МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физический факультет Кафедра общей физики
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Часть 3. Электричество и магнетизм
Новосибирск, 2000 1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.2 Тема: R,L,C - цепи. Определение линейной электрической цепи. В идеализированных моделях электрических цепей элементы характеризуются уравнениями, связывающими напряжения и токи. Простейшими элементами электрических цепей являются сопротивления, емкости, индуктивности:
U(t ) = R ⋅ I(t )
I(t )=C⋅
dU(t ) dt
U(t ) = L ⋅
dI(t ) dt
Элементы называются линейными, если их динамические переменные U(t) и I(t) удовлетворяют принципу суперпозиции: Пусть I'(t) и U'(t) - произвольная пара функций, удовлетворяющая уравнению элемента, а I"(t) и U"(t) - любая другая пара, удовлетворяющая тому же уравнению, то говорят, что элемент линейный, если пара функций:
I (t ) = a ⋅ I′(t ) + b ⋅ I′′(t )
U (t ) = a ⋅ U′(t ) + b ⋅ U′′(t )
также удовлетворяет уравнению элемента для любых значений констант a и b. Приведенные выше элементы являются линейными. Электрическая цепь, в которую входят только линейные элементы, называется линейной электрической цепью. По способу включения электрической цепи в общую схему установки различают двухполюсники и многополюсники. Простейшими двухполюсниками являются просто сами элементы: сопротивления, ёмкости, индуктивности. Среди многополюсников наиболее широко представлены четырехполюсники. Такие цепи играют роль передаточного звена, т. е. их функциональная значимость заключается в преобразовании входного сигнала x(t) в выходной y(t) по определенному закону. Для линейной цепи (в дальнейшем четырехполюсник мы будем называть просто цепью) связь между выходным и входным сигналом выражается линейным дифференциальным уравнением, которое составляется с помощью законов Киргофа. В зависимости от функционального предназначения цепи, в её свойствах выделяют те или иные параметры и характеристики. Например, цепь, изображённая на рис. 3 , может использоваться для интегрирования сигнала. В этом случае важной характеристикой является переходная характеристика, а важным параметром - постоянная времени. В другом случае эта же цепь может играть роль фильтра низких частот, т. е. служить для ослабления высокочастотных составляющих сигнала, при этом важно знать её частотную характеристику и частоту среза. 2
Если характеристика описывает поведение цепи в зависимости от времени, то её относят к классу динамических, а характеристики, которые дают представление о поведении цепи в зависимости от частоты относят к классу частотных. Для линейных цепей динамические и частотные характеристики взаимосвязаны, т. е. одни характеристики могут быть представлены через другие. Опишем основные характеристики более подробно. Динамические характеристики. Переходная характеристика представляет выходной сигнал цепи как функцию времени g(t) при подаче на вход сигнала в форме единичной ступеньки (рис. 1).
0, t <0 x (t ) = u(t ) ≡ 1, t ≥0
Рис.1
Импульсная характеристика - это также выходной сигнал как функция времени h(t) при подаче на вход цепи сигнала в форме δ-функции, т. е. очень короткого импульса с единичной площадью (рис. 2). Для линейной цепи знание переходной или импульсной характеристики Рис.2 дает возможность определить выходной сигнал для любого входного. Например, если для некоторой цепи известна импульсная характеристика h(t) и на вход цепи подаётся сигнал x(t), то выходной сигнал будет представлять собой свёртку двух функций: входного сигнала и импульсной характеристики цепи:
+∞ y(t ) = x (t )∗ h (t ) ≡ ∫ x (t − ô)h (ô)dô −∞
(1)
При известной переходной характеристике g(t) выходной сигнал может быть определен по той же формуле, если воспользоваться связью между импульсной и переходной характеристикой:
dg(t ) dt
h (t ) =
Анализ линейных цепей, использующий динамические характеристики, несколько проще, чем анализ дифференциальных уравнений, описывающих цепи, т. к. требует знания лишь одной из динамических характеристик, которое может быть получено экспериментальным путем. Полезно будет разобрать, для примера, несколько простых цепей:
Интегрирующая цепь, схема которой приведена на рис.3, описывается уравнением:
RC
dy(x ) + y(t ) = x (t ), dt
(2)
где x(t), y(t) - входное и выходное напряжение соотРис.3 ветственно. Вывод этого уравнения достаточно прост: Ток через сопротивление равен
I R (t ) =
x (t )− y(t ) R 3
Если пренебречь выходным током (в случае достаточно большого входного сопротивления прибора, подключаемого к выходу цепи), то ток через сопротивление будет равен току через емкость
iC = C
dy(t ) , dt
i R = i C,
⇒
x (t )− y(t ) dy(t ) =C R dt
Переходной характеристикой будет являться решение уравнения (2) при ступенчатом входном сигнале
0, t <0 x (t ) = u (t ) ≡ 1, t ≥0
Это решение (рис.4):
0, t <0 g(t ) = y(t ) = t 1−exp − RC , t ≥0
Рис.4
Показатель экспоненты содержит величину, характеризующую скорость роста выходного сигнала ô= RC . Эта величина называется постоянной времени интегрирующей цепи. Импульсную характеристику можно определить, взяв производную от переходной характеристики (рис. 5).
h (t ) =
dg(t ) 1 t exp − = dt RC RC
Рис.5
Дифференцирующая цепь (рис. 6) описывается уравнением
dy(t ) 1 dx (t ) . y(t ) = + dt RC dt
Переходная характеристика представляется в виде функции (рис. 7).
Рис.6
Импульсная характеристика (рис. 8).
Рис.7
0, t <0 g(t ) = t exp − RC , t ≥0
0, t <0 h (t ) = ä(t),=0 t − 1 exp − t , t >0 RC RC
Рис.8
Для этой характеристики имеет место особенность при t=0 в виде δ-функции. Теоретически - это следствие дифференцирования переходной характеристики вблизи нуля. На практике эта особенность проявляется в следующем: Выходной сигнал на момент действия вход4
ного импульса повторяет этот импульс. По окончании импульса идет разряд емкости через сопротивление по экспоненциальному закону с постоянной времени ô= RC . Частотные характеристики. Отличительной особенностью линейных электрических цепей является то, что при подаче на вход цепи синусоидального сигнала, выходной сигнал будет также иметь форму синусоиды с частотой исходного сигнала. Отличие амплитуды и фазы выходного от амплитуды и фазы входного синусоидального сигнала в зависимости от частоты определяет частотную характеристику цепи. Пусть входной сигнал описывается функцией x t = x cos 2ðft , а выходной -
()
y(t ) = y 0 (f )cos(2ðft+ ϕ (f )).
0
Амплитудно-частотной характеристикой цепи называется зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигнала от частоты:
A(f ) =
y 0 (f ) x0
Фазо-частотной характеристикой называется зависимость разности фаз между выходным и входным сигналом от частоты ϕ f . В общем случае цепь описывается линейным дифференциальным уравнением:
()
dny dy dmx dx + a 0 y = b m m + ... + b1 + b0 x a n n + ... + a 1 dt dt dt dt
где x и y - входной и выходной сигнал, соответственно. Для теоретического анализа частотных характеристик цепи удобно пользоваться представлением сигналов в виде комплексных экспонент. Пусть синусоидальный входной сигнал с частотой f представлен в виде:
x (t ) = Xe é2 ðft,
тогда выходной сигнал можно представить как
y(t ) = Ye é2ðft
Подставив эти выражения в уравнение цепи, после выполнения дифференцирования и сокращения на
e j2 ðft
Отношение
получим n m Y ⋅ a n ( j2πf ) + ... + a 1 j2πf + a 0 = X ⋅ b m ( j2πf ) + ... + b 1 j2πf + b 0 .
(
)
(
)
Y b ( j2ðf) + ... + b1 j2ðf+ b 0 K (f ) = = m n X a n ( j2ðf) + ... + a 1 j2ðf+ a 0 m
является комплексной функцией частоты и называется комплексным коэффициентом передачи цепи. Модуль этого коэффициента определяет амплитудно-частотную характеристику, а аргумент - фазо-частотную характеристику цепи. Используя уравнение для интегрирующей цепи, получим комплексный коэффициент передачи: 1 K (f ) = 1 + j2πfRC Амплитудно-частотная характеристика представляется функцией 1 K (f ) = 2 1 + (2πfRC ) а фазо-частотная характеристика (рис. 9). arg (K (f )) = arctan (− 2πfRC ) Рис. 9 5
Как знание динамических характеристик цепи позволяет определить выходной сигнал по известному входному сигналу (см. выше формулу (1)), так и знание её частотных характеристик дает возможность решить ту же задачу. Для этого входной сигнал представляют в виде суперпозиции гармонических составляющих, т. е. в виде интеграла Фурье:
+∞ x (t ) = ∫ X (f )e j2ðftdf . −∞
Каждая гармоническая составляющая будет преобразована цепью согласно выражению
X (f )e j 2πft → Y (f )e j2πft = K (f )X (f )e j2πft
и выходной сигнал определится как
+∞
y(t ) = ∫ K (f )X (f )e j2πft df . −∞
Иными словами, спектр входного сигнала будет преобразован цепью, суть преобразования заключается в умножении спектра входного сигнала на комплексный коэффициент передачи цепи. Для модуля и аргумента спектральной функции выходного сигнала будет иметь место выражение:
Y (f ) = K (f ) ⋅ X (f ),
arg(Y (f )) = arg (K (f )) + arg(X (f )).
Рассмотрим специальный случай, когда входной сигнал представляет собой импульс x (t ) = ä(t ) . Его спектр +∞
X (f ) = ∫ ä(t )e − j2 ðftdt = e − j 2 ðf⋅0 = 1 . −∞
Значит, спектр выходного сигнала, являющегося по сути импульсной характеристикой,
Y (f ) = K (f )X (f ) = K (f )⋅ 1 = K (f )
совпадает с комплексным коэффициентом передачи цепи. Таким образом, связь между динамической и частотной характеристикой цепи выражается прямым и обратным преобразованием Фурье: +∞
K (f ) = ∫ h (t )e − j 2 ðftdt −∞
+∞
h (t ) = ∫ K (f )e j 2 ðftdf −∞
6
Порядок включения работы. 1. 2. 3. 4.
Включить стойку КАМАКа нажатием черной кнопки внизу стойки. Включить тумблером КАМАК-крейт. Включить Компьютер. Включить остальные Приборы, используемые в работе.
Правила пользования программой. В данной версии программы пользователю предоставляется возможность одновременного управления двумя АЦП. Меню программы состоит из двух окон: верхнего и нижнего, в каждом из которых независимо друг от друга можно выводить сигнал, регистрируемый первым или вторым АЦП, реальную и мнимую часть ДВПФ от сигнала, амплитуду и фазу спектра сигнала, поступающего с любого из двух АЦП. Выбор верхнего окна производится нажатием клавиши <Page Up>, а нижнего - <Page Down>. Перед началом работы необходимо задать режимы работы АЦП. Это осуществляется следующим образом. Вы входите в программу. На экране появится колонка из двух столбцов:
A D C 1:
A D C 2:
Position: 10 NewValue
Position: 10 NewValue
Input: 500m 100kOm
Input: 500m 100kOm
Voltage Range: 0.512V 1.024V
Voltage Range: 0.512V 1.024V
2.024V
2.024V
Clock Time: 1mks 2mks 4mks 8mks
Clock Time: 1mks 2mks 4mks 8mks
16mks 32mks 64mks External
16mks 32mks 64mks External
Клавишей
необходимо выбрать первое или второе АЦП, а затем при помощи клавиш < ⇐ >, < ⇒ > выбрать позицию АЦП в крейте. Например, если Вы подвели маркер к цифре 10 и затем нажали <Enter>, то позиция АЦП в этом случае будет определена как 10. Если Вы желаете изменить позицию, то маркер необходимо подвести к слову NewValue и нажать <Enter>. После этого набрать на экране число соответствующее позиции АЦП в крейте и нажать <Enter>. Далее, по вышеописанной схеме необходимо задать вход АЦП: 50 Ом или 100 кОм. Следует обращать внимание на используемые входы АЦП (низкоомный или высокоомный). Диапазон по напряжению и времени задается в подпункте меню "Voltage Range" и "Clock Time" соответственно. Здесь следует пояснить следующее. Если Вы, например, задали напряжение 1.024В и время 1мкс, то это означает, что верхняя граница окна соответствует напряжению +1.024В, а нижняя - -1.024В при масштабе 1, +1.024/2 и -1.024/2 соответственно при масштабе 2, +1.024/4 и -1.024/4 при масштабе 4 и т.д. Время при любом масштабе остается неизменным и при 1 мкс развертка всего окна составляет 512точек*1мкс, т.е. 512мкс. Следует отметить, что для одинаковой скорости считывания сигнала первым и вторым АЦП, они работают от одного тактового генератора, находящегося во втором АЦП. Это означает, что когда Вы задаете режимы работы АЦП по времени, то необходимо в первом АЦП задать внешний такт, поставив в подпункте меню "Clock Time" маркер на External и нажать <Enter>, а во втором АЦП любое время, которое Вам необходимо. При этом оба АЦП будут считывать сигнал с одинаковой скоростью, которая определяется временным режимом, установленным во втором АЦП. 7
Выход из режима задания параметров АЦП осуществляется нажатием клавиши <Esc>. Например, Вы хотите посмотреть сигнал с генератора, реальную и мнимую часть ДВПФ сигнала, амплитуду и фазу спектра сигнала. Для этого необходимо подать сигнал с выхода генератора на вход одного из АЦП с помощью соединительного кабеля и нажать <Enter>. В первом или во втором окне, в зависимости от выбранного АЦП, появится сигнал, который при необходимости можно масштабировать с помощью клавишей < ⇑ >, < ⇓ >, предварительно перейдя при помощи клавиш <Page Up> и <Page Down> в то окно, где находится сигнал. Чтобы посмотреть реальную часть ДВПФ сигнала необходимо нажать клавишу , после чего программа сделает ДВПФ и выведет реальную часть спектра в окно, где раньше был сам сигнал. Если вы хотите посмотреть одновременно сигнал и реальную часть, то перед нажатием клавиши необходимо перейти в пустое от сигнала окно при помощи клавиш <Page Up> и <Page Down>. В этом случае в одном окне будет сигнал с генератора, а в другом его реальная часть. Это удобно для работы и анализа. Точно также можно посмотреть мнимую часть, амплитуду и фазу спектра сигнала. Для этого необходимо вместо клавиши нажать , , соответственно. Буквы, которые следует нажимать, выделены в меню другим цветом. Если Вы хотите посмотреть сигнал до RC цепочки и после нее одновременно, то необходимо подать сигнал с выхода генератора на вход первого АЦП и на вход RC цепочки, а выход RC цепочки соединить с входом второго АЦП и нажать <Enter>. В первом окне появится сигнал, который поступает на RC цепочку, а во втором окне - сигнал прошедший RC цепочку. Если необходимо, то можно посмотреть реальную и мнимую часть ДВПФ, амплитуду и фазу спектра сигнала в первом или втором окне с помощью клавиш , , , соответственно. Узнать численное значение в любой точке графика можно при помощи маркера, который перемещается стрелками < ⇐ >, < ⇒ > на одну точку окна экрана или + < ⇐ >, и + < ⇒ > - с шагом по 10 точек. Напомним, что в каждом окне по горизонтали - 512 точек. Программа позволяет производить печать с экрана, которая осуществляется нажатием клавиш + .
8
Задания. 1. Снимите несколько спектров X ( f ) одиночного прямоугольного импульса с различной длительностью ∆t . По спектральным картинам определите ширину главных лепестков ∆f . Постройте по нескольким точкам примерную зависимость ширины ∆f от длительности импульса ∆t . 2. Для каждой из предлагаемых Вам цепей (интегрирующей, дифференцирующей, полосового фильтра на RC элементах и колебательного контура) снимите переходную характеристику. Для этого подайте на вход цепи сигнал прямоугольной формы с периодом достаточно большим по сравнению с характерным временем длительности переходных процессов в цепи. 3. По переходным характеристикам для интегрирующей и дифференцирующей цепи определите постоянную времени, а для колебательного контура - собственную частоту. 4. Подайте на вход тех же цепей одиночный импульс с длительностью меньшей времени преобразования АЦП. Снимите спектр X ( f ) импульсной характеристики. Для интегрирующей, дифференцирующей цепи и полосового фильтра определите частоту на полувысоте X ( f ) , сравните её с теоретическим расчетом. Для колебательного контура по спектру определите резонансную частоту и добротность. Справочные данные Величина кванта измеряемого напряжения АЦП ФК-4225
U кванта =
U макс U макс = 1024 210
Литература. • • • •
Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. М.: Мир, 1988. Мешков И.Н., Чириков Б.В. Электромагнитное поле. Ч.1. Н-ск: Наука, 1987. Бонч-Бруевич А.М. Радиоэлектроника в экспериментальной физике. М.: Наука, 1966 Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники. М.: Мир, 1983.
Интернет версия подготовлена на основе издания: Физический факультет НГУ,2000 Лаборатория электричества и магнетизма НГУ,2000, http://www.phys.nsu.ru/electricity/ 9
