Maple 11. Решение задач механики: Учебный курс

М. Н. Кирсанов Maple 11. Решение задач механики МОСКВА 2007 Изложены решения задач механики в системе Maple 11. Книг...

Author: Кирсанов М.Н.

30 downloads 405 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

М. Н. Кирсанов

Maple 11. Решение задач механики

МОСКВА 2007

Изложены решения задач механики в системе Maple 11. Книга предназначена как для очного обучения, так и дистанционного. Для студентов и преподавателей технических вузов.

СОДЕРЖАНИЕ

Г л а в а 1. Растяжение и сжатие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Г л а в а 2. Геометрические характеристики сечений . . . . . . . . 10 Г л а в а 3. Кручение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Г л а в а 4. Напряженное состояние в точке . . . . . . . . . . . . . . . 29 Г л а в а 5. Изгиб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Г л а в а 6. Сложное сопротивление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Г л а в а 7. Статически неопределимые системы . . . . . . . . . . . . 49 Г л а в а 8. Устойчивость и колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Г л а в а 9. Мaple - программы . . . . . . . . . 9.1. Растяжение и сжатие бруса . . . . . . . . . . 9.2. Геометрические характеристики сечения 9.3. Напряженное состояние в точке . . . . . . 9.4. Кручение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

80 80 82 86 87

Кручение неоднородного вала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Статически неопределимая задача о кручении . . . . . . . . . . . . . . . 89 Кручение вала прямоугольного сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.5. Стесненное кручение тонкостенного стержня открытого филя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Балка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Сложное сопротивление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Статически неопределимая стержневая система . . . . . . . 9.9. Неразрезная балка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10. Статически определимая рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11. Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.12. Статически неопределимая рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.13. Устойчивость стержня на упругих опорах . . . . . . . . . . . 9.14. Устойчивость неоднородных стержней . . . . . . . . . . . . . . 9.15. Колебание грузов на балке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

про. . . . 94 . . . .100 . . . . 103 . . . . 110 . . . . 113 . . . . 120 . . . . 134 . . . . 139 . . . . 148 . . . . 149 . . . . 152

4

Содержание

Приложение. Геометрические характеристики сечений . . . . . . . . . 154 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Предметный и именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Глава 1

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Пример 1. Найти удлинение (в мм) стального прямого призматического бруса кусочно-постоянного сечения под действием собственного веса и сил P1 = 63кН, P2 = 108кН, P3 = 42кН, приложенных к сечениям бруса (рис. 1). Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и относительных удлинений. Модуль упругости материала E = 2 · 105 МПа, объемный вес γ = 78 кН/м3 . Площади сечений F1 = 24cм2 , F2 = 29cм2 , F3 = 31cм2 , длины участков l1 = 3м, l2 = 2м, l3 = 3м. N3 6 x

6

G3 ? P3 6

F3

6 P3

l3

6

F2

P2

l2

6 ? x P2 ?

G2 ? P2 ?

N2 G2

? F1

6 P1

Рис. 1

N1 6 l1

x6

G1

? 6 P1

G1

? 6 P1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

? 6 P1

G1

Решение 1. Выделяем три участка (k = 1, 2, 3) бруса постоянного сечения, на которых не меняется нагрузка. 2. Определяем веса участков бруса. Вес k-го участка длиной y Gk = = yFk γ. Веса участков: G1 = 3 · 24 · 10−4 · 78 = 0.562 кН, G2 = 2 · 29 · · 10−4 · 78 = 0.452 кН, G3 = 3 · 31 · 10−4 · 78 = 0.725 кН. 3. Методом сечений, из условия равновесия внешних сил и реакций опор, находим усилия на концах участка 1 (рис. 2): N1 (y) = G1 − P1 , N1 (0) = N10 = −P1 = −63 кН, N1 (3) = N100 = G1 − P1 = −62.438 кН.

6

Растяжение и сжатие

Раздел 1

Участок 2 (рис. 3): N2 (y) = G1 − P1 + P2 + G2 , N2 (0) = N20 = G1 − P1 + P2 = 45.562 кН, N2 (2) = N200 = G1 − P1 + P2 + G2 = 46.014 кН. Участок 3 (рис. 4): N3 (y) = G1 − P1 + P2 + G2 − P3 + G3 , N3 (0) = N30 = G1 − P1 + P2 + G2 − P3 = 4.014 кН, N3 (3) = N300 = G1 − P1 + P2 + G2 − P3 + G3 = 4.739 кН. 4. Вычисляем напряжения на концах участка 1: σ10 = N10 /F1 = −63 · 103 /(24 · 10−4 ) = −26.25 МПа, σ100 = N100 /F1 = −62.438 · 103 /(24 · 10−4 ) = −26.016 МПа. Участок 2: σ20 = N20 /F2 = 45.562 · 103 /(29 · 10−4 ) = 15.711 МПа, σ200 = N200 /F2 = 46.014 · 103 /(29 · 10−4 ) = 15.867 МПа. Участок 3: σ30 = N30 /F3 = 4.014 · 103 /(31 · 10−4 ) = 1.295 МПа, σ300 = N300 /F3 = 4.739 · 103 /(31 · 10−4 ) = 1.529 МПа. 5. Определяем деформации бруса на концах участков по закону Гука. Участок 1: ε01 = σ10 /E = −26.25/(2 · 105 ) = −1.313 · 10−4 , ε001 = σ100 /E = −26.016/(2 · 105 ) = −1.301 · 10−4 . Участок 2: ε02 = σ20 /E = 15.711/(2 · 105 ) = 0.786 · 10−4 , ε002 = σ200 /E = 15.867/(2 · 105 ) = 0.793 · 10−4 . Участок 3: ε03 = σ30 /E = 1.295/(2 · 105 ) = 0.065 · 10−4 , ε003 = σ300 /E = 1.529/(2 · 105 ) = 0.076 · 10−4 . 6. Определяем удлинения участков: ε01 + ε001 −1.313 − 1.301 =3 · 10−4 = −0.392 мм, 2 2 ε0 + ε002 0.786 + 0.793 δl2 = l2 2 =2 · 10−4 = 0.158 мм, 2 2 0 00 ε + ε3 0.065 + 0.076 δl3 = l3 3 =3 · 10−4 = 0.021 мм. 2 2

δl1 = l1

7

Растяжение и сжатие

7. Общее удлинение бруса определяем как сумму удлинений всех участков X

∆l =

k

δlk = −0.392 + 0.158 + 0.021 = −0.213 мм.

Знак минус указывает, что под действием внешних нагрузок брус укоротится на 0.213 мм. Пример 2. Найти реакции опор стального прямого призматического бруса кусочно-постоянного сечения, закрепленного по концам (рис. 5). К брусу приложены горизонтальные силы P1 = 77кН, P2 = 37кН. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, относительных удлинений и горизонтальных смещений. Модуль упругости материала E = 2 · 105 МПа. Даны площади сечений F1 = 31cм2 , F2 = = 27cм2 , F3 = 23cм2 и длины l1 = 3м, l2 = 2м, l3 = 3м. F1

F2

P1 -

F3

F1 RA

P2

l1

l2

-

F2

P1 -

l3

l1

RA

RA

-

-

P1 -

Рис. 7

RA

-

P1 -

P2

Рис. 9

l3

Рис. 6

N1

-

P2

l2

Рис. 5

F3

N2

-

Рис. 8

N3

-

RA

-

P1 -

P2

R

B

Рис. 10

Решение 1. Освобождаем одну из опор, заменяя ее действие на брус неизвестной реакцией (рис. 6). Реакцию направляем по внешней нормали к поверхности опоры. Методом сечений, из условия равновесия внешних сил и реакций опор, находим усилие на участке 1 как функцию неизвестной реакции

8

Растяжение и сжатие

Раздел 1

(рис. 7): N1 = −RA . На участке 2: N2 = −RA − P1 (рис. 8), на участке 3: N3 = −RA − P1 + P2 (рис. 9). 2. Вычисляем напряжения на участках: σ1 = N1 /F1 = −RA /F1 , σ2 = N2 /F2 = (−RA − P1 )/F2 , σ3 = N3 /F3 = (−RA − P1 + P2 )/F3 . 3. Вычисляем деформации на участках: ε1 = σ1 /E = −RA /(EF1 ), ε2 = σ2 /E = (−RA − P1 )/(EF2 ), ε3 = σ3 /E = (−RA − P1 + P2 )/(EF3 ). 4. Записываем выражения для удлинений участков δl1 = l1 ε1 = −l1 RA /(EF1 ), δl2 = l2 ε2 = l2 (−RA − P1 )/(EF2 ), δl3 = l3 ε3 = l3 (−RA − P1 + P2 )/(EF3 ). 5. Приравниваем общее удлинение бруса нулю −l1 RA /(EF1 ) − l2 (RA + P1 )/(EF2 ) + l3 (−RA − P1 + P2 )/(EF3 ) = 0. Из полученного линейного уравнения определяем реакцию RA : RA = −

P1 l2 /F2 + (P1 − P2 )l3 /F3 = −36.249 кН. l1 /F1 + l2 /F2 + l3 /F3

Знак минус показывает, что заделка удерживает отрыв бруса от поверхности. 6. Реакцию второй опоры определяем из условия равновесия бруса в целом (рис. 10): X

Xi = RA + P1 − P2 − RB = 0,

RB = RA + P1 − P2 = 3.751 кН.

Реакция больше нуля, следовательно брус прижат к правой опоре. 7. Подставляем найденную реакцию в выражения для деформаций и получаем удлинения участков δl1 = 3 · 36.249 · 103 /(2 · 1011 · 31 · 10−4 ) = 0.175 · 10−3 м, δl2 = 2 · 103 (36.249 − 77)/(2 · 1011 · 27 · 10−4 ) = −0.151 · 10−3 м. 8. Смещения сечений 1 и 2 вычисляем как сумму удлинений ∆x1 = δl1 = 0.175мм, ∆x2 = δl1 + δl2 = 0.175 − 0.151 = 0.024мм.

Строим эпюру смещений (рис. 11):

Растяжение и сжатие 0.175 мм 0.024 мм Рис. 11

Maple - программа расчета стержня приведена на с. 81.

9

Глава 2

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЙ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Пример 1. Найти максимальный и минимальный моменты инерции фигуры, составленной из швеллера 18a, ГОСТ 8240-89, и уголка №6.3/4, ГОСТ 8509-86 (рис. 12). y

6 1

7.4

6.3

2

9

-x

1.69 6.3

Рис. 12

2.13

18 Рис. 13

Решение 1. Вводим систему координат. Определяем координаты центров тяжести фигур, составляющих сечение (рис. 13). Согласно табл.4, с. 157 (строка выделена полужирным шрифтом) имеем: Фигура 1 (швеллер №18a), x1 = 9 см, y1 = 2.3 см. Здесь y1 = z0 , x1 = h/2, где h — стандартное обозначение для высоты швеллера, z0 — расстояние до центра тяжести. Фигура 2 (уголок №6.3/4), согласно табл. 5, с. 158, имеем x2 = = 1.69 см, y2 = −1.69 см. 2. Вычисляем площадь всей фигуры. Площадь швеллера 22.2 см2 , уголка — 4.96 см2 : F =

X i

Fi = 22.2 + 4.96 = 27.16 см2 .

Геометрические характеристики сечений

11

3. Определяем координаты центра тяжести по формуле (??): P

Fi xi 22.2 · 9 + 4.96 · 1.69 = = 7.67 см, F 27.16 P Fi yi 22.2 · 2.13 − 4.96 · 1.69 yc = i = = 1.43 см. F 27.16 xc =

i

4. Определяем осевые Jxc , Jyc и центробежный Jxyc моменты инерции сечения относительно центральных осей Jxc =

2 P

(Jxci + (yc − yi )2 Fi ) = 105 + 22.2 · (2.13 − 1.43)2 + 18.9+

2 P

(Jyci + (xc − xi )2 Fi ) = 1190 + 22.2 · (9 − 7.67)2 + 18.9+

2 P

(Jxyi + (xc − xi )(yc − yi )Fi ) = 22.2 · (9 − 7.67) · (2.13 − 1.43)+

i=1

Jyc =

i=1

Jxyc =

i=1

+4.96 · (1.69 + 1.43)2 = 183.06 см4 ,

+4.96 · (1.69 − 7.67)2 = 1425.54 см4 ,

+11 + 4.96 · (1.69 − 7.67) · (−1.69 − 1.43) = 124.21 см4 .

5. Находим главные моменты инерции:

Jmax,min

Jyc + Jxc = ± 2

r

(Jyc − Jxc )2 2 + Jxyc = 804.3 ± 633.54. 4

Jmax = 1437.84 см4 , Jmin = 170.76 см4 . 6. Вычисляем главные радиусы инерции: p p Jmax /F = 1437.84/27.16 = 1.39 см, p p = Jmin /F = 170.76/27.16 = 0.48 см.

imax = imin

7. Находим направление главных осей tg αmax =

Jxyc 124.21 = = −10.10, Jyc − Jmax 1425.54 − 1437.84

αmax = arctan(−10.10) = −1.47 = −84◦.

12

Раздел 2

Геометрические характеристики сечений y

u x

1.43 αmax

v

7.67

Рис. 14

Угол αmax < 0 откладываем по часовой стрелке от положительного направления оси x. Относительно оси v момент инерции фигуры максимальный. Пример 2. Найти максимальный и минимальный моменты инерции плоской фигуры (рис. 15) и угол наклона главной оси инерции к оси x. Решение 1. Вводим систему координат. Разбиваем фигуру на пять частей: один квадрат (фигура №1) и четыре вырезанных фигуры — два треугольника (№2, №3), прямоугольник №4, и четверть круга №5 радиусом R = 2 см (рис. 16) 1 . Определяем координаты центров тяжести фигур: x1 x2 x3 x4 x5

= 7/2 = 3.5 , = 4/3 = 1.33 , = 5 + 4/3 = 6.33 , = 5/2 = 2.5 , = 4R/(3π) = 0.85 ,

y1 y2 y3 y4 y5

= 7/2 = 3.5 , = 2/3 = 0.67 , = (2/3) · 4 = 2.67 , = 6 + 0.5 = 6.5 , = 4 + 4R/(3π) = 4.85 .

y

76 6

4 5

4

1

4 5

1

3

2

2

5

Рис. 15

7

-x

2

2 Рис. 16

3

Рис. 17

1 Возможно и другое разбиение на части (рис. 17). Здесь из прямоугольника №1 вырезаны четверть круга №5 и треугольник №2. К полученной фигуре добавлен треугольник №3 и прямоугольник №4.

Геометрические характеристики сечений

13

2. Вычисляем площадь всей фигуры. Вычисляем площади составляющих, приписывая знак минус вырезанным частям: F1 F2 F3 F4 F5

= 7 · 7 = 49 2 , = −(1/2) · 2 · 2 = −2 2 , = −(1/2) · 4 · 2 = −4 2 , = −5 · 1 = −5 2 , = −πR2 /4 = −3.14 2 .

В сумме имеем F =

X i

Fi = 49 − 2 − 4 − 5 − 3.14 = 34.86 2 .

3. Определяем координаты центра тяжести 49 · 3.5 − 2 · 1.33 − 4 · 6.33 − 5 · 2.5 − 3.14 · 0.85 = 3.68 , 34.86 49 · 3.5 − 2 · 0.67 − 4 · 2.67 − 5 · 6.5 − 3.14 · 4.85 yc = = 3.2 . 34.86 4. Определяем осевые Jxc , Jyc и центробежный Jxyc моменты инерции сечения относительно центральных осей. Записываем моменты инерции составляющих фигур относительно их центральных осей. Прямоугольник № 1 (квадрат h = b = 7 см): xc =

Jxc1 = Jyc1 = bh3 /12 = 70 · 703 /12 = 200.08 4 , Jxy1 = 0.

Прямоугольный равнобедренный треугольник № 2 (h = b = 2 см): Jxc2 = −bh3 /36 = 2 · 23 /36 = −0.44 4 ,

Jyc2 = −hb3 /36 = −0.44 4 ,

Jxy2 = −b2 h2 /72 = −0.22 4 .

Глава 3

КРУЧЕНИЕ Пример 1. К стержню кусочно-постоянного круглого сечения приложены моменты M1 = 30 кНм, M2 = 10 кНм, M3 = 20 кНм. Построить эпюры углов закручивания и касательных напряжений на поверхности вала. Модуль сдвига материала 1 G = 80ГПа. Диаметры даны в сантиметрах. l1 = 1.1 м, l2 = 1.2 м, l3 = 0.8 м. 6 9 ?

M1

6

6 7 8 6 ? ?

14

? l1

M3

N M2 l2

l3

Рис. 18

Решение 1. Методом сечений, из условия равновесия внешних моментов и реакций опор, находим моменты на участках 1, 2, 3. Для того, чтобы не вычислять реакцию заделки на левом конце вала, рассматриваем равновесие правой отсеченной части (рис. 19) I

II

I

N Mz1

III M3

M3

M1

N M2

M3

II

N Mz2

N M2

NMz3

III

Рис. 19

Получаем Mz1 = M3 − M2 + M1 = 20 − 10 + 30 = 40 кНм, Mz2 = = M3 − M2 = 20 − 10 = 10 кНм, Mz3 = M3 = 20 кНм. 1

Сталь

15

Кручение

2. Вычисляем полярные моменты инерции сечений вала Jpk . Jp1 = π0.094 /32 = 0.644 · 10−5 4 ,

Jp2 = π0.144 /32 = 3.771 · 10−5 4 , 4

(3.1)

4

Jp3 = π(0.08 − 0.07 )/32 = 0.166 · 10

−5

4

.

3. На каждом участке определяем угол закручивания правого сечения относительно левого. Учитывая значение модуля сдвига G = = 80 ГПа=8 · 1010 Па, получаем (в радианах): ϕ˜1 = 40000 · 1.1/(8 · 1010 · 0.644 · 10−5 ) = 0.0640,

ϕ˜2 = 10000 · 1.2/(8 · 1010 · 3.771 · 10−5 ) = 0.0039,

ϕ˜3 = 20000 · 0.8/(8 · 10

10

· 0.166 · 10

−5

(3.2)

) = 0.1202.

4. Вычисляем абсолютные углы закручивания ϕ1 = ϕ˜1 = 0.0640, ϕ2 = ϕ˜1 + ϕ˜2 = 0.0680,

(3.3)

ϕ3 = ϕ˜1 + ϕ˜2 + ϕ˜3 = 0.1882. Строим эпюру моментов соединяя значения полученных ординат отрезками прямых (рис. 20). 5. Вычисляем касательные напряжения на участках (МПа) τ1 = 40000 · 0.09/(0.644 · 10−5 · 2 · 106 ) = 279.45,

τ2 = 10000 · 0.14/(3.771 · 10−5 · 2 · 106 ) = 18.56,

τ3 = 20000 · 0.08/(0.166 · 10

−5

(3.4)

6

· 2 · 10 ) = 480.75.

Строим эпюру максимальных касательных напряжений (рис. 21). ϕ, рад

τ , МПа

6

6

0.188

480 279

-z, м 0

1.1

Рис. 20

2.3

3.1

-z, м

18 0

1.1

2.3

3.1

Рис. 21

Замечание 1. В некоторых задачах на тему кручения задается мощность N , передаваемая валу, и его угловая скорость ω. По этим значениям для установившегося процесса R (M =const) вычисляем момент: M = N/ω. В общем случае N = M dω.

16

Кручение

Раздел 3

Замечание 2. Для прямоугольного сечения (рис. 22, b > a) формулы для расчета относительного угла закручивания и касательного напряжения имеют вид

b

θ = M/(Gβba3 ), τmax = M/(αba2 ).

(3.5)

где коэффициенты α, β зависят от соотношения сторон сечения и получаются в результате решения задачи упругости.

a Рис. 22

Соответствующие программы Maple приведены на с. 91 и 93. Результаты решения задаются таблицей на с. 94. Максимальное касательное напряжение наблюдается в середине длинной стороны прямоугольника. Напряжения в середине короткой стороны имеют вид τ = γτmax . Предупреждение типичных ошибок 1. В формулах для вычисления углов и напряжений часто путают приложенные моменты Mk и моменты в сечениях Mzk Maple - программа расчета вала с круглым сечением на кручение приведена на с. 88. Пример 2. Найти моменты заделок опор вала кусочно-постоянного круглого сечения (рис. 23). К валу приложены моменты M1 = 10кНм, M2 = 18кНм, M3 = 15кНм. Построить эпюры углов закручивания. Модуль сдвига материала G = 80ГПа. Длины участков даны в метрах. Диаметры участков: d1 = 0.09м, d2 = 0.18м, d3 = 0.25м, d4 = 0.32м.

N M1 2

4

M2 3

N M3 5

Рис. 23

Решение 1. Методом сечений, из условия равновесия внешних моментов и реакций опор, находим моменты на участках 1, 2, 3, 4. Рассматриваем равновесие правой отсеченной части (рис. 24 – 27.)

17

Кручение I

N

I

II

M1z

N M1

M2

N M3

N

N

MBz

II Рис. 24

M2

M2z

N

MBz

Рис. 25

III

N

N M3

IV

M3z

N M3

N

N

MBz

III Рис. 26

M4z

N

MBz

IV Рис. 27

Получаем Mz1 = −M1 + M2 − M3 − MBz = −7 − MBz , Mz2 = M2 − M3 − MBz = 3 − MBz ,

Mz3 = −M3 − MBz = −15 − MBz ,

(3.6)

Mz4 = −MBz .

2. Вычисляем полярные моменты инерции сечений вала Jpk . Jp1 = π0.094 /32 = 0.644 · 10−5 4 ,

Jp2 = π0.184 /32 = 10.306 · 10−5 4 , Jp3 = π0.254 /32 = 38.349 · 10−5 4 ,

(3.7)

Jp4 = π0.324 /32 = 102.943 · 10−5 4 . 3. На каждом участке определяем угол закручивания правого сечения относительно левого. ϕ˜1 = −(7 + MBz ) · l1 /(GJp1 ), ϕ˜2 = (3 − MBz ) · l2 /(GJp2 ),

ϕ˜3 = −(15 + MBz ) · l3 /(GJp3 ),

ϕ˜4 = −MBz · l4 /(GJp4 ),

(3.8)

18

Кручение

Раздел 3

4. Вычисляем абсолютные углы закручивания ϕ4 = ϕ˜4 , ϕ3 = ϕ˜3 + ϕ˜4 , ϕ2 = ϕ˜2 + ϕ˜3 + ϕ˜4 ,

(3.9)

ϕ1 = ϕ˜1 + ϕ˜2 + ϕ˜3 + ϕ˜4 . 5. Из уравнения ϕ1 = 0 определяем неизвестную реакцию в опоре B. Сокращая модуль сдвига G, получаем −(7 + MBz )l1 /Jp1 + (3 − MBz )l2 /Jp2 − (15 + MBz )l3 /Jp3 − MBz l4 /Jp4 = 0. Подставляем значения длин и моментов инерции: −21.744 − 3.619MBz = 0. Получаем MBz = −6.006 кНм. Статическая неопределимость раскрыта. 6. С учетом найденной реакции по формулам (3.6) вычисляем моменты на участках (кНм) Mz1 = −7 + 6.007 = −0.993,

Mz2 = 3 + 6.007 = 9.007,

Mz3 = −15 + 6.007 = −8.993,

(3.10)

Mz4 = 6.007.

7. Определяем абсолютные углы закручивания (в радианах), подставляя найденную реакцию в выражения (3.8) и (3.9). Сначала вычисляем относительные углы поворота сечений ϕ˜1 = −0.993 · 2/(8 · 1010 · 0.644 · 10−5 ) = −3.845 · 10−3 , ϕ˜2 = 9.007 · 4/(8 · 1010 · 10.306 · 10−5 ) = 4.370 · 10−3 ,

ϕ˜3 = −8.993 · 3/(8 · 1010 · 38.349 · 10−5 ) = −0.879 · 10−3 , ϕ˜4 = 6.007 · 5/(8 · 1010 · 102.943 · 10−5 ) = 0.365 · 10−3 ,

затем абсолютные ϕ4 = 0.365 · 10−3 ,

ϕ3 = (−0.879 + 0.365) · 10−3 = −0.515 · 10−3 ,

ϕ2 = (4.370 − 0.879 + 0.365) · 10−3 = 3.855 · 10−3 ,

ϕ1 = (−3.845 + 4.370 − 0.879 + 0.365) · 10−3 = −0.1 · 10−7 . По значениям ϕ4 , ϕ3 и ϕ2 строим эпюру углов поворота (рис. 28). Вычисление ϕ1 является простой проверкой расчетов. По условию угол в левой заделке должен быть равным нулю. Кроме того, ϕ5 = 0.

19

Кручение

8. Вычисляем касательные напряжения на участках по формуле (??) (МПа) τ1 = −993 · 0.09/(0.644 · 10−5 · 2 · 106 ) = −6.939, τ2 = 9007 · 0.18/(10.306 · 10−5 · 2 · 106 ) = 7.865,

(3.11)

τ3 = −8993 · 0.25/(38.349 · 10−5 · 2 · 106 ) = −2.931, τ4 = −6007 · 0.32/(102.943 · 10−5 · 2 · 106 ) = 0.934.

Строим эпюру максимальных касательных напряжений (рис. 29). ϕ, рад

τ , МПа

6

6 -z, м

2

6

9

14

-z, м 2

6

Рис. 28

9

14

Рис. 29

Maple - программа решения статически неопределимой задачи на кручение приведена на с. 89. Пример 3. К тонкостенному стержню открытого профиля приложен крутящий момент M = 1Нм (рис. 30). Найти относительный угол закручивания θ и максимальное касательное напряжение. Модуль упругости материала E = 0.7 · 105 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0.3. Размеры даны в миллиметрах. Решение 1. Разбиваем сечение на три длинных прямоугольника s1 = 42 мм, δ1 = 1 мм, s2 = 15 мм, δ2 = 2 мм, s3 = 22 мм, δ3 = 1 мм (рис. 31). Вычисляем геометрическую характеристику жесткости сечения Jd = (1/3)(42 · 13 + 15 · 23 + 22 · 13 ) = 61.33 4 .

(3.12)

1 1

1

A

15

B

2

15

3 1 20

2

20

Рис. 30

1 20

2

Рис. 31

20

20

Раздел 3

Кручение

2. Вычисляем относительный угол закручивания стержня. Модуль сдвига материала 1 где G = 0.7·1011 /(2(1+0.3)) = 0.269·1011Па. Имеем θ = 1/(0.269 · 1011 · 61.33 · 10−12 ) = 0.605.

(3.13)

3. Вычисляем максимальное касательное напряжение τmax = 1 · 0.002/(61.33 · 10−12 ) = 0.326 · 108 = 32.6 .

(3.14)

Максимальное касательное напряжение наблюдается в точках A и B, рис. 31. Замечание 1. Для замкнутого тонкостенного профиля постоянной толщины δ формулы для расчета относительного угла закручивания и касательного напряжения имеют вид θ = M s/(4GA2∗ δ), τmax = M/(2A∗ δ).

(3.15)

где A∗ — площадь сечения, ограниченная средней линией замкнутого контура, s — длина контура. Замечание 2. Открытый тонкостенный профиль плохо сопротивляется кручению. В этом можно убедиться, если сравнить полярный момент инерции круглого вала той же площади, что и в рассмотренном примере. Вычисляем площадь сечения на рис. 30 A = 1 · 42 + 15 · 2 + 22 · 1 = 94 2 . Из равенства площадей круглого сечения и тонкостенного πd2 /4 = 94 получаем диаметр вала сравнения d = 10.94мм. Для этого вала полярный момент инерции равен π · 10.944/32 = 1406.29 4, что в 23 раза больше, чем аналогичная величина для тонкостенного профиля. Еще больший эффект получается от применения замкнутого тонкостенного профиля. Пример 4. Найти геометрические характеристики сечения тонкостенного стержня открытого профиля (рис. 32). Размеры относятся к средним линиям сечения и указаны в сантиметрах. Толщина стенки равна 1 см. Стержень состоит из пластины толщиной δ1 = 1.5см и двух уголков b × h толщиной δ2 = 1см. Дано b = 23см, h = 21см. y δ1

δ2 b

b

x δ2

b

h

b

Рис. 32 1

Алюминий или алюминиевый сплав.

Рис. 33

21

Кручение

Решение 1. Определяем площадь сечения как сумму площадей пяти составляющих прямоугольников F =

5 X

li δi = 4bδ1 + 2(b + h)δ2 = 226 2 .

i=1

2. Определяем координаты центра тяжести сечения. Вводим систему координат с началом в точке B (рис. 32). Строим эпюры координат точек сечений (рис. 34, 35). 46 −46

x −46

−23

23

y

46 −21

Рис. 34

−21

−21

Рис. 35

Координаты центра тяжести определяем по формулам X X xc = xi Fi /F, yc = yi Fi /F.

Интегрирование заменяем суммированием. Замечая, что на каждом iм участке dFi = δi ds, где δi — толщина сечения на участке, ds — дифференциал дуги, получаем Z Z ydF = δi yds = δi Yi , li

li

где Yi — площадь эпюры y на i-м участке. Сечение симметрично относительно оси y, отсюда xc = 0. Пользуясь эпюрой y на рис. 35, найдем: yc = −2δ2 ((1/2) · 23 · 21 + 23 · 23)/226 = −6.23 . 3. Определяем главные моменты инерции сечения (гл.2, с. 10). Верещагина,умножая площадь одной эпюры на ординату другой под центром тяжести первой. Пользуясь эпюрой y на рис. 35, содержащей два участка (с учетом симметрии), найдем: 2 1 · 21 · 21 · · 21 + 21 · 23 · 21 = 26460 4 Jx = 2δ2 2 3 Ордината выделена полужирным шрифтом, δ2 = 1 см. Заметим, что при таком способе вычисления моментов инерции не учитываются моменты инерции прямоугольных частей сечения относительно собственных

22

Раздел 3

Кручение

центральных продольных осей 1 . Аналогично, пользуясь эпюрой x на рис. 34, при δ1 = 1.5 см найдем: 1 2 Jy = 2 δ1 · 46 · 46 · · 46 + δ2 23 · 21 · 23 + 2 3 1 2 1 1 2 1 + · 23 · 23 · 23 + · 46 + · 46 · 23 · 46 + · 23 = 2 3 3 2 3 3 = 176333.33 4 . Находим главные моменты инерции сечения Jxc = Jx − yc2 F = 26460 − 6.232 · 226 = 17700.49 4 ,

Jyc = Jy − x2c F = Jy = 176333.33 4 .

4. Строим эпюру секториальных площадей ωB сечения. Полюс B и начальную точку располагаем на оси симметрии — в начале координат B B B B 2 (рис. 36). Очевидно, ωB,C = 0, ωB,C . 0 = 0, ωB,K = 0, ωB,K 0 = 0 K0

0 C

? D0

E0

B

-C

K

R? -E D

Рис. 36

B

−483 −483

ωB +483

Рис. 37

Для правой половины сечения получаем B B ωC,D = bh = 483 2 , ωE,D = −bh = −483 2 ,

B B B B ωB,E = ωB,C + ωC,D + ωE,D = 0, B B B ωB,D = ωB,C + ωC,D = 483 2 .

1

Точное выражение для момента инерции имеет вид Jx = 4bδ13 /12 + + 2bδ23 /12 + 2δ2 h3 /3 + 2bδ2 h2 = 26489.71 4 . В приближенном выражении первые два слагаемых, содержащие δ 3 , не учтены. Погрешность составляет 0.1%. 2 В общем, если три точки K1 , K2 и K3 лежат на одной прямой, то K1 секториальная площадь ωK точки кривой K3 относительно точки K2 с 2 ,K3 полюсом K1 равна нулю.

23

Кручение

Аналогично, для левой части 2 2 B B ωC , ωE,D , 0 ,D 0 = −bh = −483 0 = bh = 483

B B B B ωB 0 ,E 0 = ωB,C 0 + ωC 0 ,D 0 + ωE 0 ,D 0 = 0,

2 B B B ωB,D . 0 = ωB,C 0 + ωC 0 ,D 0 = −483

На рис. 37 изображена полученная эпюра. 5. Оси координат совмещаем с главными центральными осями сечения (рис. 38). Строим эпюру координат y в новой (центральной) системе координат (рис. 39). Все ординаты эпюры на рис. 35 получат приращение 6.23, а эпюра x не изменится, т.к. xc = 0. y

+6.23

6.23

x

+6.23

yc

14.77 23

23

23

23

-14.77

Рис. 38

-14.77

Рис. 39

Вычисляем секториально-линейные статические моменты, перемножая соответствующие эпюры. Так как эпюра ω антисимметричная, а эпюра y симметричная, то SxωB = 0. Далее, с учетом симметрии функции xωB , по правилу Верещагина получим 483 483 2 1 SyωB = 2δ2 · 21 · 23 + · 23 · · 23 + · 46 = 573965 5 . 2 2 3 3 6. Определяем координаты центра изгиба A: αx = 0,

αy = SyωB /Jyc = 573965/176333.33 = 3.26 .

7. Строим эпюру секториальных площадей ωA сечения при полюсе в центре изгиба A и начальной точке B (рис. 40). A 149.73

149.73

−74.86 74.86

−149.73

ωA −149.73 -408.14

408.14

Рис. 40

8. Определяем константу D, задающую главные секториальные площади. В данном случае эпюра ωA имеет площадь равную нулю, так как сечение симметрично, а точка отсчета секториальных площадей

24

Раздел 3

Кручение

(начальная точка) была выбрана на оси симметрии. Итак, SωA = R = ωdF = 0 и D = SωA /F = 0. F

9. Эпюра главных секториальных площадей сечения ω = ωA − D при D = 0 совпадает с эпюрой ωA (рис. 40). 10. Вычисляем секториальный момент инерции сечения Jω . Умножаем эпюру ω саму на себя. Интеграл берем по правилу Верещагина. Учитываем симметрию эпюры (общий множитель 2), умножаем площадь эпюры на ее ординату другой под центром тяжести, ординату выделяем шрифтом: Z 149.73 2 Jω = ω 2 dF = 2δ1 · 46 · · 149.73 + 2 3 F 2 1 74.86 +2δ2 · 21 · · 74.86 − · 408.14 + 2 3 3 408.14 2 1 + · 21 · · 408.14 − · 74.86 + 2 3 3 408.14 2 1 + · 23 · · 408.14 − · 149.73 + 2 3 3 149.73 2 1 + · 23 · · 149.73 − · 408.14 = 2 3 3 = 4974887.924 6 .

Замечание 1. Если в п.4 полюс и начальную точку поместить в точку C 0 , то получится другая эпюра секториальных площадей (рис. 41), y C0

αx A αy

x

ωC 0 +483

+966

+483

Рис. 41

однако решение не изменится, так как в п. 5 найдем SxωC 0 = −407111.30 4 , SyωC 0 = SyωB = 573965 5 . В п. 6 определим координаты центра изгиба в системе координат с центром в C 0 : αx = −SxωB /Jxc = 407111.30/17700.49 = 23 см, αy = = SyωB /Jyc = 573965/176333.33 = 3.26 . Таким образом, центра изгиба опять окажется в той же точке A. Замечание 2. Константа D, задающая главные секториальные площади в п. 8 в рассмотренном примере оказалась равной нулю, так как эпюра ωA была симметричной и имела нулевую площадь. Но это бывает не всегда и зависит от выбора начальной точки. Возьмем для сравнения

25

Кручение

с уже полученным результатом начальную точку не на оси симметрии, например в точке C 0 . Оставляя полюс в той же точке — в центре изгиба A, построим эпюру секториальных площадей (рис. 42). αy b

A αy

C0

−2αy b −3αy b

ωA0

αy b

−3αy b

−bh b(h-3αy b)

Рис. 42

Эпюра получилась несимметричной и ее площадь отлична от нуля Z SωA = ωdF = −2αy (2b2 δ1 + bδ2 (b + h)) = −16919.5 4 . F

Найдем константу D: D=

2αy (2b2 δ1 + bδ2 (b + h)) Sω A =− = −bαy = −74.86 2 . F 2(2bδ1 + δ2 (b + h))

Если теперь вычесть полученную константу из ординат эпюры ωA на рис. 42, то получится прежняя эпюра главных секториальных площадей (рис. 40). Maple - программа определения секториального момента инерции приведена на с. 96. Пример 5. Тонкостенный стержень открытого профиля длиной l = = l1 + l2 жестко заделан на одном конце. На стержень действуют продольные силы P1 , P2 , и крутящий момент M . Найти угол поворота сечения стержня при z = 400 мм, координата z отсчитывается от заделки. Даны размеры: b = 30 мм, h = 20 мм, l1 = 500 мм, l2 = = 400 мм, нагрузки P1 = 100 Н, P2 = 200 Н, M0 = 3 Нм, модуль упругости E = 2 · 105 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0.3. Толщина стенки равна 1 мм. -M l1

Рис. 43

l2

-z

P1 P2

h b

b

Рис. 44

b

26

Раздел 3

Кручение

Решение 1. Строим эпюру главных секториальных площадей сечения ω (мм2 ). A

ω 300

300

K1

K2 -300

300 -300

Рис. 45

Центр изгиба располагается в точке A. 2. Определяем секториальный момент инерции сечения Jω . Умножаем эпюру ω саму на себя. Интеграл берем по правилу Верещагина. Учитываем симметрию: Z 2 300 2 Jω = ω dF = 2δ · 20 · · 300 + 2 3 F 300 2 1 +2 · · 30 · · 300 − · 300 = 3 · 106 6 = 3 6 . 2 3 3 3. Вычисляем геометрическую характеристику жесткости сечения. Толщина на всех участках одинаковая: δ = 1 мм. Получаем Jd = (1/3)

5 X

k=1

sk δk3 = (1/3) · 1 · (30 + 20 + 30 + 20 + 30) = 43.33 4 .

4.pНаходим параметр изгибно-крутильную характеристику стержня k = GJd /(EJω ). Так как модуль сдвига имеет вид G = E/(2(1 + ν)), то s s √ Jd 43.33 · 10−12 k= = = 5.555 = 2.357 −1 . −12 2(1 + ν)Jω 2(1 + 0.3)3 · 10 5. Выделяем на стержне два участка 0 6 z 6 l1 , l1 6 z 6 l, разделенных точкой приложения внешнего момента M . На первом участке удельный угол закручивания обозначим θ1 , на втором — θ2 . 6. Записываем дифференциальное уравнение для удельного угла закручивания θ на участках θ1,zz − k 2 θ1 = −k 2 Mz /(GJd ), θ2,zz − k 2 θ2 = 0.

(3.16)

где Mz = M0 . Момент положительный, так как он направлен в ту же сторону, куда отсчитываются положительные секториальные площади, если смотреть с конца оси z, т.е. по часовой стрелке. На втором участке

Кручение

27

внешних моментов справа от участка нет, уравнение получается однородным. Вычислим правую часть первого уравнения k 2 Mz /(GJd ) = 5.555 · 3/(0.769 · 1011 · 0.433 · 10−10 ) = 5 −3 7. Определяем бимомент, возникающий от действия продольных сил на конце стержня B = ω1 P1,z +ω2 P2,z = 300·100+(−300)·(−200) = 90000 2 = 0.09 2. 8. Интегрируем

1

дифференциальные уравнения (3.16):

θ1 (z) = C1 sh(kz) + C2 ch(kz) + M0 /(GJd ), θ2 (z) = C3 sh(kz) + C4 ch(kz).

(3.17)

Константы интегрирования определяем из условий на концах стержня θ2,z (l) = −B/(EJω ), θ1 (0) = 0,

(3.18)

и условий сопряжения при z = l1 θ1,z (l1 ) = θ2,z (l1 ), θ1 (l1 ) = θ2 (l1 ).

(3.19)

Для определения констант потребуются производные: θ1,z (z) = kC1 ch(kz) + kC2 sh(kz), θ2,z (z) = kC3 ch(kz) + kC4 sh(kz).

(3.20)

Подставляем (3.18) и (3.19) в (3.17) и (3.20), получаем систему уравнений для констант C1 , C2 , C3 , C4 9.97C3 + 9.69C4 + 0.15 = 0, C2 + 0.90 = 0, 4.19C1 + 3.47C2 − 4.19C3 − 3.47C4 = 0, 1.47C1 + 1.78C2 − 1.47C3 − 1.78C4 + 0.9 = 0.

(3.21)

Решаем систему (3.21). Находим константы интегрирования C1 = 0.63, C3 = −0.69, C4 = 0.7, C2 = −0.9. 9. Находим угол поворота в сечении z = l3 : 1

Решение можно искать также в виде θ1 (z) = C1 ekz + C2 e−kz + M0 /(GJd ), θ2 (z) = C3 ekz + C4 e−kz .

28

Раздел 3

Кручение

ϕ=

Zl3 0

l3 θdz = (1/k)(C1 sh(kz) + C2 ch(kz)) + zM0 /(GJd ) = 0

= (1/k)(C1 sh(kl3 ) + C2 (ch(kl3 ) − 1)) + l3 M0 /(GJd ) = 0.07166 . Maple - программа интегрирования дифференциального уравнения кручения тонкостенного стержня открытого профиля приведена на с. 99.

Глава 4

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ Пример 1. К треугольной пластине (рис. 47) с заданными размерами AB = 10 см, BC = 7 см, приложены напряжения в МПа. Из условия равновесия пластины найти недостающие напряжения, проверить ее прочность, узнать деформации пластины и смещения ее вершин. Коэффициент Пуассона ν = 0.3, нормативное сопротивление Rn = 100 МПа, модуль упругости E = 2ГПа, [k1 ] = γ = 1. y

y

6

6 2

C

-6 B

C

k 5

6 6

Рис. 46

τ k

σ x

? τxy

A

B

-x

σ

τyx σy ?

A

-x

Рис. 47

Решение

1. В соответствии с правилом знаков на рис. 47 получаем величины напряжений на площадках σy = −6 МПа, τxy = −5 МПа, σ = −2 МПа. Неизвестными являются касательное напряжение τ на наклонной площадке и нормальное напряжение σx . Вектора этих напряжение изображаем в положительных направлениях. 2. Вычисляем незаданные напряжения. Находим площади граней ABD = 7 · t, ABF = 10 · t, ADF = 12.2 · t, где t — толщина пластины. Записываем уравнения равновесия платины в проекциях на оси: P Xi = −σx · BC − τxy · AB + σ · cos β · AC − τ · sin β · AC = 0, P Yi = −σy · AB − τxy · BC + σ · sin β · AC + τ · cos β · AC = 0, BC = AC cos √ β, AB = AC sin β. sin β = 10/ 72 + 102 = 10/12.2 = 0.82, cos β = 7/12.2 = 0.57.

30

Напряженное состояние в точке

Раздел 4

P

Xi = −σx cos β − τ sin β + 5 · 0.82 − 2 · 0.57 = 0, P Yi = τ cos β + 6 · 0.82 + 5 · 0.57 − 2 · 0.82 = 0.

Решаем систему уравнений:

τ = −3.52/0.33 = −10.71 МПа, σx = 6.72/0.33 = 20.45МПа. 3. Определяем главные напряжения по формулам q 2 = 21.36 МПа, σmax = (σx + σy )/2 + (σx − σy )2 /4 + τxy q 2 = −6.91 МПа. σmin = (σx + σy )/2 − (σx − σy )2 /4 + τxy

4. Находим максимальное и минимальное касательное напряжение τmax =

1 1 (σmax − σmin ) = (21.36 + 6.91) = 14.14МПа, 2 2 τmin = −τmax = −14.14МПа.

5. Вычисляем угол наклона главных осей tg(αmax ) =

σmax − σx 21.36 − 20.45 = = −0.18 τxy −5

αmax = −10.36◦ Так как σ1 > σ2 > σ3 , то σ1 = 21.36 МПа, σ2 = 0, σ3 = −6.91 МПа 6. Рассчитываем деформации пластинки. Вычисляем относительные главные деформации по закону Гука σmax − νσmin 21.36 + 6.91 · 0.3 = = 117.18 · 10−4 , E 0.2 · 10−4 σmin − νσmax −6.91 − 21.36 · 0.3 = = = −66.61 · 10−4 , E 0.2 · 10−4 σmax + σmin εz = −ν = −21.67 · 10−4 . E

εx1 = εmax = εy1 = εmin

Удельное изменение объема: ∆V /V = εx1 + εy1 + εz = 28.9 · 10−4 . Полагаем, что центр тяжести пластинки закреплен и относительно этой точки пластинка не поворачивается как твердое целое. Находим координаты вершин в центральных осях xy. В повернутых (главных центральных) осях x1 y1 координаты ищем по формулам x1 = x cos αmax + y sin αmax , y1 = y cos αmax − x sin αmax , где cos αmax = 0.98, sin αmax = −0.18.

Напряженное состояние в точке

B A C

x

y

x1

y1

-3.33 6.67 -3.33

-2.33 -2.33 4.67

-2.86 6.98 -4.12

-2.9 -1.1 4

31

Определяем перемещения вершин, вызванные деформацией ∆x1B = x1B εx1 = −2.86 · 117.18 · 10−4 = −33.5 · 10−3 см, ∆y1B = y1B εy1 = 2.9 · 66.61 · 10−4 = 19.28 · 10−3 см. ∆x1A = x1A εx1 = 6.98 · 117.18 · 10−4 = 81.76 · 10−3 см, ∆y1A = y1A εy1 = 1.1 · 66.61 · 10−4 = 7.3 · 10−3 см. ∆x1C = x1C εx1 = −4.12 · 117.18 · 10−4 = −48.25 · 10−3 см, ∆y1C = y1C εy1 = −4 · 66.61 · 10−4 = −26.59 · 10−3 см. Изображаем схему деформации пластинки (существенно увеличивая для наглядности деформации) C0C

B0

B

A

A0

Рис. 48

7. Оцениваем прочность материала. Находим расчетное сопротивление R = Rn /γ = 100 МПа. Вычисляем приведенные напряжения σi и проверяем условие прочности σi < R. Определяем коэффициент запаса прочности k и по критерию k > [k] оцениваем возможность разрушения или течения материала в предположении, что : a) Материал хрупкий I - я гипотеза прочности σi = σ1 или σi = |σ3 | если σ1 = 0. σi = 21.36 МПа< R = 100 МПа. kpc(I) = 100/21.36 = 4.68 > [kpc ] = 1. Вывод: прочность обеспечена. II - я гипотеза прочности σi = σ1 − ν(σ2 + σ3 ), σi = 23.44 МПа< R = 100 МПа. kpc(II) = 100/23.44 = 4.27 > [kpc ] = 1. Вывод: прочность обеспечена. Разрушение не произойдет. b) Материал пластичный III - я гипотеза прочности σi = σ1 − σ3 , σi = 28.28 МПа< R = 100 МПа. kpc(III) = 100/28.28 = 3.54 > [kpc ] = 1. Вывод: прочность обеспечена.

32

Раздел 4

Напряженное состояние в точке

IV - я гипотеза прочности p σi = 0.5((σ1 − σ2 )2 + (σ3 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 ), p σi = 0.5(456.36 + 47.8 + 799.55) = 25.53 МПа< R = 100 МПа. kpc(IV ) = 100/25.53 = 3.92 > [kpc ] = 1. Вывод: прочность обеспечена. Пример 2. На элементарный объем тела действуют заданные напряжения. Найти главные нормальные и касательные напряжения, относительные главные деформации, относительное изменение объема, октаэдрическое напряжение. Дан модуль упругости материала E = 100· · 104 МПа, и коэффициент Пуассона ν = 0.5. y 6

y 6

13

6 - 12 1 1

6 14 33

σy

6 τyx τyz

12 14 6 - 11

τzy

6τzx σz

-x

z

τxy τxz6 - σx

-x

z Рис. 49

Рис. 50

Решение 1. Правило знаков (рис.50) дает σx = 11МПа,σy = 13МПа, σz = − −33МПа, τxy = 12МПа, τxz = 14МПа, τyz = 1МПа. Вычисляем инварианты напряжения J1 = −(σx + σy + σz ) = −11 − 13 + 33 = 9МПа, 2 2 2 J2 = σx σy + σy σz + σx σz − τxy − τzx − τyz = −990МПа2 ,

(4.1)

2 2 2 J3 = −σx σy σz − 2τyz τyx τxz + σx τyz + σy τxz + σz τyx = 2190МПа3 .

2. Решаем кубическое уравнение σ 3 + J1 σ 2 + J2 σ + J3 = 0. Используем метод Ньютона. В скобках указываем номер приближения (k = 0, 1, ..., n): σ(k+1) = σ(k) −

3 2 σ(k) + J1 σ(k) + J2 σ(k) + J3

3σ(k)2 + 2J1 σ(k) + J2

.

33

Напряженное состояние в точке

Даем начальное приближение σ(0) = (σx + σy + σz )/3 = −3МПа. σ(1) = −3−

(−3)3 + 9(−3)2 + 990 · 3 + 2190 = −3+5.1268 = 2.1268МПа, 3(−3)2 − 18 · 3 − 990

σ(2) = 2.127 −

(2.127)3 + 9(2.127)2 − 990 · 2.127 + 2190 = 2.271МПа, 3(2.127)2 + 18 · 2.127 − 990

σ(3) = 2.271 −

(2.271)3 + 9(2.271)2 − 990 · 2.271 + 2190 = 2.271МПа. 3(2.271)2 + 18 · 2.271 − 990

Делим кубическое уравнение σ 3 + 9σ 2 − 990σ + 2190 = 0 на σ − 2.27 σ3

3

+9σ 2 −990σ +2190 2

2

σ − 2.27

σ −2.27σ σ + 11.27σ − 964.4 11.27σ 2 −990σ +2190 11.27σ 2 −25.6σ −964.4σ +2190 −964.4σ +2190

получаем квадратное уравнение

σ 2 + 11.27σ − 964.4 = 0, решаем его и находим еще два значения σ1∗ = 25.93МПа, σ2∗ = = −37.20 МПа, или (в порядке убывания) σ1 = 25.93 МПа, σ2 = = 2.27 МПа, σ3 = −37.20 МПа. 3. Выполняем проверку. Находим инварианты J1 = −(σ1 + σ2 + σ3 ) = −25.93 − 2.27 + 37.20 = 9МПа,

J2 = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ1 σ3 =

= 25.93 · 2.27 − 2.27 · 37.2 − 25.93 · 37.2 = −990МПа,

(4.2)

J3 = −σ1 σ2 σ3 = −2190МПа.

Результат совпадает с величинами, вычисленными ранее (4.1). 4. Находим направляющие косинусы. Решаем систему уравнений (σy − σ1 )m1 /l1 + τyz n1 /l1 + τxy = 0, τxy m1 /l1 + τxz n1 /l1 + (σx − σ1 ) = 0.

(4.3)

Обозначаем x1 = m1 /l1 , x2 = n1 /l1 . Систему (4.3) записываем в виде −12.97x1 + 1x2 + 12 = 0, 12x1 + 14x2 − 14.97 = 0.

(4.4)

34

Напряженное состояние в точке

Раздел 4

Решаем систему (4.4), находим x1 = 0.95, x2 = 0.25. l1 =

s

1 = 1 + x21 + x22

s

1 = 0.71. 1 + (0.95)2 + (0.25)2

Определяем направляющие косинусы m1 = x1 l1 = 0.95 · 0.71 = 0.68, n1 = x2 l1 = 0.25 · 0.71 = 0.18. 5. Проверяем решение: m21 + n21 + l12 = (0.68)2 + (0.18)2 + (0.71)2 = 0.46 + 0.03 + 0.51 = 1. 6. Относительные главные деформации ε1 =

1 25.93 + 0.5 · 34.93 (σ1 − ν(σ2 + σ3 )) = · 10−4 = 4.34 · 10−5 , E 100

ε2 =

1 2.27 + 0.5 · 11.27 (σ2 − ν(σ3 + σ1 )) = · 10−4 = 0.8 · 10−5 , E 100

1 −37.2 − 0.5 · 28.2 (σ3 − ν(σ1 + σ2 )) = · 10−4 = −5.13 · 10−5 . E 100 7. Относительное изменение объема

ε3 =

(V1 − V0 )/V0 = ε1 + ε2 + ε3 = (4.34 + 0.8 − 5.13) · 10−5 = 0.1 · 10−6 . 8. Вычисляем главные касательные напряжения τ1 = τ2 = −

σ2 − σ3 2.27 + 37.20 = = 19.73МПа, 2 2

σ3 − σ1 −37.20 − 25.93 =− = 31.56МПа, 2 2

σ1 − σ2 25.93 − 2.27 = = 11.83МПа. 2 2 9. Находим октаэдрическое напряжение q 2 2p τoct = τ12 + τ22 + τ32 = 19.732 + 31.562 + 11.832 = 26.04МПа. 3 3 Maple-программа для решения этой задачи дана на с. 86. τ3 =

Глава 5

ИЗГИБ Пример. Построить эпюры моментов и перерезывающих сил в балке, находящейся под действием вертикальной сосредоточенной нагрузки P = 2 кН, распределенной силы q = 6 кН/м и момента m = 10 кНм (рис. 51). q

m

?????????? 2

4

6 P 5

Рис. 51

Решение 1. Определяем реакции опор балки. Для этого отбрасываем связи и заменяем их действие двумя вертикальными реакциями RA и RB (рис. 52). RA

m

q

RB

6 6 ??????????

A 2

6 P

B 4

5

Рис. 52

Составляем два уравнения моментов относительно точек A и B P MA = RB · 4 + P · 9 − q · 4 · 2 − m = 0, P MB = −RA · 4 + P · 5 + q · 4 · 2 − m = 0.

Решаем уравнения. Определяем RA = 12 кН и RB = 10 кН. 2. Выполняем проверку решения. Составляем уравнение проекции на вертикальную ось RA + RB + P − q · 4 = 12 + 10 + 2 − 24 = 0. 2*

36

Раздел 5

Изгиб

Уравнение удовлетворяется тождественно, реакции найдены верно. 3. Определяем границы участков балки для построения эпюр. Балка имеет три участка I, II, III (рис. 52). Границами участков являются концы балки, опоры A и B.

RA

m

q

RB

6 6 ??????????

A I

6 P

B II

III

Рис. 53

4. Выбираем начало координат на левом конце балки. Разрезаем участок I рамы в некоторой произвольной средней точке. Для первого участка 0 6 x 6 2. Отбрасываем правую часть балки, заменяя ее действие реакциями — моментом my и поперечной силой Qz (рис. 54). Из условия равновесия оставшейся части определяем реакции my и Qz как функции x. Составляем уравнение моментов относительно точки K - my m сечения K и уравнение проекций на ось y P MKi = −m + my = 0, ? Qz x P Yi = −Qz = 0. Рис. 54

Таким образом, на участке I при 0 6 x 6 2 получаем my = m, Qz = 0. Для второго участка 2 6 x 6 6 (рис. 55). Распределенную нагрузку q на участке длиной x − 2 заменяем равнодействующей q(x − 2), приложенной в центре участка (рис. 56).

m

6 ???????my x−2 ? Q x - z

RA q

Рис. 55

RA

q(x − 2)

6

?

(x − 2)/2 x−2 m ? Q x - z Рис. 56

my

37

Изгиб

Составляем уравнение моментов относительно точки сечения и уравнение проекций на ось y P q(x − 2)2 = 0, MK = −m + my − RA (x − 2) + 2 P Y = RA − q(x − 2) − Qz = 0.

Таким образом, на участке II при 2 6 x 6 4 получаем my = m + + RA (x − 2) − q(x − 2)2 /2, Qz = RA − q(x − 2). Для третьего участка 6 6 x 6 11 (рис. 57). Распределенную нагрузку q на участке длиной 4 заменяем равнодействующей 4q, приложенной в центре участка (рис. 58).

m

RA

q

RB

6 6 ?????????? x−2 x

x−6 m ? - Qz my

RA

6

6

?

Qz ? -

x−6

x

my

x−2 x−4

Рис. 57

RB

4q

Рис. 58

5. Используя найденные выражения функций на отдельных участках, строим искомые зависимости для всей балки при 0 6 x 6 L. Для удобства построения, проверки и для большей наглядности эпюры рисуем одну под другой, совмещая также с рисунком балки с нагрузкой (рис. 59). RA

m 10

RB

q

6 6 ??????????

A 2

6 P

B 4

5

10

10

my 4 12

-2

4 -12

Рис. 59

-2

Qz

38

Раздел 5

Изгиб

6. Проверяем выполнение дифференциальной зависимости Qz = = dmy /dx. На эпюре Q есть участок II, где перерезывающая сила Q обращается в нуль. Согласно дифференциальной зависимости в этом месте момент имеет максимум. Найдем значение x = x∗ , где Qz = 0. Для этого приравняем нулю выражение Qz на втором участке Qz = RA − q(x∗ − 2) = 0, откуда найдем x∗ = 4м. Вычислим соответствующее значение момента my (x∗ ) = m + RA (x − 2) − q(x − 2)2 /2 = 10 + 12 · 2 − 6 · 2 = 22Нм. Заметим также, что в тех точках, где на балку действуют сосредоточенные силы, там эпюра моментов имеет точку излома, а эпюра перерезывающих сил — скачок. Скачок на эпюре моментов соответствует сосредоточенному моменту. В данном примере он незаметен, так как приходится на начало балки. Замечание. Значение момента в середине участка длиной l, где действует равномерно распределенная нагрузка q, можно вычислить по формуле (m1 +m2 )/2+ql2 /8, где m1 и m2 — значения эпюры на концах участка. Maple-программа для расчета балки дана на с. 101. Пример. Построить эпюру моментов в раме. Найти или вертикальное смещение ∆yC шарнира C. Все стержни имеют одинаковую жесткость EJ. Даны нагрузки q1 = 5кН/м, q2 = 4кН/м, P = 10кН. q1

q2

P 6

6 6 6 6 6 6 B 6 P

5

C 5 A 4

4

4

4

Рис. 60

Решение 1. Разбиваем систему на части по шарнирам. Силу, приложенную к шарниру C, относим к части CD. Действие отброшенных частей и опор заменяем их реакциями. Реакции частей, соединенных шарниром, взаимно противоположны по направлению и равны по модулю (рис. 61).

39

Изгиб

E

YE 6 XE -

YE XE ? E YC 6 C

A

X -C

Y 00

Y0

6D 0 XD -

-

00 XD

D

D XC

6 P

6D

Pq1 0 XD

00 XD

Pq 2

0 YD

D

?YD00 ?

6

YB 66 XB B

P

C

? YC

XA 6 YA

Рис. 61

2. Составляем три уравнения равновесия для каждой из частей. Равнодействующие распределенных нагрузок равны Pq1 = 4q1 = 20 кН, Pq2 = 5q2 = 20 кН. Равновесие части AE P P Xi = XA + XC + XE = 0, (5.1) P Yi = YA + YC + YE = 0, MA = −10XE − 5XC + 4YC = 0, Равновесие части DE P P Xi = −XE + X0 D = 0, P Yi = −Y0E + YD = 0, ME = 8YD = 0.

Равновесие части CD P 00 P Xi = −XC + X00D − Pq2 = 0, P Yi = −YC 00+ YD +00P = 0, MC = −5XD + 4YD + 2.5Pq2 = 0.

Равновесие части DB P 0 00 P Xi = −X0D − X00D + XB = 0, Y = −Y − Y D D + YB + P + Pq1 = 0, P i MD = 8YB + 6Pq1 + 4P = 0.

(5.2)

(5.3)

(5.4)

3. Решаем систему 12 уравнений (5.1) – (5.4) 1 . Находим все 12 неизвестных: реакции опор и внутренние реакции. Имеем следующие значения реакций (в кН): YD0 = 0, YE = 0, YB = −20, YD00 = 10, 0 00 YC = 20, XC = −2, XA = −7, XB = 27, XD = 9, XD = 18, XE = 9, YA = −20. 1 Для решения рекомендуется использовать какую-нибудь программу: Maple, Mathematica[6], MATLAB[7], MathCad[18]. Решение в системе Maple см. на с.133.

40

Раздел 5

Изгиб

Замечание 1. Система (5.1) –(5.4) записана в расчете на произвольную нагрузку, но в данном случае систему можно сократить, воспользовавшись тем, что прямолинейный стержень ED ненагружен и его реакции по концам направлены вдоль стержня и равны по модулю, 0 XE = XD . Так как для этого стержня, фактически выполняющего роль связи, не надо писать уравнения равновесия, то система становится на три уравнения меньше. Исчезают и неизвестные YE = 0, YD0 = 0, XE = 0 = XD . 4. Строим эпюру моментов от действия нагрузки. Используем правило, согласно которому положительные значения ординат эпюры откладываются на сжатом волокне 1 . Построенная эпюра MP изображена на рис. 64. 5. Прикладываем к точке рамы, перемещение которой разыскивается единичную силу по направлению искомого перемещения. В данном случае вертикальная сила 1 прикладывается к шарниру C (рис. 62). B

1 6

5

C 5 A 4

4

4

4

Рис. 62

6. Определяем реакции опор рамы от действия единичной силы. Разбиваем по шарнирам раму на части, прикладываем вместо отброшенных тел их реакции. С учетом замечания 1, реакции ненагруженных стержней направляем вдоль их осей. XE -

E

XE

XE E

YC 6 X -C

C

X E

X B D

D XC

XB

XB D

B

6 1 C

? YC

XA 6 YA

A

Рис. 63 1

В архитектурно-строительных вузах принято обратное правило — эпюры моментов строятся на растянутом волокне.

41

Изгиб

6. Составляем уравнения равновесия для каждой из частей. С учетом замечания 1 в данном случае получаем систему шести уравнений 1 . Равновесие части AE описывается системой уравнений, совпадающей с (5.5) при YE = 0: P P Xi = XA + XC + XE = 0, P Yi = YA + YC = 0, MA = −10XE − 5XC + 4YC = 0,

(5.5)

Так как уравнения равновесия частей ED и DB удовлетворяются тождественно, запишем уравнения для CD: P P Xi = −XC − XE + XB = 0, P Yi = −YC + 1 = 0, MC = 5XE − 5XB = 0.

(5.6)

7. Решаем систему. Находим реакции опор и внутренние реакции от действия единичной силы: XC = 0, YC = 1, YA = −1, XB = 0.4, XA = −0.4, XE = 0.4. Так как к раме была приложена условная безразмерная сила, то и реакции также безразмерные. 8. Строим эпюру моментов от действия единичной силы (рис. 65).

35

40

Mp

80

m1

4 40

45

2

2

40

Рис. 64

Рис. 65

9. Перемножаем эпюры MP и m1 . Пользуясь правилом Верещагина, вычисляем интеграл Максвелла-Мора 1 Если уравнения равновесия рамы и ее частей от действия внешней нагрузки записывать в матричной форме для последующего решения на компьютере, то составление аналогичной системы для единичной нагрузки сводится только к замене столбца правой части, куда входит только одна величина — единичная сила.

42

Раздел 5

Изгиб

δy =

1 EJ

Z

1 EJ

1 2 · 5 · 35 · · 2+ 2 3 L 1 2 1 2 693.333 + · 5 · 45 · · 2 + · 4 · 80 · · 4 = . 2 3 2 3 EJ MP m1 ds =

(5.7)

Так как MP измеряется в кНм, момент m1 от безразмерной нагрузки в м, то интеграл получается в кНм3 . Если модуль упругости, заданный обычно в МПа, перевести в кН/м2 , а момент инерции J задать в м4 , то получим, что знаменатель измеряется в кНм2 . Следовательно, перемещение измеряется в м. Например, для двутавра №30 ГОСТ 823989 с моментом инерции 7080 см4 = 7080 · 10−8 м4 из стали с модулем упругости E = 2 · 105 МПа=2 · 108 кН/м2 получим перемещение 0.04896 м = 4.896 см. Знак интеграла указывает направление перемещения относительно заданной единичной силы. Если интеграл меньше нуля, то перемещение точки направлено вниз. Расчет рамы в системе Maple дан в программе 16, c. 123.

Глава 6

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Пример 1. Участки изогнутого стержня параллельны осям координат. К стержню приложены силы F = 5 кН и P = = 3 кН, (рис. 66). Построить эпюры изгибающих и крутящих z

z

6

4

~ P 6

-y

x

2

5

1

-y

x

1

3

~ F

~ P 6

4

4

1

3

~ F

6

2 3

2

Рис. 66

Рис. 67

моментов. Определить перемещения конца стержня (в см) по направлению действия силы P , пренебрегая весом стержня и влиянием нормальных и перерезывающих сил. Найти угол поворота концевого сечения относительно оси участка 4. Принять жесткость на изгиб EJx = EJy = = 9.8 · 105 Нм2 , на кручение GJ0 = 7.6 · 105 Нм2 . Даны длины участков: l1 = 2 м, l2 = 2 м, l3 = 1 м, l4 = 3 м 1 . Решение 1. Вводим систему координат. Последовательно нумеруем угловые точки стержня k = 1, ..., 5, принимая за первую точку заделки. Опре~1 = деляем координаты точек как компоненты радиусов-векторов: R ~ ~ ~ ~ = (0, 0, 0), R2 = (2, 0, 0), R3 = (2, −2, 0), R4 = (2, −2, 1), R5 = (2, 1, 1). 2. Находим момент силы P , приложенной к точке 5 относительно точек 1, 2, 3, 4 как векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы относительно k-й точки стержня на вектор силы: 1

Жесткость стержня рассчитана для круглого стального сечения радиусом r = 0.05 м. Модуль упругости стали принят E = 2 · 105 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0.3. Отсюда EJx = Eπr 4 /4 = 9.817 · 105 Нм2 , G = E/(2(1 + + ν)) = 0.769 · 1011 Па, GJ0 = Gπr 4 /2 = 7.552 · 105 Нм2 .

44

Раздел 6

Сложное сопротивление

~ P = (R ~5 − R ~ k ) × P~ . Индекс P указывает, что момент происходит от M k силы P . Раскрывая векторное произведение получаем     ~i ~j ~k 3 ~ 1P =  2 1 1  =  −6  M 0 0 0 3 Аналогично,

~ 2P M



   3 9 ~ 3P = M ~ 4P =  0  . =  0 , M 0 0

3. Повторяем предыдущий пункт для силы F~ , приложенной к точке ~ F = (R ~3 − R ~ k ) × F~ . Индекс P указывает, что момент 3 стержня: M k происходит от силы F~ .         ~i ~j ~k ~i ~j ~k 0 0 ~ 2F =  0 −2 0  =  0  . ~ 1F =  2 −2 0  =  0  , M M 10 10 5 0 0 5 0 0 Моменты в остальных точках от действия F~ принимаем равными нулю. ~k = M ~P +M ~ F, k = Суммируем вектора моментов во всех точках M k k = 1, ..., 5. Получаем набор векторов       3 3 9 ~ 1 =  −6  , M ~2 =  0 , M ~3 = M ~4 =  0 . M 10 10 0

4. Строим эпюры изгибающих (рис. 68) и крутящих (рис. 69) моментов на сжатых волокнах стержня

M ,кНм 9

P~

6

M ,кНм

6 10

P~

6

9 3

9

~ F

10 3 9

10

Рис. 68

~ F

Рис. 69

5. Определяем перемещение конца стержня. Прикладываем к концу стержня единичную (безразмерную) силу по направлению искомого

45

Сложное сопротивление

перемещения, т.е. вдоль P~ . Определяем возникающие моменты       1 1 3 m ~ 1 =  −2  , m ~ 2 =  0 , m ~3=m ~ 4 =  0 . 0 0 0

Строим эпюры изгибающих (рис. 70) и крутящих (рис. 71) моментов на сжатых волокнах стержня

m , м 3

2

16

m , м

16

3 1 3

1 3

Рис. 70

Рис. 71

6. По формуле Максвелла-Мора находим линейное перемещение по направлению силы P~ . Интеграл вычисляем по формуле трапеций Так как ординаты эпюры моментов от действия внешних нагрузок измеряются в кНм, то жесткости на изгиб и кручения также переведем в кНм2 : EJx = 9.8 · 102 кНм2 , GJ0 = 7.6 · 102 кНм2 . Получим: δP = l1 (2 · 6 · 2/(6EJx ) + (2 · 3 · 1 + 2 · 1 · 3 + 3 · 1 + 3 · 1)/(6GJo )) + +l2 (2 · 3 · 1 + 2 · 9 · 3 + 3 · 3 + 9 · 1)/(6EJx )+

+l3 (2 · 9 · 3 + 2 · 3 · 9 + 3 · 9 + 9 · 3)/(6EJx )+

+l4 · 2 · 9 · 3/(6EJx ) =

= (1.606 + 2.653 + 2.755 + 2.755) · 10−2 = 9.769 · 10−2 м = 9.769см. 7. Находим угол поворота концевого сечения вокруг оси последнего участка. Прикладываем к этому сечению единичный момент, направленный по оси последнего участка, т.е. вдоль оси y и находим моменты m ~ k , k = 1, ..., 5 на участках стержня.   0 m ~ k =  1  , k = 1, ..., 5. 0

Строим эпюры изгибающих (рис. 72) и крутящих (рис. 73) моментов на сжатых волокнах стержня. Все эпюры имеют форму прямоугольников высотой 1

46

Раздел 6

Сложное сопротивление

m

m 1

1

m=1

1

m=1 -1

1

1

Рис. 72

Рис. 73

Получаем угол поворота сечения ϕP = −2 · 6/(2EJx ) = −0.612 · ·10−2 . Ненулевое значение интеграл Максвелла-Мора в этой задаче принимает только на первом участке. Maple-программа расчета изогнутого стержня дана на с.103. Пример 2. На консольно закрепленный брус действуют силы P1 = = 60 кН, P2 = 80 кН, P3 = 50 кН, P4 = 100 кН параллельные его ребрам (рис. 74). Найти нормальные напряжения в точках A, B, C и D заделки бруса и угол осевого поворота концевого сечения бруса. Размеры даны в сантиметрах. Модуль сдвига G = 0.8 · 105 МПа.

15

P1 6

C

-P4

D P3

B 12 A

P2 70

*

60

80

Рис. 74

Решение 1. Выбираем оси координат, помещая начало координат в центр тяжести сечения в заделке и направляя оси вдоль ребер бруса (рис. 75). Определяем координаты точек приложения сил: K1 (− −7.5, 70, 6), K2 (7.5, 130, −6), K3 (7.5, 130, −6), K4 (−7.5, 210, 6). 2. Находим моменты главные инерции сечения бруса. Для прямоугольного сечения имеем Jx = bh3 /12 = 15 · 123 /12 = 2160 см4 , Jz = = hb3 /12 = 12 · 153 /12 = 3375 см4 .

47

Сложное сопротивление z

6C

K1

K4 K3

D B

x A

y -

K2 70

60

80

Рис. 75

3. Определяем площадь сечения F = hb = 180 см2 . 4. Вычисляем геометрический фактор жесткости сечения на кручение. Для прямоугольного сечения (h < b) имеем Jk = β(k)bh3 , где коэффициент β(k) зависит от отношения k = b/h, которое в рассматриваемом случае равно k = 15/12 = 1.25. Значение β получаем линейной интерполяцией по таблице на с. 94: β(1.25) = 0.141 + (1.25 − 1)(0.196 − 0.141)/(1.5 − 1) = 0.1685. Более точное значение β = 0.1717 можно найти, воспользовавшись программой 7, с. 93 , В итоге имеем Jk = 0.1685 · 0.15 · 0.123 = 4367.52 4 . 5. Находим момент сил, приложенных к брусу относительно осей координат 1 . Пользуемся формулами 2 Mx = yPz − zPy ,

My = zPx − xPz ,

(6.1)

Mz = xPy − yPx . С учетом значений P1z = 60 Н, P2x = −80 Н, P3x = 50 Н, P4y = = 100 Н, получаем моменты в заделке Mx = 60 · 0.7 − 100 · 0.06 = 36 кНм,

My = 60 · 0.075 + 80 · 0.06 + 50 · 0.06 = 12.3 кНм,

(6.2)

Mz = 80 · 1.3 − 50 · 2.1 − 100 · 0.075 = −8.5 кНм.

1 Если по условию задачи необходимо найти нормальные напряжения не в основании бруса, а в каком-либо другом сечении, то оси координат лучше поместить в это сечение. Осевая координата заделки при этом будет отрицательной. 2 ~ ~ Проекции вектора момента относительно начала координат: M0 = ~r × P = ~k ~i ~j = x y z . Px Py Pz

48

Раздел 6

Сложное сопротивление

6. При xA = 0.075 м, zA = −0.06 м вычисляем нормальное напряжение σA = −36 · 103 zA /(2.16 · 10−5 ) − 8.5 · 103 xA /(3.375 · 10−5 )+ +100 · 103 /0.018 = 100 · 106 − 18.889 · 106 + 5.556 · 106 =

= 86.667 · 106 Па = 86.667 МПа.

Аналогично, подставляя пары координат xB = −0.075 м, zB = −0.06 м, xC = −0.075 м, zA = 0.06 м и xD = 0.075 м, zD = 0.06 м, получаем σB = 124.444 МПа, σC = −75.555 МПа, σD = −113.333 МПа. По принятому правилу знаков, положительные напряжения соответствуют растяжению, отрицательные — сжатию. 7. Строим эпюру крутящих моментов по длине бруса (см. с. ??). Рассматривая моменты сил правее сечений y2 = 70 см и y3 = 130 см, по формуле My = zPx − xPz получаем My2 = 80 · 0.06 + 50 · 0.06 = 7.8

My3 = 50 · 0.06 = 3.0

Значение My1 уже вычислено, это значение моментов всех сил, действующих на брус относительно оси y в заделке. Согласно (6.1), My1 = = 12.3 кНм. Эпюра имеет вид My

12.3 кНм 7.8 кНм 3 кНм 70

60

80

Рис. 76

8. Определяем угол поворота концевого сечения вокруг оси y по формуле (??) (12.3 · 0.7 + 7.8 · 0.6 + 3 · 0.8) · 103 = 4.491 · 10−3 рад. 0.8 · 1011 · 4.367 · 10−5 Maple-программа расчета дана на с.108. ϕy =

Глава 7

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Пример 1. Дана стержневая конструкция, состоящая из жесткого недеформируемого бруса, закрепленного одним концом на неподвижном шарнире, и трех упругих стержней одинако4 вой жесткости, прикрепленных к брусу шарнирно (рис. 77). Вес стержP ней и деформации опор 45 6 3 не учитывать. К свобод1 2 20 ному концу бруса приложена горизонтальная 25 сила P =16 кН. Размер бруса дан в проекциях 5 (в см). Найти усилия в 20 40 10 10 стержнях. Рис. 77

Решение Способ 1. Составление уравнений совместности деформаций. Система статически неопределимая. Для удержания бруса в равновесии очевидно достаточно неподвижного шарнира и только одного опорного стержня. Следовательно, система содержит две дополнительные неизвестные величины. Для их определения требуются два дополнительные уравнения. Этими уравнениями являются уравнения совместности деформаций. Совместность деформаций обеспечивает жесткость бруса. 1. Находим два геометрических соотношения между абсолютными деформациями стержней ∆l1 , ∆l2 , ∆l3 . Рассмотрим малое отклонение OC 0 бруса от недеформированного состояния OC (рис. 78). Шарниры 1,2,3 обозначим буквами A, B, C. После малой деформации эти шарниры примут положения A0 , B 0 , C 0 . В силу малости деформаций дуги, по которым переместятся точки, заменим перпендикулярами к первоначальному положению бруса. Таким образом отрезки AA0 , BB 0 , CC 0 перпендикулярны OC. Новые положе-

50

Статически неопределимые системы

Раздел 7

ния опорных стержней O1 C 0 , O2 B 0 , O3 A0 . Опуская перпендикуляры из новых положений концов стержней на их первоначальные направления, получим удлинения ∆l1 = CC 00 (рис. 80), ∆l2 = BB 00 (рис. 79), ∆l3 = = −AA00 (рис. 78). Минус в последнем случае объясняется сжатием стержня 3 (удлинение меньше нуля). Для перемещений концов стержней справедлива очевидная пропорция

AA0 BB 0 CC 0 = = . 60 70 80

(7.1)

Кроме того, из прямоугольных треугольников имеем

AA0 = −∆l3 / sin γ, BB 0 = ∆l2 / sin β, CC 0 = ∆l1 / cos β, √ где sin β = CL/OL = 20/ 202 + 802 , sin α = AK/O3 A √ 2 2 = 40/ 40 + 40 , γ = α − β. Пропорция (7.1) примет вид

−

∆l3 ∆l2 ∆l1 = = . 60 sin γ 70 sin β 80 cos β

=

(7.2)

2. Используем закон Гука ∆lk = Sk lk /(EF ), где Sk — усилие в kм стержне, а lk — его длина. Жесткость стержней EF одинакова. С учетом найденных геометрических соотношений получаем два дополнительных уравнений для усилий S1 , S2 , S3 . Записываем закон Гука

∆l1 =

S1 l 1 S2 l 2 S3 l 3 , ∆l2 = , ∆l3 = . EF EF EF

(7.3)

Длины p стержней определяем из√рис. 78: l1 = 25 см, l2 = 70 см, l3 = = 402 + (25 + (3/4) · 20)2 = 40 2 = 56.57 см.

51

Статически неопределимые системы

O1

C.

.. .. .. .. 00 . 00. A γ C . .. C 0 γ .. .. .. A0 B0 .. .. .. .. .. .. .. .. O................................................................................. .L . β .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. α O3 ........................................... K

O2

A

B

B 00

Рис. 78 C B

∆l1 00 B

β

∆l2

β

B0

Рис. 79

C 00

C0

Рис. 80

Подставляем (7.3) в (7.2). Получаем −

S3 l 3 S2 l 2 S1 l 1 = = . 60 sin γ 70 sin β 80 cos β

(7.4)

Выражаем два усилия через третье S2 =

60S1 l1 sin γ 70S1 l1 sin β = 0.228S1, S3 = − = −0.064S1. 80l2 cos β 80l3 cos β

(7.5)

52

Статически неопределимые системы

Раздел 7

3. Решаем систему трех уравнений, одно из которых уравнение статики: сумма моментов относительно неподвижного шарнира O (рис. 81), а два других — соотношения (7.5), найденные из условия совместности деформаций. Находим усилия в стержнях. O1 S2

O2

O

γ A S3

6 S1 -P B

C

β

O3 α

Рис. 81

Уравнение равновесия имеет вид S1 · 80 + S2 · OB sin β − S3 · OA sin γ − P · OC sin β = 0,

(7.6)

где OA = 60/ cos β, OB = 70/ cos β, OC = 80/ cos β. Подставляем сюда соотношения (7.5). После упрощений получаем 86.96S1 − 20P = 0, откуда находим усилие S1 = 0.23P = 3.68 кН, и с помощью (7.5) два других: S2 = 0.018P = 0.29 кН, S3 = −0.04P = −0.65 кН. Способ 2. Метод сил. В качестве основной системы метода сил возьмем конструкцию с отброшенными шарнирами 6 и 4. Система канонических уравнений метода сил для дважды статически неопределимой системы имеет вид δ11 S1 + δ12 S2 + ∆1p = 0 δ21 S1 + δ22 S2 + ∆2p = 0

(7.7)

Для вычисления коэффициентов системы необходимо найти усилия в основной системе от действия внешней нагрузки P и от единичных сил, соответствующих неизвестным усилиям S1 , S2 . Усилие в стержне 3 от нагрузки P находим из уравнения моментов (рис. 82). Стержни 1 и 2 остаются ненагруженными. −S3,P OA sin γ − P · OC sin β = 0. Это уравнение также следует из (7.6) при S1 = S2 = 0.

Статически неопределимые системы

53

O1 O2 γ

O

S3

B

A

C

-P

β

O3 α

Рис. 82

Получаем S3,P = −10.057кН. Усилие в стержне 3 от единичной нагрузки, приложенной к опоре стержня 1, находим из уравнения моментов относительно опоры O (рис. 83) 1 · 80 − S3 OA sin γ = 0, 1 6 O1 O2

O

γ A S3

B

C

β

O3 α

Рис. 83

Получим S3,1 = 2.514. Усилие S3,2 в стержне 3 от единичной нагрузки, приложенной к опоре стержня 2, находим из уравнения моментов (рис. 84) 1 · OB sin β − S3 OA sin γ = 0, O1

1 O

γ A S3 β

O3 α

Рис. 84

B

C

54

Статически неопределимые системы

Раздел 7

Получим S3,2 = 0.55. Для вычисления коэффициентов канонических уравнений все результаты удобно занести в таблицу k

lk

Sk,1

Sk,2

Sk,P

1 2 3

25 70 56.57

1 0 2.51

0 1 0.55

0 0 -10.06

Пользуясь формулой Максвелла-Мора, вычислим коэффициенты 2 2 X Z Sk,1 l1 · 12 + l3 S3,1 382.57 ds = = , δ11 = EF EF EF k

δ12 =

X Z Sk,1 Sk,2 l3 S3,1 S3,2 78.22 ds = = , EF EF EF k

δ22

2 2 X Z Sk,2 l2 · 12 + l3 S3,2 87.11 = ds = = , EF EF EF k

∆1p

X Z Sk,1 Sk,p l3 S3,1 S3,p 1430.28 = ds = =− , EF EF EF k

∆2p =

X Z Sk,2 Sk,p l3 S3,2 S3,p 312.87 ds = =− . EF EF EF k

Решаем систему канонических уравнений (7.7),

382.57S1 + 78.22S2 − 1430.28 = 0 78.22S1 + 87.11S2 − 312.87 = 0

(7.8)

Получаем S1 = 3.68кН, S2 = 0.29кН. Усилие в стержне 3 находим из уравнения равновесия (7.6) S3 = −0.65 кН. В качестве проверки усилие S3 можно найти из очевидной формулы S3 = S3,1 S1 +S3,2 S2 +S3,p = 2.514·3.68+0.55·0.29−10.06 = −0.65. (7.9) Последнюю формулу можно понимать как выражение суммы усилий в стержне 3 от трех отдельных факторов: усилий в первом и втором стержне и от нагрузки P . При этом S3,1 — это усилие в третьем стержне от действия единичной нагрузки в первом стержне, а так как S1 это действительное усилие в стержне 1, то произведение S3,1 S1 есть усилие в стержне 3 от действия нагрузки в стержне 1. Аналогично понимаются и другие слагаемые суммы (7.9). Так как S3 < 0, то третий стержень сжат. Два другие: S1 > 0, S2 > > 0 — растянуты.

55

Статически неопределимые системы

Усилия совпадают с ответами, полученными по первому методу (с. 52). Maple-программа, реализующая метод сил, дана на с. 110. Пример 2. К многопролетной статически неопределимой балке (рис. 85) приложена вертикальная сила P = 9 кН и равномерно распределенная нагрузка q1 = 12 кН/м, q2 = 10 кН/м. Размеры даны в метрах. Построить эпюры моментов и перерезывающих сил. q1

q2

P

???????? ? 4

2

?????????????????? 3

5

5

Рис. 85

Решение 1. Определяем степень статической неопределимости по формуле − 3, где С — число связей. Балка имеет = 5 связей — три вертикальные опоры и неподвижная опора (две связи). Таким образом, − 3 = 2, балка дважды статически неопределима. 2. Разрезаем балку на отдельные части (простые балки), врезая внутренние шарниры в местах крепления опор (рис. 86). Обозначаем реакции образовавшихся связей — моменты M0 , M1 ,..., Mn .

M0 M0

4

2

M1 M1

3

M2 M2

5

M3

5

Рис. 86

3. Нумеруем пролеты. Число пролетов равно 3. Левая консоль — нулевой пролет. Длины пролетов l0 = 4 м, l1 = l2 = l3 = 5 м. 4. Из условия равновесия консоли определяем M0 (рис. 87). Записываем уравнение моментов относительно опоры M0 X q2 MA = q2 · 4 · 2 + M0 = 0. ???????? - X1 6 Получаем M0 = −80 кНм. Правая консоль в балке Y1 4 отсутствует, следовательно, M3 = 0. Остальные моменты являются неизвестными системы n − 1 = 2 Рис. 87 уравнений трех моментов.

56

Раздел 7

Статически неопределимые системы

5. Строим эпюры моментов Mp и перерезывающих сил Qp в трех пролетах и консоли от действия внешней нагрузки. Каждый пролет представляет собой отдельную статически определимую балку (рис. 88–90). q2

P

????????

? 10.8 Ω1

Mp0

q2 l20 /2

q1

?????????

?????????

37.5 Mp2

Ω2

Mp1

30

= 80

-40

Рис. 88

Рис. 89

37.5 Mp3

Ω3 30

Qp1 -3.6

5.4

Qp0

q1

Qp2

Qp3

-30

-30

Рис. 90

Рис. 91

Высота треугольной эпюры в полете 1 равна P · 2 · 3/5 = 10.8 Максимальные значения эпюр в пролетах 2 и 3 равны f = q1 l22 /8 = = q1 l32 /8 = 37.5 кНм. 6. Вычисляем площади эпюр моментов Ω1 , Ω2 , Ω3 , в пролетах и расстояния от центров тяжести этих площадей до левой (ai ) и правой (bi ), i = 1, 2, 3, опоры соответствующего пролета. Ω1 = 9 · 2 · 3/2 = 18,

a1 = (2 + 5)/3 = 2.333, b1 = l1 − a1 = 2.667,

Ω2 = Ω3 = 2f l2 /3 = 125, a2 = b2 = a3 = b3 = 2.5. 7. Составляем систему уравнений

l1 M0 + 2M1 (l1 + l2 ) + M2 l2 = −6(Ω1 a1 /l1 + Ω2 b2 /l2 ),

l2 M1 + 2M2 (l2 + l3 ) + M3 l3 = −6(Ω2 a2 /l2 + Ω3 b3 /l3 ).

(7.10)

Подставляем численные значения длин, моментов и площадей −400 + 20M1 + 5M2 = −450.6,

(7.11)

5M1 + 20M2 = −750.

8. Решаем систему уравнений (7.11). Находим моменты M1 = = 7.301 кНм, M2 = −39.325 кНм. 9. Строим эпюру моментов m1 от действия реакций M1 , M2 . m1

7.3

39.3 80

Рис. 92

57

Статически неопределимые системы

10. Складываем эпюры Mp (рис. 88–90) и m1 (рис. 92). Получаем искомую эпюру моментов в неразрезной балке (рис. 93)

7.3 34.3

M 39.3

80

Рис. 93

Значение момента в точке приложения силы P вычисляем по формуле (80 + 7.301)/5 · 2 + 10.8 − 80 = 34.279 кНм. 11. Строим эпюру перерезывающих сил.Для пролетов 1, 2, 3 имеем следующие добавки к перерезывающим силам в простой балке Q1 = Qp1 + (M1 − M0 )/l1 = Qp1 + (7.301 − (−80))/5 = Qp1 + 17.46,

Q2 = Qp2 + (M2 − M1 )/l2 = Qp2 + (−39.325 − 7.301)/5 = Qp2 − 9.325, Q3 = Qp3 + (M3 − M2 )/l3 = Qp3 + (0 − (−39.325))/5 = Qp3 + 7.865.

В итоге получаем эпюру перерезывающих сил в неразрезной балке (рис. 94) 37.9

22.9

20.7 13.9

Q -22.1 -39.3

-40

Рис. 94

Замечание 1. С помощью эпюры перерезывающих можно найти реакции опор и выполнить проверку решения. Рассматриваем равновесие элементов балки, вырезанных над опорами. Действие опор заменяем их реакциями Y1 , Y2 , Y3 , Y4 (рис. 95 – 98). Значения перерезывающих сил, возникающих как реакции при вырезании элемента, берем из эпюры моментов перерезывающих сил в неразрезной балке (рис. 94). С учетом принятых знаков для Q (положительные перерезывающие силы вращают элемент балки, к которому они приложены по часовой стрелке), имеем

58 40

Раздел 7

Статически неопределимые системы

?

28.86

6 Y1

13.86

?

20.67

6 6 Y2

Рис. 95

39.32

?

?

Рис. 96

37.9

6 Y3

22.13

?

?

Рис. 97

6 Y4

Рис. 98

Условия равновесия дают Y1 = 40 + 22.86 = 62.86, Y2 = −13.86 + 20.67 = 6.81,

Y3 = 39.32 + 37.86 = 77.19, Y4 = 22.14.

В проекции на вертикальную ось записываем сумму проекцию всех внешних сил, действующих на балку, P Yk = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 − P − 4 q2 − 10 q1 = = 62.86 + 6.81 + 77.19 + 22.14 − 9 − 40 − 120 = 0.

Проверка выполнена. Сумма проекций действительно равна нулю. Замечание 2. С помощью уравнений трех моментов можно рассчитывать и статически неопределимые консоли. К примеру, имеем дважды статически неопределимую консоль (рис. 99). q

P

?

q

P

???????????

? l1

Рис. 99

???????????

l2

l3

Рис. 100

Заменяем заделку двумя опорами, одна из которых находится в начале балки, другая, дополнительная на расстоянии l1 левее заделки (рис. 100). Полагая в (7.10) длину l1 фиктивного пролета равной нулю, и считая Ω1 = 0, получаем систему уравнений 2M1 l2 + M2 l2 = −6Ω2 b2 /l2 ,

l2 M1 + 2M2 (l2 + l3 ) = −6(Ω2 a2 /l2 + Ω3 b3 /l3 ).

(7.12)

Из решения получаем момент в заделке M1 и момент над средней опорой M2 . Замечание 3. Как и для всякого расчета методом сил, для решения, полученного с помощью уравнения трех моментов, можно выполнить кинематическую поверку. Для этого надо единичную эпюру какойлибо основной системы умножить на полученную эпюру моментов в неразрезной балке. Произведение эпюр, выражающее прогиб по направлению выбранной силы, приложенной в одной из опор, должно быть равно нулю, так как на опоре перемещение отсутствует. Наиболее

59

Статически неопределимые системы

очевидной является основное состояние с отброшенными промежуточными (лишними) опорами. Для рассматриваемого примера имеем следующий вариант основной системы с неизвестными Y2 и Y3 (здесь для неизвестных метода сил мы придерживаемся обозначений реакций опор, принятых на рис. 95 – 98, а не стандартных X1 и X2 )

6 Y2 4

2

3

6 Y3 5

5

Рис. 101

Строим эпюру от действия единичной силы по направлению реакции опоры Y2 m ¯1

10

4

2

3

5

5

Рис. 102

Умножаем эпюру M на рис. 93 и эпюру m ¯ 1 по правилу Верещагина. Чтобы не усложнять вычислений с дробными величинами, возникающими из-за того, что высота треугольной эпюры равна 10/3, умножим эту эпюру на 3, что фактически соответствует тестированию системы не на единичную силу, а на силу, равную 3. В любом случае перемещение не зависит от величины силы и должно быть нулевым. Выделяем для наглядности результат умножения отдельных участков в отдельные строчки. По правилу Верещагина умножается площадь одной эпюры на ординату другой под центром тяжести первой. Умножение прямолинейных фигур коммутативно, но если одна из эпюр содержит параболу, то площадь берем именно этой эпюры. Получаем 1 2 1 ∆y = · 4 · 2 · 34.279 + · 80 + 2 3 3 1 2 1 1 1 2 + ·3·4 · 34.279 − · 7.301 + · 3 · 10 · 34.279 − · 7.301 + 2 3 3 2 3 3 1 2 10 1 5 2 5 + 10 + · 5 · 39.325 ·5+ − · 7.301 · 5 + · 10 − Ω2 · + 2 3 3 2 3 3 2 1 2 5 + · 39.325 · 5 · · 5 − Ω3 · = 0. 2 3 2 где площадь, ограниченная параболой, Ω2 = Ω3 = (2/3) · f · 5, f = = q1 l22 /8 = 37.5

60

Раздел 7

Статически неопределимые системы

Maple-программа для решения этой задачи дана на с. 115. Пример 3. Найти реакции опор в статически неопределимой раме (рис. 103), используя метод сил. В точке A рама имеет жесткую заделку, в точке B — горизонтальную связь. К раме приложена равномерно распределенная нагрузка q.

q -

A

a

q X --

A

b

B

a

Рис. 103

b

B

Рис. 104

Решение 1. Отбрасываем горизонтальную связь в точке B. Заменяем ее действие неизвестной реакцией X, получаем основную систему (рис. 104). 2. Строим эпюру моментов MP в основной системе от действия внешней нагрузки (рис. 105). Эпюру строим методом сечений. Для того, чтобы не определять реакции опор от действия распределенной нагрузки q рассматриваем всякий раз часть, не содержащую опору A. Получаем эпюру на рис. 106.

-q -

A

a

Рис. 105

B

qb2 /2

b

MP

b

a

Рис. 106

3. Строим эпюру моментов m в основной системе от действия единичной силы (момента), направленной по неизвестной реакции. Прикладываем к точке B горизонтальную безразмерную единичную силу, рис. 107. Строим эпюру на рис. 108.

61

Статически неопределимые системы b

A

m

b

b

-

1

B

a

a

Рис. 107

Рис. 108

4. По формуле Максвелла-Мора определяем коэффициенты канонической системы метода сил. Пользуемся правилом Верещагина для перемножения эпюр. Площадь криволинейной эпюры умножаем ординату прямолинейной под центром тяжести криволинейной, ординату выделим полужирном шрифтом. Площадь параболической эпюры на участке с распределенной нагрузкой q вычисляем по формуле (2/3)f b, где b — длина участка, f = qb2 /8 — высота параболической эпюры. Z

m2 ds 1 = EJ EJ

1 2 δ= b · 2 LZ mMP ds 1 1 ∆= = EJ EJ 2 L

2 b2 (3a + b) b + ab · b = , 3 3EJ

b2 2 2 1 · b · b − f b · b+ 2 3 3 2 b2 1 +q ·a·b = qb3 (4a + b) 2 8EJ ·q

5. Записываем и решаем каноническое уравнение метода сил

b2 (3a + b) 1 X+ qb3 (4a + b) = 0 3EJ 8EJ Находим неизвестную X метода сил.

X = XB = −

3qb(4a + b) . 8(3a + b)

(7.13)

62

Раздел 7

Статически неопределимые системы

6. Составляем систему трех уравнений равновесия основной системы. Система содержит три неизвестных реакции XA , YA , MA , внешнюю распределенную нагрузку q и найYA денную реакцию опоры XB . Рас6 MA XAпределенную нагрузку заменяем ее b равнодействующей qb, приложенной 2 qb b в центре участка (рис. 109). Имеем: P XB Xi = XA + XB + qb = 0, P Y = YA = 0, a i P MAi = XB b + qb · b/2 + MA = 0. Рис. 109 Решаем систему. Определяем все реакции. XA = −

qb3 qb(12a + 5b) , YA = 0, MA = − . 8(3a + b) 8(3a + b)

Замечание. Проверить решение можно выбрав другую основную систему, например, заменив заделку в точке A неподвижным шарниром и реактивным моментом MA , являющимся неизвестной X метода сил (рис. 110). X

q -

A

b

B

a

Рис. 110

Пример 4. Построить эпюры моментов, нормальных и перерезывающих сил в статически неопределимой раме (рис. 111), используя метод сил. В точке A рама имеет жесткую заделку, в точке B неподвижный шарнир. Даны нагрузки P = 6 кН, q = 8 кН/м. C q-A

B P ? 3

4

2

Рис. 111

q-

-X

X2 6

P ?

1

3

4

Рис. 112

2

63

Статически неопределимые системы

Решение 1. Определяем число n лишних связей (число статической неопределимости. Рама имеет один контур и один однократный шарнир. Рама дважды статически неопределима. Отбрасывая лишние связи, например в шарнире B, и заменяя их действие неизвестными реакциями X1 , X2 , получаем основную систему, рис. 112. Заметим, что основная система не единственная. На рис. 113, 114, 115 приведены еще три варианта. В последнем случае в угол C рамы врезан шарнир, и, одновременно, к образовавшимся частям рамы приложены равные по модулю противоположно направленные пары X2 . Неудачный выбор лишних связей может привести к недопустимой кинематической изменяемости основной системы. q X1 ? -

-X

q X1 ? - -X2 2

P ? 3

4

2

P ? 3

4

Рис. 113

2

Рис. 114

На рис. 116 пример неправильной основной системы. Заделка в точке A превращена в горизонтально скользящую и отброшена горизонтальная связь в шарнире B. Рама имеет горизонтальную подвижность. - X2 X2 - ?q X1? -

P ? 3

4

2

Рис. 115

qX1 - -

-X

2

P ? 3

4

2

Рис. 116

2. Строим эпюры моментов MP , перерезывающих QP и нормальных сил NP в основной системе от действия внешней нагрузки (рис. 117). В данной задаче основная система выбрана консольного вида, поэтому при построении эпюр нет необходимости определять реакции опор XA , YA , MA . Выполняя сечения рамы, рассматриваем всякий раз часть

64

Раздел 7

Статически неопределимые системы

рамы, не содержащую заделку. Полученные эпюры изображены на рис. 118, 119, 120. q - -XA MA ? 4 6

24 P ?

24 3

MP

33 60

2

YA

Рис. 117

Рис. 118

6

+

6

QP

+

NP

–

24

Рис. 119

Рис. 120

3’. Строим эпюры моментов m1 , перерезывающих q1 и нормальных сил n1 в основной системе от действия единичной силы (момента), направленной по неизвестной реакции X1 . Внешние силы и неизвестные реакции к раме не прикладываем (рис. 121).

-X

1

m1 3

Рис. 121

Рис. 122

65

Статически неопределимые системы

+ 1

1

q1

+

n1

1

Рис. 123

Рис. 124

3”. Строим эпюры моментов m2 , перерезывающих q2 и нормальных сил n2 в основной системе от действия единичной силы (момента), направленной по неизвестной реакции X2 (рис. 125). 6 6 X2 6

m2

Рис. 125

Рис. 126

– 1

1

q2

n2

+ 1

Рис. 127

Рис. 128

4. По формуле Максвелла-Мора определяем коэффициенты канонической системы метода сил. Пользуемся правилом Верещагина для перемножения эпюр. Площадь криволинейной эпюры умножаем ординату прямолинейной под центром тяжести криволинейной, ординату выделим полужирном шрифтом. Площадь параболической эпюры на участках с распределенной нагрузкой q вычисляем по формуле (2/3)f l, где l — длина участка, f = ql2 /8 — высота параболической эпюры. На

66

Статически неопределимые системы

Раздел 7

участке AC имеем l = 3 м, q = 8 кН/м, f = 8 · 32 /8 = 9 кНм. Z 2 m1 ds 1 1 2 9 δ11 = = ·3·3· ·3 = , EJ EJ 2 3 EJ L Z 2 m2 ds 1 1 2 180 = 6·3·6+ ·6·6· ·6 = , δ22 = EJ EJ 2 3 EJ L Z m1 m2 ds 1 1 −27 δ12 = δ21 = = − ·3·3·6 = , EJ EJ 2 EJ L Z m1 MP ds 1 1 2 1 1 ∆1P = = · 60 · 3 · · 3 + · 24 · 3 · · 3− EJ EJ 2 3 2 3 L 2 1 189 − ·9·3· ·3 = 3 2 EJ Z m2 MP ds 1 60 + 24 2 ∆2P = = − · 3 · 6 + · 9 · 3 · 6− EJ EJ 2 3 L 2 1 872 1 − · 24 · 4 · ·6+ ·2 =− 2 3 3 EJ

(7.14)

Для проверки умножения можно воспользоваться следующими очевидными тождествами Z (m1 + m2 )2 ds = δ11 + 2δ12 + δ22 , EJ L Z (7.15) (m1 + m2 )MP ds = ∆1P + ∆2P . EJ L

5. Записываем и решаем каноническое уравнение метода сил 9X1 − 27X2 + 189 = 0,

−27X1 + 180X2 − 872 = 0.

(7.16)

Находим неизвестные метода сил 1 X1 = −11.76 кН, X2 = 3.08 кН. 6. Строим эпюры моментов M , перерезывающих Q и нормальных сил N в раме по формулам M = MP − 11.76m1 + 3.08m2, Q = QP − 11.76q1 + 3.08q2

(7.17)

N = NP − 11.76n1 + 3.08n2.

1

В системе Maple решение имеет вид: solve({9*x1-27*x2+189.,-27*x1+180*x2-872.},{x1,x2});

67

Статически неопределимые системы 6.16 5.52

3.08

11.76

+ – 5.52

M

– 2.92

Q +

6.24

12.24

Рис. 129

Рис. 130

11.76 2.92

–

–

N

3.08

q12.24 - 6.24 66

6

11.76

P ? 3

4

2

2.92

Рис. 131

Рис. 132

7. Выполняем статическую проверку. Прикладываем к раме внешнюю нагрузку, действие опор заменяем реакциями, значение которых снимем с эпюр M , Q и N (рис. 132). Соблюдаем правило знаков для перерезывающих сил (положительные силы вращают участок по часовой стрелке), нормальных сил (положительные силы растягивают участок) и моментов (эпюра моментов построена на сжатом волокне). Проверяем выполнение уравнений равновесия: P Xi = −12.24 + q · 3 − 11.76 = −12.24 + 24 − 11.76 = 0, P Yi = 2.92 − P + 3.08 = 2.92 − 6 + 3.08 = 0, P MA = 3.08 · 6 + 11.76 · 3 − 24 · 1.5 − 6 · 4 + 6.24 = 0.

(7.18)

Статическая проверка выполняется. Рама находится в равновесии. 8. Выполняем кинематическую проверку. Для этого проверяем равенство нулю произведения построенной эпюры моментов M (рис. 129)

68

Раздел 7

Статически неопределимые системы

в раме на эпюру моментов от единичного состояния m2 (рис. 126): Z

m2 M ds 1 6.24 + 5.52 2 = − · 3 · 6 + · 9 · 3 · 6− EJ EJ 2 3 L 5.52 2 1 6.16 2 1 − ·4· ·6+ ·2 + ·4· ·2+ ·6 + 2 3 3 2 3 3 1 2 + · 6.16 · 2 · · 2 = 0. 2 3

(7.19)

Выполнение этой кинематической проверки означает, что рама в шарнире B не имеет вертикального смещения. Для проверки горизонтального смещения в этой же точке необходимо перемножить m1 и M . Для проверки угла поворота оси рамы в заделке (он должен быть равен нулю) умножаем M на эпюру в основном состоянии рис. 113 или рис. 114 от действия единичного момента по направлению X1 . Пример 5. Плоская один раз статически неопределимая ферма опирается на два подвижных и один неподвижный шарнир (рис. 133). Узел D нагружен горизонтальной силой P = 12 кН. Размеры даны в метрах. Найти усилия в стержнях фермы. -P

-P 2 2

A

B 4

4 Рис. 133

6 YC Рис. 134

Решение 1. Выбираем основную систему, отбрасывая вертикальную связь в узле C (рис. 134). Основная система статически определима и геометрически неизменяема. В качестве неизвестной X будет реакция YC отброшенной опоры. 2. Определяем реакции опор XA , YA , YB в основной системе от действия внешней нагрузки (рис. 135).

Статически неопределимые системы

I K

-P

69

II 2 2

XA

6 YA

I 4

4

II 6 YB

Рис. 135

Составляем три уравнения равновесия

P Xi = XA + P = 0, P MA = YB · 8 − P · 4 = 0, P MB = −YA · 8 − P · 4 = 0.

(7.20)

Решаем систему уравнений. Находим XA = −P = −12 кН, YA = − −P/2 = −6 кН, YB = P/2 = 6 кН. Для проверки составляем сумму проекцию всех сил, действующих на ферму, на ось y:

X

Yi = YA + YB = 6 − 6 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно. Реакции YA и YB найдены верно 1 . 3. Определяем усилия Si в стержнях фермы в основной системе от действия внешней нагрузки. Используем принятые в строительной механике обозначения Ok для усилий верхнего пояса, Dk для диагоналей (раскосов), Uk для нижнего пояса и Vk для вертикаль-

1 Более надежная проверка, контролирующая также и реакцию XA , состоит в проверке выполнения уравнения моментов относительно какой-либо точки, не обязательно совпадающей с узлом и не лежащей на линиях действия проверяемых реакций. В данной задаче это может быть центр средней стойки фермы.

70

Статически неопределимые системы

Раздел 7

ных стержней. Усилия O1 , U1 , D1 найдем по методу Риттера [10]. Рассекаем стержни первой панели вертикальным сечением I-I (рис. 136). Реакции рассеченных стержней направляем в сторону ORU1 1 сечения. Это правило соответствует принятому соглашению, согласно которому в растянутых стержнях R D1 положительные усилия, а отрицательные — в сжатых. UXA1 RO1 Находим точки Риттера (моментные 6 точки) на пересечениях линий YA действия усилий в сечении. Таких точек две: RO1 , RU1 . Рис. 136 Составляем два уравнения моментов относительно точек Риттера P MRO1 = −O1 · 4 − YA · 4 = 0, P MRU 1 = U1 · 4 + XA · 4 = 0.

(7.21) (7.22)

Усилие D1 в раскосе, для которого нет точки Риттера (усилия O1 , U1 параллельны), определяем из уравнения проекций на вертикальную ось X

Yi = YA − D1 cos 45 = 0.

(7.23)

Из уравнений (7.21), (7.22), (7.23) получаем O1 = 6 кН, U1 = 12 кН, D1 = −8.485 кН. Положительные усилия соответствуют растяжению, отрицательные — сжатию. Для определения усилий O2 , U2 , D2 произведем сечение II-II (рис. 137). Отбрасываем левую часть фермы. Рассматриваем равновесие оставшейся правой O2Y RU2 части, состоящей из одного D2 вертикального стержня. Уси α лия в рассеченных стержнях U α 2 RD2 направляем вдоль стержней RO2 6 YB в сторону сечения. Находим моментные точки на пересечениях линий действия усилий в сечении. Таких точек три: RO2 , RU2 , RD2 . Рис. 137 Составляем уравнения моментов относительно этих точек:

Статически неопределимые системы

P MRO2 = O2 · 4 sin α + O2 · 2 cos α + YB · 4 = 0, P MRD2 = D2 · 4 sin α + D2 · 2 cos α − YB · 4 = 0, P MRU 2 = −U2 · 2 = 0

71

(7.24)

Решая уравнения, получаем O2 = −6.708 кН, D2 = 6.708 кН, U2 = = 0. Усилия в остальных стержнях методом Риттера получить нельзя. Сечение Риттера должно пересекать три (не больше и не меньше) стержня фермы и делить ее на две части. Среднюю стойку (усилие V2 ) можно рассечь сечением, проходящим через 4 стержня. Для левой и правой стойки также нет подходящих сечений, поэтому используем метод вырезания узлов. Вырезаем узел K (рис. 138). Разрезанные стержни заменяем усилиями, направленными по стержням из узла. То, что вектора с одним и тем же усилием для различных схем оказываются направленными в разные стороны не является ошибкой. Напротив, это соответствует аксиоме статики о действии и противодействии. Так, вектор с усилием O2 на рис. 137 направлен вверх, а на рис. 138 вниз. Прикладываем внешнюю силу P , дейy ствующую по условию на этот узел. ВыP -x O1 6 бираем систему координат x, y. Составляα K ем уравнения равновесия узла в проекциj V O2 ях на эти оси ?2 P Xi = −O1 + O2 cos α + P = 0. P (7.25) Рис. 138 Yi = −O2 sin α − V2 = 0.

Усилия O1 и O2 уже найдены, поэтому первое уравнение системы (7.25) является проверочным, а из второго получим V2 = 3 кН. Аналогично, вырезая узлы A и B (рис. 139, 140), из уравнений проекций на вертикальную ось получаем V1 = −YA = 6 кН, V3 = −YB = −6 кН.

V

61 XAU1 A6 YA Рис. 139

V

63 U2 B 6 YB Рис. 140

4. Определяем реакции опор xA , yA , yB в основной системе от действия единичной силы, приложенной в месте отброшенной опоры C по вертикали.

72

I

II K

2 2

xA-

Раздел 7

Статически неопределимые системы

6 yA

I 4

61

4

II 6 yB

Составляем уравнения равновесия: P Xi = xA = 0, P MA = yB · 8 + 1 · 4 = 0, P MB = −yA · 8 − 1 · 4 = 0.

Решаем систему уравнений. Находим xA = 0, yA = yB = = −0.5. Заметим, что единичная сила безразмерная, поэтому и реакции опор также безразмерные.

Рис. 141

Для проверки составляем сумму проекцию всех сил, действующих на ферму, на ось y: X Yi = yA + yB + 1 = 0.5 + 0.5 − 1 = 0.

Проверка выполнена. 5. Определяем усилия si в стержнях фермы в основной системе от действия приложенной единичной силы. Уравнения для усилий u1 , u2 , v1 ,..., d3 при этом не будут отличаться от соответствующих уравнений (7.21-7.25) для усилий U1 , U2 , V1 ,..., D3 , если не считать, что при определении реакций опор и усилий от действия единичной силы все искомые величины обозначаются строчными буквами, т.е. yA вместо YA и т.п. и значения реакций опор будут иные. В остальном же расчет усилий от единичной силы совпадает с уже выполненным для основной нагрузки, поэтому приведем результаты, занеся все в одну таблицу:

нижний пояс (U ) вертикали (V ) раскосы (D) верхний

пояс (O)

№

Si , кН

si

li , м

1 2 1 2 3 1 2 1 2

12.000 0.000 6.000 3.000 -6.000 -8.485 6.708 6.000 6.708

0.000 0.000 -0.500 -0.250 0.500 -0.707 -0.559 0.500 0.559

4.000 4.000 4.000 4.000 2.000 5.657 4.472 4.000 4.472

В последний столбец занесены длины соответствующих стержне. Они потребуются для вычисления коэффициентов канонического уравнения.

Статически неопределимые системы

73

6. Определяем коэффициенты δ11 и ∆1p канонического уравнения метода сил по формулам

δ11 =

X s2 l k k

k

EF

=

X sk S k l k 8.374 15.400 , ∆1p = = . EF EF EF k

7. Решаем уравнение 8.374X + 15.4 = 0 и находим реакцию X=YC = −1.839 кН отброшенной подвижной опоры. 8. Реакции опор и усилия в стержнях статически неопределимой фермы определяем по формулам

s XA = XA = −12 кН, YAs = YA + yA · X = −6 + 0.5 · 1.839 = −5.08 кН, YBs = YB + yB · X = 6 + 0.5 · 1.839 = 6.92 кН, U1s = 12 кН, U2s = 0, V1s = V1 + Xv1 = 6 + 0.5 · 1.839 = 5.080 кН, V2s = V2 + v2 · X = 3 + 0.25 · 1.839 = 3.460 кН, V3s = V3 + v3 · X = −6 − 0.5 · 1.839 = −6.920 кН, D1s = D1 + d1 · X = −8.485 + 0.707 · 1.839 = −7.185 кН, D2s = D2 + d2 · X = 6.708 + 0.559 · 1.839 = 7.736 кН, O1s = O1 + o1 · X = 6 − 0.5 · 1.839 = 5.080 кН, O2s = O2 + o2 · X = 6.708 − 0.559 · 1.839 = −7.736 кН.

Выполняем проверку равновесия статически неопределимой фермы в целом. Как и ранее, отбрасываем опоры и заменяем их действие реакциями (рис. 142). Составим сумму моментов всех сил, действующих на ферму, включая реакции, относительно точки K, которую разместим в этом случае в центре первой панели верхнего пояса. Через эту точку не проходит ни одна из проверяемых реакций, поэтому проверка будет наиболее эффективна.

74

Раздел 7

Статически неопределимые системы

2

-P

K

s XA

2 2

6 Ys A

4

6 YC

4

6 Ys

B

Рис. 142

X

s MK = −YAs · 2 + XA · 4 + YC · 2 + YBs · 6 = 10.16 − 48 − 3.678 + 41.52 = 0.

Найденные реакции опор удовлетворяют проверочному уравнению моментов. Maple-программа расчета статически неопределимой фермы дана на с. 135.

Глава 8

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ Пример 1. Прямолинейный стержень длиной l, закрепленный на левом конце в упругой опоре, а на правом в подвижном шарнире, сжимается продольной силой P (рис. 143). Задана относительная жесткость EJ/(c2 l) = 1, где c2 — жесткость пружины M = c2 ∆ϕ. Определить коэффициент µ приведения длины стержня. P Рис. 143

Решение 1. Решение дифференциального уравнения продольного изгиба w(4) + k 2 w00 = 0, где k 2 = P/EJ, ищем в виде w = A sin kx + B cos kx + Cx + D,

(8.1)

где x — продольная координата с началом на левом конце стержня. 2. Выписываем краевые условия на левом конце. Прогиб стержня на шарнирной опоре с упругим закреплением отсутствует, а угол поворота пропорционален моменту: w(0) = 0, cw0 (0) = EJw00 (0).

(8.2)

На другом конце (x = l) — шарнир идеальный. В нем равны нулю и прогиб и момент w(l) = 0, EJw00 (l) = 0.

(8.3)

3. Для получения производных, входящих в краевые условия, дифференцируем (8.1). Последовательно получаем w0 = Ak cos kx − Bk sin kx + C,

w00 = −Ak 2 sin kx − Bk 2 cos kx.

(8.4)

76

Раздел 8

Устойчивость и колебания

4. Для определения констант A, B, C, D с учетом (8.1), (8.2), (8.3), (8.4), получаем следующую однородную систему B + D = 0, c(Ak + C) = −EJBk 2 ,

A sin kl + B cos kl + Cl + D = 0,

(8.5)

−Ak 2 sin kl − Bk 2 cos kl = 0. 5. Приравниваем нулю определитель системы. Получаем условие для ненулевого решения, т.е. условие потери устойчивости стержня sin t − t cos t + t2 b sin t = 0,

(8.6)

где t = kl, b = EJ/(cl). 6. Решаем численно уравнение (8.6) при b = 1. Минимальный положительный корень уравнения t = 3.406. Коэффициент приведения длины равен µ = π/t = 0.922. Maple-программа для решения этой задачи дана на с. 149 Пример 2. Прямолинейный стержень длиной l, закрепленный по концам, сжимается двумя продольными силами P (рис. 144). Задано соотношение моментов инерции участков стержня J1 = 1.5J2 . Определить коэффициент µ приведения длины стержня в формуле для критической силы P = π 2 EJ2 /(µl)2 .

P l/2

P l/2

Рис. 144

Решение

v=

6 X

Ck (x/l)k .

(8.7)

k=0

Условия на левой опоре

v(0) = 0, v 0 (0) = 0

(8.8)

Прогиб на средней опоре равен нулю: v(l/2) = 0,

(8.9)

Условие шарнирного опирания на правой опоре: v(l) = 0, v 00 (l).

(8.10)

77

Устойчивость и колебания

Пять граничных условий для функции (8.7) дают систему пяти уравнений, содержащих семь констант C0 , ..., C6 C0 = 0, C1 = 0, C0 + C1 /2 + C2 /4 + C3 /8 + C4 /16 + C5 /32 + C6 /64 = 0,

(8.11)

C0 + C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = 0, 2C2 + 6C3 + 12C4 + 20C5 + 30C6 = 0. Решив систему, выразим константы C0 ,

1,

2,

3 , C4

через C5 ,

C0 = C1 = 0, C2 = −(27C6 + 10C5 )/16, C3 = (93C6 + 38C5 )/16, C4 = −(41C6 + 22C5 )/8

6:

(8.12)

Таким образом, прогиб, удовлетворяющий заданным условиям опирания, имеет вид v = C2 (x/l)2 + C3 (x/l)3 + C4 (x/l)4 + C5 (x/l)5 + C6 (x/l)6 .

(8.13)

Критическую силу найдем по формуле С.П. Тимошенко, которая для стержня с двумя участками имеет вид   l/2 l/2 Z Zl Z Zl   0 2 0 2 00 2 P  (v ) dx + (v ) dx = EJ1 (v ) dx + EJ2 (v 00 )2 dx (8.14) 0

0

0

l/2

или

(0.038C5 C6 + 0.062C62 + 0.006C52 )P l2 − −(3.194C62 + 2.007C5 C6 + 0.319C52 )EJ = 0.

(8.15)

Минимизируя P , дифференцируем (8.15) по C5 и C6 при условии ∂P/∂C5 = 0, ∂P/∂C6 = 0. Получаем однородную систему уравнений с матрицей 0.012P l2 − 0.638EJ

−2.007EJ + 0.0385P l2

−2.007EJ + 0.038P l2 0.124P l2 − 6.389EJ.

(8.16)

Приравнивая нулю определитель этой матрицы, получаем два решения P = 50.985EJ/l2, P = 117.424EJ/l2.

(8.17)

Минимальное значения соответствует критической силе P = = 50.985EJ/l2. Сравнивая это выражение с формулой Эйлера P =√ π 2 EJ/(µl)2 , находим коэффициент приведения длины µ = = π/ 50.985 = 0.440.

78

Раздел 8

Устойчивость и колебания

Пример 3. Два груза массой m1 = 5 кг и m2 = 10 кг расположены на упругой балке, состоящей из двух частей, соединенных шарниром C (рис. 145). Пренебрегая массой балки, определить частоты собственных малых колебаний грузов. Принять жесткость балки на изгиб EJ = = 1000 2 . Размеры даны в сантиметрах.

m1

A

m2

C

B

D 20

15

15

25

25

Рис. 145

Решение 1. Строим эпюры от вертикальных единичных сил, приложенных в местах крепления грузов. Прикладываем вертикальную единичную силу в точке крепления груза 1. Из условия равновесия находим реакции опор. Правая часть балки оказывается незагруженной, реакции ее опор равны нулю. Эпюра M1 изображена на рис.147. A D

0.75 1.751

A?

6 ?C

D

C

B

M1

15 20 15

Рис. 146

Рис. 147

Прикладываем вертикальную единичную силу в точке крепления груза 2. Из условия равновесия находим реакции опор. Рассматриваем отдельно левую и правую части. В отсутствии горизонтальных сил внутренний шарнир имеет только вертикальную реакцию, направленную для левой части вниз, а для правой вверх, рис. 148. Эпюра M2 изображена на рис. 149. В промежуточном шарнире C эпюра не имеет излома, так как внешних сил в этой точке нет. 0.75 1.25 0.5 C A? 6 ? D

B

0.5 ? 1 0.5 6 6

Рис. 148

A

D

12.5

C

15 7.5 20 15 15

B

M2 25

25

Рис. 149

Устойчивость и колебания

79

2. Используя формулу Максвелла–Мора, δij =

Zl

Mi Mj dx, EJ

(8.18)

0

перемножаем эпюры рис. 147, 149 по правилу Верещагина и получаем коэффициенты δ11 , δ12 , δ22 . Площадь одной эпюры умножаем ординату другой под центром тяжести первой, ординату выделяем полужирном шрифтом. Размеры берем в сантиметрах. Получаем 1 20 · 15 2 15 · 15 2 2625 δ11 = · · 15 + · 15 = , EJ 2 3 2 3 EJ 20 · 15 2 1 · · 15+ δ12 = EJ 2 3 15 · 15 2 1 2906.25 + · · 15 + · 7.5 = , (8.19) 2 3 3 EJ 1 20 · 15 2 30 · 15 2 δ22 = · · 15 + · · 15+ EJ 2 3 2 3 1 2 6354.167 +2 · · 25 · 12.5 · · 12.5 = , 2 3 EJ или δ11 = 2.625·10−6 м/Н, δ12 = 2.906·10−6 м/Н , δ22 = 6.354·10−6 м/Н. 3. Записываем частотное уравнение 2 ω 4 m1 m2 (δ11 δ22 − δ12 ) − ω 2 (m1 δ11 + m2 δ22 ) + 1 = 0.

(8.20)

0.412 · 10−9 ω 4 − 0.767 · 10−4 ω 2 + 1 = 0. Решаем уравнение, получаем собственные частоты грузов ω1 = = 118.798 рад/с, ω2 = 414.874 рад/с/. Maple-программа для решения этой задачи дана на с. 152.

Глава 9

МAPLE - ПРОГРАММЫ Приведенные ниже программы можно условно разделить на вычислительные и алгоритмические. Первые, простейшие, помогают вычислить результат, руководствуясь предложенным планом по известным формулам. В этих программах Maple выступает в роли большого (и удобного!) калькулятора, дающего возможность считать и при необходимости легко пересчитывать результат при других данных или при обнаружении ошибки. Как правило задачи для этих программ принципиально несложные. Сложные задачи, например, статически неопределимые системы, могут быть (и должны быть!) решены по плану. Однако из-за исключительно громоздкого математического аппарата, требующего повышенного внимания и большого напряжения, такие задачи несколько раз решить трудно, а это приходится делать при поиске почти неизбежных ошибок. В этом случае на помощь приходят алгоритмические программы, служащие в основном для проверки решения. В этих программах, как правило, используется план решения, отличный от того, который дается в процессе обучения (вычисления вручную). Безусловно, студент должен овладеть классическими методами решения, раскрывающими физическую суть задачи. Однако в современных условиях нельзя пренебрегать и так называемыми пользовательскими программами, работающими по принципу «черного ящика» — задаем информацию на входе программы, нажимаем ENTER и получаем результат. В Maple (как и в других математических пакетах) принцип «черного ящика» привычно используется, например, в операторе solve решения алгебраических уравнения и dsolve для решения дифференциальных уравнений. Вероятно, придет время и будут созданы такого же рода операторы для расчета фермы, балки или других конструкций. А пока воспользуемся предлагаемыми программами. Тексты программ можно размещены на сайте http://vuz.exponenta.ru. Программы рассчитаны на версию 11 Maple. Однако без изменений они работоспособны и в системах Maple 8/9/9.5/10.

9.1. Растяжение и сжатие бруса Программа расчета бруса с тремя участками легко может быть переделана на произвольное число участков. В программу введены данные задачи на рис. 1, с. 5. Нумерация сил, длин и площадей сечений

9.1.

81

Растяжение и сжатие бруса

ведется снизу. Силы, направленные вверх, считаются отрицательными. В комментариях к программе указаны единицы измерения вводимых величин. Основой программы является цикл по числу участков. В цикле вычисляются веса и усилия в ньютонах, безразмерные деформации и удлинения в метрах. Окончательный результат переводится в миллиметры, а выражение Перемещение=DL*1000,мм служит только для отображение результата, так как вместо знака присваивания := используется знак равенства. Для объемного веса γ выбрано обозначение gmma, так как gamma в Maple зарезервирована как константа Эйлера 1 , γ = n P = lim 1/i − ln(n) , равная приблизительно 0.577215. n→∞

i=1

Программа 1

> > > > > > > > > > > > > > > > > > >

restart: l:=<3,2,3>: # Длины, м F:=<24,29,31>: # Площади, см2 P:=<-63,108,-42>: # Силы, кН gmma:=78000: E1:=2e11:# Константы (Н/м3, Па) N[0,2]:=0: DL:=0: for i to 3 do G:=gmma*l[i]*F[i]/1e4:#Вес N[i,1]:=N[i-1,2]+P[i]*1000:#Усилие N[i,2]:=N[i,1]+G:# for j to 2 do sigma[j]:=N[i,j]/(F[i]/1e4):#Напряжение eps[j]:=sigma[j]/E1:#Деформация od: dl[i]:=(eps[1]+eps[2])/2*l[i]:#Удлинение DL:=DL+dl[i]:#Общее удлинение od: Перемещение=DL*1000,мм; Перемещение‘ = -.2129284538, ‘мм‘;

1 Как известно, "если нельзя, но очень хочется — то можно". В данном случае, любителям использовать запретные имена Maple предоставляет такую исключительную возможность. Для этого используется команда unprotect(gamma). После такой команды gamma перестает быть константой Эйлера и ей можно распоряжаться как идентификатором произвольно.

82

Раздел 9

Мaple - программы

В программе не предусмотрен специальный вывод результатов по участкам. Для того, чтобы получить значения всех искомых величин в характерных точках стержня, достаточно двоеточие в конце главного цикла (после od) заменить на точку с запятой.

9.2. Геометрические характеристики сечения Обычно программы вычисления моментов инерции плоских фигур сводятся к ручному разбиению фигуры на простейшие и последующему вычислению сумм. Для фигур, состоящих из небольшого числа простых составляющих, этот способ удобен. Применим другой метод — метод интегрирования по контуру, основанный на замене интегрирования по площади интегрированием по контуру. Для площади фигуры Z A = dA A 1

с помощью формулы Грина Z I ∂Q ∂P − dA = P dx + Qdy ∂y ∂x L

A

при P = y, Q = −x получим Z I 1 A = dA = ydx − xdy. 2 A

L

Вычисляем криволинейный интеграл используя на участке от точки i до точки i + 1 замену x = (xi+1 − xi )t + xi , y = (yi+1 − yi )t + yi ,

0 6 t 6 1.

(9.1)

Получаем n

1X A= (xi+1 yi − xi yi+1 ). 2 i=1

(9.2)

Для контура, ограниченной ломаной L с угловыми точками (xi , yi ), i = = 1, ..., m, формула дает точный результат. Если контур сечения содержит криволинейные участки, то их можно приближенно заменить ломаной. Точность вычисления при этом зависит от числа введенных угловых точек и способе приближения кривой. 1

Обход контура принят по часовой стрелке. См. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.Т.III, М.:1970, c. 35.

9.2.

Геометрические характеристики сечения

83

Для статического момента фигуры Z Sx = xdA A

с помощью формулы Грина при P = xy, Q = −x2 получим I 1 xydx − x2 dy. Sx = 3 L

Для вычисления криволинейного интеграла используем замену (9.1) и получаем формулу для статического момента n

Sx =

1X (xi+1 yi − xi yi+1 )(xi + xi+1 ). 6 i=1

Таким же образом получим n

Sy =

1X (xi+1 yi − xi yi+1 )(yi + yi+1 ). 6 i=1

Координаты центра тяжести имеют вид:

Sx Sy , yc = . A A Осевые моменты инерции рассчитываются по формулам xc =

n

1 X 2 (yk+1 + yk+1 yk + yk2 )(xk+1 yk − xk yk+1 ), 12 k=1 n 1 X 2 Jy = (xk+1 + xk+1 xk + x2k )(xk+1 yk − xk yk+1 ). 12 Jx =

k=1

Центробежный момент инерции имеет вид n

Jxy =

1 X (xk+1 yk+1 + xk yk + (xk yk+1 + yk xk+1 )/2)(xk+1 yk − xk yk+1 ). 12 k=1

Рассмотрим этот метод применительно к задаче на с.12. Принимаем обход контура по часовой стрелке. Последняя точка совпадает с первой и имеет номер (m + 1). Нумеруем угловые точки контура (рис. 150). Дугу окружности заменяем ломаной. Точки на дуге имеют номера 1, ..., N1 , угловые точки N1 + 1, ..., N1 + 11, где последняя точка с номером N1 +11 совпадает с первой на дуге. Координаты угловых точек на дуге вычисляем по формулам xi = R cos(iπ/(2N1 )),

yi = 2 + R sin(iπ/(2N1 )), i = 1, ..., N1 , R = 2,

84

Раздел 9

Мaple - программы

где N1 — число точек на окружности. Оператор polygonplot строит изображение контура, ограниченного точками, заданными в матрице T. Рисунок, который выдает система, совпадает с рис. 15, c. 12 и здесь не приводится. Функция add(с[i], n P i=1..n) означает сумму ci . Точность вычислений зависит от числа i=1

точек на окружности. Три правильных знака после запятой в выражении площади фигуры получаются при N > 100. Отметим необычную для алгоритмических языков конструкцию. Значение Z как функция i задано вне цикла суммирования. Аналогично, угол F “вычислен" до того, как параметру i было присвоено число. Это характерная особенность оператора присваивания := в пакетах символьных вычислений. y 6

N1 + 2

7 6

N1 + 3

N1 + 1

N1

N1 + 5 N1 + 10

N1 + 4

1 N1 + 8

2

N1 + 9

N1 + 6 x

N1 + 7 2

5

7

Рис. 150

Предлагаемый метод позволяет рассчитывать и двусвязные фигуры. Пусть в трапеции ABCD сделан треугольный вырез M N K (рис. 151). Сделаем разрез, соединяющий внутренний и внешний контур (рис. 152). При обходе фигуры внутренний контур будет пройден против часовой стрелки, и его площадь станет отрицательной, а разрез, пройденный дважды в противоположных направлениях, не внесет добавки в интеграл. B N K A

M Рис. 151

C

D

6 j ? ? Рис. 152

9.2.

85

Геометрические характеристики сечения

Проконтролировать число введенных точек можно оператором nops([X]). Программа 2 > > > >

> > > > > > >

> >

>

>

> > > > > > >

restart: N:=11:# Число точек(обход по часовой стрелке) N1:=480: M:=N+N1+1: Точки на дуге F:=evalf(i*Pi/2/N1): Xcircl:=seq(2*cos(F),i=0..N1): Ycircl:=seq(4+2*sin(F),i=0..N1): X:=Xcircl,5,5,7,7,5,7,2,2,0,0,Xcircl[1]: Y:=Ycircl,6,7,7,4,4,0,0,2,0,4,Ycircl[1]: T:=matrix(2,M,[X,Y]): # Матрица координат with(plots): polygonplot(T,scaling=constrained); Площадь Z:=T[2,i]*T[1,i+1]-T[1,i]*T[2,i+1]: A:=add(Z,i=1..M-1)/2; A := 34.85841296 Координаты центра тяжести (см) xc:=add(Z*(T[1,i]+T[1,i+1]),i=1..M-1)/6/A;

xc := 3.681560048 yc:=add(Z*(T[2,i]+T[2,i+1]),i=1..M-1)/6/A; yc := 3.206313277 Осевые моменты инерции (см4) Jx:=add(Z*(T[2,i+1]^2+T[2,i+1]*T[2,i]+T[2,i]^2), i=1..M-1)/12; Jy:=add(Z*(T[1,i+1]^2+T[1,i+1]*T[1,i]+T[1,i]^2), i=1..M-1)/12; Jxy:=add(Z*(T[1,i+1]*T[2,i+1]+ (T[2,i+1]*T[1,i]+T[1,i+1]*T[2,i])/2+ T[1,i]*T[2,i]),i=1..M-1)/12; Jx := 480.5930828 Jy := 590.1917520 Jxy := 437.6667022

86

Мaple - программы

Раздел 9

Центральные моменты инерции (см4) >

Jxc:=Jx-yc^2*A; Jyc:=Jy-xc^2*A; Jxyc:=Jxy-yc*xc*A; Jxc := 122.2330915 Jyc := 117.7248527 Jxyc := 26.1898088 Главные центральные моменты инерции (см4)

>

Jmax:=((Jxc+Jyc)/2+sqrt((Jxc-Jyc)^2/4+Jxyc^2));

>

Jmin:=((Jxc+Jyc)/2-sqrt((Jxc-Jyc)^2/4+Jxyc^2)); Jmax := 146.2656063 Jmin := 93.69233787

Для решения задачи о сечении из уголка и швеллера на рис. 13, c. 10 следует вести 17 угловых точек, где первая и последняя точки совпадают: X:=0,3,6,12,168,174,177,180,180,63,63,61,6.1,4,2,0,0 Y:=74,74,70,5.1,5.1,70,74,74,0,0,-2,-4,-6.1,-61,-63,63,73 Точность решения при этом получится невысокой: A = 27.26 см2 , Jmax = 1417.9 см4 , Jmin = 170.4 см4 .

9.3. Напряженное состояние в точке Решим задачу на с. 49 о трехмерном напряженном состоянии в точке. Для заполнения симметричной матрицы применяется режим записи в верхнюю треугольную часть симметричной матрицы. Это заметно ускоряет ввод данных. Операция Tau[2]:=-Tau[2] подправляет знак у касательного напряжения τ2 , полученного с формальным использованием векторного произведения для компактного вычисления напряжений τk , k = 1, 2, 3. Длина вектора вычисляется с помощью оператора Norm(Tau,2). Опция 2 в операторе указывает на евклидову норму вектора. Программа 3 > >

> >

restart; with(LinearAlgebra): Заданные напряжения sigma11,tau12,tau13,sigma22,tau23,sigma33 S:=Matrix([[11.,12,14],[13,1],[-33]], shape=symmetric,scan=triangular[upper]);

9.4.

Кручение

87



>

>

>

>

 11. 12 14 1  S :=  12 13 14 1 −33 Главные напряжения S0:=Eigenvalues(S);   −37.1974763823047852 S0 :=  2.27082811323587076  25.9266482690689272 Вспомогательный вектор E1:=Vector(3,[1,1,1]);   1 E1 :=  1  1 Главные касательные напряжения Tau:=CrossProduct(E1,S0)/2: Tau[2]:=-Tau[2]: Tau;   11.8279100800000006  31.5620623249999994  19.7341522450000008 Октаэдрическое напряжение 2/3*Norm(Tau,2); 26.03843313

Собственные числа оператор Eigenvalues дает с излишней точностью: 16 знаков после запятой. При этом переменная Digits на это никак не влияет. Напомним, что переменная Digits управляет точностью вычислений. Задавая значение Digits можно менять число значащих цифр в расчете. Ошибочное мнение, что эта переменная выполняет роль форматирования чисел при выводе на печать, приводит к неправильным результатам. В некоторых программах, в которых решаются системы линейных уравнений большого порядка, это весьма существенно. Например, если задать Digits:=3 в программе 21 расчета фермы, с. 135, то вместо X = −1.839145350 можно получить X = −1.80. Очевидна высокая погрешность вычислений. По умолчанию Digits:=10.

9.4. Кручение Кручение неоднородного вала Следующая простая программа имеет расчетный характер. Все вычисления производятся по готовым формулам. Число участков вала определяется параметром n. Числовые данные о вале и нагрузках

88

Мaple - программы

Раздел 9

вводятся в виде списков (в Maple — тип exprseq). Рассмотрен пример на с. 14. При расчете конкретного вала в программе следует уделить внимание только вычислению моментов инерции. Так, моменты инерции кругового сечения вычислены в цикле, а момент инерции кольца в виде отдельного оператора. Далее все расчеты производятся автоматически. Программу можно дополнить несложной процедурой построения эпюр. Результаты счета для сокращения записи здесь не видны, хотя в действительности они выводятся на экран, так как после всех необходимых операторов стоит точка с запятой. Программа 4 >

restart;

>

n:=3:#Число участков

>

d:=0.09,0.14,0.08,0.07: # Диаметры, м

>

G:=8*10^10: # Модуль сдвига

>

M0:=30,-10,20:# Моменты, кНм

>

l:=1.1,1.2,0.8: # Длины, м

>

for i to 2 do # Моменты инерции, м4

>

J[i]:=evalf(Pi*d[i]^4/32);

>

od;

>

J[3]:=evalf(Pi*(d[3]^4-d[4]^4)/32);

>

for i to n do # Моменты в сечениях

>

M[i]:=add(M0[k],k=i..n);

>

od;

>

for i to n do # Углы относительные

>

ft[i]:=M[i]*1000*l[i]/G/J[i];

>

od;

>

for i to n do # Углы абсолютные

>

f[i]:=add(ft[k],k=1..i);

>

od;

>

for i to n do

>

W[i]:=J[i]/(d[i]/2); #Моменты сопротивления

> >

tau[i]:=M[i]/1000/W[i];#Кас.напр.,MPa

>

od;

9.4.

89

Кручение

Статически неопределимая задача о кручении Вал, защемленный по концам, представляет собой один раз статически неопределимую систему. В программе использованы данные задачи на рис. 23, с. 16. Следует отметить конструкцию seq(op([A1,A2]),i=0..n-1) где A1 и A2 есть пары чисел типа [x[i+1],tau[i+1]]. Оператор seq не может использовать в качестве аргумента перечисление A1,A2, поэтому эту пару необходимо взять в скобки. Но эти скобки в операторе plot приводят к тому, что вместо одного графика строится n графиков. Для непрерывных функций это допустимо, а для разрывной, как в этом случае результат получается неудовлетворительным. Поэтому, чтобы снять скобки применен оператор op. Программа 5 >

restart; n:=4: # Число участков

>

m:=0,10,-18,15:# Моменты (кН)

>

L:=2,4,3,5:

>

dm:=0.09,0.18,0.25,0.32:#Диаметры (м)

>

G:=80e9:

>

M[0]:=-Ma: f[0]:=0: x[0]:=0:

>

for i to n do

# Длины участков(м) # Модуль сдвига(Па)

>

Ji:=Pi*dm[i]^4/32:

>

Wi:=2*Ji/dm[i]:

>

M[i]:=M[i-1]+m[i]*1e3:

>

ffi:=M[i]*L[i]/G/Ji;

>

f[i]:=f[i-1]+ffi:

>

x[i]:=x[i-1]+L[i]:

>

tau[i]:=M[i]/Wi/1e6;# МПа

>

od:

>

Ma:=solve(f[n],Ma);#Момент на опоре (Нм) Ma := 993.2303550

>

plot([seq([x[i],f[i]],i=0..n)],title=‘fi‘);

>

plot([seq(op([[x[i],tau[i+1]],[x[i+1],tau[i+1]]]),

>

i=0..n-1)],title=‘tau‘);

> >

plot([seq(op([[x[i],M[i+1]],[x[i+1],M[i+1]]]), i=0..n-1)],title=‘M‘);

90

Мaple - программы

Раздел 9

fi 2

4

6

8

10

12

14

8

10

12

14

8

10

12

14

0 –0.001 –0.002 –0.003

tau

8 6 4 2 0

2

4

6

–2 –4 –6

M 8000 6000 4000 2000 0 –2000

2

4

6

–4000 –6000 –8000

>

>

>

evalf(seq(tau[i],i=1..n));#касательные напряжения −6.938930946, 7.865415144, −2.931337349, 0.9336006649 evalf(seq(f[i]*1000,i=1..n-1));# углы*1000 −3.854961636, 0.5147134425, −0.3646877606 evalf(seq(M[i],i=1..n));# моменты (Нм) −993.2303550, 9006.769645, −8993.230355, 6006.769645

9.4.

91

Кручение

Кручение вала прямоугольного сечения В следующей программе можно вычислить значения касательных напряжений при кручении вала прямоугольного сечения и поправочные коэффициенты α, β, γ. Используется известная функция напряжений Прандтля из решения С.П.Тимошенко, удовлетворяющая уравнению Пуассона ∂2Φ ∂2Φ + = −2 (9.3) ∂x2 ∂y 2 Начало координат помещается в центре прямоугольника. Выражения для касательных напряжений в любой точке сечения вала имеют вид τzy = −Gθ

∂Φ ∂Φ , τzx = Gθ . ∂x ∂y

(9.4)

Крутящий момент пропорционален погонному углу закручивания θ: ZZ M = 2Gθ Φdxdy. y

6

Время счета существенно зависит от числа удерживаемых членов ряда N. Оценивает время счета оператор time. -x b В начале программы этот оператор заносит значение текущего времени в переменную t1, затем, в конце счета, возвращает разность текущего a времени и t1, т.е. время счета в Рис. 153 секундах. Для ускорения вычисления двойного интеграла перед каждым интегрированием вставляем оператор evalf, указывающий, что интегрирование численное. Иначе, по умолчанию Maple вычисляет интегралы аналитически, делая это для каждого члена ряда, что приводит к катастрофическому росту времени счета. Результат вычисления коэффициентов α, β, γ при N = 8 и соотношении сторон закручиваемого прямоугольника b/a = 4 показывает, что точнее всего получается значение β (три правильных значащих цифры). Заметим, что для коэффициента γ использован идентификатор gamma1, так как gamma в Maple используется как константа Эйлера. Программа 6 > > > >

restart; N:=8: t1:=time():# Засекаем время счета k:=2*n-1:

92

Раздел 9

Мaple - программы

Функция напряжений >

F:=8*a^2/Pi^3*sum(1/k^3*(-1)^(n-1)*(1-

>

cosh(k*y*Pi/a)/cosh(k*b*Pi/2/a))*cos(k*x*Pi/a), n=1..N):

> >

b:=4*a:# Соотношение сторон

>

tau_zy:= -G*teta*diff(F,x):#Касат. напряжения

>

tau_zx:=G*teta*diff(F,y):

>

tau_max:=evalf(subs(y=0,x=a/2,tau_zy)):

>

tau_min:=evalf(subs(y=-b/2,x=0,tau_zx)):

>

>

gamma1:=evalf(tau_min/tau_max); γ1 := 0.7624800802 Крутящий момент M:=2*G*teta*evalf(int(evalf(int(F,x=-a/2..a/2)), y=-b/2..b/2)):

> >

beta:=evalf(M/(G*teta*a^3*b)); β := 0.2807997925

>

alpha:=evalf(M/(tau_max*a^2*b)); α := 0.2889852618

>

time()-t1;# Время счета 6.891

Вычисления можно дополнить трехмерной иллюстрацией распределения касательных напряжений по сечению вала. В Maple для этого есть удобная процедура изображения трехмерных графиков plot3d. Например, распределение τzy (в ГПа) по прямоугольному сечению a × b получаем следующим образом: >

a:=0.1: teta:=0.1:

>

G:=80: # Модуль сдвига(Па)

>

plot3d(tau_zy,x=-a/2..a/2,y=-b/2..b/2,

>

axes=BOX,lightmodel=light2,

>

orientation=[75,60],shading=NONE);

9.4.

Кручение

93

0.8 0.6 0.4 0.2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.2 y

0 0.2

0.04

0.02

–0.04 0 x –0.02

Опции цветового решения lightmodel (выбрана вторая модель из четырех), ориентации графика orientation (углы заданы в градусах), и освещения shading не являются обязательными. По умолчанию они, как правило, задаются приемлемыми. Одна из функций beta оформлена в виде процедуры и оператором save сохранена в файле beta.m. Заметим, что переменная суммирования в операторе sum, в отличие от add, не является локальной. Поэтому, чтобы не было конфликтов с одноименными переменными, в вызывающей программе переменная n объявляется локальной. Программа 7 > > > > > > >

restart; beta:=proc(z) local s,n: s:=sum(1/(2*n-1)^5*tanh((2*n-1)*z*Pi/2),n=1..100): evalf(1-192/z/Pi^5*s)/3: end: N:=100:#Число членов ряда z0:=[1,1.5,2,2.5,3,4,8,10,999]:

Вычисления > for i to 9 do > z:=z0[i]: > k:=2*n-1: > bet[i]:=beta(z): > s2:=sum(1/k^2/cosh(k*z*Pi/2),n=1..N): > tmax:=1-8/Pi^2*s2: > alpha[i]:=bet[i]/evalf(tmax): > tmin:=-8/Pi^2*sum((-1)^n/k^2*tanh(k*z*Pi/2),n=1..N):

94 > >

> > > > > > > > >

gamma1[i]:=evalf(tmin/tmax): od: Печать результатов x0:=z0,alpha,bet,gamma1: txt:="b/a","alpha","beta","gamma": for j to 4 do printf("%5s|",txt[j]); for i to 9 do printf("%05.3f ",x0[j][i]); od; printf("\n"); od;

b/a alpha beta gamma >

Раздел 9

Мaple - программы

1.000 0.208 0.141 1.000

1.500 0.231 0.196 0.859

2.000 0.246 0.229 0.795

2.500 0.258 0.249 0.766

3.000 0.267 0.263 0.753

4.000 0.282 0.281 0.745

8.000 0.307 0.307 0.742

10.00 0.312 0.312 0.742

999.0 0.333 0.333 0.742

save beta, "beta.m";

9.5. Стесненное кручение тонкостенного стержня открытого профиля 9.5.1. Секториальные характеристики сечения. В первой части программы вводим данные о сечении: размеры b, h, и толщины delta1, delta2 в сантиметрах, координаты угловых точек и порядок их обхода. Последним (N+1) в списки координат точек входит центр кручения, координаты которого еще не определены и заданы произвольно, в данном случае нулями. Принято, что полюс находится в начале координат. В общем случае это требование излишнее, здесь же это используется для упрощения программы. Особое внимание следует уделить вводу порядка обхода точек, определяемого двойным списком n. Начинать обход надо из точки отсчета секториальных координат. Номер этой точки занесен в переменную n0. Если сравнивать сечение открытого профиля с деревом теории графов [11], то n0 — корень дерева, а элементы списка n — ветви дерева. При вводе есть ограничения: 1. Каждый элемент списка n является списком, начинающимся с уже пройденной точки или с n0. 2. Каждый участок проходим по одному разу. 3. Проходим все участки. 4. Список должен быть двойным, т.е. если дерево состоит из одной ветки, то его надо искусственно разбить на две.

9.5.

Стесненное кручение тонкостенного стержня

95

Программа допускает расчет сечений из элементов разной толщины. Для ускорения ввода сначала все элементы задаются одинаковой толщины δ2 . Это достигается использованием симметричной матрицы t, инициированной значением delta2. Другие толщины задаются отдельно. В рассматриваемом примере (с. 20) толщина пластины из четырех участков [1,2], [2,3], [3,4] и [4,5] вводится с использованием оператора повторения $. Построения эпюры секториальных координат занесено в процедуру W, аргументом которой является номер точки полюса. Процедура в программе вызывается дважды. Интегрирование по Верещагину занесено в процедуру Intgr, аргументы которой являются списки значений ординат перемножаемых эпюр. Как оператор процедура Intgr коммутативна. Если требуется вычислить интеграл не от произведения, а от одной функции, как, например, при вычислении площади, то в качестве второго аргумента берем список из единиц v1:=Vector(1..N,1), т.е. умножаем функцию по правилу Верещагина на эпюру, состоящую из прямоугольников единичной высоты. Для рисования профиля использован пользовательский оператор Line из файла ris.m, информация из которого считывается в начале программы. Заметим, что результат существенно зависит от параметра точности счета Digits, который лучше не уменьшать от стандарта 10, заданного по умолчанию 1 . Так, очевидно, αx = 0, однако результат получается 0.2824780373 10−8, число малое, но отличное от нуля. Программа позволяет получать результаты и в аналитическом виде, где точность не влияет на результат. Для этого в программе надо закомментировать (знак #) оператор вывода изображения display или поставить после него двоеточие, так как все изображения в Maple предполагают реальные размеры, выраженные в числах, а не символах. Затем требуется указать тип переменных, например, assume(h>0,b>0). Иначе Maple не будет упрощать выражения, и в промежуточных и √ конечных результатах будут появляться выражения типа b2 и никакие операторы упрощения symplify тут не помогут. Однако переменные, указанные в операторе assume выводятся в листинг по умолчанию со специальным значком ∼, что загромождает вывод и затрудняет чтение. Самый удобный (но не единственный) способ борьбы с этой проблемой — использование оператора interface(showassumed=0). При δ1 = = 1.5 см, δ2 = 1 см получим аналитические выражения для координаты центра кручения h (3 h + 4 b) αy = 2 (19 b + 3 h) 1

Задается параметр точности присваиванием Digits:=12, проверяется его значение обычным чтением (точка с запятой после переменной) Digits. Для того, чтобы узнать предельно допустимую точность в используемой версии Maple, следует вызвать функцию kernelopts(maxdigits).

96

Раздел 9

Мaple - программы

и секториального момента инерции Jω =

h2 b2 (60 b2 + 64 b h + 3 h2 ) . 6 (19 b + 3 h)

Для сокращения текста в программе нет процедур построение эпюр, вместо этого выводятся только списки их ординат. Программа 8 >

restart;

>

with(plots): with(plottools):

>

read "C:\\ris.m";

>

# Размеры сечения

>

b:=23: h:=21: delta1:=1.5: delta2:=1:

>

# Координаты точек сечения

>

x:=[-2*b,-b,0,b,2*b,-b,-2*b,b,2*b,0]:

>

y:=[0,0,0,0,0,-h,-h,-h,-h,0]:

>

N:=nops(x)-1: # Число точек сечения

>

n0:=3:# начальная точка

>

k0:=3:# полюс (начало координат)

>

# Ветви

>

n:=[n0,4,5],[4,8,9],[3,2,1],[2,6,7]:

>

t:=Matrix(1..N,1..N,delta2,shape=symmetric):

>

t[1,2],t[2,3],t[3,4],t[4,5]:=delta1$4:

>

k:=nops([n]): # Число ветвей

>

Шрифт:=FONT(TIMES,BOLD,8):

>

for i to N do

>

Точка[i]:=PLOT(TEXT([x[i]+1,y[i]+1],

>

convert(i,symbol)),Шрифт,COLOR(HUE,0.7)):

>

od:

>

Ns:=seq(Точка[i],i=1..N):

>

Сечение:=seq(seq(Line(n[j,i],n[j,i+1],0.1),

> >

i=1..nops(n[j])-1),j=1..k),Ns: display(Сечение,axes=NONE,scaling=CONSTRAINED);

9.5.

> > > > > > > > > > >

>

> > > > > > > > > > > > >

Стесненное кручение тонкостенного стержня

1

2

7

6

3

4

5

8

9

97

W:=proc(m) local i,j,p,q:global w; for j to k do w[n0]:=0: for i to nops(n[j])-1 do p:=n[j,i]: q:=n[j,i+1]: w[q]:=(x[q]-x[p])*(y[p]-y[m])(x[p]-x[m])*(y[q]-y[p])+w[p]; od: od: end proc: W(k0): seq(w[i],i=1..N); 0, 0, 0, 0, 0, −483, 0, 483, 0 v1:=Vector(1..N,1): Интегрируем по правилу Верещагина Intgr:=proc(A,B) local dst,ds,s,j,i,p,q: global k: s:=0: for j to k do for i to nops(n[j])-1 do p:=n[j,i]: q:=n[j,i+1]: ds:=sqrt((x[p]-x[q])^2+(y[p]-y[q])^2): dst:=ds*t[p,q]: s:=s+dst/6*(2*A[q]*B[q]+A[q]*B[p]+ A[p]*B[q]+2*A[p]*B[p]): od; od; return(s); end: F:=Intgr(v1,v1):# Площадь

98 > > > > > > >

> >

> >

Мaple - программы

Jx:=Intgr(y,y): # Моменты инерции Jy:=Intgr(x,x): Sx:=Intgr(v1,y):# Статич.моменты Sy:=Intgr(v1,x): xc:=Sy/F: yc:=Sx/F:# Центр тяжести Jxc:=Jx-F*yc^2: Jyc:=Jy-F*xc^2: F_=F, xc_=xc, yc_=yc;Jxc_=Jxc,Jyc_=Jyc; F _ = 226.0000, xc_ = 0., yc_ = −6.225664 Jxc_ = 17700.49115, Jyc_ = 176333.3334 x:=evalm(x-xc): y:=evalm(y-yc): Swy:=Intgr(w,x); Swx:=Intgr(w,y); Swy := 573965.0000 Swx := −0.00005 alpha_y:=simplify(Swy/Jyc); #Центр кручения alpha_x:=-simplify(Swx/Jxc); alpha_y := 3.254999999

>

alpha_x := 0.2824780373 10−8 x[N+1]:=alpha_x-xc; y[N+1]:=alpha_y-yc;

>

x10 := 0.2824780373 10−8 y10 := 9.480663716 W(N+1):seq(w[i],i=1..N); #Эпюра сект.коорд.

> > >

Раздел 9

149.73, 74.86, 0, −74.86, −149.73, −408.14, 149.73, 408.14, −149.73 D1:=Intgr(w,v1)/F: w:=evalm(convert(w,list)-D1):#Эпюра гл. сект.коорд. Jw:=Intgr(w,w); Jw := 0.4974887924 107

9.5.2. Интегрирование уравнения кручения. Рассмотрим решения задачи на с. 25. Геометрические характеристики Jω и Jd и секториальные площади в точках К1, К2 (рис. 45, с. 26) могут быть вычислены по программе 8. Все данные и промежуточные приводятся в системе СИ. Дифференциальные уравнения решаются в системе оператором dsolve, где в качестве переменной bc записаны краевые условия и условия сопряжения. Таким образом, нет необходимости отдельного вычисления констант интегрирования — все вычисления скрыты в операторе dsolve. Решение представлено в экспоненциальной форме. Для того, чтобы найденные решения передать искомым функциям θ1 (z) и θ2 (z) используется оператор assign(S). После интегрирования θ1 (z) и θ2 (z) по z можно построить график угла закручивания по всей длине

9.5.

Стесненное кручение тонкостенного стержня

99

стержня. Решения на участках склеиваем оператором для получения кусочно-заданных функций piecewise. Программа 9 > >

>

>

>

>

>

>

> > >

>

> >

> > >

restart; with(PDEtools,declare): declare(theta1(z)): Нагрузки M0:=3: P1:=100: P2:=-200: M[2]:=0: M[1]:=M0: Размеры L1:=0.5:L2:=0.4: L3:=0.4: L:=L1+L2: Моменты инерции Jw:=3e-12: Jk:=43.33e-12: Упругие свойства материала (Па) E:=2e11: nu:=0.3: G:=E/2/(1+nu): Секториальные площади в точках К1, К2 omegaK1:=300*1e-6: omegaK2:=-300*1e-6: Изгибно-крутильная характеристика k:=sqrt(G*Jk/(E*Jw)); k := 2.356931947 Дифференциальные уравнения k1:=k^2/G/Jk: eq1:=diff(theta1(z),z$2)-k^2*theta1(z)=-k1*M[1]: eq2:=diff(theta2(z),z$2)-k^2*theta2(z)=-k1*M[2]: Бимомент B:=omegaK1*P1+omegaK2*P2: Краевые условия и условия сопряжения bc:=theta1(0)=0,D(theta2)(L)=-B/E/Jw, D(theta1)(L1)=D(theta2)(L1), theta2(L1)=theta1(L1): Решение дифф.уравнения S:=evalf(dsolve({eq1,eq2,bc}, {theta1(z),theta2(z)})); assign(S): S := {θ2(z) = 0.00240715 e(2.35693 z) + 0.698358 e(−2.35693 z) ,

θ1 = −0.136091 e(2.35693 z) − 0.763978 e(−2.35693 z) + 0.900069}

> >

Угол на 1 участке (0
100

Мaple - программы

Раздел 9

f2:=int(theta2(z),z=L1..t)+f11: Угол

>

>

f0:=piecewise(t>0 and tL1 and t
>

plot(f0,t=0..L);

>

Угол:=evalf(subs(t=L3,f0));

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

0.2

0.4

0.6 t

0.8

:= 0.0716696063

9.6. Балка Программа построения эпюр предназначена для балок с произвольным числом моментов, вертикальных сосредоточенных сил и равномерно распределенных нагрузок. В качестве примера используются данные задачи на с. 35. Координаты нагрузок и их величины записываются в векторы-столбцы. Число компонент вектора должно быть согласовано с числом нагрузок nm, nF и nq. В данной задаче вектора значений моментов m, распределенных нагрузок q и их координат xm и xq имеют по одной компоненте, а в число сосредоточенных сил включены и реакции опор, поэтому их три. Процедура cn введена для сокращения записи в связи с тем, что приходится трижды выполнять одни и те же действия для преобразования вектора в последовательность. Оператор convert с опцией list превращает вектор-столбец вида <11,2,6> в список, а оператор op, снимая скобки со списка, преобразует его в последовательность, с которой может работать оператор max. Чтобы не запутаться в типах близких по форме, но все-таки различных для Maple, рекомендуется пользоваться оператором определения типов whattype. Например, запись whattype(xm) дает результат: V ectorcolumn . Для определения реакций опор сумма моментов всех нагрузок относительно опоры A разбита на три отдельные суммы: сумму моментов сил mF, распределенных нагрузок mq и пар mm.

9.6.

Балка

101

При построении эпюр использовалась удобная форма для кусочнозаданных функций piecewise идеально подходящих для эпюр, имеющих разрывы и изломы. Программа 10 > > > > > > > > > > >

> > > > >

>

>

>

> > > >

> > > >

restart;with(plots): nF:=1: # Число F nq:=1: # Число q nm:=1: # Число m xF:=<11,2,6>: # координаты сил и опор F:=<2,0,0>: # силы m:=<-10>: # моменты xm:=<0>: # координаты моментов xq:=<2>: # координаты левых концов q q:=<-6>: # распр. нагрузки q l:=<4>: # длины распр. нагрузок q Преобразование вектора в последовательность cn:=proc(z) op(convert(z,list)) end: L:=max(cn(xF),cn(xm),cn(xq+l)):#Вычисление длины mF:=add(F[i]*(xF[i]-xF[nF+1]),i=1..nF): mq:=add(q[i]*l[i]*(xq[i]+l[i]/2-xF[nF+1]),i=1..nq): mm:=add(m[i],i=1..nm): Реакции опор Rb:=-(mF+mq+mm)/(xF[nF+2]-xF[nF+1]); Rb := 10 Ra:=-Rb-add(F[i],i=1..nF)-add(q[i]*l[i],i=1..nq); Ra := 12 F[nF+1]:=Ra:F[nF+2]:=Rb:#Зачисление Ra,Rb в силы Эпюра поперечной силы qB:=x->add(piecewise(x>=xF[i],F[i],x<=xF[i],0), i=1..nF+2)+add(piecewise(x>=xq[i] and x<=xq[i]+l[i],q[i]*(x-xq[i]),x<=xq[i],0, x>=xq[i]+l[i],q[i]*l[i]),i=1..nq): Эпюра моментов z:=1:#Для строительных специальностей z:=-1; mB:=x-> add(piecewise(x>=xm[i],-z*m[i],x<=xm[i],0,0), i=1..nm)+add(piecewise(x>=xF[i],z*(x-xF[i])*F[i],

102

Мaple - программы

Раздел 9

x<=xF[i],0,0),i=1..nF+2)+add(piecewise(x>xq[i]and x<xq[i]+l[i],(x-xq[i])^2/2*q[i]*z,x>=xq[i]+l[i], z*(x-xq[i]-l[i]/2)*l[i]*q[i],0),i=1..nq): plot(mB(x),x=0..L,title="Эпюра M"); plot(qB(x),x=0..L,title="Эпюра Q");

> > > > >

M 20 15 10 5

0

2

4

x

6

8

10

6

8

10

Q 10 5

0

2

4

x

–5 –10

> > > > >

printf(" x M Q\n---------------\n"); N:=11: for i from 0 to N do x:=L/N*i: printf("%4.1f %7.3f %7.3f\n",x,mB(x),qB(x)):od:

x M Q -------------------0.0 10.000 0.000 1.0 10.000 0.000 2.0 10.000 12.000 3.0 19.000 6.000 4.0 22.000 0.000 5.0 19.000 -6.000 6.0 10.000 -2.000

9.7. 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

Сложное сопротивление 8.000 6.000 4.000 2.000 0.000

103

-2.000 -2.000 -2.000 -2.000 0.000

9.7. Сложное сопротивление Для программы построения эпюр моментов в стержне рассмотрим пример на с. 43. Нумеруем точки стержня. Заделка имеет номер 1, свободный конец — N. Геометрия стержня задается векторами его угловых точек R[j], j=1,...,N. Две силы P и F вводятся как вектора. Номера точек их приложения заданы константами nP:=5: nF:=3:. В общем случае число точек N и число нагрузок может быть иным. Эпюры изгибающих и крутящих моментов строим отдельно. Изгибающие моменты строим на сжатом волокне. Сначала получаем вектора моментов сил P и F относительно угловых точек стержня (их в данном примере пять). Пользуемся тем, что для заделанного одним концом стержня при построении эпюр реакции опор можно не определять, вычисляя всякий раз сумму моментов сил на свободном конце. Момент силы, приложенной к точке j определяем относительно точек k = j − − 1,...,1 как векторное произведение CrossProduct(R[j]-R[k],P). Моменты от всех сил суммируем. Задавая вектор M:=Vector(N), первоначальные значения моментов полагаем равными нулю. Получается набор векторов, задающий эпюры моментов. В зависимости от направления оси участка моменты Mx , My , Mz могут быть и изгибающими и крутящими. Для построения эпюр изгибающих моментов создана процедура Изгиб(k,m,i), первый аргумент которой указывает на номер точки, в которой вычисляется момент (1,...,N), второй — номер компоненты вектора момента (1,2,3), третий — номер участка (1,...,N-1). Для задания ориентации участка предназначена подпрограмма Ось, вычисляющая направляющий орт участка по векторам начальной R[i] и конечной точки R[i+1]. Эпюра строится в общем случае в виде трапеции, одна из боковых сторон которой является участком стержня, длины оснований пропорциональны моментам в соответствующих точках. Очевидно, ~ =L ~ ×M ~ k (CrossProduct) направляющего векторное произведение V ~ ~ k дает вектор V ~ , перпендикулярный орта L участка и вектора момента M направлению участка, причем та компонента, которая соответствует кручению, равна нулю, а другие компоненты совпадают со значениями изгибающих моментов, отложенным по осям, перпендикулярным оси участка стержня. Орты осей координат получаем как столбцы (Column) единичной матрицы (IdentityMatrix). Для того, чтобы

104

Мaple - программы

Раздел 9

~ отложить по нужной оси, с помощью диагональкомпоненту вектора V ной матрицы (DiagonalMatrix), полученной поочередно из ортов ~, осей координат (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1), умноженной на вектор V образуем три соответствующих вектора. Масштаб изображения эпюр ms, чтобы не усложнять программу, подбираем вручную. Цвета эпюр для участков задаем различными. Для этого номер участка и номер компоненты вектора момента вводим (произвольным образом) в опцию COLOR, задав, например, доли зеленого (G) и синего (B) цвета: RGB,1,i/5,j/4. Опция RGB,1,0,0 соответствует красному цвету. Оператором PLOT3D выводим на экран три эпюры, полученные процедурой Изгиб, одна их которых, совпадающая с моментом кручения, является вырожденной и на экране не отображается. Для построения эпюр крутящих моментов в процедуре Кручение, имеющей только два аргумента — номер точки и номер участка, сначала определяем орт оси участка. Затем с помощью процедуры (j)->Ось(i)[(j+1 mod 3)+1]) сдвигом единицы в орте выбираем любой орт, ему ортогональный. Например, вектор Ось(1) равный (1, 0, 0) переходит в (0, 0, 1) Чтобы единица не вышла за пределы вектора, используем суммирование по модулю 3. По найденному направлению откладываем момент кручения. Для подписи значений моментов на эпюрах используются процедуры Текст1 и Текст1, созданные по образцу процедур Изгиб и Кручение соответственно. В обеих процедурах применяется функция Tx вывода на печать, ограничивающая вывод нулевых значений, как незначащей информации. Параметр шрифта fn, применяющийся в программе дважды, использован для сокращения записи. Характерной и весьма привлекательной особенностью программы является возможность рассмотреть построенную пространственную эпюру со всех сторон. Maple предоставляет для этого хорошие возможности. С помощью мыши эпюру можно легко крутить, растягивать, переворачивать (рис. 154). Цифры на эпюре сохраняют при этом правильную вертикальную ориентацию. Поворот графического объекта A вокруг осей x, y, z на углы f x, f y, f z соответственно можно осуществить и в программе оператором rotate(A,fx,fy,fz) из пакета plottools. Одна из стрелок-нагрузок изображена цилиндрической формы — cylindrical_arrow, ее удобнее рассматривать при поворотах рисунка. По умолчанию стрелки плоские. Программа 11 >

restart;

>

with(plots):with(plottools):with(LinearAlgebra):

>

E:=IdentityMatrix(3):

9.7. > > > > > > > > > > > > > > > > >

> >

> > > > > > > > > > > > > > > > >

Сложное сопротивление

105

F:=Vector([5,0,0]): P:=Vector([0,0,3]): R1:=[0,0,0]: R2:=[2,0,0]: R3:=[2,-2,0]: R4:=[2,-2,1]: R5:=[2,1,1]: N:=5: nP:=5: nF:=3: for i to N do R[i]:=Vector(R||i):od: Стержень:=seq(R||i,i=1..N): M:=Vector(N): for i to nP do M[i]:=CrossProduct(R[nP]-R[i],P);od: for i to nF do M[i]:=M[i]+CrossProduct(R[nF]-R[i],F); od: ms:=0.1:#Масштаб моментов Ось:=proc(i) Normalize(R[i+1]-R[i]) end: Изгиб:=proc(k,m,i) local C,dM; i - участок; m - нормаль на сжатом волокне; k-точка C:=CrossProduct(M[k],Ось(i)): dM:=DiagonalMatrix(Column(E,m)).C: R||k+convert(dM*ms,list): end proc: Tx:=proc(n) if n=0 then ‘‘ else convert(n,string) fi; end: fn:=FONT(HELVETICA,BOLDOBLIQUE,14),COLOR(HUE,0.7): Текст1:=proc(k,m,i) local C,dM,n,tx; C:=CrossProduct(M[k],Ось(i)): dM:=DiagonalMatrix(Column(E,m)).C: n:=VectorNorm(dM,2); TEXT(R||k+convert(dM*ms,list),Tx(n),fn): end proc: Кручение:=proc(k,i) local C,dM,z; C:=DotProduct(M[i],Ось(i)): dM:=Vector(3,(j)->Ось(i)[(j+1 mod 3)+1])*C;

106 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

Мaple - программы

Раздел 9

R||k+convert(dM*ms,list): end proc: Текст2:=proc(i) local C,dM,z,tx; C:=DotProduct(M[i],Ось(i)): dM:=Vector(3,(j)->Ось(i)[(j+1 mod 3)+1])*C; TEXT(R||i+convert(dM*ms,list),Tx(C),fn): end proc: for j to N do ЭпюраКручение[j]:=PLOT3D(POLYGONS([R||j,R||(j+1), Кручение(j+1,j),Кручение(j,j)]), COLOR(RGB,0.9,j/6,0.4)),Текст2(j); for i to 3 do ЭпИзг[i,j]:=PLOT3D(POLYGONS([R||j,R||(j+1), Изгиб(j+1,i,j),Изгиб(j,i,j)]), COLOR(RGB,1,i/5,j/4)), Текст1(j+1,i,j),Текст1(j,i,j); od: od: ВекторP:=arrow(R[nP],Normalize(P), 0.05,0.2,0.1,cylindrical_arrow,color=red): ВекторF:=arrow(R[nF],Normalize(F), 0.05,0.2,0.1, color=blue): Z:=PLOT3D(CURVES([Стержень]),THICKNESS(3), COLOR(RGB,0.5,0.2,0.1)),ВекторP,ВекторF: display(Z,seq(seq(ЭпИзг[i,k],i=1..3),k=1..N-1)); display(Z,seq(ЭпюраКручение[k],k=1..N-1));

9

9 6

9

10 9 10

3

10

9.7.

Сложное сопротивление

107

3

6 9 9

10 10

9 9

10

Рис. 154

В следующей программе решается задача о сложном сопротивлении бруса (пример на с. 46). Для того, чтобы изображение было крупнее, выбрана опция unconstrained, не соблюдающая масштаб рисунка. Векторы изображены стрелками arrow из пакета plots, который был загружен после пакета plottools, содержащего одноименный оператор, но с другой формой обращения. Размер стрелок на рисунке взят условно равным 0.5, это определяется коэффициентом 1/2 в выражении sign(x)/2. Параллелепипед задан оператором cuboid. Размеры его определяются координатами концов большой диагонали. Углы в опции ориентации orientation выражены в градусах. Число меток на осях x, y, z задано в свойстве tickmarks=[3,3,4]. Следует обратить внимание на необычную форму перевода килоньютонов в ньютоны в виде простого умножения списка на число Px:=(0,-80,50,0)*1000.

108

Раздел 9

Мaple - программы

Программа 12 >

restart;

>

read "C:\\beta.m":

>

with(plottools):with(plots):

>

h:=0.12:b:=0.15: # Размеры, м

>

F:=h*b:

# Площадь сечения

>

Jx:=b*h^3/12:

# Моменты инерции

>

Jz:=h*b^3/12:

>

Px:=(0,-80,50,0)*1000:#Нагрузки, Н

>

Py:=(0,0,0,100)*1000:

>

Pz:=(60,0,0,0)*1000:

>

x:=-b/2,b/2,b/2,-b/2: # Координаты

>

y:=0.7,1.3,2.1,2.1:

>

z:=h/2,-h/2,h/2,h/2:

>

n:=nops([y]):

>

f:=proc(x)

>

# Число нагрузок

if (x<>0) then sign(x)/2 else 0 fi:

>

end:

>

X:=b/2,-b/2,-b/2,b/2: # Координаты A,B,C,D

>

Z:=-h/2,-h/2,h/2,h/2:

>

Брус:=

> >

cuboid([X[1],0,Z[1]],[X[3],y[3],Z[3]],style=line): параметры:=width=0.02,head_length=0.05, color=red,shape=cylindrical_arrow:

> > >

for i to n do Cтрелки[i]:=arrow([x[i],y[i],z[i]], [f(Px[i]),f(Py[i]),f(Pz[i])],параметры):

> >

od:

>

display(Брус,seq(Cтрелки[i],i=1..n),axes=normal,

>

scaling=unconstrained,orientation=[65,40],

>

axesfont=[HELVETICA,6],tickmarks=[3,3,4]);

9.7.

Сложное сопротивление

109

0.4 0.2

0.5 1

2

>

sigma:=Vector(4):

>

for k to n do Mx:=-Py[k]*z[k]+Pz[k]*y[k]: Mz:=Py[k]*x[k]-Px[k]*y[k]: N:=Py[k]: for i to 4 do # Нормальные напр. в 4-х точках sigma[i]:=sigma[i]-(Mx/Jx*Z[i]-Mz/Jz*X[i])+N/F: od: od: for i to 4 do sigma||i=sigma[i]*1e-6; #МПа od; σ1 = 86.66666663 σ2 = 124.4444444 σ3 = −75.55555551 σ4 = −113.3333332 MyL:=add((Px[k]*z[k]-Pz[k]*x[k])*y[k],k=1..n): G:=0.8e11: # Модуль сдвига, Па k:=max(h,b)/min(h,b);

> > > > > > > > > >

> > > > > >

beta(k); Jk:=beta(k)*h*b*min(h,b)^2; Угол:=MyL/Jk/G; k := 1.250000000 0.1717325424 Jk := 0.00004451307500 := 0.004406008796

110

Мaple - программы

Раздел 9

9.8. Статически неопределимая стержневая система Вектора неизвестных усилий заданы направляющими единичными векторами, полученными по координатам начала (на балке) и конца (на шарнирной опоре) с помощью оператора Normalize с опцией Euclidean пакета линейной алгебры LinearAlgebra. Вектор нагрузки имеет номер 4. Параметр n:=[1,2,4] указывает номера векторов в уравнении равновесия. Для того, чтобы задействовать операторы этого пакета, в том числе оператор векторного произведения CrossProduct, пришлось всем векторам данной плоской задачи дать фиктивную нулевую третью координату. В переменной EQ записаны все три компоненты результата векторного произведения. Уравнение моментов представляет собой проекцию этого произведения на ось z, т.е. третью компоненту EQ[3], которая и используется для определения s[3] оператором solve(EQ[3],s[3]). Для рисунка задачи потребовался оператор изображения опоры Опора(i,R) пакета ris.m, загружаемого в начале программы оператором read. В названиях переменных и операторов Maple допускаются русские буквы. Для удобства работы рекомендуем использовать абсолютный адрес файла. Оператор Опора(i,R) помещает опору в точке номер i, координаты которой заданы списками x[i] и y[i]. Отметим, что переменные x[i] и y[i] являются глобальными, поэтому не следует менять имена списков с координатами опор. В операторе Опора(i,R) используются именно x и y. Параметр R задает масштаб изображения. Программу можно улучшить. Так выбор толщины стрелки 0.5 в опции arw:=0.5,2,0.2,color=red и масштаб 1 в операторе Опора(i,1) для упрощения программы здесь выполнен вручную. Читателю предоставляем возможность по собственному вкусу добавить операцию автоматического масштабирования, связанного, очевидно, с масштабом координат шарниров. В программе использованы данные задачи на с. 49. Программа 13 > > > >

>

>

restart; read "C:\\ris.m": n:=[1,2,4]: with(LinearAlgebra): Координаты шарнира балки x0:=0: y0:=0: Координаты шарниров на балке xb:=<80,70,60>: yb:=<20,17.5,15>:

9.8.

>

> > > > > >

>

>

> > > > > > >

> > > > >

> > > > >

> >

Статически неопределимая стержневая система

111

Координаты опорных шарниров x:=<80,0,20,x0>: y:=<45,17.5,-25,y0>: Длины стержней for i to 3 do v[i]:=Vector([x[i]-xb[i],y[i]-yb[i],0]): L[i]:=VectorNorm(v[i],2); v1[i]:=s[i]*Normalize(v[i],Euclidean); r[i]:=Vector([xb[i]-x0,yb[i]-y0,0]): od: Координаты точки приложения силы r[4]:=Vector([80,20,0]): Сила v1[4]:=Vector([16,0,0]): Метод сил N:=Matrix(3): for j to 3 do i:=n[j]: s[i]:=1: EQ:=CrossProduct(r[3],v1[3])+ +CrossProduct(r[i],v1[i]): N[j,j]:=1: N[j,3]:=evalf(solve(EQ[3],s[3])); od: Интеграл Мора for i to 2 do for j to 3 do d[i,j]:=evalf(add(L[k]*N[i,k]*N[j,k],k=1..3)); od; od; Каноническая система метода сил for i to 2 do eq[i]:=d[i,1]*x1+d[i,2]*x2+d[i,3]; od: sl:=solve({eq[1],eq[2]},{x1,x2}):assign(sl); s[1]:=x1; s[2]:=x2; s1 := 3.679831111 s2 := 0.2874868064 Уравнение моментов EQ:=add(CrossProduct(r[k],v1[k]),k=1..4): x3:=evalf(solve(EQ[3],s[3])); x3 := −0.6468453185

112

>

> > >

>

>

> > > >

Мaple - программы

Раздел 9

РИСУНОК with(plots):with(plottools): Три стержня for i to 3 do R[i]:=PLOT(CURVES([[xb[i],yb[i]],[x[i],y[i]]])): od: Параметры стрелки (толщина,толщина наконечника,отн.длина наконечника) arw:=0.5,2,0.2,color=red: Нагрузка Nagr:=arrow( [r[4][1],r[4][2]],v1[4],arw): Балка balka:=PLOT(CURVES([ [x0,y0],[r[4][1],r[4][2]]], COLOR(RGB,0,1,0)),THICKNESS(3)): display(seq(Опора(i,1),i=1..4),Nagr,balka, seq(R[i],i=1..3),scaling=constrained,axes=none);

Программа 14 — вариант расчета методом сил. Приведена та часть программы, которая записывается вместо операторов программы ?? после метки ###. Уравнения равновесия (проекций и моментов) записаны в одну процедуру Уравнения, первым аргументом которой является число векторов, входящих в систему, вторым — значение усилия в первом стержне (этот стержень принят за лишний). Для получения коэффициента δ11 =d11 система уравнений включает в себя только искомые усилия в стержнях 2, 3, 4 и единичное усилие, заданное стержню 1: Уравнения(4,1). При вычислении свободного члена канонического уравнения ∆1p =D1p в систему уравнений равновесия входят все усилия, включая внешнюю силу с номером n+1 и две силы, представляющие собой внешнюю пару с моментом m0 и

9.9.

Неразрезная балка

113

плечом h. Усилие s[1] в лишнем стержне полагается равным нулю: Уравнения(7,0). Программа 14 > > > > > > > > > > > > > > > > > >

>

Уравнения:=proc(k,s00) global s,Решение; local Моменты,eq: s[1]:=s00: Моменты:=add(CrossProduct(r[i]-r[4],s1[i]),i=1..k): Vx:=Vector([1,0,0]): Vy:=Vector([0,1,0]): eq[1]:=add(DotProduct(Vx,s1[i]),i=1..k): eq[2]:=add(DotProduct(Vy,s1[i]),i=1..k): eq[3]:=Моменты[3]: Решение:=solve({seq(eq[i],i=1..3)}, {seq(s[i],i=2..4)}); end: Уравнения(4,1): for i to 4 do ss1[i]:=subs(Решение,s[i]);od: d11:=evalf(add(ss1[i]^2*L[i],i=1..4)): Уравнения(7,0): for i to 4 do ssp[i]:=subs(Решение,s[i]);od: D1p:=evalf(add(ssp[j]*ss1[j]*L[j],j=1..4)): s[1]:=-D1p/d11; s1 := −2.214776248 for i to 3 do s[i+1]:=ssp[i+1]+ss1[i+1]*s[1];od; s2 := −0.298006197 s3 := 1.916770051 s4 := −4.578555595

9.9. Неразрезная балка Программа предназначена для дважды неопределимой балки, но легко может быть переделана на произвольный случай. Нумерация пролетов в задаче идет от нуля (от левой консоли), а в списках и векторах Vector начальный элемент имеет номер 1, то чтобы не изменять нумерацию длины пролетов вводятся с помощью массива array, где элементы нумеруются с любого числа, даже отрицательного. Значение распределенной нагрузки указывается для всех пролетов и консолей. Там, где ее нет, полагаем q = 0. Сосредоточенные силы вводятся иначе. В списке P указываются величины сил, в nP —

114

Мaple - программы

Раздел 9

номера пролетов, к которым они приложены, aP — расстояние точек приложения до левой опоры пролета. Здесь следует быть внимательным. Часто путают это расстояние с расстоянием ai от центра тяжести балочной эпюры моментов пролета до левой опоры. Число нагрузок m, необходимое для организации циклов, подсчитывается автоматически оператором nops. Такой способ ввода сил позволяет рассчитывать балки с множеством сил в одном пролете. В частности, две силы P , направленные в разные стороны, приложенные на небольшом расстоянии h друг от друга могут с большой степенью точности имитировать сосредоточенный момент M = ±P h. Принято, что положительная сила направлена вниз. В программу введены данные задачи на рис. 85, с. 55. Программа состоит из трех частей. В первой изображается балка и нагрузки. В какой-то степени это контролирует ввод данных. Затем составляется и решается система уравнений трех моментов. В последней части программы данные представляются в виде эпюр. Стрелки сосредоточенных сил выводятся оператором arrow пакета plottools. Заметим, что в схожем графическом пакете plots, который тоже подгружается в программу для использования оператора display вывода изображения на экран, также есть оператор arrow, но у него другие аргументы и опции, а так как последним в программу был загружен пакет plottools, то arrow именно из этого пакета. Размеры и цвет стрелок для сокращения записи обозначены параметром pA. Координаты шарниров обозначены переменными x и y. Это глобальные переменные, их не следует менять, так как они используются в подпрограмме ris.m, загружаемой для использования процедуры рисования линии Line(k,i,z) от точки x[k],y[k] до x[i],y[i] цветом z (дробное число от 0 до 1). Распределенная нагрузка рисуется оператором POLYGONS, рисующим закрашенные прямоугольники. Цвет меняется с номером COLOR(HUE,1/(k+2)). При желании цвет можно сделать одинаковым для всех нагрузок, например, красным COLOR(HUE,0.1). Направление распределенной нагрузки как правило в таких задачах одно — вниз, поэтому направление нагрузки здесь не отображается. Оператор опора (русские буквы в названиях допускаются) содержится в подпрограмме ris.m. Масштаб рисунка опоры, равный в данном случае 0.1, подбирается вручную. Вручную выбирается и масштаб ms:=0.1 распределенных нагрузок в операторе POLYGONS и масштаб 1/3 стрелок сил P[i]/3 в операторе arrow. При желании это легко автоматизировать.

9.9.

Неразрезная балка

115

Матрица системы уравнений, обычная в подобных программах на классических языках программирования, здесь не используется 1 , а уравнения составляются непосредственно для оператора solve. Для того, чтобы используя свойство линейности задачи, выполнять расчет для многих сосредоточенных сил в одном или разных пролетах, правые части системы уравнений обозначаются B и формируются в цикле for i to m do по числу сил. После этого находим решение — моменты на лишних опорах. Эпюры балочных моментов строятся на каждом пролете отдельно. Для этого как нельзя лучше подходит оператор кусочного задания функций piecewise. Для эпюры от действия найденных моментов на опорах удобнее использовать оператор spline, который с опцией linear просто проводит ломаную линию через указанные точки. Затем эпюры просто суммируются, и получается окончательная эпюра моментов, легко отображаемая оператором plot. Параметр вывода графики Цвет включает в себя опцию заливки графика цветом, совпадающим с цветом кривой. Наиболее эффектно в Maple получение эпюры перерезывающих сил. Используя дифференциальную зависимость для M и Q в балках, оператором diff дифференцируем M и получаем Q. Программа 15 > > > > > > > > > > > > > > > >

restart; read "C:\\ris.m": L:=array(0..4,[4,5,5,5,0]): q:=array(0..4,[10,0,12,12,0]): P:=[9.]: # величина P nP:=[1]: # N пролетa P aP:=[2]: # расстояние от лев.опоры m:=nops(P): # Число сил with(plots): with(plottools): x[0],y[0]:=0,0: for i to 5 do # Координаты y[i]:=0: x[i]:=x[i-1]+L[i-1]; od: pA:=0.1,0.4,0.1,color=red:# Вид стрелки V:=seq(arrow([x[nP[i]]+aP[i],0], [x[nP[i]]+aP[i],-P[i]/3],pA),i=1..m):

1 Трехдиагональная форма матрицы, позволяющая экономить машинную память, в таких задачах является весомым аргументом в пользу уравнения трех моментов, особенно для систем с большим числом неизвестных.

116 > > > > > >

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

Мaple - программы

Раздел 9

ms:=0.1:# масштаб распределенных нагрузок Q:=seq(PLOT(POLYGONS([[x[k],0],[x[k+1],0], [x[k+1],q[k]*ms],[x[k],q[k]*ms]]), COLOR(HUE,1/(k+2))),k=0..4): R:=Line(0,5,0.1),seq(опора(i,0.1),i=1..4): display(R,V,Q,scaling=constrained,axes=none);

M[0]:=-q[0]*L[0]^2/2: M[3]:=-q[4]*L[4]^2/2: for i to 3 do f:=q[i]*L[i]^2/8: Omegaq[i]:=2*f/3*L[i]: od: for i to 2 do B[i]:=(Omegaq[i]+Omegaq[i+1])/2: od: for i to m do OmegaP:=Vector(3); a:=aP[i]: n:=nP[i]: if n=0 then M[0]:=M[0]-P[i]*(L[0]-a): fi: if n=4 then M[3]:=M[3]-P[i]*a: fi: if (n<=3 and n>=1) then OmegaP[n]:=P[i]*a*(L[n]-a)/2: a1[n]:=(L[n]+a)/3: b1[n]:=L[n]-a1[n]: for j to 2 do B[j]:=B[j]+OmegaP[j]*a1[j]/L[j]+ OmegaP[j+1]*b1[j+1]/L[j+1]: od; fi: od: for n to 2 do # Clapeyron’s equations eq[n]:=M[n-1]*L[n]+2*M[n]*(L[n]+L[n+1])+ M[n+1]*L[n+1]=-6*B[n]; od;

9.9.

> >

Неразрезная балка

117

eq 1 := −400 + 20 M1 + 5 M2 = −450.6000000 eq 2 := 5 M1 + 20 M2 = −750

R:=solve({seq(eq[n],n=1..2)},{seq(M[n],n=1..2)}): assign(R): M[1], M[2]; 7.301333333, −39.32533333 Эпюры моментов от сосредоточенных сил

>

for i to m do

>

a:=aP[i]:n:=nP[i]:

>

if (n<=3 and n>=1) then

>

M1:=P[i]*a*(L[n]-a)/L[n]:

>

mm[i]:=spline([x[n]-1,x[n],x[n]+a,x[n+1],x[n+1]+1],

>

[0,0,M1,0,0],X,linear);

>

fi;

>

if nP[i]=0 then#Левая консоль

>

mm[i]:=piecewise(X>a and X<x[1],-P[i]*(X-a));

>

fi;

>

if nP[i]=4 then#Правая консоль

>

mm[i]:=piecewise(X>x[4] and X
>

P[i]*(X-a-x[4]));

> >

fi; od: Эпюры моментов от распределенной нагрузки

>

mq[0]:=piecewise(X>0 and X<x[1],-q[0]*X^2/2):

>

mq[4]:=piecewise(X>x[4] and X<x[5],

>

-q[4]*(X-x[5])^2/2):

>

for i to 3 do

>

mq[i]:=piecewise(X>x[i] and X<x[i+1],

>

q[i]*(x[i]-X)*(X-x[i]-L[i])/2);

>

od:

>

Шрифт:=FONT(TIMES,BOLD,8):

>

ЭпюраMp:=add(mm[i],i=1..m)+add(mq[i],i=0..4):

>

Цвет:=color=green,filled=true:

>

plot(ЭпюраMp,X=0..x[5],Цвет);

118

Раздел 9

Мaple - программы

20 2

4

6

8

X 10

12

14

16

18

0 –20 –40 –60 –80

>

m2:=add(piecewise(X>x[i] and X<x[i+1],

>

M[i-1]+(M[i]-M[i-1])/L[i]*(X-x[i])),i=1..3):

>

plot(m2,X=0..x[5],Цвет); 2

4

6

8

X 10

12

14

16

18

0 –20

–40

–60

–80

>

ЭпюраM:=ЭпюраMp+m2:

>

plot(ЭпюраM,X=0..x[5],Цвет,labels=[’x’,’M’]); 20 2 0 –20

M –40 –60 –80

4

6

8

x 10

12

14

16

18

9.9. > >

Q

119

Неразрезная балка

ЭпюраQ:=diff(ЭпюраM,X): plot(ЭпюраQ,X=0..x[5],Цвет,labels=[’x’,’Q’]);

20

0

2

4

6

8

10 x

12

14

16

18

–20

–40

Приведем пример ввода линейно распределенной нагрузки. Имитируем нагрузку набором сосредоточенных равноотстоящих сил Величины сил линейно растут P:=[seq(k,k=1..9)]. Приложены все они в одном пролете. Используем простой оператор повтора nP:=[1$9]. Точки приложения равномерно распределены aP:=[seq(0.5*k,k=1..9)]. Не меняя остальные данные в программе, получим следующий рисунок балки

Рис. 155

Замечание 1. Оператор построения линейного сплайна, используемый в программе, будет выдавать сообщение об ошибке, если вектор сосредоточенной силы попадет на опору. Замечание 2. Для того, чтобы получить доступ к функции M (x), задаваемой построенной эпюрой, недостаточно преобразовать эпюру в функцию оператором M1 := unapply(ЭпюраM,X). Обращение вида M1(6) возвращает не число, а текст -34.27946670 + 6 PIECEWISE() Конечно, выделить нужную информацию можно оператором op, но лучше, учитывая разрывный характер полученной функции, преобразовать ее в комбинацию функций Хевисайда:

120

Раздел 9

Мaple - программы

M2:=X->convert(M1(X),Heaviside).

9.10. Статически определимая рама Рассмотрим работу программы построения эпюр моментов и перерезывающих сил в статически определимых рамах. Программа состоит из основной части (программа 16), где вводятся исходные данные, и нескольких подпрограмм для расчета (EpuraM, c. 129; RQ, c. 130, EM, c. 130; Lxy, c. 131) и отображения результатов (RisRama, c. 130; PrintRez, c. 130, RisEpur, c. 132), размещенных в программах 18 и 19, и вызываемых из основной оператором read. Рама разбивается на участки — отдельные стержни или части стержней, так, чтобы нагрузка (силы и моменты) была приложена по концам участка, а распределенная нагрузка действовала на всю длину, либо отсутствует. В отличие от задач определения реакций опор составной конструкции в статике, где сечения производятся по шарнирам, чтобы не добавлять в число неизвестных реакций моменты, здесь число участков зависит от нагрузки. Выделенный участок (стержень) i имеет шесть реакций. Стержень представляется в виде вектора, началу которого приписывается номер (1) (1) (1) 1, концу — 2. Реакции начале стержня Mi , Rix , Riy , в конце — (2)

(2)

(2)

Mi , Rix , Riy (рис. 156). y 6

(2)

(1) R 6iy

(1) A - (1) Mi Rix -

i Pqy 6 i -Pqx

R 6iy (2) B -Rix - (2) Mi x -

Рис. 156

Уравнения равновесия i-го участка (i = 1, 2, ..., n) имеют вид P

P

P

(1)

(2)

(1)

(2)

i Xi =Rix + Rix + Pqx = 0, i Yi =Riy + Riy + Pqy = 0, (2)

(2)

i MA =−Rix (yA − yB ) + Riy (xA − xB ) − Pqx (yA − yB )/2+ (1)

i +Pqy (xA − xB )/2 + Mi

(2)

+ Mi

= 0.

(9.5)

9.10.

Статически определимая рама

121

Для равновесия m узлов необходимы условия P P P o − Rxi + Pxi + Rxi = 0, P P P o − Ryi + Pyi + Ryi = 0, P P P − Mi + Mie + Mio = 0.

(9.6)

o o где Rxi , Ryi , Mio — реакции связей, Pxi , Pyi , Mie — узловые нагрузки. Знак минус у первых слагаемых в системе уравнений равновесия узлов возник из-за того, что реакции стержней и узлов противоположны по направлениям. Координаты точек (узлов) вводятся в виде двух списков x и y. Число введенных точек подсчитывается оператором nops 1 . Номера концов стержней (участков рамы) заносятся в матрицу str. Стержни представляются в виде условных векторов, имеющих начало (первый столбец матрицы) и конец (второй столбец). Номер строки матрицы — номер стержня. Этот номер необходим для ввода распределенной нагрузки и для информации о способах закрепления стержня, хранящаяся в списке Vns. Число m строк матрицы str, равное числу стержней, вычисляется оператором m:=op(1,str)[1]. Первый аргумент, равный 1, в этом операторе показывает, что определяются размеры матрицы, а индекс [1] отмечает первое число в размере, т.е. число строк. В рассматриваемом алгоритме все сосредоточенные нагрузки и реакции связей прикладываются только в узлах. Номера опорных узлов, в уравнения равновесия которых вида (9.6) входят реакции опор, формируются списком упорядоченных пар OPOR. Число пар ko (число опорных реакций) вычисляется оператором nops. Первый элемент пары — номер узла, второй номер направления реакции. Направление силы вдоль оси x (горизонтально направо) имеет номер 1, вдоль y — 2, пара сил (против часовой стрелки) — номер 3. Например, запись OPOR:=[[1,1],[1,2],[1,3],[3,2]] означает,

что конструкция имеет в точке 1 заделку (с тремя реакциями опор) и в точке 3 вертикальный опорный стержень (или, что то же, шарнир с горизонтальной подвижностью). Если конструкция составная, то в зависимости от типа соединения в точке сочленения необходимо положить нулю соответствующую реакцию. Это дает дополнительное уравнение к системе (9.5), (9.6). Число этих уравнений в программе 16 обозначается ks. Для цилиндрического шарнира необходимо уравнение Mi = 0, для горизонтально скользящей заделки — Rix = 0, а для вертикально скользящей заделки — Riy = 0. Сочленения записываются в виде списка Vns элементов с тремя индексами. Первый индекс — номер стержня, которому 1

При большом числе точек правильность ввода можно отчасти проконтроллировать числом nops(y).

122

Мaple - программы

Раздел 9

принадлежит сочленение, второй (1 или 2) указывает на начало (1) или конец (2) стержня, третий — тип реакции, значение которой полагается равным нулю (1 — горизонтальная сила, 2 — вертикальная сила, 3 — пара). Например, запись Vns:=[[11,2,3]] означает, что в стержень 11 в конце закреплен цилиндрическим шарниром, а запись Vns:=[] означает, что в конструкции сочленений нет, ks=0, (одно тело). Сосредоточенные горизонтальные нагрузки P1, вертикальные P2 и пары P3 прикладываются только в узлах. Поэтому достаточно указать номера узлов, к которым приложены нагрузки. Номера заносятся в векторы. Оператор Vector(n) вводит вектор с нулевыми элементами, следовательно, нет необходимости обнулять в операторе цикла все элементы. Ненулевых нагрузок обычно немного, и ввод их получается короткий. Например, ввод P1[3]:=evalf(10*cos(Pi/6)), P2[3]:=evalf(10*sin(Pi/6)) означает, что к точке 3 приложена сила, равная 10 под углом π/6 к оси x. Заметим, что функции cos и sin дают результат, содержащий корни, поэтому для построения эпюр, где требуются численные, а не аналитические результаты необходим оператор evalf, вычисляющий результат в числовой форме (Evaluate Float). Распределенные нагрузки заносятся в векторы Qx и Qy по тому же принципу, но с одним ограничением: на один стержень не может действовать и вертикальная и горизонтальная нагрузка. Это ограничение введено для упрощения программы и при желании его легко снять. Жесткость стержней на изгиб 1 может быть разной. По умолчанию все элементы вектора EI:=Vector(1..m,1) равны 1. Жесткость отдельных стержней можно задать по их номеру. Например, EI[12]:=2, если жесткость стержня 12 вдвое больше жесткости остальных стержней. Общее число уравнений в системе равно 3n + 3m + ks, число неизвестных 6m + ko. Приведем два примера. В примере 1 рассмотрен ввод данных и расчет (программа 16), в программе 17 только ввод данных примера 2 (расчетная часть не меняется). Пример 1. Дана рама (рис. 157) 2 . Для ввода информации о положении концов участков начало координат размещаем в опоре A. Точки нумеруем произвольно (рис. 158).

1 2

Произведение момента инерции I на модуль упругости, (кНм2 ) См. пример на c. 38

9.10.

123

Статически определимая рама q1

q 2

P 6

1

6 6 6 6 6 6B 6 P

2

3

4 B

5

6

5

C

C

7

5

8

A 4

4

4

Рис. 157

A

4

Рис. 158

Программа 16 > > > >

> >

> >

> > > > > >

> > > >

>

restart: read "C:\\epura.m"; read "C:\\Risepura.m"; read "C:\\ris.m"; Ввод данных Координаты узлов x:=[0,8,12,16,0,4,8,0]: y:=[10,10,10,10,5,5,5,0]: n:=nops(x): #Число узлов Нагрузки в узлах P1:=Vector(n): P2:=Vector(n): P3:=Vector(n): P2[6]:=10: P2[3]:=10: Стержни str:=Matrix([[1,2],[2,3],[3,4],[5,1], [5,6],[6,7],[7,2],[8,5]]): m:=op(1,str)[1]: # Число стержней Vns:=[[1,2,3],[4,2,3],[7,2,3],[5,2,3]]: ks:=nops(Vns): # Число внутр. соедин. Vns1:=Vector(n): # Значения в соедин.(=0) Опоры: [Узел, направление (1-X,2-Y, 3-M)] OPOR:=[[8,1],[8,2],[4,1],[4,2]]: ko:=nops(OPOR): # Число опор printf("Число неизвестных %d + %d, уравнений %d + %d + %d",ko,6*m,ks,3*m,3*n); Стержни. Распределенная нагрузка Qx:=Vector(m): Qy:=Vector(m): Qx[7]:=-4: Qy[3]:=5: Относительная жесткость

124

Мaple - программы

EI:=Vector(1..m,1):

>

Число

неизвестных

4 + 48, уравнений 4 + 24 + 24

Решение Lxy(): # Вычисление длин участков with(plots): with(plottools): RisRama(); # Рисунок рамы

> > >

2

1

5

6

3

4

7

8

> >

> >

Вычисляем моменты MP Используем процедуру EM из файла epura.m EpuraM(P1,P2,P3): Реакции=seq(Ro[i],i=1..ko); Вычисляем поперечные силы QP Используем процедуру RQ из файла epura.m RQ(Rx,Ry): PrintRez(Q1,"Qp");

N 1 2 3 4 5 6 7 8

Qp(1) 0.00 -10.00 0.00 9.00 -20.00 -10.00 -2.00 7.00

>

QP:=Matrix(m,2,Q1): RisEpur(QP,’QP’,0);

>

Qp(2) 0.00 -10.00 20.00 9.00 -20.00 -10.00 18.00 7.00

QP

Раздел 9

9.10.

Статически определимая рама

>

MP:=Matrix(m,2,Rm):

>

RisEpur(MP,’MP’,1);

>

PrintRez(Rm,"Mp");

>

Qx0:=Qx:

Qy0:=Qy: #Сохраняем данные(распр.нагр) MP

N 1 2 3 4 5 6 7 8

125

Mp(1) Mp(2) 0.00 0.00 0.00 -40.00 40.00 0.00 45.00 0.00 -80.00 0.00 0.00 -40.00 40.00 0.00 0.00 35.00

Обнуляем нагрузки >

P1:=Vector(n): P2:=Vector(n): P3:=Vector(n):

>

Qx:=Vector(m): Qy:=Vector(m): Прикладываем вертикальную (P2 вдоль оси 0y) единичную нагрузку к узлу 6

>

P2[6]:=1:

>

EpuraM(P1,P2,P3):

>

m1:=Matrix(m,2,Rm):

>

RisEpur(m1,"m1",1);

Вычисление моментов m1

126

Раздел 9

Мaple - программы

m1

>

N 1 2 3 4 5 6 7 8

PrintRez(m1,"m1"); m1(1) 0.00 0.00 0.00 2.00 -4.00 0.00 0.00 0.00

m1(2) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.00

Перемножаем эпюры Mp, m1, (процедура EM из файла epura.m) >

Delta1:=evalf(add(int(EM(MP,1,u,k)*EM(m1,0,u,k) /EI[k],u=0..L[k]),k=1..m)); ∆1 := 693.3333333

>

Пример 2. Дана рама, состоящая из двух частей, соединенных скользящей заделкой (рис. 159). Рама нагружена силами P = 5кН, Q = 9кН, и парой M =8 кНм. Углы: α=30◦ , β=45◦ .

7

4

M

6

5

4

6

~ P 3 α

6

3

β

+

~ Q 7

2 4

1

7

Рис. 159

7

9.10.

127

Статически определимая рама

В программе 17 приведен вод данных. Решение и вывод результатов не отличаются от программы 16. Полный текст программы с эпюрами и вычислением прогиба заданной точки расположены по адресу http://vuz.exponenta.ru/PDF/rama.rar. Программа 17 > > > > > > > > > > > > > > > >

x:=[14,14,7,0,0,21,21]: y:=[0,4,4,4,10,10,14]: n:=nops(x): #Число узлов P1:=Vector(n):P2:=Vector(n):P3:=Vector(n): P3[6]:=8: P1[2]:=-evalf(9*cos(Pi/4)): P2[2]:=-evalf(9*sin(Pi/4)): P1[4]:=evalf(5*cos(Pi/6)): P2[4]:=evalf(5*sin(Pi/6)): str:=Matrix([[1,2],[2,3],[3,4],[4,5],[5,6],[6,7]]): m:=op(1,str)[1]: # Число стержней Vns:=[[4,2,2]]: ks:=nops(Vns): Vns1:=Vector(n): OPOR:=[[1,2],[3,2],[7,1],[7,2]]: ko:=nops(OPOR): # Число опор printf("Число неизвестных %d + %d, уравнений %d + %d + %d",ko,6*m,ks,3*m,3*n); Qx:=Vector(m): Qy:=Vector(m): EI:=Vector(1..m,1):

Число

неизвестных

4 + 36, уравнений 1 + 18 + 21

Все расчетные подпрограммы занесены в отдельный файл epura.m. Этот файл является результатом выполнения программы 18. Основная программа 16 считывает подпрограммы из epura.m оператором read, так, как если бы они были записаны в этом месте. Для обмена информации между файлами лучше использовать абсолютные адреса. В данном случае все файлы считываются из корневой директории диска С. В подпрограмме EpuraM составляется и решается система уравнений равновесия. Система уравнений состоит из трех списков. Первые 3m уравнений — это уравнения равновесия сил, действующих на стержни, где m уравнений — это уравнения проекций на ось x, следующие m — уравнения проекций на y, затем записаны m уравнений моментов относительно точки 1. Второй список состоит из 6m уравнений Eq[k][i] равновесия узлов. Индекс k=1 соответствует проекции на ось x, k=2 — на ось y, k=3 соответствует равенству нулю моментов.

128

Мaple - программы

Раздел 9

Нагрузки и неизвестные реакции опор, приложенные к узлам, добавляются в уравнения уже после того, как эти уравнения сформировались в тройном цикле по стержням (1,...,m), номерам концов (1,2) и номерам уравнений (1,2,3). Последний список из ks уравнений необходим только для составных конструкций. Уравнения эти наиболее просты. Они выражают равенство нулю определенных внутренних реакций, в результате чего образуются различного рода сочленения. Например, равенство нулю момента приводит к внутреннему шарниру. Вектор Vns1 для статически определимых систем состоит из нулей. Он введен для того, чтобы можно было рассчитывать и статически неопределимые системы, где, согласно методу сил, иногда надо прикладывать единичные внутренние усилия. С помощью оператора перечисления seq легко составляется вся система уравнений sstm и список неизвестных unn. Отметим, что искомые величины в процедуре должны быть локальными. Для использования их вне процедуры применяются глобальные переменные Rx, Ry, Rm, Ro. Подпрограмма RQ (с. 130) вычисляет перерезывающие силы по реакциям концов стержня. Правило знаков: положительные перерезывающие силы вращают стержень по часовой стрелке. При расчете учтено, что sign(a)sign(b) 6=sign(ab), а на стержень не действуют сразу две распределенные нагрузки (поэтому использована сумма Qq + + Qy ). При необходимости можно написать аналогичную программу для определения нормальных сил. Подпрограмма PrintRez (с. 130) служит для отображения результатов в виде таблиц значений моментов и пререзывающих сил. Подпрограмма EM (с. 130) возвращает зависимость момента от линейной координаты v (координаты вдоль стержня k) по данным на концах стержня и величине распределенной нагрузки. В условиях поставленной задачи с равномерно распределенной нагрузкой это может быть парабола или прямая. Найденная зависимость используется в формуле Максвелла - Мора. Подпрограмма RisRama (с. 130) отображает на экране стержни рамы. Это изображение сначала служит для контроля ввода данных, потом для вывода эпюр моментов и перерезывающих сил. В подпрограмме используются процедура рисования линии Lin(i,j), соединяющей точки с номерами i и j, и параметр setN, содержащий характеристики шрифта. Подпрограмма Lxy (с. 131) находит массивы длин участков и их проекции. Программа 18 >

restart;

9.10. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

Статически определимая рама

129

EpuraM:=proc(P1,P2,P3) local R,i,j,k,Lx,Rr,Ly,eq,eqs,S,Eq,sstm,unn:# global Rm,Rx,Ry,Ro: for k to 3 do for i to 3*n do Eq[k][i]:=0; od: od: for i to m do # Уравнения равновесия стержней Lx:=L1[i]: Ly:=L2[i]: eq[i]:=R[1][i,1]+R[1][i,2]+Qx[i]*abs(Ly); eq[i+m]:=R[2][i,1]+R[2][i,2]+Qy[i]*abs(Lx); eq[i+2*m]:=R[2][i,2]*Lx-R[1][i,2]*Ly+ Qy[i]*abs(Lx)*Lx/2-Qx[i]*abs(Ly)*Ly/2 +R[3][i,1]+R[3][i,2]; for k to 3 do #Равновесие узлов for j to 2 do Eq[k][str[i,j]]:=Eq[k][str[i,j]]-R[k][i,j]; od; od; od: for i to n do #Нагрузки на узлы for k to 3 do Eq[k][i]:=Eq[k][i]+P||k[i]: od: od:

Vns[i,1] - номер стержня (1..m), Vns[i,2] - номер конца (1,2), Vns[i,3] - направление реакции (1-x,2-y,3-m) > for i to ks do #Внутренний шарнир на стержне > eqs[i]:=R[Vns[i,3]][Vns[i,1],Vns[i,2]]+Vns1[i]: > od; > for i to ko do #Опора. Rr - реакции опор > Eq[OPOR[i,2]][OPOR[i,1]]:= > Eq[OPOR[i,2]][OPOR[i,1]]+Rr[i]: > od; Все уравнения системы > sstm:=seq(eq[i],i=1..3*m),

130 > >

> >

> > >

> > > > > > > > >

> > > > > >

> > > >

> >

Мaple - программы

Раздел 9

seq(seq(Eq[k][i],k=1..3),i=1..n), seq(eqs[i],i=1..ks); Все неизвестные системы unn:=seq(Rr[i],i=1..ko), seq(seq(seq(R[k][i,j],k=1..3),i=1..m),j=1..2); Решение S:=solve({sstm},{unn}):assign(S): Rx:=R[1]; Ry:=R[2]; Rm:=R[3]; Ro:=Rr; end proc:#EpuraM Определение поперечных сил RQ:=proc(Rx,Ry) local QQ,k,sn,cs,Qs: global Q1: QQ:=x->Ry[k,1]*cs-Rx[k,1]*sn+Qs*x: for k to m do sn:=L2[k]/L[k]: cs:=L1[k]/L[k]: Qs:=(Qx[k]+Qy[k])*sign(-L2[k])*sign(L1[k]): Q1[k,1]:=QQ(0): Q1[k,2]:=QQ(L[k]): od; end proc:#RQ Печать таблиц результатов (эпюры моментов и сил) PrintRez:=proc(M,Txt) local i,M1: printf("\n N %s(1) %s(2) \n",Txt,Txt); for i to m do printf("%d %7.2f %7.2f \n",i,M[i,1],M[i,2]); od; end proc:#PrintRez Получение функции M(v) по эпюре z=0, если распр.нагр. (для единичных нагрузок) EM:=proc(M,z,v,k) M[k,1]-(M[k,2]+M[k,1])/L[k]*v+ z*(Qx0[k]+Qy0[k])*v*(L[k]-v)/2* sign(-L2[k])*sign(L1[k]): end proc:#EM Рисунок каркаса рамы RisRama:=proc() local Ns;

9.10. > > > > > >

Статически определимая рама

131

global rama; Ns:=PLOT(seq(TEXT([x[i],y[i]],convert(i,symbol), ALIGNRIGHT),i=1..n),setN): rama:=seq(Lin(str[i,1],str[i,2]),i=1..m): display(rama,Ns,axes=NONE); end proc:#RisRama

>

Вычисление длин (L) и проекций (L1,L2) участков Lxy:=proc() local k; global L1,L2,L: for k to m do # Длины участков L1[k]:=x[str[k,2]]-x[str[k,1]]: L2[k]:=y[str[k,2]]-y[str[k,1]]: L[k]:=sqrt(L1[k]^2+L2[k]^2) od: end proc:#Lxy

>

Запись процедур на диск save Lxy,RisRama,EM,PrintRez,RQ,EpuraM, "epura.m";

> > > > > > > >

Подпрограмма RisEpur может строить эпюры моментов и перерезывающих сил. При построении эпюры моментов аргументом Rm является матрица моментов, а параметр учета кривизны эпюры z=1. Для эпюры перерезывающих сил z=0. Цвета эпюр соседних участков берутся разными. В формате RGB первое и последнее число получается как элемент векторов с чередующимися числами. Применен необычный способ заполнения вектора с помощью тут же созданной функции деления по модулю 2 или 3. При m = 5 имеем clb:=Vector([1,0,1,0,1]) и clr:=Vector([0.5,1,0,0.5,1]). Для масштабирования эпюр сначала определяем максимальную длину участка maxL, затем плотность штриховки s0:=maxL/40, где коэффициент 40 подбирается вручную (для большинства задач это число походит). Максимальное значение абсолютного значения элемента матрицы определяется в несколько этапов. Оператором convert матрица преобразуется в вектор r1, затем оператор abs с помощью map применяется к каждому элементу вектора r1, и результат, опять с помощью convert, превращается в список, максимальное значение которого можно найти, предварительно сняв скобки оператором op. Полученное

132

Мaple - программы

Раздел 9

значение делится на maxL/3 (число 3 взято достаточно произвольно, для того, чтобы ординаты эпюры составляли не более 1/3 максимальной длины участка). Эпюры моментов строятся так, как принято в машиностроительных вузах — на сжатом волокне. Для архитектурно-строительных специальностей, где эпюра моментов строится на растянутом волокне, Масштаб должен быть положительным. Для подбора масштаба можно также использовать норму матрицы MatrixNorm(Rm,1) из пакета LinearAlgebra. В некоторых задачах эпюры оказываются вырожденными — все значения матрицы равны нулю. Условный оператор if Масштаб<>0 then ... fi предусмотрен как раз на этот случай. Программа 19 > > > > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > >

restart; RisEpur:=proc(Rm::Matrix,Txt,z) local f,clb,clr,k,x1,x2,y1,y2,sn,maxL,cs,d,mm1,r1, r2,zn,opc,strih,stm,n0,Qs,Q1,EpM,mm,op1,s0,Масштаб; global L: zn:=2*z-1:: clb:=Vector(m,(j) -> j mod 2):#Цвета эпюры clr:=Vector(m,(j) -> (j mod 3)/2.): maxL:=max(op(convert(L,list))): s0:=maxL/40.:#Плотность штрихов на эпюре f:=seq(abs((Qx[k]+Qy[k]))*L[k]^2/8,k=1..m): r1:=convert(Rm,vector): r2:=convert(map(abs,r1),list): (+) - архитектура и строительство, (-) - машиностроение Масштаб:=-3*max(op(r2),f)/maxL: if Масштаб<>0 then for k to m do x1:=x[str[k,1]]: x2:=x[str[k,2]]: y1:=y[str[k,1]]: y2:=y[str[k,2]]: sn:=L2[k]/L[k]:cs:=L1[k]/L[k]: n0:=L[k]/s0: opc:=THICKNESS(1),COLOR(RGB,clr[k],0,clb[k]): strih:=proc(t) d:=s0*t; mm1:=(-(zn*Rm[k,2]+Rm[k,1])/L[k]*d+Rm[k,1])

9.10. > > > > > > > > > > > > > > > > >

>

Статически определимая рама

133

/Масштаб: Qs:=(Qx[k]+Qy[k])*sign(-L2[k])*sign(L1[k]): mm:=mm1+z*Qs/2*d*(L[k]-d)/Масштаб: PLOT(CURVES([[x1+d*cs,y1+d*sn], [x1+d*cs-mm*sn,y1+d*sn+mm*cs]]),opc): end proc: stm:=seq(strih(t),t=0..n0): EpM[k]:=PLOT(CURVES([[x1-Rm[k,1]/Масштаб*sn, y1+Rm[k,1]/Масштаб*cs], [x2+zn*Rm[k,2]/Масштаб*sn, y2-zn*Rm[k,2]/Масштаб*cs]])),stm: od:#k op1:=axes=NONE,scaling=CONSTRAINED: Эпюра||Txt:=display(seq(EpM[i],i=1..m), rama,op1,title=Txt): fi;#Масштаб<>0 end proc: Запись процедур на диск save RisEpur, "Risepura.m";

Если не пользоваться программой 16, то систему уравнений (5.1) – (5.4), с. 39, составленную вручную, лучше решать в системе Maple. Воспользуемся простой программой 20, использующей стандартный оператор solve. Если значения, полученные в результате решения, требуется гделибо использовать, например, для проверки равновесия рамы в целом, то следует использовать такую конструкцию S:=solve(...): assign(S), иначе оператор solve, решив систему, не присвоит полученные значения искомым неизвестным. Уравнения системы можно обозначать иначе, без использования индекса, например, eq1, eq2,...,eq12, тогда оператор записи последовательности примет вид seq(eq||i,i=1..12). Здесь использована удобная операция "приклеивания" номера ||. Возможно использование и русских слов, например, Уравнение1. Программа 20 > > > >

restart; q1:=5: q2:=4: P:=10: Pq1:=q1*4: Pq2:=q2*5: eq[1]:= Xa+Xc+Xe:

134 > > > > > > > > > > > > >

Мaple - программы

Раздел 9

eq[2]:= Ya+Yc+Ye: eq[3]:=-10*Xe-5*Xc+4*Yc: eq[4]:=-Xe+Xd1: eq[5]:=-Ye+Yd1: eq[6]:= 8*Yd1: eq[7]:=-Xc+Xd2-Pq2: eq[8]:=-Yc+Yd2+P: eq[9]:=-5*Xd2+4*Yd2+2.5*Pq2: eq[10]:=-Xd1-Xd2+Xb: eq[11]:=-Yd1-Yd2+Yb+P+Pq1: eq[12]:= 8*Yb+6*Pq1+4*P: solve({seq(eq[i],i=1..12)}, {Xa,Xb,Xc,Xe,Xd1,Xd2,Ya,Yb,Yc,Ye,Yd1,Yd2});

9.11. Ферма В программу определения усилий в стержнях фермы заложен метод вырезания узлов. Если в число неизвестных усилий фермы с N узлами включить три усилия на опорах и составить для каждого узла по два уравнения равновесия в проекциях, то для статически определимой фермы, в которой, как известно, 2N − 3 стержня, получится 2N уравнения для 2N неизвестных. Матрица такой системы содержит направляющие косинусы стержней, которые легко вычислить, если задать координаты узлов и указать номера узлов, к которым подсоединен каждый стержень. В программе все стержни и узлы имеют конкретные номера. Система нумерации произвольная, однако стержни фермы задаются как вектора, т.е. начало и конец каждого стержня определяется пользователем. Есть одно ограничение. Опорные стержни-векторы направляются от шарнира фермы, к которому они прикреплены, к шарниру на земле. Шарниры на земле не входят в число N . Кроме того, условимся, что опорные стержни и шарниры, прикрепленные к земле, имеют наибольшие номера. В программе разобран пример фермы на рис. 133, с. 68. Вектор-строка x:=<0|4|8|0|4|8|-d|0|8> определяет координаты x шарниров, а вектор y — координаты y. Начало координат находится на опоре A. Нагрузки задаются в проекциях. Горизонтальные проекции помещаются в вектор Px , вертикальные — в Py. При этом безразлично, будет это вектор-строка вида Px:=<10|0>, или вектор-столбец Px:=<10,0>. Для контроля ввода данных (координат, номеров, нагрузок) в программе предусмотрено построение изображения фермы, нагрузок, номеров стержней и узлов, опор. Данные, необходимые для расчета, используются и для графического вывода.

9.11.

Ферма

135

Дополнительным размером, не существенным для расчета, является длина опорных стержней d. Эту длину надо подобрать вручную, так чтобы опорные стержни были ясно видны. В данной задаче 1, 2 — стержни нижнего пояса (усилия U1 , U2 ); 3, 4, 5 — стойки (вертикали) с усилиями V1 , V2 , V3 ; 6, 7 — диагонали, или раскосы (усилия D1 , D2 ); 8, 9 — стержни верхнего пояса с усилиями O1 , O2 . Горизонтальная реакция XA соответствует стержню 10, а вертикальные реакции YA и YB — стержням 11 и 12. Для вывода номеров приходится конвертировать числа в символы, так как в Maple не предусмотрен непосредственный вывод чисел на изображение. В программе введена простая процедура Симв, обозначенная русскими буквами специально, чтобы выделить то, что она не встроенная в Maple. Для решения системы уравнений в общем случае применяется оператор solve, однако здесь, для расчета один раз статически неопределимой системы, приходится дважды решать одну и ту же систему с различными правыми частями. Первый раз, для получения усилий в основной системе от внешних нагрузок, второй раз — от действия единичной силы, действующей вместо отброшенной связи. Это удобно делать в матричной форме. В пакете LinearAlgebra есть удобный оператор LinearSolve, в который можно одновременно вставить обе правые части. Таким образом задаем не столбец, а матрицу правых частей. Получив решение, коэффициенты канонической системы d11 и D1p определяются просто. Заметим, что опорные стержни предполагаются недеформируемыми, поэтому суммирование проводится только до M-3. В случае деформируемых опорных стержней надо указывать их реальную длину, а не условную d. Напомним, что три последних стержня — опорные. В таблице результатов выводятся усилия от внешней нагрузки S, единичной силы s и усилия Ss в статически неопределимой ферме. Усилия в опорных стержнях отличаются от реакций опор знаком, так как вектора-стержни направлены в противоположную сторону. Заметим, что программа почти без изменений может быть использована для расчета многократно статически неопределимой фермы. Программа 21 > > > > > > > >

restart: with(LinearAlgebra): N:=6: # Число узлов M:=2*N: # Число стержней nC:=2: # номер шарнира опоры С m:=1: # Число нагрузок Px:=<12>:# Нагрузка x Py:=<0>: # Нагрузка y nP:=<5>: # шарнир нагрузки

136

Мaple - программы

Раздел 9

>

d:=1.5:

>

x:=<0|4|8|0|4|8|-d|0|8>: #Координаты шарниров

>

# Длина опорных стержней на рисунке

y:=<0|0|0|4|4|2|0|-d|-d>: Номер узла начала и конца стержня-вектора

>

Nbeg:=<1|2|1|2|3|2|2|4|5|1|1|3>:

>

Nend:=<2|3|4|5|6|4|6|5|6|7|8|9>: Шрифт для номеров шарниров и стержней

>

Шрифт:=FONT(TIMES,BOLD,8):

>

with(plots):with(plottools):

>

for i to M do

>

R[i]:=PLOT(CURVES([[x[Nbeg[i]],y[Nbeg[i]]], [x[Nend[i]],y[Nend[i]]]])):

> >

od:

>

Симв:=proc(x) convert(x,symbol) end:

>

for i to N+3 do

>

Шарнир[i]:=PLOT(TEXT([x[i]+0.3,y[i]+0.4],

>

Симв(i)),Шрифт,COLOR(HUE,1)):

>

od:

>

for i to M do

>

Стержень[i]:=PLOT(TEXT([(x[Nbeg[i]]+x[Nend[i]])/2,

>

(y[Nbeg[i]]+y[Nend[i]])/2+0.3],

>

Симв(i)),Шрифт,COLOR(HUE,0.3)):

>

od: Параметры стрелки на рисунке

>

Вид:=0.05,0.2,0.2,color=red: Изображение нагрузок

> >

>

P:=seq(arrow([x[nP[i]],y[nP[i]]], evalm([Px[i],Py[i]]*0.05),Вид),i=1..m): Изображение фермы display(P,seq(R[i],i=1..M),seq(Шарнир[i],i=1..N+3),

>

seq(Стержень[i],i=1..M),

>

scaling=constrained,axes=none);

9.11.

Ферма

4

137

5

8

9 6

3

6

4 7

7 10

1 11

> > > > > > > > >

> > > > >

> > > > > > > > >

2

5 3

2 12

8

>

1

9

Заполнение матрицы G:=Matrix(M,M): for i to M do Lx:=x[Nend[i]]-x[Nbeg[i]]: Ly:=y[Nend[i]]-y[Nbeg[i]]: L[i]:=evalf(sqrt(Lx^2+Ly^2)): G[2*Nbeg[i]-1,i]:=Lx/L[i]: G[2*Nbeg[i],i]:=Ly/L[i]: if i<M-2 then G[2*Nend[i]-1,i]:=-Lx/L[i]: G[2*Nend[i],i]:=-Ly/L[i]:fi: od: Правая часть системы - вектор нагрузок B:=Matrix(2*N,2): B[2*nC,2]:=1: for i to m do B[2*nP[i]-1,1]:=Px[i]:B[2*nP[i],1]:=Py[i]: od: Решение системы S := LinearSolve(Matrix(M,G),-B): d11:=add(S[i,2]^2*L[i],i=1..M-3); D1p:=add(S[i,1]*S[i,2]*L[i],i=1..M-3); X:=-D1p/d11; printf(‘%s\n‘,‘______________________________‘); printf(‘%s\n‘,‘ n S s Ss ‘); for i to M do ss:=S[i,1]+X*S[i,2]: printf(‘%3.0f%9.3f%9.3f%9.3f\n‘,

138 > >

Раздел 9

Мaple - программы

i,S[i,1],S[i,2],ss); od: Таблица результатов d11 := 8.373512092 D1p := 15.40010583 X := −1.839145350

______________________________ n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

S 12.000 -.000 6.000 3.000 -6.000 -8.485 6.708 6.000 -6.708 12.000 6.000 -6.000

s 0.000 0.000 .500 -.250 .500 -.707 -.559 .500 .559 0.000 .500 .500

Ss 12.000 -.000 5.080 3.460 -6.920 -7.185 7.736 5.080 -7.736 12.000 5.080 -6.920

Программа позволяет рассчитывать достаточно сложны фермы. Рассмотрим, например, ввод данных для фермы c восемью панелями (рис. 160) 4

4

5

5

6 6

3 3 2

25 18

2 24 17 1

19

26 20 27

11

11

12 12

13 13

21

7 28 22

14

14

7 29

15

10

15

10

8 23 16

9

8 16

30 1 17

9

31

32

18

19

Рис. 160

Координаты узлов (их 20, включая опорные) удобно вводить в цикле >

x:=1.5*k$k=0..8,1.5*k$k=1..7,-1,0,12,13:

Циклы в Maple можно организовывать не только оператором for .. do, но и с помощью команды повторения в последовательности, обозначаемого $. >

y:=0,2,3,3.7,4,3.7,3,2,0,1,1.7,2,2.2,2,1.7,1,0,-1,-1,0:

9.12.

Статически неопределимая рама

139

Nbeg:=k$k=1..8,1,k+9$k=1..7,k+9$k=1..7,

>

10,11,12,14,15,16,1,1,9,9:

>

Nend:=k+1$k=1..15,9,k+1$k=1..7,3,4,5,5,6,7,17,18,19,20:

>

Лишней связью, создающей статическую неопределимость, является одна из горизонтальных опор. Если в качестве неизвестной метода сил выбрать правую горизонтальную связь в опоре 9, то в матрицу следует занести B[2*nC-1,2]:=1:

>

Нечетные строки (2*nC-1) соответствуют горизонтальным силам, второй столбец — решению для единичной силы. Заметим, что для получения основной системы вертикальные реакции опор в качестве неизвестных выбирать нельзя, так как получающаяся при этом конструкция будет содержать три опорных стержня, прикрепленных к земле, пересекающихся в одной точке, т.е. получается кинематически изменяемая система с центром мгновенного вращения в точке пересечения опорных стержней.

9.12. Статически неопределимая рама 9.12.1. Расчет методом сил. Программа расчета статически неопределимой рамы основана на программе 16, с. 123. В начале программы считываются файлы epura.m, Risepura.m и ris.m, содержащие необходимые подпрограммы. Затем вводятся данные об основной системе рамы, производится счет и вывод результатов — эпюр и таблиц к эпюрам. Ввод данных не отличается от программы 16. Добавлены только переменные U и nv на случай основной системы, содержащей внутренние реакции в качестве неизвестных (например, врезанный шарнир). В программе 22 используются данные примера на рис. 112, с. 62, где эти переменные не требуются 1 . 1

Для основной системы на рис. 115 потребуется указать внутренний шарнир Vns:=[[1,2,3]]. Первый индекс, равный 1, указывает номер стержня, на котором расположен этот шарнир (стержень AC), второй индекс указывает на конец стержня, третий на то, что это шарнир (момент, т.е. нагрузка типа 3, равен нулю). Затем, для метода сил требуется отметить номер того внутреннего соединения, где прикладывается единичная нагрузка. Здесь такое соединение здесь единственное: U:=[1]. В общем же значения элементов списка U берутся из номеров элементов списка Vns. Кроме того, рама при данном выборе основного состояния имеет два неподвижных шарнира, в точке 1 и 4: OPOR:=[[1,1],[1,2],[4,1],[4,2]]. Вторая неизвестная метода сил является моментом и приложена в точке A, т.е. в точке 1: Nms:=[[1,3]]

140

Мaple - программы

Раздел 9

После построения эпюр в основной системе от внешних нагрузок с помощью подпрограммы EpuraM(P1,P2,P3)(здесь программа ничем не отличается от программы 16), в цикле for j to no do поочередно прикладываются единичные усилия на опорах (если таковые есть, т.е. no6= 0). Внешние нагрузки полагаются равными нулю (значения распределенных нагрузок сохранены заранее в переменных Qx0 и Qy0 — они потребуются для построения эпюр). Вычисление эпюр моментов от единичных сил производится также в подпрограмме EpuraM(P1,P2,P3). В другом цикле for j to nv do, похожем на предыдущий, единичные усилия или моменты прикладываются к внутренним соединениям (если nv6= 0). Результаты, полученные в эти циклах, выводятся все вместе в цикле for j to nn do по всем неизвестным метода сил. Построенные эпюры можно было бы вывести внутри циклов сразу после их получения, для чего надо только после окончания цикла od поставить не двоеточие, а точку с запятой, однако при этом на экран будет выведено много ненужной информации, поэтому эпюры были сохранены в переменных Эпюраm1, Эпюраm2 и Эпюраq1, Эпюраq2, а затем уже выведены вместе с таблицами результатов в одном цикле. В двойном цикле по i и j получаем коэффициенты ∆iP , δij системы канонических уравнений. Использована процедура EM из файла epura.m (с. 130) преобразования матрицы значений моментов по концам участка в функцию. Решение получаем с помощью обратной матрицы delta^(-1) и заносим в вектор X. Допустима и другая форма решения X:=1/delta.Deltap. Решение системы содержит избыточное число знаков после запятой. Изменить форму вывода результатов можно оператором interface(displayprecision=3). Обращение к нему уменьшит число знаков после запятой до трех 1 . Программа 22 restart: read "C:\\epura.m"; read "C:\\Risepura.m";

> > > 1

Отметим принципиальную разницу между этим оператором и оператором Digits, изменяющим точность вычислений. Например, если задать Digits:=3 (т.е. три цифры в числе) в задаче о расчете фермы (рис. 160) с большим число стержней методом вырезания узлов, то результат счета будет существенно (иногда и в знаке) отличаться от действительного. Это проявляется особенно в последних рассчитываемых стержнях, где накопление погрешности, которым страдает метод вырезания узлов (в отличие от метода Риттера), проявляется наибольшим образом.

9.12. >

> > > > > > > > > > > > > > > > > > >

Статически неопределимая рама

read "C:\\ris.m"; Ввод данных Координаты узлов x:=[0,0,4,6]: y:=[0,3,3,3]: n:=nops(x): #Число узлов P1:=Vector(n): P2:=Vector(n): P3:=Vector(n): P2[3]:=-6: # Нагрузка P str:=Matrix([[1,2],[2,3],[3,4]]):#Стержни m:=op(1,str)[1]: # Число стержней Vns:=[]: ks:=nops(Vns): # Число внутр.шарниров Vns1:=Vector(n): U:=[]: # Из множества {1,...,ks} nv:=nops(U): # Число внутренних неизвестных OPOR:=[[1,1],[1,2],[1,3]]:# Опоры ko:=nops(OPOR): # Число опор printf("Неизв. % d +%d, уравн. %d + %d + %d", ko,6*m,ks,3*m,3*n); Qx:=Vector(m): Qy:=Vector(m): Qx[1]:=8: EI:=Vector(1..m,1): #Относительная жесткость Nms:=[[4,1],[4,2]]:#Неизвестные метода сил no:=nops(Nms): # Число внешних неизвестных nn:=no+nv: # Общее число неизвестных

Число > > >

неизвестных

3 + 18, уравнений 0 + 9 + 12

Решение Lxy():#Определяем длины стержней with(plots): with(plottools): RisRama(); 2

3

4

1

>

EpuraM(P1,P2,P3):#Моменты в основной системе Реакции=seq(Ro[i],i=1..ko);

>

RQ(Rx,Ry):

>

141

#Поперечная сила в осн.сист.

142 >

N 1 2 3 > >

Мaple - программы

Раздел 9

PrintRez(Q1,"Qp"); Qp(1) 24.00 6.00 0.00

Qp(2) 0.00 6.00 0.00

QP:=Matrix(m,2,Q1): RisEpur(QP,’QP’,0); QP

> > > >

MP:=Matrix(m,2,Rm): RisEpur(MP,’MP’,1); PrintRez(Rm,"Mp"); Qx0:=Qx: Qy0:=Qy: #Сохраняем данные(распр.нагр)

MP

N 1 2 3 >

> > >

> > >

Mp(1) 60.00 24.00 0.00

Mp(2) -24.00 0.00 0.00

for j to no do Обнуляем нагрузки P1:=Vector(n): P2:=Vector(n): P3:=Vector(n): Qx:=Vector(m): Qy:=Vector(m): z:=Nms[j,2]: Прикладываем единичную нагрузку P||z[Nms[j,1]]:=1: EpuraM(P1,P2,P3): m||j:=Matrix(m,2,Rm):

9.12. > > > > > >

> >

> > > > > > > > > > > > > > >

RisEpur(m||j,cat("m",j),1); RQ(Rx,Ry): q||j:=Matrix(m,2,Q1): RisEpur(q||j,cat("q",j),0); od: for j to nv do Обнуляем нагрузки P1:=Vector(n): P2:=Vector(n): P3:=Vector(n): Vns1:=Vector(n): Прикладываем единичную нагрузку Vns1[U[j]]:=1; EpuraM(P1,P2,P3): j1:=j+no: m||j1:=Matrix(m,2,Rm): RisEpur(m||j1,cat("m",j1),1);# Создаем Эпюраm RQ(Rx,Ry): q||j1:=Matrix(m,2,Q1): RisEpur(q||j1,cat("q",j1),0);# Создаем Эпюраq od: for j to nn do PrintRez(m||j,cat("m",j)); PrintRez(q||j,cat("q",j)); Эпюраq||j; Эпюраm||j; od;

N

m1(1) 3.00 0.00 0.00

m1(2) 0.00 0.00 0.00

N

q1(1) 1.00 0.00 0.00

q1(2) 1.00 0.00 0.00

1 2 3 1 2 3

Статически неопределимая рама

q1

143

144

Мaple - программы

Раздел 9

m1

N

m2(1) -6.00 -6.00 -2.00

N

q2(1) q2(2) 0.00 0.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00

1 2 3 1 2 3

m2(2) 6.00 2.00 0.00

q2

m2

> > > > > > > > >

Deltap:=Vector(nn): delta:=Matrix(nn): for i to nn do# Коэффициенты канонич.уравнений Deltap[i]:=evalf(add(int(EM(MP,1,u,k)* EM(m||i,0,u,k)/EI[k],u=0..L[k]),k=1..m)); for j to nn do delta[i,j]:=evalf(add(int(EM(m||i,0,u,k)* EM(m||j,0,u,k)/EI[k],u=0..L[k]),k=1..m)); od:#j od:#i Решаем систему канонических уравнений

9.12. > >

>

> > >

N 1 2 3 >

N 1 2 3 >

Статически неопределимая рама

145

X:=-delta^(-1).Deltap: delta,X,Deltap; 9. −27. −11.7575757575757544 189. , , −27. 180. 3.08080808080808044 −872. Моменты в статически неопр. раме MR:=add(m||i*X[i],i=1..nn)+MP: Поперечные силы в статически неопр. раме QR:=add(q||i*X[i],i=1..nn)+QP: PrintRez(QR,‘Q‘); Qx:=Qx0: Qy:=Qy0: #Восстанавливаем нагрузки Q(1) 12.24 2.92 -3.08

Q(2) -11.76 2.92 -3.08

PrintRez(MR,‘M‘); M(1) 6.24 5.52 -6.16

M(2) -5.52 6.16 0.00

RisEpur(MR,‘M‘,1); M

>

RisEpur(QR,‘Q‘,0); Q

9.12.2. Кинематическая проверка. Кинематическую проверку построенной эпюры моментов удобно выполнить непосредственным интегрированием произведения эпюр. По значениям эпюр моментов на концах строим функциональные зависимости либо непосредственно задавая параболический вид кривой, либо получая кусочно линейную

146

Мaple - программы

Раздел 9

зависимость с помощью оператора spline. Чтобы выделить из кривой нужный участок, используем оператор piecewise. Программа 23 restart; q:=8: a:=3: # Распред. нагрузка и длина участка Криволинейная часть эпюры M на участке 1 (рис. 129, с. 67) f11:=piecewise(x>0 and x0 and x<3,f12+f11): Участок 2 f21:=spline([3,7,9],[-5.52,6.16,0],x,linear): f2:=piecewise(x>3 and x<9, f21): Эпюра m2 от единичной силы (рис. 126, с. 65) g:=spline([0,3,9],[6,6,0],x,linear): Рисунок plot({f1+f2,g},x=0..9);

> >

>

>

>

> >

>

>

6 4 2 0

2

4

x

6

8

–2 –4 –6

>

Интеграл int(g*(f1+f2),x=0..9); 0.3666366667 10−5

9.12.3. Расчет пять раз статически неопределимой рамы. Программа позволяет рассчитывать рамы с произвольным числом статической неопределимости. Приведем ввод данных и результаты счета в пять раз статически неопределимой раме (рис. 161), используя метод

9.12.

147

Статически неопределимая рама

сил. В двух опорах рама имеет жесткую заделку, в третьей скользящую заделку. Даны нагрузки P = 1 кН, q = 8 кН/м. Выберем основную систему, отбросив все опоры кроме левой заделки (рис. 162). X5 1 2 3 4 6 P P ? ? q q 1 X4 X1 X3 5 ?6 1 1 1 X2

Рис. 161

Рис. 162

Пронумеруем точки, и введем данные рамы в программу: >

x:=[0,1,2,3,2]:

y:=[1,1,1,1,0]:

>

n:=nops(x):

>

P1:=Vector(n):P2:=Vector(n):P3:=Vector(n):

>

P2[2]:=-1:

>

str:=Matrix([[1,2],[2,3],[3,4],[3,5]]):

>

m:=op(1,str)[1]:

>

Vns:=[]: ks:=nops(Vns):

>

Vns1:=Vector(n): U:=[]:

>

OPOR:=[[1,1],[1,2],[1,3]]:# Опоры

>

ko:=nops(OPOR):

>

Qx:=Vector(m): Qy:=Vector(m):Qx[4]:=-8:

>

EI:=Vector(1..m,1):

>

Nms:=[[5,1],[5,2],[5,3],[4,2],[4,3]]:

>

no:=nops(Nms):nn:=no+nv:

#Число узлов

nv:=nops(U): # Число опор

Опуская часть программы, содержащей решение (эта часть остается неизменной для любой рамы и ее менять не надо), приведем только эпюру моментов: N 1 2 3 4

M(1) .21 -.23 -.17 .50

M(2) .23 -.33 -.08 -.75

148

Раздел 9

Мaple - программы M

Рис. 163

Заметим, что данная рама значительно легче решается методом перемещений, а решение методом сил приведено для возможности сравнения методов.

9.13. Устойчивость стержня на упругих опорах В качестве примера рассмотрено условие задачи на с. 75. Работа программы сводится к составлению однородных уравнений для неопределенных коэффициентов в выражении для прогиба, удовлетворяющего заданным краевым условиям и нахождению условия равенства нулю определителя матрицы полученной системы. Элементы матрицы выделяются из выражений для функции прогиба и ее производных оператором coeff. Введен безразмерный параметр t = kl. Для него получено нелинейное уравнение, которое решается численно. В данном случае для поиска решения применяется следующий прием. В постановке задачи требуется определить t, а отсюда и µ = π/t по заданной жесткости b. Однако легче найти обратную функцию. Замечено, что функция U линейна по параметру жесткости b и нелинейна по t. Если из уравнения U=0 найти b как функцию t, то получается функция обратная искомой. График t - b строится просто и дает достаточно информации. Для определения t при конкретном значении жесткости b уравнение U=0 решается численно. Сначала из него выражается b, а затем оно приравнивается заданной величине, т.е. 1. Корень уравнения в интервале, оцененном по графику t - b, ищем оператором численного решения алгебраических уравнений fsolve(b-1,t=0.01..4). Программа 24 >

>

>

>

restart; Решение для прогиба w:=C[1]*sin(k*x)+C[2]*cos(k*x)+C[3]*x+C[4]: Производные для краевых условий w1:=diff(w,x): w2:=diff(w1,x): Краевые условия eq[1]:=subs(x=0,w): #Прогиб=0

9.14. > > > >

> > > > > > >

>

>

>

>

149

Устойчивость неоднородных стержней

eq[2]:=subs(x=0,EJ*w2-c*w1):#М=c*fi eq[3]:=subs(x=L,w): #Прогиб=0 eq[4]:=subs(x=L,w2): #Момент=0 with(LinearAlgebra): Матрица системы M:=Matrix(4): for i to 4 do for j to 4 do M[j,i]:=coeff(eq[i],C[j]); od; od; M;   0 −c k sin(k L) −sin(k L) k 2 2 2  1 −EJ k cos(k L) −cos(k L) k   0  −c L 0 1 0 1 0 U:=subs(EJ=b*c*L,L=t/k,Determinant(M)); U := −c sin(t) k 2 + c k 2 cos(t) t − b c t2 k 2 sin(t) b:=solve(U,b); sin(t) − cos(t) t b := − t2 sin(t) t:=fsolve(b-1,t=0.01..4); t := 3.405608031 mu:=evalf(Pi/t);#Коэффициент приведения длины µ := 0.9224762877

9.14. Устойчивость неоднородных стержней В программе 25 реализован приближенный энергетический метод определения критической нагрузки сжатого стержня. Заметим, что подстановку значений x в выражение v можно выполнить либо с помощью subs(x=0,v), либо eval(v,[x=0]). В обоих случаях выражение v не меняется, и в него можно опять подставляет другие значения x. В качестве примера решена задача на с. 75. Программа 25 > >

restart; with(LinearAlgebra):

150

Мaple - программы

Раздел 9

a1:=1.5: a2:=1: k1:=1: k2:=1: c:=1/2: Задаем форму прогиба > v:=sum(C[i]*(x/L)^i,i=0..6): Заделка в левой опоре > eq[1]:=subs(x=0,v): > eq[2]:=subs(x=0,diff(v,x)): Промежуточная шарнирная опора > eq[3]:=subs(x=L*c,v): Шарнир на правой опоре > eq[4]:=subs(x=L,v): > eq[5]:=subs(x=L,diff(v,x$2)): Определяем коэффициенты > s:=solve({seq(eq[i],i=1..5)},{seq(C[i],i=0..4)}): > assign(s): Энергия изгиба > J1:=int(a1*EJ*diff(v,x$2)^2,x=0..c*L) > +int(a2*EJ*diff(v,x$2)^2,x=c*L..L): Работа сжимающих сил > J2:=k1*int(diff(v,x)^2,x=0..c*L) > +k2*int(diff(v,x)^2,x=0..L): > eqa:=simplify(evalf(P*J2-J1)*L^3): Минимизируем критическую силу по C[5] и C[6] > for i to 2 do > s1[i]:=diff(eqa,C[i+4]); > od: > M:=Matrix(2): > for i to 2 do > for j to 2 do > M[j,i]:=coeff(s1[i],C[j+4]); > od; > od; > M; > solve(Determinant(M),P); −0.6383928 EJ + 0.01206289 P L2 −2.006696 EJ + 0.03853937 P L2 −2.006696 EJ + 0.03853937 P L2 −6.388951 EJ + 0.1238459 P L2 >

117.4238105 EJ 50.98540635 EJ , L2 L2

9.14.

Устойчивость неоднородных стержней

151

Точное решение задачи об устойчивости стержня переменного сечения получаем из условия существования ненулевого решения дифференциального уравнения продольного изгиба. Программа 26 > >

>

> >

> >

> > > >

> > >

> > > > > > > > > > >

restart; k1:=sqrt(2*P/a1/EJ):k2:=sqrt(P/a2/EJ): EJ1=1.5EJ, EJ2=EJ a1:=1.5: a2:=1: Решение дифф.уравнения 4-го порядка ищем в виде y1:=C[1]*sin(k1*x)+C[2]*cos(k1*x)+C[3]*x+C[4]: y2:=C[5]*sin(k2*x)+C[6]*cos(k2*x)+C[7]*x+C[8]: На левой опоре (заделка) eq[1]:=subs(x=0,y1): eq[2]:=subs(x=0,diff(y1,x)): На промежуточной шарнирной опоре eq[3]:=subs(x=L/2,diff(y1,x)-diff(y2,x)): eq[4]:=subs(x=L/2,y1): eq[5]:=subs(x=L/2,y2): eq[6]:=subs(x=L/2,diff(y1,x$2)-diff(y2,x$2)): На правой опоре (шарнир) eq[7]:=subs(x=L,y2): eq[8]:=subs(x=L,diff(y2,x$2)): with(LinearAlgebra): Формируем матрицу системы для C[1],...,C[8] M:=Matrix(8): for i to 8 do for j to 8 do M[j,i]:=coeff(eq[i],C[j]); od; od; assume(xi>0,L>0); U:=simplify(subs(P=xi^2*EJ/L^2, simplify(Determinant(M),trig)))*L^4: xi:=fsolve(U,xi=0.1..7.5); P1:=xi^2*EJ/L^2; ξ := 6.898324570 47.58688187 EJ P1 := L˜2

152

Мaple - программы

Раздел 9

9.15. Колебание грузов на балке Решение задачи об определении собственных частот колебаний грузов на упругой балке начинается с определения коэффициентов податливости δij . Для этого необходимы эпюры моментов от единичных сил. Решим задачу на с. 78. Эпюры строим вручную (рис. 147, 149, с. 78). Координаты эпюр заносим в массивы ep[1] и ep[2]. С помощью оператора spline эпюры получаем в виде кусочно линейных функций, определенные интегралы от которых легко берутся стандартным оператором int. Если эпюра содержит нулевой участок, как например, эпюра M1 на рис. 147, то участок этот следует задать нулями: ep[1]:=[0,-b,0,0]. Для вычисления определителя используем оператор det пакета linalg, менее требовательный к типу аргумента (тип массива B:=evalm(A*w^2-1) не матрица, а символ), чем оператор Determinant более современного пакета LinearAlgebra. Корни биквадратного уравнения можно найти и оператором solve, но чтобы отбросить отрицательные корни, используем оператор численного решения уравнений fsolve(eq,w=0..5000) с указанием области поиска. Верхняя граница 5000 выставляется приближенно, с запасом. Формат вывода, регулирует обращение к функции interface(displayprecision=7), имеющей многочисленные опции и данном случае ограничивающей число знаков в числах после запятой. Отметим, что широко используемый параметр Digits регулирует точность вычислений, а не форму вывода. Так, если в этой программе задать Digits:=3, то получим частоты ω1 = 120, ω2 = = 430, что сильно отличается от более точных результатов 118.7980458 и 414.8739200, даже если округлить эти числа. Программа 27 > > > > > > > > > >

restart; with(linalg): d:=Matrix(2): m1:=5: m2:=10: # Массы a:=0.20: b:=0.15: # Размеры c:=0.25: L:=a+2*b+2*c: EJ:=1000.: # Жесткость балки ep[1]:=[0,-b,0,0]:#Эпюры(точки) ep[2]:=[0,-b,0,c/2,0]: m[1]:=spline([0,a,a+b,L],ep[1],x,linear):# Эпюры

9.15.

Колебание грузов на балке

m[2]:=spline([0,a,a+2*b,L-c,L],ep[2],x,linear): plot([m[1],m[2]],x=0..L); interface(displayprecision=7); for i to 2 do # Формула Максвелла for j to 2 do d[i,j]:=int(m[i]*m[j],x=0..L)/EJ; od; od;

> > > > > > > >

0.1 0.05 0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

0 –0.05 –0.1 –0.15

> > >

> > >

>

delta[1,1]=d[1,1]*1e6; delta[1,2]=d[1,2]*1e6; delta[2,2]=d[2,2]*1e6; δ1, 1 = 2.625000000 δ1, 2 = 2.906250000 δ2, 2 = 6.354166667 A1:=Matrix([[m1,0],[0,m2]]): A:=A1.d: B:=evalm(A*w^2-1); 0.00001312500000 w2 − 1 0.00001453125000 w2 B := 0.00002906250000 w2 0.00006354166667 w2 − 1 Частотное уравнение eq:=collect(det(B),w^2); fsolve(eq,w=0..5000); eq := 0.4116699219 10−9 w4 − 0.00007666666667 w2 + 1. 118.7980458, 414.8739200

153

154

Приложение. Геометрические характеристики сечений

Приложение. Геометрические характеристики сечений

Таблица 1 Прямоугольник, треугольник, круг и половина круга y

y

6

y

6

h

6 R

h

-x b

y

6

x a

-x

'$ R

-x

b

F

bh

bh 2

πR2

πR2 2

xc

b 2

a+b 3

R

R

yc

h 2

h 3

R

4R 3π

Jx

bh3 3

bh3 12

5πR4 4

πR4 8

Jy

hb3 3

hb(a2 + ab + b2 ) 12

5πR4 4

5πR4 8

Jxy

b 2 h2 4

bh2 (b + 2a) 24

πR4

0

Jxc

bh3 12

bh3 36

πR4 4

Jyc

hb3 12

hb(a2 − ab + b2 ) 36

πR4 4

πR4 8

Jxyc

0

h2 b(2a − b) 72

0

0

R

4

π 8 − 8 9π

155

Приложение. Геометрические характеристики сечений

Таблица 2 Равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренная трапеция и четверть круга y 6

y 6

h

y 6

h

-x b

x -

b

y 6

a

h

-x

b

b

R

$

F

bh

bh 2

h(a + b) 2

πR2 4

xc

b

b 3

b/2

4R 3π

yc

h 3

h 3

h(b + 2a) 3(a + b)

4R 3π

Jx

bh3 6

bh3 12

h3 (3a + b) 12

πR4 16

Jy

7hb3 6

hb3 12

h(a + b)(a2 + 7b2 ) 48

πR4 16

Jxy

b 2 h2 3

b 2 h2 24

bh2 (2a + b) 12

R4 8

Jxc

bh3 18

bh3 36

h3 ((a + b)2 + 2ab) R4 36(a + b)

Jyc

hb3 6

hb3 36

h(a + b)(a2 + b2 ) 48

Jxyc

0

−

h2 b 2 72

0

x -

π 4 − 16 9π

π 4 − 16 9π 1 4 4 R − 8 9π

R4

В таблицах 1 и 2 даны площадь фигуры F , координаты центра тяжести xc , yc , осевые (Jx ,Jy ) и центробежный Jxy моменты инерции относительно заданных осей и центральные моменты инерции Jxc , Jyc , Jxyc (относительно осей, проходящих через центр тяжести фигуры параллельно заданным).

156

Приложение. Геометрические характеристики сечений

Двутавры стальные горячекатаные, ГОСТ 8239-89 y

s- x

h

x

(b − s)/4 ? y b

t6

Таблица 3 Номер

размеры, мм

ρ

двутавра

кг/м

h

b

s

t

10 12 14 16 18 20 22 24 27 30 33 36 40 45 50 55 60

9.46 11.5 13.7 15.9 18.4 21.0 24.0 27.3 31.5 36.5 42.2 48.6 57.0 66.5 78.5 92.6 108.0

100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

55 64 73 81 90 100 110 115 125 135 140 145 155 160 170 180 190

4.5 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.4 5.6 6.0 6.5 7.0 7.5 8.3 9.0 10.0 11.0 12.0

7.2 7.3 7.5 7.8 8.1 8.4 8.7 9.5 9.8 10.2 11.2 12.3 13.0 14.2 15.2 16.5 17.8

F

Jx

Jy

2

4

см4

198 350 572 873 1290 1840 2550 3460 5010 7080 9840 13380 19062 27696 39727 55962 76806

17.9 27.9 41.9 58.6 82.6 115 157 198 260 337 419 516 667 808 1043 1356 1725

см

12.0 14.7 17.4 20.2 23.4 26.8 30.6 34.8 40.2 46.5 53.8 61.9 72.6 84.7 100 118 138

см

157

Приложение. Геометрические характеристики сечений

Швеллеры стальные горячекатаные, ГОСТ 8240-89 t

y

? 6

s-

h

(b − s)/2

x

x

-

z0

y b

Таблица 4 Номер

размеры, мм

ρ

швеллера кг/м

h

b

s

t

5 4.84 50 32 4.4 7 6.5 5.9 65 36 4.4 7.2 8 7.05 80 40 4.5 7.4 10 8.59 100 46 4.5 7.6 12 10.4 120 52 4.8 7.8 14 12.3 140 58 4.9 8.1 16 14.2 160 64 5 8.4 16a 15.3 160 68 5 9 18 16.3 180 70 5.1 8.7 18a 17.4 180 74 5.1 9.3 20 18.4 200 76 5.2 9 22 21 220 82 5.4 9.5 24 24 240 90 5.6 10 27 27.7 270 95 6 10.5 30 31.8 300 100 6.5 11 33 36.5 330 105 7 11.7 36 41.9 360 110 7.5 12.6 40 48.3 400 115 8 13.5

F

Jx

Jy

z0

2

4

4

см

5.59 8.7 12.8 20.4 31.2 45.4 63.3 78.8 86 105 113 151 208 262 327 410 513 642

1.16 1.24 1.31 1.44 1.54 1.67 1.8 2 1.94 2.13 2.07 2.21 2.42 2.47 2.52 2.59 2.68 2.75

см

см

6.16 22.8 7.51 48.6 8.98 89.4 10.9 174.4 13.3 304 15.6 491 18.1 747 19.5 823 20.7 1090 22.2 1190 23.4 1520 26.7 2110 30.6 2900 35.2 4160 40.5 5810 46.5 7980 53.4 10820 61.5 15220

см

158

Приложение. Геометрические характеристики сечений

Уголки стальные горячекатаные, ГОСТ 8509-86 y

-

z0

b

x

b

? t 6

Таблица 5 Номер

ρ

уголка 5

кг/м 3.05 3.77 3.44 4.25 3.90 4.80 5.70 5.38 6.39 5.80 6.89 7.96 6.78 7.36 8.51 8.33 9.64 10.9 10.8 12.2 15.1 17.9 11.9 13.5 15.5 17.3 19.1 22.7 19.4 21.5 25.5 24.7 27.0 29.4 34.0 38.5 30.5 33.1

5.6 6.3 7 7.5 8 9 10

11 12.5

14 16

18

b

t

F

мм 50 4 5 56 4 5 63 4 5 6 70 5 6 75 5 6 7 80 5.5 6 7 90 6 7 8 100 7 8 10 12 110 7 8 125 8 9 10 12 140 9 10 12 160 10 11 12 14 16 180 11 12

см2 3.89 4.80 4.38 5.41 4.96 6.13 7.28 6.86 8.15 7.39 8.78 10.1 8.63 9.38 10.8 10.6 12.3 13.9 13.8 15.6 19.2 22.8 15.2 17.2 19.7 22.0 24.3 28.9 24.7 27.3 32.5 31.4 34.4 37.4 43.6 49.1 38.8 42.2

Jx

Jmax

9.21 11.2 13.1 16.0 18.9 23.1 27.1 31.9 37.6 39.5 46.6 53.3 52.7 57.0 65.3 82.1 94.3 106.0 131.0 147.0 179.0 209.0 176.0 198.0 294.0 327.0 360.0 422.0 466.0 512.0 602.0 774.0 844.0 913.0 1046.0 1175.0 1216.0 1317.0

см4 14.6 17.8 20.8 25.4 29.9 36.8 42.9 50.7 59.6 62.6 73.9 84.6 83.6 90.4 104 130 150 168 207 233 284 331 279 315 467 520 571 670 739 814 957 1229 1340 1450 1662 1866 1933 2093

|Jxy |

z0

5.42 6.57 7.69 9.41 11 13.7 15.9 18.7 22.1 23.1 27.3 31.2 30.9 33.4 38.3 48.1 55.4 62.3 76.4 86.3 110 122 106 116 172 192 211 248 274 301 354 455 496 537 615 690 716 776

см 1.38 1.42 1.52 1.57 1.69 1.74 1.78 1.90 1.94 2.02 2.06 2.1 2.17 2.19 2.23 2.43 2.47 2.51 2.71 2.75 2.83 2.91 2.96 3.00 3.36 3.40 3.45 3.53 3.78 3.82 3.90 4.30 4.35 4.39 4.47 4.55 4.85 4.89

Список литературы

1.

Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. — М.: Высш.шк., 1995.

2.

Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. — М.: Изд-во МАИ, 1994.

3.

Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов. — М.: БИНОМ, Лаборатория базовых знаний, 2005

4.

Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс. — СПб.: Питер, 2001.

5.

Горшков А.Г.,Трошин В.Н., Шалашилин В.И. Сопротивление материалов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

6.

Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений. — М.: Нолидж, 2000.

7.

Дьяконов В.П. MATLAB: учебный курс. — СПб.: Питер, 2001.

8.

Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

9.

Ицкович Г.М. Сопротивление материалов — М.: Высш.шк., 2001.

10.

Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика/ Под ред. А. И. Кириллова. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

11.

Кирсанов М.Н. Графы в Maple. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

12.

Кочетов В.Т., Кочетов М.В., Павленко А.Д. Сопротивление материалов — СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

13.

Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad — СПб.: БХВПетербург, 2004.

14.

Матросов А. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. — СПб.: БХВ-Петербург, 2001.

15.

Минин Л.С., Хроматов В.Е., Самсонов Ю.П. Расчетные и тестовые задания по сопротивлению материалов/Под ред. В.Е. Хроматова — М.: Высш.шк., 2003.

16.

Миролюбов И.Н., Алмаметов Ф.З., Курицын Н.А., Изотов И.Н., Яшина Л.В. Сопротивление материалов: Пособие по решению задач. — СПб.: Лань, 2004.

17.

Окопный Ю.А., Радин В.П., Хроматов В.Е., Чирков В.П. Механика материалов и конструкций. Сборник задач/Под ред. В.П. Чиркова — М.: Машиностроение, 2004.

18.

Очков В.Ф. Mathcad 12 для студентов и инженеров. — СПб.: БХВПетербург, 2005.

160 19.

20. 21. 22. 23. 24. 25.

Список литературы Потапов В.Д., Александров А.В., Косицын С.Б., Долотказин Д.Б. Строительная механика: Учеб. для вузов. Кн.1. Статика упругих систем/Под ред. В.Д. Потапова — М.: Высш.шк., 2007. Сапунов В.Т. Классический курс сопротивления материалов в решениях задач. — М.: Едиториал УРСС, 2004. Скопинский В.Н., Захаров А.А. Расчет статически неопределимых систем: Практикум по сопротивлению материалов. — М.: МГИУ, 2007. Тимофеев С.И. Сопротивление материалов. — Ростов н/Д: Феникс, 2004. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. Щербакова Ю.В. Сопротивление материалов: конспект лекций. — М.: Эксмо, 2007. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. — СПб.:Лань, 2003.

Предметный и именной указатель Eigenvalues 87 Euclidean 111 eval 149 evalf 122, 126 evalm 98, 153 exprseq 88

α 91 β 91 γ 91 abs 132 add 84, 126 ALIGNRIGHT 131 array 115 arrow 108, 112 assign 111, 133 assume 95, 151 axes 92, 108, 112, 131 axesfont 108

filled 117 FONT 105 fsolve 153 gamma 81, 91 global 129 Heaviside 120 HELVETICA 105, 108 HUE 96

beta.m 94, 108 BOLD 136 BOLDOBLIQUE 105 BOX 92

IdentityMatrix 104 int 146 interface 95, 140, 153

cat 143 coeff 149 collect 153 COLOR 106, 112 color 108, 112 Column 105 CONSTRAINED 133 constrained 112 convert 98, 105 cos 92 cosh 92, 93 CrossProduct 87, 105, 111 cuboid 108 CURVES 133 cylindrical_arrow 104, 106

kernelopts 95 labels 119 light2 92 lightmodel 93 linalg 152 Line 116 line 108 linear 117, 146, 152 LinearAlgebra 86 LinearSolve 137 list 98, 105, 132 local 129

declare 99 det 153 Determinant 151 DiagonalMatrix 105 Digits 87, 140 display 133 displayprecision 140, 153 dsolve 99

map 131, 132 MathCad 39 Mathematica 39 MATLAB 39 Matrix 86, 111 matrix 85 MatrixNorm 132 max 109, 132

161

162 maxdigits 95 min 109 mod 104, 132 NONE 92, 131 none 112 nops 85, 115 Norm 87 normal 108 Normalize 105, 111 op 89, 100, 121, 131 orientation 93, 108 PDEtools 99 Pi 89 piecewise 100, 101, 146 PLOT3D 106 plot3d 92 plottools 136 polygonplot 84 POLYGONS 106 printf 94, 123, 130 proc 129 read 110, 123 red 108, 112 return 97 RGB 106 ris.m 115 rotate 104 save 94 scaling 108, 112, 133 scan 87 shading 92 shape 87, 96, 108 showassumed 95 sign 108 solve 66 spline 117, 146, 153 string 105 style 108 sum 92 symbol 131 symmetric 87, 96 tanh 93 THICKNESS 112

ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ tickmarks 108 time 92 TIMES 136 title 133 triangular 87 unconstrained 108 unprotect 81 upper 87 Vector 109, 111 VectorNorm 105, 111 whattype 100 width 108 Алюминий 20 Бимомент 99 Вектор столбец 100, 134 строка 134 Векторное произведение 103 Время счета 92 Геометрический фактор жесткости 47 Грин 82 Двусвязная фигура 84 Дифференциальная зависимость 115 Жесткость 38 Жесткость на изгиб 122 Заделка скользящая 121 Изгибно-крутильная характеристика 99 Интегрирование по контуру 82 Интерполяция 47 Канонические уравнения 52 Кинематическая поверка 58 Кинематическая изменяемость 63 Кинематическая проверка 145 Коммутативность 59

ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Константа Эйлера 81, 91 Коэффициент Пуассона 29 Кручение тонкостенного стержня 19 эпюра 106 Матрица диагональная 104 обратная 140 трехдиагональная 115 Метод Ньютона 32 Риттера 70, 140 вырезания узлов 134, 140 сил 52 Модуль сдвига 46 Модуль упругости 29 Момент сопротивления при кручении 88 Момент инерции главный 11, 21, 86 осевой 85 полярный 15, 17 центральный 86 центробежный 11, 13, 83 Моментные точки 70 Нагрузка линейно распределенная 119 Напряжение максимальное касательное 20 Напряжения главные 30 Объемный вес 81 Оператор повтора $ 119 присваивания 84 численного решения 152 Открытый профиль 19 Относительный угол закручивания 20 Площадь параболической эпюры 61, 65 Поверка

163

кинематическая 58 Поворот объекта 104 Положение эпюры моментов 132 Пояс верхний 69 нижний 69 Правило Верещагина 59, 61 Правило знаков перерезывающие силы 57, 128 Прандтль 91 Профиль замкнутый 20 Пуассон 91 Пуассона коэффициент 29 Равнодействующая распределенной нагрузки 62 Радиус-вектор 43 Раскосы 69, 135 Риттер 70 Скользящая заделка 121, 126 Сортамент 156 Сплав алюминиевый 20 Сталь модуль сдвига 14 Статический момент 83 Тимошенко С.П. 91 Точка отсчета секториальных площадей 23 Удельное изменение объема 30 Уравнение Пуассона 91 биквадратное 152 кубическое 32 совместности 49 трех моментов 114 Условный оператор 132 Фихтенгольц Г.М. 82 Формула Грина 82 Максвелла 153 Максвелла–Мора 54 Тимошенко С.П. 77

164 Функция Хевисайда 119 напряжений 91 Хевисайд 119 Число меток на осях 107 строк матрицы 121 Эйлера константа 81, 91

ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Учебное издание

КИРСАНОВ Михаил Николаевич Оригинал-макет автора