Messwerte an die Regelkreise und Entscheidungszentren weiter zu leiten. sodass wir auf d1e gegebenen Umstände richtig reagieren können. Viele der empfundenen

Physikallsehe Größen und Einheiten

Wahrnehmungen können auch mit Hilfe von geeigneten Messinstrumenten quantifiziert werden. wie z.B. das Fieber durch eine mit einem Thermometer messbare erhöhte Körpertemperatur. Messen gehört zu den WIChtigsten Aufgaben in der medizinischen Praxis. Bevor eine Diagnose erstellt werden kann. werden üblicherweise eine ganze Reihe von physikalischen und chemischen Messungen durchgefiihrt: Temperatur, Puls, Blutdruck. Zahl der Leukozyten. Erythrozyten und Thrombozyten im Blut, Glucosekonzentration im Harn. etc. Bei der TI1erapie werden ebenfalls quantitative und messbare Angaben gemacht: Zahl von Tropfen. Spritzen von einigen Millilitern eines Medikaments, Dosis einer Bestrahlung. etc. Bei allen durchführbaren Messungen werden drei grundlegende Annahmen gemacht: Die zu messende Eigenschaft ist klar definiert und abgegrenzt gegen andere Eigenschaften. Die Messung liefert einen eindeutigen Wert. Die Messung wi rd in einem Maßsystem durchgeführt. welches allgemem akzeptiert ist. und das Messresultat ist in diesem Maßsystem mitteilbar. Im folgenden Abschnitt werden wir das international anerkannte Maßsystem vorstellen. Dabe1 werden wir uns vorzugsweise auf physikalische Größen und Einhe1ten konzentrieren. 1.1 .2 Physikalischen Größen und Einheiten Physikalische Größen sind mathematisch definierbare und messbare Eigenschaften der Materie im ruhenden wie im bewegten Zustand. Physikalische Größen sind z.B. Volumen. Kraft, Geschwindigkeit und Temperatur. Dagegen sind Gefühle. Stimmungen. Farbeindrücke keine physikalischen Größen. Hinter physikalischen Be!,'Tiffen steht immer eme exakte quantitative Definition. Häufig weicht die physikalische Begriffsbildung bzw. Definition vom allgemeinen Sprachgebrauch deutlich ab. Zum Beispiel haben wir eine alltägliche Vorstellung von Arbeit. jedoch in der Physik ist d1e Arbeit definiert als Kraft mal zu rückgelegter Wegstrecke. Darstellung der physikalischen Größe Physikalische Größen sind durch einen Zahlenwert und eine Einheit gekennzeichnet, die jeweils durch ein bestimmtes Symbol beschrieben werden: Physikalische Größe

~

G

•

Zahlwert

Einheit

{G}

IGI

Beispiel: die Lc'inge eines Bettes ist I• 2.2 m. Hier ist der Zahlenwert der Länge 2.2 und d1e Einheit Meter, abgekurzt als m. Ohne Angabe der Einheit (Meter) macht der Zahlenwert keinen Sinn. Mit Abkürzungen (hier I ftir Länge) können auch algebraische

3

4

Physikalische Größen und Eonheoten

1 Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

Rechnungen durchgefilhrt werden. Setzt man für das Ergebnis einen Zahlenwert ein. dann muss der Zahlenwert mit einer Einheit versehen werden. Eine geschweifte Klammer ( } um eine physikalische Größe G bedeutet ..Zahlenwert von G". Eine eckige Klammer [ ] um eine physikalische Größe G bedeutet ..Einheit von G". Zwischen Zahlenwert und Einheit kommt immer ein LeerLeichen: 2,2 m (nicht 2,2m). Anmerkung: in der deutschen Uteratur werden Dewnale durch em Komma getrennt (2.2 m). ln mternationaler Literatur und insbesondere auch bei Veröffentlichungen werden Dezimale durch einen Punkt getrenm (2.2 m). ln diesem Kurzlehrbuch ble1ben wir bei der deutschen Schreibweise. D1e Definition physikallscher Größen und deren Einheit ermöglicht das Messen und Vergleichen von Zuständen und Bewegungen von Gegenständen. Dazu braucht man Messgeräte (Abb. 1.1 }. die für die entsprechende Messung geeignet sind (Metermaß für Länge, Barometer für Druck, etc.) und so geeicht sind. dass sie einen Messwert nach dem anerkannten Einheitensystem ergeben (z.B. Meter rur eine Länge). Der reine Zahlenwert ohne die Angabe von Einheiten macht keinen Sinn. Obwohl die Längenangabe in inchnicht international anerkannt ist. ist sie dennoch in den USA allgemein gebräuchlich. Kennt man den Umrechnungsfaktor (I inch = 0,0254 m). dann ist eine Umrechnung leicht möglich. Fehlt jedoch bei der Angabe des Zahlenwerts die Einheit. dann kann es zu schwerwiegenden Fehlern kommen: Beim Annug der Sonde Mars Climate Orbiter auf den Mars gmg diese 1999 verloren. da bei der Kommunikation zwischen zwei Kontrollteams unterschiedliche Maßeinheiten verwendet wurden.

0

I 0

II

I 3

2

1 111

. I' 4

I 1"1

I

I

5

6

2

1

Abb. 1.1 Zwei Maßstäbe mit gleicher Länge haben unterschledlkhe Einheiten. Der obere MJßstdb ist on Mollimeter und Zentimeter eongeteilt, der untere Maßst.1b in Inches und 81'\Jchtede da110n.

1.1.3 Basisgrößen und Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems Die heure international gelrenden Einheiten sind im Internationalen Einheitensystem (SI-System } zusammengefasst. ln diesem System gibt es Basiseinheiten und abgeleitete Einheiten. die aus den Basiseinheiten hervorgehen. Oie Basiseinheiten sind den Basisgrößen zugeordnet (Tab. 1.1 }.

~A~ Die Basisgrößen und Basiseinheiten sollten Sie kennen. Früher wurde im Physikum häufig danach gefragt. Beachte. dass viele Symbole mehrfach verwendet werden. Zum Beispiel wird m als Abkürzung mr die Einheit Meter verwendet. aber auch als Formelzeichen für die physikalische Größe Masse. 01e jeweilige Bedeutung 1stjedoch aus dem Zusammenhang erkennbar. Wenn m nach einem Zahlenwert steht. dann ist m als Abkürzung der Maßeinheit Meter gemeint. Wenn m in einer physikalischen Gleichung vorkommt. dann ist damit übliche1weise die Masse gememt.

Tabell• 1.1

I

I

..........

Basisgröße

I

........

Symbol für

I :«1

d•EII lbsuv , Basiseinheit

Basisgröße

... Symbol für

Formelzeichen für

Basiseinheit

Basisgröße

L..lnge

l

M~ter

m

Masse

M

Koloqramm

kg

leot

z

Sekunde

s

Temperatur·

T

Gr;Kf

K

Ampere

A

Mol

mol

n

Candela

cd

I,

Strom Stoffmenge LIChtstarke

N

II

m

T

1 Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung Physikalische Größen und Einheiten Herleitung abgeleiteter Einheiten aus den Basiseinheiten Viele physikalische Größen sind aus den Basisgrößen abgeleuer. Zum Beispiel ist die Geschwmdigkelt gleich der zurückgelegten Wegstrecke pro Zeit. oder in Basisgrößen ausgedrückt: Geschwindigkeit • Länge/Zeit. symbolisch v • L(T. Da die Ein hei t von Länge [L] • m und von Zei t [T] • s ist, folgt fu r die Einheit der Geschwindigkeit [v) ~ mjs. Hier bedeutet m/s Meter pro Sekunde. Häufig ist es besser und eindeutiger. die folgende Schreibweise zu w;!hlen: ms· 1. ln diesem Kurzlehrbuch werden wir beide Schreibweisen verwenden. Für manche abgeleitete Größen werden neue Bezeichnungen emgeführt. Zum Beispiel ist d1e Kraft definiert als Masse mal Geschwindigkeit pro Ze1t.ln symbolischer Schreibweise: F• rn · vfr. Die Einheit der Kraft ist Newton. abgekürzt N. Newton ist eine abgeleitete Größe. denn sie ka nn aus den Grundgrößen Masse. länge der Wegstrecke und Zeit zusammengesetzt werden: Kraft - Masse x Länge(Zeit2, symbolisch: F = M l(T2. Daraus folgt für die Einheit der Kraft: [FJ• N • kg m/s 2 • kg m



··~ Für das lösen vieler Physikumsaufgaben ist es wichtig, mit Zehnerpotenzen umgehen zu können. Deshalb im Folgenden eine kurze Zusammenfassung der entsprechenden Regeln. Rechenbelspiel Rechnen mit Zehnerpotenzen - ßt>o Multiplikationen werden die Exponenten addiert 4 • 106•101 - 4x t 09 (6 + 3-9) - ßei Divisionen werden die Exponenten subtrahiert 4•106/101 ~4xte>l(6- 3=3)

- Bei Addotionen und Subtraktionen andert sich der Ex·

ponent nocht. Sie können nuo dann durchgelilhrt werden, wenn es sich um dieselben Exponenten haoldelt. )x iOl+4xtcP•7 x 1cP oder 3.2•101 + 4.5• 10'- 3.2 •1 01 + 4,5 • 10• 101 • 3.2 X 10) + 45 X JOl • 48,2 X 101.

s·2. Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten Sie werden durch Vorsi lben benannt oder durch Multiplikation mit Zehnerpotenzen angegeben (Tab. 1.2). Übl ich ist die Schreibweise in Potenzen zu der Basis i 0. Oie Vorsilbe Milli drückt ein Tausendstel einer Grundgröße aus. oder 10 l. 01e Vorsilbe Kilo drückt das Tausendfache einer Grundgröße aus. oder 103. Mit dieser Schreibweise können leicht Umrechnungen durchgeführt werden. Zum Belspiel ist der Normaldruck 105 Pa (Pa • Pascal). oder 103 hPa (h = Hekto= 100 = 102 ).

..__

hbelle 1.2 ll'&zl

.................,

Klein~

Symbol

,

.... dllldl V. •

Zahlenwert

Hr"

1.1.4 Skalare und Vektoren in der Physik unterscheidet man zwischen skalaren und vektoriellen Größen. Skalare sind physikali sche Größen. die ausschließlich einen gewissen Wert ausdrücken. wie z.B. die Masse. das Volumen oder die Zeit. Vektoren sind physikalische Größen. die außer ihrem Wert noch zusätzlich eine Richtung im Raum angeben, wie z.B. die Lage eines Objekts. die Geschwindigkeit eines Objekts in eine bestimmte Rich tung. oder die Kraft. die in einer bestimmten Richtung wirkt.

I I

Symbol

Zahlenwert

10' •

Deka

da

10

1

Grö~

a ls 1

al• 1

Oez,

d

0.1

Zenti

(

0.01

2

Hekto

h

100

2

~,u,

m

0.001

3

Kilo

k

1000

3

~'kro

~

0.000001

6

Mega

M

I 000 000

6

Nano

n

0.000000 001

9

Giga

G

I 000 000000

9

Piko

p

0.000000 000001

12

Tera

T

1 000 000 000 000

12

0.000 000 000 000 001

15

Peu

p

1 000 000 000 000 000

15

remto

5

6

Physikalische Größen und l1nhe1ten 1 Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

l.ffili;JijM SUI•re • Grö&n. dlf' nur t'lnt'n Wt'rt haben. VelrtorM z

Gr~n.

die t>iflt'n Wt'f't und enw R1
1m Raum habt'n. Vektoren können verschieden gekennzeichnet wer· den. Die Geschwindrgkert als Vektor kann folgen· dermaßen dargestellt werden: v oder v. d. h. entweder mu emem Pfe1l uber dem Buchstaben. mit emem Unterstrich. oder durch Fett~chreibweise. Hier werden Vektoren durch eme Pferl über dem Buchstaben symbolisiert.

v,

Addition und Subtraktion

6)



\A~ Um die Prüfungsfragen zu den Vektoren lö~en zu konnen. lU M wichtig, sich die grundlegenden trigonometrischen Funktionen wie die Sinus· oder C01inu~funktion odt'r den S
a

T

_..!:ö._--.:'b~-

- -....,....-.. -c

-J::-, t; ;:--......;::: _. c

sin(201 • 0.34: co:.(lO")"' 0.93

(LOSUn<J

5. 221)

Summenvektoren kommen u.a. beom ltertakliompo· tenzial vor. Der Summenvektor des elektrischen Q,pol\, der sich aus der Summe von Mlllla1dt'n von Dipolen dc1 einzelnen Fibrillen zusammensetn. charakterisiert d1e reithche und raumliehe Ausb~lttmg der Erregung am Herzen. Oie Sp1l.Le des Summenvektors besc:hreibt eone Vektorschleife 1m Raum. Zerlegung eines Vektors in seine Komponenten

Um Vektoren in ihre raumliehen Komponentenzer. legen zu können. muss man die Raumrtchtungen in einem x.y.z-Koordin.-.tensystem restlegen ( Abb. 1.3 ~ Üblicherwe•se legt man e111 rechtwmkligl'~ b7W, kartestsches Koordtnatemystem fest. ln dte~em System zeigen die Achsen x. y. z tn drei Raumnch· tungen. die jeweils senkrecht aufeinJnder ~tehen . Dte Achsen werden nach der _Rechren·Hand-Regel" bezeichnet: wenn der Daumen 111 die Z·Rtchtung zetgt. dann zetgt der Zetgefinger 10 dte x-Rtchtung und der Mirtelfinger 111 dte y·Rtchtung (Abb. 1.3). Das in der MediZin verwendete Koorcl•n<~tl'nw~ti'1TI "' durch d1t' Ebt'nen sagittal. frontal und horlzoni.JI d1•f1· rul'rt Multiplikation von Vektoren mit Skalaren

il

.. b

Abb. 1.2 Addition 1•1 und Subtr•ktlon (b) von~~ V~ktor~n Je n..:h Rk htung Im !Qum, I d"''Pn llo poi'IPn 1 .1 d~ l.lnC)t' von ii und b •m~ 9 · "" \)'.'b.Jetl<.'fl . ..,.., d"' R~
Aufgabe 1.1. Der 81zeps·Mu~kd am Ob<•ra11n h.ll zwei Köpfe. d.h. die beiden Köpfe entspringen an rwei vet · sdlledenen Stellen. gre.ft'n jedoch an der gleichen ~tt'lle am Unterarm an. Oie beidt'n M~Xkeln 11\'rlaulen nie ht parallel. sondern Wlheßen l'IIK'Il W10kd von 20 • gc:·gen doe \l.ttehenkrechte em. ~>der dl't' bt>lden Mulol
von Vektoren

Vektoren k.onoen geometri~ch 1m Raum zusammengesetzt werden. Dtes verdeutheh r besonders anschau lich etne Addttton oder Subtraktion von zwei oder mehr vektorteilen Großen (Abb. 1.2). Zum BetSptel zwei Vektoren ä und b. dte durch eme L..inge und eme Rtchtung gekennzeichnet sind. können 7U emem GeS
-

RKhenaufgabe

?.

Eine häufige Rechenoperation m der Phy\tk isl du.• Muhtplikation von Vektoren mu Skalaren. Ein bc· kanntes Beispiel ist die Kraft. die sich aus dem Produkt des Vektors Beschleunigung ci mtl dem Skalar Mo1sse m ergibt: f: m ii Set dte~em l>rodukt blt>1bt d1e Rtchtung erhalten. Kraft und Jk>~chleumgung ze•gen m dte gletche Rtchtung. jedoch smd dte Be· rrage von Kraft und Beschleunigung sowie thre Ein· heiten verschieden. in dtesem Fallsehretben wirdas

1 Grundb~grlff~ d~s M~ssens und der quantitativen Beschreibung

...-·. .•.•.••.•.••......... .

..:·:·:::·: . . ., ..-······

.'

s:

-

-

o,

ii

-•

Abb. 1.) Z«ri«gung eoncs Vd!ton in ~ine ltem•

f>rodukt ohne weitere Kennzeichnung zwischen dem Skalar und dem Vektor. Dabei ist stillschwei gend angenommen. dass es sich um ein Produkt handeiL W1r werden in den nächsten Abschnirten sehen. dass sogenannte Skalarprodukte und Vektorprodukte spez1ell mit Symbolen gekennzeichnet sind. die s1e von dem Produkt aus Skalar mit Vektor unterscheiden.

lttij;J3W IWi L1uit•pl•kahon euu.' \ V~kto~ mtt emem Skalar ändert soch die Rochtung de\ Vl'ktor~ nochL ldnqe und Einhett können Jed'Kh ~'"'ch~eo sein.

Ii

6, tilcos( d

6)

o.

-

/ ---:--- b

Öl
Abb. 1.4 Skal.wp
zwm.r V~orM.

ti)c

ldl b sin•a c 1

c.

c

c

A

--,.. C •OJit.O

i:i ltiicos a).

ln Worten: Das Skalarprodukt derVektorend und Ii ast das Produkt der Beträge 'ä und b mal dem Cosmus des eingeschlossenen Winkels zwaschen diesen beiden Vektoren. Das Ergebms des Skalarprodukt~ 1st eme skalare Größe. Wichtig zur K~nn ­ zeichnung emes Skalarprodukts ist der Punkt zwi

b - ii li'sin ( ä

ln Worten: Das Vektorprodukt der Vektoren ä und b ist das Produkt der Beträge Iai und lbl mal dem Sinus des emgeschlossenen Winkels zw1q-hen d1esen beiden Vektoren. Das Ergebms des Vektorprodukts 1St selbst ein Vektor c. der senkrecht auf der Flache steht. die durch ä und 6 aufgespannt ward. Der Betrag des Vektors emspricht der Rautenfläche, die aus den beiden Vektoren ii und ti gebildet wcrdl'n kann. Wichtig zur Kl'nn1e1chnung eines Vektorprodukts ist das Kreuz ZWISChen dl'n beaden Vektoren als Symbol für das Produkt. Oc1her wird das Vektorprodukt auch manchmal .Kreuzprodukt- genannt. Das Symbol i: deutet d1e Richtung des neuen Vektors an. Als Be1sp1el betrachten w1r das Drehmoment M, welches aus dem Vektorprodukt von Hebelarm I und Krc1ft F gebildet w1rd (S. 35): M I f. Der Vektor M steht senkrecht auf den Vektoren I und f. sein Betrag wird maximal, wenn i und F emen

Multiplikation von Vektoren Zwe• verschiedene Vektormul t•plikatlonen smd be kannt. Das Skalarprodukt und das VektOI produkt. Das Skalarprodukt von zwei VeklOren ii und b isr definiert iilS(Abb. 1.4):

ii

s.

s

s

y

-··

Größen und Einh<'llen

sehen den be1den Vekroren als Symbol rür das Produkt. Anschaulich kann man sich vorstl'llen. dass der Vektor ä zunachst m d1e RIChtung von b prOJI· z1ert w1rd. <;()dann werden d1e Betrage von ii und a cosa ganz normal mulnpl111ert. Als Be1spiel wählen wir die ln('Chamsche Arbeit W. Sie folgt aus dem Skalarprodukt aus Kr.Jft f mal Wegdafferenz W F D1e Arbc1t 1st maXImal, wenn F und parallel sind. mm1mal. wenn F und senkrecht zueinander stehen. Das Vektorprodukt (auch Kr~uzprodukt gl'nannt) von zwei Vektoren ä und ti ist delinil'rt als (Abb. 1.s):

l

:o•

~ikJiische

/

I

7

8

Physikallsehe Größen und Einheiten 1 Grundbegriffe des Messens und der quantitativen ~schreibung Winkel von 90 emschließcn. Bei par,!lleler AU)· richrung w~rd das Drehmoment null. Das Vektor produkt folgt der Rechten-Hand · Regel· Zeagt der Daumen an die Rachtung von ä, und der Zeagetinger an dae Rachtung von b, dann zeigt der Malleifinger an dae Rachtung von c. Dae Richtungen durfen nicht vert.tuscht werden. sonst dreht sich dae Richtung von c um:

Skalarprodukte kommen immer dann vor. wenn das Produkt aus zwea Vektoren keine Richtung hat. wie z. B. Arbeit Produkt aus Kraft und Weg) und Lel\tung (Produkt aus Kraft und Geschwindagkeit~ Wennjedoch das Produkt wiederum eine gerichtete physikalische Größe ergibt, dann muss das Vektorprodukt verwendet werden. wie z.B. Drehampul~ (Produkt aus Radius und Impuls) und Drehmoment (Produkt aus Radius und Kraft).

K

Abb. l .7

l(,l~m (W~Zth-oillgr.mm).

Orl>PU'*I~

Oie l .Jgf' dM nommt proportoo •.ol mo1 d,. leot ru.

1.1.5 Bedeutung von Differenzial und Integral

Sk.tl.trprodulctc lWi~chen lWt'i Vektoren 6 und berQ('bcn t'onen Skalar Oie~r 1st maximal. wenn die bt.'oden W k· toren a und b paralld verlaufen. Das Vektorprodukt aus zwei Veklort•n ii und ii ergibt einen neU<'n Vektor i. der nacht aufl'll\ander stehen (Abb. 1.6 )

Koordinatensysteme

Außer Koordanatenachsen fürdae Ortsnehrungen x. y.1 können als Koordanatenachsen auch andere Achsen zur DMstellung von physakali~chen Grdl<en gewahl L werden. z.B. Zearachse, Temperaturachse. Druckachse etc. Die l.age.'inderung eines Objekts entlang der x-Achse am Verlauf der Zeat t kann an eanem x,t· Daagramm dargestellt werden (Abb 1 7l. !.k.llarprodulct

=====--· 0

0

Velttorproduk t

;;.I} •ob

•

..

~rgl~ich

p;or.t~en

und

;;.;; - o

von Sbl•r· und Vektorprodukt

~krech ten V~oren.

Oifferef1Zf!f1Quotient

Aus Dafferenzenquonenten ward dae Anderung eaner physikalischen Grdßc an Abhdngagkeat einer .tnderen Größe ermittelt. ln Abb. 1.S. legt der OrtSpunkt die Strecke von x, nach xl an der Zett von r1 bas tl zurück. Das hetßt,zur Zeit r 1 a~t der Punkt bca x1 und zur Ze1t t21~t er bea x2 .mgelangt. Ddrdus konnen war die Änderung der Lc~ge pao Zeitabschnatt. d.h. die Gesdlwindigkeit ermitteln. V

Das SyrnbOill steht fur Differenz (hier von Ort und leat). In daesem Beaspat>l hangt der Ort linear von

der Zeat ab. d. h. dte Steagung J)t konstant und d•e Ge~hwandigkeu hangt nkht do~von ab, wo die Dafferenz tJx und llt gemessen ward und wae groß die Dafferenzen gewählt wurden. In die~em rall spricht man von emer geradhmgen und glc.>ichformigen Bewegung . Differenzialquotient

_ _ _b Abb. 1 6

~·~ Lassen Sie sich vom nachHen Ab~chnitt nicht abschrecken, auch wenn darin von Differenzial und Integral die Rede Ist. Sie mussen damit nicht rechnen konnen. Sie ~ollten nur verstanden haben, was sich hinter diesen Begriffen verbirgt.

~

Haufig asteine physikalische.> Größe wae z. B. die Be\vegung mehr gleachförmag. sondern hangt sel~r von der Zeat ab Abb.1.8b). In der Da~tellung von Ort x gegen Zeitt •~t der Kurvenverlau I dann keine eanfache Gerade. In daesem fall k.lnn m.ln nur lokal oder punktweise den DifTcrenzenquouenten bilden. ln Jedem Abschniu dndert er ~eanen Wert. tn

l Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

Physikalische Größen und Einheiten

f(x)

x, ---··············· :

t,

t,

t,

a

t,

b

Abb. 1.8 Weg-Zeit-Qiagramm (x,t-Oiagramm) zur Bestimmung von Geschwindigkeiten. a Gieichförmoge Be""e<jung. b 'lieht gleo
diesem Fall geht man vom Differenzenquotienten zum Differenziellquotienten über. indem das Intervall I!J. bis auf eine infinitesimal kleine Größe reduziert wird. Anstatt von I!J.. um eine Dilferenz anzugeben. wird dann d geschrieben. um den differenziellen Charakter auszudrücken. Die Geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt x folgt aus

. I!J.x dx vx ) - I •m - - - . Ax- D lJot dt Hier steht .,lim" für Limes. d.h. dem Übergang zu einer infinitesimal kleinen D11ferenz. Der DifferenZlaiquotient entspricht dann der Steigung der Kurve in einem bestimmten Punkt auf der Kurve. die von Punkt zu Punkt verschieden ist. Das Differenzial einer physikalischen Größe gibt immer d1e Änderung bzw. die Rate an. Geschwindigkeit 1st d1e Änderung des Ones pro Zeiteinheit. Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit. Kraft kann definiert werden als die Änderung der potenziellen Energie pro Wegstrecke. d. h. als das Differenzial der potenziellen Energ1e nach dem Ort. Das Dilferenzial entspricht also der Ableitung einer Funktionj{x) nach der Variablen x. bzw.. in einer grafischen Darstellung. dE:'r Steigung der Funktion ./{x) im Punkt x. V

v,

~------------~------

0

t,

Abb. 1 .9 Geschwindigkeit-Zeit·Oiagramm, Integral. Be konstanter Gesdrwondtgkeit v1 folgt doe zurücl
Ze-t von 1 -

0 bis 1 • r , aus

der ~lache v ,r"

--~~------------------~----K 0 b

f(x)

Abb. 1.10 Das Integral einer Funktion ist die Fläche zwischen der Funktion und der horizontalen Achse.

Das Integral entspricht der Fläche unter einer Funktion (Abb. 1.9). Trägt man z.B. die Geschwindigkeit emer gleichförmigen Bewegung gegen die Zeit auf. dann ist die Funktionj{r) • v eine Horizontale. d.h. sie hängt nicht von der Zeit ab. Die zurückgelegte Wegstrecke s vom Zeitpunkt r • 0 bis r • t 1 wird aus dem Integral: s

~~

'1

0

D

1 v1dr • v1f dc

v1 r1

berechnet. Da die Geschwindigkeit dls konstant angenommen wurde. kann sie vor das Integralzeichen gezogen werden. ln diesem Fall bleibt nur d1e Integration über die Zeit von 1 ~ 0 bis r • t 1. Die graue Fläche in Abb. 1.9 entspricht genau der zurückgelegten Wegstrecke in der leit r 1• Bei anderen Kurvenverläufen muss die Fläche unrer der Kurve/ (x) ftstückweise" berechnet werdE:'n (Abb. 1.10). Dabei schlagen Flächen oberhalb der x-Achse positiv zu Bucht', unterhalb der x-Achse negativ. Für viele Funktionen sind die Integrale exakt bekannt und können in Tabellen nachgeschlagen werden.

1.1.6 Flächen und Volumina Wichtige Formeln zur Berechnung von Flächen und Volumina. die in Abb. 1.11 dargestellt sind. zeigt Tab. 1.3. Für unsymmetrische Körper kann häufig keine einfache Formeln für Oberfläche und Volumen angegeben werden. Volumina fester Körper kann man jedoch leicht aus der Wasserverdrängung bestimmen. Hohlräume durch Auffüllen mit Wasser oder anderen Substanzen. Die Bestimmung von Oberflächen ist schwieriger und aufwendiger. Die Oberfläche des menschhellen Körpers 1st ca. 2 m1 .

9

10

Ph~lkaliM.he

Größen und Einheiten

l Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Be5.chreibung Volumlna

Flächen



~·.. für die Lösung der Aufgaben zu flächen und Volumlna Ist es wichtig, dass Sie mit Zehnerpotenzen umgehen können (s. Rechenbei!.piel S. S). ln der Regel müssen bei diesen Aufgaben nur die Größenordnungen richtig ineinander umgerechnet werden. Ebenfalls wichtig ist, dass Sie die in Tab 1 3 genannten Formeln dazu kennen.

Rechenaufgabe Aufgabe 1.2: Für die Deslnfckllon etner Arbeihfläche

b

wc1den 4,2 ml eines Desinfektionsmittels zerstäubL Wieviele Tröpfchen entstehen dabei. wenn man einen Durchmesser von I IJm pro Tröpfchen annunmt? (Losungs.)

(

0

0

1 .1.7 Defini tion und Einheiten von Winkeln Ebener Winkel Ein Kreis habe den Radius r, dann ist der Kreisumfang • 2rtr. Die Zahl Tl • 3.1415927 ... oder ca. 3,14. Der Ebenenwinkel ist definiert {Abb. 1.12a): Winkel

Abb. 1. 11 Einige der gelaufig>ten Flächen und Volumlna. Dabei gilt: a. b. und r • Seitenl.ingen: h Höh~: r • Radius.

Moderne Methoden verwenden das Abtasten von Oberflächen mit Lasern, Ultraschall oder taktilen Messköpfen. Die digitalisierrc Oberfläche kann anschließend numerisch ausgewertet werden.

IIIN1 llnar.,ed Fläche

·-·•+ ......... ••

Dre1eck

A

Rt'
l

2 ~R h 1

a

Länge des Kreisbogens s Radius r des Kreises ·

Radius und Länge des Kreisbogens haben die Di mension Länge und die Einheit Meter. Daher ist die Einhei t des W inkels: Iai ~ m/m- 1. Obwohl laut Definition die Einheit dimensionslos ist. wird zur Verdeu tlichung der physikalischen Größe Ebenenwinkel die Einheit Radian (rad) oder Grad eingeführt Ein geschlossener Kreis hat den Winkel 360 • oder 211• 6,283 rad . Vorsicht: ist der Winkel das Argument emer trigonometnschen funktion. dann wird der Winkel in Grad angegeben (Beispiel: sin(JO ")- 0.5), ist der Wmkel Te1l einer Formel. dann muss er in radangeben werden (Beispiel: Bogenlänge eines Kreisbogens mir Radius 1 m: s ~ ar ; 0,52 rad x I m • 0,52 m). Umrechnung: a(rad )

21T 360

a (Grad)

0. 0 175

a (Grad ;.

Volumen

l

- 310 bhi

Pyramode

V

il • ab

Qwdl'f

V• a b c

Kre-t'S

A nr

ly•nd..r

V • n r ll

Kuqeloberllache

A • 4n r'

Kugel

V

4

3

rr r1

1 Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

\ ....... \

Rechenaufgaben

Is

Nehmen Sie ein Blatt Papier und lösen Sie die folgenden Aufgaben. Nutzen Sie das Geodreieck. um Winkel zu bestimmen und den Taschenrechner, umSmusund Cosinus .nachzuschlagen•.

J

r

a

1.2 Messen und Unsicherheiten beim Messen

b

Abb. 1.12 Definitionen und Einheiten von Winkeln. a Fläthenwinkcl. b Raumwinkel

Beispiel: I " •17.45 mrad. 360"- 6.283 rad. weitere Beispiele sind m Abb. 1.13 gezeigt.

Raumwinkel Oie Fläche A auf einer Kugeloberflache im Abstand ,. vom Kugelzentrum definiert den Raumwinkel !l• AJ,-J- ( Abb. 1.12b). Die Emheit des Raumwinkels ist: (!l] • Steradiant (sr) s m 2/m 2 • 1. Obwohllaut Definition d1e Einheit des Raumwinkels dimensionslos ist. wird zur Verdeutlichung der physikalischen Größe Steradiant als Einheit gewählt. Der Raumwinkel einer Kugel (voller Raumwinkei l beträgt 4n bzw. 12.56 sr. Ein Raumwinkel von 1 sr entspncht emem Kreiskegel mit einem Öffnungswinkel von 65.6 •.

Aufgabe 1.3: Wie heigt das Symbol für die BasisgröSl' Zeit und wie islthrc Einheit? Wie wird die Zeit in Formeln symbolisiert? Aufgabe 1.4: Aus "'-ekhen Ba~io;gröRen 1st dte Be$Chleunigung zusammengesetzt. was tSt ihre Einhett? Aufgabe 1.5: Ein 100 m Sprinter hat eine Geschwindigkeit von 36 km/h. Geben Sie die Geschwindigkeit in m/s an. Aufgabe 1.6: Bestimmen Sie alle lnnenwmkel eines gleichseitigen Dreiecks m•t der Seitenlängl' l. Wte groß Ist die Fl.iche des gleiChseitigen Dreiecks in Ein· helten der Seitenliinge L7

L

Raumwinkel kommen in der Medtzin bei der Bestimmung d@S Gesichtsfeldes vor. Das Gesichtsfeld von beiden Augen eines gesunden jungen Menschen überSpilnnt horizontal ca. 180 und vertikal ca. 130 ' . Daraus ergibt sich ein Gesichtfeld von ca. 5 sr. Fliegen haben dagegen ein Gesichtsfeld von fast4n (12,56 sr). Bei grünem St
ln • 360'

n • 180'

l



..• ... Check-up II' Rufen Sie sich nochmals die Basisgrößen und Basiseinheiten des Internationalen Einheitef)o systems Ins Gedächtnis. II' Üben Sie, Einheiten und Zehnerpotenzen ineinander umzurechnen. Zum Beispiel: Wieviel m/s sind 56 kmfh oder wieviel g/1 sind 50 kg m ·J7 II' Machen Sie sich nochmals klar, was man unter Differenzlai und Integral versteht.

1.2 Messen und Unsicherheit en beim Messen

;

a

n

-- 90 2

I • 57.3

Abb. 1.13 Beispiele IOr Ebenenwinkel angegeben ln Radi an undlnG!'N.

....... Lerncoach Eine Messung ist nur so genau wie das dafür verwendete Messinstrument. Im folgenden Kapitel wird beschrieben, welche Fehler beim Messen auftreten und wie man sie berechnen kann.

11

12

1.2 Mem~n und UnsicherhC'iten beim Me~s~n 1 Grund~griffe des Messens und der quantitativen Beschreibung 1.2.1 Überblick Im emfachsten Fall hat man zum Messen eanen .Maßstab· zur Verfugung. Der Maßstab mu~s ge eacht ~em und nach der Vlessung einen Wert an SI-Einheiten angeben. Beispiele für .Maß~t.tbe• sind: Metermaß fur die ldnge. Chronometer für die Zeit. Thermometer fiir dte Temperatur. Barometer fur den Druck. Volrmerer für dae elektrische Spannung. Amperemeter für den elektnschcn Strom, etc Eine einmalage Messung eaner physikali
Messfehler Systematischer und zufälliger Fehler jede Messung eaner physakalaschen GroRe K ist feh· Irrbehaftet und liefert einen Wert K" der von dem wahaen Weat Kw mehr oder weniger abweicht. Der Messfehler t:J.x setzen sich aus systematischem Ox, und zufälligem Fehlern Ox, zusammen. fj, bczeich net haer dae Abweichung vom wahren Wert: 1.2.2

x", x.

t:J.x

.~.

tt:J.x.

t:J.xz

Das Vorzeachen t druckt aus. dass die Abweachung vom wahren Wert posauv w1e negativ sean kann. Systemausehe Fehler kommen durch fehlerhafte Messanstrumente zustande, oder durch EinOusse. die bei der Messung nicht berücksichtigt \vorden sind. Sie liefern eme systematische Abweachung der Messergebmsse von dem wahren Wert und können mcht durch Messwiederholung behoben werden. Sy~tematasche Fehler un tealiegen nitht der Statistik und konnen nu r geschätzt werden. Zu f.illige Fehler dagegen schwanken und sand bea Mehrfachmessungen mit statisuschen Methoden be~ummb.lr.

1$11;134 u gibt \)'\II'INII\Che und rufällige Fehler

systemat•~(h~tzt werden. D•e

Absolute und relotlve Messfehler Der Jbwlute Mc~~fchler t:J.x ist unabhängig von der

Größe x.. Er ward in absoluten Zahl~n .mgegt'ben und hat dae gleache Emhear wie dae Große x. (7. 8. t..lnge t 1 mm: I m t I mm. 2m:!: 1 mm. 3 m ± I mm ... ). Bea relativen Messfehlern wachst t:J.x mll x.. sodass der Quou~ntt:J.xjx konstant bleabr. Der relauve Messfehler ward an Prozent angeg~ben und ast eme reane l.lhl ohne Einheit ( z. 8. lAnge! 0.11 der

gemessenen länge bedeutet I m t I mm. 2 m ± 2 mm. 3 m ± 3 mm ... ). Systemausehe Fehler zeigen meist einen absoluten Me~sfehler. wahrend bea zufalhgen Fehlern häufig l:J.xf.~ kon~rant a~r. RN:henaufgaben Aufgabe 1.7: Bei einem PatiPnt~n hdert die etnmalige

Messung des systolischen Blutdrucks mit einem automataschen Blutdruckmcssgerat das frgcbnts von 120 mmHg. Der Her-tell<>r gibt dt>n rt•f,JIIvt>n Ml'\\fehler cfps Gl'rats mit :t 1,5% «n. W~e hoch ist der ge-ch;)tzte Jbsolu te Messfehler d·~ Messung '" Ul1hCitcn von mmll<jl t.utgabe 1.8: Der a~te Mes~t'hk>r elnes Fieberther· f1101llt'tP~"> wird vom He~tf'lkor m r 1 0,1 C a~ ben. W.e hoch ist der relat~ Mcssfd,ler IUr ctne gcml.'s!.ene Temperatur von 40 C? {I ÖJUII(J«''l 5. 221)

1.2.3 Mittelwert und Standardabweichung Gou8'sche Nonnaiverteilung (Ciockenkurve)

Ward eane Messung ein und derselben physakala!>Chen Größe h.iufig wiederholt. dann werden d1e meisten Messwerte sich um einen .minieren Wen· scharen. Kleanere Abweichungen vom Mittelwert kommen haufig, großere Abweachungen selten vor. Oblicherwease werden alle Me~swene an emem Hastogramm aufgetragen (Abb. 1.14): Haufigkear eanes Messwertes h, gegen den -..essw('rt im Intervall zwischen x, und "<1• Das Intervall sollte dabei weder zu klein noch zu groß gewo~hlt werden. Die Grafik zeagl dae Au~wertung emer l·111SWnmessung. Da~ Histogramm (farbage IJalken) k.mn mar eaner mathematischen Funktion der ~ogenannren G.luß'. sehen Normalverteilung be~chracben werden (durchgezogene glatte Kurve): 1 h Kl- - - exp ( V21TS

(.'< :

25

12

)

Wachtagste Größen der Normalverteilung asr das arithmetische Mittel bzw. der Malleiwen x und die Standardabweichungs (s.u.). Arithmetischer Mittelwert ols Näherungswert

Der arithmetische Mauelwert '< daent als Näherungswert fur den Erw,mungswcr I und wird berechnet aus der Summe allea 1\les~wcate x dividiert durch die Zahl der durchgefuhrten Me~sungen N: 1 , -...

NL-x I

1 Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

1.2 Messen und Unsicherheiten beim Messen

h 10 9 8 7 6 5 4

3 2 1

a

X

o~--~~~~~-W-W-W~~~--

o

2

3 4

5

6

7

8

9 10 11 12

Abb. 1.14 Gauß'sehe Normalwrteilung. Auf der O.din.ltc •>t dH! Häufigke1t des Auftrctens elnC$ bestimmten Wertes aufgt>tragen, .ltlf d~r Absnss~ stehen die Messwerte. Die durchgelogene Kur.e 1U die berechnete Normalverteilung nach Gauß m1t d<-m M1nf'l· wert x und de< Stalllbrdabw6chung s (.gl. Abb. 1.15 ).

Anschaulich liegt der arithmensche Minetwen be1m Maximum der Normalverteilung (Abb. 1. 15a). Der Erwartungswert ist ein mathematisches Konstrukt, das aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung hervorgeht. Die Wahrscheinlichkeit p, bei einem idealen Würfel die 6 zu würfeln, ist p = 1/6. Bei hundertWu rfen ist der Erwa rtungswert: 100x p- 100/ 6- 16.66, d.h. bei 100 Würfen sollte die Zahl6 genau 16.66-mal erscheinen. Bei sehr vielen Würfen kommt der tatsächlich bestimmte Mittelwen immer näher an den Erwartungswert heran. Standardabweichung einer Messreihe

Die SLlndardabwelchung ist ein Maß ftlr die Zuverlässigkeit der Einzelmessung und gibt deren Messfehler an. Im Fall einer Normalverteilung von Messwerten liegen 68.3% aller Messwe rte innerhalb emes Intervalls von ±s, wobei s als Standardabweichung bezeichnet wird (Abb. 1.15b). Wenn die Norma lverteilung medng und breit ist. dann ist die Standardabweichung groß. bei einer hohen und schmalen Normalverteilung ist die Standardabweichung klem. Immer liegen jedoch ca. 68% aller Messpunkte innerhalb dieser ersten Standardabweichung. Die Standardabweichung wird aus der quadratischen Abweichung der Messwerte zum Mittelwert berechnet:

I EN (X s- \

X)2

!..I_,_1-:-;---;-

N- I

d.h. man summiert zunächst alle Abweichungsquadrate, normiert d1e Summe auf die Zahl der Messungen minus ems, und z1eht aus dem Resultat die QuadrcJtwurzel. Als Ergebms einer Messung w1rd übhcherwe1se der Mitletwert mit seiner Standardabweichung angegeben: x J:. s.

x s

b Abb. 1. 15

Mltt~lwert

x

(a) und

xts

Standarda~ichung (b) einer

Messrelhe in der Gauß'schen Normalvertellung.

Ein tJI (• 1 mml) Blut enthalt u. 4.5- 5.5 x 106 Erytluozyten und ca. 4 - 5 x 101 Leukozyten, d.ll. Im Blutbild unter e&nem Mikroskop kommen auf ca. 1000 Erythrol)'tt>n e•n Leukolyt (0.1 %). Bet StiChproben werden bei gesun· den Menschen Abweichungen voo bis zu 50% des Monclwerts festgestellt. Die Verteilungsfunktion für die Zahl der Leukozyten Ist daher breit und mcdllg. Das Verhältnis von Standardabweichung zu Mittelwert ist ca sjx - 0. 5. Mehrere Messungen mussen durchgeführt werden. damit keine falschen diagnostischen Schlüsse gc.rogen wer

den. Standardabweichung des arithmetischen Mittelwerts

Auch der Mittelwert hat einen Fehler. Offensichtlich wi rd der Mittelwert umso vertrauenswürdiger, je größer die Zahl der Messungen N wird. Der miniere Fehler des Mittelwertes. bzw. die Abweichung des Mittelwertes vom wahren Wert (~ Standardabweichung des arithmetischen Mittelwerts) folgr aus: s X - Xw =

"fN.

t.X w1rd auch als Vertrauensbereich des Mittelwer-

tes bezeichnet. Beachte, dass die Standardabweichung des Mittelwerts um den Faktor .JN kleiner ist als die Standardabweichung des Messwertes.

I/

13

14

1.2 Messen und Unsicherheiten betm Messen 1 Grundbegriffe des Messensund der quantitativen Beschreibung

llt$1i;UiM

Rechenaufgabe Aufgabe 1.9: D•e Ausmessung der ~ustachischen Röhre bei 100 P1obanden ergibt eine mittlere Länge von 3,6 cm mit einer Standardabweichung von s•lmm. DiP Standardabweichung des Mittelwerts betragt Ox • slf N • :t 0.1 mm. Wieviel weitere Probanden mussten vermessen werden. um die St.mdardabweichung des M•rtelwe1ts bei gleiCher Standardabweichung des Mcmverts s um einen Faktor 10 zu senken? (Lösung 5. 221 )

1.2.4 Fehlerfortpflanzung

~4., Zur Fehlerfortpflanzung wurden Im Physikum friiher häufiger Fragen gestellt. ln den letzten S Jahren hat es dazu keine fragen mehr gegeben. Falls eine Messgröße additiv aus anderen Messgrößen zusammengesetzt ist:

f

=

ax ± by ± a.

dann wird der Gesamtfehler von f aus der algebraischen Summe der Messfehler der einzelnen Messgrößen berechnet:

At = J
(cAz r

Dabei sind Ox. t:J.y. Az die Vertrauensbe reiche der Mittelwerte der Messgrößen x, y. und z. Falls eine Messgröße aus einem Produkt anderer Messgrößen x. y. z folgt:

f

= X· Y · Z.

dann ist der Gesamtfehler von f:

V1Yz0x)2 + (xz!J.y)2 I (xyAz )2

ll] ~

und der relative Fehler ist:

Falls eine Messgröße aus einem Quotienten der Messgrößen x. y besteht:

f

~

y

dann ist der Gesamtfehler von f:

/lf-

I C 2 2 y l \ (yOx) .,. 1xfly I

und der relative Fehler ist:

llf

f

Bei Addition und Subtraktion von Mes%'erten werden zunächst dil' absoluten Fehlerquadrate der einzelnen M~swerte addiert. Oie Wurzel aus der Summe ergibt den Gesamtfehlei de~ Me~swetl$. Dtlfldierl man diesen durch den gesamten Messwert, dann erhJit man den relativen Fehler der Messung. BPi Multiplikation und Dllllslon von Messwerten Wl'r· den zunachst die relativen Fehlerquadrate der em7Pinen Messwerte gebildet und add1erl. Die Wut7('1 aus der Summe gibt den relativen Fehler des Messergt?bnisses wieder. Messunsicherheit bei Messgeräten mit Ziffernanzeige Bei emer Ziffernanzeige kunn der gelesene Wert zwischen zwei Zahlen hm und her springen. Zum Beispiel kann die wahre Spannung 12.15 V betragen. das digitale Messgerät hat jedoch eine Anzei gengenauigke•t von nur± 0.02 V. sodass der Anzeigenwert zwischen 12, 14 V und 12,16 Vspnngt. Die Messgenauigkett der Spannung U ist dann höchstens tJ.U '"' O.OIV und das Ergebnis der Messung muss mit U • (12.15 ± 0.01) V angegeben werden. Angabe von Dezimalstellen bei einem Messergebnis Als Daumenregel gilt. dass bei einem Messwert nicht mehr Stellen angegeben werden sollen. als durch die Standardabweichung s oder den Vertrauensbereich des Mittelwertes tJ.x erminelt wird. Beispiel: Falls tJ.U = O,OIV ermittelt wird. dann ist eine Angabe U • ( 12.15 ± 0.01 ) V sinnvoll, jedoch eine Angabe U-(12.15632 ±0.0 1) V hat keinen Sinn. selbst wenn der berechnete Mittelwen von U mehr Stellen ergeben sollte. Empfindlichkeit und Ciitekiasse eines Messgeräts Empfindlichkeit ist definiert als das Verhältnis der Eingangsgröße zur Ausgangsgröße. Bei Analogen Messgeräten ist d1e Ausgangsgröße meistens em Zeigerausschlag. Falls z.B. bei einer Spannungsmessung t mV einem Zeigerausschlag von 1 mm entspricht. dann istdie Empfindlichkeitdes Voltmeters mit I mV/ 1 mm oder I V/m anzugeben. Bei digitalen Messgeräten kommt es auf die Zahl der angezeigten Stellen an. Mit einem Voltmeter. welches drei Stellen hinter dem Komma anzeigt. kann man Millivolt messen. aber keme M1krovolt. D1e EmpfindliChkeit ist daher I mV. Ein Gerdt m11 3.5 Stellen hmter dem Komma hat eine Empfindlichkeit von 0.5 mV • 500 ~V. Die Güteklasse gibt den max1malen Fehler bei Vollausschlag an. Be• einer Güteklasse von 1.5 ist der Fehler maximal 1.5 % be1 Vollausschlag. Falls der Vollausschlag 100 V entspncht. dann ist der Fehler maxima l ± 1.5 V. D1e Fehlerangabe bei einem Messwert von 50 V ist dann U • (50 ± 0,75) V.

1 Grundbegriffe des Messens und der quantitativen 8esd1reibung Darstellung experimenteller Ergebnisse

Die absoluten Messfehler werden durch Fehlerbalken durch den jeweiligen Messpunkt kenntlich gemacht. Besteht ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Messgrößen. dann entspricht die Ausgleichsgerade durch die Messpunkte dem wahrscheinlichsten Verlauf der Messkurve (Abb. 1.16). Dabei sollte darauf geachtet werden. dass in etwa genauso viele Messpunkte oberhalb wie unterhalb der Ausgleichsgeraden zu hegen kommen. Die Steigung der Ceraden bestimmt man durch den Differenzenquotienten von zwei möglichst weit auseinander liegenden Punkren auf der Ausgleichsgeraden: {j)(

flt.

V -



Jf... Check-up Machen Sie sich nochmals klar. was relative und absolute Fehler sind und wie man den einen aus dem anderen berechnen kann. Wiederholen Sie die Gauß'sdle NonnaivertelJung und überlegen Sie, was diese für die Standardabweldlung bedeutet.

V'

V'

x[m] 4

3

.I

2

2 Abb. 1.16 balken.

3

4 5

Ausglelchsg~r~de

6

7

8 9

t [sl

durch Messpunkte mit

Fehl ~r·

1.3 Wichtige Funktionen

tion zwischen der Pedalauslenkung x1 und der Geschwindigkeit v. Wenn der exakte Zusammenhang zwischen v und x1 nicht bekannt ist. kann man dafür schreiben: v f (x 1). in Worten: Die Geschwindigkeit ist eine Funktion der Stellgröße (Pedalauslenkung) x1• Bei genauer Beobachtung wird man feststellen. dass die Geschwindigkeit auch vom Gewicht des Autos x2 und vom Fahrtwind x3 abhängt. Berücksichtigt man alle Einflussfaktoren. dann kann d1e funktionale Abhängigkeit geschrieben werden: v- f (x,.x2 •... x. ).

Uneare Funktion Im einfachsten Fall ist der Zusammenhang zwischen einer Stellgröße x und der Messgröße y linear: y - f(x) = ax 1 b. Hier ist a eine Konstante, die die Steigung der linearen Kurve wiedergibt. und b ist eine Konstante. die den y-Wert bei x • 0 angibt. Beispiel: der Volumenstrom V einer Flüssigkeit durch eine Kapillare (Artene) hängt linear von der Druckdifferenz flp ab (Abb. 1. 11): V ~ flp / R

Hier ist die Steigung a • 1/R durch den Strömungswiderstand R gegeben. V steht für das Volumen und der Punkt Ober dem V deutet eme Geschwindigkeit an: Volumen pro Zeit. Es gibt nur wenige lineare funktionale Zusammenhänge in der Natur. Die wichtigsten sind: Potenzielle Energie: Energie aus Hubarbeit nimmt linear mit der Höhe zu (S. 41 ). Federkraft: Die Ruckstellkraft einer Feder nimmt linear mit seiner Dehnung zu (S. 32). Hooke'sches Gesetz: Dehnung istlinear proportional zur elastischen Spannung (S. 52):

1.3 Wichtige Funktionen

G

......

V lernc~dl

Die Zusammenhänge zwisdlen physikaUsdien Größen lassen sldl mit mathematisdlen Funktionen beschreiben. Zum Belspiel hängt das Volumen der Luft ln der Lunge direkt vom Umgebungsdruck ab. Im folgenden Kapitel sind die wichtigsten dieser Funktionen beschrieben. Sie benötigen Sie, um physiologische Größen quantitativ angeben zu können. Die Funktion ist ein mathematischer Ausdruck für den Zusammenhang bzw. für d1e Korrelation zwi· sehen zwei oder mehreren physikallsdien Größen. je mehr man z.B. auf das Gaspedal drückt. umso schneller fährt das Auto. Hier besteht eine Korrela-

Abb. 1.17 Unoaro Funktion. Der Volumen,trom V einer Flüs~i<Jke•t durch c•ne K.lpi l
15

16

1.3 Wkhtige Funktionen 1 Grundbegrille des Messens und der quantitativen Beschreibung

n • + 1, I • x1

n• ·1 , (=lf1

n = +3, I- xj

n·•2.l•xl

f

I

4

-4

-2

; \'--

~.~~---+~:==:I 2 4 X

-2

-2

_,

2 -4

•

-1

- 2 _,

2 )(

Abb. 1.18 Potenzfunktionen. Grafische Darstellung von/ • lf'.

Ohm'sches Gesetz: Der Strom ist linear proport ional zur elektrischen Spannung (S. 106): Schweredruck: Der Druck in einer Flüssigkeit nimmt linear mit der Höhe der Fhissigkeitssäule zu (S. 60). Ideales Gasgesetz: Der Gasdruck hängt linear von der (absoluten) Temperatul' ab (S. 85}. Die meisten funktiona len Zusammenhänge sind mehr- linear: Kraft als Funktion der Muskelkomrakt ion, Größe eines M enschen als Funktion des Alters. SauerstofTaufnahme von Hämoglobin als Funktion des Sauerstoffpartialdrucks. etc. sind Beispiele fiir nicht-lineare Zusammenhänge. Pot enzfunktion Potenzfunktionen werden allgemein in der Form ausgedrückt:

I

ax• b

n istdie Potenz oderder Exponent, mit derdie Stellgröße x zu potenzieren ist. Die Jint'.Jre Funktion erhält man für n • I . Andere w1chtige Fälll' sind ( Abb. 1.1s): n = 2: parabolische Funktion n =3: kubische Funktion 11 • -1: Hyperbelfunktion Beispiele für Potenzfunktionen : n • 2: Kreisnache A - nrJ n • 3: Kugelvolumen V

2.718281828 .. . Die irrationale Eul er'sche Basi s e bekommt aus historischen Gründen einen eigenen Buchstabe n. Eigenschaften der Exponentialfunktion: Exponent muss eine reme Zah l sein -keine Einheiten! Der Exponent x kann positiv oder negativ sein. Exponentialfunktionen wachsen fü r große positive Argumente x schneller als jede Poremfunktion - je größer die Basis, desto starker der Anstieg fur positive Exponenten - je größer die Basis. desto kleiner der Wen fü1 negative Exponenten - Alle F.xponentialfunkrionen (ohne Vorfaktoren } schneiden sich in einem Punkt be•l!x ~ Oo- I. DiE' Exponentialfunkt ion zur Basis e ist besonders wichLig (Abb. 1.20). Sie wird als Wach stumsfunktion ( +x} bzw. Zerfallfunkt ion ( - x} bezeichnet. Exponen tialfunktionen mir der Bas1s e erha lt man immer dann. wenn d1e Zuwachsrate (Zerfallsrate) dy 1m Intervall dx proportional zur bereitS ( noch } vorhandenen Menge I 1st: dl - ( + ifdx. Beispiel fu r exponentielles Wachstum sind Bakterienkulturen. Beisp1el für exponennellen Zerfall sind radioaktive Stoffe (s. Kap1rel 8 }.

~ rl

n = 4: Strömungswiderstand R

(

ar'.

20

15

tO-

Basis zum Exponenten x. Al~ Basis kann j ede beliebige Z.lhl gewählt werden. Besonders wicht ig sind j edoch d1e Basis a • 10 und a • e •

/

5

1 - a" - b

a ist d1e

,2'

10'

Exponentialfunktion Im Fal l von Exponentialfunktionen i st die Potenz bzw. der Exponent die Variable. d.h. d1e Poten z 1st keme Konstantl' 1m Unterschied zur Poten zfunktion (Abb.1.19}:

-1

0

Abb. 1.19

Eltponenti~lfunktion~n

/ )

2 zu

4

v~nchl~enen B.ts~n.

T Grundbegriffe des Messens und der quantit.ltiven Beschreibung

Wichtige Umrechnungen

f(J<) 4

{• e'



l•~ Die folgenden Umrechnungen sind wichtig. Sie benötigen Sie z. B. für die Berechnung von Membranpotenzlaien oder zur Berechnung von lonenkonzentatlonen.

3

'

1.3 Wichtige Funletionen

2

Rechenbeispiel

-

-1 -3 -2 0 Abb. 1.20 Exponentialfunktion.

Umrechnungen 2

3

Wenn eine Exponenttalfunktion 7Ur Ba•i~ e angegeben ist:

Natürliche und dekadische Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Wenn a die Basis ist und x der Exponent. dann ermittelt die LogarithmusfunktiOn den Exponenten x zur Basis a:

/ = !!",

f

Denn letztltch will man m•t betden FunktiOnen die gleiche funkltonale Abhängigkeit ausdrücken. Dazu bildet man den natürlichen Logarithmus:

a" - x - log.J

Die Funktion x . logJ ist in Abb. 1.21 dargestellt. Charaktelistische Punkte sind: f ~ I für x = 0, d.h. logJ = 0, und/ = a für x - I. d. h. log,J - log.a - I.

11®11;J3M Oie loganthmusfunktion ist d•e Umkehrfunktion der Exponenttalfunktion.

dann kann man diese Tu einer Exponentialfunktion zur Basis 10 folgendermaßen umre(hnt>n, indem man lestlegt: !!" ,. I ()hY.

lnle"' ) = ln(tO""

-ax bylnlO

Mit ln10 • 2.3 folgt:!."'' 10"-' 21. Man kann auch den Logarithmus 1ur Basis 10 auf beiden Seiten n('hmen und erhält: log•!."'' ) =log t
· axloge

Mit log e • 0.43 folgt el'r 043 Ist die Basis e. dann spricht man vom natürlichen Logarithmus (Schreibweise: ln ), bei der Basis 10 vom dekadischen Logarithmus (Schreibweise: lg (Tclschenrechner: Jogi).

X

x · log.(

0

Abb. 1.21

logarithmusfunktion.

r

by.

HY''·

Haufig wird statt f!"• auch exp(ox) geschrieben. Damit Ist genau das gletthe gemeint, es handelt sich nur utn eine andere. manchmal bequemere Schreibweise Anmerkullg:

Koordinatensysteme mit linear und logarithmisch geteilten Achsen Exponentialfunktionen können entweder mit linearer x- und y-Achse dargestellt werden oder mit einer linearen x-Achse und einer logarithmisch eingeteilten y-Achse (Abb. 1.22). Im letzteren Fall spricht man von halb-logarithmischer Darstellung. Als Beispiel nehmen wir den rad ioaktiven Zerfall eines Isotops an. Zur zeit c• 0 (Anfangszeat) sind noch No = 1r:;S radioaktive Kerne vorhanden. nach 40 Minuten nur noch N(t = 40 min) • 6" 10" radaoaktive Kerne. Im hnken Daagramm (Abb. 1.22a) ist der Zerfall linear dargestellt, die Exponentialfunktion als Funktion der Zeit ist leicht erkennbar. Die haJb-logarirhmische Darstellung im rechten Bild (Abb. 1.22b ) liefert einen linearen Zusammenhang ?waschen N(t ) und r mit negativer Steagung. Aus der linearen Darstellung kann man die Halbwertszeit. d.h. die Zeit. nach der noch die Hälfte der ursprünglichen radioaktiven Kerne vorhanden sind. unmittelbar mit 10 min ablesen. Aus der logarith-

17

18

1.3 Wichtige Funktionen 1 Grundbegriffe des Menens und der quantitativen Beschreibung mischen Darstellung folgt die negative Steigung - Al logeder logarithmischen Funktion: log N t ) • - At log e + N0 • woraus die Zerfallskonstante At berechnet werden kann.

100 " 10' N

Trigonometrische Funktionen Im rechtwinkligen Dreieck werden die Seiten wie folgt bezeichnet (siehe Abb.9.1 , S. 204 ): a • Ankathete. b • Cegenkathete. c • Hyporhenuse.

50 " 1()'

1 " 10'

10

20

30

40 t(minJ

lO'N

r-

~·

I~

...... ......

~

............... 10'

--

-

F

~.

=-

..

-

I

10"

20

10

0

40

30

r (mon]

Abb. 1.22 Uneare und

~IIHogarlthmlsche Darst~llung

der

Der Sinus des Winkels o ist defimert als Gegenkathete b sino Hyporhenuse c Der Co~onu~ d~ Wonkels a ist dt>finiert als Ankathele o cosa - ,..,.--. Hypothenuse c

Für den Fall, dass die Länge der Hypothenusc den Wert I hat, wird die Winkelabhängigkeit der trigonometrischen Funktionen sina und cosa besonders anschaulich. Stellen wir uns vor, ein Punkt P l~uft um den Mirtelpunkt eines Kreises mit dem Radius r • 1 (Abb. 1.23): Trägt man dann den Sinus als Funktion des Wmkels a auf. erhält man eine harmomsch osz1 lherende Funktion (Sinusfunktion) zwischen den Maximaiwerren I ftir a • 90", und -1 für a • 210•. Die Sinuskurve hat Nullstellen bei den Werten a • 0,

180 ". 360·. Die Cesmusfunktion hatden Wert I be1 a • 0. 360 •: den Wert - I bei 180 • und die Nullstellen si nd be•

Exponffidallunkdon.

a • 90", 270 ".

•

coso 90'

cosa

360' 0

+

Abb. 1.23 Trigonometrische Funktionen. Etkiärung ~oehe Text.

1 Grundbegriffe des Messensund der quantitativen Beschreibung

Trigonometrische Funktionen sind besonders wichtig zur Beschreibung von periodischen Vorgängen, insbesondere von Schwingungen und Wel-

«>

Jf.. Check~p tl'

len.

tl' Rechenaufgaben

Aufgabe 1.10: Bestimmen Sie au~ cle1 Graphik in Abb. 1.23 den Sinus- und Cosinuswert ru dem Winkel a • 45 ·.Vergleichen Sie diesen Wert mit dem mit Hilft> Ihres Ta~chenrl'Chnl'rs berechneten Wert. Warum sind die beiden Wt>rte identi~h? Konnen Sie den berechneten Wert als Poterv von 2 darstellen?

Aufgabe 1.11: Wiederholen Sie die gleiche Aufgabe

für dl'fl Winkel a • 30 •. (Lösungen 5. 221)

1.3 Wicht ige Funktionen

Nennen Sie je ein Belspiel für eine lineare Funktion, eine Potenzfunktion und eine Exponentialfunktion. Machen Sie sich nochmals klar, wie man den Sinus und den Cosinus eines Winkels berechnet und überlegen Sie sich Beispiele für die Anwendung.

19

22

Klinischer Fall

2

Verflixter Vorfall

ln d•<'~r ~odeo Pfeile om oeiven BandschelbM110rfall mit einer dl!tldkh~n Einffigung dt" Splllalk,mal~. (Oe-r g~chlossene Pfeillinks k<"lnzeichnet eine Osteochondr~ und Spon~ an LWK 4 und 5).

Als .Stoßdämpfer~ der menschlichen Wirbelsäule sind die 23 Bandscheiben enormen Kräften ausgesetzt. Oie Gravitationskraft und das Körpergewicht üben einen ständigen Druck auf die blndegewebigen Zylind er aus. Diese Belastung potenziert sich bei bestimmten Bewegungsabläufen noch, zum Beispiel wenn man in gebeugter Halt ung schwere Gegenstände anhebt. lnfolge der Hebelwirkung kann dann ein Gewicht von mehreren hundert Kilogramm auf den empfindlichen Zwischenwirbelscheiben lasten - nicht selten mit negativen Folgen. Das Kreuz mit dem Kreuz .Aber du hast es doch versprochen, Papa. Wir wollen jei.Lt ins Schwimmbad gehen·. quengeltdie kleine Mia. . Ich weiß. mein Schall". antwortet Peter. Der 42·jäh· rige Familienvater streichelt seiner kleinen Tochter mitleidig über den Kopf. Seit ein paar Tagen schon plagen ihn fürchterliche Rückenschmer1en, die manchmal sogar ms rechte Bein ausstrahlen. Und ausgerechnet heu· te. wo die ganLe Familie ins Fre1bad will. findet er nur im Liegen etwas Linderung. Am nächsten Tag sucht Peter seinen Orthopäden auf und fragt ihn um Rat. Bei der neurologischen Untersuchung fdllen dem Arzt Sensibllotdtsstörungen an der Außenseite der Wade und ein positives Lasegue-Zeichen rechtsseitig auf: Dabei hebt der Mediziner Petcrs gestrecktes Bein an und dehnt so den Nervus ischiadicus. Der Familienvater zuckt wsammen • • Das spricht für eine Reiwng der Nervenwurzeln im BereiCh der Lendenwirbelsaule", er· klärt der Orthopäde. Auch das Gehen auf Zehenspotzen bt'rt'itet PetN Probleme und sein Achillessehnenreflex am rechten Bein ist abgeschwächt .Ein Bandscheiben·

vorfall?" Peter Ist übe~rascht, als dN ArLtihm seine Verdachtsdiagnose mitteilt. Doch er willigt ein. seine Lendenwirbelsäule in einer Kernspintomografie unter die Lupe zu nehmen. Altemdes Rückgrat Aufmerksam schaut Peter auf die schwarz-weißen Auf. nahmen. als der Radiologe ihm ein paar Tage später seine Bilder zeigt. Und tatsächlich· ein Bandscheibenprolaps im Segment lS/S 1 .•Die vorgewölbte BancJ. sc.heibe drückt auf eine NervenwurLel. Daher rühren auch Ihre Symptome·. erklärt der Arzt. Peter nickt nachdenklich .•Aber wie kommt das?", will er wissen. Der Röntgenam erklärt ihm, dass Bandscheibenleiden meist die Folge von Abnutzung seien. Der gallertartige Kem der Bandsche1be. der Nucleus pulposus, verliert Wasser und in den Faserstrukturen des umgebenden Anulus fibrosus entstehen Risse. Die betroffenen Seg· mente der Wirbelsäule werden instabil, Bandscheibengewebekann aus dem Zwischenwirbelraum austreten und R(ickenmark oder Sponalnerven einengen. Große Beldstungen der WlrbelsJule. zum Beispiel schweres Tragen. mangelnde Bewegung und Fehlhaltungen können diesen Prozess noch beschleunigen. Heben - aber richtig Petcrs Orthopäde will vorerst eine konservative rherapie versuchen. Der Familienvater bekommt eine Stoß. thcrapie mit Kortikosteroiden und nicht-steroidalen Antirheumatika verordnet. Diese Medikamente wirken schmerzlindernd und mildem die entzündliche Re~ zung der Nervenwurzeln. Außerdem soll Peter d1e Unterschenkel hoch lagern, so dass seine Lendenwirbelsäule eine entspannte Haltung einnimmt. Ein Physootherapeut hilft dem Patienten, mit Wärmeanwendungen die infolge der Schonhaltung eingetretenen Mus kelvcrspannungen 7U lösen und seonc Muskulatur durch spezielle Übungen zu stärken. Als Peter seinen Arzt fragt. was er in Zukunft für seinen Rücken tun könne. antwortet dieser: .Achten Sie beim Heben auf einen geraden Rücken, nutzen Sie ergonomisches Mobiliar in Haushalt und Büro und gehen Sie öfter mal schwimmen. Das entlastet die Wirbelsäule und krJftigt gleichzeitig die Rückenmuskulatur. • Über diesen Tipp freut sich Peter- und seine kleine Tochter erst recht.

2 MN:hanik des Massenpunkts und der starren Körper 2.1 Bewegung

2

Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

Die Mechanik ist ein umfa ngreiches und sehr Wichtiges Gebiet der Phys1 k. Es betrifft alle leblosen wie lebendigen Objekte der Welt, sofern sie in Ruhe oder in Bewegung sind. Die Himmelsmechanik der Planeten wie der Bewegungsablauf des menschlichen Körpers unterhegen den gleichen Gesetzen der Mechanik. Die Mechanik beschreibt die Kräfte. die notwendig sind. einen Gegenstand in Ruhe zu halten oder ihn zu bewegen. Sie formuliert Erhaltungssätze fü r den Impuls. den Drehimpuls und fürdie Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems. Aus den Erhaltungssätzen können wichtige Schlussfolgerungen gezogen werden. Die Mechanik ist sozusagen die Grammatik der Physik. Sie ist logisch, präzise und allgemein gültig. Auf der Mechanik bauen alle weiteren Eigenschaften der Materie auf.

2.1 Bewegung

.<1>

....... Lerncoach Im folgenden Kapitel geht es um Ceschwi~ dlgkeit und Beschleunigung, zwei physikalischen Größen. die Ihnen aus dem Alltag wohl vertraut sind. Hier lernen Sie, diese Größen zu quantifizieren. Dies ist wichtig, wenn es z. B. um die Geschwindigkeit der Reizleitung geht oder darum, ein Gefühl dafür zu bekommen, welche Kräfte bei der Beschleunigung auftreten können (und welchen Schäden sie anrichten können). Einleitung ln diesem Kapitel lernen wir die verschiedenen Arten der Bewegung kennen, Geschwindigkeit, Beschleunigung. Rotation, etc. Dabei fragen wir uns nicht nach der physikalischen Ursache der Bewegung, sondern nur nach dem Verlauf der Bewegung in Raum und Zeit. Die physikalische Ursacheder Bewegung. d.h. die Wirkung von Kräften und Drehmomenten. wird erst in den niichsten Abschnitten disku tiert. llier machen wir die stillschweigende Annahme. dass ein ausgedehmer Körper sta rr ist, d.h. sich be1 der Bewegung nicht verformt, dass sein Bewegungsablauf dem eines Massenpunktes t>ntspricht. auf den sich der ausgedehnte Körper zusammengezogen hat. Aber auch im Raum ausgedehnte und laufende Wellen und strömende Flüssigkeiten haben eine Geschwmdigkeit. Obwohl Wellen und Flüss1gke1ten erst später behandelt werden, ist das Grundkonzept das gleiche, nämlich das Zurücklegen einer Wegstrecke in einem bestimmten ZeitintervalL 2.1 .1

2.1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung

Geschwindigkeit Geschwindigkeit v(für engl. velocity) ist die zurückgelegte Wegstrecke ös pro Zeitintervall Clr: V=

ös Clt .

Die Einheit von v ist (vl• mjs. Tatsächlich ist die Geschwindigkeit eine vektorielle physikalische Größe. da sie sowohl einen Betrag hat wie auch eine Richtung im Raum. Daher ist die genauere Definition der Geschwindigkeit: ii

Der Vektor ii zeigt in die gleiche Richtung wie die Längenänderung ds im Zeitintervall dt. Das kleine d drückt den Obergang von einer Differenz zu einem Differenzialquotienten aus (S. 8).

Beispiele für Geschwindigkeit in der Medizin sind die Strö· mungsgeschwindigkeit von Blut oder die Erregungslei· tungsgeschwindigkeit in 1\ervenfasem .

Rechenaufgaben Aufgabe 2.1: Be~ einem Probanden wird die Pulswellenge~thwindigkeit aus der ZeitdrfTcrenz des R·Zackcns. der
•• II •

R,c>~ "-~!

R

•• l

oe ' -_

__;ll::;;s_ __..; "--! II

(Lösu11gen S. 222)

23

24

2.1 Bl'WCgung

2 Mechanik des Mauenpunkh und der st<~rren Korper

Im Gegcn~LZ lU fast allen anderen physikalischen Großen hat dre Ge~hwindigkeit eine eindeutige obere und untere Grenze. Dre umere Grenze v • 0 rst drt Ruht bzw. Bewegungslosigkeit. Dre obere Grenze v • c r~t durch die Uchtgeschwindlgkeit gegeben: c 299 792 458 m/s • 3" I OS m/s oder ca. 300 000 km ·s. Es gibr keine- Gt>schwindigkeu. die großer ist als drt> Lichtgeschwindigkert, genauer grol~er rst als dre von elektromagnetiSchen Wellen, denn lU den eleknomagnetischen Wellen gehören auch dre Mikrowellen und Radiowellen. Beschleunigung Beschleunigung a (für engl. acceleration) rst du:! Änderung der Ce~hwrndrgkert pro Zerternhert, blw. dre zweite Ableitung de-r Langenanderung nach dtr Zeit: S d V- d2a - dr e dr1

•

Die- Bcschlt>unigung 1st wie dre Geschwrndrgkert ern Vektor. der rn Rrchtung der Änderung öv w~hrcnd des Zcitrntcrvalls öc zeigt. Oie Richtung von tJ.iJ 1~1 häufig nicht rdcnrisch mrt der Richtung von v. Dres rst besonders markam bcr der Krersbewegung, wo ber v und f:lv ~nkrecht aufernander ~tehen. Ore Emhert der Beschleunigung rst (a( • mfs2, Für dre Geschwrndrgkcrt grbt es keinen physrologi schen Sensor. Oft wissen wir nichL ob wir uns be wegen oder rn Ruhe sind. Die Beschleunrgung wird jedoch sofort durch das Auftreten von Kraflen wahrgenommen. Promrnentestes Bersprel für dre Be~hleunigung ist der freie Fall.

2.1 .3 Arten der Bewegung Ort, Geschwindrgkeit und Beschleunigung geben zu jeder Zeit erne vollständige Beschreibung der 11e wegung ernes Korpers rm Raum .1n. Der raum-Lcrt· liehe Bewegungs.Jblauf kann sehr komphzren sern. Um ernen Überblick uber die Geserzmaßrgkerten der Bewegung zu gewrnnen. rst es von Vorterl, ernrge ernfache Spezralfalle zu drskutreren. 7unachst ernmal unterscherden wrr zwischen Translations· bewegung • ger.Jdlinige Bewegung), Rowuonsbewegung (Drchbcwcgung) und periodtscher Bewegung (Schwrngung). Dre Translationsbewl'gung kann rn erner Raumrichtung erfolge-n 111 zwer Raumnchlllngen (Ebene), oder in drer Raumr ichtungen (allgemeinster Fall). Die Rotationsbewe gung erfolgt merst in einer ausgezeichneten Ebene. Dre hc1rmonr-.che Schwingung kann als Spczralfall der gleichförmrgen Drehbewegung betrcJchtet werden. Dre~e •~t be~onders wrchtrg und wird an ver· schiedeneo Stellen in diesem Text diskutiert.

Bei der TranslatiOnsbewegung können wir die folgenden Arten je nach Geschwindigkeit und Beschleunigung unterscheiden: T•brllr 2.1

Alt.lllllr'll

Art ~r Tran<J<>-

5 Pa 1t I

t

I

I

Ceschwlndlgkrlt

BI!Schleunigung

v- kon~t~•>l v nimmt gl...ch-

a• O

tlonsbewegung qk>IChförrnig qk>ochmaR•g beschleunogt

m.lß
unglt>oehm.lR'9 ~lese hlalnogt

Y o1"
a- konsranr a lH>
Ore verschiedenen Arten der lran51auonsbewegung können am besten in Weg 7.ert-, Geschwindigkeit-Zerr-. und Beschleunigung-Zerr-Diagrammen dargestellt werden. ln drescn Diagrammen wird nur der Betrag von Weg, Geschwrndigkerr und Beschleunigung als Funkuon der Zert aufgetrdgen. nrcht die räumlach-vektorielle Änderung (vgl. Abb.1.7 bis Abb. 1.9, S. 8). Dre vektorielle Eigenschaf ten werden nur dann exphlit durch Pferle wiedergegeben. wenn dre raumhchl' Rrchrung beachtet werden muss. Geradlinige gleichförmige Bewegung (Abb. 2.1a)

Bei einer geradlinrgen glerchfOrmrgen Bewegung ist dre von ernem Körper zurückgelegte Wegstrecke s proportronal zur Zerr: s • v r. Dre Ceschwrndrgkeu v ändert sich nicht mit der Zell Beschleunigte Bewegung (• Beschleunigung oder Abbremsung, Abb. 2.1b)

Immer, wenn auf l'inen Korper eine Kraft w1rkt. tntt erne Andenrng serner Geschwmdrgkert ( = Beschleunigung) auf. Ein Sonderfall rst die glerchm.'ißige Beschleunigung. wenn auf ernen Körper eine konstanre Kraft ernwrrkt und er nrcht durch andere Krafte beernflus~t wrrd. Ore Geschwrndtgkert nrmmt dann hnear mrr der Zert zu: v- a t. und dre zurückgelegte Wegstrecke nrmmt quadraltsch mrt der Zeit zu:

s - I ar2 2 Berm freien Fall w irkt 7 ß. dre F.rdanzrehungskraft al~ kon~tante Kraft. was rn crner glerchmdßrgen Be~chleunigung des Kö1pers re~ultiert .Erdbeschleunigung" von 9.81 m,'s2 • Abb. 2.1c)

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper 2.1 Bewegung

..·....··

.... .. .. .. ..

500 450 400 -;:- 350

Zeoll

.:.300

""SI

250

" 200

:I:

150 100

50

~ l a

0 J_--,-,_,.....,....._,....,._...!.. 0 1 2 3 4 5 6 1 8 910

{I

•

leot on s

~ ~=============~-Ze.t t

c

b

Abb. 2. 1 Darst~lung verschltd~ntr ~ung~rtM. • Wl'(j·Zt~t· und GC>cllwindigkt•l Zeit·Ooagramm rlnH gll"chfllrmoqrn Bt'Wfilunq b Wtoq·lt>lh Gf'~hv. nd~gkclt-ZN· und B<:>ehll'unogung·Leot·Dooqramm ~r glt>ochförmkjen B~chleunogung c Weg ZeltDMg•anlm Iu< d<'ll forll'n r.n

Zur Fm•ugung von Röntgenstrahlen werden Clcktronen

on eonem clcktnschcn rcld auf hohe Geschwondogkeoten

beschlcunoqt und dnsthloeßend on ei~ Target abgebremst. Bei der Abbremsung (nt>gJtrve Bt"ichk-unogung) \\ird doe Beschleunogung~nergol' dt'r ~lrktmnt-n in Strdl}lung umgewandelt. Mittlere Geschwindigkeit Änderungen von Gec;chwmdlgkcucn auf emcr Wegstrecke konnen tm Weg·Zelt· und Geschwindtgkelt-Zeit·Diagramm dargestellt werden. Im folgenden Be1spicl :Abb. 2.2 } 1st 1m Zellmtervall zwi· sehen r1 und cl d1e Gec;chwmd1gke1t v 1• 1m Zelt· mtervall zw1schen rl und r 1 1st s1e y ,, etc. d.h. d1e Ge~chwind1gkeit ISt von emem 7ellmtervall zum nachsten vef)chieden und bleibt wahrend des Zelt· intervalls konstant. ln der Praxis wird man eine konnmnerhchere Anderung der Geschwmd~gke1t von emem auf den anderen Wert vorfinden. anstatt der im D1agramm geze1gten abrupten Anderung. Wenn d1e GeschwindigkeitZWISChen r 1und l4 viele verschiedene Werte anmmmt. dann1st d1e mittlere Geschwindigkeit (v) von Interesse. d.h. die Ge· schwindigkelt. die man be1 gle1chble1bender Geschwindigkeit benötigten wurde. um am selben Punkt in derselben Ze11 anzukommen. D1e m1ttlere Geschwmdigkeit folgt rechnerisch aus dem Mittelwert· (V/-

v1llr1 Vzlltz + v1lltl llr1 -·~~~~ llt 2 .. llcJ

Dabei ist t.r1.llt2 .... jeweils das Zeitinrervall. inner· halb dessen die Geschwindigkeit v1. v2 ... konstant 1st. D1e m1ttlere Geschwindigkeit v·· kann auch grafisch leicht angeben werden. Sie entspricht der ~tel­ gung der gestrichelten Unie. die den Anfangspunkt bei (s1.r1} mit dem Endpunkt (s4.t 4 ) verbindet. Aus dem Vergleich der Ste1gungen wud auch unmittel· bar ersichtlich, dass v1 und ~ kleiner sind als d1e mittlere Geschwindigkeit {v). während 111 gröRer ISI (Abb.2.2 ,.

.• : .. : .. ·············)··.·· .,..

.-•

s, s,

~--······

...

v,

............. .......... .. ·~

v,

I v,

b

Zeot

I'

t,

Abb. 2.2 O~rstellung der mittleren GHchwlndlgkelt. a Vl'r9Ztoo -Oo"9r~mm u od b Geschwindoq~efl-Zeot.Oo.ogro~~r n. Doe gt.~ ~ Unien entsprechen dl'1 Geschwmd~·l g...",ltf'lt ~ d.J) Zettonte
25

26

2.1 Bewcgun<J

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

Rechenaufgabe

Rechenaufgaben

Aufgabt' 2.3: Mittlere Ges
Aufgabt' 2.4: Summation von Geschwindigkeit~ belder flussüberquerung. Un Sch"Wrnlfl'!Cr ub;:,rqul'rl einen Fluss. IJndcl t<.'
s.

Bewegungen ln dtf' EbeM

Oie Bewegung entlang emer Raumrichtung i)t der emfachsre Fall. Allgememer ist dte Bewegung in einer Ebene oder 1m dreidimensionalen Raum. Dann kann der Ge<;ehwmdtgketrsvektor in seine vektonellen Komponenten zerlegt ....-erden ( Abb. 2.~ ). Mehrere Geschwmdtgkeuen. dte auf emen Punkt wtrken. können m der Ebene oder im Raum vektoriell zusammengesetzt werden. z.B. dte resultierende Geschwmdtgkett eines Flug2eugs setzt sich aus der Geschwmdtgkeit der Oilsentnebwerke und der Lufrsrromung 7u~ammen. Umge· kehrt, sofern die resultierende Geschwindigkeit m seine kartesischen Komponenten zerlegt ist. kann aus den Komponenten durch Bildung der Vektorsumme wteder der resultterende Vektor gebtldct werden. Im karteStSehen System mtt zuemander senkrechten Komponenten smd dte emzelnen Komponemen von einander unabhangtg. denn keine Komponente hat eme Projektion in eme andere Richtung. D1e Unabhängigkeit der Komponenten kommt emdrucksvoll an der Wurfparabel zum Ausdruck. Wahrend die y-Komponente emen freien Fall ausubt. ~odass die Geschwmdtgketr hnear mtr der Zeit zu nimmt. 1st d1e Geschwtndtgkctt entlang der x·Komponenre konst.tnt. D1c Uberlagerung der be1den Geschwmd1gke1ten m Jedem :Zeitpunkt ergib! den re~ulllerendcn lkwegunK'>
.... . ;

Aufgabe 2.5: Fallweite ln Abb. 2.lb D.e ralllwite elopo, Obtt!itlS auf det x-Ach"' "lln Abb. 2.l mrt 10 m angegeben und die Fallhohe auf der y-Achse mot SOO m. Aus d~ Angaben können wir zuruck rt>Chncn. woe groß doe Ge<;Chwmdigkett des Objekts am Anfdrl<J rn drr x-Richlur>g ~~~ '><'111 ffiU\\, ddmit l'\ noch! dirt'll unter uns bt>o x: 0 landt>t, sondern 1n 10 m AbstJnd. Wie groS war die Anfangsgeschwiodigkctl v, in deo x·Rkhtung? (Lösungen S. 222)

Periodische Bewegungen

Periodische Bewegungen smd Bewegungen, dte nach einer konstanten Pertodendauer r sJCh ex.tkr wiederholen. Das Maß der periodtschen Bewegung ist d1e Frequenz/. d.h. die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit: I • 1/T. Die Einhc1t der Frequenz I 1st Hertz, abgekürzt Hz: [fJ • Hz. I H7 entspncht emcr Penode pro Sekunde. Falls die pertod1sche Bewegung mir einer Sinus- oder Kosinusfunktton dar· stcllb.tr ist. dann spncht man von harmonischen periodischen Bewegungen (z.B. Fadenpendel). Pen· odtsehe aber mcht·harmoni~he Bewegungsvorgange smd das Gehen be1 konsrantcr Ge~hwindtg­ keit, doe Herzraugkett und d1e Aamung. bei harmo· nischen aber nicht-periodischen Bewegungen an· dert sich die harmonische Periodendauer T mll der Zctt (Abb. 2.4 ). Periodische Bewegungen werdrn

500 450 400 - 350

..§.. 300 ., 250

.l:

~ 200

ISO 100

so 0

"· • IVI (0\(fJ) a

b

1

h . 2 qt'

Abb. 2.3 Zerll'gung de> Geschwindigkeitsvektors '" ~f

nP

ur ,)ht

lt lUI()

•r

I
v, una \' ~ m der l b..:lli.. {I ,. \'Vurlpor•l>t'l oll~ Ul>t'rla<J•rung clrr ~ pooent~

t._,....,........,...,,...,.._ _.:-

0 1 2 3 4 s 6 7 8 9 10 \\c,te • • Oll (ml

~hleunogtcn f~lt>ewe9ung 111 d~

y Rocf)o

tung und glerchförrruq<'n IIE'Wf'CJU"9 tn ck:1 •·R.o
2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper 2.1 Bewegung T

Bei einer gleichmaßigen Kreisbewegung überstreicht der Massenpunkt in der Periodendauer T den Winkel a • 2rr:

a

w

271

y = 2rrf

Oie Wmkelgeschwindigkeit hat die Einheit (w] = rad/s. b

Sohngeschwindigkeit

(

d

Abb. 2.4 Verschiedene Arten der periodischen Bewegung. a tlarmonlsch und penodlsch: b und c periodisch ~ber noch! harmoMch: d harmonosctl aber nkhl p('l'iodtKh. T ist jE'\Yt'ils d•~ Perlodendauer.

un Kapitel 6 (Schwingungen und Wellen) ausführ-

licher diskutierr.

Herz- und Atemfrequenz sind periodische, aber keine ham1onische Bewegungen. Das unbelastete Herz macht ca. 80 Schläge pro Minute. damit ist die Herzfrequenl: 80/60 s 1 : 1,33 Hz. m Worten: dot' Ht'mrequenz ist ca. 1.3 Hz. Die Atemfrequentist ca. 14/60 s 1 ~ 0,23 Hl. Kreisbewegung (Rotationsbewegung) Umlaufperiode und Umlauffrequenz

Bei einer Kreisbewegung bewegt sich ein Massenpunkt auf einer l
Der Weg. den der Massenpunkt auf der Kreisbahn zurücklegt. ist durch die Bogenlänge s • r a gegeben, d.h. er ist das Produkt aus Kreisradius r und überstrichenem Winkel a (Abb.2.5~). Mit Hilfe der Bogenlänge kann man die Bahngeschwindigkeit des Massenpunktes auf der Kreisbahn angeben: VB.>hn •lls/f!.r. Differenziell ausgedrückt folgt für die Bahngeschwindigkeit Vßahn

ds dr

da

r dr - r w.

Oie Einheit der Bahngeschwindigkeit tst (vB.>hnl = rad m/s. Die Bahngeschwindigkeit hängt linear vom Radius ab. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit haben Massenpunkte weit weg vom Mittelpunkt eine höhere Bahngeschwmdtgkeit als Massenpunkte nahe zum Zentrum. Zentripetalbeschleunigung

ln jedem Punkt der Kreisbahn zeigt der Vektor der Bahngeschwindigkeit tangential nach außen ( Abb.2.5b). Damit jedoch eine Kreisbewegung zustande kommt. muss die R1chtung des Vektors in Jedem Punkt des Kreises um da geändert werden. Die Richtungsänderung ist gleichbedeutend mit einer Beschleunigung op. Die Beschleunigung wird Radialbeschleunigung oder Zentripetalbeschleunigung a p genannt (vgl. auch S. 39) und ihr Betrag ist durch den folgenden Ausdruck gegeben: Op

V~hn 2 .. w r = Vs•hn w. r

f = ~mit der Einheit U1 ~ s 1 (Hz}.

r

_/

Winkelgeschwindigkeit

D1e Winkelgeschwindigkeit ist- analog zur linearen Geschwindigkeit (Weg pro Zeit) - definiert als die Winkelstrecke t::.a. die der Massenpunkt pro Zeiteinheit M zurücklegt:

da w dt

a

b

Abb. 2.5 Kreisbewegung. [on Mas'ffipunkt auf eo~r Kreisbahn

mot

konstant~m

R.ld•us r und mit ein
schwindögkeit w um d~s

Zentrum hat e1ne dem ~trag nach konstante Bahngeschwlndigkoit v..,.,. Jedoch dndert ~h die Richtung der Bahngeschwindigkeit dv in jt'Lcntrums.

27

28

2.1 Bewegung

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

Vektoriell folgr dte Zentnperalbeschleunigung aus dem Vekrorprodu l
är

YBdhn

W

Nach der Rechten-Hand-Regel zeigr damit die Zentripetalbeschleunigung auf das Zentrum der Kreisbahn zu.

fl$11ijtJW Oie Zentnpctalbc~chlruntg\ong a. wachst linear mit dem Roldiu~ und quadratisch mit der Winkelgeschwmdlgkeot.

in Ultrazentrifugen wird doe 7entripetalbeschleunigung genutzt. um Proteine mit verschiedt>nt>m 'oAolekul
Rechenaufgabe Aufgabe 2.6: Ein Ultrazentrifuge drehe sich mit einer Frequenz von 30 000 Umdrt>hungrn pro Minute (Rota·

piJnes Gelenk

tionen pro Minute • r.p. m.). ln welchem Abstand von der Orehdchse mussen Makromolt>kült> pla11ert wr:rdl'n, damit ,;t' t>in(> ße\Chll'tmigung erfahren, die das 105-Fache der Erdbt>schleunigung beträgt. Nehmen Sie für die Erdbeschleunigung der Einfachhcot halber den Wert g • 10 ms·' an (Lorung S. 222)

Freiheitsgrade der Bewegung. Ein ausgedehnter Körper hat 6 Bewegungsfreiheitsgrade: 3 Translationsbewe· gungen des Schwerpunkts in x·. y·. und z·Richtung und 3 Rotationsbewegungen um die Raumachsen x. y. und 1. Um t>int>n bestimmten Punkt im Raum zu erreichen. braucht man on~gt'5amt 6 8t'WE'gungsmöghchkeoten • rreohCitsqrade der Bewegung. Die meisten Roboter sind so konstruocrt. dass sit> alle 6 Freiheitsgrade ausführen können. Deo Mensch hat jedoch häufig wesentlich mehr als 6 Freiheotsqrade der Bewegung. Besonders be· weglieh ist der Unterarm Oie Beweglichkeit des menschlichen Skeletts wird durch mindestens 6 verschiedene Arten von Gelenken unte~tützt. die verschiedene Freiheits grade aufweisen (Abb. 2.6). Da5 Schamol'rgelenk hat nur eonen Freihe•tsgrad der Bewegung. d.h. es kann nur eine eonfache Rotation ausführen. Das Sattelgelenk hat 2 Rot ... tionsfreiheotsgrade. das Kugelgelenk hat3 Frciheitsqrade etc.

Rad· oder Zapfengelenk

Kugelgelenk

Scharniergelenk Abb. 2.6 Sechs verschiedene Gelenke. die die Be.wgung der Skelettknochen ermöglichen.

E•gel('nk

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper 2.2 Impuls. Kraft, Drehimpuls. Drehmoment «> ..•~ Check-up t/ Zeichnen Sie je ein Weg-Zeit-, Geschwindigkeit-Zeit-, und Beschleunigung-Zeit-Diagramm und machen Sie sich bei jedem Diagramm klar, wie und ob daraus zu einem bestimmten Zeltpunkt eine Geschwindigkeit abgelesen werden kann. t/ Wie ist eine periodische Bewegung definiert? t/ Überiegen Sie sich, wie Zentripetalbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit und Radius miteinander zusammenhängen.

2.2 Impuls, Kraft, Drehimpuls, Drehmoment

-

...... Lerncoach Im folgenden Kapitel lernen Sie u. a. die 3 Newton'schen Axiome kennen. Sie sind die Grundlage der Dynamik, dem Gebiet der Mechanik, das sich mit Bewegung beschäftigt. Wichtig für das Verständnis des folgenden Kapitels ist, dass Sie sich das vorangehende Kapitel Geschwindigkeit und Beschleunigung bereits erarbeitet haben.

2.2.1 Überblick Im vorangehenden Abschnitt haben Sie die Bewegung von Massenpunkten kennengelernt. Dies w ird auch als die Kinematik der Massenpunktes bezeichnet. Dabei ging es darum festzustellen, welche Geschwindigkeit und welche Beschleunigung e in ObJekt an Raum und Zeit hat. Damit ist jedoch noch lange nicht die gesamte Dynamik eines Objekts erfasst. Denn ein Objekt hat .1uch eine Masse, auf das Objekt wirken Kräfte und Drehmomente, und das Objekt wird je nach Geschwindigkeit und Lage eine kinetische und potenzielle Energie haben. Wir werden diese physikalischen Größen nacheinander kennenlernen. Dabei machen wir eine erstaunliche Feststellung: Es gibt d rei physikalische Größen. fur die wir mechanische Erhaltungssatze formulieren können: das ist der Impuls. der Drehimpuls und die Energie. ln einem geschlossenen System bleiben diese Größen erhal ten. d.h. zeitlich konstant. W1r beginnen mit dem Impuls und dem Impulserhaltungssatz. diskutieren dann den Drehunpuls. und im nächsten Kapitel den Energieerhaltungssatz.. Weiterhin lernen wir die drei Newton·schen Axiome kennen, die in e infacher Weise die Wirkung von Kräften auf Objekte beschreiben.

2.2.2 Impuls und Impulserh altung Wenn ein Lastwagen und ein Kleinwagen die gleiche Geschwindigkeit haben, dann sagt unser Gefühl, dass ein Zusammenstoß für den Kleinwagen ungüns tig ausgehen kann. Der Grund darür ist d1e unterschiedliche Masse der beiden Wagen. Masse multipl iziert mit Geschwindigkeit ergibt Impuls: p - m v. Bei gleicher Geschwindigkeit vist der Impuls des L
(PI + P2 )"()ffl.,.

und der Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß ist identisch. Bei ungleichen Kugeln mit verschiedenen Massen wird der Versuch anders verlaufen. aber immer w1rd der Impuls erhalten ble1ben. Nehmen w ir an, dass die Masse der zweiten Kugel viel größer ist als die Masse der ersten Kugel. Dann wird sich die zweite Kugel nach dem Stoß kaum bewegen, während die erste Kugel zuruck reflektiert w ird. Das 1st d1e Situanon. wenn Gasmolekule auf eine

p,

r;;; Abb. 2. 7 lmpulsübertng von zwei Kugeln.

p,•O

29

30

2.2

lmpul~.

Krdlt.

Drchlmpul~. Dr~hmom~:nt

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

Wand auftreffen: )te werden luruckrenektiert und übertragen auf die Wand emen Impuls von 2p. Die ser lmpulsubertrag e>l7e>ugt emen Gasdntck. den wtr als l.urtdruck kennen (S. 59). Rechenaufgabe Auf~ 2. 7: Nehmen wir

bei un~erem laitwagen und Klemwo~q<.'n d,.,\ bt.--Kie Wagen \ICh wie hartf' Ku· geln Vt'rhOlltt>n. d. h. dt>r ~aß kt vollstand'9 el.lst&h und kt'ine Energie geht ln der Oefllml.ltion verloren. Wetterhin nehmen wir an, d.1u der Lutwagen doppelt so schwo.'r ISt Wie dt.Y Klemw•gen (m- • .lm€-idt-r Wolgf'n nl'hmen wir betrag\· en Stoß bk'ibt dt.•r lmpuh und die Encrqoe l'rh.!l!l'n. Wie groK ist die Ge~ hwindogkl'!t und dif' Richtung der ßtowegung nach dem Stoß? (Losung S 222)

•n.

Die Übertragung von lmpul~ p m Ii von emem Körper auf einen ande1en geschieht mittels eines Kraftstoßes. WJhrend einer kurlen Kontaktzeit öt berühren sich zwei Körper und während dieser Zeit wtrd Kraft (s.u.) und Impuls übertragen: öp- F t.t (anschaulich: Fußb.lll n1cgt nach kurzem Kick durch den Stürmer l.tber das feld). 2.2.3 Drehimpuls und Trägheitsmoment Drehimpuls Bet emer Rotationsbewegung spncht man mcht von Impuls, sondern vom Drehlmpuli. Der Drehtmpuls i ist der Impuls. den ein Massenpunkt
i-

m r'

Ytl.llln ·

Die Cinhett des Drehtmpulses ist [LI• kg m2/s • N m s • Joules. Der Drehimpuls i 1st em Vektor und steht ~enkrecht auf dem Mittelpunkt clrr Krrtsbahn, d1e cler Massenpunkt beschreibt. Seine R1chtung l;ts~t ~tch mit der Rechten Hand Regel be~timmen: Wenn der Daumen m Richtung des Radius ze1gt, der Zei gefinger m Rtchrung der Bahngeschwmd1gkett, dann zetgt der Mttrelfiner 10 R1chtung des Drehtm· pulses. Ansch.JUitch f,lllt du~ Richtung de~ Orehtm· pul~es m1t der Drehach~e zu~ammen. Da der Rad1us und die Bahngeschwmdtgkett ublicherwetse senkreehr aufemander stehen. kann man den Betrag

des Drehimpulses durch den skalaren Ausdruck clll· geben:

rL-1

m r Vaann ·

Ohne Einwirkung einer außeren tangentialen Krc1fl bleibt der Drehimpuls konstant, sowohl tn Richtung wie in Betrag. Der Drehimpuls tSt eme Erhaltung\· große, analog zur lmpul~rhaltung.

Drehimpulse spielen eine überragende Rolle be1 der Be wegung von Elektronen in Atomen und auch bei l(em. bausleinen (Nuldiden). Magnetosmos und Drehompuls ~·nd eng mrt eo~nder •l'li
w.

i

I analog des Impulses bei der linearen Bewegung p m ii.

Dte Einhett des Traghettsmoments tSt (/I• kg m1• Bet ausgedehnten Körpern i~t die Masse über den ganzen Körper mtt verschiedenen Radten vertetlt. Das Tr.lgheitsmoment ist daher kleiner. als wrnn die Masse ausschließlich außen auf emem Rmg mit dem Radtus r hegt. Fur jeden Körper k.mn man bezugheiter emer gewahlten Dreh.1chse d.n Tr .1ghettsmoment angeben. FUI eine Sehetbc nut der Drehachse durch den Mittelpunkt tst das lrag. hetrsmoment l

I

2

mr2

(Abb. 2.8b).

-

'(" -

,_ L-mrw

-

1

J-

b

a

Abb. 2.8 Orthirnpuls und Tr~htil\momtnl. a O.:r l>rthim pul> L etnes M•ssepunkt"' stellt senl recht •ul d...m ~·•tttlptmi
r- !Ydnn. v1 =S.hncjeschwmd.Qktol b fur ttnt' Sc~ mit dE-r

Orth.lc~

I

2

durth dfn Molltlpunkt .t cl.

mr.

J·lyhrtl\11l<>nl<'11t

2 Mechanik d6 Masnnpunkts und der starren Körper

2.2 Impuls. Kraft. Drehimpuls. Drehmoment

Da L I u gtlt und L ohne außcrc Drehmomente (s. u.) konstant JSt. kann die Wmkclgeschwmd•gkelt u nur dann verandert werden. wenn das TragheJtsmornen t verandert w1rd. D1es nutzen z.B. Eiskunstlaufer u.a. be1m Drehen emer Pirouette aus: Beun Anziehen d~r Arme wi rd das Trägheitsmoment kleiner. Damit der Drehimpuls konstant bleibt, wird d1e Winkelgeschwmd1gkell größer und der EiskunsiJufer dreht sich ~hneller 2.2.4 Kraft und Arten von Kräften Die 3 Newton'schen Axiome D1c physikalische Defimtion der Kraft weicht von der allgemcmcn Vorstellung stark ab. lsaac Newton mterpretierte im !?.Jahrhundert in den Newton'schen Aluomen die Kraft als zeltliehe Änderung des Impulses. Er identifiZierte also die Kraft als Ursache fur Jede Veränderung des Bewegungszustandes emes Körpers. Außerdem erkannte er, dass es zu Jeder Kraft eme Reaktionskraft gibt.

F,

1. Newton'sches Axiom

Kraft 1st physikalisch definiert als Masse mal Beschleumgung oder als zei tliche Änderung des Impulses: m F• mä .. ~~ Einhe1t F' kgS}•N( l N•l kgm/ s2 • N steht fur l'cwton)

Kraft bew~rkt also eme Änderung der Geschwmd•gke•t b1w. des Impulsesemes Körpers. Solange keine (resu ltierende) Kraft auf den Körper wirkt. ist sein Impuls zei tlich konstant. Das ist der Inhalt des Triig· heitsgf'\ttzes nach Newton (oder des 1. Newton'· S
Abb. 2.9

Kräfteglekhgewl
tl$1i;J3M Im Gleichgewicht ~

sich 1lle Kr.ifte ~ul. Eln Kö~ 1m Gle•chgewi<:ht 1st entweder •n Ruhe oder hat t'lnc glt>tchforrTllge koO\t~nte Geschwtndtgkeit. 2. Newton'sches Axiom

jede Beschleunigung erfordert die Anwendung emer resultierenden Kraft: F m · ä. Kraft und Beschleumgung smd bc1des Vektoren. d1e gleJChge· nchtet smd. Das 1st d1e Aussage des 2. Newton'· S
F

O.t\

0

Abb. 2. t 0 Kraft und IIHchl~nlgung •lnd

gltlchgmchtet.

proportional und

31

32

2.2 Impuls. Kraft. Drehimpuls. Drehmoment

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

3. Newton'sches Axiom Das 3. Newton'schc Axiom beinhaltet die berühmte Aussage: actio = reactio. d. h. Jede KraftWirkung auf einen Körper ruft in dem Körper eme gleichgroße Gegenkraft hervor. Diese beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar. ln Abb. 2.11 zieht die Hand an einem F<J den und der Faden zieht an dem Block. Sowohl Hand und Faden. wie Hand und Block bildenjeweils ein Kräftepaar m it gleiCh großen und entgegengesetzt gerichteten Kräften. Kraftübertragung kann nur in Form von Kräftepaaren an versch iedenen Körpern auftreten. D1e Newton'sche Krafrdefinition: Kraft· Masse x Beschleunigung, gilt nur unter idealen Bedingungen. d.h. wenn Reibungsverluste vernach lässigt werden können. Die alltägliche Erfahrung spricht mehr für ein Kraftgesetz: Kraft • Koeffizient x Geschwindigkeit. denn im Alltag finden wir nie ideale Bedingungen vor. Es ist das große Verdienst von lsaac Newton, dass er als erster d1e idealen Bewegungsgesetze formulierte, die sowohl auf der Erde wie auch auf llimmelskörper anwendbar sind. Verschiedene Arten von Kräften Es gibt versch iedene Art en von Kräften. solche, d1e in direktem Kontakt sind und solche. d1e iiber große Distanzen und ohne direkten Kontakt w irken. Kontaktkräfte entstehen durch Körper. die aufei nander l iegen, oder die durch Muskelkraft erzeugt werden. D1e kontaktlosen oder Fernkräfte sind fu ndamenta lerer Natur (Gravitationskraft. s.u.; Coulombkraft S. 98; LorenLLkraft. S. 123. außerdem gibt es noch ei ne starke Kernkraft, die die Protonen und Neutronen im Atomkern zusammenhält (S. 190) und eine schwache Kraft. d1e filr die Umwandlung von Protonen in Neutronen und umgekehrt verantwortlich ist.

Fernkraft Gravitation Von den genannten Fernkräften ist die Gravitations· kraftdie m it Abstand seilwachste Kra ft. Nur durch die riesige Masse der Erde ..spüre11" w ir die Gravitationskraft in Form von Gewicht. Wie jede Kraft bewirkt die Gravitationskraft eine Beschleunigung. sofern keine Gegenkraft den Körper im Gleichge wicht häl t ( Newton's fallender Apfel ). An der Erdoberfläche hat die Beschleumgung den nahezu kon· stanten Wert g- F m (Betrag g ~ 9,81 m/s2 ). Die Erdbeschleunigungg ist immer auf das Erdzentrum

r'J

Abb. 2.11 Krliftepiltare bei der Kraftübertragung.

zu gerichtet (Hinweis: Zur Kennzeichnung der Beschleunigung wird iiblicherweise der Buchsrabe a verwendet. Nur fü r den Spezialfall der Erdbeschleunigung hat s1ch der Buchstabe g durchgesellt Für Abschätzungen reicht es aus. fur den Betrag g " I0 m/s2 zu setzen).

Gewichtskraft Die Gewichtskraft i st d1e Kraft. die aufgewandt werden muss. um einen Körper .10 der Erdoberfläche im Gleichgewicht bzw. in Ruhe zu halten ( lypi scherweise Gewicht einer Person auf einer Waage: d1e Federkraft der Waage hält mit dem Gewicht der Person das Gleichgewicht). Da~ Gewicht Wird w ie alle anderen Kräfte in Newton angegeben. Beispiel: eine Person mit der Masse von SO kg hat das Gewicht von SO kg x 9.81 m/s2 .. 500 N. Wegen der ger ingen Masse des Mondes wiegt die g leiche Person auf der Mondoberfläche nur ca. 1/6 des Gewichts auf der Erde (also etwa 83 N. die Masse beträgt aber nach wie vor SO kg). Wenn man unter der Waage den Boden wegziehen würde, dann fielen Waage und Person mit der gleichen Beschleunigung g, d.h. die Waage würde dann Null zeigen. Daraus folgt. dass ein f rei fallender Körper schwerelos ist. Die Gewichtskraft wi rd häufig mit der folgenden Gleichung angegeben: Fe- mg (G für Gewicht. g für die Erdbeschleunigung). Rechenaufgabe Aufgabe 2.8: Ein PKW kommt durch frontalen Aufprall aus voller Fahrt von 72 km/h (20 m/ s) nach 100 ms rum Stehen. Dabei w1rd das auf einem Kindersrtz frst· geschnallte ern1Jhrige Baby (I 0 kg) mrt einer Kraft F in die Srcherhe1t!>Qurte gepresst. Wie groß ist der Betr<>g der Kraft F. d1e durch die Verzögerung ausgelost wird, im Vergleich zur Gewicht>· kraft Fe; des Babys? D. h. um etwa welchen Faktor rst f' großer als FG? (Lösung S. 223)

Federkraft Die Federkraft ( Abb. 2.12) ist die Kraft. die man benötigt, um eine Feder um eine bestimmt Länge zu dehnen. Im Gleichgewicht ist d1e Federkraft FK giC'ich und entgegensetzt geri ch tet 7u der GewiChtskraft Fe; mg. Für nicht zu große Dehnungen der Feder ist die Längeniinderungen (Delmung) ll/ der Feder proportional zum Gewicht: mg - k lll. Die Proponionalitätskonstante k wird Federkonstante genannt und IH eme Matenalkonstante der Feder. S1e hat d1e Einheit lkl = Nfm = kgfs 2• M1t Hilfe de>r Längen:lnderung kann man leicht Kräfte bzw. Gewichte messen. Moderne Waagen haben allerdings elektronische Drucksensoren eingebaut.

2 Mechanik des Massenpunkts und der sUirren Körper

2.2 Impuls. Kraft.

Or~himpuls,

Drehmoml'nt

-- F•f, • f ,

F,

-r, r'- • mg Abb. 2.12

F~cleoi
System Masse mit Fed~r ist ~m schwingungs fahlge~ System mtt emer Eigenfrequenz Wo • \ k m (vgl. S. 139). Ote Eigenfrequenz tst die cha· raktemll~che Schwmgungsfreqlll.'n7, dte nur durch d1e Materialparameter Kraftkonstante und Masse definierr ist. Die Schwingungsdauer folgt dann wieder wie üblich aus T 2rr, Wo 2rr, 1m k. Dieses sogenannte Federpendel gehört 7u~ammen mtl dem Fadenpendel zu den emfachen. aber grundlegenden Modellsystemen der kla~stschen Mechan1k. Es wird in diesem Kurzlehrbuch immer wieder zur Veranschaulichung von phys1kah~chen Eigenschaften herangezogen.

Abi>. 2.13 Kräfteparallelogramm.

zeugen btruht auf emem dynamischen Aufrneb. (Mehr dazu in Abs. 3.4.6 aufS. GO)

Da~

Rechenaufgabe 2.9: OK' Fe
KrJfteparallelogramm Da Kräfte Vektoren sind, k.mn man sie in ihre Komponenten zerlegen. sogenannte Krafteparallelogr amme ( Abl>. 2. 13 ). Wird 7.ß. ein Körper mit cmer KraftFuncer dem Winkel a relatiV zur Horizontalen gezogen. dann kann diese Kraft in zwei aufeinander senkrecht stehende Komponenten aufgeteilt werden. eme parallel 7ur Jlonzontalen f 1 und eine .;enkrecht zur Horizontalen f 1 • D1e Vekto~umme ergibt Wieder die ursprüngliche Kraft. D1e Zerle· gung 1st sinnvoll, da m d1esem Fall nur d1c homontale Komponente wr Bewegung des Kbrpe~ m der l .bene beitragt. Krafteparallelogramme smd .lllch l>e1 der Dtskuss•on von Krdften auf Knochen w1ch tlg.

Auf~be

mt-sscn d•fur doc Zeot 1100 31,4 s. W'lt' groß kt dlt' f edeoi
Auftriebskraft Statl~che Auftriebskratte (Schwm1men, Schweben.

Sinken) sp1elen immer dann eme Rolle. wenn Körper 1n ein anderes Medium eingetaucht sind. wie z.B. in Wasser oder Luft. und mnerhalb des Me· diums em Druckgefalle besteht. Be1sp1ele dafur smd das Schw1mmen von Sch1fTen und das Schweben von Heißluftballons und Zeppelmen. aber 01cht das fhegen von Flugzeugen Das rl1egen von Flug-

Beispiel Krafteg/ekhgewicht Durch eme Mas~ m w1rd eme Gewichtskraft f 1 wokrecht nach unten dusgeubt (Abb. 2.14 ,. 01ese Kraft kann über emc Rolle umgelenkt werden und ze1gt dann in Richtung FJ. Im Gleichgewicht smd die Beträge der be1clen Krafte identisch. Da Kräft e Vektoren sind. und Vektoren be1 gleiCher Lange und Richtung belieb•g verschiebbar sind. kann d1e Gesamtkraft aus emem Kräfteparallelo gramm ermmelt werden. D1~ses ergibt als Summe i 3 F1 ~ Fl . D1e Kraft F1 ze1gt schrag nach rechts unten und alles wurde ~1ch 1n die~ Richtung bewcgl'n. falls nicht eine gle1ch große und entgegen genchtete Kraft I; nach links oben zeigen würde. Di~ Kraft F3 w ird von der Achse der Rolle aufgenommen und bringt das System ins KräftegleichgeWICht Auf d1e Rolle w1rkt eme großere Kraft als du~ Gew•cht~kraft. Im Fall. dass f 2 senkrecht nach un· ten ze1gt. w~re F1 betragsmaßig doppelt so groß wie die Gewichtskraft. Die Verankerung muss also gut befestigt sem.

33

34

2.2 Impuls, Kraft. Drehimpuls. Drehmom!!nt 2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

2.2.5 Reibungskräfte Die Newton'schen Gesetze der Bewegung setzen ideale Bedingungen voraus. insbesondere das Feh Jen von Reibung. Durch Reibung zwischen zwei Oberflächen w1rd eine Bewegung abgebremst. Die mechanische Energie wird in Wärmeenergie umgewandelt und kann nicht als mechanische Energie zurück gewonnen werden. Reibungskraft ist eine Kontaktkraft. die an der Grenzfläche zwischen zwei Körpern wirkt. wenn sie sich gegeneinander bewegen. Ohne Reibungskräfte wäre Gehen. Rollen, Fahren nicht möglich, Start dessen gäbe es nur Gleiten oder Rutschen.

-r, Abb. 2.14 KrJfteparallelogramm beim Seilzug.

Rechenaufgabe Aufgabe 2.10: Die Zeichnung zeigt Gerät zum Krafttralnlnq.

schenlato~th

ein

m

I

J

I

Oie .Jm Seil hangende Massl' m kann von 5 kg b•s 50 kg verandert wt>rden. Alle anderen Massen des Seils und Kräfte, die durch Reobung auftreten, sollen nicht berücksichtigt werden. Mit welcher Kraft muss der Sportler an dem Seil Ziehen. um die Gewichte mit einer Masse zwischen 5 kg und 50 kg 1m Gleichgewicht zu halten? (Losung 223)

s.

Haft- und Gleitreibung Reibungskraft hängt von der Oberflachenbeschaffenheit bzw. Rauigkeit ab. Das Gew1cht Fe; und die Reibungskraft FR sind proportional zueinander: FR •1111R Fe. Der Proportionalitätsfaktor wird Haftreibungskoeffizient llHl genannt. Nur wenn die an gewandte Zugkraft fzus größer 1st als dte Reibungskraft FR. kann der Körper bewegt werden (Abb. 2.1sa). Damit kann man den Reibungskoeffizienten für verscniedene M.lterialien und Oberf\ächenbeschaffenheiten bestimmen. Sobald ein Körper in Bewegung ist bzw. gleitet, ist der entsprechende Gleitreibungskoeffizient llca llledriger als fllr die Haftreibung: IJcR < IJHR· Der Reibungskoeffizient kann auch über eine schiefe Ebene definiert werden (Abb.2.15b). Dazu wird die Gewichtskraft Fe in die Komponenren parallel und senkrecht zur schiefen Ebene aufgeteilt: Fe; F11 + fH. Oie Normalkraft senkrecht wr schiefen Ebene FN = Fc;cosa hat keinen Einfluss auf das Abrutschen. Wichtig ist dagegen die parallel zur schiefeneo Ebene projizierte Horizontalkraft FH Fcsina. Wenn der Neigungswmkel der schiefen Ebene variiert wird. dann überwmder f 11 die Reibungskraft FR. Der Tangens des Winkels a. bei dem der Körper zu rutschen beginnt. ergibt den Reibungskoeffizienen: IJR • tana. Rollreibung Außer dem Haft- und Gleitreibungskoeffizienten w1rd auch ein Reibungskoeffizient für Rollen definiert. ln allen Fällen dienen Schmiermittel dazu. den Reibungskoeffizienten zu erniedrigen. Für Lager von rotierenden Bauteilen ist d1es eine Notwendigkeit.

Reibung gibt es auch lWischen Knochen in Gelenken. Zur Vernngerung der Abnutzung durch Re1bung word •m Ge· Ienkspait die Synov1alflüssigkeit procJu,dert, die dem Knorpel über dem Knochen wichtige Nahrstoffe zuführt und gleichze111g Abbauprodukte abtransportot>rt.

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper 2.2 Impuls. Kraft. Drehimpuls. Drehmoment

• I

f0

-

Abb. 2.15 Haftreibung und ang~wandt~

r

c;l~relbung.

gool!c:r M

~~~

doe

a Wenn die

R~lbungsl
Fo. kann~~ KOrp\'1 bt>v.'M)I wrrd~11. b ~bmmung de> GIMrejbun9$1.oti'lil,cntcn mot d..~ "'""'~" (~;Der 1 ~ngcns ~ Workl'l• a tlf'i dffl1 MI" Korper tu rut>ehen ~iMt. i\1: gk.-kh ck'ITl Glcitrdbufl9$l.otffll~ntcn I'•·

mg

b

Innere Reibung (Viskosität) Llut Newton smd im reibungsfreien Fall Kraft und Beschleumgung ubcrd1c Masse verknüpft: F m d ln der folgenden 01skusssion geht es nur um Bctrii ge von Kraften. mcht um deren Richtung. sodass wn der Einfachheit halber d1e Vektorpfeile weglas sen. Bei Aufl1cten von innerer Reibung ist die Kraft mit der Ceschwmd1gkeit verknüpft und nicht mit der Beschleumgung. Beim freien Fall im luft leeren Raum ist d1e Erdbeschleunigung g F m Lasst man Jedoch eme Kugel m emer Flüssigkelt fallen. dann stellt ~ich nach kurzer Ze•t eme konstante Geschwindigkeit em 'Aus dem gleichen Grund fdllen duch Regentropfen m der Luft mit einer konstanten Geschwindigkeit.) D1e sogenannte Sedimentations· geschwindigkeit v ISt durch die Bez•ehung v F k defin•en Abb. 2.16) Der Proportionalitlitsfaktor k hangt von der Geometrie des sinkenden Körpers und von der VIskosität {inneren Reibung) IJI' der Flüssigken ab: k 'lt· Die Viskosität von Flüss1gkei ten 1st eme WIChtige Materialeigenschaft. d1e das dyna1m~che Verhalten (Fließen) von Flussigke1ten

9

Kralt

V

stark beetnflusst (vgl. S. 67 . Mit Hilfe der Sinkgeschwindigkeit einer Metallkugel in einer Fhissigkeit kann man die Viskosität der nü~s1gke1t bestimmen. Praktikum Kugelviskometer An eine Kugel. wiP sir in Abb.2.16 gezeigt ist. greifen dreo Krafte an: die nach untt>n gt•rlchtl'll' Gto~Vlt.llions­ kr~h rn g. die nach oben gerichtete Auftri<'b,kro~ft PRVg. wobei Pf1! die Dichte der flü~slgktot und V das Kugefvolumen ist. und ~hliclUKh doe n~h oben gerichtete Reibungskraft f 1 • die für KU<J!'fn b<-. Llmono~rer Strömung als Stol<es~e.bung~raft fo Grrqrv bek.lnnt osl '"'9"'-~mt erg bt doe Summe ~~ KrJft~ om Gleichgewicht: pVg- 6rrqrv .. mg. 0Jraus folgt die Bestimmungsgleichung für dit> VhkmotJI: (m -PnV g

II

61Trv

Doe Vo~ositat IJ hat do;> ~lnh(•ot (IJI• Pd\ P~ o;t die Ai>kurlung für Po~scal und 1\l d1e [llliK'tl Iur etnen Druck {I Nfm1 • 1 Pa). Die Visirt wt'tn. dass die Vi,kos.t.Jt VOll Was~l't' bt>; der ICörpertt>m~r tur von 37 C genng ost (0.8 mPa s). von Blut liegt doe Vis~rt5t om rruttlert>n Bere~th (4 mPa s). und von Gly<erin ostdie ViskoS~tlot St-hr hoth (1500 mPd s).

2.2.6 Drehmoment Bei einer Rotationsbewegung 1st das Drehmoment M die tangentiale Kraft r. cl1e zusammen mit einem Hebelarm r' emen Körper zum Rotieren bringt. multipliziert mit diesem Hebelarm. ln Formeln ausgedrückt ist da!> Drehmoment: Af -= f t und sem Betrag 1st:

Abb. 2.16 Sedunent.Jt~windlgk& ~ m V.U:wm Wird t..· chl"''floi91 """' ·'"ld ~ on ~ FIUs"'JJ<et m 1 -

kon't•·''"" S..-dlrncnl.llounsgoc.hwindigke.t smkL

IM- [r'i F1sm(r.F)

35

36

2.2 Impuls. Kraft. Drehimpuls. Drehmoment

-

M•max

M<max

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

-

OP

Abb. 2.17 DrehmorMnt. Bei 90 1Wisch~n Hebefarm und Kraft •~t das Drehmoment maxunal. Bei feder Abwe;chung \'00 90 wird das Drehmoment kleiner.

a in Abb.2.17 ist der Winkel zwischen dem Hebelarm und der Kraft 90 •. damit ist der sin90 • .. I, und das Drehmoment ist maximal. Bei größerem oder k leinerem Winkel zwischen Hebelarm und Kraft wird das Drehmoment kleiner und verschwindet ber 0 • und 180 •. ln diesem Fall kann man die Scheibe nur ziehen (oder schieben). aber mcht mehr drehen. Die Einheit des Drehmoments ist [M]•Jrl [F]• Meter x Newron • m N oder Nm. Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) Wenn man emen beliebig geformten Körper so aufhängt, dass er um eine Achse frei drehbar ist, dann wirkt auf ihn ein Drehmoment durch die angreifende Gewichtskraft mg und den Hebelarm r. solange bis der Körper in der stabilen Lage hängt und das Drehmoment M = 0 ist. Der Massenmittelpunkt oder Schwerpunktliegt dann auf einer Senkrech ten unterhalb des Drehpunkts (Abb.2.18). Dieses Experiment kann man mit verschiedenen Drehpunkten wiederholen. Die Senkrechten werden sich im Massenmittelpunkt schneiden. Legt man die Drehachse in den Massenmittelpunkt, dann gibt es kem Drehmoment mehr. ln jeder Stellung ist der Körper im Gleichgewicht. d.h, seine Lage ist indifferent.

IIMIIQijM Auf K()rper, die im Schwerpunkt gelagert Sind. wirkt kein Drehmoment. Der Massenmittelpunkt bzw. Schwerpunkt hateine fundamentale Bedeutung für die Kinematik. d.h. den Bewegungsablauf von ausgedehn ten Korpern. Die Kinematik kann man aufteilen in eine Translationsbewegung des Massenschwerpunkts, so als ob alle Masse rm Schwerpunkt vereinigt wäre. und eine Drehbewegung um den Schwerpunkt.

Der Schwerpunkt cinl!l' aufrecht ~ lehenden Person ist im Bereich des Beckens. Bei dN Beugung veriagert 5tCh der Schwerpunkt nach vome. Beim WCilsprung folgt der Schwerpunkt einer Wurfpara bei. Be• geschickten I tcxn. springem geht deren Schwerpunkt unter der Latte durch.

b

Abb. 2.18 Massenmittelpunkt. a Em bellcl>lg gciO<mter Körper, der an einem Drehppunkl (DP) aufgehängt ist, hat dann l"illl' st.lb1le Lage eneicht, wenn die Senkrechte durch den O.chpunkt auch durch den Schwerpunkt (SP) geht. b Unabhängig davon. ~n welctw!m Drehpunkt man den Korper auR1angt. die Senkrechten durch d e Drehpunkte sc:hneiden sich alle im Schwerpunkt (gestrichelte Unoen).

Gleichgewicht Das Gleichgewicht eines Körpers folgt ebenfal ls dem Prinztp des angreifenden Drehmoments. Nach Auslenkung um emen Drehpunkt filhrt da~ w~rkende Drehmoment zurück in die ~Labile Ruhelage. sofern der Drehpunkt über dem Schwerpunkt liegt. Dies entspricht der Situation. die in Abb. 2.19b dargestellt ist. Wenn der Drehpunkt und der Schwerpunkt zu sammenfallen. dann gibt es kem Drehmoment und jede Lage ist stabil (Abb. 2.19a). Bei der driuen M öglichkeit liegt der Schwerpunkt über dem Drehpunkt(Abb. 2.19c). Diese Gleichgewichtslage ist labil. denn bei k leinster Auslenkung nach hnks order rechts tritt em Drehmoment auf und der Körper kippt. um zurück in die stabile Lage 7U kommen. Dte drei möglichen Gleichgewichte (Indifferent. stabil und labil) können auch durch einen Ball veranschaul icht werden, der entweder auf einer honzontalen Ebene hegt (indtfferent). m emer Kuhle ruht (stabr l ). oder auf der Spitze emer Kugel l iegt (labil). Desweiteren muss man zwischen einem Kräftegleichgewicht und einem Gleichgewicht von Drehmomenten unterscheiden. Zwei gleich große und entgegen gesetzte Krafte. die am selben Körper angreifen, sind im Gleichgewtcht, d. h. der Körper macht keine Translationsbewegung. Zwei gleich große und entgegen gesetzt gerichtet<.• Drehmomente, die am selben Korper angrerfen. sind ebenfalls 1m Glerchgewicht. d. h. der Körper dreht srch nicht. Kräfteglerchgewrcht und Drehmomentgleichgewicht sind in Abb. 2.20 schematisch veranschaulicht. Beim Drehmomentgleichgewicht kommt es nicht auf die Gleichherr der Kräfte an. sondern auf dre Gleichherr des Produkts aus Kraft mal Hebelarm und dem Wmkel zwischen Kraft und Hebelarm.

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper 2.2 Impuls. Kraft, Drehimpuls, Drehmoment

I /

labil

stabil

ind•fferent

\ DP•SP

0

u

---< SP

l

SP I

I

c

b

a

Abb. 2.19 Gleichgewicht. ln der ober~n 7t>tlt> k~nn1eochnet der gelbe Punkt den Dtehpunkt und der rote Puniwicht ~ab~. (b). Das Gletehgewicht ist labil, wenn der S
--

l

F, ~ ~ F1

b

a

Abb. 2.20 Glelchgewkhte. a Kraftcgleichgcw•cht. b Dreh~ mcntgleo
Sofern ""' physikalisches System 1111 stabilen Gleichgewicht ist, benötigt es keine Energie um in diesem Zustand zu vernarren. Ein biologiS
1$18;1$4 Kraft mal Kraftarm •

la~t

mal la~tarm.

Die Lage des Drehpunkts an einem Hebel kann unterschiedlich sein. j e nach Anordnung von Last,

Kraft und Drehpunkt unterscheiden wir drei Arten von Hebeln (Abb. 2.21). Hebel 1. Art: Last- und Krafta1m befinden sich auf verschiedenen Seiten des Drehpunkts. Hebel 2. Art: Last- und Kraftarm befinden s ich auf der gleichen Se1re des Drehpunkts und der Kraftarm ist länger als der Lastarm. Hebel 3. Art: Hier befinden SICh wie bei Hebeln 2. Art Last- und Kraftarm auf der gleichen Seite des Drehpunkts, jedoch ist hier der Kraftarm kürzer als der Lastarm. Hebel haben den Sinn. große Lasten durch kle ine Krafte heben zu können, denn wenn der Kraftarm länger 1st a ls der Lastarm, dann liefen dies einen mechanischen Vorteil hinsichtlich der anzuwendenden Kraft. Der mechanische Vorteil eines Hebels ist das Verhältnis von Last zur Kraft. Beim Hebel 3. Art ist das Verhältnis kleiner als I. d. h. es gibt keinen Vorteil.

Der Hebel des Unterarms ist ein Hebel 3. Art (Abb.2.21}, denn der Kraftarm, an dem der Bizeps bzw. Trizeps angrl!'ift, ist wesentlich kUizer als der Lastarm beim Halten eines Gewichts in der Hand. Die meisten Hebel im Körper sind Hebel der 3. Art. Sie sind nicht für das Tragen von S
37

38

2.2 Impuls. Kraft.

• I, F,

mg

Drehlmpul~. Drehmoment

t.

•

F\ • Last, 11 • Lastann

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper I~

~r.

Jf·

F1 •mg

.. "

t.

tr. t,

[ml ~ F, • mg

F• • Kraft,/<- Kraftarm

------/1 •

Lastarm./" • Muskelarm

a

c

b

Abb. 2.21 Verschieden
Rechenaufgabe Aufgabe 2.11: Eine Person tragt •n ihrer Hand eine Stahlkugel mit einer Masse von 10 kg. Gehen Sie von einem ideahsil'rten Modell aus und ve
Praktikum Prinzip der Waage Die klassische mechanische Balkenwaage arbeitet nach dem Hebelprinzip (Abb. 2.22). Priizise gefertigt er· n•icht sie eone erstaunloch hohe Genauogkelt. Drei Drehmomente wirken: M1 = /1 • F1 von Masse m 1, M2 T2 · f2 von Masse m2. und das Drehmoment vom Balken MB F,. Ohne Massen m, und rn2li~gt der Schwerpunkt unter dem Drehpunkt. Be1 Auslenkung eneugt ~r Schwerpunkt des Balkens ein zurück· treibendes Drehmoment. Im Gleochgewlcht m~sen alle drei Drehmomente soch zu Null addieren: M1 ~h 1 Ml 0. Mol der Gewichtskroft F mg und unter BcriickstChtogung der Definition von Kreuz· produktl'n folgt

s

11m1g sin 90

DP

a

12 m2 g sin 90 a ) -t srnBg sina o

Nach trigonometrischer Umwandlungen und bei gleKh langen Hebelarmen 11 und 11 vereinfacht skh der Ausdruck (1 1 •/2 •I):

lm 1g cos(a -1 lm 2 g cos(a +srnsg-sina

(Lösung S. 223)

0.

jetzt lösen wir die Gleichung noch nach der Massendifferenz llm - m2 - m 1 auf und erhalten:

llm

sma sina I cosa

sma

- -lana ".. Ka. 1

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper 2.2 Impuls. Kraft. Drehimpuls. Drehmoment setze unumerscheidbar. Beobachter im ruhenden System und im System m1t konstanter Geschwindigkeit kommen zu gleichen Schlussfolgerungen bezüglich der Wirkung von Kräften.

m,

Abb. 2.22

Prinzip der ll
Praktikum

Damit haben wir das el'\vartete Ergebnis, dass nämlich der Winkelausschlag proPQrtional zur Massendifferenz ist, zumindest on der Näherung kleiner Winkel. Ist eine der beiden Massen bekannt dann kann man aus dem Winkel a und bekannter Proportionalitätskonstanten K die andere Masse bestimmen. Oie Empfindlichkeit kann offensichtlich bei Verwendung von einem kurnn Schwerpunktsarm s aber langem Balkenarm I gesteigert werden. 2.2.7 Bezugssysteme Ein Bezugssystem ist die räumliche Umgebung, auf die sich die Beschreibung einer Bewegung bezieht (in der Regel handelt es sich dabei um ein Koordi natensystem). Man unterscheidet verschiedene Bezugssysteme. Je nachdem. ob sich ein System in Ruhe oder in konstanter Bewegung befindet (lnterrialsysteme) oder ob ein System beschleunigt wird (beschleunigte Systeme. rotierende Systeme). Inertialsysteme Bezugssysteme. die sich höchstens um eine konstante Geschwindigkeit unterscheiden. werden Inertialsysteme genannt. Denn ein Beobachter in einem System kann nicht unterscheiden. ob sein System in Ruhe ist und das andere sich bewegt. oder umgekehrt. ln beiden Systemen gelten die gleichen physikalischen Gesetze. Zum Beispiel bleibt ein runder Bleistift in einem Zug mit konstanter Geschwindigkeit genauso ruhig auf dem Tisch liegen wie in emem ruhenden Zug. W1rd 1m gleichmäßig fahrenden Zug ein Ball geworfen. dann beschreibt er die gleiche Parabel wie in einem ruhenden Zug. Das ruhende System und das System mit konstanter Geschwindigkeit sind äqUivalent und bezuglieh der physikalischen Ge-

Beschleunigte Systeme und Scheinkräfte Beschleunigte Systeme sind dagegen keine lnerualsysteme. Wird der Zug beschleunigt- egal ob aus dem ruhenden oder fahrenden Zustand heraus beginnt der Bleistift davonzurollen. Der Beobachter im Zug kann dies nur so interpretieren, als ob auf den Bleistift eine Kraft wirken würde. Ein Beobachter. der daußen auf dem ruhenden Bahnsteig steht, weiß naturlich. dass diese Kraft nur scheinbar auftritt. Sie kommt dadurch zustande. dass der Bleistift träge ist und die Beschleunigung des Zugs nicht mitmachen will. Daher rollt er nach hinten. wenn der Zug nach vorne beschleunigt. Beob.Khter im ruhenden und im beschleunigten System kommen also zu unterschiedlichen Schlussfolgerungen bezüglich der Wirkung von KrUten. Kräfte. die nur in beschleunigten Systemen auftreten. nennt man Scheinkräfte. Sie unterscheiden sich von den realen Kräften nur durch ihre Entstehung. nicht aber in ihrer Wirkung. Je nach Art der Beschleunigung, die ein Betugssystem erfährt. kann man zwei verschiedene Scheinkräfte unterscheiden. Bei einem geradlinig beschleunigten Bezugssystem treten Trägheitskräfte auf. bei emem rotierenden Zentrlfugalkräfte. Trägheitskraft

Wird der Zug geradlinig gleichförmig beschleunigt. sieht der ruhende Beobachter auf dem Bahnsteig. dass der Tisch unter dem Bleistift weggezogen wird. der Bleistift selbst aber in Ruhe bleibt. Der Beobachter 1m beschleunigten Zugjedoch beobachtet. dass der Bleisrift sich mit einer Besch.leumgung a aufihn zu bewegt. Er schließt also. dass auf den Bleistift eine Kraft wirkt. Nach dem ersten Newton'schen Axiom ist diese Kraft immer der Beschleunigung F, ~ m - a gleich gerichtet Diese Scheinkraft wird Trägheitskraft genannt. Zentrifugalkraft

Ein wichtiges beschleunigtes Bezugssystem ist das rotierende System. Sitzt z.B. ein Beobachter im Zentrum einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden Scheibe und hält an einem Seil einen Gegenstand. der sich am Rand der Scheibe befindet. so befindet sich für ihn dieser Gegenstand in Ruhe (er selbst weiß nichts von seiner Rotation ). Aber offenbar exisitiert eme gleichgroße aber entgegen geridnete Kraft. die den Gegenstand von ihm weg und radial nach außen zieht. Ein außerhalb stehender. ruhender Beobachter sieht, dass

39

40

2.2

lmpul~.

Kraft. Drehimpuls. Drehmoment 2 Mechanik des Massenpunkts und der starren KörpN

s1ch der Gegenstand auf cmcr Krc1sbahn bewegt. also muss auf 1hn cmc Beschleumgung m R1chnmg des Drehzentrums w1rken. H1er 1st d1es du.' Zelltrlpetalbeschleunigung S. 27):

a -

~

S.hn

Scheinkräfte treten nur in be~hleunigtt>n Syltt>men OIUI und werden n<Jr von mitbewegtl'f'l BeobJchtcrn wahr· genommen.

,.rr

' r Nach dem 2. Aloom von Newton folgt aus der Beschleumgung eine Kraft, m d1e<öem Fo1ll die Zentripetalkraft:

Fr - mo, D1ese Zentripetalkraft ist no1ch mntn auf das Zentrum gerichttt. Andernfalls wurde der Gegenst.md semer momentanen B.lhngeschwindigke1t folgend radial nach außen fliegen. Beob.Jchter im ruhenden Sy~tem und im rotierenden System urte1len .11lso unterschiedlich: Der Beobachter 1m ruhl.'ndl.'n S}'1tem (Abb.2.23b) behauptet. dass eine Radlaikraft bzw. Zentripetalkraft fr zum Zentrum hm wirkt, wodurch der Gegenstand mit Op • F,fm in Richtung Zentrum beschleunigt wird, sodass er letztlich auf einer Kre1Sbdhn ble1bt. Der Beobachter 1m rotierenden S}'1tem (Abb. 2.1~) behauptet. dass von semcm Standpunkt aus der Gegenstand in Ruhe ist, aber eme vom Zentrum weg genchtete Kraft Fr nach außen auf ihn w1rkt: Fr mc.J•r D1ese Zentrifugalkraft ff 1St eml.' Schemkraft, du? nur fur den Beob.Jchter im rollerenden System auftritt Nichtsdestotrotz ist sie flir den mitbewegten Beob.Jchter sehr real!

ln Ul~nt:rifugl'f'l wirkt auf die Molekult (l'loteine) bci gierehern Radiu\ dit> gleoche Ritt'ntrtnnung m1t Hilfe von Ultrazl'f'ltnlugen ist t'IIW 9~"9'91" Pra•i• •n der medizinischen AnJiytik.

Rechenaufgabe 2.12: Oie Sedoment.ltl..chwondlgkeot v einCf Z!!ntrofuge kann man mot t'int'm veremf.>chten Modell abschauen. DaN ~tzen wir die Re•bunqsk1 ~h F" ; kv gleich der ZcntnlugJi kro~lt Fl- mrw' und wr· nachläss1gen doe Auftrieb'>kraft HiE'r ~E'I rn 1 1'9 dito Masse eines Teolchen; Im Prohengt>f~R. r- 0.2 m set der Abstand des Tellehens vom Zentrum der Zcntrof~ ge, und für die Konstant!! k nehmen wu cu1~n WNt von 240 kg/s an. Wie lange muss man Tentrrfug•t'ren, b•s soch das Teilchen m1t der M


~·~ Ched<-i~p

V'

m

-~ , '·

I

V' V'

I b Abb. 2.13

Rotierende Systeme slnd keine ln~tlalsysteme. Im ""lbt·wegll'll ~y>tem (a) und om ruhrndm

Bffll>arhl~•

Sy>ttm (b) kvmmen lU unte~h·tdhd'k'n Au'o'..I'J<'" vlltor d-c

Worlcung von Kr ~h~n

V'

Nennen Sie die 3 Newton'schen Axiome mit ihren Aussagen. Was Ist der Unterschied zwischtn Maut und Gtwicht7 Was ist der Unterschied zwischtn Drth1mpuh. und Drehmoment? Machen Sie sich nochmals klar, worum es sich bei einer Scheinkraft handelt und weicht Scheinkräfte Sie kennen.

2 Me
2.3 Arbeit, Energie. Leistung

G .....

Lerncoach Arbeit, Energie und Leistung sind lk>griffe, die man auch aus dem Alltag kennt. Allerdings sind sie ln der Physik ganz klar definiert und diese Definitionen entspre
Wir lernen in den nächsten Abschn itten die mechanische Encrg~e und d1e mechamsche Leistung kennen. D1e mechan1sche Energ•e teilt ~•eh weHer auf m Bewegungsenergie oder kmctJsche Energit und Lageenergie oder potenzielle Energie. Auch m der Drehbewegung steckt Energ1e. Sie wird als Rotationsenergie beze1chnet. Es g1bt noch viele andere F.nerg•eformen. d1e 10 den spateren Kap1teln vorgestellt werden, z. 8. die elastische Energ•e be1m Verblegen von !l.llken und be1 der Dehnung des Brustkorbs während des Einatmen, oder die Volumenenergie, die das Herz leistet be1m Pumpen von Blut ln den nächsten beiden Ab~chllltten diSkutieren w1r zunachst d1e Grundkonzepte der Energie, der Energieerhaltung und der Leistung an emfachen mechanischen Beispielen. D1ese Grundkonzepte werden spater vertieft und auf viele weitere Energieformen 01ngewandt.

2.3.2 Mechanische Arbeit Arbeit W ist ein Skalarprodukt aus Kraft f mal Wegdifferenz s:

w Fs Zur Berechnung der Arbeit muss d1e Kraft in Richtung der Wegstrecke projiziert werden.

F

s.cos,

rs

2.3.3 Hubarbeit und potenzielle Energie Be1 der Hubarbeit w1rd eine Last senkrecht gegen d1e Gravu:ationskraft nach oben gehoben. D•e Last (Gewicht) 1st Fe; mg und d1e HöhendifferenT ist 611 l12 -11,. Damit 1st d1e vernchtete Arbeit, um em Gew1cht um d1e llöhe 611 zu heben: w~..

2.3.1 Überblick

w

über eine reibungsfrr1e Oberflache bleibt die Energie konstant, es w1rd keme Energ1e zu oder abgeführt. Genausowemg w1rd be•m Schleppen e111er K1ste überden ebenen Hof Arbeit im physikalischen Sinne geleisteL D•e Einheit der Arbeit ergibt sich aus der Definition Kraft mal Weg zu Newtonmeter: (WJ •(l') (s) =Nm • Joule. l Nm • l J Uoule).

lf s co~a (Abb. 2.24).

Die verrichtete Arbe1t erhöht die potenzielle Energie E,.~ eines Körpers. d.h. dem Körper ist Lage energie zugeführt worden. Die Anderung der potenziellen Energre entspricht der 1hm zugefuhrten Arbeit'

fpc•

W~ub

m g ll.l1

D1ese Lageenergie Wird frei, wenn man den Korper von seiner erre1chten Höhe w•eder fallen lasst, denn dann wird d1e Lageenergie WJeder in kinetische oder Bewegungsenergie umgewandelt. Um die Kraft zu reduz1eren. die man braucht, einen ~hweren Gegenstand hochzuheben, wird häufig eme ~h1efe Ebene verwendet. auf der man den Gegenst.lnd hochrollen kann. O..durch wird die Kr.1ft parallel zur schiefen Ebene 01u f f 11 Fcsina reduziert, jedoch wird gleichzeitig die Wegstrecke s um den Faktor sH slsina vergröRert. Das Produkt aus be1den ble1bt JedOCh konstant. Fu 511 - Fc. •s. Darmt 1st d1e dem Gegenstand zugefuhrre potenzielle Energ•e die gleiche, unabhängig von dem Weg. den m.ln nimmt. Es kommt nur au f d1e Höhendifferenz an R"naufgabe Aufg41be 2.13: Ein Patient hat seine strikte AnWi!rsung llJr Rutw ~ril.>ut und ist bei einem Nachmrttagsspa7il'f'·

Wenn die Vektoren von Kraft und Weg senkrecht aufemander ~Iehen. w1rd keme Arbeu geleistet. lum Beispiel be•m Rol len oder GICiten einer Ku)lel

.

~~---11-- ;~"--

.... ·s.... ················: Abb. 2.24 M«hllnische AIWit ist def>~~o~:rt durch F

mgt..h

1iJ cosa

g;Jng auf emt>n der Kltntk Nhe gelegenen Hugel gelauf,•n. Der Hügt'l ost 100 m hoch. IH-r P~t reot hat eto'>n Huql'ltu kommen? IK'r NtttowWku~grad, also daamtl"'''crgie h.ll der Patient "" dot>'>('m ~achmottag fur d<•n Au~ßug \lerbrducht? Dl!r Rückv.eg w1rd ~i dtr Betrachtung nicht beruck\iChtKJl. (lösung s. 224)

41

42

2.3 Arbc1t. fnergle. le'tstung 2 Mechanik

de~ Ma~senpunkts

Oie Gesamtenergie

Bei Verwendung eines IIebeis zum Heben eines Körpers wird Oreharbett vernchtet. Die Dreharbeit tst in Analogte zur Hubarbell gletch dem Drehmoment mal dem Wmkel. um den der Körper gt'dreht wurde: Wc-r.-

fG....,nl

Ma

mgllh

Die mechJn,sche Gesamtroe
und für die Drchbewegung:

brw. au~ ldnetlsdwr Energie und au~ pol~ EMrgle

llwl (Rotatlonsenergte).

Oie Translationsenetgte und Rotattomenergte haben J hnliche Formeln: dte Masse bet der Translation wird durch das Tr.Jghellsmomenr I bet der Rotation ersetzt. und dte Translationsgeschwtndtgkett v wird durch die Wmkelgeschwindtgkeit w ersetzt.

Otese Gleichung drückt die Energi~erhattung aus: Dte Gesamtenergte tst eme Erhaltungsgröße und andert steh nicht tm Laufe der Zett. Dte emzelnen Anteile könnenjedoch em Laufe der Zeit in etnander umgewandelt werden. Diese Umwandlung von kt netischer in potenzielle Energie kann man beson ders anscha ulich an ei nem Fadenpendel b<.'obach ten (nicht Uhrenpendel, welches durch das Uhrwerk angerrieben ist. um Energieverlmte auslugleichen) (Abb. 2.2s). ln der höchsten Lage hat da~ Fadenpendel zur Zeit c • 0 nur potenzielle Energte. im unteren Punkt nach einer viertel Pertode nur kinetische Energie. dann wtcder potenLtelle Ener· gte, und nach einer vollen Penode 1 • T kehrt das Pendel zu seiner ursprünglichen Lage zuruck. Dte potenzielle und kinensche Ent'rgte werden harmo· nisch inetnander umgewandelt.

Gesamtenergie und Energieerhaltung Ki netische Energie und potenzielle Energie können ineinander umgewandelt werden. sodass die Ge samtenergie emes abgeschlossenen Systems tmmer konstant bletbt. Wenn man einen Körper auf dte Höhe llh gehoben hat. dann ist seene potenlielle Energie Epoo mglllt. Ldsst man den Körper anschießend um die gletche Strecke fallen. dann wird seine potenzteile Energte in kineri«:he Energie umgewandelt. Am Ende der Strecke t:.h I J2gt 2 (S. 42) hat t>rdte Ge«:hwmdtgkeu v g 1 und damu dte kineti~che Energte El.in lj 2m vl.

•

! m v2

Epo.

if,ii93M

Ektn "'~m v2 (Translationsenergie)

r- r/4

t- 0

Er.in

tSt zeitlich konstant. Wir haben hter dtt' Vektorpfeile der Einfachheit halber weggelassen. Aber c1uch bei vektorieller und dretdtmensionaler BetrcJChtung gilt die Energieerhaltung. Sie ist ein Grundprin1ip fur abgeschlossene Systeme. d h. fur dte Systt'me. denen von außen mechamsche F.nergte wt'der zu- noch abgeführt wtrd.

Die kinetisclw! oder Bewegungsenergie ist die Energie. die ein Körper durch seine Translationsgeschwmdtgkett v oder durch seme Wtnkelgeschwindtgkett CJ hat. Ote kinetische Energie der Transla· tionsbewegung tst

E,

und der ~tarren Körper

I •

T/2

I • 3 f/4

/

•

0

<J

...~ c

o.s

0

0

0.1

0.2

O.J

0,4

0.5

0,6

0.7

0.8

0.9

ZN Abb. 2.25 lk'l ~m F.ldenp«~~lwe.-~n kinetische Ene.-gle und potenzielle Energie swndog Jneirwnder umgew•nd«"lt. wobt'l die Gesamt-rgl«' uitllch kon~wnt blt"ibt

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

2.3.4 Leistung Leistung P 1st definiert als Arbeit pro Zeit:

verricht~t. Falls sie d•e

30 m in 5 Monuten steigt. dann hat sit> t>ine rein phY\ikallschc lei~tung P- 18kJ/5 x 60 • 60 W erbracht.

p

Damat ist die Einheit der Leistung (PJ = j{s = W (Watt). 1 J/s • I W. Da bei Hubarbeit W mg llh - Fe llh, folgt für die Leistung P Fe 6h /At- Fe · v. ln vektorieller Schreabwease folgt die leastung aus dem Skalarprodukt aus Kraft mal Geschwindagkeit: P= F· Drehleistung Po,.h ist analog definiert als die Dreharbeit pro Zeit:

Oit> mottlere phY\ioiOgische Ruheleistung des Menschen ist ca. 80 W. Diese Leistung wird benötigt. um alle KorperlunktiOI)en aufrecht zu erhalten, t.B. das Herz mit ca. 2 Watt und die Lunge mit ca. 1 Watt, aber insbesondere, um d1e Körpertemperatur (37 C) konstant zu hai· ten. Oie Ruheleistung d~ Menschen von ca. 80 W kann kurzzeitig bis auf 200 W gesteigert werden, während die mechamsche Dauerleistung bei ca. 80 W lit>gt. Im Durchschnitt braucht der Mensch ca. 8 MJ Energie pro Tag durch Nahrungsaufnahme. sofern er/sie keine ;mstrcn· gende Arbeit verrichtet.

v.

~

D<•h

2.3 Arbeit, Energie. leistung

_ li.Woreh = T l\.a = Tw ll.t l\.c

Dae Drehleistung folgt also aus dem Produkt von Drehmoment mal W inkelgeschwindigkeit. Vektoriell geschrieben ist die Drehleistung das Skalarprodukt aus Drehmoment mal der Winkelgeschwindigkeit: PD<eh - i · w. Die Einheit ist die gleiche w ie bea der mechanischen Hubleasrung.

11$11;134 W=

Arbeit:

Energie. Epoc

Ckon

Rechenbeispiel

Leistung: P

Energie und Leistung

Als Beisp•el betrachten wir die Encrgoc und Leistung beim Treppensteigen vom 1. in den 6. Stock m•t einer Höhend,fferenz von 30 Metern. Nehmen v.•r an, da~~ eine StudcnUn m1t der Masse voll 60 kg die Treppen

f'l scosa: ~onhelt: J (Joule). I J- 1 Nm mgöh; Einheit J I 2mv2: Einheit J W ;r: Einhctt: W (Watt). 1 W = Jfs

2.3.5 Vergleich Translations-/Rotations· bewegung in Tab. 2.2 sind die die wichtigsten Aspekte von Translationsbewegungen und Rotarionsbewegungen, die in diesem Kapttel besprochen wurden. nochmals zusammengefasst.

steigt. Wenn sie obell angekommen ist, hat sie die Ar· beit W· IOx60x 30 m/s2 kg m - 18000 Joule • 18 kJ

hbelle2 .2

•• Weg, WegdiffcrenzfW•nkeid•fferenz Gesd>w~nd,gkelt,

\VInkelgeschY.,ndlqkeit

Bahngeschwlnd.gle• t Beschleunigung

~e(Trägheotsmoment ~

Impuls/ Drehimpuls

KrJil

l

Translation

Rotiltion

st.X

v ox Ar

Aa

21r

"' - -Ar - -T - 2rr[

v...,. - '"' ä

Aii Ar

m

p- mv t mö

mf

Drehmoment

Kinet1sche Energie

I E~. ~ mv2

III"Wil

w

Hubarbeit

W - rngAh

Leistung

I

........

2

rs

P- F· v.P

t.W

At.

v...,.

mrlc:i

fp ~

~ m-"""" - mc.rlr r

f,f

i' v f

43

44

2.3 Arbeit. Energie. Leistung 2 Mtthanik des Massenpunkts und der starren Körper Translationsbewegung: Bewegung e ines Masse punktes auf einer Geraden. Rotatlonsbewegung: Drehung eines srarren Körpers um e ine feste Achse.

_.W.._ Check-up tl

t1

V

Wiederholen Sie die Bedingungen, unter denen die Erhaltungssätze für den Impuls, den Drehimpuls und die Energie gelten. Was ist der Unterschied zwischen Arbeit und Leistung? Vergleichen Sie Translationsenergie und Rotationsenergle. Worin besteht der Unterschied?

•

•

46

Klinischer Fall

3

Plötzlicher Druckverlust

Diese Computertomografie (CT) zeigt einen Pneumothorax in Bauchlage (Blick von unten). Links ist die eigedrungene Luft deutlich an der schwarzen Fläche erkennbar. Die Lunge ist stark kollabiert.

Die Atemmechanik des Menschen gelingt durch ein Zusammenspiel verschiedener Faktoren. Während der Brustkorb danach strebt, sich auszudehnen, neigt die Lunge dazu, ihrer Eigenelastizität nachzugeben und sich zusammenzuziehen. Im flüssigkeitsgefüllten Pleuraspalt, dem Raum zwischen Lunge und Brustfell, entsteht so ein Unterdruck. Er hält Lunge und Thorax zusammen und liegt beim Ausatmen am Ende bei –5 cm H2O. Sein Maximum erreicht er beim Einatmen, wenn die Lunge am meisten gedehnt ist. Schreck auf dem Court Auf dem Tennisplatz ist strahlender Sonnenschein. Dirk ist konzentriert, denn für das Turnier, an dem er heute teilnimmt, trainiert er schon seit Monaten. Das Spiel läuft gut. Gerade will er zum vielleicht entscheidenden Aufschlag ausholen, da zuckt er zusammen und verfehlt den Ball. Durch die Zuschauermenge geht ein Raunen. Als sich der junge Mann außer Puste zur Spielfeldumrandung schleppt, rennt Mutter Karin zu ihrem Sohn. Dirk hat plötzlich stechende Schmerzen in der Brust und auch die Luft ist ihm auf einmal knapp geworden. Karin ist die ganze Sache nicht geheuer. Ohne zu zögern ruft sie die Feuerwehr.

Dirks Pleuraspalt gelangt und dadurch sein rechter Lungenflügel kollabiert – er hat einen Pneumothorax. Schuld daran sind oft Luftbläschen im Lungengewebe, sogenannte „Bullae“, die meist an der Lungenspitze sitzen. Platzt eine solche Blase, entsteht eine Verbindung zwischen Bronchialsystem und Pleuraspalt. Entlang des Druckgefälles strömt nun Luft in den Raum zwischen Lunge und Brustfell, die Lunge fällt aufgrund ihrer Elastizität in sich zusammen und kann nicht mehr an den Atembewegungen teilnehmen. So auch bei Dirk. Als Dr. Klein den jungen Patienten über seine Erkrankung aufklärt, ist der beunruhigt und möchte wissen, wie man ihm helfen kann. Atmung unter Druck Damit sich Dirks Lunge wieder richtig entfaltet, legen die Ärzte ihm eine Pleurasaugdrainage. Dabei wird in Lokalanästhesie ein Kunststoffschlauch in die Pleurahöhle vorgeschoben. An diesen schließen die Mediziner nun einen Dauersog von –20 cm H2O an. Durch den Sog wird der Unterdruck im Pleuraspalt wiederhergestellt und die Lunge kann sich ausdehnen. Das kleine Leck im Lungengewebe, das den Kollaps verursacht hat, kann sich nun von selbst verschließen, indem beide Pleurablätter verkleben und später miteinander verwachsen. Dirk ist erleichtert, als er den Eingriff überstanden hat. An das monotone Sauggeräusch der Drainage muss er sich aber noch gewöhnen. Als der Arzt abends nach ihm schaut, macht der Junge schon einen ganz zufriedenen Eindruck. Zwar schmerzt ihn der Schlauch etwas, doch die Luftnot ist vorüber. Der Mediziner erklärt ihm, dass sich ein solcher Kollaps der Lunge leider wiederholen kann. In diesem Fall muss man eventuelle weitere Bläschen im Lungengewebe operativ entfernen und die Pleurablätter künstlich verkleben, etwa mit pleurareizenden Mitteln. Doch vorerst sieht alles gut aus. Vier Tage später kann die Drainage gezogen werden. In der Röntgenkontrollaufnahme ist Dirks rechter Lungenflügel wieder voll entfaltet. Als Mutter Karin ihren Sohn aus der Klinik abholt, steht der in Gedanken schon wieder auf dem Tennisplatz. Zwar wird es noch ein paar Wochen dauern, bis der Junge wieder in Form ist. Doch bei seinem nächsten Turnier wird ihm dann hoffentlich nur noch die Freude am Sport den Atem nehmen.

Kleines Leck mit großen Folgen Bei der Auskultation bemerkt Klinikarzt Dr. Klein ein abgeschwächtes Atemgeräusch über Dirks rechtem Lungenflügel. Beim Abklopfen der Lunge fällt dem Mediziner ein ungewöhnlicher Klopfschall auf. Um seinen Verdacht zu erhärten, lässt er eine Röntgenaufnahme des Thorax machen. Als der Arzt das Bild sieht, ist ihm die Diagnose klar. Auf der rechten Thoraxhälfte sieht man einen zentralen Schatten. In der Peripherie der Lunge fehlt die typische Gefäßzeichnung. Luft ist in aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper 3.1 Wichtige Grundlagen

3

Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper

Im zwe1ten K.Jp1tel haben wir die Mechan1k der starren und nicht deformterbaren Körper betrachtet. OteS ISt eme WIChtige Abstraktion. um d1e Translations und Rotationsfreiheitsgrade emes Körpers be · schreiben zu können sowie die Erhaltungsgrößen. die den Bewegungsablauf charakterisieren. Tatsächlich sind jedoch d1e meisten physikalischen Körper deformierbar. sie andem ihre Gestalt. d.h. Volumen und Form. oder sie haben keine definierte Gestalt. wie z. ß. nussigke1ten und Gase. Ln diesem Kapiteller nen w1r d1e Phys1k der deformierbaren Körper kennen und kommen dam1t zu v1elen neuen Einsichten· WJe Korperdefolllllerbar srnd. wann dte Bruchgrenze erreiCht Wird, welcher Zusammenhang ZWISChen Druck und der Volumenflussrate einer Aüssigkeit be· steht und rn welcher Beziehung Druck und Volumen von Gasen stehen. Aber zunächst ernmal müssen w1r eme Re1he von neuen Defimtionen ernfuhren. um ausgedehnte Körper besser beschreiben zu können.

3.1 Wichtige Grundlagen ~

~

lernc~ch

Oie im folgenden Kapitel definierten Begriffe werden Ihnen in der Physik, aber auch in der Chemie und Ue nach Fac:hrichtung) auch Im ldint)chen Alltag Immer wieder begegnen. Es ist deshalb sehr empfehlenswert, sich diese Begriffe und deren Definitionen sorgfo~ltlg zu erarbeiten und zu verinnerlichen.

. . atd 's

•nrs

3.1.1 Mengengrößen, bezogene Größen Mengengrößen werden in Volumen Emhe1t: m '). Masse (Einheit: kg) und Tellehenzahl (reme l.lhl ohne Einheit) angegeben. Es g1bt volumenbezogene Größen • Dichte. ToJb.l.l ), massebezogene Großen (• spezifische Größen. z.B. spezifische Wärmekapazität) und stoffmengebezogene Größen (• molare Größen, z.B. molare Wärmekapaz1tat). 3.1.2 Begriffsdefinitionen Der Begriff .Stoff" 1st nicht gut definiert. Er kann eine makroskopische oder eme mikroskopische Bedeutung haben. Immer 1st aber damit eine abzählbare Menge von Teilchen gemeint. w1e z.B. Kaffeebohnen. Proteme. oder Atome. ln der Phys1k 1st es ubhcher von Teilchen zu sprechen. Wir bleiben aber hier bei dem Begnff .Stoß". der auch in der Chem1e gebräuchlidt ist. 01e Stoffmenge ist definiert als Tellehenzahl (Atome oder Moleküle) pro Volumen. 01e molare Masse oder d1e Molmas~e emes Stoffes sind genauso v1el Gramm. wie dessen Atomgewicht entspricht (z.B. enthclh eine Molmasse von H20 18 g Wasser). D1e Anzahl von Molekülen pro Mol ist eme Konstante (Avogadro-Konstante oder Loschmidtl.lhl). Das Mol 1st eme reme l.lhl ln emem Mol sind immer exakt 6,023" Ion Atome oder Moleküle enthalten. F~lls der Stoff ein (ideales) Gas 1st. dann 1st das Molllolurnen des Gases Vmoe unter Standardtemperatur und -druck (STP-Bedmgungen (273.15 K, 101 kPaJ) eme Konstante: v"..... ~ 22.4 l.Her/mol.

rnGIK Formel

~

47

EinMit

wl
\la~~itht~

p.." •

m \' (M.,!.t''l/oiU~)

!A.I•l/m'•m' (p",l• k9/m 1

LM!ung<dochlt

p~ •

q!V (LM!ung\1'11('1>~1'Volumen)

1PJ •C/m1

Tt eh. '' oh.dithtc ~~---

(Coulomb. l<11leil für flrl
p • n/V (StollmM<J~IVo' 'men)

(p,J • mo1Jm1 odrr mol/1

wichtigsten nuutbuogenen Gr~n (spezlf.sche Größen)

Spezlfilo<.hes Volumen

Vm • Vtrn {Volumen/M•ssc)

IVn(• m 1/kg

Moi.JI•loll

c,. • n/m (~toflnl
(c.l• mol/kg

Spt1ofischt W~lm"Upuo~t

C, • C/m (Wirmf'l<•~,.,t.\I,M.lsse)

(C.,)·J k 1 kg 1

Olt wlchtlgsttn stoffmtngebnogene Gr68tn (molllre Gr68tn)

(V,)• m1/mol

~b.olvmt'l Mob~ M.lSI.t' t.lol.l~ V.';i<me4.lpollt3t

m,.•mn

(m,J • g mol (C,I•J k 1 mot'

•

48

3.1 Wichttge Grundlagen 3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper Natrium (Na') ln der Medizin wird auch die STPD-8edingung ver· wendl't: 273.15 K, 101kPa, lufrll'Uchtigkeit (Dry) • O't, bzw. PthO • 0 Pd. Chlor (Cl) Bei Stoffgemischen müssen die Stoffmengenanteile bzw. Massenanteile aller Komponenten berucksichtigt werden. Der Begriff Konzentration bezieht sich immer auf die Anzahl emer Komponente bezogen auf die Gesamtzahl. Falls in einer Dose N1 grüne Bohnen und N2 gelbe Bohnen sind. dann ist d1e Gesamtzahl N = N1 + N1. Die Konzen tration c1 von grunen Bohnen ist: c1 • N.fN und von gelben Bohnen: c2 • N2 {N. Die Gesamtkonzentration aller Teilmengen muss 1 ergeben: c, + c2 • 1. Der Molenbruch (Stoffmengenanteil) bezieht sich auf die Molantetle in emem Gas- oder Flüssigkeitsgemisch. Ein Mol Luft besteht z.B. aus 20% Sauerstoff und 80% Stickstoff. Dann ist der Molanteil oder die Molfraktion von Sauerstoff 0,2 und von Stickstoff 0,8. Molarität ist d•e Anzahl von Molen pro Liter Lösungsmittel (Einheit: mol/1). M assenanteil ist der Anteil der Masse einesgelösten Stoffs bezogen au f d ie Gesamtmasse der Lösung (wird i n %angegeben). Stoffmengendichte ist die Stoffmenge eines gelösten Stoffes bezogen au f das Volumen der Lösung ( Einhe1 t: mol{l). Partielle Massendichte ist die Masse eines gelösten Stoffes bezogen auf d,lS Volumen der Lösung (Einheit: kgjl) Spezifische Größen sind Größen. dte auf die Masse bezogen sind. Das spezifhche Volumen ist das Volumen pro Masseneinhetl: V111 • Vfm (Einheit: m 3/kg). Demnach ist das spezifische Volumen die reziproke Größe zur Massendichte Prn = mf V (Einhett: kgjmJ).

Abb. 3.1 Kristallstruktur. Viele restkörpc< bilden penodisch 9eordncte Kristaltrtrukturen, wit' 1.8. NaCI oder Mdere looel'krist.l lle.

auch fest an ihren Plätzen. sie bilden jedoch kein geordnetes Gitter sondern sind strukturell ungeord net. Ein fester Körper hat eine bestimmtes Volumen, eme bestimmte Anzahl von Atomen pro Volumeneinheit. und eine besummte Masse. Aus diesen Angaben kann d ie Anzah ldichte und die Massendichte berechnet werden. Feste Körper haben auch eine bestimmt Gestalt. die erhalten bleibt, sofern der Körper nicht durch Einwirkung von äußeren Kraften verfonnt wird.

Im menschlichen Körper ist die Kristallisation meist un· erwunscht und w~rd übltcherwerse durc:h lnhrboiOCI.LL

3.1.3 Aggregatzustände Stoffe können in verschiedenen physikalischen Zu· ständen (Aggregatzuständen) vorkommen. Die versehterlenen Aggregatzustände unterscheiden sich abhängig von Druck und Temperatur in der Struktur ihrer Materie. Fester Zustand Im festen Zustand istdie Anordnung der Atome entweder wohl geordnet und kristallin. oder ungeordnet bzw. amorph. Die Atome tn Knstallen, wre z.B. NaCI sind exakt geordnet. penodisch und bilden ein dreidtmensJOnales Raumgitter. An den Knotenpunkten des gedachten Giuers sitzen abwechselnd entweder die Anionen Cl oder die Karionen Na' (Abb.J.l) Im amorphen Zustand sitzen die Atome

Flüssiger Zustand Im nüssigen Zustand ~ind dte Atome ungeordnet und beweglich. Flüssigkeiten nießen. indem Atome an Rohrwiinden entlang glei ten. oder über darunter hegende Flüssigkel tssch ichten hmweg g leiten. Fluss1gkeiten haben daher keme bestimmte Gestalt. Somit las!>en sich Flüssigkeiten nicht w1e Festkörper verformen, s1e lassen sich nur kompn mteren. ln Flüssigkeiten ist d ie Bindung der Atome unteremander wesentlich geringer als in Festkörpern. Gasförmiger Zustand ln Gasen ist die Bindungen zwischen den Atomen oder Molekufen fast ganz aufgehoben. Die Dichte

3 Mechanik ausgedehnter und d~formlerbar~r Körper 3.2 Aufbau der Atome und Atomkerne ist üblicher...,ei~e ~gering. dass Gasarome sich nur sehen berühren. Diese gelegentlichen Beruhrungen sind dennoch ~ehr wichtig. da sie dabe1lmpuls austauschen. Zu ~chnelle Gasmoleküle werden abgebremst und lu ldngsame bekommen durch Impulsausrausch ZllS.ltllilh kinetische Energie. b1s alle Gasmolekult erwa d1e gle~ehe kinetische Energu~ haben. D1cse k10rnsche fnerg1e besnmmt d1e Temperatu l e10es G
3.2 Aufbau der Atome und Atomkerne •.....

Lerncoach ln di~sem Kapotel werden nur einige elementare Eigenschaften der Atome diskutiert, die für da, weitere Verstandnis in diesem Kurz· Iehrbuch wichtig sind. Auch bei der Kernphysik be~chranken wir uns auf einige elementare Grundtatsachen. Atome und Molekule werden ausfuhrlicher in den lehblichem der Chemie beschrieben.

3.2.1 Überblick D•e Atomptw~•k und Kernphysik sind Teile der mode•nen Phys1k, deren Grundlagen in der cmcn IWfie des vongen Jahrhunderts geschaffen wur den. D1e Atomphys•k 1st von fundamentaler Bedeutung fur das Verstandnis des Aufb.lus von Atomen aus Atomkern und Elektronen und furd1e Wech~l­ wtrkung ZWI!>Chen Atomen. die zur B1ldung von Molekulen und Festkörpern führt. Sie ist heute fester Bestandtell der Chem1e. Der Grundzustand von Atomen. d. h. der energen~ch günstigste Zustand samtlicher Elektronen 10 e10em Atom. d1e Anre gungen von Elektronen 10 Atomen zu höheren Energie7uständen. Reaktionen mit anderen Atomen bis hin zur Bildung von Makromolekülen und ausgedehnten Festkörpern kann mu den theo ren~chen Konzepten der Atomphysik verstanden werden. Atomkerne nehmen w1r libhcherwe1se als .gegeben" hin. Sie machen sich erst dann .unangenehm" bemerkbar wenn sie unstabil sind und unter Aussendung von radioaktiver Strahlung in andere Eie-

mente zerfallen. Während Atome Bestandteile des Lebens smd. drenen Kerne nicht nur zur Energiegewinnung 10 Kernkraftwerken sondern .Juch zur TI1erapie und Diagno~uk m der Medizin.

3.2.2 Aufbau des Atoms Alle Matene 1st aus Atomen aufgebaut d1e m den mersten Fällen chem1sche Verbindungen m1t anderen Atomen eingehen. Atome setzen s1ch aus Elektronenschalen und emem Kern zusammen. Im einfachsten Atom. dem Wasscrstoffatom, umgibt em negativ geladenes Elektron ein positiv geladenes Proton (Abb.3.2). ln rmer halbklass1schen Vo~tellung des Bohr'schen Atommodells umkreist das le1chte Elektron das sch\~ere Proton 1m Kern. Es ist ca. 2000 mal le1chter als das Proton und hat exakt die gleiche elektn~he Ladung WJe das Proton, Jedoch m1t entgegen gescrztem Vor1e1chen. Seme emfach negative Ladung w1rd Elementarladung genannt. Das Proton 1~1 emfach positiv geladen. 01e schwereren Atome besitzen in 1hrer Schale weitere Elektronen. Gleichzeitig nunmt auch d1e Zahl der Pr·otonen zu, sodass Atome immer elektrisch neutral sind. Die Zahl der r:lektronen bzw. t>rotonen eines Atoms wird als Ordnungszahl Z bezerchnet. Sie bestimmt d1e chem1schen Eigenschaften des Atoms. D1e Atomkerne smd 1m Zentrum emes Atoms konzentnert und haben e1nen gut definierten RadJus von ca emem Femtometer (c!bgekurzt fm (f • 10 15)l. Im Vergleich dalu ist der Radius eines Atoms weniger gut definiert, hegt jedoch im Bere•ch von 0.1 b1s 0.2 NanomNern (abgekurzt nm (n • J0-9 1. Abb.3.2 ). Zwischen l<ern und äußerer Atomhülle liegen also 105 GJößeno1dnungen.

Abb. 3.2 ~iKM und ~nfiKht~ Danteilung des Wassentolfatoms. Im Zentturn Md. • ·Ltr xh I" ''"' ~ dmc Pn.i'>n ""~" 11011 .,._, 1W9-1lov ,....Kl....._." E lrtrcn D.H vif~ ~htt'ft Deimon ~ M Proton 1n ~~~ />b~und.

49

50

3.2 Aufbau der Atome und Atomkerne 3 Me
Ionen Wird em Elektron von einem Atom abgelöst dann ist das Atom elektrisch nicht mehr neutral. Es hat ein Elektron wenrger als der Protonenzahl entspricht und ist damit einfach positiv geladen. Geladene Atome werden Ionen genannt. positiv geladene Ionen sind Kationen. Bekannte Beispiele sind Na' und K'. die eine w1cht1ge Rolle beim Aktionspotenzial der Zelle sp1elen. Negativ geladenen Ionen werden Anionen genannt. Sie haben ein oder mehrere Elektronen mehr als der Zahl der Protonen entspricht. Bekannte Beispiele sind c1·. o2·• Falls ein Anion und ein Kanon eme Molekulbindung eingehen. dann spricht man von Ionenbindung. Beisp1el Na" + Cl" - NaCI.

3.2.3 Die Elektronenhülle Nach dem Bohr-Atommodell umkreiSen d ie Elektronen den Atomkern auf diskreten Bahnen innerhalb bestimmter Schalen. Aus dem Gleichgewicht von Coulombkraft Fe zwischen positiv geladenem Kern und negativ geladenem Elektron (CoulombAnziehung. S. 98) und der entgegengesetzt gerichteten Zentrifuga lkraft Fr = mc.h (S. 39) folgt der Bahnradius und d ie Geschwindigkeit für ein Elektron auf der Bahn mit der Quantenzahl n. Die ionerste Schale. d.h. die Schale. die dem Kern am nächsten ist. wird als K-Schale bezeichnet und hat d ie Quantenzahl mitdem Index n = 1. Dort finden maximal2 Elektronen Platz. Das dritte Elektron (Z = 3 für Li) Sttzt in der nllchst größeren L-Schale mit dem Index n- 2. ln die l-Schale passen maximal 8 Elektronen. d.h. mit Z • 10 (Ne) ist die K und die L-Schale voll. Danach wird die M-Schale mit n • 3 aufgefüllt, in die maximal 18 Elektronen passen. etc. Atome. die voll gefullte Sch.Jien haben. haben eine Edelgaskonfiguration. Diese Atome. wie He. Ne. Ar, etc. gehen keine chemischen Reaktionen ein. denn jedes zusätzliche Elektron muss in eine nächst höhere Schale. ist damit weniger stark gebunden und chemisch reaktiver. Atome mit nicht ganz gefüllten Schalen sind auch chemisch re.Jktiv und versuchen durch Aufnahme von zusätzlichen Elektronen die Edelgaskonfigur.Jtion zu erreichen. Pauli-Priruip Die Energien der Elektronenschalen und ihre maximale Besetzungszahl mit Elektronen wird in der Quantenmechan ik nach dem Pauli-PrinZip erklärt. Danach hat jedes Elektron drei Quantenzahlen. Eine Hauptquantenzahl n. eme Bahndrehimpulsquantenzahl I, und eine Spinquantenzahl s. jedes Elektron hat einen Eigendrehimpuls (Spin). d.h. es rotiert um die eigene Achse im Uhrzeigersinn (s • + 1/ 2) oder gegen den Uhrzeigersinn (s; -1/2). Das Pauli Prinzip bes.1gt. dass keine zwei Elektro-

E. n• S

--11-- E, --11-- E,

n·

4

I

n• 3

--11-- E,

n•2

--'- (

n•l

Abb. 3.3 Diskrete Energieniveaus der Elektronen in einem Atom. links sind die Energiewerte lciterirlig nach oben angeordnet. rechts <~nd d1e gleoch~n Energ en zu den Scha~n m•t dem lndc• n in Stufen mit zunehmendem Rad us der Elektronesc:hale ge7eo<Jt.

nen innerhalb eines Atoms den gleichen Satz von Quantenzahlen (n.l.s) haben dürfen. Daraus ergeben sich die maximalen Besetzungszahlen der Schalen: K-Schale. n • 1. maximal 2 Elektronen L-Schaie. n • 2. m.1ximal 8 Elektronen M-Schale. n ; 3. maximal 18 Elektronen. usw. Elekuonen mit gleichem n. aber verschiedenen Quantenzahlen I und s haben näherungsweise die gleiche Energie En. Die Elektronen haben also dis krete Bindungsenergien. entweder f1 oder E2• etc. Je nach Schalenzugehörigkeit (Abb. 3.3). Anreg ung von Atomen Wir unterscheiden Atome. d1e im Grundzustand sind. und solche im angeregten Zustand. Normalerweise verharren Atome in ihrem Grundzustand. bis man sie durch äußere Einflüsse an1egt. Der Grundzustand ist durch d ie niedrigste mögliche Energ1e aller Elektronen und durch die kleinste mögliche Umlaufbahn der Elektronen gekennzeichnet. Im Grundzustand smd Atome stabi l. zeitlich unveränderlich. und .dunkel". Anregung bedeutet. dass Elektronen von einer inneren Schale n auf eme Schale mit höherer Energie n + I mit größerem Bahnradius gebracht werden. Diese Anregung kann durch Stoß mit anderen Atomen. durch Stöße mir geladenen Te1lchen (Elektronen oder Protonen). oder durch Einstrahlung von elektromagnetischen Wellen erfolgen. Im angeregten Zusrand sind Atome zeitlich nicht stabil. sondern kehren möglichst schnell in den Grundzustand zurück. je nach Anregung kann die

'.

,., ,.,

L

'.,

"

"

l

,• ,

UJ.1.. "

,. l

AWo,U AI_Im

. . .,..........

_1061 .......

-1l.6eV

_.'*II'en 1I..,

...

ocI. tkol_. dIe ... 1

u...~ .~i

~ 111\(<<

ifllIren lI.O'II
~

"'Im

......1.5 r onf.".,. "".....

, . -. _

""-.0.. Dolu- ~ .. 11ft AlQIf>Ioem.

doo _

odw . ......'

_Hilllf-'"

~

Prou:.... und ",,"UtwifOi ...1gfb.wI1It. Ooc

1"" eil-< P•....,,~o il.t1lNntt ~ doo bHdft !Jft1J-. ()oo, MwnP _ I'IOIont
RuckkC'hr K"hr schnell SCIn. kurzer dis eme FemtQsekunde, oder ~llrnl'r 5C'hr I.lngs.;lm in d~ CrOßen ordnulli von Ml1h~undm bis MinUll'n. Die EI'Iffglr,hlfrrrnz t.f ZWlsctKon rll~m Eltktron im .Iß-

1:._,

Zuswxl und Im GnlOdzusl,lI1d r.,: 4E • [,.., - E. wud .&15 rlektronwgr~usc:he Welle .bgesebcn ( ...... lA~ Maß Spnchl datKor von elMm 5~unp:i~ Em .0000r~lt'S Atom Dill zurUck in Mn GrundZUSI.&nd, Indem t'S kurz ,..Jur· It'uchl~. F.lIs die Erte'1,('chlferenz 6E elntr Wd· rrnl~ngt ~llSpnchl. die in d.ls Ilt'Zl"ptOrb.Jnd UI\SI!'g~rn

r~

Relmd von 450 nrn bIS

('.I.

650 nrn Doll!, d.mn

können wir d.u Aufleuchten mIt bloßem Al.lJr w
ehend emplindlicht'n Detdc:tor. 1.2.4 Der Atomkern Alle Ktme .ukrdem W.lsstf'Slom:tm Slnd.lUS Pro. t _ und ~tlOiltol .lufsriuut (...... u). die zuSdIl1lll('f\ die' t.~ des Atoms ~ummt'n. DIe M.lSst dC'r Neutrontn lfItj ISI gtnlllfiin; grMotr .1s dlt MolS5t dtr Protont1l m.. Ntutrontn SInd Im GtgenSoltl zu Protontn tltktnlCh nnJlr.l!. Schwt'ft' ~ twbtn mthr NtUlrontno1ls Protootn. dlt bhl dtr Proco~ ist hingratn lmrntr identisch mJt ~'ldhl der Ek-kt-

.......

Isotope smd KI'mI! mJt &lcKhtr Protonmuhl, a~r un lerschitdhchtr N~tronenz.lhl Sif' smd c~ misch idmlisch• .l~r unleoduedhch schwer. Von l(ohlfflSlotrktnnl man dlt' ISOCope mit ~n M.lSstfl Z.lhlen 11 , 12. 1) und 14. Kurzbrzeic1tnunl dn-lsotope ISI I 12(. 11(, '4(. .C"' ktnnznchntr d.lS cl"ltmischt ~~nl mit derduu Ith6rtooen Protonen (EJri:t ronen)-z.hl von 6. die hochgestellte Z.lhl gibt dlt' MAs-..hl.n (manchmal wml.ucll dlt' 1'r00ootnzolhl 6 mit m die SChreibweise .wfgenommen: ~Jq Oie Kollienstoffisotopt h.lben .llle die ,leiche PrO(ootnzahl von 6. oI~rdlt' Neuuonenzahl mrum t von 5 .uf8 zu. Nur dir Isotope mll den Massenuh!en 12 und 135100 zelflkh Sl.lbtl. Das ISQl:op 14( h.l1 ~Ine ~bo.wm.Hit von S7JOj;lh ren, d.lI. rwch 5730 jahren 151 d~ tulfte dt'r ursprilnlhch \/Orlloln· denen '''C-Kerne zed.lllt'f\. Bei }tdem Wollt wfrd em \"C.Kern m f1nen '4N_lCern umgtw.ncklL Du Isotop 1-4( Wird hlufig zur 1),IIleruni \/On btologi· schtn Matenahen her o1ngezoaen. Dies Wird m 1C.lpilel 8 noch emgeheOOer diskullert (5. 193~

'c.

rOIltn, um dektrischt Htulraht:il zu brwahrt'fl.Zum ~jspiet h.l1 Kohlenstoff 6 Eld:tronm und 6 PrtMo1'IC'n. o.uu kommen Im Kl'm noch 6 Neuuonm. socUss dlt M.sstllZ.lhl \oVn Kohlenstoff' 12 ISL d. h.. Kohlenstotrmit tlntrSummeYOfll2 Protonen und Natlrontn ist 12 IIVI sdlwertro1ls du W.ssnstotr.lom. Sftir schwefle Kl'1"I1e jenseits YOfI Blot1 und WiW\ul \100 zt'ithch nicht st.lbll und zt'l"r.l1en m Ittchll'ff Knnt.. InstMltIc' knnt wrrdm ~ IlEIWMt...

~tM! ~

und

_idoo I in dtr Mi.."11~ lIK

".>oetrt.

rhef~

M" o...;,no-.lik GMomtumore Mode.. mot r.idlDlklNtft ~ btI\.andtIt. dot t"lnt lllRt

und

ho
~SI:~

_~.

"Tc (Tedw>twm) ~ "ogt~. um 1CfIo(!>tn und _utldMMlMtgf'1 ~eT~ _htb« Al rn.Ktwn. , 't>W"d t.x dir ~ ...... tit ~

52

3

3.3 Verformung fester Körper

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Atomare Masseneinheit Die Massen der Kerne werden im SI-System in atomaren Masseneinheiten u ausgedrückt. Die Definition ist: 1u = 1/12 der Masse des Kohlenstoffisotops 12C, also 1 u = 1,66×10–27 kg. In diesen Einheiten hat das Neutron die Masse mN = 1,0086 u, und das Proton hat die Masse mP = 1,0072 u. Massendefizit und Bindungsenergie Wir betrachten den Sauerstoffkern 16 8 O. Experimentell bestimmt man eine Masse dieses Kerns zu m(16O)=15,99 u. Wenn wir die Massen der Komponenten zusammenzählen kommen wir auf den Wert: 8mP + 8mN = 16,13 u. Daraus folgt, dass der Gesamtkern weniger Masse hat als die Summe seiner Bestandteile. Der Kern hat bei der Bindung offensichtlich Δm = 0,14 u verloren. Dies ist als Massendefizit bekannt. Die fehlende Masse steckt in der Bindungsenergie des Kerns. Nach der fundamentalen Einstein-Beziehung E = mc2 kann man dem Massendefizit die Energie 2,12 × 10–11 J = 128 MeV (Mega-Elektronenvolt) zuordnen. Dies ergibt 128 MeV/16 = 8 MeV pro Nukleon als Bindungsenergie. Dies ist ein typischer Wert für die Bindungsenergie von Nukleonen. Er ist um einen Faktor 106 größer als die Bindungsenergie der äußeren Elektronen in Atomen. Bei kleineren Kernen ist die Bindungsenergie pro Nukleon geringer, ebenso bei sehr schweren Kernen. Daher kann man nukleare Energie gewinnen, indem man entweder leichte Kerne fusioniert, oder schwere Kerne spaltet. Die erste Art der Energiegewinnung läuft in der Sonne ab, ist jedoch kontrolliert im Labor noch nicht gelungen. Die kontrollierte Kernspaltung zur Energiegewinnung wird in Kernkraftwerken genutzt. Während zwischen negativ geladenen Elektronen und positiv geladenen Protonen eine anziehende elektrische bzw. Coulombwechselwirkung herrscht, die einige Elektronenvolt bis einige Kiloelektronenvolt stark ist, sind die Bindungsenergien im Kern wesentlich größer und verschiedener Natur. Diese sogenannte Kernwechselwirkung oder starke Wechselwirkung muss viel stärker als die Coulombwechselwirkung sein, denn sie hält die sich elektrisch abstoßenden Protonen auf engstem Raum zusammen. Die starke Wechselwirkung hat drei wichtige Eigenschaften: Sie ist sehr stark (starke Wechselwirkung, ca. 103 mal stärker als die Coulombwechselwirkung zwischen geladenen Teilchen); Sie ist sehr kurzreichweitig und wirkt nur innerhalb eines Kerns; Sie ist unabhängig vom Ladungszustand der Nukleonen, aber im Detail ist sie hoch komplex, wesentlich komplexer als die Coulombwechselwirkung.

✔ ✔

✔

Check-up Rekapitulieren Sie, unter welchen Bedingungen Atome „leuchten“. Was ist der Unterschied zwischen Massenzahl und Ordnungszahl eines Atoms? Welche der beiden Zahlen gibt an, um welches Element es sich handelt? Was sind Isotope?

3.3 Verformung fester Körper Lerncoach Verformungen kommen im menschlichen Körper an vielen Stellen vor. Haut kann elastisch gedehnt werden, der Brustkorb verformt sich beim Atmen, Muskeln und Sehnen dehnen und kontrahieren sich etc. Auch bei Unfällen wie z.B. bei einem Sturz kommt es zu Verformungen, die im ungünstigen Fall nicht mehr elastisch sind, sondern zum (Knochen)Bruch führen können. Im folgenden Kapitel lernen Sie die verschiedenen Arten der Verformungen kennen. Es gibt sechs Arten, einen festen Körper zu verformen: Zug, Druck, hydrostatischer Druck, Scherung, Biegung, und Drillung.

3.3.1 Zug und Druck

Hooke’sches Gesetz Zug von Festkörpern bewirkt Dehnung, d.h. positive Längenänderung Δl oder Expansion. Zug σ ist Kraft F pro Fläche A, an der die Kraft angreift (Abb. 3.6): σ¼

F : A

Da bei Zug immer ein Kräftepaar auftritt, resultiert Zug nicht in einer Translationsbewegung, sondern bei einem elastisch verformbaren Körper in Dehnung. Druck ist die Umkehrung von Zug. Druck auf einen Festkörpern bewirkt Stauchung, d.h. negative Längenänderung –Δl oder Kontraktion. Druck σ ist ebenfalls Kraft F pro Fläche A, an der die Kraft angreift: σ¼

F : A

In beiden Fällen, Zug und Druck, wird angenommen, dass die Kraft F normal, d.h. senkrecht auf der Fläche A angreift. Mathematisch-physikalisch ausgedrückt bedeutet dies, dass der Normalenvektor der Fläche A parallel zur angreifenden Kraft F steht (Zug) bzw. antiparallel (Druck). In den folgen-

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Δl/2

σ

Δl/2

Abb. 3.6 Zug. σ ist Kraft pro Fläche und bewirkt eine Längenänderung Δl eines elastisch deformierbaren Körpers.

den Abschnitten werden wir den Vektorcharakter (genauer gesagt Tensorcharakter) von Druck und Zug nicht weiter betonen. Die Einheit von Zug und Druck sind identisch und ergeben sich aus der Definition: [σ]= N/m2 = Pascal (Pa). Dabei ist 1 N/m2 = 1 Pa. Rechenaufgaben Aufgabe 3.1: Wie groß ist der Druck, den eine stehende Person mit einer Masse von 60 kg auf den Fußboden unter ihr ausübt? Wie groß ist der Druck bei gleicher Masse im Liegen? Nehmen Sie dabei an, dass die Standfläche 0,3 × 0,1 m2 beträgt und die Fläche im Liegen 1,8 m × 0,5 m. Aufgabe 3.2: Ein Muskel habe die maximale Querschnittsfläche von 10 cm2. Wie groß ist die Spannung im Muskel, wenn eine Masse von 40 kg angehoben werden soll? (Lösungen S. 224)

Zug und relative Längenänderung Δl=l(Dehnung) sind linear proportional. Ebenfalls sind Druck und Stauchung linear proportional. Die Proportionalitätskonstante ist der Elastizitätsmodul E: Δl σ¼E : l

Die Druckspannung des Oberkörpers auf den Femur ist erheblich. Bei einer Masse von 50 kg des Oberkörpers lasten auf dem Oberschenkelknochen mit einer Querschnittsfläche von 50 cm2 ein Druck von 1 bar = 105 Pa.

Rechenaufgaben Aufgabe 3.3: Auf einen Knochen werde ein Druck von 0,30 GPa ausgeübt. Wie groß ist die Stauchung des Knochens, wenn der Elastizitätmodul des Knochens E = 15 GPa beträgt? Aufgabe 3.4: In dem Diagramm ist die Zugspannung, die an einem Muskel anliegt, gegen die Muskellänge aufgetragen. Der Kurvenverlauf hat nicht-lineare und lineare Anteile. In dem linearen oder Hooke’schen Bereich schätzen Sie den Elastizitätsmodel E des Muskels ab. 0,04

0,03

0,02

0,01

0

49

(Lösungen S. 224)

E hat die gleiche Einheit wie Zug und Druck, die relative Längenänderung Δl=l ist dagegen eine reine Zahl ohne Einheit. Diesen linearen Zusammenhang zwischen Zug und Dehnung bzw. Druck und Stauchung nennt man Hooke’sches Gesetz. Einige Werte für den Elastizitätsmodul von verschiedenen Materialien sind in der Tab. 3.2 zu finden. Tabelle 3.2 Elastizitätsmodul E für verschiedene Materialien in Einheiten von Gigapascal: 1 GPa = 109 Pa = 10 kbar. Material

E (GPa)

Aluminium

70

Stahl

200

Gummi

0.5

Holz

13

Knochen

15

53

Klinischer Bezug

Spannung in GPa

A

σ

3.3 Verformung fester Körper

50

51

52

53

Muskellänge in 10–3 m

Querkontraktion und Querexpansion Zug und Druck bewirken auch Längenänderung in den Richtungen senkrecht zur Kraftwirkung. Zieht man z.B. an den Enden eines Gummibandes, wird dies nicht nur länger, sondern auch dünner. Ähnlich weicht ein Zyliner seitlich aus und wird dicker, wenn man ihn entlang seiner senkrechten Achse zusammendrückt. Dies nennt man Querkontraktion bei Zugspannung und Querexpansion bei Druckspannung. Berücksichtigt man die Querkontraktion (Querexpansion), dann folgt für die relative Volumenänderung ΔV/V bei Zug oder Druck ΔV σ ¼ ð2μ  1Þ: V E Dabei ist μ die Querkontraktionszahl (Poissonzahl), d.h. das Verhältnis aus Längenänderung in der Querrichtung Δy/y zu Längenänderung in der Zugrichtung Δx/x:

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

3

54

3.3 Verformung fester Körper

μ¼

3

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Δx=x : Δy=y

F2 A

Die Poissonzahl ist je nach Material größer als 0 und kleiner als 0,5. Falls μ = 0,5 ist, dann ist die Volumenänderung durch Zug gleich Null, d.h. die Längenänderung in der Zugrichtung wird vollständig durch die Längenänderungen in den dazu senkrechten Richtungen ausgeglichen. Ansonsten ist die relative Volumenänderung immer negativ, d.h. insgesamt verkleinert sich das Volumen des Körpers durch den Zug.

3.3.2 Hydrostatischer Druck Wenn auf einen Körper ein allseitiger oder hydrostatischer Druck p ausgeübt wird, dann verkleinert sich sein Volumen. Der Zusammenhang zwischen Druck und Volumenänderung ist durch den Ausdruck p ¼ B

ΔV V

F1 α

F1 α

F2

b

a

Abb. 3.7 Angreifende Tangentialkräfte bei Scherung (a) und Drillung (b). α ist der Scherwinkel bei Scherung bzw. der Drillwinkel bei Drillung.

sammenhang zwischen Scherspannung σ und Scherwinkel α wird durch den Schubmodul G hergestellt: σ ¼ G α; dabei ist σ ¼

F1 A

Analog dazu ist bei der Drillung der Zusammenhang zwischen angewandtem Drehmoment M und Drillwinkel α gegeben durch: M ¼ D α:

gegeben. Die Proportionalitätskostante B wird Kompressionsmodul genannt (Volumenelastizitätsmodul). Der Kompressionsmodul hat wie der Druck die Einheit Pascal: [B] = Pa. B ist eine Maß für die Dehnbarkeit des Körpers. Je größer B ist, umso so weniger kann man ihn komprimieren. Dehnbare Körper wie die Lunge und das Herz können ebenfalls mit einem Kompressionsmodul charakterisiert werden. Das negative Vorzeichen besagt, dass eine Druckerhöhung immer eine Volumenverkleinerung zur Folge hat. Wir benutzen für den hydrostatischen Druck das Symbol p um kenntlich zu machen, dass dieser von dem uni-axialen Druck σ unterschieden werden muss. Hydrostatischer Druck und uni-axialer Druck haben jedoch die gleiche Einheit: [p] = [σ] = Pa. Wir kommen auf den hydrostatischen Druck im nächsten Abschnitt auf S. 56 zurück und werden diesen dort noch ausführlicher behandeln.

Hier ist D das Richtmoment des Zylinders. Die Drillung errinnert an die Rotationsbewegung. Schlagen sie evtl. dort nochmals nach (S. 27), um sich wieder an das Drehmoment zu erinnern.

3.3.4 Biegung Biegung eines Balkens (Abb. 3.8) entsteht bei Kraftwirkung auf ein Ende eines Balkens, während das andere Ende fest eingespannt ist. Kraft mal Länge des Balkens bilden ein Drehmoment. Die Biegung ist durch eine neutrale Faser in der Mitte des Balkens gekennzeichnet. Oberhalb der neutralen Faser steht der Balken unter Zugspannung und wird expandiert, unterhalb der neutralen Faser steht der Balken unter Druckspannung und wird gestaucht.

α

Klinischer Bezug Der Augeninnendruck ist ein hydrostatischer Druck, der auf die Retina überall gleich groß wirkt. Bei zu hohem Augeninnendruck besteht die Gefahr der Schädigungen der Retina und des Sehnervs.

s → F Zug

3.3.3 Scherung und Drillung Bei Scherung, Drillung und Biegung (s.u.) tritt in erster Nährung keine Volumenänderung auf. Scherung wird durch ein Paar von Tangentialkräften auf eine Fläche ausgeübt (Abb. 3.7a). Ebenso sind bei der Torsion bzw. bei der Drillung Kräftepaare an den Stirnflächen eines Körpers notwendig (Abb. 3.7b). Diese üben ein Drehmoment aus, sodass sich der Körper ohne Volumenänderung verdrillt. Der Zu-

neutrale Faser Druck Abb. 3.8 Biegung eines Balkens durch Einspannen an einem Ende und Kraftwirkung auf das andere Ende. Die Biegung ist durch eine neutrale Faser in der Mitte des Balkens gekennzeichnet. Oberhalb der neutralen Faser führt die Biegung zur Dehnung, unterhalb der neutralen Faser zur Stauchung.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

Spannung σ

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

α

l

3.3 Verformung fester Körper

Bruch

elastisch reversibler Bereich plastischer irreversibler Bereich

F2

3

F1 CCD-Winkel Dehnung

Femurachse Abb. 3.9 Das Drehmoment am Oberschenkelhalsknochen erzeugt eine Biegung und Verkleinerung des Schenkelhalswinkels (CCD-Winkels) mit zunehmendem Alter. Dadurch werden der Winkel α und das Drehmoment immer größer und es kann zum Oberschenkelhalsbruch kommen.

In der neutralen Faser wechselt die Spannung und Dehnung das Vorzeichen von positiv (Zug, Dehnung) zu negativ (Druck, Stauchung).

∆l l

Abb. 3.10 Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm enthält drei Bereiche: im elastisch reversiblen Bereich gilt das Hooke’sche Gesetz, d.h. Dehnung ist proportional zur Spannung und die Verformung ist vollständig reversibel. Im plastisch irreversiblen Bereich ist der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung komplex. Überdehnung führt zum Bruch. Bei spröden Materialien fehlt der plastische Bereich. Auf den elastisch reversiblen Bereich folgt sofort der Bruch.

schnappt diese nicht zurück. Bei weiterer Dehnung folgt schließlich ein „Fließen des Materials“ gefolgt von einem Bruch (Abb. 3.10). Allerdings verhalten sich spröde Materialien wie Gläser und Keramiken elastisch anders. Bei diesen Materialien fehlt der plastisch irreversible Bereich und jenseits einer maximalen Spannung erfolgt sofort der Bruch. Klinischer Bezug

Klinischer Bezug Auf den Femur wirken besonders große Drehmomente und damit Biegekräfte (Abb. 3.9). Die Gewichtskraft F1 und die Stützkraft F2 bilden ein Kräftepaar mit Drehmoment: | M | = 2l · |F1| sinα Der Schenkelhalswinkel bzw. der CCD-Winkel (CentrumCollum-Diaphysen-Winkel) ist der Winkel zwischen der anatomischen Femurachse und der Schenkelhalsachse, d.h. der CCD-Winkel ist mit dem Winkel α über die Beziehung 180 °– α verknüpft. Während der Winkel α mit dem Alter durch die Belastung größer wird, nimmt der CCD-Winkel ab, wodurch wiederum das Drehmoment zunimmt. Gleichzeitig nimmt die Stabilität des Knochens durch Mineralisation ab. Die Kombination von beiden Effekten führt manchmal zum Bruch des Oberschenkelhalsknochens.

3.3.5 Plastische Verformung Das Hooke’sche Gesetz gilt nur für kleine Dehnungen und Stauchungen. Es ist durch Linearität zwischen Spannung und Dehnung und durch vollständige Reversibilität gekennzeichnet. Bei größerer Spannung und damit größerer Dehnung tritt plastische Verformung ein. In diesem Bereich ist die Verformung nicht mehr reversibel, d.h. bei Entfernung der Spannung bleibt die Verformung größtenteils bestehen. Beim Biegen einer Büroklammer

Die Porenstruktur eines Knochens macht diesen leicht, ohne dass er an elastischer Festigkeit verliert. Die langen Knochen sind im mittleren Teil als Hohlzylinder gebaut und haben einen hohen Biegewiderstand, vergleichbar dem von Vollzylindern. Als Hohlzylinder haben sie so den Vorteil, bei gleicher Biegefestigkeit wesentlich leichter zu sein. Knochen sind spröde Körper vergleichbar mit Glas. Man kann sie elastisch verformen, aber makroskopisch betrachtet gibt es keinen plastischen Bereich. Bei Überdehnung oder Scherung folgt sofort der Bruch. Nur bei Dauerbelastung können plastische Verformungen auftreten, wie z.B. beim CCD Winkel am Oberschenkelhalsknochen, allerdings kommt die Veränderung durch ständigen Auf- und Abbau sowie Verlagerung des organischen Materials über einen langen Zeitraum zustande.

✔

✔ ✔

55

Check-up Wiederholen Sie das Hooke’sche Gesetz und nennen Sie die Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit es gilt. Was ist der Unterschied zwischen uni-axialem Druck und hydrostatischem Druck? Machen Sie sich klar, ab wann eine elastische Verformung in eine plastische Verformung übergeht oder es gar zum Bruch kommt. Welche Rolle spielt dabei das Hooke’sche Gesetz?

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

56

3.4 Hydrostatischer Druck

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

3.4 Hydrostatischer Druck Lerncoach Der hydrostatische Druck spielt für den Menschen eine große Rolle, obwohl wir ihn im täglichen Leben eigentlich gar nicht wahrnehmen. Erst wenn er sich ändert, bekommen wir ihn unangenehm zu spüren, so z.B. in großer Höhe, beim Tauchen im Wasser, oder beim Sturm. Unser Körper ist optimal auf den hydrostatischen Druck der Luft an der Erdoberfläche angepasst. Im folgenden Kapitel lernen Sie wichtige Gegebenheiten des hydrostatischen Drucks kennen und bekommen Beispiele dafür, welche Rolle er im menschlichen Körper von der Atmung bis zum Kreislauf spielt.

3

3.4.1 Überblick Der hydrostatische Druck hat eine überragende Bedeutung für alle Phänomene, die mit Gasen oder Flüssigkeiten zu tun haben. Beim uniaxialen Druck auf einen festen Körper gibt es eine Vorzugsrichtung, nämlich die Richtung, in der die Kraft auf eine Fläche wirkt. Die Richtung senkrecht dazu verhält sich anders. Auch auf ein Gas oder eine Flüssigkeit können wir einen einseitigen Druck durch einen Kolben ausüben (z.B. Kolben in einer Fahrradpumpe). Jedoch ist dann der Druck in allen Richtungen senkrecht dazu gleich groß. Dieser allseitig gleichgroße Druck hat wichtige Konsequenzen für die Druckübertragung (hydraulische Presse) wie auch für die Strömung von Gasen und Flüssigkeiten, die im Kapitel 3.6 (S. 65) behandelt werden.

3.4.2 Hydrostatischer Druck Atome in einem Gas bewegen sich willkürlich und haben eine der Temperatur entsprechende Geschwindigkeit. Stoßen sie auf eine Wand, werden sie reflektiert und übertragen einen Impuls auf die Wand. Diese Impulsübertrag liefert einen nach außen hin messbaren Druck p. Der von Innen erzeugte Gasdruck p muss gleich dem Gegendruck der Gefäßwände sein, damit die Wände sich nicht bewegen. Für den Druck gilt: p¼

F ; A

wobei F die Kraft ist, die auf die Fläche A wirkt. Diesen Druck auf ein Gas (oder auf eine Flüssigkeit) nennt man auch hydrostatischen Druck, da er nach allen Seiten hin gleich groß ist. Darin unterscheiden sich Flüssigkeiten und Gase auf der einen Seite von Festkörpern auf der anderen Seite. Bei Gasen und Flüssigkeiten reicht ein einseitiger Druck aus, um diesen auf alle Richtungen in gleicher Größe zu

übertragen. Wegen des starren atomaren Gitters von Festkörpern ist dagegen die Druckübertragung von einer Seite auf die Querseiten nicht vollständig. Der Druck hat die Dimension: Kraft pro Fläche, und damit die Einheit: N/m2 = Pa. Ein N/m2 entspricht einem Pascal, abgekürzt Pa. 105 Pa = 1 bar. 1 bar entspricht dem Druck, die eine 10 m hohe Wassersäule ausübt, und ungefähr dem mittleren Luftdruck in Meereshöhe. MERKE Druck: p = F/A. Einheit: Pa (Pascal); 1 Pa = 1 N/m2. In der Medizin wird Druck in der Regel nicht in Pascal oder bar gemessen, sondern in mmHg (Millimeter Quecksilbersäule) angegeben. Als Umrechnungsfaktor gilt: 760 mmHg = 1 bar = 105 Pa. (Ganz genau wäre allerdings: 760 mmHg = 760 Torr = 1 atm = 101,3 kPa = 1,013 bar. In 1. Näherung ist dann 1 bar = 1 atm = 760 mmHg).

Kommunizierende Röhren In verbundenen Gefäßen, die mit einer homogenen Flüssigkeit gefüllt sind, muss unabhängig von der Gestalt der Gefäße auf allen Seiten der hydrostatische Druck gleich groß sein: p1 = p2 (Abb. 3.11a). Wenn dies nicht so wäre, dann würde die Flüssigkeit solange von einer Seite zur anderen fließen, bis der Druck ausgeglichen ist. Der Druck wird durch das Eigengewicht der Flüssigkeit erzeugt und wird Schweredruck genannt (S. 60). Ist mg das Gewicht der Flüssigkeit und V sein Volumen, dann kann man mit Hilfe der Dichte das Gewicht mit ρVg angeben. Liegt nun dieses Gewicht auf der Querschnittsfläche A des Volumens V = A × h auf, dann wird der hydrostatische Druck p¼

F ρAhg ¼ ¼ ρg h A A

auf der Querschnittsfläche der Flüssigkeit A ausgeübt. Bei kommunizierenden (d.h. verbundenen) Röhren, die mit einer homogenen Flüssigkeit gefüllt sind, folgt aus dem Druckausgleich: p1 = p2 die Gleichheit der Flüssigkeitshöhe auf beiden Seiten: h1 = h2. In verbundenen Gefäßen steht eine Flüssigkeit in allen Gefäßen gleich hoch, unabhängig von der Gestalt und dem Radius des Gefäßes. Dies nennt man das Prinzip der kommunizierenden Röhren (Abb. 3.11). Schichtet man zwei nicht mischbare Flüssigkeiten mit verschiedenen Dichten ρ1 und ρ2 übereinander, dann sind die Drücke nicht an der Oberfläche bei gleichem Meniskusstand ausgeglichen, sondern an der Grenzfläche zwischen den beiden Flüssigkeiten (Abb. 3.11b). Die Bedingung für die Gleichheit der Drücke lautet dann: p1 ¼ ρ1 gh1 ¼ ρ2 gh2 ¼ p2 :

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

p1

p2

ρ2

h2

h1

h a

ρ1

b

3.4 Hydrostatischer Druck

57

Abb. 3.11 Kommunizierende Röhren und Dichtebestimmung von nicht mischbaren Flüssigkeiten. a eine homogene Flüssigkeit. b zwei nicht mischbare Flüssigkeiten.

3 Falls eine Dichte (z.B. ρ1) bekannt ist, kann die andere Dichte (z.B. ρ2) aus der Meniskushöhe bestimmt werden. Auflösen nach der unbekannten Dichte ρ2 ergibt: ρ2 ¼

h1 ρ : h2 1

Generell gilt: falls h2 > h1, dann ist ρ2 < ρ1. Hydraulisches Prinzip Den hydrostatischen oder allseitigen Druck in einer Flüssigkeit kann man auch zur Kraftübertragung nutzen. Denn wenn auf alle Flächen der Druck gleich groß ist, dann gilt z.B. für zwei unterschiedliche Flächen: p1 ¼

F1 F2 ¼ p2 ¼ ; A1 A2

Atmosphäre entweichen kann (Siffon-Prinzip). Durch den Gasdruck pGas wird im Gleichgewicht die Flüssigkeit um die Höhe h über den gasseitigen Meniskus angehoben. Das heißt, an der Grenzfläche zwischen Gas und Flüssigkeit ist der Gasdruck mit dem Druck der Flüssigkeit und der Luft ausgeglichen. Der Gasdruck pGas im Gasvolumen folgt dann aus der Summe von der Höhe der Flüssigkeitssäule h über dem Meniskus und dem äußeren Luftdruck: pGas = pFlüssig + pLuft. Den Flüssigkeitsdruck kann man bei Kenntnis der Dichte ρ der Flüssigkeit und der Erdbeschleunigung g aus der Höhe der Flüssigkeitssäule h über dem Meniskus berechnen: pFlüssig ¼

d.h. das Verhältnis aus Kraft und Fläche bleibt immer konstant. Anders ausgedrückt, bei gleichem Druck wächst die Kraft mit der Fläche. Daraus folgt, dass man mit einer kleinen Kraft F1 = (A1/A2)F2 auf einen Kolben mit kleiner Fläche A1 eine große Kraft F2 auf eine große Fläche A2 ausüben kann (Abb. 3.12). Dies nennt man das hydraulische Prinzip. Technische Anwendungen findet man u.a. bei Hebebühnen, hydraulischen Bremsen, und beim hydraulischen Anheben von Krankenbetten.

3.4.3 Druckmessung Eine einfache Methode zum Messen von Druck bietet das Flüssigkeitsmanometer (Abb. 3.13). Die Flüssigkeit im Schlauch verhindert, dass das Gas in die

Kraft mg ρV g ρAhg ¼ ¼ ¼ ¼ ρ g h: Fläche A A A

Druck, der größer als der Normaldruck unter STPBedingungen ist, wird Überdruck genannt, Druck unterhalb des Normaldrucks wird Unterdruck genannt. Rechenaufgaben Aufgabe 3.5: Wie groß ist der Druck einer 10 m hohen Wassersäule? Aufgabe 3.6: Nehmen wir an, dass Blut die gleiche Dichte hat wie Wasser. Wie groß ist bei einer 1,7 m großen Person der Druckunterschied des Bluts im Kopf im Vergleich zu dem in den Füßen, der alleine durch die Schwere der Flüssigkeit gegeben ist? (Lösungen: S. 224)

Luftdruck pLuft F1

Gasdruck pGas F2

Kolben A1

h

A2 Meniskus Flüssigkeit

Abb. 3.12 Hydraulisches Prinzip. Der Druck auf beide Kolben ist identisch und wird durch eine Flüssigkeit übertragen. Da die Flächen verschieden sind, sind auch die Kräfte auf beiden Seiten unterschiedlich.

Abb. 3.13 Flüssigkeitsmanometer. Das Gasvolumen ist auf einer Seite mit einem flexiblen Schlauch verbunden, der eine Flüssigkeit enthält. Auf der anderen Seite ist der Schlauch offen.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

58

3.4 Hydrostatischer Druck

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Klinischer Bezug

3

Die Lunge arbeitet nach dem Prinzip des Unterdrucks. In der Brusthöhle zwischen Thorax und Pleura herrscht ein Unterdruck von ca. –500 Pa. Mit Hilfe der Rippen- und Zwerchfellmuskulatur wird das Lungenvolumen vergrößert und der Unterdruck auf ca. –800 Pa erhöht. Dadurch strömt Luft in die Lunge ein. Bei der Expiration wird das Lungenvolumen wieder verkleinert und Luft strömt aus. Falls der Thorax durch Unfall oder Operation geöffnet wird, gleicht sich der Druck dem Umgebungsdruck an und die Atmung kann nicht mehr auf natürliche Weise erfolgen.

Gesetz von Boyle-Mariotte Drückt man ein Gasvolumen zusammen, wird das Gas komprimiert und das Gasvolumen nimmt ab. Das heißt, ein kleiner Druck entspricht einem großem Volumen und ein großer Druck entspricht einem kleinen Volumen. Daraus folgt, dass das Produkt aus Gasdruck und Gasvolumen konstant ist. Dieser Zusammenhang ist als Boyle-Mariotte-Gesetz bekannt: p V = konstant Die Konstante hängt nur von der Temperatur ab. Bei konstanter Temperatur ist der Druck umgekehrt proportional zum Volumen (Abb. 3.14): Druck ¼

Konstante : Volumen

Diese Abhängigkeit zwischen Druck und Volumen wird Isotherme genannt (Abb. 4.9, S. 85).

3.4.4 Compliance Auf S. 54 (hydrostatischer Druck) haben wir noch einen anderen Zusammenhang zwischen Druck und Volumen kennengelernt. Bei hydrostatischer Druckänderung ist die relative Volumenänderung: p ¼ B

ΔV ; V

wobei B der Kompressionsmodul des Gases ist. Beim idealen Gas gilt B = nRT/ΔV, wobei n die Mol-

zahl ist, R ist die allgemeine Gaskonstante, und T ist die absolute Temperatur. Einsetzen von B ergibt wieder das Boyle-Mariotte-Gesetz:
 nRT ΔV nRT p¼ ¼ ΔV V V oder pV = nRT. Damit sind beide Ausdrücke äquivalent. Der Gleichung pV = nRT werden wir auf S. 85 wieder begegenen und dort als die allgemeine Gasgleichung kennen lernen. Wir lösen nach der Volumenänderung auf und erhalten: ΔV 1 ¼ Δp ¼ κ Δp: V B Das Minuszeichen ist in der Druckänderung absorbiert. Der reziproke Kompressionsmodul B—1 = κ wird Kompressibilität genannt. Die Einheit ist, [κ] = Pa—1. In der Physiologie ist es üblich, nicht die relative Volumenänderung, sondern die absolute Volumenänderung anzugeben: ΔV ¼

V Δp ¼ C Δp: B

Die Proportionalitätskonstante C wird Compliance genannt. Die Einheit ist [C] = m3 Pa—1 oder l Pa—1. Die Compliance ist ein Maß für die Dehnbarkeit von Gefäßen. Bei einer konstanten Volumenänderung ΔV ist C umso größer, je kleiner die benötigte Druckdifferenz Δp ist, diese zu bewirken. Je größer C ist, umso dehnbarer ist der Körper. Bei der Atemmechanik der Lunge ist C keine Konstante, sondern nimmt mit zunehmender Volumenausdehnung ab. Für gleiche Volumenänderung ist für zunehmendes Volumen eine immer größere Druckänderung erforderlich (Abb. 3.15). Der Zusammenhang zwischen Volumen und Druck ist also nicht-linear. Tatsächlich wird aber bei der Einatmung nicht nur die Lunge, sondern auch der Thorax gedehnt. Beide Organe haben elastische Eigenschaften bzw. Dehnbarkeiten und daher geht bei der Atemmechanik die kombinierte Compliance von Lunge und Thorax

p

pV = konstant T = konstant

p1

p2

V1

V2

V

Abb. 3.14 Gesetz von Boyle-Mariotte. Das Produkt aus Gasdruck und Gasvolumen ist eine Konstante bei konstanter Temperatur. Die im rechten Bild dargestellt Abhängigkeit des Drucks vom Volumen nennt man Isotherme.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

3.4 Hydrostatischer Druck

59

Man kann die effektive Compliance leicht abschätzen. Bei Atemruhelage ist die Druckdifferenz in den Alveolen ca. 0,5 kPa und die Volumenänderung ca. 0,5 l. Daraus ergibt sich die Compliance von Lunge und Thorax zu:

3

Volumen V

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Ceff ¼

ΔV ΔPtm

Ceff ¼

CLunge CThorax : CLunge þ CThorax

ΔV 0; 5 l ¼ ffi 1 l=kPa: Δp 0; 5 kPa

Das Konzept der Compliance ist nicht nur auf den Atemapparat anwendbar, sondern auch auf Blutgefäße, Herzwand, Windkessel, Harnblasenkammer, Schädel, etc. Rechenaufgabe Druck p Abb. 3.15 Druckabhängigkeit des Volumens bei der Atmung.

ein. Lunge und Thorax bilden ein „verschachteltes“ System, so ähnlich wie zwei Federn. Die kleinere plaziert man in der größeren Feder, hängt sie beide gemeinsam an einer Halterung auf und zieht daran. In diesem Fall wird die Dehnung der Feder durch diejenige dominiert, die die steifere bzw. weniger dehnbare Feder ist. Auf S. 32 haben wir gelernt, dass die Dehnung einer Feder proportional zur Kraft ist, wobei die Propotionalitätskonstante die Kraftkonstante k der Feder ist: F ¼ k Δl. Durch Auflösen nach der Längenänderung haben wir: Δl ¼ F=k ¼ CF. C ist hier die Compliance oder die Dehnbarkeit der Feder. Bei zwei ineinander verschachtelten Federn (das gleiche gilt für zwei neben einander aufgehängten Federn) wird die Dehnbarkeit nicht etwa immer größer, sondern richtet sich nach der Feder mit dem kleineren C. Daraus folgt, dass wir die Dehnbarkeiten nicht einfach addieren dürfen, sondern deren reziproke Werte müssen addiert werden: 1 1 1 ¼ þ : Ceff C1 C2 Daraus folgt für die effektive Dehnbarkeit des Gesamtsystems: Ceff ¼

Aufgabe 3.7: Die „Windkesselfunktion“ der Aorta beruht auf deren Compliance (passive Dehnbarkeit der Aortenwand). Sie ist unter anderem für die Dämpfung der kardial erzeugten Pulswelle verantwortlich. Bei 150 ml Blut im „Windkessel“ herrscht dort ein transmuraler Druck von 10 kPa, bei 180ml sind es 15 kPa. Wie groß ist die Compliance der Aorta in diesem Druckbereich? (Lösung S. 224)

3.4.5 Luftdruck und Schweredruck Luftdruck Auf Meereshöhe herrscht ein Normaldruck von ca. 1 bar. Dieser Druck kommt durch das Gewicht bzw. die Schwere der Luftsäule von Meereshöhe bis in die Stratosphäre zustande. Da jedoch die Luft wie jedes Gas leicht komprimierbar ist, nimmt der Luftdruck mit steigender Höhe bzw. abnehmender Luftsäule nicht linear ab wie bei Flüssigkeiten, sondern exponentiell (Abb. 3.16). Der Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe kann durch folgende Formel ausgedrückt werden: pðhÞ ¼ p0 eh=h0 : Wenn p0 = 1 bar der Luftdruck auf Meereshöhe ist, dann ist h = h0 = 8000 m die Höhe, bei der der Luftdruck auf 1/e = 0,37 bzw auf 37 % des Normaldrucks abgefallen ist. Rechenaufgaben

C1 C2 : C1 þ C 2

In ganz analoger Weise gehen wir bei der Compliance des Atemapparats vor. Wenn die Compliance der Lunge CLunge und des Thorax CThorax bekannt sind, dann ist die effektive Compliance des Atemapparats:

Aufgabe 3.8: Auf welchen Wert fällt der Luftdruck in der üblichen Flughöhe von 12 km ab? Aufgabe 3.9: Bei welcher Höhe hat der Luftdruck nur noch den halben Wert des Normaldrucks? Diese Höhe wird als Halbwertshöhe h1/2 bezeichnet. (Lösungen S. 224)

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

60

3.4 Hydrostatischer Druck

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

MERKE Die Halbwertshöhe, d.h. die Höhe, bei der der Luftdruck um die Hälfte auf 0,5 bar gesunken ist, ist ca. 5500 m. Höhe [km]

Partialdruck Der Luftdruck auf Meereshöhe beträgt ca. 1 bar. Die Luft setzt sich aus mehreren Komponenten zusammen, die wichtigsten sind Stickstoff und Sauerstoff in einem Mischungsverhältnis von ca. 80/20. Wenn ein Gas aus mehreren Komponenten zusammengesetzt ist, dann ist der Gesamtdruck pGesamt gleich der Summe der Partialdrücke der einzelnen Komponenten. Die Partialdrücke entsprechen den Molanteilen bzw. Molfraktionen der Gaskomponenten. Der Partialdruck von Stickstoff ist pN2 = 0,8 × pGesamt = 0,8 bar. Entsprechend für Sauerstoff ist der Partialdruck pO2 = 0,2 × pGesamt = 0,2 bar.

10

Luftdruck

5 1

2

3

4

0 Tiefe [m]

3

15

Druck [bar]

10 20 30

Schweredruck in Wasser

Abb. 3.16 Schweredruck. Der Schweredruck in einer Flüssigkeit nimmt linear mit der Tiefe zu. Der Schweredruck der Luft (Luftdruck) nimmt exponentiell mit zunehmender Höhe ab.

Rechenaufgabe Aufgabe 3.10: In 5500 m Höhe ist der Luftdruck nur noch halb so hoch wie auf Meereshöhe. Etwa wie groß ist dort der Sauerstoffpartialdruck? (Lösung S. 224)

Klinischer Bezug Oberhalb von 5500 m kann sich der Mensch nicht mehr vollständig an die Höhe bzw. den Sauerstoffmangel anpassen. Es kommt zu einem kontinuierlichen Abbau der körperlichen und geistigen Leistungsfähigkeit. Diese Höhenmarke ist deshalb auch die oberste Grenze einer menschlichen Dauerbesiedelung und gleichzeitig die höchste noch sinnvolle Basislagerhöhe für Expeditionsbergsteiger.

Schweredruck in Flüssigkeiten Flüssigkeiten sind wesentlich weniger kompressibel als Gase. In guter Näherung kann man die meisten Flüssigkeiten als ideale inkompressible Flüssigkeiten behandeln, d.h. Druckzunahme führt nicht zur Volumenänderung. Reale Flüssigkeiten sind dagegen kompressibel. In der Näherung der idealen inkompressiblen Flüssigkeit hängt der Druck nur von der Höhe h der Flüssigkeitssäule ab: pflüssig ¼ ρ  g  h:

p(h = 10 m) = 1000 kg/m3 × 10 m/s2 × 10m = 105 Pa = 1 bar. Falls über dem Wasser noch eine Luftsäule mit 1 bar Druck liegt, dann herrscht in 10 m Tiefe ein Gesamtdruck von 2 bar. Falls ein Taucher auf 30 m Wassertiefe geht, dann muss Atemluft mit einem Druck von 4 bar angeboten werden, damit der Innendruck in den Alveolen gleich dem Außendruck ist. Rechenaufgabe Aufgabe 3.11: Der systolische Blutdruck des Menschen ist etwa so groß wie der Druck einer 120 mm hohen Quecksilbersäule. Wie hoch könnte bei diesem Druck das Blut theoretisch gepumpt werden? Die Dichte von Blut ist etwa gleich gross wie diejenige von Wasser (1000 kg/m3, diejenige von Quecksilber beträgt 13500 kg/m3)? Welchen Blutdruck muss eine Giraffe mit einer Schulterhöhe von 3,5 m mindestens haben? (Lösung S. 224)

3.4.6 Auftrieb

Daraus folgt, dass in einer Flüssigkeit von der Oberfläche in die Tiefe der Druck linear mit der Eintauchtiefe zunimmt (Abb. 3.16). Dies nennt man den Schweredruck einer Flüssigkeit. Die darüber liegenden Flüssigkeitsschichten üben durch ihr Gewicht auf die unteren Flüssigkeitsschichten einen Druck aus. Wie wir bereits in auf S. kennengelernt haben, ist der Druckanstieg in 10 m tiefem Wasser:

Wenn ein Körper in eine Flüssigkeit eingetaucht wird, dann wirkt auf den Körper ein allseitiger hydrostatischer Druck. Durch den Schweredruck ist der Druck p1 auf die Unterseite eines Körpers jedoch größer als der Druck p2 auf die Oberseite (Abb. 3.17). Die Druckdifferenz Δp = p1 – p2 liefert einen Auftrieb bzw. eine Auftriebskraft FA, die nach oben gerichtet ist und dem Gewicht des Körpers FGK = mK g entgegenwirkt. Auf den ganzen Körper

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

3.4 Hydrostatischer Druck

61

Rechenaufgabe

p4

p1

p2

p3

Abb. 3.17 Auftrieb. Der Auftrieb eines Körpers in einer Flüssigkeit hängt nicht von der Gestalt des Körpers oder von der Tiefe in der Flüssigkeit ab, sondern nur von der Dichte der Flüssigkeit und dem Volumen des Körpers, nicht von seiner Masse.

bezogen ist die Auftriebskraft FA gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit: FA = FGFl = mFl g. Daran erkennt man, dass die Auftriebskraft FA nicht von der Tiefe abhängt. Ob ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt, hängt von der Kraftbilanz ab. Ein Körper schwimmt, wenn die Gewichtskraft des Körpers FGK = mK g kleiner ist als die Auftriebskraft FA = mFl g. Er schwebt, wenn beide Kräfte gleich groß sind, und er sinkt, wenn die Gewichtskraft größer ist als die Auftriebskraft. Da das Volumen für Körper und verdrängter Flüssigkeit gleich groß ist und die Erdbeschleunigung g immer gleich ist, kommt es letztlich auf den Unterschied der Dichten an. Sofern die Gesamtdichte eines Körpers kleiner ist als die der Flüssigkeit, dann schwimmt der Körper, bei gleicher Dichte schwebt er, und bei größerer Dichte sinkt er. Das effektive Gewicht, welches ein fester Körper in einer Flüssigkeit hat, folgt aus der Differenz von Gewichtskraft und Auftriebskraft:

Aufgabe 3.12: Ein Patient mit einer Erkrankung des Schultergürtels macht Wassergymnastik (in normalem Wasser). Die Masse eines Arms beträgt etwa 5 kg und die mittlere Dichte etwa 1,1 kg/l. Wie groß etwa ist das relative effektive Gewicht des Arms im Wasser bezogen auf seine Gewichtskraft in Luft? (Lösung S. 225)

Archimedisches Prinzip Unter dem Archimedischen Prinzip versteht man die Bestimmung der Dichte eines Körpers, dessen Volumen man nicht kennt oder nicht bestimmt werden kann und dessen Dichte größer ist als die von Wasser. Wenn das Volumen bekannt ist, dann folgt die Dichte einfach aus dem Verhältnis von Masse zu Volumen: ρK = m/V. Bei unförmigen Körpern, wie auch beim menschlichen Körper kann man das Volumen nur schwer angeben. Man kann jedoch das Gewicht des Körpers in der Luft FG und nach Eintauchen in Wasser Feff mit einer Waage messen. Die Differenz ist der Auftrieb: FG – Feff = ρWasserVK ∙ g. Dividiert man durch die Gewichtskraft in Luft, so erhält man: FG  Feff ρWasser VK g ρWasser ¼ ¼ : FG ρK ρK VK g Auflösen nach der Dichte des Körpers ergibt: ρKörper ¼ ρWasser 

FG : FG  Feff

Da die Dichte von Wasser ρWasser = 1 g/cm3 ist, folgt h i F G ρKörper g=cm3 ¼ : ΔF

Da die Volumina des Körpers und der verdrängten Flüssigkeit identisch sind, folgt weiterhin:

Das Archimedische Prinzip kann man auch umdrehen, um die Dichte ρFlüssig einer Flüssigkeit zu bestimmen. Dazu taucht man in die Flüssigkeit einen Körper bekannter Dichte ρK und Volumen VK ein und misst das Gewicht des Körpers in Luft FLuft und in der Flüssigkeit Feff mit Hilfe einer Waage. Ganz analog folgt dann die Dichte der Flüssigkeit aus:

Feff = ρK VK g – ρWasserVK g = (ρK – ρWasser) g VK = Δρ g VK.

ρFlüssig ¼ ρK

Feff = FGK – FGFl = mK g – mFl g.

ΔF : FG

Das effektive Gewicht eines Körpers in Wasser wird null, wenn die Dichte des Körpers gleich der Dichte des Wassers ist. Dann hebt die Auftriebskraft die Gewichtskraft vollständig auf und der Körper schwebt.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

3

62

3.5 Kräfte an Grenzflächen

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

3.5.1 Überblick

MERKE

3

Der Auftrieb eines Körpers ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip). Die Auftriebskraft ist nach oben gerichtet und verringert das Gewicht eines Körpers in einer Flüssigkeit. Ein Körper schwimmt, wenn sein Auftrieb größer ist als sein Gewicht, er sinkt, wenn der Auftrieb kleiner ist als sein Gewicht und er schwebt, wenn der Auftrieb gleich seinem Gewicht ist.

Klinischer Bezug Druck spielt in der Medizin eine sehr große Rolle. Der Augeninnendruck ist ein hydrostatischer Druck und wird durch zu und abfließende Flüssigkeiten geregelt und konstant gehalten. Luftdruck in der Lunge variiert von leichtem Unterdruck beim Einatmen von ca. –500 Pa bis zum exspiratorischen leichten Überdruck von 150 Pa. Im Blutkreislauf wird durch die Herztätigkeit ein Druckunterschied von ca. 13 kPa zwischen der arteriellen und venösen Seite aufgebaut. Allerdings muss bei allen biologischen Systemen berücksichtigen werden, dass die Wände nicht starr sind, sondern dehnbar. Der elastisch dehnbare Schlauch ist daher ein besseres Modell für die Blutgefäße als ein starres Rohr und die elastische Kugel bzw. ein Luftballon ist ein Modell für die Lungenaktion. Bei dehnbaren Gefäßen hängt der Innendruck umgekehrt proportional vom Radius ab. Je größer der Radius um so kleiner der Druck.

✔ ✔

✔

Check-up Was steht hinter dem hydraulischen Prinzip? Wie und wo findet es technische Anwendung? Machen Sie sich nochmals klar, wie man den hydrostatischen Druck einer Flüssigkeit oder eines Gases berechnet und rechnen Sie die verschiedenen Einheiten für den Druck (Pa, bar, mmHg) ineinander um. Wie kann man mit dem Archimedischen Prinzip das Volumen und die Dichte eines Festkörpers mit bekannter Masse bestimmen?

Was hat die Haftung von Farben auf Oberflächen mit Seifenblasen zu tun und mit der Ausdehnung der Alveolen in der Lunge beim Atmen? Allen Phänomenen gemeinsam sind Grenzflächen und Oberflächen, die hier ins Spiel kommen. Wir werden in diesem Abschnitt die Kräfte und Spannungen kennenlernen, die an Grenzflächen zwischen zwei Substanzen herrschen und daraus eine Reihe von physikalischen Eigenschaften ableiten, die Bezug zur Physiologie und Klinik haben.

3.5.2 Kohäsion und Adhäsion Die Kräfte auf Moleküle an Oberflächen und Grenzflächen von Flüssigkeiten und Festkörpern sind verschieden von denen im Inneren. Man unterscheidet zwischen Kohäsions- und Adhäsionskraft. Unter Kohäsionskraft versteht man die Anziehung zwischen einem herausgegriffenen Molekül und seinen Nachbarn in der selben Substanz. Unter Adhäsionskraft versteht man die Wechselwirkung von Molekülen an der Grenzfläche zu einer anderen Substanz. In Abb. 3.18 ist die helle Kugel (Atom) einer anziehenden Kohäsionskraft von seinen Nachbarn ausgesetzt. Die Atome an der Grenzfläche zu der roten Substanz wechselwirken nicht nur mit den Nachbarn in der gleichen Substanz, sondern auch mit den Atomen in der roten Substanz. Daher sind diese Atome noch zusätzlich Adhäsionskräften ausgesetzt. MERKE Kohäsion ist die Kraft auf ein Molekül innerhalb des gleichen Stoffes, Adhäsion ist die Kraft auf ein Molekül an der Grenzfläche zu einem anderen Stoff.

3.5 Kräfte an Grenzflächen Lerncoach In diesem Kapitel lernen Sie, welche Kräfte die Atome und Moleküle in Flüssikeiten und Festkörpern zusammenhalten und welche Unterschiede zwischen den Kräften im Inneren und an Oberflächen herrschen. Es empfiehlt sich die Definitionen von Druck, Spannung und potenzieller Energie aus den vorigen Kapiteln noch einmal zu rekapitulieren, um die Grundlagen zu haben, die in diesem Abschnitt benötigt werden.

Abb. 3.18 Kohäsion und Adhäsion. Das hell gekennzeichnet Atom innerhalb des grünen Atomverbands ist Kohäsionskräften durch die Nachbaratome ausgesetzt, die grau-grün gekennzeichneten Atome an der Grenzfläche zur roten Substanz sind auch Adhäsionskräften ausgesetzt.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

3 Me~hanlk ausgedehnter und deformierbarer Körper 3.5.3 Oberflächenspann ung Im Inneren einer Substanz 1st du~ Kohäsionskraft großer als an der Oberfläche Da sie gle•chmaßig nach allen Sem~n w1rkt. gibt es keme Vorzugsnchtung und keme resultierende Kraft auf em Atom 1m Inneren. An der OberOllehe 1St d1e resultierende K1aft nach innen größer und die Atome an der Oberfläche werden nach innen gezogen (Abb.l.19a). Um eine Oberflache zu b1lden oder um eme Obernaehe zu vergrößern (also um Moleküle aus dem Inneren an d•e Oberfläche zu bringen). muss die nach innen gerichtete Kohäs•onskraft fKoo uberwundcn werden. Zieht man z.B. mit einem BOgel der Breite b einen Flüssigkeltsfilm um die Strecke öl aus einer Oberflache Abb. l .19b). muss dafur d1e Arbeit~ öl gele•Stet werden. d.h. d1e potenllelle Energie der F10ssigke1t w1rd vergrößert w1e beim Anheben cmes Gegenstandes. Setzt man die geleistete Arbe1t in Beziehung zur neu geschaffenen Oberflache. erhalt man d1e in der Oberflache enthaltene spez1fische Oberflachenenergie

y

W M

öl 2böl

fKoh

f Koh

2b .

Der Faktor 2 bcrucksichtig. dass gleichzeitig 1wei Oberflachen gebildet v.-erden. D1e spezifische Obcrflachenenergie hat d1e Einhe1t Jim2• S1e ISt 1denusch mit N/m. Damit kann die spe11fi~che Oberflachenenergieauch als die Kraft pro Ungeneinheir interpretiert werden. die benötigt w1rd. wn eine Oberflache zu vergrößern. Diese Kraft wirkt tangential zur Oberfläche und versucht d1e~e zu verkleinern. D1e Oberflachenenergie w1rcl auch Oberflächenspannung gPnannt. Die Oberflächenspannung 1st eme w1chuge Matenalkonstante von allen festen und flüssigen Materialien. Durch Tenside kann d1e Oberflachenspannung von Wasser reduziert werden. sodass ..Seifenblasen" entstehen.

Die

Ol)(>rflach~nspannung

3.5 Kr~fte

.m Grenzflächen

darl nocht m1t der me
sctw>n '>p~nnung o vcrw<'(hselt we.den Bei der mechanoschffi Sp.:~nnong o Wirlet eine Kraft auf eine Obef. O~dlt, d.lher M die Einheit N/m2. ~ der Oberfl.khtno spar'lnung greift d'e KrJft entl.lng einer Linie an, daher ist die finh1'1l N/m.

Binnendruck Mn der Bügelmethode kann die Oberflachenspannungvon Flüssigkelten rechtemfachbestimmt werden. Wenn mit einem Bügel em Wasserfilm aus einem Trog gezogen w1rd. dann ist d1e aufzuwendende Kraft: F'
p,

4y r

F

•

'

I".. ..

N

·'

b

..

b

Abb.l.19 ~nspM~nung. • Rt'\UitWft'ldt! Kraft re.gt ilu lnoefe der n..,~·!. "" Inneren Nt d t' Kol>asoOI'I<.Icr•ft keine AU'!)t'lrichnett Ri
63

64

3.5 Kräfte an GrenzOächen 3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper pipette kann die verabreichte Stoffmenge relauv präzise eingestellt werden. w.t.rer~..,..

I

:bstanz

y (N/m) 0,48

H,O

0,072

Seilenll>
0,031 0,023 _ _ _ _ _ ___J

d.h. der Binnendruck steigt umgekehrt proportional zum Radius r an: in kleinen Blasen herrscht ein höherer Druck als in größeren Blasen. Das hat eine wichtige Konsequenz. Bringt man zwei Blasen miteinander in Kontakt. sodass sie den Druck ausgleichen können. dann wird das Gas dem Druckgefälle folgen und vom höheren zum niedrigeren Druck strömen. Oie größere Blase bläht sich weiter auf Kosten der kleineren auf und die klemere Blase wird letztendlich verschwinden. Die gleichen Überlegungen gelten fii 1 einen Wassertropfen. allerdings muss man berücksichtigen, dass dieser nur eine Oberfläche hat. sodass der Binnendruck durch: p, -

2y r

gegeben ist Bei einem Radius von 1 mm erreicht der Binnendruck einen Wert von ca. 140 Pa. Be1 der Tropfpipette nurn man die Oberflachenspannung aus, um eine feste Tropfengroße m•t Masse m zu erzielen. D1e Oberflächenspannung hält den Tropfen an der Pipette. bis das Gewicht des Tropfens mggrößer als die Haltekraft durch die Oberflächenspannung 21lry wird: mg > 21lry. Durch den RadJus der Tropf-

P,
Abb. 3.2ll Alveolilf'et Druckausgleich in der Lunge.

Oie Lunge des Menschen hat et\va 3 x 1os Alveolen. Oit' Oberflächenspannung bzw. die Wandspannung tv. od versucht den Rad1us der Alveolen zu verklemem und d•e Lunge zusammenzuziehen. Beim Einatmen muss der Innendruck der Luft gleich dem Druck sein, dtr durch die Wandspannung er1eugt wird: Pwrc - Plllvrolt -

4Yw.onc~

-r-

Alveolen m1L kleinem Radius drücken d•e Luft in Alveolen mit größerem Radius. Oie kleineren Alveolen würden vollständig k~labieren, wenn nicht Surfactants d•e Ober· flächenspannung reduzJerten (Abb. 3.20). l~l d11! Bildung dieser Surfactanl5 gestört, kollabieren gan7e lungengebiete (Atclektase). Surfactants haben zusätzlich die Aufgabe, die Oberflächenspannung drastisch zu reduzic· ren, dam1t überhaupt Atmung möglich ist, wie w~r m dem folgenden Be•spiel sehen werden. Wir wollen den alveolaren Druck abschätzen und nehmen als Oberflächenspannung den Wert für Wasser: y- 0,072 Nfm. Der m1ttlere Radius der Alveolen ist ca. 24 ~m. Damit folgt ein Druck von ca. 2 x 0,072 Nm-'/ 24 x 10.., m - 6 kPa. Hier haben wir emen Faktor 2 anstatt von 4 emgesetzt. da die Alveolen nur eine Innenaber keine Außenseite haben. Tal53chhch ist der trans· murale Druckunterschied aber nur 0,5 kPa. D•ese Emicd rlgung wird durch Surfactants an der Gefäßwand der Al· veole verminderl 6 kPa könnten wir beim Einatmen nicht aufbringen. Störung der Surfactants erhöht den transmuralen Druck und führt zur AtemnoL Be1 frühgeborenen fehlt das Surfactant oder es wird LU wen•g gcl>•ldet, sodass die Alveolen sich aufgrund einer zu hohen Oberflachenspannung nicht entfalten können und es so zum Atemnotsyndrom kommen kann. Kontaktwinkel Aus dem Kontaktwinkel zwischen einer nachcn Oberfläche und einem Flüssigkeitstropfen kann das relative Verhältnis von Adhäsion zu Kohäsion abgelesen werden (Abb.3.21). Bei guter Benen~ung ist der Kontaktwmkel (J < 90 •. 1m Idealfall ist be1 perfekter Benetzung 9 ~ o•. Dies tritt nur dann auf. wenn die Adhäsion wesentlich größer ist als die Kohäsion. Bei schlechter Benetzung ist der Kontaktwinkel 9 > 90 ". ln diesem Fall ist d1e Adhäsion schwächer als d1e Kohäsion. D•e FlussJgkelt neigt zur Tröpfchenbildung.

3.5.4 Kapillarität D1e Benetzungseigenschaften von Flüssigkeiten auf Oberflachen wirken sich auch auf d1e Kapillaritat aus. W1rd eme Glaskapillare in eme Flu~s•gkeit emgetaucht. dann sieht man am Meniskus, ob die Flüssigkeit in die Kapillare hineingezogen wird (kapillare Erhöhung bei benetzenden Fh.issigkeiten.

3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper 3.6 StJömung von Flüssigkeiten

Ji$11934 Röhrtn (S. 56) und K.1pillantltt •ind 9egenlaufiqc E~heinunqen. Kommunillt'fendt Röhrt'll betont>n die Glt>Khhtoit 1t00 Gld~röl>rtn un.l~"919 von ohrtr GC'stalt. Kapilldlotat f'rlt'ugt Unters< hoedc. lrflachE'. ln kommunozo<>rt'nden Röhr(.'fl ohne Kapillaritat ist doE' Wasse~ule ulwrall gldth hoch. 1n kommmunizierenden Röhren mot kappol,m·r Frhuhung ist doe Flüssigk"otss;iule um so höher, Jf kleoner der Radiu\ der RöhrP o\1.

Kommurnzlt'ff'llde

schiC'chtC' ßtonf'trung

gutt ßf'netrung



d •1le lk'nl'LIUng 9 JWI-chl'fl rlulloi)L:P "tropfen und eoner Oberlli
Abb. 3 .21 Kont•ktwlnkel.

~ Kont.lktwonk~l

zong>co~n\C.hooft.

Konlaklw111kel 0 < 90 •) oder ob die Fllissigkeit aus der Kapollare verdr:lngt wo rd (kapillare Dcpressoon be• nicht bC'netzenden Flüssigkeiten. Kontaktwi n· kel 0 > 90 ) (Abb. l .22 ). Im Fall von kapillarer Erhö· hung beobachtet man d urch die Kapillantat eme Sterghohe h gegen die Gravitationsw u kung. die proportional zu r Oberflachenspannung y und um· gekehrt proportional zum Radius r der Kaprllare rst:

2t 11

pgr

p ISt dre D1chte der Fh.issigkeu und g rst du: Frdbe·

schleun1gung.

Doe kapill.lrf' Erh0hu09 ~m W~swrtransport on P!l~t(.'fl wird benötigt. d.Jmot die Wil~st.'ßdule on den lettuo>gsl>Jhnen no
2r

a

b

Abb. l.22 ~llarit.L • ~re ühöhung bei ben~ n.,, . , .. ten. Dir Sl"Jhöhe Ist proporr...on.llllf ~ spannunq und umgekrlvt prt>pOftJsion bei noc:l>t ~~ flüs~-

we.

..• .. Ched!~p t/ Was ist der Unterschied ZWischen Kohasion und Adhaslon? t/ Machen Sit sich nochmals klar was geschieht. wenn zwel unttrschiedlich große Luftblasen miteinander ln Kontakt kommen. t/ Wie hängen Kontaktwinkel und Kapillaritat miteinander zusammen? t/ Fassen Sie mit eigenen Worten nochmals zusammen, worfn der Unerschled zwischen kommunizierenden Röhren und Kapillarität liegt.

3.6 Strömung von Flüssigkeiten

;....

Lem
Oie Strömu09slehre und ihre Geetze. die Sie Im folgenden Kapitel kennen lernen, sind für einen Mediziner ein sehr wichtiges Teilgebiet der Physik. Das Blutkreislaufsystem und auch die Atmung funktionieren nach diesen Regeln. Auch künstliche Kreisläufe wie die Dialyse oder die Kreisläufe der Herz-tungen-Maschine gehorchen ihnen. Deshalb Ist es wichtig, diese Regeln und ihre Konsequenzen zu kennen. Manches davon wird Ihnen auch Im Kapitel ElektrizJtatslehre, wenn es um den elektrf. sehen Strom und seine Eigenschaften geht, wieder begegnen.

3.6.1 Überblick ln den verausgehenden Abschnitten haben wrr die Statrk von Gasen und Flüsstgkellen betrachtet, in diesem Abschnitl geht es um d1c Kinematrk. d.h. um die Srrömung oder da~ n1eßen. Zun.ichst ein· mal machen wir die Annahme von erner rdealen Stromung. d.h. erner Strömung ohne Rerbungsverluste. Unter dresen Bedrngungen g1h d1e Energreerhaltung. Wir kommen recht weit un Verstandnis von nreßenden Aüssigke1ten und Jemen den Zu· s.tmmenhang zwischen Stromungsgeschwindig·

65

66

3.6 Strömung von Flüssigkeiten 3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Korper

keit. Querschnittsßäche und Druck kennen. Tatsächlich sind reale Flüssigkeiten nicht reibungsfrei. Die Kinematik der Strömung unterliegt Reibungsverlusten, und die Volumenstromstärke ist sowohl durch einen Strömungswiderstand w1e durch einen Druckabfall gekennze1chneL. Be1de zusammen ergeben das Ohm'sche Gesetz fiir die Stromstärke: Druckabfall dividiert durch Widerstand ergibt Stromstärke. Alle diese Gesetze gelten für eine laminare Strömung. Falls d1e Iammare Strömung in eine turbulente ubergeht, dann entsteht Chaos, das möglicherweise destruktive Folgen haben kann. 3.6.2 laminare und turbulente Strömung Zur Diskussion der Strömung von Flüssigkelten betrachten wir zunächst ideale Flüssigkeiten. Ideale Flüssigkeiten sind inkompressibel und fließen ohne innere Reibungsverluste, d.h. ohne Viskosität. Die Strömung von idealen Flüssigkeiten Wlfd durch eme konstante Anzahl von Flusslinien dargestellt (Abb.3.23a}. Die Dich te der Flusslimen 1st proportional zur Strömungsgeschwindigkeit v der Flüssigkeit. Man spricht von laminarer Strömung. wenn die Flusslinien trotz Hmdemis oder Verengung nicht abreißen ( Abb.3.23b). Im Gegensatz dazu spricht man von turbulenter Strömung, wenn die Stromlinien um ein Hindernis diskontinuierlich verlaufen, d.h. abreißen, Wirbel bilden und sich neu bilden ( Abb. 3.2Jc}.

a

Volumenstromstärke Wir nehmen an. dass die Flüssigkeit in einem Rohr mit Querschnittsfläche A pro Zeiteinheit llt ein Volumenelement t:N; A 1:!/ durchströmt. Dabei ist 1:!/ d1e von der Flüss1gkeit zurückgelegte Wegstrecke 1m Rohr. Der Volumenstrom oder die Volumenstromstärke ist dann definiert: ·

l:!V

A · t:J

M

ru

V =-=--= A · V

Der Punkt über dem Volumen deutet die Volumen:inderung pro Zeiteinheit an. Die Volumenst romstärke ergibt sich au~ Querschnittsfläche mal Strömungsgeschwindigkeit Sie hat die Einheit m3fs oder 1/s.

[V:-

Kontinuitätsgleichung Bei laminarer Strömung bleibt d1e Zahl der f'lusslinien konstant, auch bei Veränderung der Querschnittsfläche des Rohrs. Bei kleinerer Querschnittsfläche verdichten sich die Flusslinien. d.h. die Strömungsgeschwindigkeit nimmt zu (s.o) und umgekehrt. Dabe1 fließt das gleiche Flüssigkeitsvolumendurch die engere bzw. weitere Stelle. Aus der Gleichheit der Volumma folgt die Gleichheit der Volumenstromstärken:

v,- li2 Aus der konstanten Volumenstromstärke folgt, dass die Geschwindigkeiten sich umgekehrt proportional zu den Querschnittsflächen verhalten: A1 · v 1;A2 · v2. d.h. je klemer die Querschnittsfläche, umso größer die Strömungsgeschwindlgkeit. Dieser Zusammenhang wird als Kontlnul~ts­ glelchung bezeichnet.

jE." kiE."illl'r die Querschnittsfläche, desto größer dre Stromungsgeschwlnd1gke1t. damit die Volumennromst3rke konmnt bleibt.

~·... ln der Physiologie wird für die Volumenstromstärke V häufig die Bezeichnung Q oder nur Q veJWendet. b

c Abb. l .23 Strömungsverhältnisse in einer Idealen Flüssig· k~IL a laminare Strömung. b l.aminal'l!' Strömunq um ein H•n-

demis. c Turbulente StromurHJ um ein Hrndemo~. Dre Flusshoren reoßen ab und bolden WirbeL

Rechenaufgabe Aufgilbe 3.13: An einer konzeniTischen Stenose in einem unverzweigten Abschmtt eines Blutgefaßes m•t k~isrundem Querschmtt wird emt! (über den Querschnrtt gem1ttelte) doppelt so große Blutströmungsgeschwindigkeit wie vor und nach der Stenose gemessen (bei laminarer Strömung). Woe groß ist der Innendurchmesser an dt>r Stt>nose relatrv zum lnnendurchmesst>r vor odrr niKh der Stenose? (Li)sung S. 225)

3 M&hanik ausgedehnter und deformierbarer Körper 3.6 Strömung von Rüssigkeiten 3.6.3 Dynamik von Flüssigkeiten

Bisher wurde angenommen, dass die Flüssigkeit Hießt. ohne nach der Ursache flir das Fließen zu fragen. Dies entspricht der Kinematik von Massenpunkten in der Mechanik. Oie Ursache von Bewegung sind Kräfte und Drehmomente, die Ursache von Volumenstromstärken sind Drucke und Druckunterschiede. Strömung verläuft immer entlang eines Druckgradiemen von hohem Druck zu niedngem Druck.

1$11934 Bel Strömung von r1üssigke1ten Ist die Drucl
Pr..-... m• e lkl•u + Ps.rumun1 • Ps.... + l/2p vZ • konstant je größer der Strömungsdruck wird. umso kleiner ist der Staudruck. und umgekehrt. Dies ist der lnhalt der Bernoulh Gle1chung. Die Bernoulli-Gieichung basiert auf der Energ1eerhaltung. wobei der Staudruck der potenziellen Energie entspricht und der Strömungsdruck der kinetischen Energie (vgl s. 42). Im Rahmen der klassischen Mechanik haben wir gelernt, dass die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie eine Konstante ist: Ec;",..,m• - f pot

f~w1

1

-

mg h I m 112 2

Für die Masse schreiben wir jetzt m • p V und dividieren durch das Volumen V, sodass wir für die Energ•edichte erhalten:

E~mt V

pg

h

1 ··'

+ 2pv-

Pc"'."""

Die Energiedichte entspricht also dem Gesamtdruck des Systems. Nimmt bei einer Verengung die Geschwmdigkeit zu. dann fallt der Staudruck ab. Durch Strömung entsteht somit eine Sogwirkung. d1e z.B. im Bunsenbrenner und in der Wasserstrahlpumpe ausgenutzt wird. Auch der Kehlkopf zur Stimmbildung arbeitet nach dem Bernoulli-Prinzip.

ll$11934 Be1Verengung nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu und der Staudruck nimmt ab

Kehlkopffunktlon. Die Stimmbänder im Kehlkopf n~ hem sich zunächst durch die Kehlkoplmuskuliltur. Die Ex· pirationstuft muss dann durch den Spalt der verengten Glottis strömen. Nach den Gesetzen von Bcmoulli "...., +1/2 p v2· konst. smkt der Druck u11d die Stimmbänder schließen sich vollst.lndig. Nach dem Schließen sinkt der Strömungswider· stand auf 0. Erst bei einem Expirationsdruck von 400 500 Pa wird d1e Glottis wieder geöffnet. Der unterbrochene Luftstrom ergibt den Klang der Stimme. Die Stimmhöhe wird durch die lange und Spannung der Stimmbänder best1mmt. Blutdruck. Bct Blutdruckmessungen wird der Staudruck in den Blutgefäßen bestimmt. Ist d1eser zu hoch. dann kann der Blutdruck durch eine höhere Strömungsgeschwindigkeit erniedrigt werden. Daru muss die Volu· menßussrale Ii erhöht oder der Strömungswiderstand R, erniedrigt werden. Die Volumennussrate kann durch Vergrößerung des Hcrzzettvolumens erreicht werden. was z. B. durch Kraltigung der Herzmuskulatur bei Aus· d.-.ucrsport erzielt wird. 3.6.4 Reale Flüssigkeiten

Im Gegensatz zu idealen Flüssigkeiten erleiden reale Flüssigkeiten be1 der Strömung einen Druckabfal l durch innere Reibung bzw. durch VIskosität. Die innere Reibung kann man sich als Rauhigkeit zwischen den über einander weggleitenden Stromfäden verdeutlichen. Reibung erzeugt immer Verlust an kinetischer Energie. Die Energieerhaltung. wie sie im Bcrnoulli-Gesetz zum Ausdruck kommt, ist durch Reibung nicht mehr vollst:inchg, em Teil wird in Wärmeenergie umgewandelt und kann für d1e mechanische Strömungsenergie nicht mehr zurück gewonnen werden. Der Druckabfall m einer rea len Flüssigkelt ist nähe rungsweise linear über die Ulnge des Strömungsrohrs verteilt. Weiterhin weicht in realen Flüssigkeiten das Strömungsprofil stark von dem der idealen Flüssigkeit ab. Die reale Flüssigkeit haftet an den Wänden und fließt am schnellsten 1m Zentrum. Bei kreisförmigem Rohrquerschnitt ist d1e Geschwindigkeit am Rand näherungsweise Null und im Zentrum am größten. Das Geschwindigkeitsprofil hat damit emen parabolischen Verlauf mit dem Maximum 1m Zentrum (Abb.3..24). Flussigkeiten, d1e ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil beim Fheßen in zylindrischen Rohren aufweisen. nennt man Newton'sche Flüssigkeiten.

67

68

3.6 Strömung von Flüssigkelten 3 Mechanik ausgedehnter und delormlerbarer K~rper I

J

Abb. 3.24 Lamln.1re Strömung bei realen Flüssigkeiten. &>I e'"em kretslönnigen Rohrquenchnill Leogt das Strömungsprofil einen p.:~rabolischcn Verlauf. Die Sttömungsgeschwindigkeit ist im Zentrum ma1umal.

Ohm'sches Gesetz für reale Flüssigkeiten Für viskose Fluss.gke1ten gilt das Ohm'sche Gesetz, analog zur elektrischen Stromleitung (vgl. S. 106~ Die Volumenstromstärke ist durch den Quotienten aus Druckdifferenz llp zwischen Eingang und Ausgang und Strömungswiderstand Rs gegeben:

Bei der Umrechnung wurde für den Quersehnirr eine KreisOäche A • nr2 angenommen. Der Strömungswiderstand Rs ist umgekehrt proportional zum Quadrat der QuerschnittsOäche A bzw. umgekehrt J>roportional zur vierten Potenz des Rohrradius r. Damit 1st die Volumenstromstärke V proportionalwr vierten Potenz des Radius r'. Bei hal· bcm Radius sinkt die Volumensrromstärke um das 16-fache! Dies hat wichtige Konsequenzen be1 der Durchblutung. Be1 Verengung der Blutgelage nimmt die Volumenstromstärke dramatisch ab. Die Einheit des StrömungswiderstJods folgt aus der Definition: Rs • llp{V. Damit ist [Rs)• Pa · s(m 3•

ll&iä;JMM D1e Volumenwomst.irl<e ist proportional zur vierten Potenz des Radous: Sinkt der Durchmesser etnes Rohres um d1e H.illte, n1eßt p• o Zeiteinheit nw noch 1/ 16 der Aüssigkeit hindurch!

v= llp

R~.

Zwischen Volumenstromstärke und Druckdifferenz besteht emc lineare Beziehung. die Proportionalitätskonstante ist der inverse Strömungswiderstand l/Rs.. Der inverse Strömungswiderstand 1/Rs wird auch Leitwert oder Conductance genannt. Strömungswiderstand Gesetz von Hagen.Polseuille Auf der einen Seite wird die Flüssigkeitsströmung durch die Druckdifferenz angetrieben. Auf der anderen Seite wird die Flüssigkeit durch die innere Re1bung und Haftung an den Wanden an der Strömung gehindert Aus beiden Effekten zusammen kann man den Strömungswiderstand berechnen (Abb. 3.2.5). Der Strömungswiderstand hat einen Vorfaktor (Srr). der von der gewählten Geometrie abhängt (in diesem Fall em zylindrisches Rohr). einen geometrischen Anteil (l.dnge I und QuerschnitLSOäche A) und einen material-spezifischen Anteil {Viskosität IJ ): {l/

8 {l/

Rs = 81117 A2 = ;r'l ~

Abb. 3.25 Strömungswiderstand. S.O. l'lllt'm Rohlqu~rschtllll t~l

kretSform'9en

der Strömungsv.idcr>t~nd proportiOnal zur

Longe des Rohr$ und umgekehrt propo
Rechenaufgabe Aufgabe 3.14: Einem Herzinfarl<tpatienten w1rd in das betroffene Herzkranzgefäß ein Stent emgefUhrt. Da. durch wird dessen Durchmesser um 25% erweitert. Durch den Stent ~trömt das Blut ~iterhin laminar und mit der;elben Temperatur und Viskosität Auch die Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende des Stents 1st dieselbe wte vorher. Wievielmal höhe1 als die ursprüngliche VolumenstromsUirl<e ist do(' n('ue Volumenstromstärke7 (Iösung S. 225) Viskosität

01e V1skos1tat 'I hat die Emheit ['I)~ Pa· s. Die V1skosität von Wasser ist temperaturabhängig und smkt von 18 mPa · s bei o·c auf 0,8 mPa · s bei der l<örpertemperarur von 37 ·c ab. BC'i der gleichen Temperatur hat Blut eme Viskositat von 4 mPa · s. ist also fünf mal viskoser als Wasser. Blut ist eine sehr komplexe Flüssigkeit. bei der clie Viskosität vom Bämatokrirwert, von der Strömungsgeschwindigkeit und von der Scherrate abhängt. Unter Scherung richten sich die Erythro zyten parallel aus. Dabei smkt d1e Viskosität und der Stromungsw1derstand. sodas~ Blul besserdurch enge Kapillare Oießen kann. Blut isl keine Ncwron'sche Flüssigkeit.

3 Me
Praktikum

VIskositätsbestimmung Oie Vi~o~olo~l eoner Flilss•gkeot soll Jus der Volumenst· romstärke bestimmt werden. Dazu wird ein einfaches Kapillarviskomett>r verwt>ndt>t (Abb.3.26). Es bt>stt>ht aus eonem offenen Reservoirder Flüssigkeit (a). welches den notwend•qen Druck aufbaut, auch Manotte'sche flasche genannt. Verbindungsrohren (b}, der eigcnth· chen Kapillare (c). aufgeselLten und offenen Staurolr ren (d). sowie einem Auffanggefäß(e). womit das Volumen der auslautenden Flüssigkeit gemessen werden kann. Der Druckabfall über der Kapillare wird uber den Hohenunte=hled der Flüssigkelt in den Stauroh· renbestimmt flp • pgilh. Aus der Gleichung für die Ver Iumenstromstärke folgt für die Viskosität durch Umfor· men: I]

Reihenschaltung von Strömungswiderständen (Abb. l.27)

ln einer idealen Aüssigkeit f
rrpgrAtllh 8

I

V .

Oie Dichte der Flüssigkeit sollte bekannt sein, Erd~ schleunigullQ g • 9.81 m/s' . Radiusrund Länge I der Kapillare muss genau bestimmt werden. Oie Mcss· größen sind dann dt"r Druckabfall bestimmt uber den Höhenunterschoed Ah on den Staurohen sowoe das Volumen der ausströmenden Flüssogkeit V on der Zeot r. Der relative Fehler beo der Bestimonung der ViS· kosität folgt aus den rel
Kirchhoff'sche Gesetze Die Kirchhoffschen Gesetze verknüpfen Strom und Spannung in elektrischen Netzwerken (S. 108). Diese Gesetze können in gleicher Weise auch auf die Strömung von Gasen und Flüssigkeiten angewandt werden. Man unterscheidet zwei prinz1piell unterschiedliche Verknüpfungen von Strompfaden, zum einen das sukzessive Hintereinanderschalten von Strömen {2. Kirchhoffsches Gesetz). und zum anderen die Verzweigung von Strömen ( I. K•rchhoffsches Gesetz). Verknilpft man die Kirchhoffschen Gesetze mit dem Ohm'schen Gesetz über die Volumenstromstärke. dann kann man daraus den Ge-

Strömungswiderstand bei Gosen

Die Strömung von Gasen durch Röhren kann genauso behandelt werden wie die Strömung von Fl u~s.gkeiten. Allerdings muss man beachten. dass die Vi~kositilt von Gasen wesentlich geringer ist als die von Flüssigkeiten. von Luft ist sie 60-

a ''

:

l

: nd

.. ·n j·· .. h ... ~J ILf""'j ~= ...... ~ -- - -

Abb.l.26 Kaplllarvlskomeler zur BesUmmung von Vlskoslt3l

von f1ilulgkelten.

69

70

3.6 Strömung von Flüssigkeiten

3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper

.

-

JLLit-J

Porollelscholtung Bei Parallelschaltung sind an jedem Verzweigungsknoten die Summe der Ströme konstant (1. Kirchhoffsches Gesetz) (Abb.3.28b):

111 = V2 ... V1 •

6pfL - ------i---___,,___ _ _,;_.• a

'-=n+~=i=ft~-g N

6p[

.

v, -

b

Druckabfall bei Reihensc;haltung von Strömungswiderständen. O.e aufgesetzten Staurohre mes~en den jeY<eils ilerr$Chenden Staudruck bei Strömung durch Rohre mit ver· schiedenem Ourchm~ser. ~ Set idealen Flüssig~eiten ist der ~udruck vor und nach einer Verengung gleich und bei der Verengung verringert. b ln einer realen Flüssigkeit sonkt der SlJudrutk konttnuterHchüber der Gesamdange des Rohrs ab. Bet Verengung ist der Abfall des Drucks besonders starte. Abb. 3.27

samtwiderstand bei Re ihen- bzw. Parallelschaltung von verschiedenen Strömungswiderständen berechnen. (Anmerkung: in manchen Physiologiebüchern ist die Bezeichnung für das I. und 2. Kirehhoffsehe Gesetzt vertauscht. was sich aber nicht auf die Berechnung des Gesamtwiderstands auswirkt.) Reihenschaltung Bei Reihenschaltung von verschiedenen Strömungswiderst~nden WCI'den die Druckabf,'llle bet konsramer Volumensrromsr:irke addiert {2. Kirchhoff'sches Gesetz) {Abb. l.2Ba ): llp

llP t

t.p

llp

R- + -R - t.p s,s,

(1 I) R -R s, s,

t.p RP•r.lk'l.

s

Daraus folgt, dass bei paralleler Schaltung von Wtderständen die Leitwerte (S. 68 ) der einzelnen Zwetge SICh zu emem Gesamtleitwert addteren: 1

1

1

~..,..,,,, - Rst ... Rs,

1

+ Rs, ...

") - ~ Rs,.

Mit zunehmender Zahl von parallel geschalteten Widerständen nimmt der Leitwert zu, der Gesamtwiderstand nimmt also ab. Für Reihenschaltung wie für Parallelschaltung folgt die Volumenstromsr:irke aus dem gesamten Druckabfall dividiert durch den Gesamtwiderstand:

v= llp Rs Wir kommen abschließend zu der wichtigen Erkenntnis, dass bei zunehmender Zahl von Reihen widerstJnden der Gesamtwiderstand größer wtrd.

+ llpl + llp3 .

Kombiniert man dies mit dem Ohm'schen Gesetz fur den Stromungswiderstand: llp-

Dieses Gesetz ist sehr leicht einzusehen: sofern es keine Verluste gibt, muss die in eine Verzweigung einströmende Flüssigkeit gleich der Summe der ausströmenden Flüsstgkeiten sein. Das I. Ktrchhoffsche Gesetz drückt damit die Massenerhaltung der Flüssigkeit aus. Bei Anwendung des Ohm'schen Gesetzes folgt. dass der Druckabfall über allen Verzweigungen gleich groß sein muss:

a

V Rs.

v,

dann folgt daraus: llp - t.p t

+ llt>l + t.p1 - V (Rs,

i

Rs,

Rs

Aus der letzten Gleichung ersehen wir. dass der gesamte Strömungswiderstand einer Reihenschaltung von Widerstanden sich aus der Summe der Einzelwiderstände ergibt · ~~ht

R~, .._ Rs, .._ R~, .. . =

Ii,

Ii,

v,

L Rs,

jedes weitere angehängte Leitungsstück vergroßen den Gesamtwiderstand.

Abb.3.28 Kirchho ff-Gesetze. 8Ntchnung des Ström •. ngwn· dt<Stdnd lx>t Reohell~Chdltull<J (a), und Pdrdffebd>dltung (b).

3 MKhanik ausgedehnter und deformierbarer Körper 3.6 Strömung von Flüssigkeiten während bei zunehmender ü hl von Par.J IIelwiderstände n der Leatwert 1 /R~ größer wird, also der Gesamtwade rstand sankt.

Niederdrucks~tem Vt'n~n

llochdrucksystem Arterie-n I 30 hPa (ca. 100 mmHg)

10 hPa

(e.t. 8 mmllg)

1~ mehr Wldl"ßtände hintereinander geschaltet Wl'fdl.'n, desto höher wird dt>r Gt.~mtwlderstand. Je mehr \Vodtntlinde po~r.rt~ gochditl't werden. d~'SID niedriger wnd der ~mlW!dmtand.

ncutnler Druck

Der Strömungswiderstand ln den Bronchien 1>1 geunal~ in Luft\~e

dt'f Trache.t ~··n der P.Jr.tlld'>Chaltung der Wenl<]<.•r o~h 20~ de> ges.~mten Strornungswide~tandcs kommt durch Kapollaren mot einl!m Ourc~ messer < 2 mm zustand~. Der Strömungswideßtand 1n den Bronch1en Ist nur R.".., • 20 Pa s,ll (im Grge~at1 zu Ges.~mtströmungswideßtand der Lungen von ca. 400 Pa s/1). Da der Strömung~Wider~tand genng und d1~ Strömung laminar i\t, \procht man von der .ruhogen Zone· der lungl'. Auch Im Blutkrdslauf w1rd der hohe Stromung~widt>~t.lnd 1n den Kdplllolren durch Par<JIIcl schaltunq überwunden. Ähnllch der Atmung kann ;auch der Bfutkrtlslauf nach den Gesetzen der Fluiddynamik beschrieben werden Während bei der Atmung die Arbeitssubstant (Luft) mit der Umgtbung ausgetau~cht Wird, Nkultert beim Blutkreislauf dol' Ari>Poh\ub\ub\t.tnl Blut in e1nem geschlossenen und \ll:ll\\-eogten Rohrensy:.tcm. Wir betrachten hier einen stil'k vereoni.Khten Fall und nehmen an. dass der Krcoslauf durch eone geschlossene Röhrt reprd!.enllert "'-erden kann, doe beidseotlg an eone Pumpe angeschlossen ist (Abb. 3.29). Falls das H~z als Pumpe ruht. besteht vollständiger OruckausgiE>ich, be•dl' Selten des Röhren<.-y:.tems Zl'IC}efl mit den Staurohren den g~ chen neutralen Druck an. Wenn dot> Pumpe (Herz) eongesch.lltet wll'd. dann wird ton Oruckunteß
.

llp

V = HZV = -

R,

Das Ht>rnt>1tvolumen o~t dcfinll'rt als Schlagvolumen llV mal Her.drequen1 f·v' IIZV /lV fw. Dabei Ist das S
45hPa 3ShP• 1-----=-.::::::;;;______ ,28 mmHg) 25hPa

mmllg)

Abb. 3.29 Btutlcreistauf als einfaches Röhrensystem mltl.. ler Pumpe, die den Druckunterschied aulb.Jut Im K~p·llal'y
der Lunge. der vorwiegend durch dil' peripheren Kapilla ren zustande kommt. Trotz hochgradoger Parallelschal tung haben die Kapillaren den gt ößten Stromungswider· stand im Kre~lauf. Hoer f~llt daher vorv.ocgend der Druck· unterschoed zw1schen il'teneller und venoser Seote ab. d. h. hier findet der Druckausgleich statt. Ole angrgl·bt~ ocn Werte für den Oruckunterschoed gl'ltl'n streng genommen nur beom l orgen. Sobald •w auf\tl•h<.'n 1St der Kreislauf v-ertikal angeordnet und v.i mussen den Schw\'redruck noch rus.~tztich berücksichtogen. Der Druckunterschied .tWbchen arteneller und venö\t'f Seott' bleibt bei 120 hPa (ca. 100 mmHg), der absolutl' Oruc:k l~t jedoch '110m FuS bis zum Kopf hin ~terog auf bciden Selten ab.

RKhenaufgabe Aufgäe 3.15: Bei einem Patienten mit eoncm akuten

Herzinfarkt wird zur Entlastung des ..,.rengtrn Blutgc· faRe> ein Bypass gelegt. Der Bypass ist CJII'iPidPn G<'f;;Rpn gc· mcins.m. wenn die Oruckdoffcren7 gleoch blt"ibt? {lo~Uf19 S. n5) Turbulenz Dte Turbulenz ist durch die Unte rbrechung der laminaren Srrömung geken nze ichnet Ote turbulente Strömung ist gefährlich, weal ste chaotisch 1~1 und mcht determinierbar. Turbule nte Strömu ng kann

71

72

3.6 Strömung von Flüssigkeiten 3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

zerstörerisch sein. Im Fall von Turbulenz gilt nicht mehr das Ohm'sche Gesetz, d. h. die Linearität von Volumenstromstärke und Druckdift'ercnz ist nicht mehr gegeben. Turbulenz entsteht bei: großer D1chte p großer Geschwindigkeit v großem Innendurchmesser d geringer VISkOSität 1/ Als Kriterium für turbulente Strömung wird die dimensionslose Reynold'sche Zahl Re verwendet: Re

pvd 'I

Falls Re unter 1000 liegt, ist die Gefahr für turbulente Strömung gering. Erreicht sie dagegen Werte über 2000. muss mlt turbulenter Strömung gerechnet werden. Strömungen von Gasen sind wegen Ihrer geringen Dichte schneller turbulent als Flüssigkeltsströme. Beim Aufsteigen von Rauch kann man turbulente Strömung h:iufig beobachten. Zwei Orga ne im Körper sind von tu rbulenter Strömung besonders betroffen: die Aorta und die Trachea. in der Aorta wird die turbulente Strömung des Bluts durch einen Wi ndkessel unterdrückt. ln der Trachea fuhrt die turbulente Strömung zu einem erhöhten Strömungswiderstand bei der Atmung. Windkesselfunktlon. Wegen der hohen S)'$tollschen [ jektionsgeschwindigkeit (lm/s) und des großen Durchmessers der Aorta von 2 cm erreicht die Reynold·Zahl Werte von 5000. Um die TurbulenT 1u unterdrücken. ist in die Aorta ein Windkessel eingebaut Ein Teil der ki· netischen Energie des s)'$lolisch ausgeworfenen Blutc>s wird kurue.bg in potenzielle Energie umgewandt'lt. ondem die Aorta gt'dchnt und das Blut dort gespeichert wird. Während der Diastole Wird die potenzielle Energie wieder in k.netische Cnergle zur!Jckverwandelt, wekhe da~ ge'lpt'icherte Blut weiter in die Penpheric treibt. Ocr Windke~scl ist ein fnergie<;peicher, der Turbulenzen unterdrückt Falls dies nkht mehr funktioni.-rt. kommt es zum Herzflimmern Vorsicht bei de r Verabrelchung von Spritzen: I r.erbco muss man darauf achten. dass trotz geringer Kolbengeschwindogkcit <ehr hohe Strömungsgeschwmdogketten an der Spitze \'On Sprtuen auftreten können. Zu hohe Geschwindigkeiten erzeugen Turbulenzen in der Ader und können zu Verletzungen führen I



Jlf.._ Check-up V V"

V"

V

v

Was versteht man unter laminarer Strömung? Was besagt das Hagen-Poiseullle'sche Gesetz7 Machen Sie sich nochmals klar, was dies für die Strömungsgeschwindigkeit von Blut bei einer Kapillarverengung bedeutet. Welche Erhaltungsgröße kommt in der Bernoulll - Gleichung zum Ausdruck? Wiederholen Sie die Klrchhoff'schen Gesetze. Warum Ist die Gefahr der Turbulenz in Aorta und Trachea besonders hoch7

~

74

Klinischer Fall

~

-~

~

~

-

~-

~-----------------------

4

Hotspot im Körper

F•n El)"tfl"lt<jrenLte lntzundung d.:r Haut und Unterl>aut. Fieber, die Erhöhung der Körpertemperatur über 38 Grad Celsius, ist einer der häufigsten Gründe für Arztbesuche. Infekte oder Tumoren bewirken mit Hilfe von fiebererzeugenden Proteinen, sogenanl')o ten Pyrogenen. die Freisetzung von Botenstoffen. Zytokine wie lnterleuklne oder Interferone lösen dann eine Sollwerterhöhung der Körperkerntemperatur im Hypothalamus aus. Der Körper reagiert mit einer verminderten Wärmeabgabe durch Vasokol')o striktion und steigert die Wärmeproduktion, 11')dem er zittert. Die resultierende Temperaturerhöhung unterstützt und beschleunigt die lmmunant· wort des Körpers. Unruhige Träume Zu Hause ist es doch am schönsten! Karl stellt seme Koffer ab und schließt die Wohnungstür hinter sich. Oie letzten zwei Wochen hat der frischgebackene Rentner auf der schönen Mittelmeerinsel Sizilien verbracht und dort etn straffes Kulturprogramm absolviert. Sogar den Ätna, Europas höchsten Vulkan, hat der 65-j.Jhrige bestiegen. Erschöpft liisst er sich aufs Bett fallen und denkt an die erlebnisreichen Tage zurück. Kurz vor dem Einschlafen merkt er noch. wie ihn etwas am Knöchel schmerzt. Doch 7u müde, um nach(usehen, schläft er ein. ln der Nacht träumt Ka I wtld durcheinal')o der, er wJILt sich unruhig im Bett und schwitzt. Als er am nächsten Morgen aufwacht, fühlt er sich schlapp, seine rechte Wade ist etwas gerötet und geschwollen. • Bestimmt habe ich mich im Flug1eug gestoßen·. vermutet der Mann. Doch als d•e venmemtltche Prellung immer hetßer und r
Unerwünschte Eindringlinge .Wenn das mal kein Erysipel ist·. sagt der aufnehmen· de Arzt, als er Karls Unterschenkel begutachtet. Da der Rentner wissen will, was es mrt die5er Erkrankung auf sich hat. gibt ihm der Mediziner berertwillig Au~kunft. Ein Erystpel - auch Wundrose genannt - ist eine EntLündung der Haut und Unterhaut. Sie entsteht durch Streptokokken. die durch kleine Hautverlet1ungen ins Gewebe gelangen und sich dort in den I ymphgefaßen ausbreiten. So kommt die charakteristische Rötung der H.lUt mit Lungenförmigen Ausläufern zustande. K<Jrl gesteht. dass er seine Füße in letzter Zeit nicht gerade pßeglich behandelt hat. Die vielen Wanderungen über Stock und Stein haben die Haut an Zehen, B<JIIen und Fersen trocken und rissig gemacht. Fur die gramposittven Erreger ein leichtes Spiel! Im Blut des Rentners srnd Leukozyten. das Greakti11e Protein und dte Blutsenkung~eschwindigkeit deutlich erhöht. Die Kr<~nkenschwester misst 39,5 Grad Fieber. Karl muss vorerst im Krankenhaus bleiben Ab Ins Bett! Über einen peripheren Venenzugang erhält der Rent· ner eine antibiotische Therapie mit Penicillin. Doch was ihm besonders schwer fällt: der Doktor hat Bett· ruhe verordnet. Dabei liebt Karl nrchts mehr als Bewegung I Aber damrt die Entzundung gut abheilen kann, muss er sein rechtes Bein ruhigstellen und hoch lagern. Zudem bringt die Schwester ihm jede Stunde ein Gelkissen, um den überwärmten Unterschenkel zu kül'tlen. Am nac:hsten Morgen fühlt sich der Patient schon viel besser. Karl hat nur noch leicht erhöhte Temperatur und die Rötung am Beln hat sich nicht weiter ausgebreitet. Auch der behdndelnde Arzt ist mit ihm zu· frieden. Zwei Tage später darf der Mann die Klinik verlassen Das Antibiotikum muss er aber noch ein paar Tage als Tablette wetter nehmen, um ernen Ruckfall oder eventuelle Spätkomplikationen zu vermeiden. Karl verspricht dem Am, in Zukunft immer schön auf seine Füße zu achten, sie nach dem Baden gut ab7utrocknen und einzucremen. Denn einen Rückfall oder gar ein Lymphödem durch verengte Lymphgefäße wrll er auf keinen Fall riskieren. Kaum zu Hause angekommen, ruh Karl im Reisebüro an und bestellt sich schon mal die neuen Kataloge. Denn auf seine nächste Reise, vielleicht eine Tour in die Alpen, freut ersieh jetzt schon.

4 Wärme, Löslichkeit, D1ffU\IOn 4.1

4

Wärme, Löslichkeit, Diffusion

einem Gasvolumen ca. I ()lO Teilchen vorhanden. Um alle deren Bahnen genau berechnen zu konnen. wurden d1e Computer dieser Welt nicht ausre1chen. Sinnvoller 1st es. eme stati~tische Aussage uber d1e Mechanik der Te1lchen zu machen. Wenn wir die mittlere 2.lhl und Geschwind.gkeJt der GasaLOme kennen. dann können Wir d1e m1rtlere kmetische Energ1e aller Gasatome angeben. Es hat SICh herausgestellt, dass bei emer großen Anlahl von Teilchen die Geschwmd1gkeitsvertellung ein Maximum hat. welches sehr präzise mit der Temperatur korreliert (Abb. 4.1 b). und dass das mittlere Geschwindigkeitsquadrat propornonal zur Temperatur 1st: v2· - T. D1e eck1ge Klammer bedeutet dann. dass d1e Mittelung über viele Teilchen und ober einen Iangeren Ze1tr.tum durchgefuhrt w1rd. Du! hohe PräZISIOn liegt daran. dass die Teilchen sehr schnell durch Stöße Energie und Impuls o~ustau~chen können. bis sie alle mehr oder weniger die gleiChe Energ~e haben. Temperatur 1st daher mchts anderes als d1e mittlere kinetische Energie von Gasatomen:

4.1 Temperatur

;... ...

lf!rnc:~ch

Welche Vorstellung haben Sie von Temper
4 .1.1 Einleitung D1eses K<1p1tel behandelt Phänomene, d1e uns aus der Natur durch Empfindungen w1e warm und kalt allgemein geliiulig sind. jedoch Phänomene wie Wärme und Temperatur begriffl ich und quan tirativ zu erfassen verlangte eine sehr große An strengung von vielen herausragenden Wissenschaftlern D1e Schw•erigkeJt hegt m der statistischen Be<öChreibung emer großen Anzahl mdJVJ dueller Te1lchen. die. obwohl ungeordnet. kollekuv und makro)kopisch messbare Größen wie Druck, Temperatur und Warme ergeben. Betrachten wir dazu em abgeschlossenes Volumen. welches G.J~atome enthält (Abb.4.1~).Jedes Te1lchen hat emen Ort und e111e Geschwindigkeit, aus der d1e B.thnkurve nach den Gesetzen der Mechanik genau bestimmt und die zukünftige Bahn einschließlich der Stöße mit anderen Gastomen und Impulsübertrag berechnet wt'rdl.'n kann. Allerdmgs sind in

-r

.

0

2

m ist d1e Masse aller im Volumen vorhandenen Gas-

atome. was man leicht auf eine Molmasse normieren kann. Genauso kann die Entstehung des Gasdrucks qualit.ltiv hergeleitet werden. Wenn ein Tellehen an emer st.lrren Wand renekliert wud. w1e 1m unteren linken Te1l der Abb. 4.1a angedeutet 1st. dann wird auf d1e Wand Impuls. aber keme Energ•e ubertragen. Squashspieler WISSen dass der geschlagene Ball mir der gleichen Geschwmd1gkeit zurück kommt. Da die Richtung der Geschwindigkeit nach Renexion an der Wand umgekehrt 1st. muss nach dem lmpulserhaltungs~al7 d1e Wand die Impulsdifferenz aufnehmrn. Druck ist daher der

2,0

-

~;i' 1,5

~-b I

1

Fk,nl- m· (v2)- T

dN1N

.......

, '

~~

~a;

9t

" .... -tll'

!]

1,0

~...,

!i~

0,5

v(m/s) 500

1000

1500

V

b

a

Abb.4.1

Temp~rJtur

~hwlndlgktitswnellung

ZI>Q'I'Chtung. • doch .•. rd ~tomen

>,,

von ~ktln ln ~rwm ~- Volumen. a Wulome Nbm lon>e VOr·

ITIItllt'ft' ki
Iu• wrscn,fdfM Temperaturen.

<;(Oße \Chnel

~oChen

b

~!Mincli9kih>~eiluoQ 1101'1

75

76

4.1 Temperatur

4 W~rme, lösllchlcelt. Diffusion

mittlere Impulsübertrag aller Gasatome pro Zeiteinheit und Fläche auf eine Wand. Dieser ist w iederum proportional zum mittleren Gcschwindigkeitsquadrat, sodass Druck p wie auch die Temperatur T mit (vl · skalieren und bei konstantem Volumen p - T gilt.

Kelvin-Skala

Celsius-Skala I00 C I i\1 dUf beoden 1Skalen gleich

373,15 K

273,1511:

4.1.2 Temperaturmessung Temperaturskalen Die heute gebräuchliche Temperaturskala ist die Celsius-Skala. Sie enthält zwei Fixpunkte: Der Schmelzpunkt von Eis und der Siedepunkt von Wasser unter Normalbedingungen. D1e Temperaturdifferenz wird in l 00 Gradstriche unterteilt. jedes Grad ist 1 Die thermodynamische Temperaturskala 1st unabhJngig von Fixpunkren und an den Druck eines idealen Gases geknüpft. Der Gasdruck erreicht bei - 273.15 den Wert Null. Dies ist die absolut tiefste Temper,uur. Wenn man diese Temperatur zu 0 setzt. d1e Gradeinteilung Jedoch beibehJit, dann hat man die Kelvin-Skala (Abb.4.2). Dabei entsprechen 273.15 "K.

OK

Abb. 4.2 v~rgl~lch der Temperaturskalen nach K~lvin und

•c.

Celsius. Thermomet er Zur Messung der Temperatur kann man jede physikalische Größe nehmen, die von der Temperatur abhängt und zur Temperaturmessung geeignet 1st. wie z.B. L.ingenänderung. Volumenänderung. Gasdruck. Schallgeschwindigkeit, elektrischer Widerstand, Kontaktspannung zwischen zwei verschiedenen Metallen. oder Strahlungsintensität eines Körpers. Der Zusammenhang zwischen Temperatur und Druck des 1dealen Gases ist linear. in allen anderen Fällen. wenn die Proportionalität nicht linear ist. muss eine Eichkurve erstellt werden. Für jeden Temperaturbereich gibt es mehr oder weniger geeignete Temperaturmessgeräte. Die früher benutzen Quecksi lberthermometer. d1e die Temperatur über die Volumenausdehnung des nussigen Quecksilbers gemessen haben, sind heute weitgehend durch Infrarotthermometer ersetzt. Infrarotthermometer messen die Wärmestrahlung, die ein Kör per aufgrund seiner Temperatur abgibt.

·c

o·c •

Der absolute Nullpunkt lo('gt bt>i -273,15

-273,1';(

C• 0 K.

Die Temperaturskala ist sehr groß und umfasst viele Zehnerpotenzen. Sie ist nach unten begrenzt, obwohl wir 0 K nie erreichen können. Die obere Grenze ist nicht klar defin1ert. jedoch hört der Sinn einer Temperaturangabe auf. wenn Atome vollstJndig ionisiert werden und Atomkerne fusionieren. Dies ist z.B. im Zenrrum der Sonne der Fall, in dem Temperaturen von vielen Millionen Grad herrschen. Bei emer logarithmischen Darstellung der Temper
B<-don<Jllng fur Lebton I Eo~punkL

Fieber

Zerstörung

vonDNA

-6

-5

-4

-3

-2

-I

0

tie fste e rreichte

flüss;ges

Temperatur

Helluon

2

3

tl

4

5

6

I

Hochtemperatur Supraleotung

..I

n

Tempcr~tur

on der Sonne

höchste SchmeiLtemperatur Abb. 4.3 l<>garithmiS
Tempero~tursk.Jia

m•t dl'f l•nletlung nach Ke~

4 Wärme, 4.1.3 Thermische Ausdehnung

Ausdehnungskoeflinent Fast alle Korper ze1gen mu Temperaturzunahme eme thermisch bedmgte Au~dehnung. Dies gllt sowoh l hlr Festkörper wie fur Fhl~s•gkeiten. Auch Ga~e dehnen sich bei konstantem D1uck aus. Die thermische Ausdehnung kann auch zur Tempcrattlrmessung herangezogen werden. Dabei ist die re· lative Volumenänderung l1VJV proportional zur Tempcraturanderung l1T: l1V V

/JI

l1T

Die Proportionalitätskonstante IJr ist der thermische Volumen-Expansionskoeffizient. der charakteristisch fur jedes Material isl D1e relative Längenän· derung durch Temperatur 10 nur emer Raumrich· tung w1rd lineare therm1sche Au~ehnung genannt und entspricht einem Drittel der relativen Volumenanderung: 6/

ll1V

T 3v

01 · l1T.

Dabe1 ist a; ~ l/31Jr der lineare Ausdehnungskoeffizient. Therm1sche Ausdehnung 1~t nur möglich. wenn alle Seiten eines Körpers frei sind. Wird durch Einspannung die thermische Ausdehnung verhindert. dann steigt der Druck proportional zur Temperatur. Druckerhohung von Ga~en. d1e m geschlossenen Flaschen erhitzt werden. kann zu Unfällen fuhren. Thermische Ausdehnung von Wasser Eine w1chtige Ausnahme von der thermi~hen Ausdehnung tst Wasser Be1m Schmelzen macht F1s emen DIChtesprung. d.h. das Volumen schrumpft und d1e Dichte steigt be1m Ubergang von Eis zur FlüSSigkelt um ca. 9 an Abb. 4.4 ,, Be• we1terer Temperaturerhöhung steigt du.• DIChte b1s 4 ·c weiter an und fdllt erst dann Wieder ab. Entsprechend z1eht sich das Volumen von 01Jss1gem Wasser b1s 4 • C zusammen und dehnt sich erst bei höheren Temperaturen wieder aus. Der Dichtesprung von Eis zu Wasser hat zur Folge dass t:tsberge auf Wasser p (gern

'J

1.0

'""- ..__

---

Wasser

0,9 T(

8

6

-4

-2

0

2

4

6

8

CJ

tO

Anomalie cles W;ossers. Docht~ vnn E" und w.,..,.. m Abt>J '9•ghe I von Mr Temp.:r~tur. Abb. 4.4

Lö~lichkeit,

Diffusion 4.2 Wdrmc und Wärmekapazität

schwimmen und dass Seen im Winter nicht ganz zufneren. Dtese Anomalit des Wassers beruht auf der komphz•erten Kristall~truktur von Eis und ßuss1gem Wasser. Tt mperaturmessung d~ Korpers gibt n•cht nur Au~­ kunlt über d•e Normaltcmperatur. wndem auch Annalt\punkle lür Krankheiten. Bei lnfekt•onen ist die Körpt'r · temperatur erhöht. M•t ~rwor Thermographie dl'r Kor· peroberflache konnl'n Tume· se hao~g eine erhöhtP Tftnpewur aufweisen. M1t heute ertlJitlichen hochempfindliChen lnfrarotlcameras können Tl'mperaturunterKhot'dt• von lehntel Graden leocht aufg<•IC:l\1 werden. Die Körpertemperatur von Frauen wt-i\1 l'lne monatloche Schwankung von ca. 0,5 C auf, worau\ d•c vcrKhoedenen Phasen d~ Zyklus be.timmt werden können.

.... ... Chec:k-i.~p tl' Worin unterscheiden sich die Kelvinskala und die Celsiusskala? Worin sind sie Identisch? tl' Machen Sie sich nochmals klar, wie Tempera· tur und Volumen eines Korpers voneinander abhängen. tl' Wie druckt •ich die Anomalitat des Wassers aus, welche ph~okalischen Größen verf\alten sich anomal und warum?

..

4.2 Wärme und Wärmekapazität .., ...

~rncoach

Wir haben bisher erfahren. dass Wärme mit der kinetischen Energie von Molekülen in c:;a. sen identifiziert werden k<~nn und die miniert kinetische Energie <~ls Temperatur zum Ausdruck kommt. Wlr haben auch erfahren, wie man eine Temperatur messen kann. Zur Vor· bereitung <~uf den nlichsten Abschnitt machen Sie sich bitte noch einmal klar, dass Wärme eone Energieform Ist und zwar die Bewegungsenergie der MolekOJe in Gasen, Flusslg· keiten und Festkorpem.

4.2.1 Überblick jeder Korper enrhalt eme besummte Menge Ener· g1e m Form von Warme. Wiev1t"l W~rmt" em Körper aufnehmen oder speichern k.1nn. hängt von semer Wärmekapazität ab und kann mit einem Kalorimeter gemessen werden. Dabe1 nutzt man d1e bekannte Warmekapaz1tat von Was~er als Referenzwert. Durch dte dre1 Haupts.itze der Thermodynamik w1rd beschneben. m welchem Zusammenhang Warme zu anderen Energ1eformen steht und wie d1ese meinander umgewandelt werden können. D1ese Sdtze sind sozusagen die Grundregeln dcr

77

78

4.2 Wam1e und W;irmekapazitat 4 Wärme, Löslichkeit. Ollfusion Wärmelehre. Sie werden am Ende dieses Kapitels besprochen. 4.2.2 Wärme und Wärmekapazität Wärme ist eine Form der Energie. Führt man emem Körper eine bestimmte Wärmemenge öQ zu. dann erhöht sich seine Temperatur von T1 nach T1• T1 + CIT: CIQ;C·CIT

Entzieht man einem Körper Wärme. dann kühlt er sich ab. Wärme (Wärmemenge) ist also die einem System zu- oder abgeführte Energie, die die Temperatur und/oder den Aggregatzurt<~nd des Systems ändert (S. 87). Die Proportionalitätskonstante zwischen Wärmezufuhr (oder -abfuhr) CIQ und Temperaturänderung CIT ist die Wärmekapazität C des Körpers. Die Wärmekapazität drückt das Vermögen eines Körpers aus. Wärme zu speichern. Die Wärmekapazität hat einen marerialspezifischen Anteil und einen extensiven Anteil. Der materialspezifische Anteil wird spezifische Wärmkapazität genannt und ist charakteristisch für jedes Material und insbesondere für den Aggregatzustand. Der extensive Anteil ist entweder die Masse m oder die Molzahl n: Spezifische Wärmekapazität ist die auf die Masse m bezogene Wärmekapazität: Cm • Cfm Molare Wärmekapazität ist die auf die Molzahl n bezogene Wärmekapazität Cmo~ • Cfn Die Definition und Einheit der Wärmekapa71tat ist:

c Die Defintion und Einheit der spezifischen Wärmekapazitäten ist:

Wärmekapazität von Gasen und Festkörpern

Die Wärmekapazität von Gasen kann leicht ab· geschätzt werden. da sie aus der Zahl der Freiheitsgrade f der Bewegung folgt. jeder Freiheitsgrad tragt R/2 "' 4 J · mol 1· K 1 7Ur molaren W.lrrnekapazit~t bei konstantem Volumen Cmol,v bei. Ein einatomiges Gasatom hat drei Bewegungsfreiheitsgrade der Translation in den drei Raum rich tungen (j • 3 ). Bei drei Freiheitsgraden ist die molare WärmekapazitltatCmo~.v ~3R/2 •12j · moJ· 1 · K· 1• Zweiatomige Gasmoleküle haben drei Freiheitsgrade der Translation und zwei Freiheitsgrade der Rotation um Achsen senkrecht zur Verbindungslinie der Atome. Damit haben zweiatomige Gase wie Stickstoff, Wasserstoff oder Sauerstoffeine Wärrnekapazitat von SR/2 "21 J. mol 1 • K 1• Bei Festkörpern folgt die Wärmekapazität aus der kinetischen und potenziellen Energie der Schwingungen der Atome um ih re Gleichgewichtslage im Kristallgitter. Dies erg1br msgesamt 6 Freiheitsgrade und eine molare Wärmekapazitität Crno~,v = 3R • 25 J · mol 1 • K- 1 bei Raumtemper.-uur. Die kon stante Wärmekapazität von Festkörpern bei Raum temperatur ist bekannt als das Gesetz von DulongPetit. Wärmekapazität und Wasser

ln diesem Zusammenhang fäll t Wasser in flüssiger Form mit einer molaren Wärmekapazität von 75J · mol- 1· K- 1 völlig aus dem Rahmen ( Tab.4.1 ). Wasser hat die höchste molare Wärmekapazität von allen bekannten Fluss1gkeiten. Wegen der hohen Wärmekapazität kann Wasser viel Warmeenergie aufnehmen. ohne sehr heiß zu werden. oder umgekehrt das Erhitzen von Wasser ist besonders kostspielig. Wasser ist also em wichtiger Tabelle 4. 1

Die Defintion und Einheit der molaren Wärmekapazität ist: J c..... nCIQ · CIT ,C' mol K' Genau genommen muss noch berücksichtigt werden. ob die Wärmekapazität bei konstantem Druck (isobar) oder bei konstantem Volumen (isochor) angegeben wird. Bei Festkörpern und Flüssigkelten 1st der Unterschied nicht groß, bei Gasen. die bei der Aufnahme von Wärme stark expandieren, ist jedoch der Unterschied erheblich. Denn bei konstantem Druck d1ent d1e Wärmeaufnahme zus.irzhch der Volumenausdehnung. Die Differenz ZWISChen isobarer molarer WärmekapaZit~t Cmo~,p und isochorer molarer Wärmekapazität Cmo1.v ist bei Gasen gleich der universellen Gaskonstanten R, d.h. ca. 8.3 J · moJ- 1· K- 1.

Will-' JPI • ._!MI Iran t -11VoluSto ff

Mo lare Wännekapazl!Jt

Spezifische Wlrme ka pu lt•t

(Jimol . K)

U/kg · K)

Einatomige Ga<e

12,4

z,..,c~lOmlg~

20.5

Gase.

N,: 742

o,: 655


re~lkorper bei ho-

25

Cu.390 Al 900

Eis: 36

(J<;

hen Temperaturen Wasser H10

flüss•gf's

Was~er·

2000

flussiCJes Wasser:

75

4190

Wasserdampl:

Wasserdampf.

36

2000

4 W.ilrme. lö•llchkelt, Diffusion 4.2 Wärme und W.irmekap.tllldl

Wärm«?sp«?icher. Die Wärmemenge. d1e von Gewässern im Sommer aufgenommen w1rd. kann 1m Winter w1eder an d1e Umgebung abgegeben werden. Der menschliche Korper enthalt emen hohen Anre1l von Wasser 01e hohe W.lrmek.lpali· t.ir verhinden schnelle Temperaturschw.lnkungen dts Körpers bei Ändrrung der umgebenden Luft· remperarur. D1tse Besonderheit von Wasser ist in dem polaren Charakter der Wassennolekule und den Wasse~roffbruckenbmdungen zu suc:hen.

Rechenbelspiel Afischungstempc!Ritur

Welche Mischungslt'mpl'r~tur T' stellt sKh niln unters.cllledli eher Masse und Temperatur em. falls somt kelll(' Wilf· mE'II(>Mte ..uftieten? ln doe.em Fall muss dlt> gesamte Wärme V« dem \1t.cllen gi<--Kh der <JL~mk'll W3rme nach dem Mischen seio:

(Q,. Qz>-, - Q-.

Kalorimeter Wärmemenge und die Warmekapaz1t.1t eines Körpers werden m1t emem Kalonmerer bestimmt. Dabei wird em heißer Körper in em Wasserbad getaucht und d1e Temperaturanderung des Wassers nach Tempemurausgle1ch gemessen. Da d1e Warmekapazit.it des Wasse~ bekannr ist, kann man aus der an das Wasser abgegebenen Wärme d1e Wärmekapazllät des Körper~ bestimmen. Der Energ1einhalt von Nahrungsmitteln w~rd l.B durch Verbrennen (Oxidieren) in emer kalonmeuschen .Bombe·· bestimmt. Die Bombe wird in ein abgeschlossenes Wasserkalorimeter gestellt und die Temperarurerhöhung gemessen. Rechenaufgaben Ein Proband gobt (bei leochter Tatigkl!ot) 100 W in fonn von Warme an die Umgebung ab. Diesost gerade so vWI. dau St"tne (llllttil'f<') Kllrp<,•rtcm· peratur konstant bleoht. Oie W"Mmekapdlll~t \t'lll<'~ Körper' beträgt 180 kj; K. Um wekhen ~rJg wurde d•e mtttlere K.llrpertemperatur d.!s Probanden a~tekjen. wenn be1 gleicher Mr· mebildung eine Stunde t.ng krine W.irme nach OlluRen abgegt'ben Wffdfon kann? Aufgabe 4.1 :

Aufgabe 4.2: ~an findt"t

lmmt.'r mal wk·dcr den gut gemeinten Rat. e•ne Ooat 1ur Gewkhtutduktion könnt' dadurch unterstutzt werden. dass m.1n nur gel<ühlte Spt>tWn und Gt·tranl<e zu steh ntmmt. Machen Wir die Probe und bt•rt~llnl'n dte lnl'rg•e. d•e benotogt Wird, um O,SIB•I'r von 7 C ~uf 37 'C Kö~rtcr~r~tur zu erwJrmen Diese ~urzubringende Encrg•e soll dJnn verghc hen werden mtl dem Brennwert von BtN. Der spez,fische Brennwert von BtN t\l l'lwa 2000 kJ/kg. (Lösungen S. 225}

oder unter Berucksicht>gung der spezrhschen \'Vallllt'kapantäten:

(C~m 1T, - C~mz Tz) ...r..,

(C~m ,

C~mz)n.v~~~~tt r•.

0~ d•e Wärmek<~przrtaten !k'r bf>rdo>n fJü,~~qkf'ltl'n idm-

to\Ch stnd (C~ =Ci,). könMn sre aus der Gleichung rausgekürzt werden. Otl' erwartete Mischungstemperatur folgt dann durch Auflösen d!'f Glt>i< hung nJth T': T'

m,T,• mzTz m1 i mz

falls 1 lrter Wasser bet 60 'C und 3 Ltler Wasser bet I 00 C gemischt werden. dann ist die Mosthunqstcm pcratUI~

T"

333 1

!·

373

363 K oder C)() C

Hier haben "ir die Masse durch Liter ef\tllt. Das ht möglich. da die Masse m - pV proport•onal rum Volu· men ist und bei gleochen Flusstgkeotc'll sKh dre Dichte herauskürzt. Außerdem mus1 man noch dardul ~chtcn. d.!l.S die Jbsoluten Tempeturen auf d!'r Kel...in-Skala erngesetzt ""-'Iden und noe:ht auf der Celsius-Skala.

Pralctlla1 m

Es soll die Wiil'1'1ekapa~itdt von WasSt"r bestimmt "'t'~'"

den. DalU verwendet man em gut i\Oirertes Gcfä&.z.B. eme Thermosflasche bzw. e•n K.llorirm-ttr, und lullt doc"-" m•t Wdsser. E•n T,JUchsieder v.ird ~t.'I'Wend!•t. um uber elektrhche [nerg•e da' Wasser aufzuhelzen und m•t einem Thermometer wtrd dte Tempefatur als runk· tron der Zeit gemessen. An den huch,ied~ word noch ein Amperemeter in Re•he geschalt~t um dl'n Sllotn lttl Ampere (A) zu messen. und etn Voltmet~r p.11altt>l da1t1, um die Spannung U in Volt (V) zu messen (Abb. 4.5). Be• konstantem Strom und konstanter Spannung ist die zu· geführte Energie proporttonal zur Zeit: W • U. I . r Diese Energie doent der Erhöhung der WJrrnr 1\Q • C\\~T des Was-crs. Falls ketne Wärml'verluste auf· treten. gilt W; AQ. Da ane Größl'n bl-~annt Sind, kann die Wärmelcapaz•tlit bestrmmt WNdt?n: Ult

Cw.U
llT

79

80

4.2 Wänne und Wärmeko~po~.r•till 4 Wä~. Löslichkeit, Diftuslon Bei bekannter Ma~se m und Mc•ltahl n kann ~owo/11 die spez1fische Warmt•kapa111.11 C " C""" ,Jm wlf.' ilUCh d•l' molare w.mnf.'kapa7ot.1t ( - Cw... jn bt·lt.'r Steigung S U Ii c,,.,••....,. DiE' Str•gung iS! al\0 um \0 klconcr, je gröl~er d1e Warmrkapa11tat 1st. Der größte ft>hler ent\tt>ht dadurch. dass sich nicht nur da' Wa\\l'r. \Ondem auch das Kalorimetc1 crw:innL 0dnn gdt fur die zugefulvte Wdrme: IV •IIQ • Cw...~ II/ • KilT. wobei K d•e Wdnnek.lpalltät des Kalorimete" •lt. tn d·e~em Fall word die Steigung flacher S U I1 (Cw•"" I K) und die berl•chnt•te Walml'kapMtl,ot für Wasser 1st gcrln<Jer als l'rwart~t. K kann 11\3n bt>\tlmmt.'fl. WL11n rm-hrere Veßuc~ mit unter~hlcdllc:hl'fl Mrogen von Wasser durchgeführt w~den.

r--------111-ArnJ)('remt>tf.'r Voltmeter

Thermometer

4.2.3 Hauptsätze der Wärmelehre Thermodynamische Systeme Die Grundgese1ze der Wärmelrhre werden in Haupr~atzen 1u~mmengefass1 Daw ward zu· nilchst detinaert. was ean thermodynamasche~ System tSI. Ein thermodynami!.ches System ast etn System von Teilchen (Gas. Aüssigkeat oder Festkörper). welches mat Sl'tner Umgebung in mindestens ZWI'i Arten Enl'rgte austauschen kann (Abb. 4.6~ Etne da von muss Wanne sean. Dae andere kann z.B. mechanaSChen (kmt'taschen und potenzaellen) Energae W' U - Q + W. Exphm ist damit ehe WJrme als eine form der Energie verankert. Dac .Zusammenseuung" der mneren Energie U emes Körpers kann auf TWt'l Artrn geandcrt werden: entweder durch Zu- bzw Abfuhr von mecha amchea· Cnergie 6W, oder du ach Zu- bzw. Abfuhr von Warmeenergre 6Q. Die Änderung der innerrn Energae vom Zustand 1 zum Zustand 2 kann grschneben wt>rdrn: U,

Kalorimeter zur Bestimmung der >P"Zlfisch~n W.it'IM von Flüsslgkt'lt~n.

Abb. 4.5

~•., Die folgenden Hauptsaue der Wärmelehre sind wichtige Grundlagen der Thermodynamik. Sie spielen allerdings bei der täglichen Arbeit elot>S Medizinl'n nur eine untergeordnetete Rolle und werden •uch nur sehr selten gepruft. Troudem lohnt es sich, den n.ichsten Abschnitt zu leseo. ü erklärt einige Erfahrungen. die wir t~lich machen, wie z. 8. die Tat· ~ehe, dan eine heiße Tasse Kaffe sich von selbst ablih Ist.

U1

t;U

t;Q

t.W.

Dabr1 astdie Anclerung der Wärmeenergie t.Q po· Sallv. wenn Warme dem Sy~tem 1ugefiihrt ward. ~lbt negativ. Dae Anderung der mechanischen Energre t;W asr posrtav, lo\'t'nn .:an dem System Arben geleastet wird. umgekehrt wenn d.Js System Arbeat lelst<.'t astdie Anderung negativ. Darau~ folgt· Mechanisch" Arbeat llW am Sy~rem rrhoht seane Wdrmeenergae I!Q. Ussr man z. 8. eme Kugt-1 Knrrmasse auf dtn Boden fallen. verringert lh~t onodynamo\C!)('<

A!WII W

~

•

~lrm

~

•

Wärmt> Q

Tcrrper.itu< T

Thermodyn~mlsdles SysUm. r'" tht>rniOd)'l.,ml S) ''' ""' ~ 1t- h ." ~ ••u T ...,, \.,..m.., und mecN· • -AU~ Af~ ml.;. K U \ ~bv"Q ill.J .-l!J\Ct\f'n.

Abb. 4.6 C>M

4 Warmt, löslichktlt, Diffusion 4.2 Wärme und Wärrnckapalität

sich ihre potenzielle Energie, ihre Wärmeener· gie nimmt entsprechend zu. da s1e sich beim Aufprall auf dem Boden eiWärmt. Druckt man den Kolben e10er fahrradpumpe h10e10, dann wird mechanische Arbe1t an dem System Luft 10 der Pumpe geleistet. Dabe1 erhöht s1ch seine WJrmeenergie und die Luft wird warm. Wärmezufuhr 4Q erhöht die Fähigkeit des Sys· tems, mecham~che Arbeit 6Wzu le1sten. Erhitll man z.B. Gasmeinem Kolben. nimmtseine WJr· meenergie lU und es dehnt sich aus, wobei es am Kolben mechamsche Arbeit leistet. Falls ein System vollständtg abgeschlossen ist. dann kann sich d1e mnere Energ1e nicht ändern und d1e Summe aus mechamscher Energie und Warmeenergie 1~1 konstant: 6U • 0 und also Q + W • konstalll. 2. Hauptsatz der Warmelehre: Richtungsabhängigkeit der Energieumwandlung (Entropie) Der I. Hauptsatz der Thermodynamik sagt, dass 1n e10em abgeschlossenen System die Gesamtene1g1e aus Wärmeenergie und mechanischer Energie kon stanr ble1bt. Der I. llauptsatz wird nicht verletzt. wenn alle mechamsche Energie in Wärmeenerg1e umgewandelt wurde oder umgekehrt, alle Wärme· energ~e 10 mechamsche Energ•e. Be•des sind zwe1 aqUJvalenre Lnerg1eformen. Der 1. Hauptsatz ver· langt nur, dass d1e Summe aus beiden Energiefor· men konstant ble1bt. 01e tägliche Erfahrung ze1gt uns aber. dass es me1stens nicht möghch 1st, d1e Warmeabgabe an e10 System wieder ohne We1teres ruckgängig w machen. D1e Knetkugel, du! SICh beim Aufprall auf den Boden erwärmt hat, w1rd durch Abkühlung nicht von selbst wieder nach oben spnngen D1e l:nergie ist nach der Umwandlung 111 Wärme 7war 1mmer noch vorhanden, aber nicht mehr so v1el .wen·. D1es lasst sich durch eme Analogie veranc;chauhchen: Wasser, das beim Waschen verbraucht wn d, 1st danach 1mmer noch vorhanden - allerdings in e10er Form, 111 der es mehr nochmals fur denselben Zweck veiWendet werden kann. Me· chamsche fnerg1e 1st .hochwertige" Energ1e, denn mechamscht' fnerg•e kann vollstandig zur Arbeits· verrichtungausgenützt werden. Wärmeenergie ist dagegen .. mmderwe rtlger". denn nur em Bruchteil kann w1eder m mechan1sche Energ1e umgewandl'lt werden. Es muss also ~ine weitere Größe geben. d1e d1cse Energiecntwe1tung quamitativ beschre1br. 01ese Größe w1rd als Entropie S bezeichnet Wenn e10 System Warme aus semer Umgebung aufn1mmt um damit Arbeit zu leisten, dann Wird s1ch trotz Warme.JUfnahme die Temperatur n1cht andem. D1e Gle1chung 6Q • C 6T gilt dann offensichtlich nicht, denn 6T • 0. Trotzdem hat eine Anderung

stattgefunden, und zwar eine Entropiezunahme: 6Q • T 65. Daraus folgt fur d1e fntropieanderung des Systems: : 65

6

~ , mit der Einhell

S

J

j(•

Warmezufuhr muss also mehr notwendiger WelSe zur Temperaturerhöhung fuhren, Warmezufuhr fuhrt aber immer zu einer Entrop1eanderung. Der 2. Hauptsatz der Warmelehre stellt lUm emen fest, di!SS W.mneenergie und mechani\che Energie nicht äquivalent sind: Wärme ist ungeordnete kinetische Energ1e. Ge· schwindigke1ten und Impulse crstrecken sich uber alle Raumnchtungen; Mechanische Arbeit 1st geordnete kmeusche Energ1e mit G~hwindigkenen und Impulsen in nur emer bestimmten R.lumrichtung. Aus geordneter Energie kann ohne Verluste unge· ordnete Energie erzeugt werden, Jedoch ist es n1cht moghch, ohne Verluste aus ungeordneter Energ1e geordnete Energ•e herzustellen (oder: .Ein unordentlicher Schreibtisch räumt s1ch n1cht von selbst aur'). Cine andere Formulierung des 2. Hauptsatzes sagt, dass es keme Prozesse g1bt, be1 denen die Gesamt· entrop•e des Systems abmmmt. ln emem revers1b· len Kre1sprozess kann 65 • 0 sem. aber uberlicherweise ist l!J.S ~ 0, niemals Jedcxh 65 s 0. Man kann zeigen, dass d1e be•den folgenden Aussa· gen aqu1vatent sind· ( I ) D1e Umwandlung von Warmeenergie m mechanische Energ1e ist prinz1p1ell unvollstand1g. (2) Alle Prozesse Iauren so ab, dass stets 65 ~ 0 ist. Wie schon angedeutet, unterc;cheJdet man Lwischcn reversiblen und irreversiblen thermodynamischen Prozessen Die Durchmischungzweier Gase, die anfangs getrennt waren. ist ein irreversibler Prozess. da. s1e s1ch mcht wieder spontan trennen. Oder eine heiße Tasse Tee, d1e duf(h Warmeabgabe an die Umgebung abgekühlt ist, w1rd s1ch mcht von selbst wieder eMarmen, mdem d1e Warme aus der Umgebung 1n die Tasse zuruckß1eßt. Be1 solchen Irreversiblen Prozessen. d1e stets in e10e RICh· tung verlaufen und nicht ohne zu~tzlichen Energieaufwand umkehrbar smd, mmmt d1e Entropie stets zu. Im Gegens.uz da7u kennen w1r reversible Kreisprozesse, w1e z.B. thermodynamische Maschinen. bei den die Entropieänderung nach Beendigung eines Zyklus null ist. Be1 reversiblen Prozessen 1st d1e Entropieänderung null. be1 irreversiblen Prozessen nimmt d1e Entropie zu. Irreversible Pro· zesse laufen stets so ab. dass e10 Zustand mlf geringerer Wahrsche10hchke1t m e10en Zustand mit ~roßerer Wahrscheinlichkelt ubergeht. Nur solche Prozesse laufen von selbst ab. be1 denen die En· trop1e wächst.

81

82

4.2 Warme und Wärmekapazität 4 Wärme. löslkhkelt, Diffusion

Wörmekroftmaschine Die Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit geschieht in zyklisch arbeitenden Wärmekraftmaschmen {Abb.4.7). w1e z.B. 10 einem Kohlekraftwerk. Ein heißes Gas (z. B. Wasserdampf) dehnt sich aus und übt dabei eine Kraft aur einen Kolben aus. Damit ständig Arbeit geleistet werden kann. muss der Kolben immer wieder in seine Ausgangslage zuruckkehren. Dies gesch1eht, indem ein Teil der durch das Verbrennen der Kohle entstandene Wärme an die Umgebung abgegeben wird und das Gas dabei abkühlt. sodass der Kolben zurtickkehren kann. Die Wäm1ckraftmaschine nimmt also Wärmeenergie Q, bei hohen Temperaturen auf (heißes Reservoir. Abb.4.7). verwandelt einen Teil der Wärmeenergie 10 mechanische Arbeit W und gibt die Restwärme QJ. an ein k:ilteres Reservoir ab. Der Wirkungsgrad 11 einer Wärmekraftmaschine beschreibt den Anteil der Wärme. der in mechamsche Arbeit umgewandelt wird. Er wird aus dem Quotienten von geleisteter Arbeit W zu aufgenommener Wärmemenge Q, berechnet:

11

~

und das 1st

Q"

Q;, ~

Da Q" nicht Null sein kann. ist der Wirkungsgrad notwendigerweise kleiner als I. Bei konst
11

r.h- r.k tk - - und das ist I - -. Th Th

Typische Werte fiir em Kraftwerk smd rk~ 300 K und Th• 900 K. sodass der Quotient T,/Th•l/3 ist und damit der Wirkungsgrad 11 • 2/3.

Wärme.f
q-

w

W (Kolben)

0,

Abb. 4.7 Prinzip der Wärmekraftmaschine. Warm~ '"'d beo hoher Tem~atur ~us tlll(!m heiSen Resef'YOII' ~ufgcnommen. bn Te.l de< Warme wird Wl Arbeot umgewandelt, der Re~! w"d an ein kaltts Reservoir abgt>geben und i~t darnot verloren.

Der menschliche Körper kann auch als eine Wärmekraft· maschine betrachtet werden. Energre word dem Korf>('r in Form von Nahrung zugeführt. Oie energiereichen ch!!mischen Verbindungen der Nahrung dienen zum ernen der Aufrechterhaltung der Warmt> des Körper$ und

zum anderen der Verrid\tung mechanischer Arbeit. Der Wirkungsgrad für die mechanische Arbeit rst von der Großenordnung 20 - 25 %. Hochlerstungssportfer erreichen einen Wirkungsgrad von 30 - 35 %. Lord Kelvin hat den 2. Hauptsatz in einer knappen Aussage auf den Punkt gebracht: ..Es gibt keine penodisch arbe1tende Maschine. deren einzige Wirkung darin bestehL. Wärme einem Reservoir zu entnehmen und vollständig in Arbeit umzuwandeln". Damit ist auch klar. dass es kem Perpetuum Mobile geben kann. 3. Hauptsatz der Wärmelehre: Entropie bei T 0 K Der 3. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass am absoluten Nullpunkt der Temperaturskala die Entropie 0 ist. und dass kein System auf den absoluten Nullpunkt abgekühlt werden kann. M1t d1eser Aussage folgt auch. w1e man zeigen kann. dass die Wärmekapazität aller Körper ebenfalls am Nullpunkt gegen null gehen muss. Wir h.aben aufS. 78 gesehen. dass die molare Wärmekapazität von Festkörpern bei Raumtemperatur ca. 25 J mol 1 K 1 beträgt. Aus dem 3. Hauptsatz können wir schließen. dass die molare Wärmekapazität mit abnehmender Temperatur nicht konstant bleiben kann. sondern auch auf Null gehen muss. Dies wurde experimentell vielfach bestätigt. Zusammenfassung Der 1. Hauptsatz drückt die Energieerhaltung einschließlich der Wärmeenergie aus. g1bt aber keme Richtungsabhangigkeit von thermodynamischen Prozessen vor. Eine R1chtungsabhang1gkeit entspricht aber der t<'iglichen Erfahrung: W.irme Oießt immer vom wärmeren zum kälteren Teil. Der 2. Hauptsatz druckt eine Richtungsabhängigkeit flir ZustandsJnderungen aus. insbesondere für solche Prozesse. die mehr möghch smd. Es laufen nur solche Prozesse von alleme <1b, d.h. ohne Zufiihrung von Energie. bei denen die Entropie zunimmt. laut Rudolf Clausius: ..Die Energie der Welt ist konstant. Die Entropie der Welt strebt einem Maximum zu I" Außerdem besagt der 3. HiiluptsaU. dass am abso Iuren Nullpunkt der Temperatur die l:.ntropie Null ist und d•eser dam•t mcht erreich! werden kann. 4.2.4 Wärmetransport Es gibt drei Arten. Wärme von einem Körper auf emen anderen zu übertragen: Wärmeleitung. Kon -

4 Wlirm~. lö~lkhk~lt. Ollfusion 4.2 Wiirme und Wärmekapazität vekuon und Warmesrrahlung. Alle drei Arten der W;Jrmelertung sind für den menschlichen Körper WIChflg.

dunnte Gase (Luft: 0.026 W m '·K 1). Wasser hat dre hochste Wärmelettf.ihigkett von allen Alissigkerten (0,6 W m '·K 1).

Wärmestrom und Wärmeleitfähigkelt Smd e111 heißer und ein kalter Körper in Konrakr. dann nießt solange Wärme vom heißen zum kalten Körper. brs die Temperaturen berder Körper ausgeglichen smd (Abb. 4.8). Erst dann rst das thermische GleiChgewiCht hergestellt. Flle&>n von Wärme ,q ahnlieh wre das Aießen von Aimigkcuen, allerdmg~ wrrd keine Masse sondern Energie transportiert. Der Warmestrom IQ ist dre Wärmeenergie pro Zeiteinheit (Warmemengc pro 7.eiteinhert), die durch das warmeleitende Medium fheßt. Analog zum Ohm'~hen Gesetz (S. 68) grlt: llT

Praktikum · :

IQ

RQ

wobc1 RQ der Wärmewrderstand rst. Der WMmestrom hat dre Emhelt Wart (W}. Daraus erkennt m.m. dass Energie pro Zeitemhert transportrert wird ( t W • t J/s}. Der Wärmewiderstand hat llhnhch dem Strömungswrderstand von FIOssrgkelten oder dem elektnl><:hen Widerstand von elektrischen Stromkrersen emen geomerrischen Anteil (Lange I und Quer~hnrrtsfläche A) und emen materialspezifischen Anteil. R

Q

I I Ei h .

.AA'

n e1t: 'RQ'

K Wau·

A wird Warmeleitfähigkeit genannt und hängt vom gewählten Material ab. Dre Warmelertfahrgkeit hat dre Emhert: )s m K

W

m·K Metalle (Cu· 400 W m '·K 1) Ieuen Warme besser als Isolatoren (Holz: 0,14 W m '·K 1) oder ver· WdiTnNt'~~rvoir

auf kon~t~ntcr hoher

a~>l

Temperatur

r. > r,

WJnnereservoir konstanter niedr~ Temperatur

r, < r.

Abb. 4.8 ~ltung. l - . Wln-~~ rn.t unt<"r· X <".-.! ICtwon T""~"'turen sond mot ~rwldft uber...,.. w.orm"'otf4hogc St~"9~ df'r t.:l~ I und dt'r Querl(hlllltsiUch<' A wmund•m Au\ ck>r TemperatUrdttfrt<'nz und dem Wilrmesllorn w~d

die Yid<mclettl•hig"eot

~hmmt

Wärmeleitfähigkeit l Jr Best•mmung der W~rmele-tfah•gkert wrb•nd<·t man twei Warmer~'Oirs, di<' auf unterschiedlichen

und kon,tanten Temp..-raturen gehalten werden, m•t emem Material ~nnter Uingr I und Quer"hntiiS· ß;iche A. Durch den W.irmestrom 110n A nach 8 mu\\ das ReservOir A standig geherzt werden. damtt ~sauf konstanter lt'mf>('rdtur bleibt. D•e Heizleistung des Reser\'Qirs A ergibt den W.lrmewom •n Wdll. 01c w~, meleitf.ihlg!..eit folgt aus. dem Quot•enten: '

I !9_

"" • AilT' ln d~ nur belcdnnte I erme elngo.o/len. Analog zu Flussigkeitcn gelten auch hier be1m War· mestrom die Kirchhoff-Gesetze (S. 69 lL S. 108}. Wllrmewlderstände können parallel oder ln Reihe geschaltet werden. Fenster 10 e10em Haus lassen alle glerchze1tig Warme durch. d.h. sie s10d parallel g~haltet. Kleidungsstucke smd ublicherwetc:e 10 Rerhe ge~altet und vergro~rn den WärmewidcrStilnd mit jeder Schicht. Zur Wärmedämmung be· nougt man Material mrt cmcm hohen Wärme wtderstand. Fell und Bekleidung mit trocknen luftgefullten Poren haben emen hohen WarmeWiderstand. Was~er hat e10e ~ehr hohe Wärmelertf.ihigkt>it. Bei nasser Kleidung wird der Wärme w1derstand .kurz geschlossen· und Wärme kann aus dem Korper schnell nach .mßen dringen. Durch ve~hwnze Klerdung nach sportlichem Training kann schnell eine Unterkühlung mtt Erkältungsge fc1hr auftreten. Der Warmeverlust im Wasser ist c.J. 5· mal gtößer als in lufr du rch dre höhere Wärme lenf.ihigkeit des Wassers im Vergleich zur Luft. Dte Unterkuhlungsgefahr ist daher wesentlich großer. Konvektion Konvektion beschretbt dc.>n Austau~h von Warmeene~te durch gleichzelligen Materietransport. Bel Temperaturgradienten m Flussigkeiten und Gasen kommt es haufig zu dtffusivem Transport von herßen Partikeln zu kä lteren Beretchen. Luft streicht am Körper vorbei und n11nmt dabet Körperwarme auf. Der Warmeverlust durch Luftkonvektion kann erhebhch se10 und lercht zur UnterkOhlung des Korpers führen. W;!rmestrahlung W,umestrahlung ist kontaktloserWärmeenergrealb· tausch durch elekTromagnetische Wellen (vgl. S. t7g).

83

84

4.2 WJrme und Wärmekapalität 4 Wärme, löslichkeit, Diffusion jeder Körper mit einer Temperarur Tsrrahlt ein für diese Temperatur charakteristisches Spektrum von elektromagnetiSChen Wellen ab. Diese elektromagnensche Strahlung wird Wärmestrahlung genannt. Das Wellenlängenspektrum der Wärmestrahlung ist sehr breit und hat em charakteristisches Maximum. Die Gesamtintensität der Wärmestrahlung steigt mit der vierten Potenz der Temperatur:

,Q- o-

und ungeschützter Körper. der in der Nähe einer 20 ·c kalten Wand steht. kann schnell unterkühlen. Dies ist besonders wichtig für Klemkinder. die noch keine große Wärmekapazitat haben. Rechenbeispiel Nettoobstrah/leistung des menschlichen Körpers

r

Nehmen wor an, dass doe GesamtobPrfläche d!'s Körbeträgt; Durch die RauigkeJt der Korperoberfläche l~t doe EmissivoUlt e nicht 1 sondern auf e • 0,7 reduziert. Die Körpertemperatur ist r. • 37 'C • 3 I 0 K. und die Umgebungstemperatur Tu • 20 C • 293 K. Damot on dit> Nettoabstrahlungsle1stung: per~ ca. 2 ml

o ist eine universelle Konstante und wird als Stefa!l-

Boltzmanll-Konstante (o a 5.66 ><1 o-s W m-2 K-4) bezeichnet, T ist die absolute Temperatur in Kelvin gemessen. Die Wellenlänge. bei der das Intensitätsmaximum auftrill. verschiebt sich umgekehrr proportional zur Temperatur. d.h.je höher die Temperatur. umso kleiner ist die Wellenlänge. bei der das Max imum der Wärmestrahlung aufmtt. Warme Korper strahlen im roten Spekrralbereich. heiße dagegen 1m blauen Spektralbereich.

Wir konnen d1e Abstrahlleostung auch mot dem New· lon-Gesetz absch.ätzen:

lltii93M

Pn.,t•

PIW11o

e

0

A -IT~ 1

8

~· 0, 7 ,., 5, 66 X K • " 2m 2

Wm 310" 293 4 ) ~

10

e o ·A 10

8

4 JlT T1

Wm

2

K 4

150 w

0. 7 2 m•

5. 66 4

17 K v

Wärmeleitung: Austausch von Energie durch direktl'n Kontakt ohne Materi<'transport. Konvektion· Austausch von Energ1e durch Materietransport. Wärmestrahlung. Austau~h von Energie durch elekt· romagnetische Strahlung ohne direkten Kontakt. Die GesamtintPnsität der Wärmestrahlung steigt mit der vierten Potenz der Temperatur.

Bereits bei Ruhe ist der Energieverlust durch Abstrah· lung ca. 150 Watt. wahrend die durchschnittliche W'armeproduktion bel 90 W l1egt. Ohne Kleidung würde man m einem Zommer von 20 C erfrieren!

Stehen zwei Körper unterschiedlicher Temperatur im Strahlungskontakt dann emittiert der erste Körper entsprechend semer Temperatur T1die Intensität 11 o Tf. Ein Bruchteil der abgestrahlten Intensität wird vom Körper 2 aufgenommen. D1eser wiederum strahlt mit der lntensitJt/ 2 - o · wovon em Bruchteil von dem Körper I aufgenommen wird. Die Nenoabkühlung des heißeren Körpers ist proportional zu 4 · flT · f 3. Diese Abhangigken ist als Newto!l-Gesetz bekannt. Ein 37 •c warmer

Im menschlichen Körper wird die Kerntemperatur sehr genau konstant gehalten. Dazu i5t etne Temperaturregl"lung notwendig. d.h. Warmezufuhr durch den Mct.Jbolismus muss im Gleichgewicht mit Wärmeabgabe an doe Umgebung se1n W.Jrmeabgabt' erfolgt haupts.ld}lich durch WJrmeleltung und Konvektion. Doe Blutzirkulation •pielt eine wichtige Rolle beim WärmNransport von Jnnl'fl an doe Korpcroberflache. Bei Überhitzung wird lUsälZii<:h die Verdampfungswärme von Wasser zur Abkühlung ausgenutzt {Schwitzen).

r;.

Tabelle4.2

wa.

,...,.._w.hlt

II . .

~

(WattJkm)

lf . . . . . . . ..

Mechanismus

310 1

K = 160 W

Die W:lrmeleitf.lhigkeit von Wasser ist nichr sonderlich groß im Vergleich zu Metallen oder zu Diamant (Tab.4.2). Sie ist jedoch wesentlich größer als die von Luft und von Gewebe. Nasse Kle1dung kann daher Wärme des Körpers schnell nach außen transportieren und im kalten Wasser kann schnell eine Unterkühlung erfolgen.

Gase. Luft

0.01-0.1

\lolekülstöße

ISOIAtor•n

1- s

Golter>t.Jv.ingungen

~4eJAfte

200-400

lr•1• lle-kllonen

.,"'l.._ Check-up

01amdnl

900

G lt~~chwonqungen

v'

Wasst-r

0.6

0 llus on

Gewebe

0.1 - 0.2

D•ffusoon. Koni!Htion

Vakuum

~uahlung

1



v'

Wie ist die Wärmekapazitat emes Korpers definiert? Wovon hängt sie ab7 Machen Sie sich nochmals den Unterschied zwischen spezifischer und molarer Wärmekapazität klar.

4 Wanne, llhllchkelt. Diffusion 4.3 Thermodynamik voo Gasen

W•rum l~t Wasser ein so guter Wärmespeicher? Erklären Sie, welche Arten von Wannetrans· port es gibt. Welche Konsequenzen hat die Tatsache, dass die Intensität der Warmestrahlung proportional zur vierten Potenz der Temperatur ist, fur den Wannehaushalt des menschlichen Körpers? Geben Sie in einfachen Worten die drei Hauptsatze der Wännelehre wieder.

tl' tl' tl'

tl'

4.3.3 Zustandsänderungen Aus der ZustandsgleiChung gehen etnfache ZuS
p

Pt V,

P2 V2

4.3 Thermodynamik von Gasen

Die~er Zusammenhang wtrd als

<1> •......

set..z be7etchnet (vgl. S. 58). Die folgenden Zustandsänderungen können unter sch teden werden: tsothenne Zustandsanderung· ZustandSOtherme ZustandYndrrungen. Es gtlt da~ Boyle-Mariotte-Gesetz. Isobare Zustandsänderung: Wenn e ine Zu Standsänderung bet konstantem Druck durchgeführt wird (bewegliche r Kolben), dann spricht man von isobaren Zustandsanderungen. Bet •~barer Zustands.1nderung tSt das Volumen proportional zur Temperatur, d.h. mit Temperaturänderung ändert steh das Volumen linear: V- T Gesetz von
Lemco01ch Der Mensch braucht Luft zum Atmen. Da Luft ein (;as(gemtsch) ist, ist es fur einen Mediziner wkhtig zu wissen. wie sich
Boyle-Mariotte-Ge-

~tanr).

Isochore Zustandsanderung: l!>Ochore Zustandsanderungen sind solchr. die bei konstantem Vo Iumen durchgeführt werden (in geschlossenen Gefäßen). Bei konstantem Volumen ist p - T Adlab.ltische Zustilncho~ndt'rung: Adtabattsche ZustandS
4.3.1 Überblick Die Thermodynamik von Gasen benur7t die thermodynamtschen Zustandsgrößen Druck, Volumen und remperatur und beschretbt den Zusammen· hang 7Wt~chen dtesen Großen in sogenannten tdalen Gasen. Ideale Gase sind Ga~. zwtschen deren Parukel keine Anziehungskrafte wtrken. Sie bleiben 1m gasformtgen Zustand bts 0 K. Das tst wie schon vorher bet den idealen FH.tsstgketten eme Modellvorstellung. Reale Gase haben eme Wechselwtrkung zwischen den Partikeln und diese drückt sich m de1 Kondensation und in Phasenübergangen bei tiefen Temperaturen aus. Darauf kommrn wtr später 1m Ab'IChnttt 4.4 S. 87) zu sprt'Chen. Vtele Gase und msbewndere dte Edelgase verhallen steh nahezu ideal uber emen wetten Temperarurbereich.

p

lsochorP

4.3.2 Allgemeine Gasgleichung Der Zustand emes idealen Gases 1st vollständig durch die genannten Zustandsgrößen Druck p, Volumen V, und Temperatur T beschrieben. Er wtrd durch die Zustandsgleichung allgememe Gasgletchung) ;JUsgedrückt:

I

l~obare

pV a nRT. Iiter ist n die Molzahl und R tst die universelle
---'---V

85

86

4.3 Thermodynamik von G.Jsen

4 Wärme, Löslichkeit, Diffusion

Oie verschiedenen Zustandsänderungen sind in Abb.4.9 zusammengefasst. Sie sind die Grundlage für jegliche Daskussion von thermodynamaschen Prozessen und von Phasendiagrammen.

wobei die Molfraktion definiert ist: y1 - n11 n und meist in % angegeben wird. Rechenbelspiel

/1411:)34

Molfraktion und Portio/drude

Bei gleichbleibendem Volumen sind Drude und Temperatur eines Ga~es dorekt proportiQnallueinander. Bei komtanft>r Tempt'ratur sind Druck und Volumen umgekehrt proporbonal.

Trockene Luft besteht aus 78% N,, 20,95% 02. 0,93% Ar, 0,03% COJ. Oamot sond doe Molfraktionen: y,.., • 0.78, Yo, • 0.2095, ... und doe Partialdruc-ke ~nd unter STP Bedongungen (T = 273 K. p = 101 kPa): p,., • 0.78 bar, Po, - 0,2095 bar, .... Luft kann auch Wasserdampf bis zu einem Partialdruck aufnehmen. der dem Sättigungsdruck ent5pricht. Der Sättigung5druck des Was· serdampfs hangt von der Luftt~mperatur ab. Bei 20 ·c i5t er 0,023 bar.

Rechenaufgaben Aufgabe 4.3: EinTdu~her befindet soch on 10 m Wasser·

tiefe. Er atmet Luft aus seiner Vorratsflasche über einen Druckregler, der den Druck der Luft automatisch an den Wasserdruck der aktuellen Tauchtiefe angleicht. Sconc Lunge ('nthält 3 1Luft. Welches Volumen nimmt doe Luft ein, wenn er ohne entsprechende Dekompression dn die Oberfläche steigt? Aufgabe 4.4: Ein Patit'nt mit COPD (chronosch obstruk·

lovt' lungenerk10nkung) word mot Sauerstoff aus eoner VorrauHasche versorgt. Oie SauerstoiTßa..che hat ein Innenvolumen v011 50 I und enth;ilt reinen Sauerstoff mit einem Druck von 150 bar Der Sauerstoff strömt kontinuierlich und ohne Temperaturänderung über einen Oruckre9ler mot etwa 1 bar und 1,S lfmin aus. Wie lange etwa ""ird der Sawrstoff ausreichen?

Rechenaufgabe Aufgabe 4.5: Darnot sich ein Patient von einer Rauchvergiftung mit Kohlenmonoxid erholen kann, word er on

eone (in etwa Meereshöhe stehende) Druckkammer mot 2 bar Innendruck gebracht. ln der Druckkammer atmel er für eine gewisse Zeit nahezu 100% Sauerstoff. Um welchen Faktor erhöht sich dadurch d•e Saucrstoffsattigung des Blutes des Patienten in der Kammer om Gegenssatz Lu außerhalb der Kammer in der (trockenen) Außenluft? (Lösung S. 226)

(Lösungen S. 226)

4.3.4 Gasgemische Bei Casgemischen, wie z.B. der Luft. k<~nn man d1e allgemeine Zustandsgleachung für jede Komponente i aufschreiben: p, V

n,RT

Hier ist r1, die Molzahl der t-ten Komponente. Nimmt man an. dass alle Gaspartik
n,RT

Beim Einatmen dt"hnt sic-h der Brustkorb und das Volumen der Lunge und der Alveolen nimmt zu. der Druck nimmt ab und Luft kann von außen in dii! Lunge \'inströmen. Beim Ausatmen word das Volumen verkleinert. der Luftdruck in den Lungen nimmt zu und die Luft kann aus· strömen. Beim Einatmen ost der Sauerstoffpartialdruck identoseil mit dem in der eingeatmeten Luft. Beom Ausatmen enthält das Expirationsgas C02. dessen Partoa~ druck ein Indikator für den Metabolismus ist. ln den Alveolen entspricht der H1 0·Partoaldruck dem Sdttlgungsdruck bei 37 'C. Mit dem Spirometer werden ein- und ausgeatmete Gasvolumina gemessen.

V

Der Gesamtdruck eines Gasgemisches folgt aus der Summe der Partialdrücke (Gesetz von Dalton):

",W.._ Check-up t/ t/

Ptot- Pt + Pz .,. Pl --·--· = (n 1 -

n2 +

RT

OJ ...

RT

IV= n V

Den Partialdruck der i-ten Komponente kann man daher als Molfraktion des Gesamtdrucks darstellen:

t/ t/ t/

Wiederholen Sie die allgemeine Gasgleichung, Was versteht man unter der Boyle-Mariotte Gleichung? Was besagt die Gay-lussac Gleichung? Wie kann man isotherme von isobaren Zustandsänderungen unterscheiden? Machen Sie sich klar, wie groß d1e Molfrak· tlonen von Sauerstoff und Stickstoff ln der Luft sind.

4 W.!irme, Löslichkeit, Diffusion 4.4 Änderung d~~ AggregdtLu~tands

4.4 Änderung des Aggregatzustands

~~ Lerncoach ... Machen Sie sich noch einmal klar, welche Annahme bel der Modellvorstellung eines idealen Gases gemacht wird. ln diesem Kapitel werden wir die Annahme eines Idealen Gases fallen lassen und reale Gase mit molekularer Wechselwirkung betrilchten. Oie Wechselwirkung hat zur Folge, dass Gase mit abnehmender Temperatur kondensieren können und evelltuell auch einen festen Zustand annehmen. 4.4.1 Überblick Gas 1st nur eme Pha~ b7w. nur em Zustand eines bestimmten Stoffes. H1er lernen Wir auch d1e ande-ren moghchen Ph.!M!n bzw. Zust.lnde kennen. namlich ßusslg und fest. sowie d1e Übergänge zwischen den verschiedenen Phasen, die man als Phasellübergiinge bezeiChnet. Kühlt man ein Gas ab. d. h. enwehr man dem Gas Warme, dann nunmt d1e mittlere Geschwmd•gkeit der Moleküle ab. Kommen sich die Moleküle bei einem Stoß näher. dann werden sie mehr und mehr Wechselwirkungskräfte ve.-.;püren und die Moleküle werden hautiger von emem anderen Molekül gebunden sem, als bei hohen Temperaturen, be1 denen s1e sich ungebunden und frei bewegen. D1eM! Anziehungskr:Ute zwischen den Molekülen fuhrt zur Kondens<~tlon von gasförm1g nach flüssig. und von nussig nach fest. Falls es also Anziehungskräfte zwischen den Molekufen g1bt. dann kommen d1e~ be1 uefen I emperaturen zum Tragen, bei hohen Temperturen Oberwiegt dagegen die kinetische Energie.'. Wie tief eine Temperatur sein muss. damit die Wechselwirkung dominiert, hängt von der Stärke der Wechselwirkung ab. Bei Wasser ist der Sit'depunkt von 373 K eme tiefe Temperatur. be1 Sauerstoff smd es 90 K. bei StickstofT 77 K. und ftir das Edelgas Uelium sind es 4.5 K. je uefer d1e Kondensanonstemperatur, umso schwacher 1st d1e Wechselwirkung zwi~hen den Molekufen Oberhalb d1eser Kondens.monstemperaturen verhalten SICh d1e Gase nahezu 1deal. Bei Raumtemperatur ist Stickstoff und Sauerstoff weit weg vom Kondensationspunkt, d. h. Luft verhalt sich bei Raumtemperatur naht'zu w1c em 1deales Gas. 4.4.2 Phasenübergang Alle StoiTe kommen in verschiedenen Aggregatzuständen. auch Phasen genannt, vor. Der Uberg.10g von emer Pha~e (fest, nussig oder gasförmig) in eine andere nennt man emen Phasenubergang Der Obergang von fest nach ßliss1g w1rd Schmelzen genannt, von nussig nach gasförmig Verdampfen. der direkte Obergang von fest nach gasförm1g

fest

flussog

Abb.4.10 Aggreg.tWUSt.1ncl.. Schf'm.liKChPr ObHI>Iin wn Ph~~i;~ngen zwischen fettr. Ooiuiger und g"'föml;ge< l'h~>e.

wird als Sublimieren bezeiChnet {Abb.4.10). Diese Überg:inge tinden bei Temperaturerhöhung statt. Beim Abkühlen kondensiert ein Gas 10 eine Flüss•gkelt, die Flüssigkelt erstarrt 10 emen festen Zustand. oder das Gas resubhm1ert d1rekt in emen fe~ten Zustand ohne Umweg uber den ßilssigen Zustand. Phasenübergänge kosten Energie. Um einen Festkorpcr zu schmelzen. muss d1e Schmelzwärme aufgebracht werden. Zum Verdampfen emer Fhisslgkeu benongt man d1e Verdampfungswarrne. D1e Verdampfungsw:irme kann be1m Kondensieren zurück gewonnen werden, ebenso d1e Schmelzwärn1e be1 der KristaJlisation. D.h. die Kondensationswärme 1st gleich derVerdampfungswarme und d1e Kristallisatlonswärme ist gle1ch der Schmelzwärme. Be1m Wasser 1st die Verdampfung~warme er wa sieben mal größer als die Schmelzw.Jrme. Phasendiagramm Phasenubergange werden ubhcherwe•se m Ph<~sell­ dlagrammen dargesteJlt. Em Phasendiagramm be~chrelbt d1e ExistenzbereiChe der Ph~n von Stoffen in Abh.ing1gke1t von Druck. Temperatur und Volumen. d1e Koexmenzbere~ehe, und d1e Übergange von emer Phase 1n eine andere Abb. 4.11 a ). D•e verschiedenen Bere1che smd durth Unien getrennt. Innerhalb der Bereiche existiert nur eine Phase. Entlang der Linien zwischen den Bereichen besteht Phasenkoexistenz. D1e Koexistenz ZWischen fest und gasform1g Wird Subhmauonskurve genannt, zw1schen fluss1g und ga~form1g S1edepunktkurve. und zwischen fest und ßuss1g Schmelzpunkt kurve. Zwe1 Punkte im Phasendiagramm sind ausgezeichnet:

87

88

4.4 Änderung des Aggregatlustands 1.

4 W~rme. Löslichkeit, Diffusion

Tripelpunkt: Uier koexistieren alle drei Ph.Jsen.

2. Kritischer Punkt: Dies ist der Endpunkt der Siedepunktkurve. An diesem Punkt können Flüssig-

fest

keit und Gas mehr mehr vonemander unterschieden werden. Man sprich t dann auch vom überkritischen Zustand. Ihre Dichten haben sich aneinander angcn:ihert und ein Gas kann oberhalb dieses Punktes durch weitere Druckerhöhung auch nicht mehr verflüssigt werden. Die Schmelzpunktkurve hat kemen Endpunkt.

Schmel7punktkurvc

flussig

f~t-llussoq

KP

/

_...::::::: Siedepunktkurve flü.soq-qasformog

p~

TP

/

gasförmig

Sublomatoon
Übergänge. lest ~flüssig· Schmelzen flüssig- ga,förmig: Verdampfung gasformog-flussig: Kondensation flüssig •fest Erstarrung fest-gasförmig: Sublimation gasförmrg -fe~t" Resublimation KondenS<Jtionswilrme - Verdampfungswärme Kristallosationswarme - Schmellwarme

Temperatur

il

H,0

\

128

·-·..J---·-----.---.. ---.---...-.. -~KP llüssog

. Lyophilisation (Gefriertrocknung) ist eine Methode. mot der z. 8. Nahrungsmittel oder lmpfsstofle haltbar gemacht werden können. Oabeo wird die wasserhaltlge Substanz schnell eingefroren und das gefrorene Wasser durch Subirrnation (also direkt von der festen in die gasförmige Phase) verdampft Man erreocht das schnelle Verdampfen einer Flüssigkelt (auch eoner gefrorenen) dadurch. dass man entweder dre Temperatur der Flüssigkeit erhöht und damit auch den Dampfdruck über der flüssigkeot, odrr dass man den äußeren (Luft-)Druck erniedrigt. damit die Tellehen doe Flüwgkeot besser und schneller verlassen könncm. Anomalie des Wassers Wegen der Wichtigkeit von Wasser rilr das Leben wird das Phasendiagramm von Wasser in Abhängigkeit von Druck und Temperatur gesondert diskuriert (Abb. 4.11b). Der Tripelpunkt von Wasser liegt bei 0.0 I •c (• 273.16 K) und 0.006 bar. der kntische Punkt bei 374 •c und 128 bar. Bei I bar und I 00 ·c wird die Siedepunktkurve überschritten und flüssiges Wasser geht in Wasserdampf über. Aus dem Phasendiagramm lässt sich eine fundamentale Anomalie des Wasser~ ablesen. d1e bei anderen Flussigketten nicht vorkommt: die Stetgung der Schmelzpunktkurve ist negativ. Daraus folgt. d.Jss mir zunehmendem Druck die Temperatur. bei der Wasser schmilzt abnimmt. Darüber hinaus gibt es zwet weitere Anomalien des Wassers, die aber nicht aus dem Phasendiagramm hervorgehen und auf den Seiren 77 und 78 diskutiert werden. D1ese betreffen die thermische Ausdehnung von Wasser bzw. Eis und den Dichtesprung beim Schmelzen.

überkritisch

.

: "- :'

0.006 · · ·-----··---~··r:l.TP

.

b

00,01 100

374

Abb.4. I 1 Oruck-Temperatur-Phasen-Oiagramm. a Allqeme• n~ Druck·Temperatur-Phasen·OiJgramm b Druck·Temperatur· Ph.Jsen-Oiagramm von Wasser. TP, Tripelpunkt: KP. Kritischer Punkt. Oberhalb des kntoschen Punktes spricht man vom uberk••ti$Chl'll Zu1tand.

4.4 .3 Sättigungsdampfdruck und Siedepunkt Aus der Siedepunktkurve von W.1sser folgt. dass bei 20 ·c der Wasserdampfdruck über Wasser 1m Gleichgewicht 0,023 bar betragt Wenn eine halb gefüllte Wasserflasche bei norma lem Luftdruck von I bar mit emer Kappe abgeschlossen wtrd. dann stellt sich überder Wasseroberfläche ein Wasserdampf-Pd! rialdruck von 0,023 bar • 23 hPa ein, sodass bei 2o•c der Gesamtd ruck in der Flasche im Gleichgewicht 1,023 bar beträgt. Dieser Wasserdampfdruck ist gleichzeitig auch der Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft. Das hetßt. mehr Wasserdampf kann Luft bet diesem Druck und dteser TemperJtu r nicht aufnehmen. Sreigr der Wasserdampfdruck bei 2o·c über 23 hPa hin.Jus. dann wird solange Wasserdampf wieder in nussiges Wasser umgewandelt, bis wieder e111 Wasserdampfdruck von 23 hPa erre1cht tst. M1t zunehmender Temperatur steigt der Sauigungsdampfdruck und erreicht bei I00 ·c einen

4 Wärme, Löslichkeit, Diffusion 4.5 Stoffgemische Druck von 1 bar. ln der Wasserflasche herrscht dann ein Cesamtdruck von 2 bar (Prinzip des Druckkochtopfs). in einem offenen System (Topf mit Wasser auf einer Herdplatte) 1st der Luftdruck von ca. 1 bar konstant und unabhängig von der Wassertemperatur. Bei 100 •c ist dann der Wasserdampfdruck über dem Wasser gleich groß wie der Luftdruck. Dieser Punkt wird als Siedepunkt bezeichnet. Bei niedrigerem Luftdruck. z.B. auf einem Berg, wird der Siedepunkt bei eaner niedrigeren Temperatur erreicht. Beim Fehlen von Kondensationskeimen kann es sowohl zum Siedeverzug kommen. d.h. Wasser kann über 100 •c erhitzt werden. ohne dass es kocht. oder es kann unter o•c abgekühlt werden, ohne dass es zu Eis kristallisiert. Überhitzung und Unterkühlung wird durch Kondensationskeime vermieden. z.B. durch raue Oberflächen von Cefaßen.

<J>

..• ... Check-up

Definieren Sie den Tripelpunkt und den kriti· sehen Punkt in einem Phasendiagramm. Warum kocht Wasser auf der Zugspitze bei einer niedrigeren Temperatur als am Nord· seestrand7 Was ist ein Siedeverzug? Worauf beruht das Phänomen, dass aus einer Druckgasflasche ausströmendes C~ sofort zu Trockeneis gefriert?

V

V

V V

4.5 Stoffgemische

;_...

Rechenaufgabe Aufgabe 4.6: 1 Liter Wasser soll von- 100 C auf 200 C bei l
Bei der Verdampfung von Flüsslgkeoten wird der Flüssigkeit Verdampfungsenergie entzogen. Diese kühlt sich dfen von Alkohol wird zur örtlichen Betäubung genutzt. Betäubung durch lokale Unterkühlung wird in der Krye>therapie und Kryochirugie e.ngeselzt. Entzug der Luft· feuchtigkelt durch Kühlen wird bei der Herstellung von Gewebeschnitten genutzt. 473

200 tkfNI'.,;t--

l.....,.:t..o,CIIM

373

T[K]

100 T("Cj 0

ft>st

273

flü"'9 173

+

flussig + gasformig

gas· förmig

-100

~

".

~

flQ Abb. 4.12 Tempe,..turänderung bei konstanter Wärmew· fuhr. Tempeo atur;;nderung tnlt nur on dl'n rl'oown Phasen lf'St. fhossog und gasformig auf. Die Rate der Temperalurändenmg (Steigung der Getadl'n) hJngt von df'r SPf'Zifischf'n Warmtkap;mtat ab. Ooe Steogung ist umso großer. Je klemer doe War· mekap.tZttJlosL Beom Ü~rgang von f'iner Phase in tint andere wird dem System Wiimne zugefuhrt. doe dem ~hmelzen und der Vcodampfung doenf'n, a~r nochl dlf' lf'mJ)f'ratur ändert.

Lerncoach Bevor Sie mit diesem Abschnitt beginnen, vergewissem Sie sich noch einmal über die Begriffe Zustandsgleichung, Partialdruck, Molfraktion, Siedepunkt und Schweredruck von Wasser. Sie werden in diesem Abschnitt neue Begriffe kennen lernen. die Ihnen vielleicht schon aus der Chemie oder Physiologie geläufig sind, wie Löslichkeit und osmotischer Druck. Diese Begriffe stellen wir in den Zusammenhang der bisher über Gase und Flüssigkeiten bereits erfahrenen Elgenschaften.

4.5.1 Überblick Im Allrag hat man es selten mir reinen oder idealen Substanzen zu tun. Im folgenden Kap1tel erfahren Sie. wie sich Stoffgemische verhalten und welchen Einnuss die einzelnen Komponenten auf das Gesamrgemisch haben. Wir werden feststellen. dass .fremde" Stoffe in einer Lösung nicht nur eine definierte Löslichkeit haben. sondern auch emen Druck aufbauen. der s1ch ;thnlich wie der Druck m der allgemeinen Gasgleichung verhJit. 4.5.2 Molarität Wenn eine Flüssigkeit in Kontakt mit emem Gas bei dem Partialdruck p, und der Temperatur f steht, dann dringt eine bestimmte Menge des Gases in die Flüssigkeit ein und wird dort gelöst. Im Fall von Wasser in KontakT mit Luft wird Sricksroff. Sauerstoff und Kohlenstoff molekular im Wasser gelöst. Die LöslichkeitS, in der Flüssigkeir(l.ösungsmittel) ist deliillert als die Zahl n; der gelösten Mole eines Stoffes i pro Volumen V in der Flüssigkeit, auch Stoffmengenkonzentration oder Molarität genannt: . 5 - -mol S - n, V E'lll he1t: -. 1

1

4.5.3 Löslichkeit Zwischen äußerem Partialdruck p, eines Gases und der LöslichkeitS von Gasmolekülen in der Flüssig-

89

90

4.5 Stoffgemische 4 Wärme, Löslichkeit, Diffusfon

' ··--•-c.

s (10_. mol/11

4.5.4 Dampfdruckerniedrigung Bei Lösung eines Stoffes in einem Lösungsmittel wird der Dampfdruck des Lösungsmittels erniedrigt. Ist der Dampfdruck des reinen Lösungsmittels p•• dann ist der Dampfdruck Pb nach Zugabe des Stoffes mit der Konzentration cb Nb f( N, Nb ):

Ar

1.5

0.14

p, - cb · P•·

23

0.07

0.7

5.4

1.3

2.7

Der Druck Pb ist immer kleiner als der Druck Pa· Dies bezeichnet man als das Raoult-Gesetz. Die Dampfdruckerniedrigung hat eine Siedepunktserhöhung zur Folge, denn erst be1 höherer Temperatur erreicht der Dampfdruck den Atmosphärendruck Ebenso fUhrt die Zugabe eines Stoffes zur Gefnerpunktserniedrigung des Lösungsmittels (Salz auf der Straße erniedrigt den Gefrierpunkt des Wassers). Das gesamte Phasendiagramm wird um den Betrag der Dampfdruckerniedngung abgesenkt (Abb.4.13).

Tabelle 4.3 I Mr-.-c;..IIIV' ..... --..... " "c•t •• 11111 . _ , . " " ~~~- • • e wt •• ,._ln&alftlilll1 . . c U • ........ II

)

P'

'

K,.

po-l mol/(1 bar))

keit herrscht em dynamisches GleiChgewicht, d. h. es werden ständtg Gasmoleküle zwischen der Gasphase und der Flüssigkeit ausgetauscht. Im Mittel sind jedoch der Parrialdruck p, und die Löslichkeit S konstant. Den Zusammenhang stellt das HenryDalton-Gesetz her: 5;

KH ·p,.

Ku ist die Henry-Konstante (auch als Bunsen'scher

Löslichkeitskoeffizient beze1chnet). die von der Gasart abhängt (Tab. 4.3). Die Löslichkeit von Sauerstoff in Wasser beträgt bei 20 ·c und 1 bar Luftdruck 270 J.lmol/1 und ist kriusch. Smkt die Molarität auf wemgerals die Hälfte. dann ist Leben im Wasser nicht mehr möglich. Rechenaufgabe Aufgabe 4.7: Berechnen Sie die zu erwartende Löslichkeit von Saucrstoff in Wasser bei 20 ·c und Norma~ druck? (lb,ung S. 227)

4.5.5 Osmose Betrachten wir ein Gefaß mit einem Lösungsmittel (Wasser). welches durch eine Wand in zwei gleich große Kammern unterteilt ist(Abb.4.1 4). Aufbeiden Seiten der Wand ist eine unterschiedliche Konzentration (Molzahl n,) von gelöstem Stoff enthalten (Abb.4.1 4a. in Kammer A herrscht eine niedrigere Konzentration an Glucose als in Kammer 8). Das heißt, dass auch die Konzentration des Wassers auf beiden Se1ten unterschiedhch ist (in Kammer A höher als in Kammer 8). Der im Wasser gelöste Stoff erzeugt analog zum Partialdruck eines Gases in einem Gasgemisch einen Parrialdruck im Lösungsmittel, der als osmotischer Druck n bezeichnet wird.

- - Wass,er Y.disnge lö>ung

Taucherkrankheit. ln 30m T~efc muss Atemluft mit 4 bar angeboten werden. Be1 4 bar ste1gt d1e Löslichkelt von Nl im Blut um einen Faktor 4 an. Beim Auftauchen entstehen Nrßläschen, die platzen und die Gefäße zerstören. Zugabe von He zu Luft mit geringerer Losliehkeil im Blut reduZiert die Gefahr der Bläschenbildung. Rechenaufgabe Aufgabe 4.8: in einer Flasche mit Sprudl'lwasser ist eme be\timmte Menge KohlendiOXid ph~ikalisch im Was5er gelöst Wievu~lmal höher word d1e Konzentrat,. on an gelöstem C01• wenn (bei konst.dnter Temperatur) der COrPdrllaldruck in der Flasche verdoppelt \Wd? (Lösung S. 227}

Aüssig

I

fest gasförmig T,.

Abb. 4.13 SiedeJ>Unktsemöhung und Gefrierpunktsemied· rlgung. Andenmg des Phaser'Unkt des re'"en Wassers ist m•l T, " bezeichnt>t. der Gt'fnerJ>Unkt mit T, •. N.ach 7ugabe eones Stofles ist doe Soedetemperatur von T< n..:h r erhöht. und dt'r Gefritrpunktrst von Tu· nach Tu t>rn•t'dngL

4 Warme. Löslichkeit. Diffusion 4.5 Stoffgemische

Anf~ngszustand

Ooffuslon

Osmose

c

c, n,

c•

n,

I

n

n,

c •

....!-!.

2

: A

B

•

A

• • • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •••• • • • • • • • • • •• • • • • •

• • •

•

A

•

• •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • •

•

• • • • • • • • • • • • • • • •

pcrme~ble Wand !ur das l~ungsmont'l

a

B

b

perme•blc W•nd !ur den gdchten Stoff c

l!l".,.- undurthd11nqli<.hen WJnd (~) dun:h l!i n~ SM~~NIW'_,~ WJ!Mf· l.'•·mbun (b) [A,r osmotische Oruckau~~lch ~ruht .1uf Ooflus<>n von W~ssennolcl<ülcn durth ~h>e I~ITIIPf"m~abl~ Membminel. n, Molzahl; fl. osmotiSCher Druck: c. KOOle<~tratiOn.

Abb. 4.14

OsmoliK~r DruciYusgl~ch ~eil~

dun:hl~sigt'

Die Zu~rand~glelchu ng des gelösten Stoffes tst analog der Zustandsgleichung für ideale Gase (S. 85): II V

n. R T

Zu Ehren des Chem1kers Van't·Hoff. der diese grundlegende Analog1e zw1schen osmouschem Druck und Gasdruck als erster beschneben har. w1rd d1ese Zust.lndsgle1Chung als van't Hoff-Gesetz bezeichnet. D1e osmotischen Drucke in den beiden gleich großen Kammern in Abb. 4.14a sind unterschiedlich: n1 n1 R und 11~ n 2 • R Tt V. und du.• Glucosekon1entrat ionen sind versclueden: C1 rl t /( 111 +nw., .•. ) und n2 '( 02 nw., .,). Wird die undurchdringliche Wand durch eme semipermeable Membr.-.n ersetzt. die nur fur W.-.sser durchlassig ISt. JedOCh mehr fur Glucose. dann w1rd wv1el W asser durch die Wand fließen. biS der osmousche Druck ausgeglichen ist Abb. 4.14b). Durch den osmouschen Druckausgleich werden die Mol· zahlen n 1 und n..: links und rechts nicht geanden. jedoch d1c Stoffmengenkonzentrationen smd Jetll aufbeiden Seuen 1denusch: c 1 = c2• Der osmousche Druckausgleich w 1rd auch als Wasserverschiebung bezeichnet. Die l löhendi fferenz der Wassersäule entspricht dem ursprünglichen Druckunterschied und kann darüber besti mmt werden:

r;v

c,-

llll

pgh

Mit der Beziehung

n, nV R T •

S, Irr = KH RTp,

w1rd deutlich. dass man m1t dem äußeren Partialdruck p, eines Gases in der Gasphase den inneren des gleichen Stoffes m der osmotischen Druck Lösung kontrollieren kann. Auf diese Weise kann man z.B. die Sauerstolfsamgung des Bluts tiber den Partialdruck des Sauerstoffs m der Atemluft einstellen.

n,

Oie Zellmembran ist eine semtpcrme<~ble Wo~nd für H,O. Wa•ser und Mineralien könnl'n durch dte Membran dif· fundieren. um den O!>mOii!.Chen Druck auszugleichen. D•e Zellmembranen der Erythroryten las<~n kt-one Na"· Ionen durch. dadurch herr!.Cht tm Blutplasma em ~me>­ tischer Druck von ca. 7.5 bar (s. Rl'mbro~l" au\Cjl'<Jhchen stnd. spricht man 1100 Isotonen Oruckverh.lltnlssen. Osmoti~her Druck 11m Pl.'lsma muss regu OC!rl wcrdr•n . jede Abwt>lc:hung vom Normaldruck fuhrt zur \'-assen.erschiebung lWI!.Chen Zelle und Pl.lsma. Oie Folge sind hypote>nc oder hypertone Erythrozyttn Doe p~•olog•!.Che Kochsalzlösung m1t 9 g ~aCI auf 1000 ml Hz() ltefert den gleichen osmOti!.Chen Druck w1c d•s Blutplasma.

91

92

4.5 Stoffgemische

4 Wänne. Löslichkeit. Diffusion

.

Rechenbelspiel

JN -

Osmotischer Drude von physiologischer Kochsolllösung Wie groß ist der osmotische Druck. der durch t>int> 0,9% (GC"W•chtsprozent) Losung von NaCI t>rzeugt wird? 0,9 ~Lösung von NaCI enbpricht9 g NaCI auf 1000 ml H10. Die molare Masse von NaCI i5l: m.,o1 • 13Na + "·'Cl - 58.5 g: daher 1st die MoiTahl von NilCI: n • 9 g/58.5 g ~ 0,15 {9 g NaCI entsprechen 0.15 Mol NaCI). Durch Dissoz1ation von NaCI '" wa,!.t!r tu Na' und Cl ·, sond pro Molekül LWI!I Teilcht'n in Lösung, d.h. die MoiLahl vcrdoppt'lt ~ich: 0,3. Der osmotische Druck bei t'mer Körpertemperatur T • 273 K + 36 'C • 309 K N· gibt einen Druck:

n

nRT

V

0. 3 x 8. 31j K · 309K 11

770kPa _ ],?bar.

4.5.6 Diffusion ln Gasen und Flüssigkeiten. doe aus verschiedenen Komponenten bestehen. werden alle Partikel auf Grund der Brownschen Molekularbewegung regellos durcheinander gewirbelt Das führt zu einem Ausgleich aller thermodynamischen Parameter: Druck. Temperatur und Konzentration. Sobald ein Unterschied in einem der Pa rameter auftritt. werden Diffusionsströme den Unterschied ausgleochen. Ein Temperaturunterschied führl zum Wärmestrom. ein Druckunrerschied zum Volumcnstrom. Ein Dichteunterschied fj,p~ hat einen Teilchenstrom bzw. einen Massestrom von hoher zu niedriger Konzentration zur Folge:

IN

IN I . A = Dt:.pN . E'm1e1ten:

1

uI N

1 m 2 s'·

IDl

m2

s

Diese Bezoehung wird als das 1. Flck'sche Gesetl bezeochnet. Beachte. dass der Dift'usionkoskoeflizient d ie Einheit einer ..Fiächengeschwindigkeit" hat. d.h. die pro Zeiteinheit zurückgelegte Fläche. Das ist sinnvoll. denn d ie doffusive Bewegung von Teolchen ist erratisch: der völlig ungerichteten Bewegung im Raum ist durch den Dichtegradienten eine leichte Vorzugsrichtung überlagert. sodass sich die Teilchen im Mittel von A nach B bewegen. Dabei ist im zeitlichen Mittel die zurückgelegte Wegstrecke in der Zeot r: JW) .fDt. Permeabilität Die Teilchenstromdichte ist proportional zum Diffusionskoeffizienten und zum Dichtegradienten. Die Diffusionskonstante hängt von der Temperatur. von der Teilchengröße und der Potenzialbarriere ab. über die die Teilchen diffundoeren mussen. Bei bekannter Wandst.'irke einer Membran l!.x und bekanntem Diffusionskoeffizienren D kann die mittlere Diffusionszeit (t ). die ein Molekül braucht, um die Wand zu durchqueren. aus (t ) - l!..x )2 1D berechnet werden. Das Verhältnis P = D/l!..x wird als die Permeabilität emer Membranwand bezeichnet. Mit dieser Definition folgt die mittlere Diffusionszeit durch die Wand aus der Beziehung: (r) l!..xj P.

Im Dialysator sind Blut und Dialysat durch eine Membran getrennt. Dil.' Porl.'ngröße in der Membran lässt Kreatin, Harnstoff und H~rn~aure durch, aber nicht Erythrozyten. Proteine und Lipide. Das Blut wi1d durch Dlffu~ion durch dil' Membran von den hampflichtigcn Stoffen befreit.

fj,p~ RN

dabei ist P'l die Anzahldichte oder doe Zah l von Teilchen pro Volumeneinheit und R~ der Teilchenstromwiderstand (s. u.). Fick'sches Diffusionsgesetz Der Ausgleoch der thermodynamoseilen Parameter w ird umso schneller erfolgen. je kleiner der Teilchenstromwiderstand RN ist (Ohm-Gesetz der Diffusion). Der Teilchenstromwiderstand hat wie alle Widerstände einen Geometrieanteil aus Uinge I und QuerschnmsOäche A und eonen für das Medium. m dem die Teilchen diffundieren. charakteristischen Anteil. hier den Diffusionskoeffizienten D: 1 I

RN - DA Die Teilchenstromdichte j,.. ist der Teilchenstrom IN pro Flächeneinheit:

Rechenbelspiel

Doppellipidschicht Wie groß ist d1e Permeab1litat t-inc.>r Doppl'llip1dschicht und ln welcher Zeltd,ffundlertWasserdurch die Membran? D•e Wanddicke der Doppellipidschicht ist ca. l!.x • 1 nm. D1e Oiffu\ion\konstante von Wasser durch die DoppellipldKhocht 1st ca D • 3 x 10' 10 cm2/s bei Körpertemperatur Daraus folgt die Permeablllt.lt zu: P ~ Dil!.x ~ 3 x 10 3cm s

Bei einer Membrandicke von l!.x • 1nm benotigt Wa-.. ser zum Durchqueren der Membran: 6J • öxfP • 1 nmj3" 10-3 cm/s 30 ~s.

4 Mrme, Löslichkeit. Diffusion 4.5 Stoffgemi~che 4 .5.7 Vergleich Osmose und Diffusion W1r h.tben zwe1 Arten von Diffusionsströmen ken · nengelernt. d1e Konzentr.toonen bzw. D1chten .tusgleichen: d.tS 1. Fick'schc Ceserz der Diffusion und die Osmose. W.ts 1st der Unterschied? Bei der Diffusion diffundiert der gelaste Stoff. nicht d.ts Lösungsmittel. Bei der Diffusion w1rd weder Encrg1<~ verbr.tucht noch Energie gewon nen. Es entsteh t kem Druckunterschied. D1c Dif· fus1on läuft von a lleme ab. da sie die Entropie des Ct'samtsystems vergrößert. Be1 de1 Osmose diffundiert das tösungsm111el. nicht der gelöste Stoff; Die Osmose kostet Volu· menenerg1e. da d1e Allssigkeitssäule .tngehobcn w1rd. Der Druckunterschied auf be1den Seiten emer Membran kann erheblich st'm. Der Endzust.tnd 1st 10 be1den Fallen vergleichbar, aber mcht 1denusch (Abb. 4. 14c). Be1 der (}..mo!>C w1rd d1<~ Kon7entr.ltion des gelösten Stoffes. aber nicht die Molfraktion ausgeglichen. Be1 der Diffus• · on w1rd sowohl dlt~ Konzentration als auch d1e Molfraktion ausgeglichen. Welcher Prozess überwiegt, h~ngt von der f.lgenscha ft der trennenden Memb ran ab. Ist d iese wasserdurch lässig. dann erh~lt man Osmose. lst sie dagegen durchlässig mr d ie gelosrcn Stoffe. dann erhalt man D1ffusion.

A. ....

ll' ll' ll' ll'

Che
93

96

Klinischer Fall 5

Rettung aus der Steckdose

ICJmmerf! mmem: Im (KC ht efkeMb.l•.

~·oe rhythmisd~ Ht'fZdktlvit~t

Strom Ist in der modernen Welt unverzichtbar auch Im Krankenhilus. Denn nicht nur OP-lampen und Sterillsiltoren funktionieren ohne elektrische Energie nicht. Strom kann auch leben retten zum Beispiel bel einer Reanimation. Mit einem Defibrlllator werden dilbei elektrische Stromimpulse abgegeben, die kreisende Erregungen im Myokilrd durchbrechen. Die physiologischen Taktgeber des Herzrhythmus konnen dann wieder ihre norm•le Funktion aufnehmen. Schreck am Morgen Karin i~t aufg~regt. Die ramulantin soll heute zum ers· t~n Mal di~ Rlut~ntnahmen auf der Station übrrneh· nwn . •W<•nn I'~ Probleme gibt. sag Beschc1d", h.1t A\· sistci1LJr/t Kl.1u~ ihr ges.~gt. Kann fa~st s1ch e1n lil~/ und bctntt das erste Patrentenzimmcr. Bei Herrn Schu~ U! soll der lroponinwcrt kontrolliert \\('!"den. E1 wurde on der letzten Nacht wegen Brustschmer11m aufgenommen. Der Blutwert ~I Auskunft uber etnen e\'l.'lltucllcn llerzmfar kt geben. Gerade will Kann dem M
Diagnose: Kammerflimmern li.L z darauf stü•mt Kl.lus atemlos rns Ztmmer und lö~t Kann ab. während sie ~hm lChnauft er. Ein paar Sekunden ~päter stürmen doe ln· tt!fl~rvmediziner auch schon hl'fetn. Dann geht alles ganz schnell: llcrr Sc.hulzt.> Wird auf eine h.!fle Unterla· gt' g~bcttt't, am EKG ange~thlos~en und über einen BrutE'I beatmet. •Kammerflimmern·, ruft e1ncr der Mt-drzrner Er setzt dre Konta~te des D<'fibrillators auf die Brust des Patorntt>n, hdlt ~l'Oilt.' Kollegen an. vom ßett wegLubleoben und lost einen Elektroschock mrt 360 Joule aus. Alle starren auf den Monitor de~ lKG·Gt'riits. Doch noch immer ziehrn feine Flimmer· wellen uber das Oispi.Jy. •Wetter·. se~gt der Intensiv· arrt. Das Te.un fährt mrt der kardtopulrnonalen Ream· matron fOI"t. Um etne stciiL't"e und eHekttvt' Bt•atmung Lu ermöglichen. Wird dN P.ltlt•nt intubaert. Zwer Minuten später ein newr Versuch: \'V'tedet ~etzt der Mediziner dre Kontakte des Defrbnllators auf und gibt ('in('n Sc. hock . •\'1/lr haben rhn" Das P11'p\en vor1 Herrn Schulzes Herzfrequenzund cJ,,. J<•tlt wrl'dt•r wohlgeformten (KG-Kurven zaubl'fn ein er leothtertes lachein auf die Ge~ichter von Karin und KIJus. Engpass Koronargefäß fs daueot ein Wetlchen, brs srch Herr ~chulze erholt hat. Dre Reanrmation hat Spuren hrntL'flassen. zwet Rippen sind gebrochen. die Haut an seiner Brust ist dur<.h die Strom~tößc gerötet. Aber - er lebt. N.Kh zwer Tagen auf der lntens~tatroo kann der Patient auf die Normalstation verlegt werden. Herr Schulze weiß, dass er Gluck gehabt hat. lrn Herzrnfarkt hat b.-1 rhm Kammer· flimmern ausgelöst. Dit·\e tödliche Her trhythmusstörung äußert sich durch unkoordlnlerte Erregungen des Vt'ntrikelmyokards. Der Herzmuskel kann sich n1cht mehr richtig zusammen7tehen und ein Kr<'islauf· \trlbtnnd ent~teht. ln eoner Koronarangoografie haben d1e Aule bei dem Mann erheblr<.hc Ve• engun<Jen der Herzkranzgefäße festgestt•llt . Um eint• BypdssoperattOn \Wd er nicht herumkommen, Ddbei schaffen dll.' Chlfurgen etne .Umgehungsstraße" fur d1e schadhaften Gefäße. Über etnen ~unstlrchcn KollateralkreK· lauf \Wd so die Durchblutung dt'\ Ht-rlmu~keh gewjhrleistet. Herr Schul1e hat llt'Ut'lllt•bt•nsmut gefasst und ist sich ganz sicher, da\s er nach dem Herzinfarkt nun auch die OP gut uberstehen wrrd. Am Tag der Ver· lt•gung on die Herzchrrurgie kann dl'r Pat•l'nt ~chon wteder lachen. Als er sich von Klau\ und K~ rn vetabschredet, schmunzelt er: .kh hoße, dass Sre hier nie einen Stromausfall haben werden '·

5 Elektrlzltlit, Magnetismus und Elektromagnetismus

5

Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus

Elektriz1tat geht auf Elektronen m Atomen zunick. Solange em Atom neutral 1st, g1bt es keme ElektnZitat. Wenn aber Elektronen losgelöst werden. dann tragen sowohl d1e negativ geladenen Elektronen wie die positiven Ionenrumpfe zur Entstehung von elekrri~chen ~eldern und zum Ladungstransport bei. Bewegte Iadungen erzeugen wsatLhch magnetische relder. sodass elektrische und magnetische ~elder eng miteinander verknüpft smd. Am deutlichsten ISt d1ese Verknüpfung bei elektromag. nctischen Wellen erkennbar. be1 der elektnsche und magneusehe Felder n1cht mehr separiert werden können. Im ersten Abschnitt d1sku11eren w1r zunachst d1e Elektrostatik von Ladungen sow1e elektrische Ströme. Nicht nur Ströme in Metallen. sondern auch 1n Halbleitern. elektrolynschen Leitern und l'olamallonsstrome werden vorgt"'itellt. Im zweoten Abschnitt erfahren wir. wie Magnetismus durch elektnsche Ströme zustande kommt. Im lewen Abschnitr wird gezeigt. wie zei tlich ver änderliche Magnetfelder elektrische Spannungen erzeugen. Auf d1esem sogenannten Faraday-Gesrt7 der Induktion beruht die gesamte moderne Elektrotechmk. Zum Schluss werden elekrnsche und magneusehe Felder Lu elektromagnetischen Wellen verknüpft. und dies ist dann die Uberleitung zur Opllk, denn d1e sichtbare Opnk WJe auch d1e für uns mcht SIChtbaren Mikrowellen und Röntgenstrahlen beruhen auf der Ausbreitung von elektromagnetiSChen Wel len.

5.1 Elektrizität

;I ....

lemcoac:h ln diesem Abschnitt geht es um Kräfte zwi· sehen lAdungen und um Drehmomente 1uf elektrische Dipole. Zum Verstandnis der Notation und der physikalischen Inhalte ost die Vektorrechnung notwendig. Daher wird empfohlen, ggf. aus Kapitel 1 die Vektoraddl· tlon, das Skalarprodukt und das Vektorprodukt zu rekapitulieren. Oie Statik von elektri· sehen Ladungen auf der einen Seite und der Strom von Ladungen auf der anderen Seite haben große Ähnlichkelten mit den bereits diskutierten physikalischen Phänomenen der Hydrostatistik und der Strömung von Flüssigkeiten. St.ltt Druckausgleich sprechen wir hier von lildungsausgleich, und anst.ltt von Oruckabf•ll sprechen wir hier von einem Spannungsabfall. ln belden ~IIen gilt das Ohm-Gesetz wie auch die beiden Klrchhofr-

5.1

El~ktrilotät

sehen Gesetze. Der tiefere Grund dafür ist zum einen die Massen- bzw. ladung~rhaltung und zum anderen die jeweilog Stromung, die nicht verlustfrei vonstatten geht. Es Ist iln dieser Stelle nützlich, doe Grundgesetze der StrC>mung noch einmal zu wiederholen. Verge· wissern Sie skh auch noch einmal uber die Begriffe Energie, Arbeit und Leistung, denn diese werden hier von der Mechanik auf die Elektrizität übertragen.

5.1.1 Überblick tlektrizität hat eone herausragende Bedeutung on der Phystologoe des menschlichen Korper~. jegliche Signalübertragung duf(h NervenletlUngen ost elektrischen Ursprungs. Das HerzaktionspotenZial erzeugt elektrische Dipolfelder, die im Elektrokardiogramm (EKG) nachgewie>en werden, und GehornaktoVItaten können im Elektroenzephalogramm {EEG) sichtbar gemacht werden. Doeses Kapitel behandelt ausgehend von stattsehen Ladungen, elektrische Ströme. elektrolytische Ströme und Polarisationsströme in metallischen Leitern und in Ionenleitern.

5.1.2 Elektrische Stro mstä rke, elektrische Ladung Elektrischer Strom beruht aufTran~port von elektmcher Ladung_ Dte Ladungmager des elektrischen Srroms smd ubhcherweise neganv geladene Elektronen on Metallen. Doe ladung~tr ager konnen aber auch Elektronenlöcher in Halblettern sein. posttiv geladene (Kationen) oder neganv geladene Ionen {Anoonen) in Elektrolyten. oder Polarisationszustande in Nervenzellen.

Stromstärke Doe elektrische Stromst:irke ost doe transportierte Ladungsmenge t.Q pro Zeoreonheot t.r· liQ lq .. t.r

Doe Finheot der Strom~tarke o~t das Ampere: lll• A. Das Ampere ost eone B.:lsosgröße, d.h. es lasst sich nocht durch andere Einheuen da~tellen. Elektrischer Strom nießt nur, wenn eme elektnsche Potenztaldifferenz den Strom antreobt. Darauf w trd später in den Kapiteln 5.1.4 {S. 103 und 5.1.5 {S. 106) eingegangen. fl ier dient uns die Definition von Stromstärke über einen gewossen Zeitraum nur zur Einführung von elektrischer Ladung. Denn d1e Ladung 1St keone Basosgröße.

97

98

5.1 Elektrizoldl

5 Elektrizität. Magnetismus und Elektromagnetismus

Elektrischer Strom ist Ladung pro ltot.

Elektrischer Strom wird als Gleichstrom bezeachnet, wenn Stromst;irke und Stromrichtung zelllieh konstanr sind. und als Wechselstrom. wenn Strom~rarke und Stromrichtung zeatlich oszillieren. Elektmcher Strom macht sach auf verschaedene Arten bemerkbar: em stromführender l.eater ast ammer von einem Magnetfeld umgeben: zwei stromfuhrende Leiter üben aufeinander Kr.lfte aus; bea hoher Stromstärke ward ein Leater heiß. und wenn Strom durch Lösungen geführt ward. dann können chemasche Reaktionen ausgelöst werden. Stromdichte Fließt ein elektrischer Strom durch emen Metalldraht mir der Querschmttsnäche A. dann ist die elektnsche Stromdichtel definaert als Stromstärke pro Querschnmsnache: I • E'111hcat: .Ji• J. .. A

(Beachte: 111 der Definition der Stromdachte steht das Symbol A fur dae Que~hnattsnäche. an der Definatton für dae Einheit von I hat II die Bedeutung von Ampere). Rechenaufgabe ~ 5.1:

lur Entfernung 1100 Varuen wird bei einer PatJenlin dot' Elelctrokoagulatoon angewendet. Dabei Rießt eon elektrischer Strom m1t der Suom~t..lrke 40 mA von eioer feonen Sj)
Elektrische Ladung Fließt in einem leater der Strom von I A fur eine Sekunde. dann w1rd dabei dae l.Jdung von I Coulomb abgekurzt 0 durch eane gedachte Querschnmsnache transportaert· I C; I A · I s • 1 As. 1 Cisteine sehr große Einhell. Das Elektron hat eine negative l.Jdung von 1.6 x 10 1'' C. Bei eanem Strom von 1 A nießen daher 6.25 x 1011 Elektronen pro Sekunde durch den Leater. Dae Ladung eanes Elektrons ward auch Elementarladung genannt. da sae dae kleanste Ladungseinheit ast. Dea elektmche Strom basiert also auf dem Tramport von gequan telten l.Jdungseinheiten. Da jedoch die l.Jhl der transportierten Elektronen üblicherweise sehr groß ist.

macht sich die gequantelte Natur des Stroms mJkroskopisch nicht bemerkbar. Coulombkraft Zwea l.Jdungen. dae an einem Abstand r von einander entfernt sind. üben aufemander eane elektrische Kraft. die sogenannte Coulombkraft aus: I Q, <2J • -;z, e. 4nco

i'c

r,

Dae Kraft 1st posauv und abstoßend. wenn beade l.J. dungen das gleache VorzeiChen haben. Sie 1st negatav und anziehend. wenn die Ladungen unterschiedliches VorLeachen haben Der Vorfaktor 1 4nc, 9 10qNm2 C2 wird Coulomb-Konstante genannt und erlaubt, dae elektrische Kraft an dae mechanischen l:anhe1ten anzubanden. Damat ISt dae Anzaehungskraft 1waschen zwea Ladungen mll jeweils I C un Abstand von I m glcach 9 x IOq N. Solche hohe elektmche Kräfte kommen im Alltag üblicherweise nicht vor. da dae freae Ladung, mll der wtr es normalwease zu tun haben. um Größenordnungen kleiner ast. c0 ist dae elektrische Feldkonstante des Vakuums. Diese Naturkonstan te hat den Wert: 8 854" 10 '2 As Vm Dae Coulombkraft hat wie alle l
f· -

e,

131i;J3M Ladungen glek~n Vorzelchens stoßtn soch ab, ladungt•n VI'I'\ChiPdtnl'n Vorzeichens ziehen sich an.

Elektrischer Dipol

Ean elekmscher Dipol besteht aus zwea engegen~l'­ sct7tcn und glcach großen Ladungen in einem kon -

o,

Cl]>---~~.-.~-----r---c::> Abb. 5.1 Coulomblcntft zwlsch~ zwtll.lldung~ Im AbsYnd r. o.". E~~Q( r , ""'<~' "' d•f' kr.~t·
....

~t'""u ~u..g

5 Elektmit.lt. Magnetismus und Elektromagnetismus 5.1 Elektrizität

p

Abb. 5.2 0@finlllon des @lektrhchen Dipolmoments.

stanten Abstand t Das Dipolmoment ist definiert als Ladung mal Abstand zwischen den beiden Ladungen: p Q ·I (Abb. 5.2). ln der Definition des Dipolmoments kommt nur eme der beiden lAdun gen vor. Das Dipolmoment p ist ein Vektor, der auf die positive lAdunggerichtet ist ( beachte. dass die Richtung von Coulombkraft und Dipolmomentengegengesetzt sind). Die Einhell des Dipolmoments ist 1PI = C · m. Die Dipole richten sich im elektrischen Feld parallel zur Feldrichtung aus (S. 102). Die Wechselwirkung von Dipolen mit elektrischen Feldern ist daher besonders wichtig. Elektrische Felder werden im nächsten Abschnitt eingeführt.

Auch Zellmembranen können als Dipol betrachtet werden. Im Ruhezustand ist der extraLellul:ire R.!um durch K' -Mangel leicht positiv in Bezug aul den intrazellulären Raum (Cytoplasma) geladen. Damit zeogt das Dipolmoment im Ruhezustand von innen nach außen. Im akti· vierten Zustand findet K'-Ausgleich durch Diffu~ion von Na'·lonen nach onnen statt. Damit drehen sich du~ ladungsvem:iltnisse und auch das Dipolmoment über der Zellmembran um (Abb.S.4). Ruhezust and extrazellulär

+

Intrazellular

aktivierter Zustand extrazellulär

Ein elektrischer Dipol besteht aus zwco getrennten Ladungen unter~hiedlichen Vorzeichens. Elektrischer Di pol ist definiert <~is Ladung mal Abstand.

Polal'e Bindungen und polare Moleküle haben ein Dipolmoment. da die positiven und negativen Ladungsschwerpunkte der Ladungsverteilung in einem Molekül nicht zusammenfallen. Bekanntestes Beispiel ist Wasser H20 (Abb.5.3 ). Hier tst der negauve Ladungsschwerpunkt beim Sauerstoffatom und der positive Lad ungsschwerpunkt in der Mitte zwischen den beiden Wasserstoffaromen. Damtt ist das Dipolmoment vom Sauerstoffatom auf dte Wasserstoffatome hin gerich tel. Das Dipolmoment des Wassermolekuls ist besonders groß. Daher kann es Ionenbindungen von Salzen leicht aufbrechen. Wasser ist daher ein gutes Lösungsmittel für ionische Molekü le.

+

Abb. 5.4 Änderung d"' Dlpolmom.,nts einer Zellmembran w~hrend

der Depo~lis<~tion.

5.1.3 Elektrisches Feld Das elektrische Feld E definiert man durch die Größe und Richtung der Coulombkraft, die von einer Punktladung Qo ausgeht und auf eme kleine Probeladung Qp (auch Testladung genannt) wirkt, gemäß der Definition:

F Qp

Das elektrische Feld der Punktladung ist:

to = 41Tfo , ;:r <2oe,. Das e lektrische Feld ist bis auf die Probeladung Qp identisch mit der Coulombkraft Also kann man das elektrisches Feld Eeiner Punkt ladung Qo auch als Coulombkraft Fe schreiben. d ie von dieser lAdung ausgeht. dividiert durch die Probeladung Qp:

Eo Abb. 5.3 Dipolmoment des Wassermoleküls.

~; Einheit der elektriSchen Feldstarke:

lEI = (F/QI = N(As = N/C = V{m.

99

100

5.1

El~ktrlllt~t

5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus

t"frktriKhl' f eldhtll<'n

I

Bei der Erregungsausbrritung des Htruns ~ond Tetle de<. He•li:'O$ dl'p(hP\It'rt. •'ldl'ft nicht oder noch nocht. O.C..c örtlich getrennten Gt>bit'tt b•lden tinen elelari sehen Dipol, der in Gro&> und Rt
Verlauf der Herzerregung folgt. Oie '>pMV1llfl9~lrerenz. dit von dem Oipolau~gcht, kann mol eintm (KG '>!Cht· bar gemacht werden (zur elektrhchen Sp~nnung \oehe

s. 102). a

b

Abb. 5.5 Oekt rh;<M Feldlin~n. • Elektnsche Fr1d,nitn tln<•r pmotown l.OOnq Dif' Pltg und Sl•r~f' de: Kr•ft. d~e _,einer Ladung om lenwm ,,u
boldcn.

Bei der Unterscherdung ZWISChen Punktladung und Probeladung mmmt man an. dass die Probeiddung im Verglerch 1ur Punktladung sehr klern ist. sodass das Kraftfeld. welches von der Punktladung ausgeht. durch drese Probeladung nicht gestört wrrd. Die Kraftwirkung geht dann allern von der Punkt Iadung aus und kann mit erner Probeladung abgetastet werden. Mit der Ernführung des elcktnschen Feldes kann man sich auf dre Fernwirkung von einzelnen l..ldungen konzentrieren und braucht nicht ;rwei l.ldungen zu berucksichtigen. wie das ber der Coulombkraft der Fall ist Genauso w1e d1e Kraft ist auch das elektnsche Feld em Vektor. Kraft und Feld haben die gleiche Rlchtung. Bei erner isolierten positiven l.ldung streben die Feldlinien radial von der Ladung weg nach außen, da d1e Kraftwrrkung rn allen Richtungen gl<'rch groß i\t (Abb s.sa). Ber einer i~olierten negatrvenl.ddung streben d1e elektrischen Feldlinien rad1.11 auf dre Ladung zu. Giereilzeitig nimmt die DKhtc der l'eldlrnten ab.JC größer der Abstand von der Ladung ist Dre Dichteabnahme der Feldlrmen rm Raum veranschaulicht die quadratrsch mrt dem Ab~t.md abnehmende feldstarke.

Plattenkondensator Einen besonders emfachen Verlauf der Feldhmen findet man zwrschen zwer elektri~h entgegenge~etn aufgeladenen Metallplauen. Eine solche Anordnung wird als Plauenkonden>ator bezerchner. Innerhalb eines l'lanenkondeno,aton smd d1e Feldlinien ungekrümmt und dre Drehte der Feldlinien ist konstant ( Abb. s.&) Das clektrr~he Feld hangt nur von der FlachendKhte der L1dung l..ldung QJFI.iche A) auf den gegemlberllegenden Metallplanen ab. Es gilt:

. E

I Qto A

e"'.

dabei ist e,.ein EinheitSvektor normal zu den Metallplatten. Außerhalb der Planen verschwrnden dre elektrischen Feldlinien und damit auch die Kraftw1rkung. Der Plattenkondensator rst ein sehr wrchtiges Bauelement fllr die statische Elektnzrtät wie auch für dynamische elektnsche Vorgange. die spater auf S. 131 tm Abschnrrt ubcr Wechselnromkrerse drskutrert werden. da man daran v1ele grundsatzliehe und emfache elektmche Phanomene erliiutern kann. d . ---=----.:; -Q

• Q :..:

0

r

~ J

Jo

0 0

0 0

t.jli;J3M Elektr&hes Ft"fd i\1 Coulombkraft pro ladunq. Der Feldlrn1enverlauf von zwer engegenge~etllen Ladungen rst in Abb. s.sb gezeigt. Er folgt aus der Vektoraddition der Feldlinien der positiven und ne gattven Ladung rn Jedem Punkt. Dte Ft>ldhnicn zeigen 1mmer rn Rrchnrng der Kraftwr rkung von der po~rtrven 1ur ne-gauven l..ldung.

llU

Abb. 5.6 Plattenkondenutor. Ot·r ff'ld in•~•erla"l 1m lw~ .c~ "'a"m lwi.cht-n ""'~' ~4tto IJ 1.olt1·11, dit gll'ch große und - 19l'>lt~l>clltt! c ~"ri.che L..dungen tr•g.·n. kr homOQtll und lconn•nt. Der Au~~l'illom o\1 frt'l .an r t-ld on>en. o;., eio:ltnsd~r ~nungsd fferenL

!!.U IWigt vom Absw>d der ~tten d ab.

S ElektrlzltJt. Magnetismus und Elektromagnetismus

5.1 Efektrizit.'it

T und Kraft F: M 1>< f. Erweiterung mit der Die Zellmembran ent~pricht 1m Prinzip einem Plattenkondensator. Der extra- bzw. intrazelluläre Raum stellt jeweils eine der be1den Platten dar. auf denen die unter· schiedlichen Ladungen sitzen. Getrennt werden diP l,.. dungen durch die Upidschicht da1Wi~chpn (Abb. 5.7). Bei einer Depolarisation (7. 8. während eines Aktlonspo-

tenzials) wird der Kondensator kontrolliert umgeladen, mdPm die Ionen durch spez1fische Kanäle von e1ner Se1te auf die andere fließen. Dabei polen sich die Spannungs· differenz (- Membranpotenzlall und die Ladung (und damit auch das Dipolmoment, S. 99) des Kondensators um. außen

+

+

- 90mV

L - -- 12) -- - - se -innen

+-- ® -+®+ +-++ -_+ - + + - + + + + ++-+_+-+-

Abb. 5.7 Zellmembran als Kondensator. Ote versch•edenen Ionen sammeln )i(h ihrer Ladung entsprechend Juf den beiden !>etten der Zellmembran an (blau- Na·. rot= K'. grün • c1·. gelb - Protein·). Orientierung von elektrischen Dipofen im elektrischen Feld Bringt man einen elekcrischen Dipol zwischen die Planen emes Kondensators, dann wirkt auf den Da· pol ein Drehmoment, solange bas daeser parallel zu den elektrischen Feldlinien ausgerichtet ist. Das Drehmomem auf einen elektrischen Dipol folgt aus der Definition des mechanischen Drehmoments. d.h. aus dem Kreuzprodukt von Hebelarm

Ladung Q im Zähler und Nenner ergibt ein Kreuzprodukt aus Dipolmoment mal elektrischem Feld (Abb. 5.8a):

rV! = QT "

~=p

E= !il!I"Eisin9 e.L.

Bea 9 • 90 • ist das Drehmoment maximal, bei 9 • 0 verschwindet das Drehmoment. Der Einheitsvektor e! zeigt in die Richtung des Drehmoments senkrecht zu p und E. Polarisation Verschiebungspolarisation und Dielekt:rizitötszohl Die Ladungsverreilung in Leitern und in Nichtleitern wird durch ein elektrisches Feld beeinflusst. Bringt man ein nichtleitendes Material bzw. einen Isolator. auch Dielektrikum genannt, in ein elektri· sches Feld, dann werden die Ladungsschwerpunkte in allen Atomen und Molekü len leach t verschoben. d.h. die negativ geladenen Elektronen richten sich zur positiven Richtung des Feldes aus und die positiv geladenen Ionenrümpfe zur negativen Seite (Abb.S.Sb). Damit wird ein Dipolmoment induzaert auch wenn es vorher nicht vorhanden war. Man spricht in diesem Fall von Verschiebungspolarisatlon. Wie in Abb.5.8b gezeigt, sind diese Dipole parallel zur elektrischen Feldrichtung ausgerichtet und schwächen das elektrische Feld des Kondensa· tors ab. Einige Feldlimen enden auf der Oberfläche des Dielektrikums und erreachen nicht die gegenOberliegende Seite. Gleichzeitig entstehen neue Feldlinien durch die induzierten positiven Ladungen auf der gegenüber liegenden Seite. Insgesamt wa rd das elektrische Feld Eo mit D•elektrikum im Vergleich zur Situation ohne Daelektrium Eo um einen Faktor Fabgeschwächt. Fist eine damensionslose Zahl, d1e Dlelektrizltätszahl oder auch Permit· tivitätszahl genann t wird und materialabhängig ist: Eo • Eofc. Wir werden später sehen. dass die Kapar-

+

+ !---"""'-~ ".....__ + ~--~- ,.-----r.:'-::-+

+ 1--- .:0....

.---~

+ 1--_... +r-...,.;:......,,.......,"_.;;;:;..".---'

I·+

-~ .

+ +

+

+

--

+

-E=O•

+

+

+ + +

. '

+ I

+r-------_; a

+

-

+

-..__ +

--

---

-

+

b

c

Abb. 5.8 Ausrichtung elekt:tls.:her Dipole von Dielektrika und Metallen Im elektrischen Feld. a OrlenllerungspolarlsaUon von pl'rmanenten Otpolen •m t-lelktr.schen D1polen; c lrreugung von Influenzladungen auf der OberflJche von ~et~llcn. Innerhalb eines Metal'kiifigs ist dJS elektrische feld nulL

101

102

5.1 ElektriliW

5 Uektrlz.iUt. Magnetlsmus und Uektrom.~gnetlsmus

• n ._ Dl r 'J MltMill

, '"

" 6

Vdlwm

1.0005

5- 10 81

zit~t

des Kondensators m1t Dielektrikum im Zwischenraum um genau diesen FJktor erhöht wird. Be1 Abschalten des elektmchen Feldes verschwmdet d1e Versch1ebungspolan~non w1eder. Orientierungspolarisation Falls in dem Dielektrikum bereits permanente elektrische D1pole vorhanden sind. wie z.B.m Wasser, dann ~md d1e~ ohne elektnsches Feld wlllkurhch im Raum verteilt und ergeben keine makroskopiSChe Polan~uon. ln emem elektrischen Feld wirken jedoch Drehmomente auf die Dipole. die die Dipole in Feldrichtung drehen. Diese Art der PolariSJtion wird OrientierungspolariSiltion genannt (Abb. s.llll l. Oie Onenuerungspolans.1non tst allerdings mehr vollständig. da d1e Warme der Ausnehrung en tgegenwirkt: Mi t abnehmender Temperatur steigt die Orientierungspolarisation an. Auch hier führt d1e PolariSation zur Abschwächung des elekrnschen ~elde~. Was~r hat be1 R.lumtemperatur und m statischen Feldern eme besonder~ hohe Dielektri7ilätsl
1$11934 Elt'ktri5che o;pole w ...rdt'n on el~tn~oehen Feidefn durch ladungsverschot'bung erzeugt. permanente flf ktmdw Dipole werdt'll 1m elektn~hen Fe-ld au~erichter.

Abb. 5.9 feldlinienverlauf einer Punktladung vor einer Ma· ~llpl~tt~

Influenz Auch 111 Metallen bzw. in Leitern erzeugt das elektnsche Feld eine l..ldungsversch1ebung. Stellt m.ln eme Metalldo~e zwischen die Kondensatorplauen. dann enden d1e Feldllmen auf der Metalloberflache und dnngen n1cht durch das Metall durch Abb s.ac\. D1e Metalldose bleibt im Inneren feldfre1. Dieser Effekt ist als Faradaykäfig bekannt und wird zum Schutz von empfindlichen Messinstrumenten vor elektrischen Feldern emge~etzt Auch Auto~ und Flugzeuge smd Faradaykafige. ~hr zum Schutz der Insassen und Passag1ere. D1es hegt an der T.11sache. dass l..ldungen in Le11e1 n besonders leicht verschiebbar sind. Die Verschiebung von Ladungen mle1tern durch elektrische Felder w1rd lnfluenr gl'nannt. Influenz er7eugt immer Ladungen engrgen· ge-;t'tzren VorzeiChens. sodass d •e Feldlinien immer an den lnfluen?ladungen enden. Man kann SICh d1e Influenz durch ein Gedankenexperiment verdeutll chrn. Wenn eme Punktladung vor emer Metallplat te poslllomert wtrd. denn streben d1e Feldhmen in alle Raumnchtungen. DleJemgt'n Feldhmen. d1e auf d1e Metalloberflache aufrreffen. erzeugen 111 der MNalloberfl~che AbschirmiJdungen. sod.m die Feldlinien dort enden (Abb. 5.9 ). Der Feldlimenver· 1.10f entspnchr dem emes D1pols zusammenge'lt't7t aus der Punkrladung vor der Mrtallplatte und emer gle1ch großen und 1magmaren Spiegelladung engegengesetzten Vor Leichens hinter der Metallpi.Jrte. D1e Feldlinien stehen senkrecht auf der Oberflache. bzw d1e Metalloberflache schne1dN die feldhn1en '~Cnkrecht. Eme tadung. die pJrallelzur Oberflache verschoben w1rd erfdhrr keme Kr.1ft. Oo~her ~md Metalloberfldchen 1mmer Isopotenzialflachen (s. u. ).

S Elektrlzlt:lt. Magn~tlsmus und Elektromagnetismus 5. I flektrizit:it

11$11934

Kopozitilt des Kondensators

Treffen elektri'>Che fekllonlt-to duf Metallflächen auf. dJnn enden sie dort. Dit> lnflut>rot "'10 l ildunyl'n entgo.'9et19ewtzten Vorzei 1\1 fddfrel.

Elektrische Spannung Elektrisches Potenzlai (• elektriscM Sp;annung) Hubarbeit fuhrt emem Körper potenzrelle Energie zu. da gegen die Anzrehungskraft Arbert geierstel werden muss (vgl. S. 41 ). Ladungstrennung von zwer unglerchen Ladungen erhöht dre potenzrclle Energre der Ladungen. da gegen rhre Anzrehungskraft Arbcrt gelerster werden muss. Potenzrene Energre rst Kraft mal WegdriTerenz. auf dre Coulombkraft angewandt.

5.1.4

E.,.,. - Fe · öx.

Das elektrische Potenzlai U(genauer: die .J.nderung des Potenzials ~U) r~l dre potenzielle Energre bezogen auf die Ladung Q. ~u

Die Änderung des elektrisches Potenzrals ist das Sk.1larprodukt aus Feldstärke und Wcgdrfferenz. Hrer sollten dre potenzrelle Energie E.,.,. und das elektnsche Feld E nrcht verwech~elt werden Dre potenzrelle Energre rst ern Skalar. das elektnsche Feld rst ern Vektor.

llf 1i;J3M 1

Ekktnsches Pote-nzoalr't
om Kondensotor

Die Anderung des elektmchen Porenzrals wrrd besonders .1nschauhch berm Plattenkondensator (Abb. 5.6, S I 00). Vergrößert man den Abstand der Plarten. dann muss gegen dre Anziehung der Ladungen Arbert geierstel werden. DJ dre Feldstärke zwischen den Platten überall glerch groß und konstant rst. fUhrt dre Abstandsänderung zu emer Potenzialanderung {Spannungsänderung): ~U - f' lld. Die Einheit des elektrrschen PotenLials (der elektrischen Spannung) ist das Voll:

N J UJ- C m C Volt(V l

IIM1133M Ooe Spannung etne~

L.aclung und zum

Kondton~l(l(\

Platt~abstand.

i\t proportoon01lzur

Wrr können jetzt die Kapazrtat des Kondensators lercht berechnen. in dem wrr das elektrische Feld des Kondensators explizit ernsetzen (differen7rell~ und vektorielle Schreibweise sind vernachlassrgt):

u

Ed - I Qd c0 A

Q C

oder

Q

ru

Der Proportionalitätsfaktor C zwischen der Ladung Q und der Spannung U wird K;apuiut des Kondensators genannt. C

to ~: Einheit

ICJ • I~! - ~ - F(farad )

·t~li;i$4 Kapazität Ist proportional Luo proportional zum Abstand

rl~the

und uongekt-hrt

Die Einheit F der Kapazrtat wrrd Farad genannt. 1 Farad ist eine !>ehr große Einheit. übhcherwerse liegen die Kapazi täten von technischen Kondensatoren im Bereich von 11F bis mf. Die KapJzit
(

I d)

c EoA E·

Q

C· Q

- Co

wober: A

Co - E· Eo d - c · C. Dabei ist C0 dre Kapazität des Kondensators mrt Dielektrikum und C ohne Dielektnkum. Alle technischen Kondensatoren nutzen drescn Effekt aus und haben immer ern Dielektrrkum (• ISO· lator) zwischen den Polen zur Erhöhung der Kapa zität. je größer die Dielektnzrt:itszahl t des Drelctrikums rst. desto höher ist seme Kapazrlat.

103

104

S.l ElcktriL•lal 5 Elektrllltllt. Magnetlsmu~ und Elektromagnetismus

Rechenaufg.1be

u

Aufgabe 5.2: Eine llp~dn>L1nbrMt Pnlh~ltlonenkarwlt', so da~ l..ldur>g von dN rytowlt\C ht>n zur extrazellu·

l:aren Sette Hießen k.1nn und umgekehrt. Die Lipid· membr.Jn k;rnn au<:h als ~n Kondensator bctrad>tet wefden. der durch dte lidung. die durch d>e IOOE'nkanäle fließt. dUf~'l.lden v.ird. Oie K.!pazrtit der Membran t>t GI. J.l pf. Anfangs St'i dte ~~embran nicht auf· glo'laden. Oann fließen 2 Millionen K'-loncn von einer St-rte zur anderen Wre groß Ist Jl"llt die '>pannungsdrffrre11z uber der M4o'lnbran1 Der Bt-triiCJ der fll'mt"nWI.J
WiP wettl'f obem bereits erwahnt (S. tOl). konnl'n Membranen von Nervt?nzellen als Kondl'IUatorm bt'trachtct werden Dit> Kapalttat der Nervt"nzellmembran betragt ca 1 IJF pro Qu~drntltntimeter. Energiedichte des Kondensators

~·~ Oie Formeln Im folgenden Abschnitt mussen Sie nicht auswendig kennen. Sie sind eher fur die Spezialisten unter Ihnen gedacht. Wichtig ist. dass Sie verstanden haben. worum es sich bel der Energiedichte eines Kondensators handelt. Wir haben btre1ts ge<>ehen. d.Jss Kondens.ttoren Ladungen speichern und d.JSs sie ein konstantes elektrisches Feld enthalten. Dabei ste1gt d1e potenzielle Energ1e de~ Konden~ror; hnear mu der Ladung an : l:1i.,· Q Da auch drr Spannung m1t der Ladung linear wachst ( U -Q).l"ntspncht d1e potenzielle Energte der nachc des f,ubigen Dreiecks in Abb.5.10:

~QU 2

Da der Kondenxnor ein Volumen V • Ad etnschheßt. 1st dtl" ge~peiCherte fnergtedtchre (Fnl"l· gie/Volumen): I;"<

""'

V

1/ 2 QU Ad

Mir Dielektrikum i~t d1e Energtedtchte um den Faktor c erhoht. /;"<""'

V -

1

...

ccoc'. 2

, !;"
Eist das elektrische Feld 1m Kondl"nsator).

-Q

Abb. 5 10 Anderung der Sp.lnnung durch Aufl•n ~Mt IC<>nMns.ators mit der l.Mung Q.

llf,ii;J3M Konden~ator~n

sind Speocherelemente für elektrische Iadungen und fiK elektnsche Feldeneu;le. Die K~pa11t"t von Konden!.ltoren und thrP Ent•rg•rdiChlt kann durch Ooelel
Da das elektrische Potenzial da~ Skalarprodukt au~ Feldstarke und Wegd ifferenz ist. wird da~ Potenztal nicht verändert. solange die Wegstrecke! senkrec ht zu den Feldlinien verlauft. d. h. der Weg verläuft dann auf einer lsotopotenziallinie ln emem Plat tenkondensaror mit konstantem elektnschl"n Feld twischen der pos111v und negativ aufgelddenen Plane schneiden die Isopotenziallinien d1e Feld hmen senkrecht (Abb. 5.1 1~). Verschiebungen von Ladungen entlang der lsopotenztalhmen ~('nkrecht zu den Feldhnten ändert mehr d1e Energ1e bzw. das Potenzial der Ladungen. Zwischen zwe1 ver· schiedeneo Isopotenziallinien gibt e~ eine Span· nungsdifferenz. denn um von emer lsopotenzialh· nie zur nächsten zu kommen. muss m.Jn l"incn Weg wählen. der Komponentl"n p.Jr.JIIel lU den Feldhmen enthalt lsopotenztalhnien konnen auch fiir Inhomogene Feldlll.'rtl"ilungen d1~ku11ert werden. Rechenbelspiel ElelctTiscMs ~ld und Spannungsdifferenz Im Plattmlconcknsotor

Homogene Kondt'nsatorplalt!'n m1t gleirpn; lWt\Chen den betden PI.Jtten Ist U • E. d • 100 kVjm · 0,05 m • 5 IN O•e rc:ldbnten und lsopotenziJIIinten sind 1n Abb. 5. 11~ dargeo~ll~lt .

5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus 543210kV -~ + + + + f +

1sopotenziall10ien

---

'

+

+ +

+2V-

I I

I

-.L

AU • OV

1

-----

+ +

5.1 Erektrilit.Jt

+

--

!t I

Isopotenziallinien liU

I

lill • lV X

a

b

Abb. 5.11 Isopotenziallinien sind Unien konsl
Punk tlodung Auf einem konzentrischen Kreis um eine Punktladung stehen elektrisches Feld und Weg senkrecht aufeinander. sodass keine Arbeit geleistet wird. solange eine Ladung auf diesem Kreis verschoben wird (Abb.5.11b). Daher sind Isopotenziallinien .lllch l.1men gleiCher Spannung, wie der Name besagt (Abb.S.tla). Führt jedoch der Weg der Punktladung weiter nach außen oder nach innen, wird die potenzielle Energie der Ladung geändert. Änderung der potenziellen Energie pro Ladungseinheit 1st PotenzialdiFferenz oder Spannungsdifferenz. Elektrischer Dipol

Der Verlauf der Isopotenziallinien eines elektrischen Dipols ist komplizierter als bei einer einfachen Ladung. Aber auch h1er gilt das Prinzip, dass Isopotenziallinien Feldlinien senkrecht schne1den. Zwischen verschiedenen Isopotenziallinien kann eine Spannung gemessen werden (Abb.5.12a). Die Spannungsdifferenz und deren zeitlicher Verlauf, die z. B. der Dipol des Herzens be1 der Erregungsausbreitung erzeugt, w1rd in einem EKG abgegriffen (Abb. s.J2b).jc nach Ableirung wird man eineandere Potenzialdifferenz messen.

lsopotenzlallmien schneod
D•e Lage des elektrischen 01pols, der als Summenvekt or über alle Oepolaris.ltionen im HerLen entsteht und e1nen charakteristischen teilliehen Verlauf hat. kann über die Messungen von Spannungsdiff~:renzen erm1ttelt werden . Dazu definiert man zunächst ein triangulares Koordinatensystem (Einthoven-Dreieck), welches dem Körper· bau und se1nen Extremitäten besser angepasst ist als ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem. hn triangularen System W>rd ein Nullpunkt im Zentrum des Dreiecks definiert und die Länge und Onentierung des Dipols !oenkrecht auf die jeweiligen Schenkel des Drcic
( +lV

a

lV

- lV

b

Abb. 5.12 Elektr1sc~ F!!ldlinien und Isopotenziallinien 110n tlnem tll!ktrisc~n Olpol. ~ D ie lsopo!l!nz~Rinicfl schn!idcn die reldl~nien 1mmer •enkrecht. Einige Spamungsd•llerenzen Sind Sdlt'mansch allCJeqeben. b isopotenz1alhn•en von e01em Summendipolvl>ktor und die PotenLo.lld•flerenz. die m~n bei e111er EKG-Ableitung nach Einthoven II erwartet. (blau: e~ktriKhl! Feldl01ien. gelb: isopotenziallinien)

1OS

1 06

5. 1 Elektrilolat 5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus - 90'

. ••

-90

.... · )\ '····-...:-! ... .. ···· p

..·

.•

o·

•

.

..

•• .

.• ..•' ··..

90"

a

.

.. 111

90'

b

Abb. 5.13 Projektionen eines Dipols im triangularen Koordinatensystem nach Einthoven. a Die Onentoervng des Summendi· polvel
alle drei Projektionen positiv. d. h. die P·Welle erzeugt einen po~otivt'n Spannungsausschlag. Am Q-Llcken zeigt der Summenvektor in Richtung 180 {Abb. 5.13b). Die Projektion in die 2. Ableitung ist hier besonders klein. 1. und 2. Ableitung ergeben negative Potenlialdifferen· zen. während ln der 3. Ableitung ein po~otiver Aus~hlag gemessen wird.

5.1.5 Elektrischer Strom und elektrischer Widerstand

~·~ Elektrischer Strom und elektrischer Wider· stand zeigen Analogien zur Strömung von Flüssigkeiten und zum Strömungswiderstand. Es werden Ihnen hier das Ohm'sche Gesetz und die Kirchhoff'schen Regeln wiederbegegnen. Zur Erinnerung können Sie noc:hmals auf S. 68ff. nachschlagen. Stromfluss Elektrischer Strom fließt nur dann. wenn an den Enden eines Letters eine Potenzialdifferenz herrscht. Diese Potenzialdifferenz besteht immer aus der Trennung von Ladungen unterschoedlichen Vorzeochens. Besonders anschaulich tst dies tn der galvan i ~chen Zelle bzw. in einer Batterie. Eine Batterie ist entladen. wenn der genossene Strom die ursprüngliche Ladungstrennung rückgängig gemacht hat. Wir haben bereits dte elektnsche Stromstarke als transportierte ladungsmenge t.Q pro Zelteinheit kennengelernt (S. 97): IQ

t.Q t;t ·

Dabei nießt die elektnsche l..ldung von einem hohen elektnschen Potenztal zu emem niedrigeren.

Elektrischer Widerstand und Leitwert Wie stark der Strom 1st, hängt von der Potenzialdifferenz t.U und von dem elektnschen Strömungswiderstand R ab. Darnil ist

t.Q

IQ = t.t =

t.U

R

Diese Beziehung wird als Ohm'sches Gesetz bezeichnet. Der Kehrwert des Widerstandes C • 1/R ist der elektrische Leitwert. Mit dieser Defimtion lautet das Ohm'sche Gesetz: IQ- G-IW.

Die Einheit des elektrischen Widerstands ist das Ohm 101. Die Definition folgt aus dem Ohm'schen Gesetz: R • U/l.)R) •IVJIIA) •10). I 0 istder Widerstand. den man bei I V Spannungsdifferenz und 1 A Strom erhalt. Die Einheit des Leitwerts ist: IGJ ~ 0 1 • Stemens (5). Im Widerstand wird elektrische Energie in Wärme Uoule'sclle Wärme) umgewandelt. Bei hohem Strom kann ein Draht so heiß werden. dass er glüht und licht emittiert. Dieser Effekt wird in der Glühbirne zur Beleuchtung genurzr.

Das Ohm 'sehe Gesetz: Strom ist Spannungsdifferenz dividiert durch elektrischen Widerstand.

Rechenaufgaben Aufgabe 5.3: Be! einem E.lektrounfalllc.lnn es am Herzen unter bestimmten Um~tänd.!n ..ru Kammerflimmern kommen. Dies kann dann auftreten, wenn ein Strom von 100 mA 13nger als 500 ms zwi~hen der linken Hand und den Fußen durch den Körper hindurchßießt.

5 Elektrizität. Magnetismus und Elektromagnetismus 5. 1 Elektrizität

Wie hoch muss doe dabei am Körper anlieqende Span· nung sein, damit es zu dieser StromsUike kommt. wenn der Widerstand ZWischen den Stromkontakten 5 kO beträgt? Aufgabe 5.4: ln der mcdozlnischen Rehabditatlon wird zur Vermeidung von Muskelschwund oder zum Wieder aufbau einer Muskelatrophie oft die elektrische Muske~ Stimulation angewandt. Dabei wird ein Gleichstrom zur Stlmulo erung von Muskeln und Nerven emgesetzt. ln unsert-mFall floeßt eon Stromvon 10 mAduoch das Mus· kelgewebe. Oie angelegte Spannung beträgt SO V. Welchen elektrischen Leitwert hat das Gewebe? (I ösungen S. 227)

Spezifischer Widerstand und LA!itföhigkeit Der elektrische Widerstand ist aus einem geometnschen Anteil (Länge I und QuerschnittsOäche A) und einem materialspezifischen Anteil p zusammen gesetzt (spezifischer Widerstand, Reslstivität):

R-P*·Die Einhe1t des spez1fischen Widerstands ist (PI· O·m. Der Kehrwert der Resistivirät o e 1/p ist die Leit-

fähigkeit. Die Edelmetalle Kupfer. Silber und Gold leiten den Strom besser als andere Metalle. etwa Alummium und Zmn. Ihre Leitfähigkeit ist höher als die anderer Metalle. Einige spezifische Widerst:inde sind in Tab. 5.2 wiedergegeben. Sie erstrecken sich über sehr viele Dekaden. Spezifische Widerstände im Bereich 1o-$ bis 10·8 O·m werden metallisch genannt. Spezifische Widerstande von 10· 3 bis 103 O·m werden Halbmetallen und Halbleitern zugeordnet, und Materialien m1t spezifischen Widerständen über 106 O·m werden Isolatoren genannt. Metalle w1e Kupfer, Gold und Alumimum ze1chnen sich dadurch aus. dass es zu jedem Metallion min-

lfl •

lhiVIUI

Ionenströme durch Ionenkanäle sind durch Membranp<>tenzlal und Leitwert der Ionenkanäle bestimmt Oie 1<>nenmöme bewegen sich im Bereich von pAI Abhängigkeit des

Wide~tonds

von der Temperatur

{Abb. 5.14)

Ein elektrischer Widerstand ist Obiicherweise ein Stück Metalldraht. der den Strom aufgrund seiner Geometrie oder seiner Resistivirät schlecht leitet. Die meisten Widerstände hängen über einen weiten Temperaturbereich Linear von der Temperatur ab: p (T)

Po(l I <Xot.möT)

ist der Temperaturkoeffizient von Ohm-Widerständen. der vom Material abhängt Man kann die Temperaturabhängigkeit des elektrischen WIderstands zur Temperaturmessung eichen und verwenden. Die Leitfahigkeit von Metallen ste1gt mit fallender Temperatur. Manche Metalle werden supraleitend für Temperturen unterhalb einer kritischen Temperatur Tc. d.h. der spezifische Wieder-


7 . . . . . . . .

Kupfer

[Ohm · ml 1,7 •1o·•

Gold

2.2 •

p

...Aluminium menschl. Kto
Gem1aoium (rein. 300 K) Glas

rPolystyrol

destens ein frei bewegliches Elektron gibt. Die sehr große Dichte von freien Elektronen in Metallen. die im elektrischen Feld verschiebbar sind, fllhren zu kleinen spezifischen Widerständen und hohen Strömen. in Halbleitern gibt es nur sehr wenige freie Elektronen, die erst thermisch zur Leitf.ihigkeit aktiviert werden müssen. Daher ist die Leitf.ihigkeit von Halbleitern wie Silizium und Germanium nicht groß. aber die Elektronenkonzentration kann durch Dotieren stark beeinOusst werden. Daher eignen sich Halbleiter besonders zum Steuern und Verstärken von Strömen. was in der Halbleiterelektronik ausgenützt wird. ln Isolatoren verhmdert die starke kovalente oder ionische Bindung aller Elektronen den Ladungstransport von freien Elektronen. Die spezifischen Widerstände sind entsprechend groß. Daher sind die meisten Salze, Oxide, Sulfide, etc. Isolatoren.

•o·•

2,7 • 10· • 3 7

7

10"

0.3

..

-g E

Halbleiter

~ ~

-=~

~

L---7'""<.';;: 300K

Temperatur

Abb.5.14 Temper~turabhänglgkelt des spezifischen Widerstands von metallischen Leitern, Supr.~leitem und Hai~ Ieitern.

107

5. 1 flektrizrtat 5 Elektrlzlt.'it, Magnetismus und Elektromagnetismus

1 08

stand wird 0. Halbleiter werden bei hohen Temperaturen besser leitfähig. bei tiefen Temperaturen dagegen sind sie eher den Isolatoren zuzuordnen. Strom-Spannungs-Kennlinie Widerstände werden über ihre Strom-SpannungsKennlin ie als Ohm- oder Nicht-Ohm-Widerstand charakterisiert (Abb. 5.15). Ohm-Widerstand: Die Beziehung zwischen Strom und Spannung 1st linear. d1e Steigung gibt den re11proken Widerstand an. Metalle haben übl icherweise einen Ohm-Widerstand. Nicht-ohm-Widerstand: Die BeLiehung zwi· schen Strom und Spannung ist nicht-linear, die Steigung gibt nur punkruell den Widemand an. Nicht-Ohm-Widerstände findet man bei Halbleiter-Dioden und Transistoren. Abweichung von der Unearitiit findet man auch bei Metalldrähten. wenn durch hohen Strom der Draht heiß wird (Glühbirne) und der spezifische Widerstand steigt (s.o.).

I!.U

a

b

Abb. 5.15

der Zuleitungen wird vernachlässigt). Dieser Spannungsabfall ist m Abb. 5.16b schematisch dargestellt. Der Strom ist eme gerichtete Größe, aber kem Vektor. Oie Konvention 1st. dass die R1chrung von /q parallel zur Richtung des dazugehörigen elektrischen Feldes l ist. in Abb. Abb. 5.16 Oießt der Strom konven tionsgemäß von Plus nach Minus. d.h. entgegen der RKhnmg der Bewegung der Elektronen im Metdlld raht. Die Spannung U0 nennt man Quellspannung oder auch elektromotorische Kraft (EMK). Im Folgenden unterscheiden wir zwischen der Quellspannung Uo. die eine Spannungsquelle liefert. und dem SpannungsabrallllUüber diverse WIderstände oder andere Elemente in emem Stromkreis. Der Widerstand der Zuleitungen wird dabei vernachl:lssigL.

Der menschliche Körper ist ein elektrolytischer Leiter mit hohem Widerstand. Der Widerstand von Hand zu Hand beträgt ca. l kO. Gleichstrom führt zunächst zur Joule'· sehen Erwarmung d~ Körpers. Bcr genügend hoher Stromdichte werden die Zellen depolarisiert. und der normale Ablauf voo Erregungsvorgängen wird gestÖf't. z. 8. die HerzfunktiOn. Bei 0 - 25 mA: d. h. einer Spannung von ca. 25 V wird Kribbeln ve~pürt. Bel 25 80 mA bzw. 80 V kommt es zur BlutdriKksteigerung und bei 80 - 3000 mA b1w. 3000V tnlt BeWUS$!IO$tgkeit und Hcnßimmcrn ein.

Strom-Spannungs-Kennllnlt'n. a Ohm-Widcrst<Jnd.

b Ntcht·Ohm-Wrdentand

5.1.6 Elektrischer Stromkreis Einige Definitionen Schließt man verschiedene Elemente wie z. B. Kon· densatoren oder Widerstande ubcr Zuleitungen an eine Spannungsquelle an. erhält man einen Stromkreis. Ist der Stromkreis geschlossen, findet ein La· dungstransportstatt -es Oießt ein Strom. Bei einem offenen Stromkreis ist der Strom unterbrochen. z. B. durch einen nicht geschlossenen Schalter. Wird ein Ohm-Widerstand R mit Hilfe von Kuprerzulei tungen an eine Spannungsquelle mit der Quellspannung Uo angeschlossen, dann Oießt ein elektnscher Strom gemäß dem Ohm'schen Gesetz: R öU +

a

lq = U0 /R (Abb.S.16a). Dabei erfolgt ein Spannungsabfall über dem Widerstand R (der Widerstand

b

Kirchhoff-Regeln Elektrische Netzwerke und Schaltkreise werden nach den folgenden beiden Klrchhoff Regeln berechnet. Knotenregel (Abb. 5.17•) (I. K1rchhoff'sche Re· gel): an emem Knoten verlwe1gen s1ch d1e Strome so. dass die Summe der hmein01eßenden und hinaus Oießenden Srröme konstant ist: 11 • 12 13 • Allgemeiner kann die Knotenregel formuliert werden. wenn man die hmem nießenden Ströme positiv und d1e hmaus 01eßenden Strome negativ we rtet. Dann 1st die Summe uber alle Ströme an einem Knoten null:

L:'·

0.

I

Abb. 5.16 Spannungsabfall am Ohm-Wider-

: Zulertungen. R • 0 ; kern Spannungs· : abfall

stand. a Ein Ohm-Wider\liltld i>l über l(upfer/ulettunqerl tU\ ~rnt.- Spdnnun9MJUe41e c1119~

-----<

Länge

schlossen. u, isc dl4! Queli<j)annung des Stromkre<Sl'S und drt> Pfeolt> deucen d•e lt-chnisch(> Stromrichtung 010. b Der Spinnung~ ~bfall t>rfolgt nur uber d~m Wrdem~nd. SOlinge der Wider\land der Zuleitungen vernac:hlassigt wt'fden k.mn.

5 Elektrlzlt.'it, Magnetlsmus und Elektromagnetismus 5.1 f.lektrizitJt

'·

='·

()=-

,)

a

au.1

au.

b

'

c~ 1 R,

RJ

u.

_

_;i-J

~

:• 10ov: :ov : : :

: : -

~

:

:

:

~:.._~

S' .........

g =:!

100

--

. . . 60···;......... : .•:..................

80· .. •···· ..... !.. 1::-,.~ .. !~.. .:. ........ .:... :' .......... :

:

X u, · Tu.

__c. b

I,

R~.--

LR, 1

DerGesamtwiderstand nimmt mitderZuschaltung von weiteren Widerständen zu und der Strom nimmt ab.

•

IJ-.---1 I

Rl • 40 0 I,

1. +

100 S' 80

-

IOOV

ov

f--.:.. ···· ·····~····

.....................~ .... ···:···

:

.

~ 1>0· ·········:·········· ················~·······!··· ~ 2 40 ..........:............... . .........>....... :.. . •

"' 20.

Serien- und Parallelschaltung von Widerständen

Bei Serienschaltung 1St damit der Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände (vgl. dazu auch S. 70):

U

I

I

R1 •80 0

I,

tt

Uo •llURt+ll.UR2 • l(R, + R~ ) •I Rge<·

•

a

I

Wenn Widerstände in einem Stromkreis hintereinander geschaltet sind. dann spricht man von einer Serienschaltung (oder Rethenscha ltung. Abb. S.18a). Da der Strom durch alle Widerstände gleich groß ist. jedoch die Spannung ü ber den Widerständen sukzessive abfällt, sodass d ie Su mme der Spannungsabfälle gleiCh der Quellspannung ist. dann folgt au> der Maschenregel umer Zuhilfenahme des Ohm-Gesetzes:

•.•.... ,

40·- ·l········+··!·········{···!······ ··.···•·········! : : :,.•.•.•••• ~. ••~: 20 .•• ,:.••.••.•. ,:................... ,. •••••• 0. • "' 0 •. .• •' .• '' .• '' '

1..-----.JI

Serienschaltung

:

c: c "'

Abb. 5. 17 Zur Definition der Kno tenregel und der Maschenr@9el. ~ Knotenregel: An cinem Knoten vertweigen skh die Ströme so. dass doe Summe der h•ne•n fließenden und hinaus fließenden SLtöme konstant ist. b Maschenregel: in einem g(.'o schlossenen ~tromkreos ost doe Summe aller Spannun~bfalle über den W•derstÄnden gleich der Qucllspannung.

Die Knotenregel drückt Ladungse rhaltung aus. was zuOteßt muss auch wieder abnießen. ohne dass sich der Knoten elektrisch auOädt. Maschenregel (Abb.5.17b) (2.1< irchhoffsche Regel): in einem geschlossenen Stromkreis ist die Summe aller Spannungsabl1ille über den Widerständen gleich der Quellspannung: U0 •lWRt +ll.UIU. Allgemeiner kann die Maschenregel ausgedrückt werden. indem die Vorzeichen der Spannungen berucksichttgt werden: 111 einem geschlossene n Stromkreis ist die Summe aller Spannungen null: L;lW, 0.

:

. ..... ;.. :

:

0

.

•

.

· ········~ ····················· ····-~ ···········

.

.

0~--------------~~------

c Abb. 5.18 Widerstände und Spannungsabfa ll im Stromkreis. ~ Serienschaltung. b Pottnzlometeoch.lltung. c Paralletschal· tung

Potenziometer Serienschalnmgen von Widerständen konnen als Spa nnungsteller (Potenziometer) genutzt werden. über jedem Widersrand fällt eine Spannung proportional zum Wide1stand ab. die abgegriffen und für weitere Geräte genutzt werden kann. die eine kleinere Spannung benötigen als die primäre Spannungsquelle zur Verfügung stellt. Gebräuchlich smd Schiebewiderstände, bei denen em Schleifkontakt die gewünschte Spannung abgreift. wie in Abb. S.18b schematisch dargestellt ist. Ein Beispiel dafür ist der l...lutstärkeregler am Radio. je weiter er aufgedreht wird, desto niedriger wird der Arbeitswiderstand. es nießt mehr Strom und die l...lutstärke n1mmt zu.

109

110

5.1 ElektriZität 5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus Parallelschaltung Eine alternative Möglichkeit, elektrische Widerstände in einem Stromkreis zu schalten, ist die Parallelschalrung {Abb. 5.11k).lm dargestellten Beispiel teilt sich der Gesamtstrom 11 in zwei Teilströme 12 und /3 auf, und die Gesamtspannung ll.U fällt über beiden Widerständen R1 und R2 gleich ab. Nach der Knotenregel 11 ... 12 .. l 3 und mir dem Ohm-Gesetz folgt dann: ll.U

Rechenbeispiel Innenwiderstand

Falls die Leerlaufspannung einer B.ltterie 12 V bellJgt (Abb.5.19), die Klemmspannung über einem Wider· stand jedoch nur 10 V, dann müssen 2 V über dem ln· nenwiderstand abgefallen sein Der Strom im Kreis mit dem Wtderstand R- 12 0 ist daher: 10 V/12 00.833 A, wda>.s für den lnnenwtden.land 2V/0,833 Ao 2,4 0 berechnet werden. Der Kurzschlussstrom ist 12V/2.4 0- SA. Der lnnenwiderst~nd einer SpannungsqueUe sollte möglichst klein sein. damit etne mbglichst hohe Spannung dem Stromkrt>i5 ?ur Vt>rfügung gestellt werden kannl

llU

I, = - + RI Rz

Daraus folgt. dass bei Parallelschaltung die Leitwerte der Widerstände addiert werden (vgl. dazu auch $. 70):

Gt.- ~~· Damit ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als der kleinste Emzelwiderstand.

Der Gesamtwiderstand in einem Stromkreis mit parallel geschalteten Widerständen ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Im Haushalt sind alle elektrischen Gerate parallel geschaltet. Wenn ein Ger:it ausfällt. sind die anderen nicht davon betroffen. jedes Gerät hängt an einem eigenen .Zweig" des Stromkreises (ver· zweigter Stromkreis). Wären sie in Serie geschaltet, würde beim Ausfall emes Geräts der gesamte Stromkreis unterbrochen. Spannungsquellen Alle elektrischen Geräte. einschließlidl Spannungsquellen (Batterien). haben einen lnnenwiderstand. Der Innenwiderstand wird bei Berechnung von Strömen und Spannungen immer als Reihenwiderstand angenommen {Abb.5.19). Die Klemmspallnung einer Batterie ist die Leerlaufspannung ohne Belastung minus dem Spannungsabfall über dem Innenwiderstand R, der Batterie. Dte Klemmspannung ist daher immer geringer als die Leerlaufspannung. Der Kurzschlussstrom ist der Strom, der nur durch den Innenwiderstand der Barrerie

Abb. 5.19 Schematis<~Mo Darstellung des lnMnwiderstands einer Spannungsquelle.

Strorll- und Spannungsmessgeräte Amperemeter

Zum Messen von elektrischen Strömen verwendet man Amperemeter {Abb.5.20a). Amperemeter sind hochempfindliche Drehspulgalv~nometer (S. 123), die auf dem Prinzip der Lorentzkraft beruhen, dazu mehr aufS. 123.Abb.S.l7. Oie heute gebräuchlichen digitalen Amperemeter messen den Spannungsabfall über einen im Gerät eingebauten Eichwiderstand. Amperemeter werden immer in Reihe mit einem Widerstand geschaltet. Der Innenwiderstand R, eines Amperemeters sollte möglichst klein Strommessung

u,T [

I

R

~

a

Spannungsmessung

Abb. 5.20 Schaltung von Strom- und Spannungsmessgeriten ln Stromkreisen. a AmpHemeter. b Voltmeter.

5 Elektrlzitat, Magnetismus und Elektromagnetismus 5.1 Elektnzltdl sein, damtt dte Strommessung uber dem Hauptwiderstand R mcht verfalscht wtrd. Der gemessene Strom ist IQ 6U1 R · R,). tst also kleiner als derJenige. der ohne Strommessung flteßr.

falls das Ohm'sche Gesetz gilt, dann folgt fur dte elektrische Leistung an einem Ohm-Widerstand:

Voltmeter

Oie )oule'sche Wärme:entwiddung entspncht der tm Draht verbrauchten elektmchen Letstung. Ote geietstete Arbett am Ohm-Wtderstand tst dtsstpauv. d.h. s•e kann nicht m Form elektrischer Energte 7urück gewonnen werden.

Messungen von Spannungen erfolgen ffilt einem Voltmeter (Abb.5.20b). Ote uber dem Wtderstand R, abfallende SP
P. t

Auf~

5.5: Tumorzellen wachwn be\Ond!'r\ schlll'll. OiPSt> bgenschalt wurde in einem Experoment au\9("' nützt. bei dem man die Tumor leßen durch ~Mederhol· t~ Anlegen emer hohen Sp.annung LU Ler~toren ver· suchte. ohne dabei die langsamer wach~Pndl'n g~sun· den Zellen ru beeinträchtogen. Im Expenment wurdP dabei an eine Zellkultur jeweol$ fur 8 n> eone Spannung von 25 kV angelegt. Dabei floss ein Stron1 von S A. in>· ge>amt wurden 800 solcher Stomstöße angewend~t. Wie groß war die Energie. doe dem Gewebe dabei ru· geführt wurde?

Amperemeter sollten eonen mogl ch\t kfetnen Innenwiderstand haben. Voltmeter htngeg~n eont'n ITl
Elektri.scM Atbet

Ote elektrische Arbeit (Energie:) tSt analog zur me· chamschen Arben defintert: QE -t:.S

Wti- F 65

Da Ladung Q • I 61 1St. und das elektrische Feld E - 6U 65. folgt für dte elektrische Arben.

w.1

16U6c

R

Rf'Chenaufgabe

'l$fi;I$M

Elektrische Arbeit und elektrische Leistung ln emer Spannungsquelle wtrd L.ldung auf einem hohen PotenLial angeboten. Oie potenzteile Energie der Ladung kann in elektrischen Motoren mechanische Arbeit lei~ten. in emer l'hotodtode Ucht erzeugen. chemtsche Reaknonen auslosen oder Warme hefern. ln allen Fällen lctstet das elektrische Feld Arbeit an L.ldungen. sodass Strom von a nach b über einen Widerstand flteßt. ln emem OlunWidersrand wird dte elcktn~he Arbeit olusschließhch in Wärmeenergie umgewandelt. Ohm Wtdersrande smd elekwsche He1zungen. 8ugeh.•1sen. Toaster. etc.

6U)2 - 12 R

(Lösung 5. 227)

Parallel- und Serienschaltung von Kondensatoren Auch Kondensatoren konnen parallel oder 111 Serie geschaltet werden (Abb. s.21 ~ Schließt man dtese an eine SP
C,Uo · C2Uo- Ct ... C2' Uo

CUo,

d.h. durch Parallelschaltung wtrd dte Kapalltat additiv vergrößert:

L• C,

C,- - Ct - ... ...- Cn -

I I

Die Einheit der elektnschen Arbctt Ist (Wt"')• A.V·S • Joule • Wan·s.

Im Gegensatz dazu werden bet Senenschaltung der Kondensatoren dte Spannungsabfälle uber den Kondensatoren addiert:

Elektrische Leistung

Uo

Elektrische Leistung ist elektrische Arbeit (Energie) pro Zett (vgl. S. 43): Wct

Pe1- tlr

Eg..

Allgemeiner ausgedrückt. bei Seriemchaltung wer· den die Leitwerte addtert:

16U

Oie Einheit der elektrischen Leistung ist (Pttl• A·V • joule/s • Wan

Q

(

c1)

1

I

n

I

- c +... +c - Lc FS i I 1

n

Otes hat zur Folge. dass bei jeder Zuschaltung von Kondensatoren m Serie die Gesamtkapazttat er-

111

112

5. 1 Elektrilitdt 5 Elektrizitat. Magnetismus und Elektromagnetismus

-l u.

-Q, ( 1I

·T

+

MCJ

i'

Q,

Q,

.

Uo

a a

1

I

.

R

0

s

c ,~

U(t)

-l .T

u.

'"·: 1

LIU

;

~:i ~'· -Q

---

Uo

-Q

•Q

".~= 1:'1' (

2

b

/

/ / --u.11U(t) =

/

t'

)

I L-------------------------· 7eit [t) /(I)

Abb. 5.21 Parallelschaltung (a) und Reihenschaltung (b) von Kondensatoren.

niedrigt wird. Damit ist die GesamtkapazitJt geringer als jede einzelne Kapazität.

li$11;134 Ber Serienschaltung

von Widerstanden werden die Einzelwiderstände addiert. Bei Serienschaltung von Konden"'toren werden die Leitwerte der unzelkond~n~1toren ~ddiert. Bei Parallelschaltung herrscht uber jedem Kondensator die gleiche Spannung. Bei Serienschaltung fällt die Spannung der Spannungsquelle sukzessive über den einzelnen Kondensatoren ab. Daher k

~•., Aus dem folgenden Abschnitt müssen Sie sich merken, was die Zeitkonstante eines Kondensators ist. Sie sollten auch damit rechnen können. Sie wird Ihnen in der Physiologie bei den Membranpotenzialen wiederbegegnen.

Ein

Konden~tor

kann über eine Spannungsquelle U0 (Batterie) aufgeladen werden. Eine mögliche elektrische Schaltung ist in Abb.5.22 wiedergege ben. Dabei nießt Strom über den Widerstand R und dte Zuleitungen zum Kondensator, bts d1eser die gle1che Spannung erreicht w1e dte Spannungsquelle. Im geladenen Zustand 1St die Spannung über dem Kondensator maximal und der Strom 0. Die

Zelt [t)

b

Abb. 5.22 Auf- und Entladen eines Kondensators. a Schdhblld lUm Auffad~n t'irwos Kondensators bei groffnet~m Schdlter S. b 7~1tllcher Verldul von Spannung (oben) und Strom (unten) über dl'ßlKonden\at(l(, nachdem dieser an d•e Spannungsquel e m1t ~r SpJnnung U angest~>en wurde.

Aul1adung erfolgt nach einem Exponentialgesetz mit der Zeitkonstante r:

U (t)~ Uo(l

e ")

r 1st dte Zelt, dte vergeht. bis 63% des Kondensators aufgeladen ist. D1e Zeitkonstante ist ein Produkt aus Widerstand R und Kapazit:il C: r R · C. je größer der Widerstand und je größer die K
U0

·

e ' ': I r 1 Iu e- 1 '.

Die Zell für dte Entladung 1st wteder durch dtc selbe Zeltkonstante r charakterisiert. U0 und /0 sind dtc Anfo~ng>werte unm1ttelbar nach Schilegen des Schalter>.

5 Elektrl~1tat, Magnetismus und Elektrom.1gnetlsmus

u,

Rechenaufgabt'

-"'

{

5. 1 Elektrttltdt

u,

Aufg.be 5.6: Oie pa~~iven elektri'>C ht>n Eigeno,chahl'n ,.,n.. r lellml'mb• dn ~nd der Membranwiderstand R (in Physiologiebt•chern oft ~h R_" b<'zciCh C."). Kapatrt:it 11•1d Widerstand ~•nd in dlt'5em Fall p~raffelg~chaltt•t. M.ln kdnn drt·~ ln folgendes Schaltbrld uber5t't rton:

,

l

•=:::::::;:-- -==L=

..

X

u.

(

Abb. 5.23 ~illtston~llfucke zur prizi.en llest1mmLW19 11011 Wlderst.lnden.

Orc Membranlcap.urtat betragt ( • 0.2 nf, d('r Mem· br olllW!derstand R • SO kO. Be• ernem durlbpotenzal w.rd die Membran von -80 mV auf •1 0 mV umgeladen Wie lange dk'9•'Ch ["J n«h dtm Akt1on•pol~'fltral wieder btS auf 37t. des Au\C}ang,.....erts (UoJt', t'- Euler'sche Zahl 2,718._) abcJelallf'n i•t7 (Lo•unq S. 227J

Wheatston-8rücke M1t der WheatstonHli'Ocke kann rnan ~enr pr .vlw unbck•nnte Widt1~tand~werte R, Bestimmen. Oa111 br~ucht nun rlnl-o bekannten ~rstand Ro. einen W~nd mit Sch~fkontakt (Potl'flZIC rmete< ".,.!erst.md R,) und e10 ~remeter mit <,p.Jnnun9'quelle der folgenden Anordnung: Mdn ve1sch1ebt den Schieber so IJngf', bi~ dl'r !>trum IJ•OIst. d.h. die be1den Spannungsabfälle u. • U1 icf<'n· t1sch werc:k>n. O..nn und nur dann gilt nach den ~­ schenregeln: L111ke Masche: R,t 1 R111 0 111

Rl.'
R11,

0.

5.1 .7 Elektrizitätsleitung Festkorper Hms1chrhch df;'r elektmchen l.e•trahigkelt teilt man Festkörper in lsolatonm. I Iaibieiter und Metalle ein. Metolle ln Metallen bewegen s1ch Elektronen relativ frei und ungestorr. Dre Elektronen m Metallen werden nicht durch die anderen Elektronen gestört. sondern nur durch Defekte 1m Metallgitter und durch die thermische Bewegung der Gillerionen. ln Metallen kann elektrischer Strom und gleichzeitig da· m•t auch elektrische Energie rran~port1ert werden. Be1 angelegter Spannung bewegen SICh die Elektronen m11 emer mutieren Driftgeschwindigkeit v0 durch den metallischen Leuer. Dnftge~chwindrg· kcll l'u m.lll..ddungsd•chte der Elektronen p. erg1bt d1e Stromdichte in cmcm Leiter 1

p, vo (vgl

s 98 .

Die Dnftgöchwindigkeit hiingt wiederum von der eielernsehen FeldstJrkc Jb:

vo

JJ.f:

Auflö>en ck'f l\Wrlen Qc;chung nJch 11 und Elns~tn•n

Dam1t wird die StromdiChte in Metallen:

in die erste GleiChung ergibt für den unbe!Qnnten w..

j

derstJnd R,:

P,ll,E

oE.

11. wird d1e Beweglichkeit der Elektronen genannt Bt't bekdnntPm Gt•Sdmtw.der~tdnd R. und Lange L dps f'otentiometl'I'Hind di~ TeihMdomt~ndc R1 - rx LI Rr und R1 (IL XJJ L) R,. Wlt' man Sieht. v. rd der unbek.lnnte WldPr5tand aHI'!I'I ~ll\ cfl'l't bekanntl'n Widerständen Rn. R1 und R1 berf'chflt'l (Abb. 5.23). Dot da\ AmperPJl1(-lt•r \Lromlos ist, spielt d...'f l'>rlel'tWidt< 'tand R keine Rolle und kann d.!\ [tql-1>ni\

nicht "'rf~~hen.

und 0 ISt die leltfahlgkelt. d1e Wir bereitS auf S. 107 kennengelernt haben. Be1m elektrischen Strom 1~t d1e Kraft proportional 7ur (Drift- )Ge· schwtndigkeJt und mcht proponional zur Be· schl~umgung, genau'IO w1e bei der VISkosen Strömung von Casenund fi(ISSigkenen und dem Kraftge-selz bei v1skoser Reibung. ln allen die~en Fällen geht dre Proportionalltat zur Geschwmdigke1t auf die Dissipation (Verlun) von Energie zuruck.

113

114

5. 1 Elektrizität 5 Elektrizität. Magnetlsmus und Elektromagnetismus Halbleiter

Halbleiter haben eine wesentlid1 geringere Leitfahigkeit als Metalle. Reine Halbleiter sind bei tiefen Temperaturen Isolatoren. Entweder durch Temperatur oder durch Dotieren mit Fremdatomen werden Halbleiter geringfügig leirt';!hig. Es gibt zwei 1\rten der Dotierung. n-Ootierung und p~Dotierung. Bei n-Dotierung werden in Si- oder Ge-Kristalle. deren Valenz 4 1st. Atome m1t der Valenz 5 (P. As) eingefügt, sodass die Überschusselektronen nur schwach un Kristallverband gebunden smd und leicht im elektrischen Feld zur Leuung angeregt werden können. Umgekehrt bei p-Doticrung werden Defekte mit Valenz 3 (Al. Ga) in das Kristallgitter emgebaut. Die Hauptladungsrräger sind dann nicht Elektronen, sondern Löcher. ln beiden Fällen liegt die Konzentration der Fremdatome im ppmBereich. Bei n- wie bei p-Dotierung setzt sich die Stromdichte aus der Beweglichkeit der Elektronen und der Löcher zusammen:

J~ IP,JI. + Phllh )f Isolatoren in Isolatoren sind alle Elektronen so stark gebunden. dass auch durch Temperaturerhöhung keme Leitfähigkeit zustande kommt. Vakuum Elektronen. die üblicherweise in Molekülen oder in Festkörpern gebunden sind. können durch verschiedene Prozesse freigesetzt werden und ins Vakuum gelangen. Bei hohen Temperaturen z.B. treten Elektronen durch Glühemission aus Festkörpern aus. Ein Tei l dieser Energie dient der Überwindung der Bindung (Austrittsarbeit). der Rest w1rd dem Elektron als kmetische Energie mitgegeben. Im Vakuum erle1den Elektronen keme Stöße. Daher gelten die Newton'schen Gesetze: Kraft ist Masse mal Beschleunigung. Das heißt. Elektronen können im Vakuum mit einer Spannungsdifferenz beschleunigt werden. Dies wird vielfach technisch ausgenützt (Abb. 5.24): an einer Kathode K werden

K

Elektronen durch Glühemission mir Hilfe der Heizspannung Uu ins Vakuum gebracht und zu einer Anode A über die Beschleunigungsspannung U~ hin beschleunigt. wobei d1e Anode positiv im Vergleich zur Kathode vorgespannt ist. Am Ende der Strecke haben die Elektronen ein geringeres Potenzial, aber eine höhere kinetisd\e Energie. ln der Braun'schen Röhre ( Abb. 5.244) hat die Anode em Loch. sodass die Elektronen durchfliegen können. Danach durchkreuzen sie 7wei senkrecht zu einander angeordnete Kondensatoren P und Q. mit denen der ElektronenSLrahl abgelenkt werden kann. Schließlich landen die Elektronen auf einem mit Leuchtstoff beschichteten Schirm. wo am Auftrcff· punktein Leuehrtleck entsteht. Nach einem ähnlichen Prinzip arbeiten die Röntgenröhren. jedoch m1t zwei entscheidenden Unterschieden. Röntgenröhren werden im medizinischen Bereich bei höheren Beschleunigungsspannungen von bis zu 100 kV betrieben, und die Anode enthalt kem Loch. Be1m Auftreffen der Elektronen auf d1e Anode und Abbremsen entsteht eine durchdringende Röntgenstrahlung ( Abb.S.24b). Näheres d.uu wird ab S. 189 beschrieben.

u.

Gase Elektronen. die nach der Emiss1on aus einem Festkörper in ein Gas gelangen und beschleunigt werden. erleiden vielfache Stöße mit den Gasatomen. Dabei wird ein Teil der kinetischen Energie der Elektronen durch Stoß an die Atome oder Moleküle im Gas uberlragen. Be1 der Stoßubertragung können auch Elektronen m den Molekülen zum Leuchten angeregt werden ( Leuchtstoffröhre). Wenn die Energie ausreicht, dann können Moleküle durch Elektronenstoß auch disseziert und ionisiert wer· den. Dadurch entstehen sowohl neue Elektronen wie ,lUch poSitiv geladene Kationen. Im Spannungsfeld laufen die schweren Kationen langsam zur negativ geladenen Kathode. während die leichteren und schnelleren Elektronen auf die positiV geladene Anode zulaufen. Die Ladungstrennnung und Beschleunigung erzeugt vielfache neue Stoßprozesse. ~---------

A

0

p

Q

Röntgenwahlen

u, b Abb. 5.14 Funktionsprinzip der Braunröhre (a) und der Röntgenröhre (b). s..ht' auch Tt'xl.

u

---------~

0

5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus 5.1 Elektrizität 0

l lOPaAr

v.;

-~

Ar -

v()'

I

I

0

Abb. 5.25 G;osenUadungsröhre. Orlltgescllwind'9ke.t von Elektron<:'n und KatiOn<:'n in einer GasenUadungsröhre.

sodass das Gas elektrisch leitend wird ( Plasma) und auneuchtet. Nimmt die Elektronen- und Ionenzahl lawinenartig zu. dann spricht man von einer Gasentladung (Abb. 5.25). Die Spannung, die man benötigt. um bei Normaldruck 1 cm Luftstrecke zu ionisieren. beträgt ca. 10000 V. Bei dieser Spannung tritt eine Entladung (Blitz) auf. Flüssigkeiten Reines Wasser ist ein Isolator. Bei Zugabe von Sal zen. Säuren oder Basen entstehen jedoch elektrisch geladene Ionen ( Kationen und Anionen). Die starken elektrischen Felder. die von dem Dipolmoment der Wassermoleküle ausgehen. führen zur Dissoziation von Ionenbindungen. NaCI gelöst in Wasser ergibt Na" und CJ·. Eine Lösung mit geladenen und beweglichen Ionen wird Elektrolyt genannt (Abb. 5.26). Werden zwei Metallelektroden in einem Abstand in die Lösung eingetaucht und wird an diese eine Spannungsquelle angelegt dann wandern die positiven Ionen ( Kationen ) zur negativen Elektrode (Kathode) und die negativen Ionen (Anionen) zur positiven Elektrode (Anode). De r Elektrolyt leitet einen lonenstrom. Die Überschussladung der Anionen wird an der Anode abgeliefert und gelangt über den Stromkreis zur Kathode, wo die Kationen durch Elektronenaufnahme neutralisiert werden. Die Elektrolyse beinhaltet damit einen Ladungstransport und gleichzeitig einen Materietransport. Die positiv geladenen Metall - und Wasserstoffionen scheiden sich an der Kathode ab. während sich

Tabellen 5.3

Saat

a

lllt a '

111" •

llull

•w•• 2

Ion

p (l r m /(Vs))

H

36

K'

7,6

504"

8,3

ow

20.6

(lelctron~n

4 • 10" m1/(Vs)

- -in c ...Metall

dte negarrv geladenen Säurereste und Sauerstoffionen an der Anode abscheiden. Die Stromdichte im Elektrolyten setzt sich zusammen aus der Beweglichkeit Jl, der Ladungsdichte p und der Wenigkeit Z der beteiligten Ionen:

j-

(p I'

z

+ p 11

z

>E

Eir1ige lonenbcweglichkeiten sind in T•b.S.l aufgeführt.

Faraday-Gesetze Die Faraday-Gesetze beruhen auf der gleichzeitigen Abscheidung von Stoffmenge bzw. Massemund Ladung Q an den Elektroden eines Elektrolyten. Das 1. Faraday·Gesetz drückt eine Beziehung zwrschen abgeschiedener Masse m und Ladung Q von einwertigen Ionen aus: Die an einer Elektrode abgeschiedene Masse m ist der an einer Elektrode abgegebenen oder aufgenommen Gesamtladung Q proportional: m - Q. Da die lildung Q sich uber eine Zeit r bei konstantem Strom I akkumuliert: Q= l·t, folgt: m - J.r. Um ern Mol eines ei nwertigen Ions elektrolylisch abzuscheiden. braucht man die Ladungsmenge Q",n1 • eo N" • F. eo ist die Elementarladung

0 (0 I Kathode

Anode

-~

"

Anionen

/

- o o- 0 o- o o~~

"

Kation~

.../

Abb. 5.26 Elektrolyse. Kationen und Anlorw!n t'lnes Ek>ktrolyttn wandern om elektrischen Feld zur Kathode bzw. Anode.

115

116

5.1 fJektriLilJl

5

El~ktrl~ität, Magn~tlsmus

und Elektromagnetismus

( 1.602" 10 q C). N~ die A\'Ogadro-l.lhl (S. 47) und F w~rd .tls F.traday-Konstame bezc•chnet. F • 96487 C (Vorsicht: die Farad.ly·Konst.tnte \OIIte mcht 1mt der Einheit der Kap.1zitat FIFa· r.Jd( verwe<:hselt werden). D.ts 2. Faraday-Gesetz drückt eme Beziehung zwischen abgeschiedener Masse und Ladung von mehrwerugen Ionen aus. D•e an emer Elekt rode abgescluedene Masse m emes Elements 1st proportional zur Molmasse M~"'' (Aiomgewicht) des abgeschiedenen Elements und umgekehrt proportional zu seiner Ladungszahl z Dil m • M~~o~·n (11 • Molzahl) und d1e abgeschiedene Ladung Q • n·Z·F. folgt durch Em~et7en und Umstellung: m = M~..,. Q z F Polarisationsströme Nerveruellen le1ten elektrische S1gnale. Allerdmgs werden dabei weder Elektronen noch Ionen 111 Richtung der Signalausbrei tung transportiert. sondern em Polarlsationszustand. Durch Ionenaustausch uber die Membran hinweg entsteht lokal em AktlonspOtenzlal, das sich lateral entlang der Nervenzelle ausbreitet (Abb. 5.27~ Wäh rend 1m Ruhezustand der elektrische Dipol von mnen (n~a­ uv) nach auRcn (positiv) gerichtet ist. dreht sich bei der DepOlarisation d1e Richtung des Dtpels um (vgl. A.bb. 5.4 , S. 99~ Dte fortpnanzung des Akttonspetenz•als emspricht emem Polari~tlons· strom. der von emer fortlaufenden DepolanS.ttlon der Axone herrührt. N1cht myelinisierte Nervenfa scr haben eine Signalgeschwindtgkelt von ca. 2 m/s. 5.1.8 Elektrische Spannungen an Grenz-

flächen, Diffusionsspannungen Kontaktspannung zwischen verschiedenen Metallen Austntts.Jrbcll ISt du~ mmimale Arbeit, d1e geleistet werden muss, um ein Elektron aus einem Metall m das Vakuum zu bringen. Die Aust.rittsarbelt 1st von Metall zu Metall versch1eden. Bringt man zwei verschiedene Metalle A und B ubcr eine gemeinsame GrenzO.lche 10 Kontakt, dann nießen Elektronen

PI

\\ oooooooootooo 6 0000 p ... 1

I

000000000000 A.bb. 5.27 Slgnal~otung von ~nzellen rrfolgt durch .;.wn Polllriutlonu trom. I . Stromfluss. p. Pobri.atoOm\trom.

"

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

8

Abb. 5.28 Ladungstrennung an der Kon~ktstelle zwischen zwei Met~llen.

aus dem Metall A m1t der klemeren Austrittsarbeit zum Metall 8 mit der ~roßeren Austrittsarbell, b•s em neues Gleichgewicht herg~tellt ISt ,A.bb. 5.28~ Da beide Metalle vorher clektnsch neutral waren. können sie nach dem Ladungsausgleich nicht mehr neutral sein. Im Metall A fehlen Elektronen (positiv geladen I, 1m Metall ß smd Überschussladungen vorhanden (negativ geladen). An der Grenzschicht zwischen beiden Metallen bildet sich eine Kapazilal mit einer en t~prechendcn Kontaktspannung. Diese Kon taktspannung ist charakteristisch für d1e verwendeten Metalle und beträgt em.ge Millivolt be1 Raumtemperatur. D1e Kontaktspannung hängt von der Temperatur ab. D1ese Temperaturabhängigkeit w1rd in Thermoelementen zur Temperaturmessung genutzt. Thermosp.1nnung und Thermoelement Werden zwe1 ver~h1edene Metalldrahte an 1hren Enden zu einem geschlossenen Kre•s zusammen geschweißt, dann heben sich die Kontaktspannungcn gegenseitig auf (Abb. 5.29). Es nießt kein Strom in diesem Le1terkre1s. Bnngt man allerdings be1de Kontakte auf verschieden«.> Temperaturen. da1m smd d1e Kontaktspannungen an be1den Cnd«.>n unterschiedlich. D•e durch unterschiedliche Temperaturen erzeugte Differenz der Kont,lktsp.lnnungcn wird Thermosp.1nnung genannt. 01e so zusammengebrachten Metalldr.Jhte werden ,Jis Thermoelement bezeichnet. ~~ Temperaturmessungen w1rd eine Kont.lktstelle auf den E1spunkt gelegt. d.h. man hält eine Kontaktsu~lle 10 E1swasser. welches auf Grund des Tripelpunkts emc stab1le Temperatur von 273 K hat ~. Abb. 4.11, S 88). d1e andere Kontaktstelle bringt man m thermischen lnnt

5 Elektrizität, Magnetismu§ und Elektromagneti§mus

5.1 Elektrizität



~4., ln Pnyslologiebüchem wird die Diffusionsspannung in der Regel als Diffusionsporenzio/ bezeichnet (z.B. als Kalium-Oiffusionspotenzial beim Aufbau des Membranpotanzials, s.u.).

oc

100

c

Abb. 5.29 Thermoelement mit zwei Metallkontakten bei unt~rschi~lich~n T~mperatur~n.

sind. die nur fur eine Ionensorte durchlassig ist. Konzentrat ionsausgleich kann dann nur flir eine lonensorre erfolgen. nicht aber für die andere. jedes Kation. welches dem Konzentrationsgradienten folgend durch die Membran auf die andere Seite diffundiert. hinterlässt eine effekuve negative Ladung 1m Ursprungselektrolyren und ftlhrr eine positive Ladung dem Zielelektrolyren zu. Die Diffusion von Kationen durch die Membran bewirkt Konzentrationsausgleich bei gleichzeitiger Ladungstrennung. Die Diffusion kommt zum Erl iegen, wenn d1e Kraft durch den Konzentrationsgradienten und die Coulombkraft durch dH~ LadungsLrennung sich die Waage halten. Die Membran rrennr die unterschiedlichen Ladungen und wirkt wie ein aufgeladener Kondensator. 01e Spannungsdifferenz bei emerTemperatur T folgt aus dem natürlichen Loganrhmus des Konzentrationsverhä ltnisses der lonensorten in den beiden Elektrolyten:

au = RT . ln c, zF

c,

Diese Beziehung ist als Nernst-Gieichung bekannt. F = Faraday-Konstanre, R =allgemeine Gaskonstante. z = Ladungszahl. c, und c. =Konzentrationen des gleichen Ions auf den beiden Seiten der Membran. innen (c)

außen (c,)

~~­ ~

<: ~

.. .... ....... ...

1\ ~~~

~

................ . I=======~

Aufbau eines Ruhepotenzials. Oie biologische Zt>lle arlx-•tt>t nach dem Pnruip der ionen•elektiven Membran. Im Ruhezustand trennt die Membran das Cytoplasma mit einem K'.Überschuss vom Interzellularen Raum m1L einem Na· .ÜbE-rschuss. Da die K' -Kanäle offen sind. findet ein Ausgleich von K'-Ionen durch Diffusion statt. aber nur msoweit, bis der Konzentration'lgradient durch die Coulombkraft aufgehoben wird. Es stellt sich dann ein fließendi!S .Konzentrationsgleichgcwicht' c•n mit emem K'.Uberschuss von 140 mM 111 der Zelle 1111 Vergleic.h Lu 4 mM im Cytoplilsma. Nach der Nernst·Giei· chung ergibt d1es ein Ruhepotenzial von u. ·90 mV. Dabei l1efert der Vorfaktor RT 1 (zf) c 26 mV und der natürliche Logarithmus des Konzentrationsquotienten einen Faktor 3,5. Das Membranpotenzial ist negativ, da die Innenseite der Membran gegenüber dem Extrazellulärraum negativ geladen ist und das Potenzial der Membranaußenseite willkürlich als Null definiert Wird. in Abb. 5.30 sind d.e lonenkonzentrationen vor und nach dem Konzentrationsausgleich und die Poten· zialdifferenz schematisch dargestellt. Anfangs ist der K' -Konzentrationsunterschied zwischen intrazellulärem Raum und Cytoplasma maJutral wäre, dann würde solange ein Konzentrationsausgleich >tattfinden, bis auf beiden Se1ten der Membran die gleiche K' -Konzentration anLutreffen ist (blaue gestrichelte Unie). Bei geladenen I(' -Ionen verhindert d1e Coulombkraft den vollständigen Konzentrationsausgleich. Der verbleibende Konzentrationsunter· schied (grüne Linie) liefert den Potenzialuntt>rschied /lU bzw. das Ruhepotenliai von -90 mV.

Rechenaufgabe Auf~be

5.7: Oie extrazelluläre Na·-Kon1entration beträgt normalerweise 120 mmol/1, d1e cytosolische Kon1entra11on ist m1t c, • 12 mmol/1 10-mai niedriger. Welches Na'·GieichgewithtspotenLiai Uc stellt sich ein. wenn die Nem\t·Gieichung nach Ein•l't<en der Konstanten lautet

c c.

/lU . 60 mV lg ' (Lö~ung S. 227)

6U

ImVI

-

0 innen

I

außen

-90 Abb. 5.30 Konzentrationen (oben) und Potenzial einer Zelle in Ruhezustand (unten). [rldJrung~n im TeJ
c,-

117

11 8

5.2 Magnetismus 5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus

5.2.1 Übe rblic.k

..• ... check·up Wie entsteht das homogene elektrische Feld in einem Kondensator? V Machen Sie sich noch einmal den Unterschied der Parallelschaltung von elektrischen Widerständen und Kondensatoren klar. V Was bestimmt die Kapazität eines Kondensators? V Wie viel Zeit braucht ein Kondensator, bis er sich über einen Widerstand entladen hat? V Wie groß sollte der Innenwiderstand einer Spannungsquelle sein? V Wie wird der Strom in einem Stromkreis gemessen, wie wird der Sp;mnungsabfall über einzelnen Elementen eines Stromkreises gemessen? V Wie kommt die Spannungsdifferenz zwischen dem Cytoplasma und dem extrazellulären Raum zustande? V Wie Ist ein elektrischer Dipol definiert? V Was sind lsopontenziallinlen? V Was wird beim EKG gemessen? V Wie wirkt sich die Dielektrlzltätszahl auf die Kapazität eines Kondensators aus? V Welche Wirkung hat ein elektrischer Strom im Körper? V Welche Arten von elektrischen Strömen kennen Sie? V Warum ist Wasser ein gutes Lösungsmittel für ionische Materialien? V Welchen Vertauf hat der elektrische Widerstand als Funktion von der Temperatur? V Wie ist ein Ohm-Widerstand definiert? V

5.2 Magnetismus

; .....

Lerncoach Dieser Abschnitt über Magnetismus beruht auf elektrischen Strömen, denn nur bewegte Ladungen erzeugen magnetische Felder. Daher Ist es wichtig, dass Ihnen die Konzepte des elektrischen Stroms klar sind. Dabei spielt es keine Rolle, ob der Strom in einem metallischen Leiter, in einem elektrolytischen Leiter oder Im Vakuum stattfindet. Zur Erklärung des atomaren Magnetismus sollten Sie sich gegebenenfalls noch einmal die Grundkonzepte des Bohr' sehen Atommodells (S. 49) ln Erinnerung rufen. Außerdem wird empfohlen. sich das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren (S. 7) und den Drehimpuls (S. 30) noch einmal in Erinnerung zu rufen.

Magnetismus wird häufig als mystisch empfunden. Vom Magnetismus sollen besondere Heilkräfte aus gehen. Wissenschaftlich J>e[l·achtet macht das keinen Sinn. D1e Mystifizierung liegt vermutlich an der Tatsache. dass Magnetismus schwieriger zu verstehen ist als elektrische l.Jdungen und elektrischer Saom. Tatsächlich beruht jedoch Magnetismus auf Strom. auch wenn wir den Strom nicht direkt wahrnehmen oder überprüfen können. Ein stromführender Draht ist von einem Magnetfeld umgeben. Auch die Elektronen auf ihren Bohr'schen Bahnen in Atomen stellen Kreisströme dar. Diese sind verantwortlich ftir den Magnetismus. den w ir täglich an unserem Kühlschrankmagneten begegnen. Zum Glück bleiben d ie atomaren Kreisströme nie stehen. sonst würde der Kühlschrankmagnet nämlich rumerfallen. Wir können jedoch den Strom in einer Spule anund abschalten und damit ein Magnetfeld aufoder abbauen. ähnlich dem AuOaden und Entladen eines Kondensators. W1r werden zunächst die Entstehung von magnetischen Feldern aus elektrischen Strömen diskutieren und zum Schluss eine neue Kraft einfUhren. die sogenannte Lorentzkraft. d ie aufbewegte elektrische l.Jdungen in Magnetfeldern w irkt.

5.2.2 Magnetische Feldstärke Magnetfeld einer ruhenden Ladung Betrachten wir zunächst e ine ruhende Ladung im Vakuum. Diese 1st von elektrischen Feldlinien Eumgeben, die eine elektrische Kraftwirkung symbolisieren (Coulombkrart). Eine bewegte l.Jdung ist nicht nur von elektrischen Feldlinien E. sondern auch von magnetischen Feldlinien H umgeben. 01e magnetischen Feldlinien drücken eine magnetische Feldstärke aus. Die e lektrischen Feldlmien streben radial nach außen. Die magnetischen Feldlinien sind kreisförmig um die bewegte Ladung angeordnet und immer geschlossen. Bei positiver Ladung g1lt die Rechte-Hand-Regel: wenn d1e l.Jdung sich 111 Richtung des rechten Daumens bewegen. dann geben die Finger der Hand die Orientierung der Feldlinien an (Abb. 5.J 1a ). Magnetfeld eines stromführenden Leiters Ein stromführender metallischer Leiter ISt nach außen hin elektrisch neutral. da .1n jeder Stelle im Leiter genauso viele positive wie negative Ladungen vorhanden sind. Die positiven l.Jdungen sind die fest in das Kristallgittereingebauten Ionenrümpfe. d1e negauven Ladungen smd d ie fre1 beweglichen Elektronen. Das elektrische Feld ble1bt vollständig mnerhalb des Leiters und ist verantwortlich für den Stromtran spart. Die .. freien" Elckt-

5 ElektrlziUt, Magnetismus und Elektromagnetismus 5.2 Magnetismus

ret. Im Zentrum des Kreises ist die mdgnetische Feldstarke umgekehrt proportional zum Durchmesser d (- 2r) des Kreises bzw. der Leiterschletfe Abb. 5.32a ):

H- 2r'

;

Daese VersUrkung um den Faktor n im Vergletch zu emem geradlinigen Leiter kann man durch eane Senenanordnung von Kreasen, die eine Spule btl· den, ausnutzen. Das Magnetfeld einer Spule sem sich zusammen aus der Überlagerung der Magnetfelder von Kreissrrömen. Wenn N dte Wmdun~· z.1hl einer Spule ist und I dte Länge der Spule, dann herrscht im Inneren einer langen zyhndri sehen Spule. durch dae der Strom I Oteßt das Magnetfeld ( Abb. 5.32b ): H-

b Abb. 5.31 Magnetische Feldlinien. • Frtle bewrgte elcklnKhe Iadungen sond von ek'ktn~chen und magnell-.ch~ ftld~n·~ un~geben Ote eltktrlsc~n Ftldltnttn llrtben r•d•al n•ch 1uf!cn. d ~ magnetosch"n r eldlonocn btlden gt"Khlossene Kre!se um dot lkwegungvlchrung b M;ognfti\Che Frldlinien ""' eonen wom· führenden Letter shld .renlt "'" und kll~sförmoq um den lt'tltt J"9fpannung\QOrlr.) ef·

~· ,..,-dt'n.

ronen in dem ~tromftlhrenden Letter lx-wegen sich mit emer Driftgeschwindigkeit entlang des Leiter5 bzw. entlang des Potenztalgefalles. D1eser Strom ist von emem magnen~chen Wirbelfeld umgeben (Abb. 5.31b • Das von einem elektrischen Strom er7eugte magneusehe Wirbelfeld wird ;weh nach ~ei­ nem Entdecker als Oer~ted-Feld bezeichnet. Das Oer5ted-Feld oder einfach die magnetische Feld· starke H 1st proportional zum Strom I tm Letter und umgekehrt proporttonal 7Um Abstand r der betrachteten Fcldhme vom Letter. Auf e1nem Kreis mtt Radius rum den Letter tst dte magnetische Feld· starke konstant und hat den Betrag: I

H - 2 rrr .

N

1

1.

Das homogene magnetische Feld im Inneren emer Spule ähnelt dem homogenen elektnschen Feld tm Inneren eines Kondensators. Man kann dae Spule also als Pendant zum Kondensator 1ur Er1eugung von homogenen elektrischen Feldern betrachten. Die Spule wird deshalb auch oft als Bauelement zur Erzeugung homogener Magnetfelder verwen· del. Der Kondensator speichert elektrische Feldenergie, die Spule spetchert magnetische Feldenergie. Die magnetische Feldenergie einer Spule wird auf S. 126 hergeleitet. Es gJbt JedOCh eanen entscheidenden Unter~chtt'd· Die elektmchen Feldlimen tm Kondensator dnngen n1cht tn den Außenraum. Randeffekte werden vcrnachldSSigt. Die magnetischen Feldlinien sind grundsätzlich geschlossen. d.h. bei einer langen Spule schheßen sich dae Feldlinien außerhalb der Spule. Der ttefere Grund fur diesen Unter;chit'd hegt an der Tatsache, dass elektnsche Feldlinien von elektrischen Monopolen ausgehen. Wdhrend magnetische Feldlinien auf magnensche Dipole zu rück gehen. Magnetischen Monopole gabt es mcht. alle magneosehen Felder sind Dapolfelder. Die magI

• •

•••

.. . ../r. ""=" '.'\ ' ; i. . .. . . ·. ' '• :

D1e Einheit der magnetischen Feldstarke folgt aus den Basisgrößen Strom und LJnge. IHI• A/m.

'1811934 ElektriKhe Ströme t'r7Mtgt'n m~grwlt'Kht• Wrrlx-lfetder.

0

;

••

..

r

'

•

t

'

.

b

Magnetfeld einer elektrischen Spule Biegt man etnen geraden Leuer zu emem Krets. dann sind die Feldlinien im Zentrum gletch gerich·

Abb. 5.32 M.lgnetlsche F~dllnJ.n von r1ngförmlgM L.,t~m. • MagnetrKhe Feld"noen von I'!Offil Qt'SChl ·~"""'"' e•temng b Magnet•scht FeldllniM in einer Llngefl Luft>pu ...

119

120

5.2 Magnetismus 5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus nerische Feldlinienverteilung e1ner Spule <~hnelt der elektrischen Feldlinienverteilung des elektrischen Dipols ( vgl. ~b. 5.52, S. 135

Die Einheit des magnetischen Dipolmoments ist (mJ•Am2• Magnetisches Dipolmoment einer Spule

5.2.3 Magnetische Flussd ichte Eine andere gebr.lUchhche magneusehe Größe ist d1e magnetische FlussdiChte 8. D1e magnetische FlussdiChte w1rd erst auf S. 125 1m Rahmen des lnduktion~ge:.elle) eingeführt. Sie soll aber h1er schon begnfflich verwendet werden. Zwischen 8 und H g1bt es eine einfache Beziehung:

B

JloH.

d.h. jj und ii unrer~he1den SICh nur um einen konstanten Faktor 11·1), der ab magnetische Feldkonstante bezeichnet wird. S1e 1st eme umverselle Konst<~nte m1t dem Wert:

Jlo "" 4n 10

7

V)

Am

Für B und H findet man verschiedene Bezeichnun gen in der Liter
Vs 8 • ml

Vs

=T, I ßii

IT.

Gebrauchlieh ist manchmal noch d1e (mehr SI· Finheir Gauß (G): I I esla • 10~ Gault W1r werden Je· doch hier ausschließlich d1e SI l:mhe11en verwenden.

5.2.4 Magnetischer Dipol jeder Magnet 1st em magneuscher Dipol und hat einen Nord- und emen Sudpol (ahnhch w1e d1e positive und negauve Wdung emes elekrri~chen DIpols}. Magneusehe Monopoll." (also nur emen Nordpol oder nur emen Sud pol) gibt es niCht (1m Gegen satz zu negat1ven oder pos111ven l'unktladungen, die auch alleme exl)tleren ~ Magnetisches Dipolmoment f:in magneuscher DipOl entstehtimmer dann, wenn em Strom /un KrCI) nleßt Abb. 5.331 ). Der Strom I mal d1e emgeschlo~~ene flache A defimen dds magnetische Dipolmoment m • I A eA. der Einhelrsvektor eA. der d1e einge)thlo)~ene FI.Jche charakteriSiert. steht senkrecht auf der Fl;iche.

Das magneu~he Moment emer ~tromdurchno~~e­ nen Spule 1st das Produkt aus Wmdung~1ahl N, Stromstärke I und Fl.lche A m- NIAeA. Magnetisches Dipolmoment eines Elektrons

Elektronen auf 1hren atomaren Kreisbahnen um den Kern stellen elektrische Kre1sstrome dar. die von Magnetfeldern umgeben smd (Abb.S.lJb). W1e b1sher defimen Elektronenstrom mal emge~chlos · ~ener Flache A das magnetische Dtpolmoment m- I A des atomaren Kreisstrom). M1t der Deli nition des Stroms als Ladung pro Zelleinhell I q T - QCJ '2n (T • Umlaufzerr, CJ • 2rr{T Um· laufkreisfrequenz) berücksichllgt man. dass da) Elekrron auf der Kre1sbahn emcn Dreh1mpul~ (S. 30) [ ~rlCJ hat. wobe1 m. die Masse dt>s Elektrons ist, dann folgt durch kurze Umrechnung der Zusammenhang zwischen nlilgnelischem Moment und dem orbitalen Drehimpuls des llckt rons:

q • m.

-2 - L. Wir sehen hier. wte Magnetismus gan7. elementar aus aromaren Kreisströmen der Elekrronen m den Aromhüllen hervorgeht. Allerdings dreht das Elckt· ron s1ch noch um SICh selbst. ~o w1e d1e Erde s1ch um dre Erdachse dreht. D1e~er F.1gendreh1mpul~ (oder auch Sp1n S genannt erzeugt ebenfalls cmen Strom und damit ein zusatzliche) magnetische) Dipolmoment:

q m,--s

'"•

Der orb1tale Drehimpuls L und der Eigendieli impuls S tragen be1de zum Magnetismu) eu1cs Aroms bei. Atomare magnetische Momente werden 111 t:m hc1ten von Bohr- Magneton #Ja angegeben I Jlt • 9.27 x I0 24 Am 2•

m

m

Ä a

b

Abb. 5.33 M~ Mtl~ Dipolmoment m. 1 Oefln•toon d~ m.19""t'"'ill'n Dtpolmo'1lPnt~ m I A m \l· il' ~'l'llul'tht ~uf der n..thc A b Ein Ek!ktrun mit clolr u.Ju IQ 4 ..,, Wlnf'f kr••sbahn um dfon ki'M • nt
5 Elektrlzlt.'lt, MagneUsmus und Elektromagnetismus 5.2 Magnetismus

Auch Atomkerne und insbesondere Protonen haben ein magnetisches Moment. welches allerd1ngs wesenthch kleiner l~t als d.e magnetischen Momente der Elektronenhülle. Die magnetischen Momente von Protonen wer· den in starken Magnetfeldern von l'tnigen Te<;la part1ell ausgerichtet. Entfernt man das Magnetfeld. dann relaxll!ren die Momente und orientieren sich willkürlich im Raum. 01e Relaxationsrate von Protonen von partieller Ausrichtung Im Magnetfeld zu beliebiger Orientierung hängt von der Umgebung ab. 1n die die Protonen eingebettet sind. ln Kernspintomografen werden die unterschiedlichen Relaxationszeiten der Protonen in Geweben und Organen al~ Kontra~! zur 81ldgebung genutzt.

Magnetischer Dipol ist definiert als Strom mal eingl!schlossener Fläche, elektrischer Dipol ist definiert als Ladung mal Al»t.lnd (vgl. Abb. 5.2. S. 99).

5.2.5 Magnetische Materialien ln Atomen tragen sowohl orbitale Drehimpulse [ wie auch der Eigendrehimpuls S der Elektronen (Spin) vektoriell zum Gesamtdrehimpuls und damit zum gesamten magnetischen Moment bei. Wenn diese Vektorsumme aus f. und Svon Null verschieden 1st, dann 1st das Atom magnetisch, es hat ein endliches magnetisches Dipolmoment. Dies ist übticherweise der Fall, wenn eine Valenzschale nicht vollständig gefüllt ist, vornehmlich die M-Schale der 3d-Übergangsmetalle. Paramagneten Im Kristallverband sind die magnetischen Momente der Atome beliebig im Raum orientiert. Die Temperatur bzw. die Wärmeenergie sorgt für eme statistische Unordnung der magnenschen Momente. Man spricht dann von einem Paramagneten. ln ein!!m Magnetfeld werden die Dipolmomente entlang der Feldlinien ausgerichtet. da das Magnetfeld auf die Dipolmomente ein Drehmoment aus(ibt, das sie parallel stellt. Analog zur Orientierungspolarisation von elektrischen D1polen im elektrischen Feld. werden die magnetischen Dipole im Magnetfeld nur partiell ausgerichtet und relaxieren sofort wieder in den ungeordneten Zustand nach Abschalten des Feldes. Diamagneten Edelgase oder Moleküle mir abgesärtigren Elektronenschalen sind nicht magnetisch. da sich alle magneosehen Momente der einzelnen Elektronen kompens1eren. Bnngt man solche Stoffe m ein starkes Magnetfeld. dann werden zus.itzliche atomare Kreisströme angeworfen. die wiederum ein Magnetfeld erzeugen, welches aber dem äußeren

angelegten Feld entgegen gerichtet ist. Diese (induzierten. S. 124) Kreisströme dienen der Abschirmung von den äußeren Magned'eldern, ähnl ich wie Influenzladungen äußere elektrische Felder abschirmen. Dieser abschlnnende Magnetismus. der nur in einem äußeren Magocrfeld entsteht, wird Diamagnetismus genannt. Das äußere Magnetfeld und der induzierte Diamagnetismus stoßen sich ab. Dieses l,hänomen kann man zur L.evitation (freies Schweben) von leichten diamagnetischen Materialien in starken Magnetfeldern nutzen (z.B. levirierter Frosch im Magnetfeld). ist aber technisch nicht praktikabel. Ferromagneten Bei manchen Materialien ist die (quantenmechanische) Wechselwirkung der magnetischen Momente so stark, dass spontan und ohne Einwirkung eines äußeren Magnetfeldes sich die magnetischen Momente selbst ausrichten (Abb. S.34a). Dann spncht man von Ferromagneten. Ferromagnete zeichnen sich durch einen geordneten Zustand der magnetischen Momente unterhalb einer Ordnungstemperatur aus. die Curie-Temperatur genannt wird. Für Temperaturen höher als die Curie-Temperatur ist die Warmeenergie großer als d1e Wechselwu·kungsenergie, sodass die magnetische Ordnung aufgehoben wird und der Ferromagnet in den paramagnetischen Zustand übergehL Der ferromagne-

a

b

....___

--

Abb. 5.34 Ausrichtung magneUscher Dipolmomente. a in (>lnt'm ft'
121

122

5.2 Magnetismus 5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus tisdl-paramagne tische Phasenübergang entsprichr dem fest-flüssigen Phasenübl!rgang (S. 87). ln beiden Fällen handelt es sich um einen Phasenübergang von Ordnung bei tiefen Temperaturen zu Unordnung bet hohen Temperaturen. Aus ferromagnetischen Materialien kann man Stabmagnete herstellen. ln den Stabmagneten sind die atomaren magnetischen Momente parallel ausgerichtet und ergeben eine makroskopische Magnetisierung (Abb.S.34b). Die magnetischen Felder treten an beiden Polen des Stabmagneten aus und die Feldlinien schließen sich im Außenraum genauso w ie bei der Luftspule. Den Stabmagneten kann man zu einem Hufeisenmagneten verbiegen. sodass Nord- und Südpol direkt gegenüber zu stehen kommen und der Feldlinienschluss auf kürzester Strecke erfolgt.

5.2.6 Magnetisierung Als Magnetisierung M bezeichnet man die Anzahl N magnetischer Dipolmomente rii pro Volumen V (Anzahldichte):

-

N

M-V

rn.

Die Einheit der Magnetisierung folgt aus der Einheit des magnetischen Dipolmoments und dem Volumen: [MI

I Am2 -ml

A

m

Damit hat die Magnetisierung die gleiche Einhetr wie die magnetische Feldstärke. Dtese Definition ist unabhängig von der Orientierung der Dipolmomente. Da Meine Vektorgröße ist. wird die Vektorsumme über alle Dipolmomente im paramagnetischen Zustand Null ergeben. im ferromagnenschen Material ist M > 0.

Magnetisches Moment von Eisen im Hamoglobin. Ohne Saucrstoff Ist Fe im HJrn-Molekül zweiwertig. d. h. es fehlen zwei Elektronen von der üblichen atomaren Konfiguration: Ar 3d6 4s1 . Damit ist d1e Elektronenkonfiguration von Fe" in Häm: Ar 3d". Mrt 6 Elektronen in der 3d - ·Schale kann berechnet werden. dass das resultierende magnehsche Moment 4 Jla beträgt. Mit Sauerstoffanlagerung bleobl Fe in Häm 1Werwertig. d.h. der Sauerstoff l'llird nicht von Fe. sondern vom umgebenden Globin gebunden. Bei der Sauerstoffbindung bewegt sich das Fe"-lon aus der Häm-Ebene heraus und drückt das His92-Molekül nach oben. Durch diese Konfogurationsanderung geht Fe' '" einen Zustand m1t niedrigem magnetischen Moment von etwa 1 JJa über. Dre Sauerstoffbindung an das Harn-Molekül ver· ursacht eine Änderung d~ fe-Magne!Jsmus von emem Zustand m1t hohem magnetischen Moment von 4 JJa ohne Sauerstoff (Desoxyhamoglobin) zu ernem Zustand mit niedrigem magnetischen Moment von ca. 1 JJn m1t

Sauerstoff (Oxyhamogl.obin). Dieser Übergang ist in der Literatur als high-spin-low-spin Übergang bekannt. Relaxationsrate im Kernspintomografen. Dil' Rl'laxa· tionsrate von Protonen in einem Kemspintomografen reag1ert cmpfindlrch ~uf magnetische Ionen. ln de1 Nähe von magnetischen Ionen •st dre Relaxahonszerl vcrkür2t. Zum Beispiel ist neuronale Aktivität im Gehirn durch erhöhte Durchblutung, welche m1t erhller BereiChl' wird fMRI (.functional magneue resonance imaglng") oder fMRT (funktionelle Magnetrcsonanztomografie) genannt.

5.2.7 Materie im Magnetfeld Die magnetische Flussdichte einer Luftspule ist 8- 110 H. Durch Einschieben eines ferromagnetischen Stabs in die Spule (Abb. 5.35 ) mit der Magnetisterung M wtrd 8 erhebhch ver;tärkt. Mit emem Ferromagneten ist die magnetische Flussdichte der Spule: B- JloH + IIoM

=llo(R + N!) =JJo(1 + xlli

JlJloH.

J1 wit"d Permeabilitätzahl genannt. Die Permeabilität.zahl JJ kann Werte von 1()4 erreichen. Materialien. die eine Permeabilitätszahl Jl » 1 haben. smd ferromagnetisch. solche mit Jl > 1 sind paramagnetisch. Die Permeabthtätszahl von magnettsehen Matenalien hat bei Spulen die gleiche Bedeutung wie die Permittivitätszahl c von Dielektrika in Kondensatoren (S. I0 I). x - M , H ist die magnetische Suszeptibilität. Ste ist negativ für Diamagnete und posttiv für Para- und Ferromagnete. Diamagnetische Matenalien schwächen das Feld det Spule ab. Para- und Ferromagnete verstArken es. Spulen mit einem ferromagnetischen Kern werden Elektromagnete genannt. Aus der Beziehung 8 - Jl JloH wtrd der Unterschted von 1-i und 8 deutlich. Die magnetischeFeldstärkeR

Abb. 5.35

Luftspul~

mit Els~nkern.

5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus 5.2 Magnetismus ist ausschließlich das Feld. welches durch einen elektrischen Strom erzeugt wird. Die magnetische Flussdichte B enthält alle Beiträge, sowohl das stromerzeugte Magnetfeld wie auch Belträge von Pe1manentmagneren oder Diamagneten. Lorentzkraft Das Pendant der Coulombkraft zwischen elektrischen Ladungen ist die Lorentzkraft zw1schen bewegten elektrischen Ladungen. Eine bewegte elektrische Ladung Ql erzeugt ein Magnetfeld H bzw. eine magnetische Flussdichte ä. Dieses Feld übt eine Kraft auf eine zweite Ladung
fl Q(v x ä) Die Lorentzkraft hat d1e folgenden Eigenschaften: Die Kraft wirkt nur dann. wenn die Geschwindigkeit der Ladung eine Komponente senkrecht zu m Magnetfeld hat; D1e l
--- 8 --~ Abb. 5.36 lorentzkr~ft. Ote lorentzkraft i; steht ndch der Rechte".Hand-Regel senkrecht ~ur dtr Geschwindigk~t ii einer Ladung und der magneti..chen Flussdochl~ 8.

Die C.esamtkr.Jft auf e1ne Ladung setzt sich aus Coulombkraft und Lorent7kr.Jft zu•ammen. Geladene Tellehen im Magnetfeld Geladene Teilchen. die senkrecht zu den magnetischen Feldlinien in ein MagnetFeld eingeschossen werden. erfahren durch die Lorentzkraft eine Ablenkung und werden auf eine Kreisbahn gezwungen (Zyklotron bahn). Diese Tatsache wird im sogenannten Zyklotron. einem Teilchenbeschleuniger. ausgenutzt. Dort werden die Teilchen abwechselnd einem Magnetfeld und einem elek(I'Jschen Feld ausgesetzt. Im Magnetfeld werden sre auf eine Kreisbahn gezwungen und im elektrischen Feld werden sie beschleunigt. Auf diese We ise können geladene Teilchen über 99% der Lichtgeschwindigkleit erreichen. ln Zyklotrons werden vornehmlich Protonen auf hohe Energien (C.eschwindrgkeiten) beschleunigt. ln Kliniken eingesetzt dienen sie 7ur Herstellung von radioaktiven Isotopen. Die beschleunigten Pr olonen treffen auf ein Target auf und erzeugen dabei Kernreaktionen. Die radioakttv!'n Isotope werden u.a. für die PET erngesetzt. Der Protonenstr~hl des Zyklotrons wird ~ber z. T. auch direkt für drc Bestr.Jhlung von Tumoren genutzt. Praktikum Drehspulgalvanometer Drehspulgalvanometer {Abb. 5.37} dienen der prlizisen Messung von Strömen nach dem Prinzip der lorent7kraft. Auf erne stromdurchßossene Spule mrt dem Strom I und der Höhe h zwrschen den Polschuhen eines Hufeisenmagneten wir1
123

124

5.3 Elektromagnetismus 5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus Wechselstrom und Wechselspannung und den entsprechenden Geräten verständlicher macht. Wiederholen Sie ggf. noch einmal die Eigenschaften von einem Ohm-Widerstand, einem Kondensator und einer Spule, denn diese drei elektrischen Bautelle werden ln den folgenden Abschnitten unter Berücksichtigung von Wechselstrom im Mittelpunkt der Diskussion stehen.

... -h

...

: r • ·~

Abb. 5.37 Ptlntip de> DreluJ>Uigalvanometen.

4'Jl._ Ched<-up tl' tl'

tl' tl'

tl' tl' tl' tl'

Wie entsteht ein magnetisches Feld? Wiederholen Sie noch einmal die Begriffe Diamagnetismus, Paramagnetimus, Ferromagnetismus. Unter welchen Bedingungen tritt eine lorentzkraft auf7 Wenn die Stromrichtung und das Magnetfeld senkrecht aufeinander stehen, in welche Richtung wirkt die Lorentzkraft7 Wie ist das magnetische Dipolmoment definiert? Wie kommt der Magnetismus in Atomen zustande? Was ist das besondere an einer langen Spule? Was versteht man unter einem Elektromag· neten7

5.3 Elektromagnetismus

;

4 ..

Lerncoach ln diesem Kapitel diskutieren wir die physikalischen Grundlagen, die in der Elektrotechnik Ihre Anwendung finden. Mit diesen Anwendungen haben wir täglich zu tun, angefangen von der Wechselspannung aus der Steckdose, bis zu den Haushaltsgeräten (Föhn, Staubsauger, Mixer etc.) und den großtechnischen Anwendungen (Energieerzeugung, Hochspannungsleitung, Transformatoren, ICE etc.). Dieses Kapitel zielt nicht darauf ab, die elektrotechnischen Begriffe im Detail zu diskutieren, sondern einige Grundlagen und Basisbegriffe zu erläutern, die den Umgang mit

5.3.1 Überblick W ir haben in den vorhergehenden Abscllnirten gelern t, dass Ströme Magnetismus erzeugen. Gilt auch die Umkehrung, kann Magnetismus elektrische Ströme erzeugen? Genau d1ese frage hat sich Michael Faraday gestellt und die Antwort im Induktionsgesetz gefunden, welches nach seinem Namen benannt ist Ein zei tlich veränderlicher magnetischer Fluss kann elektnsche Ströme erzeugen. Dies ist die Grundlage fu r die Erzeugt1ng von Wechselstrom, von elektrischer Energie mit Hilfe von Turbinen. von elektrischen Motoren und von Transformatoren. d.h. für die gesamte uns geläufige Elektrotechnik. Wir werden zunächst das Induktionsgesetz und seine Konsequenzen diskutieren. sodann den Wechselstrom auf die dre1 Basiselemente eines elektrischen Stromkreises anwenden: Ohm-Widerstand. Kondensator und Spule. Dabei werden wir sehen. dass der Kondensawr und die Spule einen von der Frequenz der Wechselspannung abhängigen elektnschen Widerstand haben, aber keine elektrische Leistung verbrauchen. Daher wird die Leistung von Kondensator und Spule Bli ndleistung genannt, im Gegensatz zur Wirkleis· tung. die in einem Ohm Widerstand verbraucht wird. Absch ließend d1skuneren wir den elektnschen Schwingkreis. der eine große Ahnliehkelt m1l dem mechanischen Schwingkreis aufweist. Während im mechanischen Schwingkreis potenzielle und kinetische Energie 1:>eriodisch inein.lnder umgewandelt werden. findet im elektnschen Schwmgkre1s eme penod1sche Umwandlung von elektrischer und magnetischer Feldenergu~ statt Der elektrische Schwingkreis dient uns schließlich als Grundlage zur Erzeugung von elekuomagnelischen Wellen, die wir dann im Kap1tel 7 uber d1e Optik weiter d1skuneren werden. 5.3.2 Elektromagnetische Induktion Magnetischer Fluss Wir betrachten eine stromlose Leitersch leife der Flache Ii, die von einer homogenen magnetiSchen Flussdichte 8 ..durchnutet" wird (Abb.5.38). Dann ist der magnetische Fluss durch die Leuer~chle1fe •I>

B·Ä.

5 Elektrizität,

•

Magnetl~mus

--

G>•ß·A

und

Elektromagnetismu~

5.3 Elektromagnetismus

Die mechanische Drehung übern immt in e inem Kraftwerk eine Turbine, die über Wasserdampf oder Wasserströmung angerrieben wird. Selbstinduktivität einer Spule

~•., Die Selbstinduktivität der Spule Ist nur sehr

Abb. S.l8 Magn~tlscher Fluss. [i~ Le.te~~hleife in einem Mignetfeld schl eSt den m~gnetischen Fluss 4• - Ei A e•n

Die Fläche A ist hier als Vektor geschrieben, wobei der Einheitsvektor der Fläche senkrecht zur Fläche zeigt. Der magnetische Fluss ist ein Skalarprodukt au~ der magnetischen Flussdichte B und der Fläche Ä und ist am größten, wenn Bund Ä parallel ausgerichtet sind. Die Definition von ct> ist die Grundlage für die Definition von 8. Als Skalar geschrieben: 8

d.h. 8 ist der magnetische Fluss pro Fläche oder die magnetische Flussdichte (vgl. S. 120). Hier ist die Dichte nicht als Volumendichte gemeint sondern als Flachendichte. Dabei ~pielt es keine Rolle, ob das Magnetfeld. welches die Leitersch le ife durchflutet, durch eine Spule oder d urch einen Permanentmagneten erzeugt ist Solange der magnetische Fluss ct> zeitlich konstant bleibt, wird an den Enden der Leiterschleife keine elektrische Spannung gemessen ( Abb. 5.38): l>Umd • 0. Sob.ald der magnetische Flus~ Cl> in irgendeiner Weise zeitlich verändert wird, sei es durch Änderung der Feldrichtung, der Feldstärke oder durch Anderung der Fläche, dann entsteht an den Enden der Leiterschleife eine mduzierte Spannung, die um ~o größer ist. je größer die teilliehe Änderung des Flusses ist (lnduktion~esetz von Faraday): U,nc~

Das Minuszeichen drückt aus, dass der in e inem Le1terkre1s fließende induzierte Strom em Magnetfeld erzeugr. welches dem ursprünglichen Magnetfeld entgegengesetzt ist (lenz'sche Regel).

13ii;J3M Jede zeitliche Anderung des magnetischen Flusses on eine Le~ter'>Chleife er Leuyt eine Induzierte Spdnnung. Induzierte Spannungen werden technisch zur Erzeugung von Wechselspannung und Wechselstrom genutzt (S. 127). D~zu Wird du: leiterschleife mechanisch in einem konstanten Magnetfeld gedreht.

selten Prüfungsthema. Sie sollten aber grundsätzlich verstanden haben, worum es sich dabei handelt. Um den Abschnitt zu verstehen, empfiehlt es sich, die bisher diskutierten Eigenschaften eines Kondensators und einer Spule parat zu haben. Schlagen Sie ggf. nochmals auf S. 100 und S. 119 nach. Selbstinduktivität Schließt man eine Spule an eine konstante Stromquelle an. beobachtet man. dass die Stromstärke nach Schließen des Schalters nicht sofort ihren Endwert erreicht, sondern sich diesem exponen tiell annahcrt (Abb. 5.39). Öffnet man den Schalter w ieder, geht der Strom auch nicht sofort auf Null zurück. sondern er fällt exponentiell ab, bis er den Nullwert erreicht hat Diese Beobachtung lässt sich auf einen Vorgang zurückführen. der als Selbstinduktion (oder Selbstinduktivität) bezeichnet w1rd: Der Strom, der durch die Spule fließt, erzeugt in der Spule em Magnetfeld und damit auch einen magnetischen Fluss ct> durch jede Windung der Spule. je größer der Strom wird, desto stärker wi rd das Magnetfeld und der magnetische Huss. Diese zeltl iehe Änderung des magnetischen Flusses induziert an den Enden der Spule eme Spannung, die sogenannte lnduktlonsspannung. Diese Spannung wiederum führt zu einem Stromfluss. der dem Stromfluss aus der Spannungsquelle entgegengesetzt ist, und clam1t zu einem Magnetfeld, welches dem Magnetfeld entgegengesetzt ist. das durch den Gleichstrom aus der Spannungsquelle erzeugt wird (Lenz·sche Regel). Daraus sehen wir, dass der Aufbau e ines konstanten Stroms und eines konstanten Magnetfelds in der Spule nach Schließen des Schalters durch d1e Induktion sehr s tark behmdert wird. Der Strom steigt nur langsam an und erreicht schließlich einen Maximalwert. Ist der Maxima lwert erreicht. ändert s1ch der magnetische Fluss in der Spule nicht mehr und es wird auch keme Spannung und kein Stromfluss mehr induziert. Die erreichte maximale Stromstlirke in der Spule wird dann nur noch durch den Ohm-Widerstand Ro begrenzt. den der Draht der Spule selbst aufweist. Das Magnetfeld. das durch den konstanten Gleichstrom durch die Spule mit N Wmdungen erzeugt

125

126

5.3 Elektromagnetismus

wird. hat die Stärke H Fluss in der Spule ist: N

5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus

s

(N I I I. der magnetische N2

N NAB = NAJJoyl = JJoA- I 1

.·

..

U

Hier ist A die Querschmttsfläche der Spule und I i hre Länge. Der Ausdruck

•

L

u,

Nl

L = JJoAT beschreibt dabei die Selbstinduktivität der Spule. Diese hangt nur von geometrischen Faktoren ab: der Querschnittsfläche A. der Windungszahl N. und derlänge der Spule I. Die magnetische Feldkonstante #Jo w trd durch 1111o ersetzt, wenn die Spule em magnetisches Material mit der Penneabilitätuhi #J enthäl t. Die Einheit der Induktivität ist (LJ• Vs/A. wobei 1 VsfA • 1 Henry ( H)) ist. Dte Spannung, die durch die zei tliche Änderung des Flusses nach Schl ießen des Schallcrs induziert wird. ist: Uind

b

a

'·

d d/ -N---Ldt dt.

Das Minuszeichen zeigt an. dass der St romfluss und der magnetische Fluss. die aus dieser mduzierren Spannung resul tieren, dem Stromfluss aus der Cletchstromquelle entgegengesetzt sind. Der zeitl ich e Verlauf des Stroms l{ t) nach Schließen des Schalters bis zum Erreichen des Maximalwerts (Sättigungswerr) 10 wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben:

l(c) -10

(1- e

1

•).

Die Zeitkonstante r • L/Ro (Abb. 5.39). d. h. die Zeit. nach der 67% des Maxtmalwerts erretcht tst. wtrd durch den Quottenten aus Selbstinduk tivität L und Ohm-Widerstand bestimmt Die Zeitkonstante ist umso kleiner und der Endwert ist umso schneller erreicht. je kleiner L und je größer Ro ist. Der maximale Strom ist 10 = U0 /R0 . Sobald der Schalter S geöffnet wird. fäl lt der Strom nach dem gleichen Ceserz exponentiell langsam wieder ab: l(t) - 10 e

'".

denn auch beim öffnen entsteht eine Änderungdes Flusses und damit wieder eine induzierte Spannung. diesmal mtt umgekehrtem Vorzeichen.

Magnetische Feldenergie Ein Kondensator ~peicherr elektnsche Feldenergie. eine Spule speichert magnetische Feldenergie. Beim Kondensator wird die potenzielle Energie vergrößert. indem zusätzl ich noch weitere Ladung auf die Kondensatorplarten gegen die beretts vorhan-

b

ein

aus

Abb. 5.39 Selbstlnduktlvitlit einer Spule . a Schaltkr~s filr eine Spule ln einem Gleldlstromkrels. für den Sch.llter S in Stellung I steigt der Strom e•ponentil'll on der Spule an und el'leugt ein M.)Qnetfeld. Oer ()tun-Widerstand Ro symbolos;er t den elektrisdlen Widerstand des langen Drahts der Spule. ln Schalterstellung 2 fließt der Strom uber dem Widerstand .lb. Die Spannung der Spule wird an den Punkten 01 und b gemessen b Z~tlkher Verlauf des Stroms ln der Spule beim Ein· und Ausschaltvorgang im Glekhst:romkreis. Der Strom stl'igl ex· ponent:oell an beom Einsch;liten bzw. fällt exponentoel ab beim Aussch.llten und h.lt e•ne leitkonstante. doe durch den Quotienten aus Ohm-Widerstand Ru und SelbstinduktlVItill der Spule L be$tommt osl.

dcne Spannung Uc aufgebr
Q

dcj;o1 ~ UcdQ - C dQ ausgedrückt werden wobei Uc die Spannung über dem Kondensator ist Integration über Q liefert das bekannte Ergebms f<po, - Q2 f 2C (S. 104). Canz analog wird die potenzielle Energie der Spule vergrößert. indem der Strom in der Spule gegen dte Induktionsspannung vergrößert wi rd: dfl-PGI = -U, 00 dQ

-Upoofdr

Für die Induktionspannung in der Spule setzen wir d/ Uond L dt ein und erhalten: dE)-nd - Lid/.

5 Elektrizität. Magnetismus und Elektromagnetismus 5.3 Elektromagnetismus Integration nach dem Strom ergibt:

E:X,. ~

;u

2•

Das ist die gesamte gespeicherte magnetische Feldenergie einer Spule. die mit dem Srrom I durchnassen wird. Auch hier können wir wieder die magnetische Energiedichte ( Energie/Volumen) in Analogie zu elektn schen Energiedichte (S. 104) ausrechnen:

E!:

U2

~=:zv ·

Setzen wir rür die Induktivität die geometnschen Abhängigkeiten ein und berOcksichtigen die Definitionen für Hund 8, dann erhalten wir fiir die Dichte der magnetischen Feldenergie:

flpot

V

U2 = ~ JloNI 2V 2 I

~I

-8

I

-

! BH 2

1 JloH2 2 .

H

Berücksichtigt manjeut noch die Möglichkeit eines magnetischen Kerns in der Spule mit der Permeabilitätzahl Jl. dann wud die Dichte der magnetischen Feldenergie: p.pcn

V

1 2 2Jl11oH .

ln Analogie dazu ist die Dichte der elektrischen Feldenergie. die in einem Kondensator gespeichert wird (S. 104):

E'po, V

Wechselstrom durch induzierte Spannungen er· zeugt.

I

2

:zE"
Spule und Kondensator zeichnen sich durch eme hohe Symmetne aus. die in den beiden Formeln für die gespeicherte Energiedtchte des elektnschen und magnetischen Feldes sehr schön zum Ausdruck kommr. ln einem elektrischen Schwingkreis. 111 dem ein Kondensator und eine Spule zusammen geschaltet sind. werden die beiden Energiedichten w1e m einem mechanischen Pendel harmonisch ausgetauscht ( Abb. 5.51. S. 134). Der harmonische Austausch der elektrischen und magnetischen Feldenergien bildet die Gf\lndlage für die Erzeugung von elektromagnetischen Wellen. 5.3.3 Wechselstro m Bisher haben wir elektrische und magnetische Vorgänge betrachtet. d ie durch Gleichstrom hervorgerufen werden. Bei Gleichstrom bleiben Stromstärke und Stromrichtung immer gleich. Er wird durch eme kontmu ierliche Spannung erzeugt. Vor allem in öffentlichen Stromversorgungsnetzen wird aber Wechselstrom genutzt. Bei Wechsel strom wechseln die Stromrichtung und Strom stärke laufend. me1st periodisch. Technisch wird

Erzeugung von Wechselst rom Wird eine elektrische Leiterschleife in einem homogenen Feld der magnetischen Aussdichre Bkontinuierlich gedreht, dann verändert sich laufend die effektive Fläche Ä. die vom Magnetfeld erfasst wird (Abb. 5.38, S. 125). Steht die Schleife senkrecht LU den Feldlinien. ist die Räche am größten. steht sie horizonral zu den Feldlinien. ist sie gleich Null ( Abb. 5.40). Durch die Drehung der Schleife wird der magnetische Fluss innerhalb der Schleife harmonisch zeitlich verändert. Dadurch wird m der Schleife eine sich ständig ändernde Spannung mir einer sinusförmlgen zeitlichen Abhängigkeit induziert (Wechselspannung). Anders als bei dem magnetischen Fluss ist der Betrag der induzierten Spannung max1mal. wenn die Schleife parallel zu den Feldlinien steht und gleich Null. wenn sie senkrecht dazu steht. Formal schreiben wir zunächst das Skalarprodukt 4> - 8 . Ä als harmonische Funktion mit der Kreisfrequenz w (zur Kre1sfrequenz ( = Drehfrequenz ) w

s. 127 u. s. 139): 4>(t ) =

B· Ä( l ) =

iil Ao cos(wt)

Die zeitlich harmonische Änderung des Flusses hat zur Folge. dass eine harmonische Spannung erzeugt wird (Abb. s.40c), die man nach dem Induktionsgesetz von Faraday aus der ersten zeitlichen Ableitung des magnetischen Ausses berechnen kann: Umd =

d•l•

dt

= <.1 BAosm (w !).

Man erkennt an diesem Ausdruck, dass die induzierte Spannung nicht nur von der magneusehen Induktion Bund der Fläche A der Leiterschleife abhängt. sondern auch von der Drehfrequenz w. je schneller die Leiterschleife gedreht wird, umso größer ist d1e induzierte Spannung. Wechselstrom-generatoren arbeiten nach diesem PrinLip. Eine Turbine drt?ht eine Leiterschleife in einem Magnetfeld und erzeugt Wechselspannung. Die Turbine kann durch Wasser. Wind oder Dampf angetrieben sein. Dampf kann wiederum durch Gas. Öl, Kohle oder Kernenergie erzeugt werden. Damit kann chemische. nukleare oder mechanische Energie in elektrische Energie umgewandelt werden.

Kreis(requen;c Eine wichtige Rechengröße bei periodischen Vorgängen wie der Wechselspannung ist die Kreisfrequenz u: Bei einer Periodendauer von T • 1 s ist die Frequenz f =1/T =1 Hz und eine vollständige Schwingung entspricht emem Kre•s mit Winkel

127

128

5.3 Elektromagnetismus 5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus ---------------- ~

ln der Arbeitsmedizin wt'rden gerne Fahrräder. sogenannten Ergometet. zusdmmen mit einem EKG·Gerät kombiniert. Beim Treten der Pedale wird eine leoter· ~chleife in einem Magnetfeld gedreht (Oynamo-Pnnzip). Oie mechanische Leistung des Probanden word über die von ihm induZierte Spannung bestimmt und mit der eiekinsehen Aktivität des He17ens korrehert.

b

a

u

Psaktikum

u. u..,

Wechselst romgenerator

2 r-----~~--~----~----~

\V:

~

T

c

Abb. 5.40 Erzeygung von Wechnlstrom. Eine

wird in eonem M09netfeld gedr~ht. Oabe•

W~rd

Leit~~chl~ofe

on ohr eine

Spannung induziert a Sttht die Schleife senkrecht 1um mag· oclJ~chen Feld, ist doe indu11ert~ Sp<~nnung gleich Null. b Steht dir Schk>if~ parallel zu den reldllnicn, 1!.1 die induziert• Sp~nnung

ma•lmal. c Sonusförmige W~ch~kp<~nnung. Uo. Schcotehpan· nung.

u,.. (ßektivsp.lnnung (S. 130). T,

Perlodend~u•r (T

1/f}.

360 •. oder als Kreisumfang eines Einheitskreises ausgedrückt entspricht dies 2rr ( Abb. 5.40c. vgl. dazu auch Abb.1.2l, S. 18 und S. 27). Die Kreisfrequenz w berechnet sich dann: w =2rcf. Sie hat die Einhe•t radjs. Diese Einheit darf nicht mit Hertz (Hz. Einheit der Frequenz. ebenfalls 1/s) gleichgeseut werden. da in die Kreisfrequenz der Faktor 2n mit eingeht.

ln einem permanenten Magnetfeld wird eme Leoter· schleife mechanisch gedreht und dabei doe Spannung und der Strom gemessen. Das Magnetfeld wird durch einen Hufeisenmagneten mit einer kreisformigen Aus· sparung erzeugt. Die LCJterschleife ist an den Enden mit Schleifkontakten ausgestattet. Verbindet man diese mit einem Amperemeter bzw. Voltmeter. dann können Strom und Spannung on jedem Zeitpunkt gemes· sen werden. Bei langsamem Drehen der Spule wird die Anzeige auf dem Messgo:>r~t zwischen positiven und negativen Werten pendeln (Abb. 5.41 ). Um die Leistung des Wechselstromgenerators best11nmen zu können. muss noch eon Verbraucher angesch105sen werden. Dazu eignet sich am besten eine Glühbime. Man kdnn jeLLt beobachten, wie die Glühbirne immer helleo leuchtet. je schneller die Drahtschleife gedreht wird. Der Spannungsabfall über der Glühbirne ist proportional zur Drehfrequenz Bei bekanntem Gleichstromwiderstand der Gluhbome R0 , kann aus der Spannungs· amplotude U0 w BAo /Ro die magnetische Flussdichte B des Hufeisenmagneten b.!slimmt werden, sofern die Fläche der Leiterschleife Ao. dit Drehfrequenz w. und di(o Stromamplitude I bekannt sind:

8 = /R0 fw A0 • Oie Polaritaten Plus und Minus kennN

zeichnen doe momentane Situation. Soe "echseln durch Drehen im nachsten Halbzyklus.

s

Elektronen

Abb. 5.41 WKhst!lstromgenerator

5 B~ktrizität, Magnetismus und Bektromagnetismus S.3 rlekuomagnct1smus Charakterisl~rung d~r Spannung mit dem Oszilloskop Oszilloskope smd empfindliche Messmstrumente. m1t denen man den ze1tllchen Verlauf von Strom und Sp.1nnung auf emem 81ldschtrm dar~tellen kann. Wichtigster ll<'standteil eines Oszilloskop) ist eme evakuierte Braun'schen Röhre. in der em Elektronenstrilhl mit einer elektnschen Sp.1nnung in der vcrttkalen und honzontalen Richtung abgelenkt werden (S. 11 4). D1e Jeweilige Pos1tton des Elektronenstrahls erscheint als Lichtpunkt auf dem Bildschirm. Im Betrieb wird der Elektronenstrahl mu emer konstamen R.lte horizontal abgelenkt (Zeitach~e ~ Auf die verokale Achse gtbt man dte zu messende Spannung. Aus der Kombma oon von verttkaler und horizontaler Auslenkung kann man den zettlichen Verlauf der Sp.1nnung able~n. die Amplitude und Frequenz messen sowte 1Wtschen sinusformagen und anderen Verläufen (rechteckagen. sagezahnformigen. etc) unterscheiden ß<>asplel wenn die horizontale Achse .IUf eme Auslenkr,llc (sweep rate) von 1000 llz emge· stellt ist, dann werden alle Vorgänge zwischen 0 und I ms dargesteiiL Bei 10 Teilstrichen macht das 0, 1 ms pro Teilstrich. Cibt man Jetzt auf den Eingang der verttkalen Achse (y-Rtchtung) eme Wechselspannung. ~ass benachbarte Maxima 3 Teilstriche entfernt zu erkennen sind, dann ist die Periode T der Wechselspannung 0.3 ms und die Frequenz ast f • liT • 3 kHz.

5.3.4 Widerstände Im Wechsel stromkreis (elektrische Impedanzen) Die von einem Wechselstromgenerator erzeugte Wechselsp.mnung nehmen wir jetzt als Quellspan nung fOr verschiedene exemplarische Stromkreise. Wir d1skutteren die Etgenschaften von Wechsclstromkreasen. dae eanen Ohm-Wider)tand. eme Spule oder t'inen Kondensator enthalten. ln jedem dieser Falle untersuchen wir die Phasenbeziehung zw1schen Strom und Spannung und d1e Abhängigkelt des W1del')tands von der Frequenz der Wechselspannungsquelle.

Ohm-Widerstand Der emfachste Fall ist em Ohm·Widerst.tnd Ro. der an dte Wechselspannung<;qut'lle mu dt'm Scheuetwert Uo angeschlossen ist (Abb .. S.4l• Dlt' Wechselspannungsquelle wird mcht mtt Polen (Plus und Mmus) gezeichnet, sondern mtt emem Symbol • ~-. um w kennzeichnen. da~~ es s1ch um eme Wechselspannungsquelle handelt Wenn der zeitliche Verlauf det Quellspannung durch U,.cos(c.~

U(ll

r

mat Uo als Scheitelwt'n beschrieben wird. dann f.illt diese Spannung auch über dem Widerstand Ro zw1schen den Punkten a und b ab und 10 dem W1derstand fiteßt ein Wech~lstrom der Stärke:

Uo R.

COS<<JC) .

fG • Uo/Ro ISt dte maxtmale Stromamphtude. Spannung und Strom haben dte gle1che Frequenz und die gleiche Phasenlage. d.h. immer wenn die Spannung em Maximum hal, hat auch der Strom ein MaXImum ( Abb.S.43b).

·u.

b

1U, I

=· ••• 11111 11111

· ----=--b

Abb. 5.43 Ohm-Widerstand. •

V.('(~romkrtk

m t ()hm.

\\od.. .t,w>d. b ZtodichH V.-!01uf _.. SUom und Sp.Jnnung ~ \\~.tt* \IIom. "lrenNeo
Abb. 5.42 rrontMtslcht

~

Oszilloskops.

~nung

129

130

5.3 Elektromagnetismus 5 E1ektr1L1Wt, Magnetismus und Elektromagnetismus

i$11;J3M

••

Beim Ohm-Widmtand gibt es keone Ph~~envl'f'>Chl<'­ bung lWl
Der Ohm-Widerstand folgt aus dem Quotienten von Spannungsamplitude zu Stromamplitude und ist wie zu erwarten:

-u,

•

Uo

lo = R.,.

Ro wird auch als Wirkwiderstand beLelchnet. Die Leistung eines Wech~lstromkreiSt'S m1t OhmWiderstand wird aus dem Effektivwert der Wechselspannung und des Wechselstroms berechnet. Die Effelcnvwerte smd eme ze1thchen M1ttelung des Stroms und der Spannung uber eme Penode. S1e werden berechnet au~ dem Scheuetwert dividiert durch Wurzel 2: Uo

u.,. - , 2 . '·"

I.nu.fl

I

I U.l •

lo

v2

Damit ist der zeltliehe Mlllclwert der Wechselstromleistung an einem Ohm·Widerstand (auch Wirkleistung genannt):

P

a

• b

b Abb. 5.44 Induktiver Wld~rstand. a We> m o\ ein~ Spo.1l~.

I IoUo 2

Genauer geschrieben. hangt d1e Wirkleistung auch von dem Phasenwinkel op zw1schen Strom und Spannung ab: P I.,.u.ncos.jl. Da be1m OhmWiderstand zw1schen Strom und Spannung keine Phac;end1fferenz besteht. 1~1 op • 0 und co\ ~ 1.

magnetische Auss ct> 8 A durch alle N Wmdun gen der Spule (Abb. 5.44a ). Damit w1rd eme Spannung induziert. dre der Spannungsquelle entgegen gerichtet ist Die induzu~rre Spannung ist durch die Selbstinduktivität '- der Spule charakterisiert.

u,..., = Im Haushalt wi1d Wcdast'htrom mot dcf Ampl•tude Uo325 V angebotl'n. ()jor Effekt~! der Sp.onungwmpl•tude ht230 V (früher 220 V), dte frequent/ r>t 50 Ht, damtt d1e ~riode T • 1// • 0.02 s - 20 ms. die Krfolurequl.'f\t ist w • 2n ·/ • 2n • SO lit • ) 14 s 1• Durlh eine l()().Wm·Giühbirne fhcRt ('Jn Elfl'ktMtrom VQil t_" • P/Uo~~ • I 00 Watl/235 V • 0.415 A rlllt e•nt'm Sche•tdv.ert VQil 0.6 A

Induktiver Widerstand (Spule)

~4~ Vergewissem Sie sich noch einmal über die magnetischen Elgenschilften t'iner langen luftspule (S. 1 19} sowie der St'lbstlnduktlvltät einer Spule (S. 125}, bevor Sie hier fortfahren. fheßt ein konstanter Gletehsrrom durch eine Spule m1t N Wandungen ( d h. lange n,1ch Einschalten des Stromkreises). dann 1st der Widerstand nur durch d1e Linge des Kupferdrahts gegeben und dam1t sehr klem. Sobald Jedoch Wechselstrom durch die Spule fheßt. andert sich ze1thch penochsch der

d

dc

_,_

df dt .

Wtr wollen JCfZt den induktiven W1der)tand de~ Wechselstromkreises berechnen. Ober der Spule zw1schen den Punkten a und b rälh d1e mdu11erte Spannung ab: dl

u,- Ldt

Wenn wir Jetzt annehmen. dass dte unhehe Abhiingigkeit des Stroms I t 1von der Spannungsquelle als eine Sinus- Kurve dargestellt werden kann: / JI)



-N

fo SIO IWt 1.

dann folgt der Spannungsabfall über der Spule durch Bt lden der ersten Ablettung nach der Zett: df

u,- Ldt- CJUocos wo ·

CJL/0 sin(wt

n ' 21

D1e letzte Gle1chung folgt au s de1 tngonometri schen Beziehung: cosa sin t90 a ,. Daraus folgt. dass zwischen Strom und Spannung em Phasenunterschied von nf2 • 90 • ex1snen. D1e CosmusFunktton erre1cht rhr Maximum vor der SmusFunktion. Genauso ist dre S1tuauon auch be1 dem

5 Elektrlzitlit. Magnetismus und Elektromagnetismus 5.3 Elektromagnetismus Strom und der Spannung in einer Spule im Wechselstromkreis. Die Spannung eilt dem Strom in der Spule um 90 • voraus ( Abb. 5.44b}, denn die induzierte Spannung wird sofort erzeugt, während der Strom in der Spule zunächst das Magnetfeld aufbauen muss. d. h. der Spannung hinterher hinkt. Ist der maximale Strom erreich[. dann ist die zeitliche Anderung Null und damit sinkt die induzierte Spannung in der Spule ebenfalls auf Null. Danach wiederholt sich das Spiel wieder im Takt der Frequenz der Wechselspannungsquelle. Der Widerstand der Induktivit.'!t Rt folgt nach der üblichen Definition aus dem Quotienten von Span nungs- und Stromamplitude: U0 - c.J U 0 und lo und ist daher:

Uo

lo

a

b

a U,l

c.JL.

Der mduktive Widerstand Rt hängt also von der Frequenz ab und steigt linear mir der Frequenz w an. Der induktive Widerstand wird auch als Blindwiderstand bezeichnet. Die effektive Leistungsaufnahme gemittelt uber eine Periode ist im induktiven Stromkreis Null: Pt - lerrUdlcos<J> = 0, da Strom und Spannung um 90 " in der Phase verschoben sind. Mit anderen Worten, der induktive Stromkreis nimmt keine elektrische Leistung auf. Man nennt diese Leistung auch Blindleistung im Gegensatz zur Wirkleistung des Ohm-Stromkreises.

1311334 Ocr induktive Widerstand wächst linear mit der Frequenz der Wechsel~annung an. Doe Sp~nnung eilt dem Strom in der Spule um 90 • vorau~. Der induktove Stromkreo~ verbraucht keone elektrhche leostung.

Kapazitatlver Widerstand (Kondensator)

,~~t.~ Schlagen Sie ggf. noch einmal die elektrostatischen Eigenschaften eines Luftkondensators nach (S. 1 00), bevor Sie mit den Wechselstromeigenschaften eines Kondensators Im folgenden Abschnitt fortfahren. Bei Gleichstrom (<J • 0) ist ein Kondensator für Strom undurchlässig, d.h. sein Widerstand ist unendlich. Legt man eme Wechselspannung an, dann wird der Kondensator mir der Frequenz der Wechselspannung abwechselnd auf- und entladen. d.h. es fließt periodisch Ladung auf den Kondensator zu und wieder ab (Abb. 5.45a}. Damit wi rd der Kondensator effektiv leitfähtg. Dte Spannung über dem Kondensator hängt von der Ladung ab: Uc = Q IC, und dte Ladung folgt aus dem Strom. der auf den Kondensator zu oder abfließt:

b Abb. 5.45 kapilzitatlver Widerstand. a Wech~el<)nnung in

l
emem Wechselstromkrets mtt e•nE'm Konden.ator.

lc = dQ fdt C dUcfdt. Wenn wir für die Wechselspannung eine Cosinusfunklion ansetzen: Uc( f)

= Uocos(<J t ).

dann folgt der Strom aus der ersten Ableitung nach der Zeit: lc(t) = C

dUc( t) dr =

. <J CU0 sm(wt)

= <J CUoCOS(<J t + rrj 2 ). Die letzte Gleichung folgt aus der trigonometri schen Beziehung: - sma cos(a ~ 90 ). Hier sind Strom und Spannung wieder um go • 111 der Phase verschoben. wobeijedochjetzt der Strom der Spannung um n{2 • 90 " voraus eilt {Abb.S.45b}. Der Strom erreicht sein Maximum zeitlich vor dem Spannungsmaximum. Dtes ist auch anschaulich klar. Solange Strom flteßt, ist dte maximale Spannung nicht erreicht. Wenn jedoch der Kondensator vollst:indigaufgeladen ist und eine maximale Spannung erreicht hat. dann ist der Strom Null. Der Widerstand des Kondensators folgt aus dem Quotienten aus Spannungsamplitude Uo und Stromamplitude wCU0 und ist daher

Rt

Uo lo - wC

Der Wechselstromwiderstand des Kondensators. auch kapazitiver Widerstand genannt. mmmt mit zunehmender Frequenz ab. Er ist genauso wie

131

132

5.3 Elektrom,Jgnettsmus 5 Elektrizltat. Magnetismus und Elektromagnetismus

-u Abb. 5.47

Wec:hwlstromlcr~is mtl ~sc:h.ltung

\Nider$tand, lnduktMtJt, und

Abb. 5.46 fr~~rw~bh.lnglglc~t d~r elelctrl~ Im~ un von Otun·WI~t~nd R.,. Sp<M R, und ~tOf Re.

der mduku~ Wrderstand em Bhndw1derstand. Auch im StromkreiS mit <.>incr Kapazitat ist die nlinler<.> Leistungsaufnahme Null: f'c l.rrUrn COS•I> 0. da Strom und Spannung um 90 • m der Pha~e verschoben sind. d. h auch h1er 1st d1e l.e1stung emc r<.>in<.> Blindleistung.

Ot•r lwpdJtttw w,dt•r\tJnd ~ lo~llt mit 1/1.1 ab. Ot-r \trom !'tlt dl'r ~pannun9 um IJO • voraus. Der kapaz•ttve

Stromkreis verbraucht

k~tne elektu~hc

Leistung.

Zusammenfassung: Elektrische Impedanzen Zusammenfassend sind dre1 pnnz1p1<.>lle Wechselstromwiderstande (elektrische Impedanzen) bekannt: Ohll"I-Widerstand R0 ,induktlver Widerstand R, und kapazitiver Widerstand Re. Ihr<.> unt<.>rschiedliche FrC'(Ju<.>nzabhJngigkeit ist in Abb. 5.46 gezeigt.

11$18;134 ()(or Olun.Widcr,t.and hängt nicht von der hl'qu!'fll •b. dt>r 1nduktrw W"td~tand slt'igt lmear mtt der Ft.-quenz an. und der kap.J1itiv<· W~tand fallt reztpro~ mit der

freauenz ab Serienschaltung von Ohll"I-Widerstand, kapazitivem Widersund und Induktivem Widerstand Oblich<.>rw<.>is<.> enthdlt <.>in W<.'Chsclstromkr<.>is alle dr<.>i Wid<.>rstand<.>. die entw<.>der in Seri<.>. parallel oder aus Kombmationen von beiden geschaltet smd. Fur den Fall emer Scrienschnltung nus OhmWiderstand. lndukuvir.1t und KapaZit.lt ISt der Gesamtwid<.>rstand d<.>s W<.>chsclstromkreises (Abb. 5.47): Z - V R.,2,

( RL

Rd

kathete b 1st: c" =a 2 + tr. W1r können von d1e.-.em Gesetz Gebrauch machen. In einem r<.'Chtwmkligen Koordinatensystem identifizieren wir die Anka· rhere m1t der K-Achse und tragen duauf den Ohm-Widerstand Ra auf. D1e y-Achse 1denttfi11eren w1r m1t der Gcg<.>nkathete und trag<.>n darauf d<.>n mduktiven Widerstand in d1e po~1t1ve Richtung und den kapazitiven Widerstand in d1e negauve Richtung auf. Denn be1 dem induknv<.>n Widerstand hatten wir eine Phasendifferenz von +90 " im Ver· gle1ch zum Ohm-W1derstand festgestellt und be1m kapazitiven Widerstand eme Phasend1fferen7 von -90 •. Aus der Differenz folgt R1 - Re. ln Abb. 5.48 haben wir alle Widerstande noch mit dem Sll om I multipliziert. denn nach der Maschenregel fur eme Senenschalrung fließt durch alle W1der~tände der gleiche Strom I. Strom mal Widerstand ergibt Spannung. Auf der x-Achse 1st d1<.> Wirkspannung Uo • Rol aufgetragen. auf der y-Achse die Blind spannung UBiu14 • (RL -Re)/. Die Gesamtspannung des Wechselstromkreises folgt aus der quadrcltl· sehen Addition U - \ U~,.k .,.. U~,.. - l I . Der Phasenwmkel zw1schen Strom und Sp.~nnung 1st durch den Wmkel .p zwischen Ankathete und Hypotenuse gegeben: cos~

R

Z

• Bliod5pannung (Bitndwtde~Land)

U1 •R,· I

:". . . . . . . . . . .

u•.,. • (~

-R) ·I

~~·;: :71

..:U, -u,

/

z wird die lmfX'danz genannt und hangt von der Fr<.>quenz ab. Man kann d1e Impedanz und die L<.>istung des Wechselstromkrerses le1cht berechnen. wenn wir uns an das Ge.-.et7 von l'ythagoras ennnern. Danach g1lt fur em rechtwinkliges Dre1eck. dass das Quadrat d<.>r Hypotenuse c gleteh der Summe der Quadr.ue der Ankathete a und Gegen

aus
K~tlt.

W•rk~pJnnut~ (Wtr~wrder~tJnd)

U -Re I

Abb. 5.48 KO""" d
5 Elektmltät, Magnetismus und Elektromagnetismus Damit können wir die Leistung des Wechselstromkreises angegeben: P =

I

2 loUoCOSt/>.

Falls Ro • 0 ist, ward cos.p • 0 und damit wird die Leistung wieder eine reine Blindleistung. Dae leistungsaufnahmein einem Wechselstromkreis hängt von der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ab. Rein kapazitive und induktive Stromkreise haben keine leistungsaufnahme, die leistungsaufnahmekommt nur durch den Ohm-Widerstand zustande. jeder Wechselstromkreis, auch wenn er vorwiegend aus Ohm-Widerständen besteht. hat auch kapazitive und induktive Anteile. Bei einem normalen Verbraucher am Haushalt sollte allerdings immer der Ohm-Widerstand überwaegen. Wenn für eine bestimmte Frequenz Wo die Differenz RL- Re • 0 wird, dann wird der Widerstand minimal und der Strom maximal, der dann nur noch von dem Ohm-Waderstand begrenzt wird. Die Frequenz w0 - I .JfC bei der Rt = Re ist. ward Resonanzfrequenz genannt. W ir kommen im nächsten Absd1nitt über Schwingkreise auf die Resonanzfrequenz zurück.

5.3 Elektromagnetismus

Windung~zahl

N 1 an eine Wechselspannung an und misst die induzierte Spannung an einer zweiten Spule (Sekundärspule) mit der Windungszahl N2 • Da der magnetische Fluss durch beide Spulen gleich groß ist. ist die induzaerte Wechselspannung in der Sekundärspule gleich dem Windungsverhältnis N2 /N1 multipliziert mit der Wechselspannung der Primärspule: U_2

N2

- N U.,

1

1

Der Kondensator speichert elektrische feldenergie, doe Spule speichert magnetische Feldenergie. der OhmWiderst.md vertlrJucht Energie und erzeugt ]oule'sche Warme. Oie Leistung eines Wechselstromkreises ist daher ausschließlich von dem OhmWiderstand abhängog

Mit dem WindungsverhältniS N2/N1 kann sekundärseitig die Wechselspannung hoch oder herunter transformiert werden. Diese steht dann im Sekundärkreis als Spannungsquelle zur Verfügung. Das Minuszeichen drückt aus. dass die Spannungen pri mär- und sekundärseitig um 80 • in der Phase verschoben sind. Die Leistungsaufnahme eines Transformators an der Primärseite richtet sich nach dem Leistungsbedarf an der Sekundärseite. Leistungen primär- und sekundärseitig müssen immer identisch sem. Technische Transformatoren sind mit einem Eisenjoch durch die Spulen ausgerüstet, das die Aufgabe hat. den Fluss der Prim:irspule vollständig der Sekundärspule zur Verfügung zu stellen (Abb.5A9b). Obwohl idealerweise bei offener Sekundärseite keine Leistung aufgenommen wird. da dann die Primarseire rein induktiv ist, stellt man doch fest, dass der Transformator sich erwärmt. Das liegt zum einen an dem Ohm Widerstand des Spulendrahts und zum anderen an dem Umpolen des Eisenjochs mit der üblichen Frequenz der Wechselspannung von 50 Hz, was nicht verlustfrei ist.

5.3.5 Transformatoren Ein Transformator ist eine Anordnung von zwei Spulen, die nur durch den durchgreafenden magnetischen Fluss •1> - 8 · Agekoppelt smd (Abb. s.49~). Er ermöglicht das Umspannen von Wechselspannungen. Dabei schließt man eine Primärspule mit der

5.3.6 Elektromagnetischer Schwingkreis Wir haben beim Wechselstromkreis gesehen. dass die Leistungsaufnahme bei MitteJung über eine Periode Null ist. sofern dae Waderstände kapazitiver oder indukt iver Natur sind (S. 130ff.). Zum Aufladen des Kondensators wird Energie benötigt und

j

l't'liijQM

sekundär

N,

u_,,

u_,,

....

'---111::..__ f~l!nJOCh ~

a

b

Abb. 5.49 Transfonnator. • Pnnnp dt>\ Transformators m•l luftspulen. b Techn~her TraMfonn.ltor m1t EkffiJOCh durch beideSpule um Verluste des m.Jgnetisdoen Flusses zu vermeiden.

133

134

5.3 Elektrom<J9netismus 5 ElektrlziUt. Magnetismus und Elektromagnetismus wenn dieser maximal aufgeladen ist, dann speichert der Kondensator die elektrische Feldenergie

". s 2

Q2 C (vgl S. 104). 2

~poe

Diese Energie wird im nächsten Halbzyklus bei der Entladung wieder an den Stromkreis zurückgegeben. sodass die Nettoaufnahme von Energie Null ist. Das gleiche macht auch die Spule. Zum Aufbau des Magnetfeldes in der Spule wird Energie benötigt. Wenn in der Spule die maximale Stromstärke erreicht ist, dann spe1chert s1e die magnetische Feldenergie:

fl = !ul

2

poC

Wie beim Kondensator wird auch diese Energie im zweiten Halbzyklus an den Stromkreis zurück gegeben und die Nettoenergieaufnahme ist w1eder Null. Wir wollen uns diese Tatsachen zu Nutze machen und einen Schwingkreis bauen. in dem die elektrische und magnetische Feldenergie zwischen Kondensator und Spule hin und her pendeln kann. Dazu machen wir ern Gedankenexpenment. Wir schalten einen Kondensator und eine Spule zu einem geschlossenen Stromkreis Lusammen. wie er in Abb. 5.50 geLeigt isL Wir vernachlässigen alle ohmschen Verluste durch die Zuleitungen oder in der Spule. Mit dem Schalter in Stellung 1 laden wi r den Kondensator auf. Solange der Schalter in Stellung 1 ist. nießt kein Strom. aber es ist elektrische Feldenergie im Kondensaror gespeichert. Dann legen wir den Schalter um in Stellung 2 und die l...ldung des Kondensators kann über die Spule abnießen. Der Strom in der Spule baut ern Magnetfeld auf und speichert magneusehe Feldenergie. Diese 1St maximal. wenn der Kondensator

I= 0

T 0

0

-

f

t •

0

Abb. 5.50 Anordnung zur Erzeugung eines elektromagnet~ sdle-n Schwingkreises. Zun.'ichst wird der Kondens.~tor über e1ne Spannungsquelle aufgeJadet1 (S
vollständig entladen ist. usw. Der ganze periodische Vorgang ist rn Abb.s.s1 noch einmalm Detail dargestellt und mit einem Fadenpendel verglichen: Vorgänge im Schwingkreis Bei t • 0 ist der Kondensator aufgeladen und die maximale elektrische Feldenergie 1St erreicht. Im nächsten Schritt fließt die Ladung über d1e Spule ab und baut ein Magnetfeld auf(t • T/4). Oie L.1dung fließt weiter auf die gegenüberliegende Kondensatorplatte und erzeugt ein entgegensetztes elektri sches Feld (t • T/2). Danach läuft der gleiche Vorgang in umgekehrter Reihenfolge ab, bis die AusgangsJage nach einer vollen Periodendauer (I= D erreicht ist. Der periodische l...ldung~transport zwischen KondenS
T/2

T 0

0

0

0

r

Abb. 5.51 l~ltllchtor Vertauf von elektrischen und magneUsehen Feldern Im elektrischen Sls.

S Elektrizität. Magnetismus und Elektromagnetismus 5.3 Elektromagnetismus kinetischer Energie in potenzielle Energie und umgekehrt. Oie AuOadung des Kondensators entspricht der Auslenkung des Pendels. Bei voller Aufladung ist die potenzteile Energie maximal und die Bewegungsenergie ist Null. Schwingt das Pendel durch den Nullpunkt. dann ist die kinetische Energie maximal und die porenzieJie Energie isr Null. Dies entspricht dem maximalen Strom in der Spule bei r • 1/4 T und 3/4 T. 0~ wtr Verluste durch OhmWiderstand vernachlässigt haben, bleibt die Energie vollständig erhalten und der elektromagnetische Schwingkreis ist ungedämpft. Oie Kreisfrequenz w - 2rr/ mit f • 1/ T des elektromagnetischen Schwingkreises ist durch die Kapazität des Kondensators und die lnduktivttät der Spule gegeben: I

Wo= 2rrf =

JLE '

Diese Frequenz wird auch als Eigenfrequenz des Schwingkreises bezeichnet. Technische Verbreitung Der elektromagnetische Schwingkreis findet wette technische Verbreitung in Quarzuhren, in Radiound Fernsehempf
Wellen. wie z.B. Radiowellen oder Licht. ln einem weiteren Gedankenexperiment stellen wir uns vor. dass der in Abb.5.51 gezeigte Schwingkreis aufgebogen wtrd. sodass die beiden Platten des Kondensators jeweils das Ende eines Letters definieren mit der Spule in der Mitte. Im nächsten Schrirt lassen wir die Kondensatorplanen schrumpfen und ziehen die Spule zu einem Draht auseinander. Übrig bletbt dann nur noch ein emfacher glatter Metallstab. der als Hertz.Oipol bezeichnet wtrd. Schließt man diesen in der Mitte an eine hochfrequente Wechselspannungsquelle an, dann entstehen auf dem Metallstab stehende elektrische Wellen. ähnlich den Schwingungen einer Stimmgabel oder den Druck- und Dichteamplituden in emem offenen Schallrohr. Wenn an den Enden des Metallstabs die Ladungstrennung maximal ist. dann entsteht entlang des Metallstabs ein elektrisches Dipolfeld. Im nächsten Moment findet Ladungsausgleich statt. der Strom wird maximal. der ein magnetisches Wirbelfeld erzeugt. Dann kehrt sich die Situation um, der Dipol ändert seine Polarität gefolgt von einem Strom. der wieder Wirbelfelder mir umgekehrtem Drehsinn erzeugt usw (Abb. 5.51~ Der zeitliche Verlauf ist analog zu dem oben diskutierten elektromagnetischen Schwingkreis mit einem entscheidenden Untersdlied. Im elektromagnetischen Schwingkreis bleiben die elektrischen Felder mit dem Kondensator und der Spule verbunden. Im Hertz-Dipol machen sich die elektrischen und magnetischen Felder dagegen frei von dem Metallstab und wandern verknilpft als elektromagnetische Welle ab in den Raum. Oie elektromagnetischen Schwingungen des Metallsrabs werden zur Quelle von elektromagnetischen Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum (auch im Vakuum) fortpOanzen. Oie Loslösung der elektromagnetischen Welle von der Antenne und die Verknüpfung der elektrischen und magnetischen Felder zu einer gemeinsamen elektromagnetischen

Abb. 5.52 Schematl<ehe Darstellung eines schwillgenden elektrischen und magn~schen Dipols, der abwechselnd elektriscl>e und m~netlsche Felder erzeugt.

135

136

5.3 Elektromagnetismus 5 Elektrlzlt:it, Magnetismus und Elektromagnetismus E.feld '· ( ld

Strom

Wel le ist in Abb. 5.53 noch einma l veranschaulicht. Die Umkehrung des Dipolsenders isr d ie Dipolantenne zum Empfangen von elektromagnetischen Wellen. W1r werden von den elektromagnetischen Wellen im Kap1 te l 7. Optik Gebrauch machen.

t ~

1

t -t. • -r 4

0

2

r • r• + -T 4

3 t•t,•4T )

Abb. 5.53 Enl$t.,hung elektromagnetischer Wellen durch Ablösen der elektrischen und magnetischen f elder von der Dipolantenne.



... ... Check-up v Was versteht man unter dem lnduktlonsge· setz? v Wie hängt der Wechselstromwiderstand von Kondensator und Spule von der Frequenz ab? v Was bestimmt die Zeit, bis der Strom in einer Spule 67% seines Maximalwerts nach Einschalten erreicht hat? v Aus welchen Elementen ist ein elektrischer Schwingkreis zusammenge~tzt7 v Was versteht man unter Eigenfrequenz? v Wie groß Ist die an einem Kondensator ver· brauchte e lektrische Leistung? v Machen Sie sich noch einmal den Unterschied zwischen Wirk- und BlindleiStung klar.

138

Klinischer Fall 6 schrocken. als der Ihr empfiehlt, dte Gallenbla\e ~ ntfernen zu lassen.

Steine auf Abwegen

ln <1ot>~r \OIIOgtaf&hen Aufnahnie l<.lnn ft l.ttl 1m c..l c
Lu~~~

Oie Ultraschalluntersuchung gehortheute zur klinischen Routine. Mediziner machen sich die hochfre· quenten Schallwellen als gunstlges, einfaches und nicht invasives bildgebendes Verfahren zu Nutze. Oie Gewebetypen des Körpers iJbsorbieren und re· fll'ktll'ren Ultraschallwl'llen auf unterschiedliche Art. Die Echos werden anschließend ln elektrische Impulse umgewandelt und als bewegtes Bild dargestellt. An Grenzflächen zwischen den Strukturen er· scheinen je nach Schallleitungsfähigkeit helle (echoreiche) oder dunkle (echoarme) Reflexe. Das ermrtl Zulueden r.turnt Frau Kurt da~ Geschilf 111 d .: Spulmasch1ne. Oll' !laute Hollandao~e I)Lihr hrute be'>OndNs gut gelungen. Plöt71rch hält sie inne. 0.1 f\t e\ wit>der, dieses Kne1fen im rechten Oberbauch. xhon oller hat Frau Kurt die~e kolikart19en Beschwer· den geh.1bt. meist nach dem h\en. Dr. Se1bert, den d1e llausfrJU am nächsten T.19 aulsuc ht, steilt etnen Druckschml'fl unter dem reCh be1 Bewegung verlagern . •S1c habl'fl Gallen~tet­ oc·. erklärt der Med11iner der Vt'rduuten Pat1entln ur1d zeigt rhr die hellen Stellen auf dem Monitor. •D1e SchJIIwellen. die ich mit dem Schallkopf in Ihren Körper aussende. werden von d<'n St<'inchen fast vollstlindrg reßekt1ert. Im ddhrnter Iregenden Gewebe kommen so gut w•e kerne Sogna e mehr an. em sogenannter Schallschatten entsteht.· raszmiert folgt Frau Kurt den Ausfuhrungen ihre~ flaul.lrztes und 1st er·

Diagnose: akute Cholezystitis Doch voer Wochen vor de-m g~planten Eingriff muss d1e Hausfrau erneut d~n lntefl1i\trn aufsuchen. W<1hrt>nd der ldzten l\llt!f TdgL' s1nd 1hre Bauch~chm~uen schlimmer geworden und ~ie hat erhöhte Temperatur gemessen Als der Hausarzt se ne Pat entln wieder s1eht, \\1rkt s e angeschlagener als bei ihrem lctlten ße.. ~uch. Sooografisch teogt steh dtt>snldl emt' verdKkte Gallenbla~enwand, dte eu e Drersch•chtunq aufwcl\t. Um die Gallenblolse herum 1st zudem ein zarte echofreier Flüssigkeitssaum aus7um.1Ch<'n.•Das sieht llllf nach einE'r entl (mdloc lwn Vt•randerung der Gallenb,ase du\·. kommentiert der ArLI. .Wahrscheinlich hat e nes der Ste•nchen zeotwetse den Gallenfluss beetntrach· t1qt. · Auch 1m Blut von Frau Kurt ~nd doe Entzundungs· pdramNer erhöht. Fur eine aktuelle Stauung der Galle besteht aber kern Anhalt. denn d"e intra- und extrahc panschen Gallenwege srnd schlanl<. Dr. Se1bert gtbt ~~ i· nt:'r Pat•entrn ern Skommt hau Kurt e•n Antibiotikum Außerdem muss s1e vorerst nuchtern blerben und C'f· halt eine lnfusionstherapie. Schon am näch~ten Tag geht es Frau Kurt b..·ss••r. Die Hausfrau hat jet1t nur noch E'inen Wunsch. Sit> will endlich ihre lästigen Gal· lenste1ne loswerden. bn paar Tage später rst es SOWt'll. 01e Patrenbn Ist fieberfrei, die [ntlundungswrrtt• im Blut smd rücklaufig und .luth dte Snboqen und Nabel ennnern noch an die Operatron. Und Juch wenn Frau Kur l fetthaltigP Speisen von nun Jn nur noch in MaRcn g('nirR('n ~oll, ~o ist doch gegen <'tn Tellf.'rchcn Spdrgel m•t Sduce Hollandalse h1n und WIWer mchb e10zuwend~n.

6 Schwingungen und Wellen

6

; .....

Schwingungen und Wellen lemco~dl

Dieses Kapitel setzt viele fruher diskutierte physikalischen Eigenschaften voraus. Als Grundlage sollten Sie auf jeden Fall periodische Bewegungen und Rot
Schwmgungen und Wellen begegnen uns uberall in der Welt, se1 es in der Mechamk. der Akustik. im Elektromagnetismus und in der Optik. SChwingun gen und Wellen ziehen sich über den ges,lmten Bereich der Physik hm. sie stehen als verbmdendes Ghed ZWISChen allen Te•ldl~71plinen. SChwingungen )ind an periodische. wiederholbare Eigenschafren geknilpfl. wie die Herzakuon oder die Atemmechanik. Wellen sind mcht lokal. bewegen SICh im R.lum und transpomeren Information und Energie von emem Ort zum anderen. Durch Schallwellen horen w~r und durch elekt• amagnetische Wel len des Lichts sehen wir. Von dem Transpan der Sonnenenergie in Fom1 von elektromagnetischen Wellen durch den interplanetaren Raum hangr un~r tägliches Leben ab. Wegen 1hrer übergreifenden Bedeutung. 1st es schw1eng. emen geeigneten PlaLL fur die Diskussion von SChwmgungen und Wellen mnerhalb eines Lehrbuchs zu Iinden. Die Platzierung vor der Optik ist ein guter Kompromiss.

6.1 Schwingungen Schwmgungcn sind lokale periodiSChe Bewegungen um eine Gle1chgewichtslage. Das beste Beispiel ist em Fadenpendel (AbO. 6.1 ). Wellere Be1sp•elc sind Federpendel ;s. 33) und elektromagnetische Schwmgkre1se (S. 133 ). Das 1deale und ungedampfte (nl.llhcmatische) Pendel 1st em harmonischer Oszillator mit der Eigenfrequenz f 0 , die nur durch 1wci Eigenschaften des Pendels defin1ert ist: Erdbeschleunigung g und Fadenlänge I.

1

I

fo · r - iii\

g

r

D1e Penodendauer T = dann

T

6.1 Schwingungen

I

Anmerkung: ln der Phys1k verwendet man haulig statt der Frequenz f d1e sogenannte Kreisfrequenz w • 2nf, d.h. die um den Faktor 2n erweiterte rrequenzf, wobei 2n der Umfang eines Einhe1tskreise~ 1st (S. 127). Konsequenterweise musste man u0 • 2nfo. als Eigenkreisfrequenz bezeichnen. Dies w1rd Jedoch üblicherwei~ mcht gemacht. sondern ""o w1rd auch einfach als Eigenfrequenz beze1chnet Das fuhrt zu einer sprachlichen Ungenauigkeit, d1e nur durch d1e Formelbeze1chung Wo bzw. fo aufgehoben werden kann. D1e Verwendung von w0 an statt von fo erlaubt häufig eine etwas eleg;mrere Schre1bwe1se von Fom1eln. sp1elt aber ansonsten keme Rolle. W1r ble1ben m d1esem Lehrbuch bei der Beze1chnung /o fur du~ figenfrequenz. RNh('fl,)ufgabe Aufgabe 6.1: Oa~ Atcmmonutenvolumen des Mt>n· sehen beträgt in Ruhe 7,S I bt·i t>lner Atemfrequenz 11011 15 Atemzügen pro Monult>. Welther PeroodendalJCr t.>ntsprechen 15 Atenuüg1• piO Monlolt'? (Lösung 5 227)

6.1.1 Ungedämpfte Schwingungen jede harmomsche und ungedilmpfte mechamsche Schwmgung wandelt im Rhythmus der Eigenrre quenz kinetische Cnergie fkon 1n potenzielle Energie fJN, um und umgekehrt, wober die Gesamtenergie zc1thch konstant ble1bt:

Ecn..mo

I/I

des Fadenpendels ist

la •2rrA.

Beachte. dass nicht die Masse, ~ndem nur die Erdbeschleumgung m d1e Eigenfrequenz und d1e Penodendauer emgeht. Em Pendel brauehr umso langer, b1s es hm und her schwmgt. Je langer seine Fadenlange 1st.

ftun

fv.o

konstant.

Beim Durchgang durch d1e Ruhelage 1st d1e potenzrelle Energ1e der Schwmgung gle1ch Null und d1e klneusche Energie ist max1mal. Im Umkehrpunkt. d.h. der höchsten Lage. 1St die potenzielle Energie maximal und die kineusche Energie ist null. Der ze1thch ham1onische Verlauf der luneuschen und potenz1ellen Energ1e 1st m Abb.z.zs S. 42) dargestellt. Ungedampfte Schwingungen werden durch harmonische Funktiont!n beschneben. Ham1onische Funkuonen sind die Smus- und Cosinus-Funktio

139

140

6. 1 Schwingungen

6 Schwingungen und Wellen ~(I)

•

sogenannte Oampfungskonstante. Die Zeitkon· stante darf nicht mit der Halbwertszeit veaweth,elt werden. Nach einer Halbwertszeat r, 12 ist die Amplitude der Schwingung auf 50% ihres Anfangs· wertes abgesunken. Zwtschen Zettkonstante und Halbwertszeit besteht die Beziehung:

r, 1

•

(l\bb.6.l):

0.6 0.4

••

e '· .. 0.2

0~~~~~~~~

- 0.2 -0.4 -0.6

.......

- 0.8 ..

- 1 ...__ _

1\bb. 6.2 Unged~mpt~ und gedimpfte harmonische S<:hwlngung. a Un<Jf'd,,mpltt h,lrmon,,cht 'i(hwm<Jung 'llll T- ~riOdeodau~r. v0 - llmplttude. b CedJmplte h•rmon.sdM! Schw11'9ung. r Z~ tkon
nen. Die allgemeane Form ist (s. auch mathemati scher Anhang): X{ t) "" Xo • COS

2TI/o I

I Ö)

Xo

CO~

e;

I I Ö).

Dte phystkali~che Größe x(r) srehr fur eme harmomsch mu der Zett 1 ~ltlherende Große. z.B. den Winkel a oder dte Hohe h des fadenpendels. Ste ist gekennzetchnet durch eme Amplitude Xo und eine Kretsfrequenz Uu bzw. eine Pertodendauer T (Abb. 6.ü ö berucksichtigt eine mogliche Pha~n­ ve~htebung der Schwmgung. dte durch dte Lage des Pendels bet der Anfang~Lell r • 0 festgelegt wird. 6.1.2 Gedämpfte Schwingungen ln Realtrat sind alle Schwingungen gedampft. d. h. die Amplttude x0 nammt mat der lell exponentiell ab. Die Dämpfung kommt durch Dissipation von Energte zustande. d.h. mechanische rnergie wird aus dem System ausgekoppelt und steht rur die Schwmgung nicht mehr zur Verftigung. Die gedampfte Schwmgung ward durch dae analytische Formel beschrieben: XI I

Xo ('

1 r COS

rln2

Arten von Dämpfungen Man unterscheidet drei Arten von Dampfungt'n

>(I)

0.8

2-

Schwache Dämpfung: m diesem falltst die Zett· konstantergroß im Vergleich zur Schwingung~· dauer. r > T; Aperiodischer Grenzfall oder kritische D.'impfung: in diesem falltst dte Zertkonstante r gleteh der Schwingungsdauer: r • T: Kriechfall oder überdämpfte Schwingung: hier ist die Zeatkonstanre klein un Vergletch zur Schwmgungsdauer: r < T. Der aperiodische Grenzfall ast m der Messtechnak der bevorzugte Fall. Bei Auslenkung kehrt cane Stellgröße schnellst möglichst in ihren Ausgangs zustand zurück. ohne cmcn .. Überschwmger" 7ll machen. Im Knechfall gibt es auch keine Schwmgung. jedoch dauert das Abklangen wesentlich l;lnger als im aperiodischen Grenlfall. daher Kriechfall genannt. ln diesem fall gibt es fur dte Schwingungsfrequenz marhemausch gesehen kct· ne reelle Lösung und daher •~t die Oampfung nicht noch schneller als im apenodtschen Grenzfall. wie man erwanen konnte. sondern wesentlich langsamer. Dieser Fall ist bei Messgeraten zu verme•denl 6.1.3 Erzwungene Schwingungen Ber der er1wungenen Schwmgung wtrd dem Sy\· tcm eine Schwingungsfrequenz I. durch eine auße rc periodtsche Kraft aufgeprägt. Bestes Bei~piel i~t dte Pendeluhr. Das Pendel folgt nrcht ~eaner figen· frequenz Jo. ~ondern der frequen7 der Unruh f". Solange dae Frequenz der antreabenden Krc1ft klein ist im VergleiCh zur ErgenfrequenL (J. < fu). folgt das angetriebene System der antrerbenden l
1

ll''ll

2nfo (1 .

Dabea ward r dte Zettkomtantt' gt'nannt. dt'nn nach r ~ r tst e '·'' • e • 0.367. d.h. nach dieser Zeat ast dte Amplitude auf 36.7% thre~ ursprunglachen Wertes gesunken ist. Der Kehrwert fJ • 1/r ist dae

- 1

Abb. 6.3 On!i Art~n ct.r gNampft~ Schwrngung: S.•,.Khe O..r ofung. dp..~ood ~ht Cn: •dd 1.C>d l(r,,~hld •

6 Schwingungen und Wellen 6. 1 Schwingungen

kleine Dämpfung

gro ße Dämpfung

0

r.

(,

6
dels an. welche~ bei maximaler Auslenkung die höchste potenzielle Energie erreicht und dann umgekehrt. Wenn in diesem Moment dem Pendel ein Maximum an kinetischer Energie übertragen w ird. dann wird die Amplitude tmmer größer. Eltern nützen diesen Effekt aus. um Kindern auf der Schaukel mi t der gleichen Frequenz w ie die Schwingung der Schaukel. d. h. bei der Resonanzfrequenz !. • /o. und im richtigen Moment des Umkehrpunkts (potenzielle Energie), d.h. mi t der Phase I)= go • einen Schubs (kinetische Energie) zu geben. Im Umkehrpunkt der potenziellen Energie kann dem System am meisten kineti sche Energie zugeführt werden.

1$11934 Resonanz emes Schwingkreises liegt vor. v.~nn die Frequenz der antreibenden Kraft gleich der EigenfrequenL des Syst~ms isl Im Resonanzfall wird die Ampl1tude nur durch die Dämpfung bt>grrnlt.

'·

Abb. 6.4 Enwungener S.:hwlngkreis. Ampl,tude XQ und Pllasen\'crsch ebung 6 bet einer e, fJ ist die OdmpfungskonStdnte.

in Phase. d.h. die Phasendtfferenz {j(f. ) Ist nahezu Null und die Amplitude xo bleibt konstant (Abb. 6.4). Der zeitliche Verlauf entspricht dem einer ungedämpften Schwingung, denn alle Dämpfungsverluste werden durch dte antreibende Kraft wieder ausgeglichen. Resonanzsyst em Eine völlig neue Si tuation entsteht. wenn die antreibende Frequenz tn die Nahe der Etgenfrequenz kommt: /.1 - fo. Dann schaukelt sich das System auf und die Amplitude Xo wird mir jeder Schwingungsperiode größer. Die Amplitude kann so groß werden. dass es zur Katastrophe kommt. d. h. zur Zerstörttngdes Syst ems. Daher nennt man diese Bedmgung auch Resonanzkatastrophe. Die Amphtude wtrd nur durch die D:impfung fJ des Systems begrenzt. Wenn diese null ist, dann wächst die Amplitude theoretisch ins Unendliche. In einem mechanischen Schwingkreis ist die Dämpfung tmmer durch Reibungsverluste gegeben, in emem elektnschen Resonanzschwingkreis sorgt der Ohm-Widerstand für die Dämpfung. In allen Fällen ist der Übergang von geordneter Energie in ungeordnete oder Wärmeenergie die Ursache für dae Dämpfung. Der Grund für die Resonanzkatastrophe ltegt in der Phasenverschiebung von c5 • n/2 • 90 zwischen der antretbenden Kraft und der Schwingung des System bei/. • fo- Nehmen wtr den Fall eines Pen -

Mtt zunehmender Frequenz J. der antreibenden Kraft nimmt die Phasenverschiebung weiter bis auf n • 180 • zu. Das System kann aber nicht mehr der antreibenden Kraft folgen. Kraft und Amplitude des Systems si nd gegenläufig und die Amplitude nimmt bts auf Null ab. Güt e eines Resonanzsystems Verfolgt man die Amplitude al s Funktion der Frequenz der antreibenden Kraft, dann wird man ein Maximum bei der Resonanzfrequenz feststellen (Abb. 6.4a). Das Maximum ist umso höher. je kleiner die D:impfung ist. Die Breite des Maximums llf hängt auch von der Dämpfungskon stan ten ß ab ( Abb. 6.4b). Der Quotient aus foltJ.f wtrd Güte des Resonanzschwmgkreises genannt. Ein System hoher Gute hat ein hohes und schmales Maximum und ist sehr empfindlich auf eine bestimmte Frequenz mi t hoher Trennschärfe zu benachbarten Frequenzen. Solche Resonanzschwmgkreise eignen sich rür den Empfang von Radto- oder Fernsehsendern. Ein System mir geringer Güte hat einen niedrigen und brei ten Resonanzverlauf. die Trennschärfe ist geri ng und ein breites Spektrum von Frequenzen wird toleriert. Das Mittelohr kann als ein Resonanzschwingkreis geringer Gute betrachtet werden. Das hat den Vorteil. dass em breares Spektrum von Frequenzen vom Trommelfell auf das ovale Fenster übertragen werden kann.

141

142

6.1 Schwongungen 6 S
Das Herz und die Atmung sind Beispiele für erzwungl!ne pt'riodi\Che- Schwingungen, die jedoch niCht harmon1sch s111d. Be1m gesunden Hl'r7~ gl'ht dlt' Erregung 110111 S~ nusknoten au>. Bei fun~toonsstörung kann ein Hl'rz· schnttmacher dit!\C Aulq.Jbe übemrhmen und drn Sinu~noten durch t.ne Elektrode .1nregl'l\. ~ Sdu\tlma. ehe-r 'Wkt wie e1ne uteme .Jnlleibcnde Kraft. d•c dlt' Schlagfreql•enl dt'\ Htrzens best•mmt. fdll> dH! Her1frequen1 de\ Sinusknotens lU hoch wird. Y.ltd die Enegung-.Ju\breitung übe-r den AV·Knoten ur.terdrückt. da dies<'f 1.'111(' l..n<Jtrt' R!'fraktar7E'II hat wie de-r Sinusknotl'l\ ulld nicht ~ schndl w•t
6.1.4 Überlagerung von Schwingungen Bisher haben w1r nur eme freu~ oder eine er7wungene Schwmgung d1skut1ert. ln de1 Natul kommt jedoch häufig der fall vor. dass zwei oder mehrere schwingende Systeme miteinander gekoppelt sind. Ein emfaches mechanisches Modell sind zwei Fadenpendel, die durch eine Feder mit der Federkonstanten k verbunden sind (Abb.&.s). Oie~es System hat v1ele Bewegungsmdglichkelten. z.B. kann ein Pendel stehen und das andere schwingt, oder umgekehrt. Von den v1elen Bewegungsabläufen gibt es aber nur zwei fundamentale Schwmgungen. d1e auch Eigenmoden genannt werden. d1e glelchphasige Schwingung und d1e gegenphas1ge Schwingung. Be1 der gleichph.lsigen S

I

g

21T \ ,.

Bei der gegenphasigen Schwingung kommt Jedoch dieFederkonstantekund d1e rigenfrequenz der Feder

r.-

1 21T \i k 'm

m1t ms Sp1el (Abb. &.Sb). D1e Eigenfrequenz der gegenphasigen Schwingung ist

focovn - vfJ,Iro
2ft~..

Sie ist also großer als du! Frequenl der glelchphasigen Schwingung. Homöopolare Moleküle wie llz. N1 und 0 2 zeigen Molekulschwmgungen. die genau d1esem Verhalten folgen Aus der Eigenfrequenz der gegenphas1gen Schwmgung kann man d1e Bindungskräfte der Molekule berechnen. Fur d1e genaue Berechnung sind qu.Jntenmechanische

ll

b Abb. 6.5 Oberlagerung von Schwingungen. a glekhpha~ 9 b gcgenphasig.

Grundlagen erforderlich. Der klasSISche Ansatz lie· fert aber bereits brauchbare Abschätzungen. W1r haben gesehen. dass ein gekoppeltes System .1us zwe1 Massen zwei Eigenfrequenzen bzw. zwei Ei· genmoden besitzt: gle1chphas1ge Schwm&ung und gegenphas1ge Schwingung. Ein Sy~tem .JU~ drei Te1lchen hat dre1 Eigenmoden. em System aus N Tellehen entsprechend N Eigenmoden. Große Molelciile und Festkörper sind in ihrem Schwin· gongsverhalten sehr komplex. Die Ge:..~mtheu aller angeregten Schwingungen macht 1hre w.umeenergle aus.

_.W.._o.eck-up

v v v v v v

Was ist der Unterschied zwischen einer unged.lmpften und einer ged.lmpften Schwin· gung? Was ist der Unterschied zwischen einer freien Siner S
6 Schwingungen und Wellen

6.2 Wellen

6.2.1 Überblick Im Gegensatz zu Schwingungen sind Wellen nicht lokal. Sie breiten sich im Raum aus und transportieren dabei Energie von einem Ort zum anderen. Es gibt viele Arten von Wellen, Schallwellen, Wasserwellen, elektromagnetische Welle und Spinwellen. Es gibt stehende und laufende Wellen. Wellen können sich überlagern und dabei gegenseitig verstärken oder auslöschen. Zum Verständnis der physikalischen Eigenschaften von Wellen ist es wichtig, dass man sie zunächst präzise charakterisiert nach Polarisation, Dimensionalität und Kohärenz.

6.2.2 Eigenschaften von Wellen

Allen Wellen gemeinsam ist eine Amplitude A0, eine Wellenlänge λ und eine Ausbreitungsgeschwindigkeit v (Abb. 6.6). Die Wellenlänge ist der Abstand von einem Wellenberg bis zum nächsten Wellenberg, oder von Wellental zum nächsten Wellental. Zwischen Wellenberg und Wellental gibt es den Wellenknoten, bei der die momentane Amplitude null ist. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit (oder einfach Wellengeschwindikgeit) wird aus der Verschiebung des Wellenberges um Δx in der Zeit Δt berechnet. Die Welle ist um eine volle Wellenlänge λ in der Zeit einer Periode T weitergewandert. Damit folgt unter Berücksichtigung der Frequenz f = 1/T: Δx λ ¼ ¼ λf: Δt T

Die höchste Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit mit ca. 300 000 km/s. Da die Lichtgeschwindigkeit eine Naturkonstante ist, bekommt sie in der Literatur eine besondere

MERKE Die Geschwindigkeit einer laufenden Welle ist das Produkt aus Wellenlänge und Frequenz.

Rechenaufgabe Aufgabe 6.2: In der Medizin werden Ultraschallgeräte mit hochfrequenten Schallwellen eingesetzt. Ein Sonographiegerät bespielsweise benutzt Ultraschall mit einer Frequenz von etwa 8 MHz. Die Schallgeschwindigkeit im Gewebe beträgt 1,6 km/s. Wie groß ist die Wellenlänge der Schallwellen im Gewebe? (Lösung S. 228)

6.2.3 Ausbreitung von Wellen Eine Welle braucht ein Medium, in dem sie sich ausbreiten kann, wie z.B. Luft, Wasser, oder feste Materialien. Eine Ausnahme sind elektromagnetische Wellen, die kein Medium benötigen und sich auch im Vakuum ausbreiten. Polarisation Man unterscheidet zwischen longitudinalen und transversalen Wellen (Abb. 6.7). Bei longitudinalen Wellen ist die Amplitude parallel zu ihrer Ausbreitungsrichtung orientiert (wie z.B. bei Schallwellen in Luft), bei transversalen Wellen steht die Amplitude senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung (wie z.B. bei elektromagnetischen Wellen, s.u.). Longitudinale Wellen haben nur eine Richtung für die Amplitude, nämlich parallel zur Ausbreitungsrichtung. Longitudinale Wellen sind nicht polarisierbar. Bei transversalen Wellen gibt es jedoch zwei prinzipielle Richtungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, wenn die transversale Welle parallel zur x-Richtung läuft, dann kann die Amplitude in der y- oder der z-Richtung schwingen. Man nennt transversale Wellen unpolarisiert, wenn alle Schwingungsrichtungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gleich häufig vorkommen. Bei polarisierten Wellen schwingt die Amplitude nur in einer bestimmten Richtung, z.B. parallel zur y-

λ A0

143

Bezeichnung: c0 für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Lerncoach Das folgende Kapitel beinhaltet allgemeine Grundlagen zu Wellen und deren Eigenschaften. Diese Grundlagen sind auch wichtig für das Verständnis des Kapitels zur Optik (ab S. 159). Vor allem den Zusammenhang zwischen Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle und ihrer Frequenz sollten Sie sich klarmachen.

v¼

6.2 Wellen

Knoten Ausbreitungsrichtung Δx

Abb. 6.6 Ausbreitung einer Welle. λ, Wellenlänge; A0, Amplitude.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

6

144

6 Schwingungen und Wellen

6.2 Wellen

Kompression

schematisch dargestellt. Die roten Linien kennzeichnen einen Wellenberg, der Abstand von Wellenberg zu Wellenberg ist eine Wellenlänge. Die Ausbreitungsrichtung und die Wellengeschwindigkeit steht senkrecht auf der Wellenfront.

Expansion x

λ longitudinale Welle z

y

6.2.4 Überlagerung von Wellen

Az

Pulswelle. Die systolische Ejektion von der linken Herzkammer in die Aorta erzeugt eine arterielle Blutdruckerhöhung von ca. 60 hPa (ca. 45 mmHg). Durch die Dehnbarkeit der Gefäße entsteht eine transmurale Druckerhöhung in den Gefäßen, die im Rhythmus des Herzens als Pulswelle durch die Arterien läuft und mit einem Blutdruckmessgerät nach Riva-Rocci hörbar gemacht werden kann. Die Pulswelle ist eine transversale Welle, da die Dehnung der Gefäße senkrecht zur Ausbreitungsrichtung erfolgt.

Interferenz Wellen können überlagert bzw. aufsummiert werden. Das Ergebnis dieser Summation hängt sehr von den Details der Wellen ab. Im einfachsten Fall nehmen wir zwei eindimensionale Wellen gleicher Wellenlänge, gleicher Polarisation, gleicher Amplitude und gleicher Ausbreitungsrichtung an. Dann hängt Verstärkung oder Auslöschung von ihrer gegenseitigen Verschiebung (Phasenlage δ) ab: haben beide Wellen zum gleichen Zeitpunkt einen Berg, dann verstärken sie sich (konstruktive Interferenz, δ = 0); hat eine Welle einen Berg, die andere ein Tal, dann löschen sie sich aus (destruktive Interferenz, δ = 180 ° = π). In Wellenlängen ausgedrückt: Verstärkung liegt vor, wenn eine Welle gegen die andere um die Wellenlänge 0, λ, 2λ, verschoben ist, d.h. um das Vielfache einer Wellenlänge, Auslöschung bei Verschiebung um λ/2, 3λ/2, 5λ/2, d.h. um das Vielfache einer ungeraden Anzahl von halben Wellenlängen. Konstruktive und destruktive Interferenz zweier Wellen sind in Abb. 6.9 schematisch dargestellt und werden im Kapitel 7 über die Optik noch einmal diskutiert.

Dimensionalität von Wellen Wellen werden auch nach ihren räumlichen Dimensionen unterschieden. Ein Laserstrahl breitet sich nur in einer Richtung aus, d.h. die Ausbreitungsrichtung ist eindimensional. Wirft man einen kleinen Stein auf eine glatte Wasseroberfläche, dann breiten sich ringförmige Wasserwellen aus, d.h. die Ausbreitungsrichtung ist zweidimensional. Von einem Kugellautsprecher breitet sich eine Schallwelle in allen drei Raumrichtungen aus, d.h. die Ausbreitungsrichtung ist dreidimensional. In Abb. 6.8 sind verschiedene Wellenausbreitungen

Kohärenz Interferenz lässt sich nur beobachten, wenn die beteiligten Wellen gleiche Amplitude, gleiche Ausbreitungsrichtung und insbesondere eine definierte konstante Phasenbeziehung zueinander haben. Sie schwingen sozusagen „im Takt“. Man spricht dann von kohärent überlagerten Wellen. Diese Bedingungen sind allerdings nicht so einfach zu erfüllen. Man findet sie z.B. im Laserlicht. In der Wellenoptik kommen wir darauf zurück. Der „Normalfall“ sind inkohärent überlagerte Wellen. Diese Wellen haben entweder unterschiedliche

x λ

6

transversale Welle Abb. 6.7 Longitudinale und transversale Wellen.

oder zur z-Achse. In der Optik spielen polarisierte Wellen und Analysegeräte zur Bestimmung der Polarisationsebene (Polarimeter) eine große Rolle (S. 171). Klinischer Bezug

v

v

λ λ a

b

Abb. 6.8 Ebene Welle (a) und kreisförmige bzw. Kugelwellen (b). Die roten Linien repräsentieren die Amplitudenmaxima von Wellen, der Abstand zwischen den Linien ist eine Wellenlänge, der Pfeil kennzeichnet die Ausbreitungsrichtung und die Geschwindigkeit senkrecht zur Wellenfront.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

6 Schwingungen und Wellen

6.2 Wellen

145

Phasenverschiebung 2

0°

A1(t)

A1(t) 1

1

2

2

A2(t)

A2(t) 1

1

0

0

Zeit t konstruktiv

4

A1(t) + A2(t)

4

A1(t) + A2(t)

180°

2

2

Zeit t

6

destruktiv

2

Zeit t

Kurve), da die Phasenlage der beiden Wellenlängen zeitlich und räumlich nicht fest ist. Die Schwebungsfrequenz ist fSchwebung ¼ ðf1  f2 Þ=2, d.h. sie ist die halbe Frequenz ermittelt aus der Differenz der Frequenz der beiden überlagerten Wellen. Die Schwebefrequenz wird um so kleiner, je kleiner der Unterschied der Frequenzen wird. Schwebungen kann man gut hören, wenn zwei Stimmgabeln etwas unterschiedlicher Frequenz angeschlagen werden. Wie man aus der schwarzen Kurve in 2 Amplitude

Wellenlänge, unterschiedliche Ausbreitungsrichtung oder eine Phasenbeziehung, die nicht konstant ist. Ein Beispiel dafür ist das Licht aus einer Glühbirne. Die elektromagnetischen (Licht-)wellen kommen durch unzählig viele kleine Lichtquellen (Atome) zustande, die alle unterschiedlich schwingen. Sie ändern ständig ihre Schwingungsrichtung oder setzen aus und fangen zu einem anderen Zeitpunkt wieder an, sodass sich Phase und Richtung der einzelnen Wellen ständig ändert. Kohärent überlagerte Wellen können sich gegenseitig verstärken oder auslöschen, wie wir schon in Abb. 6.9 gesehen haben. Da inkohärent überlagerte Wellen keine konstante Phasenbeziehung haben, wird man nie vollständige Auslöschung vorfinden. Wenn es viele inkohärente Quellen gibt, dann summieren sich die Amplitudenquadrate aller Quellen auf. Viele Lautsprecher führen dazu, dass die Lautstärke zunimmt und viele Lampen sorgen dafür, dass es heller wird.

Zeit t

Abb. 6.9 Konstruktive und destruktive Überlagerung von zwei Wellen gleicher Amplitude und gleicher Wellenlänge.

1 0

1

Zeit

–1 –2

a 2

Interferenzerscheinungen gibt es nur bei der Überlagerung der Amplituden von Wellen gleicher Wellenlänge und definierter Phasenbeziehung.

Schwebung Schwebungen findet man vor, wenn zwei Wellen gleicher Amplitude und fast gleicher Frequenz kohärent überlagert werden (Abb. 6.10a). Bei kohärenter Überlagerung der beiden Wellen kommt es als Funktion der Zeit abwechselnd zur Verstärkung und Abschwächung der Intensität (Abb. 6.10b, rote

Amplitude

MERKE

b

1 0

1

Zeit

–1 –2

Abb. 6.10 Schwebung von zwei Wellen gleicher Amplitude und fast gleicher Frequenz. a Zwei kohärente Wellen fast gleicher Frequenz (grüne Kurve: 10 Hz, blaue Kurve: 12 Hz). b Resultierende Kurve aus der kohärenten Überlagerung der beiden Wellen aus a (rote Kurve). Die schwarze gestrichelte Hüllkurve entspricht der Schwebung (Frequenz = 1 Hz).

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

146

6.2 Wellen

6 Schwingungen und Wellen

Abb. 6.10b erkennen kann, nimmt die Intensität

6

Mit dem Huygen-Prinzip können alle Phänomene der Wellenausbreitung anschaulich erklärt werden, die an Grenzflächen zwischen zwei verschiedenen Medien entstehen: Reflexion, Brechung, Dispersion, Beugung und Streuung. Dies wird im Kapitel 7 „Optik“ noch weiter erläutert.

der Schwebung (rote Amplitude) während einer (schwarzen) Schwingungsperiode zweimal ein Maximum an. Deshalb nimmt man die Amplitudenmaxima mit der doppelten Schwebefrequenz wahr, sodass die wahrnehmbare Schwebefrequenz der Differenz f1  f2 entspricht. Sobald zwei Wellen unterschiedliche Frequenz haben, moduliert eine Frequenz die Schwingung der anderen. Eine Schwebung kann man daher auch als Amplitudenmodulation bezeichnen. Die Amplitudenmodulation wird technisch bei der Übertragung von Signalen angewandt, z.B. von AM-Radiostationen (Amplitude Modulation). Klavierstimmer nutzen die Schwebungen, d.h. das An- und Abschwellen der Lautstärke von zwei Tönen, die nahe beieinander liegen, zur genauen Abstimmung von 2 oder 3 Saiten.

MERKE Ebene Wellen sind darstellbar als Überlagerung von kreisförmigen Elementarwellen.

6.2.6 Wellengeschwindigkeit Wir haben bereits gesehen, dass die Wellengeschwindigkeit aus Wellenlänge mal Frequenz ermittelt werden kann: v = λf. Dies erklärt aber noch nicht, warum Schallwellen sich in Flüssigkeiten schneller ausbreiten als in Luft, oder warum die Geschwindigkeit von Seilwellen von der Spannung abhängt, mit der Seile eingespannt sind. Man kann zeigen, dass die Wellengeschwindigkeit mit den elastischen Eigenschaften des Mediums verknüpft sind, in denen sie sich ausbreiten. Die Wellegepffiffiffiffiffiffiffiffi schwindigkeit hat immer die Form v = E=ρ. Dabei ist E ein Elastizitätsmodul, der das Material charakterisiert und ρ ist die Dichte des Materials. In Festkörpern können sich longitudinale und transversale Schallwellen ausbreiten, da Festkörper eine Steifigkeit für Kompression und für Scherung haben. Entsprechend sind die Schallgeschwindigpffiffiffiffiffiffiffiffi keiten p durch ffiffiffiffiffiffiffiffiffi die Ausdrücke vlong ¼ E=ρ und vtrans ¼ G=ρ gegeben. Da der Elastizitätsmodul E immer größer ist als der Schermodul G, ist die longitudinale Schallgeschwindigkeit in Festkörpern immer größer als die transversale Schallgeschwindigkeit. Typische Werte für die longitudinale Schallgeschwindigkeit sind 5000 m/s in Metallen. Flüssigkeiten haben keine Scherstabilität, daher breiten sich in Flüssigkeiten nur longitudinalepSchallwellen ffiffiffiffiffiffiffiffi aus, die durch den Ausdruck vlong ¼ B=ρgegeben ist. B ist dabei der Kompressionsmodul der Flüssigkeit. Die Schallgeschwindigkeit in Wasser bei

6.2.5 Huygen-Prinzip Den Zusammenhang zwischen ebenen Wellen und Kugelwellen kann man anschaulich mit einer Wand demonstrieren, die eine kleine Öffnung enthält (Abb. 6.11a). Eine eindimensionale Welle läuft auf die Wand zu, wobei die Wellenberge in Aufsicht als horizontale Striche gekennzeichnet sind. Die kleine Öffnung lässt nur einen kleinen Teil der einlaufenden ebenen Welle durch und hinter dem Spalt entsteht eine kreisförmige Welle (in drei Dimensionen eine Kugelwelle). Daraus muss man schließen, dass jeder Punkt auf der Wellenfront selbst Quelle einer kreisförmigen Elementarwelle ist, die sich mit der gleichen Geschwindigkeit nach allen Richtungen fortsetzt. Daraus folgt, dass man die ebene Welle als Überlagerung von kreisförmigen Wellen (Elementarwellen) darstellen kann (Huygen-Prinzip). Durch konstruktive und destruktive Überlagerung (Interferenz) aller Elementarwellen resultiert eine einhüllende Tangente an die Elementarwellen, die bei Fortschreiten jeweils die neue Wellenfront definiert (Abb. 6.11b).

λ λ

λ

λ

λ λ a

b

Abb. 6.11 Huygen-Prinzip. a Elementarwelle hinter einem schmalen Spalt. b Überlagerung von Elementarwellen ergibt die Wellenfront einer ebenen Welle.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

6 Schwingungen und Wellen

Raumtemperatur ist ca. 1500 m/s. Die Schallgeschwindigkeit in Gasen kann pffiffiffiffiffiffiffiffiman ebensfalls mit Hilfe des Ausdrucks v = B=ρ beschreiben. Hier ist B der Kompressionsmodul des Gases. In Gasen ist B ca. 10 000-mal kleiner als in Flüssigkeiten und die Dichte ist ca. 500-mal kleiner. Daraus folgt eine Schallgeschwindigkeit in Gasen, die ca. 4- bis 5-mal kleiner ist als in Flüssigkeiten. Für trockene Luft und STP-Bedingungen ist die Schallgeschwindigkeit vschall = 330 m/s. In Gasen gibt es keine transversale Schallgeschwindigkeit, da ein Gas genauso wie Flüssigkeiten keine Rückstellkraft für Scherung hat. In Analogie zu den Schallwellen würde man vermuten, dass elektromagnetische Wellen wie z.B. Licht ebenfalls ein Medium benötigen, in dem sie sich ausbreiten können. Dieses Medium wurde Äther genannt. Viele Physiker haben vergeblich nach der Existenz eines Äthers gesucht, bis Albert Einstein zu dem Schluss kam, dass es keinen Äther gibt und dass Licht kein Medium braucht, in dem es sich ausbreiten kann. Die Geschwindigkeit, mit der sich alle elektromagnetischen Wellen im Vakuum ausbreiten, ist die sogenannte Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c0. Sie ist eine universelle Konstante. In transparenten dielektrischen Medien wird die Lichtgeschwindigkeit um den Brechungsindex n reduziert: c0/n, d.h. Licht ist z.B. in Glas langsamer als in Vakuum oder Luft. Wir kommen auf diese Eigenschaften, die die Grundlagen der geometrischen Optik bilden, auf S. 159 in Abschnitt 7.1.2 zurück.

6.2.7 Impedanz Wellen, die durch ein Medium laufen, sind einem Wellenwiderstand (Impedanz) z ausgesetzt. Die Wellenimpedanz ist gleich dem Produkt aus Dichte des Mediums ρ und der Wellengeschwindigkeit v: z = ρ v. Wenn eine Welle von einem Medium mit z1 auf ein zweites Medium mit z2 trifft, dann wird an der Grenzfläche der beiden Medien die Welle aufgespaltet. Ein Teil läuft in das zweite Medium und ein Teil wird in das erste Medium zurück reflektiert. Wir sprechen in diesem Fall von Brechung der Welle von Medium 1 in das Medium 2 und von Reflexion der Welle an der Grenzfläche zwischen Medium 1 und 2. Brechung und Reflexion sind wichtige Eigenschaften sowohl für Schallwellen wie für elektromagnetische Wellen (Licht). Ein Sonderfall tritt auf, wenn z2 = 0 oder ∞ ist. In diesem Fall kann die Welle nicht in das zweite Medium eindringen und wird vollständig zurück reflektiert. Ein Beispiel ist die eingespannte Geigensaite. Die einlaufende Welle wird am Steg mit z2 = ∞ vollständig reflektiert. Die Überlagerung der einlaufen Welle mit der reflektierten ergibt eine stehende Welle (s.u.). Die stehende Welle ist also nur scheinbar

6.2 Wellen

147

stehend. Sie ist das Resultat aus der ständigen kohärenten Überlagerung von einlaufenden und reflektierten Wellen. Impedanzwerte von einigen Medien sind in Tab. 6.1 auf Seite 149 angegeben MERKE Die Impedanz einer Welle folgt aus dem Produkt Dichte mal Wellengeschwindigkeit: z = ρ v.

6.2.8 Stehende Wellen Bei einer stehenden Welle (Abb. 6.12) hängt die Amplitude vom Ort ab und wandert nicht mit der Zeit, im Gegensatz zur laufenden Welle. Die Lage der Maxima und Minima ist ortsgebunden. Dabei müssen die stehenden Wellen ganz bestimmte Randbedingungen erfüllen, wie dies am besten durch eine eingespannte Saite veranschaulicht werden kann. In der sogenannten grundharmonischen Schwingung passt genau eine halbe Wellenlänge zwischen die eingespannten Enden mit Abstand l. Höhere harmonische Schwingungen erfüllen die Randbedingung l = n λn/2 mit n = 1,2,3… oder λn = 2l/n. Es ist also nicht jede Wellenlänge erlaubt, sondern nur diejenigen, die dieser Randbedingung genügen. Man nennt diese diskreten Wellenlängen Eigenmoden und die dazu gehörigen Frequenzen Eigenfrequenzen fn = v/λn = nv/2l. Die Wellengeschwindigkeit v folgt aus den elastischen Eigenschaften und der Spannung einer Saite. Bei Schallrohren (z.B. Orgelpfeifen) ist die Wellengeschwindigkeit durch die Schallgeschwindigkeit in Luft gegeben. Die Schallwelle in einer „gedeckten“ Orgelpfeife hat darüber hinaus eine interessante Randbedingung. An einer Seite ist sie geschlossen, d.h. dort muss ein Schwingungsknoten der Luftpartikel liegen (Wellenknoten), am anderen Ende ist sie offen und entsprechend l l=

λ1 2

λ2/2 l=2

λ2 2

l=3

λ3 2

l=4

λ4 2

λ3/2

λ4/2

Abb. 6.12 Stehende Wellen auf einer Saite mit der Länge l und eingespannten Enden auf beiden Seiten.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

6

148

6

6.2 Wellen

6 Schwingungen und Wellen

ist dort ein Schwingungsbauch (Wellenbauch). Jetzt stellt sich die Frage, wieviele Wellenlängen zwischen Knoten und Bauch in die Orgelpfeife passen. In der grundharmonischen Schwingung sind das 1/4 einer Wellenlänge, in der nächst höheren harmonischen Schwingung passen 3/4 einer Wellenlänge zwischen Knoten und Bauch, dann 5/4, 7/4 usw. Eigenmoden und Eigenfrequenzen sind immer an Randbedingungen geknüpft, sei es eine schwingende Saite, oder eine stehende Welle auf einer Trommel. Auch Elektronen in einem Atom folgen diesem Prinzip. Für diese gibt es nur ganz konkrete und wohl definierte Energien mit entsprechend wohl definierten Eigenfrequenzen. Wenn ein Elektron einen Übergang von einem höheren Energieniveau (höhere Harmonische) auf ein niedrigeres Energieniveau (niedrigere Harmonische) macht, dann emittiert es eine elektromagnetische Welle einer konkreten und definierten Frequenz. (Man kann sich diesen Elektronenübergang als eine Hertz’sche Dipolschwingung vorstellen: Der Übergang entspricht dem Ladungsausgleich im Dipol und dabei wird genau eine diskrete Frequenz abgestrahlt, analog zum Ton einer gestrichenen oder gezupften Saite.) MERKE Eigenmoden und Eigenfrequenzen bei stehenden Wellen werden durch die Randbedingungen (Wellenknoten oder Wellenbäuchen an den Enden) aufgeprägt.

Rechenaufgabe Aufgabe 6.3: Die oben im Text erwähnte Orgelpfeife findet im menschlichen Gehörgang ihr Gegenstück. Der Gehörgang ist am einen Ende offen und am anderen geschlossen. Seine durchschnittliche Länge l ist 2,5 cm. Bei welcher Frequenz liegt damit die Grundschwingung (also die kleinste Eigenfrequenz) des Gehörgangs? (Lösung S. 228)

λ/2 Stempel Lautsprecher

Korkpulver Knoten der Verschiebungsamplitude

Praktikum Kundt’sches Schallrohr zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit An dem einen Ende einer Glasröhre (Kundt-Röhre) wird ein Lautsprecher aufgestellt, dessen Frequenz f kontinuierlich einstellbar ist. In das andere Ende des Glasrohres wird ein Stempel geschoben (Abb. 6.13). Die vom Lautsprecher ausgehende Schallwelle wird am Stempel reflektiert (Knoten) und es kommt zu einer stehenden Schallwelle zwischen Lautsprecher und Stempel. In die Röhre wird auf der gesamten Länge Korkpulver gestreut. Sobald der Lautsprecher eingeschaltet wird, sammelt sich das Pulver an den Verschiebungsknoten, d.h. dort wo es nicht mehr hin und her geschoben wird. An dem Verschiebungsknoten ist die Druckamplitude maximal. Der Abstand von zwei benachbarten Knoten ist eine halbe Wellenlänge. Misst man den Abstand zwischen mehreren Knoten und dividiert durch deren Anzahl, dann kann man die Wellenlänge relativ genau bestimmen. Die Frequenz ist durch den Lautsprecher bekannt. Die Schallgeschwindigkeit in Luft folgt aus v = λf. Durch Änderung der Frequenz oder – bei fester Frequenz – durch Verschieben des Stempels kann die geometrische Bedingung für stehende Wellen L = nλ/2 fein justiert werden.

6.2.9 Intensität Laufende Wellen transportieren Energie. Die transportierte Energie ist proportional zum Quadrat der Amplitude der Welle: E ∼ (A0)2. Die Energie pro Zeit t und pro Flächeneinheit A, durch die sie hindurchgeht, wird Intensität I oder Energiestromdichte genannt: I¼

E P ¼ : At A

P ¼ E=t, d.h. Energie pro Zeit, ist die Leistung der Welle. Die Einheit der Intensität ist [I] = Watt/m2. Wenn die Intensität von einer punktförmigen Quelle ausgeht, dann nimmt die Intensität mit dem Quadrat des Abstandes ab, d.h. im doppelten Abstand ist die Intensität nur 1/4 der ursprünglichen Intensität, im dreifachen Abstand nur 1/9, etc. Die quadratische Abnahme ist auch anschaulich verständlich: bei einer kugelförmigen Welle nimmt die Kugeloberfläche mit A = 4πr2 zu. Durch jede Kugeloberfläche muss in jedem Moment die gleiche Energie der sich ausbreitenden Welle durchgehen, sodass die Energie pro Flächeneinheit und Zeiteinheit, d.h. die Intensität I ∼ 1/r2 ist.

Abb. 6.13 Kundt-Rohr zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

6 Schwingungen und Wellen Kompression

✔

✔ ✔

✔ ✔ ✔ ✔

6.3 Schallwellen Lerncoach Im folgenden Kapitel lernen Sie die wichtigstgen Eigenschaften der Schallwellen und des Schalls kennen. Möglicherweise sind diese Ihnen in der Physiologie bereits begegnet. Sie spielen bei der Wahrnehmung und Verarbeitung von Schall im Ohr eine wichtige Rolle.

6.3.1 Überblick Schall und Hören sind für uns sehr gebräuliche Begriffe. Wenn man allerdings die Physik und die Physiologie von Schall und Schallwahrnehmung genauer untersucht, dann werden die Details recht kompliziert. Die Komplexität liegt an der logarithmischen Schallwahrnehmung. Auch hier helfen klare Definitionen und einige Rechenbeispiele dem Verständnis weiter. Der Doppler-Effekt ist uns ebenfalls aus dem Alltag geläufig. Er findet nicht nur Anwendung bei der Bestimmung von Geschwindigkeiten mittels einer Radarfalle, sondern auch zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit von Blut.

6.3.2 Schallwellen Schallwellen in Luft sind longitudinale Kompressionswellen (Abb. 6.14), in denen Luftmoleküle periodisch verdichtet und entspannt werden. Schall wird von allen Gegenständen erzeugt, die Luftmoleküle mit einer bestimmten Frequenz in Schwingungen versetzen. Das sind z.B. Musikinstrumente mit schwingenden Saiten, Membranen, Luftsäulen, oder der Kehlkopf.

149

Expansion

λ Druck, Teilchendichte

✔

Check-up Was ist der Unterschied zwischen einer Schwingung, einer laufenden Welle und einer stehenden Welle? Machen Sie sich nochmals den Zusammenhang zwischen Wellenlänge λ, Ausbreitungsgeschwindigkeit v und Frequenz f einer Welle klar. Können inkohärente Wellen sich gegenseitig auslöschen? Wie hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit den elastischen Eigenschaften des Mediums zusammen? Rekaptiluieren Sie den Unterschied zwischen Longitudinal- und Transversalwelle. Welche Phänomene treten bei der Überlagerung von Wellen auf? Was bedeutet Polarisation, Interferenz und Schwebung? Was versteht man unter dem Huygens-Prinzip?

6.3 Schallwellen

Ausbreitungsrichtung

Abb. 6.14 Schallwelle als longitudinale Kompressionswelle.

Schall kann physikalisch als zeitliche Änderung des Luftdrucks gemessen werden. Im Frequenzbereich von 20 Hz bis 20 000 Hz wird Schall vom Gehör wahrgenommen. Der wahrgenommene Frequenzbereich nimmt mit dem Alter ab. Infraschall sind Schallwellen mit einer Frequenz kleiner als 20 Hz und Ultraschall sind Schallwellen mit Frequenzen größer als 20 kHz. In trockener Luft bei 20 °C ist die Schallgeschwindigkeit ca. 330 m/s. In Wasser beträgt sie 1500 m/s, d.h. in Wasser ist der Schall fünfmal schneller als in Luft. In fester Materie ist die longitudinale Schallgeschwindigkeit noch höher, in Metallen ca. 5000 m/s, in Knochen ca. 3500 m/s (Tab. 6.1). Die Kenntnis der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien ist wichtig für die Ultraschalldiagnostik. Die Wellenlänge des Schalls ist eine Frage des Mediums, in dem sich der Schall ausbreitet, denn die Wellenlänge λ bei fester Frequenz f hängt nur von der Schallgeschwindigkeit v ab: λ = v/f. d.h. bei gleicher Frequenz ist die Schallwelle in Wasser fünfmal länger als in Luft, da im Wasser die Schallgeschwindigkeit fünfmal größer ist als in Luft. Beispiel: eine Schallwelle mit der Frequenz von 1 kHz hat in Luft die Wellenlänge 0,33 m, in Wasser dagegen 1,5 m. Tabelle 6.1 Schallgeschwindigkeit und Impedanz in verschiedenen Medien v (m/s)

z (kg m–2 s–1)

Luft

330

430

Wasser

1500

1,5 × 106 1,38 × 106

Fett Muskeln

1570

1,70 × 106

Knochen

3600

∼ 6 × 106

Metall (Al, Fe)

∼ 5000

∼ 30 × 106

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

6

150

6

6.3 Schallwellen

6 Schwingungen und Wellen

Tonhöhe und Lautstärke Man unterscheidet zwischen Tonhöhe und Lautstärke. Die Tonhöhe wird durch die Frequenz des Schalls bestimmt, nicht primär durch seine Wellenlänge. Der Kammerton „a“ ist auf die Frequenz von 440 Hz festgelegt. In Luft und in Wasser nimmt man den gleichen Ton wahr, obwohl die Wellenlängen bei gleicher Frequenz sehr unterschiedlich sind. Die Lautstärke ist durch die Druckamplitude des Schalls festgelegt. Druckamplituden von 10–5 Pa können gerade noch wahrgenommen werden (Hörgrenze), Druckamplituden von 20 Pa werden als schmerzhaft empfunden. Um ein Gefühl für die Druckamplituden in Schallwellen zu gewinnen, sollte man diese ins Verhältnis zum Normaldruck von 105 Pa setzen. Die Hörgrenze liegt also bei 10–10 des Normaldrucks, die Schmerzgrenze bei 2 × 10–4 des Normaldrucks. Klang und Geräusch Man unterscheidet auch zwischen Klang und Geräusch. Im Klang sind wenige Frequenzen vorhanden, ein Grundton und wenige weitere Frequenzen, die als „harmonisch“ oder konsonant empfunden werden. Im Geräusch gibt es dagegen ein breites Frequenzband, was als unangenehm und dissonant empfunden werden kann.

und umgekehrt proportional zur akustischen Impedanz z: p2 ISchall ¼ 0 z Wie jede Intensität hat die Schallintensität die Dimension Leistung pro Fläche. Der Schalldruckpegel Lp ist eine relative Größe, das Wort Pegel drückt ein Verhältnis aus. Zunächst nimmt man das Verhältnis der Schallintensität I zu einem Bezugswert I0 und bildet aus dem Quotienten den dekadischen Logarithmus, d.h. den Logarithmus zur Basis 10. Das Ergebnis wird mit 10 multipliziert: I Lp ¼ 1010 log . I0 Als Bezugswert wird I0 ¼ 1012 W=m2 festgelegt. Dies entspricht der Hörgrenze (Tab. 6.2). Die Definition des Schalldruckpegels als logarithmische Größe wird der logarithmischen Wahrnehmung des Schalls gerecht (WeberFechner-Gesetz). Obwohl das logarithmische Verhältnis keine Einheit hat, gibt man die Verhältnisgröße in Bel an und behandelt diese wie eine Einheit. Ein Dezibel ist ein 1/10 Bel = 1dB. Beispiel: Die Schallintensität I = 10–4 W/m2 erzeugt einen Schalldruckpegel von: 104 ¼ 1010 log108 ¼ 80 dB. 1012 Der Lautstärkepegel ist die physiologische Empfindung eines Schalldruckpegels. Die Empfindung hängt von der Frequenz ab. Zwei gleiche Schalldruckpegel mit unterschiedlicher Frequenz werden nicht gleich laut wahrgenommen. Sie haben verschiedene Lautstärkepegel LS. Der Lautstärkepegel LS wird ebenfalls auf einer logarithmischen Skala angegeben: I LS ¼ 1010 log : I0 Lp ¼ 1010 log

Klinischer Bezug Im Kehlkopf sind die Stimmbänder zusammengezogen und öffnen sich erst beim Überschreiten eines Expirationsdrucks. Der unterbrochene Luftstrom ergibt den Klang der Stimme. Die Frequenz (Stimmhöhe) wird durch die Länge und Spannung der Stimmbänder bestimmt. Die Mundhöhle dient als Resonanzraum für die Bildung von Vokalen. Herztöne sind eher Herzgeräusche, die durch Kontraktion während der Systole zustande kommen.

Eigenschaften des Schalls Man unterscheidet zwischen physikalisch messbarem Schall und subjektiv wahrgenommener Lautstärke. Wir diskutieren zunächst den physikalisch messbaren Schall, der die folgenden Eigenschaften hat: Schallamplitude ist die Amplitude der Druckwelle p0. Aus ihr kann die maximale Teilchenauslenkung in der Schallwelle berechnet werden, die von hunderstel Nanometern bis zu Mikrometern reicht. Schallwechseldruck ist die mathematische Beschreibung der Schallausbreitung durch eine harmonische laufende Welle, mit Schalldruckamplitude p0. Schallintensität (auch Schallstärke genannt) ist proportional zum Quadrat der Druckamplitude

Die Einheit der Lautstärke ist das Phon. Die Phonskala erstreckt sich über 12 Dekaden entsprechend der Empfindlichkeit des Ohrs von 0 Phon (I0 = 10–12 W/m2, Hörgrenze) bis 120 Phon (I = 1 W/ m2, Schmerzgrenze). Tabelle 6.2 Schallintensität und Dezibel I Schall

Quotient

dB

10log 1/10–12

120

10log 10–2/10–12

100

10log 10–10/10–12

20

(Watt/m2) Schmerzgrenze

1 –2

normaler

10

Hörbereich

10–10

Hörgrenze

10

–12

10log 10

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

–12

–12

/10

0

6.3 Schallwellen

151

Beim Übergang des Schalls von einem Medium in ein anderes wird ein Teil der Welle reflektiert (Echosignal). Der Grund ist die unterschiedliche Schallimpedanz zs = ρ v (Einheit [zs] = kg/m2s) verschiedener Medien (S. 147). Bei senkrechtem Auftreffen auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Impedanzen z1 und z2 folgt die reflektierte Intensität Iref aus dem Quotienten:   z2  z1 2 Iref ¼ I0 : z2 þ z1

6

6 Schwingungen und Wellen

6.3.3 Isophone

6.3.4 Reflexion

Isophone verbinden Schallstärken, die bei verschiedenen Frequenzen als gleich empfunden werden. Bei 1000 Hz stimmen die dB- und Phon-Skala definitionsgemäß überein, d.h. 100 dB = 100 Phon. In Abb. 6.15 sind Schalldruckpegel und Lautstärkepegel in Abhängigkeit von der Schallfrequenz verglichen. Die Hörschwelle liegt bei 0 – 4 Phon, die Schmerzgrenze bei 120 – 130 Phon. Aus dem quadratischen Abstandsgesetz folgt, dass bei doppeltem Abstand die Schallstärke um das vierfache sinkt. Daraus folgt, dass bei Verdoppelung des Abstandes von der Quelle der Lautstärkepegel um 6 Phon sinkt. Die Schallintensität nimmt nicht nur durch Abstand von der Quelle ab. Schall wird auch vom Medium absorbiert, d.h. die Amplitude nimmt exponentiell ab und die Schallenergie wird in andere Energieformen (Wärmeenergie) umgewandelt.

Die transmittierte Intensität in das zweite Medium ist Itrans = 1 – Iref. Für Luft ist die Impedanz zLuft = 430 kg/m2s, für Wasser zWasser = 1,5 × 106 kg/m2s (Tab. 6.1, S. 149). Daraus folgt für die reflektierte Intensität: Iref = I0 × 0,9989 und für die transmittierte Intensität Itrans = I0 × 1,1 × 10–3, d.h. nur ca. 0,1 % der einfallenden Intensität geht über die Wasser/Luft Grenzfläche hinweg. Dies gilt beim Übergang von Luft zu Wasser wie von Wasser zu Luft. Wegen dieser extremen Impedanzfehlanpassung können Geräusche, die im Wasser erzeugt werden, in der Luft nicht wahrgenommen werden. Umgekehrt kann Schall von der Luft nicht in Wasser eindringen. Zur Ultraschalldiagnose wird ein Koppelgel zwischen Ultraschallkopf und der Körperoberfläche (gleiche Impedanz wie Wasser) benötigt, um die Fehlanpassung zu reduzieren und die Schallwelle in den Körper einzukoppeln.

Rechenaufgaben Aufgabe 6.4: Die Hörschwelle des Menschen bei einer Frequenz von 1000 Hz liegt bei 4 dB. Bei einem Patienten wird festgestellt, dass seine Hörschwelle in diesem Frequenzbereich bei 34 dB, also um 30 dB höher liegt. Um wieviel mal höher liegt bei ihm dann die Schwellenschallintensität (Energiestromdichte des Schalls bei der Hörschwelle)? Aufgabe 6.5: Bei einem anderen Patienten wird festgestellt, dass seine Schwellenschallintensität für Töne von 1000 Hz 500-mal höher liegt als bei einer gesunden Vergleichsperson. Um wieviel dB ist bei ihm dann die Schallschwelle in diesem Frequenzbereich erhöht?

Klinischer Bezug Die Schallwahrnehmung in der Cochlea des Innenohrs wäre nicht möglich ohne eine partielle Impedanzanpassung durch Steigbügel, Hammer und Amboss im Mittelohr. Die Schallübertragung von Trommelfell mit einer Fläche von ca. 55 mm2 auf das ovalen Fenster mit einer Fläche von ca. 3,2 mm2 wird unter Zuhilfenahme von Hebelgesetzen und Hydraulik bewerkstelligt. Dies liefert einen Verstärkungsfaktor von 30, sodass die wahrgenommene Schallstärke nicht 0,1 % sondern 3 % beträgt. Traditionelle

Aufgabe 6.6: Wenn zwei Lautsprecher mit einem Schallpegel von jeweils 80 dB nebeneinander aufgestellt werden, Welchen Schallpegel haben sie zusammen? (Lösungen S. 228)

Schalldruck [Pa]

Schalldruckpegel [dB SPL] 200 140

Schmerzgrenze 130 Phon

130

20 120 2 100

100

0,2

80

0,02

60

80 Hauptsprach- 60 bereich

Pressluftbohrer 120 Phon Verkehrslärm 70–80 Phon Umgangssprache 50–75 Phon

0,002

40

40

Flüstern 20–40 Phon

0,0002

20

20

Hörschwelle 4 Phon

0,00002

0 20 63 31,5

250

1000 4000 16000 Frequenz [Hz]

Phon = dB bei 1000 Hz

Abb. 6.15 Vergleich von Schallstärkepegel und Lautstärkepegel als Funktion der Schallfrequenz. Die farbigen Linien stellen Isophone dar.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

152

6.3 Schallwellen

6 Schwingungen und Wellen

Hörgeräte vergrößern nur die Amplitude am Trommelfell, modernere Geräte geben Impulse auf das ovale Fenster der Cochlea bzw. auf die Cochlea selbst.

Ultraschallkopf Piezokristall

6.3.5 Schallwahrnehmung im Ohr

6

h xi ¼

Vorderseite

Koppelgel

Die Leistungsfähigkeit des menschlichen Ohrs ist äußerst beeindruckend. Nicht nur ist der Frequenzbereich von 20 Hz bis ca. 20 000 Hz, in dem wir hören können, sehr groß, sondern auch der dynamische Bereich der Schallintensität über ca. 10 Dekaden. Diese hohe Empfindlichkeit des Ohrs kommt in der Teilchenauslenkung zum Ausdruck, den eine Schallwelle erzeugt. Die mittlere Teilchenauslenkung hxi der Moleküle in einer Druckamplitude folgt aus dem Quotienten von Druckamplitude zu Schallimpedanz in Luft und Schallfrequenz f:

1 2 3 4 Rückseite Echosignale

p0 : zLuft f

Bei der Schmerzgrenze ist die Teilchenauslenkung ca. 16 μm, bei der Hörgrenze nur noch 0,1 nm. Die untere Grenze entspricht einer Teilchenauslenkung, die von der Größenordnung des Durchmessers eines Atoms ist. Eine höhere Empfindlichkeit ist deshalb auch technisch nicht möglich, da dann das Rauschen durch die stochastische Bewegung der Moleküle einsetzt. Diese geringen Teilchenauslenkungen verursachen eine Deflektion von Haarzellen durch Wanderwellen in der Cochlea, die wiederum ein Aktionspotential auslösen. Überbeanspruchung der extrem empfindlichen Haarzellen durch zu hohe Schallamplituden führt zu irreversiblem Bruch und Hörverlust.

6.3.6 Ultraschall in der Medizin

Bei der Ultraschalldiagnostik (Sonographie) benötigt man einen Ultraschallkopf, ein Koppelgel, und eine Elektronik, die die Zeit zwischen Schallimpuls und Echo misst (Abb. 6.16). Der Ultraschallkopf erzeugt eine Ultraschallwelle durch Schwingungsanregung von piezoelektrischen Kristallen mit Hilfe von elektrischen Spannungsimpulsen. Piezoelektrische Kristalle sind ionische Kristalle mit einer sehr hohen Polarisierbarkeit (S. 101). Ihre entgegengesetzten Ladungen können durch eine äußere elektrische Spannung verschoben werden. Dabei dehnt sich der Kristall geringfügig aus. Ohne elektrische Spannung zieht er sich wieder zusammen. Der größte piezoelektrische Effekt wird erzielt, wenn die Frequenz der Spannung mit der Eigenfrequenz des Kristalls übereinstimmt, d.h. in Resonanz ist. Die Arbeitsfrequenz liegt üblicherweise im Bereich 1 MHz bis 15 MHz. Schallimpulse von ca. 1 μs Länge werden in den Körper abgestrahlt. Die Schallwellen werden an den Grenzflächen verschiedener Medien mit verschiedenen Impedanzen reflektiert (Bin-

1

2

3

4 Zeit

Abb. 6.16 Ultraschalldiagnostik. Ein Ultraschallkopf sendet einen kurzen Schallpuls über ein Koppelgel in den Körper. Der Schall wird an der Grenzfläche zwischen Materialien unterschiedlicher Impedanz partiell reflektiert. Aus der Laufzeit kann die Tiefe der reflektierenden Grenzfläche berechnet werden. Der Ultraschallkopf wird über die Oberfläche bewegt, um die laterale Ausdehnung eines Objekts zu bestimmen.

degewebe bzw. Knochen). Der Ultraschallkopf detektiert auch die zurückreflektierten Schallwellen. Aus der Zeit zwischen Impuls und Echo (Laufzeit der Schallwelle) wird bei bekannter Schallgeschwindigkeit auf die Tiefe der reflektierenden Grenzschicht geschlossen. Beim Scannen über die Körperoberfläche entsteht ein Konturbild des zu untersuchenden Organs. Ultraschallwellen werden vielfach auch für andere Zwecke eingesetzt: Reinigen von Geräten in einem Ultraschallbad, Sterilisation, Desinfektion und Reinigung von Biomaterialien, Zertrümmerung von Gallen- und Nierensteinen und Aufschluss von Zellen bei hohen Intensitäten, Ultraschalltherapie durch lokale Erwärmung des Gewebes bei kleineren Intensitäten.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

6 Schwingungen und Wellen

6.3 Schallwellen

153

Rechenaufgabe Aufgabe 6.7: Um abzuklären, ob sich bei einem Patienten die Retina ablöst, wird mit dem Ultraschall-Puls-Verfahren ein zweidimensiolnales Schnittbild des Augenhintergrunds erzeugt. Dabei wird der Schallkopf direkt auf die Cornea aufgesetzt. Er fungiert gleichzeitig als Signalgeber und Empfänger. Wie lange braucht das Signal, um von der Cornea zur Retina und wieder zurück zur Cornea zu gelangen, wenn die Schallgeschwindigkeit im Auge 1,5 km/s und der Abstand zwischen Cornea und Retina 22,5 mm beträgt? (Lösung S. 228)

6.3.7 Doppler-Effekt Unter Doppler-Effekt versteht man die Frequenzänderung einer Schallwelle, die auftritt, wenn sich Beobachter und Schallquelle relativ zueinander bewegen. Wird der Abstand zwischen beiden kleiner, erhöht sich die Frequenz, wird der Abstand größer, erniedrigt sich die Frequenz (bekanntestes Beispiel: vorbeifahrende Polizeisirene). Der allgemeine Fall gilt für bewegte Quelle und bewegten Beobachter. Als Beispiel betrachten wir die Bewegung der Schallquelle auf einen ruhenden Beobachter zu. In diesem Fall schiebt die Quelle die Schallwelle vor sich her (Abb. 6.17) und die ursprüngliche Wellenlänge λ wird entsprechend der Relativgeschwindigkeit von Schallgeschwindigkeit vSchall und Geschwindigkeit der Quelle vQ verkürzt: λ’ ¼

vSchall  vQ : fQ

Obwohl die Frequenz der Quelle fQ durch ihre Geschwindigkeit nicht verändert wird (der mitbewegte Beobachter hört immer den gleichen Sirenenton), nimmt der ruhende Beobachter eine höhere Frequenz wahr, denn der ruhenden Beobachter ermittelt die Frequenz fB aus der verkürzten Wellenlänge λ‘ und der Schallgeschwindigkeit vSchall: fB ¼

Q

6

Abb. 6.17 Doppler-Effekt. Verkürzung der Wellenlänge in der Richtung, in die sich die Quelle bewegt; Streckung der Wellenlänge in der entgegen gesetzten Richtung.

Dabei gilt +vB, falls der Beobachter sich auf Quelle zu bewegt, +vQ, falls die Quelle sich vom Beobachter weg bewegt. Die relative Frequenzverschiebung ist näherungsweise: Δf ¼

vQ fQ ; vSchall

aus der die Geschwindigkeit der Quelle berechnet werden kann (Prinzip der Radarfalle). Der Doppler-Effekt gilt für alle Arten von Wellen, Schallwellen wie auch für elektromagnetische Wellen. Ein besonderer Fall tritt auf, wenn die Quelle schneller wird als die Schallgeschwindigkeit. Dann wird die Druckwelle, die vor der Schallquelle herläuft, immer mehr verdichtet und zu einer sogenannten „Schallmauer„ komprimiert. Das Durchbrechen der Schallmauer löst einen lauten Knall aus. Der Doppler-Effekt dient auch der Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit von Blut (Abb. 6.18), ähnlich dem Prinzip der Radarfalle. Die Ultraschallwellen mit der Frequenz fQ werden in den Körper

vSchall vSchall ¼ fQ > fQ λ’ vSchall  vQ

und diese ist höher als die Frequenz der Quelle. Umgekehrt, wenn die Quelle sich mit der Geschwindigkeit vQ von dem Beobachter wegbewegt, dann ist die Frequenz für den Beobachter erniedrigt. Das ergibt das typische Sirenengeräusch eines Rettungswagens, dessen Tonhöhe beim Vorbeifahren plötzlich abfällt. Alle verschiedenen Fälle werden in der folgenden Formel zusammengefasst: fB ¼

→ vQ

λ'

vSchall  vB fQ : vSchall  vQ

θ

Gewebe

Reflexion an Erythrozyten Abb. 6.18 Dopplereffekt an Erythrozyten zur Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit des Bluts.

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

154

6.4 Elektromagnetische Wellen

6 Schwingungen und Wellen

eingekoppelt und an den Erythrozyten im Blutplasma reflektiert. Da diese sich mit einer Geschwindigkeit vEryth bewegen, wird die Schallwelle frequenzverschoben mit der Frequenz fR reflektiert. Die Frequenzänderung zwischen Schallquelle und reflektiertem Signal ist: Δf ¼ fR  fQ ¼ 2fQ

6

MERKE Beim Doppler-Effekt verändert sich die Frequenz einer Welle, d.h. die Tonhöhe ändert sich. Transmission von Wellen von einem Medium in ein anderes mit unterschiedlicher Schallgeschwindigkeit verändert die Wellenlänge, aber nicht die Frequenz, d.h. die Tonhöhe bleibt gleich.

✔ ✔

✔ ✔ ✔

→ E

vEryth cosθ: vSchall

Der Cosinus-Term berücksichtigt die Projektion von Quelle auf die Richtung der Blutgefäße. Δf ist positiv, wenn die Erythrozyten auf den Sender zufließen, sonst negativ. Der Faktor 2 tritt auf, da der Doppler-Effekt zweimal angewandt werden muss. Zunächst kommt die Schallwelle Doppler-verschoben an den Erythrozyten an (Beobachter) und wird dann als bewegte Quelle von diesen reflektiert. Die Frequenzen fQ und fR werden elektronisch gemischt, sodass es zu Schwebungen (S. 145) mit der Freqenz Δf/2 kommt, die man präzise messen kann.

✔

→ B

Check-up Definiereren Sie die Begriffe Schallamplitude, Schallwechseldruck und Schallintensität. Was sind Isophone? Machen Sie sich nochmals den Unterschied zwischen Schallintensität (dB) und Lautstärke (Phon) klar. Wie hängen beide zusammen? Was ist der Dopplereffekt und wie macht man sich diesen in der Medizin zunutze? Warum kann man ohne Mittelohr nicht hören? Bei welcher Geschwindigkeit wird die Schallmauer durchbrochen?

6.4 Elektromagnetische Wellen Lerncoach Elektromagnetische Wellen haben Sie bereits bei der Elektrizität kennengelernt. Sie werden Ihnen auch in der Optik nochmals begegnen. Deshalb werden sie hier nur kurz abgehandelt und in den Zusammenhang von den in diesem Kapitel diskutierten Wellen gestellt sowie ihre Besonderheiten heraus gehoben.

x Abb. 6.19 Elektromagnetische Wellen. Die Wellen des elektrischen Feldes ~ E und der magnetischen Flussdichte ~ B stehen senkrecht aufeinander und schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (transversale Welle).

Elektromagnetische Wellen (EM) sind Wellen des elektrischen und magnetischen Feldes. Die elektrischen und magnetischen Felder sind miteinander verknüpft und schwingen in Phase. Beide Felder stehen senkrecht aufeinander und führen sinusförmige Schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung aus, d.h. elektromagnetische Welle sind transversale Wellen (Abb. 6.19). Die Geschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum ist unabhängig von der Frequenz und immer gleich der Lichtgeschwindigkeit co = 299 792,46 km/s ≈ 3 × 108 m/s. In Luft ist die Geschwindigkeit nahezu identisch mit der Vakuumgeschwindigkeit, in durchsichtigen flüssigen und festen Medien ist die Geschwindigkeit um den Brechungsindex n reduziert (S. 159). Im Vergleich zu anderen Wellen zeichnen sich elektromagnetische Wellen durch drei Besonderheiten aus: 1. Die Geschwindigkeit der EM-Welle ist die höchste bekannte Geschwindigkeit. Keine Wellenoder Teilchengeschwindigkeit kann sie übertreffen. 2. Die EM-Welle benötigt kein Medium zur Ausbreitung, sie kann sich auch im Vakuum ausbreiten. 3. In der transversalen EM-Welle schwingen zwei Amplituden, die des elektrischen Feldes und die der magnetischen Flussdichte. Elektromagnetisches Spektrum Das elektromagnetische Spektrum erstreckt sich über einen sehr weiten Bereich von niederfrequenten (NF) technischen Wechselströmen, hochfrequenten (HF) Radiowellen (LW, MW, KW, UKW), den Mikrowellen (dm-, cm-, mm-Wellen), infrarote Strahlung, bis zu den höchstfrequenten Röntgenund Gamma(γ)-Strahlen. Nur für einen sehr kleinen Bereich des Frequenzspektrums gibt es Sensoren auf der Retina, d.h. in diesem Bereich von 4 × 1014 Hz (λ = 750 nm, rot) bis 8 × 1014 Hz (λ = 380 nm, blau) sind die elektromagnetischen Wellen

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

6 Schwingungen und Wellen

6.4 Elektromagnetische Wellen

155

10–6 nm 10–5 nm 10–4 nm

GammaStrahlen

10–3 nm 10–2 nm 10–1 nm 1 nm 10 nm 100 nm

RöntgenStrahlen

400 nm Violett Blau

ultraviolette Strahlung

6 Grün

1000 nm = 1 μm 10 μm 100 μm 1000 μm = 1 mm 10 mm = 1 cm

sichtbares Licht infrarote Strahlung

Gelb Orange Rot 700 nm

Mikrowellen

10 cm 100 cm = 1 m 10 m 100 m

Radiowellen

1000 m = 1 km 10 km

Abb. 6.20 Elektromagnetisches Spektrum. Nur im sichtbaren Bereich werden Farben wahrgenommen.

100 km

für das Auge „sichtbar“ (Abb. 6.20). Die Infrarotstrahlung wird als Wärmestrahlung wahrgenommen. Die Ultraviolettstrahlung erzeugt chemische Reaktionen (Bräunung, Sonnenbrand), und die Röntgenbzw. Gammastrahlung wirkt ionisierend und zerstörend auf das Gewebe. Die Farbwahrnehmung im optisch sichtbaren Bereich ist eine physiologische Empfindung, die auf die neuronale Verarbeitung im visuellen Bereich des Cortex zurückgeht. Die Farbe ist keine physikalisch messbare Größe. Nur Frequenz, Wellenlänge und Geschwindigkeit sind physikalisch messbar.

✔

✔ ✔ ✔

Check-up Welchen Frequenzbereich der elektromagnetischen Wellen kann das menschliche Auge wahrnehmen? Was ist Wärmestrahlung? Welchen Betrag hat die Lichtgeschwindigkeit? Welche Orientierung haben das elektrische Feld und die magnetische Flussdichte hinsichtlich der Ausbreitungsrichtung?

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

158

Klinischer Fall

7

Trübe Aussichten

Beo der l'hakoemuls,fi~toon w~rd der e•ngetrubte ünsenkem mit Kochsalzlösung 1soher l (oben lrnks), durch Ultrasch.JII verllussogt {oben rechts) und dann zusammen m t der \\'eKhen Unsennnde olbge~ugt (untenlonks). ln den leeren Ka~elsock bringt der Operateur anschh<'ßend t'ine weoche, • ich entfaltende oder eine ll.l•te Kunslstollhnse e•n. Kletl1e Bugel Jn den Se1te11 fi•leren d•e lJ~Ue socher •n der K•psel (unten rechts).

Die linse ist ein entscheidender Bestandteil im optischen System des Auges. je nach Akkomodationszustand macht sie bis zu 20 Dioptrien der Gesamt· brechkraft aus. Der bikonvexe Bindegewebskör~r bündelt einfallende liehtstrahlen und bildet sie auf der Netzhaut ab. Durch die Änderung Ihrer Krümmung bei Nah- oder Fernsehen sorgt sie dabei für die Scharfeinstellung der Bilder · vergleichbar mit der Fokussierung einer Kamera. Grau in grau .Guck mal, Oma·. ruft der kleine felix seiner Großmut· ter zu. Beide sind an einem schönen Nachmittag im Mai 1um Sp1elplat1 gegangen und Fehx ist bege1stert von dE'r Sandburg, die er gerade gebaut hat. OmCI Hann•ISt stolz auf Ihren vierjahrigen Enkel. Doch es fallt ihr schwer. Felix' Kunstwerk richt1g zu erkennen. Schon se1t einiger Zeit stört s1e ein Grauschleier beim Sehen. Alles scheint irgendwie unscharf, die Sonne blendet mehr als früher und auch die Farben haben sich verandert. Hannl lässt sich nichts anmerken und lobt den Kleinen, beschließt aber. 1hrem Arzt beim nächsten Besuch von dem Problem zu erzahlen. OP unter dem Mikroskop .Ihre linsen sind auf beiden Seiten trüb, S•e hilben einen griluen Star·, erklart Augenarzt Dr. Timme der Rentnerin, nachdem er sie sorgfältig untersucht hat. Oie alte Dame seufzt und fragt ängstloch. ob sie nun erblinden word. Dcxh der Med111ner redet ihr gut zu: .Wegen eines Kataraktes muss das heute zum Gluck niemand mehr. Denn eme linse kann man le•cht operatiV ersetlen. • Omil H<1nni ist neugierig geworden und lässt s1ch ausfuhrlieh über die lmplilntation kunstlicher

linsen aufklaren. Ein gängiges Verfahren ist die Pha· koemulsifikation. Über einen nur wen1ge Mrllimeter großen Schnitt in der Hornhaut des Auges wird dabei die vordere linsenkap~el eröffnet, der eingetrübtl' Linsenkern durch Ultraschall verflü~~igt und zu~ammen mit der weichen Linsenrinde abgesaugt ln den leeren Kapselsack bringt der Operateur anschließend eme werche, sich entfaltende oder eine harte Kunststofflinse em Kleine Bügel an den Seitf.>n fix1Nen die I inse s~ eher in der Kapsel. je nach Bed<1rf des Pat1enten stehen dem Arzt verschiedene Intraokularlinsen zur Auswahl. Monofokale Kunstlin~en haben einen Brennpunkt und bilden immer nur m emer Entfernung ~charf ab. 1\lulti· fokale Linsen hingegen bestehen aus mehreren Ringsegmenten unterschiedlicher Brechkraft und verteilen das licht auf mehrere Brennpunkte. Sie ermöglichen som1t em scharfes Sehen in der Nähe und m der Feme. Brille adel Ein paar Tage vor der Operation wird Hanni noch einmal gründlich durchgecheckt. Dr. Timme misst ~r Ult· rasehall genau ihre Augäpfel aus und berechnet d•e erforderlichen Brechwerte für die Kunst1insen. Am OP· Tag ist die alte Dame ~ehr aufgeregt. Doch schon nach einer halben Stunde ist der Eingriff in Lokalanäs· thcsie am rechten Auge überstanden, die neue Lmsc sitzt. Versorgt mit einem Salbenverband darf Hann1 schon am Nachm1ttag w1eder die Praxis Vf"rla~~en. ln den folgenden Tagen muss sie ncxh ein paar Mal zur Kontrolluntersuchung zum Augenarzt und regelmcißig antibiotische sowie antientzündliche Augentropfen nehmen. Außerdem soll sie drauRen vorer>t eine Sonnenbrille tragen, denn die neue Linse ist ungewohnt klar und dadurch viellichtdurchlassiger als die alte trübe linse. Als die Rentnerin am nächsten Tag die Augenbinde abnimmt, ist sie erstaunt, wie viel ~chärfer und kontrastreicher sie bere1ts auf dem behandelten Auge sehf"n kann. Drer Wochen darauf lässt sie auch die linke Sette openeren. Und uber eines freut sich Hanni besonders: Sie ist nicht nur den Grauschleier los, die neuen Linsen gleichen auch ihre Weitsichtigkeit aus. Die Rent· nenn kann nun auf ihre so oft verlegte Brille verzichten. Sie kann es kaum erwarten, mit ihrem Enkel Felix bald woeder auf den Spielplatz zu gehen. Denn jetzt kann sie jedes seiner Kunstwerke erkennen - klar und deutlich.

7 Optik 7. 1 Geometrische Opllk

7

Optik

War beginnen mit der geometrischen Optik des srchtbaren Uchts und werden in den nachfolgenden Ab~chnrrren dre Wellenoptik und Quantenoptik beschrerben sowre dre Rontgen- und Elektronenoptik kurz strerfen.

Sofern wir Augen haben zum Sehen. haben Menschen und dre mersten Tiere schon rmmer mrt Opuk zu tun gehabt und zwar an zwerfacher Hansicht. Emmal durch ehe linse. die der geometrischen Abbildung von Gegenständen auf der Retina dient. und 7.1 Geometrische Optik zum anderen durch die Umwandlung des Uchrs in nachwersbare Almonspotennale. dre rm vrsuellen Lerncoach Cortex verarberiet werden. Um dre~ Zu~mmen­ ln diesem Kapitellernen Sie dle Grundlagen hange genauer verstehen und beschrerben zu könkennen. die Sie benollgen. um die Bildentste· nen. br~uchte es eine lange geschichtliche Entwickhung im menschlichen Auge zu verstehen. Im lung. an der berühmte Naturwissenschaftler und Grunde genommen handelt es sich dabei um Mediziner bcterligt waren. einfache Geometrie, die sich mit den trigonoHuygens stellte sich vor. dass Lacht Wellen sind. metrischen Formeln aus Kapitel 1 (S. 18) und ohne genau angegeben zu können. um welche Weldem mathematischen Anhang (S. ) beschrel· len es srch handelt. Dem wrdersprach Newton. der ben lässt. licht als c10en Strom von Teilchen betrachtete. dre Energie transponaeren. jedoch optische Expen7.1.1 Überblick mente rm 19. jahrhundert durch Fresnel. FraunhoOre geometnsche Opuk be)<:hrerbt dre Ausbrertung fer und andere haben dre Wellennatur des Lacht~ des Laclm in versehredenen Medren sowie die Reemdeutig nachgewiesen. Schließlich hat Maxwell flexrons- und Brechungsergenscharten an der die vollstandige Theorie der elektromagnetischen Grenzfläche zwischen verschiedenen Medien. Sre Wellen dargestellt und Hertz hat drese Theorie exbedarf dazu weder der Wellen- noch der Teilcheperunenrell mir Hrlfe von Makrowellen verifiziert. nergen~haft des l.Jchts. sondern behandelt drc Schließlach zergte Etnstetn. dass Lrcht sowohl als Strahlen des üchts als ernfache Geraden. dre geoWelle wre auch als Terlchen beschneben werden metrischen Regeln gehorchen. die aus den physrkann. Als Welle breitet es ~ich im Vakuum aus. kalischen Prinzipien von Reflexron und Brechung aber wenn Licht mit Materie 10 Wechselwirkung rolgen. tntt. dann tauscht es Impuls und Energie aus wie ean normales Teilchen. 7 .1.2 Brechung und Reflexion Heuteterlen wrr die Optik 10 drei Hauptgebiete ein: Brechungsindex 1. die geometrische Opllk. dre dre Reflexion und Im Vakuum ist dre Lichtgeschwindigkeit Co • Brechung an Spiegeln und Lrnsen beschrerbt: 2.997924S8" 10'~ m/s (• 300000 kmfs). ln durch2. die Wellenoptik. die drc Beugung und Interfesrehtagen Medren wre Glas und Wa~~r rst dre Lichrrenz von l.Jcht berm Durchgang durch Spalte, geschwrndigkert langsamer. und zwar um den BrtGitter und Blenden formuliert: chung~lndex n reduziert Cn- cnln. Ocr Brcchungs3. Quantenoptik, dre dre We
G . . ..

l......-.I

-.l·--

159

160

7.1 Geometrische Optik 7 OpUk

n > I. für Vakuum ( und Luft) ist n• I. Für die Farbe des Lichts ist die Frequenz der liehtwelle verantwortlich. und diese ist unabhängig vom Medium, sie bleibt be1m Durchtritt von emem durch ein anderes Medium konstant. Das heißt. dass d1e Farbe des Lichts in allen Medien dieselbe ist. Da Äo • coff ist. folgt, dass im Medium die Wellenlänge des Lichts ebenfalls um den Brechungsindex 11 redu· ziert ist: .;\ n • Cn/f • .Äo/11. Rechenaufgabe Aufgabe 7.1: Welche Wellenlänge hat licht m1t der Va· kuumwellenlänge 600 nm im Gla.skörpcr eines Auges mit der Brechz<1hl (Brechungsindex) n •

~·

(Lösung S. 228)

Dispersion Der Brechungsindex n hängt von der Frequenz bzw. Wellen länge ab ( Abb. 1.1 ). Dies nennt man Dispersion. ln der Regel w1rd der Brechungsindex m1t zunehmenderWeilenlänge kleiner. Blaues Licht (kurze Wellenlänge ) hat einen größeren Brechungsindex n als rotes Licht (lange Wellenlänge). d.h. blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes Licht. was man mit einem Prisma leicht überprüfen kann (Abb. 7.7. S. 162). Reflexions- und Brechungsgesetz Fällt licht auf eine glatte Grenznäche zwischen zwei transparenten Medien I und 2. die durch Brechungsindizes n 1 und 11 2 charakterisiert sind. dann wird ein Te1l des Lichts renektiert. ein Teil geht durch das tweite Medium durch (transmittierter Strahl) ( Abb. 7.2). Der Einfachheit halber nehmen wir an. dass der einfallende Strahl monochromatisch ist d.h. nur eine Wellenlänge besitzt und aus emem eng gebündelten Lichtstrahl besteht. Das Reflextlonsgesetz besagt, dass der Einfallsw inkel a 1 gleich dem Ausfallswinkel a 2 des reneklierten Strahls ist (a 1 • a 2 • a). Beachte: alle Winkel sind zum Lot auf die Grenznäche belogen. Der transminierte Strahl ändert seine Richtung. d.h. der Einfallswinkel a 1 in Medium I ist nicht gleich

n(A)

-A Abb. 7. 1 Dispersionseigenschaft dM Uchls. 0...- Brechungs· inclc• ~ngt von derWeilenlänge bzw. Frequei\Z ilb. Bet norm.1ler Dlspt>rsoon •st der Bre-ctlung!.lnde>< fü r ldetne FrequenLen (große Wcilcnl•ngcn) geringer als für groBe Frequenzen (kl~~

Wellenlangtn).

dem Ausgangswinkel ß des transmittierten Strahls in Medium 2 mit n 2 " n1. Das Verhältnis der SinusWerte der Winkel a 1 und p1st gleich dem Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten in den beiden Medien 1 uncl 2. Daraus folgt eine exakte Beziehung. die als Brechungsgesetz bzw. Snellius-Gesetz bezeichnet wird: sina c1 Co / 11, n2 sinß- c2 - co / 112 = 11;' Oder 11 1sina- n2 sinß.

Lichtbrechung Wenn 11 2 > n 1, dann nennt man Medium 2 optisch dichter 1m Vergleich zu dem optisch dünneren Medium 1. Kommt der Strahl vom optisch dUnneren Medium und tritt an der Grenznäche in das optisch dichtere Medium em. dann wird der Strahl im optisch d•chteren Medium zum Lot hin gebrochen (ß < a).lm umgekehrten Fall. falls n2 < n1• dann wird der Strahl vom Lot weg gebrochen. D1eser fall ist uns aus dem täglichen leben gel;iufig: Ein Strohhalm im Wasser sieht geknickt aus. und der Abstand zwischen Wasserobernäche und Grund erscheint verkürzt (Abb. 7.3). Wenn Wlf emen Gegenstand (Strohhalm) ins Wasser eintauchen und von oben betrachten. dann kommt das licht. mit dem wir den Gegenstand sehen. aus dem Wasser. d.h. es tritt vom opnsch d1chteren Medium ( n 1} in das opttsch dunnere Medlllm Luft (n2) em und

Medium 1

einfallender Strahl

Medium 2

reflektwrter Strahl

-

fJ '

transmittierter SITclhl

Abb. 7.2 Reflexion und Transmission von lkhl an der Grenzflädle zwischen zwei transparenten Medien mit untersd>ledllchtn BrKhungslndlzes.

7

Optik

7.1

Gromt>troschc Optik 161

fahren Reflexion und Brtchung an der Grenzflache 1wischen Wasser und Luft bt~ zu emem Grenzwinkt! a.. 2. 3 und 4 ~ Beim Grenzwinkel vtrlauft der gebrochene Strahl entlang der Grenzfl.Jcht 4) und fur Winkel a > a.. gtbt es nur noch den rellektterten Strahl aber keinen gebrochenen Strahl mehr (5~ Dteser Wmkelbeteich wird als Bere1ch der Totalreflexton bezetchnet. da der gesamte Strahl reflektiert wi rd und ntcht mehr aufgeteilt ist in renektierten und transmtrrierten Strahl. Dte Bedingung für ToLalreflexion folgt aus dem Snelhus-Gesetz. wenn man fllr fl• go• setzt und 111 • nw.""' und n2 • OLufl • I tdemifi71ert: n 1sinac

nlsin90

nl

oder sina - _..:___ Abb. 7 .) lkhtb<echung. [.n Stroh~ m m W~rqt.• " ' \d"' ~t d •M A"9" ge\nodt und ~ürzt. da d.l\ locht. m•t ~m der Strof '..1k11 "'~hogenomm~n w.rd. vom optisch"" d~hte\ Wa\\ergld\4:\ N\Chcont höher Jls der Ioll '-Jchlochf'

Boden.

w1rd daher vom Lot weg gebrochen. Mit dem Auge verfolgen w1r den Strahlengang zurück und kommen zu dem Schluss. dass die Strahlen ihren Ausgolllg von emem verkllrzten Strohhalm nehmen und dass der Boden des Wassergla~ses hoher als rar'iachhch eßcheant. ln der Abb. 7.3 ISt dtr rotE' Strohhalm der tat'>.lchhche. der violette 1St der durch den Strahlengang geknickt und verkllrzt erscheinende suohhalm. Totalreflexion Wie w1r ge~ehen haben. wird tm Falle von rt 2 < n1 der Suahl beim rintrut in das optisch dllnncrc Mc d1um vom Lot weg gebrochen (fl > a). Dann tritt db eanem Grenzwanket a, Totalreßexion des Lichtsrrahls auf. Dtes ist m Abb. 7.4 veranschaulicht. Dazu •~t eme IJchtquelle m Wasser. d.h. in ein optisch dtchteres Medtum emgeLaudtL Die Str.lhlen können nach allen Richtungen austreten. Der Strahl. der dem Lot ~enkrecht nach oben folgt, wird nicht gebrochen ( 1} Alle anderen Strahlen erI

2

l

nw~..,..,

Für Wasser gegen Luft ist der Grenzwmkel a.. 48.75 •. Der Effekt der Tot.Jireflexton wird bet lichtfasern genutzt. Wenn L•cht m transp,uenten Fasern emtritt. dann ist der Reflextonswinkel an der Grenzfläche Faser/Luft größer als der krittsche Winkel von GI SO·. Licht kann dann ntchr se1tlich austreten. o;ondern nur am Ende der Faser. ln Endoskopen werden Lichtfasern zur Abbtldung von tnneren Organen eingesetzt. Die Abbtldung geschieht nicht nach den Gesetzen der linsen. dte wetterunten diskuttert werden. sondern es findet eine punkrwetse Ubermtttelung der lnformauon durch dte emzelnen Fasern statt. Der Vortetl 1~t. dass man d1e Lichtfa~ern btegen kann und das Ltcht den gebogenen rasern folgt (Abb. 7.5 ). 5

ji$11994 Tntl ein liehtstrahl 110n einl'm opl1S! hon gt'broclll.'n.

Planparallele Glasplatte Eine einfache Anwendung des Reflexions- und Brechungsgesetzes ist eme planp.~rcJIIele Glasplatte. Planparallele Glasplatten werden m PJ,m~ptegeln.

5

4

I /;y~----

Luft. n • I

.......,

licht· quelle

~~~

~

W~ser.n• l ,.H

'

Abb. 7.4 Prinzip ~r Tot.tlr~lluion. lrWrung w~e Tot.

162

7.1 Geometrische Optik

7 Optik farben kann man noch besser an emem Prisma beobachten. welches als nächstes diSkutiert wird.

Abb. 7.5 Oie Wlrkung.s welu von lkhtlaum

~ruht

au(

Totalr~n~xlon.

F.ubtiltern. Strahltellern und anderen optischen Systemen als Bauelemente verwendet S1e erzeugen emen wgenannren par.1llelen Strahlenve~tz. Fällt auf eine planparallele Glasplatte em l.Jcht· strahl ( 1) unter emem Wmkel a gegen d1e Rachennormale ( • Senkrechtl' zur Platttnoberflächt) Abb. 7.6). w1rd em Tt1l dts Uchtstrahls reDektiert (Em fallswmkel • Ausfallswinkel) (2). Der großere Te1l w1rd unter dem Wmkel ßin das Glas hmem gebrochen und läuft b•s zur gegenüberliegenden Sctte. Dort w1rd das Licht wieder reDektien und gebro· chen. Der transmittierte Strahl (1') läuftjetzt paral Iei aber versetzt um die D•stanz d zum ursprilnglich einfallenden IIchtstrahi, wobe1 d von der 01cke der Glaspatte abhangt. Der reDektierte Strahllauft zurück zur oberen GrenzDäche. Dort wird er w1eder reDekliert (3) und transmittiert (4). etc. Oie Strahlen (2) und ( 4) haben unterschiedi.Jche Lichtwege. Wahrend Strahl ( 2) direkt reDekuert w1rd. lauft Strahl (4) zweunal durch d1e Glasplatte, bevor er wieder au~tnu. zudem raumlieh versetzt hmsicht· lieh Strahl (2). Falls der einfallende Lichtstrahl I ) monochromatisch 1st. dann können mtt den Strah len (2) und (4) Interferenzphänomene beobachtet werden, w1e ~• e we1ter unten (S. 144) diskutlell werden. Fall~ der emfallende Strahl ( I) aus we1ßem polyl.hromauschem licht besteht. dann fächert der transmittierte Strahl (1') entsprechend semer Spektralfarben auf. da der Winkel ß von der Wel · lenlange .1bhang1. D1ese Auffacherung m Spektral '

y

1

Pnsma Als Prisma w1rd ein dre1eck1ger Glaskorper bezeichnet. der das Ucht zweimal bricht (Abb. 7.7 ). D1e ersre Brechung findet vom optischen dünneren Medium (Luft) m das optisch diChtere Medium (Glas) statt, d1e zwe1te Brechung vom opnsch dichteren in das optische dünne~e Medium. Wendet man das Brechungsgesetz konsequent an und berucksichtigt einige einfache trigonometrische Beziehungen. dann kann der gesamte Ablenkwmkel 6 des Strahls m1t dem Prismenwmkel y und dem Brechungsindex des Glaskorper~ n m Bez•ehung gesetzt werden. Be50nder.. emfach werden d1e Ausdrücke bei emem symmetnschen Strahlengang. d.h. für a, • a2. der glcichzemg auch die minimale Gesamtablenkung 6 bewirkt (Abb. 7.7 ). ln d1esem Fall g1lt: sina n sm1 y 2 . M1t H1lfe emes Pnsmas kann der Brechungsindex dc~ Glasmaterials sehr genau bestimmt werden. da d1e Winkel a und y genau gemessen werden können. Verwendet man im emrallenden Strahl we1ßes (polychromatisches) licht, dann WJrd d1eser durch die zwe1rache Brechung'" semefarbliehen Komponenten (Spektralfarben) zerlegt. Da bi.JUes l.Jcht einen größeren Brechungsindex hat als rotes I.Jcht (Abb. 7.1). ist

2 4

:-y :o

•

..

V

~

:\

i~'

'

3

~.

:o :I

;:

b

Abb. 7.7 BrKhung von lkhtln Prismen.~ Br-ho 01q1100 licht 1

lnPri<-n~~"'\Symr · tr < " ~·~ ~ b Z~ _, v. l!em -~~ loCht .;un:h ~ Prhm; n .....,.. <;p.~ctnb~

7 Optik

der Ablenkwinkel ö ftir blaues licht größer als für rotes Licht. Wegen ihrer Fähigkeit. licht in seine Komponenten zu zerlegen. werden Prismen in Spektralapparate, sogenannte Prismenspektometer. emgebaut. siehe dazu mehr ab S. 172 (optische Instrumente).

7 . 1.3 Abbildungen Abbildung durch Spiegel Alle E•genschaften von Spiegeln und Linsen beruhen auf der konsequenten Anwendung des Reflexionsgesetzes und des Snellius-Gesetzes. Dazu muss man an der Auftreffstelle des Lichts auf die Grenzfläche das Lot auf d1e Oberfläche zeichnen und hinsichtlich des Lots die Gesetze der Reflexion und Brechung anwenden. Alle weiteren Abbildungsgesetze von Spiegeln und linsen ergeben sich aus geometrischen Beziehungen. beinhalten jedoch keine weitere Physik. Die Physik hinter den AbbildungsgleiChungen ist ausschließlich in den Gesetzen der Reflexion und der Brechung zu finden. Planare Spiegel Mir dem reflektierten licht an einer Grenzfläche kann man Gegenstände abbilden. Im Fall von metallischen Oberfl:ichen ist die Reflexion vollständig, da das Licht nicht in das Metall eindringen kann (Spiegel). Beim ebenen oder planaren Spiegel erscheint der abgebildete Gegenstand gleich groß w ie der tatsächliche Gegenstand. aber als virtuelles Bild hinter dem Spiegel. Gegenstandshöhe C ist gleich der Bildhöhe 8 (8 • G), und Abstand des Gegenstands vor dem Spiegel (Gegenstandsweite) g ist gleich der Bildweite b (b; g) (Abb. 7.8). Damit ist der Vergrößerungsfaktor V emes planaren Sp1egels

V

;

~

1.

Sphärische Spiegel Bei sphärischen Spiegeln (idealerw eise paraboli sche Spiegel) gelten die gleichen Reflexionsgesetze w ie bei einem ebenen Spiegel (Abb. 7.9). Im Un ter-

c

tatsächlicher

VIrtuelles

Gegenstand

Bild

8

J,~==========~~ b g Abb. 7.8 Abbildung dur( h einen planaren Spiegel.

7.1 Geometrische Optik

achsenparallele Strahlen

Zentrumsstrahl

M

Radialstrahl (oder Mlttelpunktssrrahl)

Abb. 7.9 Hauptstrahlen ln einem sphärischen Hohlspiegel. F • Brennpunkt, S • Scheitelpunkt. M Mittelpunkt des Spiegels.

sch ied zum planaren Spiegel treffen sich alle Flächennormalen im Mittelpunkt M. Daraus folgt, dass die reflektierten Strahlen der achsenparallelen Strahlen durch den Fokus F gehen, der im halben Abstand zwischenScheitelpunktSund Mittelpunkt M liegt. Strahlen. d1e durch den Mittelpunkt gehen, werden in sich zurück reflektiert, denn Mittelpunktslinien folgen der Flächennormalen. Unter ßeachrung der Grundprinzipien von achsenparallelen Strahlenund Mittelpunkts- b1w. Radialstrahlen. kann man eine Bildkonstruktion fur sphärische Sp1egel vornehmen. gle1ch ob d1ese nach innen (konkav) oder nach außen (konvex) gekrümmt sind (Abb. 1.10). Al lerdings sol lte man nur Strahlen berücksichtigen, die nahe am Zentrumsstrah l liegen. denn bei weiter entfernten Strahlen w ird die Abweichung des sphärischen Spiegels von einem Parabolspiegel immer gravierender. Wo immer sich die Randstrahlen von einem Gegenstand treffen. entsteht das Bild dieses Gegenstands. Dabei muss der Lichtweg für alle Strahlen gleich lang sein, damit am Bildpunkt alle Strahlen in Phase ankommen. liegt das Bild vor dem Spiegel , handelt es sich um ein reelles Bild (es kann auf einem Schirm abgebildet werden), liegt das Bild hinter dem Spie gel, ist das Bild virtuell (es kann nicht abgebildet werden. es handelt sich nur um eine Wahrnehmung). Am konvexen Sp1egel (z.B. Rückspiegel im Auto) erscheint das Bild immer aufrecht und verkleinert hinter dem Spiegel, d. h. das Bild ist virtuell. Am konkaven Spiegel ( z.B. Hohlspiegel oder Rasierspiegel) kommt es auf den Abstand zwischen Gegenstand und Spiegel an. Ist der Gegenst.1nd außerhalb von M posi tioniert, dann erscheint das Bild verkleinert und invertiert, bei einer Gegenstandsweite zwischen 2/ und f ist das Bild vergrößert

163

7 Optik

Sammellinsen I> 0

7.1 GeomE>lrische Opt1k

Tabelle 7.3

OM!tldt._ • . _..... vw.:s Fwkl. . . . . , •• I 14 I

(;egensto~nds-

Bildweite

weite

•• .......

Vergrößerung V

/< b < 2/

< 1, reell. invert•l'fl

2/

b-2/

• 1. reell. in~rtlert

2/>g>f

b>2f

> 1. reell, 111111!rtlert

g
2/>b>f

> 1, VIrtuell. aulr~ht

g>2f g•

J bikonvex

.........

konkavkonvex

plankonvex

Zerstreuungslinsen { < 0

Auch h ier gilt wie beim Spiegel. dass im Bildpunkt alle Strahlen den gleichen Lichtweg durchlau fen haben und sich phasenrichtig überlagern. Gegenstandsweite g, Bildweite b und Brennweile I einer Linse stehen in einem festen Bezug, der in der AbbildungsglE>ichung ausgedrückt wird: I

I

I

g~b = l Die Abbildungsgleichung ist für Spiegel und Linsen identisch. Dabei ist die Abbild ungsgleichung der konvexen Linse dtrekt vergletchbar mit dem Hohlspiegel. Die Vergrößerung V des Bildes folgt genauso wie bei den Spiegeln aus dem Verhältnis:

kon~~exkonkav

plankonkav

Abb. 7.12 Sammellinsen und Zerstreuungslinsen.

der Linse entlang des ausfallenden Strahls entsteht {f> 0). Die Brennweite der Zerstreuungslinse ist negativ, da der Fokus vor der Linse entsteht {f < 0). In betden Fällen ist der Betrag der Brennwet ten positiv. Die Vorzeichenkonvention für die Brennweilen ist jedoch wichtig für die Abbildungsgleichung von Linsen.

Konstruktion von Abbildungen durch konvexe ünsen Zur Konstrttktion der Abbildung bei Verwendung von dünnen Linsen berücksichtigt man dret Hauptstrahlen: I . Der Zentrumsstrahl durch das Zentrum der Linse wird nicht gebrochen. 2. Der Parallelstrahl geht h inter der Linse bildseilig durch den Fokus. 3. Der Brennpunktsstrahl geht gegenstandsseirig durch den Brennpunkt und verläuft hinter der I.Jnse achsenparallel (Abb. 7.13).

V = ~~~.

c

g

je nad1 Gegenstandsweite g kann V> I. • I. oder < 1 sein. Tab. 7.3 gibt einen Überblick und in Abb. 7.14 smd die drei wichtigsten Bedingungen für die Abbi ldung schematisch dargestellt. Die Linsenmacherformel dient der Herstellung von Linsen mit bestimmter Dioprrie. Wenn der Brechungsindex des zu verwendenden Glases bekannt ist. dann folgt die Brennweite aus den Krümmungsradien R1 und R2 der Linse:

;

n

I) ( ; t 1

;J

Bei einer bikonvexen (bikonkaven) Linse sind die Krümmungsradien auf der Vorder- und Rückseite identisch (R 1 • R2 • R). sodass in diesem Fall gilt: I

2{n - l )

I

R

Parallel~trahl

reell. invertiert verkleinert

··+··· .........~.......... .. Brennpunktsstrahl

;

f ' . ....... .. ......... ~

F,

9

I

b

~

-

.

Abb. 7.13 Abbildung durch eine konvexe oder Sammellinse. Oie drei HauptstrahiM: Paral~ st..,hl, Zentrumsstrahl und Brt'flnpunlctsstrahl definieren doe Position des Bildes.

165

166

7.1 Geometrische Optilc

7 Optik n=1 n'> t

~­ ; -... (

n-~'--/-'------=n-'->1 --A

(

J

Abb. 7.15 Br ennwelten bei unendßch dicken Unsen•

. ~

Abb. 7.14 Abbildung durch eine konvexe oder Sammellinse für verschiedene Abstände des Gegenstands ln Relation zur Brennweite. Die grüne Kaktee ist der Gegenstand und die rotr Kakt~ die Abbildung.

Da die Brechkraft 0 • 1// ist folgt für die Brechkraft einer bikonvexen Linse:

0 _ 2 (~~ R . Für viele Gläser ist n • 1.5. Damit wird f " Rund 0" 1/R. d.h. je kleiner der Krümmungsrad1us, umso größer die Brechkraft. Rechenaufgabe Aufgabe 7.2: Es soll eine Linse mit 2 dpt hergestellt werden. Das l insenmdterial hat emen Brechung~indl'x von 11• 1.7. W1e groß muss der Krümmungsradius Reiner symmet· risch bikonvext'n linse geschliffen werden, um d•e nchtlge Brechkraft zu erzeugen? (Losung S. 228)

Linsen konnen auch zu emem System zu~ammen­ gesetzt werden. Stellt man zwei linsen m1t den Brechkräften 0 1 und 01 hinter einander. dann ad dieren sich die Dioprriezahlen. sodass die Brechkraft des unsensystems D • (t 0 1) + (± 0 2) ist. Hier steht + für eme Sammellinse und - für eine Zerstreuungslinse. Unendlich dicke Unse

Linsen müssen nicht immer dünn sein. Um fokussierende Eigenschaften zu erzeugen. reicht es aus. wenn nureine gekrümm te Obernäche zwe1 Medien mit unterschiedlichen Brechungsmd1zes trennt. Allerdings ist dann die Brennweite auf der einen 5eire (Luft) verschieden von der Brennweite auf

der anderen Seite (Glas ). Im Medium mit dem größeren Brechungsindex ist die Brennweite größer (Abb. 7.15 ). Die Brennweiten vor und in der linse stehen in folgender Beziehung: 11'

11

f' -, Mir n = 1 für Luft ist I- f'/11' <

r.

d. h. vor der linse ist die Brennweite kürzer als m der Lmse.

Das Auge als dicke Unse

Das Auge ist eine dicke unse (Abb. 7.1 6 ). bei der das Bild innerhalb der unse entsteht D1e hauptsächliche Brechung findet an der Hornhau t (Cornea) statt, da sie stark gekrümmt ist. Durch die unterschiedlichen Medien vor dem Auge und hinter der Hornhaut sind die Brennweiten vor und hinter der Hornhaut verschieden. Die Brennweite vor dem Auge ist f a 17 mm. und hinter der Hornhaut f' • 24 mm. Wir werden das Auge als optisches Instrumen t noch emmal in Abs. 7.3.2 diskutieren. Rechenbeispiel Sehen unter Wasser

Warum kann ein Normalskhliger ohne Hilfsmittel (z. B. Taucherbrtlle) unter Wasser auch bei günstigen lkht· verhältnissen nkhts scharf erkennen? 0115 menschliche Auge ist so ausgelegt. dass man .n Luft scharf sehen kann. wobe1 die Brechzahl von lult I ist und die der Cotnea ~a. 1,37. DJe Brechtahl von Wasser tst mit 1,33 nahelu Identisch mit der Brechzahl der Cornea. Daher wird d1e Wirkung der Krümmung zur Bildentstehung aufgehoben. Mit einer Taucherbrille ist das Med1um unmittE-lbar vor dem Augt.' wieder luft und dam1t kann man wieder nonmal sehen.

7 Optik 7.2 Wl'lk>noptik mu) aufweisen. bilden emen Punkt nicht als Punkt, sondern als Stnch oder ovale Flache ab. Alle dre1 Fehler konnen durch geschickte Anordnung von Lmsensystemen oberwunden werden.

~

'' '




.A.o. Check-up ol Zeichnen Sie beispielhaft den Strahlengang bei Reflexion und Brechung von Licht beim Über· gang von einem optisch dünneren zu einem optisch dichteren Medium. ol Machen Sie sich nochmals klar, wie die Vergroßerung bei einem planaren bzw. einem sphärischen Spiegel berechnet wird. ol Überlegen Sie sich, wie bei sph~rlschen Spiegeln und bei Sammellm)en die Gegenstandsweite gewahlt werden muss, damit man ein Bild mit der Vergroßerung V • 1 bekommt. ol Bei l'iner unendlich dicken Un)e sind die Brennweiten vor und in der Linse unter· schiedlich. Wo ist die Brennweite kürzer? ol Welche Linsenfehler kennen Sie und wie kann man sie beheben? ol Machen Sie sich noch einmal klar, wie die Brennweite einer Linse mit dem Krümmungs· radius der Linse zusammenh.mgt. ol Rekapitulieren Sie noch einmal die folgenden Gegensatzpaare und unter welcht>n Bedingungen diese auhreten: Vergroßerung - Verkleinerung; reelles Bild- virtuelles Bild; aufrechtes Bild - Invertiertes Bild.

' '

;

___________ ___________________. ,,

( ' • 24 mm

( • 17 mm

Abb. 7.16 Br@nnwellt!n d@S AugH sind vor und hlnt@r d@r Hornhaut ve~ch~n.

7 . 1.4 Unsenfehler Die dre1 WIChtigsten Linsenfehler. die in der Opuk auftreten, smd (Abb. 7. 17}: Sphärische Aberration: Achsenferne Parallelstrahlen werden starker gebrochen und haben eme kurzere Brennwe1te, als achsennahe Parat· lelstrahlcn. Lin!.l'n mit sphärischer Aberration liefern ein we1ches, etwas unscharfes Bild. Du~­ ser Fehler rnrt nu r bei sphärischen linsen auf. Bc1 parabolischer Schleifung der Lmsen könnte d1eser Abbildungsfehler vermieden werden. Chromallsehe Aberration: Strahlen untersclucdlichcr Wellenlangen treffen sich nicht 1m glei· chen Fokus. Wegen der Dispersion der Bre· chungsmdizes haben Strahlen mit kürzererWellenl~nge eme kurzere Brennweite. Bei Linsen mit chromanseher Aberration kommt es ebenfalls zu Unscharfe und zur Aufspaltung der Farben an den Randern des Bildes. Astigmatismus: der Krümmungsradius der Linse ist mcht konstant, sondern kann m der vertikalen R1chtung anders als in der homontalen Richtung se1n Asugmatismus ist der hlufigste Lmsenfehler des Auges. Der Extremfall 1st eme Zylinderlinse. d1e nur eme Krümmung 10 emer Richtung aufwe1st, Linsen, d1e emen Astlgmatis-

Abb. 7.17 tosmu\ S

. AO.

I

(

•

-

7.2 Wellenoptik

b

Lerncoach für die Erarbeltung dle\t'S Kapitels sollten Sie die Grundtatsachen von laufenden Wellen parat haben, insbesondere die Begriffe Wellenfront, Phasenlage, koharente Uberlagerung von Wellen und Polarisation, die ln Kapitel6.2 (S. 143) erarbeitet wurdrn.

c

dr@l am ~figsten illlftretenden Umenf@h~. ~ ~o>d>e Abbe'atiOtl; b choom;olischt! Abbn•to .IUC.h Te•t.

01@

c Au.gfn.)-

167

168

7.2 Wellenoptik

7 Optik

7 .2.1

Einleitung Die geometrische Optik erklärr den Strahlengang durch ReOexion und Refraktion an der GrenzOäche zwischen zwei Medien. Mtt der Wellenoptik konnen wir viele Eigenschaften beschreiben. die durch die geometri sche Optik nicht erklärbM sind. wie z. B. Beugung, Interferenz. Polarisation und Farbe.

7 .2.2 Beugung von licht Unterder Beugung von licht versteht man die Richtungsänderung von licht beim Passieren von Kanten oder Hindernissen. Dabei entstehen je nach Beschaffenheit des Hindernisses (z.B. Spalr. Loch oder Atom). verschiedene Beugungsmuster, die charakteristisch für das jeweilige Hindernis sind.

~4~ für diesen Abschnitt sollten Sie wissen, was kohärente und inkohärente Überlagerung von Wellen sowie konstruktive und destruktive Interferenz bedeuten. Schlagen Sie ggf. nochmals in Kapitel 6 auf S. 144f. nach. Beugung am Einzelspalt Monochromatische ebene Wellen mit der Wellenlange A. die auf einen Spalt treffen, breiten siCh hmter dem Spalt als eine Kugelwelle aus (S. 146). Wenn der Spalt eine endliche Öffnung d hat (Spaltbrei te), dann wird die einfallende ebene Welle in viele konzentrische Wellen zerlegt. deren Überlagerung zu einem Muster von lntensitätsmaxima

.;-A . -;

HauptmaKimum

>

l

und Intensitätsminima führt {Abb. 7.18a). lntensi tätsmaxima treten durch konstruktive Interferenz der Kugelwellen auf. Intensitätsminima durch destruktive Interferenz. Im Zentrum ist dte konstruktive Interferenz perfekt und daher ist dort das Hauptmaximum mit der höchsten lmensitär. Beugung am Spalt lieferr hinter der Blende Aufhellung in Gebieten, wo geometrisch gesehen Scharren sein sollte (vgl. dazu auch S. 184. Schattenbildung). Beugungserscheinungen werden erst dann deutlich, wenn die Spaltöffnung von der Größenord nung der Wellenlänge ist. Bei sichtbarem Licht mit Wellenlängen von ca. 500 nm bedeutet dtes, dass Beugungseffekte erst be1 Spaltbreiten 1m Mikrometerbereich und darunter erkennbar werden. Mathematisch ausgedrückt treten Minima immer dann auf. wenn der Gangun terschied ll zwischen den Randstrahlen 1 und 2 ein Vielfaches der Wel lenlänge.;\ ist, denn dann ist der Gangunterschted zwischen den Randstrahlen ( I und 2) und dem Zentmmsstrahl z jeweils A/2. was zur Auslöschung fUhrt ( Abb. 7.18b). Bedingung der Beugungsminima ist daher:

tJ.

d sinB

mA,

wobei m (m • 1. 2 .... ) dieOrdnungderMinima bzw. die Ordnung der destruktiven Interferenz ist. Beugung an einer Lochblende An runden Lochblenden treten die gleichen Beugungserscheinungen auf wie an einem Spalt mit dem Unterschied. dass Maxima und Minima konzentrische Ringe auf einem Schirm hinter der Öffnung bilden (Abb. 7.19). Linsen haben üblicherwe•~e eine kreislbrmige Einfassung. dte als Lochblende für das durchtretende Lich t wirkt. Die runde Lochblende von einem Mikroskop erzeugt als Hauptmaximum ein Beugungsscheibchen. auch Airy-Scheib-

a

•A• -

:

L...~.

, I , T

, 2

<>',

r--~

b

Abb. 7.18 Beugungsmuster an einem Elnzelspalt. a lnter-

ferenrnnuutr der Ba.gung ,)lll [illlelspalt. lnl>tehung der lntensdal>mmun.l und -maxma. b Zur Berechnung der lntensität\maximd un.d

~inima .

Abb. 7.19

~ugung

an einer Lochblende.

170

7.2 Wellenoptik

7 Optik

einen Abstand von 0.1 - 0.5 nm. Fallen monochromatische elektromagnetische Wellen. die eine Wellenlänge im gleichen Längenbereich haben wie die atomaren Abstände. auf das Krisrallgttter. dann werden die elektromagnetischen Wellen an der Elektronenhülle der Atome gebeugt. Röntgentstrahlen (S. 195) haben die richtige Wellenlänge. Durch Überlagerung aller gebeugten Wellen an den Atomen sollte man Interferenzen unter bestimmten Winkeln beobachten können. ln Abb. 1.21 ist das Kristallgitter als zwe idimensionale Projektion dargestellt, wobei die Atome auf Linien ( Netzebenen) zu liegen kommen, die einen Abstand d zu einander haben. Wir schicken Röntgenstrahlen mit der Wellenlänge A und unter dem Winkel 8 1 auf die Netzebenen. Wenn die Strahlen 1 und 2 der gleichen Wellenfront und damit der Wegdifferenz null an verschiedenen Netzebenen gestreut werden. dann haben sie nach der Streuung in Richtung des Winkels 02 eine Wegd ifferenz von 2LI, d. h. Strahl 2 hat einen um 2.11ängeren Weg als Strahl 1. Diese Wegdifferenz kann in Beziehung zum Netzebenenabstand d gesetzt werden: 21:1 • 2d sinO. Hier haben wir zur Vereinfachung 9t • th gesetzt. Wetter oben haben wir beretts gesehen, dass die konstruktive und destruktwe Interferenz davon abhängt. ob die Wegdifferenz ein Vielfaches der vollen oder halben Wel lenlänge entspricht. Für konstruktive Interferenz erwarten einen Weglängenunterschied. der ein vielfaches der Wellenlänge entspricht, also die Bedmgung: 2dsin8

= mA.

Diese Bedingung ist als Bragg-Bedingung bekannt. Wenn immer sie erfüllt ist. dann erhält man einen Bragg-Reflex der Röntgenstrahlen von dem Krista llgitter. Der ßragg-Reflex entspricht dem Hauptmaxtmum bei dem oben diskutierten Strichgitter. Ne-

Abb. 7.21 Prinzip der R6ntgenbeuung an .,;Mm Kristal~ gltter mit Netze~enabstand d. 0 1 und O, sind die Einfall~· und Ausfallwinkel der ge-Wt•\llen Rontgenstrahlen. Ul•sl der Weglangenunterschied zwischen Strahl 1 und 2

benmaxima können nicht beobachtet werden. da das Kristallgitter üblicherweise aus einer sehr großen Anzahl von Nerzebenen ( lOS) besteht. Bei be kannter Wellenlänge A und Messung des Winkels 8 mit Hilfe eines Goniometers kann der Netzebenenabstand von Kristal lginern d bestimmt werden . Solche Experimente dienen der Kristallstrukturbestimmung, die Methode wird im deutschen Sprachraum als Röntgenbeugung bezeichnet, sonst x-ray scarreri ng. Mit Röntgenstreuung wird auch die Struktur von DNA und Proteinen bestimmt. Dazu müssen diese Makromoleküle zunächst kristallisiert werden. Eine vollständige Strukturanalyse von Makromolekülen ist sehr aufwendig, wird Jedoch heute zum einen durch intensive Röntgenquellen (SynchroLronquellen) und zum anderen durch hohe Rechenkapazität erleichtert. Da Teilchen sich auch wie Wellen verhalten (Teil· ehen-Wellen Dualismus, S. 178), treten Beugungsund Interferenzerscheinungen auch für Elektronen. Neutronen und Atome auf. Die Elektronenbeugung dient der Strukturuntersuchung mit Hilfe von Elektronenmikroskopen, mit Neutronenbeugung wird vornehmlich die Position von Wasserstoff in Protemen besnmmt. Mit He-Atomstrahlen kann das periodtsche Kristallgitter an OberOächen untersucht werden.

7.2.3 Polarisation <J>

\A -r Die Polaristion des Lichts spielt in der Medizin

eine wichtige Rolle (Stichwort ~rechtsdrehen­ de Milchsäureü). Da.zu werden auch Immer wieder gerne fragen gestellt. Schauen Sie sich den nächsten Abschnitt also genau ;m. Unpolarlsiertes licht Eine Glühbirne sendet polychromatische, unpolarisierte und inkohärente transversale EM -Wellen aus. Es ist polychromatisch, da es ein Spektrum aus verschiedenen Wellenlängen enthält (die steh in diesem Fall zu Weiß mischen). Es tst unpolarislert. da die Schwingungsebenen des elektrischen Feldes im Raum beliebig um die Ausbreitungsrichtung verteilt smd. Es tst inkohärent. weil keine Phasenbeziehung zwtschen verschiedenen emittierten Wellenzügen besteht. Mit Hilfe eines Interferenzgitters kann ein schmales nahezu monochromatisches Wellenlängenband aus dem Spektrum heraus selektiert werden. Räumliche und zeitliche Kohä renz zwischen verschiedenen Welh.'n7ügen gleicher Wellenlange erreicht man nur mtt Htlfe etncs Lasers (S. 180). oder wenn man einen Wel lenzug durch Reflexion und Transmission 111 zwei Anteile aufspaltet und anschließend wieder überlagert.

7 Optik 7.2 Wellenoptik Polarisiertes Ucht linear polarisiertes Licht besteht J\1) EM-Wellen. deren E·Vektor m nur emer Ebene ~hwingt. Um polans1errec; l.Jcht zu erzeugen, muss em PolansatOI bzw. em Filter 1n den St1 ahlengang g~tellt werden. der Transmission in nur emer Ebene erlaubt und Jlle anderen Richtungen block1ert (Abb. 7.22). Polarisationsfilter sind PolymerschiChten mit paralll'ler Anordnung der Polymerkenen, d1e nur eme bestimmte Polamatlonsnchtung durchlassen und .:~lle anderen durch Absorption abschwachen (Dichroismus ). Eine weitere Möglichkelt der Polari sauon von Licht ist durch Reflexion an einer Ober fl.iche unter dem Brewste,..Winkel a 8 gegeben, wobei as vom Brechungsindex n abh:lngt: tan a 8 • n. Be1 die~em Wmkel schwingt das elektrische Feld E der EM-Welle nur in der Richtung normal (senkrecht \ zur Einfallsebene. Sehrteure optische Geräte ver...-enden zur Pol.lnsatlon N1col Pr1smen aus aniwtropen doppelbrechenden Knstallcn. w1e z.B. Feld~pat. D1e Diskussion der Doppelbrechung fUhrt jedoch hier zu weit. Polarisation findet auch durch Streuung statt. Licht. das an Molekülen (Luft) unter 90 • gestreut w1rd. Ist polans1ert. in der Abend- bzw. Morgensonne hat du.• Streustrahlung vom H1mmel (Wolken l einen hohen PolanS
•• ~~

Analyse des polarisiertem Uchts Polansatoren konnen auch iiiS Analysator für polariSiertes Lichtemgesetzt werden. M1t emem ersten Polan~uonsfilter P w1rd L1cht polansiert. Wirdem zweiter fllter(iluch Analysator A genannt) um 90" gegen den ersten gedreht, d.mn wird das ücht voll ständ1g blockiert (gekreuzte Ano1dnung). Bei jedl'r Abwe1chung von 90 • stellt man Aufhellung fest. Insgesamt kann man d1e l.1chnntens1tat hmter dem zweiten Ftlter durch l•lueos'a ausdrucken. wobei 13 die Prim.:inntensll.lt 1St und a ist der Wm • kel zwischen Polarisator und Analysator Gesetz von Malus).

Optische Aktivität Unter optischer Aktivit:it versteht man die Drehung der Polarisationsebene des I.Jchrs bei der Transm1s· sion durch ein optisch aktives Med1um. Nehmen wir an. dass das L1cht zunächst durch e10 Polarisationsfilter linear polans1ert w1rd. Schickt man diese~ polansierte Licht durch eme Küvette. d1e ein solches optisch aktives Medium enthält, dann w1rd nach der Strecke L emc Drehung der Polarisationsebene um den Winkel a festgestellt:

a - acL. Cl 1\t d1e spez1fischc Drehung des herreffenden Stoffes. c 1st d1e CeWJchtskonlentration. und L 1~t die Unge der Küvette, d1e da~ optisch akuve Medium enthJit. Optisch akuve Moleküle stnd unsymmetrische Molekulc, die eine Chirahrät aufweisen, w1c z.B. Milchsäure oder Glucose. Die Glucosekon zentrauon im Harn w1rd durch Messung des DrehWinkels a 10 einem Polarimeter bestimmt. Dazu m1s~t man den Winkelades Analysators in Relauon 1um Polansator. bei dem eine maximale Aufhellung defektlert w1rd. RKhenaufgabe

~tion von elftctrCNNgMtlw- Wrllftl durch ~•Mn PobriSOIIionsfihH.

Abt>. 7.22

Aufgilbe 7.3: ln emcm Rclcpt hir setbstgemachtt>n Sekt .JUS Zuclcerwa\\er und ltolundcrblüten steht als An>'otisun9. dass für 6 I H", 500 9 Traubenzucker (D·Giucose) und 500 9 fruchtruclcer (D-fruin ~pezifisches OrtlwtrrnÖ<J('n von 5 Grad· cm' · 9 1 nach rechts, Fructose ein spezifiKhes Orffillennögt>n von 9 Crad-cm2 -9·' nach hnks. Um wre viel Grad und in wetchl' Rochtung Wird d•e Polansationsebt'ne des llchts 11011 dem Glrans.arz gedreht? (Lösung S. 229)

171

172

7.3 Optische

ln~trumente

7 Optik

G>

~·... O!Kl<-up tl' tl' tl'

tl' tl' tl' tl'

M.-.chen Sie sich noch einmal den Unteruhl~ zwl~chen Bt>ugung und Interferenz klar. Wie sieht das Beugungsmuster hinter einer lochblende aus? Welche B~ingung erfüllt der Wegunter~chl~ von zwei Strahlen. die durch zwei getrennte Blenden durchtreten und zusammen ein Hauptmaximum an lntensitat ergeben? Was versteht man unter der Polarisation des Lichts? Mit welchen Methoden kann man Ucht polarisieren? Was versteht man unter Dichroismus? Rekapitulieren Sie. was optische Aktlvitat bedeutet. Wo kommt sie in der Natur vcw?

7.3 Optische Instrumente ~

% Lerncoach Optische Instrumente basieren auf der geometrischen Optik. die wir uns bereits erarbeitet haben. Bei optischen Instrumenten fragen wtr uns aber auch nach dem maximalen Auflosungsvermogen. Um diese Frage zu be· antworten, benötigen wir die Wellenoptik. Daher sollten Sie hier nicht fortfahren, bevor die Begrifft aus den vorausgehenden belden Kapiteln hinreichend klar sind.

7.3.1 Überblick Optische Instrumente sind alle lnstrumente. l>et denen optische llemente zur Anwendung kommen. w1e 7 lt Sptegel, linsen, Wellcnlangcn· und Pola mauonsfi ltel' sow1c Prismen. Zu den opttschen Instrumenten l.thlen Kamera. Mtkroskop. l'roJektionsappar.ue. Spektralapparate und das Au~e. Wir bcgmncn m1t der Kamera und dem Auge als den emfachsten opnschen Instrumenten. 7.3.2 Kamera und Auge Kamera Im emfachstcn Fall besteht die Kamera aus emer emztgen Lmse. deren Abstand 7um Film (CCD Ch1p be1 rmc.>r Dtgttalkamera) durch cm Femgew111 de emstellbar 1st (Abb. 1.21). Das Bild eme~ unend lieh entfcmtcn Gegenstands erschemt 1m rokus. Dazu versch•ebt man die Unse solange. bts der Fokus auf der filmebene erschemt Zur Abbildung nahercr Gc.'gc.'nstande muss der Ab)tand Linse Ftlm vergroßen werden. damn der Fokus vor dem Film zu hegen kommt Dazu wird die tmsc.' aus dem Kameragehäuse herausgedrc.'ht. Bei modernen Kc1mNas w1rd dtes durch eme emjtebaute

Elektronik übernommen. nur bc1 Jlleren Kameras muss man dc1s Drehen der Lin~ noch von ~tc1nd vornehmen. Auge Wc.'llc.'r oben haben wir bereu~ fe~tg~tellt. dass das Auge vom optischen Auf'bclu her eme dtcke Linse mit Brennpunkt und Btldwe•te mnerhalb des Auges 1st (S. 166). Im Gc.'gc.'nsatz 1ur Kamera ist aber die Btldwette zwischen Hornhaut und Reuna konstant (b • 24 mm). Deshc1lb muss die Brennweite variabel sein. um filr verschiedene Gegenstandsweiten eine scharfe Abbildung auf dc.'r Retina zu erreichen. Bei relaxicrtem. d. h. auf unendlichemgestelltem Auge, 1stf btldseuig 24 mm (Abb. 7.23). Da da~ Auge sehr kurz 1st. muss d1e Brechkr.-.ft 1/f sehr groß sein. namhch cc1. 58 dpt. Ote Brechkrc1ft wtrd vor allem durch den kleinen Krümmungsradius der Hornhaut von r • ca. 8 mm erzeugt. D1e Brechkraft dc.'r Hornhaut berragr ca. 43 dpr be1 emem Brechungsindex von ca. 11 • 1,38. Hornhc1ut und Kammerwasser ha· bcn nahew d1e gleichen Brechunxsindtzes. Die bi· konvexe Sammelinse des Auges hat E'inen erwas größeren Brechungsindc.'X von 1111n.. • 1.45 und rragr noch <.'in mal bts zu 15 dpt zur Abbtldung auf der Retina bet. Akkommodation

Der Nahpunkt h
film

......~i. .

·····C> ·······0

f

2(

..

8

·rr

···<-"'····-'r"•----····· •• i· _.,. N.1hpunlct •

;

f • 24mm f • t7 m-n Abb. 7.23 V~glelch von !Ymer• und Auge.

. .,.!. I

7 Optik

34 mm außerhalb des Aug~ liegen. Durch stärkere Krümmung der Linse erscheint das Btld wieder auf der Nerzhaur. Dte Akkommodation. d.h. dte Veranderung der Brechkrafr der lin~e durch Änderung threr Krümmung. wird durch den Ziliarmuskel erre1cht. Dte Fähigkeit des Auges. sowohl im Fernpunkt wie 1m Nahpunkt em scharfes Bild zu erzeugen, nennt man Akkommodatlonsbreite. Die Akkommodallonsbrette ist deflmerr al~ 1

A

8!"1 "'"l•n j~'fl Mt.'fl~eo i~t ~ Feornp!Jnlct bei lkl~ li
0. Im

-

I

·:-.

- 10m

1

-0

IOdpt

d. h. die lonsl! kann durch Krümmung I0 dpt erzeug.-n und dabei 1100 15 dpt om Fernpunkt bos 25 dpt Im Nah-

punkt eongestellt v.'l'l'den. Be! eu>em alteren MenKhl-n ~~ dtor fempunkt z. 8. 1 m, ~ dem er noch e
kann. der Nahpunkt5ei als 0,)) m angenommen. Oie Ak· kommodatoon~brl'lte

I

033m Im

Rechenaufgabe 7.4: Eine lehrl'rin on der t'f'len Grund~huJ.

l.ld\~c lx'Ob.ac:htel. dJss eone S<:hülerin SICh

wobct L,,,~ "'m dte extremen Abstände smd, bet der man einen Gt'genstand noch scharf in der Nähe bzw. m der Ferne sehen kann. Otc Einheit ist [Al • dpt.

I

kann bei Weitsichtigkeit (Hyperople) ein hinter der Retina liegender Fokus durch VergroRerung der Brechkraft m1t einer 5.lmmelhnse als Brillengla~ auf d1e Retina verkurzt werden. Zus.Jtlhche Lmsenfehler. wie z. B. der Asllgmatismus. können durch entsprechend geschliffene B•illcngläser aus geglichen werden.

Auf~

L.,..b - L.,." •

7.3 Optische lnstrumentl'

- 3m

1st in d1esem 1

lm 1-

Fo~ll·

2dpt

Mot wnrhmrnd!!m Alter nimmt die Akkommodations!., higk<'ll dt"\ Aug~ drastosch ab Zw.-.chen 20 und 60 jahll'll \Ulkt 'tle von c:a. 10 dpl. auf prak toKh nul.

I1$11;J3M Bei dt'r J<;JmE"ra "t die lin~ bt"W\'QIIdt und doe Brennwe•t~ fest. Beim Auge ist die lln">C unbt·wcglich und d•e Brennwcotc V.Jriabel. Kurzslchtlglcelt D1e haufigste Fehlsichtigkeil des Auges tst d1e Kurzsichtigkeit (Myopie). Jn diesem Fall können Gegenstande 1n der Nahe scharf wahrgenommen werden. wett entfernte Jedoch nur unscharf Daraus kann man schließen. dass der Fernpunkt vor der Rettna er~chemt. D1e~ liegt t'ntweder an emer zu starken Krllmmung der Hornhaut oder cmt'm zu großen Bulbus. Aufgabe emer Brille i~t e~. die Fehlsichtigkeu auszugleichen. Im Fall der Kurzs1chttgkett 1st d1e Brechkraft D1 des Auges bezuglieh des Bulbus zu groß. Sie kann mit einer Zerstreuungsimse m1t der Brechkraft - ~ \'errtngert werden. !.Odass 1m Fernpunkt dte Kombmarion D.11 •D1 D2 zu einem scharfen Btld auf der Retm,l führt Umgekehrt

beim Sdveoben ommer weit übco d.J\ Heft hcrunterbeugt. lhrt' Augen sind nur noch 10 cm 1r0n der Schreibobcrfl.iche (•ntf~mt. Die Lehrerin macht sich '>orgt'n, d~~ da\ Mite der S<:hülerin. wenn ~ie in 10 cm mtfcrnung ihre Schrift Khan t'rk!'nnen kann?

(Lbsunq S. 229)

Auflosungsverm6gen Be1 der Kamera und beim Auge hat die Blende (Iris) d1e gleiche Funktion. Zum emen reduziert s1e dte I.Jchtmtensuat, zum anderen erlaubt SJe nur Strahlen, d1e nahe der optischen Achse vertaufen und elimimen damtt Fehler. dte durch die sphansche Abberatlon zustande kommen. Gleichzeilig wtrd die Tiefenschärfe vergrößert. d.h. Gegenstande, die hintereinander liegen. können gle•chzetllg ~charf gesehen werden. ohne dass der Fokus oder dit Brennwe1te neu emgeMellt werden mussen. Eine zu kleme Blende 1st Jedoch kontraproduktiv. da die Beugung an der Blende die Bildpunkte durch Oberlagerung von Atry-ScheJbchen w1eder verw1scht Dazu kommen w1r noch einmal auf Abb. 7.18 (S. 168) zurtick und <.ehatzcn den Abstand r 7wtschen Hauptmaximum und dem ersten Mmimum auf der Retina ab. d. h. den R.ldius eines AiryStheJbchens. Die Bedmgung fur das erste Mmimum 1st d sm6 A. oder nahrungswe1se 6 - l., d D1e Spaltöffnung d Jdenufizteren wtr h1er m1t dem Durchmesser der Iris und setzen d1esen bei offener Pup1lle mit 4 mm an. Der Wmkel 6 ist gleichzeitig durch das Verhälmis rll. gegeben. wobei L gleiCh dem Abstand zwischen der Sp.lltoffnung und der Renna 1st, die w1 r als die Btldweite des Auges b • 24 mm bereits kennengelernt haben. Ersetzen wtr Jetlt noch die Wellenlange l. durch l./n. da der Strahlengang innerhalb de~ Auges erfolgt, und neh· men für l. • 600 nm im sichtbaren Bere1ch an. dann finden wir für den Radiu~ des Alry-Schetbchens: bl. 24mm600nm 2 51'm r dn 4mm 1.44

173

174

7.3 Optisch!:'

lmtrum~nt~

7 Optik

Das menschltche Auge kann Gegenstände unterscheiden. wenn ihre Btldrr auf unterschiedlichen Stabehen bzw. l.iplchcn erschemen. Der mittlere Abstand zwtschen zwet Stalxhen auf der Retma ist ca. 2.5 '-'m. Damit ist dte Flachendtchre der Stabehen genau an das opn~he Außosungsvermögen des Auges angepasst. W~rd die Ins verklemert dann wird das Atry-Schetbchen großer. Mtt kleme: rer Puptlle gewmnt man an ltefenscharfe aber verliert an Außo~ung.

I Abb. 7.25 V~grö&.rung ~ Sdlwlnktls durch zwischen Gevenstand und A~.

Leistunqendes Augn

Das Auge ist unser wichtigstes Smne~organ. ~eine Funkuonswetse von der Btldentstehung bis zur räumlichen Wahrnehmung ist komplex und faszinierend. Trotzdem beeindruckt das Auge vom technisch-physikalischen Standpunkt aus gesehen wenig. weit wen tger als dte Schallwahrnehmung durch da~ Ohr. Der sichtbare Beretch des Spektrums von 350 n m - 750 nm ist gering. dte optische Qualitat des Auges ist durch dtverse l"ehl~l chtlgkeiren eingeschränkt und nimmt zudem mit dem Alter schnel l ab. Der Phystologe und Physike1 Hl'rrmann von Helmholrz ( I 82 I 1894 ) hat emmal geäußert, dass er emen Optiker, der eme so schlechte Optik w te das Auge- abliefern würde. sofort emließe. Die minelm.'lßige phystkahsche Opuk w~rd durch die Verarbettung der Llchtstgnale im Gehirn wen gemacht. Erst dort ordnen wir den verschiedenen Wellenlangen Farben zu und verarbeiten d1e Signa le vom linken und rechten Auge zu einem raumliehen Bild. Das Cehtrn .steht" weit mehr als dte Physik de~ Aug~ zulasst.

7.3.3 Vergrößerung und Verkleinerung Der S.Ohwinkel t entschetdet. ob w~r emen Gegenstand vergrößert oder verklemert wahrnehmen {Abb. 7.24 . Im Abstand von tw • 25 cm sehen w~r Cegenst.Jnde defin•uonsgem:lß mtt emer Vergrößerung von I Der entsprechende Sehwmkel ist co: Cf~ Bet dtesem Abstand tst das Btld zwar auf der Retina opusch verkletnert, aber phystologisch wird eine VergröRerung von 1 wahrgenomG

l

I

tupe

men. Im Nahpunkt von ca. 10 cm leistet das Auge also eme Vergrößerung von V • 2.5. Fllr höhere V smd optische lnstntmcnte notwendig, wte z. B. Lupe und Mikroskop fur nahe l1egende Objekte. oder Teleskop fur wett entfernte Objekte Lupe Das einfachste optische Instrument, da~ den Seh wmkel vergrößert, ist die Lupe. Ste besteht aus nur emer Sammellinse. Wtrd eme Lupe Lwtschen Gegenstand tm Abstand go und vor das Auge nn Abstand der Brennweite/der Lupe plar7iert (Abb. 7.25 ), dann wi rd der Sehwinkel auf c • Cf/vergrößert. Da~ Verhältnis

Ctf

~

C 'to

I

wird als Vergrößerung wahrgenommen. Vergroße rungen V~,o,~po bis zu 30 werden mit emer Lupe erreichL d.h. ca.. zehn mal mehr tm Vergleteh 7um bloßen Auge. Uchtmiknnkop Em Mikro•kop besteht aus zwet Lmsen ( Abb. 7.26 Das Objektiv dte dem Objekt zugewandte Lln~e rrut Brennweite / 00 erzeugt em umgekehrte~ reelle~ Zwtschenbild 82 im Abstand c (Tubuslänge). welches von dem Okular (dem Auge zugewandte Ltnse ) mtt Brennwette /ot noch emmal vergrößert wtrd. Der m1t dem Mikroskop erLeugtc Sehwmkel tst :

B, Iok

r . . . . --

-

{..,

Tubuslänge 1

f

• __:g ,_ _ _ Abb. 7.24 Sdlwlnkellst d~ Offnung1wlnkel, unt~ d~m ~n Gegenstand C w~hrgenom-n wird. Im Atxt ond 1- 1<1 d"' physiolng ~ "'"' ... <J~l'<• ng 1

~iM

Objcl
St~hl~ng

im Mikroskop.

7 Optik Da die Vergrößerung des Objektivs Vob • B,JC • I/fot> isl folgt fur den Sehwinkel, indem wir Bz erset:zen: I E-

C{ob fot.

Vergletcht man dtl'Sen Sehwmkel mtt dem ohne Mtkroskop. c0 • C/gn, dann folgt fiir dte Vergröße· rung de~ Mtkroskops:

r

c

ga

fo

lok lob

Die Gesamtvergrößerung des Mikroskops ist also das Produkt aus der Vergrößerung von Objekttvund Okularlinse Man steht daraus. dass man fOr ein gutes Mikroskop emen langen Tubus und zwei ünsen mit kurzen Brennweiten benotigt. Typische technische Mikroskope haben Tubuslängen von 100-200 mm und Brennwetten [,. • 10 mm und /ot> • 2 mm. Damtt kann man Vergroßerungen von 1000-2000 erretchen.

1$1i:J3M Die Ges.Jmtvergrößeru119 eines Mikroskops ist dd~ Ptodukt au\ der VergröRcrung des Okulars und der Ver· grölwrung dl'\ OhJt-i
7,3 Opto\Cht> Instrumente

jeder Gegenstandspunkt erzeugt durch du? Öffnung des Objektivs ein Beugungsmusrer. durch die kreisrunde Öffnung ein sogenanntes Atry-Schetbchen (s.o.. S. 168~ Em zwetter Btldpunkt muss tn das Mtn1mum des ersten fallen. damtt Lwei Bildpunkte als getrennt wahrgenommen werden können. je größer die Öffnung tst, umso kleiner WJrd der Durchmesser des Alryscheibchens. Man kann dtese Bedingung auch mtt Hilfe der numerische Apertur des Objekuvs ausdrücken ( Abb. 7.27). Dte numerische Apertur A ist der Sinus des m
Rechenaufga~ Aufga~

7.5: E10 Mokroskop vergrö&>rt t'in Pr dpardt

~fdl"

Um wckh~ Faktor wird das Präp.vat wr·

größt'rt, \\enn dds Objekt"' gegen ein a~r~ m•t vier· Iacher Brennwt'lte und das Okui.Jr gegen etn indcres mit doppeltt'r Brennwt>ote ~u,getau<>eht word (bc1 glei· ch(·t .optoscht'r Tubuslutlocher ~hwl'tle")l

(L6\ung S.

~29)

Numerische Apert ur Kleine Brennweiten der linsen und große Tubus· längen smd förderlich fur eme hohe Vergrößerung. Aber mcht jede Vergrößerung ist nutzllch, da bet zu hoher Vergroßerung Bildpunkte nicht mehr voneinander getrennt wahrgenommen werden können, d.h. dass die Auflösung nicht ausreicht.

Das Auflösungsvermögen R (resolving power) ist definterc als der KehJWert des kleinsten noch auflosbaren Abstands dm.. von zwet Gegenstandspunkten: R = 1/d,.,;... Bei Berucksichttgung der Apertur und der Beugungsetgen~haften der Objektivlinse wird mit einem Mikroskop eine maximale Auflösung R • 1/diMI • A,'.~ erretcht (A • Apertur. .A • Wellenlänge). Da A von der Größenordnung 1 tst. folgt fur R" 1/.A und dm•n • A. Fhr optische Wellenlängen von 500 nrn erreacht man eine Auflösung von ca. 2x 106m· • und einen mtntmalen Abstand von ca. 500 nm. der noch getrennt wahrgenommen werden kan n. Das bloße Auge kann tm Nahpunkt zwei Punkte tm Abstand von 0.1 - 0,05 mm noch al~ getrennt wahrnehmen. Mtt dem Lachtmtkro~kop wird also eme brauchbare Vergrößerung von ca. I 000 erreichL Technisch wareeine höhere Vergrößerung mtt dem lichcmtkroskop möglich, jedoch

2

I

\

I

/

{ "'' n•O

I

~

I

0 ).

Abb. 7.27 Nunwrlsche Ap«tur. a Oo~ nurntf' .ehe Apt>nur .mc- 1.11!~ ist durch

, 3

..... 1: ,.: , n·l.S:

b

:

den m..,."• "II \V'on~ 9 ck-fOllM"rt, bei dem dot R.lnct-.tr >hl«t noch on dö ObjekUv ~ lang~.

b f•n•lnvntf\OOn'.\Chlcttl

~

Tragt- '"td til'lu- • .,~rt die Apertur.

175

176

7.3 Optische Instrumente

7 Optik

wäre diese durch die Auflösungsbegrenzung nicht sinnvoll.

ll$1i;JijM Als Fdustreqel g•IL: P\mkte mrt f.'tnf.'m Ab~tand kleiner als die benut7c Wt>flcnlänge können nicht aufgelöst werden.

Elektronenmikroskop Lichtmikroskope erreichen eine brauchbare Vergrößerung von maximal 1000. Um höhere Vergrößerungen zu errl?ichen, werden in Elektronenmikroskopen Elektronen als Strahlung verwendet. Dte Wellenl~ngen der Elektronen liegen zwischen 0,012 nm und 0,0012 nm. Da Elektronen geladene Teilchen sind, verwendet man zur Ablenkung und Linsenwirkung elektrostatische oder magnetische Linsen. Vergrößerungen bis zu 1()6, AuOösungen R von über 109 m- 1 und minimale Abstände drnon < I nm sind mit Elektronenmikroskopen erreichbar. ln Abb. 7.28 ist der Strahlengang in einem Lichtmikroskop und einem Elektronenmikroskop verglichen. Die Ähnlichkeit ist offensichtlich. Da Elektronen die Luft stark ionisieren und abgebremst werden, wirdem Flcktroncnmikroskop im Vakuum betrieben. Spektralapparate Spekrralapparate werden für die spektrale Zerlegung von Licht eingesetzt Zwei Arten sind gebräuchlich, Prismenspektrometer und Gitterspektrometer.

... A ~

I

~

Elektronenquelle

-

liehtquelle

Kondensorlinse Probe

-:-

:J..._

Objektivlinse--© J

Okular

Projektionslrnse

~ , I

I

(

direkte Bildbeobachtung

I

Proj!'ktionssch irm,

Filmebene Abb. 7.28 Vergleich des Stnhlengangs

zwisch~n

einem

lkhtmikroskop (links) und einem Elektronenmikroskop (rechts).

Prismenspektrometer Prismenspektrometer nutzen die Dispersionseigenschaften von transparenten Medien, um ver sch1edene Wellenlangen raumlach 7U trennen (Abb. 7.6 und Abb. 7.7, S. I 62). Das spektrale Auflösungsvermögen ).Jil). eines Prismas. d.h. d1e Fähig· keit zwei verschiedene Wellenlänge noch trenneil zu können, hängt von der Bastslänge B des Prismas und seiner D•spersionseagenschaft ab, d. h. der Änderung des Brechungsindexes pro Wellenlänge l:J.nfll).):

~ = Bl:J.n ll).

ll).'

Das spektrale Auflösungsvermögen von Prismenspektrometern ist typischerwe•se 104 •

Gitterspektromet er Höhere AuOösungen werden mit dem Gitterspektrometer erzielt. Das AuOösungsvermögen von Gittern ast die ~ahigkeit, verschaedene Wellenlängen in höherer Ordnung der Interferenz noch zu trennen. Es hängt von der Zahl der Spalte N und der Ordnung der Interferenz m ab:

A

ll).

= mN.

Mit Gitterspektrometern wird eme 10- bis I 00-fach höhere spektrale AuOösung als mit dem Prismenspektrometer erreicht. Ein typisches Gitrerinterferometer. wie es auch häufig in Praktika benutzt w1rd, ist in Abb. 7.29 gezeigt. Es besteht aus einer liehtquelle im Zentrum eines Parabolspiegels, welches ein möglichst breites Wellenspektrum abstrahlen soll. Das ücht gelangt über den Eingangsspalt zum 1. Konkavspiegel. Da der Eingangsspalt im Brennpunkt des Konkavspiegels aufgestellt ist, ist das Lichtbundel nach ReOex1on parallel und trifft auf das lnterferenzgatter. Da~ Interferenzgitter ist schwenkbar und kann verschiedene Ordnungen auf den 2. Konkavspiegel werfen. Von don wird das l.lcht auf den Ausgangsspalt fokussiert. der am Brennpunkt des 2. Spiegel liegt. Durch den Ausgangsspal t tritt nur ein schmales Wellenlängenband. Die Intensität des Strahls bei der Wellenlänge A wird erst einmal ohne Küvette und dann mit Küvette gemessen. Aus dem Verhältnas der lntensitärcn folgt die Absorption durch das Matenal (Fitissagke•t ) m der Küvette. D1es wird 1m nachsten Abschnitt noch weiter beschrieben. Photomet er Die Absorption von IJCht einer bestimmten Wellenlange in emem Med•um (Gas. Flu~sigkeu. Lösung) wird mll einem Photometer untersucht (Abb. 7.30. S. 178). Dazu wird nach einer liehtquelle zunächst eine Wellenlänge mit Hil fe eines Spektrometers se-

7 Optik 7.3 Optische lnst:rumente lkhtquelle

lnterlerenzg•tter, schw\'nkb.lr

r·....__,_____...

Knflk4Y\pit.'<jd 2

Abb. 7.29 Pnl\llp ~lOH GtnHSpKtrognlph~n.

I

Eli
lek11ert (Abb. 7.29). D1e lntens11Jt d1eser Welle wird vor und nach dem absorbierenden Medium gemessen. Die exponentielle Abhäng1gke1t der transmittierten lntens1tat von der Schichtdicke und Kon7entrauon der gelösten Sub~tanz w1rd als Lambe• t·Beer-Gesetz bezeichnet I .A d1 lo1A1 10

Prim~rintensität I~.A):

T = I A d1 = IO . \

rd

•

Der negauve dekadische Logamhmus von Twird als A • Ab~rpuon bezeichnet A

log lilA,dl . - ct.Al cd O(A j

D1e Extinktion ist positiv und proportional zur mo· Iaren Konzentration c.

f\.\ •
Hier isr t{.A) der molare Extlnktionskoeffizient, der von de1Wellenlänge abhängt: c 1st die molare Konzentr.!tlon der ab!.orb1erenden Substanz in Einheiten 1mol1ll: und d ist die DICke der Küvette. durch d1e das licht der Wellenlange .A durchtrin. Bei der Spektralphotometrie wird die Transm1ssion T(.A) des L•chts emer besnmmten Wellenlange durch eme Kuvette gemessen, d. h. das VerhältniS der transmittierten lntensitdt I(.A.d) normiert aur die

lo(.A)

der Kehrwert wird als Extmkt1on E bezeichnet: I (.A E - log f(.A dJ = ~c1 .A cd

Rt>< henaufgabe Aufg.~

7.6: ln de1 l..lborcllliiiUmsmedizln wud d•e Kon1t>ntrallon e•ner Substo~nl ·•n einer FlussigkM oft photometnsch bt>\hmmt. Dd!x-i m•sst man die Licht· :.dmJchung. dte die zu unternJchendl' 54Jbst.mz 1n dl.'r M~~iivette bewirkt. Oie in die M~~""""" l'lllgeWahlte l•lr Jllon c in vl'rdünnten Lösungt'n und dPr monochromatisch<' Memtrahlung typischerwt'ise (ildch lambert ood Bt>t>r)? (lösung s. 229)

D1e Transmission Tal~ Funkt1on der Wellenlange .A enthalt charakteristische Ab~orpuonsbanden. du~ Aurschluss llber den molekularen Inhalt der Ku

177

178

7.4 Quantenoptik 7 Optik Lichtquelle

Prismen- oder Gitterspektrometer d

polychromatisches weißes Licht

Küvette

Detektor mi\\t

mit Lösung der

lran~miltierle

Konzentration c

lntens1tat

monochromatosches licht lntensitiiti0 (Al

..

100

....

80

-

Hb Hb01

1.o

7.4 Quantenoptik

0,5 0,4

-~

0.3

- · - 60

Abb. 7J O Prinzipieller Aufbau eines Spektralphotometers.

Beschreiben Sie die Funktionsweise eines Photometers.

2.0

'I . e. ~

I(A. d) = I,(A)· 1()-"'"'

40

0.2

20

0.1

0.05 0.01 0·~------~------~~~ 650 600 550 500 450

Wellenlange A[nm J Abb. 7.31 Typisches AbsorpUonsspektrum von Oxyhämoglobin (HbO, ) und desoxygeniertes Hämoglobin (Hb) mit einem Photometer gemessen.

vette geben ( Abb. 7J1 ). Zum Beispiel kann man Oxyhämoglobin ( Hb02 ) und desoxygeniertes Hämoglobin ( Hb) mit einem Photometer leicht unterscheiden und quantitative Angaben zur Konzentration treffen.

..• ... c heck-up V' Wie groß sind Bildweite und Brennweite beim gesunden menschlichen Auge7 V' Wiederholen Sie den Strahlengang Im Lichtmikroskop und überlegen Sie, an welcher Stelle welches Bild entsteht. V' Wie ist das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges definiert. wie das des Uchtmlkroskops7 V' Was ist der Unterschied zwischen Aufl(). sungsvermögen und Vergrößerung? V' Warum kann man mit einer großen numerischen Apertur die Auflösung eines Mikroskops

;... ..

l emc:oach Im folgenden Kapitel erfahren Sie, dass licht auch als ein Strom von Teilchen betrachtet werden kann. Diese Eigenschaft d es Lichts Ist dafür verantwortlich. dass unsere Augen Gegenstände wahrnehmen und Farben sehen können. Die physiologischen Vorgänge dazu kennen Sie bereits aus der Physiologie oder Sie werden sie dort noch kennenlemen.

We lle-Te ilchen-Dualis mus licht sind rransversale elektromagnetische (EM}· Wellen in emem Frequenzbereich, der filr das Auge sichtbar ist. Dies ist nur ein sehr kleiner Ausschn in aus dem gesamten elektromagnetischen Spektrum. die meisten Frequenzen sind für uns nicht . s ichtbar·. Wellen sind im Prinzip unendlich ausgedehnt, d.h. ö rtlich nicht gebunden. Auf der anderen Seite kann Lichl aber auch Impuls und Energie auf elektrische l..ldungen ubertragen. chemische Bindungen au ftrennen. und Reaktionen auslösen. Dies lässt sich nur dann erklären. wenn L1cht (besser fM-Wellen ) auch Teilcheneigenschaften hat w1e Impuls und Energie (Welle-Te1 lchen Dualismus). Man spricht daher von Lich tquanten bzw. von Photonen. Anschaulich kann man sich ein Phmon als ein Wellenpaket vorstellen (Abb. 7.32). Innerhalb des Wellenpakets hat es die Frequenz f. Mir d1eser Frequenz 1st eine Energie des Wellenpakets verknüpft: E = hf. D1e Proportionalitat~kon7 .4 .1

verbessern? V'

Welche Arten von Spektralapparaten kennen Sie, welche hat das größere spektrale Aufl(). sungsvermögen 7

Abb. 7.32 Wellenpaket der räumlkhen Ausdehnung dx.

7 Optik

7.4 Quantenoptik

stante zwischen Energie und Frequenz ist das Planck'sche Wirkungsquantum II • 6,626 x 10 14 js. 7.4.2 Pho t oeffekt Die Modellvorstellung. dass das EM-Wellenfeld als Strom von Wellenpaketen l>zw. Photonen darstellbar ist, kann viele Erscheinungen auf natürliche Weise erklären. D1e wichtigste ist der Photoeffekt. Der Photoeffekt besagt, dass wenn ein Photon von eanem Material absorbiert wird, genau einem Elektron die gesamte Photonenenergie hf zugeführt wird: f•1 ~ hf Das Elektron hat dann im Material eine höhere potenzielle Energie und kann diese zusätzliche Energie vielfaltig nutzen, z. B. Rhodopsm im Auge aktivieren. um ein Aktionspotenzial zu erzeugen, eine Photosynthese auslösen. eine Photoplatte schwärzen oder Strom in einer Solarzelle erzeugen. Man spricht in diesem Fall von dem Inneren Photoeffekt. Ist d1e Photonenenerg~e größer als die Bindungsenergie W des Elektrons im Atom oder Molektil, dann wird das Elektron ins Vakuum freigesetzt und hat danach eine kinetische Energie, die um die Bindungsenergie verkleinert ist: felk•n • lifw. Diesen Fall bezeichnet man als den äußeren Ph<>toeffekt. Die freigesetzten Elektronen können 1m Vakuum beschleumgt werden und Folgereaktionen auslösen. Photozellen zum Nachweis von Photonen arbeiten nach diesem Prinzip. Photonen setzen Elektronen frei, diese werden in einer Vakuumröhre beschleunigt und vervielfacht, bis sie als elektrischer Spannungspuls gemessen werden können.

7.4.3 Lichtquellen Bevor Ucht in Form des Photoeffekts ..vernichtet" wird, muss es zunächst in einer Quel le erzeugt werden. Diverse Uchtquellen sind uns bekannt, angefangen von der Sonne. Gluhb1rne. Neonröhre, bis hin zum Laser. ln allen Fällen sind elektrische Dipolschwingungen verantwortl ich für die Lichtemission. Man unterscheidet gnJndsätzlich zwischen LICht, das thermisch erzeugt wird. und Ucht, das durch diskrete atomare Übergänge entsteht. Thermisch erzeugt es Ucht - Wärmestrahlung Belspiel für thermisch erzeugtes licht ist die Sonne, aber auch jeder andere warme bzw. he1ße Gegenstand em1ttiert Wärmestrahlung in Form von elektromagnetischen Wellen (vgl. S. 83). Die Wärmestrahlung hat eine breite Wellenlängenverteilung (WellenlängenspektnJm) {Abb. 7.JJ ). Die Wellenlänge .:\.".•• bei der die Intensität maximal ISt, ist charakteristisch für d1e Temperatur des hetßen Körpers. Das Produkt aus A.".,T ist eine Konstante: .:\....,.T

konstant.

200

Abb. 7.33

600

1000

S~ktraivM~IIung

1400 Wellenlänge A(nm] der W.irmestrahlung.

Die Konstante hat den Wert 2,9 >< 1o- 3 mK. Daraus folgt, dass mit zunehmender Temperatur die Wellenlänge des Spektrums sich von rot nach blau verschiebt {Wie~Verschiebungsgesetz). Das ücht der Sonne mit einer maximalen Intensität bei Am.ox • 500 nm entspricht der OberOächentemperarur der Sonne von 5800 K. Die Fläche der Intensitätsverteilung in Abb. 7.33 bei konstanter Temperatur T entspricht der gesamten abgestrahlten Intensität bei dieser Temperatur. d.h. die lntensi t.!it ist die gesamte Energie pro Zeit und FJ;iche. Diese Intensität der Wärmestrahlung be1 der Temperatur T ist gegeben durch:

l =oT-4 Sie steigt also mit der 4. Potenz der (absoluten) Temperatur an. o ist die Stefa~Boltzman~Konsta~ te und hat den Wert: o- 5,66 ·10 8 W m 2 K- 4• M1t Infrarotkameras kann die Emission der Wännestrahlung von Gegenständen abgebildet werden. wobei kleine Temperaturunterschiede deutlich erkennbar sind. Infrarot-Thermographie wird auch in der med1Ztn1schen Diagnostik. z.B. bei der Mammographie, eingesetzt. Atomar erzeugtes Licht durch elek tronische Übergänge Im Gegensatz zur Wärmestrahlung hat licht, welches durch elekrromsche Übergange in einem Atom entsteht, eine wohldefinierte Frequenz. Das Leuchtspektrum von z.B. Wasserstoffist ein diskretes Linienspektrum, dessen Linien einzelne Übergänge zugeordnet werden können (S. 51, Balmer-

179

180

7.4 Quantenoptik 7 Optik Serie. Lyman-Serie. etc.). Üblicherweise ist die Emission von Ucht durch elektronische Ubergänge m Atomen ein statistischer Prozess. sodass keine Phasenbeziehung zw1schen den emittierten Wellen exisltert ( inkohärente Strahlungsquelle~ Die diskreten Übergänge in Aromen und Molekülen können jedoch durch eingestrahltes monochromati sches Licht, dessen Frequenz genau dem Übergang entspncht. stimuliert und verstarkt werden. Stimulation und Verstärkung gehört zum Grundprinzip des Lasers (Light Amplitication by Stimuiated Emission of Radiation). Laser emittieren Licht einer exakten Frequenz durch Stimulation emes scharfen atomaren Übergangs. Das Licht von einem Laser ist monochromatisch und kohärent. d.h. alle Wellen haben die gleiche Wellenlänge. die gleiche Phase und breiten sich in der gleichen Richtung aus. Da das Laserl icht stark gebündelt ist. können schon kleine lntensitätcn für das Auge gef.ihrlich werden.

Laser werden in dt>r Medi7in vielfach eingesetzt. z. 8. zum Punkhch11;eißen der Retina (Photokoagulation), zur Ver3nderung der Homhautkriimmung. lt>rstörung der Linsenkapsel. und als optisches Skalpell. Mit Lasern wt'rdt'n auch Hautkrankheiten behandelt und kleme rumort> Wt>ggebrannt.

7 .4.4 Wahrnehmung von Gegenständen und ihrer Farben Um Gegenstände zu erkennen und mit dem Auge wahrzunehmen. ist es nonvendig. dass Licht genau einmal an einem Gegenstand gestreut und nach der Streuung in unserem Auge absorbiert wird. Wir wollen die Bedeutung dieser Aussage genauer untersuchen. denn sie enthält drei Bedingungen: I. Streuung von Licht. 2. einma lige Streuung. 3. Absorption. Streuung - Wahnehmung des Gegenstandes Beginnen wir mit der ersten Bedingung . Streuung". Wir haben bisher verschiedene Wechselwirkungen von Licht mir Matene kennengelernt: Reflexion. Transmission. Absorption. Beugung. Interferenz aber noch nicht Streuung. Streuung ist das Gegenteil von Reflexion. An glatten Oberflächen wird das Licht tei lweise oder vollständig reflektiert. wie zum Beispiel an Spiegeln. Fensterscheiben. glatten Wasscroberflächen. etc. Reflexion bedeutet. dass d1e Richtung des ausfallenden Strahls durch d1e Richtung des emfallenden Strahls festgelegt ISt Streuung ist genau das Gegenreit An rauen Oberflächen wird das licht in alle Richtungen gestreut. aber nicht reflektiert (Abo. 7.34).

Das gestreute lichl enthält die Phaseninformation über den Gegenstand. an dem das licht gestreut wird. Die ReflexiOn ändert nicht die Phase. sondern lenkt nur das Licht um: Wenn wir 10 emen glatten Spiegel schauen. dann bekommen wirdie Information von unserem Gesicht zu sehen. aber keine :zusätzliche Information über den Spiegel. Dabei ha ben wir durch Erfahrung gelernt, dass der Spiegel d1e Gegenstände seitenverkehrt abbildet Daraus schl ießen wir. dass Gegenstande. um sie wahrnehmen zu können, eine raue Oberfläche haben müssen. an der Licht gestreut werden kann. Dabei spielt es keine Rolle. ob wir eine direkte Beleuchtung des Gegenstands haben oder mehr eine md1rekre und diffuse Beleuchtung. Wir können die Gegenstände genauso gut wahrnehmen. egal ob sie von der Sonne direkt beschienen sind oder ob bei kompletter Bewölkung nur diffuses licht zur Verfügung steht. Wichtig ist ausschl ießlich. dass das gestreute Licht von der rauen Oberflache direkt und ohne eine zweite Streuung lU uns in das Auge kommt. Natürlich gibt es gestreutes Licht, welches von einer Oberfläche auf eine zweite Oberfläche fällt. dort ein zweites Mal gesueut wird und erst dann in unser Auge fallt. Dabe1 geht aber die Information von der ersten Oberfläche verloren und wir nehmen nur die zweite bzw. die Oberfl.'!che, an der zuletzt gestreut wird. wahr. Rau und glatt sind Oberflächeneigenschaften. die noch genauer defimert werden müssen. Eine Oberfläche erschemr uns rau. wenn auf der Längenskala einer Wellenlänge des sichtbaren Lichts. also ca. 1 11m. die Oberflliche rau und uneben ist. Das ist die gleiche Längenskala. bei der auch Interferenzen von Licht auftreten. Fall s die Rauhigkeit eine periodische Struktur hat, w1e das be1 einem lntcrfe-

Abb. 7.34 Wahrnehmung von Gegenständen durch Streuung von Ucht an rauen Oberflächen.

7 Optik renzgitter der Fall ist, dann entstehen lnterferenzmaxima verschiedener Ordnung um die Richtung des reflekrienen Lichts (s. Abb. 7.20. S. 169). Be1 stoclwstischer Anordnung der Spahe gibt e~ auch Aufhellung lWISchen den Hauptmax1ma. und 1w1~hen Hauprmax1ma und Ncbcnmaxima kann nicht mehr unrersch1eden werden. Dieses gestreute Licht nennen wir diffuse Streuung. Durch d1e Streuung w1rd d1e Amplitude und Pha~e des emfallenden Licht~ moduliert und genau d1e<>e Modulanon trägt die lnformauon ubcr den wahrzunehmenden Gegenstand. Um Gegenstande wahr nehmen zu können, muss die Oberflache von Ge genstanden stochastisch rilu auf emer 11\ngenskala der Wellenlange des sichtbaren Lichts ~em. Alle Gegenstände 1n der Natu1 erfullen d1ese Bedmgungen. Im Gebirge stellen wir hauflg fest, dass kleme Kns talJe funkeln. D1ese Kristalle sind dann glatt auf emer Langenskala 100 J.Jm oder größer und reflektieren das Ucht. llei kleineren Au\dehnungen wurden auch diese Knstalhte nur noch 1ur d1ffu~en Streuung beitragen. Noch ein Bei spiel: die Projektionswand 1m Kino ist rJu. cm Sp1cgel würde sich nicht als Projektionswand e1gnen. damn wurden w•r den Projektor sehen aber nicht den zu 1e1gPn· den Film.

400

450

500 Wel

550

7.4 QuJntenoptik

600

650

700

enlange A 1nm

Abb. 7.35 Emplindlichkel~rekhe MI' chl wnchled~nen 1Mbempfindlichen bpfdlen auf der R~tiN.

ßen, dass Wellenlängen um 500 nm. d1e grun ent· sprechen. gut gestreut werden. während alle ande· ren Wellenlängen im blauen oder roten 8ere1ch ab sorb1ert werden (Abb. 7.3601). ln der Tat findet man bei grünen Blättern aufgrund des Chlorophyll~ Absorptionsbanden im blauen und roten Bereiche, aber fJSt keine Absorption im grünen Bereich (Abb. 7.l6b). D1es gilt g.mz allgcmetn. D1c Farbe.

'l$1jijtJM Die Oberfln mu\~ rdu dul n eml.tehl·n Streupfwc~\ in un-cr Auge qdanqen. ddmt wir ~n~täner Aul!:e wahrgenommen werden. Auf der Retina smd Stabehen angeordnet, die flir die hell-dunkel Empfindlichkeil veranrwordich sind, und m we1taus genngercr Zahl Zilpfchen, d1e d1e l'arbempflndlichkell vermitteln. Es g1bt dre1 Arten von Zapfchen. d1e den ~•ehrbaren Spektralbereich von rot nach blau gut abdecken (Abb. 7.35). Wenn Ucht in einem Wellenlangenbereich um 400 nm in das Auge f.1llt, dann werden d1e .blauen" Zäpfchen angesprochen, be1 Licht un Bere1ch von 620 nm werden mehr die .roten" Z.ipf chen aktiv1ert. Dazwtschcn liegen du.• Zäpfchen mit der gelb-grünen Empfindlichkctt.

e 0

l I

400

Absorption W1e erkennen wir, ob em Gegenstand blau odl.'r rot 1st? Licht. das .1uf etnen Gegenstand trifft wtrd nrcht nur gestreut. wndern auch absorbiert. Wenn wir z.B. em grünes Blan wahrnehmen, dann mussen wtr notwend1gerwe•se daraus schlie-

450

500

550

600

650

700

Wl'llenlangeA JnmJ

b Abb. 7.36 Absorption. a Absorplion und Streuung von w.-1\cm liCht an grürwn 81dtt~n. b Absorption wn etel>.tr()t!l.lgn~t~hf'fl Wellen '" Chlorophyll im Weilen~ng<'flb~e
181

182

7.4 Quantenoptik 7 Optik die wir wahrnehmen, w ird gestreut. alle anderen Farben werden absorbiert. Weiße Oberflächen streuen alle Wellenlängen, die s1ch zu weiß mischen. Schwarze OberOäche streuen keine Weilenlängen sondern absorbieren alle Wellenlängen im sichtbaren Bereich. Nehmen wir eine rote Projektionswand , dann wird diese bevorzugt Wellenlän gen im roten Bereich streuen, Wellenlängen im blauen Bere1ch werden jedoch absorbiert. Falls blaues Licht auf eine rote Projektionswand fallt , dann erscheint die Wand schwarz. denn blau wird von einer roten Wand nicht gestreut { nur rot wird gestreut). Prlmlir-, Misch- und Komplementärfarben

Misch- und Komplementarfarben kommen durch die Überlagerung von zwei Farben bzw. von zwei Wellenlängenbereichen zustande (Abb. 7.37). Cyan ensreht durch Oberlagerung von blau und grün. Magenta durch Überlagerung von blau und rot. und Gelb {yellow) durch Überlagerung von grün und rot. Man nennt die Grundfarben rot. grün und blau Primärfarben. da sie nicht durch Mischung zustande kommen. abgekürzt RGB-Farben. Die Mischfarben werden als CMY- Farben bezeiChnet. Überlagerung von einer M1sch farbe und einer dazu komplememären Primärfarbe ergibt wied er weiß. da dann alle drei Farben emhalten sind. Farbmischungen

Die Überlagerung von Farben. d1e durch Streuung von Licht an rauen OberOächen zustande kommt. wird additive Farbmischung oder physiologische Farbmischung genannt. Diese Farbmischung ist

auch die Grundlage von Farbbildschirmen und Farbdrucken. Hier werden Farbpunkte der RGB- Farben d1cht nebeneinander gesetzt. D1e Dichte der Punkte 1st so groß. dass das Auge die einzelnen Punkte nicht unrerscheiden kann. Überlagerung von Farben bedeutet dass die relative Häufigkeit der Farbpunkte die gewünschte Mischfarbe ergeben. D1e Farbmischung findet im Auge statt, nicht auf dem Bildschirm oder dem Farbdruck. Im Gegensatz dazu beobachten wir auch eine subtl'aktive oder physikalische Farbmischung durch selekrive Absorprion. Wenn wir ein rotes Kirchenfenster im inneren einer Kirche sehen. dann kommt das weiße Licht von außen durch das Fenster 111 un ser Auge. jedoch nur die rote Komponeme ist noch vorhanden, alle anderen Komponenten sind durch das Glas absorbiert worden. Blaue Fenster absorbieren alle Farben bis auf blau. etc. Falls zwei Fenster überlagert werden. das eine blau und das andere gelb, dann werden alle Farbkomponenten des Spektrums absorbiert und die Doppelscheibe erscheint schwarz. CMY- Farben und deren komplementäre RGß-Farben ergänzen sich durch Subtraktion zu schwarz. Diese Art der Farbmischung wi rd auch in der Malerei benutzt. Dort werden Primärfarben physisch zusammengemischt und die wahrgenommene Farbmischung kommt durch Lichtabsorption in den Farbpigmenten zustande. Dann kann man z.B. aus der Mischung von gelb und blau die Farbe grün erzeugen. im Gegensatz zu der additiven Farbmischung bei den RGB Farben.

Farbwahrnehmung Im Auge durch Photorezeptoren

Rot

Grün

Blau

Cyan

Magenta

Ge-lb (Ye-llow)

Abb. 7.37 Primarfarben und CMY-Misc:hfarben, doe skh durch Addition zu w eiß erg~nzen.

Die letzte Frage, die wir noch kurz behandeln wol len. ist, wie das Licht und die Farben letztendl ich von unserem Auge erkann t werden . Die Optik haben wir bereits behandelt und daher wissen wir. dass auf der Retina ein invertiertes Bild von Gegenständen mit unterschiedlichen Helligkeiten und unterschiedlichen Zusammensetzungen der Wellenlängen entsteht. Die Retina besteht aus ca. 120 >< I 06 Stäbchen und 6" 106 Zäpfchen. den sogenannten Photorezeptoren. Diese Rezeptoren wirken wie der CCD-Chip einer digitalen Kamera. Das B1ld von Gegenstanden w1rd durch die Rezeptoren in Bildpunkte aufgelöst. ln jedem Rezeptor werden die Photonen des elektromagnetischen Wellenfeldes absorbiert. Absorption bedeutet in diesem Fall. da ss der Interne photoelektrische Ef. fekt zum Tragen kommt. M1t anderen Worten, die Energie de~ Lichts wird von Elektronen 1m Retina! der Rezeptoren aufgenommen. Das Retina! ist der lichtsensitive Teil des Proteins Rhodopsin. Sobald ein Photon absorbiert wird. bewirkt die Ener

7 Optik 7.5 Uchtstärke. Beleuchtungsstärke und Schattenbildung

gie der Elektronen eine Isomerisierung des Retinals, d.h. seine Gestalt :Inden sich von gestreckt zu ge· winkeiL Die Isomerisierung wiederum löst eine Kette von weiteren Reaktionen aus, die schließlich in der Auslösung eines Aktionspotenzials mündet, welches über den Sehnerv an das Gehirn zur Verarbeitung weitergeleitet wird. Die Überlagerung von Signalen von überlappenden rezeptiven Feldern mit verschiedenen Wellenlängenempfindlichkeiten entscheidet über Emzelfarbe oder Mischfarbe. Farben stellen also Empfindungen dar, die weder 1m Licht mitgeführt werden, noch im Auge entstehen, sondern erst im visuellen Kortex des Gehirns gebildet werden. Die digitale und neuronale Verarbeitung von Licht verschiedener Wellenlängen führt über den Photoeffekt in den Rezeptoren zum Farbsehen im Geh1m.

,.'fl... Check-up v Wiederholen Sie den Unterschied zwischen

v v v v

Reflexion und Streuung. Was sind Mischfarben? Wie kommen sie zustande? Wann erscheint Ucht weiß? Beschreiben Sie noch einmal in eignen Worten den Welle-Teilchen Dualismus. Was Ist ein Photon? Mit welcher Potenz hängt die StrahlungsIntensität eines Wärmestrahlers von der Temperatur ab7

7.5 Lichtstärke, Beleuchtungsstärke und Schattenbildung

II ,. ...

LenKeach Dieser Abschnitt ist wegen seiner vielen Definitionen etwas trocken. Er liefert jedoch wichtige Hinwelse für die Praxis, angefangen von der Gestaltung eines Arbeitsplatzes bis zur Kontrasterhöhung von Röntgenaufnahmen.

7 .5.2 Lichtstärke, Lichtstrom und Beleuchtungsstärke Stellen wir uns eine Lichtquelle vor. die im Zentrum einer Kugel steht. Dann ist die liehtstärke lv definiert als Energie E pro Zeit r und beleuchteter Kugeloberlläche n:

E

lv = r xn Da Energie pro Zeit Leistung P ergibt, ist die liehtstärke auch:

lv Die Einheit der Lichtstärke ist die Candela, abgekürzt cd. Die Lichtstärke ist eine Basisgröße im SI-Einheitensystem (vgl. S. 4). Für eme Lichtquelle. die unter allen Beobachtungsrichtungen gleich hell erscheint (l..lmbert'scher Strahler) wird die Einheit der Lichtstärke lv (Candela) folgendermaßen definiert: 1 Candela (cd) ist die Lichtstärke. die ein monochromatischer Strahler der Frequenz 540 THz (.A = 560 nm) mit der Strahlstärke 1/683 Watt/Steradiant aussendet. Stellen wir uns dazu wieder folgendes vor: Wir entfernen uns um einen Meter von der Lichtquelle im Zentrum der Kugel und betrachten eme Kreisfläche von einem Quadratmeter auf der gedachten Kugeloberfliiche. Diese Kreisfläche hat emen Öffnungswinkel von 65,6 • und entsp1icht einem Raumwinkel von I sr (zur Definition von Steradiant s. S. 11 ). Wird diese Fläche mit einer Leistung von ca. 1,5 mW beschienen, dann entspricht d1es laut Definition emer Candela (Abb. 7.38). Integriert man die liehtstärke lv über den Raumwinkel von 1 Steradiant, dann erMit man den Lichtstrom C1J von I Lumen: cp- lv

x

n.

7.5.1 Überblick Bisher haben wir die lntensitiit von Licht noch nicht quantitativ erfassL Sie zu bestimmen und auf eine einheitliche und vergleichbare Basis zu stellen. ist keine einfache Aufgabe. Es gibt viele lichtempfindliche Nachwe1sgeräte. wie z. B. fotographischer Film. CCD-Chip. Photometer, etc. Damit werdenJedoch sehr unterschiedliche physikalische Eigenschaften gemessen. Im folgenden wird ein kurzer Überblick über die wichtigsten Definitionen und Einheiten gegeben.

1m'

Abb. 7.38 Zur

D~finltlon

von atndela.

183

184

7.5 UchtstJrke, Beleuchtungsstärke und Schauenbildung 7 Optik

Blt>ndt> Kernschatten Halbschatten

Schinn

Tabelle 7.4

l1h 1111 1 tll1n ww•l•d••• U Mq 111m. Uchtquelle

Beleuchtungsst:irke in lx

Sonr>enhchl om Sommer

100 000

Sonnt! im Winter

10 000

Na.:hts bei Vo lmond

0.2

Grerue der Farbwahmehmun9

3

Arbe•tsplau

100- 150

------

Die Einheit des Lichtsstroms ist das Lumen: ((J))• cd >< !l • Lumen. abgekürzt Im. Der Lichtstrom ist die Energ1e pro Ze1t, bzw. die Le1stung, die auf einen Quadra tmeter Fläche im Abstand von einem Meter von der Lichtquelle auflrifll. Die BeleuchrungsstJrke E (Tab. 7.4) ist der Lichtstrom (J) pro beleuchteter Fläche A:

E -~. Die Einheit der Beleuchtungsstärke ist [EI• Lux ( lx ) • lm/m1: 1 lx • 1 lmjml. Die Beleuchtungsstärke nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab:

E -1/rl. D1e DefinitiOnen von Lichtstarke, Llchtstrom und Beleuchtungsstärke sind wichtig für die Gestaltung von Arbeitsplätzen mit ausreichender Beleuchtung. z.B. im einem Operationssaal.

Abb. 7.39 Schattenbildung durch Punkt· quellen und ausgedehnte Quellen.

die Randstrahlen der Lichtquelle defimert, d1e die Blende streifen. Der Halbschatten entsteht durch Oberkreuzen der Strahlen. d. h. der linke Randstrahl der üchtquelle streift den rechten Rand der Blende und umgekehrt. Kernschanen und Halbschatten verwischen die Konturen und erzeugen einen mehr fließenden Übergang zwischen Hell und Dunkel. Röntgenaufnahmen sind Schattenaufnahmen von Objekten. d1e die Röntgenstrahlen absorbieren. Erwünscht sind komrast- und konturenreiche Röntgenaufnahmen ohne Vergrößerungseffekt Die zweite Bedmgung tst leichter zu erfüllen als die erste. Um Vergrößerungseffekte zu verme1den. muss der Abstand zwischen Schirm blw. Film und Gegenstand möglichst klein gehalten werden. Für die Erfüllung der ersren Bedingung sollte man eine punktartige Röntgenquelle einsetzen. Dies ist Jedoch aus verschiedenen Grilnden nicht praktikabel. Stall dessen verwendet man vor dem ~11m eine Anordnung von parallelen Bleilamellen. die die Streustrahlung absorbieren und nur parallele Strahlen durchlassen (Abb. 7.40). Man kann damit den Kontrast auf dem Film trotz ausgedehnter Röntgenquelle deutlich verbessern. Oie geometrische Schattenbildung stehtun Gegensatz zu den Beugungsphänomenen, die w ir auf S. 168f. kennengelernt haben. Man kann die Kante einer Blende als eine Hälfte einer Schlitzöffnung begroßflachige Rontgenquelle

lichtstJrke ~wd in Candela gemessen, Beleuchtungsstdrke word in Lux gemessen. Streustrahlung

7 .5.3

Sch attenbi ldung W~rd em undurchsichtiges Objekt (Blende) 10 den Lichtweg einer punktform1gen Lichtquelle gestellt, dann entsteht ein Schatten hinter der Blende auf einem Schirm. Die Große des Schattens folgt aus dem Strahlensatz: Je we1ter der Sch1rm entfernt 1st. umso großer ist der Schatten. Wenn d1e Lichtquelle ausgedehnt i~t. beobachten wir zwei Arten von Schauen, einen Kernschatten und einen Hall>schatten ( Abb. 7.39). Der Kernschatten wird durch

Film

Bleilamellenraster

Abb. 7.40 Bleilamellenraster vor dem Röntgenfilm erhöht den Kontr~st einer Röntgenaufnahme.

7 Optik 7.5 Lichtstärke, trachten. Bei genauer Analyse wird man in der Nahe von scharfen Kanten (Messer) Maxima und Minima der Lichtintensität feststellen, d ie auf Beugungseffekte zurück gehen. Sogar hinter dem geometrischen Schatten dringt em Teil des Lichts durch Beugung em. Diese Beugungseffekte s pielen jedoch bei Röntgenaufnahmen keine Rolle.

Beleuthtung~starke

und Schattenbildung



....• ... Check-iip Wie ist die Einheitcandela (cd) der Lichtstärke definiert? V' Wiederholen Sie, wie ein Kernsthatten entsteht. V' Wie kann man Halbschatten bei Röntgenaufnahmen vermeiden? V' Warum fällt die Beleuchtungsstärke mit dem Entfernungsquadrat von der liehtquelle ab7 V'

185

188

Klinischer Fall

8

Heilende Strahlung

•

I '(''

Di- ~thtddrusen'>Ztnt•grafie Ie")t eon autonomes ~ ddruscnadeoom (.heißer Knoten·. Pfeile) mit supprimierter Dar-

stellung des re<>thchen Drusengewebes.

Radioaktive Substanzen werden in der Medizin zu diagnostischen und therapeutischen Zwecken eingesetzt. Eines der wichtigsten bildgebenden Verfahren in der Nuklearmedizin ist die Szintigrafie. Radioaktiv markierte Stoffe werden dabei in den Körper eingebracht und reichernsich im Zielorgan, wie Knochen, Herz oder Niere an. Die ausgesandte Strahlung wird anschließend gemessen und bildlich dargestellt. Ein ungewisser Tastbefund Frau Weber 5teht vor dem Spiegel. Nur noch die Hal5kette anlegen und dann zur Arbett. denkt sie. Als ste dte Kette zurechtrückt, fällt ihr ein seltsamer Knubbel an der Vorderseite ihres Halses auf, der beim Schlucken auf und ab wandert. Die Lehrerin beschließt. zunächst ein paar Tage abzuwarten. Doch das Knötchen lasst ihr keine Ruhe und sie geht zu ihrer Ärztin Frau Dr. Sanders. Diese tastet zunächst den Hals der Patientin ab.• Der Knoten geht von der S
"Bunte" Knoten Als der Nu~learmediziner Frau Weber über die Untersuchung aufklärt, hat sie ein mulmiges Gefühl. .Werde ich dann verstrahlt?" will sie wissen. Doch der Mediziner erklart ihr geduldig, dass fur etne Szint•gralie nur schwach radioaktive Substanzen verwendet werden. Stoff\'wechselaktives Schilddrüsengewebe nimmt Jod auf. um die Hormone Thyroxin und Trijodthyronin zu bilden. Bei einer .57intt" gelangt ein radioaktives Isotop des Technetiums, das dem Iod strukturell ahnelt, nach intravenoser Gabe ebenfalls in die Schilddrüse und wird dort mit einer Kamera. die für Gammastrahlen empfindhch ist. nachgewiesen. Neb11n Lage, form und Größe des Organs kann so auch eine Aussage über Funktion und Aktivität des Gewebes getroffen werden. Areale, dte das Techoetturn stark anreichern. sogenannte heiße Knoten, werden im Bild der Katnera rot oder gelb gefärbt Kalte Knoten . Bezirke mit schwa~ eher oder gar keiner Aktivität, haben eine blaue oder violette Farbe. Die Halbwertszeit des Gamma~trahlt:'r~ Technetium betragt dabei nur sechs Stunden. Frau Weber tst erleichtert und nun ganz gespannt auf ihr Untersuchungsergebnis. Radiojodtherapie versus OP Hinter Knötchen in der Schilddrüse stecken oft Adenome, gutartige Tumort>n aus Driisengewebt>. Sie produzieren unabhängig von der Regulation durch die Hypophyse Hormone. Bei Frau Weber erhoffen sich die Ärzte durch ein Basis· und ein Suppressionsszintigramm Klarheit Bei letzterem wird die Technetiumaufnahme in der Schilddrüse vor der Untersuchung durch dte Gabevon 1hyroxin blockiet t. Gesundes Gewebe nimmt die Isotope dann im Gegensatz zu autarken Arealen nicht mehr auf. Frau Webcrs Befunde sprt>chcn für ein autonomes Adenom. Die Gammakamera dctek· l •t>rt in ihrem ltnken Schilddrüsenlap1>en emen St-reich mtt vermeht ter Technellum-Aufnahme. emen heiß!'n Knoten. der auch nach Suppression noch 1u sehen ist. .Muss ich jetzt operiert werden?". fragt Frau Weber ängstlich .•Nicht unbedingt•. weiß der Arzt und erklärt ihr das Pnnztp der Radiojodtherapie. Der Patient nimmt daber radu:l.lktive jodisotope in Kapselform ein, die skh dann in den SthilddrüsenLellen .lnrerchem. Die dort freiwerdende Betastrahlung zerstört das Adenom. hat aber eine geringe Reichweite und verschont so das umgebt-nde gesunde Gewebe. Frau Weber ist 1ufrieden, t-ine OP blerbt thr erspart. Angst vor dt-r Radioaktivtldt hat ste ntcht mehr, dafur aber nun wieder ein strahlendes Lächeln.

8 Ionisierende Strahlung 8.1 Radioaktivität

8

Ionisierende Strahlung

In diesem letzten Kapitel kommen wir au f die Atomkerne bzw. Nuklide zu ruck. die wir schon einmal kurz am Anfang des 3. Kapitels kennengelernt haben. Ohne Kerne keane Atome. Trotzdem führen sie ein Schattendasein. da sie an der chemischen Bindung nicht direkt beteiligt sind. Das ist allerdings vordergründig gesehen. denn wenn bei einer Ionenbindung positive KatiOnen und negative Anionen eane Verbindung eingehen. dann ist .positiv" und .negativ" immer bezogen auf die konstante Ladung. die der Kern bereitstellt. Kerne haben zwei entscheidende Eigenschaften: sie sind entweder stab1l oder mstabil. Um die stabilen Kerne müssen wir uns mehr weiter sorgen. sie sind Teil un~eres täglichen Lebens. Aus ihnen werden alle uns bekannten Moleküle und Materialien gebildet. einschließlich Organe. Gewebe, l<nochen. Holz, Beton. Metalle. Transisroren. Festplatten. LCD-Bildschirme etc. Hier geht es um die mstabilen Kerne. Zunächst einmal müssen w1r verstehen. wann und warum Kerne evtl. nicht stabil sind. Sodann diskutieren wir. wie Kerne zerfallen und in welche neuen stabilere Kerne sie sich umwandeln. Und sch ließlich beschreiben w1r, wie Rad10nukhde in der Medizin eingesetzt werden und wie man sich vor radioaktiver Strahlung schützen kann.

8.1 Radioaktivität

;

A ...

Lerncoach Ot>r radioaktive Zerfall wird durch ein Exponentlaigesetz beschrieben. Machen Sie sich daher noch einmal die allgemeine form einer Exponentialfunktion klar (S. 16) und wie man sie halblogarithmisch darstellen kann, um daraus die Zerfallskonstante zu bestimmen (S. 17. Vergewissem Sie sich auch noch einmal über den Aufbau von Atomkernen aus Protonen und Neutronen in Kapitel 3 (S. 49).

8.1 .1 Nuklide und Radionuklide Nuklid ist der Fachausdruck für einen Atomkern. Ein Nuklid setzt sich aus seinen Nukleonen, den Protonen und Neutronen. zusammen. Die Massenzah l A ist d1e Summe aus Protonenzahl Z (auch Kernladungszahl oder Ordnungszahl genannt) und Neutronenzahl N: A • Z + N. Die Nomenklatur ist üblicherweise ~X. X steht für ein chemisches Element. die Neutronenzah l folgt aus der Differenz A-l. Bei gle1cher Ordnungszahl Z können Nuklide unrersch•edliche Neutronenzahlen haben. Nuklide mir gleichem Z aber verschiedenen N nennt man isotope Nuklide. oder kurz Isotope. Alle Kerne bis

100

:E

~

OJ

c

B SO

:f

l\eutrone1Uahl Abb. 8.1 Nuklidkart~ d~r bekannten lsoto~. H•er sind d~ Keme als Funkboo ihrer Neutronen· und Protonenzah aufgetr~gen. SWboL Gelb steht für o·Zerfall. bl.lu lur ß ·Zerfall, und rot tiir !>·Zerfall

W1smur haben ei ne kanomsche ( • fest vorgegebene) Anzahl von Neutronen, bei denen sie stabil sind. Ist die Neutronenzahl un Vergle1ch dazu zu groß oder zu klein, dann werden lsorope instabil und zerfallen im Laufe der Zeit in stabilere Kerne. Instabile Isotope werden als Radionuklide bezeichnet. Es g~bt allerdings auch ein maximales Z für stabile Isotope. Alle Nuklide m1t einer Ordnungszahl größer als 83 (Bi, Wismm) sind Radionuklide. In Abb.S.l sind die bekannten Nuklide als Funktion der Neutronen- und Protonenzahl dargestellt. Schwarze Punkte kennzeichnen stabile Isotope. rote. blaue. und gelbe Bereiche kennze•chnen instabile Isotope. Bei leichten Kernen ist die Zahl der Protonen Z im Schnitt gleich der Zahl der Neutronen N. Bei schwereren Kernen nimmt die Neutronenzahl deutlich zu. jenseits von Z • 83 g1bt es ke•ne schwar7en Punkte mehr, nur noch vorwiegend einen gelben Bereich, der den a-Zerfall kennzeichnet. Isotope in den blau markierten Bereichen zerfallen unter Emission von p- -Teilchen. Isotope in den rot markierten Bereichen zerfallen unter Emission von ß'-Teilchen.ln dieser Nuklidkarte kommt der y-Zerfall nicht vor. da er em Nebenprodukt der ß - und 13'-Zerfalle ist. Wenn instabile Isotope zerfallen und in stabilere Isotope übergehen. dann stellt sich die Frage. warum wir t.iberhaupt radioaktive Isotope in der Natur u nd im tagliehen Leben vorfinden. ln der Narur kommen zwei Arten von Radionukliden vor: Terrestrische Radionuklide sind bei der Geburt der Erde entstanden und haben Halbwertszeiten t 112 von ca. 5 x 109 Jahren. Sie sind etwa so alt w1e die Erde. Belspiele sind: Bl"fh. 401( Kosmische Radionuklide werden durch kosmische Strahlung ständig neu erzeugt. Ihre Halb-

mu. nsu.

189

190

8. I Radioaktivitlit 8 Ionisierend!! Strahlung wertszelten sind verhältnismäßig kurz: r 112 • 5730 Jahre für 14C. r 112 • 12 Jahre für JH (Tritium), 53 Tage fiir 7 Bc. Darüber hinaus gibt es noch künstlich erzeugte Radionuklide für Vielfache Anwendungen in Forschung und Medizin. Künstliche Radionuklide werden entweder in Kernreaktoren durch Einfang von Neutronen oder in Beschleunigern durch Beschuss mit Protonen erzeugt

Z•2

'•·'2 •

8.1 .2 Radioaktiver Zerfall Beim Zerfall von Nukliden wird radioaktive Strahlung emittiert Sie besteht aus folgenden Teilchen: a-Teilchen 5 He-Kerne ( ~ He2 ); ß· -Teilchen • Elektronen; ß'-Teilchen =Positronen= Antiteilchen der Elektronen; y-Strahlen • hochenergetische elektromagnetische Wellen. v, v-Neutnnos • neutrale Teilchen unbekannter Masse. die gleichzeitig bei der Emission von W- und ß· -Teilchen auftreten. Positronen haben die gleiche Masse wie die Elektronen, aber umgekehrtes Vorzeichen. Sie kommen normalerweise nicht in der Natur vor. sondern nur als Zerfallsprodukt bei radioaktiver Strahlung. Positronen sind sogenannte Antiteilchen zu den Elektronen. Auch zu Protonen und Neutronen gibt es Antiteilchen, die jedoch nicht stabil sind. Die Teilchenart kann man durch ihre Ablenkung in elektrischen und magnetischen Feldern unterscheiden: a- und ß-Teilchen werden in elekrnschen und magnetischen Feldern abgelenkt, y-Strahlen dagegen nicht. ß· und ß• werden wegen ihres unterschiedlichen Vorzeichens in verschiedene Richtungen in elektrischen und magnetischen Feldern abgelenkt. Be1 der Em•ssion von a- und ß-Teilchen findet eme Kernumwandlung stau. sodass d1e Kernladungszahl (Ordnungszahl) Z vor und nach dem Zerfall unterschiedlich ist. a-Zerfall Be1m a-Zerfall werden zwe1 Neutronen und zwei Protonen emittiert. Diese vier Nukleonen bilden zusammen den stark gebundenen He- Kern. Der Zerrau erfolgt daher nicht in Form von 4 unabhäng•gen Te1lchen. sondern durch Emission von HeKernen. Dabei nimmt die Massenzahl um 4 und die Ordnungszahl um 2 ab (Abb.8.2 ): 7AX

A 4y T2 , 4He2+

~].2

Der a -Zcrfall 1st 1mmer mit emer chemischen Umwandlung verbunden. a-Zcrfall1st die haufigste Art des Zerfalls bei massenreichen Kernen jenseits von Bi. Beispiel: Radium-Radon-Zerfall : ~6 Ra - ~lRn +~He 2 ~ .

...,

:;:

Z•l

N

<: <: 0

z

~

~

Z-1

Z-2 N

2

N 1

N

N+ 1

N+2

Neutronenzahl Abb. 8.2 Nuklidkarte des a-Zerfalls. Die Protonenzahlost gegen dlt Neu!lonenzahl aufgetragen. Grilne Felder kennLeo
ln massereichen Kernen ist die Kernkraft pro Nukleon ( mittlere Kernkraft) geringer als in leiChteren Kernen, da die abstoßende Coulombkraft zwischen den positiv geladenen Protonen immer mehr zum Tragen kommt. Die schweren Kerne können die mittlere Kernkraft vergrößern. indem sie Ballast abstoßen.ln den Kernen bilden sich stärker gebundene He-Kerne. die den Mutterkern durch quantenmechanisches Tunneln durch eine Potenzialbarriere verlassen. Die Tunnelwahrscheinlichkeiten sind sehr gering, daher sind die mittleren Lebensdauern beim a -Zerfall ubhcherweise sehr groß. JJ·-zerfall Der ß· -zerfall kommt immer dann vor. wenn ein Kern einen Neutronenüberschuss hat. Der Neutronenüberschuss wird durch Umwandlung von Neutronen in Protonen aufgehoben. Be1 der Umwandlung werden Jl -Te1lchen (Elektronen) emittiert. Dabei bleibt die Massenzahl erhal ten und die Ordnungszahl nimmt um eine Elementarladung zu (Abb.8.3 ). Der ß· -Zerfall eines Kerns X mit A-Z Neutronen in emen Kern Y mit A-Z-1 Neutronen kann formal folgendermaßen geschrieben werden: :

2X - 2.1y + fT + ii. Zusätzlich wird noch ein Antineutrino- reilchen v emittiert. Ein Beispiel isr der Zerfall des radioaktiven Kaliumisotops 40 K: ~Ca 0 1e l v. ln der Nuklidkarte {Abb. 8.3) verläuft der ß·-zerfall senkrecht zur Diagonalen von unten nach oben in das Tal der stclbilen Kerne.

1gK •

8 Ionisierende Strahlung 8.1 RadiOaktivität

L+2

:c.

"'e

Z+1

N

~

7

0

0

lr.

Z-1

L-2 N- 2

N- 1

N

N+1

N+2

Neutronenzahl Abb. 8.3 Nuklidkarte des lt"-Zerfall.s. Oi~ Protonenzahl ist

gegen die Neotronenzahl aufgt1ngcn. Grunc rcldcr kenn· zeichnen st~bde Isotope, blaue Feldt>r onstabile Isotope, die durch Emrssion von ß··Tcikhcn zcr(.,llcn. Ocr rote Pie" zeigt den Anfangs- und Endzustands e
Bei Neutronenmangel wird ein ?roton in ein Neutron umgewandelt unter Emission eines IVTeilchens ( Positron) und eines Neutrinos. Dabei bleibt die Massenuhl erhalten und die Ordnungsuhl nimmt um eine Elementarladung ab (Abb. 8.4):

~x~~_ 1 Y + ß ..- v. Ein bekanntes Beispiel ist der Zerfal l von 30P mit einer Halbwertszelt von nur 3 Minuten: ~P - ~Si+ ?e• + v. In der Nuklidkarre (Abb.8.4 ) verläuft der p•-Zerfall senkrecht zur Diagonalen in das Tal der stabilen Kerne. jedoch von oben nach unten. Bei allen Zerfällen gilt der Energie- und der Impulssan. sowie noch eimge weitere Erhaltungssätze be-

Z+2

..

Z•l

"'c0 ~

z

:c. ~

Z- 1 Z-2 N

2

N-1

N

N+ 1

N+2

Neutronenzahl Abb. 8.4 Nuldldkarte des jr -Zemlls. Die Protonenzahl ISt 9<9en doe Neutronenzahl aufgetragen. Grl.rne Felder kennzeichnen stab~ ISotope. rote r~dcr instabile Isotope. doe durch

Emossronvon P'·Teolcht>n 7erfa11en. Der werß.. Pleil zeigt den

Anfangs- und Endzustilnd eines Isotops beim p·.zerrall.

züglich der Symmetrie von Raum und Zeit. Bei der genauen Untersuchung des ll-Zerfalls wurde schon früh festgestellt, dass die Energie- und Impulserhaltung nicht gewährleistet ist. sofern nicht ein weiteres Tei lchen postuliert wird. das sogenannte Neutrino. Obwohl es keinen Zweifel über die Existenz dieses neutralen Elementarteilchens gibt. ist es bis heute nicht gelungen. seme Ru hemasse zu bestimmen. Darüber hinaus wird be1 dem ll-Zerfall die Parit:it verletzt. d.h. es wird ein Unterschied in der Zerfallsrare beobachtet. je nachdem ob die ll-Emission parallel oder antiparallel zum Kernspin erfolgt. Diese .Anomalien" lassen sich nur durch die Einführung einer zusätzlichen schwachen Kraft erklären. die zwischen den Nukleonen im Kern herrscht und die eine extrem kurze Reichweite hat, kürzer als die Reichweite der starken Kernkräfte zwischen den Nukleonen. Diese schwache Kraft kontroll iert die Umwandlung von Protonen in Neutronen und umgekehrt. Sie ist auch für die ..Verbrennung" von Wasserstoff zu Helium in der Sonne verantwortlich. bei der vier Protonen beteiligt sind. zwei davon müssen i n Neutronen umgewandelt werden und zusammen mit zwei Protonen emen stabilen He-Kern b1lden. Dank der schwachen Kraft läuft die Verbrennung sehr langsam ab. sodass die Sonne seit vielen Milliarden von Jahren stabil leuchtet und Energie liefert und dies voraussichtlich auch noch für einige Jahre tun wird. y-Zerfall Nach a- oder jl-Emission bleibt der Kern häufig für sehr kurze Zeit in einem angeregten Zustand. Der angeregte Kern ~x· (gekennzeichnet durch ein Sternchen) zerfallt m einen energieärmeren Zustand (Grundzustand) ~X unter Emiss10n von energiereichen elektromagnetischen Wellen. d. h. y-Quanren. Beispiel 117Cs-Zerfall (Abb.8.S). Der 137Cs-Kern zerfäl lt zunächst unter Emission von jl·-Teilchen (Elektronen) in den 137Ba-Kern. Allerdings ist der neue Ba-Kern nicht gleich im stabilen Grundzustand. sondern em1rriert noch y-Quanten mit einer Energie von 0.6 MeV. Diese Emission erfolgt spontan und unmittelbar nach vorausgehendem jl- -Zerfall. Der y-Zerfall geschieht ohne ladungsänderung und ändert somit auch nicht die Ordnungszahl des Ba- Kerns. Anwendungen wird durch Neutroneneinfang in einem Kernreaktor zu dem instabilen Isotop 60Co umgewandelt Dteses zerfJllt unter Emission von ll -Strahlung in das stabile Isotop 60 Ni. Allerdings ist liONi zunächst in einem noch angeregten Zustand und geht unter Emission von hochenergetischen y-Quanten mir einer Energie von 1.33 MeV in den Grundzu59Co

191

192

8.1 Radioaktivit.lt

8 Ionisierende Strahlung

Dabei ist Ä die Zerfallskonstantl', Einheit 11/sJ. (Achtung: hier ist .A nicht mit der Wellenlänge zu verwechseln). und 1/Ä • r ist die mittlere Lebensdauer. Die Halbwt>rtszeit folgt aus der mittleren Lebensdauer mit Hilfe der folgenden Beziehung:

"'Cs ~ (1.17McV,t .,~30a)

''Ba

Grundzustand

-

r,

1 V \ J \ / \ j o.6Mcv

Die Halbwertszeit c,.2 ist um den Faktor ln2 • 0.693 kü rzer als die mittlere Lebensdauer r. ln logarithmischer Schreibweise isr das Zerfallsgesetz:

-~•:...,__

-----------z 56 55

Abb. 8.5 En~gleschem~ des v·Zffialls nach einem einem vorausgehenden ~Zerfall des IJ1Cs-lsotops in das stabilere lliii.J.Iwtop. ln Klammem •st doe m1ttlere Energie des p·.rei~ chens und doe H~lbwertsze
stand über. Radioaktive 60Co-Quellen werden für die Tumor-Behandlung im Gehirn eingesetzt (Gamma-Messer). Die y-Strahlung ist hochenergetischer selbst als harte Röntgenstrahlung. Oie y-Strahlung wird von vielen Richtungen ausgehend auf einen vorjustierten Punkt konzentriert. Am Schnittpunkt ist die Dosisleistung am größten und dam it auch die Wahrscheinlichkelt für die Zerstörung des Tumors. Technetium ist ein instabiles Isotop. welches in der Szintigrafie eingesem wird. ln der Natur kommt Technetium nich t vor. sondern muss künstlich über die Kernspalnmg hergestellt werden. Das Ausgangsisotop 1st 99Mo. welches durch ß·-Emission in den angeregten Kern 99Tc zerfällt. Dieser wiederum emittiert y-Strahlen nach dem Schema: nrc .. y.

IIJ,Ii;J3M h g1bt ~tabil" und lnsMbile Isotope. D•e Instabilen Isotope zerfallen untt>r Emission von o. ß und/oder v·

Strahlung in stabiler!.' Isotope. Halbwt>rtszeit Der radioaktive Zerfall ist ein stochastischer Prozess. Bei einer Vielzahl von identischen Radionukliden Wt>iß man nie. wann ein einzelner Kern zerfällt. Man kann jedoch genau angeben, wie viel Zeit vergeht, bis die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Nuklide zerfallen ist. D1es wird die Halbwertszeit 1112 genannt. Der radioakuve Zerfall wird durch das Zerfallsgest>tz beschrieben (Abb.8.6). No ist die Zahl der ursprünglich vorhandenen RJdionuklide und N(t} ist die Zahl der nach der Zeit c verbleibenden Radionuklide. Dann folgt:

2 -

Ä - rln2.

ln(N~:J) -

Är

Bei halbloganthm1scher Auftragung der Zahl der Radionuklide ln N( r) als Funktion der ZCit c erhält man eine Gerade mit negativer Steigung. die der ZCrfallskonstanten - Ä entspricht. Be1 Auftragung des dekadischen Logarithmus zur Basis 10 ist die Steigung um den Faktor log e = 0,43 kleiner:

logC~;')

Äcloge

0.43.At.

Wenn rad1oakt1ve Substanzen im Körper smd. ver•ingert sich ihre Aktivität nicht nur durch Zerfall, sondern auch durch Ausscheiden. Dadurch ist die effektive Halbwertszt>it für viele radioaktive Isotope im Körper kleiner als die physikalische Halbwe rtszeit. ln chesem ~all spncht man von einer biologischen Halbwertszeit. Die biologische Halbwertszeit rj' 2 und die physikalische Halbwertszeit r.'.z setzten sich reziprok zu einer effektiven Halbwertszeit zusammen:

;:rrc·

N(r ) = N0 e .M.

ln2

--"'r- -

-

1

lttr

-

I

I

1 - - : '•tr

rt 2 rf 2

ttz· 1 ~ z c~ z + r.' ·'2

Beispiel: Es wird n•1 aufgenommen. Das Radionuklid IJII beSitZt eine physikalische Halbwertszelt von rund 8 d und eine b1ologische Halbwertszelt von 80 d. Daraus ergibt sich eine effektive Halbwertszeit von 7,27 d. Das 11111sotop ist eine Ausnahme. Üblicherweise ist d1e biologische Halbwertszeit kürzer als d1e physikallsehe Halbwertszeit. in derTab.8.1 smd die Halbwertszeiten eimger klimsch relevanter Isotope angegeben. Die in der Tabelle aufgemhrten Isotope <JOsr. z•orb. z•oro. mu sind nicht solche. die zur Therapie oder Diagnostik dem Panenten verabreicht werden, sondern die durch Kontamination aus radioaktiven Abfällen eventuell in den Korper gelangen. Das Isotop 14C wird durch kosmische Strahlung ständig neu gebildet und in den Körper aufgenommen. Erst nach dem Tod findet kein Austausch mehr statt. Die im Korper vorhandenen 14C-Isotope zerfallen mit der physikalischen Halb-

8 Ionisierende Strahlung 8.1 Radioaktivität Tabelle 8.1

a

• c _..,,.• ._. .. m1t..., •oct... _.

0.8

•1alagl1clun" 'aal a'lal physikalische

biologische

tm

tlp

krillsches Organ

'>:l<jr

28,1 •

lli

Knochen

""Pb

22 a

730 d

Knochen

11 Po

138d

40 d

Mtl7

mu

1,63 < 10' a

300 d

Knochen

Ht l

Sd

80 d

5<:h lddrüse

"C

5570 a

35

Fettgewebe ____.

Nuklid

i

wertszeit und dies kann zur Altersbestimmung herangt'zogt'n werden (z.B. Altersbestimmung von Mumien).

0.7

Nj2 N,Je

.

.. + ..

N,/10

Aktivität Da man auf der einen Seite die Zahl der Radionuklide nicht kennt. auf der anderen Seite sich die Zerldlle durch Emission von a-. ß- oder y-Strahlung bemerkbar machen. definiert man die Aktivität Jls die Zahl der Zerfälle dN(t) pro Zeltintervall dt:

dt

:ANoe

M-

Aoe·.:lt.

Die Aktivität ist proporuonal zur Zerfallskonstanten :A. je größer )., umso größer ist die Aktivität. Die Aktivität hat die gleiche mathematische Form wre das Zerfallsgesetz selbst. Die Definition der Aktivitat hat JedOch den Vorteil, dass man sie als Zählrate. d.h. als Zahl der Zerfälle pro ZeiteinheiL im Detektor messen kann. Die Einheit der Aktivität ist: (A)• Ereignis/s • Becquerel (Bq}. 1 Bq entspricht emem Zerfall pro Sekunde.

+

b

-11''"'';...... ~................ :... ... .

- 1,5

.... ..

...

-2

Aufgabe 8.1: Bei einem Unfall in einem Atomkraftwerk können unter anderem geringe Mengen an radioakti· vem 1~es freigesetzt werden. GPiangt die
dNII )

0.4{... ..... 0.3-' 0.20,1 .......

··+····"'"" .

Rechenaufgabe

A (C} -

~:~L ....

-2.5 .... _:_ ;

.. .

.. ·- --

leit t

Abb. 8.6 Z~rfallsgesetz. Beim rad10Jkbven 7trfall nimmt die Zahl der noch n1cht zerfallenen Rad1onukllde e•ponent.eil mit der Zeit ab. a lineare Auftr•gung; b halblogarithmische Auftragung.

Rechenbeispiel Der Mensch als radioaktiver Strahler Der Körper enth31t ca. 2 g Kalium (K} pro Kilogramm Körpergewicht. also ca . 160 g K insgesamt. Das Radionuklid 4 °K hat eine naturliehe Häufigkeit von 0.012 %, d. h. 0.02 g Kalium 1m Körper sind radioaktiV. Das entspricht e1ner Anzahl von 4°K-Kem~n No • 0,02/40 mol • 3 K 10·"'. die im laufe der Zeit durch Emission von 13·-Strahlung m1t einer Halbwertszeit t 112 • 1,3 x 109 a =4" 10 ' 6 szerfallen. Daraus folgt die Akt1vität von ""K:

A

102

t 1'1

·N -

0 693 3 · · 4·10'6

10~0 "" 5000''5

5000 Bq

Da 13·-Strahlung keine große Reichweite hat, bll'ibt di(' meiste Strahlung im Körper stecken. Trotzdem kann bei größeren Ansammlungen von Personen 1n einem Raum der Ansbeg der RadioaktiVItat sich deutlich bemerkbar machen.

Die spezifische Aktivität a ist die Aktivit;!t auf ein Kilogramm Masse bezogen. Einheit: (a] • Bqfkg. Ein Kilogramm isotopenreines 40 K hat eine Aktivität von 1.7>< 10S Bq. Ein Kilogramm Körpergewicht hat erne spezifische Aktivrtät a = 60 Bq}kg.

193

194

8.1 Radioaktivität

8 Ionisierende Strahlung

Zerfallsreihen Nach Zerfall eines Kerns X mit der Zeitkonstanten Ä1 enmeht oft ein rad10aktiver Kern Y mit einer anderen Zerfallskonstanten Ä2. Dieser zerfallt wieder in einen Kern Z mit einer Zerfallskonstanten .Ä1, usw. bis ein stabiler Kern gebildet wird. Der sukzessive Zerfall von Mutteri<em X in Tochterkerne Y. Z. etc. nennt man eine Zerfallsreihe. Jn Zerfallsreihen hängt die Aktivität derTochterkerne von der Erzeugungsrate der Mutterkerne ab (Abb.8.7). Solange X nicht zerfallen ist. kann V nicht enmehen und ebenfalls zerfallen. usw. Oie Aktivität AT des Tochterkerns folgt daher aus der Differenz von Erzeugungsrate der Tochterkerns (= Zerfallsrate des Mutterkerns) und Zerfallsrate des Tochterkerns: Ar

ÄMNM

100

.....:.

~60

2."

40

20 0 ~0--~2~0~~4~ 0~--6~0----8~0----1~00-

Abb. 8. 7 Zerfall von Mutter- und Tochterkem.

Är Nr.

Zerfallsreihen sp1elen bei schweren Kernen eme sehr wichtige Rolle. Rad ium (22GRa) entsteht nach fünf Zerfallen aus mu und zerfällt selbst wieder in Radon (222Rn). bis nach weiteren Zerfällen das stabile 206Pb gebildet wi rd. Klinisch relevant ist der Isotopengenerator ~Mo, der durch Spalten von 235U in einem Kernreaktor gewonnen Wird. ~Mo zerfällt mit einer mittleren Lebensdauer von r • 67 h unter Emission von p·-Teilchen in den angeregten Tochteri<em nTc'. Der Tochterkern zerfällt mit einer Zeitkonstanten von T • 6 h unter Emossion von 140 keV y·Strahlung in einen Kem geringerer Energie: ;:rc. Nach Injektion von nrc· in den Körper wird die y-Strahlung rür die Aufnahme von Szintigrammen genutzL

8.1.3 Radionuklide in der Medizin Therapie Bei der Therapie unterscheidet man zwischen innerer und äußerer Anwendung. Behandlung von Tumoren durch Teilchenstrahlen (Protonenstrahlen, Gammastrahlen) sind äußere Anwendungen. Bei innerer Anwendung können Radionuklide durch Radiopharmaka an den Ort der Behandlung gebracht werden. z. B. das Radionuklid 131 1 zur Behand lung von Schilddrilsen. Diagnostik Auch bei der Diagnostik sind ebenfalls äußere und Innere Methoden bekannt. Oie Rontgenaufnahme ist eine äußere Anwendung, da die Röntgenquelle außerhalb des Körpers liegt. Die Szlntigrafie ist dagegen eine innere diagnostische Anwendung. Zunächst werden d1e Radionuklide ilber Radiopharmaka an den Ort der abzubildenden Organe transportiert. Die emittierte y-Strahlung w1rd mit emem Film oder mit einer y-Kamera aufgenommen, nachdem die Radionuklide sich an den abzubildenden Organen angereichert haben.

Sehr spezialisiert und teilweise durch die Kernspmtomogratie abgelöst ist die Positronenemissionstomografie {PET). Zunächst wird künstlich das Radionuklid 18F durch Beschuss von H2180 mit Protonen in einem Beschleumger erzeugt. Dabei nimmt der Sauerstoff unter Abgabe eines Neutrons ein Proton auf und wird zum l8f. 18f z.erflllr unter Emission von ß'-Teilchen (Rilckumwandlung eines Protons in ein Neutron) wieder in 180. ß'-Teilchen sind nicht stabil. Sobald die hochenergetischen Positronen in Materie durch Stöße abgebremst sind und auf ein ß -Teilchen (Elektron) treffen, zerstrahlen beide Teilchen (Paarvernichtung) unter Emission von zwei y-Quanten. Oie hochenergetischen yQuanten (ca. 511 keV) fliegen vom Ort der Paarvernichtung m entgegen gesetzter Richtung auseinan der. Seide y-Quanten werden zur Diagnostik verwendet. Filr die PET wird das radioaktive 18F in das Radiopharmazeutikum 18F-Fiuoro-2-Deoxyglucose (FDG) eingebaut und an die zu diagnostizie-

Abb. 8.8 Koinzidenzsc:~Yitung zum NachWf'o\ von ~· \ ·Qwnten. doe bet der PJarvemic;lllung von ß•.jl··TL.;khen

gleidlletlog und on entgegen geset7ter Richtung PITI•t hE'rt wer· den. Dtr Dttelctor 01 wird ln Koonzidenl (- Übeoc.nslimmung. d. h. doe Stgnale müssen gleichzeoiKJ ankommt'fl) no df'n

Detektoren KOl

- KOl ~bgelragt.

8 Ionisierende Strahlung 8.2 Röntgenstrahlen rende Stelle (Thmor) transportiert. ln einer sogenannten Koinzidenzschaltung (Abb. 8.8 ) wird dann überprüft, ob beide y-Quanren zur gleichen Zeit im Detektor ankommen und ob sie im Winkelabstand von 180 • emittiert worden sind. Nur dann entstammen die y-Quanten tatsächlich der Paarvernichtung von ß'- und p--Teilchen. Leistungsfähige Rechner rekonstruieren aus den gezählten Koinzidenzereignissen SChnittbilder des gesunden und kranken Gewebes. Paarvernichtung ist der umgekehrte Prozess zur Paarerzeugung, die aufS. 199 diskutiert wird. Beide Effekte beruhen auf der Äqu ivalenz von Energie und Masse.

~·~ Check-up Machen Sie sich nochmals klar, welche Arten von radioaktivem Zerfall es gibt und welche Art von Strahlung dabei freigesetzt wird. Wie unterscheiden sich Halbwertszeiten von mittleren Lebensdauern 7 Wie berechnet man die effektive Halbwerts· zeit eines Radionuklids, das sich im Körper befindet? Wann sind Kerne lnstabll7 Rekapitulieren Sie, welche Vorgänge bei der PET dazu führen, dass ein Signal entsteht.

V'

V'

V'

8.2 Röntgenstrahlen

; ~

...

Lerncoach ln diesem Kapitel über Röntgenstrahlen lernen Sie zwei neue Prozesse kennen, mit deren Hilfe elektromagnetische Strahlung erzeugt wer· den kann, nämlich durch Abbremsen von schnellen Elektronen auf der einen 5eite und durch Erzeugen von Elektronenlöchern in inneren Schalen von Atomen auf der anderen Seite. E.s handelt sich aber nur scheinbar um neue Prozesse, tatsächlich lassen sich belde auf die uns bereits bekannte elektrische Dipolstrahlung zurück führen. Dass beschleunigte Elektronen, also auch negativ beschleunigte bzw. abgebremste Elektronen elektromagnetische Strahlung emittieren, haben wir bereits in Kapitel 5 auf S. 135 über den Hertz-Dipol erfahren. Diskrete Emissionsspektren von atomaren Übergängen sind in Kapitel 3 auf S. SO sowie ln Kapitel 7 auf 5. 179 erläutert. Ggf. sollten Sie diese Kapitel wiederholen, bevor Sie die nächsten Abschnitte erarbeiten.

Eigenscharten der neuen Strahlung bemerkt und das Schattenbild von den Handknochen mit Ring seiner Frau ist schnell um die ganze Welt gegangen. Es ist ihm jedoch nicht gelungen. die Natur der Strahlung nachzuweisen. dies blieb späteren Generationen überlassen. Daher hat er sie X-Strahlen genannt und so heißen sie auch heute noch außerhalb von Deutschland (x-rays oder rayons x). nur im deutschsprclchigen Raum sprechen wi r zu seinen Ehren von Röntgenstrahlen. Röntgenstrahlen haben in der Medizin eine überragende Bedeutung sowohl mr die Diagnostik wie für die Therapie. Sie werden aber auch in vielen anderen Bereichen der Wissenschaft und Technik eingesetzt. z.B. zur chemischen Analyse, Materialüberprüfung, und zur StruklUraufklarung von Festkorpern. Protemen und DNA j. Watson. F. Crick und R. Franklin haben mit Hilfe von Röntgenstreuung die Struktur der Doppelhelix aufgeklärt und damit die Grundlage flir die moderne Genetik geschaffen. M.F. Perutz hat als erster die Struktur des Hämoglobms m1t Hilfe von Romgenstreuung beschrieben und hat damit nicht nur den Mechanismus des Sauerstofftransports aufgeklärt, sondern auch die ProteinKristallografie begründet. Heute wird neben den traditionellen Röntgenröhren zur Erzeugung von Röntgenstrahlung hoch brilliante Röntgenstrahlung für Grundlagenforschung wie für Anwendungen mit Hilfe von Elektronenspeicherringen. den sogenannten Elektronensynchrotronen. erzeugt.

8.2.2 Erzeugung und Arten von Röntgen-

8.2.1 Einleitung

strahlu ng Röntgen- und Gamma-Strahlung sind beides hochenergetische, kurzwellige und durchdringende elektromagnetische Strahlungsarten. Physikalisch sind sie identisch. Der Unterschied besteht in der Erzeugung. nicht in der Wirkung. y-Strahlung kommt aus dem Atomkern durch spontanen radioaktiven Ze rfall. Röntgenstrahlen werden dagegen mit Hilfe einer Röntgenröhre künstlich erzeugt. Dazu werden zunächst Elektronen in einer evakuierten Röhre durch Gluhemission ins Vakuum emittiert. dann in einer Spannungsdi!Terenz (Anregungsspannung U) auf ein Target hin beschleunigt und dort abgebremst. Bei der Abbremsung wird die kinetische Energie der Elektronen in Strahlu ngse nergie (Röntgenstrah len) umgew;mdelt. Man untersche•det zwei Arten von Röntgenstrahlung. Bremsstrahlung und - Charakteristische Strahlung

Die Entdeckung von X-Strahlen durch Conrad Röntgen im November 1896 ist in die damalige w issenschaftliche Welt wie eine Bombe eingeschlagen. Conrad Röntgen hat sofort die durchdringenden

Bremsstrahlung Bei der Bremsstrahlung werden die Elektronen im elektrischen Feld des Target-Kerns abgelenkt. Dabei

195

196

8.2

Röntgen~lr~hlen

8 tonisierende Strahlung

verlieren sie Strahlungsenergie durch Em1ssion von Photonen. Die maximale Strahlungsenergie. diE' ein Elektron durch Emission von nur einem Photon abgeben kann. entspricht der Anregungsspannung: Emu - eU hf,_. Dabei ist / rnu die Frequenz des Photons. h ist das Planck'sche Wirkungsquantum und e steht ftir die Elementarladung. Dies bedeutet. dass bei der maximalen Photonenenergie die kinetische Energie des Elektrons vollständig in Strahlungsenergie (EM-Welle) umgewandelt w1rd. ln diesem Fall wird Strahlung mit der klemst möglichen Wellenlänge ausgesendet. Die Mehrzahl d!'r ElektronE'n emittiE'rt j!'doch mehrere Photonen (mit größerer Wellenlänge bzw. niedrigerer Energie). bevor s1e vollstandig abgebremst werden. Damit entsteht eine bre1 te Energie- und Intensitätsvertei lung der emittierten Rön tgenphotonen. die von 0 bis zur maximalen Energie EINJ( - hfm.,. reicht. Mit llilfe der Anregungsspannung U und dem Anodenstrom I wird die Intensität. d.h. die Zahl der emittierten Photonen pro Zeiteinheit und Fläche einer bestimmten Energie gesteuert. Darüber hinaus kann man mit der Anregungsspannung die Härte der Röntgenstrahlung eingestellt werden. denn je höher die Anodenspannung ist. umso größer ist die maximale Energie der Röntgenphotonen. die in der Intensitätsverteilung erreicht wird (Abb. 8.9a ).

löst eine Kaskade von Übergängen aus. bis das Atom wieder in seinem neutralen Grundzustand angekommen ist. Beim Auffüllen des K-Lochs durch ein Elektron aus der L-Schale wird die Energiediffe renz zwischen der K- und L-Schale al s Photon freigesetzt: EK; E1 ; 11/i- r.. D1e~e Photonenenergie und damit auch die Wei iE'nlängE' und Frequenz d!'s Photons ist charakteristisch für das TargE'lmatE'rial. Es besteht aus scharfen Emissionslinien. ähnlich den Emissionslin ien von angeregten Wasserstoffatomen. allerdmgs m1t wesentlich höheren PhotonenenergiE'n. Man nennt diese Emiss10nshmen charakteristisch Röntgenstrahlung, da sie charakteristische bzw. spezifisch für die Atome si nd. in d!'nen die Löcher in der K-Schale erzeugt wurden. Bei genauerer Analyse wird man feststellen. dass das Emissionsspektrum eine Femstruktur aufweist. Die ~<.,-Strahlung entsteht durch Elektronenübergang von dE'r L- zur K-Schal t'. die Kp-Strahlung durch Übergänge von Elektronen aus der M - zur K-Schale. etc. Wenn das Targetmaterial der Röntgenröhre aus Kupfer gefertigt ist. dann findet man in dem charakt!'rist ischen Emissionsspektrum Cu-Ko- und Cu- Kp-Strahl ung. bei Wolfram -Targets W -Ku- und W -Kp-Strahlung. etc. Das charakteristische Spektrum ist dem kontinu ierlichen Bremsspektrum überlagert ( Abb. 8.9b). Das charakteristische Röntgenemissionsspektrum ~teilt damit einen Angerabdruck des Targetmaterials dar. Die cha rakteristische Strahlung kann auch zur schnellen. trockenen chemische Analyse von Materiahen und Materialzusammensetzung von Proben genutzt werden. Diese sogenannte Röntgenfluoreszensanalyse wird häufig in der forensischen Medizin eingE'SE'tzc.

Charakteristische Strahlung Treffen die Elektronen im Target direkt auf K-Elekt· ronen der mneren Schalen der Targetatome, regen sie diese an. indem sie s1e auf eine höhere Schale heben oder ganz aus dem Atom heraus schlagen (Stoßlonisation). Die K-Schale ist im Grundzustand mit zwei Elektronen besetzt. Durch die Stoßionisanon fehlt em Elektronen. 01eses Elektronenloch w1rd durch ein Elektron aus der nächst höher gelegE'nE'n EIE'ktronenscha iE' L aufgE'ftillt. das L-loch wird dann durch ein M -Elektron aufgeflillt. usw. jedes aus der K-Schale heraus geschlagene Elektron

8.2.3 Röntgenröhre ln Abb. S. t O ist schematisch der Querschmu und d1e Schaltungeiner Rtln tgenröhre dargestellt, wie s1e in der medizinischen Praxis Verwendung findet. DiE' Kathode ist geerdet, eine kle ine Wechselspannung

K,

K

Abb. 8.9 Intens ität und Energte von Röntgenstrahlung. a lntensotatsverteiluog der Brem sstrahlung. 01e m ax1male Energ1e

c, ... c_,c_ c

E

Cnergie der Röntgenphotonen

a

b

der Bremsstrahlung wird uber dte Anodenspannung kontrolliert. b Bremsspek· trum und charilktenstisches Röntgene m•sslonnpektrum emes Targetmatenals.

8 Ionisierende Strahlung 8.2 Röntgenstrahlen evakuierte Röntgenröhre

rotocrende Anode (· Wotframtarget) Stator Rotator

V

Erdung Heizfilament [lektronenstrahl

+ 60000V

\ Röntgenstrahlen

sorgt für das Heizen eines Filaments. aus dem Elektronen durch Glühem1ssion austreten. Diese werden im Vakuum der Röhre auf eine rotierende Anode mit einer Anodenspannung U von 50 - 100 kV beschleunigt und beim Auftreffen im Targetmaterial der Anode (Wolfram) abgebremsr. Der Anodenstrom I ist d1e Zah l der Elektronen. die pro Zeiteinheit auf die Anode hin beschleunigt werden. Nach Durchlaufen der Potenzialdifferenz haben die Elektronen eine kinetische Energie E = eU (e = Elementarladung). Die Anode wird durch einen Elektromotor im Vakuum schnell rotiert damit der Brennfleck der auftreffenden Elektronen auf einen Kreisring verteilt wird, so dass Aufschmelzen des Targetmaterials vermieden wird.

8.2.4 Rönt genst rahlung in der Medizin Für die Rängendiagnostik in der Medizin wird fast ausschließlich die kontinuierliche Bremsstrahlung eingesetzt. Röntgenaufnahme durch Zentralprojek tion Bei dieser bekanntesten Art der Röntgendiagnostik gehen Röntgenstrahlen von einer ausgedehnten Röntgenquelle aus. durchleuchten einen Körper, und schwärzen einen dahmter aufgestellten Film (Abb.8.11 ). Da Knochen mehr Atome mit höherer Ordnungszahl (Calcium) enthalten als Gewebe. absorbieren Knochen die Röntgenstrahlen stärker als das Gewebe. Dadurch entsteht ein .Scharren· auf dem Röntgenfilm: Knochen heben sich hell gegenüber den Gewebeteilen ab, die schwarz erscheinen. Der Film sollte dabei dicht hinter dem Körper aufgestellt werden. um Vergrößerungen bei der Abbildung zu vermeiden. Mit Röntgenstrahlen können nicht nur Knochen. sondern auch Fremdkörper und insbesondere Metallteile abgebildet werden. Probleme bereiten jedoch innere Organe. Um diese sichtbar zu machen, muss vorher ein kontrasterzeugendes Mittel (z.S.

Abb. 8.10 Querschnitt durch eine Rönt· genröhre filr medl~lnlsche Anwendungen.

Bariumbrei fi.lr den Darmtrakt) eingenommen werden. Für die Abbildung der Herzkranzgefäße (Angiografie) wird vorher einejodhaltige Substanz gespritzt. Computertomog rafie (0 ) Die normalen Röntgenaufnahme enthält keine Tiefeninformation. Dieser Nachteil wird durch die Computertomografie aufgehoben. Bei dieser Diagnosetechmk werden durch eine Kombination zwischen Röntgenstrahlen und Computer ..Schichtbilder" (Querschnittbilder) entwickelt Die Röntgenröhre rotiert um den Körper des Patienten und durchleuchtet diesen rasterartig mit einem punktf
Rintgenquelle

Röntgenfilm

absatbierend~

Gewebe Abb. 8.1 1 Ol.lr
Berem AbSO
'llachbarg~ieten.

1 97

198

8.3 Nachweis und Wirkung ionisierender Strahlun9 8 Ionisierende Stratllung rollerende Rontgcnqucllc

8.3 Nachweis und Wirkung ionisierender Strahlung

~ Lerncoach ..... Hier wie in den vor.~ngehenden Kapiteln wird das Exponentlaigesetzt für verschiedene Berechnungen benötigt. Wichtig Ist auch, sich noch einmal klar w machen, welche Stralllenarten elektrisch geladen sind und welche elektrisch neutral sind.

Detektor Abb. 8.12 Aufnahme einer Com.putertomografie. Oie Rönt·

gcnquel14! Wird um den Palienten rotiert und die Röntgcninten~lt:lt word tn dem gegenoberliegenden Detektor als Funkttori s Drehwinkels detektlert.

den sind. Ein Computer setzt aus den Signalen klare und detailreiche Sehninbilder zusammen. auf denen die räumliche Anordnung des zu untersuchenden Organs hervorgeht. Cf-Aufnahmen sind strahlenin tensiv und die insgesamt verabreichte Dosis liegt je nach Dauer zwischen 20 mSv und J00 mSv. Zur Toleranz von Strahlendosis siehe S. 201. Sterilisation und Desinfektion Röntgenstrahlen werden im Labor auch eingesetzt, um Biomaterialien zu sterilisieren und um Bakterien und Mikroorganismen zu zerstören. <J>

..• ... check-up Welcher Unterschied besteht zwischen Bremsstrahlung und charakteristischer Rönt· genstrahlung? v Erklären Sie das Auftreten von scharfen Emissionslinien im charakteristischen Röntgenspektrum. v Wie kann man die Intensität und die Harte der Röntgenstrahlung steuern, die eine Röntgenröhre emittiert? V Welcher Prozess ist für die maximale Photonenenergie verantwortlich, die man im Bremsspektrum findet7

v

8.3. 1 Überblick Wir Mtten keine lnformauon über ionisierende Strahlung und deren biologische Wirksamkeit, wenn wir sie nicht nachweisen könnten. Zum Nachweis gehört dazu. dass man die verschiedenen Strahlenarten unterscheiden und nach Intensität und Energie ana lysieren kann. Dazu ist es notwendig. die Wechselwirkung von Strahlung mit Materie zu kennen. Du rch nuk leare Katastrophen (Hiroshi ma, Nagasaki, Chernobyl, etc.) sind wir hinsichtlich Gefährlichkeit der Strahlung sensibi lisiert. D1e heutigen Strahlenschutzvorordnungen geben Grenzwerte an und bieten einen effektiven Schutz vor zu hoher und gesundheitsgefährdender Belastung. 8 .3.2 Nachweis ionisierender Strahlung Die einfachste Art. Strahlung nach zuweisen, ist über die Schwärzung von Fotoplatten. Darüber hinaus gibt es zahlreiche Detektoren, die einzelne a -. ß- und y-Qua nren nachweisen können. Ionisationsdetektoren Ionisationsdetektoren smd m1t emem Gas geflillt, das durch Strahlung ionisiert wird. d.h. durch die Energie der Strahlung werden Elektronen aus der Hülle der Gasatome freigesetzt. ln e inem elektrischen Feld zwischen zentralem Zähldraht (Anode) und der Kammerwand (Kathode) werden die Ladungen getrennt (Abb. 8.13). Dabei können die geladenen Teilchen weitere Gasmoleküle ionisieren. Eine Elektronik sorgt nicht nur ftir die Spannung am Zähldraht, sondern bestimmt über die Entla 0

•

dünnes Al-fenster Füllgas lsoiJtlon R

/ähldraht Spannungspuls " Abb. 8.13 S
8 Ionisierende Strahlung 8.3 NCJ
dung em~ Konden>ators die Höhe des elektrischen Pulses. Pro lomsation werden ca. 30 bis 40 eV der Energie des emfallenden ß-Strahls absorbiert. Be1 1 MeV Pnmarenerg1e werden ca. 30000 flektronen und Kaiionen gebildet. bevor d1e Energ1e des emfallenden ß Strahls vollstandig aufgebraucht isl. Die Anzahl der entstehenden Teilchen ist also proportional zur Energie des einfallenden Strahls. Der Proportionalzahler erlaubt daher über d1e Pul~­ höhe die Energie der emfallenden Teilchen zu messen und über die Zählrate (Ereignisse pro Zeit) die Aktivit.lt zu bestimmen. Wenn die Spannungs d1fferenz zw1schen Anode und Kathode 1m Zähl rohr vergrößert wird, 1st der Entladungspuls nicht mehr proportional zur lnerg1e des emfallenden Teilchens. sondern erfolgt lawmenartig. Zählrohre d1eser Art smd Ere~gmszahler und werden Geiger· Muller-l.Jhlrohre genannt Szintillationszähler ln Szintillationszählern (Abb.8.14) erzeugt das emfallende energiereiche Tellehen lichtblitze. deren Zahl proportional zur einfallenden Energie ist. Die Lichtblitze fallen auf eine Kathode und lösen dort über den Photoeffekt Sekundarelektronen aus. D•ese werden m e10er evaku1erten Kaskadenschaltung verstärkt (Sekundärelektronenvervie~ facher) und schließlich an einer Anode nachgewiesen. Szmt11lauonszahler messen sowohl d1e Energie der Strahlung wie auch ihre Akuvnat, analog zu den Proporuonalzahlem. Der Vortell von Szmtillauonszahlern ISt die bessere Energieauflösung 1m Vergleich zu ProportionalzJhlern. sodass ß· und r Strahlen getrennt damit nachgewiesen werden können.

8.3.3 Strahlenwirkung Absorption von Photonen ln Materie Wenn energiereiche Photonen auf Materie treffen. dann Wlrd e10 Te• I der Pnmärintensitat durchgelassen (transmittiert/. e10 Tell w1rd gestreut (abgelenkt i. und em Te1l w1rd absorbiert (umgewandelt) ( Abb.S.IS ). Der Quotient von transmittierter lnten s•tat /d) zur Prim.uintensitat /0 nach Durchlaufen der Dicke d in Vorwartsrichtung wird durch das AbUchtleiter Slintillalorkmt~ll

Sekundärelektron~nvervielfacher Verstar!(~r

----

e • Ahb. 8.14 zahl~.

Schtmatls~

0..-stellung eines Szlntd~

RöntgeMtrahl

I

•~bietter

········•

. ........

l(d)

ROntgenstrahl

-

gestreuter Rontgenstra hl

...,...V gestreuter

Röntgenstrahl

Abb. 8.15

Absorber

T~nsmission

und Absorpclon von Röntgen- und

y-Str.tolen l.n Materie. schwachungsgesetz beschncben 10 der Opuk als l.ambert-Beer-Gesetz bekannt, S. 177): lidl

-;;;

e !Jd.

Hier 1st 11 der Absorptionskoeffizient Die Halbwertsdicke d1 12 folgt aus dem Absorptionskoeffizient mit d 1 2 = ln 21 Jl. Durch Absorption wird die Intensität geschwächt. du~ Energie und Frequenz der Photonen (y- oder Rönlgen~trahlen) ble1bt jedoch erhalten. Ooe transrn !tlcrten ~n haben d.e gleKhc Energie wie d.e pnm.ir emfallenden Photonen. lh~ Zahlast jed·xh g<'ooger. da ean Ted der Photoren an der Matt'OC gestreut oder abwrbiert wud.

Der Absorptionskoeffizient J1(E1'1w>con· Z,p) hängt von der Energie der einfallenden Strahlung und von den Materialeigenschaften des Absorber~ (Ordnungszahl Z und D1chte p) ab. Drei Prozesse führen zur Redukuon der Primarintensu.1t. Photoeffekt: die gesamte J:nerg1e emes Photons wtrd m potenzielle und kmet1sche Energie des absorbierenden Elektrons umgewandelt. Das Photon 1st damtt vermehret. Comptoneffekt: Ein Teil der Photonenenergie w1rd in kinetische Energie des Elektrons umgewandelt. Photon und Elektron 01egen unter lmpul~erhaltung 10 versch1edenen Richtungen weiter. Paarbildung: Falls die Photonenenergie doppelt so groß ist wie die Ruhemasse eines Elektrons von 51 1 keV. dann kann im Feld eines Atomkerns ein Elektron zusammen mu semem Anute•lchen (PoSitron ß' ) geb1ldet werden. Dabe• wird d1e gesamte Energ•e des Photons (yQuams) in Ruhemasse und kmeusche Energie des Elektron-Positron Paares umgewandelt (vgl PaarverniChtung be1 PET, S. 194).

199

200

8.3 Nachweis und Wirl
log(p)

y

---~

-

0

..........

.........

Compton~

0

1 MeV

lOMeV

log (f)

5

0,05

Schichtdicke ImI

Abb. 8.16 Log-tog Darstellung des Abs(l(!)tlonskoeffizienten von Photonen ln Materie als Funktion der Pllotonenenergie.

Der jeweilige Beitrag dieser drei Effekte hängt von der Photonenenergie ab (Abb.8.16). Bis 500 keV dominiert der Photoeffekt. zwischen 500 keV und I MeV ist der Comptoneffekt maßgebend, und rür Photonenenergien größer als 1 MeV ist die Paarbildung der wichtigste Absorptionsprozess. Im Bere1ch typischer Energ1en von Röntgenstrahlen von 20-100 keV dominiert der Photoeffekt. in diesem Bereich w~chst der Absorptionskoeffizient mit der 5. Potenz der Ordnungszahl. Daher ist Abschirmung von Röntgenstrahlen mit Blei (Z ~ 82) wesentlich effektiVer als mit Alum inium (Z • 13). Bleiwesten werden vom Personal, das Umgang mit Röntgenstrahlen hat. getragen. Das Radionuklid 60co emittiert y-Srrahlung mit einer Energie von 1,33 MeV. roco-Quellen müssen daher in dickwandigen Blei-Kanistern transportiert werden. Reichweite von geladenen Tellehen und y-Quanten in Materie a -Strahlen smd geladene Teilchen (lle 2·) mir einer kinetischen Energie, die je nach Radionuklid zwischen 4 und 8 MeV hegt. Beim Durchgang durch Materie verlieren sie durch Ionisation und Anregungen sehr schnell ihre Energie. 5 cm Luftstrecke oder ein Blatt Papier reichen aus. um a -Srrahlen vollständig abzubremsen und in neutrale He-Atome umzuwandeln. Hochenergetische Elektronen oder Positronen werden ebenfalls durch Stöße und Ionisation abgebrem~t. Da diese Tellehen wesentlich leichter sind als a -Teilchen. ist der Energieübertrag weniger effektiv und daher die Reichweite größer, typischerwe1se emige Meter in Luft. Oie mittlere Reichweite der a-Te1lchen und ß-Strahlung 10 Materie ist in Abb.8.17 schematisch llir Luft dargestellt und in Tab. 8.2 für verschiedene Materialien angegeben. Für Y· und Röntgenstrahlung kann keine Reichweite. sondern nur eine ~lalb­ wertsdicke (HWD) angegeben werden. Be1 der

Abb. 8.17 logarithmus der lnten•iut von a-. ~ und y·Sttahlen in Luft •ls Funktion der Relchw~te.

HWD 1st d1e Zahl der y-Quanren um die Hälfte reduziert. die Energie der y-Quanten ist jedoch un verändert. Mit anderen Worten. bei der Absorption von y-Quanten ändert sich nur die Zahl der Photonen. aber nicht deren Energie. im Unterschied zu geladenen Teilchen. Für Strahlenschutzmaßnahmen brauehr man d1e ca. I0-fache HWD.

(i$1i9tJM Geladene Teilchen haben eine Reichweite. jenseits der Reichweite verschwindet der Strahl. Photonen haben kerne Reichweite. die Strahhntcnsital wrrd exponentiell abge!>Chwächt, aber verschwrndet nie vollstandig. Im Bereich der Reichweite verlieren geladene Terlchen Energie durch Stöße. bis sie vollständig abgebremst werden. Photonen werden nicht abgcbr('mst. fotweder sie v('rlieren ihre Energre vollständig durch Photoeffekt oder gar nicht.

llldl

l •• • a-...,. J.Sball' in H.z(), Gewebe

in Blei

Tellehenart

Energie

a-Terlchen

4 MeV

S~m

Sf'm

Elektronen

I MeV

Smm

O,Smm

Röntgen

100 KeV

5 cm·

0,1 cm •

, .Quanten

I MeV

I Ocm'

1 cm•

· kennreithn<'t dr• H•ll>w<>rtsdltke fur Ront~ns~~ltn und ' -Qu>nten

8 Ionisierende Strahlung 8.3 Nachweis und Vl/irkung iOnisierender Strahlung Tabelle 8.4

Rechenaufgabe Aufgabe 8.2: Die lntensltdt einer Röntgenstrahlung kann durch eine (quer zur Strahlung angl'brachte) 0.1 mm dicke Bleiplatte um 50% reduziert werden. An· genommen. die einfallenden Strahlen sind monoener· gfho;ch (100 keV-Photonen) und zuelndnder parallel. Wie starlc werden die emfallendell Strahlen durc.h eine 0.5 mm starlce Bleiplatte abgeschwächt?

.......u...

im Körper

1.4 mSv/a

(LösungS. 229)

Summe der natOrtlchen Dosisleistung

2,4 mSv/a

Strahlendosis Dosis und Dosisleistung Fü r den StrahlenschuiZ ist die biologtsehe Wirkung der Strahlung die entscheidende Größe. Zunächst Mfiniert man die durch den Strahl deponierte Energie in Materie. Als Dosis bezeichnet man die gesamte absorbierte Energie pro Masse unabhängtg vom Zeitraum. in der dte Strahlung aufgetreten ist: . absorbierte Energie DOStS= M . asse Die Einheit der Dosis ist (DJ• Joule/kg • Gray (Gy), wobei 1 joule/1 kg • I Gy ist. Die Dosisleistung ist Dosis pro Zeit, die Einheit ist 1 Gy/min oder I Gy/a je nach Zeitspanne. Qualitätsfaktor Die Gerahrlichkeit der Strahlung beruht auf ihrer ionisierenden Wirkung, bei der Molekülbindungen aufgebrochen und freie Radikale erzeugt werden. Dabei tst die biologtsehe Wtrkung der versehterlenen Strahlenarten sehr unterschiedlich und beruht auf der unterschiedlichen Zahl der gebildeten Ionen paare bei gleicher deponierter Strahlungsenergie. Dies wird mit emem dimensionslosen Qualitätsfaktor Q berücksichtigt. Bet gleicher Energie sind a-Teilchen 20-mal wtrksamer. Ionenpaare zu erzeugen. als y- oder ß-Strahlen (Tab.8.3 ). Äquivalenzdosis Unter Berückstehrung der unterschiedlichen biologischen Wirksamkeit der Strahlenarten definiert man die Äquivalenzdosis H als Produkt aus Dosis mal Qualitätsfaktor: H • D · Q. Die Einheit der AquiT~b~lle8.3

Qn M•W 'lrtor• fDr . . Kt:J 1 aa . .

"q WIW

Strahlenart

Q

Röntgen. y. p

1

therm~he

2,3

Neutronen

schnelle Neutronen o·Strahlen und ~

seilwert IOnen

10 20

I

...

Strahlerr

Strahlungsart

belastung

kosmische Strahlung

0,4 mSv/a

terrestrische Strahlung

0.6 mSv/a

Eigenstrahlung

valentdosis ist (HI • Sievert, I Sv • I J/kg. Will man die Wahrschein lichkeit für das Auftreten von Strahlenschäden organspezifisch ausdrücken, dann wird für die verschiedenen Organe noch ein zusätzhcher Gewichtsfaktor w eingerührt. Die Äquivalentdosis· Ieistung ist die Äquivalentdosis pro Zeit und wird in Sv/min oder SvJa angegeben. Strahlenbelastung Die Menschen sind drei Strahlenquellen ausgesetzt: kosmischen. terrestrischen und zivilisatorischen ( Tab.8.4). Kosmische Strahlung: Strahlung von der Sonne und anderen Sonnensystemen erzeugt eme Gesamtdosisleistung auf Meereshöhe von ca. 0.4 mSvfa. Diese steigt mit der Höhe an und erreicht bei TransatlantikOügen eine Dosisleistung von 2 mSv pro Flug. Terrestrische Strahlung: Die terrestrische Strahlung stammt von natürlichen Radionukliden in der Luft (Radon). im Wasser und in Gesteinen. Sie hängt von den geografischen Gegebenheiten ab. Im Mittel ist ihre Dosisleistung ca. 0,6 mSv/a. Die Strahlenbelastung durch das Radionuklid 40 K im Körper ist ca. I,4 mSvfa. Daraus ergibt sich eine Summe der mittleren naturliehen Dosisleistung von ca. 2.4 mSv/a. Zivilisatorische Strahlenbelastung: Diese entsteht hauptsächlich durch medizinische Diagnostik und beträgt ca. 1-2 mSvfa. Die mittlere Dosisleistung ohne Strahlenschutzmaßnahmen ist in etwa 3-4 mSvfa.

201

202

8.3 Nachwei~ und Wirkung ioni~erender Strc1hlung 8 lonlsiert'nde Strahlung

Rechenaufgabe Aufgabe 8.3: Um das Sch•lddru~engcwebe cmcs Pdll· t'nten m•t S.:hllddrüscnüberfunktJOn leilwci.e lU Iet• storen. er!Uit dieSer ridio.Jkt~VCS n•lod. Ab df-r P~t.ent clu\ der \tcliDildrl"n !Whandil•ng entlas.en ~wd. bl"tragt d11> (Äqu•v~ltnt·)Doslsle•stung 3,5 1JSvJh m 2m Entfer· nung. Wie groß 1St ln 8 m Entfernung dlt" 110m Patic!nten t'r· t.:?ugte Oo$klt,.stung7 Dabt'i v.vd ~Patient Jls punkt· lorrnigt> )·~trahk-nquelle angeseht'n und zwi~ IK'n it1m und dem Mes~erät befindet \kh Luft (d~e SchwWd Vl'HM\lgt). (Lö'unq S. 229)

Strahlenschutz Die geltende Strahlenschutzverordnung steht für 8erriebseinhet ten die folgenden Ortsdosen vor ( Tab. S.S):

Gi

. . . . . ;;

Str
L.:..:.~:.....:....:...;.:...._-:..


mSYJa

I.,

_ _ ~~ kM~ ~-,onderen ~

> 1 mSv/a

Uberwachungsbereith

> 6 rnSv/2000 h

Kontrollbe•eoeh

> 3 mSII/h

~r<Mrtich

Dte Strahlenbelastung wtrd durch Zählrohre und Filmdosimeter uberpruft. Mtt Proportionalzahlroh· ren wtrd jedes Tetlchen. welches in dem l.lhlrohr ein Ionenpaar bildet. nachgewiesen und durch eine nachgeschaltete Elektrontk gezählt rtlmdosimeter tntegneren die absorbterte Strahlung durch Schwärzung des Films Llber den Zeitraum von Ta· gen auf. Durch verschtcdene Absorber vo1 dem Ftlm kann zwtschcn umerschtedlichen Strahlenarten unterschteden werden.

Geeignete Absch1rmungen gegen verschtcdene Strahlenarten sind : etnige mm bts cm Blei für Röntgen- und y-Strah· lung 5 cm Luftschteht bet a -Strahlung 2 mm dickes Alumtniumblech gegen ß-Str.lh· lung 0.5 m dicke Betonwand gegen schnelle Neutronen. Am effektivsten htlft das quadratische Abstand~ge­ setz gegen zu hohe Strahlungsdom. Im doppelten Abstand von der Strahlungsquelle ist die Strah lungsdosis nurein 1/4 bzw. 25% der ursprünglichen Dosts. Eine wettere wtchuge Verhaltensregel bc· sagt dass radt~kuve Matenahen ntemals mkorporiert werden c;ollten. z. 8. Llber dte Atemwege oder uber dte Nahrungsaufnahme. da man sich dann nicht mehr durch Entfernung oder Absch irmung vor der Strahlung o;chutzen kann. falls für diagnos· ttsche oder therapeutische Zwecke Radtonukhde inJtZiert werden mussen. dann sollte dte Gesamtdosts M> gering wte moghch gehalten werden. Dabet hil ft die moderne Medizinrechnik. Ger:lte mit höherer Empfindlichkeit bereitzustellen. sodJss dte Strahlungsdosts des Patienten z. 8. bet der Sztnugrafie vernngert werden kann.

...•~ Check-up ~ Mit welcht'n Detektoren können radioaktive Strahlen n.1chgewiesen werden? ~ Durch welche drei Effekt!! wird ein y-Strahl abgeschwacht? ln welchem Energiebereich spielen diese Effekte eine Rolle? ~ Machen Sie sich noch einmal die unterschied· Iichen Reichwelten von a· und ~Teilchen klar. Warum h.lben y·Strahlen kl!ine definierte Re•chweite7 ~ Wiederholen Sie noch einmal d1e Definition von Dosis, Dosisleistung und Äqulvalenzdosls. ~ ln welchen Einheiten wird dlt' Aqulvalenzdosls angegeben? Wit' hoch ist die natürliche Strahlenbelastung? ~ Welchen Strilhll!nquellen ist der Mensch aus· gesetzt?

204

9.1 Mathematische Grundlagen

9

9 Anhang

Anhang

9.1 Mathematische Grundlagen Rechnen mit Potenzen

Rechnen mit Zehnerpotenzen Multiplikation von Exponenten:

4 x 106 x 1Ol • 4" JO(~ll • 4 x 1Q9

Division von Exponenten:

4 x 106/1 Ql • 4 x 1o:s-3) • 4 x 1Ql

Allgemein Beispiel: Basis 2. Exponent 5:

Weitere Rechenregeln a0 I 11

a

1

=

1/a

a" > a"'

a

an

- 0

a

... a"'

a! = ~a

"= l f a"

am

0' 0 m

a1

a

m n

= v

~

a"b" = (ab)"

Niemals: a" + b" - (a + b)" II Notation und wissenschaftliche Schreibweise 342.3,42 )( 100.3.42 )( ]()2 0,0342 • 3.42 : 100. 3.42 )( 1o-2

Bruchrechnung I 2 a

II

1--1 ----2 a n

Erweiterung von Brüchen: Multiplikation von Brüchen: Addition von Brüchen:

aa

a

ac

6 - ba - bc

a c

ax c

-'!1(----

b

d

bxd

cb ad + cb b + d - bd + db bd

a

c

ad

(l

a. c

Division von Brüchen:

b' d

li

ad

c

bc

d Quadratische Beziehungen

(a t b)2 (a

a2

+ b )( a -

b)

axl + bx t c =

2ab 1 fil a2

fil

0 - Lösung für x

b

.l.

2a

Rechenregeln mit Logarithmusfunktionen

logbb - 1 lo& I = 0 logb(n

m•

loghn

logb( tl / 111 ) - IO&,tl

Iogb11m - m · logbn

logbm 10&,111

\

1(.!!..) 2a

2

-~ _ a

- b + vbl- 4ac 2a

9 Anhang

9.1

M;~thernatische

Grundlagen

Trigonometrische Funktionen sina

b

cosa

-

c

Satz von Pythagoras:

a

tana -

c a2

b

a

a

cor

b

+ b2 ~ c2 c

Trigonometrische Gleichungen: sin2 a

b

cos2 a

sin(90·

a) -

l

cosa 90"

cos(90 - a } = sina sin ( a) -

0

sin(a ) Abb. 9.1

COS( a - COSI a)

sm(2aJ

Wink~l und S~iten im re
2smacosa 2

cos(2a) - I 2sin ta l I tana cota sin n(a _PI - sina cosß + cosa sinß cos(a ± ßl - cosa cos(J _,_ sina sinß Ableitungen (a • Konstante, x • Variable)

dax

dx _ 1 dx

dx

0

dau x ) dx d

du(x)

- adX ( )

dU IXI

~ .,.

Ableitung von Summen:

dx U(X} .._ V X -

Ableitung von Produkten:

d . cJx U(X) X II(X)J

Ableitung von Potenzrunktionen:

- - - maxm· 1

Ableitung von trigonometrischen Funktionen:

d sinax dx - a cosax

Integrale

j adx = ax j au ,x )dx a j u(x)dx j [au(x) .. bv(x) dx a j ul x)dx + b j V\ X)dx .x'"dx = -xm•• - (m ~ } m+ I j~ lnx

J

e"-'dx =

j

~ e"'

sin(ax)dx

J

!

I)

cos(ax )

COS( OX)dX - ! Sin OX )

du(x)

dV(X) dX

dv(x )

VdX + II """iiX

daxm dx

de"-' d = ae'" - ln(ax) dx dx d cosax - a sinax dx

-

I

= -

X

205

206

9.3 Naturkonstanten und nützliche Werte

9 Anhang

9.2 Mathematische Zeichen und Symbole Tabelle 9.1

Mut ur t1sdle z.ldlen .., SWI..,. Symbol

Bedeutung

..

ung~fänr gleich

proportional zu

" •

ungciJhr oder gleich

•

id@ntisch. defin•ert als

ungleich

größer als od@r gl~och >

größer als

sehr viel größer als kleiner als oder gleich <

kleiner als

«

selv viel kle1ner als

t

plus oder minus

----------------------------------

senkrecht zu Wurlel

I

l nt~ral

Summe Produkt unendlich

mittlerer Wert von x

9.3 Naturkonstanten und nützliche W erte Ti belle 9.2

Symbol

Wert

co

299 792 458 m/s ~ 3 x 1o•

y

6.67 • 10- 11

R

8,)14JK

1

mol '

Boltzmann-Konst
1.38 K 10

lJ

I K-1

Avogardo-Konslante

6.022 • 1

Stefan~ßoltlmann~Konstantc

5.66 • 10--" Watt m- 1 K...

Bnelchnung Allgemeine

N;~turkonstanten

Uchtgesch\\Ondlgke1t

ms

1

m1 kg 1 s- 1

Thennlsche Naturkonstanten Allgemeine Gaskoostant~

o11 nno1

1

EleJ
s

Elementartadung

t

1,601 X 10 ' 9 A

elektrische Feldkonstante

c0

8,854 x 10

!Thlgnetische feldkonstante

llo

1,256 • 10-<> V s A- m-1

raraday-Koostante

F

9.65 • 10' C mol- 1

--~----------------------------~

1l

As V 1m

---------------------~

9 Anhang

9.4 Formeln, Symbolt• und Einht>iten

(foilllfMig) kztlchnung

Symbol

WM

h

6,623•10 l<Js

o,

0.529 • 10 " m

Magnt•to~

111

9,27 • I Q·l• A ml

MJs~n~onhN

u

1,66•10'27 kg

"'•

1,673" 10

27

21 kg

Atom~re N~turkonstMlten

Pl"nc~

Konstaote

Bohr'schcr Ridlus Bohr'schc; AlomMt

Protonenmas~

i

kg

Nt'Utronenmassr

m.,

1,67<;•10

El..~ctrontnma«

"'•

9 ,1 09•1Q·JI kg

g

9.81 m , .,

• "' •

Nutzlkhl" W.-rte Erouesch~·

· - "9

9.4 Formeln. Symbole und Einheiten 9.4.1 zu Kapitel 1: Grund~griffe

..

b

-----------l

kul
1 ~-exp(-~iX:.."..;":... '') , iru 2Jl I •

X - ~L:x, I

St~ndardolbwtl
• Ab>olutt'f ~

f~lw

bl'l FPhl.-rlortplanzung aus ..,ner al<,jebrai~othcn Su"'me

tif • J'.t;xl•!AiJ2 + M 2

1

1 2

t;J = /ryu..rr '+t>afoy) +fxyt.lJ

207

208

9.4 Formeln. Symbole und Einheiten

9 Anhang

9.4.2 zu Kapitel 2: Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

....... Beulchnung

Formel

ll.S

Ceschwlnd•gke.t

V=

Beschleunigung

ii

dS dt

lJ.1

dv d's dii

dr •

I

t_:urückgelegte Wegstrecke ~i beschleunigt..". ~ung

s

I

Winkelgeschwind•gke•t

w•r"'2" 1

Bahngeschw1ndigke•t

va.bo - dt - r

di -

v>.,,.•

r

2

vr

21T

ds

I

ZentripetAlbeschleunigung

Op-

Impuls

p-mv

Kraft

r

Gewichtskraft

F•

mg

Zentnfug.~lkraft

F,

m w2 r

Orehimpuls

L

rmva. ."

Trägheitsmoment

I ~ I nl

r

i'

da

tJ"'

r

CJ

VJWt.n(j

dp = tnQ- = dt

Iw

r1

'lltl-lt'l flsm{ i f') w F s• cos( J'.sl lf ISI cosa

Drehmoment Arbeit

Dreharbeit

mg flh W0 ,.. = M a

Kinetrsche Bewegung~ene
E..., =

2 m v'

E.."-

I 2

liubarbelt

WHm, -

~

I

t w' I

2

nl

y> +

ITI

g 1!Jr

P - llW lll

letSiung

--------------------------------~

hbelle9 .5

S,; LahiMIIEli.......

Symbol

Bueichnung

Einheit

a

Beschlwnigung

ms1

Op

Lentnpetalbe>ehleunigung

ms1

E,..,

Kll1et~ he

kg m'

E.,.

RotattOnsenerg•e

kgm 1 s·1 ·

F

Kraft

kgms 1 ·N

I

Gesta tsfaktor

d nlenstOmto.

Fr

Lentofugalkraft

kgm\ 1 •N

Ene•g•e

,-z. J J

-

9 Anhang

.,

.........

Symbol

~z~khnung

Eln~t

F,


kgm~

g

Erd~leun gung

ms

Tr.igll«'ltsmomffil

kq m·

L

Dtd••mpull

kg m' s ·•

p

lmpuh

kg

p

l~istunq

~gm1 s•-Js

r

R•d us

m

s

W<'ljll<«io.c

m

\f

() dllnon~nt

lrqm' s 7 ·Nm

lr.t

r

•

""rind~~

\

V

GP\cl>windigkc•t

ms

1

v..,...

S.hnge>lhwindigkdt

ms

I

w w. ' w.__.

Arbcol

kqm 1 s-2• J

Otth.lrbP'ot

kg ml' l. J

Hub.ar~•t

kgm 1 s7-J

0

\Vm~l

gr~.

r.ad

rad s

1

(ol

Wm~lge)lhwit>dlgke t

7

9.4 rormcln. Symbole und linhe1ten

209

·N

l

rll I 1 1

i -I

•

od~r Krruf~ut'l\l

9.4.3 zu Kapit el 3: Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

........

-

Fonn~l

llezck hnung

6L

u ( L

o

AV

V

E

2jJ

I)

AV P • -Bv

------

p,

fl

A,

Pl

Dwck 11'1 ~·n~m Flihs.q~e•tsm.Jnometer

Pr..lvi1

Schw~rcdruck

P• ,,=pgh

Auftr•cb

---

1-,

•

~

Al

pg h

mn g(mn •

Mas~

der ~rdr~ngtcn Flussigkeit)

1-1"" H 2r

-PiR

v .~

Av

1

-!

210

9.4 Formeln, Symbole und Einheiten

9 Anhang

Tabelle 9.6

Fomle.. (Fortsetzung) ~----~----~--~-

Bezeichnung

Formel

Konliuui!Jugleic.hung

rBernoulli-Gk!ochung

P..... -t P".,..,,."' • P5,..

tVolumenstromstär~ für reale Flüssigktiten

V

Jlp Rs

Strömungswiderstand (Hagen-Po•sCtJHic)

Rs -

ii

Re•henschaltung von StTömungswiderständen

R~= E Rs.

,....__..

+2I p v2 -

konstant

AL

8

Q

;:r

• Leitwert von Strömungsw;derständen bei Parallelschaltung

LR~ I

Re- pvd 'I

Reynold'sche Z.hl I--

I

c - av

Compliance

llP

Tabelle9.7

".............. Symbol

Bezeichung

Einheit

A

Fläche

m'

8

Kompressionsmodul

N m·l . Pa

c

Compliance

m 1 Pa'

F.

flastmtiitsmcxhrl

Nm-> • Pa

g

Erdbeschleunigug

m

Ir oder II

Höhe

m

(I

Volumenstromstarke

m' s

p

Druck

N m-l. Pa

Reynold"sche Zahl

domensionslos

Strömungswiderstand

P s m-1

y

Oberll~chenspannunq

Nm

"

Vis.km1tat

Pas

Poissontilhl

dimensionslos

Dichte

kg m-1

Sp.Jnnung

N nl· 1 • Pd

I= s

I' p

ro

~,

1

1

--

9 Anhang

9.4 Formeln, Symbole und Einheiten

9.4.4 zu Kapitel 4: Wärme, Löslichkeit, Diffusion

Formel

Bezeichnung Rcl
IIV V

Spe7•fische Warmekapa11tät

C - IIQ

Molare WarmekapaZJtal

c....

I. lfaupuJll der Wärmelehre

IIU

m-'" or

Q.

<2M

q

Allgemeine GasgiN:hung (ZustJndsgleichtung)

Q; pV nRT

Gesetz von 8oyle·Marioll

Pt

I G"'etL von Gd)'-luss.K

v,

P2

1\W

(4,

v,

pT - kon;,t

C."'etz von Oalton

P.oo

\l'l.irmestrom

lo

P1 p)......

=Po l1T

Ro 1L

Ro

:.\A

Stefan-ßolt7mann-Gesetz

1-0 r'

Henry-Oalton-Gesetz

s,

KHP.

Raoult-Gcsetz

Pb

x0 P.

van't HolT Zustandsgleichung

II,

v . ni

0\ITlOtischcr Druckunterschied

All- pg h

Ohm-Gesetz der Diffusion

R- lllx DA

RT

--~-----------------

Permeabilotllt

j

I A

p

D!llx

Tibelle 9 9

". hh ... - ,,•• Symbol

Bezeichnung

Einheit

A

FlJche

ml

Spez,ftsche WännekapaNät

Jkg 1 K· 1

Molare Wärmckapazit.\it

Jmoi 1 K 1

D

Diffusionskonstante

mls,

t

(tll•SSiv•t.\it

dmensionslos

lntenslt.'lt der W3rmestrahlung

Watt m·2

I,

Te1khenstrom

s·'

lo

Wirrnestrom

Watt

j

Tellchrmstromdkhlc

s-1 m-z

c.. ...c...,.

lll t

lll

IIJ .... )

RT

V -n

RT V

211

212

9.4 Fonneln. Symbole und Einheiten

9 Anhang

Tabelle 9.9 Spilloie u.d II I , . _ (fort...trung)

Bezekhrlung

Einheit

K"

Henry-Konstante

mol on

L

L3~~g~

m

m

Masse

<9

II

~lollahl

mol

p

Druck

Pa

p

Perm~abihtJt

ms1

R

Allgemeine c.nkonstante

JK 1 mol 1

Rn

[)JflusiOflswiderstand

s m-J

Ro

Warmewiderstand

KWatr

s

Cntropi~

1/K

c,

Stollmengenkonzentration

mol m· 1

1

Temperatur

I(

V

Volumen

m'

x.

Raoult·Konstantc

dimensionslos

hQ hT

Änderung der W•rme

hU

Änderung der inneren Enrrg,.

hW

Änderung der me
a,

linearer Cxpansionskoeflizient

1(•1

Pr

Volum~Expansionskoefl"tZient

K-1

Molfraktoon

dimensionslos

Wili
dimensionslos Wau m 1 K 1

St~fa!l-Bollmlann-Komtante

Watt m·1 K""

[ Symbol

r 0

Temperaturdifferenz

1

Pa·'

l

•

K

9.4.5 zu Kapitel 5: Elektrizität. Magnetismus und Elektrom agnetismus

........ Bezeichnung

Formel

AQ

Stromstärke Stromdichte

At . J

QIQ,-

Coulombkraft

4nr0

rl

Qi

DipOlmoment . f0

Elektri
I

i\

M

I Q,,411Co r

-.---- 2~'

~.

9 Anhang

..

I

9.4

rormcln. Symbole und Einheiten

(Fortlltang)

lleuichnung

Ele·.tmd·. PolenLOII

u- Qc

- - -- -

Kapmrär I'Nlf'< Planenkondcnw to~

('

E~

I

V"' 2cr0 E2 ll.U

lq

R

[U,

0

I

lcotweel Pd•dllelschdltunq

(I) R w,,

""

I

~ LV\

I

R,

lll.U ll.l

~ IIU/ R

12 R

• ''" - ~~c. I

W... t,~. Spdonunqsllodt'rung bei Aufl.odcn ein~ KondenwlO<~

U•ll • U"(l - exp -r r))

Stmmdkh•c: Driltg~schw•ndlgkf'•l

j =P,l•. ~ = a!. Vn ,••l

Nern11 Cldchung

llU

H-

R T ln c, zf c, I 2n r

q [ 2m,

Z~klotronfrtquent

213

214

9.4 Formeln, Symbole und Einheilen

9 Anhang

fwea• (Fortsetzung) Bezeichnung

--~------------------- Formel flpot

EnergiedoChte einer Spule

V

~ekttvwerte von Sp.3nnung und Strom im Wechs~l>tromkreos

I

1

21111oH Uo

lo

Unr

=.,12. l«l = ./2

Wwld~ostung

p

lrl!UtffCOS
lnduktrver Widerstand

RL - wL

KGpazitiver Widerstilnd

Re

Impedanz eines Wechselstromkreises bei Seriensd1altung

z

Transformat()(gleoehung

U;,

Eigenkreosfrequenl eones elektrosehen Schwmgkretses

w•~

~--------------

wC

VRi,

• !Rt Rd

N,IJ N, ·' I

vLC

Tabelle 9.11

.......... =.,•• Symbol

Bezeichnung

Einheit

A

Flilehc

ml

8

Magnetische Flussdichte

V s m· '

c

-Kapazität

c

Lichtgeschwindigkeit

d

Abstand

E

Elektrisches fcld

vm·•

E

Energie

J

e,

Einheitsvektor

dimensionslos

F

faraday Konstante

c

Fe

Coulombkr~ft

N

FL

l()(entzkrafl

N

G

Leitwert

o·•

H

MagnNischc reidstarke

A m·•

Stromstarke

A

lo

Scheitelv.-ert des Stroms

A

1.-r

effektiver Strom

A

1

Stromdichte

Am·'

StromdoChte

Am 1

Induktivität

V s A' 1

llnge

m

Drehompuls

leg ml s·•

Drehmoment

kg m' '''-Nm

Magnetischer Dipol

Am1

Magneri~erung

Am'

r.-, [

,..,

"'

;;,

cv•

-----

m <'

----<

m 1

-- -

9 Anhang

Sp I II

o-

.. 5,.

Bezeichnung

Einhrit

"'•

Elektronenmasse

kg

N

Wuldunqszahl

d•men;oon$1~

n

Brechung~ndex

d1mensoonslos

p

Elektrischer O.pol

Cm

1'..

(JektnS
Watt

Q.q

Ladunq

Q,.

Probetadung

c c

R

Widerstand

0

R

Gaskonslantc

J K 1 mol 1

r

R.ld1us

m

R,

lnneOWlderstand

0

s

Flektronenspin

kg m2 s-

T

Temperatur

K

Zelt

s

u u.

~pannung

V

Sche•telwert der Spannung

V

U.n

eflekriw Spannung

V

u~

Induzierte Spannung

V

OrlftgeS
ms 1

Volumen

ml

~ektriS
Energl4'

Watts • ]

z z

Impedanz

0

ladungszanl oder Wertigkeot

dimensionslos

a. ....

Ohm'scher

6U

SpannungsdifferenT

V

r

Oielelctrizitltszahl oder PenmottMtätszahl

dimensionslos

Co

elektrische reldkonstante des Vakuums

AsV

Permeaboi•t~ts>anl

dunensions.los

Elektronenbeweglkhkeot

m2 s-1 v- 1

Po

Magnctiscnc Feldkonstante

VsA-' m

p

Spezifischer Widerstand

Om

p.

ladungsdichte

C m-1

(1

Leitfoh;gkeot

o-• m- 1

T

Zcitkons~nte

(j

Kreisfrequenz

s s1

X

Suszeptlb•htat

dimeMioMios


MagnetiS
Vs

,, ,,

215

(Forbetlung)

Symbol

~w,,

9.4 Formeln, Symbole und Einheiten

i

remperaturl<~fli~ient

K1

•

1m 1

1

1

216

9.4 Fonneln. Symbole und Einheiten

9 Anhang

9.4.6 zu Kapitel 6: Schwingungen und Wellen

Foo

...

Beulchnung

Forml'l

211 T

Eigenfrequenz eint>S rmtllematiscMn Fadenpendels 1-

[igcnfrequcnz eines fcdcrpcndck

w

Allgemeine Darstellung einer harmoniS<Mn Schwingung

km

Ii

Xo cos(wo · r + 6)

x(t) -

----~~

Gedämpfte SchW>ngung

X(l)

Güu~

Wo/&1

eines

Rc~nanzschwingkreiscs

~

llx

I*"" ~ IAo + Aoz )2

von Wellen

lnkoharente Oberla<:wrung von Wellen

-

-

---

I"' - IAoo12 ; 1Aoll2 1

2Iw, - w, l

Sch\vebelrequenz

w,..• .,""""

Wellenwide~tand

Z=pV

ligenfrequenz einer an beiden Enden e~ngespannten Saotc

lo=.A.=2L

lntensotät von Wellen

I

v

nv

E

p

Al

A

p~

Schalintensität

'"""'"

Schaftdru
Lp

10 IOiogf.

l,.o(

10 ez-Zo)'

I• •

Doppler Frequenzverschiebung bei bewegter Quelle und bev.cgtem Beobachter

l

zz +Zr

v.,...,, l: va /. VSdwll

s,..... und EilliMiteil Symbol

Bezeichnung

Einheit

8 f

MAgnctfl'ld

Vsm

elcl
vm-

8

Kompcesslonsmodul

Non-

F

Elastozita~mod~l

Nm

1

c

l i
ms

1

6

Phasenverschiebung

grad oder rad

fu

K net•>the Energoe

E..,.

l'otentiellt' Energoe

I

Frequeßl

s

g

Etdbi'Schlt'unogung

ms1

lntens•tal eoner Welle

Im 1 s' 1 - Watt m '

Schall.ntens•t•t

Wall m-1

'"'""

I)

v=t.r=r=~l

Wcllengeschwondlgkeit Koh.wente Überlagerung

X() t ' ' COS(Wo

1

1

± Vq

Q

Xo cosC;

1 f

6)

9 Anhang

I) l I Symbol

•n• •

kukhnung

Einheit

Be1og<wm fUr dM Sch.llldruck~

Watt m·1

Scholldruckpegel

Oc<•bd (dB}

lo~ut
Phon

Pu

Oruck•mpl•lude

Pa

T

1>\!r•O
s

r

ll'tt

s

V

W~ll~ngt">Ct,.";ndigkt>•t

ms

Schallljeschwindiglceit

ms1

x(C)

~~Amplit'*

m

~

Wcl!.:n.,..~st.ond

kq m! s

(

lf'tkonstantt>

L

r~

v..,..

oder lmpo:odaoz

1

1

'

(~ ,-1

KI1'1Sitfll~nl

w ..._.

9.4 Formeln. Symbole und Einhe•len

9.4. 7 zu Kapitel 7: Optik Tab~fl• 9. 14

kukhnung

~~--------------------

Formel

Reflc••onsg~tl

~'"' tflrKhunq1)-Grsl'u

n

Bed1119ung fur synunetri>then Stl.ohlg.lr>g eones Pr•sm•<

l

Abb.tdunqsqlt•Chunq fur Sp•<'gel und

stna • nsm ,r/2•

lln~n

Vergrößerung lu1 SpK-gel und Lonsen 1

llnW'niNChc-rfornwl

I D•

2n

I)

R

an emem Spott

dsan9

ml

eitle\ lott>rferenzgottc<s

Dsana

m~

lk
<1ll>lrN

ß
m.1

Bragg·Bed•ngung fur R• • yt'nstrcuung

2dstn9 • ml

Ge~ll

1- S"cos1 o

von M•lus

Opll'>C~

AktiVIf,fl

S~h"·n~tl

Vergröfkrung wn op11 Vergr6krung der I upr

en Instrumenren

a o cL --ro C·g" c ro

v,,. .

;&-

v"V -~ g., r

v...,. J... J.. - v... v..,

l

217

218

9.4 Formeln. Symbole und Einheiten

9 Anhang

Tabelle 9 . 14

..

'w (Fometzung) ~~----------------~ Bezeichnung

Fonnel

Numerisc:he Apertur

A - n sin9

Aufl6sungsllt'f!TI6gen 'IOn M1kroskopen --------~---------------Spektrales Auflösungsvenn6gen e1nes Pnsmenspektrographen

R =At>. ).

lU

).

,u - mN

tambert·Beer G~t7

I >..d)

-----------------------

I

Elektronenenergoe beun

E

au~en

hf

I -ur'

---------------------Brewster Winkel

tana1

Akkommodationsbreite

Symbol

I >..d)

t,.,.,.- hf - w

Photoeffekt

lntens1tät eines Warmestrahlers

SW•t•ll•

Iot>.) 10 " 1 '' 4

og lcH>.1

Energie eines Uchtquants

n

A

_.B I&R • Bezeichnung

Einheit

A

Numl!flsche Apertur

dimensionslos

A

Akkommodatoonsbre1te

dpt

A

Abwrption

dimensionslos

8

B•ldgrö&e

m

b

B~dwcite

m

8

Ba~l.lnge eine

c

Uchtg~hWind'9ke•t

m s·

c

Molare Konzentration

moll

d

Spaltoffnung

m

d

Dtcke e111er Küvette

m

d

Netzebenenabstand

m

D

Brcchkralt

m·'

D

Spaltabstand

m

E

Beleuchtungsstärke

Lux

E

Energ•e

f f

Brennwe•te

m

rrequenz

s·•

F

Brennpunkt

G

Geqenstand

m

g

Gogenstandswe•te

m

II

Planck·sches Wirkungsqua11tum

Is

Uchtst.irke

Watt sr' • cd

---

~

8611

.u

Sptktt
Al>sorption

Prismas

-

m 1

dpt

t(>.lcd

9 Anhang

I;

a...... s, ns

219

(Fortsebung)

Symbol

Bezeichnung

Einheit

L

Abst~nd

m

M

Mittelpunkt

111

Ordnung der Beugung und Interferenz

dimensiomJ"'

n

Brechungsindex

dimension~los

N

Zahl von Spalten in einem Gitter

diml'nsionslos

R

Radius von L1nse oder Spo~el

m

R

AuRösungsverm69en bei Abbildungen

m· •

s

Schl'•tl'IJ>ttnkt

T

Temper~tur

K

Tubu~l~nge

m

T

Transmission

%

V

Vergröl!erung

dimensionslos

v.., v..

Vl'rgröi\Nung des Objektivs

dimensionslos

VergröBerung des OkuiMS

dimensionslos

w

Ausuittsarbeit

<11

Weglängenunte
m

a a

Drehwinkel bei optiKher Aktivität

g~d

Einlallswonkel

gritd

a.

Brewsterwinkel

grad

a,

lDtalreRexionswinkel

grad

(J

Brechungswtnkel

grad

Ablenlcwmkel am Prisma

grad

Sehwinkel

grad

Permittivitätszahl

dimensionslos

Mol;~rer

m1 mol

l;

9.4 Formeln, Symbole und Einheiten

der deutlichen Wahrnehmung

1

c q,

l.Jchtstrom

Lumen

.A

Wellenllnge

m

B

BeugungsWinkel

grad

(]

Stl'fa~>-llolt7mann4(on~tante

Watt m-l K-'

ExtinktioMkol'ffllient

1

220

9.4 Formeln. Symbole und Onheitcn

9 Anhang

9.4.8 zu Kapitel 8: Ionisierende St rahlung Tabdle9.16 ,., 111..

Bezeichnung

Form~!

Zerfallsgesetz

N IJ

Halbwertsreit

11 2 -

N0 r l t

ln2 )

-

r ln2

t---

AktoV1tat Aktivtt
AtO 7~tfall~r~lhl'n

Energie der Bremsstr<Jhlung Ab>O
Ar

E,... l(d) lo

Dosis

Dosis

dNII dr

)."N" eU

:ANoe

1

'-

Aoe

lt

:ArNr hf,..,.

e •• dbSOrbierte Energie Mas<e

Tab~ll~9.17

s,

hl•-= I lla

Symbol

Bezeichnung

Einheit

A

Aktlvit~t

s 1. Bq

A

Masseruahl

dlm~slonslos

a

Speitfische Aktivililt

Bq i
a

Spelifischc Aktivität

s·•

D

DosiS

J 1<9-'

Energi~

l

Elementuladung

~ I

Frequenl

c s·•

h

Planck·Konstante

ls

H

Äqulvalentdosl<

l kg 1•Sv

N

At11ahl v011 Radoonukhden

dimensionslos

Q

Quahtiitsfaktor

dimensionslos

Zeit

s

r1,2

HalbwertsLei I

s

u

Elektrische Spannung

V

z

OtdnungS1ahl

domensionslos

a

Alpha - Teileilen

dimtnSionsfos

/}

Pos1tron

dimensionslos

{J

[lektron

d1menS.100!.I~

y

C...mma-Photon

d•mens.onslos

).

Zetfan~konnantr

S

jJ

Absorplionkoeffizoent

m·l

Neutrono

d•menstOtulos

Mittlere Lebensdauer

s

V ,....__

Ir

--=

•

I

9 Anhang

9.5 Lösungen zu den Aufgaben 9.5.1 Grundbegriffe Losung 1.1 : Wir ~!Jachten dte Vektorsumme aus f 1und F2 : F, F1. Der Summenvektor tst als roter Pfeil gekennzeichnet. Um den_ Betr~g dteses Summenvektor~. ges~hr~eben al~ IF1 · F2 1. LU ermitteln. projiZieren wtr dte betden Kräfte aufdie Mittelsenkrechte. Oie Länge der projizierten Vektoren ist der Be trag von F, und von F1 mal dem Cosinus zwischen d~m Vektor und der Mittelsenkrechten. Damit 1st dE'r Betrag des Summenvektors ( dte Wnge des roten PfE'tls).

I"· f2l- li · cos 10 ( F, l

+

i2 COS( 10 '

Fll)cos(10 ) - 200 N

0. 98 - 196 N.

Die dazu senkrechten QuerkrJfte f_kann man <.'brnfalls aus der ~E'nkrechten Projektton ermitteln:

f'J.

21f•

200 N

sinoiO )

F:

0, 17

35

NI

---

·~ 10

r-

I

9.5 Lösungen 1u den Aufgaben

Lösung 1.3: Das Symbol für dte Basisgröße Zetttstl. die Einhell ist dte Sekunde (Symbol s). das Formelzeichen fUr dte Zeit ist t. Lösung 1.4: Die Beschleumgung i~t aus den B.uisgroßen Lange l und Zeit Z zusammengesetzt. Die Einheit der Beschleumgung ist ms l . Lösung 1.5: 36km•36><101 m; I h•60x60~·3600s•3.6>< 10 3 s. Damt t ist 36 km/h • 36 x 1()l m/ 3.6 >< 1()l s • 10 m/s. Lösung 1.6: ln emem gleichseitigen Dreieck mlissen alle lnnenwmkel gletch groß sem: a • P• y. Da der Gesamtwmkel emes Dreiecks 180 • beträgt. folgt für jeden lnnenwinkel180" 3 • 60 ". Wenn das Dreieck durch eine Mittelsenkrechte c1uf die Hypothenuse in Lwei gleichgroße Dreiecke geteilt wird, dann kann man durch Sehnetden daraus ein Rechteck zusammensetzen. Das Rechteck hat die gletche Räche wie das urspünghche Dreteck und ISt l cos(y(2) >< 1./2 • l cos(30 ") >< LJ2 • 0.43 >< L2. Lösung 1.7: ±1.8 mmHg

LÖ\ung 1.2: Um dtese Frage zu beantworten. nehmen wtr an. dass ein Wassertropfen eine kug<.'lförmige G<.'stalt hat. Das ist für große Tropfen Lwar nich t richtig. aber kleine Tropfen smd wegen der dominierenden Oberflachenenergie tatsachlich kugeltbrmtg. jcm gehen Sie m dret Schnrten vor. Zunachst berechnen Sie das Volumen emes Tropfens. Dann rechnen Ste die 4,2 ml in em Volumen mtt der Einheu rn l um. Im dritten Schritt dtvidieren Ste das Gesamtvolumen des Desmfekrionsmtttels durch das Volumen cmes Tröpfchens und dann haben Sie dte An1ahl der Tröpfchen. 1. Schritt: ln der Tab. 1.3 (S. 10 ) tSt das Volumen det Kugel mit 4rr/3 r 3 angegeben. wobei r der Radtus ISt, d.h. der halbe Durchmes~r. Setzen Sie alc;o 0,5 jJm • 0.5 x I 0 6 m als Radtus em. dann erhalten Sie fur das Volumen eines Tröpfchens: 4n/3 (0.5 x 10 6 )1 m 3 • 4rr/ 3 (0.53 >< 1 1&) m J • JO· IB ml. 2. Schritt: Aus der Volumenangabe 4,2 ml folgt 4,2><10- 1 1•4.2xJ0 1 xJ0 1 ml •4.2xJ0 6 ml. denn I m 1 enthc1lt 1000 l.Jter. 3. Schritt: Dividteren Sie 4.2 >< 10o6 m durch das Volumen emes Tropfens: 0,5" 10 •• ml : (4,2/0,5) )( ( 10 6/ 10 18 ) • 8,4 X JOiß-ü z 8,4 )( 1012 Tröpfchen. Das Erg<.'bnis ist eme reme Zahl ohne Emhett

o-

o.s"

Lösung 1.8: 0.25 % Lösung 1.9: Die St.lndardabweichung des Mirtelwerts folgt au~

s "N ' wobet N d1e Zahl der Probanden 1St und s dte Standardabweichung de~ Messwert~. Um die Stclndardabweichung des Mtttelwerrs von ± 0.1 mm auf ± 0.01 mm zu senken. muss bei gleicher StandardabweiChung von s • I mm die Zahl der Probanden von 100 auf 10000 erhöht werden. Denn dte Wurzel au~ 100 tSL 10 und d1e Wurzel aus 10000 i~t 100. Da bereits 100 Probelnden get<.'stet wurden, kommen nur noch 9900 dazu. Lösung 1.1 0: cos(45 ) • sm(45 " ) • 0.707106.... Ote betden Werte smd identisch, da bei 45 • die Ank.lthete und die Gegenkathete gleich lang sind. Potenzdarstellung: die Potenz zu 2 ist-1 /2. d.h. 2 112 ·0.707106.... Lösung 1.11: ln d1esem Fall ist ~in( 30 ") ~ 1/2 und cos(30 "). 0.866. Oie beiden Werte smd hier nicht identisch da bei 30 • dje Ankathete größer als die Gegenkc1-

221

222

9.5 Lösungen zu den Aufgaben 9 Anhang thete isL ln Potenzdarstellung: 1/2 • 2- 1; cos(30 • ) • 0,866. (3/4)112. 3112" 2- 1.

9.5.2 Mechanik d es Massepunkts Lösung 2.1: Die Definition der Geschwindigkeit v •lls/llc. Hier ist lls • 0,75 m und llt • 0,125 s. Aus dem Quotienten folgt: 0.75 m/0,125 s- 6 m/s. Lösung 2.2: Die Nervenleitgesdlwindigkeit folgt aus der Definition der Geschwindigkeit:

lls R2 - R1 40 x 10-2m v = ll-r = r2 - r1 - ""'pc::0,.;.-""'2::-:);,.,;x_l:-:0,;.;.,.3s _ 40 x 101 m _

Bs

50

m.

s

Man könnte auch die Zeit vom Reiz bei R2 bis zum EMG-Signal messen. Dies hättejedoch den Nachteil, das in die gemessene Zeitdifferenz nicht nur die l..clulieit des Nervensignals eingeht. sondern auch Latenzzeiten. Bei der Differenzbildung von zwei Laufzeiten erhält man dagegen die reine Nervenleitgeschwindigkeit. Lösung 2.3: Wir können alles in Minuten oder Sekunden umrechnen, oder bequemerweise bei der Stundenangabe bleiben. Dann folgt die mittlere Geschwindigkeit aus: V=

80kmj h x 0. 5h + 30km/ h x 0, 3h 0, 5h ~ 0, 75h ... 0. 3h 49km

= 1, 55 h ~ 31kmf h. Lösung 2.4: Die Geschwindigkeit des Schwimmers ist v, s 4 km/h ~ 1,11 mfs, d1e des Flusses ist vr ~ 6 km/h = 1,66 m/s. Ohne Flussströmung benötigt der Schwimmer 1, • Bfv,• 50 m/1.11 ms- 1 • 45 s. um das andere Ufer zu erreichen. ln der gleichen Zeit wird er um die Strecke 1. • vr t 1 = 1.66 ms 1x 45 s = 75 m abgetrieben. Lösung 2.5: Zunächst berechnen wir die Fallzeit. Wenn wir die Erdbeschleunigung grob mit 10 mj s2 ansetzen. dann folgt durch Umformen von

h-

I

2

2

Lösung 2.6: Die Zentripetalbechleunigung hat den Betrag: ap = r.~2 r. Nach dem Radius aufgelöst ist: ap

ap

r----:.....,. w2 (211!)2 . Die Beschleunigung soll das 1os-Fache der Erdbesdlleunigung betragen. d.h. 106 ms-2 • Die Drehfrequenz beträgt 30000 rpm oder 500 Umdrehungen/s. Einserzen liefert für den Radius:

lOS

10 6 m s 2

r

= (211 500) 2rad s- 2 = 39. 5 x 2 , 5 x 1os

0 • 1 m.

d.h. die Makromoleküle müssen in 0,1 m vom Mittelpunkt plaziert werden. Lösung 2.7: Vor dem Stoß ist der Cesamtimpuls: nlt..ut vt:~ t mJO~" VKY~n -

2mtae.n v"·ut

m~elfoin vvor

= mKinn v""' = mvvor. Den Index für die Masse können wir weglassen, da alle Massen in Einheiten der Masse des Kleinwagens angegeben werden können. Nach dem Stoß muss der Cesamtimpuls gleich groß sein wie vor dem Stoß. jedoch wird er sich durch den Stoß anders auf die beiden Wagen verteilen. Nach dem Stoß haben w ir zwei Unbekannte. v~~h und ~.~.aber nur eine Gleichung. Die Aufgabe können wir daher nur lösen. indem wir eine zweite Gleichung hinzuziehen. namlich die Gleichung für die Energieerhal tung. Wenn diese berücksichtigt wird (S. 42). dann stellen wir fesL dass nach dem Stoß der Lastwagen mit einem Drittel der urspriinghchen Geschwindigkeit zurück fahrt - I / 3 v''" und der Kleinwagen mit ~~ 5/ 3 vVO< in die Richtung fährt. in die der Lastwagen vor dem Stoß gefahren ist Damit ist der Impuls nach dem Stoß:

(vr:;r

. .NC'h + mvKI
•

mG)v•~ = mv•«

ar

und Auflösen nach der Zeit die Gle1chung:

fih

r=

Das Objekt braucht also ca. 10 s um nach einer Fallstrecke von 500 m auf dem Boden zu landen. Innerhalb dieser 10 s legt das Objekt 10 m in x-Richtung zuriick. Das heißt. das Objekt hat eine Geschwindigkeit in der x-Richrung von v, • I mfs. Dann ist nach 10 Sekunden die Wegmecke x • v. c• 10m.

\Fi =

,-IOOOm \ 10m/ s2

lOs.

Das entspricht genau dem Impuls vor dem Stoß. lmpulserha lrung vor und nach dem Stoß ist damit gewJhrleisteL

9 Anhang 9.5 Lösungen Lösung 2.8: Die Gewichtskraft des Babys ist Fe • 10 kg " 10 m/s 2 • 100 N. Die Kraft, mit der das Baby in die Sicherheitsgurte gepresst wird, folgt aus der Masse mal der negativen Beschleunigung. die von voller Fahrt zum Stillstand führt. D1e Beschleunigung ist gleich der Ändenmg der Geschwmd1gkeit pro Zeit, d. h. in unserem Fall

a Av • At

20 m.fs • m 200 2 0, 1 s s

Die Kraft ist dann Masse mal Beschleunigung, also F • 10 kg x 200 m/s1• 2000 N. Diese Kraft ist 20- mal größer als die eigene Gewichtskraft. Lösung 2.9: Die Eigenfrequenz der Federkonstante ist

2n (k Wo- r - V nr"

e;rm . 6. 28)2 1 kg ( 3, 14

4 kgj s2.

Lösung 2.10:

R,

Lösung 2.11: a. Es handelt sich um einen Hebel3. Art, denn l..lstarm und Muskelarm liegen auf der gleichen Seite des Drehpunkts und der l..lstarm ist viel länger als der Muskelarm. b. Die Kraft des Muskelarms kann man aus der Gleichgewichtsbedingung für Drehmomente berechnen :

Fe 1,.,

= Fsmps IM

Wir lösen diese Gleichung nach der Kraft Fuoups auf und erhalten:

D1e Gewichtskraft i st 100 N und das Verhältms von Lastarm zu Muskelarm ist 8. Damit folgt für die Kraft. die der Biups ausüben muss:

Fao:ti)$ ~ 100 N x 8 ~ 800 N.

W1r seLZen jetzt die Zahlenwerte em und finden:

k

Betrag zu verändern. Damit errechnet sich die Zugkraft beim Krafnraining des Sportlers: Fe • m g. wobei g die Erdbeschleunigung (ungefähr 10 m/s2) darstellt. Bei einer Masse m von 5 kg ist Fe e m g • 5 kg" 10 m/s2 • 50 N. bei einer Masse m von 50 kg ist Fe • m g • 50 kg>< 10 m/ s2 • 500 N.

f sinps - fc (/,.,f /M l·

Wenn w1r diese Gleichung nach k auflösen. dann erhalten wir

k=

zu den Aufgaben

R1

c. Der mechanische Vorteil ist definiert als das Verhältnis aus Gewichtslast zur Muskelkraft. Dieses ist 100 N zu 800 N, d. h. der mechanisdte Vorteil ist 1/ 8, damit kleiner als eins. Ein Vorteil besteht bei diesem Hebel nicht. Lösung 2.12: Im ersten Schritt rechnen wir zunächst einmal die Angaben so um, sodass sie später in die Gleichung emgesetzt werden können . Die Masse 1st 1 ~1g • 10 9 kg. Aus der Zdhl der Umdrehungen ( rpm ) folgt die Winkelgeschwindigkeit, indem wir zunäch st die Frequenz aus dem Quotienten von Umdrehungen durch 60 Sekunden ermitteln. d.h. / • 30000/60 a 5 x I üljs und dann noch mit 2ll multiplizieren. Damit ist die Winkelgeschwindigkeit(,) • 2n/• 3" 103/s. Tatsächlich brauchen wir c.r .,107fs2. Im zwei ten Schritt setzen wir an: kv • mrc.r. Die Geschwindigkeit v ist die zurückgelegte Wegstrecke pro Zeit: v = Ax/At: Wir sind an der Zeit für die Sedimentation interessiert und lösen die Gleichung nach der Zeit auf:

k

Wenn abgesehen von der hängenden Masse m alle anderen Te1le des Geräts und Re1bungskrafte nicht berücksichtigt werden. hängt die Kraft. mit der der Sportler am Seil zieht, allein von der Gewi chtskraft Fe der Masse m ab. denn die Rollen R1. R2 wtd RJ lenken nur die Kraft in der Richtung um. ohne ihren

At - mrc.r t:.x. Einsetzen aller Zahlenwerte ergibt:

At

240kgs I x 10 2 m 10 9 kg " 0. 2m x 107s

1200 s- 20min. 2

223

224

9.5

Lö~ungen LU

den Aufg.Jbcn 9 Anh•mg

Die Se< I 0 Fm/s

d1e~m

Lösung 2.13: Das Ge~mtgewiCht d~ P.ltu~nten plus Au~rti~tung ist IOOx 10 N • 1000 N. Be1 emer Höhend1ferenz von 100m ISt die aufzuwendene mechanische Energ~e I 000 x 100 N m • I 00 kJ. Berticks1chtlgt man noch den Wirkungsgrad. dann ist d1e zusatzlieh benollgte Energ1e de) Patienten fur ~einen Ausflug: I 00 kj:0,2 • SOO kj • O.S Mj. 9.5.3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper

Lösung 3.1 : Bei einer Masse von 60 kg 1st das Gewicht 600 N. Der Druck verteilt sich auf zwe1 Fuße mit Jeweils 300 N. Bei einer Standfläche von 0.3 >< 0.1 m2. 0.03 m2• 1st der Druck: 300 N/0.03 ml • 1>< 10" Pa •100 hPa • 10 kPa. Im Ltegen i~t die Flache ca. 1.8 m >< 0.5 m • 0,9 mz. Damit ist der Druck 600 N/0.9 ml • 666 Pa • 6.66 hPa. d.h. 1S-mal kleiner als im Stehen. Skier und Schneeschuhe haben .JUch die Aufgabe. den Druck zu verringern, um das Einsinken in den Schnee zu vermelden. Lösung 3.2~ Das Gewicht der Mas~ 1St 400 N, du.• Quer'IChnmsfläche des Mu~kels ist I 0" I 0 • m2. D1e Spannung folg aus dem Quotienten von Kr.1h zu Que~hnills­ flache: o • F/A• 400 N/1O·l ml • 4" 1Ol Pa. Lösung 3.3: Das Hooke''ICht' Ge~tz 1st o • Ft.l I Auflosen nach Al I ergibt du~ Stauchung: t.l I o E Einsetzen der Zahlenwerre hefert: Al I 0. 3 GPo IS CPo ~ 0 3 )( 6 66 X 10 l 2 10 2 2 Losung 3.4: Das Hooke'sche Geserz ist durch den Au~druck o Et.l gegeben. Auflösen nach dem Elastizitdts· modul erg1bt.

E

0

6111

Im linearen Ben~1ch des Diagr.11nms :inden s1ch d1e Muskellängevon SO>< JO·! mdufSI • 10 1 m.d.h. es gibt eine relative L..ingenanderung von I , 10 m SO >< 10 J m

I SO

be1 einer gleichzeitigen Spannungserhohung von 0,01 GPa .1uf 0.02 GP.l Einge~etzr in d1e Gleichung

für den El.!stizitätsmodul ergibt Wert für E: E=

~1ch

folgender

0.01 GPa SO - SO x O,O! GP.! - SGP.l 1

Lösung 3.5: Wasserhatdie Dichtevon 1 gfcm 1 oder 1000 k&Jml, Die Erdbeschleunigung setzen wir m1t I 0 m{s2 .Jn . Dann ist der Druck: p • p g h • I 000 kg/ml " 10 m,l s2 " 10 m• 105 kg m· 1 s·2 • 10~ N m 2 • I bar. Eine 10 Meter hohe Wassersäule übt einen Druck von I bar aus. unabh.1ngig davon. welchen Durchmesser d•e Wassersaule hat. Lösung 3.6: Der DniCkunterschied von Blut im Kopf zu Blut m den Fußen betragt ca. p • 1000 kg1m' " 10 m/s2" 1,70m= 170mbar= 17kPa. Lösung 3.7: Die Compliance C ist der Quonent au~ Anderung des Blutvolumens V in der Aorta und Anderung des transmuralen Drucks p. also C •6V{6p. Beim Einsetzen in die Formel erhält man: !80 ml ISO ml ~ 6 I kP ISkPa - IOkPa m a Lösung 3.8: p{l2000m) = 1 barxe- 1200Dm.lllJOOm.l bJr•e·I.S = I bar" 0,22 = 0.22 bar. Lösung 3.9:

p(h,

zl/Po = 1J2 -

eh•

IOOO m

Wir log.lrithmieren beide Seiten und erh.!lten: ln{l /2) • -h,.2(8000 m. oder nach der Halbwemhöhe aufgelöst: h1,'2 • 8000 m" ln2 • SS4S m. Lösung 3.10: Auf Meereshöhe betragt der Luftdruck I bar. 111 5500 m Höhe nur noch o.s bar. Luft 1st em Gas· gem1~ch aus Stickstoff (ca. 801). Sauer~toff (ca, 20 %). Der Or Partialdruck 111 der Halbwerr~höhe betragt demnach: Po, • 20 1: " O.S bar • 0.20" 0.5 bar • 0.1 bar • 10 kPa. Lösung 3.11: Gefragt wird nach dem Schweredruck emer 120 mm hohen Quecksilbersäule. ftir den Schwere druck von Quecksilber gilt Ptr;: PH, g 11 Fin~etzen erg1bt P11~ = 13 SOO kgjm >< IOmjsl " 0.12 m•16200Pa •16,2 kPa. Fur die Höhe der Wassersaule gilt dann: 16200Pa . 62 1000kg · m 1 lOm s:z• l. m

9 Anhang d.h. eine 1.62 m hohe Wassersäule übt den gleichen Druck aus. wie die 120 mm hohe Quecksilbersäule. Eine 3.5 m große Giraffe hat einen Blmdruck von: Pslut

= PBlut .g · h

1000 kg /m

35 000 Pa

3

x

2

10 m js

x

3. 5 m

Lösung 3.14: Das Hagen-Poiseuille'sche Gesetz sagt aus. dass die Volumenstromstärke V proportional ist zur vierten Potenz des Radius r und damit auch proportional zur vierten Potenz des Durchmessers d (da d • 2r):

Ii- d4 •

35 kPa.

do sei der Durchmesser zu Beginn, d25 der Durch-

35 kPa entsprechen 260 mmHg. Lösung 3.12: Die effektive Cewicht:skraft eines Körpers in Wasser ist: F,tr • (PK- Pw•....,.)g VK. Das relative effektive Cewicht bezogen auf das Gewicht in der Luft ist:

messer nach 25 %iger Vergrößerung, d. h. dzs • 1.25 d0 • Die Volumenstromstärke nach Vergrößerung V 25 verhJit sich zur ursprünglichen Volumenstromstärke V0 wie das Verhältnis der Durchmesser zur vierten Potenz: .

F.rr _

(PArm

Ft,rm

Pw.,..,,)gVI\nn p1\rmgV1\rm

= 1. 1 - 1, 0 1, 1

P11rm -

Pwmrr

p1\rm

= o. 1 = 0 09 1.1

•.

Im Wasser hat der Ann nur noch ein effektives Gewicht von 9% im Vergleich zu seinem Gewicht in Luft. Losung 3.13: Bei einer Strömung von idealen Flüssigkeiten längs eines Rohres mit verschiedenem Querschnitt (A, und A 2 ) gilt die Kontinuitätsgleichung: A1 v1 ~Az Vz, oder umgeformt:

A1

v2

A2

VJ

Die Geschwindigkeit in der Stenose (v2 ) soll doppelt so groß sein wie vor der Stenose (v, ). Damit ist das Verhältnis der Querschnitt:sOächen:

A,

V0

4

(1. 25 do) = I , 254 = do

2·

A1 rr~ ~ I. Az = rr~ = ~ = 2' das Verhältnis der Radien erha lten wir durch Wurzelziehen:

\~· Damit folgt für d1e nchtige Antwort:

\ 2=

/ 0, 5 "" 0,71 ~ 71 r{.

2. 44 ""2. 5

d.h. bei der Vergrößerung des Volumens um ein Vienel erzielt man bereits eine 2,5-faehe höhere Volumenstromstärke. LÖ$ung 3.15: Wir können zur Lösung der Aufgabe das I. Kirehhoffsehe Gesetz anwenden, denn es handelt sich um eine Verzweigung bzw. Parallelschaltung von Strömen. Das Gefäß 1 hat den Widerstand R1 und eine Volumenstromstä rke von V1 = öpj R1• Da das Cefaß 2 einen doppelt so großen Radius wie Gefäß 1 hat, ist der Strömungswiderstand 1/16 der Cer.lßes 1: R2 ~ Ra/16. Daraus folgt für die Stromstärke des Gesamtsystems be i Parallelschaltung:

v,~•m< = t.p t.p

Die QuerschnittsOäche im Blutgefäß hat sich an der Stenose also halb1ert. Um das Verhältms der Innendurchmesser oder Radien zueinander zu berechnen. setzen wir die QuerschnittsOäche als Funktion des Radius A • nr2 in die obere Gleichung ein:

I)

Vzs -

v2

A2 ~ V1 ~

9.5 Lösungen zu den Aufgaben

U.+ ~J 17

R,

=

t.p

(~ 1 + ~~)

17 v, .

Der Bypass erhöht also die Stromstärke kranken Stelle um eine Faktor 17.

an

der

9.5.4 Wärme, Löslichkeit, Diffusion Lösung 4.1: Wenn keine Wärme nach außen abgegeben werden kann, dann dient alle Wärmebildung der Erhöhung der Körpertemperatur. Da gilt:

t.Q-C öT, folgt durch Auflösen nach llT • t.QJC. Außerdem w irken die 100 Watt (1 Watt • 1 J/s) flir eine Stunde, also für 60" 60 • 3600 Sekunden für die Wärmeblldung: 100J . 3600s ö T = C = _...:.S---;-kj.-180 K

Q

360000J

180000~

2K oder 2 C

225

226

9.5 Lösungen zu den Aufgaben 9 Anhang Lösung 4.2: Die Wärme, die benötigt wird, Bier um 3o•c zu erhitzen, ist:

in die entgegengesellen Richtung bewegen und alles auf ihrer Bahn zerstören.

l!Q= Cm m 6T.

Lösung 4.5: Die Druckkammer enthält nahezu 100 % 0 2 bei 2 bar, der Partialdruck in der Kammer ist also:

Die spezifische Wärmekapazität von Bier können wir als identisch zu Wasser annehmen: 4 kJ kg- 1 K- 1• Damit folgt für die Erwärmung von einem halben Uter Bier: (}.Q • 4 X 0,5 X 30 kj • 60 kj. Das ist wesentlich geringer und vernachlässigbar im Vergleich zum Brennwert von einem halben Liter Bier. der 1000 kJ bcträgL Lösung 4.3: Bei konstanter Tempertur kann man das Gesetz nach Boyle-Mariotte anwenden. nach dem gilt: P10m V10m - Pom Vom

(p1am. V10m =Druck und Volumen in 10 mTiefe. Pom. V0 ., • Druck und Volumen an der Wa~seroberftä­

che). In 10 m Tiefe haben wir 1 bar Wasserdruck + 1 bar Luftdruck, der noch auf der Wasseroberfläche lastet (Cesamtdruck 2 bar). an derWasserobernäche nur, Pam = l bar Luftdruck. Wir lösen nach Vem (Volumen an der Wasserobernäche) auf und setzen ein: ~

= P1om· V10m = 2bar-31 _ GI Om Pam 1 bar

Lösung 4.4: Bei konstanter Tempertur kann man das Gesetz nach Boyle-Mariotte anwenden. um das Volumen des Gases bei I bar Normaldruck zu berechnen. Pr Vr ~ Pu Vu

(p._ Vt • Druck und Volumen in der Sauerstoffflasche: Pu. Vu • Druck und Volumen des Sauerstoffs 111 der Umgebung). Nach Vu aufgelöst erhält man zunächst das Gasvolumen, das anfänglich in der Flasche ist: 1.-1

u

_PF · Vt_150b
Strömt dieses Gas mit 1,5 1/min aus der Flasche. reicht der Gasvorrat für 7500 I 1,5 lf min

SOOOmin

83, 3 h :;:" 3, 5 Tage.

Anmerkung: Gasnaschen mit hohem Druck müssen sorgfaltig gesichert werden. um Unfalle zu verme•den. Falls eine Gasnasche umfällt und das Abschlussventil abbrechen sollte, dann strömt das Gas mit dem entsprechenden tonnendruck (z.B. 150 bar) aus. Nach dem Impulserhaltungssatz wird sich die schwere Gasflasche wie eine Rakete

Po,llnocldummtr = I 00 %' x 2 bar = 2 bar. Bei Normaldruck und natürlichem Luftgemisch außerhalb der Kammer ist der Partialdruck von Sauerstoff Po,Norm••• 0,21 bar. Das Verhältnis dieser beiden Drücke zueinander ist: Po,OrucHamn,..r Po,"'onn.~l

-

2 bar 10 0, 21 bar ""' ·

Die Sauerstoffsättigung des Patientenblutes ist in der Kammer also 10-mal höher als außerhalb, falb die Sauerstoffsättigung im Blut linear mit dem Druck ansteigt. Lösung 4.6: Zunächst einmal muss bei thermodynamischen Berechnungen die Temperatur in Kelvin angegeben werden. D.h. Wasser soll von 173 Kauf 473 K erhitzt werden. Dazu berechnen wir die notwendige Energiezufuhr in einzelnen Schritten: Von 173 K bis 273 K ist Wasser im eisförmigem Zustand. Die spezifische Wärmekapazität von Eis ist 2 kj kg- 1 K 1. Zum Erwärmen von 173 K auf 273 Kwerden 200 kJ Energie benötigt. Die Schmelzwärme von Eis ist 334 kJ/kg. Am Eispunkt werden daher 334 kj benötigt, um 1 Liter Eis in flüssiges Wasser zu verwandeln. Dabei ändert sich die Temperatur nicht. Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser ist 4,2 kj kg- 1 K- 1• Um flüssiges Wasser von 273 K auf 373 K zu erwärmen, werden 420 kj benötigt. Bei 373 Kund 1 bar Druck ist der Siedepunkt erreicht. Um flüssiges Wasser in Wasserdampf überzuführen. ist die Verdampfungswärme von 2300 kJ/kg erforderlich, d.ll. für ein Liter Wasser smd das 2300 kj. Dabei ändert sich die Temperatur nicht. Wasserdampfhat die spezifische Wärmekapazität von 2 kj I
9 Anhang 9.5 Lösungen zu den AufgabPn Losung 4.7· ()('r Partialdruck von SauerstofTbe•20 •c und Druck von I bar ist Po. • 0.21 bar. Die lienry-Konstante ftlr SauerstofT m Wo~sser ist laut T.t>. 4.3:

Lösung 5.4· Zuem berechnen wir den W1derstand des Gewe bes. Der Leuwert i\t der Kehrwen des Wide•stands:

1.3" 10·3 moll · bar'.

R- u .... sov

Du~

SQV - 5 I 0 -1-0 '1,. -A

10 mA

I

X

101 11.

zu erwartende Losliehkeil von SauerstofT m Wasser erg1bt SICh dann aus:

Der Kehrwert daraus ist:

So. 1.3 x 10 mol I 1bar 1"0.21 bar • 0.27 x 10· 1 moll • 2.7 x 10 4 moll 1 • 270 ~mol/1.

C

Lösung 4.8: Nach dem Henry-Dalton-Geset71st die Menge emes m emer Fluss•gkeu gelösten Ga~t~ d1rekt proportiOnal dem ( temper.uurabhangigen) löslichkeitskotffizumten K11 und dem Partialdruck des Gases. Dabei gilt: KH p,. Daraus folgt, dass die Löslichkelt S1 hnear vom Partialdruck p, abhangt. Verdoppelt man den Partialdruck. dann muss auch d1e löshchkell um das Doppelte ansteigen.

Lösung 5.5: Für d1e elektrische Encrg1c gilt: W•l· U·6t. Be1 800 apphz•cnen Stromsroßen errechnet s•ch die Ces.Jmtenergie w1e folgt: W • 800 • I · U · 6r • 800" 5 A x 25 kV" 8 ns • 8 x 10 2 " 5 A x 25 x 1ol v• s x 10-9s • o.s J.

s. -

9.5.5 Elektrizität , Magnetismus und Elektromagnetismus 5.1: Die- Stromdichtel berechnet sich aus der Stromstarke I geteilt durch den Leiterquerschnitt A: Lo~oung

I

J

40mA 40mA 1 20 cm 20 cm · 200 cm2 = 0. 2 mA1cm

I A

200 JIA cm1•

Jn

"

0 2 rnS

·

·

Lösung 5.6: Be1 der üllmembran h.mdelt es sich um nichts anderes als einen Kondensator mit der Kapazität C • 0,2 nF. der zunächst aufgeladen und dann uber einen Widerstand R 50 MO entladen w1rd. Dabet gilt, das~ d1e Spannung an einem Kondens.ttor C, der uber emen Widerstand R entladen wird. mu der Ze1t exponentiell abnimmt: Uo e- ,

U (t

RCI

Q

c

16

10 11 x2 IO"C 3.2 3 2 > 10 lzf - - 3~2 x 10

r - R C

Nach der Zeit r •~t die Kondens.ttorspannung auf 1(e (also auf etwa das 0.368-fache (• 37 ~() abgesun ken. Be1 unserem System Zellmembr;m 1st d1e Zeltkonstante T also· T

Losung 5.2: D1e Spannung emes Kondens.ttors ist U • QjC. D1e GI.'S
öU

0, 2 X 10

Wie schnell der Spannungsabfall erfolgt, kann mu der sog. Zeitkonst.mte rangegeben we-rden.

A.

Oer Leiterquerschnitt entspricht hier der Flache der Gegenelektrode (20 cm x 10 cm): Also: 1

1 - R - 5 x 101u I

•v

50

U R ·I= 5 kO" I 00 mA = 5 • I Ol 0" 100 x 10 JA • 500 V.

50 M!!

0. 2 nF

106n . 0. 2 ~ 10 9 F

10 x iO's-10ms

Lösung 57: Setzt man m die veremf.Jchte Nernst-GieJChung d1e Kon7entrarionen für '• und r, ein. erhalt man:

°

12 U.;- 60 mV lg 1 ::~~;~ - 60 mV -lgiO 2 - 60 mV 1 c: 60 mV

IOOmV Lösung 5.3: Be1 d1eser Aufgabe smd Stromfluss und elektrischen Widerstand bekannt. Wir können also nach u auflösen und emserzen:

R·C

9.5.6 Schwingungen und Wellen Losung 6.1: Der Zusammenhang ZWISChen Penodendauer Tund Frequenzfeiner Schwmgung lautet:

r

I

r

227

228

9.5 Lösungen zu den Aufgaben 9 Anhang Die Frequenz tst in diesem Fall f; 15/min oder 15/ 60s= 0,25 Hz. Die Periodendauer betragt: 1

1

f

T

0. 25 s

1 ...

4 s.

Ein Atemzug dauert

~I so

4 Sekunden.

Lösung 6.2: Durch Umformen de r Formel v • .A f folgt:

103 mal höhere Schallintensität. damit der Patient noch erwas hören kann. Lösung 6.5: Wieder gilt die Formel: 1 Lp- 10 · tolog • 10

Einsetzen liefen:

Wird die Schallintensität für den Patienten gegenüber einer Vergleichsperson um den Faktor 500 erhöht, ist das Verhältnis der lntensitäten / 1/ 12 genau 500/1. Es ergibt sich e ine Erhöhung des Schallpegels von:

;. _ v _ 1, 6kmj s = 1. 6 x 103 m/s f 8 MHZ 8 x J06 MHz

Lp - 10 · 101og lo- 10 · tolog

V

A=r

=2

X

1o- 4 m - 0, 2 mm - 200 IJffi

Lösung 6.3: Wie bei der gedackten Orgelpfeife hat die Schwingung im GehörgangamTrom melfell (dem geschlossenen Ende) einen Schwingungsknoten und am offenen Ende einen Schwingungsbaum Bei der niedrigsten E~genfrequenz entspricht dtes 1/4 Wellenlänge (.A/4). .A

4' Daraus folgt durch Umstellung .A • 4 I. Einsetzen der Za hlenwerte liefert .A =2.5 " t 0 2 m x 4 = 1o x 1o- 2 m = 0.1 m. Die Frequenz errechnet sich aus dem Zusammenhang zwischen Wellenlänge .A, Frequenzfund Ausbreitungsgeschwindigkei t v: v • A /. AuOösen nach der Frequenz: f • vj.A. Be• Schallgeschwindigkeit v von 330 m/s folgt:

I-

330 mt s - 3300 1 - 3 3 kHz 0 , Im s '

Lösung 6.4: 30 dB ist der mit 10 multiplizierte Logarithmus des Schalld ruckpegels:

Lp = 10 · 10 1og /

.

Umformen

0

ergibt:;~

Wir d ivtdteren 30 dB durch zehn: 30dB= 10 3.

Diese Zahl 3 ist dann der dekadische Logarithmus aus dem Quotienten l1 / l2 der Schalhntensitäten: 3

•10

1

log lt - lg '• . 12 12 11{12 • 103 •

Daraus folgt, dass das Verhältnis 1000 sein muss. Ein Hörverlust von 30 dB verlangt eine

~

5 Y J01 - 1

10 · ( 1ologiOO + to IogS ) = 10 · (2 + 0. 7) = 27

Oie Schallschwelle des Patienten liegt als 27 dB höher a ls bei einem Gesunden. Lösung 6.6: 80 dB entspricht einem Schallpegel von L- 10 -log

J0-4 _ 10 12

Bei zwei Lautsprechern addieren sich die lntensitäten. bzw. die Schallintensität tst doppelt so groß. Der Schalldruckpegel ist dann

2 x 10- 4 s _12 = 10 · (tologlO 10 - 10 · (8 - 0, 3 )dB- 83 dB.

L = 10 ·tolog

10log2)

Daraus folgt, dass jede Verdopplung der Schallintensität 3 dB an Schalldruckpegel bzw. Lautstärke li efert. Lösung 6.7: Die Laufstrecke s des Signals ist zweimal der Abstand zwischen Cornea und Retina. also 45 mm. Die Laufzell t ist Laufstrecke dtvtdiert durch Geschwind ig keit: t ~ sfv. Einserzen der Zahlen liefert:

t-

45 mm 45 x 10- 3 . V 15 km iS 1, 5 X 10~m/S 30 x 1o -&s • 30 ps.

s

-

9 .5.7 Optik Lösung 7.1: Oie Wellenlänge im Glaskörper ist durch AAuz• • .Aal n gegeben. Einsetzen von Zah len ergibt: 600 nm x 3/4 e 450 nm. Lösung 7.2: 2 dpt entspricht einem f • 1/2 m: der Krümmungsradius folg t aus:

R- 2/(n -

I)~

2 x 0,5 mt I, 7- I)= 0. 7 m

9 Anhang 9.5 Lösungen zu den Aufgaben Lösung 7.3: Glucose d reht mit 5 Grad-cm 2-g-1 nach rechts, Fructose mit 9 Grad·cm 2-g- 1 nach links. Da beide Zucker in einem Konzentrationsverhältnis von I : 1 vorhanden sind, dreht die Mischung das polarisierte Licht um 5Grad-cm 2-g- 1 + (- 9 Grad-cm2 -g- 1)• - 4 Grad·cm2-g- 1 nach rechts, also um 4 Grad -cm 2-g- 1 nach links. Lösung 7.4: Beim Blick ins .. Unendliche" hat die Augenlinse eine Brechkraft von: 1

I

1....

"" m

0 : - = - - = 0m

1

1 D =!___!_ - - - - - 10m 0• 1 m I(Km

1

=

10 dpt.

Die Akkommodationsbreite zwischen den Brenn· weiten .. unendlich" und 10 Zentimetern liegt also bei 10 dpt- 0 dpt = 10 dpt. Lösung 7.5: Die Vergrößerung eines Mikroskops erhält man aus dem Produkt der Vergrößerungen von Objektiv und Okular: t go V V"" Vot- V- J. J. . ok

ln diesem Fall ist sie 600. Wird die Brennweite des Objektivs um das Vierfache vergrößert und die Brennweite des Okulars verdoppelt, dann ist das Produkt der Brennweiten um einen Faktor 8 größer, und die Vergrößerung um e inen Faktor 8 kleiner, d. h. die Vergrößerung ist nur noch 600/8 • 75-fach. Lösung 7.6: Nach dem Lambert-Beer Gesetz ist die molare Konzentration proportional zur Exti nktion E:

c- E log

cn.

Lösung 8.1: Betrachten wir zunächst einmal nur die physikalische Halbwertszeit. Nach einer Halbwertszeit ist nur noch die Hälfte des 134Cs vorhanden, nach zwei Halbwertszeiten nur noch 1/4, und nach drei Halbwertszeiten nur noch 1/8. usw. Berikksichtigt man nur d ie physikalische Halbwertszeit, dann wäre 8 Jahre die richtige An twort. Zusammen mit der biologischen Halbwertszeit berechnen wir zunächst die effekt ive Halbwertszeit mit dem Ausdruck:

= 0dpt.

Wenn die Crunschülerin ih re Sc hrift in 10 cm Abstand zu den Augen scharf s ieht, muss die Brennweite f10cm der Linse durch den Ziliarmuskel von .unendlich" auf 0,1 m verändert worden sein:

ob

9.5.8 Ionisierende Strahlung

r. IT

- rrf2. r~,2 b

P

r1 ·2 -r, .2

Einset7en der Zei ten ergibt: 140d ' 730d

r.n • 140d + 730d =

102200 870 d

~ 1 17 d

für die effektive Halbwertszeit. Nach drei effekt iven Halbwertszeiten. d. h. nach ca. 351 Tagen (• 1Jahr) ist die Strahlenbelastung auf 1/8 gefallen. Lösung 8.2: Die Halbwertsdicke ist 0,1 mm, d.h. nach Durchdringen einer 0.1 mm dicken Bleiplane ist die Strahlintensität nur noch 50%. Eine 0.5 mm dicke Bleiplatte hat die fünffache Halbwertsdicke. Daher wird die Strahlung auf( 1/2)5 = 1/32 =0,03125 oder auf 3,2 %abgeschwächt. Anders ausgedrückt, nach 0,5 mm Bleipla tte sind 97 % der Strahlung absorbiert und 3 % der Strahlung kommen noch durch. Lösung 8.3: Bei Punktquellen, die in a llen Richtungen homogen abstrah len, gilt das quadratische Abstandsgeserz. Wenn in 2 m Entfernung eine Dosisleistung von 3.5 JJSV/h gemessen wird. dann ist die Dosisleistung in 8 m Abstand um (2/8'?• ( 1/4 '? • 1/ 16 geringer. d.h. die Dosisleistung is t 3.5/16 J.1Sv/h • 0,22 JJSv/h.

229

230

Qucllcnver?eichnis 9 Anhang

Quellenverzeichnis Abbildungen Klinische Fälle als Kapiteleinstieg: Kap. 1: Dynamic Grafics. Kap. 2. 3 und 8: aus Reiser. M .. Kulm. F.-P.. Debus.j.: Duale Reihe Radiologie. 2. Au/1. Stuttgart. Thieme

2006. Kap. 4: aus Moll. I. (Hrsg.): Duale Reihe Dermatologie. 7. Au nage. Stuttgarr. Thieme. 20 I 0. Kap. 5: aus Block, B: POL Herz-Kreislauf-System Leitsymptome. 1. Auflage. StuugarL Thieme, 2006. Kap. 6: Delorme. s.. Debus,j.: Duale Reihe Sonografie. 2. Au nage, Stuttgart. Thteme, 2004. Kap. 7: Burk, A., Burk, R.: Checkltste Augenhetlkun de, 3. Au nage. Stungart. Thieme. 2005.

Abbildungen Inhaltsübersichten: Kap. 1. 5. 6 und 9: creativ collection. Kap. 2: Corel Stock. Kap. 3: Designers Fond Collection Vol. 3. Kap. 4: Photoagentur MEV. Kap. 7: Photo Disc. Kap. 8: Digital Vision.

9 Anhang

Sachverzeichnis

231

Sachverzeichnis A A (Ampere) 97 – Basiseinheit 4 Abbildung – Kamera 172 – Linse 164f – Retina 172 – Spiegel 163 Abbildungsgleichung – Linse 165 – Spiegel 164 Aberration 167 Ableitung (EKG nach Einthoven) 105 Abschirmung – elektrisches Feld 102 – ionisierende Strahlung 202 – Magnetfeld 121 Abschwächungsgesetz 199 Absorption 177, 181 – Farbwahrnehmung 181 – Hämoglobin 178 – Messung im Photometer 176 – Photoeffekt 179 – Photonen in Materie 199 – Röntgenstrahlung 199 – selektive 182 Absorptionskoeffizient, ionisierende Strahlung 199 Abstandsgesetz, quadratisches – ionisierende Strahlung 202 – Schall 151 – Welle 148 Abstrahlleistung, menschlicher Körper 84 Adhäsionskraft 62 Adiabatengleichung 85 adiabatisch 85 Aggregatzustand 48, 87 Airy-Scheibchen 168f – Lichtmikroskop 175 – Retina 173 Akkommodation 172 Akkommodationsbreite 173 Akkommodationsfähigkeit 172 Aktionspotenzial 116 Aktionsprinzip 31 Aktivität – optische 171 – radioaktive 189ff Alveole, Wandspannung 64 Ampere (A) 97 – Basiseinheit 4 Amperemeter 110 Amplitudenmodulation – Schwebung 146 – Streuung 181 Anion 50 Ankathete 18 Anodenstrom, Röntgenröhre 197

Anomalie, Wasser 77 Anregung, Atom 50 Anregungsspannung, Röntgenröhre 196 Antineutrino 190 Antiteilchen 190 Apertur, numerische 175 Äquivalentdosisleistung 201 Äquivalenzdosis 201 Arbeit 41ff – Dreharbeit 42 – elektrische 111 – Hubarbeit 41 – mechanische 41 Archimedes-Prinzip 61 Astigmatismus 167 Atelektase 64 Atemnotsyndrom 64 Äther 147 atm (Atmosphäre, Druck) 56 Atom – Anregung 50 – Gesamtdrehimpuls 121 – Grundzustand 50 Atomaufbau 49 Atomkern 51 – schwerer 189 Atommasse 51 Atommodell, Bohr’sches 49ff Auflösung – Elektronenmikroskop 176 – Gitter 169 – Lichtmikroskop 175 – Lochblende 169 – Retina 174 Auflösungsvermögen – Auge 175 – Gitterspektrometer 176 – Lichtmikroskop 175 – Prismenspektrometer 176 – Retina 173 Auftrieb 60 Auftriebskraft 33, 60 Auge 172 – Akkommodationsfähigkeit 172 – Brennweite 166, 172 – Farbwahrnehmung 182 – Linse 166 – Linsenfehler 167 – Sinnesleistung 174 Ausdehnung, thermische 77 Ausdehnungskoeffizient, linearer 77 Ausgleichsgerade 15 Auslöschung, Interferenz 144 Austrittsarbeit, Elektron 116 AV-Knoten 142 Avogadro-Konstante 47 Axiome, Newton’sche 31

B Bahndrehimpulsquantenzahl 50 Bahngeschwindigkeit 27 Balkenwaage 38 bar (Druck) 56 Basiseinheit 4 Basisgröße 4 Becquerel (Bq) 193 Bel 150 Beladung (Kondensator) 112 Beleuchtungsstärke 184 Benetzung 64 Bernoulli-Gleichung 67 Beschleunigung 24 – Definition 24 – Kreisbewegung 27 Beschleunigungsspannung 114 Beschleunigung-Zeit-Diagramm 25 Beugung – Licht 168 – Lochblende 168 Beugungsmuster 168 Beugungsscheibchen siehe AiryScheibchen Bewegung – beschleunigte 24 – Freiheitsgrade 28 – gleichförmige 24 – periodische 26 – Rotation 27 Bewegungsenergie 42 Bezugssystem 39 Biegung 54 Bild – reelles 163 – virtuelles 163 Bildhöhe 163 Bindungsenergie – Atomkern 52 – diskrete 50 – Elektron 52 Bindungskraft 142 Binnendruck 63 Blende 173 Blindleistung – Kondensator 132 – Spule 131 Blindwiderstand – Kondensator 132 – Spule 131 Blutkreislaufsystem, Strömungsverhältnisse 71 Bohr Magneton 120 Bohr-Atommodell 49ff Bombe, kalorimetrische 79 Boyle-Mariotte-Gesetz 58, 85 Bq (Becquerel) 193 Bragg-Bedingung 170 Bragg-Reflex 170

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

9

232

9

Sachverzeichnis

9 Anhang

Braun’sche Röhre 114 Brechkraft – Auge 172 – Linse 164 Brechung 147, 159 Brechungsgesetz 160 Brechungsindex 159 – Dielektrizitätskonstante 102 Brechzahl 159 Bremsspektrum 196 Bremsstrahlung 195 Brennpunkt – Linse 164 – Spiegel 163 Brennpunktsstrahl 165 Brennweite 164 – Auge 166, 172 – Lupe 174 Brewster-Winkel 171 Bronchien, Strömungswiderstand 71 Bruch 55 Bunsen’scher Löslichkeitskoeffizient 90 C C (Coulomb) 98 137 Cäsium-Zerfall 191 Candela (cd) – Basiseinheit 4 – Definition 183 CCD-Winkel (Centrum-CollumDiaphysen-Winkel) 55 cd (Candela) siehe Candela Celsius-Skala 76 Centrum-Collum-DiaphysenWinkel (CCD-Winkel) 55 CMY-Farben 182 59 Co (Cobalt) 191 60 Co (Cobalt) 191 Compliance 58 – effektive 59 Comptoneffekt 199 Computertomografie (CT) 197 Conductance, Flüssigkeit 68 Cornea – Brechkraft 172 – Brennweite 166 Cosinus, Definition 18 Cosinusfunktion 18 Coulomb (C) 98 Coulomb-Anziehung 50 Coulomb-Konstante 98 Coulombkraft 98 Coulombwechselwirkung 50, 52 137 Cs-Zerfall 191 CT (Computertomografie) 197 Curie-Temperatur 121 D Dalton, Gesetz 86 Dampfdruck 90

Dampfdruckerniedrigung 90 Dämpfung 140 Dämpfungskonstante 140 dB (Dezibel) 150 Dehnung 52 Depression, kapillare 65 Dezibel (dB) 150 Diamagnet 121 Diamagnetismus, induzierter 121 Dichroismus 171 Dichte 47 Dichtebestimmung, kommunizierende Röhren 57 Dichtesprung, Wasser 77 Dielektrikum 101 – Kondensatorkapazität 103 Dielektrizitätskonstante 102 – Brechungsindex 159 Dielektrizitätszahl 101f Differenz 8 Differenzenquotient 8 Differenzial 9 Differenzialquotient 8 – Geschwindigkeit 23 Diffusion 92 Diffusionsgesetz, Fick’sches 92 Diffusionskoeffizient 92 Diffusionspotenzial 117 Diffusionszeit, mittlere 92 Dioptrie (dpt) 164 Dipol – elektrischer 98 – – Drehmoment 101 – – Isopotenziallinien 105 – elektromagnetischer 135 – Hertz-Dipol 135 – magnetischer 120 Dipolantenne 136 Dipolmoment 99 – magnetisches 120 – Wasser 99 Dipolsender 136 Dispersion 160 Doppelbrechung 171 Doppler-Effekt 153 Dosisleistung 201 Dotierung 114 dpt (Dioptrie) 164 Dreharbeit 42 Drehfrequenz siehe Kreisfrequenz Drehimpuls 30 – orbitaler 120f Drehleistung 43 Drehmoment 35 – Biegung 54 – Drillung 54 – elektrischer Dipol 101 Drehmomentgleichgewicht 36 Drehspulgalvanometer 123 Drehzahl 27 Dreieck, Flächenberechnung 10 Driftgeschwindigkeit, Elektron 113

Drillung 54 Drillwinkel 54 Druck 52 – alveolarer 64 – hydrostatischer 54, 56 – in der Lunge 58 – osmotischer 90 – statischer 67 – uni-axialer 52, 54 Druckausgleich, osmotischer 91 Druckmessung 57 Druckspannung 52f – Biegung 54 Druck-Temperatur-PhasenDiagramm 88 Druck-Volumen-Diagramm 85 Dulong-Petit-Gesetz 78 Dynamo-Prinzip 128 E Ebene, schiefe 34, 41 Ebenenwinkel 10 Edelgaskonfiguration 50 Effekt, piezoelektrischer 152 Effektivwert 130 Eigendrehimpuls, Elektron 50, 120f Eigenfrequenz – Eigenmoden 142, 147 – Elektron 148 – Fadenpendel 139 – Feder 33, 142 – gegenphasige Schwingung 142 – Schwingkreis 135 Eigenmoden 142, 147 – Elektron 148 Einheit 3 – abgeleitete 5 – Basiseinheit 4 Einheitensystem, internationales 4 Einthoven-Dreieck 105 Einzelspalt, Beugung 168 Eisen im Häm, magnetisches Moment 122 EKG-Ableitung (Einthoven) 105 Elastizitätsmodul 53 Elektrolyse 115 Elektrolyt 115 – Kontaktspannung 116 Elektromagnetismus 124 Elektron 49 – β–-Zerfall 190 – Austrittsarbeit 116 – Beweglichkeit 113 – Driftgeschwindigkeit 113 – Eigendrehimpuls 120f – Eigenfrequenz 148 – Eigenmoden 148 – Energieniveau 50 – im Vakuum 114 – magnetisches Dipolmoment 120 Elektronenhülle 50

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

9 Anhang Elektronenloch – Halbleiter 114 – Röntgenstrahlung 196 Elektronenmikroskop 176 Elektronenschale 50 Elektronenübergang 196 Elektronenvolt 52 Elementarladung 49, 98 Elementarwelle 146 EMK (elektromotorische Kraft) 108 Empfindlichkeit, Messgerät 14 Energie – elektrische 111 – geordnete 81 – innere 80 – kinetische 42 – potenzielle 41 – – Kondensator 104 – – Ladungstrennung 103 – – Schwingung 139 – ungeordnete 81 Energiedichte – Kondensator 104 – Spule 127 – Strömung 67 Energieerhaltung 42 – 1. Hauptsatz 80 – Bernoulli-Gleichung 67 Energieniveau, Elektron 50 Energiestromdichte, Welle 148 Entladung – Blitz 115 – Kondensator 112 Entropie 81 Erdbeschleunigung 24, 32 Erhaltungssatz – Energie 42 – Impuls 29 Erhöhung, kapillare 64 Erstarrung (Phasenübergang) 88 Erwartungswert 13 Expiration 58 Exponentialfunktion 16 Extinktion 177 Extinktionskoeffizient, molarer 177 F F (Farad) 103 18 F (Fluor) 194 Fadenpendel 139 – Energieumwandlung 42 Fall, freier 24 Farad (F) 103 Faraday-Gesetz – Elektrolyse 115 – Induktion 125 Faradaykäfig 102 Faraday-Konstante – Elektrolyse 116 – Nernst-Gleichung 117

Farbe 181 Farbmischung 182 Farbwahrnehmung 181 – Grenze 184 – Photorezeptor 182 FDG (18F-Fluoro-2-Deoxyglucose) 194 Feder 32 – Compliance 59 – Eigenfrequenz 33, 142 Federkonstante 32, 142 Federkraft 32 Fehler 12 Fehlerbalken 15 Fehlerfortpflanzung 14 Feld – elektrisches 99 – magnetisches 118 Feldenergie – elektrische 104 – magnetische 126 Feldkonstante – elektrische 98 – magnetische 120 Feldlinien – elektrische 100 – Influenz 102 – magnetische 118 Feldstärke – elektrische 99 – magnetische 118f Fernkraft 32 Fernpunkt, Auge 173 Ferromagnet 121 18 F-Fluoro-2-Deoxyglucose (FDG) 194 Fick’sches Gesetz 92 Filmdosimeter 202 Fläche, Berechnung 9 Flasche, Mariotte’sche 69 Fluss, magnetischer 124 Flussdichte, magnetische 120, 125 Flüssigkeit – ideale 66 – Leitfähigkeit 115 – Newton’sche 67 – reale 67 Flüssigkeitsmanometer 57 Fokus – Linse 164 – sphärischer Spiegel 163 Formelzeichen 4 Freiheitsgrad, Bewegung 78 Frequenz 26 Frequenzverschiebung, DopplerEffekt 153 Funktion – harmonische 139 – lineare 15 – mathematische 15 – trigonometrische 18

Sachverzeichnis

233

G G (Gauß) 120 Gammastrahlung siehe γ-Strahlung 191 Gangunterschied 168 – Gitterinterferenz 169 Gas – ideales 58 – Impulsübertragung 56 – Leitfähigkeit 114 – Thermodynamik 85 Gasentladung 115 Gasgemisch 86 Gasgleichung, allgemeine 85 Gaskonstante, universelle 85 – Nernst-Gleichung 117 Gauß (G) 120 Gaußverteilung 12 Gay-Lussac-Gesetz 85 Gefrierpunktserniedrigung 90 Gefriertrocknung 88 Gegenkathete 18 Gegenstandshöhe 163 Gegenstandsweite 163 Gegenvektor 6 Gehörgang als Schallrohr 148 Geiger-Müller Zählrohr 199 Geräusch 150 Gesamtdrehimpuls, Atom 121 Gesamtvektor 6 Gesamtwiderstand, Wechselstromkreis 132 Geschwindigkeit – Definition 23 – mittlere 25 Geschwindigkeitsvektor, Zerlegung 26 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm – gleichförmige Beschleunigung 25 – gleichförmige Bewegung 25 – Integral 9 – mittlere Geschwindigkeit 25 Gesetz – Boyle-Mariotte 58, 85 – Dalton 86 – Dulong-Petit 78 – Faraday – – Elektrolyse 115 – – Induktion 125 – Fick’sches 92 – Gay-Lussac 85 – Hagen-Poiseuille 68 – Henry-Dalton 90 – Hooke 52f – Kirchhoff – – elektrischer Strom 108 – – Flüssigkeit 69 – – Thermodynamik 83 – Lambert-Beer – – ionisierende Strahlung 199 – – Optik 177 – Malus 171

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

9

234

9

Sachverzeichnis

9 Anhang

– Newton 84 – Ohm – – Diffusion 92 – – elektrischer Strom 106 – – Flüssigkeit 68 – Raoult 90 – Snellius 160 – van’t Hoff 91 – Wien-Verschiebungsgesetz 179 Gesichtsfeldbestimmung 11 Gewichtsfaktor, Äquvalentdosis 201 Gewichtskraft 32 Gitter 169 Gitterspektrometer 176 Glasplatte, planparallele 161 Gleichgewicht 31, 36 – Drehmoment 36 – elektrisches 116 – Kraft 36 – thermisches 83 Gleichstrom 98 Gleitreibung 35 Gleitreibungskoeffizient 34 Glockenkurve 12 Glühemission 114 Grad – Basiseinheit, 4 – Celsius 76 – Kelvin 76 – Winkelmaß 10 Gravitationskraft 32 Gray (Gy) 201 Grenzfall, aperiodischer 140 Grenzwinkel, Totalreflexion 161 Größe – abgeleitete 5 – massebezogene 47 – molare 47 – physikalische 3 – spezifische 47f – stoffmengenbezogene 47 – volumenbezogene 47 Grundzustand, Atom 50 Güte – Messgerät 14 – Resonanzsystem 141 Güteklasse 14 Gy (Gray) 201 H H (Henry) 126 Haftreibung 35 Haftreibungskoeffizient 34 Hagen-Poiseuille, Gesetz 68 Halbleiter 107, 114 Halbschatten 184 Halbwertsdicke (HWD) 200 Halbwertshöhe 60 Halbwertszeit – Isotop 51 – Radioaktivität 192

– Schwingung 140 Häm, magnetisches Moment 122 Hämoglobin, Absorptionsspektrum 178 Härte, Röntgenstrahlung 196 Hauptmaximum – Gitter 169 – Lichtbeugung 168 – Röntgenbeugung 170 Hauptquantenzahl 50 Hauptsatz – erster 80 – zweiter 81 – dritter 82 Hauptstrahl – Abbildung, Linse 165 – Spiegel 163 Hebel 37 Heizspannung 114 He-Kern 190 Heliumfusion 191 Henry (H) 126 Henry-Dalton-Gesetz 90 Henry-Konstante 90 Hertz (Hz) 26 Hertz-Dipol 135 – Elektronenübergang 148 Herz – Dipolmoment 100 – Strömungsverhältnisse 71 – Summenvektor 105 Herzflimmern 142 Herzzeitvolumen (HZV) 71 high-spin – low-spin Übergang 122 Hohlspiegel 163f Hooke’sches Gesetz 52f Hörbereich 150 Hörgrenze 150 Hornhaut – Brechkraft 172 – Brennweite 166 Hörschwelle 151 Hubarbeit 41 Huygen-Prinzip 146 HWD (Halbwertsdicke) 200 Hyperopie 173 Hypothenuse 18 Hz (Hertz) 26 HZV (Herzzeitvolumen) 71 I 131 I (Jod) 192 Immersion, Mikroskop 175 Impedanz – elektrische 129 – – Kondensator 131 – – Ohm-Widerstand 129 – – Spule 130 – – Zusammenfassung 132 – Schall 149 – Welle 147

Impedanzanpassung, Innenohr 151 Impedanzfehlanpassung 151 Impuls 29 Impulserhaltungssatz 29 – Gasflasche 229 Impulsübertrag 29 – Gas 56 Induktion, elektromagnetische 124 Induktionsgesetz (Faraday) 125 Induktionsspannung 125 Induktivität, Serienschaltung 132 Inertialsystem 39 Influenz, elektrische 102 Infrarotstrahlung 154 Infrarot-Thermographie 179 Infraschall 149 Innenwiderstand 110 Instrument, optisches 172 Integral 9 Intensität – laufende Welle 148 – Licht 183 – polarisiertes Licht 171 – Röntgenstrahlung 196 – Schall 150 – Schwebung 145 – Sonnenlicht 179 – Wärmestrahlung 84 – – Spektralverteilung 179 Interferenz 144 – Gitter 169 – Röntgenbeugung 170 Interferenzgitter, Gitterspektrometer 176 Ion 50 Ionenbindung 50 Ionisationsdetektor 198 Iris 173 isobar 85 isochor 85 Isolator 107, 114 Isophone 151 Isopotenzialfläche 102 Isopotenziallinie 104 – EKG (Einthoven) 105 isotherm 85 Isotherme 58 isoton 91 Isotop 51, 189 Isotopengenerator 194 J Joule (J) 41 Joule-Wärme 106, 111 K Kalorimeter 79 Kamera 172

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

9 Anhang Kapazität 103 – Serienschaltung 132 Kapillarität 64 Kapillarviskometer 69 Kation 50 Kehlkopf, Schallerzeugung 67, 150 Kelvin-Skala 76 Kennlinie (Widerstand) 108 Kern – Atom 51 – ferromagnetischer 122 Kernkraft, mittlere 190 Kernladungszahl 189 Kernschatten 184 Kernspintomografie – Relaxation 122 – Magnetresonanztomografie, funktionelle (fMRT) 121 Kernumwandlung 190 Kernwechselwirkung 52 Kilogramm, Basiseinheit 4 Kirchhoff-Gesetze – elektrischer Strom 108 – Flüssigkeit 69 – Thermodynamik 83 Klang 150 Klemmspannung 110 Knotenregel 108 Kochsalzlösung, physiologische 92 Kohärenz 144 Kohäsionskraft 62 Koinzidenzschaltung 195 Komplementärfarbe 182 Kompressibilität 58 Kompressionsmodul 54 Kompressionswelle 149 Kondensation 88 Kondensationswärme 88 Kondensator – Be- und Entladung 112 – Blindleistung 132 – Blindwiderstand 132 – Energiedichte 104 – Feldlinien 100 – Isopotenziallinien 104 – Kapazität 103 – Parallelschaltung 111 – Serienschaltung 111 – – Wechseltromkreis 132 – Spannungsänderung 103 – Spannungsteilung 112 – Wechselstromkreis 131 – Zeitkonstante 112 – Zellmembran 101 konkav 163 Kontaktkraft 32 Kontaktspannung 116 Kontaktwinkel 64 Kontinuitätsgleichung 66 Kontraktion 52 Kontrastmittel 197 Konvektion 83 konvex 163

Konzentration 48 Konzentrationsausgleich, Membranpotenzial 117 Koordinatensystem – Bezugssystem 39 – Einthoven-Dreieck 105 – halb-logarithmisches 17 – kartesisches 6 – lineares 17 – triangulares 105 Kraft – Definition 31 – elektromotorische (EMK) 108 – reale 39 – schwache 191 Kraftarm 37 Kräftegleichgewicht 31 – Beispiel Seilzug 33 Kräftepaar 32 Kräfteparallelogramm 33 Kreisbewegung 27 Kreisfläche 10 Kreisfrequenz 127, 139 – Schwingkreis 135 – Wechselstrom 127 Kreisprozess, reversibler 81 Kreisstrom, Spule 119 Kreisumfang 10 Kreuzprodukt 7 Kriechfall 140 Kristall, piezoelektrischer 152 Kristallgitter, Röntgenbeugung 170 Kristallisationswärme 88 Kristallstruktur 48 Kryochirugie 89 Kryotherapie 89 K-Schale 50 Kugeloberfläche 10 Kugelviskometer 35 Kugelvolumen 10 Kugelwelle 144 Kundt-Röhre 148 Kurzschlussstrom 110 Kurzsichtigkeit 173 L Ladung, elektrische 98 Ladungsausgleich 112 Ladungsträger 97 Ladungsverschiebung 102 Lageenergie 41 Lambert-Beer-Gesetz – ionisierende Strahlung 199 – Optik 177 Länge, Basisgröße 4 Laser 180 Lastarm 37 Lautstärke 150 Lautstärkepegel 150 Lebensdauer, mittlere (Isotop) 192 Leerlaufspannung 110

Sachverzeichnis

Leistung 43 – elektrische 111 – Lichtstrom 184 – Ohm-Widerstand 111, 130 – Wechselstromkreis 130, 133 – Welle 148 Leistungsaufnahme – Transformator 133 – Wechselstromkreis 133 Leiterschleife 124 Leitfähigkeit 113 – elektrische 107 – Flüssigkeit 115 – Gas 114 – Metall 113 – Vakuum 114 – Wärme 83 Leitwert – elektrischer 106 – Flüssigkeit 68 Lenz’sche Regel 125 Leuchtstoffröhre 114 Levitation 121 Licht – atomar erzeugtes 179 – Definition 178 – kohärentes 180 – Polarisation 170 – Reflexion 160 – thermisch erzeugtes 179 – Totalreflexion 161 Lichtbeugung 168 Lichtbrechung 159ff Lichtdrehung 171 Lichtfaser 161 Lichtgeschwindigkeit 24, 143, 147, 159 Lichtintensität 183 Lichtmikroskop 174 Lichtquanten 178 Lichtstärke 183 – Basisgröße 4 Lichtstreuung 171, 180 Lichtstrom 183f Limes 9 Linse – Abbildung 164 – unendlich dicke 166 Linsenfehler 167 Linsenmacherformel 165 Linsensystem 166 lm (Lumen) 184 Lochblende 168 Logarithmus 17 Logarithmusfunktion 17 Lorentzkraft 123 – Drehspulgalvanometer 123 Loschmidt-Zahl 47 Löslichkeit 89 Löslichkeitskoeffizient, Bunsen’scher 90 L-Schale 50 Luft, Molfraktionen 86

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

235

9

236

Sachverzeichnis

9 Anhang

Luftdruck 59 Lumen (lm) 184 Lunge – alveolarer Druck 64 – Compliance 58 – Druckverhältnisse 58 – Strömungswiderstand 69 Lupe 174 Lux (lx) 184 Lyman-Serie 51 Lyophilisation 88 M

9

Magnetfeld 118 – äußeres 121 – Spule 119 Magnetisierung 122 Magnetismus 118 – abschirmender 121 Magneton 120 Magnetresonanztomografie, funktionelle (fMRT) 122 Malus-Gesetz 171 Mariotte’sche Flasche 69 Mars Climate Orbiter 4 Maschenregel 109 Masse – Atom 51 – Basisgröße 4 – molare 47 – träge 31 Massenanteil 48 Massendefizit 52 Massendichte, partielle 48 Masseneinheit, atomare 52 Massenmittelpunkt 36 Massenzahl 51, 189 Massestrom, Diffusion 92 Materietransport – Elektrolyse 115 – Konvektion 83 Medium – optisch aktives 171 – optisches 160 Membranpotenzial 117 Mengengröße 47 Messfehler 12 Messgerät 4 – Empfindlichkeit 14 – Güteklasse 14 – Messunsicherheit 14 Messung 3 Messwert 4 Meter, Basiseinheit 4 Mikroskop 174 Mikrowellen 154 Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) 56 Mischfarbe 182 Mischungstemperatur 79 Mittelpunkt, Spiegel 163 Mittelpunktsstrahl 163

Mittelwert 12 – arithmetischer 12 – Standardabweichung 13 – Vetrauensbereich 13 mmHg 56 99 Mo (Molybdän) 192 Mol, Basiseinheit 4 Molanteil 48 Molarität 48, 89 Molenbruch 48 Molfraktion 48 – Luft 86 – Partialdruck 86 Molmasse 47 Molvolumen, Gas 47 M-Schale 50 Mutterkern 194 Myopie 173

– Kennlinie 108 – Serienschaltung – – Gleichstromkreis 109 – – Wechselstromkreis 132 – Spannungsabfall 108 – Wechselstromkreis 129 Ohr, Schallwahrnehmung 152 Okular 174 Optik, geometrische 159 Ordnungstemperatur, Ferromagnet 121 Ordnungszahl 49, 189 Orgelpfeife 147 Orientierungspolarisation 102 Osmose 90 Oszilloskop 129

N

Pa (Pascal) 53 Paarbildung 199 Paarvernichtung 194 Parabolspiegel 163 – Gitterspektrometer 176 Parallelschaltung – elektrischer Widerstand 110 – Kondensator 111 – Strömungswiderstand 70 Parallelstrahl 165 Paramagnet 121 Partialdruck 60 – Dalton-Gesetz 86 – Rechenbeispiel 86 – Sauerstoff 60 – Stickstoff 60 Pascal (Pa) 53 Pauli-Prinzip 50 Pendel, mathematisches 139 Periodendauer – Definition 26 – Fadenpendel 139 – Kreisfrequenz 127 – Schwingkreis 134 Permeabilität 92 – Doppellipidschicht 92 Permeabilitätzahl 122 Permittivitätszahl 101 PET (Positronenemmisionstomografie) 194 Phase, Aggregatzustand 87 Phasendiagramm 87 – Dampfdruckerniedrigung 90 Phasendifferenz, Wechselstrom 130 Phasenkoexistenz 87 Phasenmodulation, Streuung 181 Phasenübergang – Aggregatzustand 87 – ferromagnetisch-paramagnetischer 122 Phasenverschiebung – Kondensator 131 – Schwingkreis 141

N (Newton) 31 Näherungswert 12 Nahpunkt, Auge 172 Nebenmaximum, Gitter 169 Nernst-Gleichung 117 Nervenleitungsgeschwindigkeit 23 Netzebene, Kristallgitter 170 Neutrino 190f Neutron 51 – schnelles 202 Neutronenzahl 189 Newton (N) 31 Newton-Gesetz 84 Newton’sche Axiome 31 60 Ni (Nickel) 191 Nicht-Ohm-Widerstand 108 Nordpol, Stabmagnet 122 Normaldruck 59 Normalverteilung, Gauß’sche 12 Nuklid 189 Nuklidkarte 189 Nullpunkt, absoluter 76 – 3. Hauptsatz 82 O Ω (Ohm) 106 O (Sauerstoff) 194 Oberflächenbestimmung 9 Oberflächenenergie, spezifische 63 Oberflächenspannung 63 Oberschenkelhalsbruch 55 Objektiv 174 Oersted-Feld 119 Ohm (Ω) 106 Ohm-Gesetz – Diffusion 92 – elektrischer Strom 106 – reale Flüssigkeit 68 Ohm-Widerstand 106 – Effektivwert 130 – elektrische Leistung 111, 130 18

P

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

9 Anhang Phasenverschiebung – Spule 130 – Transformator 133 – Wechselstromkreis 130, 133 Phasenwinkel 130 Phon 150 Photoeffekt 179 – ionisierende Strahlung 199 – Szintillationszähler 199 Photometer 176 Photon 178 – Absorption in Materie 199 Photonenenergie 179, 196 Photorezeptor 182 Plasma (Gas) 115 Plattenkondensator siehe Kondensator 100 Poissonzahl 53 Polarimeter 171 Polarisation – elektrische 101 – Licht 170 – Welle 143 Polarisationsfilter 171 Polarisator, Licht 171 Positron 190 Positronenemissionstomografie (PET) 194 Potenzfunktion 16 Potenzial, elektrisches 103 Potenziometer 109 Primärfarbe 182 Primärspule 133 Prinzip – archimedisches 61 – hydraulisches 57 Prisma 162 Prismenspektrometer 176 Proportionalzähler 199 Proton 49 – magnetisches Dipolmoment 121 Protonenzahl 189 Prozess, thermodynamischer 81 Pulswelle 144 Pulswellengeschwindigkeit 23 Punkt, kitischer (Phasendiagramm) 88 Punktladung – elektrisches Feld 99 – Isopotenziallinien 105 P-Welle (EKG) 105 Pyramidenvolumen 10 Q Quadervolumen 10 Qualitätsfaktor, ionisierende Strahlung 201 γ-Quant 191 Quantenzahl 50 Quecksilbersäule 56 Quellspannung 108

Querexpansion 53 Querkontraktion 53 Querkontraktionszahl 53 Q-Zacke (EKG) 106 R rad (Radian) 10 Radialbeschleunigung 27 Radialstrahl 163 Radian (rad) 10 Radioaktivität 189 Radionuklid 189 – in der Medizin 194 Radiowellen 154 – Erzeugung 135 Radium-Radon-Zerfall 190 Randstrahl – Lichtbeugung 168 – Schattenbildung 184 Raoult-Gesetz 90 Rauhigkeit 180 Raumgitter 48 Raumwinkel 11 rayons x 195 Rechteck, Flächenberechnung 10 Rechte-Hand-Regel – Drehimpuls 30 – Koordinatensystem 6 – Lorentzkraft 123 – magnetische Feldlinien 118 – Vektorprodukt 8 – Zentripetalbeschleunigung 28 Reflexion 147, 160 – Schall 151 Reflexionsgesetz 160 Regel, Lenz’sche 125 Reibung 34 – innere 35, 67 Reibungskoeffizient 34 Reibungskraft 34 Reichweite, ionisierende Strahlen 200 Reihenschaltung siehe Serienschaltung Relaxationsrate 122 Resistivität 107 resolving power 175 Resonanzfrequenz 141 – Wechselstromkreis 133 Resonanzkatastrophe 141 – Herzflimmern 142 Resonanzsystem 141 Resublimation 88 Retina – Auflösungsvermögen 174 – Farbwahrnehmung 181 Retinal 182 Reynold’sche Zahl 72 RGB-Farben 182 Rhodopsin 182 Richtmoment 54 Röhre

Sachverzeichnis

– Braun’sche 114 – Röntgen 114 Röhre, kommunizierende 56 Rollreibung 34 Röntgenaufnahme 184, 197 Röntgenbeugung 169f Röntgenemissionsspektrum 196 Röntgenfluoreszensanalyse 196 Röntgenröhre 114, 196 Röntgenstrahlung 195 – charakteristische 196 – Erzeugung 195 – Reichweite 200 – siehe auch Strahlung, ionisierende 195 – Spektrum 154 Röntgenstrukturanalyse 170 Rotation 43 Rotationsbewegung 27 – Vergleich Translationsbewegung 44 Rotationsenergie 42 Ruhepotenzial 117 S S (Siemens) 106 Sammellinsen 164 Sättigungsdampfdruck 88 Sauerstoff – Löslichkeit in Wasser 90 – Partialdruck 60 – Wärmekapazität 78 Schale, Elektron 50 Schall 150 Schallamplitude 150 Schalldruckpegel 150 Schallgeschwindigkeit 146, 149 – Bestimmung 148 Schallimpedanz 149 Schallintensität 150 Schallmauer 153 Schallreflexion 151 Schallrohr 147 – Kundt’sches 148 Schallstärke 150 Schallwahrnehmung 152 Schallwechseldruck 150 Schallwelle 149 – stehende 148 Schatten 184 Schattenbildung 184 Scheinkraft 39 Scheitelpunkt, Spiegel 163 Scherspannung 54 Scherung 54 Scherwinkel 54 Schlagvolumen, Herz 71 Schmelzen 88 Schmelzpunktkurve 87 Schmelzwärme 88 Schmerzgrenze (Schallintensität) 150

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

237

9

238

9

Sachverzeichnis

9 Anhang

Schubmodul 54 Schwebung 145 Schwebungsfrequenz 145 Schweredruck 56, 60 Schwerpunkt 36 Schwingkreis – elektromagnetischer 133 – erzwungener 141 – mechanischer 141 Schwingung 139 – erzwungene 140 – gedämpfte 140 – gegenphasige 142 – gekoppelte 142 – gleichphasige 142 – grundharmonische 147 – harmonische 140 – überdämpfte 140 – ungedämpfte 139 Sedimentationsgeschwindigkeit 35 Sehen unter Wasser 166 Sehwinkel 174 Seilzug 34 Sekundärelektronenvervielfacher 199 Sekundärspule 133 Sekunde, Basiseinheit 4 Selbstinduktion 125 Selbstinduktivität – Spule 125 – Wechselstrom 130 Serienschaltung – elektrische Impedanzen 132 – elektrischer Widerstand 109 – Kondensator 111 – Strömungswiderstand 70 Siedepunkt 89 Siedepunktkurve 87 Siedepunktserhöhung 90 Siedeverzug 89 Siemens (S) 106 Sievert (Sv) 201 Siffon-Prinzip 57 Sinus, Definition 18 Sinusfunktion 18 SI-System 4 Skalar 6 Skalarprodukt 7 Snellius-Gesetz 160 Sonne – Beleuchtungsstärke 184 – Lichtintensität 179 – Wasserstoffverbrennung 191 Sonographie 152 Spalt 168 Spaltbreite 168 Spannung – elektrische 103 – induzierte 125 – – Wechselstrom 130 – mechanische 63 Spannungsabfall 108

Spannungs-Dehnungs-Diagramm 55 Spannungsmessgerät 110 Spannungsquelle 110 Spannungsteilung – Kondensator 112 – Potenziometer 109 Spektralapparat 176 Spektrum – elektromagnetisches 154 – Wärmestrahlung 179 Spiegel – Abbildung 163 – Gitterspektrometer 176 – konkaver 163 – konvexer 163 Spin 50, 120f Spinquantenzahl 50 Spule – Blindleistung 131 – Blindwiderstand 131 – Energiedichte 127 – Gleichstromkreis 119 – Kerne 122 – Kreisstrom 119 – Magnetfeld 119 – magnetischer Fluss 125 – magnetisches Dipolmoment 120 – Selbstinduktivität 125 – Serienschaltung 132 – Wechselstromkreis 130 sr (Steradiant) 11 Stäbchen (Auge) 181f Stabmagnet 122 Standardabweichung 13 – Mittelwert 13 Stauchung 52 Staudruck 67 Stefan-Boltzmann-Konstante 84, 179 Steradiant (sr) 11 Stickstoff – Partialdruck 60 – Wärmekapazität 78 Stoff 47 Stoffgemisch 89 Stoffmenge 47 – Basisgröße 4 Stoffmengenanteil 48 Stoffmengendichte 48 Stoffmengenkonzentration 89 Stoß, elastischer 29 Stoßionisation 196 Stoßkette 29 STPD-Bedingung 48 Strahl, achsenparalleler 163 Strahlenbelastung 201 Strahlendosis 201 Strahlengang – Elektronenmikrokop 176 – Lichtmikroskop 174, 176 Strahlenschutz 202 Strahlenversatz, paralleler 162

Strahler, Lambert’scher 183 Strahlung – α-Strahlung 190 – – Abschirmung 202 – – Reichweite 200 – β-Strahlung 190 – – Abschirmung 202 – – Reichweite 200 – γ-Strahlung 191 – – Abschirmung 202 – – Reichweite 200 – – Spektrum 154 – charakteristische (Röntgen) 196 – ionisierende 189 – – Nachweis 198 – – siehe auch Röntgenstrahlung 189 – – Wirkung 199 – kosmische 201 – terrestrische 201 Strahlungsenergie 196 Strahlungsübergang 51 Streuung 171, 180 – diffuse 181 Strohhalm (im Wasserglas) 160 Strom – Basisgröße 4 – elektrischer 97, 106 – – Richtung 108 – Flüssigkeit 66 Stromamplitude 129 Stromdichte – elektrische 98 – Metall 113 Stromfluss – elektrischer 106 – Flüssigkeit 66 – Spule 126 Stromkreis, elektrischer 108 – verzweigter 110 Strommessgerät 110 Strom-Spannungs-Kennlinie 108 Stromstärke – elektrische 97 – Volumen 66 Strömung 66 – Blutkreislauf 71 – Energiedichte 67 – laminare 66 – turbulente 66, 71 Strömungsdruck 67 Strömungsgeschwindigkeit 66 – Blut, Bestimmung 153 Strömungsprofil 67 Strömungswiderstand – Blutkreislauf 71 – Bronchien 71 – elektrischer 106 – Flüssigkeit 68 – Gas 69 – Lunge 69 – Parallelschaltung 70 – Reihenschaltung 70

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

9 Anhang Sublimation 88 Sublimationskurve 87 Südpol, Stabmagnet 122 Summenvektor 6 – Herz 105 Supraleiter 107 Surfactant 64 Suszeptibilität, magnetische 122 Sv (Sievert) 201 sweep rate (Oszilloskop) 129 Symbol 3 – Basiseinheit 4 – Basisgrößen 4 System – beschleunigtes 39 – rotierendes 39 – ruhendes 39 – thermodynamisches 80 Szintigrafie 194 Szintillationszähler 199 T T (Tesla) 120 Tangentialkraft 54 Targetmaterial, Röntgenröhre 197 Taucherkrankheit 90 99 Tc (Technetium) 192 Technetium 192 Teilchenbeschleuniger 123 Teilchenstrom, Diffusion 92 Teilchenstromdichte 92 Teilchenstromwiderstand 92 Teilchen-Welle-Dualismus 178 Temperatur 75 – Basisgröße 4 – elektrischer Widerstand 107 Temperaturkoeffizient, OhmWiderstand 107 Temperaturskala 76 Tesla (T) 120 Thermodynamik – 1. Hauptsatz 80 – 2. Hauptsatz 81 – 3. Hauptsatz 82 – Gase 85 Thermoelement 116 Thermographie 77 Thermometer 76 Thermospannung 116 Thorax, Compliance 58 Tiefenschärfe 173 Tiefpassfilter, AV-Knoten 142 Tochterkern 194 Ton 150 Torr 56 Torsion 54 Totalreflexion 161 Trägheitsgesetz 31 Trägheitskraft 39 Trägheitsmoment 30 Transformator 133

Translation 43 Translationsbewegung 24 – Vergleich Rotationsbewegung 44 Translationsenergie 42 Transmission – Photometer 177 – Röntgenstrahlung 199 Tripelpunkt 88 Tröpfchenbildung 64 Turbulenz 71 U Überdruck 57 Überhitzung 89 Ultraschall 149 Ultraschalldiagnostik 152 Ultraschallwelle 152 Ultraviolettstrahlung 154 Umlauffrequenz 27 Umlaufperiode 27 Unterdruck 57 Unterkühlung 89 V Vakuum, Leitfähigkeit 114 van’t Hoff-Gesetz 91 Vektor 6 – Addition und Subtraktion 6 – Multiplikation 6 Vektorprodukt 7 – Drehimpuls 30 – Zentripetalbeschleunigung 28 Vektorschleife, Herz 6 Vektorzerlegung 6 – Geschwindigkeit 26 – Kräfteparallelogramm 33 Verdampfung 88 Verdampfungswärme 88 Verformung – elastische 52, 55 – plastische 55 Vergrößerung – Elektronenmikroskop 176 – Lichtmikroskop 175 – Linse 165 – Lupe 174 – Röntgenaufnahme 184 – Spiegel 163f Verschiebungspolarisation 101 Vertrauensbereich, Mittelwert 13 Viskosität 35, 67 – Blut 68 – Strömungswiderstand 68 – Wasser 68 Viskositätsbestimmung 69 Voltmeter 111 Volumen – Berechnung 9 – spezifisches 48 Volumenelastizitätsmodul 54

Sachverzeichnis

239

Volumen-Expansionskoeffizient, thermischer 77 Volumenstrom 66 Volumenstromstärke 66 W W (Watt) 43 Waage, Prinzip 38 Wachstumsfunktion 16 Wahrnehmung – Farbe 181 – Gegenstand 180 Wahrscheinlichkeit 13 Wandspannung, Alveole 64 Wärme 78 – Joule’sche 106, 111 Wärmekapazität 78 Wärmekraftmaschine 82 Wärmelehre, Hauptsätze 80ff Wärmeleitfähigkeit 83 – Tabelle 84 Wärmestrahlung 83, 179 – Spektralverteilung 179 Wärmetransport 82 Wärmewiderstand 83 – Kirchhoff-Gesetze 83 Wasser – Ausdehnung, thermische 77 – Dichtesprung 77 – Dipolmoment 99 – Anomalie 77, 88 – Dielektrizitätszahl 102 – Phasendiagramm 88 – Sättigungsdampfdruck 88 – Sauerstofflöslichkeit 90 – Wärmekapazität 78 – – Praktikum 79 – Wärmeleitfähigkeit 83 Wasserdampfdruck 88 Wasserstoffatom 49 Wasserstoffverbrennung 191 Wasserverschiebung (osmotische) 91 Watt (W) 43 Wechselspannung 127 Wechselstrom 127 – Haushalt 130 Wechselstromgenerator 128 Wechselstromkreis – Gesamtwiderstand 132 – Kondensator 131 – Leistungsaufnahme 133 – Ohm-Widerstand 129 – Resonanzfrequenz 133 – Serienschaltung 132 – Spule 130 – Widerstände 129 Wechselwirkung – Coulomb 50 – starke 52 Weg-Zeit-Diagramm – Differenzialquotient 9

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

9

240

Sachverzeichnis

9

Weg-Zeit-Diagramm – freier Fall 25 – gleichförmige Beschleunigung 25 – gleichförmige Bewegung 25 – mittlere Geschwindigkeit 25 Weitsichtigkeit 173 Welle 143ff – Ausbreitung 143 – Definition 143 – ebene 144 – elektromagnetische 154 – – Erzeugung im Schwingkreis 135 – Energiestromdichte 148 – longitudinale 143 – Polarisation 143 – stehende 147 – transversale 143 Wellenbauch 148 Wellenberg 143 Wellengeschwindigkeit 146 Wellenimpedanz 147 Wellenknoten 143, 147 Wellenoptik 167 Wellenpaket 178 Wellental 143 Wellenwiderstand 147 Welle-Teilchen-Dualismus 178 Wheatston Brücke 113 Widerstand – elektrischer 106 – – Parallelschaltung 110 – – Serienschaltung 109 – induktiver 130f – kapazitativer 131 – spezifischer 107 – Strömung 68 – Teilchenstrom 92

9 Anhang – Wärme 83 – Wechselstromkreis 129 Wien-Verschiebungsgesetz 179 Windkesselfunktion 72 – Rechenaufgabe 59 Winkel – ebener 10 – Raumwinkel 11 Winkelgeschwindigkeit 27 Wirbelfeld, magnetisches 119 – Hertz-Dipol 135 Wirkleistung 130 Wirkungsgrad, Wärmekraftmaschine 82 Wirkungsquantum, Planck’sches 179 Wirkwiderstand 130 X x-ray scattering 170 x-rays 195 X-Strahlen siehe Röntgenstrahlung Z α-Zerfall 190 β–-Zerfall 190f β+-Zerfall 191 γ-Zerfall 191 Zahlenwert 3 Zählrohr 199 – Strahlenschutz 202 Zäpfchen (Auge) 181f Zehnerpotenzen 5 Zeit, Basisgröße 4 Zeitkonstante – gedämpfte Schwingung 140

– Kondensator 112 – Selbstinduktion Spule 126 Zellmembran – Dipolmoment 99 – Kondensator 101 – Osmose 91 Zentralprojektion, Röntgenaufnahme 197 Zentrifugalkraft 39 Zentripetalbeschleunigung 27, 40 Zentripetalkraft 40 Zentrumsstrahl – Abbildung Linse 165 – Lichtbeugung 168 Zerfall, radioaktiver 190ff Zerfallfunktion 16 Zerfallsgesetz, radioaktives 192 Zerfallskonstante 192 Zerfallsreihe 194 Zerstreuungslinsen 164 Zug 52 Zugspannung 52f – Biegung 54 Zustand – angeregter 50 – fester 48 – flüssiger 48 – gasförmiger 48 – überkritischer 88 Zustandsänderung 85 Zustandsgleichung – adiabatische 85 – Gasgemisch 86 – ideale Gase 85 – Stoffgemisch 91 Zustandsgröße 85 Zyklotron 123 Zyklotronbahn 123 Zylindervolumen 10

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG