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a & . . . & a 1
n
5 1 1
> 0& 5 1 1 1
n
kak ≤
n 2
k=1
+
n
k=1
akk
8 1 M 1 1 D a b " 1 # 1 1 M & a+b 1 M gcd(a, b)
J$ K n! > 3
> : 1 ; AB
BC 3 AM & M N & N C & 3 M ∈ AB N ∈ BC
3 5 1 & (n + 1)! ' 5 > 1 P6 5 1 > P6 & P7 & P8 & . . . < 5 Pn < 12 n ≥ 6& 1 = 1
!
1 abc = 1 8 1
a& b& c < 1+a 1+b 1+c + + 1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ca
n ≥ 1 8 1 3 5< 1
7 · 4n = a2 + b2 + c2 + d2
ABC
M N
: 1 AB AC 3 BN CM P Q <
P & Q 5 ABC :
" $ f : R
+
x&y > 0 D
→ R+ & % 1
f yf (x) (x + y) = x2 f (x) + f (y)
9
n "n > 10# < 1 ,< < 1 ;
9
2
& 1
1
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1
10 ! < 1 " 3
1
9 # $ n & 5& > 5
*O B> XXXA / ' C())* D ()H
8 , C())* D O !O -H
: ;
+ < {a1 & a2 & . . . & a50 & b1 & b2 & . . . & b50 } 100 < |x − a1 | + · · · + |x − a50 | = |x − b1 | + · · · + |x − b50 |
N "N % # . > N + ) $
; f (x) = |x − a1 | + · · · + |x − a50 | − |x − b1 | − · · · − |x − b50 |
{c1 & . . . & c100 } = {a1 & . . . & a50 & b1 & . . . & b50 } c1 < · · · < c100 $ f (x) = 1 |x − c1 | + 2 |x − c2 | + · · · + 100 |x − c100 |& i = 1 ci = aj j i = −1 ci = bk k $ & 1 + 2 + · · · + 100 = 0& f (ck+1 ) − f (ck ) = = =
1 (ck+1 − ck ) + · · · + k (ck+1 − ck ) − k+1 (ck+1 − ck ) − · · · − 100 (ck+1 − ck ) (1 + · · · + k − k+1 − · · · − 100 )(ck+1 − ck ) 2(1 + · · · + k )(ck+1 − ck )
. x ≤ c1 f (x) = (a1 + · · · + a50 ) − (b1 + · · · + b50 ) x ≥ c100 & f (x) = (b1 +· · ·+b50 )−(a1 +· · ·+a50 ) f
(−∞, c1 ] [c100 , +∞) N % & f (x) S
4 & f (x) > 0 x ≤c1 $ f [c 1 , c100]
c1 , f (c1 ) & c2 , f (c2 ) & . . . & c100 , f (c100 ) & f
[c1 , c2 ]& . . . & [c99 , c100 ] $ f
[ck , ck+1 ] [ck+1 , ck+2 ] ' & f (ck+1 ) M f (ck ) f (ck+2 ) A > f (ck ) > 0& f (ck+2 ) > 0& f (ck+1 ) < 0 f (ck+1 ) − f (ck ) f (ck+2 ) − f (ck+1 )
= =
2(1 + · · · + k )(ck+1 − ck ) < 0 @ 2(1 + · · · + k + k+1 )(ck+2 − ck ) > 0 &
1 + · · · + k 1 + · · · + k + k+1 & & M ±1 $ & f 50
4 50
f
f 50
A f J K x f (x)
c1 +
↓
c2
−
c3
↑
c4
c5 +
··· ···
c97
↓
c98
−
c99
↑
c100 +
* f $ &
f 50
& f (−∞, c1 ] [c100 , +∞)& > f 49
f (x)
=
|x − 1| − |x − 2| − |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| − |x − 6| − |x − 7| + |x − 8| + · · · + |x − 97| − |x − 98| − |x − 99| + |x − 99.5| &
f (1) = −0.5 & f (5) = −0.5 & ··· f (97) = −0.5 &
f (2) = 1.5 & f (6) = 1.5 &
f (3) = 1.5 & f (7) = 1.5 &
f (98) = 1.5 &
f (99) = 1.5 &
f (4) = −0.5 & f (8) = −0.4 & f (99.5) = 0.5 &
f 49
& [1, 2]& [3, 4]& . . . & [97, 98] $ & > N 49 B> 5 B ' ())O!())& S ,& . . / & C())* D EO-H #! $
$ < ABCD AC DA · AB + BC · CD = BD AB · BC + CD · DA
+ $ 2 $
= 0 $
> ! ? $ = " @ 9 A ; ? @ ( ; ... ................... ...................
... ... A ...........................................................................................................................................D
$ 5 <
D 4 [XY · · · Z] XY · · · Z 9 [ABC] = (AB · BC · CA)/4R& R & < [ABCD]
=
[ABC] + [ADC]
=
AB · BC · CA AD · DC · AC + 4R 4R
[ABCD] = [ABD] + [BCD] =
A
@
...... . .. ............. ....... ..... ..... ....... ........ ....... .. .. ....... ... ... ....... . . . . . .... ...... ........... . ... ... ....... ... .... ....... ... ... .... ............. ..... ..... . . . . . . . . . . . . .. . ......... . . . . . . ... ..... . . . ... ... ... .................... ......... .... . . .... ... .... .............. ... .. . . . . . .... .................... .. . . . . . .... . ....................... .... . ..... . ... . . B ...... ............................................. ............. ......... ..... ............ .... . . . . . . . . . . . ............ ..... ............ ...... .... ..... ....................... ...... .......... ..... ........................................... C
AB · BD · AD BC · CD · BD + 4R 4R
AC(AB · BC + CD · DA) = BD(DA · AB + BC · CD)
*
x 0 < x < 2004 x + x2 = x2 + xI " c k k ≤ c# + 0 $
> ! ? $ = ) $
; ? $
1 + ; f (x)√= x − x + x2 − x2 4
√ I0 = (0, 1) In = n, n + 1 n 1 ≤ n < 20042 . x ∈ I0 f (x) = x − x2 > 0& f
I0 n < & n = N 2 N $ 2 2 f (x) √ = x − N + N − x In & f In & f n = 0 & & f >
In 2 B n + 1 < & n + 1 = N N > 1 A x ∈ In & x2 ∈ [n, n + 1) = N 2 − 1, N √ √ n, n + 1 ⊂ [N − 1, N ) $ & x ∈ f (x) = x − (N − 1) + (N 2 − 1) − x2 = N 2 − N + x − x2 √ x ∈ In x − x2 x > 1 1 < x < n + 1 √ x ∈ In & f (x) > N 2 − N + n + 1 − (n + 1) = 0 x ∈ In $ & & f
In . & n n + 1 < & & N 2 < n < n + 1 < (N + 1)2 $ f (x) = n − N + x − x2 x ∈ In f In & f
In
In √ √ √ f n = n−N + n−n = n − N > 0
$ f (x) In D lim √ x→( n+1)−
f (x)
=
√ n + 1 − N + n − (n + 1)
=
√ n + 1 − (N + 1) < 0
&
x0 ∈ In f (x0 ) < 0 f √ n, x0 & A 0 $ f
In $ & & f >
In A & 20042 I0 & I1 & . . . & I20042 −1 $ 44
IN 2 −1 & N = 1& 2& . . . & 44&
f $
;
, < & < 20042 − 44 = 4015972
s(n) n n
& (a, b, c)& . 1 < a ≤ b ≤ c s(a) + s(b) = c& s(b) + s(c) = a& s(c) + s(a) = b 8 (a, b, c) c
* + ) $
; (a, b, c) c A c > 2& c = 1& 2
c 2
c
c s(c) > + 1 s(a) + s(b) + 2s(c) = a + b 2 a+b−c a+b−c c s(a) + s(b) = c s(c) = & ≥ +1 2 2 2
a + b ≥ 2c + 2& a ≤ c b ≤ c $ & c = 2 1 < a ≤ b ≤ 2& (a, b, c) = (2, 2, 2)&
$ A k A x y A& 2x& 2y & x + y A $ A s . > s + 0 $
> ! ? $ = $ ) & ' 929 2 2 = ) $
; ? ) ; A = {a1 & a2 & a3 & . . . & ak }& a1 < a2 < · · · < ak A ai ≥ 2i i& ai x + y 2x x y
i M ai ∈ A& x ∈ A y ∈ A & i A ai & $ & ai ≤ 2i − 1 i $ {1& 3& . . . & 2k − 1} > & 1 + 3 + · · · + 2k − 1 = k2 # $
ABCD S
AB CD E
AB EC AD . & AC & BD& DE t& ABC T 8 AB : CD& t : T > + ) $
= " @ 9 A ; ? @ ( ; M D C AC BD & N AC ..................................................................... .... ................. M ........ .... ..... DE .. .... ................. .... .... ... ... ..... .. ... ... . ... ..... ....... .. . EC||AD AE||DC & ... . ....... .. ... ..... N............ ... ...... . < AECD & .... ........ ..... .... ........... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N
AC ... . .......... . .... .................................................................................................................... . a = AB & b = CD M CD A B E
M AB MC b NC − MN b AC − 2M N b = ⇔ = ⇔ = MA a NA + MN a AC + 2M N a
+ <
MN a−b = AC 2(a + b)
A ht
DM N D& hT ABC B &
**
DM b ht = = hT MB a
A t T
=
M N · ht AC · hT
=
b a
·
a−b 2(a + b)
=
a b
−1
2 ab ( ab
+ 1)
&
a x−1 = x > b x(x + 1) x−1 −x2 + 2x + 1 f (x) = & f (x) = & f x(x + 1) x2 (x + 1)2 √
%
> √ x = 1 + AB : CD = 1 + 2
2 & t : T > S
+ S $ . 2 $ > "
; & < # $ 1757 $ 1756 4 I + 0 $
> ! ? $ ; + $ 1756 N = 4p& p "1756 = 4 · 439& 439 # $ & {hn }n≥1 {bn }n≥1 < + & H B & 4 h1 = 2& b1 = 4& T = {h1 & b1 & h2 & b2 & . . . & hn } n H n − 1 B Pk = {2k& N − 2k} 1 ≤ k ≤ p − 1& B 5 n & n ≤ (p − 1)/2D " # A > k 1 ≤ k ≤ p Pk ⊆ T an = 2p& B bn = N "
# ' & B bn = 2m&
m = min{k : Pk ∩ T = ∅}
A Æ "# + & B
bn " # "
# "# < & hn+1 = N @ & H
" # $ n ≤ (p − 1)/2 . . "# A " # & B bn = N A B "
#& |T | = 2(n − 1) + 1 < p − 1@ & m
*F % $ m − 3 P3 & . . . & Pm−1
{b1 & b2 & . . . & bn−1 } " B 5 # & U = {2& 4& 6& . . . & 2(m − 1)} ∩ T 2 + (m − 3)/2 = (m + 1)/2 4 % (m + 1)/2 Qk = {2k& 2m − 2k} 1 ≤ k ≤ (m − 1)/2 + & > k (2 ≤ k ≤ (m − 1)/2)& |Qk ∩ U | = 2 $ & bn = 2m = 2k + (2m − 2k)& 2k 2m − 2k Qk ∩ U ⊆ T . . "# c& d ∈ T ∪ {bn } N = c + d N = cd A N = c + d& > k
{c& d} = Pk & 1 ≤ k ≤ p − 1 & "
# B c d A N = cd& {c& d} = {2& 2p}& 2p . . " # 4 d = |{k : Pk ∩ T = ∅@1 ≤ k ≤ p − 1}| A d = p − 1 d 1 B "
#& & (p − 1)/2 B d = 0& B " #
B> 5 B ' ())O!())& 2 EE!E(& . / & C())* D EO*!EOFH $
.
< D
x+y+ x−y 2
2
2
x −y −z 2(log |y|−log z)
= 10 & = 476 & = 1
+ ( ";-; ? ?. % & ? 0!= " @ 9 A ; ? ? ;
< "E#& "(#& "G#& . "G# z = |y|& z 2 = y 2 "(#
< "E#&
x2 − 2y 2 = 476 2x + 2 x2 − y 2 = 100&
"O#
x2 − y 2 = (50 − x)2 = x2 − 100x + 2500 &
y 2 = 100x − 2500 "O# & x2 − 200x + 4524 = 0 (x − 26)(x − 174) = 0 & x = 26 x = 174
F) & √ x =√174& y & x − y > 174 > 10& "E# $ & x = 26& "O# y = ±10 . & (x, y, z) = (26, ±10, 10) √
x+y+
A ABC &
B1 C1 BC &
B2 AB &
C2 AC B1 B2 AC C1 C2 AB B1 B2 C1 C2 D 8 BB1 B2 CC1 C2 b c& "# b = c&
ABC AD "# . b : c D ABC AB = 4& BC = 5& CA = 6 + " @ 9 A ; "# F ABC M = AD ∩ BC . & b c Fb Fc & B1 B2 ||AC C1 C2 ||AB & FB = F
BB1 BC
2
@
FC = F
CC1 BC
A . ....... .. ...... .. .. ... .. .... ....... . .... .. . 2 .... .. .... .... .. ... 2 ..... ..... .. .. ...... ..... .. . . .... . . .... .. ....... .... .... .. .... .... ... .. .. .... .. .. .... .. ...... .. .... .. . . . .... . ...... . .... ......... ... .... . . .. ... . . .... . . . . .... ... ... ...... ... . .. .... . .... . . . . . .... .... ... ... ... .... .... . ... . . .... . . .... . . .. .... . ... ... . . . ................................................................................................................................................................
2
&
BB1 = CC1 " BC1 = CB1 # FB = FC + 5
ABM B1 DB2
C
B
D
B
C1 M
B1
C
B1 M B2 B DA · · = 1 B1 B B2 A DM
& 5 ACM
C1 DC2
C1 M C1 C
·
C2 C
C2 A
·
DA
DM
= 1
$ < B1 M · B B
B B
C C
B2 B C2 C = C1 M · B2 A C2 A C C
2 = 1 = 1 = 2 & B1 M = C1 M & M B2 A B1 C C1 B C2 A
BC " BC1 = CB1 # A
ABC AD "# a = BC & b = CA& c = AB & r ABC & hb hc ABC B C &
FE BB1 B CC1 C2 & 2 BB1 2 BB1 2 BC 2 hb − r hc FB = = = · FC CC1 BC CC1 hb hc − r 2F
2F
2F
+ hb = & hc = & r =
b c a+b+c FB FC
2F b
= =
2F a+b+c 2F b
−
a+c a+b+c
·
·
2F c
a = 5& b = 6& c = 4 &
2F a+b+c
a+b+c a+b
2
2F c
−
2 =
a+c a+b
2
FB 81 = FC 121
$ n d1 < d2 < · · · < d8 & d1 = 1 d8 = n A
20 ≤ d6 ≤ 25 . n + ( ";-; ? ?. % & ? 0!= " @ 9 A ; ? ? ; $ n 66& 88& 105& 110& 154 ! αk 1 α2 n n = pα αi 1 p2 · · · pk & pi 5 p1 < p2 < · · · < pk + ! n
& (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1) = 8 & ! D k = 1 α1 = 7 ! D k = 2& α1 = 1& α2 = 3@ α1 = 3& α2 = 1 ! %D k = 3 α1 = α2 = α3 = 1
A , E n = p7 p $ d6 = p5 & 20 ≤ p5 ≤ 25& p < 2& A , ( "(# n = p1 p32 "(# n = p31 p2 p1 p2 p1 < p2 A "(#& d6 = p1 p22 1 < p1 < p2 < p1 p2 < p22 < p1 p22 < p32 < p1 p32
& 20 ≤ p1 p22 ≤ 25 ,& p2 ≤ 3& p1 = 2 p2 = 3 p1 p22 = 18& $ & "(# A "(#& % d6 A p2 < p21 & d6 = p31 1 < p1 < p2 < p21 < p1 p2 < p31 < p21 p2 < p31 p2
& 20 ≤ p31 ≤ 25& A p2 > p21 & d6 = p1 p2 1& p1 & p2 & p21 & p31 p1 p2 p1 p2 < p21 p2 < p31 p2
F( & 20 ≤ p1 p2 ≤ 25 (p1 , p2 ) = (2, 11) (p1 , p2 ) = (3, 7) $ % n = 88 32 > 7 . & , G d6 = p1 p3 & p1 p3 < p2 p3 < p1 p2 p3 1& p1 & p2 & p3 & p1 p2 p1 p3 & 20 ≤ p1 p3 ≤ 25 (p1 , p3 ) = (2, 11) (p1 , p3 ) = (3, 7) "(# 4 (p1 , p2 , p3 ) = (2, 3, 11)& (2, 5, 11)& (2, 7, 11)& (3, 5, 7) $ n 66& 110& 154& 105 $ & n = 66& 88& 105& 110& 154& # $
n a & a & . . . & a
1 2 n " # a1 + a2 + · · · + an = a1 a2 · · · an = n .
+ 0 $
> ! ? $ ; ' n = 4 A n = 1 n > 4 n 0 1 4& n D ak
n n = 8m (m ≥ 1) n = 4(4m − 1) (m ≥ 1)
n = 4(4m + 1) (m ≥ 1)
n = 4m + 1 (m ≥ 0)
4m 2 1 −1 4m − 1 2 1 −1 4m + 1 2 1 −1 −2 4m + 1 1 −1
n ≡ 2 (mod 4) A n = ak $ &
n k=1
n k=1
1 1 6m − 2 2m 1 2 14m − 7 2m 1 1 14m + 2 2m − 1 1 1 2m 2m
ak & >
ak & < n
. & n ≡ −1 (mod 4)& n = 4m − 1 n =
n k=1
ak &
q ak −1 4 4m − 1 − q ak 1 4 $ q &
FG
q = 2s + 1&
$ & n =
n k=1
n k=1
ak ≡ (−2s − 1) + (4m − 1 − 2s − 1) ≡ 1 (mod 4)
ak n
$ & n n = 1 n > 4 n 0 1 4
a& b& c "#
a2 + b2
+ 1
2
≥
1 + a b
2
a+b
+
2
√ ab
"# A
√ a+b+c a2 + b2 + c2 3 3 ≥ abc I + 1 + 1 1 3 3 + + a
b
c
+ 2 ) 2 # 92 & 2= $ 2 ' $
= ) $
= " @ 9 A ; ? . @ ; "# A a = b& < a = b& !
< < D
a2 + b2
2 2 ( a +b 2
2
+
2 1 a
+
1 b
√ a2 + b2 − ab 2 √ √ 2 2 − ab)( a +b + ab) 2 √ a2 +b2 + ab 2 (a − b)2 √ 2 2 2( a +b + ab) 2 a+b
√
≥
a+b
≥
a+b 2ab @ − 2 a+b
≥ ≥
2
+
ab @
(a + b)2 − 4ab 2(a + b) (a − b)2
@
@
2(a + b) √ a2 + b2 ≥ + ab @ 2
FO √ a2 + b2 + ab + 2 ab 2 2 √ a2 + b2 a2 + b2 + ab − 2 ab 2 2 ⎛ ⎞2 √ a2 + b2 ⎝ − ab⎠ 2 a2 + b2
≤
a2 + b2 + 2ab @
≥
0@
≥
0@
< "# $ a = 1& b = 2& c = 3 <
√ 14 18 3 + ≥ 2 + 6& 3 11
& √ 19 < 2 + 3 6 5
14 3
+
18 11
<
19 5
C;B + & / & .
& G( ' ())- H
$ ABC & ∠BAC = 60◦ & AB = c& AC = b
b > c $ ABC M O& $ OM AB CA X Y & "# AXY b + c "# OM = b − c + * = 6;#;
) @+ ! = " @ 9 A ; ? .
); "# α β A A B & . ......... .......... ∠AM O = ∠AOM & ∠XAM = ∠Y AO = 90◦ − β &
E
. ................. ..
AM = 2R cos α = R = AO &
.. . .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. .... .. ... .. ... ... .... .... ....... . . .... .. . .. .... .. ..... .... .... .. ... .. .... .. .. .... ... .... .. . .. .. .... . . .. . .... .... .. ... .. .... ... . . . . .. ....... ...... . ... . . .... ... . ...... ... . . . . . ...... . ..... ..... ...... .... .. ........... .. ........ .... ..................................... ............... . . .. .... . .... . . ............. . . . . . . . . . . . ........... .................................. ................. . ... ........... ....... ............. . ............ ....... .......... ........................ ........................... ............ ... ............ ................... ......... .... . ............. ........... . .. ...... . . . . . ... . ........... .... . ........... .... ..... .... ............ .. .... ... ........... .... ........ ... . ......... . . . . . . . . . . ........... ......... .......... ... ......... ............ . . ..................................................................................................................................................................................................
F
X
M
O
Y
Z
XAM ∼ Y AO C $ & ∠AXY = ∠AY X = 60◦ B D AXY < B ∠ABM = 30◦ & ∠XM B = 30◦ XB = XM A Y C = Y M A
AXY b + c
F "# Z
AC AZ = AB = c $ ZC = b − c& "#
Y Z = BX = M X = OY
$ & Y OZ & ∠Y OZ = ∠Y ZO = 30◦ ∠M CZ = ∠CM O = 30◦ & M CZO S
$ OM = ZC = b − c& B
A $ $ A' ())(& C())* D EOF!EEH
A& B & C
B A C Γ1 & Γ2 & Γ3 & AC & AC & AB & BC & l AC B Γ l& Γ1
& Γ3 > D
Γ Γ3 $ Γ D l E AB = DE + 0 $
> ! ? $ ; O& P & Q& Γ1 & Γ3 & Γ& r& s& t
Γ2 & Γ3 & Γ& Γ l
F $ Γ D l
G u GB & GD& GF α = ∠BP D E ..........
..... ...... .... .... ... .. .... ... ... ... .... ... ... .. . . ..... .... ... ... 1 . . . . . . . . . . . ..................... ..................................... .... . . . . . . . . . . . . . .... ......................... .......... .. ........ ............. . . . . . . . .... .. .......... .... ....... . . ..... .......................................... ..... ..... ... .... . ... .. . 2 . .. ...... .......... . .. . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . .................. ........ .... .. ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... . ......... ............................... . ... .............. . . . . . . . .. .. . ... ....... .. .... .. ........ . .. ..... . . . . . . . . ..... .... .... .. .. ... .. ...... . . . . . . . . .... ... ... ... ... .. . . .. .... . . . . . . . . . . .. ........ ... ... ............ . 3 ... .. ... ..... .. .... ... .... ............................................................................... .... ...... . ..... .. ..... ....... ....... .. . . . ........ . .. .... ... ... . ... ...... .... .... .. ... .... .. ..... .... ............ ..... .. ... ...... . ...... . .... . . ... ...... ... ... . . ... . ......................................................................................................................................................................................................................................................
l
Γ
Γ
Γ
q
t
Q
........... .......
F
A
q
q
O
I @
....... .........
r
G
B
D s
q
P
Γ
C
+ , OP Q (r + s − t)2
= OQ2 = OP 2 + P Q2 − 2OP · P Q cos ∠OP Q & = r 2 + (s + t)2 − 2r(s + t) cos α @
cos α =
2st + rt − rs rs + rt
"E#
F , BP D& BGD& DGF & DQF 2s2 (1 − cos α) = 2u2 (1 − cos α) =
BD 2 = 2u2 (1 + cos α) & F D 2 = 2t2 (1 + cos α) @
& (1 + cos α)t = (1 − cos α)s 4 cos α > < "E#
rt + st
rs − st
t
=
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rs
t > 0& t = r+s d = ED 4 EF Q EBP ! & d − t = EQ =
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ABC H O
D& E & F BC & CA& AB & & AD& BE & CF DO + DH = EO + EH = F O + F H
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a& b& c a
2
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b c 9 a + 2 2 + 2 2 ≥ b2 c2 c a a b a+b+c
F + 2 ) 2 # 92 & 2= $ 2 ' $
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(a + b + c) · ≥
a bc
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a2 + b2 + c2 = 3abc a b $ & 2 2 + 2 2 + b c
b c2 a2
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3abc abc
2 = 9&
c 9 ≥ a 2 b2 a+b+c
";B Q N(*F C())G D GE*H C())O D GEOH#
ABC P >
AP & BP & CP " > # BC & CA& AB D& E & F & A P BD& P CE & P AF < & < ABC + 0 $
> ! ? $ ; [XY Z] XY Z 4 [ABC] = 1 (a, b, c)
P
ABC $ " # P BD ⎛
a ⎝ 0 [P BD] = 0
&
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b b+c
ab a+c
c 0
c b+c
⎞ ⎠ =
ac b+c
ab
[P AF ] = $ a+c |[P BD]| = |[P CE]| = |[P AF ]| |a(a + b)| = |b(b + c)| = |c(c + a)|& a(a + b)& b(b + c)& c(c + a) < 4 a(a + b) = c(c + a) 4
a = 1 $ & 1(1 + b) = c(c + 1)& b = c2 + c − 1 "E# $ < |b(b + c)| = |a(a + b)| = |1 + b| ! b(b + c) = 1 + b 4 b "E# 2 c + c − 1 c2 + 2c − 1 = c2 + c @ c4 + 2c3 − c2 − 4c + 1 = (c − 1) c3 + 4c2 + 3c − 1 = 0
F* A c = 1 b = a = 1& P >
ABC , < & c3 + 4c2 + 3c − 1 = 0 A "E# c 2 c + 2c c2 + 2c − 1 1 = −1 = −[ABC] & 3 2 c + 4c + 3c − 2
[P BD] = =
! b(b + c) = −1 − b 4 "E# 2 c + c − 1 c2 + 2c − 1 = −c2 − c @ 4
3
2
c + c + c − 2c + 1 =
"(#
0
4 f (x) = x4 + 3x3 + x2 − 2x + 1 x ∈ R& "G# f (x) = x4 + 3x3 + (x − 1)2 & f (x) > 0 x ∈ (−∞, −3] ∪ [0, ∞) A Æ f (x) > 0 x ∈ [−3, 0] t = −x $ T2 A< f (x)
t 2
t 2
(3 − t) + (t + 1)2 3 1 t t −4t + +3−t + (t + 1)2 = (t − 1)2 ≥ 0 & −4t
= ≥
3
2
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x & x & . . . & x 1
2
n
√ x2 xn x1 + + ··· + < n 2 2 2 2 2 2 1 + x1 1 + x1 + x2 1 + x1 + x2 + · · · + xn
+ 2 ) 2 # 92 & 2= # % 6 C ' &' D 9 ; ? . 6 C ' ; . u = (a1 , a2 , . . . , an ) v = (1, 1, . . . , 1)
, T S A< a1 + a2 + · · · + an ≤
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x1 1 + x21
xi 1 + x21 + · · · + x2i
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√ 2 n a1 + a22 + · · · + a2n
1 ≤ i ≤ n& Æ
2 + ··· +
xn 2 1 + x1 + x22 + · · · + x2n
2 < 1
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2 ≤ i ≤ n x2i
2 1 + x21 + · · · + x2i
≤ =
x2i 1 + x21 + · · · + x2i−1 1 + x21 + · · · + x2i 1 1+
x21
+ ··· +
x2i−1
−
1 1+
x21
+ · · · + x2i
> & n
i=1
1 x2i < 1& ≤ 1− 2 2 2 2 1 + x1 + · · · + x2n 1 + x1 + · · · + xi
"
P QR SRP & T P Q& U QR > P QR& SP = SR& T P = T Q& U Q = U R& ∠P SR = 2∠QP R& ∠QT P = 2∠RQP & ∠RU Q = 2∠P RQ S & T & U
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+
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+ 0 $
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ΓT T ! . ... .... .. . . .. ...... ... .... .. .... ..... ... ... .. .. .. .... ... . . ¯ ¯ . . . . . . . . .... .. .. ... ... . .. T P P S = P S & P ... ... .. .. .... .. ..... ....... ... ..... ... ... ... ¯ ... ... .... .... . ... ... P . . . . ... . . . . . . . . . .. ............... ΓS S . .... ... . . . . . . ..... .... ..... . . . . ........... .... . .. ... .................. .... ........... .. .. . . . .... .... ........... .. ◦ . ... ............ ... ... ¯ . . . . . . .. ... . .. .. SP $ & ∠P P Q = 180 = β .... ...... ... .. ... ...................... ....... .... ........ ............... .... . ... . . .... ........ . . . . . . . . . . . . . . .. ................................................................................................................................................................................. ∠RP¯ P = 180◦ −α 4 .... ... .. ... .. ..... .. .... ... ........ Q . . . P . . . . . ..... ... ..... .... .. ..... ... ..... ∠QP¯ R = 360◦ − (180◦ − α) − ..... .. . .... . . . . . . . . . . . ..... ... ...... . .. . . . . . . . . . . .. ..... .. . ..... ..... ........ .. ..... (180◦ − β) = 180◦ − γ & P¯ ..... .. ..... ... ....... ..... ... .... ... ..... ..... ....... .. ..... . . . . . . . .......... .. ....
ΓU U ............... .... U R T 4 ! ΓS & ΓT & ΓU P¯ + ¯ R ¯ & P ST ∼ & P¯
Q = P¯ ST & ∼ ¯ ¯ QT U ∼ P T U & RU S P U S = =
E)) A B T R SU & $ RT TT
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[P¯ T U ] [P¯ U S] [P¯ ST ] = 1+ + 1+ + 1+ = 4 [ST U ] [ST U ] [ST U ]
a& b& c a b c c+a a+b b+c + + ≥ + + b c a c+b a+c b+a
+ 2 ) 2 # 92 & 2= $ 2 $
; ? 2 ; 8 & c = min{a& b& c} x& y & z S x2 z + y 2 x + z 2 y = 3xyz + z(x − y)2 + y(x − z)(y − z) &
x y z + + y z x
= =
x2 z + y 2 x + z 2 y xyz (x − y)2 (x − z)(y − z) 3 + + xy xz
x = a& y = b& z = c x = c + a& y = c + b& z = a + b&
" # < a b c + + b c a c+a a+b b+c + + c+b a+c b+a
= =
(a − b)2 (a − c)(b − c) & + ab ac (a − b)2 (a − c)(b − c) 3 + + (c + a)(c + b) (c + a)(a + b) 3 +
, < & (c + a)(c + b) > ab& (a + b)(c + a) > ac& (a − b)2 ≥ 0& (b − c)(a − c) ≥ 0
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2 p& n pn 2002 S + 0 $
> ! ? $ ; 4 S D 2 p
N & % n pn N S $ ! p ∈ {2& 5} k > N & k ∈ Z& n = φ 10k = 25 · 10k & 4 pn > 1 & ? 5 & φ ? 5 n k p ≡ 1 mod 10 @ n ! p = 2 k > 2N & k ∈ Z& n = φ 5k + k = 4 · 5k−1 + k k 4 2n > 2k & ? 5 & 2φ(5 ) ≡ 1 mod 5k k $ & 2n = 2φ(5 ) · 2k ≡ 2k mod 10k k > 2N > log5 10 · N & 10k
k = 5k > 10N , < & 2n 2
N S 2k
! % p = 5 k > 4N & k ∈ Z& n = φ 2k + k = 2k−1 + k 4 k 5n > 5k & ? 5 & 5φ(2 ) ≡ 1 mod 2k k $ & 5n = 5φ(2 ) · 5k ≡ 5k mod 10k k > 4N > log2 10 · N & 10k
k = 2k > 10N $ & 5n N 5 S 5k
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& > KA $ KA X1 X2 >! A A & C(H &
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1 ∠BAC 2
' & AX1 X2 & ∠AX1 X2 = ∠AX2 X1 = 90◦ −
1 2
∠BAC
8 A1 & A1 P A1 & N A1 X1 X2 & ! $ & < AP X1 A1 AN X2 A1 A1 CA > B A & ∠AP X1 = 180◦ − ∠AA1 X1 &
∠AN X2 = ∠AA 1 X2
E) & < AP A N &
◦ 180◦ − ∠AA1 X1 + ∠AA 1 X2 = ∠AP A + ∠AN A = 180
& ∠AA1 X1 = ∠AA1 X2 A1 = A1 & A1 X1 X2 $ D ! % 2 ABC &
N P CA AB ! B C & A1 Y
A
N P 8 A1
. .... .... .... .... .... .... ... . .. .... .... .. ... .... ... .... ... ... .. .. ... . ... ... . ... . . . . . .. .. ... ... ... ... .. .. ..... ... .. .. ....... .. ... . .... .. .. ... ................................................................. ..... .. ............. .. ............. .. ... .......... ... ................ ........ . . . . . . .... . . . . . ........... ... ....... ... .... .... .... .... .... ... ............... ...... ... ............... . ........... ... . ......... .... ....... ..... .............. ...... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .. ........................ .. .......... ... ... .... .................. .......... .. .. ..... ....... .. ...... .... ... ....... .. .... ........ ......... ..... .............. .... .... .. ................... ......... . .. ... . . . .......... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ......... .... ... .... .. ... .... ... . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... .. ... .. ... ..... ..... ... .... ..... .................... .............. ........ ................ ... ....... . . . ........ 2 ........... ........................ .. ...... ... ... ...................... .... .. ....... ....... ............. . . . ..... ... .... .... .. ....... .................. . ....... ......................... 1 . . .. . . . . . . . . ... .... ...................... .... . ... . . . . . . . . . . .......... .... ... . . .. ... ...... .......... ............ ... . . . . .. . . . .......... ... ... . . ........ . ... ... ............. ...... . . . ....... ... ... . . . . . ....... .. .......... ...... . . . . . . . . . .. . . ... ...... ... ... . . . ....... ... . ... ... .... . . . . ... ...... ... ... ................... .... . . . . ....... .. ..... .... . ................. ... ....... ................ . . ... . ....... ... .... ... . ............................... .. . . . . . . . . . . ........ ................................ ..... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .. ..... . . ....... ....... .......... .... ........ ... .... ..................................... ......... ... ... ....... A .......... . .. .. .. ... .... ..... .... ... ..................... ... .... .. ... ................................................................................................................................................................................................................................................................ .. . . . . . .. .. ... .... .... . . . . . . . . . . . . . . ................. .. .... ... .. .. ..... .. ................. ... ... ... .. ................. .... .... ......... .... ............ ................. .... ... ... ... ... ....... .................. ... ... ...... ... .. ... ....... ... .. .................. . . . . . . .. . .......... ... . ... .... ... ... 1 ..... .... .......... ...... .... ... .... ....... . . . . . .. . ... ... ... ....... ... .............. .. ....... ......... ... ... ......... ........... ... .......... .............. ... ................................................................ .. ... .. ..
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A BC & < AA0 A A S
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3 A& B C 1 x& y z 1 < <
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9 % &
a& b c 1 < abc = 1 < √ 3
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*
(an ) % 1 a0 = 6 1 an+1 =
1 13
8an 3a2n + 13 − 6a2n − 13
n ≥ 0 < an & < a2n − an+1 13 n ≥ 0
E)F
*
Sp (n) = 1p + 2p + · · · + np ' 2 ∞
S−1 (n) n=1
S1 (n)
=
1 2
∞
S−1 (n)
n=1
+ 2
S3 (n)
∞
S−1 (n)
n=1
S1 (n)
$
# % 6 C ' & 9
I(φ) 5 ! 1 1 ! φ "# 8 1 f : Ip ⊂ R → R\{0} < f (0) = 1 f −p ∈ I(f ) 3 p 5 Ip S
1 3 5 1 > 1 1 f "# < p = q Ip = Iq
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9 " 9 "
1
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"# <
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k(k + 2)
k+1 n 2 k +k+1
< n+1 <
k=1
k(k + 1)
9 F 9 D ! % <
a& b c
1 < abc ≤ 1 a b2
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+
b c2
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+
c a2
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≥
3 2
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9 F 9 D ! % <
a& b c
1 < a+b+c ≤ 1 a a3
+
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+1
+
b b3
+
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+
c c3
+
c2
+1
≤
27 31
9 F 9 D ! % 1
n ≥ 2 x1 & x2 & . . . & xn n < x1 + x2 + · · · + xn = 2n < ⎛ ⎞ n n
xj 2n(n − 1) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≥ 3 3 xi + 1 i=1 j=1 i=j
G)+ !; 2 & ) ) 2 +>C3
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σ {0& 1& . . . & 2m − 1} % 1 σ(2i) = i i = 0& 1& 2& . . . & m σ(2i − 1) = m + i i = 1& 2& . . . & m < 5 > k < σ k = σ k ≤ 2m + 1
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(x − y)2 (x + z)(y + z)
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(a + b)a (b + c)(2a + b + c)
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b
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(a + b)2 + (a + b)c 3 + 4 (b + c)(2a + b + c)
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[ST U ] ST U
EE + * BX CY AZ &y = & z = X C Y A ZB CX AY BZ x = & y = & z = X B Y C Z A
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B (x, y, z) ∈ K 9 / 5 $ " (-( C())( D G(F@ ())G D GGEH#& ρ(x, y, z) = [P[P QQR] R ] ρ(x, y, z) =
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√
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√
φ(z)
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√
3
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(x, y, z) K $ ∂ρ ∂ρ ∂ρ x& y & z & & ∂x ∂y ∂z (x, y, z) 9 & p(z, z) p(x, z)p(z, x) p(x, x) p(x, z)p(z, x)
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@ @
p(z, z) p(y, z)p(z, y)
=
p(x, x) p(x, y)p(y, x)
@
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1 + x + x2 (y − z)2 = 1 + y + y 2 (z − x)2 = 1 + z + z 2 (x − y)2
% < z
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(1 + y + z)x + 1 − yz = (1 + y + y 2 ) (1 + z + z 2 ) + > (z − x)& 1 + y + y2 (1 + z + x) = −(1 + 2y) & √ √ 1 + x + x2 + 1 + z + z 2
1 + z + x > 0 1 + 2y > 0 K " # 4 x = 0 x = 1 , % (1 + y)(1 + z + yz) ρ(0, y, z) = $ >
(1 + z)(1 + y + yz)
(1 + y) 1 + z + z 2 = (1 + z) 1 + y + y 2 = (1 + z + yz)(1 + y + yz)
% < (z − y)(z + y + yz) = 0& y = z & > ρ(1, y, z)
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1+z+z
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ABC .... .......... ....... ...... ....... .......... . . . . . ..... ... .... Y ... .... ... ! 4 ABC ......... .. .... . .......... ..... F............................. .......... .................................... ....... .... . $ CDH CDX . ............. ... E .. .. ... ... ... .... ... ... .... ................ ... .. ... ........ .... ......... .... & ... ....... ... ... . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . .. . . ∠DHC
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..... ... ... .. H ... .... .. ..... .... ........ ... . ..... ... ... .... ................................ ..... .... ... ... ..... ... . ... .................... ... . . ........ .. ... ....................... . . . . . . ..................................................................................................................................................................... ... . ... . ... .... .. B ...... ... D .... . C ... .... ... .... . . ... .... ..... ... ..... ... ... . ....... ... ...... ...... ... ... ...... .......... . . . . . . . ........................................
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AD + X D BE + Y E CF + ZF + + AD BE CF
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" C())* D E)G& E)
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"E#
E(( (x + 1)2
$ "E#& h(x) = 2/(m+1) x . x 2(x + 1) x+1 h (x) = (m+3)/(m+1) x − & x
h (x) ≤ 0 x ∈ 0,
1 m
m+1
h (x) ≥ 0 x ∈ 1 $ & h x =
1 ,∞ m
m
h
1 m
m+1 1 m+1 1 − r2 = 1 − 2 m2/(m+1) ≥ · 2/(m+1) & m−1
m−1
m
r
"E# B> m+1 k(x) = r 2 xm−1 (1 + x)m+1 − x + r 2
0 < x ≤ r x ≥ r . & g(x) = r2/(m+1) x(m−1)/(m+1) − g (x) =
m−1 m+1
·
r 2/(m+1) x2/(m+1)
x + r2 & x+1
−
1 − r2 (x + 1)2
' g(r) = 0 & "E#& g (x) ≥ 0 x > 0&
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x > 0 f (x) = 4
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1 1 + (1 + x)m (1 + r 2 /x)m
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f (r) = & m
(1 + r)
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M M $
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M (x, β) M (α, y) α β . BM CM AM (x + b)(x − b) + (y + c)(β + c) = 0 = (x + b)(α + b) + (y + c)(y − c) "E#
A O
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"(#
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a& b& c
a2 + b2 + c2 = 1
1 − 2a2 (b − c)2 ≥ 0
+ 7 & D 9 / + 1 = a2 + b2 + c2 &
1 − 2a2 (b − c)2
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−a2 + b2 + c2 (b − c)2
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a2 (a − b)2 − (b − c)2 + (c − a)2 a2 2a2 − 2ab + 2bc − 2ca
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a& b& c 0
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a& b& c
a2 + b2 + c2 = 1
3 − 5(ab + bc + ca) + 6abc(a + b + c) ≥ 0
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2 3 a2 + b2 + c2 − 5(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 + 6abc(a + b + c) ≥ 0
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3
a4 − 5
a3 b + ab3 + 6 a2 b2 + a2 bc ≥ 0 &
⎛ ⎝
a4 +
a2 bc −
⎞ 2 ab a + b2 ⎠
+ a4 + b4 − 4ab a2 + b2 + 6a2 b2 ≥ 0 &
a2 (a − b)(a − c) +
(a − b)4 ≥ 0
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a = b = c = 3/3 A ! ' * 5 $ ! # * $ = 2 2 . "3 &
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σ(n) n "# . n σ(n) + 500 = σ(n + 2)
"# "#I
E(* "# + 7 & D 9 $ 2005 2007 2005 = 5 × 401 2007 = 32 × 223& & σ(2005) = 1 + 5 + 401 + 2005 = 2412 σ(2007) = 1 + 3 + 9 + 223 + 669 + 2007 = 2912 = σ(2005) + 500
$ & n = 2005 >8 ? &" -1 4 "! # &$ $ 1/ & ,! '$ .B0 !4 ' 4 '& 1 * + $ 0 88+ 8 : 1 01 8 8+ 0 n = 2005+ . 0 1 4 = 0 n = 2005 0 = n ≤ 42213628+ ": n = 42213629 1( + 0 0 0 8 8: 1 8 = n n + 2 42213629 = 109 × 387281 42213631 = 229 × 337 × 547 81 + "1 σ(42213629) = 1 + 109 + 387281 + 42213629 = 42601020 σ(42213631)
=
1 + 229 + 337 + 547 + 77173 + 125263 + 184339 + 42213631
=
42601520 = σ(42213629) + 500
. =0 10 0 = 0 I n = 60992425 = :010 σ(n + 2) = 81448780 = σ(n) + 500+ " / 0 0 0 0 = n 8 108 0 6· · · 808 0 M JK7+ |S ∩[1,n]| lim 8 0 9+ = n = 23 m 0 = S ⊆ Z+ n→∞ n m 0 σ(n + 2) ≡ σ(n) ≡ 0 (mod 3) 01 σ(n + 2) = σ(n) + 500+ 0 1 S3 = {n : n = 23 m m 8 } 0 16 1 = + 0 C+ - m 0 Sm ⊆ Z = 8 10 0 σ(n + 2) ≡ σ(n) ≡ 0 (mod m) = n ∈ Sm 500 m+ 0 8 : 0 C 70: N7 = = 1 0 10 81 = +
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