Matematika i muzika - PDF Free Download

Zvonimir Šikić ��JT��i�,'iK ii HMD, Zagreb 1999. MATKINA BIBLIOTEKA • Glavni urednik: Ivan [vanšić Urednik : P...

Author: Zvonimir Sikic

504 downloads 1356 Views 15MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Zvonimir Šikić

��JT��i�,'iK ii

HMD,

Zagreb 1999.

MATKINA

BIBLIOTEKA

• Glavni urednik: Ivan [vanšić

Urednik :

Petar Mladinić Recenzenti:

ij

Mirko Polon o Milko Pravdić Zlatko Tanodi

Lektoric a :

Vesna Muhoberac

Korektorica: Renata Svedrec Naslovnicu opremila:

j

lj

San a Ho ević

N akl adnik :

Hrvatsko matematičko društvo, Zagreb

©HMD

Nij edan dio ove knjige ne smije se umnažati niti preslikavati na bilo koji način, bez pismenog dopuštenja nakladnika.

CIP -

Katalogizacija u pu blik acij i

Nacionalna i sveučilišna knji žnica Zagre b ,

UDK 51:78 ŠIKIĆ, Zvonimir Matematika i muzika / Zvonimir Šikić. Zagreb: Hrvatsko m at em atičko društvo, 1999. - 96 s trani c a : ilustr.; 24 cm. (Matkina b i b lioteka) -

.

-

ISBN 953 - 97339

-

l

-

X

990402025 Slog i prijelom: Alegra d.o.o., Zagreb Tisak: Tiskara Kasanić, Zagreb

Sadržaj:

1. Harmonija svijeta ................................................................................... 7 2. Intervali i skale . ....

. .

.

.

.. . . .. ..

.

.

.

.

. ..

.

.

.

.

.

.

.. .

....

......

.

... . .

. .

.

. ...

. .. .

... . . .

..

.

...

.

.

.

... . .. .

.

. 13 .

3. Harmonija obojenoga tona ................................................................... 29

4. lednolikost protiv točnosti

5. Pitagorino ugađanje . . .... .

.

.

.

.

..

.

. .. .

. . . . . .. . ....

.

.

.

..

...

.. .... .

.

. . .. ... .. . . ..

..

.

.

..

.

.

.. .

.

.

.

... ....

.

..

.

... .

.

.... .

.

. ..

..... .

..

. .......... . . .

.

.. .

.. .

.

.

...

.

....

.

..

.

.. .

39 47

6. Dobro temperirani g l asov i r i jednolika lutnja ......................................55 7. Dvanaest veličanstvenih

..

.

...

. .

.

.. .

. . .

.....

. .

.

.

.. .

.

..

... . ...

.

.

.

...

..... . .

.

..... . . .

.

.

.

... . . .

....

. 65

... .

.

Dodatak . l. Kružna aritmetika.

. . . .

2. Potencije i logaritmi

...

. . .

.

..

.

.

.

..

....

.. . . . .

...

.

. .

. .. .

..

... . .

.. .

.

. .

. . . .

..

. .

... . . . .

..

.

.

. . . .

3. Eudoksovo mjerenje i verižni razlomci.......

Fusnote

.

.

.

.......

...

.

..

.

. . .

..

.

..

.. .. .. . ... . . ..

.

.. ..

.

... .

..

.. . ..

.

..

.

. .

. . ..

. . . . .. . ..

..

..

.

. .. . . . . . .

.

.

.

..

..77

. . . . ..

. . . . . .....

. 81

.. .84 .

. . ........ .. .... . ..... ... . . . ......... . . . .. ......... . . . . ....... . .... ... . . . . . . . .......... . . . .. .. . ..... .

93

·,. -

. " .

.

,

.!/..:/!

:'ff-

,"1:t

. .. ' ...

il'

/: .. ".{• .'.:.... ... !,j." ... " .

',,' " . ,. ..

,

::J

; '-9"'. '� -OJ,

______ 1. Harmonija svijeta

1. HARMONIJA SVIJET A Keplerova De harmonice mundi jedan je od najljepših izdanaka velike

tradicije zapadnoga mišljenja što ga je začeo Pitagora. O čemu je riječ? Pokušajte,

ako možete, zamisliti svijet u kojem sve ima smisla. Svijet u kojem na Zemlji oko nas,

kao i na nebu iznad nas, vlada savršeni red. Sve što vidite i čujete, sve što znate, sve što uopće jest, samo je aspekt jedne i sveobuhvatne harmonije svijeta, kojom je sve raspoređeno u idealne matematičke odnose. To je Pitagorina temeljna ideja; harmonija koju čujemo, harmonija koju vidimo, kao i svaka druga harmonija, zapravo je matematička harmonija. Tu Pitagorinu ostavštinu naslijedili su Platon, Kepler, Galileo, Newton, Einstein i mnogi drugi.

Njezin

je doprinos našoj civilizaciji

ogroman!). Koestler ga opisuje uporabljujući jednu muzičku metaforu 2):

Pozornica u 6. st. pr. Kr. prikazuje scenu orkestra koji se ugada. Svaki svirač

zadubljen je u svoj instrument, gluh za nezgrapne zvuke ostalih. Slijedi dramatična

tišina. Maestro dolazi na scenu, triput lupne dirigentskim štapićem i iz kaosa izranja

harmonija. Maestro

je Pitagora sa Samosa, čiji je utjecaj na ideje, pa dakle i na

sudbinu čovječanstva, vjerojatno veći od utjecaja bilo kojeg pojedinca prije ili poslije njega.

Aristotel, k oji nije bio Pitagorin sljedbenik, opisuje njegove ideje u svojoj

Metafizici, posebno ukazujući na to da one izviru iz veze matematike i muzike3):

Pitagorejci su se posvetili matematici. Promicali su je i u njoj su odgajani. pa nije neobično da su njezina načela držali načelima svih stvari. Utvrdili su da se svojstva i omjeri muzičkih intervala mogu izraziti brojem, pa se činilo da se i sve ostale stvari mogu izraziti brojem. Činilo se da su brojevi počela svih stvari, te da je cijelo nebo jedna muzička skala. jedan omjer brojeva.

Kao da' čitamo Keplera iz H.prmonije svijeta: Nebeska gibanja nisu drugo do jedna vječna polifonija, koju opažamo umom a ne uhom.

Nakon ovih jezgrovitih i slikovitih skica pokušat ćemo manje metaforičnim jezikom opisati tko je bio Pitagora i što su bile njegove ideje, posebno one koje muziku povezuju s matematikom. Pitagora je, kao sin draguljara Mnesarha, rođen početkom 6 st. pr. Kr. na

otoku Samosu smještenom uz maloazijsku obalu Egejskog mora. U Egiptu je naučio

geometriju, a bio je i prvi stranac uveden u tajne egipatske vjere. U Fenikiji je učio o "brojevima i omjerima". Poduku iz astronomije dobio je u Kaldeji, glavnom središtu

antičke astronomije. Jedan rani biograf tvrdi da je u Kaldeji4) učio zajedno sa

1

I

l1armonUa svijeta

---

Zaratustrom "koji ga je o č i s ti o

od p rljavštine prijašnjeg ži v o ta

".

Uvjeti živ ota n a

Samosu, pod upravom tiranina Polikrata, nisu odgovarali školovanom čovjeku, pa je Pitagora s obitelji emigrirao na krajnje zapadne granice grčkog svijeta. u Magna Graeciau (današnja južna Italija). Tu je dobro primljen i uskoro je svojom strastvenom rječitošću skupio tisuće sljedbenika. (Bio je toliko uvjerljiv da je tiranin Sirnikus, vladar sicilijanskog grada Kentoripe, nakon njegova govora o slobodi abdicirao i podijelio svoju imovinu građanima.) Na kraju se Pitagora smjestio na krajnjem jugu

današnje Italije, u Krotonu, gdje je osnovao svoju Akademiju tzv. Pitagorillo bratstvo.

Postao je prototip filozofa-kralja nekih 150 godina prije Platonova uvođenja toga

pojma u p olitičku filozofiju. Pred kraj života postao je žrtvom političke konspiracije, tc su on i njego vi sljedbenici prognani iz Krotona. Umro je stotinjak milja od Krotona,

497. godine pr. Kr. Njegovi su sljedbenici proganjani. aji je maestrova riječ ipak sačuvana kako bi postala temeljem platonizma i modeme znanosti ll. Prema Pomriju: S

pitagorejr-illw llmrlo

nekoliko opskurnih stvari ,�/()

je i njih o v o

su

znanje

koje su oni do tada tajili (osim

ponavljane bez razumijevanja}. Pitagora za sobom

nUe ostavio knjig[i; s a mo m{[/c iskre teško shvatVivog znanja sačuvale su se medu onim sljedbcnicima, poput Lizija i Arhipe, koji SLl se dovoljno daleko raspdili. Oni su LI osamljenosti i tuzi izbjegavali Vudske zajednice. Ipak, u strahu da se ime filo::.ofije potpuno ne zatre ('Ito hi moglo izazvati bijes bogova), sastavili su sažetke i komentare Piragorine mudrosti. Svaki je sljedhenik imao svoju vlastitu kolekciju koju je Ila kraju živutu ostavljao na brigu svojoj ženi, sinovima ili kćerima. Ova obveza prenošenja znanja unUTar ohite1ji .\'ačuvala se dugo vremena. Ono što se prenosilo bila je Pitagorina matematička filozofija. Već u

Talesovo

vrijeme grčki su mislIoci empirijsko egip atsko zemlio-rr�jerstv() preoblikovali u

racionalnu gco-metriju, otkri vši na taj način matematiku II današnjem smislu te riječi5l. Zašto je došlo do te preobrazbe? Odgov or je jed n ostavan. Zbo g iz vjesno sti racionalnoga. Mjereći kutove o sjetilima dostupnog materijalnog trokuta možda ćemo

ustanoviti kako je njihov zbroj približno 1800, ali izvjesni matematički dokaz da je

zbroj kut o va u svakom trokutu točn o 1800 odnosi se na samo razumu dostupne trokute. Oni Ježe

u

samo razumu dostupnim d vodimenzionalnim rav ninama, omeđeni

su samo razumu dostupnim jednodimenzionalnim dužinama, k oje se spajaju u samo razumu dostupnim nuldimenzionalnim v rhovima, tvoreći samo razumu dostupne kuto ve. Izvjesno s t, kojoj je grčko mišljenje tako strasno težilo, o s t v arena je utemeljenjem matematike kao racionalne spoznaje, kojoj predmet istraživanja nije matelijaini svijet osjetiInoga iskustva, nego je to svijet samo raZLlmu dostupnih ideja. Pitag o ra je otišao korak dalje shvativši kako istinska stvarnost nije

II

neograničenom i neuređenom načelu materije, nego je u stalno ograničavajučem i zato uređujućem načelu matematičke forme. Izvor o ve izrazito matematičke filozofije

8

l.

____

otkriven je

Harmonija svijeta

u muzici. Njez i n sustav reda i lje pot e i zgrađen j e na s u gl asj i m a oktave,

kvinte i kvarte, koj i se iz kaotičnog kont i n uuma u h u

dos tupn ih i n tervala izdvajaj u

s vo jo m jedn ost avnom ma tematičko m formom . (I nterva l oktave os tvaruje se ti tranj em

žica koj i m a duljine stoje u omj er u 2: l, interval kvinte ostv a ruj e

se omjerom 3:2, a načelo g l azbenog reda i ljepote mate mat i č ka form a ( matemat i čka har monija ) , nije li onda i pri rodni red, sa s vojom n edvoj benom ljepotom, također svediv na neko slično ili čak identič n o načelo? Pitag or in je odgovor potvrdan. Pr iroda j e s ve m i r , tj red i l j ep o ta , a nj egovo je načelo broj. (Često mistificirana Pitagorina formu l a : "Sve je bra}", znači samo to da je matematika ključ za ra zu mij evan je svega ili, bliže d a n aš njemu izraž avanju , da je matematika te me lj svake znanosti. Taj Pi tagor i n uvid koji potječe iz n ajran i j e g djetinjstva z n an os t i i

interval

k v arte omjerom 4:3.6))

No, ako je

.

fi l ozofi je još i dan as upravlja znanošću kao njezino vrhunsko načelo; u s p Sl i J).) Ovdje se p rv i put poja v ljuje i pojam muzičkog univerzuma; muzika je broj i svemir je .

broj, dakle, svemir je

muzika.

P i t a gora je razlikovao tri vr s t e muzike.

Uporabljujcmo li latinsku terminologiju nj e gov ih sljedbenika, to su musica instrumentalis (uobičajena muzika glasovira, trube itd); musica humana ( staln a iako nečujna muzika svakoga pojedinca, u kojoj su posebno značajna suglasja ili pak nesuglasja duha i tijela); te lIlusica mUl1dana, s vemi rs k a muzika koja nastaje okretanjem nebeskih sfera (pa je zato poznat a i kao muzika s fe ra) . U n ato č n a š em i z razi t o m raz li k ovanj u ovih područja, za Pitagoru su sve tri muzike jedna te ista muzika. Truba i svemir mogu odsvirati

dos l ovno istu ljestvicu, jer je to stvar čiste m a te ma t ike Tc se muzike

od poligona

što ih

mogu činiti bore nekog

ne razlikuju više

.

ljudskog dlana, konstelacija odredenih

zvijezda na nebes k om svodu ili melod ij sk a linija neke glazbene teme. Vječna, matematička ideja je s t poligon i sve su n jegove pojavnosti zapravo iste. Imamo li

to na umu lakše ć emo shva titi Pitagorine me tode lij e č enj a. Musica

instrumentalis i musica humana samo

.

l juds ki m instrumentima", što na ljude može djelovati loše N aprimj er, s lu š anje g fa zbe s k ladane u frigijskoj ljestvici može izazvati

i zaz i v aju iste vibracije i u ili dobro.

su pojavni o blici iste i s tine Zvuci lire zato

"

nasilje, ali ono se može i odagn ati prij elazom n a umiruj u ć i spondejski ritam. Sjetimo li

se bitnoga j edin s tva musicae instrumentalis i musicae humanae mo ž da možemo razumjeti Keplerovo pitanj e iz p od n as l ova Harmonije svijeta: Koji p lane ti u nebeskoj harm oniji pjevaju sopran i alt, a koji tenor i bas? Možda će nam got o v o neshvatljivi odgovor7), koji nalazimo u s amoj knjizi, s ada biti nešto manje stran :

MeJ-kurje sopran. Zemlja

su basovi.

i

Venera

su

a/tovi. Mars je tenor, a Saturn

i

Jupiter

Ipak, Pitagorin najtrajniji doprinos teoriji muzike već je spomenuto otkriće da su kon so na n tni intervali oktave, kvinte i kvarte određeni jednostavnim aritmetičkim omjerima 1:2, 2:3 i 3:4.R) Prema p r edaj i , Pi t ag ora je prolazeći kraj kovačnice čuo

9

J.

Harmonija svijeta

--

--

konsonantne intervale kvarte, kvinte i oktave proizvedene udarcima različitih čekića o nakovanj. Istraživši tu pojavu ustanovio je da se težine čekića, koji proizvode tonove raspoređene u tim intervalima, odnose kao 4:3, 3:2 i 2: I. Nastavljajući eksperimente s

lirom i monokordom Uednožičanim glazbalom) ustanovio je da isto vrijedi i za duljine

žica.

(Vincenzo Galilei, otac Galilea Galileia, pokazao je 1589. da priča o čekićima ne može biti istinita, jer se težine čekića moraju odnositi kao kvadrati duljina monokorda da bi proizveli iste intervale9). Dakle, k v artu, kvintu i oktavu proizvode

čekići s omjerima težina 42:32:22: 12. Vincenzo je ustvrdio da isti omjeri vrijede i za

težine utega kojima se o pterećuje jedna te ista žica, kao i za promjere različitih žica iste vrste; što je sve točno. Također je ustvrdio da se isti intervali postižu na p u hačkim instrumentima, ako se odgovarajući o bujmi stupaca. zraka u cijevima glazbala nalaze u omjeru 4:3:2: I, tj. ako su duljine stupaca u kubnom omjeru 43:33:21: 13. To nij e točno,

jer visina tona ovisi samo o duljini stupca, a ne o njegovu obujmu.)

Iz Pitagorina osnovnog uvida izrasta jedna cijel a teorija muzike i sva naša

daljnja razmatranja.

10

, I

2. intervali i skale

l. INTERVALI I SKALE

Pojam intervala i iz njega izvedeni pojam skale (tj. ljestvice)

u teoriji muzike, a ključni su i za razumijevanje njezi n a povijesnog

iznimno

su

važni

razvoja. Najbolji

uvod u oba poj ma jest da zamislimo segment glasovirskih tipki koji sadrži po jednu tipičnu grupu od dv ije i tri crne tipke unutar 8 bijelih. a periodično se ponavlja:

Niz od 8 bij e lih tonova e, D, E, F, G, A, H, e (tzv. dijatonska s kala ) svima j e dobro poznata dur ljestvica; u ovom slučaju e-dur. Interval oktave, od e do e, s adrži osam bijelih t onova. Interval kvinte, od e do G, sadrži pet "bijelih" tonova. Inte r va l kvarte, od e do F. sadrži če tiri "bijela" tona. No. kako se uopće došlo do "bijele" dur ljestvi ce ? "

"

Kada bi glasovirska e i c žica bile iste vrste , prva bi morala biti dvostruko dulja od d ruge. No, vidj eli smo (sjetite se Vicenza Gali l ei a ) da se isti interval može re alizi rat i na različite načine. Ono što je zajedničko sv akoj rea li z ac iji je to da c-žica titra dvostruko brže od e-žice. pakle, uz d ogovor da je brzina t it ra nj a (tzv. frekvenc ij a ) tona e jediničn a sl ij ed i e = l, F = 4/3, G = 3/2 i c = 2. Veličina inte rv ala koji razapinju dva tona jednaka je omj eru njih ovih frekvencija, što je prikazano .

sljedećom tab iicom:

4/3

L 4/3

kvartaJ

f

3/2

2

�

;�

I �3/2kvinta� I 2/1 oktava

Budući da je veličina interv ala koj i razapinj u bilo koj a dva tona j ednaka omjeru nj ihovih frekvencij a, la ko je i zrač unat i veličine svih intervala koje raz api nju : e - osnovni ton ili fonika, F - kvarta ili subdominanta, G - kvinta ili dominanta i

e

-

oktava,

koja je i sama

tonika.

(Ton koji je za interval kvarte udaljen od osnovnog

11

2.

Intervali i skale

tona zove se kvartom na tom t onu dakle F je kvarta na C. I sto vrijedi za kvinte,

okta v e

,

,

itd.)

cIF = 2/(4/3) = 3/2 tj c je kvinta na F. .

c/G =

2/(3/2)

=

4/3 tj c je kvarta na G. .

GIF = (3/2)/(4/3) = 9/8 .

Interval od F do G, duljina kojeg je 9/8, zove se cijeli ton ili velika sekunda. Dakle, kvarta i kvi nta či ne

sljed eću razdio? u oktave:

3/2 I e F G e L- 4/3 ---.J L9/sJL 413 � r-----3/2

I

donju kvartu od e do F, te gornju kvartu od G do c, razdije limo cijelim tonovima dulj i ne 9/8, dobit ćemo još po dva tona u svakoj od njih:

Ako još

D/e EID

=

=

9/8, tj. zbog e

9/ 8

,

tj.

AJG = 9/8, tj. HIA

Tako dolazimo do

Interval od E

=

zbog

=

D = 9/8.

D = 9/8, E

zbog G =

9/8, tj. zbog

1,

A

=

=

81164.

312, A = 27/16.

27116, H = 243/128.

sljedeće razdiobe oktave :

do F, odnosno njemu j edn aki interval od H do = 2561243) i zove se (dijatonski) poluton.

(jer je (4/3)/(9/8)2

Ovako do biven i cijeli ton o v i i po lutono v i dva polutona manja od jednog cijelog tona:

(2561243i 14

=

1.110

<

c,

ima

du lj inu 256/243

nažalost imaju loše

1.125

=

9/8.

svojs tvo da su

2. Intervali i skale

Taj je problemI) moguće riješiti samo uz određene kompromise, o čemu će još biti

riječi. Zasad spomenimo da se oktava (odnosno njezi ne dvije kvarte od tonike do

subdominante i od dominante do tonike) može podijeliti i na druge načine, tzv. moduse

ili

modaIne skale. Grci su poznavali i rabili sljedeće modaine skale (od kojih

se svaka može odsvirati na bijelim tipkama glasovira, polazeći od različitog osnovnog tona):

JONSKI MODUS (dur)

I

0

1

2

I�I

3

�ILJV

4

5

6

LJLJV

�& O

1

o

1

2

r--

e

[)

o

� 9

r--

i

()

o

II

9

3

4

5

6

MIKSOLIDIJSKI MODUS -

I

0

1

2

I�I

3

LJLJV

4

5

7

LJVLJ

�e O

()

1

2

E

2

�

F

3

r--

......

...... ......

G

A

ti

4

5

cl

6

1

.-- -

-

�

7

- .--

-

I

6

o

r-

.-- r--

V

0

o

o

3

4

o

5

A 1

�o 6

H

2

e

3

[)

4

!il

5

f

6

1

Q

7

1§

2. inlervali i skale

---

--

LIDIJSKI MODUS r--

e-

IF

o

n

o

n

o

y

(;,

n

O

n

r-

.--- .---

ii

:11-

<'''jo,

y

e-

D

.----.---

E

:fl

O

EOLSKI MODUS (prirodni mol)

o

y

n

y

o

DORSKI MODUS

-

I�II �q�o 3 2 LJVLI

40 O

16

I

5

�V�

o

1

y

n

o

:2

;3

n

r-- -

�.

t:i

o

fi

y

F

-

-

<%

i'�

o

o

6

7

�*

--

H '" ""

e e

r-

dl

2. intervali i .;kaJI!

FRIGIJSKI MODUS

Iiii

I

V LJ LJ

Q

o

V

-.--

-

-

-r--

fJ

G

j·i

1:J .,

\)

F' i

�J

i�;..

"

II

o

«� ,�.)

e

'�>f.

e 5

r--

'fa ti

-

:t

II

#

""

Uočite da nismo naveli tzv. lokrijski modus koji (po bijelim tipkama) počinje To samo u kazuje na značaj kvinte u razdiobi oktave. Naime. "bijela" skala iz H ne sadrži kvintu, pa se z ato ne uporabljuje. Uočite također da lidijska skala nema kvarte (tj. ima p ov i š enu kvartu)2).

iz H.

Naravno, oktava

se može podijeliti i skalama k oj e nisu "bijele". Naprimjer. melodijski mol ima sljedeću s tr u kt uru (dolje po kaz uj e mo kako �e melodijski e-mol može u zl az no odsvirati na glasoviru). uzlazni\)

MELODIJSKI MOL (uzlazni)

Iiii

:;;",,-'" ,,,-

LJVLJ

",

l)

Q

�o

()

o

()

[)

F jO,,} $C

(lj

lt

li

6

� o

,�

·r

l

n

4

17

2. Intervali i skale

Sil azni melodij ski mol izgleda kao i pri rod n i mol (na slici po kazuj emo kako

se melod ijski e-mol može s ilazno od s vi rati na glas ovi ru) : MELODIJSKI MOL (silazni) -

I

2

(}

Ir--II

3

4.

LJ V LJ ..

6

1

V L------.JL----.J

�& O

5

o

1

bo 2

..

[)

e

{}

II

o

3

4

r-r- - .-- -r--

c-

i 2

..

�n �o 5

()

F

;]

�

45

Ei

, ,l 7

II

1

Sve dosadašnje ska le dijelile su oktavu na 7 i n terv al a , pomoću 7 tonova.

su skale septatal1ske. Tonove seplatoflske skale označili smo brojevima O, 1, 2, i 7, gdje su O i 7 tonike. S tan d ardno je označivanje 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8. Brojevi 1 i 8 (naši O i 7) oznake su za to ni ke primu i oktavu; b roj 2 (naš 1) za sekundu; broj 3 (nuš 2) zu tercu, broj 4 (naš 3) za kva rtu, broj 5 (naš 4) za kvintu, broj 6 (naš 5) za sekstu i broj 7 (naš 6) za septimu. Nazivi tonova očito slijede standardne oznake, ali Takve

3, 4, 5� 6

svi relevantni računi u vezi s tonovima septatonske skale sl ijede "kružnu" aritrnetiku

mod 7.

U

kojoj

je neusporedivo lakše

međusobno inverzni intervali, sekunda 1

i

rač un a ti s našim oznakama. Naprimj er , septima 6, terca 2 i seksta 5 te kvarta 3 i

kvinta 4, zaista su međusobno in v erzni u "knlžnoj" -1

=

6

aritmetici4) mod 7:

(mod 7), -2 = .') (mod 7), -3

=

4 (mod 7).

se rabe i pematonske skale koje oktavu dijele pomoću S tonova, te sekstatonske skale koje je dijele na 6 intervala, p o moću 6 tonova. Pel1Ta!Onske skale možemo dobiti podjelom do nj e i gornje kvarte cijelog raspona oktave s još po jednim dodatnim t o n o m . Dakle, dodatni se tonovi smještaju i zmeđu tonike i subdominante, te između do min an te i tonike koj a je za

Osim septatonskih skal a često

na 5 intervala,

oktavu viša:

18

2. Intervali i skale

4/3

4/3

9/8 Iiii

t

I

T

t

novi ton

novi ton

Četiri matematičke mogućnosti su: (1) po jedan cijeli ton na početku svake kvarte, (2) po jedan cijeli ton na kraju svake kvarte, (3) jedan cijeli ton na početku donje, te jedan cijeli ton na kraju gornje kvarte, (4) j edan cijeli ton na kraju donje, te jedan cijeli ton na početku gornje kvarte. U shematskim prikazima ovih skala rabimo simbol L/ za i ntcrval od jednog i pol tona. (l)

O

II

:2

LJLJ

3

4

l

5

LJLJ

e

A

ili

e D f G A ili

D E

n

'1

o

n

o

n

2

:3

4

(2)

-

LJLJ

II

:3

.::;

-

5

�LJ

r--

:� ",,.,r

n

o

:3

4

G tl

5

E

o

tl. H

sl

F

o

r-- -

-

D

1:.;:

II

D

e

E ili

Ji. ti lJ ili

-

(.ii II

r-

F il Ji. e cl

5

19

2. Intervali i skale

(3)

;--

0

1

2

LJ LJ

;3

4

lo

5

LJ LJ

r-- -

-

E

Gl

-

--

A

e

ili

fi,. c: D F

''''' �

ili

fi,. t-� D lli: G

,

o

O

O

.

o

;?

1

o

3

n

o

i*

te:: �

-

dl

H II

(4)

II fi 2 3 .4 LJ LJ LJ LJ

t" �.,<"

rh

"11 �

�o

F

-

II

o

o

o

i•

2

:3

4

o:

lako se termin pentatonska skala

G

ft.

dl

H

o

5

može upo rabiti za bilo koju razdiobu oktave s 5 tonova (ll tekst1.l smo se ograničili samo na one koje čuvaju kvartu i kvintu), u Europi f;e taj termin rabi za reducirane septatonske skale iz kojih su izostavljeni "polutonovi" F i H. Dakle, za sljedeće "bijele" skale: � (3)

(1) (2)

10

--_-_----

-

.----

...........

[J

D

E

� ,�":'i

E

G

ER

Gl

G

id w'

A

A A

A

,::

e e

e

e

ti

tl

D

II

e

lE

E

g

G

l.1i

2. intervali i skale

Uočite da prva od tih s ka la nema kvarte (C-P), dok treća nema kvintc (E-H). Ostale su realizacije prijašnjih pentatonskih skala (1), (2) i (3). Skale (4) nema u ovom "europskom" popisu. Od seks/atonskih s kala najjednostavnija je cjeiotmlska skala koja oktavu dijeli na 6 c ije l ih tonova: CJELOTONSKA SKALA

o

:3

<0

:5

6

�I�I�I�I��

� .. (}

e

o

2

'1

#0 #0 �e 5

3

.�

6

Nešto je neobičnija blues skala, koja po jedan ton smješta u donju i gornju kvartu, kao i pentatonska skala (2), al i ima i 6. ton smješten izmedu kvarte i kvinte: BLUES SKALA r--r--

r-

0

1

2

3

4

.

5

IA

6

LJ�VVLJ�

�

o

l'

i

e

()

o

:2

#0

II

3

<4

o

1

[JI

lE

2 34

-

(t 5

r-

al

e

Povijest j rasprostranjenost ovih skala složene su. Dijatonska podjela oktave (na "bijele" tonove), koja je dovela do sep tatonskih modusa seže do Pitagorina vremena. Uporaba lire i orgulja, koje je oko 3 00. g. pr. Kr. izumio Ktesibije iz Aleksandrije5), a u kojima je glavni ton u oba slučaja bio D, dovela je do prevlasti

11

2. Intervali i skale

dorskoga modus a u glazbenoj antici. U ranom srednjem vij eku, u okviru scholae cantorum, kršćanska crkva n astavlja tradiciju monofonije (izvođenja samo jedne

melodijske linije) u svim an ti čki m modusima. Grgurova6) reforma ove škole dovest će do gregorijanskog korala koji je i danas prepoznatljiv po svojoj uporabi antičkih modusa. Guido iz Arezza u 10. stoljeću uvodi notno crtovlj e i mnemotehniku ut, re,

7 mi, fa, sol, la, ti ) koja i laicima omogućava lako kretanj e kroz različite moduse,

pravilnim odabirom početne točke (kao u našim glasovirskim prikazima s e, D, .. umjesto do, re, ... ) . Na prijelazu iz 10. u ll. stoljeće, još za Guidova života, počinju .

eksperimenti s polifonijom; istovremenim izvođenj em više melodijskih linija. Glasovi se najprij e slažu u paralelnom gibanj u , tako da jedan izvodi svoj u melodiju dok ga drugi prati, istovremeno izvodeći tu istu melodiju za kvartu ili kvintu niže . Dakle, tonovima prvoga glasa: e D E F G A H c, oagovaraju tonovi drugoga glasa: G A H e

D E F g (koj i su za kvartu niži) ili F G A H e D E f (koj i su za kvintu niži). 11111\1111111\

C

O

EF

G

A

Hc

G Ji HC il EF !J ��V��V�

Glasovi su stalno udaljeni za kvartu (2.5 cijela tona), odnosno kvint,u (3.5 cijela tona), osim kada istodobno pjevaju triton us H/F (3 cijela tona). Tritonus j e izrazito disonantan, a teško ga je i otpjevati. Zato bi pri susretu tonova H i F uvijek dolazilo do nesigurnosti koja se mogla otkloniti snižavanjem tona H za jedan poluton8). Tako su stari modusi prošireni notom B, a u klavijature je umetnuta prva crna tipka (usp. 5». To je neko vrijeme bila jedina snižena nota i jedina crna tipka.

e

1)

S

Možemo

f

ci

A

ti

e

primijetiti da pomak iz H u B u prvom glasu ukida vođicu. Zato se boljim rješenjem čini poma k iz F u PH u drugom glasu. Taj pomak otklanja disonantni tritonu�, II ne u ki d a vodicu. Naravno, nove note B i pil prirodno vode prema novim

kvintama:

EU f--B,

22.

2, InEC rvali i skale

Tako j e oktava konačno p odij eljena na 12 p ol uto n o va9 1 a klavijature su još po 4 crne tipke unutar oktava: ,

r--III/\�Ir--III/\ �EF#G# H c VVVVVVVVVVVV

C#

r-

r-

rc

o

r-

E

F

fA

A

dobilc

--

!ml

j,:

l

N aravno, ovaj proces nije neposredno doveo do "polutonskog" skladanja u t ako dobivenoj dodekatonskoj (tzv, kramatskoj) skali. (To će se d ogo di ti tek II našem, 20. stoljcću.) U tom smislu polutonska razdioba još dugo nije postala skalom. Ona je samo omogućavala polijonsko skladanj e u s tarim septatonskim modusima, jer se u njoj svaka stara skala mogla vezati uz bilo koji ton kao toniku (drugim riječima, nov a je razdioba omogućavala transpozicije), Time su također otvorena vrata harmonijskom skladanju, koje z apravo nema jasne g ran i c e s polifanskim, budući d a je vertikalni, istovremeni aspekt polijanije, zaprav o harmonija. N aprimjer: 1. glas

2. glas 3. glas

cO O O e H e

e

d

e e e e e e

g g g g

f e

H

e

d

e e

g g g g f

d

e A e e

.. .

.

..

...

}

polifonija

-

Protezanjem glazbe u dvije d!menzij e'O) stvoren je ogroman broj mogućnosti. U cij eloj je Europi u 16, st. bilo toliko velikih skladatelja da cijeli j edan život nije dov olj an za upoznavanje č ak i dijela njihova o pusa, (Studenti poLijonije, tj. kontrapunkta, još i danas uče iz t og nepresušnog vrela.) Kao rezultat tog nebrojenog niza eksperimenata sa svim tradicionalni m modusima, p očetkom 17. st. izdvojio se jedan: jonski, To je današnji dur. Ostali su modusi pol ako nest ajali, osim modificirane varijante eoLskog, koja je današnji mol. Za oba preživjela modusa karakteri stičn a je velika septima, tzv. vodica, koja je samo pola tona udaljena od t onike i time se iznimno n aglašava kao mjesto razrješenja svoje disonantne napetosti. Zaljubljenost vodice u toniku glavna je karakteristika preživjelih modusall} Od baroka do romantike oni su neprijeporno vladali zapadnom tonaLnom, što zapravo znači tonic'kom, glazbom. Skladatelji s početk a 20. st. suočavaj u se s novim dvojbama. Wagnerova, Un en dlich e Melodie, koja je zapravo melodija bez toničkog kraja, i njoj odgovarajući "lutajući" akordi, doveli su tonainu glazbu do samih granica tonalnosti (tj. toničnosti). Wagnerovi neposredni sljedbenici više nisu zadovoljni starim sustavom tonaliteta (tj.

21

2. Intervali i skale

tonika) i njihovih odn os a Oni su u potrazi za novim skalama bez izražene tonike. Debussy sklada u cj e loton s k oj ljestvici bez izražene tonike, što nj e go v oj mu zi c i d aje .

smirenu, gotovo onostranu kvalitetu. Istu je s kalu gotovo redovito rabio velikan jazza Thelonius M onk, i ona je još uvij ek iznimno p opul arna u mnogim jazz krugo v i ma. Schonberg i većina koncertnih skl adatelj a 20. st. uporabljuju k r omats ku skalu, s efektima če st o stranima nenaviknutu uhu.

su

Međutim, z amjetan je i povratak

tradicionalnim septa ton ski m modusima, koj i

d ovo lj n o stari i d o v olj n o zab orav lj en i da se uvij ek mogu pojaviti kao svjež i nov

zvuk. Kao zvuk starih, gotovo pri mi t i vn i h vremena, ili kao bezv re men s ki zvu k

gr e gor i j an skih korala. Sibelius nas, na p oče t k u svoj e 6. simfonije, odvodi u stare finske šume up o rab l juj ući dorski modus . Dfbussy, Hindemith i Stravinski često rabe nj egovu sniženu s e pti mu (odsustvo vođice '2)) kako bi postigli efekt s ve čan og, gotovo formalnog dorskog A-MEN (koji j e cj e l oton s ki C-D).

se i fri gij skim modus om Nj egov a je dodatna karakteris tika tuZOl l orijentalni p rizv uk njegova poluton s kog početka (E-F). Zato ga Rimski Korsakov rabi u svojoj Šeherezadi ( ali i Brahms u po lag a n o m stavku svoj e 4. simfonije). Puno je tu ž n e španj olske, ciganske i židovske glazb e s klada n o u frigijskom m odu su (npr. Lisztova 2. madarska, zapravo ciganska, rapsodija). Isti efekt p ostiže

"

"

Povišena kvarta

gotovo šaljivo.

.

Duhoviti

lidijskog modusa

Prokofjev baš će

djeluje

kao pogrešan ton u obi čn om duru,

zato često rabiti lidijski modus.

Inače

je taj

modus karakterističan za p o lj s k u g l azb u ; kako za narodnu, tako i z a Chopinove Borisa Godunova Musorgski je na pi sa o u

poloneze i mazurke. Polonezu iz 3. č i n a

lidijskom modusu. ga

Miksolidijski modus je

dur sa sniženom

je činilo dovoljno neobičnim i novim da mu

and-rolla (Kinks:

You

really

got

"

sep ti mom , tj. dur bez vodice". To "

"

omogući ul aza k u mnoge klasike rock

me; Beatles: Norwegian wood,

itd.).

Pentatonska skala C D E O A e ( tzv. "crna" skala koja se, polazeći iz pil, može # # na crnim tip k ama kao pt 0# B C D ) rabi se u n arodn oj gl azb i širom svijeta. Preberete li nekoliko puta (u arpeggžu) pentatonski niz C D E G A c, u mis l i ma će vam sc pojaviti barem jedan od hi tova zabavne glazbe (zabavna industrij a zaradila je velike novce na ovih 5 nota). To je najčešća skala zab avne gl azbe koja probJem tritonusa HIF rjcšava izbacivanjem nota H i F iz septatonske s kale : C D E� G A H c. Mogli bism o je zato nazvati minimalističkim lješcnjem za po li fonsk o i harmonijsko odsvirati

,

skladanje.

I na kraju ovog prikaza mogućih razdi ob a oktave u skalu tonova ( s odgovarajućom raspodjelom intervala) s p o me nim o jo š i j e d n u manje poznatu, Bowersovul3) analizu h a rmo n i j s ke vrijednosti takvih razdioba. Bowers svakom

2.4

J. intervali i skale

interva lu d u ljine n-polutonova pridružuje

up itan način mjeri njegovu disonantnost:

harm on ij s ki indeks K(n), koji

na,

l

2

3

4

5

6

7

X

9

10

11

30

18

10

8

5

64

5

8

10

IR

30

donekle

Uočite da kvarta, n = 5 polutonova, i kvinta n = 7 polutonova, imaju isti inde k s disonantnosti. Svaka je skala konačni niz tonova od tonike O do tonike 12 i u njoj se može realizirati konačni broj intervala. Naprimjer, septatonska skala je odabir

u njoj se može realizirati 21 interval (brojeći je vrijednost skale zbroj harmonijskih indeksa svih njezinih intervala, podijeljen brojem tih intervala. Na primjer, za d u r je taj zbroj 308, što podijeljeno s 21 daje h armonijs ku vrijednost 14.7. Tu harmonijsku vrijednost imaju i svi tradicionalni m odu s i budući da imaju iste intervale kao i dur Najlošija septatonska skala i ma harmonijsku vrijednost 22.1. Europs ke pentatonske skale imaju harmonijsku vrijednost 13, ejelotonska 23 2, a kromatska 18.7. Jednom fi n ijom (i također upitnom) analizom Bowers je zaključio kako najveću harmonijsku vrij edn o st i maj u dorska skala i dur, s laganom prevagom dorske ska l e Dakle, anđeli su pjevali na dorski način. 13) šest takvih tonova od mo g uć ih 1 1, i

i n terva le s različitim počecima kao različite). Harmo n ij s k a

,

.

---

______________________

3.

Harmonij'a ohojenogu

lOna

1 . H A R MO N I J A O BOJENOCi A T O N A Pi tagora j e formulirao zakon malih brojeva, ali g a nije obj asnio S aznal i smo da s u dva tona konsonantna ako i m frekvenci j e stoj e I I o mj e ru mal ih (pri rodni h ) b roj eva , al i n i smo saznali �a.\:to je to tako .

provedite) slj edeći eksperiment. Lagano ras tegn ite savitlj i vu telefon sku žicu, p a j e zanjišite ravnomj ern im pokreti m a ruke tako ela ti tra l ij evo Zami s l ite ( i l i

des no. tvoreći jedan va l :

To ćete postići tek

pri odre đ en o m broju titraj a u sekundi , što znači - tek pri određenoj

frekvenciji. l ) Ako p o v eć ate frekvencij u (tj . broj titraj a), val će

se raz b i t i ,

a

žica će

se

početi opi rati ruc i . No, u j ednom trenutku opet će poče t i s rav n o mj e rn i m ti tranj e m , t v o re ći sada elva v al a . To će se dogoditi kada s e početna frekvenci j a udvostru č i ( "ras p o l o v lj ena" ži c a

nji m a ) :

i m a dvostruku frekvencij u , u

s kl adu s

Pitagorinim razmi š lj a

Ako frekvencij u utrostruč imo, dobit ćemo tri vala (što je već teže postići s običnom tel efon sk o m žicom) :

Da j e frekvencija t itranja jednoga vala bila 1 3 1 Hz, m i bismo tu vibraciju (tj .

titranje) č u l i kao ton c . Frekvencija dvost rukog a vala bila bi t ad a 262

Hz

i tu bi s mo

19

3.

Harmonija obojenoga tona

-----

vibrac iju čuli kao za oktavu viši to n C l . Frekvencij a tros truko g a vala bila bi 3 9 3 Hz i tu kao ton g l . Četverostruki val proizveo bi c 2 , peterostruki e2, a šesterostruki g2. To možemo prikazati sljedećom shemom: bi smo v i b rac ij u ču l i

i

9:

":.;! "

e

Odsviramo li simul tano o v i h š e s t t o no v a , čut ćemo akord vrlo blizak našem uhu .

zapadne harmo n ije2). Odsviramo li 2 istih šest to nov a simultano, a l i sada tako da intenzitet t on o va opada od e prema g , čut ćemo jedan bogati i p u n i e, u kojemu nećemo ni prepoznati o s t al e tonove. Upravo tako zvuče naša glazbala. Nj ihove vi b rac i j e , osim te me lj n e frekvencije koj a određuj e v i s i n u ton a, u v ij e k s adrže i više frekvencije ( d v o s truku, tros truku . . . . ) u sve s l abij em I n t e n z i tetu . Razdi o b a intenziteta tih v i š i h frekvencij a ( t z v . viših harmonika i li alikv()/nih tonova) z ap rav o određuj e boju tona i po nj oj se zvuk vio line razlikuj e o d zvuka glasovira, zvuk glasov ira od zvuka oboe, i td . Kada bismo čuli samo temelj nu frekvencij u (jednostavni i l i sinusni ton), to bi zvučalo umj etn o , prazno, b ez ob uj m a . Nijedno glazbalo ne p r o i zv o d i takve tono ve . (Oni se mogu proi zvesti elektronički . ) A likvotni tonovi j ednog j edinog. ali bogatog to n a (npr. v i o l i n e i l i glasovira) , tvore čitavu skalu ton o va. Zbog toga je Schonberg u svoj em s l a v n o m tekstu o harmonij i iz 1 9 1 1 . godi ne napisao da je skala analiza jednoga tona, a akord s i n teza tona, tj . ko l ap s nj egovih ali kvotnih tonova u jedinstveni zvuk. Naime, on sadrži trozvuk

)0

e +

e

+

g koji

je temelj

_______

3.

Harmonija ()h()j<"ll()ga tOlla

Iedno od o bjašnjenj a Pitago r in a zakona konsonantnosti , poznalo još od 1 6. st, a koj e nalazi mo i u muzičkim raspravama Gali lea Galileia, p ozi v a se na poklapan j a v i š i h h armoni k a . Pro m otri m o ton frekvencije v i za oktavu viši ton frekvencije 2v . Ovo su nj ihove više harlDonike, koj e proi zl a ze iz tcme ljn i h frekvencij a� osnovni ton:

oktava:

v

2v 2v

3v

4v

5v

4v

6v

6v

7v

gv Bv

Vidimo da oktava zapravo i nema svojih frekvencij a. Sve njezine frekvencije uj edno su i frekvencij e o s n o v n o g a tona v . To d o življ av amo kao potpuno s u g l asj e

(konsonantnost). Ono j e toliko d a često n e raz l i kuj e mo oktavll od osnovnoga LOna.

Promotrimo sada više harmo n ike tona v i IlJegove k vinte (3/2)

osnovni kvinta:

ton:

,

v

l.v 2

I

2v

3v

3v

4v

!iv 2

Sv

v:

6v 6v

7v

Vidimo da kvinta ima p o l o v i cu svojih frekvencij a « 3J2)v , (9/2)v , . . . ) , dok ih polovicu

dijeli s osnovnim tonom (3v , 6v , . . . ) . Mog l i bismo reći da se tu radi o p ola potpunoga "

suglasj a". Osnovni ton

v

i njegova kvarta (4/3)v imaj u s lj edeću razdiobu viših harmo-

nika:

Kvarta i ma dvij e trećine svoj ih frekvencij a « 4/3)v , (8/3)v, ( 1 6/3 )v , (20/3 )v , j ednu trećinu dij eli

s

. . . ),

dok

osnovn i m tonom (4v , 8v , . . . ) . Tu se radi o "trećini p otpunoga

sugl asj a" s osnovnim tonom. Na i sti b i s e način pokazal o da terca i ma "četvrti nu potpunoga sug l asj a" s osnovnim tonom, mal a terca "petinu" , itd. Pokl ap anj a v i š ih harmonika dobro obj ašnj avaj u P i tagorin z ako n : što "malobrojniji" omj er, to veće suglasj e . Nažalost, to obj ašnj enj e ne vrij edi . Š to bismo, na primj er, mogl i reći o sugl asj u j edno s tavnih tonova koj i uopće nemaj u viših harmonika? Budući da nemaj u zaj edničkih frekvencij a, svi bi j edno stavni tonovi trebali biti j ednako disonantn i .

11

3.

Harmonija obojenoga tona -----

Helmholtz j e p rij e više od sto godina (u knj izi On th e Sensation of Tones)

p o n ud io obj a š nj enj e konsonantnosti koj e se zasniva na fe n o menu rezonantnih

u d ar a .

tona im aj u gotovo iste frekvencij e , nji hovo s i m u l ta n o izvođenj e d ov o d i d o ( re z onan t n e ) i n t e rfe ren c ij e koj a r i t m i č k i poj ačava i s m anj uj e i n tenzi tet s l oženoga z v uk a . P oj a č a n j a d o ži v lj av a m o kao zvučne udare . Kako se frekvencij e t o n o v a pri b l ižav aj u , u d ari p o s t aj u s v e s p o r ij i , a p o tp un o iščezavaj u k a d a se fre k v en cij e i zj e d n a č e ( t i m se fen omen o m re d o v i t o ko r i s te u g ađ a č i g l a so v i r a ) . S p o re udare doživljavamo kao ugodni vibrato, a l i brži dj e l uj u g r ubo i n e u go d n o . Helmholtz je pretpostav lj ao da j e disonan c a d vaj u tonova poslj edi ca u dara što i h stvaraj u bli ske fre kvencij e nj i h o v i h viših h a rm o n i k a . Konsonantn o s t j e jednostavno odsutnost ovih d i s onan tn i h u d ara. No to bi znači l o da su dva d o v olj n o udalj ena j ednostavna t o n a (npr. osnovni ton i nj e g o v a s e pti ma ) kon s on an tn i : Kada d v a

U n o vij e je v rij e me taj problem istražen e ksperi men talno. Plom p i Levelt3 l

g e n eri ral i

s u p a ro v e

d i s o n an t n os t i .

j ed n o stavn i h ton o v a tražeći od s lu š ač a p r ocj e n u nj i h o v e

V a rij ac ij e u aps o l u t n i m p r o cj en a ma b i l e su uočlj i ve, al i j e raspored bio isti. Disonantnost d v aj u tonova iste frekvendje, tj . d i s on a n t n o s t u n i sonih tonova, bila je nula. Kako j e in t erv a l rastao . tako j e rasla i d i s o n a n tn o s t , dok nij e postigl a maks i mum (oko male sekunde). Zatim j e , s d a lj nji m rastom i n tervala, disonantnost opadal a nikada ne postižući vrijednost nula od koje je krenu l a . S lj e d e ć i graf prikazuje krivulj u d i s onantn o s t i p ro sj e čn o g a s lušatelj a . Naj vi še iznenađuje š t o se kl asičn i i n terval i konso nantn osti . kao što su o k t a v a i kvinta, z ap ra v o ne i stiču svoj om konsonantn ošću. Oni nisu mi n i mum i na krivulj i d i s o n an t n o sti j ednostavnih tono v a . procj e n a u v ij e k

OKTAVA

Naša tradic i on al n a g l azbala p ro i z vo d e tonove s p e c i fi č n e b oj e , koj i nemaj u s a m o jednu frekvencij u , n eg o či tav s p e k t ar fre k v e n c ij a. V i dj e l i srno d a ž i č a n a g l az bal a. a s l ično je i s ostalima, naj češće p roi z v o d e harmonUske tonove, s p e kta r koj i h 01:> i 111 temeljne frekvencije v sadrži i nj ezi n e cj el obroj ne v i šekratn ike 2v , 3v , 4v , . . . , II

sve

s l abijem intenzitetu (tj . sa sve manj im amplitudama) . Jedan tip ični ( o b oj en i ) ton s ljedeći s p ektar:

može i mati

II

_______

v

2v

3v

4v

5v

6v

3. Harm ollIja ObOJf'fIOf{11

lona

7v

Ako se po dva tona o v akve razdiobe frekvencij a (tj . ovakve boj e ) ods virajll II različi tim intervalima, disonantnost s vakog od tih intervala može se izračunati tako da s e zbroj e disonantnosti po svi m frekvencij ama spektra . Provedemo li taj račun z a gornj i spektar, dobit ćemo sljedeću krivulju disonantnosti za ton tak o zadane boje:

Uočimo da krivulj a disonantnosti oboj enoga to na ima m i n i m u me u kl asič n i m muzičkim intervalima�) . T o konačn o objašnjava Pitagori n zakon i uobičajenu glazbenu

praksu .

Važno je p r i m ij etiti d a ova (predočena) anal i za pokazuj e kako svaki spektar ( s v aka boj a to n a ) određuj e s ka�u ton o v a u koj i ma se real i z i raj u mi n i m a l n e d i sonantnosti . T o j e skal a u koj oj gl azbalo s tom boj om tona zvuči n ajkonsonantnije. Parafrazi raj ući Schonberga mogli bismo reć i da j e s kal a anal iza obj enoga ton a. Za većinu zapadnih glazbala to je skala sa standardnim Pitagorinim intervalima. N aravno, ova analiza otvara i druge mogućnosti . Ona p okazje kako se za zvuk b i l o koj e boje, dakle za zvuk b ilo koj eg glazbala, može odrediti skala u koj oj to glazb al o zv uči n aj konsonantnij e . Ako to g lazbalo nema harmonij s ku razdiobu ali kvotn i h ton ova, nj egova s kala neće biti "Pitagorina". Na primj er, ks ilofo n i s lični i n strumenti proizvode tonove vi bracijom pločica sa slobodnim kraj e v ima (za razliku od žica i l i c ij e v i dosad razmatranih g l azbal a, koj e imaj u fiksn e krajeve). M atema tičkim se metodama može pokazati5) da pločica sa slobodnim kraj evima, koj a vibrira s

11

3.

Harmonija obojenoga tona

---

--

temeljnom frekvencijom v, vibrira i sa sljedećim višim frekvencijama: v,

2 . 7 5 8v,

5 .406v ,

8 . 936v.

1 3 . 3 5v,

1 8 .65v ,

24 . 82v, . . .

Ranije opisanim računom nalaz i se slj edeća krivulj a disonantnosti za takve "ksilo fons ke" tonove:

Ćini se da ksil ofon nije baš najbolje usklađen s kromatskom skalom (no u tome možda j jest njegova zanimlji vost). S lično vrijedi za zvona i mnoge druge udaraljke. Slymaker, Mathews i Pierce 6 ) istraživali su b oj e zvuka

frekvencij om v

i višim frekvencij ama oblika: V.I = V

Kad a

je A

=

2, radi

sc o

A

s

teme lj n o m

log, i

uobičajenoj harmonij skoj razdi obi viših frekvencija,

Vj

=

vj ,

karakterističnoj za naša standardna glazbal a. Kad a j e A < 2 , frekvencij e s u II odnosu n a taj s tand ard raspoređene gušće, a kada Je A > 2, raspoređene su rj eđe . Kri vulj e disonantnosti z a A 1 . S7 i A 2.2 izgledaju ovako : =

=

KVINTA

14

CiKi'fNA

KVINTA.

OKTAVA

_____

Naj uočlj ivij a Nj e zin u

je odsutnost oktave

2v

( o s i m za A

u l o gu preuz i m a p s eudooktava, koj oj j e

=

3

Harmonija obojr!f1of{u IDilU

2) kao konsonan tn o g intervala.

frekvencij a Av . Krivulj e čuvaju

osnovni oblik h arm o n ij s ke kri v u lj e, samo su u odnosu na nj u stegnute i l i ras tegn u te. pa možemo govoriti i o pseudokvintama. pseudokvartama. i td . To znač i da se muzička teorij a i p rak s a ov akvih rastegnutih (rij etkih) i l i stegnutih (gustih) tonova čuva ako s e

izvodi u pri kl adno rastegnutim, odnosno ste gnutim s kalama. Spomenimo na kraj u d a je moguć

zadan e (p ro i zv o lj n e ) s kale, i p ro na l az i m o

i

obratn i postupak

boju zvuka u teži i rj ešava se

koj oj

je

u

koj em pol azimo od

ta skala konsonantna.

sofisticiranim mate mati c k i m T aj je p rob lem m a t e ma t i čki b i tn o 6) m e to d a ma optimizacij e , al i je u načelu rj eši v . Ako se radi o jednoliko temperiranoj

skal i , u k oj oj su svi intervali j ednaki (poput

"Debusyjeve"

cj el oto nske i l i kro m a ! s ke

pol uton s ke skal e ), problem j e mnogo lakši . Naprimj er, dekaronska skala , k oj a oktavu n a 1 0 in te r v a l a j ednake

gdj e j e q = 1tf2

V,

dulj ine, z vu č i konsonantno s tonovima sljedeće boj e 7l ;

qlOv, q l7v, q20 v, l/s V, q2H v, q'd) V, . . .

Kri v u lj a d i so n an tn o sti za zvuk te boj e i zg l eda ovako:

TRiTOt4US

Naravno. t o no v i deka tonske temperirane skale zvučat i l i gl as o viru .

dijeli

OKTAVA

će

sasvim disonantno

na

violini

15

aqi�jk

.' 1Il! .6"', .

.� a,,� " I . .......

.

�

4. .lednolIkoM prolit' IVč/lQ,fti

4.

JEDNOLIKOtT PROTIV TOČNOSTI

s e j o š j e d n om o s n o v no m g lazbenom materij a l u , koj i s e sastoj i ml 1 2 po lutonova krom arsKe s kale ( i iz kojeg svoj materij al odab i ru s v e skale obrađe ne u trećem poglavlju): Vratimo

iiii A r--I r--I il A � b E F # G # A B H e VVVVVVVVVVVV

e

Dos ad nismo teme l j i tij e prouči l i

kvarta F GIF

FIE =

Pi tagorin i d e a l b i o b i : o s n o v ni ton =

4/3 i terca E

(3/2 )/(4/3 )

=

=

=

9/8

5/4 . Odavde slij ed i :

za "bijele "

D=e

1 1 1 , oktava 1

e

=

2/ 1 , kvinta G

==>

e/H = 1 6/ 1 5 tj . H = c · 1 5/ 1 6 = 2 1 5/ 1 6 = 1 5/8 ,

==>

HlA

9/8

e

=

D/e

ton ove i mamo

1

e

==>

(4/3)/(5/4) = 1 6/ 1 5

Dakle,

problem točne vel i čine i n terval a u toj skal i .

D

=

=

9/8 tj .

· 9/8

=

· 9/8

=

=

3/2 ,

9/8 .

9/8 tj . A = H · 8/9 =( 1 5/8) ·(8/9)

=

5/3 .

sljedeće vrijednosti :

5/4

E

4/3

3/2

G

5/3

A

1 5/8

H

2

L-.-JL-.-J V �I�I� V 918

1 0/9

1 6/ 1 5

918

1 0/9

9/8

1 6/1 5

To j e skal a koj u preporuča Ptolemej , naj veći astronom, al i i veliki antički muzički

dulj i ne 1 6/1 5 , dok su cijel i tonovi različitih dulj in a 9/8 i J 0/9 ( n ai m e D/E = (5/4)/(9/8 ) = A /G (5/3 )/(3/2 ) = 1 0/9) . Razbij anjem cij e l ih tonov a Il a polutoll ove konačno d o l az i m o d o svih točnih interval a ! ) u dvanaeston s koj teoretičar. Uočite da su polutonovi

,

,

=

skali :

1 1 6/1 5 918

V

#

1 6/ 1 5

[j

6/5

V

1 6/ 1 5

5/4 4/3 45/32

E

F

312

8/5

#

V VI

1 6/1 5 1 6/1 5

5/3

918

9/5

B

t

1 5/8

li

2

e

19

4 . .Tednoiikost protiv točnosti ----

Naime , c# G#

B

=

=

=

e . 1 61 1 5

G

= l ·1

6/ 1 5 = 1 61 1 5 :

. l 6/ 1 5 = (3/2 ) . ( 1 6/ 1 5 ) = 8/5 ;

G# . 9/8

=

( 8/5) . (9/8)

=

=

D#

D · 1 6/ 1 5

=

(9/8) · ( 1 6/ 1 5 ) = 6/5 ;

d = G/( l 6/ 1 5) = (3/2 )/( 1 6/ 1 5 ) = 45/3 2 ;

9/5 .

Iznosi t a k o dobi veni h p o l utonova kromatske skal e, o s i m p o l azne vrij edn osti 1 6/ 1 5 1 . 07 ,

imaju j oš

=

i vrij ednosti 25/24 = 1 .04, 1 3 5/ 1 2 8 = 1 . 05 i 27/25 = 1 . 08 ( neoznačeni

po lutono v i i maj u početni iznos 1 6/ 1 5 , usp. gore . ) :

�." � t.",.�

t,,,

V

su

V

V

1 35/1 28

VVV

1 35/1 28

25/24

25124 27125 25/24

O v i Pi tagori n i točni intervali dio

ugođena

kaže se da

s

t a k o o d ređ e n i m

s u ugode n a

/I

su tzv . prirodne inlOnacij/!. Za gl a z b al a koj a frekvencij ama ( v , ( 1 6/ 1 5 )v , ( 9/ 8 )v , (6/5 )v , ( 5 /4)v , . . . )

p rirodn oj intonaciji. O s n o v n i p ro b l e m pri rodne i n t o n ac ij e

j est v e l i k broj raz I i č i t i h p o l u t o n o v a , č a k četiri, k oj i često onemogućava vj erne transpozicije"). Taj se prob l em potpuno rj ešava j e d n o l iko temperiranom skalom, tj . jednolikim u g a d a nj em koj e preporuča naj veći antički mu zičk i teoretičar Aristoksen. Jed n o l i ko temperi ran a s k a l a ra z d i o b a je oktave na 1 2

Ako pol uto nski i nterval označimo

s p, radi se o slj edećoj razdiobi :

j ednakih

p o l u to n o v a .

vvvvvvvvvvvv p

N a rav n o ,

IJII

p

= I i /1 1 2

II

p

p2

p

p

I

p

2 , odakl e s l ij e d i p

p

II

lifi

p

p

I

p

p

1 . 06. P og o d n o

p

je udaljenost tona

od

to nike ( n ]11'. p 'l ) o z n a č a v at i odgo v araj u ć i m eks p onentom ( n p r. 9 ) . Time s m U l t i p l i ka ti vne skale (po , p I , ,/, . . . ) pre l az i m o na adi t i vn u lo g ari tam s k u4) skalu (O, l , 2, . . . ). To

n am

omogućava

=

=

=

zbraj a nj e i nterv ala, u mj e s t o mn o ž e n j a (n pr. to

sept imu , u l o gari tams koj s k a l i n a l az i m o zbraj anj em,

množenj em, }/ . ,/ 40

=

JJ 1

\

4 + 7

da terc a j k v i n t a čine = l l , a u o s n o v n oj

4 . .1('(/lI oliko.H proliv !Del/ oHi

. Je s

Za p re ci zn ij e o d ređ e nje

da u

interval a uvodi

ćemo j e označ i ti

sa s .

Dakle,

S

man j a j edin i c a centila Ona je s t oti = p , o dn o s n o S l iOO = p l 2 = 2 , š to znači

se

I OO

1 2oor:2 . 1 00 . \j l = l . 000 5 8 N aravn o , l z s = p s l lJ" ed l'

d i o pol utona, p a =

?OO S-

l ogari tamskoj skal i i zraž en oj u centi/ama (što znač i .

maj a sekunda v e l i ka

mata

1 00 cent

=

s e ku nda = 200 = 300

terc a

v e l i k a terca

=

=

triton u s

=

velika septi ma

600 cent

oktava

=

l og(m I n ) log

log allog b, gdje je l og

9/8

6/5

5/4

4/3

45/32

m a j a sekunda

=

velika

=

sekunda

ma l a terca

=

= ve l i ka terca =

=

= I I 1 .73

203 , 9 1 cent

=

3 1 5 . 64

=

ce.fl!

386.3 1

cent

=

tri ton u s

=

4 9 8 . 00 590.22

=

l og l o,

2 00

a

3/2 8/5

5/3

9/5

1 5/8

2/ 1

cent

= 800

=

=

= = =

=

cent

9 0 0 c{' n f

1 000

cent

= 1 200

cent

=

=

l J OD

cent

zapravo i zračunati

log 2

tog .1' = log 1 2°.z! 2

=

cent

. log(m l n )

možemo i zraziti

cent

= 700

centilama, moramo 1

S

cent

=

k v art�l

II

----"'-'----

Uz p o m o ć ove formu l e točne interv a l e

1 6/ 1 5

ij e d i :

mala septima

cent

j edn o l i kima:

vr

vel i ka s e k s [H

ccnf

l ogs (ml n)

,

s)

1 . Y ' da = p l t d . T o zn acI

100

mala seksta

cell t

Že limo l i n e k i i nte rval du l j in e (min) i zraz i t i l o gari tam od min u bazi s :

(N a i me l og" b

bazi

kvinta

400 cent

= 500

kv arta

II

2

=p , S

=

( 1 / 1 200) l og

u centi /ama

kvinta

l

u sp oredi ti

702 . 00

=

m al a septima ve l i ka s e p t i ma

ok t a v a

ih

s

cenT

8 1 3 . 69 cent

mala seksta

velika seksta

2 , /)

=

8 8 4 . 3 6 cent 1 0 1 7 . 60 cent

=

= =

1 08 8 . 27 cent

1 200.00 cent

g o t o v o s u i s te u p ri r odn o in to ni ran oj i j e d no l ik oj s ka l i ( o d s t u p anj e do 1 0 c e n ti l a nije vel i k o ) , a l i terc e , s e k s te i s e p t i m e pokazuju veća od s t up anj a Očito je da se rad i o bitno različitim ugađ anj i m a " i s tih" tonova. Kv arte , k v i n te i sekunde

.

700,

G l a v n a p red n o s t prirodne i n to n ac ij e , nj e z i n a

m a l a terc a j e

j e d n o l i k i p o mak iz

3 1 5 . 64

cent,

e u terce Eb

a

točnost (kvinta je

702 cent, a ne

ne 3 0 0 ) , g u b i se pr i tran s p o n i ranj u . U s p o red i te

i E te

II

k v i ntu

G , s i s t i m p o mac i ma

Ll

prirodnoj

i n tonacij i :

41

4 . .Tednolikost proliv tOl:nosti ---'}

D

[.�

ES

F

�*

o

1 00

200

300

400

400

600

700

800 900 1 000 1 1 00 1 200 1 300 1 400 1 500 1 600 1 700 1 800 1 900

o

1 00

200

300

400

400

800

700

800 900 1 000 1 1 00 1 200

o

1 00

200

300

400

400

800

700

800 900 1 000 1 1 00 1 200

o

1 00

200

300

400

400

600

700

G

�

B

H

e

lt

d

o

�

D

#

112

204

316 o

E

i)

F

tP l

386 498 590 702

8 Q� rc.:-' '--../

o

1 12

204

814

tj

A

H

e

�

�

e

ej

�

e

f

9

800 900 1 000 1 1 00 1 200

f

e

l)

ff

884 1018 1088 1200 1 31 2 1<104 1516 1586 1 698 1790

IQ 1 088 1 200 498 Q 702 Q 884 "--..J '--../ 1'--../ I Q 1018 I Q 1 200 3 1 Q 498 '--../ EJ 702 814 1'-... ../ lQ I i\ I Q IQ 112 1'-'.: ./ 316 �1� 702 814 884 :;

g

1802

386

6

o

386

498

1 088

1200

S v i pomaci

u j ednol i koj skal i daju potpuno isti n i z polutonova ( 1 00 , 2 00 , . . . , 1 2 00) , dok pomaci u prirodno intoniranoj skali imaju 3 pogrj eške u kvintnom pomaku , 4 pogrj eške II pomaku velike terce i čak 6 pogrješaka u pomaku male terce (pogrješke su II tab l i c i zao kružene ) . Te poglj eške nisu male . Od 13 zaokruženih , 7 ih odstupa od točnih vrijednosti za 42 cenJ, a 6 za 22 cent ("podnošlj i va" pogrj eška je do 1 0 cent) . Pogrj eške j edn ol i ke razdiobe , koj e se ne mijenj aj u transponiranj em, iznos e od ° cent do 1 8 cem, s prosj ekom od točno 1 0 cent. Pol ifonij ska

i harmon ij ska gl azba,

podnij e l a u gađ anj e koje mni ka

II

od r e n e s a n s e do romantizma, teško

njezinim temelj n i m

tro z v u c i ma (tonika - v . terca -

bi

kvinta i

- m. terca - kvinta) ima tako velike disonance k ak v e se pojavljuju kod ugađanj a rirodnom i n tonacij om. Antič koj i srednj o vj ekovnoj m ono fo n ij i t o n ije s metalo, ali p polifonij a i hannonija to ne mogu podnij eti , osim kada se sklada dijatonski , te s amo s nekim akordima II duru : (na L , IV. i V. stupnju), te s v e ć i nom u molu: (na 1., III . , IV. , 6 V VI. i VII. smpnj u ) . ) Dmga j e mogućn o s t d a s e u skladanj e uvede j o š više toč n i h intervala, koj i bi pri danoj transpozicij i z amij e n i l i pogrj ešne i n ter v a l e (sj etimo se2 l ZarIlinove 1 6-tonske kl avij ature i d a n aš nj eg m i kroton ainog skladanja) . .

•

Glazbena pov ijest nije išla putem upravo izn esene glazbene teorij e. Teorijski je: Qpravdano razmišlj ati o Ptolemejevim interval ima 1 6/ 1 5 , 9/8, ... , 45/3 2 , . . . , 1 5/8 , al i je v1'lo nepraktično real i z i rati ih na kon kretni m glazbalima. Tko u o s ta l o m može točno 42

4. Jednvlikvsr prOliI' !Očno.ll i

otpj evati

(ili

ugoditi ) dvij e različite vel ike sekunde 9/8 i 1 0/9 ,

it d . 7 ) (Isto vrijedi i za j e d n o l i ke

intervale 1'�2 , V2 , *h ,

kvinte 312, kvarte 4/3 , velike terc e 5/4 i male terce 6/5 , (kako smo pokazali na početku poglavlj a ) :

9/8

1 0/9

(6/5)

(5/4)

V

I�

(4/3)

malu sekundu 1 61 1 5

itd ) Naravno,

možemo dobiti

krenemo li

s v e re

od

in tervale

I

(3/2)

1 6/ 1 5

otpjevati i prepozn ati s avrš en e oktave i kvinre , pa j e zato II c ije l oj antici i srednj em vijeku s tandardno ugađanje b i l o Pitngorino ugađanje kvintama Naj l akše j e , ipak,

i

oktavama.

41

•

I w p. � ."

,,,,,,,,,, ... , ,

, -, ,

----

5.

Pilagorino ugađanje

5 . PI T A G O R .NO UG AĐA NJE Notre Dame p ro g l as i l a j e u 1 3 . st. d a se d o točne skale k oj i h je staj ni o mj e r prema prij ašnjem tonu b o žan s ki o mj e r 3 : 2 (3 za S veto Troj stvo, 2 z a razne dualizme; neba i zemlje du ha i t ij e l a dobra i zla i s L ) . Krene m o od tona e = 1 kao tona jedinične frekvencije. Kvi n tu iznad nj e ga nalazi se G = 3/2. Kvintu iznad G = 3/2 n alazi s e d = ( 3 /2 ) 2 Taj ton izlazi izvan oktave koj a se proteže od e = l do e = 2 , pa zato D s nizima za o ktavu da b i s mo do bi l i D = ( 1 I2 ) ( 3 /2i = 9/8 . K v i n tu v i š i j e t o n Francuska akademij a

može

doći s am o n i zo m s avršen i h P i tagorin i h k v i n ti , "

"

,

,

.

= 27/ 1 6 . Kvintu iznad A j e e = ( 1 12)(312)" 8 1 132, koj i Opel snizimo za = oktavu da bismo dobili E = ( 1 /2)2(3/2)4 8 1 164. Kvintu iznad E jc H ( l /2)2(3/2)� 243/ 1 2 8 . Tako smo dobili sve b ij e l e tonove osim F. Spustimo se za kvintu ispod početn og e = 1 i dobit ćemo F' = 1 1(3/2) = 2/3, p a lako možemo naći za oktavu viši F =

A

( 1 12)(3/2)3

=

"

2(2/3) skale:

=

=

=

"

4/3 . T ak o smo kvintama i oktavama ugodil i sve "bij ele" tonove dijatonske

Spustimo se od F j oš

za d v ij e

kvinte i dobit ćemo (uz odgovarajući pomak za o kt a v u

B = 22(2/3)2 = 1 6/9 i Eb= 22(2/3)' 3 2/27 . D i gn i m o d obit ćemo (uz odgovaraj ući pomak za oktavu niže) pt v i š e)

c#

=

=

( 1 /2)4(312)7

=

2 1 87/2048 i G#

=

( 1 12)4(3l2t

=

ton o v e kramatske skal e :

To je tzv .

=

Pit�gorino ugađanj e

e krećemo do E

b

,

od H j oš za tri kvinte i ( 1 1 2 ) 3 ( 3/2 )6 = 729/5 1 2 ,

se

65 6 1 /4096 . Tako smo ugodili sve =

u u v o m s lučaju Pitagorino E

b -

G# ugađanj e jer ,

se od

prema d o lj e i do G# prema gore . Dobivene v rij e d n o s t i možemo

iskazati o mj erima ili preglednij e u logaritamski izračunatim centilama (vrij ednosti u centilama zaokružene su do cjelobrojnih vrijednosti) :

e 1/1 o

k .ff

D

21 8712048 9/8 1 14

204

F 32127 81/64

294

413

408 498

#

G

#

7291512 312 6561/4096 612

702

792

iC

A

B

H

27/16

1619

24311 28

211

906

996

1 1 10

1 200

47

5.

Pitagorino ugađanje U o č i te

__________________________

d a p o ) uton o v i tako d o b i v e n e skale n i S U j e d n a k i , O n i I z n o s e

1 1 4 cent ili 90 cent. Manji j e naš stari poznanik, Pitago rin dijatonski poluton (naime, omjer 2561243 ima 90 cent), dok je veći poznat pod imenom Pitago rin apotom. 204

204

�

b

r--1 1i

C

f�

�

#

B �'� C

VVVVVVV VVVVV 1 14

80

90

114

80

114

90

114

90

90

114

90

204 cent ili 1 80 ce n t. No, b udući da se apatom od 1 1 4 cent uvijek pojavljuje izmedu tona X te nj e g ova povišenja X# ili sniženja bX (1laravno bH = B). iz toga sl�iedi da s va/Q cijeli ton dijatonske "bijele " skale ima 204 Vidimo da cijeli ton može imati

cent.

Ovo ugadanje ima

jedan ve l iki nedostatak. Sve kv i nte koje smo neposredn o ugodili sastoje se od 4 d�iatonska pelutona i 3 ap o t o m a, 4(90 + 3( 1 1 4 = 702, i

s a v rš e n e su. Na žalost, kvinta G#

n eposredno ugodena,

-

eb, koja je krajnji rezultat našeg ugadanja,

(l

nije

sastoji se od 5 d�ia to n skih polutonova i 2 apotoma, 5(90 + zvuči dobro. Ona se zove vučji interval, jer z v uči kao vučje zavija nje. Isto v rijedi i za kvartu Eb - G#, koja je 3 ( 1 1 4 + 2(90 = 522 , u mjesto 2(l J4

=

678, i

savršenih 3 ( 90 inte n'ale,

+ 2( 1 14

=

498. Svako P itag o r i n o ugadanje imat će ovakve vučje

koje odreduju krajnji tonovi

i1lTeYvali Eh što 1 2

ne

-

Zašto

G # i G# - ('b. ) se

u nizu kvinti. (U Eb

kvi nti koj e prekri vaju ras p o n o d 7 ne rade do kraja točno. ii

- _ ..

'iw

G# ugadanju to s u

u Pi tagorinom ugađanju poj a v lj uj u vučj i interval i ? Jednostavn o zato

kromatske skale to �-

-

•

I:.�

. _ ..

I .�

t •

_.

�

F

Ir', 'y;,;

.;�

.&'1.

B

'" r.

4�

• • .1

n

oktava i pri tom "pogađ aj u " s v e t o n o v e

• .1

t • n

.1

[ : : : : : :r: : : : : : : I: : : : : :�I: ::: 9.:I:: �: :��:I�:: �: :��I:: :�: : : : :I:: : : : :��I��: : : : : : ;: : : ::: : : : r: : : : : : : :;: : : : ..

..

..

...... " 'i

Kada sc od Gli u zadnj oj oktavi dignemo za j oš j ednu kvintu, dolazimo do "praznoga" 2 DH, koj i je za 1 2 kvinti udaljen od "pun oga" . Dakl e, nj i h o v a j e u d alj enost ( 3 / 2 ) l .

Podignemo l i "puni" Eb za 7 oktava, on se n ažalost neće pokl o p i ti s "prazn i m" D# (koj i tv ori savršenu kvi n tu fl G#). jer je 27 < (3/2) 1 2 . No, to znači da "puni" Eb i G# n e

48

5. Ptrago fil1o

ugadlll(il'

savršene, nego v u čj e i nterv ale. Izraženo u centilama (oktav a ih ima 1 200. a savršena k v i n ta 702) : 7 · 1 200 < 1 2 · 702 tj . 7 · 1 200 < 1 2 ·700 + 1 2 · 2 . tvore

23.5

T o znač i da

cent,

jer

sc

vučj i intervali

po j edne

ima 7 0 1 . 9 5 5 . . . cent) . Vučp

se raz l i kuje

1 2·2

=

24

cellt

(toćTI IJe

s lučaj n o . )

nes avršene k v i nte i kv arte, Pi tagori n o ugadanj e gen eri ra i te rce ,

k oj e su s v e n e savršene . Ve l i k a terca ovoga ugađanj a

8 1 /64, što

za

k v arta j e z a 24 1 :1'1/1 za 24 cell t p remal a. Interval o d 24 cent, koj i l� i n i te raz l i ke , ( U o č i te da j e o n j e d n ak raz l i c i Pi tagori n i h p n l u to n o v n od

s a v rš e n a k v i n t a

prevelika, II vučj a kvinta z o v e se Pitago rin zarez. 1 1 4 cent i 90 cent. što nije Os i m

razlikuj u od s avršenih

savrše n i h 5/4

od

terce , i ma d u lj i n u i zražen u

=

i ma

8 0/64 Tn terva l ,

d u lj i n u

za

koji

sc

i zraženu

omj erom

razlikuju te velike

omj e ro m ( 8 1 /64)/( 8 0/64) 8 1 /80. i l i u cenli l a rna 22 ceni (točnije 2 1 . 5 ) . Isti i n terval razdvaj a savršenu malu tercu 6/5 od ugodene 32/27 , jer j e (6/5)/( 3 2/2 7 ) 8 l /S0. Dakle, ugođena vel i k a terca z a 2 2 cent j e veća o d s a vrše n e , dok j e u g o đe n a mala terca z a 22 ce n T m a nj a od s a v ršene. Njihov zbroj jc s avrš e n a k v i n ta =

=

(j e r se v i š a k i nedos tata k od 22 cem

poništavaju). osim n a E� i all n a koj ima su go l o v o s a v r še n e male terce, a l i ( z ato) j ed n a k o l oše v e l i ke . I n terval od 2 2 ccm, z a koj i se sa v ršen e terce raz l i kuj u od pitagorinski ugođenih, zove se sintoni{ki zarez, Sintonički

za re::.

terce

Pi tagori n o m

sustavu u g ađanj a, dok j e Pitagorin zarez karakteristika samo j e d n e vučj e k v i n t e I samo j e d n e v u čj e kvarte. Zato j e Pit a g o r i n o ugađanj e p o seb n o pogodno za izvođenj e g l azbe u k oj o j su kvarte i k v in t e domi n antn a sazvučj a (uz n užno izbj egavanj e vučj i h Bb i G#) i u k oj e m terce č i ne d i s on a n t n i e l e m e n t . . Takva je gotička po l i fonija, sa svoj im akti vno d i s o n a n tn i m t e rc am a . s av r š en i m kv i ntama j k v artam a , te m a l i m d ij a to n s k i m p o l u to n o m ( od svega 9 0 cem) z a efektne kaden ce . Narav n o , harmon ij a trozvukil. bazi ran i h n a terc ama i k v i n tama" koj a s e p oj a v lj uj e u 1 5 . s t . i vlada z a p a d n o m g l azbom s ve do danas , ne može podnijeti s into nički z,arez i nj e g o v e loše terce . Zato će

g l az b en i c i

sintonički

od

re n e s a n s e

zarez.

samo t o da

karakte ri s t i č an j e

(O

nj i m a

b

za

sve

II

do ro m a n ti zma rab i t i n o v a ugađanj a, k o j a e l im i n i raj u

ć e biti rij eči u slj edećem poglavlj u . ) O v dj e spomen i m o j o š

Pitagori n i m a _ H

ugađanj em, k oje rabi slj edeći n iz

kvinti :

a b f- D b f- A b f- Eb f- H b f- F f- e � G � D� A � E� H,

te F - A# u ga đa nj e m ,

koje rabi

d o b i v am o ukup n o 1 7 t o n ov a

niz:

uz pomoć koj ih

možemo izvoditi i savrš e n e

terce: 49

5. Pilagoril1o

ugadanje

______

24

I

v/ 90

24

24

I �v:' 1 �0v I 90 90

II

204

90 90 90

I

204

I

------------

__

24

nVV 90 90

II

204

I

24

tv

c VV

JI

90 90

204

1 1'---

90 90

204

__

Ovakva 1 7 -tons ka skala poznata je od 1 5 . st, a p o s toj a l e su i kl avijature koj e su je b realizirale s dvostrukim crnim tipkama (za i zv o đ enj e sniženih tonova i povišenih #, i d e n ti č n i h u jednolikoj skal i, al i ne i u Pitogorinoj ) .

N a kraju ovog pogl avlj a dajemo i matemati čku anal i zu Pitagorinog ugađanja koj om dol azimo do dub lj eg razumijevanj a nj egovih polutonova, nj e gov i h zareza i nj ihove di stri bucij e . Krene mo najprij e o d j e dnol iko g ugađanj a izraženog II stotinama centil a, koj e rad i kratkoće nazovimo unusima (1 u n = 1 00 cent). Izraženi II unllsima tonovi jednolike skale imaj u vrijednosti O, 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6, 7, 8 , 9, 1 0 i 1 1 . Zapravo, takvo bi smo ugađanje mogl i rea l i zirati tako da s e od os novnog t.ona O dižemo u koracima od

po l un:

0 -7 1 -7 2 -;. 3

-;.

4 -7 5

-;.

6

-;.

7

-;.

8

-;. 9

-;. 1 0 -;. 1 1

rijetke su uši koje mogu točno odrediti l un (tj . 1 00 cent) . Lakše j e odrediti od 7 u n , te se d izati II kvi ntama (uz spuštanja za odgovarajući oktava. tj . za odgovaraj ući broj bl okova o d po 1 2 un) :

Narav n o ,

Jednol i k i kvintni pomak broj

0 -;. 7 veći na

No,

moli x" (x

=

-7

il

•

7

2

ljudi

(2 1 ) (28)

cent

o v ako :

(14 � 2x) (21

+ x -� � � 21 ...... 9

+

(35)

9 -7 4 -;. I I

-7

zapravo

1 . 96 . . .

zapravo izg l eda 0-

( 1 4)

=

-;.

(42) (49) (56) 6

-;.

(63)

1 -7 8 -7 3 -7

(70) (77) 1 0 -7 5

može odredi ti samo savršenu kvintu, od " 7 unusa plus još 0 .0 1 96 . . . un) . Zato uobičajeno P i t a g ori n o ugađanje kvintama

3x) (28 + 4x)

(35 + 5x) (42 + Gx) (49 + 7x) (56 + 8x) (63 + 9x) (70 + 1 Ox) (77 + 1 1x)

+ 3I � 4 + 4x - 1 1

+

5x ->

6 + 6x -> 1

+

7x --> 8 + 8x - 3 + 9x -> 1 0 + 1 0x -> S + 1 1x

dobi vena skala i njezlII i po] uto novi izgledaju ovako: o

(1

V "v/ "v/ � � V V "v/ � � � � (1 + 7X)

50

+ 7x) (2 + 2x) (3 + 9K) (4 + 4X) (5 + 1 1x) (6 + Gx) ( 7 + x) (8 + 8x) (9 + ax) (10 + 10x) (11 + 5x) 12 (1 - 5x) (1 + 7X) (1 · 5,tJ (1+ 7X) (1 · SX) (1 . 5x) (1 + 7,tJ (1 - 5x) (1 + 7X) (1 - S,tJ ( 1 · SX)

----

Uočite d a se u skali pojavlj uju samo dvije vrste polutn ova ( l

+

nj i ho v a razli ka 1 2x.

5, Pitagorino

ugađanje

7.x) i C I - S.x) . te da je

To v r ij e d i i u o pć e m slućaj u I ), Zami slimo da smo oktavu pod ijel i l i jednol iko n a N jedinica i tako dobil i t o n ove 0, 1 , 2, N - 2, N - L Ako je n < N i ako S lI n i N

rel ati vno prosti, onda je {O, 1 , 2,

"

"

N-

"

l}

"

=

{ On, l n, 2n,

"

(N - 1 )n } , modula N. To

"

znači da n-ugađanj e : O �

n

�

2n

� '"

�

(N - 2)n

---t

(N

I )n

d aj e sve tonove n aše j ednolike N-skale. s "polutonovima" dulj i ne 1 . P i tagori n o ( n + x ) - u g ađ anje (uz Nx < 1 ) i zgleda ovako : o

(n + x )

�

-4

(2n + lx) -4

" , -4

[(N - 2)n

+

(N - 2)xl

---t

[(N - l )n

+

(N - I )xJ ,

Ono daj e N to nova, k oj i s e n e p o k l apaj u s j edn o l i kima, i koj i čine p o l ut o n o ve" različitih d u lj i na Izračunat ćemo njihove dulj ine. N e k a su p n i qn, s vedeni n a osn ovnu o ktav u , susj ed n i t o n o v i , Možemo pretpostaviti da je ton izveden i z qn viši . Tada je p n + l == q n (mod N), Ta dva "

.

jedno lika tona određuj u interval v e liči n e 1 . su za px, o dn o sno qx, i imaju v e liči n e 1+ r

=

1-

(p - q)x,

ako j e q < p ( v i d i

slike): pn

+ l

==

tonovi pomaknuti

Odgovaraj uć i Pi tagori n i =

l

+

(q - p)x, ak o je

q > p, o d n o s n o

qn (mod N)

p>q

p
•

t ,..

•

•

'-..--'

px

l" qn - pn == l (mod N) (q - p)n == l (mod N) (q - p)

1+

== n- I ( mo d N)

qn

•

qx �

pn

1

qn

--�--.

•

•

•

•

I p n - qn == - l (mod N) (p - q)n

CP - q)

==

==

-

l (mod N)

- n-l (mod N)

!il

5.

Pitagorino ugad{// �ie

___________________________

B roj e v i N i n s u relativn o prosti , pa zato postoj i n

I,

modula o d N . U

uokvirenim i zrazi ma pretpostavlja se da su (n- I ) i (- n- I ) iz osnovnog skupa o statka O, l , . . . , N - I (jer su ]J i

tf i z

tog skupa) 2J. Dakle, i u općem Pitagorinom ugađanju postoj e

točno d v a o sn o v n a intervala. Veći možemo zv ati opo!Omom, a manj i polU/onom, analogno sa standardnim dvanaestanskim Pitagorinim ugađanjem. Nj ihova j e razlika2):

Tu raz liku i u općem slučaju možemo zvati Pitago rinim zarezom, j er j e to i sad a iznos za

koj i se kraje vi (n

Dru g i m

xl-ugađanj a r
+

riječima. "'vučji i nterv a l i " i zmeđu O i [(N - l )n

oktavu, razlikuju se o d "savršenog" intervala (n se

II cc

7 i

x=

Odavde slijedi

Nadalje, iz n- l Dakle.

svodi

O V ll opće razmatranje

uzme : N == 1 2,

=

0.02.

n- I

7 slijedi

==

- n-I =

1+

=

r ==

x ) za Pitagori n zarez Nx.

(mod 1 2),

konkretno ugađanje kv i n tama, tako da

7 , jer je 7·7

==

l

S , jer je 7

5

='

1 + (n-I )x

=

1

O (mod 1 2) .

+ 7 · 0 .02 ::::

1 . 1 4,

I - (- n-I )x = I - 5 · 0.02 = 0 . 9 ,

i t o s u dobro poznati Pi[(J;;orin np otom od 1 1 4 cent i dLjatonski poluron od 90 cent. Narav no, Pitagorin je zarez Nx = 1 2 . 0.02 = 0 . 24, što čini dobro poznata 24 cent.

52.

x).

(N - l lx] ' svedeni na i stu

+

se na n aš e

+

+

+

•

6. Dohro

remperirani glasovir i jednolika iumju

6 . DOBRO T E MPE R I RA N I

� L A t O V I R I J E DN O L I K A L U T N J A

Č e st o možemo čuti i l i pr o č i tati d a j e J . S . Bach svoju zbirku preludij a i fuga Wo hltemp erie rtes Klavier na p i sao u s v a 24 dur i m o l tona l i te ta, kako bi pokazao sve p re d n o s ti jednolikog t e mp e r i ra nj a , te da je od tog v rem en a sva velika glazha, o d Mozarta i Beethovena s ve do n a š ih dana, pisana za j ednoliko temperi rane i z v edhe To nij e i s t i n a l ). Niti je Bach rabio j ednoliko temperiranj e, niti su Mozart, Beethoven i o st a li vel i kani pisali za 1 2 j edn o l i ko raspoređenih v i si n a unutar oktave . Jednoliko t e mp e r i r anj e uglavnom j e fe n o m e n 20. s to ljeća. Ono je u n ač e l u p o zn a t o već Aristoksenu i o nj e m u se u Europi raspravlj a još od ] 6. s t , a l i se o n o n e ra bi j er,

ta d a o p ć e m mišljenju, ne zvuči lijepo. Tek s m o u 1 9 . st. svj edoci postupnih p o m ak a p re ma š i r oj u p o r ab i j e dno l i k o g temperi rar1J a. (U ostalom, prij e 1 9 1 7 . nij e n i postoj ala metoda koj a b i omogućila p rec i zn o jednoliko ugađanj e . ) prema

B ach j e , n arav n o , b i o z ain t e re s i ran z a ugadanj e koj e ć e m u omoguć i ti pri stup

svim ton alitetima i oslobodi ti ga more v u č j i h in terv a l a . On

j c nenadmašeni maj stor

ko ntrapunkta i s i gurn o ga j e i ri ti ra la diskrepanca savršenog trozvuka nS:l u nj egovim m i sl i ma i nj e gove vučj e re a liz acij e na čembalu ispred njega?) Zato je i bio oduševljen n o v i m dobro temperiranim u g a đ anj e m , koj e ga j e rij e ši l o o v e m ore i kOJ cm j e posvetio svoj Wohltemperiertes K/avier. Medutim, t o u g ad a nj e n ij e bi l o jednol iko. O n o s e katkada zvalo jednakim, al i ne zbog j edn o l i ke ras p o d je l e n jego v i h 1 2 visina u n utar oktav e , nego zato što j e stvori lo jednake mogućnosti pristupa svim tonalitetima. je napisao svoj Woh/temp e ri e rtes 24 d ur i mo l tonalite ta b a š zato da bi i s t raži o te razl i kc4), a n e zato što i h

S ami su se tonali tcti donckle razliko vali

Klavier u sva nij e bi lo.

') i Bach

dakle temperirane ska l e i po čemu sc dobro temperiranje i druga p o v ij e s na u gadanja razlikuju od d ana š nj e g , jednolikog temperiranja? Ternperiranje Što su

p odraz um ij e va namj erno odstupanje od savršenih intervala, od svih (kao u j ednolikom tem p e r i ranj u ) i li samo od nekih . Naprimj er, Pitagorino u g ađa nj e j est temp eriranje u koj em o d u s taj e m o od savršenih terci i s e k sti , kako bismo sačuvali s a v r š e ne kv inte i k varte . Temperiranje j e nužn o s t k o ja pro i z l a z i iz p ro cj e p a koj i raz d vaj a točnost o d podatnosti. P r i ro d na i n to na c ij a , sa s v oj i m točnim interv alima, n ij e p o d a t na za transponiranje, moduliranje i h armo ni zaci ju (usp . 4. poglavlje). Kako b i sm o j e u č i ni l i p odatn ij o m, moramo j e temperirati. Time gubimo t o č n ost, što znači konsonantnost, i u k raj nj oj l i n ij i lj e p o tu . S d r u ge strane , p odatn o s t te m p e ri ra n ih s ka l a omo g uć ava harmonizacij u , što z n ač i puninu i b o g atst vo zvu ka, te još višc ljepote . rane

Početkom 1 5 . st. sve s e v e ći z nač aj p o č i nj e p ri d a v at i terc ama, p a glazben i c i re ne s an s e tr a ž e no v a u g ađ anj a k oj a b i i ma l a š t o više što s !vršenij i h t e r c i . Do

6.

Dobro fPmperimni glasovir i jednolika lutnja

kraj a

stolj eća u s ta l i l o se jedno

takvo

-----

ugađanj e, koj e će ostati standardom sve do 1 8 .

i koj e v e ć 1 4 8 2 . n a l az i mo dokumentiran o u B artolomea Ramosa. To j e

st. ,

( Paral e l n o se razm i š lj al o o dob ro m i jedn o l ikom ali u to je vrij eme p re v l ad a l o srednj otonsko . ) N aime, h armonij a trozvuka koj a od renesanse vlada z ap a d n o m gl azbom ( u s p . 4. poglav lj e ) dovodi do uvijek is to g p i t anj a : Koje kvinte (kva rte ) i- ili terce (sekste) treba temperirari i za koliko ? S rednj otonsko temperi ranj e ren esanse i b ar o k a odgov ara: Po s vaku cUe nu s redn jotonsko temp e ri ra nje. tempe riranju,

ostvarimo .fro vi.\'e

savrJ'enih

čak a ko t o vodi

terci,

pojavu neko liko vučjih ite rvala. Dobro

d o kraj a 1 9 .

st.

i

k osjetnom n(lrušavm�iu kvinti,

temperiranje, koje će vladati od

da' ne dopustimo

su svi inte rvali izvedivi, �j. tako

temperi ranj e nudi demokratski tako da

su

po l ov i c e 1 8 .

Postignimo sp e kta r trozvl/('n ih b qja, koji s e kreće od

odgo vara :

s{lvd'enih terei (i nesavr.venih kvinti) do savršenih kvinti (i nesavršenih

da

uz

vučje i n t e rv a l e .

odgovor: Temp e rirajmo sve

svi trozvuci međusobno jednaki.

te rce

terc i), ali

tako

Naše j ednoliko

i kvin fe pomalo, a li

Kre n i m o sa srednjotolIskim temperiranjem, n aj u s pj ešnij i m e uro p s k i m ugađa njem koje je živjelo gotovo 400 godina ') . U njemu je, rekli smo, važ n ije s ač u vati sa vršene terce nego s a vršen e kvi nte. (Za to postoje i akusti čki razlozi . Naime, dva to n a

u ncs avršenoj terci zbog svoj e blizine stvaraj u neugodnij e udare nego dva ud alj enij a tona lI nesavršen oj kv inti . D a k l e , budući da u trozvuku nešto mora b i t i n e s a v rš e n o , b o lje j e da Lo bude kv i n ta nego terc a . ) Pi tagori nim korac i m a nakon četiri to č n e k v i n te d o l a z i l11l.l do nesavršene terce. koja odstupa od Sl.l vrŠene za sintollički za rez, Lj . za 22 cent

(usp. prij ašnje

poglav lj e ) :

702

7 02

e -4 G o

-4

702

D

204

702

702

-4 A -4 E

Že li mo li kvi ntnim ugadanjem doći

točne k v i nte

skratiti za 22 : 4 5 . 5 ugadan j a sad a i zgled<'lj u ovako: =

e

o

696 . 5

-4 0

centU ) .

696.5

696.5

-4

408=3 8 6+22

904

d o savršene terce,

696 . 5

696 . 5 D

1 93

nužno je sv aku od 4

Prva četiri koraka tako temperi ran og

-4 A -4 E 889.5

386

Dobi vena je terca savršena (omjer 5/4 ima 386 cent). Srednj i ton D to čn o je sred i n i izmedu osn o v n o g tona e i velike terce E (386 : 2 = 1 93), pa se zato o v o lIgadanje z o v e sredlljotof/sko. Provedeno do kraj a ono i zgleda o vako (uz k = 696 . 5 ) : E�

k

-

56

k B .,.-

F

k

-

..

e

k

�

G

k

�

D

k

�

A

k

--

E

k

--

H

k

--

?

k

-+

CH

k

-+

II

GH

6.

Dobro temperirani glas()vir l jedI/ulika 'wnja

Dobi vene vrij ednosti svih tonova (u osn ovnoj o k t a v i) d aj emo ;t

O

u

p o sebn oj tah1ici '

�\./.

U

..Ir""-<:t}

"1",1)

1 93 31 0.5 386 503.5 579 696.5 772 889.5 1 007 1182.5 1 200

75.5

S rednj otonsko u gadanj e z a p r av o j e naše Poop((cno Pitagorino ugađanje (\.l SP, kraj prij ašnjeg p o g l av lj a), u z N = 1 2 , n = 7 i x 696.5 - 700 = - 0,035 . Dakle, =

l'

=

l

+ 7(-0.03 5 )

p a j e Nx = 1+ - r

=

=

0,755

-

42

se

=

75.5

cent, r

cent. Vel i k i

=

l - 5(-0.035)

dij atonski

=

1 . 1 75

=

1 1 7.5

cenI

p o l u to n od 1 1 7 .5 cen[ i ma li apotoJ1l od

srednjotonskog temperiranj a. Za toliko se vučj a k vi n t a G# - eb (loših 73 8 , 5 cent) razlikuje od ugađaj uće kvi nte (prihvatlj ivih 696 . 5 cent), Uo s tal o m , png l c(b l 'llo kako i z g l e d aj u s v i o s n o v n i tri j adski interv a l i ( t l . sve te r ce i kvinte) u sred1l1 [)I [)nskom sllstavu : 75.5

cenl? 1 raz l i ku j u

NA C

C#

D

Eb

E

F

pt

G

za

42

cent, š t o j e uj edno i " P i tagorin zare z "

M . TERCA El' E

F

p#

G

3 1 0.5 3 1 0.5

3 1 0,5

268 . 5 3 1 0. 5

V. TERCA

E F

428

G

386

F# G#

Gff

268 . 5

A

B

A

386 386

386 386

KVINTA

G

G#

696.5

B

696.5

A

696.5

H

696.5

eli

6 9 6.5

C

B

3 1 0. 5

H

428

386

D

3 1 0.5

696 .5

696.5

696 .5

G#

H

3 1 đ.5

C

428

Eb

738.5

A

C

3 1 0.5

3 86

E

696.5

B

C#

C#

268.5

D

3 1 0.5

H Durski tro z v u k ,

n aj č e š ć i

D

Eb

3 86

F

696.5

428

pi

696.5

akord e u ro p s ke

gl azbe

1 5 00 . d o 1 9 00 . , č in e

oci

o s n o v n i ton , vel i ka terc a i k v i n t a : 0 + 4 + 7 . Vel i ke terce oci 3 8 6 c e n t s av rš e n e z v u če i z v rsn o . Takv i h i mam o 8 . P re o s ta l e 4 i ma j u 4 2 8

AUAUAUAUAU . . . K v i nte o d 696 . 5

cent nisu

između nj i h i o s n o v n o g tona umetne savršena n am

8

uporab lj i v i h durs k i h t ro zv uk a

savršene, ali su

e e II

t

i z v uče

su i loše:

dobre, pogotovo ako

se

sre d nj ot o n s k i sustav daj e na: C, D, Eb, E, F, G, A i B 'J ). Molski t ro zv u k

terca H ) . Dakle,

57

6. Dobro temperirani glasovir i jednolika lutnja

----

čine o s n o v n i ton,

+

mala

t e rc a i k v i n t a : O

3

+

3 1 0.5 cent nisu savršene

7 . Male terce o d

(6/5 je 3 1 5 . 64 cent) , ali su p o d n o š Ij i v e D akl e , pri h v at Ij i vi s u molski trozvuci n a e, o

e#, D, E, P#, G, A i H ( G# otpada zbog nep rihvatlj i ve

vučje k v i n te ) . Ovih 16 traz v uka ,

8 durskih i 8 molskih, čin e h arm on ij s ki rj e čn i k renesan sne i rane barokne gl azbe.

Očiti ne d o s t at ak srednj otonskog u g a đ anj a nj e g o v a j e vučj a kvi n ta ( s odgovarajućom vučjom kvartom), te p o četiri n eup o rab lj i va durska i molska tro zv uka uz p o o s am uporablj i vih. To, naravno, o gra niča v a i trans p ozicije. Da b i se riješio taj

rroblem. u razdoblju o d 1680. do 1 890. (što je razdoblje dura i mola u europskoj glazhi ). razvijena j e cijela porodica dobrih temperiranja, to jest temperiranj a koj a el imi niraj u vučje intervale i omogućavaj u sasvim sl o b o dn e transpozicij e i modulacije.

Rješenje što J e pro n ašao Andreas

Werckmeister, al i

i mn o g i

dru g i , s vodilo

na to da se neke k v i n t e I.a različ i te iznose s uz e , n e k e da se ostave točnima, a s v e skupa ide za t i me da ukupn a suženja ponište Pitagorin z arez , i time ukinu vu čj e se

intervale. Na p ri mj e r ,

između " b ij e l i h " t o n o v a P, e , G , D, A, E i H temperiramo za J /6 Pitagorina z are z a , tj . za 24 : 6 = 4 cent, dok one između "crni h " tonova p, e#, G#, B i E b ostavimo netemperi rane, što znači točke : kvinte

E� - 8 - F ....... e -+- G __ D __ A _ E - H - F' -+- C# -+- G'

� //

\/

'" 1 /

698 cent

702 cent

702 cent

Tako dolazimo do sljedeće do/no temperirane skale (sa šest različitih "polutonova" ) : "'"

.i""

94

O

I

D

" f'

'"

1 98 298

E

iF

#

392

502

592

G

'fr

A

e

B

698 796 894 1 000

1 090

1 200

VVVVVVVVVVVV 1 1 1 0 1 90 1 06 1 1 98 98 l li 06 90 1 1 0 9 94

O�

1 96

l l i O� 1 96

4

I

1 96

1 96

1 96

I

je "bijela" apfIJ ksi macij a srednj oton skog ug ađan j a (s to č n i m "bij elim" tercama) "crnim" Pi tagorinim ugađanjem (s toč n i m " crnim" kvintama). S obzirom na to da o v o tempenranJe č u v a o s novne karakteri stike srednjotonskog ugađanj a u "bijel om " d ij ato n skom područ.i u . a uz to n e m a vučjih intervala, mngli b i s mo ga zvati dobri m sredn j otonskim tempcriranjem. J O) S v i su nj eg o v i trozvuci p ri h v a t lj i v i (tj . dobri), ali su međusobno različiti , što cijeli sustav čini "oboj enim sustavom to n a l i te ta " : To

nadopunj e n a

58

6. Dobro temperirani glasovir i jcdl1()hk(J ll/mja

NA C

M. TERCA

Eo

298

E

F

306

pil

C#

E

Bb

pi

294

F

G#

D

E

G

408

G

400

294

A

392

302

II

306

C#

400

E"

408

306

A

302

Git

H

294

B

A

C

H

D

B

C#

392

F

298

F# G

V. TERCA

294 306

G#

KVINTA G

698

G#

702

B

702

396

A

404

H

698

e

698

698

fi

408

cit

702

e

404

E"

702

D

392

396

D

E

F

P

698 698

702 702

Š t o se tiče podatnosti, d o b ro temperiranj e raspršuj e v e l i k e vučje pogrj e š ke

s rednj oton s kog i Pi t ag o rinog ugađanj a u niz malih neprec i zn osti . Ova se put/utnust pretv ara u ljepotu tako što skladatelj ima (i i zv o đ ači ma ) nudi tonainu paletu razlika k oj e otv araj u n o v u d i m en zij u e kspresi v n ost i Up r av o tu dimenzij u i s tr až uj e J . S . B ach II 24 "oboj ena t on a li t e t a s voj eg Wohltemperiertes K/avier. U 1 9 . st. g l azbe ni c i su često raspravlj a l i o boj ama različitih tonaliteta (npr. je li D dur crven ) . Muzi čari "j edno likog" 2 0 . st. odbacili su t ak v e rasprave kao romantične besmislice. No danas v e ć mn ogi tvrde da se u g l az b i 1 9 . st. u i stinu č uj u razlike u b oj i ako se ona izvodi u do b ro m temperiranj u koj e , n asup r o t našem j e d n o l i ko m , r azl i kuj e svoj e tona l i tete . Možda i nij e n em o g uć e zamis l i ti da su Mozart i B ee th ove n skladali imaj ući na umu određenu b oj u iz palete dobro te mperitanih l l ) tonaliteta, te da m i pro pu š tam o pon e ke n ij anse nj i ho ve g l azb e ho mogen i z )ra j u ć i j e našim j ed n o l i kim temperiranj em I 2) . "

u svojoj te ž nj i

k n e o grani č en i m transpozicij ama, dobro temperi ra n e skale sve

su se više p r ibl i ž a va l e j ednolikoj skal i , koj a j e u 20. st. nadvladala s ve drug e . Na p rimj er, tonovi p ri k azan e dobro temperiranc skale odstupaj u od j ednolikih t o n ov a za naj više 10 cent. S druge s trane , j ednoliko te mp e riranj e staro je k o l i k o i srednj o t o n s ko Još od 1 4. st. p re dlo žen je d i z aj n orgulja u k oje m s c između d vij e cj e lot o nske c ij e v i , s o mj e rom 9 : 8 = 1 8 : 1 6, umeće treća cij ev u omjeru 1 8 : 1 7 : 1 6 . Prve dvije definiraj u c ij eli ton o d 204 cent, koji j e trećom podijeljen n a dva polutona o d 9 9 cent i 1 05 cent. Poluton od 99 cent gotovo j e identičan j ednoliko m polutonu od 1 00 cent ( 1 00 cent od g o v ara o mj eru 1 800 : 1 699, dok 99 cent odgovara omj eru 1 8 : 1 7). Ovakva podj ela cij eloga tona zvala se aritmetičkom, j er j e 17 aritmetička sredina između 1 6 i 1 8 . .

59

6. Dobro temperirani glasovir i jednolika

IIlf11ja

------

1 6 . st. Hen ricus Grammateus pred l aže geometr�isku p o dj e l u koj oj j e x o dređen j ednakošću 9 : x = x : 8 , i k oj a c ij e l i ton 9 : 8 d ij e l i na dva j ed n a k a p o l u t o n a . N a rav n o . x j e geometrij ska s re d i n a između 8 i 9 (x j e m i l i 1 02 celU) i i m a s lj edeću geometrijsku konstrukcij u : 9:

x

Poč e t k o m

:

8,

u

N ij edan

od ova

d v a prij e d l o g a �1e predviđa

odbacivanje

d ij aton skog p o l u to n a

od 90 cent ( s Pi tagori n i m omj erom 256 : 243 ) . Dru g i m rij eč ima, "aritmetička" i "geometrUskd' skal a približavaj u se j ed n o l i k oj , uz zamj etn ije odmake (za 8 od n os n o I O cent) na terei E i vođici H U ) . " ARITMETIČKA" SKALA o

99

204

�,

303

D.

408

498

..

t·

597

702

801

b'll

'0

·

,?"�,

906 1 005 1 1 1 0 1 200

6

�

ti

VVVVVVVVVVVV 99

I

1 05

204

II

99

1 05

204

90

I

I

99

1 05

204

II

99

1 05

204

II

99

1 05

204

I

90

"GEOMETRIJSKA" S K A L A 1 02

o

204

306

408

498

600

E.

I No,

702

r�

906 1 008 1 1 1 0 1 200

804

A

VVVVVVVVVVVV 1 02 1 02 1 02 1 02 90

tl

204

1 6.

II

204

I

s t . klj učni pomak

1 02 1 02 1 02 1 02 1 02 1 02

I

204

II

II

204

204

I

90

prema j ednoliko m

ugađanj u nisu učini l i g l azbeni glazbala s prečicama poput d an ašnj e gitare . preč ice odreduju isti p ol u to n na s v i m žicama,

teoretič ari nego grad i telj i l utnj i i dru g i h Na v ratu takva

glazbal a d v i j e susj edne malo dij atonski (90 cent), malo kromatski ( 1 02 cent) itd. Grad i te lj i s u ml s reću !'an o uoči l i d a j c z a raspodjel u preč i c a n aj bo lj i ' " aritrneti č k i " i n te r v a l s omj erom 1 8 : 1 7 (koj i i m a 99 c{'nt) , jer on ponovljen 1 2 puta d aj e nešto sas v i m b l i zu pa

a ll n e

može biti

o ktavi , što

60

sc uz

m a l e pre i n ake l ako može pretvori t i

u

toč n u oktavu. Nai me, 99

cent se

6. Dobro il!mperirani g/mu l 'ir i .jl!dllvliku IlIff!i
mal im preinakama l ako može pretvori ti u 1 00 cent i time se z apravo dobi v a j edno l i k a s kal a . P o l o v i c o m 1 6 . S L mn o g i g l azben i teoreti čari razu mij u d a � U gl azbal a � prečicama zapravo jednoliko u g oden{! , što i h raz l i kuj e od gudača i gl asova koj i pjevaju u prirodll()j intonaciji i glazbala s klavijaturama ugodenih sredn;oronski.

Giacomo Gorzanis, v i rt u o z na l utnj i n ap i sao je 1 5 6 7 _ god i n e zbri k u od 24 p l esne � v i te, po d v ij e s a sredi š tem na svakom mjestu j ednolike dvanaestonske s k a le (j edanpm " mo l s k i " s finalnom malom tercom i j ed an put "durs k i " s fi n a l n om vel i kom tere om ) . Za raz l i ku od B ac h o v a D o b ro temp e riranog g lasovira, o v a z b i t'ka z a ,

'�iedll() lik() temp e ri ran u lutnj u " u i s t i n u demo n s trira transpoz i c ij s ke moguć nosti j edn o l i k og temperiranja. Već se 1 5 8 8 . Roselli u s v oj o j rasprav i o " sferno j muzi C l " zal aže z a j e d n o l i k o ugađanj e kao u n i v erza l n o u gađanj e s v i h g l azba l a i g l as o v a, koje l�e omoguć i ti s l obodna transponiranj a, ali i kombiniranj a različitih glazbala i gl,\sova

tl

zajedničkim i z v e db am a To j e do kraj a prihvaćeno tek II našem s to lj eću , prij e svega zato što glazbala s k l a v ij atu ram a nije tako jednostavno ugoditi j ed n o l i ko , kao što jc to .

s l učaj

II

g l azbal ima

j edno l i kom ugađanj u .

s

pre č i c ama. a i zato što

su se

m n o g i o p i ral i " n e toč n o m "

61

----1.

7. D vanaest veličaJlsl v(!fIih

DVANA EJT VELIČANJTVENIH

Zašto o k ta v a

sadrži 1 2

polutonova? Vidjeli smo da pentatonske. sekstatoDske i

septatonske skale izabiru svoj e tonove iz te me lj n e

dodekatonske raspodjele. ali susre Li s mo se i s #b-raspodjelom koj a i m a 17 tonova u oktav i (vidi 5 . poglavlje). Mi krotonski skladate lj i 20. st. rab e s ka l u s 4 1 m i k r o t o n o m pa i s mnogim d ru g i m brojevima, no prevl ast veličanstvenih 1 2 još j e uvij ek n e u p i tn a Ima l i kakvih rac i o n a l n i h raz l oga k oj i ma bismo mogli o bj as n i ti ovu nadmoć dodekatonske raspodj ele?

.

P itag o rin i točni intervali l : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 p r i rodn o vode dvanaestonskoj raspo d j e l i oktave, a l i mogu dovesti i do sedamn aestonske (usp . 4 . poglavlj e) . Razmis limo zato j o š j ednom kako bismo došli do osnovnog t on sko g materij ala, polazeći od toga da prednost daj emo Pitagorinim mal im o mjeri m a Odaberimo prvi ton koj i želi mo u našoj g l azbi i nj e g o v u frekvencij u promatrajmo kao j ed i n i čn u . U n atoč J obimo v oj Samba por una n o ta so, j e d n a nota nije dovoljna. U skladu s Pitagorom d o d aj m o našem j e d i n i čn o m to n u s v e o n e t ono v e koj i su za o dred e n i broj oktava ispod i i znad njega. U p o dru čj u fre k v e n cij a koj e č uj e mo (od 20 Hz do 20 000 Hz) to je naj više 1 0 oktava.

.

Naprimjer:

,

Rij etki su gl a s o v i k oj i se mogu kretati i z v a n raspona od dvij e o kta v e što znači da su im z as �d na raspolaganju najviše tri tona, koja osim toga zvuče isto . Zato ćemo, u skladu s P i tagoro m n a š e m n o tn o m mate rij al u dodati još kvinte i nji m a odgovarajuće

,

o kta v e :

;, (H' H�r' [H [H ' (H 2

22

'

<-

f-

f-

ff--

'1

(r HH'' ."- � [H [H [H ' l

3

22 2

Z

22

1

3

2

22

() �( J [�J [� J (% J

1

3

[J [2]' (% ] ' (H (%J

f- 22 --7 22 2 '--7 22 2

'

f- l

--7 �

f- 2 � f-

22

�

Z

2'

-->

_ 1 22 2

-->

�

-->

2 2'

--7

--> �

� �

-[3r (2r (%J (%) (% ] l

-

22 2

_ 1 22 2

2

2'

'

'

65

7. Dvanaest veličanstvenih ----

Na taj način dolazimo do b e sko n ač no mnogo tonova, unutar svake oktave,

k oj i su

zadani omj erom ohlika:

m,

n

=

0, ± 1 , ± 2, . . .

Za s v aki eksponent n i m amo p o j ed a n novi ton, koj i se p o m o ću eksponenata m p omiče za m oktava n iže ili više. B udući da se nijedan od tih tonova ne poklapa s osnovnim tonom,

naš postupak stalno generira nove tonove.

Glazba s beskonačno mnogo n ota jednako j e n e mo gu ć a kao i ona sa samo jednom, pa postupak generiranj a moramo negdj e zaustaviti . Prirodno je stat i pri n-tom tonu ako se 011 , vrać e n u o s n ovnu oktavu, p r i b l i žn o po klapa s o s n o vn i m tonom (budući da je točno poklapanj e nemoguće). Naprimjer, za 7 . i ] 2. ton imamo sljedeće aproksimacije: _ 1 24

(22 Y)

=

1 .068

=

1

,

_ 1 27

[iJ12 2

=

1 . 0 1 4 :; 1 .

je dosta l o,�a, j zapravo znači poi stovjeći vanje Pi tagorinog tona C# s osnovnim tonom C. dok jc druga bitno bolj a i svodi se na Pitagorino poistovjeći vanj e to n o v a Eb i 0# (usp. tabelu kvintnih pomaka u 5 . pog lavlju). Prva

j ednolikom temperiranju ove dvij e Prva aproksimacija: U

".nač i d a

2,jl7

=

je kvinta 3/2,

1 . 486

=

1 .5

=

(�J7=

_ 1 24 2

u

1,

aproksimacij e

s lj edeće

2

jednolikoj skal i sa 7 t o n o v a aproksimirana _ 1 27

(2:1 2 = 1.

.

2

to jest

značanje.

3

to jest

3/2 . Druga aproksimacij a:

znači da je kvinta 312,

imaju

3

2

četvrtim

tonom,

2 11 1 2

j ednolikoj skali s 1 2 polutonova, aproksimirana sedmim poluton om, 27112 = 1 .498 1 .5 = 3/2. Očito je da 1 .498 bolje ap roks i mi ra 1 . 5 nego što to čini 1 .486. Nameće se, međutim, pitanje nije li u jednolikoj s kali s n tonova kvinta II

""

66

7. Dvanaest veličwui venih

------

j oš bolje aproksimirana m- ti m tonom za neki drugi broj jednolikih drugi redni broj k v i nte m .

tonova

Matemati čki , prob i e nI se s v od i n a i zračunnvanj e razlomku min

aproksi mira broj

x z ad a n

Budući d a je broj

x =

mIn.

x

=

z ah tj e vom :

l og

tj.-

X

=

log

2

2 2

=

Irac i onalni broj

x

i neki

koj i što bolje

log(3 / 2) log 2

(3/2)/log 2 iracional an, ne postoj i

razl omak mIn takav

moguće je apro k s i m i rati samo raz l o mkom,

verižn i h razl omaka pokazuje n am kako

II

je to moguće učiniti na najbolji način i ) .

a

da je

teorij a

Verižni je razlomak "mzlomak" oblika:

% + ------- q] + -----

1

g dj e s u fl(], q ) , Q2, . . .

q2 + ---1 -%+ q4 + ' .

p riro dn i brojevi, koj e

on se j ednostavnij e zapi suje o v ako :

zovemo količnika tog

kol i č n i c i ma

Ako verižni razlomak ima konačno mn ogo razlomak,

tj .

racionalan je broj . Naprimjer,

[0, 1, 1,2]

=

l 1+

1

1 1+2 •

Ako v eri ž n i r a z l om a k

1+1

3

2

2 1+3

anria J e

q"

1

-

5

-

3

verižnog

-�

razl omka, a

on

uistinu

:1

S

ima beskonačno mnogo koli čnika q;, onda j e on iracionalan broj . Vrij edi i obrat. S vaki realni broj može se izraziti u obliku verižn o g raz l o mka , racionalni u konačnom obliku, a i raci on alni u beskonačnom. Naprimjer, l 7 �=O+- =O+ 12 12 7

l

--

1+2 7

l = O + -- = O +

1+� '2 5

---

1_ 1+_ 1+

� 5

67

----= 0 + - -- = 0 + ---- = [ 0, 1 , 1 , 2]. ---1 +-

7. D vana est veličanstvenih

l

l

1 1 + --

1+

l

5

U

1+

2

sljedećem primjeru važno je uočiti da je:

�2

l

l

2+� 2

- = (J2 -1) (Jz l) (-Ji ) (�2 ) {2 � I +({2-I) � I +-,-J2 -t 1 . 2+ (J22 -1 ) l

+1

/

+

')

L+

=1+

2+

.

�l+

I

=1+

+l

1 /

==

�l+

2

I

l

-Fl + 1 = 1 + ----- = 1 +---2 + (fi - l) 2+ l l

l

2+

2+

� -v 2 + 1

= [1,2,2,2, 2, . . .J

-------2 + -2+

2+-

1

+

=

--- =

.

2 + CJ 2 - 1 )

l

2 +· ,

Ako

real ni

broj x prikažemo u obliku verižnog razlomka (konačnog x =

lqt),

q l > q2' Q3 '

J,

ili

beskonačnog) :

onda s u početni komadi tog verižnog razl omka, razlomei : XI

Xk

Oni

su

==

= lqo, q d

r qo, q l , q2, " " qk]

•

.

mj

= -,

mk

= -

.

- , ...

nk

nl

.

najbolj e racionalne aproksimacije broj a x, uz

nj ihovu vel i činu nazivnika

(za

koji drži mo da je dokraj a skraćen broj nikom) . To znači da neki razlomak mIn bolj e aproksimira broj x no što to č i n i razl omak Xk mJnk• samo ako j e n > nk' Naprimjer, =

po čet n i komad i beskonačnog verižnog razlomka x =

68

fi

=

koj i

prikazuje iracional n i

[ l , 2, 2, 2, . . J ,

,

broj

fi :

-------

7. Dvanaest veličanstvenih

sljedeći su razl omci :

2 , 2] = 1 + _1_ = 2 . . . 2 + 1. 2

S'

To pre g lednije zapisujemo ovako : x =

[ 1 , 2, 2, 1

l

3

2

7 5

2,

...]

17

12

Dakl e, 715 j e n ajbolj a ap ro k si m ac ij a od fi s n azi vnikom do 5 , a 1 71 1 2 j e n aj b o lj a s nazivnikom do 1 2 . Naravno, m o g u će j e d a s nazi v n i ko m i z medu 5 i 1 2 p o stoj i ap ro ks i m acij a bolj a od 7/5 i lošija od 1 71l 2 . Ona mora b i t i i zmeđu [ 1 , 2, 2] = 7/5 1 7/ 1 2 , a iz te o rij e verižnih razlomaka slijedi da je jedini kandidat za i [ l , 2, 2, 2] takvu aproksimacij u [ 1 , 2, 2, l ] = 1 017 . Budući da je 1 017 l o šij a a p roks imacij a o d 7/5 ( što se l ako može Provj eriti n a raču n al u ) , iz toga sl ij edi da je 1 7/ 1 2 prva bolj a , apro ksi macij a za 1/ 2 , po s l ij e 7/5 . =

=

Općenito, ako između Xk-l [qo, q l ' . . . , q k-d i Xk = [ qo. ql ' . . . , q k-l ' qk] p o stoj e aproksimacij e od x, bolje od x k- l i lošije o d X b one su sigurno oblika:

. . . , qk-" 1 ] [q(h q l , . . . , qk-l , 2] [qo, q b . . . , qk- l ' 3 ] [qr], q"

O v e rezultate iz teorij e verižnih razlomaka suda možemo primij eniti n a u oktavi . Pokazal i smo da se o n sveo n a n al až e nj e razlomaka koj i n aj b o lj e aproksi miraj u x = lo g (3!2) / log 2. Taj broj rj e š e nj e našeg problema optimalnog broj a tonova

n aj p rij e treba izraziti u obliku verižnog razl omku: log(3 / 2) = 0 + l og 2

--- = 0 +

l

log 2

log(3 / 2)( 2 / 3 ) 2

log( 3 / 2 )

log(3 / 2)

= 0+

1

(

log(3 / 2 ) + log 2 / 3 ) ' 2

)

=

log(3 / 2)

69

7. Dvanaest veličanstvenilz

=0+ 1+

log(4 / 3 )

------� --

=0+

= 0+

l

-----

1+

log(3 / 2)

1 ----

1+

log( 3 / 2 )

__

l og(4 / 3 )

log( 4 / 3 ) =0+

1

I

___

1+

=0+

--

----

1+

----

1 + 2?_g(9 / 8) l og( 4 / 3 )

=0+

1+

1+

--

log( 4 / 3 ) log(9 / 8 ) .

l

--

1+-

-----

-. -- �

l --

-

---

= 0 + --1

1+

log(9 I 8)2 ( 8 / 9i ( 4 / 3 ) log(9 / 8)

-

1

_____

log(4 / 3)( 3 / 4)(3 / 2 )

--

1

---

1+ ---

--

l

2+.

Dakl e,

l og(3 / 2)

x =

[0, 1 , 1 , 2, .

log 2

.

.

].

Nastavlj ajući postupak, dobili bis mo: x=

[0. 1 . 1 , 2, 2, 3 , 1 , 5 ,

Aprobimuc ije X() , :Co

\' -

.

X,

.\'2

X I , X2 •

X,

l

Izmedu

-

2

X2

i

Xh

3 'i

te

odnosno x� . V.među

70

.

•

•

.

Xs

2, 7

X,

X4

41 i

i

X6

X7

1.

5,

3, 24

12

J.

izgledaju ovako:

•

X4

[ O, J , l , 2, O

.

X4 x,

31

-

53

1 79

-

306

moguć a j e

moguće

...l

su

još po

j edna aproks i m acij a , zap i s ana ispod

d v i j e aproksi macije, zapisane ispod x" itd . :

x,.

7. Dvana('st v('/ičaltsnlmih Xo x =

XI

x2

X3

[ O, l , l , 2, O l

l

l

1

3

5

2

x4

X5

X6

2,

3,

l,

7

24

31

4

-

12

2 3

7

41

X7

53

17

5,

1 79

. . .J

306

29

�

Na računalu s e m o že p ro vj e ri t i da je 1 0/ 1 7 lošij a aproksimacij a od 7 / 1 2 , pa je zato o db ač en a . Dakle, n aj bolj e ap roks i mac ij e broj a x, do nj i h o ve veličine nazi vni ka, j esu : 2

3

3

4

5

7

7

12

17

29

24 41

31

53

'

oktavu treb a po d ij e l i ti na 4 ] j e dn ak i mikroton, s t i m d a je 24. ton k v i n t a . Iznos j e te kvinte izvrsnih 224/4 1 = 1 . 5004. Nedostatak j e ove podjele Aproksimacij a 24/4 1 znači da

t o što s e 4 1 ton

u o kt a v i, za svaku izvedbu osim elektronske, pokazuje potpuno n ep ri kl adn i m . Isto v rij ed i i za 29 tonova u oktavi (sa 1 7 . tonom kao kvintom). Kao j edini optimum preostaj e nam 1 2 tonova u oktavi sa 7 . tonom kao kvintom, budući da 417 , a pogotovo 3 /5 i 2/3 , daj u loše k vin te . Naime, 2417 = 1 . 4 8 6 je omj er k oj e m 27/12 o d go v ara 686 cent, š t o j e d o s t a loša kvinta ( 1 7 cent u d a lj en a od s av rš e n e ) , dok j e = 1 .498 omj er koj e m odgovara izvrsnih 700 cent (svega 2 cent udalj enih od s avršene kvinte ) . Možemo z a klj u č i t i da j ednolika skala s k ore ktni m kvintama i pristupačnim brojem tonova može imati j edino (2 polutonova. To je teo rij s k i nužni izbor, do kojeg j e glazbena praksa došla i bez teorije. Naravno, mogli bismo se p i t ati što je optimalna j ednolika s k al a koj a , uz pristupač ni b roj p o l u to n ov a , želi korektne kv arte. Problem se matematički svodi na verižne ap ro ks i mac ij e broj a : X =

lo g (4 / 3) lo g 2

=

[ O, 2, 2,

2,

O

5

1

1

2

2

5

. . .]

12 3

7

71

7. D vanaest veličanstvenih

---

--

Opet u o č a vam o 5/ 1 2 kao n aj b o lj u aproksimacij u , s p ri stup ačni m brojem polutonova. No, to j e o na ista raspodjela k oj u smo dob i l i uz zah tje v za korektnim kvintama. U nj oj j e kvarta peta od 1 2 po) uton ova, dok je kvi nta sedma. Želimo li korektne terce, dobit ćemo nešto dru kčij e rezul tate . Naime za vel i ku i m al u tercu im am o s lj ed e ć e v e riž n e apro k s imac ije :

X =

log(5 / 4 ) log 2

=

[ O, 3 ,

O

3 1

9, . . . J

9

28

--

8

2

25

-

-

1

22

-

1

X=

log(6 / 5) log 2

=

[ 0, 3 ,

l

O l

-

3

7

X � � A

l

4

4,

. . .J

5

-

19 4

2

15

l

11

1

6

l,

3

X

16

Naj b o lj a podj e l a oktave. za k o rek t n e velike terce i pris tup ač an b roj ton ova, jest podj el a n a 1 9 po l uton o va, u z vel i ku tercu kao šesti poluton . Moglo bi s e razmišljati i o 22 , 25 ili 28 po l u t on o v a al i on i neće biti povoljni za ma l e terce. Nai me, za male terce oktavu je naj bolje p od ij e l i t i n a 1 1 , 1 5 ili 1 9 po l uto n o v a S o b ziro m na to da velike teree preferiraju 1 9 polutonova, devetnaes tonska skala defi n i ti vno j e n aj bo lj a skala za terc e . U takvoj s kali izvrsna mala terca biJ a bi peti ton, iz vrsna ve lik a terca šesti ton , podnošljiva kvin t a (od 695 cent) jedanaesti ton i p o dn o šlj i v a kvarta (od 505 cent) osmi ton, Takvu je skalu moguće realizirati na uobičaj enim kl avij aturama p odjelom cmih tipki na dvije. te umetanjem po j e d n e nove crne tipke izmedu E i F. te H i e ( J 2 + 5 + 2 = 1 9). .

71

_____

led n o l i ke skal e , koj i ma oktave sadrže o d l

7. Dvanaest veličanstvenih

d o 36 ton o v a, prikaz ane

su

slj edećim grafom. U o č i te da naj više gotovo točnih konsonantnosti sadrže 1 2 -tomka i

1 9-tonska s kal a, kao što j e to i pokazala naša matematička analiza. 9 If

6 5

5 4

4 "3

3

2"

8

5

5

3"

9

""5

15

8

2

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

71

l. Krt/lml arinnelika

1.

KRUŽNA

A R I TMETIKA

Pogled aj mo kako se n i žu dan i u tjednu, polazeći od nedjelje kao nultoga dana:

Nastavlj anjem ovoga niza našli bismo, naprimjer: 23

==

Ut, 75

==

Kako smo d ošli do pos ljednj e j ed nak o sti 'I Dij eljenje:

Pe,

1 65

==

Če, . . .

1 65 : 7 = 23 25 4

pokazuj e da 1 65 . dan s l ije d i poslije 23 puna tjedna i još dan isti kao i 4 . dan , tj . četvrtak.

Označimo li dane u tjednu brojevima: Ne = 0, Po = 1 , Ut = 2, Sr = 3, Če = 4, Pe 5 , Su dobit ćemo s ljedeći niz: =

=

4 dana.

To

znači da

je 1 65 .

6,

i slj edeće jednakosti: 23

==

2, 75

==

5 , 1 65

=

4, . . .

Naravno, ove jednakosti vrij ede samo u kružn oj aritmetici, u koj oj se po s l ij e svaki h 7 broj e v a (O, l , 2, 3 , 4 , 5 i 6) opet p on a v lj aj u isti ti broj evi . Zato se te j ednakosti to č nij e zapisuj u ovako : .

"

23 75

=

2 (mod 7), 5 (mod 7),

O O =

"

165= 4 (mod 7), 1

5

2

4

77

----

l. Kružna aritmetika

Općen ito, II ==

za

cijele broj e ve a i b, vrijedi :

7), č i ta se: "a je kongruentan b modul a 7 " ako sa 7. Izraženo formulom:

b (mod

dij elj enj u

a == b (mod

7) �

{a=

(a i b imaju isti ostatak r, pri dijeljenju sa 7) . U "kružnoj " aritmetici može s e zqrajati l7 == b (mod e ==

a+c

Naime. (b

+

d)

==

7)

b

=

a

i b imaju i sti ostatak

7av + r 7bo

+r

i množiti: l7 ==

d (mod 7)

C

b + d (mod 7)

==

ac ==

b

d

(mo d 7)

(mod 7 )

bd (mod 7)

ako I I i b i maj u isti ostatak rl' dok e i d imaju i s t i ostatak [2 imaju isti ostatak (rl + r2), a (ac) i (bd) imaju isti ostatak (rl r2y a = 7 ao

+ 'i

b = 7 b + 1j o e 7Lo + r:)

d = 7do + r2

pri

'

ond a (a

+

e)

a + e = 7 ( ao + Co ) + (li + r2 ) b + d = 7 (bo + do ) + (li + r2 ) ac =

bd

=

7( 7 aoco

7(7 hodo

+

+

llo r2 + co li ) + 1j r2 bOli

+

do li ) + rlrZ

Naprimjer, 87. dan poslije 76. dana je 2. dan, tj . utorak. S druge strane, 87 skupi na 76 dana I.avršava sa 4. danom. tj . sa četvrtkom. (mod 7 )

87

�

3

76

==

6

87

+

76

9

=

(mod 7) �

2 (mod

3

+

7)

6

(mod 7 )

87

==

76

==

87

3

(mod 7)

6 (mod 7)

. 76 = 3 . 6 ( m od 7)

18 = 4 (mod 7)

Tablica zbrajanja i množenja u "kružnoj " aritmetici modula 7 izgleda ovako : 78

i

od

l. Kružna arilmelika

5

6

6

O

O

CD

2

2

3

4

+

O

1

2

3

4

1

1

2

3

4

5

6 1

O 2

O 2

3

4

5

3

3

5

5

4

6

1

4

6

6

O

2

3

4

5

6

O

5

O 1

2

4

5

6

O

1

2

®

O

1

O

1

2

3

4

5

8

1

2

3

4

5

8

6

2

5

1

6

O

O

2

O

2

4

4

O

4

1

6

O

1

3

3 5 6

5

4

.

O

O O

3

5

6

O

3

5

O

6 5

4

O

O

O

1

IC�

5

2

8

3

3

1

4

2

4

�) 1

Može li se o du zima t i u "kružnoj " aritmeti c i modula 7 ? Može, naprimjer: 1 -

3

==

5 (mod 7),

3-6

==

4

(mod 7),

jer je 3 d an a prije I . d an a (tj . ponedjeljka) bio 5 . dan (tj. petak), a 6 dana prije 3 . d ana (tj . srij ede) bio j e 4 . dan ( tj . četvrtak) . To v i d i mo i i z tabl ice zbraj anj a. Uoč i zaokružene broj eve. Od nj ih oduzimamo broj e v e na početku njihova retka. Rezultat oduzimanj a nalazimo na vrhu njihova stupca. Činjenica da se u svakom retku tablice zbrajanj a n alaze svi "kružn i " broj e v i O, l , 2 , 3, 4, 5, i 6 ( t o č n o jednom) osigurava da se u "kružnoj " aritmetici mogu (j ed n o značno ) obaviti sva oduzimanja. Lako je provjeriti d a to vrij e d i u s v im "kružnim" ari t me t i kam a, tj . u aritmetici modu l a N, za svaki prirodni broj N. su

U " kružn e"

već tl nj oj . -

1

-4

Na

primj er,

==

O - l

==

==

O-4

==

ne treba uvodi ti (n o v e ) n eg ativ n e broje v e , jer oni aritmetici modulo 7 :

aritmetike tl

zat o

6 ( mo d 7 ) , - 2 == O - 2

3 ( mod 7) , -5

Može li se dijeliti

u

3 :2

o;:

O-5

==

==

5

(mod 7 ) , -3 == 0 - 3 ;;;; 4 (mod 7),

2

(mod 7), -6 == O - 6 == 1 (mod 7).

"kružnoj " ari tmetici modula 7? Može, n aprimjer: ==

5 (mod 7),

2 : 5 == 6 ( mod

7),

jer razdoblje do 3. dana (tj . srijede) možemo podijeliti u d v ije s kupi ne od 5 dana: (O 1 2 3 4) (5 6 0 1 2)

d ok razd ob lj e do 2. dana (tj . do utorka) možemo podijeliti u 5 skupina od 6 dana: (O 1 2 3 4 5) (6 0 1 2 3 4) (5 6 0 1 2 3) (4 5 6 O l 2) (3 4 5 6 1 0)

79

/. Kružna aritmetika

brojeve. Nj ih d ij el i mo s retka. Rezultat dije lj e nj a nalazimo n a vrh u nj i h o v a stupca. Či nj e n i c a da se u svakom n e nu i to m retku tablice mn o ž e nj a nal aze s v i "kružni " brojevi 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 i 6 ( t o č n o j edn o m) osi gurav a d a s e u " k ružn oj " ari tmeti ci modul o 7 mogu (je d n o zn ačn o ) obaviti sva d ijelj enj a s b roj e v i m a različitim od O. T o ne vrijedi u svim "kružnim" aritmetikama. Tablica mn oženj a " kružne " aritmetike modul o To vidimo i iz tablice mn o ž enj a. Uočimo zaokru žene b roj e v i ma n a početku nj ihova

6 izgleda ovako :

.

O

1

2

3

4

5

1

2

®

4

5

O

@

O

@

NE .. . . .... 3 : 3 =o I (mod 6)

@

3

2

1

DA ........ 4 : 5 ", 2 (mod 6)

O

O

O

2

O

2

O

1

3

O

®

O

5

O

4

5 -

O

4

4 2

O

O

O

2

O

4

O

4

2

DA . . . . . . . . 3 : l '" 3 (mod 6)

NE

NE

Vidimo da je u "kružnoj" aritmetici modulo 6 moguće dijelj enj e brojevima l i nije moguće dij e ljenje b roj e v i m a 2, 3 i 4 . 1 ) Primijetimo da 1 i 5 nemaj u zajedn i čkih faktora s a 6, tj . oni su relati vno prosti s a 6 . S druge stran e 2, 3 i 4 i m aj u zajedničke faktore sa 6, tj _ oni nisu rel ati vno p rosti sa 6. To nije s l uč aj n o . U "kružnoj " aritmetici modulo N možemo dijeliti brojem n, samo ako su N i n rel ativno prost i . To slijedi iz činjenice da in verzni broj n- I (tj . l in) postoji samo ako su 5,

a

N i 11 relati vno prosti . Naime, iz Eudoksovog postupka2)

naj veći zajednički fakto r cjdobrojni p j tf w k v l da je:

je

No,

od

za n

nalaženj e n aj veće zajedničke mj ere od

i N i

o z nač a v a

sc

(n, M = q N + p n.

s (n , N ) ,

i N, koj a slijedi da p o st oje n

to znači da (n, N) pri dijeljenju s N ima ostatak p n :

(n, N) = p n (mod M·

Ako su n i N relativno prosti, tj . ( n , N) što znači da je TJ fi m o

80

u

I}

traženi

inverz n l ,

Ovu činj enicu, s

analizi

fl ;:

=

1 , onda slijedi :

l (mod

N), tj . p = n- \ ,

kojom završavamo naš prikaz "kružne" aritmetike, iskoris t i l i ugađanj a koj i ma s m o se b av i l i u 5 . pogl av lj u _

općih Pitagorin ih

_____

2.

Potencije i logarihlll

1 . POT ENCIJE I LOGA R I T MI Po t en c iranj e je j edna od naj v ažnij ih matemati čkih operacij a Provodi se tako da se baza b p o ten c i ra eks pon e n t om x. Re zu l tat je potenc ij a :

�)�')t,::: ��'�JiH;' -

Ako je eksponent x prirodni broj , p o tenciranj e je opetovano b'

=

i

znači re c i pro č n u

l b e z obzira

eksponen t raci onalan b roj m/n, on d a III

b il

(Pretpostavlj amo da j e b > °

po ten cij u :

(3/5) -2 = (5/3f = 25/9.

Ako j e e ksp on en t 0, potencij a je

Ako j e

,

b · b · b.

S u p rotn i predznak u e ksp onen tu p o tenc ij e

Naprimjer, y2 = 1 /51 = 1125

mno žcnj c naprimj er:

=

na

bazu:

potenciranje definiramo :

(Vb)",

111

i

b il > O.)

Pravil a za potenciranj e s i stom bazom slij ede neposredno i z navedenih definicij a. Kada se potencij e množe, eksponenti se zbraj aj u. Kada se potencij e dijele, eksponenti se odu zimaj u . Kad a se potenc ij a potencira, eksponenti se množe.

81

2.

Polenciie

i logaritmi

__________________________

Iz navedenih defi n i c ij a s l ij ede i prav i l a za potenciranj e i s ti m eksponentom: cl

(abY = a' b\

x

b'

uvoda u p o te n c ij e p re l a zi mo na \ogaritme. Eks po n e n t po b azi b zove se l o g ar itmo m te potencij e po toj bazi . Dakle, l o g a ri t am od 25 po bazi 5 je 2, j er je 25 5 2 • Logaritarn od 64 po bazi 1 6 je 3/2, jer je 64 4' = «( 1 6) 1/2)' = J 6'/c . Posl ij e o v o g kratkog

potenc i j e b'

=

U kratk o , )Ogb Y B avit ćcmo

se

X

=

=

znači isto

samo realnim logaritmima i potencij ama. Zato baza b ne može

biti neg ativ n a, jer h i s m o n p r . do b i l i

bi

npr. l o gl 7

= x

Š!? i b X = y .

znac: i l o

da je l "

(:_2)112 �- = i� . =

=

(Baza ne može

7 , što nij e točno ni za j edan broj

n eg ati v n o g

biti ni l , jer

x.)

b roj a }' (i l i od y

Zbog i stog

O), j er je

je i sama pozilivna. Naravno, sami eksponenti x. tj . logaritmi x , mogu biti bilo kakvi: pozitivni, nula i l i negativn i . I z definicije l ogaritama sl ijedi : sve što je nap i s an o pomoću logari tama m o že mo nap i sati pomoću potencij a, i obrnut o : sve što možemo n ap i s a ti pomoću potencij a,

raz l oga ne možemo računati l o g aritam od

logaritarn eksponen t potencije s pozitivnom bazom, koj a

=

možemo i pomoću logari tama.

Eliminacij a logaritma logb y = X � Y = bX

El i m i n ac ij a

bX =

L- �

N apnmjer, . l og .

se

q x =

B udući

i s kazati i kao

']/" 1

w

L _+

znacI I s to V'

•

sto v

1 x ·

=

p

9-3/2 tj. . "

d a Sll l ogari tmi eksponenti, pravi l a pravila za računanje logaritmima: (2) l og"

( 3 ) l og,!(ul!)

=

log},

ll ,

(u/v)

(4) log" b

=

=

1,

lo g "

9-1 '-"

x =

za

u

=

p otencije

y => x

1/31

' =

=

logh y

1 /27 .

računanje eksponentima mogu

-

l o g ;, v,

(5) iogl> 1

==

O.

da j e e k s p o n en t umn oška potencija jednak zbroj u e k s p o n e n ata. To je staro prav ilo za m n oženj e potenc ija. Radi se s amo drukčijem zapis u : Prvo prav i l o kaže

Bl

njihovih o

nešto

_______

bA,

log"

U

=x

zapišimo kao

U

log"

v =y

zapišimo kao

v = br,

=

2.

PureneUe

i lugari/m i

zapišimo kao

10gb (uv) = X + Y Dakle,

l og" (uv)

zn ač i isto što i

=

logh

h' !J.1

=

U +

log"

v

bX+Y

bHY zapis ano na drugi nači n . I s to v rI Iedi Vidimo da j e ( I ) n aše s taro pravilo bX h" ostala pravi la l ogaritm iranj a; to su pravila potenciranj a zapi sana na drugi način i >. =

(ako je

i

za

N a kraju ističemo važno pravilo koj e po v ezuj e logar i t me p o raz ličitim bazama

a,

b,

e >

O i

a,

b

cf.

1 ):

] og" c - -- . l o ba " b _

logu

e

Formu l a za p r o mj en u baze jednostavn a j e poslj edica prav i l a (3 ) o logari tmu poten c ije. Krenimo, n aime, od poznate činjenice: x = log" e znači i s t o što i lJ ' = {' Izračunamo li sada logari tme po bazi Ll od lijeve i desne strane posljednj e jednakosti , lako ćemo i zračunati x : l og" br

=

log"

c,

X

l og" h

=

log"

c,

x =

log e l og" b

- '' -,

dakle, log"

e

log

''

e

log" b

= -__- ,

Formu l a za promj enu baz � važna j e zato što nam razne t a b l i c e i džepn a računala n aj češće omogućavaj u izračunavanj e l ogari tama po samo dvije baze : 1 0 i e . B roj e pri bližno j e 2,7 (točnij e 2 . 7 1 8; još točnij a vrij ednost može se do b i ti pri tiskom

n a tipke l i eX na džepnom računalu ) . Zbog svoje važnosti log l o i log" imaj u posebna imena: l og l o = l og ( o bični ili dekad ski J ogaritam), l oge l n (prirodni logari tarn) . =

Ovi rezultati . kojima završavamo naš prikaz logaritama, imaju mnogostruke primjene, a jedna od nj i h je i pretvaranje multipl i kativnih mj ernih skala u ad iti v n e . Takvu smo pretvorbu u vel i u četvrtom pogl av lj u , kada smo s multiplikati vnih omjera prešli na aditi vne cen ti/e .

Sl

3. Eudoksovo

mjerenje i

veriŽIl; razlomci

-----

1. E U DO K J O V O MJ E RENJE I

VERIŽNI

RAZLOMe i

I z mje ri ti veličinu {lo v e li č ino m a l znač i n aći nj iho v u zaj edničku mj eru a , tak vu da je za neke cij e l e broj eve no i n " ao noa i a l = n l a . Tada kažemo da su ve l i č i n e ao i a l sumjerIj i ve, j er se nj i hov o mj e r može izraziti kao omjer cij elih brojeva (tj . kao racional n i broj ) aola l = noIn " tj . {/o=(noln l )a l , odnosno : =

----a� o� _o��-I

__

__

a�a

�---------

---------�

Ako ve l i čine ao j a l nemaj u zajedničku mj eru (npr. st ran i ca kvadrata i nj e go v a dij agonala n e m aj u zaj e d n ičku mj eru ) , o n d a kažemo da su te dvij e v e l i č i n e nesumjerIjive. Nji h ov se omjer ne može i zraziti kao racionalan broj , tj . njihov je omj er i racionalan I } .

Eudoksovo mjerenje j est postupak koj i m u k o n ačn o m broj u koraka nalazimo zajedn i č ku mj eru i omj er dviju sumjerlj ivih v e li č in a a koj i nikada ne staje a ko se primijeni na dvij e nesumj erIj i ve veličine. U prvom koraku a l se oduzima od ao toliko puta ko l i ko je to moguće, tj . dok ne dođemo do ostatka a} manjeg od al ' Ako j e to qo puta ({jo jc, naravno, cije l i broj), onda imam o : ,

U drugom koraku p o stu p ak ponavljamo s

Pustupak nastav ljamo s a1 i a3, a3 i tak v i h da je:

a,b a4

al

i

i

as,

{/2

o o . ,

(cijeli b r oj

(j I

� I , j er je

sve dok ne dođemo do

al >

Gk

i

a2) :

(lk+ 1 = a ,

tj . (cijeli broj qk :2 2, jer jc

lik :> ak+ 1

=

a).

S vi korac i Eudoksova postupka, ako on završava u konačnom broj u koraka, izgledaj u ovako : 84

_______

aa al

a2

=

qoa l

+

a2,

=

q l a2

+

aj,

=

q 2a l

+ a4,

a l > al

aj ,

q l :2 1 ,

aJ > a4 ,

q2 :2 1 .

a2 >

3_ Eudoksovo

mjerenje

i veriin i mz/omei

Odavde od mah s l ij e d i da j e a z aj e d n i č k a mj era od ao i cl l ' Nai me , i z poslj ednj e j edn ad ž b e slij edi da j e a mj e ra o d ak' Zati m, iz pretposlj ed nj e jednad ž b e slij edi da j e {l mj era od a k l .

Iz j e d n ad žbe prije nje slijedi da je a mjera od ak-2 i tako dalje, sve do druge jednadžbe, i z koj e slij e d i da je a mjera od a l ' i k on ač n o prve, iz k oj e s l ijedi da je {l mj era o d ao

Ukrat ko , ako Eudoks o v o mjerenje veličine

aa

veličinom

al

završava,

onda

su

te dvije

vel i čine sumj erlj i ve . N aravn o , vrij edi i ob ratno - ako su vel i či n e s u mj e r lj i ve , Eudoksov p o st u p a k s i g urn o ć e završi ti . Naime, ako j e {l o = n o a i (l l = n l a, z a neke cjelobrojne n o i nl (te neku zaj edn i čku mj eru a), onda j e :

p o s t u p ak mora završiti j er j e broj e v a , koj i je nužno kon ač an .

pa

nl

>

n2

>

n] >

11 4

>

...

strogo opadaj ući n i z prirodnih

Ponovimo j oš jednom. Ako j e Eudoksovo mj erenj e veličine aa vel i či n o m a l (tj . završava u konačnom b roj u koraka) , onda su te veličine sumjerlj ive i nj ihov omj er ao/a J racionalan j e broj . Ako je mj erenje beskonačno (tj . ako ne završava u konačnom broj u koraka) , onda su te veličine nesumj e r1j i ve i nj i h o v omj er aola l iracionalan je broj . U konačnom slučaju rezultate mjerenj a možemo z ap i s ati ovako: k ona č n o

85

3. Eudoksovo mjerenje i verižni razlomei

----

aa q7 --= % +� , al ql al

- =

°2

pa

ql +

% -

q2

ql ::::: l ,

� > a, ,

,

iz loga slijedi: 1 _ (10 - % + -- - % + _

{ll

al

ql

[�

=

---

1 +,�

ql +

--

l q,- + a3

a3

a4

= qo +

---

ql +

U

---

q2 +

beskon ačnom slučaju, rezultati mjerenj a (kojih sada ima beskonačno):

(10

- =

al

al

- .- =

{l 2

� % + -=,

a l > a2 '

ql +

� > a"

al ( 11

----'--

� a4

a,

,

----"- = q, + - , aj

86

-

aj

(/3 > a 4 ,

----_____________ ---

3. Eudok:;ovo

mjerenje i

l'eriŽlli m�lo111ci

daj u beskonačni verižni razlomak:

V i d i mo da su ko l ič n i c i ven znog razlomka, j ednakog omj eru ao/a l o II oba slučaj a direktni rezultati Eud oks o v a mjerenj a v e l i č i n e a o veličinom a l ' Ako j e omjer ar/a l rac i o n a l an broj . radi se o konač n om veri ž n o m raz l o mk u , a ako je uo/al iraci onalan, radi se o beskonačnom verižnom razlomku.

Dakle, s vaki realni broj x može se prikazati u obliku verižnog razl omka konačan ako je x racionalan, a beskonačan ako je x iracionalan2) :

koj i je

Taj je prikaz jedinstven, jer su kol i čnici qi jednoznačno određeni Eudoks ovim postupkom3). Brojevi

racionalne su aproksimacij e broj a x. Nj ihovi su izn osi : XI

Uvedemo

li

"

b roj e ve

"

ql% nl ql

ml

= -

X_ I

=

m -----=!. n_I

1

O

+

q2 (ql% 1) + % - n2 - q2ql 1 '

1

xz -

X_J

m ----=l.

- n _2 =

�

+

-

=

-

O 1

- ,

--'---'----

+

vidimo da

vrijedi :

81

3. Eudoksovo

mjel'enie

To vrij edi i za

što

sve

se lako može

i verižni razlmnei

----

dalj nj e aproks imaeij e :

dokazati indukeij om. Pretpostav imo, naime, da naveden a formula

vrijedi za k i dokažimo da on d a

vrijedi i

(Lh + (l /qk+l ))mk- 1 - �qk + (l / qk, 1 ))nk-I + Ylk-2 -

qk + l qkmk - l + m k - 2

+ mk 2

_

=

_

(po pretpostavci indukcije)

=

+

1:

(

qk + l qkJ'l k - I + Ylk-2

)

+ mk_1

)

+ nk-1

qk +ltn" + m k-1

su mk

Promotrimo jedan konkretni

aproksimacije Xo, xj , X7. , x.l '

k

(

qk + l Ylk Uoč imo kako odavde slijedi da

za

i

+ fl k _ 1

nk

b ro i

uzlazni ni zovi :

x =

[2, 1 , 2, 3, 1 . 2,

. . . l i nj egove racion al ne

x4 , x:; , . . . x]

[ 2,

I,

I,

2,

o

l

2

3

8

27

35

97

l

O

1

l

3

10

13

36

Luk o

se

...]

može provjeriti da vrij edi: 2

<

Xo <

88

3,

-g 3

<

X2 <

35 13 x4

< <

. . ... .

<x< . . .< <x< . . . <

97 36 Xs

<

27 10 <

X3

< <

-3 Xl

'

-------

3. Eudnksnvo n�iere/�je i verižn i ral:,/olJlci

To vrij edi za svaki x = [qa, q l , q2, . . . J i nj e go ve aproksimacij a Xa , X l , Xl , . Pa rn e apro k s i mac ij e Xo, X2 , X4 , . . . pri b l i ž a v aju se broj u X u z l a z n o , a n e p arn e X l > X l , .

.

. silazn o . I to se lako može dokazati .

X5 ,

Najprij e uočimo da za svaki k vrijedi:

Naime, prva determinanta koj u dobivamo za k l

o 1

O

=

- 1 očito ima tu vrijednost:

( )-1 .

= -1 = -1

p rij ašnj e po moću e l ementarn i h o p e r a c ij a s a s tu p c i m a ( š to n e m i j e nj a v r ij e d n o s t d e t enni n an t e ) , u z dodatnu permutacij u s tu p ac a (što mij e nj a predznak detenninante), slijedi da vri j ednosti naših determinanti al te rn i raj u izmedu l i - I , tj . da su one o b l i ka (- I l. B u du ć i da se s v aka s lj edeća determinanta dobiva iz

Odavde d alj e s l ij ed i :

što uz č i nj e n i c u da j e niz

nk strogo

uzlazan znači da je :

.

Xo < x2 < x4 < . . . < x < . . . < Xs <

No, to smo

i trebali

Xl <

XI '

d o kaz ati .

Prikazano na brojevnom pra v cu , pri b liž avanje verižnih aproksimacij a broja x samom to m broj u i z gl ed a o v a k o : •

S v a ka

•

•

o

•

•

•

j e od p rij aš nj e parne i s v aka neparna b o lj a j e o d prij ašnj e neparne. To smo dokazal i . Me đuti m , na našem j e crtežu svaka aproks imacij a

p ar n a ap ro k s i mac ij a

b o lj a

89

3. Eudoksovo

mjerenje i

verižni razio111 c i

-----

bolj a od one prij e nje (parne ili neparne) . To je također to č n o i s lij e di iz strogoga rasta n i za nk i nejednakosti

koj u ćemo s ad a

Za x

=

dokazati .

[qo, q "

d a vrij ede identiteti

.

x =

.

J , uvedimo oznaku �k

.

=

[qb qk+ l

.

.

.

.

J , uz koj u lako v idimo

[qo, . . . , qb �k+ l J i x = ( �k+ l mk + lnk 1 )/( �k+ l n k + nk_ 1 )4). Dalje

s l ijedi :

Međutim,

U vrstimo

qk+2,

�k+ l = [qk+ l ,

l i to u

.

.

.

J

<

{jk+ l +

I , odakle

slijedi :

prij ašnj u jednakost, dobit ćemo :

što j c lijeva od dvije nejednakosti koj e s m o želj eli dokazati . S l i č n o se dokazuj e i desna. Dakle. naš je crtež korektan . Često ga je korisno proširiti i sljedećim, nov i m aproksimacijama broj a x = [q a, q l ' Q2' J: •

.

.

nove

stare xa '

=

XI

=

x,

.

.

l,

"

lqo. l ] ,

XI

"

=

[quo q l ' l j .

x2

"

=

•

90

2, . . .

xo

[qo , 2 1 , . . . ['lo, q l ' 2J , . . .

•

•

O

•

Xa

=

[qo]

XI

=

[qo, q l ]

X2

= [qo, q J , q2]

•

•

______

3. Eudob"ovo

Ucrtan i poredak novih

mjeren, .. i

vaižni raz/ome;

aproksimacij a n epo s re d n a je pos l jedica nj i h o ve defi n i c ijt:, Uočite d a s u Xl' , x/', . . l ošije aproksi macije o d Xk' al i mogu (iako ne moraj u ) biti bolje od Xl_ I '

Aproksimacije Xk

=

[qo, · . . , qd

broj a X = [qo, q l ' . . , J , u slj edećem smislu: IH

X - n

<

mk

X - -

nk

=

m/nk naj b olje

su

raci onal ne aproksimac ijt:

::::;' n > nk ,

Iskazano rij eč i m a , m/nl n aj b o lj a j e racionalna aproksi macij a broj a x, u z tu veličinu nazivnika . N ai me , min j e bolj a apro k s i mac i j a samo ako j e n > !Ik' To pokazuj emo

dokazujući implikaciju

iz koje neposredno s lij edi već n ave d en a implikacija. Uočimo najprije da sustav j e dnadžbi

ima jedinstvena cj el obrojna rj e šenj a u i v , jer determinanta to g sustav a ima vrijednost ± l . Pol azeći od pretpostavke Inx - ml < Ink x - mkl dokazat ćemo da su u i v poziti vni cijeli brojevi , pa će iz prve j ednadžbe sustava odmah s l ij ed iti da je naša implikacija biti dokazana.

n

:>

nk

i time će

Dakle � preostaje nam dokazati

Iz jednadžbi koje određuj u

u

i v s l ijedi :

Dakle, n aš a j e pretpostavka:

91

3.

Eudoksovo mjl:'Tel(je i verižni razlomci

mk+d i m aj u s u pr otn e p redzn ake (j er se m/nk i mk+ ,iTik+ 1 nalaze s raz l i či t i h s trana o d x, kao parna, odnosno nep arna apro ks i mac ij a) , o n d a j e prij a š nj a nej ednako s t moguća samo a k o II i v i m aj u iste predznake. To p ak znač i da su oba pozitivna, jer iz B udući da

(nk

x

-

mk) i (nk+ 1

-----

x

-

slijedi da oba ne mogu biti ne gati v n i Zaključimo što smo sve s azn al i o rac i onal n i m aproksimacijama re al n o g .

x = [qo, q " q2, S

.

.

.

broj a

].

nazivnikom do nk.

njegova n aj b o lja

aproksimaCija jest:

Njegova naj bolj a aproksimacija s nazivnikom do nk+ 1 j est: Xk+ 1 = [qo. · · · . q.... qk+d = mk+/n k+l ' S nazivn ikom do n ,

x�+" X;+I '

.

gdj e j e n k < n < nk+ l • najbolja aproksimacija je Xk ili n e ka od . . (Xk treba usporediti s tih qk+ 1 l b roj e v a i vidjeti j e l i n e k i od nj ih

bolj a aproksimacija od Xk)'

Ovi rezultati, kojima

-

završavamo naš prikaz teorije verižnih razlarnaka, imaju mnogos truke primj ene. a j edna o d zan im lji vih j e optimizacija jednolikih skala. kojom s m o se bavili u sedmom poglavlju.

9 2.

FU S NOTE 1 . H A R MONIJA t V IJET A l)

2) 3)

4) 5) 6) 7) 8)

9)

O z n a č aj u P i ta g o r i na u če nj a za nastanak novovj ekovne znanomi matemaliz(!ciji prirodnih znanosti. Ruđer 2, str. 40-43.

više

u:

Zvon i mir

Šikić.

O

A rth ur Koestler. The 5leepwalkers, Penguin . 1 964.

zahvaljujući romantićnom shvaćan ju muzike, ta veza vise nije t ako o e:igl ed n a . Više o tome u : The music af th e spheres, Spri nger, 1 99 3 . Mi z a p a d njac i P it ag oru i o s tale antičke velikane ohično smj eštamo u zapadn u Tradicij u . M eduti m. opreka Istok-Zapad g u bi smisao n a s re d o zem n oj ohal i Male Azije. s inte l ekTUal n i m korij en ima II E g i p t u i Ka l d ej i ( B a b i l on u ) . D et a lj n ij e o lOme u : Zvullimir Šikić. F il z o fija matematike. Š ko ls ka knj iga. 1 ')')5. 5(jedeći omjeri 5/4 i 6/5 ust varuju in tervale velike i male terce. V iše o tome u knj i z i c i t i ran oj u 3). l n aće. b roj ev i l . 2. 3 i 4 č i n e te t ra k tis . najvažnij i Pitagorin simbol . kOJ I izmedu o s talog utj e l o v lj uj e Danas.

Jamie James,

" s v eti " broj 1 0 :

O

Priča visine

O

O O

o O

O O

O

O

je u p i t n a i zato što se puno' v i š e čuj u vihracije nakovnja nego čekića, t o n o v a što ih proizvode čekići (te samo intcnzitet u v ijek i s toga

n a k ov a nj ) .

rl

o te.žini čekića

ovise

tona što ga pro i z v o d i

z . I N TER V A L I I t K A L E l)

podjela oktave dovodi i do toga da interval terce, koj a se (npr.) proteže od e do E (za razliku od koj a sc /npr.! proteže od A do cl. i m a vrijednost: E/e (9/8i 8 1 /64 1 . 266 . No. to znači da je taj interval dul ji od P i tagori n e t e rce , d u lj i n a koje hi trebala biti 5/4 1 . 25 0 . I s t o vrijedi i za m a l u tercu c/A (2561243)(9/8) 1 . 227, u odnosu na Pitagorinu. dulj i n a koj e bi trebala b i t i 6/5 Ova

ma l e terce

=

=

=

=

2)

1 . 200.

4)

5)

=

=

je. G r u h lj a razd i o h a . i w ;]d djelih 'i p o l ut o n o v a , i n ij e standardna_ Ipak m i s l imo da o n a dobro g l a z b e n i d o ži v lj aj grupiranja t o n o v a u s k al i . (Uočite da se l i dij s k a ska l a i po tome izd vap

Razdioha n a

cij el e tonove i

n a š i h s h e m a , o k u p lj a grupe odražav a

3)

=

p o l u to n o v e , i s p o d n aših shema. standardna

od ostal i h )

K a d a se melodij a p i še u mol u , o b i č n o se uzlazna skala uporabl j uj e za uzlazne n i zove n o ta, a s i la z n a

za silazne_

Vidi dodatno p o g l av lj e Kružna aritmetika

P rv e

su orgulj e s t i gle u srednjovj e k o v n u E u ropu kao pokl o n b i zan t sko g a

e ar a

k r alju Pipi nu 7 5 5 . g _

Taj se p o k l o n držao to l i ko č u de s n i m da j e u redovničkim kro ni kama zap i san k a o g l a v ni , a često i

j ed i n i događaj u t oj godi n i . Pipinov u n u k L o u i s , s i n Karl a V el i ko g , prv o g eara S vetoga ri mskoga c a r s t v a , dao j e

"

u

b i z an t s k o m stilu" izgrad iti prve zapad ne orgulj e , kao statusn i s i m hol n o v e vel ike

i z v l ačenjem o d g o v a r aj u ć e g drvenog z a s u n a . Tek će se oko 1 200. ove nezgrapne operaeij e prebaciti

s i l e . N až a l o s t . zapad n e o rg u lj e još d ugo n i s u i m al e k l a v ij a t ure, nego se svaka nota s v i ral a

na klav ij a tlllu , naj p rij e samo " bijelih" nota. 6) 7)

Grgur Vel iki, rimski b i sk U p , papa

i

s ve t a c (umro 604 . ) .

Ti j e kasnij i dodat ak , kao i pretvaranj e G uidovog

ut

u naš

do.

91

8)

N e s i gurn o s t se može otkloniti i tako da g l asov i pril aze disonan tnom interv a l u s raz l i č itih stra n a u

m al i m koracima. Takvim kontrarnim g i b a nj em može se, bez pj evačkih pote ško ća, doći do i zv edbe b i lo kojeg di sonantnog interval a. Ovo je otkriće imalo značaj n e poslj edice za

od

(can tus i discantus)

p o s t aj u sve nezavisnij e tijekom s ljed e ći h šesto godi n a . Počevši

nj ega, polifonij ske melodij ske l i n ij e

polifonijska

skladanj e ,

o s l o b o đ e n e s u paralel izma i

s # povisiti bilo koju notu, no u re n e s a n s n oj pol i foniji, u s k l ad u s razv oj e m , B i Eb bile su j e d i n e s n i že n e note, a F', C' i G ' j edi n e povišene (iako j e u j ednol ikoj i v e ć i n i temperiranih skala B A', F' G b , itd.), 1 0) T o j e ekskluzi vno eu ro p sko otkriće, koje n i gdj e drugdje n ij e s amonikl o , l ] ) Lidij ska skala, koj a j o š jedina od t r ad i c io n a l ni h modusa ima vođicu, nije dovolj n o "dobra" jer nema

9)

M i danas Sb možemo s n iziti i l i

o p i san i m

p ov ij e s n i m

=

1 3)

1 2)

k v arte,

Mogl i

=

bismo reći da je dorski mod u s "mol bez vodi ce".

Bowers , 1. F. ln wh ich key did lhe angels sing'? , The mathematical Gazette, 1 995 ,

l. H A R MO N I J A O BOJENOCi A TONA l)

2)

Jedan t i t raj u sekundi j e l Hz

Trozvuci nad tonikom

( H ertz ) , Sto titraja u s e k u n di j e 1 00 Hz, itd ,

T',. i dominantom V\

domin a n t a . Inače,

akorde hi

Dur

1 2,

polovi

l.a r i se : 1\ = 0 + 4 + 7. V\ = S + 8 + l 2. N e.k i standard ni čClverolO n s k i akordi b i l i hi ' 3) 4)

5)

6)

7)

=

()

+

4

+

Plomp, R , &

7

+

Levelt,

Mol

=

O

+

3

+

7

prij a š njeg pog l a vlj a, pro š i rena l e rco m

4) 5)

(ij

1 2,

Dur 7

=O+4+7+

ll,

Mol 7

F'.

To je

O

+

3

+

7

+

of Acou slical =

1 0, itd.

Soc iet y o f

naša pentatonska lj esIvica (4) , i z

T u , nažalost, nema jednostavne demonstracije k a o s telefon skom žieom fi ksnih krajeva, Tamo s m o vidjeli da se v a l o v i (što znači i frekvencije) umn ažaju u jednostavnom n i z u prirodnih brojev a : l v a l , 2 v a l a , 1 vala, . V i še

i

o tome

svemu

čime

,� m o s c

ba v i l i tl ovom pogl a v lj u može s e naći u : S c t h a res, W . A " Timing

tim bre JpectrUI1l sca le, S prin ger, 1 99 8 . Zvuk b i l o

koje boje može

OV()

je

samo

sc s intetizirati na

jedna

sc

modernim sintesajzerima,

TOČNO J T I

lllJ mnogih "toč n i h " razdioba,

,

" w č n o " po m a k n u t i i z E u E'

za

Umj eslo "ločnog"

pomaka iz D

1 6/ 1 S, itd, To č n o s t

se

ovdje

II

D#

za

J 6/ 1 5 ,

s am o

inttrv � l e : o ktavu 2/ 1 , k v i n lU 3/2. kvartu 4/3 , v e l i k u tercu 514 , mal u terc u 6/5 i sekstu SIJ . ( N a�a je razd ioba "naj točnija" jer s u omjeri pridruženi nj ezi n i m pol mo n o v ima omj eri najmanj i h mogućih hrojev a . ) Prirodna inton acij a često uklj u č uj e i dodatne i n terva l e . Naprimj er, Za rllinov čembalo (iz 1 6 , S L ) i m ao je i tipke z a D 1 0/9 , -E" = 3 2/27 , -F" 251 1 8 i -B 1 6/9 , MikrotonaIni kompozitori 2 0 , st., koj i rabe prirodnu intona c iju, uvode još c ijeli n i z točn i h to n o v a (tj , tonova ob l i k a min, gdj e su m i II mogli smo

-

:1 )

+

America, 3 :-: , 1 965 . Ako je osnovni ton D, m i n i m u m i su u D, F, F", G, A , H i d,

ko n s o n a n tne

2)

m uzičke ch'ame i zapravo su oni ton ika i

W Tnl1a/ Consonal1Cl' lind erilical Bandwidlh, Journal

4. J E D NO L l KO J T PROT I V I)

su

n aj bo lj e b i l o zapi sivati u pol uton s koj skal i , T a d a bismo imali slj edeće

=

"ma l i " prirod n i brojevi )

"Točnotonski" kompozi t ori ( i z 1 6 . i 2 0 .

=

s r) (o

odnosi

na

=

drže pred noŠĆu, a ne

nedostatkom ,

Vidi u ? ) u sporedb u

jednoliko temperi ra nog i prirodno i n ron i ranog zvuka, j e logariIal11ska, jer je dobivena l og:.t ritmi ranjem osnovn e skale po bazi ]J : l o gl' l = k. V i še o logaritmima u dodatku Potencije i logalitmi, V Ilh Puh!neij" i lugaritmi. Porcelama li "hijel i " ' d i o "prirodne" tabl i c e tako d a s e trozv uci poj av lj uj u u vertikali , l ako ćemo vidjeli da S l! b a š LO lro z v u c i koj i n e sadrže (u wb l i cama zaokt'užene) poglj e ške: S kala

94

III

IV

V

VI

VII

884

1 088

na C

O

204

386

498

702

E

O

204

498

702

na G

O

9

(3 386

498

702

II

III

IV

204

386

�

na

O

na C

na D.

O

na G 7)

II

O

1 82

skoro svi),

V

VI

VII

498

702

884

1 088

386

498

702

884

1 088

aaa

498

702

884

1 088

i n to nacija

a

u stanovlj e n o j e d a i s ta g l azba z v u č i t u ž n o i m e l an k o l i č n o . kada sretno i vesel o , kada

je i

se

izved e u j ednol ikoj . "led nol ikost" izaz i v a

akti v n a . "Točn o s t " s mi ruj e , č a k izazi va d e pres ij u . spora

" t o č n o s t i " depre s i v n i efekt t u m ač e

"led n o l i k o s C ' j e bezbojna, s i v a

2)

1 088

sljedbenike. Eksperimenti raj u ć i sa slu šatelj i m a nenavikl ima na prirodn u intonaC ij u (a takvi i n t o n acij i ,

l)

884

S današnj i m frekvenciometrima lO više n ij e problem. Možda baš zato prirodna

intenzivna

5.

(3 8

i

kao

je

se

opet n a l azi smo

uzbuđenje

i z v ede u

to(;noj

danas

i nervow,

i pas i v n a ( s ljedbl: n i \,; i

apsti nentsku k r i z u neuroti č n i h o v i s n ika

o

"jcd n o l i ko�t i " ) .

siromašna. "Točnost" j e oboj e n a , bogata i pun a . (Zar

tol i ko toga i zg u b i l i od renesanse do danas'?)

smo

"l. n i � [f1

P I T A
Razmatranj a do kraj a ovog pogl a v lj a pretpo s t a v ljaju pozna v a nje "kružne " a r i tmetike. koja je n a ved e n a u dodatku Kružna aritmetika. U očite cla jc I - (- n - I )x ;oo I + (n-I )x. jer prv i m i n u s pripada aritmetic i realni h brojeva ( kao j

m n o ženj e s x).

dok drugi

mi n u s pripada aritmetici modula N (kao

i invcrtiranje od

/l).

6 . DO BRO TEMPER IRA N I
2) 3)

4) 5)

6)

Uspore d i

6)

u 4. poglavlj u .

Vidjeli s m o d a

se u

j ed n o lik o j s k a l i o n i n e

raz l i ke n ije čula ni u izvornim

izvedbama.)

razl ikuju (usp.

6\

u

N a žalost , dri n a .� n.ie "j edn o l i ke" izv eclbe to onemog ućavaj u .

4 . pugl a v lj u ) .

(Utješno j e možda to što v e ć i n a

Ponegdj e čak i d u lje. Engleske s u o rgulje s red n j o t o n s k i ugađene j o š kroz

za p adn o ugađanje nema tako dugu pov ijest.

2 1 .52

S i n tonički

: 4

t o č n ij e

zarez

5.38

rent.

iznosi

2 J .52

cent,

i z r a č u n a to

p a t o č n ij e

cij elo

ugađanj a " 1 /6

z a r ez

a"

i "217 zareza",

koj a

o v o se

7)

si nton ičkog

d a lj e ) .

m o ž e m o i n tepreti rati i k a o srednj o to n sko ugađanj e " I I I I

z a re z a

1 1 1 2 P i t a gori n a .

V e l i k i cl ij a t o n s k i pol uton 1 -

=

sreclnjotonsko

i sre dnju to n s k a

=

90

tome u : M. L i n cl l cy, Pythagorean Intona tion and th e Rise of

cent (usp.

the

jer j e

Pri m ij etimo d a j e d n o l iko zare z a " ,

1 1 7 . 5 r e n t b i o j e n e p r ihva t lj i v ren e s a n s n i m glazbe n i c i m a ,

gotičkom sklonošću prema m a l o m dij a t o n skom p o l u to n u ] Research Chronicle , 1 9 80 .

su

s u imala lošij e terce, a l i zalo n i s u imala tako izrazitu v u čj u

k v i n t u k a k v u i m a s re d nj o t o n s ko ugađanj e " 1 /4 z a re z a" ( v i d i

temperi ranj e

N ijedno

k r a ć e nj e k v i n l e i zn o s i

Zbog ovog skraćenj a kvi n tc. z a l I4 s i n to n ičkog zareza,

u gac1anj e p rec i z n ije zove " s rednjoton sko ugadanje 1 /4 zareza". I n ače, postoj a l a =

1 9. st.

lju d i te

s

III I

još uvijek

pro š l o poglavlj e ) . V i še o

Triad, Royal Musical Association

95

8) 9) 1 0)

Neke teorije t o povez uj u s europskom g l a z b e n om tradicijom da se kvinta u v ij ek dopunj av a terc o m . K v i n takord e 1 . , IV. i V. tona l i te t i

re n e s an sn e

stupnja

možemo ra b i t i

i rane barokne glazbe.

"Crnu" aproksimacij u srednjoton skog u gađanj a ,

698 cent o

/"'..

106

rc

302

408

E

498

608

r

duru, što

n ado pu nj e n u pi tagorinskim

702

�?:

i

jesu

sta n d ardn i

"bij e l im " :

698 cent

702 cent

204

;;

C, D, F, G , A i l i B

u

804

�

906 1000 1 1 10 1200

l\.

:r;,,'!

i'''''

�

VVVV V 90 V 102 ·V 106 V 94 V 1 10 V V 102 V 106 110 90 SB I SB 1 94 1 1 1 1 1 I �----� 204 204 204 204 204

�-----,

mogl i

Pitagorinim temperiral!jem, jer nema vučj i h intervala, a u "bij e l om" Pitagorinog ugađanja. (To j e , prema Jorgensenu ,

b i s m o nazvati dobrim

dij atons kom područj u č u v a osnovne karakteri stike

ugadanje T. Younga iz 1 799.) I I ) Ovdje len l l l ll dobro temjJl !lirw(je rab imo u (inače uobičaj enom) u ž e m sm isl u . Dak l e , l o n ij e s a m o tem periranje koj e n e m a v u čjih imervala ( u t o m smisl u i j�dnnl iko je dobro), nego je 10 I lemperiranj e s razl i č l l o " o b o l e n lln"

I)

Od

90.-ih

Dnhro

napravljene

mnoge snimke dobro temperiranih i zved b i . Tako j e prij e neko l i ko g o di n a

Inna l i letima. su

tnnp erirani Beethoven,

s

pijanistom

E o Kathanom i ugođačem E . Footeom,

kojem su s n i mljene Wa/ds l e in, Patetična i Mondschei1l i zvo d i i sn i m a u p rirodnoj inton acij i . i zd a n C D ,

1 3 ) T o v o d i c u č i n i posebno aktivnom, pa se prij e l az na n i ž u s vakog jednolikijcg

temperiranja.

voelicu

držao

1. DVANAEST VELIČANSTVENIH I ) DetalJnije o verižnim razlomcima u dodatku Eudoksovo 1I1;",rel1je i verižni

DODATA k

1.

2)

I)

t.

l)

KRUŽ NA A R ITMET I K A

Vidi dod a r a k

broj e m (J n i kada

HutiuksU l'o ilije/eille i

Naravno. d ijeljenj e

na

s o n a t a . Takod er s e sve v i š e r a n e gl azbe

jednim

od v e ć i h pro b l ema

raz/omd.

nije moguće.

I'erillli ILIz/olI/ci

POTENCIJE I LOCiARIT MI Izvod o�tal i h prav i l a , tc još dctaljnij i prikaz potencij a i logarilama može se naći Šikića, M{tf(,l11atika 'Ul JI. razred srednje ,�kole, Pro fi l 1 99 :-\ .

u

knj izi Zvo n i m i ra

,

l. l)

2)

_j )

4)

EUDO I UOVO

V � R l t N I R A 'Z LOMC I usporedive, tj . da opetovanim pribraj a njem m anj e velič i n e samoj sebi to n ijc moguće, v e l i č i n e uopće nem aj u konačni omjer (ni rac ional an , ni

MJn � N J � I

Pretpos t a v lj a mo da

su

ve l i č i n e

premašiti već u . Ako i t"ilcional an). Z a negativne. je hrojcv e {jll < O . dok jc za pm:ilivne IJII � O. možemo

Pod

uvjewm da je ,munj i kol ičn i k.

Dokaz provouimo

96

za

u

�Iučaju

Naravno.

poopcelle verižne ra z l o mke

za

i > O uvijek vrijeui

ij, :2: I .

veći oci j (usp. gore). kol i čnici kojih m o g u biti pozi t i v n i realni b ro j ev i .

konač nog po�t u p ka,

Numericka matematika

Read more

Diskretna matematika

Read more

Felsőbb matematika

Read more

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

Read more

Mudah Belajar Matematika

Read more

Diskretna matematika s teorijom grafova

Read more

Ох, эта математика! (Uh, ta matematika, 1976)

Read more

Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA

Read more

Mahir Matematika 3 untuk kelas XII SMA MA Program Bahasa

Read more

I

Read more

I Miserabili - I

Read more

Algebra I: Pt. I

Read more

А.Насибов. I-W-I

Read more

Algebra I: Pt. I

Read more

I Sommersi E I Salvati

Read more

I Think I Love You

Read more

I Think I Love You

Read more

Europe: I Struggle, I Overcome

Read more

I Do But I Don't

Read more

I Think I Love You

Read more

I Capuleti e i Montecchi

Read more

I Did Tell, I Did

Read more

I Do (But I Don't)

Read more

I Rant, Therefore I Am

Read more

Europe: I Struggle, I Overcome

Read more

I Think I Love You

Read more

Pars I: Exercitia Latina I

Read more

I Think, Therefore I Laugh

Read more

I Think I Love You

Read more

I Vecchi E I Giovani

Read more

Recommend Documents

Numericka matematika

Prof. dr. sc. Ivan Ivanšić NUMERIĆKA MATEMATIKA ISBN 953-197-526-4 I van Ivanšić Redoviti profesor Fakulteta ele...

Diskretna matematika

CW- Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna biblioteka, Zagreb UDK 510 l 512 (075.8) 519.1 (075.8) ŽUBR...

Felsőbb matematika

...

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

i PEN NGANT TAR DASAR D R MAT TEMA ATIKA A Oleh: Suryo Widodo W FAKU ULTAS KE EGURUAN N DAN IL LMU PEN NDIDIKAN N ...

Mudah Belajar Matematika

untuk Kelas VIII Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindung...

Diskretna matematika s teorijom grafova

Diskretna matematika s teorijom grafova Blaˇzenka Divjak Alen Lovrenˇci´c Varaˇzdin, 2005. Predgovor Ova je knjiga n...

Ох, эта математика! (Uh, ta matematika, 1976)

Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA

Nugroho Soedyarto Maryanto Matematika Untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA Pusat Perbukuan 2 Departemen Pendid...

Mahir Matematika 3 untuk kelas XII SMA MA Program Bahasa

Bab w. me da li.c om 1 : er mb Su ww Program Linear Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan ...

I