Réussir l'épreuve sur dossier du CAPES de mathématiques

SCIENCES SUP

Méthodes et sujets corrigés

RÉUSSIR L’ÉPREUVE SUR DOSSIER DU CAPES DE MATHÉMATIQUES

Gilbert

Algeria-Educ.com

RÉUSSIR L’ÉPREUVE SUR DOSSIER DU CAPES DE MATHÉMATIQUES

RÉUSSIR L’ÉPREUVE SUR DOSSIER DU CAPES DE MATHÉMATIQUES

Gilbert Julia Professeur agrégé de mathématiques, formateur à l’IUFM, site Perpignan, université Montpellier 2

© Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053988-8

À Brigitte J.R.

Table des matières

AVANT-PROPOS

xi P REMIÈRE PARTIE

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

L’ ÉPREUVE SUR

DOSSIER À L’ ORAL DU CAPES DE DIDACTIQUE , MÉTHODOLOGIE

M ATHÉMATIQUES :

CHAPITRE 1 • L’ÉPREUVE SUR DOSSIER, PRÉSENTATION GÉNÉRALE . . . . . . . . . .

3

1.1 Description de l’épreuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Exercice proposé par le jury, thème, exercices complémentaires

5

CHAPITRE 2 • ÉLÉMENTS DIDACTIQUES, THÉORIES DE L’APPRENTISSAGE . . . . .

11

2.1 Savoir et apprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2 Les théories de l’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3 Le point de vue des programmes sur l’apprentissage . . . . . . . . . .

14

2.4 La place de la « dimension civique » dans l’apprentissage des Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

CHAPITRE 3 • EXERCICES ET PROBLÈMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.1 Qu’est-ce qu’un exercice ? Un problème ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2 Le rôle des problèmes du primaire au lycée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3 Une classification des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.4 Étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

viii

Table des matières

CHAPITRE 4 • PRÉPARATION À L’ÉPREUVE : ÉLÉMENTS MÉTHODOLOGIQUES . .

25

4.1 Le jour de l’épreuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.2 La préparation foncière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.3 L’intégration des TICE dans la préparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

D EUXIÈME PARTIE

L ES THÈMES À L’ ÉPREUVE SUR DOSSIER Liste des thèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

CHAPITRE 5 • LES THÈMES DE GÉOMÉTRIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1 L’apprentissage de la géométrie au collège et au lycée . . . . . . . .

45

5.2 Le contenu des programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.3 Étude thème par thème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

CHAPITRE 6 • LES THÈMES D’ALGÈBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

6.1 L’apprentissage de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

CHAPITRE 7 • LES THÈMES D’ANALYSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

7.1 L’apprentissage de l’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

7.2 La modélisation en analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

7.3 Thèmes concernant les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

7.4 Thèmes concernant les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

CHAPITRE 8 • THÈMES DE PROBABILITÉS ET DE STATISTIQUES . . . . . . . . . . . . . .

179

8.1 L’apprentissage des probabilités et de la statistique . . . . . . . . . . . .

179

8.2 Étude thème par thème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

Table des matières

ix

T ROISIÈME

PARTIE

S UJETS ET CORRIGÉS CHAPITRE 9 • SUJETS D’ENTRAÎNEMENT : ÉNONCÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

CHAPITRE 10 • INDICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

239

CHAPITRE 11 • CORRECTION DES SUJETS D’ENTRAÎNEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . .

249

CHAPITRE 12 • SUJETS D’ANNALES ET ÉLÉMENTS DE CORRECTION . . . . . . . . . . .

307

12.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

307

12.2 Éléments de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

312

BIBLIOGRAPHIE

327

INDEX

329

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Avant-propos

Cet ouvrage a pour objectif d’être un outil de préparation à l’épreuve sur dossier des épreuves orales du CAPES de mathématiques. Trois parties constituent cet ouvrage. Une première partie théorique est composée des chapitres 1 à 4. Elle commence par une présentation de l’épreuve sur dossier puis propose quelques éléments méthodologiques sur la façon d’aborder et de traiter un « dossier ». Le lecteur y trouvera également quelques apports didactiques qu’il aura à approfondir, développer et appliquer après le concours, lors de l’année de stage. Ces apports posent la question des objectifs de l’apprentissage que l’enseignant doit mettre à portée de ses élèves ainsi que des moyens dont il dispose pour y parvenir. Une deuxième partie étudie les objectifs d’enseignement relatifs aux différents thèmes de dossier tels que ces derniers sont listés, de manière indicative, par le jury du CAPES en 2007. Cette étude par thèmes occupe les chapitres 5 à 8. Elle peut laisser l’impression d’un cloisonnement des mathématiques dans l’enseignement secondaire. Il n’en est rien, tant les interférences sont nombreuses et enrichissantes. Bien au contraire, le lecteur aura, entre autres, pour tâche de repérer les liens unissant ces différents thèmes. Une troisième partie, pratique, composée des chapitres 9 à 12, a été rédigée en fonction de trois objectifs : – Entraîner à l’analyse du contenu d’un exercice de mathématiques, imaginer des variantes et des prolongements. – Développer un esprit critique vis-à-vis d’un énoncé. – Entretenir une vision de l’enseignement favorisant les démarches d’investigation. Ces intentions ont pour but de contribuer à développer trois compétences attendues d’un candidat au CAPES : – Identifier rapidement les objectifs des programmes visés par un exercice et les méthodes qui lui sont sous-jacentes. – Contrôler la pertinence des choix didactiques de l’exercice et, éventuellement, savoir y apporter des modifications. – Imaginer un scénario de classe adapté à un exercice donné, susceptible de favoriser la prise d’initiative des élèves dans leur résolution.

xii

Avant-propos

Les chapitres 9 à 11 proposent une sélection de sujets d’entraînement, suivis d’indications et d’éléments de correction. Ces sujets sont centrés sur l’analyse d’un exercice. Le chapitre 12 reprend quelques sujets d’annales posés entre 2005 et 2007, suivis d’éléments de correction. En liaison avec cette partie pratique, il restera au lecteur, pour parfaire sa préparation au concours, un travail foncier qu’aucun ouvrage ne saurait remplacer : l’étude assidue de manuels de collège et de lycée, de niveaux variés. Il s’agira pour lui de travailler la capacité à illustrer un thème donné par une sélection cohérente d’activités instruisant ses aspects.

Partie I

L’épreuve sur dossier à l’oral du CAPES de Mathématiques : didactique, méthodologie

Chapitre 1

L’épreuve sur dossier, présentation générale

1.1 DESCRIPTION DE L’ÉPREUVE 1.1.1 Informations pratiques Chaque candidat admissible est convoqué pour les épreuves orales sur deux journées consécutives J et J + 1. L’après midi de la première journée est consacré à l’épreuve d’exposé. Chaque candidat présente devant une commission composée de trois membres un exposé sur l’un des deux sujets qu’il a tirés au sort. Une même commission examine en principe cinq candidats dans la même demi-journée. L’épreuve sur dossier se déroule dans la matinée de la journée suivante. Les cinq candidats de la veille se présentent devant une deuxième commission. L’ordre de passage n’est pas le même que le jour précédent. Cet ordre a subi une permutation circulaire, de sorte que le dernier candidat du jour J se présente en milieu de matinée du jour J + 1. Ce jour-là, chaque candidat est convoqué environ deux heures et demie avant son heure de passage effective devant la commission d’examen. Ce temps comprend d’abord un entretien avec un membre du jury chargé de la réception des candidats, qui précise les règles à respecter et répond aux questions éventuelles. Il comprend ensuite, une fois le dossier du jour distribué à chacun, le temps de préparation dans des salles prévues à cet effet. Contrairement à l’épreuve d’exposé, le dossier est préparé avec l’appui de documents. Chaque candidat peut emprunter un nombre limité d’ouvrages à la bibliothèque du CAPES parmi une liste de titres disponibles (manuels du secondaire, ouvrages pédagogiques, annales d’examens). Cette bibliothèque est actualisée chaque année.

4

1 • L’épreuve sur dossier, présentation générale

Il est possible d’apporter ses propres documents. Ceux-ci, contrôlés avant la préparation, sont acceptés dans la mesure où ils sont en vente dans le commerce (ils doivent être munis d’un code ISBN) et où ils ne dénaturent pas l’épreuve. Les candidats d’une même journée travaillant tous sur un même dossier, il se peut qu’une même catégorie de manuels soit particulièrement sollicitée. D’autre part, le temps passé à emprunter des documents compte dans le temps de préparation. Il est donc vivement recommandé de se munir des manuels les plus familiers, avec lesquels le travail foncier de l’année a été effectué. La calculatrice personnelle est interdite mais chaque candidat peut (et selon le dossier doit) emprunter une calculatrice rétroprojetable. Le jury dispose d’un assez grand nombre de calculatrices pour que chacun choisisse à coup sûr le modèle de son choix. Dans les salles où siègent les commissions, se trouvent des rétroprojecteurs prêts à l’emploi. Les calculatrices utilisées sont réinitialisées après leur utilisation. Des fiches et des transparents sont mis à disposition. Les candidats doivent réserver une partie de leurs fiches pour y rédiger les réponses écrites demandées par le sujet du jour. Ces fiches réservées seront photocopiées en fin de préparation, de façon qu’un exemplaire puisse être remis à la commission.

1.1.2 Les modalités Le BO du 1er janvier 2004 définit les modalités des épreuves orales actuelles, en particulier de l’épreuve sur dossier. Le temps de préparation est fixé à deux heures et le temps imparti pour un passage d’oral est de 45 minutes au maximum. Dans le cas de l’épreuve sur dossier, 25 minutes au maximum sont réservées à la présentation orale du candidat, mais le candidat peut très bien ne pas utiliser ce temps en totalité. Ensuite, 20 minutes sont consacrées à un entretien et à des questions posées par le jury.

1.1.3 Structure d’un « dossier » Le dossier à traiter se présente sous forme d’un intitulé suivi de trois paragraphes qui en constituent le contenu (modèle sur le site du jury du CAPES). L’intitulé définit avec précision le thème général du dossier. Il sert de référence à la fois pour l’analyse de l’exercice proposé et pour le choix des exercices complémentaires qui illustreront le thème. Le premier paragraphe « L’exercice proposé au candidat » consiste en un énoncé d’exercice ou en la description d’une activité, à destination d’une classe du secondaire, que le candidat devra étudier et commenter. Le deuxième paragraphe « Le travail demandé au candidat » définit la consigne. Il se compose d’abord de questions posées à propos de l’exercice donné par le jury. Ces questions permettront de guider l’étude de cet exercice et les commentaires qui lui seront associés. La réponse à l’une d’entre elles est à rédiger par écrit sur une fiche spéciale (les autres questions devant donc être évoquées oralement). Ce paragraphe délimite ensuite le thème exact que le candidat illustrera avec ses propres exercices

1.2 Exercice proposé par le jury, thème, exercices complémentaires

5

(dont le nombre est parfois fixé). À minima, les énoncés de ces exercices devront être rédigés sur la fiche à destination du jury. Le troisième paragraphe « Quelques références au programme » précise les niveaux de classe concernés par le thème du dossier. Ces références ne constituent pas une obligation, mais permettent de situer convenablement le thème dans les programmes, selon les attentes du jury.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

1.1.4

Une épreuve en deux parties

L’épreuve sur dossier porte donc sur deux volets : Un premier volet consiste en une analyse guidée d’un exercice du niveau de l’enseignement secondaire. Un jour donné, ce premier volet est commun à tous les candidats. Chaque matin, chaque commission verra plancher les cinq candidats convoqués devant celle-ci sur le même exercice. Un deuxième volet consiste en l’apport de nouveaux exercices portant sur le thème du dossier, qui viendront compléter l’exercice proposé par le jury. Dans ce deuxième volet, chaque candidat expose sa lecture du thème et apporte sa touche personnelle par ses choix d’exercices. Le court temps de préparation doit être équilibré et à peu près équitablement réparti entre les deux parties de l’épreuve. Dans son rapport 2005, le jury précise en effet qu’il veille « à ne pas laisser le travail sur l’exercice proposé envahir l’ensemble de l’épreuve » et conseille aux candidats de « partager leur temps (...) de manière adaptée à l’importance de chaque point à traiter ». Il regrette que « une partie des candidats arrive devant les commissions en ayant trop peu travaillé sur leurs propres exercices ». L’entretien avec la commission, qui suit l’exposé du candidat, comprend des questions sur l’exercice à analyser (parfois récurrentes, ce qui donne à la commission des éléments de comparaison entre les candidats d’une même matinée) et sur les exercices complémentaires (sur des points à éclaircir, sur d’autres qui apparaissent intéressants à développer) où la commission cherche à dégager l’apport personnel du candidat et son travail sur le thème du dossier.

1.2 EXERCICE PROPOSÉ PAR LE JURY, THÈME, EXERCICES COMPLÉMENTAIRES Il s’agit de préciser les différentes parties du dossier, en s’appuyant dans cette analyse sur les sujets effectivement posés lors des précédentes sessions du concours.

1.2.1 L’exercice proposé par le jury a) Le niveau de classe visé

Le niveau de classe auquel l’exercice se rapporte se répartit de manière inéquitable pour le moment entre collège et lycée (environ 20 % et 80 % respectivement). Le

6

1 • L’épreuve sur dossier, présentation générale

type d’exercice varie d’un jour à l’autre, mais on note une tendance plus marquée en 2007 vers des problèmes assez ouverts demandant de la part des élèves la mise en œuvre d’une démarche d’investigation et une prise d’initiative. b) Les questions posées par le jury

Sur l’ensemble des dossiers proposés aux candidats lors des sessions 2005 à 2007, soit un total de 63 dossiers, nous relevons un certain nombre de questions récurrentes : Questions sur le contenu Dégager méthodes et savoirs Énoncer les théorèmes et outils mis en jeu Expliciter les thèmes principaux, la démarche

54 33 13 8

Questions demandant un apport théorique Rédiger le corrigé d’une question Proposer un prolongement, une autre méthode

28 20 8

Questions portant sur la forme de l’énoncé Rédiger un énoncé détaillé, proposer des questions intermédiaires Faire une analyse critique, apporter des modifications

20 15 5

Questions sur le niveau de classe

10

Questions portant sur la mise en œuvre dans une classe

5

Questions nécessitant obligatoirement l’utilisation d’une calculatrice Illustrer à l’aide de la calculatrice, présenter un algorithme Utiliser le module de géométrie

28 15 13

Ce relevé souligne, si besoin est, la nécessité d’une étude attentive du contenu de l’exercice. Les nombreuses questions posées sur ce point varient quelque peu dans leur forme suivant le dossier : tantôt il s’agit des « méthodes et des savoirs », tantôt des « outils », tantôt des « théorèmes en jeu ». Elles dépendent de la nature des dossiers et de l’objectif visé par l’exercice proposé. Mais le fond reste le même : il s’agit d’identifier le contenu et ses enjeux. C’est là un point central. Un deuxième type de questions demande au candidat un apport théorique : rédiger un corrigé d’une question clé de l’exercice (question souvent posée lors de la session 2007 : 10 occurrences), préciser rigoureusement les conditions d’application d’un théorème, exposer clairement le développement d’une méthode (repérage des points clés de la résolution). Cet apport peut aussi proposer un prolongement au problème, une méthode de résolution dans un autre cadre que celui de l’énoncé (ce qui nécessite suffisamment de recul par rapport à la situation pour être capable de l’aborder en changeant de point de vue et de l’inscrire dans un autre cadre mathématique). Les questions sur la forme de l’énoncé ont pour but soit le repérage de questions inutiles ou incorrectement indexées, soit la mise en cause d’hypothèses (parfois surabondantes), soit la mise au point d’une démarche guidée permettant à des élèves de surmonter une difficulté.

1.2 Exercice proposé par le jury, thème, exercices complémentaires

7

En revanche, on note que des questions portant sur la mise en œuvre dans une classe sont plus rarement posées. Cette rareté n’affranchit évidemment pas d’une lecture critique de l’énoncé et d’une réflexion sur la place de l’exercice dans une séquence d’enseignement.

1.2.2

Le thème du dossier

Dans la présentation de l’épreuve, le jury précise que le thème est déterminé par l’entête du dossier, c’est lui qui fait foi. La répartition des thèmes est à peu près équilibrée entre algèbre, analyse, géométrie ou statistiques et probabilités, compte tenu de leur importance relative. Environ un sujet sur trois est un sujet de géométrie, un sujet sur quatre est un sujet d’analyse et la proportion est la même pour les sujets d’algèbre et arithmétique. La distribution des thèmes est aléatoire. Le sujet d’un jour n’a bien entendu aucune influence sur le sujet du jour suivant (deux thèmes identiques peuvent être visités deux journées consécutivement).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Thèmes

Session

Total

2005

2006

2007

Algèbre

4

3

3

10

Arithmétique

2

1

2

5

Analyse : Fonctions

1

2

2

5

Analyse : Suites

3

1

2

6

Intégration, équations différentielles

1

2

1

4

Géométrie : Les problèmes

4

4

2

10

Géométrie : Les outils

1

4

4

9

Probabilités

1

2

3

6

Statistiques

1

1

1

3

Les références aux programmes qui accompagnent le dossier situent les niveaux de classe, ainsi que les sections pour les programmes de lycée, où le jury entend que le thème du jour soit susceptible d’être traité. Ces références balisent le champ d’investigation pour le choix d’exercices complémentaires.

1.2.3

Les exercices complémentaires

Ils constituent l’apport personnel du candidat. L’intitulé du dossier est déterminant dans le choix de ces exercices, il convient de s’y conformer attentivement pour éviter le hors sujet. Le relevé suivant des directives du jury concernant les exercices complémentaires lors des sessions 2005, 2006 et 2007 laisse apparaître, sur certains thèmes, des variations dans la nature de la demande de « complément », tantôt très élargie à l’ensemble du thème concerné, tantôt plus orientée vers un type de problèmes plus particulier ou une utilisation plus restreinte.

8

1 • L’épreuve sur dossier, présentation générale

Géométrie : problèmes – Incidence : un ou plusieurs exercices portant sur le parallélisme, l’alignement ou l’incidence dans l’espace. – Concours : un ou plusieurs exercices mettant en jeu des barycentres dans un problème de concours de droites du plan ou de l’espace. – Configurations : un (ou deux) autre(s) exercice(s) sur ce thème. – Étude d’une configuration à l’aide de différents outils : un ou plusieurs exercices qui permettent de mettre en jeu plusieurs méthodes pour résoudre un même problème de géométrie plane. – Lieux géométriques : un ou plusieurs exercices au niveau de la classe de lycée de votre choix et dont la résolution fait appel aux transformations du plan. – Constructions : un ou plusieurs exercices se rapportant au thème : « Problèmes de construction » (×2). – Constructions utilisant des configurations connues : plusieurs énoncés d’exercices, variés, de constructions de triangles vérifiant des conditions métriques ou géométriques. – Constructions à l’aide de transformations : – un ou plusieurs exercices en variant le type de problème de construction et les transformations utilisées ; – deux exercices sur le thème : « problème de construction : construction à l’aide de transformations », dont l’un, au moins, utilisera une autre transformation que celle utilisée dans l’exercice proposé. – Calculs de grandeurs. Calculs de longueurs, aires et volumes : – un ou plusieurs exercices ; – deux énoncés d’exercices, variés par le niveau concerné et la méthode de résolution utilisée. Géométrie : outils – Les transformations : deux exercices sur le thème (×2). – Calcul vectoriel et la géométrie analytique : – deux exercices sur le thème (×2) ; – deux exercices de géométrie analytique dont l’un au moins permet de résoudre un problème posé dans l’espace. – Triangles isométriques et triangles de même forme : un ou plusieurs exercices (×2). – Barycentres : un ou plusieurs exercices, dans lesquels une étude barycentrique permet de mettre en évidence des propriétés géométriques. – Complexes : un ou deux exercices présentant la résolution, à l’aide des complexes, d’un problème de géométrie (×2). Algèbre – Proportionnalité : – un ou plusieurs exercices sur le thème de la proportionnalité ; – divers exercices (on veillera à ce que ce choix recouvre diverses classes de l’enseignement secondaire). – Équations, inéquations du premier et du second degré à une inconnue ou pouvant s’y ramener : – exercices se rapportant au thème (×2) ; – deux exercices dont l’un au moins se situe au niveau d’une classe de première.

1.2 Exercice proposé par le jury, thème, exercices complémentaires

9

– Types de raisonnement : – exercices sur le thème « divers types de raisonnements (par l’absurde, par récurrence...) » (×2) ; – au moins deux exercices illustrant le raisonnement par l’absurde, ou par contraposition, ou par « analyse et synthèse ». – Graphes : proposer un ou plusieurs exercices développant des notions relatives aux graphes. – Arithmétique : un ou plusieurs énoncés d’exercices se rapportant au thème « arithmétique » (×3). Analyse : suites – Énoncés de deux exercices sur le thème « suites » (×2). – Problèmes conduisant à des suites arithmétiques, géométriques : un ou plusieurs exercices sur le thème.

géométriques

ou

arithmético-

– Approximations d’un nombre réel : – un ou plusieurs exercices permettant de déterminer des valeurs approchées d’un nombre réel à l’aide d’une suite à une précision donnée ; – un ou plusieurs exercices permettant l’approximation d’un nombre réel par une suite (×2). Analyse : fonctions – Un ou plusieurs exercices se rapportant au thème « fonctions » (×2). – Exercices portant sur des études de fonctions, mettant en évidence des propriétés de leurs représentations graphiques. – Un ou plusieurs exercices sur le thème « fonctions : étude d’encadrement d’une fonction par des fonctions plus simples ». – Étude de recherche d’extremums et optimisation : – deux exercices sur thème « problèmes d’optimisation » ; – des exercices utilisant l’étude et la variation d’une fonction pour des problèmes d’optimisation issus d’une situation géométrique (au moins l’un de ces exercices devra mettre en œuvre l’utilisation d’une calculatrice pour émettre une conjecture).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Analyse : intégration – Un ou plusieurs exercices sur le thème de l’intégration. – Des exercices sur le thème « calculs d’intégrales par des méthodes variées » (×2). – Deux exercices sur le thème : « équations différentielles ». Dénombrement, statistiques, probabilités – Deux exercices sur le thème : « techniques de dénombrement » (× 2). – L’énoncé d’un ou plusieurs exercices sur : « probabilités » (× 2). – Un ou plusieurs exercices sur le thème des probabilités et mettant en jeu l’étude d’une variable aléatoire. – Deux exercices sur : « probabilités, variables aléatoires ». – Un ou deux exercices sur : « probabilités conditionnelles ». – Un ou plusieurs exercices sur : « séries statistiques à une variable ». – Un ou plusieurs exercices sur : « séries statistiques à deux variables ».

Chapitre 2

Éléments didactiques, théories de l’apprentissage

2.1 SAVOIR ET APPRENDRE Comment les élèves apprennent-ils et, d’abord, qu’apprennent-ils ? Quelques éléments didactiques de base concernent ici le processus d’apprentissage et les dispositifs susceptibles de favoriser ce processus. Soit un concept mathématique donné, enseigné au niveau du collège ou du lycée. Ce concept mathématique a été élaboré, étudié et mis au point dans un processus historique, parfois très ancien, jusqu’à devenir un objet culturel reconnu servant à résoudre des problèmes et à élaborer d’autres constructions1 .

2.1.1 Savoir savant et savoir enseigné Ce concept est socialement reconnu par une communauté mathématique dès lors que l’ensemble des savoirs qui le caractérisent et qui sont détenus par les membres de cette communauté permet un consensus, une convergence d’idées, même si les représentations de ce concept ne sont pas identiques pour tous. Nous parlerons de savoir

1. Dans sa thèse « Jeux de cadres et dialectique outil / objet » (1984), R.DOUADY reconnaît au concept mathématique deux caractères : il est objet quand il est considéré comme un savoir objectif d’apprentissage, il est outil quand il fonctionne dans un problème qu’il permet de résoudre. Ces deux caractères sont reconnus dans les programmes du collège qui préconisent le choix de situations « aboutissant à la découverte et l’assimilation de notions nouvelles qui lorsqu’elles sont bien maîtrisées fournissent à leur tour de nouveaux outils ».

12

2 • Éléments didactiques, théories de l’apprentissage

savant pour désigner cet ensemble. Ainsi un enseignant a-t-il probablement rencontré ce concept dans sa propre scolarité, puis en a-t-il approfondi sa perception. Cette conception s’est peut-être même modifiée. Cet approfondissement lui a permis de décontextualiser cet ensemble de savoirs, de le lier à d’autres concepts et, en cela, d’adhérer à la communauté mathématique qui en est détentrice. Face à ses élèves, le professeur doit organiser sa séquence d’enseignement de ce concept conformément aux programmes. Cette organisation implique un découpage du savoir en chapitres, thèmes et objectifs. Le professeur dispose d’une relative liberté mais aussi d’une responsabilité, puisqu’il faut que cette organisation permette à ses élèves de s’approprier à leur tour le concept en question, de le situer par rapport aux autres concepts qu’ils connaissent et de le faire fonctionner. L’enseignant est ainsi responsable de la mise en scène (ou transposition didactique) de ce savoir. Nous désignerons par savoir enseigné le savoir ainsi mis en scène. En ce qui concerne l’oral du CAPES, l’épreuve d’exposé porte majoritairement sur le savoir savant : l’exposé sur un thème donné que fait un candidat a pour but de prouver que ce dernier a une représentation de ce savoir suffisamment voisine de celles des membres de la communauté mathématique qui l’interroge pour être reconnue conforme à son attente. En revanche, l’épreuve sur dossier porte majoritairement sur la capacité du candidat à repérer les enjeux d’un savoir qu’il aura à enseigner et à les mettre en scène : cette épreuve vise le savoir enseigné.

2.1.2 Savoirs, savoir-faire et compétences La maîtrise d’un concept nécessite, en premier lieu, celle de savoirs (définitions, théorèmes) qui auront pour rôle de repérer, analyser et organiser les connaissances relatives à ce concept afin d’en faciliter sa communication et de savoir-faire (procédures, algorithmes) qui concernent les aptitudes à mettre en application une technique. Cette maîtrise nécessite, en second lieu, l’acquisition de compétences qui relèvent de l’aptitude à organiser et réinvestir savoirs et savoir-faire en vue de l’accomplissement d’une tâche. Une compétence suppose la mise en œuvre conjointe de savoirs et de savoir-faire. Alors que les exercices de démarrage et d’application visent l’acquisition de savoirs et savoir-faire, les exercices de réinvestissement et les problèmes ouverts visent, en obligeant à une sélection et à une coordination d’arguments, l’acquisition de compétences. À titre d’exemple, connaître la définition d’une rotation par son centre et une mesure de son angle est un savoir. Construire l’image d’un point par une rotation est un savoir-faire. Mobiliser une rotation dans l’étude d’une configuration est une compétence.

2.2 Les théories de l’apprentissage

13

2.2 LES THÉORIES DE L’APPRENTISSAGE Un concept mathématique est au programme d’une classe donnée. Comment faire en sorte qu’il soit appréhendé par des élèves, puis que ces derniers puissent se l’approprier ? L’organisation du travail d’appropriation que l’enseignant propose à ses élèves dépend de sa propre idée de l’apprentissage. Celle-ci détermine les moyens qu’il utilise pour mettre à la portée de ses élèves le concept qu’il doit enseigner. Elle conditionne le rôle du problème dans le processus d’apprentissage. Trois principales théories de l’apprentissage se détachent.

2.2.1 La théorie transmissive (déductive) Cette théorie est basée sur le postulat : « ce qui est clairement énoncé est correctement conçu par l’auditeur1 ». Elle est fondée sur un conditionnement par la répétition, indépendamment de la logique interne de l’élève, et elle consiste à proposer un modèle, le plus performant possible. Ce modèle sera ensuite reproduit par l’élève, jusqu’à assimilation. Le dispositif suivant caractérise cette théorie : – Un exposé, le plus détaillé possible, est proposé : « j’observe » et une synthèse du contenu est faite : « je retiens ». – Des exercices d’application, de difficulté croissante, suivent l’énoncé de ce qu’il y a à retenir : « j’applique ». Ils sont destinés à ancrer, par imprégnation, le savoir visé.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

2.2.2 La théorie des « petites marches » Elle consiste à faire passer d’un état de connaissance à un état supérieur en découpant le nouveau concept en un certain nombre d’étapes de difficulté modérée, chaque étape étant supposée être accessible à l’élève. Un exercice type, parfois dénommé « exercice de découverte » bien que l’appellation soit discutable, est découpé en une série de questions expliquées. Il correspond à la mise en place d’une démarche sous forme d’un exercice guidé. Cet exercice est ensuite corrigé et commenté, de manière à en dégager le plus clairement possible le contenu : « je retiens ». Des exercices d’application suivent. Dans cette théorie, la synthèse de la démarche suivie est la phase majeure : il ne peut y avoir apprentissage que s’il y a un retour sur le « pourquoi » des questions successivement posées. Après avoir traité l’exercice « en aveugle », les élèves ont à prendre conscience de ce qui a motivé l’enchaînement des résultats obtenus en vue de la résolution. L’intervention de l’enseignant est donc décisive dans une phase de globalisation. Il faut que l’enseignant s’assure que le puzzle qui a été communiqué aux élèves au départ de l’activité soit correctement reconstitué et ait pris du sens. 1. La quasi réciproque est mieux connue...

14

2 • Éléments didactiques, théories de l’apprentissage

2.2.3 La théorie inductive (ou constructiviste) Cette théorie est basée, entre autres, sur l’hypothèse issue des travaux de Piaget que « c’est en agissant que l’on apprend ». Elle consiste à faire émerger l’objectif d’apprentissage à partir d’une situation (dite parfois « situation problème ») ou de plusieurs situations, déstabilisant le savoir déjà là de l’élève (ou en montrant les limites) et permettant une nouvelle stabilisation plus performante, dans laquelle s’intègre le concept visé, à un degré de connaissances plus élevé. Le dispositif s’articule autour d’une démarche d’investigation que nous allons retrouver dans l’analyse des programmes. Des exercices d’ancrage puis de réinvestissement du nouveau concept mis en place en permettent ensuite la consolidation. Une « situation problème » à elle seule ne garantit pas l’acquisition d’un nouveau concept : ce dernier s’acquiert définitivement dans la mesure où il est fixé puis entretenu.

2.2.4 Essai de comparaison déduction / induction Ce tableau est destiné à résumer les différences entre deux théories opposées de l’apprentissage, la théorie des « petites marches » étant intermédiaire.

Base

Structure de séquence d’apprentissage

Statut de l’erreur

Théorie déductive

Théorie inductive

Transmission par empreinte d’un modèle externe à l’élève

Construction d’un nouveau savoir par accommodation du savoir déjà là

Du concept mathématique à l’élève

De l’élève au concept mathématique

– Exposé du nouveau concept – Imprégnation – Mise en mémoire

– Mise en mots d’un nouvel équilibre où le concept s’intègre – Fixation

– Application

– Réinvestissement

Signe d’une imprégnation insuffisante. Elle est traitée par renforcement du modèle externe

Signe d’une connaissance non valide. Elle est traitée par une modification du modèle interne

– Déstabilisation du savoir déjà là

2.3 LE POINT DE VUE DES PROGRAMMES SUR L’APPRENTISSAGE 2.3.1 La démarche d’investigation au collège L’introduction commune à l’ensemble des programmes scientifiques du collège (BO du 5 août 2005) est un texte de référence1 en ce qui concerne l’orientation du dispositif pédagogique et l’usage des problèmes. Il souligne l’intérêt de la mise en œuvre d’une démarche d’investigation. 1. Nous invitons expressément le candidat à étudier ce texte dans son intégralité.

2.3 Le point de vue des programmes sur l’apprentissage

15

Cette démarche s’enclenche à propos d’une « situation problème1 » et consiste à élaborer un scénario dans lequel les élèves sont amenés, sur un problème adéquat, à élaborer par eux-mêmes leurs propres conjectures (expérimentation), à les comparer à celles de leurs pairs (confrontation), puis à rechercher des arguments permettant de prouver ou de réfuter les conjectures émises (justification). Les méthodes et résultats sont validés en fin de recherche (institutionnalisation). C’est ainsi la théorie constructiviste de l’apprentissage qui est clairement valorisée dans l’esprit des programmes du collège.

2.3.2 Observation, abstraction, expérimentation, démonstration au lycée Au lycée, les directives des programmes sont légèrement différentes : « le choix d’une stratégie pour la mise en place de notions, de résultats et d’outils nouveaux ne saurait être uniforme ». Il n’en demeure pas moins que selon les mêmes directives : « Quatre composantes essentielles constituent la spécificité de toute pratique mathématique : observation, abstraction, expérimentation, démonstration ». Si la marge de manœuvre quant au choix du dispositif d’apprentissage est élargie, les références à une théorie constructiviste apparaissent ici aussi très clairement.

2.3.3 Le dispositif préconisé pour une activité à caractère inductif

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Au vu de l’analyse précédente, nous résumerons la structure d’une activité de type inductif en quatre phases essentielles qui caractérisent sa mise en œuvre : – Une phase d’appropriation du problème (il est nécessaire que chacun ait une idée exacte du travail qui lui est demandé avant de s’y engager). – Une phase de recherche libre (il est particulièrement fructueux que les recherches s’orientent vers plusieurs directions différentes). – Une phase de réflexion sur le travail accompli englobant plusieurs actions (mise en commun, confrontation de méthodes au sein d’un débat, validation). – Une phase d’institutionnalisation qui synthétise ce qui a été appris en verbalisant le nouveau savoir et en conservant une trace écrite de celui-ci. En conclusion de cette étude, nous dirions que les théories de l’apprentissage interviennent dans au moins deux types de questions posées à l’oral du CAPES : – Dans le cas où la question porte sur la rédaction d’un énoncé détaillé permettant à des élèves de traiter un point difficile : en apparence, il s’agit du cas des « petites marches » mais, en réalité, le jury veut tester la capacité du candidat à extraire les points forts d’une démonstration ou d’une méthode qui constituent les « marches » en question. C’est donc l’articulation des questions posées en fonction de ces points forts et la synthèse que le candidat se propose d’en faire qui priment. 1. Étudiée plus en détail au paragraphe 3.3.1 dans la classification des problèmes.

16

2 • Éléments didactiques, théories de l’apprentissage

– Dans le cas où la question porte sur la mise en œuvre d’une activité : le jury veut tester la capacité du candidat à inscrire l’activité dans une démarche de recherche, conformément aux directives des programmes.

2.4 LA PLACE DE LA « DIMENSION CIVIQUE » DANS L’APPRENTISSAGE DES MATHÉMATIQUES Une des exigences communes aux épreuves orales de tous les CAPES est que les candidats soient en mesure de montrer, à l’occasion, qu’ils ont « réfléchi sur la dimension civique de tout enseignement et plus particulièrement de celui de la discipline dans laquelle ils souhaitent exercer ». Dans le cas particulier des mathématiques, cette dimension civique peut s’exercer à divers niveaux. a) Instaurer le débat scientifique avec ses règles, ses droits et ses devoirs dans la pratique de classe

Ce type de débat a pour objectif la recherche de la vérité par la discussion et le dialogue, recherche basée sur le raisonnement et la preuve. Un tel débat ne peut s’installer que s’il y a « matière à débattre », c’est-à-dire à l’occasion de questions, ou de conjectures, qui amènent des idées divergentes, voire contradictoires, en tout état de cause une controverse. En son sein, les élèves disposent d’un droit fondamental, la liberté d’exposer leurs idées et de discuter celles des autres. Mais ils ont aussi un certain nombre de devoirs : – S’exprimer sur le sujet à débattre exclusivement (pas de réflexions intempestives sur la météo du jour...). – Respecter la parole des autres (chacun parle à son tour). – Fonder son discours sur une argumentation (aussi bien pour exposer ses propres idées que pour contester celles des autres, pas de profession de foi mais une recherche de preuve).Cette pratique transversale (commune à toutes les disciplines) aide les élèves à prendre du recul par rapport à eux-mêmes et à se situer sur un même plan d’égalité par rapport à autrui. Elle participe par ailleurs à l’apprentissage de la dialectique. Dans les conditions du concours, un candidat ne peut cependant évoquer ce point que sous forme d’intention. b) Entraîner à la démarche d’investigation

Son mécanisme a été évoqué et constitue une méthode générale permettant d’aborder des situations, plus variées que celles issues du strict domaine scientifique, nécessitant une rationalisation.

2.4 La place de la « dimension civique »dans l’apprentissage des Mathématiques

17

Démarche d’investigation et débat scientifique sont d’ailleurs deux pratiques de classe qui vont de pair, le débat scientifique intervenant dans les phases de confrontation et de justification de la démarche d’investigation. c) Privilégier l’étude de problèmes contemporains issus de domaines en relation avec l’éducation civique

Plusieurs domaines comme géographie politique, sécurité routière, santé publique, protection de l’environnement, etc. sont sources de telles situations. Le cas échéant, et à niveau d’intérêt sensiblement égal, la préférence pourra être donnée sans conteste à un exercice tiré d’un manuel se rapprochant de ces thèmes. Il restera alors à dégager en quoi le traitement mathématique proposé inclut une « dimension civique ». d) Favoriser l’apprentissage d’outils d’analyse objective de l’information (notamment chiffrée) et d’aide à la décision

La vie courante confronte chacun à une jungle pseudo-chiffrée, souvent sans aucune signification ou au sens volontairement détourné. La connaissance d’outils de base dans le domaine de l’analyse de données permet d’apprécier le niveau de pertinence de ce type d’information. S’il est difficile à un candidat au CAPES de mathématiques de trouver l’opportunité de montrer concrètement, en 45 minutes, ses compétences concernant les premiers niveaux, il semble que ce dernier point soit plus favorable. Ces outils d’analyse concernent en effet pour la plus grande partie l’organisation de l’information chiffrée, le sens d’un pourcentage, d’une moyenne, d’un relevé statistique, etc. Dès lors que l’on travaille sur le sens du traitement de données effectué, et non plus sur l’obtention sèche du résultat demandé, la « dimension civique » est sous-jacente. C’est sur ce terrain que le candidat pourra probablement le mieux mettre en valeur sa « réflexion ».

Chapitre 3

Exercices et problèmes

Une contrainte de l’épreuve sur dossier est de présenter « un choix d’exercices. Le terme “exercice” est à prendre au sens large ». L’objectif de ce chapitre est de mieux définir ce que peut être un « exercice » et quelle est la fonction qu’il occupe dans l’apprentissage.

3.1 QU’EST-CE QU’UN EXERCICE ? UN PROBLÈME ? Un exercice est une activité donnant à construire un raisonnement logique et structuré qui permet, en partant des hypothèses et en utilisant les règles vues en cours, d’arriver progressivement à la conclusion. La conclusion devient à son tour un résultat connu. Dans un exercice, la démarche de résolution est clairement identifiée à l’issue de la lecture de l’énoncé. Un problème se distingue d’un exercice non par sa longueur (c’est alors une succession d’exercices, dans le cadre d’une démarche guidée) mais par le fait que les concepts mathématiques permettant de le résoudre de façon optimale ne sont pas clairement identifiables au début de la résolution ou même ne sont pas encore construits. L’élève doit y faire preuve d’initiative et est « livré à lui-même ». Il choisit sa démarche sans le confort d’une piste bien balisée par l’énoncé. Le terme d’exercice, tel qu’il est employé dans le cadre de l’épreuve sur dossier, recouvre l’un et l’autre type d’activité.

20

3 • Exercices et problèmes

3.2 LE RÔLE DES PROBLÈMES DU PRIMAIRE AU LYCÉE Dès l’école primaire, les activités mathématiques s’articulent autour de la résolution de problèmes. Le document d’accompagnement des programmes du cycle 3 de l’école élémentaire distingue, par exemple : – Des problèmes de recherche, c’est-à-dire « des problèmes pour lesquels l’élève ne dispose pas de démarche préalablement explorée : certains de ces problèmes sont utilisés pour permettre la construction de connaissances nouvelles, d’autres sont davantage destinés à placer l’élève en situation de chercher, d’élaborer une solution originale ». – Des problèmes destinés à permettre l’utilisation des acquis antérieurs dans des situations d’application et de réinvestissement. – Des problèmes destinés à permettre l’utilisation conjointe de plusieurs connaissances dans des situations plus complexes. Nous retrouvons cette place centrale des problèmes dans les programmes du collège : « Lorsque c’est possible sont choisies des situations créant un problème dont la solution fait intervenir des outils... Si la résolution de problèmes permet de déboucher sur l’établissement de connaissances nouvelles, elle est également un moyen privilégié d’en élargir le sens et d’en assurer la maîtrise. Pour cela des situations plus ouvertes, dans lesquelles les élèves doivent solliciter en autonomie les connaissances acquises, jouent un rôle important. » Ces directives soulignent ainsi les différents types d’objectifs que l’on peut assigner à un problème : il peut établir une nouvelle connaissance, la conforter ou en élargir le sens. Les orientations des programmes des séries scientifiques1 du lycée proposent pour leur part une classification des problèmes davantage axée sur l’organisation de l’enseignement. La distinction « entraînement, réinvestissement, évaluation » et un accent particulier mis sur les travaux de formulation et de mise au point d’un écrit y sont notables.

3.3 UNE CLASSIFICATION DES PROBLÈMES Soit un objectif d’apprentissage (notion mathématique nouvelle, outil, méthode, acquisition d’un savoir ou d’un savoir-faire, etc.) proposé à une classe. La visée de cet objectif peut s’étendre sur une ou plusieurs séances et va donner lieu à une succession d’activités destinées à accompagner l’élève de la découverte à la maîtrise de la notion en jeu. Le rôle de ces exercices ou problèmes dépend de leur place dans la séquence d’apprentissage et de la théorie de l’apprentissage pratiquée.

1. Un document à consulter intégralement.

3.3 Une classification des problèmes

21

3.3.1 Activités de démarrage et situations problèmes Elles sont destinées, en début de séquence, à introduire l’objectif visé et ont pour but d’engager les élèves dans l’acquisition de nouvelles connaissances. La découverte guidée consiste à fragmenter l’objectif visé en un certain nombre d’étapes intermédiaires. Elle se distingue par un enchaînement de questions, chacune de difficulté modérée. Les élèves n’ont pas a priori une vision d’ensemble du problème, et il faut impérativement prévoir, à la fin de l’activité, une globalisation. Ce type d’exercice se rattache à la conception de l’apprentissage « par petits pas ». Il est également utilisé lorsque la nouvelle connaissance ne peut pas être commodément mise en place par les élèves eux-mêmes. La situation problème caractérise une entame conforme à la théorie constructiviste de l’apprentissage en favorisant l’engagement de l’élève dans une résolution qui le conduira à construire, chemin faisant, les instruments intellectuels nécessaires à cette résolution. Pour être une situation problème, une activité doit satisfaire plusieurs critères :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– Le savoir antérieur doit permettre l’appréhension du problème mais non sa résolution complète. L’élève doit avoir à chercher et à faire évoluer ses stratégies de résolution. – Le savoir à acquérir doit fournir une résolution plus performante que les éventuelles résolutions artisanales antérieurement possibles. – Le problème doit pouvoir servir de référence pour illustrer l’objectif visé. – La situation proposée doit le plus possible susciter l’intérêt de l’élève (à plusieurs niveaux : situation courante proche de ses préoccupations pour susciter au départ la recherche, permettant si possible à l’issue de la recherche la validation du résultat par les élèves eux-mêmes pour valoriser l’objectif visé). Le critère de choix majeur est que la situation présentée soit représentative d’un type de problèmes dans lesquels la notion visée s’applique avec efficacité. Cette situation doit pouvoir par la suite servir de référence.

3.3.2 Exercices d’application et d’entraînement Ces exercices sont destinés à fixer un concept mathématique déjà institutionnalisé et temporellement proche. Ce temps de fixation du concept mathématique est nécessaire quelle que soit la théorie de l’apprentissage. Un exercice d’application aide les élèves à maîtriser ce concept, et à acquérir les savoirs et savoir-faire qui lui sont corollaires. Il peut être soit un exercice d’application directe visant un seul objectif, soit un exercice mettant en scène ce concept dans des situations concrètes (il permet alors d’en explorer le champ d’application et de délimiter celui-ci). Il est parfois accompagné d’indications sur la méthode de résolution. Les « problèmes habillés », qui font fonctionner une notion mathématique dans une situation pseudo-concrète créée de toutes pièces pour les besoins de la cause, entrent fréquemment dans cette catégorie.

22

3 • Exercices et problèmes

3.3.3 Problèmes de réinvestissement Ils mobilisent non seulement l’objectif d’apprentissage visé mais, aussi, d’autres domaines mathématiques (ils permettent dans ce cas de délimiter le champ d’application d’un savoir et de préciser ses liens avec d’autres domaines). La démarche de résolution n’est pas induite par le texte de l’énoncé, et/ou cette démarche nécessite l’utilisation simultanée de plusieurs savoirs ou savoir-faire. En ce sens, il s’agit de véritables « problèmes ». Certains « sujets d’étude » entrent dans cette catégorie. Dans ce cas, le problème est le mobile de l’apprentissage : il permet de tirer des situations du vécu, de motiver les élèves à l’occasion d’activités qui peuvent éventuellement prendre un caractère pluridisciplinaire.

3.3.4 Exercices d’évaluation Ils sont destinés à faire le point sur la manière dont les connaissances sont maîtrisées. Le problème lui-même est le critère de l’apprentissage : il permet de vérifier, au terme d’une séquence d’enseignement, qu’une notion a bien été assimilée par les élèves. L’évaluation peut être appréciée par les élèves eux-mêmes, il faut dans ce cas que les objectifs du problème soient clairs et facilement identifiables (le but est alors que l’élève se rende compte lui-même de « ce que je sais faire » et de « ce que je dois travailler »). Elle peut faire l’objet d’une note. Dans ce cas, le problème est souvent (à moins qu’il ne s’agisse d’un problème plus ouvert « avec prise d’initiatives » évaluant la capacité à raisonner et l’inventivité) découpé en questions précises, chacune visant un item relatif au savoir évalué. Les résultats clés sont souvent donnés dans l’énoncé et la résolution d’une question peut découler d’un résultat précédent. Dans la construction de ce dernier type d’exercices, la vérification des acquis prime parfois sur l’ordre logique de recherche.

3.3.5 Problèmes ouverts Il s’agit de problèmes « avec prise d’initiatives ». Alors que les autres types d’activités sont centrés sur l’acquisition et la maîtrise de connaissances mathématiques, le problème ouvert a pour but de susciter un comportement de recherche et de faire acquérir des compétences d’ordre méthodologique : procéder à des essais, émettre des hypothèses, les éprouver. L’objectif est d’apprendre à chercher plutôt que de trouver rapidement. La responsabilité de la démarche appartient entièrement à l’élève. Les tentatives de résolution, même non abouties, sont au moins aussi importantes que la production du résultat et peuvent parfois faire l’objet de véritables « narrations de recherche ». La synthèse de tels problèmes consistera souvent à une comparaison de procédures, pour apprécier les avancées dans la résolution du problème d’une démarche non aboutie, pour répertorier les démarches différentes qui atteignent l’objectif fixé, parfois pour distinguer par ses performances l’une des démarches.

3.4 Étude d’un exemple

23

3.4 ÉTUDE D’UN EXEMPLE Les énoncés suivants étudient des situations voisines, mais leur tournure ne les destine pas à un même usage : Énoncé 1 : « On cherche sept entiers consécutifs dont la somme est égale à 2 149. 1. Soit x le plus petit de ces entiers. Montrer que x est solution de l’équation : 7x = 2 128. En déduire quels sont ces sept entiers. 2. Peut-on trouver sept entiers consécutifs dont la somme est égale à 5 149 ? » Énoncé 2 : « 1. Sur une feuille, écrivez un entier de votre choix, entre 0 et 1 000, puis écrivez les six entiers suivants. Faites la somme des sept entiers écrits. Que peut-on dire de cette somme ? 2. Peut-on écrire à l’avance un nombre tel que la somme obtenue soit 2 149 ? Soit 5 149 ? Si oui, lequel ? »

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Énoncé 3 : « 1. Est-il vrai ou faux que la somme d’un nombre impair d’entiers consécutifs est un multiple de ce nombre ? 2. Peut-on trouver un nombre impair d’entiers dont la somme est égale à 2 149 ? » L’énoncé 1 correspond à un exercice d’application au niveau collège (quatrième) des équations à une inconnue. La démarche est imposée au départ, il n’y a pas de place à l’initiative. L’enseignant doit au minimum revenir sur le fait que le choix de l’un des sept entiers détermine celui des autres, et faire voir ce qu’il se passerait si, au lieu de choisir comme inconnue le plus petit entier, on en choisissait un autre. L’énoncé 2 correspond au même niveau à une situation problème, et permet une démarche d’investigation : expérimenter en comparant de nombreuses sommes (celles des élèves d’une classe), tenter de déceler un invariant (qui serait nettement plus visible si l’on se contentait de cinq entiers), puis aborder une preuve (basée soit sur le quatrième entier, soit sur le choix d’un des entiers pour écrire les autres). L’enseignant a pour tâche de préciser le sens de « que peut-on dire » si, ce qui est fort probable, les élèves ne remarquent pas l’invariant tout de suite et, plus tard dans la résolution, de faire structurer une preuve. L’énoncé 3 correspond à un problème ouvert. Il se situe certes à un autre niveau de classe, mais le texte est neutre et n’évoque en aucune manière une piste de recherche (résolutions par une somme de termes d’une suite arithmétique ou bien en s’intéressant à l’entier « central », le p-ième si l’on pose n = 2 p − 1, et à la symétrie de la somme). Il n’évoque pas non plus l’existence d’une éventuelle deuxième solution : entiers de – 146 à 360 dans l’ensemble des entiers relatifs, soit 307 entiers dont le 154e est 7). L’intervention de l’enseignant pourra attirer l’attention sur ce que l’on entend dans l’exercice par « ensemble des nombres entiers » pour lever l’ambiguïté et préciser l’ensemble dans lequel on cherche des solutions, puis interviendra pour faire structurer une preuve, comme dans le précédent scénario.

Chapitre 4

Préparation à l’épreuve : éléments méthodologiques

Dans ce chapitre, l’objectif est de proposer une méthodologie de préparation à l’épreuve sur dossier. – Comment procéder le jour du concours ? – Comment se préparer spécifiquement à l’épreuve sur un long terme ?

4.1 LE JOUR DE L’ÉPREUVE Après avoir pris connaissance du dossier du jour, les candidats se trouvent confrontés à deux tâches différentes à accomplir : traiter et analyser l’exercice qui leur est proposé, puiser dans des manuels ou des annales d’autres exercices qui illustrent d’autres aspects du thème.

4.1.1 Résolution et analyse de l’exercice proposé par le jury Certes, la résolution de l’exercice proposé est incontournable. Elle s’accompagne cependant de la prise en considération de quelques éléments méthodologiques. Tout d’abord, dès que possible, situer l’exercice dans un contexte, en s’aidant des extraits de programmes attachés au dossier, de façon à se référer à des manuels du niveau où se situe l’exercice. Ce dernier peut être traité « à livre ouvert » aux pages en relation avec son contexte, qui pourront apporter une aide méthodologique. Lors de sa résolution, noter : – La démarche à mettre en œuvre : progression, points clés, définitions et théorèmes utilisés.

26

4 • Préparation à l’épreuve : éléments méthodologiques

– Les difficultés éventuelles, à commencer par celles que l’on peut soi-même éprouver. – Les éléments de réponse aux questions posées par le jury. Contrôler les hypothèses de l’énoncé : sont-elles toutes indispensables ? Si elles restreignent une situation plus générale, quelle est la raison de cette restriction ? Dans quelle mesure les choix de données influencent-ils la résolution ? Vérifier si la démarche, quand elle est proposée par l’énoncé, est la seule possible ou bien si plusieurs méthodes sont envisageables : la situation proposée peut-elle être étudiée dans un autre cadre, avec d’autres outils ? S’il y a lieu, prévoir à quel moment et pourquoi une utilisation de calculatrice serait pertinente. Élaborer cette utilisation. Après sa résolution, faire une synthèse de l’exercice : son contenu, ses méthodes, ce que vous feriez retenir à des élèves. Sur ce point, la référence à des manuels peut s’avérer d’une aide significative. C’est le moment aussi d’en faire une étude critique : fonction possible de l’exercice dans l’apprentissage de la notion présentée, modifications éventuelles de l’énoncé. En règle générale, on cherchera une mise en œuvre favorisant l’initiative des élèves. Tel exercice trop guidé pourra être dépouillé de façon que l’éventail des démarches envisageables soit élargi.

4.1.2 Mise au point des exercices complémentaires Le choix des exercices

Le but est de constituer une séquence d’exercices permettant de mettre en valeur différents savoirs, savoir-faire et méthodes en rapport avec l’intitulé du dossier. Il est donc important de coordonner les exercices sélectionnés (entre eux et avec l’exercice dont on dispose déjà) et de motiver leur choix. Plusieurs critères, se recoupant souvent, sont à prendre en compte : ➤ Critère 1 : Élargir les niveaux de classe

La ligne directrice est de faire varier le niveau de classe où l’on propose les exercices et par là même, sans doute, les méthodes en usage. Ce critère est nécessairement à prendre en compte lorsque les références aux programmes proposent plusieurs niveaux de classe pour une même notion. L’exercice du jury cible un niveau, il peut même être demandé de le resituer moyennant quelques modifications à un autre niveau, mais il appartient au candidat de réfléchir aux différentes classes où la notion visée par le dossier peut être enseignée. ➤ Critère 2 : Élargir le champ d’application

La ligne directrice est d’explorer diverses situations où s’applique de façon pertinente une notion donnée.

4.1 Le jour de l’épreuve

27

Ce critère est particulièrement à prendre en compte lorsque le sujet du dossier porte sur l’étude d’un outil. Il l’est également lorsque la notion visée par le dossier se prête à un lien avec d’autres disciplines. ➤ Critère 3 : Élargir la palette d’outils

La ligne directrice est de montrer comment une notion mathématique donnée peut être étudiée avec différents outils et dans différents cadres. Cette notion peut être étudiée à un même niveau de classe (tel problème d’incidence pourra être étudié en classe de première avec l’outil barycentrique, celui des transformations, etc.) ou à des niveaux différents (un problème d’incidence peut être étudié avec l’outil des configurations au collège puis celui des transformations au lycée). Ce critère est particulièrement à prendre en compte lorsque le thème porte sur un « type de problèmes ». Quel que soit le critère choisi, il est important de faire apparaître clairement sa motivation dans la sélection des exercices afin d’établir la cohérence du choix.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Cette sélection demande d’abord un repérage des objectifs, en relation avec le thème du dossier, qui seront assignés aux exercices (développer une méthode, en comparer plusieurs, décrire une démarche...) Elle demande ensuite une réflexion sur leur mise en œuvre dans une classe, c’està-dire sur la façon de poser le problème, en laissant aux élèves une part d’initiative et un pouvoir décisionnel dans leur démarche. Les manuels scolaires constituent de manière évidente un point d’appui au repérage des objectifs. En cela, les « points méthodes », « résumés », et autres « coins mémo » des manuels constituent une base importante de construction. Ces résumés renvoient à des batteries d’exercices qui sont soit des « exercices d’application », de difficulté modérée, soit des « exercices d’approfondissement », au contenu plus riche, principal vivier où puiser sa sélection. La mise en œuvre pourra nécessiter des modifications de l’énoncé d’un exercice. Le cas de certains exercices d’annales (brevet des collèges et baccalauréat) est significatif à ce propos. Ces exercices servant d’évaluation, il n’est pas rare de voir une notion mathématique étudiée dans les premières questions, se trouver « par un heureux hasard » être une réponse pertinente à un problème concret posé par la suite. Le jury du CAPES jaugera un candidat sur sa capacité d’inversion du processus, plus conforme à une démarche d’investigation où l’étude du problème concret précède et motive un traitement mathématique. Quant au nombre d’exercices à présenter, il dépend de leur contenu, leur consistance et leur richesse : un seul exercice consistant de niveau lycée pourra parfois compléter judicieusement un dossier ciblé, deux ou trois exercices est cependant une moyenne usuelle. Quelques thèmes se prêtent à un plus grand nombre d’exercices très courts ciblant des compétences précises. Présenter « le plus possible » d’exercices à la condition expresse que les exercices sélectionnés doivent tous pouvoir être résolus

28

4 • Préparation à l’épreuve : éléments méthodologiques

correctement1 devant la commission sans l’appui d’un quelconque document même, et surtout, si l’exercice sélectionné est un « exercice résolu » ou provient d’annales corrigées. La rédaction des exercices

Ce paragraphe vaut autant pour d’éventuelles modifications de l’énoncé du jury que pour la rédaction définitive des exercices complémentaires. La résolution d’un exercice met en œuvre plusieurs compétences : – Savoir extraire de l’énoncé l’information pertinente. – Savoir organiser de manière structurée cette information. – Être apte à concevoir des stratégies de résolution adaptées à la nature de l’information initiale et à l’objectif visé par la question posée. La structure d’un énoncé doit permettre l’application de ces compétences de façon convenable. L’énoncé va être composé d’une partie informative (exposé d’une situation, hypothèses, données) et d’une partie injonctive (questionnement). Il convient de veiller à un bon enchaînement de ces deux parties : – Faciliter la compréhension de la consigne : Commencer l’énoncé par une explication de l’objectif de l’exercice. Cette explication aidera le lecteur à comprendre ce que l’on attend de lui et à focaliser son attention sur les questions clés. Veiller à ce que l’énoncé contienne toutes les informations essentielles en un minimum de détails. – Formuler l’énoncé pour favoriser l’organisation de l’information : veiller à la cohérence et à l’enchaînement des questions posées. L’usage à bon escient de mots repères : « d’abord, ensuite » ; « premièrement, deuxièmement » peut aider à renforcer cette cohérence. – La nature de l’injonction mérite d’être précisée : « vérifier que... » ; « montrer que... » ; « que peut-on dire de... » laissent un choix moins ou plus ouvert à l’investigation. L’usage de « si... alors » ; « réciproquement... » ; « ... si et seulement si... » indique la qualité de la démonstration attendue : implication directe, implication réciproque, équivalence. – Laisser dans la mesure du possible le champ ouvert à plusieurs stratégies. Privilégier les questions qui testent le raisonnement plutôt que la simple restitution de données.

1. Sélectionner au dernier moment de la phase de préparation un exercice non contrôlé pour rendre plus honorable le nombre d’exercices complémentaires est une pratique des plus risquées. La commission a de grandes chances de repérer rapidement cet exercice et de s’y intéresser plus particulièrement.

4.1 Le jour de l’épreuve

29

4.1.3 La rédaction de la fiche à remettre au jury Le cahier des charges du dossier exige deux travaux écrits : la réponse détaillée à la question à rédiger et l’énoncé des exercices complémentaires Il s’agit donc là d’un travail primordial. Seulement si le temps de préparation le permet, la fiche peut être complétée par une très brève présentation de l’exercice à commenter : objectifs, idée générale (cette présentation sera plus longuement développée à l’oral) et par un résumé des motivations, en liaison avec le thème du dossier, guidant le choix des exercices complémentaires.

4.1.4 La présentation orale Le temps imparti est de 25 minutes. Mais contrairement à l’épreuve d’exposé où ce temps doit être intégralement occupé, cette durée constitue un maximum. Il est possible d’effectuer une présentation structurée et complète en un temps un peu plus court et le candidat n’en sera pas pénalisé pour autant. Des transparents sont mis à disposition, sur lesquels les points forts de l’exposé peuvent être retranscrits pour appuyer la présentation orale. Trois parties peuvent constituer cette présentation :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Partie 1. Analyse de l’exercice à commenter

– Sa situation dans les programmes. – Son contenu mathématique et les méthodes qui y sont développées. Il s’agit là du point clé qui constitue assez souvent d’ailleurs la question à rédiger. – Les choix didactiques qui ont été faits (valeurs numériques, hypothèses particulières). – La forme de l’énoncé et sa fonction éventuelle dans une séquence. – Les réponses aux questions posées par le jury. – S’il y a lieu analyse critique (propositions de modifications de l’énoncé, mise en œuvre éventuelle dans une classe, comment préserver la part d’initiative des élèves, quelle aide ou indication apporter en cas de difficultés, etc.) – Une illustration avec calculatrice peut accompagner l’exposé du contenu. Cette illustration s’effectue sans fioritures inutiles : l’important est qu’elle fonctionne efficacement pour donner à voir au jury ce que l’on souhaite mettre en évidence, la sobriété est de mise. ➤ Partie 2. Présentation du thème du dossier

L’exercice proposé a introduit ce thème mais son domaine d’étude est certainement plus grand, et il convient de le baliser. Préciser les notions mathématiques importantes qu’il recouvre et lesquelles on se propose de traiter particulièrement à tel ou tel niveau de classe.

30

4 • Préparation à l’épreuve : éléments méthodologiques

Indiquer les méthodes les plus importantes qui lui sont corollaires en les classant, s’il y a lieu, selon les niveaux de classe pointés par les extraits des programmes du dossier. Les thèmes des dossiers sont souvent assez étendus pour se prêter à un choix personnalisé d’objectifs qu’il appartient à chaque candidat de définir. Si le thème porte sur un type de problème, l’exposé des « méthodes de résolution » est la part la plus importante. Si le thème porte sur un outil, l’exposé de son « champ d’application » et des types de problèmes où il intervient est prioritaire. ➤ Partie 3. Présentation des exercices complémentaires

Les énoncés n’ont pas à être recopiés au tableau et c’est par ailleurs une erreur de s’engager dans leur résolution pour meubler le temps. En revanche, quelques indications sur les résultats attendus peuvent s’avérer opportunes. – Motiver le choix des exercices sélectionnés. Si possible, les inscrire dans une progression (selon le niveau de classe ou selon les objectifs visés). – S’il y a lieu, illustrer l’un d’entre eux par un travail sur calculatrice.

4.2 LA PRÉPARATION FONCIÈRE Il s’agit ici de préciser, en fonction des exigences de l’épreuve, quelques compétences à travailler pendant la période de préparation au concours. Le jury publie chaque année une liste indicative de thèmes pouvant faire l’objet d’un dossier. Réserver dans un classeur un fichier pour chacun des thèmes. On y consignera : – Une étude générale du thème (son point de vue personnel pour présenter le contenu du thème). – Les méthodes importantes en relation avec le thème. – Au minimum, les références précises (manuel, numéro d’exercice, page) des exercices qui illustrent ces méthodes, sinon l’énoncé lui-même. Chaque référence peut être accompagnée d’un commentaire sur le niveau d’intérêt de l’exercice et les méthodes illustrées, ainsi que sur les points forts (et faibles éventuellement). Ce classeur s’enrichit au fur et à mesure de la préparation. Chaque exercice traité et jugé exploitable est répertorié. Un même exercice peut très bien être répertorié dans plusieurs fichiers. Peut-être des méthodes non prévues initialement s’ajouteront. Ce travail de classement s’avérera précieux en phase de révision pour élaguer certains thèmes, en compléter d’autres. Une synthèse parmi les exercices répertoriés en cours d’année aboutira, en fin de phase de préparation, au tri de certains d’entre eux, bien repérés, selon leur niveau d’intérêt et les méthodes qui paraissent les plus importantes à développer à divers niveaux de classe.

4.2 La préparation foncière

31

4.2.1 Deux types d’activités de préparation Les modalités de l’épreuve sur dossier permettent d’identifier deux types d’activité propres à constituer une préparation solide. Un premier type d’activité (analytique) est constitué par un entraînement à la résolution d’exercices, tirés de manuels scolaires ou d’annales d’examens, à l’analyse de leur contenu, de leur forme, de leur destination : « un exercice étant donné, à quel thème peut-il se rapporter ? ». Le fruit de ce travail servira de base de données pour le travail synthétique suivant. Ce premier type est notamment visé par des exemples de sujets d’annales ou d’exercices de réinvestissement tirés un peu « au hasard » de manuels. Un deuxième type d’activité (synthétique) est constitué par l’élaboration d’exercices personnels. Il s’agit de rechercher, en fonction d’un objectif d’apprentissage, un ou plusieurs exercices le mettant en scène de façon pertinente : « un thème étant donné, quel exercice peut-il s’y rapporter ? » Cette tâche nécessite impérativement de se familiariser avec un nombre limité de manuels couvrant les programmes du collège et du lycée, d’en connaître les qualités et les défauts, de savoir y retrouver rapidement et sûrement les méthodes et les théorèmes du programme, ainsi que des exercices s’y rapportant. Un chantier de longue haleine à ce propos peut donc viser deux objectifs :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– Constituer une banque d’exercices, figurant dans des manuels familiers de collège et de lycée1 , portant sur les thèmes majeurs du programme, et dont le contenu est bien maîtrisé. – S’entraîner au repérage d’exercices se rapportant à un thème donné2 et à l’analyse de leur apport. Savoir sélectionner rapidement un ou plusieurs exercices pertinents illustrant divers aspects d’un thème donné ne devient en effet une compétence que dans la mesure où les motivations qui ont guidé la sélection effectuée sont claires et argumentées. Les deux types d’activité se rejoignent sur une étude attentive du contenu des programmes et des documents d’application : savoir ce qui est enseigné et à quel moment. À cet effet, il est indispensable de prendre connaissance le plus tôt possible, auprès des centres de ressources ministériels, des programmes en vigueur et de leurs documents d’accompagnement et d’application. L’ensemble de cette documentation constitue le plus fidèle « livre de chevet » du candidat au CAPES ! 1. Ce travail est à commencer tôt dans l’année et être suivi régulièrement : de nombreux exercices de niveau lycée constituent dans un même temps un travail de préparation basique mais néanmoins intéressant aux épreuves d’écrit. Certaines années, les premières questions d’un sujet d’écrit se retrouvent très peu altérées dans tel ou tel manuel du secondaire et, à y réfléchir, cette situation est même souhaitable, compte tenu de la finalité du concours... 2. Se reporter au chapitre « Présentation générale » où l’on trouvera une liste de directives concernant le choix d’exercices complémentaires. Cette liste est à consulter à titre indicatif, le jury pouvant chaque année varier les directives associées aux divers dossiers.

32

4 • Préparation à l’épreuve : éléments méthodologiques

Même si les principaux points des programmes sont signalés à l’occasion dans le présent ouvrage, cet apport ne saurait suffire. Ce sont bien les documents issus des instructions officielles qui font foi en matière de place d’une notion mathématique dans les programmes. Peut s’ajouter à cette documentation la brochure « Programmes des collèges et lycées. Organisation générale par thème » (Université de Marne la Vallée, http ://capes-math.univ-mlv.fr/) qui propose un classement synoptique très pratique des thèmes d’apprentissage en mathématiques.

4.2.2 Des critères d’analyse d’un exercice Plusieurs critères alimentent une analyse critique, qui s’articule autour d’une analyse de contenu, d’une analyse des choix didactiques (variables) et d’une analyse de forme. Certes, tous ces critères ne sont pas en même temps présents dans un même exercice, mais certains d’entre eux peuvent se montrer caractéristiques. Le jour du concours, le temps est limité, l’analyse d’un sujet est forcément rapide, et il s’agit de chercher à optimiser la qualité d’analyse en un minimum de temps. Lors de la période de préparation, c’est, en revanche, par une analyse plus approfondie que chacun aiguisera sa propre méthode de travail et prendra l’habitude de relever les éléments les plus marquants d’un énoncé. ➤ Analyse du contenu mathématique

– La notion en jeu (ou chacune d’entre elles) : c’est une définition, un théorème, une technique, un outil, une méthode, etc. – Le type de production attendue : c’est une démonstration, un résultat numérique, un graphique, etc. – La synthèse et les prolongements possibles. À l’issue de l’exercice, une phase de synthèse clôture la résolution. Elle porte sur le bilan que l’on peut construire, avec les élèves, de ce que l’exercice a apporté dans l’apprentissage. Une ou plusieurs des questions suivantes vont se poser : – – – –

« Qu’a-t-on appris dans cet exercice ? » « Pouvait-on procéder autrement ? » « La situation étudiée est-elle susceptible d’une généralisation ? » « Cette situation amène-t-elle à une nouvelle question ? »

➤ Analyse du cadre de travail et du point de vue

Le « cadre1 de travail » désigne le domaine mathématique dans lequel on se place. En géométrie, nous distinguerons, par exemple, le cadre vectoriel, affine, analytique, euclidien, complexe. Dans un même cadre, une situation peut être abordée selon des 1. « Un cadre est constitué des objets d’une branche mathématique, des relations entre les objets, de leurs formulations éventuellement diverses et des images mentales associées à ces objets et ces relations » (R. Douady, 1986).

4.2 La préparation foncière

33

points de vue différents. Par exemple, en géométrie affine ou euclidienne, une situation peut être abordée selon un point de vue statique (configurations) ou dynamique (transformations). Ces choix influent sur les objets mathématiques qui vont être immédiatement présents à la mémoire ainsi que sur le vocabulaire mathématique qui va être activé. Si l’énoncé participe à ces choix en ce sens qu’il va mettre en scène une situation, le lecteur est lui aussi concerné, il lui appartient soit de conserver la mise en scène de l’énoncé, soit d’en changer pour une autre plus efficace : – Le cadre est unique : l’exercice est posé dans un cadre donné, et la résolution s’effectue dans le même cadre. – Le cadre est double : les données se situent dans un cadre, mais les résultats demandés se situent dans un autre (par exemple, les données sont vectorielles, alors que le résultat demandé est un concours de droites qui se situe dans le cadre affine, ou bien un calcul de longueur dans le cadre euclidien). Les données doivent être dans ce cas interprétées, éventuellement transformées, et restituées dans le nouveau cadre de travail. – L’exercice suggère un changement de cadre : données et résultats se situent dans un même cadre mais la résolution nécessite un passage par un cadre différent. L’élève est conduit, explicitement ou non, à exprimer le problème dans un autre cadre, plus favorable à la résolution, avant de revenir dans le cadre initial. ➤ Analyse des choix1 didactiques

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Il s’agit d’analyser ce qui dans l’énoncé peut influencer le choix d’une méthode, favoriser l’une d’entre elles au détriment d’une autre. Un enseignant peut aussi jouer sur des choix didactiques pour une différentiation : les valeurs numériques peuvent ne pas être les mêmes pour tous, des indications peuvent être fournies à certains élèves mais non à d’autres... – Le choix environnemental : les instruments autorisés ou non autorisés (usage de calculatrice, usage d’instruments de géométrie...) ; les « règles du jeu » indiquant ce qu’il est permis de faire ou non ; en géométrie, le support (papier blanc, papier quadrillé ou pointé, plan repéré...) – Le choix des paramètres numériques : ils influent sur les procédures car ils orientent les moyens de calcul à mettre en œuvre. Certains permettent le calcul mental, d’autres rendent le calcul instrumenté nécessaire. Les uns peuvent permettre une solution schématique, d’autres la rendre inopérante. Ils peuvent permettre ou interdire une vérification graphique simple. Une solution « entière » peut « sécuriser » les élèves dans une résolution d’équation, alors qu’une solution irrationnelle laissera planer un doute. Ils peuvent avoir un caractère exceptionnel

1. Les « variables didactiques » désignent les moyens qu’un enseignant peut mettre en oeuvre, dans un problème donné, pour influer sur les procédures de résolution.

34

4 • Préparation à l’épreuve : éléments méthodologiques

influant dans la résolution ou au contraire être seulement représentatifs d’une situation plus générale. – Le rôle des hypothèses retenues : sont-elles strictement indispensables ? Restreignentelles le champ d’étude ? Sont-elles surabondantes et, dans ce cas, quelle est la raison de cette surabondance ? Quelle serait la conséquence d’un affaiblissement de ces hypothèses ? – Les moyens de contrôle : l’élève a-t-il, à un moment donné de sa résolution, la possibilité de contrôler lui-même ses résultats (conformité avec une indication de l’énoncé, compatibilité de deux résultats, concordance provenant de deux études différentes, à l’aide de sa calculatrice, etc.) ? ➤ Analyse de la forme de l’énoncé

La forme de l’énoncé choisie par l’enseignant pour présenter une situation est aussi un choix didactique de grande importance car ce choix détermine la part d’initiative laissée à l’élève. – Le type d’énoncé : – dans un exercice injonctif, les questions sont détaillées, les résultats importants indiqués (« vérifier que » : l’auteur de l’exercice amène l’élève à suivre la démarche de résolution qu’il a prévue selon un scénario déterminé) ; – dans un problème ouvert, un texte court annonce l’objectif à atteindre mais les savoirs à mettre en œuvre ne sont pas désignés par l’énoncé et nécessitent une reconnaissance de leur pertinence. Plusieurs pistes sont a priori envisageables, les indications sont rares ou totalement absentes ; – entre ces deux cas extrêmes, le niveau de guidage de l’exercice va influer plus ou moins sur le comportement des élèves et leurs procédures de résolution. – Le type d’activité demandée aux élèves : appliquer, interpréter et appliquer (tester et éprouver la pertinence d’un savoir ou d’un savoir-faire dans le contexte proposé avant de l’appliquer), approfondir (adapter un savoir identifié à un nouveau champ de problèmes), mettre en place une démarche d’investigation. – Les indications de l’énoncé : elles peuvent être explicites (« on pourra procéder ainsi » prescrira la méthode à utiliser) ou implicites (« on désignera par x » suggérera un choix de variable qu’il conviendra d’exploiter). Certains résultats intermédiaires peuvent être livrés pour permettre de continuer la résolution. En géométrie, la présence d’une figure accompagnant le texte est à commenter : présente-t-elle seulement les données ? Sert-elle de figure de travail sur laquelle on raisonne ? Estelle un dessin « à main levée » ? Est-elle codée ? – Les difficultés que les élèves peuvent rencontrer dans leur résolution : celles-ci peuvent être volontaires (ce sont des « obstacles » qui sont là pour faire évoluer l’apprentissage) ou involontaires (et gêner l’apprentissage).

4.3 L’intégration des TICE dans la préparation

35

La grille d’analyse suivante résume les divers éléments sur lesquels porter prioritairement son attention :

Analyse de fond

– Objectif mathématique visé, localisation dans les programmes – Notions en jeu dans la résolution – Cadres(s) dans le(s)quel(s) ces notions se situent

Analyse de forme

– – – –

Synthèse

– Modifications éventuelles (sur le fond ou sur la forme) – Mise en œuvre dans une classe – Généralisation et prolongements s’il y a lieu

Choix didactiques effectués Types d’énoncé Indications et balisage Difficultés éventuelles

4.3 L’INTÉGRATION DES TICE DANS LA PRÉPARATION L’acquisition de savoirs mathématiques pose la question de l’intégration des outils liés aux technologies informatiques qui offrent des potentialités nouvelles. Cette utilisation figure explicitement en tant qu’objectif dans les programmes du collège, et est largement encouragée dans les documents d’accompagnement des programmes à tout niveau du lycée. L’intégration des TICE est de plus une exigence de l’épreuve sur dossier. Elle concerne l’utilisation de l’un des trois modèles de calculatrices agréés à l’heure actuelle pour le concours (TI Voyage 200 ou Casio ClassPad 300 ou HP49G).

4.3.1 Les compétences évaluées dans l’utilisation d’une calculatrice

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

À minima, le jury devrait attendre d’un candidat au CAPES qu’il maîtrise les compétences suivantes :

Géométrie

Utiliser un logiciel de géométrie dynamique. Construire une figure interactive. Utiliser les outils de test de propriété. Définir les éléments maîtres d’une figure, les utiliser pour une animation. Maîtriser les outils « trace » et « lieu géométrique ». Recueillir des données au cours d’une animation et les envoyer dans un tableur.

Algèbre

Connaître la représentation des nombres dans une calculatrice numérique et les conséquences de cette représentation. Distinguer les effets du « mode exact » et du « mode approché » selon le travail à effectuer. Utiliser le calcul formel pour transformer l’écriture d’une expression algébrique. Utiliser un solveur pour résoudre une équation ou un système d’équations. Effectuer des calculs matriciels.

Arithmétique

Utiliser les fonctions de traitement des nombres intégrées dans la calculatrice. Mettre en œuvre une programmation pour obtenir quelques algorithmes classiques de l’arithmétique ou pour traiter un problème d’arithmétique algorithmique.

36

4 • Préparation à l’épreuve : éléments méthodologiques

Statistiques et probabilités

Représenter, par divers résumés statistiques, une série à une variable, éventuellement pondérée par les coefficients d’une autre série. La représenter par un graphique. Construire le nuage de points représentant une série à deux variables. Ajuster cette série par la méthode des moindres carrés. Connaître quelques autres types d’ajustement (exponentiel, puissance...) Définir, par une programmation, un protocole simulant le déroulement d’une expérience aléatoire.

Analyse

Obtenir un tableau de valeurs d’une fonction et la représenter graphiquement. Utiliser le calcul formel pour dériver une fonction, en calculer une intégrale sur un intervalle, en obtenir une limite... Utiliser les outils mathématiques de l’écran graphique : recherche de minimum, maximum, équation d’une tangente, points d’intersection de deux courbes. Connaître le fonctionnement des modules « 3D » et « équations différentielles ». Obtenir une table de termes successifs d’une suite. Obtenir, à l’aide d’une programmation, la valeur exacte d’un terme de rang donné d’une suite définie par récurrence, un terme satisfaisant une condition numérique donnée. Utiliser les deux modes de représentation graphique d’une suite. Utiliser le calcul formel pour étudier la convergence d’une suite.

4.3.2 Quelques applications Sans prétendre passer en revue tous les modules disponibles sur une calculatrice, quelques applications en sont les suivantes : Le cas des logiciels de géométrie

Le cas des environnements de géométrie dynamique illustre bien ce que l’on peut attendre d’une utilisation des TICE dans la pratique de l’activité mathématique. Ces environnements apportent en effet d’autres modalités de perception et de nouveaux points de vue dans les problèmes de géométrie, qui conduisent à repenser la pratique de cette activité. Quatre rôles différents leur sont dévolus : deux rôles mineurs de présentation et d’illustration et deux rôles majeurs d’aide à la conjecture et de validation. – 1. Rôle de présentation : permettre à l’élève de se familiariser avec la situation de départ, de comprendre les hypothèses. La précision des représentations fournies par un logiciel permet d’exposer certaines situations plus clairement et de façon plus concrète que ne le feraient un énoncé écrit ou une consigne orale. – 2. Rôle d’illustration : afficher une base commune de travail à la classe en exploitant le dynamisme et l’esthétique des figures. L’un des atouts de cette utilisation est d’aider l’élève à mémoriser en lui montrant des figures ou des animations marquantes. – 3. Rôle d’exploration et d’aide à la conjecture : l’élève est maintenant acteur et explore à sa guise la situation. La rapidité d’exécution du logiciel multiplie les

4.3 L’intégration des TICE dans la préparation

37

exemples étudiés, son dynamisme visualise les changements entraînés par une modification des données, fait varier « en temps réel » un paramètre et permet d’en observer les conséquences sur la figure : transformations, recherche d’invariants. Le champ d’observation de l’élève s’en trouve élargi et donc favorise l’élaboration de conjectures, objectif constant dans les divers usages de l’outil informatique : « face à une situation complexe, la manipulation est une aide efficace à la prise de décision et représente une étape importante avant la justification de la décision1 ». Ce rôle contribue d’autre part à développer le sens de l’anticipation, de façon à arriver à « prévoir à l’avance ce qu’il va se passer quand on va faire bouger ». L’élève peut ainsi développer par lui-même des hypothèses et s’engager vers des procédures de résolution (mise en place de raisonnements de type essais et erreurs, recherche existentielle ou exhaustive de solutions de problèmes géométriques, etc.) – 4. Rôle de validation : le logiciel permet de tester les conjectures formulées et de contrôler de la validité des productions. – La validité d’une construction peut être éprouvée par sa résistance à la déformation. Une figure correcte doit rester interactive, c’est-à-dire qu’une déformation n’en altère pas les propriétés, celles-ci s’actualisent. – Les fonctions de test de propriétés permettent de contrôler une égalité de longueur, un alignement, etc. – L’outil « lieu » permet une reconnaissance du lieu géométrique d’un point. Les fenêtres graphiques et numériques

Le changement d’une fenêtre numérique vers une fenêtre graphique, ou inversement, accompagne le changement de cadre d’étude d’une suite ou d’une fonction.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Le traitement des données

Il s’agit des éditeurs de données ou de matrices, des tableurs et des éditeurs de listes. Ils permettent de saisir des données sous forme de tableaux et d’effectuer des calculs sur ces tableaux, avec quelques différences suivant l’éditeur choisi (l’éditeur de listes fournit des éléments de Rn , l’éditeur de données fournit des tableaux de nombres, l’éditeur de matrices permet des calculs algébriques sur des tableaux...), qui influent sur les outils disponibles. L’aspect « tableur » du traitement de données développe une qualité intéressante, parallèle au « dynamisme » du module de géométrie : il offre la possibilité de modifier en temps réel un tableau de nombres et donc d’actualiser l’information en fonction de la modification d’une donnée. En ce sens, son utilisation peut provoquer des conjectures dans la recherche d’invariants lors de l’actualisation (par exemple, l’actualisation des résultats d’une expérience aléatoire montrera une fluctuation due à l’échantillonnage mais ce qui est invariant, c’est l’intervalle où se trouvent la plupart des données observées). 1. « Images logicielles mathématiques en Seconde » CRDP Poitiers, 1991.

38

4 • Préparation à l’épreuve : éléments méthodologiques

L’aspect « calcul » se prête au traitement statistique : représentation par un résumé statistique, croisement de deux caractères numériques par un ajustement approprié. L’aspect « graphique » développe la représentation par un diagramme ou par une boîte d’une série de nombres ainsi que la représentation par un nuage de points de deux séries dont on veut étudier la corrélation. Les outils d’ajustement permettent de se démarquer d’un calcul pénible des coefficients d’une droite de régression. Ils ouvrent de nouvelles questions en s’interrogeant sur la pertinence de l’ajustement (jusqu’à quel point peut-on le considérer représentatif ?) et sur la comparaison de plusieurs types d’ajustement (donc sur la loi de corrélation la plus pertinente). La programmation

Les calculatrices disposent d’une liste de fonctions intégrées qui, il n’y a pas si longtemps, faisaient l’objet de l’élaboration d’un programme spécifique (calcul du PGCD de deux nombres par l’algorithme d’Euclide, par exemple, ou recherche de primalité). Cet aspect de la programmation garde cependant un intérêt car il amène à structurer une construction itérative (tout défaut de structure induisant un message d’erreur) et à développer la recherche d’une démarche logique. En ce sens, la programmation participe à l’apprentissage du raisonnement, dès lors qu’entrent dans son écriture des instructions conditionnelles (« If... Then » renvoie à une implication, « If... Then... Else... » à une disjonction de cas, par exemple). La programmation sert par ailleurs à coordonner l’utilisation de fonctions intégrées de manière à les adapter à une tâche spécifique. Elle sert alors à résoudre des problèmes simples sous la forme algorithmique.

4.3.3 La préparation à l’utilisation des TICE Un travail spécifique de préparation pourra porter, chaque fois que les circonstances s’y prêtent, sur l’utilisation de la calculatrice dans la résolution d’un exercice : illustration, aide à la conjecture, démarche d’investigation, élaboration d’un programme, mise en place d’une simulation... Ce travail demande une maîtrise de la machine, certes de niveau « raisonnable », mais qui inclut une connaissance des commandes et des fonctionnalités d’au moins un des trois modèles de calculatrices agréés. Une présentation d’exercice appuyée par un travail sur calculatrice pourra être prévue chaque fois que le dossier d’entraînement préparé s’y prête. En particulier, les constructions de figures géométriques, qui sont assez gourmandes en temps d’élaboration et nécessitent à la fois un peu de dextérité et une bonne connaissance des menus du logiciel, méritent une attention particulière. Une réflexion sur la façon de minimiser les étapes de construction des configurations usuelles est souhaitable. Tous les manuels présentent maintenant des activités qui prennent appui soit sur la calculatrice soit, plus généralement, sur l’utilisation de logiciels informatiques et constituent autant de bases de travail. Il appartient, dans ce dernier cas, à chacun de trier celles qui peuvent être présentées raisonnablement à l’aide d’une calculatrice. Il

4.3 L’intégration des TICE dans la préparation

39

est important, en effet, de se rendre compte par soi-même de la mise en œuvre d’une activité sur calculatrice et du temps nécessaire à sa mise au point1 , de façon à réguler son utilisation. Il est illusoire d’espérer maîtriser l’usage d’une calculatrice sans une pratique fréquente, l’entraînement augmentant rapidement les performances de l’utilisateur dans la confection d’une activité.

4.3.4 Une perspective : l’interactivité des applications

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Quelques-unes des différentes applications disponibles sur une calculatrice ont été abordées ci-dessus séparément. C’est ainsi d’ailleurs que l’apprentissage technique de ces applications sera probablement présenté aux élèves, en faisant en sorte que chaque fonctionnalité soit toujours abordée à l’occasion de la résolution d’un problème dans lequel elle s’avère pertinente. Nous abordons cependant ici un type de préparation qui semble nécessaire sur le long terme. En effet, de nombreuses classes de problèmes (la classe des problèmes ouverts est l’une d’entre elles) peuvent être souvent abordées avec des outils d’investigation variés. Plusieurs applications peuvent s’avérer simultanément pertinentes et ouvrir plusieurs démarches différentes. Par exemple, devant un problème de l’évolution d’une longueur ou d’une aire dans une configuration mobile, les élèves peuvent commencer les uns par calculer une fonction et ouvrir l’application « fonctions », d’autres par essayer de construire géométriquement une courbe décrivant l’évolution, d’autres encore vont recueillir des données et les envoyer dans un tableur. La synthèse de l’activité devrait montrer, en fin de compte, une convergence de résultats, et chacune des démarches s’enrichir des interprétations issues des autres. Cette diversité de comportement présuppose que les différentes applications de l’outil informatique sont suffisamment maîtrisées par les élèves et, avant eux, par leur professeur. Il y a là, sur le long terme, matière à réflexion pour un futur professeur, même si une telle interactivité n’est pas exigible dans le temps limité de l’épreuve sur dossier. À chacun de s’y exercer foncièrement, et de juger jusqu’à quel seuil, le cas échéant, appliquer cette méthode d’investigation2 le jour du concours. C’est en l’ayant testée au préalable que l’on pourra estimer les possibilités et les limites d’une mise en pratique. Il semble que cette voie d’intégration des TICE dans l’activité mathématique soit dans l’avenir plus marquée dans l’orientation des programmes avec, peut-être, un impact à moyen terme sur les modalités du concours. 1. Rien d’interdit de minuter régulièrement le temps passé à l’élaboration d’une utilisation de calculatrice, sachant qu’une familiarisation entretenue avec les modules les plus usuels est le meilleur garant d’une mise au point économe en temps de travail. 2. En évitant l’écueil préjudiciable consistant à transformer la présentation d’un dossier en démonstration de virtuosité technique, au détriment de l’analyse de contenu mathématique. Il est impératif que l’usage des TICE s’intègre dans la démarche pédagogique sans la dominer.

Partie II

Les thèmes à l’épreuve sur dossier

Les thèmes à l’épreuve sur dossier

43

LISTE DES THÈMES GÉOMÉTRIE. TYPES DE PROBLÈMES Problèmes d’incidence 01

01.1. Alignement

01.2. Concours

01.3. Parallélisme

01.4. Orthogonalité

01.5. Cocyclicité

Problèmes sur les configurations 02

02.1. Études de configurations à l’aide de différents outils

02.2. Problèmes de longueur minimum, d’aire maximum

Problèmes de calculs de grandeurs 03

03.1. Calculs de longueurs, d’aires et de volumes

03.2. Calculs d’angles

Problèmes de recherche de lieux géométriques 04

04.2. Lieux déterminés par des conditions géométriques

04.1. Lignes de niveaux

Problèmes de constructions 05

05.1. Constructions utilisant des configurations connues

05.2. Constructions à l’aide de transformations

05.3. Constructions de sections planes et de patrons

Problèmes sur les surfaces 06

Équation d’une surface

Sections planes d’une surface

GÉOMÉTRIE. TYPE D ’ OUTILS

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

07

07.1. Les configurations usuelles

07.2. Les transformations

07.3. Les triangles isométriques et les triangles de même forme

07.4. Les barycentres

07.5. Les angles

07.6. Le calcul vectoriel et la géométrie analytique

07.7. Le calcul numérique

07.8. Les aires

07.9. Les nombres complexes

ALGÈBRE 08

Les ensembles de nombres

09

La proportionnalité

10

Équations, inéquations du premier et du second degré à une inconnue (ou pouvant s’y ramener)

11

Systèmes linéaires

12

Systèmes d’inéquations, programmation linéaire

13

Divers types de raisonnement

14

Calcul matriciel

15

Théorie des graphes

16

Arithmétique

44

Les thèmes à l’épreuve sur dossier

ANALYSE : SUITES 17

Étude du comportement de suites définies par une relation de récurrence du type : un+1 = f (un )

18

Problèmes conduisant à des suites arithmétiques, géométriques ou arithmético-géométriques

19

Approximation d’un nombre réel à l’aide de suites

20 Utilisation de suites pour la recherche de solutions approchées d’une équation numérique ANALYSE : FONCTIONS 21

Étude du sens de variation

22

Étude du comportement asymptotique

23

Étude de la représentation graphique

24

Étude de recherche d’extremums et optimisation

25

Étude du comportement local

26

Étude de la position relative de deux courbes

27

Étude d’encadrement d’une fonction par des fonctions plus simples

28

Fonctions de référence et fonctions associées

29

Études de situations issues de la géométrie, de la physique, de l’économie..., décrites au moyen de fonctions ANALYSE : INTÉGRATION

30

Calcul d’intégrales par des méthodes variées

31

Calculs approchés d’une intégrale

32

Encadrements d’une intégrale à l’aide d’un encadrement de la fonction à intégrer

33

Utilisation du calcul intégral pour l’étude de suites

34

Calculs d’aires à l’aide du calcul intégral

35

Calculs de volumes usuels à l’aide du calcul intégral

36

Utilisation du calcul intégral en mécanique, en physique, en biologie, en économie, en probabilités...

Problèmes issus de la géométrie, de la physique, de la biologie, de l’économie, des probabilités..., conduisant à la résolution d’une équation différentielle linéaire du premier 37 ordre à coefficients constants ; du second ordre à coefficients constants PROBABILITÉS ET S TATISTIQUES 38

Séries statistiques à une variable

39

Séries statistiques à deux variables

40

Modélisation et simulation d’expériences aléatoires : fluctuation d’échantillonnage

41

Techniques de dénombrement Probabilités 42.1. Équiprobabilité

42.2. Probabilités conditionnelles

42.3. Variables aléatoires

42.4. Loi binomiale

42.5. Lois continues

42.6. Calcul matriciel et probabilités

42

Chapitre 5

Les thèmes de géométrie

Les thèmes de géométrie sont séparés en deux rubriques : les « problèmes » et les « outils ». Cette classification explicite en deux catégories « types de problèmes » et « types d’outils » induit des problématiques différentes, respectivement : – Quels outils permettent-ils de traiter un problème donné ? – Quels problèmes un outil donné permet-il de résoudre ? Ces problématiques différentes, explicites en géométrie, seront tout aussi présentes dans les autres parties des mathématiques. Avant d’aborder l’étude des différents thèmes, quelques réflexions sur l’apprentissage de la géométrie et le contenu des programmes s’avèrent utiles.

5.1 L’APPRENTISSAGE DE LA GÉOMÉTRIE AU COLLÈGE ET AU LYCÉE 5.1.1 Évolution de la géométrie du primaire au lycée Lorsque les élèves entrent au collège, ils connaissent déjà un certain nombre d’objets mathématiques, du plan ou de l’espace. Dans le plan : carré, rectangle, losange, triangle, cercle, ainsi que les notions de perpendiculaire, parallèle, angle, périmètre et aire de figures simples, symétrie axiale en tant que transformation. Dans l’espace : cube, tétraèdre, pavé, ainsi que les notions de faces, arêtes et sommets. Le travail géométrique s’organise jusque-là autour de quatre types d’activités. − Reproduire une figure du plan et de l’espace (réalisation pratique incluse).

46

5 • Les thèmes de géométrie

− Décrire une figure pour l’identifier. − Représenter un objet géométrique (une figure plane, un solide de l’espace, patron inclus). − Construire une figure avec des instruments de géométrie variés : règle, compas, équerre, gabarit, calque. Le principe général de l’apprentissage est de partir du réel (et donc d’objets matériels). L’approche de la géométrie est perceptive. Au collège, on reprend l’étude des mêmes objets qui ont été vus au primaire. Cependant, entre la sixième et la quatrième, on observe un saut qualitatif de l’enseignement d’une géométrie « perceptive », jusque-là en vigueur, vers une géométrie « déductive » : initié dans les classes précédentes, où il est effectivement présent, l’apprentissage de la démonstration est clairement institutionnalisé par le programme de la classe de quatrième. Le travail géométrique vise désormais des finalités plus complexes et les documents d’accompagnement des programmes du collège en pointent particulièrement trois : − Fournir des bases pour développer une capacité à géométriser un problème spatial. Il s’agit de transposer dans le domaine géométrique une situation issue d’un autre domaine (vie courante, topographie, arpentage, etc.) Cette transposition amène à construire un modèle (schéma, plan, carte) dans lequel interviennent certaines caractéristiques géométriques idéales puis à le travailler à l’aide de savoirs géométriques. − Fournir un cadre pour développer les capacités à expérimenter et à mettre en œuvre des démarches d’investigation. Ces capacités s’exercent dans la résolution de problèmes nécessitant observations, essais, conjectures, reconnaissance d’invariants. Cette résolution peut s’appuyer sur la réalisation de figures sur papier ou sur l’utilisation de logiciels de géométrie. − Fournir l’un des supports de l’apprentissage du raisonnement déductif. Cette finalité est complémentaire de la précédente, les conjectures amenant débat puis tentative de preuve pour convaincre. L’apprentissage de ce type de raisonnement s’exerce à travers l’analyse d’une figure, l’extraction de figures clés munies de propriétés qui, par l’application de théorèmes, en impliquent d’autres jusqu’au résultat à démontrer. Au lycée, le travail géométrique se spécialise autour de quelques thèmes : − Voir le plan et l’espace : connaître les objets géométriques usuels et savoir discuter leurs positions relatives. − Se repérer dans le plan et dans l’espace : utiliser un repère du plan ou de l’espace et savoir traduire analytiquement une propriété géométrique. − Transformer le plan ou l’espace : connaître quelques transformations géométriques et leurs effets sur les objets géométriques.

5.2 Le contenu des programmes

47

− Se familiariser avec l’outil vectoriel : sans pour autant faire de l’algèbre linéaire formelle, intégrer le concept de vecteurs et les outils corollaires (calcul barycentrique, produit scalaire dans le cadre euclidien).

5.2 LE CONTENU DES PROGRAMMES Ce tableau synoptique présente les grandes lignes du contenu des programmes de collège et de lycée en ce qui concerne la géométrie.

5.2.1 Les programmes du collège Les principaux objectifs sont classés suivant le niveau, sixième, cycle central et troisième. S IXIÈME

C YCLE CENTRAL

T ROISIÈME

Configurations du plan (5e ) : Construction de triangles Triangles Concours des médiatrices d’un triangle. Triangles particuliers : Parallélogramme isocèle, équilatéral, (4e ) : Théorèmes relatifs aux milieux rectangle de deux côtés Médiatrice d’un Triangles déterminés par deux droites parallèles segment coupant deux sécantes : Bissectrice d’un angle proportionnalité de longueurs Rectangle Droites remarquables d’un triangle, leur concours Losange Triangle rectangle et son cercle circonscrit Cerf-volant Théorème de Pythagore et sa réciproque Cercle Tangentes à un cercle

Théorème de Thalès et sa réciproque Polygones réguliers

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Configurations de l’espace Parallélépipède rectangle

Prismes droits et cylindres de révolution (5e ) Pyramides et cônes de révolution (4e )

Sphère Problèmes de sections planes de solides

Transformations

Symétrie axiale

Symétrie centrale (5e ) Translation (4e )

Rotation Composition de symétries centrales ou de translations

Angles

Apprendre à utiliser un rapporteur

Maîtriser l’usage d’un rapporteur Somme des angles d’un triangle Caractérisation angulaire du parallélisme (5e ) Cosinus d’un angle aigu (4e )

Angle inscrit et angle au centre Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu

48

5 • Les thèmes de géométrie

S IXIÈME

C YCLE CENTRAL

Périmètre d’un polygone Périmètre du cercle Aire d’un rectangle, d’un triangle rectangle

(5e ) Inégalité triangulaire Aire d’un disque Volume d’un prisme droit, d’un parallélépipède rectangle, d’un cylindre de révolution (4e ) Distance d’un point à une droite Effets d’un agrandissement ou d’une réduction Volume d’une pyramide ou d’un cône de révolution

T ROISIÈME

Longueurs, aires, volumes

Distance de deux points du plan rapportés à un repère orthonormé

Vecteurs Direction, sens et norme Lien avec le parallélogramme Géométrie analytique Repérage sur une droite graduée Repérage dans le plan muni d’un repère orthogonal

Coordonnées du milieu d’un segment, d’un vecteur Équation réduite d’une droite

5.2.2 Les programmes du lycée S ECONDE

P REMIÈRE S

T ERMINALE S

Configurations du plan et de l’espace Triangles isométriques, triangles de même forme

Outil des nombres complexes

Règles d’incidence dans l’espace Orthogonalité d’une droite et d’un plan

Droites et plans de l’espace, intersections Sections planes de surfaces

Sections planes d’un cube, d’un tétraèdre

Transformations Celles du collège

Homothéties

Outil des complexes Similitudes planes (Spé)

Grandeurs géométriques Angles orientés, repérage polaire Calculs d’angles, de longueurs et d’aires Géométrie vectorielle Colinéarité de vecteurs Multiplication d’un vecteur par un réel

Barycentres Produit scalaire dans le plan Calcul vectoriel dans l’espace

Coordonnées d’un vecteur Équations de droites

Repère de l’espace : distances, équations de plans parallèles aux plans de coordonnées, de sphères centrées à l’origine, de cônes ou de cylindres ayant pour axe un axe du repère

Produit scalaire dans l’espace

Géométrie analytique Droites et plans de l’espace : représentations paramétriques

5.3 Étude thème par thème

49

Spécificités d’autres séries au niveau du Lycée : Elles sont classées par série suivant les objectifs en géométrie plane et en géométrie de l’espace. Géométrie vectorielle et euclidienne du plan

1re STI

TSTI

Géométrie de l’espace

Calcul vectoriel dans le plan, barycentre de 2 Produit scalaire de l’espace, expression à 4 points analytique dans une base Produit scalaire orthonormale Relations métriques dans le triangle Produit vectoriel en liaison avec la Exemples de calculs de distances, d’angles, mécanique d’aires ou de volumes Recherche de sections planes Produit vectoriel en liaison avec la mécanique Emploi de croquis perspectifs En option « Arts appliqués » : définition d’une parabole par foyer et directrice En option « Arts appliqués », coniques : parabole, ellipse, hyperbole ; définition bifocale

1re ES Spé

Calcul vectoriel : coordonnées d’un point, d’un vecteur, condition d’orthogonalité Équations cartésiennes de droites et de plans

T ES Spé

Représentation dans l’espace de fonctions de deux variables (exemples) Courbes de niveau

5.3 ÉTUDE THÈME PAR THÈME Thème 01 : Les problèmes d’incidence

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Présentation générale

Le terme « incidence » désigne l’étude des positions relatives, inclusions ou intersections possibles d’objets géométriques tels que points, droites et cercles : appartenance d’un point à une droite ou à un cercle, positions relatives de deux droites (incluant l’orthogonalité en géométrie euclidienne), d’une droite et d’un cercle, d’une droite et d’un plan, etc. Un problème d’incidence peut être résolu dans un cadre affine ou vectoriel lorsque ce problème concerne des points, droites et plans et que les outils sont ceux de la géométrie affine ou vectorielle (barycentres, vecteurs, transformations affines). Il l’est dans un cadre euclidien lorsqu’interviennent des notions euclidiennes ou les outils de la géométrie euclidienne (questions d’orthogonalité, outils du produit scalaire, des isométries ou des similitudes). Lorsqu’un problème d’incidence se pose, un travail préalable à la résolution est nécessaire : − Construire une figure, si celle-ci n’est pas fournie avec l’énoncé.

50

5 • Les thèmes de géométrie

− Trier et classer les informations de l’énoncé (analyse de la nature des informations : décrivent-elles une configuration connue, mettent-elles en jeu une transformation, sont-elles vectorielles, métriques, autres ?) − Compte tenu de la conclusion espérée, repérer les propriétés susceptibles de la provoquer. Si l’énoncé se présente sous une forme injonctive et, donc, induit une démarche, le travail principal consiste ensuite à identifier et à vérifier les hypothèses nécessaires à l’accomplissement de chaque pas de la démarche. Si l’énoncé est plus ouvert, il convient de choisir un cadre de résolution et, dans ce cadre, une stratégie. Plusieurs stratégies différentes peuvent être mises en œuvre, suivant le cadre dans lequel on choisit d’inscrire la situation. Thème 01.1. Les problèmes d’alignement

La relation d’incidence entre un point et une droite exprime l’appartenance du point à la droite : « le point A appartient à la droite D » ou « la droite D passe par le point A ». Pour démontrer que trois points A, B, C distincts du plan ou de l’espace sont alignés, différentes stratégies sont possibles : − − − −

La droite passant par deux des points passe aussi par le troisième. Ces trois points appartiennent à une même droite déterminée. Deux des trois droites ( AB), (BC), (AC) sont confondues. Une propriété (métrique, vectorielle, barycentrique...) caractéristique d’un alignement se trouve vérifiée.

Le tableau suivant regroupe, sans pour autant être exhaustif, les principales méthodes de démonstration d’un alignement : Outil

Démonstration

Niveau

Distances

AB + BC = AC (alors, A, B, C sont alignés dans cet ordre).

5e

 est égal à 180˚ (alors, A, B, C L’angle géométrique ABC sont alignés dans cet ordre). − → → − L’angle orienté AB, AC a pour mesure zéro mod. p.

5e

Angles

Configurations Vectoriel Analytique Transformations Homothéties

Appartenance des trois points à une même droite remarquable (médiatrice d’un segment, etc.) → − → − Les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Les coordonnées de C vérifient une équation de (AB). Caractérisation analytique d’une colinéarité. A, B, C sont images par une application affine de trois points alignés. Alignement centre - point - image par une homothétie.

1re Cela dépend 2e 3e Cela dépend 1re

5.3 Étude thème par thème

51

Outil

Démonstration

Niveau

Barycentres

Un des trois points est un barycentre des deux autres.

1re

Complexes

z C − zA est un nombre réel. z B − zA

T

Configurations de l’espace

Les trois points appartiennent à deux plans sécants donc à leur droite d’intersection.

2e

Thème 01.2. Les problèmes de concours

Deux droites distinctes sont sécantes en un point au plus, une droite et un cercle ou deux cercles sont sécants en deux points au plus. Il y aura « concours » en un point I si au moins trois objets géométriques de cette nature passent par ce même point. Pour démontrer que trois droites D 1 , D 2 , D 3 sont concourantes en un point I on peut :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

− Identifier un point qui appartient à chacune des trois droites. − Montrer que le point d’intersection de deux des trois droites appartient à la troisième droite. − Identifier les trois droites comme étant des droites remarquables concourantes. − Dans l’espace, montrer que ces droites sont les droites d’intersection de trois plans deux à deux sécants. − Appliquer une propriété de concours, dont voici quelques exemples susceptibles d’être exploités : Outil

Démonstration

Niveau

Configurations

D 1 , D 2 , D 3 sont trois droites concourantes remarquables d’un triangle (médianes, médiatrices, hauteurs...)

4e

Transformations

D 1 , D 2 , D 3 sont images par une application affine de trois droites concourantes.

Cela dépend

Homothéties

Elles contiennent toutes les trois un point et son image par une homothétie de centre I (concours au centre).

1re

Calcul barycentrique

I est un barycentre de deux points de chacune des droites (théorème d’associativité du barycentre).

1re

Calcul algébrique

Les coordonnées d’un même point vérifient les équations des trois droites. Le système de trois équations à deux inconnues formé par des équations cartésiennes des trois droites admet une solution unique.

2e

D’autres objets, comme trois cercles, peuvent aussi « concourir ». À leur propos, on peut soit identifier un point remarquable appartenant aux trois cercles, soit montrer que deux d’entre eux sont sécants et que l’un de leurs points d’intersection appartient au troisième cercle.

52

5 • Les thèmes de géométrie

Thème 01.3. Les problèmes de parallélisme

À l’entrée de la classe de sixième, un parallélisme se « vérifie » à l’aide des instruments de géométrie. Cette façon de procéder sera rapidement mise en cause par des cas où une vérification ne permet pas de trancher ou induit une réponse fausse et on conclura qu’une vérification par les instruments de géométrie ne peut constituer une preuve. Il y aura désormais nécessité de démontrer. La propriété d’équidistance de deux droites parallèles est la première connue : les points de l’une sont tous à la même distance de l’autre droite. Les méthodes permettant de fournir une preuve de parallélisme vont rapidement s’enrichir, à commencer par une caractérisation angulaire, ainsi qu’avec l’étude des parallélogrammes : Outil

Démonstration

Niveau

Elles sont parallèles à une même troisième droite (transitivité du parallélisme de droites).

6e

Elles sont perpendiculaires à une même troisième droite. Elles sont les supports de deux côtés opposés d’un parallélogramme.

5e

L’une est « droite des milieux de deux côtés » dans un triangle dont l’autre droite supporte le troisième côté.

4e

On peut appliquer la réciproque du théorème de Thalès.

3e

Angles

Elles déterminent avec une sécante des angles correspondants, ou des angles alternes internes, égaux.

5e

Transformations

L’une est image de l’autre par une translation, une symétrie centrale, ou une homothétie. Elles sont images de deux droites parallèles par une transformation affine.

Cela dépend

Vecteurs

Elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

2e

Analytique

Elles ont le même coefficient directeur.

2e

Configurations de l’espace

Elles sont orthogonales à un même plan. Théorème du toit.

2e

Configurations

Dans l’espace, les problèmes de parallélisme concernent aussi le parallélisme entre plans ou entre une droite et un plan. Thème 01.4. Les problèmes d’orthogonalité

En géométrie vectorielle euclidienne, deux sous-espaces vectoriels sont orthogonaux si et seulement si tout vecteur de l’un est orthogonal à tout vecteur de l’autre, et deux sous-espaces sont perpendiculaires si et seulement si leurs supplémentaires orthogonaux sont eux-mêmes des sous-espaces orthogonaux. Ces notions s’étendent aux sous-espaces affines d’un espace affine euclidien, en considérant leurs sous-espaces vectoriels associés.

5.3 Étude thème par thème

53

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

La notion de perpendicularité, telle qu’on la rencontre dans les programmes, est, quant à elle, liée à la notion d’angle droit. À l’entrée en sixième, deux droites perpendiculaires sont définies comme des droites du plan sécantes déterminant quatre angles égaux (qui sont des angles droits). Des segments sont perpendiculaires s’ils sont sécants et si les droites qui les supportent sont perpendiculaires. On le dira aussi de deux droites sécantes de l’espace, alors que deux droites y sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point quelconque de l’espace sont perpendiculaires. Deux temps forts dans l’évolution des méthodes de démonstration d’une orthogonalité se détachent : en quatrième, apparaît l’étude du triangle rectangle, permettant d’obtenir des relations d’orthogonalité et, en première, l’étude du produit scalaire permet de caractériser vectoriellement une orthogonalité. Quant à l’usage de transformations dans des problèmes d’orthogonalité, celui-ci est dû au fait que les transformations au programme de l’enseignement secondaire sont toutes des similitudes et conservent l’orthogonalité. Dans le cas de deux droites du plan, notées (AB) et (AC) si utile, un certain nombre de méthodes peuvent être mises en application, à l’exemple des suivantes : Outil

Démonstration

Niveau

Configurations élémentaires

Il s’agit de deux droites perpendiculaires d’une configuration connue (l’une est médiatrice d’un segment supporté par l’autre, il s’agit de diagonales d’un losange, d’une hauteur et d’une base d’un triangle...)

6e / 5e

Configuration du triangle rectangle

On peut appliquer la réciproque du théorème de Pythagore. On peut appliquer la réciproque du théorème de l’angle droit (inscription dans un demi-cercle).

4e

Produit scalaire

Elles ont des vecteurs directeurs orthogonaux.

1re

Transformations

Elles sont images de deux droites perpendiculaires. L’une est image de l’autre par une rotation, ou par une similitude, d’angle +p/2 ou −p/2.

Cela dépend

Analytique

Caractérisation analytique d’une orthogonalité de vecteurs.

1re

Complexes

z C − zA est un imaginaire pur. zB − z A

T

Les problèmes d’orthogonalité dans l’espace se rencontrent quant à eux au collège en liaison avec la configuration du parallélépipède rectangle. En seconde, on dira qu’une droite sécante en I à un plan est orthogonale à ce plan si elle est perpendiculaire à deux droites distinctes passant par I et, par théorème, cette droite est alors orthogonale à toutes les droites de ce plan. L’outil du produit scalaire dans l’espace permet en terminale de définir la notion de vecteur normal à un plan. Pour prouver l’orthogonalité d’une droite D et d’un plan → P, on peut prouver qu’un vecteur − u directeur de D est orthogonal à deux vecteurs

54

5 • Les thèmes de géométrie

− → → v et − w non colinéaires de la direction de P ou bien qu’il est colinéaire à un vecteur → − n normal au plan P. Thème 01.5. Les problèmes de cocyclicité

Au collège, les problèmes de cocyclicité sont liés en majeure partie au théorème de l’angle droit (niveau quatrième). En troisième, l’étude du théorème de l’angle inscrit ne s’effectue que dans un sens direct. En effet, réciproquement, une égalité  B sans autre condition situe les points C et D sur d’angles géométriques AC B = AD la réunion de deux arcs de deux cercles symétriques passant par A et B, et non sur un même cercle (c’est le cas seulement si ces angles sont droits). En première, sous sa version « angles orientés », le théorème de l’angle inscrit n’est pas un objectif du programme. Cet outil restera donc très peu utilisé au niveau du lycée, sauf lorsque l’angle orienté en question aura pour mesure p/2 mod. p. Il en est de même de l’outil des nombres complexes. Étant donnés quatre points A, B, C, D, les démonstrations les plus usuelles de leur cocyclicité sont de ce fait les suivantes : Outil

Démonstration

Niveau

Métrique

Ils sont tous à la même distance d’un point remarquable.

Dépend de la façon de calculer les distances

Configurations

Les cercles circonscrits à deux triangles (ABC et ABD, par exemple) ont le même centre.

5e

Angles

Le théorème de l’angle droit : ces quatre points sont sur un cercle de diamètre connu (si, par exemple, les deux triangles ABC et ABD sont rectangles en C et en D respectivement, alors les quatre points A, B, C, D appartiennent tous au cercle de diamètre [AB]).

4e

Transformations

Deux des quatre points sont sur un cercle globalement invariant par une isométrie qui envoie ces deux points sur les deux autres.

Lycée

Exercices complémentaires sur les problèmes d’incidence

L’intitulé du dossier restreindra certainement le type de problèmes d’incidence à étudier. Il s’agira, par exemple, de proposer un ou plusieurs exercices d’alignement ou de concours ou bien de parallélisme et d’orthogonalité. Si deux types de problèmes sont cités, une exigence est de proposer au moins un problème de chaque type. À l’intérieur d’un même type de problèmes, l’exigence principale est de faire varier les méthodes permettant de le résoudre. On pourra montrer comment les outils permettant de traiter un type de problème donné évoluent et se diversifient au cours de la scolarité en fonction du niveau de classe.

5.3 Étude thème par thème

55

Thème 02. Problèmes sur les configurations Une configuration au sens de la géométrie plane peut être définie comme étant la donnée, dans un plan affine euclidien : − D’un ensemble P de points. − D’un ensemble D de droites et/ou de cercles. − D’une partie I de P × D définissant une relation d’incidence entre points et éléments de D : lorsque un couple (A, e) appartient à I, on dit que « A et e sont incidents », c’est-à-dire d’une part que « A appartient à e » ou que « A est sur e » et, d’autre part, que « e passe par le point A ». Les éléments constitutifs de la configuration peuvent être soumis à certaines contraintes (parallélisme ou orthogonalité de certains éléments de D, positions relatives de certains éléments de P...) Dans l’espace, une configuration est définie comme la donnée d’un ensemble de points, de droites et de plans, éventuellement de cercles ou de sphères. Une configuration peut être d’abord objet d’étude et être progressivement dotée de certaines propriétés caractéristiques, puis répertoriée comme « configuration de référence ». Dès lors, elle peut servir d’outil lorsqu’on la reconnaît dans une figure géométrique plus complexe.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Thème 02.1. Étude de configurations à l’aide de différents outils

Dans ce thème, l’objectif est double : Un premier objectif est de montrer des exemples de configurations dont une même propriété est démontrée de façon différente suivant l’environnement mathématique qui, à un instant donné, est celui de l’élève. C’est donc l’énoncé, le cadre dans lequel il s’inscrit, la façon dont la configuration est définie, qui guideront l’emploi de tel ou tel outil mathématique sous jacent conformément aux intentions de l’enseignant. Il y aura plusieurs énoncés différents, bien localisés dans des moments du programme de géométrie, pour étudier une même configuration. L’énoncé va varier suivant le niveau de classe, peut être des hypothèses utiles à un niveau de classe donné seront modifiées ou abandonnées à un autre niveau. Un deuxième objectif est d’entraîner les élèves eux-mêmes à envisager plusieurs pistes de résolution et comparer leur efficacité. Il s’agit là d’un objectif majeur car il participe à l’acquisition d’une vision globale des mathématiques et à la construction d’une « boîte à outils » dans lequel l’élève choisit de son propre chef celui qui lui semble le plus adapté à la résolution d’un problème. C’est lorsqu’un élève aura acquis suffisamment d’autonomie pour savoir changer de point de vue et envisager plusieurs cadres de résolution que ses compétences seront solidement ancrées. Il y aura un seul énoncé, mais suffisamment neutre pour que s’ouvrent plusieurs pistes de recherche, dont la confrontation sera ensuite fructueuse.

56

5 • Les thèmes de géométrie

Ce thème concerne d’abord certaines configurations de base, notamment : − Configuration du parallélogramme, un « exemple d’école » car, dès la classe de cinquième, un élève peut en avoir plusieurs visions différentes (parallélismes, égalités de longueurs, égalités angulaires, élément de symétrie...) et selon le problème, ces « visions » sont plus ou moins efficaces. Cette configuration est reprise ensuite avec l’outil vectoriel à partir de la classe de troisième. − Configurations de quadrilatères plus spécialisés (rectangle, losange...) pour lesquelles une vision statique (propriétés des côtés ou des diagonales) cohabite avec une vision dynamique (existence d’éléments de symétrie caractéristiques). − Configuration du triangle et de ses médianes. Elle peut être étudiée au niveau de la classe de quatrième avec l’outil des configurations déjà connues ou bien revue ultérieurement en première avec l’outil du barycentre. − Configuration du trapèze complet, dont l’étude peut être menée soit par l’outil des barycentres soit, plus efficacement semble-t-il, par l’outil des transformations (homothéties). − Configurations du parallélépipède rectangle et du cube. Elles donnent lieu à l’étude d’intersections (grandes diagonales avec des plans remarquables, par exemple) avec les outils de la géométrie affine ou bien à des calculs de distances avec l’outil métrique. − Configuration du tétraèdre, avec les milieux de ses arêtes et les centres de gravité de ses faces, que l’on peut étudier avec le théorème des milieux (outil des configurations) ou l’outil barycentrique. Certaines configurations plus complexes peuvent ensuite faire l’étude d’un problème consistant au niveau lycée (première S, terminale S) et permettent d’envisager l’utilisation comparée de plusieurs outils. Il en est ainsi de configurations formées d’un triangle flanqué extérieurement sur les côtés de trois carrés (configuration de Vecten, présente dans les manuels souvent sous une forme partielle) ou de trois triangles équilatéraux (configuration de Torricelli). ➤ Choix d’exercices complémentaires

Ce thème s’étendant du collège au lycée nécessite particulièrement un travail de synthèse et de sélection d’objectifs et d’outils : − Étude d’une configuration de base du plan visitée à des niveaux de classe différents. − Étude d’une configuration de l’espace. Usage de divers outils pour démontrer tantôt une propriété d’incidence, tantôt une propriété métrique. − Étude comparée de différents outils pour établir une même propriété dans une configuration du plan (une orthogonalité, une égalité de longueurs, etc.)

5.3 Étude thème par thème

57

Thème 02.2. Problèmes de longueur minimum, problèmes d’aire maximum

Ces types de problèmes ne correspondent pas à un niveau de classe spécifique, et sont proposés en réinvestissement des notions géométriques qui permettent de les résoudre. Ils sont donc disséminés dans les manuels à partir du milieu du collège. Ils peuvent cependant faire l’objet d’un thème d’étude dans certains manuels de première S. ➤ 1. Les problèmes de longueur minimum ; optimisation

Deux propriétés géométriques de minimisation permettent d’étudier de tels problèmes : − L’inégalité triangulaire : si A et B sont deux points fixes, pour tout point M du plan, la longueur du trajet M A + M B est minimale lorsque M appartient au segment [AB]. − La distance d’un point à un convexe fermé : le minimum de distance d’un point A à un point d’une partie convexe fermée non vide du plan ou de l’espace est réalisé en un point unique, projection de A sur ce convexe. Il en est ainsi, entre autres, de la distance d’un point à une droite, étudiée au niveau de la classe de quatrième : la distance d’un point fixe A aux points d’une droite donnée D est minimale lorsque ce point est le projeté orthogonal de A sur la droite D, et cette distance minimale est la distance du point A à la droite D. Les méthodes géométriques permettant d’étudier un problème de distance minimale consisteront à se ramener, de façon plus ou moins implicite, à l’un de ces cas. ➤ 2. Les problèmes d’aire maximum

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Deux méthodes géométriques peuvent être relevées : − Se ramener à un problème de maximisation d’une longueur. Ainsi, par exemple, si la longueur d’une base (respectivement : d’une hauteur) est donnée, l’aire d’un triangle ou d’un parallélogramme est maximale quand la hauteur (respectivement : la base) est maximale. − Effectuer des comparaisons d’aires en décomposant la surface à optimiser. En général, cette méthode demande que l’on conjecture la nature de la surface optimale. On montre ensuite que pour toute autre surface de la même famille, on peut trouver une décomposition en sous-surfaces dont l’aire cumulée est inférieure ou égale à celle de la surface optimale. ➤ 3. Deux thèmes favorables à un changement de cadre

En tant que problèmes d’optimisation, ces deux types de problèmes se prêtent à une résolution extérieure au cadre géométrique en prévoyant une résolution avec l’outil du calcul numérique dans le cadre fonctionnel, le plus adapté, ou dans le cadre algébrique, lorsqu’on peut ramener la résolution à celle d’un problème d’extremum résoluble algébriquement (cas d’un trinôme du second degré à optimiser, par exemple).

58

5 • Les thèmes de géométrie

Ce changement de cadre pourra être proposé comme une alternative possible à une solution purement géométrique1 . ➤ 4. Choix des exercices complémentaires

Certains des objectifs suivants peuvent, par exemple, être visités : − Exemple de recherche de distance minimum au niveau du collège : en application de la distance d’un point à une droite au niveau de la classe de quatrième. − Exemple de recherche de trajet minimal en mobilisant une transformation. − Exemple de maximisation d’une aire par maximisation d’une dimension (base ou hauteur) l’autre restant fixe. − Exemple de maximisation d’une aire lorsque les deux dimensions sont variables. À l’occasion de l’un de ces exercices, il peut être opportun de confronter une méthode issue de l’analyse et une méthode géométrique.

Thème 03. Calcul de grandeurs2 Selon le « Vocabulaire international des termes généraux et fondamentaux de la métrologie », une grandeur mesurable se définit comme étant « l’attribut d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance qui est susceptible d’être distingué qualitativement et déterminé quantitativement. Les grandeurs qui peuvent être classées les unes par rapport aux autres en ordre croissant (ou décroissant) sont appelées grandeurs de même nature ». Selon ce même vocabulaire, une unité de mesure d’une grandeur est « une grandeur particulière, définie et adoptée par convention, à laquelle on compare les autres grandeurs de même nature pour les exprimer quantitativement par rapport à cette grandeur ». Mesurer une grandeur, c’est effectuer une détermination quantitative de cet attribut, c’est-à-dire déterminer le rapport entre une grandeur donnée et la grandeur de même nature choisie comme unité. Une mesure dans une unité donnée détermine dès lors une classe d’équivalence dans l’ensemble des grandeurs de même nature que la grandeur unité : la classe de celles de ces grandeurs qui se mesurent par ce même nombre. Ainsi les grandeurs existent-elles indépendamment des nombres mais les rejoignent par l’intermédiaire de la notion de mesure. Elles constituent un support concret pour le calcul sur les nombres, comme le soulignent les documents d’accompagnement des programmes du collège : « le travail sur longueurs et aires est indispensable pour présenter aux élèves les nombres non entiers et les opérations étudiés au collège ».

1. Il y a d’ailleurs tout intérêt à présenter ce type de problème comme des problèmes ouverts, de façon à favoriser des démarches divergentes. 2. Consulter à ce propos le document d’accompagnement des programmes du collège, « grandeurs et mesures », édité par la Direction générale de l’enseignement scolaire (octobre 2007).

5.3 Étude thème par thème

59

Il est question dans ce thème de longueurs, aires, volumes, angles. Ces grandeurs se distinguent par le fait qu’elles appartiennent spécifiquement au champ géométrique. La grandeur fondamentale est la longueur, les autres grandeurs sont des grandeurs dérivées (dont la dimension désigne leur rapport à la grandeur fondamentale : une aire est homogène au carré d’une longueur, un volume au cube d’une longueur). Le calcul de grandeurs implique la prise en compte de quelques idées de base : − On ne peut comparer entre elles que des grandeurs de même nature. − Sur un même objet géométrique, on peut définir plusieurs grandeurs de nature différente (par exemple, considérer le périmètre d’un polygone et son aire). − L’activité pratique de mesurage est inséparable de la notion d’erreur ; elle est distincte de celle d’attribution d’une mesure exacte (le calcul exact d’une grandeur demande une démarche différente d’un mesurage sur un dessin). Thème 03.1. Calculs de longueurs, aires ou volumes

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Place dans les programmes

En début de collège, l’objectif est de se familiariser avec l’usage des grandeurs les plus courantes définies sur les objets géométriques usuels. À ce niveau, savoir calculer le périmètre d’un polygone et du cercle, savoir déterminer l’aire d’une surface à partir d’un pavage, généraliser l’aire du rectangle aux dimensions décimales et calculer l’aire du triangle rectangle, savoir différencier aire et périmètre, savoir calculer le volume d’un parallélépipède rectangle par dénombrement d’unités constituent les compétences attendues. Au cycle central, les calculs fournissent l’occasion d’utiliser des formules, dont on construit un répertoire, et d’initier la notion de fonction lorsqu’une grandeur est fonction d’autres grandeurs. Le calcul de grandeurs reste présent dans les programmes jusqu’au lycée, où de nouveaux outils, tels le produit scalaire, permettent d’étendre les méthodes de calcul. Ainsi le document d’accompagnement de première S indique-t-il : « On mettra en évidence l’apport spécifique du produit scalaire pour les calculs de longueurs, d’aires ou d’angles, sans négliger pour autant les outils vus les années antérieures (les formules reliant les sinus des angles, les côtés et l’aire d’un triangle sont dans le fil de ces outils : elles seront éventuellement introduites dans des problèmes). » ➤ Les méthodes de calcul

Dans les méthodes de calcul, nous distinguons le cas où une grandeur se calcule à l’aide de grandeurs de même nature et le cas où une grandeur se calcule à l’aide de relations avec d’autres grandeurs1 .

1. Le calcul d’aires et de volumes par le calcul intégral figure dans la partie analyse. Nous nous en tenons ici aux méthodes géométriques.

60

5 • Les thèmes de géométrie

1. Calculer une seule grandeur Longueurs et distances Calculer le périmètre d’un polygone en additionnant la longueur des côtés

6e

Calculer la mesure exacte de la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres à l’aide du théorème de Pythagore Calculer des longueurs manquantes dans une configuration de Thalès

4e / 3e

Utiliser la géométrie analytique pour calculer la distance de deux points

3e

Utiliser le produit scalaire dans le plan, le théorème de la médiane

1re

Utiliser le produit scalaire dans l’espace pour calculer la distance de deux points, d’un point à une droite ou à un plan

T

Aires et volumes Calculer l’aire d’une surface plane ou celle d’un solide par pavage ou décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables en exploitant la propriété d’additivité des aires de figures disjointes

6e

Utiliser l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport k pour calculer l’aire d’une surface ou le volume d’un solide

3e

2. Déterminer une grandeur en exploitant ses relations avec d’autres grandeurs Calculer l’aire ou le volume d’un solide usuel en utilisant une formule

Selon solide

Utiliser le caractère pluridimensionnel d’une aire ou d’un volume pour calculer une grandeur en en connaissant deux autres (hauteur d’un triangle connaissant son aire et la longueur d’une base, hauteur d’une pyramide ou d’un prisme connaissant son volume et l’aire d’une base, aire d’une base connaissant le volume et la hauteur correspondante, etc.)

Tous niveaux à partir du cycle central (en fonction de l’outil employé pour le calcul effectif)

Utiliser les relations métriques et trigonométriques dans le triangle quelconque (théorème d’Al Kashi, relation des sinus)

Première, certaines sections de terminale technologiques

La méthode consiste à exploiter le caractère fonctionnel d’une formule de calcul, (comme celle d’une aire ou d’un volume). La formule donnée peut s’interpréter de diverses façons pour calculer une grandeur manquante. Les formules exprimant des relations entre longueurs et angles d’un triangle entrent dans cette même rubrique. ➤ Choix des exercices complémentaires

Une ligne directrice pour ce choix est le type d’outil employé. Au collège, on pourra montrer comment les théorèmes de Pythagore et de Thalès permettent de calculer une longueur manquante dans une configuration convenable. Puis de nouveaux outils, comme la géométrie analytique et le produit scalaire dans le plan ou dans l’espace, peuvent être employés dans de nouvelles situations. Enfin, un calcul « de plusieurs

5.3 Étude thème par thème

61

façons » de grandeurs conjointes (longueurs et aires dans le plan, ou bien longueurs aires et volumes dans l’espace) peut montrer comment on peut calculer une grandeur « manquante » dans une configuration. Thème 03.2. Calcul d’angles

Au collège, les angles1 étudiés sont les angles géométriques. Ils sont mesurés usuellement en degrés. L’angle orienté est introduit en seconde et son usage se généralise en première, ainsi qu’est traité le problème spécifique de non-unicité que pose son mesurage, dès lors que l’on veut respecter une compatibilité avec l’addition. Comme sa dénomination l’indique, un angle orienté possède sur un angle géométrique l’avantage de véhiculer de façon intrinsèque une notion d’orientation. La puissance de la relation de Chasles pour les angles orientés affranchit ce type d’angles d’une référence à un « cas de figure » sur laquelle on raisonne. ➤ Exemples de méthodes

Au collège principalement : Calculer un angle géométrique, en utilisant la somme des angles d’un triangle ou en utilisant les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante

5e

Déterminer un angle aigu à l’aide de son cosinus ou de relations trigonométriques

4e / 3e

Montrer qu’un angle intercepte le même arc d’un même cercle qu’un angle connu

3e

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Au lycée : Utiliser les relations métriques et trigonométriques dans le triangle

1re S, certaines TSTI

Montrer qu’un angle est image d’un angle connu par une transformation appartenant au groupe des similitudes

Cela dépend

Utiliser l’addition des angles orientés Utiliser la relation de Chasles pour les angles orientés

1re

Utiliser les nombres complexes

T

➤ Choix des exercices complémentaires

Une première ligne directrice est ici le type d’angle : angle géométrique, angle orienté. On pourra montrer comment on peut calculer un angle géométrique à différents niveaux de classe soit en exploitant des propriétés angulaires de configurations (parallélisme, configuration du triangle), soit en connaissant son cosinus et comment on peut déterminer un angle orienté, soit utilisant leur additivité, soit en calculant

1. Consulter les documents d’accompagnement des programmes du collège (octobre 2007) sur le calcul des grandeurs, en particulier, le calcul des angles.

62

5 • Les thèmes de géométrie

son cosinus et son sinus, soit en montrant qu’il est image d’un angle connu par une transformation qui conserve les angles, ou en inverse le sens. Une deuxième ligne directrice possible est le niveau de classe : exemples de calcul d’angles avec les outils du collège puis exemples de calcul d’angles avec les outils du lycée.

Thème 04. Problèmes de recherche de lieux géométriques Un lieu géométrique apparaît comme l’ensemble des points du plan ou de l’espace qui satisfont une certaine propriété (P). La détermination d’un lieu demandera d’une part l’ensemble L constituant le lieu et, d’autre part, l’énoncé de la propriété (P) commune à tous les éléments de L qui est caractéristique de ses éléments. L’étude des lieux géométriques dans le plan constitue un paragraphe spécifique du programme de première S : « La problématique des lieux géométriques sera présente dans tous les paragraphes de géométrie. Elle ne fera pas l’objet d’un chapitre indépendant. Il s’agit de ne pas s’en tenir à une simple observation mais de mobiliser les connaissances pour établir mathématiquement diverses caractéristiques géométriques. » C’est donc à ce niveau de classe que ce thème est particulièrement ancré, mais ce type de problème peut être abordé dans les classes antérieures à titre de problème de recherche. Ce même programme de première S définit clairement les méthodes à développer et le cahier des charges à respecter pour l’étude de ce thème : « On choisira quelques exemples mettant en évidence la diversité des méthodes de recherche (propriétés des configurations, vecteurs, produit scalaire, transformations, géométrie analytique). On s’appuiera, le cas échéant, sur le caractère bijectif des transformations ou sur une démarche d’analyse et synthèse. On veillera à traiter des cas nécessitant de démontrer une double inclusion. » Il existe plusieurs façons de définir le lieu géométrique d’un point M. Le programme du CAPES en distingue particulièrement deux. Thème 04.1. Lignes de niveau

Dans ce thème, le lieu géométrique à déterminer est défini par une condition métrique. Le point M dont on cherche le lieu satisfait une condition d’angle ou de distance que l’on sait interpréter. L’étude de ces ensembles de points se rattache à la notion de lignes de niveau : on définit une application F du plan vers R : M → F(M). Pour chaque valeur du réel k, la ligne de niveau k de F est l’ensemble (éventuellement vide) des points antécédents de k par F. Sont rangés dans cette catégorie certains lieux de référence (ensembles de points étudiés en cours). Ainsi, par exemple, l’étude des applications M → M A2 − M B 2 ; −−→ → M → − u . O M ; M → M A2 + M B 2 amènent-elles à des partitions de référence

5.3 Étude thème par thème

63

du plan, suivant le niveau considéré, par des familles de droites ayant une direction donnée ou de cercles concentriques. La principale méthode d’étude de ce type de lieu consiste à transformer la condition métrique imposée dans l’énoncé en une condition donnant un lieu de référence. Si cette dernière est clairement équivalente à la condition initiale, l’étude d’une réciproque n’est pas nécessaire. Sinon, une méthode de double inclusion doit être mise en place : dans un premier temps, on montre que tout point appartenant à L appartient au lieu de référence et, dans un deuxième temps, on étudie si tout point du lieu de référence est un point M pour lequel la propriété (P) est effectivement vérifiée. Thème 04.2. Lieux déterminés par une condition géométrique

Le point M dont on cherche le lieu est assujetti à une propriété de nature géométrique. ➤ Le point M est lié à une configuration mobile

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

La situation générale est la suivante : Il y a dans la configuration étudiée un ou plusieurs points mobiles dont on connaît le lieu. Ils entraînent dans leur mouvement le point M, auquel ils sont liés géométriquement. On cherche la trajectoire de M. La principale méthode d’étude de ce type de lieu nécessite plusieurs étapes : − Construire une figure, avec éventuellement plusieurs positions du point variable pour conjecturer les invariants de la figure. − Identifier un point R dont on connaît l’ensemble E sur lequel il se déplace, auquel le point M est lié par une transformation f du plan, toujours la même. − Le point M appartiendra à l’image de E par f. Si le lieu de R est déterminé avec précision (il est sûr que R décrit E en entier) et si on a établi la bijectivité du lien entre R et M, une réciproque n’est pas indispensable, le lieu de M est exactement f (E). En revanche, si le lieu exact de R n’a pas été déterminé, une réciproque est indispensable : un point M de f (E) étant donné, peut-on lui associer un point R de référence dont il est l’image par f ? Le lieu L de M est alors l’ensemble f (E) privé éventuellement des points qui n’ont pas d’associé. La détermination du lieu de M résulte dans ce cas d’une double inclusion. ➤ Le point M peut être défini par une condition paramétrique

La condition imposée à M peut s’interpréter paramétriquement. L’étude générale des courbes paramétrées ne relève pas des programmes de série S, les seuls paramétrages subsistant dans ces programmes sont ceux d’une droite du plan ou de l’espace. En pratique, ou bien la condition paramétrique amène à ce cas ou bien il existe une façon simple d’éliminer le paramètre entre les coordonnées cartésiennes de M et alors on peut reconnaître analytiquement, selon le type d’équation cartésienne obtenue, l’ensemble auquel appartient M. Une réciproque étudie ensuite si tout point de l’ensemble trouvé est bien un point du lieu.

64

5 • Les thèmes de géométrie

L’apport de l’outil informatique dans les problèmes de lieux

Les problèmes de lieux, et spécialement l’étude de configurations mobiles, se prêtent à une recherche dans un environnement informatique. Cette recherche peut compléter une première investigation dans un environnement papier - crayon où l’on essaie de construire plusieurs points appartenant au lieu de façon à émettre quelques premières conjectures sur sa nature. L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique, encouragée par les instructions officielles, s’avère ici particulièrement efficace, avec ses capacités de déformation de figure et d’animation. Il existe deux fonctions du logiciel permettant d’étudier une configuration mobile : − La fonction « Trace » qui laisse l’empreinte d’un point lors d’une animation (comme des traces de pas). − La fonction « Lieu » qui représente le lieu d’un seul bloc sans visualiser le mouvement. Il faut d’abord désigner le point dépendant dont on cherche le lieu puis le point de référence (point maître) qui détermine le lieu. Ces deux fonctions du logiciel ne correspondent pas au même moment de la résolution du problème et il convient de réfléchir à leur opportunité respective. La fonction « Trace » correspond de préférence à une phase de recherche, d’investigation. Elle est propice à la conjecture, mais la trace laissée sur l’écran n’est pas encore un objet géométrique. Cette trace est un ensemble de positions successives du point mobile qu’il convient d’interpréter et qui peut « suggérer » une forme géométrique particulière, une droite, un cercle... Dans cette phase, le manipulateur du logiciel est partie prenante car c’est lui qui provoque l’animation de la figure et impose le déplacement du point désigné comme pilote. La fonction « Lieu » correspond de préférence à une phase de validation. Elle permet d’obtenir un tracé reconnu comme un objet géométrique (sans cependant qu’apparaissent clairement d’éventuels points exclus). C’est le logiciel qui construit le lieu, sans intervention du manipulateur autre que la désignation des points « pilote » et « dépendant » et l’ordre d’exécution de la procédure. Exercices complémentaires sur les problèmes de lieux

Dans le cas d’un dossier généraliste sur les problèmes de lieux, une ligne directrice peut être le type du problème : − Le lieu d’un point apparaît comme une ligne de niveau qu’il convient de mettre en évidence. − Le lieu est apparenté à l’étude d’une configuration mobile.

5.3 Étude thème par thème

65

Dans le cas où le dossier est plus ciblé, c’est, dans le premier type, la nature de la ligne de niveau auquel le lieu se ramène qui pourra varier selon l’exercice choisi (on peut mettre en évidence les différentes lignes de niveau qui sont au programme en première) et, dans le second type, la transformation permettant de lier le lieu visé à celui d’un point de référence qui pourra varier.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Thème 05. Problèmes de construction L’importance de ce type de problèmes est pointée en bonne place dans les programmes d’accompagnement du collège, qui préconisent sa pratique « le plus tôt possible », c’est-à-dire dès la sixième. Cette importance est due au fait que leur résolution oblige à la mise en œuvre d’un raisonnement déductif. L’introduction de ce type de raisonnement apparaît prioritaire en début de collège. Un problème de construction géométrique consiste, à partir des éléments d’une figure, à en déterminer d’autres satisfaisant certaines relations avec les éléments primitifs. À ce propos, l’action de « construire » se distingue de celle de « tracer ». Il s’agira de « tracer » lorsque l’objet à produire n’est pas soumis à une justification, soit parce que les éléments nécessaires à la détermination sont immédiatement présents sur la figure (droite passant par deux points d’une figure...), soit parce que la production résulte de l’application d’une procédure de construction automatisée et supposée connue. Certaines constructions dites élémentaires sont des objectifs d’apprentissage à un niveau de classe donné (donc à ce moment buts de construction), puis deviennent des outils (dont on ne demande plus de justifier la construction, ces objets seront « tracés ») pour obtenir d’autres constructions plus complexes. Une construction est donc un enchaînement de tracés, cet enchaînement étant soumis à une justification. Les instruments de géométrie fondamentaux sont la règle non graduée et le compas. L’équerre est parfois autorisée pour faciliter le « tracé » de perpendiculaires ou la « construction » de parallèles à une droite donnée. La règle graduée permet de tracer un segment de longueur donnée lorsque celle-ci est mesurée par un nombre décimal. Pour construire un objet géométrique, deux problèmes se poseront généralement : − Trouver un algorithme permettant la construction de cet objet. − Rechercher un algorithme le plus court possible. Thème 05.1. Constructions utilisant des configurations connues

Ce thème est largement présent au niveau du collège. Nous rangerons d’abord dans ce thème les problèmes de construction où les relations liant le nouvel objet à construire aux objets déjà présents sur la figure font appel à des configurations de référence, extérieures à la figure, qui « créent l’objet ». Il en est ainsi, par exemple, de la construction d’un segment de longueur un nombre rationnel (utilisant une configuration de Thalès adéquate) ou de longueur la racine carrée d’un entier (utilisant des configurations de triangles rectangles dont les longueurs

66

5 • Les thèmes de géométrie

des côtés sont spécifiquement choisies pour produire algébriquement la racine carrée visée). Dans ce cas, la démarche est d’imaginer une configuration dans laquelle un théorème garantit la présence de l’objet à construire. Dans ce thème, se rangent également des problèmes de construction « à la règle et au compas » d’un objet soumis à des contraintes de construction lorsque celles-ci mobilisent des constructions géométriques élémentaires. La démarche de résolution se déroule en quatre phases : − Imaginer a priori l’objet à construire. Il s’agit de réaliser une figure d’étude qui permettra d’appuyer le raisonnement : dessin approximatif (schéma à main levée) ou bien, en « supposant le problème résolu », figure réalisée à partir de l’objet à construire (le problème revient alors à étudier comment la chronologie de construction peut être inversée). Sur un écran d’ordinateur, on s’aide d’une élaboration empirique « à la souris ». − Procéder à un inventaire de la figure en dégageant certaines de ses propriétés géométriques, vérifiées par l’élément à construire, et en repérant les configurations remarquables (figures-clés) sous-jacentes. Un codage s’avérera souvent utile pour bien distinguer ces propriétés. La difficulté consiste à relever la présence de configurations pertinentes qui permettront une construction effective. Cette phase d’analyse a pour but d’identifier des conditions nécessaires à la réalisation de l’objet à construire. − Étudier à l’aide d’une réciproque si les conditions sélectionnées sont bien suffisantes à la réalisation de l’objet. Il se posera le problème de l’existence et du nombre de solutions à la construction ( phase de synthèse). − Réaliser effectivement la construction en justifiant l’enchaînement de tracés qui y aboutit (figure de synthèse : les « traits de construction » seront laissés apparents. Sur un écran d’ordinateur, la figure sera obtenue à l’aide de la boîte à outils « constructions » et non plus « à la souris »). Se range dans ce même thème une autre activité de construction, dont les objectifs sont différents : la description et la reproduction de figures complexes décomposables en figures plus simples. L’accent est alors mis sur une production écrite permettant d’obtenir la figure finie : « écris un texte pour permettre à quelqu’un qui ne voit pas la figure de la reproduire ». Le rédacteur du programme (émetteur du message) a pour tâche de décomposer la figure en configurations élémentaires connues (donc les définir correctement avec un vocabulaire adapté), d’établir une chronologie de construction (il peut y avoir plusieurs chronologies dont on comparera l’efficacité) et de s’assurer que son texte permet la construction de la figure sans ambiguïté. Le lecteur (récepteur du message) a pour tâche de suivre les instructions de construction et, pour cela, doit connaître les constructions usuelles des configurations figurant dans le programme.

5.3 Étude thème par thème

67

Ce type d’activité est proposé au collège (début particulièrement) pour aider à l’acquisition du vocabulaire géométrique et pour améliorer la qualité de la production écrite et de la verbalisation. Thème 05.2. Constructions à l’aide de transformations

Dans cette deuxième catégorie, se rangent des problèmes de construction d’un objet (triangle particulier, parallélogramme, carré, etc.) soumis à des contraintes d’ordre géométrique ou métrique. Les transformations interviennent dans ce type de problème lorsqu’il s’avère que les points caractéristiques de l’objet à construire (sommets d’un carré, par exemple) sont liés les uns aux autres par des transformations connues. Une contrainte sur un point caractéristique de la configuration à construire en induit alors une autre sur son image dans la même configuration. On cherchera à déterminer par une construction l’un des points caractéristiques de l’objet pour ensuite en déduire l’objet complet. Ce thème est majoritairement présent au niveau du lycée (première S), et donne l’occasion d’illustrer l’efficacité d’une vision dynamique d’une figure dans un problème de géométrie. Par rapport au type de problèmes de construction précédent, la différence réside dans la vision que l’on porte sur la figure : celle-ci est maintenant dynamique, elle porte sur l’étude des positions relatives des divers objets et non sur l’extraction de figures clés1 .

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Première méthode : analyse et synthèse

La méthode par « analyse et synthèse », analogue à celle du paragraphe précédent, est ici aussi d’actualité mais, dans la phase d’analyse, on interprète les liens entre les différents éléments de la figure en termes de transformations. Dans un tel problème, on est conduit à relever dans l’analyse deux conditions traduisant l’appartenance d’un point caractéristique à deux ensembles de points (deux lieux géométriques) dont on cherchera l’intersection. En règle générale, l’un des deux lieux est déterminé par une contrainte directe sur ce point (donnée par l’énoncé). L’autre est déterminé par une contrainte indirecte, résultant du fait que ce point est l’image par une transformation d’un autre point sous contrainte, assujetti pour sa part à appartenir à un ensemble que l’on a identifié. Le point caractéristique appartiendra de ce fait à l’image de cet ensemble par la transformation. La phase de synthèse étudie l’existence et le nombre des points d’intersection des deux ensembles de points. Elle examine si chacun d’eux aboutit à une construction effective. Si la figure finale est réalisée sur l’écran d’un ordinateur, la boîte à outils « transformations » sera mise à contribution. 1. Certains des problèmes de construction peuvent être résolus par l’une et l’autre méthode. Ces dernières ne sont en général pas performantes au même degré, chacune ayant son champ d’application privilégié et son jardin de problèmes cultivé par les manuels.

68

5 • Les thèmes de géométrie

➤ Deuxième méthode : diminution de contraintes

La « diminution de contraintes » consiste à chercher l’ensemble E des objets qui satisfont une partie seulement des contraintes imposées (ce qui amène à se poser la question : quelle contrainte abandonner, quelle contrainte retenir) puis à chercher si dans cet ensemble certains éléments satisfont en plus les contraintes abandonnées. À cet effet, on étudie les liens entre les divers éléments de E (la méthode fonctionne lorsque ces liens sont des transformations qui permettent de passer d’un élément de E à un autre). Cette méthode peut alors se synthétiser ainsi : − Abandonner une des contraintes imposées. − Construire un élément particulier e0 de la famille des objets satisfaisant les contraintes restantes. − Identifier les transformations possibles f qui associent à un objet e satisfaisant aussi ces mêmes contraintes l’élément e0 . Si e est solution du problème, alors il a pour image e0 par l’une de ces transformations f. − Reprendre la contrainte abandonnée : contrôler s’il existe des images de e0 par des transformations réciproques f −1 qui sont solutions du problème et les déterminer. L’usage d’un logiciel de géométrie pourra être un outil pertinent pour ce genre d’étude. Dans la phase d’analyse, on cherchera à conjecturer l’action déterminante d’une transformation. Dans une phase de synthèse, une deuxième figure, élaborée cette fois à partir d’une construction programmée, aura le statut de figure construite, résistante à la déformation. Exercices complémentaires sur ces deux thèmes « constructions »

Le choix dépend de l’ouverture du thème du dossier. Si celui est simplement « constructions », il conviendra de proposer un exercice (de préférence collège) utilisant une configuration connue et un autre (lycée) utilisant une transformation. Si le dossier cible les « configurations connues », faire varier ces dernières (collège, peut être série L optionnelle). Si le dossier porte sur les « constructions à l’aide de transformations », on illustrera le raisonnement par analyse et synthèse, en variant la transformation active, et en prêtant attention aux conditions d’existence d’une solution (un exercice au moins doit mettre en évidence la nécessité d’une discussion dans la phase de synthèse). Une présentation de la méthode d’abandon d’une contrainte lorsque les contraintes de construction sont nombreuses (en prêtant attention aux possibilités de reprise de la contrainte abandonnée) peut éventuellement faire l’objet d’un exercice autonome ou constituer une variante dans la résolution d’un exercice. Thème 05.3. Constructions de sections planes et de patrons

Les sections planes de solides apparaissent dans le programme de troisième et les sections planes de polyèdres remarquables sont développées dans les programmes

5.3 Étude thème par thème

69

de seconde et première S. La notion de « patron » est connue depuis le cycle 3, en relation avec les caractéristiques d’un solide (faces, arêtes, sommets). ➤ Les sections planes en classe de troisième

− Recherche de plans de coupe remarquables de la sphère. Lorsque la sphère considérée est la sphère terrestre, l’étude des sections donne lieu à des exercices pluridisciplinaires en relation avec la géographie (notions de plan de l’équateur, de plan méridien et de plan parallèle, qui mettent en valeur le fait que l’on peut particulariser deux points sur la sphère terrestre à l’aide de deux sections planes bien choisies ; notions de longitude et latitude qui permettent de distinguer un point de l’autre et, par là même, le repérer). − Sections d’une pyramide, d’un prisme, d’un cône ou d’un cylindre. On étudie les sections par un plan parallèle au plan de base. Prisme et cylindre ont comme propriété commune le fait que ces sections sont isométriques à la base. De même, cône et pyramide partagent le fait que leurs sections par un plan parallèle au plan de base sont des réductions de la base. ➤ Les sections planes au lycée

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Il s’agit d’étudier des sections planes plus générales de polyèdres simples. Deux types de problèmes se posent au lycée à leur propos : Problème 1 : Représenter une section plane sur une perspective cavalière Une perspective cavalière désigne une manière de représenter les objets de l’espace en géométrie plane. Ce n’est pas l’objet lui-même que l’on dessine, mais son image par une projection sur un plan parallèlement à la direction d’une droite (donc par une application affine de l’espace sur le plan). Ce statut d’application affine justifie les propriétés de conservation d’alignement, de parallélisme et des milieux par une perspective cavalière. C’est en exploitant ces propriétés d’incidence qu’on peut traiter des problèmes d’intersection d’un solide par un plan ou des problèmes d’intersection d’une droite et d’un plan. Quelques règles se détachent, utiles dans la représentation d’une section plane : − R1. Si deux points sont dans un plan, la droite qu’ils déterminent est contenue dans ce plan. − R2. Si deux droites sont sécantes, le point d’intersection sur la perspective est image de leur point d’intersection (alors, et alors seulement, le point d’intersection sur le dessin représente un « vrai » point d’intersection). − R3. Si les conditions suivantes sont vérifiées : D 1 est une droite contenue dans un plan P 1 ; D 2 est une droite contenue dans un plan P 2 ; D 1 et D 2 (non parallèles) sont dans un même plan Q, alors le point d’intersection de D 1 et D 2 appartient à la droite d’intersection de P 1 et de P 2 .

70

5 • Les thèmes de géométrie

Ces règles amènent aux méthodes de construction suivantes : Construction demandée

Méthode

Trouver le point d’intersection d’une droite D et d’un plan P 1

On essaie de trouver une droite D’, contenue dans P 1 et coplanaire avec D (et non parallèle à D). Elles sont sécantes, et leur point d’intersection appartient à D et à P 1 .

Trouver la droite d’intersection D de deux plans P 1 et P 2

Il s’agit de trouver deux points de l’intersection D. Pour en trouver un, on essaie de trouver un plan Q contenant une droite de P 1 et une droite de P 2 (non parallèles). Ces deux droites sont sécantes, et leur point d’intersection est sur D.

Le tracé d’une section plane d’un polyèdre revient à tracer en perspective le polygone résultant de l’action du plan de coupe P 1 sur le solide : identifier les faces effectivement coupées et matérialiser les segments de coupe. À cet effet, on sera amené à mettre en œuvre des techniques de tracé « hors solide » qui sont développées dans les manuels de seconde et de première S (par exemple, Terracher première S, Hachette édition 2001, pages 174 à 178). Si une perspective cavalière est pratique pour représenter des solides délimités par des faces planes, les représentations qu’elle en donne ne sont cependant pas conformes à la vision réelle, lorsqu’une question d’esthétique entre en jeu. Il existe d’autres perspectives, comme les perspectives centrales (étudiées dans les sections L) qui prennent en compte ce critère, mais ce ne sont plus des applications affines. Problème 2 : Représenter une section plane en vraie grandeur Si le solide est un polyèdre, tel un cube ou un tétraèdre, alors ses sections par un plan sont des polygones, objets d’étude en première S. Les techniques permettant leur représentation en vraie grandeur relèvent de calculs de longueurs et d’angles. Si la section est un triangle, alors il s’agira de calculer trois paramètres bien choisis permettant de la caractériser (les longueurs des 3 côtés, par exemple). Si la section est un polygone ayant plus de 3 côtés, le calcul des longueurs des côtés n’est pas suffisant. On procède alors par triangulation, en considérant une partition du polygone en triangles que l’on sait caractériser. Les patrons

Un patron d’un polyèdre est un assemblage R de polygones dans un plan permettant par pliage et recollement de reconstituer la surface du polyèdre. ➤ Du solide au patron

Un patron de polyèdre peut être réalisé en coordination avec une perspective cavalière par la technique du rabattement sur le plan frontal (faire pivoter une figure plane autour d’une des droites de son plan de manière à ce que son image soit parallèle au plan de rabattement). Le plan frontal étant le plan du dessin, si une face d’un solide est dans le plan frontal, elle y est représentée en vraie grandeur et peut servir de « face

5.3 Étude thème par thème

71

principale » pour l’organisation du patron. En effectuant des rabattements des faces contiguës à cette face autour des arêtes communes et, le cas échéant, en itérant le procédé, on construit un patron du polyèdre. La réalisation de patrons de solides (polyèdres) peut aider à la construction en vraie grandeur d’une des sections planes de ce solide, dès lors que l’on a repéré sur chaque face les lignes de coupe et que celles-ci sont matérialisées sur le patron. Cette construction économise certains calculs de longueurs mais n’affranchit pas de la nécessité de trianguler. Un patron d’autres solides non polyèdres (cône, par exemple) nécessite des procédés spécifiques. Certains solides, comme la sphère, n’ont pas de patron. ➤ Du patron au solide

Pour qu’une figure plane soit un patron d’un solide, on ne peut ici que donner des conditions nécessaires. En ce qui concerne un patron de polyèdre, on peut relever les critères suivants (qui ne sont cependant pas caractéristiques) :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

− Contrainte de nombre de polygones : même nombre de polygones que de faces. − Contrainte d’isométrie : chaque polygone doit être isométrique à la face qu’il représente. − Contrainte de pliage (non-rigidité de l’assemblage) : les arêtes communes à deux polygones doivent pouvoir servir de charnière et permettre un pliage. − Contrainte de recollement : le recollement doit pouvoir s’opérer et pour cela les côtés de deux polygones devenant par recollement une même arête doivent être de même longueur. − Contrainte de fermeture : le recollement doit permettre la reconstitution à l’identique du solide, sans chevauchement ni face manquante. Il sera ainsi plus facile d’invalider une figure plane parce qu’une contrainte n’est pas respectée, que de la valider en tant que patron (la meilleure validation étant la réalisation matérielle du solide à partir d’un patron). ➤ Choix des exercices complémentaires

− Travaux sur les sections planes : un exercice peut se placer au niveau du collège. Au niveau du lycée, on pourra combiner plusieurs objectifs : mise en évidence de règles d’incidence (méthodes de tracé hors solide) permettant la construction d’une section plane sur une perspective cavalière, construction en vraie grandeur. − Travaux sur les patrons : construction de patrons d’un solide usuel : parallélépipède, pyramide ou cône au collège. Au lycée, la notion de patron est réinvestie dans le cas de solides tronqués (repérer les traces de coupe sur un solide plus simple) ou bien pour matérialiser un trajet sur un solide (recherche de plus court trajet entre deux points sur un polyèdre).

72

5 • Les thèmes de géométrie

Thème 06. Problèmes sur les surfaces Les dossiers, jumelés ici, « équations de surfaces » et « sections planes de surfaces » correspondent à deux problèmes induisant des démarches inverses. La recherche d’une équation cartésienne d’une surface S consiste à déterminer, à partir de conditions géométriques caractérisant S, des conditions nécessaires et suffisantes sur les coordonnées d’un point dans un repère de l’espace pour que ce point appartienne à S. Le passage s’effectue du géométrique à l’analytique. L’étude de sections planes d’une surface consiste à montrer comment, en considérant des sections d’une surface S par des plans bien choisis (en général, des plans parallèles aux plans de coordonnées), on peut obtenir une meilleure visualisation de cette surface. Le passage s’effectue de l’analytique au géométrique. Le double sens « équation / sections » est clairement lisible dans les programmes de la classe de terminale S. Le programme de terminale ES est, quant à lui, axé sur l’aspect courbes de niveau d’une fonction de deux variables, c’est-à-dire que les sections planes les plus utilisées sont celles par des plans d’équation z = cte. Il est fait référence à l’utilisation d’un logiciel de représentation graphique. Les types de surfaces

Parmi les surfaces étudiées au lycée se distinguent : − Celles qui sont représentatives d’une fonction à deux variables, c’est-à-dire qui ont une équation cartésienne de la forme : z = f (x, y) où f est une fonction définie dans un domaine D inclus dans R2 et à valeurs dans R. Dans le cas d’une telle surface, une droite parallèle à Oz admet au plus un point d’intersection avec celleci. Les surfaces d’équation z = x 2 + y 2 ou z = x × y entrent dans cette catégorie de même que toute courbe conforme au programme de terminale ES, alors que les cylindres d’axe Oz n’y entrent pas. − Les surfaces de révolution d’axe Oz formées d’une famille de cercles d’axe Oz.   Elles ont une équation de la forme : f (x 2 + y 2 ), z = 0 et sont globalement invariantes par toute rotation d’axe Oz. Les plans contenant Oz sont les plans méridiens. L’intersection d’une surface de révolution par un plan méridien est une courbe méridienne, symétrique par rapport à Oz. Chaque demi-méridienne engendre la surface par rotation autour de l’axe Oz. Objectifs d’étude

− Interpréter analytiquement une caractérisation géométrique de la surface, de façon à en obtenir une caractérisation par une équation cartésienne. − Étude de sections planes. Lorsqu’une surface n’est pas connue et que sa nature n’est pas clairement identifiable, une étude de sections par des familles de plans parallèles permet d’appréhender celle-ci et de la visualiser.

5.3 Étude thème par thème

73

− Courbes de niveau. Les fonctions de deux variables et les surfaces qui les représentent interviennent dans des problèmes issus du domaine économique (principalement) lorsqu’une quantité variable Z dépend de deux quantités X et Y indépendantes. Les courbes de niveau Z = k représentent des ensembles de couples (X , Y ) permettant un niveau Z identique. Ces courbes s’appellent des isoquantes. Il y a une isoquante pour chaque niveau Z réalisable. L’étude d’une isoquante donnée permet d’étudier dans quelle mesure on peut remplacer une certaine quantité du paramètre X par une quantité du paramètre Y (ou inversement) sans modifier le niveau Z atteint. En terminale ES, ces courbes de niveau peuvent être représentées par un logiciel comme EXCEL mais, aussi, (de façon moins significative cependant) sur calculatrice. − Optimisation. Les applications à l’économie des fonctions à deux variables amènent naturellement à des problèmes d’optimisation qui peuvent constituer un prolongement du thème étudié. On cherchera à minimiser un coût, à maximiser un bénéfice... Représentation d’une surface sur l’écran d’une calculatrice

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Les écrans qui suivent donnent un exemple de représentation de la surface d’équation x×y à l’aide d’une Voyage 200, puis à l’aide d’une ClassPad 300. Les calculaz= 2 trices représentent un maillage obtenu à l’aide de sections de la surface par des plans parallèles aux plans Oxy et Oxz (consulter les manuels d’utilisation des différents modèles).

Ci-dessus, paramétrage de fenêtre et représentation associée. Ci-contre, même paramétrage sauf ygrid (6 au lieu de 24)

"Les instructions de tracé sont sensiblement les mêmes sur une ClassPad300, le paramétrage de la « grille » déterminant la densité du maillage. Ainsi, l’écran central est

74

5 • Les thèmes de géométrie

conforme au paramétrage affiché tandis que, sur l’écran de droite, le nombre d’intersections avec des plans d’équation y = Cte est moindre.

Le lien entre ce que l’on voit sur un écran de calculatrice et la recherche de sections planes de la surface représentée constitue un objectif spécifique d’étude (identifier la nature d’une maille, par exemple). Choix des exercices complémentaires

Excepté en cas d’invite particulière des références aux programmes, ce sujet peut se traiter au niveau terminale. Un exercice visera successivement plusieurs rubriques du programme de terminale S : − Mise en équation d’une surface définie par des conditions métriques. Étude d’éventuels éléments de symétrie. − Sections de cette surface par des plans parallèles à un plan de coordonnées. − Visualisation de ces sections sur écran graphique. Un exemple d’application des courbes de niveau à un problème concret dans une classe de terminale ES peut compléter avantageusement la sélection.

Thème 07. Les types d’outils Sous ce thème général se retrouvent divers outils dont il s’agit d’étudier les différentes applications dans le domaine de la géométrie. L’objectif est de visiter des types de problèmes dans lesquels l’efficacité d’un outil donné est particulièrement mise en relief. Thème 07.1. L’outil des configurations usuelles

Lorsque les propriétés d’une configuration ont été préalablement étudiées et que cette configuration est classée parmi les configurations de référence, elle peut servir pour

5.3 Étude thème par thème

75

démontrer des propriétés dès lors qu’elle est présente dans une figure plus complexe. Elle est alors devenue un outil pour démontrer. L’usage de cet outil est souligné dans le document d’accompagnement des programmes du collège sous le terme de « recours à des figures-clés » et c’est déjà à ce niveau que ce thème peut être traité. Cet outil est présent à tout niveau de classe mais son utilisation est particulièrement marquée au niveau du collège, en relation avec les configurations du programme. Le processus d’utilisation est le suivant : − Reconnaissance d’une figure-clé (configuration de référence), à l’aide de propriétés caractéristiques extraites des hypothèses de l’énoncé. − Démonstration du résultat visé à l’aide de propriétés (autres que celles issues des hypothèses) faisant partie du patrimoine de la figure-clé. Du point de vue de la tâche de l’élève, il est possible de distinguer deux situations auxquelles il peut être confronté :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

− Ou bien la figure-clé figure explicitement dans l’énoncé. L’élève doit la reconnaître sur la figure et mobiliser le patrimoine de cette configuration pour en déduire des propriétés. Il y a un pas d’argumentation. − Ou bien l’élève doit identifier cette figure-clé à partir du résultat qu’il doit démontrer en vérifiant si l’une des configurations dont le patrimoine englobe le résultat visé (ou à défaut un résultat plus proche) est présente dans la figure. Cette démarche, connue sous le nom de « analyse remontante », consiste, à partir du résultat que l’on veut démontrer, à repérer des propriétés susceptibles de le produire en appliquant un théorème, et à substituer au problème posé un autre problème plus proche de ce que l’énoncé donne à connaître. Il y a plusieurs pas d’argumentation et la part d’initiative dévolue à l’élève est incontestablement plus grande dans ce type de situation.

Configurations

Elles permettent de démontrer...

Le triangle avec certaines de ses droites remarquables

Un concours ou un alignement (un point situé sur deux droites remarquables de même genre appartient à la troisième droite) Dans le cas de hauteurs ou médiatrices, une orthogonalité

Le triangle et une droite de milieux

Un parallélisme, le calcul d’une longueur, le fait qu’un point est milieu d’un segment

De Thalès

Des calculs de longueurs, des parallélismes

Le parallélogramme et ses diagonales

Des parallélismes, des égalités de longueurs Le fait qu’un point est milieu d’un segment

Le rectangle et ses diagonales

Des orthogonalités (côtés) Une égalité de longueurs (diagonales)

Le losange et ses diagonales

Une orthogonalité (diagonales) Une égalité de longueurs (côtés)

Le quadrilatère inscriptible

Des relations angulaires

76

5 • Les thèmes de géométrie

➤ Choix des exercices complémentaires

− Varier le choix des configurations de référence, en mettant en évidence dans chaque configuration la propriété dont on attend la mise en œuvre. − Varier le niveau de difficulté de la situation (suivant le nombre de pas du type hypothèse-propriété-conclusion). − Penser à l’usage de l’outil des configurations dans le problème de construction (voir thème correspondant). Thème 07.2. L’outil des transformations

Une application du plan P dans lui-même associe à tout point M de P un unique point M  de P. Si, réciproquement, tout point de P est l’image d’un unique point de P, f est une application bijective et, en géométrie, on parle alors d’une transformation de P. ➤ 1. Les transformations du programme

Les transformations étudiées sont toutes des applications affines et même des similitudes. De ce fait, elles partagent nombre de propriétés, certaines parce que ce sont des applications affines (conservation de l’alignement, du parallélisme, des barycentres), d’autres parce que ce sont des similitudes (conservation de l’orthogonalité, des angles géométriques, transformation d’un cercle en un cercle). Certaines transformations comme les isométries ou les homothéties-translations ont en plus des propriétés spécifiques. Le point de vue privilégié du collège est plutôt celui de l’action d’une transformation sur les figures. L’idée est d’exploiter la notion de figures « superposables » ou de figures « de même forme ». Celui du lycée exploite plutôt la notion de « transformations ponctuelles » et d’image d’un point. Il vise la mise en œuvre des transformations dans les problèmes : Classe

Transfo.

Objectifs mathématiques

Activités

2e

celles du collège

Connaître un petit nombre de propriétés essentielles et les mettre en œuvre sur des configurations simples

Exemples de mise en œuvre des propriétés d’une réflexion, d’une rotation, translation ou symétrie centrale (critères pour démontrer que deux triangles sont isométriques)

1re S

Homothéties Rotations du plan orienté

Développer une vision « dynamique » d’une configuration

Application à des problèmes d’alignement, d’orthogonalité...

TS Spé

Similitudes

Similitudes directes et indirectes, en liaison avec une écriture complexe

Usage des outils des classes antérieures, dont les transformations

5.3 Étude thème par thème

77

➤ 2. Un outil pour plusieurs types de problèmes

Les transformations interviennent en tant qu’outil au moins dans trois types de problèmes : problèmes sur les configurations pour démontrer des propriétés, problèmes de lieu géométrique, problèmes de construction géométrique. Les démonstrations de propriétés des configurations peuvent découler du caractère affine de la transformation en jeu ou de propriétés spécifiques à cette dernière : Un point est milieu d’un segment Un parallélisme

Une orthogonalité Un alignement Un concours

Image d’un milieu. Le centre d’une symétrie centrale est milieu du segment déterminé par un couple de points homologues. Image de deux droites parallèles. Une homothétie, ainsi qu’une translation, transforment une droite en une droite qui lui est parallèle. Image de deux droites orthogonales par une transformation du groupe des similitudes. Cas particulier des rotations ou des similitudes dont l’angle est un angle droit : elles transforment une droite en une droite qui lui est orthogonale. Images de points alignés. Alignement centre-antécédent-image par homothétie. Images de droites concourantes. Concours au centre d’une transformation à centre.

Une égalité des longueurs de deux segments Un triangle est équilatéral

L’un est image de l’autre par une isométrie. Un sommet est image d’un autre par une rotation d’angle de mesure ± centre le troisième sommet. Un sommet est image d’un autre par une rotation d’angle de mesure ±

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Un triangle est rectangle isocèle

p et de 3 p et de 2

centre le troisième sommet. Un sommet est image d’un autre√par une similitude directe d’angle de mesure √ p 2 ± de rapport 2 ou et de centre le troisième sommet. 4 2

➤ 3. Des méthodes

Les techniques classiques de démonstration s’appuient sur quelques principes fondamentaux, qu’il convient de valoriser lors de l’analyse ou du choix d’un exercice : Pour trouver...

on peut chercher...

L’image d’une droite (AB) par une transformation

A’ l’image de A et B’ l’image de B. L’image de (AB) est alors la droite (A’B’). A’ l’image de A et utiliser des propriétés spécifiques de la transformation (homothétie, rotation d’angle droit...) permettant de déterminer la direction de la droite image.

L’image d’un point A par une transformation

A’ l’image de A, en utilisant directement les propriétés de la transformation considérée. Deux objets géométriques dont A est un point d’intersection. L’image de A est un point d’intersection des objets images.

L’image d’un cercle par une transformation

L’image du centre et d’un point du cercle ou de deux points diamétralement opposés. L’image du centre et on utilise une propriété spécifique de la transformation pour déterminer le rayon.

78

5 • Les thèmes de géométrie

➤ 4. Choix des exercices complémentaires

Une ligne directrice consiste à varier les types de problèmes qu’une même transformation permet d’aborder : − Utiliser une transformation pour traiter un problème sur les configurations (un calcul de grandeur, un parallélisme, une orthogonalité...) Ce type de problème peut être abordé dès le collège. − Utiliser une transformation pour traiter un problème de lieu ou un problème de construction. On trouvera des exemples en première S. Une autre ligne directrice consiste à varier les transformations en jeu. Quelques problèmes se prêtent à la démonstration d’un même résultat en utilisant des transformations différentes. Thème 07.3. L’outil des triangles isométriques, des triangles de même forme

Cet outil est explicitement au programme de seconde. ➤ 1. Triangles isométriques et triangles de même forme

La définition préconisée pour deux triangles isométriques est : « Deux triangles sont dits isométriques lorsque l’un est image de l’autre par une isométrie : une symétrie axiale, une symétrie centrale, une translation, une rotation ou une succession de telles transformations ». Cette définition s’appuie sur les propriétés des transformations usuelles issues du collège. Seul le mot « isométriques » est nouveau, le qualificatif antérieur étant « superposables ». Deux triangles sont dits de même forme (ou semblables) si les angles de l’un sont respectivement de même mesure que les angles de l’autre, selon la définition préconisée par le programme. Les cas d’isométrie de deux triangles proviennent d’une recherche de conditions suffisantes pour que les six égalités (trois égalités de longueurs et trois d’angles) qui découlent de la définition soient toutes vérifiées. Cette recherche aboutit au fait que trois conditions peuvent suffire, sous réserve qu’elles soient convenablement choisies. Ces trois cas sont alors des théorèmes qui permettent de caractériser deux triangles isométriques (le programme laissant la liberté de les admettre ou de les démontrer tous) : − 1er cas : Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement de même longueur, alors ils sont isométriques. − 2e cas : Si deux triangles ont un angle de même mesure entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ils sont isométriques. − 3e cas : Si deux triangles ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement de même mesure, alors ils sont isométriques. Quant aux triangles de même forme, deux triangles le sont si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée : ils ont deux angles respectivement égaux ou

5.3 Étude thème par thème

79

ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportionnels ou les côtés de l’un sont proportionnels, respectivement, aux côtés de l’autre. Ainsi tous les triangles équilatéraux sont-ils de même forme, de même que tous les triangles rectangles isocèles et que les triangles demi-équilatéraux. Un cas particulier de triangles de même forme est celui des triangles qui seront dits « homothétiques » en classe de première : si les côtés d’un triangle sont respectivement parallèles aux côtés d’un autre, alors ces deux triangles sont de même forme. ➤ 2. Utilisations

L’outil des triangles isométriques sert à démontrer des égalités de longueurs ou des égalités de mesure d’angle puisque, en vérifiant trois égalités, on en obtient trois autres. Celui des triangles de même forme sert à prouver des égalités de mesure d’angles, ou bien une égalité de rapports de longueurs. Un avantage de ce type d’outil est qu’il dispense de la détermination de l’isométrie (ou de la similitude) qui permet d’associer un triangle à l’autre. Cet avantage est un atout lorsque la transformation en jeu est difficilement caractérisable (cas d’une symétrie glissée ou d’une similitude indirecte). Un inconvénient est sa sensibilité aux cas de figures (par exemple, lorsqu’il s’agit de comparer deux angles géométriques dont l’un est tantôt une somme, tantôt une différence d’angles). Pour démontrer une propriété générale, il sera fréquent de devoir envisager plusieurs cas de figure, en mettant en œuvre des raisonnements « par séparation des cas ». En tout état de cause, il conviendra de s’interroger, en particulier lorsqu’un exercice est accompagné d’une figure fournie par l’énoncé, de la sujétion de la propriété à démontrer à la figure présentée. À cet effet, l’utilisation d’un logiciel de géométrie permettra parfois de faire apparaître un changement de propriété dans la configuration étudiée (par exemple, lorsqu’un ordre d’alignement est modifié).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ 3. Choix des exercices complémentaires

− On peut faire varier le cas d’isométrie ou de similitude servant à la caractérisation. Vérifier s’ils dépendent ou non du cas de figure étudié. − On peut faire varier les propriétés qui en découlent et leur intervention dans l’exercice. Examiner si dans la situation décrite la transformation sous jacente peut être identifiée facilement (à un niveau de classe différent). Thème 07.4. L’outil des barycentres

La notion de barycentre fait l’objet d’un chapitre de géométrie dans le programme de première S et cette notion est approfondie en terminale. Le barycentre intervient utilisé seul lorsqu’entre en jeu une somme vectorielle de type « fonction vectorielle de Leibniz » de poids non nul. Il intervient parfois conjointement avec l’outil des transformations affines lorsqu’une propriété de « conservation des barycentres » est en jeu.

80

5 • Les thèmes de géométrie

Le barycentre devient outil dans au moins trois types de problèmes : 1. Le barycentre outil dans des problèmes d’alignement et de concours Dans de tels problèmes, un rôle majeur est dévolu au théorème d’associativité du barycentre à l’exemple des deux problèmes classiques de difficulté inégale :

G est connu comme un barycentre des points A, B, C. On cherche les alignements de G avec les pieds sur les côtés des céviennes (AG), (BG), (C G) : le théorème d’associativité s’applique directement.

Les pieds A , B  , C  des céviennes issues de A, B, C sont connus comme barycentres de deux des points A, B, ou C. On cherche s’il y a concours de ces céviennes en un point, c’est-à-dire s’il existe une pondération (a, b, c) de somme non nulle affectée aux points A, B, C telle que A , B  , C  soient barycentres partiels.

2. Les barycentres pour caractériser certains objets géométriques Des caractérisations barycentriques d’une droite, d’un segment, d’un plan, constituent autant de thèmes figurant au programme de terminale S, en liaison avec la géométrie affine du plan ou de l’espace. L’intérieur d’un triangle ABC peut être défini de manière rigoureuse et non plus intuitive comme l’ensemble de barycentres de A, B, C affectés de coefficients tous strictement positifs. 3. Barycentres et lieux géométriques Le barycentre est un outil pour étudier un certain nombre de lieux : lieu d’un barycentre d’un système dont les coefficients sont fonctions (affines dans le cadre des programmes) d’un même paramètre t, lignes  nde niveaude certaines applications du  −−→   ai M Ai ... plan ou de l’espace vers R comme : M →    i=1

➤ Choix des exercices complémentaires

Montrer comment peut s’utiliser le théorème d’associativité des barycentres dans un problème d’alignement ou un problème de concours au niveau d’une classe de première S est un point de passage incontournable dans ce thème.

5.3 Étude thème par thème

81

Un autre exercice peut viser l’utilisation d’un barycentre dans l’un des autres types de problèmes pointés ci-dessus. Thème 07.5. Les angles

En tant qu’outils, les angles interviennent dans une caractérisation du parallélisme ou celle de l’orthogonalité, des calculs de trigonométrie et de grandeurs géométriques, et dans une expression du produit scalaire. On peut aussi les utiliser dans la recherche de certains lieux géométriques définis par une condition angulaire. ➤ Les angles géométriques 5e

Alignement

 mesure 180˚, alors les points B, A, C sont Si l’angle BAC alignés dans cet ordre

4e

Parallélisme

Si une sécante découpe sur deux droites deux angles correspondants (idem : alternes internes) égaux, alors ces deux droites sont parallèles

Cocyclicité

Théorème de l’angle droit ou d’inscription dans un cercle de diamètre donné

3e

Trigonométrie dans le triangle rectangle.

 : ABC étant rectangle en A, si on connaît BC et l’angle ABC pour calculer AB, on utilise le cosinus, et pour calculer AC, on utilise le sinus

1re S

Trigonométrie dans le triangle quelconque

Relation d’Al Kashi ou relation des sinus, selon « ce que l’on connaît »

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Les angles orientés de vecteurs Calculer une mesure d’un angle orienté, exprimer une somme ou une différence d’angles orientés

Utiliser des angles associés Utiliser la relation de Chasles

Repérer un point dans repère orthonormal  un− → − → direct O, i , j

Par un repérage polaire : la donnée de la distance r = OM et d’une mesure u de − → −−→ l’angle polaire i , OM caractérise la position d’un point M

Participer à la détermination de la composée de deux rotations d’angles de mesures a et b

Si a + b = 0 mod 2p il s’agit d’une translation, sinon il s’agit d’une rotation d’angle de mesure a + b

➤ Choix des exercices complémentaires

Ce thème peut éventuellement être séparé en deux parties : l’usage des angles géométriques et celui des angles orientés. Au collège, on montrera comment l’outil des angles intervient dans des problèmes d’incidence puis dans des calculs de grandeurs par le biais de la trigonométrie. Au niveau du lycée, un exercice dans lequel la notion d’angle orienté joue un rôle peut compléter le choix.

82

5 • Les thèmes de géométrie

Les références au programme accompagnant le dossier ne manqueront pas de préciser les niveaux de classe auxquels le jury prévoit que l’on traite le dossier, ainsi que les types d’angles qu’il s’attend à voir mis en œuvre. Thème 07.6. L’outil du calcul vectoriel et de la géométrie analytique ➤ L’outil vectoriel

Cet outil intervient dans le cadre de la géométrie vectorielle pour traduire la notion de colinéarité ou de dépendance vectorielle. L’outil vectoriel sert dans ce cadre à traiter des problèmes d’incidence (classe de troisième et de seconde). Dans le cadre de la géométrie vectorielle euclidienne, la notion essentielle est celle du produit scalaire (classes de première et de terminale des sections S mais, aussi, sections technologiques, comme STI). Étant doté de quatre expressions différentes et de la possibilité d’écrire une relation de Chasles, un produit scalaire peut se calculer de diverses manières. Dans les exercices le mettant en œuvre, on mettra en évidence, en général, soit l’intervention de deux des quatre expressions (une adaptée à « ce qu’on connaît », l’autre à « ce que l’on cherche »), soit l’apport d’une décomposition judicieuse par la relation de Chasles pour se ramener à des produits scalaires plus faciles à calculer. Cet outil intervient, utilisé seul, dans divers types de problèmes : − Problèmes d’orthogonalité. − Problèmes de calcul de distances et d’angles. − Recherche de relations métriques ou trigonométriques (les théorèmes de la médiane et leurs applications, la relation d’Al-Kashi et ses applications au triangle). Il intervient aussi conjointement avec la géométrie analytique pour établir en première S une caractérisation analytique de l’orthogonalité (étudiée cependant en série ES sans l’appui du produit scalaire). ➤ La géométrie analytique

L’outil de la géométrie analytique permet de remplacer la résolution d’un problème de géométrie par la résolution d’une équation ou d’un système d’équations codant ce problème. Le plan ou l’espace est muni d’un repère permettant de déterminer la position d’un point par ses coordonnées. Les objets géométriques usuels (droites, plans, cercles, sphères...) sont caractérisés par des conditions d’appartenance à ces objets portant sur les coordonnées d’un point dans ce repère. Ces conditions d’appartenance peuvent être une équation cartésienne (ou plusieurs), ou bien un système d’équations paramétriques ou parfois une représentation polaire. Les programmes de terminale S en matière de géométrie dans l’espace en donnent une illustration : « Représentation paramétrique d’une droite de l’espace, intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de deux plans : on fera clairement

5.3 Étude thème par thème

83

apparaître que les problèmes géométriques que l’on considère ici sont aussi l’étude des systèmes linéaires que l’on résoudra algébriquement ». La démarche de résolution d’un problème par la géométrie analytique se décrit en quatre étapes : 1. Choix d’un repère adapté au problème à résoudre, c’est-à-dire dans lequel les objets à étudier ont une représentation la plus simple possible. Il peut être imposé par l’énoncé ou laissé à l’appréciation de l’élève. 2. Traduction analytique des données en caractérisant analytiquement les objets géométriques utiles au problème par l’un ou l’autre des modes cartésien ou paramétrique (ou même polaire). Dans un même problème peuvent intervenir plusieurs modes. Ainsi un plan de l’espace sera plutôt caractérisé par une équation cartésienne, tandis qu’une droite le sera plus facilement par un système d’équations paramétriques. 3. Traitement mathématique. C’est l’étape purement algébrique de la démarche et elle dépend de la nature du résultat à obtenir. Si, par exemple, l’élément géométrique à déterminer dans le problème est une intersection, celui-ci correspond aux solutions d’un système d’équations et le traitement mathématique consiste à une résolution de ce système. 4. Interprétation des résultats. Retour à la situation géométrique. Contrôle de la validité des solutions trouvées, interprétation géométrique, étude éventuelle de situations géométriques exceptionnelles liées à des cas particuliers.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Choix des exercices complémentaires

En ce qui concerne l’outil vectoriel, son utilisation en géométrie vectorielle simple peut éventuellement être visitée par un exercice portant sur une question d’incidence, mais la partie principale du thème consiste à diversifier, en géométrie vectorielle euclidienne, les utilisations du produit scalaire (plan, espace, sections S, sections STI, montrent des usages différents). En ce qui concerne l’outil de la géométrie analytique, au moins un exercice pourra évoquer la démarche en quatre points évoquée ci-dessus. Il est possible de proposer un exercice pouvant se résoudre par le calcul vectoriel (calcul d’un produit scalaire stratégique, par exemple) et aussi par l’outil de la géométrie analytique (en choisissant un repère convenable). Thème 07.7. L’outil du calcul numérique

Nous parlerons d’outil du « calcul numérique » pour résoudre un problème de géométrie lorsque le problème, posé initialement dans le cadre géométrique, demande pour sa résolution un changement de cadre et le passage à un cadre numérique. La résolution résulte d’une démarche en trois temps : − Le problème géométrique posé se traduit numériquement.

84

5 • Les thèmes de géométrie

− La résolution du problème nécessite un passage au cadre numérique, dans lequel elle s’effectue. − Le retour au cadre géométrique initial permet d’interpréter les résultats obtenus. Un tel problème met donc en scène un jeu de cadres. Plusieurs circonstances peuvent causer ce changement de cadre et plusieurs types de problèmes font intervenir le calcul numérique à différents niveaux de la scolarité, parmi lesquels trois se détachent particulièrement. 1. Le problème amène à la démonstration d’une propriété qui admet une caractérisation numérique (l’orthogonalité est caractérisée par la relation de Pythagore, un parallélisme par une relation de Thalès et un bon ordre d’alignement, etc.) Le calcul numérique sert dans ce cas à vérifier (ou non) une propriété géométrique par l’égalité de deux nombres ou de deux expressions. Le passage du cadre géométrique au cadre numérique donne du sens au travail sur les relations entre les nombres (calcul avec des radicaux, utilisation de racines carrées, calcul de rapports...) Les classes de quatrième et de troisième sont particulièrement concernées par ce type de travail. 2. Le problème amène à la détermination d’une grandeur à laquelle on attribue le statut d’inconnue. Sa mathématisation conduit à la résolution d’une équation ou d’une inéquation dans laquelle cette grandeur intervient. Le calcul numérique sert à résoudre cette équation (ou inéquation). Le niveau concerné dépend du type d’équation obtenue. 3. Le problème amène à étudier une situation dans laquelle une grandeur a un statut de variable et d’autres ont une relation fonctionnelle à cette variable. Le calcul numérique (fonctionnel en l’occurrence) permet d’étudier l’évolution de certaines grandeurs en fonction de la variable contrôlée. Le niveau de classe dépend du type de fonction, à partir de la fin du collège. Les deux derniers types de problèmes ne diffèrent que par le statut attribué à la grandeur que l’on contrôle. Le choix de la question posée, dans une même situation de base, peut d’ailleurs orienter soit vers la résolution d’une équation ou d’une inéquation (on cherche à vérifier une égalité ou une inégalité), soit vers l’étude d’une fonction (on demande d’étudier une évolution), soit même vers l’une puis vers l’autre. ➤ Choix des exercices complémentaires

Mettre en évidence ces différentes modalités de l’outil du calcul numérique : d’une part, comment le calcul numérique permet de tester la validité d’une propriété, d’autre part, comment l’apport du calcul algébrique permet d’abord la modélisation1 d’un problème géométrique dans lequel une grandeur a un statut d’inconnue ou de variable, c’est selon, et ensuite sa résolution.

1. Voir les thèmes correspondants d’algèbre et d’analyse où le problème de modélisation est traité plus en détail.

5.3 Étude thème par thème

85

Thème 07.8. Les aires

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

L’outil des aires figure explicitement dans le programme de seconde, mais l’utilisation d’un calcul d’aires pour démontrer peut être déjà un thème d’étude de fin de collège (démonstration du théorème de Pythagore, par exemple), puisque l’outil est déjà en place à ce niveau. On peut s’interroger sur la signification d’une « démonstration par les aires » et sur le pourquoi de ces démonstrations. Une notion de géométrie affine du plan, la notion d’aire algébrique, répond partiellement à cette question. L’aire algébrique d’un triangle ABC du plan relativement à une base donnée est une notion affine : −→ −→ 1 aire (ABC) = det AB, AC . 2 Une aire algébrique dépend donc de la base choisie. En revanche, le rapport des aires algébriques de deux triangles est un invariant affine spécifique de la dimension 2, indépendant du choix de la base. Si on se place maintenant dans un plan affine euclidien et si on s’en tient aux seules bases orthonormées, le déterminant d’un couple de vecteurs est le même par rapport à toutes les bases directes, et est le nombre opposé par rapport à toutes les bases indirectes. Les aires algébriques d’un triangle par rapport à de telles bases ne prennent plus que deux valeurs, opposées, et toutes ont la même valeur absolue. L’aire géométrique dans le plan affine euclidien d’un triangle ABC est égale à la valeur absolue de l’aire algébrique de ce même triangle par rapport à toute base orthonormée lorsque l’unité d’aire est celle du « carré unité » en usage dans ce plan. Cette aire peut se calculer dans le plan affine euclidien du triangle par la formule classique (1/2) × base × hauteur, et c’est sous cette forme qu’elle est présentée aux élèves. De ce lien entre « aire géométrique » et « aire algébrique » découle un outil de démonstration : des résultats obtenus sur des aires géométriques vont avoir une interprétation implicite en termes d’aires algébriques et vont permettre, entre autres, d’établir des résultats de provenance a priori affine. Le fait qu’une aire géométrique est valeur absolue d’une aire algébrique aura tout de même un effet : une « démonstration par les aires » sera sensible aux cas de figure. Il ne sera pas rare, lorsqu’on voudra établir un résultat général, d’avoir à considérer plusieurs cas et à discuter sur la position relative de divers objets. Plusieurs compétences sont mobilisées dans l’application de cet outil : − Savoir calculer de plusieurs façons l’aire d’un triangle donné. − Savoir reconnaître des triangles de même aire. − Savoir utiliser à bon escient la propriété d’additivité des aires (lorsqu’une aire s’obtient à l’aide d’une partition d’une surface, cette partition pouvant ne pas être la même suivant le cas de figure).

86

5 • Les thèmes de géométrie

Quelques figures clés apparaissent incontournables dans l’utilisation des aires, comme les deux figures suivantes :

(MN) est parallèle à (BC). Les deux triangles MBC et NBC ont des hauteurs égales et une base commune : ils ont la même aire.

Les triangles ABM et ACM ont une hauteur commune, celle issue de A. Le rapport de leurs aires est égal à celui de leurs côtés opposés à A : aire (AB M) MB = · aire (AC M) MC En particulier, la médiane d’un triangle partage celui-ci en deux triangles de même aire. ➤ Choix des exercices complémentaires

Les théorèmes usuels de collège (de Pythagore et de Thalès) sont dotés de démonstrations par les aires, qui en sont d’ailleurs leurs démonstrations historiques. On trouvera des exercices présentant quelques-unes de ces démonstrations dans certains manuels de collège et plus sûrement de seconde. Il semble cependant important de mettre en valeur des démonstrations par les aires sur des propriétés moins célèbres mais où les figures clés ont autant d’impact (propriétés de partage d’un triangle par une médiane, par une bissectrice intérieure, zones délimitées par une bissectrice extérieure...) Les propriétés de la médiane en termes d’aires font l’objet d’exercices dès le collège, et celles des bissectrices se rencontrent dans des manuels de seconde ou, ultérieurement, en concurrence avec d’autres outils. Thème 07.9. L’outil des nombres complexes

Si les calculs avec les complexes peuvent être effectués avec la forme algébrique, les formes trigonométrique et surtout exponentielle sont mieux adaptées aux calculs multiplicatifs et permettent d’associer trigonométrie et calculs dans C. Ces formes peuvent être associées au repérage d’un point dans un plan rapporté à un repère orthonormé : la forme algébrique à un repérage cartésien, les deux autres formes à un repérage polaire.

5.3 Étude thème par thème

87

L’utilisation des nombres complexes en géométrie permet de transformer un problème de géométrie euclidienne orientée en un problème qui peut être résolu algébriquement, par des calculs dans l’ensemble C. La structure euclidienne intervient dès que le problème porte sur une question de distances ou d’angles. ➤ Complexes et configurations

Les propriétés affines, métriques ou angulaires des configurations sont interprétées algébriquement par des conditions portant sur les affixes. La mise en place de tels liens permet de préciser quelques champs d’application des nombres complexes pour l’étude des configurations : − Calculer des distances, des angles. − Démontrer un alignement (mais la concurrence avec d’autres méthodes plus élémentaires tournera, sur ce point, souvent à son désavantage). − Démontrer une orthogonalité. − Démontrer simultanément une propriété de distance et une propriété angulaire : « d’une pierre deux coups » (dans les manuels, on pourra trouver nombre d’exercices portant sur des triangles rectangles isocèles ou sur des triangles équilatéraux exploitant cette double capacité).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Complexes et transformations

Les transformations appartenant au groupe des similitudes se caractérisent par la relation liant l’affixe de l’image d’un point à l’affixe de ce point. En terminale S, sont connues les écritures complexes des translations, homothéties, rotations, celle de la réflexion d’axe Ox. En spécialité, l’étude des écritures complexes s’étend aux similitudes. L’écriture complexe, selon le programme, « est un moyen efficace d’établir la plupart des propriétés » de ces transformations. Ainsi, a et b étant deux complexes, et v désignant l’affixe d’un point V : Le tableau de la page suivante récapitule les utilisations les plus courantes. Les affixes des points A, B, C (distincts),..., ainsi que des points M, M’ y sont notées a, b, c,..., z, z’. ➤ Choix des exercices complémentaires

Deux utilisations, statique et dynamique, sont à considérer : − Utiliser les nombres complexes pour résoudre un problème sur des configurations en section S et/ou pour calculer des grandeurs dans une section STI ou S. − Utiliser les nombres complexes pour coder une transformation, rotation, similitude directe ou similitude indirecte, et utiliser ce codage dans la résolution d’un problème. On trouvera des exercices simples (plutôt d’application) dans les manuels de STI, et des problèmes plus complets dans les manuels des sections S.

88

5 • Les thèmes de géométrie

Fréquemment, la situation choisie se prête à la coexistence d’une solution purement géométrique et d’une solution « par l’outil des nombres complexes ». Veiller alors à ce que cette dernière soit compétitive. Propriété géométrique ⎧ MB ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ MA = k

 ⎪ − → −→  ⎪ − ⎪ ⎩ MA, MB = u(2p)

Traduction dans l’ensemble C z−b = ke iu z−a c−b appartient à R. c−a

A, B, C sont des points alignés ABC est un triangle rectangle en C ABC est un triangle isocèle de sommet C ABC est un triangle équilatéral direct

c−b est un imaginaire pur c−a   c − b   c − a = 1 

2ip a + bj + cj2 = 0 où j = exp − 3 a−b+c−d =0

ABCD est un parallélogramme Transformation

Écriture complexe

Translation

z = z + b

Homothétie

z = kz + b

(k ∈ R)

En fonction du centre V (transformations à centre)

z − v = k.(z − v)

Rotation

z = e iu z + b

z − v = e iu (z − v)

Similitude directe

z = az + b

z − v = a(z − v) (a = 1)

Réflexion d’axe Ox

z = z

Similitude indirecte

z = az + b

Chapitre 6

Les thèmes d’algèbre

6.1 L’APPRENTISSAGE DE L’ALGÈBRE L’algèbre, dans l’acceptation du terme qui nous intéresse principalement ici, est la branche des mathématiques qui a pour objectif la résolution de problèmes en faisant intervenir des lettres représentant des grandeurs ou des nombres variables ou inconnus. Les objectifs généraux de l’apprentissage de l’algèbre, dans cette acceptation du terme, sont cités dans les commentaires de la partie « nombres et calculs » des programmes du collège. Trois d’entre eux concernent les ensembles de nombres et leurs désignations, un quatrième concerne l’apprentissage de l’écriture littérale : – « Acquérir différentes manières d’écrire des nombres (écriture décimale, écriture fractionnaire, radicaux) et les traitements correspondants ». L’allusion aux ensembles de nombres tels que décimaux, rationnels, irrationnels est claire. – « Se représenter la droite graduée complète avec son zéro séparant les valeurs positives et négatives et apprendre à y localiser les nombres rencontrés » fait allusion de l’apprentissage des nombres relatifs. – « Poursuivre l’apprentissage du calcul sous toutes ses formes : mental, posé, instrumenté ». – « Assimiler progressivement le langage algébrique et son emploi pour résoudre des problèmes (en particulier distinguer égalité, identité et équation) ». Cet objectif pointe l’idée que l’algèbre est un langage spécifique constituant un objet d’apprentissage. Il souligne la distinction entre égalité, identité et équation, nouvelle à ce niveau de scolarité et source importante de difficultés pour les élèves. À la différence du strict calcul numérique, qui donne un résultat particulier, le calcul algébrique permet en combinant lettres et nombres de prouver, moyennant des

90

6 • Les thèmes d’algèbre

opérations, un résultat universel, de démontrer ou de définir des lois de manière générale. Au lycée, la pratique des transformations algébriques s’applique à la factorisation d’expressions, à la résolution d’équations, et développe l’aspect fonctionnel. On fera interagir calcul numérique ou littéral et recherche d’images, résolution d’équations par le calcul ou dans un environnement graphique, de façon approchée ou exacte.

6.1.1 L’écriture littérale1 L’algèbre permet d’aborder les questions relatives aux nombres, au moyen des relations que l’on peut établir entre les quantités connues et les inconnues qui entrent dans la question. À cet effet, on emploie les lettres de l’alphabet pour désigner les grandeurs sur lesquelles on travaille. On facilite ainsi les raisonnements en même temps qu’on en augmente la généralité. Les programmes de collège annoncent à ce propos une introduction progressive de l’écriture littérale et de ses utilisations. Cette progression est visible à l’examen des programmes sur ce point précis : 6e

« Certains travaux sur les périmètres conduisent à décrire des situations mettant en jeu des fonctions, notamment à travers l’utilisation de formules. Ils sont également favorables à une première initiation aux écritures littérales ».

5e

Produire et utiliser une expression littérale. Équation : tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsqu’on leur attribue des valeurs numériques. « La classe de cinquième correspond à une étape importante avec le travail sur des égalités vues comme des assertions dont la vérité est à examiner ».

4e

Utiliser des expressions littérales donnant lieu à des calculs numériques. Utiliser le calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes divers, pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique). Développer une expression de la forme (a + b)(c + d).

3e

Écritures littérales : identités remarquables.

2e

Fonctions et formules algébriques. Reconnaître différentes écritures d’une même expression et choisir celle qui est la plus adaptée au travail demandé (forme réduite, forme factorisée...)

1re

Factorisation du trinôme par (x − a).

6.1.2 L’outil de l’algèbre ➤ Outil de résolution de problèmes arithmétiques

L’assimilation de l’outil de l’algèbre s’effectue, conformément aux programmes, en premier lieu à partir de la résolution de problèmes qui conduisent à une mise en équation puis à une résolution. 1. Se référer aux documents d’accompagnement des programmes du collège du 5 avril 2006 à propos de l’écriture littérale.

6.1 L’apprentissage de l’algèbre

91

La démarche arithmétique, jusque-là en vigueur dans la résolution de problèmes, a pour but d’organiser et d’exploiter les données de façon à obtenir à chaque étape, en une seule opération, un nouveau résultat qui vient compléter ces données. Elle étend le champ du « connu » jusqu’à ce que la réponse au problème entre à son tour dans ce champ. Une démarche algébrique consiste, quant à elle, à supposer qu’il existe une solution au problème, désignée par une lettre, et à organiser les données de manière à exprimer entre celles-ci des relations. Les écritures des données sont fonctionnelles, jusqu’à ce que l’une d’entre elles puisse s’écrire de deux manières différentes, auquel cas l’écriture devient une équation qu’il convient de résoudre pour obtenir une réponse potentielle au problème. Deux points fondamentaux différencient les deux démarches : – Le sens de lecture du texte du problème n’est plus le même : dans une démarche arithmétique, on cherche « ce que l’on peut calculer » alors que dans une démarche algébrique, on cherche « ce que l’on peut exprimer ». – Le statut du signe « égale » n’est plus le même : dans une démarche arithmétique, il annonce le résultat d’un calcul, alors que dans une démarche algébrique, il définit une relation. Il est à noter que la pertinence de l’outil algébrique n’apparaît qu’en présence d’une certaine complexité de la situation. Lorsque l’équation du problème qui découle de l’interprétation naturelle des données est de la forme x + a = b ou bien ax = b, la démarche arithmétique calcule la solution en une seule opération.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Outil de généralisation et de modélisation

L’algèbre est un outil de preuve lorsqu’il permet de démontrer l’universalité d’un résultat. Dans ce cas, le signe « égale » acquiert un statut identitaire. Des exercices de preuve par l’outil algébrique amènent l’élève d’abord à faire des conjectures en utilisant la lettre comme représentative de n’importe quel nombre d’un ensemble, puis à prouver ces conjectures en utilisant les règles du calcul algébrique. L’algèbre permet de modéliser l’évolution de situations issues de domaines variés. Dans ces contextes, la lettre acquiert un nouveau statut, celui de variable, affecté à la valeur d’une grandeur qui sert de référence et qui détermine la valeur d’autres grandeurs qui en dépendent. ➤ Outil de structuration

La présence du calcul matriciel et de ses applications parmi les thèmes de dossier illustre cet emploi. En ce sens, l’algèbre aboutit à une étude de structures algébriques sur des ensembles.

92

6 • Les thèmes d’algèbre

6.2 LES THÈMES D’ALGÈBRE À L’ÉPREUVE SUR DOSSIER Thème 08. Ensembles de nombres À l’issue de l’école primaire, les élèves connaissent trois types de nombres : les entiers naturels et les opérations sur ces nombres ; les fractions et leur utilisation pour partager une quantité ou pour coder le résultat de mesurages de longueurs ou d’aires ; les nombres décimaux, avec des dixièmes, centièmes ou millièmes. Le tableau suivant situe la place des différents ensembles de nombres dans les programmes du collège, dont la classe de seconde fera ensuite une synthèse : N

Division euclidienne

6e

Z

Comparaison. Somme. Différence

5e

Opérations +, – et ×. Valeur approchée décimale : troncature et arrondi. Division avec quotient décimal

6e

Notation scientifique

4e

Écriture fractionnaire du quotient de deux entiers

6e

Produit. Somme et différence de fractions dont les dénominateurs sont égaux ou multiples l’un de l’autre. Règles opératoires. Enchaînements d’opérations et distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

5e

Puissances d’exposant entier relatif

4e

Fractions irréductibles

3e

Le nombre p √ Touches et cos d’une calculatrice

6e

Calculs comportant des radicaux

3e

Division euclidienne

6e

D

Q

R N

4e

Sujets d’étude potentiels ➤ 1. Les règles opératoires

Objectif de début de collège dont le but est d’approfondir la connaissance des structures algébriques. – Enchaînements d’opérations et distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. – Priorités opératoires et parenthésage : « Les exemples numériques traités sont du a b ; une attention particulière est portée à la signification type a + b × c ; a + ; ca b + c a  a b d’écritures comme qui selon le cas désigne b ou  b  . » c c c

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

93

➤ 2. L’écriture scientifique

Objectif de milieu de collège, l’écriture scientifique est une manière d’écrire les nombres décimaux adaptée aux ordinateurs et aux calculatrices, permettant une extension des possibilités d’affichage à de très grands nombres ou à de très petits nombres. Une calculatrice utilise de façon automatique la notation scientifique pour présenter une valeur approchée d’un résultat qui dépasse ses capacités d’affichage. Un nombre décimal strictement positif d est écrit selon la notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme : d = m × 10n où m est un nombre décimal vérifiant : 1  m < 10 et où n est un entier relatif. Le nombre m est appelé la mantisse de d et l’exposant n permet de situer le nombre d entre deux puissances consécutives de dix (dans le cas particulier où d est un nombre entier, le nombre n + 1 est le nombre de chiffres de l’écriture de d). Si m a désigne l’arrondi à l’unité de m, le nombre m a × 10n détermine l’ordre de grandeur de d. Aussi l’usage de la notation scientifique s’avère-t-il pertinent pour déterminer l’ordre de grandeur du résultat d’une opération (multiplication, division), lorsque les composants de l’opération sont des grands nombres ou bien de très petits nombres. Plusieurs objectifs peuvent être visés, en classe de quatrième ou bien en classe de seconde, en liaison directe avec l’écriture scientifique :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– Passage d’une écriture à une autre. – Application à la détermination de l’ordre de grandeur du résultat d’une opération. – Pourquoi une opération effectuée en écriture usuelle à la calculatrice provoque t-elle le passage à une écriture scientifique ? – Distinction entre une valeur approchée et la valeur exacte. – Récupération de chiffres qui ne sont pas affichés par une calculatrice (comment obtenir la valeur exacte du résultat d’un calcul sur des nombres entiers qui a provoqué le passage en notation scientifique et l’affichage d’une valeur approchée seulement ?) ➤ 3. L’écriture des nombres dans la calculatrice

Cet objectif, explicitement mentionné dans le programme de seconde, est lié à l’étude des limites d’affichage de la calculatrice : apprendre à contrôler les résultats affichés par une calculatrice et développer à leur propos une attitude critique. – La calculatrice peut afficher le même nombre pour représenter deux nombres différents. – La calculatrice peut afficher deux nombres différents pour représenter un même nombre. – Les opérations faites avec la calculatrice perdent leurs propriétés. Ainsi l’addition n’est-elle plus associative ni commutative et n’est-elle plus régulière. Les calculatrices, comme celles qui sont en usage au CAPES, programmées en mode approché, conservent 12 ou 10 chiffres à l’affichage, et travaillent avec 14 ou 12 chiffres. Lors d’un calcul, le dernier chiffre de travail de l’écriture décimale d’un

94

6 • Les thèmes d’algèbre

nombre est le dernier pris en compte et est issu d’un arrondi. Il en résulte une erreur d’affectation, qui devient sensible dans certaines circonstances. Les écrans suivants témoignent de cas où les règles élémentaires de calcul sont parfois bafouées.

➤ 4. Rationnels et décimaux

– Problèmes relatifs à l’ordre sur des rationnels ou bien sur des décimaux (comparaison, rangement, encadrement, intercalation). – Conditions pour qu’un nombre rationnel r dont on connaît une écriture fractionnaire désigne une fraction décimale (niveau seconde). – Écriture illimitée périodique d’un rationnel non décimal : recherche de la périodicité d’un développement décimal. L’étude réciproque, recherche d’un rationnel r dont on connaît le développement décimal périodique, peut être menée par la méthode de décalage : multiplier r par une puissance de dix adéquate (si la périodicité de la partie périodique du développement est n, par 10n ), puis calculer la différence r × 10n − r ou bien peut faire l’objet d’un exercice de niveau première mobilisant la somme des termes d’une suite géométrique. ➤ 5. Irrationnels, calculs avec radicaux

« Il est intéressant de faire prendre conscience aux élèves de toute la richesse, tant théorique que pratique, à laquelle peut conduire une réflexion sur un objet tel que √ 2... » (documents d’accompagnement troisième). Les calculs sur des expressions avec radicaux au niveau d’une classe de troisième, repris dans la classe de seconde, conduisent également à exploiter les identités remarquables usuelles.

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

95

➤ 6. Construction de nombres

 −−→ Un nombre x est constructible sur une droite du plan munie d’un repère O, O A s’il existe une suite finie de constructions géométriques dans le plan, à la règle et au compas, amenant à partir des points de référence O et A à la construction d’un point  − −→ M d’abscisse x dans le repère O, O A . À partir de ce point, il est possible, par des constructions géométriques à la règle et au compas, de construire de nouveaux x points dont l’abscisse est liée à x, notamment le point d’abscisse pour tout entier m 1 (exploitation de configurations de Thalès). m de N∗ et celui d’abscisse inverse x Les diverses possibilités de construction confèrent en fin de compte à l’ensemble des nombres constructibles une structure de corps stable par racines carrées. Dans les programmes, la construction de l’inverse d’un entier n strictement positif, qui permet le partage d’un segment de longueur unité en n segments superposables, est un but explicitement signalé de construction. La construction de la racine carrée d’un entier positif s’effectue par un procédé itératif (« spirale des racines carrées ») ou bien au cas par cas, en décomposant le nombre en somme ou différence de carrés (tout entier positif étant somme d’au plus 4 carrés, 3 constructions successives au plus suffisent). Choix d’exercices complémentaires

On peut organiser ce choix en fonction du type de nombre. Une autre ligne directrice peut consister à considérer les types de problèmes que posent les ensembles de nombres.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Thème 09. La proportionnalité La proportionnalité1 s’échelonne sur toutes les classes de collège, son sens a été travaillé dès l’école élémentaire. Une « situation de proportionnalité » est une situation qui peut être modélisée à l’aide d’une fonction linéaire. Elle met en jeu au moins quatre nombres. Deux nombres déterminent un rapport et il est question de « proportion2 » lorsque l’on est c a en présence de deux rapports égaux : une proportion désigne la relation = (où b d b = 0 ; d = 0) entre quatre nombres. Cette situation modélise un type particulier de relation générale de dépendance entre deux grandeurs : Définition Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut passer des éléments de

l’une aux éléments homologues de l’autre par multiplication par une constante.

1. Se référer aux documents d’accompagnement du collège sur la proportionnalité (6 juillet 2005). 2. Le mot « proportion » désigne par ailleurs la quote-part d’une partie au tout. Ce mot a alors un sens fonctionnel relativement au tout.

96

6 • Les thèmes d’algèbre

Théorème Deux grandeurs sont proportionnelles si tout rapport entre deux éléments

d’une même grandeur est égal au rapport entre les deux éléments homologues de l’autre grandeur. La fonction linéaire x → ax modélisant la relation de dépendance entre les deux grandeurs peut être déterminée soit par la donnée de son coefficient a (coefficient de proportionnalité), soit par la confection d’un tableau de valeurs (tableau de proportionnalité), soit par sa représentation graphique (droite passant par l’origine). Ces différentes déterminations dépendent du cadre dans lequel la proportionnalité est envisagée : – Le cadre des grandeurs : on s’intéresse aux relations de proportionnalité entre des éléments homologues des deux grandeurs. – Le cadre numérique : on s’intéresse à des relations entre nombres (cas d’un tableau de proportionnalité, ou d’application d’un même coefficient multiplicateur à tous les éléments d’une liste). – Le cadre graphique : une relation de proportionnalité est représentée par un alignement de points avec l’origine d’un repère. Cadres et méthodes dans les programmes

Cadre

Méthodes

Relations avec d’autres domaines Mesures : changement d’unités Géométrie : longueur du cercle Organisation de données : confection de diagrammes

6e

Grandeurs

Raisonnement proportionnel utilisant les propriétés de linéarité, le passage par l’unité, ou le coefficient de proportionnalité Application d’un taux de pourcentage

5e

Grandeurs Numérique

Utilisation de propriétés, du coefficient de proportionnalité Recours à une mise en forme (tableau)

Mesures : relation entre aires et volumes et une dimension lorsque les autres sont fixées Changements d’échelle Physique : mouvement uniforme

4e

Grandeurs Numérique Graphique

Utilisation possible mais prudente du « produit en croix »

Géométrie : propriété de Thalès, cosinus d’un angle aigu Organisation de données : notion d’indice

Grandeurs Numérique Graphique Fonctionnel

Modélisation à l’aide d’une fonction linéaire Représentation graphique d’une fonction linéaire Lien entre une fonction affine et la proportionnalité de ses accroissements

Géométrie : effet d’agrandissement et de réduction sur les longueurs ; effet sur les aires et les volumes Mesures : changement d’unités sur les grandeurs produits ou les grandeurs quotients

3e

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

2e

1re ES

97

Cadre

Méthodes

Fonctionnel

Caractérisation d’une fonction affine par la proportionnalité de ses accroissements

Relations avec d’autres domaines Description de phénomènes variation absolue constante

Numérique

Synthèse sur les liens entre proportionnalité et pourcentages : application d’un taux de pourcentage et coefficient multiplicateur

Exemples issus du domaine économique

à

Divers types de problèmes liés à la proportionnalité

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Le document d’accompagnement des programmes du collège du 6 juillet 2005, auquel chacun pourra se référer particulièrement pour structurer l’étude de ce thème, identifie un certain nombre de problèmes relatifs à la proportionnalité : – Type 1 : distinguer à partir d’une série de données une situation de proportionnalité et une situation de non-proportionnalité. On pourra remarquer que l’hypothèse de proportionnalité ne peut être émise qu’après avoir vérifié exhaustivement l’égalité de tous les rapports homologues, alors que la non-proportionnalité est établie dès la découverte de deux rapports inégaux. – Type 2 : rechercher une ou plusieurs données manquantes dans une situation de proportionnalité (problème de recherche d’une quatrième proportionnelle). La recherche d’une quatrième proportionnelle est une question type dans un problème de proportionnalité, qui amène à deux types de procédures de résolution : exprimer une relation entre deux éléments du même domaine qu’on rapporte ensuite aux éléments homologues du deuxième domaine (procédures analogiques) ou bien exprimer une relation fonctionnelle liant tout couple d’éléments homologues des deux domaines. – Type 3 : comparer des proportions (par exemple, comparer les concentrations de deux mélanges). – Type 4 : passer du cadre des grandeurs ou du cadre numérique au cadre graphique et inversement. Choix des exercices complémentaires

Dans ce thème particulièrement, qui est très présent dans tout le collège et au-delà, un choix d’exercices nécessitera une sélection personnalisée d’objectifs à coordonner. Les types de problèmes mentionnés ci-dessus constituent déjà une base de travail pour cette sélection. On pourra conforter cette sélection en envisageant plusieurs types de proportionnalité (simple entre deux grandeurs, double lorsqu’une grandeur est proportionnelle à deux autres grandeurs indépendantes). Le niveau du collège présente à lui seul une large gamme d’objectifs où l’on pourra puiser une progression.

98

6 • Les thèmes d’algèbre

Thème 10. Équations et inéquations du premier et du second degré à une inconnue (ou pouvant s’y ramener) Une équation est une égalité entre deux expressions algébriques qui peut être soit vraie soit fausse suivant la valeur numérique attribuée à l’un (au moins) des paramètres présents dans ces expressions. Une équation pose la question du tri entre les valeurs du paramètre inconnu qui rendent vraie ou fausse l’égalité. « Résoudre une équation » revient à déterminer les valeurs d’un ensemble de nombres donné qui, substituées à l’inconnue, donnent une égalité vraie. La démarche de résolution algébrique d’un problème se ramenant à la résolution d’une équation ou d’une inéquation passe par une modélisation préalable de la situation étudiée et suit un certain nombre d’étapes qui pourront être mises en évidence dans les exercices s’y rapportant : – Choix de l’inconnue ou des inconnues (affectation d’une lettre à la valeur d’un paramètre dont la situation est dépendante). – Mise en équation (traduction algébrique du contexte, l’inconnue appartenant à un ensemble de nombres où le problème a un sens). – Résolution de l’équation ou du système d’équations (traitement algébrique). – Interprétation des solutions trouvées (retour au contexte) et conclusion. La place de ce thème dans les programmes peut être synthétisée ainsi : 4e

Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

3e

Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue ; représenter ses solutions sur une droite graduée. Résoudre une équation mise sous la forme A × B = 0 où A et B désignent deux expressions du premier degré d’une même variable.

2e

Résolution algébrique et résolution graphique d’équations et d’inéquations, type f(x) = k ; f(x) < k ; f(x) = g(x) ; f(x) < g(x) ; ...

1re

Résolution de l’équation du second degré, factorisation et signe d’un trinôme.

Les équations et inéquations du premier degré

Nous avons évoqué dans les objectifs généraux de l’algèbre les démarches de résolution d’un problème conduisant à une équation du premier degré et le cas où, la méthode arithmétique étant en échec, la méthode algébrique devenait pertinente. Les équations et inéquations du deuxième degré

L’étude des équations du deuxième degré commence en troisième avec les équations produits de la forme (ax + b) (cx + d) = 0, se poursuit en seconde et fait l’objet d’une étude synthétique en première.

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

99

➤ Les écritures du trinôme et leur emploi

On considère une fonction trinôme x → T (x) et la parabole P qui la représente dans un repère du plan. Cette fonction trinôme admet plusieurs expressions différentes dont l’opportunité dépend de l’usage que l’on veut en faire. L’un des objectifs du point de vue des savoir-faire est d’entraîner au choix du type d’expression le plus favorable pour une utilisation donnée : Utilisation numérique

Utilisation graphique

Forme réduite ax 2 + bx + c

Identifier les coefficients de chaque monôme Calculer la valeur de T pour certaines valeurs de x

Calculer des coordonnées de points de P

Forme canonique

Dresser le tableau des variations de la fonction T Trouver l’extremum de T

Déterminer l’axe de symétrie de P, trouver les coordonnées de son sommet

Forme factorisée a (x − x1 ) (x − x2 )

Résoudre l’équation T(x) = 0 Discuter le signe de T

Déterminer les points d’intersection de P avec l’axe Ox Discuter la position de P par rapport à cet axe

À ces écritures, s’ajoute celle qui   met en évidence les liens entre coefficients et racines, a x 2 − a(x1 + x2 ) + x1 x2 , exploitée dans des problèmes qui se ramènent à la recherche de deux nombres dont on connaît les valeurs de deux fonctions symétriques (par exemple, recherche de deux nombres dont on connaît la somme S et le produit P qui se ramène à la résolution de l’équation x 2 − Sx + P = 0). On pourra relever cette standardisation si on la reconnaît dans une situation.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Choix des exercices complémentaires

Si le thème englobe les degrés un et deux, proposer au moins un problème de chaque degré. Dans le cas du premier degré seul, proposer au moins un cas où solution arithmétique et solution algébrique peuvent cohabiter (occasion de mettre en évidence la différence de sens de lecture du texte qui en résulte) puis au moins un cas où la solution algébrique devient incontournable (mettre en évidence la démarche de résolution en plusieurs phases telle qu’elle est définie dans les objectifs généraux). L’étude d’une inéquation du premier degré peut se prêter à une résolution algébrique ou graphique. On pourra mettre en évidence la différence de statut concernant le résultat obtenu suivant l’une ou l’autre des deux méthodes (exact par une résolution algébrique, généralement approché par une résolution graphique). Dans le cas du second degré seul, l’accent peut être mis sur les traitements différents suivant les niveaux de classe. Penser à une situation « se ramenant » à un degré donné après transformation d’écriture ou par un changement adéquat d’inconnue.

100

6 • Les thèmes d’algèbre

Thème 11. Systèmes linéaires Un système de n équations linéaires à p inconnues est un ensemble de n équations à p inconnues à propos desquelles on cherche les valeurs numériques qu’il faut attribuer aux inconnues pour satisfaire simultanément toutes les équations. Ce n’est donc pas seulement une inconnue que l’on cherche, mais une liste d’inconnues. On dit que l’on cherche un ou plusieurs p-uplets solutions du système. Les systèmes linéaires dans les programmes

Les premiers systèmes linéaires sont abordés au niveau de la classe de troisième. Au lycée, leur étude n’est pas abordée selon le même point de vue suivant la série considérée. Cependant, les programmes ont un point de convergence : celui de l’interprétation géométrique des systèmes linéaires. 3e

Résoudre algébriquement un système de deux équations à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique.

2e

Déterminer le nombre de solutions d’un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre des problèmes se ramenant à un tel système.

1re ES

Exemples de résolution de systèmes linéaires à deux ou trois inconnues. « On consolidera l’interprétation géométrique des systèmes à deux inconnues ».

1re ES

Interprétation géométrique des systèmes à trois inconnues. Spécialité : « On reprendra en termes matriciels la résolution de systèmes au programme de la partie obligatoire ».

1res techno. (STI, STL)

Exemples de situations conduisant à un système d’équations ou d’inéquations linéaires à coefficients numériques. Exemples de mises en œuvre de méthodes de résolution (méthode de Gauss sur des exemples, combinaisons linéaires).

TES Spé

Exemples de problèmes mettant en jeu des équations de plans ou de droites de l’espace.

TS

Intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de trois plans. « On fera clairement apparaître que les problèmes géométriques considérés ici sont aussi l’étude des systèmes d’équations linéaires que l’on résoudra algébriquement. On traitera aussi quelques situations numériques (issues de l’analyse de situations économiques ou autres) s’y ramenant ».

Les méthodes de résolution

Les phases de la démarche usuelle de résolution apparaissent déjà dans le thème précédent : mise en équations du problème (phases de modélisation puis de mathématisation), résolution effective du système d’équations (traitement algébrique), retour au problème posé (recontextualisation). La différence réside dans les techniques de résolution à mettre en œuvre dans le traitement algébrique.

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

101

➤ 1. Cas des systèmes de deux équations à deux inconnues

Trois méthodes de résolution sont développées à partir du collège : – La méthode par substitution. – La méthode par combinaison. Il s’agit de faire voir aux élèves que, dans chacune de ces deux méthodes numériques, l’objectif à atteindre est de remplacer l’une des deux équations du système par une équation à une seule inconnue, équation que l’on sait résoudre. Une fois cette équation résolue, le problème se réduit à la résolution d’une deuxième équation à une seule inconnue. – La méthode graphique. Un système de deux équations à deux inconnues est interprété comme étant celui qui permet de déterminer les coordonnées (x ; y) du point d’intersection éventuel des deux droites d’équations respectives ax + by + c = 0 et a  x + b y + c = 0. Comme nous l’avons souligné dans le thème précédent, il convient que les élèves prennent rapidement conscience de la distinction entre une méthode algébrique fournissant une résolution exacte et une méthode graphique au champ d’application certes plus étendu (elle restera bientôt d’actualité dans des cas où la résolution exacte va échouer et là elle va gagner en intérêt) mais ne fournissant généralement qu’une résolution approchée.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ 2. Cas des systèmes n×p de dimensions supérieures

Les deux premières méthodes précédentes restent toujours d’actualité. Leur objectif est de remplacer n−1 des n équations à p inconnues par un système de n−1 équations à p − 1 des p inconnues puis d’itérer le procédé. Cependant, la méthode par combinaisons d’équations ne garantit pas que le système déduit du système initial lui soit équivalent. Elle fournit seulement un système dont l’ensemble des solutions contient l’ensemble des solutions du système initial. Il est nécessaire de vérifier que les solutions trouvées sont bien solutions du problème. La méthode de Gauss, présente dans certaines sections technologiques sur des exemples concrets, est une optimisation de la méthode par combinaison, apportant de plus la garantie que le système échelonné obtenu est bien équivalent au système initial car elle est basée sur l’emploi exclusif d’opérations, dites élémentaires, qui transforment un système en un autre système équivalent. Les programmes de série ES spécialité mathématiques prévoient le traitement matriciel d’un système linéaire (se référer au thème 14). Les programmes de série S insistent quant à eux sur le lien entre la résolution des systèmes linéaires et leur interprétation géométrique. En particulier, lorsqu’il y a trois inconnues x, y, z, chaque équation linéaire ai x + bi y + ci z + di = 0 (i = 1, 2, éventuellement, 3) est, dans un repère orthonormé de l’espace affine euclidien, celle → d’un plan P i dont un vecteur normal est le vecteur : − n i de coordonnées (ai , bi , ci ).

102

6 • Les thèmes d’algèbre

Les interprétations géométriques des cas usuels sont résumées dans le tableau : Deux plans distincts et systèmes 2 × 3 → − → − n1 et n2 colinéaires

P 1 et P 2 sont parallèles (strictement)

Le système (S) n’a pas de solution

− → − → n1 et n2 non colinéaires

P 1 et P 2 sont sécants suivant une droite

Le système (S) a une infinité de solutions dépendant d’un paramètre

Trois plans non parallèles deux à deux et systèmes 3 × 3 − → − → − → n1 , n2 , n3 coplanaires − → − → → − n1 , n2 , n3 non coplanaires

L’intersection de P 1 , P 2 et P 3 est soit l’ensemble vide soit une droite

Le système (S) n’a aucune solution ou bien une infinité de solutions dépendant d’un paramètre

L’intersection de P 1 , P 2 et P 3 est un point

Le système (S) a une solution unique

Choix des exercices complémentaires

Un choix d’exercices sur le thème des systèmes linéaires peut tenir compte de la variation des types de systèmes et des méthodes de résolution en fonction du niveau de classe : – Au niveau troisième, système 2 × 2 ayant une solution unique. – Au niveau seconde, système 2 × 2 quelconque. Résolution algébrique et interprétation graphique. – Au niveau première, système 3 × 3. On pourra proposer, pour une même situation, plusieurs énoncés différents, suivant la série à laquelle on s’adresse. (résolution par combinaison en première ES, nécessitant donc un retour au système initial, traitement matriciel en première ES spécialité, méthode de Gauss dans le cycle terminal d’une série technologique). – Au niveau terminale, situation amenant par la résolution d’un système linéaire à une étude d’une intersection de deux ou de trois plans.

Thème 12. Systèmes d’inéquations linéaires. Programmation linéaire Ce thème concerne la résolution d’inéquations linéaires à deux inconnues et quelques exemples d’inéquations linéaires à trois inconnues. Au moins trois niveaux de classe font explicitement référence à ce thème : 1 RE ES

Exemples de systèmes d’inéquations linéaires à deux inconnues ; « on étudiera quelques exemples simples de programmation linéaire »

TS

Inéquations définissant un demi-espace (en liaison avec le produit scalaire dans l’espace)

TSTG

Caractérisation analytique d’un demi-plan par une inéquation du type ax + by > c ou ax + by < c, d’une région polygonale convexe par un système d’inéquations linéaires Optimisation à deux variables : résolution graphique de problèmes conduisant à maximiser ou minimiser une expression du type ax+by sous plusieurs contraintes linéaires

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

103

En classe de seconde, les élèves ont d’ailleurs déjà résolu graphiquement des inéquations de la forme f (x)  g(x). À cette occasion, ils ont pu prendre conscience du régionnement du plan induit par une fonction affine et sa représentation graphique : une droite D d’équation y = mx + p partage le plan en deux demi-plans dont elle est frontière : l’un, « supérieur », dans lequel y  mx + p et l’autre, « inférieur », dans lequely  mx + p. Mais ce résultat n’est pas institutionnalisé à ce niveau de classe, d’autant que la terminologie ambiguë « supérieur » ou « inférieur » peut donner lieu ensuite à de fausses représentations. Inéquations linéaires et systèmes d’inéquations linéaires

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

La résolution d’une inéquation linéaire à deux inconnues est associée à la caractérisation par une inéquation du type ax + by > c ou ax + by < c d’un demi-plan de frontière la droite D d’équation ax + by − c = 0. Cette caractérisation peut être démontrée dans le plan euclidien par l’outil du produit scalaire : dans un plan euclidien muni d’un repère orthonormé, une droite D → d’équation ax + by − c = 0 admet pour vecteur normal le vecteur − n de coordonnées (a, b). La droite D partage le plan en deux demi-plans : l’un est l’ensemble des points −−→ → M tels que H M et − n sont colinéaires et de même sens, caractérisé par la relation : −−→ → ax + by − c > 0, et l’autre est l’ensemble des points M tels que H M et − n sont colinéaires et de sens contraire, caractérisé par la relation : ax + by − c < 0. En pratique, pour résoudre graphiquement dans le plan une inéquation ax + by < c (ou tout autre signe d’inégalité), on peut développer avec les élèves la méthode du test : – Tracer la droite D d’équation ax + by = c. – Réaliser un test sur le signe de ax + by − c en un point du plan n’appartenant pas à D (l’origine du repère, par exemple, si D n’y passe pas). Si l’inéquation est vérifiée en ce point, elle caractérise le demi-plan qui le contient, sinon elle caractérise l’autre demi-plan. – Hachurer le demi-plan qui n’est pas solution. Résoudre graphiquement un système d’inéquations linéaires à deux (respectivement trois) inconnues consiste à déterminer l’ensemble des points du plan (respectivement de l’espace) dont les coordonnées vérifient simultanément toutes les inéquations du système. L’ensemble solution est une intersection de demi-plans (respectivement de demi-espaces). En tant qu’intersection d’ensembles convexes, il s’agit aussi d’un ensemble convexe. On parle de « région polygonale convexe » ou, dans l’espace, de « région polyédrique convexe » pour désigner un tel ensemble. Réciproquement, une région polygonale convexe du plan étant donnée, un problème consiste à déterminer un système d’inéquations linéaires qui caractérise cette région. Ce problème revient à « coder » la région donnée par un système adéquat.

104

6 • Les thèmes d’algèbre

Programmation linéaire

Un problème de programmation linéaire à p variables consiste à optimiser (maximiser ou minimiser) une fonction linéaire de p variables sous un certain nombre de contraintes traduites par des inéquations linéaires. Ce type de problème est généralement issu du domaine économique sous réserve que la situation puisse être décrite, au moins de façon simplifiée, par un modèle linéaire. Pour p = 2, il admet une méthode de résolution graphique. Sa résolution se déroule alors en plusieurs étapes : Étape 1 : traduction des contraintes par des inéquations linéaires Ces contraintes sont de deux sortes. Les contraintes de positivité traduisent le domaine dans lequel le problème a un sens (les variables x et y représentent généralement des quantités). Les contraintes économiques traduisent les contraintes circonstancielles imposées aux variables. Il résulte de cette étape un système d’inéquations linéaires à deux variables. Il peut s’ajouter à ces contraintes une contrainte de discrétisation, c’est-à-dire d’appartenance des nombres x et y à un ensemble de nombres particulier (en l’occurrence, N) lorsque les quantités à produire sont des unités insécables. Les programmes réalisables sont alors les points à coordonnées entières situés dans la zone d’acceptabilité. S’il y a lieu, cette contrainte est prise en compte lors de la synthèse du problème. Étape 2 : résolution graphique du système d’inéquations linéaires Il résulte de cette étape la délimitation de l’ensemble des couples (x, y) de R × R qui sont solutions du système. La représentation graphique de cet ensemble est appelée « zone d’acceptabilité » ou, parfois, « polygone des contraintes ». Un « sommet » de la zone d’acceptabilité est l’intersection de deux droites de sa frontière. En un sommet, deux des contraintes sont simultanément satisfaites (ou « saturées »). La délimitation précise de la zone d’acceptabilité nécessite la détermination des coordonnées de ses sommets. L’ensemble des « programmes réalisables » s’identifie à la zone d’acceptabilité s’il n’y a pas de contrainte de discrétisation et sinon, il s’agit de l’ensemble des points à coordonnées entières situés dans la zone d’acceptabilité. Étape 3 : étude de la fonction économique et optimisation La « fonction économique » est la fonction de deux variables z = f (x, y) à optimiser. Dans le cas considéré ici, elle est du type : z = ax +by. Chaque ensemble des couples (x, y) de R × R qui correspondent à une valeur z 0 donnée est une ligne de niveau de f (courbe isoquante). Dans le cas où f est une fonction linéaire, ces lignes de niveau constituent un faisceau de droites parallèles. On utilise le même graphique pour représenter la zone d’acceptabilité et pour représenter certaines des isoquantes. On obtient alors l’optimisation par balayage de la zone d’acceptabilité par des droites parallèles à une direction donnée. A priori, plusieurs situations peuvent se rencontrer. Cependant, la nature convexe de la zone d’acceptabilité et le caractère continu de la fonction à optimiser assurent

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

105

quelques propriétés : – Si l’optimum peut être réalisé, il l’est en un sommet de la zone d’acceptabilité. – Si la zone d’acceptabilité est bornée, il existe nécessairement un sommet qui réalise l’optimum. – Un sommet réalise l’optimum si et seulement si ses sommets voisins donnent une valeur moins performante à la fonction économique. Étape 4 : synthèse et retour au problème concret On vérifie que le point retenu pour l’optimisation est bien un programme réalisable. En cas de contrainte de discrétisation, si le sommet optimal n’est pas à coordonnées entières, ce qui est une situation exceptionnelle dans les problèmes posés, le problème se ramène à trouver parmi un nombre fini de programmes réalisables celui qui maximise la fonction économique. L’usage d’un tableur pour une étude exhaustive de performance peut alors s’avérer pertinent. Choix des exercices complémentaires

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Deux types de situations se distinguent : – Celles qui sont relatives à la résolution d’inéquations et à un régionnement du plan (extension à un régionnement de l’espace possible en TS). Deux problèmes inverses se posent à leur propos : Étant donné un système d’inéquations, quelle est la région du plan (ou de l’espace) qui contient les points de coordonnées (x, y) (ou (x, y, z)) satisfaisant toutes les inéquations ? Inversement, étant donné une région polygonale convexe du plan (ou de l’espace), peut-on la définir comme ensemble des points dont les coordonnées sont solution d’un système d’inéquations linéaires ? – Celles qui sont relatives à la programmation linéaire. Les situations proposées peuvent varier suivant que l’optimisation est une maximisation sur un domaine borné ou bien une minimisation sur un domaine non borné. Le cas de contrainte de discrétisation peut être évoqué mais n’est pas une exigence.

Thème 13. Différents types de raisonnements La nécessité de démontrer, et de produire à cet effet un raisonnement construit et convaincant, entre notamment dans le processus de toute démarche d’investigation car elle la conclut : produire un raisonnement amène à distinguer au sein de cette démarche ce qui est prouvé de ce qui n’était encore que conjecturé. Les raisonnements du collège au lycée

Dès la classe de sixième, le programme prévoit la « mise en place de courtes séances déductives » dont l’objectif est d’initier les élèves au raisonnement. C’est donc dès le début du collège que le raisonnement mathématique commence à se mettre en place et même avant puisque, au cycle 3, les consignes fréquentes lors de la résolution de problèmes « explique comment tu as fait » visent bien l’acquisition de cette compétence.

106

6 • Les thèmes d’algèbre

L’apprentissage de la démonstration fait partie intégrante du contenu du programme de quatrième. À ce niveau, les raisonnements à plusieurs pas de démonstration amènent à étudier le changement de statut d’une proposition suivant sa place dans une démonstration : un résultat intermédiaire est une conclusion dans un pas et devient une hypothèse dans le pas suivant. Tout au long du collège, les raisonnements sont effectués dans un seul sens. S’il y a lieu, l’implication directe est distinguée de l’implication réciproque. Les élèves doivent distinguer dans un raisonnement les données (« ce que l’on sait »), les propriétés (« ce que l’on applique »), les conclusions (« ce que l’on démontre »), et prendre conscience du changement de statut de la nature des propositions, suivant que l’on traite une implication directe ou une implication réciproque. Ce n’est qu’au lycée, en classe de seconde, que le raisonnement par équivalence logique est mis en place. Le document d’accompagnement des programmes de première permet de cadrer et de situer le type de raisonnement exigible au lycée : « La démonstration est constitutive de l’activité mathématique et les élèves doivent en prendre conscience... La déduction usuelle (par implication ou équivalence) et la manipulation du contre exemple ont été travaillées en seconde, des problèmes bien choisis permettront d’aborder en première le raisonnement par contraposition, par l’absurde ou par disjonction des cas, le raisonnement par récurrence relève de la classe de terminale ». Une classification des raisonnements1 ➤ 1. Raisonnements directs Par implication directe ou raisonnement déductif : A ⇒ P1 ⇒ .... ⇒ Pn ⇒ B Montrer que l’assertion (A ⇒ B) est vraie

Par contraposition. Les assertions (A ⇒ B) et (non B) ⇒ (non A) ont la même valeur de vérité. et constituent deux propositions équivalentes ; la contraposition s’utilise dans le cas où la proposition « non A » est plus facile à formuler que la proposition A

Montrer que l’assertion (A ⇒ B) est fausse

Par mise en évidence d’un contre exemple, prouvant que l’assertion « (non A) ET B » est vraie

Montrer que l’assertion (A ⇔ B) est vraie

Montrer une double équivalence : (A ⇔ B) et (B ⇔ C) sont vraies

Par implication directe et implication réciproque :  A ⇒ P1 ⇒ .... ⇒ Pn ⇒ B (raisonnement par analyse et synthèse) B ⇒ Q1 ⇒ .... ⇒ Qp ⇒ A Par équivalence logique : A ⇔ P 1 ; P 1 ⇔ P2 ; P n ⇔ B (raisonnement par condition nécessaire et suffisante) Trois implications cycliques permettent parfois de minimiser le nombre de démonstrations : on peut démontrer que (A ⇒ B) ; (B ⇒ C) ; (C ⇒ A) sont des assertions vraies

1. Voir Nathan Transmath TS, Edition 2006, p. 445–449.

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

107

➤ 2. Inclusion d’ensembles et raisonnements Montrer une inclusion d’ensembles E ⊂ F

Raisonnement par inclusion simple : on montre que tout élément e appartenant à E appartient à F

Montrer une égalité d’ensembles E = F

Raisonnement par double inclusion : on montre que E ⊂ F et que F ⊂ E. Il est étroitement apparenté à la méthode d’analyse et synthèse puisqu’il s’agit d’établir  que (e ∈ E) ⇒(e ∈ F) et réciproquement que f ∈ F ⇒ f ∈ E

➤ 3. Raisonnements indirects

Montrer que l’assertion (A ⇒ B) est vraie par disjonction des cas

Il s’agit d’adjoindre à la proposition A une autre proposition auxiliaire C et de démontrer que : (A et C) ⇒ B et que, aussi bien : (A et non C) ⇒ B. On peut adjoindre à A un nombre fini de propositions s’excluant mutuellement mais telles que l’une d’entre elles soit vraie. Ce type de raisonnement s’utilise quand l’adjonction de propositions auxiliaires permet de mieux exploiter une hypothèse

Montrer qu’une proposition A est vraie par l’absurde

Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que la proposition « non A » est vraie et à démontrer que dans ce cas elle implique une contradiction dans la théorie mathématique en vigueur

Montrer qu’une proposition An indexée sur l’ensemble des entiers est vraie

Raisonnements par récurrence. Il existe plusieurs types de récurrence

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Choix d’exercices complémentaires

À propos de ce thème, les exercices complémentaires seront de préférence des exercices courts, en nombre suffisant pour illustrer un éventail le plus large possible de raisonnements. Il s’agit de montrer la progression du niveau de raisonnement du collège au lycée. À titre purement indicatif : Distinction entre condition nécessaire et condition suffisante, entre proposition directe et proposition réciproque

Théorèmes de géométrie du collège

Raisonnement par contraposition

Si le carré d’un nombre entier est pair, alors cet entier est pair

Raisonnement par disjonction des cas

Problèmes dans lesquels on distingue plusieurs cas de figure Problèmes faisant intervenir des valeurs absolues. Problèmes d’arithmétique faisant intervenir les congruences

Raisonnement par l’absurde

Reconnaître qu’une configuration n’est pas de Thalès Problèmes d’irrationalité

108

6 • Les thèmes d’algèbre

Utilisation d’un contre-exemple

Démontrer que certaines pseudo identités issues de « théorèmes élèves1 » sont fausses

Raisonnement par analyse-synthèse

Résoudre dans R une équation faisant intervenir une élévation au carré Certains problèmes de construction géométrique

Raisonnement par double inclusion

Certaines recherches d’ensembles de points Montrer que l’ensemble des diviseurs de deux nombres a et b (a > b) est le même que celui de b et du reste de la division euclidienne de a par b

Thème 14. Le calcul matriciel Ce thème concerne exclusivement les classes de première ES et de terminale ES spécialité mathématiques où le calcul matriciel fait l’objet d’un chapitre spécifique. L’introduction du calcul matriciel, en option dans cette série, a pour objectif de décrire de façon organisée et de résoudre des problèmes faisant intervenir de nombreuses données numériques. Une étape intermédiaire vers le calcul matriciel est en effet la présentation d’informations chiffrées organisées en tableau de nombres, légendé pour en faciliter la compréhension. En option, le passage au calcul matriciel s’effectue lorsqu’on abandonne les légendes explicitant le contenu du tableau pour ne retenir que les nombres eux-mêmes. Il est cependant nécessaire de garder en mémoire un lien contextuel lorsqu’on introduit les diverses opérations matricielles, notamment la multiplication de matrices compatibles, comme un ensemble de règles opératoires sur des tableaux de nombres. Un deuxième objectif est l’utilisation de l’aspect opérateur des matrices pour résoudre des problèmes conduisant à des systèmes d’équations linéaires, en complément du programme de la partie commune du programme de première ES. Un système linéaire de n équations à p inconnues peut être considéré comme une seule équation matricielle à une inconnue : A × X = C ou X T × A T = C T selon que le p-uplet inconnu est exprimé comme un vecteur colonne X ou un vecteur ligne X T . Lorsque n = p et lorsque la matrice A est inversible, la solution s’obtient par une

1. Un « théorème élève » ou « théorème en acte » est un énoncé basé sur une fausse interprétation d’une notion. En général, il s’agit d’un énoncé « agréable à formuler » qui transfère des propriétés correctes dans un certain milieu mathématique à un autre milieu où elles s’avèrent incorrectes. Par exemple, « Le cosinus d’une somme est égal à la somme des cosinus » est un tel « théorème » par transfert du modèle linéaire au cas des fonctions trigonométriques. Certains « théorèmes élèves » peuvent même partiellement fonctionner et être induits par des situations trop uniformes. Il en est ainsi de la formule : « Pour comparer deux nombres décimaux de même partie entière, il suffit de comparer leurs parties décimales » qui fonctionne bien tant que les deux décimaux ont le même nombre de chiffres après la virgule, ce qui est généralement le cas des décimaux que l’on compare implicitement dans la vie courante.

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

109

 −1 simple opération matricielle : X = A−1 × C ou X T = C T × A T selon la dispo−1 sition choisie. La matrice A est calculée « à la main » dans quelques cas simples (matrices 2 × 2) mais le travail est délégué à la calculatrice dans tous les autres cas. Ce travail permet à cette occasion de donner du sens à la notion « d’inverse ». (La procédure usuelle dans l’ensemble des nombres réels de division provoque en effet pour les matrices une erreur sur le type de données et permet d’ouvrir une interrogation sur ce que représente l’opération que l’on souhaiterait effectuer et sur le statut de la « matrice inverse », conformément au programme). Première ES spécialité Vecteurs lignes ou colonnes, matrices

Vecteurs et matrices seront présentés comme des tableaux de nombres décrivant des situations simples.

Multiplication d’une matrice par un vecteur, de deux matrices

Les opérations seront introduites à la suite d’exemples leur donnant du sens et les justifiant. On posera la question de la recherche de l’inverse d’une matrice.

Résolution de problèmes faisant intervenir un système linéaire à 3 inconnues

Exploiter les possibilités offertes par les tableurs et calculatrices : « on reprendra en termes matriciels la résolution de systèmes au programme de la partie obligatoire ».

En terminale, le calcul matriciel est devenu outil pour représenter un graphe ou pour traiter, en liaison avec le calcul des probabilités, l’évolution d’un système dynamique.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Terminale ES spécialité Matrice associée à un graphe

Lien entre le nombre de chemins d’un sommet à un autre et les puissances de cette matrice.

Matrice de transition pour un graphe probabiliste

Recherche d’un état stable.

Objectifs et méthodes : choix d’exercices complémentaires

Donner du sens à la notion d’une matrice

Notion de dimension n × p d’une matrice, ainsi que notion d’adressage d’un élément d’une matrice (en lien avec sa signification). On peut étudier les liens entre les deux dispositions possibles et aborder la notion de transposition d’une matrice.

Règles de linéarité du calcul matriciel

Donner une signification à l’addition de deux matrices et à la multiplication par un scalaire.

Multiplication de deux matrices compatibles

Lien avec le sens de l’opération. On pourra, à ce propos, montrer la non-commutativité de la multiplication des matrices carrées.

Application à la résolution d’un système

Donner du sens à la notion de matrice inverse d’une matrice carrée : un système linéaire de n équations à n inconnues (x1 , x2 , ..., xn ) peut être interprété comme une équation matricielle du premier degré à une inconnue.

110

6 • Les thèmes d’algèbre

Recherche de l’inverse d’une matrice

Pour une matrice 2 × 2, la recherche de l’inverse d’une matrice équivaut à la résolution d’un système 4 × 4 qui revient à la résolution de deux systèmes séparés de deux équations à deux inconnues. A−1 se détermine aussi à l’aide d’une calculatrice (ce qui est préconisé par le programme pour une matrice d’ordre supérieur).

Application en théorie des graphes (terminale)

Matrice A d’un graphe. Le nombre de chemins de longueur n allant du sommet i vers le sommet j est le terme pij situé sur la i-ème ligne et j-ème colonne de la matrice An .

Recherche d’un état stable d’un système dynamique

Si A est la matrice de transition du graphe probabiliste, alors l’état probabiliste P (où P est une matrice ligne de coefficients réels positifs dont la somme est égale à 1) est stable si et seulement si P × A = P.

Thème 15. Théorie des graphes À propos de l’introduction de la théorie des graphes dans l’enseignement de spécialité de la classe terminale ES, les documents d’accompagnement des programmes indiquent que : « Pour la première fois, cette branche des mathématiques discrètes fait son entrée dans l’enseignement secondaire français ; le travail proposé est axé sur la seule résolution de problèmes et aucunement sur un exposé magistral. » Dans l’esprit des programmes, les problèmes à résoudre « constituent une première approche volontairement modeste de situations diverses (gestion de stocks, transports à coûts minimaux, recherche de fichiers dans des ordinateurs, reconnaissance de mots...) auxquelles les élèves pourront être par la suite confrontés ». L’objectif visé par l’introduction de cette notion est, par le biais de la résolution de problèmes, « d’apprendre à représenter une situation à l’aide d’un graphe en se posant d’abord les questions suivantes : quels objets vont tenir le rôle de sommets, lesquels deviennent les arêtes ? » Un graphe simple orienté est déterminé par la donnée d’un ensemble non vide fini E = {S1 , . . . , Sn } dont les éléments sont appelés sommets et d’une partie A de E × E dont les éléments sont des couples (Si , S j ) d’éléments de E et sont appelés arcs (Si est l’origine et S j l’extrémité de l’arc). On dit alors que G = (E, A) est un graphe orienté défini sur E. Un graphe simple non orienté est déterminé par la donnée d’un ensemble non vide fini E = {S1 . . . , Sn } dont les éléments sont appelés sommets et d’un ensemble A dont les éléments sont des paires {Si , S j } d’éléments de E et sont appelés arêtes. On dit alors que G = (E, A) est un graphe non orienté défini sur E. De fait, la donnée d’un graphe non orienté équivaut à la donnée d’un graphe orienté tel que, lorsqu’un couple (Si , S j ) appartient à A, le couple symétrique (S j , Si ) appartient lui aussi à A. Dans le cas des graphes simples, chaque couple (ou paire) d’éléments de E est représenté une fois au plus dans A. Lorsqu’un même couple (ou paire) figure plusieurs fois dans A, on parle de « multigraphes » ou de graphes complexes : deux sommets peuvent alors être reliés par plusieurs arcs (ou arêtes).

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

111

On trouvera dans le programme de l’option ES une liste exhaustive d’éléments de vocabulaire des graphes qui doivent être portés à la connaissance des élèves, tout élément ne figurant pas dans la liste étant hors programme. Propriétés usuelles

Ce même texte pointe six propriétés à connaître et savoir utiliser : P1. La somme des degrés d’un graphe non orienté est égale à deux fois le nombre d’arêtes du graphe. P2. Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme xi j de la matrice An donne le nombre de chaînes de longueur n reliant i à j. P3. Le nombre chromatique d’un graphe est inférieur ou égal à D + 1, D étant le plus haut degré des sommets. P4. Théorème d’Euler : un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est égal à 0 ou 2 et admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair. P5. Si M est la matrice de transition d’un graphe probabiliste à n sommets, si P0 est la matrice-ligne décrivant l’état initial, et Pn est celle décrivant l’état probabiliste à l’étape n, on a Pn = P0 × M n . P6. Pour tout graphe probabiliste d’ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l’état probabiliste Pn à l’étape n, converge vers un état S indépendant de l’état initial P0 . De plus, S vérifie la relation : S = S × M. Utilisations des graphes

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

En fonction de ces éléments, il est possible de dresser une liste de problèmes conformes au programme relatifs aux graphes et mentionner les méthodes qui permettent de les résoudre. Problèmes à résoudre

Propriétés des graphes et méthodes

Trouver le nombre d’arêtes d’un graphe donné.

Propriété P1.

Associer une matrice à un graphe donné (orienté ou non). Associer un graphe à une matrice carrée donnée.

Matrice carrée d’ordre n dont le terme aij est égal, dans le cas orienté, au nombre d’arcs d’origine i et d’extrémité j et dans le cas non orienté au nombre d’arêtes reliant i et j.

Déterminer si un graphe connexe admet une chaîne eulérienne ou un cycle eulérien ; construire une chaîne eulérienne ou un cycle eulérien.

Propriété P4.

Déterminer le nombre de chemins (ou chaînes) de longueur donnée qui relient deux sommets d’un graphe.

Propriété P2. On peut calculer un terme donné de An sans calculer nécessairement tous les termes.

Rechercher un chemin (chaîne) de poids minimal entre deux sommets donnés d’un graphe pondéré.

Mettre en œuvre l’algorithme de Dijkstra.

112

6 • Les thèmes d’algèbre

Problèmes à résoudre Colorer1 un

Propriétés des graphes et méthodes

graphe. Déterminer le nombre chromatique d’un graphe ; colorer un graphe en utilisant le minimum de couleurs.

Mettre en œuvre un algorithme de coloration. Exhiber une coloration utilisant un nombre de couleurs égal à l’ordre du plus grand sous-graphe complet détermine le nombre chromatique.

Associer une matrice de transition à un graphe probabiliste. Reconnaître qu’une matrice est la matrice de transition d’un graphe probabiliste.

La matrice de transition d’un graphe   probabiliste d’ordre n est une matrice carrée aij d’ordre n telle que aij est égal à la probabilité de j sachant i. La somme des termes de chaque ligne est égale à 1.

Utiliser un graphe probabiliste pour déterminer l’état probabiliste lors de l’étape n.

Propriété P5.

Rechercher un état stable d’un graphe probabiliste à 2 ou 3 sommets.

Un état S est stable lorsque S = S × M où A est la matrice de transition du graphe. Pour déterminer S,  on peut poser S = x y et résoudre le système S = S × M et x + y = 1.

Déterminer si une suite d’états probabilistes converge et trouver sa limite (dans le cas où il n’y a que deux états possibles).

Propriété P6.

Choix des exercices complémentaires

Il reste à définir des situations types qui peuvent être modélisées à l’aide d’un graphe et dont un choix d’exercices pourra s’inspirer. À titre d’exemple : 1. Problèmes de liens (de hiérarchie ou de confiance ou de rencontres entre individus) Les sommets sont les individus, les arêtes (si les liens sont mutuels) ou les arcs (si il y a hiérarchie) désignent les liens entre les individus. 2. Problèmes de feuille de route, parcours, itinéraire Les sommets sont les points intermédiaires de l’itinéraire. Une arête indique la possibilité de se rendre directement d’un point à l’autre d’un itinéraire. Question à résoudre

En termes de propriétés des graphes

Peut-on trouver un chemin qui emprunte une fois et une seule chaque route d’un réseau ? Peut-on revenir au point de départ ?

Le graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Un circuit eulérien ?

Trouver combien d’itinéraires permettent de se rendre d’un point à un autre en n étapes.

Trouver le nombre de chaînes de longueur n qui relient deux sommets donnés.

Minimiser un coût, une distance, un temps.

Trouver une chaîne de poids minimal reliant deux sommets donnés d’un graphe pondéré.

1. G = (E, A) étant un graphe défini sur E et C = {c1 ; c2 ; . . . ; ck } étant un ensemble appelé palette de couleurs, soit f une application de E vers C. On dit que f est une coloration de G si et seulement si, quel que soit le couple (Si , S j ) appartenant à A, f (Si ) = f (S j ). La coloration réalise une partition de E en sous-ensembles n’ayant pas de sommets adjacents.

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

113

3. Problèmes de conflits ou d’incompatibilités Les sommets sont les « individus » de la « communauté », en éventuel conflit donc. Chaque arête relie deux individus entre lesquels il y a conflit. Question à résoudre

En termes de propriétés des graphes

Trouver un sous-ensemble contenant le plus possible d’individus compatibles.

Trouver une partie stable la plus grande possible.

Trouver une répartition ne générant pas de conflit. Trouver une meilleure répartition possible.

Colorer le graphe. Trouver le nombre chromatique du graphe.

4. Problèmes de reconnaissance de codes Un tel problème a pour but de vérifier si une séquence d’éléments (lettres, symboles) est conforme ou non à un code d’accès. Le graphe est alors orienté et étiqueté. Question à résoudre

En termes de propriétés des graphes

Savoir si une séquence est reconnue conforme au code d’accès.

Elle peut être associée à une chaîne du graphe qui relie le sommet initial au sommet final.

Confectionner un code d’accès.

Construire un graphe qui reconnaisse toutes les séquences acceptables et seulement celles-là.

En conclusion, il s’agira de clairement identifier, en fonction de la nature du problème posé, par quelle sorte de graphe une modélisation est possible et efficace. Une fois le cadre défini, il reste à voir comment la question posée se traduit en terme de problème à résoudre sur le graphe.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Thème 16. Arithmétique L’arithmétique constitue pour l’épreuve sur dossier un unique thème, inséré parmi les thèmes d’algèbre. Son but est l’étude des nombres entiers, naturels ou relatifs, et des opérations sur ces nombres. Cependant, ce thème regroupe plusieurs notions imbriquées, que l’on peut pointer au fil des programmes de collège et de lycée : Notion

Compétences

6e

Division euclidienne

Reconnaître les situations qui peuvent être traitées à l’aide d’une division euclidienne et interpréter les résultats obtenus

5e

Multiples et diviseurs

Reconnaître dans des cas simples si un entier positif est multiple ou diviseur d’un autre nombre entier positif ; connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5, 4, 3 et 9

3e

Diviseurs communs à deux entiers Fractions irréductibles

Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux ; simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible

2e

Nombres premiers

Décomposer un entier en produit de facteurs premiers

114

6 • Les thèmes d’algèbre

Notion

Compétences

TS spé.

Divisibilité dans Z Division euclidienne Entiers premiers entre eux Nombres premiers

Congruences dans Z PGCD, PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers

TL spé.

Division euclidienne Multiples Congruences

Écrire un algorithme de division euclidienne de deux naturels et le mettre en œuvre sur calculatrice ou tableur Applications aux clefs de contrôle, aux problèmes de divisibilité et aux critères de divisibilité

La division euclidienne

Au cycle 3 et en début de collège, la division euclidienne d’un entier naturel par un entier strictement positif apparaît comme un outil de résolution dans des problèmes de partage équitable d’une collection d’objets : – Les problèmes de répartition. On connaît le nombre de parts et on cherche la valeur de la part, sachant que les parts doivent être égales et que l’on doit répartir le plus possible d’objets. – Les problèmes de quotition. On connaît la valeur de la part et on cherche le nombre maximal de parts que l’on peut confectionner. Suivant le contexte, la réponse à un tel problème peut être le quotient euclidien ou bien le quotient euclidien augmenté d’une unité : « une fermière a récolté 92 œufs qu’elle range dans des boîtes de 6 œufs. Combien de boîtes peut-elle remplir et combien d’œufs lui restera-t-il ? Ou bien : combien de boîtes lui faudra-t-il pour ranger tous les œufs et combien d’œufs faudra-t-il pour compléter la dernière boîte ? » C’est en ce sens que le programme de sixième prévoit une interprétation des résultats suivant le contexte. Il rappelle implicitement que, a priori, on peut définir deux divisions euclidiennes : celle qui est communément reconnue comme telle, et celle qui consiste à désigner comme quotient le nombre q  qui résulte du plus petit élément bq  de l’ensemble des multiples de b qui sont supérieurs ou égaux à a et comme reste l’écart bq  − a. La division euclidienne est par ailleurs fondatrice de deux algorithmes distincts : – L’algorithme d’Euclide (l’itération consiste à diviser le diviseur par le reste). – L’algorithme des divisions successives d’un entier naturel a par un nombre entier b au moins égal à 2, qui sert à la numération en base b (l’itération consiste à diviser le quotient par le diviseur).

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

115

Les autres outils de l’arithmétique ➤ 1. L’outil des congruences

La congruence modulo un entier b strictement positif est une relation d’équivalence sur Z qui permet de classer l’ensemble des entiers relatifs suivant la valeur de leur reste dans leur division euclidienne par b. Cette notion permet, dans des problèmes portant sur la divisibilité, de ne raisonner que sur les restes, donc sur un ensemble fini de b entiers. Quelques applications en sont : – L’exponentiation modulaire, c’est-à-dire l’étude de la suite des restes des divisions des puissances d’un nombre par un nombre fixe. – La recherche de critères de divisibilité. L’étude des congruences figure aux programmes de terminale S et L spécialité. ➤ 2. L’outil du PGCD

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

La notion de plus grand diviseur commun apparaît en troisième. À ce niveau, les algorithmes de recherche du PGCD de deux entiers naturels a et b sont basés sur la propriété : pgcd (a, b) = pgcd (a − b, b) (exploitée par l’algorithme des différences) et sa généralisation : pgcd (a, b) = pgcd (a−kb, b) pour tout entier relatif k (exploitée par l’algorithme d’Euclide). Les méthodes s’enrichissent ensuite de celles issues de la décomposition en facteurs premiers d’un entier. Cette notion est d’abord utilisée pour rendre une fraction irréductible, pour effectuer des calculs sur des fractions ou dans des problèmes de pavages, d’emboîtements et de rangements parfaits d’objets. Un cas particulier important, objectif d’étude en terminale S, est le cas où pgcd (a, b) = 1 qui conduit à la notion de nombres premiers entre eux et à la caractérisation de cette propriété par l’existence d’un couple d’entiers relatifs (u, v) vérifiant : au + bv = 1. ➤ 3. Les nombres premiers. L’outil de la décomposition en facteurs premiers

La notion de nombre premier apparaît dans le programme de seconde. La décomposition en facteurs premiers, compte tenu de son unicité, permet une écriture standard d’un entier. Elle est utile pour déterminer de façon systématique l’ensemble des diviseurs d’un nombre, ainsi que le nombre de ses diviseurs, ou pour chercher le PGCD et le PPCM de plusieurs nombres. Les problèmes de l’arithmétique ➤ 1. Les problèmes de divisibilité

Les méthodes de résolution d’un problème de divisibilité sont fonction du niveau de classe où l’on se situe. Pour montrer qu’un entier a est divisible par un entier b, on peut : – Effectuer la division euclidienne de a par b et montrer que le reste est nul.

116

6 • Les thèmes d’algèbre

– Si b = 2 ; 5 ; 4 ; 25 ; 3 ; 9 ; 11, utiliser un critère de divisibilité. – Utiliser des congruences modulo b et montrer que a ≡ 0 (b). – Comparer les décompositions en facteurs premiers de a et de b : les facteurs premiers de la décomposition de b figurent tous dans celle de a, avec des exposants supérieurs ou égaux. – Utiliser le théorème de Gauss : exhiber un nombre c premier avec b tel que b divise a × c. ➤ 2. Problèmes se ramenant à une équation à deux inconnues dans Z × Z

La résolution d’une équation de la forme ax + by = c constitue un objectif en terminale S spécialité. Plusieurs problèmes classiques se ramènent à de telles équations, notamment : – La recherche de points à coordonnées entières d’une droite du plan.  x ≡ x1 (a1 ) – La résolution d’un système de deux congruences qui conduit à cherx ≡ x2 (a2 ) cher s’il existe des entiers relatifs k1 et k2 tels que : x1 + k1 a1 = x2 + k2 a2 donc à résoudre dans Z × Z l’équation k1 a1 − k2 a2 = x2 − x1 . La démarche de résolution d’une telle équation ax + by = c, lorsque a et b sont premiers entre eux, comprend plusieurs étapes : – Savoir résoudre l’équation homogène ax + by = 0 (1) à l’aide du théorème de Gauss. – Savoir déterminer une solution particulière (x 0 , y0 ) de l’équation de Bézout ax + by = 1 à l’aide, par exemple, de l’algorithme d’Euclide. En déduire une solution particulière (x1 = cx0 , y1 = cy0 ) de l’équation ax + by = c (2). – Établir qu’un couple d’entiers (x ; y) est solution de (2) si et seulement si (x − x1 , y − y1 ) est solution de (1). Dans les manuels, ces étapes sont en général détaillées à l’occasion d’un exercice et elles sont sous-jacentes à nombre d’exercices de bac portant sur cette question. ➤ 3. Problèmes se ramenant à une équation où intervient le PGCD D et le PPCM m de deux entiers a et b

Il s’agit de se ramener à une équation concernant des nombres premiers entre eux en posant a = Da  ; b = Db , puis d’exploiter le caractère « premiers entre eux » de a  et b . Il en est ainsi de la recherche de deux nombres dont on connaît le produit et le PGCD ou la somme et le PGCD, etc. ➤ 4. Problèmes de cryptographie

Ces problèmes portent sur des méthodes permettant de coder un alphabet ou bien la totalité d’un message.

6.2 Les thèmes d’algèbre à l’épreuve sur dossier

117

Le codage affine des 26 lettres de l’alphabet a fait l’objet d’un dossier lors de la session 2007. Il revient implicitement à créer une bijection de l’ensemble Z/26Z sur lui même en choisissant deux entiers a et b appartenant à {0,1, . . . , 25} tels que a soit premier avec 26, et en associant à chaque lettre de l’alphabet numérotée par un entier x de {0, 1, . . . , 25} la lettre numérotée par le reste de la division par 26 de ax + b. Le décodage (calcul des nombres a et b) est possible dès que l’on connaît deux images de nombres dont la différence est un nombre premier avec 26. D’autres types de codages figurent dans les manuels, mais ils ont l’inconvénient de nécessiter une mise en œuvre assez lourde, eu égard aux outils de l’arithmétique qu’ils mobilisent (méthode des empilements, système RSA). ➤ 5. Problèmes de clef de contrôle

Une clef de contrôle permet de vérifier, dans une certaine mesure, l’exactitude de la saisie d’un nombre. Ce type de problème est une application des congruences. Ainsi, la clef de contrôle c d’un numéro INSEE N à 13 chiffres est un nombre à deux chiffres vérifiant la contrainte N + c ≡ 0 (97) et détecte une erreur sur un chiffre ainsi que l’interversion de deux chiffres. L’étude d’un tel problème figure explicitement au programme de TL Spécialité. Choix des exercices complémentaires

Compte tenu du champ important qu’occupe l’arithmétique et de la multiplicité des outils de résolution, il appartient à chacun de choisir une ligne directrice conforme à l’intitulé exact du dossier et aux indications fournies par les références aux programmes qui l’accompagnent. L’important est de bien faire le lien entre « outils » et « types de problèmes ».

Chapitre 7

Les thèmes d’analyse

Les thèmes d’analyse du programme du CAPES sont organisés en quatre sections : étude des suites, des fonctions, de l’intégration et des équations différentielles. Les deux premières sections, préalables aux deux autres, ne sont pas proposées dans leur ordre chronologique d’apparition dans les programmes. Elles soulignent une différence de cadre de modélisation d’une situation, aiguillant soit vers l’emploi de fonctions, soit vers l’emploi de suites, qui sera commentée ultérieurement. Les fonctions d’une variable étudiées au niveau de l’enseignement secondaire sont des applications de R, d’un intervalle de R (préconisé par les programmes dans le cadre de la résolution de problèmes) ou d’une réunion finie d’intervalles de R et à valeurs dans R, alors que les suites réelles sont des applications de N ou d’une partie de N à valeurs dans R. Dans la première section, lorsqu’une suite est un outil de résolution dans un problème, la modélisation est discrète, la variable prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Dans la deuxième section, la variable évolue continûment et cette modélisation continue relève d’une conception différente qui s’exprime en termes de variations. Fonctions et suites partagent ainsi le même ensemble d’arrivée mais n’ont pas le même type d’ensemble de départ. Les propriétés de leur comportement utilisent un vocabulaire commun (monotonie, majoration, encadrement, limite à l’infini) alors que les outils usuels pour les décrire sont différents. Par exemple, la monotonie d’une fonction peut s’étudier à l’aide de la dérivation, exploitant le caractère continu de l’ensemble de définition, alors que celle d’une suite peut s’étudier par la différence de deux termes consécutifs, qui exploite le bon ordre de N.

120

7 • Les thèmes d’analyse

Il convient à ce propos de souligner analogies et différences entre le cadre fonctionnel et le cadre séquentiel. En première approche :

Notation et vocabulaire

Mode de génération

Majoration, minoration, bornage

Fonction

Suite numérique

f(x) « f(x) est l’image de x par la fonction f »

un « un est le terme de rang n de la suite (un ) »

Son ensemble de définition et une formule explicite

Son ensemble de définition et une formule explicite Son terme initial et une formule de récurrence permettant le calcul d’un nouveau terme à partir de termes déjà calculés

Définitions similaires

Croissance, décroissance, monotonie

Outil de la dérivée

Signe de la différence un+1 − un

Comportement

Comportement local au voisinage d’un point Comportement asymptotique

Seule la limite en + ∞ garde un sens.

Référents

Les fonctions usuelles

Les suites arithmétiques Les suites géométriques

Les troisième et quatrième sections interviennent lorsque la notion de fonction est suffisamment approfondie par son utilisation dans la résolution de problèmes et a acquis un statut d’objet structuré, permettant à son tour de forger de nouveaux outils. Ces sections seront traitées spécifiquement.

7.1 L’APPRENTISSAGE DE L’ANALYSE 7.1.1 L’analyse au collège : vers la notion de fonction Le programme d’analyse s’enracine dans la partie « calcul » des programmes du collège. Le mot « fonction » apparaît pour la première fois dans le programme de cinquième à propos des applications de la proportionnalité : « reconnaître un mouvement uniforme : la distance est fonction du temps ». Il figure en quatrième dans la formulation d’un mouvement uniforme par la relation d = vt, ainsi que dans le travail sur les aires et les volumes qui « permet d’aborder la variation d’une grandeur en fonction d’une autre ». Le programme de troisième est plus explicite : « l’un des objectifs est de faire émerger progressivement la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre un nombre à un autre nombre. L’utilisation des expressions « est fonction de » ou « varie en fonction de », déjà amorcée dans les classes précédentes, est poursuivie et associée à l’introduction prudente de la notation f (x) ». Le concept fonctionnel demande en effet un nouveau mode de pensée : appréhender simultanément deux grandeurs variables et percevoir leur rôle dissymétrique,

7.1 L’apprentissage de l’analyse

121

l’une étant dépendante de l’autre. Ce concept se construit peu à peu en croisant diverses représentations de l’objet « fonction », notamment : – Algébrique : une formule permet de calculer la valeur de la grandeur dépendante quand on connaît la valeur de la grandeur contrôlée. – Graphique : une courbe représente la fonction comme un ensemble de points du plan qu’il faut décoder (percevoir le rôle des abscisses, celui des ordonnées). – Numérique : la fonction est réduite à une description discrète dans laquelle un tableau décrit la dépendance d’une grandeur pour certaines valeurs de l’autre. Les classes de fonctions exigibles à la fin du collège sont celles des fonctions linéaires et des fonctions affines. Les compétences visées sont à ce niveau : – Connaître les notations x → ax et x → ax + b. – Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire à partir de la donnée d’un nombre non nul et de son image, d’une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images. – Représenter graphiquement une fonction linéaire, une fonction affine. Lire sur une représentation graphique l’image d’un nombre donné et les nombres ayant une image donnée.

7.1.2 L’analyse au lycée : fonctions et suites L’étude des fonctions s’étend sur les trois classes du lycée. L’étude des suites est abordée en première, elle est distincte de celle des fonctions à ce niveau, alors que certaines propriétés (limites de suites et de fonctions) sont étudiées conjointement en classe de terminale.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Les fonctions dans les programmes du lycée

La notion de fonction est au centre du programme d’analyse des lycées car elle est un point de convergence de plusieurs cadres différents : « La notion de fonction fait jouer sur la scène officielle du savoir plusieurs cadres : « Une fonction n’est ni un tableau de valeurs, ni une représentation graphique, ni une suite de touches de la calculatrice, ni une formule, c’est tout à la fois... De plus les problèmes donnant naissance à une étude de fonction se formulent souvent dans d’autres cadres spécifiques : économique, physique, géométrique, etc. », (Repères IREM, janvier 1993). Quel que soit le niveau de classe, les programmes préconisent de s’appuyer conjointement sur ces différents cadres d’étude et d’utiliser les fonctions pour résoudre des problèmes issus de domaines variés. L’objectif général du programme de seconde est d’expliciter la notion de fonction (étude qualitative : sens de variation, définition formelle des fonctions croissantes ou décroissantes, étude graphique) et d’étudier quelques fonctions de référence.

122

7 • Les thèmes d’analyse

La notion de dérivée est le point central du programme de première. La présentation du programme des séries technologiques, par exemple, définit clairement des objectifs prioritaires, que l’on peut étendre à l’ensemble des classes de première : « Le programme est organisé autour de deux objectifs principaux : exploiter la dérivation pour l’étude locale et globale des fonctions ; acquérir une bonne maîtrise des fonctions usuelles indiquées dans le programme et un certain savoir-faire, toutes les indications utiles étant fournies, pour l’étude de fonctions qui sont construites à partir de celles-ci par des opérations simples... On mettra en valeur l’utilité du concept de fonction pour l’étude des phénomènes continus ; on exploitera largement des situations issues de l’algèbre, de la géométrie, des sciences et techniques et de la vie économique et sociale, en marquant les différentes phases : modélisation, traitement mathématique, contrôle et exploitation des résultats ». Ces directives soulignent le double aspect « objet » et « outil » de la notion de fonction, accentué d’ailleurs dans les sections S et ES où l’étude qualitative et quantitative est plus approfondie. En terminale, l’objectif est l’extension du domaine des fonctions connues (fonctions exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques, telles que la fonction tangente en terminale S, fonctions faisant intervenir des radicaux). La notion de continuité est introduite pour permettre un énoncé satisfaisant de certains théorèmes la mettant en jeu (théorème des valeurs intermédiaires). Les suites dans les programmes de lycée

Globalement, le programme de la classe de première vise l’étude des modes de génération des suites numériques, de leurs variations (caractérisation des suites croissantes, des suites décroissantes) et l’étude de certaines suites de référence. En première S, une notion intuitive de l’idée de comportements de suites lorsque n tend vers + ∞ et en particulier de convergence vers un réel a (« Tout intervalle ouvert contenant a : contient tous les termes d’une suite sauf un nombre fini d’entre eux, ou bien : contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang ») commence à être mise en place. Les programmes de terminale visent l’étude de propriétés quantitatives (majoration et minoration) ainsi que l’étude de problèmes de convergence et de comportement à l’infini, abordés seulement en série S, en première. Les suites arithmétiques et géométriques prennent une importance particulière dans la plupart des séries. Deux séries présentent des spécificités dans l’étude des suites : – La série S, avec l’étude de la notion de suites adjacentes et celle du théorème de convergence des suites croissantes et majorées ou décroissantes et minorées. – La série ES spécialité, avec l’étude des suites arithmético-géométriques et des suites récurrentes doubles u n+1 = a.u n + b.u n−1 .

7.2 La modélisation en analyse

123

7.2 LA MODÉLISATION EN ANALYSE De manière générale, l’activité mathématique a pour but de rendre disponibles des outils de modélisation mathématique permettant de décrire de façon pertinente les résultats d’une expérimentation. C’est le cas des outils de l’analyse (mais non pas seulement eux), qui sont essentiellement des outils de construction de modèles et de travail sur ces modèles. Ce sujet mérite un paragraphe spécifique car la « modélisation » va intervenir dans plusieurs thèmes.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

7.2.1 Le processus de modélisation La modélisation a pour objectif général de traduire une situation réelle par une situation mathématique. Elle s’exerce en analyse particulièrement lorsqu’il s’agit d’étudier l’évolution d’un système de grandeurs quantifiables. L’étude d’une telle évolution commence par une étude expérimentale (recueil de données, mise en évidence de différents paramètres qui influent sur la situation...) à l’issue de laquelle on procède à une sélection de certaines grandeurs1 susceptibles de caractériser la situation à décrire. Cette sélection dépend, non seulement, de la situation elle-même mais, aussi, des outils disponibles pour en effectuer un traitement mathématique. Parmi ces outils, se détache l’outil des suites numériques, qui permet une modélisation discrète de la situation, l’outil des fonctions, qui permet une modélisation continue de cette même situation, et l’outil différentiel qui permet la construction d’un modèle à partir de relations portant sur la fonction modélisatrice et ses dérivées. La construction proprement dite du modèle consiste à traduire mathématiquement les interactions entre les grandeurs sélectionnées. Elle a pour but de produire un objet mathématique (suite, fonction...), conforme aux interactions retenues comme significatives. Enfin, une fois le modèle construit, il reste à l’étudier puis à l’éprouver. En effet, la sélection de certains paramètres et interactions seulement, même considérés comme particulièrement significatifs, implique une certaine approximation de la réalité. Une

1. Lors de la modélisation d’une situation ou de l’étude d’un processus d’évolution, on est amené à définir quatre types de grandeurs (qualitatives ou quantitatives) : − − − −

Celles qui sont connues dès le début. Ce sont les données. Celles que l’on cherche à déterminer au terme de la démarche. Ce sont les inconnues. Celles dont on cherche à étudier l’évolution. Ce sont les variables. Celles auxquelles on se réserve la liberté d’attribuer des valeurs diverses car elles ont une probable influence sur certains aspects de la situation. Ce sont les paramètres. Utilisés comme des « outils » dans la modélisation, ils ne sont pas en eux-mêmes objets d’étude.

Au sens large, un « paramètre » est une grandeur influant sur la situation mais n’étant pas, dans l’instant, objectif d’étude. Une même grandeur peut ainsi ne pas avoir le même statut selon la finalité de la modélisation que l’on se propose de faire et changer de statut suivant le moment de l’étude.

124

7 • Les thèmes d’analyse

confrontation avec la réalité est nécessaire pour mesurer le degré de fidélité du modèle et, éventuellement, pour en déterminer les limites. Quatre phases essentielles caractérisent une étude d’une situation par l’analyse : 1. Une phase d’investigation et d’expérimentation, destinée à repérer des paramètres significatifs de la situation. 2. Une phase de modélisation. Cette dernière, qui fait partie intégrante de l’activité mathématique, a tout intérêt à être proposée aux élèves eux-mêmes car c’est elle qui donne son sens au traitement mathématique de l’objet qu’elle produit. 3. Une phase de traitement mathématique de l’objet produit par la modélisation, dépendant de l’aspect de la situation que l’on souhaite étudier particulièrement. 4. Une phase d’interprétation et d’exploitation des résultats obtenus (dans laquelle se place un contrôle de pertinence). Dans les problèmes de modélisation posés aux élèves au niveau du lycée, la phase de tri des paramètres et de choix des interactions est généralement déjà effectuée. Les élèves ont à produire un modèle qui satisfait une version volontairement simplifiée de la réalité, conforme à des hypothèses bien précises, adaptées aux outils mathématiques que l’enseignant se propose de faire mettre en œuvre. La difficulté est alors de garder sens et consistance au problème simplifié, de manière que le modèle rudimentaire ainsi établi reste pertinent et permette une prévision.

7.2.2 Modélisation dans le cadre discret, modélisation dans le cadre continu L’objet produit est une fonction lorsqu’on peut contrôler la variation de l’une des grandeurs du système et que la valeur de cette grandeur détermine celles des autres (elle prend le statut de « variable contrôlée », en ce sens qu’on peut lui faire décrire un intervalle de R). Dans ce cadre continu, le traitement mathématique consiste à décrire les interactions entre la grandeur contrôlée et celles qui en dépendent. Dans certains domaines, les hypothèses retenues définissent des lois d’évolution menant à une équation différentielle. Le traitement mathématique consiste dans ce cas à déterminer, explicitement ou non, la fonction solution de l’équation différentielle qui satisfait les conditions initiales observées, et à l’étudier. Lorsqu’une résolution d’équation différentielle est nécessaire, le traitement est spécifique à la classe de terminale. Parfois, les hypothèses peuvent amener directement à une relation fonctionnelle que l’on peut étudier avec les outils de classes antérieures (c’est le cas du modèle linéaire). L’objet produit est une suite dans deux cas : – Il peut s’agir de la description d’un phénomène intrinsèquement discret ou bien d’un phénomène évoluant dans le temps en continu mais qui est appréhendé à intervalles réguliers (discrétisé). On affecte une suite de valeurs à la variable contrôlée et les suites en question sont définies explicitement.

7.2 La modélisation en analyse

125

– Le phénomène évolue par mues successives, l’état lors d’une étape donnée étant déterminé par l’état précédent, ou plusieurs états précédents (le phénomène est itératif). L’étude d’un tel phénomène nécessite de connaître les conditions initiales (état initial) au départ de l’étude et les règles de passage d’un état donné à l’état suivant (algorithme permettant de déterminer le nouvel état à partir des états précédents). Les suites en question sont définies par récurrence. Le traitement mathématique consiste à déduire des hypothèses retenues une relation liant chaque nouveau terme de la suite à son précédent (où plusieurs précédents) puis, à défaut d’obtenir une formule explicite des termes de la suite, d’en étudier l’évolution. Une même situation pourra être étudiée dans le cadre séquentiel et le cadre fonctionnel. Le programme de terminale S pointe cette double modélisation : « On pourra remarquer que certains phénomènes peuvent s’étudier soit en temps discret, à l’aide d’une suite, soit en temps continu, à l’aide d’une fonction ». L’un des objectifs d’activités de modélisation est de faire comprendre aux élèves deux règles fondamentales : – L’importance des hypothèses retenues : des choix d’hypothèses différents entraînent des modélisations différentes (ces choix déterminent le fond). – La relativité des outils mathématiques employés : des outils mathématiques différents entraînent des types de modélisation différents, mais les résultats obtenus sont comparables (ces choix déterminent la forme mais non le fond).

7.2.3 Quelques modèles de référence En modèle continu, t désignera la variable contrôlée et f (t) la grandeur qui en dépend. En modèle discret, un désignera la mesure associée à l’état numéro n de la grandeur en évolution. ➤ 1. Le modèle linéaire © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Il modélise des situations où l’on retient l’hypothèse d’une évolution régulière. Évolution à variation absolue constante Modélisation discrète

Modélisation continue

L’écart entre deux mesures consécutives est une constante C

La fonction solution est une solution de l’équation différentielle y  = C où C est une constante

un+1 − un = C

f(t) = C(t − t0 ) + y0

(un ) est une suite arithmétique de raison C

f est une fonction affine

➤ 2. Le modèle exponentiel

Il modélise des situations où l’on retient l’hypothèse d’une variation proportionnelle à la valeur de la grandeur observée.

126

7 • Les thèmes d’analyse

Évolution à variation relative constante Modélisation discrète

Modélisation continue

Le taux de variation entre deux mesures consécutives est une constante c (c > −1)

La fonction solution est une solution de l’équation différentielle y  = ky où k est une constante

un+1 − un =c un

f(t) = y0 .ek(t−t0 )

(un ) est une suite géométrique de raison (1 + c)

f est proportionnelle à une fonction exponentielle

➤ 3. Le modèle à écart exponentiel

Il modélise des situations où l’on retient l’hypothèse d’une variation proportionnelle à la différence avec une valeur fixe. Évolution à variation proportionnelle à un écart Modélisation discrète

Modélisation continue

La variation entre deux mesures consécutives est proportionnelle à la différence avec une valeur fixe

La fonction solution est une solution de l’équation différentielle y  = k (y − l)

un+1 − un = c (un − l)

f(t) = l + (y0 − l) ek(t−t0 )

(un ) est une suite arithmético-géométrique

f − l est proportionnelle à une fonction exponentielle

➤ 4. Le modèle logistique

Il modélise des situations où l’on retient deux hypothèses d’interaction : un facteur proportionnel à la valeur de la grandeur observée et un facteur de régulation proportionnel à la différence avec une valeur fixe. Évolution à variation relative affine Modélisation discrète

Modélisation continue

Le taux de variation entre deux mesures consécutives est proportionnel à l’écart avec une valeur M

La fonction solution est une solution de l’équation différentielle y  = ky (M − y) (k > 0)

un+1 − un = k (M − un ) (k > 0) un (un ) satisfait une relation de récurrence de la forme un+1 = a.un + b.u2n



f(t) = 1+

M y0

M  − 1 e−k(t−t0 )

f est une fonction logistique

7.3 Thèmes concernant les suites

127

7.3 THÈMES CONCERNANT LES SUITES Thème 17. Étude du comportement de suites définies par une relation de récurrence de la forme un+1 = f(un )

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont déjà des exemples particuliers de telles suites, associées respectivement à des fonctions du type x → x + r ou x → q × x. Cependant, ce thème concerne essentiellement des cas où f est une fonction plus complexe, rendant téméraire la recherche d’une formule explicite. L’étude du « comportement » présente deux aspects : le sens de variation de la suite et son comportement asymptotique, lorsque n tend vers + ∞. Si une étude approfondie des méthodes d’approximation d’un point fixe n’est plus un objectif des programmes, ce thème a néanmoins pour but est de mettre en évidence sur des exemples les liens entre les propriétés de la fonction f, que l’on supposera continue, et les propriétés de la suite (un ). Ces liens sont synthétisés dans le tableau suivant : Mise en évidence d’un intervalle I inclus dans l’ensemble de définition de f stable par f (tel que f (I) ⊂ I)

Conditions suffisantes de définition de la suite : si le terme initial u0 appartient à I et si I est stable par f, alors, pour tout entier n appartenant à N, un est défini et appartient à I

f croissante sur l’intervalle I

(un ) est une suite monotone et son sens de variation dépend du signe de u1 − u0 ; le choix du terme initial u0 dans I a un impact déterminant sur le sens de variation de la suite

f décroissante sur l’intervalle I

La suite de terme général  un+1  − un est alternée ; les  deux suites extraites u2p et u2p+1 sont monotones, l’une des deux est croissante et l’autre, décroissante

Recherche des points fixes de f

Si (un ) est convergente, alors elle converge vers un point fixe de f, c’est-à-dire vers une solution de l’équation : f(x) − x = 0

Les exercices portant sur ce thème illustreront ces différents points. Un préalable est la recherche d’un intervalle stable par f, assurant la légitimité de la construction de la suite récurrente dès lors que le terme initial u0 appartient à I. ➤ Sens de variation

D’un point de vue du sens de variation de la suite, un objectif à atteindre est de montrer en quoi intervient la monotonie de f dans le comportement de la suite et de mettre en échec le « théorème élève » qui consiste à penser que « la suite varie dans le même sens que f » : si f est strictement croissante sur I et si u 1 > u 0 , alors (u n ) est strictement croissante ; si u 1 < u 0 , alors (u n ) est strictement décroissante. Dans le cas où f est décroissante sur I, le choix du terme initial n’a plus la même importance, et on pourra montrer que la suite (u n ) est non monotone.

128

7 • Les thèmes d’analyse

Les méthodes

  – On peut exprimer la différence u n+1 − u n = f (u n ) − f u n−1 , essayer d’y factoriser la différence u n − u n−1 et étudier le signe du facteur complémentaire. Si ce facteur est de signe constant, on conclut par récurrence. – On peut utiliser le sens de variation de f. Si f est croissante, elle conserve l’ordre, et les termes seront rangés dans le même ordre que les deux premiers. Si f est décroissante, noter qu’alors la fonction composée f ◦ f est croissante, ce qui amène à considérer, avec un certain intérêt, les suites extraites de rangs pairs et de rangs impairs. ➤ Comportement asymptotique

D’un point de vue du comportement asymptotique, plusieurs cas se présentent suivant les propriétés locales de f au voisinage d’un point fixe a de f. On suppose que f est continûment dérivable en a.    f (a) > 1    f (a) = 1    f (a) < 1

a est répulsif

Sauf si elle stationne en a, une suite ne peut converger vers a

a est attractif

Il existe un intervalle ouvert de centre a tel que, si u0 appartient à cet intervalle, alors la suite converge vers a

On ne peut pas conclure directement

Lorsqu’il est question de faire étudier une suite récurrente convergente, deux méthodes générales, courantes dans les exercices classiques du niveau d’une classe de terminale, se détachent : – Voir si un théorème de convergence monotone s’applique. Dans l’affirmative, une fois la convergence prouvée, on essaie d’appliquer un théorème de composition de limites (pour prouver que la limite en question est une des solutions de l’équation f (x) = x). Cette méthode met en jeu des théorèmes du programme mais elle a pour inconvénient de ne pas donner d’information sur la qualité d’approximation de la limite. – Tenter de trouver un réel k vérifiant 0  k < 1 tel que pour tout entier naturel n : |u n − a|  k n . |u 0 − a| (la démarche est alors guidée, en veillant à rester dans le  cadre du programme). On majore ainsi la suite |u n − a| par une suite géométrique de raison plus petite que 1, puis on utilise le théorème des gendarmes. Le résultat donne en prime une information sur la vitesse de convergence vers a de la suite (u n ). Dans le cas où f est décroissante, la méthode ci-dessus peut certes être appliquée, mais il est souvent plus intéressant de remarquer que, quel que soit l’entier p, les deux termes consécutifs de la suite u2p et u 2 p+1 encadrent a : les suites de termes de rangs pairs et impairs forment dans de bonnes conditions de convergence une paire de suites adjacentes, notion qui figure explicitement au programme de terminale S.

7.3 Thèmes concernant les suites

129

Enfin, signalons le cas particulier où f  (a) = 0. Si f est de classe C2 dans un voisinage de a, ce point fixe est dit hyperattractif, et la convergence vers le point fixe est non plus géométrique, mais quadratique. C’est ce type de convergence que l’on obtient lorsqu’on met en œuvre la méthode de Newton dans de bonnes conditions de convergence. ➤ Plan d’étude d’une suite récurrente

En règle générale, le plan d’étude d’une suite u n+1 = f (u n ) se rapproche du plan suivant : – Étude des variations de la fonction f et mise en évidence d’intervalles stables par f. – Recherche d’existence et localisation des points fixes de f. – Construction de la suite récurrente, son terme initial appartenant à un intervalle stable par f. – Une construction graphique de la toile des premiers termes, en s’appuyant sur la représentation graphique de f et la droite D d’équation y = x, permet éventuellement d’émettre des conjectures sur le comportement de la suite. – Étude des propriétés de la suite (démonstration des conjectures) en exploitant les propriétés de f. ➤ Usage d’une calculatrice

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

La calculatrice intervient dans différentes phases de l’exercice. Elle illustre les changements de cadre qui interviennent dans la démarche. – Lors de l’étude de f, elle est utilisée en mode fonctionnel. – Lors de l’étude de la suite, le mode d’étude n’est plus le même, il s’agit du mode séquentiel. Dans ce même mode, la suite est appréhendée de diverses manières. Elle peut être étudiée dans une fenêtre numérique, par un tableau de valeurs, ou bien dans une fenêtre graphique, par une construction des premiers termes. On pourra, à cette occasion, distinguer le paramétrage de la calculatrice en mode « suite récurrente » (la représentation graphique des termes successifs s’effectue en mode « toile ») du mode « explicite » (la représentation graphique est un chapelet de points d’abscisses entières). Choix des exercices complémentaires

L’objectif des programmes au niveau du lycée n’est pas de faire une étude exhaustive de ce type de suites mais de faire fonctionner les méthodes usuelles d’étude. Les exercices devront s’y conformer : – Dans le cas d’une fonction f croissante, montrer l’influence du choix du terme initial. – Dans le cas d’une fonction f décroissante, montrer la différence de comportement des termes de rang pair et des termes de rang impair.

130

7 • Les thèmes d’analyse

– Montrer diverses formes de points fixes (faire voir qu’il ne suffit pas à un nombre d’être un « point fixe » pour qu’une suite converge vers lui). – Mettre en œuvre les théorèmes du programme pour montrer une convergence par diverses méthodes.

Thème 18. Problèmes conduisant à des suites arithmétiques, géométriques ou arithmético-géométriques Les suites arithmético-géométriques, objets de ce thème, constituent un cas particulier de suites récurrentes u n+1 = f (u n ). Elles sont telles que la fonction f qui leur est associée dans leur construction est une fonction affine x → f (x) = ax + b. Il s’agit de suites arithmétiques, lorsque f est une fonction de la forme f (x) = x+b, et il s’agit de suites géométriques, lorsque f est une fonction linéaire de la forme : f (x) = ax. Ces deux derniers types de suites occupent une place de choix dans les programmes de première et de terminale. Il y a plusieurs raisons à cela. Les suites arithmétiques et les suites géométriques objets d’apprentissage

Trois objectifs se détachent : – La détermination de ces suites par leur premier terme et la relation de récurrence, aussi bien que par une formule explicite, exigible au niveau de la classe de première. La commodité des passages d’un mode à l’autre, particularité que partagent ces deux types de suites, illustre bien la démarche suivie pour basculer d’un mode de génération de suites à l’autre. – L’expression de la somme de leurs n premiers termes. Cette somme peut elle aussi être définie aussi bien par récurrence que par une formule explicite. – L’étude de leur comportement et, particulièrement, en ce qui concerne les suites géométriques, leur comportement asymptotique. L’outil des suites arithmétiques et des suites géométriques ➤ 1. Les suites arithmétiques et les suites géométriques outils d’étude d’autres suites

C’est là un premier axe de choix d’exercices relatifs à ce thème. Il exploite le fait de disposer en même temps des deux modes de génération. Le schéma d’étude est le suivant : – (u n ) est une suite récurrente type u n+1 = f (u n ). – Pour chaque indice n, on associe à un le terme homologue d’une suite auxiliaire par une formule de calcul réversible : vn = h(u n ). – La suite (vn ) est une suite récurrente qui vérifie la relation de récurrence vn+1 = h ◦ f ◦ h −1 (vn ). Si cette suite auxiliaire s’avère être arithmétique ou géométrique, alors sa formule explicite permet d’exprimer un lui-même en fonction de n. Cette

7.3 Thèmes concernant les suites

131

méthode concerne, en premier lieu, le cas des suites arithmético-géométriques : Si (u n ) vérifie une relation de récurrence de la forme u n+1 = f (u n ) = au n + b, avec b ), alors la suite auxiliaire (vn ), a = 1, et si a est le point fixe de f (soit a = 1−a définie pour tout entier n par : vn = u n − a, est une suite géométrique. ➤ 2. Les suites arithmétiques et géométriques, outils de comparaison

L’étude des suites arithmétiques et géométriques amène à comparer leurs comportements asymptotiques, ainsi que leur tendance lorsque le comportement asymptotique est le même. En particulier, deux suites géométriques de même limite et de raisons positives différentes entre elles, une suite géométrique de raison > 1 et une suite arithmétique. Le résultat de ces comparaisons confère à ces suites et, plus particulièrement, à la famille des suites géométriques de raison positive, un titre de suites de référence pour leur confronter d’autres suites soit convergentes vers zéro, soit divergentes vers +∞. Cette famille détermine une échelle de comparaison des suites permettant d’estimer leur vitesse de convergence (ou de divergence). Un critère de convergence et un critère de divergence des suites à termes positifs sont basés sur ce type de confrontation : – S’il existe un réel k < 1 tel que, pour tout entier n à partir d’un certain rang n 0 : u n+1  ku n , alors la suite (u n ) converge vers zéro. – S’il existe un réel k > 1 tel que, pour tout entier n à partir d’un certain rang n 0 : u n+1  ku n , alors la suite (u n ) diverge vers +∞. L’énoncé de ces critères n’est pas exigible en terminale, mais on trouvera de nombreux exercices dans lesquels l’un ou l’autre critère est implicitement appliqué.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ 3. Outils de modélisation

Comme nous l’avons vu dans le paragraphe « modélisation », des types d’évolution très importants amènent à des suites entrant dans ce thème. Le choix d’exercices s’en inspirera largement, ne serait-ce que pour contextualiser une étude plus générale portant sur ces types de suites. Choix des exercices complémentaires

Proposer des exemples de modélisation dans lesquels ces suites interviennent semble être un point essentiel à développer dans ce thème. Ces exemples peuvent être tirés de divers domaines (géométrie, économie, physique, biologie...) et varier suivant la série particulièrement concernée. On montrera la différence d’évolution à long terme suivant l’hypothèse de modélisation retenue. Un exemple d’utilisation d’une suite arithmétique ou géométrique comme suite auxiliaire pour l’étude d’une autre suite ou un exemple d’utilisation de la somme des termes d’une telle suite peut compléter une sélection.

132

7 • Les thèmes d’analyse

Thème 19. Exemples de méthodes d’approximation, à l’aide de suites, d’un nombre réel positif ; exemples numériques En dehors des nombres « rationnels », dont on peut construire plusieurs écritures, de nouveaux nombres à caractère irrationnel nécessitent ou bien l’emploi d’un symbolisme, comme les racines carrées et plus tard, au lycée, les logarithmes, ou bien l’attribution d’une désignation spécifique, comme p ou plus tard e. La notation décimale in extenso de ces nombres est inaccessible. Le problème se pose « d’approcher » ces nombres idéaux avec le matériel numérique dont on dispose dans la pratique. Le terme « approximation » présent dans le sujet est inséparable de la qualité d’approximation qui l’accompagne. On appelle valeur approchée d’un réel x à 10− p près (à la précision 10− p ) tout nombre réel u tel que |x − u|  10− p . Le nombre 10− p définit la qualité d’approximation selon laquelle u approche x. On définirait de même une valeur approchée « à ´ près » en remplaçant 10− p par ´ mais, au niveau du lycée, la qualité d’approximation est généralement mesurée en puissances de dix. L’objectif des méthodes à développer dans ce thème est de construire des suites qui permettent l’approximation d’un nombre réel avec une précision aussi fine que l’on veut. Mobilisant la notion de convergence des suites, en particulier, celle de la convergence de deux suites adjacentes, ce thème se place au niveau de la classe de terminale. La problématique

La problématique du sujet peut être résumée ainsi : – Quels types de nombres réels est-il intéressant d’approcher à l’aide de suites ? – Dans quels ensembles de nombres est-il intéressant de puiser des suites permettant d’approcher un nombre donné (ces « réservoirs de nombres » doivent être des ensembles denses dans R pour permettre l’approximation avec autant de précision que l’on veut) ? – Peut-on mesurer la qualité d’approximation fournie par une suite ? ➤ 1. Le nombre à approcher est un nombre rationnel

p mais cette détermination est q parfois difficile à interpréter. (À titre d’exemple, nous avons des difficultés à appré3 758 3 758 hender le nombre , mais si nous savons que 4,861 < < 4,862, nous 773 773 nous en faisons une meilleure image mentale). Un réservoir de nombres possible est l’ensemble D des nombres décimaux. On pourra chercher à approcher un nombre rationnel par des suites de nombres décimaux. On peut le déterminer par une fraction irréductible

7.3 Thèmes concernant les suites

133

➤ 2. Le nombre à approcher est un nombre irrationnel

C’est naturellement la partie centrale de ce thème. Tout dépendra de la spécificité du nombre à approcher. L’idée directrice est d’utiliser un réservoir de nombres « plus simples » à appréhender que le nombre cible. Nombres servant à l’approximation

Nombres x que l’on approche

Méthode

Nombres rationnels

Mise en œuvre de l’algorithme de la division décimale arrêtée à a p-ième décimale

Nombres irrationnels

Approximations décimales

Nombres rationnels

Nombre réel issu de l’analyse, ayant un statut particulier (racine carrée, logarithme, sinus, etc.)

Mise en œuvre d’au moins une suite de rationnels dont on sait qu’elle converge vers le nombre à approcher

Nombres rationnels, nombres réels

Nombre réel défini par l’adjacence de deux suites

Application du théorème des suites adjacentes, qui définit un nombre réel particulier, limite commune des deux suites

Nombres rationnels, nombres réels

Nombre dont on ne connaît pas de méthode de calcul exact

Dépend de la nature du nombre (solution d’une équation numérique, intégrale, etc.)

Nombres décimaux

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Le cas des approximations décimales

« Montrer que tout nombre réel positif x est limite de deux suites adjacentes de rationnels décimaux ; en déduire l’existence du développement décimal d’un nombre réel » est un objectif signalé dans les documents d’accompagnement des programmes de terminale S en application du théorème des suites adjacentes. Lorsque x est un nombre rationnel, une démonstration de cette propriété et, en même temps, une construction de deux suites adjacentes, qui sont solution du problème, provient de l’algorithme de la division décimale et de l’encadrement des restes obtenus, lorsqu’on fait varier le nombre de chiffres après la virgule du quotient décimal. On peut mettre en évidence le caractère périodique de la suite des décimales. Plus généralement, pour tout nombre réel non décimal x > 0 et tout entier naturel kp p, il existe un unique nombre décimal d p de la forme : d p = p , où k p appartient à 10  1 k N, tel que : d p < x < d p + p (en effet, pour p fixé, la suite : est une 10 10 p k∈N suite strictement croissante de limite + ∞ et d p apparaît comme le plus grand terme de cette suite qui est inférieur à x). De plus, si on considère les deux décimaux d p et k p+1 k p+1 1 d p+1 d’indices consécutifs : p+1 < x < p+1 + p+1 . 10 10 10

134

7 • Les thèmes d’analyse

Si on désigne par q p+1 le quotient et par r p+1 le reste de la division de k p+1 par dix : k p+1 = 10q p+1 + r p+1 avec 0  r p+1 < 10 de sorte que : 10q p+1 + r p+1 10q p+1 + r p+1 + 1 <x< p+1 10 10 p+1 q p+1 q p+1 1 et il en résulte : <x < + p , ce qui signifie que le quotient q p+1 n’est p p 10 10 10 autre que l’entier k p . Autrement dit : d p+1 =

k p+1 10k p + r p+1 r p+1 = = d p + p+1 p+1 p+1 10 10 10

avec 0  r p+1 < 10. Le nombre d p est la troncature de d p+1 à la p-ième décimale. 1 La recherche des deux nombres d p et d p + p répond à l’exigence de recher10 cher des valeurs approchées à la précision 10− p de x qui s’écrivent avec le moins de décimales possibles. Choix des exercices complémentaires

Les exercices portant sur ce thème pourront faire varier le type du nombre cible, le problème des approximations décimales d’un rationnel ou d’un irrationnel paraissant toutefois incontournable. Ces exercices devront naturellement être modulés suivant l’orientation des extraits de programmes accompagnant le sujet.

Thème 20 : Utilisation de suites pour la recherche de solutions approchées d’une équation numérique Le sujet à étudier dans ce dossier est le suivant : Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R et ayant des propriétés de régularité « suffisantes » ; on a réussi à prouver que l’équation f (x) = 0 admet des solutions appartenant à I, mais on ne sait pas les calculer. Comment les préciser quand même ? Dans le cas d’équations « simples », on peut arriver à déterminer algébriquement la valeur exacte de ces nombres. L’intérêt d’une résolution approchée n’est alors que de déterminer des valeurs approchées d’un nombre pourvu d’une désignation algébrique : c’est le nombre lui-même qui est visé, et l’on utilise le fait qu’il est solution d’une équation pour l’approcher. Mais ce cas de figure est d’une certaine façon « exceptionnel ». Dans le cas général d’une fonction ordinaire, le calcul de la valeur exacte de ces nombres solutions n’est pas possible. Le problème d’une résolution approchée, seul recours possible, se pose de façon plus cruciale.

7.3 Thèmes concernant les suites

135

Ce problème peut être abordé dès que l’on dispose de suffisamment d’outils pour étudier sur l’intervalle I les variations de la fonction f, d’une manière intuitive dans le cadre de l’étude des variations d’une fonction, en première, et de manière plus approfondie, en terminale. Nous considérons désormais une fonction f dérivable sur l’intervalle I. Un préalable à la mise en œuvre de l’outil des suites est la séparation des solutions de l’équation (E) : f (x) = 0 et la localisation de chacune dans un intervalle [a, b] où elle est unique solution. Soit a une solution ainsi localisée. Méthodes basées sur le théorème des valeurs intermédiaires

Il s’agit des méthodes jugées « suffisantes » par les programmes actuels du lycée. Le principe de ces méthodes est, à partir d’une localisation initiale dans un intervalle [a, b] d’une solution de l’équation f (x) = 0, de réduire la taille de cet intervalle jusqu’à la précision voulue, tout en gardant la solution à l’intérieur. Cela suppose que la fonction change de signe au passage de la solution. La réduction de l’intervalle peut se faire de différentes façons.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– Par dichotomie. La méthode la plus simple de réduction d’intervalle consiste à le diviser par deux, en remplaçant une des deux extrémités de l’intervalle par le point milieu et en testant dans lequel des deux intervalles la solution est rencontrée. – Par balayage. Elle consiste à balayer l’intervalle [a, b] avec un pas de la forme b−a p= où n est un entier supérieur ou égal à 2 (lorsque n = 2, il s’agit exacn tement de la dichotomie) et à déterminer au cours de quel pas la solution a est rencontrée. Elle est alors localisée dans un intervalle d’amplitude p et l’on peut itérer le processus. Son utilisation la plus usuelle est le cas où l’on a au départ localisé la solution entre deux entiers consécutifs et où l’on choisit n = 10. Dans ces deux premières méthodes, l’algorithme de recherche amène à construire deux suites adjacentes, dont on peut faire remarquer qu’elles ne sont pas strictement monotones, convergeant vers a. Méthodes consistant à transformer l’équation f (x) = 0

Il s’agit de la transformer en une équation à point fixe de la forme : g(x) = x et à étudier la suite définie par u n+1 = g(u n ). Il y a plusieurs façons d’y parvenir. Le but est d’obtenir une « bonne » fonction g, c’est-à-dire une fonction telle que |g  (a)| < 1, le nombre g  (a) étant le plus voisin de zéro possible. Outre les méthodes empiriques, nous pouvons noter : f (x) – La méthode d’ajustement linéaire. On prend : g(x) = x − , où k est choisi k f  (a) aussi voisin que possible de f  (a) car alors : g  (a) = 1− est aussi voisin que k  possible de zéro (la valeur idéale serait k = f (a) mais puisque a n’est pas connu

136

7 • Les thèmes d’analyse

de façon exacte, f  (a) ne l’est pas non plus ; on attribue à k une valeur que l’on sait être voisine de ce nombre). Cette méthode est performante lorsque a est localisée dans un intervalle [a, b] où la variation de f’ est faible. Le but recherché est de majorer la suite |u n − a| par une suite géométrique de raison q « performante », tendant rapidement vers zéro. – La méthode de Newton ou méthode des tangentes. Elle amène à choisir : f (x) g(x) = x −  (qui représente l’abscisse du point d’intersection avec Ox f (x) de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse x). Lorsque la suite associée converge1 , la convergence est quadratique. Un exemple d’application est celui de la recherche de valeurs approchées de la racine carrée d’un entier p non carré par la méthode dite de Héron : p est solution de l’équation f (x) = x 2 − p = 0 et la fonction g issue de la méthode de Newton donne à x2 − p . L’avantage dans cette situation est que les son propos : g(x) = x − 2x propriétés de la suite récurrente obtenue peuvent être établies algébriquement avec des difficultés calculatoires raisonnables. Choix des exercices complémentaires

Plus que de varier les équations, il est important de varier les méthodes de recherche et de comparer leurs performances. La méthode de dichotomie (voire celle de balayage qui en est une variante) doit être obligatoirement présente car elle est explicitement au programme, et est la seule exigible. À propos d’au moins un exemple, on en présentera une exécution sur calculatrice, soit à l’aide d’un programme, soit par construction de suites récurrentes adaptées. Un exemple de mise en œuvre d’une autre méthode de résolution approchée par transformation de l’équation peut faire l’objet d’un problème avec une démarche guidée, en veillant bien à rester dans le cadre des programmes (privilégier le sens de la démarche entreprise).

7.4 THÈMES CONCERNANT LES FONCTIONS Le plan d’étude général d’une fonction se présente en plusieurs étapes 1. Préciser, si nécessaire, l’ensemble de définition D de la fonction. (Ce n’est pas un objectif en soi : ou bien une fonction est donnée avec son ensemble de définition, conformément au programme, ou bien elle intervient en tant qu’outil dans la résolution d’un problème dans lequel la variable a un sens précis dont les élèves doivent alors tenir compte pour déterminer un ensemble pertinent sur lequel la fonction sera étudiée). 1. Voir, par exemple, à ce sujet, l’exposé sur la convergence des suites, « La leçon d’analyse au CAPES de mathématiques », B. BALAGUER.

7.4 Thèmes concernant les fonctions

137

2. Vérifier éventuellement les propriétés remarquables : parité, imparité, périodicité (cette étape est facultative, en aucun cas systématique : il s’agit d’anticiper lorsque la réponse à cette question paraît être positive). Réduire le domaine d’étude et préciser les éléments de symétrie de la courbe représentative C f de f. 3. Étudier le sens de variation de la fonction sur le domaine d’étude. Préciser les extremums éventuels. Selon la méthode employée, le calcul de la dérivée et l’étude de son signe entrent dans cette étape. 4. Étudier le comportement aux bornes de l’ensemble d’étude. (Valeurs aux bornes si l’intervalle d’étude est fermé, limites aux bornes s’il est ouvert, comportement asymptotique éventuel). 5. Consigner tous les résultats précédents dans le tableau de variation de la fonction. Vérifier sa cohérence. 6. Construire la courbe représentative. La connaissance de D et des variations sur D aident le choix du cadrage de la fenêtre de représentation (axes et unités pour un travail sur papier, fenêtre d’affichage de l’écran d’une calculatrice). Sur papier, les éléments remarquables, qui peuvent être des points (sommets, points d’arrêt, centre de symétrie...) ou des droites (tangentes, asymptotes, axes de symétrie...), parfois des courbes de référence, sont placés en priorité pour guider le tracé. Suivant la nature du problème posé, certaines étapes seront omises alors que d’autres seront particulièrement développées.

Thème 21. Étude du sens de variation La notion de sens de variation est une notion majeure que l’on va retrouver sousjacente dans plusieurs des thèmes qui vont suivre :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– La variation et la connaissance de la valeur d’une fonction en certains points « stratégiques » servent à en déterminer le signe. – La variation sert à déterminer les extremums d’une fonction. L’étude du sens de variation dans les programmes

Le sens de variation apparaît dans les programmes au niveau de la troisième : « On remarquera la proportionnalité entre les accroissements de x et ceux de y » (à propos d’une fonction affine) et « des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives de fonctions non affines peuvent servir de support à la construction de tableau de valeurs ou à la recherche de particularités d’une fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un intervalle donné, maximum, minimum » (à propos de fonctions plus générales) mais aucune compétence spécifique n’est exigible à ce sujet. C’est au lycée que l’étude proprement dite des variations d’une fonction est abordée avec différents outils. Cette étude entre dans le cadre d’une étude qualitative de la notion de fonction. Son résultat peut être consigné dans un « tableau des variations » sur un intervalle. Le programme de terminale indique, à son propos, qu’une « flèche oblique traduit

138

7 • Les thèmes d’analyse

la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré ». Ces conventions de construction peuvent être explicitées aux élèves en première en convenant à ce niveau que la flèche oblique traduit l’absence de « saut » sur la courbe représentative. Dans la rédaction de la solution d’un problème, une référence au tableau de variations suffit alors pour prouver, par exemple, l’existence et l’unicité d’une solution d’une équation de la forme f (x) = k.

2e

Fonction croissante, fonction décroissante, maximum, minimum sur un intervalle. Décrire avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations une fonction définie par une courbe. Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations.

1re S ou ES

Sens de variation, lien entre fonction dérivée et sens de variation sur un intervalle.

TS ou ES

Théorème des valeurs intermédiaires en TS (aspect graphique et plus intuitif en TES).

1re STI

Les élèves doivent connaître et savoir utiliser les règles donnant le sens de variation de la composée de deux fonctions monotones. Fonction dérivée. Applications de la dérivation à l’étude des variations.

1re STG

Variation d’une fonction (le sens de variations est conjecturé sur la courbe, mode de définition privilégié, et démontré dans des cas simples) ; utiliser le tableau de variation pour résoudre une équation de type f(x) = k ou une inéquation f(x) < k.

TSTG

Fonction dérivée, application à l’étude des variations ; déterminer les variations d’une fonction à partir du signe de sa dérivée ; déterminer un extremum. L’objectif est notamment la résolution de problèmes d’optimisation à une variable.

Méthodes d’étude du sens de variation

Les méthodes permettant d’étudier les variations d’une fonction sur un intervalle évoluent de la seconde à la première et terminale : – Lecture graphique. Cette méthode s’impose dans le cas où la fonction est définie par sa courbe représentative et où l’information donnée par celle-ci est, par convention, supposée exhaustive. – Lecture de résultats affichés par un tableur. Cette méthode expérimentale se rencontrera plutôt dans une phase initiale de conjectures (avant une « étude » proprement dite), lorsqu’un certain protocole a permis de construire deux séries de données concernant une grandeur variable et une autre qui en dépend fonctionnellement. Une hypothèse implicite est, dans un tel cas, que les séries sont suffisamment représentatives d’une tendance générale (graphiquement, le nuage de points est tenu pour suffisamment dense). – Lier le signe de l’accroissement de la fonction à celui de l’accroissement de la variable (seconde). À cet effet, considérer deux réels a et b rangés dans un ordre déterminé (par exemple, tels que b − a > 0), exprimer la différence f (b) − f (a)

7.4 Thèmes concernant les fonctions

139

puis chercher dans cette expression à factoriser (b − a). Si on peut déterminer un intervalle I dans lequel le facteur autre que (b − a) a un signe constant, alors f est monotone sur I. Le point faible de la méthode, outre les éventuelles difficultés calculatoires de factorisation, est qu’il est souvent nécessaire de conjecturer à l’avance quel est un intervalle I dans lequel la méthode s’applique. – Utiliser des théorèmes concernant les opérations sur les fonctions monotones (seconde à terminale) : somme de deux fonctions ayant le même sens de variation sur un intervalle, multiplication d’une fonction par un réel strictement positif, composition de deux fonctions monotones. Cette méthode permet, lorsque sa mise en œuvre est possible, d’obtenir un sens de variation sans calcul de dérivée, moyennant quelques théorèmes de rangement simples (rangement de deux carrés, de deux inverses, etc.) – Utiliser le signe de la dérivée (première et terminale), méthode centrale dans les programmes. L’énoncé du théorème liant le sens de variation d’une fonction au signe de sa dérivée est admis : « Soit f dérivable sur un intervalle I. Si la dérivée f’ est nulle sur I alors f est constante sur I. Si la dérivée f’ est strictement positive (resp. négative) sur I, sauf éventuellement en des points isolés, alors f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I (il conviendra d’insister sur les trois hypothèses : le théorème s’applique sur un intervalle, la fonction f est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée y garde un signe constant).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Choix des exercices complémentaires

Un inventaire de certaines des cinq méthodes constitue une première ligne directrice en adaptant la méthode selon la technicité que requièrent les fonctions choisies (on peut considérer plusieurs méthodes à propos d’une même fonction). Varier le type de fonctions étudiées (polynôme, rationnelle, etc.) et leurs comportements est une deuxième ligne directrice. Prévoir des applications possibles de la connaissance du sens de variation. On pourra aussi proposer un exemple de fonction où le théorème liant dérivation et sens de variation ne s’applique pas (en faisant mettre en évidence l’hypothèse manquante).

Thème 22. Étude du comportement asymptotique Généralités

On considère une fonction f, son ensemble de définition D et sa courbe représentative  − → → − C f dans un repère orthonormé donné O, i , j . Pour tout x de D, soit M le point de C f d’abscisse x. On posera le problème −−→de  l’étude d’un « comportement asymp  totique » si, en un point a de R : lim  O M  = +∞. On cherche à déterminer si f a a certains types de comportements remarquables et quelles en sont les conséquences graphiques. Ceci englobe deux cas : le cas où f a une limite infinie en un point fini, graphiquement lié au cas d’asymptote parallèle à Oy, et le cas où f est définie sur un intervalle illimité et où l’on étudie son comportement en +∞ ou en −∞.

140

7 • Les thèmes d’analyse

Une notion, celle « d’asymptote », est à préciser à propos de « comportement remarquable ». Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle non borné ; on dit que f et g sont des fonctions asymptotes au voisinage de plus l’infini (ou de moins l’infini) lorsque : lim ( f (x) − g(x)) = 0. Une condition équivalente est qu’il existe une x→±∞

fonction e de limite nulle à l’infini telle que : f (x) = g(x) + e(x). Nous parlerons de « comportement remarquable » à propos de f si nous pouvons déterminer une fonction g asymptote avec f qui soit d’un type simple (une fonction de référence, par exemple). Numériquement, il sera possible d’estimer assez précisément f (x) à l’aide de g(x) (supposé mieux connu) et d’un encadrement de e(x). Graphiquement, la plus simple des deux courbes peut aider à tracer l’autre. Le signe de la fonction e en donne, de plus, la position relative. Le comportement le plus remarquable est le cas où g est une fonction affine, du type g(x) = ax + b. Il englobe deux situations : – f admet une limite finie b en +∞ (ou −∞), lié graphiquement au cas d’asymptote parallèle à Ox d’équation y = b. L’existence d’une telle limite finie caractérise cette situation. – Il existe deux réels a et b et une fonction e de limite nulle à l’infini telle que f (x) = ax + b + e(x). Le fait que f admet une limite infinie en +∞ (ou −∞) ne caractérise pas cette situation. Ce comportement est lié graphiquement au fait que, si D est la droite d’équation y = ax + b (donc « horizontale » ou « oblique »), alors, en notant M x le point d’abscisse x de la courbe C f , lim dist (Mx , D) = 0 (propriété qui définit x→∞ géométriquement la notion de droite asymptote à une courbe) si et seulement si f (x) = ax + b + e(x) avec e de limite nulle à l’infini (caractérisation). En effet, si H est le point de même abscisse x que M x situé sur D, alors −−−→ −−−→ 1      H Mx  : les deux  H Mx  = | f (x) − (ax + b)| et dist (Mx , D) = √ a2 + 1 −−−→   fonctions x → dist (Mx , D) et x →  H Mx  étant proportionnelles, l’une tend vers zéro à l’infini si et seulement si l’autre en fait de même. Plus généralement, la condition lim ( f (x) − g(x)) = 0 implique que x→±∞   lim dist Mx , C g = 0 (la courbe représentative de g peut être déclarée asymptote x→∞ à celle de f ), mais cependant la réciproque est fausse. Place dans les programmes

L’étude des fonctions de référence en seconde amène une première interrogation sur la nature des branches infinies de leurs représentations, en se fiant à l’intuition. C’est en première que se situe l’étude du comportement asymptotique, prolongé en terminale à l’occasion de l’étude de nouvelles fonctions.

7.4 Thèmes concernant les fonctions

141

1re

Asymptotes horizontales, verticales ou obliques. « On étudiera sur des exemples très simples les limites aux bornes de l’intervalle de définition et les asymptotes éventuelles ». Cas des fonctions mises sous la forme f(x) = ax + b + e(x), la fonction e tendant vers 0 en + ∞ ou en − ∞

T

Notion de limite à l’infini ; comportement asymptotique de ln x et de ex . ln x ex Croissances comparées. Limite en + ∞ de ; x x En série S, théorème des gendarmes pour les fonctions. « On démontrera ce théorème lorsque la variable tend vers l’infini. On étendra ce théorème au cas des limites infinies »

TSTI

Certaines situations peuvent impliquer l’étude de branches infinies 1 (fonctions homographiques ou comme x → x + ) x

Choix des exercices complémentaires

Les sujets suivants pourront être abordés, échelonnés sur les classes de lycée : – Comportements asymptotiques classiques (qui constituent la partie principale du sujet) :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– Étude d’une asymptote parallèle à Oy, parallèle à Ox. – Étude d’une asymptote oblique. Un exemple classique d’asymptote oblique (des indications doivent être fournies sur la fonction affine g(x) = ax + b à laquelle f est asymptote). – Divers comportements asymptotiques. Exemples et contre exemples. Donner quelques exemples montrant la variété de ce qu’il peut se passer et permettant de répondre à au moins l’une des questions suivantes qui donnent lieu à de fréquents « théorèmes élèves » : est-il vrai ou faux que, si f et g sont asymptotes, elles finissent par avoir le même sens de variation ? Que f − g finit par avoir le même signe ? Que, si C f admet une asymptote oblique, elle ne la traverse pas ? Etc. – Un exemple d’utilisation du « théorème des gendarmes » pour les fonctions, pour préciser un comportement à l’infini. – Une étude d’une croissance comparée des fonctions puissance, logarithme, et / ou exponentielle, assortie d’un exemple d’application. Penser à contextualiser au moins une étude. Concrètement, dans une modélisation, le comportement asymptotique donne une prévision « à long terme » (prévoir l’état à la fin d’une expérience : comportement stabilisé ou non du phénomène étudié, existence ou non d’une limite finie). L’hypothèse que l’on fait sur le type de modélisation est alors déterminante. Dans le même ordre d’idées, une modélisation de type affine et une modélisation de type exponentiel donneront des résultats similaires dans un intervalle de temps limité mais des interprétations très différentes à long terme.

142

7 • Les thèmes d’analyse

Thème 23. Étude de la représentation graphique

 − → − → La courbe représentative ou représentation graphique, dans un repère O, i , j du plan, d’une fonction f définie sur un ensemble D, est l’ensemble des points de coordonnées (x, f (x)) où x est un élément de D. Les représentations graphiques dans les programmes

L’introduction aux programmes de première STI situe assez bien d’une manière générale ce thème à l’intérieur du programme d’analyse : « Les représentations graphiques tiennent une place importante. En effet, outre leur intérêt propre, elles permettent de donner un contenu intuitif et concret aux objets mathématiques étudiés dans les différentes parties du programme. Leur mise en œuvre développe aussi des qualités de soin et de précision et met l’accent sur des réalisations combinant une compétence manuelle et une réflexion théorique. » Il apparaît un aller-retour permanent entre la notion de fonction et celle de sa représentation graphique, les activités de lecture et de représentation se notant à tous les niveaux de classe. Il conviendra cependant de bien préciser le cadre dans lequel on se place (numérique pour l’étude de fonction, graphique pour la construction d’une courbe) et d’utiliser le vocabulaire spécifique adapté à chaque cadre. 3e

Représentation graphique de fonctions linéaires, de fonctions affines. Interpréter un graphique en termes fonctionnels (lecture graphique de l’image d’un réel donné).

2e

Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations ; décrire le comportement d’une fonction définie par une courbe. « On distinguera les courbes pour lesquelles, par convention, l’information sur les variations est exhaustive de celles obtenues sur un écran graphique ». Représentation graphique de fonctions de référence.

1res

Tangente à la courbe représentative d’une fonction f dérivable.

1re S et ES

Représentations graphiques de fonctions associées. (Série ES : « On privilégiera les représentations graphiques obtenues à l’aide d’un grapheur »). Éléments de symétrie observés sur les représentations graphiques. Résolution graphique d’équations ou d’inéquations.

1re L

Représentations graphiques. Interprétation de l’information lisible sur un graphique : valeur exacte ou valeur approchée, effet sur l’allure de la courbe d’un changement de fenêtre graphique.

1re STI

Exemples de lecture de propriétés d’une fonction à partir de sa représentation graphique. « L’exploitation d’une donnée graphique a un double intérêt : contrôler des résultats, suggérer des propriétés qu’on peut alors justifier si l’on dispose d’une étude de la fonction ».

1re STG

Sur une courbe donnée, déterminer graphiquement l’image d’un nombre, les antécédents éventuels d’un nombre. Exploiter les représentations graphiques pour dégager les notions de tangente et de contact. Les réels xA , f(xA ), f  (xA ) sont donnés, lus sur le graphique ou calculés.

T

Asymptotes. Courbe représentative des fonctions logarithme et exponentielle.

7.4 Thèmes concernant les fonctions

143

Différentes méthodes de construction de courbes, différents statuts

Pour construire la courbe représentative d’une fonction, il faudrait théoriquement calculer les images de tous les nombres de l’ensemble de définition de la fonction, ce qui n’est pas possible. Techniquement, on construit, non pas la courbe représentative elle-même, mais une approximation de cette courbe. Le statut du tracé obtenu est étroitement lié à la méthode d’obtention. ➤ Méthode 1. Construction d’une courbe « point par point »

Cette méthode peut être décrite en trois phases : – Calcul des images d’un nombre fini de valeurs {x1 , x2 ..., xn } réparties dans l’ensemble D, plus ou moins nombreuses, suivant le balayage que l’on fait de cet ensemble. Les résultats peuvent être consignés dans un tableau de valeurs. – Choix d’un repère (position des axes, choix des unités, cadrage de fenêtre) adapté à la représentation à effectuer. Mise en place des points de contrôle sur le graphique, dont la phase numérique a permis de déterminer les coordonnées. – Tracé par interpolation d’une courbe passant par les différents points de contrôle. Si le tracé est effectué à la main, les points de contrôle sont relativement espacés, et l’interpolation consistera à construire une courbe suffisamment lisse pour rendre compte visuellement « de façon vraisemblable » des dispositions relatives des points de contrôle. C’est en cela que réside le point faible de la méthode : on fait l’hypothèse que l’interpolation pratiquée entre deux points de contrôle consécutifs est légitime, c’est-à-dire que l’on convient d’une régularité suffisante de la fonction représentée.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Méthode 2 : Construction d’une courbe sur un écran de calculatrice

Il s’agit aussi d’une construction « point par point » : Le cadrage est préalable à la construction (définition de la fenêtre d’affichage). Les points de contrôle sont en nombre fixe, dépendant du modèle de calculatrice. (238 points pour une Voyage 200 et 154 pour une ClassPad 300). Ils sont régulièrement répartis dans l’intervalle [xmin, xmax]. Cependant, quelques différences par rapport à une construction « à la main » ressortent : L’interpolation en style « ligne » consiste à activer les pixels intermédiaires entre le pixel Pi , auquel appartient le point (xi f (xi )), et celui Pi+1 , auquel appartient (xi+1 f (xi+1 )), ce qui donne un aspect dentelé à la représentation graphique obtenue. Sont activés ceux de la colonne xi , dont l’ordonnée du centre est plus près de f (xi ) que de f (xi+1 ) et ceux de la colonne xi+1 , dont l’ordonnée du centre est plus près de f (xi+1 ) que de f (xi ). Il peut y avoir plusieurs pixels activés sur une même colonne, ce qui donne localement un aspect contradictoire avec le principe d’unicité de l’image d’un nombre. La « courbe » obtenue est une suite de rectangles du plan et non une « ligne ». Les points calculés étant proches les uns des autres, pour peu que la fonction représentée soit suffisamment régulière, le tracé obtenu donne une allure satisfaisante. Mais cette

144

7 • Les thèmes d’analyse

méthode a le même point faible que la précédente, auquel s’ajoute l’imprécision due à l’activation de rectangles. Une famille de droites parallèles a été représentée en différents styles : « point » : sur chaque colonne de pixels, un seul au plus est activé. « carré » : sont activés en plus les pixels immédiatement contigus. « ligne » : le tracé est une suite de pixels contigus, on distingue l’aspect dentelé. ➤ Méthode 3 : Construction compatible avec une étude qualitative de la fonction et un tableau de variations

Elle suppose une étude qualitative préalable de la fonction (sens de variation, extremums, etc.), utilise un petit nombre de points de contrôle (en général, des points remarquables : sommets, etc.) et, éventuellement, des constructions auxiliaires (tangentes, asymptotes). La courbe représentative a pour rôle de rendre compte des interprétations géométriques de propriétés de f reconnues comme remarquables. ➤ Différents statuts

Il existe une différence fondamentale, qui tient au statut du tracé obtenu, entre les deux premières méthodes et la troisième. Dans les deux premières méthodes, on émet l’hypothèse que les valeurs prises par f aux points xi sont significatives du comportement global de la fonction, c’est-à-dire que l’interpolation que l’on fait entre deux points de contrôle consécutifs est de bonne qualité, et cette hypothèse peut être mise en défaut. L’information donnée dans ces cas par la courbe n’est pas exhaustive et un des objectifs du thème est précisément de mettre en évidence quelques problèmes qui peuvent découler de cette non-exhaustivité. Du fait que l’on n’utilise qu’un nombre fini de valeurs, il y a une perte d’information qui peut s’avérer préjudiciable. En revanche, dans la troisième méthode, la courbe permet de visualiser graphiquement certaines caractéristiques, qui ont été démontrées, de la fonction étudiée. Les interpolations effectuées entre les points de contrôle choisis sont légitimées par l’étude des variations et éventuellement des études annexes. Dans ce cas, l’information donnée par la courbe est exhaustive. On remarquera qu’une courbe vue sur un écran de calculatrice n’a pas le même statut suivant le moment de l’étude d’une fonction où celle-ci est présentée et suivant le rôle qui lui est dévolu. En début d’étude, elle relève de la conjecture, elle donne une allure, qu’il reste ensuite à valider (ou à invalider !). Selon le rôle de la courbe dans

7.4 Thèmes concernant les fonctions

145

le problème en cours, cette validation pourra être implicitement convenue (lorsque la courbe sert d’outil et que l’on est certain qu’il n’y a pas d’anomalie inaperçue) ou démontrée. En revanche, après une étude qualitative, la courbe visualise des propriétés démontrées, le cadrage étant adapté à ce que l’on se propose de donner à voir : elle illustre la preuve. Choix des exercices complémentaires

Quatre catégories d’exercices se rapportent à la courbe représentative, dont on pourra coordonner les objectifs : 1. La courbe est donnée par l’énoncé (l’information est donc par convention exhaustive) et l’on en déduit des informations sur la fonction qu’elle représente. Il s’agit de tirer des informations pertinentes à partir du graphique : – Déterminer la fonction affine représentée par une droite donnée. – Déterminer graphiquement l’image d’un nombre par une fonction, les antécédents d’un nombre par une fonction, la limite à l’infini d’une fonction numérique, la limite en un point fini. – Lire graphiquement le nombre dérivé en un point. – Dresser le tableau de variation d’une fonction dont la courbe représentative est donnée sur un intervalle. – Déterminer graphiquement le signe d’une fonction.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

2. La fonction est donnée par l’énoncé, et l’on cherche à représenter graphiquement cette fonction. Le problème consiste à mettre en évidence un nombre suffisant de propriétés pertinentes marquantes de f permettant de produire une courbe la représentant avec une fidélité jugée suffisante. – Placer un point sur la courbe représentative d’une fonction numérique. – Construire une courbe « point par point ». – Mettre en évidence une propriété géométrique remarquable (élément de symétrie, globale invariance par translation...) – Dresser le tableau de variations de f et tracer une courbe compatible avec ce tableau. – Préciser l’allure d’une courbe au voisinage de l’un de ses points. Déterminer et tracer la tangente à une courbe en un point régulier. – Effectuer une construction auxiliaire. 3. Il s’agit d’associer courbes et fonctions. Plusieurs courbes et plusieurs fonctions sont présentes simultanément, il s’agit de les associer. – Associer des courbes représentatives et des tableaux de variations.

146

7 • Les thèmes d’analyse

– Associer l’expression algébrique d’une fonction à une courbe donnée (par exemple, une fonction trinôme à une parabole). – Construire à l’aide d’une transformation géométrique appropriée la courbe représentative d’une fonction associée à une fonction dont on connaît la courbe représentative. – Corréler une courbe représentant une fonction et celle représentant sa dérivée. 4. Avoir une attitude critique vis-à-vis d’une courbe tracée sur un écran de calculatrice. Il s’agit du point de discussion évoqué à propos des deux premières méthodes de construction : dans quelle mesure peut-on affirmer qu’une construction « point par point » est fiable ? – Interpréter le tracé obtenu sur l’écran d’une calculatrice. – En discuter la pertinence. – Déceler d’éventuelles fausses informations.

Thème 24. Recherche d’extremum ; problèmes d’optimisation Dans les programmes, la notion de maximum et de minimum est corollaire de la notion de sens de variation, à laquelle elle contribue grandement à donner du sens par l’intérêt des problèmes qui s’y rapportent. Ce thème est abordable à partir de la classe de seconde mais les classes de première S ou ES et le cycle terminal des séries technologiques sont les plus concernés, lorsque l’outil de la dérivée permet l’étude des variations de nombreux types de fonctions. Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si c est un point de I, on dit que f admet un maximum en c ou que f (c) est le maximum global de f sur l’intervalle I, si et seulement si pour tout x appartenant à I : f (x)  f (c). L’ensemble f (I ) admet alors un plus grand élément et f (c) est ce nombre. On définit de même la notion de minimum global. Ces notions de minimum et de maximum peuvent être localisées dans le sens suivant : soit f une fonction définie sur un intervalle I et c un réel de I distinct des extrémités. On dit que f admet un maximum local (resp. minimum local) en c si f (c) est le maximum global (resp. minimum global) de f restreinte à un intervalle ouvert inclus dans I contenant c. Un extremum global est local, tandis qu’un extremum local n’est pas nécessairement global. Si la fonction f est monotone sur un intervalle I = [a, b], les valeurs f (a) et f (b) sont les extremums de f sur [a, b]. Le problème de « recherche » d’extremum se pose plus crucialement lorsque la fonction f n’est pas monotone sur l’intervalle I, puisque, dans ce cas, rien ne permet de faire la moindre hypothèse sur le statut des extrémités de I.

7.4 Thèmes concernant les fonctions

147

Méthodes de recherche d’extremum ➤ 1. Méthodes algébriques

Elles consistent à transformer algébriquement l’expression de la fonction de façon à mettre en évidence une fonction de référence dont on connaît les extremums. La mise sous forme canonique du trinôme du deuxième illustre cette  méthode en  degré 2 b D b soulignant le rôle de − − 2 . Cependant, la : ax 2 + bx + c = a x+ 2a 2a 4a méthode algébrique, qui figure explicitement dans le cadre de l’étude du « second degré », est limitée à un petit nombre de familles de fonctions. ➤ 2. Méthodes liées à la dérivation

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Les élèves sont en mesure de démontrer, en première, qu’une fonction dérivable croissante (resp. décroissante) sur un intervalle I a une dérivée positive ou nulle (resp. négative ou nulle) sur I. Un énoncé réciproque, pour assurer l’existence d’un extremum local en c d’une fonction « ordinaire » (continûment dérivable) sur un intervalle ouvert I, est admis au niveau du lycée : s’il existe un réel strictement positif a tel que f   0 sur ]c − a, c] et f   0 sur [c, c + a[ alors f admet en c un maximum local, et s’il existe un réel strictement positif a tel que f   0 sur ]c − a, c] et f   0 sur [c, c + a[ alors f admet en c un minimum local. Cette propriété se traduit dans le cadre graphique par le fait que la tangente au point d’abscisse c de la courbe représentative de f est parallèle à Ox. La courbe représentative de f est de plus localement du même côté de sa tangente en ce point. Dans le cadre d’une étude de fonction ordinaire sur un intervalle I, au niveau du lycée, la recherche d’un extremum peut donc être circonscrite : – Aux extrémités de l’intervalle I. – À l’intérieur de I parmi les valeurs f (c) telles que, au point c, on ait f  (c) = 0. Il s’agit d’étudier si la fonction f’ subit ou non un changement de signe au point c. – Graphiquement, pour déterminer un extremum de f sur un intervalle I, on peut s’intéresser, d’une part, aux extrémités éventuelles de la courbe représentant f et, d’autre part, aux points de cette courbe où la tangente est parallèle à l’axe Ox. Application à l’optimisation

Un problème d’optimisation est une contextualisation d’un problème de recherche d’extremum. Sa résolution consiste, dans un premier temps, à associer à la situation étudiée une variable permettant de décrire ses différentes configurations et une fonction de cette variable, la « fonction objectif », mesurant quantitativement la performance de la configuration. Dans un deuxième temps, une étude par le procédé de son choix effectue la recherche de maximum ou de minimum de la fonction objectif. Il reste, dans un troisième temps, à revenir à la situation concrète en interprétant les résultats de l’analyse.

148

7 • Les thèmes d’analyse

Choix des exercices complémentaires

L’essentiel du thème consiste à contextualiser la notion de recherche d’extremum. À cette occasion, varier non seulement les domaines de contextualisation (géométrique, pour l’optimisation d’une longueur, d’un trajet, d’une aire ou d’un volume lorsqu’une méthode géométrique pose problème et économique, pour l’optimisation d’un coût ou d’un bénéfice, etc.), mais aussi les types de fonctions proposées à l’étude, pour élargir l’éventail des méthodes de recherche. Un contre exemple (fonction définie sur une réunion d’intervalles, fonction présentant un « pic »...) peut être proposé pour insister sur le rôle des hypothèses à vérifier dans l’application du théorème liant dérivation et extremum. Un complément : l’optimisation dans les exemples économiques. Les fonctions de coût. Application économique de la dérivée

Dans la série ES particulièrement, ce thème s’applique au cas de situations pseudoconcrètes issues du domaine économique, qui font entrer en jeu des études de coûts de production d’un certain produit pour une quantité x exprimée en unités convenables. De nombreux exercices exploitent ce filon. La fonction coût total définit le coût nécessaire pour produire cette quantité x. Définie sur un intervalle inclus dans R+ , c’est une fonction positive et croissante de la forme C(x) = C0 + K x + w(x) où chaque ingrédient a un statut particulier : C0 représente les coûts fixes, indépendants de la quantité produite ; Kx représente les coûts proportionnels, directement liés de façon linéaire à la quantité produite (matières premières...) ; w(x) est une fonction non affine et représente les coûts liés à la quantité produite mais de manière non linéaire. Le choix de cette dernière fonction est une variable didactique de la situation, c’est elle qui va influer sur les types de variations. Dans les exemples les plus simples, on choisit un monôme du second degré. La fonction coût moyen unitaire est la fonction définie sur R∗+ , par : C(x) Cmoyen (x) = , x elle permet de déterminer à combien revient, en moyenne, la production de chaque unité (pour une production non nulle). La fonction coût marginal définit, une fois qu’une certaine quantité x a déjà été produite, quel serait le coût de l’unité suivante si on venait à la produire. La définition rigoureuse de la fonction marginale d’une fonction C au niveau x est l’expression : C(x + 1) − C(x). Une approximation acceptable dans la plupart des applications économiques en est la fonction dérivée C  (x) (un ou deux exemples permettent de faire voir l’intérêt simplificateur de cette assimilation). Un argument post-bac la justifiant est que, C étant supposée dérivable sur un intervalle I et les réels x et x + 1 étant dans cet intervalle, d’après le théorème des accroissements finis appliqué sur [x, x + 1], il existe un réel ux appartenant à [x, x + 1] tel que :

7.4 Thèmes concernant les fonctions

149

C(x + 1) − C(x) = C  (u x ). On conçoit que, pourvu que la fonction dérivée n’ait pas de fortes variations, C  (u x ) ≈ C  (x). La notion de coût marginal entre dans la recherche de l’optimisation d’un coût moyen car on peut faire démontrer que si le coût moyen unitaire admet un minimum, alors il est minimum quand il est égal au coût marginal. Graphiquement, il y a minimum de coût à l’intersection de la courbe de coût moyen et de celle de coût marginal. Cette propriété peut s’établir par un raisonnement mathématique (en dérivant la fonction coût moyen) mais, aussi, par un raisonnement économique : si l’unité à produire coûte moins cher que la moyenne des précédentes, elle fera diminuer le coût moyen, alors que si elle coûte plus cher, elle le fera augmenter. Cette même notion entre dans la recherche d’une maximisation de bénéfice : une unité supplémentaire a intérêt à être produite tant que cette unité a un coût inférieur au prix de vente prévu. Un exercice à tendance économique peut développer cette idée générale, en liaison avec une optimisation (minimiser un coût, maximiser un bénéfice).

Thème 25. Étude du comportement local Le comportement local dans les programmes

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

C’est par la notion de dérivabilité en un point que commence en première l’étude du comportement local (la continuité est perçue alors comme intuitive, puis mise en place en terminale mais sans en faire un objectif du programme ; la fonction partie entière fait office de contre-exemple). Deux approches sont préconisées en sections S et ES pour aborder la notion de nombre dérivé en un point : – Une approche cinématique, celle du passage de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée pour des mouvements rectilignes suivant des lois horaires élémentaires. – Une approche graphique par des zooms successifs sur une représentation graphique obtenue sur l’écran d’une calculatrice, où l’on observe la rectification du tracé en un point régulier. Le nombre dérivé d’une fonction en un point a est ensuite défini en tant que limite du taux de variation lorsque cette limite existe et est finie. Les élèves disposent par ailleurs de la caractérisation : « dire que f est dérivable en a et que son nombre dérivé en a est f  (a) signifie que pour tout h suffisamment proche de zéro, on peut écrire : f (a + h) = f (a) + h. f  (a) + h.e(h) où e est une fonction ayant une limite nulle en zéro. » La notion de meilleure approximation affine locale découle de cette caractérisation (c’est, d’ailleurs, l’approche préconisée en section STI). Outre la notion de tangente en un point à une courbe, que l’on retrouve dans toutes les sections (équation complète ou seulement la détermination par la donnée

150

7 • Les thèmes d’analyse

de son coefficient directeur comme en STI), nous relevons les utilisations locales suivantes du nombre dérivé : 1re S

Approximation affine associée à une fonction et à un point. Caractère optimal de cette approximation.

1re ES

Application à l’approximation de pourcentages. « On montrera que pour un taux faible, n augmentations successives de x % équivalent pratiquement à une hausse de nx %. On illustrera ceci à l’aide de la représentation graphique de la fonction (1 + x)n et sa tangente au point d’abscisse zéro pour n = 2 ou 3 ». Lien entre coût marginal au niveau a et nombre dérivé en a.

1re STI

« On mettra en évidence l’influence de la taille de l’intervalle sur la qualité de l’approximation ».

Choix des exercices complémentaires

Ce choix s’organise autour du sens que l’on peut donner à la notion de nombre dérivé en un point et des interprétations qui peuvent en être faites. Par exemple : 1. Travaux d’approche : exemples d’interprétation du nombre dérivé en un point, interprétation cinématique, interprétation géométrique. 2. Notion de meilleure approximation affine (c’est le point central de ce thème que l’on peut étudier à propos d’une ou deux fonctions simples). − Construction de l’approximation affine h → f (a) + h × f  (a) de f (a + h). − Caractère optimal. En quoi cette approximation est-elle « meilleure » que toute autre fonction affine h → l × h + f (a) pour approcher f (a + h) ? − Qualité de l’approximation. Une majoration de |h × e(h)| sur un intervalle donné permettra de mesurer la qualité de l’approximation sur l’intervalle choisi. − Applications à des calculs de valeurs approchées, à l’étude de pourcentages dont le taux est qualifié de « faible », en précisant ce qualificatif, à des phénomènes de dilatation sur des aires ou des volumes. 3. Interprétation graphique : allure d’une courbe au voisinage d’un point. Cas d’un point régulier. Tangente en un point à une courbe. − En contrepoint, un exemple où l’étude locale est singulière mais techniquement simple peut compléter la sélection (exemple de point présentant une étude locale particulière, « pic » sur une courbe, point où il y a une tangente parallèle à Oy, ou deux demi-tangentes, etc.)

Thème 26. Étude de la position relative de deux courbes Le problème posé par la position relative de deux courbes revient au problème de la comparaison des deux fonctions f et g qu’elles représentent : étudier les positions relatives de deux courbes Cf et Cg représentatives de deux fonctions f et g définies sur un même ensemble revient à chercher les intervalles sur lesquels : f (x)  g(x), c’est-à-dire Cf est au-dessus de Cg ou f (x)  g(x), c’est-à-dire Cf est au-dessous

7.4 Thèmes concernant les fonctions

151

de Cg . Pour chercher ces intervalles, on peut étudier sur cet ensemble le signe de la différence h(x) = f (x) − g(x). Ainsi le problème de base est-il de savoir déterminer le signe d’une fonction, c’està-dire, si on l’interprète graphiquement, la position de sa courbe représentative par rapport à l’axe Ox. Il conviendra, et c’est là un point central du thème qui intervient dans de nombreux problèmes, d’amener les élèves à savoir appliquer sur des exemples quelques règles liant signe d’une fonction et sens de variation : – Une fonction ayant un minimum global positif (respectivement un maximum global négatif) sur un intervalle I est positive (respectivement négative) sur cet intervalle, et ceci se traduit graphiquement par le fait que sa courbe représentative est au-dessus (respectivement au-dessous) de l’axe Ox. – Si on connaît sur un intervalle I la variation d’une fonction h et les valeurs pour lesquelles h(x) = 0, alors on peut en déduire le signe de h sur l’intervalle I. Les positions relatives de C f et de Cg découlent de l’application de ces règles algébriques à la fonction h = f − g et d’une interprétation graphique adaptée. Une telle étude peut être effectuée à partir de la classe de première, mais n’est pas explicitement citée dans ce programme. Deux cas particuliers de positions relatives de deux courbes se détachent, lorsqu’il s’agit de construire une courbe C et que l’on a décelé une droite ayant un rôle remarquable par rapport à cette courbe :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– La position relative d’une courbe et de sa tangente en un point ou plus généralement de ses tangentes (ce qui amène implicitement à étudier la convexité de l’épigraphe pour une fonction de classe C1 ). Il est possible de faire distinguer, sur un exemple, le cas usuel de tangence et le cas de tangence en un point où il y a changement de sens de convexité (inflexion). – La position relative d’une courbe et d’une asymptote, le cas échéant. Dans un autre sens de lecture, la position relative de deux courbes C f et Cg livre, lorsque l’information qu’elle véhicule est exhaustive, des informations sur le signe de f − g (plusieurs applications que l’on pourra mettre en perspective — sans nécessairement les traiter — comme la résolution graphique d’une inéquation ou un préalable au calcul d’aires de domaines limités par deux courbes). Le programme de TES indique à ce propos : « on positionnera à l’aide d’un grapheur les courbes représentatives de l’exponentielle népérienne, du logarithme népérien et de fonctions puissances ». Il invite ainsi à étudier la croissance comparée des fonctions en question en s’appuyant sur leurs représentations graphiques. Cependant, cet appui ne peut mener qu’à une conjecture dont la vérité sera ensuite soit garantie et institutionnalisée par le professeur, soit démontrée dans un exercice.

152

7 • Les thèmes d’analyse

Choix des exercices complémentaires

Un choix d’exercices pourra mettre en évidence le lien dans l’un et l’autre sens entre interprétation graphique des positions relatives de Cf et Cg et interprétation numérique du signe de f − g : – Position relative de deux courbes, en particulier, lorsque celle-ci est difficile à discerner. – Étude de la position de la courbe par rapport à une tangente remarquable, étude de convexité. – Position d’une courbe par rapport à une courbe qui lui est asymptote. – Application de la position relative de deux courbes au cadre numérique.

Thème 27. Étude d’encadrement d’une fonction par des fonctions plus simples L’encadrement par des fonctions plus simples n’est pas une fin en soi, mais est motivé par la recherche d’informations à propos d’une fonction qui pose un problème de calcul numérique : image d’un nombre que l’on ne sait pas calculer exactement, recherche d’une limite, calcul d’une intégrale, etc. L’encadrement peut être déterminé par deux fonctions uniquement ou bien par deux suites de fonctions donnant un encadrement de plus en plus fin. Place dans les programmes

Le programme de première S indique, en application de la dérivation : « De l’étude du sens de variation, on déduira des encadrements d’une fonction sur un intervalle ». Celui de terminale S évoque le « théorème des gendarmes » en relation avec l’étude de limites de fonctions, tandis que le programme de terminale STI prévoit comme thème de travaux pratiques : « Exemples d’emploi de majorations et d’encadrements d’une fonction par des fonctions plus simples (recherche de valeurs approchées en un point...) ». Ce problème d’encadrement exige une réflexion sur le type de fonction que l’on peut se proposer d’encadrer, sur le choix de la famille des « fonctions plus simples » en fonction de l’utilisation que l’on veut en faire et sur l’intervalle sur lequel l’encadrement est valide. Fonction à encadrer

Famille de « fonctions plus simples »

Utilisation

Tout type

Les fonctions constantes (notamment minimum m et maximum M si on peut les déterminer)

Inégalité de la moyenne   sur un intervalle a, b

Tout type (sauf les fonctions trinômes...)

Une fonction affine et une fonction trinôme (notamment sa meilleure approximation affine en un point a et cette dernière augmentée d’un terme de degré 2)

Calcul d’une valeur approchée de f(a + h) avec une erreur de l’ordre de h2

7.4 Thèmes concernant les fonctions

153

Fonction à encadrer

Famille de « fonctions plus simples »

Utilisation

Fonction homographique, irrationnelle, transcendante

Fonctions polynômes

Calcul d’une valeur approchée de f(a + h) avec une précision de l’ordre de hn (n fixé)

Fonction présentant un problème de limite

Deux fonctions ayant une limite commune connue au point (fini ou non) posant problème

Calcul d’une limite en un point fini ou infini par le théorème des gendarmes

Fonction présentant un problème de calcul d’intégrale

Deux fonctions dont on connaît une primitive sur un intervalle donné

Encadrement d’une intégrale par deux intégrales que l’on sait calculer

Méthodes d’encadrement et utilisations ➤ 1. Méthodes algébriques

Elles s’appuient sur les propriétés des inégalités et peuvent affecter tous les composants de la fonction à étudier (recherche d’un majorant ou d’un minorant) ou seulement l’un d’entre eux (par exemple, fonction se présentant sous forme d’un produit de facteurs et dans lequel on encadre un seul des facteurs dont on connaît le signe, comme l’encadrement x n  x n × ex  e × x n sur l’intervalle [0, 1]). ➤ 2. Méthodes basées sur la dérivation

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Elles ont été évoquées au passage dans le thème précédent. La situation la plus caractéristique est la suivante : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et le nombre a est un élément de I. On dispose de deux fonctions g et h « plus simples » que f qui prennent en a la même valeur que f : h(a) = f (a) = g(a) et telles que f − g est croissante sur I, tandis que f − h est décroissante sur I. Alors pour x appartenant à I : si x  a ; h(x)  f (x)  g(x) et si x  a ; h(x)  f (x)  g(x). La confection d’un tableau de variation explicite peut servir de preuve pour établir ces inégalités et, en même temps, permet de bien visualiser ce qu’il se passe de part et d’autre du point a. On peut noter que les inégalités obtenues ne se transmettent itérativement aux primitives de ces trois fonctions qui prennent une même valeur déterminée au point a que d’un côté seulement du point a. Choix des exercices complémentaires

S’interroger sur la nature des fonctions qui « valent la peine » d’être encadrées (fonctions trigonométriques, fonction logarithme népérien, fonction exponentielle notamment, donnent lieu à des exercices classiques) et considérer plusieurs méthodes d’encadrement.

154

7 • Les thèmes d’analyse

On pourra aller d’un encadrement « rudimentaire » en cherchant un minorant et un majorant, vers des encadrements plus fins. Dans chaque cas, prévoir au moins une application (s’interroger sur la finalité de l’encadrement) : on veut calculer une valeur approchée en estimant la qualité d’approximation, on veut calculer une limite, une intégrale, etc. Même si dans le cadre du dossier on ne mène pas à terme l’application évoquée, celle-ci peut être mise en perspective.

Thème 28. Fonctions de référence et fonctions associées Fonctions associées

Soit U un sous-groupe du groupe (pour la loi de composition) des fonctions définies sur R qui sont des bijections de R sur R. Deux fonctions f et g définies sur D f et U » si et seulement s’il existe deux sur Dg respectivement sont « associées selon    u Dg = D f applications u et v appartenant à U telles que : . g =v◦ f ◦u Nous pouvons les déclarer « associées », carsi g est associée selon U par une telle   u −1 D f = Dg formule, f est alors associée selon U à g par : f = v −1 ◦ g ◦ u −1 La relation d’association selon U est clairement une relation d’équivalence sur l’ensemble des fonctions numériques. Le sous-groupe U qui nous intéresse essentiellement dans ce thème est celui des fonctions affines car la plupart des associations étudiées, au niveau du lycée, sont obtenues à l’aide d’éléments de ce sous-groupe. Deux raisons justifient ce choix pour les fonctions ordinairement étudiées au lycée : Soit une fonction f définie sur D f et une fonction g définie sur Dg associée à f à l’aide de deux fonctions affines u et v. Alors : – L’étude des variations de g se déduit de l’étude des variations de f. En effet, les fonctions u et v étant affines (respectivement u(x) = ax + b et v(x) = a  x + b disons), l’image par u d’un intervalle I inclus dans Dg est un intervalle inclus dans D f et les sens de variation de u et de v dépendent des signes de a et de a’. La variation de g s’obtient par le théorème de composition de fonctions monotones dès que l’on connaît le sens de variation de f sur u (I ). – Dans ce cas particulier où U est l’ensemble des applications affines définies sur R, il existe une transformation affine « simple » permettant d’obtenir la courbe représentative de g à partir de celle de f. On peut ainsi visualiser par une étude graphique le résultat d’une association. À cet effet, soit ua l’application linéaire définie sur R par : u a (x) = ax, où a est affine définie sur R par : vb (x) = x + b. Le plan un réel non nul, et vb l’application  − → − → est rapporté à un repère O, i , j , dans lequel la courbe Cf représentative de f a été construite.

7.4 Thèmes concernant les fonctions

155

g est définie par :

Association

g(x) = f(x) + b   g(x) = f x + b

g = vb ◦ f g = f ◦ vb

Alors Cg se déduit de Cf par → − Translation de vecteur b. j → − Translation de vecteur −b. i

g(x) = −f(x)

g = u−1 ◦ f

Symétrie axiale d’axe Ox de direction Oy

g(x) = f (−x)

g = f ◦ u−1

Symétrie axiale d’axe Oy de direction Ox

g(x) = −f (−x)

g = u−1 ◦ f ◦ u−1

Symétrie centrale de centre O

g(x) = a.f(x)

g = ua ◦ f

Affinité d’axe Ox de direction Oy et de rapport a

g(x) = f (a.x)

g = f ◦ ua

Affinité d’axe Oy de direction Ox et de rapport

1 a

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

On remarque que, si certaines associations réinvestissent des transformations connues des élèves (translations ou symétries), il en est d’autres qui font intervenir des affinités, qui ne sont pas au programme. Dans ce dernier cas, on s’en tiendra à une définition implicite : « on représente la fonction kf en multipliant par k les ordonnées de chacun des points de la courbe représentative de f et on représente la 1 fonction f (kx) en multipliant par les abscisses de chacun des points de la courbe k représentative de f ». On peut aussi remarquer que la construction de la courbe représentant la fonction kf équivaut à celle de la courbe représentant f, moyennant un changement d’échelle sur l’axe des ordonnées : la courbe qui représente f dans  − → − → le repère O, i , k j est la même que celle qui représente kf dans le repère  − → − → O, i , j . Il existe une exception à cette conception des fonctions associées. En effet, les programmes citent comme exemple de fonction associée à une fonction f la fonction | f |. La fonction valeur absolue n’étant pas bijective, cette association n’entre pas dans le cadre théorique que nous venons de développer. À ce propos, nous pouvons dire que la fonction | f | « est associée à f » mais, cette fois, la relation n’est pas symétrique. D’ailleurs, la méthode d’étude spécifique à ce genre d’association conduit à distinguer les intervalles où f est positive des intervalles où f est négative. Graphiquement, il n’y a pas d’application affine du plan qui transforme globalement une courbe en l’autre. Enfin, l’étude de la représentation graphique d’une somme de deux fonctions, ou d’une différence de deux fonctions, constitue une autre forme d’association d’une fonction à deux fonctions connues f et g de représentations graphiques Cf et Cg . Cette représentation graphique s’effectue point par point. Fonctions de référence

Le label « fonction de référence » attribué à certaines fonctions apparaît dans le programme de la classe de seconde. Au niveau de cette classe, les fonctions de référence

156

7 • Les thèmes d’analyse

sont les fonctions carrée, inverse, sinus et cosinus. Le choix de ce label attribué à ces fonctions se justifie par le fait que chacune représente une classe d’équivalence remarquable de fonctions pour l’association selon les fonctions affines.

2 b D 2 Les fonctions trinômes g(x) = ax + bx + c = a x + − sont associées 2a 4a D b et u(x) = x + à la fonction carrée f (x) = x 2 par g = v ◦ f ◦ u où v(x) = ax − 4a 2a ax + b bc − ad 1 a Les fonctions homographiques g(x) = = × + sont cx + d c cx + d c 1 associées à la fonction inverse f (x) = . x Les fonctions trigonométriques g(x) = A. sin (vx + w) sont associées à la fonction sinus f (x) = sin x par g = v ◦ f ◦ u où v(x) = A.x et u(x) = v.x + w, lesfonctions p sinus et cosinus étant, pour leur part, associées par la relation cos x = sin x + . 2 La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle népérienne ont un statut de fonction de référence en terminale, les fonctions exponentielles ax étant, par exemple, associées à l’exponentielle népérienne par la formule a x = ex. ln a . Les objectifs des programmes

À propos des fonctions de référence, l’objectif des programmes est que les élèves sachent établir le sens de variation de ces fonctions et les représenter graphiquement. En première S, l’étude des variations et la représentation graphique d’une fonction associée constituent deux objectifs (les deux aspects fonctionnel et graphique de l’association sont visés), alors qu’en classe de première ES, l’aspect graphique de l’association est plus marqué. En ce qui concerne de façon générale l’association de fonctions, les capacités attendues de la part d’un élève, suivant le niveau de classe, sont les suivantes : 2e

Identifier l’enchaînement des fonctions conduisant de x à f(x) quand f est donnée par une formule.

1re S

Sens de variation et représentation graphique d’une fonction de la forme u + l ou l.u, la fonction u étant connue. « On travaillera à l’aide de grapheurs sur des familles de courbes représentatives de fonctions associées à deux fonctions données u et v : u + l ; lu ; u + v ; |u| ; u (lx) ; u (x + l) »

1re ES

Représentation graphique de la fonction x → u(x + k) et des fonctions u + k, k.u, |u|, la fonction u étant connue. Représentation graphique des fonctions u + v et u − v, celles de u et de v étant connues. « On partira des fonctions étudiées en classe de seconde. On privilégiera les représentations faites à l’aide d’un grapheur (calculatrice graphique ou ordinateur) ».

7.4 Thèmes concernant les fonctions

157

Choix des exercices complémentaires

– Étude d’une famille de courbes : visualisation sur écran de calculatrice d’une famille de fonctions associées de la forme x → f k (x) = f (x) + k ou x → f k (x) = f (x + k). Lien avec des translations. Le paramètre k est, par exemple, saisi sur la calculatrice sous forme d’une liste1 de plusieurs nombres. – Exemple d’enchaînement de fonctions de la forme x → f (x + k1 ) + k2 (permettant, par exemple, de passer de la fonction carrée à une fonction de la forme x 2 + bx + c). Lien avec la translation composée de deux translations parallèlement aux axes Ox et Oy respectivement. – Exemples de situations amenant à des fonctions de la forme x → k. f (x). Lien avec un changement d’échelle sur l’axe des ordonnées. – Étude d’une courbe C présentant un élément de symétrie et lien avec la parité ou l’imparité ou bien d’une courbe globalement invariante par une translation et lien avec une périodicité. – Exemple d’étude de situation amenant à une somme ou à une différence de deux fonctions.

Thème 29 : Étude de situations issues de la géométrie, de la physique, de l’économie..., décrites au moyen de fonctions Ce thème est largement sous jacent à divers thèmes déjà étudiés précédemment et a été évoqué explicitement dans le paragraphe 1.3 du même chapitre. Nous retrouverons ici nombre de méthodes et d’objectifs déjà visités.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Situation décrite par une fonction dans les programmes

L’intitulé est cité en tant qu’objectif dans les programmes de première des classes technologiques, mais concerne l’ensemble des classes de ce niveau et, pour certaines fonctions, la classe de terminale. L’objectif visé est que les élèves entrent dans une pensée fonctionnelle et prennent conscience de l’intérêt d’un tel outil. Les commentaires des programmes de séries technologiques indiquent en effet : « Étude de situations issues de ces disciplines, comprenant une phase de modélisation et une phase d’interprétation des résultats... On exploitera largement des situations issues de la géométrie, des sciences physiques et de la technologie. Dans l’ensemble des travaux pratiques, il convient de combiner les différents outils du programme (majorations, encadrements, dérivation, emploi des calculatrices et des représentations graphiques) pour étudier des fonctions de type varié ».

1. Les modèles les plus récents de calculatrices permettent une actualisation quasi instantanée de la courbe représentant une fonction dont on change l’association, favorisant une prise de conscience des transformations géométriques actives.

158

7 • Les thèmes d’analyse

En première STG, il est précisé que « les activités sur les fonctions ne sauraient se borner à des exercices portant sur des exemples donnés a priori ; il convient aussi d’étudier des situations issues de la vie économique et sociale ». Méthodes et problèmes

La démarche pratique a déjà été évoquée lors de l’étude du processus de modélisation à laquelle chacun se référera. Une fois construite une fonction liée au contexte, l’outil fonctionnel sert pour résoudre plusieurs types de problèmes : – On peut chercher à savoir si la grandeur peut prendre une valeur donnée, ou lui être comparée. Ceci amène à la résolution d’une équation f (x) = k ou d’une inéquation, soit algébriquement, soit (ce qui est bien la méthode à développer ici) par étude de la fonction, soit par résolution graphique à partir de la courbe représentative. – On peut chercher à extrapoler le comportement, c’est-à-dire à émettre des hypothèses sur le devenir de cette grandeur ou voir jusqu’à quel seuil sa modélisation est pertinente à l’aide d’une étude de comportement asymptotique. – On peut chercher à interpréter, en termes de grandeur, des caractéristiques graphiques de la courbe représentative (tangente, asymptote...) – On peut chercher à optimiser cette grandeur en exploitant les variations de la fonction f. Choix des exercices complémentaires

Trois critères caractérisent une situation entrant dans ce thème : – Le problème est posé dans un cadre non fonctionnel (c’est-à-dire qu’aucune fonction n’est donnée a priori). – Une modélisation du problème conduit à l’introduction d’une fonction. – L’étude des propriétés de cette fonction permet de résoudre le problème. Le choix d’exercices devra jouer sur : – Le domaine duquel est issu le problème (géométrie : une longueur, une aire, un volume ; physique et biologie : évolution d’un phénomène physique ou biologique conformément à une modélisation ; économie : un coût, un bénéfice ou une offre et une demande...) – Le type de fonction associée au problème (polynôme, rationnelle, trigonométrique...) et celui-ci peut dépendre du choix de la variable contrôlée. – Le type de problème à résoudre (une même situation de départ pouvant aboutir à plusieurs types de problèmes : une optimisation, une résolution d’équation ou d’inéquation...)

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

159

7.5 THÈMES PORTANT SUR LE CALCUL INTÉGRAL 7.5.1 Le concept « calcul intégral » dans les classes de lycée Trois aspects spécifiques se dégagent de la présentation de l’intégration : l’aspect « aire sous une courbe », l’aspect « somme de petits éléments », destiné à déterminer une grandeur intégrale par calcul des sommes de contributions élémentaires et l’aspect « calcul inverse du calcul différentiel », associé à la notion de primitive. Il s’avère que, actuellement, l’approche de l’intégration n’est pas la même suivant la série considérée et est basée sur l’un ou l’autre de ces aspects. Les documents d’accompagnement des programmes de terminale S (en série ES, l’approche est sensiblement la même) définissent l’approche de l’intégration à mettre en œuvre dans cette section à partir du premier aspect : « les premières connaissances sur l’intégration sont structurées à partir d’une notion intuitive d’aire ». Cette approche conditionne la démarche présentant l’intégration. – On considère une fonction f positive sur un intervalle b] (a b) dont la repré [a, → − − → sentation graphique C dans un repère orthonormal O, i , j est disponible. – On définit le domaine sous la courbe associé à f et à l’intervalle [a, b] : ensemble des points M (x, y)) du plan tels que : a  x  b ; 0  y  f (x). – Les points I (1, 0) ; K (1, 1) ; J (0, 1) déterminent avec O un carré OIKJ dont l’aire est choisie comme unité. – La notion d’intégrale de f sur l’intervalle [a, b] est définie comme représentant l’aire sous la courbe lorsque l’unité d’aire est celle du carré unité. (On admet donc l’existence de cette aire, pour les fonctions rencontrées au lycée). Cette aire est  b notée f (x).dx.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

a

Le lien avec la notion de primitive s’établit ensuite à partir de quelques exemples, notamment en considérant une fonction continue positive et monotone, où le taux d’accroissement de l’aire sous la courbe entre deux valeurs x et x + h est encadré par f (x) et f (x + h). Ce lien, s’il est établi assez tôt, montre combien la notion de primitive facilite le calcul des intégrales. Il reste à étendre la notion au cas de fonctions de signe quelconque en exploitant les propriétés d’additivité et de conservation par isométrie des aires. Certaines propriétés de l’intégrale (relation de Chasles, positivité, ordre) résultent directement de la définition donnée, alors que d’autres (linéarité) dépendent du lien avec les primitives. Actuellement, en série technologique, la notion de primitive est, en revanche, abordée préalablement et la notion d’intégrale est construite selon le troisième aspect à partir de celle de primitive. Si f est une fonction possédant des primitives sur [a, b], la différence F(b) − F(a) ne dépend pas de la primitive F de f choisie et cet invariant

160

7 • Les thèmes d’analyse

est l’intégrale de f sur l’intervalle [a, b]. La notion d’aire sous la courbe en est une interprétation graphique, qui permet d’illustrer certaines propriétés. L’aspect « somme de petits éléments » sert d’intermédiaire, il permet le calcul effectif des premières intégrales rencontrées en séries S ou ES. Certains thèmes portant sur l’intégration visent l’étude des intégrales en tant que telles (propriétés, techniques de calcul). Les directives des programmes de STI en situent assez bien l’esprit : « On combinera les activités de calcul exact d’intégrales (qui mettent en œuvre le calcul de primitives) et les activités d’encadrement et de calcul approché (qui, de façon complémentaire, exploitent des idées géométriques à partir d’interprétations graphiques) ». D’autres portent sur les applications de l’intégration, qui varient d’une série à l’autre :

Terminale S

Illustrer l’intérêt de l’intégrale par diverses situations : expression intégrale d’une distance parcourue connaissant la vitesse, d’un volume connaissant les aires des sections par des plans parallèles, probabilités d’intervalles pour des variables à densité. Faire percevoir les liens entre intégration et primitivation et les exploiter.

Terminale ES

Illustrer l’intérêt de l’intégrale par diverses situations dont certaines issues du domaine économique : coûts, impôts...

Terminale STI

Familiariser les élèves avec quelques problèmes relevant du calcul intégral : calcul de grandeurs géométriques (aires, volumes...), de grandeurs physiques (calcul de la distance parcourue connaissant la vitesse, valeur moyenne, valeur efficace).

Terminale STG

Mêmes objectifs qu’en STI, mais les interprétations seront en liaison avec l’enseignement des techniques économiques (problème de coûts).

Thème 30 : Calcul d’intégrales par des méthodes variées « Il faut avoir quelques fois laborieusement intégré une fonction par voie graphique ou numérique pour saisir le miracle de la primitive, qui ramène l’intégration à une simple différence » (documents d’accompagnement du programme de TS). Compte tenu de l’approche de la notion d’intégrale que nous avons évoquée, c’est en effet par des considérations numériques ou graphiques que l’on commence à calculer les premières intégrales. Les liens entre intégrale et primitives ouvrent rapidement d’autres pistes de recherche. Les élèves disposent de deux théorèmes à ce propos. – Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un point de I. La fonction F :  x

x → F(x) = s’annule en a.

f (t).dt est une primitive de f sur I. C’est l’unique primitive qui a

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

161

– Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b appartenant à I. Alors  b f (x)dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f sur I. a

C’est désormais par primitivation de la fonction à intégrer, lorsque cela est possible, que l’on cherchera à calculer une intégrale. Les méthodes de calcul par primitivation

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Lecture inverse des tableaux de dérivation et lecture inverse des formules opératoires sur les dérivées sont des méthodes présentes dans tous les programmes. Il s’agit d’entraîner les élèves à connaître et utiliser à bon escient des primitives des fonctions usuelles et à reconnaître des formes primitivables, comme f  (ax + b) ; u  ; u × u a ; u  × exp(u). Ces deux méthodes sont fondamentales, en ce sens que le u point commun des autres méthodes « usuelles » est de ramener le calcul d’une intégrale à une autre, plus simple, où une méthode fondamentale s’applique. La méthode d’intégration par parties, qui relève du programme de terminale S uniquement, en est un exemple marquant, lorsque l’on s’interroge sur la pertinence du changement d’intégrale qu’elle induit. D’autres méthodes peuvent être présentées, permettant de faire fonctionner les propriétés des fonctions ou celles des intégrales, quitte à fournir les indications nécessaires pour parvenir au résultat : – Primitives d’une fraction rationnelle par transformation d’écriture. Il s’agit d’une décomposition en éléments simples qui est obtenue par identification de coefficients.  b – Calcul simultané de deux intégrales. Pour calculer une intégrale f (x) dx, il a b g(x) dx arrive qu’on ait intérêt à jumeler celle-ci avec une deuxième intégrale a

telle que deux combinaisons linéaires de f et de g (souvent f + g et f − g) soient des fonctions plus faciles à intégrer que f ou g séparément. Ces deux méthodes permettent de faire fonctionner les propriétés de linéarité de l’intégrale. Citons aussi, sans pour autant être exhaustif : – Expression a priori d’une primitive d’une fonction. Par exemple, la fonction x → x.ex admet a priori une primitive de la forme (ax + b).ex où a et b sont à calculer. – Utilisation d’une équation différentielle. Par exemple, si on a l’occasion de montrer que la fonction f à intégrer est solution d’une équation de la forme ay  + by  − y = 0, c’est que f est la dérivée de la fonction a f  + b f

162

7 • Les thèmes d’analyse

Choix des exercices complémentaires

Prévoir des exercices courts. Les uns présentent des exemples de calcul par lecture inverse de tableaux de dérivation ou de formules de dérivation (car c’est à cela qu’il s’agit d’aboutir de toute façon, dernier pas avant d’exhiber une primitive permettant le calcul final). Les autres présentent quelques-unes des méthodes citées ci-dessus pour ramener la recherche d’une primitive au cas précédent. Il n’est pas inintéressant d’envisager en contrepoint de la partie principale du sujet un exemple de calcul par une construction de deux suites adjacentes dont on connaît la limite (donc dans un cas très simple), en relation avec l’aspect « somme de petits éléments » et une interprétation géométrique. Un tel exemple montre comment se construit la notion d’intégrale et quelles sont les méthodes de calcul en début d’apprentissage en S ou ES. On peut proposer le calcul d’une même intégrale, calculée de deux façons différentes, en variant l’énoncé et les méthodes suivant la série de destination.

Thème 31. Calculs approchés d’une intégrale Le calcul approché d’une intégrale est explicitement cité dans les programmes de STI. Dans les séries générales, la construction même d’une intégrale émane de la possibilité de la calculer comme limite commune de deux suites adjacentes. De plus, les élèves doivent prendre conscience assez tôt du caractère « exceptionnel » des intégrales que l’on peut calculer par primitivation et connaître des techniques de calcul approché lorsque le calcul exact échoue. Deux objectifs peuvent être assignés à ce thème : – Approcher des intégrales qu’on ne sait pas calculer de façon exacte, lorsque la fonction à intégrer ne laisse aucun espoir d’en exprimer des primitives. – Approcher des intégrales de fonctions dont les primitives appartiennent à des 1 classes de fonctions encore en friche (comme le cas de la fonction avant de se x familiariser avec le logarithme).  b Soit donc I = f (x) dx, une intégrale à calculer de façon approchée, f étant une a

fonction continue sur [a, b] et C f , sa courbe représentative dans un repère orthonormal. Le principe commun aux méthodes de calcul développées dans ce thème est le découpage de [a, b] en segments isométriques puis l’approche ou l’encadrement de la fonction f sur chaque intervalle de subdivision par des fonctions faciles à intégrer. Deux méthodes de subdivision de l’intervalle [a, b] peuvent être mises en pratique. Pour chaque valeur de n : – Subdiviser cet intervalle en n intervalles de longueur égale. Lorsque l’on passe d’une étape à l’étape suivante, tous les points de subdivision de l’intervalle

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

163

changent. On pourra utiliser cette méthode lorsque l’expression des intégrales d’encadrement permet d’en rechercher directement la limite. – Subdiviser cet intervalle en 2n intervalles de longueur égale. On effectue une duplication, c’est-à-dire que, lorsqu’on passe d’une étape à la suivante, on utilise les points de subdivision déjà là, et on en ajoute de nouveaux en partageant en deux chaque ancien intervalle de subdivision. On pourra utiliser cette méthode lorsqu’on veut mettre en évidence l’adjacence de deux suites. Les méthodes se différencient ensuite par le choix de la famille de fonctions dans laquelle on puise les fonctions d’approximation. Méthode des rectangles

Elle consiste à considérer pour chaque entier n  1 une subdivision régulière a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b de l’intervalle [a, b] en n intervalles de même b−a longueur et à construire sur chaque intervalle [x1 ; xi+1 ] deux rectangles de n b−a largeur xi+1 − xi = , l’un de hauteur f (xi ) (« rectangle à gauche »), l’autre de n hauteur f (xi+1 ) (« rectangle à droite »). Les fonctions d’approximation sont des fonctions en escalier. Avantages :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– L’intégrale I est encadrée ( f étant supposée monotone) par la somme Gn des aires des rectangles à gauche et la somme Dn des aires des rectangles à droite. – Elle s’interprète géométriquement par un encadrement de l’aire sous la courbe C f . – On peut étudier la qualité de l’approximation. – La démarche générale de l’approximation est bien apparente : découpage de l’intervalle, encadrement, sommation. Inconvénient : – Il faut une subdivision fine (donc une valeur élevée de n) pour obtenir un encadrement de bonne qualité (la convergence vers I des deux suites que l’on construit est 1 de l’ordre de ). n En terminale, on peut faire fonctionner cette méthode sur un ou deux exemples de fonctions positives monotones. Méthode des trapèzes

Les fonctions d’approximation sont des fonctions affines par morceaux qui coïncident avec f aux points xi .

164

7 • Les thèmes d’analyse

Graphiquement, si on note respectivement H i et Mi les points d’abscisse xi de Ox et C f , les arcs de la courbe C f joignant les points Mi et Mi+1 sont remplacés par les segments [Mi Mi+1 ]. L’intégrale I est approchée par une somme T n d’aires des trapèzes Hi Mi Mi+1 Hi+1 Avantages : – L’approximation de I est de meilleure qualité que celle obtenue par la méthode des 1 rectangles (de l’ordre de 2 ). n G n + Dn – Cette méthode peut être traitée conjointement avec la précédente car Tn = . 2 Inconvénients : – Il est difficile de mesurer la qualité de l’approximation. – On obtient une valeur approchée mais non un encadrement. Méthode des points médians ou des tangentes

Sur lesmêmes intervalles que précédemment, on considère les rectangles de hauxi + xi+1  . Cette méthode s’appelle aussi méthode des tangentes, car les recteur f 2 tangles ainsi construits ont la même aire que les trapèzes déterminés par H i , Hi+1 xi + xi+1 avec les et par les points d’intersection de la tangente au point d’abscisse 2 droites d’équations x = xi et x = xi+1 . Les fonctions d’approximation sont donc ou bien des fonctions en escalier, ou bien des fonctions affines par morceaux. Cette méthode présente des avantages et inconvénients analogues à ceux de la méthode précédente et l’approximation obtenue est de même qualité. Si la fonction à intégrer présente des propriétés de convexité, il devient nettement plus intéressant de considérer conjointement les deux méthodes précédentes. En effet, on peut dans ce cas admettre que l’arc de courbe de M i à Mi+1 est « entre la tangente et la sécante ». Les sommes obtenues par la méthode des trapèzes et celle des points médians fournissent alors un encadrement de I. Un autre point de vue consiste non pas à découper l’intervalle [a, b], mais à trouver des fonctions de plus en plus proches de f et dont on sait calculer l’intégrale. C’est l’un des objectifs qui sera développé dans le thème suivant. Utilisation de la calculatrice

Il est possible d’obtenir les deux sommes de la méthode des rectangles et celle qui figure dans la méthode des trapèzes.

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

Pour cela : Faire calculer u n =

i=n−1  i=1

Gn =

165



b−a qui est un « tronc commun » puis : f a + i. n

b−a b−a (u n + f (a)) et Dn = (u n + f (b)) n n

sont les sommes des rectangles à gauche et à droite respectivement, et Tn = est celle des trapèzes.

G n + Dn 2

Choix des exercices complémentaires

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Une option est de présenter successivement les méthodes usuelles. On peut commencer par montrer comment, lors des activités d’approche de l’intégrale présentées par de nombreux manuels, c’est la méthode des rectangles qui est mise en place à propos d’une fonction simple. Transposer ensuite cette méthode à une fonction dont on ne sait pas calculer de primitive, ce qui constitue sa raison d’être. Si cette fonction est choisie monotone, on peut proposer aux élèves une étude de la qualité d’approximation. Présenter la méthode des trapèzes. Si la fonction choisie a des propriétés de convexité, on peut présenter conjointement la méthode des points médians. Il n’est pas nécessaire de « changer de fonction » à chaque fois. Il est certainement plus intéressant de voir l’évolution des méthodes (et vérifier, si on a pris la précaution de choisir une fonction f monotone et convexe ou concave sur [a, b], qu’un encadrement trapèzes et points médians est plus étroit qu’un encadrement rectangles à droite et à gauche).

Thème 32. Encadrement d’une intégrale à l’aide d’un encadrement de la fonction à intégrer Ce thème a un objectif très voisin du thème précédent mais utilise des méthodes différentes. Son intitulé est extrait mot pour mot des programmes des séries technologiques. À propos de cet intitulé, il est indiqué que : « On se limitera à des exemples très simples et des indications pour l’encadrement de la fonction à intégrer devront être fournies. » et que : « il convient d’interpréter en terme d’aires certaines de ces propriétés (...) afin d’éclairer leur signification. » Il n’y a pas d’intitulé équivalent dans les séries générales mais, la relation d’ordre sur les intégrales figurant dans ces programmes, un problème exploitant l’intégration d’inégalités en est une application naturelle. L’inégalité de la moyenne en est un cas particulier d’application qui figure dans toutes les séries. L’objectif de ce thème est en effet d’exploiter la propriété de positivité de l’intégrale et ses conséquences.

166

7 • Les thèmes d’analyse

Deux types de problèmes constituent des objectifs potentiels dans ce thème, le premier problème constituant toutefois l’objectif central : ➤ 1. Premier problème



b

Encadrer « du mieux possible » l’intégrale J =

f (x).dx et, pour cela, encadrer a

« du mieux possible » (en s’interrogeant sur le sens à donner à ce terme) la fonction f sur l’intervalle [a, , b]. – On peut chercher un minorant et un majorant de f sur [a, b] et appliquer l’inégalité de la moyenne. – On peut chercher à encadrer f par deux fonctions affines. Par exemple, si f est convexe sur [a, b], on peut penser aux fonctions affines représentées graphiquement par la sécante (AB), où A et B sont les points d’abscisses a et b de Cf , et par a+b une tangente à Cf comme la tangente au point d’abscisse . 2 – Si f se présente comme un produit de deux fonctions : f (x) = u(x) × v(x) telle que v est positive sur [a, b], on peut chercher un minorant m et un majorant M de la fonction u seulement sur [a, b]. De la sorte : 



b

v(x).dx  J  M

m a

b

v(x).dx. a

– On peut chercher une fonction g telle qu’il existe un réel ´ : |g − f |  ´ sur [a, b]. De la sorte :    b   J − g(x).dx   ´ (b − a) .  a

– On peut chercher deux suites monotones de fonctions que l’on sait facilement intégrer (ce qui pose le problème du type de fonctions choisies, par exemple, des fonctions polynômes) vérifiant gn (x))  f (x)  h n (x) pour tout x de [a, b] et telles que 

 b lim (h n (x) − gn (x)) dx = 0. n→+∞

a

Si de plus pour tout entier n les fonctions en jeu sont ordonnées sur [a, b] par : gn  gn+1  f  h n+1  h n , on crée deux suites adjacentes d’intégrales qui convergent vers une limite commune, l’intégrale J. De la sorte, on peut encadrer J aussi finement que l’on veut. ➤ 2. Deuxième problème

Application à l’encadrement d’une fonction F lorsque celle-ci est définie par une intégrale. Dans ce problème, la méthode d’encadrement par des fonctions plus simples servira à préciser le comportement de F (par exemple, en déterminer un comportement local ou bien une limite par le théorème des gendarmes).

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

167

F est une fonction continue définie sur un intervalle I = [a, b] ou I = [a, +∞]  x f (t)dt. D’autre part, g et h sont deux fonctions dont on connaît par : F(x) = a

des primitives, G et H respectivement, sur l’intervalle I et telles que pour tout x appartenant à I : g(x)  f (x)  h(x). Alors : G(x) − G(a)  F(x)  H (x) − H (a) pour tout x appartenant à I. Choix des exercices complémentaires

Dans le choix d’exercices, il n’est pas utile à chaque fois de changer de fonction à encadrer, mais plutôt de mettre en valeur des techniques simples d’encadrement. Ce thème est, notamment, un préalable au « calcul approché d’intégrales » qui précède dans l’indexation des thèmes. Ainsi l’encadrement d’une fonction f par un minorant et un majorant sur [a, b] est-il réinvesti par la méthode des rectangles, et un encadrement par des fonctions affines dans de bonnes conditions de convexité préfigure-t-il les méthodes des trapèzes et des tangentes. On pourra dans un exercice amorcer cette démarche. Penser à interpréter géométriquement les résultats. Proposer une démarche d’un encadrement « rudimentaire » vers des encadrements plus élaborés en exposant les idées directrices de la construction de nouveaux encadrements. Proposer une application possible comme l’encadrement d’une fonction définie par une intégrale.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Thème 33. Utilisation du calcul intégral pour l’étude de suites Dans les problèmes où figurent simultanément les notions de suites et d’intégrales, trois cas typiques se distinguent. 1. Premier cas Le problème propose l’étude d’une suite que l’on identifie à une somme de Riemann d’ordre n d’une certaine fonction sur un certain intervalle. L’intervalle est fréquemment l’intervalle [0, 1]. – La suite se présente sous forme d’une somme de termes. – On peut l’identifier à une expression du type 1 n





  1 n−1 f (0) + f + ... f + f (1) n n

(à un ou deux termes près) où f est une fonction continue sur [0, 1]. La solution du problème consiste à interpréter la suite comme un moyen d’approcher l’intégrale de f sur l’intervalle considéré par, le plus souvent, la méthode des rectangles.

168

7 • Les thèmes d’analyse

2. Deuxième cas La suite est toujours une somme de termes mais chacun d’eux est comparé à l’intégrale d’une même fonction f sur un intervalle [k, k + 1] (où k = 1, 2, ..., n − 1, par exemple) dépendant du terme étudié. Un scénario comme le suivant (avec éventuellement des variantes sur les propriétés de f et leurs conséquences) se met en place : Soit f une fonction positive, continue et décroissante sur [1, +∞[. On désigne par sn la somme : sn = f (1) + ... + f (n).  k+1 Pour chaque entier k  1 : f (k + 1)  f (x).dx  f (k). k

(On utilise l’inégalité de la moyenne sur l’intervalle [k, k + 1]).  n f (x).dx  f (1) + ... + f (n − 1). Pour chaque entier n  2 : f (2) + ... + f (n)  1

(On utilise la relation de Chasles pour les intégrales).  n  n Il en résulte que f (x)dx + f (n)  sn  f (x)dx + f (1). 1 1  n f (x)dx et étudier la convergence de la suite Si l’on sait calculer l’intégrale 1  n f (x)dx qu’elle définit, alors on peut en déduire des propriétés analogues n → 1

pour sn . Les deux suites sont simultanément convergentes (cependant, la valeur exacte de la limite n’est pas connue à cet instant) et sont simultanément divergentes vers +∞. Cette fois, l’interprétation géométrique est celle de rectangles qui ont tous pour largeur 1 et se juxtaposent sur l’intervalle [1, n].  n De plus, la suite (u n ) définie par : u n = sn − f (x).dx est minorée par 0 et le 1  n+1 calcul u n+1 − u n = f (n + 1) − f (x).dx montre qu’elle est décroissante. Elle est n

convergente et si on parvient à déterminer sa limite, on peut alors calculer la limite de la suite (sn ) elle-même. Le point commun entre ces deux premiers cas est que la suite à étudier se présente comme une somme de termes. Les deux méthodes peuvent à l’occasion être appliquées à une même suite suivant l’interprétation que l’on donne de chacun destermes 1 k de la somme. Dans le premier cas, chacun est interprété comme étant f , alors n n que dans le second il est interprété comme étant f (k) où f est chaque fois une fonction à préciser (ce n’est pas la même fonction, suivant l’interprétation que l’on fait).

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

169

3. Troisième cas Il s’agit d’étudier une suite (In ) d’intégrales. C’est-à-dire que l’on a défini une suite ( f n ) de fonctions définies sur un même  b f n (x).dx. intervalle [a, b] et que l’on a posé : In = a

Une première étude de la suite (In ) consiste à étudier son signe et son sens de variation (liés au signe de f n et à celui de f n+1 − f n sur [a, b]), ainsi que la convergence de la suite d’intégrales. Une deuxième étude de cette suite consiste à exprimer In en fonction de In−1 ou de In−2 (l’indication est donnée par l’énoncé). On dispose ainsi d’une formule de calcul par récurrence. Cette étude peut être proposée dans une classe de terminale S car, pour résoudre cette dernière question, une intégration par parties est souvent nécessaire. Au cas où In s’exprime en fonction de In−1 , le problème se ramène à celui d’une suite définie par récurrence. Au cas où In s’exprime en fonction de In−2 , une discussion selon la parité de n s’impose, et le problème se ramène à l’étude de deux suites extraites, l’une concernant les termes de rang impair et l’autre les termes de rang pair. Une synthèse croise souvent les deux études : dans un sens la convergence de la suite d’intégrales informe de la convergence de la suite récurrente et, dans l’autre, le passage de la définition par récurrence à une formule explicite du terme de rang n, quand il est possible, informe de la valeur de In . Choix des exercices complémentaires

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Un choix d’exercices sur ce thème pourra mettre en évidence l’un et l’autre de ces cas typiques. – Exemple de suite définie par sommation que l’on compare à une intégrale. – Exemple de suite définie par intégration sur un même intervalle des termes successifs d’une suite de fonctions.

Thème 34. Calcul d’aires planes à l’aide du calcul intégral Ce thème accompagne la construction de l’intégration dans les séries générales et figure explicitement comme application dans les programmes de séries technologiques.  −→ −→ Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthogonal O; O I , O J et l’unité d’aire est celle du rectangle OIKJ, le point K ayant pour coordonnées (1, 1). L’objectif est de montrer comment, en calculant une intégrale judicieuse par les méthodes usuelles de primitivation, on peut obtenir l’aire de certains domaines du plan.

170

7 • Les thèmes d’analyse

Deux propriétés des aires sont exploitées dans les liens qui les unissent aux intégrales : – La propriété d’additivité : l’aire de la réunion de deux domaines disjoints ou ayant en commun un ensemble d’aire nulle (domaines ayant une frontière commune) est égale à la somme de leurs aires. – La propriété de conservation par isométrie : deux domaines isométriques ont la même aire. Le type de domaine fondamental dans le calcul d’aires est le trapèze curviligne, auquel se rattache la notion de « domaine sous la courbe » d’une fonction positive. Un trapèze curviligne est limité par l’axe Ox, les deux droites d’équation respectives x = a et x = b, et la courbe C f représentative d’une fonction f continue sur [a, b]. Le cas de l’aire d’un domaine D situé entre deux courbes Cf et Cg est ramené à des réunions ou des différences (au sens ensembliste) de trapèzes curvilignes et un des objectifs du thème est de montrer comment. D’autres types de domaines peuvent faire l’objet de calculs d’aires : – Ils sont isométriques à un « domaine sous la courbe ». – Ils sont illimités et peuvent être obtenus comme domaine limite d’un « domaine sous la courbe » quand on fait varier la position de l’un des deux côtés parallèles du trapèze curviligne. Choix des exercices complémentaires

On peut commencer par montrer comment le calcul d’aires accompagne la construction de l’intégrale et permet d’en établir certaines propriétés. Différents exercices tirés des manuels des séries générales et technologiques compléteront le choix, en visant quelques-uns des objectifs suivants : – Exemple d’aire sous la courbe pour diverses fonctions (en faisant varier les signes des fonctions choisies). – Exemple d’aire d’un domaine se déduisant par isométrie d’une aire sous la courbe. – Exemple d’aire d’un domaine situé entre deux courbes. – Exemple d’étude d’un domaine illimité (par exemple, aire d’un domaine situé entre une courbe et son asymptote). On pourra montrer que certains de ces domaines ont une aire finie et d’autres, d’apparence pourtant analogue à première vue, ont une aire infinie.

Thème 35. Exemples de calculs de volumes Les programmes des sections STI mentionnent comme application de l’intégrale : « Exemples de calcul de volumes de solides usuels » (boules, prismes, cylindres,

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

171

pyramides, cônes, solides de révolution). L’un des objectifs est ainsi d’expliquer certaines formules de calcul de volumes qui ont été admises au niveau du collège. Les programmes de terminale S mentionnent, quant à eux : « Expression intégrale du volume d’un solide dont on connaît les aires des sections avec les plans d’équation z = Cte ». La gamme de solides dont on peut envisager de calculer le volume est donc un peu plus large.  − → − → → − L’espace étant muni d’un repère orthonormal O, i , j , k , les points I (1, 0, 0) ; J (0, 1, 0) et K (0, 0, 1) déterminent avec l’origine un cube d’arêtes [OI] ; [OJ] ; [OK] dont le volume est choisi comme unité. Dans le cas général, la procédure de calcul du volume d’un solide borné S conforme au programme de terminale S est une procédure par tranchage, dans une direction donnée. Elle consiste à effectuer des sections planes par une famille de plans parallèles (disons, par exemple, en coupant par des plans perpendiculaires à l’axe Oz, cet axe définissant alors la direction du tranchage ou bien, pour certains solides de révolution, des plans perpendiculaires à l’axe Ox). Le solide S étant supposé borné, il est délimité par deux plans parallèles d’équations z = a et z = b. On suppose connue l’aire S(z) d’une telle section plane par le plan de côte z, pour tout z appartenant à [a, b]. Le calcul du volume de S est basé sur un théorème admis dans les classes de lycée : Lorsque la fonction z → S(z) est continue sur [a, b], le volume du solide S est  b calculé (en unités de volume) par la formule : V = S(z).dz. a

Dans ce thème, il convient de faire fonctionner cette formule générale et de montrer ce que cette formule devient dans des cas particuliers.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Le cas des prismes et des cylindres

Les prismes et les cylindres appartiennent à une même catégorie de solides. Une droite (dite génératrice) se déplaçant dans l’espace le long d’une courbe plane fermée (dite directrice) en gardant une direction constante non incluse dans le plan de la courbe directrice engendre une surface dite surface cylindrique. Un cylindre est alors un solide délimité par la surface cylindrique et ses sections par deux plans parallèles au plan de la directrice. Les deux sections, qui sont superposables car image l’une de l’autre par translation, sont appelées les bases du cylindre et la distance qui sépare les deux plans en est la hauteur. Le cylindre est dit droit lorsque la direction des génératrices est orthogonale au plan de la directrice. Les « cylindres » usuels sont obtenus lorsque la directrice est un cercle, les « prismes » lorsque la directrice est un polygone. Pour cette catégorie de solides, le tranchage s’effectue parallèlement aux bases. Les sections par des plans parallèles aux bases se déduisent par translation de l’une ou de l’autre base. Il en résulte que ces sections ont une aire constante, égale à l’aire

172

7 • Les thèmes d’analyse

d’une base. La fonction z → S(z) est une fonction constante. On retrouve par intégration la formule usuelle : volume = (aire de la base) × (hauteur). Le cas des pyramides et des cônes

Ils appartiennent eux aussi à une même catégorie de solides. Une droite passant par un point qui décrit une courbe plane fermée (directrice) et aussi par un point fixe S (sommet) non situé dans le plan de la directrice engendre une surface, dite surface conique. Un cône est le solide délimité par une surface conique, sa section par le plan de sa directrice (appelée base du cône), et par le plan parallèle à celui de la base passant par le sommet. La distance entre le point S et le plan de base est la hauteur du cône. Les « cônes » usuels sont obtenus lorsque la directrice est un cercle, les « pyramides » lorsque la directrice est un polygone. Pour cette catégorie de solides, le tranchage s’effectue parallèlement à la base. Si h est la hauteur du solide, et si S est l’origine du repère auquel on rapporte l’espace, la section du solide par le plan de côte z se déduit de la base par l’homothétie de centre z S et de rapport . Il en résulte que si B désigne l’aire de la base, l’aire S(z) de la h  z 2 . La fonction z → S(z) est une section par le plan de côte z est égale à B × h  B h 2 2 fonction proportionnelle à z et le volume s’exprime par l’intégrale 2 z .dz. h 0 Le calcul de cette intégrale répond à la question légitime : « Pourquoi le coefficient 1 dans les formules du volume du cône et de la pyramide ? » 3 Le cas des solides de révolution

Un solide de révolution est un solide délimité par une surface de révolution et par ses sections avec deux plans perpendiculaires à l’axe de la surface de révolution. Le tranchage s’effectue perpendiculairement à l’axe de révolution. Si l’espace est rapporté à un repère dont l’axe Ox est l’axe de révolution, les deux plans perpendiculaires à l’axe ont pour équation x = a et x = b et la section de la surface par le plan Oxy détermine deux demi-méridiennes d’équations de la forme y = f (x) et y = − f (x) dans ce repère. La surface de révolution étant l’ensemble des cercles d’axe D passant par un point décrivant une demi méridienne, chaque section par le plan d’abscisse x est un cercle de rayon | f (x)| dont l’aire est p × ( f (x))2 .  b Le volume d’une telle surface est donné par la formule : V = p. ( f (x))2 .dx, a

formule figurant dans le programme STI et qui est un exemple de situation amenant à intégrer le carré d’une fonction.

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

173

Les « cylindres de révolution » et les « cônes de révolution » peuvent ainsi être étudiés suivant deux méthodes différentes. Choix des exercices complémentaires

Les objectifs visés peuvent figurer parmi les suivants : – Retrouver par intégration certaines des formules connues depuis le collège et admises jusque-là. – Étudier deux façons de retrouver par intégration le volume d’une sphère (par tranchage d’une part, en considérant d’autre part qu’il s’agit d’un solide de révolution). – Traiter un exemple de volume « usuel » au sens de la série S, par tranchage. – Étudier un exemple de volume d’un solide de révolution conformément aux programmes des séries technologiques.

Thème 37. Les dossiers sur les équations différentielles L’étude des équations différentielles fait l’objet de deux thèmes à l’oral du CAPES, axés sur les problèmes conduisant à une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants ou bien du second ordre à coefficients constants. Cependant, le cas du second ordre est limité dans les programmes actuels à l’étude des équations dont sont solutions des fonctions circulaires, ce qui nous conduit à fusionner les deux thèmes dans une unique étude.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Équations différentielles dans les programmes

Les équations différentielles figurent aux programmes des classes de terminale S, STI et STL. Dans le programme de terminale S, une place est réservée à la « problématique des équations différentielles ». L’objectif est de cibler un petit nombre d’équations différentielles, essentiellement de la forme y  = ay + b, et de les faire intervenir dans des problèmes de modélisation issus de domaines variés. Les directives du programme indiquent clairement le lien à établir entre équations différentielles et modélisation : « la présence de ces dernières, bien que modeste dans le libellé du programme, est fondamentale pour amener à la compréhension de la puissance des mathématiques pour la modélisation ; un travail conjoint avec les autres disciplines favorisera cet objectif ». L’équation du second ordre y  + v2 y = 0 ne figure pas au programme de mathématiques mais elle est étudiée dans le cadre du programme de physique. En terminale STI, le programme prévoit la résolution de l’équation différentielle y  = ay et celle de l’équation y  + v2 y = 0. La présence d’un second membre dans l’équation est possible, sous réserve d’indications sur la méthode de résolution. D’autres types d’équations peuvent être rencontrés sans faire partie d’un apprentissage. Le programme de terminale STL est analogue à celui de terminale STI, à cela près que les situations issues de la biologie sont encouragées. L’équation y  = ay 2 est

174

7 • Les thèmes d’analyse

mentionnée en liaison avec l’enseignement de la biologie, mais aucune connaissance n’est exigible à ce sujet en mathématiques. Les méthodes de résolution ➤ Résolutions graphiques

On considère une équation différentielle du premier ordre y  = f (x, y). Une résolution graphique d’une telle équation a pour but de donner l’allure des différentes courbes représentatives des solutions. Elle permet une visualisation de l’allure des solutions sans avoir pour autant à investir dans des méthodes de résolution. Deux informations graphiques peuvent être ainsi exploitées : 1. Les courbes isoclines Une courbe isocline est une courbe passant par les points (x, y) où les tangentes aux courbes représentatives des solutions ont un coefficient directeur donné. Les isoclines sont classées suivant la valeur du coefficient directeur : pour tout réel c, toute courbe représentative d’une solution coupant l’isocline c admet au point d’intersection une tangente de coefficient directeur c. En particulier, pour les équations du type : y  = ay + b, les isoclines sont des c−b droites, l’isocline c ayant pour équation : y = . a 2. Le champ (ou « peigne ») des tangentes Le plan est supposé maillé par un réseau de points de coordonnées (xi , yi ) régulièrement répartis. En chaque nœud du maillage, on symbolise par le tracé d’un segment la tangente à la courbe représentative de la solution de l’équation différentielle qui prend au point xi la valeur yi . Pour cela, le segment choisi est de pente yi calculée par : yi = f (xi , yi ) en remplaçant dans l’équation différentielle x et y par les valeurs xi et yi . Ce champ peut être construit à la main en exploitant différentes isoclines pour un maillage peu dense sur une partie limitée du plan ou bien par un logiciel (sur l’écran d’une calculatrice, par exemple). Lorsque l’on dispose de ces informations graphiques, on peut avoir une idée du « profil » d’une courbe solution passant par un point donné. L’écran représente sur une Voyage 200 un peigne des tangentes associé à l’équation différentielle y  = −0.5y + 1. Le maillage de l’écran est 15×8. À l’aide de l’initialisation yi1 = {0, 6}, deux courbes intégrales ont été représentées, associées aux valeurs initiales y1 (0) = 0 et y1 (0) = 6.

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

175

Représentation analogue sur une Casio ClassPad 300.

➤ Résolution approchée par la méthode d’Euler

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Savoir construire par la méthode d’Euler une approximation de la représentation graphique d’une fonction solution d’une équation différentielle du premier ordre est l’un des objectifs du programme de terminale S, et cette méthode est au programme aussi bien en physique qu’en mathématiques. Cette méthode de résolution se déroule dans un cadre numérique et consiste à obtenir une tabulation approchée de la fonction f, solution sur un intervalle I d’une équation différentielle de la forme f  (x) = F (x, f (x)) où F est une fonction de deux variables, à partir d’une condition initiale déterminée. – On connaît une condition initiale : f (a) = y0 . – On sait calculer la dérivée de f par la relation f  (x) = F (x, f (x)). – En fixant un pas h réel, on construit deux suites (xn ) ; (yn ) définies par les relations :  x0 = a ; y0 = f (a) xn+1 = xn + h ; yn+1 = F(xn , yn ) × h + yn ➤ Résolution exacte

La nouveauté que les équations différentielles introduisent dans les apprentissages est que, dans ce type d’équation, l’inconnue n’est plus un nombre mais une fonction. Les élèves doivent distinguer l’ensemble des fonctions qui sont solution sur un intervalle d’une équation différentielle donnée et, dans cet ensemble, savoir repérer la fonction qui satisfait des conditions initiales données. 1. L’équation homogène y = a y (1) Une équation « préalable » entrant dans cette catégorie est l’équation y  = 0 que les élèves ont déjà rencontrée implicitement à l’occasion de l’étude de la dérivation puis de la recherche de primitives.

176

7 • Les thèmes d’analyse

Dans le cas a = 0, les élèves doivent connaître deux théorèmes. – L’ensemble des fonctions solutions sur R de l’équation y  = ay est l’ensemble des fonctions de la forme : x → C.eax où C est une constante arbitraire. – Le théorème d’initialisation : étant donnés deux réels x0 et y0 , il existe une et une seule fonction solution de y  = ay et vérifiant y(x0 ) = y0 . C’est la fonction : x → y(x) = y0 .ea(x−x0 ) . 2. L’équation avec second membre y = a y + b (2) où a = 0 La méthode de résolution consiste à se ramener à l’équation de référence « associée » y  = ay (1). Il convient, dans un exercice portant sur une telle équation, de mettre en valeur une démarche de résolution : – Recherche d’une fonction solution particulière sur R de l’équation (2). – Lien avec l’équation homogène associée : une fonction y est solution de (2) si et seulement si la fonction z = y − y0 est solution de l’équation homogène z  = az. – Résolution de l’équation homogène. – Construction de l’ensemble des solutions de (2) sous la forme : (solution particulière de l’équation (2)) + (solution générale de l’équation homogène qui lui est associée). ➤ Équations du second ordre

Les seules équations du second ordre à connaître au niveau lycée sont les équations de la forme y  + v2 y = 0, où l’on prouve que les fonctions de la forme x → A cos vx + B. sin vx sont des solutions et où l’on admet que ce sont les seules (une démonstration de leur unicité avec les connaissances de terminale est proposée par de rares manuels). Exemples de problèmes conduisant à la résolution d’une équation différentielle Équation

Situation Tout phénomène dont la variation s’effectue à taux de variation instantané constant

y  = ay

Physique nucléaire : désintégration de noyaux radioactifs Électricité : dipôle RC, décharge d’un condensateur dans un circuit composé du condensateur et d’une résistance Géométrie : courbe à sous-tangente constante Biologie : élimination d’une substance injectée en une seule fois Sciences sociales : modèle de Malthus

7.5 Thèmes portant sur le calcul intégral

Équation

177

Situation Tout phénomène dont l’écart avec une situation d’équilibre s’effectue à taux de variation instantané constant

y  = ay + b

Mécanique : chute d’un corps avec frottement proportionnel à la vitesse Thermodynamique : loi de refroidissement de Newton ; variation de température d’un corps dans un milieu à température constante Électricité : circuit RC alimenté par un générateur délivrant une tension constante Biologie : perfusion continue d’une substance sujette à élimination

y  + v2 y = 0

Physique : oscillateur harmonique Électricité : circuit LC

Équations se ramenant à une équation linéaire du premier ordre

y  = ay(C − y)

1 . y Sciences sociales : modèle d’évolution de Verhulst qui tient compte d’une autorégulation d’une population liée à la capacité d’accueil d’un milieu y est proportionnel à l’écart avec (le taux de variation représenté par y une valeur maximale) Biologie : croissance d’une plante, évolution d’un écosystème en milieu clos

y  = ay. ln y

Équation de Gompertz : se ramène à une équation connue par z = ln y Sciences sociales : modèle d’évolution de Gompertz

Équation logistique : se ramène à une équation connue par z =

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

On pourra consulter les documents d’accompagnement des programmes de terminale à propos d’une approche interdisciplinaire de la radioactivité pour trouver un exemple de modélisation d’un point de vue du physicien conduisant à une équation différentielle, ainsi que son exploitation d’un point de vue du mathématicien. Choix des exercices complémentaires

Dans le chapitre modélisation, nous avons eu l’occasion de souligner l’importance des types d’évolution modélisés par une équation y  = ay et y  = ay + b. Ils se retrouvent ici et prennent une large place dans ce thème. En règle générale, éviter de donner une équation différentielle a priori mais la relier à une modélisation de la situation étudiée qui produit cette équation. Il convient, sur un exercice au moins, de proposer une démarche allant de l’hypothèse de modélisation à l’équation différentielle puis à sa résolution. Dans un exercice, présenter diverses techniques de résolution dont une au moins exploite la calculatrice. Si le dossier le demande, prévoir une situation où la modélisation amène à une équation différentielle du deuxième ordre, conformément au programme des séries technologiques.

Chapitre 8

Thèmes de probabilités et de statistiques

8.1 L’APPRENTISSAGE DES PROBABILITÉS ET DE LA STATISTIQUE La statistique se donne pour objectif l’observation et l’analyse de données issues d’événements réels afin de synthétiser les évènements observés et d’établir des hypothèses prévisionnelles concernant le déroulement d’évènements futurs, analogues à ceux déjà observés. Alors qu’une étude statistique est fondée sur l’expérimentation, une étude probabiliste est, pour sa part, fondée sur une modélisation. Elle porte sur les conséquences du choix d’un modèle, dont la pertinence peut être éventuellement discutée, en vue d’une prédiction sur les déroulements possibles d’une expérience à venir. La partie probabilités et statistiques des classes du secondaire est, depuis une trentaine d’années, en constante progression au fil des changements de programmes. Cette progression correspond à une volonté de développer à l’intention des élèves des outils d’analyse de données et une « culture citoyenne de l’aléatoire », rendue nécessaire par la progression du volume d’informations chiffrées dans la vie quotidienne et dans la société contemporaine. Il s’agit de permettre aux élèves de dépasser le stade de consommateurs d’informations et d’être capable d’avoir un esprit critique devant certaines affirmations de la vie courante et des médias appuyées par des arguments « statistiques ». Par ailleurs, un certain niveau de connaissances en outils statistiques ainsi qu’une bonne compréhension des phénomènes aléatoires sont nécessaires à l’enseignement de nombreuses disciplines de science expérimentale.

180

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

8.1.1 La statistique dans les programmes Selon l’intention générale des programmes du secondaire, la statistique « constitue un apprentissage en termes de connaissances et de valeurs à transmettre, mais aussi de pratiques et de comportements. Elle est aussi activité de socialisation, de formation aux règles de la vie en société et de connaissance de l’environnement. » Dans les programmes du collège, l’organisation et la gestion de données constituent le troisième volet de « l’activité mathématique », au même titre que l’étude des nombres et la géométrie. L’enseignement de la statistique y a pour objectif de familiariser les élèves avec la synthèse d’informations, recueillies sur l’ensemble des éléments d’une population, sous forme numérique ou graphique : – Initier les élèves à la lecture et à l’élaboration de diverses représentations de données (tableaux synthétiques, graphiques). – Faire acquérir quelques notions fondamentales de statistique descriptive. – Habituer à avoir une attitude critique sur l’information apportée, s’interroger sur sa signification, l’interpréter et savoir en tirer des conséquences.

6e

Représentations usuelles sous forme de tableaux ou de graphiques

5e

Lecture et représentations de données Classes et effectifs ; fréquences : « La notion de fréquence est notamment utilisée pour comparer des populations d’effectifs différents et faire le lien avec la proportionnalité »

4e

Effectifs cumulés, fréquences cumulées Moyenne d’une série statistique ; valeur approchée de la moyenne d’une série statistique regroupée en classes d’intervalles

3e

Caractéristiques de position d’une série statistique, médiane, étendue Utilisation de tableurs en statistiques

Au lycée, l’orientation générale est celle de l’étude et de la mise à l’épreuve de modèles. L’étude des statistiques à deux variables et de diverses méthodes d’ajustement complète cette orientation. La classe de seconde reprend les acquis du collège conduisant au choix de résumés numériques d’une série statistique quantitative et introduit la notion de fluctuation d’échantillonnage. Les documents d’accompagnement des classes de première et terminale précisent : « dans toutes les filières, on réfléchira sur la synthèse des données à l’aide du couple moyenne, écart-type qui sera vu à propos de phénomènes aléatoires gaussiens et par moyenne ou médiane et intervalle interquartile sinon. On amorcera une réflexion sur le problème de recueil des données et sur la notion de preuve statistique ; on fera un lien entre statistique et probabilité. »

8.1 L’apprentissage des probabilités et de la statistique

181

2e

Mesures de tendance centrale (moyenne, médiane, classe modale, moyenne élaguée) ; distribution des fréquences ; simulation et fluctuation d’échantillonnage

1res

Mesures de dispersion : intervalle interquartile, écart type ; diagrammes en boîte ; influence sur l’écart type et l’intervalle interquartile d’une transformation affine des données

1re ES

Lissages par moyennes mobiles ; histogrammes à pas non constants Tableaux à double entrée ; étude fréquentielle Fréquence fB (A) de A sachant B Effet de structure lors du calcul de moyennes

1re L

Paramètres gaussiens ; tableaux croisés

TES

Nuage de points associé à une série statistique à deux variables numériques ; ajustement affine par moindres carrés

TSMS, STI, STG

Séries statistiques à deux variables quantitatives ; ajustement affine par des méthodes graphiques

8.1.2 Les probabilités dans les programmes Les compétences générales visées par l’enseignement en matière de probabilités pourraient être sommairement résumées ainsi : – Savoir distinguer entre « le fortuit » (enchaînement de faits incontrôlables et non reproductibles) et « l’aléatoire » (expérience reproductible et quantifiable, dont toutes les issues sont identifiables). – Savoir modéliser une expérience aléatoire et connaître quelques modélisations de référence. – Savoir déterminer a priori la probabilité d’évènements pouvant résulter d’un phénomène aléatoire en utilisant diverses stratégies.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Une « expérience aléatoire » se distingue en effet du « fortuit » : – Elle conduit à la réalisation d’une issue parmi un ensemble d’issues possibles, clairement identifiées. – Le résultat n’en est pas prévisible. – L’expérience est reproductible ce sens qu’elle se prête à un protocole expérimental permettant de la renouveler dans des conditions identiques. Modéliser cette expérience aléatoire consistera dans les classes de lycée à choisir un ensemble V des issues possibles associé à cette épreuve (fini dans ce contexte) et à définir sur V une loi de probabilité, associer   c’est-à-dire à  àchaque singleton {e} de P(V) un nombre positif P {e} de sorte que : P {e} = 1. e∈V

Cette loi de probabilité induit une probabilité, application P définie sur P(V) et à valeurs dans [0, 1]. On obtient ainsi un espace probabilisé (V, P(V), P). Quel que soit l’exercice de probabilité proposé, même si l’énoncé n’y fait pas explicitement référence, il conviendra de s’interroger sur une modélisation de l’expérience étudiée et de construire à son propos un espace probabilisé pertinent.

182

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

Le calcul des probabilités est maintenant initié au niveau de la classe de troisième. En seconde, provisoirement, l’étude d’un modèle et la simulation de séries d’expériences conformes à ce modèle permettent de dégager une fluctuation des fréquences observées mais, en même temps, la stabilisation de ces fréquences autour d’une valeur « idéale » lorsque le nombre d’expériences effectuées devient grand. Il faut s’attendre à court terme à une meilleure prise en compte dans les programmes de cette classe des acquis du collège dans le domaine des probabilités. Le calcul des probabilités est approfondi dans les programmes à partir du niveau des classes de première. Le point de vue sous lequel est abordé ce calcul dépend toutefois de la série. Ainsi, en première ES, le calcul des probabilités prend un large appui sur la statistique en confrontant des résultats observés sur des simulations et des valeurs théoriques, alors qu’en première S l’accent est mis sur des notions plus théoriques, comme celle de variable aléatoire. Cette dernière notion est étendue à toutes les séries au niveau terminale. À ce même niveau apparaît une étude de conditionnement, plus ou moins poussée selon la série. Les tableaux synoptiques suivants résument la progression suivie par les programmes : 3e

Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité ; calculer des probabilités dans des contextes familiers (pièces, dés).

1res

Loi de probabilité sur un ensemble fini ; probabilité d’un événement, de la réunion et de l’intersection d’événements, d’un événement contraire. Modélisation d’expériences de référence menant à l’équiprobabilité. Expérimentation et simulation : comparer une fréquence observée à une probabilité théorique.

1re ES

Lien entre loi de probabilité et distribution de fréquences.

1re S

Variable aléatoire, loi d’une variable aléatoire ; espérance, variance, écart-type.

ST

Partitions et représentations (arbres, tableaux...) pour organiser et dénombrer des données relatives à la description d’une expérience aléatoire. Étude de situations de probabilités issues d’expériences aléatoires (modèles d’urnes, jeux...)

Term.

Conditionnement par un événement de probabilité non nulle ; indépendance de deux événements. Définition de la probabilité de B sachant A, notée PA (B) ; formule des probabilités totales.

TS

Indépendance de deux variables aléatoires. Exemples de lois discrètes ; combinaisons, formule du binôme, espérance et variance d’une loi binomiale. Exemples de lois continues : lois continues à densité, loi uniforme sur [0, 1], loi de durée de vie sans vieillissement.

TES

Lois de probabilités discrètes ; espérance et variance d’une loi numérique ; expériences et lois de Bernoulli, lois binomiales.

TSTI

Variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs et loi de probabilité associée ; fonction de répartition, espérance mathématique, variance, écart-type.

1re

8.2 Étude thème par thème

183

8.2 ÉTUDE THÈME PAR THÈME Thème 38. Séries statistiques à une variable Les étapes d’une étude statistique

L’étude d’un problème statistique à une variable peut se décomposer en quatre étapes : – Le recueil de données à l’aide, par exemple, d’une enquête ou des résultats d’une expérience. – Leur classement et leur représentation. – Leur réduction, visant à les synthétiser, but de la statistique descriptive. – Leur analyse, visant à la déduction de prévisions, but de la statistique inférentielle que nous rencontrerons dans le thème 40. Le recueil de données s’effectue à partir de l’observation d’un même caractère sur chaque individu d’une population. Ce caractère peut être qualitatif (langue parlée, nationalité...) et varier selon un certain nombre de modalités ou bien quantitatif. Le classement consiste à inventorier les modalités (pour un caractère qualitatif) ou les valeurs (pour un caractère quantitatif), éventuellement dans ce dernier cas en effectuant des regroupements et en définissant des classes, puis à calculer leurs effectifs. La représentation consiste à présenter les données de façon lisible, par un tableau ou par un graphique approprié. Le résumé d’une série statistique numérique a pour but de préciser les caractéristiques de position et de dispersion par le calcul de paramètres spécifiques. Il peut revêtir plusieurs formes suivant les paramètres qu’il met en jeu. On peut noter, en particulier, les résumés suivants :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

• Ceux composés d’un paramètre de position et d’un paramètre de dispersion :

− Les couples (médiane, étendue) et (moyenne, étendue), faciles à obtenir mais dont le paramètre de dispersion est très rudimentaire, car sensible aux valeurs extrêmes, et bien trop grossier pour avoir une réelle utilité. − Le couple (médiane, intervalle interquartile) qui n’est pas sensible aux valeurs extrêmes. L’intervalle interquartile situe la moitié la plus centrale des valeurs, ce qui est une information nettement plus exploitable. − Le couple (moyenne, écart-type) de paramètres gaussiens, qui permet d’avoir une idée générale de la répartition de la série. • Ceux donnant une répartition un peu plus détaillée :

− Le quadruplet (minimum, premier quartile, médiane, troisième quartile, maximum) qui permet de construire un diagramme en boîte (« boîte à moustaches »). − La donnée des déciles, vingtiles, centiles (ou plus généralement de quantiles) qui découpe la série en dix, vingt, cent (ou, plus généralement, n) tranches de même effectif. Le premier et dernier quantile isolent les valeurs considérées

184

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

comme « exceptionnellement faibles » ou « exceptionnelles élevées » selon le seuil d’exception que l’on se fixe. Cette donnée est exploitée dans des questions d’adéquation à une loi théorique. Le choix d’un résumé d’une série statistique plutôt qu’un autre n’appartient pas au mathématicien, mais à celui qui a pour charge d’exploiter les résultats de l’étude statistique. Ce choix dépend de l’utilisation que l’on veut en faire mais, en tout état de cause, il doit être justifié et précisé car le « résumé », par nature même, est limité par la perte d’information qu’il induit. Choix des exercices complémentaires

Pour définir des critères de choix d’un exercice « consistant » portant sur la statistique à une variable, nous citerions les critères suivants : – L’exercice présente un problème authentique à résoudre : « il n’y a que des avantages à travailler sur des situations authentiques, concernant, par exemple, l’environnement. Les données peuvent être extraites de relevés ou résulter d’activités d’enquêtes conduites par les élèves. Dans les deux cas, les allers et retours entre la mesure brute des quantités et les mesures relatives, sous forme de rapports, ont un caractère hautement formateur1 ». (Pour l’oral du CAPES, la situation « authentique » est nécessairement tirée d’un manuel, ce critère n’est pas prioritaire. À intérêt égal du contenu, privilégier simplement l’authenticité des sources citées par le manuel en question). – Des paramètres de position (médiane, moyenne) et, éventuellement, de dispersion interviennent dans sa résolution. Ils ne sont pas demandés a priori mais constituent des outils pertinents d’analyse. – L’exercice nécessite une analyse critique des résultats. Il amène éventuellement à comparer plusieurs séries. – Il est illustré de représentations graphiques ou de diagrammes. Il conviendrait de prévoir dans son exploitation une réflexion sur l’information apportée par le résumé statistique et la perte d’information qui peut en résulter ainsi que sur les risques d’erreurs d’interprétation et leurs conséquences possibles. Au collège, une même situation peut être traitée à des fins différentes selon le niveau de classe auquel on la destine : représentation et lecture de données en début de collège, calcul de fréquences ou de fréquences cumulées en milieu de collège, paramètres de tendance centrale en fin de collège. Les classes de lycée offrent plusieurs objectifs qui peuvent être illustrés par un exercice, par exemple : – Médiane et moyenne : propriétés respectives de ces deux paramètres. – Paramètres de dispersion : sens et interprétation. 1. Documents d’accompagnement des programmes du cycle central.

8.2 Étude thème par thème

185

– Comparaison de divers résumés d’une série statistique. Interprétations. – Influence d’une transformation affine des données. – Effets de structure en série ES. Lorsqu’une composition hétérogène d’une population influence un paramètre de cette population, il peut arriver qu’une grandeur évolue dans un même sens sur chaque sous population mais en sens contraire sur l’ensemble, parce que les effectifs des deux sous populations ont changé : l’une bénéficie d’une augmentation tandis que l’autre subit une régression (la structure de la population a varié). – Histogrammes. Construire un histogramme se justifie lorsque le caractère étudié est continu ou prend de très nombreuses valeurs qui sont regroupées en classes, éventuellement de longueurs inégales. Du fait que chaque rectangle de l’histogramme a une aire proportionnelle à l’effectif qu’il représente, sa hauteur est proportionnelle à la densité moyenne des valeurs à l’intérieur de la classe représentée. Une étude d’histogramme peut être une approche de la notion de « densité ».

Thème 39. Séries statistiques à deux variables

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Lorsque l’on observe deux caractères différents sur une même population, qualitatifs ou quantitatifs, on peut essayer d’étudier si ces deux caractères sont en interaction et, dans l’affirmative, tenter de les corréler. L’étude statistique, dite alors « à deux variables », consiste à présenter une étude conjointe des deux caractères et à étudier leur éventuelle corrélation. La présentation conjointe des deux séries s’effectue : – Soit à l’aide d’un tableau de contingence (tableau à double entrée) croisant les modalités ou les valeurs de deux variables. La case à l’intersection de la ligne i et de la colonne j contient le nombre ou la fréquence des individus affectés de la modalité (ou valeur) i de la première variable et la modalité (ou valeur) j de la seconde variable. Ce tableau est complété par deux marges, chaque marge représentant une des deux variables. – Soit à l’aide d’un graphique lorsque les deux variables sont quantitatives. Dans le premier cas, particulièrement adapté aux caractères qualitatifs, l’étude de corrélation amène à comparer le tableau de contingence au tableau d’indépendance théorique associé, construit par proportionnalité à partir des mêmes valeurs marginales. La comparaison des deux tableaux met en évidence les catégories sur-représentées (catégories dont les effectifs ou les fréquences sont plus grands dans le tableau de contingence que dans le tableau théorique) et les catégories sous-représentées. Dans le deuxième cas, l’étude de deux caractères sur une même population définit une application f de l’ensemble fini « population » P vers R × R : pi ∈ P → f ( pi ) = (xi , yi ). La série statistique double associée est l’ensemble des couples (xi , yi ) ainsi obtenus.

186

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

Les applications pi → xi et pi → yi déterminent chacune une série statistique simple, X (respectivement Y ), définie sur P. La distribution des rôles X et Y aux deux caractères étudiés induit d’ailleurs une certaine asymétrie : X est en général le facteur présumé responsable du phénomène étudié alors que Y désigne le caractère présumé dépendant. Si l’on munit le plan d’un repère, on peut associer à chaque couple de réels (xi , yi ) le point Mi ayant ces coordonnées. L’ensemble de ces points constitue le nuage représentant la série statistique double. Ce nuage est un indicateur pour conjecturer une éventuelle corrélation entre les caractères X et Y . Si le nuage ne présente pas de ligne de force particulière, les caractères ne sont probablement pas ou peu corrélés. S’ils semblent dessiner une courbe, on peut présumer l’existence d’une certaine corrélation et on cherchera à déterminer la nature de la courbe en procédant à un ajustement. Les objectifs d’un ajustement

Le but de l’ajustement est de déterminer une relation fonctionnelle expérimentale entre les deux caractères observés, sans toutefois perdre de vue la crédibilité que l’on peut accorder au modèle trouvé. Quelle que soit la méthode d’ajustement mise en œuvre, un ajustement a deux utilisations : – L’interpolation, qui tente de résoudre de façon approchée le problème suivant : étant donné une fonction Y présumée de X, connue pour certaines valeurs de X, quelle valeur prend cette fonction en un autre point situé entre deux points donnés ? – L’extrapolation, qui tente de résoudre un problème similaire à l’interpolation, sauf que cette fois on veut approcher la valeur en un point situé hors de l’intervalle des points connus. L’extrapolation pose un problème notable : celui de la validité du modèle utilisé. Alors que deux modèles différents fournissent usuellement des interpolations voisines, il se peut que les extrapolations soient très différentes d’un modèle à l’autre. La question de la pertinence du modèle devient cruciale. Deux types de méthodes sont au programme : les méthodes dites « graphiques » dans les séries technologiques et la méthode d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés en série ES. Méthodes graphiques

Les méthodes graphiques s’appuient sur des considérations barycentriques. La méthode de Mayer ou des doubles moyennes est basée sur le fractionnement du nuage en deux sous nuages d’égale importance (hiérarchisés selon les valeurs de X). On trace la droite passant par les points moyens des deux sous nuages. Cette méthode permet un ajustement économe en calculs mais subjectif car la droite obtenue dépend du fractionnement opéré. Il n’y a pas unicité d’une telle droite et il n’y a pas de critère permettant de décider qu’un fractionnement est meilleur qu’un autre. Il s’agit là de la méthode graphique classique que l’on peut présenter dans une série technique.

8.2 Étude thème par thème

187

La méthode Med-Med, pour mémoire, figure au catalogue des ajustements disponibles sur une calculatrice et utilise les points moyens de trois sous séries conventionnellement choisies (consulter les documents de présentation des calculatrices). Ajustement par la méthode des moindres carrés

L’ajustement affine par la méthode des moindres carrés consiste, pour sa part, à déterminer parmi la famille des fonctions affines x → ax + b celle qui minimise la quan (yi − axi − b)2 , (appelée somme des résidus associée à la fonction tité : R(a, b) = i

affine x → ax + b). Cette méthode introduit certes une dissymétrie entre les rôles de X et de Y mais a l’avantage d’être basée sur un critère objectif de sélection de l’ajustement. Le programme de terminale ES prévoit des exemples d’ajustement, non pas exclusivement des séries X et Y, mais aussi de séries déduites fonctionnellement des séries étudiées, comme ln X et Y ou bien X et ln Y ou bien ln X et ln Y (ce qui induit une dépendance estimée de la forme respectivement Y = a ln X + b ou bien k.c x ou bien k.x c ). Choix des exercices complémentaires

L’important est d’exposer avec des séries sobrement choisies les types de problèmes que l’on peut soumettre à des élèves. Au sein d’un même exercice, il est possible de viser l’un ou l’autre des points suivants qui semblent remarquables : P1. Donner du sens à la notion de point moyen. Si l’on considère la méthode des moindres carrés, parmi toutes les droites de direction donnée, c’est celle qui passe par le point moyen du nuage qui minimise la somme R(a, b) = (yi −axi −b)2 .

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

i

P2. Montrer deux traitements différents, l’un par une méthode graphique, l’autre par la méthode numérique des moindres carrés selon la série à laquelle on s’adresse. P3. Résoudre un problème d’interpolation (obtenir une mesure « manquante »). P4. Résoudre un problème d’extrapolation et pour cela s’interroger sur le domaine de pertinence du modèle utilisé. P5. Comparer deux modèles d’ajustement (par exemple, comparer un modèle exponentiel et un modèle affine et mettre en évidence la divergence de leurs prévisions à long terme). P6. Présenter les résultats et les exploiter par un traitement sur calculatrice (un exercice au moins prendra obligatoirement en compte ce point). Pour les points 4 à 6, on pourra, par exemple, montrer que l’ajustement « exponentiel » de la calculatrice est le même que l’ajustement affine par la méthode des moindres carrés pratiqué sur les séries X et ln Y. De même, l’ajustement « puissance » donné par la calculatrice résulte de l’ajustement affine usuel pratiqué sur les séries ln X et ln Y.

188

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

Thème 40. Modélisation et simulation d’expériences aléatoires : fluctuation d’échantillonnage Ce thème constitue une transition entre statistique et probabilités. Modélisation et simulation d’une expérience vont de pair puisque, avant de procéder à une simulation, il faut convenir d’un protocole d’exécution que l’on pense pertinent. Activités de simulation dans les programmes

La simulation d’une expérience intervient à trois niveaux : En troisième et en seconde, le niveau est celui d’une prise de conscience que, d’un échantillon d’expériences identiques à un autre, les résultats ne sont pas identiques, les paramètres tels que médianes, moyennes et fréquences fluctuent. Le choix pédagogique est nettement d’aller de l’observation vers la conceptualisation. En première, le niveau est celui du lien avec le calcul des probabilités. C’est ce dernier qui permet d’expliquer les résultats observés lors de simulations. La fluctuation d’échantillonnage mais aussi la stabilisation des fréquences lorsque le nombre d’essais augmente, déjà observée en seconde, concernent maintenant des modèles d’expériences plus difficiles à décrypter. Deux développements sont possibles : d’une part, estimer la probabilité d’un événement (lorsque celle-ci n’est pas calculable) par une évaluation empirique de la valeur stabilisante des fréquences observées et, d’autre part, comparer les fréquences observées avec une probabilité p lorsque celle-ci est déterminée a priori (et critiquer, s’il y a lieu, le modèle construit dans le cas d’un trop grand écart avec l’observation). Dans le premier développement, le but est de conjecturer une valeur limite pour la suite des fréquences observées f n lorsque le nombre n d’essais augmente indéfiniment. Mais on ne peut pas pour autant déterminer par l’expérimentation cette valeur limite exacte. Dans le deuxième développement, il s’agira de vérifier si les fluctuations de f n finissent pour n suffisamment « grand », par se stabiliser dans un intervalle « de confiance » de la forme [ p − ´ ; p + ´] fixé à l’avance et sinon de mettre en cause la vraisemblance du modèle. En terminale, quelques notions de statistique inférentielle sont abordées, s’intéressant au modèle probabiliste susceptible d’avoir généré les données observées : quelles sont les précautions à prendre pour confirmer la compatibilité d’un modèle (l’ampleur de la fluctuation d’échantillonnage diminuant avec la taille de l’échantillon) ? Méthodes

Une activité de simulation se déroule en plusieurs temps : 1. Modélisation. La modélisation d’une expérience revient, explicitement ou non, à définir un ensemble V de résultats prévisibles et à construire sur cet ensemble une loi de probabilité. 2. Mise en place d’un protocole de réalisation dont l’exécution donne des résultats prévisibles équivalents avec la même loi de probabilité. L’exécution peut être

8.2 Étude thème par thème

189

effective pour un petit nombre d’essais. Elle est confiée à un simulateur plus ou moins performant pour une analyse plus fine, nécessitant une plus grande échelle. 3. Traitement statistique des données observées (en lien avec le programme de statistiques descriptives : diagrammes, fréquences relatives, moyennes, etc. selon le but recherché). 4. Synthèse. Comparer la série statistique observée avec ce qui était attendu : « mesurer les écarts », analyser la pertinence du modèle, aborder la notion de risque.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Le programme vise à faire prendre conscience aux élèves de la fluctuation d’échantillonnage mais une difficulté est de mesurer cette fluctuation. L’énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres tel qu’il est préconisé au lycée indique seulement que : « Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences obtenues sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand ». Il ne donne aucune information sur la manière dont le « rapprochement » se fait. Or, il est nécessaire d’estimer cette fluctuation dès lors que l’on veut interpréter les résultats d’une expérience. Pour traiter ce type de problème, certains manuels énoncent, à propos de la fréquence d’apparition d’un évènement donné A de probabilité p, que sous certaines conditions (p pas trop proche de 0 ni de 1 et n √30) : « dans 95 % des cas, la fréquence observée donne une valeur approchée à 1/ n près de la probabilité théorique p1 », et font travailler sur la notion d’intervalle de confiance et de « fourchette ». Il est également possible de faire observer ce phénomène en le simulant par une série assez nombreuse d’essais nombreux. En repérant la position de la fréquence réellement observée dans la répartition de la série statistique issue de cette simulation, on peut estimer si cette position résulte ou non de la fluctuation. C’est ce type de problème qui amène à la notion d’adéquation traitée en terminale. Cette façon de procéder semble devoir prendre plus de sens pour les élèves car elle se construit sur des arguments statistiques du programme. Choix des exercices complémentaires

Quelle que soit la situation choisie, il conviendra de justifier la modélisation que l’on propose. 1. Prise de conscience de quelques propriétés de l’échantillonnage (niveau seconde) en étudiant une simulation de référence simple (lancers de pièces ou de dés équilibrés...), notamment la variabilité des résultats obtenus mais aussi la stabilité de l’intervalle dans lequel se situent la plupart des résultats. 1. Si on note p la probabilité d’apparition d’un évènement A, et q = 1 −p celle de son contraire,  pq pq < f < p+l . l’intervalle de confiance de la fréquence observée de A est donné par : p − l n n Le nombre pq peut être majoré par 1/4 et le nombre l dépend du seuil de confiance√ auquel on se place. (Il vaut 1,96 au seuil 95% de confiance ce qui explique le théorème admis : 1, 96 × pq est majoré par 1, 96 × (1/2) qui est un tout petit peu plus petit que 1).

190

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

2. Modélisation d’une expérience. Lien entre fréquence et probabilité. Estimation empirique d’une probabilité par un procédé de simulation. On fera remarquer que, si une simulation avec un nombre assez grand d’essais peut infirmer avec une forte présomption une conjecture erronée sur la valeur d’une probabilité, elle ne peut pas prouver l’exactitude d’une conjecture : elle indique seulement que la valeur conjecturée est compatible avec les résultats observés. La situation choisie a intérêt à être assez complexe1 pour se prêter à un débat (si possible contradictoire) concernant la valeur de la probabilité recherchée, en tout cas à une interrogation sur sa valeur, à plusieurs conjectures. Elle comporte une phase de modélisation, puis une mise en application permettant de débattre de la validité des conjectures.

Thème 41. Techniques de dénombrement Dénombrer un ensemble non vide E revient à déterminer un entier strictement positif n tel qu’il soit possible de construire une bijection de l’ensemble {1, 2, ..., n} sur E. Des activités de dénombrement ont accompagné déjà la construction du nombre au niveau des classes du primaire : lorsque l’ensemble E est une collection d’objets matérialisés ou bien peut être décrit en extension, une première façon de dénombrer est de procéder à un comptage un par un en confrontant terme à terme les éléments de E aux entiers de la comptine numérique. Une façon plus élaborée est d’organiser par paquets la collection. Le groupement par paquets de dix, groupement qui peut être itéré, permet d’associer à l’ensemble E la décomposition canonique en numération décimale de son cardinal. Lorsque E ne peut plus être décrit en extension, des techniques de dénombrement doivent être mises en place, dépendant du type d’ensemble à dénombrer. C’est précisément le cas lorsque le dénombrement reprend de l’importance en fin de collège et au lycée dans le contexte des modélisations d’expériences et celui de préalable au calcul de probabilités, contexte qui fait l’objet de ce thème. Le dénombrement dans les programmes 3e

« La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières concernant des instruments produisant du hasard (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes) ».

1re ES, 1re S

Modélisation d’expériences de référence menant à l’équiprobabilité.

TES

« On utilisera à bon escient les représentations telles que tableaux, arbres, diagrammes, efficaces pour résoudre des problèmes de probabilités ».

TL

Outils graphiques de dénombrement : diagrammes ; arbres Triangle de Pascal et coefficients binomiaux.

1. Simuler des lancers de dés pour noter la fréquence d’apparition du 6 n’a pour objectif que de constater que cette fréquence n’est pas exactement 1/6, mais qu’elle tend à s’en rapprocher lorsque le nombre d’essais augmente. Cette simulation a cependant un intérêt limité, chacun sait bien qu’il y a « une chance sur six ». En revanche, effectuer une simulation dans un cas où la prévision n’est pas évidente et provoque la controverse a un tout autre intérêt car son résultat deviendra un argument dans le débat pour appuyer ou infirmer certaines hypothèses.

8.2 Étude thème par thème

191

TS

Notation n ! ; introduction des combinaisons ; formule du binôme.

TST

Organiser des données sous forme de partitions, arbres ou tableaux pour dénombrer, dans le cadre de la description d’une épreuve aléatoire.

Il apparaît à la lecture des programmes que le dénombrement d’un ensemble vise essentiellement deux objectifs : – Entraîner à l’emploi de schématisations, partitions et représentations (arbres, tableaux, diagrammes...) pour organiser et classifier un ensemble. – Préparer au calcul des probabilités car, en situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement est proportionnelle au nombre d’issues qui réalisent cet événement. Les techniques de dénombrement ➤ Techniques de partition

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Elles concernent les cas où le cardinal d’un ensemble s’obtient par addition ou par soustraction de cardinaux. Encore faut-il s’assurer que l’opération effectuée est légitime. Réunion de deux parties quelconques d’un ensemble E La situation provoquée par l’étude de deux parties non disjointes d’un ensemble peut être schématisée de diverses manières, mettant en évidence une partition adaptée en quatre parties, disjointes cette fois, de l’ensemble E, soit par un diagramme de Venn., soit par un arbre à quatre branches, soit par un tableau à double entrée qui permet un tri croisé des éléments de E suivant l’appartenance ou non à A et l’appartenance ou non à B. L’adjonction de marges effectue le tri des éléments suivant l’appartenance ou non à A seulement et à B seulement. La donnée de quatre des neuf nombres, judicieusement placés dans ce tableau, en détermine la totalité du contenu, les paramètres y figurant étant liés par cinq équations. A

AC

Marge relative à B

B

x

y

v

C





v

u

w

B

x

Marge relative à A

u

y

Utilisation d’une complémentarité Il s’agit d’illustrer la formule : card ( AC ) = card E − card A Technique du tri Elle consiste à effectuer une partition de l’ensemble E en sous-ensembles plus faciles à dénombrer. Il s’agit là d’une technique importante dans les activités de dénombrement selon le programme de terminale S. Cette technique nécessite :

192

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

– Le choix d’un critère de tri. Il faut que le critère soit discriminant, c’est-à-dire que chaque élément de l’ensemble à dénombrer satisfasse une et une seule des modalités du critère, de façon à être certain que l’on réalise bien une partition. – Une technique de dénombrement adaptée à chacune des modalités du critère de tri. Suivant le type de tri, en particulier lors de la description d’expériences à plusieurs étapes où le résultat de chacune influe sur le déroulement de la suivante, la confection d’un arbre schématise efficacement cette situation. Le cas d’un produit cartésien Étant donnés deux ensembles A et B, de cardinaux respectifs n 1 et n 2 , leur produit cartésien A × B, c’est-à-dire l’ensemble des couples (a, b) d’éléments tels que a appartienne à A et b appartienne à B, a pour cardinal le produit n 1 × n 2 . Une situation de produit cartésien de deux ensembles peut être illustrée, lorsque le nombre d’éléments du produit est peu élevé, par un tableau présentant en extension les couples possibles. Techniques de dénombrement basées sur la récurrence L’ensemble à dénombrer est indexé sur un nombre variable n d’objets. Cette technique se décompose en deux temps et peut être mise en œuvre lorsque la particularisation d’un élément permet de simplifier le comptage : – Étude du dénombrement à effectuer pour les petites valeurs de n. – Effet de l’adjonction d’un nouvel objet d’indexation sur la composition de l’ensemble à dénombrer : lien entre le dénombrement pour n objets et le dénombrement pour n + 1 objets et construction d’une relation de récurrence entre les deux cardinaux. Choix des exercices complémentaires

L’étude des programmes met l’accent avant tout sur les représentations et les schématisations. Un choix d’exercices sur ce thème mettra en évidence quelques-unes de ces techniques, en insistant sur la variété de méthodes (partitions, opportunité de tableaux ou d’arbres pour représenter une situation...) plutôt que sur les difficultés de calcul. C’est seulement dans une classe de terminale S que l’on peut placer un exercice faisant appel aux nombres usuels (tels que factorielles et combinaisons) intervenant dans des dénombrements à caractère général. Trois situations sont alors référencées : Tirages avec remise de p objets choisis dans un ensemble E de n objets ; éléments de l’ensemble Ep ; p-listes d’éléments de E Classements des éléments d’un ensemble E de n objets ; permutations de E Tirages exhaustifs de p objets choisis dans un ensemble E de n objets (0  p  n) ; lots de p objets ; parties de E contenant p éléments

np   n p

n! =

n! p!(n − p)!

8.2 Étude thème par thème

193

Thème 42. Probabilités Thème 42.1. Équiprobabilité

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

On considère une épreuve aléatoire et V un univers des possibles associé à cette épreuve. On dit que l’on est en situation d’équiprobabilité si pour tout {e} singleton   1 . Les problèmes posés en situation d’équiprobabilité se de V : P {e} = cardV prêtent à l’utilisation du dénombrement, puisque la probabilité d’un évènement A se nombre d’issues réalisantA calcule par la formule : . nombre d’issues possibles Le programme de première L situe à peu près ce thème, présent dans toutes les séries : « L’équiprobabilité : une hypothèse parmi d’autres pour proposer un modèle. On veillera à étudier des situations où l’on ne se ramène pas nécessairement à l’équiprobabilité, ou pour lesquels on peut a priori proposer plusieurs modèles. » L’objectif de ce thème est d’étudier dans quelle mesure un univers destiné à décrire une épreuve aléatoire peut être muni de la loi équirépartie, et ce qu’apporte l’équiprobabilité dans le calcul des probabilités. En particulier, un certain nombre de modèles de référence (modèles d’urnes, de lancers de pièces ou de dés) doivent être connus des élèves. Une extension éventuelle de ce thème peut être le problème de l’adéquation à une loi équirépartie au niveau terminale S. Il conviendra de vérifier dans les extraits du programme accompagnant le dossier si le jury ouvre ou non cette possibilité d’extension. Le problème posé est alors différent et rejoint le volet statistique des programmes : On étudie dans une population un certain caractère X , prenant k valeurs x1 , . . . , xk . 1 et on conjecture que la loi de probabilité de X peut être équirépartie : P [X = xi ] = k pour i = 1, 2, . . . , k. On observe évidemment des fluctuations entre les fréquences observées et la loi de probabilité. Il s’agit alors de définir un critère permettant de décider, à un seuil de risque donné, si les fluctuations observées peuvent être imputées au simple effet de l’échantillonnage ou, au contraire, si l’échantillonnage n’explique pas ces fluctuations et si c’est l’hypothèse d’équirépartition qui doit être remise en cause. En terminale S, on utilise une méthode expérimentale, basée sur la confrontation de l’écart observé avec les écarts issus d’un grand nombre d’expériences simulées effectuées sous le protocole d’équirépartition. Cette confrontation permet de mesurer l’excentricité des résultats observés par rapport à ceux issus de la simulation (se reporter aux manuels de cette classe). C’est en cela que ce problème d’adéquation se trouve au carrefour de deux thèmes, dont celui-ci.

194

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

➤ Choix des exercices complémentaires

Ils suivent les objectifs spécifiques que l’on peut assigner à ce thème. L’application du dénombrement et la schématisation d’expériences par des arbres, diagrammes ou tableaux y occupe une large place : – – – –

Mise en place de modèles de référence. Exemples de modélisation se ramenant à l’équiprobabilité. Calculs de probabilités au sein de tels modèles à l’aide de dénombrements. Réduction de la description d’une expérience par la prise en compte d’un système complet d’évènements : à partir d’un système complet d’évènements d’un univers V muni de l’équiprobabilité, construction d’un espace probabilisé (V ; P(V ) ; P  ) non muni de l’équiprobabilité et susceptible de décrire certains résultats de celle-ci. – Problème d’adéquation à une loi équirépartie.

Thème 42.2. Probabilités conditionnelles

La situation générale visée par ce thème est la suivante : On considère une expérience aléatoire que l’on a déjà modélisée. On a donc défini a priori un ensemble V d’issues et construit une probabilité P sur P(V). En cours d’expérimentation, on constate qu’un certain évènement B s’est réalisé. Cette information change la vision que l’on peut avoir sur l’expérience. Certains évènements deviendront peut-être plus probables, d’autres plus improbables, pour d’autres enfin l’information sera indifférente. Comment se distribue cette nouvelle probabilité ? La réponse à cette question est un objectif des programmes de terminale, toutes séries confondues, avec un accent mis particulièrement sur la représentation par un arbre de probabilité : « Un arbre de probabilité correctement construit constitue une preuve ». La notation PB est préconisée par les programmes pour une « probabilité sachant B » car elle dénote du mieux possible qu’il s’agit bien d’une probabilité. ➤ Objectifs d’apprentissage du conditionnement

1. Expériences à deux ou plusieurs niveaux de hasard Une expérience est dite à deux ou plusieurs niveaux de hasard lorsque son résultat peut être donné sous forme d’une liste de deux ou plusieurs résultats partiels : – Soit parce que l’expérience peut être décomposée en une suite finie d’épreuves successives, chacune conditionnant le déroulement de la suivante (par exemple, un lancer de pièce qui conditionne le choix de l’une ou l’autre de deux urnes pour effectuer un tirage). – Soit parce que son issue résulte de l’observation de deux (ou plusieurs) critères hiérarchisés dans une population hétérogène mais, cependant, fragmentée en sous populations homogènes où la répartition des critères est stable. La donnée ou bien la construction, moyennant certaines informations, d’un tableau croisé d’effectifs

8.2 Étude thème par thème

195

d’une population dont on choisit un individu au hasard est représentative de ce genre de problème. Dans un tel cas, on est souvent amené à considérer un évènement donné comme une intersection A ∩ B de deux évènements A et B concernant respectivement le premier niveau et lui seul, le deuxième niveau et lui seul (et, éventuellement, d’envisager une itération sur plusieurs niveaux). Les données les plus fréquentes dans la pratique sont la probabilité de A et la probabilité de B sachant que A est réalisé. Alors, la probabilité de l’intersection A ∩ B peut se calculer à l’aide de la formule donnant une probabilité conditionnelle : P(A ∩ B) = P(A) × PA (B). La hiérarchisation d’une expérience sur deux niveaux amène à percevoir l’intérêt de la notion de système complet d’évènements et de son application dans la formule des probabilités totales. En effet, cette hiérarchisation est intéressante dans la mesure où l’on peut prévoir les résultats A1 , A2 ..., An du premier niveau (qui constituent autant d’évènements disjoints dont la réunion est V) et les conditionnements qu’ils provoquent sur le niveau suivant. Dans ce cas, P(E) =

i=n  i=1

p(Ai ∩ E) =

i=n 

PAi (E). p(Ai )

i=1

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

pour tout évènement E de V (ce qui constitue la formule des probabilités totales). Le mécanisme d’application de la formule peut se schématiser à l’aide d’un arbre de probabilité : l’arbre se ramifie une première fois selon les évènements du système complet (les pondérations sur ces premières branches sont des probabilités d’évènements) et, une seconde fois, en fonction des effets du conditionnement (les pondérations sur les branches suivantes sont des probabilités conditionnelles). 2. Le problème du test de dépistage Cas particulier du type précédent, il fait l’objet d’une étude spécifique dans de nombreuses séries. Il se schématise par un arbre de probabilité standard, dans lequel p désigne la probabilité de l’évènement A que l’on veut dépister, et l et m les probabilités conditionnelles que le test soit positif sachant A et qu’il soit négatif sachant « non A » respectivement. Le nombre l est la sensibilité du test (plus le test est sensible, moins il comporte de faux négatifs et mieux il permet, en cas de négativité, d’exclure la réalisation de A). Le nombre m est la spécificité du test (plus le test est spécifique, moins il y a de faux positifs et mieux il permet, en cas de positivité, d’affirmer la probable réalisation de A). Le concepteur du test s’efforce de faire en sorte que l et m soit les plus élevés possibles, c’est ainsi qu’il peut agir sur les performances propres (intrinsèques) du test. Cependant, l’utilisateur du test est surtout intéressé par les probabilités PT + (A) et PT − (N A) (dites valeurs prédictives) qui dépendent de la probabilité p (appelée prévalence de A), donnée extérieure, propre au milieu dans lequel le test s’applique, et sur laquelle le concepteur du test n’a aucune prise.

196

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

Le concepteur construit l’arbre A1, mais l’utilisateur est intéressé par l’arbre B1.

B1

A1

3. La notion d’indépendance Dans l’étude du conditionnement, une attention toute particulière est accordée aux évènements A dont la probabilité n’est pas affectée par la réalisation de la condition B observée : PB (A) = P(A). La définition de l’indépendance est cependant un peu plus générale : A et B sont deux évènements indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui présente l’avantage d’avoir une définition symétrique. Si A et B sont de probabilité non nulle, alors la réalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre. Cette hypothèse d’indépendance, lorsqu’elle a été clairement vérifiée, permet de calculer la probabilité d’une intersection. Le programme de terminale S fait étendre la notion d’indépendance au cas de variables aléatoires indépendantes. ➤ Choix d’exercices complémentaires Calculer une probabilité conditionnelle

Appliquer la définition PB (A) =

P(A ∩ B) . P(B)

Reconnaître une hypothèse conditionnelle

Distinguer dans le texte d’un énoncé si une probabilité est celle d’un évènement ou bien d’un évènement conditionné1 .

Hiérarchiser une expérience

Savoir reconnaître un système complet d’évènements et savoir repérer les effets de conditionnement qu’il provoque.

Appliquer la formule des probabilités totales

Savoir appliquer la formule ou savoir construire un arbre de probabilité représentant une hiérarchisation adéquate. Les partitions à deux éléments sont les plus fréquentes mais : « On pourra faire un ou deux exercices utilisant la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d’un événement A à partir d’une partition comportant plus de deux éléments ».

Caractériser l’indépendance de deux évènements

Établir l’une ou l’autre des égalités P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ou PB (A) = P(A) ou PA (B) = P(B).

Appliquer une hypothèse Vérifier l’indépendance de deux évènements et calculer la probabilité d’indépendance de leur intersection en appliquant le principe multiplicatif. Test de dépistage ou de conformité

Étudier l’influence de la prévalence sur les performances d’un test.

8.2 Étude thème par thème

197

Thème 42.3. Les variables aléatoires

La notion de variable aléatoire est introduite en première S et dans les autres séries, telles ES et séries technologiques, au niveau de la classe de terminale, à l’occasion d’expériences dont les issues sont quantifiables : On associe à une expérience aléatoire un univers V muni d’une probabilité P, qui permettent de la modéliser. V est quantifiable, en ce sens qu’à chaque élément v de V on peut associer un nombre réel X (v), ce qui définit une application X de V dans R appelée variable aléatoire définie sur V. Construire la loi de probabilité de cette variable aléatoire X, c’est effectuer le travail suivant : – Répertorier l’ensemble X (V), c’est-à-dire définir l’ensemble {x1 , x2 , ..., xn } des nombres réels images par X d’au moins un élément de V. Les évènements [X = xk ] = {v ∈ V, X (v) = xk } constituent alors un système complet d’évènements de V. – Affecter à chaque valeur xk de {x1 , x2 , ..., xn } la probabilité : pk = p (xk ) = P ([X = xk ]) . Le rôle de X a été de transférer la probabilité P sur un autre ensemble, l’ensemble {x1 , x2 , ..., xn }, qui est l’ensemble des valeurs prises par X. Les issues nouvellement créées sont des issues numériques.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Variables aléatoires discrètes

Les lois suivantes n’ont pas toutes à être connues des élèves, mais elles peuvent toutes être reconnues, à l’occasion, par un candidat au CAPES, lorsqu’elles sont suivies par une variable aléatoire objet d’un exercice. La loi uniforme modélise des situations d’équirépartition (lancer d’un dé équilibré, tirage d’un numéro...) La loi de Bernoulli B (1, p) modélise l’occurrence d’un évènement de probabilité p ou de son contraire dans une unique expérience, et la loi binomiale B (n, p), le nombre d’occurrences de cet évènement dans une suite finie de n essais indépendants. Elles sont explicitement citées dans les objectifs des programmes. La loi hypergéométrique H (N , n, p) modélise des situations de n tirages sans remise dans une population de N individus dont on singularise une proportion p d’individus, et peut être rencontrée à l’occasion d’un exemple numérique simple. Cette loi a la même espérance que B (n, p) mais n’a pas la même loi de probabilité, ni le même écart type. La loi géométrique modélise des problèmes de temps d’attente (première occurrence d’un évènement donné dans une suite d’essais indépendants). Elle constitue le 1. Par exemple, savoir distinguer : « la probabilité qu’un élève du lycée soit une fille externe est... » ; « la probabilité qu’une fille du lycée soit externe est... » et « la probabilité qu’un externe du lycée soit une fille est... »

198

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

modèle issu d’une discrétisation d’un processus sans mémoire (processus qui mène, dans une modélisation continue, à la loi exponentielle). La loi de Poisson est une loi limite qui modélise le nombre d’occurrences d’un évènement rare dans un intervalle de temps donné. Elle n’est pas explicitement au programme mais, par exemple, le document d’accompagnement des programmes de terminale S et ES en propose une étude avec des outils de niveau lycée. L’objectif général est de faire comprendre le rôle d’une variable aléatoire vis-àvis d’une expérience aux issues numériques : les probabilités pi sont des nombres théoriques associés aux diverses issues xi qui, sans varier d’une expérience à une autre, modélisent les valeurs expérimentales f i que l’on pourrait obtenir en effectuant des séries de cette même expérience dans des conditions identiques d’indépendance. Une fois le travail préalable de construction de la loi de probabilité effectué, les objectifs visés sont la construction et l’interprétation de certains paramètres associés à la variable aléatoire : – La fonction de répartition. Elle permet de calculer la probabilité que l’issue numérique appartienne à un intervalle de R donné. Elle n’est plus mentionnée dans les programmes sauf en STI. Son utilité en matière de variables aléatoires discrètes n’apparaîtrait en effet, timidement, que si les valeurs prises sont nombreuses. – L’espérance mathématique. L’objectif est de faire comprendre l’intérêt prévisionnel de ce paramètre en termes « d’aide à la décision ». Son utilité apparaît lorsqu’on étudie une expérience aléatoire dans laquelle il y a un enjeu ou lorsqu’on veut comparer plusieurs options stratégiques différentes sujettes à aléa. L’objectif est aussi d’exploiter les propriétés de linéarité de l’espérance pour optimiser son calcul effectif et pour étudier l’effet de certaines transformations sur les valeurs prises par la variable aléatoire (ajout d’un même nombre, transformation affine). – La variance et l’écart type. L’objectif est de faire comprendre l’intérêt de ce paramètre en terme de mesure du « facteur de risque », en particulier, lorsque l’espérance mathématique ne fournit pas une aide significative. En tout état de cause, il conviendra de contextualiser le calcul de ces paramètres, les documents d’accompagnement préconisent à ce propos « d’éviter le calcul systématique et sans but précis de l’espérance et de la variance de lois de probabilité ». ➤ Choix des exercices complémentaires

Le choix d’exercices peut s’organiser autour des thèmes suivants : – Construction de la loi de probabilité d’une variable d’aléatoire. – Utilisation de l’espérance mathématique comme aide à la décision. – Application de l’écart type pour distinguer deux variables aléatoires ayant des espérances égales ou très voisines. – Effet d’une transformation affine X → a X + b sur l’espérance et l’écart type. – Étude d’un jeu de hasard usuel.

8.2 Étude thème par thème

199

Thème 42.4. Lois binomiales

Deux types de lois discrètes ont une importance particulière dans les programmes, par leur statut de modèles standard : la loi de Bernoulli et la loi binomiale. L’étude de ces lois constitue un objectif spécifique en série ES ou L (en s’en tenant pour des situations modélisées par une loi binomiale à un petit nombre n d’essais, le programme en préconise au plus cinq) et en série S (où le nombre n peut être plus grand). Selon la situation, on peut considérer avec intérêt la variable qui représente la fréquence des occurrences de A. Cette variable a pour espérance p, et son écart type  1 p(1 − p) est proportionnel à √ . Son espérance ne dépend pas du nombre d’esn n sais, et son écart type diminue si on augmente le nombre d’essais. ➤ Choix des exercices complémentaires

Il est très fréquent qu’un exercice de probabilités posé au baccalauréat se termine par une question portant sur la répétition n fois indépendamment d’une épreuve dans laquelle on relève le nombre d’occurrences d’un évènement A dont on a calculé, dans une question précédente, la probabilité p. À cet effet, les élèves sont souvent confrontés à des types de questions récurrentes qu’il convient de traiter dans le cadre de ce dossier : – Déterminer la loi de probabilité du nombre d’occurrences de A pour une petite valeur de n. – Déterminer n pour que la probabilité d’au moins une occurrence de A soit supérieure ou égale à un seuil donné (0,95 ou 0,99, par exemple).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Pour dépasser ensuite ce niveau basique de questionnement, qui est bâti quelque peu artificiellement, on peut considérer une application du modèle binomial : – Étudier les qualités d’un QCM (comment éliminer presque à coup sûr un candidat qui répondrait au hasard). – Étudier le comportement de montages en série ou en parallèle de composants identiques et indépendants (en étudier la fiabilité en fonction de celle de chaque composant). – Traiter un exemple de regroupement par paquets de tests de dépistage dans le cas où un résultat positif est rare (méthode, certes controversée, dite du « poolage »). Thème 42.5. Les lois continues

Elles sont au programme de terminale S, particulièrement les lois uniforme et exponentielle (l’étude de la désintégration radioactive fait à ce propos l’objet d’un travail pluridisciplinaire entre les mathématiques et la physique). Une variable aléatoire X est continue lorsque l’ensemble des valeurs prises par X est R ou un intervalle de R. En pareil cas, la probabilité que X prenne une valeur

200

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

particulière est généralement vide de sens. En revanche, la probabilité que la valeur de X soit comprise entre deux valeurs différentes a et b est une notion qui a un sens. Une variable aléatoire continue est dite « à densité de probabilité » ou absolument continue lorsqu’on peut définir la loi de probabilité de X de la manière suivante : Pour tous réels a et b (a < b) :  b f (t).dt P(a  X  b) = a

où f est une fonction positive sur R, continue par morceaux, et vérifiant :  +∞ f (t).dt = 1. −∞

Dans un tel cas, la fonction de répartition F est définie sur R par : Pour tout réel x :  x F(x) = P(X  x) = f (t).dt. −∞

Elle est liée à la densité par le fait qu’en tout point x0 où F est dérivable : F  (x0 ) = f (x0 ) et prend une importance qu’elle n’a pas dans le cas d’une variable discrète car elle permet de déterminer la probabilité que la variable X prenne une valeur située dans un intervalle donné. La loi uniforme sur un intervalle permet de modéliser une épreuve dans laquelle un évènement est attaché à l’un des éléments d’un intervalle fermé borné I sous l’hypothèse d’homogénéité : il n’y a pas d’intervalle inclus dans I où l’évènement est plus souvent attaché. La loi exponentielle, définie sur l’intervalle borné à gauche [0, +∞[, modélise continûment une durée de vie sans vieillissement d’un individu ou bien le temps d’attente de l’apparition d’un évènement exceptionnel sous hypothèse de non-mémorisation. Il est possible de simuler une telle loi sur calculatrice ou tableur : La fonction de répartition d’une loi exponentielle étant définie sur R+ par une relation de la forme : x → F(x) = 1 − e−lx , elle est une fonction strictement croissante sur cet intervalle, et admet une fonction réciproque, définie sur [0, 1[ par 1 la relation : u → F −1 (u) = − ln (1 − u). Il en résulte que si on utilise sur une l 1 calculatrice l’instruction : − ln (1 − rand()), la calculatrice renvoie une valeur d’une l variable aléatoire qui simule la loi exponentielle de paramètre l. ➤ Objectifs visés par ce thème

La modélisation d’une situation concrète par une loi continue a pour objectif général de faire utiliser simultanément plusieurs outils, tels que l’intégration et des notions de calculs de probabilité.

8.2 Étude thème par thème

201

Soit une loi P définie par une densité de probabilité f supposée continue sur un segment [a, b]. L’interaction entre l’outil intégral et les notions en usage dans le calcul des probabilités peut se détailler comme suit : 

Savoir reconnaître ou déterminer une densité par sa propriété spécifique

b

f(t).dt = 1 a



Savoir calculer par intégration les paramètres d’une loi

à l’exemple de E(X) =

Savoir exprimer à l’aide d’une intégrale la fonction de répartition F sur l’intervalle de définition

F(x) =

t × f(t).dt

a



x

f(t).dt a

Savoir calculer la probabilité d’un intervalle I inclus dans l’intervalle de définition Savoir interpréter graphiquement une densité ou une fonction de répartition pour calculer la probabilité d’un intervalle

b

P



c, d



= F(d) − F(c)

En termes d’aire sous la courbe pour la représentation graphique d’une densité, en termes de différence des ordonnées de deux points d’abscisse connue pour une fonction de répartition

(Si la loi est définie sur un intervalle borné à gauche [a, +∞[, il s’agira, de plus, de procéder à des passages à la limite en + ∞). ➤ Choix d’exercices complémentaires

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

On peut viser quelques-uns des objectifs suivants : – Exemple de modélisation par une loi uniforme. – Exemple de modélisation d’un processus sans mémoire par une loi exponentielle. Sens que l’on peut attribuer au paramètre d’une loi exponentielle. Notion de demivie. – Exemple de modélisation par une loi autre que la loi uniforme ou la loi exponentielle. Calcul par intégration d’au moins un paramètre associé (espérance). Thème 42.6. Calcul matriciel et probabilités

Ce thème est présent en liaison avec la théorie des graphes dans les programmes de terminale de la série ES spécialité. ➤ Types de problèmes concernés

Deux types de problèmes se rattachent à ce thème : 1. Type 1. Modélisation de l’évolution d’un unique individu pouvant changer aléatoirement d’état. On dispose d’une collection finie d’états possibles {E 1 , E 2 , ..., E m } et, à chaque observation, l’individu est exactement dans l’un, et un seulement, des états de cette

202

8 • Thèmes de probabilités et de statistiques

collection. L’expérience à modéliser est l’étude de la suite (X n )n∈N des états de l’individu lors des observations successives, X 0 désignant l’état initial. L’hypothèse essentielle dans ce type de problème est que pour toute valeur de l’entier naturel n, l’état observé lors de la (n + 1)-ième observation ne dépend que de l’état dans lequel se trouvait le système lors de n-ième observation et non de l’entier n lui-même. Ainsi, pour chaque couple (i, j) de {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., m}, la probabilité conditionnelle de transition de l’état E i vers l’état E j , pi j = P



X n+1 = E j





sachant (X n = E i )

ne dépend que de i et de j et non de n. En désignant pour tout entier naturel n et pour chaque entier i de {1, 2, ..., m} par pn (i) la probabilité de l’évènement [X n = E i ], l’état probabiliste de l’individu lors de la n-ième observation est une loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles, représentée par la matrice ligne L n = ( pn (1) pn (2) ... pn (m)). Sous ces hypothèses, les données de ce problème peuvent être représentées à l’aide d’un graphe orienté dont les sommets sont les éléments de {E 1 , E 2 , ..., E m } et dont l’arc allant de E i à E j est pondéré, pour chaque couple (i, j), par la probabilité pi j . Ainsi la somme des poids des arcs sortant de chaque sommet est-elle égale à 1. Si on désigne pour tout entier naturel n et pour chaque entier i de {1, 2, ..., m} par pn (i) la probabilité de l’évènement [X n = E i ], le calcul de ces probabilités peut être formalisé à l’aide du calcul amène à la notion ⎛ matriciel et cette formalisation ⎞ p11 p12 ... p1m ⎜p ⎟ ⎜ 21 p22 ... p2m ⎟ de matrice de transition A = ⎜ ⎟, matrice dont tous les termes ⎝ ... ... ... ... ⎠ pm1 pm2 ... pmm sont positifs et qui a pour propriété que la somme des termes de chacune de ses lignes est égale à 1. En faisant opérer cette matrice de transition sur la matrice ligne L n−1 , on obtient la matrice ligne L n . 2. Type 2. Modélisation de l’évolution de la répartition de l’ensemble d’une population d’un système en interaction suivant plusieurs composantes. Les hypothèses sont que l’évolution d’un individu particulier pendant une transition ne dépend que de la composante à laquelle il appartient et que la partition de l’ensemble de la population obtenue lors de l’observation (n + 1) ne dépend que de la partition précédente. L’expérience à modéliser est la construction de la suite de matrices lignes donnant les pourcentages d’individus de la population selon chacune des composantes. Cette fois, on suppose la population suffisamment nombreuse pour que la transition soit statistiquement régulière et peu perturbée par la fluctuation. Le traitement mathématique de ce type de problème est analogue au précédent.

8.2 Étude thème par thème

203

➤ Choix des exercices complémentaires

Le champ notionnel est dans ce thème bien ciblé. Le choix d’exercices peut suivre de très près les différents objectifs visés dans le programme de terminale : – Savoir représenter une situation à l’aide d’un graphe probabiliste et savoir la formaliser à l’aide de la matrice de transition A associée. – Savoir reconnaître qu’un graphe orienté pondéré est un graphe probabiliste, qu’une matrice carrée est la matrice de transition d’un graphe probabiliste. – Savoir calculer, à l’aide d’un calcul matriciel, l’état probabiliste d’un système pour un petit nombre d’observations. Ces compétences concernent les graphes ayant plusieurs sommets (éventuellement plus de deux). Dans le cas des graphes probabilistes à deux sommets, l’étude1 est poussée plus loin, jusqu’à l’étude du problème de convergence et de stabilisation de l’état probabiliste à long terme. Ce cas modélise l’évolution d’un individu pouvant passer aléatoirement d’un état E à l’état contraire E ou inversement, ainsi que la répartition d’une population en deux classes.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– Connaître l’existence, et son indépendance par rapport à l’état initial, d’un état probabiliste stable vers lequel tend l’évolution à long terme (les systèmes considérés étant supposés non alternatifs). – Savoir obtenir  cetétat stable en exploitant son invariance par transition : l’état stable L = p q vérifie p + q = 1 et L = L × A.

1. Remarque : Un même problème d’évolution peut être posé dans une classe de terminale ES spécialité traité de la façon exposée ici, et dans une classe de terminale S en étudiant les suites des probabilités d’obtenir l’un ou l’autre état après n transitions, avec l’outil des suites arithmético-géométriques. Il serait intéressant de mettre en perspective ce double traitement suivant la série concernée.

Partie III

Sujets et corrigés

Cette partie est organisée en trois chapitres. Le premier chapitre propose une sélection d’énoncés d’exercices à commenter. Le chapitre suivant propose de brèves indications sur les sujets de manière à orienter l’analyse. Chacun pourra s’y référer, si besoin est, après une première étude de l’exercice proposé. Le dernier chapitre propose des éléments de correction plus détaillés. Chacun des sujets devrait être suivi d’une question « présenter un ou plusieurs exercices sur le thème... » Cette question est, dans chaque cas, implicitement posée. Parfois, dans la correction du sujet, on trouvera quelques indications sur le choix de ces exercices mais en aucun cas un assortiment d’exercices « clefs en mains » s’y rapportant.

Chapitre 9

Sujets d’entraînement : énoncés

Ce chapitre est consacré à une sélection de sujets d’entraînement. Les questions posées sur ces sujets sont souvent plus nombreuses que les questions qui seraient posées si un exercice approchant faisait l’objet d’une épreuve d’oral. Dans ce cas, certaines d’entre elles sont labellisées « pour approfondir ». L’objectif visé par ces questions est d’entrer dans le détail, souvent critique, d’une analyse de tout ou partie de l’exercice. Le sujet se prête alors soit à une étude en temps strictement limité de préparation, ne traitant que les questions principales, soit à une étude plus minutieuse traitant aussi les questions d’approfondissement. Les utilisations de calculatrice sont assez nombreuses. L’objectif est d’encourager la manipulation fréquente, au sein d’une préparation foncière au concours, de cet outil d’investigation.

Sujet 01. Problèmes d’incidence ➤ Exercice proposé

ABCD est un rectangle. On suppose que AB = 7 et BC = 4. Soit E, F, G, H , −−→ −→ 1 −→ −→ 1 −→ −−→ 6 −−→ −−→ les points définis par : AE = AB ; B F = BC ; G D = C D ; H A = −3 H D 7 4 7 Première partie : Méthode vectorielle −→ −→ −→ 1. Exprimer E F en fonction de AB et de AC. −−→ −→ −→ 2. Exprimer H G en fonction de AB et de AC. 3. En déduire la nature du quadrilatère EFGH. Deuxième partie : Méthode analytique −→ −−→ 1. Démontrer que (A, AB, AD) est un repère du plan. 2. Donner, dans ce repère, les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G, H .

208

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

−→ −−→ 3. Donner les coordonnées des vecteurs E F et H G. Conclure sur la nature du quadrilatère EFGH. ➤ Questions

Q1 On considère les définitions des points E, F, G, H . Commentez les relations vectorielles qui les définissent. Y a-t-il une progression dans la difficulté à placer les points E, F, G, H ? De manière générale, comment faut-il choisir la position de ces points sur (AB), (BC), (CD), (DA) respectivement pour que la nature de EFGH se maintienne ? Q2 À quel niveau de classe peut se situer cet exercice ? Une situation analogue pourrait-elle être traitée à d’autres niveaux ? ➤ Pour approfondir

Q3 Les données : « ABCD est un rectangle. On suppose que AB = 7 et BC = 4 », sont-elles toutes indispensables ? Quel est leur rôle dans l’exercice ? Q4.1 On considère la « méthode vectorielle ». Le texte impose d’exprimer des −→ −→ vecteurs « en fonction de AB et de AC ». Que pensez-vous de ce choix ? Que feriezvous retenir aux élèves à propos de l’exploitation d’une telle méthode ? Q4.2 On considère la « méthode analytique ». Le texte impose de chercher les −→ −−→ coordonnées de E F et H G. S’il était demandé simplement « retrouver le résultat précédent », l’apprentissage serait-il le même ?

Sujet 02. Problèmes d’incidence : orthogonalité ➤ Exercice proposé

Sur papier quadrillé, on a placé les points A, B, C et D sur des nœuds du quadrillage. L’unité de longueur est la longueur du côté d’un carreau. Les triangles ABC et ABD sont-ils rectangles ? Les points C et D appartiennent-ils au cercle de diamètre [AB] ?

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

209

➤ Questions

Q1 Quels objectifs un enseignant peut-il viser en posant cet exercice ? À quel niveau de classe peut-il le proposer ? Q2 Citez deux démarches possibles permettant de répondre aux deux questions posées et précisez les théorèmes utilisés dans la résolution.

Sujet 03. Recherche d’un lieu géométrique ➤ Exercice proposé

A, B et C sont trois points non alignés. D est une droite non parallèle à (AC). M étant un point de D, on construit successivement les parallélogrammes AMBN et BNCP. 1. Faire une figure en prenant plusieurs points M sur D. 2. Lieu géométrique de N : 2.1. Déterminer une transformation f telle que, pour tout point M de D, f (M) = N . 2.2. En déduire le lieu géométrique D1 du point N lorsque M décrit D. 3. Lieu géométrique de P : 3.1. Déterminer une transformation g telle que, pour tout point N de D1 , g(N ) = P. En déduire le lieu géométrique de P. 3.2. Peut-on trouver une transformation t telle que, pour tout point M de D, t(M) = P ? Retrouver ainsi le lieu géométrique du point P. ➤ Questions

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Q1

Décrivez la méthode utilisée ici pour rechercher des lieux géométriques.

Q2 Présentez l’exercice à l’aide d’un logiciel de géométrie. Quel pourrait être l’apport du logiciel dans cet exercice ? Q3 Quelle synthèse tireriez-vous de l’exercice ? ➤ Pour approfondir

Q4 Les points A, B, C sont supposés « non alignés » et la droite D est supposée « non parallèle à (AC) ». En quoi ces hypothèses interviennent-elles dans l’exercice ? Sont-elles indispensables ? Q5 Présenteriez-vous de la même façon la question 3 de l’exercice ?

Sujet 04. Recherche d’un lieu géométrique ➤ Exercice proposé

G est un cercle de centre O. A est un point extérieur à ce cercle.

210

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

On place un point B sur le cercle. La droite (AB) recoupe le cercle G en C (qui peut être confondu avec le point B). Soit M le milieu du segment [BC]. Que fait M quand B parcourt le cercle ? ➤ Questions

Q1 À quel niveau de classe et en relation avec quelle notion du programme peut-on aborder ce problème ? Q2 Présentez l’exercice à l’aide d’un logiciel de géométrie. Quel pourrait être l’apport du logiciel dans cet exercice ? Q3 Dégagez une méthode adaptée à la résolution de ce type de problèmes, et rédigez un texte d’énoncé amenant à établir « ce que fait » le point M. ➤ Pour approfondir

Q4

Quel est l’intérêt d’avoir choisi le point A « à l’extérieur du cercle » ?

Sujet 05. Problèmes de construction utilisant une transformation ➤ Exercice proposé

(C) est un cercle de centre O et de rayon R. I est un point fixé de (C) et A est le milieu de [OI]. On cherche à construire un triangle rectangle isocèle AMN en A (tel que AM = AN ) dont les deux autres sommets M et N appartiennent −−→ −−→à (C). p 1. On cherche d’abord un triangle AMN de sens direct (tel que AM, AN = ) 2 et, à cet effet, on note (C ) l’image du cercle (C) par la rotation de centre A et p d’angle de mesure : 2 1.1. Préciser le centre et le rayon du cercle (C ). 1.2. Montrer que, si AMN est un triangle rectangle isocèle direct solution, alors le point N appartient à (C ). Quels sont les points N possibles ? 1.3. Montrer que, si N est l’un des points possibles, alors on peut construire un triangle isocèle direct AMN solution. Réaliser effectivement la construction. 2. Déterminer maintenant tous les triangles rectangles isocèles répondant à la question. ➤ Questions

Q1 Décrivez la démarche suggérée dans cet énoncé pour résoudre un problème de construction. La question 1 vous paraît-elle bien posée pour que les élèves prennent conscience de la méthode ? ➤ Pour approfondir

Q2 Si l’énoncé avait été : « (C) est un cercle de centre O et de rayon R et A est un point fixé du plan... », qu’est-ce que cela aurait changé dans la résolution ?

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

211

Sujet 06. Sections planes ➤ Exercice proposé

ABCD est un tétraèdre. G est le centre de gravité de la face BCD, I est le milieu de [AD] et J est un point du segment [AB]. On veut représenter, sur une perspective cavalière, la section du tétraèdre ABCD par le plan (GIJ). 1. Soit M le milieu de [BC]. Montrer que les points A, M, G, et I sont des points coplanaires. En déduire le point d’intersection U de la droite (GI) avec le plan (ABC). 2. Déterminer le point d’intersection K du plan (GIJ) avec l’arête (BC) du tétraèdre. Construire alors la section du tétraèdre par le plan (GIJ). ➤ Questions

Q1 Précisez les méthodes de tracé mises en jeu dans cet exercice pour construire une section plane. ➤ Pour approfondir

Q2 Proposez une alternative de construction de cette section en utilisant la droite (GJ). Quel serait l’intérêt d’évoquer cette alternative ?

Sujet 07. Patrons

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Exercice proposé

À partir d’un cube ABCDEFGH d’arête 5 cm, on construit la pyramide HABCD. 1. Quelle est la nature des faces ADH et CDH ? 2. Que peux-tu dire de l’angle  B AH de la face ABH ? Que peux-tu dire de la nature de la face ABH ? Et de celle de la face BCH ? 3. Construis un patron de la pyramide en prenant comme face principale la face ABCD. 4.1. Avec un calque, reproduis ce patron sur du papier cartonné. (Prévois des languettes de recollement). Reconstitue alors la pyramide. 4.2. Avec les pyramides de deux de tes camarades, essaie de reconstituer le cube. ➤ Questions

Q1 À quel niveau de classe cet exercice peut-il être posé ? Quelles difficultés cet exercice peut-il présenter ? Quelles connaissances met-il en jeu ? Q2 Dégagez de l’exercice une méthode permettant de réaliser le patron d’une telle pyramide. Q3 À quoi peut servir la question 4 ?

212

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

Sujet 08. Problèmes de longueur minimum, d’aire maximum ➤ Exercice proposé

ABCD est un carré. G est un point du segment [AD]. E est le point de la droite (AB) tel que B E = DG et tel que A, B, E sont alignés dans cet ordre. On construit le rectangle AEFG. I est le point d’intersection de (FG) et de (BC). 1. Comparer les périmètres du carré ABCD et du rectangle AEFG. 2. Soit J le point tel que CIFJ soit un parallélogramme. Quelle est la nature exacte de ce parallélogramme ? 3. Montrer que l’aire du carré ABCD est égale à la somme de l’aire du rectangle AEFG et de l’aire de CIFJ. 4. Parmi tous les rectangles ayant un même périmètre, quel est le rectangle qui a l’aire la plus grande ? 5. Application : On veut clôturer un terrain rectangulaire en bordure d’une rivière, dont la rive (R) est rectiligne, en clôturant le terrain sur 3 côtés (on ne pose pas de clôture le long de la rivière) et on dispose pour cela de 45 mètres de clôture. Calculer l’aire du terrain que l’on peut clôturer en utilisant toute la clôture disponible pour les valeurs suivantes de AD : 5 mètres, 10 mètres, 15 mètres, 20 mètres. 6. Comment faut-il choisir AD pour que l’aire du terrain clôturé soit la plus grande possible (on pourra considérer les points C et D symétriques de C et de D par rapport à la rive (R)) ?

➤ Questions

Q1 Quels sont les savoirs en jeu dans les questions 1 à 4 de l’exercice ? Quelle difficulté peut rencontrer un élève dans la question 4 ? Q2 À quoi sert la question 5 au regard de la question 6 ? Détaillez une démarche permettant de résoudre la question 6. Rédigez un énoncé qui pourrait être proposé à des élèves pour les guider. ➤ Pour approfondir

Q3

Les questions 5 et 6 abordent un nouveau problème de recherche d’aire

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

213

maximale. On suppose que l’on propose cette situation seule, sans ce qui précède, en disant : « On veut clôturer un terrain rectangulaire en bordure de rivière et on dispose de 45 m de clôture. Déterminer le terrain de plus grande aire que l’on peut clôturer ». Comment aborderiez-vous situation dans une classe de manière à favoriser une démarche d’investigation ? Quel pourrait être, à cet effet, l’apport d’une utilisation de TICE ?

Sujet 09. Triangles isométriques, triangles de même forme ➤ Exercice proposé

 ABC est un triangle isocèle en A tel que B AC < 60◦ . La médiatrice du côté [AC] coupe (BC) en D. E est le point de la demi droite [DA) tel que E n’appartient pas au segment [DA] et E A = B D. 1. En utilisant des triangles isométriques, montrer que ECD est isocèle en C.  2. Refaire une figure dans le cas où B AC > 60◦ . Le résultat précédent est-il toujours valable ? ➤ Questions

Q1

Indiquez la démarche attendue dans la question 1 et les méthodes permettant  sa mise en œuvre. Quel est le rôle de l’hypothèse « B AC < 60◦ » ? Q2 Rédigez une correction détaillée de la question 1. Q3

Quelle va être la réponse probable d’un élève à la question 2 ?

Comment présenteriez-vous la situation pour qu’un élève soit en mesure d’émettre des conjectures dans ce nouveau cas ?

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 10. L’outil angulaire ➤ Exercice proposé

Quels sont les côtés opposés de l’hexagone DEFGHI qui sont parallèles ? Quels sont ceux qui ne le sont pas ? Justifier les réponses.

214

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

➤ Questions

Q1 À quel niveau de classe cet exercice peut-il être posé ? Indiquez les compétences mises en jeu dans sa résolution. Q2 Les données sont-elles toutes indispensables ? Quelle conséquence cela aurait-il sur la résolution si l’une convenable d’entre elles était supprimée ? ➤ Pour approfondir

Q3 Proposez une gestion de classe destinée à étudier cette situation pendant une séance de travaux dirigés.

Sujet 11. L’outil du calcul numérique ➤ Exercice proposé

ABCDEFGHest un cube de centre O et d’arête 1. On rapporte l’espace au repère −→ −−→ −→ orthonormal A, AB, AD, AE . On note a la mesure en degrés de l’angle  AOC. −−→ −−→ 1. Exprimer de deux façons le produit scalaire O A. OC. En déduire cos a, puis une valeur approchée de a à 0,1˚ près. 2. M est maintenant un point de la grande diagonale [BH] du cube. Soit x le −−→ −−→ nombre réel de l’intervalle [0, 1] tel que : B M = x. B H . On s’intéresse à l’angle géométrique  AMC. 2.1. Calculer en fonction de x les coordonnées du point M, puis exprimer en fonction de x le cosinus de l’angle géométrique  AMC. Retrouver, pour une valeur de x que l’on précisera, le résultat de la question 1. 2.2. Existe-t-il un point M de [BH], autre que B, tel que l’angle  AMC soit un angle droit ? 3. Où doit se trouver M sur [BH] pour que la mesure en degrés de l’angle  AMC soit maximale ? ➤ Questions

Q1 Explicitez les méthodes en jeu. En particulier, détaillez une méthode de calcul du cosinus d’un angle géométrique sous-jacente à cet exercice. Q2 L’exercice impose le repère à utiliser. Quel apprentissage pourrait-on promouvoir si l’utilisation de la géométrie analytique était envisagée sans pour autant que le repère soit imposé ? ➤ Pour approfondir

Q3 Compte tenu de la nature du triangle O AC, proposez une autre façon de calculer le cosinus de la question 1, sans utiliser la géométrie analytique. Q4 Quelles procédures peuvent utiliser les élèves pour résoudre la question 3 ?

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

215

Sujet 12. Ensembles de nombres ➤ Exercice proposé

L’exercice que voici a été posé au Brevet des Collèges session 2005 : Alain, Bernard et Charlotte décident de faire chacun une question de l’exercice √ √ √ 16 × 10−5 × 3 × 104 5 2 9 , C = 63+2 7−5 28 » suivant : « A = − × , B = 4 3 16 24 × 10−3 1. Calculer A et donner le résultat sous forme de fraction irréductible. 2. Calculer B et donner le résultat sous forme d’un nombre entier. √ 3. Écrire C sous la forme a 7, a étant un nombre entier relatif. » 21 . Bernard calcule B et propose B = 2 × 102 . Alain calcule A et propose A = 64 √ Charlotte calcule C et propose C = −5 7. Ces réponses vous semblent-elles satisfaisantes ? Justifiez vos affirmations. ➤ Questions

Q1

Quelles sont les compétences évaluées par cet exercice ?

Q2

Quels sont les savoirs et savoir-faire, en matière d’écriture des nombres, mis

en jeu par l’exercice ? Q3 Commentez les réponses données par Alain, Bernard et Charlotte. Comment les élèves peuvent-ils justifier leur réponse à propos du calcul d’Alain ?

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Pour approfondir

Q4

La question 2 de l’exercice portant sur le calcul de B vous paraît-elle bien

posée ? Q5

Proposez des réponses, représentatives d’erreurs qui vous sembleraient

caractéristiques, que l’on aurait pu attribuer à Alain ou à Charlotte.

Sujet 13. Thème : la proportionnalité ➤ Exercice proposé

En 1999, les élections européennes ont permis d’élire dans chaque pays un certain nombre de députés pour siéger à la chambre des députés européens. Le tableau suivant donne, pour quelques-uns des pays européens, la population et le nombre de députés qui représentent le pays. 1. Le nombre de députés européens est-il proportionnel au nombre d’habitants de ce pays ?

216

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

2. Classer ces pays du mieux représenté au moins bien représenté. Pays

Fra.

All.

Belg.

Aut.

Esp.

P.B.

Population (en millions)

60

81

10

8

40

15

Nombre de députés

78

99

24

18

54

27

➤ Questions

Q1

Quelles sont les compétences visées par cet exercice ?

Q2 Citez deux démarches différentes permettant de répondre à la première question. Q3 Quelle synthèse feriez-vous à propos de la question 2 de l’exercice ? ➤ Pour approfondir

Q5 Un élève écrit : « L’Autriche et la Belgique ne sont pas représentés de la même façon, puisque, quand la population augmente de 2, le nombre de députés n’augmente pas pareil : il n’y a pas proportionnalité ». Caractérisez l’erreur de cet élève.

Sujet 14. Thème : Équations et inéquations du premier degré à une inconnue ➤ Exercice proposé

1. L’unité est le centimètre. Construire un triangle ABC tel que : AB = 8 ; BC = 3 ; C A = 7. 2. M est un point de [AB] et on pose AM = x. La parallèle à (CB) passant par M coupe (AC) en I et la parallèle à (CA) passant par M coupe (BC) en J. Quelle est la nature du quadrilatère MICJ ? 3.1. Où doit se trouver M sur le segment [AB] pour que : AI > B J ? 3.2. Où doit se trouver M sur le segment [AB] pour que : C I > C J ? 3.3. Où doit se trouver M sur le segment [AB] pour que : AI > B J et C I > C J ? ➤ Questions

Q1

Précisez les savoirs et les méthodes mises en jeu dans l’exercice.

Q2 Rédigez une ou plusieurs questions intermédiaires permettant de rendre plus abordable une résolution algébrique de la question 3, et indiquez les points importants de cette question que vous mettriez en évidence dans une correction de l’exercice. Q3 Comment présenteriez-vous tout ou partie de cette situation dans une classe de fin de collège ?

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

217

➤ Pour approfondir

Q4

Les valeurs de x pour lesquelles il y a égalité AI = B J ou C I = C J sont

des nombres décimaux. Qu’est-ce qui, dans le choix des longueurs AB, AC et BC (les nombres entiers 8, 3 et 7), détermine ce fait ?

Sujet 15. Thème : Systèmes d’équations linéaires ➤ Exercice proposé

 4x + 3y = 206 1. Résoudre le système : . 2x + 2y = 114 2. Lors d’un spectacle, la famille A, composée de 4 adultes et de 3 enfants, a payé 206 €. Pour le même spectacle, la famille B, composée de 2 adultes et de 2 enfants, a payé 114 €. Combien paiera pour ce spectacle la famille C, sachant qu’elle est composée de 3 adultes et de 2 enfants ? ➤ Questions

Q1

À quel niveau de classe cet exercice peut-il être posé ?

Q2

Quelles connaissances et compétences cet exercice permet-il d’évaluer ?

Q3

Quelles méthodes de résolution les élèves peuvent-ils mettre en œuvre dans

la résolution du système ? ➤ Pour approfondir

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Q4

Si la question 2 était posée seule, est-il certain, compte tenu du choix des

valeurs numériques de l’énoncé, que les élèves pensent à la démarche à laquelle on veut les amener ici ? Proposez éventuellement une modification des données favorisant le recours à la résolution d’un système.

Sujet 16. Systèmes d’inéquations linéaires ; programmation linéaire ➤ Exercice proposé

Une entreprise fabrique deux produits P1 et P2 à partir de trois composants C1 , C2 et C3 . Les caractéristiques de fabrication sont rassemblées dans le tableau ci-après. La fabrique dispose de 240 composants C1 , 192 composants C2 , et 205 composants C3 . On désigne par x et par y le nombre d’unités de P1 et de P2 respectivement que l’entreprise veut éventuellement fabriquer avec les stocks dont elle dispose. 1. Traduisez les hypothèses par un système de trois inéquations.

218

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

2. Est-il possible de produire 30 unités P1 et 12 unités P2 ? 20 et 18 ? 18 et 20 ? 36 et 4 ? 36 et 5 ? 3. Représentez graphiquement les trois contraintes, en précisant en particulier les coordonnées des points d’intersection deux à deux des droites tracées. Expliquez graphiquement les réponses obtenues à la question 2. 4. Est-il possible d’épuiser tout le stock de composants disponible ? Pourquoi ? Produit P1

Produit P2

Nombre de composants C1

6

5

Nombre de composants C2

4

6

Nombre de composants C3

5

5

➤ Questions

Q1

Quels sont les apprentissages visés par cet exercice ?

Q2

On se propose de prolonger l’exercice par une nouvelle question, d’optimi-

sation cette fois : recherche du bénéfice maximal réalisé en vendant les produits P1 et P2 . 2.1. Quel est l’intérêt d’avoir trois contraintes plutôt que deux seulement ? 2.2. Il reste à choisir les valeurs numériques des bénéfices, réalisés sur une unité de P1 et sur une unité de P2 , qui seront proposées aux élèves pour construire la fonction à optimiser. Proposez un choix et indiquez les motivations qui ont guidé votre choix.

Sujet 17. Thème : Calcul matriciel ➤ Exercice proposé

Une école de commerce offre deux filières de formation, « économique » et « mathématique ». L’admission dans l’une ou l’autre de ces filières nécessite une moyenne au moins égale à 10 sur un ensemble de trois matières : économie, mathématiques, langues. Mais ces trois matières ne sont pas coefficientées de la même manière suivant la filière visée. Le tableau suivant donne les coefficients affectés à chaque matière. Filière économique

Filière mathématique

Économie

4

3

Mathématiques

3

5

Langues

3

2

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

219

On s’intéresse aux notes de quatre élèves, consignées dans ce tableau : Élève A

Élève B

Élève C

Élève D

Économie

13

13

8

6

Mathématiques

11

7

12

8

Langues

5

9

9

17

On souhaite savoir, à l’aide d’un calcul matriciel, lesquels de ces quatre élèves seront admis à la filière économique et lesquels seront admis à la filière mathématique. À cet effet, on représente ⎞coefficients des trois matières selon la filière ⎛ les 4 3 ⎟ ⎜ visée par la matrice : C = ⎝3 5⎠. 3 2 1. Donner la signification de la première colonne ; de la deuxième ligne ; du terme de la deuxième colonne et de la troisième ligne. 1 2. Que représente la matrice : P = C ? 10 3. Représenter les notes des quatre élèves par une matrice N de sorte qu’en effectuant, dans un ordre convenable, le produit de la matrice N et de la matrice P, on puisse répondre par lecture des résultats à la question posée à propos des admissions à l’une ou l’autre filière. Faire les calculs à la main, contrôler avec la calculatrice et donner la réponse. 4. Comment organiser le calcul  si au départ on représente les coeffi matriciel 4 3 3 ? cients par la matrice : C  = 3 5 2

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Questions

Q1 Précisez les savoirs et savoir-faire qui sont travaillés par l’exercice dans les questions 1 à 3. Q2.1 Quel est l’intérêt de présenter les tableaux en mettant, dans les deux cas, les matières économie, mathématiques, langues en ligne ? Q2.2 Quel problème se poserait si, au lieu de présenter les notes de quatre élèves, on ne présentait les notes que de trois élèves ? Q3 Quel est l’objectif de la question 4, quelle serait votre synthèse à son propos ?

Sujet 18. Thème : Arithmétique ➤ Exercice proposé

L’énoncé est inspiré d’un sujet de l’épreuve pratique de mathématiques du baccalauréat 2007. Dans cette épreuve, les candidats doivent utiliser les TICE pour résoudre, en une heure de temps, le problème posé.

220

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

Pour tout entier naturel n, on pose a = 5n + 7 et b = 4n + 3. On s’intéresse aux valeurs du PGCD de a de b en fonction de n. 1. Conjectures avec un logiciel ou une calculatrice : 1.1. Sur un tableur, créer trois colonnes donnant les valeurs de n, a, b pour n variant de 0 à 100. 1.2. Remplir la quatrième colonne avec les valeurs du PGCD de a et de b. 1.3. Quelles semblent être les valeurs possibles de PGCD(a, b) ? 1.4. En observant les résultats obtenus sur un tableur, comment pensez-vous caractériser les valeurs de n telles que PGCD(a, b) = 13 ? 2.1. Démontrer la conjecture faite au 1.3. 2.2. En raisonnant par disjonction des cas, déterminer les valeurs de n telles que : PGCD(a, b) = 13. Production attendue : les réponses écrites aux questions 1.3. ; 1.4. ; 2.1. ; 2.2. et l’obtention à l’écran du tableau demandé. ➤ Questions

Q1

Présentez sur une calculatrice les conjectures de la question 1.

Q2

Rédigez un corrigé de la question 2.1.

Q3

Quel outil mathématique est attendu pour la démonstration 2.2. ? Pour-

quoi demander un raisonnement « par disjonction de cas » dans le contexte de cette épreuve pratique ? Pourrait-on procéder autrement que par disjonction de cas ? ➤ Pour approfondir

Q4

Qu’est-ce qui changerait dans la résolution si on posait : a = 5n + 6 plutôt

que 5n + 7 ?

Sujet 19. Suites arithmétiques et suites géométriques ➤ Exercice proposé

Deux entreprises de forage proposent leurs services pour forer un puits. L’entreprise A demande un forfait de 1 940 € et facture 100 € chaque mètre foré. L’entreprise B demande un forfait de 2 560 €. Elle facture 50 € le premier mètre foré et chaque mètre supplémentaire coûte 2 € de plus que le précédent. 1. On étudie la proposition de l’entreprise A. On note an le coût total d’un forage de n mètres de profondeur, facturé par l’entreprise A : 1.1. Quelle est la nature de la suite (an ) ? 1.2. En déduire l’expression de an en fonction de n.

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

221

2. On étudie la proposition de l’entreprise B. On note bn le coût total d’un forage de n mètres de profondeur, facturé par l’entreprise B, et on note xn le coût de forage du n-ième mètre foré par cette entreprise : 2.1. Quelle est la nature de la suite (xn ) ? 2.2. Comment s’exprime bn en fonction de termes de la suite (xn ) ? 2.3. Calculer l’expression de bn en fonction de n. 3. Comparer les propositions des deux entreprises pour une profondeur à atteindre de 25 mètres, puis de 40 mètres. ➤ Questions

Q1

Précisez les savoirs et savoir-faire à mettre en jeu dans cet exercice.

Q2

Proposez un prolongement à cet exercice.

➤ Pour approfondir

Q3 Caractérisez le type de suite représenté par le tarif B et dégagez de l’exercice une méthode pour étudier ce type de suite.

Sujet 20. Résolution approchée d’une équation numérique ➤ Exercice proposé (d’après baccalauréat S 2007, centres étrangers)

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Le but de l’exercice est de démontrer que l’équation (E) : x = e−x admet une unique solution dans l’ensemble R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution. Partie A. Existence et unicité de la solution On note f la fonction définie sur R par : f (x) = x − e−x . 1. Étudier le sens de variations de la fonction f sur R. En déduire que l’équation (E) possèdeune unique solution sur R, notée a. Démontrer que a appartient à 1 l’intervalle , 1 . Étudier le signe de f sur l’intervalle [0, a]. 2 Partie B. Deuxième approche 1+x . On note g la fonction définie sur l’intervalle [0, 1] par : g(x) = 1 + ex 1. Démontrer que l’équation f (x) = 0 est équivalente à l’équation g(x) = x. 2. En déduire que a est l’unique réel vérifiant : g(a) = a. ex 3. Calculer g  (x) et vérifier que : g  (x) = − × f (x). En déduire le sens (1 + ex )2 de variation de g sur l’intervalle [0, a]. Partie C. Construction d’une suite de réels ayant pour limite a On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n, par : u n+1 = g(u n ).

222

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0  u n  u n+1  a. 2. En déduire que la suite (u n ) est convergente. On note l sa limite. 3. Justifier l’égalité : g(l) = l. En déduire la valeur de l. 4. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u4 arrondie à la sixième décimale. ➤ Questions

Q1

Dégagez brièvement les objectifs de chaque partie du sujet et les connais-

sances mathématiques qu’elles mobilisent. Q2 Quels vous paraissent être les avantages et les inconvénients du travail demandé dans la partie C de l’exercice par rapport au but signalé en en-tête de ce dernier ? Q3 Mettez en œuvre la méthode de dichotomie pour calculer une valeur approchée de a et présentez cette méthode en utilisant une calculatrice. ➤ Pour approfondir

Q4

On se propose d’expliquer la bonne performance de la suite (u n ) de l’exer-

cice. Montrez que sa construction résulte de la méthode de Newton appliquée à la fonction f et à l’équation (E). Q5 Au vu des différentes méthodes visitées ci-dessus, comment structureriezvous une séance de travaux dirigés concernant le calcul d’une valeur approchée du nombre a de l’exercice ?

Sujet 21. Sens de variation d’une fonction ➤ Exercice proposé

On considère la fonction f définie sur R Par : f (x) = x 2 + 2x + 5. On se propose d’étudier le sens de variation de f en utilisant diverses méthodes. Méthode 1 1. Montrer que, pour tous réels a et b : f (b) − f (a) = (b − a)(b + a + 2). 2. On suppose que a < b. Montrer que, si b < −1, alors f (b) − f (a) < 0 et que, si a > −1, alors f (b) − f (a) > 0. Que peut-on en conclure à propos du sens de variation de f ? Méthode 2 1. Vérifier que pour tout réel x : f (x) = (x + 1)2 + 4. 2. Montrer que f est strictement croissante sur l’intervalle [−1, +∞[. Qu’en est-il sur ] − ∞, −1] ?

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

223

Méthode 3. Une interprétation géométrique Dans un repère orthonormal, on considère le point A de coordonnées (−1, 2). À tout réel x on associe le point M de coordonnées (x, 0) et la distance AM. Comment varie cette distance, lorsque M décrit l’axe Ox ? Quel lien y a-t-il entre cette distance et la fonction f étudiée dans l’exercice ? Retrouver les résultats obtenus dans les deux parties précédentes. ➤ Questions

Q1

À quel niveau de classe cet exercice peut-il être posé ?

Q2

Décrivez les différentes méthodes développées dans cet exercice. Préciser

leur champ d’application. ➤ Pour approfondir

Q3

L’ordre dans lequel les trois méthodes sont présentées vous paraît-il perti-

nent ? Si oui, indiquez pourquoi. Si non, proposez, en la justifiant, une modification de cet ordre.

Sujet 22. Thème : Étude de la courbe représentative

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Exercice proposé

 → − − → Le plan est rapporté à un repère orthonormal O ; i ; j . Soit f la fonction 1 définie sur R par : f (x) = e2x − 2,1ex + 1,1x + 1,6. 2 1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre : −4  x  4 ; −4  y  4. 2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer : 2.1. Sur les variations de la fonction f ? 2.2. Sur le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 ? 3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f. 3.1. Résoudre dans R l’inéquation e2x − 2,1ex + 1,1  0. 3.2. Étudier les variations de la fonction f. 3.3. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0. 4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−0,05 ; 0,15], de façon à visualiser les résultats de la question 3. Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ?

224

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

➤ Questions

Q1 Trois représentations graphiques sont effectuées dans cet exercice, deux lors de la question 1 et une troisième lors de la question 4. Ces représentations graphiques ont-elles le même statut ? Justifiez la réponse. Q2 Précisez les savoirs et savoir-faire que les élèves doivent mettre en œuvre pour résoudre les questions 3 et 4 de l’exercice. Q3 Précisez l’objectif de cet exercice. Quelle synthèse en tireriez-vous ? ➤ Pour approfondir

Q4 La fonction f a été définie sur R. L’étude de cette fonction et le tracé de sa courbe représentative vous semblent-ils achevés à l’issue de l’exercice ? Quelle étude supplémentaire proposeriez-vous éventuellement ? Q5 Formulez une hypothèse sur la façon dont a été choisie la fonction f étudiée ici.

Sujet 23. Optimisation ➤ Exercice proposé

La voûte d’un gymnase a une forme d’arche parabolique, de hauteur 10 mètres et de largeur 20 mètres, dont la section peut être modélisée par la représentation graphique C de la fonction g définie sur [−1 ; 1] par : g(x) = 1 − x 2 où x est exprimé en décamètres. 1. Représenter cette section à l’échelle 1/200. 2. On veut diviser le gymnase en deux parties en obturant une section à l’aide d’un rideau dont le modèle est présenté ci-dessous. Quel est le rideau qui réalise la meilleure obturation ? ➤ Questions

Q1

Quel peut être l’intérêt de la question 1 de l’exercice ?

Q2 Voici trois modèles de rideau susceptibles d’être présentés aux élèves. Comparez, suivant le modèle choisi, les fonctions que les élèves vont avoir à maximiser. Q3 Parmi les trois modèles (les modèles 2 et 3 sont des pentagones), quel rideau choisiriez-vous pour le présenter aux élèves ? Proposez un scénario de séance de travaux pratiques destinée à étudier la situation choisie. Vous indiquerez le niveau de classe visé, un énoncé permettant de guider les élèves dans leur recherche, et la synthèse que vous feriez à l’issue de la séance.

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

225

Sujet 24. Exemples de situations décrites au moyen de fonctions ➤ Exercice proposé

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Alain, Béatrice et Christophe sont chargés par leur professeur de SVT d’étudier l’évaporation de trois liquides notés A, B et C. Ils disposent chacun d’une éprouvette graduée et ils mesurent périodiquement la hauteur de liquide restant dans l’éprouvette. Alain est chargé du liquide A et remet au professeur le graphique ci-dessous :

Béatrice, qui étudie le liquide B, remet le tableau suivant : Durée en jours Hauteur de liquide restant en mm

0

4

8

12

15

150

126

102

78

30

Christophe, qui étudie le liquide C, remet la formule suivante : y = 160 − 8x, où y désigne la hauteur de liquide dans l’éprouvette exprimée en mm et x le temps écoulé depuis le début de ses observations exprimé en jours. 1. Quelle était l’éprouvette la plus remplie au début de l’expérience ?

226

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

2. Peut-on dire que la vitesse d’évaporation de chaque liquide est constante ? Pourquoi ? 3. Quelles sont les hauteurs de liquide dans les éprouvettes au bout de 7 jours ? 4. Au bout de combien de temps chaque liquide aura-t-il diminué de moitié ? ➤ Questions

Q1

À quel niveau de classe cet exercice peut-il être posé ?

Q2 Pour quelle raison l’énoncé décrit-il de manière différente les travaux remis par les trois élèves ? Q3 Quel travail feriez-vous faire aux élèves pour répondre à la question 2 ? ➤ Pour approfondir

Q4 Qu’est-ce qui différencie, du point de vue de la tâche de l’élève, la question 3 et la question 4 ? Q5 Proposez au moins une autre question que l’on pourrait poser à des élèves sur cette situation (et exploitant la notion de fonction).

Sujet 25. Thème : Exemple de situation menant à l’étude d’une fonction. Utilisation des TICE ➤ Exercice proposé

(Épreuve pratique de mathématiques du baccalauréat 2007. Les candidats doivent utiliser les TICE pour résoudre, en une heure de temps, le problème posé.) « Partage d’un triangle » Dans le plan, on définit un triangle ABC non isocèle en A et dont les angles en B et en C sont aigus. On note a son aire. On appelle H le pied de la hauteur issue de A et l’on se place dans le cas où C H > B H . On se propose de démontrer qu’il existe une droite et une seule perpendiculaire en un point M au côté BC, qui partage le triangle ABC en deux polygones de même aire. 1. Construire la figure demandée en utilisant un logiciel de géométrie dynamique. Déterminer à l’aide du logiciel la position de M en lequel la droite recherchée doit couper le segment [CH] pour répondre au problème posé. 2. Étudier le cas où le point M est sur le segment [BH]. 3. On suppose que M est sur le segment [CH] et on pose C H = x. On appelle N le point d’intersection du segment [CA] avec la droite perpendiculaire à (BC) passant par M. On note c la longueur du segment [CH]. On admet que la fonction f qui à tout x de [0, c] associe l’aire du triangle CMN est continue. On ne cherchera pas à expliciter f (x). a 3.1. Que traduit l’égalité f (x) = ? 2

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

227

3.2. Préciser les variations de f à l’aide du logiciel. Déterminer f (0). a 3.3. Comparer f (x) et quand M est en H. 2 3.4. En déduire la réponse au problème. Production attendue : figure réalisée avec emplacement du point M répondant au problème ; interprétation de l’égalité 3.1 ; utilisation d’un théorème d’analyse. ➤ Questions

Q1 Réalisez la figure demandée avec un logiciel de géométrie et « placez » le point M solution du problème. L’énoncé demande de « déterminer » la position du point M. Le terme vous paraît-il adéquat à cet instant du problème ? Q2 Quel intérêt y aurait-il, pour mieux situer le point M sur le segment [BC], à introduire le milieu I de [BC] et la médiane (AI) ? Q3 Les élèves doivent évoquer un théorème d’analyse. Lequel ? Décrivez comment la question 3 amène les élèves à vérifier les hypothèses du théorème en question.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Pour approfondir

Q4 On se donne désormais pour objectif d’expliciter f (x) et de l’utiliser pour obtenir une solution algébrique du problème et, ainsi, « déterminer » M. À cet effet, on pose, outre c = C H et x = C M qui sont déjà là, h = AH et b = B H . Rédigez un énoncé amenant les élèves à modéliser le problème en utilisant les paramètres h, b, c uniquement (et la variable x). Q5 Le point M 0 , par lequel passe la droite répondant au problème, est tel que :  (b + c) . En s’inspirant d’une construction à la règle et au comx 0 = C M0 = c × 2 √ pas de la moyenne géométrique u × v de deux nombres positifs u et v, proposez une construction géométrique de ce point M 0 et réalisez-la avec le logiciel.

Sujet 26. Calcul d’une intégrale ou d’une primitive par des méthodes variées ➤ Exercice proposé

1  x −1 1. Déterminer les nombres réels a, b, c tels que, pour tout x appartenant à I : b c a + . En déduire une primitive G de g sur l’intervalle I. g(x) = + x x +1 x −1 2. Trouver une primitive de la fonction f définie sur l’intervalle I par : 2x f (x) =  2 . 2 x −1 Soit g la fonction définie sur l’intervalle I = ]1, +∞[ par : g(x) =



x2

228

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer l’intégrale :  3 2x A = 2 . ln x.d x. On donnera le résultat exact sous la forme  2 x2 − 1 p ln 2 + q ln 3 avec p et q rationnels. ➤ Questions

Q1 Détaillez les méthodes mises en œuvre dans cet exercice pour le calcul d’intégrales ou de primitives. Dans quelle série cet exercice peut-il être posé ? Q2 Quel problème se serait posé aux élèves si l’intégrale de la question 3 était  3 2x. ln x définie ainsi : A = 2 d x ?  2 x2 − 1 ➤ Pour approfondir

Q3

Commentez l’ordre dans lequel sont posées les trois questions.

Q4 On s’intéresse à la question 1. Suivant la calculatrice utilisée, la touche intégrale de la calculatrice renvoie à propos d’une primitive de g les expressions qui suivent. Si l’on suppose que, dans une classe donnée, les deux modèles de calculatrice sont présents, quel travail s’appuyant sur ces modèles de calculatrice pourrait-il être proposé aux élèves ?

2      |x −1|   ln |x + 1| ln |x − 1| ln x2 + − ln |x| 2 2 (Modèle 1) (Modèle 2) 2

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

229

Sujet 27. Encadrement d’une intégrale par un encadrement de la fonction à intégrer ➤ Exercice proposé

L’exercice est extrait d’un sujet de baccalauréat technologique (session 1999).

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−2, 2] par f (x) = ln

 2 . 1 + x2

Partie A 1. Calculer la dérivée de la fonction : x → u(x) = − ln(1 + x 2 ) et en déduire la dérivée de f. Dresser le tableau de variation de f sur [−2, 2]. 2. Former une équation y = t(x) de la tangente D à C au point A d’abscisse 1. En étudiant les variations sur [−2, 2] de la fonction : x → r (x) = f (x) − t(x), indiquer selon les valeurs de x la position de C par rapport à D. 3. Calculer à 10−3 près f (0) ; f (0,25) ; f (0,5) ; f (0,75) ; f (1) ; f (1,5) ; f (2). 4. Tracer D et C.  1 Partie B. On considère l’intégrale I = f (x) d x. 0

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

On approche dans l’intervalle [0, 1] f par la fonction g définie par :   g(x) = 0,7 1 − x 2 1. Calculer à 10−3 près g(0) ; g(0,25) ; g(0,5) ; g(0,75) ; g(1). 2. Pour comparer les fonctions f et g, on étudie la fonction d définie sur [0, 1] par  : 3 d(x) = g(x) − f (x). Montrer que sa fonction dérivée d  s’annule pour x = 7 et pour x = 0. Étudier les variations de d et montrer que pour tout élément x de [0, 1] : 0  d(x)  0,07.  1  1 3. En déduire que : g(x) dx − 0,07  I  g(x) dx. 0

0

4. En déduire un encadrement de l’intégrale I. ➤ Questions

Q1

Précisez les objectifs généraux assignés aux parties A et B du problème, qui

pourraient être indiqués en en-tête du problème. Q2 On s’intéresse à la partie A. 2.1. L’énoncé impose pour étudier la variation de f un calcul de dérivée. Y aurait-il intérêt à ne pas l’imposer à cet instant du problème ? 2.2. Identifiez la méthode attendue des élèves pour résoudre la question 2. Q3 Désormais, on s’intéresse à la partie B du problème.

230

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

Trois résultats sont donnés dans l’énoncé : les points où la dérivée s’annule, la majoration par 0,07 et l’encadrement de I en question 3. Vous paraît-il opportun de tous les maintenir à l’intention des élèves ? ➤ Pour approfondir

Q4 La fonction t dont la tangente en A est représentative n’est pas réutilisée dans la suite du problème. Proposez une fonction affine qui, avec la fonction t, permettrait d’obtenir un premier encadrement de la fonction f à l’aide de deux fonctions affines. Q5 La fonction g est donnée par l’énoncé. Comment a-t-elle été choisie probablement ? Serait-il possible de faire trouver cette fonction, ou une fonction très voisine de celle-ci, aux élèves eux-mêmes ?

Sujet 28. Thème : Utilisation de l’intégration dans l’étude de suites ➤ Exercice proposé



1

2 x.e−x = 1 − . e 0  1 x n e−x d x. Plus généralement, pour tout entier naturel n non nul, on pose : In = 1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

0

On se propose d’étudier la suite d’intégrales ainsi définie. 2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel 1 n  2 : In = − + n In−1 . En déduire les valeurs exactes de I 2 et de I 3 . e 3. Saisissez sur votre calculatrice la suite récurrente que l’on vient de définir ainsi. À l’aide d’une tabulation, faites afficher successivement les 20 premiers termes de cette suite. Quelles conjectures pouvez-vous faire quant au comportement asymptotique de cette suite ? 1 4. Montrer que pour tout entier n non nul : 0  In  , puis que la suite (In ) n+1 est une suite décroissante. Les observations que vous avez faites à la question 4 sont-elles compatibles avec ces deux résultats ? 5. Dans cette question, on se propose de trouver une explication aux paradoxes éventuels. À cet effet, on ⎧ se donne deux réels a et ⎧b et on considère les suites 1 1 ⎨ ⎨ an = − + nan−1 bn = − + nbn−1 et . Montrer (an ) et (bn ) définies par : e e ⎩a = a ⎩b = b 1

1

par récurrence que pour tout entier naturel non nul n : an − bn = (n)! × (a − b). Comment peuvent s’expliquer les paradoxes observés ? ➤ Questions

Q1 Précisez les savoirs et savoir-faire en jeu dans les questions 1 et 2 ainsi qu’à la question 4.

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

231

Q2

Présentez sur une calculatrice les résultats de la question 3.

Q3

Proposez un corrigé détaillé de la question 5 de l’exercice.

Sujet 29. Séries statistiques à une variable ➤ Exercice proposé

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Deux jurys A et B ont corrigé chacun 50 copies d’un même examen. Les notes attribuées par ces jurys et leur répartition ont été consignées dans le tableau ciaprès. L’objectif de l’exercice est de comparer, dans une certaine mesure, les façons de noter des deux jurys. À cet effet, saisir les données sur votre calculatrice. On notera « série A » et « série B » respectivement les deux séries de notes. 1.1. Pour chacune des séries A et B, déterminer la médiane, le premier quartile et le troisième quartile. 1.2. Pour chacune des séries A et B, calculer la moyenne et l’écart type. On donnera les arrondis au dixième près des écarts types, que l’on notera respectivement s A et s B . 1.3. Dans ce contexte, quels paramètres vous paraissent décrire le mieux les caractéristiques de chaque série ? Commentez la notation des deux jurys. 2. On veut uniformiser les notations. 2.1. Première méthode. On augmente de 0,7 point chaque note attribuée par le jury B. Quel est l’effet de cette modification sur les paramètres de cette série ? 2.2. Deuxième méthode. Aux notes attribuées par le jury B, on applique la modification suivante : si x est la note attribuée à une copie, on la remplace par la note u sA telle que : u − 10,7 = (x − 10). Comparer les paramètres de cette série à ceux sB de la série A. Quelle uniformisation apporte cette transformation des notes ? Notes

Effectifs Jury A

Effectifs Jury B

Notes

Effectifs Jury A

Effectifs Jury B

3

1

0

11

6

4

4

0

2

12

5

4

5

0

5

13

3

4

6

0

2

14

4

3

7

3

3

15

3

2

8

9

6

16

2

2

9

7

6

17

1

2

10

6

5

232

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

➤ Questions

Q1 Présentez avec une calculatrice les résumés statistiques demandés par l’exercice. Commentez les choix des deux séries de notes (probablement fictives) faits par l’énoncé et indiquez les remarques qu’elles peuvent susciter. Q2 Quel objectif peut-on attribuer à la question 2 de l’exercice ? Énoncez les propriétés des divers paramètres résumant une série qui sont mises en évidence par cette question. Q3 La question 2.2, vous paraît-elle bien posée pour susciter un apprentissage ?

Sujet 30. Séries statistiques à deux variables ➤ Exercice proposé. (Bac ES Amérique du Nord session 2006).

Tous les résultats numériques seront arrondis à l’unité près sauf indication contraire. Une machine est achetée 3 000 €. Le prix de revente y, exprimé en euros, est donné en fonction du nombre x d’années d’utilisation : xi

0

1

2

3

4

5

yi

3 000

2 400

1 920

1 536

1 229

983

Partie A. Ajustement affine 1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi , yi ) dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et de 1 cm pour 200 € sur l’axe des ordonnées. 2. Calculer le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d’utilisation. 3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés. Donner une équation de la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Représenter cette droite dans le repère précédent. Partie B. Ajustement non affine 1. On pose z = ln (y) et on admet qu’une équation de la droite de régression de z en x est donnée par : z = −0,22x + 8,01. Déterminer une expression de y en fonction de x de la forme y = A x × B où A est un réel arrondi au centième près et B est un réel arrondi à l’unité près. 2. En admettant quey = 0,80x × 3011, déterminer après combien d’années d’utilisation le prix de revente devient inférieur ou égal à 500 €. Partie C. Comparaison des ajustements Après 6 années d’utilisation le prix de revente d’une machine est de 780 €. Des deux ajustements précédents, quel est celui qui semble le mieux estimer le prix de revente après ces 6 années d’utilisation ? On argumentera la réponse.

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

233

➤ Questions

Q1

Précisez les objectifs généraux visés par l’exercice ainsi que les savoirs et savoir-faire évalués. Q2 Le calcul de pourcentage posé en A2 vous paraît-il opportun ? Si l’on veut faire intervenir dans l’exercice des calculs de pourcentages, quels calculs aurait-il été intéressant de proposer pour justifier l’hypothèse d’un ajustement non affine ? Le calcul demandé en A2 aurait-il ensuite davantage de pertinence ? Q3 Effectuez vous-mêmes les calculs de pourcentages pointés ci-dessus. Pouvez-vous émettre une hypothèse sur la façon dont l’auteur de l’exercice s’y est pris pour construire son tableau de données ? ➤ Pour approfondir

Q4

Dans cette question, on envisage d’utiliser la situation présentée par l’exercice pour un travail de recherche sur la méthode d’ajustement exponentiel (quitte à modifier dans une certaine mesure les valeurs numériques). 4.1. Le choix des valeurs numériques de cet exercice vous paraît-il être un avantage ou un inconvénient pour un tel travail de recherche ? 4.2. Précisez, s’il y a, lieu les modifications que vous apporteriez à l’énoncé et indiquez un scénario de séance consacrée à la résolution du problème. Q5 Parmi les ajustements effectués par une calculatrice sur une série à deux variables, figure l’ajustement exponentiel. Quel intérêt y aurait-il à le faire découvrir aux élèves et quelles remarques feriez-vous à son propos ?

Sujet 31. Espaces probabilisés finis © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Exercice proposé

On propose à Émilie, Djamel et Franck le jeu suivant : ils tirent deux boules avec remise dans une urne qui contient deux boules rouges et une boule verte. Pour « gagner », il faut tirer deux boules de couleurs différentes. Les trois amis décident de n’engager une partie que si la probabilité de gagner est supérieure ou égale à 0,5. 1. Pour calculer cette probabilité p(G), chacun modélise le jeu par une urne : Djamel imagine une urne contenant quatre boules marquées RR, RV, VR, VV ; Franck imagine une urne contenant deux boules marquées « Gagné », « Perdu ». Très rapidement, Djamel et Franck tombent d’accord et communiquent leur décision à Émilie : on joue ! Quelle est la valeur de p(G) trouvée par Djamel ? Par Franck ? 2. Émilie n’est pas d’accord et sème le doute : « Si l’urne contenait 1 000 boules vertes et 1 boule rouge, est-ce que vous accepteriez de jouer ? ». Quel est l’argument qui les amène à douter ?

234

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

3. Émilie expose alors sa méthode, avec laquelle elle obtient p(G) = 4/9. Quelle est la modélisation qui amène à ce résultat ? 4. Djamel est convaincu, mais Franck reste prudent : « comment peut-on vérifier que p(G) = 4/9 correspond bien à la situation ? » Djamel et Émilie lui répondent : « expérimente ». À quelle expérience font-ils allusion ? ➤ Questions

Q1

Décrivez les objectifs visés par cet exercice.

Q2

Analysez les erreurs commises par Djamel et par Franck.

Q3 Proposez au moins deux modélisations différentes que l’on pourrait suggérer aux élèves, dans cette situation. ➤ Pour approfondir

Q4 La question 4 introduit une notion d’expérimentation. Quelle expérimentation proposeriez-vous à des élèves ? Comment mettriez-vous en évidence que la réponse 4/9 est plausible, alors que 1/2 ne l’est pas ?

Sujet 32. Variables aléatoires ➤ Exercice proposé

Le jeu Keno au Maroc. Extraits du règlement du jeu. « Le jeu KENO est un jeu de contrepartie. Il consiste à miser sur une combinaison de trois, quatre, cinq, six ou sept numéros. Les numéros gagnants sont désignés par le tirage au sort de dix numéros parmi les cinquante numéros possibles. Les lots sont définis par une somme déterminée selon le tableau ci-dessous (seul un extrait est proposé). Ils dépendent du nombre de numéros cochés et du nombre de numéros corrects trouvés parmi les 10 numéros gagnants. » Nombre numéros cochés

Chances totales de gagner

Nombre de numéros trouvés

Chances de gagner

Montant du lot pour une mise de 2 Dh

5 numéros

1/3,87

5 4 3 2

1/8408 1/25 0 1/23 1/5

1000 Dh 80 Dh 8 Dh 2 Dh

4 numéros

1/5,74

4 3 2

1/1097 1/48 1/7

160 Dh 20 Dh 4 Dh

3 numéros

1/10,21

3 2

1/163 1/11

70 Dh 8 Dh

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

235

Une personne décide de cocher 3 numéros parmi les 50 d’une grille et de miser 2 dirhams (montant de la mise minimale). Elle peut donc recevoir 70 dirhams si les trois numéros cochés figurent tous parmi les 10 numéros gagnants ou bien 8 dirhams si exactement deux d’entre eux sont des numéros gagnants, ou bien cette personne peut perdre sa mise de 2 dirhams. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique de cette personne. 1. Quelles sont les valeurs prises par X ? Les « chances de gagner » indiquées par le tableau sont-elles exactes ? Que représentent-elles au juste ? 2. Déterminer l’espérance mathématique de X. Comment peut s’interpréter le résultat ? 3. Cette personne décide de jouer une grille à trois numéros chaque jour de la semaine. Est-il vrai que cette personne a plus d’une chance sur deux de gagner au moins une fois au cours de la semaine ? ➤ Questions

Q1 Comment structureriez-vous l’étude d’une partie jouée par la personne évoquée dans l’exercice ? Q2 Indiquez les savoirs et savoir faire travaillés dans cet exercice. À quel niveau de classe et dans quelle(s) série(s) cet exercice peut-il être proposé ?

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Pour approfondir

Q3 Comment définiriez-vous de façon précise les « chances de gagner » telles quelles sont indiquées dans la colonne 4 du tableau ? Et celles qui sont indiquées dans la colonne 2 du tableau ? Q4 L’énoncé fournit des informations concernant les gains possibles lorsqu’on coche 4 ou 5 numéros mais ne les exploite pas. Quelle exploitation pourrait-on en faire ? Cette exploitation pourrait-elle concerner d’autres séries que celle(s) évoquée(s) en Q1 ?

Sujet 33. Thème : Probabilités ➤ Exercice proposé

Il se compose de huit questions de QCM posées au bac ES (National septembre 2005, questions 1 et 2, Amérique du nord, juin 2007, questions 3 à 6) ainsi que S (National 2007, questions 7 et 8) qui font l’objet du document de la page suivante. ➤ Questions

Q1

Quels sont les savoirs et savoir-faire évalués par ce QCM ?

Q2 Les réponses incorrectes proposées peuvent, dans certains cas, être associées à des fausses représentations d’une notion liée au calcul des probabilités. En

236

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

relever au moins deux (citer la notion en cause et la fausse représentation que le QCM peut déceler). A et B sont deux évènements indépendants tels que p(A) = 0,7 ; p(B) = 0,2

a. p (A ∩ B) = 0,14 b. p (A ∪ B) = 0,9 c. p A (B) = 0,5

On considère l’arbre pondéré ci-contre. Quelle est la probabilité de p H (F) ? a. p H (F) = 0,7 b. p H (F) = 0,56 c. p H (F) = 0,875

A et B sont deux évènements d’un univers tels que p(A) = 0,4 ; p(B) = 0,3 et p (A ∩ B) = 0,2 Alors :

p (A ∪ B) est égal à : a : 0, 1 ; b : 0, 5 ; c : 0, 7   p A ∩ B est égal : a : 0, 1 ; b : 0, 2 ; c : 0, 4   p A ∩ B est égal à : a : 0, 3 ; b : 0, 5 ; c : 0, 8 p A (B) est égal à : 2 1 a: ; b: ; 3 2

c:

3 4

Dans une classe, les garçons représentent le quart de l’effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l’a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard.

La probabilité qu’il ait eu son permis du premier coup est : a : 0,043 b : 0,275 c : 0,217 d : 0,033

Dans cette classe, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup.

La probabilité que cet élève soit un garçon est : a : 0,100 b : 0,091 c : 0,111 d : 0,25

9 • Sujets d’entraînement : énoncés

237

Sujet 34. Thème : Calcul matriciel et probabilités ➤ Exercice proposé (Baccalauréat ES spécialité Amérique du Nord 2006).

Dans une entreprise, lors d’un mouvement social, le personnel est amené à se prononcer chaque jour sur l’opportunité d’une grève. Le premier jour, 15 % du personnel souhaite le déclenchement d’une grève. À partir de ce jour-là, 35 % de ceux qui sont favorables à une grève un certain jour changent d’avis le lendemain, et 33 % des opposants un certain jour changent d’avis le lendemain. On note gn la probabilité qu’un membre du personnel soit favorable à une grève le jour n et tn la probabilité qu’un membre du personnel y soit opposé le jour n. Pn = (gn tn ) est la matrice qui traduit l’état probabiliste le n-ième jour. 1. Déterminer l’état initial P1 . 2. Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l’énoncé et donner la matrice de transition M associée à ce graphe. 3. Calculer le pourcentage de personnes favorables à la grève le troisième jour. 4.1. Soit P = (x y) l’état probabiliste stable (on rappelle que x + y = 1). Montrer que x et y vérifient l’équation : x = 0,65x + 0,33y, puis déterminer x et y (on arrondira les résultats à 10−3 près). 4.2. Interpréter les résultats. ➤ Questions

Q1

Préciser les savoirs et savoir-faire qui sont évalués par l’exercice.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Q2 Qu’attendriez-vous comme interprétation en question 4.2 ? Les résultats obtenus par les élèves jusque-là permettent-ils une argumentation suffisante ? Q3 Si les données 33 % et 35 % étaient permutées, qu’est ce qui changerait dans la situation ? Quelle question « pertinente » pourrait-on alors poser aux élèves et quelle question posée ici perdrait de la pertinence ? ➤ Pour approfondir

Q4.1 Pourquoi, dans la question 4.1, l’auteur n’a-t-il pas écrit : « Montrer que x et y vérifient l’équation : 0,35x − 0,33y = 0 » ? Q4.2 Dans la question 4.1, l’auteur de l’énoncé prescrit aux élèves « d’arrondir les résultats à 10−3 près ». Quel est le but de cette prescription ? Vous paraît-elle opportune ?

Chapitre 10

Indications

Sujet 01 C’est un « exercice guidé ». Mettre en évidence la mise en œuvre des deux outils de résolution : dans un tel exercice, la phase « comment cela fonctionne » est à la charge de l’enseignant. Prévoir une refonte de l’exercice (ou de la façon dont la situation serait présentée) permettant d’augmenter la part d’initiative des élèves. Identifier la configuration générale sous-jacente à l’exercice (son étude est proposée dans nombre de manuels à divers niveaux de classe). Construire une figure avec un logiciel de géométrie illustrant cette configuration générale.

Sujet 02 Consulter les manuels de collège à propos du théorème de l’angle droit et du théorème de Pythagore. Comment sont-ils énoncés ? Comment se caractérise un triangle qui n’est pas rectangle ? À quoi servent les exercices qui présentent en milieu de collège des rectangles « presque » rectangles, comme ici, ou des droites « presque » parallèles ?

Sujet 03 Cet exercice met en scène l’étude d’un système articulé, mais les clés de résolution sont fournies par l’énoncé. Étudier comment s’y prendre pour faire découvrir aux élèves eux-mêmes les transformations utilisées. Le lieu de l’un des points peut s’obtenir de deux façons. Comment exploiter cette opportunité ?

240

10 • Indications

Comment présenter cette activité pour servir d’activité de démarrage sur ce type de problèmes ?

Sujet 04 Il s’agit d’un problème ouvert, permettant de faire fonctionner l’outil des configurations. Mettre en évidence le fait que M décrit seulement un arc d’un cercle. L’usage d’un logiciel de géométrie amène à un questionnement sur les propriétés invariantes de la figure lorsque B est choisi « où l’on veut » sur le cercle.

Sujet 05 Il s’agit d’un problème de construction d’un objet (triangle rectangle isocèle) soumis à des contraintes géométriques. Le point N est assujetti à sa propre contrainte et à la contrainte induite par celle de M. Préciser le sens de la question 2 de l’exercice. Réaliser la figure sur un logiciel de géométrie. Montrer comment l’usage du logiciel permettrait de faire conjecturer aux élèves un lien géométrique entre M et N. Mettre en évidence ce qu’il peut se passer si la disposition relative du point A et du cercle (C) n’est plus déterminée par les hypothèses de l’énoncé.

Sujet 06 On connaît deux points du plan de coupe sur deux arêtes et un point dans une face. Faire l’inventaire des côtés du polygone de section que l’on peut matérialiser immédiatement et de ceux qui demandent une construction auxiliaire. Exposer la méthode de tracé « hors solide » sous-jacente à l’exercice. Les élèves sont amenés à travailler sur l’intersection du tétraèdre par un plan particulier : tout le monde trouve la même section. Imaginer un prolongement à l’exercice (si on déplace l’un des points sur son arête, ou dans sa face, est-ce que la nature de la section peut changer ?)

Sujet 07 Cette pyramide est objet d’étude à plusieurs niveaux de classe. Ici, on est en milieu de collège. Préciser les théorèmes sur lesquels s’appuyer pour justifier la nature des différentes faces de la pyramide. Dégager une démarche permettant de construire un patron de ce polyèdre à la règle et au compas. La question 4 vise une expérimentation : reconstituer un cube à l’aide de trois pyramides identiques. Il en résultera une vérification expérimentale du volume de cette pyramide.

10 • Indications

241

Sujet 08 Le résultat visé (montrer que, à périmètre égal, c’est le carré qui a la plus grande aire), très classique, peut être obtenu par différentes méthodes à repérer dans les manuels de collège et de lycée. Le problème des questions 5 et 6, abordé géométriquement, est un réinvestissement du travail qui le précède. Il est traité par l’outil numérique dans les manuels du lycée, en application soit de l’étude du deuxième degré, soit des variations des fonctions trinômes.

Sujet 09 L’exercice fait étudier deux cas de figure. Repérer ce qui distingue un cas de figure de l’autre. Il existe deux points E et E  sur (DA), de part et d’autre de A, tels que E A = E  A = B D. Étudier l’intérêt qu’il y aurait à modifier l’énoncé de façon à ce que les rôles de ces deux points soient mieux équilibrés.

Sujet 10 Énoncer avec précision les théorèmes portant sur les caractérisations angulaires du parallélisme et celles du non-parallélisme. Ces théorèmes, de même que l’étude de la somme des angles d’un triangle qui pourrait économiser des indications portées sur la figure, sont au programme de cinquième. Consulter des manuels à propos de la progression de l’apprentissage de l’usage des angles à ce niveau.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 11 Voir, en particulier, l’exploitation du calcul d’un produit scalaire « de deux façons » pour établir un calcul de grandeurs. Proposer une formule générale donnant le cosinus de l’angle principal d’un triangle isocèle en fonction des longueurs de sa base et de sa hauteur. Si le repère n’avait pas été donné par l’énoncé, choisirait-on le même ? Dans quel repère le point H aurait-il des coordonnées un peu plus simples que dans le repère imposé par l’énoncé ? L’outil numérique intervient à l’aide d’une fonction dont on fait plusieurs usages : résoudre un problème d’extremum, résoudre une équation f (x) = k dans le cas où une résolution algébrique exacte est possible. Lier ces usages aux questions de l’énoncé. Le point M obtenu en 2.2 est le point d’intersection, autre que B, de la sphère circonscrite à ABCD avec (BH). Pourrait-on caractériser géométriquement la position sur [BH] du point M obtenu à la question 3 ?

242

10 • Indications

Sujet 12 Consulter des annales de brevet des collèges. Beaucoup de travaux numériques portent sur l’écriture des nombres. Ici, la compétence évaluée est la capacité à avoir une attitude critique sur le résultat d’un calcul et à argumenter sa remise en cause. Faire le point sur les compétences attendues d’un élève, en fin de collège, sur les écritures fractionnaires, la notation scientifique et les calculs avec radicaux. La question 4 attire l’attention sur une formulation contestable à relever.

Sujet 13 Il s’agit d’un exercice sur la comparaison de plusieurs rapports. Repérer le niveau de classe où cette notion est travaillée. Lier ce problème aux propriétés de la proportionnalité qui peuvent être mises en œuvre pour comparer des rapports de deux grandeurs. Le calcul des valeurs unitaires donne une solution efficace mais n’est pas l’unique procédure. La propriété de multiplicativité, par exemple, permet aussi d’agir sur les quantités en jeu pour les rendre plus facilement comparables. Dans un tel problème de rangement, il n’est pas utile d’effectuer toutes les comparaisons deux à deux. Les propriétés sur les inégalités (transitivité) permettent d’économiser certaines comparaisons. Proposer une correction de l’exercice en calculant, à l’aide du tableur de la calculatrice, les valeurs unitaires (nombres d’habitants que représente un député).

Sujet 14 Identifier deux configurations de Thalès permettant, l’une et l’autre, d’effectuer les calculs utiles à la résolution et indiquer deux procédures différentes. Faire la figure avec un logiciel de géométrie pour faire conjecturer l’évolution des grandeurs en jeu en fonction de la position de M sur [AB]. Proposer un scénario de classe susceptible de favoriser une démarche d’investigation.

Sujet 15 Voici un exemple de sujet de brevet des collèges dans lequel le traitement mathématique précède le contexte auquel il s’applique. En dehors d’exercices d’entraînement à ce type d’épreuve, où les élèves sont « prévenus » qu’il en sera ainsi, cette organisation ne convient pas pour un apprentissage, lequel doit prendre source au sein d’un problème. Étudier comment inverser le processus et engager les élèves dans une démarche de modélisation amenant à un système. Montrer que le problème a une solution empirique simple et que, sans modification des données numériques, il ne serait pas pertinent pour introduire la résolution d’un système d’équations.

10 • Indications

243

Sujet 16 C’est une activité de découverte sur la programmation linéaire, d’un niveau première ES ou terminale série STG, par exemple. Consulter les manuels correspondants. Mettre en évidence ce que représente une contrainte, dans quel cas elle sera « saturée » et dans quel cas un programme est réalisable ou ne l’est pas. L’aspect optimisation n’y est pas encore abordé. À cet effet, voir la notion d’isoquantes. Le point où l’optimisation aura lieu dépend de la pente des isoquantes, liée aux valeurs relatives des bénéfices sur chacun des deux produits. On peut s’arranger pour que la pente soit « intermédiaire » entre la pente la plus petite et la pente la plus grande des trois segments frontières du domaine d’acceptabilité.

Sujet 17 Il y a deux organisations possibles des matrices. La disposition des matrices doit être telle que le produit matriciel effectué ait un sens concret, lié au contexte. Dans le cas de cet exercice, une des matrices est rectangulaire, ce qui fait qu’une disposition sera incompatible avec le produit (et donc la disposition correcte est rendue obligatoire par les circonstances). Est-ce souhaitable qu’il en soit ainsi ou bien est-il préférable de laisser s’installer la controverse avec des matrices carrées ?

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 18 Il est attendu ici une utilisation du tableur de la calculatrice ou bien du module « suites ». Mettre en évidence les régularités observées. L’outil des congruences est un outil efficace pour résoudre le problème mais ce n’est pas le seul. Énoncer une propriété du PGCD concernant les nombres a, b et a − b et qui ouvrirait une autre piste de résolution.

Sujet 19 Les suites dont le terme général est un trinôme du second degré en n sont dites « à différences secondes constantes » (c’est-à-dire que les différences des différences   (u n+1 − u n ) − u n − u n−1 ont une propriété caractéristique). Leurs différences premières (u n+1 − u n ) forment une suite arithmétique. Lier l’une ou l’autre de ces propriétés au travail demandé dans l’exercice. Vérifier si la propriété retenue est caractéristique de ce type de suite (étude d’une réciproque).

Sujet 20 Mettre en œuvre la méthode de dichotomie. La suite proposée dans la deuxième partie semble converger très rapidement, mais rien ne le prouve. Il n’est pas demandé ici de prouver cette convergence mais, plutôt,

244

10 • Indications

de faire voir à une classe le mécanisme de construction. Un lien avec une étude graphique (tracé de la tangente à Ch au point d’abscisse zéro et son point d’intersection avec Ox, puis itération du procédé) donnerait une explication « satisfaisante ».

Sujet 21 Ce sujet explore diverses méthodes pour étudier le sens de variation d’une fonction au deuxième degré. Il se place de préférence en seconde. Consulter les manuels à propos des méthodes de ce niveau de classe. Il convient de coordonner l’interprétation géométrique avec les deux autres méthodes.

Sujet 22 Ce sujet explore les possibilités et les limites de l’utilisation d’une calculatrice. Identifier les particularités de la fonction à étudier qui mettent en défaut le choix de la première fenêtre d’affichage. 1 Faire le lien entre la fonction x → e(x) = e2x − 2,1.ex et la fonction 2 x → 1,1x + 1,6 (quelle est la meilleure application affine de la fonction e au voisinage de zéro ?) La fonction x → 1,1x +1,6 est appelée à jouer un autre rôle, tout à fait indépendant du rôle tenu dans l’exercice, si on s’intéresse au comportement asymptotique de f (question 4).

Sujet 23 L’exercice doit amener à l’étude d’une fonction pour résoudre un problème d’aire maximum. Apprécier pour chaque proposition les qualités et les défauts de la fonction à optimiser (type de fonction, « qualités » attendues du point où le maximum a lieu...) Une fois cette fonction choisie, réaliser la figure avec un logiciel de géométrie, et prévoir une étude expérimentale précédant le traitement mathématique.

Sujet 24 Cet exercice est de niveau troisième et porte sur des situations modélisées par une fonction affine. Préciser les cadres choisis par les trois élèves pour étudier leur situation. Lier la question 2 de l’exercice à une hypothèse sur le type d’évolution étudié ici. Étudier si les questions 3 et 4 de l’exercice favorisent ou non un cadre plutôt qu’un autre. On dispose de trois fonctions affines distinctes, dont deux diffèrent d’une constante. En approfondissement, réfléchir sur les diverses utilisations que l’on peut faire de la notion de fonction. Plusieurs questions pertinentes différentes peuvent être imaginées.

10 • Indications

245

Sujet 25 Il s’agit d’un problème ouvert. Plusieurs pistes de résolution sont à prévoir. Réaliser la figure (ou une figure à une échelle réduite) avec un logiciel de géométrie. Mettre en évidence, à l’aide du logiciel, la fonction sous-jacente à la situation (ou une fonction qui lui est proportionnelle). Préciser les démarches possibles qu’un élève peut mettre en œuvre pour répondre à la question posée, selon la façon dont il a exploité sa calculatrice (ou les outils informatiques dont il dispose). Le travail de modélisation est demandé ensuite. Identifier le type de problème auquel on est confronté. Indiquer pourquoi le résultat ne dépend pas de h.

Sujet 26 Consulter dans les manuels la façon dont on fait calculer par transformation d’écriture, sur des exemples numériques, des intégrales de fonctions rationnelles. Vérifier dans quelle classe la méthode d’intégration par parties figure au programme. Cet exercice est de type « exercice de baccalauréat ». Chaque intégrale est une pièce de puzzle dont l’assemblage n’apparaît qu’à la dernière question. Dans quel ordre pourrait s’enchaîner le calcul de ces intégrales de façon que chacune réponde à un problème posé par le calcul de l’intégrale qui la précède ? En approfondissement montrer comment le module de calcul formel peut amener à un apprentissage : quelle question se pose en comparant l’affichage des deux calculatrices ? Comment exploiter particulièrement l’affichage du modèle 2 (Casio) si on veut faire découvrir la méthode à des élèves ?

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 27 Il s’agit d’un problème de baccalauréat. Les deux parties sont indépendantes et, dans l’optique de l’encadrement de I, la partie A, qui étudie la position d’une courbe par rapport à une de ses tangentes, n’a pas d’utilité. La fonction u peut s’étudier par un enchaînement de fonctions. Détailler la démarche usuelle amenant à encadrer une fonction, illustrée dans la question B2. Des trois indications, une mérite d’être impitoyablement supprimée car elle est de nature à renforcer un faux théorème. En prolongement (question 5), imaginer, par exemple, des paraboles que l’on voudrait choisir l’une un peu au-dessus, l’autre un peu au-dessous de la courbe représentative de f. Noter que 0,7 est une valeur approchée à 0,01 près par excès du nombre ln 2.

246

10 • Indications

Sujet 28 L’objectif de l’exercice est de faire étudier une suite très instable, qui ne converge que pour une valeur unique du terme initial. Il s’agit d’opposer l’étude qualitative de la suite et l’étude numérique à l’aide de la calculatrice. S’interroger sur la nature du nombre u0 pour lequel la suite est convergente et sur la façon dont celui-ci est saisi par la calculatrice.

Sujet 29 Cet exercice est un exercice d’approfondissement portant sur les paramètres destinés à synthétiser les informations sur une série statistique à une variable. Les données ont été choisies de sorte que la médiane et les quartiles sont les mêmes pour les deux séries, alors que les moyennes et les écarts types sont différents. Mettre en évidence les effets d’une translation et ceux d’une dilatation sur les paramètres. Faire afficher, en illustration sur la calculatrice, les « boîtes à moustaches » correspondant aux diverses séries.

Sujet 30 L’exercice est fabriqué pour une épreuve de baccalauréat. Le but est de contrôler l’acquisition de connaissances de routine. Toutes les indications utiles sont livrées, et les élèves n’ont aucune initiative dans leur résolution, à l’exception de l’argumentation demandée dans la partie C. Il convient de rechercher pour quelle raison peut-on penser qu’un ajustement exponentiel est justifié. Le calcul des pourcentages d’évolution de chaque année par rapport à sa précédente, étonnamment voisins, comme si l’évolution du prix de revente suivait rigoureusement une loi physique, laisse conjecturer que les données numériques sont certainement fictives.

Sujet 31 Il s’agit de comparer les modélisations par des « urnes de Bernoulli » sous-jacentes aux trois propositions et de mettre en évidence l’origine des erreurs commises dans les deux modélisations non pertinentes (l’hypothèse d’équiprobabilité peut-elle être formulée ou non ? Quel sens donner à cette hypothèse ?) En approfondissement, introduire la notion d’intervalle de confiance. Il faut faire assez d’essais pour que les intervalles de confiance centrés l’un en 1/2 et l’autre en 4/9 aient une intersection vide. Proposer un protocole d’expérimentation et le tester sur calculatrice.

10 • Indications

247

Sujet 32 Un bulletin de Keno, marocain ou français, donne des informations qui s’interprètent dans le langage courant (on dit couramment « avoir une chance sur cent »). Un objec1 livrées par le bulletin représentent exactement les tif est de savoir si les fractions N probabilités de gain correspondant ou n’en sont que des valeurs approchées. 1 p étant une probabilité, comment « estimer » N tel que ≈ p ? Dans quels cas N peut-on considérer que cette estimation est de bonne qualité ?

Sujet 33 Dans le cas d’un QCM, le but recherché est de déceler des fausses représentations. Certaines réponses sont conformes à des erreurs présumées (« théorèmes élèves ») qui en découlent. On peut en repérer une concernant le calcul de la probabilité d’une réunion, une autre sur la notion de probabilité conditionnelle (entre autres).

Sujet 34 L’étude d’une telle situation est ici menée avec l’outil matriciel en terminale ES. Pour mettre en évidence que la grève ne sera jamais déclenchée, il faut s’assurer que pour toute valeur de n le pourcentage de favorables reste inférieur à 0,5. Si on permute les données, les situations à long terme vont être permutées elles aussi. Il y aura un jour une majorité de favorables au déclenchement de la grève. En approfondissement, on peut examiner comment étudier cette situation dans une autre série que ES spécialité avec l’outil des suites.

Chapitre 11

Correction des sujets d’entraînement

Sujet 01 Cet exercice a pour objectifs : – Comparer diverses façons de caractériser vectoriellement la position d’un point par rapport à deux points donnés. – Faire démontrer par deux méthodes différentes (outil vectoriel et géométrie analytique) qu’un quadrilatère est un parallélogramme. La caractérisation du parallélogramme visée est sa caractérisation vectorielle : « un quadrilatère ABCD est un −→ −−→ parallélogramme si et seulement si AB = DC ». Il particularise une situation plus générale. Il s’agit d’un exercice guidé où la part d’initiative de l’élève est faible (les deux méthodes sont imposées). Il se situe au niveau d’une classe de seconde. Q1 La façon de définir les quatre points D, E, F, H est une variable didactique sur laquelle l’énoncé joue. Les points E et F peuvent se placer directement alors que, pour les points D et H, il faut transformer les relations vectorielles. Le but est d’habituer les élèves, à partir d’une relation vectorielle peu performante, à en former une autre plus efficace : pour placer un point M situé sur une droite (AB), on cherchera −−→ −→ −−→ −→ de préférence une relation de la forme AM = k AB (ou B M = k B A). Le choix didactique effectué a un inconvénient considérable : en variant les définitions, l’énoncé masque la raison qui fait ensuite de EFGH un parallélogramme. Une remarque sur la régularité des définitions s’impose après la première question. Plus généralement, si les points E, F, G, H sont définis de sorte qu’il existe deux −→ −→ −− → −−→ −→ −→ −−→ −−→ réels a et b : AE = a AB et C G = a C D ainsi que B F = b BC et D H = b. D A, le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. C’est une généralisation qu’on peut envisager.

250

Correction des sujets d’entraînement

À ce moment l’usage d’un logiciel de géométrie s’avère pertinent, pour observer les invariants de la figure : Si ABCD n’est plus un rectangle, mais reste un parallélogramme, EFGH semble être encore un parallélogramme. Si on change, par exemple, le coefficient a, les positions relatives de E et G par rapport au centre de ABCD semblent rester les mêmes. Q2 Cette même situation peut être proposée, par exemple, au collège, en réinvestissement des caractérisations d’un parallélogramme (étudiées dès le niveau cinquième). « ABCD est un parallélogramme de centre O. E et G sont sur les segments [AB] et [CD] respectivement, tels que AE = C G. F et H sont sur les segments [BC] et [AD] respectivement, tels que BF = DH. Le but du problème est d’étudier la nature du quadrilatère EFGH. 1. Préciser la nature des quadrilatères AECG et BFDH. 2. Qu’en déduit-on pour la position de O sur les segments [EG] et [FH] ? 3. Conclure. » ➤ Pour approfondir

Q3

La notion de rectangle est une notion euclidienne qui n’intervient pas du

tout dans la résolution. Cette donnée ne sert qu’à faciliter le placement des points utiles de la figure. Il en est de même des données 4 et 7 qui permettent de placer les points E, F, G, H à la règle graduée, si l’unité est le cm (ou si le support papier est du papier quadrillé). On peut supposer seulement « ABCD parallélogramme ». Au cas où l’exercice est posé tel quel, il conviendrait de faire, en fin de résolution, un bilan des hypothèses avec les élèves, en distinguant celles qui ont servi effectivement de celles qui n’étaient là que pour alléger le travail préliminaire de construction de la figure. Q4 La méthode visée est : « Pour comparer deux vecteurs, on peut les exprimer en fonction de deux mêmes vecteurs non colinéaires fixes de la configuration, servant de vecteurs de référence ». Le fait d’imposer le choix des vecteurs de référence enlève de l’initiative aux élèves. De plus, le choix proposé n’est pas le plus pertinent, −→ −→ −→ −−→ loin s’en faut. On pourrait penser aux vecteurs AB et BC ou bien AB et AD. Si les

Sujet 02

251

vecteurs de référence ne sont pas précisés, on peut s’attendre d’abord à une interroga−→ −−→ tion sur la façon de « comparer » E F et H G et au fait qu’ils ne soient pas exprimés en fonction des mêmes vecteurs de référence. −→ −−→ La nécessité d’utiliser les deux mêmes vecteurs pour exprimer E F et H G, et l’invariance du résultat : « ils s’expriment de la même façon », quels que soient les vecteurs de référence choisis, pourraient être mieux soulignées. Q4.2 Le point majeur d’une méthode analytique, choisir un repère adapté à la situation à traiter, est imposé aux élèves. Il n’y a pas d’interrogation sur la pertinence de ce choix. Il n’y en a pas non plus sur la façon de prouver analytiquement qu’un quadrilatère est un parallélogramme. On peut en effet suivre les injonctions de l’énoncé mais aussi montrer que [EG] et [HF] ont le même milieu. Ces deux méthodes correspondent à deux façons équivalentes d’écrire une relation entre les coordonnées utiles. En résumé, si l’exercice est posé tel quel, il demande en synthèse un sérieux retour sur les démarches : « pouvait-on choisir d’autres vecteurs ? », puis « pouvait-on choisir un autre repère ? » Il semble préférable d’ouvrir davantage l’énoncé de façon à amener les élèves à se poser eux-mêmes ces questions.

Sujet 02

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

L’exercice a pour objectif de démontrer qu’un triangle est rectangle et qu’un autre ne l’est pas. Une figure sur papier quadrillé accompagne l’exercice. Le choix de ce support permet de calculer des longueurs en considérant les segments utiles comme hypoténuses de triangles rectangles dont les côtés sont supportés par des lignes de quadrillage. Visuellement, il est difficile de distinguer si les triangles en question sont ou ne sont pas rectangles et l’un des enjeux de l’exercice est, précisément, de remettre en question la « perception visuelle » d’une orthogonalité. Q1 L’objectif principalement visé est de montrer que le mesurage sur la figure ne peut servir de preuve, en raison de l’imprécision des mesures. Le but est de mettre en échec les stratégies basées sur la vérification sur le dessin et de mettre en évidence la nécessité d’une démonstration. Cet objectif, déjà initié en cinquième, joue un rôle central à ce niveau de classe, la quatrième, où l’apprentissage de la démonstration est un élément important du programme. Un autre objectif est d’apprendre à calculer des longueurs sur support quadrillé (à beaucoup plus long terme, c’est déjà une préparation à la notion de coordonnées). Il faudra à un moment donné introduire sur la figure de nouveaux points, les projetés I et J de C et de D sur (AB) : « La figure est sur support quadrillé. Comment utiliser ce support pour faire des calculs utiles ? » est une question qui peut, à ce propos, faire avancer la recherche et suggérer leur emploi. Q2 Stratégie 1 : Tester d’abord si les triangles ABC et ABD sont rectangles. Pour cela, on calcule BC 2 , AC 2 , B D 2 , AD 2 en appliquant le théorème de Pythagore dans des triangles rectangles convenables (en introduisant I et J).

252

Correction des sujets d’entraînement

Ensuite, on utilise le théorème réciproque pour prouver que ABC est rectangle (ses côtés vérifient la relation de Pythagore, il est rectangle en C) et l’énoncé contraposé du théorème direct pour prouver que ABD ne l’est pas. On conclut que C est sur le cercle de diamètre [AB] (théorème de l’angle droit) et que D n’y est pas. Stratégie 2 : On teste d’abord si C et D sont sur le cercle de diamètre [AB] en repérant son centre O et en calculant OC et OD (d’abord leurs carrés, en exploitant les triangles rectangles OIC et OID). C est sur le cercle et D n’y est pas. Donc ABC est rectangle (théorème réciproque du théorème de l’angle droit) et ABD non (énoncé contraposé du théorème direct). Cette stratégie n’est pas favorisée car le centre O n’est pas sur la figure initiale, et il faut inverser l’ordre des deux questions posées. ➤ Exercices complémentaires associés

Sur un thème restreint : « problèmes d’orthogonalité », l’exercice proposé exploitant la configuration du triangle rectangle, il resterait à envisager d’autres outils : – L’outil des configurations au collège (identification d’une droite remarquable telle que hauteur d’un triangle ou médiatrice d’un segment, parallélisme à une droite perpendiculaire à une droite donnée). – L’outil des transformations (conservation de l’orthogonalité par une similitude plus ou moins spécialisée...) au lycée principalement. – L’outil du produit scalaire en première.

Sujet 03 L’exercice présente l’étude d’un système où le déplacement d’un point pilote M sur un objet géométrique (une droite) entraîne un déplacement de deux autres points. L’objectif de l’exercice est de déterminer les lieux géométriques de ces deux points. Il s’agit d’un exercice guidé qui induit une méthode d’étude d’un lieu géométrique dans une configuration mobile par utilisation d’une transformation. Il peut se placer en début d’apprentissage sur l’étude des lieux, qui figure explicitement au programme de première S. Q1

Méthode :

– Faire une figure d’étude. Réaliser éventuellement la figure pour plusieurs positions du point pilote, de manière à relever les invariants de la figure. Déterminer une transformation fixe f associant le point dont on cherche le lieu à un point pilote. – Le lieu du point pilote est ici la droite D en entier et l’association trouvée ci-dessus est légitime pour tout point M de D : le lieu géométrique cherché est exactement f (D). Il n’est pas indispensable de procéder par double inclusion.

Sujet 03

Q2

253

L’apport du logiciel dans

cette situation est principalement une aide à la conjecture, dans une phase d’exploration de la figure. Il permettrait aux élèves eux-mêmes de trouver la transformation en jeu (et d’éviter de la livrer dans l’énoncé).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

M est défini comme étant un « point sur un objet ». L’outil « Trace », activé pour les points N et P, permet de garder l’empreinte des points N et P lorsqu’on déplace M (on peut animer la figure). Quelques réserves cependant sur une utilisation systématique du logiciel dans l’étude de lieux géométriques. La réalisation concrète de la figure sur papier est elle aussi un travail indispensable dans l’apprentissage. Dans ce cas, la figure à réaliser est simple et construire les images de plusieurs points est assez rapide. Il est important que les élèves ne comptent que sur eux-mêmes pour se faire une idée de la situation. L’utilisation éventuelle du logiciel de géométrie peut s’envisager dans un deuxième temps, après avoir laissé réaliser la figure sur papier, le temps que les élèves anticipent une opinion, qui sera confortée ou non. Q3 Synthèse : – Insister sur les qualités de la transformation cherchée pour associer un point à un point pilote : ses caractéristiques géométriques doivent être des invariants. – Lorsque le lieu d’un point a été ainsi déterminé, ce point devient lui-même un point de référence pour étudier le lieu d’autres points. – Pour obtenir le lieu de P il y a plusieurs façons : on peut le déterminer parce P est image de N par une deuxième symétrie centrale, de centre le milieu J de [AC], ou bien parce que P est image de M par une translation. Cela revient au même car la translation en question est la composée des deux symétries centrales de centres − → respectifs I et J, soit la translation de vecteur 2 I J Q4

Les hypothèses semblent posées pour éviter un cas particulier « indési−→ rable » : si le vecteur AC est directeur de D, alors le lieu de P est la droite D elle même. Dans ce cas, les élèves peuvent ne pas distinguer le lieu géométrique de M −→ et le « lieu image ». Le fait que AC soit ou non directeur de D, n’a cependant pas d’incidence sur le résultat : le lieu de P reste l’image du lieu de M par la translation −→ de vecteur AC. Il n’y aurait pas d’inconvénient à supposer : « Soit A, B, C trois points distincts et D une droite ». Q5 Il y aurait plusieurs avantages à ouvrir davantage l’énoncé : « On construit un deuxième parallélogramme : le parallélogramme ANPC. Trouver le lieu du point P ». Cela laisserait aux élèves l’initiative de se rendre compte qu’une transformation permet là aussi de résoudre la question et de chercher laquelle. On peut

254

Correction des sujets d’entraînement

espérer que certains élèves associeront le point P au point N, et d’autres au point M. Les deux méthodes seraient ensuite comparées. −→ −−→ On peut s’attendre aussi à d’autres réponses : « C P = AM donc P est image de C −−→ par la translation de vecteur AM...», laquelle translation ne permet pas de résoudre le problème. Ceci permettrait d’aborder la question « quelles doivent être les qualités d’une transformation associant un point de lieu connu à un autre ? » ➤ Exercices complémentaires associés

Dans l’exercice proposé, les lieux à déterminer sont des droites entières. Veiller à choisir en complément un exercice où un cas d’exclusion rend indispensable la question de légitimité et l’étude d’une réciproque.

Sujet 04 Q1 Il s’agit ici d’un « problème ouvert » qui peut être proposé dès le collège1 . L’outil des configurations, en particulier celles du triangle isocèle et du triangle rectangle avec son cercle circonscrit, est adapté à la résolution. L’exercice peut être posé en quatrième. Q2 Le logiciel de géométrie peut servir à l’appropriation du problème. Il est important de préciser la signification de « ce que fait le point M ». Sans pour autant institutionnaliser la notion de lieu géométrique, faire voir que « placer A n’importe où sur le cercle », cela signifie que l’on peut le déplacer et que, dans ce cas, le point M va se déplacer aussi. « On va chercher à savoir où ». Il servira aussi à entraîner les élèves à repérer les invariants de la figure (s’intéresser à « ce que fait » le point M ne suffit pas, il est intéressant d’essayer de voir ce qui peut provoquer ce comportement). On peut faire tracer les segments [OA], [OB] et [OM], attirer l’attention sur les positions relatives de (OM) et (AB) ou sur la nature des triangles OBC et OAM et faire formuler les propriétés correspondantes qui seront ensuite démontrées. Suivant que le point A est plus ou moins éloigné du cercle G, il est plus ou moins difficile de repérer que M se déplace sur un arc de cercle, et de repérer de quel cercle il s’agit. Q3 La méthode visée est la méthode d’analyse et synthèse. Prévoir en conséquence une question d’analyse et une question de synthèse, à l’exemple de : 1. Voir Didier Dimathème 4e édition, 2007, page 224.

Sujet 05

255

1. Démontrer que le triangle OAM est rectangle en M. En déduire que M appartient au cercle de diamètre [OA]. 2. Réciproquement, on place un point N sur le cercle de diamètre [OA]. À quelle condition ce point N est-il le milieu d’une corde [BC] du cercle G ? 3. Répondre maintenant à la question posée dans l’exercice. Q4 En choisissant A à l’extérieur de G, le cercle de diamètre [OA] n’est pas entièrement à l’intérieur du cercle G. Le lieu géométrique n’est pas le cercle de diamètre [OA] en entier, mais seulement l’arc de cercle situé à l’intérieur de G. Ce choix amène à mettre en évidence la nécessité d’une réciproque lorsqu’on veut savoir où se déplace exactement le point M.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 05 L’exercice a pour but d’effectuer une construction répondant à des contraintes métriques (production d’un triangle rectangle isocèle) et géométriques (appartenance des sommets à des lignes déterminées). Q1 L’exercice développe la méthode d’analyse et synthèse. (Voir démarche dans la description générale de ce thème). Le début de l’énoncé peut être mis en cause, car rien n’invite à positionner approximativement un triangle solution et à réfléchir sur les propriétés de la figure. La rotation est donnée a priori sans qu’il y ait possibilité de réflexion préalable sur son intérêt. Les élèves vont probablement tracer d’abord le cercle (C’) et essayer ensuite de comprendre ce qu’il a à voir avec la question. « Si AMN est rectangle isocèle direct, par quelle transformation le point N est-il toujours l’image de M ? En déduire que le point N appartient à un cercle (C’) que l’on précisera » semble préférable. Au lieu de donner le cercle (C’) et la rotation qui est la clef du problème, on ne fait que suggérer la recherche. En revanche, l’énoncé distingue ensuite clairement une phase d’analyse et une phase de synthèse. La question 2 sous-entend de chercher aussi les triangles indirects et peut être traitée de deux façons : ou bien refaire la question 1 avec le cercle (C”) p image de (C) par la rotation de centre A et d’angle ou bien remarquer que M et N 2 jouent des rôles symétriques : AMN est direct si et seulement si ANM est indirect. On obtient donc les mêmes triangles, mais les notations M et N sont permutées. ➤ Pour approfondir

Q2 L’énoncé a été construit de façon que tous les élèves aient un même point A, et que, pour ce point, il y ait effectivement deux triangles solutions. Il y aurait intérêt à généraliser et même à poser dès le départ le problème dans le cas général, en invitant les élèves à commencer par faire un dessin à main levée. Certains élèves réussiront une ébauche alors que d’autres, ayant placé A trop loin du cercle (C), penseront peutêtre qu’il n’y a pas de solution. Ceci amènerait à la conjecture que « tantôt on peut

256

Correction des sujets d’entraînement

construire un triangle, tantôt on ne peut pas », et donc à la nécessité de discuter suivant les positions relatives du point A et du cercle (C). Ce qui change, c’est qu’il y a discussion. Le rôle du cercle (C’) est maintenu mais encore faut-il que les cercles (C) et (C’) aient des points communs : – Si (C) = (C’), soit si A = O, on peut construire une infinité de triangles. – Si (C) et (C’) sont sécants, on peut en construire deux et un, s’ils sont tangents. √ – Enfin, si O A > R 2, (C) et (C’) n’ont pas de point commun, et le problème n’a pas de solution. L’usage d’un logiciel de géométrie serait à considérer dans l’analyse de la situation : il invite d’abord à réfléchir comment on construit « rapidement » un triangle rectangle isocèle direct (l’outil « rotation » du logiciel est pertinent et cela amène à considérer une telle transformation) ; il visualise ensuite l’évolution du point N lorsque M reste sur le cercle (C) ; il permet enfin de tester diverses positions de A et met en évidence que, si A est « trop loin » de O, la construction devient impossible. ➤ Exercices complémentaires associés

L’exercice proposé mobilise une rotation, un exercice complémentaire mobilisera une autre transformation (homothétie, par exemple). Un exercice dans lequel il y a discussion sur l’existence de solutions suivant la position relative des objets initiaux est à considérer.

Sujet 06 Le problème posé est la construction en perspective cavalière d’une section plane de solide lorsqu’un point déterminant le plan de section est dans une face et deux autres sur des arêtes. Le segment [IJ] matérialise la section de la face ABD par le plan (GIJ). En revanche, on ne peut pas matérialiser les sections avec les autres faces. Il faut construire un deuxième point commun à une face (c’est la face ABC dans l’exercice) et au plan de section permettant de compléter la construction. Pour cela, on effectue des tracés « hors solide ». C’est un exercice qui peut être posé au niveau première S dans le cadre de l’étude de la géométrie dans l’espace. Q1 Une perspective cavalière, en tant qu’application affine, conserve les milieux et les barycentres. La représentation du point I sur la perspective est le milieu de la représentation de [AD] et celle du point G est le centre de gravité du triangle qui représente le triangle BCD. Pour les tracés à effectuer ensuite, la conservation de l’alignement par une perspective cavalière va jouer et sera exploitée dans la méthode de tracé. L’objectif de la question 1 est d’obtenir un deuxième point, autre que le point J, appartenant à la face ABC. La connaissance d’un deuxième point induit celle de la droite d’intersection du plan de coupe avec le plan (ABC).

Sujet 07

257

Pour cela, la méthode proposée consiste à identifier un plan dont on connaît les droites d’intersection avec le plan de coupe et avec le plan (ABC). Si ces deux droites sont sécantes sur la perspective cavalière, alors ces droites sont bien sécantes dans la réalité, puisque coplanaires, et leur point d’intersection est dans le plan de coupe et dans (ABC). On peut en déduire la droite d’intersection de ces deux plans et le point d’intersection avec l’arête (BC). C’est ce que traite la question 2. De façon générale, lorsqu’on connaît deux points situés dans le plan de coupe et une face, on connaît alors leur droite d’intersection. Le tracé de la section correspondante s’en déduit immédiatement : c’est le but de la question 3. Q3

Un énoncé :

1. Soit N le milieu de [CD]. Montrer que les points B, N, G, J sont des points coplanaires. En déduire le point d’intersection V de la droite (GJ) avec le plan (ACD). 2. Déterminer le point d’intersection L du plan (GIJ) avec l’arête (CD) du tétraèdre. La figure présente la construction de l’énoncé et la construction alternative : considérer la droite (GJ) et chercher son intersection avec le plan (ACD).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Pour approfondir

L’intérêt est que les élèves se rendraient compte de l’équivalence des deux constructions : les droites (CD), (KG) et (IV) concourent en L. Une construction valide l’autre. Elle permet de contrôler les tracés et de s’assurer de la cohérence des constructions. Si on considère deux plans sécants suivant une droite D, leurs droites d’intersection avec un troisième plan non parallèle à D coupent D au même point. ➤ Exercices complémentaires associés

Certaines des techniques courantes de tracé hors solide sont déjà évoquées dans l’exercice à analyser. Le choix d’exercices complémentaires peut donc par ailleurs évoquer l’étude des sections planes au collège (cube, parallélépipède) ou en seconde (cône, pyramide), et faire construire une section plane en vraie grandeur.

Sujet 07 L’objectif de l’exercice est de réaliser le patron d’un solide en déterminant la nature de chacune de ses faces. La démarche est guidée. Elle fait examiner d’abord les faces

258

Correction des sujets d’entraînement

qui sont des demi-carrés et ensuite les deux autres faces, dont la nature est plus complexe, l’attention étant attirée sur la nature de l’angle « intéressant ». Si la démarche est guidée, les résultats ne sont pas indiqués et sont laissés à l’initiative des élèves : « que peut-on dire... » Q1 Les pyramides et leurs patrons sont au programme de quatrième. Cet exercice peut contribuer à « apprendre à voir dans l’espace et consolider les images mentales relatives à des situations d’orthogonalité », la pyramide ayant une arête latérale qui est aussi hauteur. La principale difficulté de cet exercice est le passage du dessin en perspective cavalière à la réalité. Il faut que les élèves comprennent qu’un triangle non isocèle sur la perspective peut représenter un triangle isocèle dans la réalité et que, de même, un triangle non rectangle sur la perspective peut représenter un triangle rectangle dans la réalité. Les élèves doivent savoir utiliser les propriétés d’orthogonalité dans le cube, en particulier qu’une droite orthogonale à une face en un point I est perpendiculaire à toute droite de ce plan passant par I. Cette propriété, utilisée implicitement ou explicitement, détermine l’angle  B AH . Ils doivent savoir aussi que dans la réalisation d’un patron, deux segments devant se recoller en une même arête doivent être de même longueur. Aides possibles : – Proposer deux figures en perspective avec deux angles de vue différents. – Prévoir une maquette de la pyramide, pour que les élèves se rendent compte matériellement de la nature des faces. Cette maquette ne serait disponible qu’après une première recherche (le travail de construction d’image mentale des faces est un objectif qui mérite d’être préservé). Q2

Une démarche amenant à

la réalisation d’un patron : La réalisation d’un patron demande une phase de repérage des données (nature et caractéristiques des faces), puis une phase de construction en vraie grandeur. Cette deuxième phase doit être chronologiquement hiérarchisée (d’abord faces dont les dimensions sont connues par lecture directe, ensuite faces dont la construction demande des reports de longueurs au compas). On peut proposer comme démarche :

Sujet 08

259

– Étape 1 : Repérer dans le texte ou sur la figure en perspective les renseignements utiles à la construction demandée (longueurs d’arêtes, angles remarquables...) – Étape 2 : Choisir comme face de référence (base du patron) une face sur laquelle on a assez de renseignements pour pouvoir la construire. (Elle est ici donnée par le texte : la pyramide étant à base carrée, il est assez naturel d’utiliser sa base comme face de référence). Tracer en vraie grandeur la face de référence du patron. – Étape 3 : Construire en vraie grandeur les faces latérales à propos desquelles on dispose d’un nombre suffisant de données tirées du texte ou de la lecture directe de la perspective (longueurs de côtés, angles remarquables). – Étape 4 : Compléter le patron par la construction des faces manquantes en utilisant règle et compas (en exploitant la contrainte d’égalité de longueurs des segments qui coïncident en une même arête). Ici, on repère : deux faces qui sont des triangles rectangles isocèles de côté 5 cm, et deux faces qui sont des triangles rectangles et dont les côtés seront à construire par report de longueurs au compas. Q3 La question 4 peut servir à deux objectifs :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

D’abord, elle permet une validation du patron par les élèves eux-mêmes : si le patron est exact, une fois reconstitué, il faut que le solide « se ferme correctement ». Ensuite, la reconstitution (approximative probablement) du cube par trois pyramides permettra de conjecturer, dans ce cas, une expression du volume de la pyramide. Cette reconstitution en elle-même ne constitue pas une preuve, car rien ne peut garantir que la reconstitution matérielle est parfaite, mais c’est une vérification expérimentale préconisée par les programmes. L’agencement des trois pyramides permettra de revenir à la figure en perspective et de reconnaître les deux autres pyramides : l’une est HBCFG et l’autre est HABFE. Ces 3 pyramides sont isométriques, elles ont deux à deux une face commune et elles constituent bien une partition du cube, le résultat empirique est démontré.

Sujet 08 L’exercice vise à montrer par un raisonnement géométrique que, parmi tous les rectangles ayant un même périmètre, c’est le carré qui a la plus grande aire, puis à maximiser le produit (longueur)×(largeur) sous la contrainte « L + 2 × l = Cte ». Cet exercice (au moins sa première partie) peut être donné à partir de la fin du collège : les outils nécessaires à la résolution relèvent du cycle central, et la situation donne du sens à la notion de « maximum ». L’application constitue un exercice autonome, elle peut être donnée en réinvestissement de la première partie. En seconde et en première, les deux situations de l’exercice se prêteraient à une double résolution, géométrique, comme dans l’exercice, et fonctionnelle (les résultats géométriques et fonctionnels se validant mutuellement).

260

Correction des sujets d’entraînement

Q1

1

Savoir comparer deux périmètres. Les élèves peuvent soit calculer les deux périmètres et comparer les résultats, soit trouver des segments isométriques dans la figure, et ne comparer que ce qui peut éventuellement différencier le rectangle du carré.

2

Savoir caractériser un carré comme un parallélogramme ayant un angle droit et deux côtés consécutifs égaux. Savoir décomposer une figure en plusieurs pièces et appliquer la propriété d’additivité des aires de pièces disjointes.

3

Savoir reconnaître le caractère général d’une propriété. Les élèves peuvent rencontrer la difficulté suivante : considérer que BEFI et CDGI ne sont de « vrais rectangles » que si G est distinct de D. Ceci peut amener certains élèves à chercher un rectangle « maximal » lorsque G reste distinct de D, excluant de fait le carré de la famille des rectangles. Il s’agira d’amener les élèves à une formulation voisine de : « tout rectangle non carré de périmètre donné a une aire plus petite que le carré de même périmètre ».

Q2 La question 4.1 sert à aider la compréhension du nouveau problème, et à localiser la valeur de AD pour laquelle on peut attendre un maximum. On note qu’en choisissant 45 m, la valeur de AD, qui maximise l’aire, est 11,25 m. Ce choix est destiné à faire échouer les procédures d’essai (après avoir conjecturé que AD devait être voisin de 10, il est tentant de tester les valeurs 9 ; 11 ; 12, par exemple). On peut rédiger cet énoncé détaillé : 1. Quelle est la nature du quadrilatère CC  D  D (c’est un trapèze isocèle non croisé dont les bases ont même longueur, c’est un rectangle) ? 2. Quelle est la longueur de son périmètre (le double de AC + C D + D B, ce périmètre est fixe) ? 3. Comparer son aire à celle du rectangle ABCD (le double). 4. En déduire comment choisir AD pour que l’aire de ABCD soit maximale (l’aire de ABCD est maximale si et seulement si celle de CC  D  D est elle-même maximale, donc, si et seulement si CC  D  D est un carré). ➤ Pour approfondir

Q3

Un scénario possible avec l’outil fonctionnel.

Phase 1. Faire calculer l’aire du terrain clôturé pour quelques valeurs de AD ou de AB (comme 4.1), de façon que les élèves s’approprient la situation et se rendent compte que les dimensions ne doivent être « ni trop grandes ni trop petites ».

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 08

261

Phase 2. Investigations à l’aide de la calculatrice. Divers développements possibles. L’un des deux paramètres : côté latéral du terrain ou longueur de rive non clôturée (choix fait dans ce qui suit) peut être choisi comme variable. Le point M est le point maître de la construction. Il est « point sur objet » sur un segment [AB] qui mesure 4,5 cm. Le point Y a pour ordonnée l’aire du rectangle AMNP, on a reporté cette mesure sur la demidroite issue de A qui tient lieu de demi-axe des ordonnées. À cette échelle, le logiciel suggère un maximum de l’ordre de 2,53 cm2 lorsque AM est voisin de 2,28 cm. Les données « distance AM » et « aire de AMNP » ont été recueillies et envoyées au tableur. La représentation graphique du nuage de points obtenu suggère une parabole. L’ajustement par un polynôme de degré 2 paraît pertinent. Nuage et parabole d’ajustement ont été superposés. L’outil de calcul numérique fait conjecturer le cas d’aire maximale. Phase 3. Formalisation et démonstration. Expression de l’aire en fonction d’une dimension choisie comme variable, étude de la fonction obtenue, mise en évidence d’un maximum. Cette phase peut être prévue lorsque les élèves ont conjecturé que l’aire était peutêtre une fonction du deuxième degré de l’une des dimensions, si possible avant l’ajustement effectué par la calculatrice (dont le rôle serait alors de valider les résultats obtenus). À terme, l’objectif est de rendre les élèves autonomes dans une utilisation raisonnée des TICE : chacun peut choisir son cadre d’investigation : géométrique, graphique ou numérique, mais les conjectures émises font ensuite place à une preuve.

262

Correction des sujets d’entraînement

Sujet 09 L’objectif de l’exercice est de montrer qu’un triangle est isocèle. Cet objectif peut être atteint soit en démontrant une égalité de longueur de deux côtés, soit une égalité des mesures des angles de base. L’exercice donné en seconde tel quel peut être traité en classe comme exercice d’approfondissement ; pour un travail à la maison, la consigne de la question 2 mériterait d’être mieux précisée, afin que l’élève sache exactement ce que l’on attend de lui. Q1 La démarche attendue est : – Identification de deux triangles isométriques « utiles » dans la figure (ABD et CAE, en l’occurrence). – Tri des informations connues à leur sujet : deux informations amènent facilement à deux égalités mais une troisième égalité doit faire l’objet d’une démonstration détaillée (qui amène au deuxième cas d’isométrie). Il s’agit d’une égalité d’angles, qui nécessite l’examen de l’ordre d’alignement (il faut être sûr que les angles « utiles » sont supplémentaires de deux angles égaux). – Conclusion. Ici, on obtient simultanément les deux critères recherchés, montrant que ECD est isocèle en C. Le rôle de l’hypothèse « < 60˚ » est que dans ce cas la médiatrice coupe la droite (BC) à l’extérieur du segment [BC] et C, B, D sont alignés dans cet ordre. Les points D, A, E sont alignés dans le même ordre. Dans une synthèse de cette question, on pourra souligner ce rôle. Q2

On considère les deux triangles ABD et CAE. Par hypothèse B D = AE.

  ABC étant isocèle en A : B A = AC et AC B = ABC. Les points C, B, D étant alignés dans cet ordre et les points D, A, E étant alignés   et C  dans cet ordre : AB D = 180◦ − ABC AE = 180◦ − D AC. Mais le point D appartenant à la médiatrice de [AC], le triangle ADC est isocèle en D : D A = DC et     et les angles AB  D AC = AC B. Donc D AC = ABC D et C AE sont égaux.  Bilan : B A = AC ; B D = AE ; AB D = C AE. Les deux triangles ABD et CAE ont deux côtés et les angles qu’ils déterminent respectivement égaux : ils sont isométriques. On en déduit que leurs troisièmes côtés sont égaux : C E = AD. Donc : C E = C D : le triangle ECD est isocèle en C. Q3 Il est probable que les élèves vont répondre « non » et s’en tenir là. Au mieux, ils vont justifier leur réponse car « les angles ne sont plus égaux ». Il faudrait alors relancer la recherche et interroger sur ce qu’il faudrait modifier pour avoir « quand même » une propriété. L’usage d’un logiciel de géométrie permettrait une conjecture. Lorsque A glisse  sur la médiatrice de [BC], on constate un cas particulier : B AC = 60˚, B et D sont alors confondus. On constate aussi un changement de l’ordre d’alignement des points  C, B, D. Lorsqu’en effet B AC > 60˚, B est plus près de A que de C, donc B et C sont de part et d’autre de la médiatrice de [AC].

Sujet 10

263

La construction du point E demande à un moment donné le tracé d’un cercle de centre A qui coupe (DA) en deux points. Si E’ est le deuxième point, alors l’un exactement des deux triangles DCE ou DCE’ est isocèle, et cela dépend de l’ordre d’alignement : il faut que l’ordre d’alignement soit le même que celui des points C, B, D. Dans ce deuxième cas, ce sont D, A, E’ qui ont le même ordre d’alignement et main AC = D     tenant E AC = AC D = ABC.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Pour favoriser de nouvelles conjectures, ouvrir la question : « Que se passe-t-il  lorsque B AC > 60˚ ? ». Pour faire penser au rôle d’un nouveau point, on peut définir autrement le point E : « le cercle de centre A et de rayon BD coupe la droite (DA) en deux points E et E’. On notera E le point tel que D, A, E sont alignés dans cet ordre. » En résumé, on peut poser l’exercice : Soit sans la question 2 : il devient un exercice d’application, on attend la reconnaissance d’un cas d’isométrie et on raisonne sur la figure que l’on obtient. Soit en ouvrant la recherche de la question 2. L’exercice devient un exercice de recherche, dans lesquels les élèves sont amenés à une discussion. L’apprentissage est plus riche dans ce dernier cas. Les deux copies d’écran montrent l’interversion de propriété. En haut de l’écran, on a testé l’équidistance de C des points D et E, et en dessous, des points D et E’.

Sujet 10 L’exercice a pour objectif une caractérisation angulaire du parallélisme et une caractérisation angulaire du non-parallélisme1 . Il s’agit d’un exercice d’approfondissement, l’objectif n’est pas l’acquisition d’un nouveau savoir, mais la capacité à le réinvestir et à l’inscrire dans un raisonnement « à deux pas ». Q1 L’exercice mobilise essentiellement des savoirs du programme de cinquième : – Savoir calculer un angle, connaissant son angle supplémentaire. 1. Chronologiquement, la caractérisation angulaire du non parallélisme constitue une toute première approche du raisonnement par l’absurde : « On sait que les deux droites découpent sur une même sécante deux angles inégaux. Si les droites étaient parallèles, elles découperaient sur n’importe quelle sécante des angles correspondants égaux donc sur celle-ci, aussi ; mais deux angles ne peuvent pas être à la fois égaux et inégaux : l’hypothèse est absurde, les droites en question ne sont pas parallèles ».

264

Correction des sujets d’entraînement

– Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et leur réciproque. C’est l’apprentissage visé. – Les théorèmes en jeu sont les suivants : – Si deux droites sont parallèles, alors elles déterminent sur une sécante des angles correspondants égaux (énoncé direct). – Si deux droites déterminent sur une sécante des angles correspondants inégaux, alors elles ne sont pas parallèles (contraposée). – Si deux droites déterminent sur une sécante des angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles (énoncé réciproque). Cet exercice demande des compétences en matière de raisonnement : savoir élaborer une stratégie de résolution et savoir l’exposer, car les résultats ne se déduisent pas par simple lecture de la figure. Q2 Les trois angles du triangle ABC sont tous indiqués, l’un d’entre eux n’est pas indispensable. En l’état, l’exercice peut être proposé avant l’étude de la somme des angles d’un triangle. Si l’exercice est donné après, il serait préférable de retirer l’une des deux données « 50˚ » ou « 70˚ », ce qui obligerait à la calculer à partir de la somme des angles d’un triangle. Le retrait de cette donnée aurait pour conséquence, et pour avantage, de mobiliser deux connaissances différentes sur les angles et d’accentuer la nécessité d’établir un « ordre chronologique » dans le calcul des angles. ➤ Pour approfondir

Q3

Un scénario1 possible :

L’exercice se prête à un travail de groupe. Phase 0. Brèves activités de « remise en mémoire » de notions nécessaires : calcul du supplémentaire d’un angle, calcul d’angles correspondants ou alternes internes (la signification de ces mots est demandée aux élèves). Phase 1. Mise en place de la consigne. La figure est donnée aux élèves en précisant bien qu’il s’agit d’une figure approximative et non de la figure exacte (par exemple, en modifiant très légèrement « à la main » l’aspect rectiligne des tracés). Ceci pour contrer une procédure qui consisterait à s’emparer d’un rapporteur et à « mesurer sur le dessin ». La consigne serait précisée : « vous devez déterminer ceux des côtés de l’hexagone qui sont parallèles et ceux qui ne le sont pas. Vous indiquerez comment vous faites ». Une photocopie sur transparent de la figure sert pour le rétroprojecteur. Phase 2. Recherche. Si les élèves n’arrivent pas à démarrer, focaliser la recherche sur les droites (DE) et (HG) : « peut-on identifier, sur la figure, des sécantes à ces 1. Nous adoptons dans le scénario la structure d’une séance à caractère inductif : phase facultative de réactivation de connaissances préalables nécessaires, puis quatre phases : une pour préciser la consigne, une destinée à la recherche, une pour collecter les résultats de la recherche et débattre à leur propos, une pour institutionnaliser ce qui a été obtenu.

Sujet 11

265

deux droites ? ». Un questionnement doit aboutir à : « pour vérifier si ces droites sont parallèles, on peut comparer des angles correspondants ». La recherche est relancée sur les autres paires de droites. Phase 3. Mise en commun et synthèse. Une procédure consiste à compléter d’abord le codage en calculant tous les angles de la figure dont on connaît le supplément. Une autre, plus économique, consiste à considérer tour à tour chaque paire de droites et chercher une sécante sur laquelle on peut déterminer deux angles correspondants. La synthèse devrait aboutir à : « Pour savoir si deux droites sont parallèles, il suffit de comparer des angles correspondants qu’elles déterminent avec une même sécante ». « Deux des paires de droites sont parallèles car elles déterminent sur une même sécante des angles correspondants égaux ». « La troisième paire détermine sur une sécante des angles correspondants différents : les deux droites ne sont alors pas parallèles ». On ferait aussi remarquer qu’une droite peut être nommée indifféremment par deux points distincts qu’elle porte. Ainsi, (FG) et (AC) désignent une même droite, de même que (HI) et (AB). Phase 4. Une correction de l’exercice serait mise au point et notée sur le cahier d’exercices.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 11 L’exercice a pour objectif des calculs d’angles géométriques dans l’espace par l’outil de la géométrie analytique et du calcul numérique. La question 1 s’intéresse à un angle particulier et la question 2 à un angle variable, dépendant de la distance BM en fonction de laquelle on exprime son cosinus. La résolution de la question 3 utilise le cadre fonctionnel pour résoudre un problème géométrique de maximisation. L’exercice, faisant appel à la notion de produit scalaire dans l’espace, relève du niveau de terminale. Q1 Méthodes en jeu : – Calcul d’un cosinus en exprimant de deux façons un produit scalaire, l’une étant l’expression de ce produit scalaire en fonction du cosinus d’un angle −−→ −− −−→ −−→ −−→ → −−→ ( M A. MC = M A.MC. cos M A, MC et l’angle orienté M A, MC a le même cosinus que l’angle géométrique  AMC). – Emploi de l’outil du calcul numérique pour déterminer dans quel cas une grandeur prend une valeur donnée (résolution d’équation) et dans quel cas une grandeur admet un extremum (variation d’une fonction).

266

Correction des sujets d’entraînement

Q2 Si le repère n’était pas imposé, il se poserait la question de son choix. Le repère imposé n’est pas forcément le plus pertinent, un repère d’origine B et d’axes les supports des arêtes serait au moins aussi concurrentiel. Si plusieurs repères différents sont utilisés, il devient intéressant de comparer la complexité des calculs à effectuer et de remarquer la concordance des résultats obtenus : « pour traiter un problème de calcul de grandeurs par la géométrie analytique, on peut utiliser un repère orthonormé de son choix et chercher à choisir un repère dans lequel les calculs sont les plus commodes possibles ». ➤ Pour approfondir

Q3 Une formule de calcul sous jacente est celle du cosinus de l’angle principal d’un triangle isocèle. Pour obtenir de façon générale le cosinus de l’angle de −→ −→ sommet A d’un triangle ABC isocèle en A, on peut aussi exprimer AB + AC en − → fonction de AI , I étant milieu de [BC], et calculer de deux façons le carré scalaire −→ −→2  − →2 AB + AC = 2 AI . 2h 2  Si AB = AC = a et si h = AI, alors : cos B AC = 2 − 1. a −−→ −−→2   « Soit I le milieu de [AC]. Exprimer de deux façons  O A + OC  et en déduire cos a » pourrait être une indication donnée aux élèves. −−→ −−→ Le milieu I permet de réduire en un seul vecteur la somme vectorielle O A + OC et cette réduction doit être connue des élèves. « Retrouver les résultats » sert à contrôler. L’expression en fonction de x du cosinus n’est pas donnée dans le texte de l’énoncé et c’est là un moyen de vérifier si l’expression obtenue est compatible avec le résultat de la question 1. Lors de la synthèse de l’exercice, on pourrait remarquer que, même si cette question n’était pas explicitement posée, il était intéressant de contrôler cette compatibilité. Si l’exactitude de l’expression trouvée n’est pas garantie en cas de coïncidence, une non-compatibilité oblige en revanche à une correction des calculs. Q5 Les élèves doivent utiliser, explicitement ou non, la propriété de décroissance de la fonction cosinus sur l’intervalle [0, 180]. Ils disposent de l’expression du cosinus en fonction de x à savoir : cos  AMC =

3x 2 − 2x . 3x 2 − 2x + 1

La mesure de l’angle, en degrés, est maximale lorsque le cosinus est minimal. Pour chercher ce minimum, les élèves vont probablement étudier les variations de la fonction de x obtenue, mais ils peuvent aussi remarquer que : 1 1 3x 2 − 2x =1− 2 et que − 2 2 3x − 2x + 1 3x − 2x + 1 3x − 2x + 1

Sujet 12

267

  1 et dans le même sens que 3x 2 − 2x + 1 . − 2x + 1 (La question peut être posée : « au vu de l’expression de cette fonction, peut-on en trouver une autre écriture qui facilite son étude ? »). 1 Le cosinus minimal est obtenu lorsque x = et l’angle maximal est égal à 120◦ , 3 comme en témoignent les deux écrans successivement.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

varie en sens contraire de

3x 2

Le point de la question 2.2 (point M 2 sur la figure) est le deuxième point d’intersection de (BH) avec la sphère de diamètre [AC]. Le point de la question 3 (point M 3 sur la figure) est le projeté orthogonal de I sur (BH). Il est intersection du plan (ACF) et de (BH). Quant à l’angle  AOC, de mesure 109,5˚ à 0,1 près, c’est celui que l’on retrouve dans un tétraèdre régulier (ACFH en est un), en considérant son centre et deux quelconques de ses sommets.

Sujet 12 L’objectif de l’exercice est de contrôler l’exactitude de calculs numériques décontextualisés. Des calculs de ce type font fréquemment l’objet d’exercices de brevet, mais la question usuelle est « détailler les calculs ». Ici, le calcul effectif des trois nombres

268

Correction des sujets d’entraînement

n’est pas explicitement demandé (bien qu’il soit nécessaire), c’est un travail critique sur des productions qui est l’objet de l’exercice. Q1 Les compétences évaluées : – Savoir contrôler la conformité d’une solution à la consigne. – Savoir repérer éventuellement une erreur (ou une non-conformité). – Savoir argumenter sa réponse. Le nombre A demande un calcul sur les nombres exprimés sous forme fractionnaire : – Savoir multiplier deux fractions, savoir additionner deux fractions lorsque le dénominateur de l’une est multiple du dénominateur de l’autre. – Savoir simplifier une fraction et en trouver la forme irréductible. Le nombre B nécessite des calculs sur des puissances de dix : – Connaître les règles de calcul sur les puissances de dix : 10m × 10n = 10m+n et 10m = 10m−n . 10n – Reconnaître un nombre entier lorsqu’il est écrit en écriture scientifique (on peut regretter que certains des composants du calcul à effectuer ne soient pas écrits en écriture scientifique usuelle. Le résultat final est écrit en écriture scientifique 16 × 3 par hasard, parce que les circonstances s’y prêtent : = 2, il n’y a aucune 24 modification d’écriture à faire). Le nombre C porte sur les calculs d’expressions avec radicaux. Il y a trois savoirfaire emboîtés : – Savoir réduire une expression avec radicaux. √ – Pour cela, savoir écrire un nombre sous la forme a b avec a entier et b entier positif le plus petit possible. – Pour cela savoir décomposer un nombre entier en produit de deux nombres dont l’un est un carré. Q3 Le résultat d’Alain est faux, celui de Charlotte est exact. Compte tenu de la façon dont la question est posée, la réponse de Bernard est tout à fait satisfaisante, 2 × 102 est bien un entier : il donne le résultat en écriture scientifique, ce qui est compatible avec l’énoncé. Pour justifier leur réponse à propos du calcul d’Alain, les élèves peuvent écrire le 7 résultat exact sous forme irréductible et dire qu’un nombre rationnel n’a qu’une 8 51 7 seule écriture sous forme de fraction irréductible à dénominateur positif. et 8 64 sont toutes deux irréductibles, ce sont donc deux rationnels différents, et le résultat d’Alain est faux. C’est la démarche la plus attendue.

Sujet 13

269

Ils peuvent aussi : – Utiliser leur calculatrice pour faire le calcul et comparer l’écriture décimale obte51 nue avec celle de : les chiffres des dixièmes ne sont pas les mêmes. 64 56 – Calculer le résultat exact sous la forme sans réduire l’écriture et dire que les 64 deux fractions sont différentes, puisqu’elles n’ont pas le même numérateur. ➤ Pour approfondir

Q4

Deux critiques à propos de B :

– La question présume du résultat qui, a priori, n’est pas nécessairement un entier, mais un décimal. – « Sous la forme d’un nombre entier » est une expression incorrecte car elle confond l’objet (le nombre entier) et son écriture. Le nombre entier a plusieurs écritures comme son écriture décimale (en numération usuelle) ou son écriture scientifique, mais il n’est pas en lui-même une forme d’écriture.« Calculer B et donner le résultat sous forme décimale » ou bien « Le nombre B est-il un nombre entier ? Si oui, lequel ? Si non, expliquer pourquoi » serait plus pertinent. Q5

Peut-être, peut-on remplacer les réponses proposées dans l’énoncé par

21 24

42 dans le cas d’Alain (résultats que l’on obtient si on ne simplifie pas 48 √ le cas de Charlotte (ce qui correspond à l’erreur : les√écritures) et par −9 √ √ 7 dans √ « 9 × 7 = 9 7 et 4 × 7 = 4 7 »).

ou bien

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 13 Q1

Les compétences visées sont :

– Savoir reconnaître, à partir d’une série de données, si l’hypothèse de proportionnalité peut être formulée ou non. – Savoir classer des rapports de proportion par ordre décroissant1 . Il s’agit de compétences qui relèvent du programme de cinquième. Q2 Une première démarche consiste à vérifier si tous les rapports sont égaux à

1. Voici un exercice où la « dimension citoyenne de l’enseignement » est partie prenante. Une façon d’introduire cette situation est de tenter d’expliquer pourquoi certains pays sont plus réticents que d’autres à réviser les critères d’attribution du nombre de députés européens. Les élèves seraient chargés au préalable de relever sur Internet ou toute autre source de données, pour certains pays, le nombre d’habitants et le nombre de députés.

270

Correction des sujets d’entraînement

un même nombre ou bien si l’on peut trouver deux rapports différents, et cela suffira à rejeter l’hypothèse de proportionnalité. Une deuxième démarche consiste à exploiter la propriété de multiplicativité sur des nombres en relation simple pour se ramener à une comparaison soit à population égale, soit à nombre de députés égaux : « s’il y avait proportionnalité, l’Espagne ayant 4 fois plus d’habitants que la Belgique, devrait avoir 4 fois plus de députés, ce qui est faux », ou bien : « L’Espagne a deux fois plus de députés que les Pays Bas, mais sa population n’est pas deux fois plus nombreuse ». Q3 Quatre remarques paraissent intéressantes : 1. Faire distinguer le sens de l’expression « pays le mieux représenté » de celui du « pays le plus représenté » (il est possible que certains élèves classent ces pays en fonction du nombre de députés qui les représentent). Le pays qui est « le plus » représenté peut même être le pays « le moins bien » représenté. 2. Pour déterminer si un pays est mieux représenté qu’un autre, il est possible d’effectuer des comparaisons deux à deux, mais cette méthode est lente car il y a plusieurs pays à classer. 3. Il est préférable de calculer les différents rapports entre les deux nombres de nombre d’habitants chaque colonne. Si l’on calcule les rapports , on obtient pour nombre de députés chaque pays le nombre d’habitants que représente un député, nombre que l’on peut arrondir convenablement (au millier le plus proche, par exemple). Le pays le mieux représenté est alors celui pour lequel un député représente le moins d’habitants. nombre de députés 4. Le rapport est le coefficient par lequel il faut multiplier le nombre d’habitants nombre d’habitants du pays considéré pour obtenir son nombre de députés : le pays le mieux représenté est celui qui a le coefficient le plus grand. Q4 Cet élève attendait 20 députés pour la Belgique. Il confond la propriété d’additivité d’une fonction linéaire : f (x + c) = f (x) + f (c) avec une propriété de conservation d’écart incorrecte : f (x + c) = f (x) + c, qui n’est vérifiée que pour les fonctions de la forme : x → x + l. Une synthèse porte sur le sens de la deuxième question et sur les méthodes de résolution, en mettant l’accent sur le paramètre auquel on peut accorder le meilleur sens concret : le nombre d’habitants que représente un député, exprimé en colonne C en milliers d’habitants.

Sujet 14

271

Sujet 14 L’objectif de l’exercice est de contextualiser et faire résoudre deux inéquations au premier degré, puis un système de deux inéquations du premier degré à une inconnue. Cet exercice nécessite un changement de cadre, discrètement induit dans l’énoncé par l’indication « poser AM = x ». L’énoncé et la résolution des deux premières questions se situent dans le cadre géométrique des configurations, alors que la résolution de la troisième question se déroule dans le cadre algébrique. Tel qu’il est posé, en raison de la difficulté de modélisation, de l’absence d’étapes intermédiaires et du fait qu’il s’agit dans la troisième question d’un système de deux inéquations, cet exercice est de niveau lycée, en seconde, où l’on réinvestit dans des problèmes les connaissances du collège. Cependant, avec des étapes intermédiaires, il pourrait se prêter à une situation de recherche traitée en classe de troisième (les questions seraient formulées au fur et à mesure, lors de phases d’expérimentation successives).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Q1

Savoirs et méthodes :

1

Savoir construire un triangle dont on connaît la longueur des 3 côtés.

2

Savoir caractériser un parallélogramme (en l’occurrence, il s’agit d’employer sa définition : parallélisme des côtés deux à deux).

3

Savoir mettre en œuvre une véritable démarche de résolution. Ici, les procédures artisanales de résolution (essais de valeurs de x, mesurages sur la figure...) seront en échec. Il faut passer par une modélisation du problème. Cette question est une situation de réinvestissement du théorème de Thalès.

Q2 Une première question permettra de mettre en application directement le théorème de Thalès dans une configuration à reconnaître. Une deuxième question portera sur le calcul de longueurs « complémentaires » : 1. On pose AM = x. Calculer AI ainsi que MI en fonction de x (utilisation d’une configuration de Thalès). 2. En déduire CI, CJ et BJ en fonction de x. En synthèse, insister sur l’aspect modélisation et méthodes de résolution d’un système d’inéquations : – Choix d’une variable pour décrire la situation. – Expression en fonction de x des longueurs étudiées (éventuellement, de longueurs auxiliaires). – Traitement et résolution de chacune des inéquations qui en résultent. – « Pour que x soit solution en même temps des deux inéquations, il faut que x soit à la fois dans l’ensemble des solutions de la première inéquation et dans l’ensemble des solutions de la deuxième inéquation. L’ensemble obtenu s’appelle l’intersection des deux ensembles. »

272

Correction des sujets d’entraînement

– Pour représenter les solutions sur un axe (ici, la droite (AB) est tout indiquée pour jouer ce rôle), il est plus pratique de hachurer la partie de l’axe qui n’est pas solution. L’ensemble solution est représenté par la partie de l’axe non hachurée lorsqu’on a considéré les deux inéquations. Q3

Une présentation de l’exercice par un logiciel de géométrie semble souhai-

table en fin de collège pour que les élèves s’approprient la situation et particulièrement le sens de la question 3. On peut faire conjecturer (ce sera ensuite démontré) que AI est proportionnel à AM tandis que BJ est proportionnel à BM. Ici, la figure est construite à l’échelle 1/2. Faire varier la position du point M sur le segment [AB]. Observer l’évolution des longueurs à étudier. « La distance x = AM est une variable. Lorsque M se déplace sur [AB], x varie entre 0 et 8. Les longueurs AI, CI, BJ, CJ varient quand x varie. Elles sont fonctions de x. Comment les calculer ? » Lorsque les longueurs sont calculées, à savoir 7x 7x 3x 3x ; 7− ; 3− ; , 8 8 8 8 la question 3 est posée et les élèves sont invités à chercher un moyen de comparaison. Une fois une démarche définie (si possible par les élèves eux-mêmes), la recherche est relancée. – Option 1 : Résolution algébrique et représentation de l’ensemble des solutions sur une droite numérique. (La droite (AB) fournissant un support visuel pour cette résolution). – Option 2 : Représentation des fonctions et résolution graphique : cette méthode n’est qu’approchée et n’affranchit pas de la résolution algébrique (il y a doute sur les coordonnées des points d’intersection). Il n’y a pas lieu d’aiguiller vers l’une ou l’autre des solutions particulièrement. Les deux inéquations peuvent aussi être confiées à des groupes d’élèves différents, et la résolution du système être proposée après une mise en commun : « que se passet-il si on veut satisfaire en même temps les deux conditions ? » ➤ Pour approfondir

Q4

Si l’on traite l’exercice plus généralement, en notant a, b, c les longueurs

Sujet 15

273

BC, CA, AB respectivement : AI =

bx ; c

x MI CJ AI = = = . On en déduit : b c a a

CI = b −

bx ; c

CJ =

ax ; c

BJ = a −

ax . c

bc ac et CI = CJ, lorsque x = . a+b a+b On trouve ici des valeurs décimales parce que les rationnels en question sont des décimaux. (C’est le cas dans cet exemple parce que a + b = 10 et ce serait le cas si ac bc a +b est de la forme 2m .5n (en général, si et sont des fractions décimales.) a+b a+b Donc, AI = B J , lorsque : x =

➤ Remarque

Certains résultats se prêtent à une interprétation géométrique. Si CI = CJ alors MICJ est un losange. La droite (CM) est alors axe de symétrie du losange et bissectrice (intérieure si M est sur [AB]) de l’angle de sommet C du triangle ABC. L’égalité AI = BJ peut se traiter en considérant le symétrique du point M par rapport au milieu de [AB].

Sujet 15

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

L’exercice a pour objectif la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues ayant une unique solution, suivi d’une contextualisation. Q1 Le type de système à résoudre, deux équations à deux inconnues avec des coefficients numériques simples, relève de la classe de troisième. La structure de l’exercice (résolution d’abord, contextualisation ensuite dans laquelle il faut « reconnaître » le système, cas fréquemment constaté dans les sujets de brevet) dénote un exercice d’évaluation où la part d’initiative des élèves est très réduite. Q2 Connaissances et compétences évaluées : 1

Savoir résoudre un système de deux équations à deux inconnues par la méthode de son choix.

2

Savoir interpréter le système résolu comme issu d’une modélisation d’un problème concret (savoir pour cela mettre en équations un problème conduisant à un tel système). Savoir calculer la valeur numérique d’une expression fonctionnelle (réinvestir pour cela les résultats obtenus).

Q3 En fin de collège, les élèves ont appris les méthodes de résolution par substitution et par combinaison. Ici les coefficients sont choisis de façon à permettre l’une et l’autre méthode : la deuxième équation se simplifie en x + y = 57, qui permet d’exprimer facilement l’inconnue que l’on veut en fonction de l’autre et, d’autre part, en multipliant tous ses coefficients par 2, on obtient 4x + 4y = 228, qui permet une élimination facile de l’inconnue x. Si, par exemple, la famille B était composée de 2 adultes et 3 enfants, la méthode par combinaison aurait été favorisée.

274

Correction des sujets d’entraînement

➤ Pour approfondir

Q4 Les élèves peuvent aussi mettre en œuvre des raisonnements de type proportionnel : « Si 2 adultes et 2 enfants paient 114 €, 1 adulte et 1 enfant paient deux fois moins, c’est-à-dire 57 €. Une famille C, c’est comme une famille A où l’on aurait mis à part 1 adulte et 1 enfant, elle va donc payer 206 − 57 = 149 € ». L’avantage est qu’un élève qui n’aurait pas su résoudre le système peut quand même résoudre la question 2. Cependant, cette résolution à moindre frais devient un inconvénient si l’on veut utiliser l’exercice pour montrer la pertinence de la résolution d’un système dans ce type de situation. La raison en est que la forme linéaire L 3 (x, y) = 3x + 2y est une combinaison linéaire simple de L 1 (x) = 4x + 3y et de L 2 (x, y) = 2x + 2y, puisque : 1 L 3 = L 1 − L 2. 2 On peut, par exemple, considérer une famille C de « 3 adultes et 4 enfants ». Dans ce cas : 7 L 3 = −L 1 + L 2 2 ne se déduit pas facilement de L1 et de L2. Avec une telle modification, il y a tout avantage à poser la question 2 seule. L’exercice devient un exemple de situation de démarrage sur la résolution de systèmes linéaires. Les élèves peuvent faire des essais de combinaisons des données mais il est probable qu’ils vont échouer à trouver une combinaison de type « famille C ». L’objectif est que les élèves se rendent eux-mêmes compte que « pour répondre à la question, il faut connaître le prix d’une entrée adulte et d’une entrée enfant, donc résoudre un système ». Il serait en effet mis en évidence que : – Il y a deux paramètres que l’on ne connaît pas et que l’on va provisoirement désigner par des lettres. – Les données de l’énoncé se traduisent par deux relations entre ces paramètres. – Il faut arriver à en isoler un, pour obtenir une équation que l’on sait résoudre. L’apprentissage est incontestablement plus étendu car la résolution d’un système est alors considérée comme un outil de résolution après avoir mathématisé la situation.

Sujet 16 L’exercice s’adresse à une classe de première, ES ou technologique gestion, en début d’apprentissage sur la programmation linéaire. Il porte sur l’étude de la « zone d’acceptabilité », comment reconnaître qu’un point est dans la zone ou hors zone, comment délimiter la région polygonale obtenue.

Sujet 16

Q1

275

Apprentissages visés :

– Savoir traduire des contraintes de production par un système d’inéquations. – Savoir déterminer si les coordonnées d’un point du plan satisfont ou non toutes les inéquations d’un système. – Aborder la notion de saturation d’une contrainte. Associer la saturation de deux contraintes à l’intersection de deux frontières de la région polygonale solution. – Aborder la résolution graphique d’un système d’inéquations et la notion de « zone d’acceptabilité ». – Savoir délimiter avec précision (en déterminant ses sommets) la région polygonale solution du système. On pourra insister sur les points suivants :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– Il faut adjoindre aux trois inéquations deux autres inéquations, à savoir x  0 et y  0 qui traduisent des contraintes de positivité. – Dans ce cas, la zone d’acceptabilité est l’intérieur d’un polygone. Les programmes de fabrication possibles sont représentés par les points à coordonnées entières situés dans la zone d’acceptabilité. – Chaque côté de ce polygone correspond à la saturation d’une des contraintes du système d’inéquations. À un sommet, il y a saturation de deux contraintes à la fois. – Les points d’intersection des trois droites frontières prises deux à deux sont tous à coordonnées entières et ont pour coordonnées (27, 14) ; (35, 6) ; (30, 12). On peut regretter que le premier point à tester soit (30, 12) car il s’agit d’un des points d’intersection de deux frontières et justement celui qui est hors zone. La question soulevée est peut-être plus pertinente un peu plus tard : les points d’intersection deux à deux des droites sont-ils tous des sommets du polygone des contraintes ? Q2.1

Il y a plusieurs avantages à présenter trois contraintes (ou plus) au lieu de

deux : – Il n’y a pas de programme capable de saturer simultanément toutes les contraintes (c’est l’objet de la question 4). – Il y a plusieurs sommets de la zone d’acceptabilité qui ne sont pas situés sur les axes de coordonnées. – Une telle situation permet d’invalider la fausse représentation qui peut s’installer plus tard à propos de l’optimisation : « Il n’y a qu’un sommet non situé sur les axes et c’est toujours là que l’optimisation a lieu » qui résulterait d’un trop grand nombre d’exemples à deux contraintes seulement.

276

Q2.2

Correction des sujets d’entraînement

Il est « intéressant » que l’optimisa-

tion ait lieu soit au point (27, 14), soit au point (35, 6), plutôt qu’en un point où on ne produirait qu’un seul type. Pour cela, il faut que le coefficient directeur des droites de la famille des lignes de niveaux de bénéfice soit intermédiaire entre − 2/3 et − 6/5. Entre − 2/3 et − 1, ce sera en (27, 14). Entre − 1 et − 6/5, ce sera en (35, 6). Par exemple : « Une unité P1 amène un bénéfice de 90 € et une unité P2, un bénéfice de 100 € ». Ou bien « une unité P1 amène un bénéfice de 110 € et une unité P2, un bénéfice de 100 € ». L’optimisation a lieu en (27, 14) et en (35, 6) respectivement. La Casio Class Pad permet de tenir compte à la fois des contraintes économiques et des contraintes de positivité, en proposant le type (graphe, épigraphe, hypographe) d’objet à représenter. La zone d’acceptabilité est alors noircie. ➤ Choix d’exercices complémentaires associés

Antérieurement à l’exercice proposé : résolution graphique d’un système d’inéquations et, inversement, système associé à une région polygonale convexe donnée. Postérieurement : détail de la démarche amenant à une optimisation ; exemple d’une situation de minimisation sur un domaine illimité.

Sujet 17 L’exercice proposé a pour objectif l’étude du produit de deux matrices dans un contexte proche des préoccupations des élèves : la notion de moyenne coefficientée. Les quatre élèves de l’exercice présentent des profils différents, de manière à mettre en relief quelques paradoxes apparents : le premier est admis dans les deux filières malgré une moyenne non coefficientée inférieure à 10, tandis que le quatrième est refusé dans les deux filières malgré une moyenne non coefficientée supérieure à 10. La dernière question permet de comparer deux choix différents dans l’organisation des calculs, et d’introduire la notion de transposée. Il s’agit d’un exercice de première ES qui peut servir à fixer les connaissances sur la notion de produit matriciel.

Sujet 17

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Q1

277

Savoirs et savoir-faire.

1

Connaître la signification de la structure d’une matrice et des termes qui la composent.

2

Effectuer la multiplication d’une matrice par un nombre réel. Savoir interpréter la matrice obtenue en termes de moyenne.

3

Savoir effectuer le produit de deux matrices en les disposant correctement l’une par rapport à l’autre. Savoir disposer les coefficients d’un tableau selon une matrice compatible avec le produit par une autre matrice.

4

Savoir lier une opération sur une matrice à sa signification concrète.

Q2 L’intérêt est que cela amène à faire réfléchir les élèves sur la signification du produit matriciel : il faut que le produit d’une ligne de l’une et d’une colonne de l’autre ait un sens. Pour cela, on est obligé de transposer le deuxième tableau de façon que la matrice obtenue soit compatible pour le produit. Cette présentation permet de combattre l’idée fausse que « on fait le produit des deux tableaux ». Q3 Les notes de quatre élèves dans trois matières sont formalisées par une matrice N rectangulaire. Il n’y a qu’une disposition possible pour le produit matriciel. S’il n’y avait que trois élèves, la matrice N serait une matrice carrée. Dans ce cas, quelle que soit son organisation, on peut faire son produit par P, puisque N et sa transposée ont alors le même format. Le problème serait de trouver la disposition correcte, c’est-à-dire celle pour laquelle la matrice-produit a une signification concrète. Il paraît intéressant de proposer cette situation dès le début de l’exercice, pour montrer aux élèves la nécessité d’une organisation compatible avec le sens et pour ancrer l’idée que, pour que le produit de deux matrices ait un sens identifiable, on peut être amené à transposer l’une d’entre elles. Outre la réflexion sur le sens du résultat, l’adjonction ensuite d’un quatrième élève permettrait de valider ou d’invalider le choix effectué par les élèves : selon l’organisation de N, cette adjonction serait celle d’une ligne ou bien celle d’une colonne. Dans un cas, le produit reste possible (ce qui valide cette organisation) et, dans l’autre, il devient impossible (ce qui l’invalide). Si on labellise les lignes et les colonnes des deux matrices, il faut que, lorsqu’on effectue le produit, les termes du produit aient une signification conforme à l’utilisation des labels (par exemple, les coefficients 3 et 5 doivent s’appliquer aux notes en mathématiques). Q4 La notion que l’on peut introduire ici et l’objectif visé, serait la notion de transposée : Les matrices C’, N’, P’ sont les matrices transposées des matrices de C, N et P. On ferait remarquer dans une synthèse que les matrices transposées se multiplient dans l’ordre inverse des matrices initiales et que le produit obtenu est la matrice transposée du produit initial : ( A × B)T = B T × A T . La commande de transposition du menu « matrices » de la calculatrice et son effet seraient vus à cette occasion.

278

Correction des sujets d’entraînement

D’un point de vue calculatoire, on peut faire remarquer que l’on peut choisir de deux façons la matrice qui représente les coefficients, transposées l’une de l’autre, et que ce choix détermine la matrice qui représente les notes ainsi que l’ordre de disposition des matrices dans le produit. Ce choix ne change rien aux résultats, sinon que les deux matrices-produits obtenues sont transposées l’une de l’autre. ➤ Choix d’exercices complémentaires associés

L’exercice proposé traite la question du produit matriciel. Il reste alors à explorer des applications du calcul matriciel : résolution d’un système linéaire, recherche de la matrice inverse d’une matrice carrée inversible, application en terminale spécialité à un problème de graphe...

Sujet 18 Q1

Une utilisation de tableur.

Tout aussi bien, et même plus commodément, on peut utiliser l’éditeur de suites ou l’éditeur de fonctions et sa table, en tabulant de 1 en 1 à partir de zéro. Une conjecture attendue est que le PGCD est égal à 13 si et seulement si n est un entier de la forme 9 + 13k. Q2 Soit d le PGCD de a et de b. En tant que diviseur commun de a et de b, il divise toute combinaison à coefficients entiers de a et b, en particulier, il divise : 4×(5n +7)−5×(4n +3) qui est égal à 13. En tant que PGCD, c’est un diviseur positif de 13. Le nombre 13 est premier, il n’a que deux diviseurs positifs, 1 et lui-même. Donc d = 1 ou d = 13. Q3 Le raisonnement demandé étant par « disjonction de cas », l’outil mathématique attendu est la congruence modulo 13. PGCD (a , b) = 13 si et seulement si a et b sont tous deux congrus à zéro modulo 13. L’option de raisonnement par « disjonction de cas » privilégie un raisonnement mené à l’aide du tableur, en considérant, pour n variant de 0 à 12, tous les cas des restes des divisions par 13 de a et de b. En effet, si r est le reste de la division de n par 13, 4n + 3 et 5n + 7 sont congrus modulo 13 respectivement à 4r + 3 et à 5r + 7 avec 0  r  12.

Sujet 19

279

Dans cette plage de valeurs, seule la ligne correspondant à n = 9 convient. Le PGCD est 13 si et seulement si n ≡ 9 (13) Q3.2 Une autre solution consiste à appliquer certaines propriétés du PGCD, en particulier, le fait que, quels que soient les entiers u et v et l’entier relatif k, PGCD(u, v) = PGCD(u − v, v). Plus généralement PGCD(u, v) = PGCD(u + kv, v). Successivement : PGCD(5n + 7,4n + 3) = PGCD(n + 4,4n + 3) = PGCD(n + 4,13). Il s’agira de chercher dans quels cas n + 4 est un multiple de 13. ➤ Pour approfondir

Q4 Le PGCD est dans ce cas un diviseur de 9, qui n’est plus un nombre premier. Ce PGCD pourra être égal à 1, 3, ou 9. C’est 3 lorsque a et b sont congrus modulo 9 à l’un des nombres 0, 3 ou 6 sans que tous deux soient simultanément congrus à 0. Cet écran a la même fonction que l’écran précédent.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 19 L’exercice permet de réinvestir la notion de suite arithmétique et de somme de termes d’une suite arithmétique dans une situation pseudo-concrète. Une suite arithmétique (contextualisée par le tarif A) admet une formule explicite de la forme u n = an + b tandis qu’une somme de termes de suite arithmétique admet une formule explicite de la forme : vn = an 2 + bn + c (contextualisée par le tarif B). Les valeurs numériques sont choisies pour que, pour certaines valeurs de n, les valeurs prises par vn soient plus petites que celles prises par un . Il peut s’envisager en classe de première, toutes séries. Q1 Connaissances mobilisées dans l’exercice : – Savoir reconnaître une suite arithmétique par la propriété de constance des écarts entre deux termes consécutifs. – Savoir déterminer la formule explicite donnant l’expression directe en fonction de n du terme de rang n d’une suite arithmétique. – Savoir exprimer une suite comme somme de termes d’une suite arithmétique (il faut ici réfléchir à l’indexation du mètre foré qui présente une petite difficulté car l’indexation commence à 1). – Savoir calculer, en fonction du terme initial, du nombre de termes et de la raison, la somme des termes d’une suite arithmétique. – Savoir appliquer la formule explicite à une valeur de n déterminée. Q2

Il se pose naturellement la question de comparer les propositions des deux

280

Correction des sujets d’entraînement

entreprises pour toute valeur de n. Le problème se ramène à la résolution d’une inéquation du deuxième degré. Une option est de poser la question en deux temps : 1. Existe-t-il des profondeurs pour lesquelles les deux entreprises facturent le forage au même prix ? 2. Déterminer, suivant la profondeur à atteindre, la proposition la plus avantageuse. Pour une profondeur de 20 mètres ou de 31 mètres, les deux entreprises ont des propositions équivalentes. Entre les deux, c’est l’entreprise B qui est la plus avantageuse. Q3 Le type de suites auquel le tarif B fait référence est celui des suites dont une formule explicite est un trinôme du second degré en n : u n = an 2 + bn + c. Ce type de suites peut être caractérisé par l’une ou l’autre des propriétés suivantes : – La suite (vn ) définie pour tout entier n par : vn = u n+1 − u n est arithmétique. La suite (u n ) est somme de termes d’une suite arithmétique (démarche suggérée par l’énoncé). – La suite (wn ) définie par : wn = vn+1 − vn = (u n+2 − u n+1 ) − (u n+1 − u n ) pour tout entier n est constante (suites « à différences secondes constantes »). – En effet, si u n = an 2 + bn + c, alors on obtient : wn = 2a pour tout entier n. – Si réciproquement (wn ) est une suite constante, disons c, la suite (vn ) est arithmétique : vn = v0 + nc pour tout entier n et : un = u0 +

i=n−1  i=0

vi = u 0 + n(u 1 − u 0 ) +

 c n(n − 1) c c = n2 + u1 − u0 − n + u0. 2 2 2

– L’expression de un est un trinôme du second degré en n. Les écrans successifs de Class Pad 300 montrent la saisie récursive des suites, la détermination explicite du terme général bn avec le solveur, et la représentation graphique des termes de rangs 10 à 40.

Sujet 20

281

Sujet 20 Q1

Objectifs et contenu mathématique sous jacent :

A

Existence et unicité de la solution. Localisation de cette solution. Les élèves doivent utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier l’existence d’une solution et la stricte monotonie de f pour en justifier l’unicité. Signe de f sur [0, a] en exploitant le tableau de variations. C’est un résultat auquel les élèves pourront se référer plus loin dans l’étude du signe de la fonction g’.

B

Transformation de (E) en une équation de point fixe qui lui est équivalente. Étude de la fonction g. L’énoncé aurait pu faire vérifier que l’image par g de l’intervalle [0, a] était incluse dans [0, a]. La stabilité de cet intervalle est implicitement utilisée plus loin. Les élèves peuvent raisonner par équivalences pour la question 1. Ils doivent savoir dériver un quotient puis reconnaître une application d’un résultat précédent pour étudier le signe de g’.

C

Démonstration d’inégalités destinées à établir que la suite (un ) est croissante et majorée. Les élèves doivent savoir appliquer le théorème de convergence monotone et le théorème de composition des limites par une fonction (si une suite (un )  continue  converge vers l et si g est continue en l, alors la suite g(un ) converge vers g(l)).

Q2

Avantages :

– L’énoncé vise à faire appliquer des théorèmes importants du programme. – Il dissocie bien le problème d’existence de la limite de la suite (u n ) du problème de la valeur de cette limite. – La convergence est très rapide (a est pour g un point fixe hyper attractif) et une étude graphique le ferait pressentir.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Inconvénients : – La fonction g est un lapin sorti d’un chapeau. – Avec les outils de l’exercice, on ne peut pas mesurer la qualité de convergence. – On calcule certes une valeur approchée de u4 à 10−6 près mais on ne dispose d’aucune information sur la pertinence des six décimales dans une approximation de a, puisqu’on ne connaît rien de l’écart entre u4 et a. – Les nombres servant à l’approximation sont des nombres réels, on utilise donc déjà une approximation pour appréhender ces nombres. Q3 La mise en œuvre de cette méthode doit être connue, par exemple, à l’aide d’une programmation, dont l’écran ci-dessous donne l’exécution.

282

Correction des sujets d’entraînement

➤ Pour approfondir

Q4

La fonction résultant de la méthode de Newton appliquée à f est : x → x −

Q5

x − e−x f (x) = g(x). = x − f  (x) 1 + e−x

Structure possible :

Mise en œuvre de la méthode de dichotomie, explicitement au programme. Faire montrer que, pour a  0, la tangente à Cf au point d’abscisse a coupe l’axe 1+a Ox au point d’abscisse et justifier ainsi le choix de la fonction g de l’énoncé, en 1 + ea montrant graphiquement le mécanisme de construction de la suite (u n ). « On construit ainsi une suite qui, lorsque les conditions s’y prêtent, converge vers a plus rapidement que ne le fait la méthode de dichotomie ». On reprend les questions 1 à 3 de la partie C. On pourrait vérifier par un petit programme avec un faux test d’arrêt (lorsque la calculatrice ne parvient plus à reconnaître que deux nombres sont distincts) qu’à partir de la cinquième itération, le calcul de un stationne sur la valeur affichée par le solveur car les capacités de gestion de nombres sont dépassées. ➤ Complément

On rappelle l’inégalité suivante (obtenue en exercice dans certains manuels de terminale) : pour tout réel u strictement positif : u2 1 − u  e−u  1 − u + . 2 En envisageant pour x appartenant à [0, a] la différence a − g(x) : 1+x a.ex − 1 + (a − x) a − g(x) = a − = . 1 + ex 1 + ex Compte tenu que a vérifie : a = e−a , on obtient : e−(a−x) − 1 + (a − x) . a − g(x) = 1 + ex En appliquant l’inégalité suggérée avec le nombre u = a − x : (a − x)2 . 0  e−(a−x) − 1 − (a − x)  2 Conséquence : 0  a − g(x) 

(a − x)2 (a − x)2  . 2(1 + ex ) 4

Sujet 21

283

Il en résulterait une majoration quadratique de a − u n à établir par récurrence et, ainsi, il serait possible d’évaluer la qualité de convergence. Mais une étude aussi poussée n’est guère compatible avec les objectifs moyens du programme d’une classe de terminale S.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Sujet 21 Q1 Cet exercice étudie les variations d’une fonction du deuxième degré sans l’outil de la fonction dérivée et avec des indications portant sur l’étude du trinôme. Il est conforme au programme de seconde, pour introduire les méthodes générales d’étude de variations propres à ce niveau de classe. Éventuellement, il peut être repris en début de première, en particulier, la méthode 2, en application (à expliciter) des fonctions associées. Q2 L’exercice propose deux méthodes générales, l’une consistant à exprimer la différence entre les images de deux nombres, l’autre consistant à décomposer la fonction f en un enchaînement de fonctions dont on connaît la variation. Il s’y ajoute une méthode circonstancielle résultant d’une contextualisation. Méthode 1. Elle est basée sur le fait qu’une fonction croissante est une fonction qui conserve l’ordre et qu’une fonction décroissante renverse l’ordre (voir thème sur la variation des fonctions). Méthode 2. Utiliser un enchaînement de fonctions de référence et des théorèmes de rangement (notamment le rangement de deux carrés). Pour cela, la fonction doit être décomposée et son écriture transformée (c’est la forme canonique du trinôme qui est la forme la plus adaptée). Méthode 3. Utiliser une contextualisation géométrique de la fonction f en interprétant son expression comme étant le carré de la distance d’un point fixe à un point variable d’une droite. C’est une méthode de circonstance, que l’on peut utiliser pour certaines fonctions du deuxième degré en interprétant leur forme canonique. Cette méthode n’est pas transférable. Q3 Il semble ici qu’une inversion de l’ordre des questions soit intéressante. En partant de la contextualisation géométrique, la fonction f apparaîtrait comme un outil pour résoudre un problème et non comme donnée a priori. Cette situation de base permettrait aussi de diversifier l’approche de ce problème et de voir les liens existant entre ces approches. À titre d’exemple : – Mise en place du problème, avec utilisation d’un logiciel de géométrie : on construit la figure suivant les mêmes notations qu’à la question 3 en faisant afficher la distance AM et/ou son carré : on veut étudier l’évolution de AM 2 . Il peut être envisagé d’étudier AM lui-même, pour mettre en évidence que AM et AM 2 évoluent dans le même sens. Le minimum de la distance est obtenu quand M est le projeté orthogonal de A sur Ox. – Étude algébrique : expression de AM 2 . Les élèves auraient ainsi par calcul d’abord la forme canonique de la méthode 2 et ensuite la forme développée de la méthode

284

Correction des sujets d’entraînement

1. Le problème posé serait alors : « comment peut-on retrouver le sens de variation d’une fonction en exploitant ses expressions possibles ». Le rôle du nombre − 1 est amené plus naturellement. – Synthèse sur les avantages et inconvénients des deux méthodes algébriques (les deux intervalles [−1, +∞[ et ]−∞ , −1] sont induits par la situation et, dans un exercice du niveau seconde, ils seraient précisés par l’énoncé, mais c’est dans la détermination de tels intervalles où réside une difficulté de la méthode 1). La situation pourrait être réinvestie : comment faire si le point M décrit non plus l’axe Ox mais une droite donnée d’équation y = ax + b ? La concurrence entre les trois méthodes devient plus indécise... ➤ Choix d’exercices complémentaires associés

Cet exercice se place en début d’apprentissage sur la notion de variation d’une fonction. L’outil de la dérivée en classe de première est incontournable pour compléter le dossier.

Sujet 22 L’exercice propose l’étude d’une fonction présentant un « zéro caché ». L’équation f (x) = 0 admet en effet zéro pour solution évidente, mais en admet une deuxième dans un voisinage immédiat, située entre ln 1,1 et ln 1,2. La variation de f entre ces deux valeurs étant très faible (de l’ordre de 2 × 10−4 ), le comportement de f n’est pas visible graphiquement dans une fenêtre usuelle. Il est question de mettre en évidence ce paradoxe. Cet exercice s’adresse à une classe de terminale, en approfondissement de la notion de représentation graphique. Compte tenu de la nature des fonctions en jeu et de l’étude de paradoxes apparents comme celui-ci, il est davantage orienté vers une série S. Q1 La première représentation graphique a un statut de courbe construite sur écran donc une construction « point par point », avec les règles d’interpolation propres à une calculatrice (suite de pixels, autrement dit, de rectangles du plan). Il ne s’agit pas d’une courbe fournissant une information exhaustive et elle est sujette aux aléas de l’interpolation. La deuxième courbe de la question 1, reproduction à main levée de l’écran de la calculatrice, a un statut de courbe conforme à un tableau de variations (conjecturé !) Elle est censée présenter une information exhaustive, mais cependant non prouvée, celle des conjectures. La troisième courbe a un statut de courbe conforme à un tableau de variations sur un intervalle donné, l’intervalle [−0,05 ; 0,15]. La différence avec les précédentes, fondamentale, est que l’étude des variations a prouvé la légitimité des interpolations dans le cadrage de fenêtre choisi et la conformité du tracé à celui de la courbe attendue sur cet intervalle. Elle fournit une information exhaustive dûment justifiée sur l’intervalle de cadrage.

Sujet 22

Q2

285

Les élèves doivent :

– Savoir dériver une fonction (dérivée d’une fonction du type ekx notamment). – Savoir résoudre une inéquation qui se ramène au deuxième degré (par un changement d’inconnue : X = ex que les élèves doivent savoir mettre en œuvre). – Savoir dresser un tableau de variations regroupant les informations importantes. – Savoir déterminer le nombre de solutions d’une équation f (x) = k en se référant à un tableau de variations. – Savoir adapter un cadrage de fenêtre graphique (en utilisant le minimum et le maximum d’une fonction sur l’intervalle de représentation). Q3

L’objectif de l’exercice est d’apprendre à avoir une attitude critique par rap-

port à une représentation obtenue sur un écran graphique et à apprécier la pertinence des informations apparentes fournies. La synthèse à en faire est la mise à une juste place des courbes obtenues sur écran. Une telle représentation ne permet pas de prouver des propriétés globales, elle permet seulement de les conjecturer, avec un risque non négligeable dû à la perte d’information causée par la prise en compte d’un nombre fini de points contrôlés. Une étude qualitative préalable de la fonction avec les outils fonctionnels est indispensable pour certifier la conformité du tracé. ➤ Pour approfondir

Q4

Il conviendrait pour compléter d’étudier le comportement asymptotique de f

et les branches infinies de sa courbe représentative. Une en particulier est intéressante car la fonction f peut s’écrire : f (x) = 1,1x + 1,6 + e (x) avec lim e (x) = 0. La

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

x→−∞

courbe représentative de f admet une asymptote oblique. Q5 La fonction proposée représente la différence entre la fonction 1 g(x) = e2x − 2,1 ex et sa meilleure approximation affine au voisinage de zéro, ce 2 qui explique le faible écart observé au voisinage de zéro. Les écrans montrent respectivement la représentation attendue, l’asymptote oblique et la représentation graphique de la fonction f avec un cadrage de fenêtre : ymin = −0,0002 et ymax = 0,00008 adapté à la question 4.

286

Correction des sujets d’entraînement

➤ Choix d’exercices complémentaires associés

Les propriétés géométriques éventuelles d’une représentation graphique ne sont pas abordées par l’exercice proposé : propriétés d’invariance par une transformation (éléments de symétrie, invariance par translation...) de même que des éléments remarquables (tangente remarquable et position relative, asymptote...)

Sujet 23 L’exercice est une situation issue du cadre géométrique qui amène à l’étude d’une fonction du deuxième ou du troisième degré et à la recherche d’une maximisation. Q1

Cette question permet d’abord de travailler sur la notion d’échelle (une

représentation graphique de la parabole dans un repère orthonormal d’unité graphique 5 cm fournira une figure à l’échelle 1/200). Elle permet aussi, et surtout, de faciliter par la suite une appropriation du problème, l’arche aura été construite par les élèves eux-mêmes. Q2

L’aire du rideau s’exprime selon le modèle choisi par les fonctions :

f 1 (x) = 2x − 2x 3 (modèle 1) ; f 2 (x) = 2x − x 3 (modèle 2) et f 3 (x) = −x 2 + x + 1 (modèle 3). Si on veut travailler sur le second degré, on choisira le modèle 3. L’opti1 misation s’obtient lorsque x = , ce qui est un résultat qui pourra apparaître « sans 2 surprise » pour les élèves. Les deux autres modèles semblent plus adaptés à une recherche d’optimisation au niveau d’une classe de première : la fonction objectif de l’exercice est une fonction du troisième degré et l’optimisation a lieu pour une valeur  2 1 de x qui ne peut pas être prévue, respectivement pour : x1 = √ et pour x2 = . 3 3 L’exercice peut être posé en application de la dérivation et faire figure d’exercice de référence à propos des méthodes d’optimisation en séries S, ES ou technologiques. Q3

Un scénario de séance possible :

Phase 1. Appropriation du problème A. Construction de la courbe C. On choisit le modèle 1. Après avoir fait remarquer que les dimensions du rideau dépendaient de la position de M sur C, on fait comparer les aires de rectangles obtenus pour diverses positions de M. La question est ensuite

Sujet 24

287

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

posée : « peut-on choisir M sur C de façon que l’obturation soit la meilleure possible ? » Il s’agit d’amener les élèves à reformuler en ce sens : « la question revient à trouver s’il existe un rideau d’aire maximale ». B : Hypothèses et conjectures à l’aide d’un travail sur logiciel de géométrie.

Une animation laisse conjecturer que le rideau de modèle 1 admet une aire maximale pour une valeur voisine de 0,57 (tandis que le rideau de modèle 2, à droite, admet son maximum pour une valeur voisine de 0,82). « L’abscisse x du point M appartenant à [0 , 1] est une variable de la situation que l’on peut contrôler. Vous allez d’essayer d’exprimer l’aire du rideau en fonction de x, puis de trouver un moyen d’obtenir l’aire maximale. Vous pouvez utiliser votre calculatrice, mais ce n’est pas obligatoire ». Phase 2. Recherche. On peut espérer que les élèves vont se lancer dans plusieurs directions différentes : graphique et évaluation de l’abscisse du sommet de la courbe représentative de l’aire, tableau de valeurs et estimation de la valeur créant la maximisation, étude des variations de la fonction aire à l’aide de la dérivée. Phase 3. Mise en commun : Comparaison des méthodes et synthèse Un tableau de valeurs ou bien l’interprétation du tracé de la courbe sur la calculatrice permettent d’approcher la valeur recherchée mais non d’en obtenir la valeur exacte. Une étude des variations de la fonction f prouve l’existence d’un maximum et en fournit la valeur exacte. On vérifie que cette valeur est bien supérieure à toutes celles qui ont pu être trouvées autrement. En synthèse, on pourrait relever les étapes de résolution (voir chapitre 9 et étude générale du thème « optimisation »). Le modèle 2 pourrait être ensuite proposé aux élèves comme exercice d’application à traiter à la maison.

Sujet 24 Q1

Cet exercice met en scène trois situations décrites au moyen de fonctions

affines. Les modes de génération de ces fonctions sont différents, et le problème a pour objectif d’établir des liens entre ces différents modes. Le niveau de classe est celui de la classe de troisième, où les fonctions affines et leurs caractérisations sont au programme.

288

Correction des sujets d’entraînement

L’énoncé veut présenter trois manières de définir la fonction « hauteur de liquide restant » dans trois cadres différents : par sa représentation graphique (cadre graphique, Alain), par un tableau de valeurs (cadre numérique, Béatrice) et par une formule explicite (cadre algébrique, Christophe). L’intention est d’entraîner les élèves à passer d’un cadre à l’autre. Suivant la question posée et l’utilisation de la fonction que l’on doit faire, un cadre de travail peut être plus favorable qu’un autre. Q2 Il serait intéressant de faire calculer la hauteur d’eau évaporée pour faire apparaître sa proportionnalité avec le nombre de jours écoulés depuis le début de l’expérience. Quant à la constance de la vitesse d’évaporation au cours d’une même journée, elle provient d’une hypothèse simplificatrice de la situation qu’il conviendrait d’expliciter, d’autant que les élèves doivent la mettre en jeu dans l’une de leurs réponses. Q3 La question 4 fait calculer l’image d’un nombre par une fonction tandis que la question 5 fait calculer les antécédents d’un nombre. Les deux questions sont inverses l’une de l’autre. Le liquide B présente pour la question 5 une difficulté car les élèves vont trouver un nombre non entier de jours (12,5). Il faut supposer que la vitesse d’évaporation est constante au cours de la journée. Q5 Questions éventuelles : « Quelle sera la première éprouvette vide ? ». Cette question attirerait l’attention sur le fait que les modélisations ont un sens tant qu’il reste du liquide dans l’éprouvette. Plusieurs stratégies sont possibles : utiliser les graphiques, résoudre des équations comme 160 − 8x = 0, utiliser le tableau de valeurs pour B (au bout de 15 jours, il y a 30 mm de liquide, il y en a encore pour 5 jours à raison de 6 mm par jour). « Quelle est l’éprouvette qui contient le plus de liquide ? » Suivant le nombre de jours écoulés, ce n’est pas la même. Cette question favorise l’usage des représentations graphiques car il y a trois fonctions à comparer.

Sujet 25 L’exercice présente une situation amenant à prouver l’existence et l’unicité de la solution d’une équation par une méthode analytique. Il s’appuie pour cela sur l’utilisation des TICE. Cependant, le travail demandé aux élèves est très formaté (l’interdiction d’expliciter f est discutable) et la frontière entre « conjecture » et « preuve » n’est pas très clairement mise en relief par l’énoncé.

Sujet 25

289

Q1 Le point M est obtenu par une procédure d’essais-erreurs « à la souris ». Il s’agit donc d’une procédure approximative, en aucun cas d’une détermination. On peut seulement conjecturer qu’il y a une droite unique solution du problème. Q2 La médiane partage le triangle ABC en deux triangles de même aire AIB et AIC. Lorsque C H > B H , les points B, H, I, C sont alignés dans cet ordre. Lorsque M est en I et à plus forte raison sur [CI], le triangle CMN a une aire strictement plus petite que celle de AIC. Lorsque M est sur [BH], le triangle BMN a une aire strictement plus petite que celle de AIB. Le point M ne peut être qu’entre I et H. Q3 Il s’agit du théorème des valeurs intermédiaires. L’hypothèse de continuité est amenée par l’énoncé. La question 3 interprète la valeur intermédiaire cible : l’équation a pour solution la valeur de la distance CM du point C à la droite (MN) a lorsque cette droite est solution du problème, puis on montre que f (0) < < f (c), 2 a c’est-à-dire que est bien intermédiaire entre les deux valeurs de f aux bornes de 2 [0, c]. Enfin, la stricte monotonie de f est attestée par la variation de f observée à partir du logiciel. On pourrait la confirmer en remarquant que si 0 < x < x  < c, l’aire de C M  N  est somme de l’aire de CMN et du trapèze M N N  N , donc f (x) < f (x  ). ➤ Pour approfondir

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Q4.1 Un énoncé possible : 1. Calculer l’aire du triangle ABC en fonction de b, c, h. 2. Calculer MN, puis l’aire du triangle CMN en fonction c, h, x. 3. En déduire que la droite (MN) est solution du problème si et seulement si x est solution d’une équation du deuxième degré que l’on explicitera. On attend : h f (x) = x 2 , 2c puis l’équation : h 2 h(b + c) x = . 2c 4 Le nombre x solution ne dépend pas de h : une affinité orthogonale d’axe (BC) va aire(C M N ) . changer la hauteur AH mais ne va pas affecter le rapport des aires aire(ABC) Q4.2 Une construction de la moyenne géométrique de deux nombres utilise la configuration du triangle rectangle. Dans un triangle ABC rectangle en A, si H est le pied de la hauteur issue de A : AH 2 = H A. × H B et donc : AH =

√

H A × H B.

290

Application dans le contexte de l’exercice : si I est le pied de la médiane issue de A, et si H  est le symétrique b+c de H par rapport à C : C I = et 2  C H = c. Construire le cercle de diamètre[I H  ]. La perpendiculaire en C à (BC) coupe ce cercle en deux points. Soit D l’un des deux. Le cercle de centre C passant par D coupe le segment [CH] au point recherché. La production demandée. Avec deux chiffres après la virgule, on peut tricher. La relation aire ABC n’est qu’un aire C M N = 2 leurre, obtenu par des essais. Les valeurs affichées des aires ne sont que des arrondis. Après avoir défini les entrées (longueur CM, aire CMN et (aire ABC)/2), la figure a été animée, les données stockées automatiquement et représentées par un nuage de points. En conjecturant que f est du second degré, le nuage de points correspondant a été ajusté par RegDeg2. Le deuxième nuage de points (d’ordonnées fixes) est ajusté linéairement. Les ajustements ont été superposés aux nuages et l’intersection de la droite et de la parabole activée. On en sait plus sur la valeur x solution : 2,5528888 en est une valeur approchée (mais on ignore la qualité d’approximation). Apparemment, même figure qu’au départ. Il n’en est rien. Le point M a été maintenant construit géométriquement. La valeur lue à l’écran délivre un « certificat de conformité » de la construction.

Correction des sujets d’entraînement

Sujet 26

291

Sujet 26 L’exercice a pour objectif le calcul de plusieurs intégrales, une par transformation d’écriture, une autre par intégration par parties. Il s’agit plutôt d’un exercice d’évaluation en fin d’apprentissage en terminale S sur les méthodes de recherche de primitives, car les deux premières questions sont indépendantes et la troisième est une application conjointe des questions qui la précèdent. Q1 Méthodes mises en œuvre : 1

Calculer une primitive d’une fraction rationnelle par transformation d’écriture (conformément au programme, la démarche est guidée : la forme de la décomposition est fournie aux élèves, qui doivent mettre les deux expressions dont ils disposent sous même format puis appliquer un théorème d’identification).

2

Primitivation par lecture inverse des formules usuelles de dérivation. Les élèves doivent reconnaître en 2x la fonction dérivée de la fonction u(x) = x2 − 1 et dans la fonction à intégrer une formule de dérivation d’une fonction composée, celle d’une fonction 1 de la forme . u(x) Calcul d’une intégrale par intégration par parties.

3

Exprimer le logarithme d’un nombre entier en fonction des logarithmes de ses facteurs   ! k  premiers : ln pi i = ki ln (pi ). i

Q2

Si l’énoncé est :



3

2x. ln x 2 dx, 2 x2 − 1 l’application de la formule d’intégration par parties n’est plus évidente, et les élèves doivent s’interroger à son propos. Certains vont essayer, par exemple, ln x v(x) =  u  (x) = 2x ; 2 , 2 x −1 A=

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

i



et se rendre compte eux mêmes que ce choix n’est pas judicieux. Cette façon de poser la question permettrait de faire remarquer qu’il y a intérêt dans ce cas de figure à « isoler le logarithme ». ➤ Pour approfondir

Q3

L’ordre des questions posées est conforme au degré de technicité évalué. Si on changeait l’ordre des questions, on pourrait motiver davantage la recherche d’une primitive de g. L’ordre 2 ; 3 ; 1 semble intéressant. La question 2 est une application de méthodes de recherche de primitives qui doivent être connues des élèves, la question 3 est une application de la méthode d’intégration par parties qui amène à devoir calculer une primitive d’une nouvelle fonction dans laquelle il n’y a plus de terme contenant de logarithme (et de décider si son calcul est possible). La question 1 est maintenant motivée.

292

Q4

Correction des sujets d’entraînement

Deux remarques sur la comparaison des deux affichages :

– S’agit-il de deux primitives différentes ou est-ce bien la même primitive (revenir sur les propriétés de la fonction logarithme ou bien comparer la valeur des deux fonctions en un point) ? – Pourquoi les calculatrices affichent-elles des valeurs absolues (occasion de revenir u sur un intervalle où sur le fait qu’une primitive d’une fonction de la forme  u u est une fonction qui garde un signe constant est ln |u| et, qu’ici, l’usage de valeurs absolues peut être « économisé » car on connaît les signes des fonctions x ; x + 1 ; x − 1 sur l’intervalle I) ? Enfin, si l’affichage du modèle 1 (modèle TI) n’est pas directement exploitable, il n’en est pas de même du modèle 2 (Casio). On peut, en effet, s’appuyer sur cet affichage pour un apprentissage de la méthode de décomposition et de son principe en s’interrogeant sur le « pourquoi » de l’affichage observé :       ln |x + 1| ln |x − 1| Comment exprimerait-on la dérivée de la fonction + − ln |x| ? 2 2 1 1 1 Quel lien y a-t-il entre cette fonction, en l’occurrence, + − , 2(x + 1) 2(x − 1) x et la fonction g ? Après avoir convenu qu’il s’agissait de la même fonction, une synthèse permettrait d’énoncer que « si on arrive à décomposer une fonction de la forme P(x) en une somme de termes plus simples, on peut en construire une primitive Q(x) comme somme des primitives de chaque terme de la décomposition ». On conclurait en ajoutant que, en terminale, la forme des « termes plus simples » est indiquée dans les exercices à traiter et en proposant un nouvel exemple à chercher.

Sujet 27 L’exercice est un exercice guidé amenant à encadrer une fonction dont on ne connaît pas de primitive par deux fonctions du deuxième degré ayant un écart faible (une primitivation par intégration par parties, méthode qui d’ailleurs ne figure qu’en terminale S, donnerait un terme en arc-tangente qui n’est pas connu des élèves de lycée). Q1 L’objectif du problème est : – Étudier et représenter  une fonction f définie sur l’intervalle [−2 ; 2] par 2 , préciser la position de sa courbe représentative par rapport f (x) = ln 1 + x2 à une tangente remarquable (le point d’abscisse 1 est un point d’inflexion, les élèves vont trouver que la courbe « traverse » sa tangente : elle est en dessous de sa tangente pour x < 1 et au-dessus sinon). – Encadrer une intégrale de cette fonction sans en connaître de primitive.

Sujet 27

293

Q2.1 Argument pour l’indication : elle doit inciter les élèves à rechercher un lien entre u et f, donc à chercher si on peut écrire f autrement. Arguments contre : – Les variations peuvent être obtenues sans dériver en utilisant les théorèmes sur les opérations concernant les fonctions monotones sur un intervalle. – Si on dérive, on peut le faire de deux façons. Sans indication, nombre d’élèves 2 vont dériver le quotient . Ils pourront se rendre compte ainsi eux-mêmes de 1 + x2 l’avantage qu’il y a à modifier d’abord l’expression de f. La démarche imposée ici facilite le calcul de la dérivée, utile un peu plus loin, et, du point de vue de l’enseignant, l’évaluation de plusieurs items. Pour un devoir en temps libre, il est moins judicieux de maintenir l’obligation du calcul de la dérivée, une diversification des démarches étant souhaitable. Q2.2 Il est attendu des élèves une utilisation de la dérivation (indispensable maintenant) pour étudier le sens de variation puis le signe d’une fonction :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

– Reconnaître la valeur de la fonction r en 1 : elle s’y annule. – Déterminer le signe de r’ (positive, ne s’annulant qu’en 1, les élèves doivent y reconnaître le développement de (x − 1)2 ), puis le sens de variation de r. – Appliquer le fait qu’une fonction strictement croissante s’annulant en un point a est négative pour les valeurs plus petites que a, et positive pour les valeurs plus grandes que a. Q3 Les deux premières indications peuvent être maintenues : la première permet de vérifier des résultats qui devront de toute façon être justifiés et la deuxième uniformise l’arrondi par excès que l’on attend de l’écart entre f et g. En revanche, la troisième doit être résolument supprimée car elle peut induire une fausse représentation :  b  b f (x)dx + k » « ( f (x) + k) dx = a

a

où une constante additive serait extraite de l’intégrale au même titre qu’une constante multiplicative. Il est nécessaire que les élèves se rendent compte eux-mêmes que le 0,07, qu’ils obtiennent en intégrant, provient du fait que l’intervalle d’intégration a pour longueur 1 et non d’une sortie imprudente du symbole d’intégrale. ➤ Pour approfondir

Q4 La sécante (AB) où B est le point de coordonnées (0, ln 2) pourrait faire l’affaire. La localisation graphique d’un arc de courbe, lorsque le sens de courbure ne change pas (propriété intuitive à ce niveau), entre une sécante et une tangente est une méthode que les élèves peuvent retrouver à une autre occasion. 1 ln 2 I  . Pour tout x de [0, 1] : −x ln 2 + ln 2  f (x)  −x + 1 et par suite : 2 2

294

Correction des sujets d’entraînement

Q5 La fonction proposée a pour représentation une parabole d’ajustement qui passe par les points A d’abscisse 1 et A’ d’abscisse − 1 de la courbe et « à peine au-dessus » du point B de coordonnées (0, ln 2). On pourrait la suggérer aux élèves en considérant les paraboles passant par A et A’. Elles représentent des fonctions   2 de la forme : g(x) = k 1 − x . Sur l’intervalle [0, 1], une étude montrerait que : pourk  1/2, la parabole est sous la courbe, pour 1/2 < k < ln 2, elle la traverse et, pour k  ln 2, elle est au-dessus. L’idée est de faire passer la parabole par un point d’ordonnée « simple » situé au-dessus de B. Le nombre 0,7 est un bon compromis. On pourrait choisir 0,695 ou ln 2 lui-même, mais non pas 0,69. Si cette partie de l’exercice est faite en classe, une famille de paraboles que l’on ferait tracer rapidement sur un écran de calculatrice rétroprojetable permettrait, par exemple, de régler par essais successifs la valeur du coefficient k. Une synthèse retiendrait les points suivants : – g− f est une fonction qui s’annule en 1 et qui prend une valeur strictement positive en 0. L’étude de ses variations sur [0, 1] permet de prouver sa positivité et aussi de déterminer l’écart maximum entre f et g sur cet intervalle. – On peut remplacer ce maximum par un majorant M plus simple, ici, par exemple 0,07, en arrondissant par excès la valeur affichée par la calculatrice. – Sur l’intervalle[0, 1] : 0  g(x) − f (x)  M : on peut dès lors intégrer cette inégalité et en déduire  0



1

g(x)dx − I  0

1

Mdx 0

Les écrans montrent : l’un la courbe représentative de f, la parabole et la courbe représentant l’écart g − f dont le maximum est affiché ; l’autre la parabole et sa → − translatée par la translation de vecteur −0,07 j qui sont de part et d’autre de C.

Sujet 28 L’exercice propose une étude d’une suite d’intégrales en classe de terminale S. Il provoque une réflexion à propos de la pertinence des résultats affichés par une calculatrice lorsqu’on construit cette suite par la relation de récurrence qui la détermine.

Sujet 28

Q1

295

Savoirs et savoir-faire :

1

Calculer une intégrale par intégration par parties.

2

Utiliser à bon escient une intégration par parties (partir de In et appliquer une intégration par parties en dérivant le terme polynomial, mais ce n’est pas l’unique façon).

3

Appliquer une relation de récurrence.

4

Majorer la fonction à intégrer par une fonction plus simple (pour un produit de deux fonctions positives, on obtient une fonction majorante sur un intervalle en remplaçant l’une des deux par un de ses majorants). La difficulté est ici que les élèves doivent reconstituer la démarche de l’auteur de l’énoncé (comprendre qu’il a majoré le terme exponentiel et gardé le terme polynomial), mais c’est un procédé qui doit être connu. Comparer des intégrales en comparant les fonctions à intégrer f n et fn−1 , leur différence est du signe de x n−1 − x n = x n−1 (1 − x). Avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats affichés par une calculatrice (savoir que des itérations sur des résultats approchés peuvent altérer la qualité d’approximation et propager une erreur).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Q2 Les deux modèles TI et Casio font conjecturer une divergence vers + ∞ mais ne sont pas d’accord sur les valeurs prises au delà du treizième rang.

296

Correction des sujets d’entraînement

Q3 Si on pose pour tout entier naturel n non nul : u n = an −bn , alors u 1 = a −b et pour tout entier n  2 : u n = n ×u n−1 . La formule explicite proposée est initialisée au rang 1 et son hérédité découle de la formule de récurrence connue à propos des factorielles : n ! = n × (n − 1)!. La formule montre que, si l’une (an ) de ces suites converge pour une valeur particulière déterminée a de son terme initial, alors toutes 2 les autres divergent. On obtient une suite convergente lorsque a = 1 − , qui est un e nombre irrationnel. La calculatrice travaille non avec la valeur exacte, mais avec une valeur approchée de a. Les itérations successives amplifient l’écart, puisque celui-ci est multiplié après n itérations par la factorielle de n. En considérant, par exemple, le terme de rang 16 et en le divisant par 16 ! pour l’une, de rang 20 et en le divisant par 20 ! pour l’autre, on peut estimer l’erreur initiale à 4 × 10−11 , pour la Casio (elle utilise une valeur approchée à 10−10 près) et à 6 × 10−15 , pour la TI (elle utilise une valeur approchée à 10−14 près). On pourra consulter à propos de ce type de situation l’exercice 56 page 280 de Nathan Hyperbole TS, édition 2006.

Sujet 29 Cet exercice peut être posé en début de lycée pour donner du sens à la notion de résumé statistique. Q1 Cet exercice a deux objectifs : – Comparer, sur deux séries, divers paramètres statistiques et faire prendre conscience de leurs spécificités. La donnée des paramètres est un résumé et, de ce fait, il y a une perte d’information1 . – Étudier l’effet d’une transformation affine sur ces paramètres. La médiane et les quartiles sont les mêmes pour les deux séries, alors que les moyennes et les écarts types sont différents. Ce choix favorise quelques remarques mettant en évidence les différences de construction des divers paramètres : – Deux séries peuvent avoir la même médiane mais des moyennes différentes. – Deux séries peuvent avoir les mêmes quartiles mais des écarts types différents. – La série qui a la plus grande étendue n’est pas forcément la série la plus dispersée. Q2 La question 2 a pour objectif l’étude de transformations affines des données et leur effet sur les paramètres d’une série.

1. Il s’agit de choisir les paramètres qui reflètent le mieux la série compte tenu des propriétés les plus marquantes. Pour un examen, la valeur de la note prévaudrait, la moyenne des notes et les écarts à la moyenne sont les paramètres majeurs. Pour un concours, la place des candidats prévaudrait, la médiane et les quartiles auraient une place plus importante.

Sujet 30

297

– 2.1. : ajout d’un même nombre à toutes les valeurs de la série. Ce nombre s’ajoute à la moyenne, à la médiane et aux quartiles. L’écart type et l’intervalle interquartile ne changent pas. Une translation modifie les paramètres de position mais non ceux de dispersion. – 2.2. : multiplication de toutes les valeurs par un même nombre strictement positif. Ce coefficient s’applique à tous les paramètres. Q3 La question 2.2 impose une formule permettant de transformer un couple moyenne et écart type en un autre couple. La recherche de cette transformation pourrait être dévolue aux élèves eux-mêmes : « trouver deux coefficients a et b de sorte que la série de notes du jury B modifiées : u = ax + b ait même moyenne et même écart type que la série A ». Les élèves auraient été amenés à appliquer par nécessité les propriétés de linéarité de la moyenne et l’effet d’une dilatation sur un écart type, non plus seulement à les constater. Cela aurait amené à envisager le système :  am B + b = m A a.s B = s A et à proposer :

sA sA et b = mA − mB sB sB comme une solution au problème. L’écran de droite montre de haut en bas les boîtes à moustaches relatives aux séries de notes : jury A, jury B, jury B modifiées par translation, jury B modifiées par transformation affine. Le dernier cas permet de constater que la série obtenue, bien qu’ayant maintenant la même moyenne et à peu près le même écart type que la série A, n’a pas la même médiane ni les mêmes quartiles. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

a=

Sujet 30 Cet exercice a pour objectif l’étude d’une série à deux variables et la comparaison de deux types d’ajustement, un ajustement affine par la méthode des moindres carrés et un ajustement exponentiel. Il s’agit d’un exercice d’évaluation dont le but est de vérifier l’acquisition de connaissances de routine. Toutes les indications nécessaires à la résolution complète de l’exercice sont fournies dans l’énoncé. Les élèves n’ont

298

Correction des sujets d’entraînement

aucune initiative dans leur résolution, à l’exception de l’argumentation demandée dans la partie C. Q1 A1

Savoirs et savoir-faire évalués : Représenter graphiquement une série statistique double.

A2

Calculer un pourcentage d’évolution.

A3

Saisir une série double et utiliser une calculatrice pour en obtenir l’ajustement par la méthode des moindres carrés. Tracer une droite en utilisant un arrondi convenable des paramètres figurant dans son équation.

B1

Connaître et utiliser le lien entre logarithme et exponentielle. Appliquer les propriétés algébriques d’une exponentielle (exponentielle d’une somme).

B2

Résoudre une inéquation lorsque l’inconnue figure en exposant (les élèves peuvent tabuler la fonction y avec le pas 1 et utiliser cette tabulation  ou bien se ramener 500 . à l’inéquation x ln(0,8)  ln 3011

C

Comparer deux extrapolations. Argumenter la comparaison.

Q2 Le calcul de pourcentage demandé n’a aucun lien avec le reste de l’exercice et ne sert qu’à évaluer la faculté de calculer un pourcentage d’évolution. L’ajustement exponentiel est envisageable lorsque l’on pense que l’évolution s’effectue à variation relative constante. Il aurait été intéressant de faire calculer les taux de variation entre deux années consécutives. Dans ce cas, les élèves concluraient que la machine perd 20 % de sa valeur chaque année, ce qui justifierait la partie B. La question A2 devient ensuite plus pertinente car elle demande le pourcentage de dévaluation équivalent à trois dévaluations consécutives. La réponse montre que cela ne revient pas à la fausse représentation d’une dévaluation de 60 %. Q3 On trouve des valeurs exactement égales à 20 % ou extrêmement proches. L’auteur de l’exercice a considéré la suite : u n = 3000 × 0,8n et a arrondi les résultats à l’unité. Q4 Si on prévoit de faire calculer les pourcentages de variation pour amener à l’apprentissage de l’ajustement exponentiel, ce choix de valeurs numériques ne présente que des inconvénients : – Il ne tient pas compte d’une fluctuation, inévitable dans la réalité.

Sujet 31

299

– Il peut donner l’impression qu’un ajustement exponentiel se justifie seulement lorsque la variation relative est exactement la même entre deux mesures. Or, un « ajustement » se justifie lorsque l’on ne connaît pas le modèle exact et que l’on veut tester la pertinence de certains modèles théoriques pour décrire une situation et prévoir son évolution. Des données plus authentiques sembleraient, dans une phase d’apprentissage, plus appropriées pour décrire la démarche statistique. Les données ont été stockées en liste1 et liste2 et la liste3 construite par la formule ln (liste2). Cette dernière est très fortement corrélée à la liste1. L’ajustement exponentiel de la calculatrice équivaut à l’exponentielle de l’ajustement linéaire pratiqué sur la série ln (liste2). La courbe d’ajustement passe quasi (trop !) parfaitement par tous les points du nuage.

Sujet 31

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Q1

L’exercice1 a pour buts :

– Montrer la nécessité de préciser la loi de probabilité associée à un ensemble V d’issues. – Introduire en matière de modélisation la notion d’urne « de Bernoulli ». Une telle modélisation n’est légitime que si la loi de probabilité est équirépartie. – Montrer qu’une loi équirépartie sur un ensemble V d’issues induit une loi de probabilité non plus nécessairement équirépartie sur un univers V’ constitué d’un système complet d’évènements de V. – Poser le problème d’une expérimentation. Q2 Chacun des deux garçons propose un système complet d’évènements de l’ensemble à 9 éléments défini ci-après. Tous deux ont choisi à tort de définir sur leur ensemble d’observables une loi équirépartie. Ils emploient un faux théorème : « il faut seulement compter le nombre d’issues observables, la probabilité de chaque issue est la même ». 1. Thiénard, 1r e S, Bréal édition 2001, 19 page 239.

300

Q3

Correction des sujets d’entraînement

Les boules étant marquées R1, R2, V, une issue de l’expérience est un élé-

ment du produit cartésien : {R1, R2, V} × {R1, R2, V}. Cet univers, muni de l’équiprobabilité, rend compte de la situation. L’ensemble trouvé par Djamel convient aussi, mais muni d’une loi non équirépartie. On peut schématiser ce choix par un arbre, en tenant compte que, lors d’un tirage, la probabilité d’obtenir R est 2/3. Les probabilités pondérant les branches du deuxième niveau ont un statut de probabilités conditionnelles. Elles ne sont égales à 2/3 et 1/3 qu’en raison de l’hypothèse de tirages « avec remise » (donc supposés indépendants). Il n’y a pas de modélisation possible par une urne de Bernoulli contenant quatre boules car il n’y a pas équiprobabilité. ➤ Pour approfondir

Q4

Mettre en place une expérimentation nécessite de convenir d’un modèle

représentant l’expérience et d’un protocole de déroulement. Par exemple : saisie de deux nombres pseudo-aléatoires choisis dans l’ensemble {1, 2, 3} et générés par une calculatrice. L’ensemble V = {1, 2, 3} × {1, 2, 3} est celui des issues possibles, la boule verte étant associée au nombre 2. La partie est « gagnée » si et seulement si la somme des deux nombres obtenus est impaire. L’expérimentation consistera à appliquer un certain nombre n de fois ce protocole, en notant le nombre de parties « gagnées ». Les élèves disposent, depuis la classe de seconde, du résultat suivant : « L’approximation usuelle de la fourchette au niveau de confiance 0,95, issue d’un sondage sur n individus (n > 30), dans le cas où la proportion observée p est comprise entre 1 1 0,3 et 0,7, est p − √ , p + √ ». Il faut que le nombre n d’essais soit assez n n grand pour être « à peu près certain » que l’on pourra dissocier 4/9 de 1/2. L’écart 1 1 entre ces deux valeurs étant 1/18, on pourra choisir n de sorte que : √ < soit : 36 n n > 1 296. Ainsi, avec f observée sera dans  une probabilité  de 95 %, la fréquence   1 4 1 1 1 4 − , + , et l’intervalle f − , f + ne contiendra pas 1/2. On 9 36 9 36 36 36 peut réaliser la simulation avec 4 calculatrices faisant chacune 400 essais, voir ce qu’il advient si on considère chaque calculatrice séparément, puis ce qu’il advient si on réunit toutes les données. Cette simulation permettra très probablement en fin de compte de contester la réponse 1/2, et devrait montrer que la réponse 4/9 est « plausible » (mais une expérimentation ne prouve pas qu’il s’agisse bien d’elle). Les écrans montrent un programme de simulation avec 1 600 essais, faisant afficher le graphique donnant l’évolution de la fréquence des succès dans une fenêtre où est tracée la droite d’équation y = 0,5.

Sujet 32

301

Sujet 32 Objectifs : appliquer le calcul de probabilités à un jeu issu de la vie courante. Contextualiser la notion de variable aléatoire et d’espérance mathématique. Le KENO marocain est une version un peu simplifiée du jeu KENO connu en France (10 numéros gagnants au lieu de 20 sur un total de 50 numéros au lieu de 70). Q1 Une schématisation de l’expérience consiste à considérer une urne contenant un ensemble E de 10 boules marquées G (gagnantes) et 40 boules marquées P (perdantes), et à procéder à un tirage sans remise de trois boules. Cette schématisation amène à la construction suivante : – Choix d’un espace probabilisé permettant de décrire l’expérience : l’ensemble V des 19 600 parties à trois éléments de E, muni de la loi équirépartie. – Construction de la variable aléatoire « gain algébrique » définie sur V et recherche de sa loi de probabilité.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Les évènements A x = X −1 (x) pour x = 68 ; 6 ; −2 forment un système complet d’évènements de V dont les probabilités sont proportionnelles aux nombres d’issues qui les composent (respectivement égaux à 120, 1 800 et 17 680). Q2 La construction de la loi de probabilité de X nécessite l’emploi des combinaisons. Cet emploi se situe en terminale S. Savoirs et savoir-faire :

1

Connaître la notion de variable aléatoire et d’ensemble image d’un univers de probabilité par une variable aléatoire. Savoir construire la loi de probabilité d’une variable aléatoire. Savoir distinguer une valeur exacte d’une valeur approchée rationnelle.

2

Savoir calculer l’espérance mathématique d’une variable aléatoire. Savoir distinguer un jeu équitable d’un jeu non équitable par le signe de l’espérance.

3

Savoir argumenter : pour répondre à la question il faut calculer la probabilité de gagner au moins une fois dans la semaine et comparer le résultat (0,514) au nombre 1/2. Savoir calculer la probabilité d’un évènement en considérant l’évènement contraire. Savoir appliquer l’hypothèse (implicite ici) d’indépendance d’expériences aléatoires successives pour calculer la probabilité de perdre 7 fois consécutivement.

302

Correction des sujets d’entraînement

➤ Pour approfondir

Q3

Soit p la probabilité de l’évènement considéré. On calcule l’arrondi à l’unité 1 du nombre , et la colonne 4 indique l’inverse de ce nombre (ainsi 11 est l’arrondi p à l’unité de 19 600/1 800 ; 163, celui de 19 600/120). L’approximation obtenue est 1 800 1 1 d’autant meilleure que la probabilité p est faible (ainsi − = , tandis 19 600 11 1 078 1 1 120 − =− ). que 19 600 163 79 870 Dans la colonne 4, figure l’inverse de l’arrondi décimal au centième du nombre 1 où p désigne maintenant la probabilité de gagner au niveau de jeu considéré, tous p types de gains confondus. Par exemple, 1 800 120 1 920 245 + = = 19 600 19 600 19 600 24

et

10,208 <

245 < 10,209, 24

d’où le choix de 10,21. Q4 Le tableau fournit une loi de probabilité de trois variables aléatoires différentes, définies sur des univers différents (l’expérience n’est pas la même suivant le nombre de numéros cochés). En tenant les données pour exactes, on peut comparer ces variables aléatoires et essayer de déterminer la « meilleure option ». Il en résulterait des questions du genre : – Quel critère de comparaison est pertinent ici ? – La meilleure option est-elle celle où les « chances de gagner sont les plus fortes » ? – Comment calculer rapidement l’espérance mathématique (par linéarité, l’espérance du gain algébrique est celle du gain brut, plus facile à calculer, diminuée de 2) ? Dans ce cas, le contrôle du calcul des probabilités est inutile, et l’exercice peut être posé dans n’importe quelle section en liaison avec la notion d’espérance mathématique. Les élèves vont trouver respectivement : − 0,816 ; − 0,866 ; − 0,843 à 10−3 près avec les données du tableau. L’option « cocher 5 numéros » semble être la moins mauvaise. La fausse idée que la meilleure option est celle où les « chances » de gagner sont les plus fortes n’est pas contredite. (Elle l’est si on considère l’option qui vient en second). En raison des arrondis, les résultats sont cependant à prendre avec prudence. Par exemple, pour 3 numéros cochés, la valeur exacte de l’espérance trouvée en ter41 1512 minale S, après contrôle des calculs de probabilités, est − et non − , qui est 49 1793 la valeur déduite des arrondis donnés par le bulletin.

Sujet 33

303

Sujet 33 Q1 Savoirs : connaître la formule donnant la probabilité de la réunion de deux évènements quelconques, celle exprimant une probabilité conditionnelle. Savoir-faire : calculer la probabilité d’un évènement contraire et utiliser les relations ensemblistes générées par deux évènements A et B et leurs contraires. Utiliser un arbre de probabilité (ou savoir mettre en œuvre la formule des probabilités totales, Q8) pour calculer la probabilité d’un évènement. Savoir calculer une « probabilité des causes » en revenant à la définition d’une probabilité conditionnelle. Q2 On peut citer en priorité : Probabilité d’une réunion

p (A ∪ B) = p(A) + p(B) appliquée même lorsque deux évènements ne sont pas incompatibles

Q1 réponse b et Q3 réponse c

Probabilité conditionnelle

Confusion entre les nombres p (A ∩ B) p (A ∩ B) et pB (A) = pA (B) = p(A) p(B)

Q2 réponse a, Q5 réponse b et Q8 réponse a

D’autres interprétations incorrectes peuvent s’ajouter :   – La fausse relation « p A ∩ B = 1 − p(A) − p(B) » (question Q5, réponse a) du même tonneau que la première citée : elle n’est vérifiée que pour deux évènements incompatibles. – Utilisation incorrecte d’une équiprobabilité par non prise en compte d’une donnée de l’énoncé : Q7, réponse c qui est la moyenne arithmétique de 0,1 et de 1/3 comme s’il y avait autant de garçons que de filles.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Complément

Le QCM apparaît comme une forme nouvelle d’exercice d’évaluation1 , et les sujets de baccalauréat font appel maintenant de façon régulière à ce mode de questionnement. Un QCM valorise des aptitudes qui sont peu évaluées dans un exercice classique : l’intuition, l’esprit d’à propos, la conscience de ce qui est « plausible » et de ce qui ne l’est pas. Il permet aussi aux élèves ayant des difficultés d’expression française correcte de mieux faire preuve de leurs connaissances. Sous la forme la plus répandue, le QCM est composé d’un questionnaire proposant, pour chacune des questions, un nombre variable de réponses. Parmi ces réponses, certains QCM indiquent qu’une et une seule est exacte (on peut procéder par élimination), alors que d’autres acceptent un nombre variable de réponses exactes, voire aucune (il faut vérifier au cas par cas). Parfois, le QCM demande de relever les réponses inexactes.

1. Voir, par exemple, P. LEGRAND, « Les maths en collège et en lycée », Hachette éducation, pages 72 et suivantes.

304

Correction des sujets d’entraînement

Dans l’élaboration d’un QCM, le choix décisif est le jeu de réponses proposées pour une question donnée. Pour qu’une question de QCM soit pertinente, il est indispensable que les réponses incorrectes corollaires de la réponse correcte (appelées distracteurs) vérifient au moins deux contraintes : – Il faut que ces réponses aient un certain degré de vraisemblance, pour ne pas être écartées à première vue. – Certaines d’entre elles doivent être conformes à des conceptions incorrectes, communément répandues, de la notion sur laquelle porte la question. Lors de la correction d’un QCM, il peut être intéressant, si l’occasion se présente (cas d’une fréquence élevée d’une réponse incorrecte donnée), d’afficher le nombre de réponses par choix possible et de faire formuler aux élèves concernés la raison de leur choix, de manière à déléguer la critique aux élèves de la classe.

Sujet 34 Q1 L’exercice propose l’étude de la répartition d’une population suivant deux caractères en interaction. Il s’agit d’un exercice d’évaluation, découpé en questions évaluant chacune un item, et dont la démarche de résolution est guidée. 1

Savoir rechercher et traduire des données de l’énoncé.

2

Savoir construire un graphe probabiliste (il faut s’assurer que la somme des poids des arcs sortants de chaque sommet est égale à 1). Savoir formaliser à l’aide d’une matrice M de transition (il faut s’assurer que la somme des termes de chaque ligne est égale à 1).

3

Savoir calculer, par un produit matriciel, un état probabiliste au bout de deux transitions (cela revient à calculer M2 et l’appliquer à la multiplication par une matrice ligne). Le petit nombre de transitions permet également de trouver le résultat à l’aide d’un arbre de probabilité.

4

Savoir que l’état stable s’obtient en résolvant l’équation matricielle P = P × M. L’opportunité de l’indication x + y = 1 est discutable, les élèves devraient savoir que c’est une condition pour que P soit un état probabiliste. Savoir résoudre un système 2 × 2. Savoir interpréter les résultats en revenant au contexte de l’énoncé.

Q2

L’interprétation attendue est que la grève ne sera jamais déclenchée, puisque 35 33 est plus petite que la limite . Cependant, rien ne dit que la première la limite 68 68 est un plafond pour le pourcentage des favorables à la grève. Il manque un argument portant sur la croissance de la suite donnant le pourcentage de grévistes, notion non abordée dans l’exercice et, pourtant, indispensable pour une argumentation : la suite 33 . Elle est majorée par ce nombre, à plus forte (gn ) est croissante et a pour limite 68 raison par 0,5. Les grévistes resteront toujours minoritaires. En correction d’exercice,

Sujet 34

305

il faudrait soulever ce point et le mettre clairement en valeur : la valeur de la limite à elle seule ne permet pas de conclure. Q3 Si les données sont permutées, les limites aussi. La situation à long terme étant indépendante de l’état initial, on est en droit de penser qu’une majorité de favorables à la grève sera un jour (à déterminer) atteinte. Elle serait atteinte le 4e jour, et le modèle devient caduc ensuite. L’auteur de l’énoncé a voulu privilégier une recherche de limite plutôt qu’une recherche de rupture du modèle. Il a choisi délibérément deux pourcentages très voisins l’un de l’autre pour que le résultat n’apparaisse pas évident a priori. ➤ Pour approfondir

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Q4.1 L’équation telle que présentée donne implicitement une indication sur la méthode pour trouver l’état stable. Les élèves disposent également d’un meilleur moyen de contrôle de leurs résultats : ils peuvent contrôler le bon placement des coefficients de la matrice de transition, qui sont visibles dans l’équation. C’est là un signe fort du caractère « évaluatif » de l’exercice. Q4.2 Les élèves peuvent s’interroger sur la meilleure façon d’écrire les résultats 35 33 et y = . pour ensuite les interpréter. Ils doivent trouver exactement x = 68 68 −3 Des valeurs approchées à 10 permettent alors de séparer sans aucune ambiguïté les deux valeurs : 35 33 < 0,486 < 0,5 < 0,514 < < 0,515. 0,485 < 68 68 L’indication ne semble cependant pas utile, car des valeurs approchées à 10−2 près auraient ici le même effet et les élèves devraient avoir l’initiative de l’interprétation qu’ils donnent. Ils peuvent utiliser dans leur argumentation, comme bon leur semble, les valeurs exactes ou bien des valeurs approchées « à bon escient ». ➤ Remarques

1. Le fait que 35 % des favorables à la grève changent d’avis le lendemain laisse sceptique. L’habillage n’est pas très vraisemblable. Si tous ceux favorables à la grève un jour le restaient le lendemain, la suite (tn ) serait géométrique (le coefficient 0,67 aurait intérêt à être remplacé par un coefficient plus grand pour que la majorité ne soit « pas trop vite » atteinte). Cette situation simplifiée peut être étudiée dès la classe de première, en application des suites géométriques. 2. Dans une autre terminale, la situation telle que présentée s’étudierait à l’aide de suites arithmético-géométriques, en établissant, par exemple, que la suite (gn ) satisfait la relation de récurrence : gn+1 = 0,32gn + 0,33. Il y aurait grand profit à envisager une exploitation de cette situation dans deux séries différentes, en ES spécialité, conformément à la démarche de l’exercice, et en ES ou S, comme situation amenant à l’étude d’une suite arithmético-géométrique.

306

Évolution lors des quatre premiers jours à l’aide du calcul matriciel.

Correction des sujets d’entraînement

Approche séquentielle. On vérifie que (an ) et (cn ) sont égales.

Effet d’une permutation des pourcentages. Le quatrième jour, le seuil 0,50 est dépassé, le résultat suivant est caduc.

Chapitre 12

Sujets d’annales et éléments de correction

12.1 ÉNONCÉS 01. Session 2005. Problèmes conduisant à des suites arithmétiques, géométriques ou arithmético-géométriques On considère que, chaque année, le nombre de nouveaux abonnés d’un journal est de 3 000 et que le taux de réabonnement d’une année sur l’autre est de 85 %. On note an le nombre d’abonnés de l’année n et on suppose que a1 = 60 000. 1. Déterminer une relation entre an+1 et an . 2. Tracer dans un repère orthogonal la représentation graphique de la fonction f définie sur [0, +∞[ par f (x) = 0,85x + 3 000. 3. Utiliser ce tracé pour représenter graphiquement les premiers termes de la suite (an ). 4. Peut-on prévoir l’évolution de cette suite ? 5. On pose, pour tout entier n  1, bn = an − 20 000. Étudier la suite (bn ) et en déduire le comportement asymptotique de la suite (an ). Q1 Indiquer les classes de lycée dans lesquelles on peut proposer cet exercice, et les notions et outils mis en œuvre dans sa résolution. Q2 Illustrer les questions 2 et 3 à l’aide d’une calculatrice. Q3 Donner l’énoncé de quelques questions supplémentaires qui mettront en évidence le rôle des paramètres (nombre annuel de nouveaux abonnés, taux de réabonnement) sur le comportement asymptotique de la suite (an ).

308

Q4

12 • Sujets d’annales et éléments de correction

Proposer un ou plusieurs exercices sur le même thème.

02. Session 2006. Thème : La proportionnalité Pendant plusieurs siècles, on a utilisé et enseigné la règle de fausse position. Un extrait d’un ouvrage édité en 1784, explique cette règle. « Proposition 265. La règle de fausse position sert à trouver un nombre inconnu par le moyen d’un nombre supposé. Soit proposé, par exemple, de trouver un nombre dont la moitié, le quart et le cinquième fassent 456. Je suppose que ce nombre est 20. Mais il est clair que la moitié, le quart et le cinquième de 20 ne font que 19. Ma supposition est donc fausse. Elle n’en servira pas moins cependant à me faire connaître le nombre demandé. Car puisque deux quantités sont toujours entre elles comme leurs parties semblables (Proposition 242), on peut les regarder l’une comme la somme des antécédents d’une suite de termes proportionnels, l’autre comme la somme des conséquents. Or ces deux sommes sont entre elles (Proposition 241), comme un nombre quelconque d’antécédents est au même nombre de conséquents et réciproquement ; donc la moitié plus le quart, plus le cinquième de 20 sont à la moitié plus au quart, plus au cinquième du nombre que je cherche, comme le nombre 20 est lui-même au nombre cherché. 19 20 J’ai donc = soit x = 480. » 456 x 1. Résoudre le problème posé : « trouver un nombre dont la moitié, le quart et le cinquième fassent 456 ». 2. Le nombre 20 a-t-il été choisi au hasard ? Le résultat trouvé dépend-il de ce choix ? 3. L’auteur fait référence à deux propriétés établies auparavant (numérotées 242 et 241). La première citée (242) : « deux quantités sont toujours entre elles comme leurs parties semblables » peut se traduire aujourd’hui par l’égalité : a ka = . b kb Quelle propriété des tableaux de proportionnalité peut traduire la seconde ? 4. En appliquant cette méthode, trouver la solution du problème posé par Francès Pellos, gentilhomme niçois de la fin du XVe siècle : « une lance a la moitié et le tiers dans l’eau et 9 paumes à l’extérieur. Je te demande combien elle a de long ». Q1

Préciser les propriétés sur lesquelles repose la « règle de la fausse position ».

Q2

Quelle classe de problèmes cette règle permet-elle de résoudre ?

Sur ses fiches, le candidat rédigera et présentera divers exercices sur le thème « La proportionnalité ». On veillera à ce que ce choix recouvre diverses classes de l’enseignement secondaire.

12.1 Énoncés

309

03. Session 2005. Thème : Théorie des graphes Des touristes sont logés dans un hôtel noté A. Un guide fait visiter six sites touristiques notés B, C, D, E, F et G. Les tronçons de route qu’il peut emprunter sont représentés sur le graphe ci-contre. Le long de chaque arête figure la longueur en kilomètres des différents tronçons. 1. À partir de l’hôtel, le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d’eux ? 2. Même question s’il doit obligatoirement terminer son circuit à l’hôtel. 3. Déterminer le plus court chemin menant de l’hôtel A au site E. Q1

Préciser les notions relatives aux graphes sur lesquelles est bâti cet exercice.

Q2

Proposer un ou plusieurs exercices développant d’autres notions relatives

aux graphes.

04. Session 2006. Thème : Équations différentielles On se propose de déterminer les fonctions f définies et dérivables sur l’ensemble R et vérifiant pour tout réel x l’équation (E) : © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

f  (x) = f (−x). 1. Démontrer que la fonction nulle est solution de cette équation. 2. Dans cette question et la suivante, la fonction f est supposée non identiquement nulle. Après avoir prouvé que f est deux fois dérivable, trouver une équation linéaire du second ordre (E’) admettant f comme solution. 3. Résoudre (E’). En déduire les fonctions f solutions de (E). Q1

Dégager les méthodes et les théorèmes utilisés dans cet exercice.

Q2

En admettant que l’équation (E) possède une unique solution vérifiant

f (0) = 1, proposer un algorithme qui permette d’obtenir une représentation graphique approchée de cette solution sur l’intervalle [−3, 3].

310

12 • Sujets d’annales et éléments de correction

Sur ses fiches, le candidat rédigera et présentera : − À l’aide de la calculatrice, l’algorithme permettant d’obtenir la construction de l’approximation évoqué à la question Q2. − Deux exercices sur le thème : « Équations différentielles ».

05. Session 2007. Thème : Problèmes de calculs de grandeurs, calculs de longueurs, d’aires et de volumes

Pour condamner une partie de chantier, des ouvriers plantent verticalement deux poteaux, matérialisés par les segments [AA’] et [BB’], qu’ils relient par des bandes plastiques, matérialisées par les segments [AB’] et [A’B]. La distance EF du point d’intersection des deux bandes au sol leur paraît insuffisante. L’un des ouvriers prétend qu’il suffit de rapprocher les deux poteaux pour augmenter cette hauteur, un autre ouvrier lui répond qu’avec les poteaux dont ils disposent, il est impossible d’augmenter cette hauteur. Qui a raison ? Q1

À l’aide du module de géométrie de la calculatrice, proposer une figure

dynamique permettant de conjecturer la réponse à donner à la question posée. Q2 Proposer quelques questions intermédiaires qui permettraient à un élève de collège ou de seconde de répondre au problème. Sur ses fiches, le candidat présentera sa réponse à la question Q2 ainsi qu’un ou plusieurs exercices se rapportant au thème « Problèmes de calcul de grandeurs : calculs de longueurs, d’aires et de volumes ».

06. Session 2007. Thème : Problèmes de construction On considère trois points non alignés A, B, C. Pour tout point M de la droite (BC) on définit les droites D1 (M) ; D2 (M) ; D3 (M) et les points M1 , M2 , M3 et I (M) de la manière suivante : D1 (M) est la droite perpendiculaire à (AB) passant par M ; M1 est le projeté orthogonal de M sur (AB). D2 (M) est la droite perpendiculaire à (CA) passant par M1 ; M2 est le projeté orthogonal de M1 sur (CA). D3 (M) est la droite perpendiculaire à (BC) passant par M2 ; M3 est le projeté orthogonal de M2 sur (BC). I (M) est le point d’intersection de D1 (M) et de D3 (M).

12.1 Énoncés

311

Le but de l’exercice est de construire l’ensemble E des points M de (BC) tels que M3 = M. 1. Réaliser une figure à l’aide du module de géométrie de votre calculatrice et l’animer de manière à conjecturer la nature de l’ensemble E. 2. On suppose dans cette question que le triangle ABC est rectangle. Montrer que la position de M3 est indépendante de M et conclure sur l’ensemble E. 3. On suppose dans cette question que le triangle ABC n’est pas rectangle. 3.1. Soient deux points distincts M et N de (BC). Montrer que I (M) est l’image de I (N ) par une homothétie de centre A. En déduire que, quand M décrit la droite (BC), le point I (M) est sur une droite fixe D passant par A. 3.2. Montrer que le point J intersection de D et (BC) est un élément de E. 3.3. Construire l’ensemble E. Q1 Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l’exercice. Q2 Présenter la construction demandée à la question 1 sur l’écran graphique de la calculatrice à l’aide du module de géométrie. Q3 Proposer un énoncé plus détaillé de la question 3.1 permettant sa résolution au niveau d’une classe de première scientifique. Sur ses fiches, le candidat rédigera sa réponse à la question 1 et l’énoncé d’un ou plusieurs exercices se rapportant au thème : « Problèmes de construction ».

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

07. Session 2007. Thème : Séries statistiques à deux variables Cet exercice provient d’un ouvrage scolaire de terminale. Le tableau suivant donne, pour douze mois consécutifs, l’évolution des dépenses publicitaires (en milliers d’euros) d’une société commerciale. X désigne le numéro du mois et Y le montant des dépenses du mois. X

1

2

3

4

5

6

Y

3 000

4 500

3 750

5 250

5 250

6 000

X

7

8

9

10

11

12

Y

7 500

7 500

8 250

9 750

9 750

10500

1. Représenter dans un repère orthogonal le nuage des points Mi de coordonnées (xi , yi ) correspondant à cette série statistique. 2. Tracer la droite passant par les points A(1, 3000) et B (9, 8250) 3. On utilise cette droite pour réaliser un ajustement affine du nuage. 3.1. Estimer le montant des dépenses durant le quatorzième mois. 3.2. Estimer le rang du mois au cours duquel le montant dépassera pour la première fois 13 000 euros.

312

12 • Sujets d’annales et éléments de correction

Q1 En utilisant l’ajustement affine donné par la méthode des moindres carrés et la calculatrice, répondre aux questions 3.1 et 3.2. Sur ses fiches, le candidat rédigera et présentera un ou plusieurs exercices sur le thème : « Séries statistiques à deux variables ».

12.2 ÉLÉMENTS DE CORRECTION Ces éléments de corrections sont formés dans chaque cas de deux parties. La partie « réponses aux questions du jury » correspond à un premier niveau d’analyse, certainement exigible lors de l’épreuve. Cette partie peut servir de base à une rédaction de la partie concernant l’exercice proposé de la « fiche à remettre ». La partie « pour aller plus loin » propose des réflexions plus approfondies, qui ne sont pas toutes nécessairement exigibles lors d’une étude en temps limité de l’exercice.

Annales 01 L’exercice a pour objectif l’étude d’un exemple contextualisé de suite arithméticogéométrique. On veut mettre en évidence un exemple de convergence vers un point fixe à l’aide d’une suite auxiliaire géométrique. ➤ Réponses aux questions du jury

Q1 Cet exercice peut être posé dans une classe de première S (en application du comportement asymptotique des suites géométriques au programme de cette classe) ou en terminale S, ES ou L, classes dans lesquelles l’étude de telles suites et de leur comportement asymptotique est explicitement au programme. Savoirs et méthodes : 1

Traduire mathématiquement un énoncé (obtention d’une relation de récurrence).

2 3

Représenter graphiquement les termes d’une suite définie par une relation un+1 = f(un ) (construction en toile d’araignée).

4

Interpréter graphiquement les résultats. Formuler une conjecture en termes de limites.

5

Obtenir une relation de récurrence concernant une suite auxiliaire (« passer des an aux bn »). Connaître l’expression en fonction de n du terme de rang n d’une suite géométrique, connaître le comportement d’une suite géométrique suivant la valeur de sa raison (en particulier, savoir qu’une suite géométrique de raison strictement comprise entre −1 et +1 converge vers zéro).

Q3 La relation de récurrence est de la forme an+1 = lan + m. Le contexte impose 0 < l < 1 (c’est un pourcentage de réabonnement) et m > 0. Donc, il y aura toujours une convergence vers une valeur positive. En agissant sur l et m, on peut m agir sur la valeur de stabilisation, qui est égale à , mais on ne peut pas changer 1−l

12.2 Éléments de correction

313

le comportement global. On peut augmenter la valeur de m (45 000, par exemple) ou celle de l (0,90, par exemple) ou cumuler les deux modifications. Sur Voyage 200, le choix d’axes « Toile » offre une construction automatisée comme sur le premier écran.

Ci contre, en mode explicite, évolution prévue suivant l’exercice, ainsi que l’une ou l’autre des deux options, envisagées en complément pour limiter la perte de lecteurs, et résultat si l’on cumule les deux actions. On conjecture qu’il y a une stabilisation dans tous les cas, à un niveau plus élevé dans les deux options, et plus élevé encore en cumulant les deux actions.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Choix d’exercices complémentaires

Ce choix pouvait d’abord montrer que les suites arithmétiques et géométriques correspondent à des types de modélisation caractéristiques : modèle linéaire et modèle exponentiel (incontournables dans ce thème). Il pouvait être complété par un exemple de suite dont l’étude des premiers termes suggère l’emploi d’une suite géométrique ou arithmétique auxiliaire. ➤ Pour aller plus loin

Mise en œuvre dans une classe : l’exercice prévoit une phase d’expérimentation (questions 1 à 3), une phase de conjectures (question 4) et une phase de démonstration (question 5). Si l’exercice est traité en classe, la valeur 20 000 peut être conjecturée par les élèves, et la nature géométrique de la suite auxiliaire conjecturée à partir de la construction particulière en « toile ». Question de prolongement possible : « Constatant que le journal a perdu 6 000 lecteurs la première année et que l’étude à long terme est particulièrement pessimiste

314

12 • Sujets d’annales et éléments de correction

(stabilisation à 20 000 lecteurs), la direction envisage deux possibilités pour limiter la perte de clientèle : − Offrir des conditions de premier abonnement avantageuses destinées à attirer de nouveaux abonnés (prévisions : 4 500 nouveaux abonnés, au lieu de 3 000). − Offrir des conditions avantageuses de réabonnement (prévisions : taux de réabonnement de 90 %) pour mieux fidéliser les lecteurs. Quelle est l’option la plus efficace ? Que se passe-t-il si la direction applique les deux options simultanément ? » Ce choix numérique est destiné à mettre en valeur que le résultat à long terme sera le même (limite 30 000), mais que l’option fidélisation est un peu plus efficace car elle converge vers 30 000 plus lentement que l’autre. La question qui se pose est : si on applique les deux options, est-ce que les deux limites vont « s’ajouter » ? L’étude montrera que non, la nouvelle limite sera 45 000.

Annales 02 ➤ Réponses aux questions du jury

Q1 La méthode de « fausse position » est un algorithme arithmétique permettant de résoudre un problème sans avoir recours à une méthode algébrique et à l’emploi d’une inconnue. Elle consiste à remplacer l’inconnue par une valeur numérique arbitraire, puis à en déduire la valeur inconnue par rectification. − On cherche la valeur de x vérifiant : f (x) = ax = b, a et b étant connus. − On essaie une valeur numérique x1 dont on calcule l’image : f (x1 ) = ax1 = b1 . f (x) b x = = . − Alors : x1 f (x1 ) b1 Cette règle repose sur la propriété d’homogénéité des fonctions linéaires. Dans le tableau de proportionnalité suivant, on peut passer de la fausse position à la position b : exacte en multipliant cette fausse position par le coefficient scalaire b1 Positions

Fausse x1

Images

b1

× bb

1 −−−→

× bb

1 −−−→

Exacte x b

Q2 Résolus par l’algèbre, les deux problèmes évoqués dans l’exercice se ramènent respectivement aux équations : 



1 1 1 1 1 + + x = 456 et 1− − x = 9. 2 4 5 2 3 La classe de problèmes concernée par cette méthode est celle des problèmes qui se modélisent par une fonction linéaire f dont on connaît la valeur en un point et dont on

12.2 Éléments de correction

315

recherche l’antécédent correspondant. Algébriquement, il doit directement résulter de l’énoncé une équation de la forme : f (x) = ax = b. ➤ Choix d’exercices complémentaires

Le dossier invite expressément à explorer différents niveaux. Consulter avec attention les documents d’accompagnement des programmes sur la proportionnalité pour le choix des objectifs prioritaires sur la notion. ➤ Pour aller plus loin

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

L’exercice introduit une dimension historique dans l’étude de la résolution d’une équation du premier degré à une inconnue. Il est conforme à une directive des programmes du collège : « l’introduction d’une perspective historique peut permettre aux élèves de mieux saisir le sens et la portée des notions et des problèmes étudiés, et de mieux comprendre les ressorts du développement scientifique ». Les questions posées aux élèves sont destinées à comprendre dans un premier temps « comment » la méthode fonctionne (question 1) puis, dans un second temps, « pourquoi » elle fonctionne (questions 2 et 3). La question 4 sert de réinvestissement des connaissances acquises. En raison des questions portant sur le « pourquoi », cet exercice est un véritable problème de recherche, permettant un approfondissement de la notion de proportionnalité. Tel qu’il est présenté, il convient à une classe de quatrième. Il pourrait être posé dès le début du collège mais, à ce moment, la complexité du texte rendrait pertinent un travail interdisciplinaire portant sur son sens et sa traduction mathématique. Il pourrait aussi être revu beaucoup plus tard, en série L de lycée, où l’approche historique de quelques notions mathématiques est un objectif spécifique. Il se prêterait à une comparaison de méthodes (« comment procédait-on avant de surmonter l’obstacle épistémologique de la résolution algébrique d’une équation ? »). À propos des méthodes de fausse position Il existe une méthode analogue pour résoudre des problèmes qui se modélisent par une fonction affine f (x) = ax + b, puis par la résolution de l’équation ax + b = c (recherche de l’antécédent d’un nombre c). Dans ce cas, deux fausses positions x 1 et x2 sont nécessaires puisque, dans une telle situation, ce sont les écarts qui sont proportionnels : x − x1 c − c1 = . x2 − x1 c2 − c1 Positions

Fausse 1 x1

Fausse 2 x2

Faux écarts x 2 − x1

c−c

× c −c1

1 −−−2−−→

Vrais écarts x − c1

c−c

Images

c1 = ax1 + b

c2 = ax2 + b

c2 − c1

× c −c1 2 1

−−−−−→

c − c1

316

12 • Sujets d’annales et éléments de correction

Annales 03 ➤ Réponses aux questions du jury

Q1

Cet exercice aborde les thèmes suivants concernant les graphes :

− La notion de chaîne eulérienne. − La notion de graphe eulérien. − La recherche d’une chaîne de poids minimal reliant deux sommets donnés d’un graphe pondéré. Les questions 1 et 2 prennent appui sur deux théorèmes concernant les degrés des sommets : Théorème 1. Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement s’il a

au plus deux sommets de degré impair. Ces sommets sont alors le point de départ et d’arrivée de la chaîne. Le graphe considéré ici a exactement deux sommets de degré impair, A et D. Ce théorème est donc vérifié : il existe une chaîne eulérienne partant de l’hôtel A et arrivant en D. Un exemple : AB/BG/GE/EF/FG/GC/CF/FD/DC/CA/AD. Théorème 2. Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement s’il n’a

aucun sommet de degré impair. Ce n’est pas le cas ici : le graphe n’est pas eulérien, le guide ne peut pas boucler un parcours complet en revenant à l’hôtel. La question 3 met en jeu un algorithme permettant d’obtenir un plus court chemin, comme l’algorithme de Dijkstra. ➤ Choix d’exercices complémentaires

À titre uniquement indicatif, un problème d’incompatibilité menant à un coloriage et/ou un problème de nombre de chemins menant d’un sommet à un autre en un nombre déterminé d’étapes (associé au calcul d’une puissance de la matrice d’un graphe) pouvaient ici constituer un complément. ➤ Pour aller plus loin

Il existe plusieurs variantes de présentation d’un algorithme de chemin de poids minimal que l’on trouvera dans les manuels de TES. En général, on affecte le coefficient « +∞ » aux sommets encore inaccessibles. De cette façon leur coefficient est toujours supérieur aux coefficients des points accessibles, quels qu’ils soient. Dans la présentation qui suit, le parcours de poids minimal se lit de bas en haut : E est atteint en venant de F, F en venant de G, G en venant de C, C en venant de D et D en venant de A. Le parcours trouvé est AD ; DC ; CG ; GF ; FE.

12.2 Éléments de correction

317

A

B

C

D

E

F

G

0

12A

20A

9A

∞

∞

∞

×

12A

17D

×

∞

30D

∞

×

×

17D

×

∞

30B

25B

×

×

×

×

∞

28C

19C

×

×

×

×

28G

24G

×

×

×

×

×

27F

×

Annales 04 ➤ Réponses aux questions du jury

Q1 Le théorème principal sur lequel est basé cet exercice est le théorème de dérivation d’une composition de fonction : Si f et w sont des fonctions dérivables sur R, alors f ◦ w est elle-même une fonction dérivable sur R et sa fonction dérivée est la fonction : x → f  (w(x)) × w (x).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Ce théorème s’applique, en particulier, dans le cas où w est une fonction linéaire : x → w(x) = kx. La fonction x → f (kx) est une fonction dérivable sur R et de fonction dérivée : x → k × f  (kx). On peut envisager plusieurs méthodes de résolution : Première méthode : selon le programme de STI − Montrer que (E) implique (E’) : f  (x) = − f (x). − Résoudre (E’). La résolution attendue se basera sur le théorème admis en classe de STI : l’équation différentielle y  = −v2 y admet pour solutions les fonctions de la forme : x → f (x) = a. cos (vx) + b sin (vx) . − Rechercher parmi les solutions de (E’) celles qui sont effectivement solution de (E). En bilan, on insisterait sur la nécessité de revenir au problème initial : si f est solution de (E), alors elle est solution de (E’), mais les équations (E) et (E’) ne sont pas équivalentes. Il est donc indispensable d’envisager une réciproque. Deuxième méthode : selon le programme de TS Résolution approchée par la méthode d’Euler. On cherche une fonction vérifiant (E) et telle que : f (0) = 1. On se propose de tracer, à l’aide de la méthode d’Euler, une ligne polygonale qui représente approximativement la courbe Cf représentative de f sur l’intervalle [−3, 3]. Dans ce cas précis, la méthode utilisée sera un peu différente de celle qui est développée dans les manuels. En effet, à partir de la valeur zéro il faut effectuer des « pas » successifs de part et d’autre de zéro.

318

12 • Sujets d’annales et éléments de correction

Étape 1 : Découpage de [−3, 0] et de [0, 3] en intervalles de longueur égale. Par exemple, si on décide d’effectuer 15 pas de part et d’autre, la longueur h du pas sera 0,2. En général, si on décide d’un nombre n de pas, le pas sera 3/n. Étape 2 : Construction par récurrence des valeurs yk et y−k pour les valeurs successives de l’entier k qui approchent respectivement f (kh) et f (−kh). Ces deux suites sont définies par la relation d’initialisation : y0 = 1 et par les relations de récurrence : " yk = yk−1 + h.y−(k−1) y−k = y−(k−1) − h.yk−1 construites conformément à la méthode d’Euler. Dans le programme suivant, trois listes sont définies. La liste x reçoit les valeurs kh, tandis que les listes u et v reçoivent les valeurs approchées de f (kh) et f (−kh) respectivement. La « pause » permet de visualiser la construction pas à pas. L’écran graphique superpose la solution exacte et la solution approchée avec 15 pas.

La forme du graphique obtenu par la méthode d’Euler pourrait suggérer aux élèves une fonction trigonométrique. On pourrait, alors seulement, proposer de chercher si par hasard une combinaison linéaire de la forme a cos x +b sin x vérifierait l’équation. On comparerait pour finir la représentation graphique « exacte » et la représentation graphique « approchée ». ➤ Choix d’exercices complémentaires

Q2 L’équation de type y  = ay jouant un rôle capital dans les programmes sur les équations différentielles, un exercice devait y être consacré, en partant d’une situation où une modélisation y conduit. Un deuxième exercice pouvait aborder l’exemple d’une situation où l’équation différentielle issue de la modélisation peut se ramener par une transformation adéquate à une équation de type y  = ay + b en détaillant la méthode de résolution d’une telle équation. Un choix plus ambitieux consistait à considérer un exercice conduisant à une équation y  = ay + b (la résolution de y  = ay étant alors incorporée dans cet exercice) et

12.2 Éléments de correction

319

un deuxième exercice traitant d’une équation différentielle plus rare (comme l’équation logistique). ➤ Pour aller plus loin

Le problème propose un cas particulier d’équation différentielle du type : f  (x) = f ◦ w(x).

(E) :

Lorsque w est une fonction dérivable involutive, les fonctions f solutions de (E) sont solutions d’une équation du second ordre ne concernant que la fonction f : En dérivant : f  (x) = f  (w(x)) × w (x) = f (w ◦ w(x)) × w (x) = f (x) × w (x). Si f est solution de (E), alors elle est solution de (E’) : f  (x) = f (x) × w (x). C’est bien le cas lorsque w est la fonction x → – x et on obtient une équation linéaire du deuxième ordre qui est explicitement au programme de STI. La résolution d’équations fonctionnelles du type de cet exercice n’est cependant pas un objectif de ce programme, où les équations différentielles interviennent plutôt pour résoudre des problèmes concrets, de mécanique ou d’électricité. Cet exercice peut également faire l’objet d’un thème d’étude en terminale S. L’esprit de l’exercice est certainement plus proche des préoccupations propres à cette série.

Annales 05

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Réponses aux questions du jury

Q2 Dans une classe de collège, une fois la situation présentée, il semble opportun de demander si, au regard de l’énoncé, il serait possible de compléter la figure par un codage (la perpendicularité des droites (AA’), (EF) et (BB’) à (AB) fait partie de l’appropriation de l’énoncé). 1. Justifier que les droites (EF) et (AA’) sont des droites parallèles. Exprimer alors EF en fonction de BE et de AB. le rapport A A EF 2. Exprimer le rapport en fonction de AE et de AB. B B EF EF + = 1. À l’aide de cette relation, indiquer lequel des 3. Démontrer que : A A B B  deux ouvriers a raison et expliquer pourquoi. En validation, l’expression de EF en fonction de AA’ et BB’ (facultative dans le cadre de l’exercice) est calculée et comparée avec le résultat affiché par le logiciel (résultat R : 0,97 sur l’écran).

320

12 • Sujets d’annales et éléments de correction

Q1 Le déplacement du poteau (en tentant de rapprocher les poteaux l’un de l’autre) est schématisé par le déplacement du point B (point sur objet) sur le segment [AB0 ]. Les longueurs des segments [BB’], [AA’] et [EF] ont été mesurées par le logiciel. La « Trace » a été activée pour le point F. ➤ Choix des exercices complémentaires

Cet exercice peut être complété par un exercice portant sur le calcul d’aires (ou l’utilisation du calcul d’aires pour démontrer) et un autre exercice de géométrie dans l’espace mettant en jeu des volumes (effet de réduction et d’agrandissement sur un solide ou calcul de grandeurs : montrer comment, en calculant de deux façons différentes un volume, on peut obtenir une autre grandeur, une aire ou une hauteur). ➤ Pour aller plus loin

L’exercice se présente sous forme de « question ouverte » en fin de collège. Il est accompagné d’une figure présentant la situation. La schématisation suggérée n’est que partielle, les élèves doivent la compléter par un codage géométrique en se référant aux termes de l’énoncé (interpréter « plantés verticalement » par une perpendicularité de (AA’) et (BB’) à (AB), par exemple). Il entre dans le cadre des problèmes de recherche, dont la pratique est préconisée par les programmes. Dans ce cas, les élèves doivent eux-mêmes se poser des questions pertinentes permettant de répondre : le problème revient à savoir si la distance EF dépend ou non de la distance AB. Il s’agit d’essayer de calculer cette distance en fonction des données, c’est-à-dire de AA’, BB’ et peut-être AB. Le problème fait intervenir deux configurations triangulaires de Thalès, qui sont au programme de quatrième, ainsi que des calculs sur des rapports (même niveau de classe). Il pourrait être proposé avec des valeurs numériques en quatrième (des poteaux de 2 m et de 3 m, par exemple, les élèves trouveraient E F = 1, 2 m) et tel quel, en troisième ou en seconde. En synthèse de l’exercice, on retiendrait que : − Il y a sur la figure trois droites parallèles : (AA’), (BB’) et (EF). Elles déterminent deux configurations triangulaires de Thalès, l’une avec les sécantes (BA) et (BB’), issues de B, l’autre avec les sécantes (AB) et (AB’), issues de A. − On peut appliquer la propriété de Thalès dans chacune des deux configurations. AE BE − Les deux rapports et ont pour somme 1 car E appartient au segment [AB] AB AB et, puisqu’il y a alignement dans l’ordre A − E − B, AE + B E = AB.

12.2 Éléments de correction

321

− On démontre que EF s’exprime uniquement en fonction de AA’ et BB’, et non en A A × B B  fonction de AB : E F = ; EF ne dépend pas de la distance AB. Le A A + B B  deuxième ouvrier a raison.

Annales 06 Ce sujet1 se distingue par sa difficulté et sa longueur (ne pas laisser sa résolution envahir le temps de préparation et se dire que les autres candidats du jour éprouvent les mêmes sentiments). L’exercice est un problème de recherche de « circuit fermé ». Son objectif implicite est de construire le point invariant d’une application affine composée de trois projections orthogonales. La question 1 correspond à une phase d’investigation et de conjectures. L’exercice fait ensuite étudier trois cas particuliers puis, dans le cas général, donne quelques indications orientant la recherche. La question 3.1 correspond à une phase d’analyse de la figure dans ce cas général et la question 3.2 établit l’existence d’une solution. Il reste à prévoir une phase de synthèse. Le caractère unique du point solution du problème est à justifier à ce moment.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

➤ Réponses aux questions du jury

Q1

Méthodes et savoirs.

Q2.

Méthode : Raisonnement par disjonction des cas : Si ABC est rectangle en B, pour tout point M de (BC), M1 = B. Si ABC est rectangle en A, pour tout point M de (BC), M2 = A. Si ABC est rectangle en C, pour tout point M de (BC), M3 = C. Savoir : Si deux droites sont perpendiculaires, tous les points de l’une se projettent orthogonalement sur l’autre en leur point d’intersection.

Q3.1.

Méthode : diminution de contrainte : La contrainte de fermeture du circuit MM1 M2 M3 est momentanément abandonnée, le point M décrivant (BC) en entier, et on associe à chaque circuit un point qui le caractérise (le point I(M)). On cherche une transformation permettant de passer du point caractéristique d’un circuit fixé à celui d’un autre. On détermine ainsi un lieu géométrique où se trouvent tous les points I(M) lorsque M varie. Savoirs : Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. L’image par une homothétie d’une droite passant par un point donné K est la droite qui lui est parallèle et qui passe par l’image de K. L’image par une application affine de l’intersection de deux droites est l’intersection de leurs images. Centre – point – image par une homothétie sont des points alignés.

1. Consulter Terracher 1r e S, Hachette édition 2001, exercice 91, page 168.

322

12 • Sujets d’annales et éléments de correction

Q3.2.

Méthode : la reprise de la contrainte de fermeture détermine les points I(M) caractéristiques de circuits solutions aux intersections de ce lieu géométrique et de l’ensemble de contrainte (la droite (BC), en l’occurrence).

Q3.3.

Figure de synthèse : Construire un circuit à partir d’un point K arbitraire de (BC).

Q3

Un énoncé plus détaillé :

Soit N, un point fixé de (BC). On note N1 , N2 , N3 ainsi que I (N ) les points successivement construits à partir de N. Soit M, un point quelconque de (BC). 1. Quel est le point I (N ) lorsque N1 = A ? 2. On suppose désormais que N1 est distinct de A. Montrer qu’alors I (N ) est distinct de A. 3. On note h l’homothétie de centre A qui transforme N1 en M1 . 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Déterminer les images par h des droites D1 (N ) et D2 (N ). Montrer que h(N2 ) = M2 . Étudier l’image par h de la droite D3 (N ). Montrer que h transforme I (N ) en I (M). En déduire que, quand M décrit la droite (BC), le point I (M) est sur une droite fixe D passant par A.

4. Soit J, le point d’intersection de D avec (BC). 4.1. Étudier le circuit issu de J. 4.2. Réciproquement, soit M, un point tel que M3 = M. Montrer que M = J . Les questions 1 et 2 sont destinées à identifier un point à éviter : le point d’intersection de la perpendiculaire en A à (AB) avec (BC), et à vérifier que la construction définit bien une droite. Dans la question 3, il faut utiliser le fait que h transforme une droite passant par un point en sa parallèle passant par l’image de ce point. De plus, h laisse (AC) globalement invariante. L’image de l’intersection d’une droite avec (AC) est l’intersection avec (AC) de l’image de cette droite. La question 4 traite l’existence et le nombre de solutions. Si M est à l’origine d’un circuit fermé, il existe une homothétie de centre A qui amène N en M et une autre qui amène N en J. Les points A, N, M, J sont alignés sur D. Les points M et J étant tous deux sur (BC), ils sont confondus. Il resterait à vérifier si D peut être parallèle à (BC)... ➤ Pour aller plus loin

1. À propos de la situation Il semble que la façon de poser le problème soit susceptible de provoquer des erreurs de compréhension de la situation. Le problème pourrait être reformulé de façon que le point I (M)de l’énoncé ait un rôle plus facilement identifiable :

12.2 Éléments de correction

323

« On se propose de chercher si l’on peut trouver trois points M 1 , M 2 et M 3 sur les côtés du triangle ABC tels que les côtés du triangle M1 M2 M3 soient perpendiculaires à ceux du triangle ABC. » Il y a trois contraintes d’appartenance : M1 appartient à (AB), M 2 à (AC), M 3 à (BC) et trois contraintes de perpendicularité : (M1 M2 ) ⊥ (AB) ; (M2 M3 ) ⊥ (BC) ; (M3 M1 ) ⊥ (C A) . La méthode de diminution de contrainte devient plus visible : − On considère la famille des triangles M1 M2 M  vérifiant toutes les contraintes, sauf celle d’appartenance à (BC). − Le choix d’un point M1 sur (AB) détermine un tel triangle. − Deux triangles de cette famille se correspondent par une homothétie de centre le point A.On obtient une solution au problème lorsque M’, qui est le point I (M)de l’énoncé initial, est le point d’intersection de D avec (BC).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

Le problème réciproque prend davantage de sens car la question de l’unicité d’un tel triangle se pose différemment : si on avait abandonné une autre contrainte que l’appartenance à (BC), on aurait trouvé une autre famille de triangles. Aurait-on obtenu le même triangle solution du problème ? Le lieu des points M’ lorsque M 1 décrit (AB) est une droite D passant par A, que l’on détermine en considérant un point particulier M 1 de (AB) distinct de A. La trace laissée à l’écran par M’ suggère ce lieu. 2. Composée de deux projections Le problème, de la façon dont il est posé, fait étudier implicitement une composée de projections orthogonales. Un résultat utile à ce propos est le suivant : Soient D 1 et D 2 , deux droites sécantes en un point I. Soit p1 , la projection sur D 1 parallèlement à une droite D1 . Soit p2 , la projection sur D 2 parallèlement à une droite D2 . Alors, p2 ◦ p1 est : l’application constante M → I si D 1 et D2 sont parallèles, et sinon c’est la composée dans l’ordre que l’on voudra de la projection sur D 2 parallèlement à D1 et d’une homothétie de centre I. En effet, p2 ◦ p1 laisse I invariant et, si l’on considère les applications linéaires  → → e1 ; − e2 formée p1 et p2 associées à p1 et à p2 , elles ont dans une base −   de vec1 a1 teurs directeurs respectifs de D 1 et de D 2 des matrices de la forme : 0 0

324

12 • Sujets d’annales et éléments de correction



 0 0 a2 1

 0 0 a2 a1 × a2



respectivement. La composée a pour matrice : qui est   0 0 . La nullité de a2 signifie que la direction de D2 est celle de égale à a2 × 1 a1 D 1 . Sinon, on reconnaît le produit d’une homothétie de rapport a2 et d’une projection parallèlement à la direction de D1 sur celle de D 2 . et

Annales 07 Alors que celui-ci se distingue par son apparente facilité. Q1 La liste2 est la série proposée par l’énoncé. La liste5 est la série résultant de l’ajustement par la droite d’équation 2625 9375 y = y2 (x) = x+ 4 4 que les élèves doivent tracer. La liste3 résulte de l’ajustement par la méthode des moindres carrés arrondie à l’unité. On remarque que le nuage considéré a une particularité : la droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés passe par les deux points extrêmes du nuage. Il s’agit de la droite d’équation : 7500x 25500 y = y1 (x) = + . 11 11 Les carrés des écarts ont été calculés respectivement en liste4 (pour la droite des moindres carrés) et en liste6 (pour la droite de l’énoncé). La somme des carrés des écarts est, comme on peut s’y attendre, plus petite pour la droite des moindres carrés. Cet exercice est très rudimentaire. Il traite d’une méthode d’ajustement empirique, conforme au programme des séries STG. Cette méthode consiste à choisir arbitrairement deux points du nuage représentant une série statistique à deux variables et à considérer la droite passant par ces deux points.

12.2 Éléments de correction

325

Il peut s’agir d’un exercice d’évaluation. Les compétences évaluées sont : − Savoir représenter graphiquement un nuage de points (et choisir un repère adapté pour cela). − Savoir tracer une droite passant par deux points. − Savoir déterminer par lecture graphique l’ordonnée d’un point d’une droite d’abscisse connue et l’abscisse d’un point d’ordonnée connue. ➤ Choix d’exercices complémentaires

Un exercice conforme au programme de la série ES semble s’imposer en contrepoint de l’exercice du jury. On peut envisager d’étudier deux types d’ajustement, l’ajustement affine par la méthode des moindres carrés et un autre ajustement, en prenant soin de motiver l’hypothèse de modélisation conduisant à envisager ce deuxième type. ➤ Pour aller plus loin

Quelle part d’initiative est laissée aux élèves dans l’exercice ? L’élève n’a aucune initiative, l’exercice ne prévoit aucune réflexion sur le choix de la droite d’ajustement. Posé tel quel, cet exercice ne conduit à aucun apprentissage. L’enseignant devrait pour cela approfondir la situation :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

− Que se passe-t-il si on choisit d’autres points ? − Comment choisir les deux points de référence pour que l’ajustement soit acceptable ? − Quels avantages et inconvénients présente cette méthode ? On obtient plusieurs droites, mais si on choisit deux points « représentatifs », les droites associées ont sensiblement la même allure. Les estimations obtenues sont voisines les unes des autres. L’avantage de la méthode est sa simplicité de mise en œuvre. L’inconvénient majeur est sa subjectivité, il n’y a aucun critère permettant de privilégier un choix de points plutôt qu’un autre. Un minimum syndical dans cette étude serait d’envisager plusieurs choix de points de référence et comparer les estimations qui en résultent... Cet exercice conviendrait-il pour introduire la notion d’ajustement par la méthode des moindres carrés ? Catégoriquement, non. La série considérée ne convient pas car elle risque d’induire une fausse représentation due à une bizarrerie de la situation : cette droite serait la même que celle qui passe par les deux points extrêmes du nuage. Il faudrait, par exemple, l’élaguer de la première et de la dernière donnée. On peut s’interroger par curiosité sur la façon de confectionner la liste pour obtenir cette particularité. Considérons le nuage amputé de son premier et dernier point, et les séries associées.

326

12 • Sujets d’annales et éléments de correction

En remarquant que tous les montants sont multiples de 750, la série Y est proportionnelle à une série Z d’entiers nettement plus simple (liste 3) de moyenne 9. On a inscrit en liste 4 les nombres  13  xi − (z i − 9) dont la somme est égale 2 à 75. La droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés des séries amputées X 10 2 = . et Z a pour coefficient directeur 75 × 165 11 Si on rajoute ensuite les deux points A1 (1 ; 4) et A12 (12 ; 14), on constate que,

 13 d’une part, ils sont symétriques par rapport au point moyen ; 9 et que, d’autre 2 z 12 − z 1 10 14 − 4 part, = . Ces deux points sont sur la droite d’ajustement de la = x12 − x1 12 − 1 11 série (X, Z) amputée. Leur adjonction au nuage ne modifie pas la droite d’ajustement. Il suffit de multiplier par 750 pour obtenir les valeurs correspondantes de Y et des montants de dépenses « plausibles ». Le tour est joué, mais on reste cependant très perplexe sur le but de cette manœuvre.

Bibliographie

Ouvrages de base Manuels récents de collège et de lycée1 . Annales de Baccalauréat, corrigées ou non. Annales de Brevet, corrigées ou non. Résumés de cours et exercices corrigés, toutes éditions, collège et lycée.

Ouvrages pédagogiques AYMES, L ACHAUD et V INTER – Parcours mathématiques pour le lycée. CRDP Midi Pyrénées, 1995. B ERTÉ A. – Mathématiques du collège au lycée. Nathan, 1996.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

L EGRAND P. – Les maths en collège et en lycée. Hachette, 1997.

Ouvrages de référence BAJOU B. – Capes de mathématiques. Préparation à l’épreuve orale d’exposé. Dunod, 2007. ROBERT A. et L AMBRE T. – L’épreuve sur dossier à l’oral du CAPES. Ellipses, 1995 et 1999. ROGALSKI M. – Carrefours entre analyse, algèbre et géométrie. Ellipses, 2001.

Algèbre et géométrie L ADEGAILLERIE Y. – Géométrie pour le CAPES de mathématiques. Ellipses, 2002. 1. Il ne nous appartient pas de désigner une collection plutôt qu’une autre. L’important est de se familiariser avec quelques manuels de façon à savoir s’y repérer rapidement. C’est en s’y référant souvent que l’on en apprécie les qualités et défauts éventuels.

L ADEGAILLERIE Y. – Exercices corrigés pour le CAPES de mathématiques. Ellipses, 2004. M ERCIER D.J. – Cours de géométrie, préparation au CAPES et à l’agrégation. Publibook, 2004. M ONIER J.M. – Algèbre, géométrie MP. Cours, méthodes et exercices corrigés. Dunod, 2007.

Algèbre et Analyse BALAGUER B. – La leçon d’analyse au CAPES de mathématiques. Ellipses, 1999. M ONIER J.M. – Analyse MP. Cours, méthodes et exercices corrigés. Dunod, 2007. P ILIBOSSIAN et L ECOUTRE – Objectif Licence. EdiSciences, 2005.

Probabilités et statistiques C OUTY, D EBORD et F REDON – Mini manuel de probabilités et statistiques. Dunod, 2007. E SCOFFIER J. – Probabilités et statistiques pour le CAPES et l’Agrégation Interne. Ellipses, 2006. L ANNUZEL B. – Probabilités et statistiques pour le CAPES de Maths. Dunod, 1999.

Webographie http://capes-math.org/ – Le site du jury du CAPES http://www.education.gouv.fr/pid63/siac2.html – Système d’information et d’aide aux concours du second degré (SIAC2) http://eduscol.education.fr/D0015/LLPHPR01.htm – Tout savoir sur les programmes en vigueur http://www.cndp.fr/accueil.htm ; http://www.cndp.fr/secondaire/mathematiques/ – Site du Centre National de Documentation Pédagogique http://www.iufm.fr/reseau-iufm/ressources-peda.html – Ressources pédagogiques des IUFM http://perso.orange.fr/megamaths/ – Site animé par D.J. Mercier, carrefour de ressources et de documentation pour les candidats au CAPES

Index

apprentissage, 13 nombre(s) premier, 115 raisonnement, 105

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit

A activité de démarrage, 21, 243, 274 aire, 85 aire (calcul d’), 59, 169 aire maximum, 212 ajustement, 186, 232, 324 exponentiel, 299 algèbre, 89 analyse, 119, 120 analyse et synthèse, 66, 67, 106, 108, 254 angle, 61, 81, 213, 214, 263, 265 appropriation, 15 approximation(s), 132 décimales, 133 arithmétique, 113, 219

B barycentre, 79, 186

C cadre, 32, 96, 120, 271, 288 calcul intégral, 159, 227, 291 intégral approché, 162 intégral et suite, 167 matriciel, 108, 201, 218, 237, 276 numérique, 83, 214

calculatrice, 35, 93, 129, 143, 261, 290, 294 compétence, 12 comportement asymptotique, 128, 139, 285, 312 local, 149 configuration, 65, 74, 87 mobile, 63, 252 congruence, 115 conjecture, 213, 220, 223, 287 construction (problème de), 65, 210, 255 contraposition (raisonnement par), 106 contre-exemple, 108 convergence, 222 courbe représentative, 142, 143, 223

D décimal (nombre), 94 découverte guidée, 21 déduction, 14 démarche d’investigation, 16 dénombrement, 190 dérivée (application économique), 148 débat scientifique, 16 démarche d’investigation, 14 démonstration, 15 dichotomie, 135, 281 dimension civique, 16, 269 diminution de contrainte, 68, 321 disjonction des cas, 107, 220 divisibilité, 115 division euclidienne, 114 dossier, 4

E écriture scientifique, 93 des nombres, 215 littérale, 90 scientifique, 268 encadrement, 152, 165, 229, 292 énoncé, 28, 34 ensemble de nombres, 92, 215 équation, 98 dans Z2 , 116 différentielle, 173, 176 numérique, 134, 221 équiprobabilité, 193, 299 erreur, 14 espérance mathématique, 198 espace probabilisé, 233 exercice(s), 19 (analyse critique), 32 complémentaires, 7, 26 d’évaluation, 22, 267, 273, 291, 297, 304 d’application, 21 d’approfondissement, 246, 262, 263, 284, 296 guidé, 239, 292 proposé par le jury, 5, 25 expérimentation, 15, 234, 300

F fluctuation d’échantillonnage, 188 fonction(s), 121, 136, 226 linéaire, 314 affine, 225 associées, 154 de référence, 155

330

Index

G géométrie analytique, 82, 207 grandeur, 58, 310 graphe, 110, 237, 309

I inéquation, 98, 102, 216 incidence (problème d’), 49, 80, 207 induction, 14 interactivité, 39 irrationnel, 94, 133

L lieu géométrique, 62, 80, 209 ligne de niveau, 62 logiciel de géométrie, 36, 64, 253, 256, 272, 287, 310 loi binomiale, 199 continue, 199 longueur (calcul de), 59

M méthode d’Euler, 175 de Gauss, 101 de Newton, 282 des moindres carrés, 187, 325 mesurage, 251 modélisation, 123, 181, 188, 201, 271, 299 modèle logistique, 126 exponentiel, 125 linéaire, 125

N nombre(s) complexes, 86

O optimisation, 104, 146, 224, 276, 286 orthogonalité, 208 outil, 45, 74 vectoriel, 82, 207

P parallélisme, 263 patron, 69, 70, 211, 258 perspective cavalière, 69, 256 PGCD, 115, 116, 220, 278 position relative de deux courbes, 150 présentation orale, 29 primitive, 227 probabilité, 181, 303 conditionnelle, 194, 235, 303 problème, 19, 45 de réinvestissement, 22, 265, 279, 286, 294 ouvert, 22, 240, 245, 254, 320 produit scalaire, 214 programmation linéaire, 102, 217, 276 programmes (contenu des), 45, 47, 89, 97, 100, 121, 180 proportionnalité, 95, 215, 269

Q QCM, 235, 303

R récurrence, 125, 127, 222 résumé statistique, 183, 296 raisonnement par l’absurde, 107, 263 rationnel, 94, 132, 268 représentation graphique, 142, 284

S série statistique, 183, 185, 231, 232, 311 savoir, 11 savoir-faire, 12 section plane, 68, 211, 256 sens de variation, 127, 137, 222, 283 simulation, 188, 300 situation décrite par une fonction, 157 problème, 21 statistique, 180 suite, 122, 127, 230 arithmétique, 130, 220 géométrique, 130, 307 surface, 72 système linéaire, 100, 217

T tableur, 37, 278 test de dépistage, 195 théorie constructiviste, 14, 15, 264 de l’apprentissage, 13 thème, 7, 29 TICE, 35, 219, 226, 288 tracé hors solide, 70, 256 transformation, 67, 76, 87, 210 transposition didactique, 12 triangles de même forme, 78 isométriques, 78, 213

V validation, 259 variable aléatoire, 197, 234, 301 didactique, 33 volume (calcul de), 59, 170

SCIENCES SUP

Gilbert Julia

RÉUSSIR L’ÉPREUVE SUR DOSSIER DU CAPES DE MATHÉMATIQUES Cet ouvrage s’adresse aux candidats au Capes de Mathématiques, pour lesquels il propose une préparation complète à l’épreuve sur dossier (deuxième épreuve orale). Il se compose de trois parties : • Une première partie didactique et méthodologique propose une présentation de l’épreuve, des attentes du jury, ainsi qu’une méthodologie générale pour bien réussir l’épreuve ; • Une deuxième partie regroupe les études systématiques des thèmes de dossiers (Géométrie, Algèbre, Analyse, Probabilités et Statistique), détaillant l’enseignement de ces notions aux différents niveaux du secondaire ; • Une troisième partie présente des sujets d’entraînement classés par thèmes, ainsi que des sujets d’annales récents, tous suivis de corrigés détaillés.

Gilbert JULIA est professeur agrégé formateur à l’IUFM de Perpignan

MATHÉMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

SCIENCES DE L’INGÉNIEUR

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

LICENCE

MASTER DOCTORAT

1 2 3 4 5 6 7 8

ISBN 978-2-10-053988-8

www.dunod.com